Erfolg im Mathe-Abi 2019 Hessen Grundkurs Prüfungsteil 2: Wissenschaftlicher Taschenrechner [13. Auflage] 3868145214, 9783868145212

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für das

Gruber I Neumann

Erfolg im

Mathe-Abi 2019 Prüfungsaufgaben Tei 12: wissenschaftlich er Taschenrechner (WTR) Grundkurs Hessen mit Tipps und Lösungen

Gedruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier

Inhaltsverzeichnis Analysis 1

8

Fluss

2 Brücke

10

Straße

12

3

4 Mond

13

Virus

15

5

18

6 App 7

Stausee

20

8

Grippe

22

Lineare Algebra/ Analytische Geometrie 9

Flugzeuge

24

10 Platte

25

11 Turm

26

12 Pyramide

27

13 Haus

28

14 Glas

30

15 Gebäude

31

Stochastik 16 Zugverspätung

32

17 Handys

33

18 Tischtennis

34

19 Bildschirm

35

20 Unfallstatistik

37

Tipps

39

Lösungen

60

Abituraufgaben 2017

137

Abituraufgaben 2018

175

Musteraufgaben 2019

212

Stichwortverzeichnis

240 3

Vorwort

Erfolg von Anfang an Dieses Übungsbuch ist speziell auf die Anforderungen des zentralen Mathematik-Abiturs im Grundkurs abgestimmt. Es enthält Übungsaufgaben auf Prüfungsniveau sowie Original-Prüfungsaufgaben mit vielen hilfreichen Tipps und ausführlichen, verständlichen Lösungen. Es umfasst die drei großen Themenbereiche Analysis, Lineare Algebra/ Analytische Geometrie und Stochastik. Thematisch geht es meistens um anwendungsbezogene Aufgaben, um das Modellieren realitätsnaher Problemstellungen, um das Herstellen von Zusammenhängen und um das Entwickeln von Lösungsstrategien.

Der blaue Tippteil Hat man keine Idee, wie man eine Aufgabe angehen soll, hilft der blaue Tippteil in der Mitte des Buches weiter: Zu jeder Aufgabe gibt es dort Tipps, die helfen, einen Ansatz zu finden, ohne die Lösung vorwegzunehmen.

Taschenrechner Je nachdem, welcher Operator in einer Aufgabe angegeben ist, kann man den Taschenrechner verwenden. Bei «berechnen Sie» ist ein ausführlicher Lösungsweg «von Hand» ohne Taschenrechner verlangt, bei «bestimmen Sie» oder «geben Sie an» sollen die Funktionen des Taschenrechners genutzt werden. Die im Abitur verwendeten Taschenrechner können sehr viel mehr als nur die Grundrechenarten: Sie können z.B. lineare Gleichungssysteme und quadratische oder kubische Gleichungen lösen, Integrale bestimmen, das Vektor- und Skalarprodukt von Vektoren angeben oder Werte der (kumulierten) Binomialverteilung ausgeben, etc. Daher befindet sich im Buch an den Stellen, an denen es Sinn macht, die entsprechende Funktion des Taschenrechners zu nutzen, ein QR-Code und ein Direktlink auf das entsprechende Video, in dem diese Funktion des Tachenrechners kurz erklärt wird.* Der QR-Code kann mit einer entsprechenden App gescannt werden. Alternativ lässt sich auch der Link unter dem Code benutzen.

~\'!! Der Code neben diesem Text verweist beispielsweise auf ein Video zur Bestimmung der kumu~~ lierten Binomialverteilung. frv.tv/ck

4

Vorwort

Wie arbeitet man mit diesem Buch? Am Anfang befinden sich die Aufgaben aus den drei Themenbereichen Analysis, Lineare Algebra/Analytische Geometrie und Stochastik. In der Mitte des Buches befindet sich der blaue Tippteil mit Denk- und Lösungshilfen. Die Lösungen mit ausführlichem Lösungsweg bilden den dritten Teil des Übungsbuchs. Hier findet man die notwendigen Formeln, Rechenverfahren und Denkschritte sowie sinnvolle alternative Lösungswege.

MeinMatheAbi.de Als Ergänzung zum Buch finden Sie im Internet unter www.MeinMatheAbi.de nicht nur weitere Abituraufgaben, sondern auch Lernkarten, eine Lernkarten-App, Taschenrechneranleitungen zu verschiedenen Taschenrechnertypen, Videotutorials und ein Forum, das die Vorbereitung auf die Prüfung erleichtert. Einige Übungsaufgaben sind als Musterbeispiele für die Abiturprüfung von öffentlichen Stellen veröffentlicht worden. Die Urheber- und Nutzungsrechte für diese Aufgaben liegen bei dem jeweiligen Kultusministerium bzw. Landesinstitut. Die Tipps und die Lösungen hierzu stammen wie bei allen anderen Aufgaben von den Autoren. Allen Schülerinnen und Schülern, die sich auf das Abitur vorbereiten, wünschen wir viel Erfolg! Helmut Gruber und Robert Neumann

*Beim Rechnen mit Vektoren ist es oft aufwändiger, mit dem Taschenrechner z.B. Winkel zu berechnen, als "mit der Hand". Wenn Berechnungen "mit der Hand" einfacher sind, als mit dem Taschenrechner, sind keine QR-Codes angegeben.

5

Vorwort

Die Abiturprüfung Ab 2019 gilt für die Mathematikaufgaben der schriftlichen Abiturprüfung in Hessen das neue Kerncurriculum. Dort sind die Themen für die Einführungs- und Qualifikationsphase aufgelistet:

Analysis 1 • E. l: Funktionen und ihre Darstellung • E.2: Einführung des Ableitungsbegriffs • E.3: Anwendungen des Ableitungsbegriffs • E.4: Exponentialfunktionen • E.5 : Trigonometrische Funktionen • E.6: Weitere Ableitungsregeln.

Analysis II • Q 1.1 : Einführung in die Integralrechnung • Ql.2: Anwendungen der Integralrechnung • Ql.3: Vertiefung der Differenzial- und Integralrechnung • Q 1.4: Funktionenscharen

Lineare Algebra und Analytische Geometrie • Q2. l: Lineare Gleichungssysteme (LGS) • Q2.2: Orientieren und Bewegen im Raum • Q2.3: Geraden und Ebenen im Raum • Q2.6: Vertiefung der Analytischen Geometrie

Stochastik • Q3. l: Grundlegende Begriffe der Stochastik • Q3.2: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten • Q3.3: Wahrscheinlichkeitsverteilungen • Q3.4: Hypothesentests (für binomialverteilte Zufallsgrößen)

6

Vorwort

Der Ablauf der Abiturprüfung Die Abiturprüfung besteht aus zwei Teilen: Prüfungsteil 1, Hilfsmittelfreier Prüfungsteil (Erlaubte Hilfsmittel: Ein Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung und eine Liste der fachspezifische Operatoren) Prüfungsteil 2, Aufgaben differenziert nach Rechnertechnologie (Erlaubte Hilfsmittel: Ein Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung, ein wissenschaftlich-technischer Taschenrechner oder ein CAS, eine gedruckte Formelsammlung eines Schulbuchverlags sowie eine Liste der fachspezifische Operatoren) Die Schülerin/ der Schüler wählt vor der Prüfung aus den zur Verfügung gestellten Aufgaben der Bereiche B und C jeweils eine Aufgabe aus: Prüfungsteil 1 (45 Minuten) Analysis

Lineare Algebra/ Analytische Geometrie Stochastik 1

A

1

Prüfungsteil 2 (3,5 Stunden) Analysis

B1

Lineare Algebra Analytische Geometrie

Cl

Analysis

oder

B2

Stochastik

oder C2

Die Abiturprüfung besteht also aus drei Teilaufgaben: Dem hilfsmittelfreien Teil, einer Analysisaufgabe B 1 oder B2 und einer Aufgabe der Analytischen Geometrie Cl oder einer Stochastikaufgabe C2. Die Gesamtprüfungszeit beträgt 255 Minuten, d.h. 4 Stunden und 15 Minuten.

7

1. Fluss

Analysis 1 Fluss Tipps ab Seite 39, Lösungen ab Seite 60 Die südliche Uferlinie eines Flusses werde in einem Koordinatensystem durch den Graphen der Funktion f mit 3

f(x) = O,OS- x -0,6 -x

2

+ 1, 35-x; x E [O;

10]

beschrieben Dabei zeigt die x-Achse nach Osten und die y-Achse nach Norden. Eine Einheit entspricht 10 min der Wirklichkeit. Die nördliche Uferlinie werde durch den Graphen der Funktion g mit

g(x) = ex- S +2; x E [O; 10] beschrieben. Runden Sie im Folgenden alle Werte auf zwei Stellen nach dem Komma. 1

1.1 Berechnen Sie die Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte des Graphen der Funktion f im gegebenen Intervall. 1.2 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f auf das beigefügte Blatt, auf dem der Graph der Funktion g bereits dargestellt ist.

2 Im Norden des Flusses ist ein Überlaufgebiet geplant. Das Überlaufgebiet wird begrenzt durch den Graphen einer Funktion h mit h(x)

= eax + b;

x E [0; 10], a , b E IR.

2.1 Bestimmen Sie die Parameter a und b so, dass das Überlaufgebiet an den Stellen

= 0 und x 1 = 10 mit dem Nordufer des Flusses zusammentrifft. Verwenden Sie im Folgenden h (x) = e0 ,2 1x + 1.

xo

2.2 Berechnen Sie die größte Ausdehnung des Überlaufgebiets in Nord-Süd-Richtung. 3 Von der Wasseroberfläche des Flusses im Intervall [ 3; 9] sind zu einem bestimmten Zeitpunkt

2 150 m

von Algen bedeckt.

Die in diesem Intervall bedeckte Wasserfläche vergrößert sich wöchentlich um 30%. 8

1. Fluss

Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem 80% der Wasseroberfläche im Intervall [ 3; 9 ] von Algen bedeckt ist. Beiblatt

y 12

10

8

6

4

2+------------~ X

2

4

6

8

10

12

-2

-4

9

2. Brücke

2

Brücke

Tipps ab Seite 40, Lösungen ab Seite 65 Vor einiger Zeit plante man in Hamburg eine von zwei Stützpfeilern (Pylonen) getragene Seilbahn über die Elbe. Die folgende Abbildung zeigt einen entsprechenden Entwurf. Dabei stellt die x-Achse den Verlauf der Erdbodenlinie dar. Eine Längeneinheit entspricht 100 min der Wirklich-

y

keit.

Süden ( S )

Norden (N )

B (0 0,9)

D (6 1,104) J

f

C (2 0,872)

J

J

Pylon (N)

X

Elbe

Die Pylonenspitze B befindet sich 90m über dem Erdboden. Die Pylonenspitze D liegt 110, 4m über dem Erdboden. Der Abstand der beiden Pylonen beträgt 600 m. Das nördliche Elbufer ist 200m vom nördlichen Pylonen entfernt. Der Punkt C liegt senkrecht über dem nördlichen Elbufer. Die Seilhöhe beträgt hier 87, 2 m über dem Erdboden und die Steigung des Seils im Punkt C ist 1, 8 %. 1 Zwischen den Pylonen kann der Verlauf des Seiles näherungsweise durch eine ganzrationale Funktion f dritten Grades beschrieben werden. 1. 1 Bestimmen Sie eine zugehörige Funktionsgleichung. [Kontrolle: f(x)

= - 1cJa0 -x + 5~ 3

2

·x

1 - 20

·x + ?oJ

1.2 Berechnen Sie im Bereich zwischen den Pylonen die minimale Höhe des Seiles über der Erdbodenlinie.

1.3 Zu einem bestimmten Zeitpunkt befindet sich die Wasseroberfläche der Elbe 10m unter der Erdbodenlinie. Die Elbe ist im geplanten Bereich 290m breit. Berechnen Sie die durchschnittliche Höhe des Seiles über der Wasseroberfläche. 2

2.1 Die Funktion f hat eine Wendestelle. Zeigen Sie, dass diese nicht im Intervall [O; 6] liegt. 2.2 Berechnen Sie die maximale Steigung des Graphen von f im Intervall [0 ; 6]. 2.3 Begründen Sie, warum die Modellierung des Seiles durch einen Graphen mit einer Wendestelle xw mit O < xw

10

< 6 nicht sinnvoll ist.

2. Brücke

3 Die Station A auf dem Nordufer ist 300m vom nördlichen Pylonen entfernt. Das Seil befindet sich hier in einer Höhe von 20 m über der Erdbodenlinie. Der Verlauf des Seils zwischen der Station und dem nördlichen Pylonen kann durch eine Funktion g mit g(x)

= a · eo,sx + b · e- O,Sx beschrieben werden. y

Norden (N)

B(0I0,9)

f

~-----------

A( -310,2 )

Pylon (N) X

3.1 Berechnen Sie die beiden Koeffizienten a und b. 3.2 Berechnen Sie den Winkel, unter dem die Seile am nördlichen Pylonen aufeinandertreffen.

11

3. Straße

3

□

Straße

Tipps ab Seite 41, Lösungen ab Seite 69 Die Abbildung zeigt den Verlauf einer Umgehungsstraße zur Entlastung der Ortsdurchfahrt AB einer Gemeinde. Das Gemeindegebiet ist kreisförmig mit dem Mittelpunkt M und dem Radius 1, 5 km. Die Umgehungsstraße verläuft durch die Punkte A und B und wird beschrieben durch

die Funktion f mit

f (x)

= - O, l x

3

2

- 0,3x +0,4x + 3,2

1 LE entspricht 1 km.

X

B(3H)

1

1. 1 Berechnen Sie die Koordinaten des nördlichsten Punktes der Umgehungsstraße.

1.2 Bestimmen Sie rechnerisch die Entfernung dieses Punktes vom Ortsmittelpunkt M. 1.3 Die Umgehungsstraße beschreibt eine Linkskurve und eine Rechtskurve. Bestimmen Sie den Punkt, in dem diese beiden Abschnitte ineinander übergehen. 1.4 Zeigen Sie, dass die Umgehungsstraße im Punkt A ohne Knick in die Ortsdurchfahrt einmündet. 2 Zur Bewertung von Grundstücken wird die Fläche zwischen der Ortsdurchfahrt und der Umgehungsstraße vermessen. Berechnen Sie, wie viel Prozent dieser Fläche außerhalb des Gemeindegebiets liegen. 3 Im Punkt P ( 1, 5 1 3) befindet sich eine Windkraftanlage. Ein Fahrzeug fährt von B aus auf der Umgehungsstraße. 3.1 Zeigen Sie, dass der Fahrer die Windkraftanlage im Punkt B(2 l 2) genau in Fahrtrichtung vor sich sieht. 3.2 Bestimmen Sie die Koordinaten desjenigen Punktes der Umgehungsstraße, in welchem ein Fahrzeug parallel zur Ortsdurchfahrt AB fährt.

12

4. Mond

4

□

Mond

Tipps ab Seite 41, Lösungen ab Seite 73 Im Verlauf von etwa 30 Tagen ändert der Mond beständig sein Erscheinungsbild (siehe Abbildung).

Der beleuchtete Anteil der erdzugewandten Seite des Mondes wird modellhaft durch die Funktion A mit A(t)

= !2 + !2 ·sin (.!!_ · t) 15

· 0 ~ t ~ 30 ' " "

beschrieben. Dabei steht t für die Tage seit Beobachtungsbeginn, beispielsweise ist t

=

l das Ende des ersten Tages.

Bei Vollmond hat der beleuchtete Anteil den Wert 1. Die Abbildung zeigt den Graph von A:

y

X

1

1.1 Ergänzen Sie die Skalierung der Achsen in der Abbildung. 1.2 Formulieren Sie im Sachzusammenhang eine Frage, die durch Lösen der Gleichung A (t ) = 0 , 95 beantwortet werden kann. Berechnen Sie die Lösungen dieser Gleichung. 1.3 Bestimmen Sie rechnerisch die Zunahme der Beleuchtung des Mondes zu Beobachtungsbeginn. 1.4 Geben Sie eine Gleichung an, mit der man diejenigen Zeitpunkte bestimmen kann, zu denen die Zunahme der Beleuchtung des Mondes halb so groß ist wie zu Beobachtungsbeginn. 13

4. Mond

2 Ermitteln Sie den durchschnittlichen Anteil, der von Beobachtungsbeginn bis zum Ende des fünfzehnten Tages beleuchtet wird. 3 Das Modell A soll nun zu einem Modell B abgeändert werden, sodass der Zeitpunkt t = 0 der Beleuchtung bei Vollmond entspricht. 3.1 Bestimmen Sie hierzu einen Wert für c, sodass die Funktion B mit

n ) 1 1 ( B (t )= - + - -sin - · t + c ; 0 2

2

15

~

t

~

30,

diesen Sachverhalt modelliert. 3.2 Geben Sie eine weitere Funktion der Form C(t ) = a · cos (b · t - c) + d für Modell B an. 2

4 Gegeben ist die Funktionenschar ga durch ga (x ) = ax -4x + 2; a i- 0. Ihr Graph sei Ka. 4.1 Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Ka einen gemeinsamen Punkt B (0 12) und in diesem Punkt eine gemeinsame Tangente haben. Erläutern Sie die geometrische Bedeutung dieses Sachverhalts. 4.2 Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen na an Ka an der Stelle x = 1 in Abhängigkeit von a. Berechnen Sie diejenigen Werte von a, für die die Normale na die y-Achse in Z (0

1,5) schneidet.

14

1

5. Virus

5

□

Virus

Tipps ab Seite 43, Lösungen ab Seite 78 In einer großen Stadt breitet sich eine Viruserkrankung aus. Die momentane Erkrankungsrate wird modellhaft beschrieben durch die Funktion f mit

J(t) = 150·t

0 21 ·e- • ; t

2

~0

Dabei ist t die Zeit in Wochen seit Beobachtungsbeginn und J (t ) die Anzahl der Neuerkrankungen pro Woche. Der Graph von f ist durch folgende Abbildung gegeben:

2500

f( t)

2000 1500 1000 500

t 0

1

5

10

15

20

25

35

30

40

1. 1 Weisen Sie nach, dass 10 Wochen nach Beobachtungsbeginn die Anzahl der Neuerkrankungen am höchsten ist. 1.2 Bestimmen Sie den Maximalwert an Neuerkrankungen und zeigen Sie, dass ab diesem Zeitpunkt die momentane Erkrankungsrate rückläufig ist. 1.3 Bestimmen Sie den Zeitraum, in welchem es mehr als 1500 Neuerkrankungen pro Woche gibt. 15

1.4 Geben Sie die Bedeutung von

J_ ( J(t ) d t im Sachzusammenhang an. 10 ls

2 Alle Neuerkrankungen werden sofort dem Gesundheitsamt gemeldet. Bei Beobachtungsbeginn sind bereits 100 Personen gemeldet. 2. 1 Zeigen Sie, dass die Funktion F mit F(t ) =

- 7 50 • (t + lOt + 50) •e- 0 ,21 eine Stamm2

funktion von J ist. 2.2 Bestimmen Sie eine Funktion für die Gesamtzahl der gemeldeten Personen nach t Wochen. 15

5. Virus

2.3 Berechnen Sie, wie viele Personen nach 12 Wochen insgesamt gemeldet sind. 2.4 Weisen Sie nach, dass die Anzahl der Meldungen unter 40000 bleiben wird. 3 In einer benachbarten Stadt mit 30000 Einwohnern ist bei Beobachtungsbeginn bereits die Hälfte der Einwohner an diesem Virus erkrankt. Es ist davon auszugehen, dass im Laufe der Zeit alle Einwohner von der Krankheit erfasst werden . Die Anzahl der von der Krankheit erfassten Personen wird beschrieben durch die Funktion

B(t) = a-b

1 1 0 • e- , ·

(t in Wochen, B(t ) in Anzahl der von der Krankheit erfassten Personen).

3.1 Bestimmen Sie eine Funktion, welche die Anzahl der von der Krankheit erfassten Personen beschreibt. 3.2 Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem 95% aller Einwohner von der Krankheit erfasst sind. 4 Gegeben ist die Funktion f mit f(x)

= 6x- ½x

3

.

Der Graph von f ist durch folgende Abbildung gegeben: y f

X

-10

-8

-6

-4

4

6

8

10

4.1 Berechnen Sie für t > 0 den Wert von t exakt so, dass der Mittelwert der Funktionswerte von f auf dem Intervall [0; t ] möglichst groß ist.

= u mit 0 < u < v112 schneidet die x-Achse im Punkt P(u 10) und den Graph von f im Punkt Q(u I f(u) ).

4.2 Die Gerade x

16

5. Virus

Damit entsteht das Dreieck OPQ. Erläutern Sie folgende Rechenschritte und geben Sie deren geometrische Bedeutung an:

(I)

A(u)

(II)

A'(u)

(III) (IV)

= u·f(u) 2 = 0 :::}

u1

= 3u2- ~u4 4 =

0 , u2 =

v'6

v'6) = -12 A ( v'6) = 9

A" (

17

6. App

6

App

Tipps ab Seite 44, Lösungen ab Seite 83 Die Anzahl der Käufer einer neu eingeführten Smartphone-App soll modelliert werden. Dabei wird die momentane Änderungsrate beschrieben durch die Funktion f mit

f(t) = 6000·t·e-O,St; t ~ 0 (t in Monaten nach der Einführung, f

(t ) in Käufer pro Monat).

Der Graph von f ist durch folgende Abbildung gegeben:

y 5000 4000 3000 2000 1000

t 2

3

4

5

7

6

8

9

10

11

12

1 Zunächst werden nur die ersten zwölf Monate nach der Einführung betrachtet. 1.1 Geben Sie die maximale momentane Änderungsrate an. 1.2 Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die momentane Änderungsrate größer als 4000 Käufer pro Monat ist. 1.3 Bestimmen Sie näherungsweise die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate am stärksten abnimmt bzw. zunimmt. 2

2. l Zeigen Sie, dass für t > 2 die Funktion f streng monoton fallend ist und nur positive Werte annimmt. 2.2 Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Entwicklung der Käuferzahlen.

3

3.1 Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Käufer sechs Monate nach Einführung der App. 3.2 Erläutern Sie im Sachzusammenhang, was mit folgender Gleichung berechnet werden kann:

t+ 2

J t

18

f(t)dt = S000

6. App

4 Bei einer anderen neuen App erwartet man auf lange Sicht 30000 Käufer. In einem Modell soll angenommen werden, dass sich die Gesamtzahl der Käufer nach dem Gesetz G(t)=S - a·e-k•i (t in Monaten nach Verkaufsbeginn, G(t) in Anzahl der Käufer) entwickelt.

Sechs Monate nach Verkaufsbeginn gibt es bereits 20000 Käufer. Bestimmen Sie einen Funktionsterm, welcher die Gesamtzahl der Käufer in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. 5 Die Funktion g ist gegeben durch g(x)

= x- x\ ; x -=/ 0.

5.1 Die Tangente an den Graphen von g im Punkt B verläuft durch P (0 l -0,5). Bestimmen Sie die Koordinaten von B. 5.2 Es gibt einen Punkt auf dem Graphen von g, der den kleinsten Abstand zur Geraden mit der Gleichung y

= 2x - 1 besitzt.

Ermitteln Sie die x-Koordinate dieses Punktes.

19

7. Stausee

7

Stausee

Tipps ab Seite 45, Lösungen ab Seite 88

An einem Stausee wird der Zu- und Abfluss künstlich geregelt. Dabei wird die momentane Zuflussrate beschrieben durch die Funktion z mit

z(t)

= 20 •sin ( 1~ •t) + 25 ; t ~ 0

Die konstante Abflussrate wird beschrieben durch die Funktion a mit

a(t)= 19;t ~ 0 3

(t in Stunden seit Beobachtungsbeginn, z(t ) und a(t) in 1 000 ~ ). 1 Zunächst werden die ersten 24 Stunden nach Beobachtungsbeginn betrachtet. 1.1 Zeichnen Sie die Graphen von z und a. 1.2 Bestimmen Sie die minimale momentane Zuflussrate. 1.3 Geben Sie an, in welchem Zeitraum die Wassermenge im Stausee abnimmt. 1.4 Bestimmen Sie die maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge. 2 Zu Beobachtungsbeginn befinden sich 2 500 000 m 3 Wasser im See. 2.1 Berechnen Sie die Wassermenge im Stausee 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn. 2.2 Begründen Sie, dass die Wassermenge in jedem 24-Stunden-Zeitraum um 144000m 3 zunimmt. 2.3 Berechnen Sie den Wert, den die konstante Abflussrate haben müsste, damit nach Ablauf von 14 Tagen die Wassermenge im Stausee 4180000m 3 betragen würde. 3 Gegeben ist die Funktion f mit f(x)

=

3 x -

2 9x

+ 24x -

14.

Der Graph von f ist durch die Abbildung auf der folgenden Seite gegeben: 3.1 Berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von f und skalieren Sie die Achsen in der Abbildung. Die Gerade g durch den Hochpunkt H und den Tiefpunkt T des Graphen von f schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten P und Q. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil der Strecke HT an der Strecke PQ.

20

7. Stausee

y

X

3.2 Begründen Sie, dass die Steigung des Graphen von f keine Werte kleiner als - 3 annehmen kann. 3.3 Der Graph von f und die Gerade h mit der Gleichung y = 2 schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.

