Einführung in die Kombinatorik: Mit einem Anhang über Formale Potenzen [Reprint 2021 ed.] 9783112577462, 9783112577455

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HEINZ-RICHARD HALDER • WERNER HEISE

EINFÜHRUNG IN DIE KOMBINATORIK

EINFÜHRUNG IN DIE KOMBINATORIK MIT EINEM ANHANG ÜBER FORMALE POTENZEN

HEINZ-RICHARD HALDER WERNER HEISE

INSTITUT FÜR MATHEMATIK DER TECHNISCHEN UNIVERSITÄT MÜNCHEN

AKADEMIE-VERLAG • BERLIN 1977

Erschienen im Akademie-Verlag, 108 Berlin, Leipziger Straße 3-4 © CARL HANSER VERLAG MÜNCHEN WIEN 1977 Lizenznummer: 202 • 100/556/77 Bestellnummer: 762 435 5 (6422) • LSV 1025 Druck: Georg Wagner, Nördlingen Buchbinderische Verarbeitung: VEB Druckhaus „Maxim Gorki", DDR-74 Altenburg DDR 32,- M

V

Und dlti ein ¿iL*. allemal Ven wichtig¿ten von allen Spn.iic.hzn: Ei liegt di.fi kein Geheimnis In de.fi Zahl, Allein ein gfioßei In den Brücken. (J. W. v. GOETHE, Faust I, Paralipomena 32)

VORWORT Welche Stellung nimmt die Kombinatorik im Gebäude der Mathematik ein,und wie ist sie von anderen mathematischen Teilgebieten abzugrenzen? Zu dieser Frage gibt es eine Reihe kompetenter Aussagen. Wenn wir MEPHISTOPHELES folgen, gehört die Kombinatorik ebenso wie die Zahlentheorie nicht zu den geheimnisvollen mathematischen Disziplinen. P. A. MACMAHON siedelt die Kombinatorik auf dem Grenzgebiet zwischen Algebra und Zahlentheorie an. Nach E. NETTO bestehen ihre Grundlagen in den Operationen des Kombinierens und Permutierens. J. RIORDAN erweitert die Begriffsbestimmung von A. DE MORGAN, Kombinatorik beschäftige sich mit Reihen, deren Koeffizienten Werte von Anzahlfunktionen sind, durch die Bemerkung, daß auch das Lösen von Abzählproblemen durch erzeugende Funktionen zur Kombinatorik gehöre. Vorsichtig sagt J. RIORDAN schließlich "... anything enumerative is combinatorial". Für H. J. RYSER gibt es zwei Hauptprobleme in der Kombinatorik, die Frage nach der Existenz gewisser Konfigurationen und Anzahlprobleme. Nach W. OBERSCHELP befaßt sich die Kombinatorik mit der Aufgabe, einen Überblick über den Gesamtverlauf zahlentheoretischer Funktionen zu gewinnen. Die kombinatorisch interessanten Funktionen schränkt er durch die Bedingung ein, daß ein Berechnungsverfahren für sie bekannt sein müsse. G. C. ROTA sieht im Zentrum der Kombinatorik die Inversions-

VI

Vorwort

formein. Für ihn bilden die MOEBIUS-Funktionen das vereinheitlichende Prinzip der abzählenden Kombinatorik. Nach C. BERGE hat die Kombinatorik folgende Aspekte: Untersuchen bekannter und unbekannter Konfigurationen, Abzählen von Konfigurationen, Auflisten von Konfigurationen, Optimierungsprobleme. Den Gebrauch erzeugender Funktionen will C. BERGE auf ein Mindest^ maß beschränkt wissen. L. COMTET, dessen Meisterschaft in der kombinatorischen Interpretation von Zahlenfolgen M. P. SCHÜTZENBERGER zur Prägung des Begriffs der COMTETisierung von Potenzreihen veranlasste, gibt eine sehr weite Definition: Außer der Abzählung von Anordnungsmöglichkeiten verschiedener Objekte unter bestimmten Bedingungen gehören auch Existenz-, Abschätzungs- und Strukturierungsprobleme endlicher Mengen zur Kombinatorik. Eine ähnliche Auffassung vertritt P. DEMBOWSKI: "Kombinatorik ist die Theorie der endlichen Mengen." Für H. LÜNEBURG sind die vielen Beschreibungsversuche ein Beweis dafür, daß niemand so recht zu sagen wisse, was Kombinatorik sei. Wir gehen pragmatisch vor und erklären: Kombinatorik ist, was Kombinatoriker machen. Damit geben wir allen erwähnten Autoren recht

1

>. Dieser Begriffsbestimmung entsprechend

unternehmen wir nicht den Versuch, die Kombinatorik als Theorie im Sinne eines einheitlichen Kalküls darzustellen. Wir sehen die Begriffe und Sätze der Kombinatorik nicht als Teilaspekte eines integralen Prinzips. Ohne möglichen Entwicklungen vorzugreifen, erscheint es uns wenig sinnvoll, einen Zusammenhang etwa zwischen dem Satz von R. H. BRUCK und H. J. RYSER über die Existenz endlicher projektiver Ebenen und der Lösung der Rekursion für die FIBONACCI-Zahlen herzustellen. Bei der Organisation und Gliederung dieses Buches haben wir uns vielmehr von den verschiedenen kombinatorischen Problemen und Methoden leiten lassen. In der Einleitung stellen wir die grundlegenden Begriffe der Inzidenzstruktur und der erzeugenden Funktion vor. Für den rechnerischen Umgang mit den erzeugenden Funktionen findet 1>

insbesondere in den Punkten, in denen sie gegensätzlicher Auffassung sind.

VI I

Vorwort

sich im Anhang ein Abriß des Kalküls der formalen Potenzreihen. Die beiden ersten Kapitel behandeln die elementare Kombinatorik der Kombinationen und Permutationen. In Kapitel 3 wenden wir das Prinzip von Inklusion und Exklusion auf Permutationsprobleme an. Wir ziehen dabei diese einfache und natürliche Abzählmethode dem moderneren, in Kapitel 1 beschriebenen MOEBIUSschen Inversionskalkül vor. Die Anzahlbestimmung der Partitionen einer Menge in eine vorgeschriebene Anzahl von Klassen führt in Kapitel 4 zu den STIRLING-Zahlen 2. Art. Die Beträge der dazu inversen Zahlenfolge, die vorzeichenlosen STIRLING-Zahlen 1. Art werden in Kapitel 5 kombinatorisch als Anzahl gewisser Permutationen interpretiert. In diesem Zusammenhang führen wir zur späteren Verwendung für die PÖLYAsche Abzählungstheorie den Begriff des Zyklenzeigers einer Permutationsgruppe ein. Kapitel 6 beschäftigt sich mit den Partitionen natürlicher Zahlen. Hier zeigen wir, wie man mit kombinatorischen Methoden Identitäten zwischen formalen Potenzreihen einfacher als durch direkte Berechnung erhält. Unterwirft man zwei endliche Mengen

P

und

F

jeweils der P Wirkung einer Permutationsgruppe, so wird auf der Menge F aller Abbildungen von F nach P auf natürliche Weise eine Äquivalenzrelation induziert. Mit der von N. G. DE BRUIJN weiterentwickelten PÖLYAschen Abzählmethode bestimmen wir in Kapitel 7 die Anzahl der Äquivalenzklassen. Kapitel 8 behandelt endliche Graphen. In einer einführenden Auswahl von Problemen zählen wir unter anderem mit Hilfe der Ergebnisse aus Kapitel 7 die Wurzelbäume einer vorgeschriebenen Eckenanzahl. Kapitel 9 bringt mit den Sätzen von P. TURAN und F. P. RAMSEY die Lösung zweier graphentheoretischer Extremalproblerne. Kapitel lo hat die von P. HALL vor Ho Jahren begründete Theorie der Vertretersysteme zum Inhalt. Viele kombinatorische Probleme,

VIII

Vorwort

etwa über (0,1)-Matrizen, Graphen und lateinische Rechtecke lassen sich damit lösen. Das GALE-RYSER-Kriterium für die Existenz von Inzidenzstrukturen mit vorgegebenen Parametern wird mit einem Ergebnis von P. J. HIGGINS über disjunkte Teilvertretersysteme bewiesen. In Kapitel 11 stellen wir einige Fakten über lateinische Quadrate zusammen. Die Orthogonalitätsrelation lateinischer Quadrate ersetzen wir weitgehend durch den leicht modifizierten Begriff "paarweise verflochten sein". Für die Obersetzung von Ergebnissen über lateinische Quadrate in die Sprache der Permutationen oder der Gewebe ist diese Relation anschaulicher. In Kapitel 12 beschränken wir uns in der Stoffauswahl auf einige wesentliche Themen aus dem umfangreichen Gebiet der endlichen Geometrie, wie Existenzprobleme für projektive Ebenen, BENZ-Ebenen und STEINERsche Systeme. Kapitel 13 bringt eine einführende Auswahl kombinatorischer Probleme der Codierungstheorie. Auf die Theorie der zyklischen Codes, die mehr von algebraischen als von kombinatorischen Methoden bestimmt ist, gehen wir nicht ein. Dieses Buch ist aus einer zweisemestrigen Vorlesung des älteren der beiden Autoren an der Technischen Universität München 19741975 hervorgegangen. Der Hörerkreis bestand aus Mathematik- und Informatik-Studenten mittlerer und höherer Semester. Die Kombinatorik eignet sich hervorragend für die Behandlung in der Kollegstufe, da die meisten kombinatorischen Probleme entweder anwendungsorientiert und damit eo ipso interessant sind oder einen spielerischen, leicht verständlichen Charakter besitzen. Die Methoden zur Lösung der Probleme sind hingegen vielfältig und ihr Studium läßt in besonderem Maße die Querverbindungen zwischen den mathematischen Disziplinen Analysis, Zahlentheorie, lineare Algebra, Algebra und Geometrie erkennen. Mit einer Auswahl aus diesem Buch, die der Lehrer vor allem in Hinblick auf die Vorkenntnisse der Schüler treffen sollte, läßt sich ein Kurs in der Kollegstufe durchführen.

Vorwort

IX

Der Leser wird beim Durchblättern dieses Buches vielleicht Übungsaufgaben vermissen. Einige nicht weiter benutze Sätze und Formeln werden nicht bewiesen; dies nachzuholen sei dem Leser anempfohlen. Ansonsten legen wir ihm nahe, zur Kontrolle seines Verständnisses und zur Übung kürzere Beweise selbst durchzuführen. Mathematik kann nicht konsumiert, sie muß produziert werden; außerdem ist es häufig einfacher, selbst einen Beweis zu finden, als fremde Gedankengänge nachzuvollziehen. Wir danken dem Herausgeber der Reihe Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure, Herrn Professor Dr. J. HEINHOLD, sowie dem CARL HANSER Verlag für die gute Zusammenarbeit bei der Vorbereitung dieses Buches. Beim Korrekturlesen haben uns Frau U. HEISE, Fräulein C. FRANZ, B. KIRCHMEYER, 0. LORENZ sowie Herr G. ANDERER, R. DÜRRE, U. GSCHREI, Dr. H.iT. KROLL und H. KUNDE geholfen. Sie, verehrter Leser, bitten wir, uns von Ihnen entdeckte Fehler mitzuteilen. Last not least danken wir unseren Frauen Ulrike und Angelika für ihr Verständnis und ihre Hilfe, ohne die dieses Buch nie hätte enstehen können. Freising und Bichl, im Frühjahr 1976 Werner Richard Heise Heinz - Richard Halder

X

INHALTSVERZEICHNIS EINLEITUNG

DIRICHLETsches Taubenschlagprinzip Inzidenzstrukturen Erzeugende Funktionen

1 1 4

Rekursionen

5

ERSTER TEIL. ABZÄHLENDE KOMBINATORIK KAPITEL 1. KOMBINATIONEN

1.1

Binomialkoeffizienten

1.2 1.3 1.4

Multinomialkoeffizienten Auswahlen Inversionsformeln

KAPITEL 2. PERMUTATIONEN UND

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

13 14 18

PERMUTATIONSMENGEN

Permutationen und Anordnungen Permutationsdarstellungen abstrakter Gruppen . . . Gruppen gebrochener semilinearer Abbildungen . . . Die symmetrische und die alternierende Gruppe . . Permutationscharaktere

KAPITEL 3. DAS PRINZIP VON

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

8

24 27 28 29 32

INKLUSION UND EXKLUSION

Siebformeln Die EULERsche ip-Funktion Le problême des rencontres Le problème des ménages Turmpolynome Permanenten

35 37 37 45 47 50

KAPITEL 4. PARTITIONEN VON MENGEN

4.1

Die STIRLING-Zahlen 2. Art

56

4.2

Die BELLschen Exponentialzahlen

59

KAPITEL 5. ZYKLEN VON

5.1 5.2

PERMUTATIONEN

Die STIRLING-Zahlen 1. Art Zyklenzeiger von Permutationsgruppen

63 66

Inhaltsverzeichnis

XI

K A P I T E L 6. P A R T I T I O N E N N A T Ü R L I C H E R

ZAHLEN

6.1

Erzeugende Funktionen von Partitionen

73

6.2

FERRERS-Diagramme

75

6.3

Perfekte Partitionen

83

K A P I T E L 7. DIE P O L Y A S C H E

ABZÄHLUNGSMETHODE

7.1

Belegungen von Schachteln

87

7.2

Gewichtsfunktionen

90

7.3

D i e H a u p t s ä t z e der P O L Y A - T h e o r i e

7.4

Isomere des A l k o h o l s

K A P I T E L 8. ENDLICHE

9»+ 104

GRAPHEN

8.1

Bäume u n d W ä l d e r

110

8.2

Die CATALANschen Zahlen

115

8.3

Das K ö n i g s b e r g e r B r ü c k e n p r o b l e m

118

8.4

Planare Graphen

123

8.5

Inzidenzgraphen

130

ZWEITER TEIL,

EXISTENZPROBLEME

KAPITEL 9. ZWEI G R A P H E N T H E O R E T I S C H E

EXTREMALPROBLEME

9.1

E i n Satz v o n P. T U R A N

9.2

E i n Satz v o n F. P. RAMSEY

9.3

E i n k o m b i n a t o r i s c h e s P r o b l e m in d e r G e o m e t r i e

9.4

E i n e z a h l e n t h e o r e t i s c h e A n w e n d u n g des Satzes F. P. R A M S E Y

K A P I T E L 10.

133 135 . . 140 von 141

VERTRETERSYSTEME

10.1

Das H e i r a t s p r o b l e m

144

10.2

Gemeinsame Vertretersysteme

151

10.3

(0 ,1)-Matrizen

153

10.4

Disjunkte Teilvertretersysteme

158

10.5 D a s G A L E - R Y S E R - K r i t e r i u m K A P I T E L 11. L A T E I N I S C H E QUADRATE

160

11.1

Lateinische Rechtecke

166

11.2

Gewebe

170

11.3

O r t h o g o n a l e lateinische Q u a d r a t e

186

Inhaltsverzeiehnis

XII KAPITEL 12. ENDLICHE

GEOMETRIEN

12.1

Projektive Geometrie

194

12.2

Quadratische Mengen

212

12.3

BENZ-Ebenen

228

12.1+

Endliche hyperbolische Ebenen

235

12.5

STEINERsche Systeme

237

KAPITEL 13. CODES 13.1

Systematische Codes

250

13.2

HAMMING-Codes

260

13.3

Optimale C o d e s

266

ANHANG. Formale P o t e n z r e i h e n

271

Literatur

27 9

Symbolverzeichnis

283

Namenverzeichnis

289

Stichwortverzeichnis

292

1 EINLEITUNG

Wir stellen hier einige Grundbegriffe und Hilfsmittel bereit.

DIRICHLETSCHES TAUBENSCHLAGPRINZIP Dieses Buch gliedert sich in zwei Teile. Der erste Teil befaßt sich hauptsächlich mit Abzahlungen, der zweite mit Existenzproblemen, wobei inhaltlich die Grenze zwischen diesen beiden Problemkreisen fließend ist. Wir veranschaulichen diese Einteilung mit Hilfe des DIRICHLETsehen (oder

Taubenschlagprinzips

Schubfachprinzips):

Halten sich

v+1

Tauben in

v

Taubenschlägen auf, so gibt

es mindestens einen Taubenschlag, in dem sich wenigstens zwei Tauben befinden. Nach diesem Prinzip gibt es in diesem Buch mindestens zwei Seiten mit gleichvielen Druckfehlern. Dabei ist die Voraussetzung, daß dieses Buch mindestens zwei Seiten mehr enthält als maximal eine Seite an Druckfehlern aufweist, durch Abzählen nachzuprüfen. Das Taubenschlagprinzip garantiert nun die Existenz von zwei Seiten mit gleichvielen Druckfehlern ohne auf die betreffenden Seitenzahlen hinzuweisen.

INZIDENZSTRUKTUREN Es seien

P

und

8

zwei disjunkte Mengen und

binäre Relation. Die Elemente aus 8

Blöcke, Geraden,

Tripel

J=(P,B,I)

(p ,B)61 "p

J=(P,B,I)

heißen Punkte,

Kreise o.ä. und die aus

I

B",

pIB "B

eine die aus

Fahnen.

nennen wir eine Inzidenzstruktur.

schreiben wir

inzidiert mit

P

IcPxß

Das

Für

und sagen

"p

liegt auf

geht durch

p"

o.ä. . Ist

B" ,

eine endliche Inzidenzstruktur mit

P-iP-L >P2 > • • • »P v }

und

B={B 1 ,B2 ,. . . ,B b } ,

so heißt jede

1 EINLEITUNG

Wir stellen hier einige Grundbegriffe und Hilfsmittel bereit.

DIRICHLETSCHES TAUBENSCHLAGPRINZIP Dieses Buch gliedert sich in zwei Teile. Der erste Teil befaßt sich hauptsächlich mit Abzahlungen, der zweite mit Existenzproblemen, wobei inhaltlich die Grenze zwischen diesen beiden Problemkreisen fließend ist. Wir veranschaulichen diese Einteilung mit Hilfe des DIRICHLETsehen (oder

Taubenschlagprinzips

Schubfachprinzips):

Halten sich

v+1

Tauben in

v

Taubenschlägen auf, so gibt

es mindestens einen Taubenschlag, in dem sich wenigstens zwei Tauben befinden. Nach diesem Prinzip gibt es in diesem Buch mindestens zwei Seiten mit gleichvielen Druckfehlern. Dabei ist die Voraussetzung, daß dieses Buch mindestens zwei Seiten mehr enthält als maximal eine Seite an Druckfehlern aufweist, durch Abzählen nachzuprüfen. Das Taubenschlagprinzip garantiert nun die Existenz von zwei Seiten mit gleichvielen Druckfehlern ohne auf die betreffenden Seitenzahlen hinzuweisen.

INZIDENZSTRUKTUREN Es seien

P

und

8

zwei disjunkte Mengen und

binäre Relation. Die Elemente aus 8

Blöcke, Geraden,

Tripel

J=(P,B,I)

(p ,B)61 "p

J=(P,B,I)

heißen Punkte,

Kreise o.ä. und die aus

I

B",

pIB "B

eine die aus

Fahnen.

nennen wir eine Inzidenzstruktur.

schreiben wir

inzidiert mit

P

IcPxß

Das

Für

und sagen

"p

liegt auf

geht durch

p"

o.ä. . Ist

B" ,

eine endliche Inzidenzstruktur mit

P-iP-L >P2 > • • • »P v }

und

B={B 1 ,B2 ,. . . ,B b } ,

so heißt jede

Einleitung

2

bxv-Matrix

(a. .) 1 »3 >3

mit

.. . = i1 für

^

Lo

eine Inzidenzmatrix

p.IB. 3 i

sonst

von

J.

