Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 8 [Reprint 2020 ed.] 9783112367865, 9783112367858

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Journal f ü r die

reine und angewandte I n

z w a n g l o g e n

Mathematik. H e f t e n .

Herausgegeben von

A.

L.

Grelle.

Mit thätiger Beförderung hoher Königlich - Preufeischer Behörden.

Achter Band, in

4

H e f t e n .

Mit 4 KupfeJtafiln.

Berlin, Bei

6.

1832. R e i m e r .

Et »e trouve à P a r »6 chez Mr. B a c h e l i e r (successeur de M™* V* C o u r r i e r ) , Libraîve pour les Mathématiques etc. Quai des Augustin* No. 55.

I n h a l t s v e r z e ich n i f s des achten Bandes, nach den Gegenständen. Nr. der

AbhM.dlung 4. 6. 17. 22. 8. 9. 10.

15. 16. 19.

TT

1.

Beine f

Mathematik.

A n «1 I y s i s. _

Heft

in formarti simpliciorem / ^ ^ ~\r—-Frr.— : — r • Auct. C. J tr — 0 cos ^ cos v — (j ' sin sin v G. ì . Jacóbi, prof. math. Regiom ili. 25. Cont. diss. illins. IV. 21. Über die Function sin qp -J- h j s i n 2 y sin 3qp etc. Von Hrn. Th. 23.

2. 18.

7. 18. 29.

Seit»

U b e r die Soramirung gewisserÜettenbrüche. Vom Herrn Dr. Stern zxt Güttingen. I. 42 Potenzial - oder cyklisch - hyperbolische Functionen. Vom Herrn Prof. Gudermann zu Cleve. (Fortsetzung der «n der Abhandlung No. 1 . , 16. und 28. itn VI. Bande gehörigen Tafeln No. 9. und 21. im VIL Bande.) I. 64 ForUetiuog dieser Tafeln IL, li>4 Fernere Fortsetzung dieser Tafeln III. 301 Auflösung einiger Aufgaben aus gegenwärtigem Journale. Vom Herrn Th. Clausen zu Müschen , . . . II. 138 Über die Zerlegung reeller gebrochener Functionen. Von D e m s e l b e n . II. 142 OC Über die höheren Differentiale der Function z = :. , und über die a x - f - y Entwickelung einiger bestimmten Integrale. Vom Herrn Professor Dr. Grunert zu Brandenburg. II. 146 Ableitung des Ferma tschen und Wilsonschen Satzes aus einer gemeinschaftlichen Quelle. Von D e m s e l u e n . , . i l . 187 Obseryationes in fractiones continuas. Auct. Stern, Dr. phiL Goett. (Epitome dissertationis mense Mart. anni 1829 script.) . . . l i . 192 De transformation e integrali» duplici» indefiniti c'y dty A+B cos

y z ' soient respectivement parallèles à ceux des x, y, z, et que la force d'impulsion se trouve comprise dans le plan des xz. La face par laquelle le parallélépipède repose sur le plan, et les arêtes qui la terminent parallèlement aux j , étant supposées également polies dans toute leur étendue, désignons par t le coefficient du frottement en chaque élément superficiel de la base, et par s' le coefficient du frottement en chaque élément linéaire des arêtes. Désignons de plus par 2f, 2 g, 2 A les longueurs des arêtes parallèles aux axes des x, y, z; fy g, h étant des nombres positifs de leur nature. Si l'on avait Z ^ > 0, le parallélépipède se détacherait entièrement du plan, mais en commençant par exclure ce cas, il faut de toute nécessité 1° ou que le frottement de la base empêche le corps de prendre aucun mouvement; 2* ou que le frottement de la base étant surmonté, le corps glisse sur cette base dans la direction de l'axe des x; 3° ou que le parallélépipède se soulève sur une des arêtes parallèles aux y, mais que la résistance du frottement empêche cette arête de prendre aucun mouvement; 4° ou bien enfin que le corps se soulève sur une des arêtes, et que cette arête glisse parallèlement à elle-même, en surmontant la résistance du frottement. Si le corps reste immobile sur sa base, on aura: 0 =

X+JJF\

dxdy,

0 =

Z + f/Pdxdy,

0 =f/Pxdxdy

+

hf/F,\ dx dy >

ou bien, comme P et F t sont indépendants de y : 46.

Q=

X+'2gfFldx>

0=Z+'2gJ'Pdx,

Crelle's Journal «1. M . Bd. V I I I . Heft. 1.

0^2gJPxdx

+ 1

Qgh/F,dx.

2

1.

Cour not,

du mouvement d'un corps sur un plan

fixe.

