Elektrotechnik Ein Grundlagenlehrbuch Studium [17 ed.] 9783834805621, 3834805621

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Programm

Elektrotechnik

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www .viewegteubner.de

Dieter Zastrow

Elektrotechnik

Ein Grundlagenlehrbuch 17., überarbeitete und ergänzte Auflage Mit 527 Abbildungen , 142 Beispielen und 225 Übungsaufgaben mit Lösungen sowie 27 Übersichten als Wissensspeicher

STUDIUM

VIEWEG + TEUBNER

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie ; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1 . Auflage 1977 2 ., durchgesehene Auflage 1978 3 ., überarbeitete und erweiterte Auflage 1980 4 ., verbesserte Auflage 1981 5 ., durchgesehene Auflage 1982 6 ., verbesserte Auflage 1983 7., durchgesehene Auflage 1984 8 ., vollständig überarbeitete Auflage 1987 9 ., verbesserte Auflage 1988 10 ., verbesserte Auflage 1990 11 ., überarbeitete Auflage 1991 12 ., korrigierte Auflage 1993 13., überarbeitete Auflage 1997 14 ., überarbeitete Auflage 2000 15 ., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage 2004 16 . Auflage 2006 17., überarbeitete und ergänzte Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg + Teubner | GWV Fachverlage GmbH , Wiesbaden 2010 Lektorat : Reinhard Dapper

Walburga Himmel

Vieweg + Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science + Business Media . www . viewegteubner.de CT COP Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen , Übersetzungen , Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen . ENCOURT GE CREP Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen , Handelsnamen , Warenbezeichnungen usw . in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen - und Markenschutz -Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften . Umschlaggestaltung : KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Technische Redaktion : FROMM Media Design , Selters / Ts . Druck und buchbinderische Verarbeitung: Ten Brink , Meppel Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in the Netherlands ISBN 978 - 3 -8348 -0562- 1

Vorwort

Dieses Lehrbuch mit seinem ausgeprägten Übungsteil vermittelt die Grundlagen der Elektro technik für alle technologischen Anwendungsgebiete auf einem mittleren mathematischen Niveau und fördert das Verständnis für elektrische Vorgänge und Schaltungen sowie der an zuwendenden rechnerischen und grafischen Analyseverfahren einschließlich der messtechni schen Erfassung der elektrischen Grundgrößen . Für die 17 . Auflage dieses Grundlagenlehrbuches wurde der Lösungsteil neu gestaltet. Die bisher überwiegend mathematisch dargestellten Lösungen der Übungsaufgaben sind jetzt durch ausführliche textliche Erläuterungen und alternative Lösungswege ergänzt worden . Die Resonanz auf die bisherigen Auflagen bestätigt die Annahme, dass ein Grundlagenlehr buch für ein mittleres Niveau der Elektrotechnik eine breite Leserschaft findet im Bereich der Fachschulen (Technikerschulen ) sowie der beruflichen Gymnasien und Berufskollegs sowie im Fachhochschulbereich und Berufsakademien verschiedener Studiengänge zur Begleitung von Grundlagenvorlesungen . Methodisch ist das Buch so gestaltet, dass der Leser sich den Lehrstoff auch selbstständig erarbeiten kann : 42 % des Buchumfangs entfallen auf 142 Beispiele und 225 Übungsaufgaben und deren ausführliche Lösungen im Anhang. Die Übungsaufgaben sind durch besondere Symbole gekennzeichnet, die auf vier unterschied liche Anspruchsniveaus und Zielsetzungen hinweisen :. A

Übungen , die den typischen Lern - und Prüfungsaufgaben entsprechen .

A

Übungen mit Lösungsunterstützung durch Leitlinien und Hinweise.

•

Übungen mit erhöhtem mathematischen oder grafischen Lösungsaufwand.

•

Übungen für das Verständnis von Begriffen , Zusammenhängen und Modellvorstellungen .

Ein den Kapiteln zugeordneter Wissensspeicher kann bei der Vorbereitung auf Prüfungen und für die stets erforderlichen Wiederholungen gute Dienste leisten , da er das Kernwissen in strukturierter Form auf wenigen farbigen Seiten bereithält. Gerne danke ich zum Schluss dem Vieweg + Teubner Verlag für das Eingehen aufmeine Wün sche und die reibungslose Zusammenarbeit . Weitere Verbesserungsvorschläge und kritische Hinweise aus dem Leserkreis sind jederzeit willkommen .

Ellerstadt, Juni 2009

Dieter Zastrow

VII

Inhaltsverzeichnis

Vorwort ... 1

Elektrische Ladung.................... 1. 1 Beobachtungen und Grundannahmen ...... 1 .2 Atomistische Deutung............. 1 . 3 Ladungstrennung und elektrisches Feld ......... 1 .4 1 .5

2

Ladungsträger ............. Übungsaufgaben ..............

Elektrische Spannung........ 2 .1 Energietransportaufgabe des Stromkreises ............... 2 .2 Spannung als Kennwert eines Arbeitsvermögens ....... 2 .3 Spannung als Potenzialdifferenz..... 2 .4 Potenzialgefälle und Feldstärke ......... 2 .5 Potenzial- und Spannungsmessung . ............ 2 .6 Spannungszählpfeile ............. 2.7

3

Übungsaufgaben .....

Elektrische Strömung .......... 3 . 1 Stromrichtung und Stromstärke ...... 3 . 2 Zeitlich konstante Strömung .......... 3 .3 Zeitlich veränderliche Strömung ... 3 .4 Transportierte Ladungsmenge ...... 3 .5 Messen der Stromstärke............. 3 .6 Stromdichte ...... .. 3 .7

4

Übungsaufgaben ................

Elektrischer Widerstand . 4 .1 Widerstandsbegriff... 4 . 2 Lineare Widerstände ....... 4 . 3 Nichtlineare Widerstände ......... 4 .4 Ohm ' sches Gesetz und Leitungswiderstand..... 4 .5 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes ..... 4 .6

5

Übungsaufgaben .............

Grundstromkreise .......... ...... 5 .1 Grundgesetze der Stromkreise . 5 . 2 Reihenschaltung von Widerständen ... .. 5 . 3 Parallelschaltung von Widerständen ...... 5 .4 5 .5 5 .6

Spannungsquelle mit Innenwiderstand ..... Stromquelle mit Innenwiderstand ........... .... ........ Übungsaufgaben ..

VIII

6

Inhaltsverzeichnis

Energieumsetzung im

Verbraucher......

6 . 1 Elektrische Arbeit ..... 6 . 2 Joule ' sches Gesetz .............. 6 . 3 Elektrische Leistung ........ .. 6 .4 Strom - und Spannungsabhängigkeit der Leistung ..... 6 . 5 Nennleistung ........... ...... 6 .6 Energieumwandlung und Wirkungsgrad ... .. 6 .7 6 .8 6 .9 7

8

Energieübertragung und Wirkungsgrad ..... Leistungsanpassung .............................................. ............................... Übungsaufgaben ...........

Verzweigte Stromkreise ............

. . . . ... ...

7 .1 7 .2 7. 3 7.4

Lösungsmethodik Lösungsmethodik Lösungsmethodik Lösungsmethodik

7 .5

Lösungsmethodik Ersatzschaltung ................

7.6

Übungsaufgaben ...........

Netzwerke..

für verzweigte Stromkreise mit bekannten Widerstandswerten für verzweigte Stromkreise mit mehreren Bedingungen ........ für Schaltungen mit einem nichtlinearen Widerstand . ... ... . ... ...... für Brückenschaltungen ....

78 81

. . .. . . ..

8 . 1 Netzwerk .. 8 .2 Kreisstromverfahren ... 8 .3 Überlagerungsmethode. 8 .4 Übungsaufgaben ... 9

Ersatzquellen .. 9. 1 Ersatzschaltungen ...... 9 .2 Ersatzspannungsquelle ...... 9 .3 Ersatzstromquelle . 9 .4 Vergleich der Ersatzquellen 9 .5 Ersatzschaltungen zur Nachbildung nichtlinearer l- U -Kennlinien ....... saufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Übungsaufgaben

103 104 107 109

10 Eigenschaften und Bemessung des Spannungsteilers.. 10 . 1 10 .2

Leerlauffall . .......... Belastungsfall .........

10 .3 10 .4

Linearitätsfehler des belasteten Spannungsteilers.... Dimensionierung des Spannungsteilers ........... Übungsaufgaben ....

10 .5

11 Elektrostatisches Feld .

.. . ......

109 111 113 116 118 120

11. 1 Elektrostatisches Feld des Plattenkondensators .. 11. 2 Kapazität .........

120 121

11.3 11. 4

Kapazitätsberechnung............. Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren ..... .....

11.5

Kapazitive Kopplung von Stromkreisen ............

122 128 131

Inhaltsverzeichnis

11.6 Energie des elektrostatischen Feldes .......... 11.7 Kräfte im elektrostatischen Feld ............. 11. 8 Übungsaufgaben

.....

143

12 Ladungsvorgänge bei Kondensatoren .... 12 . 1 12 .2 12.3 12 .4

Aufladung des Kondensators mit konstantem Strom ..........

. . ..

143

.....

144 149 153

Kondensatoraufladung über Vorwiderstand an konstanter Spannung ........... Entladung des Kondensators über einen Widerstand ....... Übungsaufgaben

154

13 Magnetisches Feld .............................................. 13 .1 13 .2 13 .3

Magnetfeld des stromdurchflossenen Leiters.................. Induktivität.... CUI U I ............ ..... ....... ... ... .... ... ... ... ...... ... .... .. .... .. ... .... ... ... ... . Induktivitätsberechnung

13 .4 Magnetische Eigenschaften des Eisens...... 13 .5 Magnetischer Kreis...... 13 .6 Magnetische Energie der Spule .............................................. 13 .7 Hystereseverluste ......... 13 .8 Kraftwirkungen ........ 13 . 9 Übungsaufgaben ....... ........ ... ... ....

154 155 156 163 ...

14 Induktion ..... 14 .1 14 .2 14 .3 14 .4 14 .5 14 .6

181 182 187 188 193 196

15 Schaltvorgänge bei Spulen in Gleichstromkreisen Einschaltvorgang . Abschaltvorgang .

15 .3

Übungsaufgaben .

16 Sinusförmige Änderungen elektrischer Größen ..... 16 .1 Darstellung sinusförmiger Größen ................. 16 .2 Frequenz, Kreisfrequenz ................. 16 . 3 Übungsaufgaben ... 17 Mittelwerte periodischer Größen.......... 17. 1 17 . 2

Arithmetischer Mittelwert: Gleichanteil der Größe Gleichrichtwert . ... ........

17 .3 17 .4 17 .5

Quadratischer Mittelwert: Effektivwert der Größe .. Scheitelfaktor (Crestfaktor) .............. Formfaktor ......

17 .6

Übungsaufgaben .............

166 167 171 172 179 181

Induktion in der Leiterschleife ....... Induktionsgesetz .. ... .. Induktionsspule.. ..... Generatorprinzip ................ Selbstinduktion .................. Übungsaufgaben .................

15 .1 15 . 2

133 135 140

198 198 202 205 208

..

208 213 216 217 217 219 220 223 226 227

Inhaltsverzeichnis

18 Addition frequenzgleicher Wechselgrößen .............. 18 .1 18 .2 18 .3

Nullphasenwinkel, Phasenverschiebungswinkel.. Addition von Wechselspannungen ...... Subtraktion von Wechselspannungen ........... ......

18.4

Übungsaufgaben .....

19 Idealer Wirkwiderstand im 19 . 1 19 .2 19 .3 19 .4

Phasenlage zwischen Strom und Spannung .................. Leistungen und Energieumsetzung..................... Ohm ' sches Gesetz , Wirkwiderstand.................. Übungsaufgaben .

20 Idealer Kondensator im 20 .1 20 . 2 20 .3 20 .4

Wechselstromkreis .

Wechselstromkreis .............

Phasenlage zwischen Strom und Spannung ...... Leistung und Energieumsetzung ............ Ohm 'schesGesetz, kapazitiver Blindwiderstand ............ Übungsaufgaben ......

21 Ideale Spule im Wechselstromkreis .................... 21. 1 21.2 21.3 21.4

Phasenlage zwischen Strom und Spannung ......... . . . .. .. . Leistung und Energieumsetzung .... Ohm 'sches Gesetz, induktiver Blindwiderstand ... Übungsaufgaben ...

22 Grundschaltung im Wechselstromkreis 22. 1

22.2

22.3

229 231 233 235 236 236 237 239 241 242 242 243 245 247 248 248 249 251 253 254

Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator....... 22 . 1. 1 Phasenlage zwischen Strom und Spannung ...... 22. 1.2 Ohm 'sches Gesetz , Scheinleitwert ........ 22.1. 3 Ersatzschaltung des verlustbehafteten Kondensators ..... 22 . 1. 4 Energieumsetzung .... 22 . 1 . 5 Leistung . . .. . . . .. Reihenschaltung von Widerstand und Spule ......... 22 . 2 . 1 Phasenlage zwischen Strom und Spannung ... .... .. 22 .2 .2 Ohm 'sches Gesetz , Scheinwiderstand..... 22.2 .3 Ersatzschaltung der verlustbehafteten Spule ohne Eisen ......... 22 .2 .4 Energieumsetzung, Leistung ...........

254 254 256 257 258

Übungsaufgaben .............

267

23 Einführung der komplexen Rechnung................ 23 .1

229

Komplexe Darstellung von sinusförmigen Größen ..... 23.3 .1 Äquivalente Schaltung........... 23.3 .2 Komplexer Widerstand von Netzwerken ................... 23. 3 . 3 Komplexeer Spannungsteiler .......... 23. 3.4 Komplexer Stromteiler 23. 3 . 5 Besondere Phasenbedingung .....

260 262 262 264 265 266

268 268 276 277 279 280 281

Inhaltsverzeichnis

23 .2 23. 3

23.4

Definition der Widerstands- und Leitwert-Operatoren ............... Standard -Problemstellungen für komplexe Rechnung .................. 23.3 . 1 Äquivalente Schaltung ................ 23.3 .2 Komplexer Widerstand von Netzwerken ......................... ... 23.3 .3 Komplexer Spannungsteiler ............................................................. 23.3.4 Komplexer Stromteiler ...... 23.3 .5 Besondere Phasenbedingung ............. .............................. Schaltungsanalyse mit Hilfe von Zeigerdiagrammen ...... 23.4 .1 Zeigerdiagrammtechnik ............ 23.4 .2 Zeigerdiagramm einer Phasenschieberschaltung ........ 23.4 .3 Zeigerdiagramm zur Blindstromkompensation .......

23. 5

23.4 .4 Zeigerdiagramm der eisengefüllten Spule ............... Ortskurven .......

23.6

Übungsaufgaben .....

24 Frequenzgang von RC -Übertragungsgliedern .. 24 . 1

279 280 281 282 282 283 284 287 290 296 298 298

24 .2 24 . 3

Frequenzgang . . .. ..... . .. Tiefpass ............... Hochpass . . .. ......

24.4 24 .5

Bandpass ............. Allpass (Phasendrehbrücke) ...............

303 305 307

24.6

Übungsaufgaben .........

308

25 Schwingkreis, Resonanzkreis ................ 25 . 1 25 .2

25 .3

25 .4 25.5 26

273 276 276 277

Schwingkreis und freie Schwingung ... Reihen -Resonanzkreis ... 25. 2 . 1 Resonanzfrequenz und Resonanzwiderstand 25 .2.2 Resonanzkurven bei Spannungssteuerung des Reihenkreises .. Parallel-Resonanzkreis 25. 3. 1 Resonanzfrequenz und Resonanzwiderstand 25. 3.2 Resonanzkurven bei Stromsteuerung des Parallelkreises . ...... Bandbreite und Kreisgüte . Übungsaufgaben .

299

309 309 314 315 317 319 319 320 322 323

Transformatoren ...

325

26 . 1 Gesetze des idealen Transformators . ...... 26 .2 Realer Transformator ... ..... ...... 26 .3 Strom - und Spannungsverhalten des realen Transformators...... 26 .4 Übungsaufgaben ..............

325 329 332 336

27 Dreiphasensystem ........................ 27 .1 27 .2 27.3 27.4 27 .5

Drehstromquelle ...

.. ... ... ... ... ...... ......... ........ ... ..... .... Verkettungsmöglichkeiten ..... Potenzialdiagramm des Vierleiter -Dreiphasensystems... Spannungen und Strömebei Sternschaltung der Verbraucher............. Spannungen und Ströme bei Dreieckschaltung der Verbraucher.. ...

337 337 338 340 341 344

XII

Inhaltsverzeichnis

27.6 27.7 27 .8

Leistung bei Drehstrom .. Erzeugung eines magnetischen Drehfelde Übungsaufgaben .......

Lösungen der Übungen....... Memory . . .. .. . .. . ... .. .. .. . .. . Sachwortverzeichnis ..

345 347 348

1 Elektrische Ladung

Die vielfältigen elektrischen Erscheinungen werden zurückgeführt auf die Wirkung von ruhen den oder bewegten elektrischen Ladungen .

1. 1 Beobachtungen und Grundannahmen Eine bekannte Erscheinung des täglichen Lebens ist das Entstehen von Kontaktspannungen durch elektrische Aufladung. So wurden beim Begehen eines synthetischen Teppichbodens die in Bild 1. 1 angegebenen Zusammenhänge ermittelt.

der Aufladung Intensität

. el

6000 + Volt 4000

Versuchsende Entladung gegen die Luft

000

Zeit des Begehens

Bild 1 . 1 Elektrische Aufladung durch Reibung ( Quelle: Halbleiterstress mit Folgen , Techni sche Informationen 2 /78 Grundig )

Neben den Kontaktspannungen können auch Kraftwirkungen nichtmechanischer Art beobach tet werden . So stoßen sich geriebene Glasstäbe gegenseitig ab , ebenso auch geriebene Kunst stoffstäbe, während geriebene Glasstäbe geriebene Kunststoffstäbe anziehen . Die Kraftübertra gung erfolgt berührungslos. Wichtig ist ferner, dass der durch Reibung entstandene elektrische Zustand auf andere Isolierstoffe oder isoliert aufgestellte Leiter (Metalle ) übertragbar ist.

Schreibstift Papier

Schlitten Taste

Bild 1 . 2 Anwendung elektrostatischer Kräfte : Papier ,,spannen “ bei y - t-Schreibern , Plottern etc .

Die Erscheinungen der Reibungselektrizität führten zur Annahme von der Existenz elektrischer Ladungen . Die Elektrotechnik beginnt mit folgenden Grundannahmen : •

Es gibt eine übertragbare physikalische Quantität, die für die beschriebenen Aufladungs und Krafterscheinungen verantwortlich ist; sie soll elektrische Ladung heißen .

•

Man muss zwei verschiedene Ladungen unterscheiden , eine positive Ladung (+ ) und eine negative Ladung ( . Zwischen gleichnamigen Ladungen existieren abstoßende und zwischen ungleichnamigen Ladungen anziehende Kräfte .

1 Elektrische Ladung

.

Der Raum zwischen diesen elektrischen Ladungen , in dem die abstoßenden und anziehen den Kräfte wirken , soll elektrisches Feld heißen . Es dient der Erklärung der berührungslo sen Kraftübertragung (vergleichbar dem Gravitationsfeld , das Kräfte aufMassen ausübt ).

1 . 2 Atomistische Deutung Die Herkunft elektrischer Ladungen erhielt zeitlich später eine atomistische Deutung. Nach dem Bohr 'schen Atommodell bestehen Atome aus einem Kern und einer Hülle . Der Kern wird aus positiv geladenen Protonen und elektrisch neutralen Neutronen gebildet, während auf den verschiedenen Schalen der Hülle negativ geladene Elektronen kreisen .

negatik native

Bild 1. 3 enbille

Modell eines Kupferatoms 29 Protonen Kern 34 Neutronen Hülle 29 Elektronen

Elektronen und Protonen haben verschiedene Massen , tragen aber gegensätzliche elektrische Ladungen von gleicher Größe . Das geringste Quantum an negativer Ladung ist die Ladung eines Elektrons. Die kleinstmögliche positive Ladung ist die eines Protons. Eine beliebige elektrische Ladung Q setzt sich demnach aus dem Vielfachen N der kleinstmög lichen Ladung, der sogenannten Elementarladung te, zusammen . Q = N . (te ) Die Einheit der elektrischen Ladung Q ist wie folgt festgelegt: [ Q ] = 1 Coulomb = 1 Amperesekunde :

1 C = 1 As

Vollständige Atome weisen gleich viel Elektronen in der Hülle wie Protonen im Kern auf, sodass sie nach außen als elektrisch neutral auftreten . Auch in einem elektrisch neutralen Kör per wie beispielsweise einem Kupferdraht ist die Summe aller positiven und negativen Ladun gen gleich null . Das elektrische Gleichgewicht innerhalb eines Atoms kann durch Entnahme eines oder mehre rer Elektronen gestört werden , sodass ein positiv geladenes Ion entsteht. Man nennt diesen Vorgang Ionisation . Der Mangel an Elektronen ist gleichbedeutend mit einem Ü berschuss an nichtkompensierten positiven Kernladungen und stellt somit eine positive Ü berschussladung dar. Umgekehrt entstehen negative Ladungen durch Elektronenüberschuss. Ein Atom , dem ein oder mehrere Elektronen zugeführt werden , wird durch den Vorgang der Anlagerung zu einem negativ geladenen Ion .

1.3 Ladungstrennung und elektrisches Feld

1 .3 Ladungstrennung und elektrisches Feld Positive und negative Ladungen werden nicht „ erzeugt“ , sondern auf der Grundlage des be schriebenen elektronischen Aufbaus der Materie durch den Vorgang der Ladungstrennung verfügbar gemacht. Die verschiedenen technischen Verfahren der Ladungstrennung erfordern einen Energieaufwand. Satz von der Erhaltung der Energie kann diese Fähigkeit , Arbeit zu verrichten , nicht verloren gehen . Als Gegenwert für den Energieaufwand zum Trennen ungleichnamiger elektri scher Ladungen gegen deren Anziehungskräfte erhält man ein elektrisches Feld , in dem ein Arbeitsvermögen gespeichert ist. Das elektrische Feld ist ein Energieraum , wie im Vergleich ein Gravitationsfeld ebenfalls ein energieerfüllter Raum ist. Die getrennten elektrischen La dungen übernehmen dabei die aktive Rolle der Felderzeugung , und der zwischen ihnen liegen de Raum ist Träger und Sitz einer besonderen Form von Energie , die man elektri sche Feldenergie nennt. Das so entstandene elektrische Feld wird durch Feldlinien veranschau

Nach dem

licht, die bei den positiven Ladungen (+ 2 ) beginnen und bei den negativen Ladungen (- 2 ) enden .

04

Bild 1. 4 Elektrisches Feld zweier unter Energieaufwand getrennter ungleichnamiger elektrischer Ladungen . Zum Nachweis des elektrischen Feldes befindet sich dort eine sehr kleine positive Probeladung + q , auf die eine Kraft F ausgeübt wird .

Bild 1.4 zeigt ein elementares elektrisches Feld , verursacht durch die getrennten elektrischen Ladungen + und - Q . Als Nachweis für die im Feld vorrätige Energie dient die Tatsache, dass eine in das elektrische Feld eingebrachte kleine Probeladung + g eine mechanisch nicht erklär bare ( elektrische) Kraft F erfährt. Dem elektrischen Feld wird am Ort der Probeladung + g eine elektrische Feldstärke zugeschrieben , die unabhängig davon ist, ob + nicht.

dort vorhanden ist oder

Kraft auf Ladung Elektrische Feldstärke = Ladung Elektrische Ladungen üben also eine Doppelfunktion aus. In ihrer aktiven Rolle wirken die durch Ladungstrennung entstandenen positiven und negativen Ü berschussladungen + Q und - Q felderzeugend, und in ihrer passiven Rolle unterliegen sie als elektrische Objekte (Probe ladungen ) dem Krafteinfluss eines fremden elektrischen Feldes. Unter einem elektrischen Feld stellt man sich allgemein einen Energieraum vor, in dem auf Ladungsträger elektrische Kräfte ausgeübt werden . Jede Stelle eines elektrischen Feldes zeich net sich dadurch aus, dass auf eine dort befindliche Ladung eine Kraft ausgeübt wird . Diese Kraft kann durch einen Pfeil dargestellt werden . Zeichnet man genügend viele Pfeile , so wird

1 Elektrische Ladung die Richtungsstruktur des Feldes augenscheinlich . Ersetzt man die Pfeile durch fortlaufende Linien , dann wird das Feldbild übersichtlicher, jedoch geht zunächst die Kraftangabe, die durch die Pfeillänge gegeben war, verloren . Deshalb werden die Linienabstände umgekehrt proportional den Beträgen der Feldkraft aufgetragen . Es bedeuten also große Feldlinienabstän de kleine Feldkräfte und umgekehrt. Die Darstellung eines elektrischen Feldes heißt Feld linienmodell. Bild 1.5 zeigt einen Ausschnitt aus einem homogenen elektrischen Feld . Bei einem homogenen Feld laufen die Feldlinien parallel und haben überall und untereinander den gleichen Abstand . Durch die ausschnitthafte Darstellung erspart man sich detaillierte Angaben über die Art und Weise der Ladungstrennung .

Bild 1. 5 Kraftwirkung auf eine positive elektrische Ladung im homogenen elektrischen Feld ( ohne Darstellung der Entstehungsursache des elektrischen Feldes). Die elektrische Feldstärke E ist entsprechend der Kraft F eine gerichtete Größe (Vektor). Bei positiver Ladung + stimmen Kraft- und Feldstärkerichtung überein , bei negativer Ladung Q zeigt F entgegen E .Man interpretiert die elektrische Feldstärke E als eine Zustandsgröße des elektrischen Feldes, die unabhängig von der in das elektrische Feld eingebrachten Ladung Q ist, während die elektrische Kraft F vom Betrag und dem Vorzeichen der Ladung abhängig ist und somit keine Zustandsgröße des elektrischen Feldes sein kann . Definitionsgleichung : IN Einheit Einheit IN 1 As

E =6

V

(1)

In Worten : Die elektrische Feldstärke E an einem Ort ist gleich dem Quotienten aus der Kraft F auf die Ladung Q . Die Einheit „ Newton “ gilt für alle Arten von Kräften also auch für elektri sche Kräfte. Die Einheit „ Amperesekunde “ wurde für die Ladungsmenge bereits eingeführt. Beispiel Welche Kraft F wird auf ein Elektron ausgeübt, wenn am Ort im elektrischen Leiter die elektrische Feld stärke E = , 16 V / m beträgt ? Für die Elementarladung der Elektronen wurde - e = 1. 602 · 10 - 19 As durch Messungen ermittelt. Lösung : E =

mit

Q = e = - 1,602 - 10 - 19 As

F = Q• E = - 1,602· 10- 19 As • ,16 As Fă - 256 · 10 -22 N (Minus bedeutet: das negative Elektron wird gegen die Feldrichtung bewegt.)

1 .4 Ladungsträger

1.4 Ladungsträger Als Ladungsträger bezeichnetman in der Elektrotechnik bewegliche elektrische Ladungen , die Stromleitungsvorgänge ermöglichen . Das Vorhandensein oder Fehlen von Ladungsträgern ist das Kriterium , mit dem die Werkstoffe der Elektrotechnik in Leiter, Halbleiter und Nichtleiter (Isolatoren ) unterschieden werden . Die gute elektrische Leitfähigkeit der Metalle beruht auf deren Elektronenleitung. Die Metall atome werden durch Zufuhr von Wärmeenergie aus der Umgebung ionisiert. Es bildet sich ein sogenanntes Elektronengas, bestehend aus den von der Elektronenhülle der Atome abgetrenn ten und deshalb leicht beweglichen Elektronen . Insgesamt ist das Metall jedoch elektrisch ungeladen .

ao Oooo oro

Bild 1 .6 Zur Veranschaulichung der Elektronenleitung: Raumgitter eines Metalls mit Elektronengas. In ionisierten Gasen oder elektrisch leitenden Flüssigkeiten (Elektrolyten ) kommen neben den positiv geladenen Ionen auch negativ geladene Ionen vor. Elektrolyte werden durch den La dungstransport chemisch verändert, dh sie beruhen auf lonenleitung , die im Gegensatz zur Elektronenleitung ein Materietransport ist . Ideale Isolatoren haben keine beweglichen Ladungsträger. Diese Stoffe können jedoch elekt risch geladen werden , sie verfügen dann über ortsfeste elektrische Überschussladungen , die felderzeugend wirken . Elektrische Felder sind nur in Isolatoren selbstständig existent, da die Nichtleiter wegen ihrer fehlenden elektrischen Leitfähigkeit den selbstständigen Ausgleich von Überschussladungen verhindern . In elektrischen Leitern können wegen der gegebenen Leitfä higkeit elektrische Felder nicht selbstständig existieren . Nur durch ständigen Energieaufwand können felderzeugende Überschussladungen aufrecht erhalten werden . Einen Sonderfall stellen die Halbleiter dar. Werkstoffe wie Germanium und Silizium sind in reinster Ausführung bei tiefen Temperaturen praktisch Nichtleiter. Mit steigender Temperatur reißen Gitterbindungen auf und es entstehen Elektronen (- ) und Defektelektronen , sog. Löcher ( + ) als bewegliche Ladungsträger. Diese temperaturabhängige Leitfähigkeit wird Eigenleitung genannt. Halbleitern kann aber auch eine temperaturunabhängige Leitfähigkeit gegeben wer den , indem einige Atome ihres Gitterverbandes durch Fremdatome ersetzt werden , die sich in ihrer Wertigkeit vom Grundgitter unterscheiden . Dieser Einbau von Störstellen wird Dotierung genannt und führt je nach Art der Dotierung zu einem Überschuss von Elektronen beim Halb leiter n - Typ und Defektelektronen beim Halbleiter p - Typ . Diese künstlich erzeugte Leitfähig keit der Halbleiter wird als Störstellenleitung bezeichnet.

1 Elektrische Ladung

1.5 Übungsaufgaben A

Übung 1. 1 : Elektronengas und Elektronenüberschuss In einem elektrischen Leiter mit dem Querschnitt von 10 mm2 und 1 m Länge befindet sich eine nähe rungsweise berechenbare Anzahl x von Elektronen , die als Ladungsträger zur Verfügung stehen . Zwei dieser elektrischen Leiter bilden die Anschlussleitung zu einem Generator, der durch seine Arbeit in einer Leitung einen Minuspol und in der anderen Leitung einen Pluspol erzeugt. Der Minuspol sei eine Stelle mit Elektronenüberschuss und der Pluspol eine Stelle mit einem gleich großen Elektronenmangel. a ) Berechnen Sie die Anzahl x der freien Elektronen in jedem Leiter, wobei anzunehmen ist, dass jedes Atom dem Elektronengas ein freies Elektronen zur Verfugung stellt und n = 104 Atome in 1 cm Material vorhanden sind. b)

A

Am Minuspol sei ein sogenannter Elektronenüberschuss von = , 16 uAs vorhanden . In welchem Verhältnis steht der durch den Generator erzeugte Elektronenüberschuss zur Gesamtmenge der freien Elektronen in einer Leitung ? Die Elementarladung eines Elektrons wurde durch Messungen auf - e = 1,602 · 10 - 19 As festgelegt.

Übung 1.2 : Einheitsladung und Elementarladung Die Einheitsladung ist die Ladungsmenge ( = 1 C = 1 As. Die Elementarladung von Elektronen wird nach Messungen mit - e = 1,602 · 10 -19 As angegeben . Ein Akkumulator wird durch Stromentnahme zu 80 % entladen . Wie groß ist die Anzahl der in einem Leiter geflossenen Elektronen , wenn die Kapazität eines Nickel Cadmium -Akkus mit ges = 600 mAh angegeben ist ? Unter der Kapazität eines Akkumulators wird die lieferbare Ladungsmenge verstanden . Übung 1.3 : Warnung Auf einer Leiterplatte sind hochintegrierte elektronische Bauteile montiert. Die Leiterplatte wird in einer Verpackung geliefert, die mehrere Textaufdrucke in Druckschrift zeigt: Recloseable Static - Shielding Bag .

Attention Contents Static Sensitve Handling Precautions Required

Wovor wird aus welchem Grund gewarnt? •

Übung 1.4 : Elektrische Feldstärke Im Physikunterricht der Schule wurde das „ Coulomb' sche Gesetz “ behandelt, mit dem man die Kraft zwischen zwei Punktladungen und berechnen konnte , deren Abstand r ist: F =

41 . Er • E0

r

85 .. 10 -- 12 12 AS - mit ε = 1 (für Luft) und Eo =- 88., 85 V m

(Naturkonstante )

Die Kraft zwischen zwei Ladungen ist hierbei ohne Vorhandensein eines elektrischen Feldes berechenbar . Erklärtman den gleichen Sachverhalt mit dem Feldmodell, so kommtman zum gleichen Ergebnis, jedoch auf der Grundlage einer allgemein gültigeren Vorstellung. a ) Berechnen Sie die Kraft F mit dem Coulomb' schen Gesetz für zwei ungleichnamige elektrische Punktladungen Q , und Q2, deren Betrag 10 nC sei und deren Abstand r = 2 cm ist. Betrachten Sie die Punktladung Q , als die felderzeugende Ladung, die am Ort von Q2 eine Feldstärke E erzeugt. Stellen Sie eine Beziehung für die Feldstärke E auf und berechnen deren Betrag und mit diesem die Kraft auf Q2.

2 Elektrische Spannung

Elektrische Spannung ist ein zentraler Begriff der Elektrotechnik mit vielen Aspekten . In die sem Kapitel soll die elektrische Spannung hauptsächlich als eine aus der Energietransportauf gabe des Stromkreises abgeleitete elektrotechnische Größe eingeführt und ihr Zusammenhang mit dem messtechnisch wichtigen Begriff des elektrischen Potenzials entwickelt werden .

2 .1 Energietransportaufgabe des Stromkreises Ein Stromkreis, wie in Bild 2 .1 gezeigt, stellt ein geschlossenes elektrisches System dar, das aus einem Erzeuger (Energiequelle ), einer Übertragungsleitung und einem Verbraucher (E nergiesenke) besteht und der Energieübertragung dient. Das System funktioniert als geschlos sener Wirkungskreislauf. Erzeuger und Verbraucher sind Umformorte für Energie . Im Erzeu ger wird zugeführte nichtelektrische Energie in elektrische Energie umgeformt. Im Verbrau cher wird die elektrische Energie in gewünschte nichtelektrische Energie umgewandelt , womit der Stromkreis seine Energietransportfunktion erfüllt hat. Der Vorgang der Energieumwand lung in den Umformorten wird in der Physik als verrichtete Arbeit bezeichnet. Erzeuger

W

uz

HL

Verbraucher

Wel

Wab

RL Bild 2 . 1 Energieübertragung im Stromkreis durch das elektrische Feld W Wh

zugeführte nichtelektrische Energie abgegebene nichtelektrische Energie übertragene elektrische Energie

HL RL

Bewegungsrichtung der Ladungsträger Hinleitung Rückleitung

Die Übertragung elektrischer Energie in Stromkreisen ist nichtmechanisch anschaulich , son dern nur modellhaft erklärbar. Als Denkmodell verwendet man das bereits eingeführte elektri sche Feld , unter dessen Einfluss sich vorhandene Ladungsträger in elektrischen Leitern bewe gen können . Im Bild 2 .2 ist das elektrische Feld durch Feldlinien dargestellt. Ein elektrisches Feld besteht im Erzeuger , im Verbraucher und innerhalb sowie zwischen den Übertragungslei tungen als energieerfüllter Raum . Elektrische Felder in Stromkreisen müssen erzeugt und auf recht erhalten werden , das ist die Aufgabe der Erzeuger, die auch als Energiequellen (kurz : Quellen ) bezeichnet werden . In Bild 2 . 2 ist schematisch dargestellt, dass in einer elektrischen Energiequelle eine eingeprägte ladungstrennende Kraft Fe auf die Ladung +

wirkt. Dabei

wird unter Aufwand von nichtelektrischer Energie an einer Stelle ein Überschuss positiver Ladungen (Pluspol) und damit an anderer Stelle ein gleich großer Überschuss negativer La

2 Elektrische Spannung dungen (Minuspol) erzeugt. Im Falle der zunächst unbelasteten Quelle (keine Stromentnahme) verschieben sich unter dem Einfluss der eingeprägten Kraft Fe die beweglichen Ladungsträger, sodass als Gegenwert für die energieaufwändige Ladungstrennung ein entgegenwirkendes elektrisches Feld mit der Feldstärke E entsteht, in dem ein Arbeitsvermögen (Energie ) gespei chert ist. Das erzeugte elektrische Feld übt gemäß Gl. (1 ) eine Gegenkraft F auf die Ladungs träger aus. Die Ladungtrennung und damit auch die Felderzeugung wird soweit fortgesetzt, bis die Gegenkraft F auf den Betrag der eingeprägten ladungstrennenden Kraft Fe angewachsen ist. Das Arbeitsergebnis der Ladungstrennung ist das zwischen dem Pluspol und Minuspol der Quelle bestehende elektrische Feld, das auf Grund der Ü bertragungsleitung des Stromkreises den Verbraucher erreicht und somit auch dort bereitsteht. ( Die Annahme einer eingeprägten ladungstrennenden Kraft Fe wirkt etwas theoretisch , hat aber den Vorteil, den dahinter stehen den speziellen physikalischen Vorgang der Ladungstrennung nicht erklären zu müssen ). Der Verbraucher stellt für die Ladungsträger eine Rückflussmöglichkeit dar. Im

elektrischen

Feld des Verbrauchers übt die elektrische Feldstärke E eine Kraft F auf die Ladung + Q aus und wirkt auf diese beschleunigend und damit energiezuführend . In Verbrauchern , die elektri sche Energie in Wärmeenergie umformen , treffen die beschleunigten Ladungsträger bei ihrer Bewegung auf Atomrümpfe des Materials , die sich als abbremsende Hindernisse erweisen , sodass in diesen Verbrauchern kinetische Energie von Teilchen durch Reibung in Wärmeener gie umgewandelt wird . Das elektrische Feld verrichtet an der elektrischen Ladung + Q gegen den ,,Widerstand“ des Verbrauchers eine Verschiebungsarbeit Wund erleidet dabei gleichzeitig einen Energieabbau durch den Ladungsausgleich . Im Bild 2 .2 wird jedoch davon ausgegangen , dass in einem geschlossenen Stromkreis das elektrische Feld andauernd erhalten bleiben soll. Die Erfüllung dieser Forderung verlangt, dass die fortlaufende Energieabgabe des Feldes im Verbraucher durch ständige Energiezufuhr in der Quelle ausgeglichen wird . Damit ist denknotwendig verbunden eine ständige Bewegung von Ladungsträgern im gesamten Stromkreis, und zwar im Erzeuger gegen die Feldrichtung unter Energiezufuhr und im Verbraucher in Feldrichtung unter Energieabgabe. Insgesamt ge sehen wird also keine Energie gewonnen oder verloren , der Stromkreis übernimmt nur die Rolle der Energieübertragung zwischen räumlich getrennten Energieumformorten . Im Denk modell werden zu seiner Ü bereinstimmung mit der noch einzuführenden Stromrichtungsfestle gung positive Ladungsträger + Q verwendet , obwohl in metallischen elektrischen Leitern nur die negativ geladenen Elektronen als bewegliche Ladungsträger zur Verfügung stehen .

Erzeuger

Umformorte der Energie

Verbraucher

ON

HL

+

Höheres Energieniveau

om +

Iler

Wel U21

Niedrigeres Energieniveau RL

U34

E

F

Wab

HL Hinleitung RL Rückleitung

Bild 2 . 2 Denkmodell zur Energieübertragung mittels bewegter Ladungsträger im elektrischen Feld

2 .2 Spannung als Kennwert eines Arbeitsvermögens

2 . 2 Spannung als Kennwert eines Arbeitsvermögens Der Energietransport in Stromkreisen wurde zuvor mit dem Denkmodell Ladungsträgerbewe gung in elektrischen Feldern erklärt und die dabei in Erzeugern und Verbrauchern stattfinden de Energieumformung als verrichtete Arbeit bezeichnet. Für Erzeuger und Verbraucher wird eine messbare elektrische Größe benötigt, die mit der verrichteten Arbeit wesensverwandt aber unabhängig von der transportierten Ladungsmenge ist. Man erhält diesen Kennwert dadurch , dass man die verrichtete Arbeit W durch die transportierte Ladungsmenge ( teilt und definiert diese abgeleitete Größe als elektrische Spannung U . Spannung =

verrichtete Arbeit beim

Transport der Ladungsmenge

Ladungsmenge Die Spannung wird sich in der Folge als eine außerordentlich nützliche elektrotechnische Grundgröße erweisen , so steht sie z .B . im Stromkreis in einem funktionalen Zusammenhang mit der Stromstärke. Die Spannungsangabe auf dem Typenschild von Erzeugern und Verbrau chern (sog. Nennspannung) ist ein geeigneter Kennwert, um zu entscheiden , ob bestimmte Erzeuger und Verbraucher überhaupt direkt zusammen geschaltet werden dürfen . Da in Stromkreisen mehrere Energieumformstellen vorhanden sein können , an denen Arbeit verrichtet wird , kann die Spannung U durch Angabe von Indizes genau spezifiziert werden . Definitionsgleichung : 1 Ws Einheit 1V =1 A 1 As

(2)

In Worten : Die Definition drückt die energiemäßige Bedeutung des Spannungsbegriffs aus. Die elektrische Spannung U12 ist gleich der von der Ladungsmenge Q auf ihrem Weg von Punkt 1 nach Punkt 2 im Stromkreis verrichteten Arbeit W12 , die als Betrag einer umgeformten Energiemenge zu verstehen ist . Die Einheit der elektrischen Spannung heißt Volt. Die Span nung U = 1 V (Volt) bedeutet hier , dass eine transportierte Ladungsmenge Q = 1 As (Ampere sekunde) eine elektrische Arbeit von W = 1 Ws (Wattsekunde) verrichtet, d .h . in andere Ener gie umformt. In Gl. ( 2 ) sind die Größen U12 und W12 vorzeichenbehaftet zu verwenden , da bei W 12 unterschieden werden muss, ob bei der Arbeit Energie frei wird oder aufzuwenden ist.

Beispiel Ein Nickel- Cadmium -Akku mit dem etwas unleserlich gewordenen Aufdruck 600 mAh , 1 ,2 V Mig non/ AA versorge das Handgerät eines schnurlosen Telefons mit Energie . Während eines Telefonats habe der Akku den Ladungsmengenteil AQ = 36 C (36 As) durch den Verbraucher (Handgerät) bewegt und dabei den Energiemengenanteil AW 12 = 43,2 Wsmitgeliefert. Nur ein Viertel dieser Energiemenge wird in elektromagnetische Sendeenergie der Frequenz 1890 MHz umgewandelt, den Rest braucht die Elekt ronik des Handgerätes zur Ausführung ihrer Funktion und wandelt ihn dabei in Wärmeum . Welche Energiemenge kann der NiCd -Akku theoretisch an den Verbraucher abgeben ? Lösung : AW12 + 43, 2 Ws U12 = - = + 1, 2 V (Spannung am Verbraucher und Kennwert des NiCd - Akkus ) 12 + AQ36 As W 12. ges = U12 · Qges = 1,2 V .600 mAh = ,72 Wh (Index 1 für Pluspol, Index 2 für Minuspol)

10

2 Elektrische Spannung

Zur Erklärung für den Begriff Spannungsabfall auf Leitungen werde das Bild 2.3 betrachtet , das ein Leitungsstück als Ausschnitt aus einem Stromkreis zeigt. Eine Ladungsmenge + Q wird unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes von Querschnitt 1 nach Querschnitt 3 gegen den „ Widerstand“ des Leiters verschoben .

Bild 2 . 3

U13

Spannungsabfall U13 längs einer Leitung steht für den Energiebedarf beim Ladungstransport von Stelle 1 nach Stelle 3 .

Die Verschiebearbeit errechnet sich nach allgemeiner physikalischer Vorstellung aus dem Produkt „ Kraft mal Weg “ : W13 = F . s Darin ist die Kraft F die auf die Ladung Q wirkende Feldkraft und der Weg s ist die zu über windende Wegstrecke . Setzt man die vom elektrischen Feld geleistete Verschiebearbeit mit der Ladungsmenge ins Verhältnis , so erhält man : F . s _ W13

= U13

Man nennt U13 den Spannungsabfall längs einer Leitung zwischen den Punkten 1 und 3 . Der Spannungsabfall drückt also den Energieaufwand für die Bewegung der Ladung durch den Leitungsabschnitt aus. Im Allgemeinen wird der Begriff Spannungsabfall in der Elektrotechnik dazu verwendet, um darauf aufmerksam zu machen , dass dieser Spannungsbetrag an anderer Stelle des Stromkreises fehlt. Später wird noch gezeigt, dass sich ein Spannungsabfall auch mit dem Ohm 'schen Gesetz berechnen lässt.

2 .3 Spannung als Potenzialdifferenz Das elektrische Feld als Denkmodell soll nun um den messtechnisch wichtigen Begriff des Potenzials erweitert werden , dessen Voraussetzung die willkürliche Annahme einer Bezugs ebene im elektrischen Feld ist. Ausgehend von einem Nullniveau kann wesentlichen Stellen des elektrischen Feldes direkt eine energiemäßige Bedeutung zugeschrieben werden , die man Potenzial nennt. Das Potenzial y an einer Stelle des elektrischen Feldes entspricht der Maßzahl nach jener Energie W , welche die Ladungsmenge Q = 1 As an der betreffenden Stelle gegenüber dem Bezugsniveau aufweist.

-

Einheit WS = 1V (Volt) nel 1 As

2 .3 Spannung als Potenzialdifferenz

Das Potenzial ist eine direkt messbare ortsabhängige , richtungsfreie (skalare) Größe und stellt ein von der Ladungsmenge unabhängiges Energiemaß des elektrischen Feldes dar. Die Ortsabhängigkeit des Potenzials im

elektrischen Feld wird verständlich , wenn man sich mit

obiger Definition ein Potenzialflächenmodell als Ergänzung des Feldmodells bildet. Verbindet man Punkte gleichen Potenzials, so entstehen Niveauflächen gleichen Potenzials. Diese heißen Äquipotenzialflächen und werden in der Zeichenebene als Äquipotenziallinien dargestellt (s. Bild 2 .4 ). Bei gleichmäßiger Verteilung der Energie im elektrischen Feld spricht man von einem homogenen Potenzialfeld , dessen Aquipotenziallinien dann überall gegeneinander den gleichen Abstand haben und senkrecht zu den Feldlinien stehen .

P4= + 80 V

Wpot = + . 94= 80mWS - W pot = + Q . 23 = 60 mWS

03- + 601 + Q = 1mC

22=+ 40V =+ 20V Por

W pot =+ Q 42 =40mWS

+

Wpor = + Q .9,= 20 mWS

ov -

+

Wpor =

(Nullniveau )

Bild 2.4 Elektrisches Feld mit Feldlinien (senkrecht) und Äquipotenziallinien (waagerecht) So wie jeder Masse im bestehenden Schwerkraftfeld der Erde eine potenzielle Energie (Lage energie ) zugeordnet werden kann, wird der Ladung + im bestehenden elektrischen Feld an der Stelle des Potenzials o die potenzielle Energie Wpot = + 2 . zugemessen . In Analogie zu der Erfahrung , dass Massen sich von Stellen höherer Lageenergie zu Stellen geringerer Lageenergie in Bewegung setzen wollen , erklärtman sich auch anschau lich den Strömungsmechanismus von elektrischen Ladungen in Stromkreisen : In Verbrauchern bewegen sich positive Ladungsträger unter Energieabgabe von Punkten höheren Potenzials zu Punkten tieferen Potenzials, während sie in Erzeugern unter Energieaufwand von Stellen tiefe ren Potenzials zu Stellen höheren Potenzials transportiert werden müssen . Es soll nun gezeigt werden , welche Beziehung zwischen dem bereits eingeführten Spannungs begriff und dem neuen Potenzialbegriff besteht: Die Ladungsmenge + bewege sich unter dem Einfluss eines konstanten elektrischen Feldes vom Punkt 1 zum Punkt 2 des Stromkreises. Die potenzielle Energie der Ladung + an der Stelle des Potenzials Pi ist gegenüber der Bezugsstelle po Wi = + 2 . 01 und an der Stelle des Potenzials W2 = + Q . 42, dabei sei 01 > 22 demnach auch W1 > W2

2

2 Elektrische Spannung Das elektrische Feld gibt durch die Bewegung der Ladung + Q auf dem Wege vom höheren Potenzial i zum tieferen Potenzial 02 Energie ab , es arbeitet! Der Betrag der verrichteten Arbeit berechnet sich aus: W 12 = W1 - W2 W 12 = Q . 91 -

: 02

W12 = Q · (01 - 02) D .h . die vom Feld abgegebene Arbeit W12 ist abhängig von der bewegten Ladungsmenge + Q und der Differenz der beiden Potenziale 01 - 02. Diese Potenzialdifferenz Qi - 02 ist identisch mit der Spannung U12 : W12 +Q

= U , = 41 -- 22 42 012 = 21

In Worten : Die rechte Seite der Gl. (4 ) zeigt, dass Spannung gleich Potenzialdifferenz ist. Die linke Seite der Gl. (4 ) erklärt die energiemäßige Bedeutung des Spannungsbegriffs , die besagt , dass bei jedem Ladungstransport ein Energiebetrag umgesetzt, d.h . Arbeit verrichtet wird . In Definition Gl. (4 ) sind die Vorzeichen der Größen zu beachten . Wird beim Transport der La dungsmenge + Energie frei, so ist W12 positiv, ist jedoch Energie aufzuwenden , so ist W12 negativ einzusetzen . Das hat Auswirkungen auf das Vorzeichen der Spannung U12 , was bedeu tet, dass die durch die Indizes festgelegt Richtung der Spannung (Pfeilrichtung) mit einem positiven oder negativen Spannungswert verbunden sein kann . So bedeutet beispielsweise eine Spannung U12 = 21 - 22 = - 50 V , dass das Potenzial 91 um 50 V unter 02 liegt, unabhängig davon , ob das Potenzial von 22 selbst positiv oder negativ ist!

Beispiel Die Ladung ( = 2 mAs wird von einer Stelle 1 des elektrischen Feldes mit dem Potenzial @ einer Stelle 2 transportiert. Dabei muss die Arbeit W12 = ,44 Ws „ aufgebracht werden .

= + 20 V zu

Wie groß sind Potenzial 42 und Spannung U21 ? Lösung : Die Ladungsmenge Q = 2 mAs wird durch die aufgewendete Verschiebearbeit auf ein höheres Potenzial gehoben “ . Die zwischen und bestehende Potenzialdifferenz ist die Spannung U12 , die sich gemäß Definition Gl. ( 4 ) errechnen lässt. Das Vorzeichen der Arbeit W12 ist negativ , da es sich nicht um einen frei werdenden , sondern um einen aufzuwendenden Energiebetrag handelt. U12 =

W12 Q

-

, 44 Ws

2mAs

= - 220 V

Ebenfalls nach Definition Gl. (4 ) erhältman dashöhere Potenzial 42: 22 = 41 - U12 = + 20 V - (- 220 V ) = + 240 V Die gesuchte Spannung U21 berechnet sich sinngemäß nach Definition Gl.(4) aus: U21 = 42 - 41= + 240 V - (+ 20 V ) = + 220 V U12 und U , sind die zwischen den Punkten 1 und 2 messbaren Spannungen , sie unterscheiden sich in ihren Vorzeichen (siehe hierzu auch Kap . 2.5 : Potenzial- und Spannungsmessung).

13

2 .4 Potenzialgefälle und Feldstärke

2 .4 Potenzialgefälle und Feldstärke Bisher wurde im Denkmodell „ Ladungsträgerbewegung im elektrischen Feld “ der Begriff der elektrischen Feldstärke E nur dazu verwendet, die auf die Ladung + wirkende Feldkraft F zu erklären (siehe Gl. ( 1). Mit diesem Ansatz konnte die Ladungsträgerbewegung im geschlosse nen Stromkreis begründet werden . Jetzt lässt das um den Potenzialbegriff erweiterte Denkmo dell eine weitere , sehr anschauliche Deutung des Feldstärkebegriffs zu und zeigt zugleich , wie sich in einfachen Fällen die elektrische Feldstärke messtechnisch leicht ermitteln lässt. Mit der Einführung eines Bezugspunktes po kann jedem

Punkt des Stromkreises ein Potenzial

o zugeordnet werden . Die Potenzialdifferenz zweier Stellen im Stromkreis wurde als elektri sche Spannung definiert. Bezieht man die Potenzialdifferenz auf die Leiterlänge zwischen denen sie besteht, so erhält man gemäß Bild 2 .5 das sogenannte Potenzialgefälle: + + + + T

+ 8V6 , - 6V

= V 2 OV

+ 8V 676, + 2 vf 92

S2 60 m

si 20 m

100 m

Bild 2 .5

5

AS

Darstellung eines Potenzialgefälles

Die zeichnerische Darstellung eines Potenzialgefälles in Bild 2 .5 veranschaulicht, dass positive Ladungsträger (+ Q ) sich in Feldrichtung bewegen , im Vergleich wie Kugeln , die einen „ Po tenzialhang“ hinunter rollen . Das Potenzialgefälle ist messtechnisch bestimmbar, indem

man die Potenzialdifferenz AQ durch eine Spannungsmessung bestimmt und die Länge As abmisst. Zu ermitteln ist noch die physikalische Bedeutung des Potenzialgefälles. Durch Einsetzen bekannter Beziehungen erhältman : W

F

As

U QQ = ? →→→→→ As As As AS

= = E e

siehe Definition Gl. (1)

Ergebnis : Das Potenzialgefälle ist gleich der Feldstärke E des elektrischen Feldes, also gilt :

As

IN Einheit = = 1 As

B

14

2 Elektrische Spannung

In Worten : Die rechte Seite von Gl. (5 ) zeigt die messtechnische Möglichkeit zur Bestimmung der elektrischen Feldstärke E : Feldstärke = Spannung pro Leiterlänge. Die linke Seite der Gl. (5 ) erklärt den Begriff der elektrischen Feldstärke E : Feldstärke = Feldkraft pro Ladung. Auch die Einheitenbetrachtung zeigt die Gleichwertigkeit der beiden Quotienten (siehe hierzu im Anhang unter ,,Einheiten im Messwesen “ : 1 Nm = 1 Wsund 1 W = 1 V . 1A). Das Minuszei chen in der Gleichung soll bewirken , dass sich für ein Potenzialgefälle eine positive Feldstärke in Richtung der Potenzialabnahme ergibt.

Beispiel Es ist die Feldstärke E des in Bild 2 . 5 dargestellten elektrischen Leiters zu berechnen und eine Regel für das Auffinden der Feldrichtung anzugeben . Lösung: U12 = 91 - 42 = ( + 6 V ) - (+ 2 V ) = + 4 V As = $ 1 - S2 = 20 m - 60 m = - 40 m 4V U12 40 m = + ,1 m As Aus den beiden Darstellungen des Bildes 2 .5 ist zu ersehen und als Regel zu formulieren : „ Das elektrische Feld , dargestellt durch seine Feldlinien , wirkt immer in Richtung der Potenzial abnahme.“

2 .5 Potenzial- und Spannungsmessung In messtechnischer Betrachtung ist das Potenzial eines Messpunktes im

Stromkreis gleich der

Spannung zwischen diesem Punkt und dem Bezugspunkt (1 ), wenn dessen Potenzial po = gesetzt wird :

V

U20 = 42 - 40 U20 = 22 , wenn 20 =

V

Eine Potenzialmessung ist demnach eine Spannungsmessung mit einer besonderen Bezugs punkt- Vereinbarung. Potenzialmessungen werden mit Spannungsmessgeräten durchgeführt. Ideale Spannungsmesser (siehe Bild 2 .6 ) können belastungslos , d.h . ohne eine Stromaufnahme zu verursachen (IMess = ),messen . Man drückt diese Eigenschaft auch durch einen unendlich hohen Innenwiderstand (R ; = ) aus . Zweckmäßigerweise sollte der Spannungsmesser auch eine automatische Polaritätsumschaltung und -anzeige besitzen . Die mit Null ( ) bezeichnete Anschlussbuchse des Spannungsmessers wird für die gesamte Messung mit dem Punkt der Schaltung verbunden , der willkürlich als Bezugspunkt (Masse ) gewählt wird . Die mit Volt ( V ) bezeichnete Anschlussbuchse des Spannungsmessers wird nun nacheinander mit den übrigen Schaltungspunkten verbunden und die jeweilige Anzeige des Messinstruments am Messpunkt als Potenzial eingetragen . Die Masse erhält immer den Poten zialwert V , da der Bezugspunkt gegen sich selbst gemessen logischerweise die Anzeige V ergibt. Die Potenziale einer Schaltung können je nach Wahl des Bezugspunktes positive oder negative Vorzeichen erhalten . Das Vorzeichen sagt aus, ob der Messpunkt auf einem gegen über dem Bezugspunkt höheren (+ ) oder tieferen (- ) Energieniveau liegt.

2 .5 Potenzial- und Spannungsmessung

15

Beispiel In einer Reihenschaltung von drei Spannungsquellen (Monozellen ) mit je 1,5 V sollen die Potenziale gemessen werden .Messpunkt B sei Bezugspunkt. Lösung : Die gemessenen Potenziale sind an den betreffenden Messpunkten in Bild 2 .6 eingetragen . 90 = +3,0v +

150

MB

Pc = +1,5V xx

+

Bild 2 .6

R =

1, 5V

OB = OV 071 )

+1

VZ

1, 5V

= - 1,5V

Potenzialmessung: Bestimmung der Potenziale gegenüber einem Bezugspunkt.

Eine Spannungsmessung unterscheidet sich von einer Potenzialmessung dadurch , dass •

zwischen zwei beliebigen Schaltungspunkten ein Spannungswert gemessen werden kann und das Messergebnis unabhängig von der Wahl des Bezugspunktes ist,

•

zu jeder Messung eine Umkehrmessung möglich ist (Punkt A gegen B und Punkt B gegen A ), die zum gleichen Spannungsbetrag aber entgegengesetzten Vorzeichen führt.

Beispiel In einer Reihenschaltung von drei Spannungsquellen (Monozellen ) mit je 1,5 V sollen die Spannungen UCA und Uac gemessen werden .Messpunkt B sei der Bezugspunkt der Schaltung. Lösung: Pp - 3. V

= +1,5V

T

V

Mess=

the MB]

POV

YA = -1,5V

8p - + 3, V

Pc = +1,5V

-

40 = 0v

4A = -1,5V

34

MB)

Bild 2 .7 Spannungsmessung a ) Uca = 4C - PA = + 3 V b ) UAC = PA - 4c = - 3 V

16

2 Elektrische Spannung

Die elektrische Spannung ist ihrem Wesen nach eine richtungsfreie (skalare ) Größe, sie kann aber gemäß ihrer Messbedingung als Potenzialdifferenz ein positives oder negatives Vorzei chen haben . Eine Gleichspannung ist zeitlich nicht veränderlich , d.h . sie hat für den betrachte ten Zeitraum einen konstanten Betrag und gleichbleibende Polarität.

2 .6 Spannungszählpfeile Will man die für das Vorzeichen maßgebenden Indizes bei den Spannungsbezeichnungen ver meiden , können für die Spannungen Zählpfeile eingeführt werden . Auch bei Verwendung der Zählpfeilrichtungen ist die Messvorschrift exakt festgelegt, d .h . wie die Verbindung der Buch sen V (Volt) und (Null ) des Messgerätes mit den Messpunkten der Schaltung zu erfolgen hat: Der Messpunkt auf den die Pfeilspitze zeigt , ist mit der Buchse (Null ) zu verbinden ; der Messpunkt von dem der Pfeilschaft ausgeht, ist mit der Buchse V (Volt) zu kontaktieren . Beispiel Es sind zwei gleichwertige Möglichkeiten der eindeutigen Bezeichnung einer Spannung U der Span nungsquelle darzustellen . Die Anzeige des Messgerätes ist am Messbeispiel zu erläutern . Lösung: Die messende Spannung ist in Bild 2.8 auf zwei verschiedene Arten eindeutig gekennzeichnet, und zwar a ) durch den Spannungszählpfeil U , b ) durch Indizes bei UBA und Bezeichnung der Anschlussstellen mit Buchstaben .

+ OB

3VG

MB

Mess

UBA

Ri = 00 09 VZ

- O A Los : U = +3V UBA +3 V Bild 2 . 8

2.7 Übungsaufgaben A

Übung 2 .1: Energietransport im Stromkreis Im Verbraucher eines Stromkreises werde kontinuierlich 10 kWh elektrische Energie je Betriebsstunde zu 100 % in Wärmeenergie umgewandelt. Im Erzeuger (Energiequelle , Generator) wird eine Spannung von 120 V erzeugt, wobei nur 75 % der zugeführten Energie mechanischen Energie in elektrische Energie umgewandelt werden kann . a ) Wie groß ist die Ladungsmenge, die stündlich im Stromkreis transportiert werden muss ? b ) Wieviel mechanische Energie in Newtonmeter (Nm ) müssen aufgewendet werden , um eine Wärme energie von 1000 Joule zu erzeugen ?

11

2.7 Übungsaufgaben A

Übung 2.2 : Anzeige- und Messwerte Einem Spannungsmesser mit automatischer Polaritätsumschaltung und Vorzeichenanzeige werden von einer Schaltung die angegebenen Potenziale zugeführt. Die Skala des Messgerätes habe 100 Skalenteile , der Messbereich (MB) sei auf 10 V eingestellt . Die fehlenden Angaben sind zu ermitteln (Bild 2.9 ). al

$ 2 = +2V

MB = 10 V

MB - 10 V

44- +6 V 42 = ?

oto

12

otv

+

otv oto

44- -5V 42= - 15 V

otv oto

E

+ ?

27

MB - 10 V

& q = +2V

MB = ?

MB - 10 V

f)

E

MB = 10 V

$ 4- - 15 V 4 = -5V

47= +6V

otv oto

E

+ ?

Bild 2 . 9

A

Übung 2 . 3 : Potenzialmessung In Bild 2 . 10 wird eine Potenzialmessung gezeigt. a ) Bestimmen Sie die Anzeigen des Messgerätes nach Betrag und Vorzeichen , wenn die Schal naltungspunkte A , B und C mit der Messleitung berührt werden .

25V 101

1

b ) Berechnen Sie die Spannung UBA . Bild 2 . 10

A Übung 2 .4 : Spannungsmessung Ein Spannungsmesser zeigt gemäß Bild 2 . 11 im Messbereich 3 V einen Betrag entsprechend 12 von 30 Skalenteilen an . Die Vorzeichenanzeige steht auf ,, + " .

V

TMB : 37 [ R;: 00

a ) Wie lautet das Messergebnis für die Spannung UAB UAL ?

U = - 10 V

b ) Wie groß sind die Potenziale der Schaltungs punkte A und B ?

OOV Bild 2 . 11

2 Elektrische Spannung

18

A Übung 2.5: Spannungen mit Indizes Bild 2 .12 zeigt eine Doppel-Spannungsquelle .

UAB

a) Bestimmen Sie die Potenziale PA und PB . b ) Berechnen Sie die Spannungen UAB, UBC und UAC

- 04

UAC

10V UBC

Bild 2. 12

A

Übung 2 .6 : Spannungen mit Zählpfeilen Berechnen Sie die gesuchten Potenziale und Span nungen in der Schaltung nach Bild 2 . 13 : PA = ?

PA= ?

1 URA = ?

= 2V

(Bezugspunkt)

ØB = ?

-

48=?

-

46 =+ 7V

U2 = ? U

?

UbA = ?

U₂1

Bild 2. 13

A

Übung 2 . 7 : Potenziale und Spannungen Berechnen Sie alle Potenziale und die Spannung Spannung alle Potenziale Sie den Berechnen und die B der Schal Punkten A und UAB zwischen tung . Alle Spannungsquellen haben 1 ,5 V (Bild 2 . 14 ) .

Z

R

AR

Bild 2 . 14

Übung 2 .8 : Fehlerhafte Spannungsmessung Warum kann in der nebenstehenden Schaltung (Bild 2 . 15 ) mit dem Spannungsmesser keine Span nung gemessen werden ?

Bild 2 . 15

A

2 .7 Übungsaufgaben A Übung 2.9: Potenzialgefälle und Feldstärke An einer 5 m langen Kupferleitungwird ein Spannungsabfall von 500 mV gemessen . a ) Wie groß ist die Feldstärke des elektrischen Feldes in der Kupferleitung ? b ) Berechnen Sie die Feldstärke über das Potenzialgefälle im 1 m langen Mittelstück der Kupferleitung, e auf Potenzial Po = V liegt. c) Wie bei b ), jedoch liege jetzt der Leitungsanfang auf Potenzial 05 =

A

V.

Übung 2.10 :Arbeit des elektrischen Feldes Im elektrischen Feld eines Verbrauchers wird die Ladung + Q vom Potenzial 42 = 1,5 V zum Potenzial 01 = 1 , V bewegt. a ) Wie groß ist die Energieabgabe des elektrischen Feldes an den Verbraucher, wenn die Ladungsmengen Q = 100 mAs, Q2 = 200 mAs und Q3 = 2 As transportiert werden ? b ) Wie groß ist die Energieabgabe des elektrischen Feldes an einen Verbraucher in ladungsmengenunab hängiger Angabe? Wie heißt die betreffende Größe ?

A

Ubung 2 . 11 : Spannungen , Potenziale und Feldstärke im elektrischen Feld In einem elektrischen Leiter mit der überall gleichen Feldstärke ,2 V /m wird die Ladungsmenge 6 mAs von einem Punkt A um 240 cm in Feldrichtung zu einem Punkt B bewegt. Berechnen Sie a) die Feldkraft F und die beim Ladungstransport verrichtete Arbeit WAB, b ) die Spannung UAB aus der verrichteten Arbeit, c ) die Spannung UAB aus einem zu zeichnenden Diagramm E = f (s).

Übung 2 . 12 : Denkmodell ,, elektrisches Feld " Eine Batterie mit der Spannung U wird an einen elektrischen Leiter der Länge s angeschlossen . Dadurch breitet sich im Leiter ein elektrisches Feld mit der Feldstärke E aus. Das elektrische Feld übt eine Kraft F auf die Ladung aus. Es entsteht eine Ladungsträgerbewegung. Die Ladung stößt bei ihrer Bewegung auf die Atomrümpfe des Leitermaterials und verrichten dadurch eine Arbeit Wab , indem sie ihre Bewe gungsenergie in Wärmenergie umwandelt und an die Umgebung abgibt. Die Batterie liefert die elektri sche Energie Wzu , die im Leiter in Wärme umgesetzt wird . Der Energievorrat der Batterie muss sich um den Betrag der erzeugten Wärmeenergie verringert haben . Entwickeln Sie eine Wirkungskette aus definierten elektrischen Größen , die den modellmäßig beschrie benen Stromkreisvorgang nachbildet.

