Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 38 [Reprint 2020 ed.] 9783112347423, 9783112347416

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J o u r n a l für

reine

und

die

angewandte

I n

z w a n g l o s e n

Mathematik. H e f t e n .

Herausgegeben von

A.

L.

C r e l l e .

Mit thäliger Beförderung hoher Königlich - Preulsischer Behörden.

Acht und dreifsigster Band. In jV] i t

fünf

vier

Heften.

1 i t Ii o g r a p Ii i r t e n T a i r I n.

Berlin, B e i

G.

1849. 11 e i m e r.

Et s t trouve à PARIS chez Mr. B a c h e l i e r (successeur de M ,,le VE C o u r c i e r ) , Libraire pour les Mathématiques etc. Quai des Augustins No. 55.

I n h a l t s v e r z e i c h ii i f s des acht und dreifsigsten Bandes, nach den Gegenständen. I.

Reine

Mathematik.

A^' i," 1. A n a 1 Jy s i s. „ , . «.Vitf. •. Abhandlung* lieft. 1. D e integralibus quibusdam definitis, seriebusque infinitis. Auct. C. J. Malmst én, prof. math. Upsaliens ]. 1 5. Sur les déterminants gauches. (Suite du mémoire Tome 32. p. 119.) Par Mr. A. Cayley à Londres II. 93 7. Note sur les fonctions du second ordre. Par ie même II. 105 8. Einige Aufgaben aus der Combinationslehre. Von Herrn Weifs, Lehrer der Mathematik zu Fürth bei Nürnberg. (Fortsetzung der Abhandlung No. 12. im 34ten Bande.) II. 107 9. Einige Aufgaben aus der Lehre von den wiederkehrenden Reihen. Von Demselben II. 148 11. Untersuchungen über die analytischen Facultäten. Von dem Herrn Prof. Oettinger zu Freyburg im Br. (Fortsetzung der Abhandlung No. 1., 7., 11. und 17. Bd. 33. und No. 3. Bd. 35.) II. 162 13. Schlufs dieser Abhandlung III. 216 16. Transformation einer beliebigen homogenen Function dritten Grades von zwei Variabein durch lineare Substitutionen neuer Variabein in eine Form, welche nur die dritten Potenzen der neuen Variabein enthält. Von Herrn Professor Otto Hesse zu Königsberg i. Pr III. 262 17. Anwendung der bestimmten Integrale zur Reihensummirung; nebst Bemerkungen über die unendlichen Reihen und die bestimmten Integrale überhaupt. Von Herrn J. Dienger, Lehrer der Mathematik und Physik an der höhern Bürgerschule zu Sinsheim bei Heidelberg III. 266 19. Fortsetzung dieser Abhandlung IV. 331 20. Über die Anwendung einiger Formeln aus der Theorie der elliptischen Functionen auf ein bekanntes Problem der Geometrie. Von dem Herrn Professor Richelot zu Königsberg i. Pr IV. 353 2.

Geometrie.

4. Ableitung einiger Eigenschaften der Kegelschnitte aus ihrer Polargleichung. Von Herrn Dr. W. Hittorf in Bonn

I.

89

iv

Inkaltsverzeichnifs

des

acht

und

dreifsigsten

Bandes.

K r . der Abhandlung.

lieft. .S*ite.

6. Sur quelques théorèmes de la Géométrie de position. (Suite de No. 13. Tome 34.) Par Mr. Cayley à Londres 7. Note sur les fonctions du second ordre. Par le même 12. De pendulis sphaericis, et de curvis, quae ab ipsis describuntur sphaericis. Auetore Dr. Christoph. Gudermann, math. prof. ord. Monast. Guestph. . 14. Über Curven dritter Classe und Curven dritter Ordnung. (Fortsetzung der Abhandlungen No. 10. und No. 11. im 28ten Bande und No. 12. im 37ten Bande.) Von Herrn Professor Otto Hesse zu Königsberg i. Pr. . . . 15. Eigenschaften der Wendepuncte der Curven dritter Ordnung und der Rückkehrtangenten der Curven dritter Classe. (Fortsetzung der Abhandlungen No. 10. und No. 11. 28ten Bandes und No. 14. 38ten Bandes.) Von Demselben 3.

II. 97 II. 105 III. 185

III. 241

III. 257

M e c h a n i k .

2. Kräfte im Räume. Von Herrn Geh. Hofrath und Professor Dr. Schweins in Heidelberg I. 40 3. Fliehmomente, oder die Summe 2(xX-\-y Y) bei Kräften in der Ebene, und E(xX-\-yY-\-zZ) bei Kräften im Räume. Von Demselben. . . . I. 77 12. De pendulis sphaericis, et de curvis, quae ab ipsis describuntur sphaericis. Auetore Dr. Christoph Gudermann, math. prof. ord. Monast. Guestph. . III. 185 18. Essai d'une théorie générale du centre de forces, précédé de quelques considérations sur la résultante. Par Mr. Strichen, professeur à l'école militaire de Bruxelles IV. 277 II.

An gewandte

Mathematik.

10. Über die Gleichgewichts-Lagen eines mit seiner ganzen Grundfläche in eine Flüssigkeit getauchten geraden dreiseitigen Prisma's. Von Hrn. A. v. Dawidoff in Moskau II. 158 Fac simile einer Handschrift von Cavalieri - A. Göpel. Pfieiderer - Buzengeiger

I. II. III. IV.

1. Malmtien, de mtegralibut dejotitis.

1

1 .

De fntegralibus quibusdam definitis, seriebusque iniinitis. (Auct.

C. J. MalnuMn,

§•

S i cognitam formulam

multiplicemus atque

Sin

ab u =

H ¿r^

uz. ilz = 0

009

unde, cum

1

rm Jo e **

p e r du

prof. m a t h . Upsaliens.)

integremus,

. dz =

habebimus

log ( * a + i i » ) -

2log

sit l o g a;

= f

dz,

9

obtinebitur 1. Multiplicemus

jam

U3) =

log utrimque e"" —

7

Jo

tr"

unde

sive,

^

F

- .J

fit

j,u_9-nu («"* —

Cos

sme~*d* r

-

= / ,

—

Sin a

[Tangifl-

1 + 2 ^ - C ^ i F ^ J

posito t~% =

*) Videas

y,

uz)du

sequitur

au

e — e~ / .

(a I ¡ ¡ T V T A N S 5 « — g

9

2y-Sina \ Ì^ÌTCOS^?;'

differentiatione respectu ipsius x facta, prodit dT

y'Sing.rfy

dx — AJ%

In suppositione vero a =

l+2yCos o + y 4 '

cognitum est integrale*)

J . l+iyCnZs

L

r

A

—

*

—

J

ubi m + M nuinerus impar est, et

I

jf Sina.dg

=

M

,

y

.

S1"

. P - < ° * r m " L A


0 )

1.

Malmstén, de mtegralibu* definite.

*

4=1 +

(-1T+

1

=

et

i=l

*

jSin(ji+\)a.G(n)+ 3*

Io

g {

na.G(n+1)(

Sin

—f — \ a log

= i,0g ( " + 1 ) + Cum autem facile inde appareat, esse lim G 0 0 =

25

C

\>

a

>

0 >

0).

0,

fit omnino iv-i .ÄC—1)

Sin ta. logt . ^ lV_, Sinta _ , ». — J - ® - + c . S(—iy

, log

—} _

. , » o log 2ic,

unde, ex sis ten te . . . . Sin ta . —1) . — r = \ a , ( a < ir), i=i * banc denique notandam .formulam habebimus: fi. Sin a . log 1 Sin2o.log2 Sin3a.log3 _ Sin4a.log4 04. j 2 3 4

=

S*

ïo

S i

¡r! -

atque, si n — a loco a ponitur: Sin a . log 1 Sin 2 a . log 2 65. j 1 2

=

1

n \ ù ÌI * log

ï°(

c

+

Sin3a.Iog3 3

,0

1

8

^ Î

Sin 4 a . log 4 4

K « - « ) (C +

log 2ît).

Ex bis duabus formulis, addendo, hanc tertiam obtinebimus: Sina.Iogl Sin3a.log3 Sin 5a. log 5 66. j—5—I g 1 g + etc.

=

log f

— , "Sto'

Creile'« Journal f. d. U. Bd. XXXVDf. Heft 1.

¿7T ( C -

e t c

log T a n=—J-). gja'

etc

-

26

Malmstén, de integraìibus definiti*.

Ex. 1. Posito a = \it, fit log! logl log3 log5 log 7 n r r "3 ' 5 — + etc. = j (log 7T — C) — w log i ( \ ) 1 atque inde 1.5s.9?.13n .... _ | 7te~c | . 3*.7*.l1". 15« ....

