Einführung in die höhere Mathematik [2. Aufl.] 978-3-663-15475-4;978-3-663-16047-2

Table of contents :
Front Matter ....Pages II-X
Der Zahlbegriff (Emanuel Czuber)....Pages 1-30
Unendliche Reihen und Produkte (Emanuel Czuber)....Pages 31-55
Der Funktionsbegriff (Emanuel Czuber)....Pages 55-92
Elemente der Differentialrechnung (Emanuel Czuber)....Pages 93-135
Anwendungen der Differentialquotienten (Emanuel Czuber)....Pages 135-158
Determinanten (Emanuel Czuber)....Pages 158-187
Gleichungen (Emanuel Czuber)....Pages 188-239
Analytische Geometrie der Ebene (Emanuel Czuber)....Pages 240-318
Analytische Geometrie des Raumes (Emanuel Czuber)....Pages 318-377
Back Matter ....Pages 378-382

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ISBN 978-3-663-15475-4 ISBN 978-3-663-16047-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-16047-2 Copyright 1921 by Springer Fachmedien Wiesbaden Ursprünglich erschienen bei B.G. Teubner in Leipzig 1921. Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 1921 ALLE RBCBTB, lUNSCBLl.li:BZLlCH DES "OBEBSBTZUNGBUCBTS, VORBEHALTEN.

Vorwort. In Ausführung eines langgehegten Planes habe ich in diesem Buche vornehmlich jPm~ ~Iat~~rien zur Darstellung gebracht, die über den Rahmen des luhaltrs meiner ,,V orlesnngen iiber Difi'erential- und Integralrethnung" hirmusgrhend an unsern Teehni:-;chen Hochschulen zum \ ortrage gebracht werJen. Ich habe ab1!r die Anlage und Gestaltung so gewiihtt, daß das Buch auch seine selbständige Stellung behuupten .kümw al~ l~inführung in das Studium der höheren Gebiete der Mathematik; darum 11ind auch die Elemente der Differentialrechnung aufgenommen worden, um ihrP. organische Verbindung mit den andern behandelt.en Gebieten herstellen zu können. Das Buch umfaßt eine recht eingehende gntwicklung des Zahlbegriffs, die Darstellung von Zahlen durch unendliche arithmetische Proz~sse, eine Einführung in die Funktionentheorie, im Anschlusse daran die Elemente der Differentialrechnung nebst den ersten Anwendungen der Differentialquotienten, weiter die Determinantentheorie, die zur Geltung kommt in der sich anschließenden Gleichungslehre, llndlieh die analytisehe Geometrie oer Ebt-ne und des Raumes in jenem Ausm11ße und lloleher Form. wie es namentlich alfl Vorbereitung auf das Studium der Meehanik erforderlich erRcbeint.. Im übrigen habe ich die~c;elben G-rundsätze befolgt, die mich bei der Abfassung der "Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung" geleitet haben. Meinem Kollegen Prof. Dr. K. Zsigmondy bin ieh flir seine freundliche Unterstützung beim Lesen der Korrektur zn Danke verpflichtet.

Wien, September 1908.

Der Verfasser.

Zur zweiten Auflage. Da sich das Bedürfnis nach einer Neuauflage geltend gemacht hat, ist eine solche mit Beschränkung auf die bloße Verbesserung der Druckversehen veranstaltet worden, weil ein anderer Weg sich durch die Zeitverhältnisse verbietet. Gnigl im ~alzburgischen, April 1921.

Der Verfasser. a.*

Inhaltsverzeichnis. Erster Abschnitt. Der Zahlbegritl'. § 1.

R~elle

Zalllen.

Seite

1. Einleitende Bemerkung 2.-5. Natürliche Zahlen 6. Addition . . 7. Multiplikation 8. Potenzieren 9. Subtraktion .

1 10. Division . 2-3 11. Rationale Zahlen. 4 12. Radizieren. . . . 6 13.-14. Irrat.ionale Za.hlen . 7 1 16. Reelle Zahlen . 7 jts. Logttri thmieren . § 2.

Seite

10

12 13 15-18 19

20

Imaginäre Zahlen.

17. Imaginäre und komplexe Zahlen

211

:!2. A.nvendungen . . . . . . 18. Definitionen. Rechnungsregeln 23 23. Geometrische Darstellung der 19. Trigonometrische Form einer ; komplexen Zahlen . . . . komplexen Zahl . . . . . 24 24. Geometrische Ausftihrung der 20. Moivresche Binomialfonnel 25 Rechnungsoperationen mit kom21. Radizieren komplexer Zahlen 25 ple:xen Zahlen . . . . . .

27 28

29

Zweiter Abschnitt. Unendliche Reihen und Produkte. § 1.

Grundlegende Begrift'e.

2o. Unendliche Zahlenfolgen . . . 26. Unendliche Reihen. Begriff der

Konvergenz und Divergenz . . §

38 j30. Konvergenzkriterien

39

Reihen mit positiven und negativen Gliedern.

31. Absolut konvergente Reiben . 32. Nichtabsolut konvergente Rei-

hen

33 35

2. Keilten mit positiven Gliedet"n.

29. Allgemeines . . § 3.

311 27. Folgerungen . i 28. Beispiele . . 32\

. . . . . . . . . . . . § 4.

43,83. Alternierende Reihen . 34. Beispiele . . . . . .

44

4,6

47

Unendliche Produkte.

136.

35. Begriff der Konvergenz und DiKonvergenzkriterien vergenz . . . . . . . . . . . 48 37. Beispiele . . . . .

50 53

Inhaltsverzeiclmi~'.

V

Drittel' 1\ bsebititt. Der Funktitmsbegrifi'. §

1. J:.'nnktionen t>iner und mllhl.·erer

38. Gruud vorstellungen, auf welchen

der Funktions begriff beruht.

:l\1. Funktione n 0 in er Variablen 40 lt'unktionen zwei er unrl mehre-

rer Variablen

41. Implizite Funktione n öf-; -J.':!. nie elemt-.nmr en Funktione u

r1H

4:~.

1\1

9

:.!.

lirenzwf'rte von

44. Grenzwerte im Endlidt(c:n . . . 45. Beispiele . . . . . . . . . . 46. Grenzwert e im 'Cnemllich en. -Beispiele . . . . . . . . . . 47. Grenzwert der FPnkti(!llell ::r =

11

Eiuige besondere Funktrons1•er!au fs. Fw1lctionen

Art.en des Inverse

Reite

63

MI

1)7

~'unktionen.

Grenzwert e -ron Ftmktioor n zweier Variahlen . Da.- t'!lendlich kleine und l.'nendlichgro ße . . . . . . .

r

l

+ x) x fiir lim r

V~riahlen.

Seift~

82

~~, 0 ~ 3.

Stetigkeit der 1runktionen.

50. Der Stetigkeits begriff

::ltetigkeit 10n Funktionen mehrPrn Variablen . . ....

51. S;itze über stetige Funktbw· H. n':!. VerscbiedE"ne Arten de1· F"Rtetigkeit (Diskontin uitat,

~1

Vierter Abschnitt. Elementt> det• Hifi'erentialreclmung. § 1.

ller DilferentialtiDOtif'nt und t1as Differential.

5!. Begriff deR Differentialquotien-

ten . . . . . . . . . . . . . 5!\. Die abgeleitet e Funktio11. Partielle Dilferentialquot.ient.m . . 56. Phoronom iacheundg eometrisch e § 2.

64. Die Potenz

1031. 62.

ALleitung en in_verserFonktionen 106 zusammen ga•etzter Funktione n . . . . . 107

l 03 63. Ahlitnr.g

1M•I

ll. Differentiation der

. 66. Der Logarithm us . . . . . . . 66. Die Exponenti alfunlrtion . . . 67. Dietrigono metrischen Funktione n § 4.

I

I

Allgtmeine Sätze ü.ber Diil:'erentiation.

59. Ableitung einer Summe 6Q. Ableitung eines Produkt.s . 61. Ableitung eines Quotienten §

llltarprettt tion des Dilferentialquoti(mten . . . . . . . . . . \lti 57. Stetigkeit und Diiferentiierbar\lö keit. Beiapiele besonderer l!'ll.lle \HI i\X. Begriff des Differentials . . . . 101 \Jil I

~lemen~ar~n

108,68. 109 1 111 69. 112 i 70.

i

Fnnktiouen.

Die zyklometrischen Fnnktion

280 284 285 286 288 291

. 296 . 296 • 297

Inhaltaverzeichnis. 202. Zweiter Hauptfall: 0= 0 203. Degenerierte Linien zweiter Ordnung . . . . . . . . . . 204. Beispiele . . . 206. Transfonnation des Koordinatensystems 206. Mittelpunkt . 207. Beispiele . . 208. Durchmesser 209. Paare konjugierter Durchmesser . . . . . . .

Seite

298 210. Achsen . . . . . . . . . . . 211. Transformation der Ellipsen29U und Hyperbelgleichung zu den 301 Achsen . . . . . . . . . . 212. Scheitelgleichung der Parabel 303 213. Beispiele . . . . . . . . . . 303 214. Identität der Linien zweiter 305 Ordnung mit den Kegelschnitts305 linien . . . . , 215. Tangentenprobleme 306f21ö. Pol und Polare . .

IX Seite

307

308 310 311 313 315 317

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie des Raumes. § 1.

Der Koordinatenbegriff.

217. Das rechtwinklige Koordina220. Richtungswinkel einer Geraden tensystem. . . . . 318 221. Winkel zweier Geraden . . 218. Abstand eines Punktes vom 222. Räumliche Polarkoordinaten Ursprung . . 319 223. Flll.cben 219. Abstand zweier Punkte 320 1224. Linien . . § 2.

320 321 322 322 324

Koordinatentransformatiou.

225. Translation eines rechtwink227. Allgemeine Tran~formation ligen Koordinatensystems . . 326 rechtwinkliger Koordinaten. . 328 226. Rotation eines rechtwinkligen 228. Rechtwinklige nnd PolarkoorKoordinatensystems . . . . . 325 dinaten . . . . . . . . . . 328 § 3.

Ebene und Gerade.

229. Die Gleichung ersten Grades . 829 I 242. 230. Anzahl der Konstanten. Glei! 1 chung der Ebenen durch einen 1243. Punkt . . . . . . . . . . . 330 231. Gleichung der Ebene, die durch 244. drei gegebene Punkt.e geht !130 245. :!32. Segmentgleichung der Ebene . 332 233. Hessesehe Normalgleichung. . 3:33 246. 234. Abstand eines Punktes von einer Ebene . . . . . . . 1134 247. 235. Rauminhalt eines Tetraeders 335 236. Winkel zweier Ebenen 337 248. 2.n Senkrechte und parallele Ebenen . . . . . . . . . . . 3381249. 288. EbenenbüscheI, bestimmt durch zwei Ebenen . . . . . . . 339 250. 289. TeilungsverhiiltniR im Ebenenbüschel. . . . . . . . . . 340 251. 240. Ebenenbündel, bestimmt durch !' 2:;2. drei Ebenen 34.2 2U. Beispiele 3421

Die Gerade als Schnitt zweier Ebenen. . . • . . . . . . Die Gerade, durch ihre Projek· tionen dargestellt . . . . . . Gerade durch einen Punkt . . Parametrische Gleichunge.n der Geraden . . . . . . . . Anzahl der Konstanten. Gerade durch zwei Punkte Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene . . . . . . Ebene durch eine Gerade und einen Punkt . . . . . . Winkel einer Geraden mit einer Ebene . . . . . Abstand eines Punktes von einer Geraden . . . . . . Zwei Geraden im Raume. Kiirzester Abstand zweier Geraden im Raume . . .

344 ;l44

345 346 :~48

348 349 350 362 :ln3

366

X

Inhaltsverzeichnis. § 4.

Krumme Flächen. Seite

253. Erzeugung von Flächen

254. KegelfHichen. - Beispiele 26n. Zylindertlächen. - Beislliele 266. Konoide. - Beispiele . . .

Sachregister Namensregister.

Beispiele 368 i 267. Hotationsflächen. 360 , 258. Affinität . . . . . . . . . . 361 '269. Die Flächen zweiter Ordnung 363 '260. Tangentialebene. - Bei~piele

Seite

367

369

371 374

378 382

I. A. bschnitt.

Der Zahlbegriff. § 1.

Reelle Zahlen.

1. Binleitende Bemerkung. Den Gegenstand der Arithmetik, Algebra und .Analysis bilden die Zahlen. Der allgemeine Zahlbegriff~ der die verschiedenen .Arten von Zahlen umfaßt, mit welchen sich die genannten Teile der Mathematik beschäftigen, hat sich aus dem Urbegriff der natürlichen Zahlen entwickelt; den Anlaß dazu gaben einerseits das Bedürfnis der Anpassung an die reale Wirklichkeit, anderseits die abstrakten Forderungen der Wissenschaft. Bei der Darstellung des Zahlbegriffs kann man, dem historischen, zugleich natürlichen Gange sich nähernd, den .Ausgangspunkt von dem realen Ursprung der Zahlen nehmen oder aber auf den fonnalistischen Standpunkt sich stellen, der von einer Bezugnahme auf die reale Welt absieht. Darstellungen der letzteren Art sind im Gefolge der in neu.erer Zeit gepflogenen kritischen Durchforschung der Mathematik auf ihre logischen Grundlagen entstanden. Handelt es sich um eine Einführung in die Mathematik, bei der wie hier die Anwendungen in den Vordergrund rücken, dann wird der erste Ausgangspunkt vorzuziehen sein. ~- Natürliche Zahlen. Unter einer Menge versteht man einen Inbegriff von unterscheidbaren Objekten irgendwelcher Art. Die einzelnen Objekte werden Einheiten (Elemente) der Menge genannt. Die Menge ist bestimmt, wenn in einer jeden Zweifel a.usschließenden Weise die Zugehörigkeit der Objekte zu ihr erkennbar ist. Die Objekte können konkret, mit den Sinnen wahrnehmbar sein oder nur in der Vorstellung existieren. Die Eigenschaften einer (konkreten) Menge, der Eindruck, den sie auf unsere Sinne ausiibt, können von den verschiedensten Umständen abhängen und daher auch mannigfach abge1~ndert werden. Eine Menge verschieden gefarbter Kugeln wird je nach der räumlichen Anordnung, Konfigumtion, je nach der Gruppierung der Farben einen verschiedenen Eindruck auf das Gesicht machen, eine Menge von PaukenG zu b er, Höhere Mathematik, ll. Auß.

1

2

Der Zahlbegriff. § 1. Reelle Zahlen.

achlägen verschieden auf das Gehör wirken, je nachdem dje Schläge in längeren Pausen aufeinander folgen oder zu einem Wirbel vereinigt sind. Die Eige:nscltaf't einer },[enge, die unabhängig ist von der Natur der Einheitf-•n, von ilwer (räumlichen oder zeitlichen) Anordnung, die also unverändert erhalten bleibt, u:mn man die Einheiten einzeln dwrch andere wntm·scheidbarc Objekte e~·setzt oder tmter&inander ve~ütuscld (sofern dies möglich), nennt man die Quantität der Menge. Alle anderen Eigenschaften machen die Qualität der Menge aus. So verschieden aber die Eigenschaften der einzelnen Einheiten sein ki.iunen, so. werden diese doch "kraft ihrer Zugehörigkeit zur Menge'' als gleichartig angesehen. Neben dieser rein konventionellen können die Einheiten auch eine wesentliche Gleichartigkeit aufweisen, indem sie Spt-zialisierungen einer Gattung bilden. - Ein Kasten, ein Tisch, ein Stuhl, ein Mensch, ein Hund, ein Vogel und eine Pflanze bilden eine Menge, sofern sie z. B. die in eillfnn geschlossenen Raume befindlichen Objekte ausmachen, und nur insofern sie zum Inhalte des Raumes gehören, werden sie als gleichartig aufgefaßt. - Mehrere in einem Zimmer versammelte Personen bilden eine MengP von auch wesentlich gleichartigen Einheiten - Wenn von Mengen gleichartig(!r Einheiten gesprochen wird, so ist dies zumeist im letztgedachten Sinne gemeint. Es ist hiernach auch klar, was unter gleichartigen Met'l{}etr. zu verstehen ist. 3. Um zwei Mengen auf ihre Quantität miteinander zu vergleichen, bildet man, sie aufeinande;r ab. Hierunter soll ein (effektiver oder gedanklicher· Prozeß) verstanden werden, durch welchen die Einheiten der einen Menge -einzeln den Einheiten der andern Menge zugef»'dnet, auf sie bezogen werden. Bei zwei Mengen von Kugeln kann man diesen Prozeß beispiels. weise so ausgeführt denken, daß man jedesmal einer Kugel der einen Menge und gleichzeitig einer Kugel der a.ndern Menge ein Zeichen macht, wobei eine bereits gezeichnete Kugel nicht wieder einbezogen werden darf. Wenn bei dem Abbilden zweier Mengen aufeinander beide erscJ~öptt werd~, so nennt man die Mengen in bezug auf' die Quantität gleich. Alle Mengen, die sich in solcher Weise auf eine Vergleichsmenge abbilden lassen, sind quantitätsgleich. Denn mit der Abbildung auf die Vergleichsmenge geht auch eine Abbildung der Mengen aufeinander einher, indem die Einheiten der t>inzelnen :Mengen, die auf die nämliche Einheit der. Vergleichsmenge abgebildet werden, auch aufeinander abgebildet sind. Wenn hei dem Abbilden zweier Mengen aufeinander die eine erschöpft wird, während von der andern noch Einheiten verbleiben, die an der Abbildung nicht teilgenommen haben, so soll die Quantität

Xatürliche Zahlen.

der zweiten [!riif.kr heißen als die der ersten, jent! der ersten kleinN· als die der zweittlil. Die Quantität ist demn:wh eme Eigenschaft, die verschiedener Grade fähig illt.· 4. Zur Bezeiclimmg die.ser Grade dienen die Zahlen. Eine Zahl ist hiernaeh der Ausdruck für den Quantitätsgrad einer )Ienge und aller mit ihr quantitätsgleichen Ml·ngen. Dil! Beziehungen "größer", "kleiner" iibertriigt man von den Mengen auf die zugehörigen Zahlen. Darin~ daß die Zahl sieh nur auf die eine Eigenschaft einer Menge bezieht und Yon allen altdem ahsieht, liegt der Grund für die außerordentlich große Anwendharkeit der Zahlen. Um die Quantitätsgrade wohlge01·dnet zu erzeugen, gebe man von cine1· Einheit ~als inem Summanden b den andPru Summanden bestimmen; die Forderung werde durch das Symbol a-b

(1)

8

Der Za.hlbegriff.

§ 1.

Reelle Zahlen.

ausgedrückt. Die zur Lösung führende arithmetische Operation heißt Subtraktion, ihr Resultat Differenz, a der Minuend, b der Subtrahend. Benützt man das Symbol (1) auch als Zeichen für das Resultat, so ist das Wesen der Subtraktion, das in ihrem Zusammenhang mit der Addition liegt, durch den Ansatz b +(a-b)= (a-b)+ b = a (2) erklärt. Was nun diese neue Rechnungsart von den vorigen wesentlich unterscheidet, ist der Umstand, daß ihre Ausführbarkeit an eine aus der Natur der Addition hervorgehende Beschränkung geknüpft ist: da nämlich die Summe zweier Zahlen größer ist als jeder Summand (6), so ist die Subtraktion nur möglich, wenn der Minuend größer ist als der Subtrahend. Hier tritt nun ein in allen Teilen der Mathematik befolgtes Prinzip zur erstmaligen Anwendung, darin bestehend, daß man den Operationen entgegenstehende Schranken durch Begriffserweiterungen beseitigt, die solcher Art sind, daß sie die friiheren Begriff~bildungen mit den siebeherrschend~n Gesetzen mit umfassen. Man nennt dies Prinzip nach H. Hanke 1, der es zuerst formuliert hati), das Prinzip der Permanenz. Es hat sich gezeigt, daß den formalen Begriffserweiterungen in vielen Fällen auch eine reale Deutung utlterlegt werden kann. In dem vorliegenden Falle soll nun die Begriffserweiterung darin bestehen, daß man das Symbol (1) immer, also auch dann als Zahl ansieht, wenn a < b und a = b ist; bei a > b hat man es wieder mit den bisherigen Zahlen zu tun. Durch diese Festsetzu~g wird dem Symbol neben einem quantitativen auch ein qualitativer Inhalt erteilt; bezeichnet man nämlich mit d den Überschuß der größeren der beiden Zahlen a, b über die kleinere, so sind zwei Qualitäten möglich: entweder liegt der Überschuß auf Seite des Minuends oder auf Seite des Subtrahends. Um diesen QmLlitätsunterschied zum Ausdruck zu bringen, ist neben dem Zahlzeiehen als Quantitätszeichen noch ein Qualitätszeichen erforderlich; als solches ist für den ersten Fall das Zeichen+ (plus), für den zweiten das Zeichen -·- (minus) eingeführt worden ; die mit diesen Vorze1:chen ausgestatteten Zahlen werden positive, bzw. negative Zahlen genannt. In dem Falle jedoch, daß Minuend und Subtrahend übereinstimmen, gibt es keinen Überschuß, es entfällt also auch die Unterscheidung seiner Qualität: die quantitäts- und qualitätslose Zahl wird mit dem Namen Null und dem Zeichen 0 eingeführt. Man hat hiernach a- b = + d. be1. n > 1~ a-b=-d" a

ist. so steht die Vergleichung ganzer Zahlen hiermit im Einklang. · Es folgt aus dieser Festsetzung die GleichhE-it zweier Brüche vou -~,, " unu' ka ·· l'ICht emer~e1 . 'ts, emen . B ruch d er X' orm·ii kb . n·H)ser U ms t an d ermog auf die einfachste, die redazicrte Form zu bringen, bei der Zähler nnd .:\enner keinen gemeinsamen Faktor haben; anderseits Brüche mit verschiedenen Nennern in solche mit einem und demselben Nenner umzuwandeln. Delinit)l't man Addition uud Subtraktion von Brüchen rlurch

z

bli

u'

> 1/'

wenn der Zähler z so gewählt wird, daß ab'> z Menge der ßriiche

> a'b

istl).

Die

:.-~wischen -: und ~: ist hi•?rnach unbegrenzt.

FUr die Multiplikation gelte die Regel: a a'

./J bi

\'On

=

oa

bb' '

( 5)

l) i-lollten ab' und a' b rrur um eine F:inhüit nm·chieden sein, so geht man kab' ka'b 'k, l) l~ er orm kbl)'' kbl/ au~ ._ / ..

d

Der Zahlbegrilf.

12

§ 1. Reelle Zu.hlen.

der sich auch die Multiplikation ganzer Zahlen unterordnet. Auf Grund dieser Regel kann der in 8 aufgestellte Begriff der Potenz auf den Fall ausgedehnt werden, daß die Basis ein Bruch ist. Die Division hat notwendig der Regel a

a'

-6 = 1l .

••

.

zu folgen, weil dann tatsachlich

ab'

=

a' tJ

ab' a' aa'b' a a' b f/ = ba' !/ = b

(6 )

ist.

Eine besondere Hervorhebung beanspruchen die Fälle, in welehen die 0, als ganze Zahl aufgefaßt, zur Bruchbildung (Division) herangezogen wird. Die Division ~·, wo b eine von 0 verschiedene Zahl ist~ führt zum Quotienten O, da b · 0

0 ist. Die Division -ij, wo a eine von Null verschiedene Zahl ist, ist unausführbar,. da a aus keiner Zahl durch Multiplikation mit 0 hervorgeht. Der Division ~ kann jede beliebige Zahl q als Quotient zugeordnet }Vfrden, da Oq = 0, welche Zahl auch q sein möge; hier fehlt also dje eindeutige Bestimmtheit des Resultats, die bisher durchgehends gewahrt blieb. Es folgt daraus die für die Analysis wichtige Tatsache, daß die NuU als Di~'isor (Nenner) tmzulässig ist. Die Division (natürlicher) Zahlen wird in der Arithmetik noch in einem andern Sinne definiert, der über die natürlichen Zahlen nicht hinausführt. Ist a > b, ·so soll a als Summe aus einem Vielfachen von b und einer Zahl dargestellt werden, die kleiner als b (eventuell 0) ist; mit auelern Worten, die natUrliehen Zahlen q, r(< b) sollen so bestimmt werden, daß ~ = qb + r (7) sei. In dieser Auffassung stellt sich die Division als wiederholte Subtraktion des Divisors b vom Dividenden a dar, bis ein unter b liegender Rest r verbleibt; ist dieser 0 (wird a dadurCh erschöpft), so beißt a durch b teilbar. Schließlie.h sei noch bemerkt, daß die EinfUhrung der Brüche die Unterscheidung zwischen Multiplikation und Division entbehrlich macht; denn die Division von a durch b kann als Multiplikation von a mit dem Bruche { aufgefaßt werden. Brüche mit. dem Zähler 1 nennt man Stammbrüche. U. Bationale Zahlen. Die relativen Brüche im Verein mit den relativen ganzen Zaltlen bilden das System der -mtiO'Italen Zahlen. Innerhalb dieses Systems sind Addition, Multiplikation, Subtraktion =

Rationale Zahlen. Radizieren.

13

und Division ohne Einschränkung ausführbar. Nennt man ein Zahlensystem, das sich in bezug auf diese vier Rechnungsarten, die "vier Spezies", in der beschriebenen Weise verhält, einen Zalillcörper, so hat ma.n das System der rationalen Zahlen als einen Zahlkörper zu bezeichnen. Man denkt sich die Brüche zwischen die bereits geordneten ganzen Zahlen nach ihrer Größe eingeordnet, so daß auch das System der rationalen Zahlen unter dem Bilde einer nach beiden Seiten unbeschränkt fortsetzbaren Reihe erscheint. Mit der Schaffung der Brüche ist ein bedeutsamer Schritt von der Mengenlehre zur Größenlehre getan. Um nämlich einer extensiven Größe (das einfachste Bild einer solchen ist eine Strecke) eine Zahl zuzuordnen, verwandelt man sie durch Teilung in eine Menge, die man zählt.; die Teile werden einer gleichartigen, als Einheit gewählten Größe "gleich" gemacht. Bleibt bei der Teilung ein Rest (kleiner als die Einheit), so verfährt man mit diesem ebenso unter Zugrundelegung eines bestimmten aliquoten 'reiles der früheren Einheit usw. In diesem Vorgange ist der eigentliche Ursprung. der Brüche zu erblicken. 12. Badizieren. Subtraktion und Division knüpfen mit ihrer Fragestellung an die Addition und Multiplikation an und sind insofern als Umkehrungen dieser Rechnungsarten aufzufassen, als eine vordem als gegeben vorausgesetzte Zahl nunmehr als zu bestimmende Zahl erscheint. Nimmt man dal!.i Potenzieren zum Ausgangspunkt einer solchen Umkehrung, indem man nach der Basis fragt, die zu einem natürlichen Exponenten n erhoben werdeu muß, damit eine gegebene positive rationale Zahl a als Potenz hervorgehe, so entsteht eine neue Rechnungsoperation, die man das Radizieren oder Wurzelziehen nennt; die Potenz a heißt nun Radikand, der Exponent n der Wur.eele~onent 1), und die gestellte Forderung sowie ihr eventuelles Resultat, die Wwzel, wird durch das Symbol

(l)

dargestellt; das Wesen der neuen Rechnungsart, in ihrer Zurückführung auf das Potenzieren bestehend, ist durch den Ansatz

'V'-)" (2) \ a = a bestimmt. Die Ausführbarkeit ist jedoch auf solche Zahlen a beschränkt, die nte Potenzen rationaler Zahlen sind, d. h. die sich als Produkte '\"On n gleichen rationalen l!,aktoren darstellen lassen. Will man also das .Radizieren (mit den hier über die Natur der Zahlen a, n getroffenen Festsetzungen) bedingungslos ausführbar maehen, so tritt 1.) Auch Grad der

Wur~el.

14

Der Zahlbegl'iff.

§ 1. Heell;:; Zahle11.

die X otwendigkeit einer neuerlichen Erweiternng des hisherigen Zahl begriffs ein, und diese soll zuniiehst wieder formal in der ·weise !-{e-schehen, daß man das Symbol (1) immer, also auch dann als eine Zaltl erklärt, wenn a uieht die n te Potenz eim~r (positiven) rationalen Zahl ist. .b~s handelt sich uun darum, .die so eingeführten neueu Zahlen mit den rationalen in eine Beziehung zu bringen. Der hierzu fiihrende Gedankengang soll zunächst durch Betrachtung einer speziellen Aufgabe vorbereitet werden. . Das Symbol V:! verlangt die Bestimmung einer Zahl, die zum Quadrat erboben :6 gibt. Daß keine rationale Zahl dinser Fo:rdenmg entsprechen kann, ist so zu erkennen.

\Väre 1!. eine solche -- sie '1

kann in der reduzierten Form vorausgesetzt werden --, S'J müßte p 2 = 2q 2 sein; dies hätte einer:>eits die l'eilbarkeit von p 2 durch 2, anderseits die Teilbarkeit \OD 2 durch p 2, also }J~ = 2 nnd q2 o=· 1 r.ur Folge; nun ist aber 2 nicht das Quadrat einer ganzen Zahl, somit die obige Annahme hinfällig. 1. Die durch das Symbol y2 ausgedrückte .Forderung bewirkt demnach eine Scheidung der (positiven) rationalen Zahlen in zwei Klassen A., B in der Weise, daß alle Zahlen der ersten Klasse ein Quadrat kleiner als 2, alle Zahlen der zweiten Klasse ein Quadrat größer als 2 geben; infolged(,ssen ist auch jede Zahl der Klasse A. kleiner als jede Zahl aus B. Es gibt aber in der Klasse A: keine größte und in der Klas~"' B keine kleinste Zahl. . Denn ist x: eine Zahl aus A, also _x 2 < 2, so läßt sich ein posih) 2 < 2 wird; de11n aus tives h so bestimmen, daß auch (x

+

,

.

folgt h =

2

2-x~

< -·2 r

,

2h:c< 2h.x + 7t 2 < 2- 1;2 . und Jede rationale Zahl r.wischen x und x

tJ' gehÖrt auch

2-x··

+· ·-,·•x -·

zu:r Klasse A. lind ist y eine Zahl der Klass; B,

also y 2 > 2, so läßt sich die positive Zahl k so bestimmen, daß auch (y- k) 2 > 2 wird; denn ans 2 ky < y 2 - 2 + k 9 < y 2 -- 1 . y1 -1 . . . y'-1 y"+l folgt k < · · nnd Jede ratwnale Zahl zw1schen '1/ -- -·· · · · = · ·· ·2y ' • 2y 2y und y gehört auch zur Klasse B. Nach einer von R Dedekind 1) eingeführten ·Ausdrucksweise hewirkt also die Forderung "V2 einen Schnitt im System der rationalen Zahlen, durch welchen oine neue, diesem System nicht angehörige Zahl vollkommen bestimmt erscheint, eben die durch das Symbol J/2- definierte Zahl. 1) Stetigkeit unrl irrationale Zahlen, 1. Auf!. 1872, 3. Aufl. 1905.

Irrationale Zahlen

15

2. Das Verfahren, welches die Arithmetik zur Ausziehung der Quadratwurzel lehrt, ai.1f den vorliegenden Fall angewendet, ist im Grunde genommen eine systematische Entwicklung von Zahlen der Klasse A, denen, wieder nach einem systematischen Vorgang, Zahlen del' Klasse B zugeordnet werden können. Bezeichnet nämlich, ,in der üblichen Ausdrucksweise der Arithmetik gesprochen, a,. die auf n Dezimalen abgekürzte yt, so gehören die Zahlen (3' . ) d. i. 1, 1,4, 1,41, · · · der Klasse A an, weil ihre Quadrate kleiuer sind als 2, und die aus ihnen durch Erhöhung der Ziffer an dc•r niedrigsten Stelle um 1 abgeleiteten Zahlen

d. i. 2, 1,5, 1,42, · · · der Klasse B an, weil ihre Quatlrate größer sind als 2. Und so wie das arithmetische Verfahren keinen Abschluß findet, sind auch die beiden Zahlenfolgen (3), (4) unbegrenzt fortsetzbal': d. h. ist man bei einem noch so späten Gliede angelangt, so kann man immer wieder nach dem erwähnten Verfahren das folgende ableiten. Jede Zahl aus (3) ist kleiner als jede Zahl aus ~ 4); da nun 'b,. - a,. - l~Ji und aus dem oben ·angeführten Grunde jedes auf a,. beliebig später folgende Glied a,. +11 zwischen a,. und b,. fällt, so ist Ct.,

+ 11

1

-

a,. < lO" 1

mit anderen Worten: zu einer beliebig klein festgesetzten positiven mtionalen Zahl E läßt sich die Stellzahl n so bestimmen, daß

a,.+ 11 -a,.
111 + n'--;:c = 1

1

1

(11)

1,

weil die rechte Seite aus der linken hervorgeht, wenn man in dieser votn zweiten Gliede an alle Glieder dem letzten, dem kleinsten, gleich macht; wie groß also auch n sein möge, immer läßt sich eine Gruppe aufeinander folgender Glieder

+

+ ·· · +

a" a,. + 1 a,.t konstruieren, deren Summe 1 übersteigt; die allgemeine Bedingung der Konvergenz ist mithin nicht erfüllt. 1) Ein anderer Weg, die Divergenz dieser Reihe zu erkennen, besteht in folgendem. Man kann die um das erste Glied gekürzte Reihe

umfonnen

1n

1 2 8 - + - - - - j - - - L ... 1• 2 2 • :J i). 4 I

und sodann zerfällen m _!__

1·2

+ 2·8 _l + .. ~ - + ... 8·4 + 2:3 + 3-4 + ... 1

1

+ 3-4 l +··· Nun gibt die erste Zeile nach (8) die Summe 1, die zweite 1 die dritt-e ~ -

2~ 8 = -~

-!2 ~~= ~ -

,

so daß man erhält

, · · ·,

""

"'

ac

2

I

1

:2~-=1+~:=~-t; das Paradoxe an diesem Resultat verschwindet sofort, aber nur dann, "' 1

"' 1

wenn man ~-, also auch ~ -- durch oo ersetzt.') t

n

1

n

1) Auf diesem Wege h&t Jak. Bernoulli die Divergenz der ha.rmonischen Reihe zuent erkannt (Wende vom 17. zum 18. Jhrh.). 2) .Mittels dieses Paradoxons hat J oh. Bern oulli die Divergenz nachgewiesen.

38

§ 2. Reihen .mit positiven Gliadern.

Unendliche Reihen und Produkte.

§ 2..

Reiben mit positiven Gliedern.

29. Allgemeine&.

:.0

1. Ist ~ a,. einP- Reihe mit durchweg posi· 1

tiven Gliedern1 so bilden ihre Partialsummen Su s2 , s3 , • • · eine monoton zunehmende Zahlenfolge; eine solche hat entweder eine bestimmte Grenze oder die Grenze oo; ein drittes ist ausgeschlossen (25 ). Demna.oh ist eine ReOte aus lmdcr positiven Gliedern entu:eder kon·vergent, oder divergent mit der Grenze oo. Die Konvergenz illt erwiesen, wenn sich zeigen läßt, daß die Partialsummen untu- einer fest,en Zahl bleiben. Ist s die Grenze der Reihe

ce

;:E a.":

falls sie konvergent ist, so

1

bleibt die Summe jeder br.schränkten oder unbeschränkten Auswahl von Gliedern unter s. 2. Nimmt mo.n an einer· krmvergentcn Reihe atts positiven Gliedern eine dwrchgehende UmMdnung 1'0r, so bleibt die Krmverwmz erhalten und die Orenze i.tnverändert. Die Umordnuug -vnn (1) m

(2)

ist eine durchgehende, wenn die umgeordnete natürliche Zahlenreihe • • · von keiner noch so späten Stelle an mit der geordneterr 1, 2, 3, · · · übereinstimm!;, Bezöge sich die UIDordnung nur auf ein endliches Stück der Reihe, so bedürfte der Satz keines Beweises, Daß (2) konvergent ist, folgt daraus, daß jede ihrer Partial.:wmmen unter s, der Grenze von (1), liegt. Man kann des weitei-n in (2) mit der Partialsummenbildung soweit gehen, bis man die ersten n Glieder von (1) umfaßt hat; heißt die so gebildete Partialsumme .r;a , so stammen ihre übrigen Glieder +an, so daß aus dem R.est r,. zu S11 = a 1 + ar;v «t 1 a 2 , cr.3 ,

+ ·· ·

mit unbe11cbränkt wachsendem n wächst auch a,. über alle Schranken, rn dttgegen konvergiert gegen Null; somit ist tatsächlich lim s"...... " = lim s lt = s. 3. ·wmm man in einer konvergenten Reihe au,s positiven Gliedern dnrch,qehend Oruppen sukzessiver Glieder bildet, so ist die a·us deren Summen [!ebildete Reilte u·ieder konvergent und hat dieselbe Grenze. Mau lmmcht., nm dies einzusehen, uur zu beachten, daß die Partia.lsumnwu der Heihe (a1

+ a2 + · · · +a;) + (a;+t + · · · + ak) + (a.. H + · · ·) + · · ·

Spezielle

unter den Partialsummen von

39

Konvergen~kriterien.

a1 + a2

+ aa + · · ·

vorkommen, daher gegen dieselbe Grenze konvergieren wie diese. Durch die beiden letzten Eigenschaften, die dem ko.mmntativen und dem assoziativen Gesetz der Addition entsprechen, ist der Summen-· charakter der konvergenten Reihen aus positiven Gliedern dargetan; die Grenze einer solchen Reihe darf daher auch als ihre Summe bezeichnet werden. 30. Eonvergonzkriterien. 1. Wenn die durchweg positivrn Glieder de1 Reihe ~bn lclei·ner sind oder höchstens gleichkommen den korresJJondierenden Glied~;,'m dt!er als konvergent bekannten Reihe ~"", M ist auch 'I:b. konvergent. Wegen der Konvergenz von :Ean kann a,.+t

+ a,.+t + ... + a.,+r

durch W abl von n allein unter die beliebii kl0ine Größt< gedrückt werden; da8 gilt aher auch von

hen'l.b-

t

+ b,.+p' b,.+l + b,..+2 + kann als die vorige Summe : sein größer nicht das nach Voraussetzung damit ist aber die Konvergenz von ~b. erwiesen. Sollte die Beziehung b,. ;:::. a. erst von einem ZeigerwPrt m an0

0

'

,.,. -1

il-1

gefangen hestehen, so trenne man die Reihenanfänge ~.,a", :J:,"b" ah 1

l

und betrachte die gekürzten Reihen, auf welche die obigen s,_,hlüsse . Anwendung finden. Aus dem Satze ergibt sich die Folgerung: Sind die Glieder von ~ bn größer oder mindestens gleich den korrespondie;·enden Oli,·d.cm einer als divergent belcannien Reifte ~an, so ist auch ~ bn dive1:qent. Derm, aus der Annahme, 1: b,. sei konvergent, folgte mit Notwendigkeit die Konvergenz von ~a,., was gegen die Voraussetzung iNt. Als Beispiel diene die Reihe

l-1-~+l,, 1 ' 2'

3

1+····l

4'

ihre Glieder sind, vom zweiten angefangen, kleiner als die Glieder der konvergenten Reihe (28, 8.)

