Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik [26. Aufl.] 978-3-658-25806-1;978-3-658-25807-8

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-X
Statik (Alfred Böge, Wolfgang Böge)....Pages 1-18
Dynamik (Alfred Böge, Wolfgang Böge)....Pages 19-34
Fluidmechanik (Alfred Böge, Wolfgang Böge)....Pages 35-41
Festigkeitslehre (Alfred Böge, Wolfgang Böge)....Pages 42-73
Gewindetabellen (Alfred Böge, Wolfgang Böge)....Pages 74-75
Allgemeine Tabellen (Alfred Böge, Wolfgang Böge)....Pages 76-79
Mathematische Hilfen (Alfred Böge, Wolfgang Böge)....Pages 80-86
Back Matter ....Pages 87-104

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Alfred Böge Wolfgang Böge

Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik 26. Auflage

Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik

Lehr‐ und Lernsystem  Technische Mechanik      Technische Mechanik (Lehrbuch)  A. Böge, W. Böge    Aufgabensammlung Technische Mechanik  A. Böge, G. Böge, W. Böge    Lösungen zur Aufgabensammlung Technische Mechanik  A. Böge, W. Böge    Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik  A. Böge, W. Böge 

Alfred Böge  Wolfgang Böge

Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik 26., überarbeitete Auflage Unter Mitarbeit von Gert Böge

Alfred Böge Braunschweig, Deutschland

ISBN 978-3-658-25806-1 https://doi.org/10.1007/978-3-658-25807-8

Wolfgang Böge Wolfenbüttel, Deutschland

ISBN 978-3-658-25807-8 (eBook)

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 1960, 1963, 1966, 1968, 1970, 1974, 1976, 1979, 1980, 1981, 1983, 1984, 1986, 1991, 1992, 1995, 1999, 2000, 2002, 2006, 2009, 2011, 2013, 2015, 2017, 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Verantwortlich im Verlag: Thomas Zipsner Abbildungen: Graphik & Textstudio Dr. Wolfgang Zettlmeier, Barbing Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

Vorwort zur 26. Auflage Formelsammlung

Vorwort Dieses Buch ist Teil des vierbändigen Lehr- und Lernsystems Technische Mechanik von Alfred und Wolfgang Böge. Es enthält die physikalischen, mathematischen und technischen Daten (Tabellen, Formeln, Diagramme) zum Lösen der Aufgaben aus der Aufgabensammlung Technische Mechanik. Die vier Bücher haben sich für Studierende an Fachschulen Technik bestens bewährt, aber auch an Fachgymnasien Technik, Fachoberschulen, Beruflichen Oberschulen, Bundeswehrfachschulen und an den Höheren Technischen Lehranstalten in Österreich werden sie erfolgreich eingesetzt. Die nun vorliegende 26. Auflage der Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik steht ganz im Zeichen einer Feinabstimmung, das heißt vieler Ergänzungen bestehender Formeln und Tabellen:  Im Kapitel 1.10 – Schwerpunktbestimmung – wurden die Formeln für die Schwerpunktabstände für zusammengesetzte Flächen und Linienzüge eingefügt.  Das Kapitel 1.11 – Flächenschwerpunkt – wurde um die Formeln der Flächeninhalte erweitert.  Im Kapitel 1.22 – Bremsen – wurden die Selbsthemmungsbedingungen für einige Bremsenbauarten ergänzt.  Im Kapitel 2.21 – Energie bei Translation – wurden die Formeln durch zugehörige Einheitenraster ergänzt.  Im Kapitel 4.1 – Zug- und Druckbeanspruchung – wurde die Druckbeanspruchung explizit aufgenommen und eine Tabelle der Längenausdehnungskoeffizienten ausgewählter Werkstoffe eingefügt.  Im Kapitel 7 – Mathematische Hilfen – wurden die Binomischen Formeln erweitert.  Das Glossar wurde überarbeitet und gestrafft. Die zahlreichen Anregungen, konstruktiven Verbesserungsvorschläge und kritischen Hinweise von Lehrern und Studierenden wurden berücksichtigt und verarbeitet. Alle vier Bücher des Lehr- und Lernsystems Technische Mechanik sind inhaltlich aufeinander abgestimmt. Die aktuellen Auflagen sind: Lehrbuch

33. Auflage

Aufgabensammlung

24. Auflage

Lösungen

19. Auflage

Formeln und Tabellen

26. Auflage

VI

Vorwort

Bedanken möchte ich mich beim Lektorat Maschinenbau des Verlags Springer Vieweg, insbesondere bei Frau Imke Zander und Herrn Dipl.-Ing. Thomas Zipsner für ihre engagierte und immer förderliche Zusammenarbeit bei der Realisierung der 26. Auflage der Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik. Für Zuschriften steht die E-Mail-Adresse [email protected] zur Verfügung. Wolfenbüttel, April 2019

Wolfgang Böge

Inhaltsverzeichnis 1 Statik 1.1 Zentrales Kräftesystem ........................................................................................... 1.2 Momentensatz, rechnerisch .................................................................................... 1.3 Momentensatz, zeichnerisch ................................................................................... 1.4 Drei-Kräfte-Verfahren, zeichnerisch ...................................................................... 1.5 Vier-Kräfte-Verfahren, zeichnerisch ...................................................................... 1.6 Schlusslinienverfahren............................................................................................ 1.7 Rechnerische Gleichgewichtsbedingungen ............................................................ 1.8 Knotenschnittverfahren .......................................................................................... 1.9 Ritter’sches Schnittverfahren.................................................................................. 1.10 Schwerpunktsbestimmung ...................................................................................... 1.11 Flächenschwerpunkt ............................................................................................... 1.12 Linienschwerpunkt ................................................................................................. 1.13 Guldin’sche Regel .................................................................................................. 1.14 Reibung, allgemein ................................................................................................. 1.15 Reibung auf der schiefen Ebene ............................................................................. 1.16 Zylinderführung ...................................................................................................... 1.17 Prismenführung ...................................................................................................... 1.18 Reibung an der Schraube ........................................................................................ 1.19 Seilreibung .............................................................................................................. 1.20 Reibung am Tragzapfen (Querlager) ...................................................................... 1.21 Reibung am Spurzapfen (Längslager) .................................................................... 1.22 Bremsen .................................................................................................................. 1.23 Rollreibung ............................................................................................................. 1.24 Fahrwiderstand ....................................................................................................... 1.25 Feste Rolle .............................................................................................................. 1.26 Lose Rolle ............................................................................................................... 1.27 Rollenzug (Flaschenzug) ........................................................................................

1 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 8 9 10 11 13 13 14 15 15 15 15 17 18 18 18 18

2 Dynamik 2.1 Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung ................................................ 2.2 Gleichmäßig verzögerte geradlinige Bewegung ..................................................... 2.3 Gleichförmige Drehbewegung................................................................................ 2.4 Gleichmäßig beschleunigte Drehbewegung ........................................................... 2.5 Gleichmäßig verzögerte Drehbewegung ................................................................ 2.6 Waagerechter Wurf (ohne Luftwiderstand) ............................................................ 2.7 Schräger Wurf ........................................................................................................ 2.8 Umfangs- und Winkelgeschwindigkeit .................................................................. 2.9 Übersetzung (Übersetzungsverhältnis) ................................................................... 2.10 Kreuzschubkurbelgetriebe (Kreuzschleife) ............................................................ 2.11 Schubkurbelgetriebe ............................................................................................... 2.12 Dynamisches Grundgesetz für Translation ............................................................. 2.13 Dichte ..................................................................................................................... 2.14 Gewichtskraft .........................................................................................................

19 19 20 20 20 21 21 22 23 23 24 24 25 25

VIII

Inhaltsverzeichnis

2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28

Impuls ..................................................................................................................... Mechanische Arbeit und Leistung bei Translation ................................................. Wirkungsgrad ......................................................................................................... Dynamisches Grundgesetz für Rotation ................................................................. Gleichungen für Trägheitsmomente (Massenmomente 2. Grades)......................... Mechanische Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad bei Rotation ............................. Energie bei Translation ........................................................................................... Gerader zentrischer Stoß ........................................................................................ Energie bei Rotation ............................................................................................... Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft ..................................................... Gegenüberstellung der translatorischen und rotatorischen Größen ....................... Harmonische Schwingung ...................................................................................... Pendelgleichungen .................................................................................................. Harmonische Welle ................................................................................................

25 25 26 26 27 28 28 29 30 30 31 31 33 34

3 Fluidmechanik 3.1 Statik der Flüssigkeiten .......................................................................................... 3.2 Strömungsgleichungen ........................................................................................... 3.3 Ausflussgleichungen ............................................................................................... 3.4 Strömungen in Rohrleitungen .................................................................................

35 37 39 41

4 Festigkeitslehre 4.1 Zug- und Druckbeanspruchung .............................................................................. 4.2 Abscherbeanspruchung ........................................................................................... 4.3 Flächenpressung ..................................................................................................... 4.4 Flächenmoment 2. Grades zusammengesetzter Flächen......................................... 4.5 Verdrehbeanspruchung (Torsion) ........................................................................... 4.6 Biegebeanspruchung ............................................................................................... 4.7 Knickbeanspruchung .............................................................................................. 4.8 Knickung im Stahlbau (DIN EN 1993-1-1) ............................................................ 4.9 Zusammengesetzte Beanspruchung ........................................................................ 4.10 Kerbspannung ......................................................................................................... 4.11 Dauerbruchsicherheit im Maschinenbau ................................................................ 4.12 Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen bei Biegeträgern mit gleichbleibendem Querschnitt ................................................................................ 4.13 Axiale Flächenmomente 2. Grades, Widerstandsmomente für Biegung und Knickung ................................................................................................................ 4.14 Polare Flächenmomente 2. Grades, Widerstandsmomente für Torsion .................. 4.15 Träger gleicher Biegebeanspruchung ..................................................................... 4.16 Festigkeitswerte für Walzstahl (Bau- und Feinkornbaustahl)................................. 4.17 Festigkeitswerte in N/mm2 für ausgewählte Stahlsorten ........................................ 4.18 Festigkeitswerte in N/mm2 für ausgewählte Gusseisen-Sorten .............................. 4.19 Richtwerte für Kerbwirkungszahlen/Kerbformzahlen ............................................ 4.20 Oberflächenbeiwert und Größenbeiwert für Kreisquerschnitte .............................. 4.21 Stahlbezeichnungen ................................................................................................ 4.22 Zulässige Spannungen im Stahlhochbau ................................................................ 4.23 Zulässige Spannungen im Kranbau ........................................................................ 4.24 Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl ................................ 4.25 Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl ............................

42 44 45 47 48 48 49 50 53 54 54 55 58 60 62 63 64 64 64 66 66 67 67 68 69

Inhaltsverzeichnis

4.26 4.27 4.28 4.29 4.30 4.31

IX

Warmgewalzte schmale I-Träger........................................................................... Warmgewalzte T-Träger......................................................................................... Warmgewalzte І-Träger, ІPE-Reihe ..................................................................... Mechanische Eigenschaften von Schrauben ........................................................... Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl .................................................................... Niete und zugehörige Schrauben für Stahl- und Kesselbau ....................................

70 71 72 72 73 73

5 Gewindetabellen 5.1 Metrisches ISO-Gewinde........................................................................................ 5.2 Metrisches ISO-Trapezgewinde .............................................................................

74 75

6 Allgemeine Tabellen 6.1 Vorsatzzeichen zur Bildung von dezimalen Vielfachen und Teilen von Basiseinheiten oder abgeleiteten Einheiten mit selbstständigem Namen ............... 6.2 Normzahlen (DIN 323) ........................................................................................... 6.3 Umrechnungsbeziehungen für gesetzliche Einheiten ............................................. 6.4 Griechisches Alphabet ............................................................................................

76 76 77 79

7 Mathematische Hilfen ..................................................................................................

80

Glossar .................................................................................................................................

87

Sachwortverzeichnis ..........................................................................................................

99

Wichtige Symbole

F

F2

FA

Kraft F, festgelegt durch Betrag, Wirklinie und Richtungssinn in N, kN, MN, z. B. FA, F2, FG2 (Gewichtskraft)

FG2 Einspannmoment

B

M = Fr = 50 N

A

Drehmoment M in Nm, kNm. Grundsätzlich werden linksdrehende Drehmomente positiv, rechtsdrehende Momente negativ in z. B. Gleichgewichtsbedingungen aufgenommen.

F = 200 N

B

A

B

Zweiwertiges Lager (Festlager) nimmt eine beliebig gerichtete Kraft auf. Die Wirklinie und der Betrag der Kraft sind unbekannt. Einwertiges Lager (Loslager) nimmt nur eine rechtwinklig zur Stützfläche gerichtete Kraft auf. Die Wirklinie der Kraft ist bekannt, der Betrag ist unbekannt.

B

Feste Unterlage oder Stützfläche (Ebene) zur Aufnahme zum Beispiel von Los- und Festlagern oder Körpern – nicht verschieb- oder verdrehbar.

B

Bezeichnung von Lagern (Fest- und Loslagern) und Körpern

A, B, C, ...

Schwerpunkt von Linien, Flächen und Körpern

S m1, m2, ...

Masse von Körpern in kg, t

n

Drehrichtung, zum Beispiel einer Welle

Zug- bzw. Druckfeder

Zugfeder Druckfeder

FN

Fq

x

SP Mb

x

SP

Gedachte Schnittstellen in einem Körper – zeigt innere Kräfte- und Momentensysteme

A FN

SP Schnittflächenschwerpunkt

1

Statik

1.1 Zentrales Kräftesystem Wie wird rechnerisch die Resultierende Fr ermittelt?

Lageskizze mit allen gegebenen Kräften und deren Komponenten Fnx und Fny in ein rechtwinkliges Koordinatensystem eintragen. Die Komponenten Fnx = Fn · cosn und Fny = Fn · sinn berechnen. Für den Winkel n immer den Winkel einsetzen, den die Kraft Fn mit der positiven x-Achse einschließt (Richtungswinkel). Die Teilresultierenden Frx und Fry berechnen: Frx = F1x + F2x + F3x + … Fnx Fry = F1y + F2y + F3y + … Fny Die Resultierende Fr und deren Neigungswinkel r zur x-Achse berechnen:

Fr  Frx2  Fry2 ;  r  arctan

Fry Frx

Quadranten für die Resultierende Fr aus den Vorzeichen von Frx und Fry bestimmen. Richtungswinkel r (zur positiven x-Achse) berechnen.

Gleichungssystem lösen und unbekannte Kräfte berechnen. Bei negativem Betrag für eine berechnete Kraft den angenommenen Richtungssinn umkehren.

α2 F5

F2

F4

F4y

–x

F5x

A

F3 Lageskizze

F1

α4

Gleichgewichtsbedingungen ansetzen: I. Σ Fx = 0; II. Σ Fy = 0 (Vorzeichen beachten)

F5y

α1

Die Komponenten Fnx = Fn · cosn und Fny = Fn · sinn berechnen.

y

α5

Lageskizze mit den Komponenten aller Kräfte – auch der unbekannten – zeichnen. Richtungssinn der unbekannten Kräfte (F4 und F5) annehmen.

α3

Wie werden rechnerisch unbekannte Kräfte ermittelt?

F4x

x

Fnx = Fn cosαn Fny = Fn sinαn

–y

unbekannte Kräfte F4 und F5

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Böge, W. Böge, Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25807-8_1

2 Wie wird zeichnerisch die Resultierende Fr ermittelt?

1.2 Momentensatz, rechnerisch Lageplan mit den Wirklinien aller gegebenen Kräfte zeichnen. Im Kräfteplan die gegebenen Kräfte entsprechend dem gewählten Kräftemaßstab in beliebiger Reihenfolge maßstäblich aneinanderreihen, sodass sich ein fortlaufender Kräftezug ergibt. Resultierende Fr zeichnen vom Anfangspunkt A der zuerst gezeichneten Kraft zum Endpunkt E der zuletzt gezeichneten Kraft. Resultierende Fr in den Zentralpunkt des Lageplans übertragen. Betrag und Richtungswinkel der Resultierende Fr abmessen.

Wie werden zeichnerisch unbekannte Kräfte ermittelt?

Lageplan mit den Wirklinien aller gegebenen und der noch unbekannten Kräfte zeichnen. Im Kräfteplan die gegebenen Kräfte entsprechend dem gewählten Kräftemaßstab in beliebiger Reihenfolge maßstäblich aneinanderreihen, sodass sich ein fortlaufender Kräftezug ergibt. Mit den Wirklinien der gesuchten Kräfte durch Parallelverschiebung aus dem Lageplan in den Kräfteplan das Krafteck „schließen“. Kraftrichtungen (Pfeile) nach der Bedingung des „geschlossenen“ Kräftezugs (Einbahnverlauf) an den gesuchten Kräften anbringen. Gefundene Kräfte in den Lageplan übertragen.

1.2 Momentensatz, rechnerisch Wie wird rechnerisch die Resultierende Fr ermittelt?

l4

Unmaßstäbliche Lageskizze der gegebenen Kräfte zeichnen.

l3

Drehpunkt (Bezugspunkt) D zweckmäßig auf der Wirklinie eine'r Kraft wählen. Lage der Resultierenden Fr nach dem Momentensatz berechnen: Fr l0 = F1 l1 + F2 l2 + F3 l3 +…+ Fn ln

l1 = 0

l2

D F3 F1

F4

F2 l0

Lageskizze

Fr

Fr = – F1 – F2 + F3 –F4

F1, F2, … , Fn

gegebene Kräfte oder deren Komponenten

l1, l2, … , ln

deren Wirkabstände vom gewählten Drehpunkt D

l0

Wirkabstand der Resultierenden Fr vom gewählten Drehpunkt D

F1 l1, F2 l2, … , Fn ln

Momente der gegebenen Kräfte (Vorzeichen beachten)

Gleichung nach l0 umstellen

l0



F1l1  F2l2  F3l3  ...  Fn ln Fr

1.4 Drei-Kräfte-Verfahren, zeichnerisch

3

1.3 Momentensatz, zeichnerisch Lageplan des frei gemachten Körpers mit den Wirklinien der gegebenen Kräfte zeichnen. Kräfteplan der gegebenen Kräfte F1, F2 zeichnen – durch Parallelverschiebung der Wirklinien aus dem Lageplan in den Kräfteplan. Resultierende Fr zeichnen als Verbindungslinie vom Anfangspunkt zum Endpunkt des Kräftezugs. Damit liegen Betrag und Richtungssinn von Fr fest.

0

Polstrahl

F2

F1

2 1

0

F1

Seilstrahl

1

P

2

S Fr

F2

Fr

Lageplan Längenmaßstab:

Kräfteplan

m cm (1 cm = ... m) ML = ...

Kräftemaßstab: N MK = ... cm (1 cm = ... N)

Polpunkt P beliebig wählen und Polstrahlen zeichnen. Seilstrahlen im Lageplan zeichnen durch Parallelverschiebung aus dem Kräfteplan, dabei ist der Anfangspunkt beliebig. Anfangs- und Endseilstrahl zum Schnitt S bringen. Schnittpunkt der Seilzugenden ergibt Lage von Fr im Lageplan, Betrag und Richtungssinn aus dem Kräfteplan.

1.4 Drei-Kräfte-Verfahren, zeichnerisch A

Richtungssinn der gefundenen Kräfte in den Lageplan übertragen.

B

F1

F

Schnittpunkt S mit zweiwertigem Lagerpunkt B verbinden. Krafteck mit der nach Betrag, Lage und Richtungssinn bekannten Kraft F1 beginnen; Krafteck zeichnen (schließen).

FB

S F1

FA

vo n

Lageplan des frei gemachten Körpers zeichnen und damit die Wirklinien der Belastungen und der einwertigen Lagerkraft F1 festlegen; bekannte Wirklinien zum Schnitt S bringen.

W L

Drei nichtparallele Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn das Krafteck geschlossen ist und die Wirklinien sich in einem Punkt schneiden

FB

B

1 Statik

Wie wird zeichnerisch die Resultierende Fr ermittelt? (Seileckverfahren)

FA

Lageplan

Kräfteplan

Längenmaßstab: m ML = ... cm (1 cm = ... m)

Kräftemaßstab: N MK = ... cm (1 cm = ... N)

4

1.6 Schlusslinienverfahren

1.5 Vier-Kräfte-Verfahren, zeichnerisch Fr3,4

F4

ad er

F2

e

Wirklinien je zweier Kräfte zum Schnitt I und II bringen. Gefundene Schnittpunkte zur Wirklinie der beiden Resultierenden verbinden (der Culmann’schen Geraden).

F1

F1 .G

Lageplan des frei gemachten Körpers zeichnen und darin die Wirklinien der Belastungen und Lagerkräfte festlegen.

lm Cu

Vier nichtparallele Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn die Resultierenden je zweier Kräfte ein geschlossenes Krafteck bilden und eine gemeinsame Wirklinie (die Culmann’sche Gerade) haben

F2

Fr1,2 F3

F4

Lageplan

F3

Kräfteplan

Längenmaßstab: m ML = ... cm (1 cm = ... m)

Kräftemaßstab: N MK = ... cm (1 cm = ... N)

Kräfteplan mit der nach Betrag, Lage und Richtungssinn bekannten Kraft beginnen. Kräfteplan mit der Culmann’schen Geraden und den Wirklinien der anderen Kräfte schließen. Die Kräfte eines Schnittpunkts im Lageplan ergeben ein Teildreieck im Kräfteplan.

1.6 Schlusslinienverfahren Das Schlusslinienverfahren ist universell anwendbar, insbesondere für parallele Kräfte bzw. solche, die sich nicht auf dem Zeichenblatt zum Schnitt bringen lassen. Seileck und Krafteck müssen sich schließen.

Lageplan des frei gemachten Körpers mit Wirklinien aller Kräfte zeichnen. Krafteck aus den gegebenen Belastungskräften zeichnen.

F1

FA

FB

FA

Schlus

Pol P beliebig wählen; Polstrahlen zeichnen. Seilstrahlen im Lageplan zeichnen, Anfangspunkt bei parallelen Kräften beliebig, sonst Anfangsseilstrahl durch Lagerpunkt des zweiwertigen Lagers legen.

F2

slinie S

0 2 Lageplan

FB

0 Teilpunkt T S F1 P 1 F2

1

Längenmaßstab: m ML = ... cm (1 cm = ... m)

2 Kräfteplan Kräftemaßstab: N MK = ... cm (1 cm = ... N)

Anfangs- und Endseilstrahl mit den Wirklinien der Stützkräfte zum Schnitt bringen. Verbindungslinie der gefundenen Schnittpunkte als „Schlusslinie“ im Seileck zeichnen. Schlusslinie S in den Kräfteplan übertragen und damit Teilpunkt T festlegen. Stützkräfte nach zugehörigen Seilstrahlen in das Krafteck einzeichnen.

1.8 Knotenschnittverfahren

5

1.7 Rechnerische Gleichgewichtsbedingungen Wie werden rechnerisch unbekannte Kräfte ermittelt?

Analytische Lösung: M (I)  0 I. Fx  0 II. Fy  0 oder M (II)  0 III. M  0 M (III)  0

Die Momentengleichgewichtsbedingungen können für jeden beliebigen Punkt (auch außerhalb des Körpers) angesetzt werden.

Lageskizze des frei gemachten Körpers zeichnen. Alle Kräfte – auch die noch unbekannten – in ihre Komponenten zerlegen. Gleichgewichtsbedingungen ansetzen. Bei negativem Betrag für eine berechnete Kraft zum Schluss den angenommenen Richtungssinn umkehren.

1

Auch der dreimalige Ansatz der Momentengleichgewichtsbedingung führt zum Ziel. Aber: Die drei Punkte I, II, III dürfen nicht auf einer Geraden liegen

Statik

Meist enthält Gleichung III nur eine Unbekannte – damit beginnen.

1.8 Knotenschnittverfahren Lageskizze des freigemachten Fachwerkträgers zeichnen, die Knotenpunkte mit römischen Ziffern und die Stäbe mit arabischen Ziffern kennzeichnen. Stützkräfte mit I. Σ Fx = 0; II. Σ Fy = 0; III. Σ M(D) = 0 berechnen. Stabwinkel aus der Lageskizze berechnen. Alle am Knoten wirkenden Kräfte in ein rechtwinkliges Koordinatensystem eintragen. Pfeilrichtung immer vom Knoten weg eintragen. Beginnen mit dem Knoten, der nur zwei unbekannte Stabkräfte hat. Mit I. Σ Fx = 0; II. Σ Fy = 0 die Stabkräfte berechnen. Hinweis: Negative Beträge müssen mit ihrem Vorzeichen 2m   arctan  63, 4 in Folgerechnungen übernommen werden. 1m Stabkräfte in eine Tabelle für Zug- und Druckkräfte eintragen.

6

1.10 Schwerpunktsbestimmung

1.9 Ritter’sches Schnittverfahren F1 = 4 kN F2 = 2 kN

Lageskizze des Fachwerks zeichnen.

F3 = 3 kN

x I

VII

4

FA

II

III

Fachwerk durch einen Schnitt (x – x) trennen. Der Schnitt darf höchstens drei Zweigelenkstäbe treffen, sie dürfen keinen gemeinsamen Knoten haben.

2m

5

b

x 6 2m

2m

V

=2m

2m

=2m

F1 = 4 kN

I

FB

VI

IV

a

2m

Stützkräfte mit I. Σ Fx = 0; II. Σ Fy = 0; III. Σ M(D) = 0 berechnen.

4

x

FS4

IV

II

Lageskizze des abgeschnittenen Trägerteils (a) zeichnen, dabei die unbekannten Stabkräfte als Zugkräfte annehmen.

FA = 4,75 kN

1 =

8

m2 =

a

=2m

Rechnerische Bestimmung einzelner Stabkräfte

FS5 5

2,

83

III m

6

x

FS6

Die drei Momenten-Gleichgewichtsbedingungen Σ M = 0 aufstellen und auswerten. Positives Ergebnis → Zugstab, negatives Ergebnis → Druckstab Beispiel: Σ M(III) = 0 = – FS4 l – FA l FS4 = (– FA l ) / l = – 4,75 kN (Druckstab)

1.10 Schwerpunktsbestimmung Die Lage des Schwerpunkts einer beliebigen Linie oder Fläche wird rechnerisch mit dem darauf zugeschnittenen Momentensatz (1.2) bestimmt, zeichnerisch mit dem Seileckverfahren (1.3). Dabei fasst man die Einzellinien oder Einzelflächen als parallele Kräfte auf und bestimmt den Wirkabstand der Resultierenden von einer beliebigen Bezugsachse. Das ist dann der gesuchte Schwerpunktsabstand. Momentensatz für zusammengesetzte Flächen (Bohrungen haben entgegengesetzten Drehsinn)

Schwerpunktsabstand in y-Richtung

n

A x0  A1 x1  A2 x2  ...  An xn

1 2 3

x0 

 An xn  An

Schwerpunktsabstand in y-Richtung

An

xn yn

A = An

An xn

An yn

An xn

An yn

A y0  A1 y1  A2 y2  ...  An yn y0 

 An yn  An

A1, A2 ... die bekannten Teilflächen in mm2 oder cm2 x1, x2 … die bekannten Schwerpunktsabstände der Teilflächen von den y1, y2 … Bezugsachsen in mm oder cm A

die Gesamtfläche (A1 + A2 + … + An) in mm2 oder cm2

x0, y0

die Schwerpunktsabstände der Gesamtfläche von den Bezugsachsen in mm oder cm

1.11 Flächenschwerpunkt Momentensatz für zusammengesetzte Linienzüge

7

Schwerpunktsabstand in x-Richtung

n

l x0  l1 x1  l2 x2  ...  ln xn

1 2 3

x0 

 ln xn  ln

Schwerpunktsabstand in y-Richtung

ln

xn yn

l = ln

ln xn

ln yn

ln xn

ln yn

l y0  l1 y1  l2 y2  ...  ln yn y0 

 ln y n  ln

l1, l2 ...

die bekannten Teillängen in mm oder cm

1

l

die Gesamtlänge (l1 + l2 + … + ln) des Linienzugs in mm oder cm

x0, y0

die Schwerpunktsabstände des Linienzugs von den Bezugsachsen in mm oder cm

Statik

x1, x2 … die bekannten Schwerpunktsabstände der Teillinien von den y1, y2 … Bezugsachsen in mm oder cm

1.11 Flächenschwerpunkt h 3

Seitenhalbierende

bh 2

A

h

y0 

S

y0

DreiecksSchwerpunkt

b

h 2

S

h

y0 

A  bh

y0

ParallelogrammSchwerpunkt

Diagonale

b

h 2a  b   3 ab

A

a

b

b 2

A y’0

y0'

h a  2b  3 ab

S y0

y0 

h

TrapezSchwerpunkt

ab h 2

B

a 2 a

b

8

2R º π 180º s  2R sin 

b

S α

r

y0 = 0,6002 R für Viertelkreisfläche

M

y0 = 0,6366 R für Sechstelkreisfläche

A

KreisringausschnittSchwerpunkt

r 2 57,3º

y0  38,197 ·

( R3  r 3 )sin  ( R2  r 2 )  º

S

R2  r 2 57,3º

α

α

R

r

A

α

R

y0 = 0,4244 R für Halbkreisfläche

y0

2 Rs  3 b

y0 

y0

KreisausschnittSchwerpunkt

1.12 Linienschwerpunkt

M

Bogen b

s3 12 A

Bogenhöhe h

Sehne s

Ra

R(b  s)  sh A 2

diu

s  2R sin 

α

M

y x01

b

3 x02  a 4 3 y02 b 10

y01

3 x01  a 8 3 y01  b 5

α

sR

h  2R sin 2 ( / 2)

ParabelflächeSchwerpunkt

S1 S2 x02

KugelzoneSchwerpunkt

r (cos1 + cos2) 2 r  h h0 h0  h   + h0 y0   2 r r  2

y0 

1.12 Linienschwerpunkt StreckenSchwerpunkt

x0 

l 2

Fläche A

S

y0

y0 

y02

KreisabschnittSchwerpunkt

x

1.13 Guldin’sche Regel

9

DreiecksumfangSchwerpunkt

y0 

h ab  2 abc

KreisbogenSchwerpunkt

y0 

Rs b

2R º π 180º s  2R sin 

1 Statik

b

y0 = 0,6366 R für Halbkreisbogen y0 = 0,9003 R für Viertelkreisbogen y0 = 0,9549 R für Sechstelkreisbogen

1.13 Guldin’sche Regel Mantelfläche A  2 π l x0  2 π   l x

Hinweis: Das Produkt l x0 wird mit dem Momentensatz (1.10) berechnet.