21

8. Grippe

8

Grippe

Tipps auf Seite 47, Lösungen ab Seite 95 Eine Schülerin ist an einem grippalen Infekt erkrankt. Die Funktion f mit

J(t) = 4t · e - O,St + 36,6; t > 0 modelliert ihre Körpertemperatur während des Infektes. Dabei gibt t die Zeit in Tagen nach Auftreten des Infektes und J (t ) die Körpertemperatur in °C an. Es gilt J' (t ) = (4 - 2t ) . e - O,St. 1

1.1 Berechnen Sie die höchste Körpertemperatur der Schülerin während des Infektes. 1.2 Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes W des Graphen von f und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang. 1.3 Skizzieren Sie den Graphen der Funktion d mit d(t ) = 4t

0 51 · e- -

im Intervall [O; 10]

und beschreiben Sie die Bedeutung der Funktion d im Sachzusammenhang. 2

2.1 Zeigen Sie, dass F(t ) = (-8t - 16) •e- o.s, + 36, 6t eine mögliche Stammfunktion von

f ist. 2.2 Bestimmen Sie die durchschnittliche Körpertemperatur der Schülerin innerhalb der ersten Woche des Infektes. 2.3 Es gibt eine Temperatur, die zu einem bestimmten Zeitpunkt und dann genau zwei Tage später erneut erreicht wird. Bestimmen Sie diese Temperatur und die Zeitpunkte, zu denen sie erreicht wird. 3 Die Funktion f beschreibt die Niederschlagsrate eines Dauerregens, die Funktion g die Wasserabflussrate (t in Stunden seit Einsetzen des Regens , J(t) und g (t ) in Liter pro pro Stunde). Die Abbildung zeigt die Graphen von f und g:

y

t 2

22

3

4

5

6

7

8

9

10

2 m

8. Grippe

3 .1 Beschreiben Sie den Verlauf der Intensität des Regens. Bestimmen Sie näherungsweise den Zeitpunkt, wann der Regen aufhört. Geben Sie einen Rechenausdruck an, mit dem man die gesamte Niederschlagsmenge während des Regens bestimmen kann. 3.2 Erläutern Sie die Bedeutung der grauen Fläche. Bestimmen Sie eine Gleichung, mit der man berechnen kann, zu welchem Zeitpunkt T alle Pfützen verschwunden sind.

23

9. Flugzeuge

Lineare Algebra/ Analytische Geometrie 9

□

Flugzeuge

Tipps ab Seite 49, Lösungen ab Seite 99 Die x-y-Ebene beschreibt eine fl ache Landschaft, in der ein Flugplatz liegt. Eine Radarstation befindet sich im Punkt R 1 ( 6 1 3 1 0 ). Das Radar erfasst ein Testflugzeug F I um 7 .00 Uhr im Punkt P (7 1 29 1 7) und ermittelt als Flugbahn des Flugzeugs

fi: X = (

1

~)+

t · ( :~; )

(t in Minuten nach 7 .00 Uhr, Koordinatenangaben in km).

1.1 Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in welchem sich das Flugzeug um 7.01 Uhr befindet. 1.2 Erläutern Sie, woran Sie erkennen, dass sich das Flugzeug im Sinkflug befindet. 1.3 Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h. 1.4 Bestimmen Sie die Uhrzeit und den Punkt, wo das Flugzeug bei Beibehaltung dieser Flugbahn auf dem Boden aufsetzen würde.

2 Eine weitere Radarstation befindet sich im Punkt R2 ( 17 1 9 1 0). 2.1 Der Anflug des Testflugzeugs F 1 auf den Flugplatz ist optimal, wenn die Flugbahn

J1 und die beiden Radarstationen in einer Ebene liegen. Prüfen Sie, ob das zutrifft. 2.2 Die Radarstation R2 übernimmt die Flugüberwachung zu dem Zeitpunkt, ab dem sich das Flugzeug von R I entfernt. Bestimmen Sie die Uhrzeit, zu der dies der Fall ist. 3 Die Flugbahn eines zweiten Testflugzeugs F2 wird beschrieben durch

h: X= ( : ~

)

+t

(

~

)

(t in Minuten nach 7. 00 Uhr, Koordinatenangaben in km).

7 3.1 Berechnen Sie die E ntfernung der beiden Flugzeuge F 1 und F2 um 7 .04 Uhr. 3.2 Berechnen Sie die Zeitpunkte, zu denen die beiden Flugzeuge einen Abstand von 10 km haben. 24

10. Platte

10

Platte

□

Tipps ab Seite 49, Lösungen ab Seite 102 An einer rechteckigen Platte mit den Eckpunkten A (10 l 6 I 0), B (0 l 6 I 0), C (010 l 3) und D ( 10 10 13) ist im Punkt F (5 16 1 0) ein 2 m langer Stab befestigt, der in positive z-Richtung zeigt. Eine punktförmige Lichtquelle befindet sich zunächst im Punkt L (8 1 10 12) (Koordinatenangaben in m). 1

1. l Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Platte liegt. 1.2 Stellen Sie die Platte, den Stab und die Lichtquelle in einem Koordinatensystem dar. 1.3 Berechnen Sie den Abstand des oberen Endes S des Stabes von der Ebene E. (Teilergebnis: E: y + 2z = 6)

2 Der Stab wirft einen Schatten auf die Platte. 2.1 Bestimmen Sie den Schattenpunkt des oberen Endes des Stabes. 2.2 Begründen Sie, dass der Schatten vollständig auf der Platte liegt. 3 Die Lichtquelle bewegt sich von Laus auf einer zur x-y-Ebene parallelen Kreisbahn, deren Mittelpunkt das obere Ende des Stabes ist. Dabei kollidiert die Lichtquelle mit der Platte. Berechnen Sie die Koordinaten der beiden möglichen Kollisionspunkte.

25

11. Turm

11

Turm

Tipps ab Seite 50, Lösungen ab Seite 106

s

Ein Turm hat die Form einer senkrechten quadratischen Säule, der eine senkrechte

z

Pyramide aufgesetzt ist (siehe Skizze). Die Gesamthöhe des Turms beträgt 24 m, die

G

horizontalen Kanten sind 8 m, die vertikalen Kanten sind 18 m lang. Der Punkt D liegt im Ursprung eines kartesischen Koor-

F

E

dinatensystems mit der Längeneinheit 1 m.

D

C y

B

1 Geben Sie die Koordinaten aller Punkte an und berechnen Sie den Neigungswinkel des Daches (Winkel zwischen Pyramidengrundfläche und Seitenfläche) sowie die Größe der Dachfläche. 2 Im Punkt P ( 18 1 4 1 0) steht ein 8 m hoher Fahnenmast. Berechnen Sie die Länge des Schattens auf Boden und Turmwand, wenn das einfallende

Sonnenlicht die Richtung ( -

I)

~

hat.

~

3 Ein Kind mit Augenhöhe 1 m läuft vom Punkt Baus in Richtung DB vom Turm weg.

In welcher Entfernung von der Turmkante BF kann das Kind die Turmspitze S erstmals sehen?

26

12. Pyramide

12

Pyramide

Tipps ab Seite 51, Lösungen ab Seite 108 Gegeben sinddiePunkteA (-3 l l l 2) , B(l l - 3 l 4),C(3 l - 2 l 2) undS (91 9 l -4). Die Punkte A, B und C liegen in der Ebene E. 1.1 Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E . 1.2 Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC rechtwinklig, aber nicht gleichschenklig ist. 1.3 Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D so, dass das Viereck ABCD ein Rechteck ist. 2

2.1 Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M des Rechtecks. 2.2 Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS. 2.3 Die Ebene F enthält den Punkt S und alle Spitzen von Pyramiden, welche dieselbe Grundfläche und das gleiche Volumen wie die Pyramide ABCDS haben. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von F.

3 Ein Laserstrahl hat die Richtung ( - : ) und geht durch die Pyramidenspitze S.

Berechnen Sie die Durchstosspunkte des Laserstrahls durch die Koordinatenebenen.

27

13. Haus

13

Haus

Tipps ab Seite 52, Lösungen ab Seite 111 F Gegeben ist das abgebildete Haus mit einem Walmdach sowie die Punkte A (0101 5),

C

B (0 l 8 l 5), C(- 12 18 15), E (-214 18) und F (- 10 I 4 I 8). Eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Natur.

1.1 Berechnen Sie die Länge der Dachkante EB. 1.2 E1 sei die Ebene, in der die Punkte B, C und E liegen.

Zeigen Sie, dass auch der Punkt F in E 1 liegt, und berechnen Sie den Abstand des Punktes A von der Ebene E 1. [zur Kontrolle: Ei: 3y + 4z = 44]

1.3 Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten BC und BE einschließen. 1.4 Zeigen Sie, dass die Dachfläche BCFE ein achsensymmetrisches Trapez ist, und berechnen Sie dessen Flächeninhalt. 2 Das ursprüngliche Gebäude wird durch einen symmetrischen Anbau erweitert, der im rechten Winkel zum Haus steht und einen waagerechten First besitzt. S: Spitze der Antenne

F C

28

13. Haus

2.1 Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes R, in dem der First des Anbaus auf die Dachfläche BCFE trifft. 2.2 Zwischen den Punkten P und Q, die auf den Kanten AE bzw. BE liegen, verläuft ein zwei Meter langer Balken parallel zur Kante AB. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes Q.

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14. Glas

14 Glas Tipps ab Seite 53, Lösungen ab Seite 115 In einer Festhalle wird ein Modell eines Trinkglases aufgehängt. Das Glas kann als Halbkugel

mit geradlinigem Stiel betrachtet werden. Die Punkte A (0,3 l 3,7 l 4, 85), B (-0, 15 l 3, 7 l 5,3) und C (-0, 3 14 , 3 l 5, 15) liegen auf dem kreisförmigen Glasrand. Im Punkt S (- 0, 3 I 3, 85 14 , 7) ist der Stiel befestigt. Der Boden und die

B

Decke der Festhalle sind parallel zur x-yEbene. Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Natur. Die Stärke des Materials für das Glasmodell bleibt bei der Betrachtung unberücksichtigt.

1 Bestimmen Sie eine Koordinatenform der Ebene E, in der der Glasrand mit den Punkten, A, B und C liegt. 2 Verwenden Sie im Folgenden E: 2x + y + 2z = 14. 2.1 Berechnen Sie den Schnittwinkel dieser Ebene mit der Bodenebene. 2.2 Berechnen Sie den Abstand des Punktes S von der Ebene E. 3

3.1 Es wird das Lot von S auf die Ebene E gefällt. Zeigen Sie, dass der Lotfußpunkt der Mittelpunkt M des Glasrandkrei ses ist und bestimmen Sie den Radius des Glasrandkreises. [Zur Kontrolle: M (014 l 5), r = 0,45] 3.2 Bestimmen Sie die Koordinaten des Fußpunktes F des 1 m langen Glasmodellstiels, der in Richtung der Verlängerung der Strecke MS verläuft.

30

15. Gebäude

15 Gebäude Tipps ab Seite 53, Lösungen ab Seite 118 Für das Ausstellungsgelände einer Kunstausstellung soll ein Gebäude eingerichtet werden. We-

x3

der die Bodenfläche noch die Wände sollen 8

rechteckig sein. In einem Entwurf haben die Eckpunkte des

G

H_---; f--7 6

Gebäudes die Koordinaten A ( 12, 5 13 10), D ( lO f 0f0),

4

E(l2,5 13 17), F (2 ,5f6 13), G (0 13 f 7)

2

B (2,5 l 6 I 0 ),

C (0 l3I0),

und H ( 10 10 1 11 ).

F

Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Natur.

1. 1 Zeigen Sie, dass die Bodenfläche ABCD des Gebäudes ein Parallelogramm ist und

berechnen Sie die Innenwinkel des Parallelogramms. 1.2 Berechnen Sie den Inhalt der Bodenfläche. 2

2.1 Die Ebene E 1 enthält die Punkte E , F, G und H. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E 1 in Koordinatenform. [Zur Kontrolle: E 1 : 4y + 3z = 33 .] 2.2 Weisen Sie nach, dass die Dachfläche EFGH ein Rechteck ist.

3 Auf der Dachfläche EFGH wird im Diagonalenschnittpunkt P ( 6. 25 13 17 ) ein Stab mit SpitzeS (6, 5 f 3 f 9) montiert. 3.1 Bestimmen Sie den Punkt Q der Ebene E 1 , der den kürzesten Abstand zur Spitze S des Stabes hat und berechnen Sie diesen Abstand. 3.2 Überprüfen Sie, ob der Punkt Q innerhalb des Rechtecks EFGH liegt.

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16. Zugverspätung

Stochastik 16

Zugverspätung

Tipps ab Seite 55, Lösungen ab Seite 122 Die Bahngesellschaft Rapid hat verschiedene Aspekte zur Pünktlichkeit ihrer Züge überprüft. 1 Eine Teiluntersuchung betraf die Pünktlichkeit der Zugverbindungen zwischen den Städten A und B, die folgendes Ergebnis hatte: 60 % der untersuchten Züge hatten A und 40 % B als Ziel. Von den Zügen nach A hatten 10 % Verspätung, während nur 5 % der Züge nach B Verspätung hatten. 1.1 Stellen Sie den Sachverhalt in Form eines Baumdiagramms dar. Tragen Sie auch die vier Pfadwahrscheinlichkeiten ein. 1.2 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein aus den pünktlichen Zügen zufällig auszuwählender Zug die Stadt A als Ziel hat. 2 Erfahrungsgemäß kommen im Winter durchschnittlich 20 % aller Züge der Bahngesellschaft Rapid zu spät. 2. 1 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 100 Zügen genau 20 Züge Verspätung haben. 2.2 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 Zügen mehr als 2 Verspätung haben. 3 Die Bahngesellschaft Rapid behauptet, die Pünktlichkeit der Züge habe sich durch die Einführung neuer Triebwagen so verbessert, dass sich j etzt weniger als 10 % aller Züge verspäten werden. 3. 1 Entwickeln Sie eine n Signifikanztest mit dem Ziel, die Aussage der Bahngesellschaft Rapid bei einem Stichprobenumfang von 1150 Zügen auf de m Signifikanzniveau 0 , 5 % zu stützen. 3.2 Beschreiben Sie die Bedeutung des Fehlers 2. Art im Sachzusammenhang. 3.3 Bestimmen Sie den Fehler 2 . Art unter der Annahme, dass die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für eine Verspätung nur 8 % beträgt.

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17. Handys

17

Handys

Tipps ab Seite 56, Lösungen ab Seite 125 Die Firma Noko stellt Handys in Massenproduktion her. Jedes Handy ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % fehlerhaft. 1 Mit welchem mathematischen Modell lässt sich das Ziehen einer Stichprobe von 100 Handys beschreiben? Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: A: Weniger als 5 Handys sind fehlerhaft. B: Genau 3 Handys sind fehlerhaft. C: Mindestens 90 Handys funktionieren. 2 Wie viele Handys müssen der Produktion mindestens entnommen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % wenigstens ein fehlerhaftes dabei ist? 3

3.1 Zur Aussonderung fehlerhafter Handys gibt es eine Qualitätskontrolle, welche folgendes leistet: Unter allen geprüften Handys beträgt der Anteil der Handys, die einwandfrei sind und dennoch ausgesondert werden, 4 %. 3.2 Insgesamt werden 93 % aller Handys nicht ausgesondert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Handy fehlerhaft ist und ausgesondert wird. Welcher Anteil der fehlerhaften Handys wird demnach ausgesondert?

4 Die Firma Noko garantiert nun, dass bei einer Lieferung höchstens 4 % der Handys fehlerhaft sind. Der Großhändler macht eine Stichprobe mit 100 Handys und findet 7 fehlerhafte. Kann er hieraus mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % schließen, dass die Firma Noko eine falsche Angabe gemacht hat?

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18. Tischtennis

18 Tischtennis Tipps ab Seite 56, Lösungen ab Seite 127 Tischtennisbälle sind im Spielbetrieb extremen Belastungen ausgesetzt. Erst nach aufwändigen Testverfahren kommen die Turnierbälle als sogenannte «3-Stern-Bälle» in den Handel. Die Bälle, die bei der Herstellung durch die Kontrollen fallen, werden als Trainingsbälle angeboten. 1 Unter den Trainingsbällen wiederum befinden sich solche, die durch starke Verformungen (V) oder Nahtfehler (N) völlig unbrauchbar sind. Andere Fehler treten nicht auf. 5 % der Trainingsbälle des Herstellers «Ping und Pong» zeigen starke Verformungen und 7 % weisen defekte Nahtstellen auf. 2 % aller Trainingsbälle zeigen sogar beide Fehler. 1. 1 Stellen Sie eine zugehörige Vierfeldertafel auf und zeigen Sie, dass 10 % der Trai-

ningsbälle völlig unbrauchbar sind. 1.2 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig zu entnehmender Tischtennisball mit Nahtfehlem Verformungen hat. 2 Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass 10 % der Trainingsbälle der Firma «Ping und Pong» völlig unbrauchbar sind. 2.1 Trainingsbälle werden u.a. in Großpackungen zu 100 Stück angeboten. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man mehr als 11 , aber höchstens 14 völlig unbrauchbare Bälle in einer solchen Packung findet. 2.2 Ermitteln Sie die Zahl der Trainingsbälle, die man der Produktion mindestens entnehmen müsste, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95 % mindestens einen völlig unbrauchbaren Ball zu erhalten. 3 Trotz der Kontrollen liegt der Anteil der einwandfreien Turnierbälle unter den verkauften «3-Stern-Bällen» der Firma «Ping und Pong» erfahrungsgemäß nur bei 92 %. Für die Meisterschaften eines Tischtennis-Verbandes werden bei diesem Hersteller 1000 «3-Stem-Bälle» geordert. Bestimmen Sie die größte Zahl k so, dass die Wahrscheinlichkeit, mit dieser Lieferung mindestens k einwandfreie Turnierbälle zu erhalten, größer als 98 % ist.

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19. Bildschirm

19 Bildschirm Tipps ab Seite 57, Lösungen ab Seite 129 Eine Firma stellt Flachbildschirme her. Im Mittel ist einer von fünf hergestellten Bildschirmen fehlerhaft. 1 Es soll angenommen werden, dass die Anzahl fehlerhafter Geräte unter zufällig ausgewählten Bildschirmen durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden kann. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: «Von 50 zufällig ausgewählten Bildschirmen sind höchstens 8 fehlerhaft.» B: «Von 200 zufällig ausgewählten Bildschirmen sind mehr als 15% und weniger als 25% fehlerhaft.» C: «Von 10 zufällig ausgewählten Bildschirmen sind genauso viele fehlerhaft, wie zu erwarten ist.» 2 Fehler der Bildschirme treten am häufigsten in Form eines defekten Displays sowie in Form eines defekten Netzteils auf. Für einen zufällig ausgewählten Bildschirm beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Display defekt ist, 10, 7 %, das Display und das Netzteil defekt sind, 1 %, weder das Display noch das Netzteil defekt ist, 87, 3 %. 2.1 Stellen Sie den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. 2.2 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass entweder das Display oder das Netzteil defekt ist. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bildschirm mit einem defekten Netzteil ein nicht-defektes Display hat. 2.3 Untersuchen Sie, ob die beiden betrachteten Defekte unabhängig voneinander auftreten. 3 Ein Mitarbeiter der Firma bezweifelt, dass im Mittel einer von fünf Bildschirmen fehlerhaft ist. Er vermutet, dass nach einer Produktionsumstellung höchstens einer von fünf Bildschirmen fehlerhaft ist. Um einen Schätzwert für den Anteil fehlerhafter Geräte zu ermitteln, zieht er eine Stichprobe vom Umfang 180. In der Stichprobe sind 27 Bildschirme fehlerhaft. 3.1 Zeigen Sie, dass der Mitarbeiter bei diesem Testergebnis die Nullhypothese: «Im Mittel sind mehr als fünf Bildschirme fehlerhaft» auf einem Signifikanzniveau von 5% nicht verwerfen kann. 3.2 Entscheiden Sie, ob die Zweifel des Mitarbeiters damit ausgeräumt sind.

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19. Bildschirm

4 Tatsächlich sind 20% aller Bildschirme fehlerhaft. Bei einer abschließenden Prüfung werden alle fehlerfreien Bildschirme auch als fehlerfrei eingestuft. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein fehlerhafter Bildschirm als fehlerhaft eingestuft wird, wird mit x bezeichnet. Ein im Rahmen der Prüfung als fehlerfrei eingestufter Bildschirm wird zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie den kleinstmöglichen Wert von x, für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Bildschirm fehlerhaft ist, höchstens 5% beträgt.

'

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20. Unfallstatistik

20 Unfallstatistik Tipps ab Seite 58, Lösungen ab Seite 133

Nach einer Veröffentlichung zur Unfallstatistik beruhten im Jahr 2009 378 000 Unfälle mit Personenschaden im Straßenverkehr auf einem Fehlverhalten der Fahrzeugführer/ innen. Der Großteil hiervon, nämlich 260000 Unfälle, hatte dabei ein Fehlverhalten eines PKW-Fahrers/ einer PKW-Fahrerin als Ursache. Bei den oben genannten 378 000 Unfällen war das häufigste festgestellte Fehlverhalten eine nicht angepasste Geschwindigkeit, die in 57 000 Fällen ermittelt wurde. 40000 dieser Verstöße wurden dabei von PKW-Fahrern/ PKW-Fahrerinnen begangen. 1

1.1 Erstellen Sie aus den Daten eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel mit auf 4 Nachkommastellen gerundeten relativen Häufigkeiten. Bezeichnen Sie mit G das Ereignis: «Die Ursache für den Unfall ist eine nicht angepasste Geschwindigkeit», A kennzeichne das Ereignis «Die Person fuhr einen PKW». 1.2 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein von einem/ einer zufällig auszuwählenden PKW-Fahrer/ PKW-Fahrerin verursachter Unfall eine nicht angepasste Geschwindigkeit als Ursache hatte.

2 Im Jahr 2009 wurden etwa 190000 Personen wegen Straftaten im Straßenverkehr verurteilt. In 54 % dieser Fälle ging es dabei um Alkoholdelikte. 85 % der verurteilten Personen, die alkoholisiert waren, waren zudem männlich. Für eine Aufklärungskampagne sollen die Straftaten, in denen es um Alkoholdelikte ging, genauer untersucht werden. 2.1 Geben Sie an, wie viele Männer 2009 wegen Alkoholvergehen im Straßenverkehr verurteilt wurden. 2.2 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter 50 zufällig auszuwählenden Personen, die wegen Alkoholvergehen im Straßenverkehr verurteilt wurden, genau 43 Männer sind. 2.3 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 500 zufällig auszuwählenden Personen, die wegen Alkoholvergehen im Straßenverkehr verurteilt wurden, mindestens 420 Männer sind. 2.4 Bestimmen Sie, wie viele Fälle von Verurteilungen aufgrund von Alkoholdelikten im Straßenverkehr man mindestens auswählen müsste, um mit einer Wahrscheinlichkeit von über 95 % wenigstens eine Frau zu finden.

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20. Unfallstatistik

3 Bei etwa 4, 4 % der Unfälle, die im Jahr 2009 einen Personenschaden zur Folge hatten, war Alkoholeinfluss die Unfallursache. Die mit der Aufklärungskampagne von Aufgabenteil b) beauftragte Agentur behauptet, dass sich nach der Durchführung eines Probedurchlaufs in einem repräsentativen Landkreis der Anteil der unter Alkoholeinfluss verursachten Unfälle mit Personenschaden reduziert haben soll. Entwickeln Sie einen Hypothesentest mit dem Ziel, die Behauptung der Agentur über eine Stichprobe von 450 Unfällen mit Personenschaden auf einem Signifikanzniveau von 1 % zu bestätigen. Geben Sie die dazugehörige Entscheidungsregel an. 4 Die angesprochene Aufklärungskampagne sollte vor allem junge Verkehrsteilnehmer/ innen (bis 25 Jahre) ansprechen. Eine repräsentative Umfrage nach dem Probedurchlauf ergab das folgende Ergebnis: - 45 % der befragten Personen hatten von der Kampagne gehört und waren höchstens 25 Jahre alt. - 10 % derjenigen, die von der Kampagne gehört hatten, waren älter als 25 Jahre. - 40 % derjenigen, die nicht von der Kampagne gehört hatten, waren älter als 25 Jahre. Zeigen Sie, dass drei Viertel der befragten Personen dieser Umfrage höchstens 25 Jahre alt waren.

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Tipps

1. Fluss

Tipps - Analysis 1 Fluss 1

1.1 Die Nullstellen des Graphen von f erhalten Sie durch Lösen der Gleichung f (x) = 0. Verwenden Sie den Taschenrechner. Zur Bestimmung der lokalen Extrempunkte des Graphen von f verwenden Sie die 1. und 2. Ableitung von f. Als notwendige Bedingung lösen Sie die Gleichung J' (x ) = 0 mithilfe des Taschenrechners nach x auf. Setzen Sie die erhaltenen x11 11 Werte in J (x) ein. Falls J (x) > 0 handelt es sich um einen lokalen Tiefpunkt, falls 11 f (x) < 0 handelt es sich um einen lokalen Hochpunkt. Die zugehörigen y-Werte erhalten Sie. indem Sie die x-Werte in f (x ) einsetzen. Bestimmen Sie die Randwerte des Graphen von f im Intervall [O; 10] um zu entscheiden, ob die lokalen Extrempunkte gleichzeitig absolute Extrempunkte sind. Den Wendepunkt des Graphen von f erhalten Sie mit der 2. und 3. Ableitung: Als 11 notwendige Bedingung lösen Sie die Gleichung f (x) = 0 nach x auf. Setzen Sie den 111 111 erhaltenen x-Wert in f (x) ein. Falls f (x) =/- 0 handelt es sich um einen Wendepunkt. Den zugehörigen y-Wert erhalten Sie, indem Sie den x-Wert in J (x ) einsetzen. 1.2 Benutzen Sie die berechneten Punkte, um die Zeichnung anzufertigen.

