Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 85 [Reprint 2020 ed.] 9783112341803, 9783112341797

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Journal für d i e

reine und angewandte Mathematik. In

z w a n g l o s e n

Heften.

Als F o r t s e t z u n g des

von

A. L. C r e 1 1 e gegründeten Journals herausgegeben u n t e r M i t w i r k u n g der H e r r e n

Schellbacb, Kummer, Kroneoker, Weierstrass von

C. W. B o r c h a r dt. Mit thätiger Beförderung hoher Koniglich-Preussischer Behörden.

Fünfundachtzigster Band. In vier Heften. Mit einer

Figurentafel.

Berlin, 1878. Druck und Verlag von G. R e i m e r .

Inhaltsverzeichiiiss cles fünfundachtzigsten Bandes.

XJeber die linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welche algebraische Integrale besitzen. Zweite Abhandlung. Von Herrn L. Fuchs in Heidelberg Seite 1 Ueber ein einfaches Hyperboloid von besonderer Art. Von Herrn H. Schröter in Breslau — 26 Ueber die Transformation von Differentialausdrücken vermittelst elliptischer Coordinaten. Von Herrn S. Gundelßnger in Tübingen — 80 Beweis eines Satzes von den Oberflächen zweiter Ordnung. Von Herrn Milinowski zu Weissenburg i. E — 88 Sur les actions mutuelles des formes invariantives dérivées. Par M. J. J. Sylvester, professeur à J o h n s Hopkins University Baltimore, Etats-Unis de l'Amérique du Nord — 89 Zur Theorie des Borchardtsehen arithmetisch-geometrischen Mittels a u s vier Elementen. Hierzu die Figurentafel I. Von Herrn Karl Schering in Göttingen. — 1 1 5 Ueber Minimalflächen. Zweite Abhandlung. Von Herrn L. Kieperl in Darmstadt. — 171 Preisaufgabe der Jablonovvskischen Gesellschaft zu Leipzig für das J a h r 1881. — 184 Ueber adjungirte lineare Differentialausdrucke. Von Herrn G. Frobenius in Zürich — 185 A memoir on the double #-functions. By Professor A. Cayley at Cambridge. — 214 Sur le pendule. Extrait d'une lettre adressée à M. Gyldéti, de Stockholm, par M. Ch. Hermite . . — 246 Zur Theorie der Flächen. Von Herrn 0. Röthig. — 250 Réflexions au sujet d'un théorème d'un Mémoire de Gauss sur le potentiel. {Gauss Werke, Band V, p. 232, art. 30—3-1.)

P a r AI. Emile

Mathieu

à Xancy.

T a b l e of the values of the first sixty-two numbers of Bernoulli. By P r o f e s s o r J. C. Adams. M. A. F. R. S. at Cambridge Ueber die Réduction hyperelliptischer Integrale auf elliptische. Von Herrn Königsberger in Wien. . . . . . . . . .

—

264

—

269

—

273

IV

Inhaltsverzeichniss

des fünfundachtiigsten

Bandes.

Ueber die Transformation, einen gewissen Gattung von -Differentialgleichungen in krummlinige Coordinaten. Von Herrn S. Gundelßnger in Tübingen. Ueber Sechsecke im Räume. Aus den hinterlassenen Papieren von 0. Hesse mitgetheilt durch Herrn S. Gundelßnger . Sur la partition des nombres. Note de M. Faà de Bruno à Turin. . . . Ueber die Anzahl der Werthe einer ganzen Function von n Elementen. Von Herrn E. Netto Sur les sections circulaires des surfaces du second ordre. Par M. Emile Sourander à Helsingfors

Seite 295

Druckfehler. S. 339—344 statt S o u v a n d e r lese man S o u r a n d e r . „ 344 Zeile 2 statt n u m é r a t e u r lese man d é n o m i n a t e u r .

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304 317

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327

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IV

Inhaltsverzeichniss

des fünfundachtiigsten

Bandes.

Ueber die Transformation, einen gewissen Gattung von -Differentialgleichungen in krummlinige Coordinaten. Von Herrn S. Gundelßnger in Tübingen. Ueber Sechsecke im Räume. Aus den hinterlassenen Papieren von 0. Hesse mitgetheilt durch Herrn S. Gundelßnger . Sur la partition des nombres. Note de M. Faà de Bruno à Turin. . . . Ueber die Anzahl der Werthe einer ganzen Function von n Elementen. Von Herrn E. Netto Sur les sections circulaires des surfaces du second ordre. Par M. Emile Sourander à Helsingfors

Seite 295

Druckfehler. S. 339—344 statt S o u v a n d e r lese man S o u r a n d e r . „ 344 Zeile 2 statt n u m é r a t e u r lese man d é n o m i n a t e u r .

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339

1

Ueber die linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welche algebraische Integrale besitzen. Zweite

Abhandlung.

(Von Herrn L. Fuchs in Heidelberg.)

I n meiner Arbeit (dieses Journal Bd. 81 p. 97) habe ich die Frage, unter welchen Umständen eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung algebraische Integrale besitze, auf die Frage zurückgeführt, wann gewisse aus der gegebenen eindeutig ableitbare lineare Differentialgleichungen, deren Ordnungszahl nicht grösser als zwölf, durch Wurzeln rationaler Functionen befriedigt werden. Zu diesem Behufe führte ich (das. p. 114) den Begriff der PrimfQrm ein, und zeigte, 'dass der Grad der Primformen niedrigsten Grades in keinem Falle den zwölften überschreite. Zu den Zwecken meiner dortigen Abhandlung war eine Reduction der möglichen Gestalten dieser Primformen auf das geringste Mass nicht erforderlich. Ich beschränkte mich aus diesem Grunde daselbst auf • diejenigen Reductionen dieser Formen, welche eine unmittelbare Folge des Begriffes derselben sind, und stellte dieselben in einer Tabelle (p. 126 das.) zusammen. Seitdem haben die Herren F. Klein und C. Jordan sich mit demselben Gegenstande beschäftigt. Insbesondere hat Herr Klein in einer Reihe von Abhandlungen, welche theils in den Sitzungsberichten der physikalischmedicinischen Societät zu Erlangen, theils in den Mathematischen Annalen enthalten sind, die Eigenschaften der algebraischen Gleichungen, deren Wurzeln linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung genügen, zum Gegenstände seiner Untersuchungen gemacht, und meine oben genannte Tabelle einer Reduction unterworfen. In neuerer Zeit ist es auch Herrn Gordan gelungen (Mathem. Ann. Bd. 12 p. 147) die von mir in der Einleitung zu meiner oben genannten Abhandlung aufgestellte Aufgabe, die Formen nteu Grades zu bestimmen, deren Covarianten niedrigeren als nteD Grades identisch verschwinden, für binäre Formen zu lösen, und zu zeigen, dass dieselben mit meinen Primformen niedrigsten Grades zusammenfallen. Journal für Mathematik Bd. L X X X V .