Symmetrieachse

Guldin’sche Regel für Mantelfläche (Oberfläche) A

x

Ringfläche ΔA

Δl

Volumen V  2 π Ax0  2 π   A x

Hinweis: Das Produkt A x0 wird mit dem Momentensatz (1.10) berechnet.

x0

l = Länge der erzeugenden Linie (Profillinie)

x0 S = Flächenschwerpunkt

Ringvolumen ΔV

ΔA

Drehachse =

Guldin’sche Regel für Körperinhalt (Volumen) V

Symmetrieachse

Drehachse =

Linienschwerpunkt S

x

A = erzeugende Fläche (Profilfläche)

10

1.14 Reibung, allgemein

1.14 Reibung, allgemein Reibungskraft FR

FR  FN 

FN Normalkraft,  Reibungszahl Reibungszahl

  tan r r Reibungswinkel

maximale Haftreibungskraft FR0max

Haftreibungszahl m0

FR0max  FN 0 FN Normalkraft, 0 Reibungszahl

0  tan r 0 r 0 Haftreibungswinkel

Reibungszahlen m0 und m für ausgewählte Werkstoffpaarungen (Klammerwerte sind die Gradzahlen für die Winkel r0 und r)

r  arctan 

Werkstoff

Haftreibungszahl 0

Gleitreibungszahl 

trocken

trocken

gefettet

gefettet

Stahl auf Stahl

0,2

(11,3) 0,1

(5,7) 0,15

(8,5) 0,05 (2,9)

Stahl auf Gusseisen (GJL)

0,2

(11,3) 0,15

(8,5) 0,18 (10,2) 0,1

Stahl auf CuSn-Legierung

0,2

(11,3) 0,1

(5,7) 0,1

Stahl auf PbSn-Legierung

0,15

(8,5) 0,1

(5,7) 0,1

(5,7) 0,04 (2,3)

Stahl auf Polyamid

0,3

(16,7) 0,15

(8,5) 0,3

(16,7) 0,08 (4,6)

Stahl auf Reibbelag

0,6

(31)

0,3

(16,7) 0,5

(26,6) 0,04 (2,3)

Stahl auf Holz

0,6

(31)

0,1

(5,7) 0,4

(21,8) 0,05 (2,9)

Holz auf Holz

0,5

(26,6) 0,2

(11,3) 0,3

(16,7) 0,1

(5,7)

Gummiriemen auf Gusseisen (GJL)

–

–

0,4

(21,8)

–

PU-Flachriemen mit Lederbelag auf Gusseisen (GJL)

–

–

0,3

(16,7)

–

Wälzkörper auf Stahl

–

–

Gusseisen auf CuSn-Legierung 0,3

(16,7) 0,15

(5,7)

(5,7) 0,05 (2,9)

–

0,002 (0,1)

(8,5) 0,18 (10,2) 0,1

(5,7)

1.15 Reibung auf der schiefen Ebene

11

1.15 Reibung auf der schiefen Ebene Allgemeine Fälle Verschieben nach oben

F  FG

sin    cos  cos (    )   sin (    )

Halten auf der Ebene

F  FG

sin   0 cos  cos (    )  0 sin (    )

Verschieben nach unten

F  FG

sin    cos   sin (    )  cos (    )

Spezielle Fälle Kraft F wirkt parallel zur schiefen Ebene Verschieben nach oben

r  arctan 

F  FG

sin (   r ) cos r

F  FG (sin    cos  )

Statik

1

12

Halten auf der Ebene

1.15 Reibung auf der schiefen Ebene

F  FG

sin (   r0 )

F  FG (sin   0 cos  )

cos r0

r0  arctan  0

Verschieben nach unten

F  FG

sin (r   ) cos r

F  FG

sin    cos  cos    sin 

F  FG

sin    0 cos  cos    0 sin 

F  FG tan ( r 0 )

F  FG

 cos   sin  cos    sin 

F  FG tan (r   )

F  FG (  cos   sin  )

r  arctan 

Kraft F wirkt waagerecht Verschieben nach oben

F  FG tan (   r )

r  arctan 

Halten auf der Ebene

r0  arctan  0

Verschieben nach unten

r  arctan 

1.17 Prismenführung

13

1.16 Zylinderführung Kräfte an der Zylinderführung

Die Führungsbuchse klemmt sich fest, solange die Wirklinie der resultierenden Verschiebekraft F durch die Überdeckungsfläche der beiden Reibungskegel geht. Dann stehen die Stützkräfte (Ersatzkräfte aus Reibungskraft FR und Normalkraft FN) mit der Kraft F im Gleichgewicht; ihre Wirklinien schneiden sich in einem Punkt, der innerhalb der Überdeckungsfläche liegt.

1

I.

Fx

II. Fy

Statik

Die drei Gleichgewichtsbedingungen ergeben:  0  + FR1 + FR2 – F  0  + FN1 – FN2

also FN1  FN2 und damit auch FR1  FR2 III. M(II)  0  – FR1d + FN1l – F(la – d /2) Mit FR  FN  und F  2 FR aus Gleichung I wird Gleichung III weiterentwickelt:  

d 2

III. FN  · d – FN l + 2FN   la –   0

 d – l + 2 la – 2

d 0 2

Daraus ergibt sich die Führungslänge l l mm

l  2 la Klemmbedingung

la mm

 1

Bei l < 2  laklemmt sich die Buchse fest, bei l > 2 la gleitet sie. Festklemmen oder Gleiten ist unabhängig von der Größe der verschiebenden Kraft F.

1.17 Prismenführung Verschiebekraft

FV  F

1 cos  2   2 cos  1 sin (  1   2 )

Normalkräfte

FN1  F

cos  2 sin (  1   2 )

FN2  FN1 Reibungskräfte

cos 1 cos  2

FR1  FN1 1 FR2  FN2  2

Für die symmetrische Prismenführung ist 1 = 2 =  Normalerweise sind auch die Reibungszahlen gleich groß: 1 = 2 = 

14

1.18 Reibung an der Schraube

Verschiebekraft (Reibungskraft FR)

FV  FR  F  '

Keilreibungszahl

' 

 sin 

F, FV, FN, FR

  '

N

1

 ist der halbe Keilwinkel

1.18 Reibung an der Schraube Umfangskraft

Fu  F tan (  r' )

d2 tan (  r' ) 2

M RG  F

Anzugsmoment

d  M A  F  2 tan (   r ' )   a ra   2 

(+) für Anziehen, (–) für Lösen



MRG , MA

d2 , ra , P

N

Nmm

mm

Fu Umfangskraft am Gewinde F Schraubenlängskraft = Vorspannkraft  Steigungswinkel des Gewindes r' Reibungswinkel im Gewinde ( 9° für Stahl auf Stahl) d2 Flankendurchmesser

Gewindereibungsmoment

Wirkungsgrad für Schraubgetriebe

Fu , F

tan  tan (   r ' )

a Reibungszahl der Mutterauflage

(1.14) ra Reibungsradius  0,7 d bei Sechskantmutter d Gewinde-Nenndurchmesser

Selbsthemmung des Schraubgetriebes bei   0,5

Auflagereibungsmoments M Ra  FRa ra  Fa ra

P Steigung

P π d2

Steigungswinkel des Gewindes

  arctan

Reibungswinkel im Gewinde

r '  arc tan  '  arc tan

 cos (  / 2)

 Flankenwinkel des Gewindes   '  0,16 bei metrischem

Regelgewinde und Stahl auf Stahl

1.22 Bremsen

15

1.19 Seilreibung Seilzugkraft

F1  F2 e 

Seilreibungskraft

e   1 FR  F1  F2  F2 (e   1)  F1  e

Euler’sche Zahl

e  2,71828

) 

Hinweis:



Umschlingungswinkel muss im Bogenmaß eingesetzt werden:  

 º 180º

1

Lagerreibungskraft

FR  F 

Reibungsmoment

M R  FR r MR  Fr

Reibungsleistung

PR  FR  PR  M R 

Statik

1.20 Reibung am Tragzapfen (Querlager)

 Tragzapfenreibungszahl und Spurzapfenreibungszahl   0,002 … 0,01

PR W=

Nm s

FR MR r



N Nm m m/s





rad 1 =s s

1

1.21 Reibung am Spurzapfen (Längslager) Reibungsmoment

M R  F  rm

Reibungsleistung

PR  M R 

Wirkungsradius der Reibungskraft

rm 

r 1  r2

2

 Tragzapfenreibungszahl und Spurzapfenreibungszahl   0,002 … 0,01 PR

FR MR r



W = Nm N Nm m m/s s





rad 1 =s s

1



1.22 Bremsen Backenbremse mit überhöhtem Drehpunkt D Bremskraft

F  FN

Bremsmoment

M 

 l1   l2  l

Fl  r

 l1  l2 

(+) bei Rechtslauf, (–) bei Linkslauf Selbsthemmungsbedingung bei Linkslauf: l1  µ l2

16

1.22 Bremsen

Backenbremse mit unterzogenem Drehpunkt D Bremskraft

F  FN

Bremsmoment

M 

 l1   l2  l

Fl  r l  1   l2 

(–) bei Rechtslauf, (+) bei Linkslauf Selbsthemmungsbedingung bei Rechtslauf: l1  µ l 2 Backenbremse mit tangentialem Drehpunkt D Bremskraft

F  FN

Bremsmoment

M

l1 l

Fl  r l

gleiche Hebelkraft F für Rechts- und Linkslauf

Selbsthemmungsbedingung nicht möglich

Bremszaum Wellendrehmoment

M  FG l

Wellenleistung

P

FGl n Zahlenwertgleichung 9550

P

FG

l

n

kW

N

m

min–1

Einfache Bandbremse Bremsmoment

M  FR r  F r

l μα  e  1 l1

Selbsthemmung nicht möglich

1.23 Rollreibung

17

Summenbremse Bremsmoment

M  FR r  F r

l eμα  1 l1 eμα  1

Selbsthemmung nicht möglich Differenzbremse M  FR r  F r l

1

eμα  1 l2  l1 eμα

Statik

Bremsmoment

Selbsthemmungsbedingung l2 = l1eµ Bandbremszaum Wellendrehmoment

M   FG  F  r

Wellenleistung

P

 FG  F  r n 9550

Zahlenwertgleichung

P

FG, F

r

n

kW

N

m

min–1

1.23 Rollreibung Rollkraft

F  FG

f r

F, FG

f

r

N

cm

cm

f  0,05 cm für Gusseisen und Stahl auf Stahl f  0,0005 … 0,001 cm für Wälzlager

18

1.27 Rollenzug (Flaschenzug)

1.24 Fahrwiderstand Fahrwiderstand

Fw  FN  f

Rollbedingung

0  f

Erfahrungswerte für Fahrwiderstandszahlen  f Schienenfahrzeuge – Bahn 0,0025 Straßenbahn mit Wälzlagern 0,005 Straßenbahn mit Gleitlagern 0,018 Kraftfahrzeug auf Asphalt 0,025 Drahtseilbahn 0,01

1.25 Feste Rolle Wirkungsgrad der festen Rolle

Wn F s F  G  G Wa Fs F

f 

Erfahrungswert: f  0,95 s Kraft- und Lastweg

1.26 Lose Rolle Wirkungsgrad der losen Rolle

f 

FG 2F

Zugkraft

F 

FG 1  f

1.27 Rollenzug (Flaschenzug) Kraftweg

s1  n s2

s2 Lastweg n Anzahl der tragenden Seilstränge Zugkraft

F  FG

Wirkungsgrad des Rollenzugs

r 

Werte für den Wirkungsgrad

1   (1   n )

 (1   n ) n (1   )

Werte für den Wirkungsgrad r des Rollenzugs in Abhängigkeit von der Anzahl n der tragenden Seilstränge ( = 0,96) für Gleitlagerungen n

r n

r

1 2 3 4 5 0,960 0,941 0,922 0,904 0,886 6 7 8 9 10 0,869 0,852 0,836 0,820 0,804

2

Dynamik

2.1 Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung Hinweis: Erfolgt die Bewegung aus der Ruhelage heraus, ist in den Gleichungen die Anfangsgeschwindigkeit v0 = 0 zu setzen. Die Fläche unter der v-Linie ist dann ein Dreieck. Die Gleichungen gelten mit a = g = 9,81 m/s2 (Fallbeschleunigung) auch für den freien Fall. v

Zeitabschnitt

v0 + vt Δt 2

Δs = 0

v0  vt a (Δt )2 Δt  v0Δt  2 2 vt2  v0 2 Δs  2a

inie

vt

vt  v0  Δv  v0  a Δt vt  v0 2  2a Δs

Wegabschnitt

v-L

Δv

v 2  v0 2 vt  v0  t Δt 2 Δs

Δt

t

v

Δs 

 v 2 2Δs v  v0 v Δt  t  0   0   a a a a

v-

Li

ni

e

vt

Endgeschwindigkeit

a

v0

Beschleunigung

vt Δt 2

Δs = 0

t

Δt

2.2 Gleichmäßig verzögerte geradlinige Bewegung Hinweis: Wird die Bewegung bis zur Ruhelage verzögert, ist in den Gleichungen die Endgeschwindigkeit vt = 0 zu setzen. Die Fläche unter der v-Linie ist dann ein Dreieck. Die Gleichungen gelten mit a = g = 9,81 m/s2 (Fallbeschleunigung) auch für den senkrechten Wurf nach oben. v

v 2  vt 2 v0  vt  0 Δt 2 Δs

vt  v0  Δv  v0  a Δt

Δs =

vt  v0 2  2a Δs

v0  vt a(Δt ) 2 Δt  v0Δt  2 2 v0 2  vt2 Δs  2a

t

v

Δs 

ni e

 v  2Δs v0  vt v  0   0  a a a a

Li

Δt 

v-

2

Zeitabschnitt

v0 + vt Δt 2 Δt

0

v0

Wegabschnitt

inie

Δv

v-L

vt

Endgeschwindigkeit

a

v0

Verzögerung

Δs =

0

v0 Δt 2

Δt

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Böge, W. Böge, Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25807-8_2

t

20

2.5 Gleichmäßig verzögerte Drehbewegung

2.3 Gleichförmige Drehbewegung Grundgleichung der gleichförmigen Drehbewegung





Δ 2 π z   2πn Δt Δt

rad s

u  2 π r n   r





 1 s

z

rad

t

n

vu

s

1 s

m s

1

1 rad  57,3o

πn Zahlenwertgleichung 30

1o  0,0175 rad

 Winkelgeschwindigkeit n Drehzahl bzw. Umdrehungsfrequenz  Drehwinkel u Umfangsgeschwindigkeit r Radius z Anzahl der Umdrehungen t Zeitabschnitt



n

1 s

1 min

2.4 Gleichmäßig beschleunigte Drehbewegung Hinweis: Erfolgt die Bewegung aus der Ruhelage heraus, ist in den Gleichungen die Anfangswinkelgeschwindigkeit  0 = 0 zu setzen. Die Fläche unter der  -Linie ist dann ein Dreieck.

Tangentialbeschleunigung

aT   r 

Endwinkelgeschwindigkeit

 t   0  Δ    0   Δt

t

v

 (Δt ) 2

 t2   02

Drehwinkel

Δ =

Zeitabschnitt

  2 2 Δ   0  Δt  t  0   0        

2

Δ t   0 Δt 

ie

Δt

0

 t   0 2  2  Δ

Lin

v0 + vt Δt 2

Δϕ =

v0

Δ Δ r u Δt Δt

0 t

v-

vt



2



2

v

-L

Δϕ = 0

in

ie vt

Winkelbeschleunigung

Δt

v

 2  02  t 2 Δ

Δv

 t  0

vt Δt 2

Δt

t

2.5 Gleichmäßig verzögerte Drehbewegung Hinweis: Wird die Bewegung bis zur Ruhelage verzögert, ist in den Gleichungen die Endwinkelgeschwindigkeit  t = 0 zu setzen. Die Fläche unter der  -Linie ist dann ein Dreieck. Δt

aT   r 



v

 0 2   t2 2 Δ

Δ Δ r u Δt Δt

v-

Δϕ =

0

Lin

ie

v0 + vt Δt 2

Δt

Δv

 0  t

vt

Tangentialbeschleunigung

 

v0

Winkelbeschleunigung

t

2.7 Schräger Wurf

 t   0  Δ    0   Δt  t   02  2 Δ Δt   0 Δt 

2



2

  2 2 Δ 0  t 0    0       

ie

Δt 

2

in

Zeitabschnitt

0t

-L

Δ =

 02   t2 v

Drehwinkel

v

 (Δt ) 2

v0

Endwinkelgeschwindigkeit

21

Δϕ =

v0 Δt 2

Δt

0

t

2.6 Waagerechter Wurf (ohne Luftwiderstand)

2

h

Wurfweite

sx  v0

Fallhöhe

h

Dynamik

g 2 s x  k s x2 2 v02

Gleichung der Wurfbahn

2h g

g 2 sx 2 v02

a

Geschwindigkeit nach der Wurfzeit t

vr  v02  ( g t ) 2

Richtungswinkel 

  arctan

gt v0

h Fallhöhe g Fallbeschleunigung sx Wurfweite k = g / 2 v02 Konstante

v0 horizontale Geschwindigkeit vr Geschwindigkeit nach der Wurfzeit t  Richtungswinkel der Geschwindigkeit v

2.7 Schräger Wurf Gleichung der Wurfbahn

h  s x tan  

größte Wurfweite

s max 

Wurfzeit

T 

Scheitelhöhe

h max 

Steigzeit

Δt s 

g s x 2  k1s x  k 2 s x 2 2v12 cos 2

v12 sin 2 g

2 v1 sin  g

v12 sin 2 2g

v1 sin  g

k1  tan 

k2 

g 2 v0 cos 2  2

22

2.8 Umfangs- und Winkelgeschwindigkeit

2.8 Umfangs- und Winkelgeschwindigkeit vu

Umfangsgeschwindigkeit

vu  2 π r n

Zahlenwertformel für die Schnittgeschwindigkeit

an Dreh-, Fräsmaschinen usw.: v d n πd n v m 1000 mm min 1 min

r

m min

n

m min 1

an Schleifscheiben: v d n πd n v m 6000 mm min 1 s

ω Δφ z Δt n



Mittelpunktsgeschwindigkeit

vM = vu bei schlupffrei rollendem Rad

Winkelgeschwindigkeit



Winkelgeschwindigkeit Drehwinkel Anzahl der Umdrehungen Zeitabschnitt Drehzahl

 2 π z  t t

  2πn

vu rad s



1 s



s 1

f

z

t

n

rad

1

s

s 1

Zahlenwertformel für die Winkelgeschwindigkeit



πn 30



n

s 1

min 1

Umfangs- und Winkelgeschwindigkeit

vu   r

vu



r

m s

s 1

m

2.10 Kreuzschubkurbelgetriebe (Kreuzschleife)

23

2.9 Übersetzung (Übersetzungsverhältnis)

Zahnradgetriebe

i

n1



n2

1 d2   2 d1

i

n1, n2

1

min 1

i

n1 n2



s 1

mm

 1 d 2 z2    2 d1 z1

i n1, n2 1

 1,  2 d1, d2

min 1

s 1

i

nan nab

Übersetzung allgemein

i

Mehrfachübersetzung

iges 

2

 1,  2 d1, d2 z1, z2 mm

1

n1, n2  1,  2 d1, d2 z1, z2

Übersetzungsverhältnis Drehzahlen der Zahnräder Winkelgeschwindigkeiten der Zahnräder Teilkreisdurchmesser der Zahnräder Zähnezahlen

nan nab

Antriebsdrehzahl Abtriebsdrehzahl

nan  i1  i2  i3  .....  in nab

i > 1 → Übersetzung ins „Langsame“ i < 1 → Übersetzung ins „Schnelle“

2.10 Kreuzschubkurbelgetriebe (Kreuzschleife) Drehwinkel  im Zeitabschnitt t

   Δt

Schieberweg s (Auslenkung)

s  r (1  cos  )

Geschwindigkeit v (Hin- und Rückweg)

v  vu sin   r  sin  vmax  vu  r 





rad

1 s

t s

s, r

v, vu , vmax

a, amax

m

m s

m s2

n min 1

Dynamik

Riemengetriebe

24

2.12 Dynamisches Grundgesetz für Translation πn 30 vu  r 

vu 2 cos   r  2 cos  r

in Mittelstellung

a

Beschleunigung a (Hin- und Rückweg)

amax 



vu 2  r 2 r

2.11 Schubkurbelgetriebe Drehwinkel  im Zeitabschnitt t

   Δt

Schubstangenverhältnis 

 r l

Kolbenweg s

r l Kurbelradius Schubstangenlänge

s  r (1  cos   0,5  sin 2  ) (+) für Hingang, (–) für Rückgang

Kolbengeschwindigkeit v

v  r  (sin   0,5   sin 2 )

vmax  r  (1 0,5   2 ) Beschleunigung a

πn 30 vu  r 



a  r  2 (cos    cos 2 ) amax  r 2 (1 )





t

s, r v, v u , vmax a, amax

rad

1 s

s

m

m s2

m s

n min 1

2.12 Dynamisches Grundgesetz für Translation Dynamisches Grundgesetz

Fres  ma

Fres

N Dynamisches Grundgesetz für Gewichtskräfte

kgm s2

FG  m g

FG n  m g n

m kg

a

Fres resultierende Kraft m Masse a Beschleunigung

m s2

FG m g FGn gn

Gewichtskraft Masse Fallbeschleunigung Normgewichtskraft Normfallbeschleunigung = 9,80665 m/s2

2.16 Mechanische Arbeit und Leistung bei Translation

25

2.13 Dichte r

Dichte ausgewählter Stoffe in 103 kg/m3

m V

Aluminium Beton Gusseisen Kupfer Magnesium Mangan Molybdän Stahl

r Dichte m Masse V Volumen r kg m3

m

V

kg

m3

2,7 1,8 … 2,2 7,25 8,96 1,8 7,42 10,22 7,85

2

2.14 Gewichtskraft Gewichtskraft

FG  mg  V r g  Al r g

r

m

kg

kg m3 m2 m

m3

V

A

l

2.15 Impuls Impuls

Fres (t 2  t1 )  m (v 2  v1 )       Δt

m v2  m v1  konstant

Δv

Kraftstoß  Impulsveränderung

Impulserhaltungssatz

2.16 Mechanische Arbeit und Leistung bei Translation Mechanische Arbeit

W Fs

Hubarbeit

Wh  FG h  m g h

Reibungsarbeit

WR  FR sR WR  FN  sR F FN FG µ W J

Verschiebekraft Normalkraft Gewichtskraft Reibungszahl P W

F, FG s, h N

m

m

g

R

t

kg

m s2

N m

s

kg m 2 = 1 kg m 2 s 2 s2 J Nm 1 Watt (W) = 1 = 1  1 kg m2 s3 s s 1 Joule (J) = 1 Nm = 1

g m s2

FG

N

kgm s2

Dynamik

Dichte

Federarbeit

F F Wf  1 2 s 2 R s  R s2 Wf  1  s2  s1  2 R Wf   s22  s12  2

Momentanleistung

P=Fv

Mittlere Leistung während der Zeit t

P

W Fs  t t



Wn Pn P2   1 Wa Pa P1

F-L

i ni

e

F2

 F F1 F2    ....  s s1 s2

DF

R

A = Wf

F1

Federrate

2.18 Dynamisches Grundgesetz für Rotation Federkraft F

26

a Ds

s1

Federweg s

s2 F0 = 0

F1 F2

2.17 Wirkungsgrad Wirkungsgrad

Gesamtwirkungsgrad



 W

P

1

W

 ges  1   2  3  ...   n 

J

Pn P2  1 Pa P1

Wirkungsgrad Wn Nutzarbeit Wa aufgewendete Arbeit Pn Nutzleistung Pa Antriebsleistung Index 1 aufgewendete Arbeit Index 2 Nutzarbeit/Nutzleistung Beispiele für Wirkungsgrade: Gleitlager

η = 0,98

(98%)

Verzahnung

η = 0,96

(96%)

E-Motor Ottomotor

η = 0,90 η = 0,36

(90%) (36%)

2.18 Dynamisches Grundgesetz für Rotation resultierendes Drehmoment

Drehimpulsänderung / Momentenstoß

M res  J 

Mres resultierendes Drehmoment J Trägheitsmoment  Winkelbeschleunigung M res t  J  M res  t2  t1   J  2   1





Mres t Momentenstoß des resultierenden Drehmoments J 

Drehimpuls (Drall) des Körpers

Mres Nm =

J

kgm 2 s2

kgm2





t

rad

rad s

s

s2

2.19 Gleichungen für Trägheitsmomente (Massenmomente 2. Grades) Verschiebesatz von Steiner

J 0  J s  ml 2

reduzierte Masse (Ersatzmasse)

mred 

27

Js r2 Mres Nm =

J, J0, Js m, mred

kgm 2 s2

kgm2

i, l, r



m

rad s

kg

Js m

i

Impulserhaltungssatz

J  2  J  1  konstant

Energieerhaltungssatz

Erot E  Erot A  Wzu  Wab

2

2.19 Gleichungen für Trägheitsmomente (Massenmomente 2. Grades) Trägheitsmoment J (Jx um die x-Achse, Jz um die z-Achse; J0 um die 0-Achse) Rechteck, Quader

Jx =

1 1 m (b2  h2 )  r hb s (b2  h2 ) 12 12

bei geringer Plattendicke s ist Jz =

1 1 1 1 mh2  r b h3s; J 0  mh2  r bh3s 12 12 3 3

Würfel mit Seitenlänge a: Jx = Jz = m Kreiszylinder

Hohlzylinder

Kreiskegel

1 1 1 1 Jx = m r 2  m d 2  r π d 4 h  r π r 4 h 2 8 32 2  1  2 4 2 1 4  Jz = m d  h  r π d 2 h d 2  h 2   16  3  64 3  1 1 1 Jx = m ( R 2  r 2 )  m ( D 2  d 2 )  r π h ( D 4  d 4 ) 2 8 32 1 Jx = r π h ( R 4  r 4 ) 2 1  2 1  1  4  Jz = m R  r 2  h 2  m D 2  d 2  h 2  4  3  16  3  Jx =

3 mr 2 10

Kreiskegelstumpf: Jx = Zylindermantel

a2 6

3 R5  r 5 m 10 R 3  r 3

1 2  1 rπ d3 hs Jx = md m m 4 4  2 2 2 1  2 2 2 1 Jx = m d m  h  r π d m h s d m  h   8  3  8 3 

Hohlzylinder mit Wanddicke s = (D – d) / 2 sehr klein im Verhältnis zum mittleren Durchmesser dm = (D + d) / 2

Dynamik

Trägheitsradius

28

2.21 Energie bei Translation

Kugel

2 1 1 8 Jx = m r 2  m d 2  r π d 5  r π r 5 5 10 60 15

Hohlkugel (Kugelschale)

1 2  1rπd4 s Jx = Jz = mdm m 6 6

Ring

 3  1  3  Jz = m R 2  r 2  m D 2  d 2   4  4  4 

Jz =

Wanddicke s = (D – d) / 2 sehr klein im Verhältnis zum mittleren Durchmesser dm = (D + d) / 2

 3 2   1 3  1 r π 2 D d 2 D 2  d 2  m D 21  d    16 4  4  4 D  

2.20 Mechanische Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad bei Rotation Rotationsarbeit

Wrot  FT s  M 

Rotationsleistung

Prot  FT vu Prot  M   M 2π n Wrot

Prot

J = Nm W =

Zahlenwertgleichungen

Prot 



FT N

M Nm

s, r m

Mn 9550

M  9550

Wirkungsgrad

Nm s



vu

rad

m s

 rad s

M

Prot

n

Nm

kW

min 1

n 1 s

 s1

i 1

Prot n

Mn Ma  i

Mn Abtriebsmoment Ma Antriebsmoment

2.21 Energie bei Translation potenzielle Energie Epot  Hubarbeit Wh potenzielle Energie (Höhenenergie)

Epot  FG h  m g h

Änderung der potenziellen Energie

Wh  m g (h2  h 1)   Epot

Epot, Wh J = Nm

FG N

m

g

h

kg

m s2

m

2.22 Gerader zentrischer Stoß

29

Spannungsenergie Es  Federarbeit Wf Spannungsenergie

Es 

Fs R 2  s 2 2

Änderung der Spannungsenergie

Wf 

F1  F2 R s  (s2 2  s12 )  Es 2 2

Wf, Es

F

s

R

J = Nm

N

m

N m

Ekin, Wa

m

v

J = Nm

kg

m s

kinetische Energie Ekin  Beschleunigungsarbeit Wa Ekin 

Änderung der kinetischen Energie (Beschleunigungsarbeit)

m Wa  (v2 2  v12 )  Ekin 2

Energieerhaltungssatz

EE  EA  Wzu  Wab

2.22 Gerader zentrischer Stoß Elastischer Stoß

m1 v1  m 2 v 2 m1  m 2

Geschwindigkeit beider Körper am Ende des ersten Stoßabschnitts

c

Geschwindigkeiten beider Körper nach dem Stoß

c1 

(m1  m2 ) v1  2 m2 v2 m1  m2

Unelastischer Stoß

1 m1 m 2 (v1  v 2 ) 2 2 m1  m 2

Energieabnahme beim unelastischen Stoß

W 

Wirkungsgrad beim Schmieden



m2 1  m1  m2 1  m1 m2

Wirkungsgrad beim Rammen



1 m 1 2 m1

c2 

(m2  m1 ) v 2  2 m1 v1 m1  m2

2 Dynamik

m 2 v 2

kinetische Energie (Bewegungsenergie)

30

2.24 Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft

Wirklicher Stoß

1 m1 m 2 (v1  v 2 ) 2 (1  k 2 ) 2 m1  m 2

Energieverlust beim wirklichen Stoß

W 

Stoßzahl

k

c 2  c1 v1  v 2

Geschwindigkeiten nach dem wirklichen Stoß

c1 

m1 v1  m2 v 2  m2 (v1  v2 ) k m1  m2

elastischer Stoß k=0 unelastischer Stoß k = 0,35 Stahl bei 1100 °C k = 0,7 Stahl bei 20 °C k=1

c2 

m1 v1  m2 v 2  m1 (v1  v 2 ) k m1  m2

2.23 Energie bei Rotation Rotationsenergie Erot  Beschleunigungsarbeit W Rotationsenergie

Erot 

J 2  2

Änderung der Rotationsenergie

W 

J ( 2   12)   Erot 2 2

2.24 Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft vu 2  rs  2 rs

Zentripetalbeschleunigung

az 

Zentripetalkraft

Fz  m az  m rs  2  m

Fz N

m

kgm s2

kg

az m s2

vu 2 rs

Hinweis: Der Radius rs ist der Abstand des Körperschwerpunkts von der Drehachse.

rs



vu

m

rad s

m s

2.26 Harmonische Schwingung

31

2.25 Gegenüberstellung der translatorischen und rotatorischen Größen (Analogieschluss)

Größe

Drehende (rotatorische) Bewegung

Definitionsgleichung

Einheit

Größe

Zeit t

Basisgröße

s

Zeit t

Verschiebeweg s

Basisgröße

m

Drehwinkel 

Definitionsgleichung

Einheit

Basisgröße

s



rad

b r

b ist der Bogen des Winkels , siehe 7.21

Masse m

Basisgröße

kg

Trägheitsmoment J

kgm2

J =  m r 2

 t

Geschwindigkeit v (v = konstant)

v

s t

m s

Winkelgeschwindigkeit 

Arbeit W

W=Fs

J

Dreharbeit Wrot

Wrot = M  = FT r 

W  Fv t

W

Drehleistung Prot

Prot 

v t

m s2

Winkelbeschleunigung 

N

Beschleunigungsmoment Mres

Mres = J 

J

Rotationsenergie Erot

Erot 

Leistung P

P

Beschleunigung a Beschleunigungskraft Fres kinetische Energie Ekin

a

Fres = m a

Ekin 

m 2 v 2



rad s J

Wrot  M t



W

 t

rad s2 Nm

J 2  2

J

Mres (t2 – t1) = J ( 2 – 1) Momentenstoß = Drehimpulsänderung

Fres (t2 – t1) = m ( v 2 – v 1) Kraftstoß = Impulsänderung 



2.26 Harmonische Schwingung T, t s

z

f

1

1 Hz  s

 1 s

 rad

y, l

y

ay, g

m

m s

m s2

FR N

MR

D, R

Rd

m

J

Nm

N m

Nm rad

kg

kgm2

Periodendauer T

T=

t 1  z f

t Zeitabschnitt z Anzahl der Perioden

Frequenz f

f=

z 1  t T

z Anzahl der Perioden t Zeitabschnitt

Phasenwinkel

 = 2  z =  t = 2  f t

2 Dynamik

Geradlinige (translatorische) Bewegung

32

2.26 Harmonische Schwingung

z 2π  2π f  t T

Kreisfrequenz 

=2

Auslenkung y (A Amplitude = ymax)

y = A sin  = A sin ( t) = A sin (2  f t) y = A sin

Momentangeschwindigkeit vy

2πt T

vy = A  cos  = A  cos ( t) = A  cos (2  f t) vy = A  cos

Momentanbeschleunigung ay

2πt T

ay = – A  2 sin  = – A  2 sin ( t) = – A  2 sin (2  f t) = – A  2 sin

2πt T

ay = – y  2

Schwingungsbeginn bei Phasenwinkel 0

y = A sin ( +  0) = A sin ( t +  0)

