Ingenieur-Mathematik in Beispielen 1: Lineare und nichtlineare Algebra. Spezielle transzendente Funktionen. Komplexe Zahlen [Reprint 2018 ed.] 9783486786644, 9783486229882

Table of contents :
Inhalt
Vorwort Zur Fünften Auflage
1. Lineare Algebra
2. Nichtlineare Algebra
3. Spezielle Transzendente Funktionen
4. Komplexe Zahlen
5. Anhang

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IngenieurMathematik in Beispielen 1 Lineare Algebra - Nichtlineare Algebra Spezielle transzendente Funktionen Komplexe Zahlen 220 vollständig durchgerechnete Beispiele mit 145 Bildern von Dr. Helmut Wörle, Hans-Joachim Rumpf und Dr. Joachim Erven Professoren an der Fachhochschule München 5., verbesserte Auflage

R.Oldenbourg Verlag München Wien 1994

Die Deutsche Bibliothek — CIP-Einheitsaufnahme Ingenieur-Mathematik in Beispielen.

- München ; Wien :

Oldenbourg. 1. Lineare Algebra; Nichtlineare Algebra; Spezielle t r a n s z e n d e n t e F u n k t i o n e n ; K o m p l e x e Zahlen / v o n Helmut Wörle ... - 5 . , v e r b . Aufl. - 1 9 9 4 ISBN 3 - 4 8 6 - 2 2 9 8 8 - 5 N E : Wörle, Helmut

©

1 9 9 4 R . O l d e n b o u r g Verlag G m b H , München

Das Werk außerhalb lässig und filmungen

cinschlieiMich aller A b b i l d u n g e n ist u r h e b e r r e c h t l i c h g e s c h ü t z t . J e d e V e r w e r t u n g d e r G r e n z e n des U r h e b e r r e c h t s g e s e t z e s ist o h n e Z u s t i m m u n g des Verlages u n z u s t r a f b a r . Das gilt i n s b e s o n d e r e für V e r v i e l f ä l t i g u n g e n , Ü b e r s e t z u n g e n , M i k r o v e r u n d die E i n s p e i c h e r u n g u n d B e a r b e i t u n g in e l e k t r o n i s c h e n S y s t e m e n .

Gesamtherstellung: R . Oldenbourg Graphische Betriebe G m b H , München

ISBN 3-486-22988-5

INHALT

VORWORT

6

1.

7

LINEARE ALGEBRA

1 . 1 Vektoren 1.2 Determinanten und Matrizen 1. 3 Lineare Gleichungssysteme

7 26 46

2.

NICHTLINEARE ALGEBRA

74

2 . 1 Polynome 2.2 Nichtlineare Gleichungen 2 . 3 Nichtlineare Gleichungssysteme

74 85 119

3.

SPEZIELLE TRANSZENDENTE FUNKTIONEN

136

3 . 1 Exponential- und logarithmische Gleichungen 3.2 Goniometrische Gleichungen 3.3 Sinusschwingungen

136 149 161

4.

175

KOMPLEXE ZAHLEN

4 . 1 Grundaufgaben 4. 2 Erweiterungen

175 186

5.

200

ANHANG

5 . 1 Mathematische Zeichen 5.2 Sachverzeichnis

200 203

VORWORT ZUR FÜNFTEN AUFLAGE

J e d e s technische Studium bedingt eine mathematische Ausbildung, die, auf guten mathematischen Grundlagen aufbauend, in praxisbezogener Darstellung die einschlägigen Rechenverfahren und ihre Anwendungen berücksichtigt. Damit sind dann auch im späteren Berufsleben die Voraussetzungen f ü r die Bearbeitung vieler anstehender Probleme gegeben. Im Hinblick auf die in den Vorlesungen nur begrenzt zur Verfügung stehende Zeit für eine ausführliche Behandlung von Übungsaufgaben ist die zusätzliche Bearbeitung von weiteren Beispielen im Selbststudium unbedingt erforderlich. Dazu bieten die vier Bände der "Ingenieur-Mathematik in Beispielen", von denen hiermit der e r s t e Band in fünfter Auflage vorliegt, eine gute Hilfestellung, wie uns immer wieder freundlicherweise bestätigt wird. Sie entlasten durch die vollständige Wiedergabe des Lösungsweges nicht nur von zeitraubender Rechenarbeit, sondern leiten auch zur korrekten Durchführung ähnlicher Aufgaben an und gewährleisten außerdem eine gute Vorbereitung auf die abzulegenden P r ü fungen. In Band II werden die Stoffgebiete Analytische Geometrie und Differentialrechnung, in Band III Integralrechnung mit Fourierschen Reihen sowie Kurven-, Flächen- und Raumintegrale, in Band IV gewöhnliche Differentialgleichungen einschließlich von Lösungsverfahren unter Verwendung von Laplace-Transformierten behandelt; eine Erweiterung um die Kapitel Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik ist in Vorbereitung. Das ebenfalls im R. Oldenbourg-Verlag erscheinende "Taschenbuch der Mathematik" enthält alle theoretischen Grundlagen und Formeln f ü r sämtliche Bände.

H. Wörle, H. Rumpf, J . Erven

1. LINEARE ALGEBRA 1.1 Vektoren 1. Ein Vektor it = Ä^ + Ay + A z sei durch seine s k a l a r e n K o m p o n e n t e n A x = 6 cm, Ay = - 4 cm und A z = 5 cm bezüglich eines dimensionierten kartesischen X, Y, Z-Koordinatensystems festgelegt. E s sind der Betrag |Ä*| dieses Vektors, sein E i n h e i t s v e k t o r A° und die Winkel a , ß , 7 zu bestimmen, die er mit den positiven Richtungssinnen von X-, Y- und Z-Achse bildet. Aus der Formel \Ä\

= Va| + a| +

| A| = n/36 + 16 + 25 cm = \Pvt t° =

= - ^ ( 6 ? -

folgt unmittelbar

cm « 8,775 cm. Damit ergibt sich

4 T + 5k) RS (0,684 1* - 0,456 f + 0,570 1?)

mit i, j, k als E i n h e i t s v e k t o r e n X-, Y-, Z-Achse.

in den positiven Richtungssinnen von 1

cos 7 = 7?T « 0,570 findet man der Reihe nach die gesuchten Winkel zu a

« 46,84°, ß » 1 1 7 , 1 3 ° , 7 « 5 5 , 2 5 ° .

2. Gegeben sind zwei Vektoren A und B durch ihre K o m p o n e n t e n d a r s t e l l u n g e n * ) H = 4 t + 5 f + 3 lT und 5 = 6"f+ 3X - £ Welchen Winkel 7 schließen der Summenvektor C = A + B und der Differenzvektor D = A - B miteinander ein? * ) Wenn nicht anders vermerkt, beziehen sich Komponenten- und Koordinatenangaben stets auf ein kartesisches Koordinatensystem, d.h. ein Rechtssystem mit orthogonalen Achsen und gleichen Längeneinheiten auf diesen. Räumliche Darstellungen sind als schiefe Parallelprojektion mit einem Verkürzungsverhältnis X : Y : Z = 0,5 : 1 : 1 und einem Verzerrungswinkel von 4 5 ° ( K a v a l i e r p e r s p e k t i v e ) ausgeführt.

8

1. Lineare Algebra

Durch Addition entsprechender v e k t o r i e l l e r K o m p o n e n t e n von A und B erhält man - den Summenvektor C = ( A *„ + B a„ ) + ( A vy + B „y) + » - » - » + ( A z + B z ) = 10 i + 8 j + 2 k, durch Subtraktion den Differenzvektor D = - 2 ? + 2~f + 4 k. Der gesuchte Winkel kann unter Verwendung des S k a l a r p r o d u k t e s 5 D = C x - D x + C y - D y + C z • D z = |C| • IDl cos y CX aus

D

X +

Cy-Dy

cz- pz

+

COS y

VC2

C5+C2

+

-VD2

+

D2 + D2

gefunden werden. Man erhält für die gegebenen Zahlenwerte cos

y

-20+16+8 V^ßF •

0,0630

s/24

und daraus y « 86,39°.

3.

Die vier Kräfte

=

j N,

= |

4

j

N>

' "

^3

2\ 6

N und

'-4 ' = ^ - 3 j N sollen durch ihre Resultierende ? ersetzt werden. Welche Winkel ot

2'

a

3

un< *

a

4 schließt diese mit den Einzelkräften ein?

In S p a l t e n s c h r e i b w e i s e läßt sich die Resultierende ? in der Form / 3 +2 - 6 - 4 \ /-5 \ 4 F=2F(; =|-2 +4 + 2 - 3 I N = | 1 ) N angeben. V'i \ 3 -5 + 4 + 1 / \ 3 Mit I F j l = V22 N, |F2| = \/45 N, und I = \/35 N berechnet sich über cos

ot1 =

der Winkel

1 /- 2 V i 1 \ \ 3 / \ 3 / s/22 - 35

«j «

106, 76°

=

|? 3 I

= V56 N,

"15

+ 9

V770

| F41

«

= n/26 N

-0,2883

1.1 Vektoren

In gleicher Weise findet man über cos a 2 ^ -0,5292, cos a J « 0,9939 und cos a 4 « -0, 6630 die Winkel a 2 « 121, 95°, a 3 « 6,35° und a 4 « 131,53°.

4.

Welche Arbeit W ist erforderlich, um einen Körper K durch die -8\

Kraft F =

3 I N längs des geradlinigen Weges s

17 I m zu be4/

wegen! Es gilt W = F s, woraus für die gegebenen Größen

w =

? 39 Nm folgt.

n \

5.

Durch die beiden Ortsvektoren £ = [ 5 ] und 3 =

/-2 \ I 5 ]

ist ein

Dreieck OAB aufgespannt. Man bestimme den Fußpunkt C der Höhe h von A auf die Seite OB. Welche Maßzahl h* hat diese Höhe h? Der Höhenfußpunkt C ist der ^Endpunkt des Vektors OC, der durch senkrechte Projektion von A auf B entsteht.

9

10

1. Lineare Algebra

die Koordinaten von C bezüglich des gewählten Koordinatensystems zu 2 XC 3". y c 3 ' ZC ~ 3 I OC - OA I =

= I AC I

•

: -23' -10

-i v/630 «

8,37.

6. Das Dreieck ABC mit A(4;0;0), B(0;3;0) und C(0;0;6) besitzt die Höhe h a = AD. Man ermittle die Koordinaten von D. Da die Vektoren BD und BC k o l l i n e a r , also l i n e a r a b h ä n g i g sind, gilt BD = X-BC mit X G R .