1

_!_ + ~-+ .... + ·-1-+ ' 3·4 2-3 1·2

daher ist sie selbst auch konvergent und ihre Summe Die Glieder der Reihe ...

1

1 + j/2 + f'a

1

+ j/4 + · · ·

< 2.

40 Unendliche Reihen und Produkte.

§ 2. Reihen mit positiven Gliedern.

hingegen sind vom zweiten an größer als die Glieder der divergenten harmonischen Reihe; sie ist also auch divergent. 2. Ist das Bildungsgesets der Reihe mit positiven Gliedern l:: a,. ein solches, daß lim na,. > 0 ·ii>t, so divergiert sie.

•=oo

Angenommen, es .sei lim na11

=

.A; ist dann a eine Zahl, welche

n:::o.C~

der Bedingung 0 < a < A genügt, so muß es einen Zeigerwert m geben, von dem ab na11 beständig größer ist als a, so daß mam >(X

(tn (m

+ l)a,n+l > et + 2)a-,n+2 > a

Daraus folgt, daß von n = m angefangen die Glieder von ~ a,. größer sind als die entsprechenden Glieder >On ~ ~; nun ist ~t, also auch ~: divergent, daher divergiert auch ~ a,, Auf Grund dieses Kriteriums erkennt man, daß die Reihe .., 1) ~__ _r____ wo a R 11 positive Zahlen bedeuten divergiert·, denn

~an+ß'

na = ___ nr_ n

an+ p

''"'''

'

hat die über 0 liegende Grenze -~ · a

Ferner erschließt man daraus die Divergenz der Reihe ~ --1 für n~'

0

q > 1; soll

>

a ~--+--1 die über q liegende G--renze). haben, so muß es von einem Zeiger a,.

m angefangen beständig über q bleiben, also ftm+l ---

a".

> q,

am+S

a-.-

m -,-2

>q,· . ..

sein; daraus folgt weiter Da also nunmehr die Glieder von I;a,. von n = m + 1 angefangen, die mit a". multiplizierten Glieder der geometrischen Reihe ~q" über-

. 1

treffen, diese aber wegen q > 1 divergiert, so divergiert auch I;a,.. a

Der Fall 1 daß -- ~-±:! die Zahl 1 selbst zur Grenze hat, bleibt also a,.

unentschieden. Als erstes Beispiel diene die mittels der positiven Zahl a gebildete Reihe

m ihr ist a"

a,.+l

a"+ 1

a,.=n!'

a

-a;--=n+l;

an+l=(n+i)!'

dieser Quotient läßt sich bei jedem a durch Wahl von n beliebig klein a,.+l

machen ; es ist daher lim --- ---- = 0 n

=

OD

a,.

< 1,

die Reihe also bei jedem a

konvergent. Die Reihe

zeigt ein wesentlich anderes Verhalten; in ihr ist a,.+l

=

a"+l

n+l'

an+l ·n - - =---a

a11

n+l

'

und da dieser Quotient a zur Grenze hat, so ist die Reihe nur dann konvergent wenn a < 1 ist; bei a > 1 divergiert sie, aber auch schon bei a = 1, wo sie zur harmonischen Reihe wird.

42

Unendliche Reihen

§ 2. Reihen mit posi\iven Gliedern.

Keine Entscheidung ermöglicht das Kriterium -bei der Reihe 1- (p > 0) da hier ~a•~± 1- = (· ···~ · )P die Grenze 1 hat. An anderer

j -rr!' 1

Produkte.

~d

'

n+ l

a,.

.

Stelle ist aber bereits erkannt worden, da.ß diese Reihe bei p $ 1 divergiert, bei p - 2 konvergent ist. 00

':1;

.:E2•a,. sind unter der Voraus-

4. Die beiden Reihen ~a .. und t

0

setsung, daß die Glieder der erhte'ft niemals zunehmen, gleicks~itig konvergent, bsw. divergent. Aus der Tatsache, daß a 1 ..> a~ > a3 > · · · (statt > kann, jedoch nicht durehwegs, auch = eintreten), folgen einerseits die Relationen:

al

=

2a1

at

> a2 + a 3

+ a5 + a6 + a1

4 a4 > a4 2"'a2m

> 02m + a,m+l + ... + a:m+!- ~~

aus denen sich durch Addition m

Z2•a2 .> 0

t

m+l

- 1

(A)

~a.,. 1

ergibt; andererseits die Relationen:

a1 ergent, denn jede besteht aus einer durchlaufenden Gliederfolge der konvPrgenten Reihe 1: a,.l (27, 3.). Eine Partialsumme 8 von 1: a,. stellt sich als Differenz einer beund einer bestimmten Partialstimmten Partialsumme ta!' von (1) . summe 11,I > von (2) dar, so daß 11

s,.

= ta.u- up.i

in(lem nun n unaufhörlich wächst, nehmen auch a1, und ß. ohne Unterlaß zu, und ta , u,., nähern sich den Summen t, u der Reihen (1), (2) als Grenzen; mithin hat s,. die Zahl t-u zur Grenze· Damit ist die erste Aussage des Satzes erwiesen. Nimmt man in ~a" eine durchgehende Umordnung der Glieder vor, so erfahren auc!t die Reihen ( 1), (2) eine solche; da aber ihre Grenzen dabei keine Anderung erleiden (29, 2.\ AO behält auch La,. die frühere Grenze s = t - u bei. Einer Reihe von der hier in Rede stehenden Art kommt also der Summencharakter zu, indem ihre Grenze von der Anordnung der Glieder unabhängig ist; man spricht daher hier wie bei Reihen aus positiven Gliedern von der Grenze als von der Su.mme der Reihe. Vorläufig sollen Reihen dieses Verhaltens als absolut konvergent bezeichnet werden. 32. Nichtabsolut konvergente Beihen. Es handelt sich nun um den Fall, daß eine Reihe l:an aus positiven und negativen Gliedern nach Aufhe·bung des Zeichenunterschiedes divergent wird. Die ursprüngliche Reihe selbst kann, wie sich zeigen wird, konvergent oder divergent sein. Zunächst ist unmittelbar einzusehen, daß l: Ian! nicht divergent sein kann, ohne daß wenigstens eine der Reihen (1 ), (2) divergent ist. Ist nur eine von ihnen divergent, z. B. (1); dann wird tUp größer ' als jede beliebige Zahl, während u~lP eine Grenze besitzt; somit wird auch s,. beliebig groß, die Reihe ~ a,. ist also in diesem Falle divergent. Sind beide Reihen, (1) und (2), divergent, so übertreffen ta , u,f schließlich jede noch so große vorgegebene Zahl; ihr allmähliches Ansteigen hängt aber von der relativen Häufigkeit ab, mit der positive und negative Glieder beim allmählichen Durchlaufen von I:a,. auftreten; es ist ebensowohl denkbar, daß dieses Auftreten so geregelt ist, daß die Differenz taI' - tt,.,,., einer Grenze sieb nähert, wie auch, daß die Glieder des einen Vorzeichens den andern so vorauseilen, daß ta1, - urJ,, dem Betrage nach größer wird als jede beliebige Zahl. Über alle diese Verhältnisse gibt der folgende Satz Aufschluß. Die Grenee einer Reihe I:a,., deren positive und negative Glieder je für sich divergente Reihen bildm, hängt von der Anordnung der ,.,

j.l"

/(

j

"

45

Unbedingte und bedingte Konvergenz.

Glieder ob und kr.Mn durch Regelung dieser .Arwrdnung jeder beliebigen Zahl gleich gemacht werden. Um der Reihe I;a. die (z. B. positive) Grenze G zu geben, nehmH man von (1) eine solche Gliedergruppe

+

a ..1 + a.., + · · · a../1-. = s~, da.ß ihre Summe G übertrifft, daß dies aber schon nicht der wenn man das letzte Glied der Gruppe fo:rtläßt, so daß

s;.-

~'all

ist,

a..,..;

G~ -·

hieran schliP.ße man eine solche Gruppe aus (2),

!ap1 \+\ap1 \+ ·· ·+lafl~,l=s;t,

- s;

daß s~ 1 unter G sinkt, daß dies aber nicht mehr zutrifft, wenn man das letzte Glied fortläßt, so daß

G - (s~ - s~) ~ , afl~ I; nun gehe man in der Reihe (1) wieder weiter um a..u '+1 + aa '+2 + ... + a..,." = s:; oerart, daß G gerade noch überschritten wird, RO daß = a«u" 1 S,-1 · t- Sa" - G< 8 . (2): von und schließe daran so viel ~

I

11

I

-

Iafl.'+tl + Jaf1"'+21 + ···+: atJ/ =s(;, daß gerade noch

" G - (SaI-' + Sa Sp

,",\ --.-- = --. (4n).P 4P '

wegen 0 < p < 1 wächst aber n 1 -P mit n über jede noch so große Zahl hinaus, und da sh eine bestimmte Grenze hai-, so wird s3,. notwendig über jedes Maß groß. Die umgeordnete Reilie ist also divergent. § 4. Unendliche Pt•odukte.

3&. Begrur der Konvergenz und Divergenz. Wie die Addition, so kann auch die Multiplikation wegen ihres kommutativen Charakters auf beliebig viele, also auch auf unbeschränkt viele Zahlen

Allgemeine Konvergenzbedingungen unendlicher Produkte.

49

angewendet werden. Einem solchen unendliclwn Produkt 1) gegenüber entsteht wiedf>r die Frage, wann es eine bestimmte Zahl darstellt. Aus der unbegrenzt fortsetzbaren Folge positiver Zahlen au 11 2 , a 8 , • · · werde nach der Vonwhrift

P1 = al P2 = (t2P1 P3 = llsJI2

(1)

Pn = a.,.p, . 1 ·= a 1 a2 · • · a" eme neue Folge Pu p 2 , p~, · · ·, kurz (Pn ), gebildet. Ist diese neue Folge konvergent, ohne jedoch eine Elementarreihe z.u sein, so daß also ihre Grenze eine von Nttll versdtiedr.ne Zahl p ist, so bezeichnet man das unendliche Produkt 00

a 1 a".l a 8

ebenfaUs als korwergent und p

• • ·,

=:

kurz

/]a",

(2)

1

1imp" als seine Grenze, seinen We-rt.

In jedem andern Fall heißt das Produkt divergent. Wenn vorausgesetzt wurde, daß alle Faktoren positiv seien, so l1at dies in folgender Erwägung Sr!inen Grund. Negative .Faktoren dfirften nur in beschränkter Anzahl vorhanden sein, weil nur dann das Produkt ein bestimmtes V orzeirhen erhält; hat man dieses einmal bestimmt, so kommt es nur mehr auf den absoluten Wert des Pro duktes an. Es kann auf den ersten Blick befremden, daß man die G·renze Null bei der Konvergenz ausschließt und Produkte mit dieser Grenze zu den divergenten zählt. Hält man damn fest, daß keiner der Faktoren a,. Null sein soll, so weist ein gegen Null konvergierendes Produkt die Anomalie auf, den ·wert Null zu haben, ohne daß einer der Faktoren Null ist. Dies der Grund, warum solche Produkte zu den divergenten gezählt werden. Die allgemeine Bedin_qung für die Konvergenz des Produkte" [[ a,. ist identisch mit der Bedin~ung für die Konvergenil der Zahlenfulge (pn), (9&), mit dem Zusatze, daß Pn nicht beliebig klein werden darf: ste läßt sich also durch die Ansätze ausdrücken:

p,.>g;

(ß)

die erste Ungleichung muß bei gegebenem E für em hinreichend großes n bei jedem r stattfinden; in der zweiten bedeutet. y eine 1) Unendliche P.todukte sind fa.st gleichzeitig mit den unendlichen Reihen in de.t Literatur aufgetreten; das erste unendliehe Produkt findet eich ._1693) bei F. Vieta. 03uber, Höhere M:athem"ük. !. Auß.

4

50

Unendliche Reihen und Produkte.

§ 4. Unendliche Produkte.

positive Zahl. Unabhängig von dillser kann man (3) durch die einzige Forderung lp I. _..pn+-'=

ersetzen. Auf den Fall ,.

=

-

1!hört.

"'

.Ein unendliches Produkt [[ (1 a>

Reihe ~log (1 1

1

+ a,.)

+ a,J

führt zu der unendlichen

der Logarithmen seiner Faktoren; Konvergenz.

oder Divergenz des einen Gebildes zieht notwendig die analoge Eigenschaft des andern nach sich.

36. Konvergenzkriterien. Sind in dem Produkt fl (1 + an) alle an > 0, so sind alle Faktoren unechte Brilche, der Wert des Produkts, wenn es konvergiert, wird selbst aueh > 1 sein, im andern Fall ist er unendlich. Sind alle an< O, also alle Faktorl'n echte Briiehe, so wird bei einem konvergenten Produkt dessen Wert selbst auch < 1 sein; im andern Falle ist er Null. Giht es positive und negative u" in unbegrenzter Anzahl, so -kann jeder der unter:oehiedenen FäHe eintreten.

51

Spezielle Konvergenzkritexien.

Xiiheres hierüber lehren diP folgenden Sätze:

"'

+ a,.)

1. Sind alle an> 0, so isi das Produkt [] (1 1

..,

1cerm die Reihe

;;E a,. kon'l!e,·gicrt, und

konvergent,

sein'! Gren.:r; dann unabhängig

1

ron der Anordnung der Faktoren; hingegen divergent zmd srin TVeTi u·ctm die Reihe dit,er,qie·rt. Aus der Entwicklung des Restprodukts 1!-l-f'

+

CXJ,

+ ·· ·+

+ aJ = 1--:- Url· t( zu zweien, dreien, · · · ver.. tritt, geht hervor, daß I/(1

r.+

[ } (1 n+l

1 > a".q

+- a,)-

ist nun die lteibe

2' cc"

+ a,,~ 2 + · · · + a,.+ri

divergent., so kann die rechtsstehende Summe

1

durch V\'ahl von n und r beliebig groß gemacht werden, die Bedingung (3* 1 ) ist .llsn nicht erfüllt; da ferner p mit n wächst, so ist p -~~ :x.. Ist hin!.!egen 2'an konvergent, so kann zu dem positiven echten Bruch q ein hinreichend großes n derart bestimmt w-erden, daß bei belit> bigem r "n+1 + an+2 + ... + a"+;· < q sei; das hat zur Folge, daß für die in S enthaltenen Produktsummen 8 2 , H:" · · · S,. von 2, 3, · · · r Faktoren folgende Beziehungen bestehen. 11

< (an+l + ... + a,.~.r:l! < qe < (a,H-1 + · · · + a",+rJ" < Q3 S,. < (a,.+1 + ... + Cl"+rY < qr'

82 83

weil die Potenzen außer den gedachten Produktsummen nouh andf're positive Glieder umfassen. Demnach isi; jetzt

II (1+a.)-l 0 ist. .b'ür ganze Werte von x ergibt sich die Eindeutigkeit aus dem primären Potenzbegriff; für gebrochene x ist a·' durch den erweiterten Potenzbegriff (16) bestimmt und eindeutig, sofern man den einz1gen positiven Wert der "\V urzel meint. Ist endlich :r eine irrationale Zahl und (x0 , x 1 , x~, · · ·) t'ine sie definierende Fundamentalreihe, so ist auch (a:r,, ox., ar,, .. .) eine Fundamentalreihe 1), und unter ar soll die ihr zugeordnete Zahl verstanden sein. Mit diesen Festsetzungen ist also f(x) = a.r eine eindeutige reelle Funktion von :l: und wird Exponentialfitnktion genannt. III. Die augewandten Gebiete führen zu empirischen Funktionsbestimmungen, die aber nicht als Funktionsdefinitionen in dem bisherigen strengen Sinne gelten können. So fehlt es einer graphisch, durch einen Linienzug gegebenen Funktion an der notwendigen Bestimmtlwit, indem die zu einer scharf bestimmten Abszisse gehörige Ordinate innerhalb gewisser Grenzen unbestimmt bleibt; statt einer Funktion ist ein F'unktionsstreifen gegeben. Einer taJJellarisch, durch eine Auswahl zugeordneter 'Vertcp2-arr>, dargestellten Funkt.ion mangelt

>

1) l'm dies zu erweisen, machen wir die bestimmte Annahme, es sei a 1 und die Fundamentalreihe (;t,.) mo!loton zunehmend. Alsdann läßt sich n ohne Rücksiebt auf p so wlthlen, daß x - x 2_. wobei v eine belitllüg große n+p n •. natnrliche 7.ahl bedeutet; daraus folgt fitr solche n die Bteziebung


f(x") verbunden ist. Im ersten Falle heißt die Funktion zunehmend, im zweiten Falle abnehmend. Die Beziehung zwischen x und y = f(x) ist bei einer solchen Funktion ein-eindeutig, d. h. zu einem Wert von x gehört nur ein Wert von y und zu ·einem entsprechend gewählten Werte von y nur ein Wert >on x. Hiernach b1ldet auch x eine Funktion von y, in Zeichen: x = rp(y). Zwei Funktionen, die aus einer solchen ein-eindeutigen Zuot·dnung zwischen x, y hervorgehen, indem man einmal x, ein zweitesmat y als die unabhängige Variable wählt, heißen inverse FunktionetJ. Schreibt man diesen Sachverhalt in der Form an: (10) y-= j(x), x = rp(y), so geht daraus hervor, ·daß /[rp(y)] = y und cp[j(x)] = x für jedes zulässige y, bezw. x sein müsse: es kann also als analytisches Merkmal dafiir, daß die durch /, cp angezeigten l!~unktionen invers seien, der Umstand angesehen werden, daß f[rp(t)l und cp[l{~)] gleichbedeutend sind mit t. Will man in der zu. y = f(x) inversen Funktion x = rp(y) die unabhängige Variable wieder mit x, die abhängige mit y bezeichnen

+

5"'

' · , . t

68 Der F\lnktioubegriff._

§ 1. Funktionen einer und mehrerer Varrablen.

und das geometrische Bild in demselben Koordinatensystem zur Darstellung bringen wie das Bild AB, Fig. 12, von .f, so braucht m~n y .zt AB nur durch Spiegelung an der Linie 0 B, /.H welche den Winkel X 0 Y halbiert, zu trans· ,/·. . formieren; die neue Linie A1 B 1 ist das Bild ' \B von y = cp(x). 3. Eine in dem Intervall (- a, a) oder .. ! ··/ auch (- oo, oo) definierte Funktion heißt y:.\r: 1-

X

-.- --

sm :J;

>

1

1 - ---· cos x'

1 - cos x und 1- cosx - 1 - werden mit abnehmendem x beliebig klein,

weil cos x der Einheit beliebig nahe kommt, daher wird auch 1 beliebig klein; infolgedessen ist lim

-.:!}_-

o:=O smx

=

lim ~~n x

z=O

x

=

-/!?smx

1.

4.8. Greuwerie im 'Unendllohen. Wenn eine Funktion für ein einseitig unbegrenztes Intervall, (a, oo) oder (- oo, a), oder für die unbeschränkte Va.riable definiert ist, so entsteht die Frage nach ihrem Verhalten bei unbegrenzt wachsendem oder abnehmendem Werte uer Variablen oder, wie man dies auch auszudrücken pflegt, naeh ihrem "Verhalten im Unendlichen11 oder nach ihrem "Endverlauf".

75

Grenzwerte im t:nendlichen.

Man sagt von einer Funktion f~;r), daß sie bei dem Grenzübergange lim x = oo den Grenzwert b habe, in Zeichen: limf(:t) = b, (6) z=co

wenn die Differenz b- j(.r) dem Betrage während x beständig wächst; präziser und wertung geeigneter ausgedrückt, wenn zu gesetzten positiven e eine hinreichend große werden kann derart, daß

nach beliebig klein wird, für die arithmetische Vereinem beliebig klein festpositive Zahl K angegeben

; b - f(x) I < E, (7) o+E: -----··-·--········· •.••.•.•..•... x>K. wenn und so lange (~ In geometrischer Darstellung, Fig. 21, h heißt dies, es lasse sich zu einem beliebig 1J-E engen Horizontalstreifen der Ebene, dessen .Mittellinie y = b ist, eine Begrenzungslinie x = K derart festsetzen, daß rechts von ihr die Bildkurve der Funktion jenen Fig. 21. Streifen nicht mehr verläßt. In analoger Weise ist der Inhalt des Ansatzes (8) limf(x) = b

·------7--· -~----··-----

-

durch die Ungleichungen

, b- j(x)l < E x -1 wohl wdefiniert [39, II, 5.]B, mit Ausnahme des ertes x esitzt sie bei lim x = + 0 einen Grenzwert, so hat sie denselben Grenzwert auch bei lim x = -0. Denn, ersetzt man x durch - ~' so wird

= 0.

1 \- ~) =

1

1

(l _ ;)-f =(-~--)I= 1-~

nun konvergiert

1

66

=

-7 .:--- --+-_._x 1 -'\-

\

\. ... ..-/

\JJ ···...

V

1

··

Fig.

..

~3.

1-i

(1+ _6_)T(1 + 1-s -~-·)\. t-s '

y mit ; zugleich gegen 1

)im/(-;)= lim (1 +y)zl~l + y)

;=+0

I'

..

/

y=+O

=

+ 0,

folglich ist

limf(y),

y=+O

Es bedarf daher nur der Prüfun,g des rechten Grenzübergangs. Zu diesem Zwecke lasse man x zunächst die Zahlenfolge (~), wo n eme natürliehe Zahl bedeutet, durchlaufen; eR handelt sich dann um

(n1) =

lim/ -

Nun ist

(1

n=oo

(

lim 1 + --=-~

n==:JO

)r. .

fl,

n (n- 1) (n- 2) 1 -1) -n1 + ------·-.+ ... + -~)" = 1 + ~; --n1 + n--(n1·2 1 · 2: 3 n• 1

·(n-n-t) 1 + n(n-1) - ----- - 1·----..2 ---- --- - nn ... n

=

1

1-- 1 (t-..!.) (1-~)

1 n n + --+. -+ ---------+ ... 1 1·2 1·2·3 t~

(1- ~) (1- ~) ·... (1- n 11--~) + --- -- --iT..-:n·--------; vom dritten angefangen nimmt mit wachsendem n jedes Glied dieser Entwleklung zu, und da zugleich die Anzahl der durchwegs positiven Glieder wächst, so wächst auch ( 1 + ~)" v~m n .... 1 angefangen, ist aber bei jedem n > 2 kleiner als l..!-_1 1 1 1 ' 1 + 1 -:-·2 ~ + · · · + 1-:-2~ = a,. ·

+

78

Der Funktionsbegrift'. § 2. Grenzwerte

von Funktionen.

Die Zahlen a2, a 8, • • • bilden eine monoton zunehmende Zahlenfolge, deren Glieder aber sämtlich unter einer festen Zahl bleiben; denn es ist, sobald 2t mindestens 3, ll

n

< 1 +- +1 1

1 2

+ -- + ... + -1 2'

1- ~ = 2"-1

2

+

1 2

1 2" - - 1- 2 1-2

----

1 + 1 -2"-1 - < 3.

Folglieh haben die Zahlen der Folge (a.) eine Grenze, die zwischen 2 und 3 liegt und fortan mit e bezeichnet werden soll; es ist also lim a,. = e,

(12)

und gleichzeitig ergibt sich filr e die Definition durch eine Reihe: e= 1

1 1 + T1 + i~ + t:"2.3 + · ·· ,

(13)

von der schon die ersten zehn Glieder sieben festbleibende Dezimalstellen geben, so daß mit diesem Genauigkeitsgrade 1)

e = 277182818 · · · gesetzt werden kann. Gegen die nämliche Grenze e konvergiert aber auch ( 1 Denn es ist 2) 1 - _!__ 11

+ ~ )"·

1 - ~~

=

2n

2·3 (1-n1)(1--n2) >1--2--n -- 1 - -na).....? 1 - a.4. ---(1 ..:... -n1)(1 - n2)( 2n

(1 - _!_) ( 1 - _!_) n n

· •· (1 -

~-=-.!) n

> 1-

(n

-___!~_tJ r 2n

'

folglich 1) Auf 18 Dezimalstellen genau ist e = 2,7182818284.6904.6235 ... 2) Sind nämlich a 1 , a 1 , ···an positive echte Brüche, so folgt aus (1-a1 )(1-a1 ) = 1 - («1 a1 ) a 1 a• zunächst, daß

+

+

(1- a 1 ) (1 - a 2 )

>1-

(a1

+a

1 );

multipliziert mau beiderseits mit der positiven Zahl 1 - a8 und wendet. rechts dieselbe Relation an, so entsteht (1- o:1 ) (1- a 1 ) (1- a 8 )

> [1- (a + « 1

so daß für jedes beliebige n (1- a 1 ) (1- a 2 )

•"

(1- a,.)

1 )]

(1- a 3 )

> 1 - (o: + a + a 1

> 1 - (« + « 1

1

+···+an).

1

9 ),

79

Die Zahl e.

+• _!_ (1- 1_·~) + _ 1 - (1- !__:__!!) (1 + _n!-)"> 1 + 1l + 1-2 2n 1·2·8 2n 1

_ l __

1·2 .. -n =

(t _ ~~- -:--_12_n) 2n

a - _!_

2n

"

. -) + ... + ~--!c-T-(1 + _1_1 + _1_ 1 · 2 · · · (t&- 2) 1·2 a,._. ---= a n

und weiter

a daher tatsächlich Um rationale gehö~en. folgende

2n

..,..-- 3 (1 -t-. -nl)" < a,._t 2 n ---.. 2n '

•-

1 )" = lim a lim ( 1 + -II tl

e·

=

den Übergang zu einem stetigen :1: zu vollziehen, genUgt es, x in Betracht zu ziehen, die nicht der Zahlenfolge ( ~) anIst s eine solche Zahl, so fallt sie zwischen zwei aufeinander Glieder _!_, 1 dieser Folge, so daß n

n+l

also

1

1

1+-n>l+z>l +n+t und in erhöhtem Maße (1

es ist aber

1 )" · + --n1 )"+1 > (1 + z) •. > (1 + ----n+ 1 '

(1 +

1

!)"(1 + ~)

~r+ 1 =(1 +

und konvergiert daher gegen e, ferner

(1+ n ~ ~J·- (1+ n ~

s·

+\ (

1+ n:f1)

und konvergiert daher auch gegen e, folglich ist für jedes rationale 1

(1 + z) •= e und nach den Ausführungen von 39, TI, 5) "'auch für ein reelles x

11: lim s=O

lim (1

x=O

+ xY" = e.

(14)

Die Zahl e 1) hat in der Analysis eine außerordentliche Bedeutung erlangt: als Bnsis einer Exponentialfimktüm ee, die man auch als 1) Die Bezeichnung stB.mmt. von L. Enler.

80

Der Funktionsbegriff. § 2. Grenzwe1·te von Funktionen.

natürliche Potene bezeichnet, und als Basis eines Logarithmensysterns, welches man das 11.atf1rliche nennt. Die Logarithmen dieses Systems sollen fortan durch Z bezeichnet werden im Gegensatze zu den gemeinen, ffir welche die Abkürzung log gebräuchlich ist; dagegen sollen auf eine unbestimmte Basis a (> 0) bezügliche Logarithmen mit log,. angeschneben werden ; all dies drückt sich in dem Ansatze ff• = lOiog• = aloga• == z ans. 4.8. ClreDBWerte von P1UlJr:tionen zweler Variablen. Die Funktion f(x, y) sei für den Bereich P definiert, der durch die Randkurve 0 begrenzt ist, Fig. 24. Der Wert /(a, b), der durch die Y Substitution x = a, y = b in den Funk--..........__ tionsausdrock erhalten wird, heiße der IJ~J --· ir.~:. Definitionswert der Funktion an der Stelle .... ~~ M(a,_b\ ~·· de' v.,..u,geset d wi,d, daß "b-0 __ i -·--s1e s1ch 1m Innern des Bere1chs befinde. - !"' ! ~· Davon zu unterscheiden ist der Grenz! l ! P wert der Funktion bei dem Grenzüber-...,::+O beschrieben ist, die nach dem Vorausgeschickten keiner näheren Erklärung mehr bedürfen, so sagt man, es sei (18) limf(x, y) = oo, bezw. limj(.r, y) = - oo :x: =4, y=b

x=a, y=b

In einem Punkte am Rande des Gebiets muß die Umgebung so gehalten werden, daß sie beständig dem Bereich angehört. Die folgende Ausführung soll noch auf gewisse Jfeinheiten des Grenzübergangs bei .Funktionen zweier (und mehrerer) Variablen aufmerksam machen. Wenn für die Funktion f(x, y) ein Grenzwert im Sinne der Ansätze (15) und (16) existiert, so ist es evident, daß man ihn finden müsse, auf welcher Bahn auch man sich dem Punkte M unbegrenzt nähert. Dies könnte. auf deu Gedanken bringen, den Grenzwert in der Weise zu suchen, daß man durch JJl eine paRSend gewählte Bahn, z. ß. L M, führt und auf dieser dem Punkte M sich nähert. Das Zustandekommen eines solchen Grenzwertes gestattet keineswegf:l den Schluß, daß man damit einen Greuzwrrt im obigen Sinne gefunden habe; dieser Schluß wiire erst dann legitim, wenn man alle durch ~ti führenden Bahnen YPrfolgt hätte und auf allen zu dem nämlichen Grenzwerte gelangt. wäre; denn es ist denkbar, daß man auf' verschiedenen Bahnert verschiedene Grenzwerte findet, dann aber existiert ein Grenzwert im Sinne vo~ (15) nicht. Ein Beispiel dieser Art bietet die Funktion '!.;vy ) .. ---·--·j(X y = .. '

x• + y!'

die fiir alle \V artepaare von x, y definiert ist mit Ausschluß von 0,0. Nähert man sich dieser Stelle 0 längs eines Strahle, der mit der x-Achse den Winkel q; einschließt (s. die Fig.), so ist in einem Punkte dieses Strahls, der um 1· > 0 von 0 ent.fernt ist, x = r cos q;, y = r sin q;, f(x, y) = sin2q;, daher und dieser Wert bleibt erhalten, wie klein auch r wird, so daß bei Verfolgung dieses Stmhls lim f(x, y) = sin 2 q; . Da nun q; von Strahl zu Strahl sich ändert, so ändert sich auch lim/(x, y) von Strahl zu Strahl und nimmt, während q; das Intervall (0, 1r) durchläuft, alle· Werte von 0 bis 1, 1 bis --1 und - 1 bis 0 an. Es existiert daher lim.f(x, y) nicht. z=O,y=O 0 zu b er 1 Höhere Mathematik, I. Aull.

6

82

Der Funktionebegriff.

§ 2. Grenzwerte von Funktionen.

48. Das Vnenclliohkletne 11.11d Vnenclliohgro8e. Es empfiehlt sich, einige. häufig wiederkehrende Vorstellungen und Prozesse durch Einführung kurzer Bezeichnungen zu formalisieren, um von ihnen im weiteren Verlaufe bequemer Gebrauch machen zu können. Bei der Definition des Grenzwertes b einer Funktion f(x) bei einem Grenzübergange lim x = a sind die variablen Differenzenf(x)-b und x - a aufgetreten, von welchen die erste beliebig klein gemacht werden kann, indem man die zweite him·eiclwnil klein werden läßt. Wir werden von einer ~·ariablen Größe, von der wir uns vorstellen, daß sie im Verlaufe ihrer Änderung dem Betrage nach unter jede noch so kleine Zahl herabsinkt, sagen, sie werde unendlich klein oder sei ein Utle'IUlZidildeines. Mit Benutzung früherer Ausdrucksweisen kann man auch sagen, ein Unendlichkleines sei eine Variable, die der Grenze 0 zustrebt. Das Unendlichkleinwerden bezeichnet also nicht einen Denkprozeß, der eines Abschlusses fähig ist, sondern, wie scp.on der Name andeutet, einen Vorgang, der, wie weit er schon geführt sein mag, immer noch eine Fortsetzung zuläßt. Die Tatsache, eine Veränderliche y werde unendlich klein, kann demnach symbolisch durch den Ansatz lim y = 0 ausgedrückt werden. Bei der Betrachtung des Endverlaufs einer :Funktion f(x) ist unter andern auch. der Fall erwähnt worden, daß f(x) dem Betrage nach beliebig groß gemacht werden könne, indem man x hinreichmd groß (oiier algebraisch klein) werden läßt. Von einer variablen Größe, von der wir uns vorstellen. daß sie im Verlaufe ihrer Änderung über jede noch so große (oder ~nter eine algebraisch noch so kleine) Zahl hinauskommt, soll gesagt werden, sie werde (positiv, negativ) unendlich groß, oder sie sei ein Unendlichgroßes. Durch Anwendung früher eingefühTter Sc.hreibw~isen kann man diesen Sachverhalt durch die Ansähe iim y == oo, bzw. lim y = - oo zum Ausdruck bringen. Wiederum handelt es sich nicht um emen abgeachlossenen, sondern um einen stets fortsetzbaren, also um einen W erdeprozeß, der, soweit wir ihn verfolgen mögen, immer im Endlichen verläuft 1). 1)

9

Man hat da.11 Unendlichgroße im Sinne dieser Definition uneigentlich~s Unendlich genannt und ihm ein eigentliches Unendlich gegenüber gestellt. Die Vorstellungen, die dieser Unterscheidung zugrundet liegen, werden sich a.m besten geometrisch deutlich machen lassen. Als Axiom angenommen, daß zu einer l1exaden g durch einen Punkt. A eine Paral)'ig. 25. lele g' gelegt werden könne, Fig. 26, wVd

83

Das Unendlichkleine und Unendlichgroße.

Das Unendlichkleine und Unendlichgroße ist einer Graduierung fahig. Man hat es nä-mlich nie mit einer solchen Größe allein, sondern stets mit zwei oder mehreren voneinander abhängigen zu tun; und dann kann bei irgend zweien das Unendlichklein- oder Unendlichgroß'l'.'erden in gleich raschem (starken) Maße vor sich gehen oder bei einer von beiden raseher (stärker) als bei der andern. So wird man bei dem Grenzühergangt~ lim/(x) = h für lim x = a die Differenzen f(x) -- b und x- a auf den Grad ihres Unendlichkleinwerdens vergleichen können. Die Graduierung soll sich auf den Quotienten x-a stützen: hat dieser Quotient einen Grenzwert, so soll, je nachdem derselbe 0, eine endliche Zahl k oder oo ist, gesagt werden, /(x) - b werde in höherem, gleichen oder niedrigeren Maße unendlich klein als x- a. · In gleicher Weise kann man, wenn

lirn f(x) = oo für lim x = oo, über den Grad des Unendlichwerdens nach dem Verhalten des Quotienten j(x) X

Uiteilen; hat dieser QuotitJnt den Grenzwert O, beziehtrugsweise k oder oo, so erklärt man, /(x) werde in niedrigerem, gleichen oder höheren Maße unendlich groß als x. In vielen Fällen ist es möglich, die Graduierung ziffermäßig ,auszudrücken. Man stützt sich dabei auf folgende Erwägung. Ist y eine unendlich klein werdende Größe, so nimmt, sobald y einmal in das Gebiet der echten Brüche gekommen, y" im Vergleich zu y umso rascher ab, je größer (das positiv gedachte) n; wird y unendlich groß, die Strecke OB bei unaufbörlicher Annäherung von AB an g' unendlich; der Gegensatz in der Lage von B gegen 0 kommt im Vorzeichen des Unendlichwerdens zum Ausdruck. Bezüglich der Parallelen g' selbst könnte man sich der Ausdrucksweise bedienen, Punkt B und Strecke 0 B haben zu existieren aufgehört. Es hat sich jedoch als zweckmäßig erwiesen, zu sagen, der Punkt B sei nun im Unendlichen, und die Strecke 0 B sei (qualitätslos) unendlich, und dies ist ein Fall des eigentlich oder aktua.l Unendlichen. In die Sprache der Arithmetik übertragen, wobei man sich an die Gerade g als Bild des Systems der reellen Zahlen hält, heißt dies: Man fügt zu den reellen Zahlen eine neue Zahl oo hinzu, die ebenso qualitätslo> ist wie die Zahl 0. Sowie nun eine Va-riable, die sich der 0 als Grenze nähert, unendlich klein wird, so kann auch von einer unendlich gro(.l u·erdenden Variablen gesagt werden, sie nähere sich der fiktiven Zahl oo als Grenze von der einen oder anderu Seite. 6*

84

Der Funktionsbegriff'.

