Topologie und Funktionalanalysis: Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen 9783486598896

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Topologie und Funktionalanalysis Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen von

Prof. Dr. Jürgen Heine Universität Hannover

Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek CIP-Einheitsaufnahme -

Heine, Jürgen: Topologie und Funktionalanalysis : Grundlagen der abstrakten Analysis mit Anwendungen / von Jürgen Heine. München ; Wien : Oldenbourg, 2002 ISBN 3-486-24914-2

-

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Umschlagkonzeption: Kraxenberger Kommunikationshaus, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Druck: R. Oldenbourg Graphische Betriebe Druckerei GmbH

Inhaltsverzeichnis VII

Vorwort

1

1.2

Grundbegriffe Metrik, Norm, Skalarprodukt. Konvergenz, Topologie.

1 25

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Topologische Räume Spezielle Punkte und Mengen, Hüllenoperatoren. Dichtigkeit, Separabilität, Approximation. Basen, Subbasen, Unterräume, Zusammenhang. Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität Trennungseigenschaften, Zerlegung der Eins, Metrisationen.

48 48 60 77 93 149

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Vollständige pseudometrische Räume Vollständigkeit, Baire-Räume, Hausdorff-Metriken. Fortsetzung gleichmäßig stetiger Funktionen, Vervollständigung Fortsetzung stetiger Funktionen, topologische Vollständigkeit Banachscher Fixpunktsatz (mit Anwendungen). Summation in Banach-Räumen, (L2(I), ( }2).

4 4.1 4.2 4.3 4.4

269 Kompakte topologische Räume Kompaktheit in pseudometrischen Räumen. 269 Kompaktheit in halbnormierten Vektorräumen. 301 314 Kompaktheit in topologischen Räumen Lokalkompakte Räume, Kompaktifizierungen. 333

5 5.1 5.2 5.3 5.4

Lebesgue-Integration, L9-Räume Maßräume, Lebesguesches Maß auf IRn.

1 1.1

.

176 176 200 214 220 229 Hilbert-Räume. 246 ....

.

.

355 356 Meßbare Funktionen. 372 Integration, integrierbare Funktionen. 389 L9-Räume. 406

VI

6 6.1 6.2 6.3 6.4

INHALTSVERZEICHNIS

Lineare

Operatoren Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume. Offenheit linearer Operatoren, gleichmäßige Beschränktheit. Trennung konvexer Mengen, Extrempunkte. Dualität: Annullatoren, adjungierte Operatoren.

439 440 475 499 514

Lösungsvorschläge

541

710 710 Naiven der und Mengenlehre Rechenregeln Einige Bezeichnungen lineare für und Vektorräume, Rechenregeln Einige Bezeichnungen Funktionale. 719

Anhang 1 2

.

.

.

Literaturverzeichnis

723

Stichwortverzeichnis

727

Vorwort Historiquement, les notions de Hmite et de continuite sont apparues tres tot dans la mathematique, notamment en Geometrie, et leur role n 'a fait que grandir avec le developpement de VAnalyse et ses applications aux sciences experimentales. C'est qu'en effet ces notions sont intimement Hees ä Celles de determination experimental et d'approximation. N.

Bourbaki, 1951

Nicht zuviel und nicht zuwenig soll dieses Buch in einheitlicher Terminologie über Grundlagen der allgemeinen Topologie und Funktionalanalysis sowie einige ihrer Anwendungen zur Verfügung stellen. Die Topologie (tottoo, griech.: Ort, Stelle, Raum) hat als eigenständige Disziplin in der heutigen axiomatischen Form ihren Ursprung im wesentlichen in F. Hausdorffs 1914 erschienenen Werk zur Mengenlehre (vgl. [15]) und ist nach Auffassung der französischen Wissenschaftlergruppe N. Bourbaki eine von vier Säulen der Mathematik: Logik, Mengenlehre, algebraische Strukturen, topologische Strukturen. Ansätze zur Vereinheitlichung von Konvergenz- und Stetigkeitstheorie sind jedoch schon in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts im Zusammenhang mit dem in dieser Zeit allgemein verbreiteten Bestreben zur Axiomatisierung, z. B. der Mengenlehre durch G. Cantor, F. Hausdorff, bzw. der Geometrie durch F. Klein, E. Schmidt und D. Hilbert, festzustellen. So schreibt E. Heine in der Einleitung eines 1872 veröffentlichten Aufsatzes über reelle Zahlen, Folgen und Funktionen: Nicht ohne Bedenken veröffentliche ich diese Arbeit, deren erster, wesentlichster Theil „Über Zahlen" bereits seit längerer Zeit vollendet ist. Abgesehen von der erheblichen Schwierigkeit, einen solchen Stoff darzustellen, trug ich Bedenken, eine Arbeit zu veröffentlichen, welche vorzugsweise die nur durch mündliche Mittheilung überkommenen Gedanken Anderer, besonders des Herrn Weierstrass enthält, so dass mir wenig mehr als die Durchführung angehört, bei der es darauf ankam, keine irgendwie erhebliche Lücke zu lassen.