Die Inzidenzmatrix einer

endlichen Inzidenzstruktur ist bis auf Zeilen- und Spaltenvertauschungen, die sich durch Umindizieren der Blöcke bzw. Punkte ergeben, eindeutig bestimmt. Umgekehrt ist jede (0,1)-Matrix, Werte

0

d.i. eine Matrix, deren Koeffizienten nur die

und

1

annehmen, eine Inzidenzmatrix einer

eindeutig bestimmten Inzidenzstruktur. Zu jeder Inzidenzstruktur J:=(B,P,I),

J=(P,B,I)

wobei die Relation

ist das Tripel

IcBxP

durch

BIp ::

|B| =: b

|B| =: k ß

^ r p£P

J=(P,B,I)

1

sind folgende Buchstaben gebräuchlich

= |I|

J=(P,B,I)

gilt

=21*3 M

Im Fall einer taktischen Konfiguration

J=(P,B,I),

das ist

eine endliche Inzidenzstruktur mit verschiedene Punkte

p

und

q

r =r =:r für je zwei P q und kg=k^=:k für je zwei

verschiedene Blöcke

B

und

C

ergibt sich aus der oben

angeführten Gleichung die Parametergleichung

für taktische

Konfigurationen: vr = bk

1 > Diese Buchstaben stammen von den Begriffen der Statistik: Varietät, Block, Replikation

4

Einleitung

ERZEUGENDE

FUNKTIONEN

Es sei

(a.)-, eine Folge Zahlen und ( f. ) . , kl 1 ltN o tkomplexer x o o eine summierbare Folge von Polynomen aus C[z] mit grad(f^)=i für alle

i€N . o i=o

Wir nennen die formale Potenzreihe a i f i ( z ) £ C[[z]]

eine erzeugende Funktion für die Zahlen sprechen wir auch von der gewöhnliehen, von der HURWITZschen

a^. für

oder exponentiellen

Für

f^(z)=z 1

zi f^(z)=-ry

auch

erzeugenden Funktion.

In der Kombinatorik wird der im Anhang dargestellte Kalkül der formalen Potenzreihen zur Untersuchung von Zahlenfolgen ^ a i^i€N

benutzt. Im allgemeinen wird dabei vom Koeffizieno tenvergleich Gebrauch gemacht, d.h. von dem Umstand, daß zwei formale Potenzreihen

^ a.f.(z) und ]> b.f.(z) genau i€N~ 1 1 ieFT 1 1 o o dann identisch sind, wenn a.=b. für alle i€N gilt. Da ' 1 1 o ö wir im wesentlichen Folgen ganzer Zahlen betrachten, könnten wir statt etwa

Q

C

jeden anderen Körper der Charakteristik

oder

R

wi

wählen.

In entsprechender Weise benutzen wir für (a

0,

n-fach-Folgen

i 1 ,i 2 ,...,i n ) i 1 ,i 2 ,...,i n £N o

komplexer Zahlen den Begriff der erzeugenden Funktion, das sind in diesem Zusammenhang formale Potenzreihen 00

> —• . xt,±2,...,in=o aus

a. . . f. (Z,)f. (z )...f. (z ) . i„,i„,...,i i„ 1 i„ 20 i n 1' 2' n 1 2 n

C [ [ 7.. , z n , . . . , z ]],

(f. ). ... von Polynomen 1 k 1k€No mierbar ist.

wobei für alle

f- €C[z, ] x k k

mit

k€Z

die Folge

grad(f. ) = i v 1 K k

sum-

Einleitung

5

REKURSIONEN

Die in der abzählenden Kombinatorik auftretenden Zahlenfolgen ergeben sich häufig durch Rekursions formein, das sind solche Beziehungen zwischen den Folgengliedern, die aus gegebenen Anfangsbedingungen die Berechnung jedes Folgenwerts ermöglichen. Präzise wird der Begriff der Rekursion in der logischen Theorie der berechenbaren Funktionen definiert. Wir begnügen uns hier mit zwei charakteristischen Beispielen: Wir wollen die Anzahl mit

a(v)

der Teilmengen einer Menge

P

v£N

Elementen berechnen. Zuerst stellen wir a(0)=l o fest. Ist nun v>l und p€P gegeben, so ordnen wir jeder der

T

a(v-l) und

Teilmengen

TU{p}

von

P

T

von

P\{p}

die beiden Teilmengen

zu. Damit erhält man

a(v) = 2•a(v-1). Mit Hilfe dieser Rekursionsformel berechnen wir von der Anfangsbedingung

a(0)=l

ausgehend die ersten Werte der

Folge (a(v)) v € N

= (1,2,4,8,16,32,64,128,...). o

Die Funktion

{° r N

> N -> N v) = 2 v

L v > a( liefert uns, wie man mit vollständiger Induktion sieht, rekursionsfrei die Mächtigkeit von

P(P).

Nicht immer erhält man die Lösung einer Rekursion,

d.i. eine

rekursionsfreie Darstellung einer zunächst rekursiv definierten Folge, so einfach. So wird beispielsweise die Rekursion F(n+2) = F(n+1) + F(n) mit der Anfangsbedingung F (

„,

=

F(0)=F(1)=1

_L((L±^)N+1

•5

2

-

durch

(L^I)N+1) 2

gelöst. Diese Rekursion geht auf LEONARDO DI PISA, genannt

Einleitung

6

FIBONACCI, zurück, der anno 12o2 in seinem Buch LIBER ABACI folgende Aufgabe stellte: Das Weibchen eines jeden Kaninchenpaares gebiert von Vollendung des zweiten Lebensmonats an allmonatlich ein neues Kaninchenpaar. Man berechne die Anzahl F(n) der Kaninchenpaare im Monat n, wenn im Monat 0 ein neugeborenes Kaninchenpaar vorhanden ist. Offensichtlich genügen die Zahlen F(n) der oben angegebenen Rekursion. Zur Ermittlung ihrer Lösung bedienen wir uns der erzeugenden Funktion 00

®(z) = X I F(n)zn

n=o für die Zahlen F(n). Wegen der Rekursionsformel und der Anfangsbedingung gilt CO $(z) = 1 + z + F(n+2)z n+2 n=o OO QO = 1 + z + X I F(n+l)z n+2 + X I F(n)z n+2 n=o n=o oo oo = 1 + z(l + X " F(n)zn) + z2-T~ F(n)zn n=l n=o 2 = 1 + z$(z) + z $(z). Damit erhält man 2 -1 $(z) = (1-z-z ) . Für diesen Ausdruck führen wir die Partialbruchzerlegung durch und es ergibt sich $(Z)

mit a^ =

=

1

1 + /5 y~

a

l

und

a

" ,

2

a

2

^

=

1-/5 —2~~ -

Die formale Reihenentwicklung ergibt nun .. — 1, n+1 •

Satz.

Für

1X^+2X2+...+vAv = v . > Z^

induziert auf

P

die

Offensichtlich gilt:

v=k 1 +k 2 +...+k b

mit

k 1 ,k 2 ,...,k b €N Q

ist

*, 1 ) := jkj j . . . k ^ ! k j ! .•. k^! =

die Anzahl aller Abbildungen Die Zahlen Für

b=2

(

v v-k1 v-k^-k-, k^ k 1) ( k 2) ( k 3 ) - " < k >b f:Z y

> Zb

mit

|f

(i)|=ki-

, v , ) heißen Multinomialkoeffizienten. 1' 2 '" " " b erhalten wir die Binomialkoeffizienten (,

(

v v v_k v k^,k 2 ) = ( k^ ) ( k 2l ) = (k^ ).

Die Multinomialkoeffizienten lassen sich als die Anzahlen der Wörter der Länge

v

deuten, die genau

k^-mal den Buchstaben

1.2

13

Multinomialkoeffizienten

Damit folgt Y(z) = X(z)'exp(-z) ^ x k.(-l) v " k z v v=o t-— k=o k! (v-k)! oo y t-— 1 ^ — , „ .v-k,v. v=o

v

k=o

Durch Koeffizientenvergleich zwischen dieser Darstellung von Y(z)

mit der ursprünglichen folgt die Behauptung.

1.2

MULTINOMIALKOEFFIZIENTEN

Es sei

P

eine

v-Menge und

B

die Menge der Äquivalenz-

klassen einer Äquivalenzrelation auf

P.

Wir nennen

Partition von

P

und

eine

b-Partition, falls

enthält dabei

B

für

i£ z v

jeweils

zeichne das Symbol B.

•

A^

(1X^+2^2+...+vXv)

B

|B|=b

eine gilt;

i-Mengen, so kenn-

den "Typ" der Partition

Demnach gilt \ 1 +X 2 +...+X v = b

Jede surjektive Abbildung

f: P

-1

b-Partition • (1.16)

und

{f (i); i€Zb>•

Satz.

Für

1X^+2X2+...+vAv = v . > Z^

induziert auf

P

die

Offensichtlich gilt:

v=k 1 +k 2 +...+k b

mit

k 1 ,k 2 ,...,k b €N Q

ist

*, 1 ) := jkj j . . . k ^ ! k j ! .•. k^! =

die Anzahl aller Abbildungen Die Zahlen Für

b=2

(

v v-k1 v-k^-k-, k^ k 1) ( k 2) ( k 3 ) - " < k >b f:Z y

> Zb

mit

|f

(i)|=ki-

, v , ) heißen Multinomialkoeffizienten. 1' 2 '" " " b erhalten wir die Binomialkoeffizienten (,

(

v v v_k v k^,k 2 ) = ( k^ ) ( k 2l ) = (k^ ).

Die Multinomialkoeffizienten lassen sich als die Anzahlen der Wörter der Länge

v

deuten, die genau

k^-mal den Buchstaben

1. Kombinationen cu

enthalten, wobei

cu

sich beispielsweise die "OUAGADOUGOU" zu Setzen wir

b=v

Satz.

auf sich.

v=ll

277.2oo und

Buchstaben des Wortes

verschiedenen Wörtern umstellen

k.=l i

ergibt sich: • (1.17)

ein Alphabet durchläuft. So lassen

für alle

Es gibt genau

v!

i€Z, D

2)

.

in (1.16), so '

Bijektionen einer v-Menge

•

Aus (1.16) folgt ebenso: • (1.18)

Satz.

Für jede v-Menge

l! X l 2! X 2 ...v! X v .\ 1 !X 2 !...X v ! (lXi+2X 2 +...+vX v ).

P

gibt es genau

Partitionen vom Typ

•

Als Verallgemeinerung von (1.5) gilt der • (1.19)

Multinomialsatz.

Für je

eines kommutativen Rings und

V

€

N

b

x 1 ,x 2 ,...,x b

gilt

0

< i *i> V = > aTl 1 k,+k„ + .. .+k. =v 1 2 b

Elemente

((

kK

kK

1»

V

kK > l^i" x i 1i ) b i=l

2'""'

Beweis.

Wir indizieren zunächst die v Faktoren f. des 3 b v v Produkts ( x^) . Bei der Ausmultiplikation von I I f. • 1 =1 k, k, 5=1 : erhalten wir den Term x^ "Xj •...•x^ so oft, wie es möglich ist, die Menge

{f^,fg,...,f }

vermöge einer Abbildung

OUAGADOUGOU ist die Hauptstadt von Obervolta.

1. Kombinationen cu

enthalten, wobei

cu

sich beispielsweise die "OUAGADOUGOU" zu Setzen wir

b=v

Satz.

auf sich.

v=ll

277.2oo und

Buchstaben des Wortes

verschiedenen Wörtern umstellen

k.=l i

ergibt sich: • (1.17)

ein Alphabet durchläuft. So lassen

für alle

Es gibt genau

v!

i€Z, D

2)

.

in (1.16), so '

Bijektionen einer v-Menge

•

Aus (1.16) folgt ebenso: • (1.18)

Satz.

Für jede v-Menge

l! X l 2! X 2 ...v! X v .\ 1 !X 2 !...X v ! (lXi+2X 2 +...+vX v ).

P

gibt es genau

Partitionen vom Typ

•

Als Verallgemeinerung von (1.5) gilt der • (1.19)

Multinomialsatz.

Für je

eines kommutativen Rings und

V

€

N

b

x 1 ,x 2 ,...,x b

gilt

0

< i *i> V = > aTl 1 k,+k„ + .. .+k. =v 1 2 b

Elemente

((

kK

kK

1»

V

kK > l^i" x i 1i ) b i=l

2'""'

Beweis.

Wir indizieren zunächst die v Faktoren f. des 3 b v v Produkts ( x^) . Bei der Ausmultiplikation von I I f. • 1 =1 k, k, 5=1 : erhalten wir den Term x^ "Xj •...•x^ so oft, wie es möglich ist, die Menge

{f^,fg,...,f }

vermöge einer Abbildung

OUAGADOUGOU ist die Hauptstadt von Obervolta.

1. 3

15

Auswahlen

Den Ziehungen von

k

Objekten mit Zurücklegen entsprechen die

"k-Auswahlen"oder (veraltet) die "k-Kombinationen mit Wiederholungen" . Formal definieren wir eine k-Auswahl einer Menge als eine Abbildung

w

von

P

nach

N

mit

> w(p) = k. P€P

° w(p)

gibt also an, wie oft

p

P

in der Auswahl

w

vorkommt.

Die Anzahl der k-Auswahlen einer v-Menge werden wir aus dem nachfolgenden Satz als Spezialfall erhalten. (1.20)

Satz.

Es seien

aller k-Tupel i..-i.>n J + -L D

v,k€N

(i^,i2

für alle

i^)

und

mit Komponenten

Es sei

K

Die Anzahl

aus

für

die Menge aller k-Tupel

(i^,i 2 ,...ji^)

ZV und i. für alle I] .-i.>n 1 bilden wir vermöge der Zuordnung

K

(i 1 5 i 2 ,...,i k )

>

Mit (1.1) folgt die Behauptung.

der k-Tupel

(1.21)

Zlassen

Satz.

Für

v,k€N

c r i i _!(v>k) =

die Anzahl aller n€N Q

keiten an,

sich bijektiv auf die Menge d.h. mit

abbilden. Aus (1.2o) folgt daher für

f

Für

^ v -(k-l)n

•

(i^ ,i2 , . . . m i t

ij +1 ~ij>-l

j£Z,K— .. ±

{i 1 ,i 2 -n,...,ij-(j-l)n,...,i k -(k-l)n

bijektiv auf die Menge aller k-Teilmengen von

Die k-Auswahlen von

gibt k

und

v >(k-l)n.

mit Komponenten aus Die Menge

Zv

j£Z, . ist K-i

f (v,k) := ( v - ( k - 1 ) n ) n K Beweis.

n6NU{0,-l}.

(

n=-l:

ist

,v+k-ls > k

k-Auswahlen einer f n (v,k)

v-Menge.

o

die Anzahl der verschiedenen Möglich

Pfähle eines Zauns mit insgesamt

v

Pfählen so

auszuwählen und durch neue zu ersetzen, daß zwischen zwei erneuerten Pfählen mindestens

n

alte Pfähle stehen. (1.22)

behandelt diesen Fall. (1.23) gibt die entsprechende Anzahl im Falle eines "kreisförmigen" Zauns an.

16

1.

• (1.22) der

Satz.

Es seien

k-Teilmengen

K

schiedene Zahlen

v,k,n€N

von

r,s€K

mit

o Z m i t

Kombinationen

v>(k-l)n.

|r-s|>n

Die Anzahl

für je zwei ver-

ist

V

f n (v,k) = ( " * " 1 ) n ) . Beweis.

(

Wir ordnen die Elemente einer

Größe nach und betrachten nun die Behauptung. • (1.23)

Satz.

k-Teilmengen

als

k-Teilmenge

K

der

k-Tupel. Mit (1.2o) folgt

•

Es seien K

K

von

Zv

v,k,n€N mit v>kn. Die Anzahl der o mit v-n>|r-s|>n für je zwei ver-

schiedene Zahlen r,s£K ist i i\ v ,v-knN := ®n ' ^kH( k } • Beweis. mit

Es sei

K

n

)

1. 3

17

Auswahlen

(1.24)

Satz.

Es sei

^v+k-1^ k k£No

v€N

gegeben. Für die Folge

der Auswahlzahlen ist

¿ Z C v + ^ - 1 ) z k = (l-z)"v k=o die gewöhnliche erzeugende Funktion. Beweis.

Es ist (l-z)"V = ( ¿ 1 z V i=o

.

Beim Ausmultiplizieren der rechten Seite dieser Identität zk

erhält man den Term möglich ist, aus den z

w(1)

,zw(2),...,zw(v)

00

Faktoren mit

(v+£

nach (1.21) aber > w(i)=k. i=o

so oft, wie es auf verschiedene Weisen

v

)

>

z

¿ 1 w(i)=k I n Abbildungen

Summanden auszuwählen. Es gibt

w: Z y

> Nq

mit

•

Definieren wir für

v€N

und

k€N Q

( V>V ( 7k' ) := v( " l') k ( Vk+ ^ 1 ) ~ ' = k!

so gelten (1.6), (1.10) und (1.24) für alle • (1.25)

Satz.

Es seien

m,n,v€N o

k £ k=o < - i > < i > 0

Beweis.

mit

v€Z.

n-

Es gilt

( n " Y + i ) z i = (l-z) v " n _ 1 i n

1

nach (1.24)

= (l-z)- - (l-z)

]=o i=o

^n+j-, j , ( J . J )z J (

k+3=i

v

k=o

, k. ( - D < k )z >

-1

¿ ( ¿ z (-i)k(^)(ni^k))zi • x=o k=o

nach (1.24) und (1.5)

18

1.

Kombinationen

Durch Koeffizientenvergleich erhält man ( n + i-v, =

(.D^^nn-k^ k

kT5

Mit

1,4

F

m:=n+i

folgt die Behauptung.

•

INVERSIONSFORMELN

sei die Menge aller Doppelfolgen

f=(f , ) , c komplexer V *K V «KtN_O Jede Folge f£F läßt sich als &

Zahlen mit

f , =0 für v k := 0 für g ' f -1 g k,k • k,k

v]c£N

Paar. Satz.

= > k=o

Inversions-

k

, < (-l) " (J) ) y f]c€N

ist

ein

Mit ¿ ~ iTk

( - l ) i _ k ( Y ) (f) = 6 1

k

v

erhalten wir eine Bestätigung von

. 'k

(1.11).

Der Nutzen der allgemeinen Inversionsformel

(1.27) l i e g t

i h r e r B e d e u t u n g f ü r das A u f f i n d e n k o m b i n a t o r i s c h e r

in

Identitäten.

So k a n n d u r c h e i n e e i n f a c h e S u b s t i t u t i o n e i n e m i n v e r s e n

Paar

e i n e neue G e s t a l t g e g e b e n w e r d e n . E r s e t z e n w i r

beispielsweise

m

((-1) y k ) k e N

(1.27) d i e F o l g e n

(yk)k€N

k

jeweils durch

o so e r h a l t e n w i r a u s d e m i n v e r s e n P a a r ^v.k^.kEN ' ' o das inverse Paar ((

v ,k£N

-1)kfv,k}v,k6N '

'

A n g e w a n d t auf das inverse

o

>

o

• ^-1>VSv,k)v,k€N o

* o

Paar

((7)) . v - k ,(v k. ). ) V j k £ N o k v , ,k € N o , ,, ((-1) ergibt dies das inverse Paar ((

-1)1C(i))v,k6N0

•

«""^»v.kCN,,

i n v o l u t o r i s c h e r D o p p e l f o l g e n aus S e t z e n w i r i n (1.27) y J

speziell

= (m-k) k n

so e r g i b t s i c h v e r m ö g e Paar mit

F.

mit

0 < n < m

(1.27) u n d

für alle

k£N

(1.25) aus d i e s e m

, o'

inversen

1. Kombinationen

22 (1.30)

(m v) = n f-— k=o

Satz.

K

für

m-n

0 ip(a,x)i|j(x,b) cpijj (a, b) := > a .

2,1

PERMUTATIONEN

UND ANORDNUNGEN

Die Bijektionen einer v-Menge von

P

2)

. Die Menge

Sp

P

auf sich heißen

aller Permutationen von

bezüglich der Hintereinanderausführung Gruppe, die symmetrische auch mit

Gruppe von

P.