Rückstellkraft FR

FR = Dy = Ry

D Richtgröße (Federrate R)

Rückstellmoment MR

MR = R  

R Federrate der Torsionsfeder

Periodendauer T (Feder)

T = 2π

m R

Schraubenfeder Periodendauer T (Pendel)

T = 2π

l g

Schwerependel

T = 2π

J R

R=m

4 π2 D T2

Torsionsfeder T = 2π

l 2g

Flüssigkeitssäule

J Trägheitsmoment R Federrate der Torsionsfeder l Pendellänge und Länge der Flüssigkeitssäule

Überlagerung bei f1 = f2 und A1  A2

yres = A1 sin  1 + A2

Überlagerung bei f1  f2 und A1  A2

yres = A1 sin  1 + A2 sin  2 ergibt keine harmonische Schwingung

Schwebungsfrequenz f

f = f1 – f2

ergibt wieder eine harmonische Schwingung

2.27 Pendelgleichungen

33

2.27 Pendelgleichungen N

Nm rad

m

g

kg

m s2

l, s, y, A

RF

RT

m

N m

Nm rad

T



s

1 s

rad

Schwerependel

Pendelart Rückstellkraft FR Rückstellmoment MR



v0

 0

kgm2

m s

1 s

Schraubenfederpendel

FR = FG sin  = m g sin FR = RF y = m FR =

J

Torsionspendel

4 π2 y T2

MR = RT 

mg s  Ds l

mg l

Richtgröße D Federrate RF, RT

D=

Periodendauer T

T = 2

l g

RF = m

4 π2 T2

T = 2

m RF

Ip G MR  l  (G Schubmodul, Ip polares Flächenmoment 2. Grades)

RT =

T = 2

J Trägheitsmoment



0 = A

gilt bis max < 14°

J2 = J1

RF m

0 = 

RT J

J Trägheitsmoment

T22  T12 T12 d

J1 bekanntes Trägheitsmoment J2 unbekanntes Trägheitsmoment

l

experimentelle Bestimmung des Trägheitsmoments J2 eines Körpers

0 = 2 g l (1  cos max )

T1 gemessene Schwingung bei Körper 1 allein

Prüfkörper K 2 mit unbekanntem J2

T2 bei Körper 1 und 2 zusammen

h

maximale Geschwindigkeit  maximale Winkelgeschwindigkeit  0

J RT

Körper K1

r

2 Dynamik

FR, FG MR

34

2.28 Harmonische Welle

2.28 Harmonische Welle 

Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Welle

c=

Gleichung der harmonischen Welle

 t x   y = A sin  2 π        T

c, vB, vE  , A, y, l, x, x0

Momentanbild der Welle zur Zeit t0

 t x   y = A sin  2 π  0   T     

T, t, t0

f, f0, f1

s

1 s

Auslenkung eines Oszillators der Welle zur beliebigen Zeit t

 t x  y = A sin  2 π   0      T

Bedingung für die größtmögliche Verstärkung der Welle

x =  2 n

Bedingung für die größtmögliche Schwächung der Welle

T

 f

 Wellenlänge



m s

m

 2

n natürliche Zahl x =  (2 n – 1)

 2

n natürliche Zahl Bedingung für die Auslöschung der Welle, wenn zugleich A1 = A2 ist.

x =  (2 n – 1)

 2

n natürliche Zahl

Brechungsgesetz

sin  c  1 sin  c2

 Einfallswinkel  Brechungswinkel

Doppler-Effekt bei still stehendem Erreger und bewegtem Beobachter (vB)

 v  f1 = f01 B   c

+ –

Beobachter bewegt sich auf den Erreger zu Beobachter entfernt sich vom Erreger

Doppler-Effekt bei bewegtem Erreger (vE) und stillstehendem Beobachter

f1 = f0

– +

Erreger bewegt sich auf den Beobachter zu Erreger entfernt sich vom Beobachter

Grundfrequenz f0 (stehende Welle auf einem Träger der Länge l )

f0 =

Überlagerung stehender Wellen (f1 = f2 ; A1 = A2)

1 v 1 E c

c 2l

Träger mit zwei festen Enden  t   x yres = 2 A sin 2 π cos 2 π   T   

f0 =

c 4l

Träger mit einem festen und einem losen Ende

3

Fluidmechanik

3.1 Statik der Flüssigkeiten Hydrostatischer Druck auf ebene und gewölbte Flächen Druck durch die Schwerkraft mit der Druckhöhe h

p

F A

p  rgh

r

p

Pa  Druckkraft auf gewölbte Böden (siehe Abb. bei der Formel zur Bodenkraft)

kg

N m2

m3

F N

πd2 4

F1  F2  p

πd2 4 Zahlenwertformel F1  F2  0,1 p

A

g

h

m

m2

m

s2

F1, F2 N F1, F2 N

Hydraulische Kraftübersetzung

d 22 s F1 A s A  1 ; 1  2; 1  2 F2 A2 s2 A1 s2 d 1

Übersetzungsverhältnis

i

F1 s2  F2 s1

p

Pa  p bar

d N m2

m

d m

F

A

d, s

N

mm2

mm Hydraulische Kraftübersetzung

d 12

Hydraulische Presse Druckkraft

F1  π

Last bei reibungsfreiem Betrieb

F2  π

Last unter Berücksichtigung der Reibung

F2  F1

4 d 22 4

d 12

 1  4

Kolbenwege

p

d 22

1  4

Wirkungsgrad

p

 Hydraulische Presse

h2 d2 h1 d1

d  s2  s1  1   d2 

2

F N

d, h, s 

p Pa 

N m2

m

1

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Böge, W. Böge, Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25807-8_3

36 Bodenkraft

Seitenkraft

3.1 Statik der Flüssigkeiten

Fb  r g h A Fb

A

r

g

h

N

m2

kg

m s2

m

m3

Fs  r g hs A h s  ys sin  ; ys  yD  ys  e  ys  e

e e

Auftriebskraft

hs sin 

Is A ys

Is A ys

h2

für Rechteckflächen

12 ys

d2 für Kreisflächen 16 ys

Fs

Is

A

r

g hs, ys, e, d

N

m4

m2

kg

m s2

m3

m

Fa  V r g Ganz eingetauchter Körper: Verdrängungsschwerpunkt F fällt mit Körperschwerpunkt K zusammen. Schwimmender Körper: Verdrängungsschwerpunkt F liegt unter dem Körperschwerpunkt K.

Fa N

V m3

r

g

kg

m s2

m3

Is Flächenmoment 2. Grades der gedrückten Fläche A bezogen auf die Schwerachse S–S D Druckmittelpunkt V verdrängtes Flüssigkeitsvolumen r Dichte der Flüssigkeit g Fallbeschleunigung e Abstand des Druckmittelpunkts vom Schwerpunkt

3.2 Strömungsgleichungen

37

s

pd 2 zul

pd 20 zul Zahlenwertgleichung

h1 r 2  h 2 r1

m

m2

F

p

d, l

N

bar

mm

s

p

d

zul

m

N m2

m

Pa 

N m2

s

p

d

zul

mm

bar

mm

N mm2

s

Kommunizierende Röhren

N

d, l N

3

r

h1, h2

kg

m

A

m3

r2

B r1

3.2 Strömungsgleichungen A s r  Av r t

Massenstrom

m 

Volumenstrom

V V   Av t

Kontinuitätsgleichung

m

V

kg s

m3 s

A

r

m2

kg m3

s

m

V  A1 v1  A2 v2  konstant

t

v

s

m s

m V A r Δs Δt v

A1 A2 v1

Massenerhaltungssatz

Massenstrom Volumenstrom Rohrquerschittsfläche Dichte des Fluids Strömungsweg Zeitabschnitt Strömungsgeschwindigkeit

m  m 1  m 2  konstant

v2 V = A1 · v1

m  A1 v1 r1  A2 v2 r 2  konstant

V

m

A

v

r

m3 s

kg s

m2

m s

kg m3

V = A2 · v2 1 Sekunde

1 Sekunde

Fluidmechanik

Wanddicke einer Kessel- oder Rohrlängsnaht

p Pa 

h2

F  0,1 p d l Zahlenwertgleichung

F

h1

F  pd l

Belastung einer Kessel- oder Rohrlängsnaht

38

3.2 Strömungsgleichungen

Bernoulli’sche Druckgleichung für horizontale Strömung

r 2 r v1  p2  v 22 2 2

p1 

r

v

kg

m s

p N m2

Pa  Bernoulli’sche Druckgleichung für nichthorizontale Strömung

m3

p1  r g h1 

r 2 r v1  p2  r g h2  v 22 2 2

r

g

N

kg

m2

m3

m s2

p

Pa 

h

v

m

m s

r g h Schweredruck

r 2 v Geschwindigkeitsdruck 2

m 2  v 2  m 1  v 1 d1

FI  I  m  v F  r  V  v  r  A  v 2 I

Hydrostatische Druckkraft

FD  p  A

Gesamtdruckkraft

F  FI  FD

Reynolds´sche Zahl

Re 

vk 

Kinematische Zähigkeit

v dr



m = r ·V1

FI1

I2  I1  I

Impulskraft

F1 , I

m

v

r

V

A

N

kg s

m s

kg

m3

m2

N

vd vk

 r

FI2 = FI1

v1

Kontrollvolumen KV m = r ·V2

FD



2

d2

Impulserhaltungssatz für Fluide

1

Ausgang

I  m  v  r  V  v

Eingang

Impulsstrom

m3

p

Pa 

Re

v

1

m s

s

v2

A N m2

m2

d m

r



k

kg

Ns

m3

m2

m2 s

v d

mittlere Durchflussgeschwindigkeit Innendurchmesser bei Rohren mit Kreisquerschnitt r Dichte des Fluids k kinematische Zähigkeit  dynamische Zähigkeit

Dynamische und kinematische Zähigkeit und Dichte von Wasser Temperatur in °C 10–6



10–6  r

Ns/m2

in in m2/s in kg/m3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1780 1,78 1000

1300 1,31 1000

1000 1,01 998

805 0,81

658 0,66 992

560 0,56

470 0,48 983

403 0,42

353 0,37 972

314 0,33

285 0,3 958

3.3 Ausflussgleichungen Umrechnungen der Zähigkeit

39

für die dynamische Zähigkeit  das Poise (P): 1 Ns/m2 = 10 P (Poise) = 1000 cP (Zentipoise) 1P = 0,1 Ns/m2 = 100 cP (Zentipoise) für die kinematische Zähigkeit k das Stokes (St): 1 m2/s =104 St (Stokes) 1 St = 10–4 m2/s = 100 cSt (Zentistokes) Umrechnung aus Englergraden in

m2 : s

ºE 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

cSt

ºE

cSt

1 4,5 6,25 5 11,8 5,5 16,7 6 21,2 6,5 25,4 8 29,6 10

33,4 37,4 41,4 45,2 49,0 60,5 76,0

Umrechnungen °E in cSt

m2 6,31  –6   k   7,32 E   10 in s E  

Strömungsgeschwindigkeit im Abstand x von der Rohrachse

Mach´sche Zahl

Re vkr  dr

  2 x 2  vx  2 v 1       d   V v A

Ma 

v c

Re

v

d

1

m s

m

r



kg

Ns m2

m3

V Volumenstrom A Querschnittsfläche v, vx m s

v c

d, x

V

m

mm

m3

kg s

s

Strömungsgeschwindigkeit Schallgeschwindigkeit

3.3 Ausflussgleichungen Geschwindigkeitszahl

 = 0,97 ... 0,99 für Wasser

 ist abhängig von der Zähigkeit der Flüssigkeit

Kontraktionszahl

Die Ausflussmenge verringert sich durch die Einschnürung des Flüssigkeitsstrahls:   0,6 bei einer scharfen Kante   0,75 bei einer gebrochenen Kante   0,9 bei einem kleinen Abrundungsradius

Ausflusszahl

 = 

Ausflusszahlen für Wasser

 ist abhängig von der Form der Öffnung

3 Fluidmechanik

kritische Strömungsgeschwindigkeit

40

3.3 Ausflussgleichungen

Offenes Gefäß, konstante Druckhöhe Theoretische Ausflussgeschwindigkeit

v=

Wirkliche Ausflussgeschwindigkeit

ve   v   2 g h

Theoretischer Volumenstrom

V  Av  A 2 g h

2gh

v

g

m s

m s2

h

V

A

, 

m

m3 s

m2

1

Geschlossenes Gefäß, konstante Druckhöhe Theoretische Ausflussgeschwindigkeit

v

 p  p0  2gh  1  rg   Ausfluss bei Überdruck p1 im Gefäß

Theoretischer Volumenstrom

 p  p0  V  Av  A 2 g  h  1  rg  

Massenstrom

m  V r

v

g

m s

m s2

h

V

m

m3 s

A

p

m2

Pa

r kg m3

Offenes Gefäß bei sinkendem Fluidspiegel Bei teilweiser Entleerung:

v1  v 2

mittlere theoretische Ausflussgeschwindigkeit

vm 

mittlerer wirklicher Volumenstrom

Vem   A

2

2 g h1 



2 g h2

2

2 g h1 

2 g h2

2 Ausfluss bei sinkendem Flüssigkeitsspiegel

Ausflusszeit

V t  e  Vem  A



2Ve 2 g h1 

2 g h2

Ve ausfließendes Fluidvolumen Bei völliger Entleerung: mittlere Ausflussgeschwindigkeit

vm  

mittlerer Volumenstrom

Vem   A

2 g h1 2 2 g h1 2



v

g

m s

m s2

h

V

Ve

m

m3 s

m3 m2 s

A

t

, 

1

3.4 Strömungen in Rohrleitungen

Ausflusszeit

t

41

2Ve

 A 2 g h1

Ausfluss unter Gegendruck



v 

Volumenstrom

Ve   A 2 g h1  h 2

2 g h1  h 2



v

g

m s

m s2



h

Ve

, 

m

m3

1

s

3

3.4 Strömungen in Rohrleitungen Rohrreibungszahl kreisförmiger Querschnitt, laminare Strömung (Re  2300)



64 Re



75 Re

nicht isotherm (T  konstant)

isotherm (T = konstant)

 = 0,015 ... 0,02 für überschlägige Berechnungen für Luft, Wasser, Dampf Rohrreibungszahl kreisförmiger Querschnitt, turbulente Strömung (Re  2300)

 = 0,3164 Re– 0,25  = 0,0054  0,396 Re– 0,3  = 0,0032  0,221 Re – 0,237

Druckabfall in Rohren mit kreisförmigem Querschnitt

p  

lr 2 v 2d

p  32 v

p N m2

bis Re = 105 bis Re = 2 · 106 für Re = 105 ... 3,23 · 106

l d2

l, d m

d Rohrdurchmesser l Rohrlänge  Rohrreibungszahl v Durchflussgeschwindigkeit  dynamische Zähigkeit  kinematische Zähigkeit r

v

kg

m s

m3





1

Ns m2

Fluidmechanik



Ausflussgeschwindigkeit

4

Festigkeitslehre

4.1 Zug- und Druckbeanspruchung Zugbeanspruchung vorhandene Spannung (Zughauptgleichung)

 z vorh 

FN   z zul A

x F

F x F

FN

SP

Querschnittsfläche A

erforderlicher Querschnitt

Aerf 

z vorh FN max

FN

 z zul

maximale Belastung

FN max   z zul A

Dehnung



N mm 2

Aerf mm2

N

l l  l0  l0 l0

Querdehnung

q 

d d 0  d  d0 d0

Poisson-Zahl

m

 für Stahl m  3,3 q

Querzahl



1 m

Hooke´sches Gesetz

  E 

Querzahlen µ für ausgewählte Werkstoffe Stahl / Stahlguss 0,3 Gusseisen mit Lamellengraphit 0,26 Aluminiumlegierungen 0,33 Manganlegierungen 0,35 Kupfer 0,34 Elastomere 0,5 Epoxidharz 0,36

l E l0

E Elastizitätsmodul (4.17 und 4.18)

 N mm 2

l, l, l0 mm

E N mm 2

qm, 1

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Böge, W. Böge, Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25807-8_4

4.1 Zug- und Druckbeanspruchung Rm rg

lr  103

Rm Zahlenwertgleichung rg

Rm Zugfestigkeit r Dichte g Fallbeschleunigung Rm (zB)

lr km

    l T E

m s2

 l

T

l, l0

N

1 K

K

mm

4

Temperaturdifferenz Längenausdehnungskoeffizient Temperatureinheit, SI-Basiseinheit (1 K = 1 °C) Elastizitätsmodul (4.17 und 4.18)

Werkstoff (Auswahl)

Längenausdehnungskoeffizient αl fester Stoffe in

Aluminium Blei Chromstahl Glas Gusseisen Stahl Kupfer Messing Nickel Platin Polyethylen (PE) Wolfram Zinnbronze

Formänderungsarbeit

kg m3

 l  l0  l  T

ΔT αl K E

Längenausdehnungskoeffizient αl

N mm 2

, E mm 2

Verlängerung

g

Wf 

F l  2 V  2 2E

1 1  K C

23,5 · 10−6 29,2 · 10−6 11 · 10−6 3,5–9 · 10−6 9–12 · 10−6 10,5–13 · 10−6 16,5 · 10−6 17,5–19,1 · 10−6 14,1 · 10−6 8,9 · 10−6 150–250 · 10−6 4,5 · 10−6 16,8–18,8 · 10−6 F l0

Dl

F

Wärmespannung

r

Wf =

Dl

F Dl 2

Verlängerung

Festigkeitslehre

lr 

Kraft

Reißlänge

43

44

4.2 Abscherbeanspruchung

Druckbeanspruchung vorhandene Spannung

erforderlicher Querschnitt

maximale Belastung

 d vorh 

Aerf 

FN   d zul A FN max

 d zul

d N

FN max   d zul A

mm 2

FN max

A

N

mm2

4.2 Abscherbeanspruchung vorhandene Spannung (Abscherhauptgleichung)

erforderlicher Querschnitt

maximale Belastung

Schiebung (Winkelverzerrung)

Hooke´sches Gesetz für Schubbeanspruchung

Abscherfestigkeit

 a vorh 

Aerf 

Fq A

  a zul

Fq

a vorh

 a zul

N mm 2

Fq, Fq max

Aerf

N

mm2

Fq max   a zul A

tan    

l l0



l, l0

rad

mm

 G

, G

G Schubmodul (4.17, 4.18)

N

 aB  0,85  Rm für Stahl  aB  1,1  Rm für Gusseisen

mm 2

l, l0



mm

1 = rad

4.3 Flächenpressung

45

4.3 Flächenpressung Flächenpressung an geneigten Flächen

p

p

F A proj

N mm 2

F

Aproj

N

mm2

Kegelzapfen F F  p π 2 π d 2 m l tan  d d2 4 1

p N mm 2



F

d1, d2, l

N

mm

4 Festigkeitslehre



Prismenführung F F  p b1  b 2 l 2 l t tan 



p N mm 2

Flächenpressung im Gewinde

p

P H1 d2 m



F b1, b2, l, t N

mm

F FP  A proj π d2 H1 m

Gewindesteigung Tragtiefe Flankendurchmesser Mutterhöhe

   Tabellen 5.1, 5.2  

erforderliche Mutterhöhe merf 

FP π d 2 H1 pzul

p N mm 2

F

P, m, d2, H

N

mm

46

4.3 Flächenpressung

F F   pzul Aproj d l

Flächenpressung in Gleitlagern und Bolzenverbindungen

p

Flächenpressung in Nietverbindungen (Lochleibungsdruck)

l 

F F    l zul A proj nd1 s

d1 n Aproj s

Durchmesser des geschlagenen Niets Anzahl der Niete projizierte Fläche kleinste Blechdickensumme in einer Kraftrichtung

Flächenpressung an gewölbten Flächen – Hertz´sche Gleichungen

1 N mm 2

F

d1, s

n

N

mm

1

Flächenpressungen zwischen Kugel und Ebene oder zwischen zwei Kugeln Radius a der kreisförmigen Druckfläche

a3

1,5  (1   2 )  F  r F r  1,11  3 E E

Druck p auf die Berührungsfläche r

p  p0

a 2  r2 a

maximaler Druck p0 in der Mitte der Berührungsfläche p0 

1 

3

1,5  F  E 2 F  E2  0,388  3 2 2 2 r  (1   ) r2

Gesamtabplattung 



a 2 3 2, 25  (1   2 )2  F 2  r E2  r

p, p0

F

a, l, r, r



N mm 2

N

mm

1

a Radius der kreisförmigen oder halben Breite der rechteckigen Druckfläche F Druckkraft E Elastizitätsmodul; bei unterschiedlichen Moduln wird E = 2 E1E2/ (E1 + E2) l Länge des Zylinders r Krümmungsradius der Kugel oder des Zylinders; bei einer Krümmung beider Körper: 1/r = 1/r1 + 1/r2 p Druck auf der Berührungsfläche im Abstand r p0 = pmax Druck in der Mitte der Berührungsfläche µ Querzahl (4.1) r veränderlicher Radius bzw. Ordinate in Breitenrichtung der Berührungsfläche δ Gesamtabplattung, also die gesamte Näherung beider Körper

4.4 Flächenmoment 2. Grades zusammengesetzter Flächen

47

Flächenpressungen zwischen Zylinder und Ebene oder zwischen zwei Zylindern

halbe Breite a der rechteckigen Druckfläche

8  (1   2 )  F  r F r  1,52   E l E l

Druck p auf die Berührungsfläche r

p  p0

a 2  r2 a

maximaler Druck p0 in der Mitte der Berührungsfläche p0 

p, p0 N mm 2

F E FE  0, 418  2    r  l  (1   2 ) rl

F

a, l, r, r



N

mm

1

a Radius der kreisförmigen oder halben Breite der rechteckigen Druckfläche F Druckkraft E Elastizitätsmodul; bei unterschiedlichen Moduln wird E = 2 E1E2/ (E1 + E2) l Länge des Zylinders r Krümmungsradius der Kugel oder des Zylinders; bei einer Krümmung beider Körper: 1/r = 1/r1 + 1/r2 p Druck auf der Berührungsfläche im Abstand r p0 = pmax Druck in der Mitte der Berührungsfläche µ Querzahl (4.1) r veränderlicher Radius bzw. Ordinate in Breitenrichtung der Berührungsfläche δ Gesamtabplattung, also die gesamte Näherung beider Körper

4.4 Flächenmoment 2. Grades zusammengesetzter Flächen Flächenmomente 2. Grades zusammengesetzter Flächen einfach symmetrischer Querschnitte

1. Querschnitt in Teilflächen mit bekannter Schwerpunktslage zerlegen, 2. Schwerpunkte der Teilflächen nach 1.11 bestimmen, 3. Flächenmomente der Teilflächen, bezogen auf ihre eigene Schwerachse nach 4.13 berechnen, 4. Lage des Gesamtschwerpunkts bestimmen, wenn die Gesamtschwerachse Bezugsachse ist, 5. Flächenmoment nach dem Verschiebesatz von Steiner bestimmen.

Verschiebesatz von Steiner

I  I1  A1 l12  I 2  A2 l2 2  ...  I n  An ln 2

Hinweis: Fallen Teilschwerachsen und Bezugsachsen zusammen, dann sind die Abstände l1, l2 … gleich null und es wird I = I1 + I2 + … + In, d. h. die Teilflächenmomente 2. Grades werden einfach addiert.

4 Festigkeitslehre

a

48

4.6 Biegebeanspruchung

4.5 Verdrehbeanspruchung (Torsion) erforderliches Widerstandsmoment

Wp erf 

vorhandene Torsionsspannung (Torsionshauptgleichung)

 t vorh 

maximales Torsionsmoment

P n Zahlenwertgleichung

MT

M  M T  9550

 t zul

Nm

P n kW min–1

Torsionshauptgleichung

MT   t zul Wp

M T max  Wp  t zul

erforderlicher Durchmesser für Kreisquerschnitt

d erf  3

t, G N

Wp

MT



Verdrehwinkel in Grad

16 M T π  t zul

Ip

 t l 180  Gr π



G Schubmodul (4.17, 4.18)

W  MT

 G

 2



 t2 V 4G



M T l 180  Wp r G π



M T l 180  Ip G π

Wp , Ip (4.14)

R 2  2

MT

 tan   Volumen in mm3 Federrate in N/mm Drehwinkel in rad Schubmodul in N/mm2

R

V R

l, r 

Hinweis: Das (äußere) Drehmoment M ist gleich dem (inneren) Torsionsmoment MT (M = MT)

Nmm mm3 mm4 mm °

mm 2

Formänderungsarbeit W

M, MT

4.6 Biegebeanspruchung erforderliches Widerstandsmoment

Werf 

Biegehauptgleichung

M b max

 b zul M b max

vorhandene Biegespannung (Biegehauptgleichung)

 b vorh 

maximales Biegemoment

M b max  W  b zul

W

  b zul

4.7 Knickbeanspruchung erforderlicher Durchmesser für Kreisquerschnitt

49 d erf 

3

b

32 M b π  b zul

N mm 2

Mb

W

I

e1, e2, d

Nmm

mm3

mm4

mm



Spannungsverteilung im einfach symmetrischen Querschnitt größte Zugspannung

 z max 

M b e1 M b  I W1

größte Druckspannung

 d max 

M b e2 M b  I W2

Fall 1 s=2l F

s freie Knicklänge erforderliches Flächenmoment 2. Grades nach Euler

I erf 

Knickspannung nach Euler

K 

Sicherheit gegen Knicken



FK K  F  d vorh

Schlankheitsgrad



s i

Fall 2 s=l

vorh > 0

π2 E

Eulerbedingung

F

F

F

l

 F s2

Fall 3 Fall 4 s = 0,707 l s = 0,5 l

l

π 2 E I min s2

l

FK 

l

Knickkraft nach Euler

Trägheitsradius

Grenzschlankheitsgrad 0 für Euler'sche Knickung und Tetmajergleichungen

π2 E

2

i

 ≈ 3 … 10 im Maschinenbau

K, E N mm 2

I A

Werkstoff

I

FK, F

A

i, s, l

, 

mm4

N

mm2

mm

1

GrenzElastizitätsschlankheitsgrad modul E 0 in N / mm 2

Tetmajergleichung für Knickspannung  K in N / mm 2

K = 29,3 – 0,194 · 

Nadelholz

10 000

100

Gusseisen

100 000

80

S235JR

210 000

105

K = 310 – 1,14 · 

E295 und E355

210 000

89

K = 335 – 0,62 · 

70 000 70 000

66 110

Al Cu Mg Al Mg3

K = 776 – 12 ·  + 0,053 · 2

Die Tetmajergleichungen sind Zahlenwertgleichungen mit  K in N/mm2.

Festigkeitslehre

4

4.7 Knickbeanspruchung

50

4.8 Knickung im Stahlbau (DIN EN 1993-1-1)

Arbeitsplan zur Berechnung der vorhandenen Knicksicherheit

Gegeben: Querschnittsabmessungen (Profil), Werkstoff, Belastung F des Druckstabs, geforderte Knicksicherheit νgef Gesucht: vorhandene Knicksicherheit νvorh FK = F · ν

1. Knickkraft FK berechnen

ν ≈ 3 … 10 im Maschinenbau

2. erforderliches Flächenmoment 2. Grades Ierf bestimmen 3. Querschnittsabmessungen nach Tabelle 4.13 festlegen 4. Trägheitsradius i nach Tabelle 4.13 berechnen

i

I A

5. vorhandenen Schlankheitsgrad vorh bestimmen. Bei vorh ≥ 0 ist die Berechnung beendet. 6. Bei vorh < 0 mit einer Tetmajergleichung (siehe Tabelle Grenzschlankheitsgrad 0) die Knickspannung σK berechnen. 7. vorhandene Druckspannung d vorh bestimmen

8. vorhandene Sicherheit νvorh berechnen

 d vorh 

 vorh 

F A

K  d vorh

9. νvorh < νerf → Rechnung beendet νvorh > νerf → Querschnittsabmessungen vergrößern und die Rechnung ab Schritt 5 wiederholen

4.8 Knickung im Stahlbau (DIN EN 1993-1-1) Für Druckstäbe (Stützen) muss im Stahlbau nach DIN EN 1993-1-1 die Stabilität nachgewiesen werden. Stabilität besteht dann, wenn in der Ausweichrichtung des Stabs bei planmäßig mittigem Druck die Stabilitäts-Hauptgleichung erfüllt ist.

F 1  Fpl

F

Fpl

N

N

 1

F Belastung (Normalkraft) in Richtung der Stabachse, Fpl Normalkraft im vollplastischen Zustand (Arbeitsplan zum Stabilitätsnachweis für einteilige Druckstäbe, Nr. 10),  Abminderungsfaktor (Arbeitsplan zum Stabilitätsnachweis für einteilige Druckstäbe, Nr. 8). Eine Bemessung der Stabquerschnitte ist über den Stabilitätsnachweis nicht möglich, weil die StabilitätsHauptgleichung keine direkte Bezugsgröße für einen Stabquerschnitt enthält. Man nimmt daher versuchsweise einen Stabquerschnitt an und ermittelt damit der Reihe nach die im folgenden Arbeitsplan aufgeführten Größen. Ist am Ende die Bedingung F/( Fpl)  1 nicht erfüllt, muss die Rechnung mit geänderten Annahmen wiederholt werden.

