Lezioni di fisica generale 1 (con OCR) 9788846701329, 8846701321

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INDICE

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INTRODUZIONE

. MISURE E UNITÀ DI MISURA 1.1. Misureed errori 1.2 Unità di misura 1.3 Analisi dimensionale + I VETTORI IN FISICA 2.1 Grandezzevettoriali 2.2 Riferimenti

2.3 Vettori e loro componenti 2.4. Vettori e Pseudovettori elleleggi fisiche dal sistema. di coordinate (covarianza)

2.5” Indi

3.1 Leggeorariae traiettoria

18

3.2 Velocità vettoriale

20

3.3. Velocità scalare

22

3.4 Accelerazione vettoriale e accelerazione scalare 28

$5 Coordinatecilindriche w

29

Velocità e

30 4.2 Sul concetto di forza

31

4.3 I riferimenti inerziali

32

4.4 La massa

33

4.5 Le vinità di forza

33

4.6 L'equazione # © Copyright1998 EDIZIONI ETS

Piazza Torricelli 4, 156126 Pisa Distribuzione PDE,Via Tevere 54, 1.50019 Sesto Fiorentino [Firenze]

mè come equazione del moto

DEL PUNTO

.....................

MATERI/

5.1 L’oscillatore armonico in una dimensione 5.2 Posizionidi equilibrio 5.3. L'oscillatore armonico soggetto ad una forza costarite i

34

Indice

Indice

54 L’oscillatore armonico tridimensionale isotropo

..................

40

......................

42

11.1 Correzioniall'isocronismo

.............- 00

44

11.2 Il pendolo isocrono

5.5 Campidi forza centrali. Il momento angolare 5.6 Costanti del moto 5.7

Orbite circolari nel moto kepleriano

.

.

................-.- 45

d IL PENDOLO

11.3 Il pendolo smorzato

FINO qui

TITfimo comemao

cazioni forzate 11.4 Oscillazioni

46

NO%8 Moto in un mezzo viscoso

11.5 Bilancio energetico

6.

6.2 11 3° principio per cotpi macroscopici

.......... LL

53

6.4 Il sistema di due corpi: la massa ridotta c

55

7.1

: :

°

.........--- ii

57

03

..........0. 000

58

c

.........0....

63

.........iL e

65

Vincolie reazioni vincolari

7.2 Vincolilisci

tb, CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO

51

6.3 Sistemiisolati e conservazione della quantità di moto

7.3 Filiefuni Lili. ii 60 7A Vincoli scabri: attrito statico 7.5 Vincoli scabri: attrito dinamico cine

Lex

BI Premessa irene 08 8.2

Il teoremadelle forze vive

8.3

Forze conservative

DO

8.4 Conservazione dell’energia 8.5 Soluzione di problemi mediante le leggi di conservazione

............

12.1 Il corporigido

109

12.2. 1 motodel corporigido (legge oraria) 12.3 Il campodelle velocità

109 112

124 Casi particolari ed esempi

o

119

L 13.1. Introduzione

119 dix

i

18.2 Legge oraria

”

13.4 La formula di Coriolis per le accelerazioni

13.3

Composizionedelle velocità

120

.......-..-...-

122

(è LA DINAMICANEI RIFERIMENTINON INERZIALI

125

rr

68

.............

107

11.6 Un esempio: i pendoli accoppiati...

49

Il terzo principio e la 1° equazione cardinale

72

128

76

129

80

133

83

134

85

135

86 9.

138

138

87 9.2.

Moto in campocentrale: il potenziale efficace

......................

10. CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE ASSIALE 10.1 Momentiassiali

93

10.2 Il pendolosferico

94 ii

15.3 Proprietà del momento angolare e del momentorisultante

89

15.4 Conservazione del momento angolare... 0000

Î

.

..

140

cu 182

16. LA DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 16.1 Il momento angolare di un corpo rigido ......... 00 - 144 ii

Indice

Indice

16.2 Statica e dinamica del corporigido

22. IL 1° PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

16.3 Forze gravitazionali su un corporigido

22.1 11° principio

17. ENERGIA DEI SISTEMI

. Lie

22.2 L'energia interna

203 205

ITERICISTGNERASOriveperi sistemi.

22.3 Lavoro sul sistemae lavoro del sistema.

...........-..0

208

17.2 Il lavorodelle forze interne

22.4 Lavoro delle forze di pressione

..........-..00 Li

209

17.3 Un paradosso?

22.5 L’equazione delle adiabatichereversibili di un gas ideale INPIVOTTOOTO

212

17.4 Il teoremadelle forze vive per un corporigido

22.6 Macchine termiche. Il ciclo di Carmot

213

23. IL 2° PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

17.5 Sistemi Conservativi: l'energia potenziale 17.6 Energia potenziale di un corporigido

18. LE LEGGI DI CONSERVAZIONE PER I SISTEMI 18.1

23.1 Il 2° principio

215

23.2 Il Teorema di Carnot

219

23.3 La diseguaglianza di Clausius

Soluzione di problemi mediantele leggi di conservazione

18.3 Il giroscopio

24.1 L'entropia

18.4 Motolibero di un solido attorno al centro di massa ................

24.2. Variazioni di entropia

24.5 Due semplici conseguenze del 2° principio

...............-/-/2 2

21. SISTEMI TERMODINAMICI 211 Le variabili termodinamiche 21.2 La pressione

21.3 Significato microscopico della pressione 21.4 L'equazionedi stato dei gas ideali e il significato microscopico della temperatura.

21.5 L'equazione di van der Waals 21.6 Trasformazioni termodinamiche 21.7 Lavoro e calore

c pr

19.2 Forze impulsive e problemid'urto

INTRODUZIONE

............00--.-. 02

24.4 Entropia ed energia interna

Il teoremadell'impulso e dell'impulso angolare

ELEMENTI DI TERMODINAMICA

222

24.3 Sistemi termicamenteisolati

19. FORZE IMPULSIVE

20. HI PROBLEMA DELL’ENERGIA DAL PUNTO DI VISTA MICROSCOPICO

........- 00

24. L'ENTROPIA

18.2 Cosasi conserva?

19.1

..........0.

24.6 Entropia e lavoro

.......\. 0.

230

Li...

231

24.7 1 potenziali termodinamici

.........L0 0

24.8 - Potenziali termodinamicie condizioni di equilibrio

................

24.9 Il significato microscopico dell’entropia e il teorema di Boltzmann

..

233

235 238

PREFAZIONE Questo volume ha originedalle lezioni che da diversi anni tengo presso il Corso di

Laurea in Matematica dell’Università di Pisa. Esso è quindi principalmente dedicato

agli studenti di matematica, ma probabilmente può essere utile anche agli studenti di fisica e forse anche di altri Corsì di Laurea. Comediceil titolo, il contenuto è quello di un normale corso universitario, ed è ben lontano dal coprire tutti gli argomenti che normalmente vanno sotto il nome di Fisica Generale 1: sonoil frutto di una scelta didattica — necessaria per mantenere un Corso

in dimensioni ragionevoli - che mi ha portato a privilegiare ì concetti di base rispetto ai molti e pur importanti sviluppi della meccanica e della termodinamica. A parte la teoria della relatività, che verrà trattata nel Corso di Fisica 2, le omissioni

sono tante, e vanno dalla teoria dell’elasticità, a quella dei fluidi, all’acustica, e altre ancora: lo studente che desidera o abbia la necessità di costruire la propria cultura non

soltanto in funzione del superamento dell’esame universitario, dovrebbe anche avere a

disposizione almeno unodei, tanti e ottimi trattati di Fisica Generale.

Il fatto che questo volumesia in primaistanza indirizzato agli studenti di matematica non deve far pensare ad'un uso intensivo e sofisticato della matematica: al contrario, lo sforzo è stato quello di limitarne l’uso all'indispensabile. I concetti di velocità, accelerazione, lavoro, richiedono la conoscenza dei concetti di limite, derivata ed integrale,

argomenti che peraltro fanno parte dei programmi di molte scuole superiori, e di questi horitenuto di non poterfare a meno, ma al di là di una comprensionedi questi concetti nonè richiesto molto di più: salvo pochi casi veramente elementari, non è mai richiesto

INTRODUZIONE L’introduzione ad un corsodifisica, anzi, al primo corsodifisica universitario, è forse — peril docente — il momento più difficile ed impegnativo: bisognerebbe spiegare cosa è la fisica, quali sonoi suoi obbiettivi, qual è il ruolo che gioca indagine sperimentale e qualel’analisi teorica, qual è l'assetto logico su cuisi basa, ecc. ecc.. Mi limiterò a poche

e scarne considerazioni, cercando di non farmi prefidere la mano dalle tante cose che si potrebberodire, perché una discussione approfondita di tutta questa problematica, cioè — se vogliamo delsignificato epistemologico della fisica, è poco efficacefintanto che queste domandee questi problemi non vengano sentiti come unaesigenza, e questa

nasce di norma dariftessioni “in corso d’opera”. Cercherò di non lasciarmi sfuggire le occasionidi parlare di queste cose quando queste occasionisi presenterannoin termini concreti. Per ora, e anche per il futuro quando, lo spero, sentirete l'esigenza di un chiarimento logico su ciò che avrete studiato, vi rimando ai capitoli introduttivi del 1°

volumede “La Fisica di Berkeley — Meccanica”, e sopratutto degli “Appunti di Fisica Generale” di E. Fabri. La parola “fisica” deriva dal greco physîs che vuol dire “natura”: la fisica è quindi la scienza che studia i fenomeni che avvengono nell'Universo, siano essi fenomeninaturali

{come la formazionedelle galassie), a provocati (come gli urti fra le cosidette “parti

celle elementari”, che si realizzano mediante l’uso dei grandi acceleratori), e ha come

scopola loro comprensionein termini di teorie, cioè di un numerolimitato di principi

fondamentali. Per esempio,le leggi del pendolo,le leggi di Keplero, quelle della caduta

di saper calcolare derivate o integrali.

dei gravi o quelle dell'urto, costituisconorisultati ed elaborazioni di osservazioni e sono

verso: gli studentidi fisica devono imparare quanto prima ad utilizzare certi strumenti

Una teoria nasce quindi da esperimenti ed osservazioni come estrapolazione dei mede-

Forse, nell’ambito di un Corso per studenti difisica, il mio atteggiamento sarebbe di-

tutte riconducibili, anzi deducibili, dai principi della dinamica formulati da Newton.

matematica la situazione è diversa: ad essi si richiede ‘un apprendimento sistematico,

simi, e deve avere carattere predittivo. In effetti il rapporto fra teoria ed esperienza è molto complesso: spesso è la teoria che “nasce” dai fatti osservati, talvolta invece essa precedegli esperimenti, anzi li suggerisce (tra i tanti possibili esempi: la Relatività e la

Molte sono le persone che dovrei ringraziare per la loro collaborazione: in particolare ringrazio i proff. L.Bertanza e P.Farinella per le loro osservazioni e i loro preziosis-

del positrone). In questo complesso rapporto fra teoria ed esperienza, non sempre, anzì raramente,i

e, un po’ soprale righe, si potrebbe dire che non è fuori di luogo che talvolta prima imparino ad utilizzare certi concetti, e sucessivamente a capirli. Per gli studenti di il più possibile sequenziale e privo di lacune.

simi consigli, gli studenti che mi hanno segnalato i numerosi errori di stampa in una prima stesura sotto forma di dispense, ed infine uno studente molto particolare, B.P. che, libero da condizionamenti gerarchici, mi ha corretto la grammatica, la sintassi e, soprattutto, mi ha segnalato quei punti che potevano risultare non sufficientemente chiari agli studenti. L'immaginesul frontespizio è una riproduzione di una incisione di Paolo Lasinio ripresa dalla Tribuna di Galileo, in cui è rappresentatoil giovane Galileo “nell’atto che osserva l’oscillar della lampada nella Cattedrale Pisana”. Ringrazio il Prof. Roberto Vergara Caffarelli, responsabile del Centro per la conservazione e lo studio degli strumenti scientifici, per avermi consigliato e fornito questa bella riproduzione. Luigi E. Picasso Pisa, ottobre 1998

deflessione gravitazionale della luce, la Meccanica quantistica relativistica e la scoperta

fatti sperimentali ammettono una interpretazione univoca, e quindi portano univoca» mente alla formulazione di una teoria: nella maggior parte dei casi è troppo sempli-

cistico dire “il tale esperimento prova che ...”: dietro ad una affermazionedi questo tipo ci sono tutte le ragioni, vuoi teoriche, vuoi sperimentali, che hanno portato ad escludere altre possibili interpretazioni: la “prova” di una teoria risiede di solito in un complesso di esperimenti e di verifiche, nella sua coerenza interna e, aspetto non trascurabile, nella sua semplicità ed eleganza.

Il rovescio di questa medaglia è che una teoria nor è mai “dimostrata”: a parteil fatto che qualsiasi esperimento verifica una teoria solo “entro gli errori sperimentali” (un

concetto su cui tornerò fra poco), è sufficiente - in linea di principio - una sola misura,

o esperimento, a mettere in crisi una teoria.

.

Di norma, e ormai ne siamo consapevoli, qualsiasi teoria “consolidata” viene prima o 1

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

Introduzione

poi messain crisi da misure più precise o da misurein condizioni diverse da quelle che

trascurare questo o quello (attriti, resistenza dell’aria, effettirelativistici, ecc.). Qui le obiezioni non vengono tanto dai matematici, che anzi sono maestri nel riuscire ad estrarrel'essenziale dal contingente, il generale dai tariti particolari, ma dai filosofi,

— per estrapolazione — l’hanno determinata (velocità paragonabili a quella della luce, misure dicalori specifici a temperature molto alte o molto basse, ecc.). Nasce quindi una nuova teoria, di validità più generale, che contiene la precedente come ottima ap-

prossimazionein particolari condizioni (velocità < c ...).

Lafisica è quindi una scienza in continua evoluzione semprealla ricerca, da un lato di

nuovi fenomeni, dall’altro di teorie più generali, e che unifichino la comprensione di un maggior numero di fenomeni(le “grandi unificazioni” della fisica attuale, iniziate con l'imificazione del Cielo con la Terra di Galileo, seguita da quella dell'elettricità e del magnetismo operata da Maxwell). .

È proprio questa precarietà e provvisorietà delle leggi della fisica che distingue la fisica

dalla matematica: è vero,la fisica non è così “pura”e così sublime come la matematica,

ma anche gli scopi sono diversi. I fisici hanno a che fare con una entità così complessa

comela realtà che ci circonda, ma l’obbiettivo di capire, piano piano ma sempre meglio, l'Universo in cui viviamoè senz'altro molto ambizioso e anche molto gratificante. +

Desidero concludere queste sbrigative considerazioni con due parole su un aspetto della

metodologia della fisica che incontrerete continuamente: il problema delle schematizzazioni.

Come ho detto e come ben sapete, il mondo dei fenomeni(fisici) che ci circonda è

estremamente complesso: oserei dire che qualsiasi — apparentemente semplice — fenomenofisico coinvolge in una qualche misura tutta o quasi tutta la fisica. Pensate alla

caduta di un grave dalla Torre di Pisa: oltre alla gravitazione universale, a causa della presenza dell’aria entra in gioco la teoria dei fluidi, gli scambi di calore (e quindi la termodinamica), magaril’elettrizzazione per strofinio (e quindi l’elettromagnetismo,la fisica atomica, ecc.) e si potrebbe continuare, tirando in ballo senza troppo sforzo la relatività ristretta e quella generale, e così via.

Per fortuna che Galileo non ha avuto la pretesa (assurda) di capire tutte queste cose quando effettuava i suoi famosi esperimenti, altrimenti non avrebbe fatto molti passi avanti. Per fortuna che Bohr non ha avuto la pretesa di spiegarele righe spettrali dell'atomo di piombo ma molto più modestamentesi è occupato dell’atomo di idrogeno, altrimenti chissà se sarebbe nata la Meccanica quantistica! Ho detto “per fortuna che .”, ma in realtà non è una questione di fortuna, è una questione di metodologia,

di cui Galileo era ben consapevole, anzi ce l'ha insegnata proprio Lui: sia nella fisica sperimentale che nell’analisi teorica dei fenomeni bisognacercare di minimizzare (negli

esperimenti), trascurare (nell’analisì teorica) tutti quegli effetti che consideriamo secondari rispetto al problema che ci interessa: p.es. ridurre al massimol’effetto della resistenza dell’aria, a meno che non sia proprio questo l'aspetto del problema che ci

interessa. Scherzosamente si dice che il primo principio della fisica è “meglio un cattivo numero che nessun numero” {cioè tante volie se nonsi è disposti a fare delie approssimazioni non si riesce ad ottenere alcun risultato), al quale io però aggiungereiil secondo principio “sè un cattivo. numero può essere migliorato, deve essere migliorato”. Così incontrerete continuamente tante semplificazioni o “schematizzazioni” che ci consentiranno dì capire edi calcolare gli aspetti principali di un problema: il concetto di punto materiale, quello di corpo rigido, quello di condizioni iniziali ben definite, il 2

che ci accusano di occuparci di un “mondodi carta”, un mondo cioè che non è quello reale, ma è quello che ci fa comodoperi nostri conti. Come vedete, queste frettolose considerazioni possono portare molto lontano .... Non pretendo di rispondere aifilosofi, ma ad una domanda molto più semplice che talvolta gli studenti (specialmente quelli di matematica, educati al rigore e alla generalità) ci pongono: visto che ormai sappiamochela fisica newtoniana si è dimostrata inadeguata, ed è stata rimpiazzata dalla teoria della Relatività e dalla Meccanica quan-

tistica, perché mai dobbiamo continuare a studiarla? La risposta è ovvia, ma conviene

ripeterla: pensate che varrebbe la pena di studiare il moto dei pianeti nel sistema solare

usandola Relatività? Il problema diventerebbe molto più complesso e, nel caso della Terra (v & 30km/s), tutto quello che si guadagnerebbe sonocorrezioni dell'ordine di (u/c)?, cioè di una parte su 108! (di gran lungainferioriall’effetto di tante altre perturbazioni). Questa:è'solo una parte della risposta, ma ormai è tempo di indossarela tuta da lavoro e rimboccarsi le maniche.

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

Misure e unità di misura

pli rispettivamente del metro e del chilogrammo-massa, ed il Sistema Pratico le cui

dei gravi g = v°/2h bisogna misurare due lunghezze (una per determinare+, l’altra è

unità fondamentali sono il metro, l’unità di forza chiamata chilogrammo-peso (kgp) e definita comela forza (di attrazione) che la Terra esercita sul campione che defini sce il chilogrammo-massa in un luogo in cui }’accelerazione di gravità abbia il valore = 9.80665 m/s? (cioè il peso del chilogrammo-massa in detto luogo), ed il secondo. L'esistenza del sistema pratico (proprio perché utilizzato nella vita quotidiana) è in parte responsabile della confusione fra massa e peso, due grandezzefisiche totalmente diverse.

1.3 Analisi dimensionale Fissate le grandezze fondamentali, per esempio lunghezza, massa e tempo, indipendentemente dalle unità di misura scelte (metro oppure centimetro, ‘chilogrammo-massa oppre libbra-massa ecc.), la misura di ogni grandezzafisica comporta, direttamente o

indirettamente, misure di grandezze fondamentali in una ben determinata relazionefra di loro: p.es. una misura di velocità comporta una misura di lunghezza divisa per una di tempo, la misura di un’area comporta la misura di una lunghezza per una misura di lunghezza, ecc..

Tutto ciò si esprime introducendoil concetio didimensionifisiche (o brevemente dimensionî) di una grandezzafisica: p.es. la velocitàha le dimensioni di una lunghezza diviso un tempo, mentre un'area ha le dimensioni di una lunghezza al quadrato. Scriveremo

[]=LT4;

farea]=

cioè le dimensioni di una grandezzafisica sono indicate dalla grandezzastessa racchiusa fra parentesi quadre, e sono date dal secondo membro dell'eguaglianza:

[x] = L*M9T". Se gli esponenti sono tutti nulli si dice che x è una grandezza adimensionale o anche che è un numero puro.

L’utilità del concetto di dimensionifisiche è molteplice: 1.

Le dimensioni di una grandezza dipendono dalla scelta delle grandezze fondamen-

tali, mafissate queste non dipendono dalle unità di misura. Per questa ragione permettono di determinare rapidamentei fattoridi conversione da un sistemadi unità ad

un altro: p.es. per passare dalla misura della velocità nelSI (m/s) alla misura della velocità in km/h (chilometri all'ora) il fattore di conversione è 10787 (1/3600)=36 (1m = 10”? kmecc.)è quindi 1:23.m/s= 1.23 x 3.6km/h. Quindi le equazioni dimensionali ( [...] =... ) per le grandezzefisiche forniscono la

legge di trasformazione delle misure da un sistemadi unità ad unaltro. 2.

L'equazione dimensionaleci dice quali grandezze - direttamente o indirettamente

— è necessario misurare per determinare una certa grandezzafisica: p.es. per misurare una velocità è necessaria (per lo mend) una misura di lunghezza e una di tempo, così pure per una misura di accelerazione (([a] = LIT 2). Così per determinare 9 dalla misura del periodo del pendolo occorre anche misurare

la lunghezza del beridolò; se invece ivuole determinare g dallafo

h) e un tempo, quindi presumibilmenteil risultato sarà meno accurato. Però l’analisi

dimensionale ci dice che deve essere possibile, anche in questo caso, determinare g mediante una sola misura di lunghezza (e una di tempo): difatti sempredalla legge di cadutadei gravisi ha direttamente 9g = 2h/t* e quindi non è più necessaria la misura di velocità. 3.. Controllo dimensionale: tutte le relazionifra grandezzefisiche(“equazionidellafisica”) devonoessere “dimensionalmentecorrette”: ciò vuol dire che se scriviamo X+Y=Z

deve essere [X]=[Y]=[Z], cioè X,Y,Z devonoessere grandezze omogenee,altrimentil’e-

guaglianza scritta non potrebbe essere vera indipendentemente dalle unità usate. Il controllo dimensionale è utilissimo per verificare se nel corso di una elaborazioneci siamo persi qualcosa, e quindi è altamente raccomandato; ovviamente i fattori numerici

sfuggono a questo controllo. Semprein tema di correttezza dimensionale, è bene notare esplicitamentechese certe grandezze fisiche costituiscono gli argomenti di una funzione che non sia una potenza - quindiil discorso si applica p.es. alle funzioni trigonometriche, alla funzione esponenziale, alla funzione logaritmo, ecc. — esse possono entrarvi solo in combinazioni adimensionali: se troviamo un'espressione che contiene senwt (dove t è il tempo) capiamo subito che fidi= T-!; incontreremo espressioni come log(V/Vo) {dove -V e

W sono volumi), ma non incontreremo mai logV : pensate un po’ se può significare qualcosa chiedersi quantovaleil logaritmo di 1 m#, e se qualcuno pensachesia zero, al-

lora mi dica quanto vàle il logaritmo di 1000litri. {Ovviamente non è concettualmente sbagliato scrivere logV — logo, maè antiestetico).

4. Talvolta l’analisi dimensionale viene invocata per inferire la forma di una legge fisica. Classico è l'esempio del pendolo: il periodo r di un certo pendolo dipenderà

(eventualmente) dalla sua massa m, dalia lunghezza /, dal valore dell’accelerazione di gravità g e dalla (semi)ampiezza angolare # delle sue oscillazioni, che è un numero puro. Allora deve essere

r=f(0)Pmg

da cui segue p+r=0,

> g=0,

=T = IPMIL"T_? = LP+TMIT=? -2r=1

equindi

r=f(0)Vi/9.

(Nelseguitoil periodo del pendolo verrà indicato con T, ma qui non volevamo confusioni

con la grandezza “tempo"). Naturalmentel’analisi dimensionale non ci dice che f(90) = 27(1+1/1698 +-->). Sembra uno strumento molto potente, e in effetti qualche volta lo è, malo lascereiagli esperti: infatti bisogna essere in gradodi stabilire con certezza da quali grandezzefisiche relative al problema che stiamo considerando può dipendere la grandezza cercata, e sopratutto da quali non può dipendere,e ciò disolito richiede già una buona conoscenza della fisica. Nell'esempio considerato - per ovvie ragioni - abbiamo implicitamente escluso che 7 potesse dipenderedalla velocità della luce c, o dalla costante di Planck hi,0 dalla costante di Boltamann &, ecc.. Altre volte può non essere così ovvio. Inoltre, se nel

problemacheci interessa intervengono grandezze che possono essere combinate a dare

un numero puro, il risultato conterrà a fattore una funzione incognita di detto numero

puro. Nell'esempio del pendolo ii numero puro # è il rapporto fra la (semi)lunghezza

7

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

so delle oscillazioni e la lunghezza / del pendolo: se non conoscevamo giàil risultato c'era il 50% di probabilità di concludere che. 7 = g(fo) 80/9 che coincide con la , precedente se g(80) = f(90)/VPo : quindi l’unica conclusione sensata che si può trarre dalla determinazione del periodo del pendolo basata sull’analisi dimensionale è la sua indipendenza dalla massa.

IVETTORI IN FISICAi 2.1 Grandezze vettoriali Infisica esistono grandezze che- fissato il sistema di unità di misura - sono comple-

tamente caratterizzate da un numero: es. la temperatura di un oggetto (all’equilibrio termico), la massa di un corpo,il suo volume, la lunghezza di un tavolo,e così via. “Tali grandezze sono dette scalari e vengono rappresentate semplicemente da una. lettera: p.es. la temperatura con T, la massa con m o M, la lunghezza del tavolo con L 0! a esistono grandezze ‘fisicheche sono caratterizzate da un numero (positivo)

ensità — una direzione ed un verso: per esempio la velocità di un’automobile che sta viaggiando a 60 km/ora(intensità) verso Nord (direzione e verso); la forza esercitata da una molla (allungata o compressa): tot newton nella direzione della retta congiungente l’estremo libero della molla con quello vincolato, nel verso di detta retta ‘orientata o in quello opposto, a scconda che la molla sia allungata o compressa; la po-

sizione di un piccolo oggetto nello spazio (“punto materiale P”) è determinata,fissato a piacere e una volta per tutte un punto di riferimento O (p.es. il centro della Terra ‘o più modestamenteil punto d’incontro di due dati atispigoli inuncerto1tavolo della _stariza in cui ci troviamo); dal segmento orientato OP. Tali grandezze vengono dette vettoriali (esistono anche grandezze - dette tensoriali — che devono essere caratterizzate

_ da un maggior numero di informazioni). Esse saranno indicate în diversi modi: p.es.

la velocità con #0 v ov - Normalmenti

6uria lettera con la freccelta sopra.

-Lalettera senza freccetta verrà said per l'intensità (detta anche modulo o norma è

anche indicata con ||w]]) della grandezza stessa (nell’esempio dell'automobile 7 = (60 fora, direzione nord), mentre v= NIE = 60 Too) l'intensità e unafreccetta indicail versodel segmentocorientato e della corrispondente grandezza vettoriale. Chiameremo tout-court vettori i segmenti orientati che costitui ”

sconola descrizione matematica delle grandezze vettoriali. Anzi, talvolta perbrevi! chiamerenio vettore anche una grandezza fisica vettoriale (cioè confonderemol'entità fisica con la sua descrizione matétiiatica).

Con qualche precisazione aggiuntiva derivante dal fatto che una grandezza vettoriale_ ha “delle dimensioni fisiche (che ovviamiente compaiono solo nella sua intensità), per le grandezze vettoriali si definiscono le stesse operazioni che caratterizzano gli spazi vettoriali chesi incontranò iri'inateratica:

1. moltiplicazione per un numeroreale: ciî (o 7c— l'ordineè irrilevante) è la grandezza vettoriale la cui intensità è |c| volte quella di &, stessa direzione, e stesso verso 0.verso opposto a & a secondache sia positivo o negativo; 1’. moltiplicazione per una grandezza scalare: p.es. mi. (massa x velocità) o.dt-(ve-

_locità x tempo); si tratta di una diversagrandezza Vettoriale (nel primo esempio la

© quantità di moto. d, nel secondo uno spostamento) definita come nel caso della molti _Plicazione per un numero reale c, con l’unica differenza chel'intensità del risultato ha ©dimensioni diverse da quelle della grandezza di partenza; 9

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

I vettori in fisica

Lo stesso discorso per unaforza che agisca sul punto materiale P, e in tantialtri casi.

2. date due grandezze vettoriali omogenee (p.es. due forze, oppure due velocità, oppure due spostamenti) si definisce la loro sommasecondo la ben nota regola del parallelogramma: 1 + a

Non c'è alcuna ragione logica che ci imponga di considerare i vettori comevettori applicati(il fatto di disegnarela velocità del punto P come un vettore applicato al punto Pè solo una questione di comodoo di chiarezza grafica; dire che una forza agisce sul

è la grandezza fisica rappresentata dal segmento orientato che si

punto P è sì un fatto fisicamente rilevante, ma non comporta che la descrizione matematica si debba fare con un vettore applicato al punto P); inoltre in molti casi non c'è

ottiene trasportando parallelamente a se stesso il segmento orien-

tato rappresentante uno dei due operandi (p.es. 72) fino a farne coincidere il primo estremo conil secondo estremodell'altro (in questo caso 171): il ségmento orientato che unisce gli estremiliberi rappresenta (per definizione) la somma &+ ds (figura 2.1).

“nessun punto al quale risulti naturale applicare un vettore, e anzi considerarlo appli-

cato in qualche punto sarebbe controproducente e possibile sorgente di errori: sì pensi ad esempio alla quantità di moto totale di un sistema di n punti materiali, o al caso

‘della sommadelleforze cheagisonosuivari puntidi dettosistema. (forza risultante). In

La sommacosì definita gode delle stesse proprietà formali della

altri termini, se considerassimo i vettori come vettori applicati, non sempre potremmo

somma fra numeri reali (commutativa, associativa, distributiva

definire la sommadidueo più vettori come un vettore applicato. Ciò comportache due segmenti orientati di uguale lunghezza, paralleli e concordi, devono essere considerati

rispetto al prodotto con scalari), e quindi risulta anche definita

la combinazione lineare di un numero arbitrario di grandezze|vettoriali (omogenee):cadi + cat + coin. In particolare &£ — B= #+ (--1) si ottiene trasportando fino a farne coincidereil primo estreriîo con il primo estremodi &:(a-b è il vettore che unisce l’estremolibero di $ con quello di è (figura 2.2).

equivalenti e rappresentanola stessa grandezza vettoriale. Tutto ciò è ben definito e_ non ambiguo se lo spazio in cui viviamoè lo spazio euclideo E8, cioè uno spazioin cui fig. 2.2

In fisica si pone il problema delsignificato fisico di questa operazione. La risposta

varia da caso a caso: talvolta ce lo dice l'esperienza — p.es. se.su un piccolo oggetto {punto materiale) agiscono due forze Fi e Fo, una dovuta ad una noolla e l'altra alla attrazione gravitazionale, risulta (sperimentalmente) che l’oggetto si comporta comese fosse soggetto ad un’unica forza F = f+(se però l'oggetto nox1 è piccolo e p.es. due forze uguali e opposte agiscono in punti diversi del corpo, certa.mente non è.vero che è comese sul corpo non agisse alcuna forza); talvolta Si tratta semplicemente di una definizione — p.es. si definisce quantitàdi moto totale d di un sistema di n punti materiali la somma Ji + d +

{20 = Rsenwt

TRAI = -wsenwt,

dee = coswiî

(3.16)

velocità è in anticipo sulla posizione di 1/4 di periodo, o che è sfasata di 90°: la velocità (scalare) raggiunge il massimo 1/4 di periodo primadella posizione. “In questo caso w è detta pulsazione.

Lasciamoal lettore la discussione degli ultimi due esempi. 3.4 Accelerazione vettoriale e accelerazione scalare

“a velocità scalare (l’orientamento della circonferenza è quella in cui cresconogli _

angoli) vale v, = RwAt/At = wR (nel moto circolare uniforme vs è costante). “Quindi, essendo 7= v7, î Vs(t) + 7) 2. = vî-î=wAcoswt sì 2 = —wAsenwt . (3.19)

Il concetto di accelerazione vettoriale non presenta dal puntodi vista formaledifficoltà aggiuntive rispetto al concetto di velocità vettoriale: tuttavia risulta molto meno in-

tuîtivo e ben lungi dall’essere completamente rappresentato dall’idea che l’uomo della strada (0 meglio l'automobilista) ha di accelerazione. Così come la velocità misura la rapidità di variazione nel tempo del vettore posizione , l'accelerazione misura la rapidità di variazione nel tempodelvettore velocità: questa però è un vettore, e quindi

vy(t) = vsî - j= wAcoswi (incidentalmente, in questo modo abbiamo dimostrato le (3.17) delle quali faremo largo uso nel seguito). angolo percorso mE] tempo impiegato

«(9 E tmsa È la 98) —

nio

(319)

e quindi dalla 34

uz(t) = -dRsen0(t),

può variare sia perché varia il suo modulo sia perché varia la sua direzione (ii gene

vy(t) = dRcosé(t).

(3.20)

Lavelocità angolare si misura in s7! (hertz, Hz). Si definisce (sia nel caso di moto circolare uniforme che di moto circolare vario) il vettore velocità angolare © vettore di modulo {w|, ortogonale al piano del moto(piano x,y), €v n KE AF SE w(t) SO, altrimenti verso opposto (regola del cavatappi): & è quindi ‘rio iopseudovetfore. în generale

(se il piano del moto non coincide conil piano z, DADEverso di dè quello rispetto al quale la rotazione avviene in senso antiorario. enne w, che più correttamente dovrebbe essere scritto w, in quanto in generale non coincide con {|&]] ma può differirne peril segno, prendeil nome divelocità angolare— scalare. Nell'uso corrente si continua a chiamarlo velocità angolarea sviverlow. In termini di &(t) si può esprimere w(#) in modo indipendente dalsistema di coordinate (ma non dal punto diriferimento): 24

VT

I

:)

v:=0.

velocità) dicendoche.nel. moto armonico {come in quello. circolare. uniforme) la

(3.17)

‘ Nelcaso di moto circolare vario la velocità angolare in generale nou è costante, ed . è definita come

uy=0;

Si interpreta questorisultato (4g -+ « + 1/2 nel passaggio dalla coordinata alla

il problemadi trovare la velocità è immediatamenterisolto. Altrimenti, sappiamo __cheUt) è tangentealla circonferenza, quindi ortogonale al vettore #(t). Inoltre

w è detta velocità angolare: w =

.

z=

Uz(t) = awcos(wi + p) = awsen(ut+0+ 7/2);

Perchi sa che È

0;

" Sfruttando la secondi de e (3.17) “#bbiamo subito

3. Cominciamo conil caso del moto circolare uniforme. Presa l'origine dei tempiin modo che #(0) = 20

62)

\CCRECICOA

H+Ad) = FO) +ZIAL+ (At), con 0(4t)= ta (A#°

ralé variano entrambi). L'idea intuitiva di accelerazione riguarda solo la variazione del modulo della velocità, e quindi non ne esaurisce il concetto. In particolare si ha una accelerazione (vettoriale) anche quando la velocità scalare resta costante, ma © varia in direzione{motouniforme su traiettoria non rettilinea, p.es. moto circolare uniforme).

_Si definisce accelerazione ai)iv

10im PELI = do) =50 = PO = #0.

(3.22)

In coordinate cartesiane:

az() = desl1) = (0) =

(3.29)

ay(6) = Gil_= o) = 90 a.) = det) = 0.) 220. Poiché T(1) = vs(t)?(t), si ha (derivata di un prodotto) 7 n INALÎ di(t sO) =+

Si definisce accelerazione scalare as(t) = ds(t): questaè all'incirca ciò che l’uomo della strada intende per accelerazione, all’incirca perché as ha un segno che dipende non

solo dal fatto che v = |{d]| stia aumentando o diminuendo, ma anche dal versofissato 25

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

4

Cinematica del punto

su 9. Prendiamo in considerazione il termine vs(t)d?(t)/di: come già notato # è una

funzione composta. di t tramite s(), quindi

di(t)

__di(s) dslt)

dî(s)

di ds di = ve(8) ds di(s)/ds è anch'essa - come # — una grandezza geometrica (non cinematica) legataalla curva y: derivando (rispetto ad s) l'identità #.# = 1 si ottiene dî(s) ds

curvatura della traiettoria: per questo motivo «a; = 0?/p)viene detta accelerazione ©centripeta o componente centripeta (o normale) dell'accelerazione. Quest'ultimo tercmineè presente tutte le volte che v # 0 e la traiettoria non è (localmente) rettilinea; esso misura la rapidità di variazione della direzione della velocità, e non del suo modulo. Questoiltermine:checprodideladistinzionefra!'iomodellastradararlingmo; Nellinguaggio comunesi dice che un corpoaccelera o rallenta quando il modulo della sua velocità aumenta o diminuisce: sono affermazioni che riguardano l'accelerazione

#=0

.£ quindi dî(s)/ds è un vettore ortogonale a #(s), diretto sempre (indipendentemente dall’orientamento della traiettoria) nel verso della concavità di Y. Se la traiettoria è

‘scalare, ma che non possono essere lette esclusivamente in essa, difatti il segnò di a,

il piano al quale tende îl piano su cui giace #(s) e parallelo a #(8'), con 8° #5, quando”

‘dipendedal versofissatosullatraiettoria. È facile convincersiche se a, € vs hannosegno rde v aumenta, e viceversa se hanno segnodiscorde. Quindiciò che.contaè ilsegno del prodotto asv, 0 anche, se vogliamoliberarci da ogniriferimento all'orientamento ‘del a traiettoria, di 7-7 (&-0=a,0;). Così per esempio, se un sasso cadédalla Torre di Pisa ha un velocità diretta verso il basso, concorde con l’accelerazione J, e infatti

indicato con 1/p pvienechiamato raggio di curvatura di y'nel' olare pcoincide con'il raggio

lancio) è sempre g, ma # è diretta verso l’alto, e infatti il sasso rallenta. (In effetti a-d= id(3-0)/dt = 1dv/di).

piana,essogiace nel pianodella traiettoria, altrimenti.nel cosiddetto giano osculatore )

8° + s. (Per una curva sghembail piano osculatore in un punto della curva costituisce la migliore approssimazione piana locale alla giacitura della curva). 7 Il modulodi questo vettore ha le dimensioni deli’inverso idi una lunghezza. , e viene

pun

a

accelera, mentre se il sasso viene lanciato versol’alto, l'accelerazione (dopo la fasedi

Esempi

I primi tre esempi già discussi

1.0

ded

#(s+As)-#(s) fig. 3.4

li

î(8+As)#(s)| |. i As

pn

2sen0/2

°

7

Rimettendo insieme tuttii pezzi, abbiamo

#8) = as(t)# + Oa 2

e quindi, dal confronto con le (3.16),

1

R

”

cen

-

(824)

dove abbiamoindicato con àì il versore normale a y nel punto considerato, giacente nel piano osculatore, e diretto versoil centro di curvatura. Sia # che fi che p dipendono da s, e quindi implicitamente da #. L'accelerazione (vettoriale) risulta quindi decomposta in due termini: ast avente la direzione (ma non necessariamenteil verso) della tangente alla traiettoria, € per questo motivo a, vienè anche detta accelerazione tangenziale o componente tangenzia le dell’accelerazione; _(v?/p)î ortogonale al precedente e sempre diretto versoil centro di 26

.

(3.25)

ay(t) = —w*Rsenwi

Nel caso generale p è il raggio della circonferenza che meglio approssima la curva nel punto considerato (cerîhio osculatore). Omettiàmo la definizione precisa di ‘questo

Lonicetto.

x

{ a,(t) = -wRceoswt

—___ 24. Re

n

3. Moto circolare uniforme. Possiamo procedere in due modi: in coordinate cartesiane la velocità è data dalle (3.18); grazie alle (3.23) e alle (3.17)

cls

Fon

i

I

FU) = + TI, FO = MY IE 0 PORT gi sono banali: nel primo l'accelerazione è nulla, negli altri due l’accelerazione è il vettore costante &.

sO =-w#(1)

(3.26)

un risultato scontato: per la (3.24), siccome as = 0 (vs è costante)

a) = (1°/R)filt) = Rat) = wF(1). Oppure, dalla (3.21):

da

n

d

(3.267)

&

a) = SENTO AZ = ATM =GA(GAFM)= 0)

(326)

Se il moto è circolare vario, @ dipende da è e quindi

di)

__ dat) AF(O)

1

= (1) AF() — °#(t) = RÒ()T — 78)

= ost -wF(1).

°

4. Moto armonico:

(3.27)

7

#0) = -wr(0).

(3.28) 27

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

Cinematica del punto

Negli ultimi due casi (cicloide ed elica) l'accelerazione è quella del moto circolare uni

coordinata, nel caso delle coordinate polari abbiamo una terna di versori ortogonali per ogni punto P: essi verranno indicati con è, d, £ e sono tangentialle tre linee coordinate

forme:

5. cicloide: posto Bp(t) = #(1)-F.() dove F. è la posizionedelcentrodella ruota,

dt) = —w?fip();

nel punto P, orientati nel verso in cui le coordinate crescono. 3.6 Velocità e accelerazione in coordinate cilindriche

6. elica: l’accelerazione è sempre nel piano ortogonaleall'asse del cilindro, diretta dal

punto P versol’asse, e modulo costante uguale a w°R.

Sia 7 la velocità di un punto P. Vogliamo determinare le componenti del vettore 7 rispetto alla terna d,@,f associata al punto P. Si ha

3.5 Coordinatecilindriche

sE dor,

Quando abbiamo fatto ricorso ad un sistema di coordinate abbiamo sempre usato le coordinate cartesiane. È la scelta più

sona Ù=UkKt

consueta, ma non l’unica: è il problema fisico che suggerisce di volta in volta qual è la scelta più comoda. Qui, per ora,ci limi-

tiamo a introdurre le coordinatecilindriche, o coordinate polari piane (per distinguerle da quelle sferiche di cui faremo uso più avanti). Per brevità le chiameremo semplicemente coordinate pelari, e sono definite come segue: è data una retta orientata

(asse polare) ed un piano 7 ad essa ortogonale.

F=00+0p9+v,É.

fig. 3.5

Quando in uno stessa problemasi usano sia le coordinate cartesiane che quelle polari, occorre sapere come si passa dalle une alle altre. Ciò si effettua in base alle seguenti convenzioni: l'asse z e l’asse polare coincidono, così pure la semiretta u e la semiretta delle x > 0. Allora si hannole formule di trasformazione (0,0,z + x,y 2):

-

(3.29)

z=EZ.

-

T=T COSE

{ilrseno.

4

(3.31)

Nei caso.di moto sul piano z = 0 si ha

.

FT=ff+ pò.

.

.

(3.317)

Se il moto è circolare con centroin O la (3/31”) si riduce all’espressione giàstabilita

T= (Rs.

.

/

A partire dalla (3.31) possiamo ora determinare le componenti dell’accelérazione. Di ù

. nuovorispetto al calcolo precedente c'è solo il calcolo di dd/di, che poi ron è altro che la derivata del versore È nel moto circolare, quindi dj/di = —4 è. Quindi

a= (0- 09°)d+ (00 +209)p + 02h e nel caso di moto sul piano 2/= 0:

.

a= (F- n} + (19 +20)9.

//

./

f

(3.32)

(8.32)

Le (3.31) e (3.32’) forniscono dunquela decomposizione rispettivamente della velocità

(3.30)

la decomposizione (3.32’) con la (3.24): nella (3.24) # ef siriferisconoalla traiettoria, mentre # e @ siriferiscono alle coordinate e quindi, a7Neno che il moto non sia circolare, Î#9 e -figf (e, se il motoè circolare, #=0= f).

.

Nella maggior parte dei casi avremo a che fare con motiche si svolgono su un piano: se prendiamo il piano del moto come piano : = 0, allora nelle (3.29) e (3.30) o=r =

{OP}, 2=0

7

e dell’accelerazione in un moto piano in componenti radigle angolare. Non si confonda

e le inverse (2,7,2 + 0,9,2):

o=vr+y° @ = arctan L

È

Quindi

t, e è la distanza dall'origine della proiezione P' di P sul piano x, e 4 è angolo che OP! forma con la semiretta u, secondola solita convenzione che gli angoli crescono in verso antiorario rispetto al verso dell'asse polare. Caso per caso si dovrà decidere se 0 < @ < 27° oppure se —x < @ < 7 oppure —00 < < +00. Sinoti che per il punto O (l’origine) non è definito.