2

2.1 Beachten Sie, dass die y-Werte von g und h an den Stellen xo = 0 und x 1 = l O übereinstimmen. Stellen Sie ein Gleichungssystem auf und bestimmen Sie damit die Parameter a und b der Funktion h. 2.2 Die größte Ausdehnung des Überlaufgebiets in Nord-Süd-Richtung erhalten Sie, indem Sie das Maximum einer Funktion d berechnen, welche den Abstand der Graphen von g und h für [O; 10] beschreibt. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion d sowie die 1. und 2. Ableitung mit der Kettenregel. Als notwendige Bedingung lösen Sie 11

die Gleichung d ' (x) = 0 nach x auf. Setzen Sie den erhaltenen x-Wert in d (x) ein. 11

Falls d (x) < 0 handelt es sich um ein Maximum. Prüfen Sie mithilfe der Randwerte. ob es sich um ein absolutes Maximum handelt. Den zugehörigen Funktionswert erhalten Sie, indem Sie den x-Wert in d (x) einsetzen. Beachten Sie, dass einer Längeneinheit 10 m in der Wirklichkeit entspricht. 3 Den Flächeninhalt A der Wasseroberfläche im Intervall [ 3; 9 ] erhalten Sie mithilfe eines Integrals. Beachten Sie, dass der Graph von g oberhalb des Graphen von f verläuft und verwenden Sie den Taschenrechner. Beachten Sie, dass einer Längeneinheit l Om in der Wirklichkeit entspricht und bestimmen Sie den Wert, der einer Flächeneinheit entspricht. Beschreiben Sie die von den Algen bedeckte Wasseroberfläche durch eine Funktion B mit

B(t) = a · ek·t (t in Wochen seit Beginn der Beobachtung, B (t ) in m 2 ). Bestimmen Sie a und k, indem Sie mit zwei Bedingungen ein Gleichungssystem aufstellen und dieses lösen. Lösen Sie schließlich die Gleichung B(t ) = 0, 80 · A durch Logarithmieren.

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2. Brücke

2

Tipps

Brücke 1.1 Als Ansatz für eine ganzrationale Funktion f dritten Grades verwenden Sie den An-

2 satz J (x) = ax3 + bx +ex+ d mit J' (x)

2 = 3ax + 2bx + c. Stellen Sie vier Glei-

chungen auf, indem Sie die drei gegebenen Punkte in den Ansatz und die gegebene Steigung in die l. Ableitung einsetzen. Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem auf und lösen Sie dieses mithilfe des Taschenrechners. l .2 Die minimale Höhe des Seiles über der Erdbodenlinie zwischen den Pylonen erhalten Sie, indem Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von f mithilfe der l. und 2. Ableitung von f berechnen. Lösen Sie als notwendige Bedingung die Gleichung

J' (x) = 0 mithilfe des Taschenrechners nach x auf. Beachten Sie, dass wegen 0

~

x ~ 6 (zwischen den Pylonen) nur eine Lösung in Frage kommt. Setzen Sie den

erhaltenen x-Wert in J" (x) ein; falls J" (x) > 0 handelt es sich um einen lokalen Tiefpunkt. Den zugehörigen y-Wert erhalten Sie, indem Sie den berechneten x-Wert in J (x) einsetzen. Vergleichen Sie den erhaltenen y-Wert mit den Randwerten bei

= 0 und bei x = 6. Beachten Sie, dass eine Längeneinheit lO0m entspricht. Bestimmen Sie eine Gleichung y = c für die Wasseroberfläche der Elbe. Bestimmen

x 1.3

Sie aufgrund der gegebenen Breite der Elbe das Intervall der x-Werte und berechnen Sie die durchschnittliche Höhe h des Seiles über der Wasseroberfläche mithilfe eines 1 (J (x) - c) dx. Integrals unter Verwendung des Taschenrechners: h= - - •

1h b- a a

2

2.1 Die Wendestelle der Funktion f erhalten Sie mit der 2. Ableitung von f. Als not11 111 wendige Bedingung lösen Sie die Gleichung f (x) = 0 nach x auf. Falls f (x) -=/ 0 handelt es sich um eine Wendestelle. 2.2 Da die Wendestelle von f nicht im Intervall [0; 6] liegt, ist die maximale Steigung an den Rändern des Intervalls zu finden. Setzen Sie xi die Steigungen zu berechnen.

= 0 und x2 = 6 in J'(x ) ein, um

2.3 Beachten Sie, dass das durchhängende Seil zwischen den Pylonen nur eine Krümmung aufweisen sollte. Überlegen Sie, welche Bedeutung eine Wendestelle für das Krümmungsverhalten eines Graphen hat. 3

3.1 Setzen Sie die Koordinaten der Punkte A( - 3 I 0, 2) und B(0 10, 9) in g(x) ein. Lösen Sie das Gleichungssystem, indem Sie aus der zweiten Gleichung a in Abhängigkeit von b bestimmen und in die erste Gleichung einsetzen. Lösen Sie die Gleichung nach b auf. Anschließend setzen Sie das erhaltene Ergebnis wieder ein, um a zu berechnen.

3.2 Um den Winkel, unter dem die Seile am nördlichen Pylonen aufeinandertreffen, zu berechnen, bestimmen Sie zuerst den spitzen Winkel a, den die beiden Tangenten an die Graphen von f bzw. g im Punkt B bilden. Die Tangentensteigungen m I und m2 erhalten Sie mithilfe der 1. Ableitungen von f bzw. g, die Sie mit der Kettenregel bestimmen. Setzen Sie x = 0 in J'(x) bzw. g'(x) ein und verwenden Sie die Formel tan a

40

= /: 1m1- mz . Da aber der stumpfe Winkel ß gesucht ist, gilt: ß = 180° ·m2

a.

Tipps

4. Mond

3 Straße 1.1 Die Koordinaten des nördlichsten Punktes der Umgehungsstraße erhalten Sie, indem Sie mithilfe der 1. und 2. Ableitung von

f

den Hochpunkt des Graphen von

f

be-

stimmen. Als notwendige Bedingung lösen Sie die Gleichung f ' (x) = 0 mithilfe der

abc-FormeI nach x auf. Setzen Sie die erhaltenen x-Werte in J" (x) ein; falls das Ergebnis kleiner als Null ist, handelt es sich um einen Hochpunkt. Den zugehörigen

y-Wert erhalten Sie, indem Sie den x-Wert in f (x ) einsetzen. 1.2 Die Entfernung d von H zu M erhalten Sie mithilfe der Formel für den Abstand zweier Punkte: d

= / (x2 -

x 1)

2

+ (y2 -y1 )

2

1.3 Bestimmen Sie die Wendestelle mithilfe der 2. und 3. Ableitung von f (x) . Als notwendige Bedingung lösen Sie die Gleichung f " (x) = 0 nach x auf. Den zugehörigen y-Wert erhalten Sie, indem Sie den berechneten x-Wert in f (x) einsetzen. 1.4 Berechnen Sie mithilfe von J' (x) die Steigung mA der Kurve im Punkt A sowie die Steigung mAB der Geraden durch die Punkte A und B mithilfe der Formel m

=

Yz-Yi . x2 - .t 1

Falls mA= mAB mündet die Umgehungsstraße ohne Knick in die Ortsdurchfahrt ein. 2 Die Gleichung der Geraden g durch A und B erhalten Sie mithilfe der Punkt-Steigungsform (PSF) y = m · (x - XQ ) + YQ· Setzen Sie die Koordinaten von A (oder B) und mAB in die PSF ein. Den Flächeninhalt A 1 der Fläche zwischen dem Schaubild von f (x ) und der Geraden AB erhalten Sie mithilfe eines Integrals. Beachten Sie, dass das Schaubild von

J (x) oberhalb der Geraden g verläuft. Verwenden Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Die Teilfläche des Gemeindegebiets erhalten Sie, indem Sie den Flächeninhalt A 2 eines Halbkreises bestimmen. Berechnen Sie die Differenz von A I und A 2 und teilen Sie diese durch A 1, um den gesuchten Anteil zu erhalten.

3 3.1 Um zu zeigen, dass der Fahrer die Windkraftanlage im Punkt B genau in Fahrtrichtung vor sich sieht, stellen Sie die Gleichung der Tangente t im Punkt B auf. Die Steigung m1 in B erhalten Sie, indem Sie den x-Wert von B in f'(x ) einsetzen. Anschließend setzen Sie m1 und die Koordinaten von B in die Tangentengleichung y

= J '(u) · (x- u) + f (u) ein. Prüfen Sie, ob der Punkt P ( L5 j 3) auf der Tangente

liegt, indem Sie seine Koordinaten in die Tangentengleichung einsetzen. Bei einer wahren Aussage liegt P auf t. 3.2 Lösen Sie die Gleichung J' (x)

= mAB mithilfe der abc-Formel nach x auf. Überlegen

Sie, welche Lösung in Frage kommt. Berechnen Sie den zugehörigen y-Wert.

4 Mond 1

1.1 Eine allgemeine Sinusfunktion hat die Form J (x) = a · sin (b • (x - c)) + d. Dabei gibt a d ie Streckung in y-Richtung, b die Streckung/Stauchung in x-Richtung,

41

Tipps

4. Mond

c die Verschiebung in x-Richtung und d die Verschiebung in y-Richtung an. Die Pe2 riode p ergibt sich durch p ---= 1~. Überlegen Sie, was beim vorliegenden Fall zutrifft. Damit oder eventuell mithilfe einer Wertetabelle können Sie die Achsen skalieren. 1.2 Beachten Sie. dass A(t) der beleuchtete Anteil der erdzugewandten Seite des Mondes ist und 0,95 einem Prozentsatz von 95% entspricht. Die Lösungen der Gleichung

A (t) = 0. 95 erhalten Sie durch Substitution und Symmetrieüberlegungen. Sub"itituieren Sie

~ •t 1

--: .: und lösen Sie die Gleichung. Mithilfe des WTR erhalten Sie eine

Lösung .: 1• Beachten Sie. dass der Graph von sin (.:) achsensymmetrisch zu .: verläuft, so dass Sie als zweite Lösung z2

=

+ ( .:1) 1 1

=1

erhalten. Resubstituieren

Sie anschließend. um die t-Werte zu erhalten. 1.3 Die Zunahme des Anteils der Beleuchtung de 0 ist und beachten Sie, dass e- - für t --+ oo gegen Null geht. 3

3. 1 Bestimmen Sie den Grenzwert von B(t ) für t --+ Mit der Nebenbedingung, dass zu Beginn (t

00

und Sie erhalten damit a.

= 0 ) bereits die Hälfte der Einwohner

( 15 000) an diesem Virus erkrankt sind, erhalten Sie b sowie die Funktionsgleichung von B.

43

Tipps

6. App

3.2 Den Zeitpunkt, zu dem 95% aller Einwohner von der Krankheit erfasst sind, erhalten Sie, indem Sie die Gleichung B(t) = 0 , 95 • 30000 durch Logarithmieren nach t auflösen. 4

4.1 Den Mittelwert m(t) der Funktionswerte von f auf dem Intervall [0 : t] erhalten Sie mithilfe eines Integrals. Berechnen Sie mithilfe der 1. und 2. Ableitung von m(t) das Maximum. Als notwendige Bedingung lösen Sie die Gleichung m ' (t ) = 0 nach t auf. Überlegen Sie, welche Lösung in Frage kommt. Setzen Sie den entsprechenden t-Wert in m" (t ) ein. Falls das Ergebnis kleiner als Null ist, handelt es sich um ein Maximum. 4.2 Skizzieren Sie das Dreieck OPQ. Überlegen Sie, welche Bedeutung A(u) für das Dreieck OPQ hat. Beachten Sie, dass mit der 1. und 2. Ableitung einer Funktion Extremwerte bestimmt werden. Überlegen Sie, welcher Art der Extremwert ist.

6

App 1

1.1 Die maximale momentane Änderungsrate erhalten Sie, indem Sie anhand des Graphen von f die Extremstelle ablesen und den zugehörigen y-Wert mithilfe des WTR bestimmen. 1.2 Den Zeitraum, in dem die momentane Änderungsrate größer als 4000 Käufer pro Monat ist, erhalten Sie, indem Sie die Gerade y schneiden und die Schnittstellen bestimmen.

= 4000

mit dem Graphen von f

1.3 Die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate am stärksten abnimmt bzw. zunimmt, erhalten Sie, indem Sie anhand des Graphen von f die Stellen mit maximaler und minimaler Tangentensteigung bestimmen. 2

2.1 Bestimmen Sie die 1. Ableitung von f (t) mithilfe der Produkt- und Kettenregel. Beachten Sie, dass f streng monoton fallend ist, wenn J' (t ) < 0 ist. Bestimmen Sie diejenigen t-Werte, für die dies der Fall ist. Überlegen Sie anhand der Gleichung von

J (t ), ob J(t) negativ werden kann. 2.2 Beachten Sie, dass J (t ) die Änderungsrate der Käufer und nicht die Anzahl der Käufer beschreibt. 3

3.1 Die Gesamtzahl K der Käufer sechs Monate nach Einführung der App erhalten Sie mithilfe eines Integrals. Beachten Sie, dass der Wert dieses Integrals dem Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im angegebenen Intervall entspricht. Durch «Kästchenzählen» können Sie den Flächeninhalt näherungsweise bestimmen. Beachten Sie, dass einem Kästchen 1000 Käufer entsprechen. 3.2 Überlegen Sie, welche Summe mithilfe der gegebenen Integralgleichung berechnet wird und welche Bedeutung das Intervall [t; t + 2] hat.

44

Tipps

7. Stausee

4 Beachten Sie, dass für t -

= der Term a · e -k·t gegen Null geht und bestimmen Sie damit

S. Beachten Sie, dass beim Verkaufsstart noch keine Käufer vorhanden sind. Stellen Sie mithilfe der gegebenen Daten zwei Gleichungen auf und lösen Sie das entstandene Gleichungssystem. 5

5.1 Zur Veranschaulichung der Problemstellung skizzieren Sie den Graphen von g mithilfe einer Wertetabelle und zeichnen die Tangente t an den Graphen von g in einem Punkt B (u I g(u)) durch P(O l -0.5) ein. Die Koordinaten des Berührpunktes B (u I g(u)) erhalten Sie, indem Sie zuerst die Steigung im Punkt B auf zweierlei Arten bestimmen: mithilfe der l. Ableitung von g und mithilfe der Steigung zwischen den zwei Punkten B und P. Durch Gleichsetzen erhalten Sie eine Gleichung, die Sie nach u auflösen können. Alternativ können Sie die Koordinaten von P auch in die Tangentengleichung y

= g' (u) · (x -

u) + g(u) einsetzen und die entstandene Glei-

chung nach u auflösen. Setzen Sie den erhaltenen u-Wert in g(u) ein und bestimmen Sie damit die Koordinaten von B. 5.2 Zur Veranschaulichung der Problemstellung skizzieren Sie den Graphen von g und die Gerade mit der Gleichung y

= 2x -

1. Beachten Sie, dass der Punkt Q (x I g(x))

auf dem Graphen von g, der den kleinsten Abstand zur Geraden mit der Gleichung y

= 2x -

1 besitzt, auf der zu dieser Geraden parallelen Tangente liegen muss. Be-

stimmen Sie damit die Steigung m der Tangente in Q und lösen Sie die Gleichung

g' (x) = m. Überlegen Sie anhand des Graphen von g, welcher Wert in Frage kommt.

7

Stausee l. l Zeichnen Sie den Graphen von z mithilfe einer Wertetabelle oder bestimmen Sie 1 :

die Periode p = sowie die Gleichung der Mittellinie und den Streckfaktor in yRichtung. Beachten Sie, dass der Graph von a eine Parallele zur t-Achse ist. l .2 Die minimale momentane Zuflussrate erhalten Sie, indem Sie das Minimum der Funktion .:(t ) für O ~ t ~ 24 mithilfe des Graphen von .: bestimmen. Beachten Sie die Einheit von z(t ). 1.3 Um anzugeben, in welchem Zeitraum die Wassermenge im Stausee abnimmt, bestimmen Sie zuerst die Schnittstellen der Graphen von z(t ) und a(t ). Überlegen Sie anhand der skizzierten Graphen, welcher Bereich gesucht ist. 1.4 Die maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge erhalten Sie, indem Sie das Maximum der Funktion w(t ) = z(t ) - a(t ) bestimmen. Verwenden Sie dazu die Periode p 2

=

1 :,

die Mittellinie und den Streckfaktor in y-Richtung.

2.1 Bestimmen Sie das Volumen bei t

=

0. Die Wassermenge im Stausee 12 Stunden

nach Beobachtungsbeginn erhalten Sie mithilfe eines Integrals, da die Zuwächse addiert werden. Berücksichtigen Sie die Anfangsbedingung und verwenden Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

45

7. Stausee

Tipps

2.2 Um zu begründen, dass die Wassermenge in jedem 24-Stunden-Zeitraum um 144 000 m zunimmt, betrachten Sie die Funktion w(t) p

=

= z(t ) - a(t).

Beachten Sie die Periode

f: und bestimmen Sie die mittlere momentane Änderungsrate der Wassermenge

2

in jedem 24-Stunden-Zeitraum. Multiplizieren sie diese mit 24 Stunden. 2.3 Berechnen Sie die Zunahme der Wassermenge nach Ablauf von 14 Tagen und bestimmen Sie die durchschnittliche Zunahme der Wassermenge pro Tag und pro Stunde. Überlegen Sie anhand von z(t), wie hoch der durchschnittliche Zufluss pro Stunde ist, um den stündlichen konstanten Abfluss zu bestimmen. 3

3.1 Die Koordinaten des Hochpunkts und des Tiefpunkts des Graphen von f erhalten Sie mithilfe der 1. und 2. Ableitung von f. Als notwendige Bedingung lösen Sie die Gleichung f' (x)

=0

mithilfe der abc-Formel nach x auf. Setzen Sie die erhal-

tenen x-Werte in f"(x ) ein; falls f"(x) falls

f" (x) >

< 0 handelt es sich um einen Hochpunkt,

0 um einen Tiefpunkt. Die zugehörigen y-Werte erhalten Sie, indem

Sie die x-Werte in f(x) einsetzen. Die Gleichung der Geraden g durch den Hochpunkt H und den Tiefpunkt T des Graphen von f erhalten Sie, indem Sie die Steigung m

=

_): - YH

-~T - XH

bestimmen und anschließend die Koordinaten von H und m in die

Punkt-Steigungsform y

= m · (x-xH) + YH einsetzen. Den Schnittpunkt P von g mit

der y-Achse erhalten Sie, indem Sie x

= 0 in die Geradengleichung einsetzen. Den

Schnittpunkt Q von g mit der x-Achse erhalten Sie, indem Sie die Gleichung y

=0

nach x auflösen. Die Längen der Strecken HT und PQ erhalten Sie mithilfe der Formel für den Abstand zweier Punkte d

=

J

2

2 (x2 - x, ) + (y2 - y, ) . Den prozentualen

Anteil der Strecke HT an der Strecke PQ erhalten Sie, indem Sie HT durch PQ teilen und das Ergebnis in Prozent angeben. 3.2 Um zu begründen, dass die Steigung des Graphen von f keine Werte kleiner als - 3 annehmen kann, bestimmen Sie die Lösungen der Ungleichungf' (x )

< - 3. Formen

Sie die Ungleichung so um, dass Null auf einer Seite steht. Überlegen Sie, wie das Schaubild der zugehörigen Funktion h aussieht und bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion mithilfe der abc-Formel. Beachten Sie, ob die x-Werte gesucht sind, für die das Schaubild oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft. Alternativ bestimmen Sie das Minimum der Funktion

f',

welche die Steigung des

Graphen beschreibt, mithilfe der 1. und 2. Ableitung von f '.

3.3 Bestimmen Sie die Schnittstellen des Graphen von f und der Geraden h mit der Gleichung y

= 2 mithilfe der Wertetabelle. Den Flächeninhalt A der Fläche, den der

Graph von f und die Gerade h mit der Gleichung y

=

2 einschließen, erhalten Sie

mithilfe eines Integrals. Beachten Sie, dass der Graph von f oberhalb der Geraden verläuft und verwenden Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

46

3

8. Grippe

Tipps

8

Grippe 1.1 Die höchste Körpertemperatur der Schülerin während des Infektes erhalten Sie, indem Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von f mit der 1. und 2. Ableitung von f berechnen. Als notwendige Bedingung lösen Sie die Gleichung J' (t ) = 0 nach tauf. Setzen Sie den erhaltenen t-Wert in f" (t ) ein. Falls J" (t ) < 0 handelt es sich um einen lokalen Hochpunkt. Beachten Sie, dass keine weiteren Extremstellen vorliegen. Den zugehörigen y-Wert erhalten Sie, indem Sie den erhaltenen t-Wert in

f (t ) einsetzen. 1.2 Die Koordinaten des Wendepunktes W des Graphen von f erhalten Sie mit der 2. Ableitung von f . Als notwendige Bedingung lösen Sie die Gleichung f

11

(t ) = 0 nach

t auf. Beachten Sie, dass .f" beim erhaltenen t-Wert einen Vorzeichenwechsel von nach + hat. Den zugehörigen y-Wert erhalten Sie, indem Sie den erhaltenen t-Wert in f (t ) einsetzen. Beachten Sie, dass bei einem Wendepunkt die Steigung maximal oder minimal ist. 1.3 Zum Skizzieren des Graphen der Funktion d im Intervall [O: 10] erstellen Sie mithilfe des Taschenrechners eine Wertetabelle. Beachten Sie, dass d (t ) = J (t ) - 36, 6 gilt und d somit eine Differenz in Bezug auf die Körpertemperatur angibt.

2

2. 1 Um zu zeigen, dass F eine Stammfunktion von f ist, leiten Sie F mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel ab. Falls F' (t ) -=- f (t ) ist F eine Stammfunktion von f. 2.2 Die durchschnittliche Körpertemperatur T für t C [O: 7] erhalten Sie mithilfe eines

=

_l_ f b f (t )dt. b - a .fa 2.3 Die Temperatur, die zu einem bestimmten Zeitpunkt t und dann genau zwei Tage Integrals unter Verwendung des Taschenrechners: T

später (t + 2) erneut erreicht wird, erhalten Sie, indem Sie die Gleichung

f( t ) = f( t + 2) «von Hand» oder mithilfe des Taschenrechners lösen. Die zugehörige Temperatur T erhalten Sie, indem Sie den erhaltenen t-Wert in f (t ) einsetzen. 3

3. 1 Beschreiben Sie anhand des Graphen von J, in welchem Zeitraum die Niederschlagsrate gleichbleibend hoch ist und wie sie sich anschließend verändert. Bestimmen Sie näherunsweise die Nullstelle von

f . Um die gesamte Niederschlagsmenge M

wäh-

rend des Regens zu bestimmen, verwenden Sie ein Integral, da alle Niederschlagsraten während des Regens summiert werden müssen. 3.2 Bestimmen Sie näherungsweise die Schnittstellen der Graphen von f und g. Beachten Sie, dass bei der schraffierten Fläche, die von den Graphen von f und g eingeschlossen wird, der Graph von f oberhalb des Graphen von g verläuft. Überlegen Sie, welches Integral zur schraffierten Fläche gehört und welche Summe damit berechnet wird. Einen Rechenausdruck, mit dem man berechnen kann, zu welchem Zeitpunkt T alle Pfützen verschwunden sind, erhalten Sie mithilfe von Integralen. Überlegen Sie, wie die einzelnen Abflussmengen berechnet werden können .

47

Das Vektorprodukt

Tipps

Lineare Algebra/ Analytische Geometrie Das Vektorprodukt Wenn man einen Vektor ii sucht, der senkrecht auf zwei gegebenen Vektoren ä und

b steht (der

Normalenvektor), geschieht dies einfach und schnell mit dem Vektorprodukt:

Die Merkhilfe dazu: 1. Beide Vektoren werden je zweimal untereinandergeschrieben, dann werden die erste und die letzte Zeile gestrichen. 2. Anschließend wird «über Kreuz» multipliziert. Dabei erhalten die abwärts gerichteten Pfeile ein positives und die aufwärts gerichteten Pfeile ein negatives Vorzeichen. 3. Die einzelnen Komponenten werden subtrahiert - fertig!

bx by bz bx by bz

tlx

ay az ax ay tlz

a,xby ⇒

az X bb z

Q X X a y

b

X

y

⇒

(A-azby) b az X

-

b ax z

ax by - ay bx

Anmerkung: Der Betrag des senkrecht stehenden Vektors entspricht genau der Flächenmaßzahl des Parallelogramms, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird.

Beispiel: Sind ä

= l 3 2

1 3 2

48

l ) und b ( ~

l

~ ( -~ ) ,

ergibt sich für den gesuchten Vektor:

10. Platte

Tipps

9 Flugzeuge 1

l. 1 Sie erhalten die Koordinaten eines Punktes Q, in dem sich das Flugzeug um 7.01

befindet, indem Sie t = 1 in !1 einsetzen. 1.2 Zum Nachweis des Sinkflugs betrachten Sie die z-Komponente des Richtungsvektors der Flugbahn von !1. 1.3 Die Geschwindigkeit in km/h erhalten Sie, indem Sie den Abstand von P zum berechneten Punkt Q berechnen und durch die benötigte Zeit 6~ Stunde teilen. 1.4 Schneiden Sie f1 mit der x-y-Ebene (z = 0).

2 2.1 Stellen Sie mithilfe von R1 und !1 die Parameterform einer Ebene E auf; die Spannvektoren sind der Richtungsvektor ü I von f1 und der Verbindungsvektor von R I zu P. Prüfen Sie, ob R2 auch auf E liegt, indem Sie den Ortsvektor von R2 in E einsetzen und das entstandene Gleichungssystem lösen. 2.2 Skizzieren Sie die Problemstellung. Das Flugzeug F I entfernt sich von R 1 ab demjenigen Zeitpunkt, an dem der Abstand von R I zu f1 minimal ist. Hierzu stellen Sie eine zu !1 orthogonale Hilfsebene EH auf, die den Punkt R 1 enthält und deren Normalenvektor der Richtungsvektor ü I von f1 ist. Setzen Sie die Koordinaten eines gegebenen Punktes in den Ansatz ax + by + cz =dein und bestimmen Sie so d. Alternativ können Sie die Punkt-Normalenform verwenden. Anschließend schneiden Sie EH mit !1.

3 3. 1 Setzen Sie t = 4 in !1 und h ein und berechnen Sie den Abstand d der beiden zugehörigen Punkte A und B.