(E. Heine. Die Elemente der Functionenlehre. Journal für die Mathematik von C. W. Borchardt, LXXIV: 172-188, Berlin, 1872)

Angaben zur historischen Entwicklung der Topologie findet man in [6] und [13].

Vorwort

VIII

Der Teil der Mathematik, der heute als Funktionalanalysis bezeichnet wird, entwickelte sich in vielfältiger Art nahezu parallel und in enger Verflechtung zur Topologie ab Beginn des 20. Jahrhunderts aus der „klassischen Analysis". Die Feststellung gemeinsamer allgemeiner Grundlagen für die Analyse von Zahlenfolgen, Funktionen, Folgen von Funktionen usw. in der Form von Vektorräumen mit Konvergenzbegriffen durch F. Riesz, D. Hilbert und andere war eine die Funktionalanalysis generierende Ursache. Reellwertige, in Vektorräumen V definierte Funktionen, wie beispielsweise die Integrale von B. Riemann bzw. später von H. Lebesgue, nennt man (reelle) Funktionale, Konvergenzbegriffe auf V ermöglichen deren Behandlung im Hinblick auf analytische Eigenschaften (Stetigkeit usw.) formal analog zu der der reellen Funktionen. Gegenstand der Funktionalanalysis ist darüber hinaus die Untersuchung von Funktionen zwischen Vektorräumen, sog. Operatoren.

Viele Einzelheiten zur Entwicklung dieses Teils der Mathematik, der aus heutiger Sicht für die Zwecke der Analysis und ihrer vielfältigen Anwendungen nicht mehr entbehrlich ist, sind in [36] aufgeführt. Eine umfassende Darstellung der Geschichte der Funktionalanalysis bietet J. Dieudonne in seinem Werk History of Functional

Analysis (North Holland, Amsterdam, New York, 1981). Der Versuch der Zuordnung mathematischer Erkenntnisse, insbesondere aus der Zeit vor 1900, zu ihren Entdeckern ist oftmals problematisch, weil Ergebnisse nicht notwendig in schriftlicher Form veröffentlicht, sondern auch mündlich z. B. in Vorlesungen oder bei Diskussionen bekannt gegeben wurden: Die Tatsache, daß eine auf dem Intervall [o, 6] stetige reellwertige Funktion gleichmäßig stetig ist (E. Heine, a.a.O., § 3, 6. Lehrsatz; vgl. auch Korollar 4.1-2.1 in Abschnitt 4.1) wurde nicht K. Weierstraß.

von

E. Heine

entdeckt, wie er selbst schreibt, sondern von

Aus diesem Grunde sind im vorliegenden Text im wesentlichen nur diejenigen Eigenschaften und Aussagen mit Namen von Wissenschaftlern versehen, bei denen die Urheberschaft überwiegend anerkannt ist. Das Buch bietet eine Einführung in Grundlagen der abstrakten Analysis, die auch für andere Zweige der Mathematik und ihre Anwendungen wesentliche Bestandteile sind. Als bekannt werden neben der naiven Mengenlehre (vgl. Anhang 1) lediglich elementare Kenntnisse der linearen Algebra (vgl. Anhang 2) und der reellen Analysis (vgl. z. B. [32]) vorausgesetzt. Zum Zweck seines leichteren Verständnisses ist deshalb der Inhalt ungewöhnlich detailliert dargestellt, gut Informierte werden an vielen Stellen kürzere Begründungen und Bezeichnungen vorziehen. Zahlreiche Beispiele und Anwendungen sollen die Theorie ergänzen und vertiefen bzw. ihre Nützlichkeit demonstrieren. Jeder Abschnitt schließt mit Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade, auf die in der Form A 12 bzw. 4.2, A 3, wenn sie nicht zum gleichen Abschnitt gehören, verwiesen wird. Lösungsvorschläge findet man im Anschluß an Kapitel 6. Die jeweiligen Themen sind überwiegend auf Forschungsergebnisse zurückzuführen, die bis etwa 1950 erzielt werden konnten, und heute als allgemein bekannt

Vorwort anzusehen. Angaben zu Aufsätzen in Fachzeitschriften bzw. neueren Ergebnissen.