'

quod jam supra ivenimus. Ex. 2. Posito a = \ir, fit logl log2 Iog4 log5 log7 rc r(J), n . . etc + Io 1 2~ + ~4 5 ~1 - — V3 l o g l/Xf)« ~~ 3p3 6 2 7 r )' logl log2 log 4 log 5 iog7 n In etc 1 ' 2 4 5 ~7~~ ' = 373 ( , 0 S ^ - 2 C > - V3 l o 6 logl log 5 log7 logli Iogl3 etc T~ ~5~ ~7 I T + "13 ' tt 2« = 2F3 n°g V3 - c - 2 , ° g C r « ) • (ex quibus formulis primam et tertiam jam supra invenimus), atque inde

2*. 5«. 8 5 . 1 1 ^ . . . . 1.2'.7^.8* ....

(r(i).(2«)l' _

1.7^. 1 3 » . 1 9 ^ . . . . _

j(2«)*.«-i c |ja ( (27i)ì.e-l c j g

òK 1 1 " . 1 7 ^ . 2 3 « .... ~~ Ex. 3.

Ai)!

Posito in (66.) a = \tt, fìt utique

log 1 log 3 ~ r + "3

Iog5 5

log 7 n 7 • - e t c - = va

lo

JT(J>. J"C|)

e

nw^r

atque inde .... 55. V 1 3 " . 1 5 « ....

_

i2i.r(i).7Xl))^ (

§• 2. Revocemus jarn formulum (1.) (earn etiam pro x = 0 valere demonstravimus), quam utrimque per g—flu nu • du

1. Malmstén, de integralìbus definitis.

(1 — s) = log 2 Sin Jtt + (1—s) log log i i ( l —S) — (1 — S) log §7T

— log Cos ¿stt •— log r(5) + log ()(•*)»

log Sin J-7T

log (H-2*) — log Cos \sk

1

- Jog r(s)

- logCl+ST ) -+- log Q(s).

uncle, positis brevitatis causa »(n) = 0 [ » = od], etiam

»"^«-l-g-a«

du

i=!X>

]

|

/

Jam vero exsistente

habebimus etiam

J p o

g)oCos l +(1—y 2yt C s a + ja y'

= r(s). SC-l)«. ^ f f i +

(log dl )y1 " *

Cos ( n + 1 ) a +

( » + 1 ) Cos (n - J)ä),

posito brevitatis causa

/>C») = J

0

i w ^ s ^ i ? =

0

•/„ r t o ( I o e 7

}

^

= c^n+i)'

Manifestum igitur est lim p (n) = 0 unde fit utique

[n = oc],

^ >

0

>°).

le

36

Malmstén, de xntegralibus

(l-t-y')Cosia dy J0 l + 2 y » C o s a+y' ' ^ i ) 1 ' r1

94.

dtfinitis. , ,

_ ~~

5

W

i\i

'S i

;

'

Co»(«+j)a (2t+-l)'

Valoribus vero, quos formulae (93. et 94.) praebent, in (82.) substitutis, sì s in 1 — s mutatur, prodit, (

1

1

1 (n-ay

g5

) (

_

1

(n+ay

1

(3n-a)'

2 1 -' j Cosja _ Cosja S i n i M . r « ) « 1»-' 3l_*

—

1

(3 Jt+ay

1

(5 a-ày

_

(5?t+a)'

Cos|a _ Cos ja 5,-i 7 l~ s

Cos fa 9 l~* ~

etc

i

etc

.

*

et si « — a loco a ponitur : 1

l ^

96

2

n

_ —

atque si a — ^

~

1 a

1

¥

*2'~*

1

n-ay

1

tin+à)'

1

(6n-à)*

.| Sin Ja . Sin' r* |a , Sin 2§a . Sin 3" ja . ouija Sin ja

Sin^T«

» V->

31-J

5I_i ^

7 1 -* *

^

n / n\* 1 1 ms

n

r

mn

w ,C0S2T 1 ~~ Sin£«i.r(i) • l 1 " * 1 1

(2n-my

(2n+my mn i ai

27

C0S

,

1

9»-' +

3l-i

etc

1 (5n+m) J ~~

-i

etc

*

SflWl „ ~2n V~> 1

5»-' 1

+

( 4n-my + (4n+my + (6n-m/ 3mn Imn 2¿n. " . s l n 2¿n T . S i n¿n 5

SinìiJt.r(i) « l 1 " *

Ex.

v

tJU

( m < n num. integr.) supponamus : 1 l I 1 in—m)' (n+my (3n—m)' (3n+m) J (Sn-m) 1

97.

*

etc

+

V-'

+

+

etc

-l

etc>

. etc

»

Posito 7/1 = 1, n — 2, fit

1.

1 1*

+

i _ 5* I _ I7 i 3»

+

9I'

+

2 ~~ 11'

etc

'

~~ Sin}m.r(s) 'V-' + S 1-' 51_f 7 1 - , + etc.|j quod jam supra in ( 5 4 . ) invenimus. Ex. 2. Posito m — L, aì = 3 , prior formularum (97.), factis quibusdam facillimis reductionibus, forrnulas ( 5 3 . ) reddit ; e posteriore vero, positis brevitatis causa j- W — j , T T

x

5*

7,

1 1 , 1 — 17 — 37 -57 ~

IP

13s

1 . 1 t -97 ~

7

17J 1 j-y;

elc

-

etc.

1. Malmstén, de rntegralibus definitis. 37 fit =

m

i

s

+

)

r w d

unde, cum sit JY{s) = T(s) - 3"' ÏV{s),

habebimus

§. 14. Differentiemus jam formulam (93.) respecta s tamquam variabilis, tunc erit

eau+e~au J0

-7'( 1 cï

+

gnu+e.nu

'

• 'la m m

us

'«g " • du

^rir'ogCC^l)^) s ) . ^ 1, l ( i 2 i + i ) 7 t - a y - ' +

log((2t+l)^) ((2,+l)«+¿F:rJ'

et pro 5 = 0, exsistente Z' (1) = — C e t sf ¿au e-au habebimus Ï T L i v rlog((2¿+1)7I-g) _ ?¿ ; 1 (2i+l)n-a i2i+\)n+a ¿au g-«» = - \C Sec \a —J

¿iiï^S

,£>g u

• du-

Ubicumque vero a est ad tc in ratione commensurabili, integralia in dextero membro valorem formulae (70.) ( pro x — 0 ) praebent.

Sit igitur a = ~ >

tune obtinebimus n_ ^rlog((2t'+1)«-m) _ iog((2t+l)«+w)-, ^'¿=0 (2i+l)n-m " (2j + 1)ti+ot J 1 + log — / s ( - I ) T *=° (2h-1)7t

== -

mi ,-C. Sec . 27 - J

unde, cum sit ex (93.) (pro s ~ 0 )

H

n * «li mn , tí / * — . ti j e» -he h a

]

1

(2î+l),-TH

n

• l o g « , ito,

39

Malmstèn, de tntegralibus definiti*. i« mx - —

S(-iy[

= I n

fit

d e n i q u e

mu • «

.

•

en

"

«

" " . . Seite 141. N. 1.

2. Schoeim. Kräfte im Räume.

51

liegen und gleich weit voo ihm abstehen, sind auch gieich weit von der Hauptdrehlinie entfernt, haben also gleiche Drehmomente, die aber grosser sind, als das Drehmoment ); denn ihre Drehpunete stehen von dei Hauptdrehliuie weiter ab ais y„ ¿ 0 ). Daher: 21. Zu jedem Dreh puñete gehört eine bestimmte Dreh- Axe und ein bestimmtes vollständiges Drehmoment, jeder andere Punct der DrehAipc hat ein grösseres vollständiges Drehmoment, und dieses ist desto grösser, je weiter sein Drehprmrt von dem Berührungspuncte (x„ y0 z0) absteht. Da hier kein freies Drehmoment ist, und verschiedenen Drehpuncten verschiedene Momenten-Ebenen und verschiedene Dreh-Aien angehören, so muss, wenn die Momenten-Ebene oder die Dreh-Axe gegeben ist, auch der zugehörige Drehpunct gefunden werden können. Das vollständige Drehmoment bestimmt nicht deo Drehpunct,, sondern nur den Mantel der Walze, in weichem der Drehpunct liegt. Dieses folgt sowohl aus dem Obigen, als aus der Gleichung für das vollständige hrehmomerit Ml = (L-yaC+znBf •+• {M— z^A-t-x,C)1 -f- (X-x0 ß-t^A1, welche die Gleichung einer Walze mit kreisförmigem Durchschnitte ist. Die erste hier zu lösende Aufgabe ist: den Drehpunct der Kbene ax -f- by •+• cz = d suchen. Vergleicht man diese Gleichung mit der Gleichung der Momenten-Ebene {¿t—x0) ¿o -f- ty—y¿)M9 -f- (¿ — — 0, oder mit xL9 + yM0 + zJV0 = x0L Hh y0M + z0 JV. so erhält man zur Bestimmung der Coordinaten des Drehpuncts die Gleichungen L» M# /V0 -Tu I'-Wo M+XiN a b c 4 und aus diesen Gleichungen folgende W e r t h e : dA-cM+bM _ — aA+bB+cC ' _ dB-aN+cL — aJ+bB+cC ' _ dC-bL+aM ~ a.4+bB+cC • Man kana selbst die Grösse des vollständigen Drehmoments R„, welches der gegebenen Ebene angehört, aus den Elementen der gegebenen Gleichung berechnen. Man iludet, wenu man die gefundenen Werthe von x 9 , y 0 , z„ in die Gleichung für i?0 einführt: 7*

3. Sckoehu, Kräfte im Raum».

52

•23.

