Investitionsplanung: Methoden — Modelle — Anwendungen [1. Aufl.] 978-3-409-13424-8;978-3-663-13278-3

Table of contents :
Front Matter ....Pages i-ix
Allgemeine Grundlagen (Peter Betge)....Pages 1-17
Methoden der Investitionsrechnung (Peter Betge)....Pages 18-55
Bestimmung des optimalen Kapitaleinsatzes (Peter Betge)....Pages 56-70
Anwendungen der Investitionsrechnung (Peter Betge)....Pages 71-119
Investitionsmodelle (Peter Betge)....Pages 120-179
Optimierung komplexer Produktionsanlagen und Technologiebewertung (Peter Betge)....Pages 180-222
Umweltorientierte Investitionsplanung (Peter Betge)....Pages 223-244
Symbolverzeichnis (Peter Betge)....Pages 245-253
Literaturverzeichnis (Peter Betge)....Pages 254-260

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Peter Betge

Investitionsplanung Methoden Modelle Anwendungen

Betge · Investitionsplanung

Peter Betge

Investitionsplanung Methoden - Modelle Anwendungen

SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH

Dr. Peter Betge ist Universitätsprofessor für Betriebswirtschaftslehre. Schwerpunkte seiner Lehr- und Forschungstätigkeit sind Finanzwirtschaft und Investition.

Die Deutsche Bibliothek- CIP-Einheitsaufnahme

Betge, Peter: Investitionsplanung : Methoden, Modelle, Anwendungen I Peter Betge. ISBN 978-3-409-13424-8

©Springer Fachmedien Wiesbaden 1991 Ursprünglicherschienen bei Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler. Wiesbaden 1991 Lektorat: Gudrun Böhler Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen. Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Höchste inhaltliche und technische Qualität unserer Produkte ist unser Ziel. Bei der Produktion und Verbreitung unserer Bücher wollen wir die Umwelt schonen: Dieses Buch ist auf säurefreiem und chlorarm gebleichtem Papier gedruckt. Die Einschweißfolie besteht aus Polyäthylen und damit aus organischen Grundstoffen, die weder bei der Herstellung noch bei der Verbrennung Schadstoffe freisetzen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen. Handelsnamen. Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme. daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. ISBN 978-3-409-13424-8 DOI 10.1007/978-3-663-13278-3

ISBN 978-3-663-13278-3 (eBook)

Vonvort Die deutsche Industrie investiert laufend in großem Umfange. Finanzmittel müssen bestmöglichen Investitionen zugeführt werden. Die Investitionsplanung ist somit Daueraufgabe und verlangt einen entsprechenden Kenntnisstand, der in Verbindung mit Übungsmöglichkeiten bei fortschreitend zunehmendem Schwierigkeitsgrad vermittelt werden soll. Das Lehrbuch 'Investitionsplanung' ist deshalb als Lern- und Übungsbuch für Wirtschaftswissenschaftler und Praktiker konzipiert. Die Inhalte reichen von einleitender verbaler Darstellung von Grundzusammenhängen zur Planung, Entscheidung und zu den Zielen der Investitionstätigkeit, über die Anwendung statischer und dynamischer Rechnungsverfahren bis hin zu neuesten computergestützten Planungstechniken für komplexe Aufgabenstellungen. Mit durchgehenden Rechenbeispielen und kurzkommentierten Rechenergebnissen und Methodenanalysen wird Nachvollziehbarkeit des Lösungsweges angestrebt; Grundlage sind jeweils die vorhergehenden Lernschritte. Das gilt insbesondere für die Modeliierung von lnvestitionsplanungsproblemen. Sie werden mit Hilfe gemischt-ganzzahliger linearer Optimierungsverfahren so gelöst, daß die Übungsmöglichkeit auf dem PC erhalten bleibt. Durch Modellvariation in Verbindung mit Zahlenbeispielen und Angabe der Lösungen werden Übungsmöglichkeiten angeboten, nach deren Nutzung sämtliche Grundlagen vorhanden sein sollten, um auch noch größere Problemumfänge einschließlich Projektoptimierung und Technologiebewertung in der Praxis bearbeiten zu können. Zentrales Anliegen dieses Buches ist es auch, die einfachen Grundlagen zu vermitteln, damit eine sichere Basis für die Lösung komplizierterer und damit auch vom Lösungsverfahren her aufwendigerer Planungsprobleme vorhanden ist. Es soll hier der Versuch gemacht werden, alle Schwierigkeitsstufen durchgegehend aufzuarbeiten, um einer breiten Leserschaft neben dem Einstieg in die Investitionsplanung bei gleichzeitiger Vermittlung der notwendigen Methodenkenntnis auch die Fähigkeit zum Umgang mit komplexeren Planungstechniken zu vermitteln. Mit der weitgehenden Beschränkung auf die Beachtung der exakten Verfahren finden überwiegend nur solche Verfahren Berücksichtigung, die auch aus wissenschaftlicher Sicht befriedigen. Insbesondere meinen Mitarbeitern Frau Dipl.-Math. Doris Weßels und Herrn Dipl.Oec. Olaf Rausch danke ich für die Unterstützung und die zahlreichen Kontroll- und Korrekturarbeiten. Großen Dank schulde ich aber auch Frau Birgit Görlieh für ihren geduldigen Einsatz bei der Übernahme der Schreibarbeiten. Trotzdem muß ich aber den Leser auch um Nachsicht dafür bitten, daß von mir sicher wieder einige Fehler übersehen worden sind. Für Hinweise bin ich dankbar.

PETER BETGE

Inhaltsverzeichnis

1.

Allgemeine Grundlagen

1

1.1. 1.1.1. 1.1.2.

Finanzierung Finanzierungsarten Mehrstufigkeil von Finanzierungsentscheidungen

1 1 3

1.2. 1.2.1. 1.2.2. 1.2.3.

Investition Investitionsalternativen Systematisierung der Investitionsarten Das Interdependenzproblem

5 6 8 11

1.3. 1.3.1. 1.3.2.

13 13

1.3.4.

Planung Merkmale der Planung Einordnung der Investitionsplanung in die Unternehmensplanung Unsicherheit und Flexibilität

2.

Methoden der Investitionsrechnung

18

14 16

2.1.

Zielsetzungen des Investors und Zielgrößen

21

2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3.

Statische Verfahren Gewinnrechnung Rentabilitätsrechnung Amortisationsrechnung

22 22 24 26

2.3. 2.3.1. 2.3.1.1. 2.3.1.2. 2.3.2. 2.3.2.1. 2.3.2.2. 2.3.3. 2.3.4.

Dynamische Verfahren Kapitalwertmethode Kapitalwertfunktion Barwert-und Endwert-Berechnung Interne Zinsfuß-Methode Funktionsverläufe Lösungsverfahren Annuitätenmethode Pay-off-Methode

27 28 34 36 37 40 42 48 52

3.

Bestimmung des optimalen Kapitaleinsatzes

56

3.1.

Leverage-Effekt

56

3.2.

Kapitalbudget

63

4.

Anwendungen der Investitionsrechnung

71

4.1.

Haupteinsatzgebiete klassischer Methoden

71

4.2.

Wahlproblem

71

4.3.

Optimale Stillegong

76

4.4.

Ersatzproblem

78

4.5.

Kombination von Wahlproblem, optimaler Stillegong und Ersatzproblem

80

Erfassung des technischen Fortschritts

85

4.6.

4.7. 4.7.1. 4.7.2.

Investition und Entscheidungstheorie Praktisch-normatives Modell Mehrstufige Investitionsentscheidung

4.8. 4.8.1. 4.8.2. 4.8.3.

Strategische Planung und Bewertung von Produktionsprojekten an Ost-Standorten bei ungenügender Datenqualität Standortanalyse und Festlegung des Automatisierungsgrades Mindestanforderungen auf der Basis von Break-even-Analysen Ergebnisauswertung für den Investor

5.

Investitionsmodelle

5.1. 5.2.

Grundlagen der linearen Optimierung

5.3. 5.3.1. 5.3.2. 5.3.3. 5.3.3.1. 5.3.3.2.

Kapitalwertmodelle Einperiodiges Modell ~ehrperiodiges Modell Ubungsaufgaben Einperiodiges Planungsproblem Mehrperiodiges Planungsproblem

5.4. 5.4.1. 5.4.2.

Integrationsmodell Jacob-Modell Übungsaufgabe

6.

Optimierung komplexer Produktionsanlagen und Technologiebewertung

6.1.

Erfassung der Modul- und Komponentenebene

Linearisierung und Diskretisierung von Funktionsverläufen

88 89 94 102 103 114 118

120 121 129 132 132 137 143 143 151 161 164 169

6.3. 6.3.1. 6.3.2.

Übungsaufgaben Grundmodell Einprodukt-Fan mit variabler Produktionsleistung

6.4.

Technologiebewertung

180 180 182 184 190 190 193 198 201 203 204 208 216

7.

Umweltorientierte Investitionsplanung

223

7.1.

Schnittstellen zwischen Betrieb und ökologischer Umwelt

223

7.2. 7.2.1. 7.2.2.

Soziale Kosten/Auszahlungen Entstehung von Kosten/Auszahlungen Ermittlung von sozialen Kosten

224 224 227

7.3.

Investitionsmodelle zur Ermittlung planmäßiger Emissionsmengen

231

Anlagen-Modelle 6.2. 6.2.1. Grundmodell 6.2.2. Modellerweiterungen für den Einprodukt-Fan 6.2.2.1. Konstanter Preis und konstante Produktionsleistung 6.2.2.2. Konstanter Preis und variable Produktionsleistung 6.2.2.3. Preis-Absatz-Funktion und variable Produktionsleistung Modellerweiterung für den Mehrprodukt-Fan 6.2.3.

7.4.

Modellmodifikation zur Ermittlung planmäßiger Ressourceneinsätze

234

7.5.

Fristigkeit

241

8.

Symbolverzeichnis

245

9.

Literatur

254

1. Allgemeine Grundlagen In engem Zusammenhang mit der Investition steht in der Regel die Finanzierung. Häufig wird von 'Investition und Finanzierung' als einheitlichem Fachgebiet der Betriebswirtschaftslehre gesprochen. Die Begriffe "Investition" und "Finanzierung" müssen jedoch sauber getrennt verwendet werden, weil sie Gegensätze beschreiben. Ohne auf die in der Literatur verwendete Vielzahl von Begriffen eingehen zu wollen, soll die Abklärung von Begriffsunterschieden wie folgt vorgenommen werden: Investition: Bindung/Festlegung von Geld auf Zeit in der Unternehmung oder mit anderen Worten: Aufgabe von Liquidität zugunsten eines zukünftigen, grundsätzlich unsicheren ökonomischen Erfolges Finanzierung: Bereitstellung von Geld auf Zeit bzw. Bereitstellung von finanzwirtschaftlich dispanierbarem Kapital. Dem i.d.R. äußerst geringen Verlustrisiko bei flüssigen Mitteln steht das Fehlen von Kapitalerträgen gegenüber. Im Wege der Finanzierung ist somit das Geld bereitzustellen, das in einer Investition gebunden werden soll. Unterschiedliche Investitions- und Finanzierungsarten gehen üblicherweise in Planungs- und Entscheidungsprozesse ein. Die Planung soll Einzeloder Gesamtergebnisbeiträge zur Erreichung von Unternehmenszielen antizipativ sichtbar machen - eine Optimierung der Zielerreichung verlangt besonders fundierte Kenntnisse der in der Investitions-(planungs-)Rechnung anzuwendenden, teilweise sehr komplexen Verfahren; dieses gilt insbesondere bei dem Auftreten von Interdependenzproblemen bei der Planung von Investitionsprogrammen. Aufwendigere Planungsrechnungen dienen der Vorbereitung von Programmentscheidungen, bei denen auch die Finanzierung mit in eine Simultanoptimierung einbezogen werden sollte. Eine kurze Aufarbeitung der notwendigsten Grundlagen zur Finanzierung, zur Investition, zur Planung und zum Interdependenzproblem ist Gegenstand dieses ersten Abschnittes.

1.1. Finanzierung Ein einführender Überblick soll helfen, eine Investition auch vor dem Hintergrund der Kapitalbeschaffung zu sehen. Die Mehrstufigkeit einer Vielzahl von betriebswirtschaftlichen Entscheidungen soll sodann als Alternativenzusammenstellung zur Lösung des Finanzierungsproblems illustriert werden; bei der Projektplanung und realisierung von Investitionsprogrammen treten in der Praxis überwiegend mehrstufige Prozesse auf.

1.1.1. Finanzierungsarten Um investieren zu können, wird in der Regel Geld benötigt- disponibles Kapital. Je nach Anwendung eines Gliederungskriteriums lassen sich Finanzierungsarten bilden, von denen hier in einer Grobunterteilung die wesentlichsten in der Abbildung 1.1 enthalten sind. In Abhängigkeit von den genannten Finanzierungsarten soll nun in sehr kompakter Form erläutert werden, wer als Geldgeber für Investitionen in Frage kommt und mit welcher Verpflichtung für den Investor die Geldbeschaffung verbunden ist:

1

Fremd--------finanzierung

Eigenfinanzierung

Selbstfinanzierung

Finanz. durch Desinvestition u. Abschreibung

Abb 1.1: Finanzierungsarten, eingeteilt nach Kapitalherkunft Fremdfinanzierung kann überwiegend gleichgesetzt werden mit der Beschaffung von Kapital durch Kreditaufnahme. Der Kapitalgeber ist Gläubiger, als Kreditgeber hat er Anspruch auf Rückzahlung und Verzinsung seines Kapitals durch den Investor. Kreditgeber sind i.d.R.:

- Lieferanten:

mit und ohne Wechselakzept

-Kunden:

Anzahlungen

-Banken:

Kontokorrentkredit Darlehen Diskontkredite

-Versicherungen:

Schuldscheindarlehen Schuldverschreibungen

-Staat:

Technologieförderung Konjunkturprogramme Regionalförderung

-Private:

mit und ohne Einschaltung der Börse, ggf. auch Aufnahme neuer Gesellschafter

Für den Ausweis von Krediten im Jahresabschluß gilt, daß Kredite mit Laufzeiten ~1 Jahr (=kurzfristig) und > 1 Jahr (mittel- und langfristig) getrennt auszuweisen sind; Verbindlichkeiten, die über einen Zeitraum von 5 Jahren hinausreichen, sind gern. § 285 HGB im Anhang anzugeben. Eine andere Kreditunterteilung sieht das Kreditwesengesetz (KWG) vor. Der § 20, Abs. 2 und 3 KWG unterscheidet lediglich zwischen Krediten mit~ 4 Jahren Laufzeit (kurz- und mittelfristig) und > 4 Jahren (langfristig). Nicht gesetzlich geregelt ist, daß mitunter Kreditlaufzeiten < 90 - 360 Tage als kurzfristig, Kreditlaufzeiten > 90- 360 Tage als mittelfristig bezeichnet werden. Für Planungsrechnungen gilt, daß eine exakte Erfassung von Fremdfinanzierungsvorgängen nur im Rahmen dynamischer Methoden der Investitionsrechnung möglich ist; die Einteilung des Planungszeitraumes in Jahre ist üblich, sofern nicht aus rechentechnischen Gründen für spätere Perioden längere Zeiträume gewählt werden. Eigenfinanzierung ist die Beschaffung von (Haftungs-)Kapital von Gesellschaftern

(bestehender Geschellschafterkreis) oder vom Einzelunternehmer. Der bei der Eigenfinanzierung entfallende vertragliche Anspruch auf Verzinsung wird ersetzt durch einen Anspruch auf Gewinn- und grundsätzlich Verlustbeteiligung; der Chance hö2

herer Rendite steht allerdings die Gefahr der Haftung für das eingesetzte Fremdkapital gegenüber. Die Rückzahlung von Eigenkapital ist bei Personengesellschaftern zwar durch Kapitalentnahme möglich, bei Kapitalgesellschaften sind Rückzahlungen jedoch als außergewöhnliche Vorgänge gesetzlich streng geregelt, regelmäßige Tilgungszahlungen sind in keinem Falle vorgesehen. So bedarf beispielweise die Kapitalherabsetzung gemäß § 119 Abs. 1 Ziff. 6 AktG eines Hauptversammlungsbeschlusses. Für die ordentliche Kapitalherabsetzung nach den §§ 222 ff. AktG wird eine Mehrheit von mindestens drei Vierteln des bei der Beschlußfassung vertretenen Kapitals verlangt; das Gesetz enthält weitere Spezifizierungen für den Fall, daß Aktien unterschiedlicher Gattungen ausgegeben worden sind. Zusätzlich ist Gläubigern der Gesellschaft unter bestimmten Voraussetzungen Sicherheit zu leisten. Ein erster Vergleich von Eigen- und Fremdfinanzierung zeigt, daß u.a. Kapitalrückzahlungen von der Finanzierungsart abhängen und sehr unterschiedlich geregelt sein können. Dem Investor gegenüber entstehen mit der Kapitalaufnahme und mit der Unterschiedlichkeit der Rechtsstellung des Kapitalgebers auch unterschiedliche Ansprüche, die aus dem Einzahlungsaufkommen von Investitionsprojekten zu befriedigen sind. Die Selbstfinanzierung ist der Eigenfinanzierung vom Ergebnis her ähnlich: in beiden Fällen tritt eine Erhöhung des Eigenkapitals ein. Bei der Selbstfinanzierung wird der Kapitalzuwachs jedoch aus den Gewinnen bewirkt, während demgegenüber die Kapitalerhöhung durch Gesellschaftereinlagen zur Eigenfinanzierung zu zählen ist. Die Finanzierung durch Desinvestition und Abschreibung knüpft an das Anlage- und Umlaufvermögen, den Investitionsbestand einer Unternehmung an. Bei der Finanzierung durch Abschreibung wird die Kapitalbindung im Zeitablauf wieder aufgelöst. Das durch Investitionen gebundene Kapital wird unter Aufrechterhaltung des Geldund Güterumwandlungsprozesses verflüssigt. Umsatzeinnahmen enthalten den finanzwirtschaftlichen Gegenwert für die im Güterumwandlungsprozeß verursachten Bestands- und Wertminderungen. Wenn sich der Investitionsbestand des Anlagevermögens im Zeitablauf durch 'verdiente Abschreibungen' aufgelöst hat, kann auch von kontinuierlichen Desinvestitionen gesprochen werden, während die Liquidation eher als außergewöhnliche Desinvestition außerhalb bzw. nach Beendigung von Leistungsund Umsatzprozessen anzusehen ist. Die Finanzierung durch Desinvestition ist somit Umwandlung von gebundenem Kapital in grundsätzlich disponierbares Kapital. Im Gegensatz zur Selbst- und Eigenfinanzierung erfolgt keine Zuführung zusätzlichen Kapitals. Eine Übereinstimmung mit der Selbstfinanzierung ergibt sich aber dadurch, daß in beiden Fällen Kapital von innen, d.h. ohne Einschaltung externer Geldgeber beschafft wird.

1.1.2. Mehrstufigkeit von Finanzierungsentscheidungen Entscheidungsprobleme in der Praxis sind fast ausnahmslos mehrstufige Probleme: nach der Grundsatzentscheidung, ob intern oder extern finanziert werden soll, ergibt sich sogleich weiterer Entscheidungsbedarf, der wiederum nur eine neue Zwischenstufe darstellt. In der Zwischenstufe wäre beispielsweise im Falle der Vorentscheidung zugunsten externer Kapitalbeschaffung wieder darüber zu befinden, ob eine Eigen- oder Fremdfinanzierung gewählt werden soll. Dieses Verfahren und die Mehrstufigkeit der Alternativenauswahl innerhalb von Entscheidungsprozessen läßt sich bei Problemstrukturen geringeren Umfangs sehr anschaulich über einen Zu3

standsbaum darstellen. Alternativen der Finanzierung und Entscheidungsschritte zur Lösung des mehrstufigen Wahlproblems für den Investor lassen sich in vereinfachter Form der Abbildung 1.2 entnehmen.

Alternativen r~ume

a 1 interne Finanz.

a 2 externe Finanz.

~

A

a 11 a 12 a21

a 11 Finanz. aus Umsatzer lösen

/1

:22

alll alll a 112 Selbsta 121 finanz. a 122 a 211

all2 Finanz. aus Abschreibungen

~

a 21 EigenFinanz. (Betei 1 igungsfinanz.)

a 12 Finanz. durch Vermögensum-

~~r·"'· ~

al21 Verminderung nicht betriebl. notwendigen Vermögens

al22 Verkauf betriebl. Vermögens

a211 Beteiligungen

a212 Einlagen

a 22 Fremdfinanz. (Kreditfinanz.)

~

a221 kurzfristige Fremdfinanz.

a222 langfrist ige Fremdfinanz.

a212 a222

Quelle:

Mag, W.: Planung, in Vahlens Kompendium der Betriebswirtschaftslehre, Band 2, München 1984.

Abb 1.2:

Mehrstufigkeil der Finanzierungsentscheidung

Damit hier nicht für den mit der Praxis weniger vertrauten Leser der Eindruck entsteht, daß Finanzierungsprobleme so einfach zu lösen sind, sei ausdrücklich darauf hingewiesen, daß die wesentlich differenzierteren Arbeiten zur Entscheidungsvorbereitung natürlich nicht in einer derartigen Darstellung enthalten sein können. Auch die nachgelagerten Entscheidungsstufen für den Investor fehlen. So wäre unter Fortführung des oben begonnenen Beispiels weiter zu klären, bei welchem Kreditinstitut mit welcher Laufzeit in welcher Währung und im Falle der Finanzierung mit Auslandswährunggegebenenfalls mit welcher Absicherung der Zins- und Tilgungszahlung gegen Währungsrisiken langfristig finanziert werden soll. Außerdem sind Interdependenzen zwischen den einzelnen Finanzierungsformen analog dem später für Investitionen zu behandelnden Interdependenzenproblem und Mischfinanzierungen in Betracht zu ziehen. Ein Zustandsbaum, der alle Entscheidungsalternativen, die die Praxis einschließlich der sogenannten Finanzinnovationen bereithält, ist nicht mehr darstellbar. Im Rahmen eines Investitionslehrbuches kann lediglich ein erster Überblick über die Möglichkeiten der Kapitalbereitsteilungen für ein beliebiges Investitionsprojekt gegeben werden. Vielleicht kann auch ein Problembewußtsein in der Weise vermittelt werden, daß zur Erzielung eines Gesamtoptimums die Investitionsplanung mit der Finanzplanung verknüpft werden muß. Als Kurzzusammenfassung bleibt festzuhalten: - Schwerpunkt der Finanzierung ist die Beschaffung von Geld/Kapital 4

- Schwerpunkt der Investition ist die Verwendung des beschafften Geldes/ Kapitals - die Methoden der Investitionsrechnung sollen helfen, das dispanierbare Kapital in die günstigste Verwendungsrichtung zu lenken- ein Grundanliegen der Betriebswirtschaftslehre schlechthin.

1.2. Investition In fast allen Branchen ist eigentlich ein ständiger Investitionsbedarf gegeben: Überalterung von Maschinen, Transportmitteln und Gebäuden, steigender Aufwand für Wartung und Instandhaltung, Innovationen bei Produktionsanlagen und -verfahren oder Veränderungen auf den Absatzmärkten für die hergestellten Produkte. Es gibt somit viele Auslöser für Investitionen verschiedenster Art. Selbst steuerliche Gründe und spezielle staatliche Förderungsmaßnahmen bewirken, daß disponibles Kapital langfristig in Sachinvestitionen oder in leichter liquidierbaren Finanzinvestitionen gebunden wird. Jede Sachinvestition muß sich bei ökonomischer Zielsetzung des Investors an der konkurrierenden Finanzanlage ( = Finanzinvestition) messen lassen. Der somit immer notwendige Alternativenvergleich wirft i.d.R. die Frage nach der Vorteilhaftigkeit auf. Eine Vielzahl von Daten muß methodisch einwandfrei in der Weise zusammengeiaßt werden, daß eine Vorteilhaftigkeit ausgewiesen werden kann, wenn man Probleme multikriterieller Entscheidungsfindung vermeiden und einen einfachen Alternativenvergleich ermöglichen will. Offen ist noch der Investitionsbegriff. Aus der Vielzahl von in der Literatur verwendeten Begriffen soll eine eher pragmatische Begriffsfassung Verwendung finden: "Investition ist die Anlage finanzieller Mittel in Objekten materieller oder immaterieller Art, die im Hinblick auf die Zielsetzung des Investors längerfristig von Nutzen zu sein versprechen" 1. Ziel des Einsatzes der Methoden der Investitionsrechnung ist zunächst die Herstellung der Vergleichbarkeit von Investitionsalternativen mit Hilfe einer berechneten repräsentativen Ersatzgröße, die üblicherweise als Vorteilhaftigkeitskennziffer bezeichnet und in Verbindung mit einem vorab definierten Vorteilhaftigkeitskriterium Verwendung findet. Neben der Methode als reiner Rechenregel zur Bestimmung einer Vorteilhaftigkeit liefert die Investitionsrechnung in ihren höher entwickelten Formen auch ein effizientes Planungsinstrumentarium, das zur Optimierung von Einzelinvestitionen, Prozeßtechniken und Investitions- und Finanzierungsprogrammen genutzt werden kann; die ermittelten oder in der Rechnung verwendeten Planwerte sind Grundlage von Abweichungsanalysen aus Soll-Ist-Vergleichen, die eigentlich in jedem gut geführten Unternehmen üblich sind, teilweise wird bereits von einem Investitionscontrolling gesprochen. Die eingangs erwähnten Investitionsalternativen sollen nun etwas genauer behandelt werden.

1.2.1. Investitionsalternativen Wie bei genauerer Betrachtung der Finanzierungsalternativen ersichtlich, so läßt sich auch für die Investition nicht die gesamte Alternativenzahl in einer Abbildung darstellen; wegen der kombinatorisch großen Alternativenzahl ist auch eine vollständige 1

Jacob, H.: Kurzlehrbuch Investitionsrechnung, 3. Auflage, Wiesbaden 1984, S. 11.

5

Alternativennennung nicht m~glich. Die Abbildung 1.3 soll deshalb als schematische Vereinfachung einen ersten Uberblick geben; es wird angenommen, daß sich ein Entscheidungsträger primär von ökonomischen Zielsetzungen leiten läßt. In der Realität sind sicher auch Wohltätigkeitszielsetzungen anzutreffen, die erfreulicherweise größere Kapitalbeträge in bestimmte Verwendungsrichtungen (Bau von Altersheimen, Kauf von Landflächen zur Erhaltung von Biotopen, Stiftungen usw.) lenken. Für das Anlegerverhalten schlechthin handelt es sich jedoch eher um Ausnahmen. Auch bestimmte Aktionen großer Unternehmen zugunsten des Umweltschutzes sind i.d.R. bei genauerer Betrachtung als Marketing-Aktivitäten Investitionen in einen Markt. Weil altruistisches Verhalten in der Wirtschaftspraxis wohl auch zukünftig keine überragende Bedeutung erlangen wird, gilt für alle folgenden Betrachtungen die Annahme, daß mit disponiblem Kapital Erträge für den Investor erwirtschaftet werden sollen. Es sind somit ertragbringende Anlagemöglichkeiten in Betracht zu ziehen, bei denen regelmäßig Finanz- und Sachinvestition in Konkurrenz stehen, ggf. gemeinsam Bestandteile von Investitionsprogrammen werden. Ein Investitionsprogramm liegt vor, wenn mindestens zwei sich gegenseitig nicht ausschließende Alternativen verwirklicht werden können2• Ein kleines Beispiel möge dieses verdeutlichen und zugleich der ersten Einführung einiger der später häufig zu verwendenden Grundbegriffe dienen: Ein Unternehmensgründer möchte für Großhandelsaktivitäten einen Verkaufsraum für Modeartilrel und ein Büro repräsentativ einrichten, das Warenlager muß mit einem Anfangsbestand ausgerüstet werden. Da häufig Einzelhandelskunden und Hersteller (Modehäuser, Designer usw.) besucht werden müssen, ist nach Meinung des Unternehmensgründers ein 'dezentauffälliger' PKW der Oberklasse als Firmenwagen notwendig; es sollen die Geschmackssicherheit des Unternehmers und schon in der Anlaufphase auch geschäftlicher Erfolg demonstriert werden. Damit der PKW regelmäßig dem Zeitgeschmack angepaßt werden kann, wird ein langfristiger Abnahmevertrag mit der Niederlassung des Herstellers abgeschlossen, der eine Rabattvereinbarung enthält. Der Unternehmensgründer steht nun vor dem Problem, den verfügbaren Kapitalbetrag einschließlich der Förderungsmittel für die Existenzgründung zu verwenden für: Kauf von Geschäftsräumen (Investition in Immobilien oder Nichtinvestition, zunächst nur Ja-Nein-Entscheidung) oder Anmietung, Einrichtung der Geschäftsräume luxuriös/extravagant oder einfach/funktionell (Investition mit Wahlproblem), Ausrüstung des Warenlagers (Investition mit Wahlproblem hinsichtlich Artikelzusammensetzung und -mengen ggf. in Kombination mit Bestellmengenoptimierung), Kauf eines Oberklasse-PKW (Wahlproblem bei Marke und Typ kombiniert mit Nutzungsentscheidung, d.h., es muß festgelegt werden, in welchen Zeitintervallen ein neuer PKW abgenommen und bezahlt(!) werden muß, Ersatzproblem bei Existenz einer Investitionskette); und als grundsätzlich immer vorhandene Alternative: Finanzanlage für das gesamte verfügbare Kapital mit Ausnahme der Mittel aus der Existenzgründungsförderung, die wegen der Zweckbindung in der Unternehmung anzulegen sind (Wahlproblem mit Nutzungsdauerentscheidung).

2

6

Ausführlichere Ausführungen hierzu siehe Kruschwitz, L.: Investitionsrechnung, 4. Auflage, Berlin New York 1990, S. 6.

-.J

I nvest i t i ansprograrrme

nichtindentische Nachfolgeinvestition

indentische Nachfolge i nvest i t ion

Optionen

\

mit fester Ver-

mit variabler Ver-

mit variabler

/\ mit fester

Zinspapiere

auf Auslandswährung lautend

auf Inlandswährung lautend

auf Auslandswährung lautend

I I\'T\ I \ 7't""\"'~"T~77'\"'

GmbH-

Wandelschuld versehre i bungen

/ \ 1\

Aktien

Bete i 1 i gungen

Finanzinvest H ion

Abb. 1.3: Anlagealternativen bei ökonomisch determinierten Zielsetzungen des Investors.

mit Nachfolgeinvestition

ohne Nachfolgeinvest it ion

ohne Nachfolgei nvest i t i onen

I'\ 1\ /\

Einzelinvestitionen

/~

Sach; nvest it i on

I

I Anlagealternativen für I I disponibles Kapital I

,----

Dem Beispiel der Existenzgründung in der Modebranche kann also entnommen werden, daß die Investitionsrechnung als Planungsinstrument geeignet sein muß für eine Vielzahl von denkbaren Geldanlagealternativen, die als Einzelinvestitionen oder Investitionsprogramme in Erscheinung treten können, Sach- und Finanzinvestitionen, die einzeln oder in beliebiger Kombination auftreten können, Finanzinvestitionen, die im Vergleich mit den Sachinvestitionen durch eine ähnlich hohe Alternativenanzahl gekennzeichnet sind, das Wahlproblem, das häufig gleichzeitig mit dem Ersatzproblem in Kombination mit einer Nutzungsdauerentscheidung auftritt, die Erfassung von Anschlußinvestitionen, denn im Entscheidungszeitpunkt entstehen häufig Investitionsketten. Hieraus folgt, daß das anzuwendende Verfahren der Investitionsrechnung für die Bearbeitung einer unüberschaubaren Vielzahl von Alternativen geeignet sein muß. Andernfalls müßten dem Anwender die Problembereiche bekannt sein, bei denen jede der Methoden zum richtigen Ergebnis führt. Im Zuge der Planungsrechnung müssen Problemlösungen erarbeitet werden für: Einzelinvestitionen, Investitionsprogramme für feste oder variable Zeitintervalle und ggf. auch für Investitionsketten. Die ökonomische Beurteilung von Handlungsalternativen ist Gegenstand der Investitionsrechnung. An dieser Stelle sei bereits angemerkt, daß es kein Rechenverfahren gibt, das für alle Entscheidungssituationen das beste ist oder mit anderen Worten: jede Variante der Investitionsrechnung ist für unterschiedliche Entscheidungssituationen unterschiedlich gut geeignet. Die Alternativenauswahl ist ein mehrstufiges Entscheidungsproblem. Dieser noch wenig systematisierten Zusammenstellung von Alternativen und Problemen, die mit den Verfahren der Investitionsrechnung zu lösen sind, soll nun die systematisierte Zusammenstellung von Investitionsarten folgen.

1.2.2 Systematisierung der Investitionsarten In den späteren Ausführungen müssen überwiegend formal angelegte Betrachtungen mit höherem Abstraktionsgrad im Vordergrund stehen, eine systematisierende Einzelbehandlung der Investitionsarten mit inhaltlichen Bezügen ist deshalb voranzustellen. Es gibt verschiedene Systematisierungsansätze. Als Einteilungskriterium für Investitionen wird häufig die Zuordnung zu den betrieblichen Funktionsbereichen verwendet.

zum Auf- und Ausbau des Produktions-

Finanzinvestitionen

Personal- und Sozialinvestitionen

--1-nve~stlt-ione_n1_----,:

apparat:r---s

für Forschung und Entwicklung Abb. 1.4: Investitionsarten

8

zum Auf- und Ausbau der Organisation

für Marken- und Firmenimage

Die Investitionsrechnung betrachtet vorzugsweise Investitionen im Produktionsbereich. Die Gründe hierfür liegen einerseits darin, daß die Produktion Zentrum der Leistungserstellung ist, andererseits können hier am ehesten für Rechnungen erforderliche (quantitative) Daten erhoben werden. Vorwiegend für den Produktionsbereich ist in der Praxis eine weitere Unterteilung der Investitionen geläufig: - Neuinvestitionen (Gründungen, Errichtung neuer Zweigwerke) - Erweiterungsinvestitionen (Ausbau vorhandener Kapazitäten) - Ersatzinvestitionen (Ersatz vorhandener Anlagen durch neue) - Rationalisierungsinvestitionen (Veränderungen des Produktionsapparates, um die Kosten der Leistungserstellung zu senken) Diese Arten lassen sich jedoch nicht immer deutlich voneinander abgrenzen. Häufig ist die Investition eine Mischung der genannten Formen (z.B. Austausch einer vorhandenen Anlage durch eine neue mit größerer Kapazität, Ersatz und Erweiterung erfolgen gleichzeitig). Und nun einige Kurzerläuterungen zu den wesentlichsten der in der Abbildung 1.4 aufgeführten Investitionsarten: Finanzinvestitionen werden i.d.R. getätigt, um entweder Beteiligungen zu erwerben oder Finanzmittel, die für andere Investitionen nicht oder nicht mit ausreichendem Nutzen verwendet werden können, mitunter nur temporär in Wertpapieren anzulegen. Personalinvestitionen sind langfristig wirksame Ausgaben für Beschaffung und Ausbildung der betrieblichen Personalausstattung. Wie auch bei den nachstehend beschriebenen Investitionsarten ist die rechnerische Behandlung von Personalinvestitionen schwierig, da vor allem der Nutzen häufig nicht quantifiziert werden kann. In engem Zusammenhang mit· den Personalinvestitionen stehen die Sozialinvestitionen (z.B. Sportanlagen, Erholungsheim, Kantine). Sie sollen im weitesten Sinne die Arbeitsbedingungen und das Betriebsklima verbessern, damit Leistungsfähigkeit und Motivation der Arbeitskräfte für betriebliche Zwecke so gut wie möglich erschlossen werden. Zu den Investitionen zum Auf- und Ausbau der Organisation gehört z.B. der Aufbau eines leistungsstarken Informationssystems durch Einführung der elektronischen Datenverarbeitung oder die Einrichtung eines effizienten Vertriebssystems. Beispiele für Investitionen rür das Marken- und Firmenimage im Absatzsektor sind langfristig wirksame Werbe- und Public-relations-Kampag~en, die dem Unternehmen und seinen Erzeugnissen bei Abnehmern und in der Offentlichkeit ein günstiges Image verschaffen sollen. Investitionen rür Forschung und Entwicklung dienen der Entwicklung neuer Erzeugnisse und wirtschaftlicherer bzw. optimierter Produktionsmethoden. Eine weitere Möglichkeit der Gruppierung von Investitionen ergibt sich aus der Verwendung der Gliederungskriterien 'Art des Vermögensbestandes' und 'Kapazitätswirkung' gemäß Abbildung 1.53.

3

vgl. Kruschwitz, L.: lnvestitionsrechnung, a.a.O., S. 16 f.

9

Gliederungsmerkmal

Gliederungsform

(1) Art des Vermögens- Finanzvermögen

gegenstandes

(2)

Kapazitätswirkung

Finanzinvestition

Sachvermögen

Real- oder Sachinvestitionen

Immateri e11 es Vermögen

Immateri e11 e Investitionen

keine Kapazitäts- Ersatzerhöhung i nvest it i onen Kapazitätserhöhung

Quelle:

Investitionsart

Rationalisierungsund Erweiterungsinvestitionen

Kruschwitz, L.: Investitionsrechnung, a.a.O., S. 16.

Abb. 1.5: Systematisierung der Investitionsarten nach den Kriterien 'Art des Vermögensgegenstandes' und 'Kapazitätswirkung' (1)

Art des Vermögensgegenstandes: Ausgangspunkt ist die Gliederung der Aktivseite der Bilanz. Entsprechend den Vermögenspositionen kann zwischen immateriellen Investitionen und Sachund Finanzinvestitionen unterschieden werden. Zur Gruppe der immateriellen Investitionen gehören die grundsätzlich nicht bilanzierungsfähigen Güter wie etwa Organisation, Ausbildung der eigenen Mitarbeiter usw. und nicht-materielle Vermögensgegenstände wie Patente und Lizenzen. Bei Sachinvestitionen ist zwischen Investitionen in das Anlagevermögen (Grundstücke, Gebäude, Maschinen usw.) und in das Umlaufvermögen (Werkstoffe, kurzfristig gehaltene Wertpapiere usw.) zu unterscheiden. Beispiele für Finanzinvestitionen im Anlagevermögen sind Beteiligungen und langfristige Darlehen; Beispiele für den gleichen Investitionstyp im Umlaufvermögen sind dagegen Kassenhaltung, Bank- und Postscheckguthaben.

(2)

Kapazitätswirkung: Insbesondere die Sachinvestitionen im Produktionsbereich von Industriebetrieben lassen sich durch Betrachtung der Kapazitätswirkung weiter untergliedern. Ohne Veränderung der Kapazität liegt eine Ersatzinvestition vor, insbesondere wenn eine alte gegen eine neue technisch identische Anlagen ausgetauscht wird. Die Investitionsrechnung kann bei der Ersatzinvestition i.d.R. durch Beschränkung auf die Auszahlungen vereinfacht werden. Bei Erweiterungsinvestitionen hingegen wird die Kapazität verändert, so daß auch die Einzahlungen in die Investitionsrechnung einbezogen werden müssen. Rationalisierungsinvestitionen sind mit oder ohne Kapazitätsveränderung möglich.

10

1.2.3. Das Interdependenzproblem Eine wichtige Rolle spielen bei der Investitionsplanung indirekte und direkte Interdependenzen, d.h. Wechselbeziehungen zwischen verschiedenen lnvestitionen4• Indirekte Interdependenzen haben ihre Ursache darin, daß Investitionsentscheidungen als Teilplan mit anderen Teilplänen abgestimmt werden müssen, um einen zieladäquaten Gesamtplan zu finden. Sofern einer der Teilpläne einen Minimumsektor/Engpaßbereich ausweist, treten mögliche Investitionsprojekte in Konkurrenz zueinander. Insbesondere Wechselbeziehungen zwischen Investition und Finanzierung sind hier hervorzuheben. Reichen die verfügbaren Finanzmittel einschließlich der Kredite, die das Unternehmen aufnehmen kann, nicht aus, um alle günstigen Investitionen durchzuführen, weist der Finanzplan die Finanzierung als Engpaßhereich aus; die Investitionen konkurrieren um die knappen FinanzmitteL Durch die Auswahl der realisierbaren Projekte werden andere ebenfalls vorteilhafte Projekte zwangsläufig ausgeschlossen. Indirekte Interdependenzen treten auch auf, wenn z.B. die Rohstoffbeschaffung, die Personalausstattung oder die Absatzmöglichkeiten die im Produktionsbereich durchführbaren Investitionen begrenzen. Indirekte Interdependenzen werden also durch außerhalb des Investitionsplans liegende Restriktionen ( =Engpaßbereiche) begründet. Direkte Interdependenzen haben ihren Grund darin, daß viele Investitionen erst in Kombination mit artderen eine Leistungserstellung ermöglichen, z.B. bei Produktionsanlagen mit mehrstufiger Fertigung, die aus mehreren Einzelmaschinen als Gesamtanlage gebildet werden. Die nachfolgende Abbildung 1.6 zeigt die AnlagenZusammensetzung für eine dreistufige Fertigung, in jeder Fertigungsstufe werden mehrere Maschinen/ Aggregate eingesetzt, die Maschinentypen sind der Fertigungsstufe fest zugeordnet.

Fertigungsstufe

------...,

I

111

I li 1

II 12

1113

I I I

-r------1 li

112

II1

II4

II3

I I

I

IIs

I I I __ _j

12

11

Xo

x1 x2

X

x3 Produktionsmenge in ME/ PE

Abb. 1.6: Produktionsanlage für dreistufige Produktion 4

Zum Interdependenzproblem vgl. Jacob, H.: Kurzlehrbuch Investitionsrechnung, a.a.O., S. 21ff, erstmals veröffentlicht in Jacob, H.: Neuere Entwicklungen in der Investitionsrechnung, in Zffi, 34. Jg. 1964, S. 487ff. und S. 551 ff.

11

Für die Herstellung des Produktes sind bei linearem Fertigungsablauf die Maschinentypen I, II und 111 unbedingt erforderlich, von der Anzahl der Maschinen je Typ hängt die maximale Produktionskapazität X ab, die für die Ausgangssituation x 0 beträgt. Die Erlöse der hergestellten und abgesetzten Produktionsmengen sind der Gesamtanlage zuzurechnen, eine willkürfreie Aufspaltung der Erlöse ist nicht möglich, weil die Produktionsleistung von den Maschinentypen I, II und III gemeinsam erbracht wird. Eine zusätzliche Investition 114 in der Produktionsstufe II hat für den Investor nur einen geringen Nutzen ( =XrX0), erst eine Erhöhung der Kapazität in der Produktionsstufe III durch die InvestitiOn m3 erhöht den Nutzen der Investition 114 für den Investor wesentlich auf Xz. Werden die Investitionen ll4 und III3 in derselben Periode durchgeführt, so handelt es sich um direkte zeitlich-horizontale Interdependenzen. Darüber hinaus existieren direkte zeitlich-vertikale Interdependenzen, weil der Nutzen einer Investition in der laufenden Periode auch noch von den Investitionen und Desinvestitionen zukünftiger Perioden abhängig ist, denn die Fertigungskapazität wird auch hierdurch insgesamt verändert. Wird z.B. in einer der Folgeperioden noch die Investition 115 getätigt, so verändert sich die Kapazität auf x3, und der Nutzen der früher getätigten Investition III3 erhöht sich hierdurch nachhaltig. Sofern Interdependenzen der beschriebenen Art vorliegen, müssen im Investitionsbereich Programmentscheidungen getroffen werden, d.h., daß alle Investitionen simultan als Kombination geplant werden müssen. Bei isolierter Betrachtung einzelner Investitionen oder Vernachlässigung von Interdependenzen liegen Einzelentscheidungen vor. Beide Entscheidungstypen bedürfen jedoch einer Vorbereitung durch Planung.

1.3. Planung Daß Investitionen ab einer bestimmten Größenordnung ein Planungsprozeß vorausgehen sollte, bedarf eigentlich keiner Erörterung. Trotzdem soll nicht verschwiegen werden, daß in der Praxis eine Vielzahl von Projekten, teilweise auch sehr erfolgreiche, ohne Planung durch den Investor und erst recht ohne Investitionsrechnung realisiert werden. So war erst kürzlich von einem Unternehmer zu hören, daß in seinem Unternehmen eine Investitionsrechnung ohnehin überflüssig sei, denn es würden nur Investitionen getätigt, die innerhalb eines Jahres bezahlt seien. Dabei wurde jedoch vergessen, daß von der Anschaffungsauszahlung unabhängige Zahlungsströme i.d.R. über ein Jahr hinausreichen. Hinzu kommt, daß Projektoptimierungen ohne Einbeziehung der Finanzierung nicht sinnvoll sind, weil Optimierungsmöglichkeiten verschenkt werden und bei unzureichender Einzahlung für das Anschaffung~jahr jede Investitionstätigkeit unterbleiben muß. Als Folge kann eine technische Oberalterung des Unternehmung eintreten. Investitionen sollten also doch systematisch geplant und in die Unternehmensplanung eingebunden werden.

1.3.1. Merkmale der Planung Aus der vorhandenen Vielzahl von Planungsbegriffen sollen nur zwei Begriffe kurz aufgegriffen und einem aussagekräftigen Merkmalsystem vorangestellt werden. Generell bedeutet Planung, "das von der Geschäfts- und Betriebsleitung Gewollte in die rationalen Formen betrieblichen Vollzugs umzugießen" 5. Das charakteristische 5

12

Gutenberg, E.: Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Erster Band, Die Produktion, 21. Aufl., Berlin Heidelberg New York, 1975, S.148..

Merkmal der Planung ist dem Entwerfen einer Ordnung, in der ein bestimmter Prozeß sich als vollziehend gedacht wird, zu sehen.6 Durch Planung wird die "Betriebsleitung von der Aufgabe entlastet, erst später, in der bedrängenden Fülle und Unübersehbarkeil des technischen, betriebswirtschaftliehen und organisatorischen Geschehens nach einem Wege zu suchen, der dem Betriebsprozeß zu einem reibungslosen Ablauf verhilft."7 Ziel ist demnach, den vorausbedachten Betriebsprozeß gegen Unordnung abzuschirmen und ihn möglichst von Zufälligkeilen und Unzulänglichkeiten freizuhalten. 8 Daß diese schon klassische Auffassung für die Gestaltung des Investitionsgeschehens in besonderer Weise zutrifft, bedarf eigentlich keiner weiteren Erläuterung. Mehr den methodischen Aspekt betont eine andere Definition: Planung ist ein systematischmethodischer Prozeß der Erkenntnis und Lösung von Zukunftsproblemen. Sie ist prospektives Denkhandeln, in dem eine geistige Vorwegnahme und Festlegung zukünftigen Tathandeins erfolgt9• Die soeben genannten Definitionen besagen, daß ein systematisch-methodisches Vorgehen in Verbindung mit der gestaltenden Vorwegnahme eines Zukunftsgeschehens Kennzeichen der Planung ist. Entscheidungen auf der Grundlage des 'großen Daumens' oder 'eines besonderen Fingerspitzengefühls' müssen somit als planloses Vorgehen bezeichnet werden - eine schlechte Grundlage für die zumeist langfristig angelegte Bindung disponiblen Kapitals in Investitionen, bei der fortlaufend technische, organisatorische und personelle Fragestellungen in Verbindung mit Ein- und Auszahlungszeitreihen auftreten. Etwas genauer läßt sich Planung durch eine Reihe von Merkmalen beschreiben: " (1) Zukunftsbezogenheit: Planung ist stets zukunftsbezogen, sie findet vor der eigentlichen Realisation der Maßnahmen statt ..., (2) Rationalität: Planung ist in der Summe rational, bewußtes zielgerichtetes Denken und methodisches Vorgehen im Problemlösungsprozeß dominieren ..., (3) Gestaltungscharakter: Planung versucht, künftige Probleme zu erkennen, geeignete Maßnahmen und Wege als Lösungsvorschläge zu erarbeiten und diese hinsichtlich ihrer Zielwirksamkeit zu beurteilen ..., (4) Prozeßphänomen: Planung in zielgerichteten Sozialsystemen ist in aller Regel ... ein sich häufig wiederholender mehrstufiger Prozeß ohne definitiven Beginn und Abschluß, der aus verschiedenen Teilprozessen besteht ..., (5) Informationeller Charakter: Planung ist schließlich als ein komplexer Denkund Informationsprozeß zu charakterisieren, in dem verschiedenartige Informationen gewonnen, aufgenommen, gespeichert, verarbeitet und übertragen werden. Dabei bilden die verwendeten (verarbeiteten) Informationen reale oder gedachte Sachverhalte ab." 10 Übertragen auf die Investitionsplanung bedeuten die fünf Merkmale, daß die zukünftig über eine Reihe von Jahren auftretenden ökonomischen Wirkungen aus der Projektrealisierunginnerhalb eines methodenorientierten Vorgehensaufzuarbeiten sind, die Methoden der Investitionsrechnung sind somit Bestandteil des Problemlösungsprozesses innerhalb der Planung, die Methoden dienen der Problemerken6 7 8 9

Vgl. Gutenberg, E.: Die Produktion, a.a.O., S. 148. Gutenberg, E.: Die Produktion, a.a.O., S. 148. Vgl. Gutenberg, E.: Die Produktion, a.a.O., S. 148. vgl. Kosiol, E.: Planung als Lenkungsinstrument der Unternehmensleitung in Zffi 1965, S. 380-401, Kosiol, E.: Zur Problematik der Planung in Zffi 1967, S. TI-96. 10 Wild, J.: Grundlagen der Unternehmensplanung, Reinbek bei Hamburg, 1974, S.13f..

13

nung und der Erarbeitung von Problemlösungsvorschlägen, was insbesondere für die Verfahren unter Anwendung der linearen Optimierung gelten wird. Die Investitionsplanung ist somit auch keine punktuell auftretende Aktivität, sondern bei dynamischer Unternehmensentwicklung eine Daueraufgabe, die häufig mit einer einfachen Überschlagsrechnung unter Anwendung einfacher Verfahren begonnen und mit dem Einsatz hochentwickelter komplexer Planungsrechnungen abgeschlossen wird. Der informationelle Charakter der Investitionsplanung besteht darin, daß aus der methodenorientierten Verarbeitung von Daten auch neue Erkenntnisse gewonnen, Fehler und Schwachstellen vor der endgültigen Bindung des Kapitals erkannt und ggf. beseitigt werden können. Natürlich kann Investitionsplanung, wie anhand des Interdependenzproblems erläutert, nicht isoliert betrieben werden. Die Einordnung der Investitionsplanung in den Gesamtzusammenhang der Unternehmensplanung ist Gegenstand der nachfolgenden Ausführungen.