§ 2. Grenzwerte von Funktionen.

so wächst, sobald y die Einheit überschritten, y" umso rascher im Vergleieh zu y, je größer n ist. Sind y, Y zwei voneinander abhängige Variable, die gleichzeitig unendlich klein, bzw. unendlich gro.B werden, und hat der Quotient y

Y" einen von Null verschiedenen endlichen Grenzwert k, so sagt man, Y werde in be.eug auf" y unendlich klein, bzw. unerullich groß von der Ordnung n. Die Worte "in bezug auf y" können auch noch unterdrückt werden, wenn man y von Anfang an als Vergleichsgröße 'QOn der ersten Ordnung festgesetzt hat. Setzt man y.

-;=k+IJ, y

so bedeutet r; eine mit y, Y gleichzeitig gegen :Null konvergierende Größe, das Produkt yn.'l = E wird also in hezug auf 1j von höherer Ordnung unendlich klein als y"; die typische Form einer infin·ite.simalen Größe, die in bezug auf y von der Ordnung n ist, lautet sonach:

Y = kyn + Ej (19) mau nennt kj!'' den Hauptteil, E den sekundären Teil von Y. Ist yl = kly"+ E1 eine zweite infinitesimale Größe derselben Ordn•Jug-, so konvergiert der Quotient

/; +

c

== ______i!~: 1;,

1

-f-

.

E]_ ,,

y

gegen die Grenze :, in Worten ausgedrückt: ]),._:,- Q;totient zweier von l

einander abhät~giger Infinitesimalgrößen gle1:ch"r Ordnu-ng hat den Q!totienten ihrer Hauptteile zur Grenae. Zur lllu o ist; und stetig im Bereich R.", wenn sie diese EigenHchaft in jedem Punkte des Bereichs aufweist.

solange

: x1

-

Stetigkeit von 1-'unktionen zweiHr Variablen. -

Der Differentialquotient.

93

IY. A bsehni tt.

Elemente der Differentialrechnung. § 1. Der Ditferentialqnotient und das Differential. &4. Begrur des Düferentialquotlenten. Unter den Fragen, die sich beim Operieren mit Funktionen einstellen, ist eine de1· wichtigsten auf die Änderungen gerichtet, welche die :F'unktion bei bestimmten 1nderungen der Variablen erfährt, und zwar auf die Änderungen im großen und kleinen; denn sie machen das aus, was man den Verlauf" der Funktion nennt. Es sind also Denkprozesse von fundamentaler Bedeutung für die Analysis, an deren Erklärung jetzt geschritten werden soll. In erster Linie wird dabei an Funktionen einer Variablen gedacht werden. Es sei !I = j(x) eine in dem Intervall (a,ß) eindeutig definierte ~nd stetiqe Funktion; unter x möge jetzt ein bestimmter Wert im lnnern det! Intervalls verstanden werden. Bei dem Übergange von x zu dem ebeufalls. in ( «, ß) liegenden Werte x + h, wobei also die Variable die lnderung .d;r=h

erfährt, geht der Wert der Funktion in f(x die 1ude~ung Lly

+ h)

über und erleidet

=LJ.f(x) = f(x + h) -j(x).

Je größer bei einem festgesetzten L!x das Lly, oder je kleiner bei einem angenommenen .dy das zugehörige Llx ausfällt, umso stärker, wird man sagen dürfen, hat sich die }i'unktion bei dem beschriebenen Übergang von der einen Stelle ihres Bereichs zu der andern geändert, so duß in dem Quotienten "'!_ y_ _ _ .df(a;) f(x h) - f(x) (1) .dx ·- = · .d:;;-- = --------h- --- ---

+

ein geeignetes JJlaß fiir die Stärke d·ieser Änderung zu erblicken ist. Da .dx, Lly Differenz;en zwischen zwei Werten von x, bzw. y darstellen, so bezeichnet man sie als Differette dt'!T" Variablen, bzw. Differenz der Funktion und nennt (1) den Differenzenquotienten, gebildet an der Stelle x mit der Differenz L1 x = k. Der Differenzenquotient erfordert also zu seiner Bildung zwei Stellen des Bereichs; läßt man die zweite der ersten unbegrenzt sich nähern, h also gegen die Grenze 0 konvergieren, so strebt wegen der vorRusgesetzten Stetigkeit von f(x) auch der Zähler von (1) der Null als Grenze zu. Man hat es also mit dem Quotienten zweier unendlieh kleinen Größen zu tun, der je nach der Ordnung dieser Größen einer bestimmten endliclHm Grenze oder der Grenze 0 oder der Grenze oo

94 Elemente der Ditferent.ia.lrechnung.

§ 1. Der Differentialquotient uaw.

(mit bestimmten Vorzeichen) zustreben ode1· unbestimmt bleiben kann. In den drei erstgedachten l!'ällen, wo ein Grenzwert (im weitesten Sinne) existiert, nennt man eben diesen Grenzw~::.-t den Differe-ntialquotienten, die Derivierte oder die Ableitung der Funktion /(x) an der Stelle x; er ist ein· Maß für die Stärke der· Andtrung der Fnnktion an dieser Stelle. Dieser Grundgedanke bedarf aber noch einer gena.ueren Ausführung. Bei der Allgemeinheit, welche wir dem Funktionsbegriff unterlegen müssen, können selbst bei der Einschränkung, die in der geforderten SfR.iigkeit liegt, so mannigfache Erscheinungen auftreten, daß wir genötigt sind zu unterscheiden, ob h von rechts oder links sich der Null nähert. Existiert hm fix +ll.l-:-[!.c) '•~+O 1t ' so soll er als rechter Differentialquotient, und existiert

+ h) -

hm ----- --r----, .

f(x

f(x)

"~-o

so soll er als linker Differentialquotient an der Stelle a: bezeichnet werden; existieren aber beide und stimmen sie miteinander überein, so daß man sie gemeinsam unter das Symbol lim f(x+h)-f(x) h~O

(2)

h

stellen kann, so spricht man von einem Differentialquotienten schlechtweg, auch von einem vollstiindigen oder e~qentlichen. Es liegt in der Natur der Sache, daß es an der Stelle " nur einen rechten, an der Stelle {J nur einen linken Difl'erentialquotienten geben kann. Bei den Funktionen, welche wir hier zu betrachten haben werden, ist der )fall eines eigentliMen und endlichen Differentialquotienten typisch; die Fälle eines bloß rechten oder bloß linken, beiderseits verschiedener, eines unendlichen und der Nichtexistenz eines Differentialquotienten bilden Ausnahmen. ' Wenn daher in der Folge von der Existenz eines Differentialquotienten oder von der Diffe-rensierbarkeit einer Funktion an einer (inneren) Stelle x wird gesprochen werden, so soll darunter immer ein endlicher Differentialquotient voli der Bildungsweise (2) gemeint sein. Mit diesen Festsetzungen kann man sagen: Der Differentialquotient einer Funktion /(x) an einer Stelle x ist der Grenzwert, gegen den der an dieser Stelle gebildete Differenzen,quotient konvergiert, wenn die Änderung lt der Variablen, sei es durch positive, sei es durch negative lVerte, der Grense Null, sielt ttähert. Es ist oben bemerkt worden, daß der Differentialquotient ein Maß für die Stärke der Änderung der Funktion an der betreffenden

Differentialquotient und abgeleitete l'unktion.

95

Stelle sei. Wie jedes Maß erfordert auch dieses eine Einheit; diese ist in der Stärke der Änderung der Variablen selbst gegeben. Ist x, also such nämlich f(x) = x, so ist der Differenzenquotient

a:+ i --

der Differentialquotient, und zwar an jeder Stelle, = 1. An einer Stelle also, an welcher der Dift"erenzenquotient größer (kleiner) ist als 1, ändert sieb die Funktion stärker (schwächer) als die Variable; dabei kommt zunächst nur der absolute Wert des Differentialquotienten in Betracht. 55. Die abgeleitete Punktion. Partielle Ditrerentlalquotienten. Besitzt die Funktion f(x) an jeder Stelle des lntel'valls (a, ß) einen Differentialquotienten, so heißt sie in diesem Intervall differenzierbar. Die Werte des Differentialquotienten mit den zugehörigen Stellen konstituieren dann eine neue Funktion von x, die man als abgeleitete, derivierte Funktion, auch kurz als Ableitung von f(x)~ aber auch als den Differentialquotienten von f(x) benennt; zu ihrer Bezeichnung bedient man sich der Symbole 1) df(x) -(Jx ' dy

dx'

j' · - D f( ) IX),

.r.l

X

y', D~y

Die analytische Bedeutung der neuen Funktion ist also durch den Ansatz (3) ~~~)'-~J'(x) ~D;j(x)=limf!'tialquotient" (Quotient aus dem Differential der Fnuk!ion durch (h; Differential der Variablen) und die von Lod.>niz d:1fiir eing·~fiihrt.·

Beze1c . hnung ..dJ(:t:) ·ix- ·

Aus der Gleichung (10) erklärt sich auch die vou Larroix 1) für den Difl'erentialquotieuten eingeführt:~ Benennung "Differentialkoeffizient'' (Koeffizient des Differentials d x ), der heute wxh in i·n~li­ schen Schriften üblich ist. Die Bestimmung des Differentialquotienten eina l''unkl ion 1:nd ihres Differentials laufen hiernach im Wesen auf dasselbe hinam~; die primäre Operation ist die Bestimmung des Differentialquotienten, man bezeichnet sie vorzug~Jweise als Diff-'erentiation. Wenn man trotztlern die Differentiale neben den Differentialquotienten weiterfUhrt, so liegt der Grund darin, daß bei den Anwendungen auf Geometrie. Mechanik u. a. häufig die Aufstellung einer Relation zwischen den Andernngen mehrerer Funktionen einer Variablen den Ausgangspunkt bildet: ersetzt mnn die Änderungen durch die Differentiale, so kommt man zu fliner Relation, die,· wie man sagt, "für den Grenzzustanrl'· richtig ist; analytisch heißt dies, daß sie richtig wird, nachdem man sie durch das Differential der unabhängigen Variablen dividiert. hat und zur Grenze übergrgangen ist. In den beiden Fällen von 56 hat das Differential folgenne Bedeutung. 1) Traite dn C:alcul differential et du Calcul inh'gral, I. Band, (UHO\ p. 240.

Differential-Ableitung einer Summe.

103

Ist f(x) der in der Zeit x zurückgelegte Weg, also f'(x) die am Ende dieser Zeit herrschende Geschwindigkeit, so stellt das Differential df(x) = f'(x)dx den in dem Zeitintervall (x, x + dx) beschriebenen Weg umso genauer dar, je kleiner da:, und man kann dx so klein wahlen, daß der Unterschied zwischen dem wirklich zurückgelegten Weg L1 f(x) und diesem df(x) im Verhältnis zu dx beliebig klein wird. Wird f(x) in den Ordinaten einer Kurve zur Darstellung gebracht, so ist df(x) = f(x)dx = dx tg a..., QR (Fig. 28) die Anderung, •welche die Ordinate der Tangente bei dem "Übergange von x zu x + dx erfährt; dies unterscheidet sich von der Ände111ng der Ordinate der Kurve, von LJf(x) = Q.M', nmso weniger, je kleiner da:, und wiederum kann dx so eingeschränkt werden, daß das Verhältnis ß/(x)-df(x) . d. ·- · ··-- · ·· -· = RM' ----- dem B etrage na.ch b e1"1eb"tg kl. em w1r dx

]I!Q

§ 2.

•

Allgemeine Sätze liber Differentiation.

&9. Ableitung einer Summe. Sind f(x), g(x) zwei in dem Intervall (c.:, ß) stetige und differenzierbare Funktionen, so hat auch deren Summe j(x) g(x) einen Differentialquotienten; denn der Differenzenquotient

+

_!(~_-+:_~) _±g(x_!c_?l)-_l[Ja:)

h

+ g(•~J 1=

j(x + h)-fon Operationen gebildeteu Funktionen zu differenzieren. 69. Die Hyperbelfunktionen. Zu deu elementaren transzendenten Funktionen zählt man auch die Hyperbelfimktionen, so genannt, weil sie geometrisch mit der gleichseitigen Hyperbel in ähnlicher Weise zusammenhängen wie die trigonometrischen (Kreis-)Funktionen mit dem Kreise. Sie sind um die Mitte des 18. Jahrhunderts von V. Ric ea ti mit den heute üblichen BezPichnungen eingefiihrt und lwRonders von Lambert weiter ausgebildet worden. Ihre analytische Det1nition kann mit Hilfe der natUrliehen Exponentialfunktion wie folgt gegeben werden. Ist 11 die unbeschränkte r 1, hingegen beständig abnehmend, wenn 0 < a < 1 ist; d" ist also wachsend. 1

Aus Dl"= -- erkennt man, da x X

> 0,

daß lx eine wachsende

Funktion ist. Da D tg x = sec 2 x, so ist tg x eine wachsende Funktion; in der Tat, indem x nacheinander die nicht abgeschlossenen Intervalle (-

-~, ~-),

n)

( ; , 32

durchläuft, geht tg x beidemal durch das Inter-

vall (- oo, oo ). In gleicher Weise schließt man aus D cotg x = - cosec» x auf be8tändige Abnahme von cotg x.

Weil D arctg x

=

-+

1

xu so wächst m;ctg ,:r, fortwährend; tatsächlich

durchläuft es das Intervall (-

i• ~-), während

:r.

von - oo bis

+ •:x>

wächst. Aus D arccotg x

= - i-=-~xi I

schließt man in ähnlicher Weise auf

die ständige Abnahnle von arccotg x.

122 Elem. der Dilferentialreehn.

§ .J,. Sätze üb. d. Zusammenh. einer Funktion usw.

Man kann - und ist dazu unter Umständen genötigt - in Bezug auf Zu- und Abnahme zwischen rechts- und linksseitiger Umgebung unterscheiden. So sind die Funktionenf(x) = x- [x] (&9, 2.) (&7, 4.) rechts von jeder Stelle wachsend, sie sind uild /(x) = x es aber nicht in der Umgebung jeder Stelle, wegen der Unstetigkeitspunkte, daher auch nicht in einem Intervall, das einen oder mehrere Unstetigkeitspunkte enthält. Wenn eine Funktion 6ri einer Stelle trotz ihrer Stetigkeit daselbst keine Ableitung besitzt, so kann auch nichts über Wachstum oder Abnahme ausgesagt, daher auch keine geometrische Darstellung in der nächsten Umgebung gegeben werden. Dies trifft beispielsweise bei der schon wiederholt angeführten Funktion

[f]

j(x) = x sin ~

für

x =i= O, f(O)

=

0

an der Stelle ;!': = 0 zu; in der Tat läßt sich keine noch so enge Umgebung dieser Stelle abgrenzen, innerhalb deren alle /(x) größer oder kleiner als Null wären, 72. Der Satz von Bolle. Wenn die Funktion J\x) in dem abgeschlossenen Intervall a < x < {J stetig ist und an jeder Stelle i1fl lnnern einen endlichen oder bei>timmt unendlichen Differentialquotienten besitzt, wenn f'erner f(a) = 0 und f({J) = 0, so gibt es wenigstens eine Stelle zwischen a und {J, an der f' (x) verschwindet. Behielte die Funktion den Wert Null im ganzen Intervall (oder au eh nur in einem Teile desselben) bei, so wäre sie eine konstante Funktion und hätte als solche überall die Ableitung Null (&&); der Satz bedürfte dann keines Beweises. Diesen Fall ausgeschlossen, wird die Funktion von a an entweder wachsen oder abnehmen - wir nehmen das erstere an; das Wachsen kann aber nicht durch das ganze Intervall anhalten, soll f(ßJ = 0 werden, daher muß man zu einer Stelle~ kommen, an der das Wachsen aufhört und das Abnehmen beginnt; diese Stelle ist dadurch gekennzeichnet, daß sich ein positives d bestimmen läßt derart, daß j(;- h) /(; + h) für alle 0 < h < b; zufolge der Beziehungen (1), (2) ist die .Funktion an dieser Stelle weder wachsend noch abnehmend; ferner ist .[(§_-:-~) -.!o

I

.tc~ +.!!L=f~~) h

< O· l

der erste Quotient kann mit lim h = 0 nur einer positiven oder der Grenze Null zustreben, der zweite nur einer negativen oder der Grenze Null; da aber beide Quotienten nach Voraussetzung einen gemeinschaftlichen Grenzwert haben, so muß notwendig /'(;)=0

123

Satz von Holie. - Mittelwertsatz.

sein, womit der Satz erwiesen ist. - Im Falle des Abnehmens von a an ergeben sich analoge Schlüsse. Bei geometrischer Deutung der Funktion hat der Satz von ·Rolle eine unmittelbar anschauliche Bedeutung. Eine Kurve AB, Fig. 32, welche die Abszissenachse in den Punkten A, B Y schneidet und an jederZwischenstelle eine einzige r bestimmte Tangente hat (die auch parallel zu , _ _ .1.1-L T 0 Y sein kann), besitzt mindestens einen Punkt I /~ M, in welchem die Tangente JfT parallel der __ 0 ~ I -~-:_~ß~x Abszissenachse ist. ·I 7 "-../ Die Voraussetzungen des obigen Satzes Fig. s2. können auch dahin abgeändert werden, daß j{a) = f(ß) = 0 sei; denn die Funktion j(x)- C erfüllt dann die Bedingung, bei a und ß zu verschwinden, ihre Ableitung ist aber wieder f(x). Die Funktion j(x) = (x- a) (x- b) hat, um ein Beispiel anzuführen, in dem Intervall (a, b) die oben vorausgesetzten Eigenschaften'; ihre Ableitung j'(x) = 2x- a-b wird denn auch Null an der zwischen a, b liegenden Stelle x

= a

t

b.

Desgleichen genügt die

Funktion j(x) = sinx in dem Intervall (0, n) den Voraussetzungen des Rollesehen Theorems, und in der Tat verschwindet ihre Ableitung f (x)

=

cos x an der Zwischenstelle

.1: =

;- .

73. Der Mittelwertsatz. Wenn die Fwzktion f(x) in dem abgeschlossenen Intervan a ~ x ~ ß steti,q ist und an jeder Stelle im lnnern einen endlichen oder bestimmt unendlichen Differentialqu.otienten besitzt, so gibt es wenigstens eine Stelle ewischen a ·und ß, cm der f' (x) übereinstimmt mit dem Diffetenzenquotienten .f(ßJ_::--~(a) Dieser Satz, fül' die Analysis von großer Bedeutung, findet sich zuerst bei J. Lagrange und wird auch häufig nach ihm benannt. Zum Zwecke des Beweises konstruieren wir aus j(x) die neue Funktion rp (X ) = j

·cX ) - /·c«), r, X - a). tCß) -J(rx) --~f=-; -

1

die ebenfalls an jeder Stelle zwischen a und ß einen Differentialquotienten besitzt, da

q;' (x)

=

j' (x) - .tiP~

~(~1,

und die überdies die Eigenschaft q;(a) = O, q;(ß) = 0 hat. Demnach erfüllt sie die Voraussetzungen des Rolleschen Satzes, und es gibt daher wenigstens eine Stelle ~ zwischen a und ß, an der q;'(~) = 0, dort ist also

(3)

124 Elem. der Differentialrechn. § 4. Sätze üb. d. Znsazumenh. einer Funktion usw. Der Satz kann auf irgend zwei Stellen x und x + h aus (rx, ß) zur Anwendung gebracht werden; ~ bedeutet dann einen zwischen x und x + h liegenden Wert und ein solcher kann in der Form x + Oh dargestellt werden, wenn: 0 < 0 < 1 ist; mithin gilt: .!Jx

oder

+1~- f(x) =_I' (x + ()h)

(4) j(x + h) -_l(x) =· hf(x +eh). Die Darstellung einer endlichen Differenz der Funktion durch

einen Zwischen- oder Mittelwert ihres Differentialquotienten findet sehr y häufige Anwendung; einige wichtige Folgerungen T. sollen schon hier angeffihrt werden. --~B Vorher möge noch der geometrische Sinn /i der Formel (3) erwähnt werden für den Fall, daß / i man die Werte von j(x) durch die Ordinaten l einer Kurve AB, Fig. 33, darstellt; hat diese 1a : , x Kurve in jedem Punkte eine einzige bestimmte 0 a ß Tangente (die an einzelnen Stellen auch parallel Fig. 88• zu 0 Y sein kann), so gibt es zwischen A und B mindestens einen Punkt M, in welchem die Tangente MT der Sehne AB parallel ist. Um zu zeigen, daß der Mittelwertsatz versagt, wenn die Funktion nicht alle bei seiner Ableitung gemachten Voraussetzungen erfüllt7

,........r ...............

sei das folgende Beispiel dnrcbgefiihrt 1). Ist f(x) dagegen _1(0) = O, so gibt die Formel (3): 1

1

= --'X

fiir x =!= 0,

1

-~---; = - (ß- a) -~~'

woraus ~~ = a(J; dies aber ist nicht möglich, wenn das Intervall (a, {J) die Null enthält, weil dann «, (:1 entgegengesetzt bezeichnet sind. Auch wenn die Null den .Anfang des Intervalls bildet, kommt man zu einem Widerspruch, weil dann

}-0==-~ und somit ~ 2 = - {J2 sein müßte. Der Grund dieser Erscheinungen liegt in det· Nichtexistenz von f(x) bei x = 0 An einer früheren Stelle (&&) ist gefunden worden, daß der Differentialquotient einer konstanten Funktion Null ist; nun kann auch die Umkehrung des Satzes bewitlsen werden, nämlich: 1Venu die

Ableitung f' (x) einer Funl.:twn /(x) an allen Stellen des Interralls (a, ß) Null ist, so ist die Funktion in diesem Intervall konstant. 1) E. c e Bar 0, Lehrb. d. a.lgebr. Anal., nsw., deutsch von G. Kowalewski, p. 2SS.

Folgerungen s.us dem Mittelwertsatz.

125

Sind nämlich x 1 , x 2 zwei Stellen in (a, {3), so ist zufolge (3) /(x2 ) -j(x1) = (x2 - x1 )/'(~) mit x1 < ~ < x2 ; da aber für. jedes ~ zwischen a, {3 f' (~) = 0, so ist j(x2 ) - f(x 1 ) = 0, also /(x1 ) = /(x2); wenn aber jede zwei Werte von f(x) aus dem Intervall (a, ß) einander gleich sind, so hat die Funktion notwendig einen konstanten Wert. Aus diesem Satze folgt der weitere: lVenn zwei Funktionen j(x), qJ (:;~:) in einem Intervall (a, ß) gleiche Differentialquotienten haben, so können sie sich nur durch eine additive Konstaute 1mterscheiden. Denn, aus folgt auch

J'(x)

=rp'(x:)

D[f(x)- fJJ(x)]

=0

und daraus nach dem vorigen Satze f(x)- fJJ(x) = C, wenn C eine Konstante bedeutet. Im Artikel 71 ist gezeigt worden, daß die Ableitung einer in dem Intervall (a, {3) beständig wachsenden (abnehmenden) Funktion niemals negativ (positiv) ist; auch die Umkehrung dieses Satzes kann jetzt bewiesen werden: Wenn die Ableitung von j(x) in dem Intervall (a, {3) niemals negativ (positiv) und auch nicht in einem Teile des

Intervalls beständig Nun t:st, so ist die Funletion wachsend (abnehmend) in dem Sinne, daß für irgend zwei Werte x 1 < x 2 aus (a, ß) die Relation f(x1) /(Xs)] stattfindet. Bedeutet x' einen Wert zwischen x 1 und x 2 , so daß x11 x', x 2

wachsend geordnet sind, so ist auf Grund der ersten Voraussetzung j(x')- /(x1) = (x'- X 1 )/'(~1 ) 2 0 j(x 2 ) - f(x') = (x,- x')/' (~ 2 ) ~ 0, wobei ~1 einen Wert zwischen x1 und x', ; 2 einen Wert zwischen x' und x2 bedeutet; daraus folgt

/(xl)

~j(.x')

'5j(x2);

aber nicht für alle :-c' können beide Gleichheitszeichen gelten, weil sonst für alle Werte x' zwischen x1 und x 2 die Beziehung f (x1) ·= / (x') = / (;1:2) stattfände, die zur Folge hätte, daß in diesem Teile von (a, {3) f' (x) beständig Null wäre, was gegen die Voraussetzung verstößt. Es gibt also sicher t·inen Wert x', für den wenigstens eines d~r beiden Ungleichheitszeichen gilt, und darum ist notwendig

/(xt) 0 daß

= --

1 und

11

- 1Y' ' - l · 1 · 2 · · · (n - 1) ; J)"[x ·= ( o ______ , ______________

(3) x" auch diese .Formel kann dadurch v-erallgemeinert werden, daß man ax + b an die Stelle von :x treten läßt; es wird

(4) 3. Aus der Formel Dex = e"' folgt unmittelbar Dne•· ;= e";

(5)

129

Methoden zur Bestimmung höherer Ableitungen.

dagegen ist Dtfx = ktf" und nnd weil a" =

D"ff" = k"ff"; er'a, so ergibt sich hieraus

(6)

Dna"'= (la)nax. 4. Die Formel D sin x

=

cos x

sin ( x

=

+ ;)

zeigt, daß die em-

malige Differentiation von sin x der Vermehrung des Arguments um ; äquivalent ist; infolgedessen wird n-malige Differentiation einer Vermehrung des Arguments um n J)'t

DIU"ch denselben =

COS (

sinx

i-

=

äquivalent sein; es ist also sin

(x + n

~).

(7)

Schluß ergibt sich aus D cus x

=

-

sin x

X+ -2): n'

D" eos x = cos (x

+ n ~-) ·

(8)

Vennöge der Periodizität nehmen die rechten Seiten der Formeln (7) und (8) nur je vier verschiedene Werte an, nämlich die n = 0, 1, 2, 3 entsprechenden, und diese in zyklischer Wiederholung. Il Zerlegung in Teile. Hat man /(x) als Summe zweier oder mehrert>r Funktionen dargestellt, etwaf(x) = tp(x) "1/J(x), soist(&1, 1)

Dn/(x)

=

D"q;(x)

1 1 - - -= _!_ 1---1. Es ist - - -

-T

1

=

+- _

__!__] · mithin

2a La+ b.T ' a - bx '

a'- b!x'

D"a•-bTit

+ D"w(x).

+

1

2a [Dn(a

+ bx)- 1 + J)'t(a- bx)- 1];

auf die Ausdrücke der rechten Seite ist die Formel (2) anwendbar, und man findet:

n~-. ~---=(-~[~~~b"[ __l ___ 2a

a!-b~x!

Für

(~

(a+b.r:"..-1

+

(9)

_(:--l)n·-J

(a--bx)n+l.

= 1 und b = i ergibt sich hieraus

nn

1-; .x··

==

(~-::D~ ~~-~-·.~ Cx -.. .f[)" +

1-

(:Z +-~~-,;+I].

Diese F(lrmel kann dazu verwendet werden, den allgemeinen Differen_x;, tialquotienten von arc tg x zu bestimmen; da nämlich D arc tg x =

i-+

so ist D" arc tg x = D" ·- 1 i"

f.-.;,, also auf G.rund der letzten li'ormel:

(10)

130 Elem. der Differentialrechnung.

s 6. Die höheren Differentialquotienten usw.

2. Es ist cos ax cos bx ~ ~ {cos (a ra+b'n

+ b)x + cos (a- b)x), mithin [

+ b)x + n 2n-J

[

+ n n' :!J

D" cos ax cos bx = ~- 2 L cos (a bi'' + (a~ 2

cos (a- b)x

(11)

III. Zerlegung in Faktoren. Die Funktion y = f(x) sei in zwei Faktoren u = ff!(X.! und v = l/J(x) zerlegbar, für welche der allgemeine Ausdruck des den Differentialquotienten bekannt ist. Dmch sukzessive Differentiation ergibt sich: y'

=

y"

=

y"'

=

+ uv' ·tt" v + 2 u' v' + u v" u"' v + 3u,'' v' + 31t' v" + u·v"'; u' v

woraus der Schluß gezogen werden kann, daß y_'_~2 "'1/J(:t)

1/J(:x:)'

durch Multiplikation mit dx: d{ g;(x)'I/J(x)} == tfJ(x) · drp(x) d

(x) · dtJ,(x)

'1/J(~~cpJ_x)- cp(x) · d_~·i~).

1/J(x)'

un; m 0 erlangt j(x) = !~~;;; für lim x

=

+0

die Form ~ ; einmalige Anwendung des Satzes gibt

I.

JID x= +0

/ '(.X) = '

a sec 1 ax . ~ 1UD-"-:~-s~c_____:

. = 1liD

tgx

asin2x sm 2 a x '

---c-- -

und da der neue Bruch die Form -~- annimmt, so hat man weiter .

-· )

l liD j (X = ,.'=+ll'

. --------2acoe2x 1liD = l 2acos2ax

'

142 Anwendungen der Differentialquotienten.

§ 1. Unbestimmte Formen.

4: Auf die Funktion /(x) = ~- T ~~x deren Zähler und Nenner x-s1nx'

bei ]im x = oo unendlich werden, ist das Verfahren nicht anwendbar, weil die Ableitung des Nenners, 1 - eosx, niemals aufhört Null zu werden; es zeigt sich dies auch darin, daß der Quotient der Ablettungen - 1 =-:-~~~ für lim x 1 - cosx'

'

oo (oder - oo) keiner bestimmten

=

+

oo zu Grenze zustrebt, vielmehr niemals aufhört, zwischen 0 und schwanken. Trotzdem konvergiert die Funktion gegen eine bestimmte Grenze, nämhch 1, wie unmittelbar ersichtlich ist.

81. Die l'orm 0 · oo entsteht, wenn bei einem bestimmten Grenzübergange lim x = a in f(x) = q>(x)t/J(x) der eine Faktor, z. B. qJ(x), gegen Null konvergiert, während der andere gleichzeitig unendlich wird. Man führt diese Form auf eine der früheren zurück, indem man - '!/->_~) - schreibt

das Produkt in der Gestalt eines der Quotienten ___IJl!·'l:_)

'1/J(X)-11 tp(.r.) -1

1

worauf die früheren Sätze und Methoden angewendet werden können, sofern die hierzu erforderlichen Voraussetzungen erfüllt sind. Beispiele. 1. j(x) = x"'(lx)" nimmt bei lim x = + 0 die Form 0 · oo an, wenn m, n positiv sind; bezüglich n werde noch vorausgesetzt, daß es so beschaffen ist, daß (lx)n bei dem Grenzübergange reell bleibt. Schreibt man die Funktion m der Form

(l~Z)" II)

_ "., so tritt der Fall 80

ein, man hat also .

hm /

z=+O

.·1~ • (lx)"'. n(lx) - l x --- -- -- - - = - - bm -- -- x = bm 1

()

1

1

71

-

m

mx-"'-

.'X-m

1

die Form besteht weiter, wenn n > 1. Ist n eine ganzH Zahl, ergibt sich nach n-maliger Wiederholung des Prozesses _

.

~l,

(-l)"n!.

hm j(x) =---~-- bm x"'= 0; ·m

z=+O

liegt hingegen n zwischen zwei ganzen Zahlen p und p man. nach p + -I-maliger Wiederholung lim /(x)

=

+ 1,

t:.!l+ ~_n(n_=-_1)-~:_:~~ ::-_- p) lim Q,:J"-P:::~ = x-n•

mP+l

""=+O

0

so hat

'

weil -- x+.,~1--- ein Bruch ist, dessen Zähler gegen Null konvergiert (la;)P

-n

und dessen Nenner unbegrenzt wächst. Man kann den vorliegenden Fall übrigens durch die Substitution x .. e-• auf einen früheren zurückführen; es wird nämlich

!

(x) •

I

(- 1)" z"

(- l)n (mz)"

-' - - -e•n; = - m" = ---em:

143

Die :Formen 0- oo und oo - oo.

und da lim x auf 80, 1:

+0

=

zur Folge hat lim ms = oo, so ist mit Berufung .

• ,

1--1';·"

hm·j· IX)=' -. .·

r=-r-0

2. f(x) =

n

m

-

(mz)"

.

hm --mz

=

e

m.:=oo

0.

x(a:- 1), worin a > 0, erlangt sowohl für lim x

als auch für lim ax·-1

1

-- und setzt -X

f

=

=

-

= oo oo die Form oo · 0; schreibt man dafür

z, so wird

X

.. -

a'--1

J (X)="--, ' z

und nimmt für lim z = 0 die Form -~ an· man hat also nach 79: 0

.

-

hm J (x)

x=oo

=

'

.

a'- 1

hm --z=O

Z

=

'

.

azla

hm ----- = la 1

.

89. Die Porm oo- oo tritt bei j(x) = cp(x)- -rp(x) ein, wenn bei einem bestimmten Grenzübergange lim .'C = a Minuend und Subtrahend gleichzeitig gegen oo oder - oo konvergieren. Man kann nun von der Differenz auf verschiedene ·weise auf einen Quotienten übergehen, der dann eine der Formen --~,: annimmt; so kann J(x) umgestaltet werden in 1

1

cp(x)-=-1- 1Jl(a:)-1 =

1Jl (xf 1 - 9l (x)- 1

e'P 0 sei. Schreibt man f(x) in der Form einer natürlichen Potenz: oder

j(x)

=

el/J(x)Ztp(x),

so nimmt der E:xponent in allen drei Fällen die Form 0 · f"(a + k), so daß m der Umgebung des Minimums das Verhalten j"(a- h) > O, f'(a) = O, f"(a + h) > 0, f"(a- k) > J"(a) (a) hm 1_ --~-' = hm _____________ x-a

.TJ-a

150

Anwendungen cl.er

Differ~ntia.lquotienten.

§ 2. Ma.xima und Minima usw.

ist, so wird lim/1:> ~f_(a) (x -a)"

=

-~ f(a) < 0 ist. Bei ungeradem n hingegen wechselt j(x)- f(a) sein Vorzeichen beim Übergang von der einen Seite der Stelle a zur andern, es findet ein extremer Wert nicht statt; vielmehr ist f(x) in der Umgebung von a wac.hsend, wenn fnl(a) > 0, abnehmend, wenn J'"l(a) < 0 ist. Demnach lautet die alle Fälle umfassende Regel: An einer Stel7e x = a, d/e der Gleichung f'(x) = 0 genügt, erlangt j(x) ein Extrem nur dann, U'enn die näChste an dieser Stelle nicht verschwindende Ableitung von gerader Ordnwng ist; ist sie negativ, so ist f(a) ein ...ilfaximum, dagegen ein :Minimum, wenn diese Ableitung positiv ist. Bei der Darstellung von f(x) durch die Ordinaten einer Kurve hat das gemeinsame Merkmal von Maximum und Minimum, d. i. j'(a) = 0, eine anschauliche Bedeutung; es besagt, daß in den Punkten der Kurve, zu welchen extreme Werte von f(x) gehören, die Tangente parallel ist zur Abszissenachse (ö6). 89. Beispiele. 1. Die in 86 behandelte Funktion j(x) = 2.:X; 3 - 3x2 + b erledigt sich mit Hilfe •der zweiten Ableitung j''(x) = 12 x -- 6, wie folgt: es ist f' (0) = -- 6 < 0, daher f(O) = b ein Maximum, f'(l) = 6 > 0, daher /(1) = b- 1 ein Minimum.

li

ergibt sich durch Nullsetzen von j'(x) = !~-.1-:I!. 2. Für /(x) = :x = e als die einzige Stelle, an der ein extremer Wert stattfinden "tj() k ann· da f.erner /"() e = --1 ----3 < 0 so 1s ----- --- som1"t("f'e1 = -1 x = 2lx-3 '

x"

'

·

\ '

e

'

•

e

der Maximalwert der Funktion. 3. Die Frage, ob es ein Logarithmensystem gibt, in dem einmal der Logarithmus mit dem Numerus übereinstimmt, kann in folgender Weise erledigt werden. Setzt man log" x - x = y, a > 1, so hat man es mit einer Funktion zu tun, die sowohl für kleine (unter 1 liegende) als auch für große positive Werte von :x negativ ist; wenn also ihr Maximalwert positiv oder Null ist, so tritt der Fall y = 0 notwendig (zwei- oder einmal) ein (61, 3).

Beispiele von Extremwerten. log e

,

. .

151

.

.

Nun ISt y = __:Ca- - 1, verschwmdet bei ;r = loga e, ist vor dieser Stelle positiv, jenseits derselben negativ~ folglich ist log 1 loga e - loga e ein Maximum 1) von y; man hat also zur Lösung der Frage den Ansatz loga log.e -- log,,e

wo rau;;

log c

loga- ,. '' log e ... rr

e

> 0,

>]

'

=

I

log"e ·

> 0,

>1

und schließlich a < e' = 1,444ti67 · · · folgt. Nur in solchen Logarithmensystemen tritt also der oben erwähnte Fall ein, deren Basis unter dieser Zahl liegt. 4. Handelt es sich um die Extreme einer Funktion, welehe die .Form eines Bruches

besitzt, dessen Zähler und X enner von :.t ab-

,.