Äo =

. K.

aA+bB+eC

Es ist nicht unwichtig, hievon Anwendung auf die Coordinateli-Ebenen zu machen

und den Drehpunct jeder dieser Ebenen aufzusuchen.

Die

Glei-

chung der Ebene xy ist

z= mithin

ist

a =

b — d =

0,

und

0;

die Coordinalen

des

Drehpuncts

dieser

Ebene sind — _ •fg —

fj •

k f* > y9 — — "t"

_ — n " ¿

Zv

—+

M A•

Merkwürdig ist, dass in allen diesen drei Fälle« der Gleichung

xL + yM -f- zN — 0 durch die drei W e r t h e x0, y 0 , z0 Genüge geschieht. Da nun dieselbe die Gleichung der Ebene des Drehmoments ist, wenn der Antangspunct der Coordinaten zum Drehpunct angenommen wird, so haben die vier Drehpuncte folgende Eigenschaft:

24. Die drei Drehpuncte der drei rechtwinklichten CoordinatenEbenen und ihr Durchschriittspunct liegen in einer Ebene, und der Durchschnittspunct oder der Anfangspunet der Coordinaten ist der Drehpunct dieser Ebene *). Die vollständigen Drehmomente dieser drei Ebenen xy, xz, yz, durch H x y , R x r , ßy, bezeichnet, sind nach N . 23.: 25.

R %jr —

l\ xz — p

Kyz —

•

Die vollständigen Drehmomente für die Coordinaten-Ehencu sind nicht JV, M , L :

diese sind nur die Projectionen des vollständigen Drehmoments,

welches dem Anfangspuncte der Coordinaten als Drehpunct angehört.

') Miìbiut, S. 154.

2.

Schweins, Kräfte m Raunte.

53

13 Ich gehe jetzt zur zweiten, wichtigeren Aufgabe über, nämlich: den Tirehpunct

einer

Linie

suchen

Die Gleichungen der Linie seien y = ax +

b,

z. =

axoc +

¿1.

Dieselben, verbunden mit den Gleichungen der Dreh-Axe, führen zu den vier Gleichungen a.L=M-bxA

+ (C—aiA)x0

«t N6=N+bA

, .

=

Ch—Q K cp^aTq'

=

, t. + {-B+aA)xu=

' K—Jh+a(aK

— Bh) ,

und zuletzt das Drehmoment ¿Z.

*

(Q>-«i?) 2

wobei noch die Bedingungsgleichung q . h — p , K—

0

zu berücksichtigen ist. Die Gleichungen (29., 27. und 32.) geben die Eigenschaft an, welche eine Linie haben muss, wenn sie eine Dreh-Axe eines vollständigen Drehmoments sein soll; ferner, wenn diese Eigenschaft vorhanden ist, wie ihr Drehpunct ge funden, und zuletzt, wie das Drehmoment selbst aus den Elementen der Gleichungen der Linie berechnet wird. Bedenkt man, dass in einer Ebene, welche den Mantel einer Walze berührt, nur die Linien nach einer bestimmten Richtung Dreh-Axen sein können, alle übrigen Linien in dieser Ebene nicht, so kommt man bald zu der Ueberzeugung, dass die Anzahl der Linien, welche zu Dreh-Axen eines vollständigen Drehmoments genommen werden können, im Yerliältniss zu jenen, welche zu beseitigen sind, sehr klein ist. Zur Berechnung der Grösse des vollständigen Drehmoments einer Linie, als Dreh-Axe betrachtet, habe ich in ( 5 . und 32.) zwei verschiedene Verfahrungs-Arten angegeben.

Beide setzen aber voraus, dass man sich entweder

durch die Bedingungsgleichung (28. oder 29.) von der Zuverlässigkeit der Linie als Dreh-Axe versichert hat, oder dass dieses durch andere Betrachtungen schon ausgemitteit sei. Um einige Anwendungen hievon zu machen, soll untersucht werden, wann die Coordinaten-Axen Dreh-Axen eines vollständigen Drehmoments, und wo ihre Drehpuncle sind. Die Gleichungen für die Coordinaten-Axe cc sind y = 0, also ist a = ax = b — ¿j — 0 .

z = 0 ;

Die Coordinaten - Axe x ist also nur dann

eine Dreh-Ate eine* vollständigen Drehmoments, wenn B . M + C . A = 0

2.

55

Schwans, Kräfte im Räume.

ist, und wenn diese Bedingung erfüllt wird, so sind die Coordinaten des DrehPuncts

y„ = 0

und

— 0

Das vollständige Drehmoment dieses Drehpunrts ist nach (32.) JL.

/?„ —

Auf gleiche W e i s e findet man in [ 29.), ~ = A, = 0, also, dass die Coordinaten-Axe y nur dann e«no Dreh-Axe eines vollständigen Drehmoments ist, wenn J . / - + C . JS — ü. •ist.

Das Gleiche gilt von z (in (29.),

A

+ B

= b — 0). wenn

=

ist.

Also: 33. Drei zu einander senkrechte und in einem Puncte sich durchschneidende Linien können nicht zugleich Dreh-Axen vollständiger Drehmomente sein; und nur zwei derselben, z. B. x und y, können Dreh-Axen sein, wenn A .L = — B. M =

- C.N

ist.

14. Vermittelst der oben (29.) gefundenen Bedingungsgleichung kann jetzt auch bewiesen werden, dass die Linien, welche in einer Momenten - Ebene SDlo liegen und durch den Drehpunct (ar0 y 0 z 0 ) gehen, Leine Dreh-Axen vollständiger Drehmomente sein können. Oer Beweis ist folgender. Wird zur Vereinfachung der Rechnung der Anfangspunct der Coordinaten zum Drehpuncte angenommen, so sind die Gleichungen für eine dieser Linien

y ~ ax,

z — ayx.

Da diese Linie in der Momenten-Ebene

xL -+- yM + zN=

0

liegt, so müssen die Vorzählen a, a, der Gleichung L + aM + a,N = 0 genügen. Zugleich müssen a, at die Bedingungsgleichung ( 2 8 . ) befriedigen. Beide Gleichungen vereint führen zu 1 + o2 + = 0, was nicht möglich ist. Daher: 34. Die Linien, welche in einer Momenten-Ebene liegen und durch

56

2.

Schweins, Kräfte im Baume.

den Drehpunct derselben gehen, können keine JDreh-Axen von vollständigen Drehmomenten sein. *) 15. W e n n das vollständige Drehmoment einer Ebene auf eine andere Ebene projicirt wird, so kann im allgemeinen diese Projection dem

vollständigen

Drehmomente, welches dieser zweiten Ebene angehört, nicht gleich sein.

Es

ist nothwendig, diese wichtige und wohl zu beachtende Wahrheit zu beweisen. Sind R*, R' die vollständigen Drehmomente der Drehpuncte (ar0 y , z«),

(x'y' z') und (x—xn)Le (x-x')L'

+ (y—y e )M 0 + (z — z„) N0 = 0, + (y-y')M' (z-z')N' = 0

die Gleichungen ihrer Momenten-Ebenen 3R0. SR'. so ist der Cosinus des W i n kels, den diese beiden Ebenen bilden,

/«tv «yA

cos (üfoSJt') =

Lt.L'+AU.M'+Nt.W jf^jp

,

mithin die Projection des Drehmoments R' auf die Momenten-Ebene 9Rt>: 35.

R'. cos (3Jt«3Ji') =

Dieser Bruch ist im allgemeinen

- --

-—•

nicht gleich dem Drehmomente R0.

Die

Fälle, in welchen diese Gleichheit Statt findet, ergeben sich aus der Gleichung

L0. L -+- M0 .M' + N0.JV' = R20. Damit Das, was gesucht wird, sich bald offenbare, gebe ich den JL', M', N ' folgende Gestalt:

Ii = L0—(y'--yn)C + (z'-z„)B, M' = M*—{z'—z^A -»- (x'—x^C, A" - N0-ix'~ ,x,)B + (y'-y>)A, und \ervielfache (multiplicire) sie mit ¿ 0 , M a , N 0 .

