Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 87 [Reprint 2020 ed.] 9783112341889, 9783112341872

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Journal für d i e

reine und angewandte Mathematik. In

z w a n g l o s e n

Als

Fortsetzung

H e f t e n .

des

von

A. L. C r e 1 1 e gegründeten Journals herausgegeben

u n t e r M i t w i r k u n g der H e r r e n

Schellbach, Kummer, Kronecker, Weierstrass von

C. W. B o r c h a r d t . Mit thätiger Beförderung hoher Königlich-Preussischer Behörden.

Siebenundachtzigster Band. In vier Heften.

B e r l i n , 1879. Druck und Verlag von G. R e i m e r .

Inhaltsverzeichniss des siebenundachtzigsten Bandes.

JMémoire sur les équations résolubles algébriquement. Par M. G. G. Boldt à St. Pétersbourg Ueber die Functionen, welche durch Reihen von der Form dargestellt werden p< p" | p p + i p' p'+i p" p"+i 14- P r r Von Herrn +• f q"+i i q q" ^ 1 2 q' q'+i J. Thomae zu Freiburg in Baden On the double ^-functions. By Professor A. Cayley at Cambridge. On a theorem relating to covariants. Von Demselben Zurückfuhrung des Problems der Kreistheilung auf lineare Gleichungen (für Primzahlen von der Form 2 m + l ) . Von Herrn Hermes in Königsberg i. Pr. Auflösung der Gleichungen fünften Grades. Von Herrn L. Kiepert in Darmstadt On the triple functions. By Professor A. Cayley at Cambridge. . . . Ueber diejenigen algebraischen Gleichungen zwischen zwei veränderlichen Grössen, welche eine Schaar rationaler eindeutig umkehrbarer Transformationen in sich selbst zulassen. Von Herrn H. A. Schwarz in Göttingen Ueber einige nicht algebraische Minimalflächen, welche eine Schaar algebraischer Curven enthalten. Von Demselben On the Tetrahedroid as a particular case of the 16-nodal quartic surface By Prof. A. Cayley at Cambridge Algorithm for the characteristics of the triple ^--functions. Von Demselben Zusatz zur obigen Abhandlung. Von C. W. Borchardt Anmerkung über einen Satz von Fermat. Von Herrn Baltzer in Giessen.

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IV

Inhaltsverzeichniss

des siebenundachzigsten

Ueber die Erweiterung des Jacobischen Transformationsprincips. L. Königsberger in Wien

Bandes. Von Herrn

On the triple # - f u n c t i o n s . By Professor A. Cayley at Cambridge. . . . Zur Transformationstheorie der elliptischen Functionen. Von Herrn L. Kiepert in Darmstadt Note sur une propriété des équations dont toutes les racines sont réelles. P a r M. J. J. Sylvester à Baltimore Observation relative à l'article de M. Sourander. (Vol. 85 de ce Journal.) Par M. Souillarl à Lille Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen.

Seite 173 —

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350

(Fortsetzung; siehe Bd. 83 dieses

Journals.) Von Herrn L. W. Thomé in Greifswald Sur une classe d'équations algébriques dont toutes les racines sont réelles. Par M. Biehler à Paris

1

Mémoire sur les équations résolubles algébriquement. (Par M.

G. G. Boldt

à St. Pétersbourg.)

D a n s un mémoire qui n'a pas été achevé, Abel a examiné dans quels cas une équation irréductible est résoluble algébriquement et dans quels cas non (Oeuvres complètes T . I I n°. XV). Nous regarderons les théorèmes démontrés dans ce mémoire comme connus, et nous ajouterons à ces théorèmes deux propositions, dont 011 trouvera facilement la démonstration. désignent les racines de Proposition a). Si a„, c£n « 2 , . . . , l'équation a?—1 = 0, ¡u étant un nombre premier, et a une racine quelconque de la même équation, la relation u = cc„ -)- «i et -1 + oî2 a~2-\ (ne pèut avoir lieu à moins qu'on n'ait a „ = l , a ^ a , a 2 = a 2 , ..., a/li_1 = a " ~ \ Proposition b). Si l'on a la relation |-a;_, a - 0 ' - 0 " , /u = al + aï ce-" + «2 a-2'-' H où les lettres ont, la même signification que dans la proposition précédente, et où v désigne un nombre entier quelconque, on aura otf-f +a-2''h Y a ^ a - ^ - ^ " = 0, tant qiie n n'est pas égal à v.

1.

I. Des équations dont le degré (i est un nombre premier. Soit f(x) — 0 l'équation proposée du degré premier u et _1_

Jb +

_2_

y

p2 s" + • • • + pv s~ï+

fi-1

• • • +pH_x

,

la fonction algébrique qui satisfait à l'équation proposée. J e dis que les coefficients p2, . . . , pi} i s'expriment rationnellement en s et les quantités données de l'équation proposée. Pour démontrer cela, on n'a qu'à montrer que les coefficients jh, ..., p„, . . . , pp i ne changent pas de valeur lorsqu'on donne aux radicaux des valeurs telles que s ne change pas de valeur. Si donc p2, ..., py, ..., s se transforment en p'2, ..., pv, ..., , s' lorsqu'on donne aux radicaux des valeurs quelconques dont ils sont susceptibles, telles que s' = s, il sera démontré qu'on doit avoirpá , •••, Pv—Py, •••, pH-1 = Pu-1Journal fiir Mathematik Bd. L X X X V I I . Heft 1 u. 2.