3.2 Bestimmen Sie den Abstand d(t) der beiden Positionen Ar und B1 zum Zeitpunkt t, indem Sie den Betrag des Verbindungsvektors berechnen; anschließend lösen Sie die Gleichung d (t) = 10 durch Quadrieren nach tauf.

10 Platte 1 1.1 Verwenden Sie für die Parametergleichung der Ebene E, in der die Platte mit den Eckpunkten A, B und C liegt, beispielsweise den Stützpunkt A und die Spannvektoren ---+ und AC. AB Einen Normalenvektor n von E erhalten Sie mithilfe des Kreuzprodukts (siehe Seite 48) der Spannvektoren AB und AC. Alternativ können Sie n auch mithilfe des Skalarprodukts bestimmen, da n sowohl auf AB als auch auf AC senkrecht steht. Eine Koordinatengleichung von E erhalten Sie, indem Sie die Koordinateneines gegebenen Punktes in den Ansatz ax + by + cz = d einsetzen und d bestimmen. Alternativ verwenden Sie die Punkt-Normalenform: (x- ä) •n = 0.

- - -

-

1.2 Bestimmen Sie die Koordinaten des oberen Endes des Stabes. Den Abstand d des oberen Endes S des Stabes von der Ebene E erhalten Sie mithilfe des Lotfusspunktverfahrens. Dazu stellen Sie eine Lotgerade l auf, die durch S geht und orthogonal zur

49

Tipps

11. Turm

Ebene E ist. Als Richtungsvektor von / wählen Sie den Norrnalenvektor von E. Anschließend berechnen Sie den Schnittpunkt K von l und der Ebene E. Hierzu setzen Sie den allgemeinen Punkt P, von l in die Koordinatengleichung von E ein. Setzen Sie den erhaltenen t-Wert in P, ein. 1.3 Den Abstand d von S zu K erhalten Sie, indem Sie den Betrag des entsprechenden Verbindungsvektors bestimmen. 2

2.1 Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes S des oberen Endes des Stabes. Den Schattenpunkt S · des oberen Endes des Stabes auf der Platte erhalten Sie, indem Sie die Gerade g durch die Punkte S und L aufstellen und mit der Ebene E, in der die Platte liegt, schneiden. Setzen Sie dazu den allgemeinen Punkt P, von g in die Koordinatengleichung von E ein und lösen Sie die Gleichung nach t auf. Anschließend setzen Sie den erhaltenen t-Wert in P, ein. 2.2 Um zu begründen, dass der Schatten vollständig auf der Platte liegt, prüfen Sie, ob das untere Ende des Stabes auf der Platte liegt und anhand von Koordinatenvergleichen, ob der Schattenpunkt S* auf der Platte liegt.

3 Überlegen Sie, in welcher Ebene K sich die Kreisbahn befindet. Bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden s der Ebene K und E, indem Sie das zugehörige Gleichungssystem lösen. Die Koordinaten der beiden möglichen Kol lisionspunkte erhalten Sie, indem Sie den Abstand eines allgemeinen Punktes P, von s zum Mittelpunkt S des Kreises gleichsetzen mit dem Radius r der Kreisbahn. Den Radius r der Kreisbahn erhalten Sie, indem Sie den Abstand von S zu L mithilfe des Betrags des zugehörigen Verbindungsvektors bestimmen. Den Abstand d, eines allgemeinen Punktes P, von s zum Mittelpunkt S des Kreises erhalten Sie ebenfalls mithilfe des Betrags des zugehörigen Verbindungsvektors. Lösen Sie die Gleichung d, = r durch Quadrieren nach t auf. Setzen Sie die erhaltenen t-Werte in P, ein.

11

Turm Aus der Skizze können Sie sehen, dass die horizontalen Kanten AB, DC, EF und HG parallel zur y-Achse und die horizontalen Kanten DA, CB, HE und GF parallel zur x-Achse liegen. Als vertikale Kanten bleiben AE, BF, CG und DH übrig. Die Spitze S liegt 6 m über dem Mittelpunkt des Quadrates EFGH. Für die Berechnungen des Neigungswinkels können Sie entweder den Winkel zwischen zwei Ebenen berechnen oder einfacher die Pyramide in der Spitze parallel zur y-::-Ebene durchschneiden und mit einer geeigneten Skizze den Winkel trigonometrisch berechnen. Für die Berechnung der Dachfläche sind die Dreiecksflächen zu berechnen, die Dreieckshöhe ist aber nicht die Pyramidenhöhe, sondern ergibt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras.

50

12. Pyramide

Tipps

2 Bestimmen Sie zuerst die Koordinaten der Spitze des Mastes und überlegen Sie, wo der Schatten der Spitze auf der Wand liegt. Um die Schattenlänge zu erhalten, müssen Sie noch überlegen, in welchem Punkt der Schatten vom Boden auf die Wand übergeht. 3 Überlegen Sie, wie man den Standort des Kindes erhalten könnte: Entweder Sie schneiden eine Gerade mit einer Ebene oder Sie schneiden zwei Geraden miteinander. Zum Schluss die Entfernung zur Kante nicht vergessen!

12 Pyramide 1

1.1 Die Koordinatengleichung von E erhalten Sie durch Bestimmen der Spannvektoren (Verbindungsvektoren), des Normalenvektors mithilfe des Vektorproduktes (siehe Seite 48) sowie einsetzen in die allgemeine Koordinatenform und Bestimmen von d.

1.2 Zur Prüfung der Rechtwinkligkeit berechnen Sie das Skalarprodukt von je zwei Verbindungsvektoren, zur Prüfung der Gleichschenkligkeit die Länge der Verbindungsvektoren. 1.3 Punkt D erhalten Sie durch Aufstellen einer Vektorkette. 2

2.1 Den Mittelpunkt des Rechtecks erhalten Sie als Mittelpunkt der Strecke AC oder BD. 2.2 Zur Bestimmung des Volumens der Pyramide verwenden Sie die Formel V = ½•G •h. G ist die Grundfläche (Rechtecksfläche), h ist der Abstand von S zu E. Diesen erhalten Sie mit Hilfe des Lotfusspunktverfahrens. Stellen Sie eine Gerade l auf, die durch S geht und orthogonal zu E ist. Dazu stellt man eine Lotgerade l auf, die durch S geht und orthogonal zur Ebene E ist. Als Richtungsvektor von l wählen Sie den Normalenvektor von E. Anschließend berechnen Sie den Schnittpunkt F von l und der Ebene E. Hierzu setzt man den allgemeinen Punkt Pt von l in die Koordinatengleichung von E ein. Setzen Sie den erhaltenen t-Wert in Pt ein. Den Abstand von S zu F erhalten Sie, indem Sie den Betrag des entsprechenden Verbindungsvektors bestimmen. 2.3 Überlegen Sie, wie die Ebene F bezüglich der Ebene E liegt.

3 Stellen Sie eine Gerade auf und schneiden Sie diese mit den Koordinatenebenen.

51

Tipps

13. Haus

13

Haus l

1.1 Die Länge der Dachkante EB erhalten Sie, indem Sie die Länge des Verbindungsvektors von E zu B bestimmen. 1.2 Stellen Sie zuerst eine Parametergleichung und anschließend eine Koordinatengleichung der Ebene EI auf. --t Die Ebene E 1 hat beispielsweise den Stützpunkt B und die Spannvektoren BC und

-

BE. Einen Normalenvektor n von E1 erhalten Sie mithilfe des Vektorprodukts der --t ---t Spannvektoren BC und BE. Setzen Sie den Ortsvektor von Bund den Normalenvektor ii in die allgemeine Koordinatengleichung ein und bestimmen Sie d. Alternativ

b) ·

n= 0 ein. benutzen Sie die Norrnalenform ( i Setzen Sie die Koordinaten von F in die Koordinatengleichung von E 1 ein; bei einer wahren Aussage liegt auch der Punkt F in E1. Den Abstand d des Punktes A von der Ebene E1 erhalten Sie, indem Sie die Gleichung einer Geraden l aufstellen, die durch A geht und als Richtungsvektor den Normalenvektor ii von E I hat. Den Lotfußpunkt L erhalten Sie, indem Sie l mit E 1 schneiden. Setzen Sie den allgemeinen Punkt Pr von / in die Koordinatenform von E 1 ein und lösen Sie die Gleichung nach tauf. Setzen Sie den erhaltenen t-Wert in Pr ein. Den Abstand d von A zu L erhalten Sie, indem Sie die Länge des entsprechenden Verbindungsvektors bestimmen.

ß, den die Kanten -; --+ BC-BE Formel cos ß = l~l l--+I • BC · BE

1.3 Den Winkel

BC und BE einschließen, erhalten Sie mithilfe der

1.4 Um zu zeigen, dass es sich bei der Dachfläche um ein achsensymmetrisches Trapez handelt, weisen Sie nach, dass die Kanten BC und EF parallel sind, d.h. dass die Vektoren BC und EF ein Vielfaches voneinander sind, und dass der Winkel y, den die Kanten CB und CF einschließen, gleich groß wie der Winkel ß ist. h, wobei Den Flächeninhalt A des Trapezes erhalten Sie mit der Formel A = --t

-

aic•

a

=

BC und c

= EF

die beiden parallelen Seiten des Trapezes sind. Die Höhe h

;B.

des Trapezes erhalten Sie mithilfe des Sinus-Verhältnisses sin ß = Alternativ erhalten Sie die Höhe h des Trapezes, indem Sie den Abstand des Mittelpunktes MEF der Kante EF zum Mittelpunkt Msc der Kante BC bestimmen.

2 2.1 Überlegen Sie, in welcher Richtung der Dachfirst des Anbaus verläuft. Die Koordinaten des Punktes R erhalten Sie, indem Sie die Gerade g, die durch den Punkt W geht und als Richtungsvektor die Richtung des Dachfirsts des Anbaus hat, mit der Ebene E1 schneiden. Setzen Sie dazu einen allgemeinen Punkt P1 von g in die Koordinatengleichung von E1 ein. 2.2 Die Koordinaten des Punktes Q erhalten Sie mithilfe des Strahlensatzes sowie einer Vektorkette.

52

Tipps

15. Gebäude

14 Glas

- -

1 Die Ebene E hat beispielsweise den Stützpunkt A und die Spannvektoren AB und AC. Einen Normalenvektor n von E erhalten Sie mithilfe des Vektorprodukts (siehe Seite 48) der beiden Spannvektoren. Setzen Sie den Ortsvektor von A und den Normalenvektor n in die allgemeine Koordinatenform ein und bestimmen Sie d. Alternativ setzen Sie in die Normalenform (i-ä) •n= 0 ein. 2

2. 1 Den Schnittwinkel a zwischen der Ebene E und der Bodenebene, die parallel zur Dabei ist n em x 1xz-Ebene ist, erhalten Sie mithilfe der Formel cos a = fl!\) ·~1 .. I 112 Normalenvektor der Ebene E und

1

n2 ein Normalenvektor der Bodenebene.

2.2 Den Abstand d des Punktes S von der Ebene E erhalten Sie, indem Sie die Gleichung einer Geraden/ aufstellen, die durch S geht und als Richtungsvektor den Normalenvektor von E hat. Den Lotfußpunkt M erhalten Sie, indem Sie l mit E schneiden. Setzen Sie den allgemeinen Punkt P, von / in die Koordinatenform von E ein und lösen Sie die Gleichung nach tauf. Setzen Sie den erhaltenen !-Wert in P, ein. Den Abstand d von S zu M erhalten Sie, indem Sie die Länge des entsprechenden Verbindungsvektors bestimmen. 3

3. 1 Die Koordinaten des Lotfusspunktes M des Lots von S auf die Ebene E wurden in Teilaufgabe a) berechnet. Um zu zeigen, dass M der Mittelpunkt des Glasrandkreises ist, bestimmen Sie die Abstände von M zu A, B und C. Hierzu berechnen Sie die Beträge der entsprechenden Verbindungsvektoren. Den Radius r des Glasrandkreises erhalten Sie beispielsweise als Abstand von M zu A. 3.2 Die Koordinaten des Fußpunktes F des 1 m langen Glasmodellstiels, der in Richtung der Verlängerung der Strecke MS verläuft, erhalten Sie, indem Sie eine Vektorkette ---t

aufstellen. Hierzu normieren Sie den Vektor MS auf Länge 1, indem Sie ihn durch seinen Betrag teilen .

15

Gebäude 1

1.1 Skizzieren Sie das Parallelogramm ABCD mit den entsprechenden Innenwinkeln. Um zu zeigen, dass die Bodenfläche ABCD des Gebäudes ein Parallelogramm ist, be-

- - --

stimmen Sie die Verbindungsvektoren der Eckpunkte. Falls AB = DC und BC ist das Viereck ABCD ein Parallelogramm. Den Innenwinkel a des Parallelogramms erhalten Sie mit der Formel cos a für den Winkel zwischen zwei Vektoren.

=

= AD

~:ffo

1

53

1

Tipps

15. Gebäude

Beachten Sie, dass aufgrund der Symmetrie des Parallelogramms gilt: y

1.2 2

=a

ß = 8. Verwenden Sie die Winkelsumme im Viereck: a + ß+ r + 8 = 360°. Den Inhalt Ader Bodenfläche erhalten Sie mit dem Vektorprodukt: A = JAB x

-

und

ÄD,.

-

2.1 Die Ebene E hat beispielsweise den Stützpunkt E und die Spannvektoren EF und EG.

-

-

Einen Norrnalenvektor n von E erhalten Sie mithilfe des Vektorprodukts (siehe Seite 48) der Spannvektoren EF und EG. Setzen Sie den Ortsvektor von E und den Normalenvektor n in die allgemeine Koordinatenform ein und bestimen Sied. Alternativ benutzen Sie die Norrnalenform (i -

e) ·n = 0.

2.2 Skizzieren Sie das Rechteck EFGH mit rechten Winkeln. Um nachzuweisen, dass

-

-

die Dachfläche EFGH ein Rechteck ist, bestimmen Sie die Verbindungsvektoren der Eckpunkte und zeigen mithilfe des Skalarprodukts zweier Vektoren, z.B. EF und EH, dass ein rechter Winkel vorhanden ist. Dies ist der Fall, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren Null ergibt. 3

3.1 Den Punkt Q der Ebene E 1, der den kürzesten Abstand zur Spitze S des Stabes hat,

erhalten Sie, indem Sie die Gleichung einer Lotgeraden / aufste11en, die durch S geht und orthogonal zu E1 ist. Als Richtungsvektor von / verwenden Sie den Norrnalenvektor von E 1• Anschließend schneiden Sie/ mit E 1• Dazu setzen Sie den allgemeinen Punkt P1 von/ in die Koordinatenform von E1 ein. Den erhaltenen t-Wert setzen Sie schließlich in P1 ein. Den Abstand d von S zu E1 erhalten Sie, indem Sie den Betrag des Verbindungsvektors von Q zu S berechnen. 3.2 Wenn der Punkt Q innerhalb des Rechtecks EFGH liegt, muss folgende Bedingung ---t = OE gelten: OQ + s · EF + t · EH mit O < s < 1 und O < t < 1. Stellen Sie das zugehörige Gleichungssystem auf und bestimmen Sie die Parameter s und t.

54

16. Zugverspätung

Tipps

Stochastik 16

Zugverspätung 1

1.1 Bezeichnen Sie mit A: Zug fährt nach A, mit A: Zug fährt nach B, mit V: Zug hat Verspätung und mit V: Zug ist pünktlich. Die vier Pfadwahrscheinlichkeiten erhalten Sie mithilfe der 1. Pfadregel (Produktregel). 1.2 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein aus den pünktlichen Zügen zufällig auszuwählender

Zug die Stadt A als Ziel hat, erhalten Sie mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit: - P(A v) P(Anv) Py(A) - P(v) - P(Anv)+P(Anv). 2

2.1 Legen Sie X als binomialverteilte Zufallsvariable für die Anzahl der Verspätungen

unter 100 Zügen fest und bestimmen Sie die Parametern und p. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 Zügen genau 20 Züge Verspätung haben, erhalten Sie mithilfe der Binomialverteilung unter Verwendung des Taschenrechners. 2.2 Legen Sie Y als binomialverteilte Zufallsvariable für die Anzahl der Verspätungen unter I 0 Zügen fest und bestimmen Sie die Parameter n und p. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 10 Zügen mehr als 2 Züge Verspätung haben, erhalten Sie mithilfe der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses; verwenden Sie die kumulierte Binomialverteilung und den Taschenrechner.

3

3.1 Formulieren Sie die Verneinung der Behauptung der Bahngesellschaft als Nullhypothese Ho: p ~ ... und bestimmen Sie die zugehörige Alternativhypothese H 1 : p < .... Legen Sie X als binomialverteilte Zufallsvariable für die Anzahl der verspäteten Züge fest, und bestimmen Sie die zugehörigen Parametern und p. Beachten Sie, dass es sich wegen H 1: p < ... um einen linksseitigen Test mit Signifikanzniveau a = 0 ,5% handelt. Bestimmen Sie ein maximales k E IN und damit einen Ablehnungsbereich A= {0 . ... . k } der Nullhypothese so, dass gilt: P(X E A ) ~ a bzw. P (X ~ k) ~ 0.005. Verwenden Sie hierzu die kumulierte Binomialverteilung und den Taschenrechner. 3.2 Ein Fehler 2. Art bedeutet, dass die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.

3.3 Den Fehler 2. Art können Sie bestimmen, indem Sie die Wahrscheinlichkeit des zuvor erhaltenen Annahmebereichs A berechnen. Legen Sie Y als binomialverteilte Zufallsvariable für die Anzahl der verspäteten Züge fest und bestimmen Sie die Parametern und p. Berechnen Sie P (Y E A) mithi lfe der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung und des Taschenrechners.

55

Tipps

18. Tischtennis

17

Handys 1 Überlegen Sie, wie viele Ausfälle es bei der Ziehung eines Handys gibt, wie oft dasselbe Experiment gemacht wird und welche Wahrscheinlichkeiten auftreten. Legen Sie die Zufallsvariable X für die Anzahl der fehlerhaften Handys fest. Mithilfe der kumulierten Binomialverteilung und des Taschenrechners können Sie die Wahrscheinlichkeiten P(X ~ k) für n = 100 und p = 0, 1 bestimmen. 2 Nehmen Sie an, dass n Handys entnommen werden. Rechnen Sie mit dem Gegenereignis und stellen Sie eine Ungleichung auf. Lösen Sie diese durch Ausprobieren mithilfe der Binomialverteilung des Taschenrechners.

3 3.1 Verwenden Sie F für «fehlerhaft» und A für «ausgesondert». Bestimmen Sie aus den gegebenen Daten die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten, auch für die Schnittmengen. 3.2 Anschließend tragen Sie diese in eine Vierfeldertafel ein und lesen hieraus die gesuchte Wahrscheinlichkeit ab. 4 Stellen Sie zunächst die Nullhypothese Ho: p ~ ... auf und bestimmen Sie die zugehöri-

ge Alternativhypothese H 1 : p < .... Legen Sie X als binomialverteilte Zufallsvariable für die Anzahl der fehlerhaften Handys fest und bestimmen Sie die zugehörigen Parameter n und p. Beachten Sie, dass es sich wegen H1: p > ... um einen rechtsseitigen Test mit Signifikanzniveau a = 0,5% handelt. Bestimmen Sie ein minimales k E IN und damit einen Ablehnungsbereich A = {k , .... 100} der Nullhypothese so, dass gilt: P (X E A) ~ a bzw. P(X ~ k) ~ 0. 05. Verwenden Sie hierzu die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses und die kumulierte Binomialverteilung unter Verwendung des Taschenrechners. Zum Schluss prüfen Sie, in welchen Bereich die konkret durchgeführte Stichprobe fällt.

18 Tischtennis 1.1 Bezeichnen Sie mit V das Ereignis «Ball hat starke Verformung» und mit N das Ereignis «Ball hat Nahtfehler». Anhand der gegebenen Daten können Sie folgende Wahrscheinlichkeiten bestimmen: P(V) und P (v) = l - P (V), P (N) und P (N) = 1 - P (N) sowie P(V n N). Vervollständigen Sie die Vierfeldertafel durch Summenund Differenzenbildung. Um zu zeigen, dass I O% der Trainingsbälle völlig unbrauchbar sind, berechnen Sie P (V U N) = P(V) + P (N) - P(V n N) bzw. P(V u N) = P (V n N) + p (v n N) + p (N n v) . 1.2 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig zu entnehmender Tischtennisball mit Naht-

fehlem auch Verformungen hat, erhalten Sie mithilfe der bedingten Wahrscheinlich.

ke1t: 56

PN

(

V

)

=

P(Nn V) P(N) .

Tipps

19. Bildschirm

2

2.1 Legen Sie X als binomialverteilte Zufallsvariable für die Anzahl der völlig unbrauchbaren Bälle unter 100 Bällen fest und bestimmen Sie die Parametern und p. Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Großpackung zu 100 Stück mehr als 11, aber höchstens 14 völlig unbrauchbare Bälle zu finden sind, erhalten Sie mithilfe der kumulierten Binomialverteilung unter Verwendung des Taschenrechners. 2.2 Legen Sie Z als binomialverteilte Zufallsvariable für die Anzahl der völlig unbrauchbaren Bälle untern Bällen fest und bestimmen Sie den Parameter p. Stellen Sie eine Ungleichung auf, verwenden Sie die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses und lösen Sie die Ungleichung durch Ausprobieren mit der Binomialverteilung des Taschenrechners.

3 Legen Sie X als binomialverteilte Zufallsvariable für die Anzahl der einwandfreien Turnierbälle unter 1000 Turnierbällen fest und bestimmen Sie die Parameter p und n. Beachten Sie, dass gilt: P(X ~ k) = 1 - P(X ~ k - 1) und verwenden Sie die kumulierte Binomialverteilung sowie den Taschenrechner.

19 Bildschirm 1 Legen Sie X als binomialverteilte Zufallsgröße für die Anzahl der fehlerhaften Bildschirme mit den Parametern n und p fest. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A erhalten Sie mit Hilfe der kumulierten Binomialverteilung. Legen Sie Y als binomialverteilte Zufallsgröße für die Anzahl der fehlerhaften Bildschirme mit den Parametern n und p fest. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B erhalten Sie ebenfalls mit Hilfe der kumulierten Binomialverteilung. Legen Sie Z als binomialverteilte Zufallsgröße für die Anzahl der fehlerhaften Bildschirme mit den Parametern n und p fest. Bestimmen Sie den Erwartungswert von Z durch E(Z ) = n • p. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C erhalten Sie mit Hilfe der Binomialverteilung. 2

2.1 Bezeichnen Sie mit D: Das Display ist defekt und mit N: Das Netzteil ist defekt und bestimmen Sie anhand der gegebenen Angaben P(D), P (D n N) und P (D n N). Tragen Sie diese Werte in eine Vierfeldertafel ein und ergänzen Sie diese durch Differenzen- und Summenbildung. 2.2 Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass entweder (nur) das Display oder (nur) das Netzteil defekt ist, erhalten Sie mit Hilfe der Vierfeldertafel: P (D n N) + P (D n N) . Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bildschirm mit einem defekten Netzteil ein nicht-defektes Display hat, erhalten Sie mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit: p ID) _ P(Nni5) N \ .__, -

P(N)

·

2.3 Um zu untersuchen, ob die beiden betrachteten Defekte unabhängig voneinander auftreten, vergleichen Sie P(D n N) mit P(D) • P (N). Falls P(D n N) -/= P(D) • P(N) sind die beiden Defekte nicht unabhängig voneinander. 57

Tipps

20. Unfallstatistik

3

3.1 Formulieren Sie die Verneinung zur Nullhypothese Ho: p > ... und bestimmen Sie die zugehörige Alternativhypothese H 1 : p ~ .... Legen Sie X als binomialverteilte Zufallsvariable für die Anzahl der defekten Bildschirme mit den Parametern n und p fest. Bestimmen Sie den Erwartungswert von X durch E(X) = n · p und beachten Sie, dass die Nullhypothese verworfen wird, wenn bei den 180 Bildschirmen deutlich weniger als die erwarteten Bildschirme defekt sind. Beachten Sie, dass es sich wegen H 1 : p < ... um einen linksseitigen Test mit Signifikanzniveau a = 5% handelt. Bestimmen Sie ein maximales k E IN und damit einen Ablehnungsbereich A = {0 ... .. k} der Nullhypothese so, dass gilt: P(A) ~ a bzw. P(X ~ k) ~ 0. 05. Verwenden Sie die kumulierte Binomialverteilung. Prüfen Sie, ob der Wert 27 im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt. 3.2 Überlegen Sie, welche Bedeutung das Signifikanzniveau hat.

4 Bezeichnen Sie mit B: Der Bildschirm ist fehlerhaft und mit F: Der Bildschirm wird als fehlerfrei eingestuft. Bestimmen Sie anhand der gegebenen Daten P(B) und daraus P (B), P8 (F) und P 8 (F). Zeichnen Sie das zugehörige Baumdiagramm. Um den Wert von x so zu bestimmen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein als fehlerfrei eingestufter Bildschirm fehlerhaft ist, höchstens 5% beträgt, stellen Sie eine Ungleichung auf und lösen diese mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit und der Pfadregeln nach x auf.

20

Unfallstatistik l

1.1 Zur Erstellung der Vierfeldertafel bestimmen Sie anhand der gegebenen Daten P (G) und P ( G)

=

1 - P(G) sowie P(A) und P (A)

mithilfe von Po (A)

=

P~~G~)

=

l - P (A). Berechnen Sie Po(A) und

erhalten Sie P (G n A).

1.2 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein von einem/einer zufällig auszuwählenden PKWFahrer/ PKW-Fahrerin verursachter Unfall eine nicht angepa5.ste Geschwindigkeit als Ursache hatte, erhalten Sie mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit: PA (G)

=

P(An G ) P(A) .