1.3.2. Einordnung der Investitionsplanung in die Unternehmensplanung Analog zur hierarchisch strukturierten Aufbauorganisation einer Unternehmung mit Funktionsgliederung lassen sich auch Planungssysteme mehrstufig und funktionsorientiert strukturieren, was wohl auch mit den Gegebenheiten der Praxis überwiegend übereinstimmt. Die Abbildung 1.7 zeigt eine sachliche Stufung, die dem hierarchischen Aufbau der Unternehmung folgt. Die strategische Planung ist überwiegend langfristig angelegt 11 und steckt i.d.R. in Form von politischen Vorgaben den Rahmen für die Investitionsplanung ab, die überwiegend der taktischen Ebene zugerechnet wird. Bei Investitionen mit besonderer Bedeutung für die weitere Unternehmensentwicklung könnte die lnvestititionsplanung auch der strategischen Ebene zuzurechnen sein. Planungsträger sind somit entweder das mittlere Management oder die Unternehmensleitung selbst. Investitionsvorschläge kommen meistens aus den einzelnen Funktionsbereichen Beschaffung, Produktion, Vertrieb, Finanzen, Verwaltung und Forschung und Entwicklung. Der Bereich Finanzen führt die Planungsrechnungen entweder direkt oder über eine Planungsabteilung aus oder er macht Vorgaben für die Ausführung von Planungsrechnungen durch Methodenvorgaben, Formulare, Datenangaben usw .. Der Investitionsplan kann stets nur ein (mittelfristig) angelegter Teilplan sein, selbst wenn er ggf. als Simultanplan Elemente der Produktions~ und Absatzplanung enthält. Planabstimmungen und Konsistenzprüfungen über die Funktionsbereiche und Hierarchieebenen hinweg sind notwendig, um zu einem der Unternehmenszielsetzung entsprechenden und realisierungsfähigen Gesamtplan zu kommen. Die Tendenz bei der Planableitung geht zu einer Verbindung von Top-Down-und Bottom-upPrinzip hin und läuft auf das Gegenstromprinzip hinaus, das in Abbildung 1.7 dem idealtypischen hierarchischen Planungssystem angefügt worden ist. Für die Investitionsplanung bedeutet das, daß Investitionsanregungen und Teilplanungen sowohl von der Top-Ebene als auch von der Operativ-Ebene her kommen können und i.d.R. unter Mitwirkung des Finanzbereiches in den Unternehmensgesamtplan integriert werden. Die Vielzahl bereichs- und hierarchieebenenübergreifender Abstimmungsvorgänge läßt sich wesentlich prägnanter der Abbildung 1.8 entnehmen, als es über eine verbale Erläuterung möglich wäre.

11

14

Neuere Ansätze zur strategischen Planung siehe Kreikebaum, H.: Strategische Unternehmensplanung, 3. Auflage, Stuttgart, Berlin, Köln, 1989, S.32ff.

......

Vt

Linker Teil der Abbildung in Anlehnung an Wild, J., Grundlagen der Unternehmensplanung, a.a.O. S. 167.

Lew-Management

Bottom-up Prinzip

Planableitungsrichtungen und -prinzipien

Top-Down Middle-Managementl Prinzip

Top-Management

Abb. 1.7: Planungsträger, Planableitung und Hierarchie der Planungsstufen

Quelle:

Realisiation

strategische Planung

Planungsträger

GegenstromPrinzip

Die Investitionsrechnung mit ihren vielfältigen Ausgestaltungsmöglichkeiten ist eines der Elemente12 des Planungssystems der Unternehmung. Die Investitionsrechnung ist als Planungsrechnung Grundlage einer wirksamen Kontrolle von Investitionserfolgen, sie ist als Planungsinstrument Gegenstand der nachfolgenden Methodendarstellung und -analysen. Inhaltskategorien Ziele

Maßnallne

Systemebenen

Unternehmungsphi losophie strategisch

Strategien Unternehmungsziele (Zielkonzeption)

Ressourcen

Ressourcenentw i ck 1ung/ -bedarf/ -beschaffung/ -e1nsatz

taktisch

operativ

k-

t"~ y

jJ ' Quelle:

Ableitung/Abst inmung/Anpassung Konf i rm i erung bzw. Modifikation (Bwertung und Kontrolle)

zusätz 1 iche Konsistenzprüfung

Töpfer, Armin, Planungs- und Kontrollsysteme industrieller Unternehmungen, Berlin, 1976, s. 150.

Abb. 1.8: Formale Struktur des Planungs- und Kontrollgegenstandes 12 Zu den Elementen des Planungssystems siehe Wild, J.: Grundlagen der Unternehmensplanung a.a.O., S. 153 ff.

16

1.3.4. Unsicherheit und Flexibilität Investitionsplanung ist langfristig angelegt. Mit zunehmendem zeitlichem Abstand von Daten und Ergebnissen einer Investition vom Entscheidungszeitpunkt nimmt die Unsicherheit zu; für unwahrscheinlich erachtete Situationen erhalten u.tJ. plötzlich und unerwartet hohe Eintrittswahrscheinlichkeiten. Ein systematisch planender Investor muß sich nun durch Planänderung und möglicherweise auch durch Korrektur seiner Entscheidung auf die neue Situation einstellen. Die Datenunsicherheit verlangt somit erstens eine Flexibilität des Planungssystems und zweitens eine Flexibilität des Investitionsobjektes. Ein Planungssystem müßte demnach so gestaltet sein, daß der Investitionsplan als Teilplan nicht sofort bei einer Datenänderung die Revision der Teilpläne anderer Bereiche erzwingt. Bei hinreichender Reichweite eines Investitionsplanes sind deshalb frühzeitige Plan-Ist- und Plan-Planvergleiche einzuführen, um korrigierend eingreifen zu können, bevor Gesamtplanrevisionen erforderlich werden. Das setzt allerdings eine Detailliertheit der Investitionspläne voraus, die differenzierte Abweichungsanalysen zuläßt - Daten über Ressourcenquantitäten, -qualitäten und -preise, Absatzmarktentwicklungen, Wartungs- und Instandhaltung, Verschleißverläufe und Prozeßdaten sind ständig zugreifbar bereitzuhalten, wenn Zielgrößenabweichungen eine vorab festgelegte Toleranzschwelle überschreiten. Es ist somit ein Investitionscontrolling erforderlich, das bislang erst wenig entwickelt und nur auf der Grundlage komplexer Planungsansätze auf DV-Basis, wie sie die letzten Teile des Buches enthalten, realisierbar ist. Eine hinreichende Benutzerfreundlichkeit verbunden mit ausreichender Rechnerleistung, ist Voraussetzung für eine rollende Planung, die zyklische Planaktualisierungen mit dem Ziel der Berücksichtigung neuester Daten zur Reduzierung der Unsicherheit ermöglicht13. Andere Möglichkeiten der Vermeidung von abweichungsbedingten Planrevisionen sind die Installierung von hinreichender technischer Flexibilität und die Bereithaltung ausreichender projektgebundener Finanzreserven, was im Rahmen der Simultanplanung von Investition und Finanzierung geschehen könnte. Neben einer Bestandsflexibilität 14, die die Anpassungsfähigkeit einer Investition an unterschiedliche Datensituationen ohne technische Modifikation sicherstellt, kann auch eine hinreichende Entwicklungsflexibilität vorgesehen werden. Entwicklungsflexibilität wird im wesentlichen durch Realisierung von Modulkonzeptionen erreicht, die schrittweise technische Allpassungen (Kapazitätserweiterungen und -reduzierungen, Verfahrensänderungen, Nach- und Umrüstungen) an neue Umweltsituationen begünstigen. Da auch die Flexibilität ihren Preis hat, sind Rechenverfahren einzusetzen, um den ökonomischen Wert der einzelnen Flexibilitätspotentiale zu überprüfen.

13 Zur Flexibilität von Planungssystemen siehe Wild, J.: Grundlagen der Unternehmensplanung, a.a.O., S. 162 ff. 14 Zur Bestands- und Entwicklungsflexibilität siehe Jacob, H.: Flexibilität und ihre Bedeutung für die Betriebspolitik in: Adam, D./Backhaus, K./Meffert, H./Wagner, H. (Hrsg.): Integration und Flexibilität, Wiesbaden 1990, S. 15 ff.

17

2. Methoden der Investitionsrechnung Die zu verwendenden Methoden der Investitionsrechnung müssen für verschiedene Problemkreise geeignet sein und der Erfassung von erfolgswirksamen Zusammenhängen zwecks rationaler Beurteilung investitionspolitischer Maßnahmen dienen. Die optimale Gestaltung der Investitionstätigkeit ist betriebswirtschaftliche Zielsetzung. Als Problemkreise werden üblicherweise genannt: ( 1) Vorteilhaftigkeitsbeurteilung:

Der Investor möchte für eine bestimmte Investitionsmöglichkeit wissen, welche Gewinne, welches Risiko usw. er zu erwarten hat.

(2) Wahlproblem:

Für den Investor ist die Frage zu beantworten, welches Projekt/welche Projekte er aus mehreren möglichen unter Gewinn-, Rentabilitäts-, Risikoaspekten usw. auswählen soll. Beim Wahlproblem geht es somit um die Beurteilung von alternativen, d.h., sich gegenseitig ausschließenden Projekten. Begründung für das Wahlproblem sind i.d.R. knappe Finanzmittel oder technische Alternativen, die sich gegenseitig ausschließen.

(3) Ersatzproblem:

Hier steht für den Investor die Frage im Vordergrund, wann ein gegenwärtig genutztes Investitionsobjekt durch ein möglicherweise neu auf dem Markt erschienenes oder ein altes reparaturaufwendiges Aggregat (planmäßig) gegen ein neues Aggregat ausgetauscht werden soll.

Bei der Betrachtung von Investitionsprojekten findet innerhalb der Investitionsrechnung eine strikte Beschränkung auf Zahlungsreihen statt; die erfolgswirksamen Zusammenhänge werden ausschließlich über Zahlungszeitreihen abgebildet, wobei jeder Zahlung entweder der tatsächliche oder aus Gründen der Vereinfachung ein annahmegemäßer Zahlungszeitpunkt zugeordnet wird. Die Kennzeichnung einer Investition geschieht über - Anschaffungsauszahlung = a 0 in Geldeinheiten (GE) - Auszahlungszeitreihe = at in Geldeinheiten je Periodeneinheit (GE/PE) - Einzahlungszeitreihe = et in GE/PE. Technische Systeme, Finanzanlagen, Sozialsysteme müssen also in Zahlungssysteme transformiert werden, wodurch ein höherer Abstraktionsgrad erreicht wird. Abstraktionsvermögen ist somit für die erfolgreiche Anwendung der Investitionsrechnung eine der wesentlichen Voraussetzungen. Die Abbildungen 2.1. und 2.2. zeigen als Abstraktionsergebnisse die Zahlungszeitreihen komplexer Produktionsanlagen, bei denen zwischenzeitlich auch negative P.eriodenergebnisse auftreten, ohne daß das Ende der wirtschaftlich optimalen Nutzungsdauer erreicht sein müßte. Eine erste Übersicht über die wichtigsten Methoden der Investitionsrechnung enthält die Abbildung 2.3. Die statischen Methoden werden häufig auch als Praktiker-Methoden bezeichnet. Bei den finanzmathematischen Methoden werden im Unterschied zu den statischen Methoden Zeitpräferenzen berücksichtigt, d.h., zunächst etwas vereinfacht, daß das zeitliche Anfallen der Zahlungen (=Berücksichtigung von Zahlungszeitpunkten) durch die Rechenmethode erfaßt wird.

18

e2

e3

e4

es

IQ2

3 Q3

4 Q4

s ,os

e1

I

0

1 o1 a1

2

a4

a3

a2

eT T-1

QT -1

aT -1

aT -1

l

as

T QT aT

ao Abb. 2.1: Ein- und Auszahlungen im Zeitablauf

Dt in GE

I 0

-

---02

01

3 2

\

\

I 4

OT

Ds

04

I

I

s

t 0T-1

T

in PE

Abb. 2.2: Aggregierte Zahlun~sreihen, Entwicklung der periodenbezogenen Deckungsbeiträge emer Investition im Zeitablauf Statische und dynamische Methoden der Abbildung 2.3 sind Grundlage der Planung im Rahmen von Einzelentscheidungen oder dienen der ersten Gewinnung von globalen Erkenntnissen über die VorteilhaftigkeiL Die neueren Verfahren sind als Planungsinstrumente für die Vorbereitung von Programmentscheidung bei komplexer Problemstruktur von Bedeutung. Aus Zielgrößen- und Vorteilhaftigkeitskriterien wurden die Methodenbezeichnungen abgeleitet; die Zielgrößen sollen mehr oder weniger zutreffend die Zielsetzungen des Investors widerspiegeln.

19

N 0

Abb. 2.3: Übersicht über die Methoden der Investitionsplanung

Methoden mit Berücksichtigung von Zeitpräferenzen

Kapitalwertmodelle - einperiodig - mehrperiodig Integrationsmodelle - Globalmodelle - Anlagenmodelle

Kapitalwertmethode interne-Zinsfuß-Methode Annuitätenmethode Pay-off-Methode

Gewinnrechnung Rentabilitätsrechnung Amortisationsrechnung Ersatzzeitpunktrechnung

Methoden ohne Berücksichtigung von Zeitpräferenzen

neuere Methoden (finanzmathematische Methoden mit Anwendung der linearen Optimierung)

dynamische Methoden (klassische finanzmathematische Methoden)

statische Methoden

2.1. Zielsetzungen des Investors und Zielgrößen Für die Anwendung von Rechenverfahren gilt, daß eine betriebswirtschaftliche Optimierung nur unter Bezugnahme auf ökonomische Zielsetzungen erfolgt: es muß eine Zielgröße festgelegt werden, deren Rechenwert i.d.R. maximiert wird. In der Investitionsrechnung werden monetäre Ziele unterstellt - nicht-monetäre Ziele werden in der Investitionsrechnung grundsätzlich ebensowenig berücksichtigt wie Sozial- und Moralziele 1. Die genauere Betrachtung von Unternehmenszielsetzungen weist auf die Existenz von Zielsystemen hin, die durch hierarchisch strukturierte Ziele (Ober- und Unterziele) gebildet werden. Die (Einzel-)Ziele des Zielsystems können sich zueinander indifferent, konkurrierend oder komplementär verhalten - es entstehen Zielbeziehungen, die möglicherweise nur intervallbezogen Gültigkeit besitzen2• Nicht berücksichtigt werden können mit den Methoden der Investitionsrechnung Ziele wie "persönliches Ansehen" des Unternehmers, "Schaffung von Arbeitsplätzen", "Schutz der Umwelt", weil sie für den Planer zwar verständlich, nicht aber operational sind, weil ihnen die Quantifizierung fehlt. Tatsächlich ist eine differenzierte Quantifizierung zur Herstellung der Operabilität erforderlich, die die Transformation in ausschließlich Geldgrößen zuläßt. Auch die Vorgabe des Ziels "Gewinnmaximierung" ist nicht ausreichend, weil nicht gesagt ist, zu welchem Zeitpunkt (Anfangswert, Endwert oder möglicherweise kontinuierlich) der Gewinn ggf. für Entnahmezwecke bereitgestellt werden soll. Außerdem ist auch noch nicht gesagt, ob der Gewinn vor oder nach Steuerabzug, in der Handels- oder in der Steuerbilanz maximiert werden soll. Da die Methoden der Investitionsrechnung bei diesem Lehrbuch im Vordergrund stehen, sollen steuerliche Aspekte einschließlich der Zielsetzung 'Minimierung von Steuerzahlungen' vernachlässigt werden. Zielinhalte werden über Zielgrößen in operationaler Form ausgedrückt, deren Zahlenwert es zu maximieren gilt: (1) (2) (3) (4) (5) usw.

Kostenminimierung Gewinnmaximierung Rentabilitätsmaximierung Annuitätenmaximierung kürzestmögliche Pay-off-Zeit

K G r A

~0

-> -> -> -> ->

min max max max min

Zielgrößen können somit für Extremwertbildungen maximiert oder minimiert werden, ansonsten sind 'genügend groß' gemachte ( =satisfizierte) Zielgrößen bei der am häufigsten auftretenden Behandlung von Einfachzielsetzungen in der Investitionsrechnung die Ausnahme. Entsprechend dem jeweiligen Zielinhalt werden in der Investitionsrechnung Kriterien verwendet, die in Verbindung mit einem Zahlungsstrom die Abgabe eines quantifizierten Urteils über die Vorteilhaftigkeit eines Investitionsprojektes ermöglichen - die jeweils anzuwendenden Vorteilhaftigkeits1

2

Für einen ausführlichen Überblick über die möglichen Zielsetzungen eines Investors sei an dieser Stelle die Abhandlung hierzu von Kruschwitz, L.: Investitionsrechnung, 4. Auflage, Berlin-New York 1990, S. 10 ff. empfohlen, auf die auch an dieser Stelle teilweise Bezug genommen wird. Hierzu sei auf das klassische Beispiel der Zielbeziehungen zwischen Umsatz- und Gewinnmaximierung bei Existenz von Preisabsatzfunktionen im Ein-Produkt-Fall verwiesen. Bis zur Cournot-Menge verhalten sich Umsatz- und Gewinnmaximierung komplementär, so daß nur eines der beiden Ziele als Zielgröße methodisch Berücksichtigung zu fmden brauchte. Bei Absatz einer über die CournotMenge hinausgehenden Stückzahl konkurrieren Umsatz- und Gewinnziele miteinander, Umsatzmaximierungen (oder Maximierungen von Marktanteilen) gehen zu Lasten der Gewinnmaximierung.

21

kriterien sind für die nun im einzelnen vorzustellenden Methoden der Investitionsrechnung Grundlage der Namensgebung. Allen Methoden ist gemeinsam, daß letztendlich Einzahlungen und Auszahlungen über Vorteilhaftigkeiten und Zielerreichungen entscheiden - Einnahmen und Ausgaben sollten nicht verwendet werden, weil deren periodenfremde Zahlungsanteile bei den dynamischen Methoden zu falschen Zielgrößenwerten führen3.

2.2. Statische Verfahren Die nachfolgenden statischen Methoden werden lediglich der Vollständigkeit halber behandelt. Für konkrete Planungen sind sie als vorgelagerte Überschlagsrechnungen ebenfalls noch geeignet. Die statischen Methoden sind theoretisch anspruchslos und deshalb bei Praktikern beliebt. Die wichtigsten statischen Methoden sollten auch dem Wirtschaftswissenschaftler wenigstens bekannt sein, damit die mit deren Anwendung in der Praxis entstehenden Fehlermöglichkeiten beurteilt werden können. Statische Methoden berücksichtigen bei Zahlungen keine Zeitpräferenzen; ZahlungszeitpunktUnterschiede und die für Zeitdifferenzen erzielbaren Zinserträge werden nicht erlaßt. Zins- und Zinseszinseffekte haben keine Bedeutung. Der Investor macht keinen Unterschied bei der Bewertung einer früh anfallenden Zahlung gegenüber einer einige Jahre später anfallenden gleich hohen Zahlung. Und nun die wichtigsten Verfahren im einzelnen.

2.2.1. Gewinnrechnung Am Beispiel einer Zahlungsreihe für vier Perioden soll diese erste statische Methode

entwickelt werden. Gegeben sind Anschaffungsauszahlung und fünf Zahlungen, die sich wie folgt zusammensetzen:

Symbole: G* d* et at a0 n

durchschnittlicher Gewinn in GE/PE durchschnittlicher Jahresdeckungsbeitrag in GE/PE Einzahlung in Periode t in GE/PE Auszahlung in Periode t in GE/PE Anschaffungsauszahlung in t = 0 in GE Nutzungsdauer, Anzahl der Jahre Kalkulationszins = Kapitalmarktzins, Zins für Geldanlagen in risikoarmen Wertpapieren in GE/GE * PE G*

- ao + d 1 + d 2 + d 3 + d 4

daraus folgt: d*

n

3

22

Zur Abgrenzung der Begriffe Auszahlung, Ausgabe, Aufwand, Kosten und Einzahlung, Einnahme, Ertrag, Leistung siehe u.a. Kern, W.: Investitionsrechnung, Stuttgart 1974, S. 59.

allgemein: d•

n

Allgemeiner Ansatz: d * - KD stat

Der statische Kapitaldienst KDstat wird wie folgt definiert: ao KDstat

n lineare Abschreibung

+

ao

i

2

+ Verzinsung

des im Durchschnitt gebundenen Kapitals

Als Prämisse gilt: der Restwert RW deckt die Abbruchkosten, d.h. RW

= 0.

Entscheidungskriterium: G* ~ 0 Zielsetzung des Investors4: G* -> max

Interpretation der Zielgröße: G • ist ein durchschnittlicher periodenbezogener Gewinn bzw. ein jährlicher Durchschnittserfolg, den das Objekt über die Verzinsung des im Durchschnitt gebundenen Kapitals hinaus erbringt. Übungsaufgabe: Gegeben ist die folgende Gewinnentwicklung für vier Jahre: G

=

-24.000 + 8.5oo 1 + 9.5oo 2 + 8.000 3 + 6000 4 : n

4 Jahre

Als Kalkulationszinsfuß gilt: i

=

0,1 GE/GE*PE

=

10%

Gesucht ist die Vorteilhaftigkeil nach dem Kriterium Durchschnittsgewinn. 4

Die Annahme einer Zielgrößenmaximierung erfolgt der Einfachheit halber und der Eindeutigkeit der Ergebnissteuerung wegen insbesondere bei den später folgenden komplexen Verfahren. Selbstverständlich soll hier nicht in Abrede gestellt werden, daß in der Praxis häufig die Erzielung eines angemessenen Gewinns als ausreichend angesehen wird, insbesondere wenn auch Sozialziele mit einer Investition verfolgt werden. Analoges gilt auch für alle folgenden Erläuterungen zur Zielsetzung des Investors.

23

Lösung: 8.500 + 9.500 + 8.000 + 6.000 4

n

8.000 GE/PE

ao

ao

n

2

--+ -- * i

24.000 4

+

24.000 * 0,1 2

7.200 GE/PE d* -

K 0 stat

G*

800 GE/PE

G*

800 GE/PE > 0;

(8.000 - 7.200) GE/PE

d.h., die Investition ist unter Anwendung des Kriteriums G * vorteilhaft. AIJmerkung: G kann als statische Annäherung an die Annuität angesehen werden (vgl. hierzu Ausführungen zur Annuitätenmethode unter Punkt 2.3.3).

2.2.2. Rentabilitätsrechnung Mit der statischen Rentabilitätsrechnung kann wegen der Nichtberücksichtigung unterschiedlicher Zahlungszeitpunkte die Rentabilität eines Investitionsprojektes nur näherungsweise bestimmt werden. Für eine erste Überschlagsrechnung mag die Methode ausreichen, für gerrauere Rechnungen sollte deshalb die Methode des internen Zinsfußes Verwendung finden. Unter Bezugnahme auf die Ausführungen und Daten der vorangestellten Gewinnrechnung ergibt sich f0lgende Formel: zusätzliches Symbol: R * = über die Verzinsung des im Durchschnitt gebundenen Kapitals hinausgehende Rentabilität in GE/GE*PE

Entscheidungskriterium: R* ;:: 0

24

Zielsetzung des Investors: R* -> max

Unter Verwendung des letzten Zahlenbeispiels ergibt sich bei Berücksichtigung des Ergebnisses G* ao

800 GE/PE: 12.000 GE

2

d* - K 0 stat

G*

R*

ao

ao

2

2

R* = o 1 067 GE/GE*Jahr > o

800 GE/PE 12.000 GE

1

d.h. die Investition ist vorteilhaft.

R * ist eine über die Verzinsung des eingesetzten Kapitals hinausgehende Rentabilität, denn im statischen Kapitaldienst KDstat sind mit (a0 /2)i bereits die kalkulatorischen Zinsen enthalten. Bei der Verwendung von R * als Vorteilhaftigkeitskriterium ist somit Vorsicht geboten, denn R * gibt nicht die tatsächliche Rentabilität, sondern eine über den Kalkulationszins hinausgehende Rentabilität an, wie der nachfolgende Rechenansatz zeigt. Zusätzliche Symbole: r*

=statische Rentabilität in GE/GE*Jahr lineare Abschreibung in GE/Jahr

n

r

*

' d * -AfAlin

ao ct* - -

n

ao 2

Entscheidungskriterium: r* ~ 0 Zielsetzung des Investors: r

*

-> max

Wird wiederum das vo~angegangene Zahlenbeispiel verwendet, so ergibt sich folgender Rentabilitätswert r : 25

r*

d * -AfAlin

(8.000 - 6.000) GE/PE 12.000 GE

2

r*

0,167 GE/PE * PE

Betragen i = 0,1 und R * = 0,067 GE/GE*PE, so ergibt sich r* = i + R* bzw. R* = r - i Um Fehlinterpretationen zu vermeiden, sollte bei qer Anwendung statischer Verfahren für die Rentabilitätsermittlung mit der Größe r gearbeitet werden. Für spezielle Anwendungsfälle, z.B. die Ermittlung der Rentabilität von Industrieobligationen, gibt es weitere statische Rechenansätze, auf deren Behandlung hier verzichtet werden soll, obwohlflit diesen Ansätzen teilweise relativ gute Genauigkeiten erreicht werden können .

2.2.3. Amortisationsrechnung Mit Hilfe der Amortisationsrechnung wird ermittelt, wie lange es dauert, bis die Allschaffungsauszahlung a 0 durch die mit der Investition erzielbaren Einnahmeüberschüsse gedeckt wird; die so ermittelte Dauer der Amortisation wird häufig auch als pay-off-Zeit, pay-back-Zeit usw. bezeichnet. Dementsprechend wird die Amortisationsrechnung auch als pay-off-, pay-back-, pay-out-Rechnung bezeichnet. Bezugnehmend auf die vorangegangenen Verfahrensdarstellungen ergibt sich als Bestimmungsgleichung: Zusätzliche Symbole: t *po

= pay-off-Zeit, Amortisationsdauer in PE

t

* po

wobei d*

n

ist.

Entscheidungskriterium: t *po ist allein für Vorteilhaftigkeitsbeurteilungen nicht ausreichend, nur gemeinsam mit einem anderen Kriterium

5

26

o.V.: Übung: Ermittlung der Rendite einer Industrieobligation, in BBK Nr. 1 vom 03.01.82, Übungsfach 29, Seite 23 ff.

Zielsetzung des Investors: t *po -> rnin

Bei Überschußbeträgen mit ungleicher Höhe gemäß bisherigem Zahlenbeispiel aus Punkt 2.2.1. ist für die Bestimmung der Pay-off-Zeit (Amortisationsdauer) eine kumulative Rechnung der folgenden Form notwendig:

Periode

dt in

GE

-PE

:E dt in t

GE

-PE

1

8.500

8.500

2

9.500

18.000

3

8.000

26.000 > ao --> t

4

6.000

*po

3 Jahre

Tabelle 2.1: Kumulative Berechnung der statischen Pay-off-Zeit bei beliebiger Zahlungsreihe Ergebnis: t * po

=

3 Jahre

Die Amortisationsdauer ist ein einfaches Maß für die Beurteilung eines Investitionsrisikos. Je kürzer die Amortisationsdauer ist, umso sicherer ist die Rückgewinnung des ursprünglich eingesetzten Betr~es. Die Vorteilhaftigkeil einer Investition kann hierüber nicht bestimmt werden, t PQ ist allenf'l.lls z,psätzlicqe Maßgröße zu den bisher behandelten VorteilhaftigkeitsrrfaJJgrößen G , R bzw. r der statischen Methoden. Qualitativ bessere Beurteilungsergebnisse sind mit den nachfolgend zu behandelnden dynamischen Methoden der Investitionsrechnung zu erzielen.

2.3. Dynamische Verfahren Die dynamischen Verfahren zeichnen sich dadurch aus, daß bei ihnen auch die Zahlungszeitpunkte explizit erfaßt und methodisch-systematisch mit in die Planungsrechnung einbezogen werden. Auf den Entscheidungszeitpunkt, den Nullpunkt t=O einer Zeitachse transformierte Zahlungen oder Zahlungsreihen werden als Barwerte bezeichnet; er ist der Wert von zukünftig zu leistenden Zahlungen im gegenwärtigen Zeitpunkt. Bei der Erfassung von Zeitpräferenzen über dynamische Verfahren wird davon ausgegangen, daß 1.

eine zinsbringende Anlage von Geldbeträgen für den fraglichen Zeitraum gegeben ist,

2.

ein Investor einen höheren Geldbetrag einem niedrigeren vorzieht,

3.

der Investor sich bezüglich des zeitlichen Anfallens von Zahlungen risikoneutral verhält.

Ein kurzes Zahlenbeispiel zur Zeitpräferenz: Eine Zahlung von 4.200 DM ist in vier Jahren zu leisten, eine zinsbringende Anlage ist für i= 10% gegeben. Daten: 27

a4

t i

4.200 DM 4 0,1 DM/DM*Jahr - 10%

Symbol: BW = Barwert, Wert einer diskontierten Zahlung in t=O Der Wert einer im vierten Jahr zu leistenden Zahlung beträgt somit nach Diskontierung auf den Gegenwartszeitpunkt t = 0: BW

a 4 (l+i)- 4 4200*(1+0,1)- 4 4200 * 0,683013

BW

2868,6546 DM

Gemäß obiger Gleichung ist also der gegenüber a4 deutlich geringere Barwert von 2868,65 DM als Gegenwartswert genausoviel wert wie der deutlich höhere Betrag von 4200 DM, der erst nach Ablauf von 4 Jahren gezahlt wird. Aufgezinst, d.h. zinsbringend angelegt, erbringt der Barwert nach 4 Jahren wieder eine Auszahlung von 4200 DM, was die Gleichwertigkeit der beiden unterschiedlich hohen und zeitverschiedenen Zahlungen belegt. Würde allerdings eine Zahlung in Höhe des berechneten Barwertes erst in vier Jahren erfolgen, so müßte bei unveränderten Anlagemöglichkeiten für den Investor ein neuer, wesentlich niedrigerer Barwert berechnet werden. Diese kurze Überlegung möge ohne die Verwendung eines weiteren aufwendigeren Zahlenbeispiels genügen, um die allgemeingültige Aussage zu stützen, die für alle finanzmathematischen Methoden Gültigkeit hat: Eine Zahlung in konstanter Höhe ist umso weniger wert, je später ihr Zahlungszeitpunkt liegt bzw. für einen Kapitalgeber /Investor wird die Zahlung eines gleichhohen Betrages umso vorziehenswürdiger, je früher deren Zahlungszeitpunkt liegt. Dieser Sachverhalt wird als Zeitpräferenz bezeichnet, er ist Grundlage aller nun folgenden klassischen dynamischen und der später zu behandelnden neueren Methoden.

2.3.1. Kapitalwertmethode Mit Hilfe der Kapitalwertmethode werden in der Regel Barwertberechnungen vorgenommen. Der Kapitalwert einer Investition ist die Summe aller mit einem Kalkulationszins i auf den Zeitpunt t = 0 abgezinsten Zahlungen. Zur Diskussion der Wahl des "richtigen" Kalkulationszinsfußes i sei an dieser Stelle bereits angemerkt, daß i bei Anwendung der klassischen Methoden grundsätzlich in Höhe des Kapitalmarktzinses gewählt, d.h., in Höhe der Verzinsung von risikoarmen Wertpapieren in die Rechnungen eingesetzt werden sollte. Für die Grundversionen der klassischen Methoden gilt zugleich auch die Prämisse des vollständigen Kapitalmarktes, was bedeutet, daß beliebig hohe Geldbeträge zu diesem Zinssatz i geliehen oder verliehen werden können. Die Kapitalwertmethode läßt sich aus den folgenden, allgemein dargestellten Zahlungsreihen entwickeln.: 28

Zusätzliche Symbole: Kapitalwert, Barwert einer Zahlungsreihe in GE Periodendeckungsbeitrag in GE/PE c 0 = -a 0 + (e 1 - a 1 )*(1+i)-1 + (e 2 - a 2 )*(1+i)- 2

wenngilt

dt

= et

- at

für alle t=l, ••. ,n,

dann ergibt sich:

c0 =

-a 0 + d 1 *(1+i)- 1 + ••• + dn*(1+i)-n

Entscheidungskriterium:

c0

~

o

Zielsetzung des Investors:

c0

->

max

Ist der Kapitalwert C0 < 0, so ist die tatsächliche Verzinsung des eingesetzten Kapitals während der Projektlaufzeit geringer als bei einer Finanzanlage zum Kalkulationszinsfuß; d.h., die Anlage eines gleichhohen Betrages am Kapitalmarkt erbringt ein besseres Ergebnis. Übungsaufgabe: Folgende Periodendeckungsbeiträge fallen jeweils am Ende einer Periode t an. Anschaffungsauszahlung und langfristiger Kapitalmarktzins sind den nachfolgenden Daten zu entnehmen. =24.000 GE = 8.500 GE 9.500 GE 8.000 GE 6.000 GE 0,10 GE/GE*PE 1PE

=1 Jahr; gesucht ist der Kapitalwert.

29

Lösung:

c0

4

-a 0 +

~

dt

t=1

*

(1+i)-t

-24.000 + 8.500 * 1,1- 1 + 9.500 + 8.000 * 1,1- 3 + 6.000 * 1,1- 4

*

1,1- 2

-24.000 + 8.500 * 0,909 + 9.500 + 8.000 * 0,751 + 6.000 * 0,683

*

0,826

-24.000 + 7.726,5 + 7.847 + 6.008 + 4.098 c0

1.679,5 GE

= > Co = 1679,5 GE

> 0 ; d.h. die Investition ist vorteilhaft.

Möchte der Investor seinen Kapitalwert maximieren, so bleibt bei dem hier vorliegenden Zahlenbeispiel zunächst nur die Wahl eines besseren Projektes mit höherem Kapitalwert oder die Modifikation des Ursprungsprojektes. Im Zahlenbeispiel der Übungsaufgabe haben die Zahlungen unterschiedliche Höhe, die Zahlungszeitpunkte haben gleiche Abstände. Zur Bezeichnung von Zahlungsreihen bestimmter Form, z.B. bestehend aus gleichhohen Zahlungen und bei gleichen Abständen der Zahlungszeitpunkte, werden folgende Begriffe verwendet: Uniforme Zahlungsreihe

=

Zahlungsreihe, bei der alle Zahlungen in derselben Höhe anfallen, Zahlungsreihe, bei der die Zahlungszeitpunkte dieselben Abstände aufweisen; aus der Zusammenfassung beider Sachverhalte ergibt sich eine weitere Bezeichnung:

Äquidistante Zahlungsreihe =

Uniforme und äquidistante Zahlungsreihe =

Zahlungsreihe, bei der alle Zahlungen in derselben Höhe und denselben Zeitabständen.

Künftig sollen jeweils zwei Fälle unterschieden werden: Falll:

Zahlungen mit unterschiedlicher Höhe und ggf. unterschiedlichen zeitlichen Abständen; Zahlungen in ungleicher Höhe

Fall2:

uniforme, äquidistante Zahlungen; konstante Zahlungen.

Für den zweiten Fall der uniformen, äquidistanten Zahlungsreihe ist die Kapitalwertmethode zu modifizieren: es gilt dt = d 1 = d 2 = •.• dn

30

d

für alle t

Co

= -ao

d

= -ao

d

[

+ d

d + ••. +

+ (l+i)2

l+i

allgemein: Co

d +

+

1

1

+

l+i

(l+i)3

+

(l+i)2

(l+i)n

1

+ •.• +

(l+i)3

1 (l+i)n

J

=s S ist die Summe einer geometrischen Reihe. Über mehrere Umformungen läßt sich die geometrische Reihe ersetzen durch den Ausdruck (l+i) n_ 1

s

i* (l+i) n

S wird auch als Abzinsungssummenfaktor ASF bezeichnet, genau genommen handelt es sich aber um eine Funktion von i und n, durch ganzzahlige Variation von n werden diskrete ASF-Werte erzeugt:

ASF(i,n)

(l+i)n - 1 i

* (l+i)n

Für den Fall der uniformen und äquidistanten Zahlungsreihen ist die Kapitalwertmethode somit entsprechend zu modifizieren:

I c0 ~

d • ASF (i,n)

Die Zahlenwerte für den Abzinsungssummenfaktor ASF sind für ganzzahlige Zinssätze auch in Tabellen enthalten, Zwischenwerte sind durch Interpolation der Tabellenwerte zu erhalten, lineare Interpolationen sind i.d.R. ausreichend. Wenn die Nutzungsdauer einer Investition hinreichend lang angesetzt werden muß und das Nutzungsende aber nicht bekannt ist, wird häufig, wie im Falle der Unternehmensbewertung, mit der Annahme unendlich langer Zahlungsreihen gearbeitet; die Nutzungsdauer n wird als unendlich angenommen:

= oo

n

Für den Abzinsungssummenfaktor mit endlicher Zahlungsreihe ergibt sich: ASF(i,n)

=

(l+i)n i

*

1

(l+i)n

(l+i)n

=- - - - i

* (l+i)n

1

i

* (1+i)n '

31

wird nun n

= oo

gesetzt, so vereinfacht sich der Abzinsungssummenfaktor ASF:

ASF (i,n

=

1

= --.- ;

oo )

~

für die Kapitalwertmethode ergibt sich ebenfalls eine Vereinfachung, die auch für erste Überschlagsrechnungen gut einsetzbar ist: 1

i

der letzte Ausdruck wird in der Unternehmensbewertung auch als Ertragswertmethode bezeichnet. Übungsaufgabe:

Folgende Periodendeckungsbeiträge werden für einen Zeitraum von sieben Jahren geschätzt: d1

d2

= 7.000GE = 7.000GE

dn = 7.000 GE. Die Anschaffungsauszahlung beträgt 18.000 GE, als langfristiger Kapitalmarktzins für risikoarme Wertpapiere werden 8% erwartet. Gesucht ist der Kapitalwert. Lösung:

Der Kalkulationszins i beträgt 0,08 GE/GE*PE; 1 PE

= 1 Jahr.

Gemäß Datenangabe liegt eine endliche, uniforme und äquidistante Zahlungsreihe vor, d.h., es kann mit dem Abzinsungssummenfaktor gerechnet werden: ASF(i=0,08;n=7)

(1+0,08) 7 -1 0,08*(1+0,08) 7

allgemein:

c0

= -a 0 + d * ASF (0,08;7) -18.000 + 7.000 *

(1+0,08) 7 -1 0,08*(1+0,08) 7

-18.000 + 7.000 * 5,21 = -18.000 + 36.470

c0

18. 4 7 o GE > o; die Investition ist somit vorteilhaft.

Und nun einiges zur ökonomischen Bedeutung von C0 . Für die Analyse soll ein kurzes Zahlenbeispiel benutzt werden. Die Investitionen lA und IB seien durch folgende Zahlungsreihen gekennzeichnet, der Kalkulationszinsfuß i beträgt 10%:

32

-100 0 + 20 1 + 130 2 -100 0 + 10 1 + 110 2

CoA

-100 + 20*(1+0,1)- 1 + 130*(1+0,1)- 2

COA

25,62 GE

Gewinnstat

50,00 GE

Cos

-100 + 10*(1+0,1)- 1 + 110*(1+0,1)- 2

Cos

0,00 GE

Gewinnstat

20,00 GE

Die Anlage der Einzahlungsüberschüsse erfolgt zum Kalkulationszinsfuß i bei beiden Investitionen. Bei der Investition B entsprechen die Überschußbeträge jeweils einer 10%igen Verzinsung des Anlagebetrages a = 100 GE. Am Ende der Laufzeit der Investition wird der Anlagebetrag aQ zeitg?eich mit der Zinszahlung zurückgezahlt. Während bei der Investition B nommal ein Gewinn von 20 GE (statisch) anfällt, ergibt die Diskontierung der Überschüsse in Höhe der Verzinsung des Anlagebetrages, daß der Kapitalwert C0 = 0 wird; der Gewinn von nominal 20 GE wird also benötigt, um das Investitionsobjekt B gleichwertig werden zu lassen gegenüber einer Finanzanlage zu 10% am Kapitalmarkt; Investition B ist somit auch als typischer Fall einer Finanzanlage anzusehen. Bei dynamischer Betrachtung ergibt sich, daß Einzahlungsüberschüsse in Höhe der Kapitalverzinsung zu i angelegt immer einen Kapitalwert = 0 ergeben. Der Vergleich der Einzahlungsüberschüsse von Investition A mit denen der Investition B zeigt, daß hier deutlich über die Verzinsung zu i hinausgehende Überschüsse erwirtschaftet werden, was schon der Nominalgewinn von 50 GE ausweist. Der Kapitalwert CQA ist um 25,62 GE höher als CoB· Für die ökonomische Interpretation der Vorteilhattigkeitskennziffer C0 heißt das: Der Kapitalwert C0 gibt den zusätzlichen Gewinn bezogen auf t =0 an, der gegenüber einer Kapitalanlage zum Kalkulationszinsfuß i entstehen würde. Hinsichtlich der Prämissen der Kapitalwertmethode läßt sich folgendes durch Vergleich der Investitionen lA mit IB ermitteln:

~

~

-100

+10 -10

+110 + 11

-100

0

+121

-100

+20

+130

ao IB:

IA:

-> Wiederanlage von d1 zu i

33

[-----------------------------] Differenz zu B Wiederanlage der Differenz zu 10%

+10 -10

+ 20 + 11

31

-----------------------------100

-20

+ 22

0

+152 -121 31

->Wiederanlage von d1 zu i -> Differenz IA-IB

Sowohl die Anlage der Differenzbeträge (punktierter Kasten) als auch die Betrachtung der Vorteilhaftigkeitsdifferenz ( =Differenzinvestition) von 31 GE am Ende der Nutzungsdauer in t=2 zeigen dieselben Vorteilhaftigkeitsabstände. Um zwei Jahre abgezinst mit dem Kalkulationszinsfuß i auf t=O 31 -------~ 2

(1+0,1)

=

25,62 GE

ergibt sich wieder die ursprüngliche Kapitalwertdifferenz. Dieselben Überlegungen würden bei Verlängerung der InvestitionlAum eine Periode gegenüber IB bei unterschiedlichen Projektlaufzeiten und entsprechenden Differenzbeträgen und Differenzinvestitionen zu denselben Ergebnissen führen. Die in derselben Periode während der Laufzeit beider Investitionen entstehenden Unterschiede, werden als Breitenunterschiede/Breitendiskrepanzen bezeichnet. Zahlungsunterschiede infolge unterschiedlicher Investitionsdauern werden als Längenunterschiede/Längendiskrepanzen bezeichnet. Aus den letzten Überlegungen zur Behandlung von Differenzbeträgen und Differenzinvestitionen läßt sich somit als Prämisse der Kapitalwertmethode festhalten: Die Kapitalwertmethode unterstellt: Wiederanlage von Differenzbeträgen zum Kalkulationszinsfuß i. Differenzbeträge können zu i geliehen oder verliehen werden (=vollständiger Kapitalmarkt). Das heißt: Wiederanlagen von Zahlungen zum Ausgleich von Längen- und Breitendiskrepanzen mit einer Verzinsung von i verändern Vorteilhaftigkeiten und Kapitalwertdifferenzen nicht.

2.3.1.1. Kapitalwertfunktion Mit Hilfe einfacher Überlegungen sollen nun noch einige Aussagen zum Verlauf von Kapitalwertfunktionen erarbeitet werden. Für Analysezwecke ist es ausreichend, die vereinfachte Formel zur Kapitalwertermittlung für eine unendliche, uniforme und äquidistante Zahlungsreihe zu betrachten:

c 0 = -a 0 + -

d

i

= c0

(i)

Der Kapitalwert ist somit eine Funktion von i, durch Variation von i wird eine Hyperbelfunktion erzeugt, wie auch ein durch Ansatz von drei verschiedenen Kalkula34

tionszinsfüßen i gestützter Funktionsverlauf für die nachfolgend angegebenen Daten zeigt i 1 = 0,05; i 2 = 0,08; i 3 = 0,10 GE/GE*PE alternativ für a 0 = -175.000 GE, d = 15.000 GE/PE

c 0 (i 1 =o,o5)

-175.000 + 15.000 * 0,05- 1

c 0 ci 1 =o,o5) c 0 (i 2 =o,oa) c 0 (i 3 =0,10)

+125.000 GE + 12.500 GE

-

125.000 GE

25.000 GE

Obige Ergebnisse zeigen, daß sich Vorteilhaftigkeiten u.U. sehr schnell und nachhaltig z.B. bei der Erhöhung von Kapitalmarktzinsen verschlechtern; eine Zinsanhebung um drei Prozent (von 5% auf 8%, i 1 auf i2) reduziert den ursprünglichen Wert auf 1/10 der Ausgangssituation, eine weitere 2inserhöhung um lediglich zwei Prozent läßt den Kapitalwert CQ {iz) bereits in doppelter Höhe negativ werden (C0 (i3)). Allgemein bedeutet das, daJ.i mit steigendem Zinssatz Kapitalwerte (aufgrund verbesserter Finanz-Anlagealternativen) abnehmen. Wie die Abbildung 2.4 zeigt, ist die Kapitalwertfunktion bei konkaver Form monoton fallend.

c 0 in

10 3 GE

i

Abb. 2.4: Kapitalwertfunktion in Abhängigkeit vom Kalkulationszins 35

2.3.1.2. Barwert- und Endwertberechnung Über kumulative (Tabellen-)Rechnungen6, wie sie für umfangreiche Problemstellungen vorteilhaft sind, soll nun erarbeitet werden, welche Zahlungs- und Diskontierungsvorgänge in Barwert-und Endwertberechnungen enthalten sind. Folgende Investition soll betrachtet werden: 25.000 35.000 40.000 30.000 30.000 i

GE/PE GE/PE GE/PE GE/PE GE/PE

0,1 GE/GE*PE Zahlungs- Auszahlungen EinzahlungsÜberschüsse zeitpunkte a in GE dt in GE 0 1 2 3 4 5

Co

-100.000

=

-ao +

5

:E

t=1

-

25.000 35.000 40.000 30.000 30.000

dt*(l+i)-t

(l+i) -t d~ (l+i) -t i GE -100.000 22.727,50 28.924 30.052 20.490 18.627

1,0 0,9091 0,8264 0,7513 0,6830 0,6209

+ + + + + =

20.820,50

Tabelle 2.2: Kapitalwertmethode zur Berechnung des Barwertes Der über Einzeldiskontierungen errechnete Barwert soll nun einer Endwertberechnung gegenübergestellt werden, um zu analysieren, welche Rechen- und Kapitalveränderungsvorgänge die Kapitalwertmethode als Endwertverfahren enthält. Symbole für die kumulative Errechnung des Vermögensendwertes: a0 , dt

Zahlungen in GE Vermögenswert in t, in der Investition gebundenes Vermögen im Zeitpunkttin GE vt-1- vt = dt- zt Zinszahlung in t in GE, Verzinsung des Ende der Periode t-1 gebundenen Vermögens; hier fiktive Entnahme für Verzicht auf Ertrag aus am Kapitalmarkt zu i angelegtem Betrag vt-1 * i

Sämtliche Zahlungen werden gemäß der für alle dynamischen Verfahren geltenden Annahme als im Zeitpunkt des Periodenendes angefallen betrachtet ( =nachschüssige Zahlungen und Verzinsung). 7

6

Vgl. hierzu auch Blohm, H./Lüder, K.: Investitionen, 6. Auflage, München 1988, Seite 59f.

7

Zur vorschüssigen Verzinsung siehe u.a. Kruschwitz, L.: Finanzmathematik, München 1989, S. 37ff., Caprano, E./Gierl, A.: Finanzmathematik, 4Aufl., München 1990, S.33ff.

36

1

Spalte Zeile 1

3

2

Zahlungs- ao, dT zeitpunkt in GE

5

4

Zt=Vt-1*i Vt=dt-Zt Vt=Vt-1+ vt in GE in GE in GE

-

-

-100.000

2

0

-100.000

3

1

25.000

10.000

15.000

- 85.000

4

2

35.000

8.500

26.500

-

5

3

40.000

5.850

34.150

- 24.350

6

4

30.000

2.435

27.565

+

7

5

30.000

30.321,5

+ 33.536,5

-

321,5

58.500

3.215

Tabelle 2.3.: Kapitalwertmethode zur Endwertberechnung unter Berücksichtigung von zeitabhängigen Vermögenswerten V5 = 33.536,50 GE (Zeile 7, Spalte 5) Zur Kontrolle der Richtigkeit wird zunächst der Vermögensendwert VE nach Ablauf von fünf Perioden auf t = 0 diskontiert:

33.536,50 * 0,6209 c0

20.822,8 GE

Das Endwertergebnis entspricht also hinsichtlich der Vorteilhaftigkeit bis auf eine geringfügige Abweichung aufgrund von Rundungsfehlern bei den Abzinsungsfaktoren der vorangegangenen Barwertberechnung; Barwert und Endwert sind somit für Zwecke der Vorteilhaftigkeitsbeurteilung gleichwertig. Wie die kumulative Rechnung zeigt, enthält das Endwertverfahren in Spalte 3 jeweils die Verzinsung des in der Investition gebundenen Kapitals und die Reduzierung des Kapitals mit dem nach Abzug der Verzinsung verbleibenden Restbetrag aus dem Einzahlungsüberschuß dt" Auch das Endwertverfahren berücksichtigt somit die jeweiligen Finanzerträge aus der Anlage der in der Periode gebundenen, sonst aber alternativ am Kapitalmarkt anzulegenden FinanzmitteL Damit weist auch der Endwert den Betrag aus, der über ein Anlageergebnis einer Finanzanlage zum Kapitalmarktzins hinausgeht.

2.3.2. Interne Zinsfuß-Methode Mit der Methode des internen Zinsfußes wird die dynamische Rentabilität einer Investition ermittelt. Symbol:

r = interner Zinsfuß in GE/GE*PE

Die Methode des internen Zinsfußes läßt sich aus der Kapitalwertmethode entwikkeln, denn r ist der Zinsfuß, der den Kapitalwert einer Investition genau gleich Null werden läßt, wenn mit ihm die durch die Investition entstehenden Zahlungsreihen diskontiert werden. Hieraus ergibt sich für den ersten Fall beliebiger Zahlungsreihen: 37

Co

d1

...

0

-ao +

0

n -ao +I: dt * ( l+r) -t t=1

( l+r) 1

+

+

dn ( l+r) n

zu errechnen ist r

Übungsaufgabe:

Gegeben sind folgende Zahlungen: 100 GE 20 GE 20 GE

e 1 = 40 GE e 2 = 140 GE

Gesucht ist der interne Zinsfuß r. Lösung: 0

-a 0 + d 1 *(1+r)- 1 + d 2 *(1+r)-2

0

-100 +

20

+

1+r

120 (l+r) -2

Aus der Zahlungsreihe ist leicht ersichtlich, daß der interne Zinsfuß r = 0,2 GE/GE*PE betragen muß; zu lösen ist eine quadratische Gleichung, für deren Lösung die folgende Formel aus allen einschlägigen Formelsammlungen entnommen werden kann. r = r =

r1

-2a 0 + d 1 ± -200 + 20 ±

j j

d12 + 4a 0 * d2 2a 0 I

400 + 400 * 120 +200

-180±220 +200

-2 GE/GE*PE

+0,2

II

Wie die Lösung bei der kurzen Nutzungsdauer der Investition von 2 Perioden relativ einfach zeigt, gibt es bei der Anwendung der Methode des internen Zinsfußes das Problem der Mehrdeutigkeit der Ergebnisse. Nur r2 = 0,2 GE/GE*PE kann aufgrund der vorliegenden Zahlen richtig sein. Bei längeren Nutzungsdauern gilt es, aus n Lösungen das richtige Ergebnis herauszufinden. Hinzu kommt das Problem der Entstehung von Polynomen n-ten Grades, für deren Lösung später anzuwendende Näherungsverfahren in Betracht zu ziehen sind. Für den zweiten Fall kontinuierlicher Zahlungsströme gilt: dt = d 1 = d2 = ... = dn = d,

38

somit ergibt sich für den Ausdruck zur Berechnung des internen Zinsfußes

=

a0

n ~ (1+r)-t t=1

d

wobei die Summation über die Perioden t =1 bis t =n (Nutzungsdauer einer Investition) durch n ~ (l+r)-t

ASF(r,n)

t=1

ersetzt werden kann, was die Berechnung von r erleichtert: a0

=

*

d

ASF(r,n).