20

3 Elektrische Strömung

Man versteht unter einer elektrischen Strömung oder einem Strom einen Transportvorgang von Ladungsträgern . In Metallen stehen dafür die freien Elektronen zur Verfügung.

3. 1 Stromrichtung und Stromstärke Als technische Stromrichtung wurde die Fließrichtung der positiven Ladungsträger festgelegt. Diese bewegen sich im äußeren Stromkreis vom höheren zum tieferen Potenzial und damit vom Pluspol des Generators durch den Verbraucher zurück zum Minuspol. Nur in besonderen Fällen wird die Elektronenstromrichtung betrachtet , die der technischen Stromrichtung entge gengesetzt ist. Wie kann man die Stärke eines Teilchenstromes erfassen ? Zunächst könnte man an die Strö mungsgeschwindigkeit der Ladungsträger als geeignete Größe denken . Bei näherer Betrach tung zeigt sich jedoch , dass die Fließgeschwindigkeit abhängig von den Leitungsquerschnitten ist. An den Engpassstellen treten größere Strömungsgeschwindigkeiten auf als in breiten Durchgangsabschnitten . Um diese Schwierigkeiten gänzlich auszuschalten , definiert man die Stromstärke als eine Mengengeschwindigkeit , d .h . als eine an der Beobachtungsstelle gemes sene Durchströmladungsmenge geteilt durch die Durchströmzeit : _ Ladungsmenge Stromstärke = Zeit Um zu zeigen , dass die Mengengeschwindigkeit der Ladungsträgern in jedem Leitungsquer schnitt gleich groß ist, betrachten wir die Strömung am Übergang einer querschnittsveränder lichen Durchgangsstelle. Fließt durch das breite Durchgangsstück die Ladungsmenge Q1 in nerhalb von 1 s, so muss in der Engpassstelle ebenfalls eine Ladung Q2 = Q1 in der gleichen Zeit von 1 s hindurchfließen , da das „ Elektronengas “ als nicht komprimierbar angesehen wer den darf. Betrachtet man in diesem Sinne alle hintereinander liegenden Durchgangsabschnitte , also den gesamten Stromkreis, so ergibt sich die Aussage : Strom ist eine in sich geschlossene Erscheinung des Stromkreises ohne Anfang und Ende , also ein „ Stromband" , dessen Stärke in unterschiedlichen Leitungsquerschnitten gleich groß ist.

3 .2 Zeitlich konstante Strömung Ladungszähler und einer Uhr die gleichmäßig durch den Leitungs querschnitt fließende Elektrizitätsmenge , so ist Q2 - Q1 = AQ die durchgeflossene Ladungs

Registriert man mit einem

menge und t2 - t1 = At die Durchströmzeit. Die Liefergeschwindigkeit der durch einen Leiterquerschnitt geflossenen Ladungsmenge be schreibt die Stärke der Strömung. Ist diese unabhängig von der Zeit , also konstant, sprichtman von einem Gleichstrom :

AL

Einheit

1 As 1s

= 1

(6 )

21

3 . 2 Zeitlich konstante Strömung

Die Stromstärke ist eine vorzeichenbehaftete skalare Größe . In Schaltungen bezieht sich das Vorzeichen auf einen angegebenen Strom -Zählpfeil . Die Differenzen AQ und At in Gl. (6 ) haben ein Vorzeichen . At ist immer positiv , wenn man sich an die feste Rechenregel ,,späterer Wert minus früherer Wert“ hält. AQ ist bei Anwendung dieser Regel positiv , wenn Q2 > Q1, und negativ, wenn Q2 < Q , ist. Die Umkehrung des Vor zeichens bedeutet demgemäß eine Umkehrung der Stromrichtung. Die geometrische Deutung von Gl. (6 ) ist aus Bild 3. 1 zu ersehen . Der Differenzenquotient AQ geteilt durch At ist die Steigung der Ladungsmengenfunktion . Beispiel Wir betrachten zeitlich konstante Ladungsmengenströmungen . Die den Leiter durchfließende Ladungs menge sei durch eine Funktion q = f (1) gegeben . Gesuchtwird der zeitliche Verlauf des Stromes I = f (t). Lösung: ,3 As - ,2 As 48 - 3s

1 - 2 -

, 3 As *

At I = - ,1 A

I = + ,1 A

, 4 As

3s - 2s

40 At TO

1

2

3

4

5

6 s7

1

2

3

4

5 5

1

2

3

4

5 5

01

- ,1 1

2

3

4

5

6

5 7

Bild 3 . 1 Zeitabschnittsweise konstante Ladungsmengenströmung a ) Zunahmeder Ladungsmenge : + 1 ( → b ) Abnahme der Ladungsmenge : - 1 ( A ) Beispiel Zu welchem (falschen !) Ergebnis kommtman , wenn für t = 7 s in Bild 3 . 1a die Stromstärke mit der For mel I = Olt berechnet wird ? Unter welchen Bedingungen liefert diese Formel jedoch richtige Ergebnisse ? Lösung : 1 _ 9 -

, 3 AS = 75

. 0714 A ( falsch !)

Die Formel gilt nur für Gleichströme mit zeitlinearen Anstieg der Ladungsmengenfunktion von null beginnend über die Zeit t.

22

3 Elektrische Strömung

3 . 3 Zeitlich veränderliche Strömung Das Schaubild 3 .2c zeigt eine ungleichmäßige Zunahme der Ladungsmenge, d .h . in gleichen Zeitabschnitten passieren verschieden große Elektrizitätsmengen den Querschnitt . Die Strom stärke hat also in jedem Zeitpunkt einen anderen Betrag. Bei zeitabhängigen Strömen kommt der mittlere Betrag des Stromes immer näher an den tat sächlichen Momentanwert des Stromes heran , je kleiner der Betrachtungszeitraum At gewählt wird . Im Grenzfall, wenn nämlich At gegen null geht, ohne null je zu erreichen , kann die Ände rung der zufließenden Elektrizitätsmenge für diesen kleinen Zeitraum mit genügender Genau igkeit als gleichmäßig angenommen werden . Da man At

mit Differenzial dt

AQ

→ mit Differenzialdq

bezeichnet, berechnet sich der Momentanwert der Stromstärke aus (7)

mit der Lösungsmethode ,, Tangente"

Die Lösungsmethode für den Differenzialquotienten dg/dt lautet: Man zeichne für den gewähl ten Zeitpunkt eine Tangente an die Funktionskurve und bestimme ihre Steigung. Die Steigung der Tangente stimmt im Berührungspunktmit der Steigung der Funktion q = f (t) überein und stellt deshalb den Momentanwert oder Augenblickswert des Stromes dar. Momentanwerte werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet. Die Genauigkeit des halbgrafischen Lösungsver fahrens ist für diese Belange völlig ausreichend. Es ersetzt das mathematische Verfahren des Differenzierens, das hier nicht angesprochen wird .

AU ДО 41

o

to

I = 41 _ 02 mit Gültigkeit für den gesamten Zeitbereicht

tz

t3 10

t

t

1= 49 Δί mit Gültigkeit für den Zeitbereich t1 bis 14

t

4

t

t

i = dq - AQ dt At mit Gültigkeit für nur einen Zeitpunkt t = 11

Bild 3 . 2 Zur Ermittlung der Stromstärke bei unterschiedlichen zeitlichen Verläufen der transportierten Ladungsmenge Beispiel Wir betrachten zeitlich veränderliche Ladungsmengenströmungen . Es sind die Momentanwerte der Strö me für den Zeitpunkt t = ,2 s aus den in Bild 3 . 3 gegebenen Ladungsmengenfunktionen q = f (t) zu be rechnen .

23

3 .4 Transportierte Ladungsmenge

Lösung: Die Lösung beginnt mit dem Einzeichnen der Tangenten T. Die Steigung einer Tangente stimmt mit der Steigung der Funktionskurve im Berührungspunkt überein , deshalb wird zur Lösung die Tangen tensteigung berechnet: Für t =

,2 s

dq AQ dt A1 ,6 C - , 2 C i = , 3 - ,1 s

Für t = ,2 s dq4Q i= idū 0C -

- 2 A

,3

,4 C -

,1 s

= -2 A

T /

01

,2

,3 s ,4

,1

A+

,3 's

,4

Bild 3 . 3 Zur Ermittlung eines Momentanwertes der Stromstärke

3 .4 Transportierte Ladungsmenge Bild 3.4a) zeigt, wie die durch den Gleichstrom mit der Zeit t zunimmt. Es ist also : | AQ = 1· At

I transportierte Ladungsmenge Q proportional

(8)

Einheit 1 A . 1s = 1 As = 10

Die Ladungsmenge AQ zeigt sich in Bild 3.4a ) als eine Rechteckfläche unter der Stromfunk tion mit den Seitenlängen I und At. same

A

O

01

At

,3 s ,4

O b)

,1

,2 dt

,3 s

,4

Bild 3. 4 Zur Berechnung der transportierten Ladungsmenge bei a ) einem Gleichstrom , b ) einem Strom mit beliebigem zeitlichen Verlauf

Fließt dagegen ein zeitlich veränderlicher Strom i = f (t), so kann man zunächst nur sagen , dass in der sehr kurzen Zeit dt die sehr kleine Ladungsmenge dq transportiert wird : dq = i . dt In Bild 3. 4b ) wird zur Verdeutlichung das Rechteck mit einer erkennbaren Breite angegeben . Die Summe aller Rechtecke von t, bis t2 ist einerseits eine Fläche unter der Stromkurve, ande rerseits aber die durch den Strömungsquerschnitt geflossene Ladungsmenge AQ :

24

3 Elektrische Strömung

AQ = fi. dt

mit Lösungsmethode „ Flächenauszählen “

(9)

Man liest Gl. (9 ): AQ ist das Integral über imal dt in den Grenzen von tị bis 12. Die Lösungsmethode für das Integral lautet: Man zeichne die Funktionskurve auf Millimeter papier und zähle die Anzahl der Flächenelemente FE aus, die die Fläche zwischen tị und t2 bilden und multipliziere mit dem Wert eines Flächenelements, das durch seine Breite mal Län ge bestimmt wird . Die Genauigkeit des grafischen Lösungsverfahrens ist für diese Belange völlig ausreichend . Es ersetzt das mathematische Verfahren des Integrierens, das hier nicht angesprochen wird : AQ zx FE .

Wert FE

(s. Bild 3 . 4b )

Beispiel Wir betrachten in Bild 3 .4a ) einen zeitlich konstanten und in Bild 3 . 4b einen zeitlich veränderlichen Strom . Wie groß sind die durch beide Ströme im Zeitraum , 1 ... , 3 s transportierten Ladungsmengen ? Lösung: Die gerasterten Flächen unter den Stromkurven stellen die transportierten Ladungsmengen dar. zu Bild 3 .4b ) zu Bild 3.4a ) 12 = ,3 s AQ = 1 · At = 1 . (t2 - 1) i. dt = x FE . Wert AQ = AQ = 2 A . ,25 FE ty = ,1 s AQ = ,4 As ,1 A- ,05 S AQ = 21,4 FE . FE AQ - , 107 As

3 . 5 Messen der Stromstärke Zur Strommessung muss ein bestehender Stromkreis unterbrochen und der Strommesser in die Unterbrechungsstelle geschaltet werden . Diese Maßnahme stellt nur dann keine Störung des Stromkreises mit Auswirkung auf die Stromstärke dar, wenn der Strommesser einen vernach lässigbar kleinen Durchgangswiderstand (Innenwiderstand Rị) hat. Man verwendet zur Strommessung zweckmäßigerweise ein Drehspulinstrument mit automati scher Polaritätsumschaltung und -anzeige. Die Stromrichtungsanzeige „ t“ bedeutet, dass der Strom der positiven Ladungsträger (technische Stromrichtung) in die Buchse A (Ampere) hinein fließt und aus Buchse O herausfließt. Bei Strommessgeräten ohne automatische Polaritätsum schaltung führt die oben beschriebene Polung zur richtigen “ Ausschlagsrichtung des Zeigers. Beispiel Wir betrachten die Messanzeige eines Strommessers , der im Messbereich 10 mA einen Zeigerausschlag von 40 ,5 Skalenteilen bei einem Skalenendwert von 100 Skt anzeigt. Die Polaritätsanzeige des Strom messers steht auf „ + “ . a) Wie groß ist die in Bild 3.5 gemessene Stromstärke ? b ) Welche Polarität hat die Spannung des Generators an den Klemmen A - B ?

3 .6 Stromdichte

Lösung: a ) 1 = 10 mA

40, 5 Skt - = 4 ,05 mA 100 Skt

b ) ,, + " an Klemme A „ “ an Klemme B

MB

R ; = Bild 3 .5 VZ

Strommessung nach Betrag und Richtung

3 .6 Stromdichte Geht man von der Fragestellung aus, ob es zulässig ist, dass eine beliebig große Stromstärke I in einem Leitungsquerschnitt A auftreten darf, so muss man noch einmal auf die Fließge schwindigkeit v der Ladungsträger zurückkommen . Ladungsträger werden im elektrischen Feld in der freien Weglänge zwischen den Atomrümpfen beschleunigt und beim Aufprall abge bremst. Dieser Vorgang hat zwei Aspekte : Als Geschwindigeit kann ersatzweise die mittlere Geschwindigkeit v und als Wirkung die bei der Abbremsung entstehende Wärmeenergie ange nommen werden . Das führt zu der Vorstellung, dass bei einer größeren Stromstärke die La dungsmenge mit größerer Geschwindigkeit bewegt und damit auch mehr Wärmeenergie örtlich erzeugt wird . Die Vermutung lässt sich experimentell bestätigen : Der dünne Glühfaden einer Glühlampe beginnt unter der Einwirkung eines Stromes zu glühen , die zuführenden Stromlei tungen dagegen erwärmen sich kaum . Die Vorstellung, dass die örtliche Erwärmung eines Leiters von der Fließgeschwindigkeit der Ladungsträger an dieser Stelle abhängt , hat sich in der Praxis nicht durchgesetzt. An deren Stelle ist der Begriff der Stromdichte I getreten , die man als Quotient aus der Stromstärke I und der Querschnittsfläche A des Leiters berechnet. Definitionsgleichung: 1 - 1 A

( Strom I senkrecht durch Querschnittsfläche A )

A Einheit 14 2 mm

( 10 )

In Worten : Stromdichte ist der auf die Flächeneinheit ( 1 mm2) des Leiterquerschnitts entfal lende Teil der Stromstärke. (In Analogie zu anderen flächenbezogenen Größen wie z .B . der Bevölkerungsdichte ist der Begriff Stromdichte unmittelbar anschaulich ). Um nachzuweisen , dass die Stromdichte J proportional zur Fließgeschwindigkeit v der La dungsträger und damit auch eine zutreffende Beurteilungsgröße für die Belastbarkeit elektri scher Leiter ist, muss lediglich die Stromstärke

26

3 Elektrische Strömung

ersetzt und für die transportierte Ladungsmenge AQ die Anzahl n der Elektronen e im

Leiter

volumen AV = A · As eingeführt werden : AQ = n . e . A . As Man erhält durch Einsetzen und Umformung die zu beweisende Proportionalität J ~ v: J = = = n .e . V

mit v =

As

Beispiel Ein Kupferdraht mit dem Querschnitt ,2 mm2 wird von einem Gleichstrom ,6 A durchflossen , der danach auch noch durch den Glühfaden einer Glühlampe fließt, dessen Querschnitt A = ,0004 mm2beträgt. Wie groß sind die Stromdichte J und die Fließgeschwindigkeit v der Elektronen im Kupferdraht und im Glühfaden ? (n = 1023 Elektronen / 1 cm ", e = - 1,6 . 10 - 19 As) Lösung: 2mm23A 1 ,6 A J = - = mm2 , 2 mm 2 A

im Kupferdraht

,6 A 1500 A mm2 = mm 2 0004 ,

im Glühfaden

mm2 1020 mm3 (

V=

- = As 1,6 . 10 - 19.

1500 _ A mm2

JJ

1020 10201 As 3 : (-)1,6 . 10 - 19 .

nie

,1875 mm

75 mm - - 93.

im Kupferdraht

im Glühfaden

Stromdichte und Fließgeschwindigkeit der Elektronen sind 500 -mal größer im Glühfaden als im Kupfer draht. Das Minuszeichen bedeutet: die Elektronen bewegen sich gegen die Feldrichtung. Für die Stromdichte J als wichtiger Beurteilungsgröße für die Belastbarkeit von elektrischen Leitern kann noch ein Zusammenhang mit der im Leiter bestehenden elektrischen Feldstärke E und der Leitfähigkeit y (griech . Buchstabe Gamma) des Leitermaterials angegeben werden : m =

J = y . E

[Y ]= o . mm2 und

V [E]= m

ū und 1NEW 1A

(11)

In Worten : Der linke Teil von Gl. ( 11 ) erklärt, wie man die Stromdichte aus den messbaren Größen Stromstärke / und Leiterquerschnitt A berechnen kann . Der rechte Teil der Gleichung benennt als Ursache der Stromdichte die elektrische Feldstärke E in einem Leiter von bestimm ter Leitfähigkeit y. (Aus Gl. (11) wird in Kap . 4 der Leitungswiderstand hergeleitet).

27

3.7 Übungsaufgaben

3 .7 Übungsaufgaben A Übung 3.1: Methode Tangentensteigung Ermitteln Sie in einem Beispiel zu Bild 3 . 3 den zeitlichen Verlauf der Ströme für den Zeitraum t = t = ,4 s und zeichnen Sie diese Funktion . A

A

Übung 3.2: Strom und Ladungsmenge Gegeben ist der zeitlich veränderliche Strom i = f (t) gemäß nachfolgender Wertetabelle . Welcher Gleich strom würde in der gleichen Zeit die gleiche Ladungsmenge transportieren ? t (ms)

1

i(A )

,3

2 ,58

3

4 ,8

5

,96

Übung 3.3 : Zeitlicher Verlauf des Stromes Berechnen und zeichnen Sie den zeitlichen Ver lauf des Stromes i = f( t) gemäß Vorgabe der La dungsmengenfunktion in Bild 3.6 .

6

1

7 ,96

8 ,8

9

,58

10

3,

180 - 1 T 180 gur ms20

9 111 - 180 + Bild 3 .6

A

Übung 3.4 : Ladungsmenge und Energie Die Aufladung einer Akkumulatorzelle verläuft nach Strom und Spannung, wie im Bild 3 .7 ange geben . Berechnen Sie aus diesen Kurven a ) die transportierte Ladungsmenge Q , b ) die aufgenommene Energie W für den Zeitraum von bis 5 h .

TO VITAL U

4 + 1 4 2 +

24

ol

oL

U27V

2,6V

L 1

2

3

4

5

Bild 3 .7 A

Übung 3 .5 : Momentanwerte des Stromes Berechnen Sie die Stromstärke für die Zeitpunkte a ) t1 = 4s, b ) t2 = 12 s der in Bild 3.8 gezeigten Ladungsmengenfunktion .

,1 | As 40 to

4

8

12

16

20524

- ,1 - ,2 Bild 3 . 8

A

bis

Übung 3 .6 : Transportierte Ladungsmenge Wie groß ist die vom Strom i im Zeitraum ... 50 ms transportierte Ladungsmenge ? (Bild 3 . 9)

150 IMA i 100

10 Bild 3 . 9

20

30

40

50 ms 60

4 Elektrischer Widerstand

Der elektrische Widerstand ist der vielschichtigste Begriff der Elektrotechnik . In diesem Kapi tel wird Widerstand als Kurzbeschreibung der statischen Strom - Spannungs -Kennlinie von Verbrauchern eingeführt und sein Zusammenhang mit dem drahtgebundenen Aufbau typischer Verbraucher gezeigt.

4 . 1 Widerstandsbegriff Erfahrungsgemäß können Spannung und Stromstärke im Stromkreis keine voneinander unab hängigen Werte annehmen . Es muss also untersucht werden , in welchem Verhältnis Spannung und Stromstärke zueinander stehen und von welchen Einflussgrößen dieses Verhältnis abhän gig ist. Dazu ist eine Messschaltung nach Bild 4. 1 erforderlich . Um das typische Strom - Spannungs Verhalten des gegebenen Verbrauchers näher kennenzulernen , wird eine Spannungsquelle mit einstellbarer Spannung verwendet. Die Messergebnisse werden zunächst in

ihrer zeitlichen

Zuordnung als Liniendiagramm aufgezeichnet.Man erkennt jedoch , dass für die beabsichtigte Erkenntnisgewinnung die Zeitwerte keine Bedeutung haben . In der Wertetabelle werden des halb die Zeitwerte nicht registriert. Die grafische Darstellung der Messwerte führt zur stati schen , d.h . zeitpunktunabhängigen Strom - Spannungs-Kennlinie . 1-U - Kennlinie

Liniendiagramm

Messschaltung

A V T U | - - - 20

3D T mA

1,5

U

1

2

3 ta

4

D

A1

10

OKS

20 V

30

Bild 4 . 1 Elektrischer Widerstand a ) Messschaltung, b ) Liniendiagramm , c ) I- U -Kennlinie Die in Bild 4 .1 gezeigte 1- U -Kennlinie ermöglicht eine quantitative Auswertung, d.h . die Ge winnung eines Kennwertes. Man definiert zur Kennzeichnung des statischen Strom Spannungs-Zusammenhanges bei Verbrauchern den elektrischen Widerstand: Widerstand =

Spannung Stromstärke

Anschaulich drückt der Widerstandsbegriff ein Hemmnis aus, das der elektrische Leiter der Ladungsträgerbewegung entgegensetzt, wenn ein Strom durch ihn fließt. Der dazu erforderli che Energieaufwand wird durch die Spannung ausgedrückt.

4 . 2 Lineare Widerstände

Definitionsgleichung: AB

=

1V = 10 (Ohm ) Einheit 1A

1kS2 = 103 22 1 M22 = 10622

( 12 )

RAB ist die als Widerstand bezeichnete Eigenschaft eines Verbrauchers, innerhalb seiner Klemmen A - B für sein typisches Spannungs- Strom -Verhältnis zu sorgen , sofern UAB # ist. Dabei ist Gl. (12 ) vereinbar mit den Vorstellungen , dass die angelegte Spannung UAB den Strom I bzw . der eingespeiste Strom I den Spannungsabfall UAB verursacht. Der Kehrwert des Widerstandes heißt Leitwert; er dient gleichberechtigt neben dem Wider stand zur Beschreibung des 1- U -Verhaltens eines Verbrauchers . Definitionsgleichung:

GAB E R AB

Siemens ) Einheit = 1S 18(( Siemens) Einheit 192 - =

1 ms = 10 - 3 S |mS = 10-3 1 us = 10 -6S

(13 )

Der Verbraucher selbst wird üblicherweise auch als Widerstand bezeichnet, sodass dieser Begriff leider im

doppelten Sinn verwendet wird :

1. Widerstand als elektrische Größe beschreibt das Spannungs-Strom - Verhältnis als wichtige elektrische Eigenschaft eines Bauelements. 2 . Widerstand als Bauelement kennzeichnet die Bauform (z.B . Drahtwiderstände, Schichtwi derstände, Schiebewiderstände) oder den Verwendungszweck (z.B . Vorwiderstand , Mess widerstand , Lastwiderstand ) eines Gerätes. Im Allgemeinen geht aus einem Text deutlich hervor, ob mit dem Begriff ,,Widerstand“ die elektrische Eigenschaft oder das Bauelement gemeint ist.

4 .2 Lineare Widerstände Der bei einem Widerstand feststellbare Zusammenhang I = f (U ) oder U = f (1)heißt allgemein statische Kennlinie. Ihre Messvorschrift lautet: Spannung U anlegen und stationäre (zeitlich unveränderlich bleibende) Stromstärke I feststellen . Wiederholung des Vorgangs mit ande ren Spannungswerten . Ergibt die grafische Darstellung dieser Messwerte -Paare eine lineare 1- U -Kennlinie , so spricht man von einem linearen Widerstand oder von einem Widerstand mit linearer I- U -Kennlinie, wie sie in Bild 4 .2a ) dargestellt ist. Linear wirkende Widerstände haben einen konstanten Widerstandswert. Wurde die Messung mit Gleichstrom durchgeführt , so heißt dieser Widerstand auch Gleichstromwiderstand und erhält den Formelbuchstaben R1). Also gilt: R =

= konst

Der in Bild 4 .2b ) dargestellte Kennlinienfächer besteht aus neun einzelnen 1- U - Kennlinien und soll zeigen , dass steile Kennlinien kleinere Widerstandswerte und flache Kennlinien größere Widerstandswerte anzeigen .

1) BeiMessung mit sinusförmigen Wechselstrom heißt dieser Widerstand allgemein Wechselstromwider stand und erhält das Formelzeichen Z . Näheres hierzu ab Kap . 22 .

30

4 Elektrischer Widerstand 01002 2002 30012

4002

R = 4002 6002 800 S2 Bild 4 . 2 MTZ ,1WHAA

1600 12 00

40

80

120 V 160

40

a)

80

120 V 160

Widerstände mit linearer I- U -Kennlinie a ) Einzelkennlinie , b ) Kennlinienfächer

Beispiel In ein gegebenes l- U - Diagramm ist die l-U -Kennlinie des Widerstandes R = 1 k 2 einzuzeichnen . Lösung: Man markiert sich im I- U -Diagramm (z . B . Bild 4 . 2a ) einen Koordinatenpunkt für 1000 S2 , z . B . U = 100V und I = , 1 A und zeichnet durch diesen Punkt eine Achsenursprungsgerade .

4 . 3 Nichtlineare Widerstände Bauelemente mit einer nichtlinearen I- U -Kennlinie besitzen ebenfalls die Widerstandseigen schaft, ihr Widerstandswert ist jedoch nicht konstant, da das Gesetz „ n - fache Spannung ergibt n -fache Stromstärke“ nicht zutrifft. Geht man wieder davon aus , dass die Kennlinie mit Gleichstrom gemessen wird , so errech net sich der nichtkonstante Gleichstromwiderstand als Quotient der ermittelten Messwerte Paare :

R = ” # konst . Bild 4 .3 zeigt ein Beispiel für eine nichtlineare l-U -Kennlinie eines Verbrauchers. Die errech neten Widerstandswerte steigen hier mit zunehmender Spannung an . Man bezeichnet Wider stände mit diesem Verhalten als nichtlinear wirkend oder kurz als nichtlineare Widerstände. Welchen Gleichstromwiderstandswert der nichtlinear wirkende Verbraucher tatsächlich hat, hängt von der betriebsmäßig vorgesehenen Spannung ab . Die betriebsmäßige Einstellung eines Wertepaares von Spannung und Strom wird in der Elektronik als Arbeitspunkt (AP) des Bau elementes bezeichnet , in der Energietechnik spricht man von den Nennwerten der Spannung und des Stromes . Nichtlineare Widerstände sind durch Angabe ihres Gleichstromwiderstandes im Arbeitspunkt nicht ausreichend beschrieben . Es muss noch eine zweite Angabe , die man differenziellen Widerstand nennt, hinzugenommen werden : AU = -- AI

Einheit = = 122 Einheit 1A * = 11

( 14 )

31

4 . 3 Nichtlineare Widerstände

Rťkonst

20

TV

40

60 V 80

TiR(mA) ik 2 )

R = f (U )

6 ,7

80

108

, o

20

40

60 V 80

Bild 4 . 3 Nichtlinearer Widerstand a ) Messschaltung, b ) nichtlineare 1- U -Kennlinie, d ) Spannungsabhängigkeit des Widerstandswertes

c) Messwertetabelle

Der differenzielle Widerstand r gibt an , wie groß die Stromänderung Al ist, wenn die Span nung am Widerstand um AU geändert wird . Der differenzielle Widerstand beschreibt gemäß Bild 4.4 den Steilheitsverlauf der I- U -Kennlinie im Arbeitspunktbereich :

4R4 !

-1001

-

Re-

- 1002

- 40 -252

hit ,2 A

AP

APT

4 -

+ 4 ,2 A

AU 25 V

15V a)

U, = 20 V U

U , = 20 V

Bild 4 .4 Bestimmung des differenziellen Widerstands an nichtlinearen I-U -Kennlinien Senkrecht Waagerecht

verlaufende 1- U -Kennlinienstücke würden bedeuten

r = r = 00

Beispiel Wir betrachten in Bild 4 .4b ) die I- U -Kennlinie eines nichtlinearen Widerstandes, um für die angelegte Gleichspannung U den Gleichstrom I und für die Spannungsänderung AU die zugehörige Stromände rung AI in Arbeitspunkt AP zu ermitteln . Wie groß sind die Widerstandswerte , die diese Aussagen der 1- U - Kennlinie beschreiben ?

4 Elektrischer Widerstand Lösung: Gleichstromwiderstand: U 1

20 V 1002 . 2 iA =

Differenzieller Widerstand : AU

25 V - 15V

AI

,2 A - ,2 A

- = 00

( s . Bild 4 . 4b , dort ist A

-

)

Man ersieht aus Bild 4 . 4b ) und der zugehörigen Rechnung , dass der differenzielle Widerstand nicht nur vom Betrag des Gleichstromwiderstandes R = 100 2 abweicht, sondern sogar den Wert r = o aufweist und dies kein Widerspruch zu der zweiten Kennlinienaussage ist, dass in diesem Verbraucher ein Strom von ,2 A fließt. Der differenzielle Widerstand r = o besagt hier lediglich , dass im Arbeitspunktbereich aus einer Spannungsänderung am nichtlinearen Widerstand keine Stromänderung folgt. Die Stromstärke , 2 A bleibt bei Spannungsänderung unverändert erhalten !

4 .4 Ohm ' sches Gesetz und Leitungswiderstand Das Ohm ' sche Gesetz ist das Grundgesetz des elektrischen Stromes in Leitern . Es besagt, dass erfahrungsgemäß der Spannungsabfall U12 längs eines Leiters zwischen den Punkten 1 und 2 beikonstanter Temperatur proportional der Stromstärke I ist : U12 = R

I

Ohm ' sches Gesetz

( R = konst .)

(15)

In Worten : Das Ohm 'sche Gesetz beschreibt den proportionalen Zusammenhang zwischen Spannung und Stromstärke bei einem elektrischen Leiter. In der angegeben Beziehung ist der Strom die unabhängige Variable, d.h . die Stromstärke ist vorgegeben und die Spannung ist die abhängige Variable , die als Spannungsabfall entsteht. Man kann die Beziehung auch umge kehrt deuten , in dem die Spannung vorgegeben ist und im Leiter die zugehörige Stromstärke entsteht.

Materialfaktor p 20°C

Bild 4 . 5 Abhängigkeit des Widerstandswertes von den Abmessungen und dem Mate U12

rial des Drahtes ( Leiters).

Der Proportionalitätsfaktor R im Ohm 'schen Gesetz wird als Leitungswiderstand bezeichnet und berücksichtigt die Leitfähigkeit und geometrische Abmessungen des Materials . Es soll die genaue Beziehung zwischen U12 und I gefunden werden , auf der Grundlage bereits bekannter Beziehungen wie z .B . des Zusammenhanges von Stromdichte und Feldstärke im Leiter s. Gl. (11) und der Feldstärke als Potenzialgefälle im Leitungsabschnitt s. Gl. (5 ) sowie der Strom dichte im Leiter s. Gl. ( 10 ).

33

4 .4 Ohm 'sches Gesetz und Leitungswiderstand

Durch Einsetzen und Umformen in Gl. (15 ) erhält man : . U12 = 7 : A Vergleicht man das Ergebnis mit Gl. (15 ), so wird erkennbar, dass der Proportionalitätsfaktor R im Ohm 'schen Gesetz von drei Materialgrößen abhängig ist, die zusammen genommen als Widerstand R20 des Leiters bei konstanter Temperatur 9 = 20 °C bezeichnet werden : 1 m

Einheit

R20 = 7 A:

5 = 112 15 m /mm²- 1 mm2

A

In Worten : Der Leitungswiderstand R20 ist proportional zum

( 16 )

spezifischen Widerstand p des

Materials und zur Drahtlänge sowie umgekehrt proportional zur Querschnittsfläche des Leiters. Der spezifische Widerstand p (Rho ) nennt den Widerstand eines Leiters von der Länge 1 m und vom Querschnitt 1 mm2 bei 20 °C . Die Leitfähigkeit y (Gamma) nennt den Leitwert eines 1 m langen Leiters vom Querschnitt 1 mm2 bei 20 °C .

Tabelle 4.1 Leitfähigkeit y, spezifischer Widerstand p, Temperaturkoeffizient a bei 20°C in

Materialien

sm mm2

pin 12 mm m

a in % / K

ReineMetalle : 36 56 60 ,5 18 , 2

1 . Aluminium 2 . Kupfer 3 . Silber 4 . Wolfram Widerstandslegierungen : 1. Konstanten 2 . Manganin Lineare Widerstände: 1 . Kohleschicht 2 . Metallschicht (CrNi)

2,3 ,033

,0278 ,0178 ,0165 ,055

+ ,4 + , 39 = + + ,41 ) + ,46

,5 , 43

+ +

30

,4

, 003 , 001

- ,05 + ,01

Beispiel Ein Kupferdraht mit der Länge 44 m und einem Kupferdurchmesser von , 1 mm liegt an einer Spannung von 2 V , 4 V , 6V . Wie lauten mögliche Spannungs - Strom - Verhältnisse , wenn die Leitfähigkeit des Kup fers y = 56 S m /mm2 ist ? Lösung : 4A = - dʻr _ ( , 1mm ) * =

= , 00785 mm2

R = 100 12

44 m A:7

12 ,00785 mm²-56 Sm / mm2 = 100

Der grafische Darstellung der Wertepaare -

D2 V = R = * 20 mA

4V

6 V

40mA

60 mA

ergibt eine lineare l- U - Kennlinie .

= 100 2

O Bild 4 .6

24 V

6

4 Elektrischer Widerstand

34 Beispiel In der gegebenen Schaltung ist das Ohm ' sche Gesetz auf einem den Widerstand R , zu bestimmen . R₂

Teil des Stromkreises anzuwenden , um

%

A ,4 A

Bild 4 .7 Ansatz des Ohm ' schen Gesetzes für den Widerstand R1

1 %

Lösung: Bei der Anwendung des Ohm 'schen Gesetzes muss beachtet werden , dass die Spannung U die Potenzialdifferenz am Widerstand R ist, der vom Strom I durchflossen wird . Ist diese Potenzialdifferenz nicht bekannt, muss sie aus anderen Spannungsangaben erst ermittelt werden . Spannung an Rj:

U12 = 41 - 42 = (+ 7 V ) - (+ 3 V ) = 4 V

Widerstand R1:

R1 =

I

12 - 4 V = 100 ,4 A

Da das Ohm 'sche Gesetz heutzutage nicht in ausschließlicher Beziehung zu Leitungsdrähten gesehen wird , drücktman seine Aussage neutraler aus und schreibt: R = “ = konst . In dieser Form besagt das Ohm 'sche Gesetz : Hat der Widerstand einen konstanten Wert, so sind die Augenblickswerte der Spannung proportional zu den Augenblickswerten des Stromes , unabhängig von speziellen Versuchsbedingungen wie z .B . Stromart, Kurvenform und Fre quenz des Messstromes. Ein solcher Widerstand heißt ohmscher Widerstand . Diese Aussage hat eine große messtechnische Bedeutung beim Oszillografieren von Strömen . Da Oszilloskope (Messgeräte zur Kurvenformanzeige von Spannungen ) wegen ihres hohen Eingangswiderstandes wie Spannungsmesser geschaltet werden , kann man zur Abbildung von Strömen diese durch einen bekannten Messwiderstand fließen lassen und den dort verursach ten Spannungsabfall messen (s. Bild 4 .8 ). Es kann dann über das Ohm 'sche Gesetz auf den zeitlichen Verlauf des Stromes zurückgerechnet werden .

vom Generator

zum Verbraucher

R

U.

Messi

- U = flt ) i = f (t)

b) Bild 4 . 8 Oszillografieren eines Stromes. Das Schirmbild zeigt den zeitlichen Verlauf des zum Strom proportionalen Spannungsabfalls u = i· RMess .

i

4 .5 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes

4 .5 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes Der Widerstandswert von Bauelementen ist allgemein temperaturabhängig .Man unterscheidet: Temperaturabhängigkeit des Widerstandswertes

als Störungseinfluss

beim ohmschen Widerstand

als Arbeitsprinzip

bei handels üblichen

Heißleiter

linearen Widerständen - Bauformen -

keramische Halbleiter mit besonderer

Kaltleiter

Temperaturabhängigkeit des Widerstandswertes

verschiedener Geräte Schicht

Draht

widerstände - Kohle

widerstände

- Metall Nachfolgend soll die Temperaturabhängigkeit des Widerstandes unter dem Gesichtspunkt des Störeinflusses behandelt werden . Im Abschnitt 4 .3 wurde eine nichtlineare l- U -Kennlinie vorgestellt , ohne dort den Grund der Nichtlinearität zu untersuchen . Ein typisches Bauelement mit nichtlinearer I- U -Kennlinie ist die Metallfaden -Glühlampe, deren stationäre ( zeitlich konstante ) I- U -Wertepaare in der fol genden Tabelle angegeben sind . Bild 4 .9 zeigt den Verlauf der statischen 1-U -Kennlinie der Metallfadenlampe .

| U (V )

10

40

| 1 (A)

,04

,1

80

120

160

200

240

,2

,22

,24

,26

, 16

103

Bild 4 . 9

AU

40

80

120

160

200 V 240

Nichtlineare Kennlinie einerMetallfadenlampe . Flüchtiger Betriebspunkt B bei schneller Spannungserhöhung um AU

Um den Einfluss der Erwärmung auf die I- U -Kennlinie zu zeigen , betrachten wir den Arbeits punkt U = 80 V ; 1 = 160 mA. In diesem Betriebspunkt hat die Glühlampe (bei einer bestimm ten Temperatur des Metallfadens ) einen Gleichstromwiderstand von :

36

4 Elektrischer Widerstand

D

UA IA

A

80 V = 500 12 ,16 A

Wird nun die Spannung an der Glühlampe sehr schnell auf 120 V erhöht, so folgt der Strom und steigt auf: _ UB _ 120 V

- 024 A

RA5002 Der erhöhte Strom verursacht jedoch eine größere Erwärmung des Metallfadens und es zeigt sich , dass der neue Betriebspunkt B nur flüchtig ist , denn der Strom sinkt auf ,2 A und damit auf ein neues stabiles Gleichgewicht zwischen Glühlampentemperatur, Umgebungstemperatur und Stromerwärmung. Der Glühlampenwiderstand erreicht den neuen , gegenüber Ra größeren Wert : 120 V Rc - Uc _ - = 600 22 IC ,2 A Man kann deshalb annehmen , dass die Temperatur des Glühfadens einen erheblichen Einfluss auf den Widerstand hat und damit die Ursache für die Nichtlinearität der Metallfaden Kennlinie ist. Nachfolgend soll deshalb die Temperaturabhängigkeit des Widerstandes näher untersuchtwerden . a ) Temperaturunabhängiger Widerstand - Ref (49) Bild 4 . 10 Temperaturunabhängiger Widerstand . 20

30 10

40

50

60 of 70

20

30

40K

50

And

Die Temperaturänderung A9 ist auf die Temperatur 9 = 20 °C bezogen .

Das Bild 4 .10 zeigt zunächst, dass eine Temperaturerhöhung keinen Einfluss auf den Wider standswert hat. Diese Unabhängigkeit von der Temperatur kann durch eine Temperaturfehler kompensation erreicht werden . b ) Temperaturabhängiger Widerstand Ändert sich der Widerstand eines Materials mit der Temperatur, so lässt sich der funktionale Zusammenhang beider Größen nur durch Messung ermitteln. Man erhält eine Erfahrungsfunk tion R = f ( 9 ). Bei den üblichen Leiterwerkstoffen ist eine annähernde Proportionalität zwischen Wider stands - und Temperaturzunahme im Bereich von – 20 °C bis + 100 °C festzustellen . Die Widerstandszunahme berechnet sich aus: AR = A 20 · 49 . R20

(17 )

Der Proportionalitätsfaktor 220 heißt Temperaturkoeffizient (auch TK -Wert genannt) und nennt die prozentuale Widerstandsänderung je 1 Kelvin Temperaturänderung. Bei Temperaturerhö hung verursachen positive Temperaturkoeffizienten eine Widerstandszunahme und negative

4 .5 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes

37

TK -Werte eine Widerstandsabnahme. Der Temperaturbeiwert reiner Metalle ist d20 ~ + (s . auch Tabelle S . 33) .

,4 % /K

Wie das Bild 4 . 11 zeigt, setzt sich der Widerstand bei einer bestimmten Temperatur aus dem Ausgangswiderstand und der Widerstandszunahme zusammen : Rg = R20 + AR Rg = R20 + A 20 · 19 · R20

R=

Rg = R20 (1 + 020 · 19)

(18 )

f14 )

! AR R20

-

-

-

-

-

Bild 4 . 11 IR20

+ 10

20

30

40K

50

se

Temperaturabhängiger Widerstand in der Proportionalzone

Bei Temperaturerhöhungen über 100 °C hebt sich die experimentell ermittelte Kurve immer mehr von dem linearen Verlauf ab . Beispiel Ein Kupferdraht habe bei Raumtemperatur einen Materialwiderstand von R20 = 15 2. Bei welcher Tem peratur hat sich sein Widerstand um 10 % erhöht, wenn der Temperaturkoeffizient 070 = + ,4 % / K ist ? Lösung : Rg = R20 + 420 · 19 · R20 = 16 ,5 22 19 - R9 - R20 220 · R20

16 ,512 - 1522 - 25K ,4 . 10 -2 K - .1522

9 = 20 °C + 25 K = 45 °C Beispiel Ein Widerstand A bestehe aus einem 7 , 85 m langen Draht vom Durchmesser 1 mm . Er habe bei jeder Temperatur einen Widerstand von 5 22. 1 . Welchen Temperaturkoeffizienten müsste das Material haben ? 2 . Wie groß sind spezifischer Widerstand und Leitfähigkeit desMaterials ? 3 . Der Widerstand A wird durch eine Reihenschaltung der Widerstände C und D ersetzt, deren Tempe raturkoeffizienten ac = + ,4 % / K bzw . ap = - ,2 % / K sind . Man berechne die Widerstände Rc und Rp für die Temperatur 20 °C ! 4 . Das Ergebnis unter 3 . soll für eine Temperaturdifferenz von 50 K nachgeprüft werden ! Lösung 1: Als Lösungsansatz wird gewählt: Rg = R20 + 420 · 19 · R20 Die Bedingung lautet Rg = R20 für jede Temperatur. Da die Widerstandsänderung null sein muss , gilt: = 220 · 19 · R20 Daraus folgt: 020 =

% /K

38

4 Elektrischer Widerstand

Lösung 2: Die Bestimmungsgleichung fürden Widerstand lautet : R20 = 2 ; Daraus folgt:

p=Rp.4

mit4=4 _1mm ? = ,785 mm ? 2 522 - ,785 mm p = - = ,522 mm²/m (Konstantan, s. Tabelle S . 33) 7,85 m

yal P ,5

1 mm² / m

= 2S m /mm

Lösung 3: Die Reihenschaltung der Widerstände C und D soll den bei jeder Temperatur konstanten Widerstand 5 2 ersetzen : 5 12 = R200 + R200 . ac . 49 + R200 + R20D . dp . 49 51 = R20c + R20D + R200

ac : 19 + R20Dap

49

Die Summe aus Widerstandszunahme und Widerstandsabnahme muss null sein : R20cºac . 49 + R20D

ap 49 = )

R2000c = -R20Dap Das Widerstandsverhältnis wird damit : R20c

ap - - - ,002 K -! + .5 + ,004 K -1 QC R20D Der Gesamtwiderstand ist : R 20c + R200 = 5 12 = konst. in I

,5 R20D + R200 = 5 12 1,5 R20D = 522 III

II in

R20D = 3.33 12

R20c + 3,33 2 = 512 R200 = 1 ,67 22

Lösung 4 : Rgc = R20c + ac . 49 R200 Rgc = 1,67 12 + ,004 K -1 . 50 K : 1,67 22

Rgp = 3 ,33 12 + (- ,002 K -l) 50 K - 3,33 12

R9C = 1, 67 2 + , 33 Roc = 222

R9D = 3,33 2 - ,33 12 R9D = 32

R9D = R20D + ap

43 . R20D

Bei den Widerständen mit ausgeprägter Temperaturabhängigkeit gelten die Berechnungs grundlagen der linearen Widerstände gemäß Gln . (17) und ( 18 ) nicht. Bei den speziell tempe raturabhängigen Widerständen unterscheidet man zwei Typen : Heißleiter mit negativen Temperaturkoeffizienten , die bei steigender Temperatur eine Wider standsabnahme aufweisen , Kaltleiter mit positiven Temperaturkoeffizienten , die bei Temperaturerhöhung eine Wider standszunahme aufweisen .

4 .6 Übungsaufgaben Besondere Widerstandslegierungen wie Konstantan (54 % Cu, 45 % Ni, 1 % Mn) und Manga nin ( 12 % Mn, 2 % Ni, 86 % Cu ) haben einen sehr kleinen , fast vernachlässigbaren Tempera turkoeffizienten (s. Tabelle S . 33 ) und eignen sich daher zur Herstellung temperaturunabhän giger Widerstände .

I

k23

1/

Pre = RN e 817

100 - RN

10 ] Ro

+ - + - + B = 4000K Ro - Bezugswiderstand bei = 0°C

,1 - 40

40

80

120 °C

160

a)

Re - Endwiderstand bei de B = Materialkonstante zur Bestimmung der Temperaturabhängigkeit Ry - Nennwiderstand bei In = 20°C

# Re - - t - - - + - - - - - - - - -- -

IN = IN + 273 K Ro - Widerstandswert bei 9 T = 9 + 273 K

Rent Rg.22 102 -10,1

- - - - - - ,1 -40

-20

Bild 4 . 12 20

40

°C

60

Temperaturabhängige Widerstände a ) Heißleiter (NTC ) b ) Kaltleiter (PTC )

40

4 Elektrischer Widerstand

4 .6 Übungsaufgaben A

Übung 4. 1: Lineare 1- U -Kennlinie Zeichnen Sie die I- U -Kennlinie für den Widerstand R = 6 ,8 k 2 im Spannungsbereich () < U < 10 V .

A Übung 4 .2 : Widerstandsbegriffe Die Kennlinienaufnahme eines nichtlinearen Widerstandes ergab folgendeMesswerte :

|

U (V )

10

20

40

80

120

140

160

I (mA)

40

55

70

75

80

90

110

Berechnen Sie den Gleichstromwiderstand und den differenziellen Widerstand des nichtlinearen Wider standes im Arbeitspunkt AP , der bei U = 80 V liegt. Welche Eigenschaft zeigt der nichtlineare Widerstand durch seine Kennlinie im Arbeitsbereich ? Lösungsleitlinie : 1 . Zeichnen Sie die Kennlinie [ = f ( U ) . Tragen Sie den Arbeitspunkt AP ein . 2 . Errechnen Sie den Gleichstromwiderstand aus den Koordinatenwerten des Arbeitspunktes AP . 3 . Markieren Sie den Arbeitsbereich ( flacher Kennlinienteil). Berechnen Sie die Steigung der Kennlinie im Arbeitsbereich . Der reziproke Wert der Steigung ist der differenzielle Widerstand. 4 . Welche Stromänderung Al ergibt sich im Arbeitpsunkt AP bei Auftreten einer Spannungsänderung AU = 10 V ? A

Übung 4 . 3 : Widerstandsgleiche Leitungen Eine einadrige Kupferleitung der Länge lc mit der Querschnittsfläche Ac soll gegen eine widerstands gleiche Aluminiumleitung gleicher Länge ausgetauscht werden . Welcher Aluminiumquerschnitt ist zu wählen , wenn You = 56 S m /mm² und YAL = 36 S m /mm2 gelten ?

A

Übung 4 .4 : Spannungsabfall am Leitungswiderstand Eine 2 - adrige Kupferleitung habe eine Leitungslänge von 280 m und einen Drahtdurchmesser von , 4 mm . Welcher Spannungsabfall wird von der Leitung bei einer Stromstärke von ,3 A verursacht?

A

Übung 4 .5 : Stromdichte im Leiter Wie groß ist die Stromdichte in einem 1 -adrigen Kupferdraht der Länge 96 m , wenn der Strom einen Spannungsabfall von 2 V verursacht?

,55 A

A

Übung 4 .6 : Temperaturabhängigkeit des Materialwiderstandes Nach VDE ist die Erwärmung einer Maschinenwicklung aus der Widerstandszunahme während des Be triebes zu ermitteln . Messungen an einer Wicklung ergaben : Vor Inbetriebnahme bei Raumtemperatur 920 = 20 °C , U1 = 6 ,3V , 11 = 9 A ; nach mehrstündigem Betrieb : U2 = 7 ,2 V , 12 = 9 A . Berechnen Sie die Wicklungstemperatur nach dem mehrstündigen Betrieb , wenn 620 = ,004 K - ist.

•

Übung 4 .7: Aussagen über Widerstandsbegriffe Prüfen Sie folgende Aussagen und arbeiten Sie eine schriftliche Beurteilung aus. 1. Widerstand ist eine reine Werkstoffeigenschaft. 2 . Widerstand ist ein Spannungs- Stromverhältnis. 3 . Die Differenz der Gleichstromwiderstände zweier benachbarter Arbeitspunkte ist nicht gleich dem differenziellen Widerstand . 4 . Widerstand ist das, was ein Ohmmeter anzeigt.

41

4 .6 Übungsaufgaben •

•

Übung 4.8: Differenzieller Widerstand Welche Aussage macht der Begriff ,,differenzieller Widerstand“ bezüglich des Stromes ? Übung 4 . 9 : Gleichstromwiderstand , linearer Widerstand , ohmscher Widerstand Handelt es sich bei den drei Begriffen Gleichstromwiderstand, linearer Widerstand und ohmscher Wider stand um verschiedene Bezeichnungen für denselben Sachverhalt ?

A

Übung 4 . 10 : Widerstandswert Auf einem Schiebewiderstand stehen die Angaben 120 2 / 1 ,5 A . a ) Was bedeuten diese Angaben ? b ) Zeichnen Sie die I- U -Kennlinie für den vollen Widerstand im Strombereich

A Übung 4.11: Ohm 'sches Gesetz a ) Bestimmen Sie in der Schaltung nach Bild 4 .13 unter der Begründung die Stromrichtung unter Angabe Angabe der Begründung die Stromrichtung und die Polarität der Spannungsquelle. b ) Bestimmen Sie die Potenziale PA und PD . Der Messbereich des Spannungsmessers sei auf 3 V eingestellt, die Polaritätsanzeige stehe auf Plus. c ) Berechnen Sie mit dem Ohm 'schen Gesetz die Widerstände R2 und R3.

Bild 4 . 13

A

4 =?

Übung 4 . 12 : Ohm 'sches Gesetz Berechnen Sie in der Schaltung nach Bild 4 .14 durch wiederholtes Ansetzen des Ohm ' schen Gesetzes die fehlenden Angaben .

Rz 5V 5V

... ,5 A !

19 - OV MB - 31 MB =34|

R2 DR

Ry - 150 12

48= -5V Rg = 1,5k2

4c = ?

Ry = ,5k2

Y =? R2 = 1k2 R =?

Die Spannung zwischen den Punkten B und C wurde gemessen und ergab UBC = - 2 V .

UBC = - 2V I 46=0V Bild 4. 14

•

Übung 4 . 13 : Stromänderung Eine Gleichspannungsquelle mit 5 , 5 V liege an einem Zweipol, dessen Kennlinie Bild 4 . 15 zeigt. Der Gleichspannung werde eine kleine rechteckförmige Wechselspannung überlagert . a ) Wie groß ist der von der Gleichspannungsquelle zu liefernde Strom ? b ) Wie groß ist die zur Spannungsänderung AU zugehörige Stromänderung Al ? c) Welchen Widerstandswert , sehen “ die Spannungsquellen in dem Zweipol ? II 35mV

| AU = 35mV 5 ,5V U = 5, 5 V

80 mA Zweipol mit neben stehend. Kenn linie

5V

6V

Bild 4 . 15

5 Grundstromkreise

Grundstromkreise der Elektrotechnik bestehen aus einer Quelle mit Innenwiderstand und ei nem Verbraucher. Je nach Betrachtungsweise der Quelle unterscheidet man zwischen einem Grundstromkreis mit Spannungsquelle oder einem Grundstromkreis mit Stromquelle . Bei der Schaltungsanalyse versucht man , komplexe Schaltungen auf Grundstromkreise zu reduzieren . Als Grundstromkreis bezeichnet man Reihenschaltungen und Parallelschaltungen von Bauele menten .

5 . 1 Grundgesetze der Stromkreise Welche allgemein gültigen Gesetzmäßigkeiten gelten für jeden Stromkreis , gleichgültig ob die darin vorkommenden Widerstände linear oder nichtlinear sind ? Die drei nachfolgend beschrie benen Gesetze bilden die Grundlage der Stromkreisberechnungen . Ohm 'sches Gesetz Für jeden Widerstand gilt bei bekannter Stromstärke und bekanntem Widerstandswert : U

= IR

s. Gl. ( 15 )

Nur bei linearen Widerständen besteht jedoch Proportionalität zwischen Spannung und Strom stärke . Erstes Kirchhoff 'sches Gesetz Der 1. Kirchhoffsche Satz besagt: Die Summe aller vorzeichenbehafteten Ströme, die zu einem Knotenpunkt gehören , ist gleich null :

(19 ) i= 1 Als Knotenpunkt gilt jeder Verbindungspunkt von Leitungen in einem Stromkreis. Da in einem Knotenpunkt weder Ladungen entstehen , untergehen noch gespeichert werden , müssen die in der Zeit At dem

Knotenpunkt zufließenden Ladungsmengen gleich der Summe der aus dem

Knotenpunkt abfließenden Ladungen sein . Zweites Kirchhoff 'sches Gesetz Der 2 . Kirchhoff' sche Satz besagt: Die Summe aller vorzeichenbehafteten Spannungen in einer Netzmasche ist gleich null :

įv; = i= 1

(20 )

Als Netzmasche gilt jeder geschlossene Umlauf in einer Schaltung. Für jede Netzmasche gilt genau wie für den unverzweigten Stromkreis : Die Summe aller Spannungen ist gleich null , da die Ladung nach Beendigung eines Umlaufs wieder auf dem gleichen Potenzial des Ausgangs punktes angekommen ist.

43

5 . 2 Reihenschaltung von Widerständen

Beispiel Wir betrachten eine typische Netzmaschenkonfiguration und setzen für sie den ersten und zweiten Kirch hoff' schen Satz an . P1

P3 10

Bild 5 . 1 131 P2

Netzmasche mit drei Knotenpunkten . Für die Außenströme kann die Netz masche als ein Knotenpunkt aufgefasst werden .

Lösung: 1 . Kirchhoff'scher Satz Die Netzmasche in Bild 5 . 1 enthält drei Knotenpunkte. Beim Ansatz von Gl. ( 19 ) für einen Knotenpunkt teilt man den zufließenden Strömen das positive Vorzeichen , den abfließenden Strömen das Minuszei chen zu . Für KnotenpunktP1 gilt: (+ 12 ) + (- 11) + (- 12) = Gl. (19) gilt auch in erweiterter Form punkte gelten : P1: + 1a - 11 - 12 = P2 : + 12 - 1. - 13 = P3 : + 16 + 13 + 11 =

= → =

für die Außenströme lg , lb, I. einer Netzmasche. Für die Knoten

la = 11 + 12 1. = 12 - 13 1 = - 11 - 13

Gemäß der Knotenpunktregel muss für die drei Außenströme gelten : + 1a + 1b - Is = Kontrolle : + 11 + 12 - 11 - 13 - 12 + 12 = 2 . Kirchhoff'scher Satz Im allgemeinen Fall kann man über die Richtung der Ströme keine Voraussagen machen . Man nimmt deshalb die Stromrichtungen an . Die Spannungspfeile an den Widerständen zeigen dann in die gewählte Stromrichtung . Die Quellenspannungspfeile zeigen vom Plus- zum Minuspol der Spannungsquelle . Die Umlaufrichtung wurde nach freiem Ermessen im Gegenuhrzeigersinn gewählt und die in Umlaufrichtung zeigenden Spannungspfeile positiv gezählt, die anderen negativ . Für die in Bild 5 . 1 dargestellte Netz masche erhält man : (+ UR3) + (- URI) + (+ UR2) + (- Uq) = (+ 13 · R3) + (- 11 . Ri) + (+ 12 · R2) + (- Uq) = )

5 .2 Reihenschaltung von Widerständen Bild

5 .2a) zeigt einen einfachen Stromkreis bestehend aus einem Generator und einem Verbraucher. Die besondere Eigenschaft des Generators sei es, dass er zwischen seinen

Anschlussklemmen 1 - 2 eine konstante

Spannung aufrecht erhalte. In

diesem

einfachen

44

5 Grundstromkreise

Stromkreis ist zwischen den Klemmen 1 - 2 nur eine Spannung U12 = 01 - 42messbar, obwohl zwei ihrem Wesen nach verschiedene Spannungen vorhanden sind : -

die vom Generator aufgrund seines Wirkungsprinzips erzeugte Quellenspannung Uq, der durch den Strom 1 verursachte Spannungsabfall U am Verbraucher , für den das Ohm ’sche Gesetz gilt: U = I. R .

Uzt | a)

b)

2

R2=

2

Bild 5 .2 Reihenschaltung von Widerständen Nach dem zweiten Kirchhoff'schen Satz muss die Summe aller Spannungen in einer Netz masche (Stromkreis) gleich null sein : (+ U2) + (- U ) = Ug = U Ug = 1 : R Die Schaltung befindet sich bei der Stromstärke I in einem elektrischen Spannungsgleich gewicht. Die Gleichgewichtsstromstärke hätte auch durch sinngemäße Anwendung des Ohm ' schen Gesetzes gefunden werden können : I R Gesamtwiderstand der Reihenschaltung Die Stromstärke im

Stromkreis verändert sich nicht, wenn der vorhandene Verbraucherwider stand durch Aufteilung der Drahtlänge l in die Einzellängen 11 und 12 zerlegt wird . Ordnet man , wie in Bild 5 .2b ) angegeben , den Einzeldrähten mit den Längen 11 und 12 je einen Wider standswert R1 und R2 zu, so ergibt sich eine Reihenschaltung (Hintereinanderschaltung) von Widerständen , deren Kennzeichen es ist, von demselben Strom 1 durchflossen zu werden : 1 = l1 + 12 R = R1 + R2 Für n in Reihe geschalteter Widerstände ist der Ersatzwiderstand R :

(21)

In Worten : Der Gesamtwiderstand in Reihe geschalteter Einzelwiderstände errechnet sich aus der Addition der Einzelwiderstände .

5 .2 Reihenschaltung von Widerständen

Spannungsteilung in der Reihenschaltung Als neue Wirkung der Widerstandsaufteilung ergibt sich eine Spannungsteilung. Der gesamte Spannungsabfall teilt sich in Teilspannungsabfälle auf, für die wiederum der 2 . Kirchhoff 'sche Satz gilt : U = U1 + U2 Bei n in Reihe geschalteten Widerständen gilt:

(22)

U = ŽU

In Worten : Bei in Reihe geschalteten Widerständen ergibt die Summe der Teilspannungen die Gesamtspannung.

2017

| | ‫ا‬

10 ‫ا‬

20 V 30 ‫ا‬ ‫ا‬

a) Bild 5.3 Spannungsteilung a ) Spannungsteiler, b ) grafische Lösung im Kennlinienfeld

Die Abgriffe an den Verbindungsstellen der in Bild 5 . 3a ) in Reihe liegenden Widerstände gestatten die Abnahme von Teilspannungen . Man bezeichnet entsprechende Schaltungen als Spannungsteiler. In der Schaltung nach Bild 5.3a ) sind R1, R2 und U bekannt. Es ist: U U2

_

11 R

mit 11 = 12 (Bedingung der Reihenschaltung)

12 -R2

( 23 )

In Worten : Die Teilspannungen verhalten sich wie die Teilwiderstände , weil sie von dem selben Strom I durchflossen werden . Ferner ist :

46

5 Grundstromkreise I . R2 IR

U2 . .

mit R = R1 + R2

U2 R2 ☺ = R1 + R2

(24 )

In Worten : Bei in Reihe geschalteten Widerständen verhält sich die Teilspannung zur Gesamt spannung wie der Teilwiderstand zum Gesamtwiderstand. Beispiel Wir betrachten die in Bild 5 . 3 dargestellte Reihenschaltung der Widerstände R = 2 k2 und R2 = 1 k 2 an der Quellenspannung Ug = 30 V . Die Spannungsteilung soll rechnerisch und grafisch ermittelt werden . Lösung : Rechnerische Lösung : U = Uq = 30 V I -=

U R1 R+

2

30v - = 10 mA k22 + 1622

U = 1 R = 10 mA 2 k22 = 20 V U2 = 1 : R2 = 10 mA : 1 kl2 = 10 V oder U

2k12 = 20 V = U . _ R1 _ - 30 V . k22 + 1k12 2 R1 + R2

U2 = U - U1 = 30 V - 20 V = 10 V Grafische Lösung : Man zeichnet zunächst die 1 - U -Kennlinie für Ry, vom Achsenursprung U = V beginnend , und dazu spiegelbildlich die I- U -Kennlinie für R , bei U = 30 V ansetzend . Die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden ergeben die Stromstärke I und die Spannungsaufteilung U2, U .

5 . 3 Parallelschaltung von Widerständen Das Kennzeichen der Parallelschaltung von Bauelementen ist die Stromteilung in Knotenpunk ten der Schaltung. Eine Parallelschaltung entsteht durch Nebeneinanderschaltung von Wider ständen , deren Kennzeichen es ist, dass sie an derselben Spannung liegen .

b) Bild 5 .4 Parallelschaltung von Widerständen

2

5 .3 Parallelschaltung von Widerständen

47

Gesamtwiderstand der Parallelschaltung Die Stromstärke im Stromkreis nach Bild 5.4 verändert sich nicht, wenn der vorhandene Ver braucherwiderstand durch Aufteilung des Drahtquerschnittes A in die Teilquerschnitte A , und A2 des Drahtes zerlegt wird . Ordnet man , wie in Bild 5 .4b ) gezeigt, den Widerstandsdrähten mit den Querschnitte A1 und A2 je einen Widerstandswert Rị und R2 zu , so ergibt sich : A = A1 + A2 pil R

pill . p . 12 R

R2

mit I = 11 = 12

RR . R2 und mit den Leitwerten G = G1 + G2 Für n parallel geschaltete Widerstände ist der Ersatzleitwert G : G = ŻG

(25 )

In Worten : Der Gesamtleitwert parallel geschalteter Widerstände errechnet sich aus der Addi tion der Einzelleitwerte. Der reziproke Wert des Gesamtleitwertes ist dann der gesuchte Er satzwiderstand der Parallelschaltung der Widerstände : R = = Bei nur zwei parallel liegenden Widerständen rechnet man vorteilhaftmitGl. (26 ): 1 = 1 .+ 1 RR . R2 R = R2· R R1 + R2

R2 + R1 Ry : R2 Merkregel: Produkt durch Summe

( 26 )

Stromteilung in der Parallelschaltung Als neue Wirkung der Widerstandsaufteilung ergibt sich eine Stromteilung. Der Gesamtstrom teilt sich in Teilströme auf, für die der 1 . Kirchhoff 'sche Satz gilt: I = 11 + 12 Bei n parallel geschalteten Widerständen gilt:

( 27 )

In Worten : Die Summe der Teilströme ist gleich dem Gesamtstrom .

48

5 Grundstromkreise I = 30 mA

12

10 b)

20 V 30

LUJ

Bild 5 .5 Stromteilung a ) Stromteiler, b ) grafische Lösung im Kennlinienfeld

In der gegebenen Schaltung sind die Widerstände Ry und R2 sowie die Stromstärke I bekannt. Es ist:

11 _ U / R1 12

U / R2 (28 )

In Worten : Die Teilströme verhalten sich umgekehrt proportional zu den

Teilwiderständen ,

weil sie an derselben Spannung U liegen . Ferner lassen sich die Teilströme aus dem Gesamtstrom berechnen . Es ist:

11 . R1 = 1. R wobei

R =

Rj R2 R1 + R2 ( 29)

In Worten : Der Teilstrom verhält sich zum Teilwiderstand zum Gesamtwiderstand .

Gesamtstrom

umgekehrt proportional wie der

Beispiel Wir betrachten die in Bild 5.5 dargestellte Parallelschaltung der Widerstände Ry = 1 kl und R2 = 2 k12, in die der Strom 1 = 30 mA einfließt. Die Stromteilung soll rechnerisch und grafisch ermittelt werden . Lösung Rechnerische Lösung : Eine Parallelschaltung von Widerständen an bekannter Spannung U erfordert nicht die Berechnung einer Stromteilung, da das Ohm ' sche Gesetz direkt auf jeden Teilwiderstand angesetzt werden kann. Hier ist jedoch der einfließende Gesamtstrom gegeben .

5 .4 Spannungsquelle mit Innenwiderstand

R - R1· R2 R1 + R2 1, = 1.

2, 1k12 2 kN k1 1692 + 2 kg =

2k12 = 30 mA = 20 mA * 1 ΚΩ

12 = 1 - 11 = 30 mA - 20 mA = 10 mA oder G = G1+ G2 = 1mS + ,5mS = 1,5 ms

R =

_ 15m3 =

U = 1 R = 30 mA

ko kN = 20 V

20 V 1 - U mA Riko = 20 1

- U R

- 20 V = 10 mA 2 k92

Grafische Lösung : Zur grafischen Lösung des Problems zeichnet man zunächst die I- U -Kennlinie des Widerstandes R sowie die des Widerstandes R2, diese jedoch spiegelbildlich zur sonst üblichen Darstellung. Ordnet man den Achsenursprung beider Kennlinien im Abstand der Größe des eingeprägten Gesamtstroms 1 an , ergibt sich ein Schnittpunkt der Kennlinien , der die an der Parallelschaltung liegende Spannung U und die Aufteilung der Ströme zeigt.

5 .4 Spannungsquelle mit Innenwiderstand Jeder Spannungserzeuger hat an sich einen komplexen Innenaufbau , den der Anwender jedoch nicht unbedingt kennen muss. Wichtig ist lediglich die Kenntnis der insgesamt wirksamen elektrischen Eigenschaften , die man durch Kennwerte ausdrückt. Bei der idealen Gleichspan nungsquelle, die bisher stillschweigend vorausgesetzt wurde, genügt als alleiniger Kennwert die konstante Quellenspannung Uq. Ideale Spannungsquellen stellen an ihren Klemmen eine konstante Spannung bestimmter Größe bereit. Technische Spannungsquellen reagieren auf Belastung mit einem Verbraucher durch Abnahme der Klemmenspannung. Bild 5 .6 zeigt die durch eine Verkleinerung des einstellbaren Widerstandes Rg ausgelöste Erscheinung.