-

/ °\

Wegen BC =

-

/ °

- 3 j wird also BD = \ 6 /

-3X \ 6X

Aus AD = AB + BD und AB =

folgt AD = \

3 - 3X 6X

Der rechte Winkel bei D erfordert das Verschwinden des Skalarproduktes -

-

AD • BD, also

/

~4

\

/

°

\

1 3 - 3 X 1 ( - 3 X J = 0 , was auf die Gleichung \ 6 X / \ 6X / - 9 X + 4 5 X 2 = 0 führt. Die triviale Lösung \ ^ = 0 ergibt einen Nullvektor. Geometrisch brauchbar ist nur X2 = —, womit

1.1 Vektoren

BD = | -0,6 | wird. Über OD = OB + BD, also OD = ( 3 ) + °

11

0,6 j =

\

2 , 4 ] erhält man D(0;2,4;l, 2). ,1,2/

7.

Auf eine Ebene E fällt im Punkt P(2;2;l) ein Lichtstrahl, dessen Rieh-

tungssinn durch den Vektor A = I

I I festgelegt sei. Gesucht sind die

Richtungskosinusse des reflektierten Strahls, wenn ein Einheitsvektor der Ebenen-Normale

n° = - y | 2 |

ist.

Wird mit B der dem reflektierten Strahl zugeordnete Vektor vom Betrag I Bl = I AI bezeichnet, so gilt wegen A n° < 0 gemäß der Abbildung A - (A n°) • n° = (A n°) • n° + B oder B = A - 2(A n°) • n°. Die numerische Auswertung erbringt über 10

B =

29

die Richtungskosinusse cos a =

1

« 0,0335,

9 vT!

cos

ß =

29

0,9715,

9 VIT

cos 7 =

-7 9 \/lI

-0,2345. (A n°)n°

12

1. Lineare Algebra

8. Von einer Ebene E sind die Eckpunkte A(9;0;0), B(0;0;9) und C(0;- 18;0) ihres Spurdreiecks gegeben. Man bestimme den Einheitsvektor n° der Ebenen-Normale in A, der mit den Vektoren AB und AC ein Rechtssystem bildet, sowie die Flächenmaßzahl A* des Dreiecks ABC. Durch das V e k t o r p r o d u k t = ÄB x Ä5 ist ein zu beiden gegebenen Vektoren orthogonaler Vektor bestimmt, der mit AB und AC ein Rechtssystem bildet und dessen Betrag gleich der positiven Flächenmaßzahl des von AB und AC aufgespannten Parallelogramms ist. Es ergibt sich für die vor-

Daraus erhält man den gesuchten Einheitsvektor zu n° = — (2 i - j + 2 k). gj Die Flächenmaßzahl des Dreiecks ist A* = — • V 4 + 1 + 4 = 121,5.

9. Ein Punkt P drehe sich gemäß der Abbildung um die Achse AB mit der Winkelgeschwindigkeit w . Wie groß ist die Geschwindigkeit Vp des Punktes P, wenn dieser durch den / " 0,4 \ Ortsvektor r = I 0,6 I m festgelegt ist und die Winkelgeschwindigkeit co \

den Betrag

ul

1,2 /

= 0 , 8 s " 1 hat?

E s ist wegen | Vp| = | w I • p = | w | • | r | • sin a mit p als Abstand des Punktes P von der Achse AB, vp = w x r. Wird ein kartesisches Koordinatensystem wie in der Abbildung eingeführt, so berechnet sich Vp zu l 0 -0,4

] 0

k

0,6

1,2

0,8

m s " 1 = ( - 0 , 4 8 t - 0,321) m s " 1 =

•0,48' •0,32 0 ,

1.1 Vektoren

cm Mit dem Zeichenmaßstab My = 5 , ^ m dem Winkelgeschwindigkeitsmaßstab M o« = 2,5

vp , 90°"^90"

und der frei wählbaren

-1

Momentenkonstanten c = 2 cm ist der Geschwindigkeitsmaßstab M„

= 6,25

13

• -Jcm

-1

¿cm.

2cm

•W&M A

In dem gewählten Koordinatensystem wird daher 2

I' \

-

r = I 3|

\ 6/ durch Vp ß

10.

cm, | co | B = 2 cm und der gesuchte Geschwindigkeitsvektor = v p • M y = (- 3 i - 2 j) cm =

• 2 I cm dargestellt. 0/

Im Punkt P(-0,2; 0,2; 0,4) m der Abbildung greift die Kraft

/ °'8\ F = I 0,6 I N an. Wie groß ist das hierdurch im Mittelpunkt V-0,6 / _ A(0,2; -0,1; 0,3) m des Kugelgelenkes erzeugte Moment M? Aus IM| = AB'I Fl = A P ' s i n a - | F | für den Betrag des gesuchten Momentes folgt M = AP x F. p Ä Damit berechnet sich M =

i

T

k

-0,4

0,3

0,1

0,8

0,6

-0,6

Nm =

= (-0,24 i - 0,16 j - 0,48 k) Nm und iMl = 0,56 Nm.

M

'

l

1

„ /*

cmy——

?cm

v

cm „ „ _ cm , Mj. = 2,5 ——- und der t m N Momentenkonstante c = 4 cm ergibt sich der Momentenmaßstab mz-Mf cm MM 6,25 Nm Bei Verwendung der Maßstäbe M^ = 10

14

1. Lineare Algebra

Hiermit findet man die Bildgrößen P ß ( - 2 ; 2; 4) cm, F g = ^ 1,5 j

cm und M ß =

11.

hat der durch die drei Vektoren

Welche Volumenmaßzahl V

A =

B =

und

Das Ergebnis wird durch das Spatprodukt AX

A

Bx Cx

B Cy

y

V*=A(BxC)

A_ B„

geliefert.

Für die gegebenen speziellen Zahlenwerte ergibt sich 1 2 1

3 2 1

-1 1 4

= 38.

C =

cm.

aufgespannte Spat?

1.1 Vektoren

Durch skalare Multiplikation von A = p B + q C + r D folgt über A(C x D) = p • B(C * D) der Faktor

15

mit C x

C(D x A) B(C x D) "

A(C x D) B(C x 5 )

In gleicher Weise erbringt die skalare Multiplikation mit B x D bzw. B * C q =

A(B x D) C(B x D)

D(B x A) und B(C x D)

A(B x C) D(B x C)

B(C x A) B(C xD)

Die Auswertung der einzelnen Spatprodukte liefert mit 1 1,5 -2 0 2 = -28, D(BxA) = 9 C(D x A) = 0 2 -1 6 4 2 2 2 2 9 -2 2

B(C x A) =

P =

-28 -42

=

2 3 '

6 1 2 q

-1 •1,5 4

9

-1,5 1,5 4

= 84,

B(C x D) =

-1,5 1,5 -1

- 2

0

-84 -42

84 -42

2,

Somit ist die gesuchte Zerlegung - / 9 \ /-2 + 2 A =

= -84.

= -42,

-2.

0' 2

2,

13. 3 Stäbe SA, SB, SC^bilden ein Bockgerüst. In S greift die Kraft F an. Welche Reaktionskräfte F A , F g , F c treten in diesen 3 Stäben auf, wenn S(l,6; 2; 2,4) m, A(0; 1,6; 0) m, B(2,4; 3,2; 0) m, C(3,2; 0,4; 0) m und / - 500 \ r 7 / F = [ -500 I N ist? \ - 900 /

/ /

Setzt man F A = XA • AS,

Fb=

XßBS

und F c = X c • CS, so folgt

7m

aus der Geschlossenheitsbedingung F A + F ß + F c + F = "0 für X A ,

XB

und

S

/

/

/

/ i 1"5 7mi

/

A ^

X ^ die Vektorgleichung

X A - ÄS + X B - B S + X c

CS + F = 0>

^

- °-m f

16

oder XA •

1. Lineare Algebra

1,6' 0,4 2,4 j

m + XB

' - 0,8 \ /"1,6\ - 1 , 2 ] m + X c " ( 1,6 i 2,4 / \ 2,4/

/"500 \ m + - 500 IN = 0. \ - 900 /

Die Zerlegung in s k a l a r e Komponenten liefert f ü r X X g , neare Gleichungssystem N 1,6 X C = 5 0 0 1,6 X . - 0,8 X B m 0,4 X A - 1,2 X ß + 1,6 X 2,4 X A + 2,4 X

+ 2,4 X

^

_ 500 — m N = 900 —

Vereinfacht ergibt sich nacheinander N 2 625 X 2 XA = B " m N X A - 3 X B + 4 X C = 1250 m N 2 X A + 2 x B + 2 x c = 750 m 5 X ar, = 2500 — m N 4 X. + X _ = 1375 — A B m

Xq das li-

2. Z + 3 Z +

5 X4

25 X A = 9 3 7 5 — , also m Hiermit wird / 600 \ Fa = 1 5 0 N, \ 900 /

l . Z . + 2. Z • 5

X. = 375 — ,0 X A m

^ / 100 \ F b = I 150 I N , \ - 300 I

Fc =

= - 1 2 5 — und \ m

n

= 125—. ^ m

/ - 200 \ ( 200 N. \ 300 /

X g < 0 zeigt an, daß es sich bei BS um einen Zugstab handelt, während ÄS und CS Druckstäbe sind. Die Beträge der Stabkräfte errechnen sich zu IFaI

IF^ I

=

V 6 0 0 z + 150* + 900^

N % 1092 N,

=

\ / l 0 0 2 + 150 2 + (-300) 2

N =

350 N,

= \ / ( - 2 0 0 ) 2 + 200 2 + 300 2

N «

412 N.

LI

14.

Es soll festgestellt werden, ob die drei Vektoren a j =

l*\

-

l2\

ag = I 7 I und a 3 = I 3 I

linear

abhängig

Vektoren

^

3 j

17

,

sind.

Sind a j , a£, a 3 linear abhängig, so muß es drei, nicht sämtlich verschwindende Zahlen ^ G R für v = 1,2,3 geben, für die ^ l a l + ^ 2a2 + ^ 3 a 3 = ® Dies führt auf das homogene lineare Gleichungssystem 4 X i + 6 X2 + 2 X 3 = 0 3 X 1 + 7 X 2 + 3 X3 = 0 -5 X 1 +-r 2 ^ X, /v3 = 0, dessen Lösungsmenge dann und nur dann von { X ^ = 0; Xg = 0; Xg = 0 } verschiedene Elemente enthält, wenn die Koeffizientendeterminante des 4 6 2 Systems verschwindet. Da 3 7 3 0 ist, sind a 1 ( s^, a 3 - 5 0 2 linear abhängige Vektoren. Setzt man etwa X 1, so errechnet sich aus den ersten beiden Glei3 chungen 4 Xj + 6 + 2 = 0 0 3 Xj + 7 Xg + 3 X ^ = 0,4 und Xg = -0,6. Diese Werte genügen dann auch der dritten Gleichung, so daß zwischen den drei Vektoren z. B. die Beziehung 0,4 • ^ - 0,6 • a 2 + 1 • a 3 = (f besteht. Da bei Vektoren im R 3 die Aussage über die lineare Abhängigkeit dreier Vektoren gleichwertig der über ihre k o m p l a n a r e Lage ist, verschwindet in diesem Fall das Spatprodukt a j i a j j * a 3 ). Im vorliegenden Beispiel 4 3 -5 ist a^(a2 x a 3 ) 6 7 0 = 0, wobei es sich, bis auf eine Spiege2 3 2 lung an der Hauptdiagonalen, um dieselbe Determinate wie oben handelt.