1.{._

hängen, so kann die Rechnung eine wesentliche Vereinfachm1g erfahre!!. Zunächst ist fiir das Verschwinden von notwendig, daß

0

(a) sei, wenn nicht für den aus dieser Gleichung berechneten Wert a: = a ausnahmsweise auch v = 0 ist. Diesen .Fall ausgeschlossen, hat man tt'v -- 11v' =

weiter /

(u''·c-wc")v'-2vr'(u··v-uv'. \ ·"( , V~ ... \X)= ...

also ·

/" ( a) " '

=

(u" v -:-:;

Mithin hat man nur den Ausdruck U " V-

tt 1' " )

UV

•

r= a

r~

"

(ß)

auf :sein Vorr.eichen zu prüfen, um über .Maximum oder Minimum zu entscheiden. So lautet für f(x) l0 g ----· -·- - ----·- -r y" = -- :t~

=

~:!.~t~

die Gleichung (a)

x2 - 1 = 0 (~

kann nicht verwendet werden, weil man iiber das Vor-

zeiehen von log,, I' von vorneherein nichts aussagen kann.

152 Anwendungen der

DHfer~_>ntialquotient-en.

§ 2. Maxima. und Minima uaw

und der Ausdruck (fJ) - 4x; er ist für x = negativ; folglich ist

f(-1) =}ein Minimum, /(1)

=

-

1 positiv, für x = 1

3 ein Maximum.

5. Die Zahl a ist in zwei Teile zu zerlegen derart, daß das Produkt dieser Teile den größtmöglichen Wert annehme. Ist der eine Teil x, so ist a - x der andere, und es handelt sich um das Maximum von f(x) = x(a- x). Aus f'(x)"'"' a- 2x = 0 folgt x ist, so ist tatsächlich

=

/(~)

; ,

und da /"(x)

=-

2 negativ

= {

der größtmögliche Wert des Produktes. Auf diesen einfachen Falllassen sieh mancherlei Probleme zurückführen; als Beleg dafür mögen die folgenden dienen. ce) Unter den Rechtecken von gegebenem Umfange 2a jenes von der größten Fläche zu bestimmen. Heißt eine Seite des Rechtecks x, so ist a- x die andere; es soll also x(a- x) ein Maximum werden. Das verlangte Rechteck ist demnach das Quadrat. ß) Unter den einem gegebenen Kreise vom Durchmesser a eingeschriebenen Rechtecken dasjenige von der größten Fläche aufzu· suchen. Ist x die eine Seite des Rechtecks, so ist das Quadrat der anderen a 1 - x•, xyti2-=-x1 die Fläche; ihr Quadrat x2 (a 1 - x 2 ) wird ein Maxi· mum für x 8 == ~~, die Fläche selbst ist dann ebenfalls ein Maximum a1 = 2 und der Gestalt nach ein Quadrat, weil x =

--· -----

a

y' a:il - x2 =- y2 ·

r) Den Elevationswinkel bei dem schiefen Wurf zu bestimmen, bei welchem sich die größte Wurfweite einstellt. Heißt c die Wurfgeschwindigkeit, g die Beschleunigung der 2 t • Schwerkraft und x der Elevationswinkel1 so ist c sm ~ c~s-~ die Wurfg weite; sie wird zu einem Maximum, wenn sin x cos x oder sin1 x cos 2 x - sin1 x(l - sin'x) seinen größten Wert erlangt; dies aber geschieht filr sin2 x = ~-, also für x = d. i. bei einem Winkel von 45°. d') Die Höhenlage der Öffnung in der Seitenwand eiues bis zu einer gewissen Höhe mit Flüssigkeit gefüllten Gefäßes zu bestimmen, bei welcher die Ausflußweite am größten ist. Bedeutet lt die Tiefe der horizontalen Grundebene und x die Tiefe der Öffnung unter dem Flüssigkeitsspiegel, so ist die .Ausfluß-

1-,

loS

Beispiele von Extremwerten.

weite 2

v'x(h-=-x);

sie wird am größten, wenn x(h- x) ein Maximum

erreicht, und dieses tritt filr x == ·~ ein. Die Ausflußweite selbst ist dann x = lt. E) Einem Dreieck ein Rechteck derart einzuschreiben, daß eine Seite des Rechtecks in die Basis des Dreiecks fällt und seine Fläche möglichst groß wird. Bezeichnet man mit c, h Basis und Höhe des Dreiecks und mit x den Abstand der gegenüberliegenden Rechtecksseite von der Spitze, so drückt 11ich die Rechtecksfläche durch

i x (h -

x) aus, wird also

~ ist.

ein Maximum, wenn x =

6. Einer Kugel einen KPgel von maximalem Volumen einzuschreiben. Ist r der Radius der Kugel und rs der Abstand ihres Mittelpunktes von der Kegelbasis, so hat das Volumen des Kegels den Ausdruck 1:

= ; (r'- x2)(r

Der variable TPil, (r~- x 21(r r

=

2-

+ x),

+ x).

erlangt ein :Maximum, wenn

2rx- 3x"= O,

;

die andPre Wurzel, x = - r, führt auf einen be-

langlosen Grenzfall.

. t demnach max v = -fit 3 8 vom E s 1s r3 , d. 1.. 27

d. h. wenn x

~

2n

Inhalt der Kugel 7. Einer Kugel einen Kegel von maximaler Mantelfläche einzuschreiben. Mit Beibehaltung der vorigen Bezeichnungen ist die Mantelfläche JJf = ~

V2r(r•-xx)(r + x).

Hiernaeh hat derselbe Kege~ dessen Volumen. ein Maximum, auch die größte Mantelfl.ä.che; max M- ;~ ro/3. 8. Ans einer Kreisscheibe einen Sektor so auszuschneiden, daß der aus dem Rest der Scheibe geformte Trichter einen miiglichst großen Fassungsraum besitze. Bezeichnet r den Radius der Scheibe, x das Bogenmaß des Zentriwinkels des restlichen Sektors, so ist das Volumen des kegelförmigen Trichters

v=-i (i~YVr•- (;:)i= ~;~ (2a;nY A~t· Setzt man (;"') 2 = y, so handelt es sich um das Maximum von y yi-~y

154

Anwendungen der Differentialquotienten. § 2. Maxima und Minima usw.

oder von y 2 (1-y); dieses tritt ein für 2y-3y 2 =0, also, von der belanglosen Be3timmung y = 0 abgesehm, für y =

"';~,

mithin für

x = 2 x V~~, d. i. für einen Zentri winket von 293; P0° und zwa.r ist max v =

2 -:! 27

r 3 ~r13.

9. An den Ecken einer rechteckigen Tafel sind quadratische Ausschnitte anzubringen derart, daß der aus dem Rest geformte parallelepipedische Behälter einen maximalen Fassungsraum annehme. Sind a, b die Seitenlängen des Rechtecks, x die Seite des Ausschnitts, so ist der Inhalt des Behälters

v = ((t- 2xl (b -- 2x)x = 4xs- 2(a + b)x 3 + abx . .Zur Bestimmung von x hat man also die quadratische Gleichung 12x2 - 4(a + b) :r +ab= 0, deren Wurzeln

sind; die zweite Ableitung, 24x- 4(a die Werte an 1 so Lösung auf das kürzere

+ b),

nimmt an diesen Stellrn

daß x 1 zu dem verlangten Maximum führt. Der zweiten x 2 würde arithmetisch ein Minimum entsprechen; mit Bezug gestellte Problem ist sie aber unzulässig; denn, ist b die der beiden Seiten, so ist . ,

b- 2x2 =

2b- a- yä-~+ b2 - - ab ---------

3 ···-- ---

< 0,

weil (2b- a) 2 = o2 - 4b(a- b) < a 2 + b2 - ab= a 2 - b(a- b), daher 2x2 > b und der Ausschnitt nicht möglich. 10. Es sind zwei Punkte A, B und eine sie nicht trennende Gerade XX' gegeben (Fig. 37). Man soll den kürzesten über einen _.----- -Punkt von X X' führenden vV eo- von 0 (-~'-:.-.. ," A nach B bestimmen.

\: "--...... '. Determinante mechanisch so, daß man die Pro\'3)'-.j~< . ·t, d~k.te der drei im nebenstehenden :Silde d~~h vo~e (:x / , \ Lllllen verbundenen Elemententripe l add1tlv, d1e ri{ >-,, \ Produkte der drei durch punktierte Linien ver\5} e, bundeneu Elemententripe l subtraktiv ansetzt. Nach diesem Verfahren ergibt sich beispielsweise

+

C>

1 2 3·I

4 5 6 i = 45 7 8 9i

+ 84 + 96 -

105 - 4:8 -- 7 2

=

0.

§ 3. Haupteigenschaften der Determinanten. 97. Gleichberech tigung von Zeilen und Kolonnen. Wenn

man in e.iner Determinante die Kolonnen in derselben Reihenfolge ::tt Zez?en macht, so behiilt sie ihren Wert bei. Die beschriebene Umgestaltung verwandelt nämlich

und läßt die Hauptdiag()nale, also auch Jas Hauptglied, a 11 a 22 • · · a.. ,. ungeä.ndert; die Entwicklung von R durch Permutierung der Kolonnenzeiger gibt dasselbe wie die Entwicklung von R' durch Permutierung der Zeilenzeiger; mithin ist B'""' R. Vermöge dieser Gleichberechtig ung gelten Sätze, die man bezüglich der Zeilen nachgewiesen hat, auch bezüglich der Kolonnen und umgekehrt.

Entwicklung und. Haupieigenacha.fte.n der Detemiinanten.

165

88. Verta118Chunc pa.raJ.leler Beihen. Wem~ man in einer DerermiMnie 1wei parallele Reihen m-it einander 11erlauscht, so ändert der Wert der Determinante bloß se1:n Vorzeichen. T.ta.D.Sformiert man beispielsweise durch Vertauschung der ersten zwei Kolonnen j alll au .•. ~~ a,ll ... aln R = •a.21 a22 .•• a~,. I in R' =o I a22 alu ... a2,. '

I

I

al•l

Ia"· ·a"· · · ·a·•• I!

I · · · · ··· I

1

!a

2 • ••

212

a..t · . · a,.. 1

so erscheint das additiv zu setzende Hauptglied au a11 a33 • • • a"" von R' in R als subtraktives Glied, entstanden aus a 11 iZts flas · · · a.." durch Vertauschung der ersten zwei Kolonnenzeiger; dies hat zur Folge, daß jedes Glied von R' mit entgegengesetztem Zeichen in R vorkommt; es ist also tatsächlich R' = - R. Wenn man daher in einer Determinante Zeilen und Kol.onnen in irgendeiner Weise ttmstellt, so ändert sie ihren absoluten Wert nicht; nur das Vorzeichen kann sich ändern. Ob das letztere geschieht, hängt von der Anzahl der Transpositionen ab, die man mit den Zeilen ,)lUd Kolonnen bei der Umstellung vorgenommen hat, in letzter Linie also von den Klassen ab, denen die Permutationen der Zeilen- und Kolonnenzeiger in der neuen Form angehören. Gehören beide Permutationen zu derselben Klasse, so bleibt auch das Vorzeichen erhalten; gehört:n sie zu verschiedenen Klassen, so ändert sich das Vorzeichen; denn im ersten Falle kann die Umstellung durch eine gerade Anzahl von Transpositionen, im zweiten Falle durch eine ungerade Anzahl erzielt werden. Bringt man beispielsweise in der Determinante

al bl I R= ~bsc2 d1 Ias bs c3 ds ct dt

I'

j

1 a, b, c, d4 ! die Kolonnen in die Reihenfolge cadb, die Zeilen in die Reihenfolge 3 241, so geht sie über in

Jtaasdsbs

R' =

i·c, lls d, bt

c, a, d, b,

!cl al dt bt

und es ist R' = - R, weil cadb eine ungerade, 3241 eine gerade Permutation ist. 88. Gleiche parallele Reihen. Wenn in einer Determinante zwei parallele Reihen übereinstimmen, so h4t sie den Wert NulJ.

166

Determinanten. § 4. UnterdAtermiuanten.

Nach dem vorangehenden Satze ändert sich durch Vertauschung zweier paralleler Reihen das Vorzeichen der Determinante, es wird

B'--R; nunmt man die Vertauschung an den übereinstimmenden Reihen vor, so erfährt die Determinante überhaupt keine Veränderung, daher ist dann

B' == R

folglich B = 0. . Demnach ist beispielsweise

Iat bt fit Ia1 b1 a.

-0.

'aa ba aal

100. Kultipllkatiloa UDd Dtvlslon einer Determtaaate mit elnv Zahl. Stellt man die. Elemente einer Reihe als Produkte mit einem gemeinsamen Faktor dar, so .wird, da jedes Glied der entwickelten Determinante aus jeder Reihe ein und nur ein Element enthält, dieser Faktor auch allen Gliedern gemeinsam sein und kann daher herausgehoben werden, so daß

!alc b1 ~

I

ask bj

,yb8

• • •

c. . . .

c

8 •••

I ..•.•. I

Ia b c j a, bl c, . . . : -= k !a b C,··· ,. 1

1 1 • • •

1

11

l ..... .

Eine Determinante kann hiernach mit einer Zahl multipliziert oder dividiert werden, indem man alle Elemente einer Reihe mit dieser Zahl multipliziert, bzw. dividiert. Mit der Annahme k == 0 ergibt sich weiter, daß eine Determinante in der eine volle Reihe von Nullen vorkommt, den Wert Null hat. Es ist also, ohne Rflcksicht auf die übrigen Elemente, 0 0 0 ..

·i

a, b1 C:~

Ia~ ~s. c~

···I

·• ·: I=

0

·

.Eine Determinante hat auch dann den Wert Null, wenn die Elemente einer Reihe proportional sind den Elementen einer parallelen Reihe. Es ist nämlich a1 a1 kc, .. ·[ :a1 a1 C1 " ' I

:

a1 a,k c1 · · • , = k ~ a2 a1 c~ .. · =0. a1 a8 k c1 • · • 1 a3 a3 C8 • ..

I ......

I . .....

Weitere Eigenschaften. -

167

Unterdetermina.nten.

Unterdetermioanten.

§ 4.

101. U'nterdetermiD&nten verschiedener Gracle.

Wenn r-ten der hinter Grades n-ten man in der Matrix einer Determinante cienkt, gezogen Teilstrich einen Zeile r-ten der unter und Kolonne so zerfällt sie im allgeß!.einen in zwei quadra.tieche und zwei rechteckige Matrizen) von den ersteren besteht die eine aus r 2, die andere aus (n- r)1 Elementen. Aus den quadratischen Matrizen können wieder Determinanten gebildet werden, und .diese heißen Unterdetenninanten, Subdeterminanten odar Partialdeterminanten der ursprünglichen. Der beschriebene Vorgang liefert für

I a,,,.+t · · · · · · ·. · a,..

[ au

!

· · · · · · · · a,.. Iast. . . . a,s. . ·. ·.· .· ·.a.,.. . • I! n,,,.+t .•.•........

R

_I a,.l

a~ ..... a,.,. I ar,r+l ...•.... a,.. - - - - - - - - 1 --------~

I

lI

.....·~ ~·...'~ .. ~...., :~· ~ ·:· ~ ..... : . :~·.·:··r a_" 1

•

a,.... · · .. · a,.,.

I a... .. +1 . · .. · · .. a

'lU

I

die beiden Unterdeterminanten:

'au au ... alr i au

O·!: • • •

a,,.

. .·. .

I

11

~ ~ ~~ ·.~ ~I

a,.+l,r+l a,.+l,r+i • · · a,.+,,•!

ar+2,r+l 0 r+t,r+! ... ar+t, .. . . • . . . • • •. •.

l II

I

a..... +• · · · · · a". Allgemein: entnimmt man aus einer beliebigen Kombination von r Zeilen diejenigen Elemente, die in einer beliebigen Kombination von r Kolonnen stehen, so erhält man die Matrix für eine Unterdeterminante r-ten Grades; da es nun (;) derartige Kombinationen von Zeilen und ebensoviele von Kolonnen gibt, so hat eine Determinante n-ten Grades (;)' Unterdeterminanten ,.,ten Grades und ebensoviele des n·Y-ten Grades. Die einzelnen Elemente sind als Unterdeterminanten ersten Grades aufzufassen. 101. AclJunglerte Vntercletermlnaatea. Den Unterdeterminanten A1, ~ kommt die bemerkenswerte Eigenschaft zu, daß je ein Glied von A 1 mit einem Glied von B1 multipliziert Mn Glied von R gibt.

168

Determinanten. § 4. Uuterdeterminauten.

Von den Hauptgliedern ist· dies unmittelbar zu erkennen; daß es auch von irgendzwei andern Gliedern gilt, ist in bezug auf den absoluten Wert daraus ersiehtlieh, daß aus jeder Zeile und jeder Kolonne von R ein Element in einem solehen Produkt vorkommt; in bezug auf das Zeichen ergibt sich die R iehtigkeit der Behauptung aus folgender Erwägung: Ist a 1 ,.. a2 a~ • • • arar ein Glied von ~' a,.+t,fl ein Glied von B 11 so richten sich deren Vorzeiehen ,. a,.+, ,,,.. . , · · • an '''n-r nach den Permutationsformen («) =- "t ~ · · · a,. und (fJ) = {J1 {J1 • · · {J,._,., das Vorzeichen des ProdukteE~ aber ist nach der Permutationsform «1 a1 • • · a,. f:J1 {J2 • • • {J,._,. zu bestimmen; diese hat nun so viel lnver· sionen als (a) und ({J) zusammen 1 gehört also zur geraden oder ungeraden Klasse, jenachdem (a) und ({J) zur seihen oder zu verschiedenen Klassen gehören; dies stimmt aber mit der Zeichenregel der Multiplikation überei.o. Man nennt Paare von Unterdeterminanten, die im Produkt Glieder von R ergeben, adjungitrle Unterdeterminanten. 103. Den Blementen a,dJUDperte 'Untercletermbl.anten. Jedem Element von au al, ... atn i 1

1

I

R- au a22 ... a2"!

I~n~ ~.~2·. ~: ~ ~ l ..

ist. eine Determinante n -=T- ten Grades adjungiert; die zum Element gehörige werde mit aa: bezeichnet. Unmittelbar abzulesen ist die zum ersten Element a11 adjnngierte a111 indem

aik

I

a".-=

all2 a2s ••. a~n

a 82

a 88

• ·-·

a1.,

. I ........

I I

I

I'

a,.. a..s · · · a""!

Ihre Matrix wird erhalten, indem man in der Matrix von R jene Zeile und Kolonne UDterdrückt, denen a11 angehört. Um au, zu erhalten, hat man nur nötig, R derart umzufotmen, daß a;~ an die erste Stelle k~mmt; dann läßt sich "a: wieder unmittelbar ableaen. I. Die Umformung kann dadurch geschehen, daß man die ersten i Zeilen und die ersten k Kolonnen zyldiach permutiert. Nach 83 ist dies äquivalent mit i - 1 + k - 1 - i + k - 2 TTanspositionen von Reihen; die umgeformte DeterminantAI erhält daher das Zeiehen (-l)'+i- 1 = (-l)'H,so daß

Den Elementen adjungierte Unterdetepninanten.

169

o,k a.il a;e · · · ai,k-t ai,k+l ' · a;,.

j

al n

alT< • • • . • • ' ••• ' • • • • •

a,.t . ............... a2,.

R=(-l)i+k

a,-1,,.

a,_t,k • • · · · · · · · • • • • •

a,+l,k · · · · · · · · · • · ·. · • a,+l,,.

I

~~i·a~~ ~~; ·· .·~n,~~~ ~-~*·+~ ~ .·. ~~ .. ~ infolgedessen ist : a.H a12 • • · al, k-l al,k+l a!t

a., a..tt

=

1\

• • • ~ n

• . • • . . . • . • . . • • • • • a2,.

1)'+" ( a.c-1,1 · . · · · · · · .... · · . a.s-t,n I ! al + 1,1 • • • . . . . . . . • • • • • • ai+1,n

I . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . a,.1a.. t•••an,k-lan,t+1

•••Q.711&

I I

Die Matrix dieser Determinante geht wieder aus der Matrix von

R durch Unterdrückung der Zeile und Kolonne hervor, in denen ai,.

vorkommt; das Vorzeichen aber hängt von der Summe i + k, dem Gewicht des Elements a;,, ab. Die Regel, die sich daraus ergibt, lautet: Man erhält die zu einem Element adjungierte Unterdeterminante, indem man Zeile und Kolonne, denen da,) Element angehört, streicht und der Determinante aus der verbleibenden Matrix das Zeichen + oder - gibt, je nachdem das Gewicht des Elements gerad oder ungerad ist. Sind die Elemente nicht mit Doppelzeigern geschrieben, so zähle man längs einer Zeile oder Kolonne von Element zu Element bis zur Hauptdiagonale: gerad, ungerad geben das Zeichen +, -. Nach diesem Verfahren ergeben sich für a1 b1 c1 ~

a, bi c1 d1

a,b8eaa,, a, b, c, d,

I

beispielsweise die folgenden zu f1., a, adjnngierten Unterdeterminanten: Y1~-

all

II

a, b2

I a. bs d3

a, b, a,

j,

1

1

a4

=-

I d I· ds I

f bl Cl d1 1

b:

C2

! ba Cs

2

170

Determinanten.

§ !. Unterdeterminanten.

Il. Das Element a11 wird auch dadurch an die erste Stelle gebracht, daß man alle Zeilen i ::..:.1. ~al und alle Kolonnen k -1- mal zyklisch vertauscht. Da dies äq~valent ist (i -1 + k -1)(n -1) = ( i + k) ( n- 1) - 2 (n - 1) Transpositionen von Reihen, so kommt der umgeformten Determinante das V~nzeichen ( -1) (i H){n -1)- t(n -1) = (-l)Ci+"Jnte (a) in Teildeterminanten von dem Schema a; 2 a/ (y)

+ : a,b; + akbk

auf, indem man i, k alle Kombinationen :r.weiter Kla'!se der Elemente 1, 2, ... n durchlaufen läßt, so entstehen ihrer n(~\ l); jede davon ergäbe bei weiterer Auflösung vier Determinanten mit einfachen Elementen;' im ganzen gäbe es also solcher 2n(n- 1); da aber darunter jede Determinante des Typus (ß) n- 1-mal auftritt, so sind ihrer n(n.-l) identisch gleichNull und verbleiben n(n-1) im allgemeinen von Null verschiedene Determinanten, so daß

I a1

2

+a2 2 + .. ·+a"2

,a1 b1 +a2 bll+ .. ·+anbn

a1 b1 +ailll2 + .. ·+anbn! b1'+b:/+· .. +b11 2

;=

""' a/+a/ a;b;+akbk' ~ a;b;+nkb,, b/+b/ ;

Identität von

Lagrangl~.

- Determinante der adjungierten Matrix.

187

nun 1st aber die unter dem Summenzeichen stehende Determinante !es Typus (r) das Quadrat von

'a; ak!

!=

Ib b I

k I

i

(a,b~.:)i

mithin gilt die von Lagrange zuerst bemerkte ldendität:

~ a/ -~ b_l- ( 1

1

\

i1 ajbj) ~ 1

;2 (a,bk)

=

.

2•

(J)

Für dreiglietinge Summen lautet sie ausgeschrieben:

+ +

+

+

(n1 2 a 22 + a 3 ~) (b 12 b/ b/)- (a1 b1 + allb2 a3 b3) 2 = (a2 b3 -asb2 (a8 b1 - a 1 b9)!+ (a 1 b2 - ~b1 ) 2 .

r+

(s)

U7. Determinante der adjungierten Matrix. Es ist in UO von der Matrix gesprochen worden, die aus den den Elementen einer Determinante an al2 ••• a,,. a:Bn

a21 all2 · • •

adjungierten Unterdeterminanten zusammengesetzt ist; die aus ihr gebildete Determinante «1,. i ' au Ct29 • • • «2,. !

"u "n ' ' ·

8= . . . . . . ·.·I

a,.l ans · · · """ I

steht zu R in einer einfachen Beziebnng, die sich durch Multiplikation bei Komposition gleichartiger Reihen ergibt; UIJ.ter Anwendung der beiden Hauptsätze 106, 106 ergibt sich nämlich

:Ro ... o· 'oR ... o

RS :~ : ....... woraus, wenn R

+ 0,

!o o...

1

1

=

R",

R:

folgt, daß

S = R"- 1 . Es ist also die Determinante des a.djungierten Systeml5 aine Potenz der Detenllinanta des ursprl1nglichen Systems, und zwar ist der Exponent der um 1 erniedrigte Grad. Daß bei B = 0 auch 8 = 0 ist. wurdt bereits in 110 b~merkt.

188

Gleichungen.

§ 1. Lineare Gleichungen.

Vll. Abschnitt.

Gleichungen. § 1.

Lineare Gleichungen. U8. Jl'iohthomogene Gleichungen mit nichtverschwindender Determinante. Ein System von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten hat die allgemeine Form: aux1

+ a12X2 + · · · + atnx,. =

ul

anl x1

+ a"ll::r2 + ... + annxn =

u.

Es heißt nicldlwmogen, wenn wenigstens eines der absoluten Glieder u1, ull, · · · u,. nicht Nnll ist. Die Koeffizienten aw unter welchen wir uns reelle Zahlen denken wollen, bilden eine quadratische Matrix, deren Determinante ' an au · · · aln II a21

az2 · · · a2n

als Determina.nte des Gleichungssystems (1) bezeichnet wird. Jedes Wertsystem x11 x2, • • • x., das die Gleichungen (1) befriedigt, heißt eine Wurzel oder Lösung von (1 ). Die zu entscheidende Frage geht dahin, ob und welche Lösungen das System besitzt. Es ist

addiert man zur k-ten Kolonne die übrigen, nachden1 man sie folgeweise mit x1 , Xz, • • • xk_ 1 , xk+ 1, · · • xn multipliziert hat, so entsteht mit Rücksicht auf (1) R

tXR;

au aa · · · ul · · · aln I _ allt a22 • · • 1l2 · · • a2n

_

-~- • . • • • • • • • . • --

R kl

(H)

a"1 an2 · .. u,. · . · a.•"

wenn man Rk als Zeichen für jene Determinante _benutzt, die aus R hen-orgeht, indem man die k-te Kolonne durch die absoluten Glieder ersetzt.

189

Nichthomogene lineare Gleichungen.

Ist nun R

+ 0,

so ergibt sich xk

=

..j.

(4)

{k=l,t, .....)

als die einzige Lösung, die das System (1) besitzt. Man hat also den Satz: Das nichthomogene System (1) hat eine und nur eine Lösung, wenn seine Determinante nicht Null ist; jede Unbekannte stellt sielt als Quotient mit dieser Determinante als Nenner und einer Determ-inante als Zähler dar, die aus jener entsteht, wenn man die Koeffizienten der eu berechnenden Unbekannten durch die Absolutglieder ersetzt. Entwickelt man R~: nach den Elementen der k-ten Kolonne, so erscheint (5) Rk = txuu1 + ~kttll + · · · + ankun als eine homogene lineare Funktion oder Form der u; mithin kann man auch sagen, jede Unbekannte ergebe sich als eine lineare Form der absoluten Glieder.

U9. :R'ichthomogene Gleichungen mit verschwindender Determtna.nte. Ist die Determinante R des Gleichungssystems (1) gleich Null, hingegen

R~:

=!= 0, so kann die Gleichung (3), d. i. Rxk=

R,.,

für ein endliches X~: nicht bestehen; die Gleichungen (1) besitzen keine Lösung, sie stehen miteinander im Widerspruch. Ist jedoch neben R = 0 auch R1 = 0, so verschwinden auch alle an dem Zählerdeterminanten; denn wegen (5) hat man txlk Ul

und wegen R

=

+ IX2kU2 + .. •+ IXnkUn =

Ü'

0 nach dem Satze in 110:

folglich auch a 11 tt 1

+ o:21 u2 + · · · + o:.. 1u,. =

R 1 = 0.

(1=!-k)

Die Gleichung {k

= 1, ll, · · · n}

wird also jetzt durch jeden Wert von xk befriedigt, die Lösung ist unhestimmt, die Gleichungen sind voneinander abhängig; denn aus R = 0 folgt nach dem ersten und zweiten Hauptsatze (106, 108):

+ txua12 +

alkau

a2ka21 tx2ka2s

+ ... + ankam = + · ·· + ankallll =

0 0

190

Gleichungen.

§ 1. Lineare Gleichungen.

fügt man hierzu

und addiert sämtliche Gleichungen, nach dem man sie der Reihe nach mit x 11 x1 , · · • xk, · · ·x,.,- 1 multipliziert hat, so ergibt sich ~.~:(an xt

+ a12x2 + .. +alllx,. -1tt)+ «u(~t xt +a2ax2 + ... +~nx" -u~)+ •· ·+ Clnk(a"1X1 +ansX2 + ···+a,.,.X,.- ?t,.) = Ü.

120. Homogene Gleichungen mit nichtverschwindender DeterminAJtte. Das Gleichungssystem (1) heißt homogen, wenn alle absoluten Glieder Null sind; es hat dann die Form

+ a x + · · · + a~nx" = a21X1 + a22X2 + · · · + a2nxn =

a11 x 1

12

2

0 0

(6)

Ist nun R =!= 0 und führt man an dem Produkt Bxk dieselbe Umformung aus wie vorhin, so erhält man a a .... o ... aln 1' : 11 1. Rxk =

I a21

Cl-s! •.• 0 ... ~..

I=

! ••••••••••• I I

a,.1 an!

· ••0

• • · IL1111

0 '

{k= 1,!... •ft)

.

eine Gleichung, der nur durch (.t

== 1, I,· · · n)

genügt werden kann. Es gilt also der Satz: Ein System von tt homogenen Gleichungen mit n Unbekannten, dessen Determinante nicht Nnn ist, hat nur die eine Lösung x1 = 0, x1 = O, · · · X11 = 0. Diese Lösung soll die triviale heißen, weil ihr Bestand unmitj;elba.r zu erkennen ist. Soll das System neben der trivialen noch eine andere Lösunrz haben, so muß notwendig R = 0 sein. 121. Homogene Gleichungen mlt verschwindender Determinante. I. Ist B = 0 und ist die Determinante vom Range n - 1, so daß mindestens eine Unterdeterminante dieses Grades nicht Null ist, so kann die Untersuchung in folgender Weise geführt werden. Sei all

a12

.•. al, n-1

! a,t

a"

... at,n-1

! -

=a,.,.

Homogene lineare Gleichungen.

191

eine nichtverschwindende Unterdeterminante, so ordne man die ersten n -1 Gleichungen von (6) wie folgt:

+ ... + al,n-1 :l'n-1 +... + a,,,. - t x,._t

+at2x:t

+ anXs

an-1,1 XI+ an-1,2

X2

=-alnJ:n

=

-a2nxn

+'.' + a,._J,n-1 Xn-1 = - a._,,,.X,.;

sie liefern nach dem Vorbilde von (3) die Gleichung

unn'rk=

, au

au

· · ·-a1,.

'a

a2s

· · • -a~,.

i

! •

91

I

i an-1,1 an-!,2 ... -

au =

-x,.

a2t

x,. ... al,n-1

an-1, "x" ... a."_l,n-1

(112

... a~n

... al,n-l

a22

... t"J,.

. . . a2,a-1

:'

bringt man die Kolonne a 1,., a211 , • • • a"_ 1 ,,., die jetzt an der Stelle der k-ten steht, durch zyklische Vertauschung der letzten n.- k Kolonnen an die letzte Stelle, wodurch die Determinante das Vorzeichen (- t)n-k- 1 erhält (93), so verwandelt sie sich, von diesem Vorzeichen abgesehen, in iau

au

• · · a1,k-1

a1,k+l

... alll

J

ii a2t

att

• • • a2,k-1

a2,c~ 1!". 1 1·1! 1·2 .. ·n

(5_)

Bei ihrer Ableitung kam de:r Umstand, daß /(x) eine ganz~. Funktion ist, nur insofern zur Geltung, als die Bildung der Ableitungen ( 4) mit der n-ten einen natürlichen Abschluß fand.

126. Algebraiaohe Teiler einer ganzen Punktion. Jlornerachea Divlaionsverfahren. Nach dem Hauptsatze der Algebra hat die Funktion f(x) eine Wurzel, sie heiße x11 so daß /(xJ = 0 ist. Mit Bezug auf diese gilt nun der Satz: Die Differenz :r. - :t'1 ist ejn algebraischer Teiler t:on f(x). Schreibt man nämlich /(x) in der Form j{x1 + ::.:_··x1 ) und wendet darauf die Entwicklung (5) an, so wird:

x

=/(x )+f~0 (x-:r) +/''(~,) (x-x )2+... + f~"'l(~!)_(x-x )"· (6) / lx)· 1 1 1 1 ' 1 1 ·

2

·

1 ·

2 · · ·n

' · ,

da nun f(x1 ) = 0, so ist tat.'.ächlien :J- ~:1 ein Faktor der rechten Seite, also auc.h von f(x), d. h. /(:t) ist durch x - x 1 teilbar. Der Quotient ist j'(xt) 1

+ (jx_J) (z- X) + ... + /~{~!)_ (:1"- X )n-1 1•2 1•2oo•?! 1

1

l

( 7)

ft (x), vom Graden - 1, der Koeffizient ihrer höchsten Poteuz, wie aus dem Divisionsverfahren herYorgeht, wieder a0 ; man hat also f(x) --= (x- x1 ) /1 (x). ~Sl

also wieder eine ganze Funktion,

Man nennt x - x1 den zur Wurzel x1 gehörigen Wurzelfaktor von /(x). Ist x 1 nicht Wurzel von /(x), so erstreckt sich die Teilbarkeit nur auf die Glieder vom zweiten angefangen in der Form (6), folglich ist /(x1) der verbleibende Divisionsrest. Dieser wichtige Sar.h-

W urzelt'aktoren. -

Hornersehe Division.

199

verhalt kann so ausgesprochen werden: Dividiert man f(x) dw·ch x - x11 so gibt der verbleibende Rest .den Wert von f(x 1) an; ist er NtcU, so wat' x1 eine W1'rzel.

Hierin liegt das bequemste Mittel, den zu einem Argumentwert x 1 gehörigen Funktionswert zu berechnen und von einem Argumentwert zu entscheiden, ob er eine Wurzel sei. Die dazu führende Division llißt sich nach einem von W. G. Horner (1819) angegebenen Schema mechanisch ausführen. Man hat nach den gewöhnlichen Divisions-

rege:n' •-' +a,x•-' (a x +a x 0

1

-a0 x -a a:xx (.x, «o + a,) xn-1

n-1

n

(x 1 a 0

+···+a,.):(x--x 1 )~=

+

a1 )

+ alx"-t

x"- 1 -

[:c, (x, uo._+ a1)

+

\ + ~;~~-; aL)~nr

I

+ t~l (:.r:,ao+a,)+n,J:.e;to-ll + ....

+a,)x"- 2 1x"- 1 + a8 x"- 3

x 1 (x 1 a 0 (1 1

das Bildungsgesetz der Koeffizienten A 0 , A 11 A 2 , ist hiernach folgG.ades: -'4 = no

• • •

des Quotienten

+ at A, = xtAt + aa Al=

xtAo

1.md führt, an einem speziellen Fall erläutert, zu folgendem Schema: Um f(x) = 5xa -- 2x2 4x- 8 durch x- 2 zu dividieren, schreibe man die Koeffizienten über einem Strich nebeneinander und rechne an ihnen mit der Zahl 2 wie folgt:

+

2

ö -2

4

-8

5-8--20___(32)

man bildet nämlich nach und nach

2 · 20- 8 = 32; 32

is~

;

2 · 5-2=~, 2 · 8 + 4 =- 20,

als Divisionsrest dttrch Einklammerung g~

kennzeichnet ; es ist also

(5x8 - 2a:8 + 4x- 8): (x- 2)

=

5x'

+ 8x + 20 + ä:~ii,.f(2) =

32.

Um auf alle in Betracht kommenden Umstände aufmerksam zu machen, sei noch die Division von f(x) = :Jf- 5x1 - 6 durch x 2 ausgeführt; das Schema lautet hier so:

+

und gibt

1 0 --5 - 2 r1 - '.! -1

(x'- 5x2 - 6): (X+ 2)

= :r.: 8

-

0 -6 2 'h) + h) =J(h) + j'--z + !" -. z + ... + ___ _j_ s" = 1 1·2 1·2 .. ·n 2

0'

(13)

eine Gleichung, die bereits geordnet ist nach den Potenzen der neuen Unbekannten. Die Berechnung der Koeffizienten kann in folgender Weise geschehen: /(h) ist der Rest, der bei der Division von /(x) durch x- h verbleibt (125); der Quotient dieser Division ist f'(h) +j"(hl X+ ... + j"l®_ xn-1 1

1·2· .. n

1·2

·

.{_{~) ist der Rest, der bei der neuerlichen Division dieses Quotienten durch x - h verbleibt; der Quotient dieser Division ist j" (jl) j'" (h) ----+----X 1·2

1·2·3

..L.