2

2.1 Die Anzahl M der Männer, die 2009 wegen Alkoholvergehen im Straßenverkehr verurteilt wurden, erhalten Sie durch Multiplikation der Gesamtzahl an Straftaten mit den gegebenen Prozentsätzen. 2.2 Legen Sie X als binomialverteilte Zufallsvariable für die Anzahl der Männer unter den wegen Alkoholdelikten verurteilten 50 Personen fest und bestimmen Sie die zugehörigen Parameter. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 50 zufällig auszuwählenden Personen, die wegen Alkoholvergehen im Straßenverkehr verurteilt wurden, genau 43 Männer sind, erhalten Sie mithilfe der Binomialverteilung unter Verwendung des Taschenrechners.

58

20. Unfallstatistik

Tipps

2 .3 Legen Sie Y als binomialverteilte Zufallsvariable für die Anzahl der Männer unter den wegen Alkoholdelikten verurteilten 500 Personen fest und bestimmen Sie die zugehörigen Parameter. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 500 zufällig auszuwählenden Personen, die wegen Alkoholvergehen im Straßenverkehr verurteilt wurden, mindestens 420 Männer sind, erhalten Sie mit Hilfe der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses und der kumulierten Binomialverteilung unter Verwendung des Taschenrechners. 2.4 Um zu bestimmen, wie viele Fälle von Verurteilungen aufgrund von Alkoholdelikten im Straßenverkehr man mindestens auswählen müsste, um mit einer Wahrscheinlichkeit von über 95 % wenigstens eine Frau zu finden , legen Sie Z als binomialverteilte Zufallsvariable für die Anzahl der Frauen unter n Personen, die aufgrund von Alkoholdelikten verurteilt wurden, fest und bestimmen Sie den zugehörigen Parameter p. Lösen Sie die Ungleichung P(Z ~ 1)

> 0 , 95 mithilfe der Wahrscheinlichkeit des

Gegenereignisses und der Binomialverteilung durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner. 3 Formulieren Sie die Verneinung der Behauptung der Agentur als Nullhypothese Ho: p und bestimmen Sie die zugehörige Alternativhypothese H 1 : p

~

.. .

< ....

Legen Sie X als binomialverteilte Zufallsvariable für die Anzahl der Unfälle mit Personenschaden, bei denen Alkoholeinfluss die Unfallursache war, fest, und bestimmen Sie die zugehörigen Parameter. Berechnen Sie den zugehörigen Erwartungswert von X durch µ dass es sich wegen H1: p

= n • p.

Beachten Sie,

< ... um einen linksseitigen Test mit Signifikanzniveau a = l %

handelt. Bestimmen Sie ein maximales k E IN und damit einen Ablehnungsbereich A {0, ... ,k} der Nullhypothese so, dass gilt: P(A) ~

a

=

bzw. P (X ~ k) ~ 0,01. Verwenden

Sie die kumulierte Binomialverteilung. 4 Bezeichnen Sie mit J das Ereignis «Person ist jung (höchstens 25 Jahre alt)», mit

J das

Ereignis «Person ist mindestens 25 Jahr alt», mit K das Ereignis «Person hat von der Kampagne gehört» und mit K das Ereignis «Person hat nicht von der Kampagne gehört». Bestimmen Sie anhand der gegebenen Daten folgende Wahrscheinlichkeiten: P (K n J) , PK(I) und PK (J ). Mithilfe von PK (J)

=

P~~~jl erhalten Sie P(K) und damit P (K).

Bestimmen Sie schließlich PK(J) und damit PK(J) und erstellen Sie ein Baumdiagramm. Um zu zeigen, dass drei Viertel der befragten Personen dieser Umfrage höchstens 25 Jahre alt waren, bestimmen Sie mithilfe der Pfadregeln die Wahrscheinlichkeit der zugehörigen Ereignisse P (J)

= P (K n J ) + P (K n J).

59

Lösungen

1. Fluss

Lösungen - Analysis 1 Fluss 2 3 Es ist f (x) = 0, 05 · x - 0 , 6 -x + 1, 35 · x; x E [ 0; 10] und g (x)

=~

- &

+ 2 ; x E [ 0; 10 ].

1.1 Die Nullstellen des Graphen von f erhält man durch Lösen der Gleichung f (x)

= 0. Dies

führt zu: 2 3 0 05 · x - 0 6 · x + 1 35 ·X = 0

'

'

'

Mithilfe des Taschenrechners erhält man die Lösungen x 1 = 0, x2

lilfalil ~~ lil~:

Somit hat der Graph von f die Nullstellen

frv.tv/cb

x,

= 3 und x3 = 9. = 0, x 2 = 3 und x3 = 9.

Zur Bestimmung der lokalen Extrempunkte des Graphen von f verwendet man die 1. und 2. Ableitung von f: 2

J' (x) = 0, 15 •x - 1, 2 · x + l , 35 J" (x ) = 0, 3 •x- l , 2 Als notwendige Bedingung löst man die Gleichung J' (x) = 0 nach x auf. Aus 0 , 15 -x 2 - 1, 2 · x+ 1, 35 = 0 erhält man mit dem Taschenrechner die Lösungen x 1 ~

~1!

lil

:

6, 65 undx2 ~ 1, 35. Setzt man x1 ~ 6, 65 und x2 ~ 1, 35 in f" (x) ein, ergibt sich:

frv.tv/ca

!"(6,65 ) = 0 ,3 · 6 , 65 - 1, 2 ~ 0, 80 > 0 J" (l , 35)

⇒ lokaler Tiefpunkt

= 0 , 3 • 1, 35-1 , 2 ~ -0, 80 < 0

⇒ lokaler Hochpunkt

Die zugehörigen y-Werte erhält man, indem man die x-Werte in f (x) einsetzt: 2 3 Yl = f (6,65) = 0, 05 · 6, 65 - 0 ,6 · 6, 65 + 1, 35 -6,65 ~ -2, 85 2 3 Y2 = f (l , 35) = 0, 05 · 1, 35 - 0 , 6 · 1, 35 + 1, 35 · 1, 35 ~ 0 , 85 Damit haben die lokalen Extrempunkte die Koordinaten T (6, 65 1 -2, 85) und H ( l ,35 I 0, 85). Die Randwerte des Graphen von f im Intervall [O; 10 ] erhält man, indem man xo = 0 und x1 = 10 in f(x) einsetzt: 3 2 f (0) = 0 , 05 · 0 - 0 , 6 · 0 + 1, 35 · 0 = 0 3 2 f ( 10) = 0 , 05 · 10 - 0 , 6 · 10 + 1, 35 · 10 = 3, 5 Somit ist der Punkt P ( 10 1 3, 5) der absolute Hochpunkt des Graphen von f im Intervall

[O; 10].

60

1. Fluss

Lösungen

Der lokale Tiefpunkt T (6, 65 1 - 2, 85) ist gleichzeitig der absolute Tiefpunkt des Graphen von f im Intervall [0; 10]. Den Wendepunkt des Graphen von f erhält man mit der 2. und 3. Ableitung:

J"(x) = 0,3-x-l , 2 J"'(x)

= 0, 3

Als notwendige Bedingung löst man die Gleichung f"(x) = 0 nach x auf. Dies führt zu 0, 3 •x - 1, 2 = 0 :::::} x = 4. Setzt man x = 4 in/"' (x) ein, ergibt sich: /"'(4) = 0,3 # 0 :::::} Wendepunkt Den zugehörigen y-Wert erhält man, indem man x = 4 in f (x) einsetzt: 3

y = /(4) = 0,05 -4 - 0,6-4

2

+ 1, 35-4 =

- 1

Somit hat der Wendepunkt des Graphen von f die Koordinaten W (4 1 - 1).

~~ ... [!] -

1.2 Mithilfe der angegebenen Punkte (und ggf. einer Wertetabelle) kann man den Graphen von f in das Koordinatensystem zeichen:

~

l!l. ~ frv.tv/cf

y 12

10

8

6

4

2

+---------,----

X

12

-2

-4

61

Lösungen

1. Fluss

2.1 Um die Parameter a und b der Funktion h(x)

=

e

0

x

bestimmen, dass das Überlaufgebiet an den Stellen xo

+b; x E [0; 10], a , b E IR so zu

= 0 und x 1 =

10 mit dem Nordufer

des Flusses zusammentrifft, stellt man ein Gleichungssystem auf. Da die y-Werte von g und h an diesen Stellen übereinstimmen sollen, gilt:

h(0) h(IO)

I II Dies führt zu

I

ea·O

II

ea· IO

bzw.

I

1

II

elOa

g(0) g(lO)

+ +

b

e0- 8

b

e!0- 8

+ +

b

e-8

b

e2

+ + + +

2 2 2 2

Aus Gleichung I ergibt sich: b = e- 8 + 1 ~ 1, 00. Setzt man b ~ 1, 00 in Gleichung II ein, ergibt sich: e IOa

+ 1 = e2 + 2 e lOa = e2 + 1 2 1Oa = ln ( e + 1) 2 ln (e + 1) a = -----'-----'- ~ 0 10

Damit hat h die Gleichung h (x)

=

0 21 e, x

'

21

+ 1.

X

2

4

6

8

10

12

(Die Zeichnung des Funktionsgraphen von h ist nicht Teil der Aufgabenstellung)

62

1. Fluss

Lösungen

2.2 Die größte Ausdehnung des Überlaufgebiets in Nord-Süd-Richtung erhält man, indem man das Maximum einer Funktion d berechnet, welche den Abstand der Graphen von g und h für [O; 1O] beschreibt:

d(x) = h(x) _ g(x) =

+ 1_

e0,2lx

(ex- 8 +

2) =

e0,2l x _

~ - 8_ l

Zur Bestimmung des Maximums von d verwendet man die 1. und 2. Ableitung von d, die man mit der Kettenregel erhält: d' (x)

= e0,21x . 0 , 21 -

d"(x) = 0 21

'

ex- 8

21 0 ·e • x ·0

'

21 -

= 0, 21 . e0,2 1x 3 ex-

~0

'

~ -8

21 0 04 • e • x - ~ -

8

Als notwendige Bedingung löst man die Gleichung d '(x) = 0 nach x auf: 0 2l · e0,21x _ ~-8= O

'

O 21 . e0,2 l x )

= ex- 8

ln (O, 21)+O,21 ·x =x-8 ln(O, 21) + 8 = x- 0, 2lx ln(O, 21) + 8 = 0 , 79x ln (O, 21)+8 - -- - - = x 0 ,79 X~

8, 15

Setzt man x ~ 8, 15 in d" (x) ein, ergibt sich: 21 1 5 15 3 0 8 8 d"(8 15) ~ 0 04 • e , · · - e • - ~ - 0 94 < 0

'

'

'

=}

Maximum

Wegen d(O) = 0 und d(lO) = 0 (die Graphen von h und g haben bei xo = 0 und x 1 = 10 die gleichen y-Werte) handelt es sich um ein absolutes Maximum. Den zugehörigen Funktionswert erhält man, indem man x ~ 8, 15 in d(x) einsetzt: d(8 , 15) = eo,21-8,IS - e8,15- 8 - 1 ~ 3, 38 Da einer Längeneinheit 10 m in der Wirklichkeit entspricht, hat das Überlaufgebiet eine maximale Ausdehnung von etwa 33, 8 m. 3 Den Flächeninhalt A der Wasseroberfläche im Intervall [ 3; 9] erhält man mithilfe eines Integrals. Da der Graph von g oberhalb des Graphen von f verläuft, gilt unter Verwendung des Taschenrechners: ~!~

1

~

9

A

=

(g(x) - f(x))dx

frv.tv/ce

63

Lösungen

1. Fluss

= = ~

!/ !/

(c-S +

2 - (0,05 -x

(c-S +

3

3

-

0, 6-.x2 + 1,35 ·x)) dx 2

2 - 0,05 •X +0,6-x

-

1, 35 ·x) dx

25, 51

Da einer Längeneinheit 10 min der Wirklichkeit entspricht, entspricht einer Flächeneinheit 100m2 . Die Wasseroberfläche hat somit einen Flächeninhalt von etwa 2551 m 2 . Die von den Algen bedeckte Wasseroberfläche kann durch eine Funktion B mit 2 B(t) = a • ek·t (t in Wochen seit Beginn der Beobachtung, B(t) in m ) beschrieben werden. 2 Da zu Beginn 150m von Algen bedeckt sind, gilt: B(0) = 150. Da sich die von Algen bedeckte Wasserfläche wöchentlich um 30% vergrößert, gilt: B(l) = 150+0,30 - 150= 195 Aus diesen beiden Bedingungen ergibt sich folgendes Gleichungssystem: I II

B(0) B(l)

150 195

I II

a ·ek·0 a . ek·I

150 195

bzw.

Aus Gleichung I erhält man: a = 150. Setzt man a = 150 in Gleichung II ein, ergibt sich: 150 •ek = 195 :::} k = ln ( 6 1 Damit erhält man: B(t) = 150-e0,2 · •

:;g) ~ 0, 26.

Um den Zeitpunkt, zu dem 80% der Wasseroberfläche im Intervall [3; 9] von Algen bedeckt ist, zu bestimmen, löst man die Gleichung B(t) = 0, 80 · A. Dies führt zu: 0 26 1 150 •e , · 0 26-t

e '

= 0 80 · 2551

'

2040' 8 =--150

In

(2040,8)

150 t =-~--'---

0,26

t

~

10,04

Nach etwa 10 Wochen ist 80% der Wasseroberfläche im Intervall [3; 9] von Algen bedeckt. Anmerkung: Rechnet man anstelle von 0,26 mit dem exakten Ausdruck ln weiter, ergibt sich als Lösung t ~ 9, 95.

C;ö)

64

Lösungen

2

2. Brücke

Brücke 1.1 Als Ansatz für eine ganzrationale Funktion f dritten Grades verwendet man 3 2 2 f (x ) = ax + bx +ex+ d mit J' (x) = 3ax + 2bx + c. Da der Punkt B (0 10, 9) auf dem Graph von fliegt, gilt: / (0) = 0, 9. Da der Punkt C(2 10, 872) auf dem Graph von fliegt, gilt: /(2) = 0 , 872. Da der Punkt O (6 l l , 104) auf dem Graph von fliegt, gilt: / (6) = 1, 104. Da die Steigung im Punkt C 1, 8 % beträgt, gilt: f' (2) = 0, 018. Damit erhält man folgendes lineares Gleichungssystem:

Setzt man d

I

a-0 3

II

3 a-2

III

a-6 3

IV

3a· 22

+ + + +

2

+ + + +

b ·0 2 b -2 b-62 2b · 2

C·0 c-2 c-6

+ + +

0,9 0,872 1, 104 0,018

d d d

C

= 0, 9 in Gleichung II und III ein, ergibt sich: I

II III IV

0,9 0,872 1, 104 0,018

d

8a 216a 12a

+ + +

+ + +

4b 36b 4b

2c 6c C

+ +

+ + +

2c 6c

0 ,9 0 ,9

bzw.

II III IV

8a 216a 12a

+ + +

4b 36b 4b

C

- 0,028 0,204 0,018

Mithilfe des Taschenrechners erhält man als Lösung dieses Gleichungssystems:

a = - 0,001 , b

~[zl

00~~

= 0,02 und c = - 0,05.

frv.tv/cd

Damit hat die Funktion f folgende Funktionsgleichung:

f (x)

3

2

= - 0,00lx + 0 ,02x - 0 ,05x+ 0 ,9

1.2 Die minimale Höhe des Seiles über der Erdbodenlinie zwischen den Pylonen erhält man, indem man die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von f berechnet. Die 1. und 2. Ableitung von f erhält man mit der Potenzregel: J' (x)

2

Die notwendige Bedingung f' (x)

= 0 führt zu:

= - 0 ,003x + 0,04x- 0,05 J" (x) = - 0,006x+ 0,04

2

- 0, 003x

+ 0, 04x -

0, 05 = 0 65

Lösungen

2. Brücke

~~

I!]

~

Mithilfe des Taschenrechners erhält man die Lösungen x1 Wegen 0 ~ x ~ 6 (zwischen den Pylonen) kommt nur X I Setzt man XI ~ 1,40 in J" (x) ein, ergibt sich:

:

frv.tv/ca

~

J" (1, 40) = -0, 006 · 1, 40 + 0 , 04 = 0, 0316 > 0 Den zugehörigen y-Wert erhält man, indem man X I YI

3

~

= f ( l ,40) = - 0,001 · l ,40 + 0 ,02- 1,40

2

1,40 und x 2 ~ 11 , 94.

1,40 als Lösung in Frage.

⇒ lokaler Tiefpunkt

1, 40 in J (x) einsetzt: -

0 ,05 · 1,40 + 0 , 9 ~ 0, 866

⇒ T ( l ,40 10 866)

Wegen J(0)

= 0, 9 und J(6) = l , 104 handelt es sich bei J(l ,40) ~ 0 , 866 um ein absolutes

Minimum. Somit beträgt die minimale Höhe des Seils etwa 86, 6 m. 1.3 Da sich die Wasseroberfläche der Elbe zu einem bestimmten Zeitpunkt 10m unter der

= -0, 1. Da die Elbe im geplanten Bereich 290 m breit ist, ist das betrachtete Intervall: [2; 4 , 9]. Die durchschnittliche Höhe h des Erdbodenlinie befindet, gilt für diese Linie: y

Seiles über der Wasseroberfläche erhält man mithilfe eines Integrals unter Verwendung

~!~ ~

des Taschenrechners:

1 14.9 h= -- · (J(x)-(- 0, I )) dx 4. 9 - 2 2 1 {4.9 3 2 = _ ·; ( - 0 ,001x + 0,02x - 0,05x + 0, 9 + 0, l )dx 2 9 2

frv.tv/ce

= ~

1 9 2,

14.9

-

3

2

( - 0 ,001 x + 0, 02x - 0, 05x + l)dx

2

l. 031

Somit beträgt die durchschnittliche Höhe des Seils über der Wasseroberfläche etwa 103 , l m. 2. l Die Wendestelle der Funktion f erhält man mithilfe der 2. Ableitung von f. Als notwen-

dige Bedingung löst man die Gleichung J"(x ) = 0 nach x auf: - 0 ,006x+0, 04 = 0

⇒ X=

20

3

~

6.67

Wegen f "' (x) = -0, 006 =/ 0 handelt es sich um eine Wendestelle. Wegen x

66

=

°~ 6 , 67 > 6 liegt die Wende teile nicht im Intervall [O; 6].

2 3

2. Brücke

Lösungen

2.2 Da die Wendestelle von f nicht im Intervall [0; 6] liegt, ist die maximale Steigung an den Rändern des Intervalls zu finden. Setzt man x1

= 0 und x2 = 6 in J' (x ) ein, ergibt sich:

2

= -0, 003 · 0 + 0, 04 · 0 - 0, 05 = - 0, 05 2 m 2 = J '(6) = - 0,003 -6 + 0,04 -6 - 0,05 = 0,082 m 1 = J' (0)

Somit hat der Graph von f im Punkt D die maximale Steigung von 8, 2 %.

2.3 Die Modellierung des Seiles durch einen Graphen mit einer Wendestelle x w mit 0 < xw < 6 ist nicht sinnvoll , da das durchhängende Seil zwischen den Pylonen nur eine Krümmung aufweisen sollte, und zwar in diesem Fall eine Linkskrümmung. Daher darf in diesem Bereich keine Wendestelle des Graphen von f sein, da an einer Wendestelle ein Krümmungswechsel stattfinden würde. 3.1 Um die beiden Koeffizienten a und b der Funktion g(x) = a · eo.sx + b •e- o.sx zu bestimmen, setzt man die Koordinaten der Punkte A( - 3 10, 2) und B (0 10, 9) in g(x) ein:

0, 2 = a. e0,S·(- 3) + b. e- 0.S-(- 3)

0, 9 = a . eO,S-0 + b. e- 0,S-0

Setzt man a

=

= a +b

a = 0 , 9 - b. 0, 9 - bin die erste Gleichung ein, erhält man:

Aus der zweiten Gleichung ergibt sich: 0, 9

⇒

0, 2 = (0, 9 - b ) · e- l,S + b · e l.S 0, 2 = O,9·e- 1. 5 -b- e- 1.s+ b· e 1.s O, 2-O ,9 -e- l.S = b • ( -e-l. 5 +e 1·5 )

0 2 - 0 9 · e- l,S ' ' - e- l.S + el.S

=b

- 0,0002 ~ b Setzt man b

~

- 0, 0002 in a = 0, 9 - b ein, ergibt sich: a ~ 0, 9 - ( - 0, 0002) = 0, 9002

Damit gilt:

g(x) = 0, 9002 · eO,Sx - 0, 0002 · e- O,Sx

67

Lösungen

2. Brücke

3.2 Um den Winkel, unter dem die Seile am nördlichen Pylonen aufeinandertreffen, zu berechnen, bestimmt man zuerst den spitzen Winkel a , den die beiden Tangenten an die Graphen von f bzw. g im Punkt B bilden. Die Tangentensteigungen m I und m 2 erhält man mithilfe der 1. Ableitungen von f bzw. g, die man mit der Kettenregel bestimmt: 2

J' (x) = - 0,003x +0,04x -0,05 g' (x) = 0, 9002 · e O,Sx · (0, 5) - 0,0002 · e - O.Sx • (-0,5) Setzt man x = 0 in J ' (x) bzw. g' (x) ein, erhält man : 2

m 1 = J'(O) = - 0,003- 0 + 0, 04 -0-0,05 = - 0,05 m2 = g' (0) = 0, 9002 · eo,s-o · (0, 5) - 0, 0002 · e- O,S-O · ( - 0, 5) ~ 0, 45

Setzt man m 1 = - 0, 05 und m2 ~ 0., 45 in die Formel tan a tan a

=

-0 05 - 0 45 ' ' l +(-0,05)· 0,45

⇒

=

1112 1 ~ 1 1111·1112

ein, ergibt sich:

a ~ 27, 1°

Da aber der stumpfe Winkel ß gesucht ist, gilt:

ß=

180° - a

~

180° - 27, 1° = 152, 9°

Somit beträgt der Winkel, unter dem die Seile am nördlichen Pylonen aufeinandertreffen, etwa 152, 9°.

68

Lösungen

3

3. Straße

Straße = - 0, l x

Es ist f (x)

3

-

2 0 ,3x + 0 ,4x+ 3, 2.

1.1 Die Koordinaten des nördlichsten Punktes der Umgehungsstraße erhält man, indem man mithilfe der 1. und 2. Ableitung von f den Hochpunkt des Graphen von f bestimmt:

2 - 0 ,3x - 0 ,6x+0 ,4

= J"(x) = - 0 ,6x-0,6 J'(x)

= 0 nach x auf:

Als notwendige Bedingung löst man die Gleichung f' (x)

2 - 0 ,3x - 0 ,6x+ 0 ,4 = 0 mithilfe der abc-Formel erhält man die Lösungen x 1 ~ 0,53 und x 2

~

- 2,53.

Setzt man x , ~ 0 , 53 und x2 ~ -2, 53 in f" (x) ein, ergibt sich:

J" (0, 53) = - 0, 6 · 0, 53 - 0, 6 ~ -0, 92 < 0 ⇒ Hochpunkt J" (-2,53) = -0,6- (-2,53)- 0,6~0,92 > 0 ⇒ Tiefpunkt Den zum Hochpunkt zugehörigen y-Wert erhält man, indem man x 1 ~ 0,53 in J(x) einsetzt: y

= J (0,53) = - 0, 1 -0,53

3

-

2

0, 3 -0,53 + 0,4-0,53 + 3,2~ 3,31

Somit hat der nördlichste Punkt der Umgehungsstraße die Koordinaten H (0, 53 l 3, 31 ).

1.2 Die Entfernung d von H (0, 53 13, 31) zu M (0 10, 5) erhält man mithilfe der Formel d

=

J

(x2 - x, )

2

+ (y2 -

2

y , ) für den Abstand zweier Punkte:

d=

2

2

✓(0 - 0, 53) +(0, 5 -3 , 31 ) ~ 2, 86

Der nördlichste Punkt H ist also etwa 2, 86 km vom Ortsmittelpunkt M entfernt.

1.3 Der Punkt, in welchem eine Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht, ist der Wendepunkt. Diesen erhält man mithilfe der 2. und 3. Ableitung von f (x): 2 - 0 ,3x -0,6x+0 ,4

= J" (x) = -0,6x-0 ,6 J"' (x) = - 0, 6 J' (x)

Die notwendige Bedingung J"(x) = 0 führt zu:

- 0, 6x - 0, 6 = 0

⇒ X

=- 1 69

Lösungen

3. Straße

Wegen f"' (- 1) -=/- 0 handelt es sich um eine Wendestelle.

=-l

Den zugehörigen y-Wert erhält man, indem man x y

in f (x) einsetzt:

= f (- 1) = - 0, 1 · (- 1)3 - 0, 3 · (- 1)2 + 0,4 · (-1 ) + 3. 2 = 2,6

Damit hat der Wendepunkt die Koordinaten W (- 1 12, 6).