Heft 1.

1

2

Fuchs,

lineare

Differentialgleichungen

2. Ordn.

mit algebraischen

Integralen.

Bei Gelegenheit einer Note des Herrn P. Pepin (Compte's rendtis de l'acad. des sc. de Paris Juni 1876) habe ich (das. Juli 1876) nachgewiesen, dass der Grad zwölf von den Primformen niedrigsten Grades auch wirklich erreicht wird. In dem Folgenden erlaube ich mir zu zeigen, wie eine consequente Ausführung der Theorie der Primformen, bei welcher nicht bloss diejenigen niedrigsten Grades, sondern die Gesammtheit derselben in Betracht gezogen wird, die natürliche Grundlage für alle auf die hier betrachteten Differentialgleichungen bezüglichen Fragen bildet. Es wird gezeigt, wie durch dieselbe nicht blos die in meiner oben genannten Abhandlung gefundenen Resultate auf die einfachste Weise erhalten werden, sondern auch die endgültig möglichen Gestalten der Primformen niedrigsten Grades sich von selbst ergeben, und neue Eigenschaften der linearen Differentialgleichungen, denen die Wurzeln algebraischer Gleichungen genügen, so wie die Form dieser Gleichungen erkannt werden. Meine Abhandlung (Bd. 81 p. 97) erlaube ich mir im Folgenden, der häufig vorkommenden Citate wegen, zur Abkürzung mit (.4.) zu bezeichnen. 1. I. Der Grad m einer irreductiblen Wurzeln einer Differentialgleichung = Py

algebraischen

Gleichung,

deren

(Gl. (B.) in A. p. 102)

genügen, ist eine gerade Zahl. Ist nämlich L' der Index des zu der //esseschen Covariante einer Primform niedrigsten Grades IV gehörigen reducirten Wurzelsystems, so besteht (A. p. 118) die Gleichung: m =

(2iV-4)X',

woraus sich unsere Behauptung ergiebt. II. Der Grad einer beliebigen Primform, ebenso wie der Index des zugehörigen reducirten Wurzelsystems ist ein Divisor des zur Differentialgleichung gehörigen Grades m. In der That sei n der Grad einer beliebigen Primform und / der Index des zugehörigen reducirten Wurzelsystemes, so ist (A. p. 113) m = nl.

Fuchs, III. ct,

c2

lineare Es

sei

willkürliche

Wurzelsystems

Differentialgleichungen yi,

y-,

ein

beliebiges

Constanten, der

Gleichung,

2. Ordii, mit algebraischen

so

ist

Fvndamentalsy

die

Anzahl

c,j/, + c,y2

welcher

der

stein Glieder

genügt,

m

von

Integralen,

des oder

reducirten tri

Sind nämlich unter den Wurzeln der Gleichung, welcher genügt, zwei solche, deren Quotient gleich einer Einheitswurzel j, (nach dem Satze A. p. 112) j{,ciyl-\-

c2y,)

Da diese Gleichung irreductibel ist, c l y l -\-c i y2 in j ( c ^ + c.y 2 ) über.

3

Integralen.

c,y1-\-c2y2

so ist

eine Wurzel derselben Gleichung.

so geht auf einem gewissen

Wege

Es mögen nun auf demselben W e g e y , , y 2

resp. in auyi + m in welcher die

Coefficienten durch Vergleicliung gleich hoher Potenzen von yx auf beiden Seiten bestimmt werden. folgende

Werthe

der

Aus den Potenzsummen ergeben

Coefficienten cpM

Pl =

= Pi=

Pr = *6 x\ +

p als

ganze

homogene

sich

aladann

Functionen

von

/ ¡ W + T 7 2 ® h (p,

P4 =

•

Ps = hXi V,

p~ = hX\

so

Fuchs,

lineare

Differentialgleichungen

2. Ordn. mit algebraischen

Integralen.

17

i/n ein Fundamentalsystem von Integralen, welche resp. den Wurzeln r, 1—r der zugehörigen determinirenden Fundamentalgleichung entsprechen, wobei wir voraussetzen wollen, dass r die kleinere der beiden Wurzeln ist, was erlaubt ist, weil dieselben verschieden sein müssen (s. m. Abh. Bd. 66, No. 6). Es sei alsdann (1.)

yx =

Vi = y

Substituirt man diese Werthe flir y,, in eine Primform » ten Grades, so kann zweierlei eintreten. Entweder ist der Coefficient von »tf Null oder nicht. Im ersteren Falle ist der Coefficient von rfx jedenfalls von Null verschieden, weil f als Primform nicht durch rß theilbar sein kann. Hieraus ergiebt sich der Satz: I. Eine Primform f nten Grades hat in der Umgebung eines Punktes a entweder die Form (2.)

singulären

--= ( « - « ) " ' > ( » )

oder (2".)

f =

wo (p(z) Wurzel einer rationalen noch unendlich ist. Wenn weder f noch H(f)

(z-af-2^'.(p(z), Function ist, welche für s = a weder die Form (2".) hat, so kann

Null

so be-

stimmt werden, dass die Form - ' t ^ - ;2Jv-4)'p]*:

=

können

dazu

dienen,

die

ganze

welche in Gleichung (3.) No. 1 0

von

ergiebt sich auf ähnliche W e i s e wie ( A . p. 1 3 3 )

12.

rationale als F a c t o r

von x auftritt, wodurch nach dem Obigen / vollständig bestimmt ist. Grad von *p(z)

23

Integralen.

und Ä = 1 /"«r iV = 4, >. = 2 /«r J V = 6 , X = 3 für N=

wo C, C' Constanten Die

2. Ordn. mit algebraischen

Der

der Grad

g{z).

