Problemi di fisica generale: meccanica, termodinamica 8877841273, 9788877841278

Table of contents :
Cinematica del punto
Dinamica e statica del punto
Moti Relalivi
Oscillazioni armoniche
Dinamica dei sistemi di punti
Dinamica e statica del corpo rigido
Gravitazione
Meccanica dei fluidi
Tennologia. Proprietà dei gas
Principi della termodinamica

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1' ~dizlono 1SS2 rismrnpn 199~ M:;tampa1S96

\i $tmsi del Codice Pena:t:, d~lla legge sul diritto d'autore e del Codice Civi l~ ...;e1ata11riptoduzioned!q~o$tol:br0odipartedlessoconqualiiaslmeuo, ir.ronico o meccan~o. ~, rnezzo di fotocopi e, rnic1ofilm$ , regist1azlon1 o a:tro

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P. MAZZ ULD I

A. SA GG IUN

Dip.inime nto di Fisica Galileo Galilei - Un iversità di Pa.dova -

PROBLEMI DI

FISICA GENERALE MECCANICA TERMODINAMICA

EDI Z!ONI LIBRERIA CORTINA PADOVA 1996

INDICE

Capitolo 1 Cinematica del punto

pag.

I

Capitolo 2 Dinamica e statica del punto

pag.

31

pag.

73

Capi tolo 3

Molirelalivi Capitolo 4 Oscillazioni armoniche

pag. 91

Capitolo 5

Dinamica dei s.istemi di punti

pag. 1'07

Capitolo 6 Dinamica e statica del corpo rigido

pag. 133

Capitolo 7

Gravitazione

pag. 243

Capitolo 8

Meccanica dei fluidi

pag. 253

Capitolo 9

Tennologia.. Proprietà dei gas Capitolo 10 Princi pi della t.crmodinamica

pag. 261

pag. 2,8 1

CAPITOLO

1

CINEMATICA DEL PUNTO

punto,cominciando

1.!(l)=t,

Viceversa, se

dove

~

nota l'accclcraiionc da questa si 01-tienc la vcltcvuli sono: a) il moto rettilineo wiifonn e

a=ù

u.,cosiante

X"'Xo+VI

b) il moto rettilineo unifo:mer.icntcaccclcrato a=costante

V=Vo +at

1=;;;,+Vo11-½a1 1

e) il moto re tti lineo arrnon:co

[email protected](w01+ ~) =-é..:: la pulsazione w è legata al p,::riodo T dallo w=2r.{f. 0

Il segno di x di ce se il pumo è nel semiasse positivo o in quell o ncg;uivo; il seg no della velocità dà il vcrSQ del moto (segno posilivo ,·crso concorde con l'asse r, SC· gno negativo verso dismrdc CO!l l'asse x): dal segno dell'occclcrazione si deduce se la velocità stia crescendo o dccre.s.cendo (in val ore algebrico, non assol uto). A volte è nota la furu:ione a(x) invece della funzione a(J): da

a=~"'~!::"'::..!:'..v dt (J.x di ·4.t s.i ottiene ad.t =udv e integrando

½ui -½Vi= Ja(x)dx. È possibile quindi calcolare la variazione d i velocità in corri~pondMz.a allo sposr,amen• lO di x1

;J

x2• In particolare, nel moto uniformemente accelerato

Il moto ne! pill/lO, detto moto curvilineo piano, avviene lungo una traiettoria che è una curva nel piaoo x,y. In coord inate cartesiane la posizione del punto è individuata dalle funz.i oni x(r),y(r} che rapprese ntano due moti reui lir.ei l1,111go gli assi; questi moti sono le proiezioni nel moto del puoto lungo la curva. Le coordina,ie x(1} e y(1} soo.o le componenti del raggio vcJtore

r(t)=x(l} I.!,+ y(t} u, .

.,,o

La velocità del pUJJ,lj) è un ve ttore tangente alla traiettoria, le c ui romJX>nenti

L' accelerazione dèl punto è UJ1 veuore che può essere espresso tram ite le oo.mp:r

o.enti du,

dv1

a,.=rdt, 4,"'dt

~

a "'a, u, +a, u, ,

oppw-e tramite le c:ru:nponi;n ti L111ge,nte e normale alla traiettocia, dv v1 a :arur + Qii UN"'dlur-i.RuN. Nelle formule precedenti u, e u, sono i versori degli assi del sistema cartesiaoo, u7 è il versore tangente al!a curva , uN il versore normale diretto verso la concavità; u, e u, snno fiss i, u 7 e u.., variano con la posi1.ione de l pun\o lungo !.a traiettoria. Inoltre du/dt è la derivata del modulo del.La velocità e R il raggio di curv;olllfa; aN si chiama anche accc lc.!';JZione c~uuipcta.. _.