AZZ

del) kt 08 ò + ED di

R=1,e vale [v. (3.19)] #6, in quanto dè il versore.tangente alla circonferenza.

spazio si associano le coordinate 2, 4, 2 , dove z è la distanza con segno di P dal piano

fi =g8eng

000 _ di

La derivata del versore è è la derivata di un vettore di modulo costante (modulo 1 in questo caso), e quindi è la velocità nel moto circolare su una circonferenza di raggio

Presa su x un’origine O ed una semiretta u uscente da essa, ad ogni punto P dello

x = 0C08g

OP=0P'+ PP= 0od+zk;

,

(8.297)

A differenza delle coordinate cartesiane, dove una unica terna di versori individua in ogni puntol'orientamentodelle linee coordinate, cioè di quelle linee su cui varia una sola 29

I principi della dinamica

4.

1 PRINCIPI DELLA DINAMIC_A

l’accelerazione l'effetto. Essa è anche detta l'equazione del moto del corpo, in

quanto - come vedremo — fissate opportunecondizioni permette, notaF, dideter “ninare il moto del corpo. X°questo puntosembrerebbe che il :1° principio (F= =0 > d=0)siauna con-

4.1 Le leggi di Newton

seguenzadel 2°: vedremo che le cose non stanno,così a in quantoil 1°. principio

permette di determinare quei riferimentiin cui valeil 2°.

qua,

vis inpamnati

i"

iii) Affinchéla (4.1) significhi qualcosa, occorre definire indipendentementecosa è una

‘Philosophiae Naluralis Principia Matem etica”)

{In effetti la prima*legge, detta anche principio di inerzia, era gi stata formulata da Galileo). Commenti:

* i) Leforze sonola causa non del moto, madellesue variazioni : nen è unaafferma-_ zione da poco,si tratta veramentedella nascita della meccanî ca. Anche su questo

punto Newtonera stato preceduto da Galileo: ma quanti se=coli sono ‘passati da Aristotelea@ Galileo per rimuovere la convinzione che le.forze fossero la causa del moto! In effetti questa:convitizione. è :ancora: ‘presentenella; ancute:idell'uoinio.c0x

GameFIGI. La ragionedi ciò ha una duplice radice: primo, nel ‘fatto che certamente per mettere in movimento un corpo ferme occorre una forza, e

questo ce lo dice anche Newton: per cambiarelo stato di:motc» di un corpo occorre

“ina forza; la confusione nasce déll’equivoco fra “mettere in molto” e “mantener ein

Sec ondo, dal fatto che nellesituazioni quotidiane i co»rpi sono soggetti ad me di forze non rimuovibili se non conspeciali accorgirmenti(attritidi vari.

tura, ecc.)per cuieffetti

nente per mantenere un corpo,otRe Tael suo suo stato dimoto

(rettilineoe uniforme) occorreapplicare delle forze: second © Galileo e Newton forze sono precisamente quelle che servono per controbilanciare gli attriti

ecc.. Fuproprio per questar.

cheGalileo studiò

dei gravi facendoricorso al piano inclinato: sul piano inclinii

el

grave è

moltorallentato rispetto alla caduta libera, e quindil'attrito «clovuto all’aria — che

(è circa) 2)propi

al quadrato dellavelocità—èfortemexate ridotto. cunda Newton sancisce il carattere vettoriale delle forze e affermache

ione del moto” è proporzionale alla forza impressa:

per“moto” Newton

Tutendeva uunacoss.ben] ri precisa, quella che oggi noi chiamianno quantità di moto, efinita come 7È mt, cioè il prodotto della massa pe=rla velocità. Allora lalegge di Newton (2° principio della dinamica) si treaduce nella ben nota “equazione:

=

di =

(4.1)

o anche (se la massa è costante)

Fama

(4.17)

che in effetti sarebbe meglio scrivere d = F/m, in quanto «esprimeil fatto che istante per istante l’accelerazione è proporzionale alla forza: la forza è la causa, 30

forza: se dico (cometalvolta si trova scritto) che “una forza è, perdefinizione,ciò ‘che causa ‘ina accelerazione”, rischio di cadere nella tautologia di considerare la

(d.i) come la definizionedi forza, e non è conle definizioni che si “producono dei risul La via di uscita potrebbe essere quella ‘di dare una definizione operativa

“diforza, cioè dire come si misura. Potrei quindi fare ricorso al dinamometro,the

èAppunto uno strumento per misurare, cioè confrontate, forze, ma questa scappa-

© toia non è sempre soddisfacente, perdue ragioni:

I) èè pocorealistica: come faccio a misurare con il dinamometrola forza fra due “Balassie,0 quella fra due elettroni? 2) in in certi casi il dinamometro simula l’esistenza di una forza anche quandonc non sia individuabile alcuna causa della forzastessa (forze apparenti). Newton non ci dà la soluzione di questo problema in generale, ma ci mette sulla

“strada: lui si occupava di moti di pianeti, satelliti, corpi soggettia interazioni.gra

"vitazionali, ein questo contestoquando scrive = mà la correda con!’espressione

“matematica di F, che è Ta legge digravitazione.universale. di Sapere comesi

Nato alla formula F = GMmjrtè è storicamente moltoimportante e anche molto

"interessante, ma in ‘questo contesto è irrilevante: la cosa importante è cheporta a

risultati giusti. La stessa cosasi può direa proposito della legge di Coulomb che ‘dàla forza fra due cariche elettriche, o per la forza fra due nucleoni, ecc.. Quindi, “edotti da Newion, F a primo merfibro delle (4.1) è definita comeuna espressione matematica nota a priori, determinata vuoi in base ad osservazioni sperimentali, vuoi con argomentiteorici. . Questa è unadefinizione di forza accettabile (oltre che:storicamente corretta), in n quanto - comediscuteremo nel prossimo paragrafo — qualsiasi forza è riconducibile, almeno in Jinea di principio, ad un numero limitato

di forze fondamentali note.

4.2 Sul concetto di forza

Le forze hanno sempre un'origine concreta e ben individuabile in quanto-derivano

dall'interazione fra corpi: le forze gravitazionali dall'interazione fra masse, quelle ‘elettromagnetichedall'interazionefra cariche elettriche, quelle nucleari dall'interazione fra nucleoni (protoni e neutroni), ecc.. Le interazioni fondamentali che sì manifestano comeforzea livello macroscopico sono quelle gravitazionali, i cui effetti sono ben noti: dalla caduta dei gravi al moto dei corpicelesti (forze a distanza), e quelle elettroma-

gnetiche che sono responsabili, oltre che delle forze che si esercitano a distanza fra corpi carichi, anche di tutte le forze che si manifestano nel contatto fra oggetti macro

seopici: attrito, forze esplicate dai vincoli {reazioni vincolari), forze elastiche dovute a deformazioni di corpi vari (molle, membrane, ecc.), tensioni superficiali, ecc. (forze 31

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

principi della dinamica)

di contatto): tutte queste forze derivano dall'interazione (di natura elettromagnetica) fra gli atomi e fra le molecole che costituiscono i corpi. Siccome queste interazioni “sono.ormai ben note, a comunque.le supponiamo tali (forze di van der Waals, ecc.),.in. linea di principio siamo in grado di determinarele forze chesi esercitano fra due corpi

azero quando questi corpi vengono allontanati: quindi saremosicuri che e chetendono non èsoggetto&a forze quando sia sufficientemente. lontano datutti gli altri un “incorpo

qualsiasi: forze di attrito; reazioni vincolati, forza esercitata da una molla,ecc.. Che

poi per motivi pratici troveremo più semplice sostituire queste forze, che è possibile ma

‘complicatissimo determinare a partire dalle interazioni fondamentali, con espressioni fenomenologiche — cioè derivate dall’esperienza - (caso delle forze di attrito) o in altri casi considerarle delle incognite (caso delle reazioni vincolari), è un discorso sul quale torneremoe che non inficiail significato logico delle (4.1).

rpi con.iquali può interagire,Iriferimenti in cui vale il 1°. principio vengono.detti

l’esperienza ci dice che un riferimento solidale con le stellefisse i di n riferimerito inerziale. Allora esiste tutta una classe di riferimenti inerziali: tutti quelli che si muovono dimotorettilineo uniforme rispetto alle stelle fisse (un riferi- _ Ge di motorettilineo uniforme, rispetto ad unaltro se tutti i suoi punti si

no di moto rettilineo uniforme con la stessa velocità rispettoad esso), e quindi ‘anche uno rispetto all’altro (relazione di equivalenza): un oggetto în motoreitilineo

‘uniforme rispetto ad uno di essi è in mototettilineo unifoîme (con velocità diversa) anche rispetto ad ognialtro riferimento della classe. Non solo, ma come vedremo.a

Vediamo quali sono le proprietà (stabilite sperimentalmente o determinate teoricamente) di cui godonole interazioni fondamentali, e che quindi devono valere anclie per

‘ tempodebito, se è è l’accelerazionedi un punto (materiale) rispetto ad unriferimento

i) Le forze chie agiscono su un piccolo corpo (diremo, schematizzando, in uno stesso

rispetto a Kdi motorettilineo uniforme è ancora 4. Quindi, se il 2° principio vale in un riferimento questo deve essere inerziale (la condizione riecessaria detta sopra), e se

le loro manifestazioni a livello macroscopico:

punto di un corpo) équivalgono ad un'unica forza uguale alla somma vettoriale

delle singole forze.

a

i) Usiamo spesso_il teri ne “interazione” come sinonimo di forza, perché la forza

che sì cita fra du i (duecorpi celesti, due elettroni, due molecole, ecc.) per ‘definizione ha un. gnificatointrinseco: essa dipende dalla distanza fra i due corpìe talvolta anche dalla loro velocitàrelativa “precisazione), oltre chie dalle caratteristiche fisic 'inomentodi dipolo elettrico, ecc), ma non dipende dal sistema di riferimento (tant'è vero che diciamo chelaforzafra due masseè GMmfr? senza specificare ‘in quale riferimento le osserviamo).

iii) La forza fra due corpi tende a zero al crescere dellaloro distanza r (almeno come 1/72). 4.3 I riferimenti inerziali Ii problema che ci poniamo se l'equazione F = mg è valida in qualsiasi riferimento, o no. I primomembro, cioè laforza, come abbiamo giàdetto, perdefinizione èindipen1 en: ferimento,“mentreil secondonne dipende: se un'auto viaggasu.una.strada suoomoto appare molto complicato: descrive una"spirale con velocità sempre ‘crescente,

ia # 0. suine l'equazione fondamentale della dinamica non può essere vera sua validità quali riferi

cel deve dare l’esperienza: è come dire che il 1° principio individua determinati riferi

‘menti, quelliin cuivale. Questo discorso ha senso se siamo.in grado di stabilire quand'è “che Sipo non è soggetto a forze: certo non possiamo rispondere che un corpo non è sog ttò a forze quando si muove di motorettilineouniforme, altrimenti ci mangiamo da coda. Per fortuna sappiamo che tutte le forze originano dalla presenzadi altri corpi,

“K;l'accelerazione dello stesso punto rispetto ad ogni:altro riferimento che si muove $ale in un riferimento inerziale allora vale in tutti i riferimenti inerziali. In conclusione, l’enunciato del 2° principio è: Nei riferimenti inerziali vale Vequazione, f = ma 4.4 La massa

La massa entra per la prima volta nelle nostre equazioni nella (4.1°): essa è quindi definita da essa. È una caratteristica dì ogni corpo nel sensochem F/a‘(rapporto i moduli, non Fia che nonèdefinito!), qualunque,siala.forza-che-agisce-sul.corpo. ail drai Essa quindiè una misuradell'inerzia delcorpo:..per. un. dato corpo.a,parità diforza ‘accelerazione èè inversamente proporzionale alla massa. Lamassa, comerisulta dall'esperienza, è con ottima.approssimazione una grandezza... se mettiamo insieme due corpi dimasse .m1 e ma, ilcorpo «chenerisulta ha i massa m = mi +ma. Abbiamo detto “con ottima approssimazione”, perché l'additività”

nom essendo né una definizione né conseguenza di un qualche principio fondamentale

_ non ci si può aspettare che sia una proprietà esatta, tant'è vero che se metto insieme un protone ed un neutrone a costituire il nucleo del deuterio (isotopo dell’idrogeno)

masse deicostituenti me _risultache lamassadiquest’ultimoè.inferiore alla somma delle _ percirca P1%{questo succede pertutti i nuclei, è notoin fisicanucleare come fetto

di massa” ed è allabase della fusione nucleare).

modo per misurare|le masse. (p.es.di atomi0 di partic le subatomiche} consiste Un proprionel|misurare direttamente o indirettamentel'accelerazione {p.es. Paòcelerazione _proprio. normale in un moto circolare uniforme) di un corposoggettoad unaforza nota (spet-

trometri di massa). Per corpi macroscopici la misurasieffettua per confronto con altre masse note (p.es. il campione di massa), sfruttando il fatto che în uno stesso luogo èrzionale alla cla forza gravitazionale esercitata dalla terra.sui corpi (forza peso} è _massa (bilancia). RARI 4.5 Le unità di forza

NelSIle forze si misurano in newton: 1N = 1kg- m/s? è la forza che imprime ad una

T.E. Picasso: Lezionidi FisicaGenerale 1

I principi della dinamica

massa di kg l'accelerazione di 1m/s?. Nel sistema CGS l’unità_ di misura è la dine:

1dine = 1g cm/s? e si ha 1N = 10°dine. Inoltre, 1kg, = 9.806€=35 N = 980665dine.

4.6 L'equazione # = m& come equazione del moto Percapire in che senso l'equazione F' = mà determina il moto li un punto materiale e cosaessasignifica dal punto di vista matematico, supponiamo «theil punto-materiale ossamuoversì sololungol'asse x, per cuila sualeg raria è dat ==3 da unasola funzione _ (4)(moto su traiettoria prestabilita). Laforzaf'che agisce su di essa èin generale una funzione della posizione della particella ed eventualmentedella s ua, velocità: Fi(CHEZ Pos izioneevelocità “virtuali” della particella perchéla legge di fo za(cioèl’espressione

matematica dellaforza) prescinde dal fatto con ingente che esse= passi o meno per il‘ Punto2 x con velocità è: p.es. la legge di intera one; fra la Terr=edil Sole è seinpre GM:mir qualunque sià r, anche se nel suo'moto “reale” (oppr==sosto a “virtuale”) ia Terra sta sempre ad una distanza di 1.5 x 10% km dal Sole. In altr==s termini, prima viene Ta legge di forza, dopoviene il moto. L'equazione vettoriale F = màsiriduce nel nostro caso ad una s=sola equazione;

(4.2)

mà = P(x, è)

dove per comodità abbiamo posto F = Fz (quindi qui F non è it_ modulo di P) L’incognita nella (4.2) è la legge oraria x(t), cioè una funzione: Ra (4.2) stabilisce una relazione fra la funzione incognita e le suederivatefinoalla de rata2°, e per questa ragione viene detta equazione differenziale del 2° ordine. Trovantre una soluzione della (4.2)significa trovare una funzione x(t) tale che l'eguaglianza” a

mi(t) = F(c(t), (0) sia soddisfatta per ogni #: ad.ogniistante lafm:

(4.3) F==giongdella particella

deve essere uguale alla forzacalcolata per i valori delle variatoili s e è uguali alla posizione e alla velocità della particella in quell’istante. Per esempio, supponiamo che F' non dipenda dalla velocità dell_ a particella (è il caso più comune) e sia data da Fx) = —kz, dove & è una certa costaz»zatepositiva. Allora là (4.2) în questo casosi scrive mà = —kx

(4.4)

ed il problemaè quello di trovare quella o quelle funzionitali che lan_. loro derivataseconda sia proporzionale alla funzione stessa, con coefficiente di j réporziolialità —k/m. Fac ciamo unaltro esempio, ancora più semplice: sujfpotiiai 0che lan forzaF'sia costante, cioè non dipenda dalla posizione della particella mè = F.

(4.5)

In questo caso il problema è quello di trovare quella o quelle fia nzioni la cui derivata seconda è costante e vale F/m: certamente una soluzione è

r(6) = 3ae +at+òd

Perché abbiamo trovato unaintera classe di soluzioni? O, in altri termini, cosa significano dal punto di vistafisico le due costanti arbitrarie a e è? Dalla (4.6) si ottiene

s(0)=b;

vlt) =s(1)= Zita > v(0)=a.

ma a questa possiamo aggiungere qualsiasi funzione la cui derivata secondasia identicamente nulla, cioè una funzione lineare at + è con a e è arbita tari. In questo modo abbiamo trovato tutte le soluzioni della (4.5): 34

(4.7)

Quindia e d sono legate (qui in modo semplice) alla posizionee alla velocità all’istante t=0, 0 a qualunquealtro istante to, cioè alle;condizioni inizialidel

moto::è giusto che—

.gia così perchéla (4.5) deve poter determinare tuttelèpossibili leggi orarie di un punto del” “Materiale soggetto ad una forza datà, € queste possonodifferire-sia per la pos ad un certo istante (“posizioneiniziale” ), sia per la “velocità iniziale”. Quello che abbiamo trovato ‘a proposito delle soluzioni della (4.5) ha carattere generale: teoriadelle equazioni differenziali ci insegna ché; sùttodpportune ipotesi di regola 7a rità che nei no$tii casì sàranno (quasi) sempre soddisfatte, la class delle solu; ioni(la Soluzione generale) di una ‘équazione differenziale di ordine n contiene n costanti arbiè a questi ie, cioè una particolare «soluzione può essere determinata assegnando valori

suéprime idetri, Ìper esempio, appunto, richiedendo che la funzione”incognita e tasui

Tie. VintoetaConosceriza "delle condizionii è "Questo.risultato tutto sommato abbastanza intuitivo: se noi conosciamonr=r(0)

oVdala (£2) Ticaviamo #(0) e derivandola via via otteniamo tutte le derivate ) per t = 0: p.es. se f = F(x) (cioè per semplicità supponiamo non dipenda da

Br) _ dF(2) del)

s

E(0) = F'(co)vo da di e così via, ed è presumibileche se la funzioneè sufficientemente buona(si diceanalitica), ta conoscenzaditutte le sue derivate in un punto permetta di determinare la funzione dis

stessa, almeno in un opportuno intorno del punto.

Occupiamoci oradella (4.4); la sua particolarità è quella di essere un'equazione lineare__ () E omogenea: ciù significa che se x(t) è una soluzione, anche ce(t) lo è, e se

sonosoluzioni, anche x(t) = x1(#) + r2(t) è soluzione(la verifica è immediata), quindi anche”

.

LO== ne(0) +sl)

x9

costanti arbitrarie, per cui, se z1(t) e re(t ca con ci eerro la(4.8)Gostituiscelasoluzione generale della (4.4)!Ti

quazione differenziale lineare omogenea di ordine n costituisce

dimensione n.

e(t)=-sha

(4.6)

(aebdcostanti arbitrarie).

.

Allora pertrovare la soluzione generale della (4.4) ci basta trovare due soluzioni indipen-

denti; nello studio del moto circolare uniforme [v. (3.16) e (3.17)] ;abbiamo incontrato due funzioni la cui derivata seconda è proporzionale alla funzione stessa, ‘con coeffi-

wi, e ‘quella ciente di proporzionalità negativo: la derivata seconda di coswt è -w? cos

35

_

+

8 os Gut + p) = GW

SenWT

qewsp=

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

I principi della dinamica

di senwt è —w? senwt: basta sostituire w con Y/k/m me abbiamo lasoluzione generale

della (4.4):

x(t) = c1 coswt+c3senwi

Dalla (4.9)

w= Vk/m>0...

(4.9)

37 1f,% Femina Pe 3 mi i>

(416 4.16 )

q F)=fo+ dol

in cui le costanti arbitrarie sono f) = (ca, ca; co) ® do = (11, 08, 08).

_s() = (4) = -cwsenwi + ew coswt

(4.10)

_s(0)=e1; v(0)=02w

(4.11)

da cui

”

o anche, in forma vettoriale,

chefornisceil legamefrale costantici, ca e le condizioniiniziali. La soluzione generale

può anche essere scritta in.modi diversi dalla (4.9):

x(t) = acos (w tko) .

(4.12)

-5(0)=osen (0t+4)

(4.13)

qui le costanti arbitrarie sonorispettivamente (a, @) e (a, 4). Ovviamente le tre (4.12) e (4.43) sonoequivalenti. Abbandoniamoora la restrizione che la particella possa muoversi solo lungol’asse x: consideriamo il problema nello spazio tridimensionale, e vediamo come si modifica

Non avremobisognodi risolvere complicate equazioni del moto, cioè complicatisistemi

di equazionidifferenziali, ma di averechiaroil loro significato sia matematico chefisico.

SX

W'- =

x(t)a-W*(1)

e»

(1) = AOSUT

AuAcyyra SUA ost

lenostreconclusioni.

}- been yT

Cdn= Ela ) y=

F(e,0,2,-0))

(4.14)

mi=P.(c, Y,£#03)

00.2(8). 20). s0n0 La struttura di (A 14) è certamente;più complessa della (4.2), ma i concetti di base sonoglistessi:

ne3x 2=6 costanti arbitrari , che possono

entrare in tutte e tre le funzioni: ca), y(tier 0 F: < 0e perg 0, cioè la forza è di richiamo verso detta

posizione, mentre invece se laleggedi’ forza fosse F,=+kz, x =0 sarebbeposizione

di equilibrio inistabile.

5.3 L’oscillatore armonico soggetto ad una forza costante

La legge oraria del moto di un corpo di massa m attaccato all'estremo libero della molla è data da una qualunquedelle espressioni (4.9), (4.12) o (4.13), con le costanti arbitrarie determinate dalle condizioniiniziali.

Una massa m è soggetta alla forza elastica di una molla e ad una forza cosiante F) "avente la direzione della molla(asse x). Si tratta per esempio di una massaattaccata ad

î) il corpo parte(all'istante £ = 0) dall’origine (cioè con la molta nella posizione di

verticalmente. Prendiamoil verso dell’asse x a piacere e l’origine nell’estremo libero di a molla ?a riposo. L'equazione del moto per la massa msi scrive

Tipiche condizioni iniziali sono:

riposo) con una data velocità vr = %0;

oppure

mé=-kr+A%°

ti) il corpo parte con velocità nulla dalla posizione x = a.

L

(5.5)

(distinte) della (5.5), la loro differenza 2‘%(1) = x1(t) — wo) è una soluzionedell’e-

£(0)=0 4,(0)=%

(5.1)

quazione(4.4), cioè diquella.che_sichiamal'equazioneomogenea associata. Quindi ogni soluzionedella (5.5) è la somma di una(qualsivoglia) soluzione della ‘(5. 5Ye di

(5.2)

“sommandouna qualsiasi soluzione particolare della (5.5) alla soluzione generale dell’equazione omogenea-associata. Questo è un risultato generale che si applica a tutte le

unaa soluzione della (4:2 in altri termini lasoluzione generale della (. 5) si ottiene

e l'ampiezza del moto in questo caso è |up]/w, e nel secondo x(t) = acoswi,

(R=Fx30)

che è ancora un’equazionelineare, ma non omogenea. Sex1(#} e x: (t) sono due soluzioni

——®Nel primo caso dalle (4.9) e (4.11) si ottiene

s(6) = 2 senwt,

una molla appesaalsoffitto, oppure di una massa appoggiata sopra una molla disposta.

(0) =a (0) =0

equazionilineari non omogenee: lo spazio delle soluzioni quindi non è più uno spazio

e |a] è l'ampiezza del moto.

vettoriale (x1(t) + x3(t) non è una soluzione), è ii “traslato” “di uno spaziovettoriale,

In generale - vedile (4.9), (4.11) — sì ha

x(t) = zo coswt + È senwi W

e l'ampiezza è Vj + (10/0).

comé un piano in R° nòn passanteperl’origine, e si chiama“varietà lineare affine”.

x

(5.9)

Siccome la soluzione generale della (4.4) la conosciamo, resta solo da trovare una soluzione particolare della (5.5). Possiamo vedere se ne troviamo una particolarmente semplice, per esempio costante: x(t) = 7, cioè una posizione di equilibrio. Effettiva-

menteil secondo membrodella (5.5) si annulla per 7 = Fo/k. 39

Dinamica del punto materiale nou vincolato

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

Allora la soluzione generale è x(t) =T+acos(ut+%)

w= Vk/m.

(5.6)

Il significato è semplice: la posizione di equilibrio è ora nel puntodi ascissa7, e attorno a questa posizione la massa compi : oscillazioni: armoniche con reavenza a U dell’oscillatoresenza laforza Po Cioè l’unico. effettodi7Fo è quello di camb: lunghezza a riposo della mollada lo_a= loÈ se la mollaè appesaalsoffitto

Ii > lo, se invece la massaè appoggiatasoprala molla, allora&} < lo:—

—_

Perèsempio, se> appoggiamo1una massasu una molla e laJa ciamo con co) velocitàiniziale

Un altro mododirisolvere l'equazione (5.5) consiste c nell’effettuareun cambiamento di variabile (anche questa è una tecnica chesì usa in diversi casi): riscriviamo la (5.5) mè = —k(x — Fo/k) _&=3-F/k=z-7

(5.7)

(6.11)

La (5.11) è detta equazione delle piccole oscillazioni attorno alla posizionedi equilibrio "to. I termini o(£) trascurati introducono delle correzioni al moto, che sono dette rezioni anarmoniche: "a tempodebito ci occuperemo delle correzioni anarmoniche “allepiccole oscillazioni del (pendolo. (Si noti che la (5.8) è un caso particolaredella

(5.11)).

Discorso analogo si può fare in tre dimensioni percui, p.es. , gli atomi {o gli ioni) “éhe costituiscono un cristallo oscillano, a causa dell’agitazione termica o per effetto di

perturbazioni tipo martellate o vibrazioni acustiche, con moto in prima approssima“zione armonico intorno alle loro posizioni di equilibrio che; proprio perchési tratta di “iliéristallo enon di un liquido o di un amorfo, sono ben determinateall'interno del

o

cristallo (modello di Einstein ad Gscillatori indipendenti). -

contuttigli co) dalla direzione: In questo casò là legge di forza (dovuta all’interazione > 0), dove frf° _EFME> èè ione) che ) determina il moto di un atomo(0io Caltrt'atomi è Îl vettore posizione rispetto alla posizione‘di equilibrio dell' a Omo. Alloral'equazione

"del moto è

E, la (3.5) è equivalente a

mé = RE

(5.8)

la cui soluzione è

(1) = acos(wi +)

(5.9)

che grazie alla (5.7) coincide con la (5.6). Si noti che & è l’ascissa della massa{

rispettoalla nuova posizionedi equilibrio, la variabile naturale.da‘utilizzare.idinseguito all'applicazione della forza Fo.

5.4 L’oscillatore armonico tridimensionale isotropo Loscillatore armonicosia unidimensionale che tridimensionaleèè un sistema fisico molto catealle molle,maperchéil moto di iÈ punt

olo”

\mé= IFE)

‘Se il cristallo ha simmetria cubica, le sue proprietà sono isotrope, cioè indipendenti

e poniamo

siccome è

4

one diequilibrio stabi]

empreconbuonaapprossimazione un

moto armonico: consideriamo per semplicità il caso unidimensionale, con F indipen‘dente da £; sia 7, una posizione di equilibrio stabile e supponiamo che nel punto xo F(z) sia derivabile, con F"(x0) # 0; allora dalla definizione di derivata segue che (un ragionamento identico ci ha portato alla (3.9))

(F(z0)=0)

(5.10)

£con_F"(r0)< 0perché, essendo 20 una posizionedi equilibrio stabile, esiste un intorno del punto zo in cui F(x} è di richiamo verso zo (F(2) > 0 perz0.

-

(5.39)

L'esperienza (e la teoria dei fluidi) dice che una buona approssimazione, almeno nel caso in cui il mezzo è un gas e per velocità non troppo grandi.(cioè piccole rispetto

ad una certa velocità v, del mezzo, ai di sopra della quale il'moto del mezzo sarebbe vorticoso) e che variano lentamente nel tempo, consiste nel prendere fa) =y+dv

FO

(5.37)

però, siccomela risoluzione delle equazioni del moto con l’espressione (5.37) è possibile

uz (1) = pe 7.

(5.41)

È

si Quindiil moto risulta esponenzialmente smorzato: dopo un tempo t = T lavelocità

è ridotta di un fattore e = 2.72 < 3 e dopo un tempo t = 37 v è solo pochi centesimi della velocità iniziale. Poiché 7, a parità di forma e dimensioni, è proporzionale alla massa del corpo, sì vedeche il tempo di smorzamento7 è più lungo percorpi di grande massa che per corpileggeri, comel’esperienza quotidiana conferma.

Lalegge oraria si deferminadall’equazione

È

è = et”.

È

(5.42)

È immediato -erificare che, posto xo = x(0), la soluzione è

(0) = 20 + vor (1 — et/7)

. (8.43) *

,

i;

. quindi/idl corpo percorre (in un tempoinfinito) un tratto pari a vor prima di fermarsi menté fermo dopo un tempodialcuni t). pratica è (in effetti abbiamovisto che il corpo s

o la (5.40) Trovata la legge oraria, non ci sarebbe altro gi dire, tutiavia se riscriviam

nel modo seguente

d +3)=0 ail

4

(5.44) -

4/

scopriamo che rus + è una costante del moto, quindi

è sufficiente per illustraregli aspetti generali del moto. La costarite y dipendeoltre che

(5.45) c=#vx(0) + 2(0) $ lo da cui segue che v, è una funzione lineare decrescente di x (naturalmente si ottiene

dalle dimensioni del corpo.

che, come che il corpo percorre un tratto pari a rus(0) prima di fermarsi. Si noti

ma abbastanza complicata, ci accontenteremodi prendere il primo termine, approssimazione abbastanzarealistica solo per piccole velocità. In ogni modola nostra trattazione dalle caratteristiche del mezzo, espresse.da un coefficiente di viscosità 7, dalla forma e

°

/

”

L'equazione del moto che dobbiamorisolvere conviene scriverla come un’equazione per x.

Ui

n

di o

mp3

ira

e

(Ma MT).

”

Ù

#

(5.38)

E una equazione (vettoriale) lineare omogenea del 1° ordine, quindi la soluzione è

determinata dalla sola condizione iniziale #0) = ©. Data la ©, possiamo prendere p.es. l'asse # nella direzione e verso di 7, e quindi, poiché voy =t0: = 0, abbiamo v,(t)=0,

u.(t) =0

(5.39)

e l'equazione che dobbiamorisolvere è

1

Ù, = cat = 10

) 7

o

TE my,

Tu +£=C;

stessorisultato dalle équazioni(5.42) (5.43) eliminando #), e in particolare ritroviamo

discusso in generale a proposito delle costanti del moto, la (5.45) fornisce una relazione fra la posizione e la velocità, ma non dice nulla sulla legge oraria{Des non ci dice che occorre un tempoinfinito perché la velocità si annulli): la stessa cosa l'abbiamo

una vista a proposito del momento angolare, dove la sua costanza nel tempo comporta

forza viscosa, Complichiamo un po’ il problema, considerandoil caso in/cui, oltre alla

sul corpo agisce anche una forza costante Fo. Per semplicità supporremochela velocità o iniziale sia nella direzionedella forza: è il caso di un cérpoin motoverticale nell'aria, Fo (quindi in un liquido. Preso l’asse x nella direzione e nel verso della forza costante

del anche nella direzione, ma ora non necessariamente nel verso, di do), Fequazione

moto si scrive (]=T.

‘

(5.40)

£

relazione di proporzionalità inversa fra 4 e 7°.

mici = yu + Fodt

°

°

.

(5.46)

Siccome è un'equazione lineare ombgenea del 1° ordine le soluzioni. costituiscono uno spazio vettoriale unidimensionale, e quindi — se v%(#) è una qualunque soluzione (non nulla!) - sono tutte della forma &(t) = cu®(#) con e l’unica costante arbitraria. Una

una. Si tratta anchein questo caso di una equazione lineare non omogenea,in cuiesiste soluzione Allorala (Fo/m)r. = fo/7 = vu = vr(t) costante è che re soluzione particola generale è

46

47

per

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

va(t) = ceti” + 2 .

0

(5.47)

Ora dovremmo determinare c imponendo la condizione iniziale v,(0) = vo'ma, ser è piccolo, non vale la pena: qualunque sia il valore di c, il termine cé7*/" decade

rapidamente, e alla fine quello che resta è il termine costante Fa fr, là velocità limite

1. Quindi, qualunquesia la velocità iniziale, la velocità tende alla; telocità limite: Vaa) — &w + 0 esponenzialmente da valori positivi se vo > , altrimenti da valori negativi. Tutto questo vale anche per un corpo che cade nell’aria,

tuttavia se il corpo non è troppo piccolo e leggero, 7 può valere anche parecchi*secondi, e se wo « vi 7 il moto nella fase iniziale, cioè per t « 7, non è af-

fatto. irrilevante. Studiamoallora la soluzione (5.47)

vo=t.5v1 —— _

vo=0

fig. 5.4 i 2 per è « T, vo « w. Tenuto-conto della condizione iniziale (che ovviamente deveessere imposta sulla soluzione generale dell'equazione

completa, non di quella omegenea), la soluzione è

ve(8) = (00 — eta

Sappiamo che per £ < 1

(5.48)

e*=.1+, quindi

na

Le

Fo

Valt) = (wo — w)(1- 1/7) +, = va — vot/r+ut/r uo + Tai

(5.49)

(5.50)

Esempio

°

Rendiamoci conto degli ordini di grandezza: se il corpo è una sfera di raggio B

x= 6rRn

(5.51)

dove n è il coefficiente di viscosità del mezzo: per l'aria in condizioni normali

n= 18 x 10-5kg/ms, mentre per l'acqua 7 = 1 x 10-*kg/ms. Prendiamo una sferetta di raggio A e densità p: 4 = =_=

x

3_P

_2R 2H°p.

5.52

3° Gera Mm

(5.52)

Se p = 10° xe)? e R= 1mm (unagoccia di pioggia), Tr < 125 e u=gr = 120 m/s: il risultato non è attendibile perché già a velocità di qualche em/s il termine proporzionale a v nella (5.37) diventa il termine dominante ed inoltre la condizione v; « v; non è soddisfatta.

48

DINAMICA DEL CENTRO DI MASSA DEI SISTEMI

6.1 Il terzo principio e la 1° equazione cardinale A pensarci bene, l'equazione. F = mai applica — per ora — solo ad un oggetto punti

due ragioni: primo,se il éorpoÈesteso ili generale i suoi punti si muovono

è eaccelerazioni ‘diverse (sì pensi ad un corpo in rotazione), per cui fiòn è cosa è &l'accelerazione di quale punto? Secondo, abbiamo già detto che pi a 10 "più forze equivalgono ad un'unica forza data dalla loro somma solo se agiscono nello

stesso punto. Ma allora se sul corpo agiscono forze în punti diversi, cos'è F a primo membro della nostra equazione? Consideriamo un corpo esteso, ed immaginiamolo costituito’da tanti punti materiali =1-Nidi masse ma: molecole, oppure atomi, oppureelettroni, nuclei, ecc., Pas cioè dltante parti ‘piccole rispetto alle dimensioni macroscopithe e di cui nonci interessa né la struttura né la dinamica interna (definizione di punto materiale) e scriviamo : le (4.1), (4.1’) per ciascunodi essi: [PERTINI

niaA

foemale= gl

e sommiamole tutte fra di loro membro èmembro:

(siccomeperipotesi vy°& v, abbiamo trascurato vp t/7 rispetto a wt/7). La (5.49) è l’espressione del moto uniformemente accelerato; in assenza dell'attrito viscoso del mezzo: In conclusione, nel moto di un grave nell’aria è lecito trascurarela resistenza del mezzo se vo « u e4 « 7, cioè in definitiva-fintanto che.“ vd) < ur.

6.

E A)

TI

DAYma DE pe

asi

di motottotale del sistema, definita da dove G èda quenii di

.

d Vada = Dot.i du

(6.3)

asl

Lasciamo un momento Pequazione ©e occupiamoci della O) Si ha 3_È

(6.4)

dia

corpoil punto individuato dal vettore posizione e definiamo centro di massa del co N 2 det 1 a L Ma (6.5) (massa totale). M= fe E % 4 mata; La posizione rispetto al corpo del centro di massa è ben definita, indipendentemente

dallascelta del punto diriferimento rispetto al quale sono definite”le posizionidei punti del corpo: difatti se

0-0, fa + 0047, + Te > DO+î%

69

deipunti Pa che pesat ia (con pesiMa/M)delleposizioni dei è e la sua posizionemed ù un e trovarsii puòanch ) massa(CM di centro il che ovvio È corpo. no costituisco punto nonmaterialmente occupato dal corpo (p.es. caso di un anello). Grazie alla definizione (6.5) possiamoriscrivere la (6.4): 49

Dinamica del centro di massa dei sistemi

G=mi a

1

=

È

mia

Mao,

n

Abbiamo così © > 2° 1° Teorema del centro di massa: la quantità di moto totale di un sistema di punti

potrebbe anche non appartenereal corpo), e neppurela forza che gi eserciterebbe su un punto materiale di massa M posto nel CM: FE dipende dalle posizionidi tutti i punti P,, e in effetti non deveessere pensata come unaforza agente su un particolare punto. Per esempio, se abbiamo due masse uguali m nel campo gravitazionale di una massa

forza mo, allineate conil centro di forza e rispettivamente a distanze ri e rs da esso, la

materiali è uguale alla quantità di moto che avrebbe un punto ma.teriale dimassauguale

risultante ce si esercita sul sistema delle due masse m è

Torniamo alla (6.2). A secondo membro, grazie alla (6.7), abbiamo la massa totale per l'accelerazione dg del CM, mentre a primo membro la sommadi tutte le forze che

zione del CM a distanza (r1 +r2)/2, ruotiamoil sistema la forza risultante è ancora diversa dalla precedente. Invece, e questo è un caso particolare ma molto importante, nel caso della forza di gravità si ha

satotaleM ©velocità uguale a quelladel CM delsisterna.

agiscono su tutti i punti Pi, cioè quello che si chiamail risultarate delle forze. Su ogni

punto P, agisconosia le forze Fg dovute all’interazione con ogni altro punto Pg del

corpo (si pensi ad un solido: queste sono proprio le forze che lo tengono insieme), sia le

-Gmom(+ + 3) e on —2Gmom (ri + r2) fl; se poi, mantenuta fissa; la posiUs T L

forze dovuteall'interazione con l'esterno, cioè con altri corpi (si pensialla forza peso):

N

Il terzo principio della meccanica afferma che per ogni coppia di pimti materiali P, e Py la forza Fog che Pg esercita su P,, è uguale ed opposta alla forza Fga che Px esercita su Pg, ed inoltre queste due forze hanno la direzione del segmento P, Pa

(di questo secondo aspetto non faremo uso adesso): Fg + F30=0

{terzo principio).

(6.8)

Allora è chiaro che per ognisistema di punti materiali (cioè per ognicorpo) la sommadi tutte le forze interne è uguale a zero {(F'13+ Fa +Fig+ Far to- +A29+PFao+--=0):

Il risultante delle forze interne è nullo.

Di conseguenza, a primo membro della (6.2) sopravvive solo il risultante delle forze

esterne FF; =;

di

(6.9)

Pea da = Mio.

La (6.9) è nota comela . 1° equazione cardinale dei sistemi: La derivata della quantità di moto totale di un sistema è uguale al risultante delle sole forze esterne.

”

Essa può anche essere enunciata come 2° Teorema del centro di massa: Il CMdiun sistema di punti materiali si muove come un punto materiale di massa M soggetto alla forza F®. Quindi, quando consideriamo un corpo esteso o un sistema di punti materiali, il moto

dei singoli punti materiali è determinato da tutte le forze interne ed esterne che agiscono sudi essi, e può essere anche molto complicato; tuttavia il moto del CM è determinato dal risultante delle sole forze esterne. Così în definitiva il concetto di punto materiale acquista un significato più preciso: esso può essere un oggetto di piccole dimensioni, ma può essere anche un corpo esteso, e in entrambii casi di esso ci interessa solo il moto del suo CM,e quindi non dove sono applicate le forze, né la sua struttura interna,

né la dinamica delle parti di cui è composto. _ ° A scanso di equivoci, si noti che in generale PF non è la forza che agisce sul CM (che 50

i

(6.10)

Fe=Y mod= Mi

le prime, Fog Va,8 le chiamiamo forze interne, e le altre forze esterne.

a=l

cioè

î "A

3° Teoremadel centro di’massa: Il risultante delle forze di gravità che agiscono su un sistema è ugualealla ‘forza di gravità che agirebbe su un punto materiale di massa uguale alla massa totale M... 6.2 Il 3° principio per corpi macroscopici Abbiamodefinito un corpo.esteso come un sistema di punti materiali con un significato

molto ampio: un corpo esteso può anche essere costituito da più corpi, come due palle

da biliardo, oppure la Terra ed il Sole, o una galassia, ecc.. In tutti questi casi, come si

vede facilmente dalla definizione (6.5), il centro di massadell'intero sistema di n corpi estesi si calcola come se ogni corpo'esteso fosse un punto materiale di massa uguale a quella del corpo, e posizione uguale a quella del suo centro di massa:

(6.11)

fe= 3} Mat, e analogamente

n

n

al

a=l

i

G=Y da= YO Modo, .

(6.12)

Ti 3° principio della dinamica è stato formulato per due punti materiali, ovvero peri

costituenti (atomi, ...) di un corpo esteso. Vediamo oraseessosi applica anche a due corpi macroscopici.

Siano A e B duecorpi, Fig e ga rispettivamente il risultante delle forze che B esercita su A e che A esercita su B. Consideriamo il sistema AU B costituito da entrambii corpi: il risultante delle forze interne a questo sistema è nullo, ma esso è

dato dal risultante delle forze interne ad A, che è nullo, più il risultante delle forze interne a B, che è anch'esso nullo, più conclusione

Fap=- Fas.

Fas + Pza . che quindi deve fare zero. m

(6.13)

51

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

Dinamica del centro di massa dei sistemi

Vediamo ora di capire come va usatoil 3° principio, essicscongiurazge.il.cattivouso : Esempi

1. Un corpo di massa m è fermosu un tavolo orizzontale. Qual è la forza cheil corpo esercita sul tavolo?

Il risultato è scontato: vediamo qual è il modo corretto di ragionare. Per il 3° principio essa è opposta alla forza # cheil tavolo esercita sul corpo. Quant'è È? Poichéil corpo è in quiete,il risultante delle forze (esterne) che agiscono su di esso è nullo: siccome le uniche forze esterne che agiscono sul corpo sonoil risultante mg delle forze a distanza che la Terra esercita su di essoe la forza di contatto É esercitata dal tavolo, queste devono essere opposte, quindi — comeci aspettav amo

— la forza cheil corpo esercita sul tavolo è mg.

2. Sul piatto di unabilancia è fissata una molla disposta verticalmente, e all'estre mo libero della molla è fissata una massa m. La massa si muove di moto armonico (lungola verticale). Cosa segnala bilancia? Unabilancia misurala forza che viene esercitata su di essa, quindi — come prima — dobbiamo trovare la forza È che il

piatto della bilancia esercita sul sistema molla + massa: Punica altra forza che agisce sul sistema è la forza peso Mg (M èla massa totale del sistema molla + massa) ed il risultarite di queste due deve — per la 1° equazione cardinale — eguagliare Md. Quindi la forza cercata è —Rî = Mj- Mo. Siccome il CM del sistema non è in quiete (o in motorettilineo uniforme) ma oscilla, la forza cercata non è costante, quindi l’ago della bilancia si muove: è noto che per misurare il proprio peso bisogna stare fermi sulla bilancia.