4.8 Knickung im Stahlbau (DIN EN 1993-1-1)

51

Arbeitsplan zum Stabilitätsnachweis für einteilige Druckstäbe

Gegeben: Querschnittsabmessungen (Profil), Werkstoff, Belastung F des Druckstabs Gesucht: Stabilitätsnachweis sK   l

sK mm

2. Knicklängenbeiwert  und Systemlänge l nach Bild in 4.7

Fall 1  = 2

4. Schlankheitsgrad K

K 

sK i

5. bezogener Schlankheitsgrad

K 

K a

6. Bezugsschlankheitsgrad a

Fall 3  = 0,707

 a π

l mm

Fall 4  = 0,5 A i  mm mm4 mm2

I A

i

3. Trägheitsradius i

Fall 2 =1

 1

4

i Trägheitsradius I Flächenmoment 2. Grades A Querschnittsfläche (i, I und A in den Tabellen 4.13 – 4.15)

K

E Re

 K  a

1

1

1

a

E

Re

1

N

N

mm 2

mm 2

E Elastizitätsmodul = 210 000 N/mm2, Re Streckgrenze nach Tabelle 4.16. Danach ergibt sich  a für die im Stahlbau verwendeten Werkstoffe: S235JR mit Re = 240 N/mm2 und einer Erzeugnisdicke t  40 mm zu  a = 92,9, S335J2G3 mit Re = 360 N/mm2 und einer Erzeugnisdicke t  40 mm zu  a = 75,9. Stahlbezeichnungen siehe Tabelle 4.21. 7. Festlegen einer Knicklinie in Abhängigkeit von der gewählten StabQuerschnittsform1)

Querschnittsformen

Ausknicken Knickrechtwinklig linie zur Achse

Gewalzte h/b > 1,2 und t  40 mm Doppel-T-Profile (siehe Tabellen h/b > 1,2 und 40 < t  80 mm 9.12, 9.13) h/b  1,2 und t  80 mm t  80 mm U-, L-, T-Querschnitte (siehe Tabellen 9.9, 9.10, 9.11, 9.14) 1)

nach DIN EN 1993-1-1, Tabelle 6.2

x y

a b

x y

b c

x und y

d

x und y

c

Festigkeitslehre

1. Knicklänge sK

52

4.8 Knickung im Stahlbau (DIN EN 1993-1-1)

8. Abminderungsfaktor 

Der Abminderungsfaktor  für die Knicklinien a, b, c und d wird mit den folgenden Formeln berechnet: Bereich K  0,2

Bereich K > 0,2

=1

 =

1 k

k2

  K2

Bereich K > 0,3



mit

1   K  ( K +  )   

k = 0,5 [1+  ( K – 0,2) + K2 ] 9. Parameter 

Der Parameter  ist abhängig von den Knicklinien: Knicklinie

a

b

c

d



0,21

0,34

0,49

0,76

Fpl  Re  A

10. Normalkraft Fpl

Re

Fpl N

N mm 2

A mm2

Fpl ist diejenige Druckkraft, bei der im Werkstoff des Stabs mit dem Querschnitt A vollplastischer Zustand erreicht wird. Als Widerstandsgröße kann die Streckgrenze Re oder die obere Streckgrenze ReH eingesetzt werden. Normalkraft Fpl = Re A in kN für ausgewählte Walzprofile Fpl 1)

Fpl 2)

Profil

448

kN 96

kN 105

A mm2

Fpl 1)

Fpl 2)

Profil

764

kN 164

kN 180

A mm2

Fpl 1)

Fpl 2)

IPE 80

U50

712

kN 153

kN 167

L50×6

569

122

134

L60×6

691

149

162

IPE 100

1000

215

235

IPE 120

1320

284

310

U80

1100

237

259

U100

1350

290

317

L70×7

940

202

221

IPE 140

1640

353

385

U140

2040

439

479

L80×8

1230

264

289

IPE 160

2010

432

472

U160

2400

516

564

L80×10 L90×9

1510

325

355

IPE 180

1550

333

364

IPE 200

2390

514

562

U180

2800

602

658

2850

613

670

U200

3220

692

757

L100×10

1920

413

451

IPE 220

3340

718

785

U220

3740

804

879

L120×13

2970

639

698

IPE 240

3910

841

919

U240

4230

909

994

L140×15

4000

L150×16

4570

860

940

IPE 270

4590

987

1079

U260

4830

1038

1135

983

1074

IPE 300

5380

1157

1264

U280

5330

1146

1253

L160×19

5750

1236

1351

IPE 360

7270

1563

1708

U300

5880

1264

1382

L180×18

6190

1331

1455

IPE 400

8450

1817

1986

U350

7730

1662

1817

L200×20

7640

1643

1795

IPE 500 11600

2494

2726

U400

9150

1967

2150

Profil

A mm2

L40×6

1)

mit Re = 215

N/mm2

gerechnet,

2)

mit Re = 235

N/mm2

gerechnet

4.9 Zusammengesetzte Beanspruchung 11. Stabilitätsnachweis

53

Zum Abschluss der Rechnung ist mit der Stabilitäts- Hauptgleichung F / ( Fpl)  1 die zulässige Querschnittswahl nachzuweisen oder mit einem anderen Profil bzw. einem anderen Stabquerschnitt die Prüfung zu wiederholen. Zulässige Spannungen im Stahlhochbau in N/mm2 für Stahlbauteile: S235JR

Werkstoff S355JO

H

HZ

Lastfall H HZ

Druck und Biegedruck, wenn ein Stabilitätsnachweis nach DIN EN 1993-1-1 erforderlich ist

140

160

210

Zug und Biegezug, Biegedruck, wenn ein Stabilitätsnachweis nach DIN EN 1993-1-1 erforderlich ist

160

180

Schub

92



E360 H

HZ

240

410

460

240

270

410

460

104

139

156

240

270

F

A

Mb

W

Lastfall H: alle Hauptlasten Lastfall HZ: alle Haupt-und Zusatzlasten

4.9 Zusammengesetzte Beanspruchung Biegung und Zug/Druck resultierende Zug-(Druck-)Spannung

Mb F    bz   z W A Mb F     bd   z W A

 res Zug   res Druck

N mm 2

N

mm2 Nmm mm3

Biegung und Torsion (bei Wellen mit Kreisquerschnitt und Kreisringquerschnitt)

 b zul 1,73  t zul

Vergleichsspannung

 v   b2  3 ( 0  t ) 2

0 = Anstrengungsverhältnis =

Vergleichsmoment

M v  M b2  0,75 ( 0 M T ) 2

erforderlicher Wellendurchmesser

derf  3

32 M v π  b zul

0  1, wenn b und t im gleichen Belastungsfall 0  0,7, wenn b wechselnd (III) und t schwellend (II) oder ruhend (I)

Derf  3

32 M v π  b zul 1  q 4 

erforderlicher Wellenaußendurchmesser für den Kreisringquerschnitt

q

d Bauverhältnis D

 N mm 2

0 , q

Mv , Mb , MT

d

1

Nmm

mm



4 Festigkeitslehre

Spannungsart

54

4.11 Dauerbruchsicherheit im Maschinenbau

4.10 Kerbspannung Spannungsspitze infolge Kerbwirkung

 max   n  k

max Spannungsspitze im Kerbgrund n rechnerische (Nenn-)spannung  k Kerbformzahl (4.19)

4.11 Dauerbruchsicherheit im Maschinenbau Sicherheit SD bei ruhender Belastung

SD =

Re

n



R p0,2

n

 Smin  1,5

gilt für Stahl (n Nennspannung)

SD =

Rm

n

 Smin  2,0

(gilt für Gusseisen)

Sicherheit SD bei dynamischer Belastung

SD =

 D b1 b2  Smin  1,2  k n

(für Bauteile mit Kerbwirkung)

n Nennspannung b1 Oberflächenbeiwert, siehe Diagramm 4.20 b2 Größenbeiwert, siehe Diagramm 4.20  k Kerbwirkungszahl siehe Tabelle 4.19

Zugehöriger Festigkeitswert ist für Baustahl die Streckgrenze Re des verwendeten Werkstoffs und die vorliegenden Beanspruchungsart (Zug, Druck, Biegung, Torsion). Bei festeren Stahlsorten wie Vergütungsstahl tritt an die Stelle der Streckgrenze die 0,2 %-Dehngrenze Rp 0,2 (siehe Tabelle 4.17). n ist die Nennspannung. Bei Werkstoffen ohne ausgeprägte Fließgrenze wie Gusseisen werden die Zugfestigkeit Rm und die Bruchfestigkeiten dB , bB aus Tabelle 4.18 verwendet. Der zugehörige Festigkeitswert ist die Dauerfestigkeit D des verwendeten Werkstoffs bei der vorliegenden Beanspruchungsart (Zug, Druck, Biegung, Torsion). Bei festeren Stahlsorten wie Vergütungsstahl tritt an die Stelle der Streckgrenze die 0,2 %-Dehngrenze Rp 0,2 (siehe Tabelle 4.17). n ist die Nennspannung. Die Dauerfestigkeit D des Probestabs wird durch die Faktoren b1, b2, k verringert. Dauerfestigkeitswerte D in Tabelle 4.17 und 4.18. Kerbwirkungszahlen k sowie Oberflächenbeiwert b1 und Größenbeiwert b2 in 4.19 und 4.20.

4.12 Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen bei Biegeträgern

55

4.12 Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen bei Biegeträgern mit gleichbleibendem Querschnitt

Fl 3  3 x x3   1   3 EI  2l 2 l3 

FA  F B 

Mmax = F l

M max 

Fl 3 f= 3 EI

f  Fl 2 3 f  2 EI 2l

tan  

y

Fl 2 x  4 x2  l 1  2  für x  16 E I  3l  2

FB = F = F' l F l 2 2

Mmax = f=

y

f  F l3 4 f  6 EI 3l

tan  =

F ' l 4  x4 x   4  4  3 24 E I  l l 

ya 

F a b 2 xa 6 EI l

(für xa  a)

M max 

f 

F' l 4  x5 x    5  4 120 E I  l 5 l 

FB  F

F l 2 6

a l

ab l

la 3a

la 3b

1 1  tan  B  f     b 2a 

 l xa2   1    b a b  

yb 

Fa 2 b xb 6 EI l

 l x2  1   b  a ab  

(für xb  b)

 a FA  F 1   l 

FB  F

a l

M max  F a  M A

Fl 4 30 E I

tan  

y

F' l 2

Fl 2 3f  16 E I l

F a 2 b2 E I 3l

f max  f 1 1  tan  A  f     a 2b 

FB  F 

b l

M max  F

F' l 4 8 EI

Fl 4

Fl 3 48 E I

tan  

FA  F

F 2

F l3 5 f  24 E I 4 l tan  A 

f 

F l3 a EI 9 3 l

fC 

F l 3a 2  a  1  3 E I l 2  l

4 Festigkeitslehre

y

FB = F

für x = 0,577 l

F al F al F a (2 l  3 a ) tan  B  tan  C  3 EI 6 EI 6 EI

56

4.12 Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen bei Biegeträgern

FA  FB  F M max  F a

f 

F l 3a 2  4a  1   2 EI l 2  3l 

f max 

F l 3a  4 a 2  1  2  8 EI l  3l 

tan  A 

F a (a  c) 2 EI

tan  C  tan  D 

FA  FB  F

F ac 2 EI

M max  F a

M max 

F a2  a l   f1  E I  3 2 

f 

F al 2 f2  8 EI tan 1 

F a (l  c) 2 EI

tan  A 

f 

y

F' l 3 x  1 24 EI 

F' l 2

F' l 4 120 E I

l  FA  F B  F'   a  2  

F' l 2 8

5 F l 4  384 E I

tan  A 

F' l 3 16 f  24 E I 5l

x   x x2  1    l  l l 2 

MA 

F' a 2 2

MC 

F' l 2 2

fA 

tan  A 

F' l 3 4 EI

F' l 4 4 EI

0,064 F' l 2

bei x = 0,5774 l f 

2 F' l 4  5  a       16 E I  24  l    

FA 

5 F 16

M

5 Fl 32

f 

7 F l3 768 E I

F' l 4 153, 4 E I

bei y = 0,5193 l F' l 3a  a 2  a2   1  2  7  3 2  360 E I  l  l 

 a  a 3 1  a  4         6l  l  2  l    

F in Stabmitte

F' l F' l FB  6 3

M max 

 1  a 2       4  l  

 1  a 2      6 l    fC 

FA 

F' l 2 12

F al 2 EI

FA  F B  M max 

F' l 4

FA  F B 

f max 

F l3 bei x  0, 447 l 48 5 E I

FB 

11 F 16

MB 

3 Fl 16

4.12 Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen bei Biegeträgern

b2  a  1   l2  2l 

FA  F

FA  F B 

F B  F  FA f 

MC 

Fa 2b3  a 1   2 4 E I l  3l 

tan  A 

57

f 

F 2

Fl  MA  MB 8

F l3 192 E I

F a b2 4 EI l

 1  a 3 3a  M  Fa 1       2  b  2 l  Fl a  2 l 

a   l

3

   3a  FA  F 1   2l   FB  F

b MA  F a  l

3a 2l

a M B  F b  l

MA  F a

MB 

f 

F l3 EI

f 

Fa 2

 1  a 3 1  a  2         3 l 4 l      

2

a M C  2 Fb   l

2

2

Fa3b3 3 EI l 3

 a 1  l   

2

b b  FA  F    3  2  l l    2

a a  FB  F    3  2  l l  FA 

3 F' l 8

FA  F B 

FB 

5 F' l 8

MC 

M max 

f max 

F' l 2 8

F' l 4 185 E I

für x  0, 4215 l

F' l 2

F' l 2 24

MA  M B 

f 

F' l 4 384 E I

F' l 2  M max 12

Festigkeitslehre

MB 

4

58

4.13 Axiale Flächenmomente 2. Grades, Widerstandsmomente für Biegung und Knickung

4.13 Axiale Flächenmomente 2. Grades, Widerstandsmomente für Biegung und Knickung Ix 

bh3 12 bh2 6

Wx 

Wy 

h4 12

h3 Wx  Wy  6

di

I

ah3 36

W

ah2 24

A=bh

hb 2 6

iy  0, 289 b

ix  0, 289 h

Ix  I y  I D 

hb 3 12

Iy 

i  0, 289 h

WD  2

e

h3 12

2 h 3

6 b 2  6 bb1  b12 3 h 36(2 b  b1 )

A

2b  b1 h 2

W

6 b 2  6 bb1  b12 2 h 12(3 b  2 b1 )

e

1 3b  2b1 h 3 2b  b1

i

I A  2 d 4

I

d4 d4  64 20

A

W 

d3 d3  32 10

i

W da

A

ah 2

i  0, 236 h

I

I

A = h2

d 4

 4 (d a  d i4 ) 64

A

 d a4  d i4 d a4  d i4  32 d a 10 d a

i  0, 25 d a2  d i2

 2 ( d a  d i2 ) 4

Ix 

 a3 b 4

Iy 

 b3 a a ix  4 2

Wx 

 a2 b 4

Wy 

 b2 a b iy  4 2

A=πab

4.13 Axiale Flächenmomente 2. Grades, Widerstandsmomente für Biegung und Knickung  3  ( a b  a13 b1 )  a 2 d ( a  3 b) 4 4

A   ( a h  a1 b1 )

Wx 

Ix   a d ( a  3 b) a 4

ix 

Ix

= 0,0068 d 4

W x1 = 0,0238

W x2 = 0,0323 d 3

W y = 0,049 d 3 e1

=

ix

Wx1 

= 0,132 d

4r  0,4244 r 3

4

I x  0,1098( R 4  r 4 )  0, 283 R 2 r 2 Iy  

= 0,0245 d 4

Iy

d3

Ix A

R4  r 4 8

Rr Rr

Wy 

Ix e1

Wx2 

Ix e2

e1 

5 3 4 s  0,5413 s 4 16 5 W  s 3  0,625 s 3 8 I



A

b ( H 3  h3 ) 12 b Wx  ( H 3  h3 ) 6H H 3  h3 ix  12( H  h)

A

b3 ( H  h) 12 2 b Wy  ( H  h) 6 Iy 

A  b ( H  h)

Iy  0, 289 b

b (h3  h 13 )  b1 (h 13  h 23 ) 12 b ( h3  h 13 )  b1 ( h 13  h 23 ) W  6h I 

BH 3  bh3 12 BH 3  bh3 W  6H I 

3 3 s2 2

3 3 s2 2 i  0, 456 s



Ix 

2( D3  d 3 ) 3 ( D 2  d 2 )

i  0, 456 s

5 3 4 s  0,5413 s 4 16 W  0,5413 s 3 I

 (R4  r 4 ) 8R

A  b h  b1 h 2  h 1 (b  b1 ) i 

I A

A  BH  bh i 

I A

Festigkeitslehre

Ix 

59

60

4.14 Polare Flächenmomente 2. Grades, Widerstandsmomente für Torsion

BH 3  bh3 12 BH 3  bh3 W  6H I 

A  BH  bh i 

1 I  ( Be 13  bh3  ae 23 ) 3 e1 

I A

A  Bd  a ( H  d )

1 aH 2  bd 2  2 aH  bd

i

I A

e2  H  e 1

1 I  ( Be13  bh3  B 1 e23  b1 h 13 ) 3 1 aH 2  b d 2  b1 d1 (2 H  d1 ) e1   aH  bd  b1 d1 2

A  Bd  b1 d1  a (h  h 1) I i  A

e2  H  e1

4.14 Polare Flächenmomente 2. Grades, Widerstandsmomente für Torsion Form des Querschnitts

Widerstandsmoment Wp (Wt )

Flächenmoment I p Drillungswiderstand I t

Wt  Wp 

 3 d3 d   0, 2 d 3 16 5

I t  Ip 

Wt  Wp 

4 4  da  d i  16 da

I t  Ip 

Wt 

 n b3 16

h  n 1 b

It 

 4 d4 d   0,1d 4 32 10

 4 (da  d i4 ) 32

 n3 b4  16 n2  1

Bemerkungen

 max am Umfang

 max am Umfang

 max an den Endpunkten der kleinen Achse

4.14 Polare Flächenmomente 2. Grades, Widerstandsmomente für Torsion Widerstandsmoment Wp (Wt )

ha h i   n 1 ba b i Wt 

hi ha

Flächenmoment I p Drillungswiderstand I t



bi ba

 1

 n ba3 (1   4 ) 16

 n3   ba4 (1   4 ) 16 n2  1

It 

Wt  0, 208 a 3

I t  0,141a 4

h  n 1 b Wt  c1 b3

I t  c2 b 4

n c1 c2

Bemerkungen

 max an den Endpunkten der kleinen Achse

 max in der Mitte der Seiten  max in der Mitte der langen Seiten

1 0,208

1,5 0,346

2 0,493

3 0,801

4 1,150

6 1,789

8 2,456

10 3,123

0,1404

0,2936

0,4572

0,7899

1,1232

1,789

2,456

3,123



Wt  0,05 b3 

h3 13

It 

h4 26

h3 2 I Wt   t 13 h

b4 It  46, 2

Wt = 0,436 r A

It = 0,553 r 2A

Wt = 1,511

r3

It = 1,847 r 4 A Querschnittsfläche It = 0,520 r 2A

Wt = 0,447 r A Wt = 1,481

r3

It = 1,726 r 4 A Querschnittsfläche

 max in der Mitte der Seiten

 max in der Mitte der Seiten

 max in der Mitte der Seiten

1 l s 3  l t 2 ss3 Wt   t1 f 3 sf

Wt 

It sf

: lt 1 = 2 l1 – s f lt 2 = l2 – 1,6 sf

I : lt 1 = 2l1 – 1,26 sf lt 2 = l2 – 1,67 sf + 1,76 sf

1 I t  (l t1 sf3  l t2 ss3 ) 3

 max in den langen Seiten der Flansche

4 Festigkeitslehre

Form des Querschnitts

61

62

4.15 Träger gleicher Biegebeanspruchung

4.15 Träger gleicher Biegebeanspruchung Längs- und Querschnitt des Trägers

Begrenzung des Längsschnitts

Gleichungen zur Berechnung der Querschnitts-Abmessungen

Die Last F greift am Ende des Trägers an: obere Begrenzung: Gerade

untere Begrenzung: quadratische Parabel Gerade

6F 6 Fl x x; h ; yh b  zul b  zul l

y

3

Durchbiegung in A: f 

y

8F  l    bE  h 

6F 6 Fl bx x; b  2 ; y h 2  zul h  zul l

3

Durchbiegung in A: f 

kubische Parabel

y3

6F  l    bE  h 

32F 32Fl x x; d 3 ; y3 l  zul  zul

d4 3 Fl 3 ; I Durchbiegung in A f   5 EI 64 Die Last F ist gleichmäßig über den Träger verteilt: Gerade

yx

3F 3Fl hx ; h ; y bl  zul b  zul l

F = F' l

quadratische Parabel

F ' Streckenlast in

N m

2

y

3F  x  3Fl b x2 ; y 2   ; b 2 l  zul  h  h  zul l 3

Durchbiegung in A: f 

3F  l    bE  h 

4.16 Festigkeitswerte für Walzstahl

63

Längs- und Querschnitt des Trägers

Begrenzung des Längsschnitts

Gleichungen zur Berechnung der Querschnitts-Abmessungen

Die Last F wirkt in C: obere Begrenzung: zwei quadratische Parabeln

y

6F (l  a) x x h bl  zul a

y1 

6F a x1 x1  h bl  zul l a

h

6 F (l  a) a bl  zul

4

obere Begrenzung: Ellipse

x2 l 2  

2



y2  1; h  h2

Festigkeitslehre

Die Last F ist gleichmäßig über den Träger verteilt: 3Fl 4 b  zul

Durchbiegung in C : 3

f 

1 Fl 3 3 F l      64 E I 16 b E  h 

4.16 Festigkeitswerte für Walzstahl (Bau- und Feinkornbaustahl) Werkstoff

Baustahl1)

Bezeichnung

S235JR S235JRG1 S235JRG2 S235J0

Baustahl1)

E295

Feinkornbaustahl1)

E355

Erzeugnisdicke t mm

Streckgrenze Re N/mm2

t  40

240

40 < t  80

215

t  40

360

40 < t  80

325

t  40

360

40 < t  80

325

Zugfestigkeit Rm N/mm2

360

510 700

Hinweis: Weitere Festigkeitswerte in DIN EN 1993-1-1. Der Elastizitätsmodul E beträgt für alle Baustähle E = 210 000 N/mm2. 1)

Bezeichnungen der Baustähle siehe DIN EN 10025.

64

4.19 Richtwerte für Kerbwirkungszahlen

4.17 Festigkeitswerte in N/mm2 für ausgewählte Stahlsorten1) zd Sch

zd W

b Sch5)

b W  t Sch6)

t W

Schubmodul G

235

158

160

275

185

195

270

180

115

105

80 000

320

215

140

125

490

295

205

80 000

220

370

245

160

145

80 000

210 000

510

355

210 000

590

335

215

230

380

255

165

150

80 000

240

265

435

290

200

170

E360

210 000

690

80 000

360

270

310

500

340

220

200

50CrMo42)

80 000

210 000

20MnCr53)

210 000

1100

900

385

495

785

525

350

315

80 000

1200

850

365

480

765

510

335

305

34CrAlNi74)

80 000

210 000

900

680

335

405

650

435

300

260

80 000

Elastizitätsmodul E

Rm

S235JR

210 000

360

S275JO

210 000

430

E295

210 000

S355JO E335

Werkstoff

Re Rp 0,2

1)

4)

Richtwerte für dB < 16 mm 2) Vergütungsstahl 3) Einsatzstahl

Nitrierstahl 5) berechnet mit 1,5 ·  bW 6) berechnet mit 1,1 ·  tW

4.18 Festigkeitswerte in N/mm2 für ausgewählte Gusseisen-Sorten1) Werkstoff

Elastizitätsmodul E

Rm

Re Rp 0,2

dB

bB

zd W

b W

t W

Schubmodul G

70

60

35 000

GJL-150

82 000

150

90

600

250

40

GJL-200

100 000

200

130

720

290

50

90

75

40 000

GJL-250

110 000

250

165

840

340

60

120

100

43 000

GJL-300

120 000

300

195

960

390

75

140

120

49 000

GJL-350

130 000

350

228

1 080

490

85

145

125

52 000

GJMW-400-5

175 000

400

220

1 000

800

120

140

115

67 000

GJMB-350-10

175 000

350

200

1 200

700

1 000

120

100

67 000

1)

Richtwerte für 15 bis 30 mm Wanddicke; für 8 mm bis 15 mm 10 % höher, für > 30 mm 10 % niedriger, Dauerfestigkeitswerte im bearbeiteten Zustand; für Gusshaut 20 % Abzug.

4.19 Richtwerte für Kerbwirkungszahlen/Kerbformzahlen Kerbform

Beanspruchung

Rm

k

Hinterdrehung in Welle (Rundkerbe)

Biegung Torsion Biegung Torsion Biegung Torsion Biegung Biegung Torsion

600 600

2,2 1,8 3,5 2,5 2,2 1,4 2,5 3,0 1,5

Hinterdrehung in Welle (Rundkerbe) Eindrehung für Axial-Sicherungsring in Welle abgesetzte Welle (Lagerzapfen) abgesetzte Welle (Lagerzapfen) Passfedernut in Welle Passfedernut in Welle Passfedernut in Welle

1000 600 600 600 1000 600

4.19 Richtwerte für Kerbwirkungszahlen

65

Kerbform

Beanspruchung

Passfedernut in Welle

Torsion Biegung und Torsion Zug Biegung Biegung Torsion

Flachstab mit Bohrung Flachstab mit Bohrung Welle an Übergangsstelle zu fest sitzender Nabe 1)

genauere und umfangreichere Werte in DIN 743-2

Kerbformzahlen

2)

Biegebeanspruchung 0,1

Torsionsbeanspruchung 0,1

Biegebeanspruchung 0,1

D/d

D/d

D/d

1,02

1,05

1,15

r/d

r/d

r/d

0,2

0,3

0,1

0,2

0,3

0,1

0,2

4 0,3

D/d

D/d

D/d

1,02

1,05

1,15

r/d

r/d

r/d

0,2

0,3

0,1

0,2

0,3

0,1

0,2

0,3

D/d

D/d

D/d

1,02

1,05

1,15

r/d

r/d

r/d

0,2

0,3

0,1

0,2

0,3

0,1

0,2

0,3

1,44 1,28 1,19 1,48 1,34 1,23 1,66 1,44 1,3

Rundstab mit Absatz

Torsionsbeanspruchung 0,1 Kerbformzahl  k

1000

1,28 1,19 1,12 1,35 1,23 1,17 1,47 1,28 1,23

Rundstab mit Absatz

Kerbformzahl  k

1,8 1,6 1,7 1,4 2,7 1,8

1,52 1,35 1,25 1,7 1,46 1,35 1,86 1,55 1,38

Rundstab mit Ringnut

Kerbformzahl  k

1000 600 360 360

Zugfestigkeit Rm in N/mm2

Rundstab mit Ringnut

Kerbformzahl  k

k

D/d

D/d

D/d

1,02

1,05

1,15

r/d

r/d

r/d

0,2

0,3

0,1

0,2

0,3

0,1

0,2

0,3

1,15 1,08 1,05 1,17

1,1

1,02

1,3

1,19 1,16

Festigkeitslehre

Querbohrung in Achse (Schmierloch)

Rm

66

4.21 Stahlbezeichnungen

4.20 Oberflächenbeiwert und Größenbeiwert für Kreisquerschnitte Diagramm Oberflächenbeiwert

Diagramm Größenbeiwert

Für andere Querschnittsformen kann etwa gesetzt werden: bei Biegung für Quadrat: Kantenlänge = d; für Rechteck: in Biegeebene liegende Kantenlänge = d; bei Verdrehung für Quadrat und Rechteck: Flächendiagonale = d

4.21 Stahlbezeichnungen1) EN10027-1 und ECISS IC 10 (1993)

frühere Bezeichnungen nach EN 10025 (1990) DIN 17100

EN 10027-1 und ECISS IC 10 (1993)

frühere Bezeichnungen nach EN 10025 (1990) DIN 17100

S235JR

Fe 360 B

St 37-2

S275J2G3

Fe 430 C

St 44-3 U

S235JRG1

Fe 360 FBU

U St 37-2

S355J2G3

Fe 430 D1

St 44-3 N

S235JRG2

Fe 360 FBN

R St 37-2

E295

Fe 510 D1

St 52-3 N

S235JO

Fe 360 C

St 37-3 U

E335

Fe 490-2

St 50-2

S235J2G3

Fe 360 D1

St 37-3 U

E360

Fe 590-2

St 60-2

S275JR

Fe 430 B

St 44-2

S275JO

Fe 690-2

St 70-2

1)

Auszug aus der Deutschen Fassung der Europäischen Norm EN 10025 (April 2005)

Erläuterung der Bezeichnungen (Beispiel): S235JRG2

S

 Kennbuchstabe für mechanische Eigenschaft „Streckgrenze ReH“ (H = obere Streckgrenze, von high)

235  Kennzahl für den Mindestwert der (oberen) Streckgrenze in N/mm2 für Probe-Dicken s  16 mm: ReH = 235 N/mm2 (mit zunehmender Dicke wird ReH kleiner, z.B. für s > 150 mm < 200 mm wird ReH = 185 N/mm2) J

 Kennbuchstabe für Gütegruppe bezüglich Schweißeignung und Kerbschlagarbeit

RG2 Kennbuchstabe und -zahl für Gütegruppen z. B. bezüglich Lieferzustand, Erschmelzungsverfahren, chemische Zusammensetzung

4.23 Zulässige Spannungen im Kranbau

67

4.22 Zulässige Spannungen im Stahlhochbau Zulässige Spannungen in N/mm2 für Stahlbauteile Spannungsart

Werkstoff S355JO

S235JR

Schub

H

HZ

140

160

210

160

180

92

104

E360 H

HZ

240

410

460

240

270

410

460

139

156

240

270

4

Lastfall H: alle Hauptlasten, Lastfall HZ: alle Haupt- und Zusatzlasten

Zulässige Spannungen in N/mm2 für Stahlbau-Verbindungsmittel Spannungsart

Niete (DIN 124 und DIN 302) für Bauteile aus S235JR

für Bauteile aus S355JO

H

HZ

H

Passschrauben (DIN 7968) 4.6 5.6 für Bauteile für Bauteile aus S235JR aus S355JO

HZ

Lastfall H HZ

Rohe Schrauben (DIN 7990) 4.6

H

HZ

H

HZ

Abscheren

a zul

140

160

210

240

140

160

210

240

112

126

Lochleibungsdruck

l zul

280

320

420

480

280

320

420

480

240

270

Zug

z zul

48

54

72

81

112

112

150

150

112

112

Lastfall H: alle Hauptlasten, Lastfall HZ: alle Haupt- und Zusatzlasten

4.23 Zulässige Spannungen im Kranbau Zulässige Spannungen in N/mm2 für Kranbauteile Spannungsart

Außer dem Allgemeinen Spannungsnachweis auf Sicherheit gegen Erreichen der Fließgrenze ist für Krane mit mehr als 20 000 SpannungsHZ spielen noch ein Betriebsfestigkeitsnachweis 270 auf Sicherheit gegen Bruch bei zeitlich veränderlichen, häufig wiederholten Spannungen 240 für die Lastfälle H zu führen. Zulässige Spannungen beim Betriebsfestigkeitsnachweis 156 siehe Normblatt.