In un molo curvilineo per definizione la velocità cambia di dire zione e a,., è sempre diversa da zero, mentre Qr può essere n,!11~.. In qucslO ca,;o si parla di molo curvilineo uniforme, doveil tenTiine unifonne si riferisce esc lusivamCflte a1 fatto eh~ oon cambia il modulo della velocità. Note x(r) e y(t). cioè r (t), per derivazione si ottengono u_. e u, (e quin.di v) e poi a, e a.,. (e quindi a). I moduli sono v=~.a=~-

Da du/d1 si ea,.!cola are quindi a N = ~ ; infine R:u1/a,., Viceversa, dalla conoscenza delle cooiponcnli dcll"accelera1.ione e dc.lle è'ondizioni iniziali, si risale integrando alle comJX)flcnLi della velocità e alle leggi orarie r(1) e y(I). 111 definitiva, si vede che la dctcmiinu.i011e di posizione, velocità e accelerazione de! punto si ottiene componendo due moti reUi!lnei sugli assi. L'equazione analitica della traiettoria y(x) risulta eliminando il tempo dal siste m a x,., x(t), y= y(1). Ricordiamo pure che la posizione lungo !a 1raiettoria si può esprimere con la funzione s(t) c!o\·es è una coordinata curvilinea misurata a partire da un p unto arbitrario sulla traietioria. Nota s(1) il modulo della velocità è v=ds/dl me ntre l'angolo f c he la velocità for-ma con l'asse x si ouicnc da igf=dy/dx. Ollre ai modi dc~-crltti è possibile rappresentare i! moto in altri sistemi di C!Xlrdi nate. per esempio polari; si vedano per ques to direuame me i problemi 1.28 e 1.29. Casi particolari r..01.evo!i di moto piano sono: a) il mc,oo circolare la traieiooria è una circonferenza. il cui raggio coincide con il raggio di rurvatura, ci ie è dunque costante; de'.to 6 l'angolo che i! raggio vettor-e forma con l'asse x, si usano mollo si;esso per rappresclllare il moto le grandezze

w è la vcloci111 angclare, a l'accelcraz.icne angola.re; b) il moto parabo!ìco con accdera1.ione g è il tipico molO di un punto lanciato vicino alla superficie tc!TeStre, che si compone . ! : c ; ; ~ ~ ~ ~ d ~ ~irauvni~~~~~ supficie).

Il moto nello spw,io viene in generale descritto tramite i tre mmi rettilinei proiettati sugli assi, esrendcndo i concetti già visti. Si comprende l'impcrtanza dello studio del moto rettilineo. come base per costruire qualsiasi tipo di moto.

Nelle noie che seguono parliamo di simboli e di unità di misura: non entriamo invece nel merito degli argomenti matematici cui i simboli si ri feriscoou, in quanto trai· tafi nei corsi di Analisi Matematica I, Geometria I e Fisica I: raccomandiamo allo studente di rivedere auentamente derivate e intcgrn li e di familiarii.zarsi con il concetto di equazione differen:dale, argomento di norma svolto nel corso dì Analisi Matematica II, ma anticipato in quello di Fisica I.

NOTA SUL SIMBOLO DI DERIVATA

libro

L'operazio ne di derivazione, per esenipio rispcuo al tempo, è indicata in quesw con il simbolo

!!!.. , ~ ).

e analogamente per la derivazione rispetto ad altre variabili ( Le successive derivazioni SOflO scritte dx

dx

NOTA SUI SIMBOLI UTILIZZATI PER I VETTOR I Un vettore è indicato nel testo con u:ia lc!tera in carattere grassetto. Per rappresentare modulo, dire7.io ne e verso scriviamo talvolta

dove u è il versore (vettore unitario) di una direr.ione orientata. u è un numero che col suo segno da il verso e col suo valore il modulo del vettore. In coordinate cartesiane tridimensionali

u=u,u,+u,u,+u,u,; u.., u,, u, sono i versori degli a,;si (nel pian o si hanno rolo i primi due termini). I prodo tti scalari e vctLOriaH sono indicati rispettivamente

a•b , a x b .

ONEMA TICA DEL Pl/Nltl

NOTA SULLE UNltÀ DI MISURA Il sistema di un ità di misura utili1.zato è il sistema intemaziO!lale (SI) in cui le grandezze fondamentali e le relative unità, per la méccimica e la termodinamica,

lunghe,u.a

"mpo tcmpcratul'l.l quantitàdimateria

secondo chilogrammo kelvin mole

s kg K mo!

acuivaag giunta!'unilàpergliangolipiani,ilratliante(rad), ln ci nematica sono sufficienti le prime due e l'angolo per eS}lrimere tutte !e altre grandezze significative: vclocit.~ accelerazione velocità angolare acce!eraiionc angolare pulsazione frequenza

m/s

,.,, ms-1

m!s2

"'ms-1

rad/s

rad/s1 rad/s 1/s

= rads- 1 =rads-i =rads- 1 =S-l

= fil

{hertz)

