Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung [2. Aufl.] 978-3-519-12206-7;978-3-322-96755-8

Table of contents :
Front Matter ....Pages i-14
Einleitung (Harro Heuser)....Pages 15-20
Zur Einstimmung (Harro Heuser)....Pages 21-53
Normierte Räume (Harro Heuser)....Pages 54-124
Anwendungen (Harro Heuser)....Pages 125-145
Innenprodukt- und Hilberträume (Harro Heuser)....Pages 146-189
Eigenwerttheorie symmetrischer kompakter Operatoren (Harro Heuser)....Pages 190-217
Anwendungen (Harro Heuser)....Pages 218-227
Hauptsätze der Funktionalanalysis (Harro Heuser)....Pages 228-259
Anwendungen (Harro Heuser)....Pages 260-278
Bilinearsysteme und konjugierte Operatoren (Harro Heuser)....Pages 279-340
Schwache und lokalkonvexe Topologien (Harro Heuser)....Pages 341-372
Fredholmoperatoren (Harro Heuser)....Pages 373-424
Anwendungen (Harro Heuser)....Pages 425-464
Spektraltheorie in Banachräumen und Banachalgebren (Harro Heuser)....Pages 465-505
Rieszoperatoren (Harro Heuser)....Pages 506-522
Anwendungen (Harro Heuser)....Pages 523-541
Spektraltheorie in Hilberträumen (Harro Heuser)....Pages 542-571
Approximationsprobleme in normierten Räumen (Harro Heuser)....Pages 572-583
Die Darstellung kommutativer Banachalgebren (Harro Heuser)....Pages 584-598
Ein Blick auf die werdende Funktionalanalysis (S. Banach)....Pages 599-663
Back Matter ....Pages 664-697

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Mathematische Leitfaden Herausgegeben von em. o. Prof. Dr. phil. Dr. h.c. mull. G. Kothe, Universitat Frankfurt/M., und o. Prof. Dr. rer. nat. G. Trautmann, Universitat Kaiserslautern

Real Variable and Integration

With Historical Notes by J. J. BENEDETTO, Prof. at the University of Maryland 278 pages. Paper OM 48,Spectral Synthesis

by J. J. BENEDETTO, Prof. at the University of Maryland 278 pages. Paper OM 72,Partial Differential Equatioos

An Introduction by Dr. rer. nat. G. HELLWIG, o. Prof. at the Technische Hochschule Aachen 2nd edition. xi, 259 pages with 35 figures. Paper OM 48,Einflihrunl in die matbematische Logik

Klassische Priidikatenlogik Von Dr. rer. nat. H. HERMES, o. Prof. an der Universitat Freiburg i. Br. 4. Auflage. 206 Seiten. Kart. OM 38,Funktionalanalysis

Von Dr. rer. nat. H. HEUSER. o. Prof. an der Universitiit Karlsruhe 2. Auflage. 696 Seiten mit 30 Bildern. 742 Aufgaben zum Teil mit Losungen und zahlreichen Beispielen Kart. OM 78.Lehrbuch der Analysis

Von Dr. rer. nat. H. HEUSER, o. Prof. an der Universitiit Karlsruhe Teil I: 4. Auflage. 643 Seiten mit 128 Bildern. 780 Aufgaben zum Teil mit Losungen. Kart. OM 54.-Tei12: 3. Auflage. 736 Seiten mit 100 Bildern. 576 Aufgaben zum Teil mit Losungen. Kart. OM 58.-· Locally Convex Spaces

by Dr. phil. H. JARCHOW, Prof. at the University of Ziirich 548 pages. Hardcover. OM 98.Lineare Integraloperatoren

Von Prof. Dr. rer. nat. K. JORGENS 224 Seiten mit 6 Bildern. 222 Aufgaben und zahlreichen Beispielen. Kart. OM 48,-Moduln und Rinle

Von Dr. rer. nat. F. KASCH. o. Prof. an der Universitiit Miinchen 328 Seiten mit 176 Obungen und zahlreichen Beispielen. Kart. OM 56.Gewiihnliche Differentialgleichunlen

Von Dr. rer. nat. H.W. KNOBLOCH, o. Prof. an der Universitat Wiirzburg und Dr. phil. F. KAPPEL. o. Prof. an der Universitiit Graz 332 Seiten mit 29 Bildern und 98 Aufgaben. Kan. OM 54.

B. G. Teubner Stuttgart

Mathematische Leitfiiden Herausgegeben von em. o. Prof. Dr. Dr. h. c. mult. G. Kothe, UniversiHit Frankfurt/M., Prof. Dr. K.-D. Bierstedt, UniversiHit-Gesamthochschule Paderborn, und Prof. Dr. G. Trautmann, UniversiHit Kaiserslautern

Funktionalanalysis Theorie und Anwendung Von Dr. rer. nat. Harro Heuser o. Professor an der Universitat Karlsruhe 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage Mit 30 Abbildungen, 742 Aufgaben, zum Teil mit Losungen, und zahlreichen Beispielen

B. G. Teubner Stuttgart 1986

Prof. Dr. rer. nat. Harro Heuser Geboren 1927 in Nastatten/Taunus. Studium der Mathematik und Physik an der Universitat Tubingen von 1948 bis 1954. Staatsexamen 1954, Promotion 1957 in Tubingen. Habilitation 1962 in Karlsruhe. Von 1955 bis 1968 Tlitigkeit an verschiedenen Hochschulen und in der Praxis. 1968 Berufung auf den ordentlichen Lehrstuhl fUr Mathematik V der Universitat Karlsruhe (TH). Gastprofessuren in USA, Kanada, Kolumbien und Italien.

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek

Heuser, Harro: Funktionalanalysis : Theorie und Anwendung I von Harro Heuser. - 2., neubearb. u. erw. Aufl. Stuttgart: Teubner, 1986. (Mathematische Leitfaden) ISBN 978-3-519-12206-7 ISBN 978-3-322-96755-8 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-96755-8 Das Werk einschlieBlich alIer seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzuliissig und stralbar. Das gilt besonders fUr Vervielfliltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. © B. G. Teubner, Stuttgart 1986

Umschlaggestaltung: M. Koch, ReutIingen

Meiner Mutter

Die Wissenschaft kann den Geist in ebenderselben Weise ergotzen wie die Kunst. Georg Cantor, These I der Habilitationsschrift

So sah ich denn, daft nichts Besseres ist, als daft ein Menschfrohlich sei in seiner Arbeit; denn das ist sein Teil. Prediger Salomo 3,22

Vorwort zur zweiten Auflage

Oieses Buch ist aus Vorlesungen und Seminaren entstanden, die ich mehrfach an den Universitaten Mainz, Frankfurt und Karlsruhe gehalten habe. Ich habe es bewuBt so abgefaBt, daB es zum Selbststudium geeignet ist: die Entwicklungen sind ausgiebig motiviert, die Beweise detailliert und die Aufgaben zahlreich (viele von ihnen mit Losungen oder Losungshinweisen). Eine lebendige Wissenschaft wie die Funktionalanalysis laBt sich nur ungern definieren - "definieren" heiBt ja "eingrenzen" und damit auch "einsperren". Von einem spaten und hohen Standpunkt aus konnte man versucht sein, als ihr Leitmotiv die Verschmelzung algebraischer mit topologischen Strukturen und das Studium der hieraus resultierenden Phanomene anzusehen. Oas mutet nicht wenig abstrakt und blutleer an, und die Funktionalanalysis ist in der Tat abstrakt - blutleer aber ist sie keineswegs. Schon ihr Ursprung hat die Gefahr der Anamie gar nicht erst aufkommen lassen; denn entstanden ist sie im Umgang mit Problemen, die der Mathematik in reichem MaBe aus den empirischen Wissenschaften zugestromt sind. Ihre Ammen und Ziehmutter sind denn auch aus der Schwingungsund Elektrizitatslehre, aus der Potential- und Quantentheorie gekommen, und auf die groBe Bedeutung der Integralgleichungen, einer ihrer ergiebigsten Quellen, wurde der Mathematiker Paul du Bois-Reymond von dem Physiologen Adolph Fick hingewiesen, der "die Bemerkung machte, daB die Bestimmung von Oichtigkeiten, die von inneren Kraften der Substanz abhangen, vielfach (auf Integralgleichungen) fiihrt". Oer Vater der Funktionalanalysis aber ist der Orang, das Uberflussig-Konkrete von einem Problem abzustreifen, urn sein verborgenes Innere aufzudecken, und in Analogien, wenn sie denn gar zu haufig auftreten, strukturelle Identitaten zu suchen. Mit dies em Orang aber streitet der andere, sehr menschliche, fest am Konkreten zu hangen: wie es jener Mann tat, der ein Pferd kaufen wollte und auf die anpreisenden Worte des Handlers, mit diesem RoB konne er in einer bloBen Stunde nach Oldenburg reiten, trocken erwiderte "Ich reite nie nach Oldenburg". Auch die groBen Schopfer der Funktionalanalysis fanden sich eingeklemmt zwischen den beiden Antrieben: den abstrakten Kern zu gewinnen und das konkrete AuBere nicht fahren zu lassen. Nicht viele Kapitel der Mathematikgeschichte sind so faszinierend wie jenes, das von ihrem Ringen urn die "richtigen" Begriffe und tragfahigen Grundtheoreme spricht und von ihrer Suche nach dem gemeinsamen Kern dessen redet, was in endlichen und unendli-

Vorwort zur zweiten Autlage

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chen Gleichungssystemen, in Momentenproblemen der Mechanik und Wahrscheinlichkeitsrechnung, in Integralgleichungen, schwingenden Membranen und Hauptachsentransformationen so penetrant ahnlich erschienen war. Die Italiener machten den Anfang, den Polen gelang der Durchbruch, und dazwischen begegnen uns die glanzvollen Namen der Fredholm, Frechet, Hilbert, Schmidt, Riesz und Hahn (urn nur einige zu nennen). Zwischen 1890 und 1940 befand sich Europa in einer Art funktionalanalytischer Garung; im letzten Kapitel habe ich versucht, ein weniges von dem Geist dieser fUnfzig Jahre einzufangen. Das Garungsprodukt konnte sich sehen lassen: die richtigen Begriffe, die zentralen Theoreme waren zutagegetreten, und als Folge hiervon wurde auch der herkommlichen Analysis ein ganz neues Licht aufgesteckt. Es kam z. B. heraus - und die Verbliiffung dartiber wird nicht gering gewesen sein -, daB die Biederkeit des Toeplitzschen Permanenzsatzes ebendenselben Vrsprung hat wie jene unfrisierte Macht, die so mancher stetigen Funktion eine Fourierreihe mit Divergenzpunkten aufzwingt. Es kam weiter heraus, daB entscheidende Feststellungen tiber unendliche lineare Gleichungssysteme (tibrigens eine Erfindung des Physikers Fourier), tiber Momentenprobleme und Approximationsfragen - Dinge, die weit auseinanderzuliegen schienen - letztlich aus ein und derselben Quelle flieBen: aus dem Fortsetzungssatz von Hahn-Banach, der sich von Jahr zu Jahr deutlicher als eines der wichtigsten Theoreme der Mathematik tiberhaupt zu erkennen gibt und heutzutage bis in Fragen der Technik und Wirtschaftswissenschaft hineinwirkt. Vnd durch die Brille der Rieszschen Theorie kompakter Operatoren konnte man nun gewissermaBen einen Blick tun in das Innenleben der Fredholmschen Integralgleichungen, der Dirichletschen Randwertprobleme und der rudelweise aus Physik und Technik herandrangenden Eigenwertaufgaben. Es war, als sei ein Schleier hinweggezogen worden von Dingen, die man bisher so gut zu kennen glaubte und doch so wenig gekannt hatte. Nicht ohne berechtigten Stolz schreibt Banach im Jahre 1932: Cette theorie merite done avec raison. aussi bien par sa v·aleur esthhique que par la portee de ses raisonnements (meme abstraction/aite de ses nombreuses applications) !'interet de plus en plus croissant que lui pretent les mathematiciens.

Das vorliegende Buch versucht, etwas von diesem Drangen und Treiben ahnen zu lassen. Es will deshalb nicht nur die Grundbegriffe, Haupttheoreme und tragenden Methoden der Funktionalanalysis vermitteln - und dies moglichst lebendig und eingangig -, sondern mochte das alles herauswachsen lassen aus dem Fragenund Erfahrungsmaterial der Naturwissenschaften und der klassischen Analysis, und mochte umgekehrt das Neuerworbene, wenn auch nur exemplarisch, wieder fUr diese Disziplinen fruchtbar machen - bis hin zu so handfesten Dingen wie Biegung von Balken, Stabilitat von Schwingungen, Wachstumsprozesse, numerische Integration und Summation von Reihen wie L: lIn 2 und L 1I(2n _1)4. In einem derartigen Rahmen ist es dann allerdings nicht weiter schwer, den theoretischen Fortgang auch ausreichend zu motivieren. Gerade diese Motivierung aber lag mir besonders am Herzen, weil sie dem Studenten das Verstandnis so unge-

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Vorwort zur zweiten Auflage

mein erleichtert. 1l Das erste Kapitel z. B. dient einzig und allein dem Zweck, fUr alles Weitere ein empirisches Unterfutter bereitzustellen und zu zeigen, daB man der Funktionalanalysis nicht ohne Schaden aus dem Weg gehen kann. Dabei hatte ich standig die Worte Hilberts in den Ohren, die er auf dem Internationalen MathematikerkongreB 1900 in Paris gesprochen hat: Sicherlich stammen die ersten und iiltesten Probleme in jedem mathematischen Wissenszweige aus der Erfahrung und sind durch die Welt der iiufJeren Erscheinungen angeregt worden ... Bei der Weiterentwicklung einer mathematischen Disziplin wird sich jedoch der menschliche Geist, ermutigt durch das Gelingen der Losungen, seiner Selbstiindigkeit bewufJt; er schafft aus sich selbst heraus oft ohne erkennbare iiufJere Anregung allein durch logisches Kombinieren, durch Verallgemeinerung, Spezialisieren, durch Trennen und Sammeln der Begriffe in gliicklichster Weise neue undfruchtbare Probleme und tritt dann selbst als der eigentliche Frager in den Vordergrund ... Inzwischen, wiihrend die Schaffenskraft des rein en Denkens wirkt, kommt auch wieder von neuem die AufJenwelt zur Geltung, zwingt uns durch die wirklichen Erscheinungen neue Fragen auf, erschliefJt neue mathematische Wissensgebiete und, indem wir diese neuen Wissensgebiete flir das Reich des rein en Denkens zu erwerben suchen, finden wir hiiufig die Antworten auf alte ungelOste Probleme und fordern so am besten die alten Theorien. Auf diesem stets sich wiederholenden und wechselnden Spiel zwischen Denken und Erfahrung beruhen, wie mir scheint, die zahlreichen und iiberraschenden Analogien undjene scheinbar priistabilierte Harmonie, welche der Mathematiker so oft in den Fragestellungen, Methoden und Begriffen verschiedener Wissensgebiete wahrnimmt.

Aus einem etwas anderen Geist ist die Theorie der PifJles erwachsen. Diese Theorie ist wenig bekannt, hauptsachlich deshalb, weil es sie gar nicht gibt. Sie existiert nur in einer jener hintergriindigen Satiren, die der englische Geist, dies mal verkorpert in A. K. Austin, immer wieder hervorbringt. In The Mathematical Gazette 51 (1967) 149-150 tut ein fingierter Autor der Welt folgendes kund: A. C. Jones in his paper "A Note on the Theory of BojJ1es", Proceedings of the National Society, 13, first defined a Biffle to be a non-definite Boffle and asked if every Biffle was reducible. C. D. Brown in "On a paper by A. C. Jones", Biffle, 24, answered in part this question by defining a WujJ1e to be a reducible Biffle and he was then able to show that all WujJ1es were reducible. H. Green, P. Smith and D. Jones in their review of Brown's paper, WujJ1e Review, 48, suggested the name WojJ1e for any WujJ1e other than the non-trivial Wuffle and conjectured that the total number of WojJ1es would be at least as great as the number so far known to exist. They asked if this conjecture was the strongest possible. T. Brown in "A collection of 250 papers on WojJ1e Theory dedicated to R. S. Green on his 23rd Birthday" defined a PijJ1e to be an infinite multi-variable sub-polynormal WojJ1e which does not satisfy the lower regular Q-property. He stated, but was unable to prove, that there were at least a finite number of PijJ1es. I) NatiirJich auch der Studentin (dies, urn dern Zeitgeist rneinen Tribut zu entrichten, so sehr es sich auch von selbst versteht).

Vorwort zur zweiten Auflage

7

T. Smith, L. Jones, R. Brown and A. Green in their collected works ''A short introduction to the classical theory of the Piffle", Piffle Press, 6 gns., showed that all bi-universal Piffles were strictly descending and conjectured that to prove a stronger result would be harder. It is this conjecture which motivated the present paper.

Womit the present paper denn auch bereits zu Ende ist. Das vorliegende Buch will den Leser zum wenigsten davon iiberzeugen, daB die Funktionalanalysis keine Theorie der Piffles ist. Was es im einzelnen bringt, lehrt am besten das Inhaltsverzeichnis und ein rasches Durchbliittern. Gegeniiber der ersten Auflage wurden einige einschneidende Veriinderungen vorgenommen. Urn neuere Entwicklungen (besonders im Bereich der Fredholmtheorie) aufnehmen zu konnen, vor all em aber, urn den Anwendungen in wei taus groBerem MaBe als bisher ihr Recht zu gonnen und doch den Umfang nicht iiber Gebiihr anschwellen zu lassen, wurden die Kapitel iiber topologische Vektorriiume stark zuruckgeschnitten; im Grunde ist davon nicht viel mehr iibriggeblieben, als was zu einem angemessenen Verstiindnis der Konjugierbarkeit von Operatoren und der Reflexivitiit von Banachriiumen unentbehrlich scheint. Die Fixpunktsiitze von Banach, Brouwer und Schauder wurden, abgesehen von Aufgaben, herausgenommen, weil ich sie inzwischen in meinem "Lehrbuch der Analysis" ausfUhrlich dargestellt habe. Die fUr den Physiker und Ingenieur besonders wichtigen Hilbertraume habe ich weit nach vorne gezogen, urn sie leichter zugiinglich zu machen. Die Zahl der Aufgaben wurde urn drastische 60 Prozent auf 742 gesteigert, die der Figuren (da der Mensch nun einmal ein Augenwesen ist) auf 30 verfUnffacht. In einem neu aufgenommenen Kapitel habe ich den Versuch gewagt, das Werden der Funktionalanalysis in wenigen Strichen nachzuzeichnen. SchlieBlich habe ich dem Buch eine deutliche Gliederung in Theorie- und Anwendungskapitel aufgepriigt (wobei sich allerdings zahlreiche Anwendungen auch in den Aufgaben zu den theoretischen Abschnitten finden). Wer also nur das methodische Gerust der Funktionalanalysis kennenlernen will (das aber sollte niemand wollen!) kann dies dank der beschriebenen Gliederung tun, ohne in jedem Einzelfall prufen zu miissen, ob der Stoff fUr seine Zwecke relevant ist oder wo die ihn interessierende theoretische Uberlegung wieder aufgegriffen wird. Mehrfach wurde ein und derselbe Sachverhalt von ganz verschiedenen Seiten angegangen und ausgeleuchtet, z. B. (aber nicht nur) das Invarianztheorem von Lomonosov, die Sturm-Liouvillesche Eigenwertaufgabe und der Fredholmsche AIternativsatz. Kaum etwas anderes scheint mir so instruktiv und auflockernd zu sein, als sich einem Problem aus verschiedenen Richtungen und auf verschiedenen Niveaus zu niihern. Dies kostet zwar Platz, aber ich glaube, der Leser wird es mir danken. Eine zentrale Rolle spielt in dem vorliegenden Buch die Fredholmsche Integralgleichung zweiter Art. Von einem Physiker, A. Beer, ans Licht gezogen, urn elektrostatische Probleme zu losen, hat sie den AnstoB zur Neumannschen Reihe, einem funktionalanalytischen Energiespender ersten Ranges, und zur Fredholm-

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Vorwort zur zweiten Auflage

schen Theorie gegeben, die ihrerseits aufs sUirkste die bahnbrechenden Arbeiten von Hilbert und Riesz beeinfluBt hat und ein Meilenstein in der Entwicklung der Funktionalanalysis genannt werden darf. Diese Integralgleichung ist ein ideales Bindeglied zwischen Theorie und Anwendung und kam daher meinen Absichten aufs beste entgegen. 1m iibrigen ist der Ausbau der korrespondierenden Operatorentheorie keineswegs abgeschlossen, so daB diese Integralgleichung nicht nur Theorie und Anwendung, sondem auch Vergangenheit und Gegenwart miteinander verkniipft. Sie gehort zu den groBen Gleichungen der Mathematik. Ich komme nun zu der angenehmen Pflicht, all denen meinen Dank abzustatten, die mich bei der Arbeit an diesem Buch unterstiitzt haben. Die Herren Dipl.Math. Chr. Schmoeger und Dr. H.-D. Wacker haben es nie an Rat und Anregung fehlen lassen; ihren VorschHigen bin ich geme und immer mit Gewinn gefolgt. Herr Schmoeger hat die Aufgaben sorgfaltig iiberpriift, Herr Dr. Wacker nicht minder gewissenhaft das Manuskript; beide Herren haben dariiber hinaus auch noch das miihselige, aber bitter notige Geschaft des Korrekturenlesens besorgt. Herr Stud.-Assessor D. Buksch hat mir tatkraftig bei der Anfertigung der Figuren geholfen. Frau K. Zeder hat mit gewohnter, aber nie genug zu preisender Akribie ein schlimmes Manuskript in ein sauberes Maschinenskript transformiert. Ihnen allen danke ich auf das herzlichste. Dem Teubner-Verlag danke ich fUr seine bewahrte Kooperationsbereitschaft und fUr die vorziigliche Ausstattung des Buches. Ein Dank, der seine Adressaten nicht erreichen kann, geht an die groBen Schopfer der Funktionalanalysis. Ohne ihre inspirierenden Werke waren wir aIle armer. Karlsruhe, im Januar 1986

Harro Heuser

Inhalt Einleitung I

Zur Einstimmung

1 2

Die schwingende Saite und Fourierreihen ....... . Die Tschebyscheffsche Approximationsaufgabe. GleichmaBige Konvergenz Rand- und Eigenwertprobleme Lineare Probleme 4.1 Lineare Gleichungssysteme 4.2 Fredholmsche Integralgleichungen 4.3 Volterrasche Integralgleichungen 4.4 Anfangswertprobleme fUr lineare Differentialgleichungen ...... . Lineare Abbildungen 5.1 Lineare Abbildungen in der Analysis 5.2 Lineare und multiplikative Systeme III der Nachrichtentechnik . . . . . . . 5.3 Operatoren der Quantenmechanik

3

4

5

II

Normierte Raume

6 7 8 11 12 13

Metrische Raume Vektorraume Lineare Abbildungen Normierte Raume Stetige lineare Abbildungen Endlichdimensionale normierte Raume Die Neumannsche Reihe Normierte Algebren

III

Anwendungen

14

Matrixnormen und lineare Gleichungssysteme. Die Leontieffschen Matrizen der Produktionstheorie Die Volterrasche Integralgleichung . . Die Fredholmsche Integralgleichung Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

9

10

15 16

17

15

21 31 35 41 41 42 43

44 47 47

49 50

54 72

78

84 93

102 106 113

125

129 133

143

10

Inhalt

IV 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Innenprodukt- und Hilbertraume Innenproduktraume............ Orthogonalitat ............ Gau13approximation und Orthogonalisierungsverfahren Das allgemeine Approximationsproblem Orthogonale Komplemente Orthogonalreihen....... Orthonormalbasen ...... Die kanonischen Hilbertraummodelle Die stetigen Linearformen eines Hilbertraumes Schwache Konvergenz . . . . . . . .

V 28 29 30

Eigenwerttheorie symmetrischer kompakter Operatoren Kompakte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . Symmetrische Operatoren . . . . . . . . . . . . . . Die Entwicklung symmetrischer kompakter Operatoren nach Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Gleichung (A, I - A)x = y mit symmetrischem kompakten A Bestimmung und Abschatzung von Eigenwerten . . ..

31 32 VI 33 34 35 VII 36 37 38 39 40 41 42 43 VIII 44 45

Anwendungen Das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem ....... Das Dirichletsche Prinzip . . . . . . ....... Ein Variationsverfahren zur Losung gewisser Operatorengleichungen. Der gebogene Balken . . . . . . . . . . . . . . Hauptsatze der Funktionalanalysis Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach Quotientenraume und kanonische Injektionen Der Bairesche Kategoriesatz . . . . . . Der Satz von der offenen Abbildung, der stetigen Inversen und der Graphensatz ............ Der Satz von der gleichma13igen Beschranktheit Vervollstandigungssatze .... Trennungssatze Der Satz von Krein-Milman Anwendungen Anwendungen des Baireschen Kategoriesatzes 44.1 Stetigkeitstransport bei punktweiser Konvergenz 44.2 Stetige, nirgends differenzierbare Funktionen Anwendungen des Satzes von der stetigen Inversen 45.1 Das Anfangswertproblem fUr lineare Differentialgleichungen 45.2 Naherungsweise Losung von Operatorengleichungen

146 152 159 165 170 173 176 181 182 186 190 194 200 205 209 218 222 224 228 235 240 241 246 249 253 258 260 260 261 262 262 263

Inhalt

46

47

IX 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

X 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

XI 71 72

Anwendungen des Satzes von der gleichmal3igen Beschranktheit Konvergenzsatze Der Toeplitzsche Permanenzsatz Konvergenz von Quadraturformeln Existenz einer stetigen Funktion, deren Fourierreihe nicht iiberall konvergiert Anwendungen des Hahn-Banachschen Fortsetzungssatzes 47.1 Die Greensche Funktion des Dirichletschen Randwertproblems 47.2 Holomorphe Funktionen mit nichtnegativem Realteil 47.3 Hinweise auf weitere Anwendungen

46.1 46.2 46.3 46.4

BiliDearsysteme uDd kODjugierte Operatoren Bilinearsysteme Dualsysteme Konjugierte Operatoren Die Gleichung (I - K)x = y mit endlichdimensionalem K Die Gleichung (R - S)x = y mit bijektivem R und endlichdimensionalem S Der Fredholmsche Alternativsatz Normale Auflosbarkeit Operatoren mit abgeschlossenen Bildraumen Analytische Darstellung stetiger Linearformen Der Bidual eines normierten Raumes Adjungierte Operatoren Schwache Konvergenz in normierten Raumen Reflexive Raume Schwache uDd lokalkoDvexe TopologieD Topologische Grundbegriffe Die schwache Topologie Vektorraumtopologien Lokalkonvexe Topologien Der Satz von Hahn-Banach Trennungssatze und Satz von Krein-Milman Der Bipolarensatz Die topologische Charakterisierung der normalen Auflosbarkeit Der Satz von Alaoglu und die Darstellung normierter Raume Die Mackeysche Topologie und eine Charakterisierung reflexiver Raume Fredholmoperatoren Defektendliche Operatoren Kettenendliche Operatoren

11

264 264 266 268 269 272 272 274 277 279 282 287 295 299 302 307 309 316 324 327 331 336 341 348 351 355 361 362 363 366 366 368 373 376

12 73 74 75 76 77 78 79

Inhalt

81 82 83 84

Topologische Komplementarraume 381 Stetige defektendliche Operatoren 383 Fredholmoperatoren in saturierten Operatorenalgebren 387 Die Gleichung A x = y mit einem Fredholmoperator A 395 Darstellungssatze fUr Fredholmoperatoren 399 Die Rieszsche Theorie kompakter Operatoren 404 Die Riesz-Schaudersche Auflosungstheorie fur 1- K mit kompaktern K 406 Eigenwerte, invariante und hyperinvariante Unterraume eines kompakten Operators 409 Fredholmoperatoren auf Banachraumen 413 Stetige Semifredholmoperatoren 416 Abgeschlossene Semifredholmoperatoren 422 Topologische Charakterisierung der saturierten Operatorenalgebren 423

XII

Anwendungen

85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Das Dirichletsche und Neumannsche Problem in der Ebene Das Dirichletsche und Neumannsche Problem im Raum. Operatoren mit einer kompakten Potenz Integralgleichungen mit L2-Kernen. Hilbert-Schmidt-Operatoren Singulare Integralgleichungen Eine verallgemeinerte Fredholmsituation Wielandtoperatoren Integralgleichungen mit symmetrisierbaren Kernen Allgemeine Eigenwertprobleme fUr Differentialoperatoren Fredholmsche Differentialoperatoren Der Konvexitatssatz von Liapounoff

XIII

Spektraltheorie in Banachriiumen und Banachalgebren

95 96 97 98 99 100 101 102 103

Die Resolvente Das Spektrum Vektorwertige holomorphe Funktionen Vorbemerkungen zum Funktionalkalkul Der Funktionalkalkiil Spektralprojektoren Isolierte Punkte des Spektrums Normaloide Operatoren Normale meromorphe Operatoren

XIV

Rieszoperatoren

104 105 106 107

Der Fredholmbereich Rieszoperatoren Rieszideale und FredholmstOrungen Wesentliche Spektren

80

425 430 433 443 447 452 456 458 464 464

465 468 476 481 482 488 491 495 503 506 511 516 520

Inhalt

XV

108 109 110

111

XVI

112 113 114 115 116

117 118

119 XVII

120 121 122 123 XVIII

124 125 126 127 128 XIX

129

130 131 132 133 134

13

Anwendungen Eine Spektralbedingung fOr die Konvergenz der Neumannschen Reihe. Stabilitat von Systemen linearer Differentialgleichungssysterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 Ein spektraltheoretischer Beweis des Satzes von Lomonosov 527 Positive Matrizen, Markoffsche Prozesse und Wachstumsvorgange 528 Ein Ergodensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 538 Spektraltheorie in Hilbertraumen ........... Spektren normaler Operatoren Orthogonalprojektoren . . . . . . . . . .. Vorbemerkungen zum Spektralsatz fOr symmetrische Operatoren FunktionalkalkOI fOr symmetrische Operatoren ..... Der Spektralsatz fOr symmetrische Operatoren auf Hilbertraumen Die Beschreibung des Spektrums und der Resolventenmenge eines symmetrischen Operators mittels seiner Spektralschar Der Spektralsatz fOr unitare Operatoren Der Spektralsatz fOr selbstadjungierte Operatoren Approximationsprobleme in normierten Raumen Die abstrakte Tschebyscheffsche Approximationsaufgabe Strikt konvexe Raume ... . . . . . . . . . Approximation in gleichmaBig konvexen Raumen Der Haarsche Eindeutigkeitssatz fOr die Tschebyscheffsche Approximationsaufgabe in CR [a, b] . . . . . . • . . . . . .

542 546 548 550 553 557 560 564 572 574 576 579

Die Darstellung kommutativer Banachalgebren Vorbemerkungen zum Darstellungsproblem . Multiplikative Linearformen und maximale Ideale Der Gelfandsche Darstellungssatz Die Darstellung kommutativer B*-Algebren Der Spektralsatz fOr normale Operatoren

584 588 591 593 596

Ein Blick auf die werdende Funktionalanalysis Vorgefechte . . . . . La primavera italiana Das Licht aus dem Norden Reveille in Gottingen Rondo ungherese Der Durchbruch

599 604 611 617 628 645

Losungen ausgewahlter Aufgaben

664

Literaturverzeichnis

682

Namen- und Sachverzeichnis

687

Symbolverzeichnis 290,325 289 288, 327f 216 79 90 90 15 C 90 (c), (co) C[a,b] 90 C R [a, b], Cc [a, b], 58 C(T) 90, 346 C (A) r(x) (s) Y(E, F), Y(E)

sgna

a(A), P(A)

lajkl

15,74 551,552 61 191 94,354 90 90 116, 149 90 150 62,343 152,307 157,307 363f 75 15 79 376,377 15 588 590 15 509 119 47 78 318 298 15

373 15 472 oM 506 l/JA l/J(--'>/(E)) 388 413,386 l/J(E, F), l/J(E) 416 l/J« (E, F), l/J" (E, F) 511 PA, P(E) 466, 566 p(A) 467 p(x) O'(A) 466, 566 O'(x) 467 475,474 O'al'(A),O'c(A) 520,474 O'e (A), 0'1' (A) 472, 474 O'n(x), O',.(A) O'(E, E+), O'(E+,E) 348, 349 E(E,F) 416 r(F,r) 370 r(x) 486

,1 (E)

15ik

11·111"

IH~ I·I~

I·h, I·b, => -===>,

.L

-< 0

.- , -.

:-=-

85, 86, 88, 89 126 187,331 59,95,344 15,95 15 152 17 16 15

Einleitung In diesem Abschnitt sollen einige Bezeichnungen und Sachverhalte dargelegt werden, die fOr alles Weitere grundlegend sind. Allgemeine Bezeichnungen N, R bzw. C bedeutet die Menge der natiirlichen, reellen bzw. komplexen Zahlen. K steht fOr den Korper Roder fOr den Korper C; wir nennen die Elemente von K auch Skalare und bezeichnen sie gewohnlich mit kleinen griechischen Buchstaben. Rea bzw. Ima ist der Real- bzw. Imaginiirteil von a, a die zu a konjugiert komplexe Zahl. Die Determinante der (n,n)-Matrix A = (avl') bezeichnen wir mit detA oder mit lavjll; Verwechslungen mit dem Betrag der Zahl avl' sind nicht zu befOrchten. In Definitionsgleichungen benutzen wir das Zeichen ,,:=" bzw. ,,=:", wobei der Doppelpunkt bei dem zu definierenden Symbol steht. Beispiele: l.f(x):=x 2 ; 2. {1,2,31=:M; 3. das Kroneckersymbol I fur i=k { Oik:= 0 fOr i 1= k.

=- B besagt, daB A und B ii qui val e n t sind (jede folgt aus der anderen). A: =- B driickt aus, daB wir A durch B definieren. Das Ende eines Beweises wird gewohnlich durch • markiert.

A=> B bedeutet, daB aus der Aussage A die Aussage B folgt; A

Mengen 0 ist die leere Menge. A C B bedeutet, daB A Teilmenge von B ist (dabei ist A = B zugeiassen). Fur die Vereinigungs- bzw. Durchschnittsbildung werden die Zeichen u bzw. n benutzt. Die Differenzmenge E\M ist die Menge aller Elemente von E, die nicht zu M gehoren; ist M Teilmenge von E, so wird E\M auch das Komplement von Min E genannt. Besteht eine Menge M aus allen Elementen einer Menge E, die eine gewisse Eigenschaft P besitzen, so schreiben wir M={XEE:x besitzt die Eigenschaft Pl. Beispiele (in denen gleichzeitig gewisse Symbole definiert werden): [a, /J]:={~ER:a.;;;~.;;;Pl ist das abgeschlossene, (a,/J):={~ER:a bn und der Summe x erwarten. Diesen Zusammenhang hat Euler aufgedeckt mittels der ebenso einfachen wie fundamentalen Integralrelationen 1t

J cos ns sin ms ds=O

fUr n, m=O, 1, ... ,

-1t

j cos ns cos ms ds = j sin ns sin ms ds = {O,1t,

-1t

-1t

falls n =1= m, falls n=m~l.

(1.12)

Multipliziert man namlich (1.11) mit cos ms bzw. sin ms, integriert dann gliedweise (was wegen der gleichmaBigen Konvergenz erlaubt ist) und schreibt schlieBlich noch n statt m, so erhalt man sofort den gesuchten Zusammenhang in den sogenannten Euler-Fourierschen Formeln 1 an = 1t

1 bn =1t

n

J x(s) cos ns ds

fUr n=O, 1, ... ,

-n n

f x(s)sinnsds

(1.13) fUr n=I,2, .... 2)

-n

In der Theorie der Fourierreihen kehrt man nun diese Uberlegungen in charakteristischer Weise urn. Man geht namlich nicht aus von einer vorgegebenen trigonometrischen Reihe, sondern von einer auf [ -1t, 1t) stetigen Funktion X,3) bildet ge1) Es wird bald deutlich werden, weshalb wir den Koeffizienten ao mit dem an sich iiberfliissigen Faktor 112 behaftet haben. 2) Man sieht jetzt, warum es zweckmiiJ3ig war, das Anfangsglied der Reihe (1.10) mit dem Faktor 112 zu versehen: Bei dieser Schreibweise gelten die Formeln fUr an auch noch im Faile n = o. 3) Stetigkeit setzen wir nur bequemlichkeitshalber voraus; in Wirklichkeit hat man es mit sehr viel allgemeineren Funktionen zu tun.

26

I Zur Einstimmung

maG (1.13) ihre sogenannten F ou ri e r ko effiz i e n ten ao, a], a2, ... , b], b 2, b3 , und mit ihnen die trigonometrische Reihe

~ao + L 2

II~I

••• ,

( 1.14)

(all cos ns+bll sin ns);

diese Reihe nennt man die Fourierreihe von x. Und nun drangt sich natiirlich die Frage auf, ob diese Reihe auf [ -11:, 11:] gegen ebendieselbe Funktion konvergiert, aus der sie entsprungen ist - niimlich gegen x. Die Antwort ist miihsam und unbefriedigend zugleich: die Theorie der punktweisen Konvergenz Fourierscher Reihen ist leider ein steiniger Acker. I) Und deshalb hat man das Konvergenzproblem von einer ganz anderen Seite her aufgerollt. Der Grundgedanke ist ebenso einfach wie folgenreich. Die entscheidende Operation, die uns zu den Fourierkoeffizienten und der Fourierreihe fiihrte, ist "Multiplikation + Integration", genauer: die Bildung von Ausdriicken der Form 1t

(xly):=

J x(s)y(s) ds

(1.15)

-1t

(s. nochmals (1.12) und (1.13)). Diese Operation ist das genaue Analogon zur Bildung des wohlvertrauten Innenprodukts II

(xly):= LXsYs

von x:=(xI. ... ,x

lI ) ,

y:=(YI. ""YII) E R".2)

(1.16)

s=1

Dieses Innenprodukt aber ist fundamental: Aus ihm entspringt namlich die e uk lidische Lange oder Norm (1.17) eines Vektors x vermoge der Gleichung (1.18)

IIxll=V(xlx)

und die euklidische Distanz (Entfernung) II

d(x,y):=

L (xs - Ys)2

(1.19)

s=l

I)

S. etwa Heuser II, Nr. 136 und 137.

Vektoren x,y, ... drucken wir hier noch halbfett, urn sie gegenwilrtig besser von Funktionen x, y, .,. unterscheiden zu konnen. Spilter werden wir auch sie mit mageren Buchstaben bezeich· nen (dafiir aber ihre Komponenten mit griechischen).

2)

1 Die schwingende Saite und Fourierreihen

27

zwischen x,y mittels der Beziehung d(x,y) =V(x-YI x-y)

= IIx-yll ;

(1.20)

femer taucht es auf bei der Definition der Orthogonalitat x..ly zweier Vektoren x,y: x..ly: (xly) =

o.

(1.21)

Vnd last but not least wird die Konvergenz einer Foige von Vektoren Xk--+X mittels der euklidischen Distanz, also letztlich auch fiber das Innenprodukt, erkHirt: Xk--+X

bedeutet, daft

IIXk-xlI--+O

strebtfork--+oo.

Nach all diesen Bemerkungen wird man nur schwer der Versuchung widerstehen konnen, den in (1.15) definierten Ausdruck (xly) das "Innenprodukt" der Funktionen x,y zu nennen, die "Lange" oder "Norm" von x durch

IIxll := V(xlx) =

7t

f x2(s)ds

(1.22)

-7t

und die "Distanz" zwischen x, y durch d(x,y) :=V(x-Ylx-y) = IIx-yll

=

VL

(x(s)-y(s»2ds

(1.23)

zu definieren, femer zu sagen, zwei Funktionen x, y seien (zueinander) "orthogonal" oder "stfinden aufeinander senkrecht" (in Zeichen: x..ly), wenn ihr Innenprodukt verschwindet: x..ly: (xly)=O.

Vnd schlieBlich werden wir einen ganz neuen Begriff der "Konvergenz" Xk--+X durch die Festsetzung einfiihren (1.24)

d. h., daB die "Distanz" zwischen Xk und x mit wachsendem k unter jede positive GroBe sinkt. Dieser Konvergenzbegriff ist scharf zu unterscheiden von dem der punktweisen Konvergenz (s. Aufgaben 5,6); man nennt ihn aus naheliegenden Grunden Konvergenz im quadratischen Mittel. Bei all den oben gegebenen Definitionen wollen wir der Einfachheit wegen zunachst voraussetzen, daB die beteiligten Funktionen auf dem Intervall [ -1t, 1t] stetig sind. Die Menge aller dieser Funktionen bezeichnen wir mit C( -1t, 1t]. Wir kehren zu den Fourierreihen zuruck. Die Gin. (1.12) enthalten offensichtlich Orthogonalitiitsaussagen, und man nennt sie denn auch die Orthogonalitatsrelationen der trigonometrischen Funktionen. Die Fourierkoeffizienten

28

I Zur Einstimmung

von x in (1.13) sind nichts anderes als die Innenprodukte von x mit den Funktionen 1 cos ns sin ns Yo(s):= -, Y2/1-1 (s):= - - , Y2/1(S):= - - (n EN),

n

n

n

(1.25)

und diese Funktionen bilden eine Orthogonalfolge: es ist yi.l..Yk for j+k. Die Funktionen (1.26) bilden sogar eine Orthonormalfolge, d.h., es ist nichrnur zj.l..zk!ur j+k, sondern auch durchweg IIzjll = 1. 1st {z], ... ,z,,} eine Orthonormalbasis des R", also eine Basis mit den Eigenschaften Zj.l..Zk

fUrj+k

und

IIzjll=l

fUrj=l, ... ,n,

(1.27)

11

so HiBt sich jedes xE

R/I

in der Form x

=

L

akZk darstellen, und daraus folgt mit

k-I

(1.27) und den bekannten Rechenregeln fUr das Innenprodukt /I

(xlzj) =

L ak (zklz;) = ai'

k-I

also /I

X =

L (xlzdZk.

(1.28)

k-I

Die Orthonormalfolge {zo, Z], Z2, ... } in (1.26) wurde man dementsprechend wohl eine Orthonormal basis fur C[ -n, n] nennen durfen, wenn man fUr jedes x E C[ - n, n] die Darstellung x

=

L

(XIZk)Zk

(1.29)

k-O

hatte - und zwar im Sinne der Konvergenz im quadratischen Mittel:

Diesen Konvergenzbegriff wird man hier schon deshalb bevorzugen, weil er ebenso aus dem Innenprodukt entspringt wie die Reihenkoeffizienten (XIZk)' mit der Reihe also in naturlicherer Weise verbunden ist als die punktweise Konvergenz.

1 Die schwingende Saite und Fourierreihen

29

Aus (1.13) und (1.26) folgt sofort (xlzo)zo(s)

=

"21 ao,

(XIZ2k_I)Z2k_1

(s) =ak cos ks,

(XIZZk)ZZk(S) = bk sin ks,

die Reihe in (1.29) ist also nichts anderes als die Fourierreihe von x, und die "Basisdarstellung" (1.29) wiirde bedeuten, daft die Fourierreihe jeder Funktion XEC[ -11:, 11:]jedenJalls im quadratischen Mittel gegen x konvergierte. Es ist eine Jundamentale und tiefliegende Tatsache, daft dies tatsiichlich gilt. I) Sie zeigt, daB der Begriff der Konvergenz im quadratischen Mittel den Fourierreihen besonders gut angepaBt ist, gewissermaBen den fUr sie natiirlichen Konvergenzbegriff bedeutet. Es ist nur ein anderer Ausdruck dieses Gedankens, wenn man sagt, im Rahmen der Fouriertheorie sei die Distanz (1.23) der natiirliche Begriff des Abstandes zwischen zwei Funktionen. Dies wird durch die folgende Oberiegung in ein noch helleres Licht geruckt. Es sei T" die Menge aller trigonometrischen Polynome

P (s) := ao 2

+ L k~

1

(ak cos ks + fJk sin ks)

(n fest).

(1.31)

Wir fragen nun, ob es in T" ein Po gibt, das im Sinne der Distanz (1.23) einer gegebenen Funktion Xo E C[ - 11:, 11:] am niichsten liegt, so daB also IIxo-PolI";; IIxo-pll

for aile pE T"

(1.32)

bleibt (Po nennt man dann eine Bestapproximation an Xo in T,,). Die Antwort ist ebenso einfach wie aufschluBreich: Es gibt eine, aber auch nur eine solche Bestapproximation Po - und sie ist gerade die n-te Teilsumme der Fourierreihe von X

o·

2)

Die spater zu entwickelnde Theorie der Hilbertriiume ist in ihren Grundziigen kaum etwas anderes als eine Wendung der oben dargelegten "Fourierfakten" ins Abstrakte.

Aufgaben 1. Satz des Pythagoras Sind die Funktionen x], ... , X" aus C[ -n, n] paarweise orthogonal, ist also Xi ~ Xk fiir j 9= k, so gilt

IIXI + ... +x,,11 2= IIXI1I2+ ... + IIx,,1I2. Warum tragt dieser Satz ausgerechnet den Namen des Pythagoras?

I)

S. etwa Heuser II, Nr. 141.

2)

S. etwa Heuser II, Satz 134.2.

30

I Zur Einstimmung

2. Parallelogrammsatz

Fiir je zwei Funktionen x, y aus C[ - n, nl ist

Ilx+ y112+ Ilx- y112=211x11 2 + 211Y112. Welcher elementargeometrische Satz liegt dieser Namensgebung zugrunde?

3. Fiir Funktionen aus C[ - n, nl kann man die Schwarzsche Ungleichung sehr knapp in der Form l(xly)l.;; IIxllllyll schreiben. Zeige mit ihrer Hilfe: Aus X,,---+X (im quadratischen Mittel) folgt (x"ly)---+(xly) fUr jedes y E C[ - n, nl. Daraus wiederum ergibt sich: Aus x schen Mittel) folgt (xly)

L

Xk (im quadrati-

k=1

L

=

=

(x.ly) fUr jedes y E C[ - n, nl.

'~I

4. Parsevalsche Gleichung be 3, daB

IIxll2 =

=

L

Zeige mit Hilfe der (unbewiesenen) Darstellung (1.29) und der Aufga-

(XIZ.)2

oder also

k~O

ist; die ak, bk sind hierbei die Fourierkoeffizienten von x. Jede dieser Gleichungen nennt man nach dem obskuren franziisischen Mathematiker Marc-Antoine Parseval (?-1836; ?) Parsevalsche Gleichung. Aus ihr folgt insbesondere ak---+O und bk---+O/iir k---+oo. 5. Konstruiere eine Foige von Funktionen x" E C[ - n, nl, die zwar im quadratischen Mittel, nicht jedoch punktweise gegen 0 (die identisch verschwindende Funktion) strebt. 6. Konstruiere eine Foige von Funktionen x" E C[ - n, nl, die zwar punktweise, nicht jedoch im quadratischen Mittel gegen 0 (die identisch verschwindende Funktion) strebt. 7. Temperaturverteilung in einem Stab u (s, t) sei die orts- und zeitabhangige Temperaturverteilung eines von s = 0 bis s = L > 0 reichenden diinnen Stabes, dessen linkes Ende auf der konstanten Temperatur 0 gehalten wird, wahrend am rechten Ende Warmeabgabe an ein umgebendes Medium der Temperatur 0 zugelassen sein soli; zur Zeit t = 0 habe der Stab an der Stelle s die vorgegebene Temperatur /(s). Die Temperaturverteilung ergibt sich dann als diejenige Liisung u(s, t) der Warmeleitungsgleichung ( 1.33)

die den Randbedingungen u(O, t)=O,

au as

-(L,t)+au(L,t)=O

fUrallet;;>-O

(1.34)

und den Anfangsbedingungen u(s,O)=/(s)

fUr O';;s.;;L

( 1.35)

geniigt; a und a sind positive Materialkonstanten. Zeige: a) Ist v(s) eine Liisung der Randwertaufgabe v"+Av=O,

v(O)=O,

v'(L)+av(L)=O

(1.36)

31

2 Die Tschebyscheffsche Approximationsaufgabe. GleichmaBige Konvergenz und wet) eine Liisung der Differentialgleichung

(1.37) so ist u(s, t):=v(s)w(t) eine Liisung von (1.33), die den Randbedingungen (1.34) geniigt. b) Die Randwertaufgabe (1.36) kann hiichstens fUr positive A nichttriviale (nicht identisch verschwindende) Liisungen besitzen. Genauer: Sie besitzt nichttriviale Liisungen (Eigenfunktionen) v" (s):=sin (f,Cs) genau fUr die positiven A-Werte (Eigenwerte) A,,(n=I,2, ... ), die sich aus der Gleichung tan (vA L) = -vAla ergeben (v" kann noch mit einer mUltiplikativen Konstanten ,& versehen werden). Die Folge (A,,) divergiert streng wachsend gegen + 00. c) Es ist

°

{O,

L

falls n,&m, fll _ a s n -m.

Jv,,(s)v.,,(s)ds= -LO o Ii" r ,

Die

bilden

Vj, V2,'"

also

eine

(1.38)

Orthogonalfolge

beziiglich

des

Innenproduktes

L

(xly):=

Jx(s)y(s)ds auf qo, L]:= Menge der auf [0, L] stetigen reellen Funktionen.

o

v (v:,'+..1.."v,,)=O und

Hinweis:

l1l

0= (A" -A.,,)

vlI(V:,~+AmVm)=O

~

O=(A.II-IlI1l)v"vm+(vmV:,'-VIIV:'~)

=>

Jo v" v." ds + J.i. (v." v;,-v" v;,,) ds = (A" -A.,,) Jv" v." ds (benutze bei dem letzten Schritt ds 0

0

die Randbedingungen). - Man beachte, daB wir die Orthogonalitatsrelationen (1.38) im Unterschied zu (1.12) diesmal aus dem zugrundeliegenden Randwertproblem selbst gewonnen haben. d) Fiir jede Wahl der Konstanten A" ist u" (s, t):=A" sin (f,C s)e--,,,a 2 , eine Liisung von (1.33), die den Randbedingungen (1.34) geniigt. e) Wenn die Reihe u (s, t) := L A" sin (f,C s)e _-'"a" konvergiert und die Ableitungen oulo t, 02 ulos 2 durch gliedweise Differentiation gewonnen werden kiinnen, ist u (s, t) eine Liisung von (1.33), die den Randbedingungen (1.34) geniigt. f) Unter den Voraussetzungen von e) lauft die Frage, ob u(s, t1 auch noch der Anfangsbedingung (\.35) angepaBt werden kann, auf das Problem hinaus, die A" so zu bestimmen, daB f(s) =

L

,,-I

A" sin

(f,C s)

(1.39)

ist - also auf das Problem, eine .. willkiirliche" Funktion nach paarweise orthogonalen Funktionen zu entwickeln.

2

Die Tschebyscheffsche Approximationsaufgabe. Gleichma6ige Konvergenz

In der angewandten Mathematik spielt eine Approximationsaufgabe eine entscheidende Rolle, die mit dem Problem (1.32) formal aufs engste verwandt ist und sich doch tiefgreifend von ihm unterscheidet (s. Nr. 121). Es handelt sich urn folgendes.

32

I Zur Einstimmung

Vorgelegt sei eine stetige Funktion xo: [a, b)--+R. Wir suchen in der Menge P" aller Polynome p(t):=ao+a1t+ · ··+a"t" yom Grade ~n (n fest yorgegeben) ein Po, des sen Maximalabweichung yon Xo kleiner (oder jedenfalls nicht groBer) ist als die Maximalabweichung eines jeden anderen pEP" yon xo: max Ixo(t)-Po(t)1 ~ max Ixo(t)-p(t)1

a gibt, so daB fur aile k ~ ko und aile lET stets

°ein ko = ko([;)

Ixd/) - x (1)1 < [;

bleibt. Schon in Nr.2 (nach (2.7» haben wir gesehen, dajJ in qa, b] die Konvergenz im Sinne der Maximumsmetrik gleichbedeulend isl mit der gleichmiijJigen Konvergenz, und genauso siehl man, dajJ auch in B(T) die Konvergenz im Sinne der Supremumsmelrik auf die gleichmiijJige Konvergenz hinausliiufl. In II' (n)(1.;;;p';;; 00) bedeutet die "melrische Konvergenz" offensichllich nichls anderes als die komponenlenweise. Daraus ergibt sich ubrigens, daB die [I' (n)-Konvergenz (Konvergenz im Sinne der Metrik von II' (n» vollig gleichwertig mit der 1'1 (n)Konvergenz ist: Xk--+X in II'(n) gill genau dann, wenn Xk--+X in 1'I(n) gill. Vom Standpunkt einer bloBen Konvergenzlheorie aus betrachtet leisten also aile durch (6.5) und (6.6) definierten Metriken des K" genau dasselbe; daB ihre gesonderte Betrachtung dennoch nutzlich sein kann, werden wir schon in A 6.18 sehen.

60

II Normierte Raume

Eine Zahlenfolge konvergiert bekanntlich genau dann, wenn sie eine Cauchyfolge ist. ' ) Den Begriff der Cauchyfolge konnen wir in metrischen Raumen sofort nachbilden: Die Folge (XII) in einem metrischen Raum heiBt Cauchyfolge, wenn es zu jedem e> 0 ein no = no (e) gibt, so daB fUr aIle n, m ~ no stets d (XII' X", ) < e bleibt. Eine konvergente Folge ist immer eine Cauchyfolge. Haben wir namlich lim XII =X, so gibt es zu e> 0 ein no mit d (XII' x) -+ y + Kx von C[a, bl. Mit ihr entpuppt sich (6.38) als das Fixpunktproblem x=Ax. Zeige nun der Reihe nach: a)

A"x=y+Ky+K 2 y+···+K,,-l y +K"x.

b)

I(K"x)(s)I""M" - - j 1 n!

(s

mit

M:=

max

a)"

fiir sE[a,bl (6.39)

j1:= max Ix(t)l.

Ik(s, t)l,

a~/ p. 11. Die Menge B V[a, b] aller Funktionen, die auf [a, b] definiert und dort von beschriinkter Variation sind.

Mit Ausnahme von K" haben wir bei den Bezeichnungen der obigen Raume durch Symbole wie (s), IP usw. nicht zwischen dem reel/en und komplexen Raum unterschieden, da eine so1che Unterscheidung meistens unwesentlich ist. Wenn nicht ausdriicklich etwas anderes gesagt wird, gelten unsere Ergebnisse sowohl im reellen wie im komplexen Fall. Nach diesen Beispielen, die u. a. zeigen, wie haufig lineare Strukturen in der Analysis auftreten, beginnen wir nun, die Geometrie linearer Raume E tiber K zu studieren. Eine nichtleere Teilmenge F von E heiBt (linearer) Unterraum oder Teilraum von E, wenn Summe und skalare Vielfache von Elementen aus F stets wieder in F liegen; Fist dann selbst ein Vektorraum. Aile linearen Folgenriiume sind Unterriiume von (s). Jeder Unterraum von E enthalt das Nullelement 0, und {O} ist selbst ein Unterraum. Der Durchschnitt beliebig vieler Unterriiume von E ist wieder ein Unterraum von E. Speziell ist der Durchschnitt aller Unterraume, die

7 Vektorraume

75

eine nichtleere Teilmenge M von E umfassen, ein Unterraum; er heiBt der von M erzeugte oder aufgespannte Unterraum oder auch die lineare Hiille von M und wird mit [M] bezeichnet. [M] ist der kleinste Unterraum, der M umfaBt; seine Elemente sind aile (endlichen) Linearkombinationen ax + py + ... von Elementen x, y, ... aus M. Die lineare Hiille einer hochstens abzahlbaren Menge {X., X2, ... } wird auch mit [X., X2, ... ] bezeichnet. Eine endliche Teilmenge {X., ... ,x,,} von E heiBt linear unabhangig, wenn aus alxl+"'+a"x,,=O stets al="'=a,,=O folgt, andernfalls heiBt sie linear abhangig. Eine unendliche Teilmenge M von E wird linear unabhangig genannt, wenn jede endliche Teilmenge von M linear unabhangig ist; andernfalls nennen wir sie wieder linear abhangig. Der k-te Einheitsvektor ek:=(O, ... , 0,1,0, ... ), also die Folge, die an der k-ten Stelle eine 1 und sonst iiberall hat, liegt in allen bisher betrachteten Folgenraumen IP, (co), (c) und (s). Man sieht sofort, daB {e., e2, ... } eine linear unabhangige Teilmenge aller dieser Raume ist. Aus dem Identitatssatz fiir Polynome folgt, daB die Menge der auf [a, b] definierten Funktionen tf-+(' (n = 0, 1,2, ... ) eine linear unabhangige Teilmenge von qa, b] ist.