Werkstoff S235JR S355JO H

HZ

H

Zug- und Vergleichsspannung

160

180

240

Druckspannung, Nachweis auf Knicken

140

160

210

92

104

138

Schubspannung

Zulässige Spannungen in N/mm2 für Kranbau-Verbindungsmittel Spannungsart

Niete (DIN 124 und DIN 302) USt36 für Bauteile aus S235JR

Abscheren Lochleibungsdruck Zug

einschnittig zweischnittig einschnittig zweischnittig einschnittig zweischnittig

H 84 112 210 280 30 30

HZ 96 128 240 320 30 30

USt44 für Bauteile aus S355JO H 126 168 315 420 45 45

HZ 144 192 360 480 45 45

Passschrauben (DIN 7968) 4.6 5.6 USt36 USt44 für Bauteile für Bauteile aus S235JR aus S355JO Lastfall H HZ H HZ 84 96 126 144 112 128 168 192 210 240 315 360 280 320 420 480 100 110 140 154 100 110 140 154

Schrauben (DIN 7880) 4.6 5.6 USt36 USt44 für Bauteile für Bauteile aus S235JR aus S355JO H 70

HZ 80

H 70

HZ 80

160

180

160

180

100

110

140

154

Festigkeitslehre

Druck und Biegedruck, wenn Stabilitätsnachweis nach DIN EN 1993-1-1 erforderlich ist Zug und Biegezug, Biegedruck, wenn Stabilitätsnachweis nach DIN EN 1993-1-1 erforderlich ist

Lastfall H HZ

68

4.24 Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl (Auswahl)

4.24 Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl (Auswahl) Beispiel für die Bezeichnung und Auswertung eines Winkelstahls: L 40 × 6 DIN 1028 Schenkelbreite a = 40 mm Schenkeldicke s = 6 mm Flächenmoment 2. Grades I x = 6,33 · 104 mm4 Widerstandsmoment Wx1 = 5,28 · 103 mm3 Wx2 = 2,26 · 103 mm3 Oberfläche je Meter Länge A' 0 = 0,16 m2/m Profilumfang U = 0,16 m ix = Ix / A = 11,9 mm

Trägheitsradius Kurzzeichen

a s

Querschnitt A

e1

Oberfläche je Gewichtskraft je Meter Länge Meter Länge

e2

Ix = Iy 4

Wx1 = Wy1 4

3

3

Wx2 = Wy2

A0' 2

· 10 mm

· 10 mm

m /m

20 × 4 20/ 4 145 6,4/ 13,6 0,48 0,75 25 × 5 25/ 5 226 8 / 17 1,18 1,48 30 × 5 30/ 5 278 9,2/ 20,8 2,16 2,35 35 × 5 35/ 5 328 10,4/ 24,6 3,56 3,42 40 × 6 40/ 6 448 12 / 28 6,33 5,28 45 × 6 45/ 6 509 13,2/ 31,8 9,16 6,94 50 × 6 50/ 6 569 14,5/ 35,5 12,8 8,83 50 × 8 50/ 8 741 15,2/ 34,8 16,3 10,7 55 × 8 55/ 8 823 16,4/ 38,6 22,1 13,5 60 × 6 60/ 6 691 16,9/ 43,1 22,8 13,5 60 × 10 60/10 1110 18,5/ 41,5 34,9 18,9 65 × 8 65/ 8 985 18,9/ 46,1 37,5 19,8 70 × 7 70/ 7 940 19,7/ 50,3 42,4 21,5 70 × 9 70/ 9 1190 20,5/ 49,5 52,6 25,7 70 × 11 70/11 1430 21,3/ 48,7 61,8 29,0 75 × 8 75/ 8 1150 21,3/ 53,7 58,9 27,7 80 × 8 80/ 8 1230 22,6/ 57,4 72,3 32,0 80 × 10 80/10 1510 23,4/ 56,6 87,5 37,4 80 × 12 80/12 1790 24,1/ 55,9 102 42,3 90 × 9 90/ 9 1550 25,4/ 64,6 116 45,7 90 × 11 90/11 1870 26,2/ 63,8 138 52,7 100 × 10 100/10 1920 28,2/ 71,8 177 62,8 100 × 14 100/14 2620 29,8/ 70,2 235 78,9 110 × 12 110/12 2510 31,5/ 78,5 280 88,9 120 × 13 120/13 2970 34,4/ 85,6 394 115 130 × 12 130/12 3000 36,4/ 93,6 472 130 130 × 16 130/16 3930 38,0/ 92 605 159 140 × 13 140/13 3500 39,2/100,8 638 163 140 × 15 140/15 4000 40,0/100,0 723 181 150 × 12 150/12 3480 41,2/108,8 737 179 150 × 16 150/16 4570 42,9/107,1 949 221 150 × 20 150/20 5630 44,4/105,6 1150 259 160 × 15 160/15 4610 44,9/115,1 1100 245 160 × 19 160/19 5750 46,5/113,5 1350 290 180 × 18 180/18 6190 51,0/129,0 1870 367 180 × 22 180/22 7470 52,6/127,4 2210 420 200 × 16 200/16 6180 55,2/144,8 2340 424 200 × 20 200/20 7640 56,8/143,2 2850 502 200 × 24 200/24 9060 58,4/141,6 3330 570 200 × 28 200/28 10500 59,9/140,1 3780 631 1) Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

0,35 0,69 1,04 1,45 2,26 2,88 3,61 4,68 5,73 5,29 8,41 8,13 8,43 10,6 12,7 11,0 12,6 15,5 18,2 18,0 21,6 24,7 33,5 35,7 46,0 50,4 65,8 63,3 72,3 67,7 88,7 109 95,6 119 145 174 162 199 235 270

0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,17 0,19 0,19 0,21 0,23 0,23 0,25 0,27 0,27 0,27 0,29 0,31 0,31 0,31 0,35 0,36 0,39 0,39 0,43 0,47 0,51 0,51 0,55 0,55 0,59 0,59 0,59 0,63 0,63 0,71 0,71 0,79 0,79 0,79 0,79

L

mm

2

mm

mm

· 10 mm

3

3

1)

FG' N/m

11,2 17,4 21,4 25,3 34,5 39,2 43,8 57,1 63,4 53,2 85,2 75,9 72,4 91,6 110,1 88,6 94,7 116,7 138,3 119,4 144,0 147,9 201,8 193,3 228,7 231,0 302,6 269,5 308,0 268,0 351,9 433,6 355,0 442,8 476,7 575,3 475,9 588,3 697,7 808,6

4.25 Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl (Auswahl)

69

4.25 Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl (Auswahl) Beispiel für die Bezeichnung und Auswertung eines ungleichschenkligen Winkelstahls: L EN 10056-1 – 30 × 20 × 4

L

30 × 20 × 4 40 × 20 × 4 45 × 30 × 5 50 × 40 × 5 60 × 30 × 7 60 × 40 × 6 65 × 50 × 5 65 × 50 × 9 75 × 50 × 7 75 × 55 × 9 80 × 40 × 6 80 × 40 × 8 80 × 65 × 8 90 × 60 × 6 90 × 60 × 8 100 × 50 × 6 100 × 50 × 8 100 × 50 × 10 100 × 65 × 9 100 × 75 × 9 120 × 80 × 8 120 × 80 × 10 120 × 80 × 12 130 × 65 × 10 130× 75 × 10 130 × 75 × 12 130 × 90 × 10 130 × 90 × 12 150 × 75 × 9 150 × 75 × 11 150 × 90 × 10 150 × 90 × 12 150 × 100 × 10 150 × 100 × 12 150 × 100 × 14 160 × 80 × 12 200 × 100 × 10 200 × 100 × 14 250 × 90 × 10 250 × 90 × 14 1)

A' 0 = 0,097 m2/m

U = 0,097 m F'G = 14,2 N/m

ix = Ix / A = 9,27 mm

Trägheitsradius Kurzzeichen

a = 30 mm, b = 20 mm s = 4 mm I x = 1,59 · 104 mm4 Wx1 = 1,54 · 103 mm3 Wx2 = 0,81 · 103 mm3

Querschnitt

a b c A mm mm mm mm2

30 40 45 50 60 60 65 65 75 75 80 80 80 90 90 100 100 100 100 100 120 120 120 130 130 130 130 130 150 150 150 150 150 150 150 160 200 200 250 250

20 20 30 40 30 40 50 50 50 55 40 40 65 60 60 50 50 50 65 75 80 80 80 65 75 75 90 90 75 75 90 90 100 100 100 80 100 100 90 90

4 4 5 5 7 6 5 9 7 9 6 8 8 6 8 6 8 10 9 9 8 10 12 10 10 12 10 12 9 11 10 12 10 12 14 12 10 14 10 14

185 225 353 427 585 568 554 958 830 1090 689 901 1100 869 1140 873 1150 1410 1420 1510 1550 1910 2270 1860 1960 2330 2120 2510 1950 2360 2320 2750 2420 2870 3320 2750 2920 4030 3320 4590

Ober- Gewichtsfläche kraft je je Meter Meter Länge Länge

A0' Ix Wx1 Wx2 Iy Wy1 Wy2 ex1/ey1 4 4 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3 2 mm ·10 mm ·10 mm ·10 mm ·10 mm ·10 mm ·10 mm m /m 1) 10,3 /5,4 14,7/ 4,8 15,2/ 7,8 15,6/10,7 22,4/ 7,6 20,0/10,1 19,9/12,5 21,5/14,1 24,8/12,5 24,7/14,8 28,5/ 8,8 29,4/ 9,5 24,7/17,3 28,9/14,1 29,7/14,9 34,9/10,4 35,9/11,3 36,7/12,0 33,2/15,9 31,5/19,1 38,3/18,7 39,2/19,5 40,0/20,3 46,5/14,5 44,5/17,3 45,3/18,1 41,5/21,8 42,4/22,6 52,8/15,7 53,7/16,5 49,9/20,3 50,8/21,1 48,0/23,4 48,9/24,2 49,7/25,0 57,2/17,7 69,3/20,1 71,2/21,8 94,5/15,6 96,5/17,3

1,59 3,59 6,99 10,4 20,7 20,1 23,1 38,2 46,4 59,4 44,9 57,6 68,1 71,7 92,5 87,7 116 141 141 148 226 276 323 321 337 395 358 420 455 545 532 626 552 650 744 720 1220 1650 2170 2960

1,54 0,81 2,44 1,42 4,60 2,35 6,67 3,02 9,24 5,50 10,1 5,03 11,6 5,11 17,8 8,77 18,7 9,24 24,0 11,8 15,8 8,73 19,6 11,4 27,6 12,3 24,8 11,7 31,1 15,4 25,1 13,8 32,3 18,0 38,4 22,2 42,5 21,0 47,0 21,5 59,0 27,6 70,4 34,1 80,8 40,4 69,0 38,4 75,7 39,4 87,2 46,6 86,3 40,5 99,1 48,0 86,2 46,8 101 56,6 107 53,1 123 63,1 115 54,1 133 64,2 150 74,1 126 70,0 176 93,2 232 128 230 140 307 192

Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

0,55 0,60 2,47 5,89 3,41 7,12 11,9 19,4 16,5 26,8 7,59 9,68 40,1 25,8 33,0 15,3 19,5 23,4 46,7 71,0 80,8 98,1 114 54,2 82,9 96,5 141 165 78,3 93,0 145 170 198 232 264 122 210 282 161 216

1,02 1,25 3,17 5,50 4,49 7,05 9,52 13,8 13,2 18,1 8,63 10,2 23,2 18,3 22,0 14,7 17,3 19,5 29,4 37,0 43,2 50,3 56,0 37,4 47,9 53,3 65,0 73,0 49,9 56,0 71,0 81,0 85,0 96,0 106 69,0 104 129 103 125

0,38 0,39 1,11 2,01 1,52 2,38 3,18 5,39 4,39 6,66 2,44 3,18 8,41 5,61 7,31 3,86 5,04 6,17 9,52 12,7 13,2 16,2 19,1 10,7 14,4 17,0 20,6 24,4 13,2 15,9 20,9 24,7 25,8 30,6 35,2 19,6 26,3 36,1 21,7 29,7

0,097 0,117 0,146 0,177 0,175 0,195 0,224 0,224 0,244 0,254 0,234 0,234 0,283 0,294 0,294 0,292 0,292 0,292 0,321 0,341 0,391 0,391 0,391 0,381 0,401 0,401 0,430 0,430 0,441 0,441 0,469 0,469 0,489 0,489 0,489 0,469 0,587 0,587 0,667 0,667

FG' N/m

14,2 17,4 27,2 32,9 45,0 43,7 42,7 73,7 63,8 84,2 53,1 69,3 84,9 66,9 87,9 67,2 88,2 108,9 108,9 115,7 119,6 147,1 174,6 143,2 151,0 179,5 162,8 193,2 150,0 182,4 178,5 211,8 186,3 221,6 255,9 211,8 225,6 309,9 255,9 353,0

4 Festigkeitslehre

Schenkel breite Schenkeldicke Flächenmoment 2. Grades Widerstandsmomente Oberfläche je Meter Länge Profilumfang Gewichtskraft je Meter Länge

70

4.26 Warmgewalzte schmale I-Träger (Auswahl)

4.26 Warmgewalzte schmale I-Träger (Auswahl) Beispiel für die Bezeichnung und Auswertung eines schmalen І-Trägers mit geneigten inneren Flanschflächen: І-Profil DIN 1025 – S235JR – І 80 h = 80 mm Höhe b = 42 mm Breite Flächenmoment 2. Grades Ix = 77,8 · 104 mm4 Wx = 19,5 · 103 mm3 Widerstandsmoment Oberfläche je Meter Länge A' 0 = 0,304 m2/m U = 0,304 m Profilumfang Trägheitsradius Kurzzeichen

І

1)

ix = Ix / A = 32 mm

Querschnitt h b s mm mm mm

t mm

A mm2

80

80

42

3,9

5,9

758

100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 425 450 475 500 550 600

100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 425 450 475 500 550 600

50 58 66 74 82 90 98 106 113 119 125 131 137 143 149 155 163 170 178 185 200 215

4,5 5,1 5,7 6,3 6,9 7,5 8,1 8,7 9,4 10,1 10,8 11,5 12,2 13,0 13,7 14,4 15,3 16,2 17,1 18,0 19,0 21,6

6,8 7,7 8,6 9,5 10,4 11,3 12,2 13,1 14,1 15,2 16,2 17,3 18,3 19,5 20,5 21,6 23,0 24,3 25,6 27,0 30,0 32,4

1060 1420 1830 2280 2790 3350 3960 4610 5340 6110 6910 7780 8680 9710 10700 11800 13200 14700 16300 18000 21300 25400

Ix 4 mm4

· 10

77,8 171 328 573 935 1450 2140 3060 4250 5740 7590 9800 12510 15700 19610 24010 29210 36970 45850 56480 68740 99180 139000

Wx 3 mm3

· 10

19,5 34,2 54,7 81,9 117 161 214 278 354 442 542 653 782 923 1090 1260 1460 1740 2040 2380 2750 3610 4630

Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

Iy · 104 mm4

6,29 12,2 21,5 35,2 54,7 81,3 117 162 221 288 364 451 555 674 818 975 1160 1440 1730 2090 2480 3490 4670

Wy · 103 mm3

Oberfläche je Meter Länge

Gewichtskraft je Meter Länge

'

FG'

A0 2/m 1)

m

N/m

3,00

0,304

58,4

4,88 7,41 10,7 14,8 19,8 26,0 33,1 41,7 51,0 61,2 72,2 84,7 98,4 114 131 149 176 203 235 268 349 434

0,370 0,439 0,502 0,575 0,640 0,709 0,775 0,844 0,906 0,966 1,03 1,09 1,15 1,21 1,27 1,33 1,41 1,48 1,55 1,63 1,80 1,92

81,6 110 141 176 215 258 305 355 411 471 532 599 668 746 824 908 1020 1128 1256 1383 1638 1952

4.27 Warmgewalzte T-Träger (Auswahl)

71

4.27 Warmgewalzte T-Träger (Auswahl) Beispiel für die Bezeichnung und Auswertung eines T-Trägers: T80 EN 10055 – S235JR Höhe h = b = 80 mm Breite b =h Flächenmoment 2. Grades Ix = 73,7 · 104 mm4 Wx = 12,8 · 103 mm3 Widerstandsmoment

x

h

2% Profilschwerpunkt s

Kurzzeichen T

30 35 40 50 60 70 80 100 120 140

b=h mm

30 35 40 50 60 70 80 100 120 140

s mm

4,00 4,50 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 11,00 13,00 15,00

Querschnitt A mm2

ex mm

226 297 377 566 794 1060 1360 2090 2960 3990

8,5 9,9 11,2 13,9 16,6 19,4 22,2 27,4 32,8 38

Ix ·104 mm4

1,72 3,10 5,28 12,10 23,80 44,50 73,70 179,00 366,00 660,00

Wx ·103 mm3

Iy ·104 mm4

Wy ·103 mm3

0,80 1,23 1,84 3,36 5,48 8,79 12,80 24,60 42,00 64,70

0,87 1,57 2,58 6,60 12,20 22,10 37,00 88,30 178,00 330,00

0,58 0,90 1,29 2,42 4,07 6,32 9,25 17,70 29,70 47,20

Gewichtskraft je Meter Länge

4

N/m

Festigkeitslehre

y

2%

x

ex

y

b

FG'

17,35 22,84 29,01 43,51 61,06 81,54 104,87 160,73 227,38 306,76

72

4.29 Mechanische Eigenschaften von Schrauben

4.28 Warmgewalzte І-Träger, ІPE-Reihe (Auswahl) Beispiel für die Bezeichnung und Auswertung eines mittelbreiten I-Trägers mit parallelen Flanschflächen: IPE 80 DIN 1025 – S235JR Höhe h = 80 mm b = 46 mm Breite Flächenmoment I x = 80,1 · 104 mm4 Wx = 20,0 · 103 mm3 Widerstandsmoment Oberfläche je Meter Länge A' 0 = 0,328 m2/m U = 0,328 m Profilumfang Trägheitsradius

Kurzzeichen

1)

I x = Ix / A = 32,4 mm

Querschnitt

IPE

b t h s r mm mm mm mm mm

80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300 330 360 400 450 500 550 600

46 55 64 73 82 91 100 110 120 135 150 160 170 180 190 200 210 220

5,2 5,7 6,3 6,9 7,4 8,0 8,5 9,2 9,8 10,2 10,7 11,5 12,7 13,5 14,6 16,0 17,2 19,0

A mm2

80 3,8 5 764 100 4,1 7 1030 120 4,4 7 1320 140 4,7 7 1640 160 5,0 9 2010 180 5,3 9 2390 200 5,6 12 2850 220 5,9 12 3340 240 6,2 15 3910 270 6,6 15 4590 300 7,1 15 5380 330 7,5 18 6260 360 8,0 18 7270 400 8,6 21 8450 450 9,4 21 9880 500 10,2 21 11600 550 11,1 24 13400 600 12,0 24 15600

Ix · 104 mm4

80,1 171 318 541 869 1320 1940 2770 3890 5790 8360 11770 16270 23130 33740 48200 67120 92080

Wx · 103 mm3

Iy · 104 mm4

Wy · 103 mm3

20,0 34,2 53,0 77,3 109 146 194 252 324 429 557 713 904 1160 1500 1930 2440 3070

8,49 15,9 27,7 44,9 68,3 101 142 205 284 420 604 788 1040 1320 1680 2140 2670 3390

3,69 5,79 8,65 12,3 16,7 22,2 28,5 37,3 473 62,2 80,5 98,5 123 146 176 214 254 308

Oberfläche je Meter Länge

Gewichtskraft je Meter Länge

'

FG'

A0 2/m 1)

N/m

m

0,328 0,400 0,475 0,551 0,623 0,698 0,768 0,848 0,922 1,041 1,155 1,254 1,348 1,467 1,605 1,738 1,877 2,014

59 79 102 126 155 184 220 257 301 353 414 482 560 651 761 893 1032 1200

Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

4.29 Mechanische Eigenschaften von Schrauben Kennzeichen (Festigkeitsklasse) Mindest-Zugfestigkeit Rm in N/mm2 Mindest-Streckgrenze R e oder Rp 0,2-Dehngrenze in N/mm2 Bruchdehnung A5 in %

4.6

4.8

5.6

400

5.8

6.6

500

6.8

6.9

600

8.8

10.9

12.9

800

1 000 1 200

240

320

300

400

360

480

540

640

900

1 080

25

14

20

10

16

8

12

12

9

8

4.31 Niete und zugehörige Schrauben für Stahl- und Kesselbau

73

4.30 Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl (Auswahl) Beispiel für die Bezeichnung und Auswertung eines U-Stahls:

U 100 DIN EN 10025-4 Höhe Breite Flächenmoment 2. Grades Widerstandsmoment Flächenmoment 2.Grades Widerstandsmoment Oberfläche je Meter Länge Profilumfang

30 × 15 30 40 × 20 40 50 × 25 50 60 65 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 350 380 400 1)

= 0,372 m

4

Querschnitt

Ober- Gewichtsfläche kraft je je Meter Meter Länge Länge

A mm2

e1/e2 mm

30 30 40 40 50 50 60 65 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 350 380 400

221 544 366 621 492 712 646 903 1100 1350 1700 2040 2400 2800 3220 3740 4230 4830 5330 5880 7580 7730 8040 9150

5,2/ 9,8 13,1/19,9 6,7/13,3 13,3/21,7 8,1/16,9 13,7/24,3 9,1/20,9 14,2/27,8 14,5/30,5 15,5/34,5 16,0/39,0 17,5/42,5 18,4/46,6 19,2/50,8 20,1/54,9 21,4/58,6 22,3/62,7 23,6/66,4 25,3/69,7 27,0/73,0 26,0/74,0 24,0/76,0 23,8/78,2 26,5/83,5

15 33 20 35 25 38 30 42 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 102 110

4 5 5 5 5 5 6 5,5 6 6 7 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10 10 14 14 13,5 14

A0'

·10 mm

·10 mm

·10 mm

·10 mm

m /m 1)

FG' N/m

2,53 1,69 6,39 4,26 7,58 3,79 14,1 7,05 16,8 6,73 26,4 10,6 31,6 10,5 57,5 17,7 106 26,5 206 41,2 364 60,7 605 86,4 925 116 1350 150 1910 191 2690 245 3600 300 4820 371 6280 448 8030 535 10870 679 12840 734 15760 829 20350 1020

0,38 5,33 1,14 6,68 2,49 9,12 4,51 14,1 19,4 29,3 43,2 62,7 85,3 114 148 197 248 317 399 495 597 570 615 846

0,73 4,07 1,70 5,02 3,07 6,66 4,98 9,93 13,4 18,9 27,0 35,8 46,4 59,4 73,6 92,1 111 134 158 183 230 238 258 355

0,39 2,68 0,86 3,08 1,47 3,75 2,16 5,07 6,36 8,49 11,1 14,8 18,3 22,4 27,0 33,6 39,6 47,7 57,3 67,8 80,7 75,0 78,6 101

0,103 0,174 0,142 0,200 0,181 0,232 0,215 0,273 0,312 0,372 0,434 0,489 0,546 0,611 0,661 0,718 0,775 0,834 0,890 0,950 0,982 1,05 1,11 1,18

17,0 41,9 28,2 47,8 37,9 54,8 49,7 69,5 84,7 104,0 130,9 157,1 184,8 215,6 248,0 288,0 325,7 372 410,5 452,8 583,7 595,3 619,1 704,6

Wx

Ix

h b s mm mm mm

4

4

·10 mm

3

Iy 3

Wy1

4

4

3

Wy2 3

3

3

2

Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

4.31 Niete und zugehörige Schrauben für Stahl- und Kesselbau d1 in mm

11

13

(15)

17

(19)

21

23

25

28

31

(34)

37

π A1 in mm2 = d12 4

95

133

177

227

284

346

415

491

616

755

908

1075

10

12

(14)

16

(18)

20

22

24

27

30

(33)

36

M10

M12

–

M16

–

M20

M22

M24

M27

M30

M33

M36

d in mm (Rohnietdurchmesser) Sechskantschraube

d1 Durchmesser des geschlagenen Niets  Nietlochdurchmesser

Größen in ( ) möglichst vermeiden

Festigkeitslehre

U

U

ix = Ix / A = 39,1 mm

Trägheitsradius Kurzzeichen

h = 100 mm b = 50 mm I x = 206 · 104 mm4 Wx = 41,2 · 103 mm3 I y = 29,3 · 104 mm4 Wy1 = 18,9 · 103 mm3, Wy2 = 8,49 · 103 mm3 A' 0 = 0,372 m2/m

5

Gewindetabellen

5.1 Metrisches ISO-Gewinde Bezeichnung des metrischen Regelgewindes z. B. M 12 Gewinde-Nenndurchmesser d = D = 12 mm

Maße in mm Gewinde-Nenn- Steigung SteigungsFlankenKerndurchmesser Gewindetiefe 1) Spannungs- polares Widerdurchmesser winkel durchmesser querschnitt standsmoment d=D Reihe 1 Reihe 2

3 3,5 4 4,5 5 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 27 30 33 36 39 42 45 48 52 56 60 64 68 1)

P



d 2 = D2

d3

D1

h3

H1

in Grad

0,5 0,6 0,7 0,75 0,8 1 1,25 1,5 1,75 2 2 2,5 2,5 2,5 3 3 3,5 3,5 4 4 4,5 4,5 5 5 5,5 5,5 6 6

3,40 3,51 3,60 3,40 3,25 3,40 3,17 3,03 2,94 2,87 2,48 2,78 2,48 2,24 2,48 2,18 2,30 2,08 2,18 2,00 2,10 1,95 2,04 1,87 1,91 1,78 1,82 1,71

2,675 3,110 3,545 4,013 4,480 5,350 7,188 9,026 10,863 12,701 14,701 16,376 18,376 20,376 22,051 25,051 27,727 30,727 33,402 36,402 39,077 42,077 44,752 48,752 52,428 56,428 60,103 64,103

2,387 2,764 3,141 3,580 4,019 4,773 6,466 8,160 9,853 11,546 13,546 14,933 16,933 18,933 20,319 23,319 25,706 28,706 31,093 34,093 36,479 39,479 41,866 45,866 49,252 53,252 56,639 60,639

2,459 2,850 3,242 3,688 4,134 4,917 6,647 8,376 10,106 11,835 13,835 15,294 17,294 19,294 20,752 23,752 26,211 29,211 31,670 34,670 37,129 40,129 42,587 46,587 50,046 54,046 57,505 61,505

0,307 0,368 0,429 0,460 0,491 0,613 0,767 0,920 1,074 1,227 1,227 1,534 1,534 1,534 1,840 1,840 2,147 2,147 2,454 2,454 2,760 2,760 3,067 3,067 3,374 3,374 3,681 3,681

0,271 0,325 0,379 0,406 0,433 0,541 0,677 0,812 0,947 1,083 1,083 1,353 1,353 1,353 1,624 1,624 1,894 1,894 2,165 2,165 2,436 2,436 2,706 2,706 2,977 2,977 3,248 3,248

AS

Wps

mm2

mm3

5,03 6,78 8,73 11,3 14,2 20,1 36,6 58,0 84,3 115 157 192 245 303 353 459 561 694 817 976 1120 1300 1470 1760 2030 2360 2680 3060

3,18 4,98 7,28 10,72 15,09 25,42 62,46 124,6 218,3 347,9 554,9 750,5 1 082 1 488 1 871 2 774 3 748 5 157 6 588 8 601 10 574 13 222 15 899 20 829 25 801 32 342 39 138 47 750

H1 ist die Tragtiefe (siehe 4 Festigkeitslehre: 4.3 Flächenpressung im Gewinde)

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Böge, W. Böge, Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25807-8_5

5.2 Metrisches ISO-Trapezgewinde

75

5.2 Metrisches ISO-Trapezgewinde Bezeichnung für a) eingängiges Gewinde z. B. Tr 75  10 Gewindedurchmesser d = 75 mm, Steigung P = 10 mm = Teilung b) zweigängiges Gewinde z. B. Tr 75  20 P 10 Gewindedurchmesser d = 75 mm, Steigung Ph = 20 mm, Teilung P = 10 mm Steigung Ph 20 mm  2 Teilung P 10 mm

5

Maße in mm Gewindedurchmesser

Steigung

d

8 10 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 60 65 70 75 80 85 90 95 100 110 120

P

1,5 2 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 10 10 10 10 12 12 12 12 12 14

Steigungswinkel

Tragtiefe

 in Grad

H1 H1 = 0,5 P

3,77 4,05 5,20 5,20 4,05 4,23 3,57 3,77 3,31 3,49 3,15 3,31 3,04 2,95 3,04 2,80 2,60 2,43 2,77 2,60 2,46 2,33 2,10 2,26

0,75 1 1,5 2 2 2,5 2,5 3 3 3,5 3,5 4 4 4,5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7

KernFlankendurchmesser durchmesser D2 = d 2 D2 = d – H1

7,25 9 10,5 14 18 21,5 25,5 29 33 36,5 40,5 44 48 55,5 60 65 70 75 79 84 89 94 104 113

d3

6,2 7,5 9 11,5 15,5 18,5 22,5 25 29 32 36 39 43 50 54 59 64 69 72 77 82 87 97 104

Kernquerschnitt



2

d3 4 2 mm

A3 =

30,2 44,2 63,6 104 189 269 398 491 661 804 1 018 1 195 1 452 1 963 2 290 2 734 3 217 3 739 4 071 4 656 5 281 5 945 7 390 8 495

polares Widerstandsmoment Wp =



16 mm3

d33

46,8 82,8 143 299 731 1 243 2 237 3 068 4 789 6 434 9 161 11 647 15 611 24 544 30 918 40 326 51 472 64 503 73 287 89 640 108 261 129 297 179 203 220 867

Gewindetabellen

Gangzahl z =

6

Allgemeine Tabellen

6.1 Vorsatzzeichen zur Bildung von dezimalen Vielfachen und Teilen von Basiseinheiten oder abgeleiteten Einheiten mit selbstständigem Namen 6.2 Vorsatzzeichen zur Bildung von dezimalen Vielfachen und Teilen von Basiseinheiten

Vorsatz

Kurzzeichen Bedeutung

Beispiel

Tera

T

1012

Einheiten

1 Terameter (Tm)

= 1012 m

Giga

G

109

Einheiten

1 Gigagramm (Gg)

= 109 g = 106 kg = 103 t = 1000 t

M

106

Einheiten

1 Megagramm (Mg)

= 106 g = 103 kg = 1 t

k

103

Einheiten

1 Kilogramm (kg)

= 103 g = 1000 g

Hekto

h

102

Einheiten

1 Hektoliter (hl)

= 102 l = 100 l

Deka

da

101

Einheiten

1 Dekameter (dam)

= 10 m

Dezi

d

10–1

Einheiten

1 Deziliter (dl)

= 0,1 l

Zenti

c

10–2

Einheiten

1 Zentimeter (cm)

= 0,01 m = 10–2 m

Milli

m

10–3

Einheiten

1 Millisekunde (ms)

= 0,001 s = 10–3 s

Mikro



10–6

Einheiten

1 Mikrometer (m)

= 0,000 001 m = 10–6 m

n

10–9

Einheiten

1 Nanosekunde (ns)

= 10–9 s

P

10–12

Einheiten

1 Picofarad (pF)

= 10–12 F

Mega Kilo

Nano Pico

6.2 Normzahlen (DIN 323) Reihe R 5

1,00

1,60

2,50

4,00

6,30

10,00

Reihe R 10

1,00

1,25

1,60

2,00

2,50

3,15

4,00

5,00

Reihe R 20

1,00

1,12

1,25

1,40

1,60

1,80

2,00

4,00

4,50

5,00

5,50

6,30

7,10

8,00

1,00

1,06

1,12

1,18

1,25

1,32

2,00

2,12

2,24

2,36

2,50

2,65

4,00

4,25

4,50

4,75

5,00

5,30

8,00

8,50

9,00

9,50

10,00

Reihe R 40

6,30

8,00

10,00

2,24

2,50

2,80

3,15

3,55

9,00

10,00

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

1,90

2,80

3,00

3,15

3,35

3,55

3,75

5,60

6,00

6,30

6,70

7,10

7,50

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Böge, W. Böge, Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25807-8_6