14. Zum B e s c h l u s s fügen wir noch zwei fernere B e w e i s e des Satzes, dass die Summe der Wurzeln Punkten

gehörigen

der zu den verschiedenen

determinirenden Fundamentalgleichungen

singulären

mit einer der

Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, G, 8, 10 zusammenfallen müssen, wenn J V ; > 2, hinzu fsiehe No. 1 0 S . I I I . , W i r glauben

den Satz am Schluss von No. 12

diese B e w e i s e um

so weniger

und A. p. 1 3 5 ) .

unterdrücken zu dürfen, weil

sie diesen Satz fast als eine unmittelbare F o l g e aus der Begriffsbestimmung einer Primform darstellen. Ist / eine Fundamentalsystem gleichzeitig

Primform

»ten

Grades,

von Integralen

y,,

gebildet

aus

y-,. so dürfen

die Glieder mit y" und yT^y^

ei'

i

in

ebenso wenig

beliebigen

, ,elben gleichzeitig

nicht die

Glieder mit y", y" ^y\ fehlen, weil f weder durch y\ noch durch y] theilbar sein darf (A. p. 1 1 4 \

Die Primform bestellt

daher

aus mindestens

zwei

Gliedern. E s sei demnach erstens /• =

wo o„ und ak von Null

a,y1 + ak.yrky"

verschieden

die höchste Potenz von y, in H[f) niedrigste

.Potenz

(2n —4) t e n

Grade.

von

y:

in

sind. die

+ ----

Da

1. so ergiebt sich, dass

2n — fe— 2 ' t e ist.

derselben

die

/>• 2 "'.

demnach ist die weil

Ist f eine Primform niedrigsten Grades, so ist auch H(f form (A. p. 1 1 6 ) ,

und als solche nicht durch y] theilbar. k- 2


i / ^ r ) = a,

und die letzteren Geraden g und /, bilden dasjenige Linienpaar, welches in der Berührungsebene des Hyperboloids im Punkte p t liegt. Da die Berührungsebenen an den Punkten p und p, des Hyperboloids parallel laufen und rechtwinklig sind auf der Verbindungslinie p p,, so ist ppk eine Hauptaxe des Hyperboloids; wir nennen sie die a-Axe, indem wir ppt

— 2a

setzen. Die Mitte o zwischen ppt ist der Mittelpunkt des Hyperboloids, und

72

B. Schröter,

über ein einfaches Hyperboloid

von besonderer

Art.

eine durch o rechtwinklig zur a-Axe gelegte Ebene schneidet dasselbe in einer Hyperbel, deren Mittelpunkt o ist und deren Asymptoten den Geraden l und gi (oder g und /,) parallel laufen, d. h. nach den Punkten 71° und n™ gehen. Die Halbirungslinien der Winkel zwischen den Asymptoten sind die beiden übrigen Hauptaxen des Hyperboloids, von denen die eine reell sein muss = 2b und die andere imaginär ist, aber vertreten wird durch dasjenige Stück = 2c, welches abgeschnitten wird zwischen den Asymptoten auf einer Tangente an einem Scheitel der Hyperbel. Wir nennen noch denjenigen Winkel zwischen den Asymptoten, in dessen Scheitelräumen die Hyperbel nicht liegt, (p, haben also: o

2

Da die Punkte d und rf, conjugirt sind in Bezug auf das Hyperboloid, so trennen sie harmonisch p und pt; wir dürfen also annehmen, dass d zwischen ppt und dl ausserhalb pp, liegt; dann ist wegen der harmonischen Beziehung mit Rücksicht auf die Richtung der Strecken: M

P^,

' '

und der Werth dieses Verhältnisses bestimmt die Lage der Punkte ppx zu den Punkten ddt, sowie auch umgekehrt. Wir dürfen auch, ohne eine Beschränkung dadurch eintreten zu lassen, ,«< 1 annehmen, d. h. wir nennen von den beiden Punkten d und rf,, zwischen denen p liegen muss, denjenigen, welcher p zunächst liegt, d und den entfernteren rf,, woraus die entsprechende Benennung der Strahlen s und s, hervorgeht. Andererseits werden die Ebenen (lg) und (gj,), die Berührungsebenen in den Punkten nx und 71" am Hyperboloid, welche sich in der Geraden k schneiden, harmonisch getrennt durch die conjugirten Ebenen (As) und (Ars,). Zwischen den Sinus der Winkel, welche diese vier harmonischen Ebenen mit einander bilden, besteht die bekannte Beziehung: sin(/s)

_

sin(/«,)

~

sin(,, welche durch d und dl rechtwinklig zur a - A x e des Hyperboloids gelegt werden können.

Jede dieser Ebenen schneidet das Hyperboloid in einer Hyperbel,

deren Asymptoten diejenigen Geraden sind, welche durch d und dt parallel zu / und g{ (oder g und l{) gezogen werden.

Da von diesen Hyperbeln

ausser ihren Asymptoten noch die elliptischen Punktinvolutionen auf den Durchmessern s und s, bekannt sind, so sind die Hyperbeln vollständig bestimmt.

Ziehen wir noch durch d eine Parallele o\ zu «j und durch dx

eine Parallele a zu s,

so werden sowohl s und o, harmonisch getrennt

durch die Asymptoten der ersten Hyperbel, als auch a und Journal für M a t h e m a t i k

Bd. L X X X V .

H e f t 1.

1 0

harmonisch

74

H. Schröter,

über ein einfaches Hyperboloid

von besonderer

Art.

getrennt durch die Asymptoten der zweiten Hyperbel; es sind also s -und ein Paar conjugirter Durchmesser der ersten Hyperbel, und da s der Träger einer elliptischen Punktinvolution ist, so muss a, der Träger einer hyperbolischen sein, d. h. ein reeller Durchmesser. Bezeichnen wir denselben mit 2A, so wird das zwischen den Asymptoten abgeschnittene Stück auf einer Tangente am Endpunkte des Halbmessers A den Werth 2B haben, also verhält sich: A _ sin(/s) B ~~ sin (/. Ein solcher Flächenbüschel dürfte sich wegen der besonders einfachen Eigenschaften, welche er darbietet, zur eingehenderen Untersuchung besonders empfehlen. Er entspricht der ebenen Figur eines Büschels von Kegelschnitten mit ideeller doppelter Berührung und ist ein specieller Fall desjenigen Büschels von Flächen zweiter Ordnung, dessen Grundcurve in ein räumliches Vierseit zerfällt. Wir überlassen dem Leser die Durchführung der Modificationen, welche die vorstehende Untersuchung erleidet, wenn wir von zwei Geraden s und st ausgehen, die sieh im Räume treffen; dann ist unser J' = 0 und das Hyperboloid degenerirt in einen orthogonalen Kegel. Die Bedingung für den orthogonalen Kegel tritt am besten in der auf S. 46 gegebenen Gestalt auf: (p

.

ip

tg 2" = s i n 2 ' wo (f und ip die Kegelöffnungen bedeuten in den beiden zu einander rechtwinkligen Hauptschnitten, welche reelle Linienpaare sind. Die Durchschnittscurve eines orthogonalen Kegels und einer mit demselben concentrischen Kugel ist ein sphärischer Kegelschnitt von besonderer Art, der früher „ Steiner-Chaslesscher Kegelschnitt" *) genannt zu werden pflegte, nunmehr analog unserer Bezeichnung .,der orthogonale sphärische Kegelschnitt" lieissen muss. Breslau, den 29. December 1877. '*) Vergl. „Der sphärische Kegelschnitt 1 ' von Dr. Heinrich Breslau 1873.