Nelle relazioni tra grandezze emrambi i membri devono essere espressi rrelle stesse unità; quando si incontra una relazione esplicita come x ~ 3r2 il coefficiente 3 è il valore di una grandezza che ha le unità rn/s 2 (q uindi è un'accelcr'ìl'Zione) così che moltiplicando per f resut una lunghezza; lo stesso vale per y=t 1 (il coefficiente è l m/s') ecosl\·ia. Il risultato numerico tli un prcblemr. va sempre espresso oelk :mili! appropriate. che non si sottoimendono: invece in una e,spre~sione comeneme numeri, come ad esempio v =7, 4-0. 6t si intende sen1.a scriverlo che entrambi i membri wno espressi,, inrn/se.:ic1indi7,4 sonorn/se0,6rn/s 2 ,Se puòsicalcolav~rundeterminatovalare del tempo, oomc I = !Os, allora il risultato si scrive tJ:= l.4m/sSi faccia atten7ione alle lung hen e espresse in cm, mm o km e ai tempi e~pressi in ore o minuti: vannoscmprcco;ivcrtlti in metri e iii secondi. !.a velocità espressa in km/h (km/ora) va trasformaut in rn/s: JOlm

lkmJh= 3. 6 · IO's .. Q.28rn/s, per cui 100krn/h:e28rn/s ccc., la fre,;::uenza espressa in giri/mimrn, va tra>fònnata in !k lgiro/mirru to"' 1/GOs c:i .67· 10-1 Hz e quindi 30CK1 giri/minL1tù sono 50 Hz. Se si traM di un moto citto!are la coni,pondcme vel ocità angolare, vist(:o che I giro =2,rradiami, è ru:2,r 50rad/s= 314rad/s. Nei calcoli di velocità e accelerazioni arigotari e di pulsazion i gli angoli devono quindi esscre esires.si in radianti.

l.l.

Un punto con i·elocùri 11 1 = 5m/s vit nt accelerato unifo rmemente lungo un percorso,; = U.Sm fino a/lll ~·r/ocità v1 IOmfs. Ca/colllrt il valore dell'acceferazjone e iJ r,e.mpn impiegato a percorrert lo spazjo ,;_

=

Dalla relaziQru!

1/5 =Vi +2,u si ricava

subito

ui~Vi,., 3m}s2 .

a=

Pertanto, da t1z = v 1 + al si ha

I=

Vi: V1

"'1.67s.

va). Il tempo I si p.uò anche ricav:Jre 1 ;

la condi.zioo~ è quindi v 2 > v 1, come è ovvio. La posizione in cui avviene il raggiungimento si ouiene sos.tiwc!ldo il valore dì I, trovato in una delle due leggi col risulta· lD

1.1:z(Xi+ l!1fo)

.t;. ,:: ~ •

x;

U{I

Nel secondo CJ..o(t-rc,)+½g(t-to)': eguagl iando

Voro-½stt ( t=

Va- Slo

"'

v,

)•

Vo- Sia+ 1 I ·

PoicM deve essere I> to il termine tra patentesi deve essere maggiore di 2 ovvero

Vo'!:81o > I . Questa diseguaglianza è sempre vera purché sia 1Jo > glo, che è la condizione per il ragg iungimento. Se si ragiona sulle velocità, queste sono

V1=gt , Ui = Vo+g(1 -to)=1Jo-gto+V1;

il secondo punto raggiunge il primo se lii > v 1 e deve quindi essere 1Jo > gto, come già l/ovato. In un caso reale, siccome i punti cadoRO da ur.a cena al1eu..a rispetto al s~olo, :,:. sogna anche verificare se l'urto avviene prima che il primo punto tocchi il suolo.

1.S.

=

Un punto materiale 11itnt lanciato 1·trticc/menre verso l'alto: ofl'istonlt t O sia :e= O e v ="•;se all'i:;1nntt r1 il pu nta ha raggiu nta l'altem :r h ci sa• ni un altro istante 11 >t1 in cui :e= h. Calcolare quanta vale il prodotto t,ti-

=

Da h=t)o 1- ½g1 2 si ricava Vo±\f~-2gh

> 2gh). Il prodotto 11 t, vale quindi

Vo - VVij - 2gh

1,11 = - ,-- ·

tlo+ ~ 2h --,--= T:

il risul1ato indica un possit,ile metodo di misura di g=2h/1 1t1 •

1.6.

I/ motore di un'automobile può imprimetle un'atteftrll'::ione l'Mssima a1 ·= 2m /s1 e l'impianro fnna nte puil decelerarla al massimo con a1 = - 4m /51. Ca lcolare il tempo minimo necessario perchi l'auto, partendo M fernw , arrivi in un punto distan u s = SOOm dal punl() di p,artenu,. con ~·elocita nulla.

Alla fine della fase di accelcraziorn:, che dura un v(1.) = a111; nella decelerazione la velocità è

lm1AA1endo v(r) "'O si trova !a. relazione Lo spazio pcrcorSO si scnve

terhpo f1,

la velocità è

1-11 =~1 1.

Faa:'!Jtlo sistema con la precedCllte relazione tra I e r1 si troY:i: , 1 ,,,

y2s ~ = 27.39s. ~) =18.25s, , ,,, -~

L'a-u to accelera per 18.25 se decelera per 9. 14 s; il rapporto tr3 i dlle tem jYÌ è eglfale all'invers0 del rapportO delle accelerazioni (in modulo) e quindi, nel nostm caso, il temJJO di frenata è metà di quello di accelerazione,

1.1.