'

;r Wurzeln Anlaß geben. Die quadratische Gleichung bietet das einfachste Beispiel der Diskrimihantenbildung. Man erhält als Auflösung von die beiden Wurzeln

a0 x2 + 2 ~ x - a1

+ a, =

± 'Vai .:_ a

0

0

a1

X=----(.(-------; 0

ihre Beschaffenheit hängt von dem Ausdruck D = ai- a 0 a 2 ab, der unter dem Wurzelzeichen steht; ist er positiv, so sind die Wurzeln reell und verschieden; ist er negativ, so sind sie imaginär und auch verschieden, weil konjugiert komplex; nur wenn D = 0, werden die Wurzeln einander gleich. Der Ausdruck D ist also geeignet, als Diskriminante der obigen quadratisehen Gleichung angesehen zu werden, und D = 0 ist die Bedingung einer zweifachen Wurzel. Nun ist in 127 die notwendige und hinreichende Bedingung dafür erkannt worden, daß eine Gleichung f(x) = 0 beliebigen Grades mindestens eine mehrfache Wurzel besitze; sie besteht darin, daß für eine solche "Wurzel auch f'(x) = 0 Rein muß. Daraus ergibt sich der Satz: Soll die Gleichttng f(x) = 0 eine mehrfache Wursel haben, so ist notuendig und ausreichend~ daß clas Gleichungspaar f(x) = 0, f'(.y;) = 0 eine geme-insame l-V~tr.zet hesitzt; mithin 1w.nn die Resultante der beiden letzte-n Gle-ichungen als Disk-timinante der ersten genommen U}erden. (x) 50 wird, schreitet dann zu den niederen Ableitungen vor und erhöht dabei x nach Bedarf, um das positive Zeichen zu erhalten. Das folgende Beispiel die Gleichung 2 x 3 - '6 x 2 - 8 x 3 ~= 0 betreff€'nd, wird dies erklären:

+

/(x). 5 ;~; 2 - · 8 :c + 3 4 6x 2 -10x-H 3 12a; - 10 1 2 xö -

_ _ -::_1~(- ~:l--

2a}+ 5x 2 - 8x- 3:2 6x 2 + lOx- 8 1 12x +10 iO

f" (:r) ist positiv von x = 1 aufwärts; f (1) ist aber negativ, aul}h. /'(2) und erst ./'(3) ist positiv; /(3) fallt negativ aus, aber schon /(4) ist positiv; also ist l = 4. Ähnlich schließt man 1m andern Schema und kommt so zu l' ~~- 2.

135. Der Satz von Descartes. Man spricht in einer nach den Potenzen von x geordneten Gleichung von einem Zeichenu·eehsel, wenn zwei aufeinander folgende Glieder ungleich bezeichnet sind; im andern Falle von einer Zeichenfolge. Zwischen der Anzahl der Zeichenwechsel und der Anzahl der positiven Wurzeln besteht ('in gewisser Zusammenhang, der sich auf die folgende Tatsache stützt: lrenn nu.m ein _geordnetes Polynom mit x- Jl multipliziert, won·n p eine positive Zahl bedeutet, so wiichst mindestens ein Zcichentrer;hsel zu oder deren eine -ungerade Zahl. Faßt man JÜimlich die gleichbezeichneten Glieder, wie sie aufeinander folgen, gruppenweise zu~ammen, so bat dafl Polynom I aa.rn+r: t,:rH

-t-r- .. ."l-- \fl~.yn' ·+ n~.J_.n'-1--J- ~

·)

+ (a~,rll~' -l-a'r'xn''- I-+- .. ·)- ••

9

--'- r-l)'.(a(•\r"('!-L · · · a 111''>i; 0 ' I I

\

v Zeichwweehsel: };ei der Multiplikation mit :i: ändert sich au dieser Sachlage nichts; bei d€'r Bildung des zweitt·n Teilprodukts mit -- p schieben sich die Glieder um eine Stelle naeh rechts vor, das Endglied einer Gruppe kommt unter das Anfangsglied der nächsten mit dem Vor· zeichen, das dieses letztere schon hat, so daß vom Anfangsglied der ersten Gruppe zum Anfangsglied der zweiten, von da zum Anfangsglied der dritten Gruppe usw. immer wieder ein Zeichenwechsel stattfinden muß; die im Innern der Gruppen etwa zuwachsend(ln Zeichenwechsel sind notwendig von gerader Anzahl; de11n der Übergang von + zu - oder yon - zu +, wenn er nicht durch rinen Zeichenwechsel erfolgt, kann nur durch eine ungerade Zahl von Zeichenwechseln geschehen; mithin wächst bis zum letzten Glied dl:'r letzten Gruppe entweder kein Zeichenweehsel zu oder dere"n eine gerade Zahl. Nun aber rückt das Glied - (- 1)' l!~;l_p über die letzte Gruppe hinaus und bewirkt immer einen

214

Gleichungen.

s 4.

Numerische Gleichungen.

neuen ZeichenwechseL Demnach ist die Gesamtzahl der zugewachsenen Zeichenwechsel entweder 1 oder eine ungerade Zahl. Es seien nun p 11 p 2, • • • p" die sämtlichen positiven Wurzeln der Gleichung _f(x) = 0 und

_f(x) = (x- p 1)(x- p 1 )

· · ·

(x- p")cp(x), •.

so daß die Gleichung qJ(x) = 0 vom Grade n- '1t nurmehr negative und komplexe Wurzeln besitzt; dann sind in p(x) erstes und letztes Glied gleich bezeichnet, weil sonst noch eine positive Wurzel darin enthalten sein müßte (134. I), cp (x) kann also nur eine gerade Anzahl von Zeichenwechseln enthalten. Da nun mit jedem Faktor x- 71; mindestens ein Zeichenwechsel zuwächst, und, was etwa darüber hinausgeht, eine gerade Zahl ist, so enthält f(x) mindestens 1t Zeichenwechsel, und was etwa darüber hinausgeht, ist gerad. Aus diesen Erwägungen geht der erste Teil der Descartesschen Zeichenregel hervor: Die ZaJu der Zeichenu·echsel in f(.x) = 0 ist gleich dM" Anzahl der positiven Wurzeln oder übertrifft sie um eine ge·mdc Zahl. In Zeichen: w = '1t + 2k, (1) wo u· die Anzahl der Zeichenwechsel ist und k eme der Zahlen bd t k 0, 1, · · · -n-n 2 ~-· e eu e~ ann. Geht man von der Gleichung /(xj = 0 zu_!(- x) = 0 über, so gehen die positiven Wurzeln der letzteren aus den negativen Wurzeln der ersteren hervor; demnach steht die Anzahl v der negativen Wurzeln von _f(x) = 0 mit der Anzahl w' der Zeichenwechsel von_!(- x) = 0 in ejnem Zusammenhange, der sich in dem zweiten Teil der Descartesschen Zeichenregel ausspricht: Die Zahl der Zeichcnu:eehseT der bansformierten Glmchung /(- x) = 0 ist glrich der Zahl der 11egativen Wurzeln ?)(m, /(x) = 0 oder übertrifft sie um eine gemde Zahl. In Zeichen: w' = v + 2k, (2) wo J"etzt k sein kann 0' 1' · · · ?!:-::-: 11 • 2 Ist .f(x) = 0 eine vollständige Gleichung, d. h. eine solche, in der alle Potenzen von x von X 11 abwärts vorkommen, so gehen bei dem Übergang von /(:r) = 0 zu _!(-- x) = 0 die Zeichenfolgen in Zeichenwechsel und umgekehrt über. Daraus ergibt sich die weitere Regel: In einer t'o'llständigen Gleiclmng kommt die Zahl der Zeichenwechsel uml die Zahl der Zeichenfolgen beziehuttgsweise der Anzahl der positit,er~ und negativen lVu1·zeln gleich oder übertrifft sie um eine gerade Zahl. Diese Regeln gestatten in manchen Fällen die strikte Bestimmung der Anzahl der posit.iven und negativen Wurzeln; iu and.ern Fällen

Satz

von Descartes. - G.anzzahlig·e W ur:.~eln.

215

führen sie nur zu einer oberen Grenze de.rselben. Einige Beispiele werden dies zeigen; die Aufschreibungen bediirfen keiner weiteren Erklärung.

x4+3x 5 +2x 2 +5x-6=0 x5 +3x 2 -1 =0 - x 5 + 3x 2 - 1 = 0 c) J-A-4x 2 +3x-8=U x4 -4x"- 3x- R ~- 0 x 2 n 1 =0 a) xh+ 1 =Ü e)

a) b)

=

(u: = 1, I '

;r """

1I

W =

11: =

(u:' = 2, v

1; w' = 3 1 ·v ~ 1 otler 3 ). 1)

= 0 oder 2)

( w = -3, n: = 1 o-der 3)

( u"

= 1). (w~1, :n:=l; w'=l, v=l). (w = 0, ;r = 0; ul = 0, v = 0). 1,

=

1'

136. Aufsuchung rationaler Wurzeln. I. .Einer Gleichung mit gu.nzzahligen Koeffizienten geg darunter zwei gleiche. III. Algebraisch am interessnntesten ist der Fall R < 0, der nur bei negativem p auftreten kann: er gibt der Gardanischen Formel eine komplexe Gestalt und mußte daher "\"Or der Einführung des Rechnens mit komplexen Zahlen unüberwindliche Schwierigkeiten bereiten; darum auch der Namf' casus ineducibiliB, unter dem er in der Literatur seit jener Zeit erocheint. Bringt man tlen er8teu Radikanden in die trigonometrische Form, indem man

-· ; +i V.:.:._

setzt,

R = r ( cos !p

folgt daraus:

~o

+ i sin cp)

q

rcoscp = - 21"

1.2=-

sin 'f

(!t

=

V~-ll

__ [

coscp=

v-wr 2

- - - . -·

(12)

Durch die letzte dieser Formeln, in der die ·wurzel absolut zu nehmen ist, ist ein Wi11kel aus dem Intervall (o, n) bestimmt, dieser soll fortab unter fJ- verstandt•n werden. Es ist dann (20): . . q; + 2kn:\ rp + 2kn 13/ ___q----·- ~. -__ · 1/-·P ( ~ sm - - :f --- ) 2 + l· V -- R = -~- cos ---- 3 -

r-

11

3 l_·_··

r

+

. . q; + 2kn) 2kn q ---~ :; . l' }/ p" ( · -·a··· -1-s1n · -a---- ' ·1.l· - -,· = - - s- cos rp + --2

folglieb

(k =

o, 1, 2),

2ß0

Gleichungen. § 5, Algebraische Auflösung d. Gleichungen 3. u. 4. Grades.

so daß die Wurzeln einzeln lauten:

2y:_-r; 2-v=-·:·

s1 =

3

-

z2 =

cos cp

3

cos

(~ + 120°)

z8 = 2-v=·f-cos (-~

(13)

+ 240°).

Sie sind also reell und untereinander verschieden und lassen sich, nachdem man den Hilfewinkel (fj aus (12) bestimmt hat, auf logarithmischem Wege rechnen. 14&. Beispiele. 1. Um die Gleichung

x3 --4x2 +4x-3

0

=

zu lösen, hat man sie zuerst mittels der Substitution x = z + ·a zu reduzieren; hierzu dient das Schema: ---4

1 4!

4

-----------

3 ; 1

1l

1

~

-3 -·

65)

'

4

8

~~

(-- :)

4

( - 27

aus dem sich die reduzierte Gleichung 4

3

z abliest.

~)-

6:i

z - 27

=

0

Bei dieser ist nun

R = (~)2 ''

M

-

(-~)8 9

=

6~ 1 - 256 :l"

a"

=

.

:-HI6\J 2' 3" > 0 '

somit liegt der Fall I, 144 vor; die reellen Werte der Kubikwurzeln sind:

woraus schließlich 1

X 2 = --2

i + -lfii . ' 2

erhalten wird 2. Die in 141, 1. nach den Methoden fiir die Auflösung numerischer Gleichungen behandelte Gleichung

x8

+ 3ar- 17x + 5 = o

soll nun nochmals nach der Auflösungsmethode für kubische Gleichungen

231

.\uflöRungsschem~.

z -- 1 zn set.zeu und

erledigt werden. Zur Uerluktion hat man .t = findet aus dem Schema: -1

1

1 1 1

3 2 1

die reduziertP Gleichung :: 3 ·- 20.~

--17 " ·-19 (24\ ' - 20)

+ 24

=

0.

~.ooo

4 (n) ---- ---· toiC=- ;2y-: o,ü97 ;3798- ·

49

72

2;()68 4!l

3:,

3,ti6~

, -

4,98172

-- ;),98172

0,71::! 9844

rr;, (': + :!·10°) 9,405 - - - - ---log z.a- ·0, Ül:l log

357fi 3420

l,iH3 23 x 8 ! 0,313 23 Z:~ 1

+ +

'

Die Probe x 1 .t2 :.c3 ~~ - ß gibt ein völlig zutreffendes Resultat. 3. Dreiteiltm,q des lVinkds. Das Pl'oblem, einen Winkel durch Konstruktion in drei gleiehe Teile zu teilen, gehört zu den klaf!Risehan

iB2

Glei('himgen. § 5. Algebraische Auflösung d. Gleichtongen :3. u.

Aufgaben der Mathematik.

4.

Grades.

Der Nachweis der Unmöglichkeit seiner

elementa-ren Lösung im allgemeinen, d. b. abgesehen von besonderen Annahmen, gehört der neueren Zeit an. Man nennt die konstruktive Lösung einer Aufgabe elementar, wenn sie sich durch Anwendung von Lineal und Zirkel streng ausführen läßt. Elementar darstellbar ~ind nur solche Ausdrücke, die sich aus den gegebenen Größen - Strecken - durch rationale Operationen und durch Quadratwurzeln in einer endlichen Anzahl von Verbindungen zusammensetzen. So können also beispielsweise Ausdrücke, die sich als Wurzeln von linearen und von quadratischen GleiehungPn ergeben, elementar konstruiert werden. Ist eine Gleichung vom dritten Grade in bezug auf die zu bP~timmencle Größe, so ist eine elementare Konstruktion ihrer Wurzeln nur dann möglich 1 wenn sie sich zerlegen läßt in drei Gleichungen· ersten Gr::1des oder in eine Uleichung ersten und eine Gleichung zweiten Grades mit Koeffizienten, die sich aus jenen derursprünglichen Gleichung rational zusammensetzen; man sagt m solchem Falle, die Gleichung sei reduzibel. Im andern ..Falle heißt sie irredti äbel, und da ihre Lösung dann Kubikwurzeln enthält, so ist die elementare Konstruktion der "\Vurzeln nusgeschlossen. Die Betrachtung kann auf Gleichungen höhere!" Grade au::;gedehnt werden. Die Aufgabe der Dreiteilnng eines Winkels cp führt auf eine kubische Gleichung. Bin Winkel kann linmr bestimmt ~:ein durch eine seiner trigonometrischen Funktionen in bezug auf eine gegebene F~inheit; es sei z. B. cos g. = a; nun ist cos cp =~ 4 cos 3

setzt man also cos ~·

=

:

-

3 cos ~ ;

x, so hat. man zur Bestimmung dieser Größe

die Gleichung:

4:t/ --· 3x- a = 0.

(1)

Diese Gleichung löst die Aufgabe der Dreiteilung für dr,,i Winkel; W9nu man cp nm ein Vielfaches von

a ändert sich nämlich nieht,

i\()0° ii.udert; es ergeben sich also außer x 1 = cos ~ noch die Wurzeln 'I'

+ 360°

("cp

.

X 2 =COS---3 -=COS 3 \+1:?0°

) undx3 =COs-cp + 2. --=COS 360° (ff!3 +240)\';i 3

alle u.ndern Vielfachen füru:en iiber die Figur, die die Teilungsstrahlen zu diesen drei Wnrzeln enthält, nicht hinaus. Keine der drei Wurzeln i~t im allgemeinen aus der Strecke a und der Einheit elementar konstruierbar. Man kann die Fragestellung umkehren und nach solchen Winkeln fragen, die eine elementare Dreiteilung zulassen. Die Antwort darauf

Dreiteilung des \'v- inkels.

233

ist die folgende: Ist ~ irgend eine Strecke, die aus der Ei11heit durch elementare Konstruktion gewonnen wurde und kleiner ist als 1 dem Betrage nach, und erzeugt man aus ihr, was wieder durch elementare Konstruktionen möglich ist, die neue Strecke a = 4; 3 -- 3~, so liefert jede so gewonnene Strecke, für a in (1) eingesetzt, eine Gleiebung, deren Wurzeln elementar konstruiert werden können. Es mögen noch einige spezielle Fälle zur Erläuterung angeführt werden. Die Annahme a = 1 führt zu einer reduziblen Gleichung; denn -!x 3 - 3x- 1 = 0 zerfiillt in die Gleichungen J-

1 = 0,

(2x

+ 1? =

0,

deren Wurzeln 1, - ~ .· -- ~ sind. Es ist dies die Dreiteilung der "\Vinkel von 0, 360 und 810°. )Iit a = 0 gelangt man zu der Gleichung .Jx 3 - 3x Reduzibilität unmittelbar zu erkennen ist; sie zerfallt m

x •

1~re

=

Wurzeln smd also 0,0

0, 4x"- 3 p y~; 2 ,

2 -.

=

=

0, df'ren

0,

Hierin ist die Dreiteilung der

Winkel 1on 90, 4-öO und 810° enthalten. Aueh die Annahme a =~ergibt eine rf'duzible Gleichung; denn p 4 .1'~- ß .. ( -ix 2 -

1_ y2

t~-

läßt sich auflösen in 4x (x 2 --

!') - (x + _!,~) 1· .

2

=

(/

x + 1~) 12

.

1), somit zerfällt die kubische Gleichung jetzt m x

1 (+ -= y2 = ) '

x-o -

a: ----= -

y2

O

1

4- =

=,

und hat die der elementaren Konstruktion zugänglichm Wurzeln- _!_1 1-

-

v'3

2 112

1

l2

+ t'3

' -- il/2,--

0

Hiermit ist die Dreiteilung der Winkel von .:l 5,

405 und 765° erledigt.

Aber schon die Annahme a

=

1 2

führt auf eine irreduzible G lei-

chung, die Dreiteilung des W iukels von 60 ° kann elementar nicht ausgeftihrt werden.

146. Die biquadratische Gleichung. gemeine Gleichung vierten Grades

a 0 x4

Indem man die all·

+ n1 x3 + a 2 x 2 + a3 x + a4 =

0

(1)

durch den Koeffizienten der höchsten Potenz dividiert und die auftretenden Quotienten mit a, b, c, d bezeichnet, nimmt sie die Gestalt an:

234

Gleichungen. § 5. Algebraische Auflösung d. Gleichungen a.

+ ax 3 + bx; + cx + d =

.fix)= x 4

1. Grades .

11

(2)

ü.

vVie bei der kubischen Gleichung erweiRt es sich a.ls vorteilhaft, sie durch eine Substitution X= Z

+h

so zu transformieren, daß die nächstniederl' Potenz der Unbekannten nicht erscheint. Da

l ·r13 + l'\ I

,

(1

t'i/il •

~~/ /II -:

f-

1 -,.

/'1/t) 1 2

2

z

'f"rhj 1·2·3

T

z

3

0 J""(h) --' + 1-:-2·.-3.4;r=

bereits die nach Potenzen vrm z geordnete transformierte Gleichung darstellt, so hat ma;1 I! so zn bestimmen, daß /"'(lt), d. i. :!-!h+Ga=O werde; daraus folgt !t

c..

-

-~: die endgiltige Substitution lautet also: a

z --

,/,: =

(3)

4-

Zn ihre1: Durchführung benützt man das Schema:

1 a 4

1

c

a

b

311

3a 2

- i6

+b

:la"

-

5a~

+ 71

(a"_a}! :l fl

4

1

2a

1

:

4

lü

(- 3:

2

ab

-l-

tH -

d (

+c

+ ('') =

- 256 + 16- T 3a

4

a!b

ac

)

+ d_

= ,.

q

+ 1J) "" 11,

das die Koeffizienten der redu:.:iertcn Gleichung z 1 + pz 2 qz + r = 0 liefert.

+

(4)

147. Lösung derreduzierten biquadratischen Gleichung. 1)

Setzt man nach dem Vorgange Eulers

z

=

tt

+ r + 1r

so ergibt sich daraus nach und nach: z 2 = u 2 +I'~+ w 2 + 2(vw

.z4z4

2(:u2 -

+v + 2

w2)

z2

+

(n 2

+ v~ +

(5)

+ wn + nv)

+

4(v 2 w2 + w 2 u2 u2 v2) + 8(u2 vw + tuhv +uvu~ 2 )

u' 2) 2 =

2 (u 2 + v2 + w2) z 2 - 8ttv u· z + (nt + v2 + u: 2)2

1) Die Entdeckung der Auflösung der reduzierten biquadratischen Gleichung ist Ludovico Ferrari (1&21!--1565) zu danken, einem hervorragenden Schüler Cardanos, der sie vor 1646, also vor Vollendung seiues 23. Lebensjahres, gefunden haben muß; denn lö45 erschien sie in Cardanos "Ars mn.gna", und der Druck dieses Werkes begann zu Ntirnberg 11144,

235

Die biquadratische Gleichung.

Damit diese Gleichung dieselben Wurzeln besitze wie (4), ist notwemlig. daß u·2) = p r2 - 2(n~

+ +

t·u~

+ t'" + w

2) 2 -

4 ( "~ u: 2

+ u·

(H)

- Ruru· ='I 2a2

+ u;}v 2) =

r

sei: woraus zu schließen ist. auf:

v•u•• Q

0

+ tl'"u." + u!v 2 0

·'

a

=

.

p-

··-

16

r 4

(7)

-

doch ist zu beachten, daß die letzte Gleichung umfassender ist als die ihr korrespondie1·ende mittlere Gleichung (6), indem sie dieselbe bliebe, auch wenn q ersetzt würde durch - q. Zufolg(· der in (7) ausgedrUckten Eigenschaft~m der drei Znhlen u9, v 2, u· 2 sind diese die Wur.~:eln der kubischen Gleichung

03

4 ~ 0- fJ.~ = + p2 ()~ + !1_':_--::: 6! 16

0

'

(8) .

die man als die kubt:sctw Resol!,erde der Gleichung (4) bezeichnet. Sind &1 , 81 , 03 ihre Wurzeln, so können zwei davon für ·u 1, v 2 genommen werden, die dritte ist dann w 2. Setzt man also

so ergibt sich daraus nach der Vorsch1·ift. ( 5) filr z die Eulersche Formel: (9) die aber, weil die Quadratwurzeln zweiwertig sind, acht verschiedene Werte darstellt, nach einer eben gemachten Bemerkung nieht bloß die Wurzeln der Gleichung (4l, sondern auch die der Gleichung s' ps -- qz t· = 0. Es handelt sich um die Feststellung der ersteren, und hierzu bietet die mittlere der Gleichungen (6) einen Anhalt, indem die Wurzelwerte, die zur Bildung dt!r Wurzeln von (4) geeignet sind, so beschaffen sein müssen, daß

+

ist.

+

Bilden A, B, C ein Tripel solcher Werte, so ergeben sich die

236

Gleiehungen. §

r,.

Algebraische Auflösung d. Gleichungen 3. u. •l. Grades.

drei andern Tripel durch Zeichenänderung an zwei Gliedern; mithin sind dann

+ B+

(:

Z1 =

A

z2

=

A-B-C

z3

=

z4

=

-

A

+ B ·-· C

(10)

-A-B+ C

die Lösungen von (-t) 1 ).

148. Diskussion der Bulerschen Formel. Da das ab,olute Glied der Resolvente (8) wesentlich negativ, das Produkt 01 02 03 ihrer Wurzeln also stets positiv ist, so läßt sich über diese Wurzeln eine Aussage machen. nämlich: Sind alle drei reell, so sind sie entweder sämtlich positiv, oder eine positiv und zwei negativ: ist nur eine reell, so ist sie notwendig positiv, weil das Produkt der beiden andern. die konjugiert komplex sind, positiv ist. Es sind daher folgende J;"älle zu unterscheiden: I.. 01 , U2 , 03 reell und positiv; dann sind A., B, 0 und mit ihnen vieT Wur;r,eln ( 10) reell. Il. 01 , 821 03 reell und nur 0 1 positiv; A ist dann reell, während B, C imaginär sind; infolgedessen sind im allgemeinen alle vier Wurzeln (10) komple:K und die Paare z11 z2 ; z3 , zi konjugiert. Nur wenn die negativen Wurzeln aueh gleieh ausfallen, werden zwei von den ·wurzeln (10) reell und auch gleich. al!f~

ll I. 01 reell und positiv, 02 , 03 konjugiert komplex; dann sind A n•,.n und entweder B, C oder B, -- C konjugiert komplex, so daß unter allen Umständen zwei der vVurzeln (10) reell und zw.-i konjugiert komplex ausfallen. Das Gesamtergebnis lautet dahin, daß die biquadnüische Gleichung entweder vier reelle, oder zwei reelle und zwei konjugiert komplexe oder endlich vier komplexe Vll urzeln besitzt, die zu zwei Paaren konjugiert Rind; dies alles unter deT Voraussetzung reeller Koeffizienten.

149. Beispiel.

Es ist die Glr>il'hung

aufzulösen. Zum Zwecke der Hedukti.ou i: 7 - 0,60590 i .

-

+ O,ßOfiHOi

1&0. Auflösbarkeit von Gleichungen höheren als des vierten Grades. Algebraische Zahlen. Die algebraische Auflösung einer Gleichung ist den Methoden zur Auflösung numerischer Gleichungen dadurch wesentlich übel'legen, daß mit ihr alle Hleiehu.ugen des betreffenden Grades als gelöst betrachtet werden können; denn es bleibt in jedem hesondern Falle nur mehr die Einsetzung der speziellen Koeffizienten statt der allgemeinen und die Ausführung der angezeigten Rechenoperationen zu vollziehen. Es ist darum begreiflich, daß man Anstrengungen machte, auch für die allgemeinen Gleichungen fünften und der höheren Grade die algebraische Auflösung zn finden. Die Gleichungen dritten und vierten Grades konnten dazu ermutigen; denn die kubische Gleichung führte auf eine quadratische, die biquadratische auf eine kubische Resolvente; es schien daher nicht aussichtslos 1 daß man bei Einsehlagen des richtigf'n Weges auch bei der Gleichung fiinften Grades zu einer Resolvente niederen Gradf's gelangen und so t~u immer höheren Gleichungen werde fortschreiten könnell. Alle Bemiihungen nach dieser Richtung erwiesen sieh aber als fruehtlos, und so stellte sieh denn die J."'rage ein, ob die algebraischen Operationen überhaupt ausreiehen, die ·wurzeln der allgemeinen Glei-

Chenzen

d•~r

Auflösbarkeit al;.rebraischer Gleichung·en.

239

chungen höheren als des vierten Grades durch die Koeffizienten darzustellen; mit andern Worten, ob es möglich sei, die Wurzeln solcher Gleichungen durch die Operationen bis zum Radizieren ein~:~chließlich auszudrücken. Der erste, der die V erneinung dieser Frage am:sprach und den Beweis hierfür zu erbringen versuchte, war P. R.uffini (1813). Ein vollgiltiger Beweis für die Unmöglichkeit dfr al_rtebraisclten Auf-

lösung von höheren Gleichungen allyemeiner Fonn als des vim·ten Gmdes wurde zuerst von N. H. Abel (182G) gegehen. Neben dieser Beweisführung für eine negatiYe Aussage ging die Forschung nach solchen Formen höherer Gleichungen einher, die ein~· algebraische Auflösung zulassen. Derartige Gleidmngen bildeil ein wiehtiges Glied der neueren Algebra. Im Rückbliek auf das Vorangeht•nde sei noch das Folgende bemerkt. Eine algebraische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten kann, von imaginären Lösungen abgesehen, rationale unr! irrationale Wurzeln haben; die letzteren siud bei den Gleichungen zweiten, dritten und vierten GraO.es immer, bei den Gleichungen höherer Grade nur ganz ausnahmswPise durch die algebraischen Rechenoperationen, deren höchste das Radizieren ist, berechenbar. 1'Ian hat nun allen Zahlen, die als Wurzeln von algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten, welchen Grades immer, auftreten können, den Namen algebraische Zahlen gegeben. Diese Zahlenkategorie umfaßt also außer den rationalen Zahlen irrationale Zahlen, die sich durch die algebraischen Operationen berechnen lassen, und irrationale Zahlen, die durch algebraische Rechenoperationen nicht gewonnen werden können. Darüber hinaus gibt es aber noch Zahlen, die auch nicht als Wurzeln einer algebraischen Gleichung was immer für hohen Grades mit ganzzahligen Koeffizienten zu erhalten sind: man nennt sie im Geg p (1) r = a cos cp sm cp = -2 sm ~ fF: daraus ergibt sich die auf das zugeordnete rechtwinklige System bezogene Gleichung

(x2

+ y2)~ =

or---A-x J //'

'

I•'ig. 58.

(2) Aus de1· Gleichung (2) schließt man auf Symmetrie. bezüglich heider Achsen. Aus (l 1 ist zu erkennen: 1. daß -~- die obere Grenze von

a~~.rr2y2.

r, die Kurve also in einem Kreise vom Radius ; eingeschlossen ist;

~ da ß SJ.e · d'1esen K_rms · ••rrmc · ht an den St :.. • e11 en rp

indem au diesen r = a oder

3 :r, ;

=- n

=

3 "' ön 7 rt --i , -4 , -4- , 4 ,

71

wird: 3. daß r bei lim tp = 0, _n,

gegen Null konvergiert, die Kurve, also

y

l.. .

2

beid~~ ~cbse1~ i~ 0 zu beiden Seiten beruhrt. hg. n9 ze1gt 1hre Gestalt. ~-' ·_ 166. Asteroide. So benennt man die Kurve, .:\ -· \ --·· ·.. welche ~er Punkt derse~ben Strecke _AB, Fig. 58, -~:--: _: .: . ) ·· ~x beschrewt, der symmetnsch zu M m bezug auf ' • · .· die Mitte von AB liegt, den man also erhält, · · j··· .-· indem man aus der Ecke Qdes Rechtecks 0 A QB l'ig. 59. auf AB eine Senkrechte fällt. Nennt man die auf dasselbe Achsensystem bezogenen Koordinaten von P ~' 'Y}, so bestehen zwischen;, 'Y} und den Koordinaten :r, y von Jtl die au>J der Figur ersichtlichen Beziehungen: di_e

.p.

(; + xr + (TJ + y)2 ;x y',

a2,

=

=

'YJY

=

x2;

ans der ersten folgt mit Rücksicht auf die beiden anderen ;2

+ r12 + 3(a:2 + y2)

=

0 2,

und aus den zwei letzten allein

xy=h;trägt man dies in die Gleichung (2) der vorigen Kurve em, so entst.eht (1)

252

Analytische Geometrie der Ebene. §

:!.

Koordinateutransf'om1ation.

als Gleichung der neuen Kurve; schreiht man dies in der Gestalt

gs + 1i2 + 3a:i;s "13 = a2, 2

2

2

so erscheint (1) als das Ergebnis der Kubatur der Gleichung

gs + "lr!= as, 2

.·

/

·· .... :. . urelation: s' +s" s's"

8

die auch m der Gestalt _..!_ 2

(_~

\s

=~ + ..;;· s

(4) N' .z -0----~ -------:>---~--·---:..:..).-

M,

_M'. :M~

.'W

N? :Fig-

G~

geschrieLen werden kann. Den linksstehendel! Ausdrnrk 1,ezeichnet man als das lta'i'mcmi ..;che :Yfittel \'Oll s', s''. Um zn ll' den vierten harmoni~when Punkt in bezug auf ..Jl,, Jl~ .• Fig. 69, zu tinden, schneide man zwei beliebige Parallelen dureh JJ., J[J mittelR einer durch M' laufenden Transver~ale N 1 .Vt, ühertrag~-: }"Jt X2 nach ~ti;N~ und bringe Jf1 S~ mit der Geraden zum Sehnitt; •lie~,·r Schnittpunkt ist der gesuchte M", da sein Teilüngsverbäitnis, vom Zeichen abgesehen, dasselbe ist wie da~ von M'. Dem Mittelpunkt von ]Jfl J.ll 2 entspricht der unendtiel; frnt PnPkt der G•'raden als vierter harmonisehPr.

264

Analytische Geometrie der Ebene.

§ 4. Die Gerade.

Auf Grund von (2) sind X

,

=

x1

+ kx

1

T+.i·-,

y y

'

=

"

'!lt +ky~

-1-tl

(5)

y, -ly.

1..::::.,.-

=

die Koordinaten zweier Punkte M', M", die M 1 M 2 harmonisch teilen in den Verhältnissen l und - l(lll =F ll beziehungsweise. Als Beispiel der Anwendung des Teilungsverhältnisses diene die Bestimmung der Koordinaten des Schwerpunktes S eines Dreiecks M 1 M 2 M 3 aus den Koordinaten seiner Eckpunkte. Der Mittelpunkt M"' der Seite Jf1 M2 hat das Teilungsverhältnis 1, daher sind Yt + y, y ," =-----2

seine Koordinaten; der Schwerpunkt S teilt .1li"' J.lfs in dem Verhältnis { , daher sind X =

x"'+ 21 x3 -------

1

--

~:±- X1 -t-Xs 3

1+2

'" +

1 Ys Y 2 ------11--+--' 2

y=

seine Koordinaten.

180. Abstand eines Punktes von einer Geraden. Die in der festgesetzten Art (174) gerichtete Gerade g, Fig. 70, sei im rechty; winkligen System durch ihre Hessesehe Normalgleichung x cos a

+ y sin a -

p

=

0

(1)

und der Punkt M 0 durch seine Koordinaten

--;J----::::.._o;::--'.,.....,x

x0 , y 0 gegeben.

Projiziert man den Linienzug 0 M~ M 0 rechtwinklig auf die positive Normale n von g, so ist die relative Länge der Projektion Fig. 70-

+ y sina, v des Punktes

OQ = x0 cosa und setzt man fest, als Abstand relative Strecke P Q gelten, so ist

ri =" 0 Q - 0 p

= Xo

0

~11 0

cos « + Yo sin IX

--

von g solle die p

(2)

und fällt positiv oder negativ aus, je nachdem M 0 auf der positiven. oder negativen Seite der Geraden liegt. DPr relative Abstand -eines Punktes t:on einer Geraden wird also erhalten, indem man seine Koordinaten in die linke Seite der Hesse-

Harmonische Teilung. Abstand eines Punktes von einer Geraden.

265

sehen '.Sormalgleichung der Geraden statt der veränderlichen Koordinaten einsetzt. Ist hiernach die Gerade durch die Gleichung Ax + By + C = 0 (3) ~egeben, so ist. nach den Ausführungen in 17&:

+

+ C. y;;rq=-.B 2

~ = Ax0 By0 - sgn C

(4)

Nach dieser Vorschrift fmdet man den Abstand des Punktes .310 (3/5) von der Geraden 5x -12y + 3'= 0: d=

+3 + 144

15 - 60

-

V2ö

42 13'

der durch sein Vorzeichen anzeigt, daß der Punkt auf der positiven Seite der Geraden liegt. Der Abstand des Ursprungs von derselben Geraden ist und fällt notwendig negativ aus, weil der Ursprung gemäß der getroffenen Vereinbarung bezüglich jeder nicht durch ihn gehenden Geraden auf der negativen Seite liegt. 181. Dreiecka8.iche. Erteilt man den Eckpunkten eines Dreiecks ~e bestimmte zyklische Ordnung, so gibt man damit seinem Umfang eine bestimmte Umlaufsrichtung und macht so die Dreiecksfläche zu einer relativen Größe. Sie soll positiv sein, wenn der Umlaufssinn mit dem positiven Drehungssinn der Ebene Y. übereinstimmt (163), im anderen Falle negativ. Betrachtet man zunächstein Dreieck OM1 M 2, g Fig. 71, dessen eine Ecke im Ursprung liegt, so wird seine Fläche positiv ausfallen, wenn der Sinn der Strecke M 1 M 2 mit dem positiven Sinn der ~ durch die Punkte M 1 , 1lf2 bestimmten Geraden übereinstimmt, im andern Falle negativ. Fig. 71 · Die absolute Größe der Strecke M 1 M, ergibt sich als Hypotenuse eines Dreiecks, dessen Katheten die absoluten Koordinatendifferenzen ihrer Endpunkte sind; ihre relative Länge ist hiernach M 1 M 2 = E'V(x 1 -x~)-»+ (y1 --y-;)ich ('l): _____ g, ______ /.L

sgn C,

VA.!+

B~

sgnC,_:t_-:li +Bi ____ f!!_ ____ = O sgn C,

und es vertritt nun ,u sgn

sgn

u '

yÄT+ BJ sgn Cd/Ai+ .Bl

'

das frühere .1..; infolgedessen ist °•C, y'~-~ YAi + Bi =

s~(J, f.':AJ"'±_~1,t

(10)

sgn C, VA~+ B~

187. Beispiele. 1. Ordnet man das Dreiseit Ydhg3 , Jes:;en Ecken mit Au A. 2 , .A3 bezeichnet werden mögen, so an, daß der Ursprung im Innern der Dreiecksfläche liegt, so schreiben sich die Halbierungslinie-n der Innenwinkel in Hessescher Nütmalform: U2- gs

=

()

.!Js- 9t

=

0

g1- g2

'=

0:

da die Summe dieser Gleichungen eine Identität ergibt, so schneiden 'Üch die genannten Halbierungslinien in einem Punkte (Mittelpunkt ! B!,

+ b cos 0) o· +acos)

~ = a 2 + b% + 2ab cos 0- r 2 ; aus· diesen Gleichungen ergeben sich cos 0, a, b, r als Funktionen der Koeffizienten. Der bezeichnende Unterschied gegenüLer der Gleichung in rechtwinkligen Koordinaten ist das Auftreten eines Gliedes mit xy.

190. Polargleichung des Kreises. Bezeichnet man die Koordinaten des Mittelpunktes .Q. mit c, y, den Rad in" mit a, Fig. 7 4, so schreibt sich die Gleichung des Kreises: (1) r, + r} - 2 er cos ( rp - y) = a 2• Geht insbesondere der .Krei::: durch a, und die Gleichung Vt>reinfacht sich dann auf

.