Unter Rentabilität wird der Bezug von Gewinnen/Zahlungen auf einen eingesetzten Betrag verstanden. Allgemein galt dieses schon für die früher behandelte statische Rentabilitätsberechnung: Gewinn bzw. Einzahlungsüberschüsse

r*

eingesetztes bzw. in der Investition gebundenes Kapital

Aus der Umformung obiger Ausdrücke ergibt sich somit für die dynamische Rentabilitätsberechnung im Falle gleichhoher Zahlungen: d

a0

1

ASF(r,n)

wobei der Quotient d/a0 als durchschnittliche jährliche Rentabilität bestimmt, in welchem Ausmaß das eingesetzte Kapital a0 wiedergewonnen wird; die rechte Seite der Gleichung wird deshalb auch als Kapitalwiedergewinnungsfaktor KWF bezeichnet. Zusätzliches Symbol: KWF (r,n)

=

Kapitalwiedergewinnungsfaktor

Ableitung des Kapitalwiedergewinnungsfaktors für die Anwendung der Methode des internen Zinsfußes: d

ao

1

1

ASF(r,n)

(l+r)n-1

r(1+r)n (1+r)n -1

r(1+r)n KWF(r,n)

=

r(l+r)n (l+r)n-1

Für die Berechnung des internen Zinsfußes bei uniformer und äquidistanter Zahlungsreihe ergibt sich folgende Formel:

39

d

=

a0

r(1+r)n

= --------

KWF(r,n)

(1+r)n-1

r ist zu berechnen

Bei einer Einheitenbetrachtung zeigt sich, daß d

GE/PE

GE

a0

GE

GE*PE

eine Zinsgröße ergibt, die auch den Einheiten für den Kapitalwiedergewinnungsfaktor entspricht. Übungsaufgabe: Für die nachfolgend angegebene Datensituation ist der interne Zinsfuß zu bestimmen.

= 200.000 GE

a0 d n

=

50.000 GE/PE

7 Jahre

Lösung (über Tabellenbenutzung): d

=

50.000 GE/PE

KWF(r,n)

KWF(r,n)

200.000 GE

0,25

GE*PE

Tabellenwerte: 0,248 0,255

-> r -> r

= =

0,16 GE/GE*PE 0,17 GE/GE*PE

=> 0,16 < r

< 0,17

Soll ein genaueres Ergebnis ermittelt werden, so ist dieses auf dem Wege der linearen Interpolation zu erhalten, auf dessen Durchführung hier verzichtet werden soll. Die dynamische Rentabilität der Investition beträgt r

= 0,1629 GE/GE*PE

bzw. r

= 16,29%

2.3.2.1. Funktionsverläufe Da bei der Methode des internen Zinsfußes der Zins ermittelt wird, bei dem der Kapitalwert einer Investition Null wird, sind Kapitalwertfunktionen und deren Nullstellen von vorrangigem Interesse. Ausgehend von einer Investition mit zwei Perioden Laufzeit ergibt sich bereits unter Anwendung der Kapitalwertmethode

c 0 (r)

40

= -a 0

d1

d2

+ -- + , (l+r) (l+r) 2

daß für die Berechnung von r zur Ermittlung der Nullstellen aufgrund der Bedingung c 0 ~r) =0 eine quadratische Gleichung zu lösen ist. Bein-Perioden ergeben sich somit n-Nullstellen und n Ergebniswerte für r, von denen i.d.R. nur ein Wert als zulässiges Ergebnis die dynamische Rentabilität einer Investition ausweist. Zunächst paradox anmutende Rechenergebnisse können häufig nur über die Betrachtung von Kapitalwert-Funktionsverläufen erklärt werden. Ein eindrucksvolles Beispiel mit Variation von Fremdkapitalzinsen befindet sich bei SchneiderS. In dem Beispiel wechseln aufgrundvon Zinsvariationen die Vorteilhaftigkeilen von zwei zu vergleichenden Investitionen trotz unterschiedlicher Zahlungsreihen (Wahlproblem) mit zweiperiodiger Laufzeit, die dieselben Rentabilitäten aufweisen. Die widersprüchlich anmutenden Ergebnisse und daraus resultierende Fragen lassen sich jedoch leicht durch Betrachtung der Funktionsverläufe gemäß Abbildung 2.5 beantworten. Eine geringe Variation der Zinskonditionen für Kredite und/oder Ausleibungen von Uberschüssen, beispielsweise zwischen 5 und 7%, kehrt die Vorteilhaftigkeilen der beiden Projekte zueinander jeweils um, wenn die Kapitalwerte betrachtet werden. Für Laufzeiten n>2 können derartige Probleme jeweils um n Nullstellen herum auftreten.

~-+--~~--~--+---~--~---r---+--~--~~--+---~_.r,i

in %

Abb. 2.5: Kapitalwertfunktion für zwei zu vergleichende Investitionen mit zwei Perioden Laufzeit9. Es sind allerdings auch Investitionen denkbar, die keinen internen Zinsfuß haben. Ergänzend zur letzten Abbildung sollen der Vollständigkeit halber exemplarisch noch drei mögliche Funktionsverläufe dargestellt werden.

r

drei interne Zinsfüße

ein interner Zinsfuß

+-----------.-

r

kein interner Zinsfuß

Abb. 2.6: Unterschiedliche Verläufe von Kapitalwertfunktionen10 8

Vgl. Schneider, D.: Investition, Finanzierung und Besteuerung, 6. Auflage 1990, S. 82 ff.

9

Siehe hierzu die Ausführungen von Schneider, D.: Investition, Finanzierung und Besteuerung, a.a.O. S.86. 10 Vgl. Kruschwitz, L.: Investitionsrechnung, a.a.O., S. 90.

41

2.3.2.2. Lösungsverfahren Exakte Lösungsverfahren zur Bestimmung des internen Zinsfußes sind relativ aufwendig bzw. für Polynome höheren Grades nicht mehr möglich. Iterative Anwendungen von Näherungsverfahren liefern beliebig genaue Lösungen mit weniger Aufwand. Drei mögliche Verfahren sollen hier vorgestellt werden: Verfahren 1: Aus der Betrachtung identischer Dreiecke, z.B. in Verbindung mit einer monoton fallenden, konvexen Kapitalwert-Funktion, lassen sich durch Inter- oder Extrapolationen beliebig genaue Errechnungen des internen Zinsfußes vornehmen. Von der Wahl der ersten Kalkulationszinsfüße i 1 und i2 hängt es ab, ob eine Lösung über eine Interpolation oder eine Extrapolation erarbeitet werden muß, wie die Abbildung 2.7. zeigt. Der Schnittpunkt der Sekante der Kapitalwert-Funktion mit der Abzisse liefert mit r' die erste Näherungslösung, die durch die Wahl von irund i2-Werten möglichst nahe an der C0 = 0- Linie verbessert werden kann.

c 0 ( i) Col co2 i2

c 0 =or-----~----~~~---+~­

il

c 0 =0

Extrapolation: r' < r

Interpolation: r' > r

Abb. 2.7.: Berechnung des internen Zinsfußes über Inter- oder Extrapolation Aus der Betrachtung ähnlicher Dreiecke gemäß Abbildung 2.8. läßt sich r' wie folgt berechnen.

r' ist gesucht und muß folglich isoliert werden: il - r'

42

= Col *

i2 - il co2 - co1

r'

Abb. 2.8.: Ähnliche Dreiecke für die Entwicklung einer Näherungsformel zur Bestimmung des internen Zinsfußes Verfahren 2:

Sehr ähnlich, von der Formel her identisch, ist das Sekantenverfahren ("Regula falsi") zur Berechnung der Nullstelle eines allgemeinen Polynoms P(x). Es werden somit wiederum zwei Schätzwerte x1 und x2 benötigt. Mit Hilfe der zwei Schätzwerte xl und xz wird eine bessere Näherungslösung der Gleichung p(x) = 0 gesucht:

Verfahren 3:

Ebenfalls anwendbar für die Errechnung der Nullstellen eines Polynoms P(x) ist das Tangentenverfahren ("Newton-Verfahren"). Ein Startwert sei x1. Die verbesserte Näherungslösung x* erhält man durch folgende allgemeine Gleichung:

43

X

*

Die Funktionsweise der hier aufgeführten Verfahren soll mit Hilfe einer Übungsaufgabe demonstriert werden.

Übungsaufgabe: Das Investitionsproblem ist durch folgende Daten gekennzeichnet:

a0 d1

dz

d3 d4

24.000 8.500 9.500 8.000 6.000

GE GE GE GE GE

Gesucht ist eine Lösung fürrunter Anwendung der Verfahren 1 bis 3:

Verfahren 1: Die Schätzwerte seien i 1 Co1=Co(i1) = -ao +

=

0 GE/GE*PE und i2

=

0,5 GE/GE*PE.

4 L

t=1

-24.000 + 8.500 * (1+i1)- 1 + 9.500* l1+i1)- 2 + 8.000 * (1+i1)- 3 + 6.000 * (1+i1)-24.000 + 8.500 + 9.500 + 8.000 + 6.000 8.000 GE für i 1 =o GE/GE*PE 4 Co2=CoCi2)

-ao +

L

t=1

dt * (l+i2)-t

-24.000 + 8.500 * (1+i2)- 1 + 9.500 * (1+i2)- 2 + 8.000 * (1+i2)- 3 + 6.000 * (1+i2)- 4 -24.000 + 5.666,7 + 4.222,2 + 2.370,4 + 1.185,2 - 10.555,5 GE für i 2 =0,5 GE/GE*PE

Somit ergibt sich

44

0,5 - 0

0 - 8.000 *

-10.555,5 - 8.000 4.000 0,22 GE/GE*PE 18.555,5

Die Überprüfung des Kapitalwertes c0(r') c 0 (r')

= -24.000

+ 8.500 (1,22)- 1 + 9.500 (1,22)- 2 + 8.000 (1,22)- 3 + 6.000 (1,22)- 4 -3.536,04 GE

kann dazu führen, daß ein weiterer Iterationschritt für notwendig erachtet wird. Als Schätzwerte würden in diesem Fall i1 und r' fungieren. Der Wert r' übernimmt im folgenden die Rolle des alten i2-Wertes, da er eine deutlich bessere Näherung darstellt:

r' 0,22 - 0 0 - 8. 000 * - - - - - - - - -3.536,04 - 8.000 1. 760 0,15 GE/GE*PE 11.536,04

Auf weitere Iterationsschritte, die die Genauigkeit der Berechnung nochmals verbessern würden, soll an dieser Stelle verzichtet werden. Verfahren 2: Mit der Substitution x: = (1 + rr 1 wird c 0 (r)

=

-24.000 + 8.500 * (1+r)-1 + 9.500 * (1+r)-2 + 8.000 * (1+r)- 3 + 6.000 * (1+r)- 4

=

-24.000 + 8.5oox + 9.5oox 2 + 8.ooox 3 + 6.ooox 4

in das Polynom P(x)

überführt. Zwei sehr einfache Startwerte könnten x1 =0 und x2 = 1 sein: P(x 1 ) P(x 2 )

=

-24.000 GE 8.000 GE

45

Für den verbesserten Iterationswert x3 gilt: 1

0 + 24.000 * 32.000 x3

Da x3

=

0,75

= (1 + r3r 1 gilt, folgt mit x3 = 0,75 für r3 der Wert 0,33 GE/GE*PE.

Für den Funktionswert P(x3) gilt: P(0,75)

=

-7.007,8125

Da der Wert negativ und größer als x1 ist, ersetzt er den alten Wert für die untere Intervallgrenze x1, d.h. der neue Iterationswert x4 wird definiert durch die Gleichung:

1 -

0,75

0,75 + 7.007,8125 8.000 + 7.007,8125

0,87

r

Aus x4 = (1 + r 4 1 folgt analog zum vorhergehenden Iterationsschritt r4 = (1/x 4 )-1, mit x4 = 0,87 ergibt sich r 4 = 0,15 GE/GE*PE. Verfahren 3: Wird für das Newton-Verfahren beispielhaft der Startwert x1 = 0,75 verwendet, müssen die Funktionen P(x) und P'(x) an dieser Stelle ausgewertet werden: P(x 1 ):= -24.000 + 8.500*x 1 + 9.500*x 1 2 +8.000*x 1 3 +6.000*x 1 4 -7.007,81 GE P'(x 1 ) := + 8.500 + 19.000*x 1 +24.000*x 1 2 +24.000*x 1 3 +46.375 GE

Daraus folgt für den Wert x * : X

*

7.007,81 0,75 + 46.375 0,90

46

1

=>

r'

x*

-

1

0,11 GE/GE*PE

Die Prämissen der Methode des internen Zinsfußes lassen sich aus sehr einfachen Zahlenbeispielen ableiten. Es sollen die Investitionsalternativen A, B und C betrachtet bzw. miteinander verglichen werden. ao I~ = Wl.ederanlage zu rA=0,2

0

Co

-100

+ 20 - 20

+ 24

-100

0

+144

+120

(1+0,2) 2 =>

0

+100

-100

I:s = Wl.ederan1age zu r 8 =o,1 0

-100

+ 10 - 10

+110 + 11

-100

0

+121 (1+0,1) 2

=>

+100

-100

0

Differenz der Vorteilhaftigkeiten zwischen lA und IB: Diff. r

=

0,1 GE/GE*PE.

Für die nun folgende Investitionsalternative Ic sei unterstellt, daß Überschüsse zu i=O,l GE/GE*PE angelegt werden, die Zahlungsreihe entspricht ansonsten der von lA, deren dynamische Rentabilität r=0,2 GE/GE*PE beträgt. Ic

=

-100

+ 20 20

-100

0

Wiederanlage zu r 8 =o,1 Co

0

=>

0

Co

-1,39 GE

+

-100

-

+120 + 22 +142 (l+r) -2 + 98,61

+0

Die Wiederanlage von Überschüssen bei Ic zeigt, daß Anlagen, die nicht zu r verzinst werden, Vorteilhaftigkeiten und Vorteilhaftigkeitsstufungen verändern. Bezüglich der Anlage von Differenzbeträgen kann auf die Analyse der Kapitalwertmethode verwiesen werden. Prämissen:

Die interne Zinsfußmethode unterstellt Wiederanlagemöglichkeiten von Überschüssen oder Differenzinvestitionen zum internen Zinsfuß r.

47

2.3.3. Annuitätenmethode Die Annuitätenmethode vergleicht auf der Grundlage einer Durchschnittsbildung jährliche Einzahlungen mit jährlichen Auszahlungen. Durchschnittsbildung heißt: gleichbleibende Zahlungen. Der gleichbleibende jährliche Überschuß wird als Annuität bezeichnet. Das Idealbeispiel hierzu ist die Hypothek während der Festzinszeit Bei der Annuitätenmethode werden rechnerisch neue, d.h. uniforme, äquidistante und äquivalente Zahlungsreihen gebildet. Äquivalent sind die neuen Zahlungsreihen, wenn deren Barwert dem Barwert einer beliebig gegebenen Zahlungsreihe gleich ist. Die Annuitätenmethode formt also beliebige Zahlungsreihen äquivalent in uniforme und äquidistante Zahlungsreihen um. Die Annuität ist als Kriterium zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einer Investition mathematisch lediglich die Differenz zwischen durchschnittlichen jährlichen Einzahlungen und durchschnittlichen jährlichen Auszahlungen. Ökonomisch bedeutet das, daß außer der Verzinsung des jeweils gebundenen Kapitals die Investition bei Vorteilhaftigkeit noch einen positiven Ertrag abwirft, der der Höhe der Annuitätendifferenz entspricht. Die Methode soll zuerst aus dem einfacheren Fall der jährlich konstanten Zahlungen heraus entwickelt werden, bei dem d1

= d2 = ... = dn = d

ist. Weil ein Betrag x gesucht ist, der lediglich die Wiedergewinnung einer getätigten Anschaffungsauszahlung zum Ziel hat, muß gelten: !

c0 = o bei zeitpunktverschiedenen Zahlungen gilt weiter:

o = -a 0

+

x1 (1+i) 1

+

~

(1+i) 2

xn

+ ... +

(1+i)n

Zahlungen in derselben Höhe haben zur Folge, daß geschrieben werden kann:

0

-ao + x [

1 1 + __1__ + . . . + (1+i) (1+i) 2

ASF(i,n)

a0 = x

n E

t=1

(1+i)-t

X

*

(l+i)n -

1

x*ASF(i,n)

Gesucht ist der (Amortisations-)Betrag x, der erforderlich ist, um die Anschaffungsauszahlung a0 zurückzuerhalten:

48

x

=

a0

=

i(l+i)n

=

(l+i)n - 1

a 0 *KWF(i,n)

Wenn x der Betrag ist, der für die Amortisation von a0 einschließlich Verzinsung des in der Investition gebundenen Kapitals erforderlich ist, dann muß x ein dynamischer Kapitaldienst sein:

Symbole: = dynamischer Kapitaldienst einer Investition

KDdyn A

= Annuität in GE/PE, Vorteilhaftigkeitskriterium der Annuitäten

methode

Die Annuitätenmethode läßt sich damit für den Fall gleichhoher Zahlungen d wie folgt schreiben: d -

A

X

d - KDdyn

bzw. A

=

d - a 0 KWF(i,n)

Wie die Formel zeigt, ist die Annuität A als Netto-Deckungsbeitrag einer Investition zu interpretieren. Vorteilhaftigkeitskriterium: A

~

0

Zielsetzung des Investors: A -> max

Übungsaufgabe: Die Anschaffungsauszahlung a0 beträgt 18.000 GE, langfristig werden im Durchschnitt Kapitalmarktzinsen für risikoarme Wertpapiere von 8% erwartet. Für die Laufzeit der Investition n = 7 Jahre werden als gleichhohe Überschüsse erwartet: d = 7.000 GE/PE. Gesucht ist die Annuität für das Projekt. Lösung: A

d - a 0 KWF (i, n)

A

7.000 - 18.000

*

0,08(1+0,08) 7 (1+0,08) 7 -1

49

7.000 - 18.000 * 0,1920723 3.542,6986 GE/PE

A

Zum Vergleich eine Anwendung der statischen Gewinnrechnung von Punkt 2.2.1 auf das Zahlenbeispiel der Übungsaufgabe: G*

=

d - KDstat

7.000 -

18.000 2

• o,oa]

7.000 - 3.291,4285 3708,57 GE/PE

G* =>

G* > A

Die Abweichung von G * gegenüber der genaueren Vorteilhaftigkeitskennziffer A beträgt 4,68%. In dem hier gegebenen Fall konstanter Zahlungsreihen ist die Abweichung gegenüber dem Fall unregelmäßiger Zahlungsreihen noch relativ gering, aber nicht mehr vernachlässigbar klein. Die Abweichung ist auf die Nichtberücksichtigung dej Zinseszinsen bei der Errechnung des statischen Kapitaldienstes zurückzuführen; G muß deshalb immer größer A werden. Für den Fall 2 der Zahlungen in unterschiedlicher Höhe müssen zur Errechnung gleichhoher 'Durchschnittszahlungen' äquivalente Zahlungsreihen unter Berücksichtigung von Zeitpräferenzen gebildet werden. Symbol: BW

=

Barwert einer beliebigen Zahlungsreihe in GE

Aus dem Fall 1 der konstanten Zahlungsreihe ist bereits bekannt: BW 1

=

d * ASF (i,n),

für den Fall 2 der Zahlungen in unterschiedlicher Höhe gilt BW 2

=

ct 1 *(1+i)- 1 + ct 2 *(1+i)- 2 + ... + dn*(1+i)-n.

Äquivalenz beider Zahlungsreihen ist gegeben, wenn ist; damit gilt: d*ASF(i,n)

Aus letztem Ausdruck ergibt sich

50

bzw.

Durch Multiplikation des Barwertes einer bliebigen Zahlungsreihe ( = unterschiedlich hohe Zahlungen) mit dem Kapitalwiedergewinnungsfaktor KWF wird diese Zahlungsreihe transformiert in eine Reihe von Zahlungen mit derselben Höhe für dieselbe Laufzeit der Investition: d

= [

~

t=l

dt*(l+i)-t]*KWF(i,n)

Wird von der schon vorhandenen Bestimmungsgleichung A = d - a 0 *KWF(i,n)

ausgegangen, so kann geschrieben werden A = [

~

t=l

dt*(l+i)-t]*KWF(i,n) - a 0 *KWF(i,n)

Wird KWF (i, n) ausgeklammert, dann läßt sich auch die letzte Gleichung noch vereinfachen: A = '-a 0 +

L.

~

t=l

dt*(l+i)-t]*KWF(i,n)

Bei Betrachtung der eckigen Klammer fällt auf, daß der darin enthaltene Ausdruck dem Kapitalwert einer Investition entspricht; der Kapitalwert wird mit Hilfe des Kapital-Wiedergewinnungsfaktors KWF in eine Annuität transformiert. Übungsaufgabe:

Es gilt wiederum die bereits bei der Kapitalwertmethode erläuterte Datensituation: a0 d1 dz d3 4

? I

24.000 8.500 9.500 8.000 6.000 0,1

GE GE/PE GE/PE GE/PE GE/PE GE/GE*PE

Gesucht ist die Annuität A, 1 PE= 1 Jahr. Lösung: Unter Verweis auf die bereits erfolgte Berechnung von C0 kann hier der Kapitalwert von

c0

1679,5 GE

51

für die Ermittlung der Vorteilhaftigkeit der Investition mit Hilfe der Annuitätenmethode verwendet werden: A = '-a 0 + ~ dt*Cl+i)-t]*KWF(i,n) L: t=1 c 0 * KWF(i=0,1;n=4) 1679,5 A

*

0,315

529,04 GE

Zu den Prämissen der Annuitäten-Methode läßt sich keine so eindeutige Aussage wie bei der internen Zinsfuß- und der Kapitalwertmethode machen. Zahlenbeispiele zeigen, daß lediglich näherungsweise gesagt werden kann, daß Differenzbeträge aus der Breitendiskrepanz zu i anzulegen und Differenzbeträge aus der Längendiskrepanz zu r anzulegen sind, wenn keine Veränderungen von Vorteilhaftigkeitsreihenfolgen eintreten sollen. Dasselbe gilt für Einzahlungs- und Auszahlungsüberschüsse. Für praktische Rechnungen möge diese besser als approximative Annahme zu bezeichnende Prämisse ausreichen; theoretisch läßt sich jedoch nachweisen, daß zum Ausgleich von Längendiskrepanzen eine Anschlußinvestition mit derselben Laufzeit und identischem Kapitalwert getätigt werden muß, damit die Annuität unverändert bleibt.

2.3.4. Pay-ofT-Methode Die Pay-off-Methode wird häufig auch als (dynamische) Amortisationsrechnung bezeichnet. Im Gegensatz zum früher behandelten statischen Verfahren werden nunmehr Zinseszinseffekte und Zeitpräferenzen erfaßt. Ansonsten kann auf die Ausführungen zu Punkt 2.2.3 verwiesen werden. Mit Hilfe der Pay-off-Methode wird die Zeit bestimmt, in der das eingesetzte Kapital durch Einzahlungsüberschüsse zurückgewonnen wird. Es geht also ausschließlich darum, das in der Investition gebundene Kapital zu amortisieren. Somit ist

c0 = o zu setzen. Für den Fall 1 der äquidistanten uniformen Zahlungsreihe ist die Pay-offZeit einfach zu bestimmen: 0

-a 0 + d*ASF(i,tpo>

ASF(i,tp 0 ) = ~ d

zu bestimmen ist tpo bei gegebenem i.

Entscheidungskriterium und Zielsetzung des Investors: ~0

52

-> min

Die Pay-off-Zeit ist allein kein ökonomisch sinnvolles Entscheidungskriterium. Sie gibt lediglich einen Anhaltspunkt für ein nie ganz auszuschließendes Kapitalverlustrisiko. Mit zunehmender Zeitdauer für die Rückgewinnung eines eingesetzten Kapitalbetrages, wird im allgemeinen auch die Wahrscheinlichkeit eines Kapitalverlustes für den Investor größer. Besondere Beachtung verdient lnn i.d.R. lediglich als Zusatzinformation zu den anderen der genannten dynamischen'V'orteilhaftigkeitskriterien, insbesondere bei politisch und gesamtwirtschaftlich instabilen Rahmenbedingungen. Übungsaufgabe: Gegeben ist folgende Datensituation für den Investor:

a0

d n

=

18.000 GE

7.000 GE/PE 7 Jahre 0,08 GE/GE*PE

Gesucht ist die Pay-off-Zeit. Lösung: ASF(i=0,08:tp 0

)

2,5714285 =

do d

18.000 GE*PE 7.000 GE

Als einfachstes Lösungsverfahren für den Taschenrechner kann hier die sukzessive ganzzahlige Veränderung von t = 2, 3, 4 ... empfohlen werden. Der Quotient liegt i.d.R. zwischen zwei Abzinsungsfaktoren mit ganzzahligem 4,0 , so daß eine Interpolation notwendig wird, die hier auf der Basis von Tabelfenwerten für den Abzinsungssummenfaktor ASF durchgeführt wird. ASF lt. Tabelle: 1,783 < 2,5714 < 2,577

für t:

2 Jahre


tpo

2 Jahre + 11,91 Monate,

d.h. ökonomisch, daß die Anschaffungsauszahlung in etwas weniger als drei Jahren verdient ist. Für den Fall 2 der Zahlungen in unterschiedlicher Höhe gilt ebenfalls, daß der Kapitalwert Null sein muß, wenn es lediglich darum geht, den Zeitpunkt zu bestimmen, in dem die Anschaffungsauszahlung durch Einzahlungsüberschüsse zurückgeflossen ist.

c0

o

=

n

-a 0 + ~ dt t=1

*

(1+i)-t

die Summationsobergrenze ist mit ~ 0 die gesuchte Pay-off-Zeit: ao

tpo ~ dt t=1

=

*

(1+i)-t

Es ist somit nach jeder ganzzahligen Variation von t = 1, 2, 3, usw. zunächst zu prüfen, ob der Summenwert größer oder kleiner a 0 ist. Für den Fall 2 der Zahlungen in unterschiedlicher Höhe ist wieder eine kumulative Rechnung anzuwenden, für die das bereits bekannte Zahlenbeispiel Verwendung finden soll. Übungsaufgabe: Datensituation: 24.000 8.500 9.500 8.000 6.000 0,1

GE GE/PE GE/PE GE/PE GE/PE GE/GE*PE

Gesucht ist die Pay-off-Zeit.

54

Lösung: Kumulative Ermittlung von i>o geschieht in Form einer Tabellenrechnung:

t

df in G /PE

Abzinsungsfaktoren

Barwerte in GE

(l+i) -t

dt (l+i) -t

kumulierte Barwerte in GE t t' I: dtd1+i)t =1 I

1

8.500

0,909

7.726,5

7. 726,5

2

9.500

0,826

7.847,0

15.573,5

3

8.000

0,751

6.008,0

21.581,5 > ao

4

6.000

0,683

Tabelle 2.4: Kumulative Berechnung der dynamischen Pay-off-Zeit bei beliebiger Zahlungsreihe Da t,. 0 zwischen zwei und drei Jahren liegt, muß wieder eine lineare Interpolation durcfigeführt werden, deren Ergebnis hier ohne gesonderte Rechnung i.V.m. der Payoff-Zeit genannt werden soll. Die vorangegangene Interpolation ist hier analog anzuwenden. Ergebnis: tpo

=

2 Jahre + 4,85 Mon.

Die ermittelte Pay-off-Zeit dient der Abschätzung des lnvestitionsrisikos, wobei unterstellt wird, daß mit zunehmender Länge der Amortisationsdauer die Rückgewinnung des eingesetzten Kapitals für den Investor immer unwahrscheinlicher wird. Als nächster Lernschritt sollen nun nach der Behandlung der dynamischen Methoden der Investitionsrechnung Grundregeln für die Finanzierung von Investitionen über einfache Beispiele zur simultanen Investitions- und Finanzplanung erarbeitet werden.

55

3. Bestimmung des optimalen Kapitaleinsatzes Die zunächst sehr allgemein formulierte Begründung, daß letztendlich nur die ge-

meinsame Berücksichtigung von Finanzierung und Investition in mittelfristig angeleg-

ten Planungsverfahren zu betriebswirtschaftlich optimalen Ergebnissen führt, soll nun durch theoretische Lösungsansätze gestützt werden. Ausgangspunkt sind Überlegungen zur Optimierung der Kapitalstruktur.

3.1 Leverage-Effekt Bei den klassischen Verfahren wurde stillschweigend unterstellt, daß ausreichendes Eigenkapital für die Anschaffungsauszahlung und zur Abdeckung von Verlustsituationen zur Verfügung steht. Ein Blick in die Unternehmenspraxis zeigt jedoch, daß die Aufnahme von Fremdkapital zur Realisierung der für notwendig erachteten Investitionsprogramme mit Ausnahme weniger Großunternehmen unumgänglich ist. Unternehmensergebnisse lassen sich u.U. nachhaltig verbessern, wenn Fremdkapital zusätzlich zum Eigenkapital eingesetzt wird. Ein leicht nachvollziehbares Beispiel hierzu ist die Spekulation in Aktien. In Abhängigkeit von einem eigenfinanzierten Depot-Wert wird von den Banken gerne ein Überziehungskredit für den Erwerb zusätzlicher Aktien zur Depotaufstockung gewährt. Bei ausgeprägtem Aufwärtstrend der Kurse oder schnell verlaufenden Sonderentwicklungen für die gekauften Papiere übersteigen die Kursgewinne deutlich die relativ hohen Zinszahlungen für den Uberziehungskredit - es werden 'Traumrenditen' auf das eingesetzte Eigenkapital erzielt, denen allerdings auch ein hohes Risiko des Kapitalverlustes gegenübersteht, wie das Schicksal manches weniger erfahrenen Spekulanten lehrt. Unter bestimmten Voraussetzungen beeinflußt damit die Kapitalstruktur die Rentabilität des Eigenkapitals positiv. Negativwirkungen sind allerdings nicht auszuschließen. Für die nachfolgenden Überlegungen zur optimalen Kapitalaufnahme und für ein vereinfachtes Erklärungsmodell gelten folgende Symbole: EK

Eigenkapital in GE

FK

Fremdkapital in GE

GK

Gesamtkapital in GE = EK + FK

r

Rentabilität einer Investition; bei Bezug auf Produktionsanlagen, Immobilien usw. ( = Sachinvestition) wirdrauch als Sachzins bezeichnet 1, in GE/GE*PE Zins für das aufgenommende Fremdkapital in GE/GE*PE, wird auch als Marktzins 1 bezeichnet Bruttogewinn, Gewinn vor Abzug der Femdkapitalkosten KFK in GE/PE Nettogewinne in GE = Gbr - KFK Fremdkapitalkosten in GE/PE = iFK * FK Verschuldungsgrad

1

56

FK EK

Vgl. Vormbaum, H.: Finanzierung der Betriebe, 7. Auflage 1986, S. 85ff., Anmerkung: Rendite (=Rentabilität) und Zins werden als Begriffe mit der o.a. und übernommenen Differenzierung synonym verwendet.

Es stehen sich somit zwei Zinsarten gegenüber:

"Sachzins"

"Marktzins"

=Rentabilität der Sachinvestition, interner Zinsfuß r,

= FK-Zins, Kreditzins,

Zins, den das im Betrieb investierte Kapital erzielt, Rendite der Sachinvestition, Durchschnitts-Gewinn des Betriebes, bezogen auf eine Einheit investiertes Kapital je PE

Zins, der dem Kapitalgeber zu entrichten ist, aus der Kapitalmarktsituation abgeleiteter Durchschnittsgewinn des Kapitalgebers, bezogen auf eine Einheit FK

Zur Herausarbeitung grundsätzlicher Überlegungen ist es völlig ausreichend, an dieser Stelle lediglich ein vereinfachtes Modell zur Fremdkapitalaufnahme bei konstantem Eigenkapital zu behandeln. Im Hinblick auf die Finanzierung einer Investition verlangt die Aufwandsdeckungsbedingung, daß die Aufwendungen, die dem Betrieb mit der Übernahme von Kapital entstehen, aus den Erträgen zumindest gedeckt werden müssen, die der Betrieb mit der Verwendung des Kapitals für die Investition erzielt. Statt dessen kann auch gesagt werden, daß der Sachzins ( =betriebsinterne Rendite), den das im Betrieb investierte Kapital erzielt, zumindest dem Marktzins, der an den Kapitalgeber zu entrichten ist, entsprechen muß. Wenn der Marktzins niedriger ist als der im Betrieb erwirtschaftete Sachzins, verlangt die Maximierung der Eigenkapitalrentabilität, daß der Betrieb so lange zusätzliches Fremdkapital in den Betriebsprozeß einbringt, bis der Marktzins dem Sachzins entspricht, genauer: bis der Grenzsachzins dem Grenzmarktzins entspricht. Die durch Einsatz der letzten zusätzlichen Kapitaleinheit bewirkte Ertragssteigerung muß dem für die letzte zusätzlich aufzunehmende Fremdkapitaleinheit zu entrichtenden Marktzins gleich sein. Bevor dieses Gleichgewicht erreicht ist, führt jede zusätzliche Aufnahme von Fremdkapital zu höheren Gewinnen auf das Eigenkapital und damit zu einer höheren Rentabilität des Eigenkapitals. Dieser Effekt, durch den die Rentabilität des Eigenkapitals über die Rentabilität des Gesamtkapitals hinaus steigen kann, wird als Leverage-Effekt (Hebelwirkungseffekt) bezeichnet. Aufgrund dieser Überlegungen könnte das Bestreben des Betriebsinhabers darauf gerichtet sein, den Anteil des Fremdkapitals am Gesamtkapital zu maximieren, um die die Rentabilität des Eigenkapitals fördernde Hebelwirkung des FremdkapitaleiDsatzes bestmöglich auszunutzen. Das Verlangen der Fremdkapitalgeber nach einem im Verhältnis zum Fremdkapitalbestand angemessenen voraushaftenden Eigenkapital setzt diesem Bestreben jedoch eine Grenze. Schon vor dem Punkt, an dem der Betrieb keine weiteren Fremdkapitalgeber mehr findet, wird der Effekt dadurch beeinträchtigt, daß die Fremdkapitalgeber bei wachsendem Verschuldungsgrad einen Risikozuschlag zum Zins fordern werden, so daß sich der steigende Marktzins des

57

Fremdkapitals (Grenzmarktzins) dem im Betrieb zu erwirtschaftenden Sachzins nähert und ihn schließlich erreicht; ein unbegrenztes Ansteigen des Verschuldungsgrades wird verhindert. Wenn die Voraussetzung Sachzins > Marktzins gegeben ist, dann erfolgt die Aufnahme zusätzlichen Fremdkapitals bei abnehmender Rentabilität der Zusatzinvestitionen, bis Marktzins = Sachzins ist; genauer muß die Bedingung lauten: Grenzsachzins = Grenzmarktzins, d.h., die Realisierung jedes zusätzlichen Projektes ist geboten, solange noch nach Abzug der zusätzlichen FK-Zinsen ein Überschuß zu erwirtschaften ist; bewirkt wird eine Erhöhung der Eigenkapitalrentabilität Wenn die Rentabilität des Eigenkapitals über die Rentabilität des Gesamtkapitals ansteigt, ergibt sich ein positiver LeverageEffekt. Daß eine Grenzbetrachtung anzustellen ist, ergibt sich schon aus einer allgemeinen Gewinnfunktion. Der Einfachheit halber wird kontinuierliche Abhängigkeit des Gewinns zum Gesamtkapitaleinsatz GK unterstellt. Zusätzliche Symbole: E = Erlös aus einer Investition/eines Investitionsprogrammes in GE/PE K = Kosten der Investition, eines Investitionsprogrammes, Kapitalkosten in GE/PE G = Gewinn einer Investition/eines Investitionsprogrammes für die Unternehmung

(1) (2)

E(GK)

G(GK) dG(GK)

E' (GK)

-

K(GK) -

-> max

K' (GK)

0

dGK

Daraus ergibt sich als allgemeine Optimumbedingung: (3)

E'(GK)

=

K'(GK)

Der Grenzerlös E'(GK), Erlös einer zusätzlich investierten Kapitaleinheit, entspricht der Grenzrentabilität der Sachinvestition. Die (Grenz-)Kosten der letzten zusätzlich für die Realisierung des Investitionsprogrammes eingesetzten Kapitaleinheit GK entsprechen dem (Markt-)FK-Zins iF für die letzte Krediteinheit Da die Investitionen eines Investitionsprogrammes für deren Realisierung mit absteigender Vorteilhaftigkeit geordnet werden, ergibt sich eine E'(GK)-Funktion mit negativer Steigung; handelt es sich lediglich um ein Projekt, dann ist E'(GK) konstant. Das Fremdkapital mit dem niedrigsten Zins wird selbstverständlich zuerst aufgenommen, mit ansteigendem Zins iFK in die Finanzierung solange einbezogen, bis die Bedingung iFK = rGK erfüllt ist, was der obigen Optimumbedingung entspricht, wenn die Zins- und Rentabilitätsgrößen diskret an einzelne Krediteinheiten gebunden sind. Neben der optimalen Kapitalstruktur wird das optimale Investitions- und Finanzierungsprogramm ausgewiesen. Das ermittelte Optimum, gekennzeichnet durch die Gleichheit von Investitionsgrenzgewinnen und Kapitalgrenzkosten kann auch als optimale Betriebsgröße interpretiert werden. Die Bestimmungsgleichung für den Leverage-Effekt, der letztlich eine Zinsgewinngröße ist, läßt sich wie folgt entwickeln: 58

(4)

Gbr - KFK

Gnetto

rEK

EK

EK rGK

*

GK - iFK

*

FK

*

FK - iFK

EK (5)

EK + FK

GK

rGK

(6)

rEK

(7)

rEK

*

EK + rGK

*

FK

EK FK =

rGK + (rGK - iFK)

*

EK

Wird der Leverage-Effekt als Differenz zwischen Eigenkapital- und Gesamtkapitalrentabilität definiert:

(8)

L

=

rEK - rGK'

dann ist der Effekt solange positiv, wie rEK>rGK ist. Mit Verwendung der Bestimmungsgleichung (7) für die Eigenkapitalrentabilität läßt sich der Leverage-Effekt (8) etwas aussagekräftiger formulieren:

FK (9)

=>

L

EK

L

FK EK

Aus obiger Gleichung lassen sich einige allgemeingültige Schlußfolgerungen ziehen, die für die Finanzierungsplanung von grundlegender Bedeutung sind. Mit zunehmender Aufnahme von Fremdkapital steigt bei konstantem Eigenkapital der Verschuldungsgrad V an, bei posititver Zinsdifferenz nimmt der Leverage-Effekt zu. Allerdings ist diese erwünschte positive Wirkung begrenzt dadurch, daß Fremdkapitalgeber bei größer werdendem Verschuldungsgrad als Risikoausgleich höhere Kreditzinsen verlangen. Wenn die Zinsen iFK die Gesamtkapitalrentabilität rGK erreicht haben, ist die Zinsdifferenz = Null. Eine weitere Fremdkapitalaufnahme zu iFK: = r GK kann den Leverage-Effekt endgültig nicht mehr vergrößern. Bei iF.K>rGK w1rd aer Effekt negativ. Es existiert somit ein Maximum für die Fremdkapltalaufnahme, das jedoch nicht zugleich als Optimum für die simultane Festlegung von Finanzierungsund Investitionsprogrammen angesehen werden kann. Optimale Kapitalstruktur und optimales Investitionsprogramm lassen sich durch verschiedene Merkmale charakterisieren. Abbildung 3.1 gibt in Übereinstimmung mit der Grenzbetrachtung und der

59

Leverage-Effekt-Bestimmungsgleichung einen anschaulichen Überblick über die bisher analytisch aufgearbeiteten Zusammenhänge.

Leverage-Effekt

(GK)

(GK)

Gesamtkapital Eigenkapital Abb. 3.1:

Fremdkapita 1

Optimales Investitions- und Finanzierungsprogramm und optimale Kapitalstruktur bei Existenz eines positiven Leverage-Effektes und konstantem Eigenkapital

Der gewinnmaximale( =maximale) Leverage-Effekt ist somit Im Schnittpunkt von r' GK mit i'FK gegeben; dieser Schnittpunkt kennzeichnet das Optimum der FK-Aufnanme, das bei konstantem Eigenkapital zugleich auch die optimale Kapitalstruktur GKopt angibt. Diese Zusammenhänge zwischen Investition und Finanzierung stellen trotzder begrenzten Fragestellung unverzichtbares Grundwissen dar. Zur Vertiefung soll nun ein Zahlenbeispiel für eine diskrete Betrachtung herangezogen werden. Bei den bisherigen Analysen wurde mit der Ableitung einer kontinuierlichen Funktion G(GK) stillschweigend die beliebige Teilbarkeit von Investitionen und Krediten sowie kontinuierliche Zinsentwicklungen unterstellt. Mit der nachfolgenden Übungsaufgabe soll die Prämisse der beliebigen Teilbarkeit aufgehoben werden. Übungsaufgabe: Ein Unternehmen verfügt über 300.000 GE Eigenkapital, die in einem Betrieb investiert werden sollen. Das Fremdkapital kann über verschiedene Geldgeber stufenweise um jeweils 100.000 GE erhöht werden. Zunehmendem Fremdkapital steht damit ein konstantes voraushaftendes Eigenkapital gegenüber. Die alternativ mögliche Betriebsgrößenvariation durch zusätzlichen FK-Einsatz sei durch folgende Datensituation gekennzeichnet:

60

Alternative

EK in GE

FK in GE

GK in GE

Gbr in GE/PE

1

300.000

300.000

42.000

2

300.000

100.000 400.000

55.000

3

300.000 200.000 500.000

66.000

4

300.000 300.000 600.000

73.500

Der Fremdkapitalgeber verlangt eine zunehmende Risikoprämie mit steigendem Verschuldungsgrad:

Kredite 1. Krediteinheit

2. Krediteinheit 3. Krediteinheit

FK in GE

Kreditzins iFK in GE/GE*PE

100.000 100.000 100.000

0,06 0,08 0,10

Gesucht sind die optimale Kapitalausstattung und der Nachweis, daß bei fremdfinanzierten Investitionen die Eigenkapitalrentabilität über die Gesamtkapitalrentabilität ansteigen kann. Lösung: Über die Betrachtung der Projekt-/Betriebsvergrößerung ergeben sich diskret steigende Zusatzgewinne, die als Grenzgewinne G' bezeichnet werden sollen: Alternative 1

G' in GE 42.000 GE/PE

2

G'1 G' 2

3

G'3

11.000 GE/PE

4

G'4

7.500 GE/PE

13.000 GE/PE

G'1 bis G'4 sind Zusatz~ewinne bezo~en auf die zusätzlichen Kapital-/Krediteinheiten. Als Grenz-Rentabihtäten lassen sich berechnen: r'GK1

r'GK2

r'GK3

r'GK4

=

G'1

42.000 GE/PE

EK

300.000 GE

G'2

13.000 GE/PE

FK 1

100.000 GE

G'3

11. 000 GE/PE

FK 2

100.000 GE

G' 4

7.500 GE/PE

FK 3

100.000 GE

=

0,14 GE/GE*PE

0,13 GE/GE*PE

0,11 GE/GE*PE

0,075 GE/GE*PE

61

r 1, r2, r3, r~, sind auf zusätzliche Kapital-/Krediteinheilen bezogene Zusatzgewinne, Sie smd aisl REK3

max.

0,165 GE/GE*PE

Nachweis: die Eigenkapitalrentabilität übertrifft die Gesamtkapitalrentabilität deutlich, das Maximum von rEK liegt bei Alternative 3 (rEK=0,1733 GE/GE*PE). Ein Blick in die Tabelle 3.1 zeigt, daß die Eigenkapitalrentabilität noch zu erhöhen ist, solange gilt: r 1 GK ~ i 1 FK. Bei r 1 GK < iFK wird das Maximum von rEK überschritten.

62

Eine weitere Erhöhung des Fremdkapitalanteils ist dann für den Investor unter Rentabilitätsgesichtspunkten unvorteilhaft.

Alter- EK native in GE

FK

GK

Gbr

in GE

in GE

in GE/PE in GE/GE*PE in GE/GE*PE in GE/GE*PE in GE/PE in GE/GE*PE

-

r'GK

rGK

iFK = i'FK Gnetto

rEK

1

300.000

300.000

42.000

0,14

0,14

0

42.000

0,14

2

300.000 100.000 400.000

55.000

0,1375

0,13

0,06

49.000

0,1633

3

300.000 200.000 500.000

66.000

0,1333

0,11

0,08

52.000

0,1733

4

300.000 300.000 600.000

73.500

0,1225

0, 075

0,10

49.500

0,165

*=

optimale Kapitalstruktur

Tabelle 3.1: Leverage-Effekt und optimale Kapitalstruktur

3.2. Kapitalbudget Der Kapitalbudget-Ansatz geht auf ein Modell von Dean2 zurück. Das Kapitalbudget wird mitunter als eine realistischere Fassung des Leverage-Effektes angesehen. Vielmehr ist das Kapitalbudget auch ein Ansatz zur simultanen Investitions- und Finanzplanung, der theoretisch weniger anspruchsvoll ist als das Modell der optimalen Kapitalstruktur. Dafür weist das Kapitalbudget-Modell eine größere Nähe zur Planung in der Praxis auf. Es handelt sich um eine relativ einfache Methode der Abstimmung zwischen dem Investitions- und Finanzierungsbereich. Die Ausstattung der Unternehmung mit Eigenkapital wird wiederum als gegeben und konstant angesehen. Gefragt wird nur nach der Höhe des zusätzlichen Fremdkapitaleinsatzes. Bei der Beantwortung dieser Frage ist in folgenden Schritten vorzugehen3: 1.

Aufstellung einer Iiste aller im Unternehmen für die kommende Planungsperiode in Frage kommenden Investitionen.

2.

Ermittlung der Rentabilitäten aller Investitionen mit Hilfe der Internen Zinsfußmethode.

3.

Ordnung der Investitionsprojekte nach sinkenden Rentabilitäten. Aus der gewonnenen Rangfolge der Investitionsprojekte ergibt sich die Nachfrage des Unternehmens nach Kapital. Diese Kapitalnachfrage fällt von links nach rechts treppenförmig.

4.

Aufstellung einer Iiste aller für die kommende Periode in Frage kommenden Finanzierungsmöglichkeiten.

5.

Ermittlung der Effektivbelastung aller Finanzierungsmöglichkeiten.

2 3

Vgl. Dean, J.: Capital Budgeting, 3. Auflage, New York 1956, S. 80 ff. Nachfolgende Darstellung des Kapitalbudget-Ansatzes erfolgt in Anlehnung an die sehr übersichtliche Bearbeitung unter Verwendung des Zahlenbeispiels von Däumler, K.-D.: Betriebliche Finanzwirtschaft, 4. Auflage, Herne Berlin 1989, S. 68 ff. Weitere Ausführungen siehe Spremann, K.: Investition und Finanzierung, München Wien 1990, S. 414ff.

63

6.

Ordnung der Finanzierungsmöglichkeiten nach steigendem FK-Zins. Die Rangfolge der Finanzierungsmöglichkeiten ergibt die Angebotskurve für das Kapital. Die Kapitalangebotskurve zeigt einen von links nach rechts steigenden treppenförmigen Verlauf.

7.

Der Schnittpunkt der Kapitalnachfrage- mit der Kapitalangebotskurve gibt das optimale Investitions- und Finanzierungsvolumen an. Alle Investitionen mit einer Rentabilität unterhalb des durch S gegebenen Zinssatzes (point of rejection = Punkt der Ablehnung) werden zurückgewiesen. Im Punkt S sind die Grenzerträge gerade gleich den Grenzkosten. S trennt also den Bereich der vorteilhaften Investitionen von jenem der unvorteilhaften Investitionen.

if r

(%)

i (GK) Kapital angebotsfunktio n

I s

I

I

point of rejecti on

·~ Kapitalnach fragefunkti on r(GK)

QL--------------------------+------------------- -> GK

Investition

(DM) Investitionen

Abb. 3.2: Kapitalangebots- und Kapitalnachfragefunktion Das Problem der simultanen Investitions- und Finanzplanung kann nicht nur mit Hilfe des Kapitalbudgets, sondern letztlich auch genauer unter Erfassung direkter und indirekter Interdependenzen im Investitions- und Finanzierungsbereich mittels linearer Optimierung gelöst werden. Ähnlich wie bei dem Kapitalbudget sind die Investitions- und Finanzierungsmöglichkeiten vorgegeben, direkte Interdependenzen werden vom Kapitalbudget-Ansatz nicht erfaßt. Deshalb muß die exakte Lösung des Problems dann durch Einsatz eines EDV-Programmes erfolgen. Bei einfacheren Problemstellungen kann die Lösung u.U. auch noch manuell gefunden werden4. Der Vorteil der linearen Optimierung besteht darin, daß unterschiedliche Investitions- und Finanzierungslaufzeiten explizit berücksichtigt werden, was beim Kapitalbudget nicht möglich ist, es wird fristenkongruente Finanzierung vorausgesetzt. Die Arbeitsweise des Kapitalbudget-Ansatzes soll nun konkret in Verbindung mit einer Übungsaufgabe genauer erläutert werden. Übungsaufgabe: Einem Unternehmer bieten sich in der Planungsperiode die folgenden vollständig teilbaren Investitions- und Finanzierungsmöglichkeiten.

4

64

Vgl. hierzu Wiedling, H.: Lineare Planungstechnik, Gernsbach oJ. (1981) S.128 ff. u. 181ff.

Inv.Alternative /Projekt

Anschaf- Rentabilität Kredit- Kredit- F~emdkapitalfungs- der Sachin- alter- betrag ZlnS DM auszah- vestition native in GE lung DM 1FK in--DM*Jahr r in - DM* Jahr

1

100

0,14

1

100.000

0,13

2

200

0,12

2

200.000

0,10

3

50

0,095

3

50.000

0,09

4

100

0,08

4

100.000

0,07

5

50

0,07

5

50.000

0,06

Tab. 3.2: Investitions- und Finanzierungsalternativen einer Planungsperiode Lösung: Die Tabelle zeigt, daß ein Spezialfall betrachtet wird, bei dem für jede Investition genau ein Kredit existiert, der 1. betragsmäßig ausreicht und

2. mit seinem Zinssatz knapp unter der Rendite der Investition liegt. (Vorteil: Laufzeiten von Kredit und Investition können u.U. identisch gestaltet werden ( = fristenkongruente Finanzierung)) Tatsächlich istjeder Kredit für die Finanzierungjeder Investition verwendbar. Es gibt zwei Lösungsmöglichkeiten für das Planungsproblem: ( 1)

Tragfähigkeitsprinzip: Die zinsgünstigeren Kredite werden zur Finanzierung der rentabilitätsschwächeren Investitionen verwendet, damit die teureren Kredite zur Finanzierung der rentabilitätsstärkeren Investitionen eingesetzt werden können. Der Grundgedanke ist, daß eine renditestarke Investition eine teure Finanzierung tragen kann. Diese Vorgehensweise erscheint zunächst plausibel und läßt sich deshalb gelegentlich in der betrieblichen Praxis finden.