A parte quest’ultima concliisione, questo problema era un po’ meno ovvio del precedente: molti ragionamenti scorretti avrebbero portato al risultato giusto nel primo problema, ma difficilmente avrebbero portato al risultato corretto nel secondo. Vediamo ora un cattivo uso del 3° principio. 3. Un uomotira una funeall’altro estremo della quale

è attaccato un carrello. Se l’uomo esercita sulla LE fune una forza Fi, qual è la forza che la fune esercita sul carrello? fig. 6.1 Ragionamento sbagliato: per il 3° principio il carrello esercita sull'uomo, tramite la fune, una forza uguale e opposta alla forza #' che l’uomo, tramite la fune, esercita sul carrello, quindila fune esercita sul carrello la forza F°. Sbagliato: l’uomo non esercita alcuna forza sul carrello, ma solo sulla fune,e il carrello non esercita alcuna forza sull’uomo, masolo sulla fune; non sono

permesse “scorciatoie”, e gli “intermediari” non possorio essere ignorati, in quanto nessun prixcipié ci dice che “l'intermediario”, cioè la fune, debba trasmettere inal-

terata la forza dall'uomoal carrello. Ragionamento giusto: il 3° principio dice che se 7

è la forza chela fune esercita sul carrello, —è la . forza cheil carrello esercita sulla fune: Fe -P, che

—P

fune

fig. 6.2

P

agiscono entrambe sulla fune, non sono uguali ed opposte, perché la loro somma 52

eguaglia la massa della fune per l'accelerazione del suo CM: P =F- md. Se poi la fune è un filo di massa trascurabile, oppure è ferma o in moto uniforme, allora è vero che #" = , ma questo grazie al 2° principio,il 3° non c'entra nulla. 6.3 Sistemiisolati e conservazione della quantità di moto Consideriamo un sistema (di punti, di corpi macroscopici: è indifferente). Diciamo cheil sistema è isolato se su di esso non agiscono forze esterne: è un concetto relativo a cosa intendiamo considerare come sistema e cosa come esterno, dato che se su un dato corpo o insieme di corpi agiscono forze esterne, potremmo in linea di principio

inglobare nel nostro sistema anche tutti quei corpi responsabili delle forze esterne sul sistemaoriginario. Di solita si considera come “esterno” tutto ciò il cui stato di moto

(o di quiete) può considerarsi noto, in quanto non viene apprezzabilmente modificato dall’interazione con il sistema: per esempio, un grave di massa:m risente della forza di attrazione da parte della Terra, tanto che per effetto di questa càdle con un'accelerazione

g=9.8m/s?, mentre la Terra pereffetto dell'attrazione da parte del grave ‘cade” verso

di esso con un’accelerazione pari a m/MYr volte quella del grave.. Se teniamo presente

che Mr = 6 x 1024kg, si capisce che in questo caso la Tertafa parte dell’esterno.

Se però invece del moto del grave vogliamo studiare il moto dellà Luna,gli ordini di grandezza sono bendiversi, difatti M,, = 7 x 10°? kg, ed in questo caso il moto della

Terra dipende (anche se non tanto} da da entrambi (non è un sistema isolato del Sole). Se un sistema è isolato, per definizione

quello della Luna,ed il sistema sarà costituito perché su di essi agisce la forza gravitazionale _ ; F® = 0, e quindi dalla (6.9)

20

Du

di

.

(6.14)

e quindi per un sistema isolato la quantità di moto totale è una costante del moto. Se il sistema non è isolato può comunque accadere che FP = 0, ed ovviamente anche in questo caso la quantità di moto si conserva: questo si verifica, per esempio, quando

sul corpo si esercitano due forze uguali ed opposte in punti diversi (una “coppia” di forze). In molte situazioni le forze che agiscono su ‘un sistema possono essere tutte parallele ad una certa direzione o ad ‘un certo piano; in questi casi una o più componenti di F° è nulla, e la (o le) corrispondente componente di @ si conserva: Fe=0 >

d@n =0.

(6.15)

di . Vediamo su alcuni esempi quali informazionisi ricavano da questa legge di conservazione che,vista la (6.7), equivale alla conservazione del moto del centro di massa. 1. Urto di due particelle di masse my e mo e velocità 7 e 7. Supponiamo Q = 0, quindi prima dell’urto

md + moda = 0.

(6.16)

Le modalità dell'urto dipendono da molti fattori: le particelle possono rimbalzare “elasticamente” (urto elastico), oppure restare incollate l'una all’altra (urto to53

Dinamicadel centro di massa dei sistemi

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1 talmente anelastico), l'urto. può essere frontale (centrale), oppure obliquo. Tutti questi fattori determinano sia i moduli delle velocità dopo l'urto, sia le loro dire-

zioni: la conservazione della quantità di moto ci dice che dopol’urto myîi + mo! = 0

(6.17)

cioè che le due particelle viaggiano in versi opposti con velocità inversamente

proporzionali alle masse.

Questo esempio sarà ripreso quando saremo in grado, specificando le modalità

dell'urto, di ottenetre ulteriori informazioni sullo stato finale del sistema.

» Urto anelastico fra due particelle. La situazione iniziale è quella di prima, salvo che ora non supponiamo ‘che Q = 0. L'ipotesi è che in seguito all’urto le due particelle restino incollate, formando un unico oggetto di noassa m=mi+ma € velocità 7. Allora dalla conservazione di @ si ha da

mid +. mad ELIA mi +ma

(

6.18

)

In questo caso le informazioni date sono sufficienti a determinare lo stato finale del sistema.

velocità si muovono alla fine le due parti del Se poi volessimo sapere con quali ; . , ,

sistema, allora sarebbe necessario conoscere anchele forze interne, perché anch'esse

sono forze esternerispetto alle singole parti del sistema. 6.4 Il sistema di due corpi: la massa ridotta

Sia dato un sistema isolato costituito da due corpi in interazione fra di loro. Per esempio, il Sole e la Terra (ignorandogli altri pianeti), o due masse attaccate agli esiremi di una molla di massa trascurabile rispetto a quelle dei due corpi. Scriviamo la prima equazione cardinale per ciascunodiessi:

{mt = Fa

mots = Pa

sommandole membro a membro si ottiene

(6.23) myf, + mafa = (mi + mo)da = Fia +f=0 di quantità della conservazione la questa equazione era prevedibile, perché esprime rispetmoltiplicate averle dopo (6.22) sottraendole to; sistemaisola moto totale peril tivamente per my e per mi si lia, posto

PERSA

. Decadimento di una particella. Un oggetto di massa M in moto con velocità v si rompe in due pezzi di masse mj e ms.

Anche in questo caso diversi fattori

MV = mid + ma

(6.19)

quindi in particolare per le componenti delle velocità ortogonali a P si ha mv, + M2v0, =0.

mi+ma

Vi

che a sua volta può scorrere su un piano orizzontale.

Vogliamo sapere, quando il blocchetto è arrivato in fondo, di quanto si è spostato il cuneo. Il sistema è costituito dalle due masse,e le forze (esterne) che agi-

scono su di esso sono i) forzè a distanza: la gravità;

fig. 6.3

Îi} forze di contatto: la forza che il piano orizzontale esercita sul cuneo. Facciamo l'ipotesi che quest’ultima sia ortogonale al piano: come diremo più avanti questo significa assenza di attrito fra il cuneo ed il piano. Invece non facciamo alcuna ipotesi sulle forze fra il blocchetto ed il cuneo: queste sono forze interne e non ci serve conoscerle. Allora tutte le forze esterne sono verticali, quindi le componenti

di @ parallele al piano sono costanti del moto. Siccomeall'inizio tutto il sistema è fermo, ciò significa che l’ascissa del centro di massa non si sposta, mentre il blocchetto si sposta lungo l’asse orizzontale (asse x, orientato verso destra) di un tratto Î rispetto al cuneo (/ è la lunghezza della base del cuneo). Detti Az e AX gli spostamenti (con segno) orizzontali del blocchetto e del cuneo, si ha A4x-AX=l

54

m M+m

>AX=-+__Ll

(6.21)

°

(6.25)

cioè, definita la massa ridotta u come

(6.26)

-

p= myma/(mi + ma)

(6.20)

. Un blocchetto di massa m partendo da fermo scivola lungo la superficie inclinata di un cuneo di massa M

(6.24)

um al,

determinanole velocità finali e le loro direzioni: in ogni caso

mAx+MAX=0,

(6.22)

;

(6.27)

= Fa

che è identica all’equazione del moto di un punto materiale di massa 4 nel campo di ° forza 1), l’interazione fra i due corpi. Quindi le due equazioni di partenza (6.22) sono state trasformatenelle (6.23) e (6.27), che sono due equazioniindipendenti, comesesi riferissero a due diversi punti materiali: la prima (quella relativa al centro di massa) ad un punto materiale di massa M non soggetto a forze; la seconda, quella che riguarda il moto relativo, cioè la variabile F=# — a, ad un punto materiale di massa uguale alla massa ridotta del sistema.

Sì noti

1

1

1

pu

mi

ma

2= —+—

>

g Rr. Analogamente, se il corpo si può muovere su di un piano, o al di sopra di esso, le posizioni del corpo obbediscono ad una disequazione, p.es. ar +by+cz+d>0.

5. Un oggetto di piccole dimensioni(punto materiale) è appeso ad unfilo un estremo del quale è attaccato ad un supporto {pendolo semplice). Il punto materiale è

vincolato al filo, che a seconda dei casi può fare parte del sistema (per esempio

se ha una massa non trascurabile) oppure no. Le posizioni permesse per l'oggetto sono quelle a distanza dal supporto minore o uguale alla lunghezza “ delfilo: T< lo.

I vincoli dei primi tre esempili chiamiamobilateri, in quanto — in ogni punto - impediscono il moto in entrambiìi versi di una data direzione, cioè le posizioni possibili per

il corpo sono espresse da equazioni(di una curva, di un piano, di una sfera ...); quelli

degli ultimi due esempi sono detti unilateri, in quanto impediscono il moto in un solo

verso, cioè le posizioni possibili per il corpo sono espresse da disequazioni.

Immaginiamo di avere un corpo, delle forze esterne agenti su di esso, e dei vincoli che ne limitano le posizioni: per esempio, un blocchetto di massa m soggetto alla forza F = mg, che può muoversi su un piano inclinato. Se non ci fosse il vincolo, il corpo,

56

57

caduta dei gravi. La presenza del piano inclinato lo costringe

ad un moto diverso, e

questo è possibile solo se il vincolo esercita sul corpo delle forze. In generale, un vincolo modifica il moto di un corpo esercitando su di esso delle forze, forze che vengono chiamate reazioni vincolari e di solito indicatte con A. A suo tempo abbiamo detto che per determinare il moto di un crorpo occorre conoscere

la legge delle forze che agiscono su di esso. Sembrerebbe quindi che per determinare

il moto di un corpo in presenzadi vincoli sia necessario conosce=rea priori la legge che determina le reazioni vincolari. Questo, in linea di principio,“comegià

detto a suo

tempo,sarebbe possibile determinandola leggedi forza fra,per esempio,il filodi ferro

il segno di eguaglianza si ha delle posizioni permesse, sarà A (0,0, R.), E. 20; di staccandosi da esso. sta oppure quando ìl corpo non è a contatto con il piano, te elamen parall se È: di verso sul ione restriz c’è non o, Seil vincolo liscio è bilater corpo è fra di essi, R: > o piano dell'esempio precedente ce n'è un secondo ed il

e, mentre se Fa < 0 la reazione è significa che la reazione è esplicata dal piano inferior i due piani cè sempre un (seppur e corpo il esplicata da quello superiore (in effettifra

di essi). minimo) giuoco: il corpo è sempre a contatto con uno solo Esempi 1. Motodi un corpo su un pianoinclinato liscio.

orizzontale. L'equazione Sia & l'angolo cheil piano inclinato forma con un piano del moto è

Ovviamentesi preferisce assumere un diverso punto di vista: iF-vincolo si considera rigido (almeno finché non si rompeo si deforma in modo macroscopico), e le reazioni vincolari si consideranoincognite (in questa schematizzazion € di vincolo rigido non può essere diversamente). L’obiezione che nasce spontanea è questa: “ma se alcune delle

forze sono incognite, com'è possibile determinare il moto del corpo?”. Il punto è che la (supposta) rigidità dei vincoli ci fornisce informazioni sul moto del corpo proprio in

misuratale da compensare la mancanzadi informazioni a priori'-ssulle reazioni vincolari: aumentano le incognite nel problema, ma corrispondentemente aumenta il numero di

equazioni a disposizione (p.es. 5(2,4,2)=0).

.

In conclusione, in qualsiasi problema in cui siano presenti dei vincoli le reazioni vincolari

fanno parte delle incognite del problemastesso (come la legge oraria), e le equazioni dei vincoli forniscono le informazioni necessarie e sufficienti (insieme alla conoscenza delle

forze non vincolari X;, dette anche forze attive) a determinare i) moto. Noto il moto, grazie alle equazioni Fi + R; = Mid; peri vari corpi che compongono il sistema, è possibile ricavare le reazioni vincolari:

Ri= Mjà;- F,.

(7.1)

7.2 Vincolilisci Alcune caratteristiche generali delle reazioni vincolari (ma nom il loro valore) sono determinate dalla natura del vincolo stesso: abbiamo superfici Lisce e superfici scabre, ele forze che queste possono esplicare sonodifferenti. Diciamo che una superficie (anche quella delfilo di ferro) è liscia o priva di attrito se (in ogni punto) può esercitare solo reazioni R normali alla superficie stessa: è una definizione appropriata, in quanto una componente parallela alla superficie altererebbe il moto dl corpo, mentre una superficie

priva di attrito silimita ad impedire al corpo di attraversarla. Quindi, nel caso dei vincoli unilateri, A può solo esserediretta verso la regione delle ‘posizioni permesse.

2°

Lereazioni vincolari sono sempreforze di contatto, e quindi sono non nulle solo quando

il corpo è a contatto con il vincolo. Così, per esempio, se il

vincolo (unilatero) è

costituito da un piano liscio, preso l’asse 2 ortogonale ad esso ed orientato nel verso 58

9 (7.2)

.

4 mî=mj+R.

ma pendenza verso il Prendiamol’asse x parallelo al piano lungola linea dî massi io il corpo sia fermo basso, e l'asse y ortogonale al piano. Supponiamo che all’iniz assì: e prendiamo le componenti della (7.2) lungo questi due

(7.3)

mi = mg seno

i

mi = —mg cosa + Ry-

to con il piano, main linea La reazione R, è diversa dazerosoloseil corpo è a contat sempre a contatto resterà di principio non sappiamo se durante il moto il corpo il problema» risolto ipotesi; questa fare a con îl piano: il buon senso ci invita vi. In Ry>Q0 cioè fatta, ì l’ipotes a soddisf trovata ne verificheremo se la soluzio o con Il piano questo caso è tutto semplice: se il corpo resta a contatt

y=0 > j=0 > Ay=mgcosa>0;

1 0 = ggsena.

nr (7.4)

pendenza, al > aTie Se invece il piano inclinato ad un certo punto cambiasse giunto nel punto dove i che llipotesi. a: Esolito;buoniseno éi'inviterebbe i quel momento in poi cambia la pendenza, si distacca dal vincolo, si cheil corpo non l'ipote se are R=0. Alsolito,risolto il problema occorre verific ci sì aspetta, si scoprirebbe che sia a contatto con il vincolo è soddisfatta e, come

oria parabolica del corpo lo è solo per un certo tempo, cioè fintanto che la traiett sciatore). nonincontra di nuovoil vincolo (problema delsalto dello e 2. Una molla verticale ha uh estremofissato al pavimento e all'altro ata appoggi è estremo è saldato un supporto di massa M sul quale sa, unapallina di massa m. La molla, precedentemente compres pallina della e posizion la nare determi viene sbloccata e si vuole _ nel momento in cuisi distacca dal supporto. fig. 71 ne di Prendiamo l'asse 2 verso l’alto, con l’origine nella posizio di pallina la per vincolo Il riposo della molla (senza le due masse). era pro! questo in effetti 0(in > R. quindi o, unilater è il supporto, ed è un vincolo ): normale essere solo può non è necessario cheil supporto sialiscio, qui la reazione scriviamo le equazioni per le due masse m e M 59

_—

lasciato libero con velocità iniziale nulla, cadrebbe in verticale con la nota legge di

—

Vincoli

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

Vincoli

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

mì=R.-mg;

M&=-R,-Mg-k:

>. R.=- mame

(1.5)

quindi la soluzione è accettabile solo per 2 < 0; per : = 0 R, = 0ela pallina si distacca dal supporto. La soluzione per 2 > 0 (R. < 0) risolve un problema diverso, quello nel quale la pallina è agganciata al supporto (vincolo bilatero): per z < 0 il supporto “spinge” la pallina, mentre per z > 0 il gancio trattiene la pallina.

3. Riprendiamo in considerazione il moto della perlina infilata nel filo di ferro, supposto privo di attrito. In effetti quella che faremo più che un esempio sarà una trattazione generale del moto di un punto materiale su traiettoria prestabilita priva di attrito. In ogni punto della traiettoria orientata (una curva regolare) è definito il versore tangente © ed il versore normale «è. Proiettiamo l'equazione del moto F+h-ma nelle direzioni di #, di A e nella direzione è ortogonale ad entrambe,la cosidetta binormale, e ricordiamo che BLA ms= 2

mo = Fn+Rn

(7.8)

0=5h+R Il moto è completamente determinato dalla prima equazione in quanto in essa intervengono solo le forze attive (la loro componenete tangenziale), mentre le altre due, una volta determinato s(f) e quindi v(t), permettono di determinarela rea-

zione vincolare. Per esempio, la traiettoria sia una circonferenza di raggio A in un pianoverticale: la forza attiva è mg, e la sua componente tangenziale è —mg sen, avendo preso

l'origine degli angoli nel punto più basso della circonferenza; il moto è determinato dall’unica equazione

d= È senò

(7.7)

che è l'equazione di un pendolo.

il tratio BO esercita sul “tira”, non spinge) e, per il 3° principio, la forza 704 che

comune di quetratto CA hala stessa direzione e.verso opposto(figura. 7.2). Il modulo nel punto fune} della (o filo el tensioned detto è ed 7 con indicato viene forze due ste versore il punto ogni in dato O: fissato a piacere un orientamento sulfilo, e quindi monte “a parte sulla esercita O punto un di tangente Î, la forza che la parte “a valle” è

fari

(7.8)

(r>0)

O è un qualunquesia l'orientamento scelto. Questo discorso vale anche se il punto fisso supporto un corpo, un cosa: qualche a o estremo del filo (eventualmente attaccat forza una estremo un ad esso con contatto in sistema del parte sulla ..): il filo esercita _ di modulo 7 diretta come la tangenteal filo nel suo estremo,verso îl filo. e occasion avuto già Abbiamo funi. e fili fra e Veniamoora ad evidenziare le differenz una abbiamo se che fatto il ) principio 3° del uso cattivo del o di discutere (a proposit la forza da © fune tesa rettilinea, con un’accelerazione È, essa non trasmette inalterata in tutti i punti # un estremoall’altro, quindi in questo caso la tensione non è la stessa

da della fune: se P e Q sono due punti della fune che ha un'accelerazione d nel verso -Qa P,siha

(19)

T(P)-1(Q)=m, 8

dove m,, è la massa del pezzo di fune fra i punti Pe Q.

.

é poggia tutto i punti. Lo stessorisultato vale anchese ìlfilo teso non è rettilineo (perch o risultato . Quest attrito di priva o in parte su una superficie) purché la superficie sia

lo dimostreremo a tempo debitoutilizzando la 2° equazione cardinale. Esempi

1. Ai capidi unfilo sonoattaccate due masse mi e ma (mi < ma) ed il

filo è sostenuta da uncilindro liscio sul quale può scorrereliberamente. Vogliamo determinare il moto delle due masse.

alla £Razionamentoisbagliato:(uno:dei:tafiti): la massa m? è soggetta forza di gravità mg verso il basso, la massa mu lo tira su con una

forza pari a mg, quindila forza risultante su mo è (ma ma) g verso

7.3 Fili e funi

Converrà utilizzare il termine “filo” quando la sua massa possa essere considerata trascurabile, ed il termine “fune” quando ha una massa non trascurabile. Fili e funi saranno sempre suppostisottili e inestensibili (altrimenti sarebberodeglielastici). In comune hanno la proprietà di essere vincoli unilateri: un filo o una fune può “tirare”, ma non “spingere”, cioè possonoesplicare una forza solo quarido sonotesi. Ora,fintanto che nonci siano delle differenze da mettere in evidenza, parleremodifili. Supponiamo di avere un filo teso, non necessariamente retti-

lineo in quanto potrebbe appoggiarsi tutto o in parte ad una

superficie, e neppure necessariamentefermo: siano A e B i suoi estremi ed Q un puntointermedio. La forza Faoz cheil tratto

Fior

#04

CN fig. 72

AOesercita sul tratto 0.8 hala direzione della tangenteal filo in O (fa parte della definizionedifilo) ed il verso secondol’orientamento BOA(il filo 60

.

.

tutti Invece,nelcasodiun filo tesoe rettilineo accelerato o no, la tensione 7 è la stessaîn

il basso, per cui scende con accelerazione g(mo — mi)/ma. Per ragionare correttamente occorre sempre individuare le forze (a

ma fig. 7.8

distanza e di contatto) che agisconosulle varie parti del sistema: su ognuna delle due masseagisce la forza di gravità (forza a distanza) e la tensione del filo (forza del di contatto). Prendiamo l’asse z diretto verso l'alto e scriviamo le equazioni moio per le due masse:

(7.10)

{mi =-migtrT

moi = —gg +7.

Poichéil filo è inestensibile

Azzt+tAz=0

>

(711)

ZA=-i1

e sottraendo le due equazioni (7.10), grazie alle (7.11) si ottiene él

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

ma— mi

&4= TL 1 mi +mod

Vincoli

.

( 7.12 )

2mimo

T=+__gq.

.

mit mi

( 7.13) )

A questo punto sarebbe ancheistruttivo calcolare la tensione «del filo che, scendendo

dal soffitto, sostieneil cilindro di massa M: lasciamoal le-ttiore questo esercizio, avvertendolo che la soluzione non è (M + mi + mo)g . Pendolo piano: un punto materiale di massa m appeso ad uma filo e . di lunghezza / (figura 7.4). I Se la velocità iniziale è nulla 0 parallela al piano verticale «coniN

tenente OP il moto del pendolosi svolge în detto piano.

Sk.il «

lavelocità iniziale sia (parallela alla) tangente ad essa in Pi

Sup-

filo durante il moto resta teso la traiettoria del punto P è una circonferenza, e condizione necessaria perché ciò avvenga &="che

fig. 7.4

poniamochecosì sia, e cheilfilo resti teso: poi dovremo verificare se la soluzione

trovata soddisfa o no l'ipotesi fatta. vu Indichiamocon la forzacheil filo esercita sulla massa m: # Tia la direzione delfilo

ed il verso deve essere da P ad O ed il modulo è la tensione 1 del filo. L'equazione del moto è

md=mj+7.

(7.14)

Conle ipotesifatte si tratta di un motosu traiettoria prest zabilita con reazione 7 normalealla traiettoria, quindi siamo nella stessa situazione «he ci ha portato alle (7.6): proiettando la (7.14) nella direzione della tangente aLEla circonferenza {nel verso degli angoli crescenti), e nella direzione delfilo (verso i1 punto 0) si ottiene mid = —mg sent y? mM = Ta — mg cos CA

.

(7.15)

La prima determina il moto, ma nonsirisolve con tecniche e1 emeniari (la discute remo nell’approssimazione dellepiccole oscillazioni), mentre La seconda determina Tn:

2 In = mi + mg così

(7.16)

e permette di stabilire se l’ipotesi che il filo resti teso (tn > 0) è soddisfatta: il

pendolo può compiereoscillazionio giri co iinentrambi ic i, siccomesia v? che cos? diminuiscono conl'altezza, è sufficiente assicurarsi che Tn 2 0 nei punti

attezzaNelprimo caso, se n è l'ampiezza angolare delle

oscillazioni, quando #(t) = ©il moto si inverte, quindi ix detti punti v = 0; pertanto, affinché 7, > 0), deve essere cos®o > 0, quindi il pendolo può oscillare

sola con ampiezza angolare Oo < 7/2. Sempre dalla (7.16) si ha cheil secondo caso (giri completi) si realizza solo se 62

0(0=7) > timin= vÎg.

3. Pendoloconico: lo stesso sistema dell'esempio precedente, ma ora

{moto uniformemente accelerato). Dalle (7.10) ora possiam «> ricavare 7:

ci chiediamo quale deve'essere la velocità angolare del punto P affinché OP descriva un cono di (semi)-apertura a (figura 7.5). L'equazione del moto è semprela (7.14), ma ora vogliamo che il moto si svolga su traiettoria circolare in un piano orizzontale: preso l’asse 2 verticale, visto che in questo caso p = /sena, le (7.6) ci danno d=0

{ mul Sena = Tn Tr = M9.

(7.18)

.

La prima segue dal fatto che sia mg sia 7 sono ortogonali alla traiettoria, e da essa segue che w è costante; inoltre, se il filo è in tensione 7; = rcosa, tr = Tsena quindi, ricavando 7 dalla terza

pa DI (7.19) cosa che può essere soddisfatta solo se a < 7/2; sostituendo 7 nella seconda si ha

we. cosa

i

(7.20)

Il sistema che abbiamo discusso è identico a quello di un punto materialeall’interno di una superficie sferica priva di attrito.

T.4 Vincoli scabri: attrito statico 1 vincoli lisci sono una schematizzazione, una situazionelimite in cuil'attrito — in realtà sempre presente — è stato così ridotto da poter essere trascurato. Le tecniche per ridurre

l’attrito sono diverse: vanno da un opportuno trattamento delle superfici a contatto,

alla loro lubrificazione, all’interposizionefra le superfici di un cuscinetto d'aria o di altro gas. Su di un pianoorizzontale privo di attrito una forza orizzontale comunque piccola è in grado di mettere in moto un blocco di massa comurique grande: è esperienza di

tutti i giorni che sulle superfici reali questo non succede, infatti fintanto che la forza non raggiunge un certo valore il blocco non si sposta. Questo significa che anche su un corpo fermosoggetto ad una forza attiva il piano scabro esercita una forza che ha, oltre alla componente ortogonale al piano, una componente parallela al piano (componente

tangenziale), il cui valore e verso dipende dalla forza applicata: nell'esempio appena fatto questa componente tangenziale deve equilibrare la forza applicata, e quindi è variabile con essa,fino a che il blocco resta fermo. Questa componente tangenziale È,

che unasuperficie scabra esercita su un corpo fermorispetto alla superficie (la quale potrebbe essere in movimento), e più in generale su un corpo, anche in moto, ma i cui punti a contatto con la superficie siano (istantaneamente) fermirispetto alla superficie,

è detta forza di attrito statico: si ha attrito statico su un blocco posto su di un piano

inclinato, fintanto che la pendenza non è sufficiente a far sì che il corpo si metta in movimento; sì ha attrito statico fra la strada e le nostre scarpe quando camminiamo;

si ha ancoraattrito statico fra una superficie e una ruota che'rotola senza strisciare su 63

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

Vincoli

di essa: si dice che una ruota, una palla, un cono ... “rotola senza strisciare” quando ì puntidella ruota, ecc. istantaneamente a contatto con la superficie hannovelocità nulla;

ai passare del tempo nuovi punti con velocità nuila vengono a sostituire quelli vecchi,

ormai non più istantaneamente fermi (questo concetto di “moto di' puro rotolamento” lo abbiamo già introdotto nell'esempio 5 del capitolo 3: si vedail grafico della cicloide nella figura 3.2 corrispondente a Rp = R).

Si noti che anche la forza di attrito statico, cioè R;, è una incognita del problema

dinamico, in quanto è la forza che il vincolo deve esplicare per mantenere fermoil corpo, 0 quanto meno i punti del corpo a contatto conesso (caso della ruota), e quindi dipende dalle forze agenti sul sistema. Una nuova incognita? Sì , però compensata

dall’informazione cheil corpo è fermo, oppureche sonofermii punti di contatto con la

superficie scabra, quindiil conto delle equazionie delle incognite torna.

Maquesta incognita non può ‘assumere qualsiasi valore: sappiamo che se, nell’esempio citato all’inizio, aumentiamo la forza applicata al blocco, questo ad un certo punto

comincia a muoversi, la stessa'cosa succedeal blocco sul piano inclinato se aumentiamo

la pendenza. Ciò significa TLsuperareche l’esperienza, dice essere proporzionale alla componente normale ella reazione vincolare (più il blocco “pesa”, maggiore è la:forza richiesta per metterlo in moto): il coefficiente di proporzionalità 4s è detto coefficiente di attrito statico e dipende dalla natura delle superfici a contatto: .

\Ril < pia An.

.

(7.21)

Ilsignificato della diseguaglianza (7.21) è questo: se per mantenere il corpo fermoè richiesta una forza diattrito statico |R;| maggiore di quella consentita dalla (7.21), il

7.5 Vincoli scabri: attrito dinamico Riprendiamo in considerazione gli esempi del blocco su‘un piano orizzontale scabro al quale è applicata una forza F, e durante il moto continua ad essere presente una componente tangenziale della

;

re;

È chesi opponeal moto del corpo,e che quindi ha verso opposto alla sua velocità #: in questo caso parliamo di attrito dinamico. Cosa possiamo dire su FR; quandoil corpo è in movimento (sempre rispetto al vincolo)? Intanto è chiaro che &; non può essere una

incognita nel problema del moto del corpo, indipendente da quelle già presenti, come’

invece lo era nel caso statico, perché questa volta non abbiamo più l'informazione che il corpo è fermo: R; deve quindi dipendere da R,, dalle caratteristiche delle superfici a contatto, e molto probabilmente anche dalla velocità del corpo rispetto al vincolo,

se non altro perché durante il moto le superfici si scaldano e quindi cambiano le loro

proprietà. di Il compito di stabilire la forma di questa dipendenza (le cosiddette leggi dell’attrito dinamico) è demandato all’esperienza, ma la situazione è molto: complicata, perché complicataè la fisica delle superfici. In mancanzadi una leggesufficientemente generale e di cui sianonotii limiti di validità, non resta che prendere l’espressione più semplice possibile e sperare per il meglio: l'espressione proposta (indipendente dalla velocità del corpo) è

IR: = can

(7.23)

dove 44 è un coefficiente, detto coefficiente di attrito dinamico, il cui valore dipende

vincolo non è in gradodisvilupparla ed Îl corpo comincia a muoversi, 0, se si tratta di una ruota, la ruota comincia a strisciare.

dalla natura delle superfici a contatto: 44 non può essere maggiore di us, altrimenti non appena F > Rn il corpo partirebbe in verso opposto alla forza che lo mette in moto (e quindi. sul piano inclinato partirebbe verso l’alto!). In effetti, tanto per darne

Ai a Rn: se così fosse avremmopiù equazioni che incognite.

una idea, 4 = 0.3us + 0.9pg. Notiamo, ancora una volta, che nel caso dell’attrito dinamico la relazione fra RK, e R,

E il caso diinsistere che la (7.21) è una diseguaglianza, e non una equazione che leghi Esempio

è una equazione (sia essa la (7.23) o un’altra migliore), mentre nel caso dell'attrito

Qual è la minima pendenza amin che deve avere un pianoinclinato scabro perché il blocco cominci a scendere, se 4, è il coefficiente di attrito statico fra il il piano e il blocco? Leforze agenti sul blocco sono la forza peso mf e la reazione del piano. Finché il blocco è fermo

mj+È=0

>

{ cd _ Nasionta

>

tanomin=/

(7.22)

Questo esempio consentedi farci una idea dell’ordine di grandezza di is în tanti casì

concreti. Intanto è chiaro che 4, può essere piccolo quantosi vuole: in assenzadi attrito ts = 0; ma può anche essere grande quanto si vuole: una superficie può essere trattata

apposta in modo da presentare un 4, molto grande, p.es. potrebbe essere impeciata(!). La(7.22) ci dice che di norma y; sarà dell’ordine dell'unità. 64

statico la relazione (7.21) fra R; e R, fornisce solo un limite superiore per A;.

In conclusione: quando i punti del sistema a contatto con il vincolo scabro sono in moto rispetto al vincolo con velocità 7 (rispetta ad esso), il vincolo esercita sul sistema una reazione R la cui componente tangente al vincolo ha verso opposto a # e modulo dato dalla (7.23). Esempio

Il sistema è quello descritto nella figura 6.3, cioè un blocchetto di massa m che scivola sul piano inclinato di un cuneo di massa M appoggiato su un piano orizzon-

tale liscio. Ora vogliamo studiare il motodi tutto il sistema, nell'ipotesi di assenza

di attrito anche fra il blocchetto ed il cuneo. Diciamo subito che ci sono almeno altri due modi di affrontare il problema, oltre a quello che ora presenteremo, per cui lo riprenderemo in seguito. Con riferimento alla figura 6.3, prendiamo l’asse x orizzontale e verso destra, e

LI

Vincoli

ill MES tana

l’asse y verso l’alto. Useremo lettere minuscole per-le grandezzerelative al bloc-

chetto, e lettere maiuscole per quelle relative al cuneo. Seriviamo la 1° equazione

cardinalesia peril blocchetto che peril cuneo, dopo avereindividuato che le uniche forze (esterne) agenti sul blocchetto sonola gravità e la reazione È esercitata su

di esso dal piano inclinato del cuneo, che è ad esso ortogonale, mentre le forze che

agiscono sul cuneo sono la gravità, — R (3° principio) e la reazione R' esercitata dal piano orizzontale, ad esso ortogonale; teniamo anche presente che il CMdel

da

iii) R' mì)lasoluzione si riduce a quella del moto su

un pianoinclinato fisso.

cuneo si sposta solo in direzione orizzontale:

MA,=-R,

{Mar 2 ola, ny Mo

(7.24)

n

ma, = R,

{MR mg

inoltre abbiamo le seguenti diseguaglianze che esprimonoil fatto che i vincoli sono mnilaterì:

R.>0, Ry20, R}>0.

(7.25)

Comesi vede, abbiamo6 incognite (az ay, Ar; R:, Ay;Ry) e solo equazioni: in effetti non abbiamo ancora imposto che È sia ortogonale alla superficie del cuneo, e cheil blocchetto si muova su di essa (gi tratta di condizioni di tipo geometrico). La prima condizione è espressa dall’equazione R

R= 1> fina

7.26 (7.26)

- mentre la seconda, detta x l’ascissa del (CMdel) blocchetto, y la sua ordinata e X l’ascissa del vertice in basso a destra del cuneo, è

y=(X-2)tana

”

(7.27)

da cui, poiché l’ascissa del CM del cuneodifferisce da X per una costante, a

Ax =0Gg + eva

(7.28)

A questo punto il numero di equazioni e quello delle incognite è lo stesso, quindi per determinare la soluzione bisogna solo avere la pazienza di portare a terminei

calcoli. Si ottiene Mgsenacosa.

U, = Memento!

Qy= 05

R.= mMgsena cosa.

23

-

M+msena |

©*

m+ M

tana;

m

Aa = gpl

_ mMgcosa =, _ Mlm+ M)g . =

M+msenta’

(7.29)

7.30

— M+msen?a (7.30)

Si noti che i) le reazioni hannoil verso che devonoavere, iî) 11 moto del blocchetto è uniformemente accelerato con accelerazione a=gsena

+;

2

sen?

3

inclinata rispetto all’orizzontale di un angolo a' tale che

66

(7.32)

)

n

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

67

Energia

8.

ENERGIA

La (8.6) costituisce il

8.1 Premessa

A partire da questo capitolo faremo uso del concetto di integrale: ciò di cui sostanzialmente avremobisognoè riassunto nelle seguentidueformule(è sottointeso che tuttele funzioni sono supposte derivabili, oltreché integrabili) ta.

F'imae= st) 1). ta

.

8)

ca

fiboma= (ide

nsasa).

82)

8.2 Il teorema delle forze vive

Sia dato un punto materiale, e sia F il risultantedi tutte le forze,sia attive che vincolari, agenti su di esso. Moltiplichiamo scalarmente ambo i membri dell'equazione # = ma perla velocità 7 del punto materiale:

3.471 Fo= mi E im

d&@-9) EE d/ ML

damiano

go)

(83)

Definita l’energia cinetica E, della particella come def 1. E, È gra? :

(8.4)

a.

è = Pt.

.

(8.5)

Definita la quantità a secondo membro È - 7 come potenza della forza, la (8.5) può essere enunciata come segue:

Teorema delle forze vive o dell'energia cinetica (1° forma): la derivata dell’e-

nergia cinetica di un punto materiale è uguale alla potenza della forza risultante agente

su di esso.

Si noti che ambo i membri della (8.5) sono funzioni del tempoin quantocalcolati sulla legge oraria: F= &(t),

utilizziamo la (8.1) si ha

Fa FF), 70): se ora integriamo la (8.5) fra tr etge

Es(ta)-E(m)=|

AE: = £.

(8.6?)

La (8.6) non è - in questa forma - molto utile, in quanto lega la variazionedell'energia cinetica ad una quantità,il lavoro, che per essere calcolata richiede in generale la conoscenza della legge oraria. Se però /° dipendesolo dalla posizione del punto materiale e nondalla sua velocità (forza posizionale), possiamo trasformarela (8.6) in una forma che non presuppone la conoscenzadella legge oraria, ma solo della traiettoria: sia 7 la traiettoria (orientata) percorsa dal punto materiale fra gli istanti #1 e t2 e È il versore

tangente ad essa. Si ha in ogni punto di y

..

F.o=F (uf) =Rv,= Rò

0

(8.8)

dove F} è la proiezione di F sulla tangente alla traiettoria nel punto considerato, e

dipende (solo) dalla posizione s del punto su di essa. Si-noti che #5 = f-& non dipende dall’orientamento di y. —5Sostituiamo orala (8.8) nel secondo membrodella (8.6) e.utilizziamola (8.2):

E.(t)- E(t)=

82

Lo.

F(s)ds.

.

81

(8.9) "

Il secondo membro della: (8.9), cioè il lavoro, può ora essere calcolato a partire dalia sola conoscenza della traiettoria, oltreché naturalmente della forza, ed in questo caso possiamo quindi parlare di lavoro della forza lungola tràiettoria y fra le posizioni P e

P, occupate dal punto materiale agli istanti t] e ta:

dar (3

la (8.3) può essereriscritta

dEo

,

Teorema delle forze vive o dell'energia cinetica (2° forma): la variazionedell’energia cinetica di un punto materiale fra l’istante t, ed l'istante t> è uguale al lavoro della forza risultante agente su di esso:

ta

.

Fra. ti

(8.6)

L'espressione a secondo membro della (8.6) prende il nomedi lavoro della forza F tra

gli istanti t, e ta e viene indicato con £: ta

def BOL c€ [ DEGD:A

.

L

68

Li “| F,(8) ds.

(8.10)

«Y51

La (8.9) costituisce la, 3* forma del Teorema delle forze vive dell'energia cinetica (3° forma): se il punto materiale è soggetto ad una forza risultante indipendente dalla velocità, la variazione della sua energia cinetica fra un punto P, ed un punto P. della traiettoria è uguale al lavoro lungo la traiettoria della forza agente su di esso: AE:=L,.

(8.97)

Energia cinetica e lavoro hanno le stesse dimensioni:

[E] = [C]) = MI?T-? = [forza] x [lunghezza] e nel SI si misurano in joule (J): 1J= 1N-m, mentre nel sistema CGS si misurano

in erg: lerg=1dine-cm, esi ha 1J1= 10°erg.

La potenza W CFg ha le dimensioni di un lavoro diviso un tempo

[W] = [lavoroj/[tempo] = ML?7-* e nel SI si misura in watt (W): 1W = 17-s7!, mentre nel sistema CGSsi misuta în

(8.7)

erg/s: 1W = 10° erg/s.

In effetti la potenzaè il lavoro fatto dalla forza nell'unità di tempo: dalla (8.7) 69

.

At

Una unità di lavoro di uso commerciale è il chilowatt-ora (kwh): 1kwh = 3.6x1091. Commenti i) Una stessa traiettoria y fra i punti P| e Pa, può essere percorsa con leggi orarie

diverse, per cui la (8.9) non comporta di fatto la conoscenza della, legge oraria, neppure implicitamente: p.es. la traiettoria può essere determinata dai vincoli (moto su traiettoria prestabilita); o anche, il moto di un grave fra due punti lungo la verticale può svolgersi con velocità diverse, perché diverse sono le condizioni iniziali;

.

ii) Se Paf+B+- Fa, il lavorofatto dal risultante P è uguale alla sommadei lavori fatti dalle forze FF. An:

£EL+ Lat La (8.12) per cui ha senso parlare del lavoro fatto da una singola forza lungo unacerta traiettoria, anche se a determinare la traiettoria intervengonoaltre forze; naturalmente la variazione dell'energia cinetica il risultato del lavoro faito da tutte le forze che

agiscono sul corpo.

Per esempio, sollevo un corpo di massa M dal pavimento ad un tavolo: la varìa-

zione dell’energia cinetica è nulla, quindi è nulla la sommadel lavorofatto dalla forza peso e di quello faito dalla forza che ho esercitato sul corpoper sollevarlo: la forza peso hafatto lavoro negativo (“lavoro resistente”), mentre la forza muscolare ha fatto lavoro positivo (“lavoro motore”). Si dice anche che quest’ultima ha fatto lavoro contro la, forza di gravità. iii) Se una forza (eventualmente una della tante che agiscono sul corpo), indipendente dalla velocità, fa un lavoro £ fra i punti P) e P» lungola traiettoria 7, la stessa forza fa un lavoro —£ se la traiettoria viene percorsa in senso inverso, cioè da P, a P,, indipendentemente dalla legge oraria nel moto da P, a P,. Pidin

generale, se Q è un puntosulla traiettoria (compreso o no fra i punti P; e P»),

L(P3 P)=£(P 30)+£(Q0 + Pa).

(8.13)

iv) Abbiamoricavato la (8.9) nell’ipotesì che la forza non dipendesse dalla velocità: questa non è una grossa limitazione, perchéi casi più rilevanti di forze dipendenti dalla velocità sono la forza che un campo magnetico esercita su una particella

carica (forza di Lorentz) e la forza di Coriolis (una forza “apparente”), entrambe ortogonali alla velocità, e le forze di attrito dinamico (0 viscoso), la cui dipendenza dalla velocità si ha solo nel fatto che la componente tangenziale di È è sempreopposta alla velocità del corpo rispetto al vincolo. Le prime, grazie alla (8.7), non fannolavoro, e quindi non ereano alcun problema (sono dette “forze deviatrici”, in quanto non modificano ||] ma solo la sua direzione); il lavoro delle forze d'attrito normalmente non richiede la conoscenza completa della legge oraria, a meno che questa non sia necessaria per conoscere ff;

tramite Rn [v. (7.6) e (7.23)]. Siccome però le forze d’attrito non sono forze po-

sizionali, non è più vero che il lavoro cambia segnosela traiettoria viene percorsa

è

—

lavoro in senso inverso. Seil vincolo scabroè fisso le forze d’attrito fanno sempre negativo sul corpo: sono anche dette forze dissipative.

.

Esempi

oraria, Molti Problemi che possono essere risolti attraverso la conoscenza della legge

delle forze vive: data possono ora più agevolmente essere risolti grazie al teorema

richiesta la però la struttura di questo teorema,sì tratta di problemi in cui non è

©

dt40

(8.11)

determinazione di intervalli temporali.

ini 1. Determinare l’altezza raggiunta da un grave lanciato verso l’alto con velocità

. co . ziale vo. quindi, orientata nulla, è grave del cinetica l'energia quota massima la a Raggiunt

la traiettoria verso l’alto,

1. “ AE. = —arsà = / (-mg)dz = —mg(zo — 21) . 2

>

(8.14)

(2 ca).

PSI

2g

‘quota 22, quando raggiunge Viceversa, se il grave parte con velocità nulla dalla ms di : v = /2g(z2 — zi). Se ci2 chiediamo quant è il tempo per la quota 2, ha velocità forze vive. andareda 2; a 23, 0 viceversa, noncelo diceil teorema delle velocità iniziale 7 = 2. Stesso problema di prima, ma questa volta il grave ha una

V2).