U

va

- - - - - - ideal - real

No

a)

b)

Bild 5 .6 Zum Belastungsverhalten einer Spannungsquelle

CIS

50

5 Grundstromkreise

Ersatzschaltung einer Spannungsquelle Unter einer Ersatzschaltung versteht man eine Anordnung von idealen Komponenten , die in ihrem Zusammenwirken die Eigenschaften eines technischen Bauelements beschreiben . Bild 5. 7 zeigt eine geeignete Ersatzschaltung für das typische Spannungsverhalten realer Span nungsquellen bei Belastung. Danach kann jede Gleichspannungsquelle durch zwei konstante Kennwerte in ihrem Außenverhalten beschrieben werden : Quellenspannung U , Innenwiderstand R ; Als Schaltsymbol für die Quellenspannung wird ein Kreis mit Längslinie gezeichnet.

R; Leerlauf (Ra - 00 ) - - - - - - - - Ua - ---- --Kurzschluss (Ra = ) No |L Quelle - - - a)

1=

- - -

1 = IK

b)

Bild 5 . 7 Spannungsquelle mit Innenwiderstand a ) Ersatzschaltung einer Spannungsquelle mit Belastungswiderstand , b ) Generator- oder R ;-Kennlinie

Die Analyse der Ersatzschaltung beginnt mit der Betrachtung des Leerlauffalls einer realen Spannungsquelle : Die im Innern des Generators durch äußeren Energieaufwand aufrechterhal tene Potenzialdifferenz heißt Quellenspannung Ug. Die Quellenspannung kann nicht direkt gemessen werden , da der Innenwiderstand über die ganze Innenschaltung verteilt ist. Lediglich in der obigen Ersatzschaltung wird der Innenwiderstand auf eine Stelle konzentriert. Man definiert die Leerlaufspannung als die Spannung zwischen den offenen Klemmen des Genera tors: UL = 21 - 22 im Stromkreis eingehalten wird , Die Leerlaufspannung istmessbar , wenn ihre Bedingung 1 = z . B . durch Verwendung eines Spannungsmessers mit sehr großem Innenwiderstand. Von der bekannten Leerlaufspannung kann rückwärts auf die Quellenspannung U , geschlossen werden . treten nach dem Ohm 'schen Gesetz an eventuell vorhandenen Widerständen Wegen I = keine Spannungsabfälle auf, sodass Ug = UL bei Ra = angenommen werden darf. Die Analyse der Ersatzschaltung wird fortgesetzt mit dem Strom I in der Schaltung auf. Es ist bei I > U < UL

:

Belastungsfall. Es tritt nun ein

51

5 .4 Spannungsquelle mit Innenwiderstand

Der Differenzbetrag zwischen Leerlaufspannung UL und Klemmenspannung U wird als inne rer Spannungsabfall U ; des Generators bezeichnet: U ; = Uq - U

mit

Uq = UL

Den Quotienten aus innerem Spannungsabfall Uí und Strom nenwiderstand R ; des Generators :

I deutet man als konstanten In

( 30 )

Mit den Kennwerten Quellenspannung Ug und Innenwiderstand Ri errechnet sich die verfüg bare Klemmenspannung bei Belastung aus: U

= Uq - I . Ri

(31)

Gl. (31) sagt, dass die messbare Klemmenspannung um den inneren Spannungsabfall kleiner ist als die Quellenspannung. Damit ist das oben beschriebene Verhalten des Spannungsrück gangs der Spannungsquelle bei Strombelastung modellmäßig nachgebildet. Die Anpassung des Modells an die Realität erfolgt durch Aufsuchen der genauen Kennwertbeträge für Ug und Ri. Der in Bild 5.7 angedeutete Kurzschlussfall ist ein im Allgemeinen für Spannungsquellen nicht zulässiger Betriebsfall, da je nach Größe des Innenwiderstandes Ri sehr hohe Stromstärken auftreten können : IK - VA Ri

bei Rx =

Beispiel Wir bestimmen die Kennwerte U , und R ; einer Spannungsquelle durch zwei Messungen . Lösung: Messung 1 : Die Leerlaufspannung wird gemäß Bild 5 .8a) gemessen und betrage UL = 30 V . Messung 2: Die Spannungsquelle wird bis auf Nennstromstärke belastet. Die Messgeräte zeigen die Klemmenspan nung und den Belastungsstrom an U = 25 V , I = , 2 A (s. Bild 5 . 8b ). I=

luavk

OR *

lucu

O

Ro

b) Bild 5 .8 Zur messtechnischen Ermittlung der Kennwerte U , und Ri a)Messung der Leerlaufspannung , b ) Messung der Klemmenspannung und des Belastungsstromes

5 Grundstromkreise

Auswertung: Es ergeben sich folgende Kennwerte der Spannungsquelle: Quellenspannung Ug = UL Ug = 30 V

Innenwiderstand

30 V - 25 VL = 2522 ,2 A Kontrolle : Wir kontrollieren das Messergebnis U = 25 V durch Rechnung mit Gl. (31) : U = Uq - I . R ; Ug = 30 V - ,2 A · 252 = 25 V

5 .5 Stromquelle mit Innenwiderstand Technisch realisierte Stromquellen bestehen aus einer Spannungsquelle und einer elektroni schen Zusatzschaltung, die der Gesamtschaltung ein besonderes Verhalten verschafft. Die zunächst ungewöhnlich anmutende Eigenschaft einer Stromquelle besteht in einer sog. Strom einprägung in den Verbraucher. Bild 5 .9 zeigt, dass der Verbraucherwiderstand sogar den Wert Ra = annehmen darf, ohne dass es zu einer Stromänderung oder gar zu zu einem ge fährlichen Kurzschlussstrom kommt. Auch bei Vergrößerung des Lastwiderstandes Ra bleibt die Stromstärke fast konstant. Bei realen Stromquellen ist dagegen eine leichte Abnahme der Stromstärke bei Vergrößerung des Lastwiderstandes R , feststellbar.

ideal real NO U = 1 . Ra Bild 5.9 Zum Belastungsverhalten einer Stromquelle Wie kann ein solches Verhalten modellmäßig erklärt werden ? Zunächst sei festgestellt, dass die Stromquelleneigenschaft keinen Verstoß gegen das Ohm ’sche Gesetz darstellt, dieses gilt fü r den einstellbaren Widerstand Ra in der Form U = 1 . Ra und zeigt: U wächst mit Ra bei gegebener Stromstärke I. Diese Betrachtung zeigt auch die Grenzen jeder technischen Stromquelle auf. Stromquellen können den konstanten Strom I nicht durch unendlich große Widerstände treiben . Technische Stromquellen liefern einen zu meist kleineren , aber fast konstant bleibenden Strom an Verbraucher, deren Widerstand nur im Bereich bis Rmax einstellbar sein darf. Ersatzschaltung einer Stromquelle Die Stromquelle ist ein Stromgenerator, dessen komplexer Innenaufbau nicht erklärt werden soll. Ersatzweise wird eine konstruierte Vorstellung in Form einer Einströmung Iq eingefü hrt,

5 .5 Stromquelle mit Innenwiderstand

die man sich durch die physikalische Innenfunktion des Stromgenerators infolge Energiezu fuhr direkt entstanden denken muss. Als Schaltsymbol für diesen Quellenstrom Iq wird ein Kreis mit Querlinie gezeichnet. Um das Belastungsverhalten genau nachbilden zu können , ist zusätzlich noch ein Innenwiderstand Ri in Parallelschaltung zum Verbraucher modellmäßig erforderlich (vgl. Bild 5 . 10 ): |

Ri =

(32 )

1;

Mit dem

Quellenstrom bei Belastung aus :

Ig und dem

Innenwiderstand R ; errechnet sich der verfügbare Strom

I

I = 1, - 1; I =

U (33)

Mit Gl. ( 33) ist das oben beschriebene Verhalten des Stromstärkerückgangs der Stromquelle bei Belastung modellmäßig nachgebildet. Die Anpassung des Modells an die Realität erfolgt durch Aufsuchen der genauen Kennwertbeträge für Iq und Ri.

Kurzschluss (Ra = )

Quelle

U =

a) b) Bild 5 . 10 Stromquelle mit Innenwiderstand a ) Ersatzschaltung , b ) Generator - oder R ;-Kennlinie

Beispiel Von einem unbekannten Generator sollen die Kennwerte Ig und R ; der Stromquelle durch zwei Messun gen bestimmt und seine Ersatzschaltung angegeben werden . Lösung: Messung 1: Die Kurzschlussstromstärke wird gemäß Bild 5 . 11 gemessen und betrage IK = ,21 A . Eine solche Mes sung kann an einer unbekannten Energiequelle nicht durchgeführt werden . Hier wird vorausgesetzt, dass eine Quelle mit begrenztem Kurzschlussstrom vorliegt. Messung 2 : Die Stromquelle wird mit einem Widerstand R , belastet. Die Messgeräte zeigen den Strom I = die Klemmenspannung U = 25 V an .

,2 A und

54

5 Grundstromkreise

R ;=

b)

a)

Bild 5 .11 Zur messtechnischen Ermittlung der Kennwerte Iq und Ri a ) Messung des Kurzschlussstromes (falls zulässig ) b ) Messung der Klemmenspannung und des Belastungsstromes

Auswertung : Es ergeben sich folgende Kennwerte der Stromquelle : Innenwiderstand U ;

Quellenstrom Ig = Ik 19 = ,21 A

25 V - = 2500 2 ,21 A - ,2 A

R Kontrolle : Wir kontrollieren das Messergebnis 1 =

1o - ,21 A

, 2 A durch

Rechnung mit Gl. (33 ): 1 = 1 ,

O

Ri

Ri 2,5

25 V 1 = ,21 A - 2 3516 , 5 k92 = ,2 A

Bild 5 . 12

Beispiel Geregelte Netzteile sind Geräte , die aus Netzwechselspannung mit elektronischen Mitteln Gleichspan nungen erzeugen . Von derartigen Netzgeräten wird gefordert: Die Klemmenspannung soll bei jeder zulässigen Belastung den Wert der Leerlaufspannung haben . Bei Überschreitung der zulässigen Belastung bis hin zum Kurzschluss darf der Strom einen einstell baren Grenzwert nicht überschreiten . a ) Welchen typischen Verlauf hat die 1- U -Kennlinie eines solchen Netzgerätes ? b ) Wie sehen die Abhängigkeiten UA = f (R ) und I = f (R2) des Netzgerätes aus ? Lösung: a ) Bild 5 . 13 zeigt die I- U -Kennlinie eines geregelten Netzteils für U = 20 V und Imax = 1 A ri = 00 1 = konst.

. konst Ua 20V

U

Bild 5 .13

55

5.6 Übungsaufgaben

b ) Bei Belastungswiderständen R , > 20 2 wird die Klemmenspannung konstant gehalten ; das Netzgerät arbeitet als Konstantspannungsquelle, die Stromstärke ist lastwiderstandsabhängig 1 = U /RA (s. Bild 5 . 14 : U = konst.). Bei Belastungswiderständen Ra < 20 2 wird der Strom konstant gehalten ; das Netzgerät arbeitet als Konstantstromquelle infolge Strombegrenzung auf 1 A ; die Klemmenspannung ist lastwiderstands abhängig U = 1 · Ra. (s. Bild 5. 14 : 1 = konst .). Ua =konst. zout 14- 11 -konst , U 1, Ral ( =f Ua

Ua= UL

A . 5A

20

40

f (( RRa ))

60

U . 25 A

80R

Bild 5 .14

5 .6 Übungsaufgaben A Übung 5.1: Spannungsquelle mit Innenwiderstand Eine Gleichspannungsquelle zeigt das folgende elektrische Verhalten : Bei Anschluss eines Widerstandes mit dem Widerstandswert 1 k22 fließt ein Strom von 10 mA , bei An schluss eines Widerstandes von 10 k22 fließt dagegen ein Strom von 4 , 8 mA . Welche Klemmenspannung stellt sich bei Belastung mit einem Widerstand von 6 , 8 k22 ein ? Lösungsleitlinie : 1 . Die Klemmenspannungen für beide Belastungsfälle mit dem Ohm ' schen Gesetz berechnen . 2 . Die Stromerhöhung AI = 5 , 2 mA verursacht am Innenwiderstand R ; einen zusätzlichen inneren Span nungsabfall AU;. Bei konstanter Quellenspannung U , muss der zusätzliche innere Spannungsabfall AU; zu einem gleich großen Spannungsrückgang AU, am Widerstand führen . R ; = ? 3 . Berechnen Sie die Quellenspannung Uq. 4 . Strom / bei Anschluss des Widerstandes 6 ,8 kO . 5 . Klemmenspannung U , nach dem Ohm 'schen Gesetz . A

Übung 5 .2: Klemmenspannung und Innenwiderstand Ein Verbraucher mit dem Widerstandswert 330 22 liegt an einer Spannungsquelle , deren Leerlaufspan nung 9 V und deren Kurzschlussstrom , 1 A beträgt. Berechnen Sie die Klemmenspannung .

A

Übung 5 . 3 : Messen der Leerlaufspannung Der Innenwiderstand zweier Spannungsquellen beträgt: Ril = 512 , Ri2 = 50 k 2 Welchen Widerstand Rq müssten Spannungsmesser mindestens haben , um die Leerlaufspannung der Spannungsquellen auf 3 % genau messen zu können ? (Der Messgerätefehler wird vernachlässigt.) Übung 5.4: Methode der R ;-Bestimmung Beschreiben Sie den Vorgang der R ;-Bestimmung bei einer Spannungsquelle AU a) nach der 40 - Methode. A b ) durch Belastung mit R bis Un =

UL .

5 Grundstromkreise

Übung 5 .5 : Konstantspannungsquelle Eine Konstantspannungsquelle hat die Eigenschaft, bei nahezu jedem Belastungsfall eine konstante Klemmenspannung an den Verbraucher abzugeben . Welche widerstandsmäßige Voraussetzung für den Innenwiderstand muss gegeben sein ? Wie verhält sich die Stromstärke der Konstantspannungsquelle bei veränderlicher Widerstandsbelastung ? Übung 5 .6 : Konstantstromquelle Eine Konstantstromquelle hat die Eigenschaft, bei nahezu jedem Belastungsfall einen konstanten Strom an den Verbraucher abzugeben . In welchem Verhältnis muss der Innenwiderstand zum Belastungswiderstand stehen ? Wie verhält sich die Klemmenspannung der Konstantstromquelle bei veränderlicher Widerstandsbelas tung ? A

Übung 5 . 7 : Temperaturfehler eines Drehspulmesswerks Ein Drehspulmesswerk habe infolge der Widerstandsänderung seiner aus Kupfer bestehenden Drehspule einen Temperaturfehler von ,4 % / K . Durch Vorschalten eines temperaturunabhängigen Vorwiderstandes Temperaturfehlers bei gleich gleichzeitiger Vergrößerung des Span rminderung des Temperaturfehlers R ergibt sich eine Verminderung nungsmessbereichs des Messgerätes. Auf welchen Wert sinkt der Gesamt- Temperaturfehler , wenn der Messbereich des Spannungsmessers um den Faktor n erweitert wird ? Ry= 2 R2 7

A Übung 5.8: Spannungen der Reihenschaltung Berechnen Sie die Teilspannungen U2, U3 und den Widerstand R3 der in Bild 5 . 15 gezeigten Reihen schaltung

U = 5 V U2

|

1622

R3 Bild 5 . 15 A

Übung 5.9 : Potenziale Berechnen Sie die Potenziale PA und Schaltung nach Bild 5 . 16 .

B in der

22k2

10 KS2 -

Pe = ?

Bild 5 . 16 A

Ry = 10k 32

Übung 5 .10 : Teilspannungen und Potenziale Bestimmen Sie die Potenziale der Punkte A , B und D ( s. Bild 5 .17).

R2 27k2

PO = Bild 5 . 17

Rg= 1562

1 4c= OV

5.6 Übungsaufgaben

A

A

Übung 5 .11 : Spannungsteilung In welchen Grenzen ist die Ausgangsspannung UA der in Bild 5 .18 dargestellten Schaltung einstell bar ?

20 KS2

Übung 5 .12 : Teilwiderstände

A

Übung 5 . 13 : Parallelschaltung Berechnen Sie den Widerstand R , und die Span nung U der Parallelschaltung (Bild 5 . 19 ).

R2 = 10kS2

10 V,

Rechnen Sie Übung 5 .11 rückwärts , um die Teil widerstände R , und R3 zu bestimmen , wenn durch Verstellung des Widerstandes R2 = 10 k2 die Ausgangsspannung in den Grenzen 4 V ... 6 V ein stellbar sein soll (Bild 5 . 18 ).

2022

Bild 5 . 18 I = 10mA

Ermitteln Sie auch den Gesamtwiderstand der Pa rallelschaltung aus den bekannten Einzelwider ständen , und kontrollieren Sie das Ergebnis über das Ohm 'sche Gesetz . 7mA Bild 5 . 19 A

Übung 5 . 14 : Grafisches Lösungsverfahren Bestimmen Sie grafisch die Stromstärke sowie die Teilspannungen U , und U2 der Reihenschaltung (Bild 5 .20 ) .

15k2u 30V

33k92 Bild 5 .20 A

I = 25mA

Übung 5. 15 : Grafisches Lösungsverfahren Bestimmen Sie grafisch die Stromteilung und die Spannung für die Parallelschaltung (Bild 5 .21) .

18 k 2

4762

Bild 5 .21 A Übung 5.16 : Stromquelle Eine Stromquelle liefere im Kurzschlussfall eine Stromstärke von 5 mA. Welche Stromstärke prägt sie in einen angeschlossenen Verbraucher Rg = 1, 8 k22 ein , wenn der Innenwiderstand der Strom quelle R ; = 50 kO2 beträgt (Bild 5 .22).

o

Bild 5 .22

fóre

alle

6

Energieumsetzung im

Verbraucher

Der Generator sorgt für den Aufbau und die Aufrechterhaltung des elektrischen Feldes im Stromkreis. Je nach Art des Verbrauchers wird die elektrische Feldenergie in andere Energie formen umgewandelt.

6 . 1 Elektrische Arbeit Energie ist definiert als die Fähigkeit , Arbeit zu verrichten . Für den allgemeinen Begriff von Arbeit kann aus dieser Definition geschlossen werden , dass durch Arbeit die Energie von Systemen verändert wird : Von System A werde auf das System B die Energie AW übertra gen . Dann verrichtet System A Arbeit , d .h . es wird um AW energieärmer, während System B im gleichen Maße energiereicher wird . Arbeit ist demnach der Vorgang einer Energieum wandlung. Es wird genau soviel gearbeitet, wie Energie umgewandelt wird . Deshalb erhal ten die Größen Energie und Arbeit dasselbe Formelzeichen und dieselbe Einheit. Zur Berechnung der elektrischen Arbeit kann man von der aus der Mechanik bekannten Ar beitsdefinition ausgehen : Arbeit = Kraft · Weg W = F .5

Einheit 1 J (Joule) : 1 J = 1 Nm (Newtonmeter) = 1 Ws (Wattsekunde )

Mit den Größen des elektrischen Feldes GI.(1) E = =

Gl.(5) E =

= F= E.Q

= U = E :S

erhältman : W

Q . U

= F . s

allgemeine Vorstellung von Arbeit

( 34 )

Ladungsveschiebung im elektrischen Feld

Im Falle des zeitunabhängigen Gleichstromes wird mit Q = 1 . t: W

= U . I .t

Einheit 1 V : 1A : 1s = 1 Ws

(35 )

Sind Stromstärke und Spannung zeitabhängig, muss folgende Berechnungsformel gebildet werden :

mit Lösungsmethode Flächenauszählen " 1 )

( 36)

In Worten : Die Arbeit W ist gleich der Summe aller ,,kleinsten Arbeitsportionen dW = u . i . dt“ , die während der Zeit t, bis t2 verrichtet werden . 1) Methode „ Flächenauszählen “ s . S . 24

6 .2 Joule ’sches Gesetz

6 . 2 Joule ’ sches Gesetz Es ist noch die Frage offen , was aus der vom Generator an den Verbraucher gelieferten Ener gie wird ! Allgemein gilt der Satz von der Erhaltung der Energie. Speziell sagt das Joule’sche Gesetz: Die an den Verbraucher gelieferte elektrische Energie W wird dann vollständig in Stromwärme Qw umgesetzt, wenn der Verbraucher quellenspannungsfrei ist. Ein quellenspan nungsfreier Verbraucher ist z .B . der Widerstand R . Die am Widerstand verrichtete elektrische Arbeit W berechnet sich aus: W = U : 1: 1 Ersetzt man in dieser Beziehung die Spannung durch U = 1 · R , so erhält man für die Strom wärme Qw : Qw = 12 .Rut

Einheit 1 Ws = 1J

(37)

Gl. (37) heißt Joule’sches Gesetz . Wichtig ist die Erkenntnis , dass Qw = W nur dann gilt, wenn die am Verbraucher angelegte Spannung U vollständig in Spannungsabfall an einem Wider stand R umgesetzt wird . Beispiel Ein Widerstand R = 10 22 liegt eine Stunde lang an der Gleichspannung U = 100 V . a ) Wie groß ist die am Widerstand verrichtete elektrische Arbeit ? b ) Wie groß ist der Stromwärmeanteil in % ? Lösung: Elektrische Arbeit: W = U : 1 : 1 = 100 V · 10 A Stromwärme: Qw =

.R

1 h = 1000 Wh

= (10 A )2 . 1012 : 1 h = 1000 Wh (= 100 % ) = 3600 kJ

Beispiel Durch die Ankerwicklung eines an Gleichspannung 100 V liegenden Motors fließt ein Strom von 10 A . Der belastete Motor läuft eine Stunde lang. a ) Wie groß ist die an dem Gleichstrommotor in dieser Zeit verrichtete elektrische Arbeit ? b ) Wie groß ist der Stromwärmeanteil in % , wenn der Ankerwiderstand 1 2 beträgt ? Lösung: Elektrische Arbeit: W = U

1 . t = 100 V . 10 A . 1 h = 1000 Wh

Stromwärme: Qw =

. R . t = (10 A )2 . 122 . 1 h = 100 Wh (10 % ) = 360 kJ

Die Wärmemenge Qw ist kleiner als die aufgewendete elektrische Arbeit W , da die bereitgestellte Span nung U nur zu einem kleinen Teil in Spannungsabfall Ur am Ankerwiderstand umgesetzt wird , während der größere Spannungsanteil zur Ü berwindung der vom Motor induzierten Quellenspannung Uq ge braucht wird (Bild 6 . 1) .

60

6 Energieumsetzung im

Verbraucher

hier Umsatz in Stromwärme hier Umsatz in mechanische Energie

Bild 6 .1 Zur Energieumsetzung in einem Gleichstrommotor a ) Motor als Verbraucher, b ) Ersatzschaltung

6 . 3 Elektrische Leistung Ein wesentliches Kennzeichen des Energieumwandlungsvorganges, der elektrische Arbeit ge nannt wird , ist die Geschwindigkeit der Energieumwandlung . Trägt man die von einem Gerät verrichtete elektrische Arbeit über der Zeit auf, dann lässt sich die Arbeitsgeschwindigkeit aus dem Steigungsdreieck ermitteln . Man bezeichnet die Energieumwandlungsgeschwindigkeit als elektrische Leistung P : Arbeit Leistung =

W

Zeit

200 WS 150

AW - P . At Bild 6 . 2 1

2

AL

3

4

5

Einheit

6

7

Zur Leistungsdefinition

1 Ws W = 1 W (Watt ) ls

(38 )

In Worten : Leistung ist definiert als Quotient von Arbeit und Zeit Für eine beliebige Funktion W = f(t) kann der Momentanwert der Leistung mit Lösungsmethode ,, Tangente “ 1)

1) Lösungsmethode „ Tangente “ s. S. 22

( 39 )

6 . 3 Elektrische Leistung

durch Tangentenkonstruktion ermittelt werden . Aus den Momentanwerten von Spannung und Strom erhält man auch den Momentanwert der Leistung:

et

dW

u . i . dt

dt

at

P1 = u · i Für die zeitunabhängigen Gleichstromgrößen ergibt sich die konstant bleibende Leistung P = UI

Einheit 1 V . 1A = 1 W

In Worten : Die elektrische Leistung errechnet sich aus dem bei einem Verbraucher . -

(40 ) Produkt von Spannung und Strom

92 kWh

AR

Bild 6 .3 Leistungsmessung a ) Leistungsmesser : 1 - 3 = Strompfad , 2 - 5 = Spannungspfad b ) Arbeitszähler und Uhr ( nicht gezeichnet ) c ) Strom - Spannungs -Messung Beispiel Die Leistungsaufnahme einer Heizplatte soll durch Messung ermitteltwerden . a ) Direkt durch einen Leistungsmesser. b ) Indirekt durch Messung der verrichteten Arbeit pro Zeit. Die auf dem Zähler - Typenschild genannte Zählerkonstante sei 120 Umdr./ 1 kWh. Es werden 6 Umdrehungen in der Zeit 3 min gezählt. c ) Indirekt durch Messung von Spannung und Stromstärke. Die Klemmenspannung betrage 220 V . Es wird eine Stromaufnahme von 4 , 55 A gemessen . Lösung: a ) Schaltung s . Bild 6 . 3 . Der Strompfad des Leistungsmessers wird wie ein Strommesser, der Span nungspfad wie ein Spannungsmesser geschaltet. Bei Zeigerausschlag in die falsche Richtung: Umpo len eines Pfades . Messergebnis P = 1000 W . 1000 Wh b) W - . 6 Umdr. = 50 Wh 120 Umdr. f =

1h -- -3 min = ,05 h 60 min

P - AW At c)

50 Wh - = 1000 W .05 h

P = U . 1 = 220 V . 4 ,55 A = 1000 W

62

6 Energieumsetzung im Verbraucher

Beispiel Gegeben ist der zeitliche Verlauf der Leistung gemäß Wertetabelle. Es ist die im Zeitraum

t = 1 h bis

t2 = 4 h verrichtete Arbeit zu ermitteln . t(h)

,5

P (W )

100

190

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

280

330

350

345

337

325

305

280

Lösung: Darstellung der gegebenen Funktion auf kariertem Papier

200

1

2

Lösen des Integrals W

3

= \u .i. dt =

4

5

Bild 6 . 4

P4 . dt durch die Methode des Flächenauszählens:

1 = 4h W =

. ,25 h- = 988 Wh P. . dt = 158 FE . 25 W FE 1 = 1h

6 .4 Strom - und Spannungsabhängigkeit der Leistung Mit dem

Ohm 'schen Gesetz lässt sich die Berechnungsgrundlage für die elektrische Leistung

bei Gleichstrom erweitern und das Verständnis vertiefen . Es war: P = U

I

Durch Einsetzen von I = U /R erhält man :

R

Einheit

- = 1W

(41)

Mit U = IR wird : P = 12 . R

Einheit (1 A )2 . 12 = 1 W

(42)

Das heißt, wird die an einem konstanten Widerstand R liegende Spannung U verdoppelt, dann steigt die Leistung auf den vierfachen Betrag, da P = U2 : R ist. Dieses Ergebnis ergibt sich aus dem Ohm 'schen Gesetz : Wird die Spannung an einem konstanten Widerstand verdoppelt, I dann steigt auch der Strom auf den doppelten Wert. Die Leistung muss dann wegen P = U auf den vierfachen Betrag ansteigen .

6 .5 Nennleistung Beispiel Ein Verbraucher mit dem konstanten Widerstand R liegt an der Gleichspannung 220 V . Die Leistung seiner Energieumwandlung beträgt bei Nennspannung 100 W . Durch welche Maßnahme kann seine Leistung auf 50 W vermindert werden ? Lösung : Der Verbraucher muss an eine geringere Spannung gelegt werden . Strom in R für halbe Leistung: Widerstandswert R : R _= UP _ (220 V )?- _= 484 Q2 = konst. P 100 W

11 -- - P U

50 W - = 155 , 5 V

,322 A

Probe:

Spannung an R für halbe Leistung:

P = U : 1 = 155,5 V . ,322 A = 50 W

U = VP . R = 150 W .484.22 = 155 ,5 V

6 . 5 Nennleistung Die Leistung steigt bei einem konstanten Widerstand mit dem

Quadrat der angelegten Span

nung an . Widerstände dürfen jedoch bei Dauerbelastung nur mit ihrer Nennleistung betrieben werden . Aus der Nennleistung und dem Widerstandswert lässt sich die größte noch zulässige Spannung errechnen , die an den Widerstand angelegt werden darf : PNenn =

U = VPNenn : R

Beispiel An welcher Spannung darf ein Widerstand mit dem Widerstandswert 1 k22 und der Nennleistung ,5 W noch betrieben werden ? Lösung: U = 10,5 W

1000 А* = 22,4 V

Für die grafische Lösung wird zunächst P = f (U ) in einer Wertetabelle berechnet. U (V )

5

P (W )

,025

10

20

15

,1

,225

,4

25 ,625

30 ,9

Die Funktion P = f ( U ) wird gezeichnet und die Nennleistung Schnittpunktkann die Nennspannung abgelesen werden .

,5 W

als Grenzwert eingetragen . Im

P = f( )

P = ,5 W

Bild 6 . 5 10

20

v

30

Die Nennleistung eines Widerstandes bestimmt die zulässige Nennspannung.

64

6 Energieumsetzung im

Verbraucher

Soll die Nennleistung eines Bauteils im I- U - Kennlinienfeld dargestellt werden , ergibt sich die sog. Leistungshyperbel. Die Leistungshyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte , die im I- U -Kennlinienfeld die Leistung P darstellen . Beispiel Wir betrachten die zulässige Spannungsbelastbarkeit einer Widerstandsdekade zur Einstellung von Wi derstandswerten zwischen , 100 ... 1000 12 (s. Bild 6 .6a ). Die verwendeten 10 Widerstände haben eine Nennleistung von , 5 W . Lösung : Zunächst werden die I- U -Kennlinien einzelner Widerstandswerte in das vorbereitete Kennlinien feld eingezeichnet: 10V 10022 = 10V .i ,1 A

25 V

= 20 V 2002 = ,1A

500 12 =

50 mA

Nun werden einige I- U -Wertepaare aufgesucht, deren Produkt die Leistung ,5 W ergeben . Diese Koor dinatenpunkte werden in das I- U -Kennlinienfeld eingetragen . Ihre Verbindungslinie ergibt die Leistungs hyperbel , 5 W . Die Leistungshyperbel teilt das I- U -Kennlinienfeld in einen erlaubten und einen verbote nen Bereich (s . Bild 6 .6b ). 10022 06 100 100 %

2002

100 I

80

200

50012 P=

300

,

5W 10002

1000 -

10

20

V

30

a) Bild 6 .6 Zur Leistungshyperbel a ) Widerstandsdekade mit 10 Widerständen je , 5 W b ) Leistungshyperbel ,5 W

6 .6 Energieumwandlung und Wirkungsgrad Setzt man die einem Verbraucher zugeführte elektrische Energie Wzu gleich 100 % , so erreicht die von ihm durch Energieumwandlung erzeugte Nutzenergie W Nutz nur Werte von unter 100 % , da bei der Arbeit des Verbrauchers unbeabsichtigt eine Verlustenergie Werl in Form von Reibungs - und Stromwärme entsteht: Wzu = WNutz + Werl Teilt man die Energiebilanz durch die Zeit, so erhältman die Leistungsbilanz : Pzu = PNutz + PVerl

(43)

65

6 .7 Energieübertragung und Wirkungsgrad

Als Maß für die Qualität der Energieumwandlung wird der Wirkungsgrad n eingeführt : dimensionsloser Zahlenfaktor

n= Peutz

(44)

In Worten : Der Wirkungsgrad ist definiert als das Verhältnis von abgegebener Nutzleistung zu aufgenommener Leistung und ist somit immer kleiner als 1 (= 100 % ). Die Nutzenergie berechnet sich verbraucherspezifisch (s. auch Bild 6 .7 ). Wzu =Ult WNutz m . W zu

Puerl Werl Motor Prutz = M -2AN PNutz nPzu

Pzu U.1

a) Bild 6 .7 Zum Geräte - Wirkungsgrad

WNutz -CM -A0

für Wasser c = 4 ,19 b)

kok

a ) eines Motors , b ) eines Tauchsieders Beispiel Wir betrachten einen Gleichstrommotor für eine Betriebsspannung 220 V , der bei Belastung eine Strom aufnahme von 21, 5 A hat , während er an der Welle ein Drehmoment von 31, 8 Nm bei einer Dreh frequenz von 1200 Umdr./min erzeugt. Wie groß ist der Geräte - Wirkungsgrad des Motors ? Lösung : Leistungsabgabe : PNutz = M . 21 . n = 31, 8 Nm · 21 · 1200 min - 1 PNutz = 240 000 Nm /min = 4 000 Nm /s = 4000 W Leistungsaufnahme: Pzu = U . I = 220 V . 21,5 A = 4 730 W Wirkungsgrad: n =

Nutz

4000 W

Pzu

4730 W

- =

,845

n = 84 ,5 %

6 . 7 Energieübertragung und Wirkungsgrad Die Grundaufgabe der Energietechnik besteht in der Erzeugung und Ü bertragung elektrischer Energie vom Generator zum Verbraucher. Die Verbrauchergruppe soll die von ihr verlangte elektrische Leistung bei vorgegebener konstanter Spannung erhalten , und zwar auch bei ver

66

6 Energieumsetzung im

Verbraucher

änderlicher Anzahl der zugeschalteten Verbraucher. Die vom Generator erzeugte Leistung soll mit möglichst geringen Verlusten zum Verbraucher übertragen werden . Die Aufgabenstellung verlangt eine Analyse des Grundstromkreises, bestehend aus Generator mit Innenwiderstand R ; bei wechselndem Lastwiderstand Rg hinsichtlich einer wirtschaftlichen Leistungsübertragung (s. Bild 6 .8 ).

Bild 6 . 8 Zum Energieübertragungs -Wirkungsgrad

Nach dem 2. Kirchhoffschen Gesetz gilt : Uq = U ; + U Durch Multiplikation mit der Stromstärke I erhalten wir die Leistungsbilanz : U , I

=

U ;: I P:

Pa erzeugte elektrische Leistung

Leistungsverbrauch innerhalb der Quelle

+

U

I P

an den Verbraucher gelieferte Leistung : Nutzleistung

Unter dem Gesichtspunkt einer wirtschaftlichen Energieübertragung bezeichnen wir die an die Verbraucher gelieferte Leistung P als Nutzleistung und die am Generator-Innenwiderstand verbleibende Leistung Pi als Verlustleistung und definieren einen Energieübertragungs Wirkungsgrad : - P

.

1² . Ra 12 . Rg + 12 . R;

Ra " TRA + Ri

(45 )

Der Wirkungsgrad der Energieübertragung innerhalb eines Stromkreises hängt also von einem Widerstandsverhältnis ab . Sollen große Energiemengen übertragen werden , wie es Aufgabe der Energietechnik ist, muss ein sehr guter Wirkungsgrad angestrebt werden . Das lässt sich elektrisch erreichen , wenn der Innenwiderstand des Generators sehr viel kleiner als der Verbraucherwiderstand ist. Die Betriebsart eines Generators, die durch die Beziehung R ; « Ra oder, was dasselbe ist, durch Rg > Ribeschrieben wird , heißt Spannungsanpassung und liefert den Verbrauchern eine fast konstante und größtmögliche Klemmenspannung. Spannungsanpassung Ra >

(46 )

Ri

Bei Schweißgeneratoren und in Elektronikschaltungen kommt auch eine Betriebsart vor, bei welcher der Innenwiderstand des Generators sehr viel größer als der Verbraucherwiderstand sein muss . In diesem Fall erhalten die Verbraucher einen fast konstanten und größtmöglichen Strom geliefert, was man als Stromanpassung mit der Bedingung Ra « R ;bezeichnet.

6 .7 Energieübertragung und Wirkungsgrad

Beispiel Wir betrachten einen Stromkreis, bestehend aus einem Generator mit der Quellenspannung Ug und dem Innenwiderstand R ; = , 2 12, der mit einer Grundlast P = 10 kW belastet ist. Ein weiterer Verbraucher mit der Anschlussleistung 1 kW wird zugeschaltet. Die Nennspannung der Verbraucher sei 230 V (s . Bild 6 . 9 ). 1 . Wie groß ist die Klemmenspannung der Verbrauchergruppe ? 2. Wie groß ist die Leistungsabgabe des Generators ? R ; - , 2. 2

fuq -2300

of

Grund last

Zusatz last

Bild 6 . 9

Lösung : 1 . Grundlastwiderstand : R, =

U2 P

230 VV )) 2 ((230 5292 10.000 W

Klemmenspannung des Grundlastverbrauchers: 1 . Ra - 230 V . 5,29 12 = 221.6 V U = Uq 9 Rg + Ri 200 5,4922 Durch Zuschalten der Zusatzlast R

230v² 92 = ² _( 1000 w = 52, P

wird der Lastwiderstand auf den Betrag Ra vermindert: R

- Ra •Rzu _ 5, 29 12 : 52,92 = 4 ,8122 a Rq + Rzu 58,19 12

Es ergibt sich die neue Klemmenspannung U ': 4 .81 22 U '= V4 Rat RR 5 , 01 92 = 220,8 V R ; = 230v.4:018 Die Klemmenspannung hat sich durch die Grundlast um 9 ,2 V und das Zuschalten der Zusatzlast um ,8 V verringert. 2. Energieübertragungs- Wirkungsgrad R R + R;

4 ,812 = 5,012

. 96

n = 96 % Um an den Verbraucher die Leistung P = 10 kW + 1 kW = 11 kW zu übertragen , muss der Generator die Leistung P , abgeben :

68

6 Energieumsetzung im

Verbraucher

P 11 kW - = - = 11,46 kW , 96 n Es entsteht eine Verlustleistung am Generator- Innenwiderstand : Pi = P , - P Pi = 11,46 kW - 11 kW = ,46 kW ( 4 % )

6 . 8 Leistungsanpassung In der Nachrichtentechnik , wo Übertragungseinrichtungen zur Übermittlung von Informatio nen benutzt werden , ist man bestrebt, einer Signalquelle mit Innenwiderstand einen möglichst großen Absolutbetrag der Empfangsenergie zu entnehmen . Der Wirkungsgrad der Energie übertragung interessiert wegen der zumeist geringen Energiebeträge überhaupt nicht. Unter welcher Bedingung wird die am Empfänger ( R2) verfügbare Leistung möglichst groß , wenn die Signalquelle durch eine konstante Quellenspannung Ug und einen konstanten Innen widerstand Ri, gekennzeichnet ist ? Die Leistung im

Verbraucherwiderstand R , beträgt:

P = 22 .Ra

oder

P=""

Man erkennt, dass die verfügbare Leistung P bei Extremwerten des Lastwiderstandes Ra gleich null ist : P =

bei Ra =

,

P =

bei Ra = 00 ,

da Klemmenspannung U = da Strom I =

Die verfügbare Leistung P hat ihr Maximum bei Widerstandsgleichheit zwischen Rg und Ri: Leistungsanpassung Ra = R ;

(47)

In Worten : Soll einem Generator, dessen Innenwiderstand R ; und dessen Leerlaufspannung UL ist , die größtmögliche Leistung entnommen werden , so muss der Belastungswiderstand Rg die gleiche Größe haben wie der Innenwiderstand R ; des Generators. Bei Leistungsanpassung ergeben sich charakteristische Werte für die Klemmenspannung U und Stromstärke I im Verbraucher :

U =

,

(halbe Leerlaufspannung)

1 = - K (halbe Kurzschlussstromstärke)

Das Maximum der verfügbaren Leistung berechnet sich mit den Kennwerten Uq und R; der Spannungsquelle aus:

6 . 8 Leistungsanpassung

Pames = .Va žte

max

4

mit la =

R;

Ein gleich großer Leistungsteil wird am Innenwiderstand R ; in Wärme umgesetzt, weshalb bei Leistungsanpassung der Wirkungsgrad nur 50 % beträgt. R ; = 10 12

R;= 109

1 - IK

R ; = 102 10

11

Ra ,112

Ra 1k32

RU

Un

,1

100

1000 Ra

Bild 6 . 10 Leistungsanpassung

Beispiel Wir berechnen die verfügbare Leistung für den veränderlichen Belastungswiderstand R , der an einer Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung 12V und dem Innenwiderstand 10 12 liegt. Lösung: R, 1 =

10,1 pop Ra + R;

| 1

| 2

| 3

| 10

| 20

1,2

1,10

1,00

,80

,60

U = 1. Rg

,12

1, 10

2,00

4,00

6,00

8,00

P=

,14

1, 21

2,00

3,20

3,60

3,20

:1

Py = Uq :1 n=

14 ,4

,97 1000

13 ,2 9,17

12,

16,7

,40

| 50 ,20 10 , 2,00

| 100 ,11

4,80

2,40

33, 350, 066,7

83,3

91,7

7,20

, 012

A

,14

W

11, 1,21 1,32

9,60

1000

,144

97,2

%

70

6 Energieumsetzung im

Verbraucher

Beispiel Ein Stellwiderstand mit veränderbarem

Widerstand R , wird an eine Spannungsquelle mit den Kenn

werten Ik = ,4 A und R ; = 30 22 gelegt. Der Widerstand soll eine Leistung von 1 W aufnehmen . Folgende Punkte sind zu bearbeiten UILCI :. 1. Darstellung des 1-U -Kennlinienfeldes mit der R ;-Geraden und der Leistungshyperbel 1 W , 2 . Berechnung dermöglichen Widerstandswerte für Ra, 3 . Klärung der Begriffe Über - und Unterpassung . Lösung 1 : Bild 6 . 11 zeigt, dass es zweimögliche Widerstandswerte für R , gibt.

ot AS

OLI 2

4

6

8

10

12 V

14

Bild 6 . 11

Lösung 2 : Die Berechnung der Widerstandswerte Ral und Ra2 kann aus der Steigung der Widerstands geraden erfolgen : OV R12 6, 3 V = 12,652 ,5 A - 0A 14 V - OV R22 = 702 220 ,2 A - A Die Widerstandswerte lassen sich auch direkt berechnen : Pges = Pa + P; U

: I = PQ + 12 . R;

R; • 12 – Uq' I + Pa = 12 _ 041+ PALO R ; R; 1 -

,4 A · I + ,0333 A2 =

,4 A +, ( ,4 A )? - , 0333 A ? 112 =+ ,4A +, 11,2 = + 11. 2 = +

,2 A + ,2 A +

,04 AP - , 0333 A ? ,0816 A

11 = 281,6 mA 12 = 118,4 mA

Der Strom 11 (12) muss im Widerstand Ral (R22) die Leistung 1 W erzeugen : Pa = 1} . Ral 12 = 12,612 13 ( ,2816 A )2

Pa = 13 -R22 R42 = _ 1W )2 = 71 ,32 ( ,1184

Lösung 3: Man definiert Ra = R ¡ als Leistungsanpassung und bezeichnet den Fall Ra > R ; als Überanpas sung und den Fall Ra < R ; als Unteranpassung.

71

6 .9 Übungsaufgaben

6 .9 Übungsaufgaben A

Übung 6 .1 : Nennleistung Von einem Widerstand sind die Angaben 1, 8 k22/ , 25 W bekannt. Welcher maximale Strom darf im Widerstand auftreten , ohne dass er überlastet wird ? Übung 6 . 2: Leistung und Leistungsanpassung Auf dem „ Spickzettel" eines Studienkollegen befinden sich zum sung u .a . folgende Aufzeichnungen :

Thema Leistung und Leistungsanpas

Sind die in Bild 6 .12 angegebenen Beziehungen richtig ?

Dia to

la

+ -

Pameranie n Ua a)

tra

U

a 12

Pore a

U RUZ

Ua

Bild 6 .12 Leistungsaufnahme des Verbrauchers R , in Abhängigkeit a) von der Klemmenspannung U , bei konstantem Widerstand Ra b ) vom Widerstandswert R , bei konstanten Kennwerten (Uq, R ;) der Spannungsquelle .

A

Übung 6 . 3 : Leistungsmessung Bei Belastungen mit einem einstellbaren Wi derstand Ra ergibt sich bei einer bestimmten Schleiferstellung das gemessene Leistungs maximum von 10 W (s . Bild 6 . 13 ) . Wie groß ist die Leerlaufspannungen der Spannungsquelle ?

R : - 25 12

I p 10 W Cowo

Bild 6 . 13

72

6 Energieumsetzung im

Verbraucher

Übung 6 .4 : Vorwiderstand Ein Widerstand R mit den Werten 1 k22 / ,5 W liegt in Reihe mit einem Widerstand R , an ei ner konstanten Spannung von 35 V ( s. Bild 6 .14 ). Wie groß ist Ry mindestens zu wählen , damit der Widerstand R nicht überlastet wird ?

U = 35V = konst

1. Rechnerische Lösung 2 . Grafische Lösung durch Konstruktion der Leistungshyperbel, der Widerstandskenn linien R = 1 k2 und R , (Lage wie Kennli nie eines Innenwiderstandes R ;)

1k92 .5W

Bild 6 .14

A

I = 160mA

Übung 6 .5 : Leistungsaufnahme Wie groß sind Gesamtwiderstand und Leis tungsaufnahme der in Bild 6 . 15 dargestellten Schaltung, wenn alle R = 150 22 sind ?

R2

R₃

Bild 6 . 15 A

Übung 6 .6 : Thermischer Wirkungsgrad Ein Heißwasserspeicher mit der Anschlussleistung 15 kW soll 70 Liter Wasser von 12° C auf 60° C auf heizen . Der Geräte -Wirkungsgrad betrage 85 % , die spezifische Wärme des Wassers ist 4186 J/kg · K . Berechnen Sie die Aufheizdauer.

A

Übung 6 .7 : Leistungsaufnahme eines Verbrauchers Ein Verbraucher R = 1, 2 k2 = konst. wird an eine Spannungsquelle mit den Kennwerten Ug = 10 V und R ; = 80 22 angeschlossen . Berechnen Sie die Leistungsabgabe an den Verbraucher und die insgesamt von der Spannungsquelle erzeugte elektrische Leistung.

A

Übung 6 .8 : Leistungsaufnahme bei Reihen - und Parallelschaltung Gegeben sei die Viertaktschaltung einer elektrischen Kochplatte für die Nennspannung von 230 V . Die Heizwicklungen haben die Widerstandswerte Ri = 45 2 und R2 = 90 2 = konst. Berechnen Sie die mit den Schaltstufen 1 bis 4 einstellbaren Leistungen des Kochers nach Bild 6 . 16 .

1

2

3

4

230 V

6

Bild 6 . 16

7

Verzweigte Stromkreise

Bisher wurden nur Grundstromkreise analysiert und berechnet sowie einfache Reihen - und Parallelschaltungen von Verbrauchern auf Grundstromkreise zurückgeführt. Dabei waren fol gende Stromkreisgesetzmäßigkeiten anzuwenden :

Kirchhoff I

Et =

Kirchhoff II

Žu ;=

Ersatzwiderstand

RS:

Ren = ËR

Ohm 'sches Gesetz

Potenzialdenken

U = IR U =I'R

U12 = 41 - 42

Spannungsteilung

Stromrichtung

Stromteilung

U

R1

11

G

Uges

Rges

Iges

Gges

G PS:

=

GEN - ÍG

Spannungsquelle mit Ri

Stromquelle mit Ri

U = Uq - 1 . R;

I= 1

U

Die nun folgende Berechnung umfangreich verzweigter Stromkreise mit nur einer Quelle, aber besonderen Schaltungsbedingungen , erfordert ein systematisches Vorgehen mit dem Ziel der vollständigen Erfassung der Spannungs- und Stromverhältnisse , um Klarheit über die Funktion von Schaltungen zu erhalten .

Nachfolgend werden einige geeignete Lö sungsmethodiken der Schaltungsberechnung darge stellt : -

für verzweigte Stromkreise mit gegebenen Widerstandswerten ,

-

für verzweigte Stromkreise mit mehreren Bedingungen ,

-

für Schaltungen mit nichtlinearen Widerständen , für Brückenschaltungen , für Schaltungen mit Bauelementen , für die zunächst eine Ersatzschaltung gefunden werden muss .

74

7 Verzweigte Stromkreise

7 .1 Lösungsmethodik für verzweigte Stromkreise mit bekannten Widerstandswerten Bild 7.1 zeigt eine typische Problemstellung . Dabei handelt es sich um das in der Elektronik bekannte R - 2R -Netzwerk , wie es bei Digital-Analog-Umsetzern verwendet wird .

2R

2R R = 10k 2 U = 10V

S3

OB I = ? 4

Bild 7 . 1 R - 2R -Netzwerk als verzweigter Stromkreis

Die Problemstellung lautet: Wie groß wird die Stromstärke in der Verbindungsleitung A - B bei beliebiger Stellung der Schalter S1 bis S3 ? Allen derartigen Problemstellungen ist gemeinsam , dass die Lösung nicht kurzschlüssig durch Anwendung einiger wichtiger Formeln der Elektrotechnik gefunden werden kann . Erforderlich ist außer der sicheren Beherrschung der oben genannten Grundlagen noch eine spezifische Problemlösungsmethodik . Bei sehr vielen werden :

Problemstellungen kann wie folgt vorgegangen

Stromstärke der Ersatzschaltung

Schaltung der Einzelwiderstände

Teilströme der Schaltung

R1, R2, ...

Potenziale der Schaltung P1, P2, ...

11, 12, ... Schritt4

Schritt2 Schritt 3

Schritt 1

Schritt 5 U1, U2 ...

ges als Ersatzwider stand

Schritt6

als Gesamtstrom der Schaltung

Teilspannungen der Schaltung

Schritt 1 : Man beginnt mit der Zusammenfassung der Widerstände am entgegengesetzten Ende der Schaltung (s. Bild 7 .2 ).

- vom Generator aus gesehen -

7 . 1 Lösungsmethodik für verzweigte Stromkreise mit bekannten Widerstandswerten Ry = 1042

2022

R

= 10k2

20k

Rg = 10k 2

k2

20 ks2

R = 10k $ 2

R5, 6 10k2

20 KS2

Ry = 1062 RE=1062

R4 ,5,6 2012

2012

R2 = 10452

R3 ,4 , 5 , 6 10k 12

20 k 2

R2, 3 , 4 , 5 , 6 20kS2

Rges 102 S2

Bild 7 . 2 Zur Berechnung des Ersatzwiderstandes einer Widerstandsschaltung

20k2

75

76

7 Verzweigte Stromkreise

Schritt 2 : Die Stromstärke in der Ersatzschaltung wird mit dem Ohm 'schen Gesetz berechnet : 10 V I= U =lma 1062 REPs I = 1mA

Bild 7 . 3 Schritt 3 : Der Gesamtstrom (= Generatorstrom ) in der Originalschaltung ist gleich groß wie der Strom I in der Ersatzschaltung .

I = 1mA

S

Bild 7 . 4

Schritt 4 : Der erste Teilstrom wird mit Gl. (29) berechnet :

4

h =1 posts= mA 20 60 = 5 mA

Der zweite Teilstrom kann mit Gl. (19 ) ermittelt werden :

i =

I = 1mA

= 12 = 1 – 11 = 1mA – ,5 mA = ,5 mA

R2 _ 1 = ,5 mA 1,= ,5 mA

Re

13= ,25mA Te

14 = , 25 mA 15 = ,125mA

16 = ,125 mA

RS

Bild 7 .5

7 . 1 Lösungsmethodik für verzweigte Stromkreise mit bekannten Widerstandswerten

77

Die weiteren Stromteilungen werden in entsprechender Weise berechnet, wobei es darauf an kommt, dass die „ richtigen Widerstände“ in das Stromteilungsgesetz eingesetzt werden . Es teilt sich 12 auf in 13 und 14: 13

R3, 4 ,5 ,6

12

R3

-

12 = 13 + 14

10 k 2 < = 20 ks2

=

R3,4 ,5 ,6 13 = 12 : 49

=

14 = 12 – 13 = ,5mA – ,25 mA = ,25 mA

=

, 55 ma. mA

, 25 mA

Es teilt sich 14 auf in 15 und 16 : R5. 6 14

15 = 14 14

RS

14 = 15 + 16

=

R5 , 6

10 ke2 , 25 mA = mA :. 2010 20 kO2

=

R5

16 = 14 - 15 =

,25 mA -

, 125mA

,125 mA = ,125 mA

Schritt 5 : Die Spannungsabfälle an den Widerständen lassen sich mit dem Ohm 'schen Gesetz berechnen : U1 = U = 10 V U2 = 12 · R2 = ,5 mA · 10 kN = 5 V Uz = 13 · R3 =

,25 mA · 20 k12 = 5 V

U4 = 14 . R4 = ,25mA . 10 k1 = 2,5 V Us = U6 = 15 · R5 =

,125 mA · 20 kN2 = 2,5 V

5V U1 10 V

-

2 ,5 V ‫او‬ 5 V

U5 , 6 2,5V

25

Bild 7 .6 Schritt 6 : Das Eintragen der Potenziale an wichtigen Schaltungspunkten dient der Klarheit und Kontrolle der Spannungsverhältnisse im Stromkreis . Man sucht einen geeigneten Bezugspunkt (1 ) und setzt po = V. & q = 10V

G

10k 2 20692 []20132*

42 = 5V 10k $ 2 20 ks2 []zous?**

63 = 2,5V

20 KS2 []zouse

20k2 ]zous?

S3

Bild 7 . 7

7 Verzweigte Stromkreise

78 Ergebnis :

Mit Kenntnis der Potenziale 41, 42, 43 berechnet sich die Stromstärke I in der Verbindungs leitung A - B aus der Beziehung 1I -= 52. + S2 .. 5V 151. 2 ,5 V $S 3 . 10 V 159 20 ko 20 k 2 20 k92 wobei gilt Sx = , wenn Schalter nach rechts Sx = 1 , wenn Schalter nach links

1 . geschaltet wird Bosc

Beispiel Für das R -2R -Netzwerk gemäß Bild 7 . 7 ist der Strom I in der Verbindungsleitung A - B für alle Schalter stellungskombinationen S3, S2 , S1 zu berechnen . Lösung: Tabelle für die Schalterstellungskombinationen Kombinations

Schalter S3 S2

S1

10 V + $ 2 . 5V ,5 V + Si. 2 01 . 20 12 k2 * * 2 20k12 * 20522 I = S3 . , 5 mA + S2 - , 25 mA + S1 · , 125 mA

I = S3

Nr

I I I I I I I I

1 1 1 1 1 1 1

1 1

1 1

1

= = = = = = = =

1 1 1 1

. . . . . . . .

, 5 mA ,5 mA , 5 mA ,5 mA , 5 mA ,5 mA ,5 mA ,5 mA

+ + + + + + + +

( . 1 . 1 . . . 1 . 1 .

,25 mA ,25 mA ,25 mA ,25 mA , 25 mA , 25 mA ,25 mA ,25 mA

+ + + + + + + +

. 1 . . 1. . 1. . 1 :

, 125 mA , 125 mA , 125 mA , 125 mA , 125 mA , 125 mA , 125 mA ,125 mA

= = = = = = = =

) , 125 mA , 250 mA , 375 mA ,500 mA ,625mA ,750 mA ,875 mA

7.2 Lösungsmethodik für verzweigte Stromkreise mit mehreren Bedingungen Bild 7.8 zeigt eine typische Problemstellung. Dabei handelt es sich um die in der Messtechnik bekannten Ringschaltung zur Messbereichserweiterung von Strommessern mit Drehspul-Mess werk . 1 ;= 1mA für Voll ausschlag

R ;= 10012

I - li R2

R3

2100 mA 10 mA Bild 7.8

1000 mA S

Ringschaltung als verzweigter Strom kreis Ringschaltung als verzweigter Strom

7. 2 Lösungsmethodik für verzweigte Stromkreise mitmehreren Bedingungen

Die Problemstellung lautet: Wie groß müssen die Widerstände R1, R2 und R3 gewählt werden , um die folgenden Strommessbereiche zu erhalten : Schalterstellung I

=

10 mA

Schalterstellung II = Schalterstellung III =

100 mA 1000 mA

Das Drehspul-Messwerk habe einen Innenwiderstand R ; = 100 den Vollausschlag .

2 und erreiche mit 1; = 1 mA

Bei solchen und ähnlichen Problemstellungen kann wie folgt vorgegangen werden : Zweigströme benennen

Bedingung 1 annehmen

Bedingung 2 annehmen

(1, 17, 1 - 1 )

(Stellung 1)

(Stellung II)

Bedingung 3 annehmen (Stellung III)

Schrit

Schritt

Schritt

1

Gleichung I aufstellen Schritt4

2

Gleichung II aufstellen

3

Gleichung III aufstellen

Gleichungssystem lösen Schritt 5 Kontrollrechnung Schritt 1 : In Schalterstellung I soll bei I = 10 mA das Messwerk auf den Vollausschlag gehen , d.h . durch das Messwerk darf nur der Strom l; = 1 mA fließen . Der überschüssige Strom 1 - 1; = 9 mA fließt über die drei Widerstände R1, R2, R3 ab . Die Spannungsabfälle beider Stromzweige Ri und R1, R2, R3 müssen wegen ihrer Parallelschaltung gleich groß sein : I : R1 = (1 - 1 ) ( R1 + R2 + R3) 1mA 100 2 = 9 MA (R1 + R2 + R3) I

9 R1 + 9 R2 + 9 R3 = 100

2

Schritt 2 : In Schalterstellung II soll bei I = 100 mA das Messwerk auf den Vollausschlag gehen , d.h . durch das Messwerk darf nur der Strom 1; = 1 mA fließen . Der überschüssige Strom 1 - 1 = 99 mA fließt durch die beiden Widerstände R2, R3 ab . Die Spannungsabfälle der beiden Strom zweige R1, R ; und R2, R3 müssen wegen ihrer Parallelschaltung gleich groß sein : I (R1 + R;) = (I – I;) (R2 + R3) 12A (R1 + 100 2 ) = 99 WA (R2 + R3) II

– R1 + 99 R2 + 99 R3 = 100 22

80

7 Verzweigte Stromkreise

Schritt 3 : In Schalterstellung III soll bei I = 1000 mA das Messwerk auf den Vollausschlag gehen , d.h . durch das Messwerk darf nur der Strom l; = 1 mA fließen . Der überschüssige Strom I - 1 = 999 mA fließt über R3 ab . Die Spannungsabfälle der beiden Stromzweige R2, R1, R ; und R3 müssen wegen ihrer Parallelschaltung gleich groß sein : 1; (R2 + R1 + R ;) = (I – Iị) R3 1mA (R2 + R1 + 100 2) = 999 MA · R3 III

- R1 - R2 + 999 R3 = 100 12

Schritt 4 : Ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten ist zu lösen . 9 R1

+

9 R2 +

II

- R1

+

99 R2 +

III

- R

-

R2 + 999 R3 = 100 12

II' - 9 R1 III - II = IV I + II' = V

+ +

V - IV

+ 1000 R2

VI in IV

9 R3 = 100 12 99 R3 = 1002

891 R2 + 891 R3 = 900 12 100 R2 + 900 R3 = 900 R2 + 900 R3 = 1000 22

- 100 2

= 100022 VI R2= 112 + 900 R3 = VII

VII in III

- Ri

-

122

+

R3= 1/92

111 12 = 100 12 Ri= 102

Schritt 5 : Aus den allgemeinen Gleichungen der Schritte 1 bis 3 folgt durch Einsetzen der Widerstands werte und Auflösen der Gleichungen nach Strom I die rechnerische Kontrolle. Stellung I: 11. R ; = (1 - 11) (R1 + R2 + R3) ,

1; R ; * Ri + R2 + Rz " 1

1mA. 100 22 2 + 1mA = 10 mA 100

Stellung II: 1; (R1 + R ;) = (1 - 1;) (R2 + R3) I =

TR1 + R : (R2 + R3 )

- + 1; =

1 mA . 110 22 + 1 mA = 100 mA lo

Stellung III: li (R2 + R1 + R ;) = (1 – 14) R3 _ Ii ( R2 + R R3

+ RG)2 + , 1

1 mA - 1112 , + 1 mA = 1000 mA =

7 .3 Lösungsmethodik für Schaltungen mit einem nichtlinearen Widerstand

Beispiel Es sind die drei Messbereiche des Drehspul- Strommessers zu berechnen , wenn die Widerstände der in Bild 7.9 gezeigten Ringschaltung die Werte R1 = 90 2, R2 = 9 12 , R3 = 112 haben . 1;= 1mA für Voll ausschlag

R ; = 1002

I - 1; R

R2 21MB2

MB1 OK

Bild 7 . 9

MB3

Strommessbereiche gesucht MB = Messbereich Lösung Schalterstellung 1 :

Schalterstellung 2 :

Schalterstellung 3 :

1 . R ; = (1 - 14) (R1 + R2 + R3) 1 mA 100 = (1 - 1 mA ).100 22 I = 3 mA

}; (R ; + Ry) = (1 - 1 ) (R2 + R3) 1 mA 190 22 = (1 - 1 mA ). 10 12 I = 30 mA

1 : (R ; + R1 + R2) = (I – Iị) R3 1 mA 299 22 = (1 - 1 mA ) 1 2 I = 300 mA

7 . 3 Lösungsmethodik für Schaltungen mit einem

nichtlinearen

Widerstand Bild 7. 10 zeigt eine typische Problemstellung . Ein Glühlämpchen (nichtlinearer Widerstand RL ) mit den Nennwerten 6 V / ,2 A soll an einer Festspannungsquelle 10 V betrieben werden . Dazu ist der Vorwiderstand Ry erforderlich .

on Widerstandsgerade

o

į4

éå rio

Bild 7 .10 Reihenschaltung eines linearen und nichtlinearen Widerstandes a ) Schaltung, b ) grafische Lösung Charakteristisch für diesen Aufgabentyp ist es, dass die Aufgabe - vom nichtlinearen Wider stand Rį ausgehend - rechnerisch lösbar ist, d.h . die Berechnung des erforderlichen Vorwider

7 Verzweigte Stromkreise

standes Ry zulässt. Umgekehrt kann jedoch - von der angelegten Spannung U ausgehend – die sich einstellende Spannungsteilung zwischen dem nichtlinearen Widerstand RL und dem be kannten Vorwiderstand Ry nichtberechnet werden . Die rechnerisch lösbare Problemstellung lautet: Welche Kennwerte Ry, P muss der Vorwider stand Ry haben , um das Glühlämpchen mit Nennspannung zu versorgen ? Bei dieser und ähnlichen Problemstellungen kann wie folgt vorgegangen werden : Nennwerte des nichtlinearen

Vorwiderstand für

Widerstandes feststellen

Nennstromaufnahme berechnen R ..

UN , IN

4 Schritt

Schritt2 Schritt

Kontrolle durch ein grafisches Lösungsverfahren

Schritt

1

überschüssige Spannung ermitteln

3

Leistung des Vorwiderstandes bestimmen

Schritt 1: Der nichtlineare Verbraucher soll die Nennspannung UL = Un erhalten . Die überschüssige Spannung U , muss am Vorwiderstand abfallen : U

= U - Un = 10 V - 6 V = 4 V

Schritt 2 : Die Stromstärke im Vorwiderstand Ry ist dieselbe wie die im Glühlämpchen . Der nichtlineare Verbraucher soll mit Nennstrom In betrieben werden : I = IN Rv =

U , " =

44 V - = 20 22 ,2A

Schritt 3 : Der Vorwiderstand muss leistungsmäßig bestimmt werden , um die thermische Belastung zu verkraften : P = Uy : I = 4 V . ,2 A =

,8 W , gewählt 1 W .

Nun soll gezeigt werden , dass die Kontrollrechnung zur Bestimmung der Spannungsaufteilung nichtmöglich ist. Die Problemstellung lautet: Wie groß sind Teilspannungen und Stromstärke in einer Reihenschaltung eines Vorwiderstandes Ry = 20 22 mit einem Glühlämpchen , dessen Aufschrift 6 V / , 2 A lautet, wenn die Schaltung an der Spannung U = 10 V liegt? Bei der Reihenschaltung zweier Widerstände mit linearer und nichtlinearer 1- U -Kennlinie ist die Spannungsaufteilung zunächst nicht berechenbar, da der nichtlineare Widerstand einen spannungsabhängigen Wert besitzt. D .h . die Feststellung des Widerstandswertes des nichtline aren Widerstandes RL setzt die Kenntnis der Spannungsaufteilung voraus, die erst berechnet werden soll .

7 .3 Lösungsmethodik für Schaltungen mit einem nichtlinearen Widerstand

Der folgende Ansatz führt wegen der Spannungsabhängigkeit von Rư nicht zum Ziel: mit Rj U

konst .

Ry + R1

Schritt 4 : In der üblichen Darstellungsweise geht man von der nichtlinearen I- U -Kennlinie des Wider standes RL aus und zeichnet darin die lineare I- U -Kennlinie des Widerstandes Ry, die auch Widerstandsgerade genannt wird , ein , hier aber spiegelbildlich zur sonst üblichen Lage. Bild 7 .10 zeigt die grafische Lösung. Beispiel Es liegt eine Reihenschaltung eines linearen Widerstandes R , = 1 k22 mit einem Bauelement mit nicht linearer I- U -Kennlinie vor. Die nichtlineare Kennlinie besteht aus zwei geradlinigen Kennlinienabschnit ten , deren erster Teil im Achsenursprung beginnt und im Koordinatenpunkt (2 V , 4 mA ) endet und deren zweiter Teil dort ansetzt und bis zu Koordinatenpunkt (14 V , 6 mA ) führt. Welche Stromstärke stellt sich ein , wenn die Schaltung an der Spannung U = 13 V liegt ? Lösung:

Bild 7 . 11 Stromstärke grafisch ermittelt: I = 5 mA Spannungsverteilung: Urv = 5 V , UBauelement = 8 V 2

4

6

8

10

12 V

14 U

Die dargestellte Lösungsmethodik gilt entsprechend auch für den Fall der Parallelschaltung eines linearen und nichtlinearen Widerstandes , jedoch ist die Lösung abhängig vom Betriebs fall der Schaltung: Wird die Schaltung an einer konstanten Spannung U betrieben , können die Teilströme sofort aus den Kennlinien entnommen werden (s. Bild 7 .12 ). Der Gesamtstrom ist dann die Summe der Teilströme.

U - 10V konst

,1+ 1 - - - - -

100

14 - 7 - -

b)

10

V

20

Bild 7 . 12 Parallelschaltung eines linearen und nichtlinearen Widerstandes bei gegebener Spannung a) Schaltung, b ) grafische Lösung

84

7 Verzweigte Stromkreise

Wird die Schaltung jedoch mit einem eingeprägten Strom (I = konst.) betrieben , dann kann die Stromteilung nicht aus dem Widerstandsverhältnis errechnet werden , da der Widerstandswert des Bauelementes mit der nichtlinearen 1- U -Kennlinie stromabhängig ist , der Teilstrom jedoch erst ermittelt werden soll: Ip I

RL

mit RL + konst.