(2)

Finanztheoretischer Ansatz: Ein finanztheoretisch fundierter Ansatz verlangt, daß die Investition mit der höchsten Rentabilität mit dem zinsgünstigsten Kredit finanziert wird, während die teureren Kredite zur Finanzierung der schwächeren Investitionen verwendet werden.

65

Vergleich der beiden Vorgehensweisen: Ein Blick auf die Tabelle zeigt, daß man unter Anwendung des Tragfähigkeitsprinzips das gesamte Investitionsprogramm realisieren könnte:

Inv. Inv:= Kreditbetrag in GE Inv. = FK 5

Diff. zwischen Übersch. in GE Rentabilität u. d = FK*(r-irK) FK-Zinssatz in %

1

100.000

(14-13)% = 1%

1.000

2

200.000

(12-10)% = 2%

4.000

3

50.000

4

100.000

(8-7)% = 1%

1.000

5

50.000

(7-6)% = 1%

500

(9,5-9)% = 0,5%

gesamter Überschuß je Periode

250

:E= 6.750 DM/Jahr

Tab. 3.3: Überschußermittlung nach dem Tragfähigkeisprinzip Es stellt sich aber nun die Frage, ob der finanztheoretische Ansatz (2) der Finanzierung nach dem Tragfähigkeitsprinzip (1) vorzuziehen ist. Falls der Kapitalbudget-Ansatz ökonomisch überlegen ist, müßte ein nach (2) ermitteltes Investitions- und Finanzierungsprogramm einen höheren Überschuß ausweisen als das mit dem Ansatz (1) berechnete. Die Investitionsobjekte werden nach sinkenden Renditen und die Finanzierungsmöglichkeiten nach steigenden Effektivbelastungen geordnet. In der Abbildung stellt die Treppenfunktion der Investitionsvorhaben die Kapitalnachfragefunktion dar. Die Treppenfunktion der Finanzierungsmöglichkeiten repräsentiert wiederum die Kapitalangebotsfunktion.

5

66

Das Investitionsvolumen entspricht jeweils dem für die Finanzierung notwendigen Kreditbetrag

if

r 0,14

(%)

Inv.

1

Inv.

0,12

2

Inv.

0,10

Kred. 1 3

Inv.

Kred. 2 Kred. 3

0,08

4

Inv. 5

Kred. 4

0,06

Kre. 5 0,04 0,02

GK 0 100

200

300

400

I'

500 (TOM)

Abb. 3.3: Kapitalbudget-Ansatz Aus der graphischen Lösung der Aufgabe wird deutlich, daß das optimale Investitions- und Finanzierungsvolumen GKopt bei 300.000 DM liegt. Es werden die Investitionen 1 und 2 durchgeführt. Die Finanzierung erfolgt durch die Kredite 5, 4 und 3 sowie durch einen Teil des Kredites 2. Die in Tabelle 3.4 dargestellte rechnerische Lösung weist auch den mithilfe der Anwendung des Kapitalbudget-Ansatzes erzielbaren Überschuß aus.

In Anspruch genommene Kredite jährlicher Zinsaufwand KFK= FK*iFK in DM/Jahr Kredit 5

50.000 * 0,06 = 3000

Kredit 4

100.000 * 0,07 = 7000

Kredit 3

50.000 * 0,09 = 4500

Kredit 2(Teilinanspruchnahme) 100.000 * 0,10 = 10000 Gesamter Zinsaufwand pro Jahr = Durchgeführte Investitionen

KFK

= 24500

Jährliche Erträge in GE/PE

Investition 1

100.000 * 0,14 = 14000

Investition 2

200.000 * 0,12 = 24000

Gesamte jährliche Erträge

= Gbrutto

= 38000

Gesamter Oberschuß pro Jahr Gnetto=Gbrutto-KFK=!1§QQ Tab. 3.4: Überschußermittlung nach Kapitalbudget-Ansatz 67

Zusammenfassend läßt sich somit festhalten, daß das durch den finanztheoretischen Ansatz determinierte Investitions- und Finanzierungsvolumen gegenüber der Lösung nach dem Tragfähigkeisprinzip einen verdoppelten Gesamt-Überschuß von 13.500 DM GE/PE erbringt. Bei dem bisherigen Beispiellag derSchnittpunktSinnerhalb des Kredites 2; Kredite sind i.d.R teilbar, im Gegensatz zu Investitionen, die in aller Regel nicht teilbar sind. Es ist jetzt zu zeigen, in welcher Weise das optimale Investitions- und Finanzierungsvolumen zu bestimmen ist, wenn die Investition nicht teilbar ist. Übungsaufgabe:

Für die nachfolgende Datensituation ist das optimale Investitions- und Finanzierungsprogramm gesucht:

Inv.Alternative /Projekt

Anschaf- Rentabilität Kreditder Sachin- alterfungsnative auszah- vestition lung DM r in - DM*Jahr

Kredit- Fremdkapitalbetrag zins DM in GE i FK in - - DM* Jahr

1

100

14

1

100

6

2

100

12

2

200

8

3

150

10

3

50

12

4

150

9

4

150

14

Tabelle 3.5.: Investitions- und Finanzierungsalternativen Lösung: Die graphische Lösung zeigt die Abbildung 3.3.

Als Schnittpunkt von Kapitalangebots- und Kapitalnachfragefunktion ergibt sich

durch S ein (theoretisch) optimales Investitions- und Finanzierungsvolumen von 300000 DM. Die Investition 3 müßte jedoch geteilt werden, sie wäre nur zu zwei Dritteln durchzuführen. Dieses ist in der Praxis unmöglich. Somit hat der Investor zwei Möglichkeiten: (1) (2)

Die Investition 3 ist vollständig durchzuführen. Dabei ist auch der Kredit 3 in Anspruch zu nehmen, dessen Zinssatz über der Investitionsrendite liegt. Die Investition 3 ist zu unterlassen. Dann wird ein Teil des Kredites 2 nicht genutzt, dessen Zinssatz unter der Investitionsrendite liegt.

Der Investor wird sich für die bessere (gewinnträchtigere) Alternative entscheiden.

68

Damit muß geprüft werden, ob der Punkt P 1 oder der Punkt P2 vorteilhafter ist. Beim Übergang von Pl nach P2 erhält der Investor Grenzgewinne, deren Summe durch die Fläche F 1 Wiedergegeben ist. Der Investor erleidet Grenzverluste, deren Höhe durch F 2 gegeben ist. Die Summe der Grl?.nzgewinne ist offenbar größer als die Summe der Grenzverluste, somit lohnt sich der Obergang von P 1 auf P2 . A

if in GE/GE*PE r Inv. 1 0,14

I

0,12

Kapitalangebots funktion

Kred. 4 Kred.3 Inv. 2

Inv. 3

0,10

IF211 lp2

p1

0,08

II II F1llll

I

0,06

Kred. 2

Inv. 4

Kapitalnachfrage funktion

Kred. 1 0,04 0,02 0

I 100

I 200

300

I 400

GK in TOM I> 500

Abb. 3.3: Kapitalbudget bei nicht teilbaren Investitionen Dieses läßt sich auch rechnerisch nachweisen: Die vollständige Durchführung der Investition 3 erbringt jährliche Einzahlungen von E3 = e3 * r3 = 150.000 DM* 0,10 DM/DM* Jahr= 15.000 DM/Jahr Zur Finanzierung werden 100.000 DM von Kredit 2 sowie der Kredit 3 herangezogen. Die jährlichen Auszahlungen A für die Finanzierung belaufen sich mithin auf A2+A3

= a2 * iFk2 + a3 * iFk3 = 100.000DM * 0,08DM/DM*Jahr + 50.000DM * 0,12DM/DM*Jahr = 14.000 DM/Jahr

Per Saldo bleibt nach Durchführung von Investition 3 noch ein Gewinn G von

= 15.000- 14.000 = 1.000 DM/Jahr = > Investition ist vorteilhaft. Als wichtigste Kritikpunkte des Kapitalbudget-Ansatzes sind zu nennen:

69

(1)

Im praktischen Fall hängen die Finanzierungsmöglichkeiten häufig von den Investitionsmöglichkeiten ab, da die Frage der Kreditsicherung in Zusammenhang mit den angeschafften Investitionsobjekten zu sehen ist.

(2)

Der Effektivzinssatz für das Fremdkapital kann, etwa in Folge der Abzugsfähigkeit der Fremdkapitalzinsen bei der Ermittlung des steuerpflichtigen Gewinnes, niedriger sein als der Effektivzinssatz für das Eigenkapital. Dann ist die Regel, daß die Finanzierungsquellen nacheinander gemäß Höhe ihrer Effektivverzinsung in Anspruch zu nehmen sind, nicht anwendbar, weil (das billigere) Fremdkapital im Regelfall nur aufgenommen werden kann, wenn auch (teureres) Eigenkapital eingesetzt wird. Das Verfahren des finanztheoretischen Ansatzes läßt sich indessen so modifizieren, daß beiden Einwänden Rechnung getragen wird.

(3)

Annahme gleichbleibender Zahlungen oder Umwandlung von Zahlungsreihen ist notwendig (z.B. Anwendung der Annuitätenmethode).

(4)

Fristenkongruente Finanzierung oder Prolongation von Krediten.

Ein Vergleich mit dem später in den Kapiteln 5 und 6 zu behandelnden Integrationsmodellen wird zeigen, daß die Kritikpunkte (1) bis (4) noch unvollständig sind, was die Finanzierungspraxis bei größeren Investitionsprogrammen anbelangt. Trotzdem vermittelt das von Dean vorgeschlagene Modell wichtige Grundkenntnisse für die Praxis simultaner Finanz- und Investitionsplanung, die in vergleichbarer Anschaulichkeit aus notwendigerweise viel aufwendigeren Planungsansätzen für komplexere Problemstellungen nicht so leicht zu gewinnen sind. Der Kapitalbudget-Ansatz ist eine übersichtliche und ergänzende Bestätigung betriebswirtschaftlicher Grundüberlegungen, die die allgemeine Umsetzung der Analysen zum Leverage-Effekt für die Unternehmensfinanzierung rechtfertigen.

70

4. Anwendungen der Investitionsrechnung Nachfolgende Anwendungsfälle sind für die einfacheren Planungsprobleme als Beispiel-Rechnungen den Haupteinsatzgebieten der klassischen Methoden zuzurechnen. Nach einer allgemeinen Behandlung der Haupteinsatzgebiete und Rechnungen werden einige wenige Grundlagen der Entscheidungstheorie als Einstieg in die Problematik mehrstufiger Investitionsentscheidungen benutzt.

4.1. Haupteinsatzgebiete klassischer Methoden und Methodenwahl Im Falle des Vorliegens einfacher Problemstrukturen werden Investitionsrechnungen, die i.d.R. noch 'von Hand' ausgeführt werden können, für folgende Anwendungsfälle benutzt: (1)

Auswahl von lnvestitionsobjekten: Lösung des Wahlproblems durch Auswahl der vorteilhaftesten Investition

(2)

Stillegong von lnvestitionsobjekten: Errechnung des optimalen Stillegungs- oder Veräußerungszeitpunktes

(3)

Ersatz von Investitionsobjekten: Errechnung eines optimalen Ersatzzeitpunktes

(4)

Erfassung des technischen Fortschritts: ökonomische/finanzmathematische Bewertung technischer Neuentwicklungen ggf. unter Erfassung alternativer Einsatzzeitpunkte

(1) bis (4) sind Haupteinsatzgebiete der klassischen Investitionsrechnung, wenn Einzelentscheidungen zu treffen sind oder wenn Investitionsprogramme irrfolge nur schwach ausgeprägter Interdependenzen noch in Einzelentscheidungen zerlegt werden können; (1) bis (4) können einzeln oder in Kombination auftreten, wie anschließend noch durch Beispiele zu verdeutlichen sein wird. Ziele der Methodenanwendungen sind: (1)

Beurteilung der ökonomischen Vorteilhaftigkeit von Investitionen,

(2)

Maximierung des Vorteilhaftigkeitskriteriums unter Berücksichtigung aller entscheidungsrelevanten Sachverhalte (die klassischen Methoden werden somit auch zur Grundlage von mathematischen Optimierungsansätzen, vgl. Kapitel4, 5, 6 und 7.

4.2. Wahlproblem Von mehreren möglichen Investitionsprojekten kann nur eines verwirklicht werden. Der häufigste Grund sind technisch sich gegenseitig ausschließende Alternativen, aber auch knappe FinanzmitteL Zu bestimmen ist das 'gewinngünstigste' Projekt unter Anwendung eines geeigneten Vorteilhaftigkeitskriteriums. Zwecks Lösung des Wahlproblems wird ein Vergleich durchgeführt von Investitionen mit gleichen oder ungleichen Zahlungen sowie Investitionen mit gleicher oder ungleicher Lebensdauer. 71

Unterschiede in den ökonomischen Vorteilhaftigkeiten von Investitionsprojekten entstehen durch Zahlungsunterschiede:

ao

Zahlungstruktur

Breite et - at für alle t

Länge n

Bsp.: 2 Investitionsprojekte A und B sind unterschiedlich in Zahlungen und Laufzeit: IA: -1200 0 + 100 1 + 600 2 + 500 3 + 0 4 + 0 5 1 8 : - soo 0 + 200 1 + 4oo 2 + 3oo 3 +1oo 4 +2oo 5

Ein Vergleich beider Investitionen zeigt folgende verfügbare Differenzbeträge aus den Zahlungsreihen, die für Differenz-/Ergänzungsinvestitionen zur Verfügung stehen:

Breitendiskrepanz

Längendiskrepanz

Die Differenzbeträge können einer Wiederanlage zugeführt werden in Form einer - Sachinvestition, - Finanzinvestition, - zinslosen Kassenhaltung. In t=O verbleibt so z.B. bei Wahl von B gegenüber A für den Investor ein Betrag von 400 GE, über dessen Verwendung noch befunden werden muß. Bei einer größeren Anzahl von Investitionsalternativen ist die Bestimmung der Differenzbeträge umständlich. Deshalb sind allgemeine Regeln anzuwenden, die sicherstellen, daß Vorteilhaftigkeitsunterschiede konstant gehalten werden; die Einhaltung der Prämissen der dynamischen Methoden wird damit zur zwingenden Voraussetzung für deren richtige Anwendung (vgl. unter Punkt 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3.). Bei der Lösung des Auswahlproblems bei mehreren Investitionsalternativen ist ein weiteres Problem zu beachten, das aus dem Vergleich von vier Investitionsalternativen bei Anwendung der aus dem dynamischen Verfahren bekannten verschiedenen Vorteilhaftigkeitskriterien gemäß Tabelle 4.1 ersichtlich wird; die eingerahmten Ziffern zeigen jeweils die vorteilhafteste Investition an.

72

Projekt

A

c

B

D

ao

100.000

100.000

100.000

100.000

d

70.000

48.500

40.000

30.000

n

2

4

6

9

i

0,07

0,07

0,07

0,07

1,428571

2,061855

2,5

3,33

----------- ----------- ----------- ----------- ----------a0/d

Co

26.561,2715 64.279,7461 90.661,5859 95.456,9687

A

14.690,8213 18.977,1875 19.020,4199 14.651,3525

r tpo

25,7

33,01

32,66

26,35

1,56537

2,31109

2,8480

3,92966

Tabelle 4.1: Vorteilhaftigkeitsvergleich mit Hilfe unterschiedlicher Kriterien Das Investitionswahlproblem wird durch ein Methodenwahlproblem überlagert; das Methodenwahlproblem wird dadurch gelöst, daß je nach Erfüllung der methodenspezifischen Prämissen das zutreffende Vorteilhaftigkeitskriterium gewählt wird. Erst im Anschluß ist das Investitionswahlproblem einwandfrei lösbar. Ein weiteres Investitionswahlproblem ist nun für die alternativen Investitionsprojekte A und B zu lösen. Auf der Grundlage der in Tabelle 4.2. unter ao dt jeweils spaltenweise angegebenen Daten ist für einen Kalkulationszinssatz von 'i=O,l GE/GE*PE ( =Kapitalmarktzins) das vorteilhafteste Projekt auszuwählen. Es ist die Kapitalwertmethode anzuwenden.

A

Projekt Zahlungszeitpunkte t

ao, dt in GE, GE/PE

0

-110.000

B

(1+i)-t dt*(1+i)-t ao, dt in GE, GE*PE in GE in-GE/PE GE

-

-110.000,0 -50.000

(1+i)-t dt*(1+i)-t GE* PE in GE in-GE -

-50.000,0

1

35.000 0,9091

31.818,5 35.000 0,9091

31.818,5

2

45.000 0,8264

37.188,0 30.000 0,8264

24.792,0

3

35.000 0,7513

26.295,5

4

20.000 0,6830

13.660,0

5

15.000 0,6209

9.313,5

CoA= -a 0 + ~ dt (1+i)-t t

= 8.275,5 CoB

= 6.610,5

Tabelle 4.2: Alternativenvergleich unter Anwedung der Kapitalwertmethode 73

Ergebnis: Projekt A ist Projekt B vorzuziehen, weil CoA > CoB· Werden Differenzinvestitionen zum Kalkulationszinsfuß i getätigt, so dürfen Vorteilhaftigkeiten bzw. Vorteilhaftigkeitsunterschiede nicht verändert werden. Ein Projektvergleich muß somit auch mit Hilfe von Differenzinvestitionen möglich sein:

Projekt

A

Zahlungszeitpunkte t 0

B

Differenzinvestition AB

ao, dt

ao, dt

DBB

(1+i)-t

DBBt (1+i)-t

in GE, GE/PE

in GE, GE/PE

in GE, GE/PE

in GE*PE/GE

in GE

-110.000 - 50.000

-60.000

-

-60.000

1

35.000

35.000

0

0,9091

0

2

45.000

30.000

15.000

0,8264

12.396

3

35.000

35.000

0,7513

26.295,5

4

20.000

20.000

0,6830

13.660,0

5

15.000

15.000

0,6209

9.313,5

CoA - Cos

~ DBstP+i)-t t

=

=

1.665,0

Tabelle 4.3: Kapitalwert der Differenzinvestition A- B Der Kapitalwert der Differenzinvestition beträgt somit 1.665,0 GE, es war 8.275,5 GE 6.610,5 GE ßCoAB

=

1.665,0 GE;

das Projekt A ist aufgrund der Kapitalwertdifferenz aus der Tab. 4.2. gegenüber B um denselben Betrag von 1.665 GE der Tabelle 4.3 bezogen auf t = 0 besser. Somit gibt die Anlage der Differenzbeträge zu i die Vorteilhaftigkeitsabstände zwischen beiden Investitionen richtig wieder. Wie das Rechenbeispiel der Tabelle 4.3 zeigt, ist es bei gegebener Prämissenerfüllung regelmäßig nicht notwendig, eine Ertragsanalyse hinsichtlich der Anlage von Differenzbeträgen durchzuführen. Eine Beachtung der aufgrund unterschiedlicher Zahlungsreihen entstehenden Differenzbeträge wird jedoch dann notwendig sein, wenn Anlagemöglichkeiten zum Kalkulationszinssatz i nicht gegeben sind (=unvollkommener Kapitalmarkt). Das bisherige Beispiel ging davon aus, daß das Projekt B mit der gegenüber A um drei Jahre kürzeren Laufzeit keinen Nachfolger hat. Unerheblich wäre eine Allschlußinvestition mit einem Kapitalwert von c0 = 0. Müßte dagegen eine Anschlußinvestition mit einem Kapitalwert c0 9= 0 die Produktion über einen Zeitraum von fünf Jahren sicherstellen, ist ein Nachfolger für B zu berücksichtigen. Der Projektvergleich für B hat damit eine Investitionskette zu erfassen, für die nunmehr die nachfolgende Zahlungsreihe gelten soll:

74

Projekt B

Vorgänger

Nachfolger a~, dj in G ,GE PE

Zahlungs- Barwerte zeitpunkte dt(1+iLt t in GE 0

CoB

CoB

(1+i)-t in GE* PE/GE

dt (l+i) -t in GE

-50.000

1

31.818,5

2

24.792,0

0,9091 -60.000

0,8264

-49.584

3

35.000

0,7513

26.295

4

30.000

0,6830

20.490

5 V=

15.000

0,6209

6.610,5

CoB

I K

=

CoB

9.313,5

N

>

V

+

CoB

6.514,5

=

N

+ 6.610,5 13.125,0

=

Tabelle 4.4: Investitionskette, Projekt B mit einem Nachfolger Wird zum Ausgleich der Längendiskrepanz an das ursprüngliche Projekt B ein Nachfolger angeschlossen, so verändert sich die Vorteilhaftigkeit von B infolge Kettenbildung nachhaltig: CoA

=

8.275,5 GE < CoBK

=

13.125 GE,

d.h., daß das Projekt B mit einem Nachfolger dem Projekt A vorzuzuziehen ist. Der Vergleich von Investitionen mit mehreren Nachfolgern führt zu folgender Problemstellung, die in Abb. 4.1. veranschaulicht wird. n

2n

3n

Maschine 1 Maschine 2 Maschine 3

con

t:----> t

0

Abb. 4.1: Unendliche Investitionskette Bei identischer Wiederholung und hinreichend langem Planzeitraum (t ~ 20 Jahre) kann näherungsweise auch dann eine unendliche Investitionskette unterstellt werden, wenn es sich tatsächlich um eine endliche Kette handelt. Für den Fall der Betrachtung der Projekte A und B mit einer hinreichend großen Anzahl identischer Nachfolger (=unendliche Wiederholung gemäß Annahme) sind die Investitionsketten von A und B zu vergleichen. Der Kapitalwert eines Projektes wird zunächst in eine Annuität 75

umgewandelt, die Annuität bildet dann eine unendliche Zahlungsreihe, die auf t = 0 abzuzinsen ist: 1

i Für die Projekte A und B lassen sich nun folgende Kapitalwerte berechnen:

*

CoAK(n=5) = c 0 A(n=5)

8.275,5

KWF(i=0,1;n=5)

i=0,1 0,2638

*

0,1

21.830,77 GE

c08 (n=3) * 6.610,5

KWF(i=0,1;n=3)

*

i=0,1 0,4021 0,1

26.580,82 GE

Der Vergleich der Projekte A und B mit mehreren Nachfolgern zeigt eine Umkehrung der Vorteilhaftigkeiten: Cos

K

> CoA

K

Das Ergebnis steht im Gegensatz zur Bewertung der Projekte ohne Nachfolger. Es zeigt, daß sich selbst bei identischen Nachfolgern einmal ermittelte Vorteilhaftigkeiten nachhaltig verändern. Nachfolgeinvestitionen sind also in Planungsrechnungen mit in die Projektbewertung einzubeziehen soweit es die Datenqualität zuläßt und die Lebensdauer der Grundinvestition innerhalb eines angemessen langen Planungshorizontes liegt.

4.3. Optimale Stillegong Für die Berechnung des optimalen Stillegungszeitpunktes gilt die Zielsetzung daß der Kapitalwert zum Maximum wird; es handelt sich hierbei um die Berechnung einer wirtschaftlich optimalen Nutzungsdauer unter Berücksichtigung von nutzungsdauerabhängigen Restwertentwicklungen.

c0- > max. Die Einsatzzeit n ist nun so festzulegen,

76

Zusätzliche Symbole: RWt=

Wiederverkaufswert, Restwert eines Investitionsobjektes bezogen auf das Ende der Periode t in GE/PE

NDopt = wirtschaftlich optimale Nutzungsdauer

NDopt

c 0 = -a 0 + ~

t=l

(et-at> (l+i)-t +RWND

opt

(l+i)

-NDopt

-> max

ND 0 t ist eine variable Summationsobergrenze, die durch das Maximum der Kapi-

talw~tfunktion bestimmt wird. Befindet sich ein Investitionsobjekt bereits im Betrieb

(der Beschaffungsvorgang ist abgeschlossen, die Anschaffungsauszahlung getätigt), so ist a 0 nicht mehr entscheidungsrelevant und deshalb bei der Errechnung der wirtschaftlich optimalen ND wegzulassen. Es wird dann nur noch der Kapitalwert ausgewiesen, der durch Disposition beeinflußt werden kann. Befindet sich das Investitionsobjekt dagegen noch nicht im Betrieb( =Investition im Projektierungsstadium), so ist ~ entscheidungsrelevant In beiden Fällen ist die Lebensdauer einer Investition im Uegensatz zu den früheren Ausführungen nunmehr eine zusätzliche Entscheidungsvariable, deren Wert über eine sukzessive Verlängerung der Nutzungsdauer um jeweils eine Periode rechnerisch bestimmt werden kann. Eine Tabellenrechnung nach dem Muster der nachfolgenden Tabelle 4.5. liefert den maximalen Kapitalwert und die dazugehörige wirtschaftlich optimale Nutzungsdauer.

Übungsaufgabe: Eine bereits im Betrieb befindliche Produktionsanlage soll unter Berücksichtigung zeitabhängiger Restwertreduzierungen und vorhandener Produktions- und Absatzmöglichkeiten stillgelegt werden. Es gilt die folgende Datensituation:

t Jahr

Verkaufs- variable preis p Kosten GE/ME kv GE/ME

Absatz- Restwert menge X GE/PE ME/PE

1

500

200

1.000

600.000

2

480

230

1.200

450.000

3

450

250

900

350.000

4

450

260

1.000

200.000

5

450

270

1.000

0

Der Kapitalmarktzins beträgt 10%. Lösung: Die Anschaffungsauszahlung a0 ist nicht entscheidungsrelevant, der Rechenansatz lautet:

(l+i)

-NDopt

-> max

Als Entscheidungsmöglichkeiten sind gegeben: n = 1, 2, 3, 4, 5 Jahre

77

t

dt

(1+i)-t

kumulierte

dt(l+i)-t

RW (l!i)-t

c0 (t)

Jahr

in GE/PE

1

300.000

0,90909

272.727

272.727

545.455

818.182

2

300.000

0,826446

247.934

520.661

371.901

892.562

3

180.000

0,751314

135.237

655.898

262.960

918.858

4

190.000

0,683013

129.772

785.670

136.603

922.273

5

180.000

0,620921

111.766

897.436

0

879.436

:E

dt (l+i) -t

Tabelle 4.5.: Bestimmung der wirtschaftlich optimalen Nutzungsdauer einer bereits im Betrieb befindlichen Investition = > NDopt = 4 Jahre, d.h., die Anlage wird mit Ablauf von vier Jahren stillgelegt/weiterverkauft. Unter Praxisbedingungen wird allerdings schon mit dem Ablauf des dritten Jahres versucht werden, eine Weiterveräußerung der Anlage zu erreichen, da der (unsichere) Ergebniszuwachs für das vierte Betriebsjahr nur noch relativ gering ist. Die optimale Stillegung kann auch mit dem Ersatzproblem kombiniert werden. Hierbei handelt es sich nicht mehr um den Abbruch der Investitionstätigkeit sondern um deren Fortführung, die durch eine Reihe von Alternativen für die Wahl der Allschlußinvestition gekennzeichnet ist. Simultan ist die Festlegung des gesamtoptimalen Anschlußzeitpunktes (=optimale Stillegung der Vorgängerinvestition) vorzunehmen.

4.4. Ersatzproblem Das Ersatzproblem kann in verschiedenen Variationen auftreten. Die Abbildung 4.2 zeigt hierzu am Beispiel einer Produktionsanlage verschiedene Erscheinungsformen des Ersatzproblems.

vorhandene oder zu beschaffende Produktionstechnologie

einmaliger mehrmaliger Ersatz durch identischer identischer techn. WeiterErsatz Ersatz entwicklung

------------------------- -> zunehmende Datenunsicherheit

Ersatz durch neue Technologie

Erfassung des technischen Fortschrittes

Abb. 4.2: Ersatzalternativen bei einer Produktionsinvestition

78

Der einmalige identische Ersatz ist rechnerisch wie die Anschlußinvestition bei Projekt B unter Punkt 4.2. dargestellt zu behandeln. Der mehrmalige identische Ersatz wirft bei nicht vorab festgelegten Nutzungsdauern einige noch nicht behandelte Fragen auf. Das früher behandelte Problem mit mehreren Nachfolgern ging von vorgegebener Nutzungsdauer aus. Für die mehrfache identische Wiederholung kann bei einem hinreichend langen Planzeitraum (t> 20 Jahre) näherungsweise eine unendliche Wiederholung der Investition unterstellt werden; die wirtschaftlich optimale Nutzungsdauer für die Grundinvestition und alle identischen Nachfolger gilt es nunmehr bei variabler Einsatzzeit zu bestimmen. Es entstehen unendlich häufige Zahlungen, die sich aus den Kapitalwerten als uniforme, äquidistante Zahlungsreihe für eine Investitionskette berechnen lassen; c0~ ist eine Funktion von T, wobei T letztendlich die gesuchte wirtschaftlich optimale NutzungsdauerNDopt aller Einzelprojekte ist:

c 0K (t) = A(t) *

1

i

*-

C0 (t) KWF(i,t)

c 0 (t) *

-

(l+i) t_1

*

1

i

i

Bei vorgegebenem Kalkulationszinsfuß ist t zu variieren, es gilt die folgende Zielfunktion: Die Variable t kannjeden Wert aus dem Wertebereich OstsT annehmen. Wenn

c0

K(t)

. = max. ,dann 1st

-

t

= NDopt·

Die Nutzungsdauer t wird i.d.R. innerhalb von Tabellenrechnungen diskret, beginnend mit t =1 in aufsteigender Folge sukzessive solange variiert, bis eine vom Investor für längstmöglich erachtete, gegebenenfalls eine technisch bedingt, maximal mögliche Nutzungsdauer erreicht ist. Die vom Standpunkt der Investitionsrechnung aus gesehen wichtigsten Schritte zur Lösung des hier vorliegenden Planungsproblems lassen sich wie folgt nennen: (1)

Bestimmung des Variationsbereiches von t

(2)

Ermittlung der Periodendeckungsbeiträge dt für alle t =1, 2, ... ,t

(3)

Marktanalyse auf Second-hand-Märkten zur realitätsnahen Bestimmung von Wertminderungsverläufen für das Investitionsobjekt

(5)

Abzinsung der Periodendeckungsbeiträge der Grundinvestition auf t =0

(6)

Kumulation der abgezinsten Periodendeckungsbeiträge unter sukzessiver Verlängerung der Nutzungsdauer der Grundinvestition

(7)

Abzinsung der Restwerte RWt auft=O

79

(8)

Kapitalwertberechnung über die Bestimmungsgleichung

c 0 = -a 0 +

t

E dt (l+i)-t + RWt (l+i)-t -> max t=l

Kapitalwertumrechnung in eine Annuität A(t) und deren Abzinsung auf t =0

(9)

Die Lösungsschritte (1) bis (9) können im Zusammenhang mit der Ermittlung der optimalen Nutzungsdauer mit Hilfe der nachfolgenden Übungsaufgabe nachvollzogen bzw. am Zahlenbeispiel geübt werden; die unter Praxisbedingungen notwendigen Schritte (1) bis (4) sind durch die Vorgabe der Datensituation als bereits vollzogen anzusehen. Übungsaufgabe: Ein Unternehmen will sich über eine Lieferungsvereinbarung mit einem Hersteller eine bestimmte Produktionstechnik langfristig sichern. Für die Abnahme und den Einsatz der Anschlußinvestitionsobjekte sollen wirtschaftlich optimale Zeitpunkte fixiert werden. Da vorerst keine größeren technischen Veränderungen erwartet werden, kann für erste Planungsrechnungen ein identischer Ersatz mit mehrfacher Wiederholung angenommen werden. Es sind folgende Daten ermittelt worden:

ao = 200.000 i

=

GE 0,1 GE/GE*PE

Die technisch für maximal möglich erachtete Nutzungsdauer ND beträgt 6 Jahre, die übrigen Daten sind in den Spalten 2 und 3 der Tabelle 4.6 enthalten. Zu bestimmen ist ein gesamtoptimaler Wert für t. Lösung: Die Rechnung erfolgt am besten in Form einer Tabellenrechnung, die die größte Übersichtlichkeit bietet. Die Tabelle 4.6 zeigt über jeder Spalte jeweils die Rechenoperation, die zu den darunterstehenden Ergebnissen geführt hat. Ergebnis: t = 5, d.h., der wirtschaftlich optimale Stillegungs- bzw. Ersatzzeitpunkt liegt am Ende des 5. Jahres.

4.5. Kombination von Wahlproblem, optimaler Stillegong und Ersatzproblem Wie eingangs erwähnt, treten die meisten Problemstellungen i.d.R. nicht isoliert auf. Kombinierte Problernstellungen verlangen das anwendungsorientierte Zusammensetzen bisheriger Einzel-Lösungsansätze, das über die nachfolgende Aufgabenstellung gezeigt werden soll und zur Vertiefung des bisherigen Grundlagenstoffes geübt (und damit auch gelernt) werden kann. Die Übungsaufgabe ist in Teilaufgaben zerlegt, die verschiedene Problernschwerpunkte enthalten. Übungsaufgabe: Die Entscheidungsträger in einem Unternehmen möchten wissen, ob sich die Herstellung eines bisher noch nicht gefertigten Erzeugnisses lohnt. 80

......

00

2

6

7 = c0 (t)*

- - - -------

-----

-----------

2, 2961_ .. 203.132,3047 -

2.580,45 88.468,40

30.000

6 -----

209.979,7746

2,6380

10.644,36 79.598,09

17.142,85 0,620921 37.255,26 268.953,73 4.571,42 0,564474 16.934,22 285.887,95

60.000

5 -

181.262,1689 3,1547

25.759,34 57.457,81

37.714,28 0,683013 44.395,84 231.698,47

65.000

4

-

149.199,0552 4,0211

49.801,38 37.104,04

70.000

3

-

113.604,6165 5,7619

85.005,87 19.716,52

102.857,14 0,826446 61.983,45 134.710,65 66.285,71 0,751314 52.591,98 187.302,63

75.000

2

-

74.283,44

11,0

134.025,84 6.753,04

(l+i )t-1

(1+i)t

A(t)*1/i

72.727,20

c0(t)=-a 0 +I: dt(l+i)-t (1+i)t-1 t +RWt (l+i) -t

10

c0K(t)=

9 (1+i)t

8

147.428,57 0,909090 72.727,20

(l+i)-t dt(l+i)-t r: dt(l+i)-t RW(1+i) -t t

5

80.000

GE

RWt

4

1

GE/PE

3

Tabelle 4.6: Tabellenrechnung und Lösungsweg zur Bestimmung der wirtschaftlich optimalen Nutzungsdauer für technisch identische Investitionswiederholungen

t

Jahre dt=et-at

1

Daten: p

9,00 5,00

ky

DM/Stück DM/Stück

Für Beschaffung der Produktionsanlage einschließlich Nebenkosten beträgt die Anschaffungsauszahlung:

ao

80.000DM

Für Wartung und Instandhaltung sind in Form von beschäftigungsfixen Kosten KF aufzuwenden: KF

5.000 DM/Jahr,

die vorab festgelegte Nutzungsdauer ND beträgt: 6Jahre.

ND

Das Unternehmen erwartet einen Mindestabsatz von 8.000 ME/Jahr. 1. Teilaufgabe: Zu berechnen ist die Produktionsmenge, die auch jährlich abgesetzt werden muß, damit die von Neuinvestitionen geforderte Mindestrentabilität von 15% erreicht wird. Das Unternehmen erwartet außerdem einen Mindestabsatz von 8.000 Stück jährlich. Zusätzliche Symbole: X

jährliche Produktions- und Absatzmenge in Stück/Jahr

KF

beschäftigungsfixe Kosten in DM/Jahr

p

Netto-Verkaufspreis in DM/Jahr

ky

beschäftigungsvariable Kosten in DM/Stück

Lösung:

c0

= -a 0

+ d

*

ASF(i,n)

Da eine Mindestabsatzmenge gesucht ist, die der Mindestrentabilität von 15% entspricht, ist der Kapitalwert = Null zu setzen: 0

80.000 15,14 X

-a 0 + [(p-ky)* X- Kp] ASF(i=0,15;n=6) ((9-5)* X- 5.000] * 3,784 80.000 + 18.920 98.920

X

15,14 X = 6534 Stück/Jahr

Außerdem ist zu beachten:

82

Die errechnete Menge zur Erreichung der Mindestrentabilität beträgt 6534 Stück. Sie ist kleiner als 8000 Stück/Jahr. Die Investition ist damit auch bei einer Unterschreitung des Mindestabsatzes rentabilitätsmäßig nicht gefährdet. 2. Teilaufgabe Für die Neuinvestitionen hat das Unternehmen DM 100.000 EK zur Verfügung, beliebig hohe Beträge können am Kapitalmarkt zu i =8% angelegt werden; das bisherige Projekt sei das Projekt A, es ist mit denselben Daten identisch wiederholbar. Alternativ kommt das Projekt B in Betracht, die Investition ist nicht wiederholbar. Daten für Projekt B: Die für möglich erachtete Nutzungsdauer ND beträgt maximal 8 Jahre. Als weitere Daten wurden die Werte ermittelt, die bereits in die Spalten 2 und 3 der Tabellenrechnung der Tabelle 4.6. eingetragen sind. Welches Projekt ist vorzuziehen? Lösung: Für das Projekt A ist die mehrfache identische Wiederholung zu berücksichtigen. Berechnung von CoA zunächst ohne Wiederholung: -a 0 + [(p-ky)* X- KF] ASF(i=0,08;n=6) - 80.000 + [32.000 - 5.000] * 4,623 c 0 A(n=6)

44.821 GE

Bei periodischer Wiederholung der Investition nach jeweils 6 Jahren:

1

CoA(n=6) * KWF(0,08;6) *

i

44.821 4,623*0,08

Der Vergleich der Kapitalwerte von Projekt A bei identischer Wiederholung und von Projekt B mit optimierter Nutzungsdauer von 7 Jahren gemäß Rechnung in Tabelle 4.7 zeigt, daß CoA(n=oo) > CoBmax•

damit ist CoA die vorteilhaftere Investition. Aus betriebswirtschaftlicher Sicht ist zu den errechneten Ergebnissen jedoch anzumerken: 1.

der Vorteilhaftigkeitsunterschied beträgt lediglich 1,06%,

83

~

-ao,dt

Jahre t

RWt

3

30.000

30.000

40.000

50.000

50.000

40.000

35.000

30.000

20.000

2

3

4

5

6

7

8

1,360

1,260

1,166

1,08

1,0

(1+i)+t

I ,851

I, 714

1,587

1,469

4

10.805

17.503

22.054

27.229

36.765

39.683

34.305

27.778

-100.000

dt(l+i)-t

5 dt(l+i)-t

kumuliert in GE

t

l:

116.I22

105.3I7

87.8I4

65.760

38.531

1. 716

- 37.917

- 72.222

-100.000

6

2.701

14.586

18.904

20.422

22.059

23.810

25.729

27.778

50.000

in GE

RWt(1+i)-t

7

119.903 Cosmax 118.823

106.718

86.182

60.590

25.576

-12.188

-44.444

-50.000

c0(t)=-ao +I: dt (l+i) -t t +RWt(l+i)-t in GE

8

Tabelle 4.7: Projekt B, Vorteilhaftigkeitsberechnung mit Hilfe der Kapitalwertmethode unter Bestimmung der wirtschaftlich optimalen Nutzungsdauer

5.000

25.000

30.000

30.000

30.000

30.000

30.000

1

50.000

-100.000

0

in GE,GE/PE in GE/PE

2

1

2.

bei einer Laufzeit für das vorteilhaftere Projekt A von 6 Jahren ohne Wiederholung war CoA = 44.821 DM gegenüber CoB = 119.903 DM bei einer um nur 1 Jahr längeren Laufzeit von 7 Jahren gemäß Tabelle 4.7 deutlich unterlegen. Erst die unterstellte mehrfache Wiederholung bei Annahme n=co führte zu der geringen Überlegenheit von A gegenüber B.

Fazit: Wegen der Datenunsicherheit wäre hier dem Projekt B trotz seines geringfügig niedrigeren Kapitalwertes eindeutig der Vorzug zu geben.

4.6. Erfassung des technischen Fortschrittes Das Problem der Erfassung des technischen Fortschrittes besteht eigentlich darin, die ökonomischen Wirkungen der Weiterentwicklung einer Technik zu ermitteln. Ein entsprechendes Problem ergibt sich also immer erst dann, wenn eine verbesserte oder technisch weiterentwickelte Produktions-, Transport- oder anderer Technik angeboten wird. Die Behauptung der Technikverbesserung (regelmäßig in jeder Art von Prospektmaterial zu finden) durch einen Technologie-Anbieter sollte jedoch nicht zum Investitionsgrund werden. Aufgabe der Investitionsrechnung ist es, die Existenz einer wirtschaftlichen Vorteilhaftigkeil und gegebenenfalls deren Ausmaß, beispielsweise über eine Kapitalwertverbesserung, eine positive Veränderungen des internen Zinsfußes usw. für den Investor objektiv nachzuweisen. Scharf abzugrenzen ist demnach eine in Einzelfällen durchaus positiv zu sehende Weiterentwicklung der Technik, die eigenständiger Fortschritt sein kann, von einem technischen Fortschritt in ökonomischem Sinne. Ökonomischer Fortschritt einer Technik muß intersubjektiv nachvollziehbar und über eine Verbesserung der Vorteilhaftigkeitskennziffer als Vorteil für den Investor nachweisbar sein. Zwei Problemstellungen sind in Zusammenhang mit der Erfassung des technischen Fortschrittes zu erwarten: 1.

Wahlproblem (alte, neue Technik, mehrere Entwicklungsstandsalternativen bei neuer Technik mit vorab festgelegter Nutzungsdauer n oder mit Bestimmung der wirtschaftlich optimalen Nutzungsdauer NDopt als zusätzlichem Optimierungsparameter für den Investor bei fixiertem Entwicklungsstand.

2.

Fortgesetzte technische Weiterentwicklung während des Einsatzes einer bereits neuen Technik, d.h. daß während der Einsatzzeit einer technisch neuen Produktionsanlage o.ä. neue Weiterentwicklungen in Form von Gesamtanlagen oder Anlagenteilen zur Verfügung stehen (das Problem der Behandlung von weiterentwickelten Anlagenteilen soll wegen eines größeren Schwierigkeitsgrades im Abschnitt 6 behandelt werden).

Beide Problemstellungen treten bei genauerer Betrachtung der Entscheidungssituation in der Praxis kombiniert auf. Die rechnerische Handhabung einfacherer Planungsprobleme bei letztgenannter Entscheidungssituation kann bei Erfüllung bestimmter Voraussetzungen unter Anwendung der Kapitalwert-Methode in einem zweistufigen Verfahren erfolgen: (1) Aus mehreren Entwicklungsstandsalternativen wird die ökonomisch beste neue Anlage ausgewählt: Wahlproblem mit simultaner Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer. (2) Der in (1) ggf. optimierte Kapitalwert C0 N der Nachfolgerinvestition wird bei Vor~andensein einer Vorgängerinvestition als Einzahlung in Perioden bzw. t als Aquivalent der in diesem Zeitpunkt beginnenden, neuen Zahlungsreihe berücksichtigt. Da die Voraussetzung der Verschiebbarkeit von Kapitalwerten 85

auf der Zeitachse nur in wenigen Sonderfällen erfüllt ist, müßte C0 N für jeden der alternativ möglichen Einsatzzeitpunkte i.d.R. neu berechnet bzw. optimiert werden. Bei dem Vorhandensein einer Vorgängerinvestition ergeben sich bei technischem Fortschritt Investitionsketten der folgenden Form: Zusätzliche Symbole: a 0V

Anschaffungsauszahlung der Vorgängerinvestition in GE

dt V

Periodendeckungsbeitrag für Periode t in GE/PE für die Vorgängerinvestition Restwert der Vorgängerinvestition im wirtschaftlich optimalen Nutzungsende

c0 N

Kapitalwert der Nachfolgerinvestition gegebenenfalls unter Berücksichtigung des Wahlproblems bei zeitlicher Verschiebbarkeit auf der Zeitachse

-a 0V +

-t

~ dtv (l+i)-t + (RWEV+c 0N) (l+i)-t -> max

t=l

Der Kapitalwert ist zu maximieren. Werden die rechnerisch notwendigen Optimierungen und die einsatzzeitpunktbezogenen Kapitalwerte der technisch weiterentwikkelten Nachfolgeinvestition explizit erfaßt, ergibt sich als veränderte Kettenfunktion: Zusätzliche Symbole: =

optimale Nutzungsdauer der Nachfolgerinvestition unter Berücksichtigung des Nachfolger-Einsatzzeitpunktes in Jahren, PE

t

c0tN

Kapitalwert der Nachfolgerinvestition im Einsatzzeitpunkt in GE

f

optimales Nutzungsende der Vorgängerinvestition

t

-a 0v + ~ dtv(l+i)-t+(RWtv+CotN(t))*(l+i)-t-> max t=l

c 0 K(t,~)

Aus obigem Rechenansatz ergibt sich, daß der gegenüber dem Vorgänger technisch weiterentwickelte Nachfolger bei einer Maximierung des Kapitalwertes für die Invj.j stitionskette umso früher zum Einsatz kommen muß, je größer der Kapitalwert c 1 und damit der Vorteil für den Investor ist. Die bisherigen Erläuterungen und die Verwendung der angeführten Rechenansätze sollen wiederum in Zusammenhang mit einem Zahlenbeispiel, das zugleich als Übungsaufgabe konzipiert ist, verdeutlicht werden. Übungsaufgabe: Es soll eine neue Maschine beschafft werden. Die Entscheidung für einen bestimmten Hersteller ist bereits gefallen. Als Datensituation für die Maschinenbeschaffung soll gelten:

a0 i

86

= =

soo.ooo GE

0,1 GE/GE*PE

-...)

00

4

-

521.468,75

512.325,00

825.000

12.500

509.143,75

69.862,50

112.500 0,621

5

579.593,75

640.312,50

937.500

125.000

439.281,25

81.106,25

118.750 0,683

4

679.581,25

821.406,25

0

1. 093 750

281.250

358.175,00

84.487,50

112.500 0,751

3

678.570,50

904.883,00

1.095.500

273.687,50

103.250,00

125.000 0,826

2

283.000

(ab t=2)

~ dt(l+i)-t -ao t +[RWf+CoNopt]*(1+ i)-t

9

11.312' 50

170.437,50

170.437,50

187.500 0,909

1

--

8

RWt+CoNopt [RWt+CoNopt]*(1+i)-t

7

340.875,00

RWt

6

375.000

t

~ dt(l+i)-t

5

375.000

(1+i)-t dt(1+i)-t

3

Tabelle 4.8: Wahlproblem bei technischer Weiterentwicklung

-

dt

Jahre

t

2

1

t

d GE) PE

1 2 3 4 5

187.500 125.000 112.500 118.750 112.500

RWt

GE/PE

375.000 283.000 281.250 125.000 12.500

Ab Periode t=2 steht eine technisch weiterentwickelte Anlagengeneration desselben Herstellers zur Verfügung, die als Nachfolgeinvestition eingesetzt werden soll im unmittelbaren Anschluß an die jetzt zur Disposition stehende Vorgänger-Investition. Der Einfachheit halber soll unterstellt werden, daß deren bereits maximierter Kapitalwert c 0N auf der Zeitachse verschiebbar ist; es wurde für den Nachfolger ermittelt opt

CoN = 812.500 GE

Lösung: Die einzelnen Rechenschritte sind in der Tabelle 4.8. in der Kopfzeile der Spalten 1 bis 9 aufgeführt. Eine kumulative Tabellenrechnung nach diesem Muster ist die übersichtlichste Form zur Abarbeitung der notwendigerweise durchzuführenden Rechenoperationen. Das Ergebnis zeigt, daß die Nachfolgeinvestition erst im dritten Jahr eingesetzt werden sollte.

4.7. Investition und Entscheidungstheorie Die Einordnung der Investitionsrechnung in das große Gebiet der Entscheidungstheorie ist Ziel der nachfolgenden Ausführungen. Mit der Vorgabe von Daten als Planungsgrundlage für Zahlenbeispiele könnte leicht der Eindruck erweckt werden, daß sich die Investitionsrechnung auf sichere Daten stützt - das Gegenteil ist der Fall: es herrscht Unsicherheit. Auf die Vielzahl quantitativer und qualitativer Prognosemöglichkeiten kann hier allerdings nicht eingegangen werden. Ein Verweis auf die einschlägige Literatur möge an dieser Stelle genügen1. Die Unsicherheit ist auch durch sorgfältigste Prognosen nicht zu beseitigen. Häufig greift der Investor deshalb auf flexible Strategien bei der Realisierung seines Investitionsvorhabens zurück. Derartige Strategien werden in der neueren Produktionstechnik durch modulare Anlagenstrukturen begünstigt, wie im 6. Kapitel noch genauer darzustellen sein wird. Eine Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit von Investitionsmißerfolgen zu verringern, ist die mehrstufige Entscheidung, bei der der nächste Investitionsschritt von der zwischenzeitlich eingetretenen Datensituation abhängig gemacht wird. In Verbindung mit der nachfolgenden Behandlung mehrstufiger Entscheidungsprobleme ergibt sich auch die Möglichkeit einer kurzen Behandlung der Einordnung der Investitionsrechnung in entscheidungstheoretische Gesamtzusammenhänge innerhalb der Betriebswirtschaftslehre. Es sind im wesentlichen zwei Sichtweisen der Entscheidungstheorie zu beachten:

1

88

Literatur zu den wichtigsten Prognoseverfahren: Hansmann, H.-W.: Kurzlehrbuch Prognoseverfahren, Wiesbaden 1983; Lewandowski, R.: Prognose- und Informationssysteme und ihre Anwendungen Bd. 1, Berlin u.a. 1974, Bd. 2 Berlin u.a. 1980.

Sichtweisen der Entscheidungstheorie

normativ

empirischrealistisch

/~

bekennendnormativ

praktischnormativ

Abb. 4.3: Sichtweisen der Entscheidungstheorie Der empirisch-realistische Ansatz beinhaltet eine deskriptive Sichtweise, deren Ziel es ist, Aussagen darüber zu gewinnen, wie Entscheidungen in der Realität tatsächlich getroffen werden. Dabei spielt es keine Rolle, ob Entscheidungsträger rational handeln - oder ob vielleicht ohne klare Zielvorstellungen emotional entschieden wird. Investitionsrechnungen, Planungsprozesse usw. wären in letztgenanntem Falle überflüssig. Ergebnisse einer empirisch-realistischen Entscheidungstheorie müßten demnach eher Modelle des Entscheidungsverhaltens von Einzelpersonen, Entscheidungsgremien, Organisationen oder die Bildung von Zielsystemen in der Unternehmung sein alles Anliegen, denen die Investitionsplanung und die Vorteilhaftigkeitsanalyse nicht gerecht werden könnten. 2 Da es bei viel einfacher strukturierten Entscheidungsproblemen, etwa denen des Kaufverhaltens, auch noch keine allgemein anerkannten Modelle menschlicher Entscheidungsentstehung gibt, sollte auch bei der Investitionstheorie und bei komplexeren Investitionsmodellen auf die Einbeziehung verhaltenswissenschaftlicher A~pekte verzichtet werden. Anwendungsrelevant bleibt also die normative Sichtweise, die deshalb etwas weiter vertieft werden soll als der empirischrealistische Ansatz.