15.

Eine Stange mit Endpunkt P sei gemäß der Abbildung in der durch -

/°'4\

den Vektor A = I 0,2 m bestimmten Achse drehbar gelagert. Welches \ 0.4 /

18

1. Lineare

Algebra

Moment M um diese Achse wird durch die in P(-0,3; -0,2; 0,9) m angrei- = |/ fende Kraft F

3 6 \J N erzeugt?

Mit p als Abstand des Punktes P von der Drehachse kann der Betrag I Ml des Momentes Si durch I M| = p -|F| • cos ß angegeben werden, was sich wegen p = |OP| • sin a noch in der Form I Ml = |OP| • sin a • | Fl • cos ß schreiben läßt. Daraus folgt für die dargestellte getriebliche Anordnung M = [(Ä°xÖ?)- F ] • A° = [ F(Ä° x ÖP) ] • X°.

Nm =

Für die Maßstäbe M^ = 5 und die Momentenkonstante c = 4 cm wird der Momentenmaßstab Mjyj = 1,25

Nm '

Dies ergibt die Bildgrößen Ag =

OPß =

cm,

F

B =

cm und MT

cm.

16. Gegeben sind zwei windschiefe Geraden g^ und g^ durch zwei ihrer Punkte Pj(3; 4; 0) cm und P 2 (-2; - 3 ; 1) cm sowie die zugehörigen Rieh-

I 32 \] cm und -A = II

- j = j tungsvektoren A

2

3 I cm.

1.1 Vektoren

Wie groß ist der Abstand d beider Geraden und wo liegen die Fußpunkte Q j und Qg des gemeinsamen Lotes? Gemäß der Abbildung gilt mit OP^ = r^ und OP 2 = r 2 die Vektorbeziehung r i + p • A j + q • (Aj x Ag) = r 2 + r • A 2 mit den Zahlenwerten p, q* , r G R . Zur Bestimmung der Faktoren p, q und r wird diese Gleichung nacheinander mit A 2 x (Aj x A 2 ), A j x A 2 und A^ x (Aj x A 2 ) skalar multipliziert. Dann ergibt sich der Reihe nach über A x • [ A 2 x (Ax x A 2 ) ] • p = (r 2 - r j ) • [ A 2 x (Ax x A 2 )l (? 2 P=

[ A 2 x (Ax x A 2 )] (A : x A 2 ) 2

(Äj X r 2 ) - q = (r 2 - r^) (Ä^ x Ä^) (r*2 " r^) (Ä*i x Ä*2) q =

(Aj x A 2 )

(FJ - r 2 ) [ A j x (Aj x A 2 ) ] = A 2 • [ A j -x (Aj x A 2 )] • r (r*2 "

x

l

(^1 *

]

x Ä*2) Damit werden Q^2 =

(r^ - r j ) (Ax x A g ) — (Aj * A 2 ) -5 3 0

•7 2 3 198

und

1 -4 -3

^ (Ax x A 2 ) =

i j k 14 3 2 - 4 cm = — ( - 2 i - 3j - 3k) cm 0 3 - 3

d = | Q ^ 2 | = — • V 2 2 c m « 5,970 cm,

19

20

1. Lineare Algebra

OQi

=

198

_

r1

+

-5 0 2

(^2 " ^l) [ ^ 2 x ^ — (Aj x A2

x A

2> J

r

-7 3 3

/

Aj =

\

3

\ 4 cm + 0 /

cm

3 cm = —•

11

13 cm « \ 18 /

und ÓQ2 = r 2 +

(r 2 - r x ) [ A j x (Aj x A g ) ]

^

(Ai x A 2 f

cm Verzichtet man auf die Bereitstellung allgemeiner Formeln, so ergibt die anfangs aufgestellte Vektorbeziehung mit den gegebenen speziellen Werten die Zahlenwertgleichung + P

+ r

+ q

oder 3 + 3p + 6q* = - 2 4 + 2p + 9q* = - 3 + 3r - 4p + 9q* = 1 - 3r. Hieraus errechnet sich p

_9 11

14 17 ^ — , r = — und damit 33 ' 33

wiederum Q}Q2 = q • (Aj x A 2 )

11

cm; OQ2 = r 2 + r • A 2 = - — I 8

21

1.1 Vektoren

Q1

6 n

;

26 n

;

36 TT

und d = QjQ2 =

14

-16 c m

'

Q

2

-6 n"

| c m

r— V 22 cm.

17. Bewegt sich ein Punkt P um eine gestellfeste Achse mit der Winkelgeschwindigkeit w und der Winkelbeschleunigung c?, dann ist bei Wahl des Bezugspunktes 0 auf der Drehachse und ÖP = r* seine Normalbeschleunigung a n = co x ( co x r) und seine Tangentialbeschleunigung a t = a x r*. Man ermittle die Beschleunigung a = a n + a t des Punktes P ( - 0 , 8 ; - 0 , 6 ; 0,5) m in der Abbildung, wenn die Drehachse durch den Vektor / 0,4 \ A = -0,6 m festgelegt ist und ¿> = 2 A° s , a = 3 A° s~ 2 betragen. \

1.2/

Nachdem E n t w i c k l u n g s s a t z für Vektoren kann die gesuchte Beschleunigung auch durch a = ( co r)to - w ^ r + a x r dargestellt werden. 2

Dies führt mit A° = -y

\

^N i


\ | • 1CT3 N und _M «

-8,78/

M „Z '• M F c

= 10

16 1 -10 0

3

\| -10" 3 Nrn.

cm ,, 100 cm , Mn = m B _ V s m" 2

o cm

„ _„„ cm , MFF = 100 r N

f ü r c = 10 cm ergeben sich die Bild-

Nm

großen B

ß

= ^2 j

as

cm,

/

-0,60\

\

0,88/

i , o 4

F

K L b

N,

\ 1,31

Mit den Maßstäben M Z7 = 100

und Mm ivl =

/| 00

I

= "F

M N b

cm und ^M g «

=

1°0

|

l.ßjcm, Fnk

\

\ 1,31 /

cm.

b

= - F

L M ß

»

26

1. Lineare Algebra

1.2 Determinanten und Matrizen

22.

Die Determinante A

soll nach den Elementen der

2. Spalte entwickelt und anschließend ihr Wert berechnet werden. Die Anwendung des L A P L A C E s c h e n die Elemente der 2. Spalte liefert

Entwicklungssatzes

auf

+ 2

+ 4

+ 8

als Summe der mit den zugehörigen Elementen multiplizierten A d j u n k t e n a i k oder K o f a k t o r e n cof ik (A). Diese sind die mit dem Faktor ( - l ) i + k versehenen U n t e r d e t e r m i n a n t e n oder M i n o r e n Aj^ bezüglich der Elemente a ^ der Determinante. Die Werte der entstandenen dreireihigen Unterdeterminanten A21, A22, A23, A 2 4 lassen sich nach der R e g e l v o n S A R R U S bestimmen. So führt das Schema

auf A 2 1 = 3 2 - 8 + 3 - 9 - 7 + 4 - 4 - 5 - 7 - 2 - 4 - 5 - 9 - 3 - 8 - 4 - 3 = 30 und in gleicher Weise auf A 2 2 = - 3 , A 2 3 = 18 und A 2 4 = 33. Damit wird A = 6 • (- 30) + 2 • (- 3) + 4 • (-18) + 8 - 3 3 = 6.

23. A=

Welchen Wert hat die Determinante 4 7 3 5

2 5 2 8

1.2 Determinanten

und Matrizen

27

Zur r a s c h e r e n Berechnung formt man zweckmäßig die Determinante zunächst so um, daß in einer Reihe alle Elemente bis auf eines verschwinden. Die Anwendung des E n t w i c k l u n g s s a t z e s v o n L A P L A C E e r f o r d e r t dann nur noch die Ermittlung des Wertes einer Determinante vom nächstniedrigeren Grad. So liefert etwa -5 -11 3 -1

-4 -7 2 4

0 0 1 0

-4 -23 4 -2

1. Z + 3. Z • (-3) 2. Z + 3. Z • (-6) 4. Z + 3. Z • (-2) 24 51

-

5 11 - 1

4 7 4

Entw. n. d. Elem. d. 3.Sp.

4 23 -2

5 11 - 1

24 51 0

-6 1 0

2. Sp + l . S p • 4 3. Sp + l . S p • (-2)

= -(24 + 306) = - 3 3 0 .

Entw. n. d. Elem. d. 3. Z.

24.

Man berechne den Wert der Determinante 1 6 11 16 21

2 7 12 17 22

3 8 13 18 23

4 9 14 19 24

5 10 15 20 25

2. Zeile - 1. Zeile 3. Zeile - 1 Zeile 1 5 10 16 21

2 5 10 17 22

3 5 10 18 23

4 5 10 19 24

5 5 10 20 25

da die Elemente einer Reihe proportional den entsprechenden Elementen einer dazu parallelen Reihe sind.

28

1. Lineare Algebra

25. Mit Hilfe des G A U S S s c h e n Wert der Determinante

A =

30 20 10 -20 -40

6 -4 3 -4 5

-3 -2 3 -2 4

-

1

-16 2 0 13

Algorithmus

ermittle man den

- 1

0 -3 4 -3

Das Verfahren besteht darin, daß man durch Umformungen die vorgelegte Determinante auf die "Dreiecksform" bringt, in welcher die unterhalb der Hauptdiagonale befindlichen Elemente verschwinden. Tausch 3. Z gegen 1. Z 10 3 20 -2 A - 30 -3 20 -2 40 4

10 0 0 0 0

3 4 -12 -8 16

3 -4 6 -4 5

3 2 -3 - 10 17

2 -16 - 1 0 13

2 4 -7 -20 21

-3 0 -1 4 -3

-

10 0 0 0 0

2. Z + 3. Z + 4. Z + 5. Z +

1. Z • (-2) 1. Z • (-3) 2 1. z 4 1. Z

-3 -2 8 6 -15

10 0 0 0 0

3 -8 -12 4 16

3 4 0 0 0

3 2 3 0 0

2 4 5 -2 -10

-3 -2 2 6 -13

=

10 0 0 0 0

2 -20 -7 4 21

-3 6 8 -2 - 15

Tausch 4. Z gegen 2. Z

3 4 0 0 0

3 2 3 -6 9

2 4 5 -12 5

-3 -2 2 2 -7

4. Z + 3. Z • 2 5. Z + 3. Z •(-3)

3.Z + 2. Z • 3 4.Z + 2. z 2 5. Z + 2. z • (-4) 10 0 0 0 0

3 -10 -3 2 17

3 4 0 0 0

3 2 3 0 0

2 4 5 -2 0

5. Z + 4. Z • (-5) = 1 0 - 4 -3 • (-2) • (-43) = 10 320. Die vorgenommenen Zeilenvertauschungen bringen Rechenvorteile; bei ungünstigeren Zahlen sind derartige Vertauschungen numerisch e r forderlich (vgl. Nr. 26).