.

.

(va, e poi calcolare Occorrerebbe prima, determinarela traiettoria (che è una parabola), parabola: della vertice il ed iniziale il lavoro della forza di gravità tra la posizione vogliamo non se Mera, balale obiema dunpr \gacnlifiivlio:vedremo:che!quésis

della legge oraria è rendere complicato un problema che tramite la conoscenza

i del molto semplicazusiamio:unftrucco”:(che.però: mn-diun:trucco): le equazion moto in coordinate cartesiane sono

(8.15)

= mg {mi mi =0

teorema delle forze e se applichiamo lo stesso procedimento che ci ha portato al

vive solo alla prima equazione (editti trattasiun:proc@ otteniamo

ima? (ta) - ma?) = —mg(za — 21)

(8.16)

quota v = 0 e questorisolveil problema comeprima, perché nel punto di massima (0: #05). di funghezzaL. 3. Un corpo (punto materiale) scende sul solito piano inclinato liscio dinamico attrito di ente coeffici Il scabro. ale quindi prosegue su un piano orizzont sul piano corpo il percorre D a distanz Quale ps. è scabro piano fra Îl corpo ed if ) . orizzontale? agenti forze dalle tto lavorofa il fermo, è e Siccome il corpo parte da fermoe allafin

la discesa sul piano durante la discesa e poi sul piano orizzontale è nullo: durante

71

_

W(1=F.7= lim Lit+

e

Energia

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

Energia

L.E. Picasso: Lezioni dì Fisica Generale 1 inclinato la reazione # nonfa lavoro perché(pianoliscio) è ortogonale alla velocità; il lavoro fatto dalla forza di gravità mg è £, = Lmgsena; quandoil corpo si trova sul piano orizzontale la gravità e-la componente normale R, della reazione

È si fannoequilibrio (in ogni modo nessuna delle due fa lavoro sul corpo perché ortogonali alla velocità), la componente A, della reazione fa lavoro £2 = — RD = —ttaRnD, ma Rn=mg quindi £2= —pugmgD e D=(L/pua)seno. Alsolito, il problema di sapere quanto tempo ci mette, è un problema che richiede la legge oraria. 8.3 Forze conservative

Calcoliamoil lavoro fatto su un punto materiale da una forza costante F. In questo caso la (8.7) ci dà £=

ta,

ti

î

4

ta

Fdd= FF.

. & da I. ta = F:/ id f ydt+F.] t

°

ta

va=z [oodi .Fy fwd 4 £: fd

ti

= Fa(c2-m)+Flv yi) + Fl 1) = PR)

°

17)

Il risultato merita la massima considerazione: il lavoro dipende solo dalle posizioni iniziale e finale del punto, e non dalla traiettoria percorsa! Vediamose questo risultato è peculiare delle forze costanti, o se ha una validità più generale. Consideriamo un oscillatore tridimensionale:

F=(-kiz,-kay,—ks2)

(8.18)

ta ta ta vidttaf ztdi £ =-4f ridi — ka ti ti 6A a

va

vl

Vediamo un altro caso, quello delle forze centrali, caratterizzate dalla (5.19). Si ha

_ Side POLE Poo= plein Or 7 r3 d rid _ IO, _ im

o

(825)

(f(r)=d®@)/dr=®@)).

Dal confronto con conla (8.20), per le forze centrali si ha,

UGF)=-sr)+U

.

(8.26)

e sì noti che Y in questo caso dipende solo dalla distanza dal centro di forza. Per esempio, nel caso del campo gravitazionale Mm. i F=-G f nz

>

&M=

glm vr

1 ) dl (È der

+ gd

x

i d

(8.27)

del lavoro dalla traiettoria, non sia una proprietà generale delle forze posizionali: no,

non è una proprietà condivisa da tutte le forze posizionali, come mostra il seguente

zi

= Ino? + kayî + kg zi) — 3(k1o$ + koyi + ka23)

controesempio. All'esterno di un lungo solenoide (filo conduttore avvolto a elica su

(8.19)

e anche in questo caso dipende solo dalla posizione iniziale (x1,%1,z1) e da quella finale (23 ;y2, za): anzi, in tutti e duei casì considerati, il lavoro fra i punti P, e P) è

la differenza fra i valori che una stessa funzione assume nel puntoiniziale e in quello finale: dove fi e Fa sono i vettori posizione dei punti P; e P..

È

A questo punto è asturele chiedersi se quella che abbiamo scoperto, cioè l’indipendenza

21

£L(P, > Pa) = U(F1) - U(Fa)

dove &(r) è unaprimitiva di f(r=)

(8.24)

Da

Mm

= 3h ai) - 3h (vi 3) da — 23)

UC)}=-F.F+U

(8.23)

um= 36° + Un.

U(r) = -G— + Vo.

=-kf 2d5-kxf yy =haf zdz Ti

Se poi l’oscillatore è isotropo (ki = kr =k3=#}

c= ("Hd = 06) 20)

ti

(8.22)

U(F) = sha? + kag? + kg22) + Vo.

quindi dalla (8.7)

ta 2dt

=Po-Pa

dove Ug è una costante arbitraria in quanto la (8.20) non definisce la funzione U(F) ma solo le sue differenze, e nel secondo (forza armonica anisotropa)

(8.20) Nel primocaso (forza costante)

(8.21)

un supportocilindrico) percorso da una correnteelettrica variabile nel tempo si ha un campoelettrico, cioè una. forza che agisce sulle cariche. Le componenti di questa forza in coordinate polari, con l'asse polare coincidente con l’asse del solenoide, sono

Fy=0,E5=È,F.=0

(0= vi? +y)

(3.28)

cioè F èin ogni punto tangentealla circonferenza passante peresso e con centro sull’asse del solenoide, ed inoltre'il suo modulo è costante lungo tutta la circonferenza. Aifini del controesempio non è importantel'origine della forza data dalla (8.28): è importante

invece che il lavoro fatto da F su unacarica che descrive la circonferenza 9 = AR in

un piano ortogonaleall'asse (parte e arriva nello stesso punto) è certamente non mulo (£ = 2r&F, = 2rk), mentre sarebbe nullo se dipendesse solò dai punti di partenza e 79

di arrivo, perché, siccome in questo caso coincidono, la carica potrebbe non spostarsi affatto. Allora la classe delle forze posizionali per le quali il lavoro dipende solo dai punti di partenza e di arrivo e non dipendedalla traiettoria seguita è non banale: non è vuota e non è neppurel’insieme di tutte le forze posizionali. Esse sono dette forze conservative.

Inoltre, in tutti e tre i casi esaminati abbiamo visto che esiste una funzione U(#) che rende vera la (8.20): vedremo fra poco che anche questa è una proprietà caratteristica delle forze conservative. ° La funzione U — detta funzione potenziale 0 energia potenziale - è definita a meno di una costante additiva arbitraria: seU(7) è una funzione potenziale per un dato campo di forze, anche U(#) + Up lo è: due funzioni potenziali sono equaivalenti se differiscono

per una costante (sì tratta proprio di una relazione di equivalenza). Sovente la costante additiva arbitraria U vienefissata in modotale che la funzione potenziale assuma un valore comodo in un punto comodo: per esempio, nel caso della forza elastica (isotropa

o n0) fa comodo che Y/(0) = D, per cui 1

a

(8.29)

UGF) = gllaz'+ boy” + ka2°).

Per un corpo soggetto alla forza di gravità m g, se abbiamo un sistema di coordinate con l'asse z verso l’alto, possiamo sempre scegliere Vo nella (8.21) in modo che U(2) = mgz

(8.30)

qualunque sia la posizione dell’origine delle coordinate.

.

Nel caso del campo gravitazionale conviene fissare la costante arbitraria in modo che

U(00) = 0:

Mm . U(r) = GT

(8.31)

Come si caratterizzano fra le forze posizionali quelle conservative? Le tre seguenti affermazioni sono equivalenti, e quindi ciascuna di esse caratterizza i campi di forza conservativi:

°

1. I lavoro lungo qualsiasi percorso chiuso è nullo.

2. Per ogni coppia di punti Pi, P» il lavoro da P; a Pa non dipendedal percorso Îra i due punti.

3. Esiste una classe di funzioni Y/(P), differenti l’una dall’alira per una costante, tali che per ciascuna di esse

£(P, + P.)= U(P)) - U(P.).

Per dimostrare l’equivalenza, proviamo che 1 > 2 > 3 > 1. Nella dimostrazione delle suddette implicazioni usiamo un argomento generale che riproporremo in termodinamica per definire

Pi

n

x

energia interna e l’entropia. 1 > 2: siano A; e P..due punti arbitrari, y, e 73 due percorsi (arbitrari) da P\ a P:, i il lavoro fatto dalle forze del campo da P, a Pi lungo yi ed (2 quello da P, a P. lungo

7 (figura 8.1).

Ta.

Pi fig. 8.1

i

Pi a Pa fungo “n e da P. a Peripotesi il lavoro lungo il percorso chiuso che va da

all’inverso è —£a e + P; percorrendoall’inverso 72, è nullo, mail lavoro lungo 2 quindi

L1+(-£0)=0

>

Li=£2

cioè il lavoro da P; a P: non dipende dal percorso seguito. 0 a P, essendo 2 > 3: Sia O un puntofisso e P un generico punto. Il lavoro da ) di P: indipendente dal percorso ed essendo O fisso, è una funzione {soltanto

up) -L(0 + P)= P +0). Per ipotesi

£(P, + Pa) = É(P, +0 -— Pa) = C(P +0) + £(04 Pa) =U(P.)-U(P.).

na una diversa Siccome il punto fissd ‘O è arbitrario, ogni scelta di O determi

funzione U: se 0'.#O sì ha

ue) E —c(0*> P)=-£(0+ P)- £(0' +0) =U(P)3: Uh, U=-C(0 +0) LP + B)=U"(P.)-U(P).

—L(0+0)}=0. Il puntofisso è il punto în cui scegliamo di porre U = 0: U(0)=

3> li C(P+--— P)=U(P)-U(P}=0.m

PS

in olatoamuoversi Consideriamo un sistema unidimensionale, cioè un punto materialev

acurvilineasu di essa. Supponiamo ia i s su una traiettoria s (P = che + sia una curva non chiusa©senzaincroci,cioè l'applicazi nes 2P

percorsi chiusi.sUY punto sulla traiettoria) sia iniettiva. Con questa ipotesi gliunici

sonocostituiti.da-unostessosegmento.ditraiettoria.percorsoneidueversi,percuile

nullo), esse sono anche __forze attivecheagisconopunto-sono-posì? nali (0 è lavoro ali il lavoro da un posizion forze le per conservative. Infatti, come abbiamo già detto, del lavoro da Pa to l'oppos è ria traietto di segmento un punto Pi ad un punto P; lungo esiste una Quindi inverso. senso in o percors ria traietto di o segment stesso a P, lungolo ia, traiettor sulla punto del e funzione potenziale U(s), funzione soltanto della posizion _ U(s2). U(si)da dato è s2 ed s) punti due ed il lavorofatto dalle forze attive tra

a lavoro nullo, e quindi Se poiil vincoloè liscio, allora le reazioni vincolari sono forze

sistema soggetto solo a U(s1) — U(s2) è il lavoro fatto da tutte le forze sul punto. Un conservativo. sistema forze conservative e/o a forze a lavoro nullo è detto un traiettoria non sodQualche problema può nascere (dipende dalla legge di forza) se la

ente questo tipo di problemi disfa le ipotesi fatte, p.es. se è una circonferenza: tipicam

legge di forza data dalla sì presentano in elettromagnetismo (vedi esempio con la co . 0. (8.28) ). R ; lo è anche su qualsiasi Ovviamente, invece, se il campo di forza è conservativo in

sottoinsieme di IR? (traiettoria chiusa o con incroci, superfici ...). 75

ii

Vneigiay

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

4

Esempio .

Questa costante del moto è chiamata energia meccanica o energia totale o talvolta — più

Un punto materiale di massa m è vincolato a muoversi sulla retta y = d, 2 = 0 nel campodi forza dato dalla (8.28). Supponiamo & > 0 e che la massa parta

da x = +00 convelocità nulla, e ci chiediamo qual è la

71

velocità finale {x = —00). fig. 8.2 Abbiamovisto che la (8.28) non è una forza conservativa in R*, però essendo posizionale, è conservativa sulla traiettoria specificata. Si ha £L

> ra)

=

72 Fide; f ”

k kd F,=-$.î=-._; 79°! a+ d2'

sce una, relazione fra la velocità del punto e la sua posizione nello spazio, essa pertanto

è utile, anzi essenziale, in tutti i problemi in cui sia necessario conoscere la velocità, non in funzione del tempo, main funzione della posizione.

È dro mM Si = TN Qta lk 1. Oscillatore armonico unidimensionale. 1 > Trax L'energia potenziale è [v. (8.29)] U(c} = 3h, quindi

U(x)=karctan z + Uo:

(8.32)

Siccome x/d=tan(7/2- ) e Uo è arbitrario, posto W= —kx/2 si ha U(2)=-ke. (8.33) In ognicaso, qualunquesia la scelta di Vo

1 gra (er (e =-00) =-00)=Ul(r =U( = +0) -U(2 =-0) U(2==xr, %)=%k

semplicemente — energia della particella. Poiché è la sommadi due termini, l’energia cinetica e l’energia potenziale, in generale durante il moto nessunadelle due resta costante, ma solo la loro somma,quindisi può dire che duranteil moto si ha un continua trasformazione di una forma di energia nell’altra: l’energia cinetica può aumentare a scapito dell'energia potenziale, e viceversa. Comeè caratteristico di tutte le costanti del moto, la conservazionedell'energia stabili-

Esempii

2 _kd xy |? £L(x1 > x2) = f Fg = —karctan (5) , =>

Energia

= v=V 2kr. x

(8.34)

È ovvio cheil tempo impiegato a percorrere tutta la traiettoria è infinito, infatti la velocità è sempre minore di quella appena calcolata e la lunghezzadella traiettoria

è infinita.

E= me +lee.

gp

37)

Ritroviamo, molto più semplicemente,risultati già noti: la velocità è massima quando l’energia potenziale è minima, cioè per x = 0 e, se a è l'ampiezza di oscillazione,

dna =E= Tha?

>

Um WI,

WE JE

Inoltre, se x(t) = a sen(wt + g), si ha Et) = mod cost(wt+g),

U()= 3a? sen? (wt + 0)

Supponiamo cheil punto materiale sia soggetto solo a forze conservative più eventualmenteforze a lavoro nullo,cioè che sia un sistema conservativo. Dal teoremadelle forze vive nella forma (8.9) e dalla (8.20) sì ha am(1) - ima?(1) =U(F(t))- U (F(t2))

El lina tati

e

(8.35)

e poiché t1 e # sono arbitrari la (8.35) esprimeil fatto che

valgono 1/2: sen?x+cos? x = 1) si ha chel'energia cinetica media (su un periodo) è ugualeall'energia potenziale media:

è una costante del moto, cioèil suo valore - determinato p.es. dalle condizionii niziali

— resta costante durante il motodella particella [v. (5.30) e (5.31)]:

dE a

— PE

(8.41)

2. L'energia di un punto materiale nel campodi gravità è [v. (8.20)] E= pm? -mj-?

(8.36) ; (8.357)

(8.40)

poiché la media su un periodo di sen? (wt + 6) e di cos*(wt + 4) sono uguali (e

E.=U= se.

cioè

EC im? +00)

(8.39)

e, definita la media di una funzione f(f) su un intervallo #1, ta come

8.4 Conservazione dell’energia

gru? (ta) +U(F(%)) = sm”) +U(#(1)

(8.38)

”

(8.42)

e se l’asse 2 è orientato versol'alto

E= sm? + mgz.

(8.427)

Le (8.42) valgono non solo se il grave si muoveliberamentenello spazio (grave in caduta libera), ma anche se il grave è soggetto a vincoli lisci, come nel caso del

moto su un piano inclinato. Così, in ogni caso, la variazionedell'energia cinetica TT

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

ATe

Energia

dei grave dipende solo dalla differenza di quota, ed è dalla Consideriamo ad esempio un pendolo, e determiniamo la minima velocità Vo con

K 7 | è » 3

î4

cui la massa deve partire dalla posizione 9 = 0 per compiere giri completi (con il filo sempre in tensione). Anche in questo caso la forza esercitata dal vincolo (cioè il filo) sul punto materiale compie lavoro nullo, in quanto ortogonale alla

traiettoria. Abbiamo già stabilito {v. (7.17)] che la velocità minima con cui la

massa deve raggiungere la posizione superiore 8 = 7 è v= vl. Allora vo si ottiene imponendochel'energia iniziale sia uguale all'energia finale: dalla (8.42?) (l'origine all’altezza del punto di sospensione) si ha

qme — mgl = Im(vol + mgil

>

uw=v5lg.

(8.43)

Se la massa fosse attaccata non ad un filo, ma ad viaa sbarretta rigida di massa trascurabile (che, contrariamente al filo, può esercitare anche reazioni aventiil verso dal punto di sospensionealla massa), per compietegiri completiè sufficiente

che arrivi nella posizione superiore con velocità non villa, e quindi deve partire

dalla posizione 9 = 0 con velocità maggiore di vg.

_ î ent

Torniamoal caso delfilo, € supponiamoche la massa parta dalla posizione 8 = 0 con velocità vu < v/5I9. Ci domandiamo fino a qualé punto la massa seguirà la traiettoria circolare, cioè in quale punto la tensione delfilo si annulla. Detta (9) la velocità della massa nella posizione individuata dall'angolo ? e -to = v(0 = D), siccome 2 = —icos? la (8.42?) (conservazione dell’energia) si scrive

1

(8.49)

Se poi 3(1 - 3) < —1, cioè v3 > 5gl, allora #* non esiste e la massa compie

giri completi.

9

Un'altra informazione che otteniamo dalla conservazione dell’energia è che il moto del pendolo (con sbarretta rigida al posto del filo), qualunque sia l'ampiezza del moto o anche se compie giri completi, è periodico, ad eccezione del caso vo = 2VIg. La dimo-

strazione cui ora accenneremosi applica a molti sistemi conservativi, particolarmente unidimensionali, ma non solo.

L'equazione del pendolo è la prima delle (7.15): se il pendolo compie almeno un giro

completo, ripassa dalla posizioneiniziale con velocità che per la (8.45) è uguale a quella

iniziale e quindi, per l’unicità della soluzione della (7.15), il motosi ripete identico. Se il pendolo non compiegiri completi, la (8.46) dice che #(t) assume duranteil moto

tutti (e soli) i valori compresi fra +9, con Og - l'ampiezza di oscillazione — dato dalla (8.46): infatti il moto si può invertire solo per 9 = +00 perché questi sono gli unici punti in cui la velocità si annulla. E escluso che il pendolo, raggiunto un punto

di inversione +90 si fermi (0 impieghi un tempoinfinito a raggiungerlo), perché nei

punti di inversione è # 0, a meno che +©y nonsia un punto di equilibrio, cosa che accade solo se Og = 7 cioè se vo = 2v/Îg. A partire dagli istanti in cui 0 = ©il moto

del pendolosi ripete con la stessa legge oraria perché le condizioniiniziali sono sempre

(8.45)

-@, £ ma anche per # < # (unicità della soluzione). _ Questo argomento non si applica in presenza di attrito dinamico, infatti in tal caso il corpo può fermarsi in un tempofinito: la ragione sta nel fatto che K, dipende in maniera non continua dalla velocità # (è proporzionale a è = #/v), e quindi vengono meno le condizioni di regolarità che garantiscono l’unicità della soluzionedelle equazioni del moto. Argomenti che fanno appello all’unicità della soluzione vanno quindiutilizzati con grande cautela in presenzadiattrito.

#i_. solo dove è soddisfatta la diseguaglianza

4

2%

Il periodo cresce con l’ampiezza, e tendeall’infinito quando So + 7: un punto ma-

e questa,siccome 12(9) > 0, intantoci dice cheil moto è energeticamente possibile 2

ne x

teriale non può arrivare con velocità nulla in un punto di equilibrio Fo ad un istante

(finito) #, altrimenti le condizioniiniziali all'istante # (#7) = Fo, #7) = 0) compor-

v(0) = vî — 290(1— così)

2gl

_

(8.44)

da cui

cost >1- 2

LA

le stesse. m

1

smo (0) — mglcos8= E = 3mvi — mgl

Li

così (1-26 =3( -3d)

Pa:

Ùv%

così 8>> (1-22). 3( 3g1)

48) (8.48)

Se 1- u3/2gl > 0, cioè [Pf < 7/2, se è soddisfatta la (8.46) allora è soddisfatta anche la (8.48) (cioè nella regione energeticamente permessail filo è in tensione) e quindi, come già sapevamo, se l'ampiezza delle oscillazioni è minore di 7/2 non si ha mai il distacco; se invece 1 — ug/2g! < 0, cioè |B| > 1/2, la (8.48) > (8.46) e quindi sì hail distacco prima di raggiungere la massima quota permessa dalla conservazione dell’energia, cioè quando 8 = #* dato da 78

3. Velocità di fuga dalla Terra di un grave. Un corpo di massa m viene lanciato dalla superficie della Terra verticalmente verso l’alto con velocità iniziale vo. Vogliamo determinarel'altezza raggiunta. L'energia potenziale della massa nel campo gravi» tazionale della Terra è data dalla (8.31), quindi, indicata con A la massimaaltezza raggiunta rispetto alla superficie terrestre (v(h) = 0), si ha

1_3_piMa__

mM

amo rr © SErFA

la cui soluzione è

06/29

— 16/29

(8.50)

Energia

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

2. Riprendiamo l’esempio 1 a pag. 61 (due masse appese ad un filo ...). Il sistema, sia che consideriamo comesistema le due masse+ il filo, oppuresolo le due masse,

g definito nella (8.51) è l’accelerazione di gravità sulla superficie della Terra.

Dalla (8.51) si impara che i) se vo > vr = VEGA

in entrambii casi c'è la forza di gravità che è conservativa, nel è conservativo: e primo caso c'è la reazione delcilindro sul filo che però è in ogni punto ortogonal

& 11km/s non esiste un punto in cui v=0, e quindii

alla velocità del punto delfilo su cui-agisce(cilindro liscio); nel secondo caso su ogni massa agisce la tensione delfilo, che compie lavori opposti sulle due masse (filo inestensibile). Quindiil sistema è conservativo. Scriviamo la conservazione

corposì allontana indefinitamente, e per questa ragione vè detta velocità di fuga (si noti che non dipende dalla massa del corpo, ma solo dalla massa e dal raggio del pianeta}. Dimostreremo nel prossimo paragrafo chese il corpo non parte in direzione verticale la velocità di fuga è ancora quella trovata sopra;

ii) sevo «ur

ha È/2g,

dell’energia:

cioè lo stessorisultato chesi ottiene trascurando là;

gui + ima + migzi + magzz = costante

dipendenza della gravità con l’altezza (campo di gravità costante); ‘

e deriviamo (rispetto al tempo) ambo i membri

ili) l'altezza raggiunta, tenendo conto della diminuzionedella gravità con l'altezza; al 1° ordine, è data da

2 V

ha 250 + 08/02)

muiiii + modi + magii + magia = 0

(8.52),

e quindi la (8.57) diventa

Za [(ma + ma)Z, — (mo — mi)g)= 0.

o per di qualsiasi altro problema in cuiil sistema è lo stesso, ma per una ragione cilindro fra statico l’attrito un’altra è bloccato (p.es. è stato inchiodato, oppure

filo impedisce il movimento ...). Infatti la (8.56) esprime la conservazione det

co1

l'energia per il sistema che stiamo considerando, e quindi è giusto che contempli

tuttii casi in cuil'energia per motivi diversi è conservata. La seconda è quella che ci interessa:

“diproblemi sopratuttoquandolalegge oraria non è, o nonè facilmente,de

(ia questaclasse rientraancheladiscussione

motopendolo

precedente).

(ri + mo)B: — (ma — ma) =0

dimassima distanzaTdalcei

ellalerra: sicco

stanza # = 0, &'è ortogonaleallacongiungenteil ce

£sa Mei

Ei

gui — STE = gr -G 7

L= mvpRr = mv. .. /

1

i

L

-

(8.53)

(8.54)

Dalla (8.54) si ha che v= L/m?, quindi se # + co (cerchiamola velocità di fuga), vela (8.53) (per F + 00) si riduce a 10.

mMr _

gno — G Fr

0

(8.55)

e quindila velocità di fuga è sempre u = v2g/ir.

Sulla Luna ( My = 7.4 x 10° kg, Ri = 1.73 x 105 m) la velocità di fuga è circa 5 volte minore che sulla Terra; sul Sole ( Ms = 2 x 105° kg, Rs = 7 x 103 m) è circa 50 volte maggiore che sulla Terra.

80

(p.es. la tensione del filo): questa è unacircostanza comune a tutti i sistemi conserva-

lellaTerraconil'graver

Si - conservano l’energia e il momento angolare (moto in campo centrale): rm mae miri 12 mMy _1 mM:

(8.59)

ed è l'equazione del moto per le due masse,identicaalla (7.12). L'aspetto interessante dell’esempio appena discusso sta nel fatto che siamo riusciti ad arrivare direttamente all’equazione del moto senza menzionare le reazioni vincolari

5 :

(8.58)

Questa equazione ha due soluzioni: la prima, 4, =0 ‘(tutto fermo), è la soluzione

8.5 Soluzione di problemi mediante le leggi di conservazione

gi

(8.57)

e ricordiamo che per l’inestensibilità delfilo [v. (7.11)] si ha 22= -—%, di= iL

e quindi si ha una deviazione minore dell’1% (rispetto all’approssimazione di gravità costante) solo se vp < 0.1 uf 2 1km/s (velocità paragonabile a quella di un proiettile di artiglieria).

dipiùgencral

(8.56)

;

ionali” (in questo contesto chiamiamo Tunidimensionali” e a volte, con tivi “unidi rado dilibertà”, non soloi sistemi composti abuso di terminologia, “sistemi

da un punto materiale su una traiettoria nota, ma tutti queisistemi compostidi più

parti, come quello appena discusso, la cui legge oraria,in virtù delle condizioniiniziali

e dei vincoli, è completamente determinata da una sola funzione del tempo: nelcaso

appenadiscusso z;(t). Così è unidimensionaleil blocco che scivola sul piano inclinato

fisso; il sistema è “bidimensionale” se il cuneo su cui scivola il blocco nonè fisso). sola È comprensibile che sia così: per un sistema unidimensionale è sufficiente una

equazione perdeterminare il moto Tma monde reazioni), equazione che disolito

"citenere.

si può

nazioni contenenti anche le reazioni vincolari eliminando queste ultime

vedi p.es. il passaggio dalle (7.10) alla (7.19)). Ora, la conservazioneè

cyi non compaiono una.equazione, conseguenza. delle equazioni del moto,in le reazioni vincolari

perché, per un sistema conservativo, sono forze a lavoro muilo.

Quindi, per un sistema unidimensionale, riconosciuto che le Teazioni ‘globalmente non 81

Energia

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

fanno lavoro (e per questo in pratica basta assicurarsi che non ci siano attriti o che ci siano solo attriti statici), è sufficiente scrivere la conservazionedell’energia e procedere

comenell’esempio precedente. Il prossimo esempio chiarisce molto bene i vantaggi di questo procedimento.

3. Si consideriil sistema rappresentato in figura: un filo attaccato in basso alla massa M,girando intorno alle carrucole fissate alla parete di destra, torna verso la massa M, gira intorno ad una carrucola solidale con essa, e sospende una massa n, che scivolando per gra- ” vità lungo la parete di destra della massa M, mette

del moto [v. (7.24) + (7.32)].

Si conserva l’energia e la componente x della quantità di moto: 1

M

Utilizzando quest’ultima e la conservazione della quantità di moto possiamo esprimere V, e vy in terminidi vz:

fig. 8.3

orizzontale (verso destra) di AX = Az/2, quindiil sistema è unidimensionale.

Supponiamo che non cisia attrito né fra M e m, né fra, Me il pavimento. Preso

l’asse z verso destra, l’asse z verso il basso, indichiamo’ ton KR la reazione che M

wai, ga EM vy tana Oo

: n

(8.60) .

e le condizioni cinematiche

MO

M

(8.67)

.

e sostituire nell'equazione che esprime la conservazionedell'energia. Dopo qualche passaggio otteniamo:

(m + M)(M + msen? a)

esercita su m. e scriviamole equazioni del moto per ciascuna delle due masse:

vì + gy = costante.

(8.68)

Derivanda e ancora sostituendo vy con la sua espressionein termini di vu, e scartata la solita soluzione corrispondente al sistema bloccato,si riottengono le (7.29). A questo punto,se fossimo interessati alle reazioni vincolari, basterebbe sostituire

la soluzione trovata nelle (7.24) e risolverle rispetto alle reazioni.

G.,=2A;

.

(8.61)

{5 equazioni e 5 incognite). Risolvendosì ottiene i

(8.66)

ty= (Vi — v2)tana.

indipendenti: se m si spostain verticale (verso il basso) di Az, M si sposta in

ar = Az;

(8.65)

muy + MV. =0

inoltre abbiamo la condizione (cinematica) che Îl blocchetto sia sempre sulla superficie del cuneo [v. (7.27) e (7.28)] °

in moto il sistema costituito dalle due masse. I moti delle due masse non sono

marcio” maz = R, ma,=mg-T

1

uc: +07) + 3 MV? + mgy = costante;

2mg

Ag = Ham

(8.02)

Risolviamo lo stesso problema mediante la conservazione dell'energia:

MV? + amo? +02) — mgz = costante.

(8.63)

effettuiamole sostituzioni

8.6 Relazione fra potenziale e forza

Sia F(2,y,2) un campodiforze conservativo e U(2,y,2) la corrispondente funzione potenziale (o più semplicemente: il potenziale). Sia Po un punto di coordinate 20,9,z e P il punto di coordinate x,7,7 (?) e P differiscono solo per la coordînata x). Si ha . z

(8.69)

LP + P)=- [F(#,9,2) de = U(0,9,9) - Us zo

(si noti che nella 8.61 tanto U che F, sono funzioni di una sola variabile: y e 2 sono

fissate). Dalla (8.1) si ricava che

Va = Ve; t2=2V

(8.61’)

(3 equazioni e 3 incognite) e otteniamo 1

3(M + 5m)V2 — mgz = costante

(8.64)

cosicché derivando,scartata la soluzione V, = 0, si ritrova la (8.62). La stessa tecnica può essere utilizzata anche per i sistemi bidimensionali, purché, ol-

rega) UE da

4. Il sistema a duegradi di libertà è quello costituito dal blocchetto di massa m che

scivola senza attrito sul piano inclinato del cuneo di massa Af appoggiato ad un piano orizzontale liscio, problema che abbiamogià risolto in termini di equazioni

82

(8.70)

e formule analoghe se le coordinate tenute fisse sono ©, 2 0 x,y. La derivata rispetto

ad una variabile di una funzionedi più variabili, quindi calcolata tenendo fisse le altre

due (come nel caso appena considerato), viene detta derivata parziale, e viene indicata conil simbolo 2 al posto della d. Quindiil risultato espresso dalla (8.70) e le analoghe

sì scrive

_9U(x,y,2)

tre alla conservazione dell’energia, sia disponibile un'altra legge di conservazione. Il prossimo esempioillustra questa situazione.

.

_

we:

)

= ZI F, = di |

i

__BU(e,y,2) F,= e 83

(8.71) \

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

Energia

Per esempio, la funzione potenziale di un oscillatore anisotropo è data dalla (8.21), e

l'accelerazioneèsolo. e ripartire ortogonalmente alla superficie di confine: dove v = 0l'ac

derivandolarispetto alla variabile x (y e 2 fisse), rispetto ady (x e fisse), rispetto a 2 si ottengono — a parte il segno — le componenti F,, F,,F della forza, cioè le (8.18). Le (8.71) si scrivono in modo più compatto:

F(&,Y,2) = — gradU(2,y,2)

(871)

doveil simbolo grad (gradiente) è il simbolo di una applicazione(lineare) dallo spazio delle funzioni definite in R3 a quello delle funzioni vettoriali (campi). Si definiscono superfici equipotenziali le superfici su cui il potenziale U(2,y,z) assume valore costante:

U(2,y,;2)=c.

(8.72)

Le superfici equipotenziàli sono anche dette superfici di livello della funzione U(r,y12)

allaforza,cheè"ortogonale alla superficie... è Tatraiettoria€parallela langenziale,e quindi “equipotenziale). Consideriamo ad esempio un oscillatore tridimensionale isotropo; se E > 0 è l'energia della particella, la regione permessa al moto è la regione interna alla sfera di equazione

Le traiettorie ellittiche non possono raggiungreil bordo della regione permessa perché in nessun punto dell’ellisse la velocità è nulla; se invece l’ellisse degenera in rip'segmento la traiettoria è proprio un intero diametro della sfera. Consideriamoora il seguente esempio unidimensionale: la particella (vincelatà»sull’asse r) è soggetta ad una forza F(x) il cui potenziale è 1

e, nel caso bidimensionale (U =U (2,0)). curve di livello: le curve di livello delle

carte geografiche sono proprio le curve su cui, sulla superficie della Terra,il potenziale gravitazionale mgz è costante. Al variare di c nella (8.72) si ottiene la famiglia delle superfici equipotenziali. Per esempio, nel caso delle forze centrali il potenziale è funzione solo di r [v. (8.23)], quindi le superfici equipotenziali sono le sfere con centro nel centrò di forza; nel caso dell’oscillatore anisotropo sono elissoidi, che sono di rotazione se due delle costanti elastiche coincidono (p.es. ki = kz).

Nel casa delle forze centrali e anche in quello delle forze costanti, in cui le superfici equipotenziali sono piani [v. {8.21} o anche la (8.30)], è evidente che la forza in ogni

punto è ortogonale alla superficie equipotenziale che passa per quel punto: ciò è vero

in generale ed è conseguenza del fatto che il lavoro fra due punti qualsiasi di una stessa superficie equipotenziale è nullo (AU = 0). Infatti, se in un punto FF avesse una componente tangente alla superficie equipotenziale passante per quel punto, non sarebbe

nullo il lavoro fatto da F per un piccolo spostamento su detta superficie equipotenziale nella direzione della componente tangenziale di FP. Dalle (8.71) segue che il verso della forza è quello in cui il potenziale decresce. Sia E il valore che ha l’energia di una particella in moto in un campodiforza il cui potenziale è U(x,y,2): 1

O

E= gra? +U(2,4: 2).

(8.73)

Poiché l’energia cinetica non è mai negativa,

U(c,y,2) < E.

(8.74)

Nesegue chela particella può muoversi solo nelle regi e ciò è vero per tuttii

reÈdell'energia.Séla (8.74) definisce più regionidelloSpazio, ontfra

(8.75)

= E. 12 2

U(3) = -300? + ati

dU(x

Fa)=-G@_

ch

Se Umnin 1(£>0): abbiamo:ritrovato,in particolare,il risultato che la velocità di fuga di un grave(la minimavelocità perché la traiettoria sia aperta) è quella per cuni E= 0, indipendentemente dal valore di L, cioè dall’inclinazione con cuiil grave viene sparato.

Si noti che siccome N° > 0, se E < 0 dalla (9.7) si ricava che

L 1 un ramo di iperbole, e se e = 1 è una parabola. La condizione x < p/e non è automaticamente soddisfatta solo nel caso e > le seleziona il ramo dell’iperbole concavo nel verso delle x negative. Riscriviamo la (9.12) nel modoseguente: (1-e)(x +

1a P

VP+=

2

id

p 3°

(9.13) .1

Dalia (9.13) si ricavano i semiassi che nel caso di traiettoria ellittica sono dati da iP

"59

RL

p l _ ai i= AES avl-e2

(9.14)

da cui si vede che e è l’eccentricità. In termini dell’energia e del momento angolare, che essendo costanti del moto sono determinati dalle condizioni iniziali, dalle (9.6) e

dalla (9.8) si ha

una carica positiva (p.es. un protone).

e dalla (9.3) si ha

.

.

N=GnL+@F

.

(9.17)

e l'equazione della traiettoria è =

L__

"7a cosp— 1

p

L?

= —5>0,

ma?

=N

9.18)

e=_>0.

(9.

de

In questo caso il potenziale g° /r è positivo quindi sono possibili solo energie positive: di conseguenzae > 1 e le traiettorie sono ramidi iperbole. La condizione cos g > 1/e questa volta seleziona il ramo dell’iperbole con x > 0: essendo la forza repulsiva,il

centro di forza è nel fuoco dell’altro ramo.

9.2 Moto in campo centrale: il potenziale efficace

In un campo di forza centrale sono costanti del moto sia l’energia che il momento angolare: l’esistenza di queste costanti del mota permette non solo di semplificare notevolmente il problema della determinazione delia legge oraria (che resta comunque un problema assai complesso), ma sopratutto di ricavare, caso per caso, informazioni

sul tipo di moto (traiettorie chiuse, traiettorie aperte, .. .).

.

Calcoliamol’energia cinetica: dalla (3.31°) (l’asse polare è ortogonale al piano del moto) e dalla (5.27)

1

E = tr? = Ln? +16?) = ami+

2

88

_

2

89

I?

mr?”

. (9.19)

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

Moto in campo centrale

Sostituendo l’espressione trovata nella equazione che esprime la conserva zione dell’energiasi ha

Io,

L°

i

)

ant Imp + UM=E (9.20): in cui L° è costanteedil suo valore è determinato dalle condizioniinizial i. Derivando la (9.20) rispetto al tempo e scartata la soluzione # = 0 (sistema vincolat o), si ha

I°

dU(r)

I?

Lalli. mi=da Taa+

9 (02)

mr°p = L= costante

(9.23)

che con la

determinano completamente, nel piano del moto,la legge oraria: infatti la (9.21) è una

equazioneper la sola funzione r() che, supposto di averla determinata, inserita nella (9.23) permette di determinare (p(t) mediante integrazione. Quindi qualsiasi probiema : in campocentrale, grazie alle due leggi di conservazione, si riduce — per ogni valore di L - ad un problema unidimensionale, cioè al problema di una particell a vincolata a

efficace coincide con il potenziale newtoniano; se L > 0 il potenziale centrifugo prevale su quello newtoniano a piccole distanze, è quindi Usg(r) + +00per r + 0, mentre a grandi distanze prevale il potenziale newtoniano, per cui Ueg(r) + 0 da valori negativi per r + co. Quindi Use(r) = L? _ GMm (0.25) C 2mr? r deve (per L > 0) necessariamente presentare un minimo negativo, chedipende da L:

min

G?MImi

Va = a

(0.26)

Sms? = E Ugni:

(927)

Nella figura 9.1 è riportato Uxg(r) per due diversi valori di LI L=0 ed Li >0. Datele condizioniiniziali, e. quindi fissati E ed L, dalle (9.20) e (9.24) si ha

e quindi le regioni permesse per il motoradiale della particella, definite dalla disegua-

muoversi sulla semiretta r > 0 soggetta ad una forza f (r) + L?/mr8 (“motorad iale”). La (9.20) esprime la conservazione dell'energia per detto problem a unidimensionale equivalente, in cui la funzione potenziale è data da IR Use(r) = mat U(r). (9.24)

glianza #° > 0, sono quelle. per cui

La funzione Ug(r) è detta potenziale efficace per la particella in campo centrale, ed il termine L2/2mnr?, che altro non è che il contributo all’energia cinetica dovuto alla componente angolare (0 trasversa) della velocità, prende il nome di barriera centrifuga,

Se E = US la regione permessa per il moto radiale si riduce ad un punto: questo significa che durante il moto r resta costante, cioè il moto è circolare e, grazie alla (9.23), uniforme. 7 Se E > US il moto radiale si svolge nella regione rmia Sr < Tmaxs dove Ymin € Tmax {Tmax £ 00) sonole ascisse dei punti di intersezione della retta di ordinata È con Uee(7): Se rmax < 00, r(£) è (comenel caso del pendolo discusso nel paragrafo 8.4) pra

o anche di potenziale centrifugo a momento angolare costante.

Questa terminologia (“barriera centrifuga”) esprime il

fatto che in tutti i casiin cui L > 0, a causa del suo anda-

Ure

mento divergente come 1/r? per r + 0 (con coefficiente positivo), risulta impossibile alla particella, qualunque sia la sua energia, di avvicinarsi al centro di forza più di

intuitiva che, siccome il momento angolare è costante, se la particella si avvicina al centro di forza la sua velocità deve aumentare, ma l'aumento della velocità è limi-

(9.28)

fin particolare £ > U/: nel caso newtoniano, in cui YU} è dato dalla (9.26), questa diseguaglianza equivale allà (9.10)).

radiale la traiettoria si richiude. Evidentemente questo

tato dalla conservazionedell'energia, e di conseguenza la

fig. 9.1

A titolo di esempio riprendiamo in considerazioneil caso di campo newtoniano, mettendo in evidenza nella discussione che segue gli apetti che hanno caratter e generale: per £ = 0 (moto puramente radiale) la barriera centrifuga è assente ed il potenziale 90

.

o l’altro di questi punti sia un punto di massimo per Ux#), quindi la traiettoria della particella si svolge in una regionefinita ed è compresa fra due circonferenze (nel piano del moto) di raggi rmin € Tmax. In questi punti (gli estremi del tratto spessonella figura 9.1) #=0, e quindi la velocità 7 della particella è ortogonale ad F. Se in un periodo del moto radiale la funzione g(t) (che per la (9.23) è una funzione semprecrescente) varia di un multiplo razionale m/n di 27, dopo n periodi del moto

un certo rmin > 0 (ad eccezione del caso non realistico

forza.

1

funzione periodica che assume tuttii valori compresi fra rmin € Tmax (a meno che l'uno

in cui U(r) diverga almeno come —1/r? per r + 0): la barriera centrifuga. traduce în termini quantitativi l’idea

particella non può avvicinarsi più che tanto al centro di

Usl)

accade nel caso newtoniano con m/n = 1 e nel caso dell'oscillatore isotropo con m/n = 1/2, e questi sono gli unici due casi in cui si hannotraiettorie chiuse. Nel caso rappresentato nella figura 9.1 (caso newtoniano)

Tmax < 00 see solo se E < 0: nella figura 9.2 è rappresen-

tata la traiettoria fra le due circonferenze di raggi rmin € Tmax .

dl

Ò

fig.9.2

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

Quando rmax = co la particella finisce per allontanarsi indefinitamente: la traiettori; è aperta. Nel caso newtonianociò si verifica per E > 0 (figura 9.1), mentre non si.

10. CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE ASSIALE

diverge sia per r + 0 che per r + co:

10.1 Momentiassiali

verifica mai nel caso dell'oscillatore isotropo,in cui il potenziale efficace (figura 2.3)

U. __ I° 1.3 erlr) = pi + 3hr .

(0.29)

Sappiamo che nel caso delle forze centrali si conserva il momento angolare I, cioè, trattandosi di una legge di conservazione vettoriale, qualsiasi componente Ln di £ è una costante del moto. In molte situazioni (forze non centrali) si ha la conservazione di una sola componente del momento angolare (rispetto ad un polo 92), diciamo della componente lungo la direzione individuata da un versore è: Ln, = Îa “h. . Vediamoquali sano queste situazioni: dalla (5.26) si ha che Ln = D se e solo se

M, = Ma-f = 0. Notiamo che sia L, che M, non cambianosela posizione del polo viene spostata parallelamente al versore @ì: dalle definizioni (5.22) e (5.25), s O + 2, NO || A, cambiano solo le componenti di £ e di M ortogonali ad fî. Quindi L, e M, non dipendono dalla posizione del polo, purché sulla retta per 2 parallela ad fì, che chiameremo “asse î”: per questa ragione Ln e M, vengono chiamati

rispettivamente momento angolare assiale e momento assiale della forza. Quindi per

fig. 9.3

calcolarli non è necessario fare riferimento ad un polo sull’asse fì, ma è sufficiente la posizione dell’asse: supponiamo di voler calcolare Mn; sia P il punto materiale su cui agisce la forza È, se P'è la proiezione di P sull’asse fì, grazie alla ciclicità del prodotto triplo si ha

M,=QPAF.1=PPAfF.f=AnPP.F.