Rp + RL

Zur grafischen Lösung des Problems zeichnet man zunächst die nichtlineare l-U -Kennlinie des Widerstandes Rį sowie die lineare l-U -Kennlinie des Widerstandes Rp, diese jedoch spiegel bildlich zur sonst üblichen Darstellung . Ordnet man den Achsenursprung beider Kennlinien im Abstand der Größe des eingeprägten Gesamtstroms I an , ergibt sich ein Schnittpunkt der Kenn linie, der die an der Parallelschaltung liegende Spannung U und die Aufteilung der Ströme zeigt (s . Bild 7 . 13 ). I = 150mA ,27

konst

pR Wdst .Gera ed Rp = 10052 10

b )

a)

20

Bild 7.13 Parallelschaltung eines linearen und nichtlinearen Widerstandes bei gegebenem Gesamtstrom a ) Schaltung, b ) grafische Lösung

7 .4 Lösungsmethodik für Brückenschaltungen Als Wheatstone 'sche Brückenschaltung bezeichnet man eine Anordnung von Widerständen , wie in Bild 7. 14 dargestellt. Die Eingangsspannung UE und die Ausgangsspannung UA werden an jeweils gegenüberliegenden Verbindungspunkten angelegtbzw . abgegriffen . N Widerstandsdraht

GIU

) SBB ‫هرم‬ ‫لوا‬

UA 2

J4 = OV a) Bild 7. 14 Wheatstone’sche Brückenschaltung a ) Grundschaltung, b ) Schleifdraht-Messbrücke

b )

7 . 4 Lösungsmethodik für Brückenschaltungen

In der Brückendiagonalen B - C liege ein empfindlicher Spannungs- oder Strommesser mit dem Nullpunkt in der Skalenmitte . Eine solche Schaltung kann als Abgleichbrücke oder Ausschlagbrücke benutzt werden . Zu nächst wird die Wheatstone'sche Brücke als Abgleichbrücke betrachtet. Die Problemstellung lautet: Unter welchen Bedingungen zeigt das Brückeninstrument das Messergebnis „ Null“ , und welche praktische Anwendung lässt sich daraus ableiten ? Ausschlag „ Null“ bedeutet Stromlosigkeit in der Brückendiagonalen B - C , d.h . Gleichheit der Potenziale an den Punkten B und C : ФB = ФС Der Schaltungspunkt D wird willkürlich, aber zweckmäßig als Bezugspunkt ( 1 ) gewählt. Im Fall der stromlosen Brückendiagonalen besteht die Schaltung aus zwei Reihenschaltungen der Widerstände R1 und R2 bzw . Rz und R4, die parallel an der Spannung UE liegen . Deshalb berechnet sich die Teilspannung U2 am Widerstand R2 wie bei einem unbelasteten Spannungs teiler : U2

R2

UE

R1 + R2

U2 = UE

R2 R1 + R2

mit mit U2 = 4B - % D , wobei yp = U291

V

PB = UF : _ R2 _ R1 + R2 Entsprechend errechnet sich die Teilspannung U4: U4 - R4 UE

R3 + R4

- R4 U4 = UE U4= UE Ri Rz + R4 Re

mit U4 = PC - % D , wobei op = mitU4 =

V

R4 Pc = U£ ' R3 + R4 Bei Potenzialgleichheit 98 = Pc wird : R2 .. UE : * R1 + R2

RA R3 + R4

Man erkennt, dass der Betrag der Versorgungsspannung UE keinen Einfluss auf den Abgleich ausübt. Die Abgleichbedingung der Wheatstone'schen Brücke lautet: R2 · R3 + RzR4 = R1 · R4 + By RA | R₃ _ R |R4 R2

(48)

In Worten : Die Wheatstone ’ sche Brücke ist abgeglichen , d.h . in der Brückendiagonalen B - C spannungs- bzw . stromlos, wenn die Widerstandsverhältnisse in den beiden parallel geschalte ten Reihenschaltungen gleich sind.

7 Verzweigte Stromkreise

86

Die Wheatstone'sche Brücke als Abgleichbrücke kann zur Bestimmung eines unbekannten Widerstandes Rx verwendet werden . Dabei kann an Stelle der Widerstände R1 und R2 ein ka librierter Schleifdrahtmit Schleiferabgriff vorgesehen werden . Es ist dann R1 ~ 11 R2 ~ (L - 11)

mit L = Schleifdrahtlänge .

Man berechnet den unbekannten Widerstand Ry bei abgeglichener Brücke aus der gemessenen Länge lı bei bekanntem Widerstand R4 (s. Bild 7.14 ): Rx = R4

(49)

2 - 1

Beispiel Eine Schleifdraht-Messbrücke werde an einer Versorgungsspannung UE = 2 V betrieben . Das Null instrument zeige bei li = 60 cm von 100 cm Schleifdrahtlänge den Abgleich an . Wie groß ist der unbe kannte Widerstand Ry, wenn R4 = 100 S2 ist ? Lösung : Rx = R4

"

= 100 9 . — 60 cm 100 cm - 60 cm

= 150 22

Bei der Ausschlagsbrücke erfolgt der Ausschlag UA eines im Brückenzweig liegenden Span nungsmessers entsprechend der Verstimmung der Wheatstone'schen Brücke. Die Verstimmung der Brücke wird hervorgerufen durch die Veränderung des Widerstandswertes eines Messauf nehmers, meist in Abhängigkeit von einer nichtelektrischen Größe z. B . Temperatur, Druck etc ., die auf diesem Wege messtechnisch erfasst werden soll.

DMS RER

R = R + XR mit AR

GLUE BH RER

RAER

Bild 7 . 15 Wheatstone 'sche Brückenschaltung mit Deh nungsmessstreifen DMS Es sei x = AR /R die relative Widerstands änderung des DMS

Die Problemstellung lautet: Der Widerstand R3 sei ein Messaufnehmer, der die Änderung einer nichtelektrischen Größe in eine Widerstandsänderung umsetzt. Welche Abhängigkeit besteht zwischen der Brücken - Ausgangsspannung UA und der relativen Widerstandsänderung x ? Für x =

ist die Brücke im

Gleichgewicht:

UA = PB - PC CA

R4 R2 _ . UE UER R3 +FRA R4 R1 + R2

7 .4 Lösungsmethodik für Brückenschaltungen

Für R1 = R2 = R4 = R erhält man mit R3 = R + xR :

Un = _ UE 1+ # 12 Für x
: Schalter nach unten Ust : Schalter nach oben

Bild 7 . 16 Einfache Ersatzschaltung für Operationsverstärker als Schalter

Beispiel Bild 7 . 17 zeigt eine Schaltung mit einem Operationsverstärker und einem zweifachen Spannungsteiler mit den Widerständen R3, R4 und R1, R2. Die Schaltung übt eine Schwellwertschalterfunktion aus und habe idealisiert folgende Eigenschaften : Wenn PD > °C, dann UA = ) V ;

wenn Op < 4C, dann UA = + 10 V ;

Eingangsströme Ip und Ic sind immer null. Das Eingangspotenzial Pp , kann durch eine angeschlossene Signalquelle verändert werden . Das Potenzial Pc hat keinen festen Wert sondern ist abhängig von der Ausgangsspannung UA des Operationsverstärkers und den beiden Spannungsteilern sowie von der Betriebsspannung + 10 V . 1 . Bei welchem Potenzial e wird der Umschlag der Ausgangsspannung UA von + 10 V auf 2 . Bei welchem Potenzial op wird der Umschlag der Ausgangsspannung UA von

V erreicht?

V auf + 10 V erreicht?

7 . 5 Lösungsmethodik Ersatzschaltung -

+ 10 V

R3 ,1 k 12

,1k12

5 926

1640 G

R4 | 1kN

Ry 27k .12

069 ‫مہ‬ G 10 k 12 - OOV

OOV

Bild 7 . 17 Schaltungsanalyse eines Schwellwertschalters a ) Schaltung mit Operationsverstärker, b ) Ersatzschaltung zu Rechenzwecken Lösung: 1 . Die Ausgangsspannung UA des Operationsverstärkers sei zunächst + 10 V , da on < p sein soll. In der Ersatzschaltung liegt deshalb Schalter S in der gezeichneten Stellung. Die Ausgangsspannung UR2 der Ersatzschaltung liefert daher das obere Umschaltpotenzial Pp(o): 10 V 11 , 2 – Rz ,27 mA + 27 k22 + 10 10 = k22 . R4 ++ RR , + R 0909 , 14 + R2 Rz + R4 Das obere Umschaltpotenzial 4p(o) wird ü ber die Spannung UR2 ermittelt: UR2 = I . R2 =

,27 mA . 10 k22 = 2,7 V

=

4p(o) = + 2,7 V

Wird durch die einstellbare Eingangsspannung das Potenzial on ü ber den Wert 2,7 V erhöht,dann schal tet die Ausgangsspannung auf UA = V um . 2 . Die Ausgangsspannung des Operationsverstärkers sein nun UA = V . In der Ersatzschaltung muss deshalb der Schalter in der zur Zeichnung entgegengesetzten Stellung liegend angenommen werden . Die Ausgangsspannung UR2 der Ersatzschaltung liefert jetzt das untere Umschaltpotenzial R2) Rges = R2 + R4 ·(R1 + R4 + R1 + R2 I=

10 V

U Rges

1074

Plu):

7422

= 9,31mA

U1,2 = U - 1 : R3 = 10 V - 9,31 mA . ,1 k22 = 9,07 V 112 1,2

U 1,2 R1 + R2

UR2 = 11. 2 R2 =

9,07 V = , 245 mA 37 kN2 ,245 mA · 10 k 2 = 2 ,45 V

=

OP

= + 2 ,45 V

Wird durch die einstellbare Eingangsspannung das Potenzial en unter den Wert 2 ,45 V abgesenkt, schal tet die Ausgangsspannung wieder auf UA = + 10 V zurü ck .

90

7 Verzweigte Stromkreise

7.6 Übungsaufgaben A Übung 7.1: Widerstands-Netzwerk Berechnen Sie die Ausgangsspannung UA des in Bild 7. 18 gezeigten Widerstands-Netzwerk und bestim men Sie die Potenziale 1 bis 4 . Lösungshinweis : Beachten Sie bei der Berechnung des Gesamtwiderstandes: - Widerstände liegen in Reihe, wenn sie von demselben Strom durchflossen werden , - Widerstände liegen parallel, wenn sie an derselben Spannung liegen .

Bild 7 . 18

Alle R = 10 KS2 A Übung 7.2 : Schwierige Widerstandsberechnung

Welchen Widerstandswert hat Rz in der in Bild 7. 19 gezeigten Schaltung? LI ,

[3 = 2mA

Ry = 1852 R3 = ?

Bild 7 . 19 Lösungsleitlinie : 1 . Als Bedingung 1 : EU = einer beliebigen Netzmasche 2 . Als Bedingung 2 : EU = einer zweiten Netzmasche 3 . Als Bedingung 3 : EI = eines geeigneten Knotenpunktes 4 . Auflösung des Gleichungssystems Ein weiterer Lösungsweg ist denkbar: Betrachten Sie die Spannungsquelle und die Widerstände R und R , als ein System einer Spannungsquelle mit Innenwiderstand, für die allgemein gilt: U = U - IR; A

Übung 7 .3 : Spannungsteilung mit nichtlinearem Widerstand Die Kennlinie einer Glühlampe ist durch folgende Messreihe festgestellt worden : | U (v ) | 1 (A )

| 20 ,19

40 ,27

60 ,315

80 ,34

100 ,355

120 ,36

Dieser Verbraucher wird an eine Spannungsquelle mit den Kennwerten Ug = 100 V , R ; = 125 2 ange schlossen . Wie groß sind die Klemmenspannung am Verbraucher und der Strom in der Schaltung ?

7 .6 Übungsaufgaben A

1 = 3mA

Übung 7.4 : Stromteilung Man berechne die Teilströme 12 und 13 der gege benen Schaltung (Bild 7 . 20 ). Welchen Einfluss hat Widerstand R , in der Schaltung ?

Ry = 8k2 L = ?

13 = ? R2

R2 3k2

5,652

Bild 7 .20 A

Übung 7 .5 : Messbereichserweiterung Man berechne die Widerstande R1, R2 und R3 des WiderstandeRy ,RyAndR,des berechne Man in Bild 7 . 21 die gezeigten Spannungsmessers mit den Messbereichen 10 V , 30 V , 100 V . Die Emp findlichkeit des Drehspulmesswerks sei 1 mA für Vollausschlag.

>

r

pe

10032

Bild 7 . 21 A

Übung 7 .6 : Spannungs- und Stromteilung a ) Berechnen Sie die Ausgangsspannung UA in der in Bild 7 .22 gegebenen Schaltung für den Leerlauf. b ) Welchen Wert hat UA,', wenn die Schaltung ,wenn dieSchaltung b)mit Welchen , 2 k92 hatUşı' R = 2 Wert belastet wird ?

R

= 1 k 12

U V y10or

Rz - 2,2k . 2

1,8 k 12 Chemie

VAIRL und MTRL

Bild 7 . 22 A

Übung 7 .7 : Spannungs - und Stromteilung Berechnen Sie für die gegebene Schaltung ( s. Bild 7 . 23 ) die Spannung U4 und die Wider standswerte für die Bedingung R1 = R2 sowie R3 = 2 R , wenn der Belastungsfall Leistungsanpas sung vorliegt.

RE?

R = ?

1 k 12 R ?

Ull Red 11k2

!

Bild 7 .23 •

Übung 7 . 8 : Falscher Lösungsansatz Sie wollen einem Nachhilfeschüler erklä ren , wa rum folgender Lösungsansatz für die Schaltung in Bild 7 .24 falsch ist:

02 YS

UA - R3 ( falsch !) UE R Bild 7 .24

92

7 Verzweigte Stromkreise

A Übung 7.9 : Wheatstone’ sche Brücke Wie groß ist die Ausgangsspannung UA der Brü ckenschaltung in Bild 7.25, wenn die Widerstän de durch den Einfluss einer physikalischen Grö Be eine relative Widerstandsänderung x = AR / R = ,002 erfahren ?

R3ER +xR

Ry = R -XR

R = R - XR

R2 = R +xR Bild 7 .25 - Übung 7.10 : Abgestufte Widerstandswerte Mit den vier Schaltern Si bis S4 sind in der \ R3 R2 Schaltung nach Bild 7 . 26 insgesamt 16 verschie LP dene Schalterstellungen möglich - beginnend bei: alle Schalter sind geöffnet, bis : alle Schalter 20V sind geschlossen . Welche Widerstandswerte müssen die Wider stände haben , damit die Stromstärke im Zweig A - B in 1 mA -Schritten veränderbar ist ?

I= ?

Bild 7 .26 A

Übung 7 . 11: Ringschaltung zur Messbereichs erweiterung Berechnen Sie die Messbereiche des in Bild 7 . 27 gezeigten Strommessers in den Schaltstellungen I, II, III. Die Empfindlichkeit des Messwerks sei 1 mA für Vollausschlag bei einem Innenwider stand von 100 2 .

R ; = 10022

l; = 1mA

Ry = 3522

R2 = 1022

R3 = 512

P = Bild 7.27 A

Übung 7.12 : Nichtlinearer Widerstand Bestimmen Sie die Teilspannungen und die Stromstärke der in Bild 7. 28 dargestellten Schal tung

4 = + 9V

V.

150 mA MA 100

12052 48 =+ 5V Bild 7 .28

1

2

3 V 4

93

8 Netzwerke

Netzwerke sind Widerstandsschaltungen mit mehreren Spannungsquellen , die nicht auf Grund stromkreise zurückgeführt werden können . Aus der Vielzahl der möglichen Berechnungsverfahren wurden das Kreisstromverfahren und die Überlagerungsmethode ausgewählt. Voraussetzung für alle Methoden ist das Vorhanden sein von Widerständen mit linearer 1- U -Kennlinie und voneinander unabhängige Spannungs quellen 1 . Bedingung : alle R = konst .

2 . Bedingung : alle Uq = konst.

Die zweite Bedingung ist bei Trockenelementen und Akkumulatoren gegeben , obwohl sie sich in Netzwerksschaltungen gegenseitig beeinflussen können . Elektronische Netzgeräte können jedoch ihre Quellenspannung ändern , wenn von außen ein Strom in sie eingespeist wird !).

8 . 1 Netzwerk In den bisher betrachteten Schaltungen traten lediglich Reihen - und Parallelschaltungen von Widerständen auf. Die Berechnung von Teilspannungen oder Strömen erfordert hier die An wendung des Ohm 'schen Gesetzes (U = 1. R ) und der Kirchhoff'schen Regeln (EI = , EU = ). Es gibt nun aber auch Schaltungen , in denen mehrere Quellen und Widerstände auftreten , wobei keine Schaltungsvereinfachung durch Zusammenfassung mehr möglich sind. Eine sol che Schaltung heißt Netzwerk ; Bild 8.1 zeigt ein Beispiel.

Bild 8 . 1 Netzwerk Berechnungsvoraussetzungen : Voneinander unabhängige Spannungsquellen und konstante Widerstände In der obigen Schaltung kann weder eine Gesamtspannung noch ein Gesamtwiderstand ermit telt werden . Es soll nun dargestellt werden , wie Ohm 'sches Gesetz und Kirchhoff'sche Regeln hier anzuwenden sind, um die Zweigströme zu errechnen .

1 ) Im Allgemeinen untersagt die Betriebsanleitung eine solche Stromeinspeisung .

94

8 Netzwerke

8 . 2 Kreisstromverfahren Bei diesem Verfahren werden nicht sofort die Zweigströme 11, 12 und 13, sondern angenomme ne Kreisströme berechnet. Für die gegebene Schaltung müssen deshalb nur die zwei Kreis ströme la und Ib berechnet werden . Das mathematische Problem reduziert sich deshalb auf ein Gleichungssystem mit nur zwei Unbekannten . Aus den Ereignissen der Kreisströme lassen sich dann leicht die drei tatsächlich fließenden Zweigströme berechnen .

12V1

+

6111D

| 16:52 Bild 8 . 2

31

]

U

2117

v

1z2v

Zur Berechnung eines Netzwerks mit dem Kreisstromverfahren : I und Ib . sind angenommene Kreisströme

Beispiel Die Richtungen der Kreisströmewerden willkürlich angenommen . Es wird zweimal 3.12 1a - 12 V + 6 12 (1a + 1b ) + 24 V

U =

gebildet.

= )

6 . 12 . 16 + 612 (14 + 15 ) + 24 V - 72 V

=

992 . 1, + 612 . 16 + 12 V

=

) . (- 2 )

62. 14 + 12. 12 . 16 - 48 V I

- 182- 12 - 12 12 -16 - 24 V

I' + II

- 128 -12

- 72 V + 72 V = -6 A - 120

III in I

+ 108 V

- 12 12 . In - 24 V - 84 V - = + 7A Ij = - 122

Das Minuszeichen des Kreisstromes I, bedeutet, dass seine Richtung in Bild 8 . 2 falsch angenommen war . Es ergeben sich also folgende Zweigströme nach Betrag und Richtung ( Bild 8 . 3 ) : In = 64

82= + 30V

Iz = 7A

12 =12 12V + 12v 118 TV ( 6A ) 1+18V 19=+ 6A )

Y

I = 7A 1 10- 7A

+ 72

+

Bild 8 . 3 721

Umwandlung der Kreisströme in die tatsächlich vorhandenen Zweigströme und Potenzialkontrolle

95

8 . 2 Kreisstromverfahren

Beispiel Wir berechnen die in Bild 8 .4a ) gezeigte Parallelschaltung zweier Spannungsquellen mit den Kennwerten Uq1 = 5 V , Ri1 = 3 12 und Uq2 = 5 V , Ri2 =612 , die gemeinsam auf den Lastwiderstand Ry = 8 2 wirken .

Rirs

Design

R ; R ;2 + KitRit Ri2

Uqers = U41 = U42

Design b)

Bild 8.4 Parallelschaltung von Spannungsquellen a ) Schaltung,

b ) Ersatzschaltung

Problemstellung: Es wird behauptet, dass für die Parallelschaltung der beiden Spannungsquellen ersatz weise eine Spannungsquelle gesetzt werden darf, die dieselbe Quellenspannung U , Ers = 5 V , aber einen Innenwiderstand Ri Ers = 222 ( errechnet aus 3 12 parallel 6 (2) haben muss . Wir wollen die Behauptung am Zahlenbeispiel durch Anwendung des Kreisstromverfahrens nachprüfen . Lösung : In Bild 8.4a ) nehmen wir willkürlich die Kreisströme lA und Is wie eingezeichnet an und stellen die Maschengleichung auf. (IA + 1b ) 6 12 + 5 V - 5 V

+ IA - 322 =

( A +

+ 13 . 8 . 2 =

) 6 22 + 5 V

IA . 912 + lb . 612 II

I

II I + II

A 622 + 16 · 1422

- IA - 92 - 18

212

- 1B · 152

+ 5 V =

- 7 ,5 V

=

III III Iin

1 (- 1 , 5)

- 7 ,5 V

I A - 912 - 3 V

Ip = - LA =

IV

Der in der Schaltung gemäß Bild 8 .4a) gesuchte Strom I berechnet sich aus: I = - IB I = - (-

,5 A ) = +

,5 A

Kontrolle der Behauptung: Wir greifen die obige Behauptung auf und rechnen in der Schaltung nach Bild 8.4b ): 1 =

qers R + Riers Ra + RịErs

5V - OSA A 82 + 20 = ,5

8 Netzwerke

96

8 .3 Überlagerungsmethode Das Netz wird nacheinander nur mit einer der vorhandenen Spannungsquellen betrieben . Die Quellenspannung der übrigen Spannungsquellen werden gleich null gesetzt. Die errechneten Ströme werden dann nach Betrag und Richtung addiert, also überlagert.

Beispiel

*+

12V

1652

162 Bild 8.5 Überlagerungsmethode a ) Schaltung

72V a)

b ), c), d) Schaltungen mit nur je einer Spannungsquelle

Lösung: 4 . Schritt

1 . Schritt

= 622 12 V 11 = 12 - = 2 A 692

b) I

1 2A

1A

VIA

1 2 A

1 3A

1A

2 . Schritt

R2 = 8 9 | 1312

1.

24 V 82

31

3 . Schritt 12

132

162

Rg = 80 72 V +

V

892

- = 9A

Überlagerung :

6A3A19 A

6A

1A

Î7 A

Kontrolle : + 6 A + 1A + (- 7A ) = ) In den voranstehenden Beispielen wurde angenommen , dass der Innenwiderstand der Span nungsquellen in dem jeweiligen Zweigwiderstand enthalten ist . Für die Überlagerungsmethode bedeutet dies, dass beim „ Nullsetzen “ der Spannungsquellen deren Innenwiderstand im Zweig vorhanden bleibt.

8. 4 Übungsaufgaben

8 .4 Übungsaufgaben A Übung 8. 1: Potenzialkontrolle Das Netzwerk nach Bild 8 .6 wurde berechnet und hat die mit Betrag und Richtung eingetragenen Ströme ergeben . Führen Sie eine Potenzialkontrol le für 01, 02 und 3 durch , um zu prüfen , ob die berechneten Ströme richtig sind .

,5 A

R ;I 312

116 A R ; II 6 .12

4 = ?

= ?

1 [ 3А

UGT

20 812

UOTI

I

4 - OV

Bild 8 .6

A

Rig = 512

Übung 8 .2: Überlagerungsmethode Berechnen Sie die Spannung an Rg nach der Über lagerungsmethode und führen Sie die Potenzial kontrolle durch (Bild 8 .7 ).

Ra = 122

12

Riz= 732

13

Bild 8 . 7

A Übung 8.3: Kreisstromverfahren Berechnen Sie den Strom im 4 12 -Widerstand nach dem Kreisstromverfahren , und führen Sie die Po tenzialkontrolle durch (Bild 8 .8 ). con

80

422

Bild 8 .8

A Übung 8.4: Kreisstromverfahren Berechnen Sie die Ströme in den Widerständen R R, Strömein den Widerständen Berechnen Kreisstromverfahren ( Bild 8 .9 ). RA nach Sie dem die bis

Ry = 102 e

Bild 8 . 9

Rz= 302 r

a

8 Netzwerke

A

Übung 8 .5 : Überlagerungsmethode Man berechne die Ausgangsspannung UA der in Bild 8 . 10 gezeigten Schaltung nach der Uberlagerungsmethode.

4 k2

16ks

U2 = 10V

Bild 8 . 10 A

Übung 8.6 : Kreisstromverfahren Berechnen Sie die Ströme in den Widerstän den R , bis R $ (Bild 8 . 11) und fuhren Sie die Potenzialkontrolle durch . In In In In In

R1 = 1 12 R2 = 2 12 R3 = 10 12 R4 = 2 ,5 12 R5 = 5 2

RL

R3

fließt 11 fließt 12 fließt 13 fließt 14 fließt 15

10V

6 ,75 V

Bild 8 . 11 A Übung 8.7: Sternschaltung Berechnen Sie für die in Bild 8. 12 gezeigte Sternschaltung der Widerstände die Ströme 11, 12 und 13 mit dem Kreisstromverfahren und führen Sie die Potenzialkontrolle durch .

L

10 10v

1k2 li se

a

R2 3k32

2 KS2 *+

10 V

Bild 8 . 12 Übung 8 .8 : Strombedingungen vorgegeben a ) Auf welchen Widerstandswert muss RL eingestellt werden , damit der Strom I = , 1 A beträgt ? rd Strom Last b ) Wie groß wird Strom I,I, wenn wenn der der Lastwiderstand R1 = 10 S2 ist ?

1092

3052 Bild 8 . 13

T

ov

OUD

9 Ersatzquellen

9 . 1 Ersatzschaltungen Für ein nur aus passiven Zweipolen (Widerständen ) bestehendes Netzwerk kann der Ersatz widerstand oder Ersatzleitwert berechnet werden (s. Abschnitt 5.2 und 5. 3). Entsprechend lässt sich auch für ein aus aktiven Zweipolen (Spannungsquellen ) und passiven Zweipolen (Widerständen ) bestehendes Netzwerk eine Ersatzquellenschaltung mit Innen widerstand oder mit Innenleitwert berechnen . Die Umwandlung eines Netzwerks in eine Ersatzquelle wird in der Regel dann angewendet , wenn Strom und Spannung an einem einzigen Widerstand des Netzwerks in Abhängigkeit von dessen Widerstandswert gesucht sind , während alle übrigen Zweipole des Netzwerks konstante Eigenschaften haben .

9 .2 Ersatzspannungsquelle Ein gegebenes Netzwerk wirkt auf einen veränderbaren Widerstand Rg. Zur vorteilhaften Be rechnung der Klemmenspannung und des Stromes für Ra wird das Netzwerk in eine Ersatz spannungsquelle umgerechnet ( Bild 9. 1). -IR

2 Ka tuguel

Xho

043

R1 042

b) Bild 9 . 1 Anwendungsfall für die Ersatzspannungsquelle a ) Netzwerk mit aktiven und passiven Zweipolen , wobei nur ein Widerstand veränderlich ist. b ) Ersatzspannungsquelle mit den Kennwerten Ugund Ri 1. Schritt: Ermittlung der Quellenspannung Das Netzwerk wird in die Leerlaufbedingung Ra = 00 versetzt, um die Potenzialdifferenz UL = 01 - 42 zu ermitteln , die dem Betrag nach gleich der gesuchten Quellenspannung ist. Für den geschlos senen Stromkreis in Bild 9.2a ) gilt: U =

=

+ 12 V + 1 . 322 – 24 V + 1 .612 = 1 . 9 12 = 12 V I = +

100

9 Ersatzquellen

Die Potenziale in Bild 9.2a ): 90 =

V ( Annahme) + 72 V

= + 72 V

43 = 40 + 24 V

= + 24 V

01 =

42 = 23 - 1 .62 = + 16 V Die Leerlaufspannung: UL = 41 - 42 UL = (+ 72 V ) - ( + 16V ) = 56 V

+ 1 12V

or

Po =0V

Bild 9 .2 Zur Berechnung der Kennwerte der Ersatzspannungs quelle a) Leerlauf Spannung UL = Uq, b ) Innenwiderstand Ri

2. Schritt: Ermittlung des Innenwiderstandes Sämtliche Quellenspannungen des Netzwerkes werden gleich null gesetzt und der verbleiben de Innenwiderstand ermittelt (Bild 9 .2b ): 322 62 = 212 322 + 622 Ergebnis: Die Kennwerte der in Bild 9.1b ) dargestellten Ersatzspannungsquelle sind gefunden : Ug = 56 V R ; = 212 Beispiel Wir kontrollieren die Richtigkeit des bisherigen Ergebnisses, indem wir für den Widerstand R = 6 22 annehmen und die Stromstärke in diesem Widerstand berechnen. Es muss sich der bereits bekannte Wert 7 A ergeben (vgl. mit Lösungen in Kapitel 8 .2 und 8 .3 ). Lösung: In der Ersatzschaltung nach Bild 9.1b ) berechnet sich die Stromstärke aus : I = Uq56 V 22 + 60 = 7A R; + R

101

9 .2 Ersatzspannungsquelle Beispiel Man berechne in der in Bild 9.3 gezeigten Schal tung die Ausgangsspannung

100

a ) im Leerlauf , also bei R3 = 00, b ) bei Belastung mit R3 = 5 ,6 k 2 .

Takes 41 7R3 5,6 ks2

110V

6k2

Bild 9 . 3 42 = + 10V

Lösung: a) Leerlaufausgangsspannung (Bild 9.4 ): 20 V 20k92 = 2mA Uų = 92- 1.R, mit I = 10


1 Dadurch wird der Spannungsabfall am U2L kleiner:

Teilwiderstand R1 größer und die Ausgangsspannung

U2L < U20 Bild 10.3 zeigt diesen Sachverhalt am

Ry= 5k ? | U = 10V konst.

Beispiel eines Festspannungsteilers .

Ry= 5552 1

R

Lu U20

U = 10 V konst.

a) Bild 10 . 3 Spannungsteiler a) unbelastet,

b) belastet

Stromstärke I des unbelasteten Spannungsteilers:

•

- = 1 mA Ry + R2

Stromstärke I" des belasteten Spannungsteilers: - = 1, 2 mA R1 + (R2||RL)

Ausgangsspannung U20 des unbelasteten Spannungsteilers:

Ausgangsspannung U2L des belasteten Spannungsteilers :

U20 = U - 1. R1 = 5 V

U2L = U - 1' • R1 = 4 V

112

10 Eigenschaften und Bemessung des Spannungsteilers

In Worten : Die Ausgangsspannung U2L des belasteten Spannungsteilers ist immer kleiner als seine Leerlauf- Ausgangsspannung U20 .

Lösungsweg 2: Ersatzspannungsquelle Für den gegebenen Spannungsteiler - ohne den Lastwiderstand Ru - wird zunächst die Ersatz spannungsquelle wie folgtberechnet. Die Quellenspannung Uq der Ersatzquelle ist gleich der Leerlauf-Ausgangsspannung U20 des Spannungsteilers: mit U20 = U . _ R2 R1 + R2

Uq = U20

Der Innenwiderstand Ri der Ersatzquelle ist gleich der Parallelschaltung der beiden Span nungsteiler -Widerstände: R ; = R1 R2 ^ ? Ry + R2 Man berechnet nun die gesuchte Ausgangsspannung U2L in der Ersatzschaltung nach Bild 10.4 und nicht in der eigentlichen Spannungsteiler - Schaltung : U2L = U20 – Il · Ri

(51)

In Worten : Die Ausgangsspannung U2L eines mit dem Strom Il belasteten Spannungsteilers berechnet sich aus seiner Leerlauf-Ausgangsspannung U20 abzüglich des inneren Spannungs abfalls IL · Ri des Spannungsteilers. Als Innenwiderstand des Spannungsteilers tritt die Paral lelschaltung der Spannungsteilerwiderstände Rị und R2 auf. Rg

fu

3 62

I

| 2 )

-

... Rp.R2 R1 R2 R; = Ri - R₂ + R2

Olay you so

3

L

luz []

Bu 10,4 Ersatzspannungsquelle für den belasteten Spannungsteiler

Beispiel Wir betrachten einen Spannungsteiler mit den Teilwiderständen R1 = R2 = 1 k 2 an der Versorgungsspan nung U = 10 V . Der Belastungswiderstand R , ist nicht bekannt, dafür ist jedoch der Laststrom I = 2 mA gegeben . Wie groß ist die Ausgangsspannung des Spannungsteilers ? Lösung : Der Lösungsweg über die Ersatzspannungsquelle des Spannungsteilers liefert das Ergebnis auf kürzestem Wege (s. Bild 10.4 ). Leerlauf-Ausgangsspannung U20 des Spannungsteilers: - 10 V 1 ke2- = SV U20 = U . R2 2 k22 R1 + R2

113

10 .3 Linearitätsfehler des belasteten Spannungsteilers Innenwiderstand R ; des Spannungsteilers: R1 - R2 R1 + R2

1k92 . 1 k120510 - = ,5 k2 2 k22

Ausgangsspannung U2L bei Belastung mit dem Strom I1 = 2 mA : U2L = U20 - IL · R ; = 5 V - 2 mA . ,5 k22 = 4 V (Falls Sie diesen Lösungsweg zu abstrakt finden , probieren Sie einmal die Lösung der Aufgabe auf einem anderen Weg. Sie werden bald merken, wie vorteilhaft die Anwendung der Ersatzspannungsquelle ist.) Lastwiderstand Rı:

RL -

U 2 IL IL

- 4 V = 2 k12 2 mA

10 .3 Linearitätsfehler des belasteten

Spannungsteilers

Beim unbelasteten Spannungsteiler besteht eine exakte Linearität (Proportionalität) zwischen der Ausgangsspannung U20 und dem Teilwiderstand R2; dabei darf das Teilerverhältnis % und kmax = 100 % annehmen . Diese Linearität ist bei k = R2/ R Werte zwischen kmin = einem belasteten Spannungsteiler nichtmehr gegeben (s. Durchhangskurven in Bild 10 .5b ).

24

,8

Parameter Ry + R21

. 67

RL

0442 ,21

O

,2

,4

,6

,8

1

Bild 10 . 5 Belasteter Spannungsteiler a ) Schaltung b ) Kennlinien

6) Es soll nun berechnet werden , welchen Einfluss ein Lastwiderstand Rį auf die Linearität der Ausgangsspannung hat. 1. Schritt: Leerlaufspannung U20 des Spannungsteilers:

U20 = 12 .

mit R = R1 + R2

U20 = k · U

mit k = R2

Zwischen der Leerlaufspannung U20 und dem konstanter Spannung U .

Teilverhältnis k besteht Proportionalität bei

114

10 Eigenschaften und Bemessung des Spannungsteilers

2 . Schritt: Innenwiderstand R ; des Spannungsteilers : R; R ; =- Rj•R2 Ri + R2 R ; =

R . R2 – R3

mit R2 = kR

R e _ k.R R; = *

und R = R1 + R2

. R2

–k R

R ; = k . (1 -k ) . R Zwischen dem Innenwiderstand R ; und dem Teilerverhältnis k besteht keine Proportionalität. Bild 10 .6 zeigt, dass der Innenwiderstand sein Maximum beiMittelstellung des Schleifers hat und bei den beiden Endstellungen des Schleifers jeweils null ist. ,25 R ,20 R

Innen widerstand

, 15 R

R ; - Ry. R2 " R₂ + R2

,10 R

R ; = k11 - K )R

,05 R

To

,2

,4

,6

,8

1

Bild 10 . 6

K 3 . Schritt : Berechnung der Ausgangsspannung bei Belastung : U2L = U20 .

RL Ri + Ri

RL U2L = k · U . RL + k :( 1 - k ) . R

(52)

In Worten : Die Ausgangsspannung U2L des belasteten verstellbaren Spannungsteilers ist bei voller Ausnutzung des Einstellbereichs < k < 1 nur dann in etwa proportional zum Teilerver hältnis k = R / R , wenn der Lastwiderstand RL > k . (1 - k ) · R ist, d .h . für den ungünstigsten Fall: RL > ,25 R . Der absolute Linearitätsfehler äußert sich in einem „ Durchhängen “ der Spannungsteilerkennlinie , wie es in Bild 10 .5b ) für einige Belastungsfälle gezeigt wird . Der prozentuale Linearitätsfehler F berechnet sich mit Gl. (52 ) aus: FF (%% ) = U 20 - U 21 .100 = U20

-

mit K = k ( 1 - k ) RL KR

(53)

115

10 .3 Linearitätsfehler des belasteten Spannungsteilers

In Worten : Der prozentuale Linearitätsfehler hat sein Maximum bei k = ,5 in der Mitte des Einstellbereichs und ist abhängig vom Verhältnis des Lastwiderstandes zum Spannungsteiler widerstand . Beispiel Wir betrachten ein Anwendungsbeispiel des Spannungsteilers, das die Forderung nach Linearität der Ausgangsspannung U2L als Funktion des Teilerverhältnisses k begründet. Problemstellung : Der Füllstand eines Behälters stellt eine nichtelektrische Größe dar , die aber elektrisch erfasst werden soll, d .h . es wird hier gefordert: Die Spannung U2L soll möglichst proportional zum Füllstand h sein . Gesucht sind die Prinzipdarstellung der technologischen Lösung sowie die Berechnung des absoluten und prozentualen Linearitätsfehlers, wenn der Nennwiderstand des Potenziometers R = 10 k 2 ist. Der Belas tungswiderstand sei RL = 20 kN2 Lösung: Bild 10 .7a) zeigt eine Prinzipskizze der technologischen Lösung. Der Schleifer verstellt in Abhängigkeit vom Füllstand h die Ausgangsspannung U2 des Potenziometers . Die Messeinrichtung bildet den Belastungswiderstand RỊ. Berechnung in der Tabelle : k

,2

,4

,5

,6

,8

Krk ( 1 - k )

. 16

, 24

,25

,24

, 16

3,57

4,44

5 ,36

1. U2L = k · U .

RL RL + K : R

|

K . 100 F (% ) = K + R /R

| 1,85

7,41

10 ,7

11,1

1,

7,41 | 10

7 ,41 10

10,7

Darstellungen der Ergebnisse U2L = f(k) (unmaßstäblich zwecks Verdeutlichung von AU ): MessI-ein 1 i richi i tung G

10V

10 V U28 Linie U20-

10k52 | R2

U2L = f /h )

RL

AU = U20 - U2L

20 k12 O

,2

,4

,6

,8

,2

,4

,6

8,

1 1

Bild 10 .7

116

10 Eigenschaften und Bemessung des Spannungsteilers

10 .4 Dimensionierung des Spannungsteilers Die Dimensionierung des Spannungsteilers ist anforderungsabhängig . Es müssen immer zwei schlüssige Bedingungen für den belasteten Spannungsteiler angegeben werden , sonst ist er nichtmehr berechenbar. Beispiel für einen häufig vorkommenden Fall 1. Bedingung: Leerlaufspannung U20 2. Bedingung: Lastspannung U2L, bei Anschluss des Lastwiderstandes Ru Lösungsgang: Ü ber Ersatzspannungsquelle mit den Kennwerten Ug = U20 und Ri 1. Schritt: Der Spannungsteiler muss einer Ersatzspannungsquelle mit Innenwiderstand ent sprechen : R; =

AU

U20 - U2L

AL

-

2 . Schritt : Der Innenwiderstand des Spannungsteilers wird durch die Teilwiderstände Ri und R2 gebildet : R . - Rj · R2 7 R1 + R2 3 . Schritt: Die beiden Spannungsteilerwiderstände R1 und R2 müssen auch die Leerlaufbedin gung U20 erfüllen : U 20 U

R2 R1 + R2

4 . Schritt: Die an den Spannungsteiler anzulegende Spannung U muss größer gewählt werden als die benötigte Leerlaufspannung. Aus den obigen Gleichungen lassen sich R ¡ und R2berechnen . Beispiel Man berechne R1 und R2 des Spannungsteilers für die Bedingung , dass die Ausgangsspannung U2L bei Veränderung des Lastwiderstandes R von 3 , 3 k22 auf 2 .2 k22 , von 8 V höchstens auf 7 ,6 V zurückgeht. Die Versorgungsspannung U für den Spannungsteiler ist in geeigneter Größe zu wählen . Schaltung und Bezeichnungen s. Bild 10. 8 . Lösung : Berechnung des Innenwiderstandes : Bei U2L = 8 V

- 8V = 2,43mA fließt Iu = 3 ,3k92

Bei U2L = 7 ,6 V fließt IL = Daraus

R; =

7 ,6 V 2 . 2 ks 2 AU AI

= 3,45 ma .4 V

- = 392 1 ,02 mA

Vom Lastwiderstand Rį aus betrachtet besteht der Ersatz-Innenwiderstand des Spannungsteilers aus einer Parallelschaltung von R , und R2: R . = R , R2 = 392 12 Ri " R₂ +R2

(s. Bild 10.9 )

117

10 .4 Dimensionierung des Spannungsteilers

Berechnung der Ersatzquellenspannung Uq: Uq = U2L + IL . R ; Uq = 8 V + 2 ,43 mA · 392 12 = 8,95 V Damit ist auch die Leerlaufspannung des Spannungsteilers bekannt : U20 = Uq = 8,95 V

(s. Bild 10.8)

Die Versorgungsspannung U des Spannungsteilers muss größer als die geforderte Leerlaufspannung sein . Es wird gewählt U = 12 V ( s . Bild 10 . 8 ) . ... Rp.R2 Ri = R + R2

Bild 10 . 8

Bild 10. 9

Bestimmung von R ¡ und R2: R1 + R2

R2

_ 8,95 V 12 V

12 V . R

= 8 ,95 VR + 8 ,95 VR

3,05 V · R2 = 8,95 V . Ru 8. 95 V RF R = 2 ,94 . R 3 ,05 V eingesetzt in : R • R2 R1 + R2

3,94 R

= 3922

= 392 12 R1 = 525 12 R2 = 2,94 R1 = 2,94 . 5252 R2 = 1544 22

(s. Bild 10.8 )

In der Praxis ist noch ein zweites Lösungsverfahren für die Dimensionierung des Spannungs teilers üblich . Diese als Querstromfaktorverfahren bezeichnete Rechenmethode beruht auf der Kenntnis, dass ein Spannungsteiler dann eine fast belastungsunabhängige Ausgangsspannung liefert , wenn sein Querwiderstand sehr viel kleiner als der Belastungswiderstand ist. Als Querwiderstand Rg wird derjenige Spannungsteilerwiderstand bezeichnet, zu dem der Last widerstand parallel geschaltet wird . Der Querstromfaktor m strom IL :

ist das Verhältnis des Querstromes Iq im

Querwiderstand Rq zum Last

118

10 Eigenschaften und Bemessung des Spannungsteilers

10 .5 Übungsaufgaben A

Übung 10 .1: Spannungsteilung Mit Hilfe eines Spannungsteilers soll aus der Spannung 30 V eine Teilspannung 12 V gewonnen werden . Der Widerstand R1 sei 10 k22 ( s. Bild 10 . 10 ). a ) Wie groß muss der Widerstand R2 gewählt werden ? b ) Wie groß wird die Teilspannung bei Belas tung des Spannungsteilersmit RL = 47 kO2 ?

10k 2 30V 300

Ta 47k12

Bild 10 . 10 A

Übung 10 .2 : Messung am nungsteiler

hochohmigen Span

Ein Spannungsteiler besteht aus den Widerständen R1 = R2 = 1 M22, die an der Spannung 30 V liegen . Welche Teilspannung zeigt ein Spannungsmesser im 30 V -Messbereich an, wenn sein Innenwider stand 40 kB / V beträgt? Die Angabe 40 kO /V be stand kWV Die Angabe be deutet,40 dass der beträgt? Spannungsmesser pro40kV 1 V -Mess bereich einen Innenwiderstand von 40 k2 hat (s . Bild 10 .11) .

R , = 1M 2

R2 1M52 home

30V 1301

Iuse

☺

1 >

Bild 10 . 11 •

Übung 10.3: Dimensionierung eines Spannungsteilers Dimensionieren Sie einen Spannungsteiler, der folgenden Anforderungen genügt: Leerlauf- Ausgangsspannung U20 = 12,6 V , Ausgangsspannung bei Belastung U2 = 12 V , wenn der Laststrom 3 mA beträgt. Als Versorgungsspannung des Spannungsteilers steht U = 18 V zur Verfügung .

A

Übung 10 .4 : Querstromfaktor Von einem Spannungsteiler wird bei Belastung ei ne Teilspannung von 3 V gefordert. Der Laststrom beträgt 7 mA. a ) Wie groß müssen R7 und R2 gewählt werden , wenn ein Querstromfaktor m = II. = 10 und eine Versorgungsspannung von 15 V angenommen werden ? b ) Wie groß wird die Leerlauf- Ausgangsspan nung (Bild 10 . 12 ) ? A Übung 10 .5 : Belasteter Spannungsteiler Vorhanden sind zwei Spannungsteiler A mit R = 2 k2 und B mit R = 200 92. Der Abgriff für die Ausgangsspannung liegt jeweils in der Mitte des Widerstandes R . Die Versorgungsspannung sei 10 V . Wie wirkt sich bei beiden Spannungsteilern eine Belastung mit Ri = 1 k22 auf die Ausgangs spannung aus (Bild 10 .13) ? a ) Lösung durch direkte Berechnung des Netz werkes b ) Lösung über die Ersatzspannungsquelle

P I, = 7mA

15 V Io R2 = Rq

Bild 10 . 12

LG

A

10V

R = 2452

Bild 10 . 13

R

U20 U2L

®

R = 20052

RL 1k2

119

10 .5 Übungsaufgaben

Hinweis : Beachten Sie , dass in der Ersatzspannungsquelle die Quellenspannung Ug gleich der Leerlauf spannung U20 gesetzt werden muss. Ein häufig vorkommender Fehler ist der, dass Ug gleich dem Betrag der Versorgungsspannung angenommen wird .

A

Übung 10 .6 : Einstellbarer Spannungsteiler Innerhalb welcher Grenzen lässt sich die Teil spannung des in Bild 10 . 14 gezeigten Spannungs teilers einstellen a ) im Leerlauf, b)

bei Belastung mit RL = 5 k 2

U2 max U2 min a ) im Leerlauf b ) bei Belastung G

aksz

R U20 U2L

3k2 || Bild 10 . 14 A

Ry = 1002

Übung 10.7: Strombelastung eines Spannungs teilers Welcher Lastwiderstand Ri bewirkt beim Span nungsteiler des Bildes 10 . 15 einen Laststrom von 20 mA ?

1 = 20 mA

R2 4002

. 20v

RL = ?

Bild 10 . 15 A

Übung 10. 8 : Leerlaufspannung Der in Bild 10 . 16 dargestellte Spannungsteiler lie fert bei Belastung die Ausgangsspannung 5 V . a ) Wie groß wird die Leerlaufspannung U20 ? b ) Wie groß ist die Versorgungsspannung U ?

1,2 k2 U = ? U2L = 5V U20 = ?

3,6 KS2

Bild 10 . 16 Übung 10 .9 : Ersatzquelle Bild 10 . 17 zeigt einen einstellbaren Spannungs teiler mit umkehrbarer Polarität der Ausgangs spannung . a ) Wie groß wird jeweils die Leerlauf-Aus gangsspannung bei den Schleiferstellungen k = ; k = , 25 ; k = ,5 ; k = ,75; k = 1 , wenn k = R /R ist ? Zeichnen Sie U20 = f (k ) . b ) Berechnen und zeichnen Sie die Ausgangs spannung bei Belastung des Spannungsteilers mit RL = 2 k22, d .h . bestimmen Sie U = f (k ) bei k = ; k = ,25 ; k = ,5 ; k = ,75 ; k = 1. Hinweis: Lösungsweg über Ersatzspannungsquelle

RR 1k2

U20 ++

10

Bild 10 . 17

+

10V

Ru 1k2

120

11 Elektrostatisches Feld

Das elektrostatische Feld ist ein Sonderfall des elektrischen Feldes. Kennzeichen dieses Son derfalls sind ruhende elektrische Ladungen (I = ).

11 . 1 Elektrostatisches Feld des Plattenkondensators Als Beschreibungsgrundlage für die Eigenschaften des elektrostatischen Feldes wird zunächst eine geeignete Versuchsanordnung dargestellt . Die einfachste Form eines elektrostatischen Feldes bildet sich zwischen zwei planparallelen Metallplatten aus, deren Zwischenraum Luft ist und die an einer Gleichspannung liegen . Der vom elektrostatischen Feld erfüllte Raum wird Dielektrikum genannt. Der Aufbau des elektrischen Feldes erfolgt durch eine Gleichspannungsquelle . Ihre Quellen spannung verschiebt die in der Leitung und in den Metallplatten befindlichen Elektronen . Dadurch entsteht auf der einen Platte ein Überschuss von Elektronen , also eine Elektrizitäts menge - Q , entsprechend auf der anderen Platte eine Fehlmenge gleichen Wertes + Q . Kurzzeitig fließt ein Ladestrom mit dem Momentanwert i, der in traditioneller Richtung eine Elektrizitätsmenge + Q fördert. Der Ladestrom i wird null, wenn die durch die Elektrizitäts menge + Q und - Q erzeugte Gegenspannung den Gleichgewichtszustand bewirkt ( Bild 11. 1). Ug = U = E . d

vergl. Gl. (5 ) Kap. 2

Das elektrostatische Feld bleibt nach dem Abtrennen der Gleichspannungsquelle bestehen , wie durch Spannungsmessung mit einem allerdings sehr hochohmigen Spannungsmesser nachge wiesen werden kann . Man schließt daraus: Das elektrostatische Feld wird durch die getrennten Ladungen + Q , - Q verursacht. Die vorhandene Spannung zeigt an , dass im Feld Energie ge speichert ist. Die Anordnung heißt Plattenkondensator .

U = Ed

Bild 11. 1 Plattenkondensator an Gleichspannungsquelle a ) Der Ladestrom i wird null, wenn sich im Kondensator ein elektrisches Feld der Stärke U = Ed = Uq gebildet hat. b ) Elektrisches Feld zwischen den Platten : E = Elektrische Feldstärke, d = Plattenabstand

121

11.2 Kapazität

11.2 Kapazität Die Kapazität ist eine Bauelementeigenschaft besonders von Kondensatoren aber auch von Leitungen oder ganz allgemein von entgegengesetzt aufladbaren durch einen Isolator voneinander getrennt sind.

elektrischen Leitern , die

Die Kapazität C des Kondensators gibt das interessierende Verhältnis von gespeicherter La dungsmenge Q zur Ladespannung Uc an : Einheit 1 AS = 1 F (Farad ) (54)

kleinere Einheiten : | C

=

uc )

Mikrofarad Nanofarad

1 uF = 10 -6 F 1 nF = 10 - 9 F

Pikofarad

1 pF = 10 - 12 F

Die Kapazität des Kondensators beschreibt den gesetzmäßigen Zusammenhang von gespei cherter Ladungsmenge Q und Ladespannung Uc: 1. Deutung: Q = C . UC Die gespeicherte Ladungsmenge

Q ist abhängig von der Kapazität C des Kondensators und

seiner Ladespannung Uc, die den Wert seiner Nennspannung nicht übersteigen darf. Dem Bild 11. 2a ) kann die Ladungsmenge Q für gleiche Ladespannung Uc = 40 V bei Kondensatoren mit unterschiedlicher Kapazität entnommen werden : Qi = C1 · Uc =

,5 uF . 40 V = 20 LC

Q2 = C2 · Uc =

,1 uF . 40 V = 4 °C

Umgekehrt kann aus Bild 11.2a) auch die Ladespannung Uc für die gleiche Ladungsmenge Q = 5 uC bei Kondensatoren mit unterschiedlicher Kapazität abgelesen werden : Q

5uAs - 10 V

UC1 = G

, 5 MF

_ Q _ 5uAS = 50 V Uc2 = ČR - ,1 °F uc = f (t ) 49- ,54F 4. 00

40

9 = f (t)

AUC1 [₂ = ,1 MF AUC2 10

20

30

AQ2 40

50 V 60 U

b

Bild 11. 2 Zusammenhang zwischen gespeicherter Ladung und Ladespannung des Kondensators

122

11 Elektrostatisches Feld

2 . Deutung: AQ = C . AUC Bild 11.2a ) zeigt auch , dass einer Spannungsänderung AUC eine Ladungsänderung AQ zuge ordnetwerden kann : AQ1 = C1 · AUC1 = ,5 uF (30 V – 20 V ) = 5 uC AQ2 = C2 · AUC2 =

,1 uF (30 V – 20 V) = 1 °C

3. Deutung: q = C . Uc Der Zusammenhang von Ladungsmenge Q und Ladespannung Uc gilt nicht nur für den been deten Ladungsvorgang, sondern auch für jeden beliebigen Augenblick , also auch für Momen tanwerte : (55 )

g =Couc

Bild 11 .26 ) zeigt, dass bei konstanter Kapazität C die Momentanwerte der Ladungsmenge q und der Spannung uc in jedem Augenblick proportional zueinander sind. Der hier dargestellte lineare Anstieg ist ein möglicher Sonderfall (Ladung mit Konstantstrom ).

11.3 Kapazitätsberechnung Die Kapazität einer Leiteranordnung (Kondensator, Leitung etc.) ist durch Definition einge führt worden : C =

Q

siehe Gl. (54 )

Es fehlt noch die Aussage, von welchen Einflussgrößen die Kapazität C abhängig ist, d .h .man will auch wissen , durch welche Maßnahme die Kapazität einer Leiteranordnung ggf. verändert werden kann . Der Berechnungsgang folgt nachstehender Lösungsmethodik : Annahme der Probeladung

Feldstärke EED

Kapazität

Er . & Schritt

Schritt4

2 Schritt Schritt 3

1

D =L Verschiebungsflussdichte

Uc =

1

E AS

Ladespannung

1. Schritt: Verschiebungsflussdichte D Ein Kondensator ist eine Leiteranordnung, die immer gleich große, aber ungleichnamige La dung aufnimmt. Jede Änderung der positiven Ladungen + Q auf der einen Kondensatorplatte ist von einer gleichzeitigen und gleichsinnigen Änderung der negativen Ladung - Q auf der

123

11. 3 Kapazitätsberechnung

anderen Kondensatorplatte begleitet. Man definiert deshalb eine neue Feldgröße, die eine Ver bindung zwischen den getrennten Ladungen + Q - Q im Feldraum herstellt , und bezeichnet sie als Verschiebungsfluss v (Psi): Ty = 2

Einheit 1 As = 1C

(56 )

Der elektrische Verschiebungsfluss y wird als die andersartige , d.h . feldgemäße Beschreibung der Ladung Q betrachtet . Es wird nun eine für viele symmetrische Leiteranordnung recht einfach berechenbare Feldgrö Be eingeführt, die man Verschiebungsflussdichte D nennt: C Einheit 1 As mm 1

(57 )

In Worten :Man erhält die Verschiebungsflussdichte D einer symmetrischen Leiteranordnung, ausgehenden Verschiebungsfluss y durch die durchsetzte wenn man den von der Ladung + Fläche A teilt, die vom Verschiebungsfluss betroffen ist . In Bild 11.3 gilt deshalb als durch setzte Fläche nur die Plattenfläche A , alle anderen Flächen sind nicht vom Verschiebungsfluss durchsetzt.

+Q

-Q

Bild 11 . 3 Verschiebungsfluss y

Der Ausdruck Verschiebungsfluss bzw . Verschiebungsflussdichte rührt daher, dass sich die im Dielektrikum vorhandenen , aber an die Atomkerne gebundenen negativen Ladungsträger unter dem Einfluss der Feldkräfte F elastisch verschieben . Dadurch fallen die Ladungsschwerpunkte der positiven Atomkerne und der negativen Elektronenhüllen nichtmehr zusammen , sodass aus den zuvor neutralen Isolierstoffatomen kleine elektrische Dipole werden . Alle im Die lektrikum auftretenden elastischen Verschiebungen und Ausrichtungen vorhandener elektri scher Dipole tragen zum elektrischen Verschiebungsfluss bei; man nennt den Vorgang Polari sation . Betreibt man einen Kondensator bei konstanter Feldstärke E z.B . durch Anlegen einer konstanten Spannung Uc bei unveränderlichem Plattenabstand d , so vergrößert sich der Ver schiebungsfluss , wenn an Stelle von Luft ein geeigneter Isolierstoff als Dielektrikum verwen det wird . Der Steigerungsfaktor wird Dielektrizitätszahl & genannt und ist eine dimensionslose Zahl: Für

Luft

& ~ 1

Papier (trocken )

& ~ 2 ,3

Aluminiumoxid ( A1203)

&

8

124

11 Elektrostatisches Feld

Da auch Vakuum ein denkbares Dielektrikum wäre , bezieht man alle Dielektrizitätswerte auf Vakuum und setzt: E = &

Ei

mit ε = 8 ,85 · 10 - 12 As/Vm als Feldkonstante des elektrischen Feldes für Vakuum .

€ (Epsilon ) heißt Dielektrizitätskonstante. Die Verschiebungsflussdichte D vergrößert sich bei einem Kondensator durch Einführen eines geeigneten Dielektrikums bei konstanter Feldstärke E (Uc = konst .). In Bild 11.4 wird dies durch Vergrößerung der auf den Kondensatorplatten befindlichen Ladungen + Q , - Q darge stellt. Die Zunahme der Ladungsmenge Q muss mit einem elektrischen Effekt verbunden sein . Nach bisheriger Vorstellung kann dies nur ein Stromfluss sein , der die Zusatzladung AQ trans portiert. Die erhöhte Verschiebungsflussdichte berechnet sich aus: D = & • En · E

Dielektrikum Kunststoff Er = 3

Luft Glimmer Papier - Del Styroflex Trafooel Wasser ( destill) Tantal (Ta205 )

Luft Er - 1 4 40

Dielelektrizitäts zahl & 4. . . 8 3. . . 45 z 2,5 2,2. . . 2,5 = 81 27

AQ Ur= konst

Durchschlags festigkeit Ed z 2,1 50. . . 90 8. . . 10 30 . . . 50 25. . . 35

kV mm

Bild 11.4 Einfluss des Dielektrikums auf die Kapazität eines Kondensators

2 . Schritt : Feldstärke E Die Gleichung D = & • Ej . E beschreibt den Einfluss des Dielektrikums auf die Verschiebungs flussdichte D bei gegebener Feldstärke E . In der Lösungsmethodik der Kapazitätsberechnung beliebiger Leiteranordnungen geht man jedoch umgekehrt vor und beginnt mit der Annahme einer Ladungsmenge Q auf den Kondensatorplatten ( Q = konst.). Dann ist definitionsgemäß die Verschiebungsflussdichte D unabhängig vom Dielektrikum und die Feldstärke E wird zur abhängigen Variablen : E =

D (58 ) Er . EO

In Worten : Die Feldstärke eines elektrischen (elektrostatischen ) Feldes ist bei gegebener Ver schiebungsflussdichte D umgekehrt proportional zur Dielektrizitätskonstanten E. 3. Schritt: Spannung Uc Die elektrische Feldstärke E ist gemäß Gl. (5 ), Kapitel 2 gleich dem Potenzialgefälle der Lei teranordnung :

125

11.3 Kapazitätsberechnung

E - 49 As Summiert man alle Feldstärke-Weg-Produkte längs einer Feldlinie zwischen den Punkten 1 und 2 , so erhält man die elektrische Spannung über dieser Strecke :

Uc = ŽEAS 4 . Schritt: Kapazität C In diesem Schritt werden die Ergebnisse der vorangegangenen Schritte zusammengezogen . Man berechnet die Kapazität C einer Leiteranordnung, indem man in die Gleichung

den im

3. Schritt ermittelten Ausdruck für die Spannung Uc einsetzt. Es kürzt sich dann die anfänglich angenommene Ladung , heraus und übrig bleiben die Einflussgrößen der Kapazität.

Beispiel Wir ermitteln die Formel zur Kapazitätsberechnung des Plattenkondensators und berechnen dessen Kapa zität für den Fall, dass die Metallplatten eine Fläche von je 400 cm2 haben und durch eine 4 mm dicke Hartpapierplatte ( & = 5 ) getrennt sind . Lösung : Annahme einer gespeicherten Ladungsmenge ( . Man setzt einfach „ Q " , da sich diese Größe am Schluss der Rechnung wieder herauskürzt. Schritt 1 : Berechnung der Verschiebungsflussdichte D für die Plattengröße A = a · b : D - 2 Schritt 2 : Berechnung der Feldstärke E : 2 . D r .Eo . A & r EO Schritt 3 : Berechnung der Ladespannung Uc aus der Feldstärke E . Beim Plattenkondensator ist die örtli che Feldstärke E an allen Stellen des Feldraumes gleich groß, und die Summe aller Abschnitte As längs einer Feldlinie ergibt den Plattenabstand d : 2 E =

Uc = SE As = E .d Schritt 4 : Berechnung der Kapazität C durch Einsetzen in die Definitionsgleichung (54 ). Es kürzt sich die oben angenommene Ladung Q heraus und übrig bleiben die Einflussgrößen der Kapazität: 2 2 Ep . 80 A C UC

Eid

Q . d. d & Eo • A Mit den oben angegebenen Werten erhalten wir für die Kapazität des Plattenkondensators den Wert: _ 5 . 8,85 . 10 – 12 As 400 10 - 4m2 - = 443 pF 4 . 10 IU - 3m 111 . Vm V 111 Das formelmäßige Ergebnis für den Plattenkondensator sei wegen seiner Wichtigkeit noch einmal herausgestellt: Er . & A d -C-8.804

Einheit Einheit

TAs: 1m2 - = 1 F (Farad ) Vm .m 1F(Farad) hin?m?–

(59)

126

11 Elektrostatisches Feld

In Worten : Die Kapazität eines Plattenkondensators hängt direkt proportional von seiner Plat tenfläche und der Dielektrizitätszahl des Dielektrikums und umgekehrt proportional von sei nem Plattenabstand ab . Durch diese drei geometrisch - werkstofflichen Abmessungen legt der Plattenkondensator das Verhältnis der bei ihm messbaren Globalgrößen von gespeicherter Ladungsmenge Q und Ladespannung Uc fest. Beispiel Wir berechnen die Kapazität eines Hochfrequenz- Sendekabels, das als Koaxialkabel ausgeführt ist. Der Innenleiter besteht aus 2 , 3 mm Ø Kupferdraht, die Abschirmung ( Außenleiter ) aus einem Kupfergeflecht von 10 mm Ø . Die Polyäthylen - Isolation hat eine Dielektrizitätszahl Ep = 2 ,3 . Das Koaxialkabel ist mit einer PVC -Hülle umgeben . Wie groß ist die Kapazität je 1 m Leitungslänge?

Außenleiter, Schirmung (Geflecht) Dielektrikum Innenleiter

1

[ ~ 1/

Luc = SE.dr Bild 11 . 5 Koaxialkabel Lösung : Wir betrachten das Koaxialkabel als einen Kondensator, auf dessen Innenleiter sich die Ladung iter sich die gleich große , aber ungleichnamige Ladung - befindet, und bilden für den beliebigen Radius (r; < r < ra) die Verschiebungsflussdichte D in allgemeiner Form : DYQ D = A 21 :ril

A = Zylinderfläche

Zwischen der Verschiebungsflussdichte D und der Feldstärke E besteht nach Gl. (58 ) ein fester Zusam menhang. Wir ermitteln in allgemeiner Form die Feldstärke E im Dielektrikum am Ort des Radius r . E = Er EO

&; . & . 21 . l. r

Man erkennt, dass die Feldstärke einer einfachen Gesetzmäßigkeit unterliegt:

Im Bild 11.5 ist der zylindrisch - radiale Feldstärkeverlauf dargestellt. Da dort die Feldstärke längs einer Feldlinie nicht gleich groß ist, müssen wir zur Spannungsberechnung anstelle der Beziehung

127

11.3 Kapazitätsberechnung

Uc = ŽE.AS den Ausdruck Uc =

E -ds

setzen und integrieren . Durch Einsetzen der Feldstärke und Bestimmung der Integrationsgrenzen (vom Innenradius r; bis zum Außenradius r ) ergibt sich unter Benutzung einer Tabelle mit der Lösung von Grundintegralen : Zur Lösung des Integrals : _ _ O _ dr UC = 2n - 67 - 80 - 7 .4.dr =[in »)* =Inra –In n= In*

Uc= 22.6 21 . Er 80 :

Somit erhalten wir fü r die Kapazität der Koaxialleitung den allgemeinen Ausdruck : _ 21•Ef•E011 In a

C =

Die Kapazität je 1 m Leitungslänge ist dann : m C _= 21 :2 ,3 .8,85 . 10- 12 As 1 - = 87 pF 53mm mm . Vm In " 1,15 mm Die formelmäßigen Ergebnisse seien wegen ihrer Bedeutung fü r Koaxialkabel bzw . Zylinder kondensatoren noch einmal herausgestellt: Kapazität: 21t . Er . E01

(60 )

Feldstärke: E 21t . Er . EO .7 21181 E =

Ex Ep 1., mitQ = C .U = 21tIn 'a

U r . In a

(61)

In Worten : Die Feldstärke E hat an der Oberfläche des Innenleiters r = r ; ihren Höchstwert, der um einen Sicherheitsfaktor unter der Durchschlagsfestigkeit des Dielektrikums liegen muss . Beispiel Wir berechnen die erforderliche Isolierschicht einer Wanddurchfü hrung fü r einen Leitungsdurchmesser von 10 mm . Die Hochspannungsleitung fü hre eine Wechselspannung von 20000 Veff gegenü ber der geerdeten Metallwand. Wie groß muss die Wandstärke des isolierenden Kunststoffrohres sein , wenn dieser eine Durchschlagfestigkeit D von 21 kV /mm aufweist und eine 3 - fache Sicherheit S vorzusehen ist.