Permutationen P

bildet

tpijj(x): =(p(i(i(x)) Für

eine

wird diese

S

bezeichnet. Wir kennzeichnen Permutationen durch v ihre Wertetabelle: X

M. Es gilt also |S-|=1=0! . Auf die trivialen Ausnahmefälle, die sich aus der Einbeziehung der leeren Menge ergeben, gehen wir meist nicht ein.

k

2.1

Permutationen

und Anordnungen

heißt dabei Länge des Zyklus

25 Jede Permutation

y€Sp

läßt

sich bis auf die Reihenfolge eindeutig als Produkt von solchen Zyklen schreiben, deren mindestens 2-elementige Bahnen paarweise disjunkt sind. Wir sagen, eine Permutation zerfalle

in

b

tion von

P

Zyklen, wenn die Bahnen von

bilden. Unter dem Zykeltyp

k>l

y

y€Sp eine b-Parti-

einer Permutation

verstehen wir den Typ der Partition von Bahnen von

y

P,

y€Sp

die durch die

gegeben ist. Für einen Zyklus

£6Sp

der Länge

verwenden wir auch die gegenüber der Wertetabelle kürzere

Schreibweise ? = (x ?(x) ? 2 ( x ) ... ? k _ 1 ( x ) ) , wobei

x

aus der k-elementigen Bahn von

wählt man für

x

5

sei. Für

P=zv

i.a. die kleinste Ziffer der k-elementigen

Bahn. Die Identität ist der einzige Zyklus der Länge 1; sie kann durch das Symbol Zyklenschreibweise

()

gekennzeichnet werden. Unter der

verstehen wir die Darstellung einer Permu-

tation als Produkt von solchen Zyklen, deren mindestens 2-elementige Bahnen paarweise disjunkt sind. Beispielsweise stellt sich die Permutation . 1 2 3 4 S 6 7 8 4 2 7 8 6 3 9

9. 5;

in der Zyklenschreibweise als (2i+ 7 3) ( 5 8 9) dar. Zyklen der Länge • (2.1)

Satz.

2

heißen

Jeder Zyklus

Transpositionen. P2 ••• P-^)

d e r Länge

k

läßt sich als Produkt 5 = < P 2 P s ^ - ' ^ k - l von

k-1

Da für

Transpositionen darstellen. v>l

p

k) •

die Identität das Quadrat einer Transposition ist

und sich jede Transposition

(i j)£S v

mit

iP2 > • • • >PV) und

und

Gruppe

(»6 die Gruppe isomorph. Für k=5 ist T isomorph.

1 2

Für

k=H

ist

r

T zu zu zu M^

und isomorph. Dabei werden mit 11 Ordnung M 12 die von E. MATHIEU 1 861 entdeckten Gruppen der 792o bzw. 95o4o bezeichnet. Diese Permutationsgruppen haben Sg,

Ag

oder

M

den Grad

11

bzw.

12.

2,5

•

PERMUTATIONSCHARAKTERE

Im folgenden sei

P

eine Menge,

symmetrischen Gruppe von von

P

und

B

eine Untergruppe der

die Menge der Bahnen

r.

• (2.13)

Satz.

Für je zwei Elemente

sind die Stabilisatoren Beweis. ein

T x(

2

44

3.

Tabelle 4.

Das Prinzip von Inklusion und

Die Anzahlen

D(v,k)

Exklusion

der fixpunktfreien Permuta-

tionen in einer unitären scharf k-fach transitiven Permutationsmenge vom Grad 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 0 0 0 0 0 0 0

• (3.17)

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0 0 0 0

0 2 2 2 0 0 0 0 0

5

6

7

8

v. 9

lo

12

11

0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 5 6 7 8 9 lo 11 3 4 5 6 7 8 9 lo 11 9 24 5o 9o 147 224 324 6o5 4 5o 9 44 13o 3oo 595 lo6 4 2 7 6o 4125 1764 0 44 265 9 3o 2485 56oo 11214 2o58o 3531o 0 0 265 1854 7413 22232 55566 12 2 2 2o 244398 0 0 0 1854 14833 66752 222516 61194o 1468698 0 0 0 0 14833 133496 667476 24474oo 734217o

Satz.

Es sei

P

eine

v-Menge. Für

n r,z , T(z,S\F) = > s.z C JC , JC co k=o k=o k und T(z,S) = > t, z . Wir plazieren k>l sich gegenseitig k=o nicht angreifende Türme auf S. Dies kann auf Weisen unter Benutzung des Feldes Benutzung des Feldes

F

F

und damit die Behauptung. • (3.23) länge

Satz. v

und auf

s^

Weisen ohne

geschehen. Folglich gilt

"t]

3.6

Permanenten

Im Fall • (3.3o)

k=v

53

ergibt sich damit:

Satz.

Für eine v-reihige quadratische Matrix

per(A) =

Es sei nun

R:=Z

v-1

und

für alle

(-l) 1 S(i).

A

gilt

•

A=(a. .) die kxv-Matrix mit i,: Wegen (2.3) gilt dann

a. .=1 i,:

per (A) = > 1 = (JJ)k! = 1 die Permanente von A zählt nun die Permutationen cp6S mit v a. /-s=l für alle i€Z . Deuten wir A als verallgemeiner& i,3£Z

v

nach der

untersten Zeile, so erhalten wir per(D v ) = (v-l)per(E v _ 1 ). Aus diesen beiden Ausdrücken folgen die Rekursionsformeln p e r ( D v + 1 ) = v(per(D v _ 1 ) + per(D v )) p e r ( E v + 1 ) = v-per(E v ) + (v-1)•per(E w - 1 )

3.6

55

Permanenten

und damit wiederum (3.13): D(v+1) = v(D(v-l) + D(v)). Wir beschließen dieses Kapitel mit einer wahrscheinlichkeitstheoretischen Interpretation der Permanentenfunktion: Im Saloon von Cheyenne in Wyoming stehen

v

Cowboys, die alle

auf ein Signal hin einen der anwesenden Cowboys (sich selbst nicht ausgenommen) erschießen. Dabei soll nicht ausgeschlossen sein, daß einige Cowboys durchsiebt, d.h. mehrfach erschossen werden. Bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit, daß der Cowboy i

den Cowboy

j

erledigt, mit

a. .,

so gibt

per((a. .))

die Wahrscheinlichkeit an, daß kein Cowboy die Ballerei überlebt. In dieser Western-Geschichte ist Matrix, d.h. für alle

i€Z

gilt

(a. .) 1 )3

eine

stoahastiaohe

v

(denn jeder Cowboy erschießt genau einen Cowboy) und a. . > 0 1,3

für alle

i,j€Z . v

Stochastische Matrizen spielen in der Wahrscheinlichkeitstheorie im Zusammenhang mit MARKOFFschen Ketten eine bedeutende Rolle.

56 KAPITEL

4.1

PARTITIONEN VON MENGEN

DIE STIRLING-ZAHLEN 2, ART

Es sei und

P

eine v-Menge. Mit

S(v,k)

bezeichnen wir für

k£N

die Anzahl aller k-Partitionen von P, o < Anzahl der Äquivalenzrelationen auf P mit genau valenzklassen. Wir setzen Die Zahlen

S(v,k) kV =

(4.1) Beweis.

Für

S(0,0):=1

und

, k (.)i!S(v,i) = 3~~ (k).S(v,i) 4 l 4 i 1=0 1=0 kv

ist

k

Äquifür

k>l

2. Art.

k

v>l

also die

S(0,k):=0

heißen STIRLING-Zahlen

vEN

für

die Anzahl aller Abbildungen

v,k£N

O

tp

von

P nach Z, . Es sei 0 X^ »X2 j...j Setzen wir • (5.16)

z^:=l

h(S r ;X 1 ,X 2 ,...,X v ) = v! . i-n (5.15), so folgt also

für alle

ZCSpjl ,1,. . . ,1) = 1 .

•

Wir berechnen nun für weitere Permutationsgruppen den Zyklenzeiger . • (5.17)

Satz.

Ist

sowie

e£{0,l},

P

eine v-Menge mit

v=m+e

und

m€2Z

so ist

Z(A p ) = Z(A p }z 1 ,z 2 > ...,z v ) = > X 1 +2X 2 +...+vX v =v

(!+(-!)

X 0 +X h +...+X 2

4

m

v X. _1 X. ) -1 T (X. ! - i 1 ) -Z. 1 1 1 i=l

der Zyklenzeiger der alternierenden Gruppe Beweis.

Die Gruppe

tionen von

Sp.

(1X^+2X2+...+vX v ) X2+X^+...+X m

Ap

besteht aus den

Eine Permutation

y£Sp

Ap. 7p-

ist genau dann ungerade, wenn die Anzahl

ihrer Zyklen gerader Länge ungerade ist, wenn

alSO

l+(-l)

2W

" "

+

\ mn

= 0

gilt. Aus (5.15) folgt daher die Behauptung. Nun sei

G

der Ordnung

v

und

F \ i = TTw(fU (x))) x€P x€P

wegen der Kommutativivon R

t ät

w((p(f(TT_1(x))))

nach (7.14)

= I | w(ipfTT_1(x)) x€P = ~ wCtpflT-1 ) . Nicht jede Gewichtsfunktion

• W: F

P

> R

gemäß (7.15) von einer Gewichtsfunktion $

w: F

induziert sein. Operiert beispielsweise

tiv, so ist jede Gewichtsfunktion

$

> R auf

muß

bezüglich F

transi-

bezüglich $ und damit auch jede induzierte Gewichtsfunktion ~ w: F P > R bezüglich $ P W: F > R,

w: F

II $

bezüglich

> R

konstant. Dahingegen ist die Abbildung die mjektiven Funktionen den Wert

injektiven den Wert

0

1

und nicht-

zuordnet, im Falle v>k>2 eine nichtP . II konstante Gewichtsfunktion von F bezüglich $ .

92

Die PÖLYAsehe

7.

Abzahlungsmethode

Auf der Menge der Schemata ist für jede Gewichtsfunktion P . n W: F > R bezüglich i> durch (7.16)

W([f]) := W(f)

eine Abbildung mit Werten aus W([f]) stabens

R

das Gewicht des Sahemas W

wohldefiniert. Wir nennen [f].

(Die Benutzung des Buch

in den beiden Bedeutungen

W(f)

und

W([f])

gibt

zu keinen Mißverständnissen Anlaß.) (7.17)

Satz.

lich

Ist

w: F

> R

eine Gewichtsfunktion bezüg-

so gilt w(f) = ( 2 Z f€F p

Beweis.

w(y)) v .

y£F

Definitionsgemäß gilt w(f) = ^ T T w(f(x)). ^ f€F P f£F P x € P

v

Dies aber ist gerade die Summe über die Produkte wobei

(y 1 ,y 2 ,... ,yv)

I I w(y.), 1 i=l alle v-Tupel von Figuren aus F durch-

läuft, also die ausmultiplizierte rechte Seite der zu beweisen den Identität. (7.18) und

Satz.

• Es sei

{P 1 ,? 2 ,...,P r }

P

T:={f€F ; |f(Pi)|=l

für alle

figurationen, die auf den Mengen für jede Gewichtsfunktion

eine r-Partition von

i€Zr> P^

w: F

P

die Menge aller Kon

konstant sind. Dann gilt

> R

bezüglich

$

w(f) = T T w(y) l ? i l • f€T i=l y£F Beweis.

Wählen wir aus jeder Menge

P^

ein Element

erhält man 2 Z w(f) = 2 Z T T w(f(x)) f€T f£T x£P r = 2 Z 1 I 1 1 w(f(x)) f6T i=l xeP i =

r IP.I T T w(f(x.))1 11 f£T i=l

x^,

so

7.2

Gewichtsfunktionen

93 _SL IP | I w(y.)' 1 i=l alle r-Tupel von Figuren aus F durch-

Dies aber ist gerade die Summe über alle Produkte wobei

(y 1 ,y 2 J•••>y r )

läuft, also die ausmultiplizierte rechte Seite der zu beweisen den Identität.

• P

(7.19)

Satz.

Es sei

bezüglich

W: F

> R

eine Gewichtsfunktion

Dann berechnet sich die Summe der Gewichte

aller Schemata als 2 ~ w ( [ f ] ) = |nl"1l$r1 tTT .en ipf=flr

die Menge aller Konfigura

haben.

Nach der Definition (7.14) einer Gewichtsfunktion ist für jede Permutation

(7r,cp)£i>

die auf

T

restringierte Abbildung

res^ir ,cp) - 1eine Permutation von T, denn mit f€T gilt -1 W(f)=W(tpfir ) und somit (pfir = (ir ,(p) (f) £T . Diese Restriktions abbildung

res„:

ist ihr Bild Kern

> S„ ist ein Homomorphismus und daher n T:=res T ($ ) eine Untergruppe von S T und ihr

K: ={ (ir ,; 1 + z ,1,1, . . . ,1) z =n 0 nur aus der Identität, so ergibt die Substi-

im Polynom

7.3

99

Die Hauptsätze der PÖLYA-Theorie ,v dz

Z($;l+z,l,l,...,1) =

v dz

v

(l+z)K

der die Anzahl v-Anordnungen von wiederum das Ergebnis (2.3) bestätigt.

Beispiel.

F.

Damit haben wir

Auf wieviele verschiedene, d.h. durch die Oktaeder-

gruppe nicht ineinander überführbare Weisen lassen sich die sechs Seitenflächen eines Würfels mit sechs Farben so färben, daß verschiedene Seiten auch verschiedene Farben tragen? Es sei

P

die Menge der Seitenflächen eines Würfels und

F

die Menge der Farben. Nach (5.23), (5.1H) und (7.26) erhält man die gesuchte Anzahl als Wert des (in diesem Fall konstanten) Polynoms flTTT dz an der Stelle

(7.27)

(1+z)6

z=0.

s

3

°

Die gesuchte Anzahl ist also

Satz. (DE BRUIJN)

3o.

Die Anzahl der Schemata surjektiver

Konfigurationen, also der subjektiven Schemata, ergibt sich als

z 1 =. . .=2^ = 0 wobei

s . : = z.+z 0 . + ...+z : 2: ^ :

gesetzt ist.

Beweis. (R. DÜRRE, W. HEISE) Es seien mutationen vom Zykeltyp (ly1 + 2y2 + . . .+kyk) .

(1X 1 +2X 2 +...+vX y )

ip zerlegt

'^2 ' * * ''Fy "

ir€II und

F

in

cp£i>

zwei Per-

bzw.

y : =u 1 +U 2 + * • • +lik

Bahnen

n e n n e n w;

i-r die Menge

B^ := {f£FP; f" 1 (F i )=0, «pf=fir} die "i-te Eigenschaft"; eine Konfiguration f€F P mit l,

P

die Menge dieser drei Stellen und

F

die Menge der

106

7.

Die PÖLYAsohe

Abzählungsmethode

Alkylradikale eines gesättigten einwertigen Alkohols mit höchstens

n-1

Kohlenstoffatomen. Weiter sei

ü=Sp

und

3> = {idp}.

Den Konfigurationen entsprechen nun die dabei möglichen Alkohole und den Schemata die verschiedenen Strukturisomere, die mindestens ein, aber höchstens

3n-2

Kohlenstoffatome haben

und für die keines der an den Stellen von radikale mehr als

n-1

P

Wir ordnen nun jedem Alkylradikal mit genau z 1 €Q[z]

atomen das Gewicht der Schemata vom

zu. Weiter sei z1.

Gewicht

. n-1 . n-1 nCiiz 1 = z(n-, Riz1, V i=o i=o x=o Eine Konfiguration vom Gewicht l n(i)z + > i+iz i=o i=n oo oo = l + z' nCiiz 1 + z - > (R i + 1 -n(i) )z 1 , i=o i=n damit erhalten wir: • (7.30)

Satz.

Es sei

R(z) = 1 + z-Z(H; wobei

rn€Q[[z]]

ist.

•

n€N.

n-1

Dann ist

. n-1 ,. n-1 izl» ^ Z Riz >^ Z R i i=o 1=0 i=o R

z

q•

'

eine Potenzreihe vom Untergrad

+ r

n

'

u(r n )>n+l

Nach (5.15) gilt • (7.31)

Satz.

1 3 Z (II ;z1 ,z2 ,z 3 ) = •g(z1 + 3z 1 z 2 + 2z 3 ) .

Hit (7.30) und (7.31) berechnen wir die Zahlen

R^

a rekursiv:

7.S

Isomere

(7.32)

des

Satz.

Die Anzahl

Polynom

i

107

Alkohols

R^

n-1

+

.

f« ji=o z

3

zn

ist der Koeffizient von . + 3( n-1 R zl)(

ti=o z i

n-1

iz: v i=o

0.

>

n-1

+

Für die konkrete Berechnung von

Rn

2
°o durchführen und wir erhalten aus (7.30)

und (7.31): (7.33)

Satz.

Anzahlen

R^

Die gewöhnliche erzeugende Funktion

R(z)

der

genügt der Funktionalgleichung

R(z) = 1 + |(R(z) 3 + 3R(z)-R(z 2 ) + 2R(z3)).

•

Die Anzahl

S der Stereoisomere von C H„ ...OH ergibt sich n n zn+l durch entsprechende Überlegungen, wobei II jedoch die zyklische Gruppe der Ordnung (7.34) Anzahlen

Satz. S^

3

sei. Mit (5.19) folgt dabei:

Die gewöhnliche erzeugende Funktion

S(z)

der

genügt der Funktionalgleichung

S(z) = 1 + f(S(z) 3 + 2S(z3)). Wie oben erhält man, daß die Berechnung von

• Sn

rekursiv mög-

lich ist gemäß dem folgenden Satz: (7.35)

Satz.

Die Anzahl

Sn

ist der Koeffizient von

z11

im

Polynom i=o

i=o

Die hier durchgeführten Anzahlbestimmungen lassen verschiedene praktische Nebenbedingungen unberücksichtigt. So können beispielsweise mögliche räumliche Behinderungen von Alkylradikalen

108

7.

Die PÖLYAsahe

Abzahlungsmethode

die Ursache dafür sein, daß die tatsächliche Anzahl der Isomere kleiner als die hier ermittelte Anzahl ist. Trotzdem wird in der theoretischen Chemie die Methode von G. PÖLYA zum Abzählen chemischer Verbindungen benutzt, denn beim systematischen Ausprobieren unterlaufen erklärlicherweise zu viele Fehler. Tabelle 13.

Anzahlen

R und S der Struktur- bzw. Stereon n isomere gesättigter einwertiger Alkohole ohne

Berücksichtigung sterischer Behinderungen n

0 1 2 3 4

5

R

1 1 1 2 4

8 17 39

n

S n

6

7

8

9

89 211

11

12

13

14

5o7 1238

3o57

7639

19241

lo

1 1 1 2 5 11 28 74 199 551 1553 4436 12832 37496 lloöoo

109

KAPITEL 8,

ENDLICHE GRAPHEN

Ein (endlicher, ungerichteter, (.ohne Mehrfachkanten) P

sehlingenlos er) Graph

ist ein Paar, bestehend aus einer v-Menge

von Ecken und einer b-Teilmenge

Kanten.

1

'

G

KcP^(P),

der Menge der

ist demnach eine Inzidenzstruktur, aber im all-

gemeinen keine taktische Konfiguration, denn: |K|=2

für alle

die Anzahl

G=(P,K)

K6K,

Es gilt zwar

aber der Grad einer Ecke

rp=|{K€K; p£K}|

p£P,

aller Kanten durch

p,

d.i. kann von

Ecke zu Ecke verschieden sein. Triviale Folgerungen sind: • (8.1)

Satz.

In

G=(P,K)

gilt •

• (8.2)

Satz.

In jedem endlichen Graphen ist die Anzahl der

Ecken ungeraden Grades gerade. Eine Ecke vom Grad Grad

n>2

Länge

n

0

oder

G=(P,K)

». • • »K 6K

sowie

zug heißt einfach, im Falle

heißt Endecke , eine Ecke vom

Unter einem Kantenzug

verstehen wir ein

(P0»K1,p1,K2,p2,...,Kn,pn) K^

1

heißt Knotenpunkt. in

•

mit

Pi-i'Pi

falls

(2n+l)-Tupel

P Q ,P 1 ,...,P n €P eK

^^Kj

i

für

der

alle i|j

und i

£Z

n'

gilt, und

Kantengeschlossen

p =p .

Abweichend von der sonst in der Literatur gebräuchlichen Terminologie

2)

Kantenzugs für

i^j

nennen wir die Menge der Kanten eines geschlossenen (p

Q

,K

2

,...,K

n

,p

Q

)

einen Kreis,

gilt. Ein Graph heißt zusammenhängend,

falls

P-^Pj

falls je zwei

Ecken durch einen Kantenzug verbunden werden können. Als Teilgraphen

eines Graphen

G=(P,K)

bezeichnen wir jeden Graphen

1>

Über die schwierige Frage, ob der Null-Graph (0,0) ein Graph ist, informiere sich der Leser in F. HARARY and R. C. READ, Is the Null-Graph a Pointless Concept in Graphs and Combinatoricsj Lecture Notes in Math. M-o6, ed. R. A. BARI and F. HARARY, Springer 1974. 2)

Oft wird ein solcher Kantenzug selbst als Kreis bezeichnet.

110

8.

(P' ,K' )

mit

P'cP

und

K'czKnP^CP') .