°

Von besonderer Bedeutung sind diejenigen linear unabhangigen Teilmengen von E, die ganz E erzeugen. Eine solche Menge heiBt (algebraische oder Hamels c he) Bas i s von E. 1) Mit Hilfe einer Basis B = (x). : AE L} laBt sich jeder Vektor x

aus E in der Form x

=

1:

a).x). darstellen, wobei die Koeffizienten a). eindeutig

).EL

bestimmt und nur endlich viele a). von Null verschieden sind. Die Frage, ob es iiberhaupt eine Basis in E gibt, beantwortet der folgende 7.1 Satz Zujeder linear unabhangigen Teilmenge M von E gibt es eine M umfassende Basis von E. 1st E 1= {OJ, so besitzt E eine Basis. Der Beweis wird mit Hilfe des Zornschen Lemmas gefiihrt. Die Menge ~m aller M umfassenden und linear unabhangigen Teilmengen von E ist nicht leer (sie enthalt namlich M) und wird durch die mengentheoretische Inklusion geordnet. Jede vollgeordnete Teilmenge mvon W{ besitzt die obere Schranke U V in W{. InVE)l.I

folgedessen gibt es in W{ ein maximales Element B. Fiir jeden nicht in B liegenden Vektor x ist Bu{x} als echte Obermenge von B linear abhangig. Daher gibt es Vektoren y., ... , y" aus B und Zahlen ao, a., ... , a ,,, die nicht aile verschwinden, so daB aOx+alYl + ... +a"y" =0 ist. Wegen der linearen Unabhangigkeit von B muB ao 1= sein; wir erhalten somit, daB x eine Linearkombination der Vektoren y., ... , y" ist, also in der linearen Hiille [B] von B liegt. Da trivialerweise auch jedes x aus B in [B] liegt, ist [B] = E. In der Tat ist also Beine M umfassende Basis von E. - Gibt es in E ein Element Xo 1= 0, so ist die Menge {xo} linear unabhangig, kann also nach dem eben Bewiesenen zu einer Basis von E erweitert werden. •

°

I)

Nach Georg Hamel (1877-1954; 77).

76

II Normierte Raume

Besitzt E i= {OJ eine Basis aus endlich vieien, etwa n Elementen, so besteht jede andere Basis von E ebenfalls aus n Elementen, wie der Leser aus der Linearen Algebra weiB. In diesem Fall sagen wir, E habe die Dimension n oder sei ndimensional und schreiben dim E=n. Dem trivialen Raum {OJ wird die Dimension 0 zugeordnet. Besitzt E keine endliche Basis, so setzen wir dim E = 00 und nennen E unendlichdimensional. Abgesehen von K" sind aile in dies em Abschnitt betrachteten Funktionen- und Foigenraume unendlichdimensional, weil sie unendliche linear unabhiingige Teilmengen enthalten. Es laBt sich zeigen, daB auch in einem unendlichdimensionalen Vektorraum zwei Basen stets die gleiche Kardinalzahl (Machtigkeit) haben; diese Kardinalzahl kann man dann die Dimension des Raumes nennen. Vgl. etwa Kothe (1966), S. 56. Fur Teilmengen M, N von E, Vektoren Xo aus E und Skalare a setzen wir xo±M:={xo±X: xEM},

M±N:={x±y: xEM, yEN}, aM:={ax: xEMj. Naturlich IaBt sich die Summe von Mengen auch ganz entsprechend fUr mehr als zwei Summanden erklaren. Die Summe F + G zweier Unterriiume F, G von E ist selbst wieder ein Unterraum. Sie heiBt direkt und wird mit F~G bezeichnet, wenn Fn G={Oj ist. Dies ist offenbar genau dann der Fall, wenn fUr jedes Element z=x+ y aus F+ G die Komponenten xEF,yEG eindeutig bestimmt sind. 1st F~G=E, so heiBt G (algebraischer) Komplementarraum zu F(in E). In diesem Faile ergibt die Vereinigung einer Basis von F mit einer Basis von G eine Basis von E. Erweitert man umgekehrt gemaB Satz 7.1 eine Basis des Unterraumes F durch Hinzunahme einer geeigneten linear unabhangigen Menge M zu einer Basis von E, so erzeugt M einen Komplementarraum zu F. Damit haben wir den folgenden Satz bewiesen:

7.2 Satz Zu jedem Unterraum eines Vektorraumes gibt es mindestens einen algebraischen Komplementiirraum. 1st E=F~Gl =F~G2' so laBt sich unter Verwendung des oben erwahnten allgemeinen Dimensionsbegriffs zeigen, daB G 1 und G2 die gleiche (evtl. transfinite) Dimension haben. 1st G 1 sogar endlichdimensional, so kann der Beweis hierfUr hochst einfach mit den Mitteln der Linearen Algebra gefUhrt und deshalb dem Leser uberlassen werden (vgl. auch A 8.7). Wir halten dieses spezielle, fur uns jedoch wichtige Ergebnis fest:

7.3 Satz Zwei Komplementiirriiume eines gegebenen Unterraumes sind entweder beide unendlichdimensional oder haben die gleiche endliche Dimension. Dieser Satz gibt uns die Moglichkeit, die Kodimension eines Unterraumes G von E als die Dimension irgendeines Komplementarraumes F von G in E zu defi-

7 Vektorriiume

77

nieren. Bezeichnen wir diese GroBe mit co dimE G oder einfach mit codim G, falls der Bezugsraum E festliegt, so ist also codim G=

falls dim F=

00,

00,

codim G=dim F,

falls 1 ... dim F
0 sein (andernfalls strebte x,,--+y, wegen der Abgeschlossenheit von F ware also y E F). Daraus folgt wegen 0 < TJ < 1, daB d/TJ> d ist; es gibt also ein zEF mit 0< IIz- yll ",;;,d/TJ. Setzt man y:= 1Il1z-yll und x,.,:=y(y-z), so ist IIx,/1l = 1, und fur aIle xE F hat man wegen y~TJ/d und (lIy)x+zEF IIx-x,.,1I = IIx-y(y-z)1I = lI(x+yz)-yyll =y

II (~x+z) - y II ~ ~.d=TJ.

•

Fig. 11.1

Wir konnen nun die Endlichkeit der Dimension eines normierten Raumes (eine algebraische Eigenschaft) durch eine metrische Eigenschaft (die Gultigkeit des Bolzano-WeierstraBschen Satzes) charakterisieren. DaB so etwas uberhaupt moglich ist, liegt letztIich daran, daB die algebraische und metrische Struktur normierter Raume nicht unverbunden nebeneinander stehen, sondern via Stetigkeit ineinandergreifen.

11.7 Satz Genau dann gilt in einem normierten Raum der Satz von Bolzano- Weierstraj3, d. h., genau dann enthiilt jede beschriinkte Foige eine konvergente Teilfolge, wenn der Raum von endlicher Dimension ist. Beweis: Sei {XI> ... ,x,,} eine Basis des Raumes,Yk:=

L"

a~k)xv

und IIYkIl",;;,y fUr

v=1

k= 1, 2, ... Nach Hilfssatz 11.1 ist mit einem geeigneten J.l> 0

±la~k)I"';;'J.l II ±a~k)

V=

I

V=

I

XV

II = J.lllydl",;;,J.l y,

die Folge der ak :=(a\k), ... , a~;») ist also in I' (n) beschrankt. Da aber dort der Satz von Bolzano-WeierstraB gilt (s. Satz 6.9), strebt eine gewisse Teilfolge (ak,) bezuglich der Norm 11 · 11, - und somit auch komponentenweise - gegen ein a:=(a" ... ,a,,), also haben wir a~k')--+av fur v=I, ... ,n und daher auch " " Yk, = L a~k,) Xv --+ L a"x". (yd besitzt also eine konvergente Teilfolge. v= 1

v= l

11 Endlichdimensionale normierte Raume

105

Nun sei der normierte Raum E unendlichdimensional. Sei XI EE, IIxdl = 1 und FI := [x d. FI ist =1= E und nach Satz 11.4 abgeschlossen. N ach dem Rieszschen Lemma gibt es also ein X2 E Emit IIx211 = 1 und IIx - x 211 ~ 1/2 fUr aIle x E Fl' Sei F2:=[X],X2]. Wiederum ist F2=1=E und abgeschlossen, es gibt also ein x3EE mit IIx311 = 1 und IIx-x311 ~ 112 fUr aIle XEF2. So fahrt man fort, genauer: hat man x], ... , x" konstruiert, so ist F,,:= [x], ... , x,,] =1= E und abgeschlossen, es gibt also ein x" + I mit IIx" + III = 1 und IIx - x" + III ~ 112 fUr aIle x E F". Die Folge (x,,) ist zwar beschrankt - sie enthalt aber keine konvergente Teilfolge, nicht einmal eine Cau• chyteilfolge, wei I fUr n =1= m stets IIx" - XIII II ~ 112 ausfallt. Kaum mehr als eine Umformulierung des Satzes 11.7 ist der Fur einen normierten Raum E sind die folgenden Aussagen gleichwertig: a) E ist endlichdimensional. b) Jede abgeschlossene und beschriinkte Teilmenge von E ist kompakt. c) Die abgeschlossene Einheitskugel KI [0] ist kompakt. 11.8 Satz

Aufgaben 1.

Definiere die lineare Abbildung A: P-+P durch Ax:= (

~ f.c, 0, 0, ...)

v-I

V

und zeige, daB A

stetig ist. (Hinweis: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.) Fiihrt man aber auf /2C/~ die /~-Norm IIxll ~ = sup I~vl ein, so ist A unstetig (betrachte die Folge der Elemente x,,:= (1, 1, ... , 1,0,0, ... ) die n ersten Glieder = 1, aile anderen =0). 2. Aus der beschrankten Folge der Einheitsvektoren e,,:= (0, ... ,0, 1,0, ...) in P - das n-te Glied = 1, aile anderen =0 - kann man keine Cauchyteilfolge auswahlen. 3. Ein Distanzierungsproblem: Sei Fein echter Unterraum des normierten Raumes E und 0> O. Gibt es ein yEE, so daB IIx-yll ~o fUr aile xEF ist? Zeige an einem geeigneten Unterraum von /2, daB die Frage zu verneinen ist, wenn F nicht abgeschlossen ist. Fiir abgeschlossenes Fist sie jedoch zu bejahen. Den Aufgaben 4 bis 7 schicken wir eine Definition voraus, die durch die zentrale Rolle des Satzes von Bolzano-WeierstraB veranlaBt wird: Die Teilmenge M des metrischen Raumes E heiBt relativ kompakt, wenn jede Folge aus M eine konvergente Teilfolge besitzt (der Grenzwert braucht nicht in M zu liegen). E sei ein metrischer Raum und Meine Teilmenge von E. Zeige: a) Mist kompakt -= Mist relativ kompakt und abgeschlossen. *b) Mist relativ kompakt -= die AbschlieBung Mist kompakt. c) Mist relativ kompakt 0> Mist beschrankt. 4.

Urn in den Aufgaben 5 bis 7 die Hinlanglichkeit der angegebenen Bedingungen zu erkennen, wahle man aus einer vorgelegten Folge mittels des Diagonalverfahrens eine (zunachst nur) komponentenweise konvergente Teilfolge aus.

106

II Normierte Raume

Mcl", I ~P< 00, ist genau dann relativ kompakt, wenn M beschrankt ist und strebt fUr n- 00, und zwar gleichmiij1ig fUr aile (~" ~2"") in M.

5.

L

l~vI"-O

6. MC(ca) ist genau dann relativ kompakt, wenn M beschrankt ist und sup n- 00, und zwar gleichmiij1ig fUr aile (~" ~2' ••• ) in M. v>"

I~vl-O

MC(c) ist genau dann relativ kompakt, wenn M beschrankt ist und sup fUr n _ 00, und zwar gleichmiij1ig fUr aile (~I' ~2' ... ) in M. V./1 >"

l~v-~/11-0

7.

strebt fUr strebt

8. Sei (Pk) eine gleichmaBig konvergente Foige von Polynomen mit Grad ~ n (n fest) auf [a,b]. Zeige, daB die Grenzfunktion wieder ein Polynom mit Grad ~ n ist. In der Polynomfolge des WeierstraBschen Approximationssatzes (s. A 2.3) mUssen also immer dann Polynome beliebig hohen Grades vorkommen, wenn die zu approximierende Funktion selbst kein Polynom ist. Diese Bemerkung macht den Unterschied zwischen der WeierstraBschen und der Tschebyscheffschen Approximation (s. Nr. 2) besonders deutlich. *9. Sei K aus Y(E, F). Zeige: 1st die Dimension des Definitionsraumes E oder die des Bildraumes K(E) endlich, so hat K dieselbe Fundamentaleigenschaft wie der Fredholmsche und Volterrasche Integraloperator: 1st (x;) eine beschrankte Foige in E, so besitzt ihr Bild (Kxj) eine konvergente Teilfolge. - Operatoren K mit dieser Eigenschaft hatten wir schon in A 10.16 betrachtet und kompakt genannt. *10.

FUr einen kompakten Operator K: E-E ist dimN(J-K)


13

Normierte Algebren

Funktionen aus C[a,b] kann man nicht nur addieren und vervielfachen - man kann sie auch gemiif3 der Festsetzung (xy)(t):=x(t)y(t)

fUr aile tE[a,b]

muitiplizieren, ohne aus C[a,b] herauszugeraten. Entsprechendes gilt fiir Funktionen aus B(T). In beiden Fiillen gehorcht die Multiplikation den folgenden Regeln: x(yz)=(xy)z, x(y+z)=xy+xz,

(x+ y)z=xz+ yz,

(13.1 )

a (xy) = (ax)y=x(ay).

Die analoge Situation haben wir bereits in dem Vektorraum Y(E) aller Endomorphismen des linearen Raumes E angetroffen (wobei die Multiplikation zweier Endomorphismen ihre HintereinanderausfUhrung ist; s. (8.1». Und sie ist uns noch einmal begegnet bei dem Vektorraum Y(E) aller stetigen Endomorphismen eines normierten Raumes. 1m Unterschied zu C[a,b] und B(T) ist die Multiplikation in Y(E) und Y(E) jedoch nicht durchweg kommutativ: es kann Operatoren A, B mit ABf=BA geben; wir haben deshalb in (13.1) das Kommutativgesetz fUr Produkte erst gar nicht hingeschrieben (dafUr aber zwei Distributivgesetze). Es ist nun an der Zeit, diese Erscheinungen begrifflich zu fassen: Ein Vektorraum R iiber K heif3t eine Algebra iiber K, wenn fiir je zwei Elemente x, y aus Rein Prod ukt xy E R so definiert ist, daf3 die Rechenregeln (13.1) gelten. Die Algebra R heif3t kommutativ, wenn stets xy=yx ist. In dieser Sprechweise sind C[a,b] und B(T) kommutative, Y(E) und Y(E) nichtkommutative Algebren. Gilt xy = yx, so sagen wir, die Elemente x, y seien (miteinander) vertauschbar oder kommutierten. Das Nullelement 0 von R ist mit jedem xER vertauschbar: Ox=xO=O. Ein Element e aus R mit xe=ex=x fiir aile xER heif3t Einselement von R. In einer Algebra gibt es hochstens ein (u. U. kein) Einselement. Die oben genannten Algebren besitzen aile ein Einselement: C[a,b] und B(T) die konstante Funktion 1, Y(E) und Y(E) die identische Transformation Ie.

114

II Normierte Raume

Eine Abbildung A: R-+S der Algebren R, S tiber K nennt man einen H omomorphismus (oder genauer: einen Algebrenhomomorphismus), wenn durchweg A (x+ y)=Ax+Ay,

A (ax)=aAx

und

A (xy) = (Ax)(Ay)

gilt. Ein so1cher Homomorphismus ist also eine lineare und "multiplikative" Abbildung. 1st er bijektiv, so wird er ein (Algebren-)Isomorphismus genannt, und von den Algebren R und S sagt man dann, sie seien isomorph. Isomorphe Algebren darf man bedenkenlos identifizieren (vgl. die entsprechenden AusfUhrungen tiber isomorphe Vektorraume in Nr. 8). Die Algebren C[a,b), B(T) und SV(E) sind gleichzeitig normierte Raume, und in ihnen sind Norm und Multiplikation durch die Ungleichung (13.2)

IIxyll.;;;lIxlillyll

miteinander verkntipft (das multiplikative Analogon zu der Dreiecksungleichung Ilx +yll';;; Ilxll + lIyll). Diese Beobachtung regt zu der folgenden Definition an: Eine Algebra R heil3t normierte Algebra, wenn sie ein normierter Vektorraum ist und fUr Produkte die Ungleichung (13.2) gilt. C[a,b), B(T) und SV(E) sind also normierte Algebren. In einer normierten Algebra sind aile algebraischen Operation en und die Norm stetig, d.h., aus X,,-+X, y,,-+y und a,,-+afolgt x" +y,,-+x+y,

a"x,,-+ax,

x"y,,-+xy,

IIx"II-+llxli.

(13.3)

Die Stetigkeit der linearen Operationen und der Norm wird durch Satz 9.13 garantiert, die Stetigkeit der Multiplikation folgt aus (13.2) in derselben Weise, wie (10.8) aus (10.6) gewonnen wurde. Ftir Potenzen x" ist wegen (13.2)

IIx"Il.;;;lIxll"

fUrn=I,2, ....

(13.4)

Das Studium der Operatorengleichung Ax = y hat uns die Augen fUr die Bedeutung der Inversen A - I geOffnet, und wir bilden deshalb dies en Begriff nun in Algebren nach (wobei wir uns an Satz 8.2 orientieren). Besitzt eine - nicht notwendigerweise normierte - Algebra Rein Einselement e und ist xy = e, so sagt man, x sei lin ksinvers zu y und y rechts i nvers zu x oder auch y sei linksinvertierbar, x rechtsinvertierbar. 1st x sowohl links- als auch rechtsinvertierbar, gibt es also Elemente y und z mit y x = x z = e, so heil3t x invertierbar oder regular; es ist dann y=z und dieses eindeutig bestimmte Element y wird die Inverse von x genannt und mit X-I bezeichnet. Die Menge der invertierbaren Elemente bildet eine Gruppe bezuglich der Multiplikation. Sind x

13 Normierte Aigebren

115

und y invertierbar, so ist (xy)-I=y-IX-I. Ein nichtinvertierbares Element wird auch sing u I ar genannt. Man beachte, daB in der Algebra geE) das Wort "Inverse" zwei Bedeutungen hat, eine abbildungstheoretische und eine algebrentheoretische: Besitzt A E geE) eine algebrentheoretische Inverse, gibt es also ein BE geE), so daB BA =A B = I ist, so ist nach Satz 8.2 A insbesondere injektiv, besitzt also eine abbildungstheoretische Inverse, namlich die Umkehrabbildung A - I, und es ist B =A - I: algebren- und abbildungstheoretische Inverse stimmen iiberein. WeiB man nur, daB A eine abbildungstheoretische Inverse - eine Umkehrabbildung besitzt, so braucht A noch keine algebrentheoretische Inverse zu haben; eine solche existiert nach Satz 8.2 erst dann, wenn A auch noch surjektiv ist. Anders ausgedriickt: Die Umkehrabbildung (Inverse) A-I ist genau dann die algebrentheoretische Inverse von A, wenn sie auf dem ganzen Raum E definiert ist. Sprechen wir hinfort einfach von der "Inversen" einer Abbildung, so meinen wir damit immer die Umkehrabbildung, auch wenn letztere nicht auf ganz E existiert. Man beachte ferner, daB wir uns bei der Suche nach einer Inversen von x E R definitionsgemaB nur in R bewegen diirfen. Ein in R nichtinvertierbares Element x kann in einer R umfassenden Algebra sehr wohl eine Inverse besitzen - aber das andert nichts daran, daB x in R eben doch nicht invertierbar ist. Sei etwa T das offene Intervall (0,1) und x die Funktion t>-+t auf T. x liegt in B(T), ist aber dort nicht invertierbar. In der Algebra aller skalarwertigen Funktionen auf T besitzt x jedoch eine Inverse, namlich die Funktion 1>-+ lit. Wenn ein Operator A E .57(E) bijektiv ist, hat er gewiB eine Inverse A - I in der Algebra .9'(E). Aber nur dann, wenn A-I auch noch stetig ist, darf man ihn invertierbar in der (kleineren) Algebra Y(E) nennen.

In einer Algebra R mit Einselement e setzen wir xo:= e. 1st R normiert und ;b to}, so folgt aus II ell = lIe 2 11 ~ lIell 2 sofort II ell ~ 1. In einer Algebra gilt fiir vertauschbare Elemente x,y der binomische Satz:

Grundlegend fUr das Weitere ist der Begriff der Banachalgebra. Darunter versteht man eine normierte Algebra, die als normierter Raum vollstiindig ist. 13.1 Beispiel Banachalgebren sind: K, C[a,b], allgemeiner C(T) mit kompaktem T, B(T) und Y(E), falls E ein Banachraum ist (s. Satz 10.4). Fiir die Mathematik und ihre Anwendungen (besonders in der Elektrotechnik) sind sogenannte Faltungsalge bren (Kon vo I u tionsalge bren) von herausragender Bedeutung. In diesen Aigebren werden Foigen bzw. Funktionen nicht komponenten- bzw. punktweise multipliziert, sondern vermoge der sogenannten FaItung (Konvolution) *. Aus der groBen Zahl von Faltungsalgebren bringen wir drei Beispiele.

116

II Normierte Raume

13.2 Beispiel

Fiir absolut konvergente Reihen

L

11=0

~,"

L

TJ" ist bekanntlich

,,=0

wobei die rechtsstehende Reihe wieder absolut konvergiert. In strenger Analogie zu diesem Cauchyschen Produkt definiert man nun fUr zwei Elemente x:=(~o,~ ..... ),Y:=(TJo,TJ ..... )1) des Banachraumes [I ihre Fa[tungx*y durch (13.5)

x * y liegt in [I, und aus der Theorie der Reihenmultiplikation ergibt sich in bequemster Weise, daB die Operation * aile Eigenschaften (13.1) einer Algebrenmultiplikation besitzt2) und auch der Fundamentalungleichung (13.2) geniigt (mit der [I-Norm 11.11 1 an Stelle von 11·11). Mit der Faltung als Multiplikation wird also der Banachraum [I zu der Banacha[gebra [I. Sie ist kommutativ und besitzt das Einselement (1,0,0,0, ... ). 13.3 Beispiel [I (Z)

sei

die

Menge

der

"doppelt-unendlichen"

Folgen

00

L

x:= (... , ~ -2, ~ -I, ~o, ~\, ~2' ... ), fUr die

U= -

I ~"I konvergiert. [I (Z) wird mit iibli00

cher komponentenweiser Addition und Vervielfachung und der Normdefinition

ein Banachraum; man sieht dies sofort, wenn man die doppeltunendliche Folge zu der einfach-unendlichen Folge (~O'~-"~h~-2'~2' ... ) umschreibt und die entsprechenden Ergebnisse iiber [I benutzt. Und wie in Beispiel 13.2 motiviert nun die Multiplikationstheorie absolut konvergenter Reihen, fUr zwei Elemente x:= (~,,), y:= (TJ,,) des [I (Z) ihre Fa[tung x *y als diejenige doppeltunendliche Folge zu definieren, deren notes Glied (x * y)" gegeben wird durch

( ... ,~- .. ~o,~ ..... )

(x*y),,:=

L

k= -

~"-kTJk>

nEZ.

(13.6)

00

Aus der genannten Multiplikationstheorie (oder auch durch direkte Rechnung) ergibt sich, daB die Faltung eine Algebrenmultiplikation ist und [I (Z) zu einer Banacha[gebra macht. Sie spielt eine groBe Rolle in der Nachrichtentechnik; die Glieder von (~,,) E [I (Z) bedeuten dabei diskrete "Abtastwerte" kontinuierlicher Signale. I) Wir lassen die Indizierung bei 0 beginnen, urn die Analogie zur Reihenmultiplikation zu betonen. 2) Dies kann man natiirlich auch direkt verifizieren, aber das ist doch recht miihselig.

13 Normierte Aigebren

117

II (Z) ist kommutativ und besitzt das Einselement (... ,0,0, 1,0,0, ... ) (1 an der Stelle 0, sonst iiberall 0).

13.4 Beispiel Das kontinuierliche Analogon zu 11 (Z) ist der Banachraum L I (R) mit der Faltung x * y, definiert durch

(x*y)(t):=

+=

f

x(t-s)y(s)ds,

-oo 2 m erhalten wir nun

+

±

(n) aVfJ"-v (1J)/-V

v=l1-m+ I

mit

y:=

max

O..s;;v~m-I

f3

V

(-a~)V + 1 +

max

O 0 sind. Unterliegen nun die Matrixelemente Xjk - neben (14.11) - sogar der Bedingung

L"

j-I

Xjk

< 1 fUr k = 1, ... , n ,

(14.14)

I) So genannt nach Wassily Leontieff, dem 1906 in St. Petersburg (dem heutigen Leningrad) geborenen amerikanischen Volkswirt, der 1973 den Nobelpreis fUr Wirtschaftswissenschaften erhielt.

128

III Anwendungen

so bleibt die Spaitensummennorm IKlt und damit erst recht der Spektralradius r(K) unterhalb von 1, das Gleichungssystem (14.13) besitzt also die eindeutig bestimmte Losung (14.9), und da offenbar die Elemente der Potenzen K V aile ~O, die von KO = I sogar > 0 sind, werden die Komponenten der Losung i tatsachlich aile positiv sein, wenn ebendasselbe fUr die Komponenten von y gilt - ein fUr die Praxis wichtiges Resuitat, das aber dank unserer Theorie der Neumannschen Reihe geradezu mit Handen zu greifen ist. Eine andere Bedingung fUr die X;k, die zu demselben Ergebnis fUhrt, findet der Leser in Aufgabe 6 (s. dazu auch Aufgabe 5). Aufgaben 1. 2.

" laid eine Matrixalgebranorm definiert wird.

Zeige, daB durch I(aid 1:= L

i.k=

I

Die Quadratsummennorm (14.3) wird bei keiner Normierung von K" eine Abbildungsnorm.

+3. Vertragliche Matrixnormen Versieht man K" mit irgendeiner Norm 11·11, so nennt man eine Matrixnorm 1·1 auf 5 p (K") vertraglich mit 11·11, wenn die Abschatzung IIAxll.;; IA I IIxll

fUr al\e x E K" und al\e A E c9'(K")

gilt (die zu 11·11 gehorende Abbildungsnorm ist trivialerweise vertraglich mit 11·11). Zeige, daB die Zeilensummen-, Spaltensummen- und Quadratsummennorm beziehentlich mit den Normen 11·11 =, 11·11, und 1I·lb vetraglich sind. Die in Aufgabe 1 definierte Matrixnorm ist mit 11·11, vertraglich. 4.

Gibt es auf Y(K") eine Matrixalgebranorm 1·1 mit lAB 1= IA liB I fUr al\e A, B? 2

5. Zeige anhand einer Leontieffschen (2,2)-Matrix K, daB die Bedingung L j~' nicht die durchgangige Losbarkeit von (14.13) gewahrleistet.

XiA =

1 fUr k= 1, 2

+6.

1st K eine Leontieffsche (n,n)-Matrix mit durchwegpositiven Elementen, bei der wenigstens " eine der Spaltensummen LXi' unterhalb von 1 bleibt, so besitzt (14.13) fUr jedes y genau eine i=1

Losung x, und deren Komponenten sind al\e positiv, wenn ebendasselbe fUr die Komponenten v~n y gilt. Hinweis: Zeige, daB IK 2 1, X2, X3 konstruiert werden kann.

u,

u, Fig. 20.2

Fig. 20.3

I) Erhard Schmidt (1876-1959; 83) hat viet dazu beigetragen, eine geometrische Sprechweise in die Funktionalanalysis einzufiihren. In der englischsprachigen Literatur wird sein Verfahren meistens das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren genannt.

162

IV Innenprodukt- und Hilbertriiume

Der angekiindigte Schmidtsche Orthogonalisierungssatz Iautet nun so: 20.2 Satz Aus einer hochstens abziihlbaren und linear unabhiingigen Teilmenge {X],X2, ... } des Innenproduktraumes E liijJt sich ein Orthonormalsystem {u], U2, ...} so konstruieren, dajJ for aile einschliigigen n gilt:

u" =a"IXI + ... + a""x" ,

X"=P,,IUI +···+p""u".

(20.5)

Insbesondere erzeugt also {u], ... , u,,} bzw. {u], U2, ...} denselben Unterraum wie {x], ... , x,,} bzw. {x], X2, ...}.

Beweis. Wir Iegen die FoIge {u], U2, ...} induktiv fest: a) UI :=xl/llxlli. Trivialerweise gilt nun (20.5) fUr n = l. b) Sei bereits ein Orthonormal system {u], ... , Ur_l} so definiert, daB (20.5) fUr n = 1, 2, ... , r-1 gilt. Dann ist ,.-1

Zr:=Xr -

L

(x,.lup)up.L{u], ... , Ur_l}

(s. Satz 20.1).

p=1

zr verschwindet nicht, weiI andernfaIIs Xr in [u], ... , ur_ d und damit (nach Induktionsvoraussetzung) auch in [x I, ••. , x,. _ d Hige - das aber geht wegen der Iinearen Unabhangigkeit der x], X2, ... , Xr nicht an. Mit ur:=z,.llIz,.1I ist {u), ... , urI nun ein • Orthonormal system, und (20.5) gilt fUr n = 1, ... , r.

Aufgaben 1. Beweise den eingangs mitgeteilten Satz aus der Theorie der Fourierreihen. Hinweis: Benutze die Orthonormalfolge (1.26). 2. Besselsche Ungleichung in"der Theorie der Fourierreihen Zeige: Sind ak, bk die Fourierkoeffizienten von XEL2( -n, n) (s. (1.13», so ist 1 2 -ao+ 2

L:"

k _ I

1" 2 2 2 (ak+bdo>;- J Ix(t) I dt

n _"

fiirjedes nEN.

SchlieBe daraus, daB ak-O und bk-O strebt. Hinweis: Benutze die Orthonormalfolge (1.26). 3. Formuliere und beweise iihnlich wie in Aufgabe 2 Besselsche Ungleichungen unter Verwendung der Legendreschen bzw. der Hermiteschen Polynome (s. Beispiele 19.6 und 19.9). 4. Sei P" die Menge aller Polynomeao+alt+···+a"t" vom Grade o>;n. Zeige: Fur ein vorgegebenes x E C[a, b] ist die Approximationsaufgabe b

J Ix(t)-p(tWdt=min

a

eindeutig durch ein Po E P,. IOsbar.

(pEP,,)

20 GauBapproximation und Orthogonalisierungsverfahren

163

5. Betrachte im R2 die Aufgabe, zu dem Vektor (0, 1) eine Bestapproximation in dem von (1,0) aufgespannten Unterraum zu tinden, und zwar zuerst im Sinne der euklidischen, dann im Sinne der Maximumsnorm. Zeige, daB die erste Aufgabe nur eine. die zweite jedoch unendlich viele Losungen besitzt (Zeichnung!). Hier zeigt sich zum ersten Mal ein tiefgreifender Unterschied zwischen diesen beiden Normen. 6. Approximation mit linear abhiingigen Ansatzvektoren Approximationsaufgabe

In einem Innenproduktraum E ist die

auch dann losbar, wenn die x" ... , x" linear abhiingig sind. Die Bestapproximation an x in [x" ... , x,,] ist eindeutig bestimmt, die losenden Koeffizienten a" ... , a" dagegen brauchen es

nicht zu sein.

7. Legendresche Funktionen Orthogonalisiere in U( -1, 1) nach dem Schmidtschen Verfahren die Polynome 1, t, t 2 , ••• und gewinne so die ersten Legendreschen Funktionen 1]" (t):=Vn + 112 P"

(t)

mit (s. Beispiel 19.6). 8. Tschebyscheffsche Funktionen wichteten Innenproduktes

(xly):=

+1

Orthogonalisiere die Polynome 1, t, t 2 ,

•••

beziiglich des ge·

1

_

J x(t)y(t) .~2 dt V I-t

-I

und gewinne so die ersten Tschebyscheffschen Funktionen To(t):= T" (t)

1

{it' ,~

:= V-;--1[- T" (t)

mit (s. Beispiel 19.7). 9. Laguerresche Funktionen Orthogonalisiere in L 2 (0, + (0) die Funktionen e -1/2, t e -1/2, t 2 e- 1/2 , ••• und gewinne so die ersten Laguerreschen Funklionen 1

,. e- 1/2 L" (t) n. mit

Lo(l):= I,

(s. Beispiel 19.8).

LI (t):= 1-1,

L 2 (/):= 2-4t+ 12 ,

L 3 (t):=6-18/+9/ 2 _t 3

164

IV Innenprodukt- und Hilbertraume

10. Hermitesche Funktionen Orthogonalisiere in U ( - 00, + (0) die Funktionen e - "1', t e - "/2, t' e - "1', ... und gewinne so die ersten Hermiteschen Funktionen I -,'/2 e H,,(t) V2"n!V n

!f,,(1):=.~

mit

Ho(t):=l,

H,(t):=2t,

H 2(t):=4t 2 -2,

H 3 (t):=St 3 -12t

(s. Beispiel 19.9). 11. X"X2, ... ,x" seien linear unabhangige Elemente eines Innenproduktraumes und (u" ... , u,,} das gemaB Satz 20.2 aus ihnen gewonnene Orthonormalsystem. Dann ist (s. (20.5» u, =allx, U2=a2'X' +a22x2 Un

=allIXI +aIl2X2+···+all//x",

Sei nun

a21

0 a22

0 ... 0 0 ... 0

alii

all 2

all:' ••. all/I

all

S,,:=

und

(G" ist die Gramsche Determinante der Vektoren

G,,:=

(x,lx,)

(X,lX2)'" (x,lx,,)

(x 2Ix,)

(x2Ix2)'" (x2Ix,,)

x" ... , x,,; s. A IS.7). Zeige: S" G" s"

12. Normalgleichungen zur Liisung der Approximationsaufgabe gige Vektoren in dem Innenproduktraum E. Genau dann ist

=

I.

x" ... , x" seien linear unabhiin-

II x - ,,~, a,.x" II

fest), wenn die a v dem System der sogenannten Normalgleichungen

L:"

=

min (xEE

a/,(x/,Ix,,)=(xlx,.)

J.l=1

(V= I, ... , n) geniigen. Die Lasbarkeit des Systems wird durch A IS.7 sichergestellt. Diskutiere auch den Fall linear abhiingiger Ansatzvektoren unter Verwendung der Normalgleichungen.

13. Methode der kleinsten Quadrate Zwischen einer physikalischen GraBe 1/ und n weiteren physikalischen GraBen .;" ... ,';" bestehe vermutungsweise eine lineare Beziehung 1/

=

L:"

v_'

av';v

(aile GraBen reell).

Urn die a" ... , a" zu bestimmen, macht man m > n Messungen der GraBen 1/ und ';v und erhalt so zu dem k-ten MeBwertsatz ';\kl, ... , ';~~l jeweils den MeBwert 1/(k) (k= 1, ... , m). Die Methode der kleinsten Quadrate besteht nun darin, die a" ... , a" so zu bestimmen, daB der Ausdruck

minimal wird. Zeige, daB dies eine Approximationsaufgabe des Typs

21 Das allgemeine Approximationsproblem

165

im reellen f2 (m) mit evtl. linear abhangigen Ansatzvektoren x h ... , x" ist (vgl. Aufgabe 6). Zur Losung konnen die Normalgleichungen aus Aufgabe 12 herangezogen werden. 14. Finite harmonische Analyse

Sei M:=

{o, 27t, 2 2 7t, ... , (n _ 1) 27t} und E(M) der (reelle) n n n

Vektorraum der reellwertigen Funktionen auf M mit dem Innenprodukt (xly):=

L

X(/)y(/)

und der Norm

IIxll :=V(xlx) ;

IEM

E (M) ist also im Grunde nichts anderes als der P (n). Ferner seien xo, Xh ... , Xm beziehentlich die

auf M eingeschrankten Funktionen 1, cos I, ... , cos m lund Yh ... , Ym die entsprechend eingeschrankten Funktionen sin/, ... , sinml. Die Aufgabe der finiten harmonischen Analyse besteht nun darin, zu vorgelegtem xEE(M) die 2m+ 1 Zahlen ao, ah ... , a"" Ph ... ,Pm so zu bestimmen, daB

wird; dabei soll2m+ l";n sein. Auf dieses Problem stoBt man, wenn eine "empirische Funktion" der harmonischen Analyse unterworfen werden soll, eine Funktion also, von der uns nur endlich viele ihrer Werte durch Messungen bekannt sind. Zeige, daB die finite harmonische Analyse stets und auf nur eine Weise moglich ist und daB die gesuchten Zahlen gegeben werden durch

Hinweis: Zeige, daB die FunktionenxO,xh".,X"" Yh"',Ym ein Orthogonal system bilden. Benutze hierzu die folgenden Formeln, in den en p. = 1, 2, ... , m sein soll:

L

e iJ"

=

0 (geometrische Summenformel!),

IEM

cosp.l·sin VI

=

~ [sin(p. + v)/-sin(p. -

V)/],

COSP.I· cos VI =

2"1 [cos(p. + V)/+ cos(p.- V) I],

sinp.l· sin VI

2"1 [cos(p. -

21

=

V)/-

cos(p. + V) I].

Das allgemeine Approximationsproblem

Die Gauj3sche Approximationsaufgabe sucht zu einem gegebenen Punkt x E E einen nachstgelegenen Punkt y in einem endlichdimensionalen Unterraum Fe E. In dem allgemeinen Approximationsproblem laBt man zu, daB F eine beliebige nichtleere Teilmenge von E ist. In dieser diinnen Allgemeinheit ist das Problem jedoch

166

IV Innenprodukt- und Hilbertriiume

nicht losbar; notgedrungen muB man F einigen Einschrankungen unterwerfen. Wir werden zum Ziel kommen, wenn wir F als vollstandig und "konvex" voraussetzen: V 0 list and i g k e i t bedeutet natiirlich, daB jede Cauchyfolge C F einen Grenzwert in F besitzt; K 0 n vex ita t von F besagt, daB mit je zwei Punkten x I, X2 aus F auch ihre gesamte Verbindungsstrecke (21.1 ) zu F gehort. Der Begriff der Konvexitat ist in jedem Vektorraum sinnvoll. Lineare Unterriiume von Vektorriiumen und Kugeln in normierten Riiumen sind stets kon-

.. • '. .

l1li ') Fig. 21.1

Fig. 21.2

vex; s. auch Fig. 21.1, die einige konvexe Mengen im R2 zeigt. Die Mengen in Fig. 21.2 hingegen sind nicht konvex. Der angekiindigte Approximationssatz lautet nun so (s. Fig. 21.3): 21.1 Satz

1st K +0 eine konvexe und vollstandige Teilmenge des Innenproduktraumes E - z. B ein v 0 II stan d iger Un te rra urn von E - , so ist for jedes x E E die Aufgabe

167

21 Das allgemeine Approximationsproblem

(21.2)

yEK,

IIx-ylI=min,

eindeutig in K !Osbar. d. h .•es gibt genau ein Yo E K mit IIx-Yoll

~

IIx-yll

for aile y E K . 1)

(21.3)

x

Fig. 21.3

Beweis. Sei y:= inf IIx-yll und (y,,) eine Minimalfolge in K, also yEK

lim IIx-y" II =y. 1m Parallelogrammsatz lIu +VIl2+ lIu-vIl 2=2I1uIl 2+2I1vIl 2 setzen wir u:=x-YIII und v:=x-y" . Da

+y" ] , u - v = (x - YIII) - (x - y,,) = y" - YIII u + v = (x - YIII ) + (X - y" ) = 2 [ x - YIII --2ist und (YIII +y,,)/2 wegen der Konvexitat von K in K liegt, haben wir

lIy,,-YIII1I2=2I1X-YIII1I2+2I1X_Y,,112_411 x _ YIII ;y" 112 ~ 211x- YIII1I 2 +2I1x- y,,1I2_4y2--.0

fUr n, m--. 00

•

(y,,) ist also eine Cauchyfolge in K und besitzt somit einen GrenzwertYoEK. Da IIx - y,,11 gegen y und gegen IIx - Yo II strebt, muB IIx - Yo II = y, also Yo eine Losung von (21.2) sein. Wir halten fest, daBjede Minimalfolge in K (bezug/ich x) eine Cauchyfolge ist. Sind nun u.vEK zwei Losungen von (21.2), ist also IIx-ull = IIx-vll =y, so ist trivialerweise die Foige u,v,u,v, ... eine Minimalfolge, also eine Cauchyfolge, und daher muB u =V sein. • Die Voraussetzungen des Satzes 21.1 sind insbesondere dann erfUllt, wenn E vollstiindig und K eine konvexe. abgeschlossene Teilmenge # 0 von E ist. 1) Insbesondere gibt es in Kimmer ein, aber auch nur ein Element kleinster Norm. In gewissen physikalischen Situationen entspricht dies dem stabilen Zustand minimaler Energie. S. dazu auch die Ausfiihrungen tiber das Dirichletsche Prinzip in Nr. 34.

168

IV Innenprodukt- und Hilbertraume

1m FaIle der GaujJapproximation (K ein endlichdimensionaler Unterraum) ist Yo der "FuBpunkt des Lotes" von x auf K (x - Yo 1.. K). Dies gilt auch fur beliebige Unterdiume, genauer: 21.2 Satz 1st Fein beliebiger linearer Unterraum des lnnenproduktraumes E und besitzt for ein x E E die Aufgabe

(21.4)

yEF,

IIx-ylI=min,

iiberhaupt eine Losung YoEF, so ist Yo sogar die einzige Losung in F, und x-Yo stehl senkrecht auf F.

Be wei s. Wir zeigen zuerst x - Yo 1.. Y fur jedes y +0 aus F. Fur aIle a

E

IIx- Yo II 2 ~ IIx- (yo+ay)1I 2= «x-Yo) -ayl(x- yo)-ay)

Kist (21.5)

Setzt man a:=

(x-Yoly)

lIyll2

I

-_ (ylx-yo)

' aso a-

lIyll2

'

so erhalt man aus (21.5) die Abschatzung IIx-

Yo

112~ IIx- 112_2 l(x-yolyW Yo

lIyll2

+

l(x-yoly)1 2 also l(x-yolyW ~ 0

lIyll2'

lIyll2

und somit, wie behauptet, (x-yoly)=O. - Fur jede weitere Losung Yt EF von (21.4) haben wir nun Yo-Yt =(x-Yt)-(x-Yo)EFnP-!- = {OJ, womit auch die Einzigkeit gezeigt ist. • Aufgaben 1. Satz 21.2 laBt sich umkehren: 1st YoEF und x-yol..F, so ist Yo (die einzige) Losung von (21.4). Insgesamt gilt also in verkurzter Sprechweise, daj1 genau die Lot/uj1punkte (falls sie existieren) Bestapproximationen sind. 2. Es seien die Voraussetzungen des Satzes 21.1 erfUllt. Dann ist die (nicht immer lineare) Abbildung B: E-+K, die jedem Vektor xEE seine Bestapproximation BxEK zuordnet, stetig. Hinweis: Es strebe x,,-+-x. Setze y,,:= inf IIx,,-yll, y:= inf IIx-yll, wahle e>O beJiebig und zeiJ"EK

yEK

ge, daB fUr hinreichend groBe Indizes y" Y =

=

k~1

L (yIUk)Uk folgt stets (xly) = k~1

L (XIUk)(yluk); die letzte Reihe k~1

konvergiert sogar absolut.

24

Orthonormalbasen

Ein Orthonormalsystem S in dem Innenproduktraum E heii3t Orthonormalbasis (von E), wenn fUr jedes xEE die Fourierentwicklung x = L (xlu)u besteht.l) liES Aus Satz 23.3 a entnehmen wir unmittelbar das folgende Kriterium: 24.1 Satz Das Orthonormalsystem S in dem Innenproduktraum E ist genau dann eine Orthonormalbasis, wenn for jedes x E E gilt:

IIxll2 =

L

l(xluW

(Parsevalsche Gleichung).

(24.1)

uES

Es stellt sich sofort die Frage, ob jeder Innenproduktraum E eine Orthonormalbasis besitzt. Die Antwort ist bejahend, falls E "separabel" oder vollsUindig ist (Satze 24.2 und 24.4). Dabei nennt man einen metrischen Raum separabel, wenn es eine hOchstens abzahlbare Menge gibt, die dicht in ihm liegt (s. Aufgaben 7 bis 14). I)

Vgl. die Erorterungen urn (1.28) und (1.29).

24 Orthonormalbasen

177

24.2 Satz Jeder separable Innenproduktraum KF{O} besitzt eine hochstens abziihlbare Orthonormalbasis. Beweis. Sei M:={X.,X2, ... } dieht in E, x'" das erste Element #0 aus M, X"2 das erste Element aus M, das nieht in [x" ,1 liegt, allgemein X"k das erste Element aus M, das nieht in [x"" ... , X"k _,1 enthalten ist. Offenbar ist {x"" X"2' ... } eine linear unabhangige Menge, deren lineare Hulle dieht in E liegt. Das Sehmidtsehe Orthogonalisierungsverfahren (Satz 20.2) liefert nun ein Orthonormalsystem {U., U2, ... }, dessen lineare Hulle ebenfalls dieht in E liegt. Zu jedem x E E gibt es also eine gegen x konvergierende Folge von Elementen 111"

y,,:=

L

v=l

a"vuv

Naeh Satz 20.1 haben wir

fUr n-.. 00 strebt also die Folge der Teilsummen naeh Satz 23.2 die Reihe

L v~

,,,"

L

l(xluvW gegen IIx1l 2 , und da

v~1

l(xluvW konvergiert, folgt daraus I

L v~

l(xluvW= Ilx112. I

Der Satz 24.1 weist nun {U., U2, ... } als eine Orthonormalbasis von E aus.

•

1st Seine Orthonormalbasis von E, so mul3 offenbar jeder zu S orthogonale Vektor versehwinden. S ist also ein maximales Orthonormal system. Umgekehrt wird ein maximales Orthonormalsystem jedenfalls dann eine Orthonormal basis sein, wenn E vollstandig ist (s. Satz 23.3 b). Es gilt also: 24.3 Satz Ein Orthonormalsystem S in einem Hi I bert r a urn ist dann und nur dann eine Orthonormalbasis, wenn es maximal ist. Die nun sieh aufdrangende Frage naeh der Existenz maxi maier Orthonormalsysterne erledigt der 24.4 Satz Ein Innenproduktraum E # {OJ besitzt maximale Orthonormalsysteme und somit, falls er vollstiindig ist, auch Orthonormalbasen. Jedes Orthonormalsystem kann zu einem maximalen erweitert werden. Wir beweisen zunaehst die zweite Aussage. Sei So ein Orthonormalsystem in E und ~ die Menge aller Orthonormalsysteme S:::) So in E. Ordnen wir ~1R dureh die Inklusion, so erhalten wir die Behauptung aus dem Zornsehen Lemma. - Die Existenz maximaler Orthonormalsysteme ergibt sieh nun, indem man ein Orthonormal system der Form So = {x/llxll}, x # 0, zu einem maximalen erweitert. •

178

IV Innenprodukt- und Hilbertraume

Ubrigens kann ein maximales Orthonormal system S selbst dann nutzlich sein, wenn es keine Orthonormalbasis ist, und zwar deshalb, wei I die Fourierkoeffizienten (xlu) eines Elementes x beziiglich S dieses Element eindeutig bestimmen: Aus (xlu)=(ylu), also (x-ylu)=O fur al1e uES folgt namlich x - y = O.

In Dixmier (1953) werden Beispiele unvol1standiger Innenproduktraume angegeben, die keine Orthonormalbasis besitzen. In den Aufgaben 15-21 findet der Leser Orthonormalbasen fUr einige besonders wichtige Hilbertraume.

Aufgaben Die folgenden Aussagen uber das Orthonormalsystem S in dem Innenproduktraum E sind aquivalent: a) S ist eine Orthonormalbasis. b) S ist eine Grundmenge (d.h. [S]=E). c) Fur al1e x,y aus E gilt (xly) = L (xlu) (ylu) (auch diese Gleichung wird Parsevalsche Gleichung genannt). uES

'1.

2.

Sei S:= (U"U2, ... ) ein maximales Orthonormalsystem in dem Innenproduktraum E. Genau

dann ist E vol1standig, wenn

L V=

I

avu v fUr jede Zahlenfolge (a v) mit

L V=

Iav!'
no

(s. (27.8)).

Fur diese Indizes n,m ist dann If" (x) -I,,, (x)1 ~ If" (x) -I" (y)1 + If" (y) -I,,, (y)1 ~

+ If,,, (y) -I,,, (x)1

111,,11 IIx-yll + If" (y)-f,,, (y)1 + 111,,,11 lIy-xll 6"

6"

6"

3y

3

3y

~y~+-+y~=6".

Daraus folgt, daB I(x):= limf" (x)

fUr jedes x E F existiert.

list offenbar eine Linearform auf F, und wegen II(x) I = limlf" (x)1 ~ y IIxll sogar stetig. Nach dem Darstellungssatz 26.1 von Frechet-Riesz wird also I von einem wohlbestimmten z E F erzeugt: I(x) = (xlz). Somit strebt (z"lx) =1"(x)---+/(x) = (zlx)

fUr aile xEF,

und dies besagt gerade, daB die Teilfolge (z,,) von (x,,) schwach gegen z konvergiert. Damit ist die Hauptarbeit geleistet. Sei jetzt E ein v61lig beliebiger Hilbertraum und (x,,) eine beschrankte Foige in ihm. Dann ist F:= [x" X2, ••• J offenbar ein sepa-

27 Schwache Konvergenz

189

rabler und abgeschlossener (also auch vollstandiger) Unterraum von E.1) Nach dem eben Bewiesenen gibt es also eine Teilfolge (z,,) von (x,,), die in F schwach gegen ein z E F konvergiert: (z"lu)--+(zlu)

(27.9)

fUr aIle uEF.

1st F = E, so sind wir bereits fertig. Andernfalls stellen wir jedes x E E gemaB Satz 22.1 in der Form x = u + v mit u E F, v E F.L dar. Aus (27.9) folgt dann (z"lx) = (z"lu) + (z"lv) = (z"lu)--+(zlu) = (zlu +v) = (zlx) ,

und das bedeutet gerade, daB (z,,) schwach gegen z konvergiert. Damit ist nun unser Auswahlsatz (nach Aufgebot vieler Mittel) endlich bewiesen. • Der Leser mage sich noch einmal vor Augen halten, wie sehr wir ab der Nr. 19 von der Orthogonalitiit gezehrt haben.

Aufgaben 1.

1 1 , ... , , 0, 0, . .. ) Die Foige der x" := ( .,---}n(n+ 1) In(n+ 1),

E [2

• strebt zwar komponentenwelse,

T

n + 1 Stell en

aber nicht schwach gegen (0,0, ... ). 2. Sei e,,:=(O, ... , 0,1,0, ... ) (1 an der n-ten Stelle). Was kann man tiber die komponentenweise, schwache und starke Konvergenz der Foige (e,,) c [2 sagen? 3.

Jede Orthonormalfolge strebt schwach gegen O.

4.

In einem Hilbertraum ist "x,,--.x" gleichbedeutend mit

"x,,~x

und IIx"II--.lIxll".

5. Die Folge der x" E [2 konvergiere komponentenweise gegen x E (s) und sei beschrankt. Dann Iiegt x in [2, und es strebt x" ~x. 6. Die Folge (x,,)cqa,b) sei gleichmaJ3ig beschrankt auf [a,b), es gebe also eine Konstante M> 0 mit Ix" (t)I";;; M fUr aile n E N und t E [a, b). Dann gibt es eine Teilfolge (x".) von (x,,) und ein xEL2(a, b), so daJ3 gilt: b

b

Jx", (t)y(t)dt_ Jx(t)y(t)dt

fUr jedes y E

qa, b).

7. 1st die Foige (x,,) in Aufgabe 6 tiberdies gleichgradig stetig, so enthalt sie eine Teilfolge, die gleichmaJ3ig auf [a, b) gegen eine stetige Funktion konvergiert. Hin we is : Satz von Arzela-Ascoli (s. Heuser I, Satz 106.2). I) Fist separabel, weil man jedes x E F beliebig gut durch Linearkombinationen der Xk mit rationalen Koeffizienten approximieren kann.

V

Eigenwerttheorie symmetrischer kompakter Operatoren

28

Kompakte Operatoren

Wir erinnern eingangs an ein Phanomen, das uns schon mehrfach begegnet ist. 1. Sei K: C[a, b]- C[a, b] der Fredholmsche Integraloperator mit stetigem Kern k, definiert durch b

(Kx)(s):=

J k(s,t)x(t)dt

fUr aile xEC[a,b].

(28.1)

a

1st (xn) eine im Sinne der Norm beschrankte Foige in C[a,b], so enthait (Kx normkonvergente Teilfolge (s. A 3.3).

ll )

eine

2. Nun sei K: E-Feine lineare Abbildung der normierten Raume E, F, und der Definitionsraum E sei endlichdimensional. Dann ist K stetig (Satz 11.5), und es gilt wieder: 1st (xn) eine beschrankte Foige in E, so enthait (Kx eine konvergente Teilfolge (s. A 11.9). ll )

3. Diesmal sei K: E_F eine stetige lineare Abbildung der normierten Raume E, F, und nun sei der Bildraum K (E) endlichdimensional. Auch jetzt kann man wieder aus dem Bild (Kx einer beschrankten Foige (xn) eine konvergente Teilfolge auswahlen (s. A 11.9). ll )

Dieses "Auswahlphanomen" gibt Anlal3 zu der folgenden Definition: Eine lineare Abbildung K eines normierten Raumes E in einen normierten Raum F heil3t kompakt, wenn das Bild (Kxn) jeder beschrankten Foige (xlI)cE eine konvergente Teilfolge enthalt. Fredholmsche Integraloperatoren mit stetigen Kernen sind kompakt, ebenso lineare Abbildungen K: E-+F normierter Raume E, F, falls der Definitionsraum E oder der Bildraum K (E) endlichdimensional ist - wobei im letzteren Faile allerdings ausdriicklich noch die Stetigkeit von K gefordert werden mul3. Eine lineare Abbildung mit endlichdimensionalem Bildraum werden wir hinfort endlichdimensional oder von endlichem Rang nennen.

28 Kompakte Operatoren

191

Ein kompakter Operator ist von selbst stetig (s. A 10.16), und ohne Miihe kann der Leser einsehen, daB skalare Vielfache und Sum men kompakter Operatoren kompakt sind; das Produkt eines kompakten mit einem stetigen Operator ist - gleichgiiltig, in welcher Reihenfolge die Faktoren auftreten - ebenfalls kompakt. Die identische Transformation list nur auf endlichdimensionalen Raumen kompakt, und ein kompakter Operator kann nur dann eine stetige Inverse besitzen, wenn sein Definitionsraum von endlicher Dimension ist. Ferner hatten wir in den Aufgaben 10 und 11 der Nr. 11 bereits die folgenden Ergebnisse gewonnen:

28.1 Satz Fur einen kompakten Operator K: E-+E ist die Dimension des Nullraumes von 1- K endlich. 1st 1- K injektiv, so mufi die Inverse (/ - K) - I stetig sein. Die Menge der kompakten Operatoren K: E-+F bezeichnen wir mit .3r(E,F); .3r(E, E) ist die Menge aller kompakten Selbstabbildungen von E. Nach den obigen Ergebnissen ist .3r(E, F) ein linearer Unterraum des Vektorraumes Y(E,F), cYr(E) sogar ein (zweiseitiges) "Ideal" in der Algebra Y(E) - bekanntlich nennt man die Teilmenge Meiner Algebra Rein (zweiseitiges) Ideal, wenn sie ein linearer Unterraum von R ist und fUr jedes x aus R und m aus M die Produkte x m und mx in M liegen. Den Zusatz "zweiseitig" werden wir meistens weglassen. Der nachste Satz lehrt, daB .3r(E,F) sogar ein abgeschlossener Unterraum von Y(E,F) ist, falls F vollstiindig ist; .3r(E) ist also bei vollstiindigem E ein abgeschlossenes Ideal in der Banachalgebra Y(E). c~(E):=

28.2 Satz Konvergiert die Foige der kompakten Abbildungen KII eines normierten Raumes E in einen Banachraum F gleichmaBig gegen K, so ist K kompakt. Zum Beweis sei (Xi) eine beschrankte Folge in E: IIxdl";; y. Dann gibt es eine Teilfolge (Xli) von (Xi), so daB (K\ Xli) konvergiert, ferner eine Teilfolge (xza von (Xli), so daB (KZXZi) konvergiert usw. Die Diagonalglieder Yi :=Xii bilden dann - ab einem gewissen Index - eine Teilfolge jeder der Folgen (Xkh XkZ, ... ), und deshalb konvergiert die Folge (Kn ya fUr jeden Operator Kn. Es werde nun ein £ > 0 beliebig gewahlt und dazu ein no so bestimmt, daB II Kn o- KII < £ ist. Legt man ein io so fest, daB fUr i, k ~ io stets IIK"o Yi - Kn o Yk II < £ bleibt, so ist fiir diese i, k IIKYi- K YkIl..;; IIKYi- Kll o Yili

+ IIKlloYi-KnoYkll + IIKlIoYk-KYkIl

< £IIyill +£+£ IIYkIl..;; (2y+ 1)£. (Kya ist also eine Cauchyfolge in dem Banachraum Fund somit eine konvergente Teilfolge von (KXi). •

Wir halten noch ausdriicklich den folgenden Spezialfall fest: 28.3 Satz Eine gleichmiifiig konvergente Foige stetiger endlichdimensionaler Operatoren K II : E -+ F hat immer dann einen kompakten Grenzoperator, wenn F vollstiindig ist.