128

11 Elektrostatisches Feld

Metall

Hochspannungs leitung 20kV

24

Isolation Bild 11.6 Wanddurchführung Lösung: Höchstwert der zulässigen Feldstärke E : D 21 000 V 7000 _ V E = - = - = S 3 mmmm Wanddurchmesser ra: U

000 V

für den maximalen Momentanwert der Wechselspannung

17 ·In à = 28200 V•mm = , 806 - =U 5 mm · 7000 v = iſ. E ra = 2 ,24 . r = 11,2 mm

=

" a = 2 , 24

(r = 5 mm )

Wandstärke x der Isolierschicht: x = ra - r = 11,2 mm - 5 mm = 6 ,2 mm

11 .4 Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren Bei der Parallelschaltung von Kondensatoren liegen diese alle an der gleichen Spannung U (s. Bild 11. 7) . Die Ladung, die jeder Kondensator speichert, ist proportional seiner Kapazität und der anliegenden Spannung : Q = C . U Die gespeicherte Gesamtladung

setzt sich aus den Einzelladungen zusammen :

Q = Q1 + Q2 + ... + en Q = C . U + C2 · U + ... + Cn . U Q = U . (C

+ C2 + ... + C )

Q= . Daraus folgt für die Gesamtkapazität parallel geschalteter Kondensatoren : C = C1 + C2 + ... + Cn (62 )

129

11.4 Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren

In Worten : Bei der Parallelschaltung von Kondensatoren ist die Gesamtkapazität (Ersatzkapa zität) gleich der Summe der Einzelkapazitäten .

u

sť

. . .sto

ut

ce

Bild 11. 7 Parallelschaltung von Kondensatoren

Für jeden Kondensator in einer Reihenschaltung gilt unabhängig von seiner Kapazität: Er wird mit demselben Ladestrom i geladen wie alle anderen Kondensatoren auch . Für alle Kondensa toren ist deshalb die gespeicherte Ladungsmenge Qi gleich groß : Q = fi.dt Es gilt deshalb : Q = Q1 = Q2 = ... = 2n Dabei lädt sich der Kondensator mit der Kapazität

auf die Spannung U auf:

Alle Ladespannungen U , bis Un addieren sich zur Gesamtspannung U (s. Bild 11.8): U = U1 + U2 + ...+ Un

U =O-Ža i= 1 Daraus folgt für die Gesamtkapazität ( Ersatzkapazität) in Reihe geschalteter Kondensatoren :

cates that can (63 )

In Worten : Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren ist der Kehrwert der Gesamtkapazität gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelkapazitäten .

130

11 Elektrostatisches Feld

Aus Gl. (63) kann für den Sonderfall von nur zwei in Reihe geschalteter Kondensatoren eine spezielle Formel zur Berechnung der Gesamtkapazität hergeleitet werden : CC G

Merkregel: Produkt durch Summe

+ C2 |

(64 )

Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren wird gemäß Gln. (63) und (64 ) die Gesamtkapazi tät kleiner als die kleinste Einzelkapazität . Die Reihenschaltung von Kondensatoren stellt einen kapazitiven Spannungsteiler dar. Aus dem Ansatz Q1 = Q2 folgt:

:

al

u

:

uz

sos

ut

a a) Bild 11. 8 Reihenschaltung von Kondensatoren

Beispiel Wir berechnen die Ersatzkapazität der in Bild 11. 9 gezeigten Schaltung und die Spannungen an den Kon densatoren .

,1uF tour 10 V 023

[2 47 nF

Up

Q3L [ 3 + 10 nF Bild 11 . 9

Lösung: Ersatzkapazität:

Spannungen

C2,3 = C2 + C3 = 47 nF + 10 nF = 57 nF C

GC2,3 G

+ C2,3

100 nF : 57 nF 100 nF + 57 nF

Q = C . U = 36 ,3 nF - 10 V Q = 363 nC = Q1 = 22,3

= 36 ,3 nF

U , - 21 - 363 nC = 3, 63 V G 100 nF 22, 3 – 363 nC = 6 , 37 V Up = 023 57 nF U = U1 + Up = 10 V

131

11.5 Kapazitive Kopplung von Stromkreisen

11.5 Kapazitive Kopplung von Stromkreisen

Kopplung ist definiert als Verbindungsart zweier Netzwerkteile. Man unterscheidet galvani sche, kapazitive und die noch später zu behandelnde induktive Kopplung. Eine galvanische Kopplung liegt vor, wenn Netzwerkteile gleichstrommäßig verbunden sind, z .B . durch einen ohmschen Widerstand Rk : Bei der kapazitiven Kopplung unterscheidet man beabsichtigte und unbeabsichtigte Verbin dungen von Netzwerkteilen durch eine Koppelkapazität Ck . Bei der beabsichtigten kapazitiven Kopplung wird die Koppelkapazität durch einen oder mehrere Kondensatoren realisiert. Bei unbeabsichtigten kapazitiven Kopplungen entsteht die Koppelkapazität durch den Aufbau von Leiteranordnungen mit der Schichtfolge Metall- Isolation -Metall . Die gemeinsame physikali sche Grundlage der beiden kapazitiven Kopplungsarten ist der sogenannte Influenzeffekt des elektrischen Feldes .

Influenz gebildet wird , einen Bringt man in ein elektrostatisches Feld , das von den Ladungen + Q , isoliert aufgestellten elektrischen Leiter, so werden auf dessen bewegliche Ladungsträger Kräf te ausgeübt. Diese Kräfte verschieben die freien Elektronen entgegen der Feldrichtung des äußeren elektrischen Feldes. Infolge dieser Ladungstrennung sammeln sich an der Oberfläche sog. influenzierte Ladungsträgerpaare - Qi, + Qi. Im Innern des elektrischen Leiters wird durch die beschriebene Ladungstrennung ein zweites elektrisches Feld erzeugt, das dem äußeren Feld entgegengerichtet ist. Die Ladungsverschiebung ist beendet, wenn das Leiterinnere wegen Ea + E ; = feldfrei geworden ist. Der Vorgang der Ladungsverschiebung in elektrischen Leitern unter dem Einfluss eines elektrostatischen (elektrischen ) Feldes wird Influenz genannt. ФА + Q

U

G

98

Ecl

Eil

elektr. Leiter +Q;

04

I

U2

=

2

Pc

Bild 11. 10 Zur Influenz a ) Aufladung eines elektrischen Leiters im elektrischen Feld b ) Ersatzschaltung für die räumliche Anordnung eines elektrischen Feldes

132

11 Elektrostatisches Feld

Man erkennt: Isoliert aufgestellte Leiter nehmen im elektrostatischen Feld das Potenzial des Feldes am betreffenden Ort an , d .h . sie führen gegenüber dem Bezugspunkt der Schaltung eine durch Influenz entstandene Spannung. In elektrotechnischer Betrachtungsweise führt man das Entstehen der beiden Spannungen U1 und U2 auf eine kapazitive Spannungsteilung zurück (s. Bild 11.10b )).

Abschirmung Bild 11. 11 zeigt einen Signalstromkreis , der sich in unmittelbarer Nähe einer Netzspannungs leitung befindet . Die Signalleitung wird durch die Influenz gestört. UNetz gegen Masse (1 ) y

F Ck =

R;

Bild 11. 11 Entstehung von Stör spannungen in einem Stromkreis durch Einfluss eines elektrischen Feldes.

Um sich den Störeinfluss schaltungsmäßig veranschaulichen zu können , ersetzt man gerne den physikalischen Vorgang der Influenz durch die Wirkung einer Koppelkapazität Ck . Nun er klärt man sich die Entstehung der Störspannung schaltungsmäßig damit, dass ein Wechsel strom I. über die Koppelkapazität Ck und die Parallelschaltung von Ra und R ¡ nach Masse abfließt und dabei die Störspannung UStör UStör = )

RaR; Ra + R ;

erzeugt. Umgibt man die Signalleitung mit einem metallischen Abschirmgeflecht, wie in Bild 11. 12 angedeutet, so findet der Vorgang der Influenz zwar immer noch statt , jedoch wird die Stör spannung in der mit Masse verbundenen Abschirmung influenziert. Der Innenraum bleibt feld frei und somit gegen Störeinstrahlung geschützt ( Prinzip des Faraday'schen Käfigs ). In der Ersatzbilddarstellung fließt der Wechselstrom I. über die Abschirmung nach Erde ab . UNetz gegen Masse ( 1)

Störfeldfreier Innenraum Bild 11. 12 -

- - -

Abschirmung elektrischer Felder

133

11.6 Energie des elektrostatischen Feldes

11 .6 Energie des elektrostatischen Feldes Beim

Aufladen eines Kondensators ist die vom Generator während der Zeit dt zu verrichtende

Arbeit dW : dW = uc . i. dt

dw =

mit uc = 9

und i =

dt

.9.da

fla) = 9

Bild 11 . 13 da

Dem

Zur Berechnung der Energie eines geladenen Kondensators

Arbeitsaufwand steht ein Vorrat an gespeicherter Energie gegenüber. Für die Energie des

Kondensators mit der elektrischen Ladung 2 gilt dann :

W

= = . ſq . dq

Zur Lösung des Integrals: Die in Bild 11. 13 dargestellte Funktion q = f (q ) ist bei gleichem Achsenmaßstab eine Gerade unter 45°. Die Fläche unter der Funktionskurve ist die Lösung des Integrals und kann ohne Flächenauszählmethode direkt berechnet werden :

Ja- dq =

Daraus folgt für die Energie W mit Q = C . Uc:

w =1

-19.Ue = {c.už

AS 1 Ws Einheit 1 V .v2=1Ws Einheit ( 45

(65 )

In Worten : Die in einem Kondensator gespeicherte Energie W ist gleich dem halben Wert des Produktes aus Kapazität und Spannungsquadrat. Dabei ist es gleichgültig , wie der Ladungs vorgang zeitlich verlaufen ist. Der Faktor 12 taucht immer dann in Formeln der Energie auf, wenn Wachstumsprozesse der Form y = a · x vorliegen , wie dies beim Spannen einer Feder ( F = k · s) oder eben beim Aufla den des Kondensators ( Q = C . U ) und später auch bei der Spule ( y = L : 1) der Fall ist. Immer lautet die Energieformel W = 12 a : x2 .

134

11 Elektrostatisches Feld

Beispiel Die Ausgangsspannung eines geregelten Netzgerätes sei 5 V bei einem maximal entnehmbaren Strom von 5 A . Der Regelmechanismus wirke so , dass bei jeder Belastung innerhalb der bezeichneten Grenzen die Ausgangsspannung auf U = 5 V = konst. gehalten wird . a) Wie müsste sich das Zuschalten des zweiten Verbrauchers (s. Bild 11.14 ) spannungsmäßig auswir ken , wenn der hier nicht näher beschriebene Regelmechanismus erst 1 ms nach Schließen des Schal ters S zur Geltung kommt, d .h . die Stromstärke auf den geforderten neuen Wert bringt ? Wie groß sind die Beträge von gespeicherter Ladungsmenge und Energie , wenn der Ausgang des Netzgerätes mit einem Kondensator der Kapazität 10 000 uF beschaltet wird ? c) Wie viel Prozent der gespeicherten Ladungs- und Energiemenge verliert der Kondensator vorüberge hend durch den Lastwechsel ?

Netz gerät

u

+

C 100004F

. Ry= 512

R2 = 2,512

Bild 11 . 14 Lösung: zu a )

Schalter S offen : U = 5 V TU = 5V = LA R 52

Schalter S schließt . Bedingt durch den angenommenen verzögerten Regeleinsatz bleibt für 1 ms: 1 = 1 A = konst. Es tritt ein kurzzeitiger Spannungseinbruch auf mit Rückgang auf den Wert 1 . Rj·R2 - 14 . 51 - 2, 5 12 = 1,67 V . U = lRi + R 512 + 2 ,512 Schalter S geschlossen : Eingriff des Reglers U = 5 V 3A ,678 = Pges - 1 zu b)

Qı = C · U = 10000 uF . 5 V = 50 m W = = C .U2= 210000 uF :(5 V)2 = 125 mWs

zu c )

Der Kondensator wirkt als schnell verfügbare Hilfsspannungsquelle ohne Innenwiderstand und liefert den kurzfristig erforderlichen Zusatzstrom : Ic = 3 A - 1A = 2 A AQ = 1. At = 2 A • 1 ms = 2 mC ( + 4 % Abnahme) ww - 1 . ; 1 . 2 C2 C

= 9,8 mWs ( € 7,84 % Abnahme)

11.7 Kräfte im

135

elektrostatischen Feld

11. 7 Kräfte im

elektrostatischen Feld

Kräfte auf freie Ladungen Als Lösungsmethodik zur Berechnung von Kräften wird die Aufstellung von Energiebilanzen verwendet. Ein Ladungsträger mit der Ladung Q durchlaufe in einem elektrischen Feld längs einer Feld linie mit der konstanten Feldstärke E die Potenzialdifferenz Ag vom höheren zum

niederen

Potenzial. Also verliert die Ladung Q potenzielle Energie AWel: AWel = Q . AQ Nach dem Energieerhaltungssatz muss die Energieabnahme zur gleichwertigen Verrichtung einer Arbeit verwendet worden sein , beispielsweise zur Beschleunigung der Masse m eines Ladungsträgers im elektrischen Feld einer Vakuumstrecke (s. Bild 11.15). mit ve = Endgeschwindigkeit AW mech =-= m (vě –vă ) In diesem

Vo = Anfangsgeschwindigkeit

Fall erhalten wir :

AW mech = AWI --m•(vą – vý) = Q: 44 Für den häufig vorkommenden Fall vo =

(Anfangsgeschwindigkeit) erhalten wir für die End geschwindigkeit ve der Ladung nach Durchlaufen der Potenzialdifferenz : Am về = Q . U

mit U = Ap

2. Q.U

(66 )

Vem

In Worten : Die Endgeschwindigkeit von Ladungsträgern , die sich in einer Vakuumstrecke bewegen , ist unabhängig von der Länge des Feldes und wird von der angelegten Spannung U bestimmt. Gl. (66 ) gilt nur unter der Einschränkung dass die Geschwindigkeit ve vernachläs sigbar gering gegenüber der Lichtgeschwindigkeit ist, da sonst die Masse m nicht mehr als konstant angesehen werden darf. Die zur Beschleunigung der Ladung Q erforderliche Kraft F im ke E erhält man aus dem Ansatz :

elektrischen Feld der Feldstär

AW mech = AWel F . As = Q · A4 F = 2.44 AS F = O : E

Einheit 1 As . 1 — m

= IN

(67)

136

11 Elektrostatisches Feld

Beispiel Wir berechnen die Kraft auf Elektronen und deren erreichte Endgeschwindigkeit, wenn sich diese im elektrischen Feld einer Vakuumstrecke (z . B . Oszilloskopröhre) unter dem Einfluss einer Spannung von 2000 V bewegen . Einfachheitshalber sei angenommen , dass Anode ( a ) und heiße Kathode (k ) parallel angeordnete ebene Platten mit dem Abstand 8 cm sind. Die Anfangsgeschwindigkeit der aus der Glühka thode emittierten Elektronen sei null. Für die Elektronen gelten folgende Konstanten : Elektronenmasse m =

,911 . 10 -30 kg. Elementarladung - e = 1,6 - 10 - 19 As

influenzierte Ladung

Kathode

Anode

Bild 11 . 15

Lösung: Die Elektronen werden mit der konstanten Kraft F entgegen der Feldrichtung beschleunigt: F = Q - E = - 1,6 -10 - 19 As: 2000 V - - 4 .10 -15 N ,08 m Endgeschwindigkeit

Ve

v

2. Q .U m

2-1,6 - 10 - 19 As:2000 V ,911 - 10 - 30 kg

km Ve = 26 505 S Als weiteres Beispiel für Kräfte auf freie Ladungen im elektrischen Feld kann die horizontale und vertikale Elektronenstrahlablenkung in Oszilloskopröhren betrachtet werden .

) feldfrei geradlinig(

G . Ve

Bild 11. 16 Elektrostatische Elektronenstrahl Ablenkung Die horizontale bzw . vertikale Strahlablenkung in einer Elektronenstrahlröhre geschieht durch Elektronenablenkung im elektrostatischen Feld zwischen zwei planparallelen Platten .

137

11. 7 Kräfte im elektrostatischen Feld

Elektronen treten mit der Geschwindigkeit ve in den Plattenzwischenraum während ihrer Durchlaufzeit t eine konstante Auslenkungskraft F F = Q.E

mit

Uy

d

ein und erfahren

= Ablenkspannung

und damit eine Geschwindigkeitskomponente Vp gegen die Feldrichtung. Der Elektronenstrahl wird ausgelenkt, s. Bild 11.16 . Beschleunigung a in Richtung zur positiv geladenen Platte: Uy Q

a - F _ E: Q m m

d m

Geschwindigkeit Vp : 'p = a:t mit 1= 5 Uy: Q .1 Vpdim . ve Winkel a : tan a = 'p Ve

Uy :2 :1 dºmºva

mit ve= 12:20:

( s. Gl.(66)

. Uyol tan a = 2 . . Für a < 10° gilt a = tan a : I a = - 2 .d

Uy u

(68 )

In Worten : Bei kleinen Ablenkwinkeln ist die elektrostatische Ablenkung proportional zur Ablenkspannung Uy und umgekehrt proportional zur Anlaufspannung U . Beispiel Das Rasterfeld des Bildschirms bei Oszilloskopröhren hat üblicherweise die Abmessung Höhe x Breite = 8 x 10 cm . Wie groß muss die Ablenkspannung U , (Vertikalablenkung) sein , um den Strahl an den oberen Bildrand zu bringen , wenn die Elektronen vor Eintritt in den Ablenkkondensator eine Anlauf spannung U = 2000 V durchlaufen haben und die Abmessungen s = 25 cm , d = ,5 cm , 1 = 4 cm gelten (s. Bild 11. 16 ) ? Lösung : Ablenkwinkel tan a =

,5 h s

4 cm 25 cm

Ablenkspannung: 2 . d . tana ,

= ,16

mit

h = Höhe

2 . ,5 cm - , 16 - . 2000 V = 80 V 4 cm

138

11 Elektrostatisches Feld

Kraft zwischen parallelen Flächen Bild 11. 17 zeigt ein Kondensator-Feder - System . Die linke Plattenseite sei fest, die rechte wer de von einer federnden Einspannung gehalten . Beim aufgeladenen Kondensator besteht zwischen den Kondensatorplatten eine Anziehungs kraft F , die von der federnden Aufhängung kompensiert wird , sodass ein Gleichgewicht herrscht. Diese Anziehungskraft F kann über die Energiebilanz berechnet werden . Um die Energiebilanz des Systems einfach zu gestalten , soll der aufgeladene Kondensator von der Spannungsquelle abgetrennt werden , sodass für ihn Q = konst. gilt.

Bild 11. 17 Zur Berechnung der Anzugskraft von Kondensatorplatten Wir nehmen nun eine Annäherung der Kondensatorplatten um den sehr kleinen Weg As an und berechnen die dazu an der Feder zu verrichtende mechanische Arbeit : AW mech = F . As Dabei kann wegen des sehr kleinen Federwegs die Federkraft F noch als konstant angesehen werden . Die mechanische Arbeit AW mech kann nur aufgrund einer gleichwertigen Energieab nahme AWel des elektrischen Feldes geleistet werden : AW e1 = W1 - W2 und W2:

Wir berechnen die Energiezustände W w .- 1. 0° W12 G

2

C2

1. 2

Q2 _ .d. ) & r . En : A

mit d

< dı

2 Er €0 A “ 2)

Wir bilden die Energiedifferenz:

awe .=2

&

OPz .(dh – da) AM Eo

AW1 = 1 . _ 9 ~ _ . Ar 2 Er . El · A

mit

Ar = di – d2

139

11. 7 Kräfte im elektrostatischen Feld

Die Energiebilanz liefert: AW mech = AWel Fras 2

. _ Q“ . Ar Er • E0A

F = = 2 . Er •E0

mit

As = Ar

(69a )

für Q = konst. A

In Worten : Die Gleichgewichtskraft F des Kondensator- Feder- Systems ist proportional zum Quadrat der gespeicherten Ladung und umgekehrt proportional zur Plattenquerschnitts fläche A sowie zur Dielektrizitätszahl & Die Richtung der Kraft bestimmt sich aus dem Wirkungsprinzip : Die Zunahme der mechanischen Arbeit wird aus der Abnahme der elektri schen Energie gewonnen ! Daraus folgt: Bei konstant gehaltener Ladung muss der Konden sator seine Kapazität vergrößern , da W = ,5 . Q4/ C ist. Daraus folgt: Eine Kapazitätsver größerung kann je nach konstruktiver Gegebenheit durch Abstandsverkleinerung, Flächen vergrößerung oder Erhöhung der Dielektrizitätszahl erreicht werden . Daraus folgt: Die Kraft kann je nach konstruktiver Gegebenheit eine Längs - oder Querbewegung verursachen .

Er1 a Er2

Abstands verringerung a)

Flächen vergrößerung

Dielelektrizitäts zahlerhöhung

b)

c)

Bild 11. 18 Die Kraftrichtung zielt auf eine Kapazitätszunahme

Ersetztman in Gl. (69a) die Ladungsmenge Q durch Q = U- C

mit C

ºr £0

4

so erhält man für die Kraft F bei konstant gehaltener Spannung U am Kondensator: F - Ep .En · A . 42 - 2 . d²

für U = konst.

(696 )

In Worten : Die Gleichgewichtskraft F des Kondensator-Feder -Systems ist proportional dem Quadrat der angelegten Spannung U . Diese Anziehungskraft führt ebenfalls zu einer Kapazi tätsvergrößerung. Das erfordert bei konstanter Spannung eine Ladungszunahme, d.h . es muss kurzzeitig Strom fließen , weil eine Zufuhr an elektrischer Energie aus der Quelle erfolgen muss.

140

11 Elektrostatisches Feld

11.8 Übungsaufgaben • Übung 11.1: Elektrische Grundgrößen des Kondensators a ) Ein Kondensator ist mit der Ladungsmenge ( aufgeladen und von der Stromversorgung abgetrennt, d .h . er habe offene Klemmen . In Bild 11. 19 wird gezeigt, wie sich die Kapazität C , Spannung U , Feldstärke E und Energie W des Kondensators verändern , wenn man seinen Plattenabstand verdop pelt bzw . verdreifacht. Versehen Sie die angegebenen Diagramm - Lösungen mit Begründungen . b ) Der Kondensator liege jetzt an konstanter Spannung U . Wie verändern sich nun die Kapazität C , Ladungsmenge 2 , Feldstärke E und Energie W des Kondensators bei den Plattenabstandsänderun gen ?

S

S

→

Bild 11. 19 Diagramme zu Aufgabe a )

A

Übung 11.2 : Kondensatorschaltung 1 Drei Kondensatoren mit gleicher Kapazität C sind wie in Bild 11 .20 dargestellt geschaltet. Die Kon densatorschaltung soll eine Gesamtkapazität von 68 nF näherungsweise nachbilden . Welchen Wert muss die Einzelkapazität C haben ? Bild 11 . 20

A Übung 11. 3: Kondensatorschaltung 2 Welche Kapazität hat der Kondensator C , in der in Bild 11.21 gezeigten Schaltung, wenn die Einzel kapazitäten die Werte C = 22 nF , C3 = 6 ,8 nF auf weisen und die Gesamtkapazität Cges = 24 ,2 nF be trägt ?

C2

sI Bild 11.21

C

141

11.8 Übungsaufgaben A

Übung 11.4 : Kapazität einer Metallplattenanordnung a ) Wie groß ist die Kapazität der in Bild 11 .22 gezeigten Plattenanordnung, wenn eine Plattenquerschnittsfläche 50 cm2 ist und die Plattenabstände dj = d2 = 1 mm be tragen ?

Luft

b ) Wie verändert sich die Kapazität der Plattenanordnung, wenn Metallplatte 2 asymmetrisch montiert wird : di = ,9 mm , d2 = 1 , 1 mm ? Bild 11 .22 A

Übung 11.5 : Kapazitive Füllstandsmessung Ein Plattenkondensator wird zur Füllstandsmessung ver wendet. Das flüssige Füllgut sei elektrisch nichtleitend und habe eine Dielektrizitätszahl & = 5 . Die parallelen metalli schen Messplatten haben die Abmessung: Länge 1 = 1 m , Breite b = 5 cm , Abstand d = 4 mm (Bild 11.23 ). a) Wie groß ist die Kapazität Co bei leerem Behälter? b ) Welcher Füllstand h liegt vor, wenn die Kapazität auf den Wert 2 Co gestiegen ist ? 2cm Fullgut

Bild 11.23 A Übung 11.6 : Kapazitive Dickenmessung Die Dicke einer Papierbahn soll im Herstellungsprozess kontinuierlich und berührungslos gemessen und das Mess ergebnis einer Regeleinrichtung zugeführt werden , die ggf. eine Nachstellung veranlasst. Bild 11. 24 zeigt das Prinzip der Messeinrichtung: Zwei planparallele Metallplatten der Breite b = 1,5 m und Länge 1 = 10 cm haben einen Abstand d = 1 mm .

Papier x = ,45 mm & = 2 ,2

Welche Kapazität C müsste gemessen werden , wenn das Papier 45 / 100 mm dick sein soll ? Die Dielekrtrizitätszahl des Papiers sei & = 2 ,2 . Bild 11. 24 • Übung 11.7 : Leitungskapazität Wie groß ist die Kapazität einer Paralleldrahtleitung je 1 m Leitungslänge, wenn die in Bild 11 . 25 angegebenen Abmes sungen gelten ? a = 7 mm Er = 2,5 ro - ,5 mm

Lösungshinweis : Verwenden Sie die in Kapitel 11 .3 angegebene Lösungsme thodik zur Aufstellung der Kapazitätsformel. Beachten Sie dabei, dass sich die örtliche Gesamtfeldstärke E aus den Einzelfeldstärken E1 ( von Ladung + Q1) und E2 (von La dung - Q2) zusammengesetzt. Berechnen Sie die Spannung Uc zwischen den beiden Leitern entlang der mittleren ge radlinigen Feldlinie , weil dort die vektorielle Addition der Einzelfeldstärken in eine algebraische Addition übergeht. Bild 11. 25

142

A

11 Elektrostatisches Feld

Übung 11.8 : Ladungsausgleich Zwei geladene Kondensatoren C1 = 10 uF , U1 = 40 V und C = 50 uF, U = 10 V werden durch Betätigung von Schal ter S parallel geschaltet. a ) Berechnen Sie die Spannung U an der Ersatzkapazität über den Ansatz ( = konstant.

(1

101

b ) Berechnen Sie die Gesamtenergie vor und nach dem Schließen des Schalters und deuten Sie das Ergebnis . Bild 11 .26 A

Übung 11.9 : Funkenlöschung Ein Relais liegt bei geschlossenem Schalter S an 12 V Gleichspannung und habe dabei eine magnetische Energie von Wmagn = ,25 mWs gespeichert. Beim Öffnen des Schalters S würde sich über dem Kontakt ein Lichtbogen bilden , um zu erzwingen , dass sich die mag netische Energie des Relais durch einen Stromfluss entladen kann . Der Funkenlöschkondensator C = , 1 uF verhindert die Lichtbogenbildung, indem er die Energie des Relais aufnimmt. Dabei lädt er sich kurzfristig auf einen Span nungswert ucmax auf, um danach oszillierend abklingend den konstanten Wert 12 V anzunehmen . Berechnen Sie die Spannungsspitze uc max aus dem gieaustauschvorgang .

Relais

- 7s

uc

Ener Bild 11 .27

A

Übung 11. 10 : Kräfte im elektrischen Feld Mit welcher Kraft F wird die bewegliche Kondensatorplatte gegen die Federkraft bei einer konstanten Vorspannung U angezogen ?

Feder

Daten : Fläche A = 16 dm² je Platte, Kapazität C = 200 pF , Dielektrikum Luft, Spannung U = 10 kV Bild 11.28 A

Übung 11. 11: Durchführungskapazität und Feldstärke Bild 11.29 zeigt eine Leitungsdurchführung durch eine ge erdete Metallwand: Es besteht eine Potenzialdifferenz zwi schen Leiter und Erde (Masse) von 1 kV . Reicht die Isolationsfähigkeit der Luft mit einer Durch schlagsfestigkeit von 2 , 1 kV /mm aus, wenn als Leitungs durchmesser 2 . r ; = 2 mm und als Lochdurchmesser 2 . r = 6 mm angenommen werden ?

elektrischer Leiter 1 kV

2 mm Bild 11 .29

Metall wand

16mm

143

12 Ladungsvorgänge bei Kondensatoren

Der zeitliche Verlauf der Kondensatoraufladung ist abhängig von der Speisungsart. Es stehen Konstantstromquellen mit einstellbarer Stromstärke und Konstantspannungsquellen mit wähl barer Konstantspannung zur Verfügung. Bei Speisung mit Konstantspannungsquellen muss zur Strombegrenzung ein Vorwiderstand verwendet werden .

12 . 1 Aufladung des Kondensators mit konstantem

Strom

Ein Kondensator, dessen Dielektrikum die elektrische Leitfähigkeit null besitzen soll, werde über den Schalter S an eine Gleichstromquelle gelegt und mit einem konstanten Strom geladen (Bild 12 . 1). 1

o

I = 1mA

DR

S

UC 100F och trong

ho

1

2

3

5 4

Bild 12 .1 Ladung eines Kondensators mit konstantem Strom a ) Schaltung mit Konstantstromquelle b ) zeitlicher Verlauf der Aufladung nach dem Schließen des Schalters

Der Ladestrom Ic = 1, transportiert in der Zeit At die Ladungsmenge AQ: AQ = Ic . At Der Kondensator wird um die Spannung AUC aufgeladen : AUC = AQ Man erkennt, dass die Kondensatorspannung gleichmäßig mit der Ladezeit ansteigt und spricht von einem linearen Spannungsanstieg am Kondensator: AUC = 10 . At

(70 )

In Worten : Bei Konstantstromaufladung ergibt sich ein zeitproportionaler Anstieg der Kon densatorspannung, deren Anstiegsgeschwindigkeit AU /At umgekehrt proportional zur Kapa zität C ist. Ein solcher Ladungsvorgang wird z .B . bei der Erzeugung sägezahnförmiger Span nungen in der Elektronik angewendet,

144

12 Ladungsvorgänge bei Kondensatoren

Nach dem Unterbrechen des Ladestromes führt der ideale Kondensator an seinen Klemmen eine Gleichspannung, die gleich der zuvor erreichten Ladespannung ist. Die von der Stromquelle während der Aufladung an den Kondensator abgegebene Energie wird in seinem elektrischen Feld gespeichert.

12 . 2 Kondensatoraufladung über Vorwiderstand an konstanter Spannung In diesem Betriebsfall ist die Stromstärke nicht durch eine Stromquelle fest vorgegeben , son dern eine abhängige Variable . Welches Stromstärkegesetz gilt für den Kondensator ? Der Momentanwert des Stromes errechnet sich gemäß Gl. (7 ) allgemein aus der Beziehung : i= dq dt Die in den Zuleitungen zu einem Kondensator fließende Ladungsmenge ist: dg = C . duc Der Momentanwert des Lade - oder Entladestromes des Kondensators berechnet sich deshalb aus : duc ic = c. dilçe dt

Einheit 14 1 — = 1A V . Y Einheit 1 4s S = 12

(71)

In Worten : Der Kondensatorstrom ist proportional zur Kapazität und zur Änderungsgeschwin digkeit der Kondensatorspannung. In den Zuleitungen zum Kondensator fließt nur solange ein Strom , wie sich die Kondensatorspannung ändert. Bei Gleichspannung am Kondensator ist duc/dt =

, also ist auch der Strom ic =

!).

Würde man also einen Kondensator über einen Schalter schlagartig an eine feste Gleichspan nung anschließen , so müsste die Anfangsstromstärke wegen der steilen Spannungsflanke einen sehr großen Wert annehmen . Kondensatoren werden deshalb entweder mit einem konstanten Ladestrom oder über einen Vorwiderstand an konstanter Spannung geladen (Bild 12 .2 ). Die Grenzwerte für den Ladestrom ic und die Ladespannung uc können durch folgende einfa che Ü berlegung bereits ermittelt werden : R ; -

Olva

R

ut

I 4 - OV

ic

Pc

Bild 12 .2 Aufladung eines Kondensators über einen Widerstand bei konstanter Generatorspannung: RC -Glied

1) Bei einem technischen Kondensator fließt auch nach der Aufladung ein Verluststrom , da das Dielektrikum des Kondensators eine geringe elektrische Leitfähigkeit besitzt.

12 .2 Kondensatoraufladung über Vorwiderstand an konstanter Spannung

Vor dem tor:

145

Schließen von Schalter S in Bild 12.2 gilt für den vollständig entladenen Kondensa

uc = ic = Für den ersten Moment des geschlossenen Stromkreises muss gelten uc =

,

da sich die Kondensatorspannung nicht sprunghaft , sondern nur allmählich durch Auf- oder Entladung ändern kann . Die Anfangsstromstärke ist also : U

PC ic = PU OR Infolge der beim

R

mit Pc =

Einschalten entstehenden plötzlichen Potenzialänderung am Widerstand fließt

ein Strom mit dem Anfangswert U /R . Nach erfolgter Aufladung gilt bei noch immer geschlossenem Stromkreis uc = U in

Pu – PC = R

da pc = ou geworden ist. Die Aufladung ist bei Erreichen der Stromstärke null beendet. Es soll nun das typische Ü bergangsverhalten des Energiespeichers Kondensator bei Aufladung über einen Vorwiderstand untersucht werden . Das Ohm 'sche Gesetz für den Stromkreis gemäß Bild 12.2 lautet: ic = U - uc R Die Anfangsstromstärke beträgt:

Dem Kondensator wird in der kleinen Zeit At eine Ladungsmenge AQo zugeführt: AQo = io . At Die Spannung am Kondensator steigt auf: AU . - AQ, C

UN - . At RC 41

Die Spannung am Widerstand ist dann: Ur = U – AU = U CRC .( 1Die neue Stromstärke, mit welcher der Kondensator weiter aufgeladen wird , ist kleiner. Die Berechnungsschritte wiederholen sich . Fasstman n derartige Vorgänge zusammen, so ist die Spannung am Widerstand:

146

12 Ladungsvorgänge bei Kondensatoren

Dieser Ausdruck kann umgeformt werden . Der kleine Zeitabschnitt At errechnet sich aus der gesamten Ladezeit t dividiert durch die Anzahl n der Ladungsschritte . Mit

Av=

Up = Setzt man n =

wird

(1-m.k.c) m .t

, dann wird :

S Uk =W.( 4+4) Žie oder auch Un=v. (+4) Bei Verwendung des Taschenrechners ist es möglich , den Ausdruck (1 + 1/m ) zu untersuchen und herauszufinden , dass = 2,718... = e

bei m

→

wird. Damit lässt sich für die Spannung am Widerstand schreiben : UR = U . e R .C Das Produkt R : C

eine berechenbare Stromkreiskonstante mit einer Zeiteinheit und wird

Zeitkonstante e des RC -Gliedes genannt: T = RC

- . . V AS Einheit 1 - : 1 — = ls SV

Mit R . C = t wird die Spannung am

Widerstand R :

UR = U . et Für den Strom erhält man mit dem Ohm 'schen Gesetz :

Die Kondensatorspannung ist dann uc = U - UR :

uc = U

1 - et

(74 )

In Worten : Die Ladungsmenge q = Ciuc und die Spannung uc steigen bis zum Erreichen ihrer Endwerte nach einer e - Funktion, während der Strom , von seinem Anfangswert ausge hend , nach einer e -Funktion bis auf null abnimmt. Die Zeitkonstante t gibt jene Zeit an , die der Kondensator benötigt, um sich auf 63,2 % der angelegten Spannung aufzuladen . Nach Ablauf einer Ladezeit von fünf Zeitkonstanten (51) erreicht der Kondensator die nahezu vollständige Aufladung.

12. 2 Kondensatoraufladung über Vorwiderstand an konstanter Spannung

147

Beispiel Ein Kondensatormit der Kapazität 5 uF wird über einen Vorwiderstand von 100 k22 an eine Gleichspan nung 100 V gelegt. Wie groß sind Ladestromstärke und Ladespannung des anfänglich ungeladenen Kon densators 1 s nach Beginn der Aufladung ? Lösung: Zeitkonstante : T = RC= 100 k12 . 5 uF = ,5 s Momentanwert der Ladespannung : uc = U1- et = 100 V1 - e * =

,35

--*-sove on

= 86 ,46 V cov

Momentanwert des Ladestromstärke : - ica

.

100 V

+ = 100 k12

.e

-

Is ,5s =

, 1354 mA

Kontrolle über Ohm 'sches Gesetz : ic = IR =

U - uc 100 V - 86 , 46 V - = - = ,1354 mA R 100 k 2

Die Aufladung des Kondensators im RC- Glied kann auch grafisch dargestellt werden : Würde der Kondensator mit einer Stromstärke, die gleich der Anfangsstromstärke ist, bis auf die Ladung

aufgeladen werden , dann wäre der Vorgang nach Ablauf der Zeit t = R . C ab

geschlossen . Die Tangente Tj zeigt im

Bild 12.3 diesen Verlauf. Da sich die Stromstärke je

doch laufend vermindert, wird eine Aufladung mit zeitabschnittweise konstanten aber immer kleiner werdenden Strömen angenommen , sodass die weitere Aufladung entlang der Tangen ten T2, T3, T4 usw . erfolgt.

-9

Bild 12 . 3 Die Hülltangentenkonstruktion ergibt den angenäherten zeitlichen Verlauf der Kondensatorauf ladung nach der e- Funktion . Während des zweiten Zeitabschnitts (2 . Kästchen ) fließt ein konstanter Ladestrom I = ( Q - 9 / t. Die Ladung q steigt zeitproportional entlang der Tangente T2. Beispiel Ein Kondensator mit der Kapazität C = 5 uF wird über einen Vorwiderstand R = 20 k 2 an eine Gleich spannung U = 100 V gelegt. Wir berechnen den zeitlichen Verlauf der Aufladung für die Ladungsmenge g , den Ladestrom ic , die Ladespannung uc , den Spannungsabfall am Vorwiderstand up und die Leistung Pic in einer Tabelle und stellen die Ergebnisse zeichnerisch dar.

148

12 Ladungsvorgänge bei Kondensatoren

Lösung : Tabelle zu Bild 12.4 e

q = 21 - et

O ,5 ,75 1 1 ,5

t t t t t

Ο μας 197 uAs 264 uAs 316 uAs 388 uAs 432 uAs 475 uAs - 500 uAs

= ,1 s = , 15 s = , 175 s = ,2 s = , 25 s

2 t = ,3 s 3 t = ,4 s 5 t = ,6 s 1

500 LLAS

5 3 ,03 2 ,37 1, 85 1 , 11 ,678 ,25

7

Uc =U1- e

mA mA mA mA mA mA mA mA

39, 4 52, 8 63,2 77, 7 86 ,4 95 100

?

Pic = Ucic

V V V V V V V V

119

mW mW

125 117 86 ,2 58 ,6 23 ,8 20

mW mW mW mW mW mW

Bild 12.4 Aufladung eines Kondensators im RC -Glied a ) q = f(t) Aus der Steigung der Ladungsmengenfunktion lässt sich berechnen. Für 1 = der Momentanstrom ic = dq dt ic = O

100 T

,1

,2

,3

,4

,5 s ,6

250 As ,4 s

,3 s:

625 mA

Zeitkonstante :

5

V T = R . C = 20 . 103

b ) of

,1

,2

,3

,4

, 55 ,6

.5 . 10 -6 AS = ,1 s

b ) ic = f (t) und ur = f ( ) Der Spannungsabfall am Widerstand hat den gleichen zeit lichen Verlauf wie der Strom , da ur = ic . R . Für t = , 3 s: UR = ,625 mA . 20 k22 = 12, 5 V

c ) uc = f (t) Aus der Steigung der Spannungsfunktion lässt sich der Momentanstrom berechnen , ic = C . - C . Für t = ,3 s:

°

,1

O

,1

,2

,2

,3

,3

,4

,4

,55 ,6

,55 ,6

30 V- = ic = 5 . 10 -6 AS V ,4 s

,625 mA

d ) Pic = f (t) Ermittlung der Energie des geladenen Kondensators durch Auszählen der Flächeneinheiten unter Pic = f (t) : 1 = ,65 10 mW . ,05 s W = [Pic dt = 47 FE : FE 1= , 1s W = 23 , 5 mWs Rechnerisch : As W = 5 . 10 -6 AS (100 V) 2 = 25mWs

149

12 . 3 Entladung des Kondensators über einen Widerstand

12.3 Entladung des Kondensators über einen Widerstand Der mit der Elektrizitätsmenge Q geladene Kondensator ist ein aktiver Zweipol. Er wird mit einem Widerstand belastet und dadurch entladen ( Bild 12 .5 ): ic = C . duc dt

chuc Bild 12 .5 Kondensator-Entladung Die Richtungszuordnung von Kondensatorspannung und Strom ergibt sich aus einer Energie betrachtung: Beim Aufladen entnimmt der Kondensator Energie aus dem Stromkreis und ver hält sich in dieser Zeitspanne ebenso wie ein Widerstand. Beim Laden haben Kondensator spannung und Kondensatorstrom denselben Richtungssinn . Beim Entladen wird das elektri sche Feld des Kondensators abgebaut und damit Energie frei. In dieser Zeitspanne verhält sich der Kondensator wie eine Spannungsquelle : Kondensatorspannung und Kondensatorstrom sind entgegengesetzt gerichtet (Bild 12 .6 ).

Uc

+

URIR - U

UC

Bild 12 .6 Richtungszuordnung von Spannung und Strom a) beim Laden eines Kondensators, b ) beim Entladen eines Kondensators

Wie soll nun die Stromrichtung eines Kondensators eingezeichnet werden , wenn sowohl Auf und Entladungsvorgänge stattfinden ? Man zeichnet nicht physikalisch richtige Richtungspfei le, sondern Zählpfeile, wie in Bild 12 .9 dargestellt. Die unterschiedlichen Stromrichtungen ergeben sich aus den Vorzeichen der Rechenergebnisse : Negatives Vorzeichen heißt, dass die physikalische Stromrichtung entgegengesetzt der angenommenen Zählpfeilrichtung ist . Aufladung .

Entladung

C

+

lus mit Charme so Spannungs zunahme

Bild 12. 7 Aufladung des Kondensators : Tatsächliche Stromrichtung ist gleich der im Bild eingetragenen Zählpfeilrichtung

tatsächliche Stromrichtung duc ucmidt co Spannungs abnahme

Bild 12 .8 Entladung des Kondensators : Tatsächliche Stromrichtung ist entgegen der im Bild eingetragenen Zählpfeilrichtung

150

12 Ladungsvorgänge bei Kondensatoren

Beispiel Mit einem

Zahlenbeispiel soll der Zusammenhang zwischen Stromzählpfeilrichtung und tatsächlicher Stromrichtung beim Lade- und Entladevorgang des Kondensators verdeutlicht werden .

ucotc

Bild 12 . 9 Am Kondensator C = 1 uF wurden folgende Momentanwerte festgestellt. Die Spannungsänderung ver läuft im betrachteten Zeitraum näherungsweise gleichmäßig : Aufladung: 11 = 5 ms t2 = 6 ms

Entladung: t1 = 5 ms t2 = 6 ms

uci = 20 V uc2 = 21 V

= c .u2 –u1 iç = C. | duc dt 12 - 11 21 V - 20 V ic = 1 . 10 -6F . = - = + 1 mA 6 ms - 5 ms Vorzeichen ,,+" Stromrichtung gleich Zählpfeilrichtung

uci = 10 V uc2 = 9 V

ic = C . duc = c . U2 - u1 12 - 41 - 10 V 9V . ic = 1. 10-6F 6 ms - 5 ms = - 1mA Vorzeichen , - “ Stromrichtung gegen Zählpfeilrichtung

Bei der Entladung eines Kondensators über einen Widerstand gemäß Bild 12 . 10 nehmen die Ladungsmenge , Spannung und Stromstärke nach einer e-Funktion ab . Die Momentanwertgleichung für die Ladungsmenge lautet deshalb : 7 | 9 = Que

( 75 )

Für den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung gilt: uc = Uco

e

(76 )

Der Entladestrom des Kondensators ist dann : ic =- _ Uco .e . R

(77)

Hierin bedeutet Uco die Anfangsspannung des Kondensators, die er vor Beginn der Entladung hatte. Die Richtung des Entladestromes ist entgegengesetzt der in Bild 12 .9 angegebenen Zähl pfeilrichtung , daher erscheint ein Minuszeichen in der Formel. Beispiel Ein Kondensator ist nach einer Entladezeit von t = 5 t über einen Widerstand praktisch entladen . Wie groß ist die prozentuale Restspannung eines Kondensators nach einer Entladezeit von 1 = 5 T ? Lösung : 50 uc = Uco e T = Uco et UC = 6,74 . 10-3 . Uco – ,674 % von Uco, d.h. < 1 % von der Anfangsspannung

12 . 3 Entladung des Kondensators über einen Widerstand

151

Beispiel Ein Kondensator C = 5 uF wird über einen Widerstand R = 20 k2 entladen. Der Kondensator war zuvor auf Uco = 100 V aufgeladen worden (s. Bild 12 .10 ). Es sind die zeitlichen Verläufe der Entladung für die Ladungsmenge q , den Strom ic , die Kondensator spannung uc, den Spannungsabfall ur am Widerstand und die Leistung Ptc in einer Tabelle zu errechnen und dann zeichnerisch darzustellen .

500 UAS 9 400

Bild 12 . 10 Entladung des Kondensators über einen Widerstand

300

a) q = f (t) Die gleiche Ladungsmenge, die bei der Aufladung auf genommen wurde, wird bei der Entladung abgegeben .

200

7

,2

,3

,4

,55 ,6

11

,2

,3

,4

,5 s ,6 b ) ic = f (1) Die Entladestromrichtung ist der Ladestromrichtung ent gegengesetzt ( Bild 12 .4b ). Der Spannungsabfall am Wi derstand R hat den gleichen zeitlichen Verlauf wie der Entladestrom , da ur = ic . Rist.

+

1 - 100 1

-5

c ) uc = f (t) Der zweite Kirchhoffsche Satz un = ist für jeden Zeitaugenblick erfüllt, da ur den zu uc entgegengerich teten Verlauf hat.

5

,1

,2

,3

,4

055 ,6

O

,1

,2

,3

,4

,55 ,6

- 1001 - 2001 - 300 -400 PIC

- 5oof mW - 6004

d ) Ptc = f (t) Errechnung der Energieabgabe des Kondensators an den Widerstand R durch Auszählen der Flächenelemente : t= ,65 mW . ,05 s- = .25 ,6 mWs | Pic dt = 10.5 FE . 50 W = FE 1 = ,1s Rechnerisch : W = = C . Uco = 25 mWs

152

12 Ladungsvorgänge bei Kondensatoren

Lösung : Zeitkonstante : T =R C = 20 k 2 . 5 uF = , 1 s Zeitliche Verläufe der gesuchten Größen gemäß Tabellenrechnung: Tabelle zu Bild 12. 10

q = Q .e ? =

,1 s

,5 t = , 15 s ,75 t = , 175 s 11 = ,2 s 1,5 t = , 25 s 2 1 = ,3 s 3 1 = ,4 s 51 = ,6 s

ic = -

500 uAs 303uAs 237 uAs 185 As 111uAs

-

67,8 uAs 25uAs 20 UAS

co R

5 3 ,03 2 ,37 1, 85 1,11 ,678 ,25

uc = Uco et

mA mA mA mA mA mA mA mA

+ 100 ++ 60 ,6 ++ 47, 2 + 36 , 8

V V V V

+ 22 ,2 + 13,6 + 5 u

V V V V

Pic = uc 500 183 112 68 24 ,6 9 ,2 1 ,25 20

ic

mW mW mW mW mW mW mW mW

Beispiel In 1. 2. 3.

der gegebenen Schaltung sei der Schalter S geöffnet und der Kondensator aufgeladen . Welchen zeitlichen Verlauf nehmen die Potenziale Qi und beim Schließen des Schalters ? Nach welcher Zeit ist der Kondensator praktisch entladen ? Nach welcher Zeit ist der Entladestrom auf 60 mA abgesunken ? U is HF Ry = 90052 C = , 14 F

42

VA + 10V R1 10092 pose

U = 10V U=10V

of -1011 Bild 12 . 11

a) Lösung :

1 . Der Kondensator C sei vollständig aufgeladen . Damit ist der Ladestrom ic = , also keine Span nungsabfälle an den beiden Widerständen . Potenziale di = + 10 V , = V . Beim Schließen des Schalters wird das Potenzial schlagartig auf V gelegt. Da der Kondensator in diesem Augenblick noch die volle Ladespannung von 10 V führt, muss das Potenzial p2 auf den Wert - 10 V springen . Der Kondensator entlädt sich nun über den 100 92 -Widerstand . 2 . Der Kondensator ist nach einer Zeit von ca . fünf Zeitkonstanten praktisch entladen . Die Entladung erfolgt nur über den Widerstand Ri: 6 As t = 5 t = 5 · 100 – 1 . 10 t = 50 us 3.

iç= - Uco R .e = t . In

=

10v '.e - 60 mA = - 1000

100 = 10 us . ,513 = 5 , 13 us 60

1

153

12 .4 Übungsaufgaben

12 .4 Übungsaufgaben A

Übung 12. 1: Kondensatoraufladung in RC Schaltung In der nebenstehenden Schaltung sei der Schalter bis zum Zeitpunkt ti geschlossen und der Kon densator vollständig entladen .

Ry = 90012

C = ,14F

10 V

10012

Welchen zeitlichen Verlauf nehmen die Potenziale 01 und P2, wenn der Schalter geöffnet wird ? Bild 12. 12 A

•

Übung 12 .2 : Entladung des Kondensators a ) Zeichnen Sie = f (t), p = f (t), uc = f (t), URI = f (t) für die in Bild 12. 13 gegebene Schaltung und für den Fall, dass Schalter S schließt und C zuvor vollständig aufgeladen ist. b ) Nach welcher Zeit ist der Kondensator prak tisch entladen , wenn Ri = 10 KS2 ist ? c ) Wann ist der Entladestrom auf ic = ,25 mA abgesunken ?

Übung 12 . 3 : Umladung mit Konstantstrom

R2 = 542

6

[= 22nF

6

URI

Bild 12.13 +10v +

Bild 12. 14 zeigt den Spannungsverlauf an einem Kondensator C = , 1 uF . a ) Welche Aussagen kann man über den Lade strom machen ? b ) Berechnen Sie den Ladestrom . c ) Entwerfen Sie ein Schaltungsprinzip .

10

2

4

6ms

- 10 V + Bild 12. 14

Übung 12 .4 : Konstantstromaufladung Ein Kondensator mit der Kapazität 2 uF wird durch eine Stromquelle 20 s lang mit der Strom uc

stärke 1, = 8 uA aufgeladen . Ermitteln Sie die zeitlichen Verläufe der Ladung a = f (t), Spannung uc = f (t) und Energie W = f (t).

A

Bild 12. 15

Übung 112 .5 : e - Funktion Nach welcher Zeit t ist ein Kondensator 10 uF über einen Widerstand 47 k2 auf den halben Wert der angelegten Spannung aufgeladen , wenn der Kondensator anfänglich ungeladen ist?

•

Übung 12.6 : Gegenüberstellung Widerstand - Kondensator Welche wesentlichen Unterschiede weisen die beiden Zweipole Widerstand und Kondensator in ihrem Strom -Spannungs -Verhalten und bei der Energieaufnahme auf?

154

13 Magnetisches Feld

Es ist bisher unerwähnt geblieben , dass bewegte elektrische Ladungen - also Ströme - magne tische Felder in ihrer Umgebung aufweisen . Magnetische Felder sind wegen ihrer Kraft- und Induktionswirkung technisch bedeutungsvoll.

13 .1 Magnetfeld des stromdurchflossenen Leiters Als Beschreibungsgrundlage für die Eigenschaften des magnetischen Feldes werden zunächst einige Feldbilder vorgestellt. Das von einem

stromdurchflossenen Leiter erzeugte Magnetfeld wird durch beweglich gela

gerte kleineMagnetnadeln nachgewiesen , die sich unter dem Einfluss des magnetischen Feldes ausrichten , d.h . eine Kraftwirkung erfahren . Die Magnetnadeln lassen die Richtungsstruktur des magnetischen Feldes erkennen . Stärke und Richtung der Magnetfelder werden durch Feld linienbilder veranschaulicht. Die magnetischen Feldlinien sind - wenn auch nicht immer so gezeichnet - grundsätzlich geschlossene Linien ohne Anfang und Ende. Die einfachste Form eines vom Strom erzeugten magnetischen Feldes bildet sich bei einem geradlinigen Leiter aus, bei dem die Feldlinien in Form konzentrischer Kreise den Leiter um schlingen . Die Zuordnung von Feld - und Stromrichtung ist durch die sog. Rechtsschraubenregel festge legt: Dreht man eine Rechtsschraube in Richtung des Magnetfeldes, dann bewegt sich diese in Richtung des Stromes (technische Stromrichtung). Dabei bedeutet „ X“ -Symbolik Strom - oder

x

x x

x

x

x

b)

x

x

x

x

x

x

x

x

Bild 13. 1 Feldlinien des magnetischen Feldes a ) Konzentrisch verlaufende Feldlinien um einen stromdurchflossenen Leiter , Stromrichtung in die Zeichenebene gerichtet b ) Wie bei a ), jedoch Stromrichtung aus der Zeichenebene herauszeigend c ) Homogenes magnetisches Feld , Feldlinien in zwei Ansichten dargestellt

155

13 . 2 Induktivität

Feldrichtung in die Zeichenebene hinein und „ “ -Symbolik Strom - oder Feldrichtung aus der Zeichenebene heraus (s. Bild 13 . 1). Da sich das magnetische Feld in jeder Art von Materie und in Vakuum ausbreiten kann, be steht auch innerhalb stromdurchflossener Leiter ein magnetisches Feld , dessen Feldlinien in Bild 13. 1 aus zeichentechnischen Gründen jedoch nicht dargestellt sind. Die Beeinflussung der Magnetnadel stellt man sich jedoch nicht direkt durch den Strom verur sacht vor, sondern man fügt einen sog . magnetischen Fluss tischen Erscheinungen in die Ursachen -Wirkungskette ein : Strom

1 → Magnetfluss

als Repräsentanten aller magne

→ Kraft aufMagnetnadel

Der magnetische Fluss vertritt die Gesamtheit aller Feldlinien und ist somit eine Globalgröße des magnetischen Feldes. Da magnetische Feldlinien geschlossene Linien sind , durchsetzt der magnetische Fluss in gleicher Stärke alle Abschnitte eines Magnetfeldes, unabhängig von Material und Querschnittsflächen .

Magnetischer Fluss o

Einheit 1 V . 1 s = 1 Wb (Weber )

Die Einheit des magnetischen Flusses ist aus der Induktionswirkung des magnetischen Feldes abgeleitet und wird erst mit dem Induktionsgesetz (G1.98 ) verständlich .

13 . 2 Induktivität Die Induktivität ist eine Bauelementeigenschaft besonders von Spulen , aber auch von Leitun gen oder ganz allgemein von Leiterordnungen , bei denen der vom Strom selbst erzeugte mag netische Fluss mit der Leiteranordnung verkettet ist. Die Induktivität einer Spule gibt das interessierende Verhältnis von dem mit der Windungszahl N vervielfachten magnetischen Fluss Ø und dem ihn erzeugenden elektrischen Strom I an :

N . o

Einheit VS = 1 H (Henry) Einhell 1A 1 mH = 10 -3 H

1 nH = 10-9H

1 AH = 10-6 H

1 pH = 10 -12 H

(78)

Da jeder elektrische Strom von einem Magnetfeld umgeben ist, müsste demnach jeder elektri sche Leiter eine Induktivität haben . Die Leiteranordnung kann jedoch konstruktiv so gestaltet werden , dass sich das resultierende Eigenfeld des Stromes verstärkt bzw . schwächt. Bei einer einfach gewickelten Spule erhält man eine Verstärkung des magnetischen Flusses, während sich bei einer bifilar gewickelten Spule eine Schwächung des Magnetfeldes einstellt . Bild 13.2 zeigt in einer Gegenüberstellung die induktivitätsbehaftete (normale ) Spule und die induktivi tätsarme (bifilare ) Spule. Zur Bedeutung der Induktivität eines Bauelements kann hier nur im Vorgriff auf nachfolgende Kapitel ausgesagt werden , dass sie bei einer Spule die Fähigkeit zur Erzeugung von Selbstin duktionsspannungen und bei einem Elektromagneten die Stärke der Kraftwirkung beeinflusst.

156

13 Magnetisches Feld

Die einfach gewickelte Spule hat eine In duktivität L , da die Leiteranordnung mit dem vom Strom I erzeugten magnetischen Fluss Ø verkettet ist.

Die bifilar gewickelte Spule hat im Idealfall keine Induktivität L , da sich bei dieser vom Strom 1 durchflossenen Leiteranordnung das magnetische Feld aufhebt.

1a0aosa ES

SE

ooo1

)

1966ol

Bild 13.2 Zum Begriff der Induktivität, Feldbilder stromdurchflossener Spulen Bild 13.2 zeigt, dass eine dichtgewickelte Zylinderspule die Magnetfeldform eines stabförmi gen Dauermagneten hat. Die stromdurchflossene Zylinderspule hat ebenso wie der Dauermag net magnetische Pole . Man definiert als Nordpol diejenige Stelle , an der die Feldlinien aus dem Spuleninneren heraustreten . Die Feldlinieneintrittsstelle wird dem gemäß als Südpol bezeich net. Man findet den Nordpol einer Spule am einfachsten durch Anwendung der sog. Rechte Hand-Regel: Umschließen die Finger der rechten Hand die Spule in Stromrichtung (= Fließrichtung der positiven Ladungsträger ), so zeigt der Daumen die Richtung des magnetischen Feldes an .

13 . 3 Induktivitätsberechnung Die Induktivität einer Leiteranordnung (Kabel, Spule etc.) ist durch Definition eingeführt wor den : o I - N . Es fehlt noch die Aussage, von welchen Einflussgrößen die Induktivität L abhängig ist, d.h . man will auch wissen , durch welche Maßnahmen die Induktivität einer Leiteranordnung ggf. verändert werden kann . Der Berechnungsgang folgt nachstehender Lösungsmethodik : Annahme

Magnetische Induktion

eines Stromes

Induktivität

B = Mp : MOH Schritt

1 .

. 2

Schritt H

=

Magnetische Feldstärke

L = N;9

3 .

Schritt . 4

Schritt Q = [B . dA A

Magnetischer Fluss

..

157

13. 3 Induktivitätsberechnung

1. Schritt : Magnetische Feldstärke H Zur Kennzeichnung der Intensität eines Magnetfeldes am beliebigen Ort P führt man die mag netische Feldstärke H ein . Erfahrungsgemäß besteht der in Bild 13 .3 dargestellte quantitative Zusammenhang zwischen den magnetfeldverursachenden Strömen und der Stärke des Magnet feldes am Punkt P : P2

al

b)

1 Leiter mit Strom 1

4 Leiter mit Strom 71

SO

c)

4 Leiter mit Strom ži

Bild 13. 3 Durchflutung Die Einzelbilder zeigen Stromleiter, die eine gleich starke Durchflutung hervorrufen . Es ist gleichgültig, ob das magnetische Feld von einem Leiter mit der Stromstärke I oder von vier Leitern mit den Strömen 74 1 oder von vier Leitern mit der Stromstärke 1/2 1, wobei einer der Ströme in die entgegengesetzte Richtung fließt, erzeugt wird . Die Stärke desmagnetischen Feldes am Punkt P , ist in allen drei Fällen gleich . Man definiert deshalb die Stromsumme als eine eigenständige Größe , die Durchflutung

genannt wird :

(79a )

@ =

Sonderfall für Spulen mit N Windungen : = 1: N

(79b )

Man stellt ferner fest, dass die Stärke des magnetischen Feldes am weiter entfernten Punkt P2 geringer ist, als am Punkt P1. Bei doppeltem Abstand r vom Strommittelpunkt ist die Abnah me jedoch durch den Faktor 21 . r (r = Radius) gegeben . Daraus schließt man , dass die magne tische Feldstärke umgekehrt proportional ist zur Länge 1 der Feldlinien , die den Stromleiter in konzentrischen Kreisen umfassen . Insgesamt formuliert man diese Ergebnisse als magnetische Feldstärke H : H H

=

ī

Einheit 1 m

(80 )

In Worten : Die magnetische Feldstärke H ist die auf die Feldlinienlänge / verteilte Durch flutung . Die magnetische Feldstärke ist somit analog zur elektrischen Feldstärke E = U / s defi niert und wie diese eine vektorielle Größe. H zeigt am Punkt P in Richtung des magnetischen Feldes .

158

13 Magnetisches Feld Feld linie

Integrationsweg

Luft

Eisen

0277 , 271 , 273 Bild 13. 4 Feldstärke und Durchflutungssatz a ) Feldstärke in Abhängigkeit vom Radius (Entfernung vom stromdurchflossenen Leiter ) b ) Zum Durchflutungssatz : Es ist der Feldstärkeanteil zu nehmen , der in Wegrichtung zeigt. c ) Gleiche Feldstärke in Luft und Eisen : H = H (Durchflutungsgesetz gilt materialunabhängig . ) Wird der stromdurchflossene Leiter gemäß Bild 13.4a ) auf einer konzentrischen Feldlinie mit dem Radius r umlaufen , so ist jeder Punkt auf dieser Linie durch denselben Feldstärkebetrag H ausgezeichnet und errechnet sich aus: H

= 21 . r

Die Richtung der Feldstärke ist am betreffenden Punkt gleich der Tangentenrichtung des Fel des. Für einen beliebigen Umlauf um den stromdurchflossenen Leiter muss u .U . abschnittsweise gerechnet werden . Zur Vorbereitung dieser Rechnung formuliert man das Durchflutungs gesetz :

(81)

=i 844 = 1 Für den in Bild 13.4b ) dargestellten Fall gilt: @= H :4 + H2 •12 + Hz•Iz + H4:14 =

I . 27 . 21 : n 2

+

12 +

I

mit H = 21 . 11 ; Hz = 2mm

27 :13 + . 14

159

13. 3 Induktivitätsberechnung

2 . Schritt: Magnetische Induktion B Alle ferromagnetischen Materialien können einen vorhandenen magnetischen Fluss erheblich steigern . Der Steigungsfaktor ist eine dimensionslose Zahl und wird Permeabilitätszahl Mp genannt. Mp = 1 für Luft up >

1 für Eisen Vakuum bestehen können , bezieht man alle Permeabilitätswerte auf

Da Magnetfelder auch im ein Vakuum und setzt:

mit Lo = 411 · 10- 7 Vs/Am

u = lp . llo

als Feldkonstante des magnetischen Feldes Um die Materialabhängigkeit des magnetischen Feldes berücksichtigen zu können , wird mit der magnetischen Flussdichte B eine neue Feldgröße eingeführt. Zwischen der magnetischen Induktion B und der bereits definierten magnetischen Feldstärke H besteht der Zusammen hang : B = uy

to

Einheit 1 VS 14 = 1 $ Am mm

H |

= 1 T ( Tesla )

(82)

3 . Schritt: Magnetischer Fluss Aus der Einheit der magnetischen Induktion kann man entnehmen , dass diese Größe auch als magnetische Flussdichte aufgefasst werden kann : oder für homogene

B = JA

Einheit 1

Vs

= 1T ( Tes a

Felder :

aus einer bekannten Flussdichte B und Demgemäß berechnet sich der magnetische Fluss der vom Fluss durchsetzten Querschnittsfläche A allgemein aus : oder für 9 =

BedA

homogene Felder :

o

= B:A

Vs Einheit 1 vş . 1 m2 = 1 Vs

(84)

4 . Schritt: Induktivität L In diesem Schritt werden die Ergebnisse der vorangegangenen Schritte zusammengefasst. Man berechnet die Induktivität L einer Leiteranordnung, indem man in die Gleichung N .

1

N Q I

= = =

Windungszahl magnetischer Fluss Stromstärke

s. Gl. (78 )

den im 3 . Schritt ermittelten Ausdruck für den magnetischen Fluss einsetzt. Es kürzt sich dabei der anfänglich angenommene Strom I heraus und übrig bleiben die Einflussgrößen der Induk tivität.

160

13 Magnetisches Feld

Beispiel Wir berechnen die Induktivität einer ringförmigen , mit N = 1000 Windungen dicht gewickelten Spule vom Radius R = 2 cm und der Querschnittsfläche A = 1 cm2 des Spulenkörpers . Lösung: Annahme einer Stromstärke 1 Magnetische Feldstärke H : © I .N H = I 2-1 .R

Querschnittsfläche A des Spulenkörpers

Magnetische Induktion B : B = Hp . Ho

IN H = Mo . Ho . 2 .1 R

Magnetischer Fluss : Q = BA (homogenes Feld ) IN -. A Ø = Hp . Ho 2 .TR

mittlere Feldlinien länge 1 = 2 . R Windungszahl N Bild 13. 5 Eisenlose Ringspule

Induktivität L : .o Ho A LL == -N = 12 N . Mr . 2 . T. R

471 . 110 - 7 Vs : 10 - 4 m2 61. 1 . 400. 106 - = 1 mH 21 . 2 . 10 - 2m . Am

Beispiel Wir berechnen die Induktivität der in Bild 13 .6 gezeigten Zylinderspule mit den geometrischen Abmes sungen Kerndurchmesser D = 1 cm , Spulenlänge ( = 10 cm . Die Spule habe 1000 Windungen . Lösung : Annahme einer Stromstärke I Durchflutung: = 31 Für Spulen : = 1. N

(0000000000 )

Magnetische Feldstärke H : H =

TH

Bild 13.6 Zylinderspule In diesem Fall ist das magnetische Feld inhomogen und die Feldstärke H entlang einer beliebigen Feld linie der Länge ly nicht konstant. Um eine Näherungslösung berechnen zu können , muss die Feldstärke im Außenraum vernachlässigt werden . Dies ist wie Messungen auch bestätigen bei Spulen mit 7 » D gerechtfertigt. Man kann sich vorstellen , dass das magnetische Feld sich im unbegrenzten Querschnitt des Außenraumes ausbreiten kann, was einer geringeren Feldliniendichte und damit auch einer geringeren Feldstärke entspricht. Es gilt deshalb näherungsweise : © I .N . N = Windungszahl H - = 1 = Spulenlänge Magnetische Induktion B : IN B fr . 40 · H 240 Magnetischer Fluss Ø : = B . A , da homogenes Feld im Spuleninneren IN D = MOī

161

13 .3 Induktivitätsberechnung Induktivität L : L= N;® – 12.40;4

4 mitA= - DAT

70 10 --7Vs: 1 : ( ,01m²) 2. 41 .. 10 Mo . t • D2m10002 L = = 4 . Am . , 1 m 4 .1

12

, 98 mH

In Worten : Die Induktivität einer langen Luft-Zylinderspule berechnet sich in Annäherung aus ihren geometrischen Abmessungen und dem Quadrat der Windungszahl: 40 A .D2 L = N2. 4 .1

(85 )

Beispiel Wir berechnen die Induktivität einer Koaxialleitung je 1 m Leitungslänge . Der Innenleiter besteht aus 2 , 3 mm Ø Kupferdraht, die Abschirmung (Außenleiter) aus einem Kupfergeflecht von 10 mm Ø . Die Polyäthylenisolation haben eine Permeabilitätszahl up = 1 wie Luft . Lösung: Annahme eines Stromes 1, der im Innenleiter hin - und im Außenleiter zurückfließt. Magnetische Feldstärke H : H =

+ 21 . r

mit ri, < r < ra

Magnetische Induktion B : B = fp . Ho H = 40 . 2 Magnetischer Fluss o =

[B .dA

Q = Ho

의너 mit dA = 1 . dr

111 : 2017

= U. .