IX

erfolgen daher nur bei Zitaten

Kapitel 1 enthält eine Zusammenstellung der bedeutenden Grundbegriffe Metrik, Norm, Skalarprodukt, Konvergenz (auch von Filtern und Netzen) und Topologie. In Kapitel 2 werden topologische Räume in voller Allgemeinheit behandelt. Auf Hüllen- und Dichtigkeitseigenschaften (Weierstraßscher Approximationssatz u. a.) folgen Untersuchungen über Topologie(-Sub)-Basen und den für die Analysis über R unverzichtbaren Zusammenhangsbegriff. Stetigkeit von Funktionen wird allgemein definiert und vielfältig charakterisiert, auch in Beziehung zur Konvexität in Vektorräumen. Produkt- und Quotientenräume stellen wesentliche Konstruktionsmöglichkeiten für (neue) topologische Räume aus bereits vorhandenen dar. Die wichtigsten Trennungseigenschaften und spezielle Metrisationssätze folgen in Abschnitt 2.5.

Vollständige (pseudo-)metrische Räume sind Gegenstand von Kapitel 3. Neben derdie klassische (Funktional-)Analysis revolutionierenden Baire-Eigenschaft werden der Raum der nichtleeren abgeschlossenen Teilmengen mit Hausdorff-Metrik und die topologische Vollständigkeit untersucht, darüber hinaus werden Vervollständigungen konstruiert. Dem Banachschen Fixpunktsatz ist wegen seiner Bedeutung, insbesondere für die Angewandte und Numerische Mathematik, ein eigener Abschnitt gewidmet. Die Ergebnisse zur Summation in Banach-Räumen ermöglichen schließlich eine umfassende Analyse der Hilbert-Räume, die zu ihrer Charakterisierung als sog. L?-Räume führt. -

Kompaktheitseigenschaften

und ihre Auswirkungen auf topologische, pseudometrische bzw. halbnormierte Räume werden in Kapitel 4 untersucht, dessen Abschluß bilden lokalkompakte Räume und diverse Kompaktifizierungsarten sowie die von M. H. Stone vorgenommene Erweiterung des Weierstraßschen Approximationssatzes für kompakte Intervalle auf lokalkompakte Hausdorff-Räume.

Die Anfänge der abstrakten Lebesgueschen Integrationstheorie sind in Kapitel 5 auf herkömmliche Weise dargestellt, sie ermöglichen die Angabe der von F. Riesz um 1910 ausführlich erforschten L9-Räume, die im Rahmen der Funktionalanalysis für q > 1 wichtige Beispiele für Banach-Räume darstellen. Das abschließende Kapitel 6 enthält neben fünf, als solche gekennzeichneten, Grundsätzen der linearen Funktionalanalysis den Rieszschen Darstellungssatz für HilbertRäume, den Banach-Hahnschen Fortsetzungssatz und Angaben über stetige Dualräume. Der Banach-Hahn-Mazur-Satz über die Trennbarkeit gewisser konvexer Mengen durch abgeschlossene Hyperebenen ermöglicht den Existenznachweis von Extrempunkten nichtleerer kompakter konvexer Mengen in lokalkonvexen hausdorffschen reellen Vektorräumen und ist damit von großer Bedeutung für die konvexe Optimierung. Abschnitt 6.4 gibt einen Einblick in einige weitere elementare Sachverhalte zur Dualität: Satz vom abgeschlossenen Bild, Schauders Kennzeichnung der Kompaktheit linearer Operatoren, Kern-Bild-Satz für Hilbert-Räume. Schließlich werden die Ortho-

X

Vorwort

gonalen Projektionen auf Hilbert-Räumen als selbstadjungierte, idempotente, stetige, lineare Operatoren identifiziert. Die Numerierung der Sätze erfolgt in der Form 6.2-1, wobei 6.2 der Abschnitt bzw. 1 die Nummer des Satzes in diesem Abschnitt ist. Die zugehörigen Korollare sind dann beispielsweise 6.2-1.1, 6.2-1.2 und 6.2-1.3. Beispiele werden gesondert gezählt, so bezeichnet (4.3,5) das fünfte Beispiel in Abschnitt 4.3. steht für „Ende des Beweises" bzw. „kein Beweis", j für „WiderDas Zeichen spruch", die Abkürzung o. B. d. A. für „ohne Beschränkung der Allgemeinheit" und Äq für die Äquivalenz der darauf folgenden Aussagen. Kurzbegründungen erfolgen in den Klammern

[... ].