(10.1)

Detta d la lunghezza del segmento P'P e Fi la componente di F' nella direzione del vettore A P'P (che è ortogonale al piano contenente l’asse èì e il segmento P'P), si ha M,=dF;.

(10.2)

ll segno di M, è il segno di Fi: positivo se, PP e F, (che costituiscono una terna ortogonale) formano una terna destrorsa. Lo stesso discorso per Ln, sostituendo F con mi.

Vediamo quindi dalla (10.2) che M, = 0 quando o d = 0 (P è sull’asse A), oppure quando F' ha solo componenti parallele a f e/o a P'P, cioè quandola retta per P

parallela ad F incontral'asse è oppure è parallela a detto asse. Queste sonole situazioni in cui Ln è una costante del moto.

Per esempio, se É è costante (come la forza di gravità mf), si conserva il momento angolare rispetto ad un qualunqueasse paralleto ad F; se F' è una forza armonica(in tre dimensioni) con due costanti elastiche uguali, p.es. 1 = k2 = & # #3 [v. (8.18)], si conserva L.: infatti la retta per P parallela ad F incontra sempre l’asse 2, 0 più semplicemente

M, =%xF,-yF=-k{ay-yr)=0.

(10.3)

Non prendiamo in considerazione il caso in cui sì abbia la conservazione di due com-

ponenti del momento angolare, in quanto questa è una situazione che nonsi vérifica, almeno per sistemi conservativi non vincolati.

92

93

LE. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

Conservazione del momento angolare assiale

10.2 Il pendolo sferico Un punto materiale P si muove sulla superficie di unasfera liscia di raggio / (pendolo sferico). Leforze che agiscono sul punto materiale sonola forza di gravità mg e la reazione &° del vincolo, che essendo normale alla superficie della sfera ha momento nullo rispetto al suo centro: entrambe sono quindi a momento nullo rispetto all'asse verticale passante

peril centro della sfera, che prendiamo come asse £ (diretto verso il basso). Quindi Zi è unacostante del moto. L'equazione del moto è

mî=mj+ È

(10.4)

Tuttavia, siccome îl sistema è conservativo, ha due gradidilibertà (il punto materialé si muove su una superficie) e conosciamo due costanti del inoto (l’energia e L. ), non conviene partire dalla (10.4), che contiene la reazione (in cognita), ma dalle leggi di

conservazione:

3 —mgz= E

(costante);

L.=m(xvy—yv;)= costante

(10.5)

(abbiamo preso l’asse 2 diretto versoil basso). Siccomeil punto materiale si muove su una superficie sferica, conviene usare coordinate

adatte a questo problema (coordinate sferiche): se O è il centro della sfera e Pla posizione del punto materiale, chiamiamo @ l’angolo fra OP'e l’asse 2, e w l'angolo che il piano contenentel’asse = ed il punto P formacon il piano y=0. Allora x=lsen@cosg ° y=lsenéseng O

de\}

cr de

+

z\}

del. ds =1

SI

> *- (5) = &V1-8°/sì

(11.24)

da cui —so < 8 < so e, scelto dr/ds > 0 (s crescenti > x crescenti) e z(—so) =0, . ;

5(3) -] 1 — 32/58 dsl. 30

(11.25)

Calcoliamol’integrale nella (11.25) mediante il cambiamento di variabile P 8 = — So Cos 3’ OL p = 4 OP/di del punto P rispetto al xa

uy(6) = G12(1)2"(1) + c22(1)9/(1) + age (t)2"(t)

riferimento K e la velocità 7} dello stesso puntorispettoal riferimento XK”. Dalla (13.1)

PIMP UFAGIMORS O RIGEZAGLIO] = io +0 +WA0'P.

(13.4)

coincidente con la posizione all’istante t del punto mobile P (v. la (12.10) o la (12.19) l: essa viene detta velocità di trascinamento, e indicata con Tr. Nella (13.4) abbiamo inoltre il termine

PETMV+ OI

(13.5)

che è la velocità del.punto P rispettoal riferimento K' (velocità relativa), vista dal riferimento K: essainfatti rispetto adunosservatore solidale con X dipende dal temposia

3'

—dipenderne (se & # 0), mentre per un osservatore solidale con K°, ij"; sonofissi E e-solo £4,g° +#°“dipendone-(eventualmente) dal tempo: per esempio, se P si muove in ‘120

v.(t) = a13(t)#' (1) + cvs(t)g'() + ass()4' 0.

—

Il termine Vo +0 A O'P la velocità (all'istante t) del punto del riferimento K'

perché anche

(13.6)

fn definitiva!

= Tor +0p+e'B 0 +YDAÎ' +20 AR

perché é',4, #' (ingenerale) dipendono daltempo,sia

:

In pratica, la cosa importante è che mentre le componenti di Up rispetto alla terna

Tplt) = Tor(t) + (0) AO) P() + Tp(6) = Dr (4) + 7p(4)

(13.7)

che costituisce la legge di composizione delle velocità. o. Nel caso particolare & = 0 (il moto di K' rispetto a K è traslatorio), la velocità di trascinamento è la velocità di un qualunque punto di K', e 7b(t) è la stessa funzione (vettoriale) di sia rispetto al riferimento K cheal riferimento K', e, se prendiamo î' = î,j' =], R' =f, anche le componenti sonole stesse: vz(1) = tor(t) +3'(t)

(13.8)

uy(1) = go) +90)

v-(1) = do) +20.

Supponiamo ora chesia dato il moto di un corporigido K" rispetto al riferimento K'1 Sia P un punto di X”. Considerandolo come punto mobile rispetto a XK e K' si ha (omettiamo di evidenziare le dipendenze dat):

(13.7)

Up= io +OA0P+ 06 121

&\ U

€

DIQ

c

LE. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

e, considerandolo come un punto del corpor igido K” in moto rispetto a X''ise 0” è un punto di K” e w' la velocità angolare di K” rispetto a K',

Up=%+0' AOTP, Ponendonella (13.7?) P= 0".

(13.9)

dor = To +0 ADF 4 3,

Up = Vo +GNOP+ Gp - Gu

‘e sostituendo a 9 l’espressione data dall a (13.9) finalmente si ha . Up = Tor +(4+ 0) AOP (Bon = Tx +75») (P fisso in K”) (13.10) : che è il campodi velocità (nel riferime nto K) di un corporigido di velocità angola re + d'. Quindi resta dimostrato qua nto congetturato nel capitolo preceden tecirca la : legge di composizione delle velocità ango lari. Se poi invece P è un punto mobile in K”, “la. (13.10) fornisce la velocità di trasci namento (di XK”rispetto a K) e si ha Up =-d0n + (0+d)AOTP 4g! (P mobilein XK") ip (13.11 e quindi abbiamo anche trovato comes i compongono i cambiamenti di rifer imento

‘Prendiamo ora XK” = K: dalla (13.10), essendo P e O” punti fissi in K = K", segue (@+®) NOP = 0 VP e quindi 9' = —@, cioè: se & è la velocità angolare «di A° rispetto a XK, —@ è la velocità angolare di K rispetto a K' (un risultato non inaspettato). ‘13.4 La formula di Coriolis per le accelerazioni

Trovatala legge di composizione delle velocità, espressa dalla (13.7), passiamo ora a determinare l’accelerazione del punt o P nelriferimento K, noto- al solito — il moto di P rispetto al riferimento &”. Dalla (13.7 )

dp = fo +

do

dep)

+7 di

(13.12)

Il calcolo del seconda terminericalca in parteil calcolo fatto per ricavarecampodel le accelerazioni di un corporigido [v. (12.2 8)], con la differenza che ora O'P non è un vettore solidale a Kperché il punto P si Muove, quindi — comegià fatto in prec edenza [v. (13.4)] — conviene tenere presente che OP = 2'î'+y'j' +2" =

Ar

Aid

.

_

n CELTI. nor san I LanLN+ SAT).

Analogamente, essendo Up=di' +43 +2 #', per l'ultimo termine nella (13.12) si

ha

ATEO pipi I iaia de ) E R +0

Up=dp+ON%p.

Mettendoinsiemetuttii pezzi:

dp = io +6 AP + GA(GAOP) +2 dh+ dp. 122

esta è nota come formula di Coriolis,

pueto tre termini a secondo membrocoincidono con il secondo membro della (12.28): essi quindi dannol'accelerazione di quel punto del riferimento K' coincidente con a

posizione all'istante t del punto mobile P, e prendeil nome di accelerazione dî trasci-

namento, indicata con è. La (13.13) può quindi essereriscritta come dp = dr +20AGp+dp.

che sottratta membro a membro dall a (13.77) dà

dan OP)

Cambiamenti di riferimento

(13.13)

(13.137)

Il termine 2A viene detto accelerazione di Coriolis: esso è presentesolo se d# 0 e se P è in motorispettoal riferimento K'; infine l’ultimo termine è l’accelerazione del punto P rispetto al riferimento K' (accelerazione relativa), vista dal riferimento K

(come già discusso per #£ )._

Esempi

1. Ritroviamocon calcolodiretto la (13.13) nel caso particolare di un punto materiale P che compie un moto circolare uniforme con velocità angolare w' su una piatta-

forma (K') che a sua volta ruota (rispetto a K) con velocità angolare w attorno ad un asse che passa per il centro O dell'orbita di P.

Dalla (3.21) si ha 7h = AOP =@d"A# e dalla (13.7)

dp=DAF+7L=(0+0) AOP

(13.14)

quindila velocità angolare di.P rispetto a K èw+Uw' e perciò la sua accelerazione

è [v. (3.26)]

Tp=-(v+w9)F= (+ + 2F

(13.15)

Dal confronto con la (13.13) si riconosce che i primi due termini sono rispettiva-

mente l’accelerazione di trascinamento e l'accelerazione relativa, mentreil doppio prodotto è l’accelerazione di Coriolis. _ indi 20 = 0

Nel caso particolare in cui w = —w, P è fermorispetto a K, quindi ap = 0, ed è proprio il termine di Coriolis nella (13.13) o nella (13.15) che garantisce la cancellazione delle accelerazioni relativa e di trascinamento.

2. Supponiamo di avere un pendolo al Polo, sospeso in modo da non essere vincolato ad oscillare in un pianofisso rispetto alla Terra (sospensione cardanica). Il moto del pendolo, con le opportune condizioni iniziali, è un moto pianorispetto ad un riferimentoinerziale, e quindiil piano di oscillazione ruota a spetto alla Terra con velocità angolare —w, dove w è la velocità

angolare della Terra, cioè compie un giroin 24 ce (pendolo i

.

erminiamola traiettoria del pendolo rispetto

fig. 13.2

meiDx! (con la terna ?’, 3‘, #') il riferimento inerziale delle stelle fisse e il riferimento solidale alla Terra, Trascurando, nell’approssimazione delle piccole oscillazioni, la componente verticale dei moto, la legge oraria in KI è 2'(t) = Asenwot

°

ed essendo(la velocità angolare di A! è -—w) 123

(13.16)

è’() =fcoswt— fsenwt si ha

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

OP(t) = Asenwot(î coswt — isenwt) > {o = Asenwot coswt y(t) = — Asenwoi sent (13: Se wo = du (per problemi graficiil nost ro pendolo compie solo quattro oscillaziò al giorno) la traiet ettoria è quella riportata nella figura 13.2: viene percorsa ( cioè a fissare un orientam ento su di essa) SI pronta capire co 3. Riprendiamo l’ultimo esem pio del capit olo precedente (moto piano del riferimeni . K'), e supponiamoche in esso il punt o P si muova con legge oraria e'= 21)

y=y(8)

2=20).

I

ei

Allora in K si ha Leggeoraria: 201) = ro(1) + 2'(t) cos (6) — y'(t) sen A(t)

14.

LA DINAMICA NEIRIFERIMENTI NON INERZIALI

14.1 Le forze apparenti

Sia K un riferimento non inerziale nel quale vogliamo determinareil moto di un sistema di punti materiali: per esempio K è la Terra edil sistema è un pendolo o un satellite

artificiale;oppure K è un satellite aleattornoilsistema sono i corpi(nonvincolati io interno:oppureèvagonetrenosta frenandoNotcostituisce(ingenicrale) un problema stabilire — anche stando nel

riferimento non inerziale K - quali sono le forze che agiscono sul sistema: al solito, ‘basta individuare con quali corpi il sistema può interagire (forze di contatto e forze

‘& distanza), proprio come in un riferimento inerziale. Infatti, per definizione le forze ‘sono indipendenti dal riferimento (l'origine delle forze è nell'interazione fra corpi), e

y(t) = yor(t) + 2'(t) sen 0(1) + y/(t) cos 8)

(13.19}5

2(0)= (1).

Velocità (omettiamo le dipendenze da D)

U = CS — 8(2'sen9 +y' cosd) + {&'cos? — y' sen) = + (GAOP) +4

=% 00 + de dl cos? — y' sen) + (&'se dy = ; n9 + y'cosg) = +WA0P), +4

"quindi esse sono (non una di più né una di meno) esattamente quelle che vengono individuate in un qualsivoglia riferimento inerziale. Ma, sappiamo, F = md vale solo .nei riferimenti inerziali, e quindi la conoscenza delle forze agenti sul sistema non è sufficiente per risolvere il problema del moto. Sia K! un riferimentoinerziale, e sia noto ‘il'moto delriferimento K rispetto a K!. Supponiamocheil sistemasia costituito da

un punto materiale; indicando con è! l’accelerazione del punto materiale rispetto a K'1 {è la stessa rispetto a qualsiasi riferimento inerziale), e senza soprascritti le grandezze

(13.20)

relative a X, dalla (13.13') (formula di Coriolis) in cui K! prendeil posto di K, mentre

K quello di K", si ha:

P=mda'=mt,+2m0AT+md

U:s= vi.

(14.1)

(quindi è, e & sono rispettivamente l'accelerazione di trascinamento e la velocità

angolare di K rispetto a K!).

Accelerazione:

00 Oy È } de = =— j yo)-@(r0) - 24 + (#’così — j' seng)

9)

F-md,-2mbnG=mi.

(&'sen0 + 0050)

ay =a +8 x (2-20) - Py - yo), + le 0 sì — j y' + (£'sen0 + j' cost)

La (14.1) può essereriscritta come

send4i’

# 5009)

(921)

a. =. dan Nelle G31 espreS) ssioni p' per a, ‘2 € Qy Sìi ricon ri oscono,nello stesso ordin ine, e, i cinq ci ue termini

(14.2)

Neì passare dalla (14.1) alla (14.2) abbiamo spostato a 1° membro termini che dipendono dal moto del riferimento K rispetto a K! ma - si noti - non dipendono dalla scelta del riferimento inerziale, ed abbiamo lasciato a 2° membro mé che dipende

solo dal moto del punto materiale rispetto a K: nel riferimento X tanto & quanto 7 sono rispettivamente l’accelerazione e la velocità del punto materiale rispetto a K,

viste dal riferimento K, perché siamonelriferimento K. Chiamiamo forze apparenti o forze inerziali (un altro termine usatoè forzefittizie) i

termini che a 1° membrodella (14.2) si sominanoalla “forza reale” F:

Foo È «mà, - 2mOAd

(14.3)

e con questa definizione la (14.2) si scrive

F+fop=ma.

(14.4)

La (14.4) è formalmente identica all'equazione di Newton, quindi possiamo concludere che 124

°

125

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

La dinamicaneiriferimenti non inerziali

l'equazione È = mà è valida in ogn i riferiment o, pur di intendere F come la somm delle forze reali e di quelle apparenti. Cerchiamo intanto di capire cosa abbiamo fatto, e poi cosa - eventualmente - ci ab biamo guadagnato

: dal punto di vista matematico,il passaggio dalla (14.1) alla (14.4 non è banale: nella (14.1) abbiamo semplicement eriscritto m &'(t) come mder(8) 2m GAD) +m alt), quindi abbiamo portato a 1° membroi primi due termini cambia; di segno, considerandoli ora alla stregua delle forze reali F'{F, ©), cioè considerandé non più come delle funzioni del tempo (funzi oni composte tramite la posizionee |; velocità), ma come delle funzioni della posiziorie e della velocità riferimento X oltreché, eventualmente, del tempo (& e o: possono dipendere esplici tamente da t). Ciò è perfettamente lecito, in quanto è facile convincersi che le soluzioni della (14.1) e della (14.4) sono in corrispondenza biunivoca, la corrispondenza essendo data dalla formula (13.2) di trasformazione della legge oraria. Stand

o così le cose, sembra a prima vista che abbia motrovato il mododi complicare u problema disoli

to già di per sé complicato: invece di risolvere diret

tamente la (14.1) in K! e poi tradurreil risultato nel riferi mento X mediante la (13.2), abbiamoscelto.

(con la (14.4) ) di risolvere un altro problema, aggiu ngendo alle forzereali altre forz (quelle apparenti),

e quindi non è affatto ovvio che il problemasia più semplice. Un esempio può servire per chiarire questo punto : X' sia un riferimento che ruota at . torno ad un assefisso con velocità angolare w costante (una giostra), e P sia un punto materiale non soggetto a forze (reali), inizialmente fermo nel riferimento inerziale KI solidale all’asse fisso

di X. Allora P resta fermo in X!, e quindi rispetto a K si muove di moto circolare uniforme con velocità angol are —w. Se invece Vogliamo risolvere direttamente il problema nel riferimento K, senza passare attraverso la determinazione del moto in

K!, dobbiamorisolvere la (14.4) che in quest o caso, presa l'origine nel centro della giostra, si scrive:

mi=mwF-2m0AT.

(14.5)

A 2° membro abbiamosolo forze apparenti: Il primo termine, la massa perl'opposto dell’accelerazione centripeta di trascinamento, viene chiamata forza centrifuga, ed il secondo termine, cioè la massa per l'opposto dell’a ccelerazione di Coriolis, è detta forza di Coriolis. L'equazione (14.5) è risolubile (prova ne sia che conosciamo la soluzione), ma non è proprio banale: se qualcuno si vuole ciment area risolverla, gli consigliamo di riscriverla in coordinate polari, utilizzando le (3.31) e (3.32). Non c'è dubbio chein questo caso la (14.4) costituisce una inutile compli cazione. E allora? Facciamo un altro esempio. Un pendol o è appeso al soffitto di un vagone di un treno che viaggia su un binario rettilineo e orizzontale con accelerazione costante (per esempiosta rallentando). Rispetto ad un riferimento inerzialeil problema è quello di un pendoloiì cui puntodi sospensione si muove orizzontal mente con

legge oraria nota €(£), quella del treno. Questo problema lo abbia mo già discussoalla fine del capitolo 11, e l'equazione del moto è la (11.66), nella quale poniamo uguale a zero il termine di smorzamento: ° °

mò = —mg sen? — mé cos@. (14.6) La derivazione della (11.66) a partire dalla ( 11.62) è semplice ma un po’ laboriosa; 126

vediamo comesi affrontalo stesso problema nel riferimento del treno: oltre alle She forze reali (gravità e tensionedelfilo), dobbiamo considerarela forza Gear ne (il moto deltreno è traslatorio), la cui componente tangentealla malettoria e pendo ° è -mé così, e quindi l'equazione del moto è la (14.6). In questo caso Ì pro) ema È certamente più semplice nel riferimento del treno. Cerchiamo di capirede cs È

ripercorrono i passaggi che dalla (11.62) portano alla (11.66), si capisce È " nol cazione deriva dal fatto che abbiamo un sistema vincolato, in cui il vincolo n° nato di sospensione) è mobile nel riferimento inerziale. Quindi questa volta È co mi me nel riferimento non inerziale è concettualmente più semplice: è vero che

dobbiami

cludere fra le forze anche quella apparente, ma il vincolo è fisso, e questo compens

;

ampiamente la complicazione derivante dalla presenza di una forza apparen e cia at

Vediamo ancora un altro esempio dello stesso tipo: X è una piattaforma che ru aa torno ad un assefisso verticale con w costante. Dentro una scanalatura liscia pra! icala lungo un diametro si può muovere un punto materiale. Anche qui cianodine

colo, che è fermo rispetto alla piattaforma rotante, ma non lo è rispet; o alri rimento inerziale. I moto in XK è un moto sutraiettoria prestabilita e, preso l’asse x lungi scanalatura, l’equazione del moto è

mi=mwr.

(14.7) Si noti che quando il moto è su una traiettoria prestabilita priva di suit Sn

di Coriolis non comparenell'equazione del moto, perché è ortogonalealla velocità, punto materiale, e quindi al vincolo (compare invece nelleequazioidie contengono Teeazioni vincolari). La (14.7) differisce dall’equazione di un oscillatore ar

solo per il segno a secondo membro: mw?x invece di n x. Quindi possiamo im mediatamente determinare la soluzione generale: la soluzione generale del: sa] dell’oscillatore armonico “complessificata”, cioè intesa come,equazione in Cc [v. ( i 2 è una combinazionelineare degli esponenziali complessi e i se sostituiamo w

-w?, cioè w + tiw, otteniamo la soluzione generale della (14.7): 4

(8) = cre! + cge®!

e quindi, a parteil caso in cui ci = 0 {cosa succedein questo caso?), il punto materiale finisce per allontanarsi dall 288€

14.8

(14.8)

d

con velocità (e accelerazione) esponenzialmente crescente. Se vogliamo studiare il problema dal ‘punto di vista del sistema inerziale, conviene usare coordinate polari: dalla (3.32’) si ha che l’equazione del moto è formalmente identica alla (14.7); tuttavia ci possiamo rendere conto cheil problema è concettualmente più complicato, dato che nel riferimentoinerziale l’unica forza che agisce sul punto materiale è la reazione della scanalatura, che quindi deve essere fig. 14.1 responsabile del moto del punto e in particolare della crescita esponenziale della sua energia cinetica. . 0) Infatt. è vero che il vincoloè liscio, e quindi la reazione è normale ad esso,Ma poiché è in moto,la velocità del punto non è ortogonalealla reazione (figura 14.1), e è questa è in grado di fare lavoro sul punto materiale.

127

wa QUr

ta Ma. Pe mas — ML

p2

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale T]_

:14.2 Riferimenti in caduta libera e forze di marea Concludiamola discussione iniziata nel paragrafo preceden te con un ultimo esempio

particolarmentesignificativo.

”

Si consideri il moto di un satellite attorno alla Terra, che non è un riferimentoinerziale

in'Qquafitoha un moto di rivoluzione attorno al Sole. Scrivi amo equazione del moto

del‘satellite nelriferimentoinerziale solidale conil Sole(e le stelle fiss GMnm

GMsm

mia ir A OA la - AOF

(14.9):

dove #; (la funzione incognita) ed ÉÉ(t) (funzione nota) danno la posizione del satellite’ e della Terra rispetto al Sole. Se il satellite (artificiale) è molto vicino alla Terra, possiamo sostituire nell’ultimo termine della (14.9) 7; conf: È 7 ol pe Î màas=— = Mm a _ GMsm » = IST ;

"7

lai

re 00.

(14.10)

Giò che rende complicata la (14.10) è il fatto chele forze dipendonoesplicitamente dal

tempo, a causa del moto della Terra attorno al Sole (È dipende da t).

Vediamoorasiscrivel'equazion del

motodelsatellite nel riferimento (non inerziale)solidale conilcentro della Terra,ein moto traslatorio attornoalSole(ilriferimento, comeillustra la figura 14.2;segue quindi la Terra nel suòmot o'di rivoluzione attorno al Sole, ma non nel suo moto di rotazione): alle forze reali che compaiononella (14.10) dobbiamo aggiungerela forza apparente proporzionaleall’acce lerazionedel riferimento che è l’accelerazione îy della Terra dovuta all’attrazione da parte-delSole:

a au __ My Fop= —mày = Wo) R(t)

. "_

”

A Gar Mr Ms G È (O) (14.11)

che cancella esattamente l’ultimo termine della (14.10). Quindi nelriferimento della Terra

33

(14.12)

dove f= #, — É è il vettore posizionedelsatellite rispetto al centro della Terra, che è

fisso nel riferimento considerato. Da questo esempio si imparano duecose. In primo luogo la (14.12) è molto più semplice della (14.10): in questo caso la semplificazione non deriva dal fatto che vincoli

°

128

‘equivalenza, però, non èesatta: per passaredalla (14.9) alia (14.10) abbiamotrascurato la distanza del satellite dal centro della Terra rispetto alla distanza fra laTerra ed.il Sole, quindi la cancellazione fra la forza reale del Sole e la forza apparente sarebbe rigorosa solo seil satellite si trovasse nel centro delia Terra. Questa forza residua (che

abbiamotrascurato) è dettafforza di

3

Frnarea =

GmMs 3 i

GmMs,. >

“ppt d

‘a

(REF+R)

(14.13)

Le forze di marca sono presenti in qualunqueriferimento in caduta libera. Difatti — per definizione] un riferimento in caduta fibera è un riferimento in moto traslatori

Tcon acceleraziohe uguale a quellach gravitazionali presenti: solo Sui corpi che occupanola posi

Sulla Terra, in caduta libera nel campo gravitazionale del Sole e della Luna,le forze di marea sono responsabili delle maree (di qui il nome).

14.3 Le forzefittizie sulla Terra Pernoi che viviamo sulla Terrail riferimento naturale nonè quello descritto sopra, ma il riferimento solidale con la Terra, e quindi — per quanto visto sopra — rotante con essa rispetto ad un riferimento equivalente ad uno inerziale: quello della figura 14.2. La

velocità angolare è w = 27/86164 & 7.3 x 1075 s_, attornoall’asse terrestre.

in movimento nel riferimento inerziale sono in quiete in

quello non inerziale (qui non ci sono vincoli), ma dal iferimento della Terra è fermo il centro delcampo-diforzaesercitato dalla Terra. Inoltre — e questo è un fatto molto importante - l'attrazione gravitazionale esercitata dal Sole sulsatellite viene cancellata dalla forza apparente: se ci fosse soloil riferimento ma non la Terra, rispetto ad esso il satellite (0 qualunque altro corpo) si muoverebbedi motorettilineo uniforme.

MmmmATAeiientoinerziale.uesta

materialeleTorze di marea sono nulle} Quindi Fequivalenza di un riferimento in caduta libera ad'un Fiferimento inerziale è solo locale, cioè vera solo in prossimità di un punto.

R (O A

x

mi=- GMrm.

Questo perché le forze gravitazionali sonoproporzionali alle masse dei corpi che le su-

biscono, e quindirtutti i corpi (in uno stesso punto) hanno la stessa accelerazione: nel” riferimento in moto traslatorio con questa accelerazione (chiamato riferimento in caduta Ribera) su qualunque corpo la forza apparente — anch'essa proporzionale alla massa del corpo che Ta subisce capcella.laforza gravitazionale. (Così, per esempio,il moto di un corposulla Terra non risente della forza di attrazione da parte del Sole (la posizione di equilibrio di un pendolo quandoil Sole tramonta non è spostata verso Ovestl): è vero chel'accelerazionedelriferimento solidale alla Terra è di solo 0.6cm/s?, ma il suo effetto sarebberivelabile, e maggiore dell’effetto della forza di Coriolis sulla traiettoria di caduta di un grave che discuteremo tra poco. Ancora, in un ascensore.incaduta.libera. (ascensorediEinstein) ognicorpo_si_muove di motorettilineouniforme,ecc.. .

Le forze apparenti sono la forza cen

‘a elaforzadi Coriolis: quest’ultima è diversa

dazero solo sui corpi in motocon velocità non paraliela all'asse terrestre.” ©” Gli effetti più vistosi sono quelli dovuti allaforzadiCoriolis=per esemtipio, nel nostro

emisfero nelle linee ferroviarie che corrono da Nord verso Sud la parte interna del

binario di destra è più usurata di quella del binario di sinistra: la forza di Coriolis che

agisce su un corpo chesi allontana dall'asse terrestre è diretta da Est verso Ovest; nel

fig. 14.2

DL

caso del treno in corsa (verso Sud) deve essere equilibrata dalla reazione del binario. Analogo effetto di usura si osserva sulle rive dei fiumi che corrono lungo i meridiani, mentre semprela forza di Coriolis è responsabile delia deviazione delle correnti marine, 129

La dinamica nei riferimenti non inerziali

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

e deiventi rispetto alla direzione di maggiore diminuzione della pressione atmosferica. ‘* Vediamoora in termini quantitativi alcuni probiemi. 1. Dipendenzadi dalla latitudine. Su un corpo di massa m (fermo) vicinoallasuperficie della

Li mio +mw Rr

send È)

e quindila forza di Coriolis produce un'accelerazione dell'ordine di wu = wy2gk che nel caso di una torre alta 100m

vale » 0.3cm/s?, cioè circa 3 x 107*g, e quindil’effetto è

la fig, 143

certamente molto piccolo: questo fatto giustificherà le ap-

(14.14) ;

i n

2R >

9= fg + w4R3 sen? 9 — 2g0w?Rr sen? @ & go(1 _£ Ra sen? 9) 90 .--

(14.15)

perciò dai poli all'equatore la diminuzione di g dovutaalla rotazione della Terra è di

circa il 3%, minoredi quella dovutaallo schiacciamentodella Terra: infatti la differenza

ARr dei raggi equatoriale e polare è di circa 20km per cuila differenza fra i valori di g ai poli e all’equatore pereffetto dello schiacciamento è

Ag=

GMr

9°n AR

_ GM: g6Mr ARr

A

°° RR da

ha _gAft s66x10-? Rr

.

(14.16)

Lo stesso problema può essere affrontato da un riferimento inerziale. Consideriamo un pendolo di massa m in equilibrio sulla Terra: —mg è la tensione 7 cheilfilo esercita sulla massa. Rispetto al riferimento inerziale, m si muove di moto circolare uniforme

con velocità angolare w su unatraiettoria di raggio Ar sen @ nel piano ortogonaleall'asse terrestre, quindi si ha zi

mà =-muw*Rrsendé = mio +7

mg=-T7T=mjo+mw?Rrsendé

che coincide conla (14.14). 130

(14.20)

dovela forza centrifuga è contenuta in mj [v. (14.14)]. Poiché - come abbiamovisto

- l'effetto della forza di Coriolis è molto piccolorispetto a quello di mg,risolviamo la si (14.20) sostituendo a 7 a secondo membrola funzione nota del tempo U(t) = gt che Coriolis. di forza dovutaalla 7) (su correzione la ottiene trascurando y Preso l’assez nella direzionedi g conl'originenella posizioneiniziale del grave, l’asse nella e 8) cos —w wsen@, (0, = & ha verso Norde l’asse x verso Ovest (figura 14.4), si suddetta approssimazione la (14.20) si scrive

(14.21)

$=0

cioè una variazione relativa di circa 3 x 1074 per ogni mille metri didislivello). Inoltre, la direzione di g differisce da quella di o di un angolo é (figura 14.3) chesi ottiene facilmente dal teorema dei seni: send così w°Rr TE = .18 FRsend 9 > dè & I sen 201 20 1.7 x 1075 1075 sen 29. 20 (14.18)

>

(L'asse 2 esce dal foglio) fig. 14.4

mi=mj-2m0AT

ti.

(417)

.

prossimazioni che faremo nella trattazione del problema. . . L'equazione del moto per il grave è

[ $ = —ZQugtsen@

(in modo analogosi ottiene la variazione di g con l'altezza A:

g(h) = 9(0) (i _ 25) Rr

Su un grave in cadutalibera agiscela forza di Coriolis: essa

è ortogonale alla velocità del grave e, poiché il grave si avvicina all’asse terrestre, è diretta verso Est e quindi provoca miamo l'entità dell'effetto: se il grave cade da una torre di altezza A, la velocità massima del grave è circa v2gh,

o

conto chew?Rr/90 23.5 x 1073 «1,

da cui, tene

Deviazione versooriente della traiettoria di caduta di un grave.

una deviazionedella traiettoria nella stessa direzione. Sti-

Terr i attrazione mie da parte della‘Terra, diretta verso il centroO, e la forzacentrifuga mw®R, sei e,

dove èèilversore che ha iadi la normale terrestre passante per la posizione P del corpoe 9 è l'afigolo fra.il vettore OP l’asseterrestre, cioè la colatitudine (figura 14.3).Il risultante di queste due fotze è -per-definizione.mg: 22lasciato a muoversicon accelerazione Tdata da libero,Iilcorpoinizia COTpO Iuzia $ €

2.

(14.19)

i=g.

Dalla prima delle (14.21) si ottiene 1

s(t) = quat? sen?

(14.22)

e dalla terza, detto 7 l’istante in cui il grave tocca terra, t= v/2h/9, e quindi

.

x() = 369 sen? (3)

3/2

#2cm

per h = 100m e @ = 1/2 (cioè all’equatore).

(verso Est)

.

(14.23) IA

sup Vediamo comesì prospetta il problemain un riferimento inerziale. Per semplicità

poniamodi essereall'equatore. Il grave parte da un'altezza f con velocità orizzontale di ©(Rr + h) e, nel campo gravitazionale della Terra, descrive una traiettoria ellittica e determinata, venire può dell’ellisse L'equazione l’apogeo. è iziale posizionein la cui terrestre. può essere determinata anchel'intersezione della traiettoria con la superficie

la Per calcolare la posizione del punto di impatto con la Terra rispetto al puntoin cui occorre Terra, la incontra grave del partenza di punto dal Terra verticale condottasulla determinare di quanto è ruotata la Terra nel tempo impiegato dal grave nella caduta, ellittica, maquesto richiede la conoscenza della legge oraria del grave sulla traiettoria

che non conosciamo. Opportune approssimazioni permetterebbero di valutare que131

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

La dinamica ueiriferimenti non inerziali

sto tempo, ma sia la giustificazione di queste approssimazionisia tutta la trattazione, risultano più complesse della trattazione del problema nel riferime nto della Terra.

3.

Il pendolo di Foucault.

Nell'esempio 2 del precedente capitolo abbiamo visto come appare sulla Terra la traiettoria di un pendolo in oscillazione al Polo: nel riferimento della Terra la rotazione

del piano di oscillazione è dovuta alla forza di Coriolis. Vediamo ora come è possibile determinareil moto del piano dioscillazione nel riferimento della Terra, se il pendolo nonsi trova al Polo, ma în in un punto della Terra avente colatitudine 0. Le forze (reali e apparenti) agenti sulla massa m sono

F=mj-2m0nT+F.

(14.24)

Non vogliamo determinarela legge oraria del pendolo, masolo il moto del suo piano di oscillazione: se prendiamo lassé'# verticale (come nella figura 14.4) e passante peril punto di sospensione del pendolo, la componente = del momento angolare in coordinate cilindriche (3.30) e (3.31) si scrive.

L. = m(euy — yvs) = ma +49)p

(14.25)

Pergli scopi di questo problema trascuriamosia la resistenza, dell’aria, sia il tempo di

reazionedella scimmia. Il problemadelcacciatore è quello di decidere in quale direzione deve puntareil fucile. Questo è un problemache con fe sole nozioni di cinematica che si

imparanoall’inizio del corso può essere facilmente risolto. Ma è ancora più semplice, e

sopratutto più istruttivo, ragionare comesegue:il riferimento in caduta libera solidaie alla scimmia (dopo che si è staccata dall'albero) è equivalente ad un sistema inerziale; in esso la scimmia è fermaedil proiettile sì muove di motorettilineo uniforme. Quindi,

siccome nel momento in cui il proiettile esce dalla canna anche il fucile è fermo in detto riferimento, il proiettile colpirà la scimmia se il cacciatore ha puntato il fucile sulla scimmia attaccata all'albero (è comese proiettile e scimmia si'trovassero dentro l'ascensore di Einstein). 14.4 Equivalenzafraforzegravitazionali e forze di inerzia: . L'interazione gravitazionale fra due corpi è — comela legge di Coulomb che descrive l'interazione fra due cariche elettriche - inversamente proporzionale al quadrato della distanza, e in analogia con essa può essere scritta come

pad

e siccomela velocità di rotazione del piano dioscillazione è proprio data da 4, conviene

scrivere la 2* equazione cardinaleper La. Sia mg che 7 danno contributo nullo alla

dI.

È

Il

componente z del momento della forza F data dalla (14.24) perché 7 è parallel o all’asse z, e Tha braccio nullo (rispettoall'asse 2). Allora, presi gli assi comein figura 14.4,

=

dr? di d

.

(14.29)

dove gf può essere chiamata “carica gravitazionale” del corpo. Giò che distingue la

legge di Coulomb da quella di Newton è il fatto che mentre un corpo può avere una carica elettrica qualsiasi, esso ha sempre una data carica gravitazionale: Newton ha

concluso su basi osservative (i satelliti di Giove si muovono comese îl Sole non ci fosse) che la carica gravitazionale di ogni corpo è proporzionale alla sua massa, cioè

(PA FP). = . F posizione uguali a quelle del CM. Una conseguenzadella (15.12) è la seguente:

Se il centro di massa è fermo (d =0), ifMA è indipendente dal polo: Îa = Lo

vo:

il riferimento in moto traslatorio (rispetto a K) con la velocità del centro di mas la definizione di riferimento del CM è relativa al laboratorio, non è una definizione! 5° Teorema del centro di massa:

made ; quindi

Il momento angolarerispetto al centro di massà

9

Hi

al

(15.13):

CM rispetto”:al CM il vettore nullo), quindi la (15.13) si semplifica:

È

(15.14)

a

ed il secondo membroè proprio il MA nelriferimento del CM. Inoltre, poiché nei riferimento del CMil CM è fermo, ii MA è — in detto riferimento

indipendente dal polo. m

140

Z

a

a ma per la deffnizione di centro di massa {v. (6.5)]) TmaGPa =0 (la posizione del-

È

Fa

a

@

È

x

a

(1510)

= 0 Vî(per definizione) ma,di conImoltre, siccome nel rifefimento del CM nonsolo @ ante di tuttele forze (esterne) reali seguenza, anche Y7 FS =0, dove Da FS è il risult x * 4

a

o = YO maGP, NTa

-

e

>

——

n

= (FmalPh) i+ DER FE = VEN

°

moGP,) ATa + Y maGP, Ata

poLR

È

n

a

@

(15.15)

Ma = YO GPa A Fa #Y IGP A (mad + Fo)

Dimostrazione: sia Valla velocità del CM. Nel riferimento del CMi punti P, hannò

La =) fiaGPa A da = YO maGP, N (0g + da)

d

no le forze FÉ = Dimostrazione: Nel riferimento del'CM sui punti Pa agisco

è uguale al momento angolarenel riferimento del centro di massa. i {Si noti che nel riferimento del laboratorio e in quello del CM i punti hannovelocità diverse, per cui a priorii due MA potrebberoesserediversi.) velocità I = a — Fg) quindi

FELIE

inerziale). (il riferimento del CM in generale non è un riferimento

assoluta. Nel riferimento del CM — per definizione — do =0 > Q=0.

d

_GA

MR = QOGAF"+ MG . È e quindi : nte è indipendente dal polo. Seil risultante delle forze esterne è nullo il moménto risulta Il-inomentorisultante rispetto al centro di 6° Teorema del centro di massa: ; 7iferi 7 ante nel iferi mento del centro di massa. massa èè uguale al momentorisult mo prendete dobbia CM del ento riferim nel fatto nel ista Ladifferenza fra i due mpment orl'accelerazione del _ La deè in considerazione anchele forze apparenti —mMada, dove

Il MArispetto al CM, cioè avente compolo il CM, gode di un’importante proprietà. Nelsistemadiriferimento del laboratorio K definiamo riferimento del centro di massà

Abbiamoil seguente

È

del risultante” (FF), ma dalla (15.8?) si ha

Abbiamo chiamato MA “del centro di massa”il termine NG AÙ, cioè il il MA che

ni ante è, come il momento angolare, ed apparenti, in detto riferimento il momento risult

indipendente dalpolo. n

In virtù di quanto sopra,la (15.7) con = G:

ds_ ge©

.

d

(15.17) .

nel riferimento del laboratorio può indifferentemente essere interpretata come equazione {polo G), o in quello del centro di massa (polo arbitrario). ialmente già contenuto nella Un alfro fatto che merita attenzione, anche se sostanz dimostrazione della (15.16), è il seguente: 141

Le equazioni della dinamica dei sistemi

L.E. Picasso: Lezioni dî Fisica Generale 1 7 Teorema del centro di massa: Le forze costanti proporzionali alle masse m dei punti materiali P., hanno momento nullo rispetto al centro di massa. I casi più rilevanti che soddisfano le ipotesi del teorema sono Îa forza di gravità: Fa= Trad, e le forze apparenti nel caso di moto traslatorio del riferimento: FP = —maà.

In questi casi particolari èvero che il momentorisultante è uguale al momento deb risultante”: Ma = NG FS. Ai soli effetti della 1° e della 2% equazione cardinale “è come se FP fosse applicata al CM” (ma nonlo è). ,Ù

Ti teorema non è vero per le forze apparenti comeÌa forza centrifuga 6 quella di Corioli in quanto non sono costanti (cioè indipendenti dalla posizione), e/neppure per le forzé

gravitazionali “su largascala”. È i La dimostrazione.segue immediatamente dall’identità Y mgGP. = 0 già più volte utilizzata. . È 15.4 Conservazione del momento angolare

Se è nullo il momento delle forze esterne rispetto ad un polo 9 fisso, oppureconvelocità sempre parallela a quella: del centro di massa (p.es. f = G), allora dalla (15.7) segué che il momento angolare La è una, costante del moto. Per esempio, questo accade se

il sistema è isolato, cioè se non è soggetto a forze esterne; in questo caso si conserva sia Îl MArispetto a qualsiasi polo (del tipo soprà specificato) che la quantità di moto ©

totale Q: per la (15.8), Ta conservazione di We di L rispetto ad un polo implicala :

conservazione di L rispetto a qualsiasi polo. *

Ovviamente non è necessario cheil sistema-sia isolato perché si abbia la conservazione del momento angolare: per esempio, se siamo nelle ipotesi del 7° Teorema del centro

di massa, si conserva il MA rispetto al centro di massa. Un'altra situazionein cui si ha la conservazione del MA rispetto ad ui polo che non è il CMè illustrata dal seguente Esempio

È

Una ruota omogenea sottile.fotola strisciando su un piano orizzontale scabro. Le forze (esterne) che agistono sul sistema sono la reazione del piano e le fotze di gravità che agiscono sui vari punti materialidi cui è costituita la ruota. La componente normile al piano della reazione e le

forze di gravità harino risultante nullo perché sono

le uniche forze vefticali ed il CM sì muoveorizzon-

,

ento angolare del CM” e del momento Il MAdella ruota è la somma del “mom 0, quindi nessuno dei due si consenta # angolare intrinseco: se Re # 0, dLSdt ce sì verificherà uDÒ scambio di Mi a separatamente, per cuì duranteil moto oa subi vede si OM): riferimento del del CM ed il moto attorno al CM(cioè nel oCe.

are w dellaruota, infatti nel riferiment IS è proporzionale alla velocità angol rme) coni clocità

cireolare (non unifo CM ogni punto della ruota si muove di moto della ruo è la distanza del punto P, dal centro angolare w, allora — se ry

È&

Is= (Tumori)

quindi per effetto dell’attrito variano s

I° =-Mrvî+L3= costante

1S, sia w, però in modo gole che Ldato

sia ferma, oppure in modo cioè tali che L = 0, in modotale che alla fine E torniindietro. Qi risultante delle fore rva sì conse Se invece il piano è liscio E, = 0, quindi si ‘muove di noe re na ° , ruota della o esterne è nullo) per cuiil CM,cioè il centr rispe il questo caso si ‘conserva uniforme; siccome Lo si conserva (in

ruota resta costante. qualsiasi polo) anchela velocità angolare della e . . iare. Supponiamo ora che la ruota rotoli senzastrisc i quind (G o static ito diattr atta sitr Noasappiamo se Ri #40 0 R.=0 in quanto tà veloci ha a contatto con il piano KR è incognita), perché il punto della ruota nulla.

.