Voigt, Inaug. Dissertation.

80

lieber die Transformation von Differentialausdrücken vermittelst elliptischer Coordinaten. (Von Herrn S. Gundelßnger

in Tübingen.)

H esse hat in der 22. Vorlesung seiner analytischen Geometrie des Raumes ein Uebertragungsprincip angegeben, welches gewisse Differentialausdrücke der rechtwinkligen Coordinaten in solche der elliptischen Coordinaten transformiren lehrt, indem man an den beim Hauptaxenproblem der Flächen zweiter Ordnung auftretenden Formeln passende Veränderungen vornimmt. Die Integration der Differentialgleichungen für die Krümmungscurven und die geodätischen Linien auf den letzterwähnten Flächen wird hierdurch fast ohne alle Rechnung geleistet. In der folgenden Note soll gezeigt werden, dass die Integration dieser und verwandter Differentialgleichungen vermittelst eines ähnlichen Uebertragungsprincips auch an das Hauptaxenproblem der ebenen Schnitte einer Oberfläche zweiter Ordnung sich knüpfen lässt. Die dabei eingeführten analytischen Elemente gestatten zahlreiche geometrische Deutungen und bringen die Lehre von der Krümmung der Flächen zweiten Grades mit derjenigen von ihren geodätischen Linien in einen einheitlichen Zusammenhang*), ganz abgesehen davon, dass die hier gegebenen Entwickelungen von der allgemeinen Form der Flächengleichung ausgehen. I. Zusammenstellung einiger auf die Krümmung der Flächen bezüglicher Formeln. Es repräsentire u (x, y, z) = u = 0 die Gleichung irgend einer Fläche in rechtwinkligen Coordinaten. Ferner seien a, b, c die Cosinus der Winkel, welche die Normale der Fläche im Punkte x, y, z gegen die Coordinatenaxen bildet, sowie ab', c' und a", b", c" die Cosinus der Tangenten an die beiden durch diesen Punkt gehenden Krümmungslinien. Alsdann **) lassen sich diese drei Systeme von Cosinus *) Nach der hier angedeuteten Methode pflege ich schon seit einer Reihe von Jahren in meinen Vorlesungen die Theorie der Linien auf den Flächen zweiten Grades vorzutragen. **) Cfr. Hesse, Vorlesungen Uber analytische Geometrie des Raumes, Vorlesungen 30 und 28.

Gundelfinger,

Differentialausdrücke

durch

ellipt.

Coordinaten

transformirt.

81

als die Coefficienten einer linearen orthogonalen Substitution betrachten: Z = aX

+ a'Y+a"Z,

n =

bX+b'Y+

b"Z,

£ =

cX +

c'Y+c"Z,

welche für beliebige, von den x, y, z unabhängige Werthe der

j?, l, die

Function c 'u

^

ox

6'u

, o u „ •+ 7 ^

-

oxcy

/t

=

v&n*1*)

überführen in: (pi^-n/O

=

l1Y2

+ LZ2

+

uX--2,u'XY-2u"XZ.

Darin sind die Coefficienten l, und l2,

unter ux und uxX (x, X = 0, 1, 2) die

ersten und zweiten partiellen Differentialquotienten der Function u nach x, y, z verstanden, die Wurzeln der quadratischen Gleichung M|„

«in

M()2

w„

«11-

«12

«i

«2ll

2/2 2

^

• = D ( i ) = 0,

u2

0

U,

während u' und u " mit Anwendung des Zeichens J{X)

, 1 A. M(X

M.u

«10

«m

ult — l

«12

«•u

«2l

2^22 ^

für

durch die Formeln*) erhalten werden:

.

u

.

~

r J

K-K

In denselben kann man sich zur Fixirung der Vorstellung jeder der Grössen und n" — und damit auch jedem der Systeme a, b', c' und a", b", c" — irgend ein bestimmtes Vorzeichen ertheilt denken.

Dagegen möge in den

Gleichungen a — v «„, v~'1

b = vu,. =

ii;t +

c =

vu2,

u;-\-n]

das Vorzeichen von v derart festgesetzt weiden, dass die Substitutionsdeterniinante 2±(ab'c")

der positiven Einheit gleich wird, dass also die Normale

zu den beiden Richtungen a, //, c' und u", b", c" in demselben Sinne liegt, wie die cr-Axe zu den Axen der y und z. * ) V g l . 1. c. (dritte Auflage), V o r l e s u n g

Journal für Mathematik Bd. LXXXV. Heft 1.

Gleichungen

29.

H

82

Gundelfinger,

Differentialausdrucke

durch

Wenn der specielle, im Folgenden

ellipt.

Coordinaten

transformirt.

Fall eintritt, dass

stets festgehaltene

die Function u vom zweiten Grade und entwickelt von der Gestalt ist: 2m = =

aif)x'2 + 2amxy-\ tp(x,

\-anz2

y, z) + 2a(lix

+ 2aliy

+

2aiax-\-2al-sy-sr2anZ-\-an

+ 2a2iz

+

a33,

so kann die quadratische Gleichung D (A) = 0 bei Einführung der Zeichen A = -S±(au.)

«22033)

und

geschrieben werden: - A + Bl

II.

Ableitung

+ lfv-2

=

des Uebertragungsprincips.

0.

— Dieselbe knüpft man am

besten an die Betrachtung der Differentialgleichungen für die beiden Schaaren von Krümmungslinien: a'dx + b'dy + c'dz = 0,

a"dx

= 0,

+ b"dy + c'dz

worin die Differentiale dx, dy, dz durch die Relation verbunden sind: adx -f bdy -f cdz

= 0.

Um diese letzte Beziehung nicht weiter berücksichtigen zu müssen, denken wir uns aus den drei Gleichungen D(K)

die Coordinaten x,

y,

= 0,

D(l2)

= 0,

u(x,y,s)

=

0

z eines veränderlichen Punktes auf der Fläche als

Functionen von l x und l , dargestellt*) und die Differentialgleichungen für die Krümmungslinien

in solche zwischen

d'tn und dl,

übergeführt.