-3 -2 2 6 -43

1.2 Determinanten und Matrizen

26.

29

Welchen Wert hat die Determinante 5,13 -2,46 4,30 -8,39 2,96

7,29 6,13 2,50 2,43 8,16

4,16 -3,09 6,13 6,39 -3,10

8,03 6,10 2,60 3,19 4,03

5,32 8,14 -6,02 9,13 2,69

Damit bei Verwendung des G A U S S s c h e n A l g o r i t h m u s auftretende Rundungsfehler möglichst klein bleiben, benutzt man zum Herstellen der "Dreiecksform" jeweils das Element größten Betrages in oder unterhalb der Hauptdiagonalen aus der betreffenden Spalte ( P i v o t - E l e m e n t ) . Zur Kontrolle der laufenden Rechnung durch die Z e i l e n s u m m e n p r o b e wird der Determinante eine Hilfsspalte angefügt, deren (hier in Klammern gesetzte) Elemente die Summenwerte der Elemente der jeweiligen Zeilen sind. Diese Spalte wird wie die anderen Spalten behandelt und bei richtiger Rechnung muß die Summeneigenschaft i h r e r Elemente erhalten bleiben. Bei Rechnung auf vier Dezimalstellen nach dem Komma ergibt sich

Tausch 4. Z gegen 1. Z

A = -

-8,39 -2,46 4,30 5,13 2,96

2,43 6,13 2,50 7,29 8,16

6,39 -3,09 6,13 4,16 -3,10

3,19 6,10 2,60 8,03 4,03

9,13 8,14 -6,02 5,32 2,69

(12,75) (14,82) ( 9,51) (29,93) (14,74)

-2,46 8,39 4,30 3. Z + 1. Z 8,39 5,13 4.Z + l . Z ' 8,39 2,96 5.Z + l . Z 8,39 2. Z + l . Z -

-8,39 0 0 0 0

2,43 5,4175 3,7454 8,7758 9,0173

6,39 -4,9636 9,4050 8,0671 -0,8456

3,19 5,1647 4,2349 9,9805 5,1554

9,13 5,4630 - 1,3407 10,9025 5,9111

(12,75 ) (11,0816) (16,0446) (37,7259) (19,2382)

30

1. Lineare Algebra

Tausch 5. Z gegen 2. Z

+

-8,39 0 0 0 0

2,43 9,0173 3,7454 8,7758 5,4175

(12,75 ) (19,2382) 16,0446) (37,7259) (11,0816)

6,39 - 0,8456 9,4050 8,0671 -4,9636

3,19 5,1554 4,2349 9,9805 5,1647

6,39 -0,8456 9,7562 8,8901 -4,4556

3,19 5,1554 2,0936 4,9632 2,0674

6,39 -0,8456 9,7562 0 0

3,19 5,1554 2,0936 3,0555 3,0235

9,13 5,9111 -3,7959 8,6086 0,1781

(12,75 ) (19,2382) ( 8,0539) (11,6640) ( 3,2017)

6,39 -0,8456 9,7562 0 0

3,19 5,1554 2,0936 3,0555 0

9,13 5,9111 -3,7959 8,6086 -8,3403

(12,75 ) (19,2382) ( 8,0539) (11,6640) (-8,3401)

9,13 5,9111 -1,3407 10,9025 5,4630

3,7454 -9,0173 8,7758 4. Z + 2. Z • -9,0173 5,4175 5 . Z + 2.Z -9,0173

3. Z + 2. Z •

-8,39 0 0 0 0

2,43 9,0173 0 0 0

9,13 5,9111 -3,7959 5,1497 1,9117

(12,75 ) (19,2382) ( 8,0539) (19,0029) (-0,4765)

8,8901 -9,7562 -4,4556 5 . Z + 3. Z • -9,7562

4. Z + 3. Z

-8,39 0 0 0 0

Ki

„ „ 5 Z

+

4 Z

2,43 9,0173 0 0 0

3,0235 "Ti^55

-8,39 0 0 0 0

2,43 9,0173 0 0 0

= ( - 8,39) • 9,0173 • 9,7562 • 3,0555 • (- 8,3403) « 18809,75.

1.2 Determinanten

27.

und Matrizen

31

Für welche Werte der Veränderlichen x £ I nimmt die Determinante x 2 3 x

12 2x 3x 11

7 x 2x 6

-3 - 1 x -3

den Wert 0 an?

1. Zeile - 4. Zeile

A =

1 2x 3x 11

0 2 3 x

1 X

0 -1

X

0

2x 6

X

X

0 2 3

-3

5

X

X

0 - 1

2x 6

-3

1

X

1.Spalte - 3.Spalte Entwicklung nach den Elementen der 1. Zeile 2 3 x

0 x2 + x 5 - 3x

-1 x -3

0 3 + 2x x - 6

- 1 x -3

1. Spalte + 3. Spalte • x 2.Spalte + 3.Spalte - 2 Entwicklung nach den Elementen der 1. Zeile x2 + x 5 - 3x

3+ 2x x - 6

+ (x 2 + x) (6 - x) + (5 - 3 x) (3 + 2 x) = - x 3

+ 7x + 15 = 0.

Die Ermittlung derjenigen Werte von x, f ü r welche die Determinante den Wert 0 annimmt, ist damit zurückgeführt auf die Lösung der algebraischen Gleichung dritten Grades x 3 + x 2 - 7x - 15 = 0. x = 3 I 27 + 9 - 21 - 15 = 0, Xj = 3; Mit dieser Lösung liefert das H O R N E R s c h e 1 3 1 4

1 3

-7 12 5

Schema

-15 15 —

die Gleichung 2 x + 4 x + 5 = 0, woraus X2;3 =

-4 ±

V16 - 20

= - 2 ± i folgt.

Die Menge der gesuchten Werte ist somit 1L= { 3 ; - 2 + i ; - 2 - i } .

32

28.

1. Lineare Algebra

(

2

M 5 1 6 /

und B

+ 2- B

.

Mit den Matrizen A = I . 3 \ 2

bilde man A + B ,

A - B . 3 - A

A + B

A -

3- A

29.

B / 3• 2 + 2 1 = ( 3 • (-3) + 2 - 4 \ 3• 2 + 2 - 6

+ 2- B

3-4+23 \ 3 • 5 + 2 • (-1) 3-6+25 /

/ 8 18 = j - 1 13 \18 28

Man bilde das Produkt C = A • B und D = B • A der Matrizen

A =

und

B =

Die Elemente c ^ von C ergeben sich als 3

Skalarprodukte

c ^ = 2 a j j b ^ der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B , wenn hierbei Zeilen und Spalten als Vektoren angesehen werden. Der praktischen Durchführung dient das folgende Schema: 2 4 -1 15 5

C = A- B =

33 17

Ähnlich ergibt sich über das Schema

2 4 -1

3 2 3

4 2 14 20 2

E s ist A • B m utativ.

3 1 9 14 0 ^

5 3 19 26 4

D = B • A=

14 20 2

9 14 0

19 26 4

B • A ; die Matrizenmultiplikation ist i. allg. nicht k o m •

¡ 2 Determinanten

30.

und Matrizen

33

In der linearen Transformation

z j = 4 Xj + 5

+ 7 Xg

z 2 = 3 Xj - 2 x 2 + 5 Xg sollen mit der linearen Substitution Xj = 6 Uj + 3 u 2 x 2 = 4 Uj - 3 u 2 Xg = 5 Uj + 4 u 2 Zj und z 2 jeweils durch u^ und u 2 ausgedrückt werden. Mit

x

= (3

= i xx 2 ^ , 3

-2

u

b

; ) .

=

4 5

= (

u

2K

-43 )

ist z = A • x und x = B • u, also z = A •( B • u ), was wegen der A s s o • z i a t i v i t ä t der Matrizenmultiplikation auf z = ( A • B )• u führt. » Mit A

31.

r, / 79 B = | „r

25

„

\

• J | wird

In den Matrizen A = ( \

a n a

21

z,1 = 79 u,1 + 25 u29 „,. „ . z 2 = 35 Uj + 35 u 2

a

22 /

)

und B =

\

*

21

l ) "22 /

mit gegebenen a ^ , a j 2 , a 2 i , a 2 2 , b 2 j , b 2 2 £ R, aber a 2 j 0, lassen sich x, y £ R stets so bestimmen, daß A • B = B • A , die Matrizenmultiplikation also k o m m u t a t i v ist. Man weise dies nach und ermittle x, y. Es ist A- B = / a i l X + a i 2 ^ 2 1 I a21x + a22b2i B A

anx

+ a21y

a

+

b

ll 21

a

b

21 22

ailY

+ a 1 2 ^ 2 2 \ und a21y + a22b22 I

a12x a

b

12 21

+ a22y +

a

22 b 22

A • B = B • A erfordert die Gleichheit entsprechender Elemente beider P r o duktmatrizen, also a n x + a12b21 = a n x

+ a21y

a n y + a12b22 = a ^ x

+ a22y

34

1. Lineare Algebra

a

21x

+ a

22b21 "

a

llb21

+

a

21 b 22

a

21y

+

22b22

a

12b21

+

a

22b22 '

a

=

In diesem Gleichungssystem für x und y sind die 1. und die 4. Gleichung a

identisch; sie liefern y = a

x =

llb21

+

12b21 a

21 a 21 b 22 ~ a 22 b 21 a

. Aus der 3. Gleichung folgt . Wie man sich durch Einsetzen ü b e r -

21

zeugt, befriedigen diese Werte für x und y aber auch die 2. Gleichung. Für das Zahlenbeispiel

x = 6: y = 10

32.

A

= ^4

die Matrix AB =

^ j '

B

=

/ 58

50 \

MO

48 '

( 8

4)

ergibt sich

= BA.

Man berechne A • B , A • C, A - D mit 1 2 4

A =

2 5 9

D =

21 -52 4

3

, B

- 10 27 -2

10 -26 3

18 25 61

8 -11 5

/ 10

A • B = I 17 \ 37

Somit ergibt sich / 2 A•D = I 5 \ 9

\

1 7/

1

und ermittle det A . 18 25 61

8 -11 5

A- B = A • C, obwohl B ^# C ist! ist! 3

2

\ 1 I =A .