Il faut que la fonction P puisse être censée positive en chaque élément du contact, et pour cela qu'on ait la première condition est satisfaite à cause de Z 0 ,

h X + f Z < 0 .

Il faut en outre que l'on puisse concevoir la pression répartie de telle sorte, que pour chaque élément du contact, F t soit numériquement inférieur à eP. Cette dernière condition ne peut être établie analytiquement, qu'autant qu'on suppose que la fonction Fl conserve le même signe dans toute l'étendue de l'intégration, ce qui est d'ailleurs conforme à la nature de la question. Si donc l'on pose

et il faudrait poser en outre selon que a ' ^ 0, c'est-si-dire selon que le corps glisserait dans le sens des x positives ou négatives; mais comme nous admettons que X est positif, il est clair, d'après l'équation précédente, qu'on ne peut avoir en même temps Fx positif, et ou4 négatif. Posant donc simplement Fi = — s P , la troisième inégalité (47.) Fl—+ePf

1.

C ou mot,

du mouvement

donnera

d'un

corps

sur un plan

Jt.xe.

%

/_5/i>0;

les deux autres seront satisfaites d'elles mêmes. Quant à la condition «*>()» elle deviendra X

-j-

f Z > 0 .

16. Si le parallélépipède se soulève, en s'appuyant sur l'arête parallèle aux. y, qui a pour abscisse / , et que de plus le frottement de cette arête l'empêche de glisser, ce sera le cas d'appliquer les formules du No. 11., en réduisant U A Z, et Z7, à X. En conséquence on aura, pour les conditions relatives à cette hypothèse: 49.

X T — S , Z > 0 ,

± ( Z T — i S X ) < e ' ( X T — S.Z);

et comme il faut de plus, en raison de ce que le parallélépipède est en contact avec le plan par sa base, que y' soit positif, cette nouvelle condition donnera On a 5 = 1 + K ' f \ S, s= \-\-K' h*, T = K ' f h , en sorte que ces trois quantités sont positives: il en résulte que la première inégalité (49.) est satisfaite d'elle-même, et que la seconde doit prendre la forme S X — Z T
0, SX — Z T — e ' ( X T — S ^ Z ) > O i et de plus il résulterait de la nouvelle condition y'2> 0: ou en réduisant, et observant que Z est négatif, S — t ' h C

0.

Si au contraire ou voulait admettre que l'arête glissât parallèlement aux x négatives, cette même inégalité 7 ' > 0 donnerait ou / + A 0 , condition impossible à remplir, puisque/, h, s' sont positifs, w qui montre que cette hypothèse n'est pas admissible. 1»

4

1.

Cou mot,

du mouvement d'un corps sur un plan

fixe.

On pourrait encore supposer que le parallélépipède se soulève, en «'appuyant sur l'arête qui a pour abscisse — f i mais en discutant les trois cas dans lesquels cette hypothèse se subdivise, on reconnaît qu'elle est inadmissible. Eu effet, si l'arête restait fixe, la condition y' > 0 donnerait Z

+ si > °> en observant que T' est égal et de signe contraire à T -, cette inégalité, convenablement réduite, devient hX—fZ < 0, et ne peut subsister, puisque Z est négatif. Dans le cas où l'arête dont il s'agit, glisserait parallèlement aux x positives, cette même condition 0 deviendrait et serait encore impossible à remplir. Enfin si l'arête glissait dans le sens des x négatives, on aurait (No. 11.): £ _f_ i' y > o, SX— ZT -f-e' {XT'— ^ Z) < 0 ; et de plus, en raison de y ' l > 0 : /—

o u

z —

La seconde de ces inégalités peut se mettre sous la forme (S + e' T')X — Z (7*+ e' S,) < 0, et elle ne saurait subsister concurremment avec la première, à moins qu'on n'ait T ' + e ' S t < 0 , ou e < rp/

j*

D'un autre côté la 3' donne

•

h

d'où

et en remettant pour Sxi leurs valeurs, / < 0 , ce qui est — uj A contre la définition. 17. En écartant donc tous les systèmes impossibles, et dans ceux qui sont possibles, les inégalités qui se trouvent vérifiées d'elles mêmes, on aura définitivement les quatre systèmes suivants d'inégalités: l ( c ) X + e Z < 0, C < > ) ( c ' ) A X + / Z < 0; /{ m)

x

+ 'z>°> \(d') f — s h > 0 ; j ( e ) SX—ZT—s'

|(H (F)

(XT—StZ)

{ ( / ' ) SX—ZT—

t(/")

0, s'(xr~»S,Z)>0,

), (C) et (fi), (E) et (F) sont respectivement incompatibles, ou ne peuvent pas être satisfaits simultanément, puisque dans chacune de ces combinaisons entreraient deux inégalités contradictoires. Les systèmes (C) et (F) sont encore incompatibles; car ( / ' ) donnerait Y