Un punto si muo~·e lun~o l'asse x con legge O'ftrri.li x(t) = f - 6t1 + 3. Trorare in quali istanti si annui/ano la velocità e l'acc~/erazione e il! quaii ista11ti il punto passa per l'origine. Descrivere inoltre il moto a p,artire da/l'istante t=O. La velocità e l'accelerazione del punto sono date rispcttivatfrctlte da V(/)=~=311 -12'= 31(1-4) , a(l)=Ti=Gt - 12=6(1-2).

Quindi v(r)=O per I= O e 1"' ti= 4s, a(t) = O per- 1= 11 =2s. ' Tracciamo i grnfici in funzione dc! tempo

IO

5.en7..a risolvere l'equazione di ten.o grado troviamo per tentativi che x=O negli istaolÌ to=0.76s e IJ=5.91s. Nell'istante ini1.iak. il punto ha coordin;ita x(O)= 3m, velocità nulla e accelerazione a(0)= -12m/s2: esso si muove pe!'Lallto, negli istanti successivi, lungo il verso nega• livo dell'asse x passando pcr l'origine a ' "'lo- Da ,,.o a I= 11 velocità e accelerazione hanno !o stesso segno (negativo), la velocità cioè cresce in modulo. Per l = t 1 l'accelerazione è nulla e la velocità è minima (ha in modulo un massimo lxale); da t=/ 1 a 1= 12 la velocità è negativa, ma l'acrell',razione è positiva per cui la velocità decresce in modulo fino ad annullarsi per /=12: qui il punto si ferma e il verso del moto si in-

verte. Per I> ti velocità e acccleraziOJ1e sono dello stesso segno (pcsiti vc) e il moto avviene con velocità crescente hngo il verso positivo dell'asse x; nell'istante 1=11 il punto ripassa per l'origine.

1.11. La rtlocita di un punto ch.t si muore sull'ane .:e t data dli v(t) =(t- lt SW· diart iJ moto S!Jpeado che la posizjone iniziale t .t(O) = .:c0 = -0.2m.

L'acceJerazione QCl nw:no è a(1) .. .!!fr- =4(1- 1)1 e la posizioae è

!

!(1~1)1dt=.ro+[¼(r-1)'1

.r(t)=.to+ u{tM=.to +

=-0.2-..J(1- li+f'°½(l-1)5 . li punto pane dalla pusi1.ione .x •--0.2m e si muov e nel vers:i posìtivo dell'asse .:e (la velocità è positiva). L'accelerazione è ne gativa e il p~nt:i ~all enta fino a fermarsi, ~ 1= ls, l'ICll'origine: in guçsts, istan~ sJ,a velocità che accelerazione sono nulle e il p.uo• to resta fermo.

Il

CL'\'EMAT!CA DEL PUNTO

= =

Un punto si muove lungo un asst x oriu,omale; alf'istan/e t O esso si trova nell'origint e ha velocità v 0 ::: 8m/s. Nel percors1J fino o x 1 20m l'acceleraUone del punto è a= -l.5m/s 2, per x>x1 è a= -kv; si osserva che il punto si f erma in x 1 = 40m. Calcolare il valore della costante k..

1.9.

Nella prima fase del moto tl(.t1)=~+2ar1 => V(.t,)=2m/s.

Nella seconda fase

O=~=='if 'Tr=~v= -kv

=

%'1=-k'

u(x)- u(x1)=-.t(,r-.i:1) . Perx:c.i:1

I.IO.

V(,¼),,Q

e

.t=.~~~ =0.1m- 1.

=

Un punto materiale si muove con vt /ocitil v 0 14m/s lungo il verso positivo dell'asse x. All'istante I= O t sro passa per l'origiru t, µr 1>0, la sua acceluazione valt a= -kv con k 2.4S- 1, fino a qiwrulo il punto passa nella posizione x1 = 4m. Tra x1 = 4m e 11 8m invece l'acctlerozjone del punto è coslDntt e positiwi e si osserva che, per x = x1 , il pun/o ha di llf!Ovo. la velocita vo- Ca]coln re il valore d.tll'accelernUoM a tra x 1 e .x,. ·

=

=

La vel!Xità in .r1• a causa della decrescila lineare con lo spazio dovuta all'accelerazione -.tv, è u(x1)=Uo-kxI =4.4m/s. Tra x 1 e-¼ il moto è uniformemente accelerato

per cui

i?(-¼)=~= 1i(.t1)+. 2a(,¼ -x1)

e. sostituefl !'espressione di v(.i:1)

a=h1(2uo-k..ri)

=22.08m/s1=~~.

2.4

2.(,¼-X,)

1.11.

Un punto si _muove lungo un asse x oriuoll/ale; all'istante I= O passa per l'origin e con ve/ocitil v 0 posirfra t da quell'isumte l'occelerotione d# punto vale a= -kv1• Detu minare l'espmsio11e della ve/ocilil infun.zione de) 1.trnpo e ln funriont dello _spa1;'0 e la ligge oraria x(r).