Endliche Graphen

Jeder Graph

G

zerfällt

in paarweise disjunkte maximale zusammenhängende Teilgraphen, seine Zusammenhangskomponenten;

ihre Anzahl wird mit

bezeichnet. Unter der zyklomatischen

Zsh(G)

Zahl eines Graphen

G=(P,K)

verstehen wir die Zahl K - P +Zsh(G) = b-v+Zsh(G).

C(G)

Definieren wir in einem zusammenhängenden Graphen Abstand

d(p,q)

zweier Ecken

ten Kantenzugs, der

p

und

p q

und

q

G=(P,K)

den

als Länge des kürzes-

verbindet, so prägen wir

P

damit die Struktur eines metrischen Raumes auf. Im Falle d(p,q)=l

nennen wir

Der Graph auf

v

p

K =(P,P 2 (P))

einen Nachbarn von mit

|P|=v

q.

heißt vollständiger

Ecken.

Veranschaulichung der sechs vollständigen Graphen

v=2

v=l

v=0 3>

8,1

Graph

v=3

v=U

K

mit

v0.

ein Wald ist.

ist die Aussage trivial. Wir nehmen nun an,

die Behauptung sei für alle Graphen mit weniger als 3)

Dabei ist

b>l

Kanten

Diese Abbildung des Null-Graphen entnehmen wir mit Herrn HARARY's freundlicher und ausdrücklicher Genehmigung aus der umseitig zitierten Arbeit von F. HARARY und R. C. READ.

110

8.

(P' ,K' )

mit

P'cP

und

K'czKnP^CP') .

Endliche Graphen

Jeder Graph

G

zerfällt

in paarweise disjunkte maximale zusammenhängende Teilgraphen, seine Zusammenhangskomponenten;

ihre Anzahl wird mit

bezeichnet. Unter der zyklomatischen

Zsh(G)

Zahl eines Graphen

G=(P,K)

verstehen wir die Zahl K - P +Zsh(G) = b-v+Zsh(G).

C(G)

Definieren wir in einem zusammenhängenden Graphen Abstand

d(p,q)

zweier Ecken

ten Kantenzugs, der

p

und

p q

und

q

G=(P,K)

den

als Länge des kürzes-

verbindet, so prägen wir

P

damit die Struktur eines metrischen Raumes auf. Im Falle d(p,q)=l

nennen wir

Der Graph auf

v

p

K =(P,P 2 (P))

einen Nachbarn von mit

|P|=v

q.

heißt vollständiger

Ecken.

Veranschaulichung der sechs vollständigen Graphen

v=2

v=l

v=0 3>

8,1

Graph

v=3

v=U

K

mit

v0.

ein Wald ist.

ist die Aussage trivial. Wir nehmen nun an,

die Behauptung sei für alle Graphen mit weniger als 3)

Dabei ist

b>l

Kanten

Diese Abbildung des Null-Graphen entnehmen wir mit Herrn HARARY's freundlicher und ausdrücklicher Genehmigung aus der umseitig zitierten Arbeit von F. HARARY und R. C. READ.

8.1

111

Bäume und Wälder

bewiesen. Ist

G

ein Wald mit

destens eine Endecke vom Grad ecke vom Grad

1

Kanten, so enthält

G

min-

Wir entfernen nun eine End-

und die einzige mit ihr inzidente Kante und

erhalten so einen Wald Eckenanzahl

b 1.

v'=v-l

G*

und

mit der Kantenanzahl Zsh(G')=Zsh(G).

b'=b-l,

der

Nach Induktionsan-

nahme gilt damit 5(G) = b-v+Zsh(G) = ( b ' + D - C v ' + D + ZshCG 1 ) = b ' - v ' + Z s M G 1 ) = C(G 1 ) = 0. Ist

G

hingegen kein Wald, so enthält

G

einen geschlossenen

Kantenzug, aus dem wir eine Kante entfernen können, ohne die Zusammenhangsverhältnisse zu ändern. Der dabei entstehende Teilgraph

G'

hat die Parameter

Zsh(G')=Zsh(G).

v'=v,

b'=b-l

und

Nach Induktionsannahme folgt daher

?(G) = b-v+Zsh(G) = (b 1 +1)-v'+Zsh(G 1 ) = £(G')+l > 1 .

•

Einen zusammenhängenden Wald, also einen zusammenhängenden Graphen ohne (nichtleere) Kreise, nennen wir Baum. Aus (8.3) ergibt sich somit: (8. U)

Satz.

Jeder Baum mit

v

Ecken besitzt

v-1

Kanten. •

Als Teilbaum eines Graphen graphen von G

G,

G=(P,K)

bezeichnen wir jeden Teil-

der ein Baum ist. Ein Teilbaum eines Graphen

heißt Gerüst von

G,

wenn er alle Ecken von

G

enthält.

Entfernen wir in einem zusammenhängenden Graphen, der kein Baum ist, eine Kante eines Kreises, so erhalten wir wieder einen zusammenhängenden Graphen. Es folgt: (8.5)

Satz.

Jeder zusammenhängende Graph enthält ein Gerüst. •

*•> Für den Null-Graphen K 0 ist v=b = Zsh(K 0 ) = 5 (K0 ) =0 . In Ober einstimmung mit (8.3) ist K 0 ein Wald und daher auch ein Baum denn Ko ist zusammenhängend; nach (8.MO ist K 0 jedoch kein Baum. - Wir warnen den Leser, den Null-Graphen wegen dieses widersprüchlichen Verhaltens moralisch abzuwerten. Ein gerechte Urteil über K 0 setzt die Lektüre des zitierten Artikels voraus, in dem die Autoren auch dessen gute Seiten würdigen.

112

8.

Endliche

Graphen

Ein Baum, in dem eine Ecke, die Wurzel ausgezeichnet ist, heißt Wurzelbaum.

Die Strukturformeln des gesättigten einwertigen

Alkohols gruppe

sind Wurzelbäume, wenn man die HydroxylOH

als Wurzel, die Kohlenstoffatome als Knotenpunkte

vom Grad

die Wasserstoffatome als Endecken und die Valenz-

striche als Kanten deutet. Wegen ihrer Bedeutung wollen wir als weitere Anwendung der PÖLYAschen Theorie die Anzahl der Wurzelbäume mit

v

Ecken

berechnen. Außer den Wurzelbäumen ist noch eine Reihe weiterer Gattungen von Bäumen abgezählt worden. Für diese oft sehr scharfsinnigen und trickreichen Abzahlungen verweisen wir auf An Introduation

J. RIORDAN,

to Combinator-ial Analysis , J. Wiley, New York

1958, und die dort angegebene Literatur. Für

v,n€N Q

mit

v

sei

T(0,0)=0.

Mit

bäume mit

v

• (8.6)

T(v,n)

die Anzahl derjenigen Wurzelbäume

Ecken, deren Wurzel vom Grad T(v)

n

ist; dabei setzen wir

bezeichnen wir die Anzahl der Wurzel-

Ecken. Offensichtlich folgt:

Satz.

Es gilt oo v-1 T(v) = ^ Z T(v,n) = T(v,n). n=o n=o

•

Mit Hilfe des folgenden Satzes lassen sich die Anzahlen

T(v)

rekursiv berechnen. • (8.7)

Satz.

Die gewöhnliche erzeugende Funktion 00 F(z) = 3=0

der Zahlenfolge

(T(j)) "eK| -1 o

F(z) = z • exp( " ¿ 2 i=l Beweis.

Es sei

Wurzel den Grad

n£N n

g e n ü g t der Gleichung F(

?1} 1

gegeben und hat. Weiter sei

) • G

ein Wurzelbaum, dessen m£N

und

F

die Menge

aller Wurzelbäume mit mindestens einer und höchstens F

m

Ecken;

werden wir als Menge der Figuren betrachten. Der Koeffizient

8.1

Bäume

von

zV

und

Wälder

113

im P o l y n o m m • m „. Z(Sn; T(j)z:, J Z T(j)z2:,..., 3=0 :=o

m :=o

g i b t n a c h (7.29) die A n z a h l der S c h e m a t a , d.h. (P,K)

Wurzelbäume n

mit

|P|=v+l

T(j)zn:)

derjenigen

an, deren Wurzel

w

den Grad

h a t u n d für die gilt: J e d e Z u s a m m e n h a n g s k o m p o n e n t e

graphen

(P\{w},KnP2(P\{w}))

hat höchstens

m

des

Z e i c h n e n w i r n u n in d i e s e n Z u s a m m e n h a n g s k o m p o n e n t e n d i e ligen) N a c h b a r n v o n

w

aus

ist d i e s e r K o e f f i z i e n t g l e i c h

F.

Für

v d u r c h , so e r h a l t e n w i r 00 T(v+l,n)zv = v=o 00 . 0 0 . 00 = Z(Sn; T (j ) z-' , T ( j ) z 2 : ,. . . , 3=0 :=o :=o oder v=l

Q

T(j)zn:)

00

T(v,n)zV

= ^ Z v=o

T(v+l,n)zV+1

z-Z(Sn;F(z),F(z2),...,F(zn)).

N a c h (8.6), (5.15) u n d den R e c h e n r e g e l n für f o r m a l e r e i h e n (vgl. A n h a n g )

(ehema-

als W u r z e l n a u s , so e r h a l t e n w i r

Q[[z]]

Teil-

Ecken.

Potenz-

folgt

00

F(z) = y v=o

T(v)zV

00

00

v = o n=o 00

00

n=o v=o -¿3 n=o

T(v,n)zv

T(v,n)zV

Z(Sn;F(z) ,F(z2) , . . . ,F(zn))

°° = z• 2 = > n = o IX.+ 2 X 0 +...+nX = z - l i m H I I n-**> X. =0 X„=o 1 2

n , r , i, T T A ( ^ ) =n i=l i'

... H M ^ X =0 i = l n

^ i"

)

L 1

X .

8.

114 Wir führen nun einen Induktionsschluß Es

Endliche

Graphen

durch:

ist !

= exp( ¿ ü ^ l 1 2J1

Wir nehmen an, daß für X I 2 X X1=o X2=o

n>l

... xT

n

n-1

= exp(

die R i c h t i g k e i t

_!=°

ÜS-L

i,

1

T=1

b e r e i t s b e w i e s e n sei. D a n n 00

).

T T

i = 1

X I X - = 0 X„=o 1 z

1

A - ( ^ ) i'

)

gilt

00

°°

von

n ••• ^ T - T X =0 i=l n

1 ,F(z"KXn " " = X I x ^ r ^ ) X I X I X =0 n' X . = 0 X„=o n 1 2

„ -, x M ^ i"

... ? X

X. 1

)

= 1 /F(zi)>Xi x ^ ( ^ P ) i'

"

T T „=o i=l n-1

,F(zn), , F( z 1 ) , = e x p ( — - — ) *exp( > . ) n 1 fh: = exp(

2T1

F(z1) — 1

) .

Insgesamt folgern wir

nun T(v)zv

F(z) =

, . , , F( z 1 ) , . , F( z 1 ) , = z*lim(exp( ^ ; ) = z'exp( > = ). 1 1 n-«° i=l i=l Tabelle m . v T(v)

Anzahlen

T(v)

der

Wurzelbäume 14

15

0 1 1 2 4 9 2o 48 115 286 719 14-8 2 4766 124-86 32973

87811

0 1 2 3 4 5

6

7

8

9

lo

Ein Wurzelbaum, dessen Wurzel den Grad Setzbaum

12

11

1

13

besitzt, heißt

u n d die v o n d e r W u r z e l a u s g e h e n d e K a n t e h e i ß t

Es sei n u n

p

e i n e E c k e in e i n e m freien

Baum

G,

Baum ohne ausgezeichnete Ecke. Jeden Teilbaum von

d.i. G,

Stamm. ein der

s e l b s t e i n S e t z b a u m m i t der W u r z e l

p

i s t , n e n n e n w i r Ast.

überlegt sich leicht, daß ein Baum

G

mit

o d e r g e n a u z w e i Maasensentren

v

Man

Ecken genau ein

b e s i t z t , das s i n d E c k e n ,

von

8.2

Die CATALANsahen

115

Zahlen

denen aus kein Ast mit mehr als Fall, daß

G

^

Kanten entspringt. In dem

zwei Massenzentren besitzt, sind diese durch eine

Kante, die Maasenaahae,

verbunden und die Zahl

v

ist gerade.

Jeder freie Baum, der eine Massenachse besitzt, kann als Konfiguration zweier an der Wurzel durch eine Kante verbundener Wurzelbäume betrachtet werden. Jeder freie Baum mit genau einem Massenzentrum kann als (spezieller) Purzelbaum aufgefaßt werden. Mit diesen Begriffsbildungen erhält man durch langwierige Berechnungen, wie sie etwa R. OTTER

B)

in dieser Form zum ersten

Mal durchführte, folgende Aussage: • (8.8)

Satz.

Für die Anzahlen

t(v)

der freien Bäume mit

v

Ecken ist 00

2 Z

t(v)zv

= F(z) + |(F(Z2)-F(Z)2)

v=o die gewöhnliche erzeugende Funktion;

F(z)

bezeichnet dabei

die in (8.7) untersuchte erzeugende Funktion der Zahlen

T(v). •

Tabelle 15.

0 1 2 3 4 5 6

V

t(v) 7

8

der freien Bäume 9

lo

11

12

13

14

15

16

0 1 1 1 2 3 6 11 23 47 lo6 235 551 13ol 3159 7741 19 3 2o

t (V )

8.2

Anzahlen

D I E CATALANSCHEN ZAHLEN

Es sei den Grad

G

ein Wurzelbaum mit 2

n>2

Endecken, dessen Wurzel

und dessen andere Knotenpunkte den Grad

Wir versehen alle Knotenpunkte vom Grad

3

3

haben.

mit der Markierung

"links" oder "rechts" so, daß zwei Knotenpunkte, die voneinander den Abstand

2

haben und deren Abstände zur Wurzel überein-

stimmen, verschiedene Markierungen erhalten. Einen solchen, so markierten Graphen nennen wir CATALAN8chen

Baum.

Wir können einen CATALANschen Baum somit als einen auf ein 5

>

The Number- of Trees, Ann. Math. 49 (1948) 583-599 .

8.2

Die CATALANsahen

115

Zahlen

denen aus kein Ast mit mehr als Fall, daß

G

^

Kanten entspringt. In dem

zwei Massenzentren besitzt, sind diese durch eine

Kante, die Maasenaahae,

verbunden und die Zahl

v

ist gerade.

Jeder freie Baum, der eine Massenachse besitzt, kann als Konfiguration zweier an der Wurzel durch eine Kante verbundener Wurzelbäume betrachtet werden. Jeder freie Baum mit genau einem Massenzentrum kann als (spezieller) Purzelbaum aufgefaßt werden. Mit diesen Begriffsbildungen erhält man durch langwierige Berechnungen, wie sie etwa R. OTTER

B)

in dieser Form zum ersten

Mal durchführte, folgende Aussage: • (8.8)

Satz.

Für die Anzahlen

t(v)

der freien Bäume mit

v

Ecken ist 00

2 Z

t(v)zv

= F(z) + |(F(Z2)-F(Z)2)

v=o die gewöhnliche erzeugende Funktion;

F(z)

bezeichnet dabei

die in (8.7) untersuchte erzeugende Funktion der Zahlen

T(v). •

Tabelle 15.

0 1 2 3 4 5 6

V

t(v) 7

8

der freien Bäume 9

lo

11

12

13

14

15

16

0 1 1 1 2 3 6 11 23 47 lo6 235 551 13ol 3159 7741 19 3 2o

t (V )

8.2

Anzahlen

D I E CATALANSCHEN ZAHLEN

Es sei den Grad

G

ein Wurzelbaum mit 2

n>2

Endecken, dessen Wurzel

und dessen andere Knotenpunkte den Grad

Wir versehen alle Knotenpunkte vom Grad

3

3

haben.

mit der Markierung

"links" oder "rechts" so, daß zwei Knotenpunkte, die voneinander den Abstand

2

haben und deren Abstände zur Wurzel überein-

stimmen, verschiedene Markierungen erhalten. Einen solchen, so markierten Graphen nennen wir CATALAN8chen

Baum.

Wir können einen CATALANschen Baum somit als einen auf ein 5

>

The Number- of Trees, Ann. Math. 49 (1948) 583-599 .

8.

116

Endliche

Graphen

Blatt Papier gezeichneten Wurzelbaum, dessen Wurzel den Grad 2

und dessen andere Knotenpunkte den Grad

pretieren, wobei ein Knotenpunkt

p

3

haben, inter-

genau dann mit "links"

markiert ist, wenn er links-oberhalb des Knotenpunkts, der zu p als

benachbart ist und zur Wurzel einen kleineren Abstand hat p,

angebracht ist.

Entfernen wir aus einem CATALANschen Baum die Wurzel und die mit der Wurzel inzidenten Kanten, so bilden die beiden sich ergebenden Zusammenhangskomponenten jeweils wieder einen CATALANschen Baum, wobei die Wurzeln dieser Zusammenhangskomponenten die Nachbarn der ehemaligen Wurzel sind. Umgekehrt können wir auch zwei CATALANsche Bäume durch Hinzufügen eines neuen Punkts und zweier neuer Kanten zu einem CATALANschen Baum zusammensetzen. Die Anzahl der CATALANschen Bäume mit gleich der Anzahl Produkt von

n

C(n)

n

Endecken ist nun

der verschiedenen Möglichkeiten, ein

Faktoren zu beklammern. Dem oben gezeichneten

CATALANschen Baum mit

9

Beklammerung der Faktoren

Endecken entspricht dabei folgende x^,...,Xg:

(X1(X2X3))(x^(X£(2

8.2

Die CATALANsahen

• (8.lo)

Satz.

Zahlen

117

Die gewöhnliche erzeugende Funktion CO

00

F(z) = y ~ C(n)z n = C(n)z n n=o n=l der CATALANschen Zahlen genügt der Funktionalgleichung F(z) = z + F(z) 2 . Beweis.

Es gilt

00

F(z) =

n=o

C(n)z n = z +

CO

C(n)z n

n=2

n-1 = Z + 2 Z 2 Z C(k)C(n-k)z n n= 2 k=o 00

00

nach (8.9)

.

= z + ^ C(i)C(j)z 1 + 3 i=l 3=1 00

= z + ]>Z i=l

00

c(i)z 1 c(j)z :) 2=1

00

.

0

0

.

= z + 2 Z C(i)z 1 C(j)z 3 = z + F(z) 2 . i=l 3=~i

•

Die Funktionalgleichung aus (8.1o) ist eine quadratische \ Gleichung; nur die Lösung F(z)=-^(l-/l-1+z) dieser Gleichung genügt der Anfangsbedingung > (8.11)

Satz.

C(0)=0.

Damit folgt:

Für die CATALANschen Zahlen

C(n)

ist

F(z) = ^(1-/1=41) die gewöhnliche erzeugende Funktion. Entwickeln wir nun

1-/1-Hz)

o

in eine Potenzreihe, so erhal-

ten wir: (8.12)

Satz.

Für

n£N

gilt

C(n) = -( ) = ( ). n n-1 2n-l n-1

o

118

8.

Tabelle 16.

C(n)

Graphen

CATALANsche Zahlen

0 1 2 3

n

Endliche

5

6

7

8

9

lo

11

12

13

0 1 1 2 5 14 42 132 429 14 3o 4862 16796 58786 2o8ol2

Wir geben hier noch zwei weitere kombinatorische Deutungen der CATALANschen Zahlen: a)

C(n)

konvexen

ist die Anzahl der möglichen Triangulationen eines (n+l)-Ecks. So sind beispielsweise die gezeichneten

Triangulationen sämtliche Triangulationen eines konvexen 5-Ecks. b)

Zwei Kandidaten

zählung je

n-1

A

und

B

erhalten bei einer Stimmaus-

Stimmen. Dann gibt es genau

C(n)

verschie-

dene Reihenfolgen der Stimmauszählung derart, daß der Kandidat A

während der Auszählung nie weniger Stimmen hat als der Kan-

didat

8,3

B.

DAS K Ö N I G S B E R G E R

BRÜCKENPROBLEM

In Königsberg i. Pr. gabelt sich der Pregel und umfließt eine Insel, die Kneiphof

heißt. In den dreißiger Jahren des acht-

zehnten Jahrhunderts wurde das Problem gestellt, ob es wohl möglich wäre, in einem Spaziergang jede der sieben Königsberger Brücken genau einmal zu überschreiten. Daß ein solcher Spaziergang unmöglich ist, war für L. EULER der Anlaß, mit seiner anno 17 3 5 der Akademie der Wissenschaften in

118

8.