ZjT-t'St)

S — t'T étant > 0 , en vertu de ( / ) , et l'on tirerait de (e ) X ^< _ — t *, A

d ' o ù — f— Z > dou

s

_ t Z(T-e'S , T t).,

développant et réduisant, aveo le soin d'observer que Z est négatif, on arriverait A / — 0 , ce qui est l'opposé de ( / " ) • Il ne reste plus, pour épuiser les six combinaisons possibles, qu'à considérer celles de (D) avec (E), et de (D) avec (F). Or, si l'on suppose pour un moment e — e', ces combinaisons seront exclues comme les précédentes; car, à l'égard de la seconde, {d') et ( / " ) seront directement opposées; et quant à la première, on tirerait de ( e ) s

> X T ~ S ^ z > etde(tf'): e < T ' d'où, en comparant, et réduisant: hX-\-fZ 0 ; la seconde condition est satisfaite d'ellemême, d'après les suppositions qu'on a faites dans les Nos précédents. et ï [ devant être, par la nature de la question, supposés de même signe, et négatifs, à cause que X est positif, il faut de plus que la fonction

niais comme Ft — F[, et par conséquent

0, et supprimer les dénominateurs des deux autres inégalités ; mais alors il est visible que l'inégalité (51.) est superflue à écrire; car, si £—eh est positif, 2£—(e — e')h = £-eh + £ + e'h le sera à f o r t i o r i . Pour le cas de a ' < [ 0 , on a: Or, si le dénominateur commun aux premiers membres de ces trois inéga* lités est positif, le numérateur de la 3e sera aussi positif, à cause de 0, Z < 0 , en sorte que cette inégalité ne pourra être vérifiée; si au contraire ce même dénominateur est négatif, ce sera la seconde inégalité qui ne pourra l'être; en sorte que de toutes manières, l'hypothèse à laquelle ce système d'inégalités appartient, ne saurait subsister.

8

1.

Cournot,

du mouvement d'un corps sur un plan fixe.

20. On démontrerait, comme dans le No. 16., que le corps ne peut se soulever, en s'appuyant sur les deux points qui ont pour abscisse — £ , et s'il se soulevait en »'appuyant sur les deux points dont l'abscisse est on retomberait sur les formules du No. cité, en y changeant seulement / en et s' en e; de sorte qu'il y a en tout quatre hypothèses admissibles sur le mouvement du corps, auxquelles se rapportent les quatre systèmes suivants d'inégalités: hX + Z l < X[21—(e—O

0, A] + (e +

££
0, SX—

ZT — e(XT—Sl

z)
0; S— tT>0, SX—

ZT—

l — eh


0,

En suivant la marche indiquée au No. 17., il est facile de prouver que deux quelconques de ces quatre systèmes ne peuvent pas subsister simultanément ; reste à faire voir que l'un d'entre eux est nécessairement satisfait. Les combinaisons qu'il faudrait former pour remplir ce but, en suivant la méthode indiquée au No. 12., seraient au nombre de 24. Mais il vaut mieux d'abord faire abstraction du système (F), et former les huit combinaisons I, te, V J , I, te, h, e], te, h', te', K *'], te', h, *]î pour écarter celles qui sont impossibles, et combiner ensuite chacune d'elles avec chacune des trois inégalités (F) renversées. Il est évident en premier lieu que les combinaisons de la première ligne sont impossibles, à cause que les inégalités (g) et (e'), (g') et {h') sont directement opposées. La combinaison [g-', h, e'] doit être exclue ; car de Z

9• /

on tire, en éliminant ^ et réduisant, £ — e h > 0 , ce qui est précisément l'inégalité (/;). Au lieu de 24 combinaisons, on n'en a donc plus que 9 a discuter, sur lesquelles 5 sont immédiatement exclues à cause que les inégalités (h)

1.

Çournot,

du mouvement d'un corps sur un plan fixe.

9

et (/"), (e) et (/') sont directement opposées, de sorte qu'il reste seule« ment les quatre combinaisons: [¿r,V,/L

W>K*,fh

[e,h',e,f"].

Or les inégalités (e) et ( / ) prises en signes contraires) savoir: SX — ZT — e(XT—SlZ)>Ot

S — eT 0; et éliminant de nouveau e entre cette inégalité et celle S—sT 0, «0*] + ( i + e 0 ! Z < O , SX—ZT

— s(XT—SlZ)>0,

£

—

0

.

Or la seconde de ces inégalités peut être mise sous la forme elle ne peut donc subsister, concurremment avec la 1èr® et la 4% â moins qu'on n'ait X-\-eZ