( . r - . r 0 ) (BN0-CM0)

+ ( y ' - y 0 ) (CL,~AN9)

Die Endgleichung ist

+ (z.'-z0) (AM0—BL0)

= 0.

Diese Gleichung gibt, wenn x', y\ z', für welche hier x, y, s gesetzt sind, als laufende Coordinaten betrachtet werden, eine Ebene an, die so beschaffen ist, dass, wenn ein Punct ( x ' y ' z') derselben als Drehpunct angenommen wird, die Projection seines vollständigen Drehmoments auf die Ebene 9R0 dem vollstän-

Mbbiu*

Momenten - F.hene

fr'ull-

* ) Uerr Prof. nennt Seite 143. die K l i e n t . rr^K-lie ich nenne, das Drehmoment der Linien, weiche La der Ebene liegen and durch den Drehpunct gehen, = 0 i s t ; er nennt den Drehpunct Allein der Name ist t o n dem Besitze and nicht van dem Nichtbesitze herzunehmen

Ebene, vii il

tSniipunet.

2. Schweins, Kräfte im Räume.

57

digen Drehmomente R 0 dieser Ebene gleich ist. Diese Ebene ist nach No. 15. die Ebene Sto^o* Daher: 36. Die Proje.ction eines vollständigen Drehmoments R' auf die Ebene 2Jl0 ist im aligemeinen nicht dem vollständigen Drehmomente R„ dieser Ebene gleich, sondern nur dann, wenn der Drehpunct (x'y'z') jenes Drehmoments R' in der Ebcn.e liegt, welche den Mantel der Walze, deren Axe die Hauptdrehlinie ist, im Puncte (x 0 y 0 z 0 ), oder in der Linie E 0 berührt. b.

Momenten - Ebenen in

Verbindung.

16. Die Glcichung der Momenten-Ebene für den Drehpunct (¿r0y0Zo) ist ( x — x 0 ) L 0 + ( t y—yo) V/p -4- (i—z 0 )N 0 = 0. Ist C^llll ein Punct in dieser Ebene, so ist O , — x0)L0 + ( y , — y 0 ) M n -+• (sx — z0)N0 = 0, oder, wenn L„ — L, — (//„ — y,) C -+- (zo-~Zi) B, M0 = Ml — (Z0 — Z,)s4 + (xo-xjC, AT0 = A'i — ( a o - t r , ) ^ 4- ( y „ — y , M gesetzt wird, a. ( x ^ - x J L , + (y„—y,) A/, 4- ( z 0 — z j M = 0. Werden nun a-0) y0> z„ als laufende Coordinaten angenommen, so erhält man die Gleichung einer Ebene 37. ( x — x , ) Z., + (y — »/,) M, -+• (z. — z,) A", — 0, in welcher der Punct (¿r, y,-r^) liegt, und welche durch den Punct (¿r0yez,„) geht. Da nun diese Gleichung die Gleichung der Momenten-Ebene des Drehpunets (xjy,z,) ist, so ist folgender Satz gefunden: 38. Die Momenten-Ebene eines Puricts einer andern MomentenEbene geht durch den Drehpunct dieser Ebene; oder: Liegt im Durchschnitte zweier Ebenen der Drehpunct einer Ebene, so liegt in diesem Durchschnitte auch der Drehpunct der andern Ebene *) Diese Gleichung (37.) nimmt eine andere Gestalt an, wenn die Gleichung (a) von ihr abgezogen wird. Es entsteht die Gleichung 39. O — x 0 ) L} + (y —y 0 ) M, + (z—z 0 ) = 0, •) Möbius,

Seite 151.

Crelle s Journal f. d. M. Bd. XXXVIII. Heft 1

8

2.

58

Schweins, Kräfte im Räume.

wodurch dieselbe Ebene ausgedrückt wird. Man kann also die Momenten-Ehene eines Drehpuncts ( . ^ i ^ i S i ) , der in der Momenten-Ebene des Drehpuncts (#o/o*o) liegt, entweder durch die Gleichung (37.), oder durch die Gleichung ( 3 9 ) darstellen. Aus der Gleichung (38.) folgt unmittelbar folgender Satz: 40. Die Momenten'Ebenen aller JDrehpunclc einer Ebene durchschneiden sich in dem JJrehpuncie dieser Ebene '). Umgekehrt kann behauptet werden, dass die Drehpuncte aller Momenton-Ebeaen, welche sich in dem Drehpuncte (¿r® y« z0) durchschneiden, iu der Momenten-Ebene dieses Drehpuncts liegen. Denn die Gleichung einer Momenten - Ebene, deren Drehpunct (#1^1 ist, ist (x—a^L, + ( j r — y ^ M x + ( 2 — = 0. Soll nun diese durch den gemeinschaftlichen Punct (x 0 y0 ¿ 0 ) gehen, so ist ( x o — x J L -f- ( J o — r i )jV/, ( s , = 0. Werden beide Gleichungen von einander abgezogen, so entsteht die Gleichung (x-x0)Lt + (y—yo)Mx + (z—zt)Nt — 0. Dieses ist aber die Gleichung einer Ebene (39.), deren Drehpunct in der Momenten-Ebene des Drehpuncts 0r„ jyo-Zo) ' ,c gt- Daher: 41. Die Drehpuncte aTier Ebenen, weiche sich in einem Puncte durchschneiden, liegen in einer Ebene, und zwar in der Momenten-Ebene des gemeinschaftlichen Puncts **). Um mich kurz und bestimmt ausdrücken zu können, nenne ich alle Linien, welche in einer Ebene liegen und durch den Drehpunct dieser Ebene gehen, Strahlen. Für diese Strahlen ergibt sich aus ( 3 8 ) folgende Eigenschaft, die noch später ihre besondere Würdigung finden wird: 42. Die Momenten-Ebenen aller Puncte einet Strahls durchschneiden sich in diesem Strahle-, und umgekehrt: die Drehpuncte aller Ebenen, welche sich in einem Strahle dutchschnaiden, liegen auch in diesem Strahle. Nur die Strahlen (wie ich sie oben bezeichnet habe) besitzen diese Eigenschaft, und keine andere Linien; denn nicht jede Linie kann zum Strahle angenommen werden, oder uicht jede Linie' liegt in einer Ebene und geht zugleich durch den Drehpunct dieser JSbene. Soll nämlich die Linie y — y0 = a (x—x0), z — z„ = (ar—x 0 ) ein Strahl sein, so müssen die fünf Grössen a, alt x9, y0, z0 der Gleichung Lu + aM0 -I- ax Nv = 0 *) Möbius,

S. 151,

2.

Schweins, Kräfte im Raunte.

59

Genüge leisten. Ich werde sogleich diesen Gegenstand in grösserer Allgemeinheit behandeln.

c,.

Gegenlinien im

Allgememen.

17. Nach (40.) ist der Ort der Durchschnitte der M o m e n t e n - E b e n e n aller Puncte. welche in einer Ebene liegen, ein P u n c t : der Drehpunct dieser Ebene; und umgekehrt: der Ort der Drehpuncte aller Ebenen, welche sich in einein Puncte durchschneiden, ist eine Ebene: die M o m e n t e n - E b e n e dieses Puncts. Es liegt jetzt die Frage sehr n a h e : fVo ist der Ort der Drehpuncte ton

Ebenen* welche sich in einer Linie durchschneiden?

Die Lösung dieser Auf-

gabe ist folgende. Es seien

¡3.

y — ax -4- b,

z = axx + ¿,

die Gleichungen des Durchschnitts der Momenten-Ebeney und ( x — x ^ u + ( y - r . W -I-

=

0

die Gleichung einer dieser Momeuten-Ebenen: man sucht den O r t ihres Drehpunets Cr, jr, z,). Da die Ebene durch die gegebene Linie gehen soll, so finden folgende Bedingungsglcichungen Statt: L t •+• a M t + a t JV, = 0 , a-, L •+• yi M -h zt IV — b Mx — ¿, IV, ss. 0, ans welchen sich, wenn entweder oder y, elimiriirt wird, die Gleichungen einer geraden Linie ergeben, nämlich :

(n (aCB) — J(B—aA)) + ^(nia, A—C) — m(ß—aA)) + niL+aM+ayJV) 4- (bM-^b.N) (B—aA) x , ( m ( « C — « i B) — l(axA—Cy) m(L+aM-^aiir)

+ (bM+biN)

und

)

•+• z , ( m ( J 3 — a A ) — n(axA—C)) +

\ [—0 ) [ =

0;

faA-C))

wo 7, m, n dieselbe Bedeutung haben, wie f r ü h e r in (§• 13.). Dieses sind die Gleichungen einer geraden Linie, in welcher sich der Drehpuncl jeder Ebene befindet, welche durch die gegebene Linie p geht. Daher:

44. Der Ort der Drehpuncte aller Ebenen, Linie durchschneiden, ist eine gerade Linie.

welche sich in einer 8*

60

2. Schweins, Kräfte im Räume. 18.

Ich hehre die Aufgabe um, und suche den Ort der Durchschnitte con Momenten-Ebenen, deren Drehpuncte in einer geraden Linie liegen. Die Gleichungen der Linie, in welcher die Drehpuncte liegen, seien y. y — a x -+- b, z = a¡cc -+- bx. Sind (x„ yveSo), faiji^j) zwei Puñete der gegebenen Linie, so sind die beiden zugehörigen Momenten-Ebenen (x—x t ,)¿ 0 -I- O — J a ) Mo + (z - z0) Na = 0, ( x - x , ) ^ + (y-y,)MI + , = 0. Die Gleichungen des Durchschnitts dieser beiden Ebenen sind Í x (— Bh-+-a K) +- y {Ah—K) + Ah -+- bK = 0, 45. j x ( — Ch-ba,K) + s{Ah— K) — Mh + blK— 0, f y C — C Ä + a ^ ) -*- z(Bh—aK) + 1 + (abl-alb)K= 0; wo Ä die Bedeutung in (30.) hat. Da diese Gleichungen unabhängig sind von den Coordinaten der beiden Drehpuncte, so folgt, dass alle Momenten-Ebenen sich in dieser Linie durchschneiden. Daher: 46. Alle Momenten-Ebenen, deren Drehpuncte in einer geraden Linie liegen, durchschneiden sich in einer und derselben geraden Linie. Diese beiden Linien bestimmen sich gegenseitig. Herr Prof. Möbius nennt sie Gegenlinien. Vergleicht man die Gleichungen ( 4 3 . und 45.) mit einander, so findet man, dass sie identisch, dass aber ihre Elemente auf verschiedene Weise gruppirt sind. Daher: 47. Die erste der beiden Gegenlinien enthält die Drehpuncte, deren Momenten-Ebenen sich in der zweiten Gegenlinie durchschneiden, und die zweite Gegenlinie enthält die Drehpuncte, deren Momenten-Ebenen sich in der ersten Gegenlinie durchschneiden *). 19. Diese Gegenlinien verdienen eine grössere Aufmerksamkeit, als ihnen bisher zu Theil wurde. Ich werde hier eine ihrer Haupt-Eigenschaften entwickeln, von welcher ich später wichtige Anwendungen machen werde. Ich suche nämlich die Gleichungen der Linie, welche zu beiden Gegenlinien senkrecht ist, oder welche durch die beiden nächsten Puñete zweier Gegenlinien geht *) Möbius Statik, Seite 152.

2. Schweins, Kräfte im Baume. (x0

y0 z0) sei einer

61

dieser nächsten Puncte, und

y — y0 =

(x — r0),

s — 2 0 == /¿, ( x — x 0 )

seien die Gleichungen der ersten, also nach N o . ( 4 5 . ) ,

+ y(Ah — K) + Ä'h + j ( - /ux0 + y0)K = 0, -+- z(Ah-K) — Mh — (-/ulx0+z0)K = 0

x.(-Bh+

folglich

sein.

Also nmss entweder h = 0, oder B

A

A

N

C

A

M

4

X

„

sein. Die letztere Annahme führt durch Vereinigung der Gleichungen zu der Endgleichung A.L + B.M+ C.N = 0 , was gegen die Voraussetzung ist Es ist also h =

0

Nimmt man in dieser Doppellinie zwei Puñete (x p j 0 zo)» ( x i JTj yi~3/o «i—s0 , , a =

'

—

1

o=y0

— ax0,

an, so ist

öl = z0 - a{„r0.

"Werden nun diese — z0 ) A gesetzt, so ergiebt sich (xj —Wxe0)r t Lh0e -Hin ( ydie i ~ /Gleichung o)A/o + h — 0 0 = Aus dieseT Gleichung folgt aber, dass der Punct Zj) in der MomentenEbene 9Jl„ liegt, und also die Doppellinie ein Strahl in der Momenten-Ebene 2)t„ ist. D a h e r :

51.

Die Doppellinie ist ein Strahl einer

Momenten-Ebene.

Dieses stimmt ganz mit Demjenigen überein, was am Ende von (§. 16.) gefunden wurde.

21. W e n n aber eine der Gegenlinien die Richtung der gerade fortgehenden Kraft hat, so sind die Momenten-Ebenen aller Puñete dieser Linie parallel, und es lindel entweder keine zweite Gegenlinie Statt, oder diese liegt im Unendlichen. Dieses bestätigt auch die obige Rechnung; denn is( in der Gleichung oy in §. 18.; B C a = und Q i = > so verschwinden auch die Vorzahlen von x, y, z in den Gleichungen ( 4 5 . ) der Gegenlinie.

2. Scfuccins, Kräfte im Räume22. Ca- Gegenlinien, Die Momenten-Ebenen sich in dein Puncte

welche zu einander

senkrecht

sind.

aller Puncte einer Ebene SJlp durchschneiden und von diesen Ebenen durchschneiden sich

jene in einer geraden Linie; nämlich in einem Strahle, dessen Drehpuncte in diesem Strahle selbst liegen. durchschneiden

sich

in

Allein welche von diesen

der geraden

Linie,

die

durch

Momenten-Ebenen diesen

Drehpunct

('x0 y0 z 0 ) geht und senkrecht zu der Ebene 9Jl0 ist? oder: welche MomentenEbenen durchschneiden sich in 3i 0 , der D r e h - A x e der Ebene äJto? Zur Beantwortung dieser Frage kann man von der Eigenschaft zweier senkrechter Linien (hier Gegenlinien), oder von der Eigenschaft zweier senkrechten Ebenen ausgehen. chung der Ebene

Die Glei-

ist

(x—ara)L0 und ist (ac,

Es soll der letzte W e g gewählt werden.

-+- (y—y0)M,

+ (z — z9)N0 = 0 ;

zt) ein Punct dieser Ebene, so ist ( * — * , ) £ , -f- ( y - y „ ) M i •+• ( z — z J N i =

die Gleichung seiner Momenten-Ebene.

0

Die Bedingungsgleichung

für den

senkrechten Stand dieser Ebene ist

L0. L, h- M0. Ml + N0.

= Ü.

Die Grössen L t , M t , TV, ersetze ich durch andere, nernlich durch +

M0 (M0—(z,

- z0) A + (xx - .r 0 ) C ) { = 0,

+ und vertausche x,,

+ (y,--y0) ylt

z, gegen x,

y, z.

A)

)

Die Gleichung, welche hierdurch

entsteht, ist

52.

(x-xü) (CM0-BJV0) + (y-j0) (AÄ'0+ (z-zB) (BL0-AM0) + Kl = 0.

CL0)

Sie drückt eine Ebene aus, welche so beschaffen ist, dass, wenn ein Punct derselben zum Drchpuricte genommen wird, seine Momenten-Ebene zu der Monienten-Ebene 5Dl0 senkrecht ist, und zwar durch 9i 0 , durch die Axe dieser Momenten - Ebene geht. Diese Ebene ( 5 2 . )

ist parallel zu der Ebene 9 ( 0 E 0 ( 1 5 . ) ,

also auch

parallel zu der Hauptdrehlinie. Die Momenten-Ebene 9Jl0 wird von der Ebene ( 5 2 . ) in einer Linie durchschnitten, welche durch folgende Gleichungen ausgedrückt wird:

64

2.

Schaans, Kräfte im Räume.