Tabelle 16.

C(n)

Graphen

CATALANsche Zahlen

0 1 2 3

n

Endliche

5

6

7

8

9

lo

11

12

13

0 1 1 2 5 14 42 132 429 14 3o 4862 16796 58786 2o8ol2

Wir geben hier noch zwei weitere kombinatorische Deutungen der CATALANschen Zahlen: a)

C(n)

konvexen

ist die Anzahl der möglichen Triangulationen eines (n+l)-Ecks. So sind beispielsweise die gezeichneten

Triangulationen sämtliche Triangulationen eines konvexen 5-Ecks. b)

Zwei Kandidaten

zählung je

n-1

A

und

B

erhalten bei einer Stimmaus-

Stimmen. Dann gibt es genau

C(n)

verschie-

dene Reihenfolgen der Stimmauszählung derart, daß der Kandidat A

während der Auszählung nie weniger Stimmen hat als der Kan-

didat

8,3

B.

DAS K Ö N I G S B E R G E R

BRÜCKENPROBLEM

In Königsberg i. Pr. gabelt sich der Pregel und umfließt eine Insel, die Kneiphof

heißt. In den dreißiger Jahren des acht-

zehnten Jahrhunderts wurde das Problem gestellt, ob es wohl möglich wäre, in einem Spaziergang jede der sieben Königsberger Brücken genau einmal zu überschreiten. Daß ein solcher Spaziergang unmöglich ist, war für L. EULER der Anlaß, mit seiner anno 17 3 5 der Akademie der Wissenschaften in

8.3

Das Königsberger

v

Brückenproblem

119

KÖNIGSBERG

tt-ALrei'pfeceir--

in PREVSSEN

in St. Petersburg vorgelegten Abhandlung Solutio ad geometriam

situs pertinentis

problematis

(Commentarii Academiae Petro-

politanae £ (1711) 128-140) einen der ersten Beiträge zur Topologie zu liefern. Das Problem besteht darin, im nachfolgend gezeichneten Graphen einen einfachen Kantenzug zu finden, der alle Kanten enthält. Dabei repräsentiert die Ecke vom Grad beiden Ecken vom Grad

2

5

den Kneiphof und die

die Krämerbrücke sowie die Grüne

Endliche

8.

120

Ein einfacher Kantenzug Graphen

G=(P,K)

gilt; im Fall EULERschen • (8.13)

( p

Q

, K

2

heißt EULERsahe

PQ =Pn

, p

2

, . . . , p

n

>

Linie, wenn

sprechen wir von einer

Graphen

in einem ,K2 ,, . . ,K } =K

geschlossenen

Linie.

Satz.

Ein Graph

G=(P,K)

ohne Ecken vom Grad

0

gestattet genau dann eine geschlossene EULERsche Linie, wenn er zusammenhängend ist und nur Ecken von geradem Grad besitzt. Beweis.

Wir setzen voraus,

EULERsche Linie tritt ist

p€P G

G

enthalte eine geschlossene

L=(p Q jK^»p^ , K

, . . . , p

2

Q

) .

Wegen

L

mindestens einmal als Komponente von

auf. Somit

definitionsgemäß zusammenhängend. Tritt nun

der Reihe

pQ

,p2 ,...jp^.^

sichtlich j-i>3.

p=p^::pj

Gilt jedoch un

Daher sind

gung zeigt: Tritt t-mal auf, so gilt

p£P

p£P

in

nur einmal auf, so folgt offen-

d

K^

mit

iP n )

Weg, falls |P|=n+l

P={p o ,p 1

oder und |P|=n, P^ÌP-L 5 P 2 : 'Pn> 'Pn> gilt. HAMILTONsche Wege sind also Kantenzüge, in denen

Po=Pn jede Ecke des Graphen genau einmal passiert wird. Jeder vollständige Graph

gestattet offensichtlich HAMILTONsche

Wege :

Die Charakterisierung der Graphen, die HAMILTONsche Wege besitzen, ist allgemein noch nicht gelungen. 6) Die hier gegebene Abbildung eines HAMILTONschen Weges im Kg wird auch als Drudenfußj Pentagramma oder Salomonis Schlüssel bezeichnet ; vgl. J. W. VON GOETHE, Faust I, Verse 1258 , 1395 1396.

8.4

Planare

8,4

PLANARE GRAPHEN

123

Graphen

Ein Graph

G=(P,K)

Abbildung

ip: P

heißt planar, wenn es eine injektive 9 > R gibt, so daß jeder Kante {p,q}€K

eine rektifizierbare Kurve mit den Endpunkten

, daß ein Graph genau dann planar

ist, wenn er keinen zu einem KURATOWSKIschen Graphen isomorphen Teilgraphen enthält. Als KURATOWSKI8che

Graphen werden

dabei die beiden nachfolgend gezeichneten Graphen bezeichnet,

sowie die Graphen, die man erhält, wenn man die Kanten der hier abgebildeten beiden Graphen durch "kantendisjunkte" Kantenzüge ersetzt. Daß der Graph, der durch die rechts abgebildete Figur dargestellt wird, nicht planar ist, besagt, daß drei untereinander verfeindete Nachbarn ihre Zugangswege zur Dorfkirche, zum Wirtshaus und zum Rathaus nicht kreuzungsfrei wählen können. Wir übergehen den KURATOWSKIschen Beweis, da er 7)

Sur le problème des courbes gauches en topologie, Fund. Math. 15 (193o) 271-283; vgl. auch C. BERGE, Theorie des graphes et ses applications, Dunod, Paris 1963, S. 2o5.

124

8.

Endliche

Graphen

topologischer und nicht kombinatorischer Natur ist. In (8.2o) aber zeigen wir, daß die KURATOWSKIschen Graphen nicht planar sind. Die Menge

l/cP(K)

der Vereinigungen beliebig vieler, aber

jeweils paarweise disjunkter Kreise eines (nicht notwendig planaren) Graphen retischen)

G=(P,K)

symmetrischen

bildet bezüglich der

(mengentheo-

Differenz

VAW := (vuwncvnw) als Verknüpfung (Summe) eine abelsche Gruppe, in der bis auf das neutrale Element Daher läßt sich

Satz.

alle Elemente die Ordnung

2

GF(2)

Beweis.

G=(P,K)

die Dimension

K\K'

hat der Vektorraum

G

B(S)

andere Sehne enthält, nämlich K^,K 2 »...»K

V

b-v+1. ein Gerüst

T=(P,K').

nennen wir Sehnen. Zu jeder Sehne

gibt es genau einen Kreis sind

GF(2)

In einem nicht-leeren zusammenhängenden (nicht

Nach (8.5) gibt es in

Kanten aus

haben.

auffassen. Hierbei gilt:

notwendig planaren) Graphen über

2

1/ als Vektorraum über dem Primkörper

der Charakteristik • (8.15)

0

in

G,

Die

S={p,q}

der diese, aber keine

{S,K2,...,Kn}=B(S);

dabei

die sämtlichen Kanten des einzigen einfa-

chen Kantenzugs im Gerüst verbindet. Es sei nun

T,

der

p

und

B:={B(S); S€K\K'}

Kreise. Nach (8.4) gilt

q

miteinander

die Menge dieser

|B|=|K\K'|=b-v+l.

Es ist nun noch zu zeigen, daß

B

eine Basis von

V

ist:

Einerseits ist nämlich jede Summe paarweise verschiedener Kreise aus

B

von der leeren Menge, also vom Nullvektor ver-

schieden; somit ist steht jeder Vektor aus Sehnen. Ist nun den Sehnen und

W

zugleich aus Kanten des Gerüsts sowie aus

so folgt

V

die Summe der

zugeordneten Kreise

VAWciK' ,

da

VAW£l/

B(S^),

gilt und

dieselben Sehnen enthalten. Da die leere Menge der

einzige Kreis ist, den ist, folgt

linear unabhängig. Andererseits be-

W:=B(S 1 )AB(S 2 )A...AB(S r )

S^,S 2 ,...,S r

B(S 2 ) ,. . . ,B(S ) , V

B VEl/

VAW=0,

also

T=(P,K') V=W.

gestattet und Somit wird

VAW

1/ von

ein Kreis B

erzeugt.

8.4

Planare

125

Graphen

Nach dem JORDANschen Kurvensatz (aus der Topologie) zerlegt die Vereinigung der Kreise eines planaren Graphen 2 die Ebene

R

in Flächen genannte, einfach zusammenhängende

Gebiete, von denen genau eines, das wir mit nicht beschränkt ist; mit Flächen von

G=(P,K)

G.

F

Weiter sei

Kreis, der die Fläche

F

bezeichnen,

bezeichnen wir die Menge der f:=|F|.

Für

F€F

berandet. Die Menge

bildet eine Basis des Vektorraumes

1/

sei

p(F)

der

ip(F); FEFXiF^}}

(vgl. die Erläuterungen

auf Seite 121). Mit diesen Bezeichnungen folgt nach (8.15):

(8.16) 'EULERa che Polyeder forme l.

In einem nicht-leeren

zusammenhängenden planaren Graphen v-b+f = 2. (8.17)

Satz.

G

gilt

•

In einem planaren Graphen

v-b+f = Zsh(G)+l > 2 .

G

gilt

•

Da jeder (nicht-leere) Kreis mindestens

3

Kanten enthält und

da jede Kante eines planaren Graphen im Rand von maximal Flächen liegt, folgt (8.18)

Satz.

2b > > |p(F)| > 3f Fe?

Hat der planare Graph

2

und somit

G

mindestens

2

Kanten,

G

mindestens

2

Kanten,

so gilt 2b > 3f.

•

Nach (8.17) und (8.18) ergibt sich v > b-f+2 > b-|b+2 = |b+2. Damit erhält man: (8.19)

Satz.

Hat der planare Graph

so gilt 3v > b+6.

a

Mit Hilfe dieser Ungleichungen beweisen wir:

126

8.

• (8.2o) Beweis.

Satz.

Endliche

Graphen

Die KURATOWSKIsehen Graphen sind nicht planar.

Es genügt, aus den beiden Klassen KURATOWSKIscher

Graphen jeweils den Graphen mit der geringsten Eckenanzahl zu betrachten, also die beiden auf Seite 123 abgebildeten Graphen. Der Vertreter der zweiten Klasse hat die Parameter b=9;

v=6

er enthält keinen geschlossenen Kantenzug der Länge

Wäre dieser planar, so würde jede Fläche von mindestens Kanten berandet und somit folgte f=5.

und

2b>4f.

3. 4

Nach (8.16) gilt

Aus der Planarität erhielte man also das merkwürdige

Ergebnis

18>2o.

Für die erste Klasse KURATOWSKI scher Graphen - ¿ÜA. ¿otc.hi kalbt HöZZe.nbtiut lit Salomon.Li Se.hZiiae.1 gut wir den Vertreter die Ungleichung

• (8.21)

Satz.

K^. 15>16

Beweis.

- betrachten

Dessen Planarität würde nach (8.19) implizieren.

Jeder planare Graph

deren Grad kleiner als

8)

6

•

G=(P,K)

besitzt eine Ecke,

ist.

Wäre die Behauptung falsch, so folgte nach (8.1) 2b = > ^P

r

P

> 6v.

Mit (8.19) erhielte man nun die falsche Ungleichung 2b > 6v > 2b+12. Ein planarer Graph

a

G=(P,K),

dessen Flächen von geschlossenen

JORDAN-Kurven berandet werden, heißt PLATONisoher es zwei natürliche Zahlen

n>3

und

m

rp = n

für alle

p€P,

|p(F)| = m

für alle

F€F

Körper, wenn

gibt, so daß

und |p(E)np(F)| < 1 für je zwei verschiedene Flächen e

E

und

> J. W. v. GOETHE, Fauet I, Vers 1257f.

F

gilt.

8.4

Planare

Graphen

127

Da jede Kante eines PLATONischen Körpers

G

im Rand von genau

zwei Flächen auftritt, folgt nach (8.1): (8.22)

Satz.

In einem PLATONischen Körper

2b = vn = fm. Mit der Bezeichnung (8.23)

Satz.

Da

m

erhält man aus (8.16) nun:

In einem PLATONischen Körper b =

gilt

•

s:=2(n+m)-nm

f = ^s ' ,

G

2nm

G

gilt

4m

als Anzahl der Kanten eines Kreises größer als

und wegen (8.23)

s>0

gilt, erhalten wir nun für

2

n£{3,i+,5}

die folgenden fünf (und damit alle) PLATONischen Körper:

n=3,

n=3,

m=3

Würfel

Tetraeder

n=3,

m=5

Dodekaeder

m=4

n=4,

m=3

Oktaeder

n=5,

m=3

Ikosaeder

ist

128

8.

Es sei nun

G=(P,K)

Endliche Graphen

ein nicht notwendig planarer Graph und

C

eine Menge, deren Elemente wir Farben nennen. Eine Abbildung ip: P

> C

heißt zulässige Färbung von

für jede Kante zahlen

|C| ,

{p,q}€K

G,

wenn

sowie J. E. GRAVER und J. YACKEL gefunden.

9,3

EIN KOMBINATORISCHES PROBLEM IN DER GEOMETRIE

P. ERDÖS und G. SZEKERES 5> lösten mit dem folgenden Satz ein von Fräulein E. KLEIN gestelltes Problem: • (9.lo) K(m),

Satz.

Zu jeder Zahl

so daß für alle

v€N

m€N mit

gibt es eine kleinste Zahl v>4

und bezeichnen die Menge aller 3-Teilmengen

kollinearer Punkte aus 3

> Ramsey 2o4-224.

voraussetzen. Nun wählen wir P

egy Gr&felmel&ti

mit

M.

Dann ist

T&t&teröl,

A combinatorial (1935) 463-47o.

problem

die

Mat. Lapok _15 (1964)

Some Graph Theoretic Results Associated rem, J. Comb. Theory 4 (1968) 125-175. 5)

N:=P 3 (P)\M

with Ramsey's

Theo-

in geometry , Compositio Math. 2

9.4

Eine zahlentheoretisohe

Menge aller Dreiecke von m-Teilmenge menge

N m

Menge

m

P

P

mit

P.

141

Nach (9.4) gibt es nun eine

mit

Pg(M)cM

PG(N)cN.

oder eine

p(4,m,5)-Teil-

Im ersten Fall ist

kollinearen Punkten;

P

M

eine

enthält also in diesem

kollineare Punkte. Im zweiten Fall bilden wir die M'

setzen mit

von

von

Menge von Fall

M

Anwendung

aller konvexen Vierecke mit Eckpunkten aus

W' : =PL+ (N)\M'.

P h (M' )CM'

Nach (9.4) gibt es in

oder ein 5-Eck

N'

mit

N

N

P^N'JcN'.

der zweiten Alternative liegt ein 5-Eck

und

ein m-Eck

M'

Im Fall

N ' » e g » e ^ e ^ »e^}

vor, das kein konvexes 4-Eck enthält. Die konvexe Hülle von wird also von

3

Punkten aus

N',

zeugt. Die Verbindungsgerade von Seiten des von

e^jejje^

und

{e^ejjeg}

e^

er-

schneidet zwei

gebildeten Dreiecks; keiner dieser

beiden Schnittpunkte fällt wegen ^el,e2'e3^

etwa von e^

N'

N'cN

mit einem Punkt aus

zusammen. Die beiden Eckpunkte der Seite, die von und

e^

nicht geschnitten

wird, bilden dann aber zusammen mit

der Verbindungsgeraden von

e^

e^

und

e^

ein konvexes

4-Eck, das im Widerspruch zur Definition von

N'

nicht in

N'

liegt. Daher muß der erste Fall eintreten, d.h. es gibt ein M 1 ={d.,d„,...,d }, 1 2 m Die konvexe Hülle von M'

m-Eck

Wäre nun

n

m

von

p=p(r,m 1 ,m„,...,m

M^UMgU...UM n =P r (P) P )

mit

n

P.

)

RAMSEY

natür-

gibt es eine kleinste Zahl

so daß für jede v-Menge

und jede disjunkte Vereinigung und eine m.-Teilmenge B 3

n=m

•

F,

• (9.11)

gebil-

d2,dg,dl+€M'

ein nicht konvexes 4-Eck in

im Widerspruch zur Definition von damit die Behauptung.

läge. Wegen

np

ein

existiert. RAMSEY-Zahlen.

9.4

Eine zahlentheoretisohe

Menge aller Dreiecke von m-Teilmenge menge

N m

Menge

m

P

P

mit

P.

141

Nach (9.4) gibt es nun eine

mit

Pg(M)cM

PG(N)cN.

oder eine

p(4,m,5)-Teil-

Im ersten Fall ist

kollinearen Punkten;

P

M

eine

enthält also in diesem

kollineare Punkte. Im zweiten Fall bilden wir die M'

setzen mit

von

von

Menge von Fall

M

Anwendung

aller konvexen Vierecke mit Eckpunkten aus

W' : =PL+ (N)\M'.

P h (M' )CM'

Nach (9.4) gibt es in

oder ein 5-Eck

N'

mit

N

N

P^N'JcN'.

der zweiten Alternative liegt ein 5-Eck

und

ein m-Eck

M'

Im Fall

N ' » e g » e ^ e ^ »e^}

vor, das kein konvexes 4-Eck enthält. Die konvexe Hülle von wird also von

3

Punkten aus

N',

zeugt. Die Verbindungsgerade von Seiten des von

e^jejje^

und

{e^ejjeg}

e^

er-

schneidet zwei

gebildeten Dreiecks; keiner dieser

beiden Schnittpunkte fällt wegen ^el,e2'e3^

etwa von e^

N'

N'cN

mit einem Punkt aus

zusammen. Die beiden Eckpunkte der Seite, die von und

e^

nicht geschnitten

wird, bilden dann aber zusammen mit

der Verbindungsgeraden von

e^

e^

und

e^

ein konvexes

4-Eck, das im Widerspruch zur Definition von

N'

nicht in

N'

liegt. Daher muß der erste Fall eintreten, d.h. es gibt ein M 1 ={d.,d„,...,d }, 1 2 m Die konvexe Hülle von M'

m-Eck

Wäre nun

n

m

von

p=p(r,m 1 ,m„,...,m

M^UMgU...UM n =P r (P) P )

mit

n

P.

)

RAMSEY

natür-

gibt es eine kleinste Zahl

so daß für jede v-Menge

und jede disjunkte Vereinigung und eine m.-Teilmenge B 3

n=m

•

F,

• (9.11)

gebil-

d2,dg,dl+€M'

ein nicht konvexes 4-Eck in

im Widerspruch zur Definition von damit die Behauptung.

läge. Wegen

np

ein

existiert. RAMSEY-Zahlen.

142

Zwei graphentheoretische

9.

Beweis.

Für

n=l

ist (9.11) mit

Induktionsbeweis über Induktionsanfang Es seien also sei

n

n=2.

n>2,

Extremalprobleme

p(r,m 1 )=m 1

richtig. Der

"greift" allerdings erst mit dem Dieser Fall wurde in (9.4) bewiesen.

r€N

und

r^m^,m 2 ,...,m n

v>p(rjm^,m2,...,mn_2,p(r,mn));

gegeben. Weiter

dabei benützen wir

die Induktionsannahme, daß die Behauptung für bewiesen sei, daß also

p(r ,m.. ,m„ ,. . . ,m 1 2 ' n-2

existiert. Fürderhin sei M^UMjU...UM n =P r (P)

P

n-1

bereits

.. ,m )) 0 ,p(r,m n-1 n

eine v-Menge und

eine disjunkte Vereinigung. Nach Induktions-

annahme gibt es ein 3 e z n _ 2 unc ^ e i n e m^-Teilmenge M von P mit ? (M) (v)

und

nun

(ix)

m I I maxil,|M.|—i+1} 1 i=a(n)+l

gilt

M

bzw.

bzw.

L[N],

(y^,y2,...>ym_n)

so f o l g t

wegen

{x1,x2,...xn}n{y1,y2,...,ym_n)=0. M

2

,...,x und

n

,y

2

(W,L)

,...>y sich

scheiden,

folgt

folgt

Behauptung.

die

nach ( v i ) , , und ( v i i )

also

(x^,x2,...,xn)

system von (x^,x

erhalten

.

m 1 l/(N) | • | (/( L [ N ] ) | > I I m a x i l , |M. | - i + 1 } i =l

(x)

Da

dis-

m-n | l/( L [ N ] ) | > I I m a x i l , | L . [ N ] | - i + l } i =l

(ix)

also

N

> k.