192

V Eigenwerttheorie symmetrischer kompakter Operatoren

Die Frage, ob umgekehrt jeder kompakte Operator K: E-.F (F vollsUindig) Grenzwert einer gleichmaBig konvergenten Folge von stetigen endlichdimensionalen Operatoren ist, muB vemeint werden (vgl. Enflo (1973) und Davie (1973)). In (16.8) hatten wir mit Hilfe des Weierstraftschen Approximationssatzes gesehen, daB ein Fredholmscher Integraloperator K gleichmaBiger Grenzwert stetiger endlichdimensionaler Operatoren ist. Satz 28.3 liefert uns nun die Kompaktheit von K - aber auf einem ganz anderen Weg als dem der Aufgabe 3 in Nr. 3, wo wir uns auf den Satz von Arzela-Ascoli stiitzten.

28.4 Beispiel

L

i.k-I

Sei (aik) eine unendliche Matrix mit laik l2
mist A" -Am ~ 0; mit Satz 29.5 erhalten wir daraus zunachst

29 Symmetrische Operatoren

IIAIl-A",1I

= sup

197

(A"x-Amxlx)";; sup [(Bxlx)-(Alxlx)]=:a, I)

Ilxll~1

Ilxll~1

und dann mit Satz 29.2 IIAllx-AmxIl4=«A" -A",)xl(An -A",)x)Z ..;; «All - A",)xlx) «A" - Am)Z xl(A" - A",)x) ..;; [(All xix) - (Amxlx)]a 3 I1xllz.

Die Folge der Zahlen (Allxlx) ist monoton wachs end und beschrankt, also konvergent. Die obige Abschatzung zeigt nun, daB (A"x) eine Cauchyfolge ist. Dank der Vollstandigkeit des Raumes konvergiert sie, d. h., (A,,) strebt punktweise gegen ei• nen (symmetrischen) Operator A. Wir wenden uns noch einmal der Ordnungsbeziehung zwischen symmetrischen Operatoren zu. Sind A, B, C symmetrisch, so folgt aus A..;; B stets A + C..;; B + C und aA ..;; a B, falls a;;;. O. Die Frage, ob man die Ungleichung A..;; B mit einem positiyen Operator multiplizieren "darf", ist ein wenig schwieriger. Zu ihrer Untersuchung ben6tigen wir die 29.7 Reidsche Ungieichung 2 )

Sind A. B stetige Operatoren. ist A ;;;. 0 und A B sym-

metrisch. so gilt

(29.7)

I(A Bxlx)l..;; IIBII (A xix) fur aile x.

Beweis. Aus Satz 29.2 und der Ungleichung yom arithmetisch-geometrischen Mittel folgt

t

I(A xly)l..;; [(A xix) + (Ayly)].

(29.8)

Wegen (A B" xly)=(B"-1 xlA By)=(A Bn-I xlBy) = (B"-ZxIA B Zy)= ... = (xiA B" y) ist A B n symmetrisch; aus (29.8) ergibt sich also fUr n = 1, 2, ... die Abschatzung I(A BI1 xlx)1

= l(xlA Bn x)1 = I(A xlBI1 x)l..;; H(A xix) + (A B ZIl xix)].

Durch vollstandige Induktion erhalt man nun die Ungleichung 1

1

1)

I(ABxlx)l..;; ( 2+"4+"'+2 11

1

(Axlx)+-r(AB

Z"

xix).

(29.9)

1st IIBII = 1, so strebt wegen I(A B Z" xlx)l..;; IIA II Ilxliz der letzte Term in (29.9) gegen 0; fUr n-+ 00 erhalten wir also I(A Bxlx)l..;; (A xix). Aus diesem Spezialfall der Reid• schen Ungleichung ergibt sich (29.7), indem man B durch BIIiBIl ersetzt. I) Wir benutzen hier vorgreifend schon den Satz 39.6, nach dem ein symmetrischer Endomorphismus eines Hilbertraumes von selbst stetig ist. 2) Vgl. Reid (1951).

198

V Eigenwerttheorie symmetrischer kompakter Operatoren

Wir konnen nun zeigen, daB die Ordnungsrelation zwischen stetigen symmetrischen Operatoren mit der Multiplikation vertraglich ist: 29.8 Satz Sind A, B, C stetige symmetrische Operatoren, so folgt aus A,,;;; B und C;?;O immer dann A C,,;;;BC, wenn C mit A und B vertauschbar ist. Insbesondere ist das Produkt von zwei stetigen. positiven und vertauschbaren Operatoren stets positiv. Wir beweisen zunachst die letzte Behauptung. A, B seien stetig, positiv und vertauschbar. Wir durfen 0,,;;; 1- B,,;;; I annehmen; ist dies nicht a priori richtig, so ersetzen wir B durch /3 B mit einem geeigneten positiven Faktor /3. Nach Satz 29.5 ist dann III - BII ,,;;; 1, und da A mit 1- B vertauschbar, also A (I - B) symmetrisch ist, folgt aus Satz 29.7 also

(A [I-B)xlx)";;;(Axlx),

A-AB,,;;;A

und so mit

O,,;;;AB.

Die erste Behauptung des Satzes ergibt sich nun sofort aus dem eben Bewiesenen: man braucht nur B - A ;?; 0 mit C zu multiplizieren. • Von besonderer Bedeutung in der Operatorentheorie sind die Begriffe des Eigenwertes und der Eigenlosung; wir werden dies schon in der nachsten Nummer sehen. 1st A eine lineare Abbildung, so heiBt die Zahl A Eigen wert von A, wenn es ein x,bO mit AX=AX gibt; x selbst heiBt dann eine Eigenlosung oder ein Eigenvektor von A zum Eigenwert A. Auf eine Eigenlosung wirkt also der Operator A in der denkbar einfachsten Weise, namlich bloB als ein Vervielfacher. A ist offenbar genau dann ein Eigenwert von A, wenn N(AI -A) nicht nur aus dem Nullelement besteht. In diesem Falle heiBt N(AI -A) der Eigenra u m von A zum Eigenwert A und dimN(AI-A) die Vielfachheit von A. N(AI-A)\{O} ist die Menge aller Eigenlosungen von A zum Eigenwert A. Eigenwerte spie1en in der Quantenmechanik eine zentrale Rolle; sie treten dort als Ergebnisse von Messungen mechanischer Grol3en auf, die durch geeignete Operatoren beschrieben werden. I) Als Mel3ergebnisse miissen sie reell sein. Die erste Aussage des folgenden Satzes ist deshalb von besonderer physikalischer Bedeutung.

29.9 Satz Jeder Eigenwert eines symmetrischen Operators ist re ell, und Eigenvekloren zu verschiedenen Eigenwerten sind zueinander orthogonal. . F'"ur emen E'Igenwert B ewels.

1 .• ..LO un d somlt . 1st A X=/l,X mit em em x,reell (s. Satz 29.1). 1st uberdies Ay = J.1Y mit y,b 0 und f.1 ,bA, so folgt l'

/l,

1

(A xix)

/l,=---

(xix)

A(xly) = (Axly) = (Axly) = (xIAy) = (xlf.1Y) =f.1 (xly) , also (A - f.1)(xly) = 0 und somit (xly) = o.

•

1) Allerdings sind die Physiker so sehr auf Eigenwerte versessen, dal3 sie selbst dort welche tinden, wo es gar keine gibt.

29 Symmetrische Operatoren

199

Aufgaben *1.

Fur jeden stetigen positiven Operator ist IIAxIl 2 .;;; IIAII (A xix).

+2. 1st [xly) ein stetiges Halbinnenprodukt auf dem Hilbertraum E mit dem Innenprodukt (xly) (folgt also aus xn-x, Yn-y stets [xnIYn)-[xl yJ), so gibt es einen stetigen, positiven Operator S mit [xly) =(Sxly) fUr aJle x, yEE (s. A 26.2). *3.

Auf dem Vektorraum E sei ein Halbinnenprodukt [xly) und damit eine Halbnorm Ixl:=v'[xlx) gegeben. Ferner sei A EY'(E) symmetrisch: [Axly)=[xlAy) fUr aJle x,yEE. Zeige: a) [A xix) E R fUr alle xEE. b) 1st A sogar vollsymmetrisch, d. h., ist lui #0 fUr aJle Eigenlosun·

gen u von A zu Eigenwerten # 0, so sind die Eigenwerte aJlesamt ree1l und Eigenlosungen zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal. c) Aus v(A):= sup I[Axlx)1 < 00 folgt, daB A beschrankt 1x1~1

und seine Norm IAI = yeA) ist, faJls uberhaupt Elemente x mit Ixl # 0 vorhanden sind; andernfaJls gilt trivialerweise IAI=v(A)=O (Beschranktheit und Norm von A werden wie in normierten Raumen definiert). +4. Der Endomorphismus A des Hilbertraumes E heiBt symmetrisierbar, wenn es ein stetiges Halbinnenprodukt [xly) auf E gibt, bezuglich dessen A symmetrisch ist; A wird vollsymmetrisierbar genannt, wenn wir auBerdem Ixl:=v'[xlx) #0 fUr aJle Eigenlosungen x zu Eigenwerten # 0 haben. Zeige: a) A ist genau dann symmetrisierbar, wenn ein H ;;. 0 existiert, so daB H A symmetrisch bezuglich des Innenproduktes von E ist. b) Die Eigenwerte eines voJlsymmetrisierbaren Operators sind aJle reeJl; fUr Eigenlosungen u, v zu verschiedenen Eigenwerten ist [ulv) = o. c) Ein symmetrisierbarer und beschrankter Operator A ist auch bezuglich der Halbnorm Ixl beschrankt, und es gilt IAI,;;;IIAII. Hinweis: Aufgaben 2, 3; Satz 29.7. +5. Die Definition der Symmetrisierbarkeit bzw. voJlen Symmetrisierbarkeit in Aufgabe 4 laBt sich wortlich fUr den FaJl ubernehmen, daB E ein Banachraum ist (vgl. Lax (1954». Zeige: a) Ein Halbinnenprodukt [xly) auf E ist genau dann stetig, wenn mit einem y;;'O stets Ixl :=v'[xlx),;;; y IIxll gilt. b) Fur ein voJlsymmetrisierbares A gilt die Aussage b) in Aufgabe 4. c) Fur ein symmetrisierbares und beschranktes A gilt die Aussage c) in Aufgabe 4. Hinweis fUr c): Aus IAn x l2';;;lxllA 2nx l folgt IAxl/lxl.;;;(1A 2k xl/lxl)ll2 k, faJls Ixl#O. Benutze nun a). *6. A sei ein symmetrischer Endomorphismus des Innenproduktraumes E und Fein unter A invarianter Teilraum von E. Dann ist auch F"- unter A invariant. 1st A uberdies kompakt, so muB auch AIF"- kompakt sein.

7. Netze symmetrischer Operatoren Sei ,1 = (,1, --+Aa von ,1 in die Menge der symmetrischen Operatoren auf E heiBt ein Netz (eine verallgemeinerte Folge) symmetrischer Operatoren (auf E) und wird mit (Aa) bezeichnet. (Aa) soJl (punktweise) konvergent heiBen, wenn ein Operator A existiert, so daB gilt: Zu jedem I> > 0 und jedem x E E gibt es ein ao = ao (I>, x) EL1 mit IIAax-Axll

fUr aJle a:>-ao.

200

V Eigenwerttheorie symmetrischer kompakter Operatoren

A heiBt dann der Grenzwert des Netzes (Au), und wir schreiben Au_A. (Au) wird (punktweises) Cauchynetz genannt, wenn nach Wahl von £>0 stets ein ao=ao(£,x)EL1 vorhanden ist, so

daB IIA"x-AflXIl -ao

und jedes xEE

ausfallt. Wir wollen femer (A,,) monoton wachs end nennen, wenn aus a--ao stets A"""B bleibt; nach unten beschrankte Netze werden in vollig analoger Weise definiert. Zeige der Reihe nach: a) Ein konvergentes Netz (Au) besitzt nur einen Grenzwert. b) Aus Au-A folgt (A"xly)-(Axly) fUr aile x, yEE (letzteres natiirlich im Sinne der Konvergenz komplexwertiger Netze), und A ist symmetrisch. c) Das Netz (Au) konvergiert genau dann, wenn es ein Cauchynetz ist. d) Hauptsatz: Jedes monoton wachsende und nach oben beschriinkte Netz symmetrischer Operatoren auf einem Hilbertraum konvergiert (punktweise) gegen einen symmetrischen Operator. Und Entsprechendes gilt for monoton abnehmende, nach unten beschriinkte Netze. H in we is : Satze 44.1, 44.5 und 44.6 in Heuser I; Beweis des Satzes 29.6. 8. Ein Definitheitskriterium fiir Matrixoperatoren A:= (ajk) sei eine reelle symmetrische (n, n)Matrix, also ajk = akj E R fUr aile j, k. Zeige: a) A ist ein symmetrischer Operator auf dem reellen Hilbertraum l~ (n). b) Genau dann ist (Axlx»O fUr aile x;bO, wenn aile Abschnittsdeterminanten

>0

L1k :=

ausfallen. Hinweis: Induktion.

30

Die Entwicklung symmetrischer kompakter ()peratoren nach Eigenvektoren

Zur Motivation der nun folgenden Dinge betrachten wir zunachst Endomorphismen A eines n-dimensionalen Hilbertraumes E. Auf einen Eigenvektor U wirkt A wie die Multiplikation mit einer Zahl: Au=Au. A wird infolgedessen analytisch immer dann leicht zu beherrschen sein, wenn E eine Basis {u], ... , un} aus Eigenvektoren Uk besitzt. Sind namlich At. ... , An die zugehorigen (nicht notwendigerweise verschiedenen) Eigenwerte und stellt man x in der Form x =

II

1:

ak Uk

dar,

k-I

so wirkt A wie eine Uberiagerung von "Streckungen" in den " Eigenrichtungen" :

30 Die Entwicklung symmetrischer kompakter Operatoren nach Eigenvektoren

Ax

= L"

Ilk ak Uk.

201

Noch iibersichtlicher werden die Verhaltnisse, wenn die

k=\

Eigenvektoren sogar orthonormal sind. In diesem Faile wird die u. U. miihselige Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten ak denkbar einfach, denn jetzt ist

x=

L"

(xl Uk) Uk und somit

k=\

Ax

= L"

k=\

(30.1)

Ildxluduk'

In (30.1) brauchen iibrigens nur die Eigenvektoren zu Eigenwerten # 0 aufgenommen zu werden. Bei der Diskussion der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe in Nr. 3 sind wir auf symmetrische Fredholmsche Integraloperatoren gestoBen, Operatoren also, die kompakt sind (s. Nr. 28). Es ist nun eine schwergewichtige Tatsache, daB wir fUr symmetrische kompakte Operatoren ein genaues Analogon zu (30.1) gewinnen und so zu einer vollkommenen analytischen Beherrschung dieser Operatoren mittels ihrer Eigenwerte und Eigenvektoren gelangen konnen. Diese ideal zu nennende Situation wollen wir nun genauer ins Auge fassen. A sei ein symmetrischer kompakter Endomorphismus des Innenproduktraumes E. Wir erinnern daran, daB A stetig ist (s. Nr. 28). Urn Triviales zu vermeiden, setzen wir A # 0 voraus. Nach Satz 29.5 ist sup I(Axlx)1 = IIAII, infolgedessen gibt es eine Folge (XII) und IIxll-\

eine Zahl.u mit l.u I = IIA II > 0, so daB IIx,,1I = 1 ist und

(Ax"lx,,)-.u

strebt.

Aus 0..;;; IIAx" -.uX,,1I2= IIAxllIl2_2.u(Ax"lx,,)+.u 2 I1x,,1I2..;;; IIAII2-2.u(Axlllxll)+ IIAII2 folgt nun (30.2) Wegen der Kompaktheit von A besitzt (Ax,,) eine konvergente Teilfolge (Ax,,); aus (30.2) ergibt sich, daB dann auch (x".) gegen ein (normiertes) Element u strebt und daB A u -.u u = 0, also u eine Eigenlosung zum Eigenwert.u = ± IIA II is!. Offenbar gilt I(A ulu)1 =

sup I(Axlx)l,

IIxll=\

(30.3)

und umgekehrt ist jeder Vektor u, der (30.3) geniigt, eine Eigenlosung von A zum Eigenwert ± IIA II (man wahle XII = u). Sei nun.u\:=.u, u\:=u und E\:=[u\].L. Die EinschrankungA\ von A auf E\ ist ein symmetrischer kompakter Endomorphismus von E\ (s. A 29.6), nach dem eben Bewiesenen besitzt sie also, falls sie # 0 ist, einen Eigenwert .u2 mit 0< 1.u21 = IIA til..;;; IIA II = l.utl. U2 sei eine zugehorige normierte Eigenlosung. 1st A2

202

V Eigenwerttheorie symmetrischer kompakter Operatoren

die Einschrankung von A auf E 2 := [u], u2l-L, so liefem uns dieselben Schliisse, falls A2 ofo 0 ist, einen Eigenwert Ji3 von A2 mit 0 < IJi31 = IIA211 ~ IIA Iii = IJi21 und eine zugehorige Eigen16sung U3; trivialerweise sind Uz, U3 auch Eigen16sungen von A zu den Eigenwerten Ji2,Ji3' Der Fortgang des Verfahrens ist nun klar. Man erhalt eine moglicherweise abbrechende Eigenwertfolge (Jin) mit IJid ~ IJi21 ~ ... > 0 und eine Orthonormalfolge (u lI ) von zugehorigen Eigen16sungen. (Jill) bricht genau dann mit Jim ab, wenn A auf Em:= [U 1, .•• ,uml-L verschwindet; in diesem FaIle ist

E = [u], ... , uml EE) Em (Satz 22.1), also x =

rn

L:

(XIUk)Uk +Y mit Y E Em und somit

k~l

m

Ax =

L:

Jik (XIUk)Uk .

k~l

Bricht (Jin) nicht ab, so strebt Jin-+O. Andernfalls ware namlich die Folge (ull/Jin) beschrankt, und ihre Bildfolge (A un/Jill) = (un) miil3te so mit eine konvergente Teilfolge enthalten; wegen II Un - Urn II =V2 fUr n ofo mist dies aber unmoglich. Fiir belieII biges x E E liegt Yn :=X - L: (XIUk) Uk in En, infolgedessen ist IIAYIIII ~ IIAnlillYlI1I k~l

=IJin+d IIYIIII und IIY1I1I 2 = IIxll2 -

n

L:

l(xlukW~ IIx1l2. Daraus folgt AYII-+O, also

k~l

Ax =

L:

Jik (XIUk)Uk .

k~l

In der Folge (Jik) tritt jeder Eigenwert ofo 0 von A so oft auf, wie es seiner Vielfachheit entspricht. Andernfalls gabe es eine Eigenlosung U mit Au ofo 0 und u.l Uk (k= 1, 2, ... ), fUr die dann absurderweise Au = L: JidulUk)Uk =0 sein miil3te. - Wir fassen zusammen:

30.1 Satz 1st A ofoO ein symmetrischer kompakter Endomorphismus des Innenproduktraumes E. so erhiilt man eine Orthonormalfolge von Eigenvektoren Ull . indem man zuniichst eine Losung Ul der Variationsaufgabe I(A xlx)1 = max

unter der Nebenbedingung IIxll = 1

und dann sukzessiv flir n = 2, 3, ... eine Losung Un der Aufgabe I(Axlx)l=max

unterden Nebenbedingungen IIxll=l, (XIUk)=O fur k = 1, ... , n - 1

bestimmt, solange dieses Maximum positiv ist; der zu Un gehorende Eigenwert Jill ist dem Betrage nach gleich dies em Maximum. Das geschilderte Verfahren liefert jeden Eigenwert ofo 0 von A so oft, wie es seine Vielfachheit angibt, und es gilt die Entwicklung Ax = L:Jin(xlulI)un = L:(Axlu,Jun fur aile xEE. Die Foige (Jill) bricht entweder ab oder strebt gegen O.

(30.4)

30 Die Entwicklung symmetrischer kompakter Operatoren nach Eigenvektoren

203

(30.4) nennt man auch den Entwicklungssatz fur symmetrische kompakte Ope rat 0 r en. Er ist das angekundigte Analogon zu (30.1). 1st E ein Hilbertraum, so ist der Entwicklungssatz (30.4) sogar charakteristisch fUr symmetrische kompakte Operatoren, genauer: Gilt for den Endomorphismus A des Hilbertraumes E die Darstellung (30.4) mit einer endlichen oder gegen 0 strebenden Folge reefier Zahlen Jin und einem Orthonormalsystem luI, U2, ... }, so ist A symmetrisch und kompakt. Die Symmetrie ist fast selbstverstiindlich, die Kompaktheit erkennt man so: Man erkliirt den stetigen endlichdimensionalen Operator Ak durch Ak x:=

k

L:

Jin (xl un) Un; es ist dann

n=l

II(A -A k )xIl 2 =

1.:

n>k

IJinI 2 1(xlunW,,;;; max IJin1 2 11x1I2, n>k

infolgedessen strebt Ak ~A, und nach Satz 28.3 ist somit A kompakt.

•

Aufgaben *1. Unter den Voraussetzungen des Satzes 30.1 bilden die Eigenlosungen u), U2, ..• von A genau dann ein maximales Orthonormal system in E (im Faile eines vollstiindigen E also genau dann eine Orthonormalbasis von E), wenn 0 kein Eigenwert von A ist. 2. Unter den Voraussetzungen des Satzes 30.1 gibt es paarweise verschiedene reel Ie Zahlen A" und endlichdimensionale Orthogonalprojektoren Pn , mit denen die gleichmaBig konvergente Entwicklung A = LA" P" gilt. 3. Zu dem Endomorphismus A des Innenproduktraumes E gebe es eine Foige von Zahlen J.l" 1= 0 und eine Orthonormalfolge (u), U2, ••• ), so daB Ax

=

L J.ln (xl un) Un

fiir aile x E E

gilt. Zeige: a) A Un = J.ln U". b) A ist genau mit (J.l") beschrankt. c) A ist genau dann symmetrisch, wenn aile J.ln reell sind. d) A ist genau dann positiv, wenn aile J.ln > 0 sind. 4. Hauptachsentransformation A :=(ajk) sei eine reelle symmetrische (n,n)-Matrix: ajk E R, ajk =akj fiir aile j, k. Dann ist A ein kompakter symmetrischer Operator auf n(n) und hat infolgedessen im Sinne des Satzes 30.1 die Darstellung n

Ax =

L

k=l

J.lk (xlud Uk.

falls man auch (eigentlich iiberfliissigerweise und nur, urn die Summation von 1 bis n=dimn(n) erstrecken zu konnen) den Eigenwert 0 und eine Orthonorma1basis von N(A) mit aufnimmt; (u), ... ,u,,) ist dann eine Orthonormalbasis von l~(n). 1st (e), ... ,en ) die natiirliche Basis von f2(n) (also el' :=J.l-ter Einheitsvektor), so hat man

204

V Eigenwerttheorie symmetrischer kompakter Operatoren

und damit eine Regel, nach der die Komponenten eines Vektors x beziiglich der natiirlichen Basis aus seinen Komponenten beziiglich der Eigenvektorbasis berechnet werden k6nnen. In Matrizenschreibweise ist

(;1): =B (TIl): r;n

mit

1]n

Zeige der Reihe nach: a) BTB=BBT=I; dabei bedeutet BT die Transponierte von B. b) B erh1ilt das Innenprodukt und die Norm: (Bxl By) = (xly), II Bxl12 = Ilx112' c) detB=

± 1.

.

d) Durch die Substitution x = By geht die quadratische Form (Axlx) = L aik;i;k in eine quai.k ~ 1 dratische Form mit "reinen Quadraten" iiber:

L "

i,k= 1

aik;i;k

L 11

=

k= 1

f.1kTli.

Aus Grunden, die in der Theorie der Kegelschnitte liegen, nennt man diese Prozedur eine Hauptachsentransformation. Es war das Problem der Hauptachsentransformation, das auf die groJ3e Bedeutung der Eigenwerte aufmerksam gemacht hat. Hinweis:B TAB=(f.1I ...

e) detA=f.1I·f.12···f.1 ...

5. Das Integral J(A):=

+

00

+

00

J ... J e

-

1:

i.k-I

°

0

).

f.1"

a,~ SjS~·

d;I···d;..

Es spielt in den verschiedensten An-

wendungen der Analysis, besonders aber in der Wahrscheinlichkeitstheorie, eine bedeutende Rolle. Dabei wird vorausgesetzt, daB die (reelle) Matrix A:= (aik) symmetrisch und streng positiv definit sei: aik = aki fUr aile Indizes und (Ax Ix) > fUr jedes von verschiedene x E (n). Zeige:

°

°

n

J(A)=vn"/detA .

Hinweis: Fiihre wie in Aufgabe 4 eine Hauptachsentransformation x=By aus, wobei o. B.d. A. det B = 1 angenommen werden darf, benutze (behutsam) die Substitutionsregel fUr Integrale und beachte die Formel

+=

J

e-r'dt={rt (s. Heuser II, Nr. 151).

6. Inhalt eines n-dimensionaIen Ellipsoids Sei wieder wie in Aufgabe 5 A:= (aid eine reelle und streng positive Matrix. Dann wird der Inhalt IQI des n-dimensionalen Ellipsoids Q:= {(;" ... , ; .. )En(n): i.f I aik;i;k "" I} mittels der r-Funktion gegeben durch

IQI

2#

= ""'Vd =e=tA=n-r-=(-n-/2"--)

2 J(A) nT(nl2)

mit dem in Aufgabe 5 auftretenden J(A) - eine ganz unerwartete Beziehung zwischen Wahrscheinlichkeits- und Kegelschnittstheorie. Fiir A =lIr2 (r> 0) erh1ilt man den Inhalt

205

31 Die Gleichung (AI-A)x=y mit symmetrischem kompakten A 2{i0 ---'---- r" nT(nl2)

der n-dimensionalen Kugel mit Radius r,

(ah".,a,,>O) den Inhalt

fiirA=(lIaf ... O)

o

l/a;,

2{i0

nT(nl2)

a, ". a"

des n-dimensionalen Ellipsoids mit den Halbachsen a h

".,

a".

Hinweis: Heuser II, A 203.6.

31

Die Gleichung (ll- A)x= y mit symmetrischem kompakten A

Auf Gleichungen dieser Art sto13t man, wenn man gewisse Randwertaufgaben der mathematischen Physik in Fredholmsche Integralgleichungen verwandelt; s. Nr. 3. I) Wir wollen nun sehen, wie man ihnen mit Hilfe des Entwicklungssatzes auf den Leib rticken kann. Was wir hier schildern, ist die Hilbertsche Methode der Eigenlosungen; sie setzt nattirlich voraus, da13 die Eigenwerte und Eigenlosungen von A bekannt sind. Es sei also A ~ 0 ein symmetrischer kompakter Endomorphismus des Innenproduktraumes E tiber K, und vorgelegt sei die Gleichung

(AI-A)x=y

mit

gegebenemA~O

aus K undyEE.

(31.1)

Ftir eine Losung x von (31.1) ist notwendigerweise AX = y + A x, und mit (30.4) erhalten wir daraus

X=

1

1

I y + I L Jill (xlu,J Ull ,

nach innerer Multiplikation mit u", also (xlu",)

(31.2) =

±

(ylu m )

+

±Jim

(xlunJ, d. h.

(31.3) Nun nehmen wir zunachst an, A stimme mit keinem Eigenwert von A uberein. Wegen (31.3) ist dann (xlu m )

=

(ylu m )

A-Jim

fUr aIle m.

1) In Nr. 3 hatten wir diese Gleichungen in der Form (I-J.lK)x=y mit einem symmetrischen Integraloperator K geschrieben. In dem einzig interessanten Fall J.l # 0 laufen sie nach Division durch J.l auf Gleichungen der in der Oberschrift genannten Form mit A = 11J.l # 0 hinaus.

206

V Eigenwerttheorie symmetrischer kompakter Operatoren

Mit (31.2) ergibt sich nun, daB x notwendigerweise die Gestalt X =

1

1"

I y +I

L..J

Illl A-Illl (ylull)u ll

(31.4)

haben muB. Wenn umgekehrt die hier auftretende Reihe gegen ein Element von E konvergiert, laBt sich x mittels (31.4) definieren, und fOr dieses x ist dann (AI -A)x =

±

(AI -A)y+

1

= y - IAy

1

+I

±

L A ~~n (yIUIl)(AI -A)ull

1

Llln(ylun)un =y - I Ay

1

+ IAy=y

(hier haben wir noch einmal (30.4) benutzt). x ist also eine Losung - und zwar die einzige - von (31.1). Alles lauft somit auf die Frage hinaus, ob die Reihe in (31.4) konvergiert. Sie tut es tatsachlich. Zunachst ist sie jedenfalls eine Cauchyreihe. Setzt man namlich (31.5) und beachtet, daB wegen A -# Ilk und Ilk -+ 0 mit einem geeigneten a> 0 gewiB 1

_1_1..; A - Ilk

a und

1

1

/l,

Ilk -Ilk

I..; aM

mit

M:=m'7.x Illd k-I

ist, so erhalt man fOr n > m dank des pythagoreischen Satzes

Der rechte Term kann aber unter jede vorgegebene GroBe gedriickt werden, wenn man nur m hinreichend groB macht (s. Satz 23.2). Damit ist klar, daB die Reihe in (31.4) jedenfalls immer dann konvergiert, wenn E vollstiindig ist. Was aber, wenn wir es mit einem unvollstiindigen E zu tun haben? In diesem FaIle bedarf es eines zusatzlichen Argumentes. Fiir die Elemente

erhalten wir mit Hilfe des pythagoreischen Satzes und der Besselschen Ungleichung die Abschiitzung

31 Die Gleichung (11,1- A)x = y mit symmetrischem kompakten A

207

(y,,) ist also eine beschrankte Folge. Wegen der Kompaktheit von A enthalt dann

die Folge der Bilder

eine konvergente Teilfolge. Da (sn) aber nach unserer obigen Uberlegung eine Cauchyfolge ist, muB sie gegen den Grenzwert dieser Teilfolge streb en. Damit haben wir nun endlich bewiesen, daB unsere Reihe immer konvergiert und vermoge (31.4) die eindeutig bestimmte Losung x der Gleichung (31.1) liefert - dies alles jedoch unter der Voraussetzung, daB A mit keinem Eigenwert von A zusammenfallt. Nun nehmen wir an, A stimme mit einem Eigenwert von A der Vielfachheit r uberein, es sei also

aber

A= J.Ls + I = ... = J.Ls +" A=/=J.Lk fOr ks+r.

Aus (31.3) ergibt sich dann, daB die Gleichung (31.1) hochstens fOr rechte Seiten y mit (ylum)=O

fiirm=s+I, ... ,s+r,

alsomit yJ..N(AI-A)

(31.6)

losbar sein wird. Fiir diese y kann sie aber auch tatsachlich gelost werden, z. B. durch das Element (31.7) Es bedarf dazu keiner anderen Uberlegung als der oben schon angestellten. Nach Satz 8.1 wird nun die Gesamtheit der Losungen von (31.1) durch xo+N(AI-A) gegeben, also durch die Menge der Vektoren XO+aIUs+I+···+arU s + r

mit beliebigen

a ..... ,ar

aus K.

(31.8)

Damit haben wir tatsachlich das Gleichungsproblem (31.1) mittels der Eigenwerte und Eigenlosungen von A erschopfend behandelt: wir haben genaue Losbarkeitsbedingungen und explizite Losungsformeln gewonnen. Diese wertvollen Ergebnisse wollen wir festhalten: 31.1 Satz Fur einen symmetrischen kompakten Endomorphismus A =/= 0 des Innenproduktraumes E ist die Gleichung (AI-A)x=y

mit A=/=O

(31.9)

208

V Eigenwerttheorie symmetrischer kompakter Operatoren

genau dann !Osbar, wenn y orthogonal zu N (J.. I - A) ist; I) in diesem Faile wird (mit den Bezeichnungen des Satzes 30.1) durch

(31.10) eine Losung der Gl. (31.9) und durch gegeben.

Xo

+ N (J.. I -

A) die Gesamtheit ihrer Losungen

Aufgaben 1. Sei A i= 0 ein symmetrischer kompakter Endomorphismus des Innenproduktraumes E, und A i= 0 sei kein Eigenwert von A. Dann existiert die Inverse (AI -A) - I auf ganz E, ist stetig, und fiir ihre Norm gilt (mit den Bezeichnungen des Satzes 30.1) die Abschiitzung II(AI-A)-III 0, wenn es einen r-dimensionalen Teilraum von E gibt. auf dem wir stan dig (A xix) ~a(xlx) haben. 1st fUr nichtverschwindende Vektoren x eines r-dimensionalen Unterraumes F stets (Axlx»O, so ist auch a(F):=min{(Axlx): xEF, IIxll = I}>O (das Minimum existiert, weil die Funktion xt-+(Axlx) auf der kompakten Menge {xEF: IIxll = I} stetig ist); nach Satz 32.3 ist dann Jit vorhanden und ~a(F). Fur Fo:=[ut, ... , ut1 ist Jit =a(Fo); denn einerseits hat man fUr jedes mit stets (Axlx) =

r

L

,,-I

IIxll

=V,,-I±Ig,,1 2= 1

Ji: Ig,,12~Jit, andererseits ist (A u,+ lu,:r) =Ji,+ . Diese Oberle-

gungen ergeben folgendes 32.4 Courantsches Maximum-Minimumprinzip 1) Es ist . (A xix) Jit = max mm - - - , F O~xeF (xix) wobei Faile r-dimensionalen Unterraume von E durchlauft. auf denen (A xix) > 0 fur x#O ist. Das Maximum wirdfiir F=[ut, ... ,ut1 angenommen. Insbesondere ist Ji t vorhanden und durch + (A xix) Jil =max--x~O (xix)

gegeben. falls (Axlx).lur mindestens ein xEE positiv ausfallt. (A xI IX» wird Rayleighscher Quotient genannt. 2 )

(xx Dem Maximum-Minimumprinzip steht komplemenUir zur Seite folgendes 32.5 Courantsches Minimum-Maximumprinzip Falls die rechte Seite der folgenden Gleichung positiv ist. hat man Jit = min F

sup

O'&'xeF-'-

(A xix) (xix)

Richard Courant (1888-1972; 84). 2) Nach John William Strott, 3. Baron Rayleigh (1842-1919; 77), dem beriihmten englischen Physiker und Nobelpreistrager von 1904. 1)

32 Bestimmung und Abschatzung von Eigenwerten

213

wobei Faile (r-1)-dimensionalen Unterriiume von E durchliiuft. Das Minimum wird fur F = [u t, ... , u:_ d angenommen.1)

Beweis. Fur (r-1)-dimensionale Unterraume F von E setzen wir [3(F):=

sup O"'xEF-'-

(A xix) (xix)

Aus Satz 30.1 folgt unter den gegenwartigen Voraussetzungen J.lr+ =[3([u t,

... , u r+_ d)·

(32.5)

Wir brauchen daher nur noch die Abschatzung (32.6)

J.lr+ ..;[3(F)

zu beweisen. [3(F) ist nach Voraussetzung positiv. Ware J.lr+ >[3(F), so gabe es wegen Satz 32.3 einen r-dimensionalen Teilraum G von E mit (Axlx);;;'J.lr+(xlx) >[3 (F)(xlx)

fUr aIle x;bO aus G.

(32.7)

Nach Satz 22.1 ist E = F(JJ F.L, also codim F.L = r-1. Ware G () F.L = to}, so muBte, im Widerspruch zu dieser Dimensionsaussage, co dim F.L ;;;. r sein. Also enthalt G () F.L ein Element y;b O. Mit (32.7) folgt nun [3(F);;;.

(1~~)

; ;.

J.l: >[3(F),

also

[3(F) > [3(F).

Diese Absurditat zeigt, daB tatsachlich (32.6) gelten muB. Und nun ergibt sich in einfachster Weise folgender

•

32.6 Weylscher Vergleichssatz 2 ) Die Operatoren A, B und C seien symmetrisch und kompakt, [3: und y,; ihre positiven, monoton fallend angeordneten Eigenwerte, und ferner sei

a:,

A=B+C. Dann gelten die Abschiitzungen

1) Bei vollstiindigem E ist das hier auftretende Supremum in Wirklichkeit sogar ein Maximum (daher der Name des Prinzips). Dies lehrt eine leichte Uberlegung, die sich auf Satz 27.1 und A 59.9 stiitzt; im Faile eines endlichdimensionalen E kommt man natiirlich bereits mit wohlvertrauten Kompaktheitsschliissen zum Ziel. 2) Hermann Weyl (1885-1955; 70) war eine der groBen Gestalten der Gottinger Mathematik und wurde 1930 auf den Lehrstuhl Hilberts berufen.

214

V Eigenwerttheorie symmetrischer kompakter Operatoren

Zum Beweis seien v: , und

w,i

die zu f3:,

r: gehOrenden EigenlOsungen von B, C

Dann erhalt man mit Hilfe des Minimum-Maximumprinzips und der (sinngemaf3 anzuwendenden) Gl. (32.5) die folgende Ungleichungskette, in der x der Bedingung IIxll = 1 unterliegen soli: a;:-

+s-I";;

sup (Axlx)";; sup (Bxlx)+ sup (Cxlx)

xEF-.L

xEF..L

XEF.L

•

..;; sup (Bxlx)+ sup (Cxlx)=f3r+ +rs+' xEG...L

xEH-l..

Fiir Polynome p(/):=ao +al 1+··· +an In mit Koeffizienten ak aus dem Skalarkorper K von E setzen wir im folgenden p(A):=aol +alA + ... +anAn. 32.7 Einschlie8ungssatz lsI for ein x E E mit IIxll 2 les Polynom p (/):= ao + al t + a2 t 2 die Zahl

=

L

l(xlulIW > 0 und ein reel-

II-I

(p (A)xlx) = ao (xix) + a I (A xix) + a2 (A 2xix) ~ 0, so enthalt die Menge {/ER:p(t)~O} mindeslens einen Eigenwert #0 von A.I)

Beweis. Mit (32.2) erhalten wir die Abschatzung

n=1

n=1

und da nach Voraussetzung mindestens ein l(xlullW nicht verschwindet, konnen • nicht aile P(Jin) negativ sein.

Aufgaben Der Operator A sei symmetrisch und kompakt auf E. 1. Wie lauten die den Slitzen 32.2 bis 32.6 entsprechenden Slitze fUr die negativen Eigenwerte J.l,-; vonA. 2.

Die Anzahl der Eigenwerte ;;;.a>O von A ist gleich sup {dimF: FeE, (Axlx);;;.a(xlx) fur aile xEF}.

1) Zahlreiche EinschlieBungsslitze dieser Art, formuliert fUr Integraloperatoren, findet man in Buckner (1952). In diesem Zusammenhang wei sen wir auch noch auf Spellucci-Tornig (1985) hin, wo praktisch brauchbare Methoden zur Berechnung und Abschlitzung von Matrizeneigenwerten gebracht werden.

32 Bestimmung und Abschatzung von Eigenwerten

215

3. Die Rayleigh-Ritzsche Methode') In dieser Aufgabe sei E reell und A positiv (aber ~O). Dann liefert wegen Satz 32.4 jede Zahl (Axlx) mit IIxll = 1 eine untere Schranke fUr den groBten Eigenwert Jl von A. Die Rayleigh-Ritzsche Methode beutet nur diese einfache Bemerkung mit einem Hauch von Systematik aus. (x" ... , x n } sei ein beliebiges n-gliedriges Orthonormal system in E. Wir greifen nun, urn das obige (Axlx) zu bilden, nicht blindlings irgendein normiertes x aus E heraus, sondern nehmen eines der Form n

x:= L q;x; ;=1

"

mit

L q7= 1.

;=1

Mit a;k:=(Ax;lxk)=ak; wird dann (A xix)

n

=

L a;kq;qk, und nun werden wir natiirlich ein i,k -= 1

n-Tupel (q" ... , qn) so zu bestimmen suchen, daB "

L a;kq;qk

maximal wird unter der Nebenbedingung

i,k=l

n

L q7= 1. i-I

Zeige: a) Die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren fUhrt von dieser Aufgabe zu dem Gleichungssystem

"

L a;kqk -Aq; =0

(i= 1, ... , n)

mit einem Parameter A.

(32.8)

k=1

b) Das System (32.8) kann nur dann eine Losung haben, die der Nebenbedingung L q7 = 1 geniigt, wenn es iiberhaupt nichttrivial IOsbar ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn

p(A) :=

all-A a2'

a'2 .. . a'n a22-A ... a2"

=0

... a nn -A

a,,2

ist. p ist das charakteristische Polynom der (symmetrischen) Matrix A:= (a;k), und seine n reellen (nicht notwendig unter sich verschiedenen) Nullstellen sind gerade die Eigenwerte von A (alles das ist dem Leser wohlbekannt). 1st nun A tatsachlich eine Nullstelle von p und (q" ... , q,,) eine Losung von (32.8) mit L q7= 1, so ergibt sich aus (32.8) die Beziehung A=(Axlx)

fUr

" x:= Lq;x;. ;=1

Infolgedessen wird jede Nullstelle von peine untere Schranke fUr Jl sein, und urn hier nichts zu verschenken, wird man natiirlich nach der grojJten dieser Nullstellen greifen - das ist die Methode von Rayleigh-Ritz (s. auch Aufgabe 4). 4. Dehne die Rayleigh-Ritzsche Methode auf den Fall aus, daB die Ansatzelemente nicht mehr orthonormal, sondern nur noch linear unabhiingig sind. 5. Erprobung der Rayleigh-Ritzschen Methode K sei der durch den Kern (31.13) definierte Integraloperator. Sein groBter Eigenwert ist lIn 2 "" 0,10132 (s. A 31.2). Bestimme mittels des Rayleigh-Ritzschen Verfahrens eine untere Schranke fUr ihn. Gehe dazu von den in C[O, I] (mit dem

I)

Walter Ritz (1878-1909; 31).

216

V Eigenwerttheorie symmetrischer kompakter Operatoren

iiblichen Innenprodukt) orthonormalen Funktionen XI (1):= 1, X2 (t):= V3 (1-2 t) aus, die durch Orthogonalisierung der Polynome 1, t entstehen. Dieser sparsame Ansatz mit nur zwei Funktionen liefert bereits ein erstaunlich gutes Ergebnis. 6. Der kompakte Operator B sei ;;. 0, und a;; bzw. y;; sei der k-te positive Eigenwert von A bzw. von A + B. Dann ist y;; ;;. a;;. Diese Abschiitzung spiegelt mathematisch den physikalischen Tatbestand wider, daB die VergroBerung der Spannung einer Saite oder Platte zu einer Erhohung der Eigenfrequenzen fiihrt. +7. Eine Minimumeigenschaft des Rayleighschen Quotienten

Sei T ein stetiger (nicht notwendigerweise symmetrischer) Endomorphismus des Innenproduktraumes E. Dann besitzt fiir jedes feste x;bO die Variationsaufgabe IITx-Axll=min

die eindeutig bestimmte Losung A = (Txlx)/(xlx). H in weis: Setze A=a + i,B, (xITx) = y+ i8 und wende das iibliche Verfahren zur Extremalstellenbestimmung einer reellwertigen Funktion der zwei reellen Veriinderlichen a,,B an. +8. Hermitesche Matrizen

Eine komplexe (n,n)-Matrix A:=(ajk) heiBt hermitesch, wenn ajk=akj fiir aile j,k ist, oder also: wenn A mit der transponiert-konjugierten Matrix A *:= (akj) iibereinstimmt. Zeige zuniichst: Eine Matrix A ist genau dann ein symmetrischer Operator auf n(n), wenn sie hermitesch ist. Da A trivialerweise kompakt ist, kann auf hermitesche

Matrizen die gesamte Eigenwerttheorie der Nummern 30 bis 32 angewandt werden. Es ergeben sich jedoch noch einige Besonderheiten, auf die wir in dieser und der niichsten Aufgabe einen fliichtigen Blick werfen wollen. 1m folgenden sei A durchweg hermitesch. C" bedeute den Hilbertraum n(n). Zeige: a) cn besitzt eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren UI, ... , Un von A zu den (reellen) Eigenwerten Ph ... ,Pn (AUk=PkUk), wobei jeder Eigenwert so oft auftritt, wie es seiner Vielfachheit entspricht (und auch die Null mit aufgenommen wird, falls sie ein Eigenwert ist; vgl. A 30.4). Die Eigenwerte Pk denken wir uns im folgenden der GroBe nach geordnet: PI ;;. P2;;'·· .;;. PH" Es sei

b) c)

(A xix) max - - - , x"o (xix)

J.lmax =

P,

=

=

(A xix) (xix)

=

. (A xix)

mm - - - . x"O

(xix)

max mm - - - (dimF=r), F

p,

.

O"xEF

pm in

.

(A xix)

mm max - - G

O"xEG

(xix)

p,

=

min O"l:x..l..lI r + I .···,II"

(dimG=n-r+ 1),

P, =

max

0"", 1.u, • ...• U,.,

(A xix) (xix) ,

(A xix) (xix)

Hi n wei s: Man kann auf die Siitze 32.4, 32.5 zuriickgreifen, wenn man beachtet, daB die Eigenwerte von A + TJ I genau die Zahlen Pk + TJ sind (k = 1, ... , n). +9. Verkleinerung hermitescher Matrizen Sei A:= (ajk) eine hermitesche (n,n)-Matrix mit den Eigenwerten PI;;' P2;;'· .. ;;. pn, und A entstehe aus A durch Streichen einer Zeile und der gleichbezifJerten Spalte. Dann ist A eine hermitesche (n - 1, n - I)-Matrix, deren Eigenwerte fi I;;' fi2;;.···;;. fi" - I ZU den en von A in folgender Beziehung stehen:

32 Bestirnrnung und Abschiitzung von Eigenwerten

217

Hinweis: Urn die Vorstellung zu fixieren, den ken wir uns die n-te Zeile und die n-te Spalte gestrichen, so daB

all ... a,.,,_,)

A= ( :

an_I, I'"

a n -l.

II

-1

ist. Fur jeden Vektor

Dann gilt: IIxoll2= IIxlb, (Axolxo) = (Axoli) und xo..ly

=

x ..ly. Benutze nun Aufgabe 8c.

VI

Anwendungen

33

Das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem

In Nr. 3 hatten wir gesehen, daB man das Sturm-Liouvillesche Problem (3.16) unter den Voraussetzungen (3.17) und der Annahme, 0 sei kein Eigenwert, in die Gleichung oder also

(I -AK)x=O

(Jl/ -K)x=O

(jl:= 1/,1)

(33.1 )

verwandeln kann, wobei der Operator K: C[a,b)-. C[a,b) durch b

(Kx)(s):=

Jk(s, t)x(t) dl

mit

k(s,/):= G(s,t)r(/)

(33.2)

a

definiert war; G bedeutet die Greensche Funktion von (3.16). Dabei hatte sich noch ergeben, daB K beziiglich des Innenproduktes b

Jr(/)x(/)y(t)dl

(xly):=

(33.3)

auf C[a,b) symmetrisch ist (man erinnere sich hier und im folgenden daran, daB r(/) auf ganz [a,b) positiv sein soil). Wir k6nnten nun die Eigenwerttheorie des Kapitels V auf K anwenden, wenn K auf dem mit der Innenproduktnorm

Ixl

= [

1r(/)x b

2

(t)dt

] 112

(33.4)

versehenen Vektorraum C[a,b) kompakl ware. Dies ist in der Tat der Fall. Zum Beweis sei (XII) eine Folge aus C[a,b), Yn:= KXII und I XII I ~ y. Da 9 (s, t):= G (s, 1){1Ti5 beschrankt ist, Ig (s, 1)1 ~ a, erhalten wir mit der CauchySchwarzschen Ungleichung IYII (s)1 = ~

11 k(s, I) XII (I) d/l ~ 1al {1Ti5 XII (t)ldl h 2 dl ) (h!,r(/)x;'(/)dl)\/2 ~Vb-aay, (la 112

33 Das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem

219

die Bildfolge (Yn) ist also in der Maximumsnorm von C[a,b] beschriinkt. Da femer g(s,/) auf a ';;;;s,t';;;; b gleichmaBig stetig ist, gibt es zu vorgegebenem c> 0 ein {J > 0, so daB fUr Is, - s21

TU,,=AnU n.

b) 1A"I ... co. ~

c) X= L (xlun)un filr jedes xEF. II-I

d) A I F - T ist bijektiv

A #A" filr aile n. In diesem Faile haben wir

und (AIF-T)-I ist kompakt. Hinweis: A 30.1 und die leicht zu beweisende Gleichung (Ah- T)-I A#O,Ah A2, ••••

=

±A (A - ±h

r

I,

falls

222

VI Anwendungen

34

Das Dirichletsche Prinzip

Sei D ein beschrankter, offener und zusammenhangender Bereich der euklidischen x y- Ebene, der sich fUr die Anwendung der Greenschen Formeln eignet (z. B. ein Normalbereich bezuglich beider Koordinatenachsen). Mit F bezeichnen wir den Vektorraum aller reellwertigen Funktionen, die auf D zweimal stetig differenzierbar sind. Das Dirichletsche Randwertproblem stellt uns vor die Aufgabe, zu vorgegebenem 1 E Fein u E F zu bestimmen, das in D harmonisch ist, also der Laplaceschen Differentialgleichung

au

au =

2

2

!:::,.u:= +ax 2 ay2

0 fUr aile (x,y)ED

genugt, und uberdies auf dem Rand u(x,y)=/(x,y)

aD von D

mit 1 ubereinstimmt:

fUr aile (x,y)EaD. 1)

Wenn dieses Problem uberhaupt eine Lasung besitzt, so ist sie aufgrund des Maximumprinzips fur harmonische Funktionen eindeutig bestimmt. Sie besitzt femer eine bemerkenswerte Minimaleigenschaft - und gerade sie wollen wir hier erarbeiten. Zu dies em Zweck machen wir F vermage der Definition (/11/2):= JoDld2 ds+ JDgrad/1 • grad 12 d(x,y)

zu einem Innenproduktraum mit der Norm 11/112= JoD1 2ds+ JD(/~

+ f~)d(x,y).2)

(34.1 )

G sei der Vektorraum aller g E F, die auf aD verschwinden, U der Vektorraum aller in D harmonischen u E F. Fur g E G, u E U ist dank der ersten Greenschen Formel (glu)

=

faD g u ds + JD gradg· gradu d(x,y)

au ds an

0- JDg!:::,.U d(x,y) - JOD g -

o

0

(n die innere Normale)

0=0,

also haben wir die Orthogonalitatsbeziehung G.l. U.

(34.2)

Sei nun ein u E U vorgegeben, und 1 bedeute irgendeine Funktion aus F mit 1 = u auf aD (u ist also die Lasung des Dirichletschen Problems mit den Randwerten 1) Dies ist in Wirklichkeit eine etwas eingeschriinkte Form des Dirichletschen Problems; allgemeinere Fassungen werden uns spater begegnen.

2)

f,,/. sind die partiellen Ableitungen vonfnach x bzw. y.

223

34 Das Dirichletsche Prinzip

I laD).

Dann liegt

g:= I -

u in G, und wegen 1= 9 + u folgt aus (34.2)

11/112= IIg1l2+ lIull 2, also

lIuli ~ 11/11.

U nter allen Funktionen IE F, die auf aD mit u iibereinstimmen, ist somit u diejenige mit der kleinsten Norm, wegen (34.1) also diejenige, die das Integral (34.3)

zu einem Minimum macht. Und nun liegt nichts naher, als diese Uberlegungen umzukehren und zu sagen: Man erhiilt bei vorgegebenem IE F eine Funktion u E U mit u = f auf aD als Losung der Variationsaufgabe (34.4) unter der Nebenbedingung qJ E F, qJ = I aul aD, also unter der Einschriinkung qJEI +G.

(34.5)

Dies ist das beriihmte Dirichletsche Prinzip (das eigentlich auf Green zuriickgeht). Gist offenbar abgeschlossen, 1+ G also eine konvexe, abgeschlossene Teilmenge von F, und daher konnen wir das Dirichletsche Prinzip im Geiste unserer anfanglichen Betrachtungen auch so formulieren: Man erhiilt die Losung u des Dirichletschen Randwertproblems mit u = I aul aD als das Element kleinster Norm in der konvexen, abgeschlossenen Menge K:= f + G, d. h., als die Bestapproximation des Punktes 0 in K. Dieses Prinzip ist aber in geliihrlicher Weise unzuverliissig - einfach deshalb, weil die Variationsaufgabe (34.4) unter der Nebenbedingung (34.5) keine Losung zu haben braucht, oder mit anderen Worten: weil es in K nicht immer eine Bestapproximation des Punktes 0 geben muG. Der Existenz einer solchen konnten wir nur dann gewiG sein, wenn F oder K vollstandig ware (s. Satz 21.1), aber weder das eine noch das andere braucht der Fall zu sein. 1st jedoch unsere Variationsaufgabe tatsachlich einmal durch eine Funktion u losbar, so muG diese auch Losung der Dirichletschen Randwertaufgabe sein, denn sie geniigt der Euler-Lagrangeschen Differentialgleichung des Problems (34.4) - und diese ist gerade die Laplacesche. 1st das Dirichletsche Randwertproblem fUr jedes IE F losbar, so haben wir die Orthogonalzerlegung F = G EB> U. Die Losung u des Dirichletschen Problems bei vorgegebenem f E F ergibt sich dann, indem man I orthogonal auf U projiziert. In der Potentialtheorie nennt man dieses Verfahren die Methode der orthogonalen Projektion.

224

VI Anwendungen

35

Ein Variationsverfahren zur Losung gewisser Operatorengleichungen. Der gebogene Balken

Sei E ein Innenproduktraum und A : DA --+ E eine lineare Abbildung des Unterraumes DA von E in E. Ahnlich wie in Nr. 29 nennen wir A symmetrisch, wenn (Axly) = (xIAy)

fUr aile x,yED A

gilt; ist iiberdies noch (Axlx»O

fUr aile

x~O

aus D A

,

so heiBt A streng positiv. Ein solcher Operator ist gewiB injektiv; denn aus Ax=O folgt (Axlx)=O und daraus wieder x=O. Die Gleichung Ax= y

(35.1)

(y E E vorgegeben)

besitzt daher hachstens eine Lasung in D A. Ihre Losbarkeit hangt interessanterweise aufs engste zusammen mit einer Minimaleigenschaft. Wir haben namlich den folgenden 35.1 Satz Sei E ein ree/ler Innenproduktraum, D A ein dicht in ihm liegender Unterraum und A: DA--+E ein streng positiver Operator. Dann gilt: Die Gleichung (35.1) hat genau dann eine (und nur eine) Losung Xo E D A, wenn die reellwertige Funktion Xf4

f(x):=(Axlx)-2(ylx)

(35.2)

(xED A )

ein Minimum besitzt. In diesem Faile gibt es nur eine Minimalstelle, und diese stimmt mit Xo iiberein.

Be wei s. Wir nehmen zuerst an, (35.1) besitze tatsachlich eine Lasung Xo E D A. Dann ist f(x) = (A xix) - 2 (A xolx) = (A (x - xo) Ix - xo) - (A xolxo),

und wegen der strengen Positivitat von A folgt daraus f(x) > -(Axolxo) = f(xo)

fUr aile

x~xo

aus D A

•

Damit ist die Behauptung in der einen Richtung schon bewiesen. Nun setzen wir umgekehrt voraus, f besitze ein Minimum und dieses werde an der Stelle Xo E D A angenommen. Dann ist fUr jedes zED A und jedes t E R gewiB f(xo) ~f(xo + tz) = [(Axolxo) - 2 (ylxo)] + 2t[(Axolz) - (ylz)] + t 2 (A zlz),

das rechtsstehende Polynom in t besitzt also an der Stelle t = 0 ein lokales Minimum, so daB seine Ableitung dort verschwindet: 2[(Ax olz)-(ylz)]=O

oder also

(Axo-ylz)=O.

35 Ein Variationsverfahren zur Losung gewisser Operatorengleichungen

225

Da diese Beziehung ftir aIle zED A gilt und D A dicht in E liegt, folgt aus ihr A Xo - Y = 0. Die Gleichung (35.1) besitzt also die Lasung Xo. • Satz 35.1 hat einen physikalischen Hintergrund, den wir uns durch das folgende Beispiel verdeutlichen wollen. 35.2 Der gebogene Balken Ein Balken der Lange 1 liege an beiden Enden auf, habe den Elastizitatsmodul E (s), das Querschnittstragheitsmoment I (s) und trage eine stetig verteilte Last der Dichte w(s). Dann erhalt man, wie die Elastizitatstheorie lehrt, seine Biegelinie x=x(s) (O~s~/) als Lasung der Randwertaufgabe

(E I x")" = w,

x(O) =x'(O) =x(/) =x' (I) = 0.