Zu

letzterem Behufe differentiiren wir die Gleichung

total**) und erhalten mit Rücksicht auf die Identität***): und mit Rücksicht auf die bekannten Eigenschaften der Coefficienten einer *) Die reciproken Werthe A7 1 und hat bereits Herr Stahl in Band III der Math. Annal. p a g 4 8 8 als neue Veränderliche eingeführt, ohne jedoch deren Zusammenhang mit dem Hauptaxenproblem der ebenen Schnitte einer Fläche zweiter Ordnung genauer zu untersuchen. * * ) Man kann Ä, und Aa, und somit auch x, y, z als Functionen eines und desselben willkürlichen Parameters betrachten. * * * ) Cfr. Hesse, Vorlesung 28, Gleichungen 24.

Gundolf Inger,

Differeitlialausdriicke durch ellipt. Coordinatev transformirt.

83

orthogonalen Substitution folgende Reihe von Gleichungen: d).t = =

sur G sera également un covariant ou

un contravariant. Considérons encore

l'opération W qui résulte d'une forme dérivée F

lorsque, sans altérer les éléments, 011 remplace seulement les variables y par leurs inverses symboliques dans

celui

x — ^ . y = ^ •

x,

Dans ce cas comme

que nous avons considéré en premier lieu et dans lequel on

remplaçait seulement les éléments (et non les variables) par leurs inverses

96

Sylvester,

actions

mutuelles

dés formes

invariantives

dérivées.

symboliques, le caractère de F est renversé, de covariaiit il devient contravariant et vice versa. En un mot: une seule inversion symbolique renverse, deux inversions simultanées reproduisent le caractère de F. Ces propositions n'ont pas besoin d'être démontrées formellement, elles découlent comme conséquences des deux principes: 1". que la marche du mouvement d'un système quelconque de lettres et de leurs inverses symboliques est contraire, 2". que les mouvements induits dans les éléments *) d'un Quantic préparé par deux mouvemeuts contraires des variables sont e u x - m ê m e s contraires. Donnons le nom de différentiant-en-a: à une fonction D' des éléments d'un Quantic binaire ou d'un système de plusieurs Quantics binaires, qui ait la propriété de rester la même après la substitution de x + hy au lieu de x , c. à. d. qui dans la notation pleine d'éléments affectés de multiplicateurs binômes satisfasse à l'identité 2(ab

+ 2bc

+ 3cd

+ -

+ ikiyD'

=

0.

De même soit 'D un dift'éreiitiant-en-^, c. à. d. une fonction des éléments qui satisfasse h l'identité 2(iA(i + ( i - l ) c / H

Vlk)'D

= 0.

Pour les Quantité préparés ces équations prennent la forme (1.)

2 t f n a b +

fâ\n-i)bc

(2.)

- ^ ( V w H A + \2(H

+ --- + l 2 ( n - i ) h k + ],nki)D'

1) c /H

h \2(H--V)k

H + f n L k) 'D

=

0,

=

0.

On sait que D' sera toujours le coefficient de la plus haute puissance de x dans quelque covariant du système et 'D celui de la plus haute puissance de x dans quelque contravariant: et puisque en substituant au lieu des éléments leurs inverses symboliques le résultat de son action sur le covariant sera en vertu (le notre dernier théorème un covariant et le coefficient de la plus haute puissance en x un différentiant-en-ar, on en tire la conséquence que l'action d'un différentiant-cn-«/ rendu opératif (par inversion symbolique) sur un différentiant - en - x donnera naissance à un diiférentiant-en-x : ce qui revient à dire que si est une fonction (des systèmes de a, b, c, . . . ) qui *) De la combinaison de ces deux principes il résulte que le second principe peut être énoncé non seulement pour les éléments mais également pour leurs inverses symboliques.

Sylvester,

actions mutuelles des formes inrariantives

satisfait à l'équation (2.) quand on y remplace a. b, c, ... et a, b, c, . . . par

da

par a, b, c,

, — - . - — , ... c. à. d. par a, b, c, ... db

97

dérivées.

...

et que si D'

de

satisfait à l'équation (1.), alors 4>D' doit satisfaire k la même équation (1.). — Pour donner une démonstration indépendante de cette conclusion, j e nommerai £2' l'opérateur qui réduit D' à zéro, '£2 celui qui réduit 'D à zéro. L a démonstration restant essentiellement la même dans le cas d'un système et dans celui d'un seul Quantic, on se bornera pour plus de

simplicité

à ce dernier cas, ce qui permet de supprimer les signes de sommation ( S ) . Evidemment la proposition qu'on veut établir sera vraie si les deux opérations £2' et £2'4> que l'on obtient en appliquant l'opération «f» et l'opération £2' l'une après l'autre dans un ordre différent, ne diffèrent pas entre elles, ou ce qui est la même chose, si £2' et £2'é> ne diffèrent pas en puissance opérative. Or bornons-nous pour le moment à un seul terme quelconque, p. e. au terme t.pq contenu dans £2' (/. étant un nombre) et considérons la différence entre l'opération de p q et de pq. Comme ce n'est que l'existence de p en

excède {w : i, j ) — (iv—

1 :i,j)

au

( j e dis

moins

la vérification de l'indépendance

donc comme il existe toujours au

citée

moins

pour ne pas m'appuyer sur

plus haut), il s'ensuit que,

pour

u> > ~ , O : i,j) ne peut pas excéder (w —1 ; i,j) et par conséquent que pour 4 4

w =

17

ou

pour

w

(w : i , j ) — (w — 1 : i , j ) , différence que je dénoterai désormais par J ( w : i , j ) . Cette conclusion est une conséquence immédiate de l'identité S2D — 0, D étant un différentiant quelconque du Quantic {a, b, c,... l§x, y)1 et il l'opérateur D(w

: i, j )

Mais pour établir le théorème en question c. à d. l'équation D(w

:i, j ) =

J{w

: i, j ) ,

il faudrait avoir prouvé l'indépendance de toutes les équations entre les constantes indéterminées, que l'identité £2D — 0 fournit (en regardant D comme une fonction composée des combinaisons des a, b, c, . . . multipliées chacune par une telle constante) — ce qui n'a jamais été fait et offre des difficultés presque insurmontables si l'on se propose de résoudre la question *) Pour plus de commodité j e dirai differentiants libres linéairement indépendants.

au lieu de différentiants

Sylcester,

actions mutuelles

par escalade. — J e ternative d'égalité dernière

est

conséquence

ou de

supériorité

inadmissible la

entre D

et ¿1, j e

105

démontre

— l'indépendance dont j ' a i parlé

c l e f de la

que

est donc

démonstration. — Lorsqu'un

satisfait à l'équation F = 0, j e

dirai que

F.