1.1

. Ina

211

(s. S. 128 )

Bild 13.7 Koaxialleitung

Induktivität L :

L= N;$ =

Mool 27

L =

mit N= 1 . . In Pa =41 : 10 - 7 Vs. 1 m21 . Am

In

5 mm 1, 15 mm

,294 uH

In Worten : Die Induktivität L einer Koaxialleitung berechnet sich nur aus ihren geometrischen Abmessungen : I - HO ! . In 'a 2x

(86 )

162

13 Magnetisches Feld

Beispiel Wir berechnen die Induktivität einer Paralleldrahtleitung je 1 m Leitungslänge ( s. Bild 13.8 ). Der Durch messer jeder Ader beträgt 1 mm Ø , ihr Abstand sei 7 mm . Lösung : Annahme einer Stromstärke I in der Leitung. In der gerasterten Ebene der Doppelleitung gemäß Bild 13.8 addieren sich die magnetischen Einzelfelder. Die Feldbeträge beider Ströme I sind gleich groß . Magnetische Feldstärke H :

Magnetische Induktion B : B = A• Ho H = Hol Magnetischer Fluss

:

O = SB.dA

mit dA = 1 . dr

. 91 - 1•1. . a o = Ho : 1 .1 - : S - . dr = Mo PO T

(zur Lösung des Integrals s. S . 127)

Induktivität L : N . o L =

mit N = 1

41 . 10 - 7 Vs .lm 1 , a L = Mo - In " - . In — = — roft Am

7 mm ,5 mm

- = 1, 06 uH

Bild 13.8 Paralleldrahtleitung In Worten : Die Induktivität L der Paralleldrahtleitung hängt nur von ihren geometrischen Abmessungen ab : 1 I - Mo . In a 1 ro

(87)

163

13.4 Magnetische Eigenschaften des Eisens

13.4 Magnetische Eigenschaften des Eisens Die Unterscheidung einer magnetischen Feldstärke H und einer magnetischen Induktion B wäre an sich nicht nötig , wenn alle magnetischen Felder im leeren Raum (Vakuum ) verlaufen würden . Das magnetische Feld , dargestellt durch die B - Linien , wäre dann um den konstanten Faktor uo dichter zu zeichnen als das gleiche magnetische Feld mit H -Linien . Verlaufen magnetische Felder in magnetisierbaren Werkstoffen , so ist es zweckmäßig , die magnetische Feldstärke H als eine Art „ örtliche magnetische Erregung“ zu betrachten , die unter Mitwirkung des Materials in diesem die magnetische Flussdichte B erzeugt. Für eine eingehende Erklärung des Materialeinflusses auf das magnetische Feld sei auf die entspre chende werkstoffkundliche Literatur verwiesen . Hier genügt es zu wissen , dass bei ferromag netischen Stoffen eine Ordnung der atomaren Magnetfelder für kleinere Bereiche (Weiß ' sche Bezirke) bereits vorliegt. Die Einwirkung eines fremden Magnetfeldes führt zu einer einheit schen Bezirke, wodurch eine erhebliche Verstärkung des Mag lichen Ausrichtung der Weiß ’ netfeldes, aber auch die Erscheinung der magnetischen Sättigung entsteht. Die grafische Darstellung des Zusammenhanges B = f (H ) wird Magnetisierungskurve ge nannt. Sie hat bei ferromagnetischen Stoffen einen nichtlinearen Verlauf.

Eisen

H

Luft a)

H

- >

Bild 13 .9 Magnetisierungskurve a ) Magnetisierungskurve von Eisen und Luft b ) Neukurve und Hystereseschleife

Man unterscheidet die nachfolgend näher erläuterten Kurven : •

Die Neukurve, die beim erstmaligen Magnetisieren eines vorher nicht magnetisierten Mate rials durchlaufen wird . Für die Magnetisierungskurve in Bild 13 .9a ) sei angenommen , dass das ferromagnetische Material Eisen vollkommen entmagnetisiert ist, d .h . H = , B = . Das Auf bringen einer Feldstärke H führt zu einer magnetischen Induktion B , die erst langsam , dann steiler und schließlich kaum mehr ansteigt (Sättigungsgebiet). • Die Hystereschleife , die beim Ummagnetisieren zyklisch durchlaufen wird .Man betrachte Bild 13. 9b ): Wird , ausgehend vom positiven Höchstwert der magnetischen Induktion (+ Bmax ), die Feldstärke H verringert, so folgt die Induktion der Feldstärkeänderung nicht auf der Neu bleibt im Eisen ein Restmagnetis kurve zurück , sondern verläuft oberhalb von ihr. Bei H = mus , die sog. Remanenz + Br zurück . Man nennt dieses zeitunabhängige Zurückbleiben Hyste rese .

164

13 Magnetisches Feld

Zur Beseitigung der Remanenz + B , ist die Koerzitivfeldstärke - H , notwendig. Die beiden Zustände B = mit H = und B = mit H = - H , sind nicht identisch . Im ersten Fall stellt man sich vor, dass die Orientierungen sämtlicher Weiß 'schen Bezirke verschieden sind. Im zweiten Fall kann man annehmen , dass durch das Aufbringen einer Koerzitivfeldstärke - H . die Rest bestände der ursprünglichen Orientierung der Weiß ’ schen Bezirke durch den Aufbau einer Gegenorientierung anderer Weiß 'schen Bezirke neutralisiert werden . Wird die negative Feldstärke weiter gesteigert, erreicht das Eisen wieder einen Höchstwert der magnetischen Induktion (- B max ). Bei Verringerung der Feldstärke auf null bleibt die Rema nenz - Br zurück . Wird die positive Feldstärke gesteigert, so erreicht die Kurve in + B max wie der ihren Anfang. Je nach der Form der Hystereseschleife ergeben sich unterschiedliche An wendungen für Magnetwerkstoffe . So sollen Magnetwerkstoffe für Ü bertrager eine hohe Per meabilität bei kleinster Koerzitivfeldstärke haben (weichmagnetisches Material mit schmaler Hystereseschleife ). Für Dauermagnete fordert man dagegen hohe Koerzitivfeldstärken und Remanenz, damit sie von fremden Magnetfeldern nicht umgepolt werden können (hartmagne tisches Material mit breiter Hystereseschleife ). Bei der Anwendung von Magnetisierungskurven für Berechnungszwecke im magnetischen Kreis geht man immer von einer eindeutigen Magnetisierungskurve aus, d .h. man vernachläs sigt die Hysterese. Bild 13 .10 zeigt derartige Magnetisierungskurven .

Elektroblech V360 - 50 A

Graugu

200 400 600

800

1000 1200 1400 1600 1800

A H

2200

Bild 13 . 10 Magnetisierungskurven

Die Permeabilität u ist definiert als der Quotient aus dem Betrag der magnetischen Flussdichte (Induktion ) B und dem Betrag der magnetischen Feldstärke H : U = Ur .

- Vs mit Mo = 411 · 10- 7 _ Am

(88 )

Permeabilität bedeutet magnetische Durchlässigkeit . Dabei ist Hp, die relative Permeabilität oder Permeabilitätszahl, eine dimensionslose Zahl, die den Steigerungsfaktor der magnetischen Flussdichte durch Einfügen von Eisen in den magnetischen Kreis angibt. Dies wurde bereits durch Gl. (82 ) B = M . Ho · H ausgedrückt.

13 .4 Magnetische Eigenschaften des Eisens

165

Magnetische Felder können in allen Stoffen und im Vakuum bestehen . Die nachfolgende Übersicht zeigt die magnetischen Eigenschaften von Materialien : Magnetische Eigenschaften von Materialien

neutral

Feld verstärkend

Feld schwächend

Mp3 1 z . B . Luft

diamagnetisch

paramagnetisch

Hp < 1 z .B . Kupfer, Wismut

Up > 1 z .B . Aluminium Palladium

ferromagnetisch

Up >

1

Eisen : weich magnetisch

( H )max B Eisen : hart magnetisch

Die Permeabilität ist bei Magnetwerkstoffen leider keine konstante Größe, da die Magnetisie rungskurve B = f (H ) einen nichtlinearen Verlauf zeigt. Das bedeutet praktisch , dass eine eisengefüllte Spule keine konstante Induktivität aufweisen kann . Will man diesen Nachteil vermeiden ,muss man der eisengefüllten Spule einen Mindest-Luftspalt geben . Bild 13 .11 zeigt den Einfluss eines Luftspaltes auf die Form der Magnetisierungskennlinie , die dadurch gerad liniger aber flacher verläuft.

+

1,

AH

- BL

, 75 +

,75 + lFe = 20 cm

.50

,50 +

,507

200

400 A 600

H

b

B

1, = ,2mm

. 25

.25 +

a)

1 , 257 TT 1, + B

1,25

1,25 T AB BFe 10

Gesamt

Luftspalt

Eisen

200

+ 400

ZAH 600

KA

1000

)

500

1000

1500 H

Bild 13. 11 Ein Luftspalt linearisiert die Magnetisierungskurve. lFe = Eisenweglänge , IL = Luftspaltlänge Durch die Einführung des Luftspaltes erhält man eine neue Permeabilitätsgröße , die man effek tive Permeabilität des Eisens nennt: He =

It

ILuft lie

(89)

166

13 Magnetisches Feld

13 .5 Magnetischer Kreis Unter einem magnetischen Kreis verstehtman meist eine magnetische Schaltung bestehend aus einem weitgehend geschlossenen Eisenkern mit nur kleinem Luftspalt. Als Ursachen des mag netischen Flusses kommen stromdurchflossene Spulen oder auch Dauermagnete in Frage . Die Problemstellung bei der Berechnung besteht meistens darin , aus einer geforderten Flussdichte im Luftspalt die erforderliche Durchflutung zu ermitteln . Diese Grundaufgabe kann mit den Zusatzforderungen nach einer bestimmten Induktivität der Spule oder nach einer bestimmten Tragkraft von Elektromagneten verbunden sein . Lösungsmethodik zur Berechnung magnetischer Kreise mit stromdurchflossenen Spulen : Flussdichte im Luftspalt

Flussdichte im Eisen

BLE

BFe = А € Afe

Durchflutung O = HL a

IL + HFelfe

40 = 1°N

HĽ = BL Mo

Q = BL · AL Magnetischer Fluss

HFE aus Magnetisierungskurve

Beispiel Der magnetische Kreis einer eisengefüllten Spule mit Luftspalt ist zu berechnen , dabei soll die Magneti sierungskurve für Elektroblech zu Grunde gelegt werden , s. Bild 13. 10 , Seite 164 . a ) Welche Durchflutung ist für eine Flussdichte BL = BFe = ,75 T im Luftspalt erforderlich ? b ) Windungszahl für Nennstrom I = 1, 1 A ? c ) Induktivität L der Spule ?

Daten des M65- Eisenkerns Eisenquerschnitt AFe = 4 ,85 cm ? Eisenweglänge lFe = 15 ,4 cm Luftspaltlänge l = ,7 mm

Lösung: a ) Magnetische Feldstärken : _ BL HfE = Mo

,75 Vs/m2

- = 597130

41 :10 -7 Vs/ Am

He= 175 - aus Magnetisierungskurve m

b) Durchflutungssatz : @ = Hfe · Ife + H +. ! © = 175 1 . , 154 m + 5971304 . ,7 - 10 -3 m m m 27 A + 417 A = 444 A Durchflutungsanteil zurMagnetisierung des Eisens (6 % ) c ) Windungszahl: N 1

A Fe

Durchflutungsanteil zur Magnetisierung des Luftspaltes (94 % )

_ 444 A - 400 1, 1 A

d ) Induktivität: L = 4N mit

400 - ,363. 10 1, 1 A = BFe · AFe = ,363 m

65 mm

Vs = 132 mH Bild 13 . 12 Vs

mm

167

13.6 Magnetische Energie der Spule

13 .6 Magnetische Energie der Spule Felder sind Energieräume, so auch das magnetische Feld . Wie erhält ein magnetisches Feld die magnetische Energie, z.B . beim Einschalten einer Spule im Gleichstromkreis ? Die magnetische Energie der Spule kann nur durch einen Vorgang der Energieumformung aus dem Stromkreis herrühren . Nach einer allgemeinen Beziehung berechnet sich elektrische E nergie aus dem Produkt von „ Spannung · Stromstärke · Zeit“ . Da Spannung und Stromstärke hier zeitveränderliche Werte haben , werden sie mit kleinen Formelbuchstaben geschrieben . Der Index L bei Spannungen und Strömen weist darauf hin , dass es sich um Messgrößen bei einer Spule handelt (Index L für Induktivität). Betrachtet man zunächst einen sehr kleinen Zeitabschnitt dt, so erhältman für die aufgenommene elektrische Energie und deren vollkom mene Umsetzung in magnetische Energie bei einer idealen (verlustfreien ) Spule : dWel = UL

ildtdWmagn

Liefert der Generator den Einschaltstrom

il , dann ist die induktive Spannung ul nicht etwa der

Spannungsabfall an der Spule , den es bei einer idealen Spule auch gar nicht gibt, sondern eine sog . Selbstinduktionsspannung der Spule, deren genaue Entstehung in Kap . 14 erklärt und hier nur das Ergebnis verwendet wird : UL = L .AL

(s. Kap . 14 .5)

In der Einschaltphase setzt die Spule dem anwachsenden Strom eine Art ,,Widerstand “ entge gen , gegen den Arbeit verrichtet werden muss. In Wirklichkeit ist dieser ,,Widerstand “ jedoch die induktive Gegenspannung ul der Spule. Die Umformung von elektrischer Energie in mag netische Energie in der Spule beruht auf dem physikalischen Vorgang der Selbstinduktion . Durch Einsetzen von ul in die obige Energiebilanzgleichung erhält man : dWmagn = L . AIL .it . dt I dt Kürzung von dt ergibt: dWmagn = L · IL · dil Bilden der Gesamtenergie: dil Wmagn = L . Jil

dil

Bild 13. 13

Zur Lösung des Integrals wird die Funktion in Bild

13.13 gezeichnet. Die Summe aller

" iLdil “ ergibt dort die gerasterte Dreiecksfläche und stellt die Lösung des Integrals dar :

Wmagn = -. L 17

Einheit 1 VS.A ? = 1Ws

(90 )

In Worten : Der Energieinhalt des magnetischen Feldes einer Spule berechnet sich aus dem halben Produkt von Induktivität L und Quadrat des Spulenstromes. Dabei ist es gleichgültig ,

168

13 Magnetisches Feld

wie der Strom tivität L .

auf den Endwert Ių angestiegen ist. Gl. (90 ) gilt nur bei konstanter Induk

Wird der Entwurf der Spule erst geplant, muss zunächst auf Grund von Anforderungen der magnetische Kreis der Spule berechnet werden . Soll dabei die magnetische Energie berück sichtigt werden , so sind deren Berechnungsgrundlagen mit magnetischen Größen gesucht. Die Gl. (90) kann dann am Ende des Berechnungsganges zur Kontrolle verwendet werden . Bei der Konstruktion von Spulen können drei Fälle unterschieden werden , die in Bild 13. 14 dargestellt sind . Die magnetische Energie ist das im Magnetfeld gespeicherte Arbeitsvermö gen . Bei der Luftspule befindet sich die magnetische Energie im Luftvolumen der Ringspule . Bei der eisengefüllten Spule ist die magnetische Energie im magnetisierten Eisenvolumen gespeichert. Der technisch wichtigste Fall ist die eisengefüllte Spule mit Luftspalt, bei der sich die magnetische Energie hauptsächlich im Luftspalt und nur zu einem geringen Teil im Eisen befindet. Luftspule

Eisengefüllte Spule

Eisengefüllte Spule mit Luftspalt

U

B Fe

B Fe

Bmax

her - 1 (konst)

Wmagn (L EL ) = VL :

BE 2 . Lo

. - BFe Luftspalt

Ve - magnetisches Eisenvolumen

V, - magnetisches Luftvolumen

HL

Annahme : B

H

Luftspalt

Eisen

Fe dB E1FE

Hre Bmax Wmagn (Fe) = VFeH fe . dBFe

H Fe Wmagn = W magn (Fe) + W magn(L )

Bild 13. 14 Magnetische Energie im Feldvolumen von Ringkernspulen Index L = Luft bei den Größen B , O , H , W , V , A , 1 Index L = Induktivität bei den Größen U , I Luftspule Umformung der allgemeinen Gleichung für die magnetische Energie einer Spule Gl. (90 ) in eine Darstellungsform mit magnetischen Größen : , N . W magn(L ) = - . L IÎ mit Induktivität L = * PL ,magnetischer Fluss OL = BL · AL , Durchflutungssatz N . I = HL · L , magn . Induktion BL = Hp : HO . HL

169

13.6 Magnetische Energie der Spule

Setzt man die vier angegebenen Beziehungen in die Grundgleichung ein , so erhält man die in Bild 13 .14 für die Luftspule angegebene Formel (Index L für Luft). B? W magn(L ) = VL 12. Hp : Mo

mit Luftvolumen VL = AL · IL sowie My = 1 für Luft

(91)

In Worten : Die in einer Luftspule speicherbare magnetische Energie steigt mit dem Quadrat der magnetischen Flussdichte BL und dem Luftspaltvolumen VI, dass sich aus der von Feldli nien durchsetzten Spulenquerschnittsfläche Al und der mittleren Feldlinienlänge lL errechnet. Handelt es sich bei der Luftspule um eine Ringspule , so ist die mittlere Feldlinienlänge gleich der mittleren Umfangslänge. Ist die Luftspule als Zylinderspule aufgebaut, so ist für li die einfache Spulenlänge einzusetzen. Eisengefüllte Spule Die in einer eisengefüllten Spule gespeicherte Energie lässt sich wegen der Nichtlinearität der Magnetisierungskennlinie nicht einfach berechnen . Es muss angesetzt werden :

dWmagn = UL

mit

de UL = Na Ndt

und

N . iL = HFelfe,

sowie

dОFe = Afe dBfe

İL .dt

Setzt man die drei angegebenen Beziehungen in die Grundgleichung ein , so erhält man die in Bild 13.14 für die eisengefüllte Spule angegebene Formel (Index Fe für Eisen ). B max Wmagn(Fe) = V Fe ·

H Fe.dBFe

mit Eisenvolumen V Fe = AFelfe und Magnetisierungskurve

(92 )

In Worten : Die im Eisenvolumen VFe gespeicherte Energie kann aus der in Bild 13. 14 ge rasterten Fläche berechnet werden . Dies kann mit der Methode des Flächenauszählens (s . S . 24 ) näherungsweise erfolgen : FE . Wert W magn(Fe) = Vie x FE

FE = Flächeneinheit

Eisengefüllte Spule mit Luftspalt Für die eisengefüllte Spule mit Luftspalt wird keine Spezialformel entwickelt. Man findet die Lösung durch sinngemäßes Ansetzen von Gl. (91) für den Luftspalt und Gl. (92) für den Ei senabschnitt. Beispiel In Bild 13 . 15 ist eine eisengefüllte Spule mit Luftspalt abgebildet. Der magnetische Fluss in Eisen und im Luftspalt sei Q = 1,5 mVs. Die Kernquerschnittsfläche beträgt Afe = 15 cm ?, die Eisenlänge lFe = 40 cm und die Luftspaltlänge lu = 1 mm . a ) Es ist die gespeicherte magnetische Energie zu berechnen für eine Magnetisierung des Eisens und des Luftspaltes von B = BFe = 1 T .

170

13 Magnetisches Feld

b ) Wie groß ist die zur Aufrechterhaltung des magnetischen Feldes erforderliche Stromstärke, wenn die Windungszahl der Spule N = 1000 sein soll ? c ) Wie groß ist die Induktivität der eisengefüllten Spule mit Luftspalt? = 1,5 mVs mm 1 IN

Fe = 40 cm

o

AFe = 15 cm ?

200

400

600

A

1000

Hre Bild 13 . 15 Eisengefüllte Spule mit Luftspalt. Die gerasterte Fläche zeigt die zur Magnetisierung des Eisenabschnittes erforderliche magnetische Ener gie . Die im Luftspalt enthaltene magnetische Energie kann formelmäßig berechnet werden . Lösung: Magnetische Flussdichte in Eisen und Luftspalt: – 3 Vs Bpe = B, = = _= 1,5-10 BFeBL A 15.10-4 m2

Vs m2

Magnetische Energie im Luftspalt: B? L = 1, 5 - 10 - 6 m W magn ( L ) = 11 . 2 . ur . Mo

(1 Vs/m²)2 . - = 597 mWs 2 1 41 :10 - 7 Vs/Am

Magnetische Energie im Eisenkern : Bmax

,25 Vs/m². 200 A /m - = 90 mWs FE . O, W magn (Fe) = VFeHFedBFe =600 - 10- 6 m3.3 1 FE

Erforderliche Durchflutung : @ = H fe

Fe + HƯ: 41 = H fe'' Fe + Urlo Wall

A A 300 2 . , 4 m + 795774 — . 1 . 10 - 3 m m m

= 120 A + 796 A = 916 A

Stromstärke: 01 A = - _= 916 A- =_ ,916 1000 N Induktivität der eisengefüllten Spule mit Luftspalt : I

. _= 1000- 1,5 . 10 - 3 Vs- = 1,64 H IL ,916 A Diese Induktivität kann aufgrund des vorhandenen Luftspaltes als näherungsweise konstant, d.h . unab hängig von der Stromstärke angesehen werden . Kontrolle der magnetischen Energie der Spule über Gl. (90 ): Vs - . ( , 916 A )2 = 688 mWs W magn 2 A 1L -= N-

Vergleich mit den berechneten Energiebeträgen von Eisenabschnitt und Luftspalt: W magn = W magn (Fe) + W magn(L) = 90 mWs + 597 mWs = 687 mWs

171

13.7 Hystereseverluste

13. 7 Hystereseverluste In

einer eisengefüllten

Spule

fließt ein Wechselstrom . Dadurch entsteht ein magnetischer

Wechselfluss. Das veränderliche magnetische Feld erzeugt im Wirbelstromverluste .

Eisen Wirbelströme und damit

erzwingt das magnetische Wechselfeld im Eisenkern eine fortwährende Umorien tierung der Elementarmagnete, sodass im Eisen noch weitere Verluste, die sog. Hysteresever luste, entstehen . Außerdem

Die Hystereseverluste können durch Ansatz von Gl. (92 ) aus der Hystereseschleife berechnet werden . Die Integration von - B , bis + Bmax ergibt einen Energieaufwand, der im Bild 13. 16a ) durch die dort gerasterte Fläche ausgedrückt wird : + Bmax HFe . dBfe

W magn 1 = Vfe - B.

Mit abnehmender Induktion von + Bmax bis + B , wird ein geringerer Energiebetrag wieder frei und in elektrische Energie zurückverwandelt . Dieser Anteil wird im Bild 13. 16b ) durch die dort schraffierte Fläche bezeichnet: +B W magn 2 = Vfe

HFedBfe | + Bmax BFeA + Bmax

Bred + Bmax

Wmagn1 * Br.

Bit

Hie

a)

Bred +B max

Wmagna Hie

Bit

WHyst.

BEHEE 7-

b )

Bild 13. 16 Zur Berechnung der Hystereseverluste Die Differenz AW = W magn 1 - Wmagn 2 stellt den Energieanteil dar, der im Magnetwerkstoff bei dem bisher beschriebenen Magnetisierungsvorgängen in Wärme umgewandelt wurde. Im Bild 13 . 16c) wird dieser Anteil durch die dort gerasterte Fläche gekennzeichnet. Der Vorgang wie derholt sich analog für die negative Halbwelle des Wechselstromes. Würden die beiden Äste der Hystereseschleife zusammenfallen , dann wäre die in einer Vier telperiode aufgenommene Energie genau so groß, wie die während der zweiten Viertelperiode abgegebenen Energie. Die Auswertung der von der Hystereseschleife eingeschlossenen Fläche führt somit zu den Hystereseverlusten für ein einmaliges Durchlaufen der gesamten Hystereseschleife : WHyst = VFeHFedBfe

Lösung über Flächenauszählmethode (s. S. 24)

(93 )

172

13 Magnetisches Feld

Es bedeutet: J ein voller Umlauf auf der Hystereseschleife , d .h . es ist die Fläche der Hystere A seschleife zu berechnen . Weichmagnetische Werkstoffe mit einer schmalen Hystereseschleife haben also geringere Hystereseverluste als hartmagnetische Werkstoffe , die eine breite Hyste reseschleife aufweisen . Man muss noch beachten , dass die oben angegebenen Hysterese verluste auf dem nur einmaligen Durchlaufder Hystereseschleife beruhen . Beispiel Welche Hysteresearbeit pro Volumeneinheit ergibt sich bei einmaligem Durchlauf der Hystereseschleife des magnetisch harten Eisen je 1 cm3 Material ? Lösung : WHyst = Vfe | Hfe•dBFe Vs WHyst hyst =- [S H fedBFe = ,5 m2 . 2000 - . 24 FE (FE = Flächenelemente) m HFe TEC A Parte

2400 W = ,024 W Bre

- 16

-12

-8

-4

4

8

KA

16

Bild 13. 17 Hystereseschleife

13.8 Kraftwirkungen Im magnetischen Feld treten drei unterscheidbare Kraftwirkungen auf: 1. Kräfte zwischen zwei Magneten 2. Kräfte auf stromdurchflossene Leiter oder bewegte elektrische Ladungen im Magnetfeld 3 . Kräfte zwischen stromdurchflossenen Leitern .

Kraftwirkung zwischen zwei Magneten Der in Bild 13 . 18 dargestellte Elektromagnet besteht aus einem

feststehenden Weicheisen - Joch

und einem beweglichen (federnd gelagerten ) Weicheisen -Anker. Der Strom in der Spule er zeugt einen magnetischen Fluss, dessen Richtung mit der Rechtsschraubenregel bestimmt werden kann . Durch die Magnetisierung der Weicheisen -Abschnitte entstehen zwei Magnete , die sich mit ungleichnamigen magnetischen Polen gegenüberstehen . Der Elektromagnet zieht seinen Anker gegen die Wirkung der Federkraft mit der Anzugskraft F um an und verrichtet dabei die Hubarbeit :

das Wegstück As

173

13.8 Kraftwirkungen

AW = F . As Wir berechnen die Anzugskraft nach dem Prinzip der virtuellen Verschiebung (s. auch Kapitel 11. 7 ). Dazu nehmen wir an , dass bei der Ankerbewegung um das sehr kleine Wegstück As die magnetische Flussdichte B konstant bleibt. Diese Annahme bedeutet, dass die Kraft F längs des Weges As konstant bleibt. Ferner muss aus Gründen der Energiebilanz das Magnet-Feder System als abgeschlossen betrachtet werden , d .h . es soll keine Energieeinströmung von außen z . B . durch den Generator stattfinden .

- IKAS

Feder

Anker

Joch

Bild 13. 18 Zur Berechnung der Anzugskraft eines (Elektro -)Magneten : Die gesamte Luftspaltquerschnittsfläche isthier gleich der 2 - fachen Polfläche.

1

Unter diesen Voraussetzungen , die bei einem Dauermagneten anstelle des Elektromagneten auf natürliche Weise gegeben sind, bei einem Elektromagneten jedoch zu einer eingeschränk ten Aussage fuhrt, gelingt die Ableitung der Kraftformel. Es kann behauptet werden , dass die Hubarbeit auf Kosten der Energieabnahme des magnetischen Feldes im muss :

Luftspalt erfolgen

> wird eingesetzt in Gl. (91).

F . As = AW magn

Dabei nimmtdie magnetische Feldenergie wegen Verkleinerung des Luftspaltvolumens ab. => wird eingesetzt in Gl. (91).

AVL = Al · As

F . AS = 1 2

1 2

BZ L . AL

As

Ho

BI . AL uo

·m2 Einheit 1 (Vs)“ . Am - = IN (Newton ) Vs . )2 (m2

(94 )

In Worten : Die Anzugskraft F ist proportional dem Quadrat der Luftspaltinduktion BL und der gesamten Luftspaltquerschnittsfläche AL. Gl. ( 94 ) zeigt keinen Hinweis mehr auf die Entste hungsursache der Luftspaltinduktion und gilt deshalb für Dauermagnete und Elektromagnete. Wegen der eingeschränkten Bedingungen bei der Herleitung der Formel kann bei Elektro magneten mit Gl. (94) nur die sog. Haltekraft des Magneten berechnet werden , bei der eine Ankerbewegung nicht stattfindet.

174

13Magnetisches Feld

Beispiel Der Luftspalt des Elektromagneten im Bild 13. 18 hat die Abmessung A = 25 cm² je Polfläche und den Ankerabstand s = , 5 cm , der mit einer Kunststoffzwischenlage ausgefüllt ist. Die magnetische Fluss dichte beträgt konstant BL = ,5 T . Wie groß ist die Haltekraft F des Elektromagneten und welche Durchflutung ist erforderlich zur Erzeugung der Luftspaltinduktion BL? Lösung: In Gl. (94 ) muss die Gesamtpolfläche des Magneten , diese besteht aus zwei Einzelpolflächen , eingesetzt werden . Es ist : f _ 1

B

1

.

( ,5 T)2

- 2. 25 -10 -4 m² 2 Mo L2 47 10 - 7 Vs/Am F = 500 N Um allein im Luftspalt die geforderte magnetische Induktion von , 5 T zu erzeugen , ist die Duchflutung erforderlich . Bei Annahme eines homogenen magnetischen Feldes im Luftspalt erhält man : O = H . (2 : ) =

B .2 . - ,5T -2 . ,5 -10- 2m 41 . 10 - 7Vs/Am uo

© = 3979 A

Z. B . 124 A , N = 1000 Windungen

Kraftwirkung auf stromdurchflossene Leiter Erfahrungsgemäß wird auf stromdurchflossene Leiter im magnetischen Feld eine Kraft ausge übt, deren Entstehung man sich durch Ü berlagerung des vorhandenen magnetischen Fremd feldes mit der Flussdichte B und dem magnetischen Eigenfeld des Stromes 1 veranschaulichen kann . Bild 13 .19 zeigt als Ergebnis der Ü berlagerung eine Feldverstärkung auf der rechten Seite und eine Feldschwächung auf der linken Seite des stromdurchflossenen Leiters. Der Leiter erfahrt eine elektrodynamische Kraft, deren Richtung sich aus dem Bestreben der Feld linien ergibt, sich wie Gummifäden zu verkürzen . Fremdfeld

Eigenfeld

Gesamtfeld

Bild 13 . 19 Elektrodynamische Kraft: Kraftwirkung auf stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld . Ver anschaulichung der Kraftrichtung durch die Tendenz der Feldlinie , sich zu verkürzen

Der Betrag der elektrodynamischen Kraft lässt sich aus einer Energiebilanz berechnen . Wir betrachten die in Bild 13 .20 dargestellt Anordnung: Ein beweglicher Leiter 1 - 2 werde über zwei Stromschienen A , B an Spannung gelegt. Der Stromkreis wird von einem magnetischen Feld senkrecht durchsetzt. Man beobachtet bei geschlossenem Stromkreis, wie der bewegliche Leiter auf den Stromschienen unter Ü berwindung vorhandener Reibungskräfte gleitet, dabei wird eine Arbeit verrichtet: AW mech = F . As

175

13 .8 Kraftwirkungen

Diese mechanische Energie kann nur auf Kosten von elektrischer Energie gewonnen werden : AW1= U · I · At Bei einem widerstandslosen Stromkreis ist die Spannung U des Generators erforderlich , um die induktive Gegenspannung UL des Stromkreises zu überwinden : UL = n .40

(s.a. Kap. 14.5)

Diese Spannung wird durch Flussänderung in der Leiterschleife erzeugt (s. Kapitel 14 .2 ).

I X B x

x

X

X

X X

x X

le x X | | X

X

X TB

Bild 13.20 Elektrodynamische Kraft: Kraftwirkung auf stromdurchflossenem Leiter im Magnetfeld . Richtungsregel: Die Kraft wirkt senkrecht zu der aus den Vektoren I und B gebildeten Fläche. Die Energiebilanz lautet: F . As = UL · I · At A F . As = N .44 . I Δί F . As = B1: AA = B : 1:1

F

At

mit N = 1, AQ = B : AA mit AA = 1 . As mit IIB

Vs .Am = 11 Einheit 1 Via m

(95a )

In Worten : Die elektrodynamische Kraft F ist proportional der Stromstärke I im Leiter, der sich mit der Länge l im magnetischen Feld der Flussdichte B befindet, und hat ihr Maximum , wenn B und I einen Winkel von 90°bilden . Bei einem beliebigen Winkel a zwischen B und I geht Gl. (95a ) über in die Formel für den Betrag der elektrodynamischen Kraft: F = B : I . l . sin a

(95b )

A Bild 13. 21 Werden die Vektoren I und B im Sinne einer Rechtsschraube gedreht, so wirkt die elektrodynamische Kraft in Richtung des Vorschubs einer Rechtsschraube.

176

13 Magnetisches Feld

Richtungsregel : Die Kraft steht immer senkrecht auf der Stromrichtung FII sowie senkrecht auf der Feldrichtung FIB und ist dem Drehsinn dieser Vektoren rechtswendig zugeordnet . Elektrodynamisches Kraftgesetz in vektorieller Schreibweise: F =17xB ) Beispiel Eine Leiterschleife befindet sich in einem Magnetfeld mit der Flussdichte B = , 3 T . In der Leiterschleife besteht der Strom I = 5 A . Die wirksame Leiterlänge im Magnetfeld beträgt 1 = 3 8 cm . Esde ist das Drehmo 87die Drehnice ment M der drehbar gelagerten und von einer Feder gehaltenen Leiterschleife zu berechnen , wenn der Radius r = 3 cm ist.

O

Fe +

Bild 13 .22 Elektrodynamische Kraft: Stromdurchflossene Leiter schleife im Magnetfeld

Lösung : Fi = F

= B : 1: 1=

, 3 T . 5A : 8 . 10 - 2 m

= ,12 N

M1 = M2 = F . 5 = ,12 N . 3 . 10 -2 m = 3,6 . 10 -3 Nm Mges = M1 + M2 = 7,2 . 10- 3 Nm

Kraftwirkung auf bewegte Ladungen Stromfluss in elektrischen Leitern bedeutet Ladungsträgerbewegung. Man kann daher an Stelle eines Stromelements „ I : 1 “ eine entsprechende Ladungsbewegung „ Q . 1 setzen . Mit Gl. (95b ) erhält man für den Betrag der Kraft : F = B . Q .v .sin a

( 96a )

Bild 13 .23 Lorentzkraft

177

13 .8 Kraftwirkungen

in einem Magnetfeld der Flussdichte B mit der Ge In Worten : Bewegt sich eine Ladung schwindigkeit v , so erfährt sie eine Kraft F , die man Lorentzkraft nennt (siehe Bild 13. 23). Die Kraftrichtung steht senkrecht auf der von den Vektoren v und B gebildeten Ebene. Die Kraft wirkung verschwindet , wenn die Bewegungsrichtung der Ladung mit der Feldrichtung zu sammenfällt, d .h . Winkel a = 0° wird . Wegen Flv kann das magnetische Feld nur Rich tungsänderungen aber keine Geschwindigkeitsänderungen an einer bewegten elektrischen Ladung verursachen .

Lorentzkraft in vektorieller Schreibweise

(96b )

F = q ( TXB )

Beispiel Ein Hallgenerator ist ein Halbleiterplättchen mit vier Anschlüssen , wie in Bild 13.24 dargestellt und basiert auf dem sog . Halleffekt. Hallgeneratoren können zur Messung von Magnetfeldern eingesetzt werden . So können beispielsweise große Gleichströme durch ihr umgebendes Magnetfeld gemessen werden . Wie kann das Entstehen der Hallspannung Uy und ihre Polarität erklärt werden ?

n-Typ

Bild 13. 24

-

UH

+

Zur Wirkungsweise des Hallgenera tors: Ist in technischer Stromrich tung und v in Elektronenstromrich tung. q ist eine bewegte negative Ladung (Elektron ).

Lösung: Der Halleffekt ist besonders bei Halbleitern mit geringer Ladungsträgerdichte und hoher Ladungsträger beweglichkeit ausgeprägt. Man verwendet hauptsächlich einen Halbleiter n - Typ, bei denen Elektronen als Ladungsträger zur Verfügung stehen . Bei Metallen ist der Halleffekt ebenfalls nachweisbar aber vernachlässigbar gering. Wird das System von einem Strom durchflossen und ist senkrecht dazu ein Magnetfeld vorhanden , so werden Ladungsträger aufgrund der Lorentzkraft F zur Seite abgelenkt. Dadurch baut sich ein elektri sches Feld quer zur Stromrichtung auf, dessen Kraftwirkung auf die Ladungsträger der Lorentzkraft entgegen gerichtet ist. Das elektrische Querfeld liefert die messbare Hallspannung Un , die dem Produkt aus Steuerstrom Ist und magnetischer Flussdichte B proportional ist. Soll die Flussdichte B ermittelt werden , ist für einen konstanten Steuerstrom Ist zu sorgen . Die Hallspan nung entsteht senkrecht zur Stromrichtung Is - und Magnetfeldrichtung B und ist abhängig vom Ladungs trägertyp (Elektronen bei Halbleiter n - Typ , Defektelektronen (sog . Löcher ) bei Halbleiter p - Typ ) .

178

13 Magnetisches Feld

Kraftwirkung zwischen stromdurchflossenen Leitern Die Kraftwirkung zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern hängt von der gegenseitigen Stromrichtung und Lage der Leiter ab . Die festmontierten Leiter A und B in Bild 13 .25 verlau fen parallel im Abstand a zueinander. Die Leiterlänge sei I. Der Strom IA im Leiter A erzeugt im Abstand a die magnetische Induktion : HA =

IA 21 . a

Ba = Hy·40· Ha = 4 .40

A

Der Strom /g des Leiters B befindet sich somit im magnetischen Feld des Leiters A . Es wirkt die Kraft FB auf den Leiter B . FB = BA

IB :

FR = My H0•2 . 1. IR 20 . a

Einheit 1 Vs lm . A2 = 1N Am 1m

(97 )

Ebenso befindet sich der Leiter A im magnetischen Feld des Leiters B , sodass auch gilt: FA = FB Die Befestigungsvorrichtungen müssen die Zugkräfte aufnehmen . Die Richtung der Zugkräfte ist stromrichtungsabhängig : Parallele Leiter mit gleicher Stromrichtung ziehen sich an , parallele Leiter mit entgegen gesetzter Stromrichtung stoßen sich ab .

Bild 13.25 IA

418

Elektrodynamische Kraft zwischen zwei parallelen stromdurchflossenen Leitern a ) Abstoßung bei Gegenströmen b ) Anziehung bei Mitströmen

179

13.9 Übungsaufgaben

13.9 Übungsaufgaben A

Übung 13. 1: Induktivität Wie groß ist die Induktivität der in Bild 13. 26 ge zeigten eisengefüllten Spule, wenn mit einer Hall sonde in einem sehr schmalen Schlitz des Eisens eine magnetische Induktion von 250 ml gemes sen wird ? Magnetisierungskurve siehe Bild 13 . 10

N = 1000

Hall sonde

Afe = 4 cm2 IFe = 20 cm Bild 13 .26

A Übung 13.2: Magnetischer Kreis Wie groß muss der Spulenstrom I gewählt wer den , damit der Hubmagnet eine Tragkraft von 1000 N erzeugt (Bild 13. 27) ? AFe = 10 cm2 IFe = 15 cm

Magnetisierungskurve siehe Bild 13. 10 A

A

N = 1000

Übung 13.3 : Induktivität ( Im Anschluss an Übung 13. 2 ) Wie groß ist die Induktivität des in Bild 13 .27 dargestellten Hubmagneten bei angezogenem Anker ?

Übung 13 .4 : Magnetische Energie (Im Anschluss an Übung 13. 3 .) Berechnen Sie die im Hubmagneten (Bild 13 .27)

1mm

Hartpapier

F = 1000N Bild 13 . 27

gespeicherte magnetische Energie ? A

Übung 13. 5 : Lorentzkraft Ein Elektron wird mit der Geschwindigkeit 10 000 km / s senkrecht in ein magnetisches Feld der Fluss dichte ,01 T geschossen . Berechnen Sie den Bahnverlauf des Elektrons, und machen Sie eine Aussage über dessen Geschwindigkeit im Magnetfeld. Daten Elementenladung lel = 1,6 - 10 -19 C , Elektronenmasse m = ,911 . 10 -30 kg. Hinweis : Zentrifugalkraft F = m . v2/r

A

Übung 13 .6 : Stromdurchflossene Leiterschleife im Magnetfeld Bild 13 .28 zeigt zwei Leiterschleifen mit gleichen geometrischen Abmessungen : Leiterlänge im Magnetfeld 1 = 3 cm , Radius r = 1, 5 cm . Beide Leiterschleifen werden von einem Strom gleicher Stärke 1 = 1 mA durchflossen . Das magnetische Feld sei in beiden Fällen homogen und habe die Flussdichte B = , 1 T . Wie groß ist das Dreh moment, mit dem beide Leiteranordnungen gegen die Wirkung der federmechanischen Richtkräfte bewegt werden , wenn die Leiterschleife um einen Winkel von 30° aus der Senkrechten herausge dreht ist ?

homogen radial homogen n

Bild 13 .28

+

+

Eisen

180

A

13 Magnetisches Feld

Übung 13. 7 : Kräfte zwischen stromdurchflossenen Leitern Welche Kraft entsteht zwischen der Hin - und Rückleitung eines Stromkreises im Moment des Kurz schlusses, wenn dabei ein Strom 1 = 40 kA auftritt und die beiden Leiter auf einer Länge von 70 m paral lel und im Abstand von 45 cm liegen ?

A Übung 13.8 : Lorentzkraft In der Bildschirmmitte eines Oszilloskops er scheint durch aufschlagende Elektronen ein Leuchtpunkt. Wie beeinflussen die außen aufge legten Dauermagnete den Elektronenstrahl (Bild 13.29 )

Bild 13. 29 A

Übung 13 . 9: Reed -Relais mit Arbeitskontakt Zwei bewegliche Stahlzungen mit geringem Ab stand befinden sich in einem Glasröhrchen , das von einer Wicklung umgeben ist. Begründen Sie die Bewegung der Stahlzungen unter dem Einfluss einer ausreichend großen Stromstärke in der Wicklung (Bild 13 . 30 ).

A

Bild 13.30

7

Übung 13 .10 : Elektrodynamische Kraft Bild 13 . 31 zeigt die Prinzipskizze eines Drehspul

Spule N = 1000

Flachinstruments (ohne Zeiger und Federn darge stellt) a ) In welcher Richtung wird die Flachspule bei Stromfluss bewegt ? Wie groß ist die Auslenkungskraft bei An nahme eines homogenen Magnetfeldes der Flussdichte , 2 T , wenn die Stromstärke 1 mA beträgt und die Spule 1000 Windungen hat?

B = ,21

1cm h= Dauermagnet

Weicheisen

Bild 13.31 A

Übung 13. 11:Magnetisierungsarbeit Berechnen Sie gemäß Bild 13.32 die Magnetisie rungsarbeit für das Eisenvolumen 1 dm3 a ) zum Aufmagnetisieren von Arbeitspunkt 1 nach Arbeitspunkt 2 , b ) zum Entmagnetisieren von Arbeitspunkt 2 nach Arbeitspunkt 3 . (Berücksichtigen Sie, dass die Beseitigung der Remanenz energie aufwendig ist.)

max Hmax

☺ B= B = - HC H= Bild 13. 32

100

200

300

A

500

181

14 Induktion

14 . 1 Induktion in der Leiterschleife Erfahrungsgemäß induziert (erzeugt ) ein sich zeitlich ändernder magnetischer Fluss , der eine Leiterschleife durchdringt , in dieser einen Strom . Je größer die Geschwindigkeit dieser Flussänderung, desto größer ist der induzierte Strom der Leiterschleife :

in

dΦ dt Der Induktionsstrom ist dabei immer so gerichtet, dass sein Magnetfeld O, einer Änderung des Fremdflusses O entgegenwirkt (Lenz 'sche Regel), s. Bild 14 .1

gi

$ mit



RCu Pcu Rcu = / 29,4 W .4,712

UR = 11,8 V

in die geforderte äqui

290

2.

23 Einführung der komplexen Rechnung Teilströme I und IR : 1 =

IR =

p _ 24,7 v XI – 10,23 U .

= 2,41A

24 , 7 V = 39,2 12

, 63 A

Bild 23.30 zeigt das Zeigerdiagramm der verlustbehafteten Spule mit Eisenkern . UR Ree Rcu Up Im LR 701 b) Bild 23.30 Zeigerbild und Ersatzschaltung für die verlustbehaftete Spule

23.5 Ortskurven Die bisher gezeichneten Zeigerdiagramme galten für eine bestimmte Frequenz und für kon stante Kennwerte R , L , C der Schaltelemente . Um die Wirkung bei veränderlichen Bedingun gen im Stromkreis zu übersehen , werden Ortskurven gezeichnet. Die Ortskurven zeigen den Verlauf einer komplexen Größe wie z. B . Spannung , Strom , Wider stand oder Leitwert in Abhängigkeit von einem reellen Parameter . Als Parameter können auf treten Veränderungen der Frequenz, des Widerstandes , der Kapazität oder Induktivität. Ortskurven geben sehr anschaulich das Verhalten einer komplexen Größe wieder, indem den Betrag und die Phasenlage in einem Schaubild zeigen .

sie

Bei den Ortskurvendarstellungen haben die reelle und imaginäre Achse stets den gleichen Maßstab , anderenfalls würden sich falsche Winkelwerte der Zeiger ergeben . Die Ortskurve selbst ist der geometrische Ort aller Endpunkte (Zeigerspitze ) der komplexen Größe, der sich in Abhängigkeit von einem reellen veränderlichen Parameter ergibt. Die Ortskurven von Grundschaltungen haben eine einfache Gestalt . Es gibt Ortskurven vom Geradentyp und Kreistyp . • Die Ortskurven des komplexen Widerstandes von Reihenschaltungen und des komplexen Leitwerts von Parallelschaltungen sind vom Geradentyp . Siehe nachfolgendes Beispiel für eine Reihenschaltung.

291

23.5 Ortskurven

Beispiel Für eine Reihenschaltung eines Widerstandes mit einer Spule sind die Ortskurven des komplexen Wider standes maßstäblich zu ermitteln , wenn als Parameter a ) die Kreisfrequenz 6 = ... 400 s - 1 b ) der Widerstand R = ... 40 12. auftreten . Lösung: Schaltung

Schaltung

L = ,1H

R = . . .402

L = ,11

R = 1012

w = ... 400s -1

W = 2005- 1

Bild 23 . 31 Schaltung bei veränderlicher Kreisfrequenz o

Bild 23. 32 Schaltung bei veränderlichem Widerstand R

Tabelle

Tabelle o ( - 1)

Z = R + j oL

R ( 92 )

Z = R + jol 102

100 200 300

1022 10 2 10 12 10 12

400

10

+ j102 + j 2012 + j 3022 + j 40 22

10 20 30 40

22 22 12 2

+ + + + +

j 2012 j 2012 j 2022 j 2012 j 2012

Ortskurve

Ortskurve Ortskurve 00

W

jx

R

30t lo

10

20

30 92 40

Ortskurve 3

VALOH 20 10

107 701 OKU 30 2 . 40 R

Bild 23. 33 Widerstands -Ortskurve für veränderliche Kreisfrequenz o

10

20

30 R

2 40 .

Bild 23.34 Widerstands - Ortskurve für veränderlichen Widerstand R

• Die Ortskurven des komplexen Leitwertes von Reihenschaltungen und des komplexen Widerstandes von Parallelschaltungen sind vom Kreistyp . Siehe nachfolgendes Beispiel für eine Reihenschaltung.

292

23 Einführung der komplexen Rechnung

Beispiel Für eine Reihenschaltung eines Widerstandes mit einer Spule sind die Ortskurven des komplexen Leit wertes maßstäblich zu ermitteln , wenn als Parameter a)

die Kreisfrequenz o =

b ) der Widerstand R =

... 400 s ... 40 2

auftreten (vgl. voranstehendes Beispiel).

Lösung: Schaltung

Schaltung R = 1012

R = ...4052

L = ,1H

[ = ,1H

w = ...4005-1

W = 2005 - 1

Bild 23. 35 Schaltung bei veränderlicher Kreisfrequenz o

Bild 23. 36 Schaltung bei veränderlichem Widerstand R

Tabelle (s- 1)

50 100 200 300 400

Tabelle R - jo .

Jy1 . Z

R

100 ms 80ms 50 ms 20 mS 10 mS 6 mS

-

j 40 ms j 50 ms j 40 ms j 30 ms j 24 ms

Ortskurve

R - jo . L

ZR? + (

L)

~ 12 mS 20 mS 25ms 23 ms 20 ms -

j 50ms j 47ms j 40 ms j 25 ms j 15 ms j 10 ms

10

30

Ortskurve

20

jBL

1.

R ( 22)

+ (@ L)?

-407 ms 200 - 60 + s11

40

60

m5

20

ms

50

100

Ortskurve Ortskur 50 100 100

Bild 23.37 Leitwert-Ortskurve für veränderliche Kreisfrequenz o

JBL 1 T

tskurve -407 ms ortske - 50 +

Bild 23. 38 Leitwert- Ortskurve für veränder lichen Widerstand R

293

23.5 Ortskurven

Aus den voranstehenden Beispielen ist ersichtlich , dass für jede Ortskurve des Scheinwider standes eine äquivalente Ortskurve des Scheinleitwertes angegeben werden kann und umge ese Umwandlung der Ortskurven nennt man Inversion . Die Inversion kann rechne risch oder grafisch erfolgen . (Im ! !

Bild 23. 39 À

(Rel

Zur Inversion von Ortskurven

Der grafischen Inversion (s. Bild 23.39 ) liegen folgende Behauptungen zugrunde: 1 . Verschiebt sich der Punkt B auf der Ortskurve G vom Geradentyp in der in Bild 23.39 angegebenen Richtung, so bewegt sich Punkt P auf einer Kreisbahn. Vorausgesetzt ist, dass der Punkt P der Bedingung AP 1 OB genügt (Thaleskreis ). 2 . Das Produkt der Strecken OB und OP ist gleich dem Punkt P auf dem Thaleskreis liegt (Kathetensatz):

Quadrat der Strecke OA , wenn der

(OP) - (OB) = (OA ) . Fasst man nun die Strecke OB als den Betrag eines Scheinwiderstandes auf, dann stellt die Strecke OP den Betrag des äquivalenten Scheinleitwertes dar, wenn der Kreisdurchmesser OA konstant gesetzt wird , denn es ist: (OA )2

Y = =

konst

mit dem Maßstabfaktor konst. = 1

Führt man die Inversion nicht nur für einen , sondern für mehrere Punkte B auf der Ortskurve vom Geradentyp durch , so erhält man entsprechend viele Punkte P , die alle auf einem Kreisab schnitt liegen . Die Inversion einer Ortskurve vom Geradentyp , die nicht durch den Nullpunkt der komplexen Zahlenebene geht, ergibt eine Ortskuve vom Kreistyp , die den Nullpunkt berührt. Diese Aus sage gilt auch umgekehrt. Dabei der Inversion ein Vorzeichenwechsel des Phasenverschiebungswinkels auftritt , Z = Z - e + jp Y = - . e - jo Z muss die durch Inversion entstandene Ortskurve aus dem 1. Quadranten in den 4 . Quadranten der komplexen Zahlenebene (oder umgedreht) verlegt werden .

294

23 Einführung der komplexen Rechnung

Beispiel Für die in Bild 23 .40 gezeigte Parallelschaltung eines Widerstandes mit einer Spule ist die Leitwert Ortskurve in Abhängigkeit von der Frequenz zu bestimmen und daraus durch Inversion die Widerstands Ortskurve abzuleiten . Lösung : Die Leitwert-Ortskurve ist eine Gerade. Y = G - j BL = 10 ms - j BL Es genügt die Berechnung eines Wertes , z.B . für: f = 2,5 kHz ist Y = 10 ms - j 10 mS (Punkt B ) Weitere Punkte auf der Leitwert-Ortskurve ergeben sich durch Verdoppelung, Halbierung usw . des Blindleitwertes. 801 2 Widerstands 60 + Ortskurve 2 2, 5 * T8kHz 120 f +

LiL 1211 V

20

40

60

80

100QIND 120

140 S2 160 14 m5 16

G / 00Leitwert Ortskurve

-

R = 10052

- 12 L = 6 ,37mH

N

Bild 23.40 Inversion : Die Widerstands-Ortskurve der Parallelschaltung von Rund L ist ein Halbkreis im 1. Quadranten der komplexen Zahlenebene. Das Bild zeigt die Leitwert-Ortskurve und die durch Inversion entstandene Widerstands-Ortskurve sowie deren Eichung in Frequenzwerten . Ablesebeispiel für f = 5 kHz: Leitwert der Schaltung G = 10 mS; BL = 5 ms Widerstand der Schaltung R = 8082 ; XL = 40 S2

Bild 23.41 zeigt eine Zusammenstellung der Ortskurven von Grundschaltungen . Diese Ortskurven gelten nicht nur für Scheinwiderstände und Scheinleitwerte , sondern unter be stimmten Voraussetzungen auch für Spannungen und Ströme. Liegt eine R -, L -, C - Schaltung an einer Konstantspannungsquelle (niederohmiger Generator), dann ist die Ortskurve des Scheinleitwertes zugleich auch die Ortskurve des Stromes, wenn für den Spannungszeiger der reelle Wert 1 V = konst. gewählt wird : I = Y

U = Y

1V

Wird eine Schaltung an einer Konstantstromquelle (hochohmiger Generator ) betrieben , dann ist die Ortskurve des Scheinwiderstandes zugleich auch die Ortskurve für die Gesamtspannung an der Schaltung, wenn für den Stromzeiger der reelle Wert 1 A = konst. angenommen wird : U = ZI= Z . 1A

23 . 5 Ortskurven

295

Grundschaltung

Z - Ortskurve

Y - Ortskurve Re

R

Re

Re

RL L bzw . w

I bzw . w

Re Re + jlm

olm

R

R

Re

Re *jlm C bzw . w

( bzw . w jlm

# jlm

Re

|

jlm /

R

-

Re

* ilm L bzw . w Lbzw . w - jim

Re

ilm

Re ( bzw . w

Re jlm C bzw . w

Bild 23.41 Ortskurven von Grundschaltungen

296

23 Einführung der komplexen Rechnung

23 .6 Übungsaufgaben A Übung 23. 1: Komplexe Spannungsgleichung Wandeln Sie die Momentanwert-Gleichung u = 45 ,25 V . sin (ot - 20 , 2°) in die drei Formen der komple xen Spannungsgleichung um . A Übung 23.2 : Umformen der komplexen Spannungsgleichung Es ist die gegebene komplexe Spannungsgleichung U = 30 V - j 11 V in die Exponentialform umzurech nen . A Übung 23.3 : Äquivalente Reihenschaltung Für die Parallelschaltung eines Widerstandes mit Rp = 100 2 und eines Kondensators mit Cp = 22 nF ist für die Frequenz f = 36 ,2 kHz die äquivalente Reihenschaltung zu berechnen . A

Übung 23.4 : Äquivalente Parallelschaltung Für die Reihenschaltung eines Widerstandes mit RR = 80 2 und eines Kondensators mit CR = für die Frequenz f = 36 ,2 kHz die äquivalente Parallelschaltung zu berechnen .

A Übung 23.5 : Scheinwiderstand einer verlustbe hafteten Spule Bild 23 .42 zeigt das vollständige Ersatzschaltbild schaltbild einer verlustbehafteten Spule, die an der Wechsel spannung von 30 V und 50 Hz eine Stromaufnahme von 2 , 5 A hat. Berechnen Sie den Scheinwiderstand der Ersatz schaltung der Spule und prüfen Sie die Stromauf nahme nach .

L = 32 ,5mH Rou Rey 4 , 752 RFe = 39,212 P =45W

Bild 23 .42

L = , 11 _ m

A Übung 23 .6 : Zeigerdiagramm Für die im Bild 23 .43 gegebene Schaltung soll ein maßstäbliches Zeigerdiagramm angefertigt werden . Gemessen wurde 1 = , 1 A bei f = 50 Hz .

( = 200 uF Up

Lösungsleitlinie: 1 . Versuchen Sie zunächst ein unmaßstäbliches Zeigerdiagramm darzustellen , beginnend mit I, dann Uc, IR , IL , Up, U . 2 . Berechnung der Schaltung in der Reihenfolge: Xc, XL, Yp , Z, Ucmit = 0°, Up, U , IR , IL 3 . Anfertigung des maßstäblichen Zeigerdia gramms.

IR

Bild 23.43 R = 12

A Übung 23 .7 : Phasenverschiebungswinkel Welchen Wert muss der Widerstand R2 haben , da mit der Phasenverschiebungswinkel zwischen der Generatorspannung U und dem Gesamtstrom I ge rade 45° beträgt ? Lösungshinweis: Ermitteln Sie den Scheinleitwert in der Normalform der komplexen Zahl, und setzen Sie dann tan o = (Im )/ (Re) an (s. Bild 23.44 ). Im = Imaginäranteil, Re = Realanteil

R = 2012

Bild 23 .44

X [ = 22

, 11 uF ist

297

23.6 Übungsaufgaben A Übung 23.8 : 3- Spannungsmesser-Methode Zur Bestimmung der Induktivität einer verlust behafteten Spule wurde diese mit einem Wider stand bekannter Größe in Reihe geschaltet. Es wurden die in Bild 23 .45 angegebenen Spannungs messungen durchgeführt ( Spannungsmesser Ri = 20 , Frequenz f = 50 Hz).

Rv = 1002 1

URV = 12V

Wie groß ist die Induktivität L der Spule ? Lösungshinweis : Beginnen Sie mit der Darstellung des Zeigerbildes.

Usp = 17 V

U = 26 , 5 V Bild 23.45

A Übung 23.9 : Frequenz für den Phasenverschie bungswinkel y = 0° Bei welcher Frequenz ist in der Schaltung nach Bild 23 .46 der Phasenverschiebungswinkel w zwi schen der angelegten Spannung U und dem Ge samtstrom I gleich null ?

X = 30012

- 2 R3 = 30012

Xc = 50012

3V 600Hz

Wie groß sind die Ströme I und I, bei Q = 0° ? Lösungshinweis: Komplexe Leitwert-Gleichung aufstellen . Bedingung Q = 0° erfordert, dass der Imaginäranteil gleich null gesetzt werden muss (s. Kapitel 23 .3 .5 ) .

I, Ry= 20052

Bild 23.46

Rg = 1802

A Übung 23.10: Äquivalente Schaltung Der Phasenverschiebungswinkel zwischen der Spannung U und dem Strom I sei az = - 20°, der Strom ist voreilend . Berechnen Sie die äquivalente Reihenschaltung zu Bild 23.47.

Xc= 2502

Bild 23 .47

A Übung 23.11 : Zeigerdiagramm Zeichnen Sie ein maßstäbliches Zeigerdiagramm für die im Bild 23 .48 dargestellte Schaltung. Es ist R = [Xcl = \XLI. Lösungshinweis: Beginnen Sie mit der Festlegung des Betrages und der Richtung von Up.

m Ic IC

Bild 23 .48

298

24 Frequenzgang von RC -Übertragungsgliedern

Die Frequenzgangmethode ist ein Untersuchungsverfahren um das Übertragungsverhalten von Netzwerken in Abhängigkeit von der Frequenz festzustellen . Dazu wird an den Eingang der Schaltung eine sinusförmige Wechselspannung konstanter Amplitude aber variabler Frequenz gelegt und die Ausgangsspannung des Netzwerkes hinsichtlich ihrer Amplitude und Phasenla ge in Abhängigkeit von der Frequenz untersucht. Die Frequenzgangmethode wird am Beispiel einfacher RC -Gliedschaltungen dargestellt, kann aber auch auf beliebige andere Schaltungen angewendet werden . Schaltungstechnisch wichtig sind Netzwerke mit einem pass -, Bandpass- oder Allpass- Übertragungsverhalten .

Tiefpass -, Hoch

24 . 1 Frequenzgang Jede mit zwei Eingangs- und zwei Ausgangsklemmen versehene Schaltung kann allgemein als Vierpol bezeichnet werden . Besteht die Anordnung aus R -, L - und C -Schaltgliedern , spricht man von einem passiven Vierpol. Wird der Vierpol mit einer sinusförmigen Eingangsspannung gespeist, so wird unter der Voraussetzung linearer Schaltelemente in der Schaltung, die Aus gangsspannung ebenfalls sinusförmig sein , jedoch im Allgemeinen eine von der Frequenz abhängige Amplitude und Phasenverschiebung gegenüber der Eingangsspannung aufweisen .

VP

Bild 24 . 1 Vierpol

Als Frequenzgang des Vierpols bezeichnet man das Verhältnis eines Ausgangssignals zu ei nem Eingangssignal in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz o bei sinusförmigen Spannungen und Strömen im eingeschwungenen Zustand . Man betrachtet den Frequenzgang als eine kom plexe Größe und verwendet das Formelzeichen F . Um die Frequenzabhängigkeit dieser Größe kenntlich zu machen , fügt man in Klammern die Kreisfrequenz wan : F ( ). Betrachtet man die Spannung Ua und Ue als Ausgangs- und Eingangsgrößen eines Vierpols, dann ist der Frequenzgang F ( ) ein Spannungsverhältnis und damit eine dimensionslose, aber komplexe Zahl:

Frequenzgang

( 184 )

Der Frequenzgang beinhaltet den Betrag des Spannungsverhältnisses und den Phasenverschie bungswinkel in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz .

299

24 .2 Tiefpass

Betrachtet man lediglich das Verhältnis der Beträge von Ausgangsgröße und Eingangsgröße in Abhängigkeit von der Frequenz (also ohne Berücksichtigung der Phasenverschiebung ), so bezeichnet man diese Darstellung als den Amplitudengang : Amplitudengang

(185)

Der Amplitudengang wird üblicherweise in doppeltlogarithmischer Darstellung aufgetragen , wobei für das Betragsverhältnis (Spannung, Ströme) das logarithmische Maß „ Dezibel" ange geben wird :

|E (

(186 )

db = 20. 1ga

Die nachfolgende Tabelle zeigt, dass sich insbesondere sehr kleine und sehr große Betragsver hältnisse mit dem logarithmischen Maß Dezibel geschickt aufschreiben lassen . Dabei ist zu beachten , dass dem Betragsverhältnis 1 : 1 der Wert

dB zugeordnet wird . 122

E (@ | |E (@ dB

|

1000

100

To

- 60

- 40

- 20

l -6

100

1000

TiiliĪ IT 60 3 1 6 20 40 1 - 3

Die frequenzabhängige Abnahme der Ausgangsspannung Ua eines Vierpols bezogen auf eine konstante Eingangsspannung Ue wird auch als Dämpfung oder Sperrdämpfung a bezeichnet und in Dezibel (dB ) angegeben . dB = 20.1gū Die besondere Darstellung des Phasenverschiebungswinkels zwischen Ausgangsgröße und Eingangsgröße in Abhängigkeit von der Frequenz wird als Phasengang bezeichnet . Der Pha senversschiebungswinkel wird aus dem Imginärteil und Realteil des Frequenzgangs berechnet: Phasengang

( )=
> ro , daher näherungsweise: C - T Ep . Eg 1 C

Kapazität der Paralleldrahtleitung : 1 : 2,5 -8 ,85 - 10 -12 As/ Vm -1m " z 26 pF 7 mm in ,5 mm

(236 )

Lösungen der Übungen A

383

11. 8 a)

_ 1. 8,85 .10 -12 As : V - 1.m - . ,16 m2 d, = 200 -10-12As: V d = 7 ,08 mm

Durch Schließen des Schalters werden die beiden geladenen Kondensatoren parallel ge schaltet. Es lassen sich die Ersatzkapazität der Parallelschaltung und der neue Span nungswert berechnen . Die vorhandenen La dungsmengen bleiben erhalten : Cges = G + C2 = 10 uF + 50 uF = 60 uF

Anzugskraft = Feder-Gegenkraft im F = Er• E0 · A .U2 2 . d4 C

U = G : U , + C2: 02 Cges

w = : ;•U ?+ w =

A

.cz.UZ

C = Es• E0 · A d

10 -12F ? - 200 - . (10000 V )2 2 -7,08 -10 -3m

11.11 Die Leitungsdurchführung ähnelt im einem Zylinderkondensator.

10 uF .(40 V)2+ 7.50 uF .(10 632

Aufbau

Feldstärke im Zylinderkondensator allgemein : r . In a

Cges : V2

Für r = r ; = 1 mm 1000 V E; = - = 910 V /mm 3 mm 1 mm . In ( 1mm )

w = 1.60 uF .( 15 V)2 W = 6 ,75 mWs (Schalter S = zu ) Durch Schließen des Schalters wird ein Umlade vorgang in Form einer Schwingung ausgelöst, bei dem Energie abgestrahlt wird .

A

mit

F = 1,41 N

Schließen

W = 10,5 mWs( Schalter S = auf ) W =

U 2. d

F

b ) Energiebetrag vor und nach dem des Schalters :

stationären

Zustand (Gleichgewicht ):

Die Feldstärke E; an der Leiteroberfläche ist der Ort der größten Feldstärke und diese ist hier kleiner als die Durchschlagsfestigkeit der Luft. Die Isolationsfähigkeit der Luft reicht also aus.

11. 9 Für den ersten Moment der Schalteröffnung kann vom Erhalt der Energie ausgegangen werden : Wel = W magn

12

1 .C.uếmax = 7+L• 1 = ,25mWs

UCmax

2 -W magn v C V

2 . ,25 -10 -3Ws ,1 - 10 - 6F

UCmax = 70,7 V

A

11 .10 Plattenabstand d im stationären Zustand für den gegebenen Kapazitätswert C : C = Er ·80 · A d

=

d = £r* £0)· A

A

12 . 1 Vor dem Öffnen des Schalters fließt Strom nur im Widerstand R2 und im Schalter. Nach öffnen des Schalters entsteht ein neuer Stromkreis mit einer Reihenschaltung von zwei Widerständen und einem Kondensator. Es fließt ein Ladestrom für den Kondensator mit einer Anfangsstrom stärke und dann abnehmend nach dem bekannten e -Funktionsverlauf: Anfangswert der Stromstärke

ico = - =

10 V 1 ke

= 10 mA

384

Lösungen der Übungen

Zeitkonstante der Reihenschaltung: T = R . C = 1000 2 . ,1 · 10 -6F = ,1 ms Die Potenziale und 2 springen im Zeitpunkt t der Schalteröffnung auf + 1 V , weil der An fangswert des Ladestromes im Widerstand R1 den Spannungsabfall 1 V verursacht und der Kondensator immer noch ungeladen ( uc = ) ist .