W i r wenden nun a u f

Ist

Da n u n

|uN|=|N|=n

|UK| Damit

von

folgt |UW|+|UK|

Nach

Es

m

_

n

nur

)

ein

die

Daher

}=N

ist

Permutation

von a

| l / ( M ) | = | l / ( ( N , L ) ) | > | l / ( N ) | • | l/( i. [ N ] ) | . •

Vertreter-

{x^,x2,...,x

ein Vertretersystem durch

.

(N,L). unterMit

(x)

10.1

Das

149

Heiratsproblem

J. H. VAN LINT 5» hat darauf hingewiesen, daß es für die Anzahl der Vertretersysteme einer Familie nur die Kardinalzahlen

|

(M^»Mg,...,M ),

von der

bekannt sind, keine bessere Ab-

schätzung gibt. Der folgende Satz zeigt dies: • (lo.4)

(m„,m„,.. . ,m ) mit m.€N für m i 1 c i£Z und m„

The Marriage

Problem, Amer. J. of Math. 72. (195o) 214-215.

Vertretersysteme

10.

150

folgers des Gesandten Allahs, des Kalifen al-'Mutadid ibn al-Muwaffaq ibn al-Mutawakkil 7> will sich aus dem Kreise der ihm bekannten Frauen einen Harem vorgegebener Größe einrichten. Wann ist dies möglich? Eine hinreichende und notwendige Bedingung, daß jeder Sohn

s

sich einen Harem mit

richten kann, ist, daß für jede Teilmenge Gesamtanzahl der Frauen, die Söhnen aus destens gleich

>

n(s)

n(s)

S S

Frauen ein-

von Söhnen die

bekannt sind, min-

ist. Der Beweis beruht auf der Mög-

s£S lichkeit, jeden Sohn

s

durch

n(s)

Ebenbilder zu ersetzen

und diese Ebenbilder zu verheiraten. Dabei soll jedes Ebenbild von

s

seine Frau aus der Menge der dem Sohn

s

bekannten

Frauen wählen. Die angegebene Bedingung ist dann äquivalent zur P. HALL-Bedingung. Eine Anwendung von (lo.l) und anschliessende Identifizierung der Ebenbilder verhilft den Söhnen des Kalifen zu ihren (disjunkten) Harems. In der zitierten Arbeit weisen P. HALMOS und H. VAUGHAN darauf hin, daß mit dieser Verallgemeinerung auch das berühmte Mönchsproblem von H. BALZAC e> gelöst wird. Mit Hilfe dieser Überlegungen erhält man unmittelbar: • (lo.6)

Satz.

Ist

den Parametern eine v-Partition i€Z v

J=(P,B,I)

v,b,r,k

k

{B 1 ,B 2 ,...,B v }

und eine Bijektion

Kalif al-'Mutadid regierte 892-9o2 n. Chr. in Baghdad. Er ist der Ururenkel des uns allen aus den Erzählungen aus 1001 Nacht wohlbekannten Abblsidenkalifen Härün ar Ralid ibn al Mahdi; dieser Zeitgenosse Karls des Großen und Nachfahre des al-'Abbas ibn 'Aldulmuttalib ibn Häsim, eines Onkels des Propheten und Schatten Allahs auf Erden war von 7 86 bis 8o9 der amlr al-mu 1 minin, d.h. der Gebieter der Gläubigen. B) Die hundert tolldreisten Geschichten, den Novizinnen von Poissy, Wien 1869.

IV19.

die Mönche

bei

151

10.2

Gemeinsame

10.2

GEMEINSAME VERTRETERSYSTEME

Es sei

P

Vertretersysteme

eine endliche Menge,

m,m'€N

mit

m>m'

und

M= C M . , M 0 , . . . ,M ) s o w i e M' = ( M ! , M i , . . . , M ' , ) jeweils Familien 1 Z m 1 2 m von nicht-leeren Teilmengen von P. Ein Vertretersystem (x^,...,x M Z

)

von

M

h e i ß t gemeinsames

Vertretersystem

von

und M ' , w e n n es e i n e m ' - A n o r d n u n g ,) von g i b t , so d a ß (x. ,x. ,...,x. ) ein Vertretersystem von m i1 i2 im,

M'

ist. I s t

B={B^jBg,...,B

}

eine m-Partition einer Menge

P,

so b e z e i c h n e n w i r die m - F a m i l i e

( B „ , B „ , . . . , B ) als geordnete 1 t m Partition. Folgender Satz über geordnete Partitionen geht auf d i e i n F u ß n o t e 1 , S e i t e 144 z i t i e r t e A r b e i t v o n P. H A L L z u r ü c k : (lo.7) und

Satz.

Zwei geordnete Partitionen

M'=(M^jMg».••jM^,)

von

P

mit

m>m'

M=(M^,M2,...,Mm) besitzen genau

e i n g e m e i n s a m e s V e r t r e t e r s y s t e m , w e n n f ü r je z w e i NcM

und

Beweis.

N'cM1

mit

UN'cUW

|N(|

stammt eine weiter Folgerung:

9> A propositione di un teorema del Chapman} Boll. d. Unione Mat. Ital. 6 (19 27) 1-6. Für V=W stammt der Satz von G. A. Miller, On a method due to Galois, Quart. J. Math. (191o) 382-384.

Ein Satz über Klasseneinteilungen von endlichen Mengen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg _5 (1927) 185-188. Einen kurzen Beweis bringt E. SPERNER, Note zu der Arbeit von Herrn B. L. van der Waerden: "Ein Satz Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg _5 (1927) 232.

10.3 • (lo.9) m>m'; von

Satz.

Es sei

weiter sei P

in m -Mengen

und

P

und

eine geordnete m-Partition

M'=(M^,M2,...)

eine geordnete

M

und

M'.

Wir prüfen die Bedingung von (lo.7): Es seien

N'czM'

zwei Teilfamilien mit

|W *|"m=|UN'|Pa(2)''"''Pa(b)^

({x€P; xIB 1 },{x£P; xIB 2 } eines Vertretersystems von

läßt sich dann

eine b-Anordnung von

(alja(1),a2ja(2),...,abja(b))

system von

A

10.3 • (lo.9) m>m'; von

Satz.

Es sei

weiter sei P

in m -Mengen

und

P

und

eine geordnete m-Partition

M'=(M^,M2,...)

eine geordnete

M

und

M'.

Wir prüfen die Bedingung von (lo.7): Es seien

N'czM'

zwei Teilfamilien mit

|W *|"m=|UN'|Pa(2)''"''Pa(b)^

({x€P; xIB 1 },{x£P; xIB 2 } eines Vertretersystems von

läßt sich dann

eine b-Anordnung von

(alja(1),a2ja(2),...,abja(b))

system von

A

10.

154 • (lo.ll)

Satz.

Es sei

A

Vertretersysteme

eine b*v-(0,D-Matrix, deren Zeilen

nach der Größe ihrer Zeilensummen angeordnet sind. Dann gilt per(A) = 0 oder

, b per(A) > I I max{1,z.-i+1} , 1 i=l z^ die Zeilensumme der i-ten Zeile bezeichnet sei.

wobei mit

•

Unter dem Termrang

p(A)

einer (0,1)-Matrix

die maximale Anzahl von Einsen aus

A,

A

verstehen wir

von denen keine zwei

in einer Zeile oder Spalte stehen. Äquivalent dazu kann man p(A)

als die Zeilenanzahl der größten quadratischen Unter-

matrix von

A

bezeichnen, deren Permanente nicht verschwindet,

die nach (lo.lo) also ein Vertretersystem besitzt. D. KÖNIG und E. EGERVARY

12

11

'

> haben den Termrang folgendermaßen charak-

terisiert : • (lo.12)

Satz.

Es sei

A

eine (0,1)-Matrix und

p'(A)

Minimalanzahl der Zeilen und Spalten, die jede Eins von enthalten. Dann ist

p'(A)

gleich dem Termrang

Beweis. Da keine Spalte und keine Zeile von

A

p(A). zwei der

Einsen enthält, die zur Ermittlung des Termrangs von gezogen werden, folgt p

und

p'

die A

A

p(A) heran-

p(A)

A^

und

A

dxe-Matrix,

(b-d)xe-Matrix

und

Graphok és matrixok3

0

e

A=(a.1 .) durch die >3 Spalten realisiert wird.

hat die Gestalt

A^

eine dx(v-e)-Matrix,

A^

eine entsprechende Nullmatrix ist.

Mat. Fiz. Lapok 3J3 (1931) 116-119.

Matrixok kombinatorius (1931) 16-28.

tulajdonsàgairól,

Mat. Fiz. Lapok 3_8

10.3

(0,1)-Matrizen

155

Wir zeigen nun, daß A 2 ein Vertretersystem besitzt: Für un< definieren wir D^:={j€Zv; a^ j =1 » 3 weisen für die Familie V:=(D1,D2,...,Dd) die P. HALL-Bedingung nach; Gäbe es nämlich eine Teilfamilie (D. ,D. ,...,D. ) von V mit x x i V k D. UD. U...UD. ={j1,j9,...,j } und m. Wir ordnen dem Paar (P,M) die b*v-(0,1)-Matrix zu, die zu durch a^ PjEM^ " HALL-Bedingung für M besagt nun, daß jede Familie von n Zeilen mit n a. . = vk i=l j=l Nach (lo.12) gibt es d Zeilen und e die alle Einsen aus Der Termrang folgt

A

p(A)

und damit

v

p(A)=v.

folgt

Spalten mit

überdecken. Somit gilt

d+e=p(A),

vkl

dieser

b

Dozenten. Das

Lehrgebiet eines jeden Professors umfasse jeweils genau v

ein

Vorlesungen angeboten werden. Jede dieser Vorlesungen

gehöre zum Lehrgebiet von genau dieser

b=v.

o

An einer Universität gibt es sollen

k>l

kann aber nicht größer als

vkäp(A)kl

matrix, die ein Vertretersystem von

A,

deren Spalten-

sind, eine PermutationsA

beschreibt, so erhalten

wir eine v*v-(0,1)-Matrix, deren Zeilen- und Spaltensummen jeweils gleich

k-1

aus (lo.13) einen

sind. Durch Induktion erhalten wir damit - laut G. FROBENIUS

13)

-

ganz speziellen

Satz von geringem Wert: 13)

Uber zerlegbare Determinanten, Sitzungsbericht Preuß. Akad. Wiss. (1917) 274-277. D. KÖNIG, der Satz (lo.l4) in Uber Graphen und -ihre Anwendungen auf Determinanten und Mengenlehre, Math. Ann. 77 (1916) 453-465, bewies, beantwortet auf Seite 24of seines Buches Theorie der endlichen und unendlichen Graphen, Akad. Verlagsges. Leipzig 1936, diese Kritik.

10.3

157

(0,1)-Matrizen

• (lo-1t)

Satz.

Zu jeder v*v-(0,1)-Matrix

und Zeilensummen jeweils gleich Permutationsmatrizen

k

P^,P 2 ,...»P^

A,

deren Spalten-

sind, gibt es mit

k

v-reihige

A=P 1 +P 2 +...+P k
, J:={j1,j2 , . . . , , s:=|l| und t:=|j|. Damit gilt st>n und |D . I UM' 1 = i W D i U ^ M j l = ^Z ± | + KJH.\ 1 iei jej TeT j€J 3 Für die Teilfamilie (M.).,_T von M gilt nun nach Voraus-

1 1

Setzung

fc"

b * I I max{0 ,t-d.1 } . i=l

I W M i Jl j €J Damit folgt

b

| UN 1 | > ^ ^ i€I >

*

Ter

TZ i€I

= st > M'

d. + 1

i=l

d. + ^ ^ 1 Tel

max{0,t-d. } 1

(t-d.) + > 1 iezb\i

max{0,t-d.} 1

t n

= |N *| .

erfüllt also die P. HALL-Bedingung und besitzt damit nach

(lo.l) ein Vertretersystem -i 9 > • • • 1 »^t »• • • w^ • 1,1 -L»^ >D D ,V D a die Komponenten eines Vertretersystems untereinander alle verschieden sind, gibt es zu jedem

wegen

mindestens

v-d. Elemente x. -6D.UM. mit x. .¿D. in die1 1,3 1 : 1 sein Vertretersystem. Diese Elemente x^ ^ liegen damit also jeweils in

M^

tretersystems 18)

und sind daher die Komponenten eines TeilverT^

von

M

vom Defekt

Diajoint tranaveraala of aubaeta}

28o-285.

dl^d^.

D a die Elemente

Canad. J. Math. 11 (1959)

160

10.

X-, -1 >xi 1,1 1,1 auch die

x, D,V

1,J b

paarweise verschieden sind, sind

Teilvertretersysteme

Satz (lo.17) wurde für den Fall 10.5

DAS

Vertretersysteme

T^

paarweise disjunkt.

b=l

von 0. ORE

19

>

•

bewiesen.

GALE-RYSER-Kriterium

In diesem Abschnitt beweisen wir mit Hilfe von (lo.l7) in der Sprache der (0,1)-Matrizen ein Kriterium für die Existenz von Inzidenzstrukturen. Die Existenzbedingung stellt Forderungen an die Parameter der Inzidenzstruktur. A=(a.1 .) sei eine bxv-(0,1)-Matrix mit dem Zeilensummenvektor 5D Z = ( z ^ , . . . JZ^) und dem Spaltensummenvektor S=(s^,...»sv>, d.h. es gelte

z.=a. ,,+a. „+...+a. und s.=a- -+a„ . + ...+a, • i 1,2 i,v : 2,: b,: bzw. Ausgehend von A konstruieren wir

für alle

die bxv-(0,1)-Matrix

Ä,

indem wir in jeder Zeile die Einsen

nach links und die Nullen nach rechts versetzen, d.h. die i-te Zeile von

Ä

die ersten

hat die Gestalt z^

(1,1 ,...,1,0 ,0 , ... ,0) ,

Komponenten dieser Zeile gleich

übrigen Komponenten gleich

0

sind.

gleichen Zeilensummenvektor

Z

tor von

, • • •> s v )

A

lich gilt

sei mit

S=(s^

wie

A A.

1

wobei

und die

besitzt also den Der Spaltensummenvekbezeichnet. Offensicht-

s j = | { i £ Z b ; z ± > j >| .

Wir nennen einen Vektor absteigend,

wenn seine Komponenten

eine (schwach) monoton fallende Folge bilden. Wir sagen von zwei v-Tupeln Komponenten aus

X=(x^,x 2 ,...,x ) Nq,

daß

es zwei Permutationen (X

X

X

(p(l)' s. > > S. 3 =v-n+l J 3 =v-n+l J

Es sei nun

N=(M. ,M. ,...,M. ) : 3 1 32 n

gilt

|UN| =

Vertretersysteme ^ 3=1

für alle

s. = J

n£Z

V.

3=1

J

.

eine Teilfamilie von

M.

Dann

lUMjl 1=1

J1

n 1=1

v * (ii)

>

: v-n+l = V

> à >>

v-n+l

Sj

weil

S

Sj

nach (i)

absteigend ist

V

=

>

U e z , ; z,>j} -b' i

v-n+l

b

V

=

= (iii)

e. • 3 =v-n+l i = l 1,3

mit

>

b

e. .:= ( j 1,3 \0

fal1

* sonst

v

e. i=l j=v-n+l 'J z b i = > > 1 wegen i7T j=v-n+l

z. max{0,n-v+z^} i=l =

b i=l

max{0 , | W | - (v-z •) } .

Nach (lo.l7) besitzt tretersysteme Defekten

v-z^.

M

also

b

paarweise disjunkte Teilver-

T. = (x. 1 ,x. „,...,x. ) 1 1,1 1 , Z l.Zi

Wir definieren nun eine bxv-(0,1)-Matrix a. . i»: Offenbar ist

Z

0

falls

1

sonst

{x.

19X.

mit den jeweiligen A=(a.1 .) durch >D x. .}0M. = 0

der Zeilensummenvektor von

A.

Die Spalten-

10.5

Das

summen

163

GALE-RYSER-Kriterium

s^JS^S.'-JS^

von

A

genügen wegen

|M^|= s^

der Un-

gleichnung (iv)

s! < s. für alle Jj£Z . 3 3 v Durch zweifaches Abzählen der Einsen in b

(v)

m V

Mit

H pl "3 s

=

n: =v, z

b

sj = 3

s^+s2+•..+s v =s V T I s'. = 3=1 3

(vii)

erhält man

V

z. 1

Setzen wir in (iii) (vi)

A

i

1 = ^

j=1

sowie (v) und (vi) folgt

l+ s 2 + ... + s v v

&

s

.

1

i =1

j '

Induktiv folgt aus (iv) und (v Wir spezialisieren (lo. 18) auf Konfigurationen, d.h. wir setzen s

z^=zj=..•=z^:=k

und

l=s2=""'=sv:=r"

• (lo.19)

Satz.

Es seien

v,b,r,k€N.

tion

(P,B,I)

alle

Bۧ

und

wenn

k^v

und die Parametergleichung für taktische Konfigura-

tionen Beweis.

vr=bk

mit den Parametern

Eine taktische Konfigura-

|B(p)|=r

für alle

|P|=v, p€P

|B|=b,

|B|=k

für

existiert genau dann,

gilt.

Wir führen den Beweis über die Inzidenzmatrizen. Da

keine Zeilensumme einer (0,D-Matrix größer als ihre Spaltenanzahl ist, gilt von

vr=bk

kl:

Hier besagt (T 2), daß die

L(V ( 1 ) ),L(r ( 2 ) ),...,L(V ( m ) )

lateinischen Quadrate

paarweise

verflochten sind; wir nennen dabei zwei lateinische Quadrate A=(a. .) und 1 s3 Bedingung e> (PW)

B=(b. .) 1 J3

verflochten, wenn sie der PAIGE-WEXLERunc

Für je zwei verschiedene Spaltenindizes

^

je zwei (nicht notwendig verschiedene) Zeilenindizes i

l1' i 2 £ Z nn -

gilt:

(a

i

i 'ai i } * ( b i i 'bi i ) l'-'l l'-'2 2 1 2 2

genügen. Umgekehrt liefert jede Menge von flochtenen lateinischen Quadraten d

eine Permutationsmenge

i

m

paarweise ver-

A^,...,Am

e der

der Ordnung

n

(n,m)-Transitivitäts-

bedingung genügt. Bei entsprechender Numerierung der regulären Teilmengen

r

von

( 1 } ( 2 5

A.

,...

( m )

von

T

gilt dabei, daß sich

höchstens um eine Zeilenpermutation unter-

scheidet . Gehen wir von einer Menge drate der Ordnung

n

A={A^,...,Am)

zu einer Menge

A

1

lateinischer Qua-

= { A ^ , . . . v o n

lateinischen Quadraten über, indem wir (i)

auf alle Komponenten von

A^,...,Am

zugleich dieselbe

Permutation oder (ii)

auf

A^,A 2 ,...,A

zugleich dieselbe Spaltenpermutation

A^JAJ,...,A m

jeweils eine beliebige Zeilenpermuta-

oder (iii)

auf

tion anwenden, 8 > Nach L. J. PAIGE und G. WEXLER, A canonical form for incidence matrices of finite projective planes and their associated latin squares, Portugaliae Math. 12 (1953) lo5-112.