(35.3)

Die Funktionen E und I sind ihrer Natur nach auf [0, I] standig positiv, und wir nehmen an, daB sie dort zweimal stetig differenzierbar seien. Den Raum qo, I] der stetigen Funktionen x: [0, 1]-+ R mach en wir vermage I

Jx(s)y(s)ds

(xJy):=

o

zu einem Innenproduktraum. DA sei der Vektorraum der auf [0, I] viermal stetig differenzierbaren Funktionen, die den Randbedingungen in (35.3) gentigen. D A liegt dicht in qo, I]. Den Operator A : D A -+ qo, l] definieren wir durch Ax:=(Elx")"

fUr aIle xEDA

•

(35.4)

Die Randwertaufgabe (35.3) geht dann tiber in die Gleichung

(w E qo, I] vorgegeben).

Ax= w

(35.5)

Eine einfache Rechnung (wiederholte partielle Integration!) zeigt, daB der Operator A symmetrisch ist, und noch einfacher sieht man seine strenge Positivitat ein. Auf (35.5) kann daher der Satz 35.1 angewandt werden. Die in (35.2) erklarte Funktion I hat nun im vorliegenden Fall die Form I(x) =

I

I

o

0

f EI(x")2ds-2 I wxds.

In der Elastizitatstheorie wird gezeigt, daB bei gegebener Biegelinie xEDA die potentielle Energie U(x) des Balkens gegeben wird durch 1

-2

I

I

o

0

f E I (x") 2 ds - f wx ds ,

also ist I(x) = 2 U(x). Satz 35.1 besagt daher, daj3 eine vorgegebene Belastung diejenige Biegelinie erzeugt, bei der die potentielle Energie des Balkens minimal wird eine Tatsache, die jedem Kenner der Mechanik gewissermaBen im Blute liegt.

226

VI Anwendungen

Aufgaben 1. Die Poissonsche Randwertaufgabe 1) Sie spielt in der Theorie der von Massen oder elektrischen Ladungen erzeugten Potentiale eine dominierende Rolle. Mathematisch geht es dabei urn folgendes. Sei G eine beschrankte, offene und zusammenhangende Teilmenge der euklidischen xy-Ebene und D die Menge aller reellwertigen Funktionen u, die auf G stetig sind, auf dem Rande von G verschwinden und in G stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung besitzen. t;. sei der Laplacesche Differentiationsoperator:

Die Poissonsche Randwertaufgabe verlangt, zu vorgegebenem f E L~ (G) eine Funktion u E D zu finden, die der Poissonschen Differentialgleichung - t;. u = f(x,y)

(35.6)

fUr aile (x,y) E G

geniigt. 1m folgenden soli der Rand von G glatt genug sein, urn zu gewahrleisten, daB D dicht in dem Hilbertraum L~(G) liege) und die Greenschen Formeln angewandt werden diirfen. Zeige: Der Operator - t;.: D ...... L~(G) ist streng positiv, und die Poissonsche Randwertaufgabe lauft darauf hinaus, das Integral

L [(~:r + (~;r -2f U] d(x,y) in D zu minimieren. 2. Ein Iterationsverfahren. Die Methode des steilsten Abstiegs Sei A ein stetiger symmetrischer Endomorphismus des Hilbertraumes E 3 ) mit m:= inf (Axlx»O (dies ist mehr als strenge Positivitat). Zu losen sei die Gleichung 11-'11- I Ax = y

mit vorgegebenem y E E.

(35.7)

Zeige der Reihe nach: a) Fiir einen stetigen symmetrischen Endomorphismus S von E sei m(S):= inf (Sxlx), IIxll~1

M(S):= sup (Sxlx). IIxll~1

Dann ist IISII =max(lm(S)I, IM(S)I). Hinweis: Satz 29.5. 2 . b) Mit dem oben schon erklarten m, mit M:= sup (Axlx) und a:= - - - 1st 11-,11-1 M+m III+aAII Xz, ... ] ist (womit dann die Separabilitat von E dargetan ist). Enthielte E\F ein Element xo, so gabe es nach Satz 36.3 einfES mitf(x)=O fOr aIle xEF. Insbesondere ware dann f(x,,) = 0 fOr n = 1, 2, ... und somit 1

2"" If,. (xll)1 = I/" (Xn ) -

f(xll )I= ICf,. - f)(x")I",, II In - fll

fOr n EN,

im Widerspruch dazu, daB man 1If,.-fll durch geeignete Wahl von n unter jede positive GroBe drOcken kann. Es muB also tatsachlich E = F sein. • Aufgaben *1. Eine Abbildungp des Vektorraumes E in R heiJ3t ein sublineares Funktional, wenn gilt: p(ax)=ap(x) fUr a .. O undp(x+y);p(x)+p(y). Beweise den Fortsetzungssatz von Banach Sei E ein reel/er Vektorraum, p ein sublineares Funktional auf E und Fein linearer Unterraum von E. Geniigt eine auf F dejinierte Linearform f der Abschiitzung f(x) ;p (x) for aile xEF, so gibt es auf E eine Linearform g mit g(x)=f(x) for allexEF,

g(x) ;p(x) for allexEE.

234

VII Hauptsatze der Funktionalanalysis

Hi n wei s: Man gehe den Beweisteil I des Satzes 36.1 noch einmal mit ungetriibtem Auge durch. *2. Genau dann kann man den Vektor Xo des normierten Raumes E beliebig gut durch Linearkombinationen von Elementen der Menge Me E approximieren (d. h., genau dann ist Xo E [M]), wenn jede stetige Linearform auf E, die auf M verschwindet, auch in Xo verschwindet. +3. Sei E ein normierter Raum iiber K und y> o. Genau dann gibt es auf E eine stetige Linearform 1 mit 11/11 ~y, die in gegebenen Punkten x" vorgeschriebene Werte I(x")=a,, (n= I, 2, ... )

I

annimmt, wenn fiir beliebige n E N und fivE K die Ungleichung vt/vav +4. Banach-Limites fiir beschriinkte FoIgen p(x):=lim sup M sei die Menge aller

I ~ y I vt/vXv II gilt.

Fiir jedes x:= (~k) E IR' sei

~I+···+~

n

".

X:=(~k)E/R',

fiir welche

existiert. Offenbar ist M ein Unterraum von IR' und 1 eine Linearform auf M mit I(x) =p (x). Zeige mittels des Banachschen Fortsetzungssatzes aus Aufgabe 1, daB es eine Linearform Lim auf IR' mit folgenden Eigenschaften gibt: a)

Lim(~" ~2'

... )= Lim(~2' ~3'

••• )

(Translationsinvarianz des "Banach-Limes").

b) lim inf~" ~ Lim (~" ~2' ... ) ~ lim sup~". Insbesondere ist also c)

Lim(~" ~2'

... )=

lim

~."

falls die Folge

(~k)

konvergiert.

d) Lim (~" ~2' ••. );;. 0, falls aile ~" ;;. 0 sind. Hinweis: Zum Beweis von b) ziehe man Satz 28.6 aus Heuser I heran und beachte, daB fiir jede Linearform g aus g(x)~p(x) (fiir aile x) stets -p( -x)~g(x) folgt. +5. Stetigkeit der Linearform Lim Die in Aufgabe 4 erklarte Linearform Lim ist stetig auf IR' mit II Lim II = 1. Hinweis. Eigenschaft d) in Aufgabe 4. Falls der Leser ins Stocken gerat, mage er die 01. (56.12) und ihren Beweis zu Rate ziehen. 6. Sei F der Unterraum von IR', der aus allen Folgen (~" ~2 -~" ~3 -~2' .•• ) mit (~" ~2' ••• ) E IR' besteht. Zeige, daB die oben erklarte Linearform Lim auf F verschwindet. SchlieBe daraus mit Hilfe der beiden letzten Aufgaben, daB (1, 1, 1, ... ) nicht zu F gehart. Beweise dies auch direkt. Vgl. Satz 36.3. 7. E,F seien nichttriviale (also von (OJ verschiedene) normierte Raume iiber K. Dann enthalt Y(E,F) nicht nur die Nullabbildung.

37 Quotientenriiume und kanonische Injektionen

37

235

Quotientenraume und kanonische Injektionen

Ein injektiver Operator A: E_F (E, Fbeliebige Vektorraume) ist weitaus angenehmer zu handhaben als ein nichtinjektiver. Wir wollen deshalb versuchen, mit A einen Operator A zu assoziieren, der aIle wesentlichen Eigenschaften von A besitzt, aber gleichzeitig auch noch injektiv ist. Die Konstruktion dieser "kanonischen Injektion" A wird uns nicht schwerfallen. Wir nennen zwei Elemente Xh Xz von E aquivalent, in Zeichen: XI -Xz, wenn sie dasselbe Bild unter A liefern, d. h., wenn AXI =Axz ist. Offenbar gilt (37.1)

N ist ein linearer Unterraum von E, und allein aus dieser Tatsache folgt in einfachster Weise, daB die Relation - reflexiv, symmetrisch und transitiv, also eine Aquivalenzrelation ist. Sie zerlegt daher E in paarweise disjunkte Klassen aquivalenter Elemente (Aquivalenz- oder Restklassen). Diese Restklassen sind genau die Mengen der Form X + N (vgl. Satz 8.1). Die Gesamtheit aller Restklassen bezeichnen wir mit EI N, die Restklasse von X (d. h. diejenige Restklasse, die x enthalt) mit x. Es ist also x = x + N, und wir haben x I = Xz genau dann, wenn x I - Xz zu N gehort, d. h., wenn AXI =Axz ist. Es liegt nun auf der Hand, daB durch die Festsetzung

Ax:=Ax (X Ex)

(37.2)

in vollig eindeutiger Weise eine injektive Abbildung A von EI N nach F mit A(EI N) =A (E) definiert wird. Diese Abbildung fOhrt man also folgendermaBen aus: Man jajJt aile Elemente von E, die ein und dasselbe BUd y unter A haben, zu einer Klasse zusammen und ordnet ihr das allen Klassenelementen gemeinsame BUd y zu. Ais nachstes wird man versuchen, die Restklassenmenge EI N so zu einem Vektorraum zu machen, daB A eine lineare Abbildung wird. Wir miissen zu diesem Zweck die Summe XI +xz so definieren, daB gilt: A

A

A

A

______

A (XI +xz)=AxI +Axz, also =AxI +Axz=A (XI +xz)=A (XI +xz); wegen der Injektivitat von A muB also XI +xz notwendigerweise durch die Erklarung (37.3)

festgesetzt werden. Diese Definition ist unabhangig von der Wahl der Reprasentanten XhXZ. 1st namlich auch UI EXI und uzEXz, also 1.(1 =x.-!:-v. und uz=xz+vz mit VhVZ EN, so ist (u. +uz)-(x. +xz)=v. +vz EN, also u;+ll;-=:X;+XZ. Ganz entsprechend sieht man, daB wir das Produkt ax durch die Gleichung

ax:=ax

(X EX)

(37.4)

236

VII Hauptsiitze der Funktionalanalysis

erkHiren mtissen, wenn A (ax) = aA x sein solI, und daB auch diese Definition unabhiingig von der Wahl des Reprasentanten ist. Man beachte, daB die Reprasentantenunabhangigkeit der Definitionen (37.3) und (37.4) einzig und allein darauf beruht, daft N ein linearer Unterraum von E ist. Mit der so eingefUhrten Addition und Skalarmultiplikation wird EI N nun in der Tat ein Vektorraum (tiber dem Skalarkorper von E); das Nullelement 6 von EI N ist die Restklasse N. Die Tatsache, daB die Zerlegung des Raumes E in Restklassen und die EinfUhrung einer Vektorraumstruktur in EI N durch (37.3) und (37.4) allein auf der Linearitiitseigenschaft von N beruhten - nicht jedoch auf der Erklarung von N als Nullraum von A - berechtigt uns dazu, das folgende Resultat zu notieren: 37.1 Satz 1st N ein beliebiger linearer Unterraum des Vektorraumes E, so wird die Restklassenmenge EIN:={x:=x+N:XEE} durch die Dejinitionen

ein Vektorraum iiber dem Skalarkorper von E.

Der Vektorraum EI N heiBt der Quotientenraum von E nach N. Die Abbildung h: E-+EIN, definiert durch h(x):=x, ist linear und surjektiv und wird der kanonische Homomorphismus von E auf EIN genannt. Die Vektorraumstruktur auf EI N haben wir so festgelegt, daB die in (37.2) definierte Abbildung A: EI N(A)-+F linear ist. Man nennt sie die zu A gehorende kanonische Injektion. Da sie injektiv ist und denselben Bildraum wie A besitzt, erhalten wir sofort den folgenden 37.2 Satz 1st die Abbi/dung A: E-+F linear, so sind die Vektorriiume EI N(A) und A(E) isomorph. Wir nehmen uns nun den Fall vor, daB E und F normierte Raume sind und A: E-+F eine stetige lineare Abbildung ist. Man wird dann fragen, ob man auf dem Quotientenraum EI N(A) eine Norm so einfUhren kann, daB auch die kanonische Injektion A stetig wird. Da fUr aIle Reprasentanten x der Restklasse x die Abschatzung IIAxll = IIAxll ~ IIAllllxll gilt, besteht auch die Ungleichung IIAxll ~ IIAII . inf IIxli. Aus ihr entnehmen wir, daB A gewiB dann stetig ist, wenn xEx

durch IIxll:= inf IIxll eine Norm auf EI N(A) definiert wird. Der nachste Satz lehrt, XEX

daB dies in der Tat der Fall ist (dabei beachte man, daB wegen der Stetigkeit von A der Nullraum N(A) abgeschlossen ist). 37.3 Satz 1st N ein abgeschlossener Unterraum des normierten Raumes E, so wird durch

IIxll := inf lIyll yE.i

(x E EI N)

eine Norm auf dem Quotientenraum EI N, die sogenannte Quotientennorm, dejiniert. Der normierte Raum EI N ist vollstiindig, wenn E selbst es ist.

37 Quotientenriiume und kanonische Injektionen

237

Von den Normeigenschaften beweisen wir nur, daB aus IIxll =0 stets x=O folgt. Wegen IIxll = 0 gibt es Vektoren y" Ex mit Yn-O. Da nun dank der Abgeschlossenheit von N auch x=x+ N als Teilmenge von E abgeschlossen ist, liegt der Grenzwert 0 von (Yn) in x, es ist also in der Tat x= O. Nun sei E vollstiindig und (x,,) eine Cauchyfolge in EI N. Dann gibt es zunachst Indizes nl < n2 < n3 0, insbesondere

U = {x: p(x) < 1).

(42.1)

Wir beweisen zunachst die Sublinearitat. Zu x,y und beliebigem 8> 0 gibt es positive Zahlen a,/3 mit p(x).;;;a t2 in Kist.

Zum Beweis definieren wir fUr 1]:=el3 die Mengen F,,:={tEK: Ixll (t)-x",(t)I";1] fUr alle

Offenbar ist F" abgeschlossen und K

=

m~n}.

U F, .. n=1

Aus dem Baireschen Kategorie-

satz folgt nun, daB mind est ens ein Fn , etwa Fp , ein abgeschlossenes Intervall K' enthalt. Fur alle t E K' und alle m ~ p ist also Ixp (t) - x'" (t)I"; 1] und somit auch Ixp (t) -x(t)l..; 1]. Ferner gibt es, da xp auf K' sogar gleichmiij3ig stetig ist, ein abgeschlossenes Teilintervall K von K' mit IXp(t l )-xp(/2)1";1] fUr alle II> 12 in K. Fur solche Punkte t I> t2 ist dann

44 Anwendungen des Baireschen Kategoriesatzes

261

Aus diesem Hilfssatz folgt sofort, daB man zu jedem abgeschlossenen Teilintervall K von [a, b] Intervalle KI/:= [al/, bl/] mit nachstehenden Eigenschaften konstruieren kann: Kl/cK,

al/ m und deren absteigende eine Steigung < - m haben. Dieser Wiederspruch zeigt, daB es eine Funktion x E qo, 2] gibt, die in keinem Punkt des Intervalles [0,1] differenzierbar sein kann. •

45

Anwendungen des Satzes von der stetigen Inversen

45.1 Das Anfangswertproblem fUr lineare Differentialgleichungen Schon in Beispiel 4.4 hatten wir die Frage aufgeworfen, ob die Lasung des Anfangswertproblems fur eine lineare Differentialgleichung "stetig von der rechten Seite und den Anfangsbedingungen abhangt". Diese Frage wollen wir nun prazisieren und lasen. Dabei werden wir, einzig der bequemen Schreibweise wegen, nur Differentialgleichungen zweiter Ordnung ins Auge fassen. Sind die Koeffizientenfunktionen/o'/I aus qa,b], so besitzt das Anfangswertproblem x" (t) +11 (t)x' (t) +10 (t)x (t) = y (t),

x(a)=~,

x'(a)=f

(45.1)

fUr jede rechte Seite y aus qa,b] und jedes Paar von Anfangswerten ~,~' genau eine Lasung x in C 2 )[a,b]. x hangt, wie wir zeigen werden, in folgendem Sinne stetig von y und ~,~' ab:

45 Anwendungen des Satzes von der stetigen Inversen

263

1st Yn E C[a, b] und strebt y,,(t)-y(t) gleichmiiftig aul[a,b],

~n-~

und

~~-~',

ist lerner for jeden Index n x~' (t)

+j; (t)x:, (t) +10 (t)x" (t) = Yn (t),

so strebt gleichmiiftig au/[a,b] x" (t)-x (t),

x:, (t)-x' (t)

und

x~' (t)-x" (t).

1m Beweis sei E der Banachraum C ••• , Kx=K(;I> ... , ;11):=

Ct,

XII

a,p;p, ... , pt, aIlP;p)

=

vt,

Ct,

avp;p) Xv

gegeben wird. Hier ist

L

Iv (x) =

(48.3)

avp;p;

p~'

die Iv werden also von den Vektoren x;;:= (avl> ... , a vll ) aus E+:= K" "erzeugt". Das Gemeinsame an beiden Beispielen fallt sofort in die Augen: Es sind zwei Vektorraume E, E+ uber dem Skalarkorper K gegeben, und jedem Paar von Vektoren XEE, x+ EE+ ist ein Skalar (x,x+) zugeordnet - in unseren Beispielen ist (x,x+) =

b

I x(t)x+ (t)dt

II

bzw.

=

L

;p;;; ;

(48.4)

a

diese skalarwertige Funktion (x,x+)I-+(x,x+) auf Ex E+ ist bilinear oder eine Bilinearform, d.h. in beiden Veranderlichen linear: (x+y, x+) =(x,x+)+(y,x+), (x,x+ +y+)=(x,x+)+(x,y+),

(ax,x+)=a(x,x+), (x,ax+) =a(x,x+).

Mittels einer solchen Bilinearform und geeigneter Vektoren Xv in E, x;; in E+ lassen sich dann die oben betrachteten Integral- und Matrixoperatoren K jed enfalls rein auBerlich auf ein und dieselbe Gestalt II

Kx =

L

(x, x:) Xv

(48.5)

v=1

bringen. 1st auf Ex E+ eine Bilinearform definiert, so nennen wir das Vektorraumpaar (E, E+) ein Bilinearsystem bezuglich dieser Bilinearform; den letzten Zusatz lassen wir meistens weg, sprechen also fUr gewohnlich einfach von dem Bilinearsystem (E, E+) und bezeichnen die definitionsgemaB vorhandene Bilinearform auf Ex E + - oder vielmehr ihre Werte - dann immer mit (x, x +). Der Begriff des Bilinearsystems wird sich - besonders in der etwas engeren Form des Dualsystems - als einer der beherrschenden Begriffe der Funktionalanalysis erweisen. Wir wollen noch einige Beispiele betrachten.

48.1 Beispiel Jedes Paar (E, E+) von Vektorraumen ist ein Bilinearsystem bezuglich der trivialen Bilinearform (x,x+):=O fUr alle (x,x+). 48.2 Beispiel 1st r die kleinere der nattirlichen Zahlen m, n und wird (a I> ••• , a r ) beliebig gewahlt, so ist (Kill, K") ein Bilinearsystem bezuglich der Bilinearform

281

48 Bilinearsysteme

,.

L

(x,x+):=

av~v~:

(48.6)

;

v-I

fUr r = m = n und a 1= ... = all = 1 erhiilt man gerade die zweite der Bilinearformen in (48.4). 48.3 Beispiel Sei P[a,b] der Vektorraum aller Polynome auf [a,b] und wE C[a,b]. Dann sind (C[a,b], P[a,bD und (C[a,b], C[a,bD Bilinearsysteme bezuglich der Bilinearform (x,x+):=

b

I w(t)x(t)x+ (t)dt;

(48.7)

a

fUr w(t)= 1 auf [a,b] erhiilt man gerade die erste der Bilinearformen in (48.4). 48.4 Beispiel form

(C[a,b], B V[a,bD ist ein Bilinearsystem bezuglich der Bilinearb

(x,x+):=

I x(t)dx+ (t).

(48.8)

a

48.5 Beispiel Sei 1 O gibt, so daB l(x,x+)I 0 die Abschatzung m lIill.,;; IIAili fOr aile iEE gilt, wenn also . f

10 O#.~Et

IIAili -> 0 IIi II

(55.1)

310

IX Bilinearsysteme und konjugierte Operatoren

ist. Definieren wir den Abstand d(x,N(A» des Elementes x von N(A) durch d(x,N(A»:=

inf IIx-yll,

.rEN(A)

so ist fUr jedes x Ex

IIxll = inf IIzll = zE."

inf IIx-yll =d(x,N(A»

.rEN(A)

und

IIAxll = IIAxli.

Infolgedessen stimmt das Infimum in (55.1) mit der Zahl y

(A)

. f IIAxll := .~~E d(x,N(A» '

(55.2)

x(tN(A)

dem sogenannten Minimalmodul von A iiberein, und unsere Uberlegungen resultieren in dem folgenden 55.2 Satz Sind E und F Banachriiume, so ist der Bildraum des Operators A E..9(E,F) genau dann abgeschlossen, wenn sein Minimalmodul y(A»O ausfiillt. Daraus gewinnen wir ohne groBe Miihe ein wichtiges hinreichendes Kriterium: 55.3 Satz A sei eine stetige lineare Abbildung des Banachraumes E in den Banachraum F. Gibt es einen abgeschlossenen Unterraum G von F derart, dajJ A (E) n G = {O} und A (E) Ef) G abgeschlossen ist, so mujJ bereits A (E) selbst abgeschlossen sein. Beweis. Gist als abgeschlossener Unterraum des Banachraumes F vollsUindig, infolgedessen ist der Produktraum Ex G ein Banachraum. Wir definieren nun eine stetige lineare Abbildung B: Ex G-+ F durch B(x,y):=Ax+y

(xEE,yEG).

Der Bildraum B(Ex G)=A(E)Ef)G ist nach Voraussetzung abgeschlossen, y(B) also positiv. Wir zeigen nun, daB y(A) ~ y(B) bleibt, womit dann auch alles bewiesen ist. Wegen A(E) n G= {O} ist N(B)=N(A) x {O}, also d«x,O), N(B» =d(x,N(A» fUr xEE und somit IIAxll = liB (x, 0)11 ~y(B)d«x,O), N(B»=y(B)d(x,N(A».

Daraus folgt sofort y(A) ~ y(B).

•

Da nach Satz 11.4 ein endlichdimensionaler Unterraum eines normierten Raumes stets abgeschlossen ist, liefert Satz 55.3 ohne weiteres Nachdenken den

55.4 Satz von Kato A sei eine stetige lineare Abbildung des Banachraumes E in den Banachraum F. Besitzt der Bildraum von A endliche Kodimension, so ist er abgeschlossen.

311

55 Operatoren mit abgeschlossenen Bildraumen

Das Prunkstiick dieser Nummer ist der tiefliegende Satz 55.7. Seinen Beweis berei ten wir durch zwei unterstiitzende Aussagen vor. 55.5 Hilfssatz E sei ein vollstandiger, Fein beliebiger normierter Raum, K,.:={XEE: IIxll ~r}, V!':={yEF: lIyll 1 ist. Aus der vorausgesetzten Inklusion V!, cA (K 1) folgt V!,c" cA (Kc") fUr jedes £ E (0,1) und n = 0,1, .... Wie im Beweis des Satzes 39.2 (ab (39.2» sieht man nun, daB es zu jedem yE V!, ein XEKI/(I_c) mit Ax=y gibt, womit alles bewiesen ist. • 55.6 Satz Genau dann ist die stetige lineare Abbi/dung A des Banachraumes E in den Banachraum F surjektiv, wenn A' eine stetige Inverse auf A' (F') besitzt. Beweis. Wir setzen voraus, daBA' eine stetige Inverse besitzt und zeigen (mit den Bezeichnungen aus dem obigen Hilfssatz) zunachst (55.3) Dazu nehmen wir an, daB y zwar in V!,, nieht jedoch in A (K I) liegt. A (K I) ist als lineares Bild einer konvexen Menge konvex (s. A 42.4), nach A 21.9 muB also auch A (K I) konvex sein. Infolgedessen gibt es ein y' E F' mit Re (y,y') > Re (z,y') fUr aIle z EA (K I) (Satz 42.5), insbesondere ist Re (y,y') > Re (A x,y') fUr jedes xEK 1• Sei (Ax,y')=rei'l', r~O. Dann folgt, da mit x auch e-i'l'x in KI liegt, Re (y,y'»

Re (A e-i'l'x,y') = Ree-i'l' (Ax,y')=r= I(Ax,y')I,

und daraus ergibt sich

p lIy'li = p II(A,)-I A'y'li ~p II(A,)-IIIIIA'y'li = IIA'y'li = sup l(x,A'y')1 xEK

I

= sup I(A x,y')1 ~ Re (y,y') ~ I( y,y')1 ~ lIylllly'll. xEK

I

Somit ist, im Widerspruch zu unserer Annahme, p ~ lIyll. Mit Hilfssatz 55.5 folgt aus (55.3) nun V!, cA (K I), und daraus ergibt sich sofort A (E) = F. - Nun sei A surjektiv. Hatte A' keine stetige Inverse auf A' (F'), so gabe es nach Satz 10.6 eine Foige (y:,)cF' mit IIY:,1I=1 und IIA'y:,II-.O. Setzt man a,,:=max{vIlA'y:,II, llYn} und z:,:= y:'/ a", so strebt Ilz:,II-' 00

und

IIA' z:,II-'O,

(55.4)

infolgedessen konvergiert (Ax,z:')=(x,A'z:')-'O fUr jedes xEE. Wegen der Surjektivitat von A ergibt sich daraus mit Satz 40.3, daB (lIz:,II) beschrankt ist, im Widerspruch zu (55.4). •

312

IX Bilinearsysteme und konjugierte Operatoren

Das Gegenstuck zu dem eben bewiesenen Satz ist ubrigens der spater auftretende Satz 57.3: A: E-+F sei eine stetige lineare Abbi/dung der normierten Riiume E und F. A' ist genau dann surjektiv. wenn A eine stetige Inverse aul A (E) besitzt. Es folgt nun der angekundigte Hauptsatz dieser Nummer, ein Satz, der von bestechender Symmetrie und alles andere als trivial ist. 55.7 Satz A : E -+ F sei eine stetige lineare Abbi/dung der Banachriiume E und F. Dann sind die lolgenden Aussagen iiquivalent: a) A (E) ist abgeschlossen. b) A'(F') ist abgeschlossen. c) A(E)={yEF: (y,y')=O for aile y'EN(A')}=:N(A')1.. d) A'(F')={x'EE': (x,x')=O for aile xEN(A)}=:N(A)1.. Wir beweisen zunachst die Implikation a) =:> d): "Wenn A(E) abgeschlossen ist, muB A'(F')=N(A)1. sein." Die Inklusion A'(F')cN(A)1. ergibt sich sofort aus der vierten Aussage in A 54.1 ; wir zeigen nun umgekehrt, daB jedes x' E N (A) 1. in A'(F') liegt. Dazu definieren wir mit Hilfe eines solchen x' eine Linearform I auf A (E) folgendermaBen: Zu yEA (E) wahlen wir ein x E E mit A x = y und setzen I(y):= (x,x').

list eindeutig erklart; ist namlich auch Ax\ =y, so muB x\-xEN(A), also (XhX') = (x,x') sein. Trivialerweise ist I linear. list auch stetig: Fur jedes u E N(A) gilt namlich I(y) = (x-u,x'), also I/(y)1 ~ IIx'lIlIx-ull, und somit auch I/(y)I~lIx'lId(x,N(A». Da wegen Satz 55.2 der Minimalmodul y(A»O ist, folgt daraus

I/(

y

)1~lIx'IlIIAxll =~II II. y(A)

y(A) Y

Wir setzen nun I nach dem Satz von Hahn-Banach zu einer stetigen Linearform z' auf E fort. Dann ist fUr jedes x E E (x,x') = I(Ax) =z'(Ax) = (Ax,z') = (x,A'z') ,

also ist x' =A 'z', und somit liegt x' in A' (F'). Damit haben wir die Implikation a) =:> d) vollstandig bewiesen. Da N(A) 1. trivialerweise abgeschlossen ist, gilt "d) =:> b)". Damit besteht insgesamt nun die Implikationskette (55.5) Jetzt zeigen wir "b) =:> a)". Sei also A'(F') abgeschlossen. Wir setzen G:=A(E), definieren BEY(E,G) durch Bx:=Ax fur xEE und zeigen B(E)= G (womit die Abgeschlossenheit von A (E) bewiesen ist). Wegen Satz 55.6 brauchen wir nur darzulegen, daB B': G'-+E' eine stetige Inverse besitzt. Aus B(E)= G folgt mit der ersten Aussage in A 54.1 sofort die Injektivitat von B'. Ferner ergibt sich mit

55 Operatoren mit abgeschlossenen Bildriiumen

313

Hilfe des Hahn-Banachschen Fortsetzungssatzes sehr leicht die Gleichung B'(G')=A'(F'), also besitzt B' einen abgeschlossenen Bildraum. Mit Hilfssatz 55.1 erkennen wir nun, daB (B') - I tatsachlich stetig ist. Insgesamt haben wir dam it bisher den RingschluB a)

=>

d)

=>

(55.6)

b) => a)

etabliert (s. (55.5». Unser Satz ist also bewiesen, wenn wir noch die Aquivalenz "a) c)" garantieren konnen. Ihre nichttriviale Richtung => ergibt sich aber sofort aus der zweiten Gleichung in A 54.1. • Aus Satz 55.7 erhalten wir ohne Umschweife den 55.8 Satz Ein stetiger Endomorphismus des Banachraumes E ist genau dann E'-normal auflosbar, wenn seine duale Transformation E-normal auflosbar ist. Zum SchluB fassen wir noch eine merkwurdige, von Kato (1958) entdeckte Eigenschaft derjenigen Operatoren ins Auge, deren Bildraum gerade nicht abgeschlossen ist: 55.9 Satz A: E-+-F sei eine stetige lineare Abbi/dung der normierten Riiume E, F mit nichtabgeschlossenem Bildraum. Dann gibt es zujedem e>O einen unendlichdimensionalen abgeschlossenen Unterraum V(e) von E, so daft die Einschriinkung von A auf V(e) eine Norm 0 einen unendlichdimensionalen Unterraum U(e) von E, so daft die Einschriinkung von A auf U(e) eine Norm 0 einen unendlichdimensionalen abgeschlossenen Unterraum V(c) von E, so daB die Einschrankung von A auf V(c) eine Norm ';'c hat und iiberdies auch noch kompakt ist. Hinweis: Aufgabe 7, Satz 28.3.

56

Analytische DarsteUung stetiger Linearformen

Urn einen stetigen Endomorphismus eines normierten Raumes auf normale Auf16sbarkeit zu testen, kann es niitzlich sein, iiber eine analytische Darstellung aller stetigen Linearformen unseres Raumes zu verfUgen. Auch bei anderen Untersuchungen, z. B. bei dem Approximationsproblem in A 36.2 sind solche Darstellungen von Vorteil. Ihnen wollen wir uns deshalb in diesem Abschnitt zuwenden. 1m Faile eines Hilbertraumes E haben wir dieses Darstellungsproblem iibrigens schon durch den Satz 26.1 von Frechet-Riesz gelost. Nach ihm gibt es zu jeder stetigen Linearform f auf E genau ein z E Emit f(x) = (xlz)

(56.1 )

fUr aile x E E,

und umgekehrt definiert jedes zEE vermoge (56.1) ein fEE'; iiberdies ist I[{II = IIzil. Aus diesem Satz folgt z. B., daB man jede stetige Linearform f auf L2(a,b) in der Form b

f(x)

=

J x(t)z(t)dt

(56.2)

a

mit einer im wesentlichen (d. h. bis auf eine Menge vom MaB 0) eindeutig bestimmten Funktion zEe(a,b) darstellen kann; dabei ist IIfil

=

(

"

[,lz(t)1 2 dt

) 1/2

(56.3)

e

Umgekehrt liefert (56.2) fUr jedes z E (a,b) eine stetige Linearform e(a,b). Wir wollen nun einige weitere Beispiele angeben.

f auf

56 Analytische Darstellung stetiger Linearformen

317

56.1 Beispiel 1st E ein endlichdimensionaler normierter Raum tiber K, so stimmt wegen Satz 11.5 E' mit E* tiberein. Stellen wir x E E mittels einer Basis {x .. ... , x,,} in der Form x

L"

=

dar, so ist fUr jede Linearformf auf E

~kXk

k~l

"

f(x) = L ak~k

(56.4)

mit ak:=f(xd·

k~l

Umgekehrt wird ftir beliebig gewiihlte Skalare ak dureh (56.4) eine (stetige) Linearform f auf E definiert. Es ist leieht zu sehen, daB vermoge der Zuordnung ff-+(a ..... , a,,) E' isomorph zu K" ist. 56.2 Beispiel

Wir bestimmen nun die stetigen Linearformen auf IP, 1.;;;;p 1,

q=

00,

falls p = 1 .

ek:=(O, ... , 0,1,0, ... ) liegt in IP, und jedes x:=(~dEIP liiBt sieh in der Form x = L~k ek darstellen. Ftir eine stetige Linearform f auf IP ist also mit ak:= f( ed

(56.5)

f(x) = L ak~k' k~l

Naeh I) und II) in Beispiel 46.1 liegt a:=(al, a2,"') in 1'1, und wir haben

1: lakl'l)I/'1 {( IIfil = IIall'l = k~

fUr p> 1 (s. (46.5», (56.6)

I

sup lad k

fUr p= 1 (s. (46.8».

1st umgekehrt a:=(al, a2, ... ) ein beliebiger Vektor aus 1'1, so wird dureh (56.5) eine stetige Linearform f auf IP definiert (benutze fUr den Fall p> 1 die Holdersehe Ungleiehung); die Norm vonfwird wieder dureh (56.6) gegeben. Damit haben wir den wesentIiehen Inhalt des folgenden Satzes bewiesen (die Riehtigkeit der noeh unbewiesenen Aussagen springt in die Augen): Jede stetige Linearform f auf IP (l';;;;p < (0) kann mit Hilfe einer und nur einer Foige a:= (a .. a2, ... ) aus 1'1 in der Form (56.5) dargestellt werden; die Norm von f wird durch (56.6) gegeben. Die Zuordnungff-+(a .. a2,''') ist ein Normisomorphismus von (IP)' auf Iq; im Sinne dieses Normisomorphismus ist also (IP)' = Iq. Der nunmehr naheliegende Gedanke, (I~)' sei normisomorph zu [I, ist triigerisch. Da namlich [I separabel ist, mii13te dann (I~)' und somit nach Satz 36.5 auch [~ separabel sein - was jedoch keineswegs der Fall ist (s. hierzu die Aufgaben 8 und 9 in Nr. 24).

56.3 Beispiel Wir gehen jetzt daran, eine Darstellung der stetigen Linearform f auf C[a,b] zu finden. Der Grundgedanke hierbei ist einfaeh genug: Man approxi-

318

IX Bilinearsysteme und konjugierte Operatoren

miere die Funktion x E C[a, b] durch Funktionen y, fUr die fey) leicht darzustellen ist und gewinne dann f(x) durch den Grenzubergang y--+x. Fur jede Zerlegung Z: a = to < t 1 0 mit sup Ix(t)-yz(t)I 0 durchweg I;kl,.; M bleibt, wenn fiir beliebige n E N und f3i E K stets

ausfallt. +7. PositiYe Operatoren auf CRla,bl Ein Endomorphismus A von CR[a,b) wird positiv genannt, wenn fUr jedes x;;.. 0 aus C R [a, b) stets A x;;.. 0 ausfallt. Zeige, dal3 ein positives A stetig und IIA II = IIA 111 ~ ist; hierbei bedeutet 1 die Funktion 11-+ 1 fiir a,.; t,.; b. Zeige ferner, dal3 der n-te Bernsteinsche Approximationsoperator B" auf C R [0, 1) positiv mit liB" II = 1 ist (s. Beispiel 5.1.8 und A 10.13).

56 Analytische DarsteUung stetiger Linearformen

323

+8. Der Konvergenzsatz von Korovkin (A,,) sei eine Folge positiver Operatoren auf CR [a,b], und die Funktionen xo, x h X2 seien definiert durch X2(t):=t 2 (aA*, und es folgt nun sofort, daB A normal sein muB. Die in Nr. 8 eingefilhrte Sprechweise betr. reduzierender Unterraume wollen wir im Kontext der Hilbertraume, wo nur Orthogonalzerlegungen und Orthogonalprojektoren eine Rolle spielen, etwas vereinfachen: Wir sagen, der abgeschlossene Unterraum Fvon E reduziere A Eg(E), wenn Fund F..L unter A invariant sind (beachte, daB nach Satz 22.1 E=F(f)F..L ist). Wird der normale Operator A von F reduziert, so ist F auch unter A * invariant (Aufgabe 2), und offenbar ist A*IF=(AIF)*. Daraus folgt sofort, daB diese Einschrankung ebenfalls normal ist: Normalitiit bleibt bei Einschriinkung auf reduzierende Unterriiume erhalten. In Nr. 12 hatten wir die groBe Rolle kennengelernt, die der Spektralradius r(A):= lim IIA"1I1/" ,,-+-oo

eines stetigen Operators A spielt. Bei normalen Operatoren kann er sofort dingfest gemacht werden: 58.6 Satz

und

Sei A ein normaler Operator auf dem Hilbertraum E. Dann ist IIAxIl2..;; IIA2xllllxll

jUr aile xEE,

IIA"II

=IIAII"

jUrn=I,2, ...

rCA)

= IIAII.

(58.8) (58.9) (58.10)

Beweis. Fur jedes xEE ist wegen Satz 58.4 IIAxI1 2=(AxIAx)=(A* Axlx)";; IIA* Axil IIxll

=

IIA 2xllllxll,

330

IX Bilinearsysteme und konjugierte Operatoren

womit bereits (58.8) bewiesen ist. Aus (58.8) folgt IIAxIl2.;;; IIA211 IIxll2 und damit IIAI12';;;IIA211. Da aber immer IIA 211.;;;IIA11 2 gilt, haben wir insgesamt IIA211=IIAII2. Und weil jede Potenz Ak normal ist, folgt daraus durch vollsUindige Induktion

IIA2"1I=IIAI12", also

r(A)= lim IIA2" II 1/2" = IIAII , 11_00

womit auch (58.10) erledigt ist. Wegen r(A)';;; IIA"III/I,;;; IIA II (s. Satz 12.3) ergibt • sich nun aus (58.10) sofort (58.9). Wir besch1ie13en diese Nummer mit einer niitzlichen NormidentiUit:

58.7 Satz

IIA * A II = IIA A * II = IIA 112 fur jedes A E Y(E) (E ein Hilbertraum).

Beweis. Mit Satz 58.1 ergibt sich IIA*Axll';;;IIA*IIIIAllllxll=IIAI1 2I1xll, also IIA* All.;;; IIA112. Andererseits ist IIAxIl 2=(AxIAx)=(xIA* Ax)';;; IIA* Allllxll 2, also IIA 112.;;; IIA * A II. Insgesamt gilt somit IIA * A II = IIA 112. Daraus folgt we iter IIAA*II = IIA** A*II = IIA*1I2= IIA II 2.

•

Aufgaben 1.

Wird der Endomorphismus A des Raumes P(n) oder P von der Matrix (a;k) erzeugt (d.h. ist L a;k;k,j = 1, 2, ... ), so wird A* von (ifk ,) erzeugt. Wie laf3t sich

(T]" T]2, .. .):=A (;" ;2, ... ) mit Tli :=

k

.

die Adjungierte eines Fredholmschen bzw. Volterraschen Integraloperators auf C[a,b) (mit dem iiblichen Innenprodukt) darstellen? *2. Ein abgeschlossener Unterraum F eines Hilbertraumes E ist genau dann unter A E Y(E) invariant, wenn FJ.. unter A* invariant ist; er reduziert A genau dann, wenn er unter A und A* invariant ist.

3. +4.

N(A*)=N(AA*),

A(E)=(AA*)(E).

Jede komplexe Zahl A kann in der Form A=a+i/3 mit a,/3ER geschrieben werden; der

Realteil a und Imaginarteil/3 sind eindeutig bestimmt: a =

~ (A + X), /3 =

2\ (A - X). A-I existiert

genau dann, wenn (a 2 +/3 2)- 1 existiert; in diesem Faile ist ,1- 1 = ~(a2 +/32)- I. Zeige, daf3 entsprechende Aussagen fUr (gegebenenfalls normale) Operatoren gelten: a) LE Y(E) kann in der Form L=A +iB mit A =A*, B= B* geschrieben werden; die (selbstadjungierten) Operatoren A, B sind eindeutig bestimmt: A =

~ (L+L*),

B=

2\ (L-L*).

b) List genau dann normal, wenn "Realteil" A und "Imaginarteil" B kommutieren. c) 1st L normal, so existiert L - 1 genau dann auf E, wenn (A 2+ B2) - 1 auf E existiert; in diesem Faile ist L -1=L*(A 2 +B 2 ) - I . +5.

A ist genau dann ein Eigenwert des normal en Operators A, wenn (AI -A)(E) nicht dicht in E

liegt.

59 Schwache Konvergenz in normierten Raumen *6. A sei normal. Zeige: a) u ist Eigenlosung von A zum Eigenwert A. U ist Eigenlosung von A * zum Eigenwert b) Eigenlosungen von A zu verschiedenen Eigenwerten sind zueinander orthogonal.

331

X.

+7.

Der stetige Endomorphismus U des komplexen Hilbertraumes E heiBt unitar, wenn u* U = I ist. 1m folgenden sei U ein unitarer Operator. Zeige: a) U ist normal. b) Die unitaren Operatoren bilden eine multiplikative Gruppe. c) U erhalt das Innenprodukt: (Uxl Uy) = (xly). U u* =

d) U ist isometrisch: II Uxll = IIxli. e) Fiir jeden symmetrischen Operator A ist e;A unitar. +8. Der Satz von Lax-Milgram Sei seine stetige und koerzitive Sesquilinearform auf dem Hilbertraum E. Dann gibt es zu jeder stetigen LinearformJ auf E ein und nur ein y E E mitJ(x) =s(x,y) fUr aile xEE.') Hinweis: A 26.3, Darstellungssatz 26.1 von Frechet-Riesz, Satz 58. I. 9.

Der obige Satz von Lax-Milgram ist aquivalent mit dem in A 26.3 angegebenen.

1 2:;k " ) ein stetiger Endomorphismus A von 12 erklart wird und 10. Zeige, daB durch (;,,).... ( 2" bestimme A*. n k-I

11.

Fiir AEY(E) (E ein Hilbertraum) ist IIAII=Vr(A*A).

12. Sei A :=(ajk) eine (n,n)-Matrix und A*:=(akj) die zu A konjugiert-transponierte Matrix (vgl. Aufgabe 1). Dann ist die Quadratsummennorm IIAlb=(Spur von AA*)1I2 (die Spur einer Matrix (Pjk) ist die Summe ihrer Diagonalglieder Pjj).

59

Schwache Konvergenz in normierten Raumen

Eine Folge (xn) in einem Hilbertraum E konvergiert definitionsgemaB schwach gegen XEE, wenn (xnly) ...... (xly) strebt fOr jedes yEE (s. Nr.27). Wegen des Darstellungssatzes 26.1 von Frechet-Riesz lauft dies auf die Aussage f(xn) ......f(x)

fur jedesfEE'

hinaus, und in dieser Form konnen wir den Begriff der schwachen Konvergenz (dessen Bedeutung in Hilbertraumen durch den Auswahlsatz 27.1 hinlanglich dokumentiert wurde) ohne Umschweife auf beliebige normierte Raume ubertragen. Wir sagen also, die Folge (XII) in dem normierten Raum E konvergiere schwach gegen xEE (und schreiben dafOr Xn ~x), wenn gilt: I) Anwendungen dieses Satzes auf die Theorie der Randwertprobleme bei partiellen Differentialgleichungen (Existenz und Eindeutigkeit sogenannter schwacher Losungen) findet der Leser in Rektorys (1980), S. 383ff.

332

IX Bilinearsysteme und konjugierte Operatoren

f(xll)---f(x)

fUr jedes fE E'

oder also (x,,,x')--.(x,x')

fUr jedes x' E E'.

(59.1)

wird eine schwache Cauchyfolge genannt, wenn die Zahlenfolge (f(xll » fUr jedes fE E' eine Cauchyfolge ist oder gleichbedeutend: wenn limf(xll ) fUr jedes fE E' existiert. Der Leser lasse friihzeitig die Hoffnung fahren, eine schwache Cauchyfolge besiiBe auch immer einen schwachen Grenzwert (s. Aufgabe 7). Die Konvergenz im Sinne der Norm nennt man auch gerne starke Konvergenz. Betten wir E gemiiB Nr. 57 in den Bidual E" ein, so entpuppt sich die schwache Konvergenz XII ~x einfach als punktweise Konvergenz (auf E') der Folge stetiger Linearformen XII gegen die stetige Linearform x; dies wird besonders augenfiillig, wenn wir (59.1) in der Form

(XII)

(x',x,,)--.(x',x)

fur jedes x'EE'

schreiben. Daraus folgt ubrigens, daft der schwache Grenzwert eindeutig bestimmt ist. Da E' ein Banachraum ist, erhalten wir nun aus den Siitzen 40.2 und 40.3 unmittelbar den wichtigen Eine schwache Cauchyfolge ist beschriinkt. x" ~x erzwingt

59.1 Satz

IIxll E:; lim inf IIx" II. Aus der starken Konvergenz folgt trivialerweise die schwache; die Umkehrung gilt jedoch keineswegs. Umso bemerkenswerter ist, daB jedenfalls schwach konvergente Potenzreihen in Banachriiumen immer auch stark konvergieren.1) Wir bereiten diese Aussage durch den folgenden Satz vor (wobei wir vereinbaren, urn moglichst dicht an den klassischen Schreibweisen zu bleiben, daB xa:=ax fUr xEE, a E K sein solI). E sei ein Banachraum. und die Potenzreihe

59.2 Satz

L

ak (A - Aol

mit Koeffizienten ak E E

(59.2)

k=O

seifor AJ #Ao eine schwache Cauchyreihe, d.h .• es existiere

L

x'(akHAJ-Aol forallex'EE'.

(59.3)

k-O ~

Dann konvergiert

L

adA-Aol im Sinne der Norm for IA-Aol0), die xo+F nicht schneidet, so daB also p(xo+x»& fUr aile xEFist. 1m Faile a,fO folgt daraus fUr aile xEF 1 ( Xo Ih(axo+x)I=lal..;;lal-p &

1 + -X) = -p(axo+x),

a

&

und diese Abschatzung gilt offenbar auch fOr a = O. Aus ihr ergibt sich nach nunmehr wohlvertrauten Schliissen die Stetigkeit von h. Vnd jetzt brauchen wir nur noch h gemaB Satz 65.1 auf ganz E fortzusetzen, urn den Beweis zu einem guten Ende zu fUhren. • In einem separierten Raum E ist F:= {OJ abgeschlossen. Aus Satz 65.2 erhalten wir also sofort den fundamentalen 65.3 Satz Ein separierter lokalkonvexer Raum E bildet mit seinem Dual E' ein Dualsystem (E,E').

66 Trennungssatze und Satz von Krein-Milman Auch die wichtigen Trennungssatze in Nr. 42 und der Satz von Krein-Milman lassen sich von normierten in lokalkonvexe Raume verpflanzen. Wir gehen auf die geringfUgigen Beweismodifikationen nicht ein und geben nur die fertigen Resultate an. 66.1 Satz E sei ein lokalkonvexer Raum. Dann gibt es zu jeder konvexen offenen Menge K,f 0 und jeder linearen Mannigfaltigkeit M in E, die K nicht schneidet, eine abgeschlossene Hyperebene H, die M enthiilt und K nicht trifft. 66.2 Satz Sei E lokalkonvex und K C E nicht leer, abgeschlossen und konvex. Dann gibt es zu jedem y f/:. K eine stetige Linearform f auf E und ein a E R mit Ref(y) < a < Ref(x) for aile x E K. 66.3 Satz von Krein-Milman Sei K eine nichtleere, konvexe und kompakte Teilmenge des separierten lokalkonvexen Raumes E und Kex die Menge ihrer Extremalpunkte. Dann ist

67 Der Bipolarensatz

363

Wir beschlieBen diese Nummer mit einer ebenso einfachen wie merkwurdigen Folgerung aus Satz 66.2. Zunachst eine Sprachregelung: Eine lokalkonvexe Topologie r auf dem Vektorraum E heiBt zulassig fOr das Linksdualsystem (E,E+), wenn E+ gerade der Raum allerr-stetigen Linearformen auf E ist. Offenbar ist a(E,E+) die grobste zulassige Topologie. Die Topologie eines lokalkonvexen Raumes E ist definitionsgemaB zulassig fur (E, E'). Die Bedeutung der zulassigen Topologien beruht auf der Tatsache, daB Mengen M in einem lokalkonvexen Raum E topologische Eigenschaften haben konnen, die sich allein mit Hilfe stetiger Linearformen beschreiben lassen. Wenn Meine solche Eigenschaft in einer zulassigen Topologie besitzt, dann auch injeder anderen. Ein Beispiel hierfiir bringt der angekundigte Satz, der wieder einmal die herausragende Rolle der konvexen Mengen unterstreicht:

66.4Satz (E,E+) sei ein Linksdualsystem. Dann ist eine konvexe Menge KcE entweder in jeder oder in keiner zuliissigen Topologie abgeschlossen. Beweis. Wir durfen voraussetzen, daB E und E+ reell sind, weil Konvexitat und Abgeschlossenheit durch Ubergang zu dem reellen Raum Er nicht beeinfluBt werden. Sei K nicht leer und bezuglich irgendeiner zulassigen Topologie r abgeschlossen. Eine Menge der Form {xEE:f(x)E:;aj bzw. {xEE:j(x);;;.aj, wobeif~O eine r-stetige Linearform ist, heiBt ein durch fund a bestimmter abgeschlossener Halbraum. Aus Satz 66.2 folgt, daB K der Durchschnitt aller abgeschlossenen Halbraume H~ Kist. Aus dieser Beschreibung von K ergibt sich aber sofort, daB K in allen zulassigen Topologien abgeschlossen ist. •

67

Der Bipoiarensatz

Sei K die abgeschlossene Einheitskugel in einem normierten Raum E und KO die abgeschlossene Einheitskugel im Dual E'. Dann ist KO ={x'EE':sup l(x,x')IE:;lj. XES

Diese Beziehung zwischen den Einheitskugeln in E und E' regt uns zu der folgenden Definition an: 1st (E,E+) ein Bilinearsystem, so ordnen wir jeder Teilmenge M von E ihre Polare

zu und entsprechend jeder Teilmenge N von E+ ihre Pol are N°:= {XEE:

X~~N I(X,x+)IE:;l}

in E.

364

X Schwache und lokalkonvexe Topologien

Fur lineare Unterriiume Mist ofJenbar MO = M -L • 1m Faile des Dualsystems (E,E') (E ein normierter Raum) ist die Polare der abgeschlossenen Einheitskugel von E gerade die abgeschlossene Einheitskugel von E'; das haben wir eingangs gesehen. 1m nachsten Satz stellen wir einfache Eigenschaften der Pol are zusammen, mussen aber zuvor noch einige Begriffe und Bezeichnungen erklaren. Eine Menge M C E heiBt kreisformig, wenn sie mit x auch ax fUr lal.-.; 1 enthalt, sie heiBt a b sol u t k 0 n vex, wenn sie kreisfOrmig und konvex ist (s. dazu A 42.3). Wir nennen sie O'(E,E+)-beschrankt oder auch schwach beschrankt, wenn jede Linearform x ..... (x,x+) auf M beschrankt bleibt (vgl. A 64.1). Moo:=(MO)O heiBt die Bipolare von M.

67.1 Satz (E,E+) sei ein Bilinearsystem und M, M t seien Teilmengen von E. Dann gelten die folgenden Aussagen: a) Aus M)cM 2 folgt Mf~Mf. b) McMoo. 1 c) (aM)o=-Mo

d)

(U Mt)O tEl

a

=

. furaf=O.

n M?

tEl

e) MO ist absolutkonvex. f) MO ist O'(E+ ,E)-abgeschlossen. g) MO ist genau dann absorbierend, wenn M O'(E,E+)-beschriinkt ist.

Bewe'is. a) bis e) sind muhelos zu verifizieren. - f) Fur jedes xEE ist die Linearform x+ ..... (x,x+) schwach stetig auf E+, also muB N x :={X+EE+:I(x,x+)1.-.;1j

unddamitauch

MO=

nN

x

xEM

schwach abgeschlossen sein. - g) M sei schwach beschrankt. Dann existiert zu jedem x+ EE+ ein p>O mit sup l(x,x+)I.-.;p, woraus sofort x+ EpMo folgt: MO xEM

ist absorbierend (s. A 42.3 c). Der SchluB laBt sich umkehren.

•

Der nun folgende Bipolarensatz ist der zentrale Satz der Polarentheorie. Wir schicken ihm eine Definition voraus: 1st Meine Teilmenge des Vektorraumes E, so ist der Durchschnitt aller absolutkonvexen Mengen NeE, die M umfassen, selbst absolutkonvex und heiBt die a bsolutkonvexe Hulle von M. 1st E ein topologischer Vektorraum, so wird der Durchschnitt aller absolutkonvexen, abgeschlossenen Mengen N C E, die M umfassen, die absolutkonvexe, abgeschlossene Hulle von M genannt; sie ist absolutkonvex und abgeschlossen.

67 Der Bipolarensatz

365

67.2 Bipolarensatz (E,E+) sei ein Bilinearsystem. Dann ist die Bipolare MOO einer nichtleeren Teilmenge M von E gerade die absolutkonvexe, O"(E,E+)-abgeschlossene Hulle von M. Beweis. Sei H diese HUlle. Aus Satz 67.1 b, e und f ergibt sich HeMoo. Wir brauchen also nur noch zu zeigen, daB aus yf/:.H stets yf/:.MoO folgt. Nach Satz 66.2 gibt es eine O"(E,E+)-stetige Linearform fund ein reelles a mit Ref(x) 0 aus xEe U stets I (x,x*) I..;e, infolgedessen ist x* stetig und liegt somit in UO. Die Polare UO ist also, da sie mit

368

X Schwache und lokalkonvexe Topologien

UP iibereinstimmt, O"(E*,E)-kompakt. Nun ist aber O"(E',E) die von O"(E*,E) auf E' induzierte Topologie, so dal3 UO auch O"(E',E)-kompakt sein mul3. •

Die in E' gebildete Polare der abgeschlossenen Einheitskugel in dem normierten Raum E ist die abgeschlossene Einheitskugel in E' (Nr. 67). Aus Satz 69.2 folgt also mit einem Schlag der fundamentale 69.3 Satz von Alaoglu

Die abgeschlossene Einheitskugel im normierten Dual E' des normierten Raumes E ist O"(E', E)-kompakt.

Und nun erhalten wir vollig miihelos den angekiindigten 69.4 Darstellungssatz fUr normierte Riiume

Sei E ein normierter Raum uber K. Wir versehen die abgeschlossene Einheitskugel K' in E' mit der von O"(E',E) induzierten Topologie; nach Satz 69.3 ist also K' kompakt. C(K') sei der Vektorraum aller stetigen Funktionen f: K'-.K mit der Norm IIfll := max If(x')I. Dann ist E x'EK' normisomorph zu einem Unterraum von C(K').