6.3 Umrechnungsbeziehungen für gesetzliche Einheiten

77

6.3 Umrechnungsbeziehungen für gesetzliche Einheiten Größe

Kraft F

Gesetzliche Einheit Name und Einheitenzeichen

ausgedrückt als Potenzprodukt der Basiseinheiten

Newton N

1 N = 1 m kg s–2

Früher gebräuchliche Einheit (nicht mehr zulässig) und Umrechnungsbeziehung

Kilopond kp 1 kp = 9,80665 N  10 N 1 kp  1 daN

Newton N Quadratmeter m 2

1

N = 1 m–1 kg s–2 m2

Meter Wassersäule mWS 1 mWS = 9,806 65 · 103 Pa

N 1 2 = 1 Pascal Pa m 1 bar = 105 Pa

Die gebräuchlichsten Vorsätze und deren Kurzzeichen

Mechanische Spannung , , ebenso Festigkeit, Flächenpressung, Lochleibungsdruck

1 mWS  0,1 bar

für das Millionenfache (106fache) der Einheit:

Mega M

für das Tausendfache (103fache) der Einheit:

Kilo k

für das Zehnfache (10fache) der Einheit:

Deka da

für das Hundertstel (10–2fache) der Einheit:

Zenti c

für das Tausendstel (10–3fache) der Einheit:

Milli m

für das Millionstel (10–6fache) der Einheit:

Mikro 

Newton N Quadratmillimeter mm2 1

Millimeter Wassersäule mm WS N 1 mm WS  9,806 65 2  10 Pa m Millimeter Quecksilbersäule mmHg 1 mmHg = 133,3224 Pa Torr 1 Torr = 133,3224 Pa Technische Atmosphäre at kp = 9,80665 · 104 Pa 1 at = 1 cm 2 1 at  1 bar Physikalische Atmosphäre atm

1

1 atm = 1,01325 · 105 Pa  1,01 bar

N  106 m 1 kg s 2 mm 2

N N  106 2  106 Pa mm 2 m = 1 MPa = 10 bar

Newtonmeter Nm Drehmoment M Biegemoment Mb Torsionsmoment MT

1 Nm = 1 m2 kg s–2

kp kp und mm 2 cm 2 1

kp N N  9,80665  10 mm 2 mm 2 mm 2

1

kp N N  0,0980665  0,1 cm 2 mm 2 mm 2

Kilopondmeter kpm 1 kpm = 9,80665 Nm  10 Nm Kilopondzentimeter kpcm 1 kpcm = 0,0980665 Nm  0,1 Nm

Arbeit W Energie E

Joule J

Leistung P

Watt W

1 J = 1 Nm = 1

m2

1 J = 1 Nm = 1 Ws

J Nm 1 W =1  1 s s

kg

s–2

Kilopondmeter kpm 1 kpm = 9,80665 J  10 J

1 W = 1 m2 kg s–3

Kilopondmeter kpm Sekunde s kpm = 9,80665 W  10 W 1 s

Pferdestärke PS kpm 1 PS = 75 = 735,49875 W s

6 Allgemeine Tabellen

Druck p

78

6.3 Umrechnungsbeziehungen für gesetzliche Einheiten

Größe

Impuls F t

Drehimpuls M t

Trägheitsmoment J

Wärme, Wärmemenge Q

Gesetzliche Einheit Name und Einheitenzeichen

ausgedrückt als Potenzprodukt der Basiseinheiten

Newtonsekunde Ns kgm 1 Ns = 1 s

1 Ns = 1 m kg s–1

Früher gebräuchliche Einheit (nicht mehr zulässig) und Umrechnungsbeziehung

Kilopondsekunde kps 1 kps = 9,80665 Ns  10 Ns

Newtonmetersekunde Nms 1 Nms = 1 m2 kg s–1 kgm 2 1 Nms = 1 s

Kilopondmetersekunde kpms 1 kpms = 9,80665 Nms  10 Nms

Kilogrammmeterquadrat kgm2

1 m2 kg

Joule J 1 J = 1 Nm = 1 Ws

1 J = 1 Nm = 1 m2 kg s–2 Kalorie cal

Kilopondmetersekundequadrat kpms2 1 kpms2 = 9,80665 kgm2  10 kgm2

1 cal = 4,1868 J Kilokalorie kcal 1 kcal = 4186,8 J

Temperatur T

Kelvin K

Basiseinheit

Grad Kelvin °K

Kelvin K

1 °K = 1 K

Temperatur-

Kelvin K

Basiseinheit

Grad grd

intervall T

und

Kelvin K

1 grd = 1 K = 1 °C

Grad Celsius °C Celsius-Temperatur

Grad Celsius °C

t,  1 Längenausdehnungs- Eins durch Kelvin K koeffizient  l

Basiseinheit °C 1 = K–1 K

1 1 , grd °C 1 1 1   grd °C K

6.4 Griechisches Alphabet

79

6.4 Griechisches Alphabet A,  B,  ,   E,  Z, 

Eta Theta Jota Kappa Lambda My

H,   I,  K, k  M, 

Ny Xi Omikron Pi Rho Sigma

N,  ,  O,  ,  P, r 

Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega

T,  Y,   X,  ,  ,

6 Allgemeine Tabellen

Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta

7 Mathematische Hilfen 1. Rechnen mit Null

a · b = 0 heißt a = 0 oder b = 0

2. Quotient

a=

3. Binomische Formeln, Polygon

 a  b  a  b 2  a  b   a 2  2ab  b 2 3  a  b   a 3  3a 2b  3ab 2  b3 4  a  b   a 4  4a 3b  6a 2b 2  4ab3  b 4

b =b:n n

0·a=0

0:a=0

b Dividend n Divisor Division durch Null gibt es nicht.

n0

1

allgemeine Form:

 a  b

n

 a n  n  a n 1  b  ...   1

n 1

 n  a  b n 1   1  b n n

a 2  b 2   a  b  a  b 

x1  x2  ...  xn n

4. Arithmetisches Mittel

xa =

5. Geometrisches Mittel

xg  n x1  x2  ...  xn

6. Erste und nullte Potenz a1 = a

1 an

Beispiel: 71 = 7

a 1 

a–n =

8. Zehnerpotenzen

100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000

236  3,67 3

Beispiel: xg = 3 2  3  6  3 36  3,3

a0 = 1

7. Negativer Exponent

9. Wurzel-Definition

Beispiel: xa =

1 a

Beispiel: 7–2 =

106 = 1 Million 109 = 1 Milliarde 1012 = 1 Billion 1015 = 1 Billiarde usw.

1 72

70 = 1

71 

1 7

10–1 = 0,1 10–2 = 0,01 10–3 = 0,001 10–4 = 0,0001 usw.

n

c  a  an  c a  0 und c  0

Beispiel:

4

81  3  34  81

immer positiv 10. Wurzeln sind Potenzen mit gebrochenen Exponenten.

n

1

c  cn

n

c c



1 n



1 1

cn



1 1  n  n c 1 n c c

Beispiel:

4

1

81  814  3

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Böge, W. Böge, Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25807-8_7

7 Mathematische Hilfen

81

11. Quadratische Gleichung a2 x2 + a1 x + a0 = 0 (a2  0) (allgemeine Form) 12. Quadratische Gleichung (Normalform)

x2 

13. Quadratische Gleichung (Lösungsformel mit Beispiel)

x 1,2  

a1 a x  0  x2  p x  q  0 a2 a2

Die Lösungen x1 und x2

2

p  p    q 2 2

sind a) beide verschieden und reell, wenn der Wurzelwert positiv ist

25 x 2  70 x  13  0 70 13 x2  x 0 25 25

2  70  70  13      b) beide gleich und reell,  x1,2   50 25  50   wenn der Wurzelwert

null ist

7 49 13 13 x1      c) beide konjugiert kom5 25 25 5 plex, wenn der Wur1 x2  zelwert negativ ist. 5 14. Kontrolle der Lösungen (Viëta)

x1 + x2 = – p x1 · x2 = q

70 13 und q  also 25 25 13 1 14 70   p x1 + x2 =   5 5 5 25 13 1 13 q x 1 · x2 =   5 5 25 Im Beispiel ist p = 

A Fläche, r Umkreisradius, r Inkreisradius, U Umfang 15a.

15b.

Dreieck (gleichseitiges)

Viereck (Quadrat)

a2 A 3 4 a r 3 3

r

A

a 2 2 a r 2 17a.

Sechseck 3 A  a2 3 2 ra a 3 r 2

Fünfeck a2 A 25  10 5 4

a2

a 50  10 5 10 a ρr  25 10 5 10

r

a 3 6

16b.

16a.

r 

17b.

Rhombus

d d A  ah  1 2 2 U  4a

Parallelogramm A  a  h  a  b  sin  U  2( a  b)

d1  ( a  h cot  ) 2  h 2 d 2  ( a  h cot  ) 2  h 2

7 Mathematische Hilfen

Beispiel:

82

18a.

7 Mathematische Hilfen

18b.

Trapez

Vieleck

A  A1  A2  A3

ac h  mh 2 ac m 2 A

19a.

Regelmäßiges Sechseck

A

19b.

c1 h1  c2 h 2  c2 h 3 2

Dreieck

3 A  a2 3 2

A

gh 2

Schlüsselweite: s  a 3 Eckenmaß: e = 2a 20a.

20b.

Kreis

Kreisring

d 2 A  r 2   U  2r   d 

A   (ra2  ri2 )  A  (d a2  d i2 )  d m  s 4

  3,141592 21a.

s 21b.

Kreissektor

dm 

A

   360

(R2  r 2 )  l s

mittlere Bogenlänge l : Rr  l   2 180

Bogenlänge b :

  r 180

Ringbreite s :

s Rr 22.

Kreisradius r :

Kreisabschnitt

r 2     A   sin   2  180  1 A  [r (b  s )  s h] 2 2 A  sh 3 Sehnenlänge s : s = s  2 r sin

 2

d a  di 2

Kreisringabschnitt

br   r2 A  r2  2 360 2

b  r 

d a  di 2

Bogenlänge b:

2

s 2 2 h   r 2h

b  s2 

Bogenhöhe h :

180

  h  r 1  cos  2  s  h  tan 2 4

b

  r

16 2 h 3

r

83

23. Begriff des ebenen Winkels

Der ebene Winkel  (kurz: Winkel , im Gegensatz zum Raumwinkel) zwischen den beiden Strahlen g1, g2 ist die Länge des Kreisbogens b auf dem Einheitskreis, der im Gegenuhrzeigersinn von Punkt P1 zum Punkt P2 führt.

24. Bogenmaß des ebenen Winkels

Die Länge des Bogens b auf dem Einheitskreis ist das Bogenmaß des Winkels.

25. Kohärente Einheit des ebenen Winkels

Die kohärente Einheit (SI-Einheit) des ebenen Winkels ist der Radiant (rad).

b 1 r Der Radiant ist der ebene Winkel, für den das Verhältnis der Länge des Kreisbogens b zu seinem Radius r gleich eins ist.

1 rad 

26. Vollwinkel und rechter Winkel

Für den Vollwinkel  beträgt der Kreisbogen b = 2  r. Es ist demnach:

b 2r  rad  2  rad r r Ebenso ist für den rechten Winkel (1L):



  1L 

27. Umrechnung von Winkeleinheiten

 b 2r  rad  rad r 4r 2

Vollwinkel = 2  rad

rechter Winkel 1L =

 rad 2

Ein Grad (1°) ist der 360ste Teil des Vollwinkels (360°). Folglich gilt: 1 

b 2r 2   rad  rad= rad r 360 r 360 180

1 

 rad  0,0175 rad 180

oder durch Umstellen:

1 180 180   57,3     90 rad  rad Beispiel: a)   90  180 2

1 rad 

b)    rad  

180  180 

7 Mathematische Hilfen

7 Mathematische Hilfen

84 28. Winkelfunktionen

7 Mathematische Hilfen Gegenkathete Hypotenuse Ankathete  Hypotenuse

a c b cos   O B  c

    von  1...  1  

Gegenkathete Ankathete Ankathete Kotangens  Gegenkathete

a b b cot   E F  a

   von  ...    

Sinus Kosinus Tangens

sin   B C 



tan   A D 



Hypotenuse c  sec   O D   Ankathete b  von  ...  1 Hypotenuse c  und  1...   Kosecans  cosec   O F   Gegenkathete a 

Sekans



Hinweis: Winkel werden vom festen Radius OA aus linksdrehend gemessen.

29. Trigonometrische Funktionen

30. Vorzeichen der Funktion (richtet sich nach dem Quadranten, in dem der bewegliche Radius liegt)

31. Funktionen für Winkel zwischen 90°... 360°

y = sin x

y = cos x

y = tan x

y = cot x

Quadrant

Größe des Winkels

sin

cos

tan

cot

sec

cosec

I

0° bis 090°

+

+

+

+

+

+

II

90° bis 180°

+

–

–

–

–

+

III

180° bis 270°

–

–

+

+

–

–

IV

270° bis 360°

–

+

–

–

+

–

Funktion

 = 90°  

 = 180°  

 = 270°  

 = 360° – 

sin  cos  tan  cot 

 cos  ∓ sin  ∓ cot  ∓ tan 

∓ sin  – cos   tan   cot 

– cos   sin  ∓ cot  ∓ tan 

– sin   cos  – tan  – cot 

Beispiel: sin 205° = sin(180  25°) = – (sin 25°) = – 0,4226

7 Mathematische Hilfen 32a. Sinussatz

32b. Kosinussatz (bei stumpfem Winkel wird cos  negativ)

85

a sin   b sin 

b sin   c sin 

c sin   a sin 

a 2  b 2  c 2  2 bc cos  ; ... a 2  (b  c) 2  4 bc cos 2 ( / 2); ... a 2  (b  c)2  4 bc sin 2 ( / 2); ... Die Punkte weisen darauf hin, dass sich durch zyklisches Vertauschen von a, b, c und , , , zwei weitere Gleichungen ergeben.

34. Funktionen für Winkel über 360° werden auf solche von Winkeln zwischen 0°... 360° zurückgeführt (bzw. zwischen 0°... 180°); „n “ ist ganzzahlig

35. Grundformeln

36. Umrechnung zwischen Funktionen desselben Winkels (die Wurzel erhält das Vorzeichen des Quadranten, in dem der Winkel  liegt)

sin (    sin  cos (   cos  tan (    tan 

Beispiel: sin (– 205°) = – sin (205°)

cot (    cot  sin (360  n     sin 

Beispiel: sin (660)   sin (660)    sin (360  1  300    sin 300    sin (270  30)    cos30  0,8660

cos (360  n     cos  tan (180  n     tan  cot (180  n     cot 

sin 2   cos 2   1

tan  

sin  cos 

sin 

cos 

sin  = sin 

1 cos2 

cos   1  sin 2 

cos 

tan  

cot  

sin  1  sin 2 

1  cos 2  cos 

1  sin 2  sin 

1  cos 2 

cos 

cot  

1 cos   tan  sin  tan 

cot 

tan 

1

1 tan2 

1 cot 2 

1

cot 

1  tan 2 

1  cot 2 

tan 

1 cot 

1 tan 

cot 

7 Mathematische Hilfen

33. Funktionen für negative Winkel werden auf solche für positive Winkel zurückgeführt

86 37. Additionstheoreme

38. Summenformeln

7 Mathematische Hilfen sin (   )  sin   cos   cos   sin  ; cos (   )  cos   cos   sin   sin  ; tan   tan  tan (   )  1  tan   tan  cot   cot   1 cot (   )  cot   cot 

  cos 2 2     sin   sin   2cos sin 2 2     cos   cos   2cos cos 2 2     cos   cos   2sin sin 2 2 sin(   ) tan   tan   cos  cos  sin   sin   2sin

tan   tan  

sin (   )  sin   cos   cos   sin  cos (   )  cos   cos   sin   sin  tan   tan  tan (   )  1  tan   tan  cot   cot   1 cot (   )  cot   cot 

 

sin(   ) cos  cos 

sin (   )  sin(   ) 

cot   cot  

sin(   ) sin  sin 

cot   cot  

sin(   ) sin  sin 

cos (   )  cos(   ) 

 2sin  cos 

 2cos  cos 

sin (   )  sin(   )   2cos  sin 

cos (   )  cos(   )   2sin  sin 

cos   sin   2 sin(45   

cos   sin   2 cos(45   

 2 cos(45    1  tan   tan(45    1  tan 

 2 sin(45    cot   1  cot(45    cot   1

Glossar A Abscherbeanspruchung (shearing stress) 4.2 Eine der fünf Grundbeanspruchungsarten aus der Festigkeitslehre, bei der zum Beispiel beim Scherschneiden zwei gleich große gegensinnige Kräfte quer zur Stabachse eines Bauteils wirken. Die im Bauteil auftretende Spannung heißt Abscher- oder Schubspannung. Zum Beispiel Niete, Passstifte und -schrauben werden auf Abscheren beansprucht. Abscherfestigkeit τaB (shear strength) 4.2 Diejenige Abscher- oder Schubspannung in N/mm2, bei der der Querschnitt eines Probestabs bleibend voneinander getrennt wird (Bruch). Abscherhauptgleichung (shear principal equation) 4.2 Dient der Berechnung der Abscherspannung eines auf Abscheren beanspruchten Bauteils. Die Abscherspannung ist der Quotient aus der auf ein Bauteil wirkenden Querkraft und der Querschnittsfläche, ist gleichmäßig über den Bauteilquerschnitt verteilt und darf nur über die das Bauteil belastende Querkraft ermittelt werden. Absoluter Druck pabs (absolute pressure) 6.4 Der in einem abgeschlossenen Raum (z. B. Dampfkesselraum) herrschende Druck: absoluter Druck = äußerer Luftdruck  Atmosphärendruck + Überdruck. Abtriebsleistung Pn (output power) Antriebsleistung Pa (input power) 2.17 Die Abtriebs- oder Nutzleistung in kW, W oder Nm/s an der Abtriebswelle eines Motors, eines Getriebes oder einer Kraft- oder Arbeitsmaschine (z. B. einer Werkzeugmaschine). Die Abtriebsleistung lässt sich über die Wirkungsgradgleichung η = Nutzleistung/Antriebsleistung berechnen. Die Antriebsleistung ist zum Beispiel die auf den Leistungsschildern angegebene Nennleistung eines Elektromotors. Abtriebsmoment Mn (output torque) Antriebsmoment Ma (input torque) 2.20 Drehkraftwirkung in Nm an der Abtriebswelle, z. B. eines Zahnradgetriebes. Das Abtriebsmoment ist über den Wirkungsgrad und die Übersetzung des Getriebes mit dem erforderlichen Antriebsmoment verbunden. Das Antriebsmoment lässt sich aus der Antriebsleistung und der Antriebsdrehzahl ermitteln. Analogieschluss (anology deduction) 2.25 In der Physik die Übernahme physikalischer Gesetzmäßigkeiten (Definitionsgleichungen, Formeln, Gesetze) in einen gleichartigen physikalischen Vorgang. Zum Beispiel entspricht die Gleichung für die Geschwindigkeit

bei geradliniger (translatorischer) Bewegung der Gleichung für die Winkelgeschwindigkeit bei der kreisförmigen (rotatorischen) Bewegung. Analytische Lösung (analytical solution) 1.7 In der Technischen Mechanik die rechnerische Ermittlung von beispielsweise noch unbekannten Stützkräften und -momenten, die das Gleichgewicht eines Systems herstellen sollen. ΣFx = 0, ΣFy = 0 und ΣM = 0. Anlaufreibung (starting-up friction) 1.20 Physikalischer Zustand in einem Gleitlager kurz vor Drehung der Welle. Vor dem Anlaufen einer Welle muss das Wellendrehmoment die an der Berührungsstelle Welle/Lager auftretende Haftreibung und damit das entstehende Haftreibungsmoment überwinden. Anformung (forming) 4.15 Der Querschnittsverlauf eines Bauteils (meist: Biegeträger) wird so gestaltet, dass in jedem Querschnitt (x) die gleiche Biegespannung σb(x) auftritt. Ergebnis: Werkstoffeinsparung, Gewichtsverminderung (Fahrzeugbau). Anstrengungsverhältnis α0 (strain relation) 4.9 Verhältnis der zulässigen Biegespannung zur zulässigen Torsionsspannung in Abhängigkeit vom Belastungsfall I, II, III. Wird zur Berechnung der Vergleichsspannung bei zusammengesetzter Beanspruchung aus Biegung und Torsion gebraucht, meist bei Wellenberechnungen. Anzugsmoment MA (tightening torque) 1.18 Drehmoment, mit dem eine Befestigungsschraube angezogen werden muss, um eine lockerungssichere Schraubenverbindung herzustellen, z. B. mit einem Drehmomentenschlüssel an Flanschen, Zylinderköpfen an Verbrennungsmotoren, Fahrzeugrädern. Arbeit W (work) 2.16 Produkt aus der konstanten Verschiebekraft und dem Verschiebeweg eines Körpers. Die Wirklinie der Verschiebekraft und der Verschiebeweg des Körpers müssen übereinstimmen. Auflagereibungsmoment MRa (support friction torque) 1.18 Dieses Moment muss beim Anziehen einer Befestigungsschraube vom Anzugsmoment überwunden werden. Das Auflagereibungsmoment ist abhängig von der Schraubenlängskraft, der Reibungszahl an der Mutterauflagefläche und dem Wirkabstand der Reibungskraft von der Schraubenachse.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Böge, W. Böge, Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25807-8

88 Auftriebskraft Fa (buoyancy force) 3.1 Die zum Eintauchen eines Körpers in ein Fluid (z. B. Wasser, Öl, flüssiges Metall) erforderliche Kraft. Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeitsmenge. Ausflussgeschwindigkeit v (outflow velocity) 3.3 Geschwindigkeit, mit der ein Fluid (z. B. Wasser, Öl, Luft) aus einem Behälter ausströmt. Ausflusszahl μ (outflow coefficient) 3.3 Faktor, um den sich beim Ausfluss eines Fluids aus einem Gefäß der theoretische Volumenstrom V verringert.

B Backenbremse (shoe brake) 1.22 Bremsvorrichtung, bei der die Bremskraft auf die Bremstrommel radial über die Bremsbacke aufgebracht wird. In der Fördertechnik und im Fahrzeugbau werden meist Doppelbackenbremsen verwendet, bei denen sich die Radialkräfte auf die Bremstrommel ausgleichen. Backenbremse mit tangentialem Drehpunkt (travel brake) 1.22 Bremse, bei der die Bremswirkung in beiden Drehrichtungen gleich groß ist. Das wird erreicht, wenn der Drehpunkt des Bremshebels tangential zur Bremsscheibe liegt (auf der Wirklinie der tangential an der Bremsscheibe angreifenden Reibungskraft). Dadurch sind Bremskraft und Bremsmoment in beiden Drehrichtungen gleich groß. Bandbremse (band brake) 1.22 Bremssystem, bei dem die Bremstrommel von einem Bremsband umschlungen und über einen Zughebel an die Bremstrommel angepresst wird. Die entstehende Seilreibung erzeugt das Bremsmoment. Beanspruchung (stress) 4.1–4.7 Spannungszustand im Werkstoffgefüge eines durch äußere Kräfte oder Kraftmomente belasteten Bauteils, z. B. in einer drehmomentenbelasteten Getriebewelle (Beanspruchung: Torsion). Man unterscheidet zwischen Beanspruchung und Belastung. Das Werkstoffgefüge des Bauteils wird durch innere Kräfte beansprucht, das Bauteil selbst durch äußere Kräfte belastet. Die Höhe der Beanspruchung wird durch die Spannung gekennzeichnet. Beanspruchungsart und Festigkeit (type of stress and resistance) 4.1–4.7 Abhängigkeit der Festigkeitswerte (z. B. Zug-, Druck-, Biegefestigkeit) von der Spannungsart (Normal- oder Schubspannung) und der Spannungsverteilung über dem Querschnitt (gleichmäßig wie bei Zug/Druck oder linear wie bei Biegung und Torsion).

Glossar Bernoulli’sche Gleichung (Bernoulli’s equation) 3.2 Aus dem Energieerhaltungssatz hergeleitete Grundgleichung für strömende Fluide nach dem Schweizer Mathematiker Daniel Bernoulli (1700–1782). Danach ist in einem strömenden Fluid die Summe aus dem statischen Druck, dem kinetischen Druck (Geschwindigkeitsdruck) und dem geodätischen Druck konstant. Beschleunigte Bewegung (accelerated movement) 2.1, 2.2, 2.4, 2.5 Zeitlicher Ordnungsbegriff für den Bewegungszustand eines Körpers, gekennzeichnet durch die Zu- oder Abnahme der Geschwindigkeit (v ≠ konstant). Man unterscheidet zwischen gleichmäßig beschleunigter Bewegung (v ≠ konstant, a = konstant) und ungleichförmiger Bewegung (v ≠ konstant, a ≠ 0). Beschleunigung a (acceleration) 2.1, 2.2, 2.4, 2.5 Ändert sich die Geschwindigkeit eines Körpers in einem zugehörigen Zeitintervall, dann wird er beschleunigt (positive Beschleunigung) oder verzögert (negative Beschleunigung). Beschleunigungsarbeit Wa (acceleration work) 2.21 Diejenige Arbeit, die zum Beschleunigen (oder Verzögern) eines Körpers erforderlich ist. Wird ein Körper mit der Masse m durch eine resultierende Kraft Fres gleichförmig (a = konstant) längs eines Wegabschnitts Δs von der Geschwindigkeit v1 auf die Geschwindigkeit v2 beschleunigt (oder verzögert), dann ist dazu die Beschleunigungsarbeit Wa erforderlich. Wa ist gleich der Änderung der kinetischen Energie ΔEkin des Körpers. Für die Drehbewegung (Rotation) ist für die Masse m das Massenträgheitsmoment J und für die Geschwindigkeit v die Winkelgeschwindigkeit ω einzusetzen. Bewegungslehre (Kinematik) (kinematics) 2.1 Beschreibung des Bewegungszustands eines Körpers ohne Berücksichtigung der an ihm angreifenden Kräfte und Kraftmomente. Mit den physikalischen Größen Zeit und Weg werden Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt und an einem bestimmten Ort im Raum oder in der Ebene mit mathematischen Gleichungen beschrieben. Biegehauptgleichung (bending principal equation) 4.6 Dient der Berechnung der Biegespannung eines auf Biegung beanspruchten Trägers. Die Biegespannung ist linear über den Trägerquerschnitt verteilt und ist abhängig vom dem den Träger belastenden Biegemoment und dem axialen Widerstandsmoment. Biegemoment Mb (bending moment) 4.6 Statische Größe im inneren Kräftesystem, das Biegespannungen (Normalspannungen) z. B. in einem Biegeträger hervorruft.

Biegespannung σb (bending stress) 4.6 Vom Querschnitt eines Bauteils aufzunehmende Kraft je Flächeneinheit bei der Beanspruchungsart Biegung. Am belasteten, durchgebogenen Biegeträger stellen sich zwei vorher parallele Querschnitte schräg gegeneinander. Die neutrale Faserschicht ist unverkürzt, sie geht durch den Querschnittsschwerpunkt. Die Randschicht des Querschnitts erhält die stärkste Beanspruchung, und ist spannungsfrei (lineare Spannungsverteilung). Biegeträger (bending girder) 4.12 Bezeichnung solcher Bauteile, die durch das äußere Kräftesystem hauptsächlich auf Biegung beansprucht werden. Biegung (bending) 4.6 Grundbeanspruchungsart, bei der der Querschnitt des Bauteils durch ein Biegemoment und eine Querkraft beansprucht wird, z. B. bei Radachsen und Profilstahlträgern im Stahlhochbau. Biegung und Torsion (bending and torsion) 4.9 Zusammengesetzte Beanspruchung, die hauptsächlich bei Wellen auftritt (Beispiel: Zahnrad-Getriebewelle). Biegung und Zug/Druck (bending and tension/pressure) 4.9 Eine der zusammengesetzten Beanspruchungsarten, die hauptsächlich bei außermittigem Kraftangriff entsteht, z. B. wenn (im Stahlbau) die Kraft über ein am Träger angeschweißtes Knotenblech eingeleitet wird. Das innere Kräftesystem besteht dann aus dem Biegemoment (erzeugt Biegespannungen) und der Normalkraft (erzeugt Zugspannungen). Beide werden zur resultierenden Spannung zusammengesetzt. Bodenkraft Fb (bottom pressure force) 3.1 Belastung der Bodenfläche eines Flüssigkeitsbehälters durch den hydrostatischen Druck. Die Flüssigkeit drückt mit der Bodenkraft auf den waagerechten Behälterboden und ist abhängig von der Dichte der Flüssigkeit, der Fallbeschleunigung und der Flüssigkeitshöhe, nicht dagegen von der Gefäßform.

C Culmann’sche Gerade (Culmann’s straight line) 1.5 Basiert auf der Erkenntnis, dass die zwei Resultierenden eines aus vier nicht parallelen Kräften bestehendes Kräftesystem gleich groß, entgegengesetzt gerichtet und auf einer Wirklinie liegen müssen – der Culmann’schen Geraden (Karl Culmann, 1821–1881).

D Dauerfestigkeit σD (fatigue strength) 4.11 Oberbegriff für den größten Spannungswert, den ein glatter, polierter Probestab bei dynamischer Belastung „dauernd“ ohne Bruch oder unzulässige Verformung aushält.

89 Man unterscheidet: a) Dauerstandfestigkeit bei ruhender (statischer) Belastung (Belastungsfall I), b) Schwellfestigkeit bei schwellender Belastung, d. h. die Belastung schwankt dauernd zwischen null und einem Höchstwert (Belastungsfall II), c) Wechselfestigkeit bei wechselnder Belastung, d. h. die Belastung schwankt dauernd zwischen einem gleich großen positiven und negativen Höchstwert (Belastungsfall III). Die Dauerfestigkeitswerte für dynamische Belastung werden im Dauerversuch nach DIN 50100 ermittelt (Dauerschwingversuch). Dehnung ε (strain) 4.1 Quotient aus der Verlängerung eines zugbeanspruchten (gespannten) Bauteils (Stabs) und seiner Ursprungslänge im ungespannten Zustand. Die Verlängerung ist die Differenz aus der Stablänge im gespannten und ungespannten Zustand. Als Verhältnis zweier Längen hat die Dehnung die Einheit eins. Dichte r (density) 2.13 Quotient aus der Masse eines Stoffs und dem zugehörigen Volumen. Differenzbremse (difference brake) 1.22 Bauart der Bandbremse, bei der nur in einer Drehrichtung ein Bremsmoment aufgebracht werden kann. Drehbewegung (circular motion) 2.3 Ortsveränderung eines Punktes auf einer Kreisbahn, meist betrachtet bei der Drehung eines Körpers (Welle, Zahnrad, Schleifscheibe). Die dabei wichtigen Größen heißen Kreisgrößen. Kennt man die Gesetze der geradlinigen Bewegung (Translation), lassen sich durch Analogiebetrachtungen die Gesetze der Kreisbewegung (Rotation) erkennen. Beispielsweise entspricht die geradlinige Geschwindigkeit bei der Translation der Winkelgeschwindigkeit bei der Rotation. Drehimpuls (angular momentum) 6.4 Produkt aus dem Trägheitsmoment J eines Körpers, z. B. einer Kupplung, und seiner Winkelgeschwindigkeit ω. Der Drehimpuls wird auch als Drall bezeichnet. Drehimpulsänderung (angular momentum modification) 2.18 Die Änderung des Drehimpulses eines Körpers ist gleich dem Momentenstoß des resultierenden Drehmoments Mres während eines Zeitabschnitts Δt. Drehmoment M (torque) 2.18, 6.4 Produkt aus der Kraft und deren Wirkabstand von einer Bezugsachse oder Produkt aus dem Trägheitsmoment eines Körpers und seiner Winkelbeschleunigung.