In funzione del tempo

a=%=-.ttr,

~=-kdi,

r~=-kidl.

12

,k- --h=-kt = u(f)= li-.: kt. Quando t ► l/t.1i.t semplicemente u (1) :. 1/kl. In fW1Ziooc dello spazio

a=Tr=~!}t- -4;-v=-ktf. ~= -kv,

I;;=-kidx ,

ln-&=-t:c

=

u{.t)=u0 e~

I! calcolo della legge oraria si può fare integrando u(1) oppure eguagliando u(r) e v(x); si trova x(t)=fln(l+t.1okt).

1.12.

u~ punto si muove di moto rettili11eo vario: le conditioni initiali f}e, I= O SO• no .r = O,v =O e I.a suo auelerarione ha l'espressione a= kt con lr: cosumte positiva. Calcolare quanto dew valere li. afjinchi dopo 10s la vtlocità dtl punto sia eguale a quello che avrebbe rt si muowsse con aueluazione costante eguale a g. Come si confrontano gli spau· nei due casi? Se a =kl velocìlà e spazio percorso valgono V=

iadt: ½kt

Voglìarno che sia

2

•

1 ¾tt1 .

x= vdt=

½.tf =gt e quindi

ka1= \~-S = L96m/s' . Per gli spazi p,!!Corsi nel tempo I si ha

x=¼kl1 =327m, x'=½gt1=49Im.

U3. Un punto descri11e un mota uniformemente acceft r11/o co11 acct lt raùo11t a µant lldo da/f'onfì11e co;i wlocìtà ìnìzialt nulla t orrìtondo ntf punto .r0 co11 rtlodtà v ., St partt con rt/adtà v0 t l'acct Jennio11t vale -a, flt llo stt sso tempo pen:O.Tt ' lo stesso spazio di prima? Rìptttrt il probltrno. con a= kJ.

Xo=~~~~l'~;~~~~~~=~::io v - v0 -at

v .. at e x=:½ai2; all'arrivo 1o ::0o/a e

= ~=0o/111empodiarres10

13

I=IJol-½a,2

=

.to=1-i=t.

Lo spai:io ix:rcorso nel tempo lo è lo stesso: graficamen te lo si capisce dal fauo chelcareesotlOlccurveu(1)sor1-0cgualineiduecasi Nel mOlo vario (è lo stesso del problema 1.12) , (iv; I = lo"'VT· .t=6.l:l3 I '{2u; u:au 21:.r = 1o=yy

1 Q,ak/,_V"'2kt1

Quandoa= - kt, .t=

Uol- ¼k/1

0 -

⇒

X.,=

~ ~"'

(2Uo)l{.I

6"\/t

tenl(Xldiarresto;

(ZJ~/l .

Lo spazio pcrtorso è il doppio di quello nella fase di àn'eleraziorn; a parità di tempo. In effctli i tempi sono g li stessi pcrchè si richiede la stessa varia.i.ione di vclt>cità (in modulo) con la stessa accc!cra1,ionc (in modulo), ma gli spari percorsi no. Graficamente, le aree sotto le curve u(1) sono diverse.

Ll4.

Un pun10 che descrfre un moto armonico di pttiodo T =0,90!. si trora al tempo I:.: O nella po1hiMe r(O)"" G.292s con ~elocild v(!.l) =0.945mls. Calcolan l'o.mpiezw dtl molo, In vdocilà massima e i'ata leratio,u rias:sìma, La pulsazione vale w=2nff=had/s. Dalle condizioni iniziali

x(Q),,,.xosenW, v(0):.w.xocos~ si ricava tgdi= rox(0)/v(0):.-2. 163 e

di::: 65, lrf! = l, J38r:rd.

x.i.cx(0)/.en,P:.0.322m, tJ0 :::

v(0)/cosò = wx.i = 2. 254m/s ,

~::W 2

Xo=l5.78m/s 2

_

Le espressioni esplicite sono x(1):::0.322scn(71+ 1. 138).

Ptnanto

u(1):2.254cos( 7r+ l.138) , a(t):-J5.78sen(71+ I. 138)

1.15.

Un pistone P può scorrere //Jngo l'asse x di un dliruiro; esso è collegato mediantt una biefla di lungh eW1 ba un perno siJuala sul bordo di un disco di raggio R. Det.crm.inar~ la 11elncità e l'accelerazione del pislP~ se il disco ruota con relocil,à r;ngolart CJJSIJJ.ntt w.

+, I

---- ---- ►

Supponiamo che nell'istante iniziale il punto A abbia coordinate (R,0), cioè sia sul!'asse x. L'ango lo varia nel tempo secondo 0 = wt e

xA =Rcoswr , YA "'Rsenmt ,

.:e,.= x,. + oeose·

Dal teorema dei seni applicata al u-iango lo OAP

l,...a coon:linata di P varia nel tempo secondo la legge

.:e, ,; Rcosm1+ Vb'-R 1:;..n1 w1 e quindi la velocità dd pistone è v, : -mRsco(tJt -

2

~

(si ri cordi che 2...en(ùl.COSrp1=osel\24>1); infine l'accelerazione risulta

dv?

z

oi2R1

°r"'d( "'- (JJ Rcosmt----;r-

4cosw1(if-R1sen1 wt)+R1sen12wr (b1-R'senlm1)lO. .