Beweis. Wir definieren fUr jedes xEE die O"(E',E)-stetige Linearform F, auf E' durch Fx (x'):= (x,x'). Die Einschrankung Ix von Fx auf K' gehort dann zu C(K'). Die Abbildung X 1-+ f, ist offenbar linear und erhalt die Norm:

IIf, II = sup If, (x')1 = sup IF, (x')1 = 11£,11 = Ilxll (s. (57.3». x'EK'

IIx'II G mit linear unabhangigen Elementen Xl, ... ,X,,+l, und

ist ein l-kodimensionaler abgeschlossener Unterraum von E (s. A 37.9), wahrend G selbst ein n-kodimensionaler abgeschlossener Unterraum von E, ist. Nach Induktionsvoraussetzung existiert also ein stetiger Projektor P, von E, auf G mit

IIP,II '" 3" .

Dank des Rieszschen Lemmas 11.6 gibt es femer ein xoEE mit

IIxoll = 1 und d:= inf IIxo- yll yEE I

;;..!. 2

Jedes xEE laBt sich in der Form x=AXo+Y mit eindeutig bestimmtem AEK, yEE, schreiben. Nun definieren wir einen Projektor P: E-E mit P(E)=P,(E,)=G durch

74 Stetige defektendliche Operatoren

383

und beweisen (womit dann auch alles abgetan ist), daB IIPII ";;3"+1 gilt - und zwar, indem wir die Ungleichung IIPII,.;; 311Pdl verifizieren. Dazu wiederum geniigt es, die Abschatzung lIyll,.;;3I1AXo+yll

fiiralleAEK,yEE 1

darzulegen. 1m einzig interessanten Fall A i= 0 ist sie gleichwertig mit IIzll";;3I1xo+zll

fiiraliezEE1.

Bei ihrem Beweis unterscheiden wir zwei Faile: .

I

1.IIzll";;3/2. Dann 1St IIzll,.;;3·i,.;;3d";;3I1xo+zll. 2. liz II

~3/2.

Nun haben wir IIz+xoll

3 liz + xoll

~ 311zl1

~

Ilzll-llxoll = IlzlI-I, also

•

- 3 = Ilzll + 211zll- 3 ~ IIzll + 3 - 3 = IIzll.

Aufgaben 1. Jeder normierte Raum, der einen vollstandigen Unterraum endlicher Kodimension enthalt, ist selbst vollstandig. 2. Der Banachraum E sei die direkte Summe der abgeschlossenen Unterraume F, G: E =: F(J) G. Dann ist E'=FL (J)G L . (Zur Erinnerung: ML:= (X'EE':(x,x')=O fiir aile xEMcE}). "3. Jeder endlichdimensionale Unterraum eines separierten lokalkonvexen Raumes ist stetig projizierbar und damit auch abgeschlossen. Hinweis: Satz 65.3.

74

Stetige defektendliche Operatoren

1st A ein stetiger defektendlicher Endomorphismus des normierten Raumes E, so ware es wiinschenswert, in den charakterisierenden Gleichungen (71.1) auch die Operatoren B, C, Kl und K2 stetig wahlen zu k6nnen, damit man die Algebra Y(E) nicht zu verlassen braucht. Kehren wir zur naheren Untersuchung dieses Anliegens zum Beweis des Satzes 8.3 zurUck, aus dem wir die Gleichungen (71.1) gewonnen hatten. Dabei wollen wir zunachst annehmen, E sei sogar ein Banachraum. N(A) ist endlichdimensional, A (E) endlichkodimensional und so mit auch abgeschlossen (Satz 55.4). Kraft des Satzes 73.1 verfiigen wir also iiber einen stetigen Projektor P von E auf N(A) und einen ebenfalls stetigen Projektor Q von E langs A (E); die korrespondierenden Zerlegungen von E sind E=N(A)(£) U

mit

U:=N(P),

E=A(E)(£)V

mit

V:=Q(E).

(74.1)

Die Einschrankung Ao von A auf U bildet den Banachraum U stetig und bijektiv auf den Banachraum A (E) ab, infolgedessen ist Ao 1: A (E)-+ U stetig (Satz 39.4).

384

XI Fredholmoperatoren

Damit erweist sieh B:=Aij 1 (/ - Q) als ein stetiger Endomorphismus von E, und wie im Beweis des Satzes 8.3 gelangt man nun zu den Gleiehungen

BA=I-P und AB=I-Q

(74.2)

(wobei - wohlgemerkt - P und Q endlichdimensional sind). Diese Uberlegungen siehern zusammen mit Satz 71.1 die folgende Aussage ab: 74.1 Satz Der stetige Endomorphismus A des Banachraumes E ist genau dann defektendlich, wenn es Operatoren B, C in 2"(E) und K(, K2 in .7(E) gibt, so daj3 die Gleichungen (74.3)

bestehen; in diesem Falle kann man B= C wahlen. Anders gesagt: Der Operator A E 2"(E) ist genau dann defektendlich, wenn seine Restklasse A in der Quotientenalgebra 2"(E)/ .7(E) invertierbar ist. I) Unangenehmer wird die Lage, wenn E nicht vollsHindig ist; der oben gegebene Beweis Hif3t sieh dann nieht mehr ohne zusatzliehe Annahmen zu einem glueklichen Ende fiihren. Zwar gibt es immer noeh einen stetigen Projektor P von E auf den (endliehdimensionalen) Nullraum N(A), aber schon die Existenz eines stetigen Projektors Q von E langs des (endliehkodimensionalen) Unterraumes A (E) mussen wir ausdriieklieh voraussetzen; wegen Satz 73.1 lauft dies darauf hinaus, die Abgesehlossenheit von A (E) zu fordern. Doeh das alles ist noeh ungenugend, weil damit die Stetigkeit von Aij 1 nieht garantiert werden kann. Diese bedeutet ihrerseits, daB Ao offen ist - der Offenheit von Ao aber kann man immer dann gewiB sein, wenn A selbst offen ist. Bedeutet namlieh (s. (74.1» Po := 1- P den Projektor von E auf U langs N(A) und ist Me U offen in dem Unterraum U, so ist dank der Stetigkeit von Po aueh Pijl(M)={x+Y:XEM,yEN(A)} offen, also ist - wegen der vorausgesetzten Offenheit von A - das Bild A (Po 1 (M» =(Ax:XEM}=Ao(M) offen in A(E)=Ao(E) und somit Ao eine offene Abbildung. Mit dem offenen Ao und dem stetigen Q konnen wir aber nun tatsaehlieh wie oben den stetigen Operator B :=Aij 1 (/ - Q) bilden und damit endlieh zu den Gleiehungen (74.2) gelangen. Halten wir fest: 1st A defektendlich und offen und gibt es einen stetigen Projektor Q von E langs A (E) (oder wegen P(A) < 00 gleichbedeutend: ist A (E) abgeschlossen), ist ferner P ein (wegen a(A)< 00 immer vorhandener) stetiger Projektor von E auf N(A), so existiert ein BE 2"(E), so daj3 die folgenden Gleichungen bestehen:

BA=I-P,

AB=I-Q.

(74.4)

I) Y(E)/.3' (E) wurde gegen Ende der Nr. 37 vorgestellt. Wir erinnern daran, daB .3' (E) das Ideal der stetigen endlichdimensionalen Operatoren in Y(E) bedeutet. .3' (E) ist i. allg. nicht abgeschlossen, Y(E)/.3' (E) also in der Regel keine normierte Algebra.

74 Stetige defektendliche Operatoren

385

Da A P= 0 ist, folgt aus der ersten dieser Gleichungen fibrigens die bemerkenswerte Beziehung (74.5)

ABA=A.

Wir wollen allgemein einen stetigen (nicht notwendigerweise defektendlichen) Endomorphismus A des normierten Raumes E relativ regular nennen, wenn es ein BE .9(E) gibt, mit dem (74.5) gilt. Dieser wichtige Begriff wurde von Atkinson (1953) in die Operatorentheorie eingefUhrt. Zu (74.5) kommt man auch ohne die Defektendlichkeit von A, wenn man nur voraussetzt, A sei offen und die Raume N (A), A (E) seien stetig projizierbar (das lehrt ein nochmaliger Blick auf die obigen Uberlegungen), kurz: Ein offener Operator A E Y(E) mit stetig projizierbarem Null- und Bildraum ist relativ regular. Hiervon gilt aber auch die Umkehrung. 1st namlich A relativ regular, gilt also (74.5), so ist (AB)2=ABAB=AB

und

(BA)2=BABA=BA,

also sind A B und BA - als idempotente Operatoren - stetige Projektoren. Aus A(E)=(ABA)(E)c(AB)(E)cA(E) folgt (AB)(E)=A(E), der Bildraum von A ist also stetig projizierbar. Aus N(A)CN(BA)cN(ABA)=N(A) ergibt sich N(BA)= N(A), also (l-BA)(E)= N(A), somit ist auch der Nullraum von A stetig projizierbar. Urn schlieBlich A als offen zu erkennen, beweisen wir die Identitat A(G)=B-I(G+N(A»nA(E) flir jedes GcE.

(74.6)

Beachtet man, daB der Projektor A B auf A (E) wie die Identitat operiert, so erhiilt man B- 1 (G+ N(A» nA (E)=(A B)[B- I (G+ N(A» nA (E)]cA (G+ N(A» =A (G).

(74.7)

Andererseits kann man, da auch B A ein Projektor ist, jedes g E Gals Summe g = x +y mit xEN(BA), yE(BA)(E) darstellen; daraus folgt BAg=BAy=y=g-x, also (BA)(G)cG+N(BA)cG+N(ABA)=G+N(A) und somit A (G)CB- I (G+ N(A» nA (E). Aus dieser Inklusion und (74.7) ergibt sich die behauptete Identitat (74.6). 1st nun G eine offene Teilmenge von E, so ist fUr jedes x E E offen bar G + x offen, also sind auch die Mengen G+N(A) = U (G+x) und B-I(G+N(A» offen in E; xEN(A)

daraus folgt mit (74.6), daB A (G) eine offene Teilmenge des Unterraumes A (E) ist. Wir fassen zusammen: 74.2 Satz Ein stetiger Endomorphismus eines normierten Raumes ist genau dann relativ regular, wenn er offen ist und Null- und Bildraum stetig projizierbar sind. Dank dieses Satzes konnen wir das oben gefundene Ergebnis fiber defektendliche Operatoren folgendermaBen formulieren: Zu einem relativ regularen und defekt-

386

XI Fredholmoperatoren

endlichen Operator A E Y (E) gibt es stetige Endomorphismen B, C und stetige endlichdimensionale Endomorphismen K], K2 mit (74.8)

man kann sogar B = C wahlen. Wir nennen einen stetigen Endomorphismus eines normierten Raumes E Fredholmoperator, wenn er relativ regular und defektendlich ist; die Menge aller Fredholmoperatoren auf E bezeichnen wir mit C/J(E). Fur einen Fredholmoperator A bestehen Gleichungen der Form (74.8), und nun erhebt sich naturlich das Problem, ob umgekehrt ein A E Y(E), fur das derartige Gleichungen gelten, ein Fredholmoperator ist. Wir werden diese Frage in der nachsten Nummer in viel allgemeinerer Form aufgreifen und bejahend beantworten. Gegenwartig notieren wir nur ein Resultat, das sich ohne Umstande aus den Satzen 73.1 und 74.2 ergibt: 74.3 Satz Ein stetiger Endomorphismus eines normierten Raumes ist genau dann ein Fredholmoperator, wenn er defektendlich und offen ist und einen abgeschlossenen Bildraum besitzt.

Kraft der Satze 39.3 und 55.4 erhalten wir daraus sofort den 74.4 Satz Ein stetiger Endomorphismus eines Banachraumes ist genau dann ein Fredholmoperator. wenn er bloj3 defektendlich ist.

Fur einen stetigen Endomorphismus eines Banachraumes E k6nnen wir daher dank des Satzes 74.1 die oben aufgeworfene Frage jetzt schon erledigen: Er ist genau dann ein Fredholmoperator, wenn fur ihn Gleichungen der Form (74.8) mit B,CEY(E) und K],K2E2T(E) bestehen.

Aufgaben 1. A EJ'(E,F) heil3t relativ regular, wenn es ein BEY (F,E) mit A BA =A gibt. Zeige, daB A genau dann relativ regular ist, wenn A offen ist und stetig projizierbaren Null- und Bildraum besitzt.

2. AEJ'(E,F) heiBt Fredholmoperator, wenn A relativ regular und defektendlich ist. Zu einem Fredholmoperator A EY(E,F) gibt es ein BE Y(F,E) und K, E,7(E), K2 E,7(F), so dal3 BA=h-K" AB=IF -K 2 ist. *3. Ein Element a einer beliebigen Algebra R heiBt relativ regular, wenn mit einem hER die Gleichung aha =a gilt. Zeige, dal3 die folgenden Elemente von R stets relativ regular sind (in den letzten drei Beispielen wird angenommen, dal3 Rein Einselement e besitzt): das Nullelement 0; jedes a mit a 2 = a (idempotente Elemente); jedes Vielfache eines relativ regularen Elements; das Einselement e; jedes a, zu dem es ein n:;;' 1 mit an = e gibt (Elemente von endlicher Ordnung); jedes links- bzw. rechtsinvertierbare Element.

75 Fredholmoperatoren in saturierten Operatorenalgebren

387

*4. 1st das Element a der Algebra R relativ reguHir (s. Aufgabe 3), so gibt es ein b ER mit aba = a und bab=b (b heil3t relativ invers zu a). *5. Das Element a der Algebra R ist genau dann relativ regular (s. Aufgabe 3), wenn a b a - a fUr ein bE R relativ regular ist. *6. Das Ideal J der Algebra R sei ein p-Ideal, d.h., es bestehe nur aus relativ regularen Elementen. Zeige: a E R ist genau dann relativ regular, wenn die Restklasse Ii von a in RI J relativ regular ist. Hinweis: Aufgabe 5. 7. 1st J ein p-Ideal in der Algebra R und aER relativ regular, so sind aile Elemente von a+J relativ regular. Hinweis: Aufgabe 6. +8.

In der Algebra R gibt es genau ein maximales, aile p-Ideale umfassendes p-Ideal.

Hi n wei s: Zornsches Lemma, Aufgabe 7. +9.

Der stetige Endomorphismus A des Hilbertraumes E ist genau dann relativ regular, wenn

A (E) abgeschlossen ist.

+10.

Jeder stetige Projektor P eines normierten Raumes ist offen.

75

Fredholmoperatoren in saturierten ()peratorenalgebren

Fredholmoperatoren auf normierten Raumen sind als defektendliche und relativ regulare Operatoren im wesentlichen rein algebraisch definiert. Dies legt den Gedanken nahe, sich bei der Untersuchung von Fredholmoperatoren vollig von metrischen Voraussetzungen zu losen. Wir betrachten zu diesem Zweck eine Algebra L#(E) von Endomorphismen auf dem Vektorraum E. A Ec#(E) heiBt relativ regular (in c#(E)), wenn es ein BEc#(E) mit ABA =A gibt; A heiBt Fredholmoperator (in ~W"(E)), wenn A relativ regular in ~W"(E) und defektendlich ist. Offenbar ist ein Fredholmoperator in ~W"(E) auch in jeder Operatorenalgebra .95' (E) -:J LW" (E) ein solcher. Wegen A 8.6 ist jedes Element der Algebra Y(E) relativ regular in Y(E); A E .9'(E) ist also genau dann ein Fredholmoperator in Y(E), wenn A defektendlich ist. Dagegen ist nach Satz 74.3 A E Y(E) genau dann ein Fredholmoperator in Y(E), wenn A defektendlich und offen ist und iiberdies einen abgeschlossenen Bildraum besitzt. I) 1st E vollstandig, so reicht jedoch wieder die blofie Defe ktend lichI) Wenn wir von Y(E) reden, unterstellen wir in diesem Kapitel stillschweigend, dal3 E ein normierter Raum ist.

388

XI Fredholmoperatoren

keit des Operators A aus, urn seinen Fredholrncharakter zu garantieren (Satz 74.4). Die Menge der Fredholmoperatoren in ,j(E) bezeichnen wir mit lP(d(E)); in Nr. 74 hatten wir schon fur die besonders wichtige Menge lP(.Y(E)) die kurzere Bezeichnung lP (E) eingefUhrt. J;/ (~ Y(S/(E))" gar nicht erst erhoben zu werden, sofern nur Y # to} ist. Es gilt namlich der 75.12 Satz In einer E+ -saturierten Operatorenalgebra S/(E) ist Y(s/(E)) das kleinste Ideal # to}.

Be wei s. Sei

Y

ein beliebiges Ideal # {O} in ..s/ (E). Wir zeigen zunachst:

Zu beliebigem y # 0 in E gibt es stets ein A E Y mit Ay #

o.

(75.8)

Angenommen namlich, fUr aile A E Y sei Ay = O. Zu einem vorgelegten z E E konnen wir ein KEY(S/(E)) mit Ky=z finden (Satz 75.6a). Dann istAKEY,also gemaB unserer Annahme Az=AKy=O fUr aile AE7'Da z beliebig war, folgt daraus Y={O}, im Widerspruch zu unserer Voraussetzung. Damit ist (75.8) bereits bewiesen. Nun zeigen wir, daB jedes KEY(S/(E)) zu Y gehOrt; dabei durfen wir den trivialen Fall K =0 auBer Betracht lassen. Wegen der E+ -Saturiertheit von ,>I'(E) laBt sich K darstellen in der Form n

Kx =

L

(x, x t) y;

i-I

mit x t E E+ und linear unabhangigen Yh ... ,y,,,

also auch in der Form

und offenbar genugt es zu zeigen, daB K; zu Y gehort. Zuy; gibt es nach (75.8) ein A EY mit Ay; #0, und zu Ay; wiederum ein SEY(..s/(E)) mit SAy;=y; (Satz 75.6a). Fur aile xEE ist also SAK;x=(x,xt)SAy;=(x,xt)y;=K;x, und somit muB SA K; = K; sein. Da aber SA K; zu Y gehort, liegt also auch K; in 7' • Auf dem nunmehr erstiegenen Niveau werden auch die sehr elementaren Betrachtung en zwischen (16.4) und (16.6) in ein ganz neues Licht getaucht. Urn dessen inne zu werden, nehmen wir uns wie in Beispiel 75.4 die Algebra ..s/ der Operatoren a 1+ K vor, wobei a aile Zahlen und K die Menge Y der Fredholmschen Integraloperatoren auf C[a,b] durchlaufe. s/ ist saturiert, und das Ideal Y der endlichdimensionalen Operatoren in ..s/ besteht genau aus denjenigen FE y, die von ausgearteten Kernen erzeugt werden. Y ist offensichtlich ein Ideal in S/, aber noch mehr: Y ist sogar ein (/}-Ideal. Zum Beweis greifen wir ein beliebiges K mit Kern k(s, t) aus Y heraus und bestimmen dazu ein FE Y mit Kern f(s, t), so daB max Ik(s,t)- f(s,t)1 < lI(b-a) ausfallt (s. (16.7)). Kraft der Betrachtungen, s,/

394

XI Fredholmoperatoren

die zu (16.6) fOhrten, besitzt 1- (K - F) eine zu s/ gehOrende Inverse und ist somit trivialerweise ein Fredholmoperator in s/ mit Index O. Und nun muG nach den Satzen 75.lOc und 71.5 auch I-K=I-(K-F)-F ein solcher sein. Damit entpuppt sich ;7 tatsachlich als ein c1J..Ideal in s/. Wir halten unser Hauptergebnis fest: 75.13 Satz 1- Kist for jeden Fredholmschen Integraloperator K mit stetigem Kern ein Fredholmoperator mit Index 0 in der saturierten Algebra .5'd" (die in Beispiel 75.4 definiert wurde).1) Die ganze Fredholmtheorie des gegenwartigen Kapitels ist also glucklicherweise anwendbar auf diejenigen Operatoren, die uns von Anfang an besonders am Herzen gelegen haben: namlich die Operatoren 1- K, die aus Fredholmschen Integralgleichungen entspringen.

Aufgaben 1. A sei ein Operator aus der saturierten Algebra U/(E). Mit A liegt auch An (n = 0,1,2, ... ) in dJ(u/(E». Umgekehrt liegt mit einer Potenz An (n ~ 1) auch A selbst in dJ(u/(E». +2. J/

Die Algeba u/(E) sei saturiert, A bezeichne die Restklasse von A E u/(E) in ,J:= ..>/(E)/ (s/'(E». Zeige, daB durch i(A):=ind(A) eindeutig eine homomorphe Abbildung i der multi-

plikativen Gruppe :?7 aller invertierbaren Elemente von U/' in die additive Gruppe der ganzen Zahlen definiert wird. Der Kern dieses Homomorphismus - und damit ein Normalteiler von .?7 ist die Menge der Restklassen der Fredholmoperatoren mit Index O. 3. 1st E ein Banachraum, so ist 7(E) ein abgeschlossenes tP-Ideal in Y(E) und ind(I -K)=O fUr aile KE7(E). +4. 1st E ein Banachraum, so ist die Menge dJ(E) der stetigen Fredholmoperatoren offen in Y(E).

Hinweis: Aufgabe 3, Satze 13.7 und 37.4. 5.

Gehort ein Projektor zu einem tP-Ideal, so ist er endlichdimensional.

+6. Atkinsonoperatoren in saturierten Aigebren Sei u/(E) eine Operatorenalgebra und J/":=u/(E)/7(E). A Es/'(E) heiBt Atkinsonoperator (in U/(E», wenn wenigstens einer der Defekte a (A),P(A) endlich undA relativ regular (in u/(E» ist (s. Atkinson (1953». A (u/(E» sei die Menge aller Atkinsonoperatoren in u/(E), Aa:={A EA(u/(E»: a(A)< co}, Ap:={A E A (U/(E»:P(A) < co}. Wir bezeichnen diese Mengen hinfort kurzer mit A, Aa, Ap. Fur A E A wird der Index definiert durch 1) Wir bitten den Leser, sorgfaltig zwischen Fredholmschen Integraloperatoren und Fredholmoperatoren zu unterscheiden. Ein Fredholmscher Integraloperator auf C[a,b) ist gerade kein Fredholmoperator in d

76 Die Gleichung Ax = y mit einem Fredholmoperator A a(A)-fJ(A),

ind(A):= { +00, - 00,

395

falls A EAa nAfI=lP(d(E», falls a(A)= +00, falls fJ(A) = + 00.

A sei die Restklasse von A Ed(E) in d. Zeige: 1st

d(E) saturiert, so gelten die folgenden

Aussagen: a) A E Aa A ist Iinksinvertierbar. b) A E Afl A ist rechtsinvertierbar. c) Aa, Afl sind (multiplikative) Halbgruppen. d) ABEAa=>BEAa; ABEAfI=>A EAfi.

e) AEA=>A+KEA fUr aile KE7(d(E» und ind(A+K)=ind(A). t) In a) und b) darf man A durch die Restklasse A von A nach einem beliebigen IP-Ideal in d(E) ersetzen. t-7. Atkinsonoperatoren auf Banach- und Hilbertriiumen E sei ein normierter Raum. Der Operator A E .9"(E) ist genau dann ein Atkinsonoperator in .9"(E), wenn er offen ist, mindestens einer seiner Defekte a (A), fJ (A) endlich bleibt und sowohl N (A) als auch A (E) stetig projiziert werden kann; ist E vol/stiindig, so braucht man die Offenheit von A nicht ausdrucklich zu fordern. Sollte E sogar ein Hilbertraum sein, so gilt: A ist genau dann ein Atkinsonoperator, wenn a(A) oder fJ(A) endlich und A (E) abgeschlossen ist. Hinweis: Aufgabe 6, Satze 74.2 und 22.1.

76

Die Gleichung A x = y mit einem Fredholmoperator A

In dies em Abschnitt wollen wir fur die uberschriftlich genannte Gleichung eine Auflosungstheorie mit Hilfe des konjugierten Operators A + entwickeln. Man halte sich dabei sHindig vor Augen, daB ein Operator aus einer E+ -saturierten Algebra von Haus aus E+ -konjugierbar ist (Satz 75.1). Wir werden in dieser und der folgenden Nummer mehrmals die Aufgabe 49.5 benotigen und stellen deshalb zur Bequemlichkeit des Lesers ihre Aussage noch einmal bereit: 76.1 Hilfssatz

1st (E,E+) ein Linksdualsystem, sind die Vektoren xt, ... ,x,-:n

aus E+ linear unabhiingig und ist der Operator K durch Kx:= L (x,xny; mit Yh ... , Yn aus E dejiniert, so haben wir K (E) = [Yh ... , Yn]. ;- I

Unseren Untersuchungen schicken wir eine Bezeichnungskonvention voraus: 1st eine E+ -saturierte Operatorenalgebra, so sei

~(E)

~+

(E+):={A +:A E~(E)}.

s/ + (E+) ist gewiB eine Algebra. Aber es gilt noch weitaus mehr:

396

XI Fredhoimoperatoren

cd + (E+) ist E-saturiert und

76.2 Hilfssatz J

(cd + (E+))={K+: KE..i¥ (d(E))}.

Beweis. Die identische Transformation r von E+ gehort zu d + (E+), und jedes A + Ed + (E+) ist trivialerweise E-konjugierbar. Sei nun K irgendein E-konjugierbarer Endomorphismus endlichen Ranges von E+. Kist nach Satz 50.11 darstellbar in der Form Kx+ = durch Kx:=

n

L

;=1

n

L

(x+ ,x;) x/ und somit E+ -konjugiert zu dem

i=1

(x,xt) Xi definierten KEd(E) (s. Beispiel 50.5). Es folgt, daO

K = K + zu d + (E +) gehort, und nun braucht man nur noch einen Blick auf den Satz 75.2 zu werfen, urn sich der Behauptung zu vergewissern. •

Wir kommen jetzt zu der beherrschenden Aussage dieser Nummer:

Sei s/'(E) eine E+ -saturierte Algebra. Dann ist for jeden Fredholmoperator A in d(E) der konjugierte Operator A + ein Fredholmoperator in s/' + (E+)und damit auch in jeder Operatorenalgebra 9(E+):J d + (E+) -,ferner bestehen die Gleichungen 76.3 Satz

a(A)=p(A +), p(A)=a(A +)

und somit

ind (A) = -ind (A +).

(76.1)

Schliej3lich gilt: A und A + sind bez. (E,E+) normal auflosbar, d.h., Ax=y A +x + = Y+

istauflosbar ist auflosbar

-= (y,x+)=O forallex+EN(A+), (76.2) -= (x, y +) = 0 for aile x E N (A). (76.3)

Beweis. Aus Satz 75.7 und Hilfssatz 76.2 folgt durch Konjugation der Gleichungen (75.6), daO A + ein Fredholmoperator in der E-saturierten Algebra d + (E+) ist. Ais nachstes beweisen wir die E+ -normale Auflosbarkeit von A. Wegen Satz 54.4 Uiuft sie auf die orthogonale Abgeschlossenheit von A (E) hinaus, und diese wiederum ist dargetan, wenn wir zu jedem YoftA(E) ein x+ EE+ finden konnen mit

(z,x+)=O

fur aIle zEA(E),

(76.4)

(Hilfssatz 54.2). Dank des Satzes 75.8 gibt es eine Zerlegung E =A (E)$ Fund einen Projektor PE Jd"(E) mit

P(E)=F,

N(P)=A(E).

P konnen wir, da Jd"(E) saturiert ist, in der Form Px =

n

L

(x,xt)Xi

(76.5)

i-I

mit linear unabhangigen Vektoren XI>

.•• , Xn

A(E)=N(P)={zEE: (z,xt)=O

darsteIlen, und somit haben wir

fUr i= 1, ... , n}.

(76.6)

76 Die Gleichung Ax=y mit einem Fredholmoperator A

397

Daraus erhalt man aber sofort (76.4): man braucht fOr x+ nur ein x;+ mit (Yo,xn;l=O zu nehmen. Nun beweisen wir die Ungleichung p(A)~a(A

(76.7)

+).

Dabei durfen wir P(A) > 0, also P;I= 0 voraussetzen, durfen also annehmen, daB in (76.5) auch die Vektoren x t, ... , x;; linear unabhangig sind. Nach Hilfssatz 76.1 ist dann F=P(E)=[Xh ... ,xn ],

also p(A)=n.

Aus (76.6) ergibt sich femer (x,A + xn=(Ax,xn=O fOr alle xEE, also x;+EN(A+)

fOri=I, ... ,n

und somit

n~a(A+).

Damit ist (76.7) erledigt. Urn die umgekehrte Ungleichung a(A +)~P(A) zu beweisen, seien yt, ... ,y;:; linear unabhangige Vektoren aus N(A +). Nach Satz 49.2 gibt es linear unabhangige Elemente Yh "',Ym in Emit (y;,y:)=O;k' Liegt eine Linearkombination y:=aIYI + ... +amYm dieser Elemente in A (E), d. h. isty=Ax, so haben wir ak=(aIYI +"'+amYm,y:)=(Ax,y:)=(x,A + y:)=O

fur k= 1, ... , m,

also y=O. Daher ist [Yh "',Ym]nA(E)={O}, also m~p(A) und somit auch a(A +)~P(A). Zusammen mit (76.7) erhalten wir daraus p(A)=a(A +), also die zweite Gleichung in (76.1). Die restlichen Behauptungen des Satzes ergeben sich nun aus dem bisher Bewiesenen sehr einfach durch "Dualisierung", d. h. dadurch, daB man A und A + die Rollen tauschen laBt und in dem Dualsystem (E+ ,E) operiert. • Der Leser wird bemerkt haben, daB wir beim Beweis der Ungleichung a(A +)~P(A) im Grunde nur die Konjugierbarkeit von A benutzt haben. Aus "Dualitatsgriinden" ist dann auch a(A)~p(A +). Wir wollen dieses nutzliche Nebenergebnis ausdriicklich festhalten: 76.4 Satz 1st (E,E+) ein Dualsystem und A ein E+ -konjugierbarer Endomorphismus von E, so gelten die Abschiitzungen a(A)~p(A +)

und a(A +)~P(A).

(76.8)

Fur die Anwendungen ist nun die Tatsache von erheblicher Bedeutung, daB man die normale Auflosbarkeit von A und A + bereits aus der Beziehung ind(A) = -ind(A +) gewinnen kann (s. 76.1», ohne noch auf den Fredholmcharakter von A achten zu mussen, scharfer: 76.5 Satz Sei (E,E+) ein Dualsystem und A ein E+ -konjugierbarer Endomorphismus von E, der mitsamt seiner Konjugierten A + defektendlich ist. Gilt dann ind(A) = -ind(A +), so haben wir die Gleichungen

(76.9)

398

XI Fredholmoperatoren

a(A)=p(A +),

(76.10)

p(A)=a(A +),

und die Operatoren A,A + sind beide normal aujlosbar, es gelten for sie also die Losbarkeitskriterien (76.2) und (76.3). Beweis. (76.10) folgt sofort aus (76.8) und (76.9). Wir beweisen nun die E+ -normale Auflosbarkeit vonA, also die GleichungA(E)=N(A+)-1-. Da die Inklusion A (E) c N(A +) -1- trivial ist, brauchen wir nur noch ihre Umkehrung N(A+)-1-cA(E) darzulegen. Und weil diese im FaIle a(A+)=O wegen der zweiten Gleichung in (76.lO) keiner weiteren Worte bedarf, konnen wir dabei m:=a(A +»0 voraussetzen. Sei {yt, ... ,y,!} eine Basis von N(A +). Dazu gibt es m linear unabhangige Elemente YI> ... ,Ym von Emit (y;,y t) = D;k> und wie gegen Ende des Beweises von Satz 76.3 sieht man, daG [YI> ... , Ym] nA (E) = to} sein muG. Da aber wegen der zweiten Gleichung in (76.10) P(A) = mist, liefert diese Schnittgleichung die Darstellung E=[YI> ... 'Ym]~A(E). Jedes yEN(A +)-1- kann also in der Form y=alYI + ... +amYm +Az geschrieben werden. Daraus folgt O=(y,y/)=a; +(Az,y/)=a;+(z,A + y/)=a;

fUr i= 1, ... , n,

also muG y =A z sein, d. h. in A (E) liegen. Die E+ -normale Auflosbarkeit von A ist damit abgetan. Die E-normale Auflosbarkeit von A + erhalt man durch Dualisierung des eben Bewiesenen. • Wir wollen noch ausdrOcklich ein Ergebnis notieren, das sich ohne UmsUinde aus Satz 76.3 ergibt: 76.6 Satz 1st E ein normierter Raum und A ein Fredholmoperator in Y(E), so ist der duale Operator A' ein Fredholmoperator in .2"(E'), und es gelten die Gleichungen (76.1) ebenso wie die Aujlosungskriterien (76.2) und (76.3) - naturlich mit A' anstelle von A + .

Es versteht sich von selbst, daG der Satz 76.3 in Verbindung mit Satz 75.13 auch den Fredholmschen Alternativsatz 53.1 abwirft. Alles in allem diirfen wir also mit dem Lohn fUr unsere Miihe recht wohl zufrieden sein. Aufgaben 1. Die Aussagen des Satzes 76.3 gelten fUr jeden defektendlichen Endomorphismus A von E, wenn E+ =E* und A+ =A* ist. 2.

Unter den Voraussetzungen des Satzes 76.3 gelten die Gleichungen P(A+)=P(A*),

a(A +)=a(A*).

3.

Unter den Voraussetzungen des Satzes 76.3 ist A genau dann ein Fredholmoperator in + (E+) ist.

d(E), wenn A + ein Fredholmoperator in d

4. 1st A ein stetiger defektendlicher Endomorphismus eines Banachraumes E, so gel ten die Gleichungen (76.1) und die Auflosungskriterien (76.2) und (76.3) mit A' an stelle von A +.

77 Darstellungssatze fiir Fredholmoperatoren

77

399

Darstellungssatze fUr Fredhoimoperatoren

In dies em Abschnitt wollen wir zeigen, daB man aile Fredholmoperatoren in einer saturierten Algebra deE) erhiilt, indem man zu den links- oder rechtsinvertierbaren Operatoren endlichdimensionale Endomorphismen hinzufiigt. Invertierbarkeit ist hierbei im algebrentheoretischen Sinne zu verstehen: A E deE) ist z. B. linksinvertierbar in deE) (oder besitzt eine Linksinverse in sf'(E», wenn es ein BEcif(E) mit BA =1 gibt. Fur unsere Untersuchungen ben6tigen wir ein Resultat, das sich ohne die geringste Muhe mit Hilfe des Satzes 75.8 beweisen liiBt:

77.1 Satz Ein Operator A aus einer I enthaltenden Algebra deE) besitzt genau dann eine Linksinverse (Rechtsinverse, Inverse) in deE), wenn A relativ reguliir und injektiv (surjektiv, bijektiv) ist. Dieses Theorem gibt iibrigens (in Verbindung mit Satz 74.2) eine genaue Antwort auf die Frage, wann ein stetiger Endomorphismus auf dem normierten Raum E eine ein- oder zweiseitige Inverse in feE) besitzt (vgt. Aufgabe 2).

77.2 Satz Der Operator A aus der E+ -saturierten Algebra sf'(E) ist genau dann ein Fredholmoperator mit ind(A)";;;O (~O, =0), wenn A die Form (77.1)

A=R+K

hat, wobei R E sf' (E) defektendlich und linksinvertierbar (rechtsinvertierbar, invertierbar) in sf'(E), K hingegen endlichdimensional ist. Be wei s. Sei A ein Fredholmoperator und

m:=a(A),

n:=p(A), p:=min (m,n).

1st eine der Zahlen a (A), P(A) gleich 0, so braucht man in (77.1) nur R :=A und K:= 0 zu setzen, urn die gewunschte Darstellung zu erhalten (man beachte hierbei den Satz 77.1). 1m folgenden durfen wir also annehmen, daB keiner der Defekte a (A), P(A) verschwindet. Nach Satz 75.8 gibt es in deE) einen Projektor P mit

P(E)=N(A);

(77.2)

wir k6nnen ihn, da deE) saturiert ist, in der Form m

Px=

1::

(x,XnXj

(77.3)

;=1

darstellen, wobei die Vektoren x], ... ,Xm aus E und x:-, ... , x:, aus E + linear unabhiingig sind. Man beachte, daB wegen Hilfssatz 76.1 {x], ... , Xm I eine Basis

400

XI Fredho!moperatoren

von pee), infolgedessen PXk =Xb also (77.4) ist. Mit einer Basis {Yh ... , Yn} eines Komplements F zu A (E) in E definieren wir durch

KEy C#(E))

p

Kx:=

L

;=1

(77.5)

(X,XnYi.

Der Operator R:=A-K

ist nach Satz 75.10 ein Fredholmoperator. Wir zeigen nun, daB er injektiv, surjektiv bzw. bijektiv ist, wenn ind (A)~O, ~O bzw. =0 ist, und haben damit wegen Satz 77.1 die eine Richtung unserer Behauptung bewiesen. Sei zunachst ind(A)~O, also p=m. Offenbar ist K(E)cF und somit (77.6)

A(E)nK(E)={O).

Daraus folgt im FaIle Rx=O, d.h. Ax=Kx, daB Ax=O und Kx=O sein muB. Nach (77.5) ist also (x,xn = 0 fUr i = 1, ... , m, woraus sich mit (77.3) Px = 0 ergibt. x liegt daher in N(A)nN(P), wegen (77.2) also in P(E)nN(P)={O}, womit R bereits als injektiv erkannt ist. - Nun sei ind(A)~O, also p=n. Wegen Hilfssatz 76.1 ist (77.7) K(E)=[Yh .··,Yn]=F und wegen (77.4)

(77.8)

n

=

L (x,xnYi=Kx.

i=1

Wir stell en nun, was wegen (77.7) moglich ist, ein beliebiges

dar und setzen Vj:=Uj-PUj,

V2 :=PU2.

Dann folgt aus (77.8) bzw. (77.2) KVj =0 KV2=Ku2

und damit

bzw. bzw.

AV2=0, Av]=Au]

zE E

in der Form

77 Darstellungssatze fUr Fredholmoperatoren

401

R(v\ +v2)=(A -K)(v\ +v2)=Au\-Ku2=Z, also ist R surjektiv. - Gilt schlieBlich ind (A) = 0, also p = m = n, so ist nach dem oben Bewiesenen R injektiv und surjektiv, in summa also bijektiv. Sei nun umgekehrt die Darstellung (77.1) gegeben, und der Operator R besitze etwa eine Linksinverse in S/(E). Dann ist er nach Satz 77.1 relativ regular und injektiv. Vnd da er als defektendlich vorausgesetzt war, muB er somit ein Fredholmoperator mit ind (R)= -P(R)";'O sein. Mit den Satzen 75.10 und 71.5 folgt nun, daB auch A ein Fredholmoperator und ind (A)";' 0 ist. Entsprechend geht man • vor, wenn Reine Rechtsinverse bzw. eine Inverse in S/(E) besitzt. Wir nehmen nun die Darstellung kettenendlicher Fredholmoperatoren in Angriff. Zu dieser Klasse gehoren z. B. die Operatoren der Form 1- K, wobei K ein stetiger endlichdimensionaler oder auch nur kompakter Endomorphismus eines normierten Raumes ist (letzteres werden wir schon in der nachsten Nummer sehen). An interessanten Beispielen fUr Operatoren dieser Art herrscht also keinerlei Mangel. 1m weiteren benotigen wir den folgenden 77.3 Hilfssatz Sei s/(E) eine E+ -saturierte Operatorenalgebra und Fein endlichkodimensionaler, S/(E)-projizierbarer Unterraum von E. Dann ist jedes algebraische Komplement von F sogar ein s/(E)-Komplement. Beweis. Nach Voraussetzung gibt es einen Projektor Pin S/(E) mit N(P)=F, so daB also E=P(E)$F und dimP(E)< 00 ist. P laBt sich in der Form Px =

n

1:

(x,x/)Xi darstellen, wobei die

XI. ... ,Xn

aus E und die xi, ... ,x: aus

i=\

E+ linear unabhiingig sind (von dem trivialen Fall P= 0 wollen wir absehen). Nach Hilfssatz 76.1 ist P(E) = [XI. ... , x n ], also codim F = dim [x I. ... , x n ] = n .

(77.9)

Ferner gilt F=N(P)={XEE: (x,xn=O

fUr i= 1, ... , n).

(77.10)

Nun sei G irgendein algebraisches Komplement zu Fund G + := [x i , ... , xn+]. Dann ist (G,G+) mit der Bilinearform [y,y+]:=(y,y+) ein Bilinearsystem und wegen (77.10) sogar ein Rechtsdualsystem. Zu einer Basis {YI. .. . ,Yn} von G - sie ist wegen (77.9) n-gliedrig - gibt es also nach Satz 49.2 linear unabhangige Vektoren yi, ... ,y: aus G+ mit (Yi,yt)=Oik. Die Abbildung Q, definiert durch n

Qx:=

L

;..",1

ist ein Projektor in

(x,yny;, ~(E)

mit Q(E)= G und

(77.11)

402

XI Fredho)moperatoren

N(Q)={XEE: (X,y/) =0

fUr i= 1, ... , n}.

(77.12)

Da txt, ... ,x,i} und {yt, ... ,y,i} Basen von G+ sind, folgt aus (77.10) und (77.12) F=N(P)={XEE: (x,x+)=O

fUr aIle x+ EG+}=N(Q).

Q projiziert also E parallel zu F auf G, d. h., Gist in der Tat ein sf(E)-Komplement zu F.

•

Die Struktur kettenendlicher Fredholmoperatoren wird nun vollsHindig aufgekHirt durch den 77.4 Satz A sei ein Operator aus der E+ -saturierten Endomorphismenalgebra sf (E). Gibt es for A eine Darstellung der Form

(77.13)

A=R+K,

wobei R Esf(E) eine Inverse in S/(E) besitzt, K zu ff(s/(E)) geMrt und mit R kommutiert, so ist A ein Fredholmoperator mit verschwindendem Index, dessen Kettenliingen p(A) und q(A) endlich und gleich sind. 1st umgekehrt A ein Fredholmoperator mit endlichen Null- und Bildkettenliingen, so hat A eine Darstellung der Form (77.13) - wobei R und K die dort angegebenen Eigenschaften besitzen. Beweis. Besteht die Darstellung (77.13), so folgt aus Satz 77.2 daB A jedenfalls ein Fredholmoperator mit verschwindendem Index ist. Urn die Aussage p(A)=q(A)< 00 nachzuweisen, genugt es nun wegen Satz 72.6, die Endlichkeit von p (A) zu zeigen. Da R mit K kommutiert, folgt aus A = R (I + R - I K) die Darstellung A"=R"(I+R- 1 K)". Wir haben also N(A")=N«(I+R- 1 K)") fUr nEN, und da R - I K endlichdimensional ist, werden diese Nullraume schlieBlich konstant (siehe die Bemerkung vor Satz 72.1). Nun sei umgekehrt A ein Fredholmoperator mit endlichem p(A) und q(A). Nach Satz 72.4 besteht die Zerlegung E=N(AP)6MP(E)

mitp:=p(A)=q(A).

(77.14)

Nach Satz 75.10 ist AP ein Fredholmoperator, AP(E) also endlichkodimensional und .51"(E)-projizierbar (Satz 75.8). Daraus und aus (77.14) folgt mit Hilfssatz 77.3, daB es in .51"(E) einen Projektor P gibt, der E parallel zu AP (E) auf N(AP) projiziert; P ist endlichdimensional. Mit dem Projektor Q:= 1- P langs N(AP) auf AP (E) setzen wir R:=AQ-P,

K:=AP+P.

R liegt in .51"(E), K sogar in ff(s/(E)), und offenbar ist A=R+K.

77 Darstellungssatze fUr Fredholmoperatoren

403

Da AP (E) und N(AP) durch A in sich abgebildet werden, sind P und Q mit A vertauschbar (Satz 8.4), also kommutieren auch R und K. Es bleibt noch zu zeigen, daB Reine Inverse in s/(E) besitzt. Sei Rx = O. Dann ist A Qx = Px, also auch QAx=Px und somit QAx=O

und

(77.15)

Px=O.

Wegen der letzten dieser Gleichungen liegt x in AP (E), also ist Qx =X. Daraus folgt mit der ersten Gleichung in (77.15), daB Ax=A Qx= QAx=O ist, x also auch in N(A) liegt. Ein Blick auf (77.14) lehrt nun, daB x=O, also a(R)=O sein muB. Da nach Satz 71.5 ind (R) = ind (A - K) = ind (A) ist und wegen Satz 72.6 ind (A) verschwindet, ist auch fJ (R) = a (R) - ind (R) = 0 und R somit bijektiv. Ferner ist R =A - K nach Satz 75.10 ein Fredholmoperator, insbesondere also relativ reguliir. Infolgedessen konnen wir nun aus Satz 77.1 entnehmen, daB R in der Tat eine Inverse in d(E) besitzt. • 77.5 Satz 1st S£(E) eine E+ -saturierte Algebra, so giltfiir jeden Fredholmoperator A in S£(E) (77.16) 1st A uberdies kettenendlich, so ist auch A + kettenendlich, und wir haben die Gleichungen a(A)=fJ(A)=a(A +)=fJ(A +),

p(A)=q(A)=p(A +)=q(A +).

(77.17)

Beweis. Da nach Satz 75.10 mit A auchAn ein Fredholmoperator ist, folgt (77.16) sofort aus (76.1), wenn man dort A durch An ersetzt. Zum Beweis der restlichen Behauptungen ziehe man noch die Siitze 72.3 und 72.6 heran. •

Aufgaben +1. Darstellung von Fredholmoperatoren mit vorgegebenem Index Sei J(E) eine saturierte Alge· bra und J:= lind (A): A E 1P(,d(E»} der Wertevorrat der Indexfunktion. Zu jedem n EJ wahle man einen Fredholmoperator A" mit ind (A,,)=n aus. Zeige: Jeder Fredholmoperator A E,~(E) mit ind (A)=n ist in der Form A =A"R + K darstellbar, wobei R Ecd(E) eine Inverse in J(E) besitzt und K E J (E) endlichdimensional ist. Umgekehrt ist jeder so darstellbare Operator A ein Fredholmoperator in J(E) mit ind (A)=n. Hinweis: Benutze A 75.2 und die Zerlegung einer Gruppe in die Nebenklassen eines Normal· teilers. +2. Inverse in Y(E) Zu A EY(E), E ein normierter Raum, gibt es genau dann eine Linksinverse BEY(E), wenn A injektiv und offen und A(E) stetig projizierbar ist; genau dann gibt es eine Rechtsinverse CE Y(E), wenn A surjektiv und offen und N(A) stetig projizierbar ist; schlieBlich gibt es genau dann eine zweiseitige Inverse DE Y(E), wenn A bijektiv und offen ist.

404

xI

Fredholmoperatoren

78

Die Rieszsche Theorie kompakter Operatoren

In diesem Abschnitt sei E ein normierter Raum und K eine kompakte Selbstabbildung von E. Wir werden die wesentlichen Zuge der Theorie darlegen, die F. Riesz (1918), ausgehend von der Fredholmschen Integralgleichung, fUr Operatoren der Form 1- K entwickelt hat und die ein Meilenstein in der Geschichte der Funktionalanalysis geworden ist. Eingangs erinnern wir an zwei einfache Tatbestande: 1.

a(I-K) ist endlich (s. A 11.10).

1st die Einschrankung Ao von A := 1- K auf einen abgeschlossenen Unterraum F von E injektiv, so mufi die Inverse Ao 1: Ao(F) ...... F stetig sein (leichte Modifikation von Satz 28.1). 2.

Als nachstes zeigen wir: 3.

(I - K)( E) ist abgeschlossen.

Beweis. Nach Satz 73.1 besitzt der endlichdimensionale Nullraum N:=N(I-K) ein topologisches, also auch abgeschlossenes Komplement F:

E=NI3JF,

F abgeschlossen.

Die Einschrankung Ao von 1- K auf Fist injektiv, ihre Inverse Ao 1: (I - K)(E) ...... F also wegen der obigen Bemerkung 2 stetig. Da das Bild F abgeschlossen ist, muB dann auch das Urbild (I - K)(E) abgeschlossen sein. • Nun untersuchen wir die Null- und Bildraume der Potenzen (I - K)". Wir setzen A:=I-K,

und bemerken zunachst, daB wegen der Idealeigenschaft der kompakten Endomorphism en der Operator Kn in der Entwicklung (78.1) kompakt ist. Daraus folgt bereits mit den obigen Bemerkungen 1,3, daB fUr n = 1, 2, ... die Nullraume Nil endlichdimensional und die Bildraume En abgeschlossen sind. Wir zeigen nun, daB beide Kettenlangen von A endlich bleiben. Ware p(A)= 00, so ware N n - 1 ein echter abgeschlossener Unterraum von Nfl fUr n = 1, 2, ... N ach dem Rieszschen Lemma 11.6 gabe es dann in jedem Nfl ein x" mit II x" II = 1 und IIx" -xII ~ 112 fur aile xENn _ 1• Da (78.2)

78 Die Rieszsche Theorie kompakter Operatoren

405

ist und fUr m = 1, ... , n - 1 das eingeklammerte Element in N n _ 1 liegt, ware fur diese Indizes m also IIKxn - KXmII ~ 112, (Kxn) konnte so mit, im Widerspruch zur Kompaktheit von K, keine konvergente Teilfolge enthalten: p(A) muB also endlich sein. Ware q (A) = 00, so gabe es wegen der Abgeschlossenheit der Bn fUr jedes n ein XnEBn mit IIxnll=l und IIxn-xlI~1I2 fur aIle xEBn+ l • Da fur m>n das eingeklammerte Element in (78.2) zu Bn + 1 gehort, ware also II K Xn - K Xm II ~ 1/2 fUr aIle m > n, und (K xn) konnte keine konvergente Teilfolge enthalten. Dieser Widerspruch zur Kompaktheit von K beweist die Endlichkeit von q(A). • Mit Hilfe der Satze 72.3 und 72.6 erkennen wir nun, daB p(A)=q(A)

und a(A)=f3(A)

(78.3)

ist, und aus Satz 72.4 folgt die Zerlegung E=Np$Bp

(78.4)

mitp:=p(A).

Da Bp endlichkodimensional und abgeschlossen ist, gibt es einen stetigen Projektor P, der E langs Bp auf Np projiziert (Satz 73.1); Q:= 1- P projiziert dann E langs Np auf Bp. Mit S:=PKEff(E),

V:=QKE3r'(E),

R:=I- V

erhalten wir wegen K =(P+ Q)K =S+ V die Gleichung A=R-S.

(78.5)

Aus Rx=(/- V)x=O folgt nun einerseits X= Vx=QKXEBp, andererseits Ax=(R-S)x= -Sx= -PKXEN(AP), also xEN(Ap+I)=N(AP)=Np, so daB wegen (78.4) x = 0 sein muB. R = I - V ist also injektiv. Die Kompaktheit von V erzwingt nun dank des schon Bewiesenen (s. (78.3» die Bijektivitat von R. Bemerkung 2 lehrt dariiber hinaus, daB R - I in 2'(E) liegt. Vnd nun folgt aus (78.5) mit Satz 77.2, daB 1- K ein Fredholmoperator ist (die in dies em Satz auftretende E + saturierte Algebra 3/(E) ist in dem vorliegenden Fall 2'(E); E+ ist E'). Wir bemerken noch, daB 1- K nach Satz 74.3 offen ist und fassen unsere Ergebnisse zusammen: 7S.1 Satz Sei K ein kompakter Endomorphismus des normierten Raumes E. Dann ist 1- K ein kettenendlicher Fredholmoperator in 2'(E) mit verschwindendem Index, insbesondere ist 1- K offen und (I - K)(E) abgeschlossen. Aufgaben In den folgenden Aufgaben sei E ein normierter Raum. A E Y(E) ist genau dann ein Fredholmoperator, wenn seine Restklasse A in Y(E)/ .3r(E) invertierbar ausfaIlt, also genau dann, wenn es B,CEY(E) und Kt, K2E.3r(E) gibt, so daB BA =I-K, und A C=I-K2 ist. Hinweis: Satz 75.11.

*1.

406

XI Fredholmoperatoren

+2. Sei A ein Fredholmoperator und K kompakt. Dann ist auch A + K ein Fredholmoperator und ind (A +K)=ind (A). Hinweis: Aufgabe 1 und Beweis von Satz 71.5. +3. In den Satzen 77.2 und 77.4 konnen, falls /(£)=..9"(£) ist, in den charakterisierenden Darstellungen A = R + K von Fredholmoperatoren A die endlichdimensionalen K durch kompakte ersetzt werden. Hinweis: Aufgabe 2.

79

Die Riesz-Schaudersche Auflosungstheorie fUr /- K mit kompaktem K

Aus Satz 78.1 folgt unmittelbar, wenn wir noch die Satze 76.6 und 77.5 heranziehen, der 79.1 Satz 1st K ein kompakter Endomorphismus des normierten Raumes E, so ist l'-K' ein Fredholmoperator in Y(E'), und es bestehen die Gleichungen

a(I - K) =fJ(I - K) =a(l' - K') =fJ(I'- K'),

(79.1)

p(I -K)=q(I -K)=p(l' -K')=q(l' -K');

(79.2)

insbesondere sind die Operatoren 1- K und l' - K' immer dann schon bijektiv, wenn einer von ihnen injektiv oder surjektiv ist. Ferner gilt: (I-K)x=y (l'-K')x'=y'

istauflosbar istauflosbar

==> ==>

(y,x')=O fiir aile x'EN(l'-K'), (x,y')=O fiirallexEN(I-K).I)

Es ist iibrigens eine sehr bemerkenswerte und keineswegs triviale Tatsache, daB mit K auch K' kompakt ist, woraus sich dann von neuem - und nun von einer ganz anderen Seite her - der Fredholmcharakter von l' - K' ergibt. Es gilt namlich folgender 79.2 Satz von Schauder Die duale Transformation K':F'-+E' einer kompakten Abbi/dung K: E-+F der normierten Riiume E,F ist kompakt. Beweis. Es sei

S:={xEE: IIxll E;; I},

Y:=K(S).

Kraft der Kompaktheit von Kist Y relativ kompakt, Yalso kompakt (s. A 11.4 b). Nun sei uns eine beschrankte Folge (y~) C F' vorgelegt: lIy~lIE;;y

1)

fiirallen=I,2, ....

Diese Losbarkeitskriterien und (79.1) flieBen wegen (78.5) auch aus Satz 52.1.

79 Die Riesz-Schaudersche Auflosungstheorie fUr /- K mit kompaktem K

407

Fur jedes yE Y, also fur jedes y=Kx mit IIxll E;; 1, bleibt ly~(y)IE;;lIy~IIIIKxllE;;yIlKIl

(n=I,2, ... ),

und dasselbe gilt dann offensichtlich auch fUr jedes y E Y. Die Folge der Funktionen y~ ist somit auf Y gleichmaBig beschrankt. Ferner gilt fUr je zwei Punkte y,zE Y stets Iy~ (y) - y~ (z)1 = Iy~ (y -

z)1 E;; lIy~ II lIy - zll E;;ylly-zll

(n= 1, 2, ... ).

Aus dieser Abschatzung ergibt sich aber sofort, daB die Folge (y~) auf Yauch gleichstetig ist. Der Satz von Arzela-Ascoli l ) lehrt nun, daB (y~) eine Teilfolge (y~) enthalt, die gleichmaBig auf Y konvergiert. Zu jedem e> 0 gibt es also einen Index io=io(e), so daB gilt: IY~i (y) - y~/y)1 io und aIle y E Y.

Infolgedessen ist fUr aIle i,j> io und aIle xES l(x,K'y~i -K'y~)I= l(x,K'y~)-(x,K'y~)1

= I(Kx,y~,>-(Kx,y~)1 io. (K'y~) entpuppt sich so als eine Cauchyfolge in E', und da E' als Dualraum vollstandig ist, muB (K' y~) sogar konvergieren. • Bei vollstiindigem F laBt sich der Schaudersche Satz umkehren: 79.3 Satz E sei ein normierter Raum, Fein Banachraum und K E .9(E, F). Dann ist mit K' auch K kompakt. Beweis. Nach Satz 79.2 ist der biduale Operator K":E"-+F" kompakt. Seine Einschrankung K auf den Unterraum E von E" (s. Nr. 57) ist dann zunachst als Abbi/dung von E in F" kompakt; da Faber vollstandig und somit ein abgeschlossener Unterraum von F" ist, ergibt sich nun die Kompaktheit von K auch als Abbi/dung von E in F. • Obwohl der Operator K in der Fredholmschen Integralgleichung (53.1) kompakt ist (s. A 3.3), konnen wir aus Satz 79.1 nicht den Fredholmschen Alternativsatz 53.1 wiedergewinnen, weil diesem das Dualsystem (C[a,b], C[a,bJ) zugrunde liegt, I) S. Satz 106.2 in Heuser I. Die dort auftretende kompakte Teilmenge von R darf ohne weiteres durch eine kompakte Teilmenge irgendeines metrischen Raumes ersetzt werden. Auch die vorausgesetzte Reellwertigkeit der Funktionen ist unerheblich. S. dazu auch Heuser II, A 159.4.