Glossar

Glossar

90 Drehmomentengleichgewichtsbedingung (torque equilibrium condition) 1.7 Eine der drei Gleichgewichtsbedingungen der Statik zur Berechnung unbekannter Kräfte oder Kraftmomente. Ein am Körper wirkendes Kräftesystem ist dann im Gleichgewicht, d. h. der Körper befindet sich im Ruhezustand oder im Zustand der gleichförmig geradlinigen Bewegung, wenn die Summe aller Kräfte F und die Summe aller Kraftmomente (Drehmomente) M gleich null ist). Drehzahl n (rotational speed) 2.8 Quotient aus der Anzahl der Umdrehungen und dem zugehörigen Zeitabschnitt. Die Anzahl der Umdrehungen, z. B. 1500, hat die Einheit eins. Der Zeitabschnitt, z. B. 5 min, die Einheit Minuten. Einheit der Drehzahl 1/min oder min−1. Drei-Kräfte-Verfahren (three forces method) 1.4 Zeichnerisches Verfahren zur Ermittlung unbekannter Kräfte in ebenen Kräftesystemen. Drei nicht parallele Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn sich die Wirklinien der Kräfte in einem Punkt schneiden und das Krafteck sich schließt. Druckausbreitungsgesetz (pressure-propagation law) 3.1 Von Blaise Pascal (1623–1662) aufgestellter Satz über die Druckverteilung in einer Flüssigkeit ohne Berücksichtigung ihrer Schwerkraft (Gewichtskraft). Danach breitet sich der Druck, der auf irgendeinen Teil einer abgesperrten Flüssigkeit ausgeübt wird, nach allen Richtungen hin gleichmäßig aus. Bei hohen Drücken braucht der Druck infolge der Schwerkraft der Flüssigkeit nicht berücksichtigt zu werden. Druckbeanspruchung (pressure loading) 4.1 Eine der fünf Grundbeanspruchungsarten aus der Festigkeitslehre, bei der durch äußere Druckkräfte zwei benachbarte Querschnitte des beanspruchten Bauteils einander näher gebracht werden: der Stab wird verkürzt. Druckhöhe h (pressure (height)) 3.1 Diejenige Flüssigkeitshöhe, die in einer Flüssigkeit infolge der eigenen Schwerkraft (Gewichtskraft) einen bestimmten Druck erzeugt. Druckkraft F auf gewölbte Böden (pressure force on convex bottom) 3.1 Diejenige Kraft, die einen Kessel oder ein Rohr infolge des herrschenden Innendrucks stark belasten kann. Druckstäbe (Eulerian columns, compression struts) 4.7 Im Hoch-, Kran- und Brückenbau und in Fachwerken auf Druck (Knickung) beanspruchte Bauteile (Stützen). Günstig gegenüber Knicken sind alle Querschnitte, deren Trägheitsradien für alle Knickachsen gleich groß sind, am besten beim Rohrquerschnitt verwirklicht.

Glossar Durchbiegungsgleichung (deflection equation) 4.12 Ergebnis der mathematischen Untersuchung der elastischen Verformung eines Biegeträgers. Die mathematische Entwicklung führt zur Differentialgleichung der elastischen Linie. Mit dieser Differentialgleichung werden die Durchbiegungsgleichungen für technisch wichtige Belastungsfälle an Biegeträgern hergeleitet. Dynamisches Grundgesetz (dynamic basic law) 2.12 Zweites Newton’sches Axiom, wonach die auf die Masse eines Körpers einwirkende resultierende Kraft gleich dem Produkt aus der Masse und der Beschleunigung (Verzögerung) des Körpers ist.

E Einwertiges Lager (single-valued bearing) 1.4 Bauart einer Lagerung, die nur eine rechtwinklig zur Stützfläche wirkende Kraft (Normalkraft) aufnimmt, jedoch kein Kraftmoment. Diese Lagerart wird verwendet, um die Wärmeausdehnung nicht zu behindern, z. B. an Brückenträgern und Wellen (Loslager). Elastische Verformung (elastic deformation) 4.1 Diejenige Formänderung, die nach Wegnahme der äußeren Kräfte und Kraftmomente keine bleibende Verformung des Bauteils hinterlässt. Beispielsweise erhält ein bei Belastung durchgebogener Träger nach der Entlastung wieder seine ursprüngliche Form. Grund: Die bei der Verformung auftretende Höchstspannung in allen Querschnitten des Bauteils war kleiner als die Dehngrenze des Werkstoffs. Elastizitätsmodul E (elastic modulus, Young’s modulus) 4.1 Durch Dehnversuche an Probestäben ermittelte Werkstoffkonstante. Zugversuche mit Probestäben (z. B. nach DIN EN 100021) zeigen, dass bei vielen Werkstoffen die Dehnung mit der Spannung im gleichen Verhältnis (proportional) wächst, z. B. bleibt für Stahl in den für die Praxis wichtigen Spannungsgrenzen das Verhältnis Spannung/Dehnung konstant. Das Verhältnis ist der Elastizitätsmodul (kurz: E-Modul). Energie E (energy) 2.21 Fähigkeit der Körper, die vorher an ihm aufgebrachte Arbeit wieder abzugeben (Energie gleich Arbeitsfähigkeit). Beispielsweise verformt der herabfallende Bär eines Fallhammers das Schmiedestück, verrichtet also Verformungsarbeit (Formänderungsarbeit). In seiner oberen Ruhelage hatte der Bär (potentielle) Energie, also gespeicherte Arbeitsfähigkeit. Energieerhaltungssatz (principle of energy conservation) 2.18 Sagt aus, dass die Energie am Ende eines technischen Vorgangs gleich der Energie am Anfang des Vorgangs ist

– vermehrt um die während des Vorgangs zugeführte und vermindert um die abgeführte Arbeit. Euler’sche Zahl e (Euler’s number) 1.19 Bei der Seilreibung wächst die Seilzugkraft mit der am anderen Seilende wirkenden Zugkraft exponentiell mit dem Produkt aus der Reibungszahl und dem Umschlingungswinkel. Diese Berechnungsgleichung hat zuerst Euler entwickelt; deshalb heißt „e“ die Euler’sche Zahl (Leonhard Euler, 1707–1783).

F Fachwerk (framework) 1.8 Tragkonstruktion aus Profilstäben, die Massivträger bei geringerem Werkstoffaufwand ersetzt. Die Profilstäbe werden als Zweigelenkstäbe angesehen und über Knotenbleche miteinander verbunden (genietet, geschraubt oder geschweißt). Als Zweigelenkstäbe können sie nur Zug- oder Druckkräfte aufnehmen. Einfachstes Fachwerk ist der Dreiecksverband mit 3 „Stäben“ und 3 „Knoten“. Das Dreieck ist die einfachste „starre“ Figur, deshalb schließt man weitere Stäbe in gleicher Weise an. Fahrwiderstand Fw (driving resistance, tractional resistance) 1.24 Kraft, die zum Fortbewegen eines Fahrzeugs auf ebener Bahn mit konstanter Geschwindigkeit erforderlich ist, um den Rollwiderstand an den Rädern und den Reibungswiderstand in den Lagern zu überwinden. Fallbeschleunigung g (gravitational acceleration) 2.2 Geschwindigkeitszunahme eines frei fallenden Körpers ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands. In der Technik wird mit g = 9,81 m/s2 gerechnet. Die Normfallbeschleunigung gn ist international festgelegt mit gn = 9,80665 m/s2, gilt annähernd für 45° geographischer Breite und Meeresspiegelhöhe. Federarbeit Wf (spring work) 2.16 An einer Feder beim Spannen aufgebrachte mechanische Arbeit (Formänderungsarbeit). Sie entspricht dem Flächeninhalt unter der Kennlinie im Federkraft-FederwegDiagramm (F, s-Diagramm). Steht z. B. eine Schraubenzugfeder unter einer Vorspannkraft und soll sie um einen bestimmten Federweg weiter gedehnt werden, ist dazu eine stetig wachsende Kraft aufzubringen. Der Graph F(s) im F, s-Diagramm heißt Federkennlinie, sie ist bei vielen Federn eine Gerade (lineare Kennlinie). Federrate R (spring rate) 2.16 Mechanische Kenngröße einer Feder. Die Federrate, auch Federkonstante oder Richtgröße gibt das Verhältnis der auf eine Feder wirkenden Kraft zur dadurch bewirkten Auslenkung an.

91 Festigkeit (strength) 4.16–4.18 Oberbegriff in der Festigkeitslehre für diejenige mechanische (Gegensatz: elektrische) Spannung, die ein Probestab bei bestimmten Beanspruchungsarten (z. B. Biegeoder Zugbeanspruchung) erträgt, bevor er zu Bruch geht oder sich unzulässig bleibend verformt. Festigkeitslehre (strength of materials) 4.1–4.7 Lehre von den inneren Kräfte- und Spannungssystemen, die durch äußere Belastungen aller Art hervorgerufen werden. Für die Konstruktions- und Entwurfspraxis stellt die Festigkeitslehre Gleichungen zur Verfügung, mit deren Hilfe für technische Bauteile (Achsen, Wellen, Träger usw.) a) der erforderliche Querschnitt, b) die maximal zulässige Belastung, c) die vorhandene Spannung und d) die Verformung des Bauteils ermittelt werden können. Flächenmoment 2. Grades I (area moment) 4.4 Mathematische (geometrische) Größe, die sich bei der Herleitung der Biege- und Torsionshauptgleichung ergibt. Man unterscheidet axiale Flächenmomente für Biegeund Knickungsberechnungen und polare Flächenmomente für Torsionsberechnungen. Für technisch wichtige Querschnittsformen wurden Berechnungsgleichungen entwickelt und in Tabellen zusammengestellt. Flächenpressung p (contact pressure (per unit area)) 4.3 Beanspruchung in den Berührungsflächen (Oberflächen) zweier gegeneinander gedrückter Bauteile, zum Beispiel zwischen Zahnflanken von Zahnrädern. Flächenschwerpunkt S (centroid of an area) 1.11 Derjenige Punkt auf der Schwerebene eines Blechs, in dem das abgestützte oder aufgehängte Blech in jeder beliebigen Lage in Ruhestellung bleibt. Die Lage des Flächenschwerpunkts wird mit dem Momentensatz für Flächen berechnet. Formänderungsarbeit Wf (deformation work) 4.1 Steigt die Belastung in Zug- und Druckstäben proportional zur Längenänderung an, verrichtet diese Kraft auf dem Weg der Verlängerung eine mechanische Arbeit: die Formänderungsarbeit. Freier Fall (free fall) 2.2 Durch die Erdanziehung gleichmäßig beschleunigte Bewegung eines frei fallenden Körpers. Im luftleeren Raum, z. B. in einer luftleer gepumpten Glasröhre, fallen alle Körper gleich schnell mit der Fallbeschleunigung. Bei Berechnungen muss festgelegt werden, ob der Luftwiderstand berücksichtigt werden soll.

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92 Freiträger (cantilever beam) 4.12 Bezeichnung aus der Statik für alle Maschinenelemente oder sonstige Bauteile, die einseitig gelagert sind, z. B. die Pedalachse am Fahrrad.

G Geschwindigkeitsdruck q (dynamic pressure) 3.2 Der vom Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit abhängige Teil des Gesamtdrucks in einem strömenden Fluid (kinetischer Druck, auch Staudruck genannt). Gewindereibungsmoment MRG (thread friction torque) 1.18 Beim Anziehen einer Schraubenverbindung in den Gewindegängen zwischen Bolzen- und Muttergewinde auftretendes Reibungsmoment bei der Gewindereibungszahl des Gewindes (z. B. μ′ = 0,1 für metrisches Spitzgewinde, leicht geölt). Gleichgewichtsbedingungen (equilibrium conditions) 1.7 Rechenregeln der Statik zur Ermittlung unbekannter Kräfte oder/und Kraftmomente (Drehmomente) an Bauteilen, die sich im Gleichgewichtszustand befinden sollen, exakt gültig nur für sogenannte starre Körper. Gleichgewichtszustand (equilibrium state) 1.7 Der Zustand eines Körpers, in dem keine resultierende Kraft auf ihn einwirkt (ΣF = 0 oder Fres = 0). In diesem Zustand ist der Körper entweder in Ruhe oder in gleichförmig geradliniger Bewegung. Beide Zustände sind gleichwertig. Gleitreibungskraft FR (dynamic friction force) 1.14 Tangential zwischen zwei gegeneinander bewegten Körpern auftretende Widerstandskraft. Die Gleitreibungskraft ist abhängig von der Normalkraft zwischen beiden Körpern und der Gleitreibungszahl der Stoffpaarung. Sie versucht den schnelleren Körper zu verzögern, den langsameren (oder still stehenden) Körper zu beschleunigen. Ruhen beide Körper, bestimmt der zu erwartende Bewegungszustand den Richtungssinn der Reibungskraft. Guldin’sche Regeln (Guldin’s rules) 1.13 Von Paul Guldin (1577–1643) aufgestellte Gleichungen zur Volumen- und Oberflächenberechnung von Rotationskörpern.

H Haftreibungskraft FRO (static friction force) 1.14 Tangential zwischen zwei ruhenden Körpern wirkende größte Widerstandskraft, die bei dem Versuch auftritt, den einen Körper gegenüber dem anderen zu verschieben. Haftreibung (static friction) 1.14 Widerstand gegenüber der Relativbewegung zwischen zwei aneinandergepressten festen Körpern.

Glossar Harmonische Schwingung (harmonic oscillation) 2.26 Läuft ein Punkt auf einer Kreisbahn gleichförmig mit der Winkelgeschwindigkeit um, dann entspricht ein Umlauf einer Auf- und Abwärtsbewegung des projizierten Punkts auf einer Projektionsfläche. Die so entstandene Bewegung heißt harmonische Schwingung. Hertz’sche Gleichungen (Hertzian equations) 4.3 Von dem deutschen Physiker Heinrich Rudolf Hertz (1857–1894) entwickelte Gleichungen zur Berechnung der Flächenpressung zwischen Körpern mit gekrümmten Oberflächen (Kugel/Ebene, 2 Kugeln, Zylinder/Ebene, 2 Zylinder). In Wälzlagern (Kugellager, Kegelrollenlager, usw.) tritt eine solche Beanspruchung zwischen Wälzkörpern (Kugeln, Walzen, Tonnen, Nadeln) und Laufringen auf. Höhenenergie (vertical energy) 2.21 Der Masse eines Körpers durch Heben auf ein höheres Niveau potentielle Energie vermitteln. Hooke’sches Gesetz (Hooke’s law) 4.1 Von dem englischen Physiker Robert Hooke (1635– 1703) entwickelte Beziehung zwischen der mechanischen Spannung und der dadurch auftretenden Dehnung eines zugbeanspruchten metallischen Stabs. Hubarbeit Wh (lifting work) 2.16 Von Kranen oder anderen Senkrechtförderern aufgebrachte Arbeit, um Lasten mit der Masse m von der Höhe h1 auf die Höhe h2 zu heben. Hydraulischer Hebebock (hydraulic lifting jack) 3.1 Mit Öl gefüllter Behälter, an den zwei Zylinder mit unterschiedlichen Durchmessern angeschlossen sind, in denen Kolben gleiten. Hat der Druckkolben den kleineren Durchmesser, lassen sich mit kleiner Druckkraft größere Lasten heben. Es gilt das Druckausbreitungsgesetz. Die Kolbenkräfte verhalten sich zueinander wie die Kolbenflächen, die Kolbenwege verhalten sich umgekehrt zueinander wie die Quadrate der Kolbendurchmesser. Hydrostatischer Druck p (hydrostatic pressure) 3.1 Quotient der im Inneren oder von außen auf das Fluid wirkenden Kraft und der gepressten Fläche. Der hydrostatische Druck wird auch kurz mit Druck bezeichnet. Er entspricht in der Festigkeitslehre der Druckspannung. Die Einheit „Newton je Quadratmeter (N/m2)“ hat den Einheitennamen Pascal mit dem Kurzzeichen Pa: 1 Pa = 1 N/m2 nach Blaise Pascal, 1623–1662.

I Impulserhaltungssatz (conservation of momentum) 3.2 In einem abgeschlossenen System bleibt die vektorielle Summe aller Einzelimpulse konstant. Physikalischer Satz von grundlegender Bedeutung wie der Energieerhaltungssatz.

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Joule J (joule) 6.4 Gesetzliche und internationale Einheit (SI-Einheit) der Energie und der Arbeit ist das Joule (J), benannt nach dem Physiker J. P. Joule (1818–1889).

K Keilreibungszahl μ′ (wedge friction coeffizient) 1.17 Der Quotient aus der Reibungszahl und dem Sinus des halben Keilwinkels ergibt die Keilreibungszahl, die damit immer größer ist als die Reibungszahl auf einer ebenen Fläche. Kerbquerschnitt (notch cross-section) 4.10 Bauteilquerschnitt, der durch schroffe Querschnittsänderung (Kerben) wie Bohrungen, Naben, Wellenabsätze, Keilnuten geschwächt wird. Klemmbedingung (clamping condition) 1.16 Geometrische Voraussetzung für Führungen an beweglichen Maschinenteilen, die entweder reibungsarm gleiten (Pressenstößel, Ziehschlitten) oder ungeklemmt sicheren Halt gewährleisten sollen (Bohrmaschinentische). Knickung (buckling) 4.7, 4.8 Bei Druckbeanspruchung schlanker Stäbe (Kolbenstangen, Säulen, Stößeln, Lochstempeln usw.) auftretender Sonderfall der Druckbeanspruchung, bei dem das Bauteil plötzlich seitlich „ausknickt“. Dies geschieht, obwohl der Stab genau in Richtung seiner Achse gedrückt wird und die Druckspannung unterhalb der Proportionalitätsgrenze liegt. Knickung ist daher kein Spannungs- sondern ein Stabilitätsproblem. Man unterscheidet: a) elastische Knickung, für die der Mathematiker und Physiker Leonhard Euler (1707–1783) eine Gleichung entwickelt hat (Eulergleichung oder Euler’sche Knickungsgleichung), b) unelastische Knickung, für die Ludwig von Tetmajer (1850–1905) besondere Gleichungen entwickelt hat. Kommunizierende Röhren (communicating tubes) 3.1 Röhrensystem mit zwei oder mehr oben offenen Röhren, die an den unteren Enden miteinander verbunden sind. Enthält das System nur eine Flüssigkeit, steht sie in allen Röhren gleich hoch, unabhängig von Form und Größe der Röhren. Der Flüssigkeitsspiegel steht immer waagerecht. Enthält das System zwei Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte, steht bei Gleichgewicht die leichtere Flüssigkeit in einem Rohr höher als die schwerere Flüssigkeit im anderen Rohr. Konsolträger (console beam) 4.15 Einseitig angeschweißtes, angeschraubtes oder angenietetes Tragteil aus Profilstahl oder Blech, das zur Werkstoffersparnis meistens angeformt ist. Kontinuitätsgleichung (continuity equation) 3.2 Gesetzmäßigkeit, nach der durch unterschiedliche Querschnitte einer Leitung in einer Zeiteinheit (z. B. 1 s) das

gleiche Flüssigkeitsvolumen fließen muss (Massenerhaltungssatz). Kontraktion (contraction) 3.3 Einschnürung eines Flüssigkeitsstrahls durch Umlenkung der Stromfäden infolge einer Querschnittsverengung. Der Strahlquerschnitt verringert sich dann um den Faktor der Kontraktionszahl (< 1). Kräfteplan (forces plan) 1.1 Maßstabs- und richtungsgerechte Darstellung aller an einem Bauteil angreifenden Kräfte. Kraftmoment M (moment of force) 4.5 In der Statik die Bezeichnung für das Produkt aus einer Einzelkraft und ihrem Wirkabstand von einer Bezugsachse. Wirkabstand heißt: rechtwinklig zur Wirklinie gemessen. Bewirkt das Kraftmoment eine Drehbewegung, nennt man es Drehmoment. Wirkt das Kraftmoment biegend auf einen Körper, heißt es in der Festigkeitslehre Biegemoment, wirkt es tordierend (verdrehend), nennt man es Dreh- oder Torsionsmoment. Der Drehsinn des Kraft(Dreh)moments wird durch das Vorzeichen angegeben: (+) = Linksdrehsinn, (−) = Rechtsdrehsinn (im Uhrzeigerdrehsinn). Kraftstoß (force collision) 2.15 Produkt aus der auf einen Körper einwirkenden resultierenden Kraft und dem zugehörigen Zeitabschnitt. Der Kraftstoß ist gleich der Änderung des Impulses während des betrachteten Zeitabschnitts.

L Lageplan (site plan) 1.1 Maßstäbliche Darstellung eines Bauteils mit allen Wirklinien der gegebenen und gesuchten Kräfte. Längenausdehnungskoeffizient αl (coefficient of linear expansion) 4.1 Verlängerung eines metallischen Stabs bezogen auf 1 m Länge und 1 K (1 °C = 1 K). Für Stahl zum Beispiel ist αl = 12 · 10−6 1/K, d.h., ein Stahlstab mit 1 m Länge verlängert sich bei Erwärmung um 1 K = 1 °C um 12 · 10−6 m = 0,012 mm. Lastfall (loading case) 4.22 Vorgeschriebene Bezeichnung der Belastungsannahmen (Kräfte, die von außen auf ein Stahlbausystem einwirken) für Festigkeitsrechnungen von Stahlbauten (Hochbau, Brückenbau, Kranbau), z. B. Lastfall H für Hauptlasten, Lastfall Z für Zusatzlasten, Lastfall S für Sonderlasten. Hauptlasten (H) sind z. B. Eigenlast, Verkehrslast, Schneelast, Massenkräfte. Zusatzlasten (Z) sind z. B. Windlast und Wärmeeinwirkungen. Sonderlasten (S) sind z. B. unvorhersehbarer Anprall (Stoß) und Einwirkungen von Baugrundbewegungen.

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J

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Lineare Spannungsverteilung (linear stress distribution) 4.5, 4.6 Die bei Biegung und Torsion auftretende Spannungsverteilung über dem Querschnitt des belasteten Bauteils. Bei der Biege- und Torsionsbeanspruchung sind die Spannungen in der Querschnittsmitte gleich null (neutrale Faser) und wachsen dann bis zu den Randfasern gleichmäßig (linear) bis auf ihre Maximalwerte.

Nullstab (zero member) 1.8 In einem Dreiecksverband der Fachwerkstab, der keine Belastung trägt. Solche Stäbe sollen die Knickgefahr langer Druckstäbe verringern. Sie nehmen erst durch eine elastische Verformung belasteter Stäbe Kräfte auf.

Linienschwerpunkt (centroid of a line) 1.12 Derjenige Punkt auf der Schwerlinie eines Liniengebildes, z. B. dem Umfang eines Schneidstempels, in dem der abgestützte oder aufgehängte Linienzug in jeder beliebigen Lage in der Ruhestellung bleibt.

Oszillator (oszillator) 2.28 Ein Erreger, z. B. ein Elektromotor mit einem Exzenter, der den Mitschwinger (Resonator), z. B. eine Schraubenfeder, in Schwingungen versetzt.

Lochleibungsdruck σl (bearing pressure of projected area) 4.3 Flächenpressung am Nietschaft. Er ist abhängig von der aufzunehmenden Kraft, von der Anzahl der Niete und von der projizierte Schaftfläche eines Niets.

P

M Massenerhaltungssatz (principle of mass conservation) 3.2 Fließt ein Fluid (z. B. Wasser) durch eine Rohrleitung mit unterschiedlichen Querschnitten, dann ist der Massenstrom am Eingang und am Ausgang der Rohrleitung gleich groß. Momentengleichgewichtsbedingung (moment equilibrium condition) 1.7 Gleichungsansatz für ein Kräftesystem, das auch bezüglich einer Drehung um eine beliebige Achse im Gleichgewicht sein soll (Ruhezustand oder gleichförmig geradlinige Bewegung). Momentensatz (theorem of momentum) 1.2 In der Statik Gleichung zur Berechnung der Lage der Resultierenden eines Kräftesystems. Das Kraftmoment der Resultierenden, bezogen auf einen beliebigen Drehpunkt, ist gleich der Summe der Kraftmomente der Einzelkräfte in Bezug auf diesen Drehpunkt.

N Nietverbindung (rivet joint) 4.3 Unlösbare Verbindung von Bauteilen aus beliebigen Werkstoffen. Man unterscheidet je nach Verwendungsart feste Verbindungen (Stahlbau), feste und dichte Verbindungen (Kesselbau) und dichte Verbindungen (Behälterbau). Normalkraft FN (normal force) 1.17 Rechtwinklig auf der Querschnittsfläche stehende innere Kraft eines beanspruchten Bauteils, die Normalspannungen hervorruft, oder rechtwinklig auf einer Stützfläche stehende äußere Kraft oder Kraftkomponente. Dagegen liegt die Querkraft in der Querschnittsfläche und verursacht Schubspannungen.

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Poisson-Zahl m (Poisson number) 4.1 Das von dem französischen Physiker und Mathematiker Siméon Denis Poisson (1781–1840) bestimmte Verhältnis der Dehnung (bei Zugbeanspruchung) zur Querdehnung (bei Druckbeanspruchung). Diese Verhältnisgröße ist für Metalle mit m ≈ 3,3 fast konstant. Die Poisson-Zahl geht zum Beispiel mit in die Hertz’schen Gleichungen ein. Prismenführung (inverted V guide) 1.17 Dient der Belastungsaufnahme und Führung des Bettschlittens von Werkzeugmaschinen. Bei der unsymmetrischen Prismenführung sind sowohl die Keilwinkel als auch die Reibungszahlen unterschiedlich groß. Die symmetrische Prismenführung ist ein Sonderfall (Keilführung) mit gleichen Keilwinkeln und gleichen Reibungszahlen. Keilnuten übertragen größere Reibungskräfte als Ebenen, daher können z. B. Keilriemen größere Drehmomente übertragen als Flachriemen.

Q Querdehnung εq (transverse strain) 4.1 Jede Dehnung ist mit einer Querschnittsminderung verbunden. Deshalb ist die Querdehnung analog zur Dehnung als das Verhältnis der Dickenänderung zur Ursprungsdicke definiert.

R Reduzierte Masse mred (reduced mass) 2.18 Wird auch als Ersatzmasse bezeichnet und ist eine in beliebigem Abstand von der Drehachse gedachte Masse, die in Bezug auf die Drehachse das gleiche Trägheitsmoment besitzt wie die verteilte Masse des ursprünglichen Körpers. Reibungsleistung PR (friction power) 1.20 Produkt aus Reibungskraft und Geschwindigkeit (bei Translation) oder Produkt aus Reibungsmoment und Winkelgeschwindigkeit (bei Rotation) oder Quotient aus Reibungsarbeit und zugehörigem Zeitabschnitt.

Glossar

Reibungsmoment (friction torque) 1.20, 1.21 Dreht ein Wellendrehmoment einen ruhenden Trag- oder Spurzapfen, wirkt das Reibungsmoment der Drehbewegung entgegen. Reibungswinkel r (angle of friction) 1.14 Winkel im Kräfteplan zwischen Normalkraft und der aus Gewichtskraft und Verschiebekraft gebildeten Ersatzkraft. Reibungszahl μ (friction coefficient) 1.14 Durch Versuche ermittelte Reibungswinkel r und r0 ergeben die Reibungszahlen für verschiedene Werkstoffpaarungen. Die Ergebnisse sind Mittelwerte aus mehreren Versuchen. Reißlänge lr (tearing length, breaking length) 4.1 Länge, bei der ein frei hängendes Seil allein unter seiner Eigengewichtskraft reißt. Reißlängen einiger Werkstoffe: Für Stahl S235JR mit Zugfestigkeit Rm = 360 N/mm2 und Dichte r = 7850 kg/m3 ist lr = 4,713 km; für Federstahl mit Rm = 1800 N/mm2 ist lr = 22,93 km. Reynold’sche Zahl Re (Reynold’s number) 3.2 Mit Hilfe dieser Zahl kann für ein gerades Rohr mit kreisförmigem Querschnitt festgestellt werden, ob eine laminare oder eine turbulente Strömung vorliegt. Auch die Rohrreibungszahl und die kritische Übergangsgeschwindigkeit von laminarer zu turbulenter Strömung werden über die Reynold’sche Zahl ermittelt (Osborn Reynolds, 1842–1912). Richtungswinkel α (direction angle) 1.1 Der Winkel, den die Wirklinie einer Kraft mit der positiven x-Achse eines rechtwinkligen Achsenkreuzes einschließt: 0 ≤ α ≤ 360°. Ritter’sches Schnittverfahren (Ritter’s cut process) 1.9 Dieses Verfahren ist dazu geeignet, an statisch bestimmten Fachwerkträgern einzelne Stabkräfte rechnerisch zu ermitteln. Grundlage der Stabberechnung ist der gedankliche Ritter’sche Schnitt durch drei Stäbe und die Aufstellung und mathematische Verarbeitung der drei Momenten-Gleichgewichtsbedingungen (Georg Dietrich Ritter, 1826–1908).

Rollbedingung (rolling condition) 1.24 Die zum Rollen eines Rads erforderliche Bedingung, die ein Gleiten verhindert. Damit sich die Räder eines Fahrzeugs auf seiner Unterlage drehen, muss die Haftreibungskraft größer sein als der

Fahrwiderstand. Daraus ergibt sich die Rollbedingung: Haftreibungszahl ≥ Fahrwiderstandszahl. Bei Haftreibungszahl = Fahrwiderstandszahl gleiten die Räder auf der Fahrbahn. Rollenzug (set of pulleys) 1.27 Kombination fester und loser Rollen als Übersetzungsmittel zwischen einer zu hebenden Gewichtskraft (Last) und der dazu erforderlichen Zugkraft. Rollreibung (rolling friction) 1.23 Das durch geringfügige elastische Formänderung (Eindrücken) fortwährend ablaufende „Kippen“ um eine Kippachse, das zum Rollvorgang führt. Rotationsarbeit Wrot (rotational work) 2.20 Produkt aus dem an einer Kurbelwelle wirkenden Drehmoment und dem beim Drehen der Kurbel überstrichenen Drehwinkel. Rotationsleistung Prot (rotational power) 2.20 Produkt aus dem z. B. an einer Kurbelwelle wirkenden Drehmoment und der Winkelgeschwindigkeit, mit der die Kurbelwelle umläuft.