Je

remarque que D(0:i,j)

= 1 parce que dans tous les c a s il y a

un seul différentiant-en-a; libre du poids zéro, à savoir une puissance de a: d'autre

part

(0

c. à. d. l e nombre de manières de

a v e c 0, 1, 2, 3, . . . i prises j D (w : i, j )

J[w

: i, j )

composer

à j est aussi = 1, par conséquent la relation

fournit

D (w : i, j ) + D ( w - 1 : i, j ) + D ( w - 2 : i, j ) + • • • + D (0 : i, j ) ^

où l e symbole >

zéro

{w : i, j )

signifie „est égal à ou plus grand que. ' ;

D e plus on aura D(w:i,j)+2D(w !>

(

w

+

— l: i,j)

+ 3Z) (te - 2 : i, j ) + • • •

O - 1 :«,./)4

( w - 2 : i , j ) + •• - ,

c e qui est vrai pour toutes les valeurs de ait la valeur

J e supposerai à présent que w

pour i j pair et la valeur

pour i j impair.

D a n s ce

c a s l a somme qui forme la seconde partie de la dernière relation devient évidemment é g a l e au nombre des combinaisons j à j (avec répétitions) formées des ( ¿ + 1 )

chiffres 0, 1, 2, 3, . . . i ,

et assujetties à la restriction lÌ

que l a somme des chiffres d'une combinaison n'excède pas combinaisons que j e dénoterai par R e m p l a ç o n s chaque nombre est D(w.i,j),

nombre de

P{i,j).

differentiant qui fait partie du groupe dont

de même du groupe dont le nombre est D (w — 1 :i,j)

par le covariant qui y correspond. -

le etc.

L e degré de ces eovariants par rapport

aux variables étant, pour une valeur quelconque de w, i j — 2w,

les

degrés

des eovariants dans les groupes successifs seront 1. 3, ô. . . . clans le cas de i j impair,

et 0, 2, 4 , . . .

coefficient

de chacun

damier,

qu'on se

dans le cas de i j pair.

Imaginons

que chaque

de c e s eovariants soit représenté par une dame d'un

borne à prendre le premier coefficient des eovariants du

premier groupe, les deux premiers coefficients des eovariants du second groupe, les trois premiers du troisième groupe etc.. on peut alors former un triangle rectangulaire de piles des dames. Journal

fïir

Matliematik B d . L X X X V .

Heft

La pile au sommet contiendra 14

D(tn:i,j),

106

Sylvester,

actions

mutuelles

des formes

imariantices

dérivées.

les deux piles qui suivent D(w — l : i , j ) , les trois piles qui suivent D(w — 2:i,j) chacune, et ainsi de suite. Le nombre total des dames sera la fonction qui est > P (h j)Pour donner plus de précision à cette image je remarque que les dames dans la première colonne verticale représentent des différentiants et que chaque pile à la base se réduit nécessairement k une seule dame, dont la partie essentielle (abstraction faite de la partie numérique qui n'a pas d'influence sur le raisonnement et que je négligerai dans tout ce qui suit) n'est autre chose qu'un coefficient du Quantic du degré i élevé à la puissance j. Remarquons que, d'après une propriété bien connue des covariants, chaque quantité dans la première colonne sera annulée par 12, dans la seconde par (12)', en général dans la qeme par (12)'' et que l'opérateur (Î2)''"1 appliqué à un terme de la g e m e colonne produit le différentiant qui se trouve à la première place de la même horizontale avec ce terme. Remarquons encore qu'en avançant de gauche à droite dans la même horizontale, les poids des quantités augmentent d'une unité de l'une à l'autre, qu'au contraire, en avançant de haut en bas dans la même verticale, les poids des quantités diminuent d'une unité de l'une à l'autre, de sorte que dans une ligne diagonale descendante (de gauche à droite) ou ce qui est la même chose, parallèle à l'hypoténuse tous les termes sont de poids égal. Or j'affirme que nulle liaison linéaire ne peut exister entre les quantités du triangle en question. Evidemment ce n'est qu'entre les quantités isobariques qu'une telle liaison serait imaginable. Prenons une ligne quelconque parallèle à l'hypoténuse ou bien l'hypoténuse elle-même. 1". Je dis que nulle équation linéaire ne peut lier des quantités qui se trouvent exclusivement dans une seule pile. Car si cette pile se trouvait dans la q umo colonne, en vertu du fait que l'opérateur i 12 fait naître de chacune d'elle le différentiant qui se trouve à la première place de la même ligne horizontale, la liaison supposée subsisterait encore entre des différentiants d'une même pile, ce qui est contraire à l'hypothèse de la construction. 2". Je dis que nulle équation linéaire ne peut lier les quantités qui se trouvent dans des piles distinctes. En effet, supposons donnée une relation de ce genre, d'après la condition du poids égal il ne peut y avoir dans chaque colonne qu'une seule pile comprenant des quantités qui entrent dans

Sylrester,

actions mutuelles des formes incariantives dérivées.

107

l'équation supposée. Soit q le rang de la colonne la plus avancée qui renferme une pile comprenant des quantités liées entre elles par l'équation linéaire. L'opérateur £2, appliqué au premier membre de l'équation qui exprime cette liaison, un nombre de fois inférieur à 1 produira une équation d'une forme analogue. Mais lorsqu'on applique l'opérateur (¿2)''"', toutes les quantités comprises dans des colonnes d'un rang inférieur à q seront annulées, tandis que celles qui sont comprises dans la pile de la qème colonne, seront transformées en des difterentiants appartenant à la même ligne, c. à. d. qu'il y aurait une liaison linéaire entre les diiférentiants d'une même pile, ce qui est contraire à l'hypothèse de la construction. On a donc démontré que nulle équation linéaire ne subsiste entre les quantités du triangle. — D e plus il est évident que le poids d'un coefficient quelii conque qui se trouve clans le triangle ne peut excéder • Donc les quantités comprises dans le triangle sont des fonctions linéaires et homogènes sans liaison linéaire entre elles de P ( i , j ) quantités. Donc le nombre de ces quantités ne peut pas excéder P(i,j), ne peut pas excéder

c. à. d. que D{w:i,j) + 2D(w— 1 :i,j) + '6D{w —

Mais si dans une seule des relations valeurs de

w

quelconques,

et non

=,

la

(«,/).

Donc on a toujours D(w:i,j) corollaire

pour des

le signe applicable était >

somme en question serait Comme

2:i,j)-\—

P(i,j).

il s'ensuit

que

par l'identité £2D = 0 est établie.