4

7 /

Man erhält A • D = A , obwohl

D

als E i n h e i t s m a t r i x ist ! Wegen det A =

10 17 37

A. C =

0

heißt

E

mit E =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

mit

1.2 Determinanten

und Matrizen

35

die Matrix A s i n g u l ä r ; in diesem Fall können die vorher angeführten Besonderheiten auftreten.

33.

E s sollen die Matrizenprodukte A • B und C • Dmit 9 3 15

6 2

,

B =

10/

16 -13 -3 5

und D

/

\

8 -2 \-l

7 3 -8

-5 -3 7

4 3

5 4

3 7

2 5

-5\ 4 ' | gebildet werden. 2 j - 3 /

E s ergibt sich A - B= O und C • D = O , obwohl keine der Faktorenmatrizen eine Nullmatrix ist; A , B bzw. C , D heißen N u l l t e i l e r . Dies wurde im Falle A - B = O dadurch möglich, daß 3 1 5

det A

9 3 15

6 2 10

= 0, die Matrix A somit s i n g u l ä r

ist.

Die Nullteiler C , D konnten auftreten, weil die aus den Spalten von C gebildeten Vektoren linear abhängig sind. Die Vektorengleichung X

l-(5)

+

X

2 (J ) +

X

3 (? )

+

X

4'( | )

= (5)

ist nämlich mit

nicht sämtlich verschwindenden X j , X 2 , X 3, X 4 £ IR erfüllbar, weil sich das äquivalente lineare Gleichungssystem

4 wegen

4

+ 5 X2 + 3 X3 + 2 X 4 = 0

3

+ 4 X2 + 7 X3 + 5 X4 = 0 51 4)

, t 0

auflösen läßt. Beispiel: Xg = 1.

m i t frei

gewählten ( X g . X^ )

(0;0) nach X j ,

X 4 = 0 liefert X j = 23; X 2 = "

19

-

34.

Man berechne das Produkt A B der quadratischen Matrizen

A =

I 6 I 7 \ 13

4 5 9

5 \ / 9 3 J , B = I 6 11/ \2

3 4 0

2

5\ 2 1 und ermittle mit Hilfe des 2/

M u l t i p l i k a t i o n s s a t z e s det(AB) = det A • det B den Produktwert W ihrer Determinanten.

für Determinanten

36

1. Lineare Algebra

Das Multiplikationsschema

6 7 13

4 5 9

9 6 2 88 99 193

5 3 11

5 2 2 48 51 105

3 4 0 34 41 75

/ 88 liefert A • B = I 99 \ 193

34 41 75

48 51 105

Damit folgt W = det ( A B ) =

88 99 193

34 41 75

48 51 105

88 11 17

=

34 7 7

48 3 9

2. Z + 1. Z • (- 1) 3. Z + 1. Z • ( - 2 ) 88 11 6

34 7 0

48 3 6

=

40 8 0

34 7 0

3. Z + 2. Z • (- 1)

48 3 6

l . S p + 3. Sp • (-1) Kontrolle: det A = 6, det B = 8. 35. Mit Hilfe von A d j u n k t e n bilde man die K e h r m a t r i x r e g u l ä r e n Matrix / 2 4 -2 \ A = I 2 2 5 J. \ 6 12 -1 / 1

Es ist

=

1 |/ « 1 1 Ä ' 1 « 12 V 01 13

«21 «22 «23

woraus mit det A = -20 und 2 5 2 = - 6 2 , «12 = " «11 = 12 - 1 6 4 «21 = " 12

-2 = -20, -1

4 2

24,

«31 = . -1 A

-2 5 = 62 1 /" 32 ^20 ' \ 12

«22 =

2 6

2 «32 = " 2 -20 24 \ 10 -14 = 0 -4 /

A

1

der

«31 «32 «33 5 -1 =

32

-2 -1

10

2

'

«13

12

>

«23

12

-2 14 5 = " '

«33

=

/ 3,1 [ -1,6 \ - 0,6

4 4

1 -0,5 0

2

folgt.

= 12, =

0,

= -4

1.2 Determinanten

36.

A =

Man ermittle die Kehrmatrix 11,6 2,9 8,1 11,8

21,2 5,3 9,8 15,1

Mit

ßll ß 21 ß31 0 41

28,9 9,3 8,2 18,7

012 ß 22 ß 32 042

der Matrix

35,1 \ 10,9 \ 9,3 22,9 /

unter Verwendung des GAUSS sehen Algorithmus.

0 14 \ ß24 \ ß 34 1 044 /

ßl3 ß23 ß 33 043

als Einheitsmatrix liefert A • A"* = E systeme 21,2 5,3

Pik ßlk

+

11,6

02k + 28,9

+

2,9

+

9,3

02k

9,8

ßlk +

8,1

+

8,2

15,1

+

11,8

+

18,7

01k

02k

und Matrizen

und

E

die vier linearen Gleichungs-

03k + 35,1 03k + 10,9

04k =

5

lk

04k =

5

2k

03k

+

9,3

04k =

5

3k

03k

+

22,9

04k =

6

4k

0, falls i # k 5 von A * mit i k = 1, falls i = k (KRONECKERsches Symbol).

f ü r die Elemente

Zu deren Auflösung wird die ihnen gemeinsame Koeffizientenmatrix A in eine obere D r e i e c k s m a t r i x übergeführt. Als erweiterte Koeffizientenmatrix verwendet man hierbei die durch Anfügen von E an die rechte Seite von A entstehende Matrix. E s ergibt sich bei Rundung auf drei Stellen nach dem Komma der Reihe nach 21,2 5,3 9,8 15,1

11,6 2,9 8,1 11,8

2. 21,2 0 0 0

11,6 0 2, 738 3, 538

28,9 9,3 8,2 18, 7

0 1 0 0

1 0 0 0

35,1 10,9 9,3 22,9

,

-9,8 3. Z+l. Z • 21,2

28,9 2,075 -5,159 -1,884

35,1 2,125 -6,925 -2,100

4

'

1 -0,250 -0,462 -0,712

Tausch 4. Z gegen 2. Z wegen Pivotisierung

0 0 1 0

Z+l. z • 0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1 -15,1 21,2 0 0 0 1

37

38

1. Lineare Algebra

21,2 0 0 0

11,6 3, 538 2,738 0

28,9 -1,884 -5,159 2,075

3. Z + 2 . Z .

1 -0,712 -0,462 -0,250

0 0 0 1

0 0 1 0

35,1 -2,100 -5,300 2,125

1 -0,712 0, 089 -0,250

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 -0,774 0

35,1 -2,100 -5,300 -0,846

1 -0,712 0,089 -0,200

0 0 0 1

0 0 1 0, 561

0 1 - 0 , 774 -0,434

0 1 0 0

,738 ,538

11,6 3,538 0 0

21,2 0 0 0 4.

3

35,1 -2,100 -6,925 2,125

28,9 -1,884 -3,701 2,075 2,075

z+3 - z -t^r

21,2 0 0 0

11,6 3, 538 0 0

28,9 -1,884 -3,701 0

Hieraus ersieht man, daß z . B . das erste Gleichungssystem für k = 1 übergeführt wird in 21,2

ß n + 11,600 3, 538

021

+

h l

-

mit der Lösung ßn

28,900

0 3 1 + 35,100

1,884

ß31 -

2,100

3,701

ß31 -

5,300

-

0,846

ß^ » 0,236,

ß 3 1 •» -0,362,

h l

=

1

= -0,712 041 041

=

0,089

= -0,200

ß, -0,254, 21 ~

* 0,289.

Insgesamt ergibt sich

A

-1 _

/ / 1 \

0,289 -0,254 -0,362 0,236

-0,460 0,200 1,693 -1,182

0,190 -0,032 0,679 -0,663

-0,300 \ 0,307 ] -0,526 I ' 0, 513 /

37. E s ist die Kehrmatrix der in der vorherigen Aufgabe v e r wendeten Matrix A mit Hilfe des GAUSS-JORDANschen A l g o r i t h m u s zu bestimmen. Hierbei wird von den gleichen Überlegungen wie in Nr. 36 ausgegangen, jedoch zur Auflösung der entstehenden vier linearen Gleichungssyste-

1.2 Determinanten

und Matrizen

m e die g e m e i n s a m e Koeffizientenmatrix A in eine D i a g o n a l m a t r i x umgeformt. Dadurch ändert sich nach dem dort vorgenommenen Tausch d e r 4. Zeile gegen die 2. Zeile der Rechnungsgang wie folgt: 1. Z+2. Z • 21,2 0 0 0

0 3, 538 0 0

1. Z+3. Z • 21,2 0 0 0

'

35,077 -1,884 -3,701 2,075 35,077 3,701

0 3, 538 0 0

1 Z+4. Z • 21,2 0 0 0

-11,6 3,538

-2,738 3, 538

41,985 -2, 100 -5,300 2,125

3,334 -0,712 0,089 -0,250

'

0 0 -3, 701 0 -8,247 0,846

0 3,358 0 0

3.Z+2.Z

3, 701 -8,247 0, 598 -5,300 -0,846

'

0 0 -3,701 0

4,178 -0, 757 0,089 -0,200

„ „ „ 0,598 2. Z+4. Z- —'—r0, 846 0 0 0 -0, 846

6,128 -0,898 1,342 -0,200

0 0 0 1

0 0 1 0

J

4. Z+3. Z•

0 0 0 1

-3,279 1 -0,774 0

9,478 -0,509 1 0,561

-10,615 1,394 -0,774 -0,434

>

-9,748 0,707 -6, 265 1

1'™ 3, 701

0, 846 4,009 -0,112 -2,515 0,561

-6,384 1,087 1,945 -0,434

In den sich h i e r a u s ganz ähnlich wie in Nr. 36 ergebenden 4 Gleichungssystemen f ü r die ß i k enthält jede Einzelgleichung nur noch e i n e Unbekannte. Daher ergeben sich die ß i k jetzt unmittelbar durch Division und man bekommt bei Rundung auf d r e i Stellen nach dem Komma

-1

0,289 -0,254 -0, 363 0,236

-0,460 0,200 1,693 -1,182

0,189 -0,032 0,680 -0,663

Die unterstrichenen Endziffern weichen von dem in Nr. 36 erhaltenen Ergebnis wegen unterschiedlicher Rundungen ab. F ü r die p r a k t i s c h e Auswertung ist folgende Vorgehens weise zweckmäßig: Die vorgelegte Matrix A = ( a ^ ) wird in eine Diagonalmatrix Ä = ( ä ^ ) mit ä ^ = 0 f ü r i k umgeformt und jeder e r f o r d e r l i c h e Schritt in gleicher Reihenfolge auf die zugehörige E i n h e i t s m a t r i x E = ( e ^ ) ausgeübt, die hierbei in die Matrix E = ( e ^ ) übergeht. Die Elemente

39

40

1. Lineare Algebra

von A lärera

38.