Der Kreis.

Koeffizient YOn x'l + y 2 nicht Null ist, stellt die Gleichung emen eigentliehen Kreis dar, also nur dann, wenn x1

Yl

1

· X3

Ys

1

i

! x 2 y2 1 9F 0, I

d. h. wenn d.ie drei Punkte Mi nicht in einet· Geraden liegen (181). Im andern Falle wird die entwickelte Gleichung vom ersten Grade, stellt a.lso eine Gerade dar. Außer den Punkten dieser Geraden genügen ihr unendlich ferne Punkte der EbQne, deren Ort man als unendlich ferne Gerade der Ebene erklärt. Beispielsweise hat der durch die Punkte (- 2/3), (1/4), (0;0) gehende Kreis die Gleichung

lx2+y2 x y : 13 ~2 3 · 1~ ~ ~ .

11 1

~ ,=-11(x2 +y 2 )-:c.+47y=0,

I

seine Parameter sind also a

47

1

1 ,;

b = 2'2, r = 2 r 10. 192. Der Kreis und die Gerade. Ein Kreis k uml eine Gerade g seien durch die Gleichungen = - ~2 ,

k=(x-a)'+(y-b) 2 ..- r 2 =0

(1)

g = ?1- mx- n = 0 (2) gegeben. Nach dem Satze von Bezout (132) haben eine Gleichung zweiteu und eine ersten Grades zwei gemeinsame Lösungen, die gemeinsamen Punkten beider Linien entsprechen. Kreis und Gerade haben also 1 allgemein gesprochen, zwei Punkte miteinander gemein. Die Natur der Lösungen und dieser Punkte hängt von den Gleichungskoeffizienten ab. Eliminiert man y, so entsteht die Gleichung:

(x- a)2 die

na~h ~;

(1

+ (mx + n -- b)'- ,-2 =

01

geordnet lautet:

+ m 2)x~ + 2lm(n- bl- aJx + a + (n- b) 2

2 -

r 9 = 0;

über die Na.tur ihrer V\' urzelu entscheidet die Diskriminante (133)

D = Lm(n- b)- a] 2 - (1 + m!)[a 2 = (1 + m 2)r2 - (b- ma - n)?.:

ist D positiY, also r

+ (n-

> Ii b-·ma--·n -.=:--~ l =! d i, ~1 + 111" I 1

1-

,

b?- r2J

Kreis und Gerade.

Unendlich ferne imaginäre KreiBpunkte.

279

so sind die Wurzeln reell und voi"!lt,hi,~deu: hingegen resll und gleich, wenn r = I o I, endlich imagin:ir, wenu ,. ichung zwischen den Parametern von g und k und dem Rie.btnngskoflffizient.en 1-'· Zu ihrer Ableitung bringe man (2) auf die Form

y

b ·- m(.1'- a)

+ b -ma-n= 0

und bere~hnt- aus (:r1 und (2*)

.r .....

11

ma -· n m-p

I;-··

y --· b =

·----···-- -

/.1\1!

die Einsetzung dieser Werte in ( 1) liefert die ui + --··-····----....,.--- n · · \b-·11W-:··n\'- r'' 2mr~

--ma-n)

--~------; lll·-1"

+ .

erwähnt~

.

(b-ma--n) 2 -m'r 2 l,b--ma--n)*-r "

Gleichung:

= 0· '

ihre ·wurzeln bestimmen die Richtungskoeffizienten der naeh den Schnittpunkten von g mit k laufenden Kreisradien. Nun ist aber (133) d~

=

(b- m.a -- n;" --~+ ln~

-·

das Quadrat der Entfernung des Kreismittelpunk tes von g; fiihrt man diese Größe in die vorige Gleichung ein, so lautet diese:

Wächst ~ ins Unendliche, so konvergiert der Koeffb;ient von !t gegrn Null, dae absolute Glied gegen 1 i folglich bestimmen sich die

280

Analytische Geometrie der Elwr;••

5. Der Kreis.

Richtungskoeffizienten derjenigen Radien, die nach den (imaginären) Schnittpunkten von k mit der unendlich fernen Geraden der Ebene laufen, aus der Gleichung 11 2 1 = 0, (Sl

+

sind also selbst imaginär und unribhiingig VOtl den Parametern des Kreises. Darin liegt der analytische Grund für die Aussage, da,ß nlle Krf'ise der Ebene durch zwei feste Punkte, die t!neudUch ti:men imagi~ niiren Kreispunkte, gehen. 194. Tangentenprobleme. Die Differentialrechnung löst die Aufgabe, an eine Kurve in einem ihrer Punkte die Tangente zu legen, für alle analytisch dargestellten Linien in einheitlicher Weise; denn unter Voraussetzung rechtwinkliger Koordinaten ist der Richtungskoeffizient der Tangente !lurch den Differentialquotienten y' von y nach x an der betreffenden Stelle M(x: y) bestimmt (561. Heißen also die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Tangente ~' r;, so ist deren Gleichung. Über die Bestimmung von y' ist nichts weiter zu bemerken, wenn die Gleichung der Kurve in der Gestalt

(:?)

y =· f(x) gegeben ist oder leicht auf diese Form gebracht werden kann. Hat sie hingegen die Gestalt

f'( x,yJ

=

n,

(;))

danu fUhrt folgende Betrachtung zum Ziele. Nimmt man auf der Linie neben .}J noch einen zweiten Punkt 1W ( x + h !J k) an. so besteht auch f(a.; + h, y k) = 0 und sumit weiter f(x h, !f + k)- ((x, y) = O,

+

+

+

wofür in erweiterter Form f(x

+ l1, y + k)- f'(x, y + k) + f'(x, y + k)- f(x,y) ~~ 0

geschrieben werden kann.

Nach dem Mittelwertsatz 73 ist

f'(::r + h, y + k) - f(x, y + k) = lt{;(x + Oll, y + k), 0 < 0 < 1, f(x, y + 1,') ·- f(x, y) = kf~(x, y -r 01 k), 0 < 01 < 1, wobei (;, {; Zeichen für die partiellen Ableitungen von ((.c, .II) nach

x, bzw. nach y sind (&&); infolgedessen verwandelt sich Llic· obige Gleichung nach Division durch h in die folgende:

f'~(x-r Oh, y+k)+f;(x,y + 01 7,-l ~ =

0;

281

Ta.ngentenprobleme.

indem nun h der Grenze Null zustrebt, wird auch k unendlich klein, und sind überdies (,., f'v stetige Funkti.onen der beiden Argumente x, y, so lautet die letzte Gleichung an der Grenze woraus sich

{;(x~

y) y

ergibt.

+ f'~ (x, y) · y' ,

=-

=

0,

t;(x, y)

(5)

~

·;-·~

(4)

fy(x, y)

Durch Einsetzung dieses Ausdruckes in (1) erhält man nun (~-

:c){: + ('i -

y)f'~ =

0

(6)

als Gleichung der Tangente. Diese allgemeinen Ergebnisse sollen nun auf den Kreis angewendet werden. I. An den Kreis (1) {1 x, y) = (x - a/ + (y -- u)2 - r 2 = 0

im Punkte ]}f(x 1y) die Tangente zu legen. Gegenwärtig ist folglich

f~=2(x-a),

t;

=

2(y- b),

(.x- a)(~- .1:) -t- l!J -- b)("7- y) = 0

die Tangentengleichung. Man kann ihr i.iLerfises und eines auf seinem Umfange liegenden ~ullkreises ist die zugehörige Tangente, und die Radikalachse eines eigentliehen Kreises und einer Geraden ist diese selbst. r m demnach die Radikalachse eines Kreises kund eines Punktes P Fig. 80, zu erhalt(·n, legt man durch P eü:en /; schneidenden Hilfskreis k', bestimmt das Radikalzentrum vun k, P, k' und führt durch dieses die gesuchte Radikalachse R senkrecht zu .Q P. Ihr kommt die Eigenschaft zu, daß jeder Kreis, der au' einem ihrer Punkte durch P beschrieben wird, den Kreis k orthogonal schneidet. Die Radikalachse zweier Punkte ist ihre Symmetrale, das RaJikalzentrum dreier Pnnkte der Mittelpunkt de~ dur('h sie bestimmten Krei~e,;. Das Hadikalzentrum eines eigentlichen Kreises oder eines X ullkreises und zweier Geraden ist der Schnittpunkt der letztr:ren. das Radikalzentrum dreier Gemden der Inkreismittelpunkt ihres Dreiecks. 1 Mit Hilfe dieser Bemerkungen kann bei(" spielswei~c dir Aufgabe gelöst werden, zu zwei Kreisen kll k:c den Orthogona-lkreis zu zeil'buen. der durch einen ;.rcgebenen Punkt geht. Der :Mittelpunkt des gesuchten Kreises i~t das Hadikalzentnun 1' von 1.· 1 , 7: 2 und P. Ferner die Aufg-abe, zu einem Krci~e /; und ein•::- GeradPn g den Orthogonalkreis zn 'zeichnen, dr·r durch einen gegebenen Punkt P geht. )fittelFig. 8 L pun kt des gesuehten 1\ reis es (J ist das Radikalzentrum r von k, g, P, Fig 1-11. 198. Kreisbüschel. Wir knüpfen an die eittleitende Bemerkung von 191 an, wonach ein Kreis im rechtwinkligen Koordinatensystem iru allgemeinen durch drei Bedingungen bestimmt ist. Sind weniger als drei Bedingungen vorhandt>n, so genügt ihnen uicbt. ein Kreis, sondern ein System von Kreisen. Insbesondere bezeichnet man die Gesamtheit der Kreise, die durch zwei gegebene Punkte gehen, als einen Kreisbiischel, tlie gegebenen Punkte als dessen Gmndpunkte. Diese Definition ist jedoch nur dann geometrisr,h unmittelbar zu verwenden, wenn die Grundpunkte reell sind und auch da nicht etwa als Endergebnis ein.,~;· Grenzprozesses vereinigt liegen. Eine alle Fälle umfagsende Definition erhält man, indem man die Grundpunkte nicht als solche, sondern als die gemeinsamen

Spezielle Radikalachsen und -Zentra..

289

KreisbüscheL

Punkte zweier Kreise oder eines Kreises und einer Geraden angiht; sie können dann sowohl reell und getrennt, wie auch reell und in bestimmter Weise vereinigt, wie aUl'h imaginär sein.

I. Sind k1 (x,y)

==-

~(x,y) =

" 2· a1x-:;,•) b1Y + "1 x·• + y-x 2 + _,,~- 2a2 x- '!b~y + x2

= ü

(1)

0

(2)

=

die Gleichungen zweier Kreise, so ist jeder Kreis k 1 , der durch ihre gemeinsamen Punkte geht. in der Gleichung

k1 (x,y';- J.l."-?_(r. y)

=

0

(:~)

enthalten: denn diese Gleichung heißt entwickelt:

+ y~)- 2(a1 -

la 2 )x- 2(bl- lb 2)y + x1 - J.x" = 0, v+) stellt somit wieder einen Kreis vor, und da sie durch die gemeinsamen Punkte von k11 k, befriedigt wird, so geht der Kreis durch diese Punkte. Die Normalform seinf'r Gleichung ist

(1 - l)(xj

l (

\-- k,(J.:,y)-J.k,(x,y) -•;,X-Y;- - -- ~i---- -

u-

'

sem :\Iittelpunkt Sl-; hat die Koordinaten t - '-'' -A.a, .,.-1-x ,, ~=

(5)

b, -J.b, - 1 - .t .•

liPgt also in der Zentrallinie der Grundkreise /;1, k" und teilt rlie Strt>cke Sl- 1 Qt im Verhältnis l in dem Sinne, daß

QQ

Q' ~

Erteilt man der Gleichung ( 4*) die Form

k;(c.y\

=

k1 (x,y)

+ i ~ Jk 1 (:r,y·l -7:2 (x,y)] =

&·:

=

).

ist (179).

.~

k/r.y) +I~~;. R1" 1x,y)

=

n,

su liest man unmittelbar ab, daß jeder Punkt der Hadikalader Punkt von g in bezug auf jeden ..Ii~r Kreise dieselbe Poten:.t. hat wie in bezug auf k, daß also g(x, y) = 0 die RaLlikalachse des Kreisbüschels (31 ist. WaR dessen Zentrallinie anlangt, so entnimmt man der ausgeschriebenen Gleichung (3): x~+

y2

-

die Koordinaten des

(2a- ).m)x -- (2b + J.)y-::Mittelpunkte~

x

-i- ).n

=

0

von k:.-:

• ;, 'i'll ~=a-n 1. und 2. hnnwht niehts bemerkt zu werden; im Falle (::l) fül1rt dazu folgende Erwägung. Der aus dem Schnittpunkte A der Zentrallinie c mit }(, Fig. 8:!, I'ig. 82. beschrieheue Orthogonalkreis 0 zu k ist Orthogonalkreis zu allen Krei!!en des BiiRehels; somit können diese Kreise definiert werden als solche, die 0 und C orthogonal ~chneidcn; die Aufgabe, den Büschelkreis durch M zn bestimmen, kommt also darauf hinaus, den durch Jl[ gehenden Orthogonalkreis zu k und c zu bestimrnrn; diese Aufgabe ist aber am Schlusse von 197 gelöst worden. Die Schnittpunkte Gl! 0,! YOII 0 mit t, als N" ullkreise aufgefaßt, erfüllen die Forderung, U und c orthogonal zu !!ehneiden, gehören alsü dem Büschd an und ht>ißPn seü1e Grcnzpun~tl!. .leder durch sie gelegte Krt>is k hat ileinen .\'liltelpunkt in R und ist f'omit Orthogomtl-

291

· .!rtt"n der !Ueisbüschel. Pol un,d Polarr.

krf!is zu allen Kreism Uf'S RilschrJs (k, R) ~ -w~~il er Orthogonalkrei8 zu G 11 G2 ist. Es !lntf;tehen solcher Art i\wei Kreisl•üsehel, die in folgender Beziehung zneinanJer stehen: das Bi.isrbel der Kreise k mit der Zentrallinie c, der Radikala.rhst• R und clen Urmzpunkten G11 G~, und das Büschel der Kreise f mit der Zentrallinie R, der Radikalal'hse C und den Grundpunkten G1 • G~ verhaltPn sich so, daß jeder Kreis des einen Büschels alle Kreise des andrrn orthogonal schneidd. Man nennt Kreisbüsehel, die einanJer in tlil·ser ·weise zugeordnet ~ind,

konjugierte Krcisbii.stltef. 199. Pol und Polare. Zu dieser Begriffsverbindtwg hatte das

ProblPm Anlaß gpgeben, durch einen Puukt P( x 0 /y0) T:wgeuten an einen Kreis

k(x, y)

zu legen (194, II).

=

(x- u)2+ (y-7,/- r 2 = 0

(_1)

Drückt man die Forderung aus, die Tangente

m emem noch unbestimmteil Kreispunkte .JJ(x,y):

(x- aj(;- a)-+- (y- b)(Tt- b)- r 2 = 0 habe durch P zu gehen, so ergibt sich zur Bestimmung von M nebst. (1) noch die Gleichung: (x -- a)(.r0 -

a)

+ (!t -- b)(,11

0 -

b) -

(2)

0,

1' 2 =

die, weil vom rrsten Grade in :.c~ y, eiue Gerade vor:;tellt~ die man als Polare des Punktes P in bezug auf den Kreis k bezeichnet. In o:>ntwickelter Form lauten die Gleichungen (l) und (2), wenn man von der Abkürzung a1 + 1,~ ··· r 2 = .-. G-ebrauch macht:

y) = x 1 + i- 2ax- 2by + x = 0, p(x, y) = Xe:l; + YoY -- a(:t +- .r0) - b(y + y0 ) + x -_0.