Grazie alla (12.27), la (15.18) diventa

”

Mr w+LS= costante

(15.20)

rzionali, dalla (15.20) segue dee quindi, siccomeper la (15.19) LS e w sono propo (15-20) sono separatamente costanti resta costante, e pertanto i due termini nella o uniforme, perciò Pe= Ri di Qui anni CM si muove di motorettiline o, una volta instaurato, non richi ament rotol pianò orizzontale il moto di puro la presenza dell'attrito statico.

®

L'asso e eace dal foglio

(15.18)

dove r è il raggio della, ruota. 142

d 5.19 )

essere lanciata con vs eu con Die dalla (15.18) resta costante: la ruota può

talmente: hf Mg=0. Inoltre È, ha momento fig. 15.1 nullo rispetto al CM (braccio nullo), e per il. 7° TCM così pure ie forze di gravità, quindi:le forze verticali sono (per la 15.14) a momento nullo rispetto ad ogni polo. Lacomponente tangente al piano della reazione è a momento nullo (perché il braccio è nullo) rispetto ad ogni punto 9 sulla retta del moto del punto di contatto, ruota-piano (figura 15.1): quindìsì conserva il MA della ruota rispetto a 0; preridiamo comeasse 7 detta retta, e l’asse parallelo all’asse della ruota; l’unica componente del MArilevante al problema è la componente z: /

.

143

NO 16.

LA DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

La dinamica del corpo rigido

posizione del corpo. . Noi abbiamo motivato l'introduzione del tensore di inerzia come relazione fra la velo-

16.1 Il momento angolare di un corpo rigido

cità angolare e il momento angolare del corpo, ed è in questo contesto che esso verrà

Calcoliamo il MA di un corpo rigido rispetto al CMo, dato che la stessa cosa, nel riferimento del CM:la (15.12) ci permette poi di calcolar e il MA rispetto a qualsias

precisamentel'applicazione T° (la matrice If dipende dalla base), è una proprietàfi-

polo. Le velocità dei vari punti del corpo sono date dalla (12.10) in cui prendiamo:

Q =G e, poiché siamonel riferimento del CM, To = ta = 0. Quindi

0 La =) maGP, MG NGPa) = YO ma(GP? a - (GP, -33GA,.) al

(161)

3

IS= DL ma(ru - (DO 20505)201) ai

3

p=i

N

= x YO male?2 dij — La ilaj)wj;.

(16.2)

jjzle=l

Definiamo tensore d'inerzia l'applicazione lineare 7°: Î = I°(G) definita dalla (16.1), la cui mairice (rispetto alla terna scelta) è N

IE YO male di — ta ia,)

(16.3)

a=i

cioè = Y ma

a

(Va +22) Uata

Zata

—salla

—taza

Zola

(aL +yt)

(+28)

Quindi, grazie alla (16.3), la (16.2) si scrive

—yaza

(16.3°)

(16.4)

31

Proprietà del tensore d'inerzia: poiché la matrice bi: è simmetrica, è diagonalizzabile

ei suoi autovalori 7; sono reali. Si possono presentarei tre casi. i) Gli autovalori 4, f, 3 sono tuiti distinti; a ciascuno diessi corrispondono gli autovettori rispettivamente multipli di tre versori È, i, È tra loro ortogonali. Gli assi aventi le direzioni dei versori £, #, È e passanti per G sono assì solidali al corpo: difatti

nella (16.2) tutti i vettori 7, sono vettori solidali, e se la terna scelta per definire la matrice IS è solidale al corpo rigido, ogni elemento di matrice Ds dipende solo da prodottiscalari fra vettori solidali (p.es. î/ «fa); € quindi non dipende dal moto o dalla 144

che i momenti principali d’inerzia sono tutti non negativi. Il caso appena considerato (autovalori distinti) è detto caso asimmetrica. ii) Un autovalore ha molteplicità 2 {si dite anche che due autovalori coincidono: per esempio Ii = Ja # 73). Questo è detto caso simmetrico. Vale tutto quanto detto a proposito del caso asimmetrico, con l’unica differenza che tutti gli autovettori corrispondenti all’autovalore' degenere (degenere = molteplicità > di individuano assi principali d’inerzia fra loro equivalenti, cioè con momenti principali d' inerzia uguali: una terna (ortogonale) di assi principali d'inerzia è costituita dall'asse < (che è univoca mente determinato), mentré gli assi £ ed n sono dueassi arbitrari ortogonali (passanti per G}), nel piano degli autovettori corrispandenti all’autovalore degenere. iii) Il tensore d’inerzia ha unsolo autovalore di molteplicità 3 (1 = 4 = I3): caso sferico. In questo caso IS è multiplo dell'identità e ogni asse centrale (cioè passante per il centro di massa) è asse principale d’inerzia.

La posizione rispetto al corpo degli assi (principali) d’inerzia dipende dalle masse che lo costituiscono e dalle loro posizioni ed è anche comprensibile cheil verificarsi del caso simmetrico o di quello sferico è legato a particolari simmetrie del corpo: un solido di rotazione omogeneo(cilindro, cono, elissoide. ..) ricade nel caso simmetrico, e l'asse dî simmetria è l’asse principale d’inerzia corrispondenteall’autovalore non degenere; una sfera (omogenea), una coronasferica o anche un cubo ricadono nel caso sferico (la teoria dei gruppiapplicata al gruppo delle isometrie dello spazio che sono simmetrie del corpo

è lo strumento matematico per la determinazione delle molteplicità degli autovalori del tensore d'inerzia).

3

Iî=N fw,

sica intrinseca al corpo stesso (come la sua massao il suo volume), ed ha senso parlare di tensore di inerzia indipendentementedalfatto che il corpo sia ono in moto. Gli assi (aventi le direzioni) È, îî, È sono detti assi principali d'inerzia del corpo, e

gli autovalori 11, Ir, I} sono detti momenti principali d'inerzia. Vedremo più avanti

e in termini di componenti (vuoiris petto alla terna î, j, & comune al riferimento del. laboratorio e del CM,o a unateri na solidale al corpo rigido), posto GP, = © = {%al:ta2, tag) e ricordando che [v. (29)] we Dy; Basta,

N

sempreutilizzato; tuttavia, segue da quanto appena visto che il tensore d inerzia, più

Dalla (16.4) segue che Z4 e @ sono paralleli fra di loro se e solo se a ha la direzione di

un asse principale d’inerzia, cioè se è autovettore del tensore di inerzia.

.

Nel caso di moto piano del corpo rigido, e in particolare dei moto con assefisso, il vettore velocità angolare mantiene inalterata la sua direzione: &(1) = (1) con f versore indipendente dal tempo. In questi casi w(f) è determinato dalla componente lungo fì della 2% equazione cardinale, cioè dal MA assiale e dal momento assiale delle forze:

di _

di ed essendo Ly = L= Y, Lini, dalle (16.3) e (16.4) abbiamo (J=w@) 145

(16.5)

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

La dinamica del corpo rigido

Li=lw; L=) nlSn;=Y mali € 8) = YO mad? dove dy è la distanza del punto P, dall’asse parallelo a è passante per G (asse è), #

If è detto momento d'inerzia rispetto all'asse , ed è chiaramente positivo (sarebbi nullo solo se tutte le masse fossero sull'assefà). I momentiprincipali d’inerzia sono i momentid’inerzia rispetto agli assi É, , È; infai

x GE=h& > E = VG =1))&&=1 i

if

i

quindi dalla (16.6) segue che sono non negativi (comeanticipato). Riportiamo qui di seguito i valori dei momentiprincipali d'inerzia di alcuni corpi orti genei simmetrici, rispetto al loro asse di simmetria:

Anello o cilindro cavo di raggio r, spessore trascurabile

e altezza arbitraria:

IS = mr

Cilindro pieno di raggio &:

(16

I° = mr?

(16.8 Sfera piena di raggio r: I=èmr® (16.10 Poichéil tensore d’inerzia è additivo, è possibile da quelli dati sopra, calcolare p.es i momenti (principali) d’inerzia di una corona sferica o di un cilindro cavo di raggi

interno ed esterno Ri ed Ra,

Abbiamo ricavato l’espressione del tensore di inerzia relativo al CM (tensore central

d'inerzia); in modo analogoè possibile calcolareil tensore di inerzia rispetto a qualsias altro punto f del corpo: esso è importante in quanto fornisce la relazione fra velocit: angolare ed il momento angolare rispetto ad un polo diverso dal CM edè utile nei cas in cui, per esempio, il corpo ruota attorno ad un asse fisso che non passa per il CM. {moto rotatorio con asse fisso) oppure ha un puntofisso che non coincide con G (moto. rotatorio con punto fisso) , o più în generale se © è un puntoistantaneamente fermo: del corpo (e che quindi appartiene all’asse istantaneo di rotazione).

Posto iP, = #{ ed essendo da = 0 siha N

.

tu

a= YO matt A(GAFZ =Yomalri0- (FL:7) a=i

a

.

(16.11)?

e quindi 3

L=) $%; dl

.

(Fano = 0)

(16.12)

e quindi dalla (15.12) e la (16.4)

(16.15)

IÎ = IG + M(d° &; — did;)

dove il secondo termine a 2° membro della (16.15) coincide con il tensore d'inerzia rispetto al punto 2 di un punto materiale di massa M posto in G. La (16.15), nota come teorema di Huygens — Steiner, può essere formulata come 8° Teorema del centro di massa: Il tensore d'inerzia relativo ad un punto a è uguale alla somma del tensore d'inerzia “del centro di massa” e del tensore d'inerzia relativo al centro di massa.

Dalla (16.15) segue in particolare che il momentod’inerzia rispetto ad un asse fì passante per fl è dato da

(16.16)

Md I0=IC+ nin

dove d, è la distanzafra l’asse per 0 e quello ad esso parallelo per G e similmente alla i (16.6) si ha

I8=1"0 (7a.=V

= rn = dad ij

dove di è la distanza del punto P, dall'asse

@

N

I È) moledg ai) a=l

Larelazione fra il tensore d’inerzia relativo al punto 2 e quello relativo al CM, posto NG = d, si può ottenere o direttamente dalla (16.13) (Fa=d+fa, La mala =0), oppure tramite la (15.12): 146

(16.17)

passante per O

un asse principale d’inerzia relativo a G, l’asse per 92 ad esso parallelo è asse principale

‘ d’inerzia relativo a ©; i corrispondenti momenti d'inerzia sonolegati dalla (16.16). Di conseguenza se 2 appartiene ad un asse principale d'inerzia relativo aG, esso si trova contemporaneamente nei piani ortogonali a ciascuno degli altri due assi principa uo

quindi gli assi principali relativi a G e a © sono paralleli: conformemente alla (. 6. il momento d’inerzia relativo all'asse comune (quiello per G e 9) è lo stesso per i due tensori d'inerzia, mentregli altri differiscono per Mdî. Esempio

Lasolita ruota rotola senza strisciare lungo un pianoinclinato (inclinazione d). Anche in questo caso l’unica componente del MA rilevante al problema è quelle parallela all’asse della ruota (asse 2). La 2° equazione cardinale rispetto al (che è il centro della ruota) è

(16.18)

G

(16.13)

.

Gli autovettoridi BD sono in generalediversi da quelli di 16; tuttavia è facile dimostrare; utilizzando la basein cui IG è diagonale,chese 2 si trova nel piano per G ortogonale a

di =I°w=rR

dove def

(16.14)

nand=MIn%=Minwnd=M(&6-(d-0)d)

a

if

dove IS è il momento d’inerzia della ruota rispetto

al suo asse: pet la (16.9) IS = 3Mr?. Sinoti che

nello scrivere la (16.18) abbiamo usatoil fatto che IS è indipendente dal tempo, perché [v. la (16.6)] è il momentodiinerzia rispetto ad un asse solidale al corpo(le distanze dei punti P, da un asse solidale 147

i E fig. 16.1

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

La dinamica del corpo rigido

sono ovviamente costanti). Però la (16.18) non è sufficiente a risolvere il probleni perché contiene la reazione vincolare R; incognita. A questo punto si scrive

ancl la 1° equazione cardinale, Oppure sisceglie il polo — se possibile -- in modotale chi la reazio ne vincolare non intervenga nell’equazione del moto: in questo

caso basi scegliere comepolo il punto © di contatto fra la ruota e il piano inclinato: è vero che O è ad ogniistante un punto fermo del corpo (7a... = 0), e ciò ci consenté di utilizzare la (16.17), ma questo polo non fisso (nelle (15.6) e (15.7) #n è velocità della posizione del polo, e non di un punto del corpo) ma(per

fortuna) sua velocità è parallela a quella del CM, e quindi possiamo usare la (15.7).

Quindi, per la (15.7), la (16.16) e la (16.17) si ha dI =1°%%= -Mgrsend di

1° = 104 Mr? = Tre.

(16.19

Anche in questo caso il momento d’inerzia I° » anches e calcolato rispetto ad asse

non solidale, è costante nel tempo perché è fissa la sua distanza da un as& centrale: se la ruota non fosse omogenea, ciò non sàrebbe vero (incontrererti. questa situazione in un esempio che discuteremo nel capitolo 18).

Dalla (16.19) si ottiene l'accelerazione angolare e quella del CM:

d=zrsend;

af = or = igseny.

o

(16.20) A questo punto possiamoutilizzare la (16.18) (oppii re la 1° equazione cardinale per determinare R,: R= — jMgsen9

(16.21

quindi la forza d'attrito (statico) è sempre dirett a verso l’alto, sia che ia ruota

stia scendendo o salendo lungoil piano inclina to, e ciò rende conto del fatto che l'acce

lerazione della ruota è minore di quella di un corpo che scivola lungo un pianò inclinato (di uguale inclinazione) privo di attrito . Perché il moto della ruota possa avvenire senza strisc iamento è necessario chelai (7.21) sia soddisfatta, cioè

Hs 2 grano.

(16.22)

Va notatoche sia in questo esempio, sia in quello della ruota sul piano orizzontale, l'ipotesi che si tratti di una ruota sottile non è necessari a: abbiamo fatto questa

ipotesi solo per semplificare la discussione. In effetti, siccome abbiamo usato la 22

equazione cardinale in formaassiale, basta sostituire al polo G nella (16.18) l’asse della ruota e al polo O nella (16.19) la retta di contatto fra la ruota ed il piano. Nella (16.18) f è il risultante delle componenti tangenzi ali della reazione del piano,distribuite lungola retta di contatto fra la ruota ed il piano: siccome tutte

queste componenti hanno braccio r rispetto all'asse della ruota, il loro momento assiale risultante è il momento del risultante, cioè r Ri. Anche la discussione a

proposito del moto del polo {2 può essere riformulata in termini di moto delPasse dei momentirispetto all’asse della ruota. 148

16.2 Statica e dinamica del corpo rigido

, a Siccome un corpo rigido ha sei gradi di libertà, è presumibile (ed è vero) che n e 2° equazione cardinale siano sufficienti, oltreché necessarie, per determinarne il moTo: Quindi, poiché l’equilibrio è un caso particolare di moto, condizione necessaria pe È una configurazione sia di equilibrio è l'annullamento del risultante e del momeni 0 di

sultante (non è necessario specificare il polo} delle forze esterne. La condizioneè anche

sufficiente se il corpo si trova in detta configurazione con atto di moto nu lo, cioè da = 0; w = 0. La configurazioneè di equilibrio stabile se, in un intorno di dettacon figurazione, risultante e momentorisultante sono tali da mantenere il corpo di e to

intorno. La discussione ricalca quella fatia a suo tempoper il punto materiale: il mo; di un punto materiale è completamente determinato dalle forze agenti su di co e i le condizioniiniziali, le posizioni di equilibrio sono quelle in cui la forzasî annulla ...; la differenza sta nel fatto che nel caso di un corporigido dobbiamo fare riferimento non solo alle forze ma anche al loro momento. In particolare, così come due forze guai e

opposte agenti su uno stesso punto materiale sono equivalenti ad unaforza nulla, cn

sistema di forze agenti su un corporigido harisultante e momento risultante ca] i a zero, esso è equivalente ad un sistema di forze identicamente nulle. Questo sis vatoè vero per un corpo rigido ma non peri corpireali: due forze uguali ed opposteed v la stessaretta di applicazione, agenti agli estremi di una sbarra sono ignorabili solo se

è trascurabile la compressione o l'allungamento che esse provocano. . . La schematizzazione di corpo rigido comporta delle limitazioni che, se ignorate in quanto non sussistenti per-i corpi reali, possono metterein crisi il concetto che con-

dizioni ben determinate debbano sempre produrre un ben determinato effetto (non unicità della soluzione). Il caso tipico per chiarire quanto sopra è quello di una trave su tre appoggi (anch'essirigidi), in cui ci chiediamo quali re TT azioni esercitano i tre appoggi all'equilibrio. Consideriamo primail caso di una trave su due appoggi: Fisultante e mofig. 16.2 mentorisultante di tutte le forze (reazioni e forza peso, equi-

.

.

valente alla forza M}$ applicata al centro di massa) devono essere nulli 9, equivalentemente, devono essere nulli i momenti rispetto alle due rette di appoggio:

Mgzx, + Faro - 2) =0

Mgxr.+Fi(c1—2)=0

>

F=Mg

ca Ta — TI

i

B=-Mg

ZI tao

(16.29)

dove x1 e 42 sono le ascisse dei punti di appoggio rispetto al CM (incidentalmente, dalla (16.23) risulta che, dovendo essere F} > 0, F: = 0,gli appoggi devonostar parti opposte rispetto al CM). . _ co.

Torniamoal caso dei tre appoggi(figura 16.2). Ora le incognite sonotre, ma le cquazioni indipendenti che possiamo scrivere sono solo due (si ricordi la discussione a propo ° della 2° equazione cardinale rispetto a poli diversi), quindi si tratta di un problem: «indeterminato (la soluzione non è unica). Questa indeterminatezza è dovuta alla scheil Tie . igi fis matizzazione della trave come corpo rigido: non èè fisicamente concepibile l inserzione 149

La dinamica del corpo rigido

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1 di un terzo appoggio esattamente allineato con gli altri due. Una trave reale è di

formabile ed è possibile che tutti e tre gli appoggi la sostengano, ma le reazionidi esplicano sono determinabili solo se si conoscono le caratteristiche di fiessibilità dell trave. Problemi analoghi si incontrano nella determinazionedelle reazioni vincolari né caso di un solido in moto. Torniamo al problema dinamico. Ogni vincolo riduce il numero di gradidi libertà,i comporta la presenza di reazioni vincolari e quindi in generale il numero di equaziò; necessarie non diminuisce, come abbiamogià visto per il punto materiale. Ma, semp in analogia con il caso del punto materiale su traiettoria liscia prestabilita, se i vinci

sonoprivi di attrito il moto del corporigido è determinato da un numerodi equazi pari al numerodi gradidi libertà, le rimanenti equazioni essendorilevanti, una volti risolto ii problema del moto, per la determinazione delle reazioni vincolari. È Studieremo soltanto i casi più semplici di moto di un corporigido, inziando dal cas del Solido con asse fisso privo di attrito Un solido con un assefisso è un sistema con un solo grado di libertà: per individarne la posizione attorno all’asse fisso f prenderemo l’angolo y fra due piani contenentil'asse fi, uno solidale conil corpo rigido e i’altro fisso nel riferimento del laboratorio. Secondo la consueta convenzione, l'angolo 4 è misurato in senso antiorario rispetto all’asse orientato fà. I modi per realizzare un

al corpo mediante cuscinetti a sfere solidali al corpo, ecc. In ogni

8 ig. 16.3

caso, in pratica, si cerca di rendere trascurabili gli attriti che altrimenti finirebbero per: logorare irrimediabilmente il vincolo, per cui li supporremo assenti. In questa ipotesi; le reazioni che il vincolo esercita sul corpo sono perpendicolari alla superficie di con-

tatto fra vincolo e corpo(figura 16.3), quindi — dovendo questa essere una superficie di rotazione attorno ad fè — esse sono a momento assiale nullo rispetto ad à. Preso allor îè come asse dei momenti, l'equazione del moto è : dLn _

dt

Mie

(16.24)

dove M{°®è il momento assiale delle sole forze esterne attive, cioè con l’esclusione delle reazioni del vincolo. Poiché[v. (16.17)]

Ln=Inw

(16.25)

dove In è il momento d’inerzia (indipendente dal tempo) del corporispetto all'asse fì ew= è, la (16.25) si scrive

Ind= M99(6,0,6).

(16.26)

Supposto di avere determinatola leggeoraria ((t), la 1° equazione cardinale permette di determinareil risultante A delle reazioni sviluppate dal vincolo, cioè p.es. dai supporti ‘150

di rotazione, Il contributo “cinetico” M&g si annulla solo se il CM appartiene all’asse esterne: forze alle petto ancheris grandi molto valori assumere può in caso contrario per esempio, se w è costante

Mas = MuPd

(16.28)

rapidadove d è la distanza del CM dall’asse. Quindi quando siano presenti organi —salvo modo in fare di sempre cerca si bile), un'automo di ruote le menterotanti (p.es. : in ciò rotazione di all'asse possibile vicino più il CMsia il che — contrarie necessità

realizzata mediante consiste l’equilibratura statica del sistema rotante, che può essere

‘aggiunta di piccole masse in posizioni opportune.

_

.

M © che, in Possgntni importante è il momento risultante delle reazioni vincolari ti della 2 componen dalle e generale, risulta determinato dalla soluzione della (16.26) re: suppoparticola e situazion una iamo Consider È. equazione cardinale ortogonali ad

neall'asse niamo di avere già provveduto all’equilibratura statica, per cui G appartie per quindi attive, di rotazione, ed inoltre (per semplicità) che non siano presenti forze ‘cinetici i contribut î solito di rotanti nte la (16.26) w è costante (per sistemi rapidame Grazie alle reazioni vincolari sono più importanti di quelli dovuti alle forze attive). enti dal indipend sono L che M° sia cui per R=0 0, = VU statica ibratura all’equil

solido con asse fisso sono molti: per esempio un albero cilindrico

solidale al corpo è mantenuto in posizione da manicotti o da cuscinetti a sfere, oppure l’albero cilindrico è fisso ed è accoppiato , Loose at 7

questo caso (manicotti, cuscinetti a sfere. . .) che mantengonoin posizione l’albero {in zioni sollecita le — principio 3° il per — considerato come parte del sistema), e quindi (-H) cui sono soggetti gli stessi suppotti: R= Mag — Pd, (16.27)

polo e siccome MÉ' = 0, Ml) è ortogonale ad i.Tranneil casoin cuil’assedi ro-

w tazione coincide con un asse principale d’inerzia, L non è parallelo ad ù: siccome

e quindi è costante ed è è solidale al corpo, @ = wî è un vettore solidale al corpo,

fì con perla (16.1) o per la (16.11) - tale è anche L che pertanto precede attorno ad ' modulo costante (è un vettore solidale), per cui

MO = di =gaÈ

(16.29)

(6 costante). SA

Se È è parallelo a &, Ml =0.

Siccome Ml) è ortogonale ad è, ha la sua origine nelle forze che i vincoli devono ruotano esercitare sull'asse per impedirgli di deviare dalla sua posizione. Queste forze

logorare albero insieme al corpo, e a causa degli inevitabili attriti residui, finiscono per statica delle tura l’equilibra effettuato avere dopo necessità, la nasce qui e supporti. Di l aggiunta parti rotanti, di procedere all’equilibratura dinamica, che consiste - mediante

ruoti di coppie di masse in posizione simmetrica rispetto al CM nelfar sì che il corpo

. n. o. attorno ad un asse principale d’inerzia. ia ènecessar vincoli dai esplicate reazioni ele determinar per 0, 4 È In generale, quando

sia la conoscenza di /# che di M‘0) (che in tal caso dipendedal polo): se i vincoli sono

della trave compatibili con l’ipotesi di perfetta rigidità (v. la discussione a proposito iluppate reazionisv le nte univocame re determina con due o tre appoggi), sarà possibile del polo scelta dalla ti indipenden saranno te, naturalmen queste, (e dai singoli supporti

dei momenti).

151

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

La dinamica del corpo rigido

Esempi

2. Due masse uguali sono collegate da una sbarretta rigida di

1. Unfilo può scorrere su una carrucola cilindrica. La carrucola ha raggio r e momento d’inerzia I rispetto al suo asse (v. esempio 1

massatrascurabile e lunghezza 2/. Il sistemaè libero di ruotare (senza attrito) attorno ad un asse verticale {fì) passante peril centro della sbarretta, inclinata di un angolo a rispetto ad un piano orizzontale.

a pag. 61).

Supponiamo che la carrucola sia libera di ruotare senza. attrito attorno al proprio asse e prendiamo comesistemailfilo e la car-

rucola (le eventuali masse appese agli estremidelfilo le consideriamo esterneal sistema). Le forze esterne al sistema sono le

Se l’unica forza attiva è la forza di gravità, essendo questa a

} ,

momento nullo rispetto all’asse {sia perché parallela all’asse,

fig. 16.4 ei

tensioni 7, e 7» delfilo ai suoi estremi e le forze esercita te dall’asse della carrucola.

Ilfilo — per definizione — ha massa e quindi anche momento d’inerzi a trascurabili quindi, indipendentemente dal fatto chefrafilo e carrucolaci sia attrito o no (sono, forze interne), e poiché l’asse attorno al quale ruota la cayrucolaè liscio, la (16.26). si serive

(n= mr = Lù

i

perciò, in generale, la tensione non è costante lungoil filo!

(16.30)

Ln = 2ml?w costa e quella ortogonale all'asse è quindi

inerzia si ha

Quindiperla (16.29)

(nr) =0

(16.31)

cioè, in questo caso, 71 = 79 {e quindi, per la (16.30),.w% = 0). Questo risultato

(eguaglianza delle tensioni a monte e a valle della carrucola) vale anche se la, carrucola è bloccata: difatti la (18.31) è la 2* equazione cardinale peril solofilo, e l'unicaipotesi su cui si basa è che la superficie della carrucola sia liscia. È così dimostrato quanto affermato a suo tempo: se unfilo scorre su una superfici e priva di attrito la tensione è costante lungoil filo. Riprendiamo ora l'esempio 1 di pag. 61 (agli estremi del filo sono appese due.

masse), supponendo ora cheil filo, grazie all’attrito (statico) , metta in rotazione la carrucola senza strisciare su di essa. Le equazioni del moto perìl sistema (le

due massee la carrucola), con le stesse notazioni delle (7.10), sono mi mg + {ma = mag + 72 (rr) = Iw

(16.32)

>

ré=-

.

di

ma — mi = ci tg

mi + ma + 1/89

{

16.34

)

L'effetto della presenza della carrucola è quello di aumentare l’inerzia del sistema

della quantità //r?: un risultato che ricorre semprein situazioni analoghe . 152

Li Imiwsena cosa.

i

(16.36)

.

MO) = wL,d= 2mlwsena cosa d

(16.37)

doveÈ è il versore (solidale) avente la direzione di fì A L (nella figura 16.5 esce dal foglio).

.

_

cina i vincoli, a distanza d fra di loro ma qualunquesia la loro distanza dal

centro della sbarretta (MMM è indipendente dalla posizione del polo sull’asse), esplicano sull’asse (a meno disistemi di forze equivalenti a zero), oltre alla forza

—2mî, due forze uguali ed opposte di modulo Ml/d, ortogonali all ‘asse, giacenti nel pianodi èì e delle masse e aventiil verso indicato nella figura. Si noti che se

a=0 il sistema ruota attorno ad un asseprincipale d'inerzia e Mf) = 0.

3. Un corpo di massa M ruota attorno ad un asse orizzontale privo di attrito, a distanza d dal centro di massa G (Pendolo

fisico). Se IS è il momento d'inerzia rispetto all’asse orizzontale pas-

sante per G, il momento d'inerzia rispetto all'asse di rota-

mento non nullo rispetto all'asse f è la forza di gravità,il

(16.33)

da cui

(16.35)

zione per la (16.16) è I, = /° + Md?. L'unica forza a mo-

con ulteriore condizione (assenzadi strisciamento)

A3uwr

fig. 16.5

stante;il momento angolare £ (indipendente dal polo: îl CM è fermo) è la somma dei momenti angolari (p.es. rispetto al centro della sbarretta) delle due masse: esso (figura 16.5) è ortogonale alla sbarretta, nel pianocontenente l’asse fà (e quindi È ruota solidale con il sistema). La componente di L parallela all’asse di rotazione, poiché In = 2mi? cos a (momento d’inerzia di due masse a distanza /cosa dall’asse), per la (16.25) è

Però,se fra il filo e la carrucola non c'è attrito, le forze che la carrucola esercita sul.

filo, essendo ortogonali alla sua superficie, sono a momento nullo rispetto all’asse: se ora prendiamo comesistemail solo filo, siccome ne trascuriamo îl momento di

.

sia perché il CM è sull'asse), dalla (16.26) segue che w è co-

cui momento assiale è — MgdsenA. L’equazione del moto è quindi I = — Mgdsen 8

fig. 16.6 (16.38)

che è identica all’equazione di un pendolo semplice di lunghezza

In qa

È

ue

15 na t* ra 153

(16.39)

La dinamica del corpo rigido

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1 quindi, a parità di condizioni iniziali, il pendolo fisico si muove sincrono con ud pendolo semplice di lunghezza /.

Per quanto riguarda le reazioni che l'asse di sospensioneesercita sul pendolo, dalla 1? equazione cardinale si ha

A= Mis- Mi.

(16.40)

La componente tangenziale della (16.40) insieme alla (16.38) danno

{Re = Md + Mgsen@

0 = MIÉ + Mgsen@ da cuisi ottiene

A R = My(1 7) sen@

(16.41)

° °

(16.42)

quindi la componentetangenziale R, di À non è nulla (comeaccadeinvece per uil pendolo semplice), ma ha segno opposto alla componente tangenziale — Mg sen?

della forza attiva. Il risultato si capisce: infatti se R, fosse nulla, dalla 1° dellé: (16.41) seguirebbe che'il pendolofisico sarebbe equivalente ad un pendolo semplicé

di lunghezza d, invece, siccome/ > d,il il pendolofisico è più lento di un pendolo semplice di lunghezza d, quindil’effetto di R, deve essere quello dì rallentarei moto dei pendolo.

Moti piani senza asse fisso Abbiamo già studiato uri caso di moto piano senza asse fisso, quello della ruota su piano inclinato, e in quella occasione abbiamo cercato di mettere a fuoco i problem che si possono presentare nel caso generale. Va detto subito che ogni moto pianoè ui caso a sè, per cui non è possibile dare una regola generale che permetta di stabilire per tuite le situazioni possibili quale è la maniera più semplice per affrontare il problema: Se consideriamo il modo più semplice quello che richiede îl minor numero di equazioni; questo numero non può certo essere minore del numerodi gradidi libertà che, a seconda del sistema e degli eventuali vincoli a cui è soggetto, può variare da uno a tre: a parti

il caso di moto puramente traslatorio, un grado dilibertà è sempre associato al moto di rotazione, più — eventualmente - due associati al moto di traslazione ortogonale

all’asse di rotazione. Non siamo qui interessati al caso di moto puramente traslatorio; in quanto in questo caso, grazie alla 1° equazione cardinale,il sistema è assimilabile ad

un punto materiale. Se il corpo ha (o può avere) anche un moto rotatorio è ovviamente essenziale l’uso della 2° equazione cardinale che, tuttavia, poiché la velocità angolaredi :

mantienefissa la sua direzione, verrà usata nella forma di equazione assiale. Il primo problemache si pone è quello della scelta del polo (dovremmo chiamarlo “asse polare”

ma da un lato ci sembra più efficace chiamarlo polo, d'altro lato — trattandosi di moto

madi scrivere îl MAdel corpo: poiché assumela forma. (15.7), tuttavia si pone il proble esempio,

usata la (16.17) ma, per il polo non è un punto fermo del corpo, non puòessere alla MA rispettoal CM; il per la decomposizione (15.12) e l’espressione (16.6) e par ne la a re se la sua velocità è sempr se il polo è mobile occorre innanzi tutto stabili

ale deve essere usata nella forma quella del CM o no, e quindi se la 2° equazione cardin CM oppure è un punto del asse (15.6) o (15.7). Un polo mobile di solito coincide con il (16.6); nel secondo caso dalla dato è MA il istantaneo di rotazione: nel primo caso ia siccome in generale a tuttav , (16.17) dalla so espres essere ogni istante il MA può i poneil pro ca corpo,s to al posizionedell'asse istantaneo di rotazione cambia rispet e conto quando tenern e occorr caso se il momento d'inerzia dipende dal tempo, ed în tal ) e fare invece (16.17 ja e lizzar nonuti ire conven può si effettua, la derivata del MA:allora Se invece i?). tutte le stagion ricorso alla decomposizione (15.12) (un’equazione per (16.16), alla azie GM,gr -dal l'asse istantaneo di rotazione si mantiene a distanzafissa ; il momento d'inerzia non dipende dal tempo. Esempio

> La scala di massa M, momento d'inerzia /° e lunghezza può 116 pag. a 2 empio dell'es muro al iata 21 appogg La scivolare, mantenendosi a contatto sia con il muro che attrito. con il pavimento, entrambiprivi di

I sistema ha un gradodi libertà:la posizione della scala è individuata dall'angolo @ = Q0BG; con questa scelta

@. e gli assi dei momenti orientati come l’asse 2, w E Ra. e tale orizzon li i reazion le sono Le forze esterne

verticale, e la forza di gravità Mg. Si ha

{ezine Ya = lc0s g

fl lp cos ip vî = ipsenp

{Sl 1g cos — lj® seno \ag = —lpseng = là? cosg

1 Prendiamo come polo il punto fisso O:

Lo = M (OG Ade) ,+1°p=-MP9+ 1°

(16.44)

(16.45) (7° — MI°}g = —25R, cos p + 22Rzseno — Mglsenw sola non è sufficiente a che però, a causa delle reazioni incognite Ae Rs, da € y associare le componenti x risolvere il problema, e quindi ad essa dobbiamo

della 1° equazione cardinale, cioè per la (16.43)

M(kbcosp — lé? sen g) = Ra

-M(lpsen g +14” cos) = Rs — Mg

2. Prendiamo comepoloil centro di massa:

visto che una oculata scelta del polo ci ha permesso di risolvere il problema mediante

alla quale ancora dobbiamo associare le (16.46)

“154

(16.43)

quindi la 2° equazione cardinalesi scrive

piano — l’asse è ben individuato da un suo punto): nell'esempio della ruota che rotola senza strisciare sul piano inclinato il sistema ha un solo grado di libertà e abbiamo

una sola equazione. Anche se non possiamo affermare che questo è unfatto generale, in ogni caso i problemi cormessi con la scelta del polo sono i seguenti: se il polo è fisso (rispetto al laboratorio ma non al corpo) la 2* equazione cardinale

fig. 16.7

* 136 = IR, cosp + Rgseng 3.

(16.46) (16.47)

rotazione, che passa per il Prendiamo come asse polare l’asse istantaneo di

vono circonferenze con punto mobile Qe: notiamo che Fg, Îl 7a (Qo0e G descri 155

La dinamica del corpo rigido

L.E. Picasso: Lezioni dì Fisica Generale 1 centro in 0); inoltre la distanza di Qo da G restafissa e le reazioni hanno momento:### nullo rispetto a Qo, quindi

(1° + MI?)j = Mglseng

(16.48)

che da sola è sufficiente a determinare il moto. 16.3 Forze gravitazionali su un corpo rigido Dato che risultante e momento risultante sono tutto ciò che occorre conoscere per de

terminare il moto di un corpo rigido, riportiamo in questo paragrafo alcuni risultat;

raggi polare ed equatoIl fatto che la Terra reale sia schiacciata ai poli (la differenza fra

ionale della riale è di circa lo 0.3%), l'inclinazione dell'asse terrestre e l'effetto gravitaz “precede Luna, complicano la situazione: il MA intrinseco della Terra

equinozi”); inoltre, come abbiamo visto, per un corpo non sferico il vettore velocità

caso in cui queangolare può non essere parallelo al momento angolare, e anche nel della Terra, caso (nel nto altretta cia primofac cheil detto non-è , conserva st’ultimo si di metri). decina qualche di questo fa sì che i poli si muovanosulla superficie terrestre

relativi al risultante e al momentorisultante di uno dei più importanti campi di forze.

a cui è soggetto un corporigido: le forze gravitazionali. Abbiamogià visto che per un sistema qualsiasi di massa M (e quindi in particolare per un corporigido) soggettoalla forza dì gravitàil risultante è MY ed è nullo il momento risultante rispetto al CM. : Consideriamo ora il campo gravitazionale prodotto da una massa Afs. Un importantissimo teorema, enunciato e dimostrato da Newton, anche se più noto come teorema

di Gauss (che non dimostriamo), afferma che se il corpo di massa Ms ha simmetria sferica, cioè è una sfera omogenea oppure è costituito da corone sferiche omogenee, il campo gravitazionale da esso prodotto in un punto dello spazio a distanza r dal suo centro è uguale al campo gravitazionale prodotto da una massa puntiforme (posta nel centro di simmetria) di massa uguale alla massa contenuta all’interno della sfera di raggio r. Quindi, per r > R, raggio del corpo di massa Ms, la forza che questo esercita su una massa puntiforme m è GMsm/r®, comese il corpo fosse puntiforme. Se la massa Ms del corpo è concentrata in una coronasferica, dal teorema di Gauss segue

anche che all’interno della corona il campo gravitazionale è uullo.

< Comeconseguenza del teorema di Gauss e del 3° principio possiamo allora dimostrare

il seguente

-

Teorema; se A e B sono duecorpi, e B è a simmetriasferica, il risultante Pa delle

forze gravitazionali che A. esercita su B è uguale alla forza che A eserciterebbe su un

punto materiale B' di massa Ms posto nel centro di simmetria di B.

Dimostrazione: Fay= -Ag=-Ag=An Inoltre, se A è a simmetria sferica, qualunque sia la formadi B il momento risultante Morispetto al centro O di A delle forze che A esercita su B è nullo: infatti, la forza

che agisce su ogni punto di B è diretta verso O. Quindi se consideriamo il moto del “satellite” B nel campodi forza di A (fisso), purché A sia a simmetria sferica, il momento angolare totale di B, cioè la somma del MA del “centro di massa” e del MA intrinseco, è una costante del moto. Se poi anche B ha simmetria sferica, questi due

MAsi conservano separatamente: infatti per la (15.15)

Mg = G0 A+ Mo=0

(16.49)

in quanto GO e Fp,, se B è a simmetria sferica, sono paralleli.

Quindi, nella misura in cui Sole e Terra possono essere considerati a simmetria sferica (e trascurando tutte le altre perturbazioni) l’asse di rotazione terrestre (che in questo

caso è un asse principale di inerzia) mantiene inalterata la sua direzione e la durata del giorno è costante. 156

intorno alla

‘precessione degli perpendicolare al piano orbitale con un periodo di circa 25000 anni c

157

Energia dei sistemi

17.

ENERGIA DEI SISTEMI iveperisistemi

solo

ma l’ultimo terminenella (17.5) è nullo in quanto Y mati è la quantità di moto nel riferimento del centro di massa. Quindi

rapidamente, per un sistema, le tappe già percorse nel capitolo 8.

Per la (8.5)

4. dES di = Ha dai,

A=1...N

(17.1)

dove 7, è la sommadi

tutte le forze, sia interne al sistema,sia esterne, agenti sul punto Pa. Sommando membro.a membro le (17.1), definita energia cinetica totale come

E«EYE. «sp È asl

(17.3) avendo definito la potenza totale W come la sommadelle potenze di tutte le forze (interne, esterne) agenti su tutti i punti materiali del sistema . Integrandola (17.3) fra t1 e to No

AE; = Es(to) — E.(h) = vf pia,Fo tad= a=1 li

ta

hi

walte.

(7.4)

La (17.4) esprimeil Teorema delle forze vive per i sistemi: La variazi one dell'energia cinetica totale di un sistemafra l'istante t; e l'istante ièuiguale al lavoro £ di tutte le forze interne

ed esterne agenti sul sistema.

Inoltre, se tutte le forze sono posizionali, il lavoro dipende dalle traiettorie dei singoli

punti materiali, e non dalle leggi orarie con cui queste traiettorie vengono percorse. Per l’energia cinetica di un sistema sussiste un teorem a di decomposizione analogo a quello per il momento angolare espresso dalla (15.12) : sia 7g la velocità del CMe la velocità del punto Pi;

centro di massa; si ha

&, è la velocità di P, nelriferimento del

1, 1 2 3.2 E, = > 3Mati = x gra( vi + ui + 2% da) a

1

1

©

2

= Ma + x» Satta +0 moda ad

n

158

17.6 (17.6)

a

LaN (17.6),

nota come teorema del Koenig, c . ) È può‘ essere formu lata come 9° Mn del centro di massa: L'energia cinetica di un sistema è la somma dell'energia cinetica “del centro di massa” e di quella nel riferimento del centro di massa. -

Nel caso di un corpo rigido calcoleremo l’energia cinetica nel riferimento del centro di massa come caso particolare dell'energia cinetica di un corpo con unpunto(istan taneamente) fermo: sia 12 un punto del corpo con fn = 04 posto fi, = AP, si ha n. 1 i 262 E=Y ptt =Y ima AFD =D sima (1i%0? — (7) ) (ci

(17.2)

20

si ha

Va = da + ia

1 1 E,= gMui +3 Sani.

Que (TT?

Il teorema delle forze vive ed il concetto di energia potenz iale per un sistema sono semplicemente la ovvia generalizzazione degli stessi concet ti già introdotti peril puntò: materiale: sbrigativamente si potrebbe dire che un sistema costituito da N punti mate: riali è un punto materiale in uno spazio a 3N dimensioni. In ogni modoripercorriamé

tal

%

1

= 5L Vale; — hit; Wi; = 3È ij

@

Siccomeil CMè (ovviamente) fermonelriferimento del centro di massa,il teorema del Koenig per un corporigido assumela forma

Ee

1 2

1 1, a Mu +5) wilfo;= Mt 2Lia. ind

.

(17.8) )

Il primo termine è detto energia cinetica di traslazione ed il secondo energia cinetica di rotazione. . . . Se il corpo ha un assefisso di rotazione, o anche semplicemente un asse di punti istantaneamente fermi (asse istantaneo di rotazione di un atto di moto piano), detto

îì il versore dell'asse, siccome @ = wf, se 2 è un punto appartenente all'asse, dalle

(17.7) e (17.8)si ha

1 1 1 Es = liol= Mt glio.

179 (17.9)

Le due espressioni sono equivalenti grazie alla (16.16) (teorema di Huygens - Steiner). 17.2 Il lavoro delle forze interne

FINO QUI

°

Il lavoro fatto da una forza su un punto materiale, e in generale dalle forze agenti su n sistema, dipende dal riferimento in quanto ne dipendonole velocità dei punti materiali. Tuttavia, per l’insiemedelle forze interne di un sistema vale il seguente . 1° Teorema sul lavoro delle forze interne: I lavoro LlÒ di tutte le forze interne è indipendente dal riferimento . _ Dimostrazione: siano X e K” due riferimenti, Pa e Ps due punti del sistema. Nel riferimento K, la potenza delle forze che si esercitano fra ì due punti è

(17.5)

Wap = Fag Ta + Fao da = Pag - (Ca — do)

per la (13.7) si ha

159

(17-19)

Energia dei sistemi

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

Ta = Da = GAPsPa + (04-05) ma

:

(17.11)

17.3 Un paradosso?

(17.12)

del suo CM) è determinata cardinale ci dice che l'accelerazione dell'auto (cioè che la strada

°

Fog -(GAP3P.)=@0(PsP.AFx9)=0

senza “sgommare”. La Lal equazione Si consideri un'automobile che parte da ferma, dalle

) sono solo quelle sole forze esterne; le forze esterne (parallele alla strada e quindi non compiono statico attrito di ma queste sono forze esercita sulle ruote,

quindi

(17.13)

Wog= Fas (01 - p) = WigPoiché W0 = 17.4 Was il teoremaè dimostrato.

In particolare, se A e B sono duesistemi, la sommadel lavoro fatto su A dalle forze

esercitate da B.e di quello fatto su B dalle forze esercitate da A è indipendente dal riferimento ed in generale non è nullo.