%Lit I

2 +

Dann nimmt das Potenzial nach einer e - Funk tion ab , auf Grund des abnehmenden Ladestroms ic . Das Potenzial o nimmt zu infolge der Kon densatoraufladung.

IcR

+ R2

e

t = 10 mA e T

t +1

+₂+31

+57

ty

tg +

t +31

to + 57

TV

to

A

Ladestrom :

t

12.2 a) +421

Potenzial42 (Spannung gegenüber Masse): 42 = ic

-12V

/

- U .R e T R = R1 + R2

+12V

Potenzial 41 (Spannung gegenüber Masse und Summe der Teilspannung uc und uri oder Dif ferenz aus Versorgungsspannung U und Span nungsabfall an Widerstand R2) :

ucl + 12V

01 = + U - ic . R2 01 = + U -

12 .et mit U = 10 V R1 + R2

Durch Einsetzen verschiedener Zeitwertet erge ben 11 sich Tabellenwerte für Qi und 82 :

91 = + U t 1 t t

= = 17 = 37 = 57

10 10 10 10

V V V V

-

UR R2 +R2

9V = + 1 V 3 ,31 V = + 6 ,69 V , 45 V = + 9 ,55 V , 063 V + 10 V

UR 2 t t t t

= = 17 = 31 = 57

R1 + R2

+ 1 V + , 368 V + ,05 V + ,007 V

- URI!

1

- 12V

b ) Ende der Entladung praktisch nach t = 51 5 .R . C 25 · 10 · 103 22 · 22 · 10 -9F 125 . ,22 ms = 1, 1 ms. c)

in = Uco . R (Minuszeichen für Entladestromrichtung, also gegen die Zählpfeilrichtung von uri). - ,25 mA = 12 mA ,25 mA

12 V koe T TOKO 10

+ = et

In 4,8 = ” . In e t = 1,57

,22 ms = 345 us

385

Lösungen der Übungen A

12. 3

12 . 5 Zeitkonstante der RC - Schaltung

a ) Kondensator wird von einer Konstantstrom quelle mit Konstantstrom geladen und umge laden .

T = R . C = 47 k 2 . 10 uF = ,47 s Aufladung des Kondensators über einen Vorwi derstand an konstanter Spannung:

b ) Der lineare Spannungsanstieg im Zeitbereich bis 2 ms beruht auf Einspeisung eines kon stanten Stroms, hier ein zeitabschnittsweiser Gleichstrom . Die Stromstärke kann aus der Änderungsgeschwindigkeit der Kondensator spannung und der Kapazität des Kondensa tors berechnet werden : AU - 6 AS 10 V = .. 11 .. 10 I = C 10 - = , 5 mA V 2 ms

,5 = e

c ) Das Schaltungsprinzip besteht aus zwei ent gegengesetzt gepolten Stromquellen , die durch einen unterbrechungsfreien Schalter umgeschaltetwerden .

1

In . In e In ,5 = - - In e t = - T . In , 5 =

•

,326 s

12 .6 Beim Widerstand ist der Strom proportional zur Spannung , wenn sein Wert konstant ist. Der Kondensatorstrom ist dagegen proportional zur Änderungsgeschwindigkeit der Kondensator spannung, wenn die Kapazität konstant ist.

12 . 4

9 - 1 .7

Der Kondensator ist ein elektrischer Energie speicher , während der Widerstand die Energie in Wärme umwandelt.

15

5

20 13 A

UC 40

5 6 + mWs W +

-

10

15

s 20

--

13 . 1 Die Induktivität der eisengefüllten , luftspalt freien Spule ist keine konstante Größe, sondern abhängig von der Stromstärke. Der Gleichstrom I ist nicht gegebenen undmuss für die gemessene magnetische Flussdichte B ermittelt werden . Magnetische Flussdichte : BFe = ,25 T gemessen Erforderliche magnetische Feldstärke für Eisen ausMagnetisierungskurve : He = 80 A / m aus Bild 13 .10 Aufzubringende Durchflutung

5

10

15

20

© = Hfelfe = 80 A /m ,2 m

= 16 A

:

386

Lösungen der Übungen

Gleichstrom 1:

Erforderlicher Strom zahl N :

© 16 A I = - = = 16 mA N 1000

©

Zur Berechnung der Induktivität gemäß ihrer Definition als Quotient aus Flussverkettung N . Q und Strom I muss noch der magnetische Fluss im Eisenkreis berechnet werden .

N

A

O = BA = ,25 T . 4 . 10 -4 m2

A

13 . 3

1000 . , 1.10 -3Vs - = 6 , 25 H 16 - 10 -3A

Bekannt sind N , I und Bl aus Aufgabe 13 .2 , sodass nur noch der magnetische Fluss für den Querschnitt A = AL = Afe berechnet werden muss :

13 . 2

O = B : A = 1 , 12 T . 10 · 10 - 4 m2 Q = 1, 12 mVs Induktivität der Spule :

Formel zur Berechnung der Haltekraft F eines Magneten mit der Flussdichte BL in der Luft spalt - Querschnittsfläche AL : F

1829 A = 1. 83 A 1000 = 1,83 A

Definition für Induktivität L einer Spule : .o L -N

Q = ,1 mVs Induktivität L der Spule : L = N .

I bei gegebener Windungs

.

E

1 B2 . PL . AL, AL = 2 Afe (2 Luftspalte ) 2 MO

L

_ 1000. 1,12 - 10 -3Vs =N . 1, 83 A

L

=

,61 H

Erforderliche Flussdichte für gegebene Haltkraft: A

40-F B4 =,/2. VAL

Die Energie ist überwiegend im Luftspalt gespei chert, daher Berechnung mit Gl. 91:

2 . 41 . 10 - 7 Vs.1000 N V

1 B? WW magn (L ) = . 2 magn (L ) 2 Ho

20 - 10 -4m². Am

BL = 1,12 T = BFe Magnetische Feldstärke in den Luftspalten , die durch die Hartpapierschichten gebildet werden : H

= ” L = 892000 A /m Но

Magnetische Feldstärke im Eisen , wobei auf Grund der gleichen Querschnittsflächen von Luftspalt und Eisen anzunehmen ist, dass die magnetische Flussdichte in Eisen gleich der in den Luftspalten ist. Hie kann nicht berechnet werden , sondern ist aus der Magnetisierungskur ve des Eisens zu ermitteln : HFe = 300 A /m aus Bild 13 . 10 Aufzuwendende Durchflutung

gemäß Durch

flutungssatz : O = HFelfe + HLIL , 15 m + 892 000 A m / O = 300 A / m O = 45 A + 1784 A = 1829 A

13 . 4

2 . 10 - 3 m

V

Index L = Luft

V = 44•Il = 10 cm²·2 ·1 mm = 2· 10-6m3 1 (1,12 T)2 . 2 -10 -6m3 W magn(L) = mb) 2 411 . 10 -7Vs W magn ( L) = 1 Ws Kontrolle : Berechnung der magnetischen Energie der stromdurchflossenen Spule mit Gl. 90 : W magn = :1:12 W magn =2 . ,61H ·(1,83 A)2= 1Ws

387

Lösungen der Übungen A

Zur Berechnung des Drehmoments muss die Kraftkomponente , die senkrecht auf den Hebel arm steht, verwendet werden :

13.5 Die Kraftwirkung des magnetischen Feldes auf frei bewegte elektrische Ladungen wird als Lorentzkraft bezeichnet.

M1 = 2

= 7,8 · 10 -8 Nm

M

F = B : 9 : V

F . r . cos 30°

M2 = 2 · For M2 = 9 . 10-8 Nm

F = ,01 Vs/m2. 1,6 . 10 -19 As · 107 m /s F = , 16 • 10 -13 N

13. 7

A

Das Elektron beschreibt im Magnetfeld eine Kreisbahn . Die Zentrifugalkraft (Fliehkraft ) der Kreisbewegung ist gleich der vom Magnetfeld auf das Elektron ausgeübten Kraft: 02 F =m .

Die elektrodynamische Kraft F zwischen zwei stromdurchflossenen parallelen Leitern berechnet sich für gleich große Ströme in beiden Leitern mit Gl. 97:

r = Radius

F - Ur :Mo : 1 . , 2 21 . a

r._=m .02 _ ,911-10 - 30kg ( 107m /s)2 F ,16 - 10 - 13N

3 F =1.47 . 10 - 7Vs :m 70 1 .(40 -103 A) 21 . ,45 m . Am

r = 5 , 7 mm

F = 50 kN

Das Magnetfeld kann im Gegensatz zu einem elektrischen Feld die Geschwindigkeit v eines Elektrons nicht ändern , sondern nur dessen Rich tung, siehe Bild : + + + + +

A

Stromrichtung ist entgegengesetzt der Elektronenstrom richtung. Strahlab - 5 lenkung nach oben .

+ + + ++ + + + + + + + A44+ KATTA ++ 1 A + + ++ + + + + + + +

+

+

A A

Feld schwächung -

N

Feld verstärkung

13 .9 Der Strom verursacht im Innern der Wicklung ein magnetisches Feld . Dadurch werden die Stahlzungen magnetisiert und ziehen sich an (Verkürzung der Feldlinien ).

13.6 Der Betrag der Kraft ist in beiden Fällen gleich : F = B : 1: 1 F = , 1 T . 1 . 10 -3 A . 3 . 10 - 2 m = 3 un Mag senkrecht au auf acel der Was steht SCINTECH Die Kraftrichtung8 son netfeld - und Stromrichtung :

13. 8

A

13 . 10 a ) Nach links gemäß Kraft auf stromdurchflos senen Leiter im Magnetfeld .

OXA

F =B F =

N : 1 . 1 mit 1 = b = 1 cm ,2 T . 1000 . 1 . 10 - 3 A . 1 . 10 -2 m

F = 2 mN

388 A

Lösungen der Übungen

13. 11

b ) Beim Ausschalten des Primärstroms bemerkt die Sekundärspule einen abnehmenden mag netischen Fluss und versucht durch Anzie hung der Flussabnahme in der eigenen Spule entgegen zu wirken .

a ) Magnetisierungsarbeit: ,71 W12 = Vfe

H FedB

Abstoßung

HEE 50 A W1271. 10-3 m3- 17 FE . ,1 T FE . m

thHh Hh sh

W 12 = + 85 mWs b ) Energierückgewinnung : ,427 W

W W

= Vie

BEM BFe

W W

Anziehung HFe

50 A = 1 . 10 -3 m3. 8 FF . ,1 T FE . m 240 mWs

Magnetisierungsarbeit: OT W

+ 2

BV

[H FedB ,71

= Vfe

| Hfe .dB ,42 T

*

IO

NEOsFluss abnahme

+ 2 A 31

14 . 2

HEE U = - B . 1.

,1 T . 50 A = 1 . 10-3 m3. 75 FF . FE . m = 37,5 m Ws

AW = 85 mWs - 40 mWs + 37,5 mWs

R = 20 mS2 . ,1 m

AW = 82 , 5 mWs

m2 R =2

Gemäß der Lenz' schen Regel ist der Induktions strom in der Sekundärspule so gerichtet, dass er seiner Entstehungsursache entgegenwirkt. a ) Beim Einschalten des Primärstroms erzeugt die Primärspule ein Magnetfeld , sodass es zu einer Flusszunahme in der Sekundärspule kommt. Dem muss der induzierte Sekundär strom entgegenwirken , indem er eine solche Richtung annimmt, dass sein Magnetfeld sich mit seinem Südpol S dem Südpol S des Pri märfeldes entgegenstellt, sodass es zu einer Abstoßung kommt, um so der Flusszunahme in der eigenen Spule entgegen zu wirken .

A

.1

.

11 - 10 mV - = - 5 As m2 . 1

T =R

14 14 . 1

= - 10 mV

[,,-" = 1 linkswendige Umlaufspannung bei Flusszunahme m2 R = 2 . 10 2 . 5 mit Weg s = v : t m

Energieaufwand für das Ummagnetisieren von 1 über 2 nach 3 :

•

Fluss zunahme

14 . 3 Beim Eintauchen des Rähmchens in das homo gene Magnetfeld verursacht die Flusszunahme im Kupferrahmen (Spule mit N = 1) eine links wendig gerichtete Induktionsspannung während des Zeitraumst . Mit 1 = b = , 2 m : U 11 =

= B · b · v = , 1 T . ,2 m · 1,5 m /s = 30 m V a V

,, 11 mm = 1,5 m / s

. 667 S

Beim Verlassen des homogenen Magnetfeldes ist die Umlaufspannung dem abnehmenden magne tischen Fluss rechtswendig zugeordnet.

389

Lösungen der Übungen •

•

14. 4 Flächenänderung AA

→

a ) Der magnetische Fluss kann hier nur als Flussänderung AQ beim Einschalten oder Ausschalten des Stroms gemessen werden .

Flussänderung B · A4 = A0→ 4 Induktionsspannung U == - At * → “g Induktionsstrom (Wirbelstrom ) →

b ) Der magnetische Fluss Ø beim Einschalten des Stroms ist gleich der Flussänderung A . Gemäß der Induktivitätsdefinition in Gl. 78 müssen noch die Windungszahl N der Spule und die zum Magnetfluss gehören de Stromstärke I bekannt sein : N . L =

Wärme (Energieabgabe des Systems) → Bremsung .

E L -

F -

-

] A

A

14 .6

14 .7 a) Für den Zeitraum 4 ... 12 us: ,2 A H . = + 2,5 V UL = L NL LA 8 us

14 .5 Die induzierte Umlaufspannung U ist dem mag netischen Fluss rechtswendig zugeordnet, s. Bild 14 . 4 und Memory Kap . 14 . U = - N ..

Für den Zeitraum 12 ... 16 us: UL= L: 411 = 100 uH .- ,2 A = - 5V

40 Die Vorzeichen der Spannungswerte gelten unter der Bedingung, dass die Zählpfeile von il und ul an der Spule gleich orientiert sind, vgl. Bild 14 . 14 und Memory Kap . 14 .

41

Für den Zeitraum 5 - 10 sec: ů = - 1000

25 mVs - " = - 5 V 10 s - 5 s

ULA

Für den Zeitraum 15 - 20 sec:

gleiche Spannungs- Zeitflächen

25 mVs Ú = -1000. 10 mVs - = + 3 V 20 S - 15 s Für den Zeitraum 25 - 27 ,5 s: - 10 mVs - ( + 10 mVs ) = +8 V U = -1000 . 27 ,5 s - 25 S In allen anderen Zeiträumen ist U = Flussänderung

4

8

12

16

20 us +

, da keine

. 48

b ) Gleiche Lösung wie für a ), da für das Entste hen der Selbstinduktionsspannung nur die Stromänderungen maßgebend sind . 20

S

30

390 A

Lösungen der Übungen

14 .8

Ausrechnung : 40 mA

Gleichorientierung der Zählpfeile iſ und up an der Spule, s. Bild 14 . 14 . a ) Für den Zeitraum 4 ... 8 us:

1

20 V ,8 A 100uH : 4us =

ALL = “ 1 . 11-

= l - eT

80 mA

5=e +7 .

-;

+ 2 = eT =et 2

Für den Zeitraum 8 ... 16 us: In 2 =

- 10 V . 8js = - ,8 A Alų = " \ .At= 100 uH

In e

t = t . In 2 = 7 ms - ,693 t = 4 , 85 ms A

b

4

8

- ,4

12

16

20 ust.

15 .2 a ) Der Lösung liegt die Annahme zu Grunde, dass beim Ausschalten der Strom von seinem Gleichstromwert I = U R

- ,8 +

nach der e -X - Funktion abnimmt. Während der Ausschaltzeit wird der Strom in der Re laisspule durch Selbstinduktion erzeugt, um so die im Magnetfeld gespeicherte Energie abzubauen . Als Stromkreis liegt die Parallel schaltung der Relaisspule mit dem Wider stand Ra vor. Aus dem vorgegeben Höchst wert der Spannung lässt sich der maximal zu lässige Widerstandswert errechnen :

b ) Die positive Spannungs-Zeitfläche bedeutet eine Magnetfluss -Zunahme. Entsprechend stellt die negative Spannungs -Zeitfläche eine Magnetfluss - Abnahme dar . Einheit: Vs

A

15 . 1 Auf Grund der Selbstinduktionswirkung erreicht der Relaisstrom seinen stationären Endwert erst verzögert ( vergl. Bild 15 . 1 ). Das Relais zieht aber bereits vor Erreichen des Gleichstromwertes an . Zeitkonstante des Relais : L 2 ,1 H = 7 ms 32 300 R Gleichstrom - Endwert: U 24 V I = - = = 80 mA R3002 Ansprech -Stromwert: _ 200 A- = 40 mA i N 5000 Funktionsgleichung des Einschaltstroms: (Dieser Ansatz stimmt nur näherungsweise , weil sich die Induktivität des Relais während des An keranzug ändert.) i

= 11- et

6V - = 50 mA 120 22

R - 160 V = 3, 2 k22 50 mA b ) In die Abschalt -Zeitkonstanter der Parallel schaltung geht auch der Relaiswiderstand ein : L 1,5 H T = - = ,452 ms 3,32 k22 RL + R9 In der Zeit von ,452 ms nach dem Abschal ten ist der Strom von anfänglich 50 mA be reits auf 18 ,5 mA ( 37 % ) abgeklungen . c)

Bei Verwendung einer Freilaufdiode wird die Induktionsspannung an den Spulenklemmen auf die Durchlassspannung der Diode von ca. , 7 V begrenzt. Es wird jedoch die Abschalt Zeitkonstante wegen des geringen Durch lasswiderstandes der Diode ( anstelle von R ) erheblich vergrößert und damit auch die Ab fallzeit des Relais . Die Freilaufdiode ist so zu schalten , dass sie für die Betriebsspannung der Schaltung in Sperrrichtung und für die Selbstinduktions spannung der Spule in Durchlassrichtung ge polt ist.

391

Lösungen der Übungen A

A

15 . 3 a) Dauer-Durchflutung : N

Op = 1· N = R 12 V Op

15 . 4 a ) Der Strom nimmt vom Anfangswert 500 mA entlang einer e - Funktion bis auf den stationä ren Wert 83, 3 mA ab : 10 V 1 = == 2012

600 = 360 A

12052 Ansprech -Durchflutung It. Angabe : OA = 205 A ( € 57 % )

t = 5 t = 5

L = 36002 · 15 · 10 -8 H = 1,94 H Anker abgefallen :

t = 5

L = 36002 . 8 . 10 -8 H = 1,04 H c)

P

OA _ 205 A - 57 mA N 3600 Endwert (Gleichstrom ): U I= _ R

=

dauert fünf Zeit

= 20 , 8 ms

Potenzialänderungen : 03 = + 10 V (unverändert)

42 =

V =

42 = 23 - ,5 A · RL =

Q1 =

V =

91 = ,5 A

V

100 12 = + 50 V

(Der Strom fließt jetztmit seinem Anfangs wert ,5 A nichtmehr durch den Schalter S , sondern durch den Widerstand Ri).

1, 5 H = 12, 5 ms 120 12

Ansprech -Stromstärke :

,5 H 120 22

03 = + 10 V

c ) Berechnung der Ansprechzeit unter der Annahme L = 1 ,5 H = konst.: L R

10 V I 1 = = ,0833 A 120 22 = ,

b ) Der Übergangsvorgang konstanten :

b ) Anker angezogen : L = N2 . AL

Luftspaltänderung = Flussänderung = N . Induktivitätsänderung L = =

,JA5 A

d ) Der Maximalwert der Selbstinduktionsspan nung der Spule kann für den Augenblick der Schalteröffnung mit Hilfe des 2 . Kirch hoff'schen Satzes für den Stromkreis berech net werden :

12 V _ = 100 mA 12022

Su = URL + uLmax + us - U = 10 V + uLmax + 50 V - 10 V = ULmax = - 50 V

Schaltvorgang (EIN ):

V

Funktion der Selbstinduktionsspannung : UL = Ulmax e t = - 50 V .er

57 mA = 100 mA1- e e ) ,57 = 1 - et e

t = ,43

_ ? In e = ln

USA + 501 + + 8,3V +

, 43

tel = - T . In ,43 = 10 ,5 ms Gesamte Ansprechzeit : t = tel + tmech = 11,5 ms

5T

392 •

Lösungen der Übungen

15.5

4 * 34,6° = ,603 (Bogenmaß ) . 41 = 360° ,603 t =. 92 ms 314 5-7 = 1,

USA

24V +

·12 =

S - zu

2x 145,4° = 2,54 (Bogenmaß ) 5* 360° 2 .54 08 ms T =8 8 .,08 314 .1-

S = auf

Die Spannung us über dem geschlossenen Schal ter ist null. Im Moment der Schalteröffnung wird der Strom im Drahtwiderstand unterbrochen und es entsteht eine Selbstinduktionsspannung auf Grund der parasitären Induktivität. Deren Span nungsspitze addiert sich zur Versorgungsspan nung von 24 V . Nach dem Abklingen der Schwingung steht über dem geöffneten Schalter die Versorgungsspannung von 24 V an .

A

16 .2 Die maximale Änderungsgeschwindigkeit einer sinusförmigen Wechselgröße (hier: Spannung) tritt in ihren Nulldurchgängen auf. Sie kann sichtbar gemacht werden , wenn die Tangente an die Sinuskurve im Nulldurchgang eingezeichnet wird. Die Steigung der Tangente ist der zu be rechnende Wert (siehe Bild 16 . 7 ). Zu ihrer Be rechnung müssen die Kreisfrequenz o und die Amplitude û bekannt sein . Aus der bekannten Periodendauer T lässt sich die Frequenz f berechnen

16 A

T

-3. = 400 Hz 2,5 -10 -35

und daraus die Kreisfrequenz o ermitteln

16 . 1 Die Momentanwertgleichung des sinusförmigen Wechselstroms.lautet allgemein i = i . sin ot und mit den gegebenen Werten für die Amplitu de i = 1,41 A und den Momentanwert i = ,8 A ,8 A = 1 ,41A

sin o t.

Aufgelöst nach dem zeitabhängigen Drehwinkel w . t ergibt sich für die beiden positiven Werte von + , 8 A in der ersten positiven Halbwelle : . 41 = arcsin

A = 34,6° 1,41 A

t2 = 180° - 34,6° = 145,4° Die Kreisfrequenz o für die gegebene Frequenz f errechnet sich aus: = 27 . f = 27 . 50 - = 314 S Die gesuchten Zeitpunkte lassen sich ausrechnen , wenn die berechneten Drehwinkel in ihren Bo genmaßwert umgewandelt werden :

= 217 • f = 27 ·400 S = 25121. Damit ergibt sich die maximale Spannungs Anderungsgeschwindigkeit aus du = · û = 2512 -S . 5 V = 12 560 V S di max Rein mathematisch lässt sich die Änderungsge schwindigkeit (Steigung) einer sinusförmigen Wechselspannung aus der ersten Ableitung der Sinusfunktion berechnen . u = û sin ot du“ = . û . cos ot dt Die maximale positive Steigung liegt dann vor , wenn die Funktion cos ot = 1 ist, also bei ot = . Bei ot = it wird cos ot = - 1 und er gibt die maximale negative Steigung .

393

Lösungen der Übungen A

A 16 .5

16 . 3

Maximale Anstiegsgeschwindigkeit eines sinus förmigen Signals der Amplitude 5 V und der Fre quenz 50 kHz errechnet über die Kreisfre quenz w

Aus Frequenz und Zeitpunkt lässt sich der mo mentane zeitabhängig Drehwinkel a = ot be rechnen : @ t = 21 : 1 · 103

. ,4 . 10-3 s = ,8 2 144° S Eingesetzt in die Momentanwertgleichung des sinusförmigen Stromes ergibt sich der gesuchte Momentanwert zu :

= 21t f = 27 . 50 . 103 Hz = 3, 14 · 105 – und mit der Spannungsamplitude û 114 : Au

i = 100 mA · sin 144° i = 58, 8 mA Zeichnerische Lösung mit dem ger: 8mA , 58 = i I

A

i=

10

mA

gemäß GI.

= w ù=3,14 1054 S .sv Can Almax drehenden Zei

Au = 1,57. 100 Y = 1,57 At max Sus Die maximale Anstiegsgeschwindigkeit der Ver stärker -Ausgangsspannung ist mit , 5 V /us vor gegeben und reicht nicht aus, da sie geringer ist als 1,57 V / us. Der Verstärker kann das Sinussig nal nicht kurvenformgetreu verstärken und ver zerrt es zu einem dreieckähnlichen Signal. Der Verstärkungsfaktor von 500 -fach (10 mV • 500 = 5 V ) ist zu groß . Eine Signalverstärkung von 160 - fach ( 10 mV • 160 = 1,6 V ) wäre gerade noch zulässig . Soll eine Verstärkung von 500 fach jedoch ermöglicht werden , muss die zuläs sige Höchstfrequenz auf 15 , 9 kHz begrenzt werden .

wt = 1440

16 .4 In einer Leiterschleife wird eine Spannung indu ziert, wenn sich der mit ihr verkettete magneti sche Fluss zeitlich ändert. Das wird durch die Drehung der Leiterschleife in einem konstanten Magnetfeld erreicht. Für die Berechnung maßge bend ist das Induktionsgesetz (Gl. 100 ). Die da rin vorkommende Flussänderungsgeschwindig keit lässt sich durch sinngemäße Anwendung von Gleichung 114 mit der Flussamplitude und der Kreisfrequenz o berechnen : û = N : ( do = N . . di max Zur Bestimmung der Kreisfrequenz muss zu nächst aus der Drehzahl die Frequenz der indu zierten Spannung errechnet werden . Dazu ist die auf eine Minute bezogene Drehzahl auf die Umdrehungen pro eine Sekunde umzurechnen : f = 1 _ 3 000 Umdr.-- = 50 Hz 60 s = 211f Die Amplitude û oder der auch als Scheitelwert bezeichnete Maximalwert der Wechselspannung ergibt sich dann aus û = 1035 · 1 mVs . 211 . 50 - 1 = 325 V

A

16 .6 a ) u = 6 V · sin ot b ) T = 25 ms >> f = 40 Hz

16 . 7 a)

@ = 211 : f = 6280 s - 1

b ) Sinus c ) Umrechnung der Zeitabhängigkeit eines sinusförmigen Vorgangs in eine Winkelab hängigkeit a = ot. Berechnung der maximalen Änderungsge schwindigkeit einer sinusförmigen Größe: z.B .

U dimax

A

394

Lösungen der Übungen

16 . 8

Spannungs-Zeitflächen oberhalb und unterhalb der Zeitachse gleich groß sind , also : 1 211 ū = - . u . sin ot dot = 21

a)

T = _ = _ 1 _ = 20 ms 50 Hz f @ = 21 : f = 210 · 50 Hz = 314 s-1

b ) u = û . sin ot sin ot = “ = + 1

\u1=

Zeitpunkt positiver Scheitelwert: T ot = -

→

t = - 1 = 5 ms 314 s

Zeitpunktnegativer Scheitelwert: 37 2 2 _

mt= 31 : 1t -=

c) sin ot =

= 15 ms

= + ,5

Diese Bedingung trifft für zwei Zeitpunkte wäh rend der ersten positiven Halbwelle zu , nämlich bei 30° und 150°: ot = -

—

d)

Anstelle von u = û · sinot kann auch u = û · cos (ot - 90°) gesetzt werden . An den Er gebnissen von a ) bis c ) ändert sich nichts .

17 17 . 1 Die zu ermittelnden Kennwerte sind unabhängig von der Frequenz. a ) Arithmetischer Mittelwert: T ū= 7

ſu .de

(Definition

Der arithmetische Mittelwert einer periodischen Größe ist der lineare Mittelwert über eine Perio dendauer und wird durch Überstreichen des Formelzeichens gekennzeichnet. Für eine sinusförmige Wechselspannung ist der arithmetische Mittelwert gleich null, da die

(Definition )

Der Gleichrichtwert einer periodischen Größe ist der arithmetische Mittelwert ihrer Beträge über eine Periodendauer , also ohne Berücksichtigung der Vorzeichen . Zur Kennzeichnung des Gleich richtwertes wird die Größe in Betragszeichen gesetzt und insgesamt überstrichen . Der Gleichrichtwert einer sinusförmigen Wech selspannung lässt sich schaltungstechnisch durch sog. Zweiweg -Gleichrichtung realisieren . Dazu stellt man sich die negative Halbwelle ,,hochge klappt“ vor u

sin otdot =

=

.Sil sin oot -dat

|url =

[-cos oth 2û

2 . 325 V - = 206 , 9 V T

Effektivwert : U = +

A

. llel .dt

= T = 1,67 ms 314 s - 1 57 6 t = ms 3145- 1 - 8,33

ot = -

b ) Gleichrichtwert:

í

2 . dt

(Definition )

Der Effektivwert ist gleich dem positiven Wert der Quadratwurzel aus dem quadratischen Mit telwert der Momentanwerte der periodischen Größe über eine Periodendauer und wird durch ein groß geschriebenes Formelzeichen gekenn zeichnet. Der Effektivwert von Spannungen oder Strömen wird in den Formeln zur Leistungsbe rechnung verwendet. Um den Effektivwert für eine sinusförmige Wechselspannung zu berechnen , muss zuerst das Quadrat der Funktion gebildet und dann deren arithmetischer Mittelwert bestimmt werden , aus dem dann noch die Quadratwurzel zu ziehen ist: 21 U = +

27

û sin ot) .dot

395

Lösungen der Übungen Als Lösung ergibt sich ein sehr einfaches Ergebnis : Scheitelwert durch Wurzel aus 2 . U =

û 2

=

A 17.3 Der Spannungsverlauf stellt die positive Halb welle einer Sinusschwingung dar, wie sie bei der Einweggleichrichtung entsteht. Der mit einem Drehspulinstrument gemessene Spannungswert ist der arithmetische Mittelwert der Spannung für die volle Periodendauer. Zur Berechnung des arithmetischen Mittelwertes der sinusförmigen Spannungshalbwelle wird die se über die halbe Periodendauer integriert und dann durch die ganze Periodendauer dividiert. Damit ist berücksichtigt, dass die zweite Halb welle fehlt . 2 1 1/ u = lu . dt т .

325 V _ - = 230 V 1,414

b ) Scheitelfaktor (Crestfaktor): U (Definition ) CF r _ (für Sinus) CF = 325 V 2304 Der Crestfaktor wird bei Echteffektivwert Messgeräten ein zu beachtender Kennwert bei der Messung schmaler impulsförmiger Spannungen . Bei den Messgeräten gibt es Grenzen dafür, in wieweit bei spitzen Spannungspulsen deren Effektivwert noch richtig angezeigt werden kann .

Auf die Ausrechnung des Integrals kann verzich tet werden , wenn man die Lösung für die Zwei weggleichrichtung mit der „ hochgeklappten ne gativen “ Halbwelle kennt und diese durch 2 teilt. Man erhält dann die Beziehung

Formfaktor: (Definition ) F - 230 V = 1,11 206,9 v

ū =“

( für Sinus)

Umstellung der Formel zur Berechnung der Amplitude û für den gegebenen arithmetischen Mittelwert ū : û =1 ū = 1 · 11 , 8 V = 37 , 1 V

Der Formfaktor wird bei der Skaleneichnung von Messgeräten berücksichtigt, die den Effektivwert anzeigen sollen , deren Zeiger ausschlag jedoch nur dem Gleichrichtwert proportional ist einfache Multimeter) . A A

( vergl. mit Gl. 118 ).

17 . 4

17 . 2 Die allgemein gültige Berechnungsgrundlage für den arithmetischen Mittelwert der gegebenen sägezahnförmigen Spannung lautet: ū = = . Ju . dt Hier in der Aufgabe umfasst die Periodendauer T der Schwingung den Zeitraum eines linearen Spannungsanstiegs bis auf den Wert + 10 V und die anschließende Spannungslücke mit V . Die Ausrechnung des Integrals lässt sich umgehen , indem man die Spannungs-Zeitfläche in ihrer Dreieckform direkt berechnet. Dreiecksflächen berechnung

__ . 10 V ū = —

2

a ) Definitionsgleichung des Effektivwertes : 1 +T U

=+ 1

[up. dk

Zur Lösung des Integrals kann man die Span nungswerte der Zeitabschnitte ... 10 ms und 10...20 ms quadrieren und mit den jeweiligen Zeitabschnitten multiplizieren . Anschließend ist die Summe der beiden Teilergebnisse zu bilden und durch die Periodendauer zu divi dieren . Dieses Zwischenergebnis hat noch die Einheit V2. Erst durch Ziehen der Qua dratwurzel entsteht der Spannungs- Effektiv wert mit der Einheit Volt. [(1,5 V )2 . 10 ms + ( ,5 V )? - 10 ms] 20 ms

= 2,5 V U

= 1,12 V

396

Lösungen der Übungen

b ) Eine andere Lösung geht davon aus, dass die gegebene Mischspannung, hier gedanklich , in einen Gleichspannungsanteil und einen Wechselspannungsanteil zerlegt werden kann , was auch schaltungstechnisch wirklich möglich ist. Der Gleichspannungsanteil U entspricht dem arithmetischen Mittelwert der Mischspannung und ist als Effektivwert zu betrachten .

U = 122 . VT o Die Berechnung des Integrals erfolgt über die Spannungsquadrat-Zeit - Flächen . Danach erfolgt die Division mit der Periodendauer und das Ziehen der Quadratwurzel, um den Effektivwert zu erhalten .

1 +T U

=

т

- . (5 V ) 2 . 3. 5 ms = 3,69 V U127 ,5 ms b ) Bei der Berechnung des arithmetischen Mittelwertes der Impulsspannung, muss der negative Puls in Abzug gebracht werden .

udt

[ 1,5 V · 10 ms + ,5 V . 10 ms] UU __ = – 20 ms U _ = 1 V ( Effektivwert)

ū = =

Der Wechselspannungsanteil hat die Kurvenform einer Rechteckspannung mit den Scheitelwerten + , 5 V und verfügt damit auch über einen Effek tivwert von .5 V . U

u

dt

- [( 2 . 5 V . 5 ms) - ( 1 . 5 V . 5 ms)] 27,5 ms ū = , 91 V

= ,5 V ( Effektivwert)

Das Zusammenwirken der beiden Spannungs komponenten ist leistungsmäßig auszuführen . Dazu stellt man sich vor, dass mit jeder Span eine nungskomponente rein rechnerisch auch Leistungskomponente gebildet werden kann . Beide Leistungskomponenten lassen sich alge braisch addieren . P = P_ + P U2 U2 U2 RRR Der Widerstand R kürzt sich heraus und man erhält den Gesamt-Effektivwert:

A

17 .6 Zur Effektivwertermittlung mit dem Näherungs verfahren müssen dem Signal Stichprobenwerte entnommen , einzeln quadriert und anschließend aufsummiert werden . Die Summe der quadrierten Stichprobenwerte ist durch die Anzahl der Stich proben zu dividieren und aus diesem Zwischen ergebnis ist abschließend noch die Quadratwur zel zu ziehen . 20V

U = \U2 + U2 = 1,12 V 10 Stich proben

Erkennbar ist, dass die Spannungskomponenten geometrisch (wie in einem rechtwinkligen Drei eck ) addiert werden müssen . Das Ergebnis stimmtmit der Lösung in a ) überein .

u } = [02 + 42 + 82 + 122 + 162 + 202 + 162 + 122 + 82 + 42] V2 = 1360 V2

A

17 .5 Eine Periodendauer umfasst drei Pulse von je 5 ms Dauer, die zusammen mit zwei Pausenzei ten eine Periodendauer von 27, 5 msbilden . a ) Für die Berechnung des Effektivwertes spielt es keine Rolle , ob ein Spannungsimpuls posi tiv oder negativ ist, da die Spannungswerte quadriert werden müssen .

Uz 1 .1360 V2 =11,66 V exakt:

397

Lösungen der Übungen A

17.7

Mit der Amplitude für die Wechselspannung

Effektivwert der Dreieckspannung : 15 V û U = = = 8,66 V U = T373 Amplitude der Sinusspannung des gleichen Effektivwertes : û = V2 · U = V2 - 8,66 V = 12 ,25 V

û = 72 . 3 V = 4,24 V ergibt sich also : U2 1022

Ausmultiplizieren des Zählers ergibt U2

16V2 + 33,92 V2 sin ot + 17,98 V2 sin ? ot

1012 1002 und als Leistungsverlauf ausgerechnet

A 17.8 a ) Eine Mischspannung besteht aus einem Gleichspannungs- und Wechselspannungsan teil. Für jeden Spannungsteil kann ein Effek tivwert angegeben werden , die jedoch nicht durch algebraische Addition zu einem Ge samt- Effektivwert verrechnet werden dürfen . Diese Vorschrift ist einsehbar, wenn man er kennt, dass jeder Spannungsteil in einem Widerstand R zu einer Einzelleistung führt, die sich dann im Verbraucher zu einer Ge samt-Wärmeleistung addieren lassen : P = P_ + P Umgestellt nach P = P - P _ folgt U2 _ U2 U2 R RR Nach Multiplikation mit R ergibt sich für den Effektivwert der Wechselspannung : Un = NU2 - U2 = V(5 V)2 –(4 v)2 U = 3 V b ) Durch eine Leistungskontrolle soll geprüft werden , ob eine Gleichspannung von U = 4 V , der eine als sinusförmig angenommene Wechselspannung mit dem Effektivwert U = 3 V überlagert ist, tatsächlich eine Misch spannung mit dem Effektivwert U = 5 V er gibt. Die Mischspannung liegt am Wider stand R = 10 22 an . Die Leistung berechnet sich aus dem allge meinen Ansatz : P =

U2

(U _ + û sin ot R

(4V + 4,24 V sin ot 1012

1022

= 1,6 W + 3,39 W

sin ot + 1,8 W

sin ot .

Umwandlung der Sinusquadratfunktion durch die Beziehung: sin? o = 1 cos20t 2 2 Eingesetzt ergeben sich vier Leistungsteile: P1 = 1,6 W p2 = 3,39 W

sin ot , wobei p2 eine sinusförmi

ge Leistungsschwingung mit dem arithmetischen Mittelwert P2 = ist. Pa = 1,8 W 2 1, 8 W P4 = - 2

= ,9 W cos2ot , wobei p4 eine cosinus

förmig verlaufende Leistungsschwingung mit doppelter Frequenz ist, deren arithmetischer Mit telwert ebenfalls null ist: P4 = ) Das leistungsmäßige Ergebnis der Rechnung lautet also insgesamt: = 1,6 W + ,9 W = 2 ,5 W 1092 Hieraus lässt sich der gesuchte Effektivwert der Mischspannung berechnen : U U

= 2,5 W .1022 = 25 V2 = 5 V

Die Kontrollrechnung zeigt also , dass es zulässig ist, den Effektivwert einer Mischspannung durch geometrische Addition der Effektivwerte des Gleichspannungs- und Wechselspannungsanteils auch auf einfache Weise zu berechnen : U = U2 +U2 = N(4 V}} +(3V)? = 5 V

398 A

Lösungen der Übungen •

17.9 Periodendauer einer Schwingung :

17 . 10 Zeitkonstante des RC -Gliedes :

T = - = = 20 ms f 50 Hz

T = RC = ,1 s Periodendauer der Schwingung:

Einschaltzeit eines Schwingungspakets : Ein = 2 . T = 40 ms Ausschaltzeit, Pausenzeit (gegeben ): Aus = 40 ms Effektivwert einer Sinusschwingung: U = +

= 230 V

Der Effektivwert Veff eines Schwingungspaktes bezogen auf die Schaltperiodenzeit TS = VEin + taus = 80 ms muss, bedingt durch die Pausenzeit, kleiner sein als der Effektivwert 230 V einer durchgehenden Sinusschwingung.

T = 4 cm 25= 8 ms cm Wenn die Zeitkonstante des RC -Gliedes sehr viel größer ist als die Periodendauer der Halbwellen Schwingung kann der Kondensator der schnellen Spannungsänderung der Halbwellen nicht folgen , sondern sich nur auf einen mittleren Wert aufla den . Dieser Wert ist gleich dem in den Sinus halbwellen enthaltenen Gleichspannungsanteil: = û- = 3 cm - 5 V - 477 V cm Zur Schirmbildanzeige gelangt nur der Wechsel anteil der Mischspannung. Das Oszillogramm rutscht bei Umschalten von DC auf AC um den Gleichanteil von 4 ,77 V herunter .

Erzeugte Leistung in der Schaltperiodenzeit Ts: P.

17 . 11

- PtEin + .taus

P .40 ms + . 40 ms ges O 80 ms

a) 2

Wenn die erzeugte Leistung Pges nur halb so groß ist wie die Leistung P _ bei durchgehender Schwingung, bedeutet das jedoch nicht, dass auch der Effektivwert der geschalteten Spannung halb so groß ist wie der einer ungeschalteten (durchgehenden ) Wechselspannung, sondern es ist :

Uža

Ven

Für Rechteckimpulse mit der Pulszeit t; und Periodendauer T :

-

1 v2 =1 (230v)2= 162, 6V 162 ,6 V 1 Ueff , wenn tEin = t Aus 230 V 12

dt

(Effektivwert- Definition )

Angewendet auf Rechteckimpulse :

b ) Für Sägezahnspannung (siehe Bild 17.6 ) Die Funktion einer Sägezahnspannung weist einen linearen Spannungsanstieg auf und kann als Funktion 1 u = - .t

analog zur Funktion y =m

x

geschrieben werden . Es folgt der steile eine Spannungsrückgang auf null , dem Spannungspause bis zum Ende der Perioden dauer T folgt.

=. =

ſu2 . dt

(Effektivwert -Definition )

399

Lösungen der Übungen Angewendet auf sägezahnförmige Spannung:

18 A

1. Die gesuchte Spannung U bildet sich aus den sinusförmigen Strangspannungen Uí und U2, die beide den gleichen Effektivwert aufwei sen , jedoch um 120° phasenverschoben sind . Der vorhandene Phasen verschiebungswinkel ver langt, dass die beiden Spannungen auch unter Berü cksichtigung ihrer Phasenlage , also geomet risch zusammenfasst werden mü ssen (vergleich bar mit mechanischen Kräften , die in verschie dene Richtungen wirken ).

11 U = û

A

18 . 1

17. 12 û = Amplitude Effektivwert aus einer Leistungsü berlegung: Wenn innerhalb einen Periodendauer T nur ein Viertel einer Sinusspannung aktiv ist, kann auch nur ein Viertel der vollen Leistung P erzeugt werden :

4

R

Um entscheiden zu können , ob eine geometri sche Addition oder Subtraktion durchzufü hren ist, muss in der Schaltung nach Aufgabenbild 18 . 10 der 2 . Kirchhoff'sche Satz gebildet wer den . Darin schreibt man die Spannungen mit Unterstrich , um sie von reinen Effektivwerten zu unterscheiden . Fü r den vorgegebenen Umlauf erhältman : U + U2 - U1 = Aufgelöst nach U ergibt sich : U = U1 - U2, also ist eine geometrische Subtraktion nötig , die als geometrische Addition mit umgekehrten Vorzeichen von U2 ausgefü hrt wird . Im nachfol genden Zeigerdiagramm wird dazu der Zeiger von U2 um 180° gedrehtund als U2 dargestellt.

Scheitelfaktor (Crestfaktor ) CF = U™

(Scheitelfaktor-Definition )

Angewendet auf die Viertel- Sinusschwingung: û CF = = = 2,83 û / 2 ,83

U ; = - U2

Uż U = 400 V 3 . Die Berechnung des Betrags der Spannung U ( Effektivwert) im voranstehenden Bild kann mit Hilfe des Kosinussatzes erfolgen . Der darin vor kommende Winkel zwischen U , und Uz beträgt 60°:

400

Lösungen der Übungen Das Ergebnis besagt, dass die Summe der Mo mentanwerte der drei Strangspannungen in je dem Augenblick gleich null ist. Innerhalb der unbelasteten Dreieckschaltung kann somit auch kein (Kurzschluss -) Strom fließen .

U = JU ) + (U2)2 + 20 ,-U2 . Cos 60° U = 400 V 4 . Die drei Strangspannungen haben den Effek tivwert 230 V und die drei möglichen sogenann ten Außenleiterspannungen , von denen hier nur eine berechnet wurde, haben den Effektivwert 400 V . Man schreibt dies verkürzt als 230 V / 400 V . Der kleinere Spannungswert ist immer die Strangspannung .

A

Zeigerdiagramm : 5V 26, = û

18 . 2 Grafische Lösung :

Zerlegung in Sinus- und Kosinuskomponenten : A 14 = ]

új = 26 ,5 V . cos 41° = 20 V Û2 = 26 ,5 V . sin 41° = 17,4 V Die sinusförmige Spannung u mit der Amplitude 26 ,5 V und dem Nullphasenwinkel 41°

a) 2

b

U = 26 ,5 V . sin (ot+ 419) lässt sich durch zwei um 90° phasenverschobene sinusförmige Spannungen mit den Amplituden 20 V und 17 ,4 versetzen :

12

Rechnerische Lösung :

u = 20 V . sin ot + 17 ,4 V . sin (ot + 90°) 1 = 1 oob R;

Umgekehrtes Verhalten wie beim Reihenreso nanzkreis in Übung 25 .5: Bei Resonanzfrequenz und in deren unmittelbarer Umgebung ist das Glühlämpchen dunkel > Zo = 00 . Bei höheren und tieferen Frequenzen als der Resonanzfre quenz fo = 1 kHz brennt das Glühlämpchen hell.

"ist:

+ 2 = 0oC - R. mob . I

R Ers 10 . •L•C - 1 RErs

ob •

0ob · L = RErs

%b L . C - 1

RETS L.C *Cob mito ;= zhe

25 .6

. ,L

Loc =

und 9=

2

erhält man als Ergebnis eine quadratische Gleichung:

. – a•0gb –b =

25 . 7 a)

Resonanzfrequenz aus Resonanzbedingung:

Daraus die Lösung für obere Grenzfrequenz (positiver Wert) :

XL = XC Bob = + VLC

V10 - 10 - 3 H - 2 ,5 - 10 -°F

Wo = 200 ks -1 fo = *

= 31,83 k12

b ) Ersatzstromquelle : R ; unverändert, jedoch in Parallelschaltung zum Resonanzkreis . Ug Ri Diese Umwandlung hat den Vorteil, dass der Stromquellen - Innenwiderstand jetzt parallel zu den Schwingkreisgrößen liegt und die Bildung eines komplexen Leitwertes ermöglicht wird .

+ . 00 + 62 2 . Q ' 14 . 92 vernachlässigbar

Oob = + 00 | 1 + 2 .e Q 10. 5=+03(1+z Die Bedingung für untere Grenzfrequenz @ u, bei der 1 _ >

: C

gesetzt werden kann , führt zur Lösung: @ u = + 001

419

Lösungen der Übungen d ) Bandbreite des Resonanzkreises . In den Formeln zur Berechnung der oberen und unteren Grenzfrequenz ist die resultierende Güte des durch den Generator- Innenwiderstand beein flussten Resonanzkreises enthalten : Rp .R ; Rp + R;

Q - Rers 00. 1

.1

Bandbreite bei Bedämpfung mit R ; = 100 k12 : RErs

R

+ ' Rp

- + = ,02 m 100 k12 100 k22

RErs = 50 k12 O 3

50k12 - = 25 - RErs - _ 200 ks-1. 10 mH Wo L

= 200 ks-14 @ob =@ + 2Q6

200ks-1 2 : 25

Mob = 204 ks-1

26

A

26 . 1 Aus der Bemessungs -Scheinleistung und der Bemessungs- Spannung kann der Bemessungs strom des Transformators berechnet werden . Die Bemessungsgrößen sind Leistungsschildangaben und nennen die Werte , für die der Transformator konstruktiv für Dauerbetrieb ausgelegt ist. Als Index wird hier N (Nennwert) verwendet und 1 für Primärseite . Bemessungsstrom : In IN

SIN _ 300 kVA- = 30 A 10kV UN

Kurzschlussspannung: kVA = 2 kV U . - Uk •Uin _ 20 % - 10 100 % 100 %

Qu = 196 ks-1

Im Kurzschlussfall des Transformators fließt bei der auf 2 kV herabgesetzten Spannung bereits der Bemessungsstrom von 30 A . Die Leistungs schildgröße uk ist die bezogene oder prozentuale Kurzschlussspannung des Transformators .

boz =@ ob –04 – 80005 '=1273HZ

Innenwiderstand :

Qu =60- 20= 200 ks-1- 20.45

Bandbreite bei Bedämpfung mit R; = 25 k 2: 1 . 1- - . - 1 . - 1 + 1 = ,05ms RErsR ' Rp 25 k12 100 k12 Rers = 20 k12 2012 - RErs = - = 10 200 ks-1. 10 mH 00 : L ob = 20+

ks-1 = 200 ks-1+ 200 2 . 10

0ob = 210 ks-1

2000 V = 66 ,722 Z1 = UK 30 A IN * Der Innenwiderstand einer Spannungsquelle errechnet sich allgemein aus dem Quotienten von Leerlaufspannung und Kurzschlussstrom und speziell beim Transformator aus Kurzschluss spannung Uk und Bemessungsstrom Iin . Der Innenwiderstand Zk ist ein Scheinwiderstand, der sich aus dem ohmschen Wicklungswiderstand Rk und dem Streublindwiderstand Xk zusammen setzt. Transformator -Innenwiderstand

ks -1 200ks-__ 200 2 . 10 Qu = 60 -60% = Qu = 190 ks-1 bra - Qob - u _ 20 000 s -1 - = 3183 HZ 50,7 = 270 = 27 Ergebnis : Je kleiner der den Resonanzkreis bedämpfende Innenwiderstand Ri des Generators ist, desto geringer wird die resultierende Kreis güte verbunden mit einer größerer werdenden Bandbreite , d . h . geringerer Resonanzschärfe.

- - - - - - - - - Kurzschlussversuch : Zur Ermittlung dieser Größen Rk und Xh wird der Kurzschlussversuch durchgeführt, siehe Bild 26 . 10 Dabei wird der Transformator sekundär seitig kurzgeschlossen , jedoch nur mit der Kurzschlussspannung Uk gerade so gespeist, dass der Bemessungsstrom Iin fließt. Das gefährdet den Transformator nicht und ermöglicht die Messung der Kurzschluss - Verlustleistung Pk, die

420

Lösungen der Übungen

angenähert den Wicklungsverlusten des Trans formators zugeordnet werden können , da sich infolge der stark herabgesetzten Primärspannung nur ein kleinerer magnetischer Fluss im Eisen kern ausbildet und somit die in der Messung auch enthaltenen Eisenverluste vernachlässigt werden können .

Magnetisierungsstrom :

Die Auswertung der Messergebnisse ergibt zu nächst den Verschiebungswinkel Pk im sog . Kapp’schen Dreieck ( siehe Bild 26 .9, Seite 334)

Betrag des Primärstromes:

R COSOK = AK URIIN Q = 75, 5°

Iu =

1

250 V - = - 30 , 2 A j1 2562

= 22 + 1u = ,5 A – j , 2 A

11 = ( ,5 A )2 + ( ,2 A )2 = ,539 A

15 kW - = , 25 2000 V - 30 A ,

26 .4 Die konstante Primärspannung magnetischen Fluss im Eisen . dieser Fluss im Leerlauf des durch den Magnetisierungsstrom

und danach mit den Beziehungen der Gl. 224 (siehe Seite 333) die gesuchten Widerstandswerte Rkund Xk

erzwingt einen Verursacht wird Transformators

I . Ein Sekundärstrom I, wü rde mit seinem Fluss , den Hauptfluss schwächen . Dieser Einfluss wird durch einen zusätzlichen Primärstrom 11 kompensiert.

Wicklungswiderstand : Rk = Zk . cos P

U

jo - Lih Primärstrom :

= 66 ,7 12 - ,25 = 16 ,722

Streublindwiderstand : Xk = ZK sin Øk = 66 ,7 12 . ,968 = 64 ,6 12 A A

26 . 2 Transformator -Hauptgleichung : U1 = 4 ,44 . f . N , ß · Afe

(Gl. 222a )

Primärwindungszahl: N , - U ;. 12 .

230 V . 2 314 s1- 1,42 T . ,0011m²

26 .5 a ) Leerlauf-Ersatzschaltbild : Die Wicklungswiderstände spielen im Leerlauf Betriebsfall keine Rolle, da deren Spannungsab fälle praktisch entfallen . Es fließen nur der in duktive Magnetisierungsstrom und der Eisenver luststrom , die zusammen den Primär- Leerlauf strom bilden . 10

Ni = 663 Wdg . Rre

A 26 .3 Übersetzungsverhältnis : 400 _ 2 ü _= N N2

200

Sekundärspannung: U , _= U U2

_ 250 V = 125 V ü = 2 Sekundärstrom bei Belastung mit R2 : 12 = U2 _ 125V - 1 12 R 1252 Hauptinduktivität: LỊh = N

A = 4002 . 25 : 10 -6 H = 4 H

421

Lösungen der Übungen b)

Stromkomponenten und Phasenwinkel:

A

Nennstrom :

26 .6 Nennstrom :

kVA IN = SN - 50 - = 8 ,33 A 6kV UN "

100 kVA- = 5A Iin = SN 20 kV UIN

Leerlaufstrom :

Kupferverlustwiderstand bei 20°C :

10 = 8 % von Iin = ,667 A

1750 W 702 Rk.20 = 1k,20 – 15A)2 = TIN

Leerlauf-Scheinleistung : So = UIN . 10 = 6 kV . ,667 A = 4 kVA sene Leerlauf- Leistungsaufnahme Po = 460 W Erwärmung des Eisens

Kupferverlustwiderstand bei 90 °C : Rk,90 = Rk, 20 (1 + a•49)

Eisenverluststrom : - Po - 460 W 6kv fe UN

Rx, 90 = 7082.(1+ ,004

= , 0767 A

RK,90 = 89,652 Kupferverluste bei Nennbetrieb und 90 °C :

Phasenverschiebungswinkel P = 4 (U1, I0) : cos on - Po S

-70K

Pk,90 = IN· Rk,90 = (5 A )2 . 89,6 12

,46 kW = .115 115 4KVA = ,

Pk.90 = 2240 W

00 = 83,4° Magnetisierungsstrom : Iu = lo

sin po = ,667 A

,993 = ,662 A 27

c ) In der Ersatzschaltung ist der Kupferverlust widerstand Ry vernachlässigt worden . Er kann aus dem Kurzschlussversuch bei entsprechend verringerter Spannung bestimmtwerden : Pk = Ik · Rk mit Rk = R1 und Ik = I1N 1100 W *

1602

A

27.1 1. 400 V /230 V : Außenleiterspannung 400 V , Strangspannung 230 V . 2.

(8,33 A )

Unter der Annahme, dass im Leerlauffall der halbe Kupferverlustwiderstand (Primärwicklung) wirksam ist, ergibt sich mit dem Leerlaufstrom in Rk / 2 die Verlustleistung:

P I = Istu

100 W 230 V

=

,435 A :

Bei Sternschaltung sind die Außenleiter ströme gleich den Strangströmen . 3 . Gesamtleistung der symmetrischen last :

Drehstrom

P = 13 · U · I· cos e

Pcu, = 13 .Rx =( ,667 A)2-8 9 = 3,6 W

mit dem Phasenverschiebungswinkel p = 0° zwischen Strangspannung und zugehörigem Strangstrom für Wirkleistungsverbraucher (Glühlampen )

Die Vernachlässigung der Kupfer -Leerlaufver luste von 3 ,6 W gegenüber den Gesamt-Leerlauf verlusten von 460 W bedeuten einen Fehler von < 1 % .

P = 1,73 · 400 V . ,435 Acos 0º = 300 W 4.

Pst = US 1 = 230 V . ,435 A = 100 W Damit erhält man die Gesamtleistung auch mit dem Ansatz : P = 3 PSt = 3 . 100 W = 300 W

422

Lösungen der Übungen A

A 27.2 1. Außenleiterströme bzw . Strangströme: 230 V .ejo 1, = - = ,23 A -ejo 1 k22 |

230 V .e -j120° - = , 362 A . e - j30º - j 636 12 230 V . e + j120° e+ j47,7° 3140 = ,7 A . 100 2 +

Strom im Neutralleiter: IN

27 . 3 1. Drehstromnetz 230 V / 133 V , bei diesem Netz ist die Spannung zwischen den Außen leitern 230 V und damit gleich der Strang spannung des Motors in Dreieckschaltung . Wird der Motor beim Anlassen in Stern ge schaltet, so liegt an jedem Wicklungsstrang nur noch die Spannung: 230 V 133 V 15 = 2.

Sx = 73 · U · 1 = 1,73 · 230 V - 4,55 A SA = 1,81 kVA Pauf = Sacos ø = 1,81 kVA . ,81

IN

= 1; + 12 + 13 = , 23 A . ej 0°+ ,361Ae- j 30° + ,7 A . e tj 47,7°

Pauf = 1,47 kW

IN

= 1,02 A + j , 337 A = 1,07 A : e + j18, 3°

Pab = 1,1 kW (Leistungsschildangabe)

Der Neutralleiterstrom In eilt der Bezugs spannung Uin = 230 V .el" um 18,3° vor aus, siehe Zeigerdiagramm . 2 . Leistungen : Pi = Uı : 11 = 230 V . ,23 A = 52,9 W P3 = 13 · RL = ( ,7 A )2 . 100 2 = 49 W Pges = 101,9 W Qc = U2· 12 = 230 V • ,362 A = 83,3 var (kapazitiv ) QL = 1; X = ( ,7 A) - 314 Q = 153,9 var (induktiv) 3. Zeigerdiagramm mit Uin = 230 V . ejoº als Bezugszeiger, vgl. die Annahme bei Lösung zu 1 .

- Pab - 1,1 kW na Pauf 1,47 kW

= . 75

3.

Q = Sx sino Q = 1,81 kVA . ,586 = 1,06 kvar (induktiv ) 4 . Außenleiterstrom bei Nennlast an der Motorwelle : I = 4 ,55 A Induktiver Blindstromanteil im Außenleiter strom : ,586 = 2 ,67 A IL = 1 . sin = 4 ,55 A Erforderlicher kapazitiver Blindstrom zur Kompensation : Ic = IL = 2,67 A Kondensatorspannung bei Sternschaltung: Uc -

U T

230 V – 133 V 1 , 73

Kapazitiver Widerstände: UZN

Xcuc - 133 V - 49,822 ,67 A XcTc2 Kapazitäten der Kondensatoren bei Stern schaltung : - = 64 uF 27 . f . Xc

1,07 A

M : ,1 A - ,5 cm

Schaltung: 1, - 2,67 A

| | c Tịch 1 = 2,67 A I = 2,67 A

423

Lösungen der Übungen Leistungsfaktorbei Leerlauf:

A- = 15 1,54 A 5. Ic = I1 - 2,67 1, 73

P 60 W - = ,1 cos Q = = = S 598 VA

230 V - = 149 ,492 Xc = 1,54 230 V A = 149,42 C1 = zz

t. X

Phasenverschiebungswinkel bei Leerlauf: o = < ( U3, 1) = 84 ,24° ( induktiv)

= 21,3IF

(Der im

Typenschild angegebene Leistungs

faktor cosp = ,77 gilt für Bemessungslast.) Zeigerdiagramm für Leerlauf des Motors : L2

1 - 2 ,67 A Ice T -267 m

L3

CIN

1 = 2,67 A A

27 .4

U2N U3N

1. Wirkleistungsaufnahme: Pzu = 3 • Pst = 3 - 650 W = 1950 W 2 . Leistungsabgabe an der Welle: Pab = M :

Richtig gemessene Strangleistung:

= 10,2 Nm · 147 ,7 s-1 = 1506 W

(= Drehmoment

P = Ust I . cos o = 230 V . 2,6 Acos 84,2°

Winkelgeschwindigkeit )

P = 60 W

mit n = 1410 min -1 = 14105-1 = 23,5 s-1 60 = 2t n = 6 ,28 - 23,5 s-1 = 147,75-1

Falsche Anzeigen : b ) Spannungspfad

Wirkungsgrad : Pat

_ 1506 W 1950 W Pzu

= ,77

P = Ust . I cos o = 230 V . 2,6 Acos 156° P = - 546 W

S = 3 . Ust

Ist

c) Spannungspfad liegt zwischen L1- N und ergibt mit dem Winkel zwischen Uin und I: die falsche Strangleistung: P = US

Leistungsfaktor: cos o = Pzu - 1950 W S 2560 W

2 . Die Leistungsaufnahme des Motors im lauf beträgt P = 3 . 60 W = 180 W .

Leer

27 .6 Scheinleistung in Phase L3: S = U : I = 230 V • 2 ,6 A = 598 VA

a)

1. cos @ = 230 V . 2,6 A . cos 36°

P = 484 W - 0762

27 .5 1.

und

ergibt mit dem Winkel zwischen Użn und I

S = 13 .400 V · 3,7 A = 3 · 230 V . 3,7 A S ~ 2560 VA

•

L2 - N

die falsche Strangleistung :

3. Scheinleistung: S = 13 . U · I oder

liegt zwischen

Spannungspfad liegt zwischen L3 - N : Wirkleistung in Phase L3 P = 60 W

( richtig gemessen )

a ) Nachweis Die Addition der drei Momentanleistungen P1, P2, P3 ergibt in jedem Augenblick die Momen tan - Gesamtleistung Pges: Pges = P1 + P2 + P3 Pges = U12 · 112 + 431 · 131 + U23 · 123

GI. I

424

Lösungen der Übungen

Die Ströme in den drei Knotenpunkten : 11 - 112 + i31 =

- 23

2 + 112 - 123 = iz + 123 - 131 =

325 V. e+ j60° 131 = 431 – = 5 A .e + j600 - 31 Rz 6512

Die von den Leistungsmessern ermittelte Mo mentan -Gesamtleistung berechnet sich aus : + 432 iz

Pges = PLI + PL3 = U12 .

Gl. II

Es muss nachgewiesen werden , dass beide An sätze für die Momentan -Gesamtleistung gleich sind . Dazu werden die beiden Außenleiterströme in Gl. II durch Zweigströme ersetzt: Pges = U12 · (112 – 131) + 332 (131 - 123) Durch Ausmultiplizieren erhält man : Pges = 412 · 112 - U12 ·131 + 432 ·131 – U32 · 123 Strom ausklammern Pges = U12 · 112 - 131 · (U12 – U32) – 432 · 123 ersetzen Bilden von Eu =

im Dreileiternetz ergibt:

U12 - 432 + 431 =

Pges = U12 . 112 + 431 · 131 – U32 · 123 Mit U32 = - U23 erhält man wieder Gl. I: Pges = U12 · 112 + 431 · 131 + U23 · 123 Die Beweisführung zeigt, dass sich durch eine Leistungsmessung mit nur 2 Leistungsmessern die Gesamtleistung der 3 Stränge ermitteln lässt. Wichtig dabei ist, dass die Spannungsspulen der Leistungsmesser mit einer Klemme an der Stromspule des betreffenden Leiters liegen und mit der anderen Klemme am dritten Leiter ange schlossen sind, in dem kein Leistungsmesser liegt ! Ströme

Strangströme: 112 =

131 = 5 A (cos 60° + j sin 60°) = 2,5 A + j 4,33 A Außenleiterströme: 11 = 112 – 131 11 = ( ,5 A - ; ,866 A ) - (2,5 A + j 4,33 A ) 11 = - 2A - j 5,2 A = 5,57 A . e - j111° 12 = 123 - 112 12 = (– 2,5 A ) – ( ,5 A - j ,866 A ) 12 = - 3A + j ,866 A = 3,12 A . e + j163,90 13 = 131 - 123 13 = (2,5 A + j 4,33 A ) - (- 2,5 A ) 13 = 5 A + j 4,33 A = 6,61 A .etj40,99 Kontrolle mit EI = : 11 + 12 + 13 = (- 2 A - j5 ,2 A ) + (- 3 A + j ,866 A ) + (5 A + j 4 ,33 A ) =

(U12 - U32) = - 431

Durch Einsetzen ergibt sich :

b)

_ 325 V .e-j180° - = - 2,5 A R2 13012

-360° 360° 12 _ 325 V .e = 1A .e 3250 Rp

112 = 1 A (cos 60° – j sin 60° ) = ,5 A - j , 866 A

c ) Leistungen Strangleistungen : P,

UŽ _ (325 V)2- = 325 W 32522 R

p. _ UZ _ (325 V )2- = 813 W 130 02 R pP3. - U31 _ (325V) Rz 6522

- 1625 W

Gesamtleistung aus Summe der Einzelleistungen ergibt: Poes = 325 W + 812,5 W + 1625 W = 2763 W Leistungsmesseranzeigen : Leistungsmesser zeigen Momentanleistung an : P = - . u . i . dt T

den

Mittelwert von

425

Lösungen der Übungen Der Leistungsmesser in L1 ermittelt eine Wirk leistung aus der Spannung im Spannungspfad und dem Strom im Strompfad unter Berücksich tigung des Phasenverschiebungswinkels zwi schen diesen beiden Größen : Pli = U12 · 11 · cos < (U12, 11) Pli = 325 V - 5,57 A . cos [(- 60°) - (- 1119)] Pli = 1139 W Der Leistungsmesser in L3 ermittelt eine Wirk leistung aus der Spannung im Spannungspfad und dem Strom im Strompfad unter Berücksich tigung des Phasenverschiebungswinkels zwi schen diesen beiden Größen . Zu beachten ist, dass der Spannungspfad an der Spannung u32 liegt, die gegenphasig zu u23 ist.

Die Gesamtleistung erhält man einfach durch Addition der beiden Leistungsanzeigen . Aller dings kann aus den beiden Leistungsanzeigen nicht auf die wirkliche Leistungszuordnung zu den 3 Verbrauchern geschlossen werden . Pges = PL1 + PL3 = 1139W + 1624 W = 2763 W Zeigerdiagramme: 1 cm = 100 V

V12

U 23

PL3 = U32 · 13 · cos < (U32 , 13) PL3 = 325 V . 6 ,61Acos [(0°) - (+ 40,9°)] PL3 = 1624 W

1 cm = 2 A

428

Memory

Die gesetzlichen Einheiten im Messwesen Die Grundlage der „Gesetzlichen Einheiten “ bildet das Internationale Einheitensystem (Système International d 'Unités), kurz ,,SI“ genannt. Das SI baut auf sechs Basisgrößen mit definierten gesetzlichen Basiseinheiten auf, aus denen durch Formelverknüpfung die Abgeleite ten Einheiten gebildet werden . Diese Verknüpfungsformeln sind reine Größengleichungen .