(1 *)

~~~:r,

(2*)

Wir bring-en nun mit dem Sy::~tem dieser zwei Linien den Geradenbüschel mit dem Träger P in Verbindung, dessen p::..ram€-trische ""Gleichungen lauten: X

=

X0

y~y0 -tssina.

2[(a- x0) cosa

/

'-

(:l)

t'ubstituiert- man (:3) in (1*), so ergiht sirh die ir, bezug auf s quadralische Gleichung .~~-

_;:p

+ S COS a:

"""'~~/

M"

~

+ (b -- !lo) sinaJ s + k(x

'\..

·

P

Fi.r. 0,

y0 )

83·

....

0;

ihre Wnrleln ;;', s'' bestimmen die Abstände der Sclmittpunkte Jf7 ltl" de;o~ ~trahls !a) mit dem Kreise k, vom Punkte P aus gemes8en, Fig-. ~.3; es lwsteht>n !llso zwischen diesen Abstih1den die R~lationen:

'>[-(l' ··- Xo). COS ct S • -!- S " '= :_.

' . C!. j, ·-t- '·)I -- YIJ) Slll

(4)

292

Ana.ljtische Geometrie der Ebene. § 6. Die Linien zweiter Ordnung.

Substituiert man (3) in (2*), so ergibt sich die in hezug auf .s lineRre Gleichung: [(x0 - a) cosa + (y0 - b) sina] s + k(x0 , y 0) = 0, (5) deren Wurzel den Abstand des Schnittpunktes Q des nämlichen Strahls mit der Polare p bedeutet. Aus (4) und (5) folgt die von « unabhängige Beziehung:

s(s'

+ s'') ,.. 2s' s",

in der man die charakteristische Streckenrelation eines Systems harmonischer Punkte erkennt (179, (4) .1. Dies gibt den Satz: Die Schnittpunkte der von einem Punkte P

a·usgehenden Strahlen mit dem Kreis k werden durch die zugf'ordnete Polare p von dem Punkte P harmonisch getrennt.

Auf dieser Grundlage läßt sich die Polare Pincs im Innern des Kreises gelegenen Punktes P konstruieren; man führt durch P eine beliebige Gerade, bestimmt den harmonischen Punkt Q zu P in bezug auf die Schnittpunkte der Geraden mit dem Krei~e: dann ist die durch Q zu ~ P geführte Senkrechte die Polare.

§ 6.

Die Linien zweiter Ordnung.

200. Die allgemeine Gleichung zweiten Grades. Die allgemeine Gleichung zweiten Grades in den Parallelkoordinaten ;r., y umtaßt sechs Glieder: drei vom zweiten.• zwei vom ersten, eines vom nullt.en Grade; sie lautet: f(x, y) = A..r. 2 + 2Bx!f + Cy~ +:? Dx + 2 Ey + F = 0. (1) Alle Gebilde 7 die durch eine in dieser allgemeinen .Form mthaltene Gleichung dargestellt sind, nennt man "Linien zweiter Ordnung." Die Koeffizienten .A, B, ... P werden als reelle Zahlen vorausgesetzt. Da einer von ihnen durch Division auf 1 reduziert werden kann, so en.thii1t die Gleichung fii.nf Konstantcu. Dies hat zur Folge, daß eine Linie zweiter Ordnung im allgemeinen durch fünf Bedingungen bestimmt ist . .Jede in F'orm einer Gleichung ausgedrückte Beziehung zwi~chen den Koeffizienten vermindert die Anzahl der Konstanten um eins. Insbesonderm JJ2 -- AF> tJl) oder D 2 - A.F= U2) ist; hei /J~ --- AF < o wird ihr durch keinen r~>ellen Punkt geniigt. 201. Brster Ha.uptfall: 0 + 0. Nach !I gennlnet sehreihr sieh oie Cileichung I 1):

+

f'y 2

+ 2(1J ,. -;- E1!1-;-

.LI'?+ 2 D:r

+F

=

o

u11d gibt für y die explizite Darst,•llung:

_, Hx + E; -J:: y(Bx+I~·)•- (·, Ti'-=f'iiu--F) y = - - - ~------c-·-·. ~-

----------'

tler mit den AhkUrznngen:

JI = B~ --AC

I

S=BE--CJ>J 1' ~= E 2 - CF die Form:

X=

1ll:r~

+ '2 Sx + P

B,r+ E !f=- -- r:

VX ::c.:--c

(-! ·'

(ö)

gegeben werdeu kann. Hiernach erRcheint. !I als Summe und Differenz von Rx_;__ H

1j = -- --

i;____ I

(rner hat X die beiden rPellen Nullstelleu

~ ~

t

.

V.J

."=::J{'

zwischen denen es positiv, außerhalb deren Intervall es nPgativ ist. Bei b) .d 0 ist X die Summe zwei negativer Größen, bleibt bestiindi,~ negativ und Y imaginiir. Schließlich, ··enn c) LI =-· 0, reduziert. sich X auf ein ncgati ves Glied, das für ~ = U verschwindet; infolg· dessen ist Y imaginär bis auf die Stelle ~ c" 0, an der es == 0 ist. II. lst 31 > U und a) .J > 0, so erscheint -4- als Dilferenz mit einem variablen :Minuend, hat die reellen Nnlhtc!lPn


0

i~t R.) h:i

hin~egeu

295

0; im übrigen ist, rla X positiv bleibt,

da~ durchwegs

J' auf

y.

-_!I_ aunimUit, wenn der variable Summand J

die ihren kleinsten Wert.

l:;t endlieh 15) .d

.r,

lJ) bei Y

Ho

läßt sieh X auf die Form

(x -'- /~.) ... ..:.l J

~o l~Jnge po~itiv,

n. Dw Pnnkt.-, welche der Gleichung f(;r, y I = 0 un!t~r die~cn Y oraussetzungen geuü!..('en, sind symmetrisch zur Geraden d: 'i 1 .,

(ler Hiebtung () 1' uud

=

-

J::r

+ /~'

(ll")

r

~ymnwtri .;rh

znr Gerarien d':

(12) in cl1'r Richtung d ang•'onlnet. nnJ eingP"(~hlo>n y X= --

s -'-I

-Ji · .J

(13)

...

parall?l zu ,f', anderPrseits von dPn Ge· raden

!I

1

=

11

± c

l - Jl '

.J

( lJ I

parallel zu d, Fi~. 8J Die dargestellte Linie ist somit zentrals.vmm(•trisch in be~u~ auf den Schnittpunkt.

o (

N BY -· E'Jf') (11.) unu..] 1'12 )_. C }.[ . von

_., ,·- Jf

der ihren lllittelp"nkt bildet. Sie heißt Ellip:;e. P): .Jf < 0, J 0. Bei die".em Verhalten der Koeffizienten gibt es keinen reellen Punkt, der der Gleichung {(x, y) -= ll gt•nügt.


0 oder P =~ 0, unter der ersten Vot.:itUSset:>mng getrennt, nntf'r der andern vereinigt; bei P < 0 kann von imaginiiren parallelen Geraden gesprochen werden. Um auch hier eine einheitliche Au~drue.ksweise zu habt:n, faßt man die unter Ill") aufgezählten Gebilde als ze1"{allene Parabdn auf uud nennt snniter Ordnung.

2. Zu der Gleichung x 2 - 2xy die Zahlen:

+ 4y

3-

6x

+ 4y+ 10 =

0 gehön•n

M=-3,

N=10, P=-36; d=-8; es findet der Fall I b) einer imaginären Ellipse statt. 3. Bei x 2 - 2.1:y

+ 4y

ßx

2 -

s· =

M = - 3,

+ 4y + 10,

28 = 3

P

0 hat man

=-

r;

1

~=0;

die Bedingungen des Falles I') sind erfüllt, .t = ~o_, y einzige reelle Punkt, Wf'lcher der Gleichung genügt. !::,.

=

~ =

4. 2 x 2 + 4xy + y2 - 2 x - 4y + 1 = 0; M = 2, N 3; Fall Il") der Hyperbel in der ersten Lage.

=

=-

-}

ist der

3, P = 3,

5. 2x 2 + 4xy + y 2 - 2x- 4y- 1 = 0; M = 2, N = --3, - 1; Fall IP) der Hyperbel in der zweiten Lage.

P~~o

;l;

6. 2x 2 +4.J:y+y2 -2:r-4y-f=0 ; ..11=2, N=-3, P=~; 0; Fall Uc) der in zwei Gerade zerfallenen Hyperbel; diese Geraden sind: y = - (2 y'2):r + 2 y'2.

6.

=

+{

+

7. 4x 2 -4xy+·!l-4x-8 y-2=0;J.ll=0 ,N=10, P=18; Fa.ll III•) der Parabel in der ersten Lage; die reellen Punkte beginnen bei x = - 190 • 8-;

4:v 2 -4xy+y 2 -4x+8y-2=0, 111=0, N=-ö, P=18;

Fall IIJb), Parabel in der zweiten Lage, die reellen Punkte reichen bis x =

t-

9. 4x 2 - 4xy + y2 - 4:t + 2y- 2 = 0; 1.li = 0, X= 0, P = 3; Fall IIl 0 ) , eme 1n zwei parallele Gerade zerfallene Parabel, und zwar sind y = 2 X - 1 ~= }1S diese Geraden.

+

10. Die Gleichung 3xy- 4.r 2 !I- ß =, 0 fällt unter den Typus IV•) und stellt eine Hyperbel dar, deren Asymptoten y = 1, x = - ~ sind; der rechte A:;t liegt oherhalb der ersten Asymptote. 11. 8x!- 4x- 2y

auf die Form

+1=

0 fiillt unter den1Typus Y und zeigt,

Spl'zi.;>lle Disjunktionen.

303

KoordinatentranRlation.

gebracht, daß die Parabel symmetri~ch ist in bewg auf die Gerade wobei die .r-A.ehs~ die Hichtuug der Symmt>trie angibt~ und dat die reellrdinatensystem überzugehen. Sind ~\die Koordinaten des neuen ersprungs, .1·';y' die neuen Koordinaten Jes Punktes x·'y, so gelteu die TransformationsgleichwJgeu (168): X =

/

+ ~, :'/ =

y'

.f 1),

durch deren Anwendung si('h die Gleichung (1) ,·erwandelt m: {(x'

+ ?, y'-'- 111 =

A:t'z

+ "2Bx' y' + Cy'~ + 2(A; + 1Jr1 + D).c' + '21JJ'; + C'r1 + E)y' + /H. 11) = 0;

dies kann noch kürzer dargestellt werden, wenn man beachtet, daß aus (\';..11· = A.~ 2

+ 2B;1,

+ Cr/ + 2D~ + '.!E11 + P

dun·h partielle Differentiation nach t~'(~,"J) = i1A~ f,>~,r;) ~~

2(B;

~

und

+

BIJ

1j

erhalten wird:

+ D)

+ Cr; + B);

die transformierte Gleichung lautet dann endgiltig:

Ax' 2 + :2 Bx'y'

+ Cy' 2 + /~(~, yt)x' + l~(~,r;)y' + {(;,

0. (1*) Hieran ist als bemerkenswert hervorzuheben: 1. daß die Koeffit1)

"=

zienten der quadratischen Glieder gegenüber der Transformation in•ariant sind; 2. daß das absolute Glied in das Substitutionsresultat der Koordinaten ~, T) iu die linke Seite der. ursprünglichen Gleichung übergeht, somit verschwindet. wenn der neue Ursprung auf der Linie selbst liegt. 206. Mittelpunkt. Bt-i rlem Kreise, der Ellipse und Hyperbel hat die Untersuchung zentrale S):mmetrie, also das Vorhandensein eine:'! Mittelpunktes ergeben. Die Frage seiner Bestimmung ~oll nun selbständig auf Grund der allgemeinen Gleichung

((:r,y) = A.r 2 + '2 B:ry + Cy 2 + 2Dx + tRy + F ~ 0 (1) ~elöst werden. Wir gehen dabei von dem Gedanken aus, doß der Un;prung dann, aber aueh nur dann 1.fittclpunkt, also Zentrum der ~ymmetrie des Gebildes (1) ist~ wenn die Gleichung bloß Glieder zwetten Grades enthält; denn nur dann wird sie~ wenn durch ,tiy bf'friedigt. auch durch - x/-- y erfüllt: Bedingung für die erwähnte .\n01·dnung ist al!!o da~ Fehten der Hlirder ersten Orades, d. h. D ,~ 0, E -·~ 0.

304

Analytische Geometrie der Ebene. § 2. Die Linien zweiter Ordnung.

Ist x 0 fy0 der Mittelpunkt, so muß die nach ihm transformierte Gleichung

Ax' 2 + 2Bx'y'

+ Cy' + f~.(x0 ,y0)x' + t;.(:ro,Yo)Y' + l(xo,Yo) = 2

0

diese Beschaffenheit haben, es muß also f~.(xo, Yo)

=

t;.(xo, Yo)

=

0 0

(2)

·sein; mit andern Worten, die Koordinaten des Mittelpunktes, falls ein solcher vorhanden, genügen den Gleichungen

Ax0 Bx0

+ By + D = + Cy + E = 0

0

0 0.

(3)

Jede dieser Gleichungen stellt bei variabel gedachten x0 , y0 eine Gerade dar, die Aufgabe der Bestimmung von x 0 fy0 kommt also geometrisch auf die Bestimmung der gemeinsamen Punkte zweier Geraden hinaus; die in 189 hierüber angestellte Untersuchung hat zu folgenden Ergebnissen geführt. Es existiert ein und nur ein bestimmt.er Punkt im Endlichen, der den Gleichungen (3) genügt, wenn

=-Jf=i=O IBABI C !

1

ist, also in den Fällen I, If (Ellipse, Hyperbel). Die Gleichungen (3) bestimmen einen unendlich fernen Punkt, wenn ]}1 = 0 und eine der Zählerdeterminanten nicht verschwindet. Ist beispielsweise

I BCED I

=

..\

T

+ l),

so erkennt man, daß vermöge M = 0 auch die zweite Zählerdeterminante von Null verschieden {st; man hat es mit einem der Fälle III"), IIP), Parabel in der ersten und zweiten Lage, zu tun. Den vorstehenden Bedingungen ist auch dann entsprochen, wenn B = 0, C = 0 ist; denn dann wird J.l und die erste Zählerdeterminante Null, während die zweit.e von Null verschieden ist; die erste rll'r Gleichungen (3) liefert für x 0 einen endlichen \Vert, der zweiten kann aber nur durch ein unendliches y0 genügt werden; es ist dies der Fall V einer Parahel in der dritten Lage. DAn Gleichungen (3) genügen unendlich viele Punkte, wenn sie sich nur Jurch emen konstantEm Faktor voneinander unterscheiden, wenn also

305

~Iitt(']punktbestirumung.

ist; die Punkte erfiillen die einzige durch (:.I) bestimmte Gerade. Weil nun sowohl .._tf = B 2 - AC als auch "'"=BE- CD= 0, so tritt der Fall III ") ein, der auf zwei parallele Gerade führt. Ist die erste Jer in vorstehender Untersuehung unterschiedenen Möglichkeiten eingetreten und x 0 , y0 bestimmt, so ist mit der Berechnung von (1 x 0 , y0) die Transformation zum ~llittelpunkte ·- so soll die Translation des Koordinatensystems nach dem Mittelpunkte heißen - vollzogen. Die eigentlichen Linien zweiter Ordnung scheiden sieh hiernach in zwei Klassen: solche mit einem Mittelpunkt im Endlichen -- Kreis, Ellipse und Hyperbel -- und solche mit einem Mittelpunkt im UnPndlichen - ParaheL 207. Beispiele. 1. Für die 204 unter 1. uebandelte Gleichung

x2 - 2 X 1j

+ 4 y2 -

Ei X

+ .J.. y + ;) =

0

ergeben sich Zllr Bestimmung des Mittelpunktes die Ansätze:

Yo- 3 = 0 4y0 + :! = 0, ·c· 0 ,y0.) = .. t l . . d lL\\elerfx aus d eneux0 = 10 3 ,y0 = 31 f ogt, die zum Mittelpunkt transformierte Gleichung: 1 u-

- r0

T

x''- 2:c'y' + 4y' 2 - \~ = 0. :!. Di.- l1leichung 4. in 204: :! .I~ + -b: y 7 !/~ --- ':!X - 4y + 1 =

19 ,

3

so lautet

Ü

i"t als Jie Pm er Hyperbel t>rkannt worden; aus den Gleichungen 2 :r0 -l- 2 y 0 - 1 = 0

2:r0

+ !lo -

2

=

o

erhält man den :\Iittelpunkt .t0 = %, y0 = -- 1, und da f'(x 0 , !fo l so ist y' 2 + f = 0 2,x'" + 4x'y'

=

~'

+

die zum }Iittdpunkt transformierte Gleichung. 208. Durchmesser. Im Laufe der Diskussion der allgemeinen Weichung zweiten Grades sind gerade Linien erkannt worden, in bezug auf weluhe Symmetrie nach einer bestimmten Richtung stattfindet, mit andern 'Vorter:. gerade Linien, welche Sehnen einer. bestimmten Riehtung balbieren. Dies soll Anlaß geben zur Erörterung der :Frage nach dem geometris•·hen Ort der Halbierungspunkte paralleler Sehnen irgend t>iner Richtung; ein soicher Ort möge den Namen Durchmesser erhalten. Die nun folgenden Untersuchungen setzen ein t·echi-U"inkliges Koordinatensystem voraus. C • u be r, HOhore Matheru~lik, ~. Aufi.

20

306

Analytische Geome.trie der Ebene-. §· 6. Die Linien zweiter Ordnung.

Verbindet man mit der Gleichung

f(x,y) = Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx die parametrischen Gleichungen (177) x= ~

y = 1J

+ 2Ey + F= 0

+ s cosa + s sin a

(1)

(2)

der Geraden, die durch den Punkt ~ / 1J geht und mit der x-Achse den Winkel a bildet, so liefert die Gleichung

{('; + s cosa, r1 + s sin a)

(A cos 2 a + 2 B cos r< sin a + C sin 2 ct)s 2 + [(€(~, YJ) cos a + f~(;, 7J) sin a]s + f(~,-r,) = 0 (3) in ihren Wurzeln s11 s2 die Abstände des Punktes ~ / r; von den Schnittpunkten M 11 M 2 der Geraden (2) mit der Linie (1!. Der Punkt ;j1J ist insbesondere der Mittelpunkt der f;ehnP- ;"t/1 Jl~, wenn s1 , sll entgegengesetzt bezeichnet unJ dem Betrage nach gleich sind, und dies findet dann statt, wenn die Gleichung (3.1 rein quat!ratiscb, also [&(;, r,_l cos « + r:,rg, r,) sin a = u i.J.) ist. Diese Gleichung steHt den Ort dl:'r Mittelpunkte aller Sehnen vom Richtungswinkel a oder vom Riehtungskoeffizienten m = tg r' dar; ersetzt man fi, f~ durch ihre Ausd:rüeke, so wird aus (4) (A + Bm);-:- (B + Cm)YJ -~ D + Em = 0. i ;:;, Hiermit ist erwiesen, daß die IJ1u-chmesser einer /,inie zu·eitm· Ordnung gerade Linim sind. Die Gleichung (o), in symbolischer .Form •

{i(;,'YJ)

+

mf~(~,TJ) = 0,

stellt bei variablem m einen Geradenbüschel dar, dessen Träger durch die Gleichungen

o,

h(~, Jj) =

gegeben ist; diese Gleichungen bestimmun aber 1a08) den Mittelpunkt. Die Dut·chmesser einer Linie zu·eiter Ordnung bilden demnach einen Geradenbüscltel, dessen Träger der JJiittelpunkt der Lüde ist; bei den Linien mit e-i·nem Mittelpunkt gehen also alle Durchmesser durclt einen eigentlicltett Punkt, bei der Parabel sind sie untereinander parallel. aoe. Paare koDjugierter Durchmesser. Der Durchmesser, der die Sehnen vom Richt.ungskoeffizienten m halbiert, hat selbst, wie aus seiner Gleichung (5) hervorgeht, den Richtungskoeffizienten m. ,

=

-

A +Btn -~ • B+Cm'

--- ~

·m' iindert sich mit m nur dann, wenn lA B! I =-lJf=j=O : lJ c

Durchmes.,er.

Koujugierte Pnrchrne~~t>r.

Achse.n.

ist, also bei der Ellipse und Hyperbel; ist hingegen JW "· :

=

~

=

307

u.

also

k, so bleibt m' konstant = - !..

Von diesem Falle abgesehen besteht zwisclnln dem Hi!'htrmgs koeffizienten der Sehnen~char und dem Richtungskoeffizienten des zugehörigen Durchme~sers die Weichnng: ('mm· -- H:m

+ m'.i

..L

.!

=-

U.

Diei'>e Gleichung hat eiuen solchen Bau, daß sie !;ich niebt imdert, wenn man 111 und m' mitein;mdet vertauscht; daraus entspringt der folgende SaehYerhalt: V\"iihlt man Yon zwei Zahlen m, m', die der Gleichung 16.1 genügen, dw eine als Hichtungskoeffizienten einer Sehnenschar. so bedeutet die andere den Richtungskoeffizienten des ·lie Sehnenschar halbit•rrnden Durchmessen;. Die Durchmessf'r einer Linie zweiter ( lrdnung mit eigentlichem :\littelpunkt ordnen sit·h hiernach zu Paaren solcher Art, daß der eine die zu dem andern va.rallelen Sehnen halbiert. Man bezeirhnet die Durchmesser eines solchen Pa;tres als l:rmjugierte Durchmesser. Der Durchmesser vom Richtung8koeffi.zienten 111 schließt mit dem ihm konjugierten zwt>i Sllpplement:ire 'Winkel ein, dereil einer. w, durch tcrc·J= m'-m o

c.-·

l+rtlfn'

.J.+2Bm+Cm'__

(,'il

Bm'+(A---f'.m-B

l.Jestimmt ist.

m.o. Aohsen.

Daran knüpft :>ich naturgemäß die Frage nach Paaren konjugierter Durchmesser an, die aufeinander senkrecht stel1en; derartige Dnrchmesser sind Achsen orthogonaler Symmetrie und werJen darum als Achsen der betreffenden Linie bezeichnet. Zufolge der Formel (7) haben diP Richtungskoeffizienten de~: Achsen der Gleirhung JJm~ + (A- (')m- B = U 18) zu genügen. Diese Gleichung ist identisch, d. h. durch jeden \Vert von m, erfüllt, wenn gleichzeitig ~olchrn

A=C,

B=O

ist, Bedingungen, die den Kreis kennzeichnen (188, 200). Der Kt·el~'i ltat S1mach unendlich riele Achsenpaare, mit andern Worten, von welchem Durchmesser man auch ausgeht., der dazu konjugif'lrte steht immer senkrecht auf ihm. In den Fällen der Ellipse und Hyperbel giht es nur ein Paar von Achsen, denn die Gleichung (8) liefert dann stets ein Paar reeller Wutzdu m1 , mi, dif' die Eigenschaft haben, daß m1 m 2 = -- l i.t; diese Wurzeln sind in der Formel

(9) Pnthalten. 20*

308 Analytische Geometrie der Ebene.

§ 6. Die Linien zweiter Ordnung.

Bei der Parabel sind alle Durchmesser parallel und derjenige unter ihnen, der die zugehörigen Sehnen rechtwinklig halbiert, ist die einzige Achse. In der Tat gibt die Formel (9), wenn M = 0, also Bi = A 0 ist, die beiden Werte A

-

B'

0

B'

deren einer = - k, gleich dem Rirhtungskoeffizienten der Durchmesser ist (a09), während der andere die dazu senkrechte Richtung bestimmt.

an. Transformation der Ellipsen- und Hyperbela'leichung zu den Achaen. In den Achsen ist für die genannten Linien ein natürliches rechtwinkliges Koordinatensystem gegeben, bei dessen Anwendung ihre Gleichungen eine besonders einfache Gestalt annehmen. Da nämlich der Mittelpunkt dann Ursprung ist, entfallen die Glieder ersten Grades in x, y, und da weiter bezüglich beider Koordinatenachsen Symmetrie herrscht, ist die Gleichung rein quadratisch in bezug auf x sowohl als y, es entfällt also auch tlas Glied mit dem Produkt xy. Ist die Gleichung bereits zum .:\Iittelpunkt transformiert, also auf die Fmm I 1; .ü" + 2H.ry -, Cy~ + r.;. = 0 gebracht ra06), so handelt e~ sich um eine solche Hotation tles Koordinatensystems um den Ursprung, daß das Glied mit dem Produkt der neuen Koordinaten auRfliltt; ist -& der Rotationswinkel, so lauten die Transformationsgleichungen (169): x = .x' cos {t - y' sin-& y

=

x' sin-&

+ y'

cos -&,

durch die (1) verwandelt wird in: (A cos 2 -& + 2B cos-& sin-& + C sin 2 8-)x' 2 - 2[A cos 8- sin-&- B(cos 2 ft- sin 2 8-) - C cos fr sin -&]x' y' + (A sin~-&- 2B cos I} sin-& + 0 cos 2 -&)y' 2 + G = 0; die angestrebte Form A'x' 2 + O'y'll + G = 0

(2)

tritt also ein, wenn man 8- derart bestimmt, daß wird.

(A- 0) sin2a--

2Bcos2~ =

0

t3)

Diese Gleichung läßt 8- unbestimmt, wenn gleichzeitig A = C und B = 0 ist, also im Falle des Kreises. In jedem a.ndern Falle gibt sie in 2B

tg2a-=.:!- c

(4)

309

Transformation zu uen Achsen.

die Bestimmung zweier Winkel, die sich um 180° von einander unterscheiden, also zwei er Werte von {}-, die um 90° differieren; mit dem einen ist der andere gegeben. Behält man den h()hlen Winkel bei, so folgt aus (4) sin2{}-=··

2 1!..________

qi(A-C)!+4B''

cos2{}-=---.:.J.-C-=-=-c

q/(A-CJ'+4B•'

t=sgnB. 1,_6)

Die in (2) eingeführten neuen Koeffizienten A ', C' haben zunächst folgende Bedeutung: A' = A cos 2 & 2 B cos ft sin -1t + C sin 2 {)-

+

A. sin 2 -1t - 2 B cos {)- sin -6darlius ergibt sich durch Addition: A' + C' = A + C, C'

=

+ C cos~ -6-;

(6)

nnd durch Subtraktion, wenn man gleichzeitig auf der rechterr Seite von den Formeln (5) Gebrauch macht:

A,-

c' =

E

-vct= c)2+ 4B

1:

(7)

aus (6) und (7) erhält man schließlich:

t (A + (.' + E V(A--=-- C? + 4 B 2} c' = t: A + c- c v("'r= cyc~.fß2 : .

A, =

(8)

Aus der hieraus folgenden Relation

A.' C' = .AC - R 2 =

-

..:lf

geht hervor, daß bei der Ellipse A' und C' gleich, bei der Hyperbel ungleich bezeichnet sind. Es nimmt also (2) im Falle der eigentlichen Ellipse schließlich die Form im Falle der Hyperbel eine der Formen . :r''-y''

±-;>+b't=l an, wo bei in beiden Gliedern entweder das obere oder das untere Zeichen gilt. Hiermit ist der Anschluß an die Definitionen gf>wonnen, aus welchen die letzten Gleichungen ursprünglich abgeleitet worden ~ind (158, 159). Aus dem Gange ckr Untersuchung in 206 und in diesem Artikel geht hervor, daß das absolute Glied P der Gleichung weder auf die Lage des Mittelpunktes, noch auf die Ric:htung der Achsen, noch auf das V erhtiltnis der Aehsenlängen Einfluß hat; denn auf die Koordinaten des ?IIittelpunkte.s wirkell alle Koeffizienten mit Ausschluß

310

Analytische Geometrie der Ebene.

§ 6. Die Linien zwtJiter Ordnung.

von F, auf die Richtungswinkel der Aehsen und das Verhältnis ihrer Längen nur die Koeffi~ienten .A., B, C der quadratisehen Glieder ein. Hiernach stellen Gleichungen der Form (1 ), die sich nur in F unterscheiden, Ellipsen und Hyperbeln dar, die im Mittelpunkt, den Achsen und dem Verhältnis iJrrer Längen übereinstimmen. Man nennt Linien dieser Art homotketisch. 212. Scheitelgleichung der Parabel. Wegen der ße:liehung M = B 2 - AC= 0, die die Parabel kennzeichnet, kann deren allgemeine Gleichung auf die Form C (y

+ Bc

.x)~ + 2D.r

+ 2Ey + F =

( 1)

0

gebracht werden; es ist also ein charakteristisches Merkmal der Parabelgleichung, daß in ihr die Glieder zweiten Grades, eventuell nach Absonderung eines konstanten Faktors, ein vollständiges Quadrat bilden. Als Richtungskoeffizient der Parabeldurchmesser, also auch der Parabelachse, ist - ~ , das gleich ist - ~ , gefunden worden (210): bezeichnet man also den hohlen Hichtungswinkel mit ß', so ist B

tgß-=-·0 ,

.

C

-B

.

sm{}-=~j;:B~.f."'c~' cos{}-=cJIB~=+f'~' c=-sgnß(2l

Die Rotation des Koordinatensystems um diesen Winkel verwandelt die Gleichung (1) in die folgende:

;;oKlt y' 2 + 2(D cos ß' + E sin {}-) x' + 2 (- D sin {)- + E eos {)-1 y' t' F u, =

deren allgemeine Uestalt durch

C'y' 2 + 2D'x' + 2E'!i'

+F =

0

13)

bezeichnet ist, wobei unter Berücksichtigung von (2.! OJJ-BE D' - --B'+C' 11 E'= 13D±!'-F .c = --- ;_y- = A. + c' 2

-

,

~vB +o·,

f

1/ffi +~ C'

(4)

Übt man jetzt eine Translation nach dem noch unbestimmten Ursprung x0 (y0 aus, so verwandelt sich (l3) weiter in ( ''•~'' 2 ' 2D', "+2((J' ' -- , " Y"+(''· Yo~+2D',Xo 1-. 2E' !/o T 1'-0 , .1 Yo +E')' X " !r 1I

und verfügt man über den neuen Ursprung derart., daß C'y~

C'y0 + E'= 0 + 2D'x0 + 2E'y0 + F= 0

wird, so vereinfacht sich die Gleichung schließlich auf f:' y" 2 + 2 D'/' = 0.

(5)

(6)

Die zweite der Gleichungen 1:Ö) läßt erkennen, daß der Ursprung

Transformation zur Achse und wu, Scheitel.

311

dor Parahel selbst angehört, und für st·ine Koordinaten ergeben sich aus (5) die Werte: E' Yo = - r"'' (7) E'"-C'F :!C' D'

Xo =

es ist jener Punkt, in welehem di(• }">arabel von ihrer Achse ge:idmitten wird, da vermuge der jetzigen Gleichungsform in bezug auf die .: -Achse orthogonale Symmetrie hesteht. Man nennt den Punkt (7) den 8cl1Pitel der Parabel. (61 ihre Schei.telgleichung. In der Form ". 2 ('' ])' .r ., ~I • = -läßt sie ihre Übereinstimmung mit jener Gleichung erkennen, dif' aus der ursprünglichen Definition abgeleitet worden ist (160). Wie die Ansätze dieses Artikels zeigen, hat das ahsolutc Glied F weder auf Jie Richtung der Achse, noch auf die Ordinatf' y 0 de>. Scheitels (im i::lystem .{, y'), also aufdie Lage der Achse, noch auf den Parameter Einfluß. Es gehören demnach Gleichungen der Form ( 1), die sich nur in dem absoluten Gliede unterscheiden, Parabeln an, die dieselbe Achse, denselben Parameter und nur verschiedene Scheitel haben. Man bezeichnet derartige Parabeln als Jwmuthetisch. 21.3. Beispiele. 1. Fm die Ellipse, die durch die Gleichung 20-6, 1: x 2 -- :!xy 4y 2 - 6x 4y 3= 0 bestimmt ist, auf die Achsen 7.U transformieren, transformiere man sie zuerst zum Mittelpunkt \0 / -}; dies ist in 207, 1. geschehen und hat mit Unterdrückung des Akzents -y;

+

x 2 - '2 X !f -f- 4 y~ -

1]

+

+

= ()

ergeben. Zur Bestimmung der Rieftt'tnfl der Achsen hat man und für die endgiltigen Koeffizienten ergeben sich nus 211, (H; die Werte: I' 1 .• . 1/1.") ....''1 =

'.!

lt) --

~

'-',

Fig. 90. ~

C'

=

~ (fl

+ V1ä):

die Achsengleichung lautet also:

u) -·-l/13) .c·t + (Jl + y13, y' 2 -

und tißt, in der Gestalt X./ !

-·---3-8- ---

--------

------

a \5 -1:''13)

y' t

+ --· 38 - - = ------3 (5

+ lliä)

~= o

1

312 Analytische Geometrie der Ebene.

§ 6. Die Linien zweiter Ordnung.

geschrieben, unmittelbar die Halbachsenlängen

"'I Jl

38

8 (6

+ y'tll) =

V

88 13)

8 (o-

1,21 · · · erkennen.

ru

-3,01· · ·,

2. Die durch die Gleichung :104, 4.: 2x9 +4xy+y1 -2x-4y+ 1=0

dargestellte Hyperbel ist in :107, 2. zum Mittelpunkt i /- 1 transformiert worden, und es ergab sich, wieder in x, y geschrieben, die Gleichung: Y. 2x 2 + 4xy + y~ + = 0. K Die Richtung der Achse ist durch tg 2{1 = 4 bestimmt; ferner hat man

t

A' = t(3

+ Y17)'

C' = H3- Y17), und hiermit ergibt sich die Achsengleichung:

(y'TI

+ 3)x' 2

- CY17- 3)y' 11 +3=o, wofür geschrieben werden kann: y'

x' •

t

---·--· - - - - - ==- 1 .

3 Jf17- 3

---~--

Fig. 91.

die reelle Halbachse hat so nach die Länge

3

'

yt'f + 3 -- -----

"'/= --~Jl

y'17-3

=

1 63 · · · und '

fällt in die y'-Achse, die imaginäre Halbachse beträgt

yVt~~+

8 =

o,65 ..

Die Konstruktion gestaltet sich in den beiden Fällen wie folgt. Nachdem man den Mittelpunkt .Q, mittels seiner Koordinaten 13°ft in Fig. 90, {- /- 1 in Fig. 91 aufgetragen, konstruiert man den Winkel 2ft-= OJK aus seiner Tangente, t in dem einen, 4 in dem andern Falle. halbiert ihn und führt durch a die Parallele zur Halbierungslinie JL, so ist damit die eine Achse, zugleich die x-Achse des neuen Koordinatensystems gefunden; die andere steht auf ihr senkrecht. Dm·ch Abtragen der Halbachsenlängen ergeben sich die Scheitel A., A'; J:~ B' in Fig. HO, A, A' (und die uneigentlichen B, B') in Fig. 91; in der letzten Figur liefert das Achsenrechteck in seinen Diagonalen die Asymptoten a, a'.

Spezielle Gleichungen.

313

3. Um für die Parabel 204, 8.: 4.x2 - 4.xy + y~- 4.x + 8y- 2 = 0 die Scheitelgleichung herzustellen, hat man zuerst mittels tg {} = 2 0

die Achsenrichtung zu bestimmPn und die Koeffizienten C', D', E' zu berechnen; man findet: Y. V 5 D' = 6 1'' -~ R • c =·' - V5, . - l/ 5 , hieraus ergeben sich die Kooruinaten des Scheitels in dem um fr gedrehten System y' .... und der Parameter:

V0 0,85 · · · , 25 Vf:l = - 0, 72 · · · ,

X0 =

[~

!lo =

-

=

8

265 y' 5

= - 0,54 ... Konstruktiv gebt man so vor, •laß man zuerst den Winkel fr mittels des rechtwinkligen l'ig ~~Dreiecks U.J K, Fig. 92, dessen Katheten 0 K, OJ im Verhältnis ::? : 1 zu einander stehen, herstellt, und daß man sodann in dem Koordinatensystem X' 0 Y', das um diesen Winkel gegen das ursprüngliche geureht ist, den Scheitel mittels seiner Koordinaten auftr~igt, in diesen, A, das endgiltige Koordinatensystem X" A Y" verlegt und mit Benützung von p uen Brennpunkt F der Parabel einzeichnet, mit dessen Hilfe diese selbst konstruiert werden kann. 214. Identität der Linien zweiter Ordnung mit den Kegelschnittalinien. Es soll nun gezeigt werden, daß alle die Gebilde, die durch eine Gleichung zweiten Grades darstellbar sind, erhalten werden können, indem man den geraden Kreiskegel und den geraden Kreiszylinder, der als eine Ausartung des Kegels aufgefaßt werden kann, in geeigneter Weise mit Ebenen schneidet. Dieser Umstand rechtfertigt es, die erwähnten Gebilde alR Kegelschnitte zu bezeichnen. Vom Kreise selbst braucht nicht mehr gesprochen zu werden, weil er den genannten Flächen ihrem Entstehungsprinzip nach zugrunde liegt und darum diesem Prinzip entsprechend aus ihnen wieder gewonnen werden kann. Um für die Ellipse, Hyperbel und Parabel den Nachweis zu führen, wollen wir den Gleichungen dieser Linien eine einheitliche Form geben, und diese Form wird in der Scheitelgleicbuug zu finden sem. Um die Ellipsengleichung :c! + !{_' - 1 p

=

-

a!

b'-

314

Analyti~che

Geometrie der Ebene.

§ 6. Die Linien zweiter Ordnung.

auf den linken Scheitel zu transformieren, hat man x durch x - a zu ersetzen; die transformierte Gleichung x' _ 2.x '!_!_: = O a2

a

+

b'

nimmt nach Einführung d~ Parameters p

=

b•

a

und der relativen Exzentrizität E = c

(171) die Gest"lt an: y 2 = 2px- (1 -

\ Fig. 9S.

a

E11)xi.

(1)

Die 'l'ransformation der Hyperbelgleichung

auf den rechten Scheitel geschieht, indem man x durch x + a ersetzt; sie filhrt wieder auf (1), doch mit der Maßgabe, daß E nunmehr em unechter Bruch ist, während es bei E der Ellipse einen echten Bruch bedeutet. Die Gleichung (l) umfaßt also Ellipse, Hyperbel und Parabel, indem man der Reihe nach E < 1, > 1 und = 1 festsetzt, und ist deren gemeinsame Scheitelgleicltung. Sie umfnßt auch den Kreis, den sie dann darstellt, wenn man E = 0 setzt. Ein gerader Kreiskegel werde nun mit einer durch seinen Scheitel S Fig. 94. gelegten Ebene in Verbindung gebracht; diese kann mit ihm a) nur den Scheitel, ß) zwei verschiedene Seitenlinien, r) zwei vereinigt liegende Seitenlinien gemein haben, indem sie ihn berührt. ~s soll nun unter/ sucht werden, wonach eine 1.u der gedachten parallele Ebene den Kegel in den drei Fä.llen schneidet. In den Figuren 93, 94, 95, die den Fällen a), ß), r) entsprechen, stellt E die Spur der schneidenden, zur Zeichenebene senkrechten Ebene dar; Jf N, M' N' ein Paar von Kreisschnitten des Kegels, von denen je eine Hiilfte parallel zur Zeichenebene gedreht ist, \ : / um die Ordinaten P Q, P' Q' der betreffen: / den Punkte der Schnittlinie ersichtlich zu ""-.L__.-../ ll' maf'hen; als Abszissenachse dient dabei Fig. ~5.

\

""

Kegelschnitte.

315

der Achsenschnitt der Ebene mit dem Kegel, als Ursprung der Punkt .A. In Fig. ~S ist J!(/ = M P · P ]t.~ P'Q'~ = JI' P' · P' S', woraus P Q2 Jll p pN 11 p 1' A .e l l" h . . j>· Q'' = Ji'P'. P' K' = B-P' . }i'-Ä; J.O g lC 1St

Pti=k·BP-PA, d. 1., wenn BA= 2a gesetzt wird:

ye

k("2a- x)x

=

,. . PQ JIP PN In~ 1g. 94Ist.P'Q' 2 = jj'j:i' · p· N'

2ka;r- kx 2 •

=

2

=

PB

k(2a

=

+ x):r =

...,---=

l'A.

.

,

-p·•]j · p· A.' also P (/ =h · P lJ ·PA,

wud wenn AB= 2a gesetzt wird,

Jl

(2)

"2 ka;~..·

+ kx~.

y 2 -= kx.

(3)

(4)

Setzt man 1m ersten und zweiten Falle

ka also bei der Ellipse J.=

=

=

7

p

=

IJ!

--· ,

a·

a'-c• ---a = 2 --

.

so wll'd k ==·

1-

E2,

b2

--.

a·'

bei der Hyperbel k =

c•--a' --a,--

1, nnd hiermit gehen die Gleichungen (2), (3) tatsächlich in

E2 -

( l'l über.

. Im dritten Falle braucht nur k = 2tJ gesetzt werden, um auf die friihere Form zu kommen. Wollte man das Quadrat über y in ein inhaltsgleiches Rechteck verwandeln, dessen eine Seite x ist, so würde die zw.:ite Seite bei der Ellipse unter 21,, bei der Hype1·bel über 2p, bei der Parabel gerade 2p betragen, daher an 2p gemessen bei der Ellipse etwas iibriglasseu, bei der HypPrbel dariiber hinaztSre-ichen, bei der Parabel gerade anliegeu. Aus diesem Sachverhalt sind die klassischen Namen der drei Spezies von Kegelschnitten hervorgegangen. Wird an Stelle des Kegels der Zylinder zur Grundlage genommen, so kann der Schnitt mit einer Ebene außer dem Kreise und der Ellipse auch ein Paar von parallelen, reellen oder imaginären, Geraden sein. Hiermit sind aber alle Gebilde erschöpft, die in der allgemeinen Gleichung zweiten Grades enthalten sein können. 1 ) 21&. 'l'angentenprobleme. I. Bei gegebenem Berührungspunkt 1 '; \\. •'~E'

Bis auf den imagi!lä.ren Kreis und die imagin:ire Ellipse, tlie auf Jiesem

uicLt

.~~~stanclekommen.

316

Analytische Geometrie der Ebene.

§ 6. Die Linien zweiter Ordnung.

xjy stellt sich die Tangente an die Linie f(x,y) chung (194) (;- x)f~ + (r;- y)n = 0 dar.

=

0 durch die Glei-

Dies auf die allgemeine Gleichung zweiten Grades f(x,y) = Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F= 0

angewendet, führt, da (x(x, y) t;(x,y)

= ="

(1)

2(Ax + By + D), 2(Bx +Gy+ E),

zunächst zu der Gleichung: 2(Ax + By + DH + 2(Bx + Cy + E)rj- (xf~ + yf~) = 0; (2) es ist aber xf~+y{; = 2(A.x 2 + 2Bxy + Cy~ + Dx + Ey) = - 2(Dx +Ey+ F), infolgedessen schreibt sich die Gleichung der Tangente endgiltig: (Ax + By + D); + (Bx + Cy + E)1i + (Dx + Ey + F) = 0. (3) Nach x, y geordnet lautet sie: (A; + Bl) + D)x + (B~ + C'Y/ + E)y

+ (D; + E1i + P) =

0, (3*) der Vergleich mit (3) zeigt die Vertauschharkeit von x / y und ~ i l/· II. Sollen die Tangenten durch einen gegebenen Punkt P(x0 / y0 ) gelegt werden, so hat man zur Bestimmung ihrer Berührungspunkte .?: 1y außer der Gleichung (1) die aus (3*J resultierende Gleichung (A.1: 0 + By0 + D) x + (Bx 0 + Cy0 + E)y + (Dx 0 + Ey0 + F; = 0, (-l)

die eben die Forderung ausdrückt, daß die Tangente durch P zu gehen hat. Bei veränderlichem x, y stellt diese Gleichung eine stets reelle Gerade p dar, die in ihren Schnittpunkten mit (1) die gesuchten Berührungspunkte liefert; je nachdem diese Schnittpunkte reell und verschieden und vereinigt oder aber imaginär sind, gibt es zwei, eine oder keine 'l'angente durch P. Man nennt die Gerade p die Polare von P in bezug auf den Kegelschnitt ( 1), P den Pol von p. Die vorhin bemerkte Vertauschbarkeit der beiden Koordinatenpaare in (4) hat folgendes zu bedeuten: Die Polare eines Punktes von p geht durch P und der Pol einer Geraden durch P liegt auf p. III. Sollen die Tangenten einer gegebenen Geraden parallel sein, also eineu bestimmten Richtungskoeffizienten m haben, so dient zur Bestimmung ihrer Berührungspunkte x / !J neben der Gleiehm1g (1) noch die aus (3) resultierende Gleichung _Lr+By+D - Bx+Cy+E=m,

,;:;.) '"

Ta.ngentenprobleme.

317

Pol und Polare.

die den Ausdruck für die eben gestellte Forderung bildet; m der Gestalt (A +- Bm)x + (H + Cm)y + D + Em ~= 0 geschrieben erkennt man in ihr ,}je Gleichung jenes Durchmessers, der die Sehnen vom Richtungskoeffizienten m halbiert (208). Dieser Durchmesser bildet die Polar~ zu dem uuendli('h fernen Punkt der fleraden, der die Tangenten parallel sind. 216. Pol und Polare. In bezug auf den Kegelschnitt

f(.c,y)

=

+ 2Bxy + Cy~ + 2D:c + :!.Ey + F

Ax"

=

0

rt)

hat der Punkt P1.c0 .• y0 ) die Polare

p(x,y)=(Ax0 +By0 +D}x+ (Bx 0 -+-Cy0 + E)y+ mro+ Ey0 +F',=0. (2) ::\Iit diesen beiden Gebilden bringen wir nnn den Geradenbüschel aus P, der parametrisch x=.:r0 +s('Osu

y

=

y0

+ s sin a

geschrieben werden kann, in Yerbinllung. Gleichung (l1 geht dnreh 1lie Sub;o,titution (3) in die beziiglirh s quadratische Gleichung (208): (A cos 2 a

+ 2Bcos~ sina +f'sin~u) _,::

+[t:" cosa +{;,o sina] s-':((;:0.y01 =

(J (

l'ig.

..J.

G~.

über, dert-n Wurzeln s', .-;"die Streeb'll zwisc·hen Pund den Schnittpunkten JI', JI" dPr (1ernden , a) mit dem Kt-gelsrhnit.t (1) bedeuten, Fig. %. fHeichung (2) ven1·andelt. sich durch flieselbe Substitution in 1 Ax0

d.

1.

m

+ By0 + lhr0 + 1B.r0 + Cy0 + E

+ [ (A.lo +

D1f,,

+

({;o C(•'i C

lJ i ('OS

+ (.:.'-'in

((

'Yo

+ u:.rl) -+-

U 'S

+ (Dxn + Ey0 + F) "Yo + E) sin aj..; = 0,

+ 2{1 :c0 , y0)

.c=

0;

iÖ)

olas hieraus ·berechnete ., bestimmt die St.recke zwischen P und dem Schnittpunkt Q der Geraden (u. 1 mit der Polare p. Nun folgt aus 1:4 1, daß

(6) wonach also 8

,

'

+ 8

"

-,-"--;·,-- =-=

s ·'

t :.o eos cx + l;,"o sin cx •

'

318

Analytische Geometrie des Raumes.

andererseits führt (5) auf ,,;::; s

=

§ 1. Der Koordinatenbegrilf.

f';ro COS nen Vnrgau~ eut8teht>n auch diP Projektionen P 11 P 2 , P 3 des Punktes Jl auf fi.,n drei Koordinatenebenen y.:, z:t, xy. Diese Projektionen habe~ in den hetretlenden Ebenen die Koordinaten .'I / z, z / x, x / y, wenn x /!I ix die Koordinaten von hl sind. In dem Linienzuge 0 (~ 1 P 3 1lf sind alle drei Koordinaten des Punktes Jf zur Anschauung gebrarl1t: J' in 0~111 y in Q1 P:1 , z in P 3 M. ln drr Folge wird daher in der Re)!el•lit-~t'r Linienzug allein verzeichnet werden. Durch die drei KnordiimtenPheiiPJJ ist der Haum in acht Fächer - Oktanten - geteilt, und jedem den~elben· entspricht eine andere Verbindung der Vorzeichen bei den Koordinaten seiner Punkte. Liegt ein Punkt in eintr der Koordinatenebenen, so ist eine seiner Koordinaten Null; so hellrntet .l/(a/h/U) einen Punkt der xy-Ebene. J~iegt der Punkt in r·incr der Achsen, so sind zwei seiner Koordinattm Null; so ist z. B. JJl(Ojb/0) ein Pnnkt der y-Achse. Nur im Ursprung sind alle drei Koordinaten Null. DnrchMt_a ,' bl e), S(a /b /- c) ist ein zurxy-Ebene, dnrchM(ajb/ c), N(a.'- h '-c) ein zur x-Achse, durch JJl(a!bfc), N(-a/-hj--c) ein turn Urspl'ung symmet1·isches Punktepaar bestimmt. 218. Abstand eines Punktes vom Ursprung. Die Strecke. die den Ursprung mit dem Punkte 1lf verbindet, erscheint als Dia~o-