174

11.

so sind die Quadrate aus

A

A

A1

dies sind.

zugeordnete Permutationsmenge

T

bedeutet die

Operation (i) den Übergang zur Linksnebenklasse

aT

Operation (ii) den Übergang zur Rechtsnebenklasse sei

Quadrate

genau dann paarweise miteinander

verflochten, wenn die Quadrate aus Für die

Lateinische

ro

und die -1 ; dabei

die in (i) bzw. (ii) angewandte Permutation. Die

Operation (iii) schließlich läßt Jede m-Menge

A={A^,A 2 ,...,A m >

T

unverändert.

lateinischer Quadrate läßt sich

mit Hilfe der Operationen (i) und (iii) oder mit (ii) und (iii) standardisieren

wie folgt: Wir wählen eine beliebige Zeile 2 n ) und setzen a: = (; a,. a 1 2 n -1 wenden entweder die Permutation ö auf alle Komponenten der (a„

Quadrate

zugleich oder die Permutation

die Spalten der Quadrate A. ,A„,... ,A ,a ) Fällen geht die Zeile (a.,a 2'' ' n

CT

auf

zugleich an. In beiden in die Zeile (l,2,...,n)

über. Durch anschließende Zeilenpermutationen in den einzelnen lateinischen Quadraten erreichen wir, daß A^,Ag,...,A

A^

reduziert und

normiert sind. Die einer standardisierten Menge

lateinischer Quadrate zugeordnete Permutationsmenge ist unitär. Als Beispiel bringen wir

paarweise verflochtene

lateinische Quadrate der Ordnung

in standardisierter

Form 9> : 123456789 261538917 349682571 456217398 538179426 682794135 795341862 817923654 971865243

178592364 219367485 397258146 431786952 562843791 643915827 786429513 854671239 925134678

145827936 273649158 358964712 489153267 516732849 621378594 734295681 892516473 967481325

152389647 237814569 374126895 415698723 583261974 698437251 761952438 829745316 946573182

136948275 248751693 312475968 427569831 591624387 675283419 759836124 863197542 984312756

194763528 285976341 326891457 468325179 579418632 657142983 713584296 841239765 932657814

187635492 251493876 365719284 493872615 524987163 639521748 742168359 876354921 918246537

169274853 296185734 381547629 472931586 547396218 614859372 728613945 835462197 953728461

9

> Diese Quadrate wurden mit Hilfe der Figur 8.4.3 aus J. DENES und A. KEEDWELL, Latin squares and their applioations, English

11.2

175

Gewebe

• (11.12) rcS„

Satz.

Es sei

K

eine n-Menge. Eine Permutationsmenge

operiert genau dann scharf 2-fach transitiv auf

K,

wenn

sie der (n,n-l)-Transitivitätsbedingung genügt. Beweis.

Es sei

V

scharf 2-fach transitiv. Für y€T defi-1 —1 nieren wir N(y):={y€r; wy =id oder iry ist fixpunktfrei}. -1 . . . Nach (2.5) ist A: = Ty eine scharf 2-fach transitive unitäre Permutationsmenge. Wir zeigen, daß die Menge

N(y)-y,

die aus

der Identität und allen fixpunktfreien Permutationen aus besteht, regulär auf x=y y

ist

id

K

operiert. Es seien

die einzige Permutation aus

überführt.

Wenn

x*y

n-1

Permutationen

ein

6€N(y)-y

y

Nun seien

mit

Stabilisators

A

6£A

y'

T

von mit

6(x)=y.

und

Im Fall

N(y)'y,

die

ist, so liegt in jedem der

(regulären) Stabilisatoren der

x,y€K.

A

mit

S(x)=y.

A

z*x,y

x

in

n-2

genau eine

Es gibt also genau

Nach (2.5) ist

N(y)

regulär.

zwei verschiedene Permutationen eines

von

T,

dann gilt

N(y)nN(y' )-Y n _i» nun aus

die

x 1

y^(x') =y^ (x )

T

die (n,n-l)-Transitivi-

und

(y,y')

mit

y(x)=y

und

zwei 2-Anordnungen

nach (T 1) genau

nach für

y

ijjez^^

y(x')=y'.

n-1

Permutationen

abbilden. Nach (T 2) folgt

{y^^Cx') ,y2(x') ,. . . ,y n _ 1 (x') }=K\{y} . y€r

operiert,

im Widerspruch zur Voraussetzung

Nun erfülle umgekehrt die Menge von

K

T durchlaufen, so erhalP paarweise disjunkte, auf K regulär operierende

N(y)

y

Da aber

stets

i=j

und somit

Es gibt also genau ein

•

In den folgenden Sätzen zeigen wir, daß jedes r-Gewebe der Ordnung

n

eine Menge von

r-2

paarweise verflochtenen lateini-

Universities Press Ltd. London 197t, S.285 gewonnen. Sie koordinatisieren gemäß (11.14) die sogenannte HUGHES-Ebene der Ordnung 9.

11.

176 sehen Quadraten der Ordnung r-2

n

Lateinische

definiert und daß umgekehrt

paarweise verflochtene lateinische Quadrate der Ordnung

ein r-Gewebe der Ordnung

n

den Mengen

K

bzw.

K'

K(y(x))=g(Y)(K(x))

r-Gewebe

Satz.

> K1

k: K

für alle

Es seien

(P,G)

T

und

r',

die auf

operieren, genau dann isomorph genannt

werden, wenn es Bijektionen

• (11.13)

n

"koordinatisieren".

Wir beachten, daß zwei Permutationsmengen

mit

Quadrate

n,r€N

der Ordnung

y£T

g: T

und alle

mit

n

und

n>2

und

> I"

x£K r>3.

gibt. In jedem

enthält die Gruppe der Paral-

lelpro jektivitäten einer jeden Geraden

K£G

auf sich eine

unitäre Permutationsmenge, die der (n,r-2)-Transitivitätsbedingung genügt. Beweis.

Es sei

p€P

dene Geraden durch nun jeder Geraden

und p.

GeS E,K,L

zu und setzen

F

E,L,K€G(p)

Wir setzen

G,E,K

r:={&€Sw.; G€&} .

K,G,L Hierbei ist

eine unitäre Permutationsmenge vom Grad

Für je zwei parallele Geraden für alle

z€K.

Parallelbüschels

und ordnen

die Parallelprojektivität

die Axiome (T 1) und (T 2) für

T

drei paarweise verschie-

'S:=G\([K]U[L])

T

E"= id v

n.

und somit

Wir weisen nun

nach:

G,H€$

mit

G^H

gilt

G(z)^H(z)

Damit bilden nach (11.11) die den Geraden eines [G]

mit

GeS

eine reguläre Teilmenge von

büschel zerfällt, folgt

(Tl).

zugeordneten Permutationen aus T.

Da

?

in

r-2

Parallel-

11.2

177

Gewebe

Es s e i e n n u n und

S,Rer

liegen

mit

und

(y,y*)

S(x)=H(x)=:y

q: ={x||L}n{{y||L}nE||K}

beide in G=H,

(x,x')

GflH.

also

Aus

q=t=q'

zwei 2 - A n o r d n u n g e n v o n 1

sowie

£(x')=H(x')=:y .

K

Dann

q 1 : = {x'|| L } n { { y L } n E | | K }

und

u n d (G 2) f o l g t

G=H

und damit

(T 2).

Die Konstruktion von

i m B e w e i s z u (11.13) h ä n g t w e s e n t -

FcS^

l i c h v o n der W a h l der H i l f s e l e m e n t e

E

und

L

ab. A l s

Umkeh-

r u n g v o n (11.13) b e w e i s e n w i r : • (11.14) TcS^

Satz.

Es s e i e n

n,r€N

mit

n>2

eine P e r m u t a t i o n s m e n g e , d i e der

bedingung genügt.

G ( D : = (P,G)

und

r>3,

weiterhin

(n,r-2)-Transitivitäts-

sei die I n z i d e n z s t r u k t u r ,

die

aus der P u n k t m e n g e

P:-2 x-Z und den Geraden K :={(x,c): x € Z } n n c n L :={(c,y); y€Z } für alle c€Z , sowie d e n G e r a d e n c n n Y : = { ( x , y ( x ) ) ; x£Zn> f ü r alle y£T besteht. D a n n ist G(D und

ein r - G e w e b e der O r d n u n g

n

und

T

ist i s o m o r p h zu e i n e r M e n g e

v o n P a r a l l e l p r o j e k t i v i t ä t e n der G e r a d e n Beweis.

W i r w e i s e n die A x i o m e

K^

auf

sich.

(G 1), (G 2) u n d (G 3) f ü r

G(D

nach. Zu (G 1): Für die G e r a d e n tulat

(G 1)

(x,y)€P

Kc

und

mit

(x,y)$Y>

d.h. m i t

regulär operierende Teilmenge von alle

ip€$

Permutation

Lc

ist das

Parallelenpos-

t r i v i a l e r w e i s e e r f ü l l t . Es sei also

und £6r

i|j€r\4> mit

Y(x)^y. r,

Ist n u n

so gilt

und

y^F $

eine

|!pniji|=l

für

(wegen (T 2)). A l s o g i b t es g e n a u eine £(x)=y

und

¡¡(z)fY(z)

u n d z w a r in der r e g u l ä r e n T e i l m e n g e v o n

r,

für a l l e die

y

Z

^zn>

enthält.

11.

178

Lateinische Quadrate

Zu (G 2): Wegen (T 2) und der Bijektivität von Permutationen schneiden sich zwei verschiedene Geraden der Inzidenzstruktur G(D in höchstens einem Punkt. Zu (G 3): Dieses Reichhaltigkeitsaxiom folgt aus den Voraussetzungen

n>2

und

r>3.

Es sei nun K:=K^, L:=L^, e€T und E:=e. Die Abbildung von Z n nach K, die x nach (x,l) überführt, ist bijektiv. Somit können wir jeder Permutation y€T eineindeutig (bezüglich der Geraden E) die Parallelprojektivität

zuordnen; dabei gilt

__ .4

y*((x,1))=(e~ y(x),l).

•

In Satz (11.1H) ist die Konstruktion des r-Gewebes G ( D nicht von einer willkürlichen Auswahl von Hilfselementen abhängig. Wir sagen daher: T koordinatisiert G ( D . • (11.15) Satz. Es seien n,r€N mit n>2 und r>3 und TcSn eine Permutationsmenge, die der (n,r-2)-Transitivitätsbedingung genügt. Dann sind G ( D , G ( a D , G(Tct) und G ( r _ 1 ) für alle a£S n isomorph. Beweis.

Mit

T

erfüllt jede Nebenklasse von

r

wie auch

die (n,r-2)-Transitivitätsbedingung. Die Abbildung a von Zn *Zn auf sich, die (x,y) nach (x,a(y)) überführt, ist

wegen

a( y) = { (x ,ay(x)) ; x€Z } = cfy

für alle

ct6S

r -1

ein Isomor-

11.2

179

Geweb

phismus von GCD auf G(ctD. Entsprechend liefert die Abbildung i von Z xZ auf sich, die (x,y) nach (y,x) n n „—t. überführt, wegen i(f;={(y(x),x); x€Z }={(x,y (x)); x£Z }=y n ^^ n einen Isomorphismus von G ( D auf das Gewebe G(T ). Wegen -1 -1 -1 (a T ) =Ta folgt mit dem bisher gezeigten auch die Isomorphie von Ist nun

G(D A

und

G(Ta).

eine Menge von

• r-2

paarweise verflochtenen

lateinischen Quadraten und T die durch A beschriebene Permutationsmenge, so setzen wir G(A):=G(r) und sagen auch: A

koordinatisiert

Es sei

n€N,

Weiter sei

G(A).

n>2. TcS^

Wir wenden uns nun dem Spezialfall

r=3

zu.

eine unitäre reguläre Permutationsmenge und

L ( D = (a. .) das zugehörige reduzierte lateinische Quadrat. 1 5J Wir definieren auf Z n eine binäre Verknüpfung r Zn XZn

H:{

> Zn

^(i,j)

Das Paar

> inj := a.1 . -- j J ist eine Loop 1 0 ) , d.h. es gibt in

(Z ,H) Z ben n züglich der Verknüpfung H ein neutrales Element und für alle a,b€Zn sind die Gleichungen a=bHx und a=xHb eindeutig nach

x auflösbar. Eine Loop ist also genau dann assoziativ, wenn sie eine Gruppe ist. Das reduzierte lateinische Quadrat L(D ist also die CAYLEYsche "Gruppen"-tafel der Loop (Z ,n). Zwei Loops (Z n ,H) und (.2^,0) heißen isotop, wenn es Bijektionen (p,4>,a von Z^ mit ^d +d +d

Wenn

der Ordnung

n

Gel.

Jede Gerade

GcL. n

L6L\G

•

und

p,q€L

die Menge derjenigen Punkte bestimmt, die weder mit q

durch Geraden aus

daß

(P, L)

durch

(P,G)

G

(P,G)

ist dann durch

je zwei verschiedene und mit ihr inzidente Punkte mit

ein

ist, so gibt es

mit

eine affine Ebene der Ordnung

ein (n-l)-Gewebe mit

(P,G)

p

als noch

verbindbar sind. Dies bedeutet,

eindeutig bestimmt ist. R. H. BRUCK

(loc. cit.) zeigt allgemeiner: • (11.17)

Satz.

Es seien

r-Gewebe der Ordnung eine affine Ebene Für jeden Körper x mit K,

a,b£K

und

n.

(P,L) K

n,r€N, Wenn mit

d:=n-r 2

n>d GcL.

und

(P,G)

ein

ist, so gibt es höchstens •

operiert die Gruppe

r

aller Abbildungen

•> ax+b a^O,

der sogenannten affinen Abbildungen

scharf 2-fach transitiv. Da es zu jeder Primzahlpotenz

genau einen Körper mit • (11.18)

Satz.

n

n^2

Elementen gibt, folgt:

Zu jeder Primzahlpotenz

affine Ebene der Ordnung

von

n.

n>2

gibt es eine

•

Beim systematischen Probieren, vier paarweise verflochtene lateinische Quadrate der Ordnung

5

herzustellen, erkennt man,

daß es bis auf Isomorphie genau eine affine Ebene der Ordnung 15)

5

Finite nets, II. Uniqueness and imbedding, Pacif. J. Math. 13 •421—457 .

11.

182

Lateinische Quadrate

gibt. Im Rahmen des Satzes (12.lo) werden wir unter anderem beweisen, daß es keine affine Ebene der Ordnung Eindeutigkeit der affinen Ebene der Ordnung geometrischer Überlegungen von M. HALL

161

7

6

gibt. Die

ist mittels

bewiesen worden.

Allerdings hatten R. C. BOSE und K. R. NAIR

17)

bereits zwölf

Jahre früher durch Auswerten der Tabellen lateinischer Quadrate der Ordnung

7

von H. W. NORTON

18

> dieses Ergebnis erhalten.

Die Eindeutigkeit der affinen Ebene der Ordnung von M. HALL, J. D. SWIFT und R. J. WALKER

19

8

wurde 1956

> unter Benutzung

von H. W. NORTON's Tabellen und elektronischen Rechenanlagen festgestellt. Die Quadrate von

3

A2

und

Ag

der folgenden standardisierten Menge

paarweise verflochtenen lateinischen Quadraten der

Ordnung

4

1231+ 13 4 2 2 1 4 3 2 4 3 1 « _ A 3 4 1 2 2 " 3 1 2 4 3 " 4 3 2 1 4 2 1 3 gehen durch die Spaltenpermutation (2 3 4)65^ . 1"

aus

A^

1 4 2 3 2 3 14 3 2 4 1 4 1 3 2 bzw. (2 4 3)€SL

hervor. In Satz (11.2o) geben wir eine geometrische

Bedingung für dieses Phänomen

an. Um diese Bedingung zu for-

mulieren , benötigen wir die nachfolgende Definition. • (11.19) (P,G).

Definition. Wir sagen,

in Richtung

R,

Es sei (P,G)

R

eine Gerade eines Gewebes

genügt dem kleinen Axiom von DESAFGUES

wenn zu je drei verschiedenen, zu

R

paralle-

16)

Uniqueness of the •projective plane with 57 points3 Proc. Amer. Math. Soc. 4. (1953) 912-916; Correction to "Uniqueness of the projective plane with 57 pointsProc. Amer. Math. Soc. J5 (1954) 994-997. Vgl. auch G. PICKERT, op. cit. 17>

On complete sets of Latin squares, Sankhya .5 (1941) 361-382.

18

> The 7*7 squares, Ann. Eugenics 9 (1939) 269-3o7. Dabei ist zu bemerken, daß die von A. SADE (.An omission in Norton's list of 7*7 squares> Ann. Math. Satist. T2 (1951) 3o6-3o7 und Omission dans les listes de Norton pour les carrées 7*7, J. reine angew. Math. 189 (1951) 19o-191) festgestellte Unvollständigkeit NORTONschen Tabellen die Untersuchungen von R. C. BOSE und K. R. NAIR nicht berühren. 19) Uniqueness of the projective plane of order eight3 Math. Tables Aids Comput. lo (1956) 186-194.

11.2

183

Geweb

len Geraden P2,q2£R2

R^jR^Rg

und

F,F' ,G,G" ,H,H' P1,P3€H,

q 1 €H»

und je sechs Punkten

p3,q3€R3 mit und

aus der Existenz von sechs Geraden

p^p^F, FllF1,

q1,q26F', GllG1,

p2,p3€G,

h||h'

stets

q^q^G',

q 3 €H'

folgt.

•

Affine Ebenen, in denen das kleine Axiom von DESARGUES für eine Richtung erfüllt ist, werden durch sogenannte Cartesische pen

20

>

Grup-

koordinatisiert. Gilt das kleine Axiom von DESARGUES

für zwei verschiedene Richtungen einer affinen Ebene, so gilt es für alle Richtungen; die Translationen, freien Automorphismen

T

mit

T(G)||G

d.h. die fixpunkt-

für alle Geraden

G,

bilden dann einen auf den Punkten der Ebene regulär operierenden kommutativen Normalteiler in der vollen Automorphismengruppe dieser affinen Ebene. Solche Ebenen heißen und werden durch sogenannte Quasikörper

20

>

Translationsebenen koordinatisiert.

Die affinen Ebenen, die durch die scharf 2-fach transitiv auf pers

K

operierende Gruppe der affinen Abbildungen eines KörK

bestimmt sind, genügen, wie wir in Abschnitt 12.1

sehen, noch stärkeren Bedingungen als dem kleinen Axiom von DESARGUES. • (11.2o)

Satz.

Es seien

eine standardisierte

scher Quadrate der Ordnung Satz (11.14)) das von 20

>

n,r6N,

n>2,

r>3

und

k={A±>...,Ar_?]

(r-2)-Menge paarweise verflochtener lateiniA

n.

Wenn (mit den Bezeichnungen aus

koordinatisierte Gewebe

Vgl. G. PICKERT, op. cit.

G(A)=:(P,G)

184

11.

Lateinische

da-s kleine Axiom von DESARGUES in Richtung A

gehen die lateinischen Quadrate aus

L^

Quadrate

erfüllt, so

durch Spaltenpermuta-

tionen paarweise auseinander hervor. Beweis.

A=(a.1 .) und B=(b. .) zwei lateinische 1 »3 >J Quadrate aus A . Da A standardisiert ist, gilt a. 1 =b. l, 1 I , 1 £z E s se für alle i n * i nun ^it 1 ei-n Spaltenindex. Wir zeigen, aus daß ein Spaltenindex j^ existiert, so daß die Spalte A

Es seien

mit der Spalte

j2

aus

B

übereinstimmt. Es sei de

der Spaltenindex, für den

a. . =b. . 1 1 >J± >^2 also zeigen, daß für jeden Zeilenindex gilt: Zunächst erhält man j.^j .

Wegen

j^l

lieh gilt wegen

und

j.H 1

(l,a1 l^a

auch

i

stets

. )f(l,b. . )

. =b1

.

2

gilt. Nun müssen wir a. . =b. . i»: 1 i.]; nach (PW), also

folgt

j„*l.

Schließ-

i*a. . . Damit erfüllen die Punkte 1 5J^

P 2 : = (j i' a i,j

a. . ;

sowie

q 1 : = (l,i) , q 2 = = jC a i' i,j Geraden R^ :=L 15 R 2 : , L j

a. . )

zusammen mit den

p 1 :=(l,l),

F: = { (:,a l 5 . ); jez n>>

F

G:=K

R,:=L. 3 3,

,

S':=K

'

und

H':={(j,b. .); j€Z } die Voraussetzungen des kleinen n Axioms von DESARGUES in Richtung L 1' L, = Ri G' r2

V '

/

/

0,0,;) F /

P2

r3

G

Ps

H,

K,

Pl aus

(j2.1)

Die der Zeile

i

mit dem Punkt

v q~=(j„,a. io" J?'Qi1 . i. ). 0 ' )Jj

B

zugeordnete Gerade DDamit amit

folgt folgt

H'

inzidiert also

a1_. . ^ =b. =b_. .. . a. j3 i>3
über Gewebe wird dieser Um-

stand verschiedentlich hinter unnatürlichen Definitionen versteckt . Für affine Ebenen läßt sich (11.2o) umkehren; den Beweis überlassen wir dem Leser: • (11.21)

Satz.