= J(tc:i,j),

ce qu'il fallait démontrer.

l'indépendance

des

équations données

Précisément la même méthode peut être

suivie pour démontrer l'égalité D(w:i,j:i',j':

etc.) = J(ir:i,j:ï,

j': etc.)

où D dénote le nombre des différentiants libres d'un système de Quantics binaires. ?" ... désignant les degrés des Quantics, .y, /

... l'ordre des différentiants

par rapport aux coefficients de chacun des Quantics, et où J dénote la différence entre deux dénumérants. l'un désignant le nombre des solutions en nombres entiers et positifs du système des équations simultanées F x; — j, .r, i- .r, H 1- x]. = / etc. x„ + Xi + .T, H x, -F 2.T. H

H

ix + .R, -¡- "2.R. H

H i'x,- H

— w,

et l'autre le dénumérant du système qui en résulte lorsqu'on y remplace w par w -1. Un autre corollaire que le théorème contient comme cas particulier est la proposition déjà démontrée, que J y w . i . j ) ne peut jamais devenir 14*

108

Sylvester,

actions

mutuelles

des

formes

incariautives

négatif pour des valeurs de w qui n'excèdent pas

déricées.

.

En effet si cette

assertion n'était pas vraie, il devrait exister une valeur de w qui n'excède

pas

et pour laquelle

D(w:i,j)Z>J(w:i,j),

ce qui a été prouvé

impossible. En dernier lieu je remarque qu'en démontrant inadmissible le signe îI de supériorité, te =

on a établi pour w = ~

quand ij

est pair

et

pour

quand ij est impair, l'équation D(w:i,j)+ 2 D ( w - l : i , j )+ 3 D ( w - 2 : i , j ) + -

Soit

ij

impair, en vertu de l'équation

{x : i , j ) = (ij—x

=

P(i,j).

:i,j)

le nombre P ( i , j )

sera évidemment la moitié du nombre total des combinaisons /7 j aà j j\des ¿ + 1 éléments 0, 1, 2, 3, . . . i. Donc pour i j impair = iînf~' Soit au contraire ij pair, on aura P d J )

=

I M l j

Le degré des covariants qui correspondent un à un aux différentiants dont le nombre est D(x:i,j), étant i j — 2x, on peut substituer pour Dix-,i,j) le nombre K ( i , j : i j — 2 x ) où i est le degré du Quantic donné, j l'ordre par rapport aux coefficients, ij — 2x le degré relatif aux variables des covariants dont K exprime le nombre total. Par conséquent quand ij est impair, on aura

et quand ij est pair K(i,j:Q)

+ M{iJ-.2)

+

'oK(i,j-A)

+ ..-

=

" ¡ ¡ . ^

•

En remarquant que pour ij impair il n'existe pas de covariants de degré pair, et pour ij pair il n'eu existe pas de degré impair, on peut réunir ces deux formules dans une seule formule remarquable, qui assujettit les quantités transcendantes K à une loi algébrique et qui pourrait même être trèsutile dans certains cas comme formule de vérification: K ( i , j i 0 ) + 2 K [ i , j : 1) +

J'en donnerai quelques exemples.

:2) + -

=

•

Sylvester,

actions

mutuelles

des

formes

invariantites

dérivées.

109

Soit i = 4, j = 2. On trouve « " ( 4 , 2 : 0 ) = 1; « ( 4 , 2 : 2 ) = 0;

fl\4.2:4)=l;

et de là 1 + 5 + 9 = 15 =

'

« ( 4 , 2 : 6 ) = 0: Ky 4 . 2 : 8 ) = 1

Soit i — 3, j = 3. En se rappelant l'échelle fondamentale pour les cubiques 3.1,

on trouve ff(3,3:l)

4.0,

2.2,

= 0, « ( 3 , 3 : 3 ) = 1, K{3, 3 : ô ) = l ,

3.3 / f ( 3 , 3 : 7 ) = 0, K(S, 3:9) = 1

et de là 4 + 6 + 1 0 = 20 = Soit i = 3, j = 4. On trouve « " ( 3 , 4 : 0 ) = 1, « ( 3 , 4 : 2 ) = 0, tf(3, 4:4) = L, « ( 3 , 4 : 6 ) = 1, « ( 3 , 4 : 8 ) = 1 . « ( 3 , 4 : 1 0 ) = 0, « ( 3 , 4 : 1 2 ) = 1 et de là 1 + 5 + 7 + 9 + 13 = 35

m

=

•

L e théorème que j'ai vérifié par ces exemples peut être résumé dans les termes suivants. Chaque covariant d'un ordre donné j par rapport aux coefficients d'un Quantic binaire de degré donné i, étant répété autant de fois qu'il y a de chiffres dans la série qui commence par zéro et se termine par le degré du covariant, relatif aux variables qui y entrent, le nombre total de ces expressions, chacune comptée autant de fois qu'elle est répétée, est égal au nombre binôme symétrique par rapport aux nombres i et j, C. à. d. égal à &

V

IIiTIj

'

L a règle des nombres binômes s'applique avec une modification légère au cas de plusieurs Quantics binaires de degrés donnés et de covariants d'ordres donnés relatifs aux coefficients de ces Quantics. Dans ce cas général on substituera au nombre binôme unique qui se présente dans le cas d'un seul Quantic, le produit de plusieurs nombres binômes dont chacun est symétrique par rapport au degré i de l'un des Quantics et à l'ordre j du covariant relatif aux coefficients du même Quantic.

Sylvester,

110

actions mutuelles des formes

iucariantives

dérivées.

Considérons comme exemple le cas de deux quadratiques binaires. Dans ce cas qui correspond h i = 2. i' = 2 il y a trois eovariants de l'ordre par rapport aux coefficients de chacune, savoir:

j = l

1° le produit des deux Quantics, 2° leur

Hessien,

3° leur

Connectif.

Les

degrés de ces trois expressions relatifs aux variables étant

respectivement 4, 2, 0, on aura

ce qui s'accorde avec la règle énoncée ci-dessus. A rémunération que j'ai faite des propriétés essentielles du triangle de piles, j'ajoute la remarque que le poids maximum d'une quelconque des quantités qui s'y trouvent, est évidemment celui de la quantité qui appartient à l'hypoténuse et se trouve au sommet du triangle.

Ce poids maximum est

ou — 0 — et par conséquent n'excède jamais ¿

t

u

C'est ainsi qu'on voit ¿>

que les quantités comprises dans le triangle ne sont autre chose que des fonctions linéaires des combinaisons de l'ordre j par rapport aux coefficients du Quantic proposé, combinaisons dont le nombre est

P(i,j).