I (*-*,) (BRl-MaK) - ( y - y 0 ) (ARl-L0K) - W0R¡ = 0, 53. G r - * „ ) (CBZ - ^o K) - (z - s D ) (Am - L0K) + M0R\ = 0, ( ( y - f o ) ( C R ¡ - J V 0 K ) - ( z — z 0 ) (BBlM.K) - L0Bt = 0. Dies sind die Gleichungen einer Linie, welche in der Momenten-Ebene ÜR0 liegt, und so beschaffen ist, dass die Momenten-Ebenen ihrer Puñete senkrecht zu der Ebene 3Jt0 sind und durch die I)reh-Axe 2i0 derselben gehen, und dass mithin die Dreh-Axen dieser Momenten-Ebenen in der Ebene 3Ji0 liegen. Diese Linie ( 5 3 . ) und die Dreh-Axe 9i0 sind zwei zu einander senkrechte Gegenlinien. Die Gleichungen (53.) enthalten B0, das Drehmoment der Ebene ÜJt0. Ich suche den Zusammenhang dieses Drehmoments mit den Drehmomenten der eben erwähnten senkrechten Momenten-Ebenen, und gebe deshalb diesen Gleichungen folgende Gestalt: Bl(N-Bx+Ay) = K(-(x-x«)M0 + ( y-y„)£0), Rl(M-Az+Cx) = Ki+ix—x^N, - (z — z0) L0), RS(LCy + Bz) = K(- (y-y0)N0 + (z-zJMJ. Ich wähle einen bestimmten Punct (xl z¡) dieser Linie, und setze deshalb diese bestimmten Coordinaten statt der allgemeinen x, y, z. Die Factoren von R% werden hiedurch Ny, Mlt hx. Ich vervielfache (multiplicire) die Gleichungen mit sich selbst, und zähle sie zusammen. Dies giebt Ri(L\+M?+W) = R l K ^ - x t f + + ( ^ - z j ) - K'Krt-xJL. + (yi-y0)M0 + (*,-«, Wird nun die Entfernung der beiden Puñete (jc 0 y 0 3 0 ), (^íyi^i) = r i gesetzt, so ist der Factor von RIK 2 , = rj. Der letzte Theil verschwindet; denn liegt in der Ebene 3Jtu. Ich erhalte hiedurch den merkwürdigen Satz: d. h.: ander samen beiden

54. R0. / i , = ri . K, Das Product der beiden vollständigen Drehmomente zweier zu einsenkrechter Momenten-Ebenen, deren Drehpuncte in ihrem gemeinDurchschnitte liegen, gleicht dem Productc aus dem Abstände der Drehpuncte und aus der beständigen Grösse K oder A.L-+-B.M + C.N. 23.

Jede Linie hat eine Gcgcnlinic (§§. 17. 18.), aber nicht jede Linie hat einen Drehpunct. Ist es aber möglich, dass eine der beiden Gegenlinien einen Drehpunct hat, ohne dass die andere Gegenlinie einen Drehpunct besässe? Ich

2. Schwant, Kräfic im Räume.

65

werde diese Frage untersuchen, und beweisen, dass nie eine allein diese Eigenschaft hat. Sind y — ax + b, Z= atx-i-bx die Gleichungen der ersten Gegenlinie, so muss, im Fall sie einen Drehpunct hat, q.h — p.K — 0 sein. Die Gleichungen der za>eiten Gegenlinie giebt (45.). Die Bedingungsgleichung, welche Statt finden muss, wenn auch diese Linie einen Drehpunct haben soll, erhält man, wenn man in den Gleichungen (26., 29. und 30.) , -Nh-bK Ch—OxK , itfÄ—¿,Ä a = Bh-aK. b hl Ahr-K ' — AK-K ' - Ah-K ' ~ Ah-K setzt. Hierdurch gehen p, q, l, m, n in plt qlt llt rnlt nlt ht über und die Bedingungsgleichung (29.) in qxhx — pxK — 0. Es findet sich _ V-K*-2?.h.K _ h.E'—q.K P1 — (.Ah-K)» ' 9* — Ah-K ' . _ jh-ftK _ —mK _ —nK h.K 1 77,1 1 h ~ Ah—K ' — Ahr-K ' — Ah-K• — Ah-K' und zuletzt K* (q.h—p.K) nu 1L K gilt! - p i Ä (Ah-Ky • Ist also qh — pK = 0, so ist auch qth — pxK = 0. Daher: 55. Hat eine der beiden Gegenlinien einen Drehpunct, so hat auch die andere Gegenlinie einen Drehpunct. Die Gegenlinien zerfallen also in zwei Arten: in solche, welche keinen Drehpunct haben, und in solche, deren jede einen Drehpunct hat. Bei den letztern, deren jede Gegenlinie einen Drehpunct hat, kann, wenn y = ax b, z — atx + bi die Gleichungen der ersten Gegenlinie sind, da h=PK 1 ist, den Gleichungen der zweiten Gegenlinie folgende Gestalt gegeben werden: ( x{Bp—aq) — y{Ap—(f) — Np — bq = 0, 56. x{Cp — axq) — z(Ap —*q) + Mp — bxq — 0, ( y (Cp—axq) — z{Bp — aq) — Lq — (abx— axb)p = 0, wo, wie früher festgesetzt, 1 4- a* + a] = p, A + aB + axC — q ist. Crelle'i Journal f. d. M. Bd. XXXVm. Heft I. 9

j

66

2. Schweins, Kräfte im Räume. 24.

Aus den Gleichungen für die beiden Gegenlinien in (§. 18.) ergiebt sich der Winkel, den sie bilden. Wird dieser durch (Gg) bezeichnet, so ist /r, v cos (Gg) = ^

__ 57.

{ e

,

h.q—p.K _2?

+ p Ä I

j ü r ) i

,

wo p, q, h die frühere Bedeutung haben. Ist nun hq—pK = 0 , so ist dieser Winkel = 9 0 ° . In diesem Falle haben aber die Gegenlinien die Eigenschaft der Dreh-Axen; daher: 58. Haben die Gegenlinien die Eigenschaft der Dreh-Axen, so sind sie zu einander senkrecht; und umgekehrt: sind die Gegenlinien zu einander senkrecht, so haben sie die Eigenschaft der Dreh-Axen. Der Drehpunct ( . r 0 j 0 z 0 ) bestimmt die Dreh-Axe ( 3 . ) * und zugleich die Gegenlinie (58.), welche zu jener senkrecht ist. Daher: 59. Ein Punct, als Drehpunct angenommen, bestimmt zwei zugehörige zu einander senkrechte Gegenlinien. Da die Gegenlinien, welche zu einander senkrecht sind, die Eigenschaft der Dreh-Axen haben, so ist, wenn (.t 0 y0 ze) der Drehpunct der ersten und (xt yt s,) der Drehpunct der zweiten Gegenlinie ist, nach (5.) : K=

12o • E. cos (gE) = i ? ! . E. cos

(GE),

mithin h

fs(cos

+

W

+ cos (GE)*).

Da nun die Gegenlinien sich in einer zur Hauptdrehlinie senkrechten Linie durchschneiden, so ergänzen sich die Winkel (gE) und (GE) zu 90°, daher der letzte Factor = 1 ist. Es ist folglich „

i

6 0

+

1 _

/£\a

Wird diese Gleichung mit dem früher gefundenen Satze in Betreff des kleinsten Drehmoments Rk ( 9 . ) in Verbindung gebracht, so erhält man die Gleichung

- m+wt = h

61

oder

(3i)+(si)

und in Verbindung mit dem Satze (56.) folgende: 62.

Rl + R'1 =

wo r der kleinste Abstand der Gegenlinien ist.

rt.Et-,

2. Schumis, Kräfte m Räume.

67

B. Unvollständiges Drehmoment, 25. Nur die Puñete einer zur Hauptdrehlinie parallelen Linie haben gleiche vollständige Drehmomente; die vollständigen Drehmomente der Puñete jeder andern Linie sind ungleich. Unter diesen ist bei einer Linie A, welche die Eigenschaft einer Dreh-Axe hat, dasjenige vollständige Drehmoment das kleinste, welches dem Drehpuncte der Linie A angehört, und dessen Momenten-Ebene zu der Linie A senkrecht ist. W e n n die vollständigen Drehmomente der übrigen Puñete dieser Linie A auf die Ebene dieses kleinsten vollständigen Drehmoments oder auf eine Ebene, die zu der Linie A senkrecht ist, projicirt werden, so sind alle diese Projectionen gleich; und zwar gleich dem genannten kleinsten vollständigen Drehmomente (36.). Bei einer andern Linie z', welche die Eigenschaft einer Dreh-Axe nicht hat, haben die Puñete derselben, als Drehpuncte, auch verschiedene vollständige Drehmomente; diese sind bei den Puncten, welche der Hauptdreblinie des Kräftensystems näher liegen, kleiner als bei den entfernteren Puncten. Aber keine Momenten-Ebene, welche einem Puñete dieser Linie angehört, kann senkrecht zu dieser Linie z4 sein. Auch bei dieser Linie werde ich die vollständigen Drehmomente ihrer Puñete auf eine Ebene projiciren, die senkrecht zu dieser Linie ist, und zeigen, dass alle diese Projectionen gleich sind. In dieser L i n i e w e r d e ein Punct Yo *•) angenommen, und durch diesen Punct eine Ebene gesetzt, senkrecht zu der genannten Linie; 9LQ sei seine Dreh-Axe, Ä , sein vollständiges Drehmoment und V die Protection dieses Drehmoments auf die erwähnte Ebene. Diese Projection kann angegeben werden durch 63. V = R9. cos (%%'), oder wenn cos (SI,, «0 = cos (9io

cos (ste) -+- cos(9t,y) cos(»'jr) + cos (91,*) cos(s's)

= jjr . cos(*'a?) + J¡r . c o s ( x ' y ) + ^ . c o s ( s ' z ) gesetzt wird, durch 64. V = Z f e . c o s ( z ' x ) -f- M0.cos(z'y) + Nt.cos(s's). leb werde nun nachweisen, dass V sich nicht ändert, wenn ein anderer Punct (a-j j i £,) in derselben Linie z' angenommen wird. Zu diesem Zwecke ist es nöthig, zu zeigen, dass (L0—L¡)

cos(z'x)

-+- (M0— Mx) cos(%'y) + (N0—A\)

cos(*'*) = 0 9*

ist.