4.7.1. Praktisch-normatives Modell Das normative Modell der Entscheidungstheorie hat zwei Ausprägungen. Nach der bekennend-normativen Ausprägung werden dem Entscheidungsträger bestimmte Ziele vorgegeben, etwa weil deren Erreichung von der Gesellschaft für erstrebenswert gehalten wird oder weil eine übergeordnete Lehre diese Ziele als einzig richtig erklärt. Die bekennend-normative Theorie widerspricht damit dem Grundsatz der Handlungsautonomie, der für marktwirtschaftlich ausgerichtete Wirtschaftssysteme gilt. Bei der praktisch-normativen Theorieausprägung3 darf der Entscheidungsträger dagegen die für seine Entscheidungsfindung maßgeblichen Ziele selbst, d.h., subjektiv bestimmt festlegen. Es wird gefragt, wie Entscheidungen sinnvollerweise gefällt werden sollten, unabhängig davon, ob tatsächlich so gehandelt wird. Grundlage der

2 3

Siehe hierzu Kirsch, W.: Einführung in die Theorie der Entscheidunmgsprozesse, Bd. 3 in Gesamtausgabe der Bände 1 bis 3, Wiesbaden 1977, S. 49ff. Einen Gesamtüberblick über die praktisch normative Theorie enthält Sieben, G./Schildbach, Th.: Betriebswirtschaftliche Entscheidungstheorie, 3. Aufl. 1990, S. 15ff.

89

normativen Sicht ist also eine Anforderung( =Norm). Entscheidungen sollen rational gefällt werden: Eine rationale Entscheidung liegt aber nur dann vor, wenn die Handlungsalternative gewählt wird, die unter den gegebenen Bedingungen zur größten Zielerreichung führt. Für die Investitionsentscheidung kann das nur bedeuten, daß lediglich die Auswahl rentabilitätsmaximierender, kapitalwertmaximierender usw. Handlungsalternativen als rationale Entscheidungen anzusehen sind. Mit Hilfe des praktisch-normativen Ansatzes werden Aussagen gesucht, die möglichst alles umfassen, was aus der Forderung, 'Entscheidungen sollen rational sein', folgt. Die Elemente des praktischnormativen Grundmodells enthält die Abbildung 4.4. Zielinformationen und Entscheidungsinformationen sind Ausgangspunkte für die Strukturierung des Modells, das als Konvention zu betrachten ist. Entscheidungsfeldinformationen und Zielinformationen sind insoweit aufeinander abgestimmt, als unerreichbare Ziele und für den Entscheidungsträger uninteressante Ergebnisse nicht Gegenstand der praktisch-normativen Theorie sein sollten. Zum Entscheidungsfeld gehören zunächst als Aktionsraum H die Handlungsalternativen einschließlich Unterlassungsalternative. Bezogen auf die Investitionen umfaßt H alle echten Investitionsalternativen: H

=

{hi

I

i=l, 2, ... ,i}

Der weiter zum Entscheidungsfeld zu zählende Zustandsraum umfaßt die Menge aller möglichen Umweltzustände und damit auch eine erste Komponente der gerade für die Investitionsplanung bedeutsamen Unsicherheit. Es sind jedoch nur die relevanten Umweltzustände zu erfassen, also Zustände, die Einfluß auf die Ergebnisse der Aktionen haben und nicht vom Entscheidungsträger beeinflußt werden können. In der Regel umfaßt der Zustandsraum mehr als einen Umweltzustand. Wird ein Zustand durch mehrere Parameter gebildet, dann hat die Zustandskennzeichnung alle diese Parameter in jeweils einer bestimmten Ausprägung zu umfassen. Der ZustandsraumS wird somit durch eine Anzahl von Situationen j gebildet:

s

= { Sj

I

j =1, 2,

.•. , j }

Die für Investitionsentscheidungen in der Praxis fast ausnahmslos gegebene Risiko-/Unsicherheitssituation4 führt dazu, daß der Zustandsraum zusätzlich noch durch einen Wahrscheinlichkeitsraum P gekennzeichnet ist: p = {Pj

I

j=l, 2, ... ,j}

Jeder relevanten Umweltsituation Sj wird somit eine bei Investitionsentscheidungen i.d.R. subjektive Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Als letztes Element des Entscheidungsfeldes ist noch die Ergebnisfunktion zu nennen; eine bei systematisierter Planung formal beschreibbare Funktion, die jeder Kombination von Aktion und Umweltzustand das Ergebnis (ggf. auch mehrere Ergebnisse) zuordnet, das der Entscheidungsträger für wichtig erachtet. Es handelt sich zumeist um ein Ergebnis, das der Entscheidungsträger für erstrebenswert hält oder zu vermeiden trachtet. Die 4

90

Bezüglich der recht unterschiedlichen Definitionen für die Begriffe Risiko und Unsicherheit in der Literatur soll auf einschlägige Veröffentlichungen verwiesen werden: Coenenberg, A.G./Bamberg, G.: Entscheidungslehre, München 1974, S. 36ff.. ; Krellc, W.: Präferenz- und Entschcidungstheoric, Tübingcn 1968, S. 117ff.; Jacob, H.: Bcrnoulli-Prinzip und rationale Entscheidung bei Unsicherheit, in ZfB 1976, Heft 3, S. 177ff.

......

\0

'

--------------------------------------

Entscheidungsmatrix

+

Ergebnismatrix

I

Aktionsraum

---

------

--

Zustandsraum

-----

Menge möglicher Umweltzustände

' ---

+

I

Ergebnisfunktion

Entscheidungsfeldinformationen

Quelle: Mag, W.: Planung, in: Vahlens Kompendium der Betriebswirtschaftslehre, Band 2, München 1984, S.59

-- --

-

I

Abbildung 4.4: Elemente des Grundmodells des praktisch-normativen Ansatzes der Entscheidungstheorie

1

'

Ergebnisdefinition(en)

Zielplan

z ielinf ormationen

Präferenzen: Höhen-, Arten-, Zeit- und Sicherheitspräferenzen

~I

nachfolgende Kapitalwertfunktion ist somit als Ergebnisfunktion eine der Entscheidungsfeldinformationen des praktisch-normativen Ansatzes:

=

coij

-aoi + ~ dtij t

. -t

* (1 +1 )

für alle i, j

Würde der Investor nur eine Ergebnisart dij zu einem Zeitpunkt anstreben, lassen sich die Ergebnisse für alle i, j

einer bestimmten Aktion hi und einer Situation sj im Zustandsraum zuordnen sowie in einer Ergebnismatrix in übersichtlicher Form zusammenstellen. In der Investitions- und Finanzplanung interessieren i.d.R. nicht nur Ergebnisse zu einem Zeitpunkt. Gerade für die Finanzplanung werden zeitpunktbezogene Ergebnisse benötigt, so daß die Ergebnismatrix unabhängig von den Datenverdichtungsmöglichkeiten der o.g. Ergebnisfunktion um die Dimension der Zeit t zu erweitern ist. Vorerst sind also zumindest für die Finanzplanung zeitraum- oder zeitpunktbezogene Ergebnisse notwendig: für alle i,j,t

Für den einfachsten Fall nur einer Ergebnisart zu einem Zeitpunkt ergibt sich die Ergebnismatrix der Abbildung 4.5, die um die als Zeitachse eingezeichnete Zeit-Dimension t für die simultane Investitions- und Finanzplanung zu erweitern wäre, die Ergebniswerte dij müßten durch einen weiteren Index t gekennzeichnet werden. t umweltzustände sl

s2

s3

...

sj

Eintrittswahrscheinlichkeiten pl p2 PJ Pj

...

hl

dll

d12

d13

dlj

h2

d21

d22

d23

d2j

hi

dil

di2

di3

d·. 1]

.

i

Abbildung 4.5: Ergebnismatrix bzw. Ergebnisraum Für Quasi-Einzeitpunktbetrachtungen z.B. nach Verdichtung der Ergebniswerte mit Hilfe der Kapitalwert-Ergebnisfunktion könnten ersatzweise die Barwerte einer Zahlungsreihe ( = Kapitalwerte Coij) stehen. Die Ergebnismatrix ist der erste 'Übergriff auf die Ebene der Zielinformationen im praktisch-normativen Modell. Zielinformationen und Entscheidungsfeldinformationen erfahren über die Verwendung von Ergebnisdefinitionen, hier in Form von Deckungsbeiträgen, ihre erste Verbindung; die

92

Deckungsbeiträge dr bzw. dti' sind eine operative Formulierung von Wertvorstellungen des Entscheidun~strägershn einer Vorstufe muß der Entscheidungsträger bereits Klarheit darüber erlangt haben, welche Ergebnisse er mit welcher Intensität als wünschenswert erachtet, welche Ergebnisse mit welcher Intensität zu vermeiden sind und welche Ergebnisse als gleichgültig angesehen werden sollen. Für die Investitionsentscheidung bedeutet das, daß vorwiegend monetäre Ergebnisse als wünschenwert erachtet werden. Die Investitionsrechnung berücksichtigt ausschließlich monetäre Zielsetzungen, obwohl das praktisch-normative Modell oder die Umweltplanung auch andere Ziele (Liquidität, Modernität, Unabhängigkeit vom Kreditgeber usw.) beinhalten kann. Die Ergebnisdefinitionen enthalten somit eine gruppierte Auswahl von Ergebnisdefinitionen aus der Ergebnisgesamtheit, die von der Wertordnung des Entscheidungsträgers erfaßt werden. Präzise Ergebnisdefinitionen enthalten Arten-, Höhen-, Zeit- und Sicherheitsmerkmale. Leider sind aber in der Unternehmenspraxis dagegen überwiegend unscharfe Merkmalsformulierungen vorherrschend, so daß einer Investitionsrechnung normalerweise die Basis fehlen würde. Tatsächlich erleichtert eine große Anzahl stillschweigender Übereinstimmungen bei den Wertvorstellungen der Entscheidungsträger die Anwendung der Investitionsrechnung. Der Zielplan wäre unvollständig, würde er nicht die Vorziehenswürdigkeiten der Ergebnisse enthalten: Präferenzen müssen dem Entscheidungsträger die rationale Alternativenauswahl ermöglichen. Erst ordinale oder kardinale Präferenzen ermöglichen Aussagen über Abstufungen von Vorziehenswürdigkeiten und vorhandene Nutzenunterschiede insbesondere beim Vergleich mehrerer Ergebnisse und Ergebnisarten. Die praktisch-normative Sichtweise beschränkt sich auf die Betrachtung subjektiver Präferenzen, die sich wiederum auf die Artenmerkmale beziehen: Artenpräferenz, Höhenpräferenz, Zeitpräferenz und Sicherheitspräferenz. Die Investitionsrechnung beschränkt sich auf wenige ausschließlich monetäre Ergebnisarten, für die Höhenpräferenzen relativ leicht festzulegen sind. Als einziges Planungsinstrument erfaßt die Investitionsrechnung durch Diskontierungen oder Aufzinsungen auch Zeitpräferenzen. Die Sicherheitspräferenz fehlt allerdings in dem Standardverfahren. Werden den Ergebnissen mit Hilfe von subjektiven Präferenzen nun die letztendlich gesuchten Nutzengrößen zugeordnet, entsteht die Entscheidungsmatrix als letztes Element des praktisch-normativen Modells. Ergebnisse der einzelnen Alternativen werden in Nutzeneinheiten NE transformiert, unterschiedliche Ergebnisarten können zusammengeiaßt werden5. Ziel ist es, nur noch eine Größe, den Gesamtnutzen einer Alternative/ Aktion zu erhalten, die Entscheidungsmatrix ist in diesem Falle zu einem Spaltenvektor degeneriert, wie die Abbildung 4.6 zeigt. Es entsteht eine einzige Maßzahl der Vorziehenswürdigkeit je Investitionsalternative.

Investitionsalternativen, Aktionen hi hl

J:l2 :

hn

Nutzen der Investitionsalternativen (Aktionen hi) U(hi)

.... .... ....

NE NE

.

NE

Abbildung 4.6: Entscheidungsmatrix

5

Auf Probleme der multikriteriellen Entscheidungstindung kann an dieser Stelle nicht näher eingegangen werden, vgl. hierzu: Dinkelbach, W.: Entscheidungsmodelle, Berlin u.a. 1982, S. 153ff.

93

Die Entscheidungsmatrix ist Grundlage der AlternativenauswahL Eine rationale Entscheidung liegt vor, wenn die Investitionsalternative mit dem höchsten Nutzenwert gewählt wird. Der hiermit ausreichend erläuterte praktisch-normative Ansatz zeigt auf, wie in der Unternehmung Investitionsentscheidungen systematisch vorbereitet und wie die Vorbereitungen strukturiert werden sollten. Von besonderer Bedeutung sind dabei gewissenhafte Aufbereitungen innerhalb der Investitionsplanung, wenn über die langfristige Bindung der Finanzmittel bei Unsicherheit der weiteren Unternehmensentwicklung zu beschließen ist. Eine flexible Investitionsstrategie ermöglicht es dem Entscheidungsträger, noch auf zwischenzeitlich eingetretene Änderungen der Datensituation zu reagieren. Mehrstufig angelegte Entscheidungen bieten sich hierfür an.

4.7.2 Mehrstufige Investitionsentscheidung Die mehrstufige Entscheidung ist durch Aktionen als Folge von Teilentscheidungen des Entscheidungsträgers zu verschiedenen (künftigen) Zeitpunkten gekennzeichnet. Es gibt für den Investor zwei Möglichkeiten, sich auf zukünftige Entwicklungen einzustellen: (1) (2)

im Entscheidungszeitpunkt wird die gesamte Abfolge von Teilentscheidungen unabhängig von der Umweltsituation festgelegt, abhängig von der Umweltsituation entsteht zeitlich fortschreitend eine Folge bedingter Teilentscheidungen.

Beide Möglichkeiten können auch als Strategien bezeichnet werden; bezogen auf das Investitionsproblem handelt es sich um Investitionsstrategien. Bei Investitionsprogrammen entstehen häufig direkte Interdependenzen, die es zu erfassen gilt. Im Rahmen einer rollenden Planung6 ist es dem Investor möglich, sich gemäß Möglichkeit (2) flexibel auf die jeweils zwischenzeitlich eingetretene Situation einzustellen, er wird nur die für diesen Zustand bestmögliche Investitionsalternative wählen. Die antizipative Aufarbeitung der Entscheidungssituation innerhalb der Investitionsplanung hat jedoch gemäß Möglichkeit (1) zu erfolgen, um die Felder der Ergebnismatrix entsprechend besetzen und den Nutzen der alternativ möglichen Investitionsstrategien für den Investor bestimmen zu können. Im nachfolgenden Zahlenbeispiel soll die Aufarbeitung einer flexiblen Investitionsstrategie für eine zweistufige Entscheidung in Übereinstimmung mit dem praktisch-normativen Ansatz demonstriert werden. Bei rationaler Entscheidung handelt es sich um die bedingte Auswahl einer Investitions-, Desinvestitions- oder ggf. auch Unterlassungsalternative. Der Entscheidungsbaum veranschaulicht den Entscheidungsablauf in Abhängigkeit von der eingetretenen Umweltsituation. Folgende Symbole werden verwendet:

Cl

Entscheidungsknoten, 'der Entscheidungsträger ist amZuge'

D
max. Der Absatz des neuen Produktes ist nicht sicher einschätzbar, deshalb werden für das erste Jahr zwei Absatzsituationen für denkbar erachtet: = 1000 Stück/Jahr = 150 Stück/Jahr Die Absatzmöglichkeiten des ersten Jahres ermöglichen dann eine sichere Prognose für die Folgejahre. s1 s2

1. Planungsschritt :

Aufstellung einer Ergebnismatrix für die im Zahlenbeispiel beschriebene Situation. Zunächst liegt der Fall einer einstufigen Entscheidung vor, weil angenommen wird, daß die Datensituation des ersten Jahres für den Gesamtzeitraum von 10 Jahren fortbestehen wird. (1) Ergebnisdefinition: Kapitalwert einer Investition (2) Aktionenraum/Handlungsalternativen: Kauf von Anlage 1 oder Anlage 2 Zusätzliche Symbole: Index zur Kennzeichnung der Aktion/Handlungsalternative, Produktionsanlage usw. Index zur Kennzeichnung der Umweltsituation KFi

Anschaffungsauszahlung für Alternative i in DM beschäftigungsfixe Kosten für Anlage i in DM/Jahr

Xij

Absatzmenge für Anlage i bei Situationj in Stck./Jahr

a0 i

für Anlage 1: a01• KF1 bei Kaufvon Anlage 1, X1j für Anlage 2: a02, Kp2 bei Kauf von Anlage 2,

x2j 95

(3) Umwelt-/Zustandsraum: s1 = 1000 Stück/Jahr sz = 150 Stück/Jahr (4) Wahrscheinlichkeitsraum: keine Angabe, deshalb ist u.U. Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit für das Eintreten jeder Situation zulässig (Prinzip des unzureichenden Grundes) (5) Definition der Ergebnisfunktion: Coij = -a 0 i

+ [(p-kv)*Xij - KFi] ASF(n=10;i=0,1)

(6) Ergebnismatrix: Die Ergebnismatrix enthält vier Felder, die mit Ergebniswerten zu besetzen sind. Berechnung der Ergebniswerte unter Verwendung der allgemeinen Ergebnisdefinition: -18o.ooo + [320*300 - 10.000J*6,145

c 011 c 011

348.470 DM

Anm. zu C 11: die maximale Absatzmenge kann bei Kauf der Anlage 1 nicht ausgeschöpPt werden, weil die Produktionskapazität der Anlage auf 300 Stck/Jahr begrenzt ist c 012

-18o.ooo + [320*150 - 10.000J*6,145

c 012

53.510 DM

C021

-500.000 + [320*900 - 30.000)*6,145

C021

1.085.298 DM

c 022

-5oo.ooo + [320*150 - 30.000J*6,145

Co2 1

-389.390 DM

Besetzung der Felder der Ergebnismatrix:

~ .

j=1

j=2

Anlage 1

348.470 DM

53.510 DM

Anlage 2

1.085.298 DM

-398.390 DM

Tabelle 4.9: Ergebnismatrix bei einstufiger Entscheidungssituation

96

(7) Entscheidungsmatrix - Für den Fall, daß eine Entscheidungsmatrix für eine Ergebnisart aufgestellt wird und die Gleichheit von Geldeinheit des Kapitalwertes mit Nutzeneinheit über den gesamten relevanten Geldwertebereich gilt, sind die Spaltenergebnisse weiter zusammenzufassen: - Die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit für beide Situationen läßt die Bildung des folgenden Wahrscheinlichkeitenraumes zu: Pt= 0,5 P2 = 0,5 - Mit Hilfe der Eintrittswahrscheinlichkeiten lassen sich die Spaltenwerte der Ergebnismatrix zu einem einzigen Spaltenvektor zusammenfassen:

*

Ei

~ Pj J

E1

348.470*0,5 + 53.510*0,5

E1

200.990 DM

E2

1.085.298*0,5 + (-389.390)*0,5

E2

347.954 DM

Coij

- Entscheidungsmatrix: für eine Ergebnisart bzw. bei Berücksichtigung von Arten-, Höhen- und Zeitpräferenzen des Entscheidungsträgers ergibt sich die nachfolgene 'Matrix' der Tabelle 4.10. Anlagei

U(Anlagei)

Anlage 1

200.990

NE

Anlage 2

347.954

NE

Tabelle 4.10: Zum Spaltenvektor degenerierte Entscheidungsmatrix. Ergebnis: unter der Voraussetzung der Risikoneutralität des Entscheidungsträgers ist die Anlage 2 der Anlage 1 vorzuziehen. 2. Planungsschritt Welche der beiden Umweltsituationen eintreten wird, ist weiterhin ungewiß. Die gegenwärtig in t=O zu treffende Entscheidung soll nach Ablauf eines Jahres in t= 1 korrigiert werden können (zweistufige Entscheidung). Folgende drei Reaktionsmöglichkeiten des Investors sollen Berücksichtigung finden: 97

keine Änderung; die getätigte Investition soll über T= 10 Jahre unverändert genutzt werden Desinvestition; die vorhandene Anlage wird stillgelegt und verkauft, als Restwerte nach Ablauf eines Jahres sind für Anlage 1 und 2 zu berücksichtigen: RW 1l = 80.000 DM RW 12 = 200.000 DM

Falls in t=O die Anlage 1 beschafft worden ist, kann eine Erweiterungsinvestition getätigt werden. Die Anschaffungsauszahlung für die Kapazitätserweiterung auf die Kapazität der größeren Anlage 2 beträgt 400.000 DM, die beschäftigungsfixen Kosten KFGes 1 der erweiterten Anlage 1 entsprechen dann KF2. Die Projektdauern betragen auch im Falle einer Erweiterungsinvestition von Anlage 1 unverändert 10 Jahre. Für die Anlage 2 ist eine Kapazitätserweiterung nicht möglich. Als Ersatz für die Ergebnismatrix ist eine vollständige Darstellung des zweistufigen Entscheidungsprozesses mit Hilfe eines Entscheidungsbaumes unter Zuordnung der Ergebnisse vorzunehmen. (1)

Alternativengenerierung (Handlungsalternativen hrh 6) für den Fall der BeschatTung von Anlage 1 in t = 0, h 1: Anlage 1, Eintritt von Situation 1, Erweiterungsinvestition in t = 1 Ergebnisfunktion modifiziert:

Zusätzliche Symbole: 1\ W.

xIJ..

= Absatzmengenzuwachs durch Erweiterungsinvestition für Handlungsalternative i in Situation j in Stck/Jahr = beschäftigungsfixe Mehrkosten bei Erweiterung der Anlage 1 auf die Produktionskapazität der Anlage 2 -a 01 + [(p-ky)*Xll- Kp 1 )*ASF(i=0 1l;n=10) -a 1 (l+i) -l+ [ (p-ky) 6X 11 - tlKp 2 ] *ASF(i=O I 1 ;t=2 I

... ,

10)

-180.000 + [320*300 - 10.000]*6,145 -400.000*01909 + [320*600- 20.000](61145-0,909)

c011 h2 :

= 885.462 DM

Anlage 1, Situation 1, unveränderte Fortführung von Investition 1 in t = 1 -a 01 + [(p-ky)*X 11 - Kp 1 ]*ASF(i=0 1 1;n=10) 348.470 DM;

Rechnung siehe 1. Planungsschritt

98

h3 :

Anlage 1, Situation 1, Liquidation in t= 1 C031

-a01 + [(p-ky)*X11- KF1]*( 1+i)- 1 + RW11 (1+i)- 1 -180.000 + [320*300-10.000]*01909 + 80.000*01909

c 031

h 4:

-29.106 DM

Anlage 1, Situation 2, Erweiterungsinvestition in t = 1 c 042 = -a 01 + [(p-ky)*X 12 - Kp 1 ]*ASF(i=0 11 ;n=10) -a 1 ( 1+ i) - 1 + [ (p-ky)fi.X 12 -l.'.Kp 2 ] *ASF ( i=O 1 1 ;t=2 1 ... 1 10) -180.000 + [320*150 - 10.000]*61145 -400.000*01909 + [320*0 - 20.000]*51236 c 042 = -414.810 DM

h5:

Anlage 1, Situation 2, unveränderte Fortführung von Investition 1 in t = 1

c 052

53.510 DM;

Rechnung siehe 1. Planungsschritt h6:

Anlage 1, Situation 2, Liquidation in t= 1 C062

-a01 + [(p-ky)*X12- KF1]*(1+i)-1 + RW11 (1+i)-1 -180.000 + [320*150-10.000]*01909 + 80.000*01909

c 062

-72.738 DM

(2) Alternativengenerierung für den Fall der Beschaffung von Anlage 2 in t = 0: h 7:

Anlage 2, Situation 1, unveränderte Fortführung von Investition 2 c 071

-a 02 + [(p-ky)*X 21 - KF 2 ]*ASF(i=0 11;n=10)

c 071

1.085.298 DM;

Rechnung siehe 1. Planungsschritt h 8:

Anlage 2, Situation 1, Liquidation in t= 1 C081 = -a02 + [(p-ky)*X21- KF2]*(1+i)-1 + RW12 (1+i)-1

99

-500.000 + [320*900-30.000)*0,909

+ 200.000*0,909 c 081

h9:

=

-83.678 DM

Anlage 2, Situation 2, unveränderte Fortführung von Investition 2 in t= 1

Co92

-389.390 DM;

Rechnung siehe l.Planungsschritt h 10:

Anlage 2, Situation 2, Liquidation in t= 1

-500.000 + [320*150-30.000]*0,909

+ 200.000*0,909 -301.838 DM

(3)

Darstellung des zweistufigen Entscheidungsprozesses unter Zuordnung der Ergebnisse der Handlungsalternativen erfolgt in Abbildung 4.6. Die Entscheidungsbaum-Darstellung zeigt eine starke Erweiterung des Aktionsraumes gegenüber der einstufigen Entscheidungssituation; aus zwei Handlungsalternativen hat sich eine Anzahl von 10 Alternativen entwickelt, die weiter zunehmen würde, wenn man auch in t=2,3, usw. auf Veränderungen der Umweltsituation reagieren wollte. Entscheidungsbäume sind dann nicht mehr graphisch darstellbar, so daß wieder auf Matrizendarstellungen überzugehen wäre.

3. Planungsschritt Die für den zweiten Planungsschritt angenommene Problemstellung enthält die vollständige Erfassung aller Handlungsalternativen, die bei mehrstufigen Prozessen auch als Strategien bezeichnet werden. Im Zahlenbeispiel sind auch ineffiziente Handlungsalternativen erfaßt. Es interessieren jedoch nur unumstritten rationale Entscheidungen. Ohne weitere Annahmen über das Risikoverhalten des Entscheidungsträgers zu machen, sind nach dem Dominanzprinzip die effizienten Handlungsalternativen anzugeben.

100

Liquidation

Kauf Anlage Liquidation

h1

->

885.462 DM

h2

->

348.470 DM

h3

->

-29.106 DM

h4

-> ·· 414.810 DM

h5

->

53.510 DM

h6

->

-72.738 DM

-> 1.085.298 DM Kauf Anlage

h8 ->

-83.678 DM

h9 -> - 389.390 DM

Liquidation

h10 ->

-310.838 DM

Abb. 4.6: Entscheidungsbaum mit Ergebniszuordnung In t = 1 wird gemäß Problembeschreibung unter Sicherheit entschieden. Rational sind Entscheidungen, bei denen der Kapitalwert ein Maximum erreicht. Diejenigen Alternativen/Strategien, die situationsabhängig die höchsten Kapitalwerte aufweisen, dominieren alle anderen Handlungsalternativen. Damit läßt sich unter Anwendung des Dominanzprinzips folgende Ergebnismatrix aufstellen:

~

A

Anlage 1 Anlage 2

j=1 885.462 DM h1: h7:1.085.298 DM

j=2 53.510 DM h5 : h 10 :-301.838 DM

Tabelle 4.11: Ergebnismatrix bei zweistufiger Entscheidungssituation unter Anwendung des Dominanzprinzips

101

Die Ergebnismatrix der Tabelle 4.11 enthält im Unterschied zu 4.10 somit die Ergebnisse etl'"lzienter Strategien. Sie läßt sich nur auf der Grundlage einer Untersuchung des gesamten Aktionenraumes i.V.m. mit der Vorgabe einer operablen Ergebnisdefinition einschließlich Berechnungsvorschrift aufstellen. Kompliziertere Planungsprobleme mit größeren Aktionsräumen bei Existenz verschiedener Interdependenzen lassen sich jedoch auf diese Weise mit vertretbarem Rechenaufwand nicht mehr bearbeiten; hierzu sind rechnergestützte Planungsrechnungen erforderlich, deren Ergebnis die Auswahl von gesamtoptimalen Handlungsalternativen im Rahmen von Programmentscheidungen ist.

4.8.

Strategische Planung und Bewertung von Ost-Standorten bei ungenügender Datenqualität

In den Ostbockstaaten ergeben sich durch den Übergang von zentral verwalteten Planwirtschaften zur Marktwirtschaft neue Marktpotentiale, die für zahlreiche westliche Unternehmen längerfristig interessant sein könnten. Im Rahmen der strategischen Planung stellt sich die Frage, welche Märkte von welchen Produktionsstandorten beliefert werden könnten, falls man auf diesen Märkten schon frühzeitig präsent sein möchte. Es handelt sich um strategische Investitionen bei gegenwärtig unzureichendem Erkenntnisstand, für die gegebenenfalls strategische Geschäftseinheiten zu bilden wären. Ferner ist die Automatisierungstrategie für die Produktion festzulegen. Das Investitionsergebnis für beispielsweise einen Planzeitraum von 10 Jahren wird Einfluß auf die Standortentscheidung und die Auswahl der zu beliefernden Märkte haben; beide Entscheidungen sind simultan zu treffen. Die Anwendung der Kapitalwertmetbade eröffnet eine ganze Reihe interessanter Möglichkeiten für die Entscheidungsvorbereitu~~· Die Anwendung der Methode verlangt aber auch Daten, die weder von Statistik-Amtern der Ostblockstaaten noch von westlichen Instituten bereitgestellt werden. Dieselben Datenprobleme sind auch bei Planungen für außereuropäische Entwicklungsländer zu finden. Wie derartige Planungsprobleme trotz unzureichender Datengrundlage gelöst werden können, soll folgendes Übungsbeispiel zeigen. Die Verwendung der Kapitalwertmethode hat wiederum den Vorteil, daß das Investitionsergebnis den Vergleich einer Anlage eines gleichhohen Kapitalbetrages in risikoarmen Wertpapieren auf westlichen Kapitalmärkten enthält, denn die Kapitalzufuhr muß notwendigerweise aus westlichen Ländern kommen. Die ausgeprägte Standortkonkurrenz wird nicht durch subjektive Heimatpräferenzen abgemildert. Produktionsstandorte im Ost-Teil Deutschlands stehen für den Investor in Konkurrenz mit Standorten in Westdeutschland und in denjenigen Ostblockstaaten, die die Umstellung auf ein Marktsystem zumindest in relevanten Teilbereichen erkennen lassen. Weil statistische Datengrundlagen sehr spärlich sind, muß eine Konkurrenzbetrachtung auf solche Ostblockstaaten, einschließlich ehemaliger DDR, begrenzt bleiben, über die zumindest soviel bekannt ist, daß die Datengrundlage durch realistische Annahmen ergänzt werden kann; das sind zur Zeit neben der ExDDR lediglich Polen und Ungarn. Für den Investor stellt sich auch die Frage nach dem vorteilhaftesten Entwicklungsstand einer Technik: hohe Automation mit entsprechenden Rationalisierungsvorteilen und hohem Kapitaleinsatz oder geringerer Automationsgrad mit entsprechend geringerem Kapitaleinsatz für die Produktion. Reine Handelsinvestitionen werden nicht erwogen, weil man sich u.U. auch als Inlandsproduzent profilieren möchte. 102

Break-even-Analysen können in Verbindung mit der Investitionsrechnung Hinweise geben, was kurzfristig zu ändern wäre, damit insbesondere die Investitionstätigkeit zunimmt. Nach einer aufgrundder Rechenergebnisse vorzunehmenden Standortauswahl bedürfen die dann selbstverständlich genauer zu spezifizierenden Projekte bei verbessertem Datenmaterial der Anwendung aufwendigerer Planungsrechnungen und weiterer Analysen.

4.8.1. Standort-Analyse und Festlegung des Automatisierungsgrades Es existieren drei (Muster-)Investitionstypen. Zu bestimmen ist zunächst die Investitionsstrategie hinsichtlich der Automatisierung. Für eine in Menge und Qualität identische Produktion können Maschinentypen mit unterschiedlichem Automatisierungsgrad an allen zur Diskussion stehenden Standorten eingesetzt werden. Der höchsten Anschaffungsauszahlung stehen aufgrund weitgehender Rationalisierung niedrigste Lohnkosten gegenüber (lnvestitionstyp III). Bei niedrigerer Anschaffungsauszahlung infolge des Einsatzes 'einfacherer' Produktionstechnik ist jeweils ein höherer Personalbedarf gegeben, der dementsprechend höhere Lohnkosten verursacht (Investitionstypen II und I); die Materialeinsätze sollen unverändert bleiben. Die Datensituation der Tabelle 1 enthält mit den Investitionstypen I bis III somit unterschiedliche Entwicklungsstände einer Produktionstechnik. Investitionstyp

II

I

III

ao in DM

100.000

180.520

220.781

T in Jahren

10

10

10

i in

DM DM

*

0,08

Jahr

bzw

.

8%

KM in DM/Jahr

12.000

12.000

12.000

KL in DM/Jahr

24.000

12.000

6.000

E in DM/Jahr

60.000

60.000

60.000

Tabelle 4.11: Investitionsprojekte mit unterschiedlichem Automatisierungsgrad Die Produktionstechnik kann bei primär ökonomischer Sichtweise gleichgesetzt werden mit der Möglichkeit der Substitution des Faktors Arbeit gegen den Potentialfaktor Maschine(= zusätzliche Automatisierungseinrichtungen). Uber die Typen I, II und III sind die Automatisierungsmöglichkeiten als Rationalisierungsinvestitionen erfaßt. Insgesamt führen alle drei Investitionstypen bei Einsatz in der Alt-Bundesrepublik zu einem deutlich positiven Ergebnis für den Investor; als Vorteilhaftigkeitskennziffer wird der Kapitalwert einer Investition verwendet. Im Interesse der Herausarbeitung von Rationalisierungseinflüssen unter länderspezifisch verschiedenen

103

Einsatzbedingungen sind die Daten so gewählt, daß die Vorteilhaftigkeiten der Investitionstypen I, II und III für den Standort Bundesrepublik identisch sind. Für die Materialkosten KM der Tabelle 4.11 gilt die Annahme, daß die Roh-, Hilfsund Betriebsstoffe an allen Produktionsstandorten, also auch an den Ost-Standorten, zukünftig zu Weltmarktpreisen beschafft und bewertet werden. Bei Eigenerstellung oder -förderung z.B. bei Bodenschätzen müßte nach dem Wegfall der in den Ostblock-Staaten üblichen Subventionen oder politischen Preissetzungen nunmehr eine einheitliche Bewertung zu Weltmarktpreisen stattfinden. Die Erlöse E sind NettoErlöse. Aufgabe: In tabellarischen Übersichten sollen die Vorteilhaftigkeiten der Produktionsstandorte in Verbindung mit verschiedenen Absatzmärkten zusammengestellt werden. In einem ersten Planungsschritt soll im Grundsatz geprüft werden, wie interessant Investitionen in Produktionsanlagen für die Standorte (Alt-)Bundesrepublik Deutschland, die ehemalige DDR, Ungarn und Polen sind. Gesucht sind tendenziell gültige Aussagen für den Fall, daß die bisherigen Verhältnisse sich nicht wesentlich verändern würden; für den Planzeitraum von 10 Jahren wird deshalb mit der Annahme konstanter Daten gearbeitet. Lösung: Als repräsentative Ersatzgröße für die Vorteilhaftigkeil alternativer Investitionsvorhaben wird der Kapitalwert gewählt. Bei entsprechender Wahl des Kalkulationszinsfußes weist ein positiver Kapitalwert unter Berücksichtigung von Zeitpräferenzen für alle Zahlungen aus, wieviel besser oder schlechter ein Investor durch eine Sachanlage in einer Ost-Region gegenüber der (Finanz-)Anlage eines gleichhohen Geldbetrages in risikoarmen Kapitalmarktpapieren in der Alt-Bundesrepublik gestellt wird. Als Kalkulationszinsfuß muß somit der Zins für risikoarme Papiere gewählt werden. Die Kapitalwertmethode hat allgemein die folgende Form: Symbole: Co

Kapitalwert in GE

et

Einzahlungen/Produkterlöse in Periode t in GE

3t

Auszahlungen in Periode t in GE

ao RWt

Anschaffungsauszahlung zu Projektbeginn t 0 in GE Restwert der Sachanlage in Periode t in GE

= GE PE

Kalkulationszinsfuß, durchschnittlicher Kapitalmarktzins für risikoarme Wertpapiere in GE/GE • PE Geldeinheit, DM in den Berechnungen

=

Periodeneinheit

= 1 Jahr

Jahr, Periodenindex T

104

Planzeitraum = 10 Jahre, letztes Jahr in der Berechnung

T

-a 0 + E(et-at) (l+i)-t + RWT (l+i)-T t=l Die Anlagen sind in T abgeschrieben, die Schrottwerte decken die Abbruchkosten (RWT=O). Zur Erfassung länderspezifisch unterschiedlicher Produktions- und Absatzbedingungen ist die Bestimmungsgleichung (1) noch zu modifizieren. Als Einflußfaktoren auf das betriebswirtschaftliche Ergebnis einer möglichen Investitionstätigkeit sind zu berücksichtigen: - Anschaffungsauszahlungen für das Investitionsobjekt, - Kapitalmarktzinsen, - Materialkosten, - Lohnniveau, - Arbeitsproduktivitäten, - Produktimage und - Kaufkraft an den einzelnen Investitionsstandorten. Die genannten Einflußfaktoren bilden die Rahmenbedingungen einer Investition in Produktionsanlagen. Zur Erfassung der Wirkungen von Rahmenbedingungen auf die Investitionstätigkeit gelten die Daten der nachfolgenden Tabellen 4.12. und 4.13. Umrechnungen für die Materialkosten KM in DM-Währung entfallen, da sich durch unbeschränkten Marktzugang nunmehr auch für die Ost-Staaten eine einheitliche Bewertung zu Weltmarktpreisen durchsetzen muß. Sämtliche Analyse-Rechnungen werden wegen besserer Vergleichbarkeit der Ergebnisse auf DM-Basis durchgeführt. Aufgrund des Mangels an gesicherten Daten sind alle länderspezifisch geltenden Einflüsse auf die Vorteilhaftigkeit einer Investition umzurechnen. Für die notwendigen Umrechnungen werden hilfsweise Umrechnungsfaktoren benutzt. Insgesamt sollen folgende Symbole für nachfolgende Rechnungen gelten: Netto-Erlös in der Alt-Bundesrepublik in DM Image-/Qualitätsfaktor, Produktimage aus Sicht des Käufers Kaufkraftparitätenfaktor, geschätzte Kaufkraftunterschiede gegenüber der Alt-Bundesrepublik Lohnkostenfaktor: Faktor, der angibt, wieviel im Vergleich zu einer Entlohnung in der Alt-Bundesrepublik je Zeiteinheit an Lohn gezahlt wird Produktivität in Relation zur Alt-Bundesrepbulik Lohnkosten in der Alt-Bundesrepublikeinschließlich Lohnnebenkosten Materialkosten in begrifflicher Erweiterung; KM enthält Roh-, Hilfsund Betriebsstoff-Verbräuche, Kosten für Wartung und Instandhaltung 105

Umrechnungen sind demnach bei Ostblock-Aktivitäten oder Aktivitäten in Entwicklungsländern für die Erlöse E und die Lohnkosten KL notwendig. Ein in der Bundesrepublik erzielbarer Erlös E muß in den einzelnen Ländern mit der Kaufkraft gewichtet werden; die Allgleichung von Kaufkraftunterschieden im Zeitablauf durch veränderte Währungsparitäten kann vorerst nicht angenommen werden, weil im Osten freie Finanzmärkte fehlen und Entwicklungstendenzen gegenwärtig kaum abschätzbar sind. Der Faktor fK soll den prozentualen Anteil des im jeweiligen Landaufgrund von Kaufkraftunterschieden zu erzielenden Erlöses im Verhältnis zur Bundesrepublik erfassen. Weiterhin ist zu berücksichtigen, daß ein in der Bundesrepublik erzeugtes Produkt gegenüber Ostblockprodukten bessere Preise erzielt, was auch durch die Absatzschwäche von 'DDR-Produkten' deutlich belegt wird. Diese Imagekomponente, die die Erlösseite mitbestimmt, ist in dem Imagefaktor f1 enthalten. Es werden folgende Imagefaktoren der Tabelle 4.12 geschätzt:

~

1

e

1

~ h

n

2

2

n

Alt-Bundesrep.

3

AltEX-DDR Bundesrep.

4

Ungarn

5

Polen

1

2

2

4

1

1,5

2

1

2

0,5

1

3

Ex-DDR

0,5

4

Ungarn

0,5

0,75

5

Polen

0,25

0,5

Tabelle 4.12: Produktimagefaktoren f1 in Abhängigkeit von Produktionsstandort und Absatzland Die Imagefaktoren f1 der Tabelle 4.12 sollen erfassen, welchen Preis der Käufer in einem bestimmten Land für eine Ware in Abhängigkeit von deren Herkunftsland zu zahlen bereit ist. Der frWert in Zeile 2 und Spalte 3 würde z.B. bedeuten, daß der Ex-DDR-Bürger gegenüber eigenerzeugten Produkten für westdeutsche Waren den doppelten Preis zu zahlen bereit wäre. Dasselbe gilt für Ungarn, während ein polnischer Käufer für westdeutsche Waren sogar den 4-fachen Preis gegenüber polnischen Erzeugnissen bezahlen würde. AlsLohnkosten-und Kaufkraftparitäten-Faktoren sollen die Werte der Tabelle 4.13 gelten7• 7

106

Die Faktoren wurden errechnet, basierend auf Datenmaterial aus den nachfolgend aufgelisteten Quellen: Statistisches Bundesamt (Hrsg.): Internationaler Vergleich der Preise für die Lebenshaltung, Fachserie 17: Preise, Oktober 1988, S. 11ff.; Statistisches Bundesamt (Hrsg.):Länderbcricht

fL

Bundesrep.DIDDRIUngarniPolen

=

1 I 0,4 1

fK

Bundesrep.DIDDRIUngarniPolen

=

1 I

o,s I

o,o1 I o,o6 0,2 I

0,1

Tabelle 4.13: Lohnkosten-und Kaufkraftparitätenfaktoren Bei Vernachlässigung von Produktivitätsunterschieden gibt der Lohnkostenfaktor fL an, wieviel gegenüber einer Entlohnung in der Alt-Bundesrepublik in den Oststaaten zu berücksichtigen wäre. Lohnkostenunterschiede sind somit in dem Umrechnungsfaktor fL enthalten. Er drückt in relativierter Form den Anteil der Lohnkosten des betrachteten Landes bezogen auf die Lohnkosten der Bundesrepublik aus. Produktivitätsunterschiede können über Produktivitätenfaktoren fp erfaßt werden. Dieses würde bedeuten, daß der Lohnkostenfaktor fL durch den Produktivitätenfaktor fp dividiert werden müßte. Bei einem allgemeinen Lohnkostenniveau in der Ex-DDR, das bei vorsichtiger Schätzung zu 40% dem der Bundesrepublik entsprechen könnte und einer Produktivität von 30%8, ergibt sich für und

fp

=

0,3.

Die Lohnkosten würden dann gegenüber der Bundesrepublik betragen: 0,4 fp

0,3

1,33, d.h. das 1,33-fache.

Damit würden vom Investor schon bei einem für 'DDR-Investitionen' begünstigend niedrigen Lohnniveau aufgrund geringer Produktivität um 33% höhere Lohnkosten gegenüber der Alt-Bundesrepublik zu berücksichtigen sein. Der Faktor fK dient der pauschalen Erfassung von Kaufkraftunterschieden. Unter Berücksichtigung von Lebenshaltungskosten, Mieten, Einkommen usw. werden die fK-Werte gemäß Tabelle 4.13 angenommen. Um eine gleichgroße Absatzmenge am potentiellen Investitionsstandort absetzen zu können, müßte eine entsprechende Preis- bzw. Erlösreduzierung vom Investor in Ansatz gebracht werden. Für die Er-

8

Polen 1989, S.88ff.; Statistisches Bundesamt (Hrsg.): Länderbericht Ungarn 1987, S.73ff.; Statistisches Bundesamt (Hrsg.): Statistisches Jahrbuch 1989 für die Bundesrepublik Deutschland, S.555ff; Österreichisches Ost- und Südosteuropa-Institut (Hrsg.): Presseschau Ostwirschaft, 28. Jg. (1990), Heft 1, S.38ff; Budapress (Hrsg.): Jahrbuch der Presseagentur, Budapest 1989; Strobel, Wilhelm: Die Staatsvertragliche Umstellung des DDR-Rechnungswesens und Neuerungen des DDR-Treuhandgesetzes, in: Betriebs-Berater, 45. Jg. (1990), Beilage 23 zu Heft 18 (30. Juni), S.18 Anm.: Nach neueren zur Verfügung stehenden Zahlen (Statistisches Bundesamt (Hrsg.):Internationaler Vergleich der Preise für die Lebenshaltung, Fachserie 17: Preise, Juni 1990, S.llff. verschlechtert sich fk für Polen um ca. Faktor zehn; diese neueren Daten sind jedoch nicht mehr in die Rechnung aufgenommen worden. Kantzenbach, Erich: Ein Umstellungskurs von 2:1 oder 1:1? in: Wirtschaftsdienst, 70. Jg. (1990), Heft 4 (April), Hamburg, S.166, ähnlich auch Steinhoff, Inhaber der Möbelgruppe Steinhoff, in der DDR sollen neun Möbelwerke gekauft werden, in Handelsblatt, Nr. 174, 10.09.90, S.16; Es muß hier allerdings angemerkt werden, daß die so ermittelten Produktivitäten auch im Zusammenhang mit der Maschinenausstattung, bzw. der aufgrund der politischen Situation mit zu vielen nicht produktiv tätigen Lohnempfängern zu sehen ist. Dieser Nachteil bleibt aufgrund der geltenden Kündigungsschutzbestimmungen auch erhalten.

107

mittlung der Vorteilhaftigkeil muß bei Annahme konstanter Zahlungsströme, Produktions- und Absatzverhältnisse die gegenüber Ausdruck (1) modifizierte Kapitalwertformel (2) gelten: zusätzliches Symbol: ASF(i,T)

= Abzinsungssummenfaktor, gilt für konstante Periodendeckungsbeiträge

bei expliziter Berücksichtigung der Produktivitäten muß der Ausdruck (2) eine weitere Veränderung erfahren:

Gemäß Annahme wird mit konstanten Zahlungsreihen und Daten für den gesamten Planzeitraum (t= 1,2,...,T) gelten. Die Bildung von länderspezifischen Zahlungsreihen über multiplikative Verknüpfungen mit Korrekturfaktoren sollte gewählt werden, wenn statistisch gesicherte Marktdaten und Daten über das Kaufverhalten nicht verfügbar sind. In Abhängigkeit von der zu wählenden Automatisierung, dem Produktionsstandort und der Marktbelieferung ergeben sich die Kapitalwerte der Tabellen 4.14, 4.15, 4.16. Die Tabelle 4.14 zeigt für eine Produktion mit geringer Automatisierung (Typ I) die Vorteilhaftigkeilen der Produktionsstandorte der Zeilen 2 bis 5 bei ausschließlicher Belieferung jeweils nur eines Absatzmarktes über die Spalten 2 bis 5. Hiernach würden nur die Produktionsstandorte Bundesrepublik bei ausschließlicher Belieferung von Bundesrepublik und DDR sowie Ungarn bei vollständigem Absatz seiner Produkte in der Bundesrepublik positive Kapitalwerte aufweisen. Der gleichhohe Kapitalwert bei Zeile 2/Spalte 3 gegenüber Zeile 2/Spalte 2 kommt dadurch zustande, daß aufgrund besonders hoher Wertschätzung von West-Waren trotz geringerer Kaufkraft höhere Preise akzeptiert werden und auf den Erwerb anderer Güter verzichtet wird9. Die Rechenergebnisse würden aber auch zeigen, daß unter Ertragsgesichtspunkten eine Finanzanlage in der Bundesrepublik in allen anderen Fällen für den Investor weit vorteilhafter ist; hinzu kämen bei dem Erwerb auf Inlandswährung lautender deutscher festverzinslicher Wertpapiere weitere Vorteile: vollständige Vermeidung des Währungsrisikos, Rechtssicherheit und schnelle Liquidierbarkeit, die besonders den deutschen Wertpapiermarkt auszeichnet- Gesichtspunkte, die in den Modellrechnungen der Tabelle 4.14 nicht enthalten sind. Strebt der Investor eine Exportorientierung an, so zeigt die Spalte 6 die Vorteilhaftigkeilen in Abhängigkeit von den Produktionsstandorten bei gegebener Länderaufteilung des Absatzes. Für die gemäß Bestimmungsgleichung (2) ermittelten Kapitalwerte gilt die Annahme, daß 50% der Produktion in der Alt-Bundesrepublik, der Rest zu gleichen Teilen in den anderen drei Ländern abgesetzt wird. Für die Investition vom Typ II ergeben sich die Kapitalwerte der Tabelle 4.15, für die die Erläuterungen zur Tabelle 4.14 analog gelten. Insgesamt zeigt sich, daß generell 9

108

Eine Umfrage des Ost-Berliner Marktforschungsinstituts IBB Infratest bei DDR-Bürgern ergab, daß in einzelnen Bereichen Präferenzen für Westwaren fast unabhängig vom Preis existieren, z.B. Fernseh- und Hifi-Geräte, Joghurt-Produkte, Kaffee, Schokolade; veröffentlicht im Handelsblatt, Nr.ln, 13.09.90, S. 16, Trabi- Sinnbild der Rückständigkeit.

......

0 '-0

c

9.509

Unqarn

Polen

4

5 - 89.532

- 40.817

- 43.635

61.042

EX-DDR

3

-149.923

-111.273

-124.156

-180.521

Unqarn

4

-149.923

-111.273

-164.417

-180.521

Polen

5

Un~arn

Po en

= = = =

-109.663

- 39.140

- 77.186

- 19.479

ERort Al -Bundesrep. Ex-DDR

6

50% 16,67% 16,67% 16,67%

4

2

3

1

Ranq

7

Tabelle 4.14: Kapitalwerte in DM bei ausschließlicher Ein-Land-Belieferung und auf mehrere Märkte verteiltem Absatz für Investitionstyp I

- 89.532

- 43.635

EX-DDR

3

61.042

AltBundesrep.

2

Alt-Bundesrep.

1

~

p

1

2

1

~

e

0

......

-

n

n

h

- 63.375 -165.221

Unqarn

Polen

4

5

-165.221

-115.701

- 91.947

61.043

EX-DDR

3

-225.612

-186.156

-172.468

-180.520

Unqarn

4

-225.612

-186.156

-212.728

-180.520

Polen

5

Ex-DDR

Unqarn Polen

= = = =

-185.351

-113.023

-125.497

- 19.478

Export Alt-Bundesrep.

6

50% 16,67% 16,67% 16,67%

7

4

2

3

1

Ranq

Tabelle 4.15:Kapitalwerte in DM für Investitionstyp II mit mittlerem Automatisierungsgrad bei ausschließlicher Ein-Land-Belieferung und verteiltem Absatz

- 91.947

EX-DDR

3

61.043

AltBundesrep.

2

Alt-Bundesrep.

~

1

2

1

~

e

~

~

~

n

n

h

Ex-DDR

4 -223.196 -263.457

-263.457

-203.066

-203.066

Tabelle 4.16: Kapitalwerte in DM für Investitionstyp III mit höchstem Automatisierungsgrad bei ausschließlicher Ein-Land-Belieferung und verteiltem Absatz

Polen

5

3 -151.466

-223.599

-223.599

-153.143

-102.818

Ungarn

4

2 -149.654

-116.104

EX-DDR

3

61.042

-236.885

Rang

-196.625

50% 16,67% 16,67% 16,67%

-116.104

= = = =

7

1

Ungarn Polen

Export Alt-Bundesrep.

6

- 19.479

Polen

5

-180.521

Ungarn

4

-180.521

EX-DDR

3

61.042

AltBundesrep.

2

Alt-Bundesrep.