P o s t s c r i p t u m 1. L a démonstration donnée du théorème fondamental D (w : i, j) = J(w : i, j) peut être abrégée et simplifiée comme il suit. Au lieu de se servir de la condition D (w : i,./) + 2D(w-l:i,

j) + •'•>

J)

il suffit de considérer l'équation préalable :ij)

=

(w :

i,j).

Pour un différentiant quelconque que j e désignerai par [w — cT] et dont le poids soit w — à substituons l'expression ('Î2) fî [w— ()'], expression qui résulte de [w — c)'] en y appliquant

l'opérateur*) ('¿2)'5 et qui jouit de la propriété

qu'en opérant sur elle avec

le résultat est un multiple numérique de

[«» — ()']. *)

Toutes les expressions ainsi obtenues seront du même poids w et

L e signe

exprime l'opération 'il

répétée ô fois.

Sylvester,

actions

mutuelles

'les formes

invariatitices

Ill

dérivées.

par conséquent, des fonctions linéaires dis ( w : i , j ) combinaisons qui sont du poids w et de l'ordre j dans les ¿ — 1 coefficients du Quantic donné. On démontre comme auparavant que ces expressions sont linéairement indépendantes entre elles et que par conséquent leur nombre ne peut pas excéder ( w : i , j ) ; donc leur nombre est égal à [w:i,j). et la proposition est établie. ] Pour démontrer que (i2'f['QY [w — ()'] est, à un facteur numérique près, égal à [w — fi], on n'a pas besoin de sortir de la sphère des différentiants et de faire appel aux propriétés des covariants. On établit aisément que pour une quantité quelconque D du poids w et de l'ordre j dans les coefficients d'un Quantic binaire du degré i, on aura w n - ' n n ' ) D

=

(ij~2to)D.

En partant de là et supposant que ii'D =.- 0, on trouve par une induction algébrique facile que (£Z)k ('Î2)* D =

1 . 2 ... A- ( i j - w) { i j - w - 1 ) . . . (ij - «, - k+1).

D,

où le facteur numérique ne s'évanouit que lorsque k est plus grand que ij — w. Considérons le système complet des expressions [ w - ô ] , ' ¿ 2 0 - f ? ] , ('¿2) 3 |) 0 -J], . . . ('i2y>~'1,r [«? — $ ] , , dont la dernière, qui résulte de l'opération 'il répétée ij — 2w fois, se réduit à un différentiant - en - y, tandis que les suivantes produites par la même opération répétée ij— 2««4-1 ou un plus grand nombre de fois s'évanouissent identiquement. En représentant toujours par des piles l'ensemble

de toutes les

expressions ('Î2)'"[ttj — J] pour les mêmes valeurs de m et de â, distinguant les deux cas de i j pair ou impair, et commençant par la plus grande valeur de «> qui est

pour ij pair et ' J ^

pour ij impair, on arrivera aux deux

tableaux *) suivants de points, qui donnent une image du système en question de piles pour i j impair

pour ij pair

*) L e point au s o m m e t du premier tableau correspond à des invariants, les points à gauche se rapportent aux diflerentiants-cn-.r, ceux à droite aux diflerentiantsen-y, c e u x de la base a u x coefficients successifs du Quantic élevé à la puissance j (pour l'un et l'autre d e s d e u x tableaux).

112

Sylvester,

actions

mutuelles

des formes

incariantives

dérivées.

Prenons l'ensemble de toutes les combinaisons des coefficients du Quantic proposé du degré i, qui sont de l'ordre j dans les coefficients et des poids 0, 1, 2, . . . ij quant h x, alors, dans l'un cas comme dans l'autre, les quantités qui se trouvent dans chaque colonne verticale, seront du même nombre que l'ensemble correspondant des combinaisons des coefficients, elles seront en même temps des fonctions homogènes et linéaires des combinaisons qui y appartiennent. Les piles qui se trouvent dans une ligne horizontale quelconque peuvent se réduire à une seule quantité, cas qui se présente toujours pour la dernière ligne horizontale, elles peuvent même s'évanouir identiquement, ce qui arrive pour certaines valeurs de w, i, j pour lesquelles il n'existe point de difïérentiant.

V

0 S t S C Y i p t 11 111 2.

J e suppléerai clans ce qui suit à une lacune qui se trouve dans les recherches précédentes, en donnant la démonstration de la proposition suivante : Dans un Quantic, préparé les inverses symboliques des éléments subissent par une substitution quelconque des variables une substitution induite qui est identique avec celle que les éléments eux-mêmes subiraient par la substitution contraire des variables. Les mêmes raisonnements dont on s'est déjà servi plusieurs fois, font voir que pour la démonstration générale de cette proposition il suffit de la vérifier dans le cas spécial dans lequel le Quantic est binaire et x 4- ty la valeur que l'on substitue pour x,

d drei positive reelle Grössen, M ( f , ( p ) bezeichne das arithmetisch-geometrische Mittel aus /"und ) das Mittel aus f *) Monatsberichte der Königlichen Akademie der Wissenschaften Nov. 1876 und F e b r . 1*77.

15*

zu Berlin vom

116

K. Schering,

arithmetisch-geometrisches

Mittel aus vier

Elementen.

Hnd i/ydann ist der Definition nach; M< / » = M

Um in den Mitteln auf der rechten Seite wieder ein beiden gemeinsames Argument zu erhalten, multipliciren wir die Argumente des ersteren Mittels mit jAy-, die des zweiten mit j / y ^ • Dann ergeben sich mit Hülfe von: M ( a . í , 6 . í ) = M{a, b).t, worin t eine reelle positive Grösse bedeutet, die folgenden Gleichungen: M( / »

=

w , v) -

i / f M ^ y ' ^ , ^ ) ,

und hieraus:

f

V y y

Setzen wir (abweichend von der gewöhnlichen Bezeichnungsweise der Glieder des Algorithmus für ein Mittel aus zwei Elementen):

so wird: ^ f

M(f„y,)M(f„v>,)

'

f,

Durch ein analoges Verfahren gelangt man zu der Gleichung: n

h

'

wenn ,

0,

demnach auch: Also die Ungleichheit f •

2

In dem Algorithmus (III.) sind die Grössen /"„, rp„ als Functionen von fn+l1 (pn+1, yjnJri noch unbestimmt in Folge der Werthe von f und Um nun auch den rückwärts gehenden Algorithmus von jeder Zweideutigkeit zu befreien, ist noch eine Bestimmung über diese Grössen zu treffen. Man stelle die Bedingung, dass, wie aus: fn