2. Schaan», Kräfte im Raum.

68

Ich nehme an, dass y

=

ax -+- b,

z — axx

•+• ¿,

die Gleichungen der Linie z' seien, dass also auch Vi — y« =

^o).

zt — zt = a ^ x j — x , ) ,

cos(ste) = ^ ,

cos(z'y)

cos (*'*) = ^ ,

mithin Lo — L ^ (yi —y0)C— (*,— = fa—xt) ( a C — a , B ) , M9 — My = (Sj — %Q)A — (xt~x^ C = (a?i — ¿r„) (a, vi— C), — Ni — ( x , — x 0 ) B — ( y , — y t ) A = fo—(B—uA) sei. Diese Werthe in die obige Gleichung gesetzt, geben

0 = 0. Daher: 65.

auf «/irf

VFenn

eine Ebene,

die vollständigen welche senkrecht

alle diese Projectionen

Drehmomente

der Puncte

zu dieser Linie

i s t , projicirt

einer werden,

Linie äo

gleich.

Diese Projection r ist das unvollständige Drehmoment, oder kurz, das Drehmoment einer Linie, welches entweder durch das Product (63.), oder durch die drei Producte (64.) angegeben werden kann.

26. Ich werde jetzt zeigen, wie das unvollständige Drehmoment einer Linie, welche in einer Ebene liegt, aus dem Drehmomente dieser Ebene hergeleitet werden kann. Es sei C der Drehpunct der Ebene 3Jl0> AB die Linie in dieser Ebene, welche die Drehpuncte enthält, deren Dreh-Axen in dieser Ebene liegen (53.); EG sei eine dieser Dreh-Axen. Der Abstand EC sei = r. Ich suche das Drehmoment der Linie EF, welche in dieser Ebene liegt, mit der Dreh-Axe EG den Winkel fx bildet, und deren Abstand von C, — u ist. Ist V das unvollständige Drehmoment der Linie EF, und ü , das Drehmoment des Puncts E, so ist u R jrr * D V — xi!. cos f i = ——. Diese und die Gleichung (54.) vereint, geben

66.

V — u .

.

Nach dieser Gleichung kann das unvollständige Drehmoment einer Linie aus

2. Sehwems, Kritflt im Ramme.

69

dem Drehmomente RQ einer Ebene, in welcher die Linie liegend angenommen wird, und aus u, dem Abstände der Linie von dem Drehpuncte C der Ebene, gefunden werden. 27. Von der Gleichung (66.) lassen sich schöne Anwendungen auf die Gegenlinien machen. Zuerst nehme ich zwei Puñete und (¿Cj yi in einer und derselben Linie an, und fälle von ihnen Senkrechte Up, u, auf ihre Gegenlinie. Ist nun Vi das unvollständige Drehmoment dieser Gegenlinie, so ist nach (66.) V x = UQ . ^

und auch == Ui . -g- ,

mithin 6

«O _ «I Ro-Rl

. oder

Ä

0 _ «• . K-Üt*

'd. h.: Die vollständigen Drehmomente zweier Drehpuncte einer Linie messen sich so oft [sind dieselben Vielfachen von einanderj wie die senkrechten Linien, welche von diesen Drehpuncten auf ihre Gegenlinie gefället werden.

28. Es sei V0 das unvollständige Drehmoment der ersten und Vt das der zweiten Gegenlinie; i/a sei ein Punct in der ersten und (¿c0y0 S0) ein Punct in der zweiten; Ui die Senkrechte, von (¿Fj iji auf die zweite, und u 0 die Senkrechte, von (¿r„ y 0 a>0) auf die erste Gegenlinie gefallet. Es ist nach (70.) /¡Q V^» Fl^Ä, = „ 68.

d. h.: Das Product aus dem vollständigen Drehmomente eines Puncts einer Linie und aus dem unvollständigen Drehmomente der Gegenlinie, gemessen dividirtj durch den Abstand des Puncts von dieser Gegenlinie, ist eine beständige Grösse, und zwar = K. Sind nun (pc0 y0 s 0 ) und yt Si) die beiden Puñete, in welchen die Linie, die zu beiden GegenJinien senkrecht ist, diese Gegenlinien durchschneidet, so ist UQ — uit mithin 69

*

=

d. h.: Die unvollständigen Drehmomente

zweier Gegenlinien messen sich

2. Schweins, Kräfte tm Räume.

70

so oft £sind dieselben Vielfachen von einander] wie die der beiden Endpuncte des kürzesten Abstandes der beiden

Drehmomente Gegenlinien.

Zuletzt bezeichne ich die erste Linie mit €?0, die zweite mit Glt und verbinde mit der so eben gefundenen Gleichung den frühern Satz (63.), nemlich: Vu — RL COS (91, G0), Vy — Ro. COS (9io (?!>• Dies giebt folgende Gleichung: 70. (9ixG 0 ) = ( « o G « ) ,

d. h.: Die Dreh-Axen der Endpuncte des kürzesten Abstandes der beiden Gegenlinien bilden mit den Gegenlinien gleiche Winkel. 29. Ausser dem Kräftensysteme P0, Px werde noch eine Kraft in einer Linie q am AngrifTspuncte (ar, y0 Zq) wirkend, angenommen. Die Projectionen dieser Kraft auf die Coordinaten - Axen x,y,z seien durch Qß. ß f ; Qß und die unvollständigen Drehmomente dieser Kraft Q0 um die Axen x, y , z durch Qyt, Qx*, Qxy bezeichnet. Das unvollständige Drehmoment des ganzen Kräftensystems P^, Pt, .... um die Axe q ist r , = I , . cos (qx) + MQ . cos (qy) + N0. cos (qz). Wird diese Gleichung mit Q0 vervielfacht [multiplicirt] und berücksichtigt, dass Q» • COS (qx) = Qx, Qo . cos (qy) = Q„, Q . cos (qz) = Q» ist, so ergiebt sich die Gleichung

Qx(L-y„C+z.B) + Qy(M-ZoA+xtC) + Qi(N-allB+y0A) = QxL+QyM+ QJV+ A(y9Qt^z0Qy) +ß(z9Qx-x9Qt)+C(x9Q9-y,Qx). Die Unterschiede der vorstehenden Producte sind die mit Qyt, Qxt, Qxy bezeichneten unvollständigen Drehmomente der Kraft Q0. Es ist folglich

71.

V9 .Q0 = A.

+ B. Qxt + C. Qs, + Qx. L + Qy. M + Qt. N.

Hier bedeuten A, B, C die Projectionen aller Kräfte P .... auf x, y, z; Q*. Qi. Q. • der Kraft >(),.... ; L, M, N aller Drehmomente von-P 0 ,Pj,.... um die Axe x,y,z\

Qi*> Qx*> Q** -

-

des Drehmoments der Kraft Qc.

-

-

-

- - ;

Die erstem mit den letztern und die zweiten mit den dritten vervielfacht [multiplicirt], geben Producte, deren Summe gleich ist dem Producte aus der

2. Scftwems, Kräfte im Raune.

71

Kraft Q 0 und aus dem unvollständigen Drehmomente des ganzen Kräftensystems P , P\, um die Axe q, in welcher die Kraft Q9 wirkt. Dieser Satz ist die Grundlage eines viel allgemeineren, welcher entsteht, wenn mehrere Kräfte Q 0 , Qi, . . . . in verschiedenen Richtungen q0, q l t . . . . an verschiedenen Angriffspuncten wirkend angenommen werden, und wenn jede Kraft Q t , Q l t mit dem unvollständigen Drehmomente der Kräfte P t , P i um die Axen q0, q in welchen die Kräfte Q 0 , Q i , . . . . wirken, vervielfacht [multiplicirt] wird. Es entstehen eben so viele Gleichungen, als oben gefunden; ihre Summe ist

2 { V . Q) = A.2Qy* oder, wenn

-+- B

JSQX,

und

.

+

C.2Q*,

sQy, 2 Q z t t SQ^

•+• L.2QX

+ M.2Q9

+N.SQt,

durch A\ B', C' durch L', M\ N'

bezeichnet werden:

72. = A.L' + B.M'

rl.ql + + C.W -+• A'.L

+ B'.M+

C'N.