1.4 Um zu zeigen, dass die Umgehungsstraße im Punkt A ohne Knick in die Ortsdurchfahrt einmündet, berechnet man mithilfe von f '(x) die Steigung mA der Kurve im Punkt A:

mA =f'(-3 ) = -0,3 · (-3)2 - 0,6· (-3)+ 0 4= - 0,5 Die Steigung mAB der Geraden durch A (- 3 l 2) und B (3 I - 1) erhält man mithilfe der Formel m

= Yi-Y , für die Steigung zwischen zwei Punkten: x2 -x1 111-AB

Es ist m A

- 1- 2 -3 = --- = - = - 0 5 3 - (-3) 6 '

= mAB, daher mündet die Umgehungsstraße ohne Knick in die Ortsdurchfahrt

em. 2 Den Flächeninhalt A1 der Fläche zwischen dem Schaubild von f (x ) und der Geraden AB erhält man mithilfe eines Integrals. Die Gleichung der Geraden g durch A und B erhält man mithilfe der Punkt-Steigungsform (PSF) y

= m · (x -

XQ)

+ YQ·

Setzt man die Koordinaten von A und mAB in die PSF ein,

ergibt sich: g : y= -0,5- (x- (-3))+2

g : y= - 0 ,Sx - 1,5 + 2 g: y= - 0 ,Sx+ 0 ,5

Da das Schaubild von f(x) oberhalb der Geraden verläuft, erhält man: A1

= =

j

3

-3

(f(x)- (-0,5x+ 0, 5)) dx

1: 1:(-o, (

3

2

3

2

- 0. lx -0,3x + 0,4x+ 3, 2 - (- 0.5x + 0.5)) dx

3

=

3

lx - 0,3x + 0, 9x + 2,

7) d.x

= [-0.025x - 0. lx + 0,45x + 2,7x] ~ 4

3

2

3

4

= ( -0, 025 · 3

0, 1 · 3 + 0, 45 · 3 + 2, 7 · 3) -

-

4

( - 0. 025 · ( - 3)

=

70

10.8

2

3

-

3

2

0, 1 · ( - 3) + 0. 45 · ( - 3) + 2. 7 · ( - 3))

3. Straße

Lösungen

Das Gemeindegebiet zwischen der Umgehungsstraße und der Ortsdurchfahrt ist ein Halbkreis mit Radius r = 1, 5. Damit gilt für den Flächeninhalt A2 des Halbkreises:

1 2 1 2 A2 = - · n- r = - · n- 1 5 2 2 '

~

3 53 '

Den Flächeninhalt A3 der Fläche, die von den beiden Straßen eingeschlossen wird, jedoch außerhalb des Gemeindegebiets liegt, erhält man durch: A3 = A1 - A2 ~ 10, 8 - 3 , 53 = 7 , 27 Den prozentualen Anteil von A3 zu A 1 erhält man, indem man A3 durch A 1 teilt:

A3 7 , 27 - = ~ o ,67 = 67 % A1 10, 8 Somit liegen etwa 67 % der Fläche außerhalb des Gemeindegebiets. 3.1 Um zu zeigen, dass der Fahrer die Windkraftanlage im Punkt B(2 12) genau in Fahrtrichtung vor sich sieht, stellt man die Gleichung der Tangente t im Punkt B(2 1 2) auf. Die Steigung m, in B erhält man, indem man den x-Wert von Bin f' (x) einsetzt: 2 m 1 = f' (2) = - 0 , 3 · 2 - 0 , 6 · 2 + 0, 4 = - 2 Setzt man mr = -2 und die Koordinaten von B (2 12) in die Tangentengleichung y = J'(u ) · (x- u) + f (u) ein, ergibt sich: t: y = -2· (x -2) + 2

t: y= - 2x + 6 Um zu prüfen, ob der Punkt P ( 1, 5 13) auf t liegt, setzt man die Koordinaten von P in die Tangentengleichung ein: 3 =-2·1 , 5 + 6

{=}

3= 3

Aufgrund der wahren Aussage liegt P auf t. Somit sieht der Fahrer die Windkraftanlage im Punkt B (2 12) genau in Fahrtrichtung vor sich. 3.2 Die Gerade AB der Ortsdurchfahrt hat die Steigung m As = -0, 5. Im Punkt R, in welchem ein Fahrzeug parallel zur Ortsdurchfahrt fährt, muss die Steigung ebenfalls - 0 , 5 betragen.

71

3. Straße

Lösungen

Also löst man die Gleichung J' (x) = - 0,5 nach x auf: 2

- 0,3x - 0,6x+ 0,4 = - 0,5 - 0, 3x

2

-

0 ,6x+ 0 , 9 = 0

Mithilfe der abc-Formel erhält man die Lösungen x 1 = 1 und x 2

= - 3.

= - 3 der x-Wert des Punktes Aist, kommt nur x 1 = 1 als Lösung in Frage. Den y-Wert des Punktes R erhält man, indem man x = l in J(x) einsetzt:

Da x2

3

2

y= J ( I ) = - 0, 1 · 1 - 0,3- 1 + 0,4- l + 3.2 = 3.2 Somit hat der Punkt R die Koordinaten R ( 1 1 3, 2).

72

4. Mond

Lösungen

4

Mond

Es ist A(t ) = ½+ ½· sin ( rrs · t) ; 0 ~ t ~ 30 (t in Tagen seit Beobachtungsbeginn). 1.1 Um das Schaubild von A zu skalieren, kann man sich Folgendes überlegen:

= ½, die Periode p erhält man durch p = «Mittellinie» ist bei y = ½.

Die Amplitude ist a

2 ;

=

2.: = 30 und die 15

Alternativ kann man auch mithilfe des WTR eine Wertetabelle erstellen: t

0

7, 5

15

22,5

30

A(t )

0, 5

1

0, 5

0

0, 5

Damit ergibt sich folgende Skalierung:

y 1,5

X

5

10

15

20

25

30

1.2 Eine Frage, die durch Lösen der Gleichung A(t ) = 0 , 95 beantwortet werden kann, lautet: «Zu welchem Zeitpunkt beträgt der beleuchtete Anteil der erdzugewandten Seite des Mondes 95 %?». Die Lösungen der Gleichung A (t ) = 0 , 95 erhält man durch Substitution und Symmetrieüberlegungen :

n · t ) = 0. 95 -21 + -21 •sin ( -15 '

!2 •sin ( !!.__ •t) = 0 45 15 ' sin ( Substituiert man rrs · t

~ •t) = 0 , 9

= z, so erhält man die Gleichung: sin (z)

= 0,9

mithilfe des WTR erhält man die Lösung z1 ~ 1, 12. Da der Graph von sin(z) achsensymmetrisch zu x

=

~

verläuft, erhält man als zweite

Lösung: z2

= ~ + (~ -1 , 12)

~ 2 ,02.

73

Lösungen

4. Mond

y y =0,9 X

-TC

-3

-4

-2

-1

1 -0,5

2

-1

Durch Resubstitution ergibt sich damit:

'15lt .t ~ 1, 12 '--t~2 lt ,02 15

⇒ t1 ~ ⇒

5)35

t2 ~ 9 , 64

Somit beträgt etwa Mitte des 6. Tages und Mitte des 10. Tages der beleuchtete Anteil der erdzugewandten Seite des Mondes 95%. 1.3 Die Zunahme des Anteils der Beleuchtung des Mondes zu Beobachtungsbeginn erhält man mithilfe der 1. Ableitung von A, die man mit der Kettenregel bestimmt: A ' (t ) = 0 + 1 · cos

2

Setzt man t

('lt · t ) - 'lt 15

15

=

'lt

30

· cos

('lt l5 ·t )

= 0 in A'(t ) ein, erhält man: A' (o)

=

!:_ -cos 30

(!:_. o) = !:_ ~ o , 105 15 30

Somit beträgt die Zunahme des Anteils der Beleuchtung des Mondes zu Beobachtungsbeginn etwa 10,5% pro Tag. 1.4 Eine Gleichung, mit der man diejenigen Zeitpunkte bestimmen kann, zu denen die Zunahme der Beleuchtung des Mondes halb so groß ist wie zu Beobachtungsbeginn, lautet:

A'(t ) =

~ · A'(O)

2 Den durchschnittlichen Anteil A, der von Beobachtungsbeginn bis zum Ende des fünfzehnten Tages beleuchtet wird, erhält man mithilfe eines Integrals:

] lol5 A = --· A(t )dt o

15 - 0

~ · 1 ~ + ~ ·sin 15

=

74

l

(

c~ ·t))

dt

Lösungen

4. Mond

~ ! . (- cos (fi .t) )

_I . [ t + 15 2 2

=

1

[I

15 . 2t -

=

= [310, -

15

15

2n . cos (

l 15 .t) l:,

l

I5

0

5 1

n

o

2~ . eo, ( ]~ . , )

=(-

1 1 1 1 - 15 - - -cos(.!!__· 15)) - ( - - 0 - - -cos(.!!__ ·O)) 30 2n 15 30 2n 15

~ o,s2 Somit beträgt der durchschnittliche Anteil etwa 82%. 3.1 Wenn das Modell A mit

(n •t )

. A(t) = -1 + -1 •sm 2

zu einem Modell B mit

B(t ) =

2

15

~ + ! ·sin (.!!__ •t + c) 2

2

15

abgeändert werden soll, sodass der Zeitpunkt t

=

0 der Beleuchtung bei Vollmond ent-

spricht, so muss das Schaubild von A um 7 ,5 LE nach links verschoben werden. Damit erhält man den Funktionsterm:

• l B (t ) = A (t + 7 5 ) = ' 2

+

n ( )) 1 l . ( n n) 1 . ( - · srn - · t + 7 5 = - + - · sm - •t + 2 15 ' 2 2 15 2

I·

Somit ist c = Alternativ kann man sich auch überlegen, dass gelten muss: B (0)

=

1.

Dies führt zu folgender Gleichung:

(n ) 2 + 2 .sm 15 . O+ c = 1 1

1

.

sin (c)

=

l

n

C= -

2

Für c =

I

wird Modell A zu Modell B abgeändert.

3.2 Eine weitere Funktion der Form C(t ) = a · cos (b · t - c) + d für Modell B hat beispielsweise die Gleichung:

C(t ) = -1 · cos ( -n · t ) 2

15

+ -1 2

4.1 Um zu zeigen, dass alle Graphen Ka der Funktion ga(x )

=

2 ax

- 4x + 2; a =/= 0 einen

gemeinsamen Punkt B (0 1 2) haben, macht man eine Punktprobe. Hierzu setzt man die

75

4. Mond

Lösungen

Koordinaten von B in die Funktionsgleichung ein: 2 = a ·0

2

-

4 ·0 +2

2=2 Aufgrund der wahren Aussage liegt der Punkt B(0 12) auf allen Graphen von g 0 • Um zu zeigen, dass alle K 0 in diesem Punkt eine gemeinsame Tangente haben, stellt man die Gleichung der Tangente auf. Die Steigung mi der Tangente erhält man mithilfe der 1. Ableitung g0 '(x)

= 2ax- 4. Setzt man den x-Wert von B in g 0 '(x) ein, ergibt sich: mi = g a' (0) = 2a · 0 - 4 = -4

Die Tangentengleichung erhält man mit der Formel y sich: y

= J'(u) · (x- u) + f(u). Damit ergibt

= - 4 · (x - 0) + 2

y = - 4x+2

Da die Tangentengleichung unabhängig von a ist, haben alle K 0 im Punkt B eine gemeinsame Tangente. Da alle K 0 einen gemeinsamen Punkt und in diesem Punkt eine gemeinsame Tangente haben, berühren sich somit alle K 0 im Punkt B. Zur Bestimmung der Koordinaten der Extrempunkte in Abhängigkeit von a verwendet man die 1. und 2. Ableitung von g 0 :

ga'(x) = 2ax- 4 ga''(x)

= 2a

Als notwendige Bedingung löst man die Gleichung g 0 '(x)

= 0 nach x auf:

2ax - 4 = 0 2ax = 4 X =

Setzt man x

= ¾in g0

11

(x) ein, ergibt sich: ga

11

(

2 a

¾) = 2a -/- 0.

Wegen ga ( ¾) -/- 0 handelt es sich um eine Extremstelle. Den zugehörigen y-Wert erhält man, indem man x = ¾ in g 0 (x) einsetzt: 11

2

y = g0

76

(~)

a

= a · (~) a

-

~ ~

~ ~

~

4 · (~) + 2 = a · 2 - + 2 = - + 2 = - + 2 a a a a a a

Lösungen

4. Mond

Somit haben die Extrempunkte aller Ka die Koordinaten Ea ( ¾ 1 - ~ + 2).

4.2 Die Gleichung der Normalen na an Ka an der Stelle x = I erhält man, indem man zuerst den zugehörigen y-Wert bestimmt. Diesen erhält man, indem man x = 1 in g a (x) einsetzt:

Somit hat ein Punkt T die Koordinaten T ( l I a - 2). Die Steigung m1 der Tangente an der Stelle x

= 1 erhält man, indem man x = I in

ga ' (x) = 2ax - 4 einsetzt: m, = ga' (1) = 2a · 1 - 4 = 2a - 4 Die Steigung m 11 der Normalen ist der negative Kehrwert der Tangentensteigung, also: 1

= - - = ---

mn

2a - 4

m1

Setzt man die Koordinaten von T und m 11 in die Normalengleichung y

= - J'(u) · (x - u) + J( u) ein, ergibt sich: y

1

= - - - •(x - 1) + a 2a-4 1

2

1

y= - - - ·x+ - - + a-2 2a - 4 2a - 4 Somit hat die Normale na die Gleichung: y

= - 2a~ 4 · x + 2a~ 4 + a -

2.

Damit die Normale na die y-Achse in Z(O J 1, 5) schneidet, setzt man die Koordinaten von

Z in die Normalengleichung ein und löst die Gleichung nach a auf: 1

1 5 =- -

1

- ·0+-- + a - 2 2a - 4 2a-4

'

1

3 5-a= - -

'

2a - 4

(3,5-a)· (2a - 4)= 1 - 2a

2

+ l la -

15 = 0

Mithilfe der abc-Formel erhält man die Lösungen a 1 = 3 und

a2

= 2,5.

77

Lösungen

5. Virus

5

Virus

Es ist f (t ) = 150 •t 2 · e- 0 -2r ; t ~ 0 (Zeit t in Wochen seit Beobachtungsbeginn). 1.1 Um nachzuweisen, dass 10 Wochen nach Beobachtungsbeginn die Anzahl der Neuerkrankungen am höchsten ist, verwendet man die 1. Ableitung von f , die man mithilfe der Produkt- und Kettenregel bestimmt: J' (t ) = 300-t

Setzt man t

-e-

0 21 ·

+ 150-t

= 10 in J'(t)

2

0 21 -e- • ·

(-0,2) = (300· t -30- t

)-e-

0 21 · =

30t · ( 10-t) ·

e-

0 21 -

ein, ergibt sich:

f '( lO) = (300 • 10 - 30 · 102) Da f ' (t) bei t

2

· e - 0,2· l0

=0

= 10 das Vorzeichen von+ nach - wechselt, handelt es sich um ein Maxi-

mum. Also ist 10 Wochen nach Beobachtungsbeginn die Anzahl der Neuerkrankungen am höchsten. 1.2 Den Maximalwert an Neuerkrankungen erhält man, inde m man t 2

f( lO) = 150 · 10 · e-

0 2 10 - ·

= 10 in f (t) einsetzt:

~ 2030

Somit gibt es maximal etwa 2030 Neuerkrankungen pro Woche. Um zu zeigen, dass ab diesem Zeitpunkt die momentane Erkrankungsrate rückläufig ist, betrachtet man

J'(t) = (300- t - 30-t Es ist

0 21 e- ,

2

0 21 ) · e- ,

= 30t·

0 21 (10 -t) ·e- ·

stets größer als Null. Der Term 30t · ( 10 - t) ist für t < 0 oder t > 10 negativ.

Somit gilt für t > 10:

J'(t) < 0 Damit ist für t > 10 die Funktion f streng monoton fallend und die momentane Erkrankungsrate ist nach l 0 Wochen rückläufig.

78

5. Virus

Lösungen

1.3 Den Zeitraum, in welchem es mehr als 1500 Neuerkrankungen pro Woche gibt, erhält man, indem man die Gerade y

= 1500 mit dem Graphen von f

schneidet:

f( t)

2500 2000

y =1500

1500 1000 500

t 0

10

5

15

20

25

30

40

35

17. Somit gibt es im Zeitraum von etwa 5 Wochen bis etwa 17 Wochen mehr als 1500 NeuerAnhand der gegebenen Abbildung ergeben sich die Schnittstellen t 1 ~ 5 und t2

~

krankungen pro Woche. 1 1.4 Mithilfe des angegebenen Integrals -

115 f (t )d t werden die durchschnittlichen Neuer-

10 s

krankungen pro Woche im Zeitraum von 5 Wochen bis 15 Wochen berechnet, da durch das Integral die Neuerkrankungen während 10 Wochen summiert werden und anschließend durch 10 geteilt wird. 2.1 Um zu zeigen, dass die Funktion F mit F(t ) =

- 750 • (t + lOt + 50) 2

2 0 • e- - r

eine Stamm-

funktion von f ist, bestimmt man mithilfe der Produkt- und Kettenregel die l. Ableitung vonF:

F' (t ) = - 750 · ((2t + 10)

+ (t + l0t + 50) 2 0 21 = - 750- ((2t+ l0 - 0,2t -2t - l0) ·e- , ) 2 0 21 = - 750- (-0, 2t · e- - ) =

150 · t

2

0 21 •e- -

0 21 •e- - • (-0, 2))

2

0 21 · e- -

= f (t ) Wegen F' (t) = J (t ) ist F eine Stammfunktion von f. 2.2 Die Anzahl A(t ) der Personen, die nach t Wochen insgesamt krank gemeldet sind, erhält man mithilfe der gegebenen Stammfunktion F(t ) =

- 750- (t2 + 10- t + 50) -e- 0·21 und der

Nebenbedingung, dass zu Beginn 100 Personen erkrankt sind. Als Ansatz verwendet man:

A(t ) =F(t )+ c

79

5. Virus

Lösungen

Mit der Nebenbedingung A(0) = 100 ergibt sich: A(0) = F(0) + c 100 = - 750 ·

2 (0 +

] 0 · 0 + 50)

2 · e - 0, -0

+

C

100= -37500+c 37600 =

C

Damit erhält man für die Anzahl A(t ) der Personen, die nach t Wochen insgesamt krank gemeldet sind: 2

A (t) = -750-(t + 10t+50)

0 21 ·e- ,

+37600

2.3 Die Anzahl der Personen, die nach 12 Wochen insgesamt krank gemeldet sind, erhält man, indem man t = 12 in A (t ) einsetzt: 2

A(12) = - 750- (12 + 10 · 12 + 50)

02 2 · e- , · 1 +

37 600 ~ 16236

Nach 12 Wochen sind insgesamt etwa 16 236 Personen krank gemeldet. 2.4 Um nachzuweisen, dass die Anzahl der Meldungen unter 40000 bleiben wird, bestimmt man den Grenzwert von A (t ) für t---+ 00 • Wegen A '(t ) = J(t) > 0 für t > 0 ist A(t ) streng 0 21 monoton wachsend. Da e- , für t ---+ oo gegen Null geht, gilt: lim A(t ) = 37600 < 40000

/ - ;oo

Damit wird die Anzahl der Meldungen unter 40000 bleiben. 3.1 Es ist B(t ) = a - b · e-

0, 1·1 .

Da im Laufe der Zeit alle 30000 Einwohner von der Krankheit

erfasst werden können, geht B(t) für t ---+

00

gegen 30000. Da

0 1 1 b •e- , ·

für t ---+ oo gegen

Null und somit B(t ) gegen a geht, muss gelten: a = 30000. Damit erhält man: B(t) = 30000- b- e- o,i-r

Mit der Nebenbedingung, dass zu Beginn (t = 0) bereits die Hälfte der Einwohner (15 000) an diesem Virus erkrankt ist, gilt: B(0) = 15000 30000-b·e- o,i-o = 15000

15000 = b Damit ergibt sich als Funktion, welche die Anzahl der von der Krankheit erfassten Personen beschreibt:

B(t) = 30000 - 15000- e- o,t-t 80

Lösungen

5. Virus

3.2 Den Zeitpunkt, zu dem 95 % aller Einwohner von der Krankheit erfasst sind, erhält man, indem man die Gleichung B(t ) = 0 , 95 · 30000 nach t auflöst:

30000 - 15 000- e-O, I-r

= 0 , 95 • 30000

30000 - 0 , 95 · 30000 = 15000 · e -O. l·t 1500 = 15 000 · e - O.l·I

0 1=

e - 0. l ·t

'

ln (0 , 1)

= -0, l ·t

ln (0, l )

---=t

-0, 1

t

~

23

Nach etwa 23 Wochen sind 95 % aller Einwohner von der Krankheit erfasst. 4.1 Den Mittelwert m(t ) der Funktionswerte von J (x) erhält man mithilfe eines Integrals:

= 6x -

3

½x auf dem Intervall [0 :

t]

Damit der Mittelwert möglichst groß ist, berechnet man mithilfe der 1. und 2. Ableitung von m(t ) das Maximum: _ ,( ) m t

=

_,,( ) m t

=

3 2 3 - -t 8 3 - -t 4

Als notwendige Bedingung löst man die Gleichung m ' (t ) = 0 nach t auf: 3 2 3 - -t

8

=0

8=t

2

±v1s = t, '2 > 0 kommt nur t = J8 als Lösung in Frage. Setzt man t = J8 in m" (t ) ein, ergibt sich:

Wegen t

m" ( v1s) = - ~ · v1s < 0 Somit ist für t

⇒

Maximum

= J8 der Mittelwert am größten. 81

Lösungen

5. Virus

4.2 Zeichnet man die Punkte P und Q ein, erhält man folgende n Sachverhalt:

y

f Q(ulf(u ) )

P(ul o) - 10

-8

-6

-4

6

4

Durch de n Reche nschritt (I) A(u)

=

u-~(u)

=

2 3u -

x 8

10

4

¼u wird der Fläche ninhalt A(u) des

Dreiecks OPQ in Abhängigkeit von u bestimmt. Durc h de n Rechenschritt (II) A ' (u)

=0 ⇒

u1

=

0 , u2

=

v'6 wird die

1. Ableitung von

A (u) gleich N ull gesetzt, um die Extrem werte von A(u) zu bestimme n. Als mögliche Lö-

J6. Durc h de n Reche nschritt (III) A " ( v'6) = sungen erhält man

Wegen A "

u1

=0

und

u2

=

12 wird die Art des Extre mwerts bestimmt.

(J6) = - 12 < 0 ha ndelt es sich um ein Maximum.

v'6 einen m ax imalen Flächeninhalt. Wegen des Rechenschritts (IV) A ( v'6) = 9 beträgt der maximale Flächeninhalt 9 FE. Somit hat das D reieck OPQ für u

82

=

Lösungen

6

6. App

App

Es ist f(t)

= 6000 · t · e-

0 -51 ;

t ;?: 0 (t in Monaten nach der Einführung, f(t ) in Käufer pro Monat).

y 5000

y=4000 4000 3000 2000 1000

t 1

3

2

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1.1 Die maximale mome ntane Änderungsrate erhält man, indem man das M aximum von f (t) mithilfe des gegebenen Graphen bestimmt: t

=

2 und f (2) ~ 4415 (WTR).

Somit beträg t die maximale momentane Änderungsrate etwa 4415 Käufer pro Monat. 1.2 Den Zeitraum, in dem die momentane Änderungsrate größer als 4000 Käufer pro Monat ist, erhält m an, indem man die Gerade y

= 4000

mit dem Graphen von f schneidet. Es

ergeben sich näherungsweise die Schnittstellen: t 1 ~ 1, 2 und t 2 ~ 3 , 0. Somit ist im Zeitraum zwischen etwa 1,2 und 3 Monaten nach der Einführung die m omentane Änderungsrate größer als 4000 Käufer pro Monat. 1.3 Die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate am stärksten abnimmt bzw. z unimmt, erhält man anhand des Graphen von f, indem m an die Stellen mit maximaler und minimaler Tangentensteigung bestimmt. Bei t 1 = 0 ist die Tangensteigung am größte n (positiv), bei t2

~

4 , 0 ist die Tangentenstei-

gung am stärksten negativ (We ndestelle). Somit nimmt zum Zeitpunkt der Einführung die momentane Änderungsrate am stärkste n zu, etwa 4 Monate nach der Einführung nimmt sie am stärksten ab. 2 .1 Um zu zeigen, dass für t

> 2 die Funktion f streng monoton fallend ist, bestimmt man die

1. Ableitung von f (t ) mithilfe der Produkt- und Kettenregel:

f 1 (t ) = 6000 · e - O.St + 6000 · t · e Da 6000 •e- 0 -51 stets positiv ist, ist f ' (t) Somit ist f für t Da t

O,St · ( -

0, 5) = 6000 · e - O,St · ( 1 - 0, St )

< 0 für 1 - 0, St < 0 bzw. 2 < t .

> 2 streng mo noto n falle nd.

> 2 und 6000

0 51 · e- - stets

Somit nimmt f für t

positiv ist, ist auch f (t )

= 6000 •t

0 51 •e- - stets

positiv.

> 2 nur positive Werte an. 83

6. App

Lösungen

2.2 Für t > 2, also ab zwei Monaten nach der Einführung, ist die momentane Änderungsrate zwar streng monoton fallend, aber stets positiv, so dass die Gesamtzahl der Käufer ständig zunimmt, die Zunahme aber immer geringer wird. 3. 1 Die Gesamtzahl K der Käufer sechs Monate nach Einführung der App erhält man mithilfe eines Integrals: K

=

fo

6

f(t ) dt

Der Wert dieses Integrals entspricht dem Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [0; 6]. Durch «Kästchenzählen» kann man den Flächeninhalt näherungsweise bestimmen. Es ergeben sich etwa 19 Kästchen. Da einem Kästchen 1000 Käufer entsprechen, beträgt die Gesamtzahl der Käufer sechs Monate nach der Einführung etwa 19 000. 2

3.2 Mithilfe der Integralgleichung J,'+ f (t) d t = 5000 kann man den Beginn eines Zeitraumes von zwei Monaten, in dem es 5000 neue Käufer gibt, berechnen, da durch das Integral die Summe der neuen Käufer gebildet wird und das Intervall [t ; t + 2] einem Zeitintervall entspricht, das zu einem bestimmten Zeitpunkt t beginnt und 2 Monate umfasst. 4 Die Gesamtzahl G der Käufer entwickelt sich nach dem Gesetz G(t ) = S -

a • e - k·t

(t in

Monaten nach Verkaufsbeginn, G(t) in Anzahl der Käufer). Da man auf lange Sicht 30000 Käufer erwartet und für t geht, gilt: S

---+

= der Term a •e - k·t gegen Null

= 30000. Damit ergibt sich: G(t ) = 30000- a -e -k·t

Da es sechs Monate nach Verkaufsbeginn bereits 20000 Käufer gibt, gilt: G (6 ) = 20000. Da es beim Verkaufsstart noch keine Käufer gibt, gilt: G (0 )

= 0.