Appare chiaro che deve esse b > R, altrimemo il moto non potrebbe realizzarsi; qll.estacornlizion_-:pe.raltroJSsicuralarcallàdelleradiciquadrate. Se b P R si inwis.:e cl:lc il ruoto di r coincide co! moto della proii:zione di A sul• l'asse x, cioè

x,, = Rcosw/ ,1- b' v,"' ~(l)R~(!J/' a,,=-w 2Re-0sw1 .

15

È un moto armonico dì ampie1'Za R intorno alla plsizione x=b, ci~ che si svolge tra b~R e b+R (questo è .vero ancm ne! caso g01cralc). La conclusione si ricava analitica1~cntc consilbrando che, se b ~ R ovvero R/b « I, nell'espressione di .r,. si può traxurare R2 scdrut rispeuo a b2 e nell'espressione div, il secondo tcnninc, che è dell'ordine R1 /b, ;i può trascurare rispcuo al primo, che è deU'ordine R (cioè si trascura R/b rispeuo i I); analogamente, ne!l'espressione di a, il secondo termine è dcWordineR 2 b2 /b'=F, 2 /b mentre il primo è dell'ordi-

ne

R.

1.16.

Un aereo viaggia oriw,nta/menlt alla ve/ocW. v= 600km/h ad un'a}Juo,. d = 1km. Alf'istante I= O esso sgancia un U{getto che dew etukrt U1 1111 pu,110 prestabilito P. Calcolare sollo qu(l/t ang,lo rispetto all'orla.onta/e deve essere 1·ìs10 P dal punto di sgancio (si trascunno gli effetti. dovuti al(p rotazione della terro e alla resislenTA dell'aria).

Detto x l'asse lungo cui si muove l'aereo e y I ' l'lse verticale orientato verso il basso, il puf.1~ P deve stare nel piano x,y: prendiamo c:ime origine il punto di sgancio. Le condizioni iniziali del moto dell'oggcl:O sganciato SJno lo= )ti= O, Vo, =lJo , ¾ =0; !'accelerazione è quella di gravità, !e cui componenti re! nostro sistema di rife,Jnento-' sono a,"'O, a.,=g. Pcrlanlo il moto lcngo l'a~,;e x è rettilineo uniforne e quello lungo l'asse J ~ ret•

tilineo uniformemente accelerato:

x=¼,l=Vot, Y"'-½gt1. Dalla seconda si ricava i! tempo di caduta, che non dipende dalla veloci($. dell'aereo: l=\./'f;!i

= v'uii= 14. 2s;

sostimendo nella prima si ha I::: disunza oriuon!alc i)C.Corsa dall'oggetto nel ter:ipo

" x(P)=Vovfii1i=2367m , essendo I.lo ==600km/h =600 · 101 /3. 6- 101 "' 166. 7m/s

16

L'angolo it, è tale che tgit,=d/x(P):c:0,422, cioè 4-=22.9°. La traicuoria percorsa dall'oggetto t la parabola

=

1.17. Un cannone spara proiettili con nlocità inh.iale v 300m/s che derono colpire un bersaglio situato su un manu di alleua ·h = 103 m rispeflo al cannone; la disUJnza in linea d'aria tra cannoM e bersaglio è di 5 · 103m. Tro~'art l'angolo tt di alzo.

Le equazioni del moto dei proiettili proiettate sugli assi sono X=Vn,,

J=Vo,,t-{gf

e il raim avviene lungo la parabola di equazione

y=~.t- 2~..~2.

Poi~'i.é 'Ou, = tJoCOs_a e Vo, = 110s.::na abbiamo .t =tloCOSat, y:t1osenat-½gt2 ,

y=xtga-_2~!s2a X" • Essendo l/cos1 a= I+ tg2a l'equazione 1ella traiettoria diviene r=-~tg2a+xtga-

2~

!!.... . 2¼

Se inseriamo in questa i valori dcl!e coorti in ate del bersaglio, y"" IO'm

e x=V'(5·l0')2 - y2=4.9 ·lO'rr., abbiamo un 'cquazi::me di secondo grado in iga C:h e ha le due soluzioni

Dìscutiamo in generale questa equazione che riscriviamo così:

17

zl/6

tg2a- gx tga+

2vh

7

+ l =:0

Le solu zioni sono

Se il discriminante ~

èi(x,y) c g1,? -

2~y 7 _I

è positivo, un dc tertninato bersaglio di coonlinate ;t, y può esse're colpi to con due diversi ùri, uno detto diretto e l'a!u-o indircuo. Il tiro direu o corrisp:mdc alla soluzione col segno meno, cioè all'angolo a mino re, il Liro indiretto alla soluzione col segno più.

tg:

Se Cl =O esiste l'unica solt17':ione tga=IX"J/gr, osserviamo che '1 =0 impl ica

Y"'

~---/J,i?

che è appunw l' equazione della parabola con alw a=:carc

In -

fine se .:\ O, cioè se

2U

In figura è mosll3to un semplice dispositivo con cui si verifica lo stesso effetto; l'ordinata di incootro è y;=gx1{2.i/,

r+--XO~ I I

~---...l.f'•~V:'e!'-._----- ----9-- .