320

Analytische Geometrie des Raumes.

§ 1. Der Koordina.tenbegriff'.

nale in dem zugehörigen Koordinatenparallelepiped. Bezeichnet man ihre absolute Länge mit r, die Koordinaten von .J[ mit x, y, z, so ist J' = Yx2 + y2 + z2, 11) die Quadratwurzel mit dem absoluten Betrag genommen. Faßt man x, y, z als variabel auf, so ist durch die Gleichung

+ y2 + z 2 =

(2) der Inbegriff aller Punkte gekennzeichnet, die vom Ursprung den Abstand r haben; ihr Ort ist die mit dem Radius r um () beschriebene Kugel, (2) also die Gleichung dieser Kugel. . 219. Abstand zweier Punkte. Legt man durch zwei Punkte M 1 (x1 I Y1 / z1 ), M 2 (x2 /y 2 / z2 ) zu den Achsen senkrechte Eheneu, so begrenzen diese bei allgemeiner Lage der Punkte ein Parallelepiped, dessen Kanten an Länge gleich sind dt:n absoluten Koordinatendifferenzen der beiden Punkte. Demnach i'lt die absolute Länge d der Strecke M1 ..'i.l; bestimmt durch x2

d

=

-vc~-=-;.~2,~

r2

+ (_yl - !12) 2- + (;;.I - z~ Ii:

(3)

220. Bichtungswinkel einer Geraden. Eine Gesamtheit von parallelen und gleichgerichteten Geraden des Raumes ist hinsichtz lieh ihrer Richtung durch eine unter ihnen ,v./-19 bestimmt; als solche werde diejenige, g, ge'}i wählt, die durch den Ursprung geht, Fig. 98. Die hohlen Winkel, welche q mit den \.: positiven Hiebtungen der Achsen· bildet, Q. sie seien a, p, i' - bezeichnet man nicht nur 0 / x i y -)>ox als ihre eigenen, sondern auch als die RichtungsP winkel jeder Geraden aus der erwähnten GeFig. 98 · samtheit. Durch eine gerichtete Gerade sind die drei Winkel a, ß, y eindeutig bestimmt. Das Umgekehrte trifft nicht zu. Sind a, ß gegeben, so kommt es darauf an; körperliche Ecken zu konstruieren, deren eine Seite X 0 Y ist, während die den Kanten 0 Y, 0 X gegenüberliegenden Seiten a, ß sind; das ist jedoch nur miiglich, wenn 1 a + ß :::?:: ~· 1 ist; gilt das obere Relationszeichen, so ergeben sich zwei körperliche Ecken, also auch zwei Gerade mit den Richtungswinkeln a, ß, deren dritter Richtungswinkel schon bestimmt ist; gilt das untere Zeichen, so Hillt die Ecke in die xy-Ebene zusammen, es gibt nur eine Gerade mit den Richtungswinkeln a, ß, während der dritte ~ist. Ist

I:

1) Und weitf~r a

+ ~ > ß, ß+ i ~ a ..

RidJtuugRcm-inus einer

hingegen u

+ 1J < ~,

Geraden.

321

so ist keine Eeke konstruierbar, somit auch keint'

Gerade mit den Richtungswinkeln u, ß möglich. Die Richtungswinkel einer Geraden sind also nicht unabhängig mneinander. Die Art der Abhängigkeit ergibt sich aus folgender Erwägung. Trägt man auf der Geraden die positi>e Strecke 0 M = T ab, so sind nert-n Projektionen auf drn Achsen die Koordinaten x, :1/, :: des Punktes Jf. mithin ist f = r cos rx =o r cos [3

,il

r

; =

cos y;

tlie Quadratsun1me dirser Gleiehungen ergibt mit Rücksicht aut' (l ;: co~ 2 u

+ cr_•s ß + cos 2

2

I'

=

1.

14)

Mun nennt cos c:, cos p, r:o" i' die Richder Geraden g und jeder mit ihr parallelen und gleiebgerichteten. Es besteht also der Satz: 1m rerhtu·inl.·li,qtn Sy.,tem ist htnf}Sknsinus

die Summe der Quadrate der Rid, tnn,qskf)sinus eine1· jeden Ge-raden gleich 1. Ist beispielsweise a ·.~ 4flu, fJ = f50°, so hat man ;- + } ·-!- t?t•S:: ;-' ~-~ 1 ,

woraus cos I' = = ·~; es gibt also zwei Gerade . die der gestellten Bedingung genügen, und ihre Hichtungswinkd sind 45°, 60°, 60° und 45°, G0°, 120°. 221. Winkel zweier Geraden. Um den Winhl (•) zweier gerichteten Geraden g11 !h, Fig. 99, aus ihren Richtungskosinus zu bestimmen, verlege man sie nach dem Ursprung und trage auf jeder vom Ursprung aus in positiver Hichtung die Längeneinheit auf; die Endpunkte 1lf11 Jf2 dieser Strecken haben dann die Koordinaten cos a 1 I eos ß1 / cos {'p cos a~ '(~os (:i2 / eos y 2 ; folglieh ist das Quarh·at drr s1e verbindenden Streo·ke d (219):

tP

+ i cos ß1 --- cos ß2)2 + (cos y, - eo~ r" )2 2 (eos a 1 cos a~ + eo>, ß1 ('Ol< [:) 2 + cos y1 cos y~ ·;:

=

(eos u1

=

2

--

eos a 2 l

anderer:oeits folgt ans dem l!reieck 0 J[1 ~lf":

d"

'~

mithin ist e.;s t:J = cos a 1 ·:os u 2 C zu,_, r r, Hi)hflrf" )lnthem.ati!.:, 2. At\ft..

2 ·- 2cosw;

+ cos ß

1 COH

!3~

+ cos y

1

cos y 2 . 21

(

1)

3:?:!

Am~lytische

Geometrie des .Raume$.

§ J. Der Koordinatenbeg-riff

Daraus berechnet sich (U6) sin 2 GJ = 1 - ( eos a 1 cos a 2 + cos p1 cos ß~ + coa ('1 cos yll) 2 = (cos 2 u1 + cos~p1 + cos 2 r1 ) (oos:~, + cos2 ßz + cos 1 y2 )

+

=

+

- (cosa1 cosa2 cosß, cosß2 co~>r1 cosr~r (cosß1 cosy2 - cosß~ CO!i('1)" + (cosy 1 cosa2 -· cos y2 cosad:~

+ ~·co.sa 1 cosß~- cosu, cosß1 ) 2,

woraus Sill GJ ='

;osß1 co~

i';-cosß2 cosy~)2 + ((;08);~-;~üs~;~--;;osr:: eosa

+( cosa~coSß~=- cosa,cosß 1 )~ die Wurzel positiv grnommen, Wl'il w unter allen Umständen hohl ist. Aus (1) ergibt sich die Bedingung für rlas Senkrechtstehen: cos u1 eos a~ + cos ß1 eos {"J 2 aus (:?') die fiir den Pnralleli~mus: COS a 1 COb {i 1 :w-~-- ~-~ COS"ii~

1) 2

+ cos {'1 co" {'~

-"·

('I''_~~ :

cn~ Y:!

=

0,

(4)

sind die Geraden aueh glt>ich gericLkt, so haben die drei Quotienten den vVert 1, im undPrn Fall1; den Wert - I. 222. Bäumliehe Polarkoordinaten. Die Lage eines Punktes z ~ M im Raume kann in bl'zug auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem auch in folgender Art besd1rieben werden. .Man gibt die j · Länge r der Strecke an, die den Punkt JJ[ 8 · mit dem Ursprung verbindet (den Radius /)a . vektor), ferner d-en winkel ff, den die J{ich~--r~--!---~.:X tung OP mit der positiven Richtung der .r-Achtie, endlich den Winkel 0, den die P H,ichtung 0 M mit der positiven Richtung I•'ig. JOo. der z- Achse bildet, .Fig. 100. Die drei Za.hlen t'1 q;, 0 beEeichnet man als die räumlichen Polarkoordirtat~>'il. des Punktes M und schreibt Jf(r I q; I 0). Um alle Punk:te des Raumes beschreiben w können, genügt es, 0 auf das Intervall (0, :~e), q; auf das Intervall (0, 2x) zu beschränken, während r alle W crte aus . (0, oc) annehmen kann. a23. Plichen. I. Eine Fläche ist geometrisch definiert, "\venn ein Konstruktionsverfahren angegeben iRt, dureh das beliebig >iele ihrer Punkte bestimmt werden können. Bezieht man eine so definierte Fläche auf ein Koordinatensystem, su hat die Einheitlichk-eit des Konstruktion:;verfahxens ~ur Folge, daß ~wischen den Koo.rdinaten eines Vnnktes der Fliiche eine fiir alle Punkte gleichlautende Gleichung besteht, die man als die Gle~:clmntl da Fläche bezeichnet.

I.

323

Fläehengleichungen.

Winkel zweier Geraden.

lJmgekehrt. entspricht einer Gleichung zwischen den Koordinaten, wenn man sie in einem System deutet, im allgemeinen eine Fläche, unter Umständen ein System von Flächen. Diese letztere Aussage soll nun näher erörtert werden. 1. Enthält die Gleichung nur eine de1· Koordinaten, lautet sie z. B.

F(x) ~o

=

(1)

0,

liefert die A utiösung nach .r eine oder mehrere Gleichungen von

der Form :l.' =

«,

wobei nur rt!elle Lösungen in Betracht gezogen werden sollen; das Gebilde aber, dessen sämtliche Punkte ein und dasselbe x haben, ist eine zur x-Achse senkrechte Ebene; sind mehrere Lösungen ,-orhanden, so bestimmen sie ebenso viele Ebenen dieser Art. 2. Enthält die CHeirhun~t zwei Koordinaten, lautet sie beispiels \H'l~l·

(2j so bestimmt sil'• auf die xy-Ebene bezogen, eme Linie; eH genügen z ihr aber,, da sie z nicht enthält, auch alle -1 t Punkte des Haumes, die sich in Punkte ~I dieser Linie projizieren; der Ort solcher I J Punkte ist jene Zylinderfläche, die die gedachte Linie zur Leitlinie hat, und deren Seitenlinien der z-.Achsepara.llelsind, Fig 101. 0 I -r----- -~x / 3. Sind alle drei Koordinaten m der Gleich,mg enthalt.en, hat sie also die Form 1/'

wl I

1

F(:c, y, z)

=

(3)

0,

.l1.

L

p

.Fig. 101.

so stelle rr.an folgende Betrachtung an. Punkte des Baumes, deren c1 i'lt, und die zugleich der Gleichung

:: =

F(x. y, c1 )

=

0

genügen, liegen auf einer Linie l 11 die sich in der zur a; y- Eben., parallelen Ebene im Abstande c1 befindet, .Fig. 102; in gleicher Weise führt die Annahme ; = c, zu einer Linie l 1 , deren x, y der Gleichung F(x, y, r2 ) = 0 g.eniigen; zu einer dritten solchen Linie l 3 gelangt man durch die Annahme z = C;~ usw. Die Pqnkte aller dieser I1inien entsprechen der Gleichung (3). Stellt man sich nun vot·, daß statt des upstetigen Übergangs von einem Werte des z zum anderen eine stetige Andernng erfolgt, so werden auch die Linien l stetig aufeinander folgen und eine Fläche beschreiben, deren Punkte der Gleichung (3) genügen. Diese Betrachtung gibt zugh•ieb einen Weg an, wie man sich !!1 *

324

Analytische Geometrie des Raumes.

§ 1. Der Koortlinatenbegritf.

eine Vorstellung von der Gestalt einer Fläche verschaffen kann, deren Gleichung gegeben ist. II. Ist die Gleichung F(x, y, s) = 0 in bezug auf die Koordinaten algebraisch und vom n-ten Grade, so wird z die zugehörige Fläche eine algebraischeFläche :, l. n-ter Ordnung (oder n-Grades) genannt. · · z .Auf Grund der Gleichung (2), a18 ist . /' ---7,··· 1die Kugel als algebraische Fläche zweiter / 0 r dnung zu bezeiC . hnen. /····.l, · aa4. LiDlalL Eine Linie im Raume ~ X erscheint häufig und kann immer aufgefaSt : // Fig. 102. werden als Schnitt sweier Flächen. Ihre Y/ analytische Darstellung besteht dal1er in zwei koexistierenden Gleichungen zwischen den Koordinaten, hat also im allgemeinen die Form

k

F(x, y, :':: 0 } G(x,y,-' -0.

(1)

Eliminiert man eine der Koordinaten, so ergibt sich der Ort der Projektionen der Punkt.e der Linie, also deren Projektion selbs,t, auf der Ebene der beiden andem Koordinaten; ~o bestimmt die Gleichung. die aus der Elimination von z resultiert -- sie heiße

q; (x, y) = 0 -

die Projektion der Linie (1) auf der xy-Ebene. Da nun zwei Projektionen im allgemeinen ein Gebilde im Raume bestimmen, so sind zwei derartige Eliminationsresultate, etwa:

q; (x, y) = 0 }

7/J(x, s)

=

U

( 3)

1m allgemeinen geeignet, die Linie im Raume zu beschreibf'n. Die Gleichungen (3) lassen noch eine andere .Auffassung zu. Nach D3, 2. stellt jede derselben eine Zylinderfläche dar, die erste eine solche parallel zur z-, die zweite parallel zur y-.Achse, und die Linie im Raume erscheint als Durchschnitt beider. Es ist aber zu beachten, daß die beiden Zylinderflä.chen, zu denen die Linie im Raume geführt hat, außer ihr noch eine andere Linie gemein haben können; so schneiden sich die zwei projizierenden Zylinder, die man durch einen Kreis im Raume parallel den genannten .Achsen Jegt, im allgemeinen noch nach einem zweiten Kreise, unu es bedarf einer weiteren Angabe, wenn man den ersten Kreis allein zur analytischen Darstellung bringen will. .Für die Untersuchung der Flächen sind deren ebe-ne Schnitte von besonderer Wichtigkeit. Hier sollen zunächst nur die Schnitte mit

325

Liniengleichungen. Translation des Koordinatensystems.

den Koordinatenebenen betrachtet werden. Man erhält sie, indem man die Gleichung der Fläche: F (x, y, s) = 0, der Reihe nach mit x = 0, y = 0, e = 0 verbindet. Ist die Gleichung F (x, y, e) = 0 algebraisch vom n-ten Grade, so werden es im allgemeinen auch die Gleichungen

F(O, y, ~) =0 F(x, 0, z:1 = 0 F(x, y~ 0) = 0 sein. Ein~: algebraische Fläche n-ter Ordnung schneidet also die Kowdinatenebenen im aUgemeinen nach algeln·aischen Linien n-ter Ordnung. § 2. Koordinatentransformation.

22&. Translation eines rechtwinkligen Koordinatensystems. Der Übergang vo11 einem rechtwinkligen Koordinatensystem

OXYX, Fig. 103, zu einem andern O'X'Y'Z'. das mit ihm parallel und gleich gerichtet ir-;t, ist bestimmt, z~ M 0 sobald die Koordinaten x0 , y0 , z0 des neuen Ursprungs U' in bezug auf das alte System gegeben sind. Zwischen den Koordinaten .r, y. z und .T ·, y ', z' eines Punktes ~rl in den beiden ~y­ ~temen bestehen dann die unmittelbar abz;ulesendf'n Gleichungen: :.r

=~

.II

=

.!'1)

!lo z0

:: =

+ x'

+ y'

..

(lj

+ z',

Fig. 103.

p

die den Übergang vom alten System zum neuen vermitteln; die inverse Transformation geschieht durch die Substitution

x'= x- :r0 y'

=

Y- Yo

(2)

z' = z- z0 •

228. Botation eines rechtwinkligen Koordinatensystems. Die ge-

z·

z

'

I

''

rr.

x'

.r-:-----=--~X genseitige Lage zweier rechtwinkligen ./'Q. /- 0 Koordinatensysteme 0 X Y Z, 0 X' Y'Z', . p Fig. 104, ist bestimmt. wenn die Rieb- 1;;../ tungswin kel oder die Richtungskosinus der Fig. 104 · gerichteten Achsen des zweiten Systems, als w'elches wir das neue ansehen wollen, in bezug auf das erste, das

326

Analytische Geometrie des Raumes.

§ 2. Koordinatentransforma.tion.

ursprüngliche, gegeben sind. E:> seien demnach a 1 , b1 , c1 die Richtungskosinus von V X', ,, OY', all, b2 , c 2 ,, ferner

as, :~:,

b:H Ca

",,

"

"

OZ';

y, z die Koordinaten von M im alten,

M " neuen System. Die Projektion de,; Linienzugs 0 Q' P' . JI ~~ouf die x-Achse ist dieselbe wie die Projektion der Strecke OJ.ll a.uf die namliche Achse, und diese ist x; man hat also die Gleichung x = a1 .1:' + a2 y' + a~z'; ähnliche Gleichungen ergeben !!ich durch Projektion desselben Linienzugs auf die y- und .z-.Achse; man hat also f'tir den Übergang \"0111 alten zum neuen System die Substitution: x = a1 x' + a9 '!/ + a3 z' (1 i ,11 = b1 x' + b1 y' + b3 z' .z = c1 x' + c2 y' + c:_"z' Zwischen den Koeffizienten dieser Gleichungen bestehen aber ver· möge ihrer Bedeutung als Richtungskosinus dreier paarweise zueinander senkrechter Geraden die folgenden Beziehungen 151510, (4.); (51511, (3.)]: 3:', y', z' ,,

"

~+~+~=1

n; + b~ + r; ~~ 1

ai + bi + ~ ~~ 1

."

~~+~~+~~-0 + b8 b1 + C8 C1 = 0

(2)

flaa 1

a1 a1 + b1 b1 + c1 Ca = 0

Es ist eine Folge dieser Beziehungen, daß x2 + yt + .!2 = :r' 2 + !I' ~ + z' 2

(3)

(

4)

ist; diese Gleichung drückt die geometrisch evidente Tatsache aus, daß der Punkt M vom Ursprung des nauen Systems denselben Abstand hat wie vom Ursprung des alten (:118). Man nennt eine Transformation der Koordinaten von der Form ( 1), bei der also die Transformationsgleichungen in bezug auf beide Systeme vom ersten Grade sind, eine lineare Transformation, insbesondere eine ort}tOgan.ale, wenn sie durch den Ansatz (4 ), oder, was das gleiche besagt, durch die Relationen (2), (3) gekennzeichnet ist. Multipliziert man die Gleichungen (1) der Reibe nach mit a 11 b11 c1 , dann mit a 2 , b21 c111 schließlich mit a 8 , b3 , c31 und bildet jedesmal die Summe, so ergeben sich mit Rücksicht auf (2), (3) die Gleichungen:

+b y + c z + b:Y + c2 z

(1 *)

welche die inverss Transformation vermitteln.

Da die Eigenschaft der

x'= a1 x y< = a2 x

z' = a8 x

1

1

+ b8 y + c8 ?8 ,

Hotation- rung kann mau die ,>A('h~Pn glt>ichg .. richtet zusammenlegen und dann durch Drehung um c!ieRe genwinsame A.ehse auch noch die y-Achsen gleichgerichtet zur I kr·knng bringe11; dif' z- Ad1sen werden dann wohl audt in eine Gerade falh•n, aLer ungleich ~eri,·htd sein; es kann also das :-i~·stPm {)X'}''.[ m 1'11\P ~olche Lage gt>brac:ht werden, daß U =~(I 1

I!~·= 0'

a,, =·

U,

'

1' h, o= () h'.!. ·-·

=

!'.,=0

'

und dann ist B = -- 1 . Bei gleicher Orit>ntierung det· Syshmw ist alAo 'H

gleicher Orientierung R

=~

-

1.

·.o

1 , bei un-

328

Analytische Geometrie des Raumes.

§ 2. Koordinatentransforma tion.

227. Allgemeine Transformation rechtwinkliger Koordinaten. Der Übergang von einem rechhyjnkligen System zu einem

andern, dessen Ursprung die Koordinaten x0 , y0 , z0 hat, und desReD Achsen die Richtungskosinus a;, b;, i:; (i = 1, 2, 3) besitzen, läßt sich als eitu~ Sukzession von Translation und Rotation darstellen; die zugehör·igen Substitutionsgleichungen ergeben sich daher durch Verbindung der Gleichungen 22&, (1.) mit 226, (1.; und lauten: x = x 0 + a1 x' + a2 y' + a3 z' y = Yo+ b1 x' -+- b,y' + b3 z' (I) z = z 0 + c1 x' + c2 y' + c8 z'. Die inverse Substitution geht daraus durch denselben Prozeß hervor, der in 226 befolgt wurde, und lautet: x' = a 1 (x-x0 ) + b1 (y-y0 ) + I';(Z-zc) y'= a2 (x-x 0 ) + b2 (!J--y0 ) + r·2 (z--z 0 • :~' = a 8 (x-x 0 ) + b3 (y -- Yo} + c3 (z -- Z 0 ). Im Anschlusse an die oben vorgeführten Transformationen rechtwinkliger Koordinaten sei das folgende bemerkt. In allen Fällen war die Substitution bezüglich der neuen und altau Koordinaten linear. Die Einführung einer solchen Substitution in eine algebraische Funktion n-ten Grades ;indert an deren Charakter nichts, d. h. führt wieder zu einer algebraischen Funktion desselben Grades. Daraus geht hervor, 1laß die Ordnung einer algebraischen Fläche unabhängig ist von dem zugrunde gelegten (Parallel-)Koordinatensystem,- daß sie also eine der Fläche als solcher zukommende, eine rein geometrische, Eigenschaft bezeichnet. 228. B.echtwinklige und Polarkoordinaten . Der Zusammenhang zwischen den rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes unJ den auf dasselbe Achsensystem bezogenen Polarkoordinaten ergibt sich aus Fig. 100. Aus den rechtwinkligen Dreiecken OP 111 und OQP folgt: x = ·r sin () cos cp y =, r sin 0 sin q; (I) Z =

r tOS().

Die inverse Substitution wird durch folgende Gleichilllgen vermittelt., die sich in leicht ersichtlicher Weise aus (1) ergeben:

r= COS

v'x2+!12+ z2

-X

q; = --:==--,vx• + y•

cos 0

•

SlD

z

cp

= .. ' r

y =--==-;

Jlx' + y~

(2)

Weitere Transformationen. Gleichung erRten Grades in x, y, z.

329

die auftretenden Quadratwurzeln .absolut genommen. Das mittlere Gleichungspaar bestimmt rp eindeutig in dem Intervall (0, 21t).

§ 3.

Ebene und Geradt.

•e. Die Glelchunr ersten Grades. JetlB Gleichung ersten Grades in detJ K()(Wdinaten x, y, s steUt eine Ebene dm·. Die allgemeine Form einer solchen Gleichung ist Ax + By f'z ~- D = 11. (1) Um den Satz zu erweisen, gehen wir von der Gleichung

+

X= Ü (2) ans, die sämtliche Punkte der ys-Ebene unseres Koordinatensystems und nur diese kennzeichnet, also eine Ehen(' darstellt. Durch die allgemeine Transformation des Koordinatensystems gelangt diese Ebene in eine allgemeine Lage gegen das neue Koordinatensystem, in welchem ihr, vermöge der in Kraft tretenden ersten Transformationsgleichung 227, (1. l, die Gleif'hung

+ al x' -r n.2y' .L ''~~. =

0 zukommt. Sowie sich aber die geometrische Hetleutung der Gleichung (2) nif'ht ändert, wenn man sie mit einer Konstanten Q multipliziert, so gilt dies auch von der letzten Gleichung, die dann lautet: Xo

9a 1 x·'

+

Q11 2 y'

+ pa z' + (1.10 = 8

0;

schreibt man für die Zahlen pn 1

,

(JO~,

(!11 8 ,

uie der Bedingung unterliegen, daß ihre Quadratsumme Q~ sem muß, die Buchstaben A, U, C und für (U:0 den Buchstaben D, und betrachtet man das neue Koordinatensystem als das ursprüngliche, so gf'langt man tatsächlich zu der Gleichung .( n Übt man auf (2) ~tatt der allgemeinen Transformation eine Ro~ tation aus, so geht die Ebene durch den Ursprung des neuen Koordinatensystems; da in diesem Falle .r0 , also auch D Null ist, so entspricht Ax + Ry + Cz ~~ 0 einer Ebene, die durch den Ursprung geht. Auf Grund der in 223 gepflogenen Betrachtungen erkennt man weiter, daß eine Gleichung ersten Grades,. die nur eine der Koordinaten enthält, eint'! zur Ebene der beiden andern parallele Ebene darstellt, also z. B. die Gleichung

A.x+D=O

(4)

330

Analytische Geometrie des Raumes.

§

a.

Ebene und Gerade.

eine zur x-Achse senkrechte Ebene: mH.l daß weiter eine Gleichung ersten Grades mit zwei Koordinaten einer Ebene zngebört, die auf der Ebene dieser Koordinaten normal steht und zu den beiden andern Koordinatenebenen geneigt ist; 1w entspricht der Gleiehung

A.x+By+D==O eine Ebene, die zur xy-Ebene senkrecht, zur yz- unrl zx-Ebene geneigt ist. Am :5chlusse von 224 ist festgestellt worden, daß eine algebraische Fläche n-tcr Ordnung durch eine Koordinatenebene nnch einer algebraischen Kurve n-ter Ordnung ~'"schnitten wird. Da nun durch eine Koor,Jinatentransformation einerseits die Ordnung der l7ic•1le:· Fall >"'Tfl •hrJ.he,· n:1hr:n·n .\-..tf,. blnb ;: 0\ so gihi.

I

:dsu s Chrzeiger;;1 selb..-,t aufweist. E" giLt nls" die Formel ; :! ' den Inhalt Jet Tehaerler~ püs:t.iv, W•'Ull

von Jl 1 aus der l.i!Jlh::uf•:-;iuu von JJ., J/RJ1(, 3lR

tz

r des Chrz':!iw•r8 erscheiut. im andern FRHe neg;~.ig 1\105, p. 151 . C., n b er, }li'lherc.

~tathematik,

2. Aufi.

22

338

Analytische Geometrie des Raumes.

§ 3. Ebene und Gerade.

+ ycosß1 + zcosy1 X cos a2 + y cos ßi + z cos r2 -

p1

xcosa1

=

0

(1)

(2) P2 = 0 gegeben, so hat man für den definierten Winkel unmittelbar den

Ansatz (a21):

cosro

=

cosa1 cosu2

+ cosß1 cosß2 + cosy1 cosr"·

l3)

Von da aus gestattet auch der allgemeine Fall, daß die Eheneu durch Al X + B1 y + Cl z + Dl = 0 A 2 x + B 9 y C2 z + D 2 = 0,

+

gegeben sind, einfache Erledigung; man denke sich diesr Gleichun~en auf die Normalform zurückgeführt und hat dann cosro

=

+ B .B + C, f ~ · sgn D, D. JI(Al+ Bi+ Cf!(Af + H~ + c;,' A, ~

daraus berechnet sich • 2

Sill 61 =

+

(.• h)

+

B,Bs -t C, C, ·' Cii 'A~ + B~ + CV- (A, A2 B~ (Ai+ ~~---- -- ------ - - - - - ------~:-=c--'-=,-!----"-CD~A~ +Bi+ C~ B~ (Aj

-

+ +

und schließlich (U6)

:

1

_ -v(B, C,- Bt (.",;~ + (C,-.At-.=--(;~4;7 + (..A,-B, :_A.-B./ -~-, (.Ji + Bj +Ci) (A~ + B~ + C'il

:sm ro -

(I

1

die Wurzel positiv genommen, weil 6J ein hohler Winkel i:st. Läßt man in der Formel (6) den Zeiehenfaktor weg, so bestimmt sie einen der Winkel der ungerichteten Normalen; Formel (7) bestimmt beide als supplementäre Winkel. Für die Ebenen ~X- :!.y- 4& +;) '= Ü .T

+ 5y- 'Jz- 4 =

ergibt sich haispielsweise cos (,)

=

-·-

0

1

-= l'870

und w = 9l"51i'34",4 als Maß des Keils, dem der lirsprung nicht angehört. a37. Senkrechte und parallele Ebenen. Aus den eLen abgeleiteten li1 ormeln lassEm sieh die Bedingungen ablesen, unter welrhen zwei Ebenen 14) D, = 0 At X + Bl !I + Cl::

+

+

+ ('2 z + D2 =

I 5\ 0 aufeinander senkrecht stehen, beziehungAweise parallel sind. Formel (6) zeigt, daß die Ebenen aufeinantler .w:nkredd stehen, wenn (8!

A2 X

H2

X

Winkel zweier Ebenumt:'tri~ehen Tr.tilaehe, daß z'l\·ei }}benen sieh na-ch einer Gerader: schnt>idEn. ent."pr!eht die Anssag·e. duß zwei Gleidmnger: e:·strm G·r~lflc-.; in .r. y, .;:

Al"+- Bty

+ C\.< + D

1

_c_

o

bestimmen ,)(;de der 'ilei•~inmgcn~ iür _,,~:~ Letr:ichtet, eine Ebene da1·, und i!ldem sie als koexiotcnt &ulgefaßt wenlen1 gt->JJügeu ihnen die I'\:oonEnattm f;dclwr nnd nur solcher Punkte, die br•;d(•n Ebenen angehören, also der Punkte einer Geraden. ~·i''" Uemde

~ri']]t

243. Die Gerade, dw.·eh ihre Projektt9nsn dargestellt.

L(·iLd man aus den GlHiehungen (1) dur~h Elimination von !J ~in1~ n . ·of' Glejehnng ab, so genügen dieser die Projektionen der Punkte der U f:'faden auf der z:r-Ebene, fillglieh stPilt sie die,;e Projektion selbst ilar; o_·henso liefert diP Kliminatiou von .: di~ HJeichang der Projektion dP,. Uer:~.dPn auf de!:. :cy-Ebene.

These Gleichungen aber lauten: (A.l B2

A2 B 1 )::t -·- (B1 Cz- B2 C1)z-- I BJJ~ B 2 ])1 ) (1 ·-- (C'! A~ - (~ A!);c + wl 02 --- Bs (!!)!!-- i (il D2 -- C',Dl) ~CO 0: i~l fl1 ~~ --- B 2 C1 =F 0, so n•:hmen sie naeh Divi,;;inn dm·(·h rliesen Knr,,5~k~ lt~ t:

ti!·~,'l

,1••::

-·

}~bfue

die

li) '

..( •

~· y besitzt. 2;44. Gerade durch einen Punkt. dit> rli1rch :la~ Ebenenpam·

liebt

mltbeu.

~o

fJ1'

:I'

=

Xn ---

y z

~:~

Y0 + '-JU

cc-

z(l

21

+ t""IJ.

führt .:Et- i:luhstitntion >on 1,:!

A.2·0 -+

B1;0

--.-

Cz 1, +

in d):

[) + ;A_p + Bq -+ Cr-\ u

-~- 0

m)

auf eine tileichung, au~ der sieh •ler ?.um Schnittpunkt. g:ehöJ·iw· Paramet€rwert hestimmt. Die Bestimmung ist abf'r nur dann möglid1, wenn J11 -- Hr1 _; ('r 4-- 0. und zwar ist ,fann

u

-~:

.rc + B!Jo + i'z0 + lJ . -- L~-------------------

'

Ap+Bq-t('r

(4'

durch Ein:-;l'tzung :lieseil Wertes in : 2) ergC'beii sid1 Jie Koordinaten des Schnittpunkte'!. Jst jedod1

Ap

+ Brt + Cr =

u_

+

gleichzt·itig aber A r,J B.l/o + ('z 0 +]I+ U, .•c-· bmn der blei('hung, 31 nur durch einen unendlichen \V ert voll 11 ;_;eniigt werden, folglir.h ergeben sir,h danu aneh fiir die Koordinate11 des Sdmittpunktes un. endliche Werte Man sagt, die Gt'nt,ie hahe mit. der Ebent> einen unendlich f.erneu Punkt gemein unrl bezeichHet 1';\e aJ~ zur El1enr~ Jlfl!'alld Wenn 1-'ndlich neben (i'J) auch

Ax0 + /Jy0 -: f!.:0

-,

D ~= 0

(6)

ist, su wird (3) durch jeden Wert. von u befriedigt. all'i' Punkte der (~eraden gehörrn ,)_er Ebene an, die Gerade liegt in der },'bene. Die Beziehung (Tl) allein zeigt. also den Parallelismus an; (6) für sich besagt. daß der Punkt x 0 ! y0 / z0 der G-eraden anch der Ebo:>ne angehört; beides zusammen hat das Ineinanderliegen zur Folge. 248. Bbene durch eine Gerade und einon Punkt. Von den eben erkannten Bedingungen kann Gebrauch gemacht werden r.ur Lösung der Aufgabe: Die Gleichung der Ebene aufzustellen, welehe durch die Gerade ·~--=-=--~ ~= y- }b_ = p q

nnd den Punkt M 1 (x1 / y1 z1 ) geht. Sieht man

A-r+ By

; --

r

+ ('z ~ JJ =

:.z

0

'9)

I~

350

Analytische Geometrie des Rauiues. § S.

Ebent~

und Gerade.

als Gleichung der gesuchten Ebene an, so erfüllen die Koeffizienten folgende Bedingungen: = 0 Cr .Ap + Bq (3) Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 .Ax1 + Btlt + Oz1 D = 0; die beiden ersten betreffen das Ineinanderliegen von Gerade und Ebene, die letzte das Ineinanderliegen von Punkt JJf1 und Ebene. Durch das Gleichungssystem (3) sind die Verhältnisse der Koeffizienten A, B, C, D bestimmt, und das genügt zur Durchführung der Gleichung (2); schließlich kommt es darauf an, aus (2) mit Hilfe von (3) die Koeffizif:>nten zu eliminieren; das Resultat dieser Elimination ist (Ul): y z 1 1 :r

+

+

_p q r .0 =O Xo

Yo

Zo

1

(4)

xt Yl zl 1 und stellt die verlangt!:' Ebene dar. Hiernach schreibt sich die Gleichung der Ebene durch x-2 4

4(z+;n 3

S(y-4) 5

.Jf1(6J-4i3) zunächst in folgender Gestalt: Z 1 y X 4 -~· t 0 =0: 4 -3 1 2 3 1 6 -4 durch Zeilensubtraktion wird Jaraus

x-2 y-4 z+3 4

-3-

-4

l

8

-fl

-4

o·I

ol

0i=O

3 1I und nach Entwicklung der erübrigenden Determinante dritten Grades: -16(x-2) + 21(y-4) + 1 ~6 (z+3) = 0, also schließlich: 48x- 63y- 116z- 192 = 0. 6

Sl49. Winkel einer Geraden mit einer Bbene. Von dem Winkel einer Geraden mit einer Ebene kann in bestimmter \Yeise erst

Ebene durch Gerade und Punkt.

Winkel 7.wischen Gerade und Ebeue

3öl

dallll gesprocheu werden, wenn die Gerade gerichtet und bei der Ebene die positive Seite von der negativen untert~chieden ist. Der hohle Winkel w zwi.schen der gerichteten Geraden und der positiven Normale der Ebene ist dann spitz oder stumpf, je nachdem die po>raus ist 0 selbst. Die Zwischenformel (41 ist wiP folgt zu deuten: Da die Swnme der ersten drei Glieder der reehten Seite Jas Quadrat vPn ;ll0 llf1 giht, ;;;o hedeutet (p 2 q2 r 2 ) 1: 2 tb~ Quadrat des Abstandes des Punktes M 0 von der Ebene (:!), wie auch unmittelb:u ans den Ansfiilwmgeu in 234 hervorgeht. Die rechnerische Durchführung der .Formel (ö) gestaltet si.::h ei>1·

+ +

fach: man sehreibt die

Matri~ Jf i --

.tlo

r 'I an. bildet diP Quadratsumme ihre•· Determinanteu zweiten Grades und dividiert sie unreh die Quadratsumme der El(~meut.e dt>r zweiten Zeile. Soll al~o beispiehweist> der Abl"tand de~ Ursprungs von der Geraden p

J• ~1-·

5

,'1-- 2

-3

2

brstimmt werden.

~o

heißt air, \'Ia trix ~

··- i

·)

- ;)

ihre JJeterrninanten ilincl 1, J? nnd tl

=

=

3 4'

14, -· 11,

1

3, ;)1 1 ...

+ 19~_J 121 ± + ~) + t6

folgli~h

if't

= :~1~ :0!!

251. Zwei Gerade im Raume. Zwri Gerade im HauUJe habeu im allgemeinen keinen Punkt miteinander gemein; man ;;agt dam1, ~ie kreuzen s;'ch. Schneiden :.;ich die Gr>radeu in einem eigentlieh··n oder einem nnendlich fernen Punkte, so bestimmen ~;i(; eine Eheue. ]i}s h;mdelt 1-'ich um 1lie Fe,:;tstellung der analytischen Bedingu!lgeu für diese Sonderfälle und um die Bildung: der J%enengleiehu.ng. Czubcr, Höht,re

~{at.l!E'itl'.atik,2.

Auf!.

354

An&lytische Geometrie des Raumes.

§ 3. Ebene und Gerade.

Die Geraden seien parametrisch gegeben durch die Gleichungen: ;C =

x,

Y = Yt

+p

1

x

+ qtuJ +

+ PsU I :2 ~ f

y:

u1

x2

=

1]2U

')' (-)

z -- ~..,. 2 • r-.? u. Sie haben dann und nur dann einen gemeinsamen Punkt, wenn es Parameterwerte Uu u 2 gibt, die in (1), beziehungsweise (2), eingesetzt, zu demselben Wertsystem x, y, 8 führen, so daß also die Gleichungen bestehen: X1 - X2 +Pt ut - Piu2 = 0 Z =

81

>"1 'U

Yt -- Y2 zt -- .:2

+ qtu't- q2~t2 = + rlul -- r2ut =

0

0.

Die Bedingung für die Koexistenz dieser Gleichungen, d. i. (121, IJI)

R

=

XI -- :r2

Pl

Yt - !/2

'lt

zl - z2

1'1

(31

r, :

ist zugleich die analytische Bedingung dafür 1 daß die Geraden eme Ebene bestimmen. Hierin ist sowohl der Fall des eigentlichen Schueidens als auch jener des Parallelismus enthalten; denn der letztere tritt (24&) dann ein, wenn

(4)

und bei diesem Verhalten verschwindet die Determinante R ohne Rücksicht auf die Werte der Elemente der ersten Kolonne. Man kann auch von folgender Erwägung .ausgehen, die zugleich auf die Gleichung der Ebene der beiden Geraden hinführt, falls sie sich schneiden. Die Bedingungen dafUr, daß die Ebene

+ By + Cz + D =

Ax

0

sowohl die Gerade (1) als auch die Gerade (2) enthaltt·, lauten (24r7):

Ax1 Ax! Ap1 .-1p2

+ By + Cz + D = 0 + By:J + C:~ + D = 0 + Bq + Ct\ 0 + ßq + Cr =0; 1

1

=

1

2

2

der Bestand dieser Gleichungen erfordert aber, daß

I:rl

1;: IJls

.zl

1

y~

.r2

1

ql

1'1

(h

1'2

Y:

0 0

=Ü

355

Zwei 11erad•: im Raume.

sei; dies führt wieder zu der früheren Bedingungsgleichung (3). wie man sich überzeugt, indem man die zweite Zeile von der ersten subtrahiert. Ist nber die letzte Gleichung in Kraft, so sind die V erhältniese >on A, B, C, D durch die Unterdeterminanten aus irgend drei Zeilen der links stehenden Determinante bestimmt (121, I); man kann also die Gleichung der Verbindungsebene auch schreiben: !ft

z zt

1I 1

ql

1" 1

0

X

y

xt pl

I

=

(5)

U.

p~ rh r 2 0! 2&2. Kürzester Abstand zweier Geraden im Baume. Auf jeder TransvPrsale zweier Geraden ist eine Strecke begrenzt; die kleinste nnter dießen Strecken wird als der kürzeste AbtJtand der beiden Geraden bezeichnet. Schneiden sich die Geraden in einem eigentlichen Punkte, so ist ihr kürzester Abstand Null: sind sie parallel, so erscheint ihr kürzester Abstand auf jeder Transversale, die zu beiden senkrecht ist. Kreuzen sich die Geraden, so existiert nur eine Transversale von dieser letzten Eigenschaft; sie enthält den kürzesten Abstand. Die heiden Geraden bestimmen nämlich in dieser Anordnung zwei parallele Ebenen, deren jede durch eine der Geraden geht und der andern parallel ist; legt man durch die Geraden zwei weitere Ebenen, die zn dem erwähnten Ebenenpaar senkrecht sind, so ist deren Schnittlinit> diejenige und die einzige Transversale, die die Geraden unter rechtem Winkel schneidet. Der kürzeste Abstand der Geraden ist zugleich der Abstand der heidPn parallelen Ebenen. Die Geraden seien durch die Gleichungen

x-x1 =y--y, =:-z1 1'. q, r,

(1)

Y_-.-: Y_!

(2)

{1J -

p,

~! =

q,

= : - z,

,.!

gegeben. Die Stellung einer Ebene ist durch die Verhältnisse der Koeffizienten A, B, C bestimmt; soll die Ebene den beiden Geraden parallel sein, so haben diese Koeffizienten den Bedingungen (H7)

Ap 1 + Bq1 Ap2 + Bq2 zu genügen: daraus aber folgt: A. : B: 0

=

Iqtq2

+ Cr 1 =

+ Crt =

0 0

rt \ : \ r, Pt \ : J Pt r, I : r, .Pt ; P2

ql \.

q, !

'On u, v berechnet. so gibt ihre Einsetzung in 1,l *), (2*) die gesuchten Fußpunkte. Zur Illustration diene das folgende Beispiel. Die zwei Geraden ,;eit•n durch je zwei ihrer Spuren, und zwar die erste dureh Uf:3/5/01,

A(O. lrfl), die zweite durl'h

('(_U /4 I 4)' D( 2 I 0/ 1) gegeben, .Fig. 111; ihre Gleichungen lauteu . dann (246): :c

y- 1

-3

--l

X

y--i

z-u f> ~

..

--2

--

-!

3

Die Determinanten aus der .Matrix

-3

-4

i)

-2

-!

3

haben die Werte

Fig. 111.

-32

-20,

-1

die Koordinatendifferenzen von A und 0 sind 0 -i_) 1· 1)

'

hiermit ist das Material zur Durchführung der Rechnung gebildet. Man hat nun = _!_7 __ = 045 • • • · {) =-----c-~~~ 20 - --

- Vlo24f 1 + 4oö

ollo7

'

'

iles weitem lauten die Gleichungen (6) im vorliegenden Falle

öOu-

O'IJ

5tt- 29v

=-

=

17 !)

368

Anslytische Geometrie: ries Ra.umes.

§ .t. Krumm, Flächen.

und besitzen die Wurzeln u = - i~3ll~' v = - rWr;, mit deren Hilfe sieb die Koordinaten der Fußpunkte 1) berechnen, und zwar m (1): ~:~:=1,13···, ~!~~=2,51···, :~~~=3,11···, 1D

12):

1070 1425

=075··· ' '

1°=249··· ' '

35 1425

W?.~=28'i··· 14~5

'

§ 4.

Krumme Flächen. 2&3. Erzeugung von Plächen. Das wichtigste Erzeugungsprinzip von Flächen ist das durch Bewegung von Linien. Eine Linie im Raume ist in allgemeiner Form (224) durch zwei Gleichungen zwischen den Koordinaten x, y, z d&rgestellt. Enthalten diese Gleichungt>n außerdem einen veränderlichen Parameter u, so ist durch sie nicht eine, sondern eine einfach unendliche Mannigfaltigkeit von Linien bestimmt: anders aufgefaßt: Geht man in dem Gleichungspaar

0}

F(x, y, z, u) ~= I)) G(x,y,z, u)- 0 von einem Werte des Parameters u aus und zu einem andern \V erte stetig über, so vollführt die durch das Gleichungspaar dargestellte Linie eine stetige Bewegung und beschreibt eine Fläche. Gleichung der Fläche ist die von den variierenden Werten des u unabhängige Beziehung zwischen .L, y, z: sie wird erhalten, indem man zwischen den Gleichungen (1) den Parameter u eliminiert, und heiße «P(x, y, z)

=

0.

(2)

Die bewegliche Linie (1) bezeichnet man als die Erzeugende der Fläche (2). Enthalten die Gleichungen der Erzeugenden zwei veränderliche Parameter u, v, so daß sie allgemein lauten: F(x, y, z, u, v) G(a:, y, z, u, v)

= =

0 0

t

J'

(3)

so ist durch sie, so lange nichts weiter bestimmt wird, eine zweifach unendliche Mannigfaltigkeit von Linien dargestellt; löst man aber daraus nach einem bestimmten Gesetze eine einfach unendliche Mannigfaltigkeit aus, so führt diese wieder zu einer Fläche: das Gesetz ist durch eine BediNgungsgkichung zwischen den Parametern bestimmt und heiße rp(u, v) = 0. (4) Die Elimination von u, v zwischen den Gleichungen ( :J) und (..J.) führt zur Gleichung der Fläche. Geometrisch wird die Auslösung der einfach unendlichen Manuig1) Aus ihnen kann ct ebenfalls berechnet werdfln.

Flii eilt>:
n

faltigkeit in der Hege! dadurch hew.~rkstelligt, daß mau vorschreibt. die Linien des S_vstems C31 sr>llen ~

. i =Fü--tvl' = 2 Kegelgleichung me Folge weiterer und m (x + y + z) 2 = 2(x 2 + y" + .z 2). 25&. Zylinderflächen. Eine Gerade kann, ohne ihre Richtung zn ändern, in sich selbst, oder in einer Ebene, oder im Haume sich hewegen; die im letzten Falle von ihr beschriebene Fliiche heißt eine /-ylinderfläche (223, 2). Die Gleichungen ax + by + cz = u] (1) a'x + b'y + c'.r: = 1•J stellen

1

•

Of'l

-variablem u, v jede für sich ein System paralleler Ebenen,

362

Analytische Geometrie rles Raumes.

§ 4. Krumme Flächen.

zusammen ein zweifach unendliches System von parallelen Geraden im Raume dar; aus diesem wird durch die Bedingungsgleichung

0 (2) ein einfach unendliches t::iystem ausgelöst, dessen Ort die Z~·linderfläche ist; ihre Gleichung lautet demnach: (3) cp(ax + by + cz, a' x + b'.'l-:- c' zi = 0. cp(u, vl

=

Die Gleichung einer Zylinderfläche ist also analytisch dadurch gekennzeichnet, daß ihre linke Seite (bei Reduktion auf Null) eine Funktion von zwei linearen Ausdrücken in x, y, z ist. Fehlen in diesen Ausdrücken die Glieder mit einer der Koordidina.ten, z. B. mit z, so ist die Zylinderfläche der betreffenden Achse parallel; so stellt eine Gleichung von der Form cr(ax

+ by.

+ b'yl

a'x

=

u

eine zur xy- Ebene normale Zylinderfläche dar. 1 ) Die Bedingungsgleichung (2) kann indirekt dadurch gegeben sein, daß die Erzeugende an eine Leitlinie gebunden wird. Durch Leitlinie und eine Richtung ist somit eine Zylinderfläche bestimmt. Beispiele. 1. Es ist die Gleichung jener Zylinderfläche aufzustellen, deren Leitlinie ein mit dem Radius r in der X!f-Ebene aus dem Ursprung beschriebener Kreis ist, und deren Erzeugende mit der x-, y-Achse Winkel von ()0° bzw. 4,.'") 0 und mit der z-Achse einen spitzen Winkel bilden. Man kann die Erzeugende durch die Gleichungen !/=_!'_ = .::_

."l:-U

]J

r

'I

darstellen, wenn man den Nennern die durch die Daten vorgezeichneten Verhältnisse gibt, nämlich p : q: r = 1 : y2 : 1 (:120), also durch. die Gleichungen X - i!