408

XI Fredholmoperatoren

nicht das topologische System (C[a,b], (C[a,b])'). Aus dieser Peinlichkeit befreit uns aber mit einem Schlag der Satz 76.5. In Verbindung mit der fundamentalen Indexgleichung ind (I - K) = 0, die fUr jedes kompakte K gilt, liefert er namlich sofort den f1exiblen 79.4 Satz E,E+ seien normierte Riiume, die ein Dualsystem (E,E+) bi/den mogen. K sei ein kompakter, E+ -konjugierbarer Endomorphismus von E und K+ sei ebenfalls kompakt. Dann ist

a(I -K)=f3(I - K) =a(I+ - K+)=f3(I+ - K+); insbesondere sind die Operatoren [- K und [+ - K + immer dann schon bijektiv, wenn einer von ihnen injektiv oder surjektiv ist. Ferner gilt: (I-K)x=y ([+-K+)x+=y+

ist auflosbar istauflosbar



(y,x+)=O fur aile x+ EN(I+ -K+), (x,y+)=O fiirallexEN(I-K).

Wenn man sich jetzt daran erinnert, daB der Fredholmsche Integraloperator K bezuglich des Dualsystems (C[a,b], C[a,b]) konjugierbar und seine Konjugierte K+ wieder ein Fredholmscher Integraloperator, also auch kompakt ist (s. Beispiel 50.6), dann erkennt man den zentralen AIternativsatz 53.1 als eine Frucht des Satzes 79.4 - diesmal gewonnen durch ein Kompaktheitsargument im Unterschied zu dem friiher benutzten Approximationsverfahren. 1 ) Aufgaben 1. E,F seien Banachraume. Der Bildraum des kompakten Operators K: E-+F ist genau dann abgeschlossen, wenn K von endlichem Rang ist.

Hin weis: Betrachte den kompakten Operator K,: E-+K(E), definiert durch K,x:= Kx fiir xE E, und benutze die Satze 55.6 und 79.2. 2. Ein kompakter Endomorphismus eines Banachraumes ist genau dann relativ regular, wenn er von endlichem Rang ist. H in we is : Aufgabe 1. Weiterfiihrende Satze bringt P. Aiena (1984). Prakompakte Operatoren Fiir diese Aufgabe ben6tigt man die folgenden Definitionen: Eine Teilmenge M des metrischen Raumes E heil3t prakompakt, wenn jede Folge aus Meine Cauchyfolge enthalt oder gleichbedeutend: wenn die Abschliel3ung von Min der vollstandigen Hiille Evon E kompakt ist. Eine lineare Abbildung K: E-+F der normierten Raume E und F wird prakompakt genannt, wenn das Bild jeder beschrankten Folge eine Cauchyfolge enthiilt. Zeige

~3.

a) Ein prakompakter Operator ist stetig.

') Insgesamt haben wir uns bisher drei Wege zu dem Alternativsatz gebahnt: den ersten (die direttissima) in Nr. 53, den zweiten in Nr. 76 und den dritten in der vorliegenden Nummer. Damit mag es denn auch sein Bewenden haben.

409

80 Eigenwerte, invariante und hyperinvariante Unterriiume eines kompakten Operators

b) Kist genau dann priikompakt, wenn das Bild der Einheitskugel priikompakt ist oder gleichbedeutend: wenn die stetige und line are Fortsetzung K: E-+F von K auf die vollstiindige Hiille E von E kompakt ist. c) Ein kompakter Operator ist priikompakt; ist K: E-+F priikompakt und F vollstiindig, so ist K sogar kompakt. d) Strebt die Folge der priikompakten Operatoren KnE.2"(E,F) gleichmiiBig gegen K, so ist auch K priikompakt. e) Summen und skalare Vielfache priikompakter Operatoren sind priikompakt; das Produkt eines priikompakten mit einem stetigen Operator ist priikompakt. f) Die priikompakten Endomorphismen eines normierten Raumes E bilden ein abgeschlossenes Ideal in .2"(E). g) Ein stetiger Operator Kist genau dann priikompakt, wenn K' kompakt ist. Hinweis: A 41.6.

80

Eigenwerte, invariante und hyperinvariante U nterriiume eines kompakten Operators

In Kapitel V haben wir gesehen, welche entscheidende Rolle Eigenwerte und Eigenlosungen eines kompakten symmetrischen Operators A spielen. Wir haben dort auch festgestellt, daB sich die Eigenwerte von A hOchstens im Nullpunkt haufen konnen. In der vorliegenden Nummer werden wir u. a. dieses wichtige Resultat auf beliebige kompakte Operatoren fibertragen. Wir beginnen mit einigen algebraischen Betrachtungen, die im fibrigen auch fUr sich genommen interessant sind und uns spater noch in anderen Zusammenhangen nfitzlich sein werden. Ffir ein Polynom f(A):= ao + a\,1. + ... + an'~' n in der Veranderlichen A E K mit Koeffizienten a v E K und einen Endomorphismus A des Vektorraumes E fiber K setzen wir f(A):=aoI+aIA+···+a"A" .

(80.1)

Die Zuordnung f ....... f(A) ist ein Homomorphismus der Algebra aller Polynome f fiber K auf die (kommutative) Algebra aller Operatoren f(A). 80.1 Satz Fur einen Endomorphismus A des Vektorraumes E gelten die folgenden Aussagen: a) Sind flo ... , f" paarweise teileifremde Polynome und ist f:= j; ... f,,, so haben wir

N(f(A» = N(fl (A»®·· ·®N(f" (A».

(80.2)

b) Eigenlosungen von A zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhiingig. c) Fur teileifremde Polynome flo f2 ist (80.3)

410

XI Fredholmoperatoren

Beweis. a) Es sei zunachst n=2, N:=N(f(A)) und N;:=N(/;(A)). Wegen NicN ist N1 + N2 c N; die Umkehrung dieser Inklusion ergibt sich folgendermaBen. Da 11'/2 teilerfremd sind, gibt es Polynome glo g2 mit g1 (A).t; (A) +g2 (..1,)/2 (A) = 1, also g 1 (A) 11 (A) + g2 (A) 12 (A) = I. J edes x E E gestattet somit die Zerlegung x=g1(A)/1(A) x+g2(A)/2(A)x.

(80.4)

Fur xEN ist 11 (A)/2(A)x=/2 (A)/1(A)x=/(A)x= 0, also

und da jedes Polynom in A die Raume Nlo N2 in sich abbildet, erhalten wir nun

Mit (80.4) folgt daraus X=X1+X2; also ist in der Tat NcN 1+N2 und damit N=N 1+N2. Die Gleichung N1 nN2 ={O} ergibt sich unmittelbar aus (80.4). - Fur n > 2 beweist man nun a) durch vollstandige Induktion; man braucht nur zu beachten, daB aus der paarweisen Teilerfremdheit der Polynome Ilo ... ,/" die Teilerfremdheit der beiden Polynome 11' .. In _loin folgt. b) Seien Alo"" An (paarweise) verschiedene Eigenwerte von A und x., ... , x" zugehorige Eigenlosungen. Da die Polynome 11(..1,):=..1,1 -A, ... ,/" (..1,):=..1,,,-..1, paarweise teilerfremd sind, ist nach a) die Summe N(A1I-A)+ .. ·+N(A"I-A) direkt. Aus a1X1 + ... +anx" =0 folgt also aiXi =0 und damit auch ai =0 fur i = 1, ... , n. c) Fur jedes xE N(f1 (A)) gilt wegen (80.4) x=g2(A)/2 (A)x= 12 (A)g2 (A)x E/2 (A)(E).

Nun nageln wir die angekundigte Eigenwertverteilung fest:

•

80.2 Satz

Fur jeden Eigenwert J.l des stetigen Operators K aul dem normierten Raum E bleibt

1J.l1 ~ IIKII ;

(80.5)

ist K sogar kompakt, so bi/den die Eigenwerte entweder eine endliche (eventuell leere) Menge oder eine Nullfolge.

Beweis. Aus Kx=J.lx, x =1= 0, folgt 1J.l1 ~ IIKxll/llxll ~ IIKII, womit (80.5) bereits erledigt ist. Die zweite Behauptung des Satzes ist nun damit gleichbedeutend, daB die Eigenwerte von K keinen Haufungspunkt =1= 0 besitzen. Ware; ein solcher Haufungspunkt, so gabe es eine Folge (J.ln) von Eigenwerten mit J.ln =1=; und J.l,,-;, femer eine Folge (x,,) mit Kx" =J.lnXn und IIxnll = 1. Es wurde dann (; 1- K)x" = (J.l" 1- K)x" + (;-J.ln)xn = (;- J.ln)x,,-O

streben. 1st p die nach Satz 78.1 endliche Kettenlange von;

(80.6)

(I - ~ K) = ; 1-K,

so ist nach Satz 80.1 ex" E F:= (; I - K)P (E). K bildet Fin sich abo Bezeichnen i, K

80 Eigenwerte, invariante und hyperinvarianteUnterriiume eines kompakten Operators

411

die Einschrankungen von I, K auf den abgeschlossenen Unterraum F (s. Nr. 78), so ergibt sich aus Satz 72.4 die Existenz der Inversen (~ j - K) ~ I auf Fund aus der Bemerkung 2 in Nr. 78 ihre Stetigkeit. Aus (80.6) folgt also x,,=(~j_K)~1 (~I-K)x,,---+O,

im Widerspruch zu Ilx" II = 1.

•

Jeder Eigenraum eines stetigen Endomorphismus A von E ist offenbar invariant unter A und abgeschlossen. Hat A keinen Eigenwert, so wird man doch noch fragen, ob es nicht wenigstens irgendeinen unter A invarianten und abgeschlossenen Unterraum gibt - der natiirlich von den trivialen Raumen dieser Art, (OJ und E, verschieden sein solI. Fur kompaktes A ist diese Frage von Aronszajn-Smith (1954) positiv entschieden worden. Ein Eigenraum von A hat aber sogar die Eigenschaft, unter jedem BEY(E) invariant zu sein, das mit A kommutiert: er ist hyperinvariant unter A. Bei dem geschilderten Stand der Dinge kann man jetzt kaum noch der Frage ausweichen, ob ein kompaktes A nicht sogar einen abgeschlossenen hyperinvarianten Unterraum ~{O},E besitzt. Die langgesuchte Antwort hat Lomonosov (1973) durch eine ingeniose Anwendung des Schauderschen Fixpunktsatzes gegeben:

80.3 Satz von Lomonosov Zu jedem kompakten Endomorphismus A ~ 0 eines komplexen normierten Raumes E gibt es einen nichttrivialen, abgeschlossenen und hyperinvarianten Unterraum von E. Beweis. 3f:={BEY(E):AB=BA} ist offenbar eine Algebra uber C. Wir fUhren einen Widerspruchsbeweis, nehmen also an, die Behauptung sei falsch. Dann besitzt A jedenfalls keinen Eigenwert, insbesondere ist Ay ~ 0 fUr alle y ~ O. Es folgt, daB Fv:={By: BE3f} fUr jedesy~O ein abgeschlossener Unterraum ~{O} ist, der unter allen BE 3f invariant bleibt. Fur die Punkte x =Xo + y, lIyll..; 1, der abgeschlossenen Einheitskugel K urn Xo gilt IIAxl1 ;;'IIAxoll-IiAyll ;;'IIAxoll-IiAII; wegen A ~ 0 kann man also Xo so wahlen, daft der Nullvektor nicht in A(K) liegt und somit Fy ~ (OJ for jedes y EA(K) ist. Wir legen Xo in dieser Weise fest. Zu jedem y EA(K) gibt es dann ein BE ,J{! mit IIBy-xolI 0, so daG A +AK =A +JlK +(A-Jl)KE"L(E,F)

und

ind (A +AK)=ind(A +JlK)

fUr aile A mit IA - JlI < oJ1. ist. Da aber bereits endlich viele der offenen Intervalle (Jl-oJ1., Jl +oJ1.) das kompakte Intervall [0,1] uberdecken, zwei aufeinanderfolgende dieser Intervalle sich also notwendigerweise uberlappen mussen, sieht man, daG ind (A +AK) auf [0,1] konstant, insbesondere also ind (A) = ind (A + K) ist. b) Nun seip(A)< 00. Dann erhalt man die Behauptungen des Satzes, indem man das bisher Bewiesene mit Hilfe des Satzes 82.1 "dualisiert" - und daran denkt, daG mit K auch K' kompakt ist (Satz 79.2). •

Aufgaben In den folgenden Aufgaben seien E, F, G Banachriiume. +1. A E Y(E,F) gehort genau dann zu Wa (E,F), wenn folgendes gilt: 1st Me F relativ kompakt, so ist jede beschriinkte Teilmenge von A-I (M) ebenfalls relativ kompakt (s. Lemma 3.1 in Yood (1951)).

Hinweis: a) Gilt die Bedingung, so erweist sich N(A) sofort als endlichdimensional, und daher gibt es eine Darstellung E = N(A)tB V mit abgeschlossenem V. Es ist leicht zu sehen, daB Ao:=AI V eine stetige Inverse besitzt. b) Sei A EWa (E,F). Benutze wieder die obige Zerlegung von E mitsamt den zugehorigen stetigen Projektoren P und Q:= 1- P. Beachte, daB Ao I stetig ist. +2. AEWa(E,F), BEWa(F,G)=>BAEWa(E,G). Entsprechendes gilt, wenn a durch wird.

f3 ersetzt

Hin weis: Aufgabe 1, Satz 82.1. +3.

A EY(E,F), BEY(F,G), BAEWa(E,G)=>AEWa(E,F). Hinweis: Aufgabe 1.

+4.

A EY(E,F), BEY(F, G), BA EWfJ(E, G)=> BEWfJ(F, G).

Hinweis: Aufgabe 3, Satz 82.1. +5. A E Y(E), An E Wu (E) fiir ein n E N =>A E Wa (E). Entsprechendes gilt, wenn a durch setzt wird.

Hinweis: Aufgabe 3 und 4.

f3 er-

422

XI Fredho!moperatoren

83

Abgeschlossene Semifredholmoperatoren

In den Anwendungen, besonders in der Theorie der Differentialgleichungen, treten hiiufig lineare Abbildungen auf, die zwar nieht mehr stetig, aber doch noch abgeschlossen sind und im ubrigen alle definierenden Eigenschaften der Semifredholmoperatoren besitzen. Auch derartige Abbildungen wollen wir Semifredholmoperatoren nennen, genauer: Sind E, F Banachraume und ist D ein Unterraum von E, so heiBt die lineare Abbildung A: D ...... F ein Semifredholmoperator, wenn sie abgeschlossen ist und folgendes gilt:

oder

a(A)
U2, ... } von E die Reihe 1: IIA UtI 112 konvergiert. 2) In dieser Terminologie ist also ein stetiger Endomorphismus von L2(a,b) genau dann ein Hilbert-Schmidt-Operator, wenn er ein Integraloperator mit L 2-Kern ist. Daraus folgt iibrigens, daB die identische Transformation auf L2(a,b) kein derartiger Integraloperator sein kann. Die obige Definition ist unabhiingig von der speziellen Wahl der Orthonormalbasis. In der Tat: Nehmen wir uns noch zwei weitere Orthonormalbasen {v], V2, •.. } und {WI> W2, •.• } her. Dann erhalt man mittels der Parsevalschen Gleichung zunachst

co

=

co

1: 1: 111=1,,=1

co

I(A*wmlu"W=

1:

m=1

IIA*wmIl 2,

womit sich auch die Adjungierte A* als Hilbert-Schmidt-Operator erweist. Und nun liefert die entsprechende Rechnung ~

1:

~

IIA*wmIl 2 = L

~

~

1:

m=1 n=l

I(A*wmlvIlW= L IIAv,,1I 2, II-I

so daB wir insgesamt

1:

co

IIAu,,1I 2 = L IIA*w 1I 2 = 1I

II-I

1:

IIAvll1l2

haben und daher sagen konnen: 87.2 Satz Fur einen Hilbert-Schmidt-Operator A des separablen Hilbertraumes E ist die Reihe LliAu 1l 2 for jede Orthonormalbasis {Ul> U2, ...} von E konvergent und ll

I) Hilbert-Schmidt-Operatoren lassen sich auch fiir nichtseparable Hilbertraume definieren. Wir wollen dies aber hier nicht tun. 2) Ein separabler Hilbertraum besitzt stets eine (hochstens) abzahlbare Orthonormalbasis; s. Nr. 24. - Man halte sich vor Augen, daB die identische Transformation h nur auf endlichdimensionalen Raumen E ein Hilbert-Schmidt-Operator ist.

87 Integralgleichungen mit L2-Kernen. Hilbert-Schmidt-Operatoren

437

hat immer ein und denselben Wert. Die Adjungierte A* ist eben/ails ein HilbertSchmidt-Operator, und es gilt

=

L

n=1

IIA u" liz =

=

L

(87.7)

IIA * u" liZ.

n=1

Man sieht ohne Muhe, daB die Menge &:f'(E) der Hilbert-Schmidt-Operatoren auf E einen Vektorraum bildet und auf diesem durch =

)1/2

IAI:= ( "~I IIAu,,1I 2

(87.8)

eine Norm, die sogenannte Hi Ibert - S c h mid t - Norm, definiert wird. Mit ihr geht (87.7) uber in die Gleichung (87.9)

IAI=IA*I.

Fur einen Integraloperator K auf L2(a,b) mit L2-Kern kist IKI = Ikl (Satz 87.1). Fur einen Matrixoperator A:=(ajd auf P(n) haben wir ganz entsprechend IA I =

87.3 Satz

c.~ I lajkl2) 112 = Quadratsummennorm von A (s. (14.3»

.

&:f'(E) ist ein Ideal in 9(E).

Zum Beweis haben wir nur noch zu zeigen, daB die Produkte A B und BA eines A E &:f'(E) mit einem BE 9(E) wieder zu ~(E) gehOren. Dies ist fur BA trivial • - und wegen A B = (B* A *)* dann auch fUr A B. Nun folgt ein wirkungsstarkes Theorem: 87.4 Satz

Jeder Hilbert-Schmidt-Operator ist kompakt.

Beweis. Sei A E ~(E) und {uJ, uz, ... } eine Orthonormalbasis von E. K" E.3 (E) werde definiert durch

"

K"x:= L (xluj)Auj

(n= 1, 2, ...).

j-I

Wegen x = L(xluJ Uj ist dann IIAx-K"xIlZ=

11.1: (XIUj)AUj-.± (X'Uj) AUj I1 2 = 11.1: 1-1

1-1

1-,,+1

(X'Uj) AUj I12

hierbei haben wir die Cauchy-Schwarzsche und die Besselsche Ungleichung herangezogen. Aus dies en Abschatzungen folgt

438

XII Anwendungen

IIA-KIIII

~ C~~+IIIAUjIl2r2 --+0

fur n --+ 00 ,

womit wegen Satz 28.3 die Kompaktheit von A sichergestellt ist. Vnd nun haben wir mit einem Schlag den 87.5 Satz

•

Jeder Integraloperator K auf L2(a,b) mit U-Kern ist kompakt.

Dieser Satz bahnt der Rieszschen Theorie kompakter Operatoren den Weg zur Fredholmschen Integralgleichung x(s) -

b

f k(s,t)x(t)dt=y(s)

oder also

(I-K)x=y

(87.10)

a

mit einem L 2_ Kern k und einer rechten Seite y E L 2(a, b) - wobei Losungen x nur in L2(a,b) gesucht werden sollen. Legt man das Dualsystem (U(a,b), L2 (a, b)) mit der Bilinearform b

(x,x+):=

f x(t)x+(t)dt

a

zugrunde, so ist die Konjugierte K+ von K vorhanden und wird wie im Stetigkeitsfall gegeben durch (K+ x+)(s)

b

=

J k(t,s)x+(t)dt

(87.11)

a

(s. Beispiel 50.6); sie ist also selbst wieder ein Integraloperator mit L2-Kern und daher kompakt. Infolgedessen gilt for (87.10) der Satz 79.4 und damit unverkiirzt der Fredholmsche Alternativsatz 53.1 - man mufJ in ihm nur C[a,b] durch L2(a,b) ersetzen (s. auch Aufgaben 8 und 9). Die Adjungierte K* von K wird durch (K*x)(s) =

b

Jk(t,s)x(t)dt

(87.12)

a

dargestellt. Genau dann ist K symmetrisch (selbstadjungiert; s. Nr. 58), wenn gilt: (87.13) k(s, t) =k(t,s) fast uberall auf Q. In diesem Faile konnen wir die ganze reiche Eigenwerttheorie der Nummern 30 bis 32 auf K anwenden, insbesondere also die Integralg1eichung (87.10) explizit mit Hilfe der Eigenfunktionen von K lOsen, wenn nur y senkrecht auf N (/ - K) steht

(s. Satz 31.1). Es ergeben sich aber noch einige analytisch wichtige Besonderheiten. 1st namlich (Uh U2, •.• ) die Orthonorma1folge der Eigenlosungen von K zu den (reellen und) nichtverschwindenden Eigenwerten Jl h Jl2' ... aus Satz 30.1 und erweitern wir sie durch eine (evtl. leere oder abbrechende) Orthonormalfolge

87 Integralgleichungen mit L 2_ Kernen. Hilbert-Schmidt-Operatoren

439

(VI> V2, ... ) zu einer Orthonormalbasis von L2(a,b), so finden wir die Abschat-

zung IkF= 1K

12= L:(IIKun Il 2+ IIKvnIl2)~ EIiKunIl 2= E.u~,

die Reihe L:.u~ ist also konvergent und ~ Ik1 2 • Sei umgekehrt A ein symmetrischer kompakter Endomorphismus von L2(a,b) mit E.u ~ < 00 (.un die Eigenwerte von A wie in Satz 30.1). 1st (u I> U2, ... ) die zugehorige Orthonormalfolge der Eigenlosungen, so ist diese wegen des Entwicklungssatzes 30.1 und des Satzes 23.3 b eine Basis von A(E). N(A) ist das orthogonale Komplement zu A(E) (Satz 58.5), so daB eine Orthonormalbasis (VI> V2, ... ) von N(A) zusammen mit der Orthonormalfolge (UI> U2, ... ) gerade eine Orthonormalbasis von U(a,b) bildet. Mit dieser haben wir aber L:(lIA un ll 2 + IIAvnIl 2)= L:IIAun Il 2 = L:.u~ < 00,

so daB sich A als Hilbert-Schmidt-Operator auf L2(a,b) und damit als Integraloperator mit L2-Kern entpuppt. Wir fassen zusammen: 87.6 Satz

Ein symmetrischer kompakter Endomorphismus A von L 2(a,b) ist genau dann ein Integraloperator mit L2-Kern, wenn die Quadratsumme seiner Eigenwerte konvergiert (in diesem Faile ist sie = 1A 12).

Mit denselben BeweisgrOnden sieht man: Ein symmetrischer kompakter Endomorphismus eines separablen Hilbertraumes ist genau dann ein Hilbert-Schmidt-Operator, wenn die Quadratsumme seiner Eigenwerte konvergiert. Nun sei K wieder ein Integraloperator auf L2(a,b) mit "selbstadjungiertem" L2_ Kern k (k(s,t)=k(t,s». Dann haben wir fUr jedes xEL2(a,b) nach dem Entwicklungssatz 30.1 die Darstellung K x = L:.un (xlun) Un oder also b

b

a

a

(Kx)(s) = I k(s,t)x(t)dt=E.unI x(t) Un (t)dt·u n (s)

(87.14)

(im Sinne der L 2_ Konvergenz) mit L:.u ~ < 00. K stimmt iiberein mit dem Integraloperator, der durch den L2-Kern ko (s, t):= L:.un Un (t) Un (s)

(im Sinne der L 2_ Konvergenz)

erzeugt wird (vgl. Beweis des Satzes 87.1). Da aber die Transformation K ihren Kern bis auf eine Nullmenge eindeutig fixiert, muB fast iiberall k(s, t) = ko (s, t) sein, und somit gilt der elegante 87.7 Satz Jeder selbstadjungierte L2-Kern k gestattet die Entwicklung k(s,t) = E.ull Un (s)u n (I)

im Sinne der L 2-Konvergenz;

(87.15)

hierbei sind .u 1, .u2, ... die Eigenwerte und u 1, U2, ... die zugehorigen orthonormierten Eigenlosungen des von k erzeugten Integraloperators (s. Satz 30.1).

440

XII Anwendungen

Angenommen, k geniige einer Abschatzung der Form b

I Ik(s,tWdt~M

fUr jedes sE[a,b].

(87.16)

a

n

L

Da fUr xEL2(a,b) die Folge der Zn:=

(xluJuj gegen ein zEL 2(a,b), also

j~l

II

KZn =

L

f.1j(xluj)uj"-+Kz =

j~l

L f.1j(xluj)uj=Kx j~l

strebt, ergibt sich mit (87.16)

~

b

b

a

a

I Ik(s,tWdt· I IZn(t)-z(tWdt~Mllzn-zI12-0.

Die Entwicklung (87.14) konvergiert also in dies em Faile nicht nur im Sinne der U-Norm, sondern sogar gleichmiij3igfur aile sE[a,b]. Da sie iiberdies unbedingt und somit auch absolut konvergiert (Satz 23.1 b), haben wir den folgenden Satz gewonnen: 87.8 Satz Wenn der selbstadjungierte U-Kern k der Abschiitzung (87.16) genugt, so gilt die Entwicklung (87.14) for jedes xE L 2(a,b) sogar im Sinne der ab so I u ten und gIeichmaBigen Konvergenz. Zum SchluB bemerken wir noch, daB es auf L2(a,b) stetige Integraloperatoren geben kann, die ohne selbst kompakt zu sein doch eine kompakte Potenz haben (sie werden natiirlich nicht von einem L 2-Kern erzeugt). Eine derartige Transformation findet der Leser bei A.c. Zaanen (1964) auf S. 319. Solche Operatoren fallen jedoch nach wie vor der Fredholmtheorie anheim (s. Nr. 86). Beunruhigender ist die Existenz stetiger Integraloperatoren, fUr die nicht eine einzige Potenz kompakt wird; ein betriibendes Beispiel hierfUr bringt Zaanen (1964) auf S. 318f.

Aufgaben 1m folgenden sei E immer ein separabler Hilbertraum. 1.

Fiir jedes A E WeE) ist /lA/I..;; IA I.

2.

FiirjedesAEY(E)undBEW(E)ist IABI, IBAI..;;/lA/lIBI.

3.

Fiir aile A,BE WeE) ist IABI..;; IAI IBI.

87 Integralgleichungen mit L 2_ Kernen. Hilbert-Schmidt-Operatoren +4. 3f'(E) als Banachalgebra

441

W(E) ist mit der Hilbert-Schmidt-Norm vollstandig, wegen Auf-

gabe 3 also eine Banachalgebra. +5. 3f'(E) aIs Hilbertraum Auf W(E) kann man ein Innenprodukt einfUhren, das die HilbertSchmidt-Norm erzeugt. W(E) ist also ein Hilbertraum (s. Aufgabe 4).

+6. Die losende Transformation

Sei K E W(E) und lim 11K" 111/" < I. Dann ist 1- K bijektiv und

L ~

mit R:=

(I-K)-I=I+R

KnEW(E).

11-1

Der Ton liegt dabei auf der Aussage, daB die losende Transformation R zu W(E) gehort. Hi n wei s : Zeige mit Hilfe der Aufgaben 2 und 4, daB die Reihenentwicklung fUr R sogar bezuglich der Hilbert-Schmidt-Norm konvergiert. +7. Der IOsende Kern Sei k ein U-Kern auf Q:=[a,b] x [a,b] mit Ikl < 1 und K der zugehorige Integraloperator auf L2(a,b). a) Die Integralgleichung (87.10) besitzt fUr jedes yE L2(a,b) genau eine LOsung xEL 2(a,b), und diese kann mit Hilfe eines losenden Kerns rEL2(Q) in der Form x(s)=y(s) +

b

I r(s, t)y(t) dt

dargestellt werden. Die Voraussetzung Ikl < 1 darf durch die schwachere (aber auch unpraktischere) Bedingung lim 11K" 11 1/" < 1 ersetzt werden. Hi n wei s: Aufgabe 6. b) Definiere die iterierten Kerne k" wie in (16.5) induktiv durch b

kl (s, t):=k(s, t),

k,,(s,t):=

Jk(s,u)kn_I(U,t)du

(n~2).

k" ist ein L2-Kern, der Kn erzeugt, und fUr den losenden Kern r besteht die Entwicklung

L ~

r(s,t)

=

k,,(s,t)

n-I

zunachst im Sinne der L2-Konvergenz, aber dann sogar auch fast uberall im Sinne der punktweisen Konvergenz. Hinweis fUr die punktweise Konvergenz: Beweise fUr n=2, 3, ... die Abschatzung

!

)112 b Ikn(s,t)I"'lkl n- 2 ( Ik(s,tWdt

(b! Ik(s,tWds )1/2

fast uberall

und benutze folgende Aussage: Wenn eine Foige im L2-Sinne gegen 9 und gleichzeitig fast uberall punktweise gegen h konvergiert, so ist g=h fast uberall (s. dazu A 130.5 in Heuser II). +8. Nochmals der Fredholmsche Alternativsatz fiir Integralgleichungen in L2(a,b) mit L2-Kernen J sei die Menge der Operatoren a 1+ K, wo a aile Zahlen und K aile Integraloperatoren auf L2(a,b) mit L2-Kern durchlaufe. Zeige: b

a) Jist bezuglich der Bilinearform (x,x+):= I x(t)x+ (t)dt (x,x+ EL2(a,b» eine saturierte Algebra. Q b) I -K ist fUr jedes K mit L2-Kern ein Fredholmoperator in J. Hinweis: Beweis des Satzes 75.13.

442

XII Anwendungen

c) Aus a) und b) ergibt sich von neuem der Fredholmsche Alternativsatz fiir die Integralgleichung (87.10) - aber diesmal methodisch ganz anders als oben. +9. Zum letzten Mal der Fredholmsche Alternativsatz fiir Integralgleichungen in L2(a,b) mit L2_ Kernen Gewinne den Fredholmschen Alternativsatz fUr die Integralgleichung (87.10) aus Satz 79.1 in Verbindung mit der Darstellung (56.2) der stetigen Linearformen auf L2 (a, b). +10. Die Fredholmsche Alternative fiir gewisse L 2 -Transformationen von Cla,bl Der L2-Kern k auf [a,b] x [a,b] sei so beschaffen, daB der zugehorige Integraloperator K und seine durch (87.11) definierte Konjugierte K+ den Raum C[a,b] in sich abbilden (s. dazu Aufgabe 11). Dann gelten die Aussagen des Fredholmschen Alternativsatzes 53.1 unverandert auch in diesem Fall, wenn man fUr die rechten Seiten der Integralgleichungen (I), (1+) nur Funktionen aus C[a,b] zulaBt. Die Losungen von (I), (1+) - falls vorhanden - liegen dann ebenso in C[a,b] wie die von (H), (H +).

11.

a) Der U-Kern k geniige der Bedingung (87.16). Dann ist Kx fiir jedes xEU(a,b) eine

beschriinkte Funktion.

b) Gibt es zu jedem e> 0 ein 0> 0, so daB fUr

Is l -s 2 1 0 die Abschiitzung 1 1()..,-J.l)[R"R~xlxll ~ 1)..,-J.l1 1m).., IR~xllxl

·· f 1st . a Iso In . d er 0 b eren H a Ib eXlstIert. gl·1 t, f 0 Igt, d alJ I·1m f()..,)1 - f(J.l) f··ur I mJ.l> 0 (l

"-JL

/'v -

J.l

ebene holomorph und v somit dort harmonisch. Nun liege x fur ein gewisses reelles ~ in N + (~] - A)2 (E), es sei also x=w+(~]_A)2y

mit einem wENundyEE;

femer sei z:= (~] -A)y. Aus der Identitat (~] _A)2=(~] -A)()"'] -A)+(~-)"')()"'] _A)+(~_)..,)2]

folgt dann X= w+()..,] -A)z+(~-)..,)()..,] _A)y+(~_)..,)2 y, also f()..,) = [R"xlxl = [R" wlxl + [zlxl + (~-)..,) [ylxl + (~_)..,)2 [R"ylxl fur 1m)..,> O.

Wegen I[R" wlxll ~ IR"llwllxl = 0 verschwindet das erste Glied dieser Summe, das zweite ist reell ([zlxl=[zl(~]-A)zD, das dritte strebt offenbar fur )..,-~ gegen 0, und das vierte strebt ebenfalls gegen 0, wenn ).., In dem Winkelraum W:={)..,=a+ip: la-~I~Pl gegen ~ geht; wir haben daher

f()..,)-[zlxlER,

also

v()..,)-O

fUr)"'-~in W.

(90.4)

Da - v eine in der oberen Halbebene positive harmonische Funktion ist, laBt sie die Darstellung +=

-v(a,p)=op

+

J

(

~2 +13

t-a

2

da(t)

(90.5)

mit einer Konstanten 0 ~ 0 und einer monoton wachsenden Funktion a zu. Aus (90.4) folgt dann, daB a' (~) existiert und verschwindet (fur diese Satze der Potentialtheorie s. Loomis (1943».

454

XII Anwendungen

Nun liege x sogar fUr jedes reelle ~ in N + (~I - A)2 (E). Gemal3 dem obigen Resultat wird das Integral in (90.5) verschwinden und - v (a,{J) = 8{J sein. Da wir aber fUr {J> 0 wegen (90.2) die AbschlHzung 8{J= Iv (a,{J)1 = IV(A)I';;;; If(A)I.;;;; IRAllxl2 .;;;;

pIxl 2

haben, mul3 auch 8 = 0 und somit v (a,p) == 0 in der oberen Halbebene sein. Aus (90.3) folgt nun Iyl = 0 (y = RAx), also

IxI 2=[xlx]=[(AI -A)ylx]=A[ylx]-[yIAx]';;;; 1.1.1 Iyl Ixl + lyllAxl =0. Damit ist Satz 90.1 bewiesen. Aus ihm folgt nun sehr leicht ein Existenzsatz fur Eigenwerte. Wir schicken ihm eine Definition voraus: Der Endomorphismus A eines komplexen Vektorraumes Emit Halbinnenprodukt heil3t Wielandtoperator, wenn er vollsymmetrisch ist und ind(AI-A) fUr alle Af= 0 verschwindet. 90.2 Satz Der Wielandtoperator A auf E besitzt genau dann einen Eigenwert f= 0, wenn IAyl nicht fur jedes y E E verschwindet. Beweis. Trivialerweise ist die Bedingung notwendig. Sie sei nun erfUllt. Besal3e A keinen Eigenwert f= 0, so ware AI - A fUr alle Af= 0 bijektiv; infolgedessen lage X:=A2y (y beliebig aus E) fUr jedes reelle ~ in (~I-A)2(E), es ware also Ixl=O (Satz 90.1) und somit IAyl2 =[AyIAy]=[A 2yly]=[xly].;;;; Ixllyl =0. Day beliebig war, erhalten wir so einen Widerspruch zu unserer Voraussetzung. • Fur einen Vektorraum Emit Halbinnenprodukt [xly] lal3t sich der Begriff des Orthonormalsystems wie ublich erklaren. Da die Besselsche Gleichung und die aus ihr fliel3enden Resultate in Wirklichkeit nicht an die strenge Definitheit des Innenproduktes gebunden sind, gelten fUr ein Orthonormal system S in E die folgenden Aussagen: 1x - vtl [xluv]uv 12 = Ixl2 - vtl l[xluvW

(UvES),

n

L

l[xluvW,;;;; Ixl2

(UvES),

(90.6)

(90.7)

v-I

for festes x sind hochstens abziihlbar viele [xlu] f= 0 (u E S).

(90.8)

1st S ein uberabzahlbares Orthonormal system, so nehmen wir wie fmher in eine Reihe, in der Fourierkoeffizienten [xlu] auftauchen, nur die Glieder mit [xlu] f= 0 auf. Aus (90.7) folgt dann:

L

l[xluW

konvergiert und ist .;;;; Ix12.

LIES

Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung erhalt man nun, dal3 der Ausdruck

90 Wielandtoperatoren

L

(xly):= [xly] -

[xlu][uly]

455

(90.9)

uES

fUr aile x,y E E existiert. Offensichtlich stellt er ein Halbinnenprodukt auf E dar. Sind Uh U2, ... die Elemente u aus S mit [xlu] 1= 0, so folgt aus (90.6), daB

(xix) genau dann verschwindet, wenn / x -

V~l [xluv]uv /--+0 strebt.

In dies em Faile schreiben wir kurz

x=

L

(90.10)

[xlu]u,

uES

halten uns aber standig vor Augen, daB die Summe einer unendlichen Reihe wegen der mangelnden Definitheit unserer Halbnorm nicht eindeutig bestimmt ist. Wir notieren:

Genau dann gilt (90.10), wenn (xix) verschwindet.

(90.11)

Die volle Symmetrie eines Operators A bewirkt, daB das Halbinnenprodukt [ ·1· ] auf jedem Eigenraum N(~ I -A) zu einem (reellen) Eigenwert ~I= 0 ein Innenprodukt und N(~I-A)()(~I-A)(E)={O} ist. Falls A ein Wielandtoperator ist, kann man infolgedessen eine Orthonormalbasis SI; fUr N(~ I -A) konstruieren; die Vereinigung S:= U SI; ist ein orthonormales Eigensystem von A; femer haben 1;,.0

wir die Zerlegung (90.12)

E=N(~ I -A)EIJ(~ I -A)(E),

so daB

~I

- A nach Satz 72.4 kettenendlich ist und sogar die Zerlegung

(90.13) besteht; die Aussagen ab (90.12) gelten trivialerweise auch fur Nichteigenwerte Mit dem obigen Eigensystem S fUhren wir nun auf E das Halbinnenprodukt (90.9) und den zugehorigen Nullraum N:= {w E E: (wlw) = O} ein. Offenbar genugt A als Endomorphismus des Raumes (E,( ·1·») den Voraussetzungen des Satzes 90.1, und wegen N(~I-A)CN haben wir nach (90.13) die Zerlegung E = N + (~I _A)2(E) fur jedes ~ 1=0. Jeder Vektor y:=A 2x gehort infolgedessen fUr jedes reelle ~ zu N + (~I - A)2 (E), nach Satz 90.1 liegt er also bereits in N, und daher ist (A xlA x) = (xiA 2 x).,;;; (xix) 1/2 (A 2 xlA 2 x) 1/2 = O. Aus (90.11) folgt nun, daB die Entwicklung ~ 1= O.

Ax =

L liES

[Axlu]u =

L .u[xlu]u

fUr jedes xEE

(90.14)

uES

in folgendem Sinne besteht: Sind Uh U2,'" diejenigen Vektoren u aus S, for die [xlu] 1= 0 ist, und sind .u h .u2' ... die zugehOrigen Eigenwerte, so strebt

456

XII Anwendungen

Wir halten dieses Ergebnis fest: 90.3 Satz Fur den Wielandtoperator A gilt die Entwicklung (90.14) im Sinne der Grenzwertaussage (90.15); dabei ist S ein orthonormales Eigensystem von A. Fur Wielandtoperatoren HiBt sich eine zu (31.10) analoge Formel zur Losung der Gleichung (AI-A)x=y angeben; s. Heuser (1960). Die bisher gewonnenen Ergebnisse sind insbesondere immer dann anwendbar, wenn eine Potenz von A auf dem komplexen normierten Raum E kompakt ist und A selbst durch Einfiihrung eines Halbinnenproduktes auf E vollsymmetrisch gemacht werden kann (fur die Operatoren mit kompakter Potenz siehe A 80.4).

91

Integralgleichungen mit symmetrisierbaren Kernen

Bei dem Studium der Integralgleichungen ist man schon sehr fruh auf das folgende Phiinomen gestoBen (s. Marty (1910) und Hellinger-Toeplitz (1928»: Zu dem L2-Kern k der Gleichung AX(S) -

b

f k(s,t)x(t)dt=y(s)

oder also

(AI-K)x=y

(91.1)

a

auf dem komplexen Hilbertraum L2(a,b) kann es gelegentlich einen L2-Kern h mit folgenden Eigenschaften geben: 1. h ist "positiv":

b b

J Jh(s,t)x(s)x(t)dsdt~O fUr alle xEL2(a,b).

a a

2. g (s, t) :=

b

Jh (s, .)k(., t) d. ist selbstadjungiert: g (s, t) = g (t,s).

a

k nennt man in dies em Falle symmetrisierbar (durch h). g und h erzeugen in ublicher Weise stetige Integraloperatoren G und H auf L 2(a,b), und offenbar ist G=HK symmetrisch und H positiv, d.h. (Hxlx)~O fur alle xEL2(a,b). Wir befinden uns also, nun ganz allgemein formuliert, in der folgenden Lage: Zu dem stetigen Operator K eines komplexen Hilbertraumes E gibt es einen positiven Operator H derart, daB H K symmetrisch ist. 1) In dies em Falle sagen wir, K sei symmetrisierbar durch H. Ein solches K wird vollsymmetrisierbar genannt, wenn fUr jeden Eigenvektor u von K zu einem Eigenwert #0 stets Hu#O ausfiillt, kurz: KU=J.lu#O~Hu#O. I)

H ist iibrigens auch stetig (Satz 39.6).

91 Integralgleichungen mit symmetrisierbaren Kernen

Fur jedes

H~O

457

wird durch

[xly]:=(xIHy)

fUr aIle x,yEE

(91.2)

ein Halbinnenprodukt auf Emit der zugehorigen Halbnorm Ixl:= [xix] 1/2 erklart. Der Operator Kist offen bar genau dann durch H symmetrisierbar, wenn er bezuglich dieses Halbinnenproduktes symmetrisch ist, und in diesem Faile ist er genau dann vollsymmetrisierbar, wenn fur jeden seiner Eigenvektoren u zu einem Eigenwert i= 0 stets lui i= 0 ausfiillt, d. h., wenn er vollsymmetrisch ist. Den nichttrivialen Teil der letzten Behauptung sieht man sofort mittels der Abschatzung IIHxIl2..; IIHlI (xIHx) = IIHlI'lxI 2

(91.3)

ein, die ihrerseits nichts anderes als die Reidsche Ungleichung (29.7) im FaIle A =B:=H ist. Fur ein kompaktes K (z. B. fUr den Integraloperator in (91.1» verschwindet ind (:t I - K) fUr aIle :t i= O. Ein solches K erweist sich also immer dann als Wielandtoperator bezuglich des Halbinnenproduktes (91.2), wenn es durch H voIlsymmetrisierbar ist. Fallt nun IKxl i= 0 fUr wenigstens ein x aus, so besitzt K mindestens einen Eigenwert i= 0 (Satz 90.2) und erlaubt die Darstellung (90.15) - mit K anstelle von A -, wobei die J.lk die Folge aller (reeIlen) Eigenwerte i= 0 durchlaufen (in der jeder Eigenwert so oft auftritt, wie seine Vielfachheit angibt). Setzen n

wir sn:= L J.ldxluk]Uk, so folgt wegen I[Kxly]-[snly]I=I[Kx-snly]I";IKx-sllllyl k-I

aus (90.15) sofort [Kxly]=LJ.ldxlud[ukly], also auch (91.4) Mit (91.3) erhlilt man die Abschlitzung Ltm akHuk

112..; IIHlI

Iktm akuk 12 = IIHII ktm lad 2,

aus der sofort folgt, daB LakHuk immer dann konvergent ist, wenn L:la k l2 existiert. Wir ersehen daraus, daB Bx:= LJ.ldxludH Uk = LJ.lk (xIHUk)H Uk fUr jedes xEE definiert ist, I) und mit (91.4) erhalten wir (Bxly)=(H Kxly) fUr aIle yEE, also Bx=HKx und somit (91.5) Die Entwicklung (91.5) gilt gemiifi ihrer Herleitung fUr jedes stetige K mit ind (:t I - K) = 0 fUr aile :t i= 0, also z. B. immer dann, wenn irgendeine Potenz K" (n ~ 1) sich als kompakt herausstellt (s. A 80.4 und Nr. 86), ja sogar schon dann, wenn K nur ein sogenannter Rieszoperator ist (diese Operatoren werden wir in 1) Es ist .udxlud=[xl.ukud=[xIKud=[Kxlukl; die Konvergenz von Ll.udxludl 2 folgt nun aus (90.7).

458

XII Anwendungen

Kapitel XIV definieren und diskutieren). Aus ihr Hil3t sich eine Hille von Aussagen tiber Eigenwerte und Gleichungsauflosungen im Falle vollsymmetrisierbarer Rieszoperatoren und damit auch fOr die Integralgleichung (91.1) mit vollsymmetrisierbarem Kern gewinnen. Wir miissen uns leider ein wei teres Eindringen versagen und den interessierten Leser auf die Literatur verweisen, etwa auf Reid (1951) und Zaanen (1964); letzterer widmet gerade den Integralgleichungen seine besondere Aufmerksamkeit. Aufgaben 1. Der durch H~O vollsymmetrisierbare kompakte Operator K des komplexen Hilbertraumes E besitzt genau dann einen Eigenwert i= 0, wenn H K i= 0 ist. 2. Gewinne unter den Voraussetzungen der Aufgabe 1 Eigenwerte i= 0 von K und die Entwicklung (91.5) durch ein Extremalverfahren (s. Satz 30.1). 3. Versuche, die Slitze der Nr. 32 (Bestimmung und Abschlitzung von Eigenwerten) auf vollsymmetrisierbare kompakte Operatoren zu iibertragen.

92

Allgemeine Eigenwertprobleme fUr Differentialoperatoren

Wir untersuchen in diesem Abschnitt eine Verallgemeinerung des Randeigenwertproblems (3.8). Durch (Lx) (t) :=

/

L:

fv(t)x(V)(t)

fOr xEE/:= C(/)[a,b],

(92.1 )

g,Jt)x{jL)(t)

fOr

(92.2)

V~O

m

(Mx)(t):=

L:

xE E m:= c(m)[a,b]

!'~o

seien zwei lineare Differentialoperatoren L,M definiert. Wir setzen voraus, daB alle Funktionen K-wertig und fv,g!, stetig auf [a,b] sind. Die Bildraume von Lund M liegen dann in E:= C[a,b]. Neben den beiden Differentialoperatoren seien noch zwei lineare Abbildungen (92.3) gegeben; P konnte z. B. ein durch Px:=(R]x, ... , R,x)

mit

I-I

R!'x:=

L:

V~O

[a!,vx(V)(a)+P!'vx(V)(b)]

(92.4)

92 Allgemeine Eigenwertprobleme fUr Differentialoperatoren

459

detinierter Randwertoperator sein (vgl. (3.4)). Wir betrachten nun die Aufgabe, nichttriviale Lasungen x des Gleichungssystems Lx=:tMx,

(92.5)

Px=:tQx

zu tinden. J edes :t E K, fUr das eine solche Lasung x vorhanden ist, heil3t E i g e nwert der Aufgabe (92.5), x selbst wird Eigenlasung zum Eigenwert:t genannt. Man beachte wieder den Unterschied zwischen dem Eigenwert einer Aufgabe und dem eines Operators. Urn etwas Bestimmtes vor Augen zu haben, nehmen wir an, es sei I>m

und fi(t)o/=O

(92.6)

fur aile tE[a,b).

Unter diesen Voraussetzungen haben wir

a) E,CEmCE, b) (L-:tM)(E,) = Efiir jedes:t E K, c) NA:={xEE,: (L-:tM)x=O) besitztjiir jedes :tEK dieselbe Dimension I. Die beiden letzten Aussagen entnimmt man der Theorie linearer Differentialgleichungen. Die folgenden Betrachtungen stutzen sich allein auf die Eigenschaften a) bis c). Wir wollen deshalb allgemeiner als bisher annehmen, daj3 E" Em, E beliebige Vektorriiume iiber K und Q: Em-+ K' lineare Abbildungen sind; ferner sol/en die Aussagen a) bis c) gelten. Unter dies en Voraussetzungen studieren wir nun das Eigenwertproblem (92.5), das wir mit Hilfe der linearen Operatoren L: E,-+Ex K',

Lx:=(Lx,Px)

(92.7)

M: Em-+Ex K',

Mx:=(Mx,Qx)

(92.8)

in das aquivalente Eigenwertproblem (92.9)

Lx=:tMx

verwandeln. Wir beginnen un sere Untersuchungen mit zwei Hilfssatzen. Dabei sei NA:={XEE,: (L-:tM)x=O).

92.1 Hilfssatz

dimNA = codim(P-:t Q)(NA).

Be wei s. Es sei {xA], ... ,xAJ! eine Basis von NA und aAV:=(P-:tQ)XAV

Genau dann liegt x in N A , wenn und

(92.10)

fUr V= 1, ... , I.

(P-:tQ)x =

,

L

v-I

aVaAV=O

460

XII Anwendungen

ist. Die Maximalzahl linear unabhangiger Elemente in N;.. stimmt also mit der Maximalzahl der linear unabhangigen Vektoren (a], ... , a,) iiberein, die dem Gleichungssystem

,

L a v a;..v = 0 geniigen.

Die letzte Zahl ist bekanntlich

v=l

1- dim [a;"h ... , a;..,]=I- dim (P-A.- Q)(N;..) = codim(P-A.- Q) (N;..).

92.2 Hilfssatz

_

1st A.- = 0 kein Eigenwert der Aufgabe (92.9), so existiert L - I auf

ExK'.

Beweis. Offenbar brauchen wir nur zu zeigen, daB es zu einem beliebigen Element (Y,I) aus Ex K' stets ein xEE, mit Lx=(y,l) gibt. Wegen b) existiert zunachst ein XI E E, mit LXI = y, und da codimP(No) = 0 ist (Hilfssatz 92.1), gibt es einxoENo=N(L) mit PXO=I)-PXI. Infolgedessen ist L(xI +xo)=y, P(XI +XO) = I), also L(xl +xo)=(y,I). _ 1st A.- = 0 kein Eigenwert der Aufgabe (92.9), so existiert nach dem letzten Hilfssatz die lineare Abbildung G:=L - I M: E", .... E,cE",;

wir nennen sie den Greenschen Operator der Aufgabe (92.9). Die Eigenwerte von G sind genau die reziproken Eigenwerte der Aufgabe (92.9); die entsprechenden Eigenriiume stimmen iiberein. Das Eigenwertproblem (92.9) lauft also darauf hinaus, die Eigenwerte und EigenlOsungen des Greenschen Operators zu bestimmen. Das Gleichungssystem (P-A.-Q)X=I)

(L-A.-M)x=y,

(yEE,I)EK')

ist aquivalent mit der Operatorengleichung (l-A.-G)x=z,

z:=L - I (Y,I).

(92.11 )

Das wichtigste ResuItat dieser Nummer ist der 92.3Satz

FiiralleA.- ist ind(l-A.-G)=O.

Beweis. Wegen G(Em)CE,CEm geniigt es nach Satz 71.6, die behauptete Indexgleichung fUr die Einschrankung von G auf E, zu zeigen. N;.. enthalt eine Basis {u], ... , Ud} von N;.., wobei d:=codim(P-A.-Q)(N;..) ist (Hilfssatz 92.1); im Faile d=O sei {u], ... , ud}=0. Diese Basis von N;.. erganzen wir durch r:=I-d Elemente z], ... , Zr zu einer Basis {u], ... , Ud, Zh ... , zr} von N;... Wir haben dann (P-A.-Q)uv=O

fUrv=l, ... ,d,

h:=(P-A.-Q)zv#O

fUr V= 1, ... , r.

Die Vektoren 3]' ... , 3r sind linear unabhangig: Aus adl +···+ar 3r=0 folgt namlich (P-A.- Q)(al Zl + ... +arzr ) = 0, also al ZI + ... + arzr EN;..; gemaB der Konstruktion der Zv miissen somit aile a v verschwinden. Wir erganzen die Menge {3h ... , 3r}

461

92 Allgemeine Eigenwertprobleme fUr Differentialoperatoren

durch d=l-r Vektoren l)h ... , l)d zu einer Basis {l)h ... , l)d, 3h ... , 3rl von K'. Nach Hilfssatz 92.2 gibt es zu l)v genau ein YvEE, mit LYv=(O,l)v), V= 1, ... , d. Ferner sind wegen Satz 50.1 Linearformen xf, ... , x1 auf E, mit (u;,xt) = O;k und (zp,xt) = fUr i, k = 1, ... , d, {J = 1, ... , r vorhanden. Mit diesen Yv und x~ definieren wir den endlichdimensionalen Operator S auf E, durch

°

d

1:

Sx:=

°

(x,xnyv

v=l

(im Faile d = setzen wir S = 0; der weitere Beweisgang vereinfacht sich dann). Schliel3lich sei G die Einschrankung von G auf E, und R:=I-AG-S,

also

I-AG=R+S.

Wir zeigen zunachst, daB R injektiv ist. Aus Rx=O folgt (I-AG)X=SX, also (L-AM)x=LSx

=

vtl

(x,x~)(O,l)v) =

(0, vtl (X,Xnl)v);

(92.12)

somit liegt x in N)., hat also die Form x=alzl+···+arZr+/31Ul+···+/3dud, so daB (P-AQ)x=aI31+···+ar3r

und

(x,xn=/3v

ist. Damit folgt aus (92.12) adl + ... +a r 3r=/3Il), + ... +/3dl)d,

also

al =

... =ar =/31 = ... =/3d=O

und somit auch x = 0. Nun zeigen wir, daB R (E,) = E, ist, d. h., daB man fUr beliebiges y E E, die Gleichung Rx=y

oder also

(92.13)

(I-AG)x=y+Sx

durch ein x E E, los en kann. (92.13) ist aquivalent mit der Gleichung (L-AM)x=L(y+Sx)=Ly

+

(0, vtl (x,xnl)v) ,

die ihrerseits, wenn man Ly=(z,a) setzt, in die beiden Gleichungen d

(L-AM)x=z,

(P-AQ)x=a

+ 1:

v-I

(x,xnl)v

(92.14)

zerfallt. Wegen b) gibt es eine Losung Xo der ersten Gleichung; ihre siimtlichen Losungen sind dann in der Form r

X=Xo

+ 1:

p-I

apzp +

d

1: /3v uv

v-I

darstellbar. Fur diese x hat man mit to:=(P-AQ)Xo offenbar

(92.15)

462

XII Anwendungen

,.

(P-AQ)X=!,o

+ L ap3p,

(x,xJ) = (XO,XJ) + f3v,

p~l

so daB die zweite Gleichung in (92.14) die Gestalt d

+ L ap3p=a + L [(xo,xJ)+f3vJl>v

!'o

p~l

v~l

oder also ,.

L

d

ap3p -

p~l

L

d

f3vl>v=a-!,o

v~l

+ L (xo,xJ)l>v v~l

annimmt. Diese Gleichung kann, da hI."" 3" l>I. ... , l>d) eine Basis von K' ist, durch geeignete Zahlen ap, f3v erfUllt werden. Das mit dies en ap, f3v nach (92.15) gebildete Element x lOst dann (92.13). Insgesamt ist also R bijektiv. - Wir beenden den Beweis nun durch die Bemerkung, daB nach Satz 71.5 ind(l-AG)=ind(R +S)=ind(R)=O ist.

•

Die Anwendbarkeit des Operators G wird durch die folgende Tatsache verbessert, die man unmittelbar aus den bisherigen Ergebnissen und dem Satz 71.6 erhalt:

92.4 Satz Fur das Eigenwertproblem (92.9) seien die Voraussetzungen a), b), c) erfollt; A = 0 sei kein Eigenwert und G der Greensche Operator der Aufgabe (92.9). Ferner sei E ein beliebiger Vektorraum zwischen G (Em) und Em, und Gbezeichne die Einschriinkung von G auf E. Dann gilt for aile A die Indexrelation ind (I - A G) = 0, und x ist genau dann eine EigenlOsung der Aufgabe (92.9) zum Eigenwert A, wenn x eine Eigenlosung von G zum Eigenwert lIA ist. Dank dieses Satzes lauft das Eigenwertproblem (92.9) darauf hinaus, die Eigenwerte =1= 0 irgendeines G und die zugehorigen Eigenlosungen zu bestimmen. Die groBere Flexibilitat, die wir so gewonnen haben, macht sich besonders angenehm bemerkbar, wenn wir AnschluB an die Eigenwerttheorie symmetrischer Operatoren gewinnen wollen. Urn diese Theorie fUr die Behandlung der Aufgabe (92.9) fruchtbar zu machen, geniigt es, auf irgendeinem Vektorraum E zwischen G(Em) und Em ein Innen- bzw. Halbinnenprodukt so einzufiihren, daB G symmetrisch bzw. vollsymmetrisch wird. Insbesondere gilt der 92.5 Satz Sind die Voraussetzungen des Satzes 92.4 erfiillt und fiillt G bezuglich eines Halbinnenproduktes [xlyJ auf E vollsymmetrisch aus, so ist G ein Wielandtoperator. Infolgedessen (Satz 90.3) liijJt sich jeder Vektor x:= Gy mit y E E in eine Reihe x

=

1

L -:;- [yluJu = L

liES

/l,..

liES

[xluJu

92 Allgemeine Eigenwertprobleme fUr Differentialoperatoren

463

nach einem Orthonormalsystem S von Eigenlosungen der Aufgabe (92.9) zu ihren (reellen) Eigenwerten A entwickeln. Die Entwicklung ist im Sinne der Grenzwertaussage (90.15) zu verstehen. Die Frage der Eigenwertverteilung wollen wir genauer in dem Fall untersuchen, daB L,M die Differentialoperatoren (92.1), (92.2) sind, die der Voraussetzung (92.6) genugen mogen; K sei der komplexe Zahlkorper, P und Q seien Randwertoperaloren, also von der Form (92.4). Die Funktionen X,1. 1 (I), ... , XM (I), die den Gleichungen

(L-AM)x,1.v=O,

x~-1)(a)=8J.lV

(v,f.J,= 1, ... , I)

genugen, bilden bekanntlich eine Basis des Nullraumes N,1. von L-AM und hangen mitsamt ihren Ableitungen bei festem 1 differenzierbar von dem komplexen Parameter A abo Infolgedessen ist die Determinante D(A), deren Zeilen von den Vektoren aAv:=(P-AQ)XAV gebildet werden, eine auf C holomorphe Funktion von A. Da wegen Hilfssatz 92.1 genau die Nullstellen von D (A) Eigenwerte der Aufgabe (92.5) sind, haben wir nun die folgende Lage: Entweder ist jede komplexe Zahl Eigenwert oder die Eigenwerte bilden eine hochstens abzahlbare moglicherweise leere - Menge ohne endlichen Haufungspunkt. 1st A = kein Eigenwert - das ist die Situation, in welcher der Greensche Operator G existiert -, so tritt der zweite Fall dieser Alternative ein: Die Eigenwerte der Aufgabe (92.5) bi/den dann eine gegen 00 slrebende Folge, falls es uberhaupl unendlich viele gibl. Die Untersuchungen dieses Abschnittes stell en in abstrakter und verallgemeinerter Form Uberlegungen dar, die von H. Wielandt in der schon erwahnten Vorlesung 1952 vorgetragen wurden. Fur eine Weiterfiihrung dieser Gedankengange verweisen wir den Leser auf Schafke-Schneider (1965, 1968).