~

lYi I

I

I I

rY

1.21.

SI abbia Il sistema considerato ntl problema 1.20 e si suppongo che la dinzlone di lancio formi con l'asse r un angolo mir.ore di a= arctgy0/r• Deter• m/fl(J.re con quale ritardo, rispetto all'istante di portenw dello seconda pafli. na, deve essere lancUJta la prima offinchi si incontrino.

Il ritardo è dovuto a questi fatti: la velocità ¾. è maggiore e quindi minore è li la prima pallina per percorrere la distanra .xo; inoltre l'incontro avviene pii! in basso e quindi il tempo di caduta è maggicwe. Assumiamo f =O nel! 'istante di partenza della prima pallina e indichiamo con lo il suddetto ritardo. Nell'istante t z:O la seconda pallina si IJOva nella posizione y' = ti!mpo e~ impiega

Yo-½g~

con velocità. u' =.-glo, per cui le sue equazioni del moro sono

Xi=Xo, ]l=y'+V't-fgti=Yo-½g(f+lo)1.

A tale risu!talO si poteva pervenire direttamente osservando che pallina il moto ha inizio J) )b/ro.

1.22.

=

Un disco di roggio R 16cm ru ota con wlor:ità angola,./? costante compietrdò la i·elotilà fingofare, il periodo e fafn quenza del moto, fa veWciM e /'acceleratione di un punu, situtJtO Sul bordo.

:n giri al minuto. Calcolnrt

La velocità a"ffgolare è w=2nfr=2,rv se Tè· il perÌO\'lo e v la freq11enz.a . Qile• St"ollima vale 33giri/mino10=0.55 giri/s=0.55 Hz e quindi T= 1/\I= 1.825, m = 3.45rad/s. La veloci là del pumo è v = mR =O. SSm/s e 1'acceleraiione, esclusivamente cen• lripcta, è a=w1R=v1IR =l.9m/s2 •

1.23.

Un punto si muo,·e in ,·erso ontiororio su una cil'eonferenw "di rogl[io R = 2m e la legge orario ì s 411, in cui sì misurata a panire dal punto di coordina/e (2,0). Calcolare f'acctlerozjone dtl punto iii funzione del te·mpo e della posizione sullo drconfertnl.A; ca/colare inollre il tempo impiegato a percorrere il terzo giro.

=

Il mo10 è uniformem en te acceleralo con velocità e accelerazione date da

v=-% =81

⇒ m=;=a1=¾1=4t

ar=~=8m/s2

⇒

a =7f-"' 4rad/s 2

oltre alla componente Langente, costante:, c'è la rumponellle centripeta

t1t1=f =w R=32t2; 2

il modulo dell'accelcrnziooe \'aie a= tale che

~

=8 Y!+J6t. L'angolo

tg8=~:=4t2. In fonzione della pos:zione, essendo la velocità null a

r-er

tl-(s)=u 2 (0)+2ars = 2ars ⇒ V=~=4Vs ,

ru=f~~=viae=vsé,

s=O,

8 di a

con " è

22

che si p.l)ò far derivare dal!'esprcs.sione più genera.le

cl(02 )= w1 (8i)+ 2a(82 -8 1 ) v1 2a-,s In11nc aN=R=R=2aR0= 16B. Alla fine dcll'(n - l) -e1imogiro(,i"_ 1 =\.120. 2(n - l) rr e alla fine dell'n--esimo giro m, =~ ; il 1e;npo impiegato a percorrere l'n·csimo giro ~ f,:

w_-Q.w. - 1 =2v'%('vt;;°-·V,;=l)

Con n =3 /3=O.6s(t1=1 . 77s,l2=O.73s).

1.24.

Un punto si muove nd pi.Mo x,y crm equazioni x=f-4t,y=f-3t+l. Calcolare cot.npQn,enti e r,;p.du/o di velocil./J. e acce/eradrm.e, ìl raggio di cur~·atu.ra def/a tl'ai.ett.orUI, IJJ deril'ala dOfdt dell'angolo clu 14 velocità fortM

con l'asse x. Disegnau /IJ traiettoria per t~O . Per i due moti proicuati sQgli assi abbiamo .t=i'--41

U,=21- 4

y:f-31+ I

u, =21-3

a,=2 a,c:c-2

L'accelerazione è cos1,an~ e fonn;i un angolo di 45° con l'asse r, il suo modulo è

a = ~ =2V2m!s1

•

La velocità non è costante né in modulo né in direzione, In modulo V=~=V81 1 -2Bt+25 L'angolo (} che la velocità forma con l'asse x è tale che tg0,,,~=

~=!