~

1

2

1

~

e

die Wahl einer einfacheren Produktionstechnik bei Ost-Engagements günstiger zu sein scheint; eine Produktion in Ungarn wäre nun selbst bei Belieferung der Bundesrepublik nicht mehr vorteilhaft. Bei Realisierung von Investitionstyp III würden sich die Vorteilhaftigkeitskennziffern nochmals deutlich weiter verschlechtern, wie die Tabelle 4.16 zeigt. Die Ergebnisse dieser ersten strategischen Analysen legen für den Investor nahe, die Investitionstypen mit geringster Anschaffungsauszahlung und niedrigster Automatisierungstufe zu wählen. Die mit höheren Automatisierungsgraden verbundenen höheren Anschaffungsauszahlungen werden durch Personalkostenvorteile nicht kompensiert. Bislang wurden Produktivitätsunterschiede durch die Rechnung nicht erfaßt. Das würde bedeuten, daß die trotz gegenwärtig vorhandener massiver Lohnerhöhungstendenzen bewußt niedrig angesetzten Lohnkosten für das Beispiel der Ex-DDR mit 40% gegenüber dem Lohnniveau der Alt-Bundesrepublik aufgrund niederigerer Produktivität mit Hilfe des Produktivitätenfaktors fp korrigiert werden müßten, denn die Produktivität wird häufig als besonderer Schwachpunkt östlicher Wirtschaft angesehen. Wie das eingangs kurz erläuterte Rechenbeispiel gezeigt hatte, können aufgrund geringer Produktivität für den Investor Lohnbelastungen in Form von Stückkosten entstehen, die letztendlich über denen der Bundesrepublik liegen. Aus dem Rechenansatz (3) für die Kapitalwertbestimmung kann ersehen werden, daß die Lohnkostenbelastung für den Investor mit abnehmender Produktivität nach einer Hyperbel-Funktion zunimmt. Es sollen nun explizit Arbeitsproduktivitäten angenommen werden, die in Relation zur Bundesrepublik neueren Schätzungen der Praxis entsprechen10• Produktionsstandorte ProduktivitätsUnqarn faktoren AltEx-DDR Bundesrep. fp

1

0,3

0,3

Polen 0,2

Tabelle 4.17: Arbeitsproduktivitätaufgrund von neueren Schätzungen westdeutscher Praktiker nach Prüfung von Kooperationsvorhaben Aufgrund der Produktivitätssituation in Tabelle 4.17 würden sich bei Löhnen der Ausgangssituation und unveränderten Absatzdaten besonders schlechte Kapitalwerte ergeben, die die Wirkung niedrigerer Produktivitäten auf das Investitionsverhalten in größter Deutlichkeit veranschaulichen. Die Kapitalwert-Tabelle 4.18 zeigt, daß der Investor bei Investitionen in der ExDDR, Ungarn und Polen mindestens das gesamte bereitgestellte Eigenkapital verliert. Investitionszuschüsse müßten im Durchschnitt etwa das Doppelte der Anfangsauszahlung a0 betragen, um einen Kapitalwert C0 =0 zu erzeugen. Selbst eine 'DDRInvestition' müßte bei Belieferung des gesamtdeutschen Marktes mit fast der doppelten Anschaffungsauszahlung staatlich bezuschußt werden, um wenigstens eine annähernde Gleichwertigkeit des in der Produktion angelegten Betrages mit einer Finanzanlage in der Bundesrepublik herzustellen. Weil sich für die Investitionstypen II und 111 noch schlechtere Kapitalwerte ergeben, kann auf weitere Rechnungen verzichtet werden. Die Rechenergebnisse im Rahmen der statischen Ist-Betrachtungen 10

112

Vgl. Neitzke, K., Vorstandsvorsitzender der Howaldtswerke- Deutsche Werft AG im Bericht zum Geschäftsjahr 1989/90, Sattes Auftragspolster bis 1997 gibt der Großwerft wieder Selbstvertrauen, in Handelsblatt Nr. 187, 27.09.90, S. 23, und weitere Einschätzungen von Praxisvertretern, die mit Kooperationsprojekten befaßt sind.

....... .......

(.;J

--

-128.182

Polen

5

-----

- 16.795

Ungarn

4

~--

-193.941

EX-DDR

3

61.042

AltBundesrep.

Alt-Bundesrep.

-

n

~

0

h

2

2

1

1

-128.182

- 67.121

-193.941

61.042

Ex-DDR

3

Ex-DDR

4 2 3

-227.492 - 65.443 -148.312

-314.723 -137.576 -188.573

-137.576 -188.573

Rang

-274.462

50% 16,67% 16,67% 16,67%

1

= = = =

7

- 19.479

Ungarn Polen

Export Alt-Bundesrep.

6

-180.521

Polen

5

-180.521

Ungarn

4

Tabelle 4.18: Kapitalwerte in DM für Investitionstyp I bei expliziter Berücksichtigung der Arbeitsproduktivitäten und Verwendung von Daten der Ausgangssituation

~-

e

~

zeigen, daß einer der wichtigsten Ansatzpunkte für die Attraktivitätsverbesserung die Produktivität sein muß; im Vergleich zur Bundesrepublik mit Lohnkosten von DM 24.000 würden in der Ex-DDR für dieselbe Produktionsmenge Lohnkosten von DM 32.000 zu veranschlagen sein- gegenüber DM 5.600 in Ungarn und DM 7.200 in Polen.

4.8.2. Mindestanforderungen auf der Basis von Break-even-Analysen Es ist denkbar, daß auch für strategische Projekte, die über einen Planzeitraum von 10 Jahren reichen, ein Kapitalwert von C0 = 0 als Mindestanforderung gelten sollte. Als erstes soll isoliert ermittelt werden, welches Lohnkostenniveau für einen westlichen Investor noch tragbar wäre, damit eine Ost-Investition in Erwägung gezogen werden kann. Es wird wiederum nur die Investition vom Typ I betrachtet, da sich schon aufgrunderster Analyseergebnisse gezeigt hatte, daß die Typen II und III deutlich weniger geeignet sind als der Investitionstyp I. Unter Verwendung der Imagefaktoren der Tabelle 4.12 und derLohnkosten-und Kaufkraftparitätenfaktoren der Tabelle 4.13 kann ermittelt werden, bei welchen Lohnkostenniveaus ein westdeutscher Investor noch einen Kapitalwert von Null (C0 ~o, weil mit gerundeten Beträgen gerechnet wird) erreicht. Bei dem mit Hilfe der Break-even-Analyse zu bestimmenden Lohnkostenniveau würde der Investor das Ergebnis einer allerdings leichter liquidierbaren Kapitalmarktanlage erreichen. Der Ausdruck (2) ist umzuformen:

(5) (6)

(fL*kL)*ASF(i,T) = (fr*fk*E - kM)*ASF(i,T)-a 0 (fr*fk*E - kM)*ASF(i,T)-a 0 fL*ASF(i,T)

Die Tabelle 4.19 zeigt somit die jährlichen Lohnkosten, bei denen Äquivalenz zwischen Sach- und Finanzinvestition gegeben ist. Wie die Zahlen der Tabelle 4.19 zu interpretieren sind, soll am Beispiel einer Produktion in der Ex-DDR(Zeile 3) bei ausschließlicher Belieferung der Bundesrepublik(Spalte 2) erläutert werden; demnach müßten selbst bei einer Vernachlässigung(!) der niedrigen Produktivität die relativ günstigen Lohnkosten von DM 9.600/Jahr (Zeile 6, Spalte 3) auf DM 3.090/Jahr gesenkt werden um einen Wert C 0 ~0 zu erreichen. Das entspricht einer Senkung auf etwa 32% gegenüber der Ausgangssituation. Die in der Tabelle 4.19 enthaltenen Negativwerte würden hier bedeuten, daß bei Realisierung eines Investitionsprojektes durch westliche Investoren mit westlicher Technik von Seiten der Arbeitnehmer sogar noch Einzahlungen zu leisten wären, um den Kapitalwert auf C0 ~o zu bringen, falls keine staatliche Subventionierung erfolgt. Die Tabelle 4.20 ist noch etwas aussagekräftiger als die Tabelle 4.19. Wiederum bei ausschließlicher Belieferung der Alt-Bundesrepublik von einer Produktionsstätte in den neuen Bundesländern, zeigt Spalte 2 in Zeile 2 den absoluten Senkungsbedarf bei den Lohnkosten in der Ex-DDR, während in den Lohnkosten der Bundesrepublik bei Produktion für den Inlandsbedarf noch 'Luft nach oben' in Höhe von DM 9.090/Jahr vorhanden ist. Bei einer Betrachtung der Zeile 5 der Tabelle 4.19 in Verbindung mit Zeile 5 der Tabelle 4.20 fällt auf, daß es Polen bei marktwirt114

schaftliehen Verhältnissen auf keinem der Märkte gelingen würde, eine positive Gehaltszahlung zu erwirtschaften.

~.

1

e

1

2

~ b

n

n

2

Alt-Bundesrep.

3

3

AltEX-DDR Bundesrep.

4

Unqarn

5

Polen

33.090

33.090

Ex-DDR

3.090

3.090

4

Unqarn

3.090 -14.910 -14.910 -14.910

5

Polen

6

Aus~anq~lohn-

kos en 1n DM/Jahr

-2.910

2.910

-8.910 -14.910

-11.910 -11.910 -20.910 -20.910 24.000

9.600

1. 680

1.440

Tabelle 4.19: Lohnkosten nach Break-even-Analyse in DM/Jahr Da die Lohnkosten sich nicht als realistischer Ansatzpunkt zur Verbesserung des Investitionsergebnisses erweisen, kann mit Hilfe einer weiteren Break-even-Betrachtung das ebenfalls weiterhin als kritisch anzusehende Image von Ost-Produkten in seinen Auswirkungen auf die Vorteilhaftigkeit untersucht werden. Die Tabelle 4.21 enthält als Ergebnisse einer Modellrechnung die Produktimagewerte, die die auf den jeweiligen Märkten zu erzielenden Preise grundlegend beeinflussen und den Kapitalwert CQ~O werden lassen. Ansonsten gelten aus den bereits genannten Gründen wieder die Werte der Ausgangssituation für die Investition vom Typ I. Die Auswertung der Ergebnisse der Break-even-Analyse ist etwas komplizierter als bei den Lohnkosten. Interessanter werden die Ergebnisse, wenn ein Vergleich mit den Imagegefaktoren der Ausgangssituation in der Tabelle 4.12 vorgenommen wird; eine entsprechende Auswertung durch Ermittlung der absoluten Abweichungen = Break-even-Wert ./. Ausgangswert enthält die Tabelle 4.22. Der Tabelle kann entnommen werden, daß lediglich Produktionen aus der Bundesrepublik für den gesamtdeutschen Markt mit schlechteren Produkten längerfristig möglich sind. Mit Ausnahme der Belieferung des bundesdeutschen Marktes durch Ungarn müßten ansonsten tendenziell deutliche Produkt-Imageverbesserungen herbeigeführt werden, deren Größenordnung aus der Tabelle 4.22 abgeleitet und in Form von Prozentzahlen in der Tabelle 4.23 zusammengestellt ist.

115

~

2

1

e

~ h

1

D

n

2

Alt-Bundesrep.

3

EX-DDR

4

Ungarn

5

Polen

3

4

AltEx-DDR Bundesrep.

Ungarn

5

Polen

9.090

9.090 -26.910 -26.910

-6.510

-6.510 -18.510 -24.510

1.410 -16.590 -16.590 -16.590 -13.350 -13.350 -22.350 -22.350

Tabelle 4.20: Absolute Abweichung der Lohnkosten als Differenz zwischen Ausgangswert und Break-even-Wert

~

2

1

e

~ h

3

4

Ex-DDR AltBundesrep.

Ungarn

Alt-Bundesrep.

0,8485

1,697

4,2425

8,484

3

Ex-DDR

0,6085

1,217

3,0425

6,085

4

Ungarn

0,4765

0,953

2,3825

4,765

5

Polen

0,4725

0,945

2,3625

4,725

1

n

2

n

Tabelle 4.21: Produktimagefaktoren nach Break-even-Analyse

116

5

Polen

~

1

e

1

~ h

n

n

2

2

Alt-Bundesrep.

3

4

AltEx-DDR Bundesrep.

Ungarn

5

Polen

-0,15

-0,30

2,24

4,48

3

Ex-DDR

0,11

0,22

1,54

4,09

4

Ungarn

-0,02

0,20

1,38

2,76

5

Polen

0,22

0,44

1,86

3,72

Tabelle 4.22: Absolute Abweichungen von der Imageausgangssituation nach der Break-even-Analyse

~

2

1

e

3

4

5

Ungarn

Polen

~

AltEx-DDR Bundesrep.

3

Ex-DDR

121,70% 121,70% 202,83% 304,25%

4

Ungarn

95,30% 127,07% 238,25% 238,25%

5

Polen

189,00% 189,00% 472,50% 472,50%

1

h

n

2

n

Alt-Bundesrep.

84,85%

84,85% 212,12% 212,12%

Tabelle 4.23: Aus der Break-even-Analyse abzuleitende Produktimagewertveränderungen,

Berechnung

Break-even-Wert Ausgangswert

*

100

117

Danach müßte die Ex-DDR bei Belieferung des gesamtdeutschen Marktes eine generelle Imageanhebung auf 121,7% des Ausgangswertes zur Absicherung seiner Oberlebensfähigkeit unter marktwirtschaftliehen Bedingungen erreichen; der Verbesserungsbedarf beträgt somit 21,7%. Den stärksten Verbesserungsbedarf auf 472,5% zeigt wieder Polen, was einer Verbesserungsnotwendigkeit um durchschnittlich 372,5% gegenüber der Ausgangssituation selbst auf dem heimischen Markt entsprechen würde, um gegenüber der imagemäßig höher positionierten ausländischen Konkurrenz als Inlandsstandort für die Produktion noch mithalten zu können. Da derartige Verbesserungen bei dem möglicherweise langfristig durch negative Voreinstellungen geprägten Käuferverhalten kaum erreichbar sind, müßten Lizenzproduktionsstrategien erarbeitet werden, um den Kapitalwert strategischer Investitionen zu verbessern. Das Handlungspotential ist jedoch auch hier begrenzt. Insgesamt haben die durchgeführten Break-even-Analysen gezeigt, daß als Produktionsstandorte die DDR und Ungarn noch interessant sein könnten. Die Rechenergebnisse zeigen deutlich, daß für ein Engagement in den RWG-Staaten eine Vielzahl von Maßnahmen notwendig sein wird, um bei Konkurrenz mit Westprodukten trotz höherer Preise und hoher Löhne an Weststandorten wenigstens eine marktübliche Verzinsung für das eingesetzte Kapital erwirtschaften zu können. Für lineare Anpassungsprozesse innerhalb von zehn Jahren, die Lohnkosten werden sich dem Niveau der Bundesrepublik zumindest in der ehemaligen DDR annähern, zeigen Rechnungen leider wieder ungünstigere Kapitalwerte, so daß gegenwärtig im Durchschnitt lediglich das Hochlohnland Alt-Bundesrepublik als Produktions-Standort für westliche Investoren uneingeschränkt interessant zu sein scheint 11• Allenfalls sehr langfristig angelegte marktstrategische Erwägungen könnten zur Relativierung der Ergebnisse führen.

4.8.3. Ergebnisauswertung für den Investor Als Produktionsstandort wäre grundsätzlich die Bundesrepublik am besten, Polen am wenigsten geeignet. Die nur sehr spärlich verfügbaren statistischen Unterlagen, u.a. verwendet als Lohnkostenparitäten, zeigen, daß für den Investor von einer größeren Anhebung der Löhne für die nähere Zukunft dringend abgeraten werden müßte, dieses gilt erst recht, wenn die relativ niedrigen (Ost-)Produktivitäten mit in die Rechnung einbezogen werden; Lohnerhöhungsspielräume sind somit aus der Sicht des Investors nicht vorhanden12. Auch der Einsatz moderner, aber zugleich kapitalintensiver Produktionstechnik wird in der Regel keine Verbesserung bewirken können. Der Einsatz hochentwickelter Produktionstechniken wurden bei Fortgeltung gegenwärtiger Rahmenbedingungen (ebenso wie bei linearer Verbesserung innerhalb von zehn Jahren) zur weiteren Absenkung der ohnehin schon stark negativen Investitionsergebnisse führen. Umfrageergebnisse zeigen, daß insbesondere bei den kapitalintensiveren Investitionen starke Zurückhaltung geübt wird. 13 Unabhängig von den letzten siehe hierzu Rechenergebnisse und Datensituation Betge, P.: Investitionen in der ehemaligen DDR und in den Ostblockstaaten - Standort Bundesrepublik im Vergleich, in Der Betrieb, Heft 46, 43. Jahrgang 1990, S. 2277. 12 Die im Widerspruch zur gegenwärtigen Lohnerhöhungspraxis stehende Aussage soll deutlich machen, daß selbst bei niedrigem Lohnniveau noch negative Kapitalwerte entstehen. Tatsächlich werden jedoch Lohnerhöhungen und gleichzeitiger Weiterbeschäftigungszwang bis 31.06.91 bzw. 31.12.91 für volle Belegschaften von den Gewerkschaften trotz hoher Unternehmensverluste durchgesetzt, wie das Beispiel Pentacon Dresden GmbH gezeigt hat. 13 Vgl. Handelskammer Hamburg, Ergebnisse der Zusatzfragen zur Anhörung des DIHT's durch den Sachverständigenrat im Herbst 1990. 11

118

Überlegungen muß es zusätzlich darauf ankommen, die Arbeitsproduktivität wesentlich zu erhöhen bzw. westlichen Verhältnissen anzupassen, um die trotz niedrigerer Löhne klar negativen Kapitalwerte wenigstens der Null-Linie näherzubringen. Daß die (lediglich bei oberflächlicher Betrachtung) niedrigen 'DDR-Lohnkosten' denn auch keinen Anreiz für Investoren bieten, belegen Umfrageergebnisse; so werden nur von 2,8% (gewichtet) die Lohnkosten als Investitionsmotiv gesehen 14 - eine Folge unzureichender Arbeitsproduktivitäten. Bessere Ansatzpunkte könnte eine Produktimageverbesserung vor allem für Erzeugnisse aus den neuen Bundesländern bieten. Insbesondere (West-)Lizenz-Produktionen scheinen kurzfristig Erfolg zu versprechen. Sie sollten deshalb vorrangig zum weiteren Ansatzpunkt für strategische Überlegungen gemacht werden.

14

Handelskammer Hamburg, Ergebnisse der Zusatzfragen ... , a.a.O., Harnburg 1990.

119

5. Investitionsmodelle Bei genauer Betrachtung von Investitionsplanungsproblemen ist eine große Anzahl von Handlungsalternativen zu erkennnen. Theoretisch würde sie eine ebenso große Anzahl von Alternativrechnungen notwendig machen, falls man vom Entscheidungsträger ausschließlich rationale Entscheidungen aus praktisch-normativer Sicht fordern würde. Die Modeliierung von Planungsproblemen kann dagegen bewirken, daß grundsätzlich nur Optimallösungen im Rahmen einer Simultan-Rechnung zu ermitteln und zur Grundlage der Entscheidung zu machen wären. Die weiteste Verbreitung für komplexe betriebswirtschaftliche Optimierungsrechnungen hat wohl die Iinearprogramrnierung erfahren. Deshalb werden auch hier ausschließlich LP-Ansätze behandelt, sie sind Instrumente einer Simultanplanung. Aber auch die Kritik der klassischen Methoden führte zur besseren Aufarbeitung von Planungsproblemen und Entscheidungssituation1. Als wesentlichste Kritikpunkte der klassischen Methoden, die übrigens auch für einfachere LP-Ansätze gelten, sind zu nennen: (1)

jedem Investitionsprojekt muß eine Ein- und Auszahlungsreihe eindeutig zugeordnet werden können; die Kombination eines Projektes mit anderen und einem bereits vorhandenen Bestand an Investitionsobjekten ist dagegen die Regel, so daß einzelne Zahlungsreihen nur der gesamten Kombination willkürfrei zugerechnet werden können;

(2)

die klassischen Methoden führen nur unter Beachtung ihrer spezifischen Prämissen zu rationalen Investitionsentscheidungen;

(3)

Iiquiditäts- und sonstige Restriktionen (Beschaffungsbereich, Arbeitskräfte usw.) werden nicht erfaßt.

einfache Kapita 1wertmodelle

Integrationsmodelle

/~ mehrperiodig

einperiodig

I

I

Modellierung des Planungsproblems ausgehend von den Kapitalwerten der einzelnen Projekte, d.h. es müssen mindestens die Prämissen aus Kritikpunkt (1) erfüllt sein

I

mehrperiodig

I

Modellierung des Planungsproblems unter Einbeziehung des Produktionsapparates als Ganzes, auch die Produktionsprogrammplanung ist integriert

Abb. 5.1: Arten von Investitionsmodellen 1

120

Vgl. hierzu Jacob, H.: Neuere Entwicklungen in der Investitionsrechnung, in Zffi, 34. Jg. 1964, S.

487 ff.

Einen Überblick über die grundsätzlich denkbaren Investitionsmodelle gibt die Abbildung 5.1. Sie zeigt die weitere Vorgehensweise bei der Stoffaufbereitung für dieses fünfte Kapitel des Buches. Ausgehend von einfacheren Modellen bildet jeder Übergang zu einer komplizierteren Modellversion das Ende eines Lernschrittes und den Einstieg in eine höhere Schwierigkeitsstufe zugleich. Für den weniger geübten Leser gilt die Empfehlung, keinen der Lernschritte auszulassen, da vorangegangene Ausführungen stets Grundlage der folgenden Lernschritte sind. Ausgehend von einfachen Grundlagen der linearen Optimierung soll nun die Entwicklung gemischt-ganzzahliger Optimierungsansätze im Rahmen der aufgeführten Modellarten geübt werden.

5.1 Grundlagen der linearen Optimierung Nach noch näher zu erläuternden Formulierungsregeln wird zweckmäßigerweise zunächst ein Grundmodell konzipiert, das im Kern alle wesentlichen Problemschwerpunkte in rechenbarer Form enthält. Zulässig sind ausschließlich lineare Abhängigkeiten. Die Optimierungsrechnung ist die Lösung eines linearen Gleichungssystems unter Berücksichtigung linearer Ungleichungen, nämlich des LP-Modelles. Nicht-lineare Funktionen sind durch intervallweise durchzuführende Linearisierungen so aufzubereiten, daß im Modellletztendlich ausschließlich lineare Abhängigkeiten enthalten sind. Am Beispiel eines aus Vereinfachungsgründen statischen Ansatzes für die simultane Bestimmung des Produktions- und Absatzprogrammes können rein pragmatisch einige Grundvorgehensweisen, Kontrollregeln und Gesetzmäßigkeiten herausgearbeitet und Einsichten in die Funktionsweise von LP-Verfahren zur Ermittlung von Optimallösungen gewonnen werden. Zur Lösung linearer Optimierungsprobleme kann das Simplex-Verfahren herangezogen werden. Es wurde bereits 1947 von George Dantzig2 entwickelt und gilt als äußerst effizienter Lösungsalgorithmus für Optimierungsaufgaben der folgenden Art. Grundaufgabe der linearen Optimierung: Bestimme die Werte der Strukturvariablen x1, xz, ... , xn, welche die allgemeine lineare Funktion

unter Beachtung folgender Restriktionen maximieren: all xl + a12 x2 + aln xn ~ alO a21 xl + a22 X2 + ··· a2n xn $ a20 aml xl + am2 x2 +

...

amn xn ~ amo xl ;::: 0 xn ;::: 0

Bei den aj" (O~i~m. O~j~n) handelt es sich im Gegensatz zu den Variablen x1, ... , xn um Konsänten. Wird zusätzlich die Ganzzahligkeit der Variablen gefordert, spricht 2

Vgl. Dantzig, George B.: Lineare Programmierung und Erweiterungen (deutsche Übersetzung), Berlin Hcidelberg Ncw York, 1966.

121

man von einem ganzzahligen Optimierungsproblem. Sind innerhalb eines Modells einige Variablen kontinuierlich, andere ganzzahlig, so wird von einem gemischt-ganzzahligen Optimierungsmodell gesprochen. Investitionsmodelle sind in der Regel gemischt -ganzzahlige Modelle. Beispiel rür ein lineares Optimierungsproblem:

Ein Unternehmen, das 2 Produkte fertigt, möchte sein gewinnoptimales Produktionsprogramm ermitteln. Der Deckungsbeitrag einer ME des Produktes 1 beträgt 70 GE, während für Produkt 2 der höhere Deckungsbeitrag von 80 GE/ME realisert werden kann. Beide Produkte benötigen als Input eine ME des Rohstoffes R, von dem in der betrachteten Periode 50 ME zur Verfügung stehen. Ferner ist die Fertigungskapazität mit 250 ZE/PE begrenzt. Für Produkt 1 gilt ein Produktionskoeffizient von 4 ZE/ME, für Produkt 2 werden 6 ZE/ME benötigt. Formulierung der Optimierungsaufgabe:

Zu bestimmen sind die gewinnmaximalen Produktionsmengenzweier Produkte: x 1 = optimale Produktionsmenge des Produktes 1 in ME/PE x2

= optimale Produktionsmenge des Produktes 2 in ME/PE

Für die Zielfunktion ergibt sich somit:

z = 70 x 1 + 80 x 2 -> rnax.

die Koeffizienten betragen somit n=2, a 01 =70, a 02 =ao, a 00 =o

Da zwei Restriktionen (Rohstoff- und Kapazitätsbeschränkung) angeführt werden, ist m ebenfalls 2. Rohstoffrestriktion: allxl + a12x2 $ alO

bei a 11 =1, a 12 =1, a 10 =50 gilt

x1 + x 2

$

50

Kapazi tätsrestriktion: a21x1 + a22x2 $ a20

bei a 21 =4, a 22 =6, a 20 =250 gilt 4x 1 + 6x 2

$

250

Sowohl x 1 als auch x2 müssen die Nichtnegativitätshedingungen x 1 2 o, x 2 2 0 erfüllen. Die Ganzzahligkeit der Produktionsmengen müßte zusätzlich gefordert werden: x 1 ganzzahlig, x2 ganzzahlig, 122

in der Regel wird mit Ausnahme der Auftragsfertigung auf Ganzzahligkeit aus rechentechnischen Gründen verzichtet. Zusammenfassung der Optimierungsaufgabe: z = 70 x1 + 80 x2 -> max. x1 + x2 ~ 50 4x 1 + 6x 2 ~ 250 x1, x2 ;::: x1, x2

0 ganzzahlig

Graphische Lösung des Problems: In das zweidimensionale Koordinatensystem der Abbildung 5.2 (xl als Abszisse und x2 als Ordinate) wird die Schnittmenge der Lösungsbereiche aller Ungleichungen emgezeichnet (zulässiges Lösungsgebiet). Die Zielfunktion wird für alternative Zielwerte eingezeichnet; daraus ergibt sich eine Parallelenschar. In dieser Parallelenschar wird der Punkt gesucht, der vom Koordinatenursprung einen maximalen Abstand hat und innerhalb des zulässigen Lösungsbereiches liegt. Der graphisch durch Parallelverschiebung der Zielfunktio_n z zu e_rmittelnde Ec~punkt Popt_liegt bei x 1 = 25 und x2 _= 25 ME/PE; x 1 und x2 smd Optimalmengen, sie werden imt xlopt und x2 opt bezeichnet.

50

40

30 25

20

10

10

20

25

30

40

50

60

Abb. 5.2: Graphische Lösung des Problems Das schraffierte Gebiet der Abbildung 5.2 kennzeichnet den zulässigen U)sungsbereich. 123

Das "gewinnoptimale Produktionsprogramm" besagt, daß von beiden Produkten jeweils 25 ME/PE produziert werden müssen, damit sich der folgende maximale Zielwert z ergibt:

z

=

70

*

25 + 80

*

3.750 GE.

25

Rechnerische Lösung des Problems: Die aus der graphischen Lösung ersichtlichen Schnittpunkte der Restriktionsgeraden, die das zulässige Lösungsgebiet begrenzen, werden als Eckpunktlösungen des Problems bezeichnet. Existiert genau eine optimale Lösung, so ist das eine der Eckpunktlösungen. Der Simplex-Algorithmus läßt sich wie folgt beschreiben3: 1. lnitialisierung: Beginn bei einer zulässigen Eckpunktlösung. 2. Iteration: Aufsuchen einer besseren, benachbarten Eckpunktlösung (und Wiederholung dieses Schrittes so oft wie nötig). 3. Optimalitätstest: Eine zulässige Eckpunktlösung ist optimal, wenn keine bessere, benachbarte zulässige Eckpunktlösung mehr gefunden werden kann. Ausgangsform des Simplex-Tableaus:

~~ e

8

rechte Seite d

xl

x2

x3

xn

yl

-all

-a12

-a13

-aln

alO

:r2

-'?-21

-'?-22

-'?-23

-'?-2n

'?-20

Ym

-äml

-äm2

-äm3

-ämn

ämo

aOl

a02

a03

aon

aoo

V

)

Zielfunktion

z

Koeffizienten der Zielfunktionszeile Die positiven Schlupfvariablen Yi (l~i~m), Yi chungen in Gleichungen umzuformen:

3

124

~

0, dienen dazu, die Restriktionsunglei-

Vgl. Hillier, Frederick S./Liebermann, Gerald J.: Operations Research: Einführung, München/Wien 1988, S. 47f.

n

E aij j=1

*

xij + Yi

n - E a· · j=1 1]

*

xij + aio•

1 :5 i :5 m

1 :5 i :5 m

Das Simplex-Verfahren gibt nun einen Lösungsweg an, bei dem zunächst dien Strukturvariablen x1, ...xn gleich Null gesetzt werden, um die m Schlupfvariablen y1, ...ym bestimmen zu können, d.h., der Ursprung wird als erste zulässige Eckpunktlösung aut seine Optimalität hin untersucht. Der Einfacheit halber werden die Einträge -ar (1:5i:5m, 1:5j:5n) aus der Ausgangsform des Simplex-Tableaus im folgenden als ~j 'bezeichnet, d.h. die neuen Koeffizienten aij entsprechen den Koeffizienten aij aus den Restriktionsgleichungen und -Ungleichungen bis auf das Vorzeichen. Beschreibung des Simplex-Algorithmus4 Die Lösung erfolgt durch Austauschen der Nichtbasisvariablen mit den Basisvariablen. 1. Bestimmung der gegen Basisvariable auszutauschenden Nichtbasisvariablen

In der Zielfunktionszeile wird ein maximaler positiver Koeffizient gewählt. Dadurch wird die Dreh- oder Pivotspalte festgelegt. Sind alle Koeffizienten negativ, ist das Verfahren beendet. Dann haben alle im Tabellenkopf stehenden Variablen den Wert 0 und alle links stehenden Variablen die in der "d"-Spalte angegebenen Werte. Ist mindestens ein Koeffizient nicht negativ, wird später diejenige Nichtbasisvariable, die sich in der Drehspalte befindet, als Basisvariable in die Lösung eingehen. Diese Spalte erhält den Index s:

2. Bestimmung der aus der Lösung zu eliminierenden Basisvariablen Es werden jeweils die Zahlen der "d"-Spalte durch die entsprechenden Zahlen der Drehspalte dividiert, jedoch nur dann, wenn das Element der Drehspalte negativ ist. Das Ergebnis wird als charakteristischer Quotient bezeichnet. Die Drehzeile ist so zu wählen, daß der charakteristische Quotient betragsmäßig minimal ist. 5 Gibt es in der Drehspalte kein negatives Element, ist die Optimierungsaufgabe nicht lösbar. Diejenige Basisvariable, die sich in dieser Zeile befindet, wird gegen die Nichtbasisvariable unter 1. ausgetauscht. Die Drehzeile bekommt den Index r:

4 5

Vgl. Zimmermann, Werner: Operations Research. Quantitative Methoden zur Entscheidungsvorbereitung, 5. Aufl., München/Wien 1990, S. 53f. Zu den unterschiedlichen Versionen der Simplex-Methode und zu unzulässigen Ausgangslösungen siehe Müller-Merbach, H.: Operations-Research, 3. Aufl., München 1985, S. 106 ff.

125

, j=l,


max

J.1.

Innerhalb der Nebenbedingungen ist sicherzustellen, daß die Absatzvariablen nicht die Intervallbreiten überschreiten:

für alle JJ.=l, ••.

,~

Für den eingangs erwähnten Mehrprodukt-Fan wäre zu formulieren: -> max

und als Nebenbedingung

für alle z=l, ••• ,z JJ.=l, ••• ,[i. Bei der Linearisierung von Kostenfunktionen, z.B. bei Problemen mit intensitätsmäßiger Anpassung, muß analog vorgegangen werden; die in die Rechnung einzugebenden Kostendaten müssen intervallbezogene Grenzkosten sein. Unter Umständen sind bei der Verwendung linearisierter Kostenfunktionen zusätzlich

131

Reihenfolgebedingungen zu formulieren, auf die an dieser Stelle nicht näher eingegangen werden soll6 .

r.-.

p E

E' u'

u;