Diese Gleichung ist merkwürdig; es sind nämlich zwei Kräftensysteme P , ..... und Q,.... vorhanden.; die ersteren werden auf Ebenen, welche senkrecht zu den letzteren oder senkrecht zu q0, qy sind , projicirt, und dann werden die so entstandenen unvollständigen Drehmomente derselben mit der Kraft, worauf die Ebene senkrecht ist, vervielfacht [multiplicirt]. Die Summe dieser Producte gleicht den Producten, die entstehen, wenn A, B, C mit L', M', N' und A', B\ C mit L, M, N multiplicirt werden. W e n n die Kräfte Q,,

.... im Gleichgewicht sind, so ist

A' — B = C' - V = M = N' — 0, 1

und also

73. r0.q+ rx. + .... = «; d. h.: FPenn Kräfte Q», Qi im Gleichgewicht sind, und jede Kraft als Axe eines andern Kräftensystems P, P lf betrachtet wird, wodurch eben so viele unvollständige Drehmomente als Axen oder als Kräfte Q,, Q,, entstehen, und wenn jedes dieser unvollständigen Drehmomente mit der K r a f t , welche längst der zugehörigen Axe wirkt, muÜipUcirt wird, so ist die Summe dieser Producte — 0.

2. Schwein*, Krqfte im Baume.

72

Herr Prof. Möbius findet Seite 164, 1. Thl. seiner Statik diesen speciellen Fall. Wenn Qt, Q,t.... und Pt, Plt . . . . ihre Rollen wechseln, so entstehen dieselben Producte, wie in (72.); daher ist 74. F9.Q0 + V1.Qj+ rt.Q2 + . . . . = U0.P0+ 4- Ut.P2 + .... = A.L' + B.M' + C.N' + A'.L+ B'.M + C'.N; wo V9y Vlt .... die unvollständigen Drehmomente der Kräfte P0, Plt.... bedeuten, um die Axen q 0 , qx K in welchen die Kräfte Qu, Q lt . . . . wirken, und U t , Vi, . . . . die unvollständigen Drehmomente der Kräfte Qa, Qif um die Axen Pit Pi, in welchen die Kräfte P9, Plt . . . . wirken. Zu diesem allgemeinsten Satze bin ich gekommen, indem ich nicht vom Gleichgewichte ausging.

C. Ein Kräftensystem

durch zwei andere Kräfte

ersetzt.

30. Von diesem Gegenstande habe ich in Heft 3., Band 32. dieser Zeitschrift den Hauptsatz veröffentlicht, nämlich: Die beiden Kräfte, wodurch ein Kräftensystem ersetzt werden kann, oder welche diesem das Gleichgewicht halten, gehen senkrecht durch einen Hebelsarm, der an der Hauptdrehlinie senkrecht befestigt ist. Ich will diesen Satz auf den, welchen ich oben bei den Gegenlinien gefunden, zurückführen, und zugleich mehrere andere beifügen. Q,, Q„ sind auch hier die beiden in Rede stehenden Kräfte; X,, X„. Y,, Y„, Z,, Z„ sind ihre Seitenkräfte, und A = X, + X„, B=Yf+Y„, C=zZf + Z„, L = y,Z, — z, Y, + y„Z„ — z„ Y„ , M = z, X, — x, Z, + z„ X„ — x„ Z,„, N = x, Y, — y'X, + x„ Y„ — y„X„ ihre Bedingungsgleichungen. Aus diesen erhält man durch Elimination die Gleichung 75. L (x,—x„) 4y„) + N(z, - z„) = A{y,z„—y„z,) + B(z,x„—z„x,) + C(x,ylt—x„y,), welche auch folgende Gestalt annehmen kann: 76.

( * , - x „ ) L „ + (y,—y„)M, •+- ( z , - z „ ) N „ = 0,

2.

Schweins, Kräfte im Baum.

73

oder 77.

( * „ - * , ) L' + (y„ ~y)M'

+ (z„-z,)JV

= 0.

Zwei Kräfte Q't, Q*,, die durch den Anfangspunct der Goordinaten gehen, den Kräften Q,, Q„ gleich und parallel sind, und der Mittelkraft E das Gleichgewicht halten, werden, wie auch am angeführten Orte geschehen, zu Hülfe genommen. veränderlich, so giebt Ist der Punct (¿r„ y„z„) fest, und sind x,,y,,z, die Gleichung ( 7 6 . ) eine Ebene 9R„ an, deren Drehpunct dieser feste Punct ist, und in welcher zugleich der Punct (x,y,z,) liegt. veränderlich, so giebt Ist der Punct (x, y,z,) fest, und sind x„,y„,z„ die Gleichung ( 7 7 . ) eine Ebene an, deren Drehpunct ( x . y, z , ) ist, und welche durch den Punct ( \x„y„z , , ) geht. Die Angriffspuncte der beiden Kräfte Q,, Q„ liegen also in dem Durchschnitte der beiden Momenten-Ebenen 91t, und SR» oder der Ebenen (76., 77.). Dass Q, in der Ebene (76.) und Q„ in der Ebene Q„ liegt, ergiebt sich auf folgende W e i s e : Ich lege die Gleichung x . l t „ + y. M„ + z. N„ = 0

zum Grunde. Sie giebt eine Ebene an, welche zu der Ebene (76.) parallel ist und durch den Anfangspunct der Coordinaten geht. Ihr geschieht Genüge, wenn X,, Y,, Z, statt x,y, z gesetzt werden; in ihr liegt also die Kraft Qt . Da nun Q, zu Q't parallel und auch die Ebene (76.) zu dieser Ebene parallel ist, und da in der Ebene ( 7 6 . ) der Angriffspunct ( x , y , z , ) von Q, liegt, so liegt auch die Kraft Q, in der Ebene (76.). Eben so wird bewiesen, dass die Kraft Q„ in der Ebene (77.) liegt. Daher: Die Kräfte

78.

ten-Ebenen werden;

Q , , Q „ liegen in dem Durchschnitte

3Jt,, 3 J t „ , welche

und

zwar

durch

die Gleichungen

liegt Q, in der Ebene

zweier

( 7 6 . und 7 7 . )

Momenangegeben

5Jl„ und Q „ in der Ebene

£01,.

31. Es ist noch übrig, zu beweisen, dass die beiden Linien, in welchen die Kräfte Q,, Q„ wirken, Gegenlinien sind *). Von diesem Satze lässt sich, da jetzt die Gleichungen für Gegenlinien entwickelt sind, folgender Beweis geben: Die Gleichungen der ersten Gegenlinie sind *) Möbius, Journal der Mitb., Bd. X., Seite 338. Crelle'i Journal f. d. M. Bd. XXXVIIL Heft I.

10

2. Schwans, Kräfte im Räume.

74 tl_Y1L

y — y

4

*

N-XJ^X, V

y

-Z —- y

'

M-z,X,+x,Z, 9 Y"

mithin ist nach (§. 1 8 . ) :

„ _ T„ a —

Z„ a, — y ,

0 =

-N+x,Y,-y,X, y

b, —

,

M-z,X,+x,Z,.r Y

W e r d e n n u n diese W e r t h e von a, a,, b, b' in die Gleichungen (43. oder 45.) eingeführt, so entstehen, nach gehörigen Reductionen, f ü r die zweite Gegenlinie die Gleichungen

x-x, _ y—y, _ X, ~ Y, -

t-z, Z, '

Diese sind aber die Gleichungen der Linie, in welcher die Kraft Q, Hegt. D a h e r :

79. Die beiden Kräfte Q,, Q„, durch welche das Kräflensystem setzt werden kann, wirken in zwei Gegenlinien.

er-

Mit dieser Eigenschaft ist nach (49.) nothwendig folgende verbunden:

80. Die beiden Linien, in welchen die das Kräflensystem ersetzenden Kräfte Q,, Q„ wirken, sind senkrecht zu einer Linie, welche rechtwinklicht die Hauptdrehlinie durchdringt. 32. Zu den Momenten der Kräfte Q,, Q„ übergehend, bezeichne ich die Linien, in welchen sie wirken, mit q,, q„, das unvollständige Drehmoment der Kraft Q„ um die Axe q, mit V , und das Drehmoment der Kraft Q, um die Axe q„ mit V". Es ist

wo

und Wird

V = L'.cos(Qfcc) M'.cos(Q,y) + IV'. cos(Q,z)> L, = (y,—y,) Z„ — (z„—z,) Y„, M,~ (z„ — z,)X„ — (x„ — x,)Z„, ff' — {x„ — cc,) Y„ — (y„—y) X,t X Y cos(Q,ir) = ^-',

cos (Q,y)

= ^

t

cos(Q,z)

=

Z

die Multiplication wirklich vorgenommen, so entstehen dieselben Pro-

duete, als wenn die Gleichungen im Anfange des (§. 30.) mit X,-+-.,/) cos ( 0 „ y) + cos (Q, z) cos (Q„z)) = Q, 2.-Q*.cos(Q.Q„y."

D e r N e n n e r ist also =

Q*Q* (l-cos(0,0„)2) =

Q?Q2h sin(0,