In considerazionedel fatto che il nostro interesse sarà rivolto principalmente a sistemi composti da corpi rigidi, è fondamentale il seguente teorema, conseguenza del precedente: 2° Teorema sul lavoro delle forze interne: In un corporigido è nullo il lavoro di tutte le forze interne. Dimostrazione: nel riferimento del corpo tutti i punti sono fermi, quindi il lavoro delle

forze interne (in particolare) è nullo, ma peril teorema precedente esso è indipendente dal riferimento.

Oppure: siccomela distanza fra due punti del corpo non varia, (fa — fg) (7a —- Be) = 0 cioè Ta — Fa è ortogonale a 7 — fa e quindi anche a Fg per cui Wog = 0. Ri

L’importanza di questo teorema è notevole: seil sistema è un corpo rigido nel teorema

delle forze vive intervengono solo le forze esterne.

Una applicazione del 1° Teorema concernel'analisi del lavoro fatto dalle reazioni vincolari: abbiamo visto in diverse occasioni che un vincolo fisso privo di attrito compie

lavoro nullo sui corpi in contatto con esso, mentre un vincolo scabro (fisse) compie lavoro negativo. Abbiamo però anche incontrato situazioni in cui un vincolo liscio in moto compie lavoro sul corpo: si veda p.es. il problema del corpo dentro la scanalatura

di una piattaforma rotante discusso a pag. 127, oppureil problema del blocchetto che scivola lungo il piano inclinato di un cuneo che può muoversi su un piano orizzontale liscio (pagg. 65 + 67 e 82, 83) nel quale l’energia cinetica acquisita dal cuneo è dovuta al lavoro fatto dalla reazione del blocchetto sul cuneo. Quindi, senzala specifica che il

vincolo è fermo, non è corretto affermare che un vincolo liscio non compie lavoro: dati

due corpi A e B a contatto (per esempio A è il vincolo e B il sistema), se fra essi non

c'è attrito ciò che è corretto affermare in generale è che è nullo il lavoro totale fatto

amo che l'auto si muove perché lavoro. Eppure l’auto si muove! Ovviamentetutti sappi forze interne; che pertanto non c'è il motore, male forze sviluppate dal motore sono ente

la situazione, solo apparentem intervengono nella 1° equazione cardinale. Quindi coincidono necessariamente con non lavoro fanno paradossale, è questa: le forzé che

le prime sono le forze interne, quelle che determinanola legge oraria. Nel nostro caso ta renderci conto che le seconde mentre le seconde sono quelle esterne; forse ci confor , le forze esterne sono nulle motore iamoil sono determinate dalle prime: se non accend to

ina da un riferimento in moto rispet e la macchina non parte. Se osserviamo la macch fatto

, quindi è diverso il lavoro alla strada, la variazionedell’eriergia cinetica è diversa lo stesso (forze interne): in resta e motor da tutte le forze, mentre quellofatto dal lavoro (il punto di contatto ono compi che statico questo caso sonole forze di attrito mento) e che rendono conto della tra la ruota e la strada non è fermo nel nostro riferi che non è lecitoschematizzare un Cone corollario di quanto sopra possiamo concludere igido le forze interne non fanno mezzo semovente come un corporigido: în un corpor lavoro.

17.4 Il teorema delle forze vive per un corpo rigido nel caso di un (corpo rigido nel Abbiamo visto (2° teoremasulle forze interne) che esterne. Così come il loro ri forze le to teorema delle forze vive intervengono soltan

completamente il moto del corpo, questi sultante e momento risultante determinano punti che

e) agenti su tutti i determinano ancheil lavoro fatto da tuttele forze (estern costituisconoil sistema:

N

N

a=l

a=l

__.

AR

= w= Yi a = YA (Gt dA Oa) = Pig + Ya (OR AR) a=l

(17.14)

= Fed + MEG. In particolare, se nella (17.14) poniamo 2 = G, si ha

wai + Med

(17.15)

dalle reazioni vincolari, cioè la sommadellavoro fatto da A su e diquello fatto da B

e mettendo insiemela (17.15) con la (17.8)

moto sul corpo può essere positivo; il lavoro totale, cioè comprendente ancheil lavoro

bro della un corpo rigido. che è il teorema delle forze vive nel caso particolare di o de a membr primo a ne termi primo Si noti chein virtù della 1° equazionecardinale il (per un ‘corp

su A. Infatti, per ìl sistema composto da A e B questo è lavoro diforze interne, quindi indipendente dal riferimento: ma esso è nullo nelriferimento in cui uno dei due corpi (p.es. il vincolo A) è fermo, e quindiè nullo in ogniriferimento. In modo analogosi ragiona se fra i due corpi c’è attrito: il lavoro fatto dal vincolo in fatto dal corpo sul vincolo, è comunquenegativo. 160

Fa M@ li c\= Mi -0) = P&+ (53M +30 Sdiva

membro, e quindi abbiamo (17.16) eguaglia il primo termine a secondo

rigido) le due equazioni

161

(17.16)

Energia dei sistemi

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale I

Sr (ptt) = FE-do;

Gi -D) = M8-3

(17.17)

* (la seconda eguaglianza, che segue dalla prima e dalla (17.16), è meno ovvia da dimostrare direttamente).

Nelle (17.14) + (17.17) risultante FF e momentorisultante ME sono determinati da

tutte le forze esterne, anche da quelle che non compiono lavoro perché agiscono su punti

fermi del corpo oppure sono ortogonali alla velocità del punto. Tuttavia queste forze a lavoro nullo possono essere ignorate in partenzanella (17.14) e quindi sia nel calcolo di FE gia in quello di ME (ma non in unodei duesoltanto), che perciò possono essere interpretati rispettivamente comeil risultante ed il momentorisultante delle sole forze esterne a lavoro non nullo.

gravità va ad aumentare energia cinetica cioè parte del lavoro fatto dalla forza di lavoro sio )

questa ripartizione de di traslazione ed il resto quella di rotazione: in quanto il contributo (nega! iO R;, one reazi dire che è stata “catalizzata” dalla al moto traslatorio “è pros © a apportato al 1° termine della (17.15) — cioè Spiega cioè al moto rotatorio. du quello (positivo) apportato al 2° termine, Ta0 una i | (0 ruota della one lerazi dal punto di vista energetico perché l’acce al senza a scivol che corpo un di quella a ore un altro corpo rotondo) è inferi su un identico piano inclinato.

ziale . 17.5 Sistemi Conservativi: l’energia poten ma conservativo uno qualsiasi delldre criteri Possiamo adottare come definizione di siste

n sostituendo il termine posizione de pui enunciati a pag. 74 peril punto materiale, ate ai pil de

Esempio Riprendiamo in considerazione la ruota che rotola senza strisciare lungo un piano inclinato (v. esempio a pag. 147). Se la ruota parte da ferma,la sua energia cinetica dopo che ha percorso un tratto di lunghezza { è

E. = D Mu + Lou? = 310 = Tage? wi.

(17.18)

Supponiamo di voler determinare w mediante il teorema delle forze vive. Per calcolareil lavorofatto dalle forze (esterne) possiamoutilizzare la (17.15) sia considerando FE e ME comerisultante e momentorisultante delle sole forze a lavoro non nullo, oppuredì tutte le forze (esterne). È istruttivo in questo caso procedere

in entrambi i modi. 2 Le forze esterne sono la forza di gravità e la reazione È, incognita; l’unica forza che fa lavoro è la prima: la reazione non fa lavoro perché i punti di contatto fra

la ruota ed îl piano sono punti fermi. Se, visto che non fa lavoro.e per di più è

incognita, ignoriamo questa forza sia nel calcolo del risultante che del momento risultante, dato che è l’unica forza a momento non nullo rispetto al CM, nella

(17.15) si ha solo il primo termine, per cui in un traito di lunghezza | il lavoro totale delle forze esterne è £= Mglsend.

(17.19)

Se invece non ignoriamo A; (Rn compensa la componente normale di M7) che, avendo in precedenza risolto il problema del moto, sappiamo essere data dalla

(16.21), cioè R, = — Mg sen, abbiamo (per le componentirilevanti) FF = Mgsend — gMgsend = iMgsend;

MÉ = —Mgrsend.

(17.20)

Il primo termine contribuisce al lavoro totale

2 1 Li = 3Mgl send = gu

(17.21)

ed il secondo, essendo Ag = —I/r l’angolo di cui è ruotata la ruota nel tratto 2, 1

1

Lrot = —3Mgrsend) «Ap = 3Mgl send = 51° w? 162

(17.22)

eme delle posizioni occup ‘* «con “configurazione del sistema”, cioè l'insi con “insieme delle traiettorie ci punti ” * sistema, ed il termine “traiettoria del punto re che un sistema è conservativo se Ue i © del sistema”. Così per esempio possiamodi

e esterne, agenti sul sistema dipende sol oal “Fatto da tutte le forze, sia interne che toa tisce garan cì i criter tti sudde ivalenza dei tre

È configurazioniiniziale e finale. L'equ ia potenziale, U(Pi cc Pu), Mm o l'esistenza di una funzione potenziale, 0 energ che agiscono.su mnssene 1° delle posizionidi tutti i punti del sistema. Siccomele forze

io ne € le forze esterne, il sistemaè cons pat i (di punti materiali) sono le forze inter le forze che l’e: temo

le forze esterne sono sia le une chele altre sono forze conservative: sono conservative, il loro potenzi: se i, esercita sui singoli punti del sistema quind ma: la somma dei potenziali dei singoli punti del siste .

N

(17.23)

UEFA Fiv) = YO Ualfa). azil

di gravità Fa = mad per la (8.21) Per esempio,se le forze esterne sono le forze N

(17.24)

tres (FF) = YU(-molf Pa) = MI Ta a=l

) . . : risultato che eleviamo al rango di sistema dovuta alla un di ziale poten rgia L'ene a; mass di o 10° Teorema del centr gravità è “l'energia potenziale del centro di massa”.

eù delle forze che si esercitano fra le conpi Le forze interne, invece, sono l'insieme forze interni delle ziale poten il ve, rvati conse sono punti del sistema quindi, se queste

la somma dei potenziali relativi ad ogni coppia:

(17.25)

U!Fi Fw) = DI Uoglîan fa).

i

{ad}

che interagiscono con una forza armonica Consideriamo ad esempio due particelle fatto da queste due forze è Fa= fi, = —k(— #3). Il lavoro

L=

ta

t

È

te.

a

2

2

,

_

Fia vidt+ [Rama] (fp) ti

t

163

Energia dei sistemi

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

- ha a La

(17.26)

sl

e quindi il potenziale - o l’energia potenziale — della coppia è

U(FIT) = FARA.

(727)

Analogamente, ìl potenziale dovuto all'interazione gravitazionale fra due punti mate: riali è Gum + a

Up TT Ti2

ra =|- Al

(17.28)

Non vogliamo addentrarci in dettagli - anche molto importanti - che verrannoripresi în corsì più avanzati: ci limitiamo a dire che la dipendenza del potenziale di due punt materiali esclusivamente dalla loro distanza non è peculiare degli esempi appena discussi maè vera. in generale, come conseguenza. del fatto chele interazioni fra due corpi soni

una proprietàintrinseca dei corpi, indipendente da dove sonoi corpi e da come vengoni osservati, cioè indipendente dal riferimento. Così per esempio; fimitandoci al caso di forze posizionali, è immediato vedere che la forza fra due punti materiali può dipender. solo da 71 —# e non separatamente da 7} e da 7: se entrambii punti vengono traslati del vettore & la forza deve restare invariata DI

Fem)=Fa+an+aà) > Fan>PFa-#

(17.29):

forza centrifuga o le forze gravitanon ha l'analogo per altri campidi forze (p.es. la discuteremo fra paco), e — per un che - zionali su larga scala, ad eccezione di un caso à nella {17.15} è presente solo il gravit della caso nel che corporigido — dipende dal fatto per passare da unaCoreano primo termine (Ma = 0): infatti in tal caso il lavoro e e dalle posizioni Imziale è del corpo ad un’altra dipende solo dal risultante Mg corpo sul agenti e estern forze le del CM. Questo risultato è vero in generale: quando vative il potenziale dipende solo sono a momento nullo. rispetto al CM, se sono conser . . massa. osizione del centro di ste ria simmet ha m) a (mass rigido darete ragione, grazie alla (16.49), se il corpo , il

M anch'essa a simmetria sferica rica ed è nel campo gravitazionale di una massa fc dei centro {di massa) del corpo one posizi della te potenziale è funzione esclusìvamen rispetto al centro della massa M

U=-

GMm Ta

(masse sferiche).

esterne dovute alla potenziale della massa m nel campo delle forze

a costituito dalle due masse, cioe altrimenti la (17.31) è l'energia potenziale del sistem discussione a pag. 53 sul concetto è il potenziale delle forze interne al sistema (vedi sistema isolato).

(17.30)

Quanto sopra è strettamente connessocon il teorema sull’indipendenzadel lavoro delle : forze interne dal riferimento: infatti gli ingredienti sono gli stessi, 3° principio e indi

pendenza delle forze fra due punti dal riferimento. Quindi, come corollario, segue ché il potenziale delle forze interne è funzione solo delle distanze fra i punti del sistema ed è indipendente dal riferimento. 17.6 Energia potenziale di un corpo rigido

Nelcaso di un corporigidole forze interne non fanno lavoro, quindil'energia potenziale ‘. delle forze interne è nulla, o meglio, è costante. Se le forze esterne sono conservative, ìl potenziale è quindi solo quello delle forze esterne. Poiché un corpo rigido (non vinco lato) ha 6 gradi di libertà, ancheil potenziale — che è una finzione della configurazione del sistema - in generale è una funzione di 6 variabili atte a determinare la configu: razione del corpo: per esempio, la posizione di un suo punto e tre variabili angolari

che ne determinano l'orientamento nello spazio. La dipendenza da 6 variabili, tre di traslazione e tre di rotazione, corrisponde alla presenza nella (17.15), cioè nell'espressione del lavoro fatto dalle forze esterne, dei due termini rispettivamente dipendenti dal risultante delle forze esterne e dal moto traslatorio del corpoil primo,ed il secondo dal momento risultante e dal moto rotatorio. La determinazione della funzione potenziale per un corpo rigido a partire dalle forze

estefne o dal loro potenziale va fatta caso per caso utilizzando la (17.23): la circostanza fortunata espressa dalla (17.24), che ovviamente è valida anche per un corporigido, ‘ 164

.

erata fissa, la (17.31) è l'energia Se M > m, per cui la massa M può essere consid “sorgente M,

€ più in generale, prendendo in considerazione rotazionirigide dei due punti,

FAm) = (A (113).

(17.31)

165

Le leggi di conservazione peri sistemi

LE LEGGI DI CONSERVAZIONE PER I SISTEMI

1

2 MEP

(18.5)

+ 31° + Mglcosg = E

i

da cuila (16.48).

18.1 Soluzione di problemi mediante le leggi di conservazione Con questo stessotitolo abbiamoiniziato il paragrafo 8.5 dedicatoallo studio di sistemi

conservativi in cui intervengonosolo punti materiali o corpi in moto traslatorio: ovvi; mente anche nel caso di sistemi complessi e in particolare di sistemi composti da corp

rigidi suscettibili di moto rotatorio, le leggi di conservazione permettono diotteri r

informazioni che prescindono dalla conoscenza della legge oraria. Inoltre, anche l’idé

di determinare le equazioni del moto a partire dalle leggi di conservazione, e quirid

senza l’intervento delle reazioni vincolari, può essere utilizzata nel caso di sistemicò;

posti da corpi rigidi purché, ovviamente, si tratti di sistemi conservativi, cioè siti . assenti attriti dinamici o viscosi (l’attrito statico non fa lavoro) ed il numerodi lego di conservazione disponibili sia uguale al numerodi gradi di libertà del sistema. Riesaminiamo da questo punto di vista gli esempi che abbiamo già discusso in termiù di equazioni cardinali. ° 1. La ruota sul piano inclinato.

Scriviamo la conservazione dell'energia, utilizzando la (17.18) e le notazioni d pagg. 147 e 148: 3

4 Mr - Mgegsend = E

Il prossimo esempio è certamente più complesso dei precedenti e serve a mettere ben in evidenzal'utilità e la semplicità del metodo che utilizza la conservazione dell’energia rispetto all’uso delle equazioni cardinali: proprio a questo scopoillustreremo entrambi . i metodi.

In un punto P di un anello di raggio A e massa M viene fissata un massa puntiforme m. L'anello può rotolare senza strisciare su un piano orizzontale (figura 18.1). Vogliamo scrivere l'equazione del moto per l'angolo 9 fra la ‘retta congiungente il centro dell’anello con la massa m e la

v

18.

verticale verso il basso. Cominciamo con la 2* equazione cardi-

fig. 18.1

nale: vedremo che in questo problema tutte le difficoltà a suo

tempo paventate si presentano. Pendiamo come polo fl: è uno

z diocità

punto dell'asse istantaneo di rotazione ma è un polo mobile che si sposta con ve pci ù va =Uc= — Rò {quando non diversamente specificato intendiamo le componenti 2); il

CM si trova sulla congiungente CPe la sua velocità non è parallela a quella di I da quantità di moto totale del sistema @ è la sommadella quantità di moto dell’anello, che ha solo la componente orizzontale, e della quantità di moto mp della massa m,

quindi Qy= moi = mò sen@. Poiché vî = 0, si ha

e derivandorispetto al tempo

|

(a AG) = 02 Qy = -mA?6?sen.

SMP — Mgugsend = 0

Scriviamo il momento angolare: posto d= NP,

ed essendo (assenza di strisciamento) vg = —wr, scartata la soluzione banale's ha: È Mira + Mgrsend =0

(18.3

che coincide conla (16.20).

La = I° d = (2MR? + md°) è = 2(M +m(1 — cos0)} R?6

Se fra il filo e la carrucola c’è solo attrito statico il sistema è conservativo. Con le notazioni di pag. 152, l’unica variante rispetto alla trattazione del paragrafo 8. (carrucola fissa) consiste nell’aggiugere nella (8.56) l’energia cinetica della carri

cola, cioè Hu, e nel tenere conto della condizione di assenza di strisciamento

data dalle (16.33).

2(M + m(1— cosé)) A? + 2m.R°0? sen = —mgRscend + mR?°6? sen@ .

2(M + m(1— così)) RÒ + mR” sen@ = —mgsen?.

1.

IP — Mgdcos? = E

(18.4)

e derivando si ottiene la (16.38). 4. Scala appoggiata al muro (v. pag. 155). Peria (17.9) (teorema del Koenig) 166

(18.8)

Per risolvere il problema con la conservazione dell'energia basta scrivere l’energia pe tenziale, che è data semplicemente da YU = —mgR cos 8, e l'energia cinetica che, essendo v2 = -RÒ + Ré così, vp = Résen? è data da

E.= 1° 6 + gra = 3R° (201 + 2mi(1 — cosé) )é?.

3. Pendolo fisico (v. pag. 153).

(18.7)

(il momento d’inerzia rispetto a N nonè costante!). Essendo Ma = -—mgRsend e ricordandola (18.6) finalmente possiamoscrivere l'equazione del moto i e semplificando

2. Carrucola con masse appese.

d’=2R°(1- così) si ha

(18.6)

(18.9)

Il resto del procedimento è standard, e non c'è dubbio che il secondo metodo è più

semplice del primo.

La (18.8) è un'equazione molto complicata e altamente non lineare: supponiamo di

voler determinareil periodo delle piccole oscillazioni armoniche attorno alla posizione

di equilibrio stabile, cioè 4 = 0 (minimo del potenziale); l'equazione (lineare) per le

167

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

piccole oscillazioni (9(t) = ©p sen(wt + é))

Le jeggi di conservazione per i sistemi

si ottiene trascurandonella (18.8) tutti i

termini di ordine superiore al 1° in Oo, e quindi in 9 e in é: (1-- cos) +0, #2 + 0, sen 0 + @, per cui la (18.8) diventa

2MRÉ=-mg0

>

T=2r 2MR, VV mg

(18.10)

Tutti i problemi considerati sonorelativi a sistemi ad un solo gradodilibertà: anchein: questo caso è possibile usarela stessa tecnica per sistemicon due gradidi libertà, purché oltre alla conservazione dell’energia sia disponibile un’altra legge di conservazione. Per illustrare il metodo, che è simile a quello a suo tempo discusso per i casi dei moti. puramente traslatori, consideriamo il seguente problema.

. Un fig.18.2

dolo intorno alla verticale. n. Si conservano l’energia e la componente Q, lungo il binario della quantità di moto totale. Detta X l’ascissa di un punto qualsiasi del vagone:

Q= MX+maS

(18.11)

dove %g è la velocità assoluta del centro di massa G dell’asta, con componenti

Vead = plXcal + 55000),

7e_d = qll (c0s9)/2,

I° Gm? = mil?/12.

(18.12)

Si ha quindi: 2E=(M+m)X° + im? + miòX cos@ - mglcos@

1.

(18.13)

Q=(M+m)X+ Sl cos .

Per semplificare i conti mettiamocinel riferimento in cui Q, = 0 (se il sistema parte da

fermo coincide conil riferimento del laboratorio); è un riferimento inerziale in quanto

@x è costante, per cui l'equazione del moto che troveremo coincide con quella nel

laboratorio. Ricavato allora .X dalla 2° delle (18.13) e sostituito nella 1°, dopo un po”. di conti si ottiene l'espressione dell’energia in funzione del solo angolo @: E

1 m ;9® 9 Lije = 1imam! cos cost 9+ lé?308 - g cos?

4 (18.14)

derivando e dividendo per è: 2;

lm

gi;

a

1

m

30

_

3 d- Fm li cos 0+ smau sen@ cost +gsen@=0. Procedendo comesoprasi trova l’equazione per le piccoleoscillazioni:

° 168

4M+m |

9

(18.16)

6(M +m) g

Nel limite m/M + 0 il periodo tende a quello del pendolo fisico costituito da una sbarretta sospesa ad un supportofisso. 18.2 Cosasi conserva?

Ci sono numerose situazioni in cui una analisi superficiale del problema fa ritenere

che si abbiano più leggi di conservazione, che però portano a risultati ontradditori:

tipicamente una di queste è l'energia ed un’altra un momento angolare. È ovvio che la

leggi una analisi più accurata del problema risulterà che qualcuna di queste supposte Esempi 1. Due dischi uguali possono ruotare senza attrito attorno al loro asse comune. Il primo ruota con velocità angolare wo ed il secondo, inzialmente fermo, viene portato a contatto con il

determinareil periodo delle piccole oscillazioni del pen-

l..% 13 las I E = MX? 5 X° + ima gmug + 170@ 31°0 _ mgz£ così,

=

Mm.

di conservazione non è applicabile al problema sotto discussione.

Un pendolo, costituito da un'asta omogenea di massa m e lunghezza }, è sospeso dentro un vagone di massa M

che può muoversi con attrito trascurabile su un binario rettilineo orizzontale. Il pendolo può oscillare senza attrito in un piano verticale parallelo al binario: vogliamo

AM+m

IMM = 90 è T=2Mm—ni:

(18.15)

>

primo. Vogliamo determinare la velocità angolare finale wr comuneai due dischi. La conservazione dell’energia porta a concludere che

ott It = 25105 glo

>

fig. 183

(18.17)

vr 0 Ww=

mentre la conservazione del mamento angolare

Iw=2lw;

>

1

(18.18)

Ww;= 340 2

Qual il risultato giusto? La soluzione è nascostanella formulazione del probleme:

poiché si affermache alla fine i due dischi ruotano insieme, è implicito che fra i

essi ci deve essere dell’attrito, altrimenti il secondo disco resterebbe fermo, quindi l’energia non si conserva. Le forze di attrito fra i due dischi sono forze interne,

quindiil MA si conserva.

2. Su un pianoorizzontaleliscio una piccola massa è attaccata ad un estremodi unfilo (teso), l’altro estremo del filo fissato al bordodi un paletto moltosottile. Inizia

mente la massa gira con velocità angolare wi attorno al paletto a distanza ro da esso. Man mano che Îa massa .

|

e__ai .

fig. 18.4 _

.

girail filo si avvolge intorno al paletto. Poichéil paletto è sottile possiamo consi derare il moto dalla massa ad ogniistante come praticamente circolare. Si vuole sapere qual è la velocità angolare della massa quando la sua distanza dal paletto

si è dimezzata. Conservazione dell'energia:

Lea = gm L (3) (fe grow wj

3 =

Conservazione del momento angolare: 169

(18.19)

Leleggi di conservazione per i sistemi

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

(18.20)

Questavolta è il momento angolare che non si conserva: la forza cheilfilo esercita; sulla massa ha momento non nullo rispetto all’asse geometrico del paletto; è vero che il braccio della forza è piccolo, perché peripotesiil raggio del paletto è piccolo;;: maciò significa soltanto che per avere una significativa variazione del MA si dovrà aspettare un tempo lungo, e quindi un tempo lungo perclié la distanza della mass& dal paletto si dimezzi. Per contro,l'energia si conserva in quantola velocità della; massa è sempre ortogonale al filo.

3. Il filo attaccato alla massa del problema precedente, invece di essere attaccato al paletto, passa sotto al piano del moto attraverso un forellino e' viene tirato verso Îl basso finché la distanza della massa dal foro si è dimezzata. Alsolito, si vuole sapere la velocità angolare finale. Cosa si conserva, l’energia o il momento: angolare? E chi non sì conserva aumenta o diminuisce? Perché?

4. Laclassica ballerina (classica perché è citata su tuttii libri), oppure la pattinatrice su ghiaccio, ruota velocemente con velocità angolare wo sulle punte dei piedi (o

dei pattini) con le bratcia alzate lontane dal corpo, quindi le abbassa portandole a contatto del corpo. Sia I il suo momento d’inerzia (rispetto all'asse di rotazione) con le braccia alzate, € Z quello con le braccia abbassate. Chi è maggiore, /1 6 I? Cosa si conserva, l'energia o il momento angolare? E la grandezza che non si

conserva aumenta o diminuisce? Perché? 18.3 Il giroscopio

Gli effetti giroscopici sono queglieffetti, sempre sorprendentie talvolta sconcertanti, che si manifestano quando si hanno oggetti con un elevato momento angolareintrinseco: tipicamente ruote, oppure trottole, con grande velocità angolare attorno all’asse di simmetria, detto anche asse giroscopico. Il loro comportamento è spesso sconcertante, in quanto sembra violare le aspettative

basate sul comune buon senso. Si faccia il seguente esperimento (ma con le dovute cautele!): una ruota di bicicletta è montaia su un asse attorno al quale è libera di

ruotare. L'asse viene tenuto orizzontale con le mani, e la ruota viene posta in rapida

rotazione. Se ora si vuole ruotare l’asse e disporlo verticalmente, viene naturale cercare

di alzare un estremo dell’asse e abbassare l’altro: la reazione del sistema non è quella che si vorrebbe, cioè una rotazione dell’asse dalla posizione orizzontale a quella verticale,

mal’asse della ruota tende a ruotare orizzontalmente e quindi a sfuggirci dalle mani venendo a sbattere contro il nostro corpo {di qui la pericolosità dell'esperimento). Il motivo di questo comportamento è il seguente: la ruota ha inizialmente un elevato momento angolare L diretto comel’asse, quindi orizzontale. Se ora la manosinistra spingel’asse verso l’alto e quella destra verso il basso, applichiamo al sistema una coppia di forze che hanno un momento orizzontale ortogonale ad £ (è diretto avanti a noi) quindi, per la 2° equazione cardinale, produciamo una variazione ALdi L nella

stessa direzione, quindi L, cioè l’asse, ruota nel piano orizzontale. Se invecela ruota era ferma, (E = 0), il momento applicato produce non una variazione di LI+Ì+ AL,

170

o alla rotazione impressaal sistema, ma un momento angolare (0 + AZ), quello dovut ! secondo le aspettative. z comporFondamentalmente sullo stesso principio si basa il della leggi alle re sfuggi a tamento di un giroscopio che sembr quello gravità.Il giroscopio può presentarsi in diverse forme; a, cioè un che noi consideriamo è sostanzialmente una trottol

o ad corpo con un assedi simmetria, che può ruotare attorn al enente appart massa, di un puntofisso, diverso dal centro e solidal disco un da uito costit è esso 18.5 Passe. Nella figura ad O al proprio asse, incernierato (senza attrito) nel punto

fig. 18.5

un opportuno supporto.

ro p.es. Seil disco non ruota,ed il sistema viene lasciatolibe

della figura, esso si comporta come un pen

-* -

izione Se invece il disco ha una cievata dolo fica e quindi ccilla attorno alla verticale. ono all’asse giroscopico (asse Di l’asse ruota fentamente al

velocità angolare attorno

fra due valori Omin:E Bmax de ango a alla verticale (asse 2) e nel contempo oscilla “non cade”: il moto dell’asse giroscopico è simile

che esso forma con l’asse 2, e quindi

endolo sferico discusso nel capitolo 9.

.

.

a, e quindi discuterne il comporta, Mede cesivere le equazioni del moto del sistem ia ci limitiamo a quelle conclusioni mento in maniera abbastanza completa, qui tuttav di conservazione. leggi che possono essere dedotte direttamente dalle te determinati) gli assi principali de Siano È, îì, È (di cui i primi due non univocamen Ixìirelativi momenti opio, 1h = I, =I# tensoredi inerzia rispetto al punto O del girosc di inerzia, ed

Li wi

a

«È

La

Il

°

tu

wi=dwo

I

>

Ul

2

mriug=m 1) wi

L.

«È a =@ DI, w3

le componenti di Si ha

È (il polo è sempre O)

(18.21)

di & rispetto ai tre assi principali d'inerzia.

(18.22)

Ly = Io, Lo = lug, Lg = Ius.

al punto O, se d è la distanza L'unica forza attiva è la gravità, il cui momento rispetto del centro di massa dal polo O, è

.

È j ti déh M=m

e giroscopico C: ed è ortogonalesiaa 7, e quindi all'asse 2, sia all’ass

M.=0

M=M-î=0

2) (18.23 (18.24)

te del moto; dalla seconda, essendo Dalla prima delle (18.24) segue che L, è una costan

È un versoresolidale per la (12.25) si ha

dlaò = di iii anò=M-î+(En9)( é+D.(0AÒ= M-C+(LAd) = 04 Liws — Lai = (1 La) 102 =0 17i

(18.25)

Le leggi di conservazione per i sistemi

L.E. Picasso; Lezioni di Fisica Generale 1 quindi, grazie alla simmetria del corpo (7, = /2), anche L3 = I3w3 è unacostante del:.

moto: pertanto la velocità angolare attorno all'asse giroscopico resta costante. Inoltre si conserva l’energia totale (cinetica più potenziale): 14

E= 5h «D+ mg così.

1...

1

;

Li+ti HA 3 2I

2 (18-27 ;

213

la conservazione dell’energia assumela forma

+ mgd così = costante

(18.28):

{(L3/213 è costante). A questo punto, almeno nei suoi aspetti essenziali, il comportamento del giroscopii risulta comprensibile: supponiamocheinizialmente l’asse giroscopico sia fermo in po: sizione p.es. orizzontale (8 = 7/2) e sia w = wa la velocità angolare (i|| C). In quest condizioni (inizialmente) L= I w3 È e L,=0.

Lasciato libero, il disco inizia a cadere, cioè l’asse si inclina verso îl basso; di conse-' guenza cambia la proiezione sull’asse z del momento angolare 73 w3 (, ma poiché L;* si conserva, essa deve essere compensata da una opposta componente 2 del momento

angolare “del centro di massa”, per cui l’asse del giroscopio inizia a ruotare attorno, all’asse z (moto di precessione); se wa > Î, cioè se È halo stesso verso di $, la rotazione

avviene in senso antiorario: infatti in questo caso Pinclinazione verso il basso dell’asse

del giroscopio genera una componente negativa di L,, che viene compensata dalla rotazione in senso antiorario di tutto il sistema. Se invece w3 < 0 la rotazione dell'asse avviene in senso orario.

È chiaro che, come nel pendolosferico, l’inclinazione 4 dell’asse non può passare per il valore 7, altrimenti L, diven-

terebbe uguale a —/3 +3, in contrasto con la conservazione di L, (nel nostro caso L. = 0, in generale se l’asse parte da fermo con inclinazione #4, L. = Ia wa cosfe): di conseguenza

AAA} 80

-

=

+ 4mex fig. 18.6

l’asse, oltre ad avere un moto di precessione attornoalla verticale, oscilla fra due valori di #, strettamente compresi fra D e 7 (moto di nutazione): se l’asse parte da fermo con inclinazione do, il suo estremo libero descrive su unasfera di centro O una curva simile

a quella riportata nella figura 18.6.

Esaurita l’analisi qualitativa del moto, vediamo ora comesi possono determinare gli angoli Amin € ?max fra i quali si svolge il moto di nutazione e, in una opportuna appros:

simazione, la velocità angolare dell'asse giroscopico attorno alla verticale.

La determinazione degli angoli Amin € Imax si effettua, comenel caso del pendolo sferico,

per mezzo del potenziale efficace: a tal scopo dobbiamo preliminarmente stabilire la seguente diseguaglianza: (£1+ L3) sen? 8 > (L. — La cos@)?. 172

(18.29)

(18.30)

forma un angolo |8 7 {2A Il vettore L,É + L29) giace nel piano ortogonale ad È che

modulo) maggiore 0 con l'asse z, quindi detto vettore forma con l’asse 2 un angolo (in uguale a |? — 1/2], per cui FI

2,

3h. & = 3 Uli +43) +I30î) =

Lì _L453 2I; 2I

L.= (Li + Lo + La 0), > (IÉ + Lof)): = L: — La così. n n {(ExÉ + Lafi)a| < IE1é + Lafilcos(® — n/2) = (Lî + L3)

\send|

e graziealla (18.30) (quadrando) si ottiene la (18.29). Dalla (18.28) e la (18.29) sì ha dunque

(18.39)

d

cos@)?

(18.31)

La , (L.. così. e nni ° +m9 24 sen? 8 25 2 sistema. del potenziale efficace Il termine a 2° membro della (18.32) gioca il ruolo del per Pangolo #: siccome permessa regione la definisce Ueg(0) > £' e la diseguaglianza a 13 E'=E __ 18,

posizione verticale) tende Usn(9) (se L3 # L., cioè se:il'giroscopio non parte in l'equazione

di conseguenza +00 sia per 9 + 0 che per @ 4 7, esso ha un minimo, sonogli angoli Amin € max che 1), < [cos] regione (néllà radici due ha E! = Ueg(9) niamo di poter approssimare Per determinare il moto di precessione delgiroscopio suppo I con Lal = JlawgC, il che è lecito se durante il moto

BY Amgdi > «> me d

(18,33)

(18.34)

un pendolo di lunghezza dele dove w, è la velocità angolare che ha nel punto più basso Imd fè deli ordine iI, siccome Quindi, parte dalla posizionedi equilibrio instabile. giroscopica (approssimazione Wg > ws richiedere a sostanzialmente la (18.33) equivale o della trottola veloce). .

Posto allora

(18.35)

L=Isî

dalla 2° equazione cardinale e dalla (13.23) (Ls è costante) si ha x

+

Lsé=-mdGnL&

>

2

r

= AC

4

mdg

SETT m

Siccome

(18.26)

Si. ha

(18.36)

ad un corpo che tuota con ve che è l'equazione peril moto di un vettore © solidale 2. Quindi l’asse del giroscopiò e all'ass lo paralle asse un locità angolare wpr attorno ad e di wpr, detta appunto velocità angolar precede attorno all'asse 2 con velocità angolare i . . precessione.

_

precessioneè molto Jento: Wpr Si noti che nell’approssimazionegiroscopicail moto di co-

esi mantiene praticamente (&y/w3) wy; difatti in questo caso l'inclinazione dell'ass mità del minimo di Ver o prossi in svolge si 8 l'angolo per moto il in quanto

stante, orario a seconda che L3 > Si riconosce nella (18.36) che il moto è antiorario o La < 0 ($ è diretta verso îl basso). 173

0

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

19.

18.4 Motolibero di un solido attorno al centro di massa Se lanciamo per aria un corpo,il CMsi muove come un punto materiale soggetto alla, -. forza di gravità e nel contempo il corpo ruota. Vogliamo studiare il moto di rotazione che il corpo effettua attorno al CM o, più precisamente, nel riferimento del CM. Il

problemaè identico a quello di un giroscopio in cui il CM fisso. Anclie in questo caso ci limitiamo a queirisultati che possiamo dedurre esclusivamente dalle leggidi conservazione. Siccome Mg = 0, il momento angolare £ (indipendente dal polo) è una costante del motoe, per la stessa ragione [v. (17.17)] anche l’energia cinetica ih a. Nelcaso sferico (Zi = I° = I3 = I) direzione.

L= IW

quindi di resta costante in modulo e

Nel caso simmetrico (I, = In =] # I3), oltrealla conservazione di DA grazie alla (18.25) (nel caso che stiamo consideratdò 17 = 0) si ha anche la conservazione di Z- C cioè,

con le notazioni del paragrafo precedente (ma ora i momenti|di inerzia sono momenti

centralì di inerzia), non solo dî w3 ma anchedell'angolo fra L (che ora è fisso) e l’asse

di simmetria. Dalla (18.25) si'hà anche che (ZA 0) - C =0,cioè i tre vettori Z, d, È

sono sempre complanari. Inoltre, nel caso simmetrico {ma non in generale), il modulo di © è costante: infatti
7) per cui si ha sempre una sola soluzione.

Abbiamo già messo in guardia che l’equazione di van der Waais potrebbe non essere

corretta per tutti i valori delle variabili termodinamiche: in effetti le isoterme al di sotto dell’isoterma critica non possono rappresentare correttamente il comportamento

del fiuido, in quanto laddove la pendenza è positiva un aumento della pressione corrisponderebbe ad un aumento del volume. Ovviamente in questo caso l'equazione di ‘198

Sistemi termodinamici

e,dn ragione sta nel fatto che lungo en van der Waals non è attendibile, e la casto Mud il cioè ), stato fase (o cambiamento di T < T; siverifica una transizione di r cn o ai ieC mep volu il dimimendo partendo da destra nella figura 21.4 € lo st ec°! do più vapore, to di aeriforme (vapore)allostato di liqui ine, pico osco micr vista di o punt dal fase enza vapore): oo transizione di di MO o ° È ante in modo determin molto complesso in cui entrano in gioco a olo

nefr simultaneamente, anche molto loni cioè che interessano molte molecole ginare cosa deveLaoST guido

ad imma (correlazioni a lungo raggio”). Si provi

o o disordinato 1 ln cul Psaaamente molt e di afaseao ad una di. o ne ssio .pre della nto aume un ad to romene (per esempioin segui ssscontinuità: la a in uno stato altamente or guai minuzione della temperatura) pass Sie mrodurre elle cioè à, enta delle singolarit In questi casil'equazionedi stato pres pente. gra in certo è non s Waal der nostra derivazione dell'equazione di van , in‘ cole sono sempre considerate questi effetti, soprattutto perché le mole i nei ansizion è una trans ido). i PrO Soon

e non come un tutt'uno.

Nella figura 21.5 sono riportate, oltre al

i tratPisotermacritica, due isoterme reali: egti rettilinei compresi entro la curva tratt e vapor e izion trans giata rappersentano la dimiuna e izion trans la te + liquido: duran varia” nuzione del volume non porta ad una e vapor il tutto zione della pressione finché

non si è condensato. Dopoil tratto retti

verso lineo, sempre percorrendo l’isoterma nta aume curva della enza pend la ra, sinist

fig. 21.5

. 0. _ ente, in quanto la fase liquida poidi arn laN picco ima orta comp i pressione Preconrimisile una grandevariazioned riportato l'ulteriore transizioni amo abbi non 21.5 a figur volume. Nella . a cuIVA Mae are ido. dalla e a critic rma isote dall' Di piano Y,p resta suddiviso ia curve destra sotto I isoterma, critica, | aMio regioni: solo vapore nella regione di non può ee ti 2sn o critic terma l’iso do sotto all'interno della curva tratteggiata, liqui a Po oem iie dell’isoterma critica: x Hai tratteggiata, ed infine gas al di sopra caso nel eo iles f di la pressione. Dl punto essere liquefatto, per quanto alta sia 1 ia

ione corrispondente pressione 000 tica è detto punto critico € la press palo ma so e la densitàcritica vale fe =0. Si dell’acqua T, = 647K, p:= 220 atm di van deriva È DL),

delle isoterme del gas È già abbastanza evidente dal grafico e o lontano dalla empere dI rie ideal siam più prattutto dalla (21.19), che tanto di o quel gas reale approssima tanto meglio il comportamento di un , è quellodi realizzare una trasformazione Ie Abbiamo visto che un modo per derntenti

ll sis onaa con Un termostato; se invece mantenere il sistema in contatto o a pai cirendente vuot a ra per esempio con una came

mente isolato dall’esterno, modo che il suo comportamento intorno come nei normali thermos, in

199

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

un setto (o pistone), una sola delle quali inizialmen te occupata da un gas che in seguito” alla rimozione del setto

22.

diffonde in tutto il contenitore. L'esperien za effettuata da; Joule (in realtà Joule ha ripetuto un esperi mentofatto in precedenza da Gay-Lussac:

IL 1° PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

con vari gas in condizioni di “gas ideale”, € conil contenitore isolato

22.1 Il 1° principio

ione Q = 0 (il sistema è isolato termicamente) e L= 0: infatti nessuno ha: fatto dall’esterno del lavoro sul gas;la trasf ormazione, adiabatica e isotermaallo stess tempo, è chiaramenteirreversibile. : Un altro mododi passare dallo stesso stato iniziale allo stesso stato finale è quello di far compiere al gas una trasformazione isote rma reversibile: lo si mantiene in contattò termico con una

Nell'ambito della termodinamica “pura”il 1° principio ha le sue basi nei fatti sperimene tali: ci sono molti casi in cui è possibile realizzare una trasformazione da uno sa 0 È ad unostato sia facendo solo lavoro {meccanico, elettrico. ..) sul sistema, sia s0 tan o scambiando calore conil sistema (ovviamentesi tratta di due prasformazionidiverse). Un esempio è dato dal 1° esperimento di Joule, un altro è quello di una pil En certo lavoro (elettrico) su una resistenza (un lungofilo di metallo) con conseguen “ mento della temperatura della resistenza (effetto Joule): lo stesso risultato può sr

termicamente: dall’esterno, ha rivelato che all’i inizio e allafi ne il gas si trova alla stessa temperatura: stati iniziale e finale sono quindi rispe ttivamente po, W, 7 e 3pa, 2V, To. Nella; trasformaz

sorgente a temperatura 7) e, contrastando la spint

a del gas, si lascia che il settosi sposti lentamentefino a cheil gas occupa tutto il contenitore. Lo stato finale è

ottenuto mettendola resistenza a contatto con un termostato alla temperatura finale; se ni o imento * la stessa resistenza potrebbeessere utilizzata al posto dell'àgitatore nel 1° esperime

lo stesso di prima, perché uguali sono volum e e temperatura: ora però dall'esterno è stato fatto un lavoro negativo sul gas (lo spostamento del setto è opposto alla forza:

di Joule per scaldare l’acqua: in questo caso il sistema è l’acqua ela resistenza(scaP

che occorre esercitare su di esso), e forse c'è stato anche ‘unò scambio di calore fr gas e termostato, anzi c’è stato certamente , perché se il termostato non ci fosse la trasformazione sarebbe adiabatica (reversibile ), e l’esperienza ci dice che in queste condizioniil gas si raffredda (tra Pococe lo dirà anchela teoria). Vedremo poi quali conseguenze Joule trasse da questo esperimiento.

dabagnoelettrico). In tuiti questi casi, e nei casi analoghi, si constata € e il lavoro

fatto nella prima trasformazione e il calore fornito al sistema nella seconda, sone 2 o

porzionali: L/Q è indipendente dal sistemae dalle temperature (più in genero dadi

stati) iniziali e finali. Il valore del rapporto (costante) L/ Q è stato misure odaJoule in quello che abbiamo presentato come 1° esperimento di Jqule, nel quale i

palette era ottenuto mediante l'abbassamento di pesi, e così Joule poteva m

10dele

va

lavoro fatto sul sistema:il risultato di queste misure e di altre analoghe, come qui basata sull’effetto Joule, è

A (22.1)

steso

JE 3 = 4.184J/cal

def cioè 1 cal = 4.184J (recentementela definizione di caloria è cambiata: 1 cal lii: quindi ciò che ha senso misurareè il calore specifico dell’acqua; al giorno d'oggi la cal è più una unità “legale”). o. La Tvaloredella costante 5 delta equivalente meccanico della caloria, dipende dalle unità di misura utilizzate per L e per Q, ma quello che non ne dipende è Îl significato f sico della costanza del rapporto L/Q: lavoro L e calore Q sono modi alternativi pi î realizzare le trasformazioni che abbiamo discusso, e non solo quelle; siccomei! ; asoroè un mezzocon cuil'energia viene trasferita da un sistema ad un altro, ne segue cl he n ”

il calore è un mezzodi trasferimento di energia, e quindi sono granderze cuuiva] cati A questo puntoè possibile misurare L e Q nelle stesse unità (in joule nel SI), per in tutti i casi finora discussi possiamo scrivere

(22.29)

L=Q

Possiamoriscrivere la (22.2) in modo diverso: se indichiamo con suffissi 1 e 2 le due trasformazioni considerate dallo stato A allo stato B, si ha

I

( 22.3

(L+Q) = (L+0Q)a

Lon i nati jamo infatti nella prima trasformazione Q = 0, e nella seconda £ =0: si ia(00.2 | adottato la convenzione che Q è la quantità di calore fornita al sistema: nella (22. ‘202

as

Q>0.