Basisgrößen und Basiseinheiten Basisgröße Name

Formel zeichen

Basiseinheit Einheiten zeichen

Name

Länge Masse Zeit

das Meter das Kilogramm die Sekunde

elektrische Strom stärke

das Ampere

Temperatur (thermodynamisch ) Lichtstärke

das Kelvin die Candela

Mechanische Einheiten Größe

Geschwindigkeit

Verknüpfungs formel V

Einheit SI oder Abk . m

Benennung

Beschleunigung Kraft

F =ma

Arbeit , Energie

W

Leistung

P =

= [F . ds

kg . m 02 _ = 1 N 1N . m = 1J N

m

W

N (Newton ) J (Joule) W

(Watt )

Umrechnungsbeziehung zwischen Einheiten für Energie und Arbeit : 1 Nm = 1 Ws = 1J

429

Memory

Elektrische Einheiten Größe

Ladungsmenge

Verknüpfungs formel Q = fi. dt

Potenzial

Spannung Widerstand

NI

Einheit SI oder Abk .

Benennung

1 As = 1C

C (Coulomb)

1 Ws= 1V As

V (Volt)

IW

V ( Volt )

=1v

> LV - 12

|

12 (Ohm )

>

Feldstärke Verschiebungs flussdichte

1281 =

Kapazität

1 As

F (Farad)

1F

Elektromagnetische Einheiten Größe

Verknüpfungs formel

Durchflutung

O = I: N

Feldstärke

H =

Fluss Flussdichte

Induktivität

o = ſu.dt

Einheit SI oder Abk . | 1A

Benennung

1 Vs = 1 Wb

Wb (Weber )

Vs

II L =

T ( Tesla) Ν - Φ

= 1H

H (Henry)

Dezimale Vielfache und Teile von Einheiten Zehnerpotenz 10 +6 10 + 3 10 - 3 10 -6 10- 9 10-12

Vorsatz Mega Kilo Milli Mikro Nano Piko

Vorsatzzeichen M

430

Memory

Vorzeichen - und Richtungsregeln (Zählpfeile) Schreibweise des zugehörigen elektrischen Gesetzes

Beispiel Strom - Zählpfeile

1.Kirchhoffscher Satz Ź !;= i=1 1+ 12 - I =

Spannungs- Zählpfeile 2.Kirchhoff scher Satz ŽU ;= i = 1 Un - U2 - U1 =

Strom - und Spannungs Zählpfeile beim Widerstand

Grundgesetz der Bauelemente Ohm 'sches Gesetz :

a ) U = IR

Ohne Namen :

Kondensator

USE

b ) U = - IR

b) i = - C

C

Spule

Ohne Namen : a) u = L

Fluss - und Strom - Zählpfeile

di

b ) ur - L

Induktionsgesetz bei a ) rechtswendiger

b ) linkswendiger

Zuordnung von i und do i.Res = _ n . ddt

do i.Rase = N . dt

431

Memory

Memory zu Kapitel 1: Elektrische Ladung Ladungsmenge als elektrische Größe Einheitenzeichen C von Coulomb

Formelzeichen Q von Quantum

Einheitsladung 1 C = 1 As Quantelung in Elementarladungen + e = 1,6 . 10 - 19 As

Elektrische Ladungsträger sind unter elektrischem Feldeinfluss bewegliche Objekte Metalle

Kohle

stromleitende Flüssigkeiten Gase

Isolatoren

freie Elektronen positive Ionen (der Metalle und Wasserstoff negative lonen (der anderen Nichtmetalle ) Energieaufwendige Ladungstrennung verursacht elektrische Quellenfelder Deutung der Überschussladung : pos. Ladung - Elektronen mangel neg. Ladung – Elektro nenüberschuss

Richtung der Kraft wirkung: Anziehung bei ungleich namigen Ladungen , Abstoßung bei gleich namigen Ladungen

Beschreibung der Feldstruktur : Quelle ( + ) = Feldlinien anfang Senke (- ) = Feldlinien ende Elektrisches Feld als Energieraum

selbstständig existent in Isolatoren wegen fehlender Ausgleichsmög lichkeit (Leitfähigkeit) für die feld verursachenden Überschussladungen .

selbstständig nicht existent in elektrischen Leitern , da infolge vorhandener Leitfähig keit ein selbstständiger Ausgleich der Über schussladungen erfolgt. Nur unter fortlau fendem Energieaufwand in elektrischen Leitern aufrecht erhaltbar ( → Stromkreis ).

Vorstellungsbilder zur Ladungsmenge statisches : Ladungsmenge als ange häufte pos./neg. Über schussladung, felderzeu gend.

dynamisches: Ladungsmenge als Durch flussmenge bewegter La dungsträger, Objekt eines elektrischen Feldes.

atomistisches : Elektrische Ladung ist eine Eigenschaft von Materieteil chen , positive Ionen entstehen durch Ionisation von Atomen (Abtrennung von Elektronen ), negative Ionen entstehen durch Anlagerung von Elek tronen an Atome.

432

Memory

Memory zu Kapitel 2 : Elektrische Spannung Stromkreis als elektrisches System System

Elemente

Struktur

Mittel zur Zweckerfüllung: Energie übertragung

Generator und Verbraucher als Energieumform orte , widerstands lose Verbindungs leitungen

Geschlossener Wirkungskreis lauf, kein Ver brauch an elektrischen Ladungen

Energieeinheiten -Äquivalente mechan . Energie 1 Nm

Wel

Wel

Umformort für nichtelektrische in elektrische Energie

elektr. Energie = 1 Ws

therm . Energie = 1J

+

-

Umformort für elektrische in nicht elektrische Energie

Messen von Potenzialen und Spannungen Potenziale

Spannungen U

Eigenschaften des Messgerätes

Messung gegenüber Messung zwischen festgelegtem Bezugs- beliebigen Schaltungspunkten punkt ( 1 )

meso

Ideale Spannungs messer haben einen Eingangs widerstand (Innenwiderstand ) R; =

MB + VZ

Betrags- und Polaritäts anzeige Øv > 40 , +"

433

Memory

Energie, Potenzial, elektrische Spannung als Grundbegriffe des elektrischen Feldes Feldstärkefeld

Potenzialfeld

Darstellung

Feldlinien

Äquipotenziallinien

Zustandsgröße des elektrischen Feldes

Feldstärke : E =

W Potenzial o = pot + eine Potenzialdifferenz

Spannungsbegriff ersetzt in den Feldmodellen

ein Feldstärkewegprodukt U21 = E . S21

Spannungsbegriff als Globalgröße des elektrischen Feldes

beschreibt die Änderung der elektrischen = potenziellen Energie einer Ladung + bei einer Bewegung zwischen zwei Punkten im Stromkreis .

generatorseitig :

Quellenspannung =

| U21 = 22 - 01

Erhöhung der pot. Energie der Ladung Ladungsmenge AW pot > +

verbraucherseitig :

Spannungsabfall =

Abnahme der pot. Energie der Ladung Ladungsmenge U =AW pot < +

Ladungstransport wird verursacht

durch elektrische Feldstärke E

durch Potenzialgefälle

49 E= A

As

434

Memory

Memory zu Kapitel 3: Elektrische Strömung Elektrische Feldstärke als Antriebsursache der elektrischen Strömung 1

= E = + Q

A = Querschnittsfläche 1 = Leiterlänge

Leitfähigkeit

elektrischer Leiter (Draht) Strom ist geordnete Ladungs trägerbewegung unter dem Ein fluss eines elektrischen Feldes.

Technische Stromrichtung ist Fließrichtung der positiven Ladungsträger.

Stromstärke

Fließgeschwindigkeit von Ladungsträgern bei Gleichstrom

i=

(allgemein) (Gleichstrom )

Ladungsmenge, die durch den Strom in der Zeit Af = t, - t , transportiert wird

1 1 y = _ - . п•е А

Stromdichte im Leitungsquerschnitt

AQ = ſi dt (allgemein ) AQ = 1. At (Gleichstrom )

Ideale Strommesser haben einen Durch gangswiderstand ( Innenwiderstand ): R; =

Betrags - und Polaritätsanzeige : Stromeintritt in Buchse A , Stromeintritt in Buchse , MB

IVZ

435

Memory

Memory zu Kapitel 4 : Elektrischer Widerstand

Widerstandsbegriff Bauelement

Elektrische Größe Bauform z . B . Schiebewiderstand

R =

Lineare Widerstände haben eine lineare 1 - U -Kennlinie :

Nichtlineare Widerstände haben eine nichtlineare I- U -Kennlinie : -

= R = konst

Ohm 'sches Gesetz U = IR

Leitungswiderstand bei 20°C pil R20 = P Α

= R + konst.

Gleichstromwider stand

Das Ohm ' sche Gesetz gilt auch fürMomentanwerte von Strom und Spannung : u = iR

Verwendungszweck z . B . Vorwiderstand

R =

Differenzieller Widerstand

U r=

Widerstandswert, den das Bauelement einem Strom I entgegengesetzt.

AU ΔΙ

Widerstandswert, den das Bauelement einer Stromänderung Al entgegengesetzt.

T γ · Α

Spezifischer Widerstand p nennt den Widerstandswert eines Leiters von 1 m Länge , 1 mm2 Querschnittsfläche bei 20 °C

Leitfähigkeit y nennt die Länge eines Leiters in Meter bei 1 22 Widerstand und 1 mm2 Quer schnittsfläche bei 20 °C .

Temperaturanhängigkeit des Widerstandes als ein möglicher Grund für die Nichtlinearität: AR = 420 49 R20 Rg = R20 + AR

Temperaturkoeffizient 020 nennt die prozentuale Wider standsänderung für eine Temperatur änderung von 1 Kelvin .

436

Memory

Memory zu Kapitel 5 : Grundstromkreise Allgemeine Stromkreisgesetze Ohm 'sches Gesetz

1. Kirchhoff 'sches Gesetz n

U = IR

2 . Kirchhoff' sches Gesetz 20 ; =

Eli=

gilt für jeden einzelnen Widerstand und den gan zen Stromkreis.

Die Summealler Ströme in einem Knotenpunkt ist gleich null.

Die Summe aller Spannun gen in einer Netzmasche ( Stromkreis ) ist gleich null.

Reihenschaltung von Widerständen Gesamtwiderstand R =

Spannungsteilung

R;

UL _ R1 UR

In der Reihenschaltung werden die Widerstände addiert.

Die Teilspannung verhält sich zur Gesamtspannung wie der Teilwider stand zum Gesamtwiderstand .

Parallelschaltung von Widerständen Gesamtwiderstand

Stromteilung R 11

REL CT

IR

mit

Die Teilstrom verhält sich zum Gesamtstrom umgekehrt proportional wie der Teilwiderstand zum Gesamtwiderstand .

G = ŹG In der Parallelschaltung werden die Leitwerte addiert.

Grundstromkreise Belastete Spannungsquelle

Olur

U = Uq - 1. Ri

of

the

Belastete Stromquelle

437

Memory

Memory zu Kapitel 6 : Energieumsetzung im

Verbraucher

Energieumwandlung

Arbeit = Vorgang der Energieumwandlung - elektrische Arbeit W = U

1.t

Wirkungsgrad = Qualität der Energieumwandlung - Geräte - Wirkungsgrad n

= PNutz Pzu

- Joule ’sches Gesetz Qw = f .Rot

- Energieü bertragungs Wirkungsgrad PR n = - = Rg +R ;

Leistung = Geschwindigkeit der Energieumwandlung -- Definition AW P = ΔΙ - elektrische Leistung P = UI P = 12 . R U2 P = > R - Leistungshyperbel = grafische Darstellung ei nes Leistungsbetrags in einem I- U - Diagramm

Anpassung eines Verbrauchers Ra an eine Spannungsquelle mit Innenwiderstand R ;

Spannungsanpassung Ra > R ;

Spannungsmaximum Umax = U

Leistungsanpassung Ra = R

Stromanpassung

Leistungsmaximum

Strommaximum

4R ;

Ra « R

438

Memory

Memory zu Kapitel 7: Verzweigte Stromkreise Allgemeine Stromkreisgesetze Kirchhoff'sche Regeln

Ohm ' sches Gesetz U = IR

Ersatzwiderstand R.S: Rges =

Teilungsgesetze

R

U Ū

Ri Reges

11 ŽU; = i= 1

P.S: Cges = ZG

1 - Paper R

Berechnung verzweigter Stromkreise mit nur einer Spannungsquelle bei bekannten Widerstandswerten

bei unbekannten Widerstandswerten

Lösungsmethodik :

Lösungsmethodik :

1 . Ersatzwiderstand 2 . Gesamtstrom 3 . Teilströme 4 . Teilspannungen 5 . Potenzialkontrolle

1. Gleichungen für Bedingungen I, II , ... aufstellen 2 . Gleichungssystem lösen 3 . Potenzialkontrolle

Stromkreise mit nichtlinearen Widerständen Berechnung istmöglich , ausgehend von Nennwerten des nichtlinearen Widerstandes.

Berechnung ist nicht möglich , ausgehend von angelegter Spannung (bei Reihen schaltung) bzw . eingespeister Stromstär ke (bei Parallelschaltung) . Grafisches Lösungsverfahren mit be kannter I- U -Kennlinie des nichtlinearen Widerstandes .

Wheatstone'sche Brücke Ausschlagbrücke

Abgleichbrücke Abgleichbedingung Ri _ R3 R2 RA Anwendung als Schleifdraht Messbrücke zur Messung von RX 1 R . Rx = R4 L - 4

Eingangsspannungs änderung ist ohne Einfluss .

Ausgangsspannung bei kleiner relativer Widerstandsänderung eines Brücken widerstandes : UA

-4 UFX AR

Anwendung: Messen nichtelektri scher Größen durch Umsetzung physikali scher Größen in eine Widerstands änderung.

439

Memory

Memory zu Kapitel 8 : Netzwerke Netzwerk Zusammenschaltung mehrerer Bauelemente (Spannungsquellen und Widerstände)

R3

Uq Allgemeine Begriffe und Gesetzmäßigkeiten Knoten Verzweigungspunkt im Netz mit zu - und abfließenden Strömen

Masche

Zweig Stromzweig zwischen zwei Knotenpunkten

geschlossener Umlauf in einem Netzwerk , bestehend aus Stromzweigen U ; =

U = f(1) i= 1 A : IA + 11 - 12 = B : IB - 11 - 13 = C : Ic + 12 + 13 =

UAC = 12

R2

UAC + UCB + UbA =

UCB = - 13 · R3 UBA = 11 R1 - U Berechnungsverfahren

Überlagerungsmethode Durchrechnen der Schaltung mit nur jeweils einer Spannungsquelle . Wieder holung mit anderen Spannungsquellen . Gesuchte Zweigströme durch Addition der Teilströme unter Beachtung der Vorzeichen berechnen .

Kreisstromverfahren Annahme von sog. Kreisströmen . Bilden von U = für jede Netzmasche. Alle Schaltungsteile müssen von wenigstens einem Kreisstrom durchflossen werden .

Potenzialkontrolle Annahme eines beliebigen Bezugspunktes = V im Netzwerk. Bestimmung der Poten ziale aller anderen Schaltungspunkte , ausgehend vom Bezugspunkt durch Addition der Spannungsabfälle bzw . Quellenspannungen . Die Lösung der Netzwerksberechnung ist richtig , wenn sich das Potenzial eines jeden Schaltungspunktes auf beliebigem Rechenweg mit dem gleichen Ergebnis ermitteln lässt.

440

Memory

Memory zu Kapitel 9 : Ersatzquellen Ersatzquellen als Rechenmethoden für Netzwerke mit von einander unabhängigen Quellen und linearen Schaltelementen , bei denen der Strom in einem quellenfreien Zweipol gesucht wird . Man ersetzt das gesamte Netzwerk bis auf den quellenfreien Zweipol durch eine Ersatzquelle . -- - - - -- - - -- -- -

Netzwerk

Ersatzspannungsquelle

Ersatzstromquelle

R;

Ug durch Berechnung der Leerlaufspannung des Netzwerkes

durch Berechnung der Widerstandsschaltung des Netzwerkes ohne seine Spannungsquellen

durch Berechnung des Kurzschlussstromes des Netzwerkes

Umrechnungsbeziehung Ug = 1, R ; Ersatzquellen als elektrische Nachbildungen von I- U -Kennlinien nichtlinearer Widerstände Typ II

Тур I AU JAI AU Ug

U

441

Memory

Memory zu Kapitel 10 : Eigenschaften und Bemessung des Spannungsteilers Der Spannungsteiler und seine Ersatzspannungsquelle 1. Leerlauf

R2

U20 = U .

Ry + R2 Die Teilspannung des nimmtbei Belastung ab .

Spannungsteilers

R₂ ||RL

2. Belastung U2L = U .

R1 + (R2 || RL) (R ; bekannt)

R . R2 • R₂+ R2

U2L = U20 - IL R ; (IL bekannt) 01

Ug = U20 olup Uzo

luego

Der Spannungsrückgang AU ist umso geringer je kleiner der Spannungsteiler Innenwiderstand R ; gegenüber dem Last widerstand R , ist.

Ausgangsspannung des Spannungsteilers in Abhängigkeit von der Schleiferstellung 1. Leerlauf

U20 = k · U mit k = -R 2

Ausgangsspannung Schleiferstellung .

ist

proportional

2. Belastung U2L = U 20 = ,2

,4

,6

,8

1

K = k ( 1- K )

Rj RL + k (1 - K ) R

Ausgangsspannung ist nicht proportional zur Schleiferstellung (Durchhangkurve ).

F % ) =

Dimensionierung des Spannungsteilers für nichtkonstante Belastung Rechenweg über Ersatzspannungsquelle

zur

Rechenweg über Querstromfaktor

Ug= U20

m

R ; - Ri•R2 R₂ + R2

m z 10

=

442

Memory

Memory zu Kapitel 11: Elektrostatisches Feld Kapazität C =

Plattenkondensator

Durchführungs kondensator C =

&

&

A

Paralleldrahtleitung für a > ro

Zylinderkondensator Koaxial kabel

ca.TT . Er . E07

E01 C = 211• &r

E = E =

E =

2 In 2 in

os

aa

( -I + + na- n

b) Schaltung von Kondensatoren Parallelschaltung

Reihenschaltung allgemein

c = cas

speziell für zwei Konden satoren

C = C1 + C2

kapazitiver Spannungsteiler CI Energie und Kräfte des elektrostatischen Feldes U

Energieinhalt W =

.C.U

W = -.QUC

w12

Kraft auf freie Ladung

Kraft zwischen parallelen Platten E492 2 . E , Eo A

F = QE

E04. 02 F = &2020

Kraftrichtung bei positiven Ladungsträgern in Feldrichtung

Vergrößerung der Kapazität der Anordnung

Memory

443

Memory zu Kapitel 12 : Ladungsvorgänge bei Kondensatoren

Aufladung des Kondensators mit Konstantstromquelle I = konst.

Spannungquelle U über Vorwiderstand R

- zeitproportionaler Spannungsanstieg

- Spannungsanstieg nach e-Funktion uc = U . 1 - et

Ladestrom wird durch Konstant stromquelle eingestellt.

Ladestrom beginnt mit Höchstwert und fällt auf null. ir =

U

e.

t

1

Anfangsstromstärke

Allgemeines Strom -Spannungs -Gesetz des Kondensators duc at - Kondensatorspannung kann sich nicht sprunghaft ändern (Speicherverhalten des elektrischen Feldes).

Kondensatorstrom fließt nur, wenn sich die Kondensatorspannung ändert.

Zeitkonstante des RC -Gliedes T= R .C - Zeit, in welcher der Kondensator mit der Kapazität C über den Vorwiderstand R auf63 % der angelegten Spannung aufgeladen wird . Zeit, in welcher sich der Kondensatormit der Kapazität C über den Vorwiderstand R um 63 % auf 37 % der Anfangsspannung entlädt.

Entladung des Kondensators über Widerstand R Spannungsabnahme nach e - Funktion

uc = Uc . e

Entladestrom beginntmit Höchstwert und fällt auf null.

444

Memory

Memory zu Kapitel 13 : Magnetisches Feld Ν . Φ Induktivität L = Koaxialkabel

Paralleldrahtleitung

Luft-Zylinderspule

I - Molina - 20 M

L = Molina tro

MOTD2 L = N2. 41

Magnetischer Kreis Flussdichte

Durchflutungsgesetz = 1. N = > - L . AL

B = ur . Ho

H Afe

lfel

Eisen (Magnetwerkstoff) Permeabilitäten - relative 1 B M = MOH -

Bedeutung der Kurven : - Magnetisierungs kurve (Linie 1 - 2 ) - Teil der Hysterese kurve (Linie 2 – 3 )

BF

effektive

B . - Remanenz H = Koerzitiv feldstärke

Me = Ittle

HFe

Hc

Spule

Magnetische Energie Eisen Luftspalt

Hystereseverluste

W = FL.P (L= konst.)

w = h2

Why= Vie S HFe dBfe

Tragkraft des Magneten 1 .B F = 1. BL . AL 2 10

Bt Ho .V. W = Vfe S HFe" dBfe

Kraftwirkung Elektromagnetische Kraft von Strömen – stromdurchflossene Leiter im

Lorentzkraft F = B O . y . sin a F

Magnetfeld F = B . I . l . sin a zwischen stromdurchflosse nen Leitern F = Mr. Hol - ,1A 1B 211 . a

V( )

445

Memory

Memory zu Kapitel 14 : Induktion Induktionsgesetz Quellen spannung

Un = - U

Umlauf spannung

Induktionsspannung

Zählpfeile festlegung gemäß Bild

- - N . do dt Entstehungsursache „ Flussänderung“ Ů

(EMK)

durch Flächenänderung dA U = - B . dt

durch Flussdichteänderung dB U = - A dt

U

Ruheinduktion

= B1. V

vIB

Bewegungsinduktion Lenz ' sche Regel Magnetisches System will seinen magneti schen Zustand ( ) aufrecht erhalten .

Induktionsstrom ist seiner Ent stehungsursache (AO) entgegen gerichtet.

Wechselspannungserzeugung Prinzip

Formeln

Rotierende Leiterschleife im homogenen und zeitlich kon stanten Magnetfeld

(t) = max u ( ) = Umax

cos ot sin ot

Umax = N . Omax = 21 . n L Drehzahl

Selbstinduktion Induktivität N . o L = L = N2 . AL

Induktive Spannung dil UL = L . dt Entstehungsursache ,, Stromänderung

Zählpfeilefestlegung

446

Memory

Memory zu Kapitel 15 : Schaltvorgänge bei Spulen

Einschaltvorgang verzögerter Stromanstieg

Selbstinduktionsspannung UL = UBatet

Ausschaltvorgang 1) verzögerter Stromabfall im Freilaufkreis

unterdrückte Selbstinduktionsspannung durch Freilaufdiode

l. = - .e 7 R 2 ) abrupte Stromunterbrechung

UL ~ ,7 V (Schleusenspannung) hohe Selbstinduktionsspannung

iL

uu = - Umax e 7

Auswirkungen 1 . Zerstörung elektroni scher Schalter infolge Überspannung 2 . Lichtbogenbildung ( eventuell nur kurz fristig ) mit Material wanderung und Ab brand an Kontakten

bestimmt sich aus folgenden Bedingungen : 1. Stromkontinuität im Ab schaltmoment i (+ ) = i (= 1, d .h . Strom ist träge 2 . Widerstand R im Ab schaltstromkreis Umax = 1 : R

Zeitkonstante T =

- Zeitraum , in dem der Spulenstrom auf 63% des Endwertes ansteigt oder auf 37 % des Anfangswertes abfällt . - Zeitraum für den gesamten Schaltvorgang dauert t = 57.

447

Memory

Memory zu Kapitel 16 : Sinusförmige Änderung elektrischer Größen

Funktionsgleichung der sinusförmigen Wechselspannung uO

=

û

·

sin ot

Spannung u Amplitude Zeitfunktion (Momentanwert)

Yl

)

XV

)

ult )

Kennwerte - Periodendauer T - Frequenzf f =

- Kreisfrequenz 21 = 21 : f - Maximale Anstiegsgeschwindigkeit der sinusförmigen Wechselspannung im Null durchgang ΔΗ = .û max Beschreibungsmittel

Liniendiagramm

Funktionsgleichung

Zeigerdiagramm

- zeitbezogen drehwinkelbezogen ot → Bezugs linie a =wt

448

Memory

Memory zu Kapitel 17 : Mittelwerte periodischer Größen

Arithmetischer Mittelwert

Quadratischer Mittelwert (Effektivwert) +7

Gleichrichtwert +-+ T

1 1+ udt u =

ni= 1

Arithmetischer Mittelwert u =

Gleichrichtwert 1+T

Effektivwert

In = 1. Timel.de

U

1 Effektivwert

Formfaktor = Gleichrichtwert

Scheitelfaktor 1) = Scheitelwert Effektivwert

F = 1,11 (Sinus)

S = V2 (Sinus)

Jede Mischgröße besteht aus einen Gleich - und Wechselanteil. P = P _+ P U = \U2 + U2

geometrische Addition der Effektivwerte

1 = /1² + 12

1) Der Scheitelfaktor S wird auch Crestfaktor CF genannt.

449

Memory

Memory zu Kapitel 18 : Addition frequenzgleicher Wechselgrößen Zeiger- und Liniendiagramm Uy = f (t ) Uy = f (t )

Wt0

Momentanwertgleichungen u1 = ûn sin (@ jt + 01) U2 = û2 . sin (02t + 2)

Vorzeichen von Q1 und 2 .. + " : Einfachpfeil zeigt nach rechts . ,,- “ : Einfachpfeil zeigt nach links.

Phasenverschiebungswinkel Der Phasenverschiebungswinkel zwischen zwei Wechselgrößen ist gleich o = 2 der Differenz der Nullphasenwinkel. Addition Im Zeigerdiagramm werden sinusförmige Wechselgrößen addiert, indem ihre Zeiger geometrisch addiert werden . Die Addition von u , und uz ergibt die Span nung u . Berechnung: û = Jûſ +

+ 2 û ·ûg .cos Q

Bz. L . CS mit p = 02 - 01

sin Q , . - arctan ú2 sin Q2 + ûn. Û2 cos Q2 + ûy . cos P1 Subtraktion Die Subtraktion einer Wechselspannung u von einer Wechselspannung u , erfolgt im Zeigerdiagramm als Addition der zu u gegenphasigen Wechselspannung uu mit U2

Bz. L . U1

450

Memory

Memory zu Kapitel 19 : Idealer Wirkwiderstand im Wechselstromkreis

Ohm 'sches Gesetz

Wirkwiderstand

Für den Wirkwiderstand an Wechsel spannung gilt das Ohm 'sche Gesetz, geschrieben mit Effektivwerten von Strom und Spannung .

Ein Widerstand ist dann ein reiner Wirkwiderstand, wenn bei ihm kein Phasen verschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung besteht.

UR = IRR R IR

PR = < (iR , ur ) = 0° In einfachen Fällen ist der Wirkwider stand eines Verbrauchers gleich dem durch eine Gleichstrommessung ermit telten Gleichstromwiderstand .

UR Wirkleistung ist gleich dem arithmetischen Mittelwert der Momentanleistungen .

R = RG1 Allgemein ist der Wirkwiderstand ein aus der Wirkleistung und dem Effektiv wert des Stromes berechneter Ersatzwi derstand.

P = 1т Sp(1) di

R = . R =

Die Wirkleistung des Widerstandes kann mit den Effektivwerten von Strom und Spannung berechnet werden .

P

P = UR IR Einheit 1 V . 1A = 1 W

Wirkarbeit bezeichnet den Vorgang der vollständigen Umwandlung und Abgabe der zugeführten elek trischen Energie und berechnet sich aus Wirkleistungmal Zeit. W

= P . t

451

Memory

Memory zu Kapitel 20 : Idealer Kondensator im

Wechselstromkreis

Ohm ' sches Gesetz

Kapazitiver Blindwiderstand

Für den idealen Kondensator an sinus förmiger Wechselspannung gilt das Ohm ' sche Gesetz geschrieben mit Effek tivwerten von Strom und Spannung.

Ein Kondensator ist dann ein reiner der Blindwiderstand , wenn bei ihm Strom um 90° voreilend gegenüber der Spannung ist.

Uc = Ic

Xc

Pc = < (ic, uc) = + 90° Der Betrag des kapazitiven Blindwider standes ist frequenz- und kapazitätsab hängig . T

= Xcc

Blindleistung Die Wirkleistung des idealen Kondensa tors ist null. P = Seine Blindleistung errechnet sich aus den Effektivwerten von Strom und Spannung. Qc = Uc lc Einheit 1 V - 1A = 1 var (1 W ) Die kapazitive Blindleistung ist das Maß für den Auf- und Abbau von Feldenergie im Kondensator. Kapazitive Blindleistung kann induktive Blindleistung kompensieren .

Blindarbeit Der Kondensator ist ein Energiespeicher, der die bei der Aufladung verrichtete elektrische Arbeit als elektrische Feld energie speichert und diese bei der Ent ladung wieder abgibt. Den Vorgang der reversiblen Energieumwandlung nennt man Blindarbeit.

452

Memory

Memory zu Kapitel 21 : Ideale Spule im

Wechselstromkreis

Ohm 'sches Gesetz

Induktiver Blindwiderstand

Für die ideale Spule an Wechselspan nung gilt das Ohm ' sche Gesetz ge schrieben mit Effektivwerten von Strom und Spannung.

Die Spule ist dann ein reiner Blindwi derstand , wenn bei ihr der Strom um 90° nacheilend gegenüber der Spannung ist.

UL = 11 · XL L 1

PL = < ( , u ) = - 90° Der Betrag des induktiven Blindwider standes ist frequenz- und induktivitäts abhängig .

UL

I = x ₂ = o .l

. konst L=

Blindleistung

Blindarbeit

Die Wirkleistung der idealen Spule ist null.

Die ideale Spule ist ein Energiespeicher, der die beim Aufbau des magnetischen Feldes verrichtete elektrische Arbeit als Feldenergie speichert und diese beim Abbau des Feldes wieder abgibt. Den Vorgang der reversiblen Energieum wandlung nenntman Blindarbeit.

P = Ihre Blindleistung errechnet sich aus den Effektivwerten Strom .

von

Spannung

und

QL = ULIL Einheit 1 V 1A = 1 var ( 1 W ) Die induktive Blindleistung ist das Maß für den Auf- und Abbau von Feldenergie im Magnetfeld der Spule . Induktive Blindleistung kann durch kapazitive Blindleistung kompensiert werden .

Memory zu Kapitel 22 : Grundschaltungen im

Wechselstromkreis yromeM

m UC

UR

X

Br= w .l

= w .L

BL

Widerstand Leitwert Y = 162. B?

Y = VG2: B? Z = VR2+x ? Up =lR

Z =

Z =

Z =VR2 +x?

1 = U .Y

U = 17 . 1

IR = U . G

TU = 1 XL Spannung Strom

U = 1.2 U = VUZ

o Ip = U . G

UR = I. R . ?

CU .BE '

U= Vuß «u? U = 1. Z - IRR = 16 XC

U = 1. Z - IRR = L- X,

to Leistung Leistungs faktor

Co

P

s=" p2 .Q?

S= VP2 + Q ?

S = /P2+ Q ?

COSP

cosyal

cosys

s = VP2,Q ? COSU 354

454

Memory

Memory zu Kapitel 23 : Einführung der komplexen Rechnung - Formen der komplexen Zahl: Z = R + jx

- konjugiert-komplexe Zahl T = R - jx

Z = Z . (cos ( + j sin o) mit Z = VR2 + x2 ( Im ) tan = (Re) Z = Zejo - Widerstands- Operatoren ZR = R ZL = j oL Zc = - Leitwert -Operatoren IR = G — YL = - ;OL

Standard -Problemstellungen der komplexen Rechnung 1 . äquivalente Schaltungen , 2 . komplexer Widerstand von Schaltungen , 3 . komplexer Spannungsteiler, 4 . komplexer Stromteiler, 5 . Schaltungen mit besonderen Phasenbedin gungen , 6 . Schaltungsanalyse mit Hilfe von Zeiger diagrammen .

Yo = j o C Komplexer Widerstand Z = Z1 + Z2 (Reihenschaltung) 7 _ 2122 - Z +Z2

( Parallelschaltung)

- Komplexer Spannungsteiler U U

Z Z + Z2

- Komplexer Stromteiler Z1 + Z2 I - Ortskurven zeigen die Abhängigkeit der komplexen Größe (Widerstand , Leitwert, Strom , Spannung) nach Betrag und Phasenwinkel von einer stetig veränderlichen Größe , deren reelle Zahlenwerte die Ortskurve beziffern . - Die Ortskurven von Grundschaltungen gehören zum Geradentyp oder Kreistyp . - Die Inversion einer Ortskurve vom Geradentyp , die nicht durch den Achsenursprung geht, ergibt eine Ortskurve vom Kreistyp und umgekehrt. Einheitenhinweis (DIN 40110 : Das Zerlegen der Größen in Wirk - und Blindanteile kann man durch rechtwinklige Drei ecke veranschaulichen . Einheit für alle Ströme ist das Ampere ( A ), für alle Spannungen das Volt ( V ), für alle Wi derstände das Ohm ( 92 ), für alle Leitwerte das Siemens (S ) und für alle Leistungen , auch für die Scheinleistung und die Blindleistung, das Watt ( W ) . Die Einheit Watt wird bei Scheinleistungen auch Volt- Ampere (Einheitenzeichen VA ), bei Blindleistungen auch Volt- Ampere - reaktiv (Einheitenzeichen var ) genannt.

455

Memory

Memory zu Kapitel 24: Frequenzgang von RC -Gliedern Hochpass

Tiefpass

Als Frequenzgang bezeichnetman das Verhältnis von Ausgangsspannung U , zu Eingangs spannung Ue bei sinusförmigen Spannungen / Strömen . 1 1 + jo RC

F (o ) = La -

F (

= 1 + ū11 jo RC

Der Frequenzgang kann nach Betrag und Phase zerlegt werden . Der Betragsanteil des Frequenzgangs heißt Amplitudengang. F (

) =

. -

| F ( ) = | E® ) = C .

T1 + ( @ RC )

11 + TI ( RC) 2

Die Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangsgröße in Abhängigkeit von der Frequenz wird als Phasengang bezeichnet. f ( ) = < (U , Ue) = - arctan o RC

9 ( ) = < (UX, U .) = arctan

Der Tiefpass lässt Gleichstrom und Wech selstrom niedriger Frequenz durch und sperrtWechselstrom höherer Frequenz .

O RC

Der Hochpass sperrt Gleichstrom und Wechselstrom niedriger Frequenz und lässt Wechselstrom höherer Frequenz durch .

Die Grenzfrequenz, die den Durchlass - und Sperrbereich trennt, ist definiert durch die Gleichheit von Blind - und Wirkwiderstand. Xc = R fg

27 . R . C Die Dämpfung im Durchlassbereich ist idealerweise null. a =

dB im Durchlassbereich

Die Sperrdämpfung beträgt je Frequenzdekade 20 dB (Dezibel ). dB Q = 20 Dekade Bei Grenzfrequenz beträgt die Ausgangsspannung U , = 70 , 7 % von der Eingangsspannung Ue, das entspricht einer Dämpfung a = 3 dB . Der Phasenverschiebungswinkel zwischen Ausgangs- und Eingangsgröße ist dann 45º .

456

Memory

Memory zu Kapitel 25 : Schwingkreis, Resonanzkreis Freie Schwingung, Schwingkreise Prinzip : Ein auf die Gleichspannung U

aufgeladener Kondensator wird über eine Spule entladen .

Ungedämpfte Schwingung

Gedämpfte Schwingung

u = Uocos mot Ladespannung U , des Kondensators vor Beginn der Schwingung - Eigenfrequenz fo

- Abkling-Zeitkonstante r = 2 L / R - Eigenfrequenz f < fo

u = U . .etcos ot

fo = 2RL .C Erzwungene Schwingung, Resonanzkreise Resonanzbedingung : < (U , 1) = D . h .: In der komplexen Widerstands- und Leitwertgleichung wird der Imaginäranteil gleich null gesetzt und aus diesem Ausdruck die Resonanzfrequenz fo oder die zur Einstellung der Resonanz erforderliche Induktivität L bzw . Kapazität C errechnet. Reihen -Resonanzkreis Ry

Parallel- Resonanzkreis Ry

I = konst.

Uskonst. Uskonst.

– Resonanzfrequenz

- Resonanzfrequenz

1 To 2a /L .C - Resonanzwiderstand erreichtMinimum Zo = R , - Resonanzüberhöhung der Blindspannungen UL = Uc = Q . U Anregungsspannung - Kreisdämpfung 00 L

- Kreisgüte

- Resonanzwiderstand erreicht Maximum L Zo = C . Ry - Resonanzüberhöhung der Blindströme IL = Ic = 2 . 1 Anregungsstrom - Bandbreite bo,7 = fob - fu b0,7 =

Reihen - und Parallel-Resonanzkreise können in geeigneten Schaltungen zur Hervorhebung oder Unterdrückung bestimmter Frequenzbereiche verwendet werden .

457

Memory

Memory zu Kapitel 26 : Transformatoren Gesetze des idealen Transformators V

_ N

U2

1

= Ü

I

N2

N2 - 1 Nü

Z

= ü2 . Z2

P

=P2

Realer Transformator Primärstrom

Ersatzschaltung R 10

ü ? L26

U2R2

12

Transformator Hauptgleichung Lyo

3

Ate

:02

3

2 2

> U

|

U = 4, 44 .f.Nj B Afe

lo

Spannungsverhalten (vereinfachte Ersatzschaltung ) 1,

Kurzschlussversuch

Rk

liefert:

.02

iS

IN

Nennkurzschluss spannung Uk . 100 % UIN Wicklungsverluste Pk

Für Kapp 'sches Dreieck - Wirkspannung URIIN - Streuspannung U - Juzuk

→

Spannungsänderung bei Belastung : Ü · AU2 = UR . cos 42 + Ux · sin 02

(Näherungsformel)

Ausgangsspannung bei Belastung : UIN - ü AU2 U2 =

Index N = Nenn

458

Memory

Memory zu Kapitel 27 : Dreiphasensystem Vierleiter - Dreiphasennetz

UIN

U12 U31

U23

U31

U3N L3 Sternschaltung mit N -Leiter

UN

U2N U23

Dreieckschaltung

412 123 431

U = √3 . Ust (bei symmetrischer Last)

I = Ist Ausgleichsstrom im Neutralleiter bei unsymmetrischer Last

Drehstromleistung Bei symmetrischer Last :

P = 3 Pst oder P = 73 .UI. cos o mit ø = 4 (Ust. Ist)

Bei unsymmetrischer Last:

P = Pst1 + Pst2 + Pst3

Drehfeld Ein magnetisches Drehfeld entsteht durch Überlagerung von zwei um 90° bzw . drei um 120° phasenverschobenen und räumlich versetzten magnetischen Wechselfeldern oder durch ein umlaufendes Polrad mit Gleichstromerregung ( entspricht Drehung eines Dauer magneten ).

459

Sachwortverzeichnis

Abgleich , Wheatstone'sche Brücke 84 ff. Abschirmung, -, elektrische Felder 132 - , magnetische Felder 182 Addition frequenzgleicher Wechselgrößen -, geometrische 231 f. AL -Wert von Spulen 194 Allpass (Phasendrehbrücke) 307 Ampere (Einheit) 20 Amperesekunde (Einheit ) 2 Amplitude 208 Amplitudengang 299 - RC -Bandpass 306 - RC -Hochpass 302 - RC - Tiefpass 302 Änderungsgeschwindigkeit sinusförmiger Größen 214 Anpassung 68 f. - Leistungsanpassung 68 f. - Spannungsanpassung 66 - Stromanpassung 66 Äquipotenzialflächen 11 Aquipotenziallinien 11 Aquivalente Schaltung 276 f. Arbeit - elektrische 58 - Wirkarbeit 239 Arbeitspunkt 30 f. Arbeitszähler 61 Arithmetischer Mittelwert 217 f. Atommodell 2 Aufladung des Kondensators - mit Konstantspannung über Vorwiderstand 144 ff. - mit Konstantstrom 143 Augenblickswert s. Momentanwert Ausgleichsstrom im Vierleiter- Drehstromnetz bei unsymmetrischer Belastung 342 f. Ausgleichsvorgang beim Schalten von Gleich stromkreisen 206 f. Abschaltvorgang - Kondensator über Vorwiderstand 150 f. - , Spule 202 ff.

Bandbreite von Resonanzkreisen 322 Bandpass, RC 305 ff.

Bewegungsinduktion 185 ff. Bezugspunkt (Masse ) der Schaltung 14 f. Bifilare Wicklung 155 f. Blindleistung - Kondensator 244 - Spule 250 Blindleitwert -, induktiver 251 -, kapazitiver 245 Blindspannung 263 Blindstrom 254 - - kompensation 284 ff. Blindwiderstand -, induktiver 251 f. - kapazitiver 245 f. Bode -Diagramm 299 - Hochpass, RC 302 - Tiefpass, RC 302 Bogenmaß 209 Bohr'sches Atommodell 2 Brückenschaltung 84 ff. – Abgleichbrücke 85 f. – Ausschlagsbrücke 86 f.

Cos Q 261 f. Coulomb (Einheit) 2 Coulomb' sches Gesetz 6 Crestfaktor 223 f. D Dämpfung - Schwingkreis 313 - Sperrdämpfung bei Hochpass, Tiefpass 299, 303 Dauermagnet - Haltekraft 273 Dehnungsmessstreifen (DMS) 86 f. Dezibel (Einheit) 299 Diamagnetismus 165 Dielektrikum 120 Dielektrische Verluste des Kondensators 257 Dielektrizitätskonstante 124 Dielektrizitätszahl 123 Differenzialquotient in elektrotechnischen Formeln 22 Differenzieller Widerstand 30 f. Dreheiseninstrument 220 Drehfeld 347

460

Drehrichtung - Zeiger 211 Drehspulinstrument 217 Drehstrom - - generator 337 - -system 337 ff. Drehstromleistung 345 f. Drehstromverbraucher -, symmetrische Belastung 341, 344 -, unsymmetrische Belastung 341, 344 Drehwinkel -, zeitabhängiger 190 s.a . Phasenwinkel Dreieckschaltung 339, 344 Dreiphasensystem 337 ff. Drei-Spannungsmesser-Methode , Induktivitäts bestimmung 297 Durchflutung 157 Durchflutungssatz 158 Durchschlagsfestigkeit 127

Effektivwert 220 ff. e -Funktion 146 f. Eigenfrequenz - Schwingkreis 312 Einheitsladung 6 Einschaltvorgang - Kondensator über Vorwiderstand 144 ff., – Spule 198 ff. Eisen -, hartmagnetisches 164, 165, 172 - - verluste, Transformator 331 s .a . Leerlaufverluste - weichmagnetisches 164, 165, 172 Eisenverluststrom , Transformator 331 Elektrische Arbeit 58 Elektrische Energie 7 Elektrische Feldstärke 3 f. Elektrische Ladung 1 f. Elektrische Leistung - Abhängigkeit von U und I 61 f. - Blindleistung s . induktive und kapazitive Blindleistung Definition 60 - Scheinleistung 261, 266 - Wirkleistung 237 , 260 , 266 Elektrischer Leitwert 29 Elektrische Spannung 9 , 12 Elektrische Verschiebungsflussdichte 122 f. Elektrischer Strom 20 f. Elektrischer Verschiebungsfluss 123

Sachwortverzeichnis Elektrischer Widerstand - Begriff 28 – Definition 29 - Leitungswiderstand 33 Elektrisches Feld - Begriff 2 f., 7 f., 120 - Darstellung im Feldlinienmodell 3 f., 11 - Darstellung im Potenzialflächenmodell 11 - Energieinhalt 134 - Feldstärke 4 , 124 - Kondensator 120 Elektrisches Potenzial 10 f . Elektrizitätsmenge s . Ladungsmenge Elektroblech 164 Elektrodynamische Kraft 174 Elektrolyte 5 Elektromagnet 173 Elektro-Motorische-Kraft (EMK ) 185 Elektron - Ablenkung im elektrischen Feld 135 ff . - Ablenkung im magnetischen Feld 177 , 179 Elektronengas 5 , 20 Elektronengeschwindigkeit in elektrischen Leitern 26 Elektronenleitung 5 , 177 Elektronenstromrichtung 20 Elektrostatisches Feld 120 ff. Elementarladung 2 Energie -, äquivalente 58 - -bilanz des Schwingkreises 310 -bilanz im Stromkreis 64 - -erhaltung 59 -, gespeicherte im Kondensator 134 -, gespeicherte in der Spule 167 - -übertragung im Stromkreis 7 f., 65 f. Energieumwandlung - im Kondensator 244 – im Widerstand 59 , 237 in der Spule 253 - zwischen Generator und komplexen Verbraucher 261 f. Entladung des Kondensators 149 ff. Ersatzkapazität - bei Parallelschaltung von Kondensatoren 128 - bei Reihenschaltung von Kondensatoren 129 Ersatzleitwert parallel geschalteter Widerstände 47 Ersatzschaltung - einer Spannungsquelle 59 f. - einer verlustbehafteten Spule 290

461

Sachwortverzeichnis eines nichtlinearen Widerstandes 104 ff . - eines verlustbehafteten Kondensators 257 Ersatzspannungsquelle 99 f. Ersatzstromquelle 102 f. Ersatzwiderstand - Parallelschaltung 47 - Reihenschaltung 44 Euler ' sche Formel 271 Exponentialform der komplexen Zahl 272

Farad (Einheit) 121 Faraday 'scher Käfig 132 Feld - , elektrisches 2 f., 7 f., 120 -, homogenes 4 , 11 -, magnetisches 154 f. Feldenergie -, elektrische 133 f. -, magnetische 167 f. Feldkonstante - , elektrische 124 -, magnetische 164 Feldlinie - , elektrische 3 -, magnetische 154 Feldstärke -, elektrische 4 -, magnetische 157 Ferromagnetismus 165 Filter, RC - Bandpass 305 ff. - Hochpass 303 ff. - Tiefpass 299 ff. Flächenauszählmethode 24 Flussänderung -, magnetische 182 Flussdichte -, elektrische 124 -, magnetische 159 Fluxmeter 197 Formfaktor 226 Freilaufdiode 203 Frequenz 213 Frequenzgang 298 Frequenz-Kennlinien 299 , 302 G Gegenphasigkeit 230 Gegenspannung -, induzierte 192 Generatorprinzip 188 ff.

Geschwindigkeit von Ladungsträgern im elektri schen Feld 136 Gleichphasigkeit 230 Gleichrichtwert 219 f. Gleichstrom 20 Gleichstromwiderstand 29, 40 Grenzfrequenz 299 - RC -Schaltung 301, 304 - Resonanzkreis 322 Güte - Resonanzkreis 318 , 322 - Spule 266 H Halbleiter - Eigenleitung 5 - Störstellenleitung 5 Halleffekt 177 Hartmagnetisches Eisen 164, 165, 172 Hauptleiter L1, L2 , L3 339 Heißleiter 38 f. Henry (Einheit) 155 Hertz (Einheit) 213 Hochpass, RC 303 ff. - Amplitudengang 302 - Phasengang 302 Hystereseschleife 171 Hystereseverluste 171 f.

Imaginäranteil der komplexen Zahl 270 Imaginärfreimachen eines Nenners 277 Imaginäre Zahl 273 Induktion - , elektrische (Vorgang ) 181 ff. -, magnetische (Größe ) 159 - Richtungsregel 181 Induktionsgesetz - Aussage 181 - Schreibweisen 184, 185 - Verbindung zum Ohm 'schen Gesetz 183 Induktionsspule 187 ff. Induktive Blindleistung 250 Induktive Spannung 194 Induktiver Widerstand 251 Induktivität Berechnung 156 ff. – Definition 155 - von Koaxialleitung 161 - von Paralleldrahtleitung 162 - von Spulen 161 Influenz 131

462 Innenwiderstand - von Ersatzquellen 100, 103 - von Spannungsmessern 14 - von Strommessern 24 - von Spannungsquellen 59 f. - von Stromquellen 53 Integral in elektrotechnischen Formeln 24 Inversion von Ortskurven 293 f. Ion 2 Ionenleitung 5 Ionisation 2 Isolator 5 I- U -Kennlinie 28 - lineare 30 -, nichtlineare 31

Joule (Einheit ) 59 Joule ’sches Gesetz 59

Kaltleiter 38 f. Kapazität - Akkumulator 6 Kondensator, Bauformabhängigkeit 125 Definition 121 - Ersatzkapazität bei Parallelschaltung 128 - Ersatzkapazitätbei Reihenschaltung 129 Kapazitive Blindleistung 244 Kapazitiver Widerstand 245 Kapp ' sches Dreieck 333 f. Kennlinie - I- U -Kennlinie des Widerstandes Rg 30 , 71 - 1- U -Kennlinie des Innenwiderstandes R ; 59, 71 -, lineare 29 f. -, nichtlineare 30 f. Kennwiderstand eines Schwingkreises 311 Kernfaktor einer Spule 194 Kirchhoff 'sche Gesetze 42, 73 Klemmenspannung 51 Knotenpunktregel S. erstes Kirchhoff sches Gesetz Koaxialkabel - Induktivität 161 - Kapazität 126 Koerzitivfeldstärke 163 Kompensation - Blindstrom 288 f. Komplexe Spannungsgleichung - Entstehung 268 f. - Exponentialform 272 - Normalform 271 , trigonometrische Form 271

Sachwortverzeichnis Komplexe Zahlenebene 270 Komplexer Spannungsteiler 279 Komplexer Stromteiler 280 Komplexer Widerstand 275 Kondensator - Aufbau 120 Aufladung mit Konstantspannung über Vor widerstand 144 Aufladung mit Konstantstrom 143 Eigenschaften 121 f. Entladung über Widerstand 149 f. - Strom -Spannungs -Beziehung 144 - Verluste 257 Konjugiert-komplexe Erweiterung 277 Konstantan 33, 38 Konstantspannungsquelle 55 f. Konstantstromquelle 55 f. Kopplung von Stromkreisen -, induktiv 196 , 325 -, kapazitiv 131 f. Kraftwirkungen in elektrischen und magneti schen Feldern - Dauermagnet 173 - elektrisches Feld auf elektrische Ladung 135 f. Elektromagnet 173 elektrostatische durch Reibung 1 elektrostatische zwischen Kondensatorplatten 139 - , magnetisches Feld auf bewegte elektrische Ladung 176 -, magnetisches Feld auf stromdurchflossene Leiter 174 f. - zwischen stromdurchflossenen Leitern 178 Kreisfrequenz 213 Kreisstromverfahren 94 Kupferverluste, Spule, Transformator 288 , 331, 336 Kurzschlussstrom 51 Kurzschlussversuch , Transformator 334

Ladestrom des Kondensators 143 f. Ladungsmenge 9 , 23, 121 Ladungsträger 5 Ladungsträgergeschwindigkeit in Metallen Ladungstransport 23 f. Ladungstrennung 8 Leerlaufspannung 50 Leerlaufverluste , Transformator 336 Leistung, elektrische - Blindleistung des Kondensators 247 Blindleistung der Spule 250

26

463

Sachwortverzeichnis - Definition 60 - Drehstrom 345 - Scheinleistung 346 - Wirkleistung 237 Leistungsanpassung 68 f. Leistungsfaktor Leistungshyperbel Leistungsmessung 61 Leiter , elektrischer 7 f. Leiter - Außenleiter 338 f. - Neutralleiter 338 - - schleife , bei Induktionsvorgängen 181 stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld 174 Leitfähigkeit 33 Leitwert - Definition 29 – dreieck 256 induktiver 251 kapazitiver 245 komplexer 256 - -operator 273 f. - -ortskurve 292 , 295 Leitungswiderstand 32 Lenz'sche Regel 181 Lichtbogen -Grenzkurven 204 Linearer Widerstand 29, 246 , 255 Linearitätsfehler, Spannungsteiler 113 f. -, absoluter 114 -, prozentualer 114 Liniendiagramm 208 , 210 Lorentzkraft 177 Luftspalt im Eisenkern 165 M Magnet Berechnung der Haltekraft eines Dauer magneten , Elektromagneten 173 Magnetische Energie 167 , 169 Magnetische Feldstärke 157 Magnetische Flussdichte 159 Magnetische Sättigung des Eisens 163 Magnetischer Fluss 155 , 159 Magnetischer Kreis 166 f. Magnetisches Feld - Darstellung 154 , 156 , 162 - Energie 169 Kräfte 172 ff. - zeitlich veränderliches, Induktion 181 ff. Magnetisierungskurve - Elektroblech 164 - Grauguss 164

Magnetisierungsstrom 329 f . Magnetwerkstoffe -, hartmagnetisch 164 ,165, 172 - Übersicht 165 -, weichmagnetisch 164, 165, 172 Magnetnadel 154 Manganin 33 , 38 Maschenregel S. zweites Kirchhoff ' sches Gesetz Masse (Bezugspunkt) 14 Materialwiderstand s. Leitungswiderstand Messbereichserweiterung , Drehspulinstrument - Spannungsmesser 91 - Strommesser 78 Messbrücke 84 f. Messwiderstand für indirekte Strommessung 34 Mittelpunktleiter s . Neutralleiter Mittelpunktverschiebung im Vierleiter Drehstromnetz 342 f. Mittelwert - , arithmetischer 217 – der Beträge 219 - , quadratischer 220 f. Mischgröße 222 f. Momentanwert 22 , 208 N Nennleistung 63 Nennspannung 63 Netzmasche 42 Netzwerk 93 Neukurve, Eisen 163 Neutralleiter 339 Newton (Einheit) 4 Nichtleiter 5 Nichtlinearer Widerstand 30 f. Nordpol, Spule 156 Normalform der komplexen Zahl 271 NTC -Widerstand 39 Nullphasenwinkel 268 f. Nullsetzen des Imaginäranteils 281 Nutzleistung 66

Ohm (Einheit) 30 Ohm ' sches Gesetz - allgemein 32 - Wechselstrom 239, 245 f., 252 Ohmscher Widerstand 34 , 41, 241

464

Operator - Leitwert 273 f. - Widerstand 273 f. Ortskurve - Geradentyp 291 , 295 - Grundschaltungen 295 - Inversion 293 - Kreistyp 291, 295 Oszilloskop 34

Paralleldrahtleitung 162 Parallelresonanzkreis 319 f. Parallelschaltung - Kondensatoren 128 f . - Widerstand 42 ff., 45 ff. Paramagnetische Werkstoffe 165 Periodendauer 208 Permeabilitätskonstante 159 Permeabilitätszahl 159 , 165 Phase Phasengang 299 - Bandpass, RC 306 - Hochpass, RC 302 - Tiefpass , RC 302 Phasendrehbrücke – Allpass 307 - einfacher RC -Phasenschieber 284 Phasenschieberschaltung s. Phasendrehbrücke Phasenverschiebungswinkel Definition 229 - Kondensator 242 - Spule 248 - Widerstand 236 Phasenwinkel 210 Plattenkondensator 125 Polarisation 123 Pole , magnetische der Spule 156 Positiver Umlaufsinn von Zeigern 211 Potenzial - - diagramm , Drehstromsystem 340 f. - - differenz, Spannung 12 - gefälle , el. Feldstärke 13 - -kontrolle , bei Netzwerksberechnung 97 - -messung 14 f. Potenziometer 110 Proton 2 PTC - Widerstand 39

Quadratischer Mittelwert 220 f . Quellenspannung 50

Sachwortverzeichnis Quellenstrom 53 Querstromfaktor, Spannungsteiler 117

Realanteil einer komplexen Zahl 270 Rechtsschraubenregel 181 Reihenschaltung - Kondensatoren 128 f. - Widerstände 43 f. Reihenresonanzkreis 314 f. Relais 205 Remanenz 163 Resonanzfrequenz - Parallelkreis 319 - Reihenkreis 315 Resonanzkurve - Parallelkreis 323 f. - Reihenkreis 315 , 317 Resonanzüberhöhung - Spannung 317 - Strom 321 Resonanzwiderstand - Parallelkreis 319 - Reihenkreis 316 Ringfeld , induziertes elektrisches 182 Rotierender Zeiger 211 , 269 Ruhender Zeiger 270 , 271 Ruheinduktion 184 R /2R -Netzwerk 74 f.

Sättigung, magnetische 163 Schaltvorgang, Gleichstromkreise - allgemein 206 - RC -Glied 207 - RL -Glied 207 Scheinleistung 261, 266 Scheinleitwert 256 Scheinwiderstand 264 Scheitelfaktor 223 f. Scheitelwert 208 Schleifdraht-Messbrücke 84 Schwingkreis 309 f. Schwingung - freie 311 -, gedämpfte 313 -, ungedämpfte 310 Selbstinduktion 193 ff. Siemens (Einheit) 29 SI-Einheiten 400 f . Sinusfunktion - Entstehung im Generator 189 f.

465

Sachwortverzeichnis

- Entstehung im Schwingkreis 311 - Darstellung durch drehenden Zeiger 211 Skalare Größe 11 Spannung - , elektrische 9 Spannungsabfall 10 , 32 Spannungsanpassung 66 Spannungsmessung 15 f. Spannungsquelle mit Innenwiderstand 49 ff. Spannungsresonanz 317 Spannungsteiler - , belasteter 111 f. - Dimensionierung 116 f. - Linearitätsfehler bei Belastung 113 -, unbelasteter 109 Spannungsteilung 44 Spezifischer Widerstand 33 Spule - Abschaltvorgang 202 f. - Einschaltvorgang 198 f. Ersatzschaltungen 265 , 288 Feldbild 156 , 160 - Induktivität 161 – Güte 166 Strom -Spannungs -Beziehung 194 - Verluste 165 - Zeigerbild 290 Sternschaltung 341 f. Sternpunktverschiebung 342 f. Strangspannung 339 Strangstrom 341, 344 Streuinduktivität, Transformator 333 Strom - und sein Magnetfeld 154 Stromanpassung 66 Stromdichte 25 Stromkreisgesetze 73 Strommessung 25 Stromquelle mit Innenwiderstand 52 f. Stromresonanz 321 Stromstärke – Definition 20 , 22 Stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld 174 Strom - Spannungs -Kennlinie 28 Stromrichtung 20 Stromteilung 47 f. Strömungsgeschwindigkeit der Ladungsträger 26 Subtraktion frequenzglch . Wechselspannungen - , geometrische 233 f. Südpol, Spule 156 Symmetrische Belastung bei Drehstrom 344 Synchronmaschine 337

Tangentenmethode 22 Technische Stromrichtung 20 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes 35 ff. Temperaturkoeffizient 37 Tesla (Einheit) 159 Tiefpass , RC 299 ff. - Amplitudengang 302 - Phasengang 302 TK -Wert 36 Tragkraft eines Magneten 173 Transformator - Aufbau 325 - Ausgangsspannung bei Belastung 333 f. Ersatzschaltungen 330 f. Gesetze des idealen Transformators 325 f. Hauptfluss 330 Hauptgleichung 328 - Kurzschlussspannung 333 Magnetisierungsstrom 331 Streufluss 330 Streuspannung 333 Wirkspannung 333 - Wirkungsweise 328 f. - Zeigerbild 332 Trigonometrische Form der komplexen Zahl 271 u Überanpassung 70 Übersetzungsverhältnis , Transformator 325 Übergangsverhalten - Schaltvorgänge RC - und RL -Glieder 206 f. Überlagerungsmethode 96 Umlaufender Zeiger 269 Umlaufspannung -, induzierte 182 Ummagnetisierung 163, 171 Unsymmetrische Belastung bei Drehstrom 341 ff. Unteranpassung 70 V Vektor 4 , 176 f. Verkettung 338 Verluste - dielektrische, beim Kondensator 257 - im Transformator 331 - Hystereseverluste im Eisenkern 171 - Wirbelstromverluste im Eisenkern 196 Verlustfaktor - Kondensator 257 - Spule 265

466

Sachwortverzeichnis

Verlustwiderstände - Kondensator 257 - Spule 265 - Transformator 331 Verlustwinkel - Kondensator 257 - Spule 265 Verschiebungsfluss 123 Verschiebungsflussdichte 123 Vierpol 301 Volt ( Einheit ) 9 Volt- Ampere (Einheit) 261, 266 Volt-Ampere - reaktiv (Einheit ) 244, 250 Vorwiderstand 81 W Watt (Einheit) 61 Wattsekunde (Einheit) 58 Weber ( Einheit) 155 Wechselgröße - geometrische Addition , Subtraktion 233

- , ohmscher 241 -, spezifischer 33 Widerstandsanpassung -, Leistung 68 f. -, Spannung 66 -, Strom 66 Widerstandsdreieck 264 Widerstandsgerade 70 , 81, 84 , 105 , 106 Widerstandslegierungen 33 Widerstandsoperatoren 273 Widerstandsortskurven 291, 295 Wienglied -Schaltung 308 Windungszahl bei Spule 155, 159, 194 Winkelgeschwindigkeit 189, 191 Wirbelstrom 196 Wirkarbeit 239 Wirkleistung 237 Wirkspannung, Kapp ' sches Dreieck 333 Wirkwiderstand 239 Wirkungsgrad 65 231,

- Begriff 208, 218 -, sinusförmige 190 , 208 - Zerlegung einer Wechselgröße mit Null phasenwinkel 268 f. Wechselstromwiderstand s. Wirk -, Blind -, Schein - und komplexer Widerstand Weichmagnetisches Eisen 164, 165, 172 Weiß 'sche Bezirke 163 Wheatstone ' sche Brücke - Abgleich 85 - Ausschlag 86 - Verstimmung 86 Wicklung -, bifilare 155 f. Widerstand , elektrischer - Änderung durch Temperatureinfluss 35 ff. - Änderung durch Dehnung 86 -, arbeitspunktabhängiger 31 Definition 28 differenzieller 30 - , frequenzabhängige 245, 251 -, induktiver 251 -, kapazitiver 245 -, komplexer 275 - , linearer 29 - , materialabhängiger 33 - , nichtlinearer 31

Zahl -, imaginäre 270 komplexe 270 konjugiert-komplexe 270, 277 270 -, aN reelle Zählpfeile bei - Induktion 182 - Kondensator 149 Spule 195 Schwingkreis 311 Transformator 333 - Widerstand 32 Zeiger -, rotierende 269 -, ruhende 270 , 271 Zeigerdiagramm -, eisengefüllte Spule 290 - Phasendrehbrücke 284 - Regeln 211 – Transformator 332 Zeitfunktionen von Wechselgrößen 209 Zeitkonstante - RC - Schaltung 146 , 207 - RL -Schaltung 198 , 207 Zweiwattmeter -Schaltung, Aron 349 Zylinderkondensator - Kapazität 127

Zuverlässige Hilfestellung zum

Bestehen

von Elektrotechnik -Klausuren Martin Vömel | Dieter Zastrow Aufgabensammlung Elektrotechnik 1 Gleichstrom und elektrisches Feld . Mit strukturiertem Kernwissen , Lösungsstrategien und -methoden 4 ., vollst, überarb. u . akt. Auflage 2006 . X , 247 S . Broschur € 19 ,90 ISBN 978- 3-8348-0208-8 Inhalt: Gleichstrom : Elektrischer Stromkreis - Leiterwiderstand - Widerstandsschaltungen - Spannungs - und Stromteilung - Temperaturabhängigkeit von Widerständen - Arbeit , Leistung, Wirkungsgrad Spannungsteiler - Wheatstonesche Brückenschaltung - Leistungsverlust auf Leitungen . Netzwerke: Lösungsmethoden zur Analyse von Netzwerken . Elektrisches Feld : Elektrostatisches Feld - Kondensator - Energie , Energiedichte und Kräfte im elektrischen Feld - Auf- und Entladung von Kondensatoren Der erste Band bietet in insgesamt 20 Abschnitten eine thematisch gegliederte Aufgabensammlung und stellt für jeden Themenbereich der Elektrotechnik das erforderliche Grundwissen einschließ lich der typischen Lösungsmethoden in kurzer und zusammenhängender Weise bereit. Jeder Aufgabenkomplex bietet Übungen der Schwierigkeitsgrade leicht, mittelschwer und anspruchsvoll an. Der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben ist durch Symbole gekennzeichnet. Alle Übungsaufgaben sind mit ausführlichen Lösungen und Kommentierungen versehen . In der vierten Auflage wurden die Schaltsymbole aktualisiert. Sowohl diese Aufgabensammlung als auch das Lehrbuch Zastrow , Elektrotechnik , werden gleichzeitig umgestellt. Martin Vömel | Dieter Zastrow Aufgabensammlung Elektrotechnik

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Magnetisches Feld und Wechselstrom . Mit strukturiertem Kernwissen , Lösungsstrategien und -methoden 4., korr . Auflage 2008 . VIII, 257 S. Broschur € 19 ,90 ISBN 978- 3-8348-0427 -3 Inhalt: Magnetisches Feld : Berechnung magnetischer Feldgrößen - Weichmagnetische Werkstoffe - Berechnen von Induktivitäten - Hartmagnetische Werkstoffe - Berechnen magnetischer Kreise - Energie und Kräfte im magnetischen Feld - Induktionsgesetz - Schalten induktiv belasteter Gleichstromkreise . Wechselstrom : Wechselstromwiderstände - Schaltungen - Die Leistung im Wechselstromkreis Ortskurven - Übertragungsfunktion und Frequenzgang - Transformatoren - Dreiphasensysteme Die 4 . Auflage des erfolgreichen zweiten Bandes der Aufgabensammlung enthält in insgesamt 19 Ab schnitten thematisch gegliederte Aufgaben zum magnetischen Feld und zur Wechselstromtechnik . Sie stellen für jedes Thema das erforderliche Grundwissen in Form strukturierter gerasterter Seiten ein schließlich der typischen Lösungsstrategien und -methoden in Zusammenhängender Weise bereit . Jeder Aufgabenkomplex bietet Übungen der Schwierigkeitsgrade leicht, mittelschwer und anspruchsvoll an . Die Schwierigkeitsgrade sind durch Symbole gekennzeichnet. Alle Übungsaufgaben sind mit ausführ lichen Lösungen und Kommentierungen versehen . Die Abbildungen sind der neuen Norm angepasst.

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Stand September 2009. Anderungen vorbehalten . Erhältlich im Buchhandel oder im

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Bindel, Thomas / Hofmann , Dieter Projektierung von Automatisierungsanlagen Eine effektive und anschauliche Einführung 2009. VIII, 241 S . mit 203 Abb. u . 22 Tab . Br. EUR 24 .90 ISBN 978-3 -8348 -0386 -3

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Wellenreuther, Günter / Zastrow , Dieter Automatisieren mit SPS - Theorie und Praxis Programmierung: DIN EN 61131-3 , STEP7, CoDeSys, Entwurfsverfahren , Bausteinbibliotheken . Applikationen : Steuerungen , Regelungen , Antriebe, Safety . Kommunikation : AS -i- Bus, PROFIBUS , Ethernet-TCP / IP , PROFINET, Web - Technologien , OPC 4 ., überarb . u . erw . Aufl. 2008. XX , 824 S . mit über 800 Abb ., 106 Steuerungsbeisp. u . 7 Projektierungen Geb. EUR 36 ,90 ISBN 978 - 3 -8348 -0231-6

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