u' 2

~~~~~~4-----~----~----------------------~~-------->

X

Abb. 5.4:

Linearisierung von Erlösfunktionen und Diskretisierung von Grenzerlösfunktionen

5.3. Kapitalwertmodelle Einperiodige Modelle sind von mehrperiodigen Modellen zu unterscheiden. Die einfacheren Modelle, mit denen zu Übungszwecken bei der Modeliierung begonnen werden soll, sind einperiodige Modelle. Ausgangspunkt ist jeweils die Anwendung der Kapitalwertmethode für die Bewertung der Einzelprojekte eines Investitionsprogramrns; vorab berechnete Kapitalwerte werden als Daten vorgegeben. Einperiodig bedeutet bei den Investitionsmodellen, daß Investitionen nur zu einem Zeitpunkt vorgenommen werden, nämlich am Anfang des Planzeitraumes. Demgegenüber beinhaltet die Mehrperiodigkeit, daß Investitionen und Kreditaufnahmen zu mehreren Zeitpunkten des Gesamtplanzeitraumes erfolgen können.

5.3.1. Einperiodige Modelle Die kürzeste, übersichtlichste Beschreibung des Planungsproblems besteht in einer Prämissenaufzählung. Für den nachfolgenden allgemeinen Planungs-Ansatz sollen damit als Prämissen gelten: die Prämissen der Kapitalwertmethode sind erfüllt, vollständiger Kapitalmarkt,

6

132

Siehe hierzu Jacob, H.: Zur Standortwahl der Unternehmung, 3. Auflage, Wiesbaden 1976, S. 34f.

es ist nur über Projekte der Maschinenbeschaffungen (=Investitionen) zu entscheiden, nicht dagegen über Desinvestitionen, Kreditfinanzierung ist ausgeschlossen, die mit den zu beschaffenden Investitionsobjekten insgesamt herstellbaren Mengen dürfen vorgegebene Absatzhöchstmengen (für die die Preissetzung zur Bestimmung der Kapitalwerte der Einzelprojekte erfolgt ist) nicht überschreiten, das verfügbare Kapital ist begrenzt, Herstellung mehrerer Produkte mit einem Projekt ( =Mehrprodukt-Fall). Bei den Symboldefinitionen ist zwischen Variablen und Konstanten zu unterscheiden. Während die Konstanten als vorab zu ermittelnde Daten in die Rechnung eingehen, muß entsprechend den Optimierungszielsetzungen den Variablen mit Hilfe der Rechnung erst ein Wert zugeordnet werden, der den Wert der Zielgröße letztendlich maximiert oder minimiert. In dem nachfolgenden, relativ einfachen Modell ist nur über die Beschaffung von Projekten i in einer durch die (Gesamt-) Kapitalwertmaximierung zu bestimmenden Anzahl zu entscheiden. Symbole: Variable: Anzahl der Projekte vom Typ i

m·I Konstanten:

Anschaffungsauszahlung in GE verfügbarer Kapitalbetrag in GE Absatzmenge von Produkt z, konstant für alle Teilperioden t in ME/PE Kapitalwert des Projektes i in GE Produktionsmenge in Teilperiode t von Produkt z bei Realisierung von Investitionsprojekt i in ME/PE Bei dem zunächst nur als Grundmodell anzusehenden LP-Ansatz ist das Investitionsprogramm mit dem insgesamt höchsten Kapitalwert unter Beachtung der Restriktionen gesucht. Die Konzipierung von Modellen sollte nach abgeschlossener Definition der wichtigsten Symbole unter Beachtung der dazugehörigen Einheiten mit der Formulierung der Zielfunktion begonnen werden. Zielfunktion: Z = L wi*rni -> rnax i

Nach Formulierung der Zielfunktion ist die Modellentwicklung mit der Bildung von Nebenbedingungen fortzusetzen.

133

Nebenbedingungen: Aufgrund der Angabe, daß der verfügbare Kapitalbetrag begrenzt ist, wird eine Finanzierungsbedingung benötigt:

Die Finanzierungsbedingung stellt sicher, daß die Summe der Anschaffungsauszahlungen für das gesamte Investitionsprogramm nicht den vorhandenen Kapitalbetrag überschreiten kann. Die Beachtung vorhandener Absatzmarktpotentiale geschieht über die Absatzbedingungen: ~

i

Xtzi*mi :5 Nz

für alle t= 1, ... , T z= 1, ... , ·z

Die Absatzbedingung bewirkt, daß in keiner Teilperiode bei keinem der herzustellenden Produkte innerhalb des vorgegebenen Produktionsprogrammes Absatzhöchstmengen überschritten werden können. Die formulierte Absatzbedingung ist bei genauer Betrachtung als Kurzschreibweise ein Ersatz für eine größere Anzahl von Absatzrestriktionen. Tatsächlich ist später für jede Periode t und jedes Produkt z jeweils eine Bedingung zu formulieren; bei z.B. zehn Perioden (t = 1, 2, ... , 10) und sechs Produkten (z = 1, 2, ... , 6) wären somit 10*6 = 60 Restriktionen auszuformulieren und in die Berechnung des optimalen Investitionsprogrammes einzugeben. Der Vollständigkeit halber soll nun noch auf die grundsätzlich notwendige Formulierung von Nichtnegativitäts- und Ganzzahligkeitsbedingungen hingewiesen werden: mi

~

O, mi ganzzahlig

/o

für alle i=1, ... ,i

Hierdurch wird bewirkt, daß der Wertebereich der Variablen auf positive Werte beschränkt wird; nur für Variablen sind somit Nichtnegativitätsbedingungen notwendig. Allerdings kann überwiegend auf die Formulierung von Nichtnegativitätsbedingungen verzichtet werden, weil diese von den meisten neueren Rechenprogrammen automatisch intern generiert werden. Dieses einfache Grundmodell kann bereits für die Planung von Investitionsprogrammen eine interessante und leistungsfähige Planungshilfe darstellen; von den tatsächlich zu berücksichtigenden Sachverhalten der Praxis ist es jedoch noch weit entfernt. Das einführend ausführlich beschriebene Grundmodell ist deshalb zu erweitern. Zusätzliche Prämissen für die Modellerweiterung: - eine Kreditaufnahme ist innerhalb bestimmter Verschuldungsgrenzen möglich, - die Liquidität der Unternehmung darf in keiner Periode des Planzeitraumes gefährdet sein, - periodenabhängige Absatzhöchstmengen sollen nicht überschritten werden, - einzelne Einsatzfaktoren für die Produktion stehen nur in begrenzten Mengen zur Verfügung. Für die Überführung der Problembeschreibung in einen erweiterten LP-Ansatz sind weitere Symboldefinitionen notwendig.

134

Zusätzliche Symbole: Variable: Krediteinheiten, Umfang der Inanspruchnahme von Kreditart j in GE, 100 GE o.ä.

bj

Konstanten: Auszahlung in Periode t bei Realisierung von Projekt i in GE/PE Auszahlung in Periode t für eine aufgenommene Krediteinheit j in GE/PE; Summe aus Zinszahlung und Tilgung Einzahlung in Periode t bei Realisierung von Projekt i in GE/PE Kapitalwert einer Einheit des Kredites j in GE/GE, GE/1000 GE o.ä. von der Unternehmung bereitgestellte Reservebeträge zur Finanzierung von Auszahlungsüberschüssen in Periode t in GE/PE Höchstabsatzmengen für die einzelnen Perioden t von Produkt z in ME/PE Menge des in der Periode t bei Projekt i notwendigerweise zu beschaffenden Produktionsfaktors der Art r in ME/PE Beschaffungshöchstmenge für die Periode t bei dem Produktionsfaktor der Art r in ME/PE Verschuldungshöchstgrenze für die Kreditart j, Kreditlimit in GE

S· J

Die Zielfunktion ist um die Kapitalwerte möglicher Kreditaufnahmen zu erweitern. Zielfunktion:

z Selbstverständlich werden die Kapitalwerte von Krediten im Normalfalle negativ sein; die Konstante vi ist dann negativ. Auch bei den Nebenbedingungen ergeben sich aufgrund der erweiferten Problemstellung sowohl Veränderungen bei den bisher schon verwendeten Bedingungen als auch zusätzliche Restriktionsbedingungen. Nebenbedingungen:

Finanzierungsbedingung: ~

i

Ai*mi

~

B +

~

J

bj

Der verfügbare Anfangsbetrag B wird um die gesamtoptimale Kreditaufnahme zur Finanzierung sämlicher Anschaffungsauszahlungen erhöht. Zur Erfassung autonom festgelegter oder von Kreditinstituten vorgegebener Kreditlimits ist eine Kreditbedingung erforderlich.

135

Kreditbedingung:

.

~

für alle J=l, ••• ,J

Zur Sicherung der Unternehmensliquidität in jeder Periode muß eine Liquiditätsbedingung formuliert werden. Liquiditätsbedingung: t•=t E [E(at•i-et•i>mi + E ät•j*bjl S Bt für alle t=l, ••• , T t '=1 i j

Die Bedingung bewirkt, daß möglicherweise auftretende Auszahlungsüberschüsse (beispielsweise zur Abdeckung von Anlaufverlusten) aus den Investitionsprojekten zuzüglich Tilgungs- und Zinszahlungen aus der Kreditfinanzierung nicht die bereitgestellten Beträge zur Finanzierung zeitweilig auftretender Liquiditätsengpässe überschreiten können. Die BcDaten müssen in aufsteigender Folge vorgegeben werden. Der Index t' ist ein Laufindex, der bei Additionen gemäß Summationsvorschrift jeweils den Wert t' = 1 bis zur gerade betrachteten Periode t annimmt; damit werden alle Zahlungen vom Beginn des Planzeitraumes bis zur jeweils betrachteten Periode t erfaßt. Bevor noch einmal vertiefend auf die Liquiditätsbedingung eingegangen wird, soll nun die bereits in ähnlicher Form verwendete Absatzbedingung modifiziert werden. Absatzbedingung: E Xtzi*mi S Ntz i

für alle t=l, ... , T

z=l, ... , ~

Die Bedingung ermöglicht es, nun unterschiedlich hohe Absatzhöchstmengen für die einzelnen Perioden t für sämtliche Produkte z vorzugeben. Zusätzlich ist zur Erfassung der potentiellen Engpaßfaktoren der Produktion eine Beschaffungsbedingung erforderlich. Beschaffungsbedingung: ~ Qtir*mi 1

s

Qtr

für alle t=l, ... , T r=l, ... ,

-r

Mit dieser Bedingung werden die mit den Projektrealisierungen verknüpften Ressourcenbedarfe auf die verfügbaren Mengen dort begrenzt, wo sich Einsatzfaktoren als Engpaß erweisen sollten. Die Nichtnegativitätsbedingungen bilden den Abschluß der Modellierung, wobei ausdrücklich vermerkt werden sollte, welche Variablen ganzzahlig sein müssen. für alle i=l, •.. , '"' i mi ganzzahlig

.

·':"

für alle J=l, •.. , J

Im Gegensatz zur Maschinenbeschaffung kann aus verständlichen Gründen bei der Kreditvariablen bj auf eine Ganzzahligkeit verzichtet werden.

136

5.3.2. Mehrperiodiges Modell Die Vorteile mehrperiodiger Modelle liegen nicht nur in der größeren Genauigkeit der Abbildung von Planungsproblemen, sondern auch in der Möglichkeit der Erfassung zeitlich-vertikaler direkter und indirekter Interdependenzen. Außerdem kann das Problem der Wiederanlage von Geldbeträgen als Ergänzungs-/Differenzinvestitionen dadurch gelöst werden, daß z.B. Einzahlungsüberschüsse einer Vorperiode als verfügbare Mittel der nachfolgenden Periode behandelt werden. Die Modellrechnung kann dann bestimmen, wie ggf. über mehrere Perioden hinweg gesammelte Überschüsse unter Einbeziehung von Kapitalmarkterträgen gesamtoptimal zu verwenden sind. Ein- und Auszahlungsüberschüsse können somit zeitlich beliebig transferiert werden, soweit sich dadurch erhöhende Wirkungen für die Zielgröße erreichen lassen. Desinvestitionen werden jedoch auch durch die mehrperiodigen Kapitalwertmodelle in ihrer Standardformulierung nicht erfaßt. Als Haupttypen mehrperiodiger Modelle lassen sich je nach zeitlichem Bezug der Zielgröße unterscheiden: Anfangswertmodelle: die Summe der Kapitalwerte ( =Betriebsvermögen) ist auf den Beginn des Planzeitraumes bezogen; der Anfangswert wird maximiert. Endwertmodelle: das ausgewiesene entscheidungsabhängige Betriebsvermögen wird auf das Ende des Planzeitraumes bezogen; der Endwert wird maximiert. Das nachfolgend darzustellende mehrperiodige Kapitalwertmodell ist zunächst ein Anfangswert-Modell, während die später zu behandelnden Integrationsmodelle Endwertmodelle sind. Das folgende Kapitalwertmodell ist eine Erweiterung des einperiodigen Modells. Die bisher behandelten Prämissen bleiben gültig, der Problemumfang wird jedoch durch die Einführung zusätzlicher Prämissen erweitert: der Gesamtplanzeitraum wird in Teilperioden unterteilt ( = Mehrperiodigkeit) Auszahlungsüberschüsse einer Periode können i.d.R. unter zwischenzeitlicher Nutzung von Wiederanlagemöglichkeiten in andere Perioden transferiert werden ( =Gewinnrückkopplung) die Möglichkeit des Ersatzes von teureren Krediten durch günstigere (=Umschuldung) ist gegeben Sachinvestitionen sind in jeder Periode möglich, Desinvestitionen sind ausgeschlossen. Zusätzliche Symbole: Variablen:

=

Anzahl der Projekte von Typ i, die in t realisiert werden, ganzzahlig Inanspruchnahme des Kredites der Art j mit langfristig festvereinbarten Rückzahlungsbeträgen in GE, 1000 GE o.ä. Inanspruchnahme von Krediten der Art k mit Umschuldungsmöglichkeiten in GE, 1000 GE o.ä. verbleibender Restbetrag ("Kasse") in t in GE, 1000 GE o.ä.

137

Konstanten: Kapitalwert eines in t begonnenen Projektes i (bezogen auf t = 0) in GE Kapitalwert eines in t aufgenommenen Kredites der Art j mit fester Rückzahlungsvereinbarung in GE/GE, GE/1000 GE o.ä. Kapitalwert eines in taufgenommenen umschuldungsfähigen Kredites der Artkin GE/GE, GE/1000 GE o.ä. Anschaffungsauszahlung in Periode t für Projekt i Verzinsung eines in der Vorperiode aufgenommenen Kredites der Art k in GE/GE • PE vom Unternehmen in Periode t bereitgestellter Kapitalbetrag in GE Einzahlung aus einer in t realisierten und in der Vorperiode ( = t-1) noch einsatzfähige Investition vom Typ i in GE at'it-1

Auszahlung für eine in t realisierte und in der Vorperiode t-1 noch einsatzfähige Investition vom Typ i in GE Auszahlung eines in taufgenommenen Kredites der Art j, der in Vorperiode t-1 vorhanden und deshalb zu bedienen ist, in GE Nutzungsdauer einer Investition vom Typ i in PE Laufzeit eines (Fest-)Kredites j in PE Kreditlimit für Festkredit der Art j in Periodetin GE Kreditlimit für umschuldungsfähigen Kredit der Art k in Periode t in GE Gesamtverschuldungsgrenze für Periode t in GE

Durch die Zielfunktion wird die Zielgröße Z als Summe der Kapitalwerte aus Sachinvestitionen und Kreditinanspruchnahmen für die Finanzierung bezogen auf t = 0 maximiert. Zielfunktion: ->

max

Die Zielfunktion wird somit gegenüber dem Vorgängermodelllediglich um die Kapitalwerte der aufgenommenen umschuldungsfähigen Kredite erweitert. Die Berechnung des Kapitalwertes einer Geldeinheit (=Konstante) eines umschuldungsfähigen Kredites der Art k soll kurz über ein Zahlenbeispiel verdeutlicht werden. Kreditzins Kalkulationszins Rückzahlung

p

= 0,12 GE/GE * PE = 0,10 GE/GE*PE =4

Ein umschuldungsfähiger Kredit wird rechentechnisch so behandelt, als ob er jede Periode neu aufgenommen und am Ende derselben Periode zurückgezahlt wird. Findet keine Umschuldung statt, bleibt die Kredithöhe unverändert; ein am Ende der Vorperiode zurückgezahlter Kredit wird in derselben Höhe am Anfang der Folgeperiode wieder aufgenommen. Im Falle von Umschuldungsvorgängen wird ein von dem 138

Rückzahlungsbetrag der Vorperiode abweichender Betrag einschließlich des Betrages 'Null' wieder aufgenommen. Die in die Rechnung einzugebenden Kapitalwertdaten sind also jeweils für eine Periode zu berechnen. Bezogen auf obiges Beispiel ergibt sich eine Kreditaufnahme in t=3, die auf t=O zu diskontieren ist. Die 'Rückzahlung' einschließlich Verzinsung wird für t=4 angenommen; auch hierbei ist eine Diskontierung auft=O notwendig: v 4 k = e 3 (1+i)- 3 - a 4 (1+p) (1+i)-4

Wird die Kreditaufnahme auf eine Geldeinheit bezogen und bleibt die Kredithöhe in der Periode unverändert, so ergibt sich: v 4k

e 3 (1+i)- 3 - a 4 (1+p) (1+i)- 4 1* 1,1- 3 - 1,12 * 1,1- 4

v 4k

-0,014 GE/PE

Nebenbedingungen: Finanzierungsbedingung für die erste Periode: ~ A1i*m1i + R1 = 8 1 + ~ b1j + ~ blk 1 J k

Da in der ersten Periode keine Kreditrückzahlungen, Umschuldungen und Zahlungen von Investitionen der Vorperioden zu berücksichtigen sind, kann für diese Periode eine relativ einfache Finanzierungsbedingung formuliert werden. Es ist lediglich erforderlich, die Gleichheit zwischen Auszahlungen für die Projektrealisierungen i zuzüglich eines ggf. verbleibenden Restbetrages und dem verfügbaren Geldbetrag, der durch entsprechende Kreditaufnahmen mit und ohne Umschuldungsmöglichkeit erhöht werden kann, sicherzustellen. Die Finanzierungsbedingungen für alle späteren Perioden des Planzeitraumes werden aufgrund der Mehrperiodigkeit des Modelles, der hiermit neu eingeführten Umschuldungsmöglichkeiten und der Gewinnrückkopplung wesentlich komplizierter. Finanzierungsbedingungen für den Beginn der zweiten bis letzten Periode des Planzeitraumes: ~ Ati*mti + ~ bt-l,k( 1 +ck)

i

k

8t

t-1 + ~ ~ bt'j * at'jt-1 + Rt j t•=t-n· t'~1 J

t-1 + ~ btj + ~ btk + ~ ~ mti + Rt-1 j k i t'=t-ni t'~1

für alle t=2,

... , T

Diese zweite Finanzierungsbedingung zeigt im Vergleich mit der ersten, daß es wegen der Komplexitätsunterschiede sinnvoll ist, zwei unterschiedliche Finanzierungsbedingungen vorzuschlagen. Auf der linken Seite erhöhen sich die bisherigen Auszahlungen um die Rückzahlungen der am Ende der Vorperiode jeweils aufzunehmenden umschuldungsfähigen Kredite kund um die Auszahlungen für die mit fester Rückzahlungsverpflichtung zu bedienenden Kredite, die in einer der Vorperioden aufgenom139

men wurden und in der Vorperiode noch nicht zurückgezahlt gewesen sind. Auf der rechten Seite erhöhen nun ggf. die Zahlungen aus den Investitionen der Vorperioden mit am Ende der letzten Periode noch nicht abgelaufener Nutzungsdauer zuzüglich eines eventuell am Ende der Vorperiode t-1 noch vorhandenen Restbetrages das Finanzvolumen. Über die Restbetragsgrößen Rt, Rt_ 1 können Geldbeträge auf andere Perioden mit hohem Finanzmittelbedarf übertragen werden. Sind Restbeträge nicht vorhanden, so hat das Modell den Fremdfinanzierungsbedarf bestehend aus Krediten mit fester Verpflichtung des Kreditnehmers und Krediten mit der Möglichkeit der Umschuldung zu ermitteln. Die Finanzierungsbedingungen zeigen damit besonders deutlich, daß Kapitelwertmodelle als Planungsinstrument der Vorbereitung von Programmentscheidungen dienen, sie optimieren Investitions- und Finanzierungsprogramme simultan. Die Summationen über den Laufindex t' bei den Kreditauszahlungen und den Zahlungen aus den getätigten Investitionen sind erforderlich, weil von 1.

zu unterschiedlichen, vom Modell bestimmten Zeitpunkten aufgenommenen Krediten nur die mit Zahlungen zu berücksichtigen sind, die noch nicht zurückgezahlt sind,

2.

zu unterschiedlichen, ebenfalls vom Modell bestimmten Zeitpunkten getätigten Investitionen nur für die Investitionen Zahlungen anfallen, deren vorgegebene Nutzungsdauer ni noch nicht abgelaufen ist. Die Wirkungsweise der Laufindizierung und die modellinterne Steuerung der Zahlungsberücksichtigung durch Variablenwerte soll nun kurz für den Fall einer Investition erläutert werden. Nachfolgende Ausführungen gelten für die Berücksichtigung von Kreditrückzahlungen innerhalb der Liquiditätsbedingungen analog. Es wird die Beschaffung einer beliebigen Maschine vom Typ i betrachtet: Nutzungsdauer ni = 3 PE Maschinenbeschaffung in t = 4

Zur Veranschaulichung der Problemstellung soll in der Abbildung 5.5 ein Zeitstrahl verwendet werden. Es ist grundsätzlich zwischen Zeitpunktbetrachtung (- > Zeitpunkte) und Zeitraumbetrachtung (->Perioden) zu unterscheiden. Für das Beispiel der Investition bei vorgegebener Maschinen-Nutzungsdauer ni soll der mit Laufindizierung versehene Summen-Ausdruck für die Zahlungserfassung auf der rechten Seite der letzten Liquiditätsbedingung in seine Einzelbestandteile aufgelöst werden:

t-1 ~

t'=t-ni

(et'it-1-at'it-l>mt'i

für den Betrachtungszeitraum t=7: t=6 ~

(et•it-1-at'it-l>mt'i t'=7-3=4 (e4i6 - a4i6) m4i

+ (e5i6 - a5i6) m5i

+ (e6i6 - a6i6) m6i 140

...... ...... """

0

t=l

mli=O

1

t=2

m2i=O

2

t=J

I

I t=5 erste Fixkastenauszahlunq

I

I

m6i=O

6

t=7

I

t=7 Nutzunqsende

I

I

Zeitpunkt der Anschaffungsauszahlung

A41

Zuordnungszeitpunkt für die Zahlungen t=7

I

laufende FinanzierunqsPeriode

t=S

m7i=O

7

L----ni=JPE:----------------~

I

t=6

msi=o

I

m4i=1

5

4

t=5

t=4 Maschinenbeschaffunq

mJi=O

3

t=4

Zahlungsströme, Zahlungsentstehung in den Planperioden > t

mai=o

8

Abb.5.5: Zahlungszuordnung und Zahlungsentstehung bei einer Investition, Parallelität von Zeitraum- und Zeitpunktbetrachtung

Variablenwerte: moi=O

Zeitpunkte der Zahlungszuordnunq

(Nutzungs-) Zeiträume, Perioden

Aufgrund der Wertebelegung für die Variable mti gemäß Abbildung 5.5 kann geschrieben werden: (e4i6 + (e5i6 + (e6i6 (e4i6

-

a4i6) a5i6) a6i6)

* * *

1

a4i6)

*

1;

0 0

d.h., mit Hilfe der Laufindex-Steuerung über die Beschaffungsvariable mti kann nur einmalig für den Betrachtungszeitpunkt t=7 die liquiditätswirksame Zahlung erfaßt werden, die sich aus dem Zeitraumergebnis aus der produktiven Nutzung der Investition ergibt. Aufgrund der Liquiditätsbedingung steht aus der Periode t=6 ein ggf. erzielter Überschuß zur Finanzierung der Auszahlungen in der Periode t=7 zur Verfügung. Aus Vereinfachungsgründen werden alle Zahlungen, die in der Praxis über Zeiträume verteilt anfallen, den Periodenenden zugeordnet. Somit werden kontinuierlich anfallende Zahlungen ( = Zahlungsströme) Zahlungszeitpunkten zugeordnet, um auf unterperiodige Verzinsungen oder gar die Einführung einer Momentanverzinsung verzichten zu können. Nachdem nun die Wirkungsweise der Laufindizierung hinreichend genau erklärt worden ist, kann nun zu den weiteren Nebenbedingungen übergegangen werden, die für eine vollständige und mathematisch konsistente Problembeschreibung erforderlich sind. Kreditbedingungen: ·-

btj

:5

stj

für alle t=1,

btk

:5

8 tk

für alle t=1,

j=1,

k=1,

... , ... , ... , ... ,

T

j

T

'k

Die Bedingungen begrenzen die Kreditaufnahme auf autonom vorgegebene Höchstbeträge für einzelne KreditgeberfKreditarten oder die von Banken festgelegten Kreditlimits. Soll eine Gesamtverschuldungsgrenze für die Unternehmung vorgegeben werden, ist eine zusätzliche Kreditbedingung erforderlich: für alle t=1, ... , T

Absatzbedingung: t'=t L L

i t'=t-ni+1

Xt'itz * mt'i :5 Ntz

für alle t=1, ... , T

z=1, ... ,

z

Die Absatzbedingung sorgt dafür, daß die ggf. auf mehreren beschafften Maschinentypen hergestellten Produktmengen die i.d.R. marktbedingt vorzugebenden Höchstabsatzmengen nicht überschreiten.

142

Beschaffungsbedingung: t ~ ~

i t•=t-ni+l

Qt•itr

*

mt'i

$

Qtr

für alle t=l, ... , T r=l, ... , r

Aufgrund der Beschaffungsbedingung wird sichergestellt, daß der durch die Gesamtzahl der getätigten Investitionen während deren Einsatzzeit periodenweise ausgelöste Ressourcenbedarf nicht die möglicherweise existierenden Höchstmengen für die verschiedenen Einsatzfaktoren übersteigt. Mit den Nichtnegativitätsbedingungen wird die Modellformulierung abgeschlossen: mti

-

~

btj

~

btk

~

Rt

~

0

für alle t=l, • i=l, • mti ganzzahlig

0

für alle t=l, j=l,

0

für alle t=l, k=l,

0

für alle t=l,

•

• I

•

• I

T

'~.,

~

• I

T

•

• • I

T

•

•

... , • •

• •

j

I

k

• I

T

•

Zusammenfassend bleibt festzustellen, daß die Kapitalwertmodelle, insbesondere das mehrperiodige Modell, schon begrenzt zeitlich-horizontale indirekte Interdependenzen zu erfassen beginnen. Die einzelnen Investitionsobjekte werden jedoch noch weitgehend isoliert betrachtet, was sich besonders deutlich an der Zurechnung der Einzahlungen zu den Einzelinvestitionen in den Liquiditätsbedingungen zeigt und bei den Kapitalwerten, die als Daten vorab zu berechnen sind. Überhaupt gilt, daß bei Kapitalwertmodellen die Datenaufbereitung für die Eingabe in den Rechner sehr aufwendig ist. Es muß allerdings auch gesehen werden, daß gerade bei Programmentscheidungen der Kapitaleinsatz in der Praxis so hoch ist, daß eine aufwendigere Entscheidungsvorbereitung wirtschaftlich leicht zu rechtfertigen ist.

5.3.3. Übungsaufgaben Um die behandelten Kapitalwertmodelle auch anwenden zu können, soll je ein Übungsbeispiel zum einperiodigen und zum mehrperiodigen Planungsproblem so aufbereitet werden, daß die Berechnung optimaler Investitionsprogramme mit Hilfe dieser Modellansätze geübt werden kann.

5.3.3.1. Einperiodiges Planungsproblem Ein Unternehmen sucht für einen Planungszeitraum von 3 Teilperioden sein optimales Investitions- und Finanzierungsprogramm. Zwei Investitionsprojekttypen stehen zur Verfügung, um jeweils zwei Produkte P 1 und P2 zu fertigen. Die hierfür erforderliche Rohstoffmenge ist begrenzt. Sie beträgt 4000 ME für jede Teilperiode. Zur Finanzierung des Investitionsprogramms können eigene Finanzmittel in Höhe von 7000 GE herangezogen werden, die jedoch nur zu Beginn des Planungszeitraumes vorhanden sind. Ein sogenannter Reservebetrag von 4000 GE kann zusätzlich, kumuliert über die drei Teilperioden, in Anspruch genommen werden. 143

Neben diesen eigenen Finanzmitteln sind auch zwei Kreditgeber bereit, das Investitionsprogramm zu finanzieren: Kapitalwert G = 1) für 1 GE des Kredites des 1. Kreditgebers: v 1 = -0,04 GE/GE Kreditgrenze: S1 = 6000 GE Kapitalwert G=2) für 1 GE des Kredites des 2. Kreditgebers: v2 = -0,05 GE/GE Kreditgrenze: S2 = 4000 GE Auszahlung iti für Tilgung und Zinsen bei Aufnahme einer Geldeinheit des (Fest-) Kredites j in T'eilperiode t in GE/GE*PE.

Für die zwei Investitionsprojekttypen gelten folgende Daten: Projekttyp 1: Kapitalwert: wl = 266 GE Anschaffungsauszahlung: A 1 = 500 GE Produktionsmengen des 1. Projekttyps (i = 1) in Teilperiode t für Produkt z: Xtzi X111 = 150 ME/PE, t = 1,2,3 50 ME/PE, t = 1,2,3

x121 =

Auszahlungsüberschuß aus dem 1. Projekttyp (i = 1) in Teilperiode t: dti d11 = + 400 GE, d21 = - 400 GE, d3 1 = -1000 GE Anm.: Ein positives dti zeigt eine Liquiditätsbelastung an, bei negativen dti existiert ein Einzahlungsüberschuß Projekttyp 2: Kapitalwert: w2 = 123 GE Anschaffungsauszahlung: A 2 = 1000 GE Produktionsmengen des 2. Projekttyps (i=2) in Teilperiode t für Produkt z: Xtzi X112 = 50 ME/PE, t = 1,2,3 x 122 = 50 ME/PE, t = 1,2,3 Auszahlungsüberschuß dti aus dem 2. Projekttyp (i=2) in Teilperiode t:

144

d 12 = 200 GE, d22 = -600 GE, d32 = -1000 GE Unabhängig von den Projekttypen geltende Daten: Als Nachfragegrenzen Ntz für das Produkt z in Teilperiode t wurden prognostiziert: Nn = 500 ME/PE für alle t = 1,2,3 Nt2 = 1000 ME/PE für alle t = 1,2,3 Die Rohstoffverbräuche Otr lauten:

= 40 ME, Qt2 = 50 ME

Qtl

für alle t = 1,2,3 für alle t = 1,2,3

Gesucht ist die Formulierung eines LP-Modells, das eine Realisierung der beiden Projekttypen nur zu Beginn des Planungszeitraums zuläßt. Lösung: Die Problemlösung sollte grundsätzlich in drei Schritten erarbeitet werden:

1.

Allgemeine Darstellung des Modells

2.

Explizite Modellformulierung unter genauer Verwendung der Symbole bezogen auf die Problemstellung und

3.

Modellformulierung unter Verwendung der Daten als direkte Vorstufe der Eingabe in den Rechner.

1. Allgemeine Darstellung des Modells Variablen:

= 1, 2

m·I

Anzahl der Projekte vom Typ i, i

b·

Kreditvolumen des Kredites der Art j, j

J

= 1, 2

Konstanten: Produktionsmengen für Produkt z in Teilperiode t bei Realisierung eines Projektes vom Typ i in ME, t = 1, ... ,3, z = 1, 2, i = 1, 2 Nachfragegrenze für Produkt z in Teilperiodetin ME, z = 1,2, t = 1, ... ,3 Kapitalwert eines Projektes vom Typ i in GE, i = 1, 2 Anschaffungsauszahlung für ein Projekt vom Typ i in GE, i = 1, 2 verfügbarer Kapitalbetrag (Eigenmittel in t 0), in GE liquide Mittel zur Abdeckung eventueller Auszahlungsüberschüsse in Teilperiode t in GE, t = 1,... ,3 145

Auszahlungsüberschüsse oder Liquiditätsbelastung in Teilperiode t für ein Projekt vom Typ i in GE, t = 1, ... ,3, i = 1, 2 Verschuldungsgrenze oder Kreditrahmen für Kreditart j, [GE], j = 1, 2 Kapitalwert der Kreditart j, jeweils bezogen auf eine Geldeinheit des Kredites j, in GE/GE, j = 1, 2 Tilgungs- und Zinszahlungen für Kreditartj in Teilperiodetin GE/GE*PE, t = 1, ... ,3, j = 1, 2 Rohstoffverbrauch für jeweils ein Projekt vom Typ i in Teilperiode t, in ME, t = 1, ...3, i = 1, 2 Q

Beschaffungsgrenze des Rohstoffes in allen Teilperioden, in ME/PE

Zielfunktion:

z

-> max

Nebenbedingungen: Finanzierungshedingung: 2

i=1

2

*

Ai

L

mi

~

B + L bj j=1

Kreditgrenzen: b·

~

J

sj

I

j= 1,2

Liquiditätshedingung: t L

t'=1

~~

=1

dt'i

*

2 mi + L at'j j=1

*b~

~

Bt,

für alle t= 1,2,3

Ahsatzhedingung: 2 L

i=1

146

Xtzi

* mi

~

Ntz

für alle t=1, ... ,J; z=1,2

Rohstoffbeschaffungsbedingung: 2 ~

i=l

Qti

*

mi

:=:;

für alle t=l, ... ,J

Q

Nichtnegativitätsbedingung: für alle i=1,2 für alle j=l, 2 Ganzzahligkeitsbedingung: für alle i=1,2 2. Explizite Modellformulierung Zielfunktion: -> max

Nebenbedingungen:

Finanzierungsbedingung:

Kreditgrenzen: bl b2

:=:; :=:;

sl 82

Liquiditätsbedingung:

t=2: t=J:

(du + d 21 ) +(all + a21l

* *

m1 + (d 12 + d 22 ) bl + (al2 + a22l

(du + d21 + d31l +(all + a21 + ä31l

* *

* *

m2 b2

ml + (d12 + d22 + d32) bl + (al2 + a22 + a32l

*

*

m2 b2

:=:;

B2

:=:;

B3

147

Absatzbedingung: I: Xzi

*

z=l:

X11

*

ml + X12

*

m2 :$ Nl

z=2:

X21

*

ml + X22

*

m2

i

z=l,2, der Index t kann wegfallen, weil die Daten für alle drei Perioden identisch sind

mi :$ Nz,

:$

N2

Rohstoffbeschaffungsbedingung: Ql ml + Q2 m2 :$

Q

der Index t kann wegfallen, weil die Daten für alle drei Perioden identisch sind

Nichtnegativitätsbedingungen:

Ganzzahligkeitsbedingungen:

3. Modellformulierung mit den angegebenen Daten Zielfunktion: Z = 266m 1 + 123m 2 - 0,04b 1 - 0,05b 2

-> max

Nebenbedingungen: Finanzierungsbedingung:

Kreditgrenzen: bl b2

:$ :$

6000 4000

Liquiditätsbedingungen: t=l: 400m 1 + 200m 2 + o,sb 1 + 0,6b 2

148

:$

4000

* *

m1 + (200 - 600) b1 + ( 0' 6 + 0' 3)

* *

t=2:

(400 - 400) + ( 0' 5 + 0' 4)

t=3:

(400 - 400 - 1000) * m1 + (200 - 600 - 1000) * m2 +(0,5 + 0,4 + 0,3) * b1 + (0,6 + 0,3 + 0,3) * b2 :s; 4000

zusammengefaßt:

m2 b2

:s; 4000

400m 1 + 200m 2 + 0,5b 1 + 0,6b 2 :s; 4000 -400m 2 + 0,9b 1 + 0,9b 2 :s; 4000 -1000m 1 - 1400m 2 + 1,2b 1 + 1,2b 2 :s; 4000

Absatzbedingungen: z=1: z=2:

150m 1 + 5om2 :s;

500

50m 1 + 50m 2 :s; 1000

Rohstoffbeschaffungsbedingung:

Nichtnegativitätsbedingungen:

Ganzzahligkeitsbedingungen:

4. Aufstellung eines Tableaus Zur Aufstellung des Eingabetableaus müssen die Ungleichungen so transformiert werden, daß deren absolutes Glied jeweils die rechte Seite (RS) der Ungleichung bildet. Für die vier Variablen m 1, m2, b 1 und b2 werden die Bezeichnungen x1, x2, x3 und x4 eingeführt. Sie erscheinen im Tabellenkopf des Tableaus. Die Unterstreichung von x1 und x2 bedeutet, daß die zugehörigen Variablen m 1 und m2 die Ganzzahligkeitsbedingung erfüllen müssen. Implizit gilt für alle vier Variablen die Nichtnegativitätsbedingung. Als Basisvariable werden die Schlupfvariablen y1 bis y9 eingeführt. Die Anzahl der Schlupfvariablen bestimmt sich aus der Zahl der Nebenbedingungen (ohne NNB und Ganzzahligkeitsbedingungen). Die letzte Zeile des ersten Tableaus der Tabelle 5.1 ist die Zielfunktionszeile Z.

149

Eingabetableau: V ~

(m1) ~1

(m2)

RS

~2

b1 x3

b2 x4

-1

-1

:5 7000

0

:5 6000

Y1

500

1000

Y2

0

0

Y3

0

0

Y4

400

200

0,5

0,6

:5 4000

Ys

0

-400

0,9

0,9

:5 4000

Y6

-1000

-1400

1,2

1,2

:5 4000

Y7

150

50

0

0

:5

Ya

50

50

0

0

:5 1000

Y9

40

50

0

0

:5 4000

266

123

Y7

z

0

:5 4000

500

-0,04

-0,05

Y1

x1

x4

0

3

0

10

-2500

-1

3000

max

Lösungstableau: V ~

x2

0,02

RS

Y2

-20

Y3

0

Y4

-14

0,5

-1450

0,1

Ys

-10

0,9

-1050

0

5300

Y6

4

1,2

200

0

14400

x3

20

-1

2500

Ya

-1

0

-100

0

500

Y9

-1

0

-110

0

3500

z

-1,66

0

-0,04

0

-3

4000 500

3000

-0,01 max -1110

Tabelle 5.1: Eingabe- und Lösungstableau für das einperiodige Planungsproblem Die in der Kopfzeile der Tabelle stehenden Variablen y7, Yt x1(=m1) und x4(=b2) bekommen den Wert Null zugewiesen. Für die links stehenden Variablen gelten die in der RS-Spalte ermittelten Werte:

150

10 3000 4000 500 5300 14400 3000 500 3500

x2 y2 y3 Y4 y5 YG x3 Ys Yg

Der optimale Z-Wert steht ebenfalls in der RS-Spalte, jedoch mit umgekehrten Vorzeichen: Z-max = 1110 GE. Für die Variablen x2 und x3 ergeben sich somit die optimalen Werte 10 bzw. 3000. Da x2 für die Modellvariable m2 verwendet wurde, besagt dieses, daß 10 Projekte vom Typ 2 realisiert werden sollen. Aus der Angabe x3 =3000 (- > b 1 = 3000) folgt eine optimale Kreditaufnahme von 3000 GE der Kreditart 1. Die Werte für die oben angeführten Schlupfvariablen Y2• Y3• Y4• Y5• Y6• Yg und Y9 lassen sich aus dem Ausgangstableau ableiten, indem dort für die Variablen x1 bis x4 die zuvor ermittelten optimalen Werte eingesetzt werden und die Schlupfvariablen zu einem zeilenorientierten Ausgleich der Ungleichungen verwendet werden: z.B. Zeile 6 des Ausgangstableaus: -1000*0 - 1400*10 + 1,2*3000 + 1,2*0 + y6 ->

y6

=

4000

14400

5.3.3.2. Mehrperiodiges Planungsproblem Für ein einfaches Übungsbeispiel erstreckt sich der Betrachtungszeitraum über 3 Perioden (T=3). Es werden ein Projekt-Typ, eine nicht umschuldungsfähige Kreditart sowie eine umschuldungsfähige Kreditart betrachtet. .Kreditprämissen: eine nicht umschuldungsfähige Kreditart mit einer Laufzeit von 2 Jahren; im ersten Jahr der Inanspruchnahme des Kredites fallen an Auszahlungen für Tilgung und Zinsen 0,5 GE/GE*PE an, im zweiten Jahr 0,7 GE/GE*PE. Die Kreditgrenze beträgt konstant 2000 GE/PE oder alternativ 1000 GE/PE für die Kreditaufnahme in der ersten und 4000 GE/PE für die Kreditaufnahme in der zweiten Periode. eine umschuldungsfähige Kreditart mit einem Zinssatz von 0,15 GE/GE*PE. Die Kreditgrenze beträgt konstant 2000 GE/PE oder alternativ 1000 GE/PE für Periode 1, 4500 GE/PE für Periode 2 und 3500 GE/PE für Periode 3. Projektprämissen: Es wird nur ein Projekt-Typ betrachtet. Die vorgegebene Nutzungsdauer beträgt 2 Perioden. Als Anschaffungsauszahlung fallen 1000 GE an. Der Deckungsbeitrag für das Investitionsprojekt beträgt für die erste Periode der Nutzungsdauer -50 GE; für die zweite Periode 2000 GE. Gefertigt wird lediglich ein Produkt: 800 ME in der ersten und 1000 ME in der zweiten Projektperiode. Für alle 3 Perioden gilt jeweils eine Höchstabsatzmenge von 5000 ME/PE des Produktes. Den gefertigten Erzeugnissen steht ein Rohstoffverbrauch (nur eine Rohstoffart) von 400 bzw. 500 ME gegenüber. 151

Von diesem Rohstoff können in jeder Periode höchstens 2000 ME beschafft werden. Der verfügbare Kapitalbetrag beträgt in jeder Periode 200 GE. Der Kalkulationszinsfuß beträgt 0,10 GE/GE*PE ( = 10%). Gesucht ist das optimale Investitions- und Finanzierungsprogramm. Lösung:

Lösungsgang wiederum in drei Lösungsschritten gemäß Ausführungen zum einperiodigen Modell unter Punkt 5.3.3.1.

1. Allgemeine Darstellung des Modells Symbole: Variablen: m1

=

Anzahl der in Periode 1 realisierten Projekte (Laufzeit: Periode 1 und 2)

m2

Anzahl der in Periode 2 realisierten Projekte (Laufzeit: Periode 2 und 3)

b1

Kreditvolumen eines in Periode 1 aufgenommenen Kredites ohne Umschuldungsmöglichkeit in GE, (Laufzeit Periode 1 und 2)

b2

=

Kreditvolumen eines in Periode 2 aufgenommenen Kredites ohne Umschuldungsmöglichkeit in GE, (Laufzeit Periode 2 und 3)

b1

Kreditvolumen eines in Periode 1 aufgenommenen Kredites mit Umschuldungsmöglichkeit in GE

b2

dgl. Periode 2

b3

dgl. Periode 3

Rl

=

Geld für Kassenhaltung, Reservebetrag für Periode 1 in GE

R2

=

Geld für Kassenhaltung, Reservebetrag für Periode 2 in GE

R3

=

Geld für Kassenhaltung, Reservebetrag für Periode 3 in GE

Konstanten: Kapitalwert eines in t begonnenen Projektes i (bezogen auft=O) in GE Kapitalwert eines in t aufgenommenen Kredites der Art j mit fester Rückzahlungsvereinbarung in GE/GE, GE/1000 GE o.ä.

=

Anschaffungsauszahlung in Periode t für Projekt i in GE

~i

= Bt

152

Kapitalwert eines in t aufgenommenen umschuldungsfähigen Kredites der Art k in GE/GE, GE/1000 GE o.ä. Verzinsung eines in der Vorperiode aufgenommenen umschuldungsfähigen Kredites der Artkin GE/GE * PE vom Unternehmen in Periode t bereitgestellter Kapitalbetrag in GE

Einzahlung aus einer in t' realisierten und in der Vorperiode ( =t-1) noch einsatzfähigen Investition vom Typ i in GE Auszahlung für eine in t' realisierte und in der Vorperiode t-1 noch einsatzfähigen Investition vom Typ i in GE Auszahlung eines in t' aufgenommenen Fest-Kredites der Art j, der in Vorperiode t-1 vorhanden und deshalb zu bedienen ist, in GE Nutzungsdauer einer Investition vom Typ i in PE Laufzeit eines (Fest-)Kredites j in PE Zielfunktion:

Die Zielfunktion enthält neben der Summe der Kapitalwerte (aller im Zeitablauf realisierten Projekte) auch die für die Projekt-Finanzierung in Anspruch genommenen Kredit-Kapitalwerte: Nebenbedingungen:

Zu Beginn des Betrachtungzeitszeitraumes, d.h. zu Beginn der ersten Periode, werden die aufgenommenen Kredite (6 1· und b 1k) und der verfügbare Kapitalbetrag B1 ausschließlich zur Finanzierung de~ in der ersten Periode gestarteten Projekte (vom Typ i) oder zur Reservehaltung (R 1) verwendet. Finanzierungsbedingung für die erste Periode: ~

i In den folgenden Perioden (t=2, ... ,T) müssen zusätzlich berücksichtigt werden: Rückzahlung umschuldungsfähiger Kredite der Vorperiode (bt-l ,k(l + ck)), - Rückzahlung nicht umschuldungsfähiger Kredite mit fester Laufzeit, die in Vorperioden aufgenommen wurden, aber am Ende der Periode t-1 noch zu Auszahlungen führen. -

t-1 _t

t=1

t=O

t=2

-0,5(1+i)- 1

1

T=3

-0,7(1+i)- 2 -0,033 GE/GE

1(1+i)- 1

-0,5(1+i)- 2

-0,7(1+i)- 3

v2:

v2= v1 (l+i) -1

-0,03 GE/GE

2. umschuldungsfähiger Kredit: 1. Periode

2. Periode

3. Periode

~-------------+--------------;---------------~------>t

t=O

t=1 1

t=2

T=3

-1,15(1+i)- 1 1(1+i)- 1

-1,15(1+i)- 2 -1,15(1+i)- 3

155

1 -1,15(1+i )- 1 = -0,045 GE/GE v1 (l+i) -1 = -0,041 GE/GE v2 (l+i) -1 -0,038 GE/GE 3. Berechnung der Kapitalwerte für das Projekt:

1. Periode

2. Periode

3. Periode

~-------------+--------------+-------------~~------>t

t=O

t=1

-1.000

-50(1+i)- 1

t=2

T=3

2.000(l+i )- 2

-1.000(1+ i)- 1

-50(1+i)-2

2.000(1+i )- 3

2. Explizite Modellformulierung Zielfunktion: 3

Z=

1

3

* mti + ~

~ .~ wti t=1 1=1

1

~ vt• t=1 j=1 J

3

* btj + ~

1

~ vtk t=1 k=1

* btk ->max

Die Indizes i, j und k sind überflüssig, weil hier nur die Beschaffung eines Projekttyps, die Aufnahme nur jeweils einer Kreditart j zur Diskussion steht. Die Indizes i, j, k können deshalb entfallen. Sie werden im folgenden vernachlässigt. Z

=

w1 + v1 + v1

* m1 * 61 *

+ w2

+ v2 b1 + v2

* m2 * 62

+ 0 + 0

* b2 + v3 * b3

-> max

Nebenbedingungen: Finanzierung sbedingung für die erste Periode: 1 ~

i=1

156

A1i

*

1

m1i + R1

1

B1 +.~ b1j + ~ b1k ]=1 k=1

Finanzierungsbedingungen für die folgenden Perioden t=2, ...T: 1

1

E Ati * mti + E bt-1,k (1+ck) + i=1 k=1

Rt

t-1 1 1 +.E btj + E E (et'it-1- at'it-1) Mt•i J=1 t'=t-ni i=1 t'~1

1 t-1 - E E ät•jt-1 * bt'j + Rt-1' j=1 t•=t-nj

für alle t=2,3

t'~1

Finanzierungsbedingungen gemäß der Aufgabenstellung vereinfacht für t = 2 und t = 3: At * mt + bt_ 1 (1+c) +Rt = Bt +bt + bt +

t-1 t-1 E dt't-1*mt' - E at•t-1*bt' + Rt-1 t'=t-ni t•=t-n· t'~1 t 1 ~1 J

wobei ni die Laufzeit des Investitions-Projektes i sei und ni die Laufzeit des nicht umschuldungsfähigen Kredites. t=2: 1

1

+ E dt'1 * mt' - E at'1 * bt' + R1 t 1 =2-2 t'=2-2

t=3: =0

2

2

·-

+ E dt'2 * mt' - E at'2 * bt' + R2 t'=3-2 t'=3-2 =>

b2 (1+c) + R3 = 83 + b3 + d12 * m1 + d22 * m2 - cä12*b1+a22*b2)+R2 157

Kreditrestriktionen: b1

2000

~

b2

~

2000

b1

~

2000

b2

~

2000

b3

~

2000

Alternativformulierung, siehe hierzu die alternativen Kreditprämissen unter Punkt 5.3.3.2. ~

1000

b2

~

4000

b1

~

1000

b2

~

4500

b3

~

3500

b1

Absatzbedingungen: 1

t

*

xt'itz i=1 t'=t-2+1 t'2:1 L

L

mt'i ~ Ntz

für alle t=1,2,3 z=1

Die Indizes i und z können entfallen, weil nur ein Produkt mit einem Projekt-Typ zu fertigen ist. t=l:

Xn

*

ml

~

N1

L xt'2 mt,

~

N2

m2

~

N2

xt'3 mt'

~

N3

~

N3

2

t=2:

t 1 =1 X12

*

m1 + X22

*

3 t=3:

L

t'=3-2+1=2 x23

*

m2 + =0

158

Beschaffungsrestriktionen: 1

t

L

L

i=1

*

Qt'itr t•=t-2+1

t

1

~ Qtr

rnt'i

für alle t=1,2,3 r=1 für

~1

Die Indizes i und r können wiederum entfallen, weil lediglich ein Projekt-Typ beschafft werden kann und nur ein Einsatzfaktor r als potentieller Engpaß anzusehen ist. t=1:

*

$

Q1

Qt'2 rnt'

$

Q2

*

$

Q2

$

-Q3

Qll

rn1

2 t=2:

L

t'=2-2+1=1

*

Q12

rn1 + Q22

rn2

3 t=3:

L

t'=3-2+1=2

Qt'3 rnt'

=0

3. Modellformulierung mit den angegebenen Daten Zielfunktion: Z

607,438rn 1 + 552,216rn 2 0,033b1 0,045b 1 -

0,03b2 0,041b 2 - 0,038b 3 -> rnax

Nebenbedingungen: Finanzierungsbedingung für die erste Periode:

Finanzierungsbedingung für die zweite Periode:

159

Finanzierungsbedingung für die dritte Periode: b2

*

1,15 + R 3 = 200 + b 3 + 2000m 1 - 50m 2 - 0,7b -0,5b + R 1 2 2

Kreditrestriktionen b1 b2 b1 b2 b3

s s s s s

2000 2000 2000 2000 2000

Alternativformulierung b1 b2 b1 b2 b3

s s s s s

1000 4000 1000 4500 3500

Absatzbedingungen: t=1: t=2: t=3:

800 m1 s 5000 1000 m1 + 800 m2 S 5000 1000 m2 S 5000

Zur Illustration der Absatzbedingungen siehe folgende Abbildung: 1. Periode

2. Periode

3. Periode

r--------------+--------------+-------------~r--

t=O

t=1

800

160

t=3

1000

800

aoom 1 S 5000

----->t

t=2

i

1000m 1 + 800m 2 S5000

in Periode 1 begonnen es Projekt 1000

i

1000m 2 s 5000

in Periode 2 begonnen es Projekt

......

......

0'\

0.000

Tabelle 5.2: Ausgangstableau für das mehrperiodige Planungsproblem (für die Alternativformulierung)

z

Yl4

-0.038

0.000

:s;

500.000

607.438 552.216

:s;

500.000 400.000

Y12

3500.000

2000.000

2000.000

2000.000

max. 0.000

:s;

:s;

400.000

5000.000

5000.000

5000.000

4500.000 :s; :s;

1000.000

4000.000

1000.000

:s;

:s;

:s;

Yu

Yl3

RS

= 200.000 = 200.000 = 200.000

:s;

0.000

1.000

xlO

1000.000

1.000

-1.000

1.000

Xg

YlQ

-0.041

1.000

-1.000

X8 1.000

:s;

-0.045

1.000

-1.000

x7

1000.000 800.000

-0.030

1.000

1.150

-1.000

x6

Yg

-0.033

1.000

0.500

-2000.000

0.700

1.150

50.000

x5 -1.000

x4 -1.000

-1.000

x3 0.500

x2

50.000 1000.000

x1 1000.000

800.000

I

Y8

Y7

Y6

Y5

Y4

Y3

Y2

Y1

BV

......

N

0\

1.000 -1000.000 -526.438

1.000

-1200.000

-400.000

-800.000 -1000.000

1200.000 1000.000 1400.000 -500.000

Y}g 1.000 Y18

-0.011 -522.216

-I. 000

-500.000

-1.000-1000.000

-800.000 -1000.000

0.650 -550.000 -400.000 1.000

1.000 1. 000 I 000. 000

x6

1.000 -0.032

1.000 0.650

-0.650 -1.000 -0.375

Y4

1.000 -0.050

0.150

-0.150 -1.000 0.075

X8

-0.030

1.000

0.500

-1.000

Xg

Tabelle 5.3: Ergebnistableau des mehrperiodigen Planungsproblems

YIO Yu x3 Y5 Y14 Y13 Y15 YI6 YJ7 Y6

xl x2 x4 x5 x10 Y12 Y7 Y8 Yg

BV

-0.038

1.000

-1.000

x7 2.000 2.000 3320.000 800.000 1740.000 200.000 4500.000 3400.000 1400.000 3000.000 1200.000 1000.000 680.000 3500.000 1000.000 1.000 1.000 0.000 200.000 -2150.708

RS

=>

z = 2150,708

=> bl = 1000

=> => => => =>

Rechenergebnisse m1 = 2 m2 = 2 b2 = 3320 bl = 800 R3 = 1740

Beschaffungsrestriktionen: t=l:

400m 1 :5 2000

t=2:

500m 1 + 400m 2 :5 2000

t=3:

500m 2 :5 2000

Nichtnegativitätsbedingungen, Ganzzahligkeitsbedingungen für m1 und m2 Die Tabelle 5.2 zeigt das Ausgangstableau für die PC-Eingabe. Aus dem Ergebnistableau der Tabelle 5.3 kann die Optimallösung für das Investitions- und Finanzierungsprogramm entnommen werden.

5.4. Integrationsmodelle Kapitalwertmodelle sind nicht die einzige Möglichkeit, Programmentscheidung durch Investitions- und Finanzplanung vorzubereiten. Aus der als unzureichend erkannten Lösung des Interdependenzproblems führten weitergehende Überlegungen zu den Integrationsmodellen, die fast zeitgleich von Jacob und von Hax vorgeschlagen wurden. Aufgrund begrenzter Rechenmöglichkeiten hatten die Modelle zunächst vorwiegend theoretische Bedeutung. Gegenwärtig lassen sich auch bei Verwendung von ganzzahligen Variablen7 bei begrenztem Problemumfang gute Lösungen auf dem PC erarbeiten, so daß angenommen werden darf, daß derartige Lösungsansätze als gemischt-ganzzahlige Optimierungsmodelle zukünftig eine zunehmende Bedeutung erlangen werden. Integrationsmodelle sind in der Lage, sämtliche in Kapitel 1 genannten Interdependenzarten zu erfassen und das Interdependenzproblem, das bei der Investition und bei der Finanzierung in gleicher Weise auftreten kann, zu lösen. Die Betrachtung der Integrationsmodelle sei zunächst auf das Jacob-Modell konzentriert, bei dem die Produktion Ausgangspunkt der Modeliierung ist. Der Produktionsapparat wird 'als Ganzes' betrachtet. Deshalb muß das Modell realisierte Projekte aus der Vergangenheit (=zu Beginn des Planzeitraumes vorhandener Produktionsapparat), die gegenwärtig zur Diskussion stehenden Projekte und die zukünftig möglichen Projekte in den Lösungsansatz integrieren und als Ganzheit beurteilen. Im Gegensatz zu den Kapitalwertmodellen ist das Jacob-Modell ein Endwert-Modell. Ein weiterer Gegensatz ergibt sich daraus, daß Kapitalwertmodelle auf der Grundlage

7

Frühere Lösungsversuche basierten auf einer zweistufigen Vorgehensweise. Erste Stufe war die Verwendung von kontinuierlichen Variablen, die zweite Stufe die Zielgrößenmaximierung unter Verwendung der nächstliegenden ganzzahligen Werte für die Variablen, die für eine Auswertungsrechnung vorzugeben sind. Der Zielfunktionswertvergleich zeigt die 'optimale' Lösung.

163

der Beurteilung des Einzelprojektes nach einer vorab durchgeführten Berechnung der Vorteilhaftigkeil mit Hilfe des Kriteriums 'Kapitalwert' die Auswahl der zu realisierenden Projekte unter begrenzter Erfassung indirekter Interdependenzen vornehmen. Integrationsmodelle fassen beide Vorgänge zusammen. Sie bestimmen auch das zur Erreichung einer Gesamtoptimalität erforderliche Produktionsprogramm, während bei den Kapitalwertmodellen zur Voraberrechnung von Einzelprojekten das Produktionsprogramm teilweise vorgegeben werden muß. Die Integrationsmodelle haben darüber hinaus den weiteren Vorteil, daß auf die Vorgabe eines Kalkulationszinsfußes verzichtet werden kann. Beide Modelltypen sind Instrumentarium der mittelfristigen Programmplanung.

5.4.1. Jacob-Modell Ein besonderer Vorzug dieses Modells liegt in der Erfassung zeitlich-horizontaler und zeitlich-vertikaler direkter Interdependenzen. Es wird mit drei Arten von Variablen gearbeitet: 1.

Investitionsvariablen mti

2.

Erzeugnisvariablen Xtz

3.

Variablen des Finanzierungsbereiches KR1j und Fitv

Als Prämissen sind für das Modell zu nennen: die Herstellung mehrerer Produkte z ist möglich, ein vorhandener Maschinenbestand kann durch Investitionen ergänzt werden, deren Produktionskapazitäten und Nutzungsdauern vorgegeben sind; die Fixkosten sind bekannt, zeitabhängige Stückdeckungsbeiträge der einzelnen Produkte sind unter der Voraussetzung der Nichtüberschreitung von Höchstabsatzmengen Ntz vorgegeben, das Unternehmen stellt eigene Finanzmittel für verschiedene Perioden t in Höhe von Bt zur Finanzierung ggf. auftretender Liquiditätsengpässe zur Verfügung, nicht benötigte Finanzmittel FI können verzinslich ausgeliehen werden, die Verleihungen sind begrenzt, Kreditaufnahmen bei verschiedenen Geldgebern sind möglich, die Kreditaufnahmen sind begrenzt, die Gesamtverschuldung soll auf Maximalhöhe St begrenzt werden, weil sich einige Einsatzfaktoren als Engpaßfaktoren erweisen könnten, muß im Beschaffungsbereich sichergestellt sein, daß periodenabhängig bestimmte Höchstmengen für die in Frage kommenden Einsatzfaktoren r nicht überschritten werden können.

164

Für die Modeliierung des somit über die genannten Prämissen in größtmöglicher Kürze beschriebenen Planungsproblems werden zusätzliche Symbole benötigt. Zusätzliche Symbole: Variablen: mti

Anzahl der in t vorzunehmenden Investitionen vom Typ i

t'=t I: mt'i t'=t-ni+l

Anzahl der in t noch nutzbaren Anlagen des Typs i

Xtz

von Produkt z in Periode t herzustellende Menge in ME/PE

KRtj Fltv

Höhe des Betrages, der in Finanzanlage v in Periode t eingestellt wird

Höhe des in Periode t in Anspruch genommenen Kredites der Art j

Konstanten: durchschnittliche Verzinsung der in Periode t kurzfristig ausgeliehenen Mittel in GE/GE*PE, Anlage von Überschüssen Ctj

Zinskosten bei Kredit j in Periode t in GE/GE

ctv

Verzinsung der Finanzanlage v in Periodetin GE/GE*PE

ktz

variable Kosten des Produktes z in Periode t in GE/ME

Ptz Ati A*ti

Netto-Erlös von Produkt z in Periodetin GE/ME Anschaffungsauszahlung in Periode t für Projekt i in GE oder GE/PE anteilige Anschaffungsausgaben von i in t in GE entspricht einer Erfassung der Abschreibungen für den Planzeitraum vom Unternehmen bereitzustellende liquide Mittel zum Ausgleich möglicherweise auftretender Auszahlungsüberschüsse in Periode t in GE oder GE/PE Fixe Kosten der Anlage i in t in GE/PE Fixe Kosten aller bereits vor Beginn des Planungszeitraumes angeschafften, in Periode t noch im Betrieb befindlichen Anlagen in GE/PE

Fitv

Obergrenze für Finanzinvestition der Art v in Periode t in GE/PE, GE

KRtj

Kreditobergrenze bei Art j in t in GE, GE/PE

st

Verschuldungsgrenze in GE, GE/PE

Tt'ti

Kapazität einer in Periode t' beschafften und in t noch vorhandenen Investition in ZE/PE zu Beginn des Planungszeitraumes vorhandene, vorher angeschaffte Produktionskapazität in t vom Typ i in ZE/PE Produktionskoeffizient, Zeitbedarf bei Herstellung von Produkt z auf Anlage i in ZE/ME

165

Produktionskoeffizient, Rohstoff-/Einsatzfaktorbedarf beizvom Faktor/Rohstoff r in ME/ME Das nachfolgend darzustellende Integrationsmodell ist ein Grundmodell8. Es ist für Erweiterungen zur differenzierten Erfassung der Produktionsseite9 des Investitionsproblems ebenso geeignet, wie für eine genauere Erfassung des Finanzbereiches; im letzteren Falle könnte bei einer Modellanwendung durch Banken für die Kreditvergabeplanung die Refinanzierung mit in das Modell einbezogen werden. Das gernischtganzzahlige LP-Modell besteht wiederum aus einer Zielfunktion und einer Anzahl von Nebenbedingungen. Zielfunktion: G