Diese beiden Bedingungen führen zu folgendem Gleichungssystem:

I II

30000 30000

a. e - k-6 a. e -k-0

Aus Gleichung II ergibt sich: 30000- a • I = 0 Setzt man a

=

a 30000 in Gleichung I ein, erhält man: 6

=}

20000 0

= 30000.

= 20000 6 10000 = 30000 · e- ·k

30000 - 30000 · e-

·k

l - =e 3

6-k

In(~) =- 6-k ln (½)

=k

-6 k~0, 1831

84

6. App

Lösungen

Somit gilt für einen Funktionsterm, welcher die Gesamtzahl der Käufer in Abhängigkeit von der Zeit nach Verkaufsbeginn beschreibt:

G(t ) = 30000- 30000 · e-o,is3 i-, 5.1 Zur Veranschaulichung skizziert man den Graphen von g(x) = x- -j= x x f= 0 mit X 4 g'(x) = 1- (-3) -x- = 1 mithilfe einer Wertetabelle und zeichnet die Tangente t an den Graphen von g in einem Punkt B (u I g(u)) durch P(0 l - 0, 5): 3 x- ;

+;

-2

2

3

- 1,88

1, 88

2,96

y 5 4

3

X

3

4

5

Die Koordinaten des Berührpunktes B (u I g(u)) erhält man, indem man zuerst die Steigung m, im Punkt B auf zweierlei Arten bestimmt. Da B auf dem Graphen von g liegt, gilt: m, = g' (u) •

Da B auf der Tangente t liegt, gilt: m,

=

g(u)- (- 05 ) u- O '

·

= 1 + u4 • 3

=

u-~+o,5 "u

=l-

1 u4

05

+ --:;-.

Durch Gleichsetzen erhält man: 1 + 2_ u4 4 u4

= 1 - _!_ + 0, 5 u4

u

0,5 u

8=u

3

2=u

85

Lösungen

6. App

Alternativ kann man die Koordinaten von P(0 1 -0, 5) auch in die Tangentengleichung

= g'(u) · (x - u) + g(u)

y

einsetzen:

-0,5 = -0 5 = '

(1 + ~)u4

3 - u- -

u3

(0 - u) + u -

__!__

u3

1 +u- -

u3

4

-0 5 = - ' u3 u

3

=8

u= 2 Setzt man u = 2 in g(u) = u - II~ ein, ergibt sich: g(2) = 2 - iJ I

=

1, 875.

Somit erhält man den Berührpunkt B(2 l 1, 875). 5.2 Zur Veranschaulichung der Problemstellung skizziert man den Graphen von g und die Gerade mit der Gleichung y

= 2x -

l:

Y

y=2X-l

5 4

3

2

X

-5

-4

-3

-2

2

3

4

5

-3 -4 1

-5

1

Da der Graph von g die gegebene Gerade nicht schneidet, muss der Punkt Q (x I g(x )) auf dem Graphen von g, der den kleinsten Abstand zur Geraden mit der Gleichung y

= 2x -

1

besitzt, auf der zu dieser Geraden parallelen Tangente liegen. Damit hat die Tangente in Q

86

L ösungen

die Steigung m

6. App

= 2 und es muss gelten: g'(x)=2 3

1+ .x4 = 2 4

3 =x

±V'.3 =x1.2 X[,2~ ± 1, 32 Dem Graphen von g entnimmt man, dass x

~

1, 32 die gesuchte x-Koordinate ist.

'

'

J

1

87

7. Stausee

7

Lösungen

Stausee

Es sind z(t ) = 20 • sin ( 1;

•

t) + 25 ; t ;::= 0 und a(t) = 19 ; t ;::= 0 (t in Stunden seit Beobachtungs-

beginn, z(t) und a(t ) in 1 000 ~

3 ).

1.1 Den Graphen von z kann man mithilfe einer Wertetabelle zeichnen:

1,;,)

1

0

6

25

45

12 25

18

24

5

25

Alternativ kann man sich auch überlegen, dass der Graph von z die Mittellinie y hat, die Periode p

=

2 : TI

= 25

= 24 und eine mit Faktor 20 in y-Richtung gestreckte Sinusfunk-

tion ist. Der Graph von a ist eine Parallele zur t-Achse.

f(t) 45 40 35

30 25

20 ~ - - - - - - - - - - - - - - ' - - - - - - - - - ~ - 15

10 5

t 2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

1.2 Die minimale momentane Zuflussrate erhält man, indem man das Minimum der Funktion z(t ) für O ~ t ~ 24 mithilfe des Graphen von z bestimmt. Da die Funktion z die Periode p = "l; = 24 hat, befindet sich die Minimalstelle bei t = 18. TI

Setzt man t

=

18 in z(t ) ein , ergibt sich: z( 18) = 20- si n ( ,; • 18) + 25

= 5 (WTR).

3

Somit beträgt die minimale momentane Zuflussrate 5 000 ~ .

1.3 Um zu bestimmen, in welchem Zeitraum die Wassermenge im Stausee abnimmt, liest man zuerst die Schnittstellen der Graphen von z(t ) und a(t ) anhand der Graphen ab. Man erhält näherungsweise t 1 ~ 13 und t2 ~ 23. Anhand der Graphen kann man erkennen, dass z(t ) < a(t ) für 13 < t < 23 gilt. Somü nimmt die Wassermenge im Stausee im Zeitraum zwischen etwa 13 und 23 Stunden nach Beobachtungsbeginn ab. 88

7. Stausee

Lösungen

1.4 Die maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge erhält man, indem man das Maximum der Funktion

w(t ) = z(t) - a(t) = 20 · sin ( ~ · t) + 6 berechnet. 2 : TI

Da die Funktion w(t ) ebenfalls die Periode p = = 24 hat und eine mit Faktor 20 in y-Richtung gestreckte Sinusfunktion mit Mittellinie y = 6 ist, befindet sich die Stelle des Maximums bei t

= 6. Setzt man t = 6 in w(t ) ein, ergibt sich mit dem WTR: w(6) = 20 · sin ( ~ · 6) + 6 = 26 1

..

3

Somit beträgt die maximale momentane Anderungsrate der Wassermenge 26000 ~ . 3

2.1 Da sich zu Beobachtungsbeginn 2 500000 m Wasser im See befinden, gilt für das Volumen bei t = 0, also zu Beginn: V (0) = 2500. Die Wassermenge im Stausee 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn erhält man mithilfe eines Integrals, da die Zuwächse addiert werden. Unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung gilt für das Volumen V: Y(l2)

[1 2

= 2500 + Jo (z(t )- a(t)) dt = 2 500 + 1a = 2 500 +

12 (

20 · si n

c~ ·t)

- 20 · cos ( .!!_ 12 [

= 2 500 + (

1r

·

t)

l

+ 6t

TI - 20 · cos ( i12 · I 2) 7r

+ 6) d t 2 1

o + 6 · I. 2

)

-

( - 20 · cos ( i12 · 0) 7r

12

+ 6 ·0

)

12

~ 2725

Somit beträgt die Wassermenge 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn etwa

3 2 725 000 m •

2.2 Um zu begründen, dass die Wassermenge in jedem 24-Stunden-Zeitraum um

3 144000m

zunimmt, betrachtet man die Funktion

w(t ) = z(t ) - a(t ) = 20- sin ( ~ · 1

Diese hat die Mittellinie y

t) + 6

= 6 und die Periode p = 1:- = 24. Die mittlere momentane ÄnTI

derungsrate der Wassermenge in jedem 24-Stunden-Zeitraum beträgt also 6000

3

~

.

89

7. Stausee

Lösungen

30

w(t)

25 20

15

10

_ mittlere Änderungsrate __ 5

t 2

4

8

6

10

16

l8

20

-5 -10 -15

Damit gilt für die Zunahme Z der Wassermenge in jedem 24-Stunden-Zeitraum: 3

3

= 24h-6000: = 144000m

Z Da w(t) periodisch mit p

= 24 ist, beträgt die Zunahme der Wassermenge in jedem 24-

Stunden-Zeitraum 144000m

3

.

2.3 Um den Wert der konstanten Abflussrate zu bestimmen, damit nach Ablauf von 14 Tagen 3 die Wassermenge im Stausee 4180000m betragen würde, kann man sich Folgendes überlegen: Die Zunahme der Wassermenge muss nach Ablauf von 14 Tagen 3

3

4180000m -2 500000m

= l 680000m

3

betragen. Pro Tag muss die Zunahme der Wassermenge durchschnittlich also l 680000m 14

3

= 120000 m3

betragen. Pro Stunde muss die Zunahme der Wassermenge durchschnittlich also 3

120000m = 3 000 24 5 m betragen. Wegen z(t ) = 20 · sin ( 1; · t) + 25 beträgt der durchschnittliche Zufluss pro Stunde 25 000 m 3 . 3 Somit müssten pro Stunde konstant 20 000m abfließen.

90

7. Stausee

Lösungen

3.1 Die Koordinaten des Hochpunkts und des Tiefpunkts des Graphen von J (x) = 24x - 14 erhält man mithilfe der 1. und 2. Ableitung von f: 2

J' (x) = 3x

3 x -

2

9x +

18x + 24

-

11

j (X) = 6x - 18 Als notwendige Bedingung löst man die Gleichung J' (x) = 0 nach x auf: 2

3x

18x + 24 = 0

-

Mithilfe der abc-Formel erhält man die Lösungen x 1 = 2 und x2 = 4. Setzt man die erhaltenen x-Werte in J"(x) ein, ergibt sich:

J" (2) = 6 • 2 - 18 = - 6 < 0 J" (4) = 6 -4 - 18 = _6 > 0

⇒ Hochpunkt

⇒ Tiefpunkt

Die zugehörigen y-Werte erhält man, indem man die x-Werte in J(x) einsetzt: YI

Y2

3

= f (2) = 2

3

-

2

9 · 2 + 24 · 2- 14 = 6 2

= J (4) = 4 - 9-4 + 24-4 - 14 = 2

Damit erhält man: H(2 l 6) ist Hochpunkt und T (4 l 2) ist Tiefpunkt des Graphen von f. Somit kann man die Achsen skalieren: y 18

16 14 12

X

6

91

7. Stausee

Lösungen

Die Gleichung der Geraden g durch den Hochpunkt H und den Tiefpunkt T des Graphen von f erhält man, indem man die Steigung m bestimmt und anschließend die Koordinaten von H und min die Punkt-Steigungsform einsetzt: 2-6 m = --- = -- = - 2 XT -XH 4- 2 YT - YH

Setzt man m = -2 und H(2 1 6) in die Punkt-Steigungsform y = m · (x - xH) + YH ein, ergibt sich: g:y=-2- (x -2)+ 6

g:y=- 2·x + l0 Den Schnittpunkt P von g mit der y-Achse erhält man, indem man x = 0 in die Geradengleichung einsetzt: y = 2 · 0 + 10=10 ⇒ P(0 I 10) Den Schnittpunkt Q von g mit der x-Achse erhält man, indem man die Gleichung y = 0 nach x auflöst:

-2x+ l0 = 0 ⇒ x = 5 ⇒ Q (5 I0) Die Längen der Strecken HT und PQ erhält man mithilfe des Abstandes zweier Punkte:

(

HT =

✓ 4 - 2 )2 + (2 -

6) 2

PQ =

j (s- 0) + (0 -

10)2 =

2

= J26

V125

Den prozentualen Anteil der Strecke HT an der Strecke PQ erhält man, indem man HT durch PQ teilt: HT

=

PQ

= -

y'20

- = 0 4 = 40%

Jus

'

Der prozentuale Anteil der Strecke HT an der Strecke PQ beträgt 40%. 3.2 Um zu begründen, dass die Steigung des Graphen von f keine Werte kleiner als - 3 annehmen kann, bestimmt man die Lösungen der Ungleichung J' (x) < - 3. Dies führt zu: 2

3x

18x + 24
5, 7 verläuft der Graph von

v, unterhalb der t-Achse, d .h. der Graph von h

I

fällt in diesem Bereich

streng monoton. 3

2.2 Es ist v2 (t ) = - 0 , 041t + 0, 684t

2

-

3, 8t + 6, 68.

Die Höhe des Ballons über dem Boden zum Zeitpunkt t

=

6 erhält man mit Hilfe eines

Integrals. Da der Ballon in einem Meter Höhe gestartet wurde, gilt unter Verwendung des

~!@:!

Taschenrechners:

h2(6)

fo = 1 + fo = 1+

~

6

frv.tv/ce

v2(t )dt 6

3

2

(- 0 ,041t + 0 ,684t - 3, 8t + 6, 68)dt

= 1 + 7 , 644 = 8, 644 Zum Zeitpunkt t

= 6 befindet sich der Ballon etwa 8, 64m über dem Boden.

2.3 Die Bedingung

(1) h3(0) = 1 bedeutet, dass sich der Ballon zu Beginn der Messung (t

= 0) genau

1 m über dem Boden

befindet. Die Bedingung

(2)

to j

V3 ( t ) d t

=-l

O

bedeutet, dass der Ballon in den ersten 10 Sekunden um 1 m gesunken ist. Damit hat der Ballon zum Zeitpunkt t

= 10 eine Höhe von insgesamt 0 m über dem Boden,

er befindet sich also am Boden.

199

Lösungen

Abitur 2018

Aufgabe B1 (WTR GTR CAS) Gegeben sind die Eckpunkte A( l0 l 2 10), B ( l8 l 8 I 0) und C (12 l 16 I 0) einer Pyramidengrundfläche. Die Spitze der Pyramide befindet sich in der Höhe h = IOm senkrecht über der Mitte der Pyramidengrundfläche. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter. 1.1 Die Koordinaten des Eckpunkts D der Pyramidengrundfläche erhält man mit Hilfe einer Vektorkette:

C

D

A

B

---(

⇒

OD = OA + BC =

D(4 1IO I 0 )

Die Koordinaten der Spitze S der Pyramide erhält man ebenfalls mit einer Vektorkette. Dazu bestimmt man zuerst den Mittelpunkt MAc der Pyramidengrundfläche:

Da sich die Spitze S der Pyramide in der Höhe h

=

10 m senkrecht über der Mitte der

Pyramidengrundfläche befindet, gilt:

1.2 Die Länge einer Metallschiene erhält man, indem man beispielsweise die Entfernung von A zu S berechnet:

AS =

IASI=

(

l~O )

=

✓

2

1

2

2

+ 7 + 10

=

Jtso "' 12,25

Da es vier gleichlange Schienen von jedem Eckpunkt aus gibt, ergibt sich für die Gesamtlänge L:

L

= 4 - V150 ~ 48, 99

Die Gesamtlänge aller Schienen beträgt etwa 49 m.

200

Lösungen

Abitur 201 8

2.1 Die gesuchteEbeneEABS enthältdiePunkteA( lO l 2 I O), B (18 l 8 I 0) undS (ll l 9 l 10).

Sie hat beitelsweise den Stützpunkt A und die beiden Spannvektoren

ÄS = (

Aß= ( ; )

und

7 ) . Damit hat EABS die Parametergleichung: 10 E : X= (

![)

+s (;)

+1( } s,tEfil i~O

Einen Normalenvektor ii von EABS erhält man mit Hilfe des Vektorprodukts (siehe Seite ----t

---t

48) der Spannvektoren AB und AS:

Alternativ kann man ii auch mit Hilfe des Skalarprodukts bestimmen, da ii auf beiden Spannvektoren senkrecht steht. Damit gilt:

(:J (n =O

und

(~) c~o)

= Ü

Daraus ergibt sich das lineare Gleichungssystem:

I II

8 · nx l · nx

+ +

6ny 7-ny

+

I0 ·n;;

0 0

Wählt man in Gleichung I geschickterweise ny = - 8, so erhält man: 8·nx+ 6·( - 8)= 0 :::} nx= 6 Setzt man nx = 6 und ny = - 8 in Gleichung II ein, ergibt sich: 1 -6 + 7 ·(- 8) + 10 · nz = 0 :::} n;: = 5

Damit ergibt sich ein Normalenvektor ii = Die Ebene EABS hat damit die Form:

(-!). 5

E: 6x - 8y + Sz = d 201

Lösungen

Abitur 2018

Die Koordinatengleichung von EAss erhält man, indem man z.B. die Koordinaten des Punktes A( IO l 21 0) in obige Gleichung einsetzt und so die Konstante d bestimmt:

6 -10 -8-2=d

⇒

d=44

Somit hat die Ebene EAss die Koordinatenform EAss : 6x - 8y + 5z = 44. Alternativ kann man eine Koordinatengleichung der Ebene EABS auch mit Hilfe der PunktNormalenform bestimmen:

E ABS

( (

~

)- (

I))·H)

=O

EABs: (x - 10) · 6 + (y- 2) · (-8) + (z - 0) · 5

=0

EABS: 6x- 60 - 8y+ 16 + 5z= 0 EABS : 6x - 8y + 5z = 44 Die Ebene EABS hat somit die Koordinatengleichung EAs s: 6x - 8y + 5z = 44.

2.2 Den Schnittwinkel a der Ebenen EABs : 6x - 8y + 5z = 44 und EADs : 8x + 6y - 5z = 92

= l~r~./~ I, wobei ii 1 = (-: )

erhält man mit der Forme: cos a Ebene EABs und ii 2

= ( _: )

cos a

=

ein Normalenvektor der

ein Normalenvektor der Ebene EADS ist Damit ergibt sich:

In, ·n2I .... I 1n1

.

.... I 1n 2

H)Cn

H) U) 16·8+ (- 8) -6+5· (-5)1 J 62 + (-8)2 + 52. J 82 + 62 + (- 5)2 1-251

v1iliv'125 ⇒

1 5

a ~ 78,5°

Der Schnittwinkel der beiden Ebenen beträgt etwa 78,5°. 202

Abitur 2018

Lösungen

3.1 Da der Kugelmittelpunkt M in einem Abstand von 5 m vertikal unterhalb der Pyramidenspitze S( l 1 1 9 1 10) liegt, ist die z-Koordinate von M um 5 Einheiten kleiner als die z-Koordinate von S. Diex- und y-Koordinaten der beiden Punkte sind identisch. Damit hat der Kugelmittelpunkt die Koordinaten M( l 1 l 9 l 5). 3.2 Um zu untersuchen, ob die Kugel die Seitenflächen der Pyramide berührt, genügt es aus Symmetriegründen, den Abstand von M ( 11 9 l 5) zu einer Seitenfläche, z.B. zu EABS , zu J

berechnen. Hierzu stellt man zuerst eine Lotgerade l auf, die durch M geht und orthogonal zu EABS ist:

L:x=m + t·n

Anschließend berechnet man den Schnittpunkt F von l und E ABS·

Hierzu setzt man den allgemeinen Punkt P1 ( 11 + 6t 1 9 - 8t 1 5 + St ) von / in die Koordinatengleichung von EABS : 6x - 8y + Sz = 44 ein: 6 . ( 11 + 6t ) - 8 · (9 - 8t) + 5 · (5 + St ) = 44 ⇒ t

=

1

5

Setzt man t = ½in P, ein, erhält man die Koordinaten des Schnittpunkts F(12 , 2 17 ,4 16) . Den Abstand d von M zu EABS erhält man, indem man den Abstand von M zu F berechnet:

d = MF =

IMFI =

1, 2 ) (

- 1;6

2

= J 1, 2

+ (-

1,6)

2

+ 1' = Js se 2,24

Die Kugel hat einen Durchmesser von 4 m und damit einen Radius von 2 m. Da der Abstand von M zu einer Seitenfläche größer als der Radius der Kugel ist, berührt die Kugel die Seitenflächen der Pyramide nicht.

203

Lösungen

Abitur 2018

4.1 Für beispielsweise a = 10 und y = 10 erhält man die Punkte P( 10 1 0 1 0) und Q(O l 10 1 20). Der Punkt P liegt auf der x-Achse, der Punkt Q liegt auf der vorderen Dachkante des größeren Gebäudes. z

Q(0110120)

KUGEL

_(;,_;_ y

20

P(I 01010)

A

C

B

X

4.2 In Rechenschritt ( 1) wird die Gleichung einer Geraden durch die Spitze S und den Punkt P angegeben.

In Rechenschritt (2) wird der Ortsvektor des Punktes Q in die Geradengleichung eingesetzt und der Parameter t berechnet, für den der Punkt Q auf der Geraden liegt («Punktprobe»).

In Rechenschritt (3) wird der Parameter t den Parameter a bestimmt. Man erhält a

=

2 in Gleichung I eingesetzt und der Wert für

= 22.

In Zeile (4) ist der Punkt P (22 1 0 1 0) als Ergebnis angegeben. Liegt die Lichtquelle in diesem Punkt P, so befindet sich der Schatten der Pyramidenspitze S im Punkt Q, also auf der vorderen Dachkante des größeren Teils des Firmengebäudes.

204

Lösungen

Abitur 2018

Aufgabe B2 (WTR GTR CAS) Gegeben sinddiePunkteA( l l l l l ), B(0 l 7 12), C(-l 1712) undD(-2 l l l 1). 1.1 Die Ebene E enthält die Punkte A( l l 1 11), B(0 l 7 12), C(- 1 17 12) und D (-2 11 11). Sie hat beispielsweise den Stützpunkt A und die Spannvektoren Aß =

ÄC = (-

(-

~)

und

~ ) . Damit hat E beispielsweise die Parametergleichung: EX = ( : ) + s

n) n} s,t Em +t

1.2 Eine mögliche Koordinatengleichung der Ebene E lautet E: y - 6z = -5. Den Neigungswinkel der Ebene E gegenüber der Ebene des Rollfeldes erhält man mit

der Forme1 cos a

= n,Jn, ·-ii2I n2 _ 1 11

, 1

wo be1· n.... 1 = ( O 1 ) ein Normalenvektor der Ebene E und

-6

n, = (

~ ) ein Normalenvektor der x-y-Ebene ist. Damit ergibt sich: cos a

In, ·n2I

= 1....n1 1. 1....n2 1

U)(n U) 0)

10. 0 + 1 . 0 + (- 6) . 11 J 02+ 12 + (- 6)2 . Jo2+ 02 + l 2 l-61

JTTvT 6

J37 ⇒

a ~ 9 ,46°

Der Neigungswinkel der Ebene E gegenüber der Ebene des Rollfeldes beträgt etwa 9,5 °.

205

Abitur 2018

Lösungen

1.3 Um zu begründen, dass die durch die Punkte A, B, C und D beschriebene Oberseite des Flugzeugflügels trapezförmig ist, bestimmt man die Verbindungsvektoren der Seiten BC und AD:

- -

Wegen AD

= 3 •BC sind die Seiten AD und BC parallel, somit ist das Viereck ABCD ein

Trapez.

2 Da man die Eckpunkte der Oberseite des rechten Flügels durch Spiegelung von A, B, C und D an der x-z-Ebene erhält, ändert sich das Vorzeichen der y-Koordinaten und die Spiegelpunkte A ', B ', C ' und D ' haben folgende Koordinaten: A '( l l - 1 I l ), B '(0 1-712), C ' (- 1 1-7 12) undD '( - 2 1- 1 11). Den größtmöglichen Abstand zwischen zwei einander gegenüberliegenden Eckpunkten der Flugzeugflügel, die sogenannte Spannweite s der Cessna, erhält man, indem man die Länge des Verbindungsvektors von B zu B ' berechnet:

s=

BB' = liIB11 = (-:4 ) = Jo + (- 14)' + 0 = 14 2

2

Die Spannweite der Cessna beträgt 14m.

-

3 In Zeile (I) wird die Gleichung der Geraden g durch die Punkte A und D aufgestellt.

In Zeile (II) wird das Skalarprodukt zwischen dem Vektor AD und einem Vektor von einem Punkt der Geraden g zum Punkt B gleich Null gesetzt, d.h. der Vektor von einem Punkt der Geraden g zu B soll orthogonal zur Geraden g sein. In Zeile (III) wird die Gleichung aus Zeile (II) nach r aufgelöst und der zugehörige Punkt F angegeben, der Lotfußpunkt auf g. In Zeile (IV) wird die Höhe hT des Trapezes ABCD als Länge des Vektors von B zu F bestimmt. In Zeile (V) wird der Flächeninhalt des Trapezes ABCD berechnet, also die Oberfläche des linken Flugzeugflügels.

206

Lösungen

Abitur 2018

y

B

0

1

X

- 1

Die Berechnung von Zeile (III) mit Hilfe von Zeile (II) ergibt:

n)-(I)) ·n)

( ( i ) +r

=O

13r ) ( 3 ) -6 · 0 - 0

(

- 1

0

(1- 3r) · (-3) + (-6) -0 +(- 1) ·0 = 0 - 3 + 9r = 0 1 r= 3

Die Berechnung von Zeile (V) ergibt: AT = ~ ·

=

~

(1ml+ locl) ·IWI (

n) n)) +

6,08

1

=

· (3 + l ) · 6, 08 2

~

12, 16

Der Flächeninhalt eines Flügels beträgt etwa

2 12, 2 m .

207

Lösungen

Abitur 2018

4 Gegeben ist folgendes lineares Gleichungssystem: I

60x

II III

1Ox

+ +

30x

+

90y

5y 5y

+ + +

92z

80

2z 6z

6 14

4 .1 Die Gleichung II hat im Sachzusammenhang folgende Bedeutung: Die herzustellende Aluminiumlegierung soll 6% Zink enthalten. Dieser Zinkanteil der Legierung ergibt sich aus der Summe der Zinkanteile der Grundstoffe G 1 (10% ), G2 (5%) und G3 (2% ), welche jeweils mit den zugehörigen Mengenanteilen x, y und z multipliziert werden. 4.2 Die Lösung des linearen Gleichungssystems erhält man mit dem Gaußschen Eliminierungsverfahren: Subtrahiert man das 6-fache von Gleichung II von Gleichung I und das 2-fache von Gleichung III von Gleichung I, ergibt sich:

Ha

60y

+ +

IIIa

80y

+

I

60x

+

90y

92z

80

80z

44

80z

52

Subtrahiert man das 3-fache von Gleichung IIIa vom 4-fachen von Gleichung Ha, ergibt sich: I

60x

+

Ha

90y 60y

IIIb Aus Gleichung IIIb erhält man : 80z = 20

⇒

+ +

92z

80

80z

44

80z

20

z = 0, 25 .