°

Aufgaben 1. L, M seien die Differentialoperatoren (92.1), (92.2), die der Voraussetzung (92.6) geniigen mogen, P sei der Randwertoperator (92.4) und Q = O. Ferner sei 0 kein Eigenwert der Aufgabe (92.5) und G (s, t) die Greensche Funktion der Randwertaufgabe Lx = y, Px = 0 (s. die Oberlegungen ab

(3.5». Dann ist der Greensche Operator G durch (Gy)(s) (92.5) ist gleichwertig mit der Aufgabe, die Gleichung

h

=

J G(s,t)[My](t)dt

gegeben, und

b

X(S)-A

J G(s,t)[Mx](t)dt=O

nichttrivial zu IOsen (vgl. (3.12), (3.13) fUr (Mx)(t):=r(t)x(t». 2. Nochmals das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem Gewinne die entscheidende Entwicklung (33.7) nach Eigenlosungen der Sturm-Liouvilleschen Aufgabe aus dem Satz 92.5 - diesmal also ohne irgendwe\Che Kompaktheitsschliisse. Hinweis: Anfang der Nr. 33; Aufgabe 1.

464 3.

XII Anwendungen Zeige, daB die folgenden Aufgaben die angegebenen Eigenwerte haben:

a) x" =AX',

x(O) -xCI) = 0,

b) X"=AX',

x(O)=x'(1)=O:

kein A.

c) x' =AX,

x'(O)-x(O)=O:

nur A= 1.

93

x' (0) -x'(I) = 0:

aile A.

Fredholmsche Differentialoperatoren

Sind die Funktionen ao(t), ... ,an_l(t) auf dem Intervall [a,b] stetig, so wird durch d"x Ax:= - dt n

d n- 1 x dt -

dx dt

+ a n -l -n-1 +···+al -

+ aox

(93.1)

eine stetige lineare AbbildungA von c(n)[a,b] in C[a,b] definiert. Aus der Theorie der Differentialgleichungen weiB man, daB die inhomogene Gleichung A x = y fiir jedes yE C[a,b] mindestens eine L6sung und der L6sungsraum der homogenen Gleichung Ax=O die Dimension n besitzt. Mit anderen Worten: Es ist a(A)=n, f3 (A) = 0, und A erweist sich so als ein Fredholmoperator mit dem Index n. Die Bediirfnisse der Praxis, insbesondere die der Quantenmechanik, fordern nun aber gebieterisch, die oben formulierten Voraussetzungen abzuschwachen - beispiels weise von den Koeffizientenfunktionen ao, ... , an -1 nur zu verlangen, daB sie in L 1 (a, b) liegen. Auch auf die Stetigkeit von d nxl dt n wird man notgedrungen verzichten miissen. Trotzdem erweist sich A unter geeigneten Annahmen immer noch als ein Fredholmoperator. Wir k6nnen auf diese Dinge leider nicht naher eingehen und verweisen den Leser auf das Kapitel VI in Goldberg (1966).

94

Der Konvexitatssatz von Liapounoff

Er besagt folgendes: Ji], ... , Jin seien endliche positive MafJe ohne Atome auf einem MafJraum X. Dann ist die Menge der Punkte (Jil (A), ... , Jin (A)) E Rn, wobei A aile mefJbaren Teilmengen von X durchliiuft, abgeschlossen und konvex.

Dieser scheinbar so abgelegene Satz hat sich als eines der machtigen Hilfsmittel der modernen mathematischen Wirtschaftswissenschaft erwiesen (s. etwa Hildenbrand (1974)). Fiir uns hier ist besonders interessant, daB er sich verbliiffend geradlinig aus dem Satz von Krein-Milman ergibt, wie Lindenstrauss (1966) auf einer einzigen Seite gezeigt hat. Wir gehen dennoch auf den Beweis nicht ein, weil er maBtheoretische Kenntnisse erfordert, die wir nicht voraussetzen wollen. Sehr merkwiirdig ist jedoch, wie eine Folge weltferner Satze (Hahn-Banach ...... Trennungssatze ...... Krein-Milman ...... Liapounoff) schlie6lich tief in die Probleme menschlichen Miteinanderlebens hineinreichen kann.

XIII

Spektraltheorie in Banachraumen und Banachalgebren

95

Die Resolvente

Schon friihzeitig sind wir auf das Phanomen gestoBen, daB schwergewichtige Probleme der Physik und Technik auf Fredholmsche Integralgleichungen X(S)-A

b

Jk(s,t)x(t)dt=y(s) oder also

(I-AK)x=y

a

mit einem Parameter A fOhren - ein Parameter, der ungekunstelt aus der Natur dieser Probleme entspringt und von dem nun seinerseits das Losungsverhalten der Integralgleichung entscheidend abhangt: es andert sich, wenn sich A andert. Uber dieses wechselnde Losungsverhalten sind wir in den Nummern 79 und 80 zur volligen Klarheit gelangt, wenn nur K kompakt ist - ohne im ubrigen unbedingt ein Integraloperator sein zu mussen. Beachten wir namlich, daB mit K auch AK kompakt ausfallt, lassen wir ferner den vollig uninteressanten Wert A= 0 auBer Betracht und bringen dann die Gleichung (I-AK)x=y auf die Form (J.lI -K)x=z mit J.l:=

±,

z:=

f,

(95.1)

so wissen wir, daB (95.1) fOr jedes J.l'~ 0, das kein Eigenwert von Kist, durchgangig und eindeutig losbar ist und die Losung uberdies noch stetig von der rechten Seite abhangt; die Eigenwerte, in denen dieses hochst befriedigende Verhalten gestort wird, bilden eine ganz einfach strukturierte Menge, namlich eine Nullfolge (wenn es denn uberhaupt unendlich viele gibt) - und selbst in ihnen bleibt die Lage noch vollig ubersichtlich: sie wird beherrscht von den schlichten Losungssatzen der Nr. 79. In dem vorliegenden Kapitel wollen wir nun auf breiter Front das Losungsproblem der Operatorengleichung (AI-A)x=y

466

XIII Spektraltheorie in Banachraurnen und Banachalgebren

angreifen (der Gewohnheit folgend schreiben wir A statt /1) - wobei nun A nicht mehr kompakt zu sein braucht, sondern irgendein stetiger Endomorphismus eines Banachraumes sein darf. 1) Dabei wird es sich interessanterweise bald als unwesentlich erweisen, daB A eine Abbi/dung ist; entscheidend ist, daB A in einer Banachalgebra liegt. Wir werden deshalb unsere Untersuchungen sehr rasch in Banachalgebren verlagern. Zunachst aber definieren wir einige grundlegende Begriffe. Die Resolventenmenge p(A) eines stetigen Endomorphismus A auf dem Banachraum E besteht aus allen Skalaren A, fUr die AI -A eine Inverse R). E ..9"(E) besitzt. R). heWt der Resolventenoperator und die auf p(A) definierte Abbildung AI-+R). die Resolvente von A. Die Menge a(A):= K\p(A) ist das Spektrum von A.2) Wegen Satz 39.4 liegt A genau dann in p (A), wenn AI -A bijektiv ist. Mit Hilfe der Defekte und Kettenlangen laBt sich p(A) also folgendermaBen beschreiben: p(A)={AEK: a(AI -A)=f3(AI -A)=O} = {A E K:p(AI -A)=q(AI -A)=O}. Die Eigenwerte von A liegen aile in a(A); sie bilden das Punktspektrum ap(A) vonA. Aus Satz 78.1 folgt nun unmittelbar

95.1 Satz

Fur den kompakten Endomorphismus K eines Banachraumes ist

a(K)\{O} = ap (K)\{O}.

Ebenfalls sehr einfach ergibt sich der 95.2 Satz

Fur den stetigen Endomorphismus A des Banachraumes E ist

a(A)=a(A').

Beweis. Aus den Konjugationsregeln des Satzes 50.9 folgt unmittelbar p(A)cp(A'). Nun sei AEp(A'). Dann ist AI-A nach der dritten Gleichung in A 54.1 injektiv, nach Satz 55.6 surjektiv, und daher liegt A in p(A). Insgesamt ist also p(A)=p(A') und somit a(A)=a(A'). • Resolventenmenge, Resolvente und Spektrum sind Begriffe, die auch fiir Elemente einer Banachalgebra R mit Einselement e sinnvoll sind 3 ): I) Die Vollstiindigkeit des Raurnes aUerdings, auf die wir beirn Studiurn der kornpakten Operatoren leichten Herzens verzichten konnten, wird nun unentbehrlich sein. 2) Die Punkte A der Resolventenrnenge p(A) (lat. resolvere = auflosen) sind gewisserrnaBen die "gutartigen" Punkte von A (durchgangige und eindeutige Losbarkeit von (AI -A)x= y), die des Spektrurns die "bosartigen". Die Bezeichnung "Spektrurn" wurde von Hilbert (1912) ohne nahere Begriindung eingefiihrt. 3) Urn nicht in Triviales abzugleiten, setzen wir standig und stillschweigend e oF 0 voraus.

95 Die Resolvente

467

Fur xER ist die Resolventenmenge &>(X):={AE K:Ae-x ist invertierbar in R), die Resolvente die auf&>(x) definierte AbbildungAl-+rA:=(Ae-x)-I, das Spektrum a(x) das Komplement von &>(x) in K. Aus den Resultaten der Nr. 13 ergeben sich muhelos die Aussagen a) und b) des folgenden Satzes; man beachte nur die Umrechnungen

(Ae -x)- (Aoe-x)= (A-Ao)e,

Ae-x=A (e - ±x).

c) folgt unmittelbar aus a) und b); d) wird nach der Formulierung des Satzes bewiesen. 1)

95.3 Satz Fur das Element x einer Banachalgebra R mit Einselement e gelten die folgenden Aussagen: a) Sei AoE&>(X) und IA-Aol < I/lIrAoli. Dann ist AE&>(X), rA =

L

(-It (A-AoY' r~o+1

(95.2)

n=O

und

(95.3)

insbesondere mujJ &>(x) offen sein und rA stetig von A abhiingen. b) Fur IAI > lim 1Ix" 11 1/" ist A E&> (x) und rA

=

L

n=O

x"

(95.4)

1n+l· I\,

Insbesondere haben wir also die Abschiitzung 1 (1 IIXII)-l IIrAIl IIxll ,

(95.5)

und somit strebt rr+O for IAI-Hlo. c) a(x) ist abgeschlossen und wegen IAI 0 sein muB. Um (102.6) einzusehen, setzen wir B:=AIA. Es ist dann N(/-B)=N(AI-A),

und

(/-B)(E)=(AI -A)(E)

IIBkll = IIAkkll = IIAlklk = 1 fUr k=O, 1, .... 1..1.1

1..1.1

(102.7) (102.8)

Fur XEN(/-B) ist x=Bx=B 2 x=···, also 1 x = -(/+B+···+Bn-l)x.

n

(102.9)

Nun greifen wir auf die triviale Identitat (I +B+ ... +Bn-I)(/-B)=I-Bn

(102.10)

zuruek. Mit ihr und (102.9) erhalten wir fUr jedes x E N (1- B) und y:=(/-B)zE(I-B)(E) die Absehatzung

Wegen (102.8) strebt hier die Hnke Seite gegen IIxll, wahrend die reehte fUr aIle n • konstant = IIx+yll ist, womit wir nun aueh (102.6) erledigt haben. Auf die Frage, wann ein peripherer Spektralpunkt ein Pol der Resolvente ist, konnen wir eine prazise Antwort geben: 102.4 Satz 1st A # 0 normaloid, so erweist sich A E a" (A) genau dann als ein Pol der Resolvente von A, wenn eine der folgenden Bedingungen gilt: a) q(AI -A)< 00, b) (AI -A)(E) ist abgeschlossen (oder gleichbedeutend: AI -A ist normal auflosbar). In diesem Faile hat A die Polordnung 1, ist ein isolierter Eigenwert, und der zugehorige Spektralprojektor PA hat die Norm 1.

Beweis. Sei A ein Pol der Resolvente von A. Dann ergeben sich aIle Behauptungen muhelos aus den Satzen 101.2 und 102.3 (zum Beweis von IIPAII = 1 benutze I) Der Beweis benutzt nicht voll die Monotonie der Folge (IIA" xll/r" (A», sondern nur ihre Beschriinktheit.

498

XIII Spektraltheorie in Banachraumen und Banachaigebren

man (102.6». - Nun gelte a). Dann ist dank der Satze 102.3 und 72.3 q(AI-A)=p('u-A)';;;I, wobei hier statt .;;; das Gleichheitszeichen stehen muB, weil andernfalls A in .9 (A) lage. Satz 101.2 entlarvt jetzt A als einen Pol der Resolvente von A. Nun gelte b). Wir setzen B:=AIA und brauchen wegen der zweiten Gleichung in (102.7) und des gerade Bewiesenen nur noch zu zeigen, daB q (/ - B) < 00 bleibt. Das geschieht folgendermaBen.1) Da F:= (I - B)(E) abgeschlossen ist, existiert nach A 39.10 eine Konstante M>O mit folgender Eigenschaft: Zu jedem y E F gibt es ein x E E, so daB (I-B)x=y

und

IIxll.;;;Mllyll

(102.11)

ausfallt. Mit (102.10) und (102.8) erhalten wir daraus die Ungleichung

11~~t~ Bkyll = 11~~t~ Bk(/-B)XII = 11~(/-BII)XII

.; ; 11~(/-BII)IIMIlYII';;; 2,7 lIyll , fUr die Einschrankung C von B auf den Banachraum F also die Normabschatzung 2M 1 -n111L- C kll .;;;-. n 1

k-O

I ~ '~~~ I

C k < 1 und so mit 1 ",-I 1 - - L C k eine bijektive Selbstabbildung von F sein. Mit anderen Worten:

Fur ein hinreichend groBes m muB daher

m k-O Setzen wirJ(A):=(I+A+···+A"'-I)lm, so ist lE.9(f(C». Da aber I=J(1) und daher auchJ(I)E.9(f(C» ist, erhalten wir nun mit dem Spektralabbildungssatz 99.2, daB 1 E.9 (C), also 1- C bijektiv sein muB. Somit gilt (/ -B)2(E)=(I -B)(F)=(/ - C)(F)=F=(/ -B)(E),

also q(/ -B)';;; 1 - womit nun endlich alles erledigt ist.

•

Sind aile Punkte von O"n(A) Pole der Resolvente - ihre Anzahl ist dann notwendigerweise endlich - so lassen sich die zugehorigen Spektralprojektoren mittels eines einfachen Grenzprozesses gewinnen:

102.5 Satz

Das periphere Spektrum des normaloiden Operators A =fo 0 bestehe nur aus Polen At. ... , All der Resolvente. und Pv sei der zu Av gehorende Spektralprojektor. Dann ist I)

Wir benutzen hier einen Beweisgedanken von Lin (1974).

102 Normaloide Operatoren

Py

=

lim -1 m_oom

L111 (A)k -

k"'""l

499

(im Sinne gleichmiijJiger Konvergenz).

A.. v

Es geniigt, die Behauptung fUr PI zu verifizieren. Sei Cy ein Kreis urn Ay mit einem so kleinen Radius r, daB Cy ganz in p(A) verHiuft und Ay der einzige Spektralpunkt in seinem Inneren ist. Da der Pol Ay nach Satz 102.4 einfach ist, folgt aus Satz 101.2 APyX=AyPyX fUr aile xEE, also APy=AyPy und dam it allgemeiner (102.12) (s. A 100.6). Ak konnen wir nun in der Form

darstellen; dabei ist C ein geeigneter Kreis urn 0 mit einem Radius p < IA Ii = r(A). Setzen wir zur Abkiirzung Ak :=

Ak

=

L"

v-I

~ f Ak R;.. dA, so wird 2m

e

(102.13)

A~Py+Ak

IIAk II E;;ppk max IIR,dl = ypk .

und

'lEe

Aus dieser Abschatzung fUr IIAkll ergibt sich sofort

I k=1L AZI m

1

J'l.1

E;;

Y

L111 ()k I~ I

k=1

E;;

J'l.1

Y 1-~

fiir aile natiirlichen m.

IAII Ferner ist mit a :=

~in 11 y=2

Av lund wegen IlPvll = 1 (Satz 102.4)

AI

I k~1 V~2 (A)k A~ P I = II" V~2 k~1 (A)k A~ Pv I = m

"

y

m

±

1- ( 2A )111 Ay AI P v-2 AI 1 _ Av y AI

2n

E;;- •

a

Aus (102.13) folgt nun mit den beiden letzten Abschatzungen 1 1 1 -mk=1 L (A)k -AI = PI + -mk=ly=2 L L (Av)k -AI Pv + -mk_IAI L kAk => PI III

III

"

III

fiir m ->- 00

•

•

500

XIII Spektraltheorie in Banachraumen und Banachalgebren

Urn Aussagen iiber Spektralpunkte machen zu konnen, die nicht auf dem Rande des Spektralkreises liegen, miissen wir die Klasse der normaloiden Operatoren einengen. Wir nennen A spektralnormaloid, wenn fiir jede Spektralmenge aca(A) die Einschrankung von A auf den invarianten Unterraum Ma:=Pa(E) (s. Satz 100.1) wieder normaloid ist. Paranormale Operatoren auf Banachraumen und damit erst recht normale und hyponormale Operatoren auf Hilbertraumen sind immer spektralnormaloid. Ein meromorpher Operator besitzt hochstens abzahlbar viele Pole A I, ,.1,2, ... , die wir uns durchweg nach fallenden Betragen geordnet denken:

lAd ~ 1,.1,21 ~ •••• Av ist ein Eigenwert von A (Satz 101.2). Pv sei der zu {Av} gehorende Spektralprojektor. Es gilt dann der 102.6 Satz 1st A spektralnormaloid und meromorph, so sind aIle Pole der Resolvente RJe einfach. Ferner ist

n N(Pv), n> 1,

n-I

IIP"xll";; IIxll for x

E

(102.14)

v=1

und

IIP"II";;2,,-1

(102.15)

fi1rn=I,2, ....

Beweis. Offenbar diirfen wir A # 0 annehmen. AI hat nach Satz 102.4 jedenfalls die Polordnung 1. Wir beweisen Entsprechendes nun zunachst fUr Pole A" (n> 1), die #0 sind. Sei a:=a(A)\{A" ... ,A,,-t!. Nach Satz 100.1 istA" ein isolierter peripherer Spektralpunkt der Einschrankung Aa von A auf M,r Durch Einschrankung der Laurententwicklung von RJe urn A" auf Ma sieht man, daB A" ein Pol der Resolvente von A" ist und als solcher dieselbe Ordnung hat wie als Pol der Resolvente von A. Die erstgenannte Ordnung ist aber, da A" # 0 und normaloid ist, gleich 1. - Nun betrachten wir den Fall, daB 0 ein Pol von RJe ist. Sei p seine Ordnung und a:= to}. Dann ist Ma = N (AP) (Satz 10 1.2), die normaloide Einschrankung Aa von A auf M" ist also nilpotent, und somit muB IIAal1 =r(A,,)=O sein. Daraus folgt N(AP) = N(A), also ist p = 1. - Durch einen ahnlichen AbspaltungsprozeB, des sen Einzelheiten wir dem Leser iiberlassen diirfen, erhaIt man mit Hilfe von Satz 102.4 und A 100.5 die Abschatzung (102.14). - Wir gehen zum Beweis von (102.15) iiber. Fiir n= 1 erhaIten wir die Behauptung aus Satz 102.4. 1 Nun sei n> 1. Wegen PJ1.Pv=8J1.vPJ1. liegt Pv)x in N(PJ1.); aus A 100.5 und(102.14)folgtdaher v-I J1.-1

(1 - "tl

IIP"xll also

=

"6

II P" (1 - :~: Pv)xll..;; II (1 - :~: Pv)xll

IIP"II";; 11 1 -

fUr aile xEE,

:~: Pvll..;; 1 + :~: IlPvll.

U nd nun erhalt man (102.15) durch vollstandige Induktion.

•

102 Normaloide Operatoren

501

Wir konnen jetzt ein Analogon zu dem Entwicklungssatz 30.1 (fUr symmetrische kompakte Operatoren) aussprechen. 102.7 Satz 1st A =f: 0 spektralnormaloid und meromorph und P" der zum Eigenwert A" =f: 0 gehOrende Spektralprojektor auf den Eigenraum N (A" I - A), so gilt die gleichmaBig konvergente Entwicklung A =

L

11=1

(102.16)

A"P"

immer dann, wenn eine der nachstehenden Bedingungen erfollt ist: a) Die Folge der Normen

II vtl Pv/I (n = 1, 2, ... ) ist beschriinkt;

b) 2" A,,-O for n- 00 ; c) IIPn ll = 1 for n = 1, 2, ... und nAn-O. Die beiden letzten Bedingungen sind nur sinnvoIl, wenn A unendlich viele Eigenwerte besitzt. 1st die Eigenwertmenge endlich, so ist die Reihe in (102.16) als eine endliche Summe zu interpretieren.

Beweis. Wir nehmen an, A be sitze unendlich viele Eigenwerte. 1st a:= a(A)\IAb ... , An _ II und Au die normaloide Einschrankung von A auf M u, so gilt llAull =r(Au)= IA"I (s. Satz 100.1). Daraus folgt

und somit haben wir

Daraus entnimmt man unmittelbar bzw. mit Hilfe von (102.15) die Normkonvergenz der Entwicklung (102.16), falls a) oder c) bzw. b) erfUllt ist. Den Fall einer endlichen Eigenwertmenge wird der Leser leicht selbst behandeln konnen. • In dieser Nummer haben wir im wesentlichen (unveroffentlichte) Ergebnisse von F. V. Atkinson und dem Verfasser und von J. Nieto (1980) dargestellt. Aufgaben 1. Konstruiere einen normaloiden Operator, der nicht spektralnormaloid ist. Hinweis: A. sei ein quasinilpotenter Operator #0 auf einem Banachraum E. (z. B. ein Volterrascher Integraloperator auf C[a,b]), A2 ein Operator auf einem eindimensionalen Banachraum E2:=[U]# to} mit A 2u:=u. Definiere A auf E. x E2 durch Ax:=(A.y, A2Z) fiir x:=(y,z).

502

XIII Spektraltheorie in Banaehraumen und Banaehalgebren

2. Die Inverse eines paranormalen Operators ist ebenfalls paranormal, falls sie auf ganz E existiert. 3. Sei A 7" 0 normaloid und A E CTn (A) ein Pol der Resolvente von A. Zeige: Die Abschatzung (102.6) gilt insbesondere dann, wenn y eine Linearkombination von Eigenvektoren zu Eigenwerten 7"A von A ist. Hinweis: Satz 80.1e. '4. Markoffsche oder stochastische Matrizen l ) oder stochastische Matrix, wenn gilt: Pjk;;;' 0

fUr aile j,k,

L

;=

pjk = 1

Eine (n,n)-Matrix M:=(pjd heiBt Markoffsche

(102. 17)

fUr aile k.

I

Auf die dominierende Rolle Markoffscher Matrizen beim Studium gewisser stochastischer Prozesse werden wir in Nr. 110 naher eingehen, wo dann aueh die recht abstrakten Satze der gegenwartigen Nummer unerwartete naturwissenschaftliehe Anwendungen finden und die nachfolgenden Aussagen noch betrachtlich vertieft werden sollen. Den K" rUsten wir hier mit der II-Norm 11.11 1 aus, die zugehorige Abbildungsnorm der Matrix

" A:=(ajd ist dann die Spaltensummennorm IIAIII:=max

L

k= I j= 1

lajd (s. A 10.14). Einen Vektor

(,;" ... , ';,,) nennen wir aus spater ersichtIieh werdenden GrUnden einen Wahrsch einl ich kei tsvektor, wenn aile Komponenten ';k;;;' 0 sind und die Komponentensumme ';1 + ... +,;" = 1 ist. Zeige: a) Die Matrix Mist genau dann Markoffsch, wenn sie jeden Wahrscheinlichkeitsvektor x in einen Wahrscheinlichkeitsvektor Mx transformiert. b) Die Markoffschen Matrizen bilden eine konvexe Teilmenge von ,Y(K"). c) Das Produkt zweier Markoffscher Matrizen ist wieder Markoffsch. d) Eine Markoffsche Matrix Mist normaloid mit r(M)= IIMIII = 1. e) FUr eine Markoffsehe Matrix M und jedes h > 0 ist M + hI normaloid (ohne Markoffsch zu sein) und r(M+hI)=I+h. Hinweis: Wende auf (M+hI)'" den binomisehen Satz an. f) Jede Markoffsehe Matrix MEY(C") hat den Eigenwert 1. Hinweis: Satz 96.2.

g) Zu dem Eigenwert 1 der Markoffsehen Matrix M gibt es einen Wahrscheinliehkeitsvektor als Eigenvektor, M hat also aueh als Operator auf R" den Eigenwert 1. Hinweis: Satze 102.4, 102.5. 5. Der Hnke und rechte Verschiebungsoperator auf [2 Diese Operatoren wurden in den Aufgaben 10 und 11 der Nr. 96 definiert. Zeige, daB sie beide normaloid sind und vertiefe die Analyse ihrer peripheren Spektren mit Hilfe des Satzes 102.4. 1) So genannt nach dem russischen Wahrscheinlichkeitstheoretiker Andrei Andrejewitsch Markoff (1856-1922; 66).

103 Normale meromorphe Operatoren

103

503

Normale meromorphe Operatoren

In diesem Abschnitt sei A ein stetiger Endomorphismus des komplexen Hilbertraumes E. 1st A meromorph und normal, also auch spektralnormaloid, so sind die Eigenwerte A" #0 von A einfache Pole der Resolvente R). (Satz 102.6), der zu A" gehorende Spektralprojektor P" projiziert infolgedessen E Hings dem (abgeschlossenen) Bildraum (AnI-A)(E) auf N(AnI-A) (Satz 101.2) und ist wegen Satz 58.5 somit ein Orthogonalprojektor. I) Da Pn Pm fur n # m verschwindet, folgt nun aus Satz 22.2 sehr leicht, daB auch PI + P2 + ... + Pn ein Orthogonalprojektor ist, also eine Norm oE;; 1 besitzt. A erfiiIlt daher aIle Voraussetzungen und die Bedingung a) des Satzes 102.7, so daB wir sagen konnen: 103.1 Satz 1st A # 0 normal und meromorph, {AI> A2, ... j die Menge der nachfallenden Betriigen geordneten Eigenwerte # 0 von A und Pn der Orthogonalprojektor von E auf den Eigenraum N(A" I -A), so gilt for A die Entwicklung

A

LAn Pn

=

im Sinne der gleichmiijJigen Konvergenz,

(103.1)

und uberdies hat man noch

(103.2) Bei dieser Lage der Dinge steht zu vermuten, daB die Gleichung (AI -A)x=y auf dieselbe Behandlung ansprechen wird wie im FaIle eines symmetrischen kompakten A (s. Nr. 31). Und dem ist tatsachlich so: Unter den Voraussetzungen des Satzes 103.1 ist die Gleichung

103.2 Satz

(AI-A)x=y

mit A#O

(103.3)

genau dann losbar, wenn y orthogonal zu N(AI -A) ist; in diesem Faile wird durch

(103.4) eine Losung gegeben.

Beweis. Das Losbarkeitskriterium ergibt sich, da (AI -A)(E) abgeschlossen ist, sofort aus Satz 58.5. 1) 1m Losbarkeitsfalle stellt man mittels (103.2) zunachst fest, daB

I) 2)

L

). ..... ).

IA

n

~A12 IA,,1 2liP" yll2

konvergiert. Da (Pn y) eine Orthogonalfolge ist,

Beachte, daB A" I - A normal ist. (103.2) erhaIt man aus (103.1), wenn man bedenkt, daB P"x.l..P",x ist (s. A 58.6b).

504

XIII Spektraltheorie in Banachraumen und Banachalgebren

existiert also die Reihe in (103.4), und mit (103.1) erhalt man nun (fast wortlich wie in Nr. 31)

All -~(AI-A)PllY A An,q A-An

1 1 1 1 '\' (/l,I-A)x=-(/l,I-A)y+- L.J

A

1 1 '\' An =y-IAY+I L.J A-A (A-AII)PIIy A",pA

1 =Y - IAy

1

fJ

•

~

+ I 1I~IAIIPIlY=y,

Sei nun A wieder normal, aber dies mal nicht nur meromorph, sondern sogar kompakt. Bestimmen wir zu jedem Eigenraum N (An I - A) eine Orthonormalbasis {uII " ... , UllkJ, so ist also

Pllx = (xlu n1 )u II 1 +,,·+(xlu ll )Unk"., k " Ax

=

L An [(xlu ll I )Un I +,,·+(xlun"-" )Unk" ].

n=l

Urn diese schwerfallige Schreibweise zu vereinfachen, treffen wir folgende Ve reinbarung: {u], U2,"'} sei die Vereinigung der obigen Orthonormalbasen der Eigenraume zu den Eigenwerten oF 0 und Iln der zu UII gehorende Eigenwert. In der Foige (Il], 1l2, ... ) wird also jeder Eigenwert oF 0 so oft auftreten, wie es seiner Vielfachheit entspricht, wahrend in der Menge {A], ..1.,2, ... } die EigenwerteAII paarweise verschieden waren. Beachten wir noch, daB Iln (xlu = (xl.iTII uII ) = (xiA * uII ) = (A xlu ist, I) so erhalten wir aus Satz 103.1 direkt den lI )

lI )

103.3 Satz Die von Null verschiedenen Eigenwerte eines normalen k 0 m p a k ten Operators A oF 0 bilden, wenn man jeden Eigenwert so oft auffuhrt, wie es seiner Vielfachheit entspricht, eine nichtleere Foige Il]' 1l2, ... , die gegen Null strebt, falls sie uberhaupt unendlich ist. Zu ihr gibt es eine Orthonormalfolge u], U2, ... von EigenlOsungen (so dajJ also A Un = IlII Un fur aile n ist), mit der gilt: A x = L Iln (xl un) UII = L (A xlun) UII

fur aile x E E.

(103.5)

Die Formel (103.4) zur Auflosung der Gleichung (AI-A)x=y gewinnt unter den jetzigen Voraussetzungen die Gestalt mit y .IN(AI -A).

(103.6)

1st (IlII) eine endliche oder gegen 0 strebende Folge und {u], U2, ... } ein Orthonormalsystem, so wird durch (103.5) ein stetiger Endomorphismus A auf E definiert, dessen Adjungierte durch A* x = L.iTn (xlu n)Un gegeben wird. Es folgt 1)

S. A 58.6a.

103 Normale meromorphe Operatoren

IIAxll

= IIA * xII fUr aIle x, wegen Satz

505

58.4 ist also A normal. ErkHiren wir nun den k

stetigen endlichdimensionalen Operator Ak durch Ak x:=

L

n=1

II(A -Adxll2

=

L

lI>k

J.LII (xlu,J UII , so ist

1J.L1I1 2 1(xlulI )iZ..; max 1J.L1I12I1xIl2, lI>k

infolgedessen strebt Ak =>A, und A muB daher kompakt sein (Satz 28.3). Die Darstellung (103.5) - mit den angegebenen Eigenschaften von (J.LII) und (u lI ) - ist also charakteristisch for normale kompakte Operatoren. Die Satze dieses Abschnitts sind offensichtlich die Analoga der Aussagen tiber symmetrische kompakte Operatoren in den Nummern 30 und 31. Aufgaben Unter den Voraussetzungen des Satzes 103.3 bilden die EigenlOsungen {UI> U2,"'} von A genau dann eine Orthonormalbasis von E, wenn 0 kein Eigenwert von A ist.

+1.

2. Fur einen Endomorphismus A des komplexen Innenproduktraumes E gelte A x = L.un (xlun) Un mit einer Folge von Zahlen .un ~ 0 und einer Orthonormalfolge (Un). Zeige: a) A Un =.un Un. b) A ist genau mit (.un) beschrankt. c) 1st A beschrankt und A die Fortsetzung von A auf die Hilbertraumvervollstandigung i von E, so ist Ax = L.un (xl un) Un fUr alle x E i; A ist normal. d) A ist genau dann prakompakt, wenn (.un) endlich oder eine Nullfolge ist. e) A ist genau dann symmetrisch, wenn alle.un reell sind. +3.

Ein isolierter Spektralpunkt des normalen Operators A ist ein Eigenwert von A.

XIV

Rieszoperatoren

104

Der Fredholmbereich

In diesem Abschnitt sei E (wenn nicht ausdriicklich etwas anderes gesagt wird) ein Banachraum uber K und A aus 2(E). Wir wollen den sogenannten Fredholmbereich von A naher ins Auge fassen, also die Menge l/JA:= {A. E K: .1.1 -A E l/J(E)}.

Wegen Satz 74.4 haben wir l/JA = {A. E K: A. I - A ist defektendlich}. Offenbar gilt p(A)cl/JA. Fur kompaktes A ist l/JA:>K\{O}. Die Punkte des Fredholmbereichs l/JA nennen wir die Fredholmpunkte von A. Bevor wir den nachsten Satz formulieren, erinnern wir daran, daB eine offene Teilmenge M =1= von K in maximale offene, zusammenhangende und paarweise fremde Mengen =1= 0, die Komponenten von M, zerfallt. Die Komponenten von l/JA (diese Menge wird sich sofort als offen erweisen) sollen die Fredholmkomponenten von A heiBen.

°

104.1 Satz l/JA ist offen, und auf jeder Fredholmkomponente von A ist ind(A.I-A) konstant.

Die Offenheit von l/JA laBt sich aus Satz 81.6 ablesen. Auch die Indexaussage ergibt sich aus ihm, und zwar mit Hilfe des Kreiskettenverfahrens: Man verbinde einenfesten Punkt .1.0 der Komponente emit einem beliebigen Punkt .1.1 E C durch einen Polygonzug P und ordne jedem J.l E Peine Kreisscheibe zu, in der ind(A.I-A)=ind(J.lI-A) ist.!) Da nach dem Heine-Borelschen Satz bereits endlich viele dieser Scheiben Piiberdecken, muB ind(A.I/-A)=ind(A.o/-A) sein . • Zur tieferen Untersuchung der Fredholmkomponenten ziehen wir die Nullkettenliinge p (A. I - A) von A. I - A heran. Dabei werden wir ausgiebig von den Satzen der Nr. 72 Gebrauch machen. Der Leser mage sich daran erinnern, daB A. genau dann ein Eigenwert von A ist, wenn eine - und damit jede - der beiden Aussagen "a (A. I-A) =1= 0", "p (A. I - A) =1= 0" zutrifft. I)

1m Faile K = R sind die Polygonziige Strecken und die Kreisscheiben Interval/e.

104 Der Fredholmbereich

507

104.2 Satz

Fur AoE 0 fiir aile Vektoren x i= 0, entsprechend bei R und F (dieser Fall ist in der Schwingungstheorie von besonderer Bedeutung). Zeige, daB dann (S2) stabil ist. Hi n wei s : Zu jeder Nullstelle tl von (108.3) gibt es ein X?c i= 0 mit tl 2 Mx?c + tlRx?c + Fx?c = O.

527

109 Ein spektraltheoretischer Beweis des Satzes von Lomonosov

109

Ein spektraltheoretischer Beweis des Satzes von Lomonosov

Diesen bedeutenden Satz iiber hyperinvariante Unterraume eines kompakten Operators (Satz 80.3) hat Lomonosov 1973 mittels des Schauderschen Fixpunktsatzes bewiesen. Vier Jahre spater hat M. Hilden einen Beweis geliefert, der zwar von dem Lomonosovschen Ansatz ausgeht, ihn dann aber mit Hilfe des Satzes 96.1 iiber den Spektralradius in iiberraschend elementarer Weise zu Ende fUhrt (s. Michaelis (1977». Diesen Beweis stellen wir nun dar. Sei A # 0 ein kompakter Endomorphismus des komplexen Banachraumes E1) und .3P:={BE'so(E):AB=BA}. Die Behauptung lautet: Es gibt einen nichttrivialen abgeschlossenen Unterraum von E, der unter allen BE.3P invariant ist. Wir nehmen an, sie sei falsch. Dann existiert, wie im Lomonosovschen Beweis des Satzes 80.3 schon gezeigt worden ist, eine abgeschlossene Kugel

K:={XEE: IIx-xolI.;;;l}

mit

OeA(K),

fUr die (wegen A 0 = 0) dann auch (109.1)

OeK ist, femer gibt es in .3P endlich viele Operatoren Bh ... , Bm , so daB gilt:

(109.2)

Zu jedem yEA (K) existiert ein Bi mit B; y E K

(vgl. (80.7». Jetzt erst beginnt die Hildensche Beweisvariante. Wegen (109.2) gibt es zu AXoEA(K) ein Bi , E{B h ... , Bm} mit B;,(Axo)EK. Und da somit A(Bi,AxO) in A(K) liegt, muG - wiederum wegen (109.2) - ein Bi2 E{B h ... , Bm} mit B;,(A Bi,AxO)EK vorhanden sein. So fortfahrend erhalt man eine Foige von Operatoren B;k E{BJ' ... , Bm} mit (109.3) III

Da die Bik mit A kommutieren, ist Xn = Bin' .. Bi , An xo, und mit J1:= max IIBk II erhalt man daraus die Abschatzung k - I (109.4) Dank unserer eingangs gemachten Annahme, der Lomonosovsche Satz sei falsch, kann A keinen Eigenwert besitzen. Wegen Satz 95.1 ist also a(A)={O} und so mit r(A)=limIlAnlll/n=o (Satz 96.1). Aus (109.4) folgt nun IIxnlll/ -+O, also erst recht xn-+O, und da aile Xn in dem abgeschlossenen K liegen, muG dann auch 0 zu K gehoren - im Widerspruch zu (109.1). An dieser Ungereimtheit scheitert die An• nahme, der Satz von Lomonosov sei falsch. lI

1) Mit A 41.5 erkennt man leicht, daB man o.B.d.A. E als vollstiindig voraussetzen darf (in Satz 80.3 hatten wir die Vollstandigkeit nicht gefordert).

528

xv

Anwendungen

110

Positive Matrizen, Markoffsche Prozesse und Wachstumsvorgange

Wir erinnern eingangs noeh einmal daran, daB wir in Nr. 14 verabredet hatten, eine (n,n}-Matrix A:=(ajd mit dem von ihr vermoge (14.1) erzeugten Endomorphismus A von C" zu identifizieren, so daB wir unbefangen von der Resolvente, dem Spektrum usw. von A reden durfen. A wird positi v genannt (in Zeichen: A ~ O), wenn aIle ajk ~O sind. I} Urn positive Matrizen zu studieren, empfiehlt es sieh, in cn vermoge der Festsetzung (~],

... , ~1I}~(17], ... , 1711):

=

~1 ~17],

... , ~n) «17], ... , 17n):

=

~1

... , ~n ~17n'

ergiinzend: (~],

eine Ordnung einzufuhren.

2)

0, in Zeichen: A > 0) Hif3t sich r(A) durch ein Variationsver/ahren bestimmen - und aus dieser Bestimmungsmethode flieBen sogar noch zahlreiche weitere hochwichtige Resultate. Diesem (auch fUr die Anwendungen ungemein interessanten) Komplex von Satzen wenden wir uns nun zu. Durchweg sei A> O. Wir machen des ofteren Gebrauch von der einfachen Implikation x~y,x#y=>AxJ.l (x).

(110.12)

Urn dies einzusehen, wahlen wir einen Indexj so aus, daB (Ax)· J.l(x) =~,

also J.l(x)~=(Ax)j

wird. Wegen J.l(x»O ist dann fur jedes a>J.l(x) offensichtlich daher kann in der Tat ax.;;Ax nicht gelten. Es ist nunmehr leicht zu uberblicken, daB die Ungleichung {Jx(Ax)j,

und

(110.13)

bestehen kann. Hingegen haben wir {Jz=Az for jeden Extremalvektor z,

(110.14)

110 Positive Matrizen, Markoffsche Prozesse und Wachstumsvorglinge

531

also fUr jedes zuHissige z mit J.l(z)={J. Denn wegen (110.11) ist zunachst also {Jz~Az. Daraus aber wurde sich im FaIle {Jz,pAz sofort (JAz 0 sein muj3,

(110.15)

insbesondere ist also jeder Extremalvektor > O. Denn wegen x ~ 0, x,p 0 haben wir {Jx=Ax>O und somit auch x>O. Angenommen, a ware ein Eigenwert von A mit lal > {J. Fur einen zugehorigen Eigenvektor x hatten wir dann

lal > J.l (x)

und

lallxl = laxl = IAxl ~Ax ;

dies widerspricht aber, da Ixl ja zulassig ist, der Aussage (110.12). (J erweist sich somit als ein "Maximaleigenwert" von A und daher als identisch mit dem Spektralradius r(A) von A. Alles zusammengefaBt gilt also das folgende 110.2 Maximum-Minimumprinzip

Fur jede streng positive (n,n)-MatrixA ist

n (Ax). r(A)= max minT'

o ,,"x ... 0

j- I

~j

Zu diesem Prinzip gibt es als duales Gegenstiick ein Minimum-Maximumprinzip, das wir uns in Aufgabe 2 vornehmen werden.

Die Untersuchung streng positiver Matrizen kann aber jetzt noch erheblich vertieft werden. Zunachst konnen wir sichersteIlen, daB (J = r(A) ein einfacher Eigenwert von A ist. Nehmen wir uns namlich einen reellen Eigenvektor x zu {J und einen Extremalvektor z>o her, so gibt es eine Zahl y, mit der y:=x-yz~O ist, aber mindestens eine der Komponenten von Y verschwindet. Es ist AY={JY, so daB Y ein Eigenvektor zu (J ware, falls y,pO ausfiele. Dann aber ware y( = AY/{J) sogar > 0, was nicht zu dem Umstand paBt, daB wenigstens eine der Komponenten von Y verschwindet. Also muB Y = 0 und somit x = y z sein. 1st nun x = u + i vein komplexer Eigenvektor zu {J, so erkennt man aus dem gerade Bewiesenen, daB u =YIZ, V=Y2Z und somit X=(YI +iY2)Z ist. Der Eigenraum von A zu {J wird also von dem einen Extremalvektor z> 0 aufgespannt, und {J tritt so als einfacher Eigenwert hervor. Aber noch mehr: Die Nullkettenliinge p von A -{JI (die ~ 1 sein muB) ist = 1. Angenommen namlich, es sei p ~ 2. Dann gibt es ein Xo mit

532

xv

Anwendungen

(A - pI) P - I Xo ist also ein Eigenvektor von A zu p und daher nach dem gerade Bewiesenen ein Vielfaches eines Extremalvektors z> O. Indem wir notfalls den Vektor Xo ein klein wenig modifizieren, durfen wir ohne Bedenken annehmen, daB er reell ist und der Gleichung (A _pl)p-I xo=z genugt. Mity:=(A-pl)p-2 xo ist dann (110.16)

Ay=(A -pI +pI)y=z+py>py. Falls y nicht zuHissig ist, fiigen wir ein positives Vielfaches w von u:= y + w zuHissig wird. Aus (110.16) folgt dann

Au=Ay+Aw>py+Aw=py+pw=pu,

also

z

so hinzu, daB

pu 0 zu p:

Ixl>O,

Alxl=plxl.

(110.19)

Mit (110.18) folgt daraus IAxl =A lxi, insbesondere also

In der Dreiecksungleichung IL: I~ L: II gilt somit das Gleichheitszeichen, und daher mussen aile Summand en a I k ~k, wegen a I k > 0 sogar aile Komponenten ~k ein und

110 Positive Matrizen, Markoffsche Prozesse und Wachstumsvorgange

533

dasselbe Argument ({J haben. 1) Daher ist x = eiq> lxi, und aus (11 0.19) folgt nun, daB x nicht nur ein Eigenvektor zu a, sondern auch zu p sein muB. Dies ist aber offensichtlich nur m6glich, wenn a mit p iibereinstimmt. Indem wir lediglich das bisher Bewiesene noch zusammenfassen, erhalten wir den folgentrachtigen 110.3 Satz von Perron 2 ) Der Spektralradius r(A) einer streng positiven Matrix A ist ein einfacher Eigenwert derselben und ein ebenfalls einfacher Pol ihrer Resolvente. Aile anderen Eigenwerte sind dem Betrage nach ausnahmslos 0 zu r(A). Indem wir nun genauso schlieBen wie im Anfang des Beweises zu Satz 102.5 und mit P wieder den zu p = r (A) geh6renden Spektralprojektor bezeichnen, erhalten wir IIAkll~rrk mit einem geeigneten rE(O,p) (vgl. (102.13». Und daraus wiederum ergibt sich ohne Umschweife der 110.4 Satz

1st A eine streng positive Matrix, so strebt

Ak ---='?P rk (A) , wobei P den zu r(A) gehOrenden Spektralprojektor auf N(A -r(A)I) bedeutet. Fur jedes x konvergiert also die Folge der Ak xlr k (A) (punktweise) gegen ein Vielfaches eines Extremalvektors z> o.

Wir wollen nun einen schwachen Versuch machen, dem Leser die einschneidende Bedeutung unserer Resultate fUr interessante Fragen der Praxis vor die Augen zu rocken. Markoffsche Prozesse Wir nehmen an, ein physikalisches System S befinde sich zu jedem der Zeitpunkte t=O, 1,2, ... in genau einem der m m6glichen Zustande Z], ... , Zm. Zustandsanderungen sollen nur zu den Zeiten 0, 1, 2, ... m6glich sein, und die Wahrscheinlichkeit dafUr, daB S aus dem Zustand Zk zur Zeit t in den Zustand Zj zur Zeit t + 1 iibergeht, soll - unabhiingig von der Zeit - gleich pjk sein. Einen derartigen ZufallsprozeB nennt man einen (diskreten) Markoffschen ProzeB. Als Beispiel mag (jedenfalls naherungsweise) die Zustandsanderung des Elektrons im Bohrschen Modell des Wasserstoffatoms dienen; Zk bedeutet dabei, daB sich das Elektron auf der k-ten seiner zugelassenen Bahnen befindet. I) Wir haben hier einen gehaltvollen Beleg dafiir in Handen, wie fOrderlich die Kenntnis der Bedingungen sein kann, unter denen in einer Ungleichung das Gleichheitszeichen eintritt.

Oskar Perron (1880-1975; 95). Eine schone Wiirdigung dieses bedeutenden Mannes aus der Feder von 1. Heinhold findet man im lahrbuch Uberblicke der Mathematik 1980, 121-139. 2)

534

xv

Anwendungen

Die Ubergangswahrscheinlichkeitenpjk mussen - als WahrscheinlichkeitenIn

in dem Intervall [0, 1]liegen. Ferner mul3

L pjk =

1 sein, denn das System wird

j=l

aus dem Zustand Zk zur Zeit t mit Sicherheit in einen der ZusHinde Zj zur Zeit t+ 1 ubergehen. Die Ubergangsmatrix M:=(Pjk) ist also eine Markoffsche Matrix im Sinne von A 102.4. Mit dieser Aufgabe moge sich ubrigens der Leser spatestens jetzt vertraut machen. (n) sei die Wahrscheinlichkeit dafUr, dal3 S sich zur Zeit n im Zustand Zk befindet. Offenbar ist

;k

In

O"';;;;dn)"';;; 1 und

L

;dn) = 1

(110.20)

k=l

(letzteres, weil S sich zur Zeit t gewifJ in einem der m moglichen Zustande befindet), der Vektor

ist also ein "Wahrscheinlichkeitsvektor". Nach den Regeln der Stochastik mul3 m

;j(n+ 1) =

L

pjk;k(n),

also x(n+ 1)=Mx(n)

k-l

und somit x(n)=M"x(O)

furn=0,1,2, ...

(110.21)

sein. Da hier n in der Regel sehr grol3, M" dann aber nur schwer zu uberblicken ist, wird man sich notgedrungen fUr das asymptotische Verhalten von x(n) interessieren mussen. Vnd dieses ist glucklicherweise von hochst befriedigender Einfachheit, wofern nur M streng positiv ist. Wegen r(M)= 1

(110.22)

(s. A 102.4 d) strebt dann namlich dank des Satzes 110.4 x(n)-+az, wo z>O ein Extremalvektor, nach Satz 110.3 also ein Eigenvektor von M zu dem einfachen Eigenwert 1 ist. Als Grenzwert von Wahrscheinlichkeitsvektoren mul3 az se1bst ein solcher sein. Mit anderen Worten: Fur grojJe n stabilisieren sich die Wahrscheinlichkeitsvektoren x(n) und stimmen dann praktisch mit dem eindeutig bestimmten Eigenvektor z/lIzlll von M zum Eigenwert 1 uberein (z irgendein Eigenvektor> 0 von M zu 1). Die k-te Komponente von z/lIzlll gibt also mit hinreichender Genauigkeit die Wahrscheinlichkeit dafur an, dal3 S sich fur grol3es n im Zustand Zk befindet. Interessanterweise hangt diese "Endverteilung" der Zustandswahrscheinlichkeiten uberhaupt nicht mehr von der "Anfangsverteilung" x(O) abo

110 Positive Matrizen, Markoffsche Prozesse und Wachstumsvorgange

535

°

Ein wenig komplizierter liegen die Dinge, wenn M nicht mehr > 0, sondern nur noch ;;. ist. In diesem FaIle konnen wir lediglich einer "mittleren StabiliHit" sicher sein, scharfer: Fur jeden Wahrscheinlichkeitsvektor x(o) strebt x(O)+x(l)+ ... +x(n) -+y, n+1 wobei y (trivialerweise) ein Wahrscheinlichkeitsvektor und gleichzeitig Eigenvektor von M zum Eigenwert 1 ist. Man braucht, urn dessen inne zu werden, nur einen Blick auf den Satz 102.5 (mit A :=M und Av:= 1) zu werfen und daran zu denken, daB M normaloid ist (s. A 102.4d).

Wachstumsprozesse Es seien uns m verschiedene Typen T h ••• , Tm "erzeugender" Objekte gegeben z. B. biologische Lebewesen oder instabile Elementarteilchen. Zur Zeit t = n (n = 0, 1,2, ... ) solI jedes Mitglied des Typs Tk - unabhangig von dem gerade ins Auge gefaflten Zeitpunkt - ajk Objekte des Typs 1j hervorbringen. Bedeutet ~j(n) die zur Zeit t=n vorhandene Mitgliederzahl des Typs 1j, so haben wir also m

~j(n+1)=

L

ajk~dn),

j=l, ... ,m,

k~1

oder mit A

. (~II'" aIm) = .. '

aml.·.amm

,

kurz x(n+ l)=Ax(n) und daher x(n) =An x(O)

fiir n = 0, 1,2, ....

x(O) gibt die Anfangsverteilung der Gesamtpopulation auf die m Typen wieder. Und ahnlich wie oben wird sich unser Hauptinteresse auch diesmal wieder auf die Frage richten, ob man belangvolle Aussagen iiber das Verhalten von x(n) fUr grofle n machen kann und wie jene ggf. beschaffen sind. Die Antwort flillt uns von selbst in den SchoB, sofern A streng positiv ist. Bedeutet namlich in diesem FaIle r=r(A) den "Perronschen Eigenwert" von A und z>O einen zugehorigen Eigenvektor, den wir uns von vornherein normalisiert denken (1Izlil=l), so strebt kraft des Satzes 110.4 x(n) rn

- - -+

az

. . K mit emer onstanten a,

die der Natur der Sache nach positiv sein wird. Wir erkennen daran, daB die Gesamtpopulation zwar exponentiell wachst, der prozentuale Anteil jedes einzelnen Typs an ihr sich aber bemerkenswerterweise schliefllich stabilisiert.

536

xv

Anwendungen

Grenzwertaussagen der auf den letzten Seiten vorgestellten Art nennt man Ergodensiitze. In der nachsten Nummer werden wir etwas tiefer in die hier waltenden GesetzmaBigkeiten eindringen. Das Perronsche Resultat - das lassen die obigen Ausfiihrungen ahnen - spielt heutzutage eine zentrale Rolle in den allerverschiedensten empirischen Wissenschaften. Umso bemerkenswerter ist, daB Perron es 1907 bei Untersuchungen entdeckt hat, die als die anwendungsfernsten von allen gel ten : namlich bei zahlentheoretischen. Es ist dies eine jener ironischen Merkwiirdigkeiten, an denen die mathematische Forschung so reich ist. Dariiber hinaus ist der Satz von Perron aber auch Ausgangspunkt fiir tiefschiirfende Untersuchungen rein mathematischer Art geworden, die schlieBlich in einer reifen Theorie "positiver Operatoren" in geordneten Vektorraumen kulminierten. Wer dieses faszinierende Gebiet griindlich kennenlernen mochte, wird mit Gewinn zu Schaefer (1974) greifen. Diesem Werk ist auch der eingangs dargestellte, besonders ansprechende Beweis des Frobeniusschen Satzes entnommen.

Aufgaben +1. EinschlieBungssatz von Collatz

'j

Sei A eine streng positive (n,n)-Matrix. Dann ist

'j

n Ax " Ax)min U '" r(A) '" max L j-' j~'

fiir jedes zulassige

x :=

(,,,,,) :

.

Hin weis: Die transponierte Matrix AT ist streng positiv und hat dieselben Eigenwerte wie A. Es gibt daher einen Vektor

z:=

(~,) ,,, > 0

mit AT z=rz

(r:=r(A».

Transposition ergibt zTA=rz T, wobei ZT:=(,,, ... ,',,) zweckmaBigerweise als einzeilige Matrix aufgefaBt wird. Es folgt nun ZT (Ax - rx) = 0 und daraus sehr leicht die Behauptung. +2. Minimum-Maximumprinzip

Fiir jede streng positive (n,n)-Matrix A ist

n (Ax) r(A)= min max~, o"x~o

j-J

':Ij

x_(JJ

Hin weis: Aufgabe 1. 3. Belege durch eine (2,2)-Matrix, daB im "Frobenius-Fall" A;;;'O mehrere verschiedene Eigenwerte vom Betrag r(A) auftreten konnen, in markantem Unterschied zum "Perron-Fall" A >0. 4. Ein weiterer Satz von Frobenius Sei A:= (ajk) eine beliebige, B:= ({Jjk) eine positive (n, n)- Matrix mit lajkl"'{Jjk und r:=r(B) der "Frobeniussche Eigenwert" von B. Dann ist

lal'" r

fiir jeden Eigenwert a von A .

Hinweis: Sei IAI:=(lajd). Es ist IAlk",B k , also auch IIAlkl="'IBkl= fiir kEN (s. (14.4». Benutze nun (14.7).

110 Positive Matrizen, Markoffsehe Prozesse und Waehstumsvorglinge

ntin j-I

1:

k_1

ajk";;; r(A)

.,;;;

m'~x j~1

1:

k-I

537

ajk.

Hinweis: Sei e der Vektor mit allen Komponenten = 1 und m bzw. M das obige Minimum bzw. Maximum. Dann ist mke.,;;;Ake.,;;;Mke. Benutze nun die Maximumsnorm fUr en und (14.7) mit der Zeilensummennorm (14.4). 6.

Gewinne den Satz von Frobenius aus dem von Perron dureh Grenzubergang.