~

t

-

Ct

(1+ - )

2

~

ti

rnti

* A*ti

+

~

tv

A

ctv

*

Fitv-

~

tj

ct• J

*

KRtj

-> rnax

Zielgröße ist der Gewinn, genauer: das Betriebsvermögen am Ende des Planzeitraumes, was sich insbesondere aus dem ersten Bestandteil der Zielfunktion ersehen läßt. Die eckige Klammer enthält periodenbezogene, beschäftigungsvariable Deckungsbeiträge aus der Herstellung der Produkte abzüglich der beschäftigungsfixen Kosten zur Aufrechterhaltung der Betriebsbereitschaft des im Zeitablauf aufzubauenden Investitionsbestandes und des vorhandenen Betriebsmittelbestandes. Die Multiplikation des Ausdruckes in der eckigen Klammer mit (1 +ct/2) dient der qenauigkeitssteigerung; die im Zeitablauf einer Periode gleichmäßig anfallenden Oberschüsse stehen im Durchschnitt in ihrer halben Höhe eine Periode für eine zinsbringende Anlage zur Verfügung bzw. in voller Höhe zum halben Zinssatz, was dann exakt dem Inhalt der Rundklammer entspricht. Außerdem sind vom Investitionsbestand und dem Ertrag der Finanzanlagen noch die auf den Planzeitraum entfallenden anteiligen Anschaffungsausgaben und die Kreditzinsen in der Weise 'zu verdienen', daß das Gesamtergebnis aus Investition und Finanzierung maximiert wird. Innerhalb der Nebenbedingungen kann die Finanzierungsbedingung wohl als der von der Modeliierung her interessanteste Modellbestandteil angesehen werden. Finanzierungsbedingung: ~

i

8 9

166

rnti

*

Ati + ~ Fitv + ~ (l+ct-l,j)KRt-l, j V j

Das Modell wurde mit e1mgen geringfügigen Veränderungen entnommen aus Jacob, H.: Kurzlehrbuch der lnvestitionsrechnung, 3. Auflage, Wiesbaden 1984, Seite 72ff. Eine differenziertere Erfassung der Produktionsseite u.a. durch Berücksichtigung mehrstufiger Produktion mit variabler Maschinenzuordnung ist enthalten in Jacob, H.: Investitionsplanung und Investitionsentscheidung, 3. Auflage, Wiesbaden 1976, S. 62ff.

t'=t-1

"

~ (1+ct-1,v>

V

Fit-1,v + ~ j

für alle t

= 1,

KRtj ••• , T

Auf der linken Seite werden jetzt anders als bei den Vorgängermodellen die KreditRückzahlungsbeträge jeweils aus dem Kreditbestand der Vorperiode unter Berücksichtigung der vereinbarten Konditionen explizit berechnet. Falls nicht in zusätzlichen Nebenbedingungen spezielle Tilgungsvereinbarungen berücksichtigt werden, sind alle Kredite umschuldungsfähig. Der Fall langfristiger Kredite, bei denen eine vorzeitige Rückzahlung/Umschuldung ausgeschlossen ist, wird in dem nachfolgenden Übungsbeispiel behandelt. Die linke Seite der Finanzierungsbedingung enthält mit den Anschaffungsauszahlungen für ggf. vorzunehmende Maschinenbeschaffungen, in Finanzinvestitionen anzulegende (d.h. für Investitionen nicht sinnvoll einzusetzende) Beträge und Kreditrückzahlungen den Liquiditätsbedarf einer laufenden Periode t. Auf der rechten Seite der Finanzierungsbedingung wird der notwendigerweise einzusetzende Zahlungsmittelbestand ausgewiesen. Er setzt sich für die laufende Periode t aus den bereitgestellten Eigenmitteln Bt und den Kreditaufnahmen zusammen. Hinzu kommen Finanzmittel aus Aktlvitäten der Vorperiode t-1: Einzahlungsüberschüsse (ggf. auch zusätzlicher Liquiditätsbedarf bei zwischenzeitlich möglichem Auszahlungsüberschuß) aus Investitionsaktivitäten und Finanzanlagen. Die auf der rechten Seite der Gleichung zur Erfassung der beschäftigungsfixen Auszahlungen zur Aufrechterhaltung der Betriebsbereitschaft neu beschaffter Investitionsobjekte verwendete Laufindizierung funktioniert in derselben Weise wie i.V.m. der Abbildung 5.5 bereits erläutert; eine geringfügige Änderung bei der Festlegung der Summationsgrenzen ergibt sich allerdings aus der Zuordnung der Zahlungen zur Periode ( =Zeitraurnzuordnung). Aus diesem Grunde ist die Definition der Summationsuntergrenze nicht ganz identisch mit den Formulierungen der Kapitalwertmodelle. Insgesamt bleibt festzustellen, daß das Integrationsmodell über die Finanzierungsbedingung mit Ausnahme unterjähriger Termingeschäfte in direkter Übereinstimmung mit der Entscheidungssituation in der Praxis die Einzahlungen und Auszahlungen unter Einbeziehung von Anlagemöglichkeiten und Kreditfinanzierungen erfaßt. Die Gewinnrückkopplung wird über die Einstellung von Überschußbeträgen in Finanzanlagen erreicht; freie Geldbeträge werden so bis an das Ende des Planzeitraumes bei entsprechender Verzinsung gemäß vorhandener Anlagemöglichkeit weitergegeben, so daß es ausreichen würde, die Zielfunktion lediglich für die letzte Periode des Planzeitraumes auszuformulieren. Die in der Realität regelmäßig vorhandenen Begrenzungen einer Unternehmensfinanzierung sind als Finanzrestriktionen im Rahmen der Nebenbedingungen in der Modeliierung zu berücksichtigen. Finanzrestriktionen: für alle t=1, ... ,T j=1, ••• ,)'

167

Fitv :!> Fitv :E KRtj :!> St

j

für alle t=l, •.• ,T v=l, •.•

,v

für alle t=l, •.. ,T

Die drei Bedingungen sind zur Erfassung von Kreditlimits, Anlagemöglichkeiten und Verschuldungsgrenzen erforderlich. Etwas komplizierter werden wieder die Kapazitätsbedingungen, da es hier eine variable Produktionsdurchführung und die in jeder Periode tatsächlich vorhandene Produktionskapazität zu erfassen gilt. Kapazitätsbedingung: E Xtz*ßzi z

s

t'=t Toti + E mt'i * Tt'ti t'=t-ni+l

für alle t=l, ... ,T i=l, .•• ,t

Die Kapazitätsbedingung stellt sicher, daß die vom errechneten Produktionsprogramm abhängigen Kapazitätsbedarfe die Kapazität des Betriebsmittelbestandes nicht überschreiten. Die Bedingung hat innerhalb des Modells auch eine Steuerungsfunktion in der Weise, daß durch Mehrproduktionen, die mit einem vorhandenen Investitionsbestand nicht mehr zu realisieren wären, Neuinvestitionen auslösen müssen, wenn dieses zu einer Verbesserung des Zielfunktionswertes führen würde. Möglicherweise entstehende programmabhängige Engpässe bei den sonstigen EiDsatzfaktoren werden durch die bereits bei den Kapitalwertmodellen erläuterten Beschaffungsbedingungen berücksichtigt. Beschaffungsbedingung: für alle t=l, ... ,T ....

r=l, ... ,r

Auch eine Absatzbedingung der bereits bekannten Form ist wiederum erforderlich. Absatzbedingung: für alle t=l, .•. ,T z=l, ••. ,z"

Nichtnegativitätsbedingungen kommen explizit in Betracht, falls sie nicht bereits von der Software programmintern erzeugt werden: für alle t=l, ... ,T i=l, ..• ,f mti ganzzahlig für alle t=l, ..• ,T z=l, ...

,z

168

ITi

für alle t=1,2,3 i=1,2

Absatzbedingungen:

Xtz

s Ntz

für alle t=1,2,3 z=1,2

Nichtnegativitätsbedingungen:

172

mti

~

0

für alle t=1,2,3 i=1,2 IDti ganzzahlig

KRtj

~

0

für alle t=1,2,3 j=1,2

Fit

~

0

für alle t=1,2,3

Als zweiten Schritt des Lösungsweges hat nun die Ausformulierung des zunächst in allgemeiner Form entwickelten LP-Modells unter Verwendung der Daten zu erfolgen. 2. Modellformulierung mit den angegebenen Daten: Zielfunktion: G

G

=

(0-600)m 11 + (3000-600)m 21 + (6000-600)m 31 + (0-500)m 12 +(2000-500)m 22 + (4000-500)m 32 + 340X 31 + sox 32 +1,05FI 3 - l,OSKR 31 - 1,13KR32 -> max -600m11 + 2400m 21 + 5400m 31 - 500m12 + 1500m22 + 3500m 32 + 340X 31 + 80X 32 + 1,05FI 3 - l,OSKR 31 - 1,13KR32 -> max

Die Entscheidungssituation für den Investor bezüglich des vorhandenen Maschinenbestandes und der Neuinvestitionsmöglichkeiten läßt sich aus der Abbildung 5.6 ersehen. Nebenbedingungen:

Finanzierungsbedingung f'Ur t = 1, Beginn des Planzeitraumes: 13500m11 + 9000m 12 + FI 1

=

10000 + KR 11 + KR 12

Finanzierungsbedingung f'Ur t =2, der Finanzmittelbedarf der zweiten Periode muß dem Finanzmittelbestand am Ende der ersten Periode entsprechen: 13500m 21 + 9000m 22 + 600m 11 + 500m 12 + 8600 + FI 2 + 1,08KR11 + 1,13KR12 = 340X 11 + 80 x 12 + 1,05FI 1 + KR 21 + KR 22

Finanzierungsbedingung rür t=3, der Finanzmittelbedarf der dritten Periode muß dem Finanzmittelbestand am Ende der zweiten Periode entsprechen: 13500m 31 + 9000m 32 + 600m 11 + soom 12 + 600m 21 + 500 m22 + 4300 + FI 3 + l,08KR 21 + 1,13KR 22 = 340X 21 + 80 x 22 + 1,05FI 2 + KR 31 + KR32

Kreditrestriktionen: für die langfristige Kreditaufnahme bei j = 1: KR 11

~

50.000

173

...... ~

t=-1 t

t=l

I

t=-2

I

t=-1

t=3

to

I

I t=l

RW12

·

>I

t=3

15* M2 -> rn22 = 5 15* M2 -> rn 12 = 5 t=2

t=4

t=4

lrn22

t 1' t '1on l · · Des1nves I 22 (-> ke1ne RW

1

Abb. 5.6: Problemstellung zur Anwendung des Integrationsmodelles, Daten- und Entscheidungssituation in zeitlicher Zuordnung

I

I

t=2

f---------------------------~~~--------~rnll

in den Vorperioden beschaffte ->! rn 21 = 3

RWll

rn21

RW 21 (-> keine Desinvestition)

r-----------------+----------1 3* M1 -> rn 11 = 3

Maschine Typ 1:

t

t

zusätzlich zur Berücksichtigung der Fest-Laufzeit über zwei Jahre bei langfristiger Kreditaufnahme, Jahre 1+ 2:

für die kurzfristige Kreditaufnahme bei j = 2:

:s :s :s

20.000 20.000 20.000

für t=l für t=2 für t=3

Kapazitätsbedingungen: für Maschinentyp i = 1: 30X 11 + 6X 12 :S 6000 + 1000m 11

für t=l

30X 21 + 6X 22 :S 3000 + 1000m 11 + 1000m 21

für t=2

30X 31 + 6X 32 :S 1000m 11 + 1000m 21 + 1000m 31

für t=3

für Maschinentyp i = 2: 40X 11 + 10x 12

:s

10000 + 100om 12

für t=l

40X 21 + lOX 22

:s

5000 + 1000m 12 + 1000m 22

für t=2

40X 31 + lOX 32

:s

lOOOm 12 + 1000m 22 + 1000m 32

für t=3

Absatzbedingungen: für Produkt z = 1: Xn x21 X31 für Produkt z=2: X12 x22 x32

:s :s :s

120 160 200

für t=l für t=2 für t=3

:s

700 650 600

für t=l für t=2 für t=3

0 0 0

für t=l für t=2 für t=3

:s :s

Nichtnegativitätsbedingungen: für Maschinentyp i = 1: roll m21 m31

~ ~ ~

175

für Maschinentyp i = 2: m12 m22 m32

0 0 0

~ ~ ~

für Kredittyp j = 1: KRn KR21 KR31

~

KR12 KR22 KR32

~

~ ~

für t=1 für t=2 für t=3 0 0 0

für t=1 für t=2 für t=3

0 0 0

für t=1 für t=2 für t=3

für Kredittyp j = 2: ~ ~

für Finanzanlagen: FI 1 FI 2 FI 3

~

~ ~

0 0 0

für t=1 für t=2 für t=3

Die Eingabe in den Rechner kann je nach verwendetem Rechenprogramm über die o.g. Gleichungen/Ungleichungen fortlaufend oder über ein Eingabetableau, das nur im letzteren Falle aufzustellen wäre. Das aus obigem Gleichungssystem zu bildende Eingabetableau zeigt die Tabelle 5.2. Sie ist lediglich eine etwas andere Schreibweise für das als Problemlösungsansatz entwickelte lineare System. Die Lösung für das Planungsproblem enthält die Tabelle 5.4. Das optimale Investitions- und Finanzierungsprogramm wird in der die Ergebnistabelle ergänzenden Abbildung 5.7 noch einmal veranschaulicht. Maschinenbeschaffung mti 2

Finanzinvestitionen 0 GE 74.200 GE 97.576,67 GE

0

0 2 1 0

Kreditaufnahme KRtj 35.000 GE 35.000 GE 0 GE 0 GE 0 GE 0 GE Gewinn für den Investor

Tabelle 5.4: Ergebnistabelle

176

Produktion Xtz 120,00 36,67 33,33 700, 00 650,00 166,67 126.422,17 GE

ME/PE ME/PE ME/PE ME/PE ME/PE ME/PE

...

-.1 -.1

5M2

3M1

-1

KRt1

m11

m12

0

KR 11

m11 2

= 35.000,

=

1

KR 21

m22

=

1

35.000

=

2

Abb. 5.7: Investitions- und Finanzierungsbestand bei einem Kreditzins von 8% für den langfristigen Kredit

5M2

3M1

-2

optimales Investitionsund Finanzierungsprogramm

m22

-> t

vorhandener Maschinenbestand

3

Den Vorteil der computergestützten Lösung von komplizierteren InvestitionsPlanungsproblemen zeigen nicht nur die relativ kurzen Rechenzeiten sondern auch die Lösung des Interdependenzproblems. Die Vorteilhaftigkeit einer DV-Lösung zeigt sich auch an einer kurzen Zusatzproblemstellung: der Investor erhält von seiner Bank die Mitteilung, daß wegen gestiegener Zinsen am Kapitalmarkt der langfristige Kredit nur noch zu einem erhöhten Zinssatz von 10%, entsprechend 0,1GE/GE* Jahr gewährt werden kann. Damit stellt sich nun die Frage, ob das Gesamtprojekt unverändert oder möglicherweise nur noch in reduziertem Umfange durchgeführt werden soll. Eine mit den veränderten Zinskonditionen durchgeführte Neu-Rechnung würde Klarheit für den Investor bringen. Es zeigt sich, daß keine Veränderungen bei dem Investitions- und Produktionsprogramm vorgenommen werden sollten. Das Finanzierungsprogramm ist jedoch umzustellen. Anstatt des langfristigen Kredites von 35.000 GE wird nun der kurzfristige Kredit für das erste Jahr voll bis zum Kreditlimit ausgeschöpft, der langfristige Kredit dagegen nur noch in Höhe von 15.000 GE genutzt. Der Vermögensendwert reduziert sich geringfügig. Auch dieses zweite Investitions- und Finanzierungsprogramm soll noch einmal abschließend in der Abbildung 5.8 veranschaulicht werden.

178

......

-..l

'Cl

5M2

3M1

-1

'--

0

=

KR 11

1

15.000, KR 22

2

m22

KR 12 = 20.000

=

2

m11

=

Beginn des Planzeitraumes

KRt2

KRt1

m11

m12

=

1

15.000

=

2

Abb. 5.8: Investitions- und Finanzierungsbestand bei einem Kreditzins von lOC!o für den langfristigen Kredit

5M2

3M1

-2

optimales Investitionsund Finanzierungsprogramm

m12

m22

-> t

vorhandener Maschinenbestand

Ende des Planzeitraumes

3

6.

Optimierung komplexer Produktionsanlagen und Technologiebewertung

Die bisher behandelten Investitionsmodelle enthalten lediglich Investitionsobjekte, die als Ganzes betrachtet werden. Die Nutzungsdauern waren vorgegeben. Bereits oberflächliche Betrachtungen von Maschinen zeigen jedoch, daß diese ein recht kompliziertes, teilweise durch die Verfahrenstechnik und in jedem Falle durch die konstruktiven und fertigungstechnischen Möglichkeiten des Maschinenherstellers bestimmtes 'Innenleben' haben. Maschinen, Produktionsanlagen, DV-Anlagen, Hochbauten sind aus vielen Einzelteilen zusammengesetzt, deren Eigenschaften, Austausch- und Ergänzungsmöglichkeiten die Lebensdauer und die Nutzungsmöglichkeiten eines Investitionsobjektes bestimmen. Auch technische Weiterentwicklungen an diesen Einzelteilen, die als Module und Komponenten bezeichnet werden, sind häufig zu beobachten. Der technische Fortschritt ist aufgrund derbeobachtbaren technischen Vielfalt seiner Erscheinungsformen kaum noch sinnvoll zu klassifizieren. In fast allen Fällen tritt er auf unterschiedlichen Ebenen auf, so daß die bisherige Maschinengesamtbetrachtung häufig nicht mehr ausreicht, um ökonomisch richtige Entscheidungen zu treffen oder genaue Planungsergebnisse zu erzielen. Deshalb sind Investitionsmodelle entsprechend zu verändern, damit sie auch für komplexere Anlagenstrukturen ein leistungsfähiges Planungsinstrumentarium zur Vorbereitung betriebswirtschaftlich rationaler Entscheidungen bilden. Hierzu ist u.a. die Auflösung der bisherigen Gesamtbetrachtung in mehrere Betrachtungsebenen erforderlich, um die ökonomisch bedeutsamen Gestaltungsmöglichkeiten für den Investor veranschaulichen zu können.

6.1. Erfassung der Modul-/und Komponentenebene Komplexe Produktionsanlagen sind aus Modulen und Komponenten zusammengesetzt. Module bestehen aus mehreren Komponenten. Wie nachgewiesen wurde, zeigen sich auch technische Neuentwicklungen nur teilweise in dem Angebot neuer Maschinen1. Wesentlich häufiger treten Neuerungen im Bereich der Komponenten oder Module auf. Neue und zusätzliche Module erweitern in der Regel die Einsatzmöglichkeiten ebenso wie das bei Komponentenneukonstruktionen der Fall sein kann. Veränderungen in diesem Bereich beeinflussen damit die Kosten- und Ertragssituation für den Investor erheblich; sie zwingen zur Einführung einer zweiten zusätzlichen Betrachtungsebene. Die erste Betrachtungsebene entspricht der durch die bisher behandelten Investitionsmodelle abgedeckte Maschinenebene. Die zweite Betrachtungsebene wird an dieser Stelle neu eingeführt und soll als Komponentenebene bezeichnet werden. Mit der dadurch vorgenommenen Gruppierung von Gestaltungsund Einwirkungsmöglichkeiten bei der betrieblichen Leistungserstellung wird zugleich den unterschiedlichen Erscheinungsformen/Merkmalen von Fortschritten der Technik Rechnung getragen. Die Abbildung 6.1. ergibt eine Übersicht über inhaltliche Zusammenhänge. Die im 5. Abschnitt besprochenen Planungsmodelle werden hiermit als Maschinenmodelle bezeichnet; sie beschränken die planerischen Möglichkeiten zur Gestaltung der Faktorkombination ausschließlich auf den An- und Verkauf von Maschinen. Ein wesentlicher Teil von Erscheinungsformen technischer Veränderungen kann deshalb von diesen Modellen entweder gar nicht oder nicht in Übereinstimmung mit der Pra-

1

180

Vgl. hierzu Betge, P.: Technischer Fortschritt und Technologiebewertung aus betriebswirtschaftlieber Sicht, Wiesbaden 1988, S. llff.

..... 00 .....

j Komp. 1

J

///

~,,,

~ Komp. 3

I ~"RI··

Komp. j

~~ I .. . I I

,,

\

\

Technologieanwender Investor

Abbildung 6.1: Ebenen der Gestaltung von Kombinationsprozessen durch Investitionsmodelle

2. Ebene: KomponententModulebene Beeinflussung der Faktorkombination durch Umrüstung und Nachrüstung

1. Ebene: Maschinenebene Beeinflussung der Faktorkombination durch Wechsel von Maschinen

Betrachtungsebenen/ Gestaltungsmöglichkeiten für den Investor

I ~·

und Modulen zur Umgestaltung der Faktorkombination

'----Wechsel von Komponenten

An- und Verkauf von Maschinen

xis erfaßt und verarbeitet werden, weil die ausschließlich periodenabhängigen, hocbaggregierten Kosten- und Erlösentwicklungen bei vorab festgelegten Maschinen einsatzverhältnissen bereits vorgegeben werden. Die letztgenannten Annahmen sind richtig und auch für Planungen bei technischer Weiterentwicklung ausreichend, solange Produktionsanlagen, wie in der Vergangenheit üblich, personalintensiv sind und aus kleineren Einheiten bestehen. In der Großserienfertigungdes Automobilbaues wurden in den 60er Jahren überwiegend Spezialmaschinen eingesetzt, die bei Modellwechseln durch technisch den jeweiligen Erfordernissen angepaßte neue Maschinen komplett ersetzt wurden. Bei den jetzt üblichen kapitalintensiven und i.d.R. flexibleren Produktionsanlagen können derartige Maschinenwechsel vermieden werden. Hieraus ergibt sich eine stark veränderte Struktur des Planungsproblems. Es kann davon ausgegangen werden, daß in verfahrenstechnisch möglichen und zulässigen Grenzen Einsatzkombinationen durch Modifikation des Betriebsmittels den ökonomischen Erfordernissen angepaßt werden. Die Abbildung 6.2. zeigt die Reaktion auf im Zeitablauf veränderte Rahmenbedingungen mit Hilfe von drei Wechseln der Einsatzkombination; An- und Verkäufe von Maschinen finden nicht statt. Durch Zusatzinvestitionen in Form von Modulen/Komponenten (N achrüstung) für die Kombinationen q =2 und q =4 und Austausch von Modulkomponenten q =3 (Umrüstung) werden nachträgliche Zahlungen ausgelöst, die die gesamte Kostenstruktur des Betriebsmittels, die Liquidationserlöse und die optimale wirtschaftliche Nutzungsdauer beeinflussen. Zusammenfassend bleibt also festzustellen, daß Maschinenmodelle die gegenwärtig häufig anzutreffende Struktur neuerer Planungsprobleme nicht praxiskonform erfassen.

6.2. Anlagenmodelle Die bisherigen Modeliierungen des 5. Kapitels basierten auf Maschinengesamtbetrachtungen. Die folgenden Modelle haben demgegenüber die Aufgabe, die betriebswirtschaftlich relevanten Sachverhalte komplexer Produktionsanlagen/Betriebsmittel genau abzubilden; es können mit Hilfe von Verschleißverläufen und anderen technisch bedingten Komponentenwechseln Zahlungszeitpunkte und innere Strukturen von Betriebsmitteln erfaßt werden, soweit sie ökonomisch von Bedeutung sind. Da die Modeliierung nunmehr anstrebt Produktionsanlagen 'nachzubilden', wird der nun folgende Modelltyp als Anlagenmodell bezeichnet. Anlagenmodelle streben ebenso wie die Integrationsmodelle des 5. Abschnittes eine ganzheitliche Betrachtung an, sie sind deshalb aufgrund ihrer Eigenschaften den Integrationsmodellen zuzurechnen. Ein wesentlicher Unterschied zu den bereits bekannten Modellen besteht in der differenzierteren Erfassung technisch-ökonomischer Sachverhalte. In komplizierteren Modellversionen können wirtschaftlich optimale Zahlungsreihen aus den Gestaltungsmöglichkeiten des Investors heraus berechnet werden2, während bei den konventionellen Integrationsmodellen die hocbaggregierten Kosten- und Erlöszeitreihen vorgegeben werden müssen. Beginnend mit einem Grundmodell soll nun gezeigt werden, wie eine Optimierung von Produktionsanlagen durchgeführt und schrittweise durch Berücksichtigung neuer Sachverhalte den Produktionserfordernissen angepaßt werden kann.

2

182

Siehe hierzu Betge, P.: Technischer Fortschritt und Technologiebewertung aus betriebswirtschaftlieber Sicht, Wiesbaden 1988, S. 157ff.

~

I

1

I

2

I

3

I

4

I

5

I

6

I

7

I

8

I

9

I

10

I

11

I

12

I

13

I

14

I

15

I

16

ND 0 pt

>

I

I

1

I

2

I

3

I

4

I

5

I

6

I

7

I

8

I

9

I 10

I

11

I

12

I

13

I

14

Abbildung 6.2: Struktur des Planungsproblems bei anpassungsflexiblen Technologien

0

I

15

I

16

ND 0 pt

>

q=1 Grundinvestition

Zusatzinvestitionenj UmrüstungenjNachrüstungen

Kostenarten und Aktionen der Datensituation praxiskonform auf das Modell übertragen

0

I

Entscheidungssituation bei Maschinenwechseln:

6.2.1. Grundmodell Bei den Einsatzfaktoren der Produktion kann es hier zunächst unter Rückgriff auf produktionstheoretische Grundlagen genügen, lediglich zwischen Potential- und Repetierfaktoren zu unterscheiden. Der Potentialfaktor ist mit dem Investitionsobjekt identisch. Repetierfaktoren sind alle Roh-, Hilfs- und Betriebsstoffe, die in der Produktion 'untergehen', d.h., ihre Gestalt, ihre Eigenschaften o.ä. verändern und zu beschäftigungsvariablen Kostenentstehungen führen. Einige kurze Anmerkungen zur Entstehung und Struktur problemrelevanter Zahlungen sollen die Grundüberlegungen verdeutlichen, aus denen die nachfolgend darzustellenden Investitionsmodelle hervorgegangen sind. Der Einsatz des Potentialfaktors wird für die Investitionsrechnung durch die Anschaffungsauszahlung, die Restwertentwicklung, die Auszahlungen für die Beseitigung der Potentialfaktorgesamtheit und die Verschleißeigenschaften seiner Komponenten und Module quantitativ erfaßt. Die auf das Gesamtobjekt bezogene Anschaffungsauszahlung ist in der Regel bekannt und der Maschinenebene zuzurechnen. Der Potentialfaktor wird jetzt nicht mehr, wie in der Literatur vielfach üblich3, als eine Einheit betrachtet. Er besteht aus einer bekannten Anzahl von Modulen und Komponenten. Module sind wiederum aus Komponenten zusammengesetzt; sie sind häufig Investitionen, die die Grundinvestition 'zusätzlich' ergänzen, und werden in diesem Falle als Zusatzinvestitionen bezeichnet. Sämtliche Komponenten unterliegen neben der Abnutzung Gestaltungsmaßnahmen, die dem Investor wie auch dem TechnologieanbieteT zugänglich sind. Jede Komponente enthält ein entwicklungsstand- und komponentenspezifisches NutzungspotentiaL Die Eigenschaften der Gesamtheit der Komponenten bestimmen das spezifische Nutzungspotential von Maschinen4. Hieraus ergibt sich, daß das zu konzipierende Modell nicht auf die Maschinenebene beschränkt sein darf. Ein Grundmodell muß notwendigerweise bereits mit Erweiterungsmöglichkeiten zur differenzierten Erfassung der Komponentenebene versehen sein. Sind die Komponentenpotentiale verbraucht, so ist durch Wechsel oder Instandsetzung dieser Komponenten die Nutzungsfähigkeit des Gesamtobjektes wiederherzustellen; es entstehen in jedem Falle Potential-Wiederherstellungskosten, denn das materielle Vorhandensein technisch einwandfreier Komponenten ist unabdingbare Voraussetzung für die Einsatzbereitschaft einer Produktionsanlage. Komponentenkosten sind kalkulierbar, weil die Abnutzungsgrenzen in Form von kritischen Meßwerten als repräsentative Zustandsgrößen in der Regel bekannt sind. Aus durchschnittlichen oder periodenspezifischen Verschleißgeschwindigkeiten können Komponentenstandzeiten ermittelt werden. Die Zeitpunkte der Potentialwiederherstellung als Zahlungszeitpunkte lassen sich somit bestimmen. Die technologiespezifische Instandhaltungskosten-Zeitreihe kann damit vollständig kalkuliert werden. Werden die notwendigen Potential- Wiede~herstellungsmaßnahmen jeweils durchgeführt, kann davon ausgegangen werden, daß die technische Nutzungsdauer von Produktionsanlagen theore-

3

4

184

Vgl. Kilger, W.: Flexible Plankostenrechnung und Deckungsbeitragsrechnung, 8. Aufl., Wiesbaden 1981, S. 398ff.; obwohl von Kilger auf die Existenz von Einzelteilen im Zusammenhang mit der Nutzungsdauerbestimmung hingewiesen wird, werden hieraus keine kalkulatorischen oder sonstigen Konsequenzen gezogen. Die Betriebsmittel werden weiterhin als nichtteilbare Einheit behandelt. Eine als weiteres Beispiel geeignete Übersicht über eine im Automobilbau übliche Aufteilung eines Gesamtobjektes in "Hauptgruppen und die dazugehörigen Unterzusammenbauten" befindet sich bei Ohl, H. L.: Zuverlässigkeit im Automobilbau, in Adam Opel Aktiengesellschaft (Hrsg.): Schriftenreihe von Adam Opel AG, Heft 6, Rüsselsheim 1977, S. 10

tisch unendlich ist5. Die explizite Berücksichtigung der technischen Nutzungsdauer ist mithin nicht oder nur in Ausnahmen erforderlich. Ersatzweise ist ein Zeitraum zu bestimmen, der in etwa dem Planungshorizont entspricht. Es kann auch eine für längstmöglich erachtete Nutzungszeit gewählt werden, die in jedem Falle länger sein muß als die wirtschaftlich optimale Nutzungsdauer; andernfalls würde eine unzulässige Einschränkung des Lösungsraumes durch Vorgabe einer Zeitrestriktion entstehen. Die vom Modell einmalig am Ende der Nutzungsdauer zu berücksichtigenden Restwerte sind aus der Beobachtung von Second-hand-Märkten oder Schrottpreisen bestimmbar. Zusätzlich sind Beseitigungskosten aus später noch darzulegenden Gründen zu kalkulieren. Ausgangspunkt der Modeliierung ist die Kapitalwertmethode. Symbole:

ao

Auszahlung für die Beschaffung der Gesamtheit des Investitionsobjektes in GE; Auszahlung ist ausschließlich der Maschinenebene zurechenbar Auszahlung im Zeitpunkt t in GE ohne Instandhaltung; Erfassung aller außerhalb der Komponentenebene liegenden Repetierfaktor-Einsätze Beseitigungskosten in Periode t in GE; Auszahlung ist ausschließlich der Maschinenebene zurechenbar, sie ist notwendig, um einen Nachfolger nicht mit Kosten einer Vorgängerinvestition zu belasten. Periodendeckungsbeitrag für Periode t in GE, Dt wird aus den Einzahlungen und Auszahlungen unterschiedlicher Ebenen ermittelt Einzahlung im Zeitpunkt t in GE; et ist zwar der Maschinenebene zurechenbar, wird aber u.a. von in der Komponentenebene begründeten Zeitbedarfen z.B. Ausfall- und Reparaturzeiten mitbestimmt Kosten der Komponentenpotential-Wiederherstellung in GE; ausschließlich der Komponentenebene zurechenbar Restwert der Gesamtanlage in Periode t in GE; Zahlung, die ausschließlich der Maschinenebene zurechenbar ist Periode, Zahlungszeitpunkt; Annahme: alle Zahlungen innerhalb der Periode werden als am Periodenende angefallen betrachtet

Variable des vereinfachten Problems:

-t

letzte Nutzungsperiode innerhalb eines Zeitraumes von t= l, ... ,T

Kapitalwertmethode: (1)

5

c 0 (t)

t

-a 0 + ~ (l+i)-t *Dt t

Der Hinweis, daß sich ''durch ausreichende Wartung und Instandhaltung... die 'technische' Nutzungsdauer praktisch bis ins U ncndliche verlängern" läßt, findet sich vereinzelt in der Literatur; Schneider, D.: Kostentheorie und verursachungsgemäße Kostenrechnung, in ZfbF (NE), Heft 13, 1%1, s. 703

185

wobei für alle t=l, .•. ,t

ist. Die Größe DJst von der Gesamtheit aller später ausführlich zu besprechenden Maßnahmen zur Einsatzgestaltung abhängig. C0 (t) ist in (1) vorerst lediglich eine Funktion der Nutzungsdauer, die für einen LP·Ansatz aufzubereiten ist. Der Rechenansatz enthält, wie aus den ausführlichen Symbolerläuterungen hervorgeht, bereits die Anschlußstellen für die Mehrebenenbetrachtung der Abbildung 6.1. Für die spätere Durchführung computergestützter Planungsrechnungen soll aus dem über (1) und (2) dargestellten Rechenansatz ein Investitionsmodell für die gemischtganzzahlige Unear-Programmierung entwickelt werden. Das Modell nimmt dann je nach Ausbaustufe bei der Zielgrößenmaximierung simultan die optimale Bestimmung aller relevanten Entscheidungsparameter vor. Zur Verbesserung der Übersichtlichkeit seien hier die wichtigsten Prämissen des nachfolgenden Grundmodells genannt: - Einzahlungen und Auszahlungen sind dem Investitionsobjekt zurechenbar. - Temporär begrenzt anfallende Auszahlungsüberschüsse können finanziert werden. - Der Technologienutzer kann Geldbeträge zum Kalkulationszinssatz i verleihen und leihen; i ist der langfristige Kapitalmarktzins für risikoarme Wertpapiere. Die Modellformulierung muß im Vorgriff auf komplizierte Problemstellungen zunächst sicherstellen, daß temporär auftretende, in der Komponentenebene begründete negative Deckungsbeiträge nicht zwangsläufig das Ende der Nutzungsdauer der Gesamtmaschine herbeiführen; zugleich darf aus der Restwert- und Beseitigungskosten-Zeitreihe lediglich die am Nutzungsende anfallende, auf der Maschinenebene liegende Zahlungsgröße nur einmalig in die Rechnung eingehen. Aus rechentechnischen Gründen muß die als Summationsobergrenze verwendete Variable t modellintern beseitigt werden.

Variablen: Deckungsbeitrag einer Periode t in GE; Differenz zwischen Ein- und Auszahlungen in Periode t NDopt=

wirtschaftlich optimale Nutzungsdauer in PE, Jahren

Binärvariable

6

186

=

1,

falls über das Projekt in t noch verfügt werden soll

0,

sonst

Die bei den vorangegangenen Symbolerklärungen gemachten Anmerkungen zum Ebenenbezug, vgl. auch Abbildung 6.1, der einzelnen Größen gelten unverändert. Auf Wiederholungen kann deshalb bei diesen und allen weiteren Symboldefinitionen verzichtet werden, soweit keine hiervon abweichenden Besonderheiten auftreten.

Konstanten: Anschaffungsauszahlung für die zu beschaffende Potentialfaktorgesamtheit/Produktionsanlage etc. in GE Auszahlungen für die einzusetzenden Repetierfaktoren und ggf. den Personaleinsatz in Periode t in GE/PE Auszahlung für die Beseitigung der Potentialfaktorgesamtheit in Periode t, Kosten der Wiederherstellung des ursprünglichen betriebsinternen Zustandes7 in GE Summe der Einzahlungen aus der Leistungsverwertung und Einzahlungen aus öffentlicher Förderung in GE/PE L

sehr große Zahl, größer als alle im Bewertungsprozeß auftretenden möglichen Zahlenwerte Auszahlungen für Potentialwiederherstellungsmaßnahmen in Periode t in GE/PE Restwert des zu bewertenden Nutzungsobjektes am Ende der Periode t in GE/PE als längstmöglich erachteter Nutzungszeitraum in PE

T

Zielfunktion:

c0

T -a 0 + L (l+i)-t t=l

*

T Dt + L (l+i)-t(RWt-BKt) (vt-vt+l) ->max t=l

Die Zielfunktion (1) maximiert die Zielgröße C0 über die rechnerische Herstellung optimaler Einstzverhältnisse. Das Planungsergebnis ist der in Geldeinheiten gemessene Nutzen des Projektes im Entscheidungszeitpunkt oder am Projektbeginn ( =Barwert). Mit dem expliziten Ansatz der Beseitigungskosten BKt wird das betriebsintern geltende Ziel der Erhaltung der wirtschaftlich unvorbelasteten und umweltorientierten späteren Nutzung von Anschlußtechnologien auf dem Betriebsgelände zum Ausdruck gebracht. Damit soll im Falle der Anwendung des Planungsmodelles für Zwecke der Technologiebewertung vermieden werden, daß neue Nachfolgetechnologien mit Anfangsauszahlungen belastet werden, die einer Vorgängertechnologie zuzurechnen sind. Die Erfassung diskontierter Periodendeckungsbeiträge in der Zielfunktion ist problemlos. Weil der Betrag (RWt-BKt) nur einmalig in der letzten Periode des Projekteinsatzes vom Modell berücksichtigt werden darf, ist eine spezielle Steuerung erforderlich. Das Projektende t ist dadurch gekennzeichnet, daß in der darauffolgenden Periode t+ 1 keine Nutzung mehr stattfindet. In diesem Falle müssen v = 1 und vt+ 1 =0 sein. Dieser Sachverhalt soll für die modellinterne Steuerung der kestwertberücksichtigung durch das Modell benutzt werden. In allen vor dem Nutzungsende liegenden Perioden muß der Variablen vt der Wert 'Eins' zugewiesen werden. Der Klammerausdruck (vt - vt+ 1) nimmt dann für alle vor dem Nutzungsende liegenden Perioden den Wert 'Null' an. Bei richtiger Steuerung der 7

Als ursprünglichen Zustand oder Ausgangszustand ist der meßtechnisch zu erfassende und dadurch quantitativ abzubildende Zustand anzusehen, der unmittelbar vor dem Nutzungs- oder Projektbeginn betriebsintern bestanden hat; betriebsexterne Aspekte werden später behandelt.

187

Binärvariablen vt ist jetzt sichergestellt, daß nur die relevanten Daten für Restwert und Abbruchkosten einmalig am Ende der Nutzungsdauer aktiviert werden. Nebenbedingungen: für alle t=l, ••• ,T; vt ganzzahlig

(2)

Die Bedingung (2) bewirkt, daß die Folge v 1, v;z, ...,vT,vT + 1 die Form 1,...,1,0, ...,0 hat. Hierdurch wird erreicht, daß die Variable vt m einer Penode t nicht 'Eins' werden kann, wenn für die Vorperiode t-1 die Variable vt-1 gleich 'Null' ist. Damit kann in einer nachfolgenden Periode nur eine Anlagennutzung stattfinden, wenn das Investitionsobjekt in der vorausgegangenen Periode tatsächlich vorhanden oder produktiv eingesetzt war. Zwischenzeitlich nichtoptimale oder nicht praxiskonforme Betriebsunterbrechungen, die zu unzulässigen Maschinenan- und -verkäufen führen würden, sind nunmehr ausgeschlossen. Die Nutzung des Betriebsmittels nach dem Projektende durch das Modell wird aufgrundvon (3) unmöglich: (3)

VT+l

=

0

Spätestens nach dem Ende des Planungshorizontes oder des als längstmöglich erachteten Einsatzzeitraumes kann über die Anlage nicht mehr verfügt werden; in T wird (RWt-B~) spätestens zum Liquidationserlös in der Zielfunktion. (4)

für alle t=l, .•. ,T

(5)

für alle t=l, .•• ,T

Die Bedingungen (4) und (5) bewirken gemeinsam, daß bei derErrechnungder Optimalnutzung gelten muß: falls vt

1

für

0

vt

Die Größen et, a1 können als Zahlungen der Maschinen- und/oder Komponentenebene ausschließlich der Komponentenebene zugeordnet werden. In späteren Modellen werden diese Größen weiter aufzuspalten und zu konkretisieren sein. Unabhängig davon übernehmen die Bedingungen (4) und (5) die Steuerung der für die Restwertund Beseitigungskostenerfassung in der Zielfunktion wichtigen Variablen v1. Gemäß grafisch dargestellter Struktur der Zahlungsströme und Verlauf der Periodendeckungsbeiträge in den Abbildungen 2.1 und 2.2 muß Dt positive und negative Werte annehmen können; Nichtnegativitätsbedingungen düifen somit für D1 nicht formuliert werden. Für die Steuerung von vt über die Variable Dt sind drei Fälle zu unterscheiden:

188

1.

für alle t=l, •.. ,T

2.

für alle t=l, •.. ,T

für alle t=l, •.. ,T

3.

Der erste Fall mit Dt>O ist steuerungstechnisch unproblematisch. Bei positiven Periodendeckungsbeiträgen Dt muß die Binärvariable vt aufgrundder Bedingung (4) den Wert 'Eins' annehmen. Für die Bedingung (5) ergibt sich:

für alle t=l, .. -,T Für Dt max t=l l

194

Nebenbedingungen: Folgebedingung: (2) 0 $ Vt+1,1 $ Vtl $ 1

für alle t=1, ••• ,T-1 1=1, ••. ,1

Ausschließlichkeitsbedingung: (3) I: Vt1 1

$

1

für alle t=1, .•. ,T

Abbruchbedingung: (4) VT+1,1 = 0

für alle 1=1, .•. ,1

Steuerungs- und Zahlungs-Bestimmungsbedingungen: für alle t=1, ... ,T

für alle t=1, ••. ,T

Absatzbedingung: für alle t=1, ... ,T

Kapazitätsbedingung: für alle t=1, ••. ,T 1=1, ... ,1

In der Zielfunktion (1) sind die Abhängigkeiten der Restwerte von den allgemeinen Technologieeigenschaften des Investitionsobjektes und von den beanspruchungsmäßigen Folgen der intensitätsmäßigen Anpassung an die Absatzsituation auf der Maschinenebene erfaßt; ein potentieller späterer Nutzer wird um so weniger für eine Produktionsanlage bezahlen, je stärker sie im betrieblichen Prozeß beansprucht worden ist. Eine im abnutzungsmäßig günstigsten Beanspruchungsniveau befriedigte Produktnachfrage wird wegen des besseren Erhaltungszustandes der Anlage zu einer hohen Restwerteinzahlung führen. Der für die Einsatzoptimierung bedeutsame Sachverhalt der Restwertabhängigkeit von der Leistungsrealisierung wird in der Darstellung für das Beispiel mit drei Leistungsstufen gezeigt.

195

a 0 , RW in GE

RW(t,l=1)

/

RW(t,l=2)

RW(t,l=J)

0

t=1

t=2

t=J

t=4

t=5

t=6

Anmerkung: für die Leistungsstufen I muß gelten: I= 1 < 1=2 < 1=3 Abbildung 6.3: Restwertentwicklungen in Abhängigkeit von der Nutzungsdauer und dem realisierten Leistungsniveau Die Folgebedingung (2) dient der Sicherstellung des zeitlich unterbrechungsfreien Nutzungsverlaufes. Zugleich erfolgt die Wertzuweisung für vtl zur Bestimmung des optimalen Leistungsniveaus. Die Wirkung der Bedingung (2) läßt sich aus den Tabellen 6.1 und 6.2 zur Besetzung der Variablen VtJ ersehen. Die Tabelle 6.1 zeigt, daß zulässige Folgen für vtl entstehen, wenn in der ersten Periode eine Wahl der Leistungsstufe erfolgt. Aus der Tabelle 6.2 kann dagegen entnommen werden, daß unzulässige Folgen entstehen, wenn zwischenzeitlich ein Übergang zu einer anderen als der als gesamtoptimal berechneten Leistungsstufe z.B. zwecks Ausschöpfung zusätzlicher Marktpotentiale vollzogen wird. Aufgrund der Bedingung (2) würden sich bei einem zwischenzeitliehen Leistungsstufenwechsel zunächst allgemein (9) und dann als explizite Folge (10) ergeben: (9)

(10)

OS1SO:Sl.

~

t=1

t=2

t=J

t=4

t=5

t=6

1=1

1

1

0

0

0

0

1=2

1

1

1

1

0

0

Tabelle 6.1: Besetzung der Binärvariablen vtl bei Wahl einer Leistungsstufe am Beginn des Planzeitraumes 196

~

t=1

t=2

t=3

t=4

t=5

t=6

1=1

1

1

0

0

0

0

1=2

0

0

1

1

0

0

Tabelle 6.2: Besetzung der Binärvariablen vtl bei einem Wechsel der Leistungsstufe während des Planzeitraumes Die Folge (10) ist unzulässig. Der Übergang gemäß Tabelle 6.2 wird ausgeschlossen, weil es hier um langfristige Einsatzplanung geht. Die Ausschließlichkeitsbedingung (3) verhindert, daß mehr als eine Leistungsstufe ausgewählt wird. Nach Tabelle 6.1 wäre dieses noch möglich, da die beiden eingezeichneten Folgen gemäß Bedingung (2) zulässig sind. Die Bedingung (4) begrenzt die Modell-Reichweite auf den Planungshorizont; T darf jedoch nicht so kurz bemessen sein, daß die Zielgröße das Maximum nicht erreicht. Die Bedingungen (5) und (6) enthalten bis auf die leistungsabhängigen Zahlungen aus der Komponentenebene keine zusätzlichen aus der jetzigen Modellkonzeption resultierenden Besonderheiten. Komponentenstandzeiten werden bei leistungsabhängigem Verschleiß mit jeder Leistungserhöhung verkürzt. Diese Annahme entspricht einem in der Praxis geläufigen Sachverhalt. Bei der hier gewählten Modellkonzeption verschiebt sich die leistungsabhängige Zuordnung der komponentenbezogenen Zahlungen Qjtl zu den Perioden gemäß Tabelle 6.3 in Übereinstimmung mit der Praxis des Anlagenbetriebes.

~

t=1

t=2

t=3

1=1

0

0

0

1=2

0

0

1=3

0

t=4

t=5

t=6

0

0

..

Qj23

Qj32 0

Qj41 0

Qj43

0

Qj62

0

Qj63

Tabelle 6.3: Leistungsabhängige Zuordnung der Zahlungen Qjtl 11 Aufgrund der Absatzbedingung (7) kann die Variable Xtl höchstens die Maximalnachfragemenge Nt erreichen, wobei das optimale Leistungsniveau u.a. von den beschäftigungsvariablen Kosten in der Abstufung ktl=1 < ktl=2 < ktl=3 ...

11

für alle t=1, ... ,T

Zur Lebensdauerbestimmung von Komponenten bei leistungsabhängig unterschiedlichen mechanischen und thermischen Belastungen siehe Glaser, R. E.: Estimation for a Weibull Accelerated Life Testing Model, in Naval Research Logistics Quarterly, Valurne 31, Number 4, 1984, S. 559ff.

197

und bei der Restwertentwicklung RWtl=l < RWtl=2 < RWtl=3

für alle t=l, ••. ,T

beeinflußt wird. Die Kapazitätsbedingung (8) beschränkt den Wertebereich für die Variable Xtl entsprechend der leistungsabhängigen Produktionskapazität; die mengenmäßig vorgegebene und leistungsbezogene Höchstkapazität darf nicht überschritten werden. Das Investitionsmodell wird bestrebt sein. eine für die Maschinen- und Komponentenebene gemeinsam und insgesamt kostenoptimale Leistungsstufe zu realisieren. Zeigen die Rechenergebnisse die Wahl einer unteren Leistungsstufe bei einem vorhandenen hohen Leistungsbereich, wird sich u.U. für das Investitionsvorhaben ein anderer Entwicklungsstand mit geringerer Produktionsleistung als vorteilhafter erweisen; die zu installierende technische Produktionsleistung wäre in diesem Falle den Absatzgegebenheiten nicht angepaßt. In den anschließenden Ausführungen werden durch Berücksichtigung von Preis-Absatz-Funktionen kompliziertere Absatzverhältnisse unterstellt und in die Überprüfung der kapazitätsmäßigen Eignung von Produktionsanlagen einbezogen.

6.2.2.3. Preis-Absatz-Funktion und variable Produktionsleistung Während die vorangegangenen Planungsmodelle von einer Entscheidungssituation ausgingen, die konstante Preise für die Periode t vorausgesetzt hatte, geht es bei dem nachfolgend darzustellenden Ansatz darum, die notwendige Preisreaktion auf zunehmendes Mengenangebot hin zu erfassen. Bezogen auf diese (Monopol-)Absatzsituation müssen nun die von der Produktionsleistung her bestmöglichen Technologieeigenschaften des Investitionsobjektes zur Nutzung vorhandener Marktgegebenheiten herausgefunden und ausgewählt werden. Im Falle einer Anlagenprojektierung ergibt sich der höchste Wert der Zielgröße für die Produktionsanlage, die den vorhandenen Möglichkeiten der Leistungsverwertung im Zeitablauf am besten entspricht. Die Ausprägung der Zielgröße zeigt weiter, welche Anlagengröße bei welchem Leistungsniveau für das Unternehmen optimal ist. Die bei langfristigem Anlageneinsatz ggf. notwendigerweise zu berücksichtigenden zeitlich-vertikal veränderlichen Preise werden durch veränderte Nachfragestrukturen hervorgerufen, die sich in Veränderungen der Lagen und/oder Steigungen der Preisabsatzfunktionen im Zeitablauf bemerkbar machen. Die denkbaren Absatzsituationen werden ergänzend und beispielhaft in der Abbildung 6.4 dargestellt. Zwecks Erfassung der Absatzsituation sind die periodenbezogenen Preisabsatzfunktionen zu schätzen. Marktsättigungstendenzen und/oder zeitlich-vertikale Substitutionseffekte, ausgelöst durch neue Produkte, Fertigungsverfahren oder veränderte Käuferwünsche, gehen somit in das Investitionsmodell ein. Zusätzlich soll berücksichtigt werden, daß die Betriebsausgaben zur Erhaltung der Nutzungsbereitschaft von der zu bestimmenden Leistung abhängig sind. Die beschäftigungsvariablen Kosten sind u.a. auch deshalb im Zeitablauf Veränderungen unterworfen. Es ergibt sich eine weitere Modellmodifizierung.

198

Abbildung 6.4: Zeitlich-vertikale Nachfrageveränderungen auf Märkten mit Preisabsatzfunktion 12. Zusätzliche Symbole: Variablen: Absatzmenge im Intervall JJ. und in der für Periode t gültigen Preisabsatzfunktion in ME/PE Produktionsmenge der für Periode t gewählten Betriebsmittel-/Maschinenleistung 1 in ME/PE Konstanten: durchschnittliche Grenzkosten im Leistungsintervall 1 in Periode t, beschäftigungsvariable Kosten in GE/ME lntervallhöchstmenge, Absatz in t in ME/PE leistungsabhängige Betriebsausgaben in GE Grenzerlös im Absatzintervall in Periode t in GE/ME

12 Grundlagen zur Veränderung der Preisabsatzsituation im Zeitablauf infolge oligopolistischer Verhaltensweisen siehe Krelle, W.: Preistheorie I, Tübingen 1976, S. 227-264. Ein weiterer die Ausführungen dieser Arbeit ergänzender Überblick über die vielfältigen preisverändernden Wirkungen unterschiedlicher Einflüsse und über dynamische Preissetzungen bzw. Preissetzungsmodelle befindet sich in Jacob, H.: Preispolitik bei der Einführung neuer Erzeugnisse unter besonderer Beachtung dynamischer Aspekte, in Koch, H. (Hrsg.): Zur Theorie des Absatzes, Festschrift zum 75. Geburtstag von E. Gutenberg, Wiesbaden 1973, S. 14lff., Simon, H.: Preismanagement, Wiesbaden 1982, S. 274-329.

199

Zielfunktion: T

-a 0 + ~ (1+i)-t * Dt t=l

(1)

T

~ (l+i)-t ~(RWtl-BKtl) (Vtl-Vt+l 1)

+

t=l

1

-> max

'

Nebenbedingungen: (2)

für alle t=l, ••. ,T-1 1=1, ••• ,1 vtl ganzzahlig

(3)

für alle t=1, ... ,T

(4)

für alle 1=1, •.. ,~

(5)

für alle t=1, ... ,T

(6)

0t

(7)

M~t

(8)

:E 1

(9)

~

1 (10)

~ M~t*u'~t- ~(Xtl*ktl + ~ Qjtl*Vtl)

1

~

xu xu

NDopt

+ ( 1 -~ Vtl)L 1 für alle t=1, .•. ,T für alle t=l, •.. ,T JJ.=l, •.• ,[1.'

Mo~t ~

j

:E Vtl * Xtlmax 1

für alle t=1, ••• ,T

~ M~t

für alle t=1, •.• ,T

~ ~

tl

Vtl

Aufgrund der bisherigen Erläuterungen ergeben sich für dieses Modell die ersten erklärungsbedürftigen Sachverhalte bei der Definitionsbedingung (6). Für die modellgemäße Erfassung der Absatzsituation muß eine Diskretisierung der Grenzerlösfunktion in der Form vorgenommen werden, wie bereits in der Abbildung 5.4 unter Punkt 5.2 gezeigt. Die im Produktionsleistungsintervall entstehenden durchschnittlichen Grenzkosten ergeben sich aus der in der Abbildung 6.5 dargestellten diskretisierten Grenzkostenfunktion. Zur Ermittlung der Periodendeckungsbeiträge wird die Summe der Grenzkosten zusammen mit den leistungsabhängigen Potentialkosten von der Summe der Grenzerlöse subtrahiert.

200

1ftl in GE/ME

ktJr---------------~~----------------~~~~-; k

kt1 0

1=1

1=2 Xtl in ME/PE

Abbildung 6.5: Quantitative Erfassung der Ieistungs- und beschäftigungsabhängigen Produktionskosten Die Intervall-Bedingung (7) schließt die Überschreitung erlösgünstiger Intervallmengen durch das Modell aus. Über die Kapazitätsbedingung (8) wird zugleich mit der Begrenzung der leistungsabhängig herzustellenden Produktmengen auf vorgegebene Absatzhöchstmengen eine Wahl der Leistungsstufe durch das Modell im Rahmen der Gesamtoptimalität erzwungen. Zugleich erfolgt die Festlegung der technischen Eigenschaften des Komponenten-Verbundsystems. Die Zahlungsreihenstruktur wird hierdurch bestimmt. Der Ausdruck (9) stellt eine Verknüpfung von Produktions- und Absatzvariablen dar um sicherzustellen, daß die Produktionsmenge der Absatzmenge entspricht.

6.2.3. Modellerweiterung für den Mehrprodukt-Fan Um für Übungszwecke mehrere denkbare Planungs- und Entscheidungssituationen abzudecken, sollen nun die Besonderheiten einer Mehrzweck-Produktionsanlage für die Modeliierung behandelt werden. Als Prämissen sollen nun zusätzlich gelten: Mehrprodukt-Fall; für den Absatz der Produkte gelten Preis-Absatz-Funktionen, die Kapazitätsanforderung an die Produktionsanlage ist für jedes der möglichen Produkte bekannt. Da wiederum eine Produktionsanlage mit variabler Leistung betrachtet werden soll, werden nur einige wenige zusätzliche Symbole und lediglich geringfügige Modellmodifikationen benötigt. Mit dieser Vorgehensweise kann zugleich die Vorgehensweise bei der Anpassung von Modellen an Gegebenheiten der Praxis gezeigt werden.

201

Zusätzliche Symbole: Variablen: Absatzmenge von Produkt z oder anderer verwertbarer Nutzeneinheit z im Intervall J.1. in Periode t in ME/PE 13 herzustellende Produktionsmenge von z im Leistungsintervall I in Periode t in ME/PE Konstanten: Absatzhöchstmenge von Produkt z im Intervall J.1. in Periode t in ME/PE Grenzerlös im Absatzintervall J.1. von Produkt z in Periode t in GE/ME Produktionskoeffizient für Produkt z bei Leistungsstufe 1 in GE/ME Maximaleinsatzzeit des Betriebsmittels in Periode t bei Leistungsstufe I in ZE. Die Einsatzzeit kann tarifbedingt oder behördlich reglementierten Veränderungen im Zeitablauf unterliegen. Zusätzlich hat die gewählte Leistungsstufe I einen Einfluß auf die periodenbezogene (verfügbare) Einsatzzeit Zielfunktion: T

(1)

-a 0 + ~ (1+i)-t t=1 T

+

*

Dt

~ (1+i)-t ~ (RWtl-BKtl) (vtl-vt+1,1)

t=1

1

-> max

Nebenbedingungen:

Folgebedingung:

für alle t=1, ... ,T-1 1=1, •.. ,1. vtl ganzzahlig

(2)

Ausschließlichkeitsbedingung:

für alle t=1, ... ,T

(3)

(4)

0

1=1, •..

,1

13 Weitere Ausführungen zur Ermittlung optimaler Absatzprogramme bei Mehrprodukt-Unternehmen siehe Jacob, H.: Preispolitik, a.a.O., S. 124ff.

202

Steuerungs- und Zahlungsbestimmungsbedingungen: (5)

für alle t=l, ..• ,T

(6 )

0 t ~ ~ Mz~t*u'z~t- ~ Xztl*kztl - ~ Qjtl*vtl +(l-~vtl)L 1 j1 zl z~ für alle t=l, •.. ,T

Intervallbedingung: für alle t=l, ... ,T z=l, ... ,:i ~=l, ... ,Ji

(7)

Kapazitätsbedingung: (8)

~ Xztl*czl ~

z

vtl*Ttlmax

für alle t=l, ... ,T für alle l=l, ... ,i

Verknüpfung Produktion-Absatz: für alle t=l, ... ,T für alle z=l, ... ,z

(9)

(10)

NDopt

Gegenüber den Vorgängermodellen finden sich Änderungen lediglich ab Nebenbedingung (6). In der Definitionsbedingung für den Perioden-Deckungsbeitrag ist die Mehrproduktsituation lediglich durch Anfügung von Produktindex z zu berücksichtigen. Dasselbe gilt für die Intervallbedingung (7) und die Verknüpfung der Produktionsmengen mit den Absatzmengen in der Nebenbedingung (9). In der Kapazitätsbedingung (8) müssen die produktspezifischen Zeitbedarfe auf die installierten Kapazitäten Ttl in Abhängigkeit von der zu realisierenden Dauerleistung I begrenzt werden. Zur Umformung der bisher als ausreichend anzusehenden Mengenbetrachtung in eine Zeitbetrachtung ist der Produktionskoeffizient czl erforderlich; Produktionsmengen werden mit Hilfe von czl in Zeitanforderungen an di