1

A

i k

ergeben sich dann zu stets ä ^

= — , weil bei r e g u aii

0 erreicht werden kann.

Man bestimme den Rang r ( B ) der Matrix 10 7 12 3 11

-101 -97 21 -8 -108

-49 -76 105 13 -51

54 59 45 10 60

-62 -71 12 -3 -67

Durch elementare Umformungen läßt sich erreichen, daß sämtliche Elemente unterhalb der Hauptdiagonale verschwinden, während in der von links oben nach rechts unten durchlaufenen Hauptdiagonale nach einer Anzahl von 0 verschiedener Elemente nur noch Nullen folgen. Zunächst ist es zweckmäßig etwa durch 1. Z + 5. Z • ( - 1) das P i v o t e l e m e n t a n = - 1 zu erreichen. 3. Z : 3 verkleinert die Zahlenwerte. -1 7 4 3 11

7 -97 7 -8 - 108

2 -76 35 13 -51

2. Z + 1. Z • 7 3.Z+ l.Z 4 -1 0 0 0 0

5 -36 24 12 - 12

2 -62 43 19 -29

-6 59 15 10 60

5

\

-71 \ 4

1

/

3

-67 /

-

f

/-1 j 0 0

!i

\

0 0 0 0

5 12 0 0 0

2 19 5 -5 -10

4. Z + 3. Z • 1

0

-6 17 -9 -8 -6

7

\

- 4 8 \I 35 13 i -31 /

-6 -8 7 -7 -14

7

\

13 \ 9 "

9

-18

/-1

jf

!

\

0

0 0

0

5 12 24 -36 -12

2 19 43 -62 -29

3. Z + 2. Z • ( - 2 ) 4. Z + 2. Z • 3

(

j

Z"

1

0

1 ~1 0 l / yo

5. Z + 3. Z - 2

2 -62 43 19 -29

-6 17 -9 -8 -6

5 -36 24 12 -12

Tausch 5.Sp gegen 2.Sp

4. Z + 1. Z • 3 5. Z + 1. Z • 11

Tausch 4. Z gegen 2. Z -1

0

7 -48 35 13 -31

0

5 12 0 0 0

2 19 5 0 0

-6 -8 -9 17 -6

7 13 35 -48 -31

5. Z + 2. Z • 1

-6 -8 7 0 0

7 13 9 0 0

1.2 Determinanten und Matrizen

41

Hierdurch ist eine zu B ranggleiche Matrix mit der anfangs erklärten Form entstanden. Mit den Elementen der linken oberen Ecke erhält man die drei 1 5 2 reihige Determinante 19 (- 1) • 12 • 5 = - 60 0. 12 0 5 Da jede andere Determinante mit mehr als 3 Reihen, die sich aus der Matrix herausgreifen läßt, verschwindet, ist r(B ) = 3.

39.

Die lineare Transformation

/1 I 0 \ 0

2 4 0

3\

/Xl\ I " I x2 I 6/ \x3/

5

=

/ Yi\ I y2 I \y3 /

ist umzukehren.

11

A = I 0 \0

2

4 0

3

\ 5 6 /

mit det A = 24 . Die Adjunkten der Determinante sind

«11 = 24> a 2 1 = - 1 2 ' «31 = - 2 ' a 6 «12 = 22 = - a 32 = " 5 a a 13 = 23 = " 3 3 = 4" Die inverse Matrix ist demnach 11 12 13

a

21 «22 a 23

a a a

31 \ 32 33

1 24"

/ 24 \ 0°

-12 6 0

-2 -5 4

Damit ergibt sich

40. Für die Koordinaten x, y bzw. x' , y' eines Punktes P in bezug auf 2 gegeneinander um den Winkel a gemäß der Abbildung gedrehte kartesische Koordinatensysteme besteht der Zusammenhang

42

1. Lineare Algebra

Es sollen x1 und y' in expliziter Abhängigkeit von x und y dargestellt werden. / x \ / cos a - sin a \ / x' \ \ y ) \ sin a c o s a } \y'/ ' (X'\= V * Jy' ' /

l . f c°8« 1\ - s i n a 2/v -L ein. 2 /v nnc cos a + sin a

s i n a

).(M c o s 'a / \ y' /

oder

x' = x • cos a + y • sin a y' = - x • sin a + y • cos a

41. In dem abgebildeten Stromteiler bestehen zwischen den Spannungen U j , U2 und U3 sowie den Stromstärken I j , I2 und Ig die Beziehungen Ü! = ü 2 , Ii

. und

= R

r 2 • i3 + u3,

U„

U, + I ,

V

Es sind Spannung U 3 und Stromstärke Ig am Ausgang in Abhängigkeit von Spannung U j und Stromstärke auf der Eingangsseite,sowie von den Ohmschen Widerständen R j und R 2 anzugeben. Durch Elimination von U 2 und I 2 ergibt sich U

1 = u3

+

V

l

3

I "i

o—

Ii1 = "TT • U-3 + I 1 + — -I« R R 1 \ 1 / 3 oder in Matrizenschreibweise R

5 1+

Mit Hilie der i n v e r s e n

R.

Matrix 1 +

folgt unmittelbar U„

R 1 +

R

\

2

1 1

-

\ R n 1 / U, 1

.(\

/

1

/ V1!

R,

R.

Rl 1 R,

1

-CD-

Uz

I

Us i

—o

- R„

1.2 Determinanten

und Matrizen

43

R

A

I

oder U, = ( 1 + — I • ü j - R 2 R

R ^ l

+

,

V

42. Die dargestellte elektrische Anordnung setzt sich aus zwei hintereinander geschalteten gleichartigen V i e r p o l e n mit den Ohmschen Widerständen R u , R 1 2 , R13 bzw. R 2 1 , R 2 2 , R 2 3 zusammen.

Für i = 1,2 besteht zwischen Eingangsspannung U e j und Eingangsstromstärke I e j sowie den entsprechenden Größen U a j und I a j am Ausgang jedes der beiden Vierpole der Zusammenhang ( j ^ ei R i2 + R i 3 r.2 A

ii =

R I\ nR j j +, 3 R n i2 + i3

R p

i l +, Rp i 2 I

= A •( J mit ' ai '

als K e t t e n m a t r i x .

R

R ilRi3 il Man gebe Spannung und Stromstärke am Ausgang in Abhängigkeit von den zugeordneten Eingangsgrößen für die Gesamtanordnung an, wenn R j j = 5 £1 , R 1 2 = 4 fi , R 1 3 = 2 n , R 2 1 = 3 i i , R 2 2 = 9 n und R 2 3 = 6 i2 sind.

Es

4 n + 2 £1 mit A •

2S1

+ 4 fl + 5i2 • 2 n

4 n 5R + 5 n

4J2 1 i,i

n

1.8 j

44

1. Lineare Algebra

+

v

en und

A 2

=

\

+ 9n + en

Hieraus folgt über

= A-

/u

43.

«J

\

( J7®1) =

mit A =

"

9

+ 9fl )

A

l"

Aj- A 2 .

Die Transformation

eher die Spaltenmatrizen

\

(

A

/ 2,5 \ 1 n

=

2' ( i " * 2 ) )

f11,5

n

= A-

und

det werden sollen, ordnet jedem Vektor

_1

9n\

= (

4 3 i7

mit A

:

A

4

/

i " A2) - (

" \ j

i

•

^

die Beziehung

-6

8

, in wei-

auch als Vektoren im R2 gedeu-

einen Vektor

Man weise nach, daß diese Zuordnung umkehrbar eindeutig ist und gebe die entsprechende Umkehrtransformation an. Welche speziellen, von schiedenen Vektoren ( E i g e n v e k t o r e n ) gehen in k o l l i n e a r e r e n über ?

0) Vekto-

Wegen det A = - 6

0 ist die Transformation eindeutig umkehrbar und 5 -8 = A mit A " 1 = - 6 3 -6

zwar ist

und

Kollinearität von

= X

erfordert

mit X G IR,

Î ) also X Xx = Xy =

A •I - 6x + 8y - 3x + 5y

] , was in ausführlicher Schreibweise

oder

( - 6 - X) x + 8y = 0 - 3x + (5 - X ) y = 0

liefert.

45

1.2 Determinanten und Matrizen

Dieses homogen lineare Gleichungssystem hat aber dann und nur dann auch von x = y = 0 verschiedene Lösungen, falls 6 - X 8 D = , = 0 ist, also der quadratischen Gleichung (c h a - 3 5 - a o r a k t e r i s t i s c h e n G l e i c h u n g der Matrix) X + X - 6 = 0 mit den Lösungen ( E i g e n w e r t e n der Matrix) X^ = 2 und Xg = - 3 genügt. Für

X ^ = 2 ergibt sich das verträgliche Gleichungssystem - 8 x + 8y = 0 - 3 x + 3y = 0

mit der Lösungsmenge L^ =

{ ( x ; y ) | x = y A y G R } . Jeder zu

= Q j

kollineare Vektor ist also Eigenvektor, der wegen X 1 = 2 in einen gleichorientierten Vektor r'^ vom 2-fachen Betrag übergeht. Ähnlich ergibt sich für X 2 = - 3 das Gleichungssystem - 3 x + 8y = 0 - 3 x + 8y = 0 mit der Lösungsmenge Lg =

8

{(x;y) | x = y y A y £ ß ) .

/ 8\

Jeder zu r^ = I

kollineare Vektor ist Eigenvektor und geht wegen X g = - 3 in einen umgekehrt orientierten Vektor T^ vom 3-fachen Betrag über.

44. Jedem Körper kann bezüglich eines mit ihm fest verbundenen k a r t e s i schen Koordinatensystems eine dreireihige symmetrische Matrix A als

(

cosa \

cos ß I EinheitsC0S7 / vektor einer durch den Nullpunkt des Systems verlaufenden Achse, sind also cos a , cos ß , cos 7 deren Richtungskosinusse, so ist das T r ä g h e i t s m o m e n t J hinsichtlich dieser Achse durch J = e ^ - A - e gegeben, cos ot \

(

cos ß I die mit e formgleiche Spaltenmatrix und e T die cos 7 / transponierte Matrix von e bezeichnet 3m abgebildeten 1 9 .geraden 9 Für den homogenen Doppelkreiskegel von Radius r , A = — I 00 rr ++ 44 hh O l . Man ermittle das T r ä g Höhe 2h und Masse m ist in dem gewählten Koordinatensystem 2 2 00 \ r 0+ 4 h 20r 2 \/ heitsmoment J bezüglich einer Mantellinie des Doppelkegels.