S Schiebung γ (shift) 4.2 Werden die beiden Schnittufer einer Schubfeder durch eine Kraft gegeneinander verschoben, neigen sich beide Seitenflächen um den Winkel γ, der als Schiebung oder Winkelverzerrung genannt wird. Schlankheitsgrad λ (degree of slenderness) Zeigt als Quotient aus der freien Knicklänge zum Trägheitsradius über den Grenzschlankheitsgrad auf, ob bei der Knickbeanspruchung die Eulerbedingung gilt oder die Knickspannung nach den Tetmajer – Gleichungen berechnet werden muss. Schräger Wurf (inclined throw) 2.7 Bewegungsablauf eines mit der Abwurfgeschwindigkeit unter dem Abwurfwinkel schräg nach oben oder schräg nach unten abgestoßenen Körpers ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands. Schlusslinienverfahren (closing line process) 1.6 Baut auf dem zeichnerischen Momentensatz auf (1.3). Über die Konstruktion der Schlusslinie im Lageplan können im Kräfteplan zum Beispiel unbekannte Lagerkräfte zeichnerisch ermittelt werden. Schubmodul G (shear modulus) 4.17, 4.18 Durch Schubversuche an Probestäben der meisten Werkstoffe ermittelte Werkstoffkonstante. Der Schubmodul für Stahl beträgt zum Beispiel GStahl = 80.000 N/mm2 = 8 · 104 N/mm2. Schwerpunkt S (centre of mass) 1.10 Derjenige körperfeste Punkt, in dem der Körper – abgestützt oder aufgehängt – in jeder beliebigen Lage in Ruhe bleibt (sich im Gleichgewicht befindet). Für kompliziert

Glossar

Reibungskegel (friction cone) 1.16 Mit bekanntem Reibungswinkel gezeichneter Kegelmantel zur zeichnerischen Lösung von Reibungsaufgaben. Der skizzierte Körper bleibt so lange in Ruhe, wie die Resultierende aller äußeren Kräfte innerhalb des Reibungskegels liegt.

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96 aufgebaute technische Körpersysteme, z. B. eine Werkzeugmaschine, wird die Lage des Schwerpunkts durch Versuche ermittelt. Für einfachere Bauteile, z. B. ebene Blechteile, benutzt man den Momentensatz für zwei rechtwinklig zueinander stehende Lagen. Seilreibung (cable friction) 1.19 Widerstand, der beim Ziehen eines Seils über einen walzenförmigen Körper überwunden werden muss. Die Seilzugkraft wächst nach Euler und Eytelwein linear mit der am anderen Seilende wirkenden Zugkraft und exponentiell (e-Funktion) mit dem Produkt aus Reibungszahl und Umschlingungswinkel. Seitenkraft Fs (side force) 3.1 Seitenwandbelastung eines Flüssigkeitsbehälters. Der Druck in einer Flüssigkeit breitet sich nach allen Seiten hin gleichmäßig aus. Selbsthemmung (self-locking) 1.22 In der Statik die Bezeichnung für einen Vorgang, bei dem ein System ohne Krafteinwirkung zur Ruhe kommt oder durch Krafteinwirkung nicht bewegt werden kann. Beim Schraubgetriebe (z. B. Wagenheber) zum Beispiel hält nach einem Hub die Reibung im Schraubengewinde allein die Last auf der erreichten Hubhöhe. Selbsthemmungsbedingung: Reibungswinkel > Gewindesteigungswinkel (gilt auch für Spindelpressen und schiefe Ebenen). Spannungsarten (stress types) 4.1–4.6 Unterscheidung der im Querschnitt eines belasteten Bauteils wirkenden mechanischen Spannung nach Ursache und Richtung. Die Normalspannung, hervorgerufen durch die Normalkraft, steht rechtwinklig auf der Querschnittsfläche. Die Schubspannung, hervorgerufen durch die Querkraft, liegt in der Querschnittsfläche. Spurzapfen (pintle) 1.21 Konstruktiv als Lagerung (Längslager) ausgebildetes Wellenende, das Axialkräfte aufnehmen soll. Die Reibungszahlen für Spur- und Tragzapfenlagerung (Quer- und Längslager) werden aus Versuchen bestimmt. Steiner’scher Verschiebesatz (Steiner’s displacement law) 4.4 Hat eine Teilfläche eine Schwerachse, die nicht mit der Schwerachse der Gesamtfläche zusammen fällt, dann muss zu deren Flächenmoment das Produkt aus der Teilfläche und dem Quadrat des Abstands der Teilschwerachse zur Gesamtschwerachse hinzu addiert werden (Jakob Steiner, 1796–1863). Stoß (impact) 2.22 Physikalischer Vorgang, wenn sich zwei Körper während eines sehr kleinen Zeitabschnitts Δt berühren und dabei ihren Bewegungszustand ändern.

Glossar Stoßzahl (coeffizient of restitution) 2.22 Die Stoßzahl beschreibt das Verhältnis der Relativgeschwindigkeiten v und c zueinander. Stützträger (support beam) 4.12 Bezeichnung aus der Statik für alle Maschinenelemente oder sonstige Bauteile, die beidseitig gelagert sind.

T Tangentialkraft Fa (tangential force) 2.20 Die in Richtung der Tangente an einen zylinderförmigen Körper (Welle, Zahnrad, Walze) wirkende Kraft oder Kraftkomponente. Tetmajer – Gleichungen (Tetmajer’s equations) 4.7 Nur wenn die Nachrechnung des Schlankheitsgrads mit gegebenen oder festgelegten (Entwurfs-) Abmessungen einen Wert ergibt, der kleiner ist als der Grenzschlankheitsgrad, liegt unelastische Knickung vor. Dann gelten zur Ermittlung der Knickspannung statt der Eulergleichung die Tetmajer-Gleichungen. Torsion (torsion) 4.5 Grundbeanspruchungsart, bei der zwei benachbarte Querschnitte durch ein Torsionsmoment gegeneinander verdreht werden (typische Wellenbeanspruchung). Das Torsionsmoment erzeugt im Querschnitt die Torsionsspannung. Torsionshauptgleichung (principal equation of torsion) 4.5 Dient der Berechnung der Torsionsspannung z. B. einer auf Torsion beanspruchten Welle. Die Torsionsspannung ist linear über den Wellenquerschnitt verteilt und ist abhängig vom dem die Welle belastenden Torsionsmoment und dem polaren Widerstandsmoment. Torsionsmoment MT (torsional moment) 4.5 Statische Größe (Kräftepaar) im inneren Kräftesystem, die Torsionsspannungen (Schubspannungen) hervorruft. Torsionsspannung τt (torsion stress) 4.5 Vom Querschnitt einer Welle aufzunehmende Spannung bei der Beanspruchungsart Torsion. Die Randfasern der Welle erhalten die stärkste Beanspruchung, die Wellenachse ist spannungsfrei, sie bleibt unverformt (lineare Spannungsverteilung). Zweckmäßig sind daher Hohlwellen (Leichtbau). Trägheitsgesetz (law of inertia) 2.12 Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, solange keine (resultierende) Kraft auf ihn einwirkt. Diese Körpereigenschaft heißt Trägheit oder Beharrungsvermögen. Das Gesetz wird nach dem englischen Physiker und Begründer der Mechanik Isaac Newton (1642– 1726) auch als erstes Newton’sches Axiom (Trägheitsaxiom) bezeichnet.

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Trägheitsradius i (radius of inertia) 2.18 In der Festigkeitslehre die Wurzel des Quotienten aus dem axialen Flächenmoment und der Querschnittsfläche. Für häufig gebrauchte Querschnittsformen und Profilstähle in Tabellen angegeben. In der Dynamik ist der Trägheitsradius die Wurzel des Quotienten aus dem Trägheitsmoment und der Masse.

V

Trägerarten (types of beam) 4.12 In der Technik gebräuchliche Bezeichnung für meist biegebeanspruchte Bauteile. Man unterscheidet Freiträger und Stützträger. Freiträger sind alle einseitig befestigten, tragenden Bauteile, z. B. angeschweißte, geschraubte oder genietete Konsolbleche. Stützträger sind alle zwei- oder mehrfach an den Trägerenden gelagerte Achsen oder Wellen. Kragträger sind Stützträger, die mit einem oder mit beiden Enden über die Lagerstelle hinausragen.

Vergleichsmoment Mv (comparison torque) 4.9 Für die zusammengesetzte Beanspruchung Biegung und Torsion entwickelte Momentenbeziehung. Mit dem Vergleichsmoment lässt sich der erforderliche Wellendurchmesser (Voll- oder Rohrquerschnitt) berechnen.

U Überlagerungsprinzip (superposition principle) 2.26 Häufig angewendetes Verfahren zur Analyse und Ermittlung resultierender Wirkungen bei sich überlagernden Vorgängen oder Zuständen (Superpositionsverfahren). Überlagerung von skalaren Größen: Ist die Durchbiegung eines Biegeträgers unter der Belastung mehrerer Einzelkräfte zu berechnen, ermittelt man die Durchbiegung durch jede Einzellast und addiert die ermittelten Beträge zur resultierenden Gesamtdurchbiegung. Überlagerung von vektoriellen Größen: Ist die Momentangeschwindigkeit eines Körpers beim schrägen Wurf zu berechnen, ermittelt man die Geschwindigkeit des Körpers in waagerechter Wurfrichtung und in senkrechter Richtung und addiert beide geometrisch zur resultierenden Geschwindigkeit. Übersetzung i (transmission) 2.9 Quotient (Verhältnis) aus der Antriebsdrehzahl (AntriebsWinkelgeschwindigkeit) eines Getriebes zur Abtriebsdrehzahl (Abtriebs-Winkelgeschwindigkeit). Hinweis: Die Drehzahlen (Winkelgeschwindigkeiten) eines Getriebes verhalten sich umgekehrt wie die Baugrößen (z. B. Durchmesser von Riemenscheiben). Umfangsgeschwindigkeit vu (circumferential speed) 2.8 Geschwindigkeit eines Punktes am Umfang eines rotierenden Bauteils (Rad, Schleifscheibe, Fräser, Bohrer, Lagerzapfen). Für Berechnungen an Werkzeugmaschinen mit umlaufendem Werkstück oder Werkzeug wird die Umfangsgeschwindigkeit als Schnittgeschwindigkeit bezeichnet.

Verzögerung a (delay) 2.2 Es gilt die Grundgleichung der Beschleunigung – wird auch als negative Beschleunigung bezeichnet. Zum Beispiel gibt die Bremsverzögerung an, wie stark ein Körper (Fahrzeug, Schiff usw.) abgebremst wird.

W Waagerechter Wurf (horizontal throw) 2.6 Bewegungsablauf eines horizontal abgestoßenen Körpers ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands. Wärmespannung σϑ (thermal stress) 4.1 Mechanische Normalspannung, die durch eine Temperaturänderung (Temperaturdifferenz) in eingespannten Bauteilen auftritt. Dabei ist die Wärmespannung unabhängig von den Abmessungen des Bauteils. Widerstandsmoment W (section modulus) 4.6 Geometrische Rechengröße für Festigkeitsberechnungen bei Biegung, Knickung und Torsion. Das Widerstandsmoment ist der Quotient aus dem jeweiligen Flächenmoment des Querschnitts und dem äußeren Randfaserabstand von der Querschnittsachse. Entsprechend unterscheidet man zwischen axialen und polaren Widerstandsmomenten. Wie für die Flächenmomente 2. Grades sind auch für die Widerstandsmomente Berechnungsgleichungen für technisch wichtige Querschnittsformen entwickelt und in Tabellen zusammengestellt worden. Wirkungsgrad η (work ratio factor) 2.17 In einem technischen Vorgang das Verhältnis aus Nutzarbeit (oder Nutzleistung) und aufgewendeter Arbeit (oder Leistung Pa). Die bei jedem Vorgang unvermeidliche Reibungsarbeit wird in Wärme umgewandelt, die zu einem Teil für den eigentlichen Zweck verloren geht. Daher gilt immer: Wirkungsgrad < 1. Der Gesamtwirkungsgrad einer Maschine, einer Anlage oder eines physikalischen Vorgangs ist das Produkt der Einzelwirkungsgrade.

Glossar

Tragzapfen (pivot) 1.20 Konstruktiv als Lagerung (Längslager) ausgebildetes Wellenende, das Radialkräfte aufnehmen soll. Die Reibungszahlen für Trag- und Spurzapfenlagerung (Längs- und Querlager) werden aus Versuchen bestimmt.

Verdrehwinkel φ (torsion angle) 4.5 Formänderungsgröße bei Torsionsbeanspruchung in Abhängigkeit vom eingeleiteten Torsionsmoment und der Torsionsstablänge. Der Verdrehwinkel ist unabhängig von der Stahlgüte, weil der Schubmodul für alle Stahlsorten gleich groß ist.

98 Wirkungsgrad η für Schraubgetriebe (work ratio factor for screw gear) 1.18 Wie bei der Definition des Wirkungsgrads allgemein (2.17) das Verhältnis der Nutzarbeit zur aufgewendeten Arbeit. Bei einer Schraubenumdrehung ist die Nutzarbeit das Produkt aus der Schraubenlängskraft und der Steigungshöhe (Hubarbeit). Die aufgewendete Arbeit ist das Produkt aus der Umfangskraft und dem Flankenumfang.

Z Zentrales Kräftesystem (central force system) 1.1 In der Statik die an einem Bauteil angreifenden Kräfte, deren Wirklinien sich in einem gemeinsamen Angriffspunkt schneiden. Solche Kräftesysteme sind dann im Gleichgewicht, wenn zwei Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sind: ΣFx = 0, ΣFy = 0. Zentripetalbeschleunigung az (centripetal acceleration) 2.24 Bei einer Drehbewegung muss ein umlaufender Körper dauernd in Richtung zum Mittelpunkt hin abgelenkt werden. Dazu ist eine Beschleunigung des Körpers erforderlich – die Zentripetalbeschleunigung. Zentripetalkraft Fz (centripetal force) 2.24 Zum Mittelpunkt einer Bogenbahn (z. B. Kreisbogen) gerichtete Beschleunigungskraft. Die entgegengesetzt gerichtete gleichgroße Kraft heißt Fliehkraft oder Zentrifugalkraft. Die Zentripetalkraft ist nach dem dynamischen Grundgesetz die Ursache für die Zentripetalbeschleunigung.

Glossar Zugbeanspruchung (tensile stress) 4.1 In der Festigkeitslehre eine der fünf Grundbeanspruchungsarten, bei der durch das äußere Kräftesystem zwei benachbarte Querschnitte des beanspruchten Bauteils voneinander entfernt werden – der Stab wird verlängert. Zughauptgleichung (tensile principle equation) 4.1 Dient der Berechnung der Zugspannung eines auf Zug beanspruchten Bauteils. Die Zugspannung ist der Quotient aus der auf ein Bauteil wirkenden Normalkraft und der Querschnittsfläche, ist gleichmäßig über den Bauteilquerschnitt verteilt und darf nur über die das Bauteil belastende Zugkraft ermittelt werden. Zweigelenkstäbe (double jointed bar) 1.9 In der Statik Bezeichnung für alle Bauteile, die an nur zwei Punkten gelenkig mit Nachbarbauteilen verbunden sind und auch nur dort Kräfte aufnehmen. Die Gelenke werden als reibungsfrei angesehen, so dass die Bauteile (Stäbe genannt) nur Zug- oder Druckkräfte aufnehmen können. In diesem Sinn sind Fachwerke aus Zweigelenkstäben aufgebaut. Die Form der Stäbe hat dabei keinen Einfluss, sie können gerade oder gekrümmt sein. Zweiwertiges Lager (two-valued bearing) 1.4 Bauart einer Lagerung, die eine beliebig gerichtete Kraft, jedoch kein Kraftmoment aufnehmen kann. Da man die beliebig gerichtete Kraft in einem rechtwinkligen Koordinatensystem in zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten zerlegen kann, spricht man von zweiwertiger Lagerung. Wellen sollen zum Beispiel Drehmomente weiterleiten und Zahnrad- oder Riemenkräfte über Wälz- oder Gleitlager auf das Gehäuse übertragen. Eins der beiden Wellenlager ist konstruktiv als zweiwertiges Lager (Festlager), das andere als einwertiges Lager (Loslager) ausgebildet.

Sachwortverzeichnis

0 0,2-Dehngrenze 72 A Abminderungsfaktor 50, 52 Abscherbeanspruchung 44 Abscherfestigkeit 44 Abscherhauptgleichung 44 Abtriebsmoment 28 Additionstheorem 86 Amplitude 32 Analytische Lösung 5 Anstrengungsverhältnis 53 Antriebsmoment 28 Anzugsmoment 14 Arbeit 25, 77 mechanische 25 Arithmetisches Mittel 80 Auftriebskraft 36 Ausbreitungsgeschwindigkeit 34 Ausflussgeschwindigkeit 40, 41 Ausflusszahl 39 Ausflusszeit 40 Auslenkung 32, 34 Axiale Flächenmomente 2. Grades 58, 59, 60 B Backenbremse 15, 16 Bandbremse 16 Bandbremszaum 17 Basiseinheiten 77 Baustahl 63 Bernoulli’sche Druckgleichung 38 Beschleunigung 19, 24 Beschleunigungsarbeit 29 Betriebsfestigkeitsnachweis 67 Bewegung gleichmäßig beschleunigte 19 gleichmäßig verzögerte 19 Bezugspunkt 2 Bezugsschlankheitsgrad 51 Biegebeanspruchung 48, 62 Biegehauptgleichung 48 Biegemoment 48, 55, 56, 57, 77

Biegeträger 55, 56, 57 Biegung und Torsion 53 Biegung und Zug/Druck 53 Binomische Formel 80 Boden, gewölbter 35 Bodenkraft 36 Bogenhöhe 9, 82 Bogenlänge 82 Bogenmaß 77, 83 Bolzenverbindung 46 Brechungsgesetz 34 Brechungswinkel 34 Bremsband 17 Bremse 15 Bremsmoment 15, 16, 17 Bremsscheibe 17 C Celsius-Temperatur 78 Culmann’sche Gerade 4 D Dauerbruchsicherheit 54 Dauerfestigkeit 54, 64 Dehnung 42 Dichte 25, 36 Differenzbremse 17 Division 80 Doppler-Effekt 34 Drehbewegung 20 Drehimpuls 26, 78 Drehmoment 26, 48, 77 Drehwinkel 20, 21, 23, 24, 48 Dreieck 7, 81 Dreiecksschwerpunkt 7, 9 Drei-Kräfte-Verfahren 3 Druck 35, 46, 47, 77 Druckbeanspruchung 44 Druckmittelpunkt 36 Druckstab 50 Durchbiegung 55, 56, 57 Durchflussgeschwindigkeit 38 Dynamisches Grundgesetz für Rotation 26 Dynamisches Grundgesetz für Translation 24

100 E Ebene, schiefe 11, 12 Eckenmaß 82 Einfallswinkel 34 Einheitskreis 83 Einsatzstahl 64 Elastischer Stoß 29 Elastizitätsmodul 63 Endgeschwindigkeit 19, 20, 21 Energie 77 kinetische 29, 31 potenzielle 28 Rotations- 30, 31 Spannungs- 29 Energieerhaltungssatz 27, 29 Englergrade, Umrechnung 39 Erreger 34 Eulerbedingung 49 Euler'sche Knickung 49 Exponent 80 F Fachwerk 5 Fachwerkträger 5 Fahrwiderstand 18 Fahrwiderstandszahl 18 Fall, freier 19 Fallbeschleunigung 19, 21, 24, 36, 43 Fallhöhe 21 Faserschicht, neutrale 49 Federarbeit 26 Federkraft 26 Federrate 26, 32, 33 Federweg 26 Feinkornbaustahl 63 Feste Rolle 18 Festigkeitswerte für Gusseisen-Sorten 64 für Stahlsorten 64 für Walzstahl 63 Flächenmoment 70, 72, 73 Flächenmoment 2. Grades 47 axiales 58 geneigte Flächen 45 Gewinde 45 gewölbte Flächen 46 Gleitlager 46 polares 60 Flächenschwerpunkt 7 Flankendurchmesser 14, 44, 74, 75 Flaschenzug 18

Sachwortverzeichnis Fluidmechanik 35, 36, 37 Flüssigkeitssäule 32 Flüssigkeitsspiegel 27 Flüssigkeitsvolumen 27 Formänderungsarbeit 43, 48 freier Fall 19 Frequenz 31 Führungslänge 13 Fünfeck 81 G Gangzahl 75 Geometrisches Mittel 80 Gesamtwirkungsgrad 26 Geschwindigkeit 21, 23, 29, 30, 31, 33 Geschwindigkeitszahl 39 Gewichtskraft 24, 25, 68, 69, 70, 71 Gewinde, eingängiges 75 Gewinde, zweigängiges 75 Gewindereibungsmoment 14 Gewindesteigung 45, 74, 75 Gewindetiefe 74 Gleichung, quadratische 81 Gleitreibungszahl 10 Griechisches Alphabet 79 Größe, translatorische und rotatorische 31 Größenbeiwert 54, 66 Grundfrequenz 34 Grundgesetz, dynamisches für Rotation 26 für Translation 24 Guldin’sche Regel 9 Gusseisen 42, 45, 49, 54, 64 H Haftreibungskraft 10 Haftreibungswinkel 10 Haftreibungszahl 10 Halbkreisbogen 9 Halbkreisfläche 8 Harmonische Schwingung 31 Harmonische Welle 34 Hertz´sche Gleichungen 46 Höhenenergie 28 Hooke´sches Gesetz 42 für Schubbeanspruchung 44 Hubarbeit 25 Hydraulische Kraftübersetzung 35 Hydraulische Presse 35 Hydrostatischer Druck 35

101

I Impuls 25, 78 Impulserhaltungssatz 27 für Fluide 38 Impulskraft 38 Impulsstrom 38

Kreisradius 82 Kreisring 82 Kreisringabschnitt 82 Kreisringausschnitt-Schwerpunkt 8 Kreissektor 82 Kreuzschubkurbelgetriebe 23

K Keilreibungszahl 14 Keilwinkel 14 Kelvin 78 Kerbformzahl 54 Richtwerte 65 Kerbspannung 54 Kerbwirkung 54 Kerbwirkungszahl 64 Kerndurchmesser 75 Kernquerschnitt 75 Kessel- oder Rohrlängsnaht 37 Kinetische Energie 29 Bewegungsenergie 29 Knickbeanspruchung 49 Knickkraft, Euler 49 Knicklänge 49 Knicklängenbeiwert 51 Knicklinie 51 Knickspannung 49 Knickung im Stahlbau 50 Knotenschnittverfahren 5 Kohärente Einheit des ebenen Winkels 83 Kolbendurchmesser 35 Kolbenfläche 35 Kolbengeschwindigkeit 24 Kolbenkraft 35 Kolbenweg 24, 35 Kommunizierende Röhren 37 Kontinuitätsgleichung 37 Kontraktionszahl 39 Körper, schwimmender 36 Kosinus 84 Kosinussatz 85 Kraft 77 Krafteck 3 Kräfteplan 2, 3, 4 Kräftesystem, zentrales 1 Kreis 82 Kreisabschnitt 82 Schwerpunkt 8 Kreisausschnitt-Schwerpunkt 8 Kreisbogen-Schwerpunkt 9 Kreisfrequenz 32

L Lagerkraft 3 einwertige 3 Lagerpunkt 3 zweiwertiger 3 Längenausdehnungskoeffizient 43 Lastfall 67 Lastweg 18 Leistung 77 Linienschwerpunkt 8 Lochleibungsdruck 46, 67, 77 Lose Rolle 18 M Mach´sche Zahl 39 Mantelfläche (Oberfläche) 9 Massenmoment 2. Grades 27 Massenstrom 37 Metrisches ISO-Gewinde 74 Metrisches ISO-Trapezgewinde 75 Mittelpunktsgeschwindigkeit 22 Momentanbeschleunigung 32 Momentangeschwindigkeit 32 Momentanleistung 26 Momentengleichgewichtsbedingung 5 Momentensatz 6 rechnerisch 2 zeichnerisch 3 Momentenstoß 26 Mutterauflage 14 Mutterhöhe 45 N Neigungswinkel 1 Newton 77 Niete 67 Nietlochdurchmesser 73 Nitrierstahl 64 Normalkraft 13 für ausgewählte Walzprofile 52 Knicksicherheit 50 Normfallbeschleunigung 24 Normgewichtskraft 24 Normzahlen (DIN 323) 76

Sachwortverzeichnis

Sachwortverzeichnis

102 Nutzarbeit 26 Nutzleistung 26 O Oberflächenbeiwert 54, 66 Oszillator 34 P Parallelogramm 81 Parallelogramm-Schwerpunkt 7 Parallelverschiebung 2 Passschrauben 67 Pendelart 33 Pendelgleichungen 33 Pendellänge 32 Periodendauer 31, 33 Phasenwinkel 31 Poisson-Zahl 42 Potenzen 80 Potenzielle Energie 28 Presse, hydraulische 35 Prismenführung 13 symmetrische 13 Profilumfang 68, 69, 70, 72, 73 Q Quadrant, Lage 1 Quadratische Gleichung 81 Querdehnung 42 Querschnitt, erforderlicher 42, 44 Querschnittsabmessungen 62, 63 Querschnittswahl 53 Querzahl 42 Quotient 80 R Radiant 83 Rechter Winkel 83 Regelgewinde 74 Reibung 10 am Spurzapfen 15 am Tragzapfen 15 an der Schraube 14 auf der schiefen Ebene 11 Reibungsarbeit 25 Reibungskraft 10 Reibungsleistung 15 Reibungsmoment 15 Reibungsradius 14 Reibungswinkel 14 Reibungszahl 10

Sachwortverzeichnis Reißlänge 43 Resultierende 1, 2 Reynolds´sche Zahl 38 Rhombus 81 Richtgröße 32, 33 Richtungssinn 3 Richtungswinkel 1, 2 Riemengetriebe 23 Ringbreite 82 Ringvolumen 9 Ritter’sches Schnittverfahren 6 Rohnietdurchmesser 73 Rohrlängsnaht 37 Rohrreibungszahl 41 Rollbedingung 18 Rollenzug, Flaschenzug 18 Rollkraft 17 Rollreibung 17 Rotation 26 Rotationsarbeit 28 Rotationsenergie 30 Rotationsleistung 28 Rückstellkraft 32, 33 Rückstellmoment 32, 33 S Scheitelhöhe 21 Schenkelbreite 68 Schenkeldicke 68 Schieber 16 Schiebeweg 16 Schiebung, Winkelverzerrung 44 Schlankheitsgrad 49, 50 Schlüsselweite 82 Schlusslinie 4 Schlusslinienverfahren 4 Schnittgeschwindigkeit 22 Schraube 14, 67, 72 Schrauben für Kranbau 67 für Stahlhochbau 67 Schraubenfeder 32 Schraubenfederpendel 33 Schraubenlängskraft 14 Schubkurbelgetriebe 24 Schubmodul 48, 64 Schwerependel 33 Schwerpunktsbestimmung 6 Schwingung, harmonische 31 Sechseck 82 Sehnenlänge 82

Seileckverfahren 3 Seilreibung 15 Seilreibungskraft 15 Seilstrahl 3 Seilzugkraft 15 Seitenkraft 36 Sekans 84 Selbsthemmung des Schraubgetriebes 14 Selbsthemmungsbedingung 15, 16 Senkrechter Wurf 19 Sicherheit gegen Knicken 49 Sinus 84 Sinussatz 85 Spannung, vorhandene 48 Spannungen für Kranbauteile 67 für Stahlbauteile 67 für Verbindungsmittel 67 Spannungsenergie 29 Spannungsquerschnitt 74 Spannungsverteilung bei Biegebeanspruchung 73 Spurzapfenreibungszahl 15 Stabilität 50 Stabilitäts-Hauptgleichung 50 Stabilitätsnachweis 50 Stabkraft 5 Stahlbau, Knickung 50 Stahlbezeichnungen 66 Stahlhochbau, zulässige Spannungen 67 Steigung 75 Steigungswinkel 75 Steigzeit 21 Stokes 39 Stoß elastischer 29 unelastischer 29 wirklicher 30 Streckgrenze 63 Strömung laminare 41 turbulente 41 Stütze 50 Stützkraft 55 Summenbremse 17 Summenformeln 86 Systemlänge 51 T Tangens 84 Tangentialbeschleunigung 20

103 Tangentialkraft 28 Tangentialverzögerung 20 Teilschwerachse 47 Temperatur 78 -intervall 78 Tetmajer-Gleichungen 49 Torsion 48 Torsionshauptgleichung 48 Torsionsmoment 48, 77 Torsionspendel 33 Träger gleicher Biegebeanspruchung 62 Trägheitsmoment 27, 32, 33, 78 Trägheitsradius 49, 50, 68, 69, 70, 72, 73 Tragtiefe 74, 75 Tragzapfenreibungszahl 15 Translation 24 Arbeit, Leistung 25 Trapez 82 Trapez-Schwerpunkt 7 Trigonometrische Funktion 84 T-Träger 71 U Überdruck 40 Überlagerung 32 Überlagerung stehender Wellen 34 Übersetzung 23 allgemein 23 mehrfache 23 Riemengetriebe 23 Zahnradgetriebe 23 Umfangsgeschwindigkeit 22 Umfangskraft am Gewinde 14 Umrechnung zwischen Funktionen 85 Umschlingungswinkel 15 U-Stahl 73 V Verdrängungsschwerpunkt 36 Verdrehbeanspruchung, Torsion 48 Verdrehwinkel 48 Vergleichsmoment 53 Vergleichsspannung 53 Vergütungsstahl 64 Verlängerung 43 Verschiebekraft 14 Verschiebesatz von Steiner 27, 47 Verzögerung 19 Vieleck 82 Viereck 81 Vier-Kräfte-Verfahren 4

Sachwortverzeichnis

Sachwortverzeichnis

104 Viertelkreisfläche-Schwerpunkt 8 Vollwinkel 83 Volumenstrom 37 Vorsätze 77 Vorsatzzeichen 76 W Waagerechter Wurf 21 Walzstahl, Festigkeitswerte 63 Wärme 78 Wärmemenge 78 Wärmespannung 43 Wassersäule 77 Wegabschnitt 19 Welle Auslöschung 34 harmonische 34 Schwächung 34 Verstärkung 34 Wellendurchmesser 53 Widerstandsmoment axiales 48, 58, 59, 69, 70, 71, 72, 73 polares 48, 60, 61, 74, 75 Winkel 83 ebener 83 Funktionen 85 negativer 85 rechter 83 Winkeleinheiten 83 Winkelbeschleunigung 20, 26, 31 Winkeleinheiten, Umrechnung 83 Winkelfunktionen 84

Sachwortverzeichnis Winkelgeschwindigkeit 20, 21, 22, 31, 33 Winkelstahl 68, 69 Winkelverzögerung 20 Wirkabstand 2 Wirkungsgrad 14, 18, 26, 28, 29 Wurf 21 schräger 21 senkrechter 19 waagerechter 21 Wurfweite 21 Wurfzeit 21 Wurzel-Definition 80 Z Zähigkeit, kinematische 38 Zahnradgetriebe 23 Zehnerpotenzen 80 Zeitabschnitt 19, 20, 21 Zentrales Kräftesystem 1 Zentripetalbeschleunigung 30 Zentripetalkraft 30 Zugbeanspruchung 42 Zugfestigkeit 63 Zughauptgleichung 42 Zugkraft 18 Zulässige Spannungen für Kranbauteile 67 für Kranbau-Verbindungsmittel 67 für Stahlbauteile 67 für Stahlbau-Verbindungsmittel 67 Zylinderführung 13