= 0 , 25 in Gleichung Ha ein, ergibt sich: 60y + 80 · 0, 25 = 44 Setzt man z = 0 , 25 und y = 0 , 4 in Gleichung I ein, erhält man: 60x +90 · 0, 4 + 92 · 0, 25 = 80 ⇒ X= 0 , 35. Setzt man z

⇒

y

= 0 , 4.

Somit erhält man die gewünschte Aluminiumlegierung, indem man 35 % von Grundstoff Gl , 40% von Grundstoff G2 und 25 % von Grundstoff G3 verwendet.

208

Lösungen

Abitur 201 8

Aufgabe Cl (WTR CAS) 1.1 Legt man X als Zufallsgröße für die Anzahl der gewürfelten Einsen fest, so ist X binomi9

alverteilt mit den Parametern n = 100 und p = 12 = 0 , 75 . Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A : «Bei 100 Würfen fällt genau 77-mal die Zahl 1» erhält man mit Hilfe der Binomjalverteilung unter Verwendung des Taschenrechners:

P (A)

~~

~lf

= P(X = 77) = B1 00;0.75(77) ~ 0, 0847 = 8 47%

frv.tv/ci

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A beträgt etwa 8, 4 7 %. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B: «Bei 100 Würfen fällt mindestens 73-mal aber höchstens 81-mal die Zahl l .» erhält man mit Hilfe der kumulierten Binomialverteilung ~,~

(Binomialsurnmenfunktion) unter Verwendung des Taschenrechners: P (B)

= P(73 ~ X ~ 8 1) = P (X ~ 81)- P (X ~ 72) = F 100;0,1s(8 l )- F1 00;0,7s(72) ~ 0 , 9370 - 0 , 2776 = 0 , 6594 = 65 , 94%

~~ frv.tv/ck

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B beträgt also etwa 65 , 94 %. 1.2.1 Die Summe der geworfenen Zahlen ist genau dann gleich 4, wenn bei jedem Wurf ei81 4 ne 1 erscheint. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt p 1 = 0, 75 = 256 . Die Summe der geworfenen Zahlen ist genau dann gleich 8, wenn bei jedem Wurf eine 2 erscheint. Die

1

4

Wahrscheinlichkeit dafür beträgt p2 = 0, 25 = 2 6 . Es gilt: p 1 > p2. Da die Mehrzahl der Seiten des Spielwürfels mit der Zahl 1 beschriftet ist, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der geworfenen Zahlen 4 beträgt, deutlich größer als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der geworfenen Zahlen 8 ist. J .2.2 Einen Hauptpreis erhält eine Spielerin bzw. ein Spieler, wenn die Summe der geworfenen

Zahlen mindestens 7 ist, d.h wenn höchstens einmal eine 1 geworfen wird. Mit Hilfe der kumulierten Binomjalverteilung (Binomialsummenfunktion) unter Verwen~,~

dung des Taschenrechners ergibt sich: P(Hauptpreis)

~~

= P (X ~ 1) = F100;0.1s( l ) ~ 0 ,0508 ~ ~

2 Alternativ kann man die gesuchte Wahrscheinlichkeit auch mit Hilfe der Pfadregeln berechnen: P(Hauptpreis)

= P ( 1222) + P (2 122) + P(22 12) + P(2221) + P (2222) 3

3

3

3

= o, 75 . 0, 25 + o , 75 . 0, 25 + o , 75 . 0,25 +o, 75. 0, 25 + 0 , 25 =

4

13 256 ~ 0, 0508 1

~ 20 1 Da die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptpreis bei etwa 20 liegt, wird auf lange Sicht im Mittel etwa bei einem von zwanzig Spielen ein Hauptpreis vergeben. 209

frv.tv/ck

Abitur 2018

Lösungen

1.2.3 Die Wahrscheinlichkeit, dass man bei vier Würfen genau viermal eine 1 wirft, erhält man mit Hilfe der Pfadregeln (siehe Aufgabe 1.2.1): P ( ll 11 )

= 0 , 75 = ~ 4

256

Somit erhält die Spielerin bzw. der Spieler einen Trostpreis, wenn die Summe der geworfenen Zahlen 4 ergibt. 1.2.4 Die Aussage A 1: «Wird bei einmaligem Werfen des Spielwürfels die geworfene Zahl betrachtet, so handelt es sich um ein Bernoul1i-Experiment.» ist richtig, da es nur die beiden Ausgänge 1 oder 2 gibt. Die Aussage A2: «Wird bei mehrfacher Durchführung des beschriebenen Spiels jeweils festgehalten, ob ein Trostpreis oder ob ein Hauptpreis vergeben wird, so handelt es sich um eine Bernoulli-Kette.» ist falsch, da es neben einem Trostpreis (Augensumme 4) und einem Hauptpreis (Augensumme mjndestens 7) auch noch andere Spielausgänge mit Augensumme 5 oder 6 geben kann. 2.1 Man bezeichnet mit T: «Die Person kauft Trockenfutter.», mit T: «Die Person kauft Nassfutter. », mit L: «Die Person entscheidet sich für eine der beiden Light-Varianten.» und mit L : «Die Person entscheidet sich für eine der beiden normalen Varianten.» Da zwei Drittel der Personen Trockenfutter kaufen und 40% davon sich für die Light-Variante entscheiden, und von den Personen, die Nassfutter kaufen, sich nur 25% für die Light-Variante entscheiden, ergibt sich folgendes Baumdiagramm:

.

Y 2

~·L

!-----

~-L

-~~-L 3

•

i~.L 2.2 Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis L eintritt, erhält man mit Hilfe der Pfadregeln: P(L) = P (TL) + P (TL)

=

2

1

3 .0)4 + 3 .0)25 7 20

=0, 35 Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis L eintritt, 35%.

210

Abitur 2018

Lösungen

2.3 Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei einer der beiden Light-Varianten um Nassfutter handelt, erhält man mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit: -) P (T n L) PL (T = P(L) =

10,·0, 25 = 35

5

21

~ 0 , 2381 = 23 , 81%

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einer der beiden Light-Varianten um Nassfutter handelt, beträgt etwa 23, 8 %. 2.4 Mit Hilfe eines geeigneten Hypothesentests soll überprüft werden, ob der Anteil der Personen, die Trockenfutter kaufen, gestiegen ist. Die Nullhypothese lautet: Ho : p ~ j. Da vermutet wird, dass sich der Anteil erhöht hat, lautet die Alternativhypothese: H 1 : p > j . Wegen H 1 : p >

j handelt es sich um einen rechtsseitigen Test mit dem Ablehnungsbereich

A = {k , ... , 100} und dem Signifikanzniveau a ~ 5 %. Legt man X als Zufallsvariable für die Anzahl der Käufer von Trockenfutter fest, so ist x binomialverteilt mit den Parametern

r

n = l00undp= Es ist also ein minimales k E IN so zu bestimmen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert zwischen k und 100 annimmt, kleiner als a ist, d.h. dass gilt: P (X E A) ~ ex,. Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses erhält man: P (X ~ k) ~ 0 05

1 - P (X ~ k - 1) ~ 0 05 0 ,95 ~ P (X ~ k - 1) Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeit der kumulierten Binomialverteilung unter Verwendung des Taschenrechners ergibt sich:

~[!l [!l~ frv.tv/cl

P(X ~ 73 ) = F 100: j (73 ) ~ 0 .9285

P(X ~ 74) = F 100 ; i (74) ~ 0.9542 ~

Somit ist k - 1 = 74 ==> k = 75 das minimale k und man erhält den Ablehnungsbereich der Nullhypothese: A = {75 , .. . , 100 }. Damit ergibt sich folgende Entscheidungsregel: Wenn unter den 100 Personen, die Futter kaufen, mindestens 75 Personen Trockenfutter kaufen, ist die Nullhypothese zu verwerfen, d.h. der Anteil an Käufern von Trockenfutter hat sich mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5% erhöht.

211

Musteraufgaben 201 9

Musteraufgaben Abitur ab 2019 Tipps ab Seite 221, Lösungen ab Seite 225

Landesabitur 2019 Mathematik (WTR) Grundkurs Analysis Beispiel Bl In der M edizin werden Patienten Medikamente verabreicht, die sich in bestimmten Gewebearten konzentrieren. Für e inen Patienten wird die Masse eines verabreichten M edikaments in einem bestimmten Gewebe in Mikrogramm (µ g) in Abhängigkeit von der Zeit in Stunden seit der Verabreichung des Medikaments im folgenden mode llhaft durch die Funktionen f und g beschrieben. 1 In einem ersten Modell wird die Funktion f betrachtet mit

f (t ) =

1 3 1 2 .. - · t - - · t + t fu r O ~ t ~ 30 900 15 " "

1.1 In Material l ist der Graph von f abgebildet. Beschreiben Sie den zeitlichen Verlauf der Masse des Medikaments in dem Gewebe.

(3 BE) 1.2 Berechnen Sie ohne Bezugnahme auf den Graphen von f die Nullstellen und den Wendepunkt und deuten Sie den Wendepunkt im Sachzusammenhang.

(10 BE) 2 Die Funktionf aus Aufgabe 1 gehört mit a

fa (t ) =

= 30 zu der Schar f a mit

1 2 2 3 · (t - 2a · t + a · t) für 0 ~ t ~ a mit a > 0 2 a

2.1 Berechnen Sie die Extre mstellen von f a- Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.

(4 BE) 2.2 Zeigen Sie, dass zum Zeitpunkt t

= a die Masse des im Gewebe vorhandenen Medika-

ments und die Änderungsrate vo n f a denselben Wert annehmen.

(3 BE) 3 In einem zweiten Modell wird die Funktion g betrachtet mit g(t ) =

4

_ · t· e -0. l·t+ I 9

Im Vergleich zur Funktion! aus Aufgabe 1 nähert die Funktion g die tatsächlich vorhandene M asse des Medikaments noch besser an.

2 12

Musteraufgaben 2019

3.1 Begründen Sie das Grenzverhalten des Graphen von g für t terms von g.

00

anhand des Funktions-

(3 BE) 3.2 In Material 2 ist der Graph von g abgebildet. Vergleichen Sie die beiden Graphen vonf aus Aufgabe 1 (Material 1) und g auch unter Einbeziehung Ihres Ergebnisses aus Aufgabe 3.1, indem Sie wesentliche Gemeinsamkeiten und Unterschiede nennen. (4 BE) 3.3 Für die Wirksamkeit des Medikamentes ist es wichtig, den Zeitraum zu kennen, in dem mindestens 2, Sµg des Medikaments im Gewebe vorhanden sind. Bestimmen Sie für die Funktion g grafisch diesen Zeitraum. (2 BE)

4 Für O < t < 10 haben die beiden Graphen von f aus Aufgabe 1 und g aus Aufgabe 3 keine Schnittstellen. 4.1 Zeigen Sie, dass G mit G (t ) = ( - ~o · t-

4 0 ~ ) • e- 0 , 1·1+ 1

eine Stammfunktion von g ist.

r10 r'o BerechnenSiedenWertvonk = Jo f (t ) dt - } g (t ) dt . 0

(7 BE)

4.2 Deuten Sie den in Aufgabe 4.1 berechneten Wert von k geometrisch im Hinblick auf den Verlauf der beiden Graphen. Deuten Sie den Wert

1

~ 1

im Sachzusammenhang, ohne ihn zu berechnen.

Sollten Sie den Wert von k in Aufgabe 4.1 nicht berechnet haben, verwenden Sie stattdessen k = - 1, 5. (4 BE)

213

Musteraufga ben 2019

Material 1 f(t) 5

H (lOl~o)

4 3

2 1

t 4

8

12

16

20

24

28

Material 2 g (t ) 5

H (I Ol ~o)

4 3

2 1

t 4

214

8

12

16

20

24

28

Mustt;raufgaben 2019

Tipps ab Seite 222, Lösungen ab Seite 229

Landesabitur 2019 Mathematik (WTR/CAS) Grundkurs Lineare Algebra/Analytische Geometrie Beispiel Cl Mit 257 m Gesamthöhe war der Frankfurter Messeturm im Jahr seiner Fertigstellung (1991) das höchste Gebäude in Europa. Der obere Teil des Turmes wird von einer 40 m hohen regelmäßigen Pyramide abgeschlossen, die aus mehreren Teilen besteht (Material 1 und 2). Eine Längeneinheit entspricht im folgenden einem Meter. 1 Der unterste Teil der Pyramide soll als Pyramidenstumpf, von dem die Eckpunkte A (25 1010), B (25 l 25 10 ), C (0 l 25 10) sowie D (0 10 10 ) gegeben sind, näher untersucht werden. Die Spitze der Pyramide liegt bei S ( 12, 5 1 12, 5 l 40) (Material 2). 1.1 Der untere Pyramidenstumpf hat die Höhe 12m. Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte E, F, G und H. [zu Kontrolle: E (21 ,25 l 3,75 l 12), F (21 , 25 l 21 , 25 I I2)]

(5 BE) 1.2 Berechnen Sie den Neigungswinkel der Kante BS gegenüber der Diagonalen BD.

(4BE) 1.3 Die Mittelpunkte der Kanten AB und EF seien M1 und M2. Zeigen Sie, dass die Verbindungsgerade durch MI und M 2 senkrecht auf den Kanten AB und EF steht.

(6 BE) 1.4 Die Seitenflächen des unteren Pyramidenstumpfes sollen mit Glas verkleidet werden. Der Quadratmeterpreis liegt bei 187 ,20 Euro. Berechnen Sie die Kosten für die Verglasung des Pyramidenstumpfes. (4 BE) 2 Ermitteln Sie eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene E, die die Punkte B, C und S enthält. [zur Kontrolle: l 6y + 5z = 400 ist eine Koordinatengleichung der Ebene E.]

(4 BE)

215

Musteraufgaben 2019

3 Zu einem bestimmten Zeitpunkt fallen Sonnenstrahlen in Richtung des Vektors

i1 =

0,6)

- 1,5 ( -0,8

ein.

Der Mittelpunkt eines Luftballons befindet sich zu diesem Zeitpunkt im Punkt L ( - 10 l 70 1 60) Zeigen Sie unter Verwendung von Material 3, dass der Ballon einen Schatten auf die Seitenfläche BCS der Pyramide wirft.

(5 BE) 4 Ein Vogel fliegt am Messeturm vorbei und befindet sich zu einem gewissen Zeitpunkt im Punkt Z ( 15 1 80 1 30). Berechnen Sie den Abstand, den der Vogel zu diesem Zeitpunkt zur Pyramide hat. (6 BE)

5 In einem Souvenir-Laden werden drei verschiedene Modelle des Messeturms angeboten (klein, mittel, groß). An einem Tag werden 3 kleine, 3 mittlere sowie 3 große für insgesamt 84 € und an einem anderen 2 kleine, 5 mittlere sowie 4 große für insgesamt 110 € verkauft.

5.1 Bestimmen Sie ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung des Preises für jede Modellgröße und zeigen Sie, dass der Vektor v =

(

2t

~

2 ) ein allgemeiner Lösungs-

30 - 3t vektor des Gleichungssystems ist. (4 BE)

5.2 Bestimmen Sie die Preise der einzelnen Modelle, wenn das größte Modell doppelt so teuer wie das kleinste Modell ist. (2 BE)

2 16

...

Musteraufgaben 2019

Material 1 Bild: Norbert Nagel/Wikimedia Commons, Licence: Creative Commons Attribution Share Alike 3.0 Unported

Material 2 y

s

y C

Material 3 Ein Punkt P der Ebene F: x= OP 1 + r · P 1P2 + s · P 1P3 liegt genau dann in dem durch die Vektoren -

---------+

---------+

---------+

---------+

P 1P2 und P1 P3 aufgespannten Dreieck, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: (1) 0

~

r

~

1,

(2) O~ s ~ 1,

(3)0 ~ r + s ~ l.

217

Musteraufgaben 2019

Tipps ab Seite 153, Lösungen ab Seite 236

Landesabitur 2019 Mathematik (WTR/CAS) Grundkurs Lineare Algebra/Analytische Stochastik Beispiel C2 1 Laut Bundesamt für Familie und zivilgesellschaftliche Aufgaben absolvierten im Oktober 20 15 bundesweit 37.713 Personen den Bundesfreiwilligendienst (BFD), davon waren 21. 148 Frauen. In Hessen waren es insgesamt 941 Frauen und 819 Männer. 1.1 Geben Sie mit Hilfe der Daten aus dem Text die fehlenden Werte in folgender Tabelle an. Mann

Frau

Summe

BFD in Hessen BFD außerhalb Hessens Summe (3 BE) 1.2 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse: A: Bei einer zufällig ausgewählten Person, die im Oktober 2015 den BFD absolvierte, handelte es sich um einen Mann. B: Eine zufällig ausgewählte Frau, die im Oktober2015 den BFD absolvierte, kommt aus Hessen.

(4 BE)

2 In einer hessischen Großstadt haben sich 5 % der Abiturientinnen und Abiturienten des Abiturjahrgangs 2015 entschieden, nach dem Abitur den Bundesfreiwilligendienst zu absolvieren. Ein Journalist führt für eine Lokalzeitung Interviews mit zufällig ausgewählten Abiturienten und Abiturientinnen dieser Großstadt durch. 2. 1 Bestimmen Sie unter Angabe einer geeigneten Zufallsgöße die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: C: Von 17 interviewten Personen haben sich genau zwei entschieden, nach dem Abitur den Bundesfreiwilligendienst zu absolvieren. D: Von 23 intverviewten Personen haben sich mindestens 4 entschieden, nach dem Abitur den Bundesfreiwilligendienst zu absolvieren. Begründen Sie das von Ihnen gewählte Modell zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten.

218

(6 BE)

Musteraufgaben 2019

2.2 Erklären Sie den Ansatz und das Ergebnis im folgenden Kasten im Sachzusammenhang und geben Sie die fehlenden Zwischenschritte an: Ansatz

P (X ~ 1) ~ 0,95 1 - 0 95n ~ 0, 95

Ergebnis

n ~ 58,4 (6 BE)

2.3 Dem Journalisten stehen noch folgende Informationen zur Verfügung: 55 % der Abiturientinnen und Abiturienten des Abiturjahrgangs der hessischen Großstadt waren weiblich, von diesen haben sich 4 % entschieden, nach dem Abitur den Bundesfreiwilligendienst zu absolvieren. 2.3.1 Stellen Sie den Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar (1. Stufe: Geschlecht). Der Journalist hat eine männliche Person interviewt. Leider hat er vergessen, sich Notizen über deren Zukunftspläne zu machen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich die interviewte Person entschieden hat, nach dem Abitur den Bundesfreiwilligendienst zu absolvieren.

(6 BE)

2.3.2 Unter den Abiturientinnen und Abiturienten des Abiturjahrgangs 2015 der hessischen Großstadt, die sich für den Bundesfreiwilligendienst entschieden haben, wird ein Preis verlost. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Preis an eine Abiturientin verliehen wird.

(3 BE)

3. In der hessischen Großstadt aus Aufgabe 2 wurde an allen Oberstufen eine Werbekampagne für den Bundesfreiwilligendienst gestartet. Die beauftragte Werbeagentur vermutet, dass sich aufgrund dieser Kampagne im Abiturjahrgang 2016 der Anteil der Abiturientinnen und Abiturienten in der hessischen Großstadt, die sich nach dem Abitur für den Bundesfreiwilligendienst entscheiden, gegenüber dem Vorjahr erhöht hat. Um diese Vermutung zu überprüfen, werden 80 zufällig ausgewählte Abiturientinnen und Abiturienten des Abiturjahrgangs 2016 dieser Großstadt befragt, ob sie sich für den Bundesfreiwilligendienst entschieden haben. Es soll ein geeigneter Hypothesentest entwickelt werden. 3.1 Begründen Sie, dass es sich um einen rechtsseitigen Test handelt. Entwickeln Sie im Sachzusammenhang eine Entscheidungsregel auf einem Signifikanzniveau von 5 %.

(6 BE)

219

Musteraufgaben 2019

3.2 Bei der Befragung geben 6 Personen an, dass sie den Bundesfreiwilligendienst absolvieren werden. Beurteilen Sie dieses Ergebnis bezüglich der Vermutung der Werbeagentur. (2 BE) 3.3 Erläutern Sie den Fehler 1. Art und den Fehler 2. Art im Sachzusammenhang. (4BE) k

Binomialsummenfunktion Fn: p (k) =

L (n ·pi · ( l -

p r - i für n

= 80

i= O

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0

0,0874

0,0382

0,0165

0,007 l

0,0030

1

0,3038

0,1654

0,0861

0,0433

0,0211

2

0,5681

0,3748

0,2306

0, 1344

0,0750

3

0,7807

0,6016

0,4284

0,2858

0,1805

4

0,9072

0,7836

0,6289

0,4717

0,3333

5

0,9667

0,8988

0,7892

0,6522

0,5082

6

0,9897

0,9588

0,8947

0,7961

0,6727

7

0,9972

0,9853

0,9534

0,8932

0,8036

8

0,9993

0,9953

0,9816

0,9498

0,8935

9

0,9999

0,9987

0,9935

0,9787

0,9476

10

1,0000

0,9997

0,9979

0,99 18

0,9765

11

1,0000

0,9999

0,9994

0,997 1

0,9904

12

1,0000

1,0000

0,9998

0,9991

0,9964

13

1,0000

1,0000

l,0000

0,9997

0,9987

14

1,0000

1,0000

1,0000

0,9999

0,9996

15

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,9999

16

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

17

l ,0000

1,0000

l ,0000

l ,0000

1,0000

18

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

19

1,0000

l ,0000

1,0000

l ,0000

1,0000

p=

k=

Die Werte 1,0000 und 0,0000 bedeuten: Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten sind gerundet 1,0000 bzw. 0,0000.

220

Musteraufgaben 2019

Tipps

Tipps Aufgabe B1 (Analysis WTR) 1.1 Zu Beginn ist kein Medikament im Gewebe vorhande n, da der Graph von f im Ursprung beginnt. Anschließend nimmt die Masse des Medikaments bis zum Zeitpunkt t den zu. Nach 10 Stunden erreicht die Masse ihren höchsten Wert von

=

10 Stun-

~o Mikrogramm, da

der Graph von f an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt. Danach nimmt die Masse des Medikaments wieder ab; bei etwa t

=

20 Stunden ist die Abnahme am stärksten, da der

Graph von f an dieser Stelle einen Wendepunkt besitzt. Nach etwa 30 Stunden ist kein Medikament mehr im Gewebe vorhanden, da der Graph von f an dieser Stelle eine Null stelle hat. 1.2 Die Nullstellen der Funktion f erhalten Sie, indem Sie die Gleichung f (t )

=

0 nach t

auflösen . Verwenden Sie den Satz vom Nullprodukt sowie die pq- oder a bc-Formel. Den Wendepunkt des Graphen von f erhalten Sie mit Hilfe der 2. und 3. Ableitung von f. Als notwendige Bedingung lösen Sie die Gleichung f "(t) = 0 nach t auf. Setzen Sie den erhaltenen t-Wert in J"' (t ) ein. Falls das Ergebnis ungleich Null ist, handelt es sich um einen Wendepunkt. Den zugehörigen y-Wert erhalten Sie, indem Sie den t-Wert in f (t ) einsetzen. Überlegen Sie, wie die Steigung in eine m Wendepunkt einer Funktion ist. 2. 1 Die Extremstellen von Ja erhalten Sie mit Hilfe der 1. Ableitung von f a- Als notwendige Bedingung lösen Sie die Gleichung

Ja' (t ) = 0

nach t auf; verwenden Sie die pq- oder

abc-Formel .

= a die Masse des im Gewebe vorhandenen Med ikaments und die Änderungsrate von Ja denselben Wert annehmen, setzen Sie t = a in Ja (t )

2.2 Um zu zeigen, dass zum Zeitpunkt t und in Ja ' (t ) ein. Falls fa(a) 3.1 Beachten Sie, dass für t

---+

= Ja' (a) ist, ist dies der Fall.

= die Funktion e-

1

gegen Null geht. Alternativ könne n Sie

auch g(t ) als Bruch schreiben und das Verhalten des Zählers und des Nenners für t

---+

=

1

betrachten. Beachten Sie, dass e schneller gegen Unendlich geht als j ede ganzratio nale Funktion. 3.2 Beschreiben Sie den Verlauf bis zum Hochpunkt, den Hochpunk t selbst und den weiteren Verlauf, d.h . die Annäherung an die t -Achse. 3.3 Bestimmen Sie grafisch die Schnittstellen des Graphen von g mit der Geraden y

=

2, 5.

Überlegen Sie, in welchem Bereich der Graph von g oberhal b der Geraden verläuft. 4 .1 Um zu zeigen, dass G eine Stammfunktion von g ist, bilden Sie die 1. Ableitung von G mit Hilfe der Produktregel. Falls G' (t ) = g(t ) gilt, ist G eine Stammfunktion von g. Den Wert von k

=

fo

10

f (t ) dt -

fo

10

g (t ) d t erhalten Sie mü Hilfe des Satzes der Differential-

und Integralrechnung. Berechnen Sie jedes Integral am besten einzeln . Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f und verwenden Sie G als Stammfunktion von g . 221

Tipps

Musteraufgaben 2019

4.2 Überlegen Sie, was mit Hilfe der Integrale

fo

I0

J(t ) dt und

fo

10

g (t ) dt geometrisch be-

rechnet wird. Beachten Sie, dass für O < t < 10 die beiden Graphen von f und g keine Schnittstellen haben und überlegen Sie anhand des Wertes von k, welcher Graph für 0