I

46

1. Lineare Algebra

Aus Symmetriegründen kann als Mantellinie diejenige mit dem Einheits. / ° \ kt vektor

e =

— - • v ^ n ^

r

\hI

verwendet werden. Damit ergibt sich pT _

(0;r;h) und 3m

•T A

20 V r

2

. (0;r(r 2 + 4 h 2 ); 2r 2 h), + h

2

was schließlich auf J = eT

3m

.Ae

20(r

2

• [ r 2 ( r 2 + 4 h2) + 2 r 2 h 2 ] = 2

+ h j

2

3m- r . (r 2 + 6h2)

führt.

2 0 - ( r 2 + h2)

1.3 Lineare Gleichungssysteme

45. Gegeben ist das inhomogene lineare Gleichungssystem von drei Gleichungen f ü r drei Unbekannte x + y + z = 12 . . . 1) 4x - 5y - 2z = - 18 . . . 2) x - y + 2z = 9 . . . 3) 3

f ü r die Grundmenge

= cj X j + c2 * 2

X

+

3

=

I

c

3

x

n 0

I

und die

3 ^ c l> c 2 ' c 3

Lösungsmenge

e

R

}

des

Gleichungs-

Die Forderung x^ = Xg = Xg = 1 für x führt auf die 3 Bedingungsgleichungen -2 c j + 3 c2

=1

2 Cj - 7 c 2 + 5 Cg = 1 Ci

= 1

64

1. Lineare Algebra

mit der Lösungsmenge {(c^; c 2 ; Cg) | Cj = c 2 = 1; Cg = 1,2 } . Daher ist

58. Für welche E i g e n w e r t e X GR hat das folgende homogene lineare Gleichungssystem in der Grundmenge (G = R^ nicht nur triviale Lösungsvektoren? Für jeden dieser Eigenwerte ermittle man die Lösungsmenge L ^ des Systems. (4 - X ) Xj +

3 x2 +

Xg = 0

- 2 x j + (1 - X ) x 2 +

9 Xg = 0

2xj +

3 x 2 + (3 - X ) x 3 = 0

Sollen nichttriviale Lösungsvektoren auftreten, muß die KoeffizientenmaI 4 - X 3 1 \ 1- X 9 I einen Rang r( A ) < 3 aufweisen, trix A = I - 2 \ 2 3 3- X/ also det A = 0 sein. Mit d e t A = - X 3 + 8 X 2 + 4X - 3 2 kommt man nach Multiplikation mit (-1) auf die c h a r a k t e r i s t i s c h e G l e i c h u n g X^ - 6 X^ - 4 X + 3 2 = 0, in welcher die Lösung Xj = 2 leicht zu e r kennen ist. Das H O R N E R s c h e S c h e m a liefert dann 1 - 8 2 1

2 -6

also X ^ - 6 X

-4 -12 -16

32 -32 — ,

- 1 6 = 0 mit den Lösungen X 2 = - 2 und X g = 8.

Die sich ergebenden drei homogenen linearen Gleichungssysteme können nun wie in den vorangehenden Beispielen behandelt werden; ihre Koeffizientenmatrizen sind

1.3 Lineare

65

Gleichungssysteme

Nachdem es sich um nur dreireihige Matrizen handelt, kommt man aber schneller zum Ziel, wenn man überprüft, ob sich aus der 2. und 3. Zeile einer jeder dieser Matrizen jeweils mindestens eine von 0 verschiedene zweireihige Determinante herausgreifen läßt, der Rang dieser Matrizen demnach 2 ist. Da dies zutrifft, besteht das Fundamentalsystem jedes der drei Gleichungssysteme aus nur einem beliebigen nichttrivialen Lösungsvektor; alle anderen Lösungsvektoren hängen von diesem Lösungsvektor linear ab. Als Komponenten eines derartigen Vektors können aber nach dem A d j u n k t e n s a t z der Determinantenlehre die Adjunkten der ersten Zeilen der Determinanten dieser Matrizen verwendet werden. Daher e r geben sich die folgenden Lösungsmengen:

•28 \ Für

X, =

2

tL

/- 1 2

fürX

für

2

= -2

X3 =

L

|

20 I ' k j A k j 6 R | ,

28

X 2

j •k

2

A k2

e R | und

kg A kg £ IR

'X, =

59. Welche Länge x muß ein Kupferstab mit kreisförmigem Querschnitt vom Durchmesser 2 a besitzen, damit aus ihm eine Niete gemäß der Zeichnung mit den angegebenen Abmessungen geformt werden kann? H = 15 mm, R = 10 mm,

h = 10 mm, 2 a = 5 mm.

Wegen der Volumengleichheit der beiden Körper kann die gesuchte Länge x durch die Gleichung a 2 n x = a 2 ir h + +

2a-

3--E3-

- h ) 2 ( 3 r - H + h)

erfaßt werden. Unter Verwendung der weiteren Beziehung = R 2 + (r

H + h r oder

R 2 + H2 + h 2 2(H - h)

2 Hh

für den Kugelradius

11

66

1. Lineare Algebra

H

findet man x = h +

"? h 6a

(3 R 2 + H 2 + h 2 - 2Hh).

160 F ü r die angegebenen Zahlenwerte wird x = —— mm ~ 53,3 mm. o

60. Eine Legierung besteht aus 2 festen, wasserunlöslichen Stoffen A und B mit den Dichten P A und p g . Die skalaren Werte der Gewichtskräfte des Körpers betragen in Luft G' und in Wasser G". Wieviel von jedem Stoff ist in der Legierung enthalten? Unter Vernachlässigung des Auftriebs in Luft folgt f ü r die Gewichtskräfte Ga

+

G b = G'

und für die Volumina G

°A PA'

s

B

G' - G"

PB- g

P •g

Hierbei bedeuten G A und Gg die skalaren Werte der Gewichtskräfte der Stoffe A und B, p die Dichte des W a s s e r s und g den skalaren Wert der Erdbeschleunigung. Die Elimination von G g = G' - G A führt über Ga

G' - G a

G' - G"

PA

PB

P

auf °A=

P

,

P

;

A

PA)

"G'

PA)

[(G»-G').pA

-G»)-PB-G'P].

Damit wird G

B=

P,(PB

PB

-

+

G.].

61. Ein Flußdampfer benötigt bei konstanter Geschwindigkeit zwischen zwei Anlegestellen in der Entfernung s f ü r die Bergfahrt die Zeit t j und f ü r die Talfahrt die Zeit t2- Wie groß sind die skalaren Werte v^ und V2 der relativen Geschwindigkeit v^ des Dampfers gegenüber der Strömung und der Strömungsgeschwindigkeit V2?

1.3 Lineare

Es gilt für die Bergfahrt

(vj - v 2 ) t j = s

. . . 1)

und für die Talfahrt

(v 1 + v 2 ) t 2 = s

. . . 2).

1 ) - t 2 + 2)- t x

Gleichungssysteme

67

2 v 1 t 1 t 2 = s f t j + t2) s(t V

2) • t j - 1) • tg

1 =

l

+

V

2tlt2

'

2 v 2 t l t 2 = s(t 2 - t 2 ) s ( t l - t2) V«, = 2 "

"1*2

62. Man berechne die Einzelströme I-. I 5 in d e r W H E A T S T O N E s e h e n B r ü c k e n s c h a l t u n g gemäß der Abbildung. Knotenbedingungen: All, B|I2

I

+

-QU

+ I

3 4 I3 = I5

Tf>

^ J0L

MV

Maschenbedingungen: I I 4i2 - I j + 2 i2 • Ig - 5 n - i 2 II I 9 i2 • I 4 -12 m| 5 n

A

S2 •

9S

12S

0

I 5 - 2 S2 • Ig 0 50 V

i 2 +12 n • i 5

Diese Ansätze ergeben für die Berechnung der Einzelströme nachfolgendes inhomogenes Gleichungssystem von 5 linearen Gleichungen für 5 Unbekannte: I1

T T

2

= 0

3 "

I5= 0

+

= 0

4 Ii " 5 I 2 + 2 Ig

2 Ig + 9 I 4 - 12 I 5 = 0 5 I,

+ 12 I,:

50 A

68

1. Lineare Algebra

B e i Verwendung des Gaußschen Algorithmus ergibt sich aus 0

-

1

-

1

0

0

4 0 0

-5 0 5

2 -2 0

0 9 0

0 -12 12

0 0 50 A

1 0 0 0 0

0 1 -5 0 5

-1 1 6 -2 0

- 1 0 4 9 0

0 -1 0 -12 12

0 0 0 0 50 A

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

-1 1 11 -2 -5

- 1 0 4 9 0

0 -1 -5 - 12 17

0 0 0 0 50 A

1 0 0

0 1 0

-1 1 11

0

0

0

0

0

0 -1 -5 142 " 11 162 11

0 0 0

0

- 1 0 4 107 11 20 11

1 0 0

0 1 0

-1 1 11

0

0

0

- 1 0 4 107 11

0

0

0

0 -1 -5 142 11 1834 107

3 . Z + l . Z - (-4)

0

50 • 107 Somit ist I 5 = — 1 8 3 4

3. Z + 2. Z • 5 5. Z + 2. Z • ( - 5)

2 4 . Z + 3.Z- — 5. Z + 3. Z •

0 50 A 0 0 0

5. Z + 4. Z •

\

0 50 A

A % 2,917 A,

womit der Reihe nach _ 50 • 142 4 - 1834 50 - 3 T 3 = " 1834~

X

^ A

A

3,871 A

'

" °'°82

A

l

'

2 =

50 • 110 1834 50 • 139 1834

^ A

~

2

'9"

A

A

*

3,790 A

' iolgen

"

(

.