7. Beweise - und zwar ohne die geringste Muhe - die folgende Teilaussage des Perronsehen Satzes mit Hilfe eines Fixpunktarguments: Eine streng positive Matrix A besitzt einen Eigenwert > 0 und einen zugehorigen Eigenvektor > O. Hinweis: Betraehte die Menge

n

L

C:={xERn:~;;.o,

~j=ll,

die Abbildung x ....Ax/llAxli l

j-I

(XEC) und wende den Brouwersehen Fixpunktsatz in der Form des Satzes 229.2 in Heuser II

an. 8. Zeige anhand eines ,,(2, 2)-Beispiels", daB eine streng positive Matrix nieht normaloid sein muB (vgl. A 102.4d). 9. Kontinuierliche Wachstumsprozesse, Produktionsprozesse interdependenter Industrien und eine Variante des Perronschen Satzes 1m Haupttext dieser Nummer hatten wir diskrete Waehstumsprozesse betraehtet. Die Untersuehung kontinuierlicher Waehstumsprozesse fUhrt auf ein System Iinearer Differentialgleiehungen mit konstanten Koeffizienten, das wir vektoriell in der Form

~~ = Ax

all"

.alm )

mit einer reellen Matrix A:= ( :

a m l··· a mm sehreiben konnen. Von den Matrixelementen weiB man in diesem Faile nur, daB (110.23) ist. Auf ganz entspreehende Verhliltnisse stoBt man bei kontinuierlieh gedaehten industriellen Produktionsprozessen, an denen m weehselseitig aufeinander angewiesene Industriezweige beteiligt sind. Beweise die folgende Variante des Perronsehen Satzes: Genugt die reelle (m,m)-MatrixA:=(ajk) der Bedingung (110.23), so besitzt sie einen reellen Eigenwert (J mit folgenden Eigensehaften: Fur jeden Eigenwert a0 so, daBA+111>0 ausflillt und ziehe nun den Perronsehen Satz heran. Bemerkung: Anhand einer geeigneten (2, 2)-Matrix kann sieh der Leser leicht davon uberzeugen, daB (J durehaus negativ sein kann.

538

xv

Anwendungen

111

Ein Ergodensatz

Ergodensiitze machen Aussagen tiber das Verhalten von Summen der Form n

L Ak fUr n-+

00,

wobei A ein stetiger Operator ist. Satze dieser Art sind uns schon

k~O

in A 21.12 und in dem Abschnitt tiber normaloide Operatoren begegnet (s. Satz 102.5). Wir wollen diese Dinge nun erheblich vertiefen, indem wir einige der sch6nen Ergebnisse von Wacker (1985) darstellen. A sei hierbei durchweg ein stetiger Endomorphismus des komplexen Banachraumes E. Am Beginn steht der folgende 111.1 Ergodensatz

Fur ein naturliches p strebe An / n P => 0, und 1 sei ein Pol der Resolvente von A mit einer Ordnung ~p. Dann konvergiert

wobei P der zu 1 gehorende Spektralprojektor ist. 1 ) Beweis. Dank des Satzes 101.2 haben wir die Zerlegung E

=

N((I -AY) EB (I -A)P (E). '--,---'

,

(111.1)

I

=P(E)

=N(P)

Wegen (A -1)' p=o ftir I~p gilt

Offenbar strebt fUr n-+ 00

(111.3)

•

Wir untersuchen jetzt das Grenzverhalten von T,l" Es ist p-I

Tn

=

L

,~O

a~)(A-I)' P

mit

a~):=

1 L(k). p n-1

n

k-p

I

(111.4)

I) Fiir p= 1 findet sich dieser Satz bei Dunford (1943). Karlin (1959) hat einen ahnlichen Satz fUr positive Operatoren bewiesen. S. auch Lin (1974). Wir bemerken noch, daft unler den Vorausselzungen des Salzes 111.1 offenbar r(A)= 1 isl.

539

III Ein Ergodensatz

Fiir 1= 0, ... , p - 2 haben wir die grobe Abschatzung O~a~)=

=

n-l

k(k-I) ... (k-I+ 1)

k~p

np·/!

L

(n-I)(n-2) .. ·(n-I-(p-2)+ 1)

~(n-p)~~~--~~----~--~--

nP

(n-I)(n-2) .. ·(n-p+2)(n-p) nP

n p- 1 nP

1

~--=-'

n'

es strebt also fUr n--+oo und alle

a~:)--+O

(111.5)

1=0, ... ,p-2.

n-l

L

(p-I)!a~-I)=(lInp)

schlieBen:

k

1

n-p+l

-- L

k,,-1

n" k~2

k(k-I)· .. (k-p+2) k6nnen wir folgendermaBen ein-

~p

1 = --

1

n-l

n-l

L (k_p+2y- 1 ~ -- L

n P k~p

n" k~"

= (p - I)! a~ - 1) ~

1 --

n"

n-l

L

k~p

k" -

k(k-I) .. ·(k-p+2)

1•

Fiir n--+ 00 streb en die beiden auBersten Glieder dieser Kette gegen lip 1), und damit erhalten wir sofort alp -1) --+ n

~ p!

fiir n--+ 00

(111.6)

•

Aus (111.4) bis (111.6) folgt nun T,,=>(A-I)p- 1 Plp!, und mit (111.2), (111.3) erhalten wir daraus 1

n-l

-- L A n P k-O

k

1 p=>-(A-I)P- 1 P p!

fiirn--+oo.

(111.7)

Der Raum (/ - AY (E) ist abgeschlossen, also auch vollstandig, und daher existiert nach A 39.10 eine Konstante M>O mit folgender Eigenschaft: Zu jedem yE(/ -AY(E) gibt es ein xEE, so daB y=(/-AY x und (111.8)

IIxll~Mllyll

ist. Vnd da fiir beliebiges zEE der Vektor y:=(/-P)z in N(P) und somit in (/ -AY (E) liegt (s. (111.1)), k6nnen wir gemaB (111.8) ein x E E tinden, so daB gilt: 1)

Dies folgt sofort aus der bekannten Grenzwertaussage (5. etwa A 27.3 in Heuser I).

540

xv

Anwendungen

= 11~"iIAkU-AH/-AY-Ixll 11 ~"iIAkU-P)ZII n n k~O

k~O

=

II nIp U-AIlH/-AY-Ixlr

,.; II nIp U-AIl)IIIIU-AY-IIIMII/-PllllzlI, also

mit einer Konstanten C>O. Da aber voraussetzungsgemal3 A"lnP=>O strebt, folgt aus dieser Abschatzung die Grenzwertbeziehung (111.9) Die Behauptung unseres Satzes erhalt man nun einfach durch Addition von (111.7) und (111.9). • Das Anwachsen der Potenzen A" ist eng mit den Eigenschaften des peripheren Spektrums von A verknupft. Es gilt namlich der 111.2 Satz Sei r(A)= 1, das periphere Spektrum a,,(A) bestehe nur aus Polen der Resolvente von A, und die maximale Ordnung dieser Pole sei p. Dann ist II A" In P- III beschriinkt, insbesondere strebl also A" In P => O.

Beweis. a,,(A) besteht aus endlich vielen Punkten A h ... , A,,, und ao:=a(A)\a,,(A) ist eine Spektralmenge von A. Die zu ao, Ah ... , A" gehorenden Spektralprojektoren bezeichnen wir mit Po, Ph ... , Pq • Nach dem Spektralabbildungssatz 99.2 ist a(APo)=aou{O}, also r(APo) existiert ein 0> 0, so daB fUr jede Zerlegung Z/I mit IZ"I ~o undjede Wahl der Zwischenpunkte Ak stets

°

ausfiillt. Wir sagen dann, das Stieltjessche Integral M

J

f(A) dEA

existiere und sei

=

B . 1)

m-O

Wir betrachten nun speziell die Funktion f(A):=A. Aus flk - I [ellk (A) - ellk _ I (A)] ~Adellk (A) - ellk _ I (A)] ~fldellk (A) - ellk _ I (A»), flk - I [ellk (A) - ellk _ I (A)] ~A [ellk (A) - ellk _ I (A)] ~fldellk (A) - ellk _ I (A)]

erhalten wir flk - I (ElLk - Eilk _.) ~AdElLk - Eilk _ J~fldElLk - Eilk _ J, flk - I (ElLk - Eilk _ J ~A (ElLk - Eilk _ J ~flk (ElLk - Eilk _ J.

Mit den Abkiirzungen 1) Die Schreibweise m - 0 fUr die untere Integrationsgrenze wird uns daran erinnern, daB wir zur Definition des Integrals verallgemeinerte Zerlegungen von [m,M] herangezogen haben, Zerlegungen also, bei denen der erste "Zerlegungspunkt" Jlo immer < m bleiben soIl.

554 R:=

XVI Spektraltheorie in Hilbertraumen

L" flk -

n

n

I

k-I

S:=

(EJlk - EJlk _ ,),

L

k-I

Ak(EJlk -EJlk _,),

T:=

L

k-I

fld EJlk - EJlk _ ,)

folgt aus diesen Ungleichungen durch Summation R~S~T,

(116.2)

R~A~T.

(116.3)

Nun werde £ > 0 beliebig vorgegeben und 0:= £12 gesetzt. Fiir jede Zerlegung Z" mit IZnl~o ist O~T-R~oI; wegen (116.2), (116.3) erhalten wir daraus O~ T-S~oI,

O~ T-A~oI,

also (s. (112.4)). Infolgedessen ist

IIA-SII~IIA-TII+IIT-SII~o+o=£,

also

M

A=

J

AdEA,

m-O

und damit gilt nun alles in allem der nur schwer zu iiberschatzende 116.1 Spektralsatz Zu jedem symmetrischen Operator A des komplexen Hilbertraumes H gibt es eine Schar von Orthogonalprojektoren EA von H, niimlich die Spektralschar von A, so daft folgendes gilt: a) EA ~ EJl fur A ~fl, b) EA+c-+EA for £-+0+, c) EA=OforA0 stets ein reelles Polynom p mit -&13..;,f(,t)-p(,t)";'&13 auf [m,M]. Durch Einsetzen von A folgt &

&

- 3 I ..;,f(A)-p(A)..;, 3'

also

IIf(A)-p(A)II..;,

&

3

(116.7)

(s. (112.4». Ferner gilt trivialerweise

Trligt man hierin A ein und setzt noch zur Abkiirzung

so erhlilt man (116.8) Wlihlt man nun die Zerlegung so fein, daB &

IIp(A)-S

Jur aEC,

u(A)=av(A)

u (A) = v (A) + w(A)

=>

u(A)=v(A)w(A)

u(A)=v(A)w(A).

=>

u (A) = v(A) + w(A),

Jedes u (A) ist mit jedem v (A) vertauschbar, ja sagar mit jedem stetigen Endomorphismus von H, der mit A kommutiert. Sind die Funktionen f,g in (116.10) stetig auf [m,M], so besteht offensichtlich die Darstellung M

u(A) =

f

M

f

J(A)dE?c +i

m-O

g(A)dE?c =:

M

f

(116.12)

u(A)dE?c.

m-O

m~O

Aufgaben *1. Sei x,yEH und J: [m,M]_R stetig. Zeige: (E.>cxlx ) = II E.>cxll 2 ist monoton wachs end, (E.>cxly) von beschrankter Variation und M

(f(A)xlx)

=

J

M

J(A)d(E.>cxlx )

=

J

11/-0

11/-0

J(A)d II E.>c x I1 2 ,

M

(f(A)xly)

=

J

J(A)d(E.>cxly);

1/1-0

die Integrale sind die aus der klassischen Analysis vertrauten Stieltjesschen Integrale (s. Heuser I, Nr. 90-92). *2. Die Folge der stetigen Funktionen J,,: [m, M]_ R strebe gleichmiiflig auf [m, M] gegen die (von selbst stetige) Funktion f Dann konvergiert J" (A) "" J(A).

L ~

+3. Die Potenzreihe J(A):= r, und es sei IIAII 0, so daG (E;,J auf dem Intervall J:=[Ao-&,Ao+&j konstant bleibt. f bedeute eine stetige Funktion auf R mitf(A):= lI(Ao-A) fOr AeJ, wahrend g durch g(A):=Ao-A definiert wird. Dann istf(A)g(A) = 1 auGerhalb von J. Da aber (E;,J auf J konstant

ist, haben wir f(A)g(A) =

M

M

m-O

m-O

J f(A)g(A)dE" = J

1 dE" = I,

infolgedessen ist g(A) =AoI -A bijektiv und somit Ao E{J(A). b) Nun sei umgekehrt AoE{J(A), und wir nehmen an, Ao sei nicht innerer Punkt eines Konstanzintervalles von (E,,). Wahlen wir Zahlenfolgen (an), (Pn) mit an 0 fiir aile x # 0 aus D A (urn dieser Eigenschaft willen haben wir x" mit dem negativen Zeichen behaftet).

11. Der Schrodingeroperator des Wasserstoffatoms A 1/1:= - t.1/I -:'1/1 r

Dieser Operator A wird definiert durch

(r:=vx2+y2+z2, c eine positive Konstante),

und zwar auf dem Raum D A , der aus allen I/IEL 2(R 3) mit folgenden Eigenschaften besteht: 1/1 besitzt stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung, und die Funktionen 1/1

yr'

1/1

01/1

01/1

r

ox'

oy'

01/1

az'

t.u

gehoren aile zu L2(R3); vgl. (5.11). A ist symmetrisch, ohne selbstadjungiert zu sein - kann aber zu einem selbstadjungierten Operator Jortgesetzt werden. Ferner gilt (AI/III/I)~ -2c 2(1/I11/I). S. zu all diesen Dingen Rellich (1940), S. 380f.

I)

Sei 1/1 eine zeitunabhangige normierte Wellenfunktion auf R, also I/IEL2 (- 00,

+ 00) und

+~

I II/I(qWdq= 1 (die unabhangige Variable bezeichnen wir, wie in der Quantenmechanik ublich,

mit q). Das Integral Is II/I(qWdq gibt dann die Wahrscheinlichkeit dafiir an, daB sich das durch 1/1 beschriebene Teilchen in SeR befindet. Der Mittelwert Il der Wahrscheinlichkeitsdichte 11/112 ist bekanntlich +~

und ihre Varianz v wird gegeben durch +~

v

=

I (q-Il)211/1(qWdq,

also durch

«M-1l1)21/111/1).

Diese Bemerkungen sollen die quantenmechanische Bedeutung des Multiplikationsoperators M deutlich machen. Sehr merkwiirdig ist, daB uns hier die spektraltheoretisch so wichtige Bildung M -Ill in ganz anderen Zusammenhangen als fmher entgegentritt, namlich in wahrscheinlichkeits- statt in gleichungstheoretischen.

XVII

Approximationsprobleme in normierten Raumen

In den Nummern 1 und 2 hatten wir bereits einige Approximationsprobleme in gewissen konkreten Funktionenraumen vorgestellt; in den Nummern 20 und 21 hatten wir derartige Fragen im Rahmen der Innenproduktraume und in Nr. 60 in dem der reflexiven Raume studiert. 1m vorliegenden Kapitel wollen wir diese Dinge noch etwas we iter vertiefen. Die Betrachtungen sind einfach und werden uns eine willkommene Erholung von den diffizileren Untersuchungen der letzten Kapitel verschaffen.

120

Die abstrakte Tschebyscheffsche Approximationsaufgabe

Sie lautet folgendermaBen (vgl. Nr. 2): In einem normierten Raum E tiber K seien ein Element x und n "Ansatzelemente" x], ... , Xn gegeben. Es wird gefragt, ob in der Menge aller Linearkombinationen ajXI+···+anx,,, also in dem endlichdimensionalen Unterraum F:=[x], ... , xn] ein Element f3IXj + ... +f3/lX/l vorhanden ist, so daB (120.1) bleibt oder gleichbedeutend, ob die Variationsaufgabe (120.2) durch ein n-Tupel (al> ... , all) ge16st werden kann.l) Geometrisch laBt sich dieses Problem folgendermaBen formulieren: Gibt es zu dem Vektor x E E in einem vorI) 1st E ein Innenproduktraum und {XI, ..• ,x,,} ein Orthonormalsystem, so haben wir es gerade mit der GaujJschen Approximationsaufgabe zu tun (s. Nr. 20).

120 Die abstrakte Tschebyscheffsche Approximationsaufgabe

573

gegebenen endlichdimensionalen Unterraum F von E ein Element, das von x kiirzesten Abstand hat? Die Antwort ist bejahend: 120.1 Satz In einem normierten Raum E ist die Tschebyscheffsche Approximationsaufgabe (120.1) - oder gleichbedeutend (120.2) - immer !Osbar. Ein endlichdimensionaler Unterraum F von E enthiilt also stets ein Element, das von einem vorgegebenen x E E kiirzesten Abstand hat (jedes solche Element nennt man eine Be s tapproximation des Punktes x in F). Beweis. Zu y:=

(Yk):=

(a"i~~ I X a,,)

Ct, a~)xv),

II gibt es eine "Minimalfolge"

vt, avxv so daB

IIX-Ykll--+y

strebt.

Wegen IIYkll-lIxll~IIYk-xll~y+I fUr k-;:.ko ist (yd beschrankt, besitzt also nach Satz 11.7 eine konvergente Teilfolge (Yk,), die wegen Satz 11.4 gegen ein II

y:=

L:

f3v xv strebt. Da IIx - Yk, II sowohl gegen y als auch gegen IIx - yll konver-

v~'

giert, mUBIl x - vt/vXv

II = y sein - und damit ist schon alles abgetan.

•

Wir wollen noch drei sehr einfache, aber aufschluBreiche Approximationsbeispiele betrachten. Dabei legen wir den RZ zugrunde und versehen ihn mit verschiedenen Normen: a) RZ mit IZ-Norm: Mit x:=(1, 1), Xl :=(1,0) gilt:

IIx-ax"l = 1I(1-a, 1)11 =v(1-a?+ 1 =min a= 1. ist die einzige Bestapproximation in [xd. b) RZ mit I=-Norm: Mit den obigen Elementen XI

IIx-ax"l =max(II-al, I)=min

X

und

Xl

gilt:

II-al ~ 1

0~a~2.

Es gibt unendlich viele Bestapproximationen in [xd; sie fUllen die Strecke {(a,O)ER z : 0~a~21 aus. c) RZ mit II-Norm: Sei x:=(O, 1), Xl :=(1, 1). Der Leser uberzeuge sich selbst davon, daB die Bestapproximationen in [xd wieder eine Strecke im R Z bilden. Das Verhalten der Bestapproximationen in den beiden letzten Beispielen trifft im wesentlichen die allgemeine Situation: Sind niimlich y" Yz zwei Bestapproximationen, so ist jeder Punkt ihrer Verbindungsstrecke ebenfalls eine solche. Beweis: Fur die Minimaldistanz y:= IIx-ydl = IIx-yzll gilt, wenn A"Az-;:'O und

A, + ,12 = 1 ist, die Abschatzung

574

XVII Approximationsprobleme in normierten Raumen Y~ IIX-(AIYI

+ A2Y2) II

=

11(..11 +A2)X-(AIYI +A2Y2)1I

=

11..11 (x- YI)+A2(X- Y2)1I

~AI

IIx-ydl +A2I1x- Y211

= (AI +A2)Y=Y, infolgedessen ist IIX-(AIYI +A2Y2)1I =Y - und mehr war nicht zu zeigen.

•

Dieses Ergebnis konnen wir offenbar auch so formulieren: 120.2 Satz In einem normierten Raum ist die Menge der Bestapproximationen (Losungen der Aufgabe (120.1» konvex. Beim Vergleich der Tschebyscheffschen mit der GauBschen Aufgabe zeigt sich die wohltatige Kraft der Orthogonalitat in hell stem Licht. Bei der GauBschen Aufgabe namlich findet man nicht nur die eindeutige Losbarkeit vor, sondern auch noch explizite Darstellungen der Bestapproximation und ihres Abstandes zu dem approximierten Element - und dies alles in denkbar bequemen Rechenausdriicken (s. Satz 20.1).

Aufgabe des Rieszschen Lemmas 11.6 E. Dann gibt es ein XI E Emit

~Verschiirfung

IIxdl = 1 und

121

Sei Fein echter endlichdirnensionaler Unterraum von

inf IIx-xdl = 1.

xeF

Strikt konvexe Riiume

Sind Y], Y2 zwei verschiedene Bestapproximationen (Losungen der Aufgabe (120.1», so ist nach Satz 120.2 IIX-(AIYI +A2Y2)1I =Y

fUr ..1],..12;;;00, Al +..12= 1,

die OberfHiche der Kugel Ky[x] enthalt also die Verbindungsstrecke der Punkte Y],Y2' Daraus folgt, daB die Oberflache der Einheitskugel KIlO] die Verbindungsstrecke der Punkte x - YI , X - Y2 enthalt (die selbst dieser Oberflache angehoren). X-Y) _ _I + __ 2 • Infolgedessen konInsbesondere enthalt Ysie denYMittelpunkt -1 (X-Y 2

Y

Y

nen wir sagen: Liegt fUr zwei verschiedene Punkte der Oberflache von K I [0] der Mittelpunkt ihrer Verbindungsstrecke stets im Innern von K I [0], so ist die Approximationsaufgabe (120.1) eindeutig losbar. Besitzt die Einheitskugel KIlO] in dem normierten Raum E die eben beschriebene Eigenschaft, gilt also

aus IIxll = lIylI = 1 und x I- Y folgt stets lI}{x + y)11 < 1,

(121.1)

so heiBt die Einheitskugel oder auch der Raum E strikt konvex; zum besseren

575

121 Strikt konvexe Raume

VersUindnis dieser Terminologie beachte man, daB die Einheitskugel - wie jede Kugel - konvex ist. Wir halten unser Ergebnis fest: 121.1 Satz In einem strikt konvexen Raum besitzt die Tschebyscheffsche Approximationsaufgabe (120.1) immer genau eine Losung. Die Eindeutigkeitsuntersuchungen in den Beispielen a) bis c) nach dem Beweis von Satz 120.1 werden nun geometrisch ganz durchsichtig ; man braucht nur die Einheitskugeln in den Raumen IP (2) tiber R fUr p = 1,2,00 zu zeichnen (Fig. 121.1 bis 121.3) und geeignet parallel zu verschieben. p =l

p=2

Fig. 121.1

Fig. 121.2

Fig. 121.3

Strikt konvexe Raume lassen sich auch durch die Gtiltigkeit der strikten Dreiecks u ngl e i ch ung charakterisieren: 121.2 Satz

Der normierte Raum E ist genau dann strikt konvex. wenn gilt:

aus IIx + yll = IIxll + lIyll folgt stets x = a yoder y = ax mit einem a

~ O.

(121.2)

Beweis . Sei E strikt konvex und IIx+ yll = IIxll + lIyll; ohne Beschrankung der Allgemeinheit dtirfen wir lIyll-lIxll ~ 0 und x # 0 annehmen. Dann ist 2

~ 1111:11 + 11;11 II ~ 1111:11 + II~II II-IIII~II -

11;11

II

= IIxll + lIyll _II (llyll-lIxll)y II = 2 IIxll IIxlillyll

und daher

1111:11 + 11;11

II = 2 .

Wegen (121.1) haben wir also xlllxll = yillyll, und somit gilt (121.2). - Nun sei (121.2) erftillt und IIxll=lIyll=lI(x+y)I2I1=1. Dann ist IIx+yll =2= IIxll + lIyll, woraus man nach Voraussetzung x=ay mit a~O erhalt. Es folgt a= IIxll/llyll = I, • also x = y; somit ist E strikt konvex. Beachtet man die Bemerkung tiber die Gtiltigkeit des Gleichheitszeichens in der Minkowskischen Ungleichung, so erhalt man aus Satz 121.2 sofort die strikte Konvexitat der Raume IP (1

0 gibt, so daf3 aus

IIxll0 existiert ein 8>0 mit Ik(sJ,t)-k(S2,t)1 < -_&_- fUr aile SJ, s2E[a,b] mit Is 1 -s 2 1n. Fur jede Teilfolge (x,,) der (beschriinkten) Folge (x,,) ist IIKx",1I > nj, also kann (K x n ) nicht konvergieren - im Widerspruch zur definierenden Eigenschaft von K. 18.

Xn (t):=t" fUr O..;t..; 1 und n = 1, 2, .... Es ist IIxnll ~ = 1 und IIdx"/dtll ~ = n.

Aufgaben zu Nr. 11 4. b) =>: Sei (x,,)cM. Zu jedem x" gibt es ein y" EM mit d(x,,,y,,) < lin. (Y .. ) enthiilt eine konvergente Teilfolge (y.. ,):y",-+yEM. Dann strebt auch x",-+y. - Die Richtung 0 und Ih :=Ak/(AI + ... +A,,) fiir k = I, ... , n. Nach Induktionsvoraussetzung geh5rt Y:=J.lIXI+···+J.l"x" zu K, und wegen der Konvexitat von K liegt dann auch X= (AI + ... +A,,)y +A" + I X,,+ I in K.

Losungen ausgewahlter Aufgaben

669

7. a) ist trivial. b) Sei H die konvexe Hiille von M, K die Menge aller konvexen Kombinationen der Elemente von M. Kist offensichtlich eine konvexe Menge :::> M, also muB He K sein. Andererseits enthalt H als konvexe Obermenge von M nach Aufgabe 6c gewiB aile konvexen Kombinationen von Elementen aus M, also ist auch H:::> K, insgesamt somit H = K.

8.

Sei K:={)'IXl+"'+A"x,,:XyEKy, Ay;;;'O, ,11+ .. ·+,1,,=1) und H die konvexe Hiille von

" Ky. N ach Aufgabe 7 b ist K M:= U

c

H. Da aber K offenbar eine konvexe Obermenge von M

y~1

ist, muB auch K:::> H, insgesamt also K = H sein. 9. Sei K eine konvexe Menge in einem normierten Raum und ax+{3y eine konvexe Kombination der Elemente x,yEK (= AbschlieBung von K). Zu x,y gibt es Folgen (x,,), (y,,)CK mit x,,->x, y,,->y. Die Folge (ax" +{3y,,) liegt in K und strebt gegen ax+{3y, also gehort dieser Vektor

zuK.

Aufgaben zu Nr. 22

7. Wir beweisen nur die Aussage iiber die Nullstellen. Angenommen, sie sei falsch. Dann ist die Anzahl m der Vorzeichenwechsel von p" in (a,b) gewiB < n. Diese Wechsel mogen an den Stellen tlo ... , tm erfolgen, falls iiberhaupt m;;;.1 ist. Setze q(t):=(t-t 1) .. ·(t-tm) (im Faile m=O ist q(t)=1). Dann haben wir Gradq=m 0 oder < 0 sein, im Widerspruch zu (p"lq)=O. Aufgaben zu Nr. 24

6. Sei Fein Unterraum des metrischen Raumes E und Meine hochstens abzahlbare, in E dicht liegende Menge. ZujedemyEFund nEN gibt es ein x(y, lIn)EM mit d(y,x(y, lin» < lin. Bei festem n ist M,,:={x(y, lIn):yEF) als Teil von M hochstens abzahlbar, kann also in der Form M" ={X"lo X,,2,"') geschrieben werden. Zu jedem X"k gibt es ein y"k EF mit d(y"k, x"d < lin (das folgt unmittelbar aus der Definition von X"k). Die Menge {y"k: n, k = 1, 2, ... ) ist hochstens abzahlbar und erweist sich leicht als dicht in F. Also ist F separabel. Aufgaben zu Nr. 26

1. Sei E der Unterraum aller finiten Folgen x E [2 und Z:= (Slo S2, ... ) ein Element aus [2 mit s,,;f 0 fUr aile n. Dann wird durch I(x):= (xlz) eine stetige Linearform auf E definiert, die von keinem y E E erzeugt werden kann. 2. c) Fiir festes xEE ist p-+s(x,y) eine stetige Linearform auf E. Nach dem Satz von FrechetRiesz gibt es also genau ein (von x abhangendes) AxEE mit s(x,y)=(yIAx), also mit s (x,y) = (A xly) fUr aile y E E. A erweist sich sofort als lineare Abbildung, die wegen b) stetig sein muB. m IIx11 2 ..;; Is (x,x)1 = I(Axlx)I";; IIAxl1 IIxll => m IIxll..;; IIAxll =>A - 1 existiert und ist stetig mit IIA -III..;; 11m (Satz 10.S)=>A (E) ist abgeschlossen (als Urbild des abgeschlossenen E; s. Satz 6.10) =>E=A(E)Ef>A(E)L (Satz 22.1). Ware nun A(E);fE, so gabe es ein von 0 verschiedenes y J..A (E), und wir hatten dann absurderweise 0= (Ayly)=s(y,y);;;. m lIyll2 > O. Insgesamt ist also tatsachlich A-I E :;7 (E).

3.

670

Losungen ausgewiihlter Aufgaben

4. Die Auswertungsfunktionale seien allesamt stetig. Dann gibt es nach dem Satz von FrechetRiesz zu jedem lET ein k, E Emit x(t) = (xlk,) fiir aile xEE. Setze k(s,t):=k,(s) = (k,lks)· k erweist sich sofort als reproduzierender Kern. - Nun besitze umgekehrt E einen reproduzierenden Kern k. Fiir jedes feste IE T ist dann Ix(t)1 = l(xlk,)I..; Ilk, II IIxll, und somit muB jedes Auswertungsfunktional stetig sein. - DaB der Kern eindeutig bestimmt ist, liegt auf der Hand. 5.

II

II

"

i,)= 1

i,)= 1

;,)-1

L: k(ti,li)r;i~ = L: k,,(t;)~itj = L: (k,)k,)~r;i =

(± k',~1 ± j=1

,-1

k,Ji) =

II ±k"tjl12 ~o. )-1

Aufgaben zu Nr. 29

1.

Setze in (29.7) B=A.

3. a) [Axlx]=[xIAx]=[Axlx]=>[Axlx]ER. b) Wird unter Beriicksichtigung von a) wortlich bewiesen wie Satz 29.9. c) Vollziehe den Beweis des Satzes 29.5 nacho 6.

a) xEFl. =>(Axly)=(xIAy)=O fiir aile yEF=>AxEFl..

b) A kompakt, (x,,)CFl. beschriinkt =>AX"k ..... Z fiir eine Teilfolge (x".). z gehort zu Flo, da Ax", EFl. nach a) und Flo abgeschlossen ist. Also ist AIFl. kompakt. Aufgaben zu Nr. 30 1. a) {u" U2, ... } sei ein maximales Orthonormalsystem in E und Ax=O. Dann ist O=Ax=L:,u,,(xlu,,)un , also (Pythagoras!) L:,u~I(xlu"W=O und somit (xlu,,)=O fiir aile n, also

x = O. Daher scheidet 0 als Eigenwert aus. b) Nun sei 0 kein Eigenwert. 1st xEE orthogonal zu allen u," so muB Ax= L:,u" (xlu")u,, =0, also auch x=O sein. Somit ist {u" U2, ... } maximal. Aufgaben zu Nr. 32 all = 1/12, a12=a21 =0, a22= 1/60, p(J.,) = (1/12-J.,)(1/60-J.,). GroBte Nullstelle von p(A) ist 1/12"" 0,08333.

5.

9.

,ur=

max

IIx112=1

(Axlx)~

Ganz iihnlich verifiziert man die P. ~

min

II:illz- 1

max

II x ol12-1 Xo.1.l1lo •••• U,_I

X.LUh ...• U'_1

max

(Axolxo)=

Il.ilb-t

(Axlx)~Pr.

.i.1.ul • ...• a"

AbschiitzungPr~,ur+"

beginnend mit

(AxlX)

:i ..1.';,.+2•. ", Ii"

Aufgaben zu Nr. 36

1. Man braucht nur (36.11) zu ersetzen durch ~o~ -p( -xo-y)-J(y) durch sup {-p( -xo-y)-J(y)}..; inf {p(xo+y)-J(y)}. yeF

.rEF

(yEF) und (36.12)

Losungen ausgewahlter Aufgaben

671

2. Sei xoE[M] undfEE' verschwinde auf M. Dann verschwindetfaus Linearitatsgriinden auf [M] und aus Stetigkeitsgriinden dann auch auf[M], also istf(xo)=O. - Die Umkehrung ergibt sich sofort durch einen Widerspruchsbeweis aus Satz 36.3 mit F:=[M]. Aufgaben zu Nr. 37 1. EI N(A) und A (E) sind isomorph nach Satz 37.2, A (E) und U vermoge AI U. Also sind auch EIN(A) und U isomorph.

2.

Anleitung geniigt.

3. EIN(f) undf(E) = K sind isomorph (Satz 37.2) =>dimEIN(f)=dimK= I =>codimN(f)= 1 (Aufgabe 2) =>E=[xo]EElN(f) mit einem geeigneten xoEE.

4.

a) fE E' => N(f) abgeschlossen (trivial).

b) fEE* und N(f) abgeschlossen =>EIN(f) ist eindimensionaler normierter Raum (s. Aufgabe 3; den trivialen Fall f = 0 schlieBen wir hierbei aus) => kanonische Injektion fist stetig (Satz 11.5) =>fist stetig (Satz 37.5). 5. Man kann wortlich wie bei Aufgabe 4 schlieBen, wobei nur die Linearform f durch einen endlichdimensionalen Operator K zu ersetzen ist. 6.

a) Es gebe einen stetigen Projektor Pmit P(E)=F. Dann ist F=N(I-P) abgeschlossen.

b) Sei F abgeschlossen und Q ein Projektor von E langs F auf einen endlichdimensionalen Komplementarraum zu F. Q ist ein endlichdimensionaler Operator mit dem abgeschlossenen Nullraum F, also nach Aufgabe 5 stetig. Damit ist P:= 1- Q ein stetiger Projektor von E auf F.

8. Beachte, daB die kanonische Injektion ist.

A surjektiv

und offen, also

A-': F ..... EIN(A)

stetig

9.

G endlichdimensional =>h (G) ist endlichdimensionaler Unterraum des normierten Raumes ElF (hier wird die Abgeschlossenheit von F benutzt) =>h(G) ist abgeschlossen (Satz 11.4) => F + G =h -, (h (G» ist abgeschlossen (Satz 6.10). Mist nach A 9.7 ein Unterraum von R. Die Eigenschaft "aER,xEM=>ax,xaEM" beweist man wie "aER,xEM=>axEM" in A 9.7.

10.

Aufgaben zu Nr. 38 3.

R=

U

{x}. Kein {x} enthalt eine abgeschlossene Kugel.

xER

4.

Q=

U

{r,,}. Kein {r,,} enthalt eine abgeschlossene Kugel.

r l1 EQ

Aufgaben zu Nr. 39 3.

a) ist trivial.

b) Sei (x,,) eine Cauchyfolge in D A. Dann sind (x,,), (Ax,,) offenbar Cauchyfolgen in E bzw. F. Es gibt also Vektoren xEE, yEF mit x" ..... x, Ax,,--+y. Wegen der Abgeschlossenheit von A ist xED und Ax= y. Es folgt IIx" -XIIA = IIx" -xII + IIAx" -Axll--+O, also ist DA vollstandig. Die Stetigkeit von A : D A --+ Fist wegen IIA xII ..;; IIxll A trivial.

672 5.

Uisungen ausgewahlter Aufgaben P erweist sich sofort als abgeschlossen. Die Behauptung folgt nun aus dem Graphensatz.

7. SeifEE'. Der Fallf=O ist trivial, wir durfen alsof#O annehmen. Dann ist EIN(f) eindimensional (s. A 37.3), also vollstandig, und die kanonische Injektionj: EI N (f)-. K surjektiv. Mit Hilfe der Satze 37.5 und 39.2 erkennt man nun die Offenheit von! Mit stetigen endlichdimensionalen Operatoren verfahrt man ganz entsprechend. 10. A ist offen (Satz 39.2), also ist auch die kanonische Injektion A: EI N(A)-.F offen (Satz 37.5) und somit A - I: F-.EI N(A) stetig (Satz 39.1). Daher existiert ein M> 0 mit IIA - I yll < M lIyll fUr aile yEF. In x:=A - Iy gibt es trivialerweise stets ein xEE mit Ax= y und IIxll.;;; M lIyll.

Aufgaben zu Nr. 40 4. Ware ein solches Xo nicht vorhanden, so gabe es zu jedem x E E ein m = m (x), so daB (IIA"", xII)" ~ 1,2, beschrankt bleibt. Mit den offenbar abgeschlossenen Mengen F,,,k:=/xEE: IIA"",xll.;;;kEN fUr n=I,2, ... } ware dann E=

U

F,,,k' Nach dem Baireschen

In,k= I

Kategoriesatz enthalt ein gewisses F,,,k, etwa Fmok o eine abgeschlossene Kugel K. Es ware also IIA"'o"xll.;;;k o fUr aile xEK und nEN. Dann ware aber IIA"'o"II';;;P fUr aile nEN (s. Beweis des Satzes 40.2), also auch IIA"'o"x,.,.,II';;;P IIx"'oli fUr n = 1, 2, ... , im Widerspruch zur Voraussetzung. Aufgaben zu Nr. 42

3.

c) xE[JM, lal ;;"[J>O=>XI[JEM, l[Jlal';;; 1=>([Jla)(xl[J)=xla EM=>xEa M.

4. Sei M konvex und a,p;;.. 0, a + P = 1. Dann gilt fUr beliebige x,y E M stets aAx+pAy=A (ax+py)EA (M). Also ist A (M) konvex. Entsprechend verfahrt man bei den anderen Behauptungen. Aufgaben zu Nr. 49 5.

Wir

brauchen

offenbar

nur

die

Inklusion

y:=alYI +···+a"y". Zu xi, ... ,x,; gibt es Vektoren a!'x!', so ist Kx = vtl

Ctl

Jedes x E E hat die Darstellung x = Yx

+ 1.:"

Setzen wir x:= 8.

!'tl

struierten Vektoren y, EN:=

n N(fv) und

[Ylo ... ,y"lcK(E) nachzuweisen. Sei ,X" EE mit (x!',x;;)=o!'v (Satz 49.2).

Xlo ••.

a!'x!',x;;) Yv = vtl avYv=y, also yE K(E). avxv mit den im Beweis des Hilfssatzes 49.1 kon-

v=1 Xlo ••• ,

x"' fUr diefv(x,,) =ov!, ist. Es folgt nun sofort,

v=!

daB die XIo ... ,X" linear unabhangig sind, Nn[xlo ... ,x"l=/O}, E=NEE>[xlo ... ,x"l und somit codim N = n ist. Die Umkehrung benotigen wir im Haupttext nicht und uberlassen ihren einfachen Beweis dem Leser. 9. Sei Aj:=(f(x;,): A EL). A ist offenbar linear. Aus Af= 0 folgtf(x,,) =0 fUr aile Basiselemente x"" also muB f = 0 sein: A ist injektiv. Sei nun (a,,: A E L) ein beliebiges Element des Produktraumeso Dann gibt es nach Satz 49.3 ein fE E* mit f(x",) = a). fUr aile A E L. Mit diesem f gilt Af= (a).: A E L), also ist A auch surjektiv und damit insgesamt ein Isomorphismus. 13. Sei (E,E+) ein Linksdualsystem. Dann gilt: (x,x+)=(x,y+)=O fUr aile xE E => (x,x+ - y+) = 0 fUr aile xEE =>x+ - y + = O=>x+ = y+. Nun sei (E, E+) ein Bilinearsystem,

Losungen ausgewahlter Aufgaben

673

und es gelte: (x,x+)=(x,y+) fUr aile xEE=>x+ =y+. Dann haben wir: (x,x+)=O fUr aile XEE=>(x,x+)=(x,O) fUr aile xEE=>x+ =O=>(E,E+) ist ein Linksdualsystem. - Die zweite Behauptung kann man auf die erste zuriickspielen (oder auch ganz entsprechend beweisen). Aufgaben zu Nr. 50 7.

Sei K konjugierbar. Nach Satz 50.11 gibt es dann xv, x,; EC[a,b) mit

"

" (b

)

b(v~, " Xv (s)x,; (t) ) x(t)dt

(Kx)(s) = v~' (x,x,;)xv(s) = v~' ! X(/)X'; (I) dl xv(s) =!

fUr aile x E C[a, b). Hat umgekehrt K diese Darstellung, so ist K nach Beispiel 50.6 konjugierbar. 8.

Wegen des Graphensatzes geniigt es, die Abgeschlossenheit von A und A + zu zeigen. Aus

x" ...... x, Ax" ...... y folgt fUr jedes x+ EE+

Es ist also (y,x+) = (Ax,x+) fUr aile x+ E E+ und somit (Dualsystem!) y=Ax: A ist abgeschlossen. Aus Symmetriegriinden muB dann auch A + abgeschlossen sein. Aufgabe zu Nr. 51 Wir beweisen nur die Losbarkeit des Systems (51.26). Sie ist gewahrleistet, weil die m Zeilen der Systemmatrix

linear unabhangig sind, die Matrix also Maximalrang hat. Aus a, (x"zt), ... , (x,,,zt»

+ ... + a." (x"z,;';), ... , (x,,,z,;;»

=

0

folgt namlich fUrv=l, ... ,n,

nach der Definition von K + ist also K+

( L: ."

a"z;i

J1=1

da aberauch (I+-K+)

)= L:"(."L: Xv,

v=1

11= 1

)

a"z;i x,; =0;

( L:.,,) =0 ist, folgt nun a"z,,+

,u=1

L: ."

p=1

a"z;i=Oundsomita,=···=a.,,=O.

674

Losungen ausgewiihlter Aufgaben

Aufgabe zu Nr. 52 Es ist A =R(I -R-' S) und R -, Sx

=

L"

(x,x,+)R -, Xi' R-' S iibernimmt die Rolle von K in der

i-I

Aufgabe zu Nr.51, und dementsprechend wird man als Konjugierte von R-'S den durch (R -, S) + x+ :=

L"

(x+, R -, Xi)Xt definierten Operator verwenden.

[+

bedeute die identische

i-I

Transformation auf E+. Durch direkte Rechnung (ohne Verwendung der in diesem Faile nicht zustiindigen Konjugationsregeln) sieht man, daB (R -, S) + R + = S + ist und erhiilt nun dank der Aufgabe zu Nr. 51 die folgende Aquivalenzkette: Ax = y ist auflosbar

=

(1- R -, S)x = R -, y ist auflosbar

=

(R-'y,z+)=O fUr aile z+ mit (1+ -(R-'S)+)z+ =0

=

(R -'y,R+ x+)=O fiir aile x+ mit (1+ -(R-' S)+)R+ x+ =0 (hier wird die Bijektivitiit von R + herangezogen)

=

(y,x+)=O fUr aile x+ mit (R+ -S+)x+ =0, d.h. fUr aile xEN(A +).

Beachtet man wieder die Gleichung (R -, S)+ R+ =S+ oder also S+ (R+)-' =(R-' S)+, so ergibt sich entsprechend: A + x+ =y+ ist auflosbar

= = = =

(1+ -S+ (R+)-')R+ x+ = y+ ist auflosbar (J+ -(R-' S)+)R+ x+ =y+ ist auflosbar (y+ ,x)=O fUr aile x mit (I - R -, S)x=O (y+ ,x)=O fiir aile x mit R(I -R-' S)x=O, d.h. fiir aile xEN(A).

Die Aussagen a (A) =P(A)< 00, a(A +) =P(A +) < 00 ergeben sich wortlich wie im Beweis des Satzes 52.1. Aus der letzten Aquivalenzkette liiBt sich abIes en, daB A + (E+) mit ([+ - (R -, S) +)(R + (E+» = (J+ - (R -, S) +)(E+) iibereinstimmt. Mittels der Aufgabe zu Nr. 51 erhiilt man daher auch noch die verbindende Gleichung P(A+)=P([+-(R-'S)+) =a([-R-' S)=a(A).

Aufgaben zu Nr. 54 1. Mit x,y bezeichnen wir Elemente von E,F, mit x',y' soIche von E',F'. a) A (E).L =N(A'):y'EA(E).L y'EA(E).L (Ax,y') =0 fiir aile x (x,A'y')=O fUr aile x A'y'=O y'EN(A'). b) A(E)=N(A').L:yEA(E) => y=limAxn => fUr y'EN(A') ist (y,y') = (IimAx,,,y') = lim (Ax,,,y') = lim (x,,, A 'y') = lim (x,,, 0) = 0 => A (E) C N (A ').L. Sei yEN(A').L. Annahme: y\t:A(E). Dann gibt es ein y' mit (Ax,y')=O fUr aile x, aber (y,y') #0 (Satz 36.3). Es ist also (x,A'y')=O fUr aile x, somit y'EN(A') und daher voraussetzungsgemiiB (y,y')=O, im Widerspruch zu (y,y')#O. Infolgedessen muB N(A').LCA(E) sein. c) A'(F').L = N(A): wird ganz iihnlich bewiesen wie a). d) A'(F')CN(A).L: wird ganz iihnlich bewiesen wie die Inklusion A(E)CN(A').Lin b). - Sei A'(F') orthogonalabgeschlossen. Annahme: N(A).L rtA'(F'), es gebe also ein xI!EN(A).L, das nicht zu A'(F') gehort. Nach Hilfssatz 54.2 existiert dann ein x mit (x,A'y') =0 fUr aile y', aber (x,xl!) #0. Es folgt (Ax,y') = 0 fUr aile y', also xE N(A) und somit (nach Voraussetzung) (x,xl!) = 0 - im Widerspruch zu (x,xl!)#O. Infolgedessen muB N(A).L CA'(F') sein.

=

=

=

=

=

Losungen ausgewiihlter Aufgaben

675

2. Sei h der kanonische Homomorphismus von E auf ElF. Die in dem Hinweis erkliirte Funktion x' ist =/oh, liegtalso offenbar in P-L. Die durch Af:=/oh erkliirte Abbildung A: (EI F)'->F1. ist trivialerweise linear und injektiv. Sei nun x' ein beliebiges Element aus FL. Definiere /: EIF->K durch /(x):=x'(x) (xEx beliebig). Die Definition ist eindeutig: U,vEX => u-vEF => x'(u-v)=O => x'(u)=x'(v). / ist offensichtlich eine Linearform auf ElF. / ist stetig mit 1/(x)1 = Ix'(x)l.;; IIx'll IIxll fUr alle xEx => 1/(x)l.;; IIx'lI· inf IIxll = IIx'II·lIxli. Aus II/II.;; IIx'lI: .'{E.~

A/=x' ergibt sich nun, daB A surjektiv, aus 1I/1I.;;lIx'll einerseits, IIx'II=II/ohll.;;II/lIlIhll.;;II/1l

andererseits, daB A normerhaltend ist. A erweist sich so als ein Normisomorphismus zwischen (ElF)' und FL.

3. Es ist sehr leicht zu sehen, daB die Abbildung X-..... x'IF eindeutig definiert (also unabhiingig von der Wahl des Repriisentanten), linear und injektiv ist. Die Surjektivitiit ergibt sich zwanglos mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach: man setze ein vorgegebenes y'EF' zu einem x'EE' fort; dann ist y' das Bild von X-. Aufgaben zu Nr. 55 A -I ist stetig (Hilfssatz 55.1) mit IIA -III =sup lilA -Iyll/llyll: yEA (E), yo! O} =sup IlIxll/llAxll: xEE, xo!O}= lIinflllAxll/llxll: xEE, xo!O}= I/y(A).

6.

Aufgaben zu Nr. 56

1. Jede stetige Linearform / auf (c) liiBt sich mit eindeutig bestimmtem ao E K und eindeutig bestimmter Foige (a,,)E/ I in der Form

/(x)=ao lim';k k_oo

+ II_I La"';,,,

darstellen. Umgekehrt wird durch (*) fUr jedes aoEK und jedes (a,,)E1 1 eine stetige Linearform auf (c) definiert. Es ist ~

11/11=

L la"l. ,,-0

Aufgaben zu Nr. 58

1.

2.

b

Fredholm-Fall:

(Kx)(t) = Jk(s,t)x(t)dt.

Volterra-Fall:

(Kx)(t) =

s

J k(s,t)x(t)dt.

b

Dannist (K*x)(t) = Jk(t,s)x(t)dt. Dann ist (K*x)(t) =

b

J k(t,s)x(t)dt.

Man beachte im folgenden, daB E = F(J) Flo und Flo 1. = Fist.

a) A(F)CF, vEF1. => (uIA*v)=(Aulv)=O fUr alle uEF => (uIA*v)=O => A*vEF1. => A * (Flo) C FL. Entsprechend zeigt man die Umkehrung A * (Flo) C Flo => A (F) C F. b) F reduziert A => F, Flo sind invariant unter A (Definition!) => Flo ist invariant unter A, Flo 1. = F invariant unter A* (Ietzteres nach a». Fist invariant unter A und A* nach a» => F reduziert A.

=>

Fist invariant unter A,F1. invariant unter A**=A (Ietzteres

676 6.

Losungen ausgewiihlter Aufgaben a) folgt sofort aus N(A-:1I)=N«A-:1I)*)=N(A*-XI).

b) Aus Au=:1u, Av=.uv ergibt sich mit a): :1(ulv)=(:1ulv)=(Aulv)=(uIA*v)=(uljIv)=.u(ulv), also (:1-.uHulv)=O. Wegen :11=.u muB daher (ulv)=O sein. 8. Nach A 26.3 gibt es ein AEY(E) mit A-'EY(E) und s(x,y)=(Axly)=(xIA*y) fUr aile x,y E E, und nach Satz 26.1 istf(x) = (xlz) fiir aile x E Emit einem eindeutig bestimmten z E E. Da A* mit A bijektiv ist (Satz 58.1), muB es ein und nur ein yEE mit z=A *y geben, und nun haben wirf(x) = (xlz) = (xIA*y) =s(x,y) fUr aile xEE. 10.

A* ist die Abbildung (1],,) ......

C~" :2 1]k).

Aufgaben zu Nr. 59 10. Es strebe x" ~Xo (x" E K). Nach dem Satz 59.4 von Mazur gibt es zu jedem n E N eine konvexe Kombination y" der x" X2, ... mit lIy" -xoll < lin. y" liegt in K (da K konvex ist), und es strebt y,,-Xo.

Aufgaben zu Nr. 64 2. In Beispiel 64.6 wurde schon gezeigt, daB die von einer totalen Folge von Halbnormen erzeugte Topologie metrisierbar ist. Nun setzen wir umgekehrt voraus, Tp sei metrisierbar. Dann bilden die Kugeln KI/"IO] (n= 1, 2, ... ) eine abziihlbare Umgebungsbasis des Nullpunktes, infolgedessen gibt es auch eine abziihlbare Umgebungsbasis {V(I), V(2), ••• j fUr 0, wobei jedes V(k) gemiiB (64.1) durch endlich viele Halbnormen aus P und ein pass end gewiihltes & festgelegt wird. Die Gesamtheit Pder hierbei benotigten Halbnormen ist eine Folge aus P und erzeugt offen bar Tp. Da Tp metrisierbar, also separiert ist, muB P total sein (Satz 64.1). Aufgaben zu Nr. 72 2. a) Sei AB kettenendlich mit ind(AB)=O und p:=p(A B). Mit dem Indextheorem folgt dann a(AP BP)=P(AP BP)< 00, und daraus ergibt sich wegen N(A")CN(B"A")=N(A" B")cN(AP BP),

daB a (A")"; a (AP BP)< 00 ist fUr aile n ~O. Also miissen a(A) und p(A) endlich sein. Ganz entsprechend sieht man, daB q(A)< 00 ist. Aus Satz 72.6 erhiilt man nun ind(A)=O. Aus Symmetriegriinden ist dann auch B kettenendlich mit ind (B) = O. b) Nun seien umgekehrt A und B kettenendlich mit ind(A)=ind(B)=O. Dank des Indextheorems ist dann auch ind(AB)=O. Sei V,:=

n (AB)"(E),

n-l

V 2 :=

n A" (E),

11-1

V 3 :=

n B"(E).

11=1

V, ist unter B invariant und ein Teil von V 2 und von V 3 • Indem wir nun mehrfach den Satz 72.8 anwenden, erhalten wir die folgende SchluBkette: ABx=O mit XEV, => A(Bx)=O mit BxEV,CV2 => Bx=OmitxEV,CV3 => x=O =>p(AB)

a b a = a fUr ein gewisses b

=>

a b a - a = 0 ist relativ regular. fUr ein gewisses

b) aba-a ist relativ regular => (aba-a)c(aba-a)=aba-a => a(b-c+bac+cab-bacab)a=a => a ist relativ regular. 6.

b) =>

c

a ba = a fUr ein gewisses b => a6a= a => a ist relativ regular. a b a - a E J => a b a - a ist relativ regular a ist relativ regular (Aufgabe 5). a) a ist relativ regular

a ist relativ regular

=>

=>

a6a= a fUr ein gewisses 6 =>

Aufgaben zu Nr. 80

4. Aus K" -11" 1 = (K - 11 I)q(K) =q(K)(K - 11 I) folgt, da K" kompakt ist, durch Restklassenbildung in :f(E)/ c3r(E) die Gleichung ------------1• =(111 -K) - 1 q(K) J.1."

= -1

p"

-----------------q(K)(1l1 - K),

also ist ~ invertierbar und somit Ill-K nach A 78.1 ein Fredholmoperator in Y(E). Da K" - 11" I nach der Rieszschen Theorie kettenendlich ist und einen verschwindenden Index besitzt, gilt aufgrund der zu Anfang hingeschriebenen Gleichung und der Aufgabe 2 in Nr. 72 dasselbe fUr 11 1 - K. - Sei nun 11 ein Eigenwert von K, also K X = Ilx mit X # O. Dann ist K" X = 11" x, also 11" notwendigerweise ein Eigenwert von Kn. Da die Eigenwerte des kompakten Operators K" sich nur im Nullpunkt haufen konnen, gilt also dasselbe auch fUr die Eigenwerte von K. Aufgaben zu Nr. 95

4.

Widerspruchsbeweis: Ilrl' II < 118(11) => 8(11)< 11 II rl , II < 1IIIrl' II => ~EO(X) (nach Satz 95.3 a): Widerspruch!

=>

es existiert ein

~EO'(x)

mit

11l-~1

Aufgaben zu Nr. 96

10. Es ist IIL"II = 1 fUr n= 1, 2, ... , also r(L)= 1. Fast trivial ist die Gleichung O'p (L)=(AEC:IAI F 2cFt-, P I P2 =P2P I =0.

F,cFt

=>

P,P2X=P I (P2X)=0,

P ist symmetrisch und wegen p 2 = (PI

P2 PI X=P2(P l x)=0

+ ... + P,,)2 = L ~ Pk = j,k

PI

+ ... + P" + L

fUr aile x Pi Pk = P auch

j .. k

idempotent, insgesamt also ein Orthogonalprojektor. Die Aussage iiber pee) versteht sich von selbst. Aufgaben zu Nr. 116 1. a) Die Gleichung (E"xlx) = liE" xII 2 (E"xlx) "" (E"xlx) fUr aile x E H.

folgt

aus (113.1).

Fiir A""11 ist E"""E",

also

b) Wegen (E"xly) = (Elx1y) = (E"xIE"y) erhalt man mit (18.8)

Die Funktionen in den eckigen Klammern sind als Differenzen monoton wachsender Funktionen gewiB von beschrankter Variation.

680

Losungen ausgewahlter Aufgaben

c) Die angegebenen Integraldarstellungen verstehen sich fast von selbst, wei I die Riemann-Stieltjesschen Sum men L f(Ak) (E". - E". _ ,) dem Operator f(A) im Sinne der Operatorennorm beliebig nahekommen. 2.

Mit Hilfe von (116.5) erhalten wir 1If,,(A)-f(A)1I = 1I(f" -f)(A)II';; 1If" -fll~·..... O.

Aufgaben zu Nr. 117

2. a) Sei AEO"e(A). Dann ist A nach Satz 112.4 ein isolierter Spektralpunkt unendlicher Vielfachheit oder ein Haufungspunkt von O"(A). 1m ersten Fall folgt aus Satz 117.4 so fort, daB Ep- Ea unendlichdimensional ist. 1m zweiten Fall gibt es in (a,p) unendlich viele unter sich verschiedene A" EO"(A) und dazu Intervalle J":=(a,,,p,,)c(a,p) mit An EJn und I n nJ,,, =0 fUr n#m. Der Orthogonalprojektor E (J,,):= Ep.. - Ea .. ist # 0, also existiert ein Xn E H mit IIx" II = 1 und E ( J" )xn = x". Wegen E(J,,)E(Jm)=O fUr n#m (s. Anfang des Beweises von Satz 116.2) ist x".Lxm (Satz 113.2b). Offenbar ist E(J,,).;;E(J):=EfJ-Ea ; mit Satz 113.3 folgt daraus E(J,,)(H)cE(J)(H), und somit liegt das Orthonormal system {x], Xz, ... } in E( J)(H). E( J) ist also unendlichdimensional. b) Die Umkehrung ergibt sich muhelos mit Hilfe des Satzes 117.4 (Widerspruchsbeweis!). 3. a) Sei AEO"e(A). Wahle eine Folge von Intervallen J":=(a,,,p,,) mit AEJ", an