Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 93 [Reprint 2020 ed.] 9783112342060, 9783112342053

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J o u r n a l für die

reine und angewandte Mathematik. In

z w a n g l o s e n

H e f t e n .

Herausgegeben von

L. Kronecker und K. Weierstrass. Mit thätiger Beförderung hoher Königlich-Preussischer Behörden.

Fortsetzung des von A. L. Crelle (1826 bis 1856) und C. W. Borchardt (1856 bis 1880) herausgegebenen Journals.

Dreiundneunzigster Band. In vier Heften.

B e r l i n , 1882. Druck und Verlag von G. R e i m e r .

Inhaltsverzeichnis s des dreiundneunzigsten Bandes.

1 . Kronecker.

De unitatibus complexis.

Gr. Frofoenius.

Ueber die elliptischen Functionen zweiter Art

(Dissertatio inauguralis arithmetica.)

. Seite

1

—

53

—

69

Th. Heye. Ueber das Strahlensystem zweiter Classe sechster Ordnung von der ersten Art

—

81

Fr. Graefe.

—

87

C. Kostka. Ueber den Zusammenhang zwischen einigen Formen von symmetrischen Functionen —

89

J. Thomae.

F . Prym.

Ueber Integrale zweiter Gattung

Erweiterung eines Satzes von Hesse Uber Sechsecke im Räume.

Kurze Ableitung der Riemannschen Thetaformel

—

124

Ueber eine Raumcurve vierter Ordnung und erster Species.

—

132

Böklen. Ueber die Aufhängpunkte und Axen für isochrone Schwingungen eines Körpers

—

177

. . —

184

H. Schroeter.

Fr. Gräfe.

Notiz über das Pascalsche resp. Brianchonsche Sechseck.

Hamburger. Zur Theorie der Integration eines Systems von n nicht linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei unabhängigen und n abhängigen Veränderlichen.

—

W. Stahl.

— 215

Zur synthetischen Construction der Complexe zweiten Grades. .

R. v. Lilienthal.

Ueber zwei Schaaren sphärischer Curven, deren Coor-

dinaten elliptische Functionen sind Th. Craig. M. Noetlier.

188

On the Parallel Surface to the Ellipsoid Zur Grundlegung der Theorie der algebraischen Raumcurven.

— 237 —

251

—

271

xv

Inhaltsverzeichniss

C. Runge.

des dreiundneunzigsten

Bandes.

Die linearen Relationen zwischen den verschiedenen Subdeter-

minanten symmetrischer Systeme 0. Rausenberger.

Seite 319 .

—

328

Schwering. Zur Theorie der arithmetischen Functionen, welche von Jacobi xf)(a) genannt werden

—

334

—

338

—

365

—

367

Kronecker.

Beiträge zur Theorie der elliptischen Functionen. I.

Zur Theorie der Abelschen Gleichungen.

Bemerkungen zum vor-

stehenden Aufsatze des Herrn Schwering

—

—

Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Formen. . . .

Preisaufgabe der Akademie der Wissenschaften zu Berlin für das Jahr 1884.

Journal für die

reine und angewandte Mathematik. In

z w a n g l o s e n

H e f t e n .

Herausgegeben von

L. Kronecker

und K. Weierstrass.

Mit thätiger Beförderung hoher Königlich-Preussischer Behörden.

Fortsetzung des von A. L. Crelle (1826 bis 1856) und C. W . B o r c h a r d t (1856 bis 1880)

herausgegebenen Journals.

Dreiundneunzigster Band. Erstes Heft. Ausgegeben

den

12. J u l i .

Berlin, 1882. Druck und Verlag von G. R e i m e r .

Verlag von G. Reimer in Berlin, zu beziehen darch jede Bachhaadlong.

C. G. J. Jacobi's

g e s a m m e l t e

Werke.

Herausgegeben auf Veranlassung der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften.

Erster Band.

Mit dem B i l d n i s s e J a c o b i ' s . Herausgegeben TOD

C. W. Borchardt. Quart.

VIII u. 5 3 8 Seiten, brocli. 18 Jlark.

Jacob Steiner's

g e s a m m e l t e

Werke.

Herausgegeben auf Veranlassung der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. Z w e i t e r (Letzter) B a n d . Mit 23 Figurentafeln. Herausgegeben von

K. Weierstrass. P r e i s : 18 Mark.

Grundzüge

einer a r i t h m e t i s c h e n Theorie der algebraischen Grössen. Festschrift zu

Herrn Ernst Eduard Kummer's fünfzigjährigem Doctor-Jubiläum, 10. September 1881, von

11. K r o n e c k e r . Angefügt ist eine neue Ausgabe der am 10. Sept. 1845 erschieneneu Inaugurat-Dissertation: De unitatibus complexis.

P r e i s : 6 Mark.

Theorie

Abelschen

der

Functionen

vom Geschlecht 3. Von

Dr. Heinrich Weber, Professor an der Universität zu Königsberg.

Eine von der philosophischen Facultät der

Universität Göttingen

mit dem P r e i s

der ßenekeschen

gekrönte Abhandlung.

Stiftung

4®. 184 Seiten. Preis: O Mark.

1

De unitatibus complexis. Dissertatici inauguralis arithmetica *).

(Auetore L. Kronecker.)