—

)

107 /

1.3 Lineare

Gleichungssysteme

69

63. Eine Messung der Stromstärke I in Abhängigkeit von der Zeit t ergab folgende Tabelle: t_

s I mA

0

1

2

3

4

5

0

6

4

3

4

10

Welche Werte müssen die Koeffizienten der ganzrationalen Funktion 5. Grades

= a5 (T) +a4(l) + a3 (i) + +

a

+ a

2 (~s~)

+ a

l 7

0

annehmen, damit deren Graph in einem rechtwinkligen t-I-Koordinatensystem durch die der Wertetabelle zugeordneten Punkte PQ bis Pg verläuft? Die Koordinaten der 6 Punkte müssen die vorgelegte Funktion erfüllen, was f ü r die 6 Koeffizienten a 5 bis a 0 die 6 Bedingungsgleichungen l i e f e r t : 0 = a0 Pl(l;6)

6 = a 5 + a4 + a3 + a2 +

P 2 (2;4)

4 = 32 a 5 + 16 a 4 +

P 3 (3;3)

1 :2

2 + 3ax

1 :S

5 + 4 a 4 + 44 a 3 + 4 a 2 + 4a^ A 10 = 5 »5 + 5 a 4 + 5 3 a 3 + 5 2 a 2 + 5a^

1 :4

4 =

P 5 (5;10)

l 4a2 + 2aj

3 = 3

P 4 (4;4)

a

5

a

+

5

8a3 +

4

3

4

3

3 a4 + 3 a3 + 3

45 a

2a 2

5

Hieraus folgt a

5

+

a

4

+

a

3

+

a2 + a2 = 6

. . • 1)

16a5 +

8a4 +

4ag + 2a2 + ax = 2

. 2)

81 a 5 +

27 a 4 +

9 a 3 + 3 a 2 + ax = 1

• 3)

256a5 +

64 a 4 + 1 6 a 3 + 4 a 2 +

1

• 4)

625 a 5 + 125 a 4 + 25 a 3 + 5 a 2 + a 2 = 2

• 5)

a j

=

1:5

70

1. Lineare Algebra

2) - 1)

15 a 5 +

7a4 +

3a 3

+

2

=

-

4

3) - 1)

80 a 5 +

26 a 4 +

8a 3

+ 2a

2

=

-

5

4) - 1)

255a 5 +

63 a 4 + 15 a g

+ 3a

=

-

5

+

2 4a2

5) - 1)

624 a 5 + 124 a 4 + 24 a 3

=

-

4

a

a2 = - 4

6)

8 a 3 + 2ag = - 5

7)

255a c + 63 a . + 15a 3 + 3 a 2 = - 5 0 4 6a3 + a2 = - 1 31 a 156a 5 + 4 +

8)

15a 5 +

7a4 +

80 a 5 + 26 a 4 +

7) - 6) • 2

3ag +

9)

50 a 5 + 12 a 4 + 2 a 3 = 3 6a 3 = 7

8) - 6)• 3

210a 5 + 42 a 4

9) - 6)

141 a_ + 24 a . + 3a 3 = 3 D 4

+

1:3

50 a 5 + 12 a . + 2a 3 = 3 4 210 a 5 + 42 a 4 + 6a 3 = 7

. . . 10)

3 = 1

. . . 12)

47 a c + 0

8a4

+

a

. . . 11)

10) - 12) • 2

-44a5

4a4 = 1

.. 13)

11) - 12) 6

-72a5

6a4 = 1

. . 14)

13)- 3 - 14) -2 aus 14) aus 1)

12a 5 = 1 ,

7 a4 = - — ;

aus 12)

a5 = ^ ag =

; 77 — ;

aus 9)

49 ag = - — ;

a^ = 17.

Vgl. auch die Beispiele Nr. 77 und Nr. 78 zu den Interpolationsformeln von L A G R A N G E u n d N E W T O N .

64. In n = 5 Versuchen wurden jeweils 2 Größen x^; y. (i = 1, 2, . . . , n) gemessen, die sich als kartesische Koordinaten von Punkten Pj(xj; y^) deuten lassen. Gesucht ist die R e g r e s s i o n s g l e i c h u n g y = a x + b jener Gerade g, die nach der GAUSS s e h e n M e t h o d e d e r k l e i n s t e n Q u a d r a t e so gelegt werden soll, daß

1.3 Lineare

U

Gleichungssysteme

71

I dd^ ? mit dj = yj - (a • Xj + b) den kleinstmöglichen Wert annimmt. 2-i

=

Nach den Regeln der Differentialrechnung führt diese Forderung auf die au

Lösung des Gleichungssystems - — = 0, 9a chungen n

9U

-r— = 0 der N o r m a l g l e i ob

2

• i=l Z Xj 2 l Xj - ¡=1 2 x. 1 + b •i = 1 1 •1 y. = 0 a • 2 x. + b • n

-

2 y.

= 0

für die Unbekannten a und b. Für die in der Tabelle i x

i

5

x

1

2

3

4

5

2

3

4

6

4

2

4

2

5

5

i =

19

>

zusammengestellten Werte errechnen sich

2i =, yi ,J i = 18, '

n Z - xx?f = 81 und ¡=1 i

n 2Z, Xx,i • Vi = ¡ = i i y, = 74.

Die Normalgleichungen werden damit 81 a + 19 b - 74 = 0 19 a + 5 b - 18 = 0. Ihre Lösungen

a =

74 18 81 19

19 5 19 5

7 11

0,636

und

b =

81 19 81 19

74 18 19 5

13

11

1,182

ergeben die Regressionsgleichung y « 0,636 x + 1,182.

65. Die n-malige Messung von je drei Größen ergab die Werte x^; yj; Zj mit i = 1, 2, . . . , n. Gesucht ist die R e g r e s s i o n s g l e i c h u n g z = a - x + b y + c jener Ebene E bezüglich der Punkte P^Xj; y4; Zj) eines kartesischen Koordinatensystems, für die nach der GAUSS s e h e n M e t h o d e d e r k l e i n s t e n Q u a d r a t e der Ausdruck

72

1. Lineare Algebra

U =

mit d j = Zj - (a • Xj + b • yj + c) den kleinstmöglichen Wert

annimmt. Hierzu ist erforderlich, daß die Unbekannten a, b, c dem linearen Gleiau „ au „ 3u „ .. . u. J chungssystem — = 0, —— = 0, = 0 genügen, was sich in der 9b 3c da Form " il n u ' i?,xi a •

+ b . S x j • Yi + c • 2 3 4 = + b• 2y2 i=i

Yj n

+

c •

+

c- n

2 i=i

=

n

+ b•

a •

i=i i schreiben läßt.

Z x i • Zi Zy.. n

1

i=l

=

¡= i

1

F ü r die in der Tabelle l

2

3

4

5

6

7

8

il

25

12

5

30

35

20

30

13

15

25

15

20

20

10

10

23

10

11

23

8

0

18,5

14,5

i x

i

y

i

z

i

aufgeführten speziellen Werte errechnet sich zunächst iZ=*1. *

168,

i= 1

1

128,

2 i z j = 108. Die Ermittlung der Produkti=l

summen kann wie folgt geschehen: i

i

2

3

4

5

6

7

8

2 x i 2 y i

121

625

144

25

900

1225

400

900

169

225

625

225

400

400

100

100

X; yi

143

375

300

75

600

700

200

300

x

253

250

132

115

240

0

370

435

299

150

275

345

160

0

185

145

i ' zi z

i

1.3 Lineare

Hieraus erhält man n n 2 x ?1 = 4340, i=l

n

2 y ?1 = 2444, i=l

Gleichungssysteme

73

n

2 x f y j = 2693, ¡=1 1

2 x i Z j = 1795, ¡=1 1 1

n

2 y i z i = 1559 und damit das Gleichungssystem 4340 a + 2693 b + 168 c = 1795 2693 a + 2244 b + 128 c = 1559 168 a +

128 b +

8 c =

Mit Hilfe des G A U S S s c h e n Reihe nach 4340 a +

2693 b +

108

4340 a +

2693 b +

z (

3. Z + 1. Z

Algorithmus

\

^

2693

\

4340 / 4340 j

errechnet sich hieraus der

168 c = 1795

572,975 b + 23,755 c « 23,755 b +

2. Z + 1

1,497 c »

445,190 38,516

3.Z + 2.Z'

23,755 \ 572,975 )

168 c = 1795

572,975 b + 23,755 c «

445,190

0,512 c «

20,059

Damit wird c » 39,178, b « - 0 , 8 4 7 , a « - 0 , 5 7 7 . Die Regressionsgleichung lautet demnach z « - 0 , 5 7 7 x - 0,847 y + 39,178. B e i größeren Meßreihen läßt sich das Rechenverfahren durch Verwendung der Mittelwerte der Xj, y^, z^ numerisch vorteilhafter gestalten.

2. NICHTLINEARE ALGEBRA 2.1 Polynome 66. Die Koeffizienten a „ £ R für v = 0, 1, 2 des in der N o r m a l f o r m Pg(x) = x 3 + a2X + ajX + ag gegebenen Polynoms dritten Grades sind in Abhängigkeit von den Nullstellen x j , X2 und Xg dieses Polynoms anzugeben. Nach dem F u n d a m e n t a l s a t z d e r A l g e b r a läßt sich Pg(x) in der F o r m (x - x j ) - ( x - X2) • (x - Xg) = 0 darstellen, wobei x j , X2, Xg die nicht notwendig voneinander verschiedenen reellen oder komplexen Nullstellen des gegebenen Polynoms sind. Die Ausrechnung ergibt o o Pg(x) = X - ( x j + X2 + Xg) • X

+

(XJ - X J

+

XJ

XJ

+

X2 'Xg)-X

-

XJ'XJ-XJ,

woraus durch Vergleich der Koeffizienten gleichhoher Potenzen von x in Pg(x) = x 3 + a2X + ajX + aQ a

2

=

a

l

= x

" l ' x2

+

x

2

+ X

+

x

3^

1' x3

+ x

2' x3

a

0 = " x l " x 2" x 3 folgt.

67. Es ist dasjenige Polynom kleinsten Grades P n (x) = x n + a n . j x n _ 1 + + . . . + a^x + ag mit a.v G R für i> = 0, 1, 2, . . . , n-1 zu bestimmen, das die Nullstellen x j = - 4 , X2 = 1 und Xg = 5 besitzt. Da sämtliche gegebenen 3 Nullstellen reell sind, hat das gesuchte Polynom den Grad 3. Es ist das Produkt der Linearfaktoren (X - Xj)- (X - X 2 )' (X - Xg). F ü r die speziellen gegebenen Nullstellen findet man P 3 (x) = (x + 4)- (x - l) (x - 5) = x 3 - 2 x 2 - 19x + 20.

2.1 Polynome

75

68. Man ermittle das Polynom kleinsten Grades P n (x) = x n + a n _ j x n ~* + + . . . + a j x + a Q mit a„ € R für v = 0, 1, 2, ..., n-1, dessen Nullstellen Xj = - 3 + 2 i, X2 = - i, xg = 2 sind. Wegen der Voraussetzung a v € R müssen zu den gegebenen komplexen Nullstellen x j und Xg auch die dazu konjugiert komplexen Nullstellen x j = - 3 - 2 i und X2 = i vorhanden sein. Das gesuchte Polynom ist daher vom Grad 5 und kann in der Form (x + 3 - 2 i) • (x + 3 + 2 i) • (x + i) • (x - i) • (x - 2) dargestellt werden. Die Ausrechnung führt über (x2 + 6x + 9 + 4) (x 2 + l) (x - 2) auf

P 5 (x) = x 5 + 4 x 4 + 2x 3 - 22x 2 + x - 26.

69. Das Polynom P 4 (x) = 144 x 4 - 17 x 2 - 36 ist im Körper der komplexen Zahlen vollständig in Linearfaktoren zu zerlegen. . _ 2 Die Gleichung 144 x - 17 x - 36 = 0 geht durch die Substitution x = z über in die quadratische Gleichung 144 z 2 - 17 z - 36 = 0 mit den Lösun17 ± V289 + 20736 17± V21025 17 ± 145 =