Im Teil [ 1 ] bis [41] des Literaturverzeichnisses sind für die Ergänzung, Erweiterung und Vertiefung der Studien zahlreiche Lehrbücher zu den Bereichen Reelle Analysis, Allgemeine Topologie, Maß- und Integrationstheorie sowie Funktionalanalysis aufgeführt, Teil [42] bis [61 ] enthält einige Quellenangaben, u. a. zu im Text lediglich zitierten Resultaten. Herr cand. math. Adrian Pigors hat mit großer Sorgfalt den Text und die Graphiken in die Druckfassung umgesetzt und mich mit zahlreichen Anregungen und Hinweisen unterstützt. Herr stud. math. Hasko Schillat ist beim Korrekturlesen behilflich gewesen. Beiden sei an dieser Stelle sehr herzlich für ihre wertvolle Mitarbeit gedankt. Dem Oldenbourg Wissenschaftsverlag gilt mein Dank für die Bereitschaft zur Aufnahme des Textes in das Lehrbuchangebot zur Mathematik und die gute Zusammenarbeit.

Hannover

J. Heine

1

Grundbegriffe

1.1

Metrik, Norm, Skalarprodukt

Grundlegend für die klassische (reelle bzw. komplexe) Analysis ist der Konvergenzbegriff für Folgen (xn)n € Kn, wobei K einer der Körper Q, E oder C ist:

(xn)n konvergent in K

:gdw 3leK\/e>03n£eN\/neN: n>n£=> \xn

l heißt dann Grenzwert konvergiert gegen /. Mit Hilfe der :

von

K — L:

f stetig

in K der

Folge (xn)n,

formal

(xn)n

l\

—>

< e

(xn)n

Konvergenz lassen

barkeit, Integrierbarkeit

/

(Limes)

-

sich u. a. die Eigenschaften Stetigkeit, DifferenzierFunktionen formulieren, z.B. für K, L £ {,R,C},

:gdw \/(xn)n eK^VleK: (x»)„

-»•

l

=>

(f(xn))n -+ f(l)

Konvergenz einer Folge (xn)n gegen / bedeutet, daß jede „Abstandsschranke e um l" schließlich, d. h. ab einem

nE unterschritten wird. Elementares Hilfsmittel

schreibung

ist hier die Abstandsmessung

von

Konvergenz

d, ,(J,fc)

zur BeZahlen k K von l, £ durch

|/ k\. Die Abstandsfunktion d\ t bestimmt, welche Folgen gegen welche Zahlen konvergieren, welche Funktionen stetig sind usw. Diese einfache Feststellung ermöglicht die Ausdehnung des Konvergenzbegriffs auf Folgen (xn)n in beliebigen (nichtleeren) Mengen X bzgl. einer Abstandsfunktion d : X x X —> R+: :=

-

(xn)n d-konvergent in X :gdw 31 e X y l heißt dann Grenzwert

e >

03n£ eN\f n eN: n>n£^ d(xn,l)

(Limes) in X der Folge {xn)n, formal (xn)n —>d lAbstandsmessungen können je nach Bedarf auf verschiedene Arten erfolgen:

< e

1

2

Grundbegriffe

Beispiele (1.1,1) (a)

Für K G

{Q, R, C} ist

K

x

*

y)

~

—>

i—

R+

|x 2/| -

der Betragsabstand auf TV

(b)

Für nichtleere

Mengen X ist X

"

X

x

—

R+ I 1

der diskrete Abstand auf X: Elemente existieren nicht. Für

Folgen (xn)n

G

sonst

dicht benachbarte, voneinander verschiedene

Beliebig

XN gilt:

(xn)n ddis-konvergent in X

3n0GNVnGN: xno+n 3 no G N:

(;jxt)

(xn)n

=

i„0

->ddi8 xno

Q nicht ddis-korrvergent! (c) Für ganze Zahlen m, n bezeichne ggT(m, n) deren größten gemeinsamen Teiler. Ist p > 2 eine Primzahl, so sei für x, y G Q, x / y, die ganze Zahl kp(x,y) definiert So ist beispielsweise

in

durch

x-y

wobei a,beZ,

ggT(a,p)

=

ggT(6,p) Q

x

=

=

—

pM*.v)_ 1

gilt.

E+

lp

«p^iwi

sonst

p-adischer Abstand auf Q. Voneinander verschiedene rationale Zahlen sind umso enger d(p) -benachbart, je größer der Exponent von p in der Primfaktorzerlegung ihrer

heißt

Differenz ist.

Folge (pn)n ist d(p)-konvergent (gegen 0). (d) In Verallgemeinerung von (a) sei für n G N\{0}, Die

j Kn

x

Kn

—>

q

GR,

q > 1

R+

dq:\(x,y)^(EU\^-y^)1/q der

dq

q-Abstand auf Kn (d2 ist der euklidische Abstand auf Kn). =

d]

|.

Kn

x

(x,y) ist der Maximum-Abstand auf Kn.

Kn

—>

R+

i—> max

l

1,

a