203

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

Il 1° principio della termodinamica

Il passaggio dalla (22.2) alla (22.3) è banale ne» gli esempi considerati, ma la (22.3) generalizza la (22.2) a situazioni più complesse: consideriamo un

La sommadel lavoro fatto su un sistema e del calore fornito al sistema in una trasformazione eguaglia la variazione dell’energia interna:

sformazioniallo stato Va, 73 (figura 22.1):

Si noti che il 1° principio si applica a tutte le trasformazioni, siano esse reversibili o irreversibili. 7 ; c. _ La (224) o (22.4’) ha la stessa forma della (20.15), e abbiamo usato gli stessisimboli per anticipare che si tratta proprio della stessa equazione: in effettiL per de nizione ha lo stesso significato nella (20.15) e nella (22.4’), per Q il discorso richiederebbe mal che parola di più, ma sostanzialmente l’uguaglianza del calore termodinamico {que lo

AU=L4+0Q.

gas nello stato iniziale Vi, T, e le le seguenti tra-

trasformazione 1: espansione adiabatica reversi bile

Va Ti + Vai To (L0);

trasformazione 2: riscaldamento isocoro {reversibile 0 10) VT + Va,Ty (L=0,Q0> 0) seguito fig. 22.1 da una espansione adiabatica reversibile Vito + ViTa (L0 1 (in diverse circostanzeè utile la diseguaglianza a — 1— loge > 0). 217

(23.1)

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

Sebbenel’adiabatica e l’isoterma possonoessere percorsein senso inverso, non è possibile chiudereil ciclo inverso (MT) (RT) T1) + (Vi Ta) senza utlizzare © (almeno) una seconda sorgente a temperatur a T: del resto,se fosse possibile si avrebbe L Clausius (per assurdo):

l'argomento è simile al precedente: una macchina di Carnot accoppiata con un disposi tivo che trasferisce interamentealla sorgente calda il calore:{Q1] ceduto dalla macchina di Carnot alla sorgente fredda, è una macch ina monoterma (solo la sorgente calda scambia calore non nullo) che viola il postulato di Lord Kelvin. Le formulazioni di Clausius e di Lord Kelvin del 2° principio della termodinamica, sono solo due delle infinite possibili formulazioni : Plan ck ha dimostrato che postulare l’irreversibilità di un qualsiasi processoirreversib ile(| cioè affermare che nonesiste un dispositivo ciclico che realizzi come unico risult ato l'i inversione del processo) è equivalente al postulato di Lord Kelvin (e di Clausius). Per esempio, postuliamol’irreversibilità dell’espansione di un gas ideale nel vuoto (2° esperi mento di Joule), e dimostriamone l'equivalenza con il postulato di Lord Kel: vin: realizz iamo l'espansione in maniera isotermae reversibile (a contatto con unasori gente), ottenendocosì un lavoro L° > 0 {dato dalla 22.21 cambiata di segno), quindi seil nostro postulato fosse falso esisterebbe un dispositivociclico cheriportail gas allo stato iniziale , e in questo modo abbiamo realizzato un ciclo “non Kelvin”: una sola sorgente e L" > 0. Viceversa, lasciamo espandere il gas nel vuoto, poise esistesse una macchina “non Kelvin”, questa prelevando calore

da una sorgentealla temperatura del gas produrrebbe lavoro che può essereutilizz

ato per realizzare una compressione isoterma e reversibile del gas a contatto con la stessa sorgente

utilizzata dalla macchina, alla quale il gas restitu isce tutto il calore prelevato dalla macchina “non Kelvin” fin una trasfo rmazione isoterma di un gas ideale L+Q=0). Quindi il calore totale scambiato dalla sorgente è nullo, ed il gas è tornato allo stato iniziale “senza effetti collaterali”, in contrad dizione conil nostro postulato. Analogamente potremmo prendere come postulato l’irreversibilità della scarica di un condensatore su una resistenza (scaldandola resiste nza nonsi ricarca il condensatore: al solito “non esiste un dispositivo ciclico tale che ...”), oppure il fatto che un corpo 218

I 2° principio della termodinamica

inverta spontaneamente è 0.00 ---1”, ma certi numeri sono fisicamente indistinguibi

et conosciamo l’interpretazione microscopica di L e Q come, rispettivamente, la parte ordinata e quella disordinata del lavoro microscopico (cioè fatto dagli sioni si

gli atomi): il 2° principio afferma che è sempre possibile, trasformare lavoro or ina in lavoro disordinato, ma non è mai possibile un processo il cui unicorisultato sia la trasformazioneintegrale di lavoro disordinato in lavoro ordinato.

23.2 Il Teorema di Carnot Tanto perla storia,il tavoro di Carnot con le sue fondamentali intuizioni sulle macchine termiche e sul mododi ottimizzarneil rendimento è del 1824, molto in anticipo rispa n agli esperimenti di Joule che sono degli anni fra il 1840e il 1849, e le formulazioni,dl

principio degli anni 1850. Ovviamente, quello che oggi è noto come seorema| n moi è la versione moderna e rigorosa di ciò che Carnot aveva brillantemente intuito ci un quarto di secolo prima persino della formulazione del 1° principio. Teorema di Carnot:

tutte le macchine termiche reversibili che scambiano calore

con due sole sorgenti a temperature assegnate T\ e 1 hanno lo stesso ren menton. n; Il rendimento n° di ogni macchinairreversibile funzionante con le stesse sorgen ro puoò superare 7. . n. _ o

(Si intende che le macchine lavorano come “macchine”, cioè Z° > 0, e solo se son reversibili possono anche lavorare come pompedi calore). Dimostrazione: siano M e M°rispettivamente una macchina

termica (reversibile o no) e una macchina di Carnot, entrambe funzionanti con due sorgenti a temperature T) e T2

(figura 23.5). M° viene fatta funzionare in senso inverso. u

ciclo di M° viene regolato in modo che se Q2 > 0 è il calore che M riceve dalla sorgente calda T2 e QS < 0 quello che M°riceve dalla stessa sorgente, si abbia Qr +05 = 0. Quindi la macchina composta da M + M° e dalla sorgente calda, preleva Q1 + Qf dalla sola sorgente a temperatura Ti

(Q1 < 0, Qf > 0) e in un ciclo (AU = 0) compieil lavoro 219

Ta

T

î-

D-

Ti hg.235

-

23.

Il 2° principio della termodinamica

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

D-L°=Q,+0fî. Per il postulato di Lord Kelvin Q1+0f < 0 > -Q1> Qi

cioè ]Qf] < ]Qil: quando la macchina di Carnot funziona come macchina e non come frigorifero, a parità di Qrestituisce alla sorgente fredda una quantità di calore minore o uguale a quello restituito da M, che quindi ha un rendimento non superiore a quello della macchina di Carnot. Infatti:

eng Qi m=l+ 6g

3_ i 6,

Qu = 1+3”

(23.2)

Se Mè reversibile nella (23.2) vale il segno di eguaglianza, e quindi tutte le macchine

reversibili (con sorgenti a temperature T, e 72) hanno lo stesso rendimento dato dalla

(22.38). In particolare, il rendimento del'ciclo di Carnot non solo è indipendente dal tipo di gas ideale impiegato, ma è addirittura indipendente dal tipo di fiuido {gas reale, liquido e vapore, gas di fotoni. ..). Il rendimento delle macchine irreversibili non può superare quello delle macchine reversibili. Quindi dalla (23.2) e dalla (22.38) si ha Qi

di
0, altrimenti nella

: (23.3) valeil segno di eguaglianza):

Qu.

Q

T+0 AS = Clog i+ TE sce. anchese quella del corpo inizialmente più caldo diminui

24.4 Entropia ed energia interna istenza per ogni sistema Unadelle conseguenze più importantidella (24.4), cioè dell’es interna e l’equazione ergia dell'en della funzione di stato entropia, è che l’espressione si capisce perché se cosa la denti: indipen essere o di stato di un sistema non posson siccome per ogni elemento consideriamo un fluido p, V, 7 che compie unciclo reversibile, À infinitesimo della trasformazionesi ha

(24.24)

Q=AU+pAV

e il ciclo dipende dall'espresl’espressione del calore scambiato (con le sorgenti) durant equapressione, che è data dall sione dell'energia interna e anche dall’espressione della

deve valere la (28.12) con il zione di stato. Quindi, poiché per ogniciclo reversibile o essere indipendenti. posson non segno di eguaglianza, è chiaro che U(V,7) e p(V,T})

ia interna e l'equazione Riportiamo la dimostrazione della relazione fra l'energ

229

di stato

L’entropia

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

solo per gli studenti (di anno superiore al 1°) che già conosconoil concetto di differenziale esatto. L'indipendenza della (24.4) dalla trasformazione (reversibile) implica che 6Q/7 è un differenziale esatto dS; dalla (24.24), prese come variabili indipendenti V e T

1{,0U

1,0U

as=7|(30)te +7)AT

quindi dato che

dd

si ha

da cui

d

(0425)

8

ar) = 7 (9)

AORORTOA

2 (24.27)

(3), n r(d), Pr

i raffredda e in una compressione (8p/0T),, > 0, in una espansione adiabaticail fluidos . . i riscalda. di nte costa e volum a ico specif calore il n nacndo risultato è la dimostrazione che che di una dimostrazione si prata qualsiasi sostanza deve essere positivo: în effetti più

di temperatura si basa sul fatto ne di. un esercizio, in quanto la definizione stessa ri 0

raggiungonol equilibrio e ciò, duecorpi {a temperature diverse) messi a contatto a temperatura maggiore a que lo Ù al postulato che il calore passa sempre dal corpo l'ordinamento delle tempera sure), o fissat viene modo temperatura inferiore (in questo mo

< 0. Allora vediamol'esercizio: ponia non sarebbevero se esistessero corpi con Cy ratura 7), a contatto con una. sorgente il corpo (a volume costante) inizialmente a tempe ratura L1. & contatto con la sorgente a tempe a temperatura Ta>T, poi nuovamente

Il ciclo è irreversibile, quindi Z, < 0:

1 /®CT + —_ 1 1[marco Eh v(T)
ao

(24.30)

Questa è la relazione che deve essere soddisfatta per garantire la compatibilità fra

ve) mo,seguela tesi, cioè Cv (T) > 0. e poiché Ta può essere preso vicino a Ti quanto voglia

quazionedi stato segueche il 2° membrodella (24.27) è nullo, come deveessere, dato

24.6 Entropia e lavoro

l'energia interna, l'equazione di stato ed il 2° principio. Nel caso del gas ideale dall’eche l’energia interna del gas ideale dipende solo dalla temperatura.

L'espressione dell’energia interna per un gas che obbedisce all’equazione di van der Waals (19.19), compatibile con la (24.27), è

UV,T)=n(CvT- 7)

(24.28)

doveil termine (negativo) dipendente dal volume è dovuto all’interazioneattrattiva fra le molecole. 24.5 Due semplici conseguenze del 2° principio Esistono molte conseguenze del 2° principio espresse da relazioni fra le derivate delle grandezze termodinamiche, note come relazioni di Mazwell. In questo paragrafo ci limitiamo a ricavare due semplici risultati che sono conseguenze dirette del postulato di Lord Kelvin o della diseguaglianza di Clausius. Consideriamo un fluido p, V,T e il seguente ciclo monotermo non reversibile: trasfor

mazione adiabatica reversibile (Vi, T1) + (V2,72), isocora non reversibile (Va, 73) + (V3,71) a contatto con sorgente a temperatura 7), trasformazione isoterma reversibile (Va. Ti) + (Vi Ti). Poiché L7 < 0 si ha Va

Va

JLPVIadidV < f Ptrd VIVI Vi

Vi

(24-29)

quindi se V > Vi si ha p(Valadiab < P(Va)isorer , e viceversa se Va < Vi. Ciò significa che, per qualsiasi fluido, nel piano p, V ogni adiabatica reversibile attraversa dall'alto

>

(È : x) n

applicazioni del concetto dientro” In questa breve e limitatissima panoramica su alcune variazione di entropiae avoro fra sione connes pia, non si può fare ‘a menodi citare la il nomedi “degradazione dell'energia”. perduto”: un capitolo che normalmenteva sotto Discuteremo due cdsi. . o 1. Macchine con duesorgenti. pento un hanno sibili irrever ine macch le che ato Tl teoremadi Carnotci ha insegn fornito dalla sorgente calda, i n minore di quelle reversibili: a parità di calore Qa quello fatto da una macchina reversì Ùe fatto da una macchinairreversibile è minore di entropia del sistema termicamenteÙ , di Questo lavoro in menoè legato all'aumento due sorgenti: in un ciclo dellamari in lato costituito dalla macchina termica e dalle quello delle sorgenti, che perla (24.19) è la variazione di entropia delsistema è solo AS

(24.31)

_ 0 Qu 225 =Ti

co

TT

,

.

variazionedi entropia delle sorgenti {se la macchinaè reversibile segue dalla (23.4) chela

atto macchina è L° =Q+ Q2, mentre quello è nulla). Îl lavoro fatto in un ciclo dalla sorge dalla Q: calore di tà quanti stessa la da una macchinareversibile che riceve

è calda è LT = Mesna: 2: quindi il “lavoro perduto”

ur

on nDE Tur

Tr,

L,-L =Q(1-7) -(Q, +02) =

=TAS>0

(24.32)

verso il basso ogni isoterma. reversibile, come accade per i gas ideali. Se poi peril fluido considerato la pressione a volume costante è una funzione crescente della temperatura:

. 2. Trasformazioni monoterme. calore con una sola ia scamb ma siste cuiil in quelle sono Le trasformazioni monoterme

230

231

L'eniropia

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

sorgente a temperatura 7°. La temperaturainiziale e quella finale del sistema possono anche essere diverse dalla temperatura della sorgente (per esempio, prima o dopo essere

, in questi casi un ruolo simile a quello dell’energia potenziale U dei sistemi meccanici

Siccome l'integrale di Clausius lungo la trasformazione è I, = Q/T, dalla (24.7) e dal 1° principio si ha

reversibili sono quelle che realizzano il lavoro massimo e nel contempo il minimo incresi mento dell’entropia: non si dovrebbe quindi parlare di “crisi energetica” (l'energia

stato a contatto con la sorgente il sistema ha effettuato trasformazioni adiabatiche).

Q_AU-L

.

conserva sempre), ma più correttamente di “inflazione entropica”.

ASZR=TTF

>

dove AU coincide con il lavoro fatto sul sistema (controle forze del campo). le trasformazioni Quelle discusse sono sélo due delle tante possibili situazioni in cui

L>(A4U-TAS),

L AU=-AU"=Q

>

AS Su - AS= dr

(24.49)

totale

per cui minimizzare - AS equivale a minimizzare l'energia libera di Helmholtz. Se si vuoleriportareil sistema, nello stato iniziale, siccome l’energia libera deve aumentare, per la (24.37) occorre fare lavoro positivo sul sistema. 3. Sistema in ambiente a pressione e temperatura costanti. Questo è il caso per esempio delle reazioni chimiche che avvengono all'aria aperta (0

anchein soluzione), e delle transizionidi fase solido-liquido, liquido-vapore. L'unico lavoro è quello fatto dalla pressione dell'ambiente esterno (negli esempicitati la pressione atmosferica), per cui dalla (24.47)

AG=A(H-TS) 0 perchési passa da uno stato più ordinato (la struttura cristallina del solido) ad uno menoordinato (la struttura amorfa delliquido). A basse temperature (< 0°C) prevale l'aumento di entalpia ed il ghiaccio non fonde, mentre a temperature più alte prevaleil termine T' AS ed il ghiaccio fonde. In un ambiente a temperatura di 0°C e pressione atmosferica, AH=TAS,cioè AG=0, e la reazione ghiaccio + acqua può avvenirein tutti e due i versi, cioè siamoin una condizionedi equilibrio in cui le due fasi coesistono. Nel caso della reazione disintesi dell’ammoniaca

(24.54)

Na (9) + 3H2(9) + 2NH:(9)

si ha AH= -924kJ/mol

A4S= -0.198kJ/mol K

(24.55)

e quindila reazione può avvenire solo fino alla temperatura Tmax = AH/AS470K. A temperature superiori diventa permessa la reazione inversa, cioè la dissociazione

dell’ammoniaca.

In generale, sia A & B un processo (trasformazione) in ambiente isobaro-isotermo, Ga(T,p) e Gn(T,p) l'energia libera di Gibbs del sistema rispettivamente nello stato A

e nello stato B, riferita a masse uguali (My = Mo); allora

Ga(T,p) > Ga(T,p) >

AB

Ga(T.p)=Ge(T,p) >

AB

Ge(T,p) > Ga(T,p) >

(24.51)

(24.52)

CaC0Os(5) + Ca0 (3) + CO:(9)

B+A

(24.56)

cioè in quest’ultimo caso i due stati A e B possono coesistere all'equilibrio, e le trae

sformazioni A # B sonoreversibili (AG = 0 in seguito al passaggio di un’arbitraria quantità di massa dallo stato A allo stato B o viceversa). Questasituazionesi realizza quando

AHa5(T,p)=TASaz(T.p)

(24.57)

La curva definita da Ga(T,p) = G5(7,p), che separail piano 7, p nelle dueregioni in cui la trasformazione avviene in un verso 0 nel verso opposto, è detta curva di equilibrio perla trasformazione A + B.

°

237

LE. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

L’entropia

Nel caso di una sostanza semplice, come l’H30, che può esistere in tre differenti fasi, abbiamo tre curve di equilib rio

nel piano T,p. Siccome le tre curve si devono intersecare in modo tale da dividere il piano Tp in non più di tre regioni distinte (corrispondentialle trefasi), si debbono incontrare in un punto T, detto punto triplo, dovetutte e tre le fasi posson o coesistere. Il puntotriplo dell’acquasi ha alla temperatura di 0.01 °C e alla pressione di 612 Pa(cioè circa 5 mm di Hg). La curva di equilibrio liquido-vapore termina al puntocritico c. fe. 242 Nella figura 24.2 è riportato il diagrammadi fase dell’ac qua; Bi la pendenza negativa della curva liquido-solido {dp/dT = -134atm/K) significa che la temper atura di fusione diminuisce all'aumentare della:p ressione: è una peculia

rità dell’acqua legata al fatto che il volume delsolido è maggiote di quello del liquido (normalmente succede l'opposto). Ed è grazie a questa dipend enza della temperatura di

fusione dalla pressione che è possibile pattinare sul ghiatcio: sotto la pressione eser-

citata dalle lame dei paitini il ghiaccio fonde e permett e:lo scorrimento delle lame

stesse.

24.9 Il significato microscopico dell’entropia e il teore ma di Boltzmann

Abbiamo già accennato più volte alla relazione che intercorre fra entropia e ordine

disordine: grazie al significato microscopico del calore come lavoro disordinato, che abbiam o stabilito nel capitolo 20, abbiamo potuto interpre tareil postulato di Lord

Kelvin comel'impossibilità di una trasformazione integrale di lavoro disordinato in lavoro ordinato; abbiamo interpretato l'entropia di mescolamento di due gas come dovuta al passaggio da uno stato (relativamente) ordinato ad uno stato più disordinato; la reazione (24.52), pur essendo una reazione endotermica, può ‘avvenire ad alte temperature in quanto la variazione di entropia è positiva, e se si guardan oi prodotti della reazione si vede che lo stato finale è uno stato meno ordinato di quello iniziale; lo stesso discorso lo abbiamo fatto per le transizioni solido-liquido (e vale anche per le transizioni liquido-vapore}, che anch'esse sono processi endotermici con aumento dell ’entropia.... Tutti questi indizi di un collegamentostretto fra entropia e ordine-disordine sono resì precisì dal teorema di Boltzmann chestabilisce il significato microscopico dell’entropia. Anche se non abbiamo gli strumenti per dimostrare questo teorema, cercheremo di chiarirne il significato e di verificarne la validità in alcuni casi semplici. Il punto di partenza è questo: ovviamente non c'è corrispondenza biunivocafra gli stati micro scopici di un sistema (microstati) e gli stati termodinamic i (macrostati): per esempio, se scambio fra loro le posizioni e le velocità di due molecole lo stato termodinamico

non cambia, ma quello microscopicosì. Ogni stato termod inamico corrisponde quindi ad una classe molto, molto numerosa di microstati. Indichiamo con £ il numero di microstati corrispondenti ad un dato macrostato: il teorema di Boltzmann afferma che

& = klog

(24.58)

dove k = R/N4 è la costante di Boltzmann. È evidente che siccome ciò che interessa sono le variazioni di entropia fra due stati, non è necessario {in questa sede) chiarire

238

comesi fa a determinare 2, cioè îl numero di microstati corrispondenti ad ogni macrostato, ma è sufficiente conoscerei loro rapporti. Ad esempio, consideriamo Îl solito gas

ideale che si espande nel vuoto raddoppiarido il proprio volume. Comunque si contino i microstati del sistema, è chiaro che se il volume raddoppia, per ogni molecola raddoppia il numerodi stati disponibili (molto all'ingrosso: se prima poteva stare solo a sinistra, ora può stare sia a destra chea sinistra): se le molecole sono N, il numero di microstati aumenta del fattore 2V. Allora, secondola (24.58)

S(2V) — S(V) = klog ir = klog2" = kNlog2 = nRlog2

x

x

che coincide con la (24.17). Più in generale, O è proporzionale a VN

(24.59)

N per cui,; almeno

nel caso in i cuiì cambia i solo ili volume, l’entropia ia didi Boltzmann coincide inci cor l’entropia ‘entropia .

termodinamica data dalla (24.10). Consideriamo ora il caso in cui cambia solo la temperatura; ciò significa che cambia ; l’energia cinetica media delle molecole. Ora,lo stato di una molecola non è determinato solo dalla sua posizione, ma anche dalla sua velocità e anzi, velocità e posizione sono proprio sullo stesso piano, per cui adesso dobbiamo determinare come cambia il “volu-

me” nello spazio delle velocità a disposizione dì ogni molecola (nel caso precedente non

dovevamo preoccuparcene perché l'espansionelibera nel volume doppio pon cambiava

le velocità delle molecole). Il discorso diventa un po’ più delicato, perché certamente nonè vero chetutte le molecole devono averela velocità all’interno diuna ben definita regione dello spazio vx, v,;v:: quello che possiamo dire è che se cerchiamo di dare una

definizione fisicamente significativa di “volume a disposizione di una molecola nello spazio delle velocità, questo, per un gas monoatomico (tre gradi di libertà) deve essere proporzionale a (6?) ®/? (infatti la larghezzadella curva di distribuzione delle singol e componenti delle velocità delle molecole è (v?) 1/2, è questa può essere presa come i lato “della scatola” che contiene le velocità delle molecole). Quindi, per il teorema Ù

equipartizione dell'energia, il volume cercato è proporzionale aT o (al solito, i coeÈ ficienti di proporzionalità nonci interessano), per cui il numerodi microstati

molecole è proporzionale a 7/2, Allora dallà (24.58)

AE)

delle

pare

S(Ta)- SK) =kloggi) 518 pan 32 _ = 3Rnlo

Da Tr =è g DL To nCy“log log 7

(24.60)

che coincide con la (24.12) (gas monoatomico). o . Siccomeil numero di microstati corrispondentiallo stato termodinamico di un gasey monoatomico in un volume V è temperatura T è proporzionale sia a V che a a ; e quindi a VI TÎN/2, è immediato verificare che per una arbitraria trasformazione de

gas, dalla (24.58) si ottiene la (24.16).

Secondo la meccanica statistica tutti i microstati accessibili al sistema (in quanto com

patibili con le condizioni imposte al sistema, come per esempio l'energia, il volpa ...) hannola stessa probabilità di realizzarsi nel corso della continua evoluzione ello stato microscopico del sistema: di conseguenza £, il numero di microstati corrispon-

239

L.E. Picasso: Lezioni di Fisica Generale 1

INDICE ANALITICO

denti ad un dato macrostato, è proporzionale alla probabilità che il dato macrostato

sì realizzi; non solo, ma se potessimo fare un grafico di questa probabilità in funzione

dello stato macroscopico, ci renderemmo conto che ha un massimo molto pronunciato . in corrispondenza ad un certo stato macroscopico, e crolla a valori irrisori per stati macroscopicamente distinguibili da esso: nel caso di un gas in un certo volume quella che è (normalmente) trascurabile è per esempio la probabilità di trovare un numero di molecole nella metà di destra sensibilmente diverso dal numero di molecole nella metà di sinistra. Lo stato di massima probabilità è quindi lo stato nel quale il sistema spende la maggior parte del suo tempo, cioè lo stato di equilibrio al quale si porta spontaneamente il sistema se non perturbato da azioni esterne, cioè se è isolato: è su questa base che la meccanica statistica spiega la legge dell’accrescimento dell’entropia. A questo puntosi chiarisce anche la relazione fra entropia e disordine: £ è una misura

del disordine di uno stato termodinamico. Quanti più microstati corrispondono ad un macrostato, tanto più:questo è uno stato disordinato: se le molecole stanno tutte

nella metà di sinistra del contenitore, lo stato è più ordinato di quando occupano tutto il contenitore; in una biblioteca ordinata i libri su un certo argomento possono stare solo in un determinato scaffale (pochi stati a disposizione), mentre in una biblioteca disordinata possono stare in qualsiasi posto (troppi stati a disposizione, e nessuno li trova quando ne ha bisogno). Quale stato più ordinato di quello che corrisponde ad

un unico microstato, cioè. quello in cui tutte le molecole siano ciascuna in uno stato ben determinato: tutte ferme e in posizioni fisse? Questo, secondo il 3° principia della termodinamica; o principio di Nernst, è propriolo stato al quale tende ogni

sistema quando T + 0K: pertutti i sistemi (stabili) allo zero assoluto si ha 2 = 1, cioè lo stato di massimo ordine.

La discussione si conclude qui, ma al lettore più attento e curioso resterà un senso di insoddisfazione, giustamente, perché con il teorema di Boltzmann e l’interpretazione microscopica dell’entropia abbiamo solo dato una fugace sbirciatina attraverso il buco della serratura di una porta dietro la quale sta un grosso capitolo della fisica, che potremmointitolare “reversibilità meccanica e irreversibilità termodinamica”: bastiil

titolo per dare un'idea dei problemi — al giorno d’oggi neppure completamenterisolti — che stanno dietro questa porta che purtroppo non abbiamoii tempo di aprire.

7

Barriera centrifuga (o potenziale centrifugo) 90 Binormale 60 Bombacalorimetrica 234 BovLE{Legge di) 192 Braccio 42, 43

A Accelerazione 25 centripeta {o normale) 27 {Componenti angolare e radiale della) 29

di CorioLis 123

di gravità 6, 17 (Dipendenzadella a. di gravità dalla latitudine) 130

Cc Calore: 184, 200-201

atomico deisolidi 207

{Variazione della a. di gravità con l’al-

di réazione 234 latenté di evaporazione 234

tezza) 130 di trascinamento 123 in coordinate cilindriche 29 normale (o centripeta) 27 relativa 123 scalare (o tangenziale) 25, 26

latente di fusione 234

molare 205

— dei gas ideali 205 = 207

specifico 201, 231 Caloria 201, 203 (Equivalente meccanico della) 203

Ampiezza dioscillazione 19, 38, 106

del pendolo 62, 79, 97 Approssimazione delle piccole oscillazioni 40-41, 95-96, 97, 107, 167-168, 168-169 ARCHIMEDE (Principio di, spinta di) 191 Asse giroscopico 170 Asse(istantaneo) di rotazione 114 Asse polare 28 Assi principali di inérzia 145 Assoluto (Spazio, Riferimento) 121

Cambiamentidi stato 199, 237 Campa delle accelerazioni 118 Campo delle velocità 112 Campo di forza 42

conservativo 74 centrale 42, 73 gravitazionale 42, 73 Capacità termica 201 Carica gravitazionale 133 CarnoT (Cielo di, Macchina di) 213 (Teorema di) 219 CaucHhy (Teorema di) 190 Centro di massa 49 {v. Teoremidel} Cerchio osculatore 26

Atmosfera (Unità) 190

Atto di moto 114 Attrito (Forza di) 63 dinamico 65 statico 63-64 viscoso 46 AVOGADRO (Legge di) 192-193 {Numero di) 192

CGS (Sistema) 5-6

Chilogrammo-massa 5 Chilogramumo-peso 6, 34 Gicle con rigenerazione 220 di CarnoT 213 di OTTO 221-222 di STIRLING 220-221

B PERPETUUM MOBILE (R.P.Feynman)

240

Bagno termico(v. Sorgente, Termostato) BOLTZMANN (Costante di) 193

(Teorema di) 238

(Teorema di equipartizione) 193

241

Indice analitico monotermo 217 Cifre significative 4 CLAPEYRON (Piano di) 198 CLausius (Diseguaglianza di) 220, 223, 225

Degradazione dell'energia (o lavoro per-

duto) 231

Densità critica 199 Deviazione verso oriente 131-132 Dimensionifisiche di una grandezza 6 Dyna 34 DuLonG E PETIT (Legge di) 207

(Integrale di) 223, 224

(Principio di) 216 . Coefficiente di attrito dinamico 65 Coefficiente di attrito statico 64 Coefficiente di viscosità 46; 48 Composizione delle. accelerazioni 122-123 Composizione delle velocità 120 Condizioniiniziali 35 Conservazione dell'energia 76-77, 163, 166, 180 del momento angolare 44, 142 del momento angolare assiale 93 della quantità di moto 53

E Efficienza 214 EINSTEIN (Ascensore di) 129, 134

{Modello di) 41, 207

Energia 68, 77 cinetica 68, 158

— di traslazione 159 — di rotazione 159 — media (dell'osciliatore) 77, 207 - media (delle molecole) 192, 193-194 {Conservazione dell’) 76-77, 163, 166, 180

Coordinate

cartesiane 13, 14

cilindriche o polari piane 28 sferiche 94 CorIoLIS (Accelerazione di) 123 (Formula di) 122-123

interna 182, 205

- dei gas ideali 205 + 207 — del gas di van DER WAALS 230 libera di Ginps 234-235 libera di HELMHOLTZ 232 meccanica 77

(Forza di) 126, 129 + 132

Corporigido 109

(Dinamica del) 150

(Equilibrio del) 149-150

potenziale 74, 164

(Moto del) 109

— media (dell'oscillatore) 77, 207 Entalpia 233-234 Entropia 224 di un gas ideale 226 di mescolamento 226, 227 ed energia interna 229-230 e disordine 227, 238, 240 e lavoro 231 + 233 e probabilità 239-240 (Significato microscopico della) 238 + 240

(Statica del) 149-150

Costante del moto 44-45 Costante dei gas 192 di BOLTZMANN 193, 238 di gavitazione 45 elastica 38 Covolume 196 Cp/Cv per i gas ideali 211 Curva di equilibrio (delle fasi) 237 Curvatura (Raggio di) 26

(Variazioni di) 225 + 228

Equazione delle adiabatiche reversibili 212 del moto 34 del pendolo 60, 97, 107

D DEBYE(Temperatura di) 207 Decadimento 54, 180

242

Indice analitico differenziale 34 dimensionale 6 di stato 189 — dei gas ideali 192 = di vaN DER WAALS 196 Equazioni cardinali 50, 138, 139 Equilibrio (Condizioni di) sistema meccanicamenteisolato 236 — meccanicamente e termicamente isolato 235-236 — termicamente isolato 228-229 Equilibrio delle fasi 237 di un punto materiale 39, 85-86 di un corporigido 149-150 di un corpo immerso 191. termico 193

fittizia 125, 135 gravitazionali fra corpi a simmetria sferica 156 impulsiva 177

interne 50

(Momento di una) 42

peso 17 posizionale 69 viscosa 46 FoucautT (Pendolo di) 123-124, 132. FOURIER (Serie di) 98 Frequenza 19 Frigorifero 214 Fune 60-61 Funzione di stato 204

i

Fusione 234, 237

Equivalente meccanico della caloria 203

Erg 69 Errore 4 relativo 4

G

7

GALILEO 30 (Trasformazioni di) 111 Gas ideale 191 reale 191 Gauss (Teoremadi)

F Fase (nel motooscillatorio) 19 Fase (Transizione di) 199° Fasi (Equilibrio delle) 237 Fattore di conversione 6 Fattore di qualità 102, 104, 106, 107 Filo 60-61 Fluido non viscoso 190 Forza/e 30-31 apparente 31, 125, 135 attiva 58 centrifuga 126 conservativa 74 deviatrice 70 di attrito 63 di CoRIOLIS 126 — (Effetti sulia Terra della) 129 + 182 di gravità 17, 51 di inerzia 125, 136 di marea 129

Gavy-Lussac (Legge di) 192

Gi8ns (Energialibera di) 234-235 paradosso di 227

Giroscopio 170 + 173 Gradidi libertà 81, 82, 109, 207-208 Gradiente 83-84 Grado Kelvin 192

Grandezzafisica 5

adimensionale (o numero puro) 6 derivata 5 fondamentale 5 Grandezza scalare 9 pseudovettoriale 17 vettoriale 9 Gravità (v. Accelerazione di; Forza di) Gravitazione universale 31, 45

dissipativa 71

H

elastica 38 esterna 50

HELMHOLTZ (Energia libera di) 232 Hertz (hertz, Hz: Unità) 24

243

Indice analitico HUuvGHENS-STEINER (Teorema di) 147

Legge dell’accrescimento dell'entropia 228 di gravitazione universale 31, 45 oraria 18, 109, 119

I Impulso angolare 175 Impulso di una forza 175 Inerzia (Principio di) 30

in campo centrale 89 + 92 in un mezzo viscoso 46 + 48 perpetuo di 1° e 2% specie 216 piano 116, 118, 124, 154 + 156 radiale 90 relativo 13,

M

(Tensore di) 144, 146

gravitazionale (v. Carica gravitazionale) inerziale 133

Isocronismo (Correzioni all’) 97 Isocrono (Pendolo) 99 + 101: © Isolato (Sistema) 53

ridotta 55, 179

- (meccanicamente) 236 - (- e termicamente) 235-236.

— (termicamente) 228-229 ; Isoterma critica 198, 199

Isoterme dei gas ideali 198, 212 Isotermedei gas reali 198, 199 Isoterma(Trasformazione) 198

J JoULE {Primo esperimento di) 201 {Secondo esperimento di) 201-202 (joule, J: Unità) 69

K KELVIN (Grado) 192

(Principio di) 217

KEPLERO (Leggi di, Orbite, Traiettorie nel motodi) 45, 87 + 89 KoEenIG (Teorema del) 159

NERNST (Principio di) 240

Momenti principali di inerzia 145

Nutazione (Moto di) 172

armonico 19, 25, 27

— smorzato 101 + 104 — forzato 104 + 107

L

(Atto di) 114

Lavoro 68-69, 158, 200

circolare uniforme 19, 24, 27

delle forze interne 159, 160

circolare vario 19, 24, 27 del corpo rigido (legge oraria) 109 di nutazione 172 di precessione 157, 172 di pura rotolamento 63-64, 116, 117

disordinato 183, 184, 219

ordinato (0 macroscopico) 183, 184, 219 perduto 231 + 233 utile 235

244

Piano inclinato 54, 59, 65 + 67, 32-83

(Moto di una ruota su un) 147-148, 162163

PLANCK (Principio di KELVIN e) 217 Piccole oscillazioni (v. Approssimazione delle) |;

N

MAYER(Relazione di) 211 Media temporale 77 Membrana semipermeabile 227 MKS(Sistema) 5 Mole 192 Molla 38, 59 Momento 43 angolare 43-44 — (Conservazione del) 44, 93, 142 — di un corpo rigido 144 — totale 138 assiale 93 di inerzia 146 di una forza 42 — intrinseco 141 Momento risultante 138 delle forze esterne 139 delle forze interne 139 Moto

smorzato 101 + 104, 107

Periodo 19 del pendolo 97, 99 delle piccole oscillazioni (v. Approssimazione delle) Peso (Forza) 17 Piano di CLaPEYRON 198 Piano (v. Moto piano)

rotatorio 110, 115 su traiettoria prestabilita 60 traslatorio 110, 115, 121 uniformementeaccelerato 18, 19, 23, 24, 27

Massa 5, 30, 33

Isocora (Trasformazione) 198:* -

sferico 94 + 96

rettilineo uniforme 18, 23, 27

Macchina di CARNOT 213 Macchinafrigorifera 214 Macchina monoterma 217 Macchina termica 213

Integrale di CLAUSIUS 224 Integrali primi 45 Interazione 32-33 Irreversibile (Trasformazione) 197 Isobara (Trasformazione) 198.

î

Indice analitico

Polo (dei momenti) 42, 43

NEWTON 30 (Legge di gravitazione di) 31

Pompa di calore 214

Posizioni “di'‘equilibrio (v. Equilibrio) Potenza 68--- 70, 158

(newton, N: Unità) 33-34

Numero di Avoganro 192

Potenziale 74, 83, 164

Numero puro 6

centrifugo 90 della forza centrifuga 135 efficace 39 + 92, 172-173

o

Precessione {Velocità angolare di) 173, 174 — degli equinozi 157 Pressione 190-191" critica 199 (Significato microscopico della} 191-192 Probabilità e 2° principio della termodina‘ mica 219 Probabilità ed entropia 239-240 Prodotto scalare 11-12 Prodotto triplo fra vettori 16

Orbite circolari nel moto di KEPLERO 45 Oscillatore armonico 38 isotropo 41, 92

soggetto ad una forza costante 39-40 forzato 104 + 107 Oscillazioni smorzate 101 + 104 Otro (Ciclo di) 222-223

P

Prodotto vettore 12-13 Pseudovettori 16-17 Pulsazione 25 Punti di inversione 85 Punto critico 199

Paradosso di GIBBS 227 Parallelogramma (Regola del) 10 Pascal (pascal, Pa: Unità) 190 Pendolo 60, 97, 107, 168 conica 63 di FouCAULT 123-124, 132 fisico 153-154, 166, 168 isocrono 99 - 10î

Punto triplo 238

Q Qualità (v. fattore di} Quantità di moto 30 totale 49 (Conservazione della) 53

(Periodo del) 97, 99

piano 62 semplice 57

245

Indice analitico

R

Indice analitico

Raggio di curvatura 26 Rapporto di compressione(nel ciclo di OT-

TO) 222

Reazioni endotermiche, esotermiche 234 Reazioni vincolari 57-58 Regola del parallelogramma 10 Rendimento 213 del cicio di CARNOT 214 del ciclo di OTTO 222 del ciclo di STIRLING 221 Reversibile (Trasformazione) 197

PA

Sistema di unità 5 CGS 5 Internazionale (SI) 5 MKS 5 Pratico 6

Sammadi vettori 10

Sorgente {o bagno terma_ico, o termostato) 198 (Variazione di entrop @a di una) 227-228 Spinta di ARCHIMEDE L © Statica del corpo rigido 149-150 Stato termodinamico 1539 STIRLING (Ciclo di) 22G—221 Superfici equipotenziali 84

Riferimento 13, 110, 119

del centro di massa 140 in caduta libera 129, 134 Risonanza 106, 107, 108

Tempo di rilassamento

Tensione 60-61

104

- di vapore 189

Ss

Tensore di inerzia 144,

Serie di FOURIER 98

Simbolo di Kroneker 15-16 Simbolo di LeviCivita 16 Simmetria sferica (Forze gravitazionali fra corpi a} 156 (Potenziale gravitazionale di masse a) 165 Sistema

nergia totale) 86, 18

dell'impulso dell’inn pulso angolare 175 di BOLTZMANN 238 di CARNOT 219 di CaucHY 190 di equipartizione dell ’energia 193

di Gauss 156

di HuvGHENs-STEIN ER 147 Teoremidel centro di measssa

conservativo 75, 163

di punti materiali 49, 138, 187 in ambiente isobaro-isotermo 236

1°(d= MV)50

(v. Isolato)

Vapore 199

Teoremi sul lavoro delle forze interne 159, °

Variabili (termodinamiche) di stato 189

160 Termostato (o bagno termico, v. Sorgente) Terzo principio della meccanica 50 ‘Terzo principio della termodinamica 240 Traiettoria 18 prestabilita (Moto su} 60

Velocità 21 angolare 24, 113-114 — scalare 23-24 areolare 43 (Componenti angolare e radiale della) 29 (Campodelle) 112 della luce 5

Traiettorie nel moto di KEPLERO 87 + 89

2° (1° eq. cardinale)

se

di fuga 79, 80, 88

(Accelerazione di) 12317

(Velocità di) 120 Trasformazione

di trascinamento 120 limite 48 media 20-21 molecolari 239 relativa 120-121 scalare 22-23 Versore 11 Vettore assiale 17 Vettore di Lenz 87 + 89 Vettore solidale 114-115 Vettori linearmente indipendenti il Vincoli 57 bilateri 57 lisci (o privi di attrito) 58

I

adiabatica 200, 230-231

di fase 199 irreversibile 197 isobara 198 isocora 198 isoentropica 226 isoterma 198 (v. Isoterme -)monoterma231-232 termodinamica 196 — per stati di equilibrio 197 Traslazione degli assi 14 Trave su tre appoggi 149-150

scabri 63, 65

unilateri 57 Viriale (Teoremadel) 194 Viscosità (Coefficiente di} 46, 48

U Unità di misura 5 Unità derivate 5 fondamentali 5 Urto 53-54 anelastico 53-54, 178-179

w Watt (watt, W: Unità) 69

50

3° (o del risultante di elle forze peso) 51

meccanicamente isolato-236 meccanicamente e termicamente isolato 235-236 termicamenteisolato 228-229

4° (decomposizione cILel MA) 140

5° (o del MA rispett © al CM) 140 6° (o del momento rî spetto al CM} 141

"246

L'È an

146

Teorema del KoENiG 159 del viriale 194 delle forze vive 683-6B, 158, 161-162 delle forze vive genearalizzato (o dell'e

Scalare (Grandezza) 9 (Prodotto) fra vettori 11-12 Secondo (s: Unità} 5 Semilarghezza 106

VAN DER Waats (Equazionedi) 196

163

Trascinamento

Temperatura 193 assoluta 192 critica 199 (Significato microscoxoico della) 198-194

Risultante 50 delle forze esterne 50 delle forze interne 50 (Momento) (v. Momento) Rotazione degli assi 14

Vv

10° (energia gravitazionale dei sistemi)

Transizione di fase 199. —

T

inerziale 32-33

centrale 54 elastico 53

7° (0 del momentorisultante delle forze peso) 142 8° (0 di HUYGHENS-STEINER) 147 9° (o del KoeNiG) 159

247