⇒

d:e = oo;io

~=(l+tg26)7i°

e sostituendo l'esprcs~one di tg0 d8

2

di =-&C']Jl,1+25 , 11 moto è pcrtanJ.O curvilinw: calcoliamci le comixinenti tangcnLe e nonnale dd· l'accc.leraziun.e e dall'ultima il rnggiu di curvatura: dv

2('11-7)

ar=-di== Vs.P-281-+25 a,;=~=

-f "' YV-

⇒ R=½(81'"-2l!.1+25)Yl

2 281+25

23 L'csl)fcssionc 81?-2R1+. 25 è sempre positi11a (ha u11 mi11irno per I= 7/4 dove vale

1/2) e quindi non ci sono nè radicandi negativi nè diw rgcn1.c. L'cqu:izionc della traiettoria si ottiene, ad esempio. ricavando I dall'espressione di x,1=2 ~v:;:;:i e sostituendo nc.!l'esprcssionc di y; risulta

dove il segno meno, corrispondente al segno meno nel tcmix,, vale per l'arco di curva percorso da 1"'O a , ,,, 2s, ci& per .r dcctescente da O al suo valore minimo -.41t1, mentre il segno positivo vale per I >2s..ci& per r crescente da -4m all'inrinito, Il vak,re minimo di y.-L25m, si ha per l = l.5s(x:a-3.75m), Nell'istante 1=1.75s (x=-3.94m,y,,.-L 19m) la vclc.:h.à è minima, a, è nulla. d8/d1,at1,R sono mas.si-

mi.

Quanto I è molto grande /? tcridc all'infinito, a,, tende a zero, ai- tende fl 2V2mts1 ,dfJ/d1 tende a 1,ero, lg0 lcndc a I cioè 0 a 45": la traiettcria diventa asintoticamente una retta a 45° coo l'asse x. percorsa con moto uniformemente accelciatQ.

1.25. Un punto si muove con velocità costante in modulo lungo una traiettorin p.g.· rabolica di equazioni y = bi?, con b costa11/e positfra, Determinare le espressioni delle componenti della ,·docità e dell'acceler!lzione in fun:ù)ne dix t Ìfl particolare tr()vare l'occeleratio11e del punto per x = O. Determfoart inal.J:rt

/'espression.t del raggio di curvat11ra.,

24

Delto V il modulo della velocità, in ogni isLante

v,=ucosa=vl~, u,=vsena .. V l g ~ ; inoltre tga=dyfdx==2bx (a è l'angolo che il vettore velocità fonna con l'asse x).

Quindi

u...= V t +v4b'-.t' , u,(x)"' V~~:2x1 . Da queste ricaviamo le compoocnti dell'accelerazione:

~(x)-

d;, _':; " : -~• (1:b;~;)l .

a,(x)-

d;,

u,-

E~

~

-

1

d:: "•·k .

Nell'origine x=y:: 0, u,=t.l, u,=0, a, =0. a,=2bv1: l'accelerazione è puramwte centripeta; questa caratteristica, verificata nell'origine, è in realtà vera ovun• que perché il moto è uniforme. li modulo dell' accelcraziunc è

e = ~• (t+!!~)"l ==aN={ e quindi R(x)= (l+ 4~x2),n; in particolare R(O)='i]j. Veri fichiamo in altro modo che l'accelerazione è sempre ortogonale alla traiettoria, cioè a lla velocità: calcoliamo il prodotto scalare

a •\l =a... v,+a,u, Inserendo le esp ressioni calcolate si trova identicamcnle zero.

1.26.

Un'asta AC di fun ghtUA d si può muovere con gli esrremi A e C ~·incolati a scorrere fungo gli assi x e y rispettiromu1/e. S e il pu.n10 A rimuove con Felocilà costante v A determinare la velocità e l'accelerazione dei pl).n/o Ce il molo del punto 8 porto a metà defl'as/a.

CL'lEMA TICA DEL PUNTO

25

La posizione del punto C è data da Yc=~=~. essendo

zA

= VAI,

e quindi

dyç Ve-di -

v!1

.lA VA

\IN"

~

L'accelerazione di C si ottiene allo stesso modo:

dvc

ac= dt ,,,_

vld 1

vl.f

(d1 -v~r1fll =-(if-x~))(l ·

Per quan to riguartla il punto B !e sue coordinate sono

XB="T, )'1=-f ~

zj + y}=~:

il rnolù di B avviene su una ci/Conferenza di raggio d/2 con celltro ncU'originc . pcl ;, corsa in senso orario. Per la velocità e l'accelerazione di B abbiamo

as, :O Calcoliamo infine la \'elocità 8(1) che i! ra ggio 08 forma con

moto cirr:olare G~scritto da B; l'angolo dre

26

Deriviamo la prima relazione rispcuo al tempo:

⇒ w:=d0= _ v,.= _uA=-

dt

2ys

Yc

v,.

.

\/d'-t,{i' ·

w non è coslallLC e il molO è vario (il segno meno è do vuto al verso orario). Osserviamo elle quando C tende all'origine, .x,. tende ad e d 1 - u~r1=d1 -,ri tende a zero: quindi Uc , a.;; , Vt y , 0 8 ) , w tendono all'infinito. In effetti quando x~

~~i: ~i:~ alt;;;;::i-~~