I n prineipalia doctrinae numerorum incrementa introductionein numerorum complexorum, ipsi summo buius scientiae creatori debitam, referendam esse inter omnes constat. Qui numeri quam vim ad promovendam scientiam habeant, inde elucet, quod arcte et cum residuis potestatum et cum theoria formarum altiorum gradimm et cum

circuii sectione cohaerent.

Gauss primus disquisitiones de numeris complexis formae a + b^—1 blicum edidit, quarum theoriam postea Ci. Lejeune - Dirichlet ctavit**). Jacobi,

Summus in pu-

uberius tra-

Generalioris numerorum complexorum speciei mentionem fecit CI.

qui circuii sectionem pertractans in hanc quaestionem incidit * * * ) .

Praeterea ad liane partem doctrinae numerorum spectant et observatio Cli. Jacobi f ) et recentiore tempore disputatio Cli. Kummer „ de numeris complexis qui unitatis radicibus et numeris integris realibus constant," et commentatio Illi. Eisenstein „ de formis cubicis trium variabilium etc." f f ) .

—

E x quo prospectu, quam pauca de numeris complexis hue usque in publicum edita sint, iam elucet,

ideoque in sequentibus praecipue tantum ad

illam Cli. Kummer disputationem lectorem reiicere potero.

Cum vero non-

nulla theoremata in illa commentatione iam tradita elegantius demonstrare mihi contigerit,

etiamque alia quaedam nondum tradita ad perscrutandas

imitates complexas adhibenda sint, cumque denique, quoad nunc possim, * ) Haec dissertatio aestate anni MDCCCXLV ordini philosophoruru universitatis Beroliuensis proposita eique ex auctoritate summi viri Lejeune-Dirichlet probata est. Typis autem tum non excusa est nisi pars aliqua, scilicet paragraphi 1—16, quae publice prodiit d. X . m. Septembris a. MDCCCXLV; quae sequuntur paragraphi 1 7 — 2 0 ineditae adhue nunc primum evulgantur. **) Creiles Journal Bd. 24. * * * ) Monatsberichte der Berliner Akademie, 1837 (S. 127 sqq.); v. etiam comuaentationem Illi. Eisenstein. „Beiträge zur Kreistheilung" (Creiles Journal Bd. 27). f ) Creiles Journal Bd. 19 S. 314. f f ) Creiles Journal Bd. 28. Journal für Mathematik Bd. X C I I I . Heft 1.

1

2

Kronecker,

de unitatibus

complexis.

totum aliquod conficere velim, disquisitionem fere ab initio repetere praeferam. Quem ad finem pars prior huius dissertationis, unitatibus complexis deditae, illas disquisitiones numerorum complexorum quasi fundamentales continebit. Denique adnotandum recentissimo tempore Cium. Lejeune-Dirichlet, dum in Italia versabatur, quaestiones de unitatibus principales ratione maxime generali latissimeque patente mira quidem simplicitate tractavisse, quarum rerum prospectum nunc in publicum editurus est. Quod quidem cum acciperem his meis disquisitionibus iam finitis, eas elaborare tarnen non plane inutile videbatur, et quia hae quae proferentur methodi ab illis methodis generalibus omnino differuut, et quia in pertractandis unitatibus ex unitatis radicibus compositis quaestiones quaedam se offerunt, quas ipsas tanquam speciales alicuius momenti esse arbitror.

P A R S

PRIOR.

§1. Ne postea investigationum ordinem interrumpere oporteat, hoc quod sequitur lemma, cuius frequens erit usus et quo nonnullae demonstrationes praecidentur, antea praemittimus. Sint aequationis algebraicae nt{ gradus coefficientibus integris (coefficiens ipsius x" sit unitas) n radices: a, ft, y etc. atque eiusdem aequationis, si tanquam congruentiam modulo p (ubi p numerus primus) consideres, n radices: a, b, c etc.; sit porro f{a, ft, y,...) functio radicum algebraica integra symmetrica, congruentiam f(a, ft, y,...)

= f{a, b,c,...)

(mod./?)

locum habere dico. Dem. Etenim quamque functionem radicum algebraicam integram symmetricam identice tanquam functionem integram expressionum: a-\-ft-\-y-\—, aft + ay-\— etc. repraesentari posse constat. Ergo f{a, b, c, ...) eadem functio integra expressionum: a-\-b-1—, ab-f ac-\— etc., quae /"(«, ft, y,...) ipsarum a-\-ft+y-\—, aft+ay-\— etc. sit oportet. Cum vero a-\-b-\-c-\— n l coefficienti ipsius x ~ i. e. quantitati a + ft+y-\— pariterque ab-\-ac-1—

Kronecker,

ipsi aß-{-ayetc.

de unitatibus

complexis.

3

secundum modulum p congrua esse notum est, id quod

contendimus facile concludi potest. Nunc sit v numerus primus, co radix aequationis co" = 1 primitiva, sint porro e, eM . . .

periodi radicum co, quarum quaeque u terminos

contineat, ita ut habeamus l,u = v—\ et: a,

c

=

+ w

e,

= w"

e ^ = co»

,

+

... + ü/ u ~ , ) i + 1 ,

„«—I

+co ?

ubi g est radix primitiva ipsius v. f*-i+r = er

+

4- a / + 1 +

J — I

Iam posito

o}

„3/.-1

+u) 9

.

H

.

,,u>.—\

co

,

E x quibua aequationibus statim colligitur :

et

1 + « + «!+••• + f i - 1 = 0.

as -f ai c,+ a, t'2-j

(-

=

/"(«)*),

ubi Uteris: a, « ! , . . . a