Es sei

A

eine (n-l)-Menge von paarweise

verflochtenen lateinischen Quadraten der Ordnung

n,

die paar-

weise durch Spaltenpermutationen auseinander hervorgehen. Dann genügt die affine Ebene DESARGUES in Richtung

G(A)=(P,G) L^.

(11.14) bzw. (11.20) .)

dem kleinen Axiom von

(Bezüglich der Bezeichnungen vgl.

o

Wir bemerken, daß (11.2o) eine Möglichkeit aufzeigt, affine Ebenen zu finden, die von cartesischen Gruppen koordinatisiert werden: Dazu sei Ordnung

n

Ordnung

n-1.

und

A C

ein reduziertes lateinisches Quadrat der ein reduziertes lateinisches Quadrat der

Nun wendet man die Zeilen von

tionen auf die Spalten schließlich

n-1

man

C

A

und

2,3,...,n

von

A

C

als

an und man erhält

lateinische Quadrate der Ordnung geeignet, so sind diese

Permuta-

n-1

n.

Wählt

Quadrate paarweise

verflochten.

21

' Eine ausführliche Bibliographie findet der Leser in J. ACZEL, Quasi g roup s, nets and nomograms, Advances in Math. 1 (1965) 38345o, sowie in J. DENES und A. KEEDWELL, Latin squares and their applications, English Universities Press Ltd., London 1974.

11.

186 11,3

ORTHOGONALE LATEINISCHE

Zwei l a t e i n i s c h e

Quadrate

Lateinische

Quadrate

QUADRATE

.) und B = ( b . . ) d e r Ordnung 1 > D >D n heißen orthogonal (in Zeichen: A±B) , wenn i n d e r n * n Matrix C: = ( ( a - . , b . . ) ) . jedes Zahlenpaar ( k , l ) £ Z xz i»:' i>: ^ " n * n n e i n m a l (und d a m i t a u c h g e n a u e i n m a l ) a u f t r i t t . M i t E . PARKER 2 2 ) sagen wir dafür auch, (engl.:

orthogonal

Um zu p r ü f e n , es a l s o

B

A=(a.

1

ist

zu p r ü f e n ,

ob zu j e

B

zu

A

orthogonal

zwei v e r s c h i e d e n e n

zwei S p a l t e n i n d i z e s

lo. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 o

L. EULER

3i>32^ n

23

>

2 3 4 6 7 1 8 9 o 5

3 4 5 1 2 8 9 o 6 7

Wir s c h r e i b e n d a b e i 4 5 6 3 8 9 o 7 1 2

5 6 7 8 9 o l 2 3 4

stellte

6 7 1 9 o 2 3 4 5 8

7 1 2 o 3 4 5 6 8 9

8 o 9 & 4 3 2 1 7 6

9 8 o 7 6 5 4 3 2 1

ist,

s

genügt

"te"ts

o 9 8 2 1 7 6 5 4 3

1 3 5 o 9 8 6 4 2 7

lateinische "o"

2 4 6 9 8 7 5 3 1 o

3 5 7 8 1 6 4 2 o 9

statt 4 6 1 2 7 5 3 o 9 8

anno 1 7 7 9 d a s P r o b l e m ,

R e g i m e n t e r n und j e w e i l s

einem Quadrat a u f z u s t e l l e n ,

6

5 7 2 1 6 4 o 9 8 3

6 1 3 7 5 o 9 8 4 2

7 2 4 6 o 9 8 5 3 1

36

Quadrate "lo".

8 9 o 3 2 1 7 6 5 4

9 o 8 4 3 2 1 7 6 5

o 8 9 5 4 3 2 1 7 6

Offiziere

v e r s c h i e d e n e n Chargen so

daß k e i n e Z e i l e und k e i n e

Spalte

zwei O f f i z i e r e

d e r s e l b e n Charge o d e r d e s s e l b e n Regiments 2i

G. TARRY

»>

bewies die U n l ö s b a r k e i t

z e i g t e durch s y s t e m a t i s c h e s 22)

ten,

Ausprobieren,

dieses

Recherches sur une nouvelle n a r d i E u l e r i Opera Omnia, S é r i e

ent-

Problems.

daß e s k e i n e

Computer investigations of orthogonal latin P r o c . Symp. A p p l . M a t h . 15 ( 1 9 6 3 ) 7 3 - 8 1 .

aus

in

hält.

23)

A

i

d e r Ordnung

6

von

Zeilenindizes

Z

i 'bi i }*(ai i >bi i > 1' ^ 1 l'^l 2 2 2' 9 A l s B e i s p i e l g e b e n w i r zwei o r t h o g o n a l e ( a

Genosse

mate).

ob das Q u a d r a t

und j e

e i n orthogonaler

squares

Er

zwei of

order

espèce de quarrês magiques, 1 , 1_ ( 1 9 2 3 ) 2 9 1 - 3 9 2 .

Leo-

24) Le problème des 36 officiers, Compte Rendu de l ' A s s o c i a t i o n F r a n ç a i s e pour l ' A v a n c e m e n t des S c i e n c e s N a t u r e l l e s 1 ( 1 9 0 0 ) 1 2 2 - 1 2 3 ; 2 ( 1 9 0 1 ) 1 7 0 - 2 0 3 . Der A s t r o n o m H. C. SCHUMACHER s c h r i e b am 1 0 . A u g u s t 1 8 4 2 i n e i n e m B r i e f an C. F . GAUSS, d a ß s e i n A s s i s t e n t TH. CLAUSEN d i e U n l ö s b a r k e i t d e s 3 6 - 0 f f i z i e r e - P r o b l e m s b e w i e s e n h a b e ; v g l . C. S . PETERS, Briefwechsel zwischen C.F.Gauß und H.C.Schumacher, Bd. 4 , A l t o n a 1 8 6 2 , S . 8 1 ; N a c h d r u c k b e i G. Olms, H i l d e s h e i m - N e w Y o r k 197 5 .

11.3

187

Orthogonale lateinische Quadrate

orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung

6

gibt. L. EULER

vermutete darüber hinaus, daß für keine Zahl

n=2 (mod 4)

orthogonales Paar lateinischer Quadrate der Ordnung

n

ein

exi-

stiert. Diese Vermutung blieb sehr lange unentschieden und wurde erst 1959 von R. C. BOSE und

S. S. SHRIKANDE

25

> durch die

Angabe eines Paares orthogonaler lateinischer Quadrate der Ordnung

22

negativ gelöst. Gleichzeitig gelang E. T. PARKER

26

>

die Konstruktion einer Reihe von Paaren orthogonaler lateinischer Quadrate, darunter auch der Ordnung

lo.

Kurze Zeit

später veröffentlichten R. C. BOSE, S. S. SHRIKANDE und E. T. 27)

PARKER Zahl

n>2,

gemeinsam einen Beweis, der zu jeder natürlichen n^6

die Existenz eines Paares orthogonaler lateini-

scher Quadrate der Ordnung

n

sichert. Wir verzichten auf die

Wiedergabe des komplizierten Beweises

28)

.

Neben ihrer Anwendbarkeit in der statistischen Versuchsplanung

29

> ist das Interesse an paarweise orthogonalen lateini-

schen Quadraten vorwiegend in der Herausforderung begründet, die diese so einfach formulierte Vermutung L. EULERs darstellte. In Satz (11.22) zeigen wir den engen Zusammenhang zwischen den Relationen des Verflochtenseins und der Orthogonalität lateinischer Quadrate. Uns scheint die der eleganten WITTschen Koordinatisierung der endlichen affinen Ebenen durch scharf 2-fach transitive Permutationsmengen angepaßte Definition des Verflochtenseins für geometrische Fragestellungen natürlicher als die der Orthogonalität. 25) On the falsity of Euler's conjecture about the non-existence of two orthogonal latin squares of order 4t 2, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 45. (1959) 734-737. 26)

Orthogonal latin squares, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 4_5 (1959 ) 859-862.

27) Further results on the construction of mutually orthogonal latin squares and the falsity of Euler's conjecture, Can. J. Math. 12 (19 6o) 39o-394. 2B)

vgl. J. DENES und A. D. KEEDWELL, op. cit., chap. 11. »> vgl. H. B. MANN, Analysis and design of experiments, Dover Publications, New York 1949. 2

11.

188

• (11.22)

Satz.

A=(a.1 .) »3

Es sei

der Ordnung b, .=j k,i J

n€N. n

:«=»

Lateinische

Quadrate

Für jedes lateinische Quadrat

wird durch a. . =k 1,3

für alle

i,j,k€Z 'J ' n

ein lateinisches Quadrat

iHA): = (b, .) definiert. ß ist eine x, i Permutation der Menge der lateinischen Quadrate der Ordnung n 3 mit Si =id. Zwei lateinische Quadrate A und B der Ordnung n

sind genau dann orthogonal, wenn

fi(A)

und

i2(B)

verfloch-

ten sind. Beweis.

Da in jeder Zeile

jede Zahl aus

Zn

(a. .,,a. „,...,a.

genau einmal auftritt, ist

)

von

iKA)

A wohldefi-

niert. Ebenso folgt: Da in jeder Zeile (bzw. Spalte) von jede Zahl aus

Zn

A

genau einmal auftritt, gilt dies auch für

die Spalten (bzw. Zeilen) von ft(A) ;

es ist also

lateinisches Quadrat der Ordnung

Wenngleich die Anzahl

n.

der lateinischen Quadrate der Ordnung Zahlen n£N

n

n

iHA)

ein

schon für kleine

unvorstellbar groß ist, so ist sie doch für alle

endlich. Somit folgt aus der Injektivität von

J2,

die

offensichtlich ist, die Bijektivität. 2 Es sei fi(A) = (b, K ,1.), £2 (A) = (c. ])K ,) und alle i,j,k€Z n gilt definitionsgemäß

also

a. . =k «-» b, .=j 1,: k,i J 0 (A)=A. _

fi3(A)=(d. 1,J .).

Für

• c. , =i «=» d. .=k, 3 ,k 1,3

Es seien nun

A=(a. .) und A'=(a'. .) zwei orthogonale 1 15 3 >3 i^,,k2€Z lateinische Quadrate der Ordnung n. Es seien 32:=bkifi2,,13i:=b'2>ii

(b^.): = i i (A'), 39:=bV i • Dann i 2' 2 Weiter setzen wir

ist

implizieren nun

(k.. ,k')^(ki ,k„) , -L i -L^

n

und

und k =a 4 =an- 4 O i -51 = a 5 V l'-'l 2'^2 l'-'l 2'^2 k!:=a. ., und kl:=a! • • Wenn nun 1 1 2'^2 1 1 (j1»j2)H3i>32) erfüllt ist, so sind fi(A) und iKA1 ) verflochten. Setzen wir 3i = 3^ voraus, so folgt ki = a'. . =a'. ., =k 0 . Die Voraussetzungen AJLA' und

und damit

jj^j^-

=a

,-

Also sind

fi(A)

also und

a. . =k.^k'=a. 2' 2 2* 2 ß(A*)

verflochten.

11.3

189

Orthogonale lateinische Quadrate

Es seien nun umgekehrt fi(A) = (b, .) und í2(Al) = (b¿ .) ver— Kjl Kjl flochtene lateinische Quadrate. Weiter seien i^,i2>j2ezn mit

und

J. £

k!:=a.

Wir setzen

k.:=a. .I 1 , k„:=al 2 2, -L 1 •. . Dann ist j.,=bv =b?, . und 1' 1 1' 1 2' 1 Weiter setzen wir . und

X L k':=a'.

und 2' 2 j'=b,t . =b' . . K 2 '1 2 l j„:=bv . . Wenn nun (k. ,k')*(k',k„) erfüllt ist, so sind £ 5 J*2 ± L 1 Z 4 A und A1 orthogonale lateinische Quadrate. Setzen wir k 2 ~ k 2 voraus, so folgt j.=b1*, 2' 1.! = b,*2'1.1 =ji. Die Voraussetzung i^ij

und die Verflochtenheit von

zieren nun damit

( j 1 ,j 2 )|( j^jjj) »

k^k^.

Quadrate.

Also sind

A

ß(A)

also

und

bk

A'

und = 5i2

ß(A' )

32^2

=b

impliund

k ^ ,i

orthogonale lateinische

o

Nach (11.22) und den Ausführungen in Abschnitt 11.2 gibt es zu jeder Primzahlpotenz

n

eine (n-l)-Menge paarweise orthogonaler

lateinischer Quadrate der Ordnung MACNEISH

30

• (11.23) von

Schon 1922 zeigte H. F.

> :

Satz.

n€N.

n.

Es sei

a a l a2 m n=p^ p 2 •••Pm

die Primzahlzerlegung a

a l 2 min{p^ ~1>P2

Dann gibt es zumindest

a

paarweise orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung Den Beweis • (11. 2>t)

31)

Satz. m,

n.

Es seien

n,m€N.

so gibt es auch

sche Quadrate der Ordnung Wir bezeichnen mit

Gibt es

N(n)

nm.

t

t

paarweise orthon

wie auch der

paarweise orthogonale lateini•

die maximale Anzahl paarweise ortho-

gonaler lateinischer Quadrate der Ordnung

n.

Für

n Euler squares, Ann. Math. 23. (1922) 221-227.

31)

•

der folgenden Verallgemeinerung übergehen wir.

gonale lateinische Quadrate sowohl der Ordnung Ordnung

m

vgl. etwa H. J. RYSER, Combinatorial Mathematias, Wiley, New York 196 3, p. 83.

11.

190

Lateinische Quadrate

gibt J. H. VAN LINT 32» in einer Tabelle untere Schranken für die Anzahlen N(n). R. M. WILSON 3 3 ) verbessert diese Schranken für die Ordnungen 3o, 36, 46 und 5o jeweils auf die Werte 3, 4, 4 bzw. 6. hinreichend große Zahlen

R. M. WILSON 3*> zeigt auch, daß für n£N die Abschätzung N(n)2:-/r?-2

gilt. Es sei an dieser Stelle auch darauf hingewiesen, daß die Sätze (11.16) und (11.17) in die Sprache der lateinischen Quadrate übersetzt werden können; (11.16) besagt dann etwa: Gilt N(n)>r-2 und n>|d H +d 3 +d 2 +|d mit d:=n-r, so folgt N(n)=n-1. Es seien

A

nung

Wenden wir nun

i) ii)

n.

und

B

auf A und tion oder

orthogonale lateinische Quadrate der OrdB

eine Permutation oder B an,

die gleiche Spalten- oder Zeilenpermutaaus

S^

auf die Komponenten von

A

so erhalten wir wiederum ein Paar orthogonaler lateinischer Quadrate. Die (11.19) vorausgehenden paarweise verflochtenen lateinischen Quadrate A^ , A^ und Ag sind auch paarweise orthogonal. Für dieses Phänomen geben wir eine geometrische Begründung: • (11.25)

Satz.

Es seien

n,r£N,

n>2,

r>3

und

A = { A ^ , . . • , A r _ 2 } eine standardisierte (r-2)-Menge paarweise verflochtener lateinischer Quadrate der Ordnung n. Wenn das durch A koordinatisierte Gewebe G(A)=(P,G) (unter Verwendung der Bezeichnungen aus (11.14)) das kleine Axiom von DESARGUES in Richtung K 1 erfüllt, so sind die Quadrate aus A auch paarweise orthogonal. 32)

Combinatorial Theory Seminar} Eindhoven Univ. of Technology, Lecture Notes in Math. 3 82, Springer, Berlin/Heidelberg 19 74, p. 117. 33) A few more squares, Proc. 5th S-E Conf. Combinatorics, Graph Theory and Computing (1974) 675-68o. 3I4) Concerning the number of mutually orthogonal latin squares3 Discrete Math. 9 (1974) 181-198.

11. 3

Orthogonale

Beweis.

lateinische

W i r nehmen a n ,

191

Quadrate

es gebe i n

A

zwei l a t e i n i s c h e

A=(a. .) und B=(b. . ) , die nicht orthogonal i>J i>J e z m i t i l T i 2 ' es I n d i z e s 2. ± , i 2 »:2 n (k,l):=(a.

. 1 1

sind.

,b.

>;

tezn},

H:={(t,a.

G':={(t,bi

t£Z

Es i s t

); 2' R^fR2,

},

denn s o n s t w ä r e

Pg=GnH

wäre m i t

p^

Es

ist

also

Nun s e i

denn s o n s t

Ebenso f o l g t

q^

t€Z

l i = c l2 =

Nach dem k l e i n e n Axiom von DESARGUES i n R i c h t u n g q3

mit

H' .

p^jq^ERg i1=i„

und

Aus

q3,q^eG'nH'

PgjqgEL^

im W i d e r s p r u c h

und

K^

inzidiert

und

G* |=H'

folgt

q g ^ -

Rg^L^

folgt

qg=Pg

und d a m i t

zur Voraussetzung.

•

Aus

11.

192

Lateinische Quadrate

Auf A. DÜRER's Kupferstich Melencolia aus dem Jahre 151t, der nach W. AHRENS

35

> d.iz allzgotii&zhz TX.guK dzK mathzmatXichzn

Foi-ie.ku.ng, umgzbzn von &tzKzomztn.lichzn Kön.pz>in.,allz>ilzl Werkzeugen zum Meißen, ZzXchnzn, Wägen uiu)., Xn zXnzx augznbLLckIXc.hzn Anwandlung dumpfen mztanc.holX& chzn HXnbfiützni und GfiUbzini dan.ite.Ztt, befindet sich eine 4-reihige quadratische Matrix mit Komponenten aus

die so angeordnet sind, daß

die Zeilen-, Spalten- und Diagonalsummen jeweils den Wert

34

ergeben. (Wir verzichten auf eine Wiedergabe dieses Stiches, da dessen Feinheiten bei einer Verkleinerung stark leiden 36)

müssten

. ) Dieses pandiagonale magische Quadrat versinnbild-

licht dabei dXz AfiXthmztXk, ebenso uiXz Kugel und Volye.de.Ji dz>izn gzomztuXhzhz Schwzitzt veikoApzin 3 5 >. Das berühmte Saturn4 9 2 Quadrat 3 5 7 soll auf dem Panzer einer göttlichen Schild8 16 kröte, die im dritten Jahrtausend v. Chr. dem Lo-Fluß in China entstieg, eingraviert gewesen sein. Die Araber waren es, cjlie die Theorie der magischen Quadrate zu ihren abergläubischen Zwecken entwickelt haben. Im 17. Jahrhundert wurden im Abendland die magischen Quadrate zu astrologischen und mystischen Beschwörungen übersinnlicher Mächte benutzt. Als Angebot für Okkultisten stellen wir nun ein Verfahren von L. EULER bereit, sich magische Quadrate, das sind 2

nxn-Matnzen, die alle Zahlen von

1

bis

n

enthalten, und

deren Zeilen- und Spaltensummen alle den gleichen Wert besitzen, herzustellen. • (11.26)

Satz.

Es seien

n€N

und

A=(a. .),

orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung durch Quadrat

m. .:=n(a. .-l)+b. . für alle i,: i,: i,] M:=(m. .) definiert.

i,j€Z 'J n

B=(b. .) n.

zwei

Dann wird

ein magisches 6

35) Mathematische Unterhaltungen und Spiele II, Teubner, Leipzig 1918.

36) wollen hiermit keineswegs den Kunstsinn unseres Bundespostministers schmähen, der es so gscheidlich versteht, eine Auswahl bedeutender Werke in hundertfacher Verkleinerung auf Briefmarkenformat dem Volke zugänglich zu machen.

11. Z

Orthogonale

Beweis.

Für alle

i , jJ , r , s € Z ' ' n n(a

lateinische

mit

i,j£Z

m. .=jn „ x,: r,s

und

i,j"1)+bi,j=n(ar,s-1)+br,s' n(a

Wegen

0 erzeugten Teilraum.

In diesem Abschnitt bringen wir einige Ergebnisse der projektiven Geometrie ohne Beweise. Die meisten Sätze gelten auch für projektive Räume über unendlichen Koordinatenkörpern, haben also keinen spezifisch kombinatorischen Charakter. Es wird aber oft wesentlicher Gebrauch von der Kommutativität der Körper gemacht.

12.1 Ist

Projektive T

ein Teilraum von

von

(P,G)

und

p£P\T,

aus g e n a u d e n P u n k t e n , die a u f d e n

p

m i t P u n k t e n aus

u n d je zwei P u n k t e

Eine Teilmenge T =

T

BczT

eines Teilraums

T* < ii' r i eG i\t z } f ü r i e z 2 Sen P-L »P2 »^i die Schnittpunkte s 1 :=