1

Boldt,

équations résolubles

algébriquement.

En effet, les ¡u racines de l'équation proposée f(x) — 0 sont 1

ci.)

2

1 - 1 Iffu + a«'' 1

v

•

+p2crs" 2

fJ — 1

— \-pravsM

H

-

-|

v

ylQt-ng p v_ „H

-2„U I . .. 1 „

cc"_1s " , ¿ ; . + + p i «2

+•••+/>; «?

A Pu + « " - ' S" +/», a"- 2 \ = />û+

«" + />2

fi— 1

2

+ S'u H

+• • • + « r

?

1

jl /j-i a * - " S" + • • • + Pr-1 « S " u—1 1 l-pl, < _ i s" + • • • + fV-i «il -1

Boldt,

équations

résolubles

3

algébriquement.

En ajoutant ces équations, après les avoir respectivement multipliées par 1, a - 1 , a~2, on obtient =

s"

(au

+«!«-1

+a2«-2

(«S

+«?«-1

h ctft-i a - ^

- 0

)

2

+

+

. . .

fj-l

" («r1+«r1

+«2"- 1 a - 2 + • • • + « ^ i

1 Pour que cette équation soit satisfaite, • il faut ou que s" s'exprime rationnellement par p'2, p3, ..., s et a, ce qui n'a pas lieu, ou qu'on ait ¡u, =

«d

.0 -

piC«?,

+a 2 tt~ 2

+ • • • + a/J_1 a _ c " _ 1 ) , +... + «^«-^-1)),

La première de ces équations ne peut avoir lieu à moins qu'on n'ait (4.)

a(J = 1,

«1 = a,

« 2 = a2,

. . .,

= a"'1

(prop. a.),

et les autres équations seront par là-même satisfaites (prop. b.). tenant on multiplie les équations (3.) par 1, a~ iy , . . . , les ajoute, on aura

i

1

1

—

upv

Si mainet qu'on

=

s*7

'(Ou

+

a~"

7 + + - Pi«* ' ;0 («5 ' ' + « >' " " + p > " («5 + « ' « - ' + ¿îrl

+p'M-i

s r « - ' + « r

1

+ o, a- 2 "

+ • •• -f a

'

+' ' ' ' ' +••• + < _ , a- ( "- 1 ) y )

+«2 y «- 2 " •

o-" + « r

+ •••+

1

«Pi

Les équations (4.) donnent a^-+a\a-'

+ al a - 2 " +

+

=

^

d'où il suit que dans le second membre1 de l'équation (5.) chacun desv_ coefficients des diiférentes puissances de s", à l'exception de celui de , est égal à zéro (prop. 6.), et l'on aura /upvsu = ¡npvs", donc py = p'v. 1* V

V

4

Boldt,

2.

équations résolubles

Dénotons les

algébriquement.

racines de l'équation proposée par

x,,...,

îc u _„

dont les valeurs soient ®(i

_L = /»'

qv—py.

,

anqysf

,

Boldt,

équations

résolubles

algébriquement.

5

Prenons maintenant une racine quelconque xm qui prendra la valeur x'm =

i Le ternie J_ pour s ^,

a'ms'M a!

et

_L 2p u + a ' ^ + p ' ^ s ' »

de la racine qv,

prendra," à cause des valeurs obtenues jl la valeur pyarms" , qui détermine la racine x m; donc x'm

4. Théorème II. Si une seule des racines, savoir xk, ne change pas de valeur, et que xk+1 prenne la valeur xh, une racine quelconque xm prendra la valeur En effet, d'après l'hypothèse on a _2_ i_ 1 1

1 2 p' + a ^ ^ + p i a ' ^ + V M - - - - = L

JL h

o s^+piaus^+-',

p0 +

L

1 d'où, en posant s'f = qys'J, on tire a' = qy = pv_a»« -*+«. Une racine quelconque prendra la valeur 1 ^

i eti se servant des valeurs obtenues pour 1

a' et qv, on trouvera v_

pyayi(ln-k~)(h-knk~1su,

a''" s'* = V

et comme le terme p>a "~ ~ ' s ' de la racine x'm détermine la racine x (m-kXh->!-)+k> on aura xm = 5. Théorème III. Si toutes les racines changent de valeur et que xk prenne la valeur xh, une autre racine quelconque xm prendra la yaleur v[0

kKh k)+k ] f

En effet, désignant par xr la racine en laquelle se change xm, de sorte que x'k = xh, xm — xr, la racine xr doit être telle que pour aucune valeur de l'indice t on n'ait x't = xt) car d'après l'hypothèse toutes les ra1

v_

cines changent de valeur. La valeur s " = qvsfÀ substituée dans les équations x'k = xh, x'm — xr, c. à. d. dans les équations 1 2 1 2 p[)+a'ks'~>I+plla'2ks'~ï

1

2

+ -~

=

p„ +

ahs'>'+piausP+~-

1

2

6

Boldt,

équations

donne

résolubles

algébriquement.

h—r a'^a^'",

De lâ on conclut que la valeur que prend la racine xt, sera

rk—hm. qv = pyce

®e =

~>"

1

2

rk~hm+ht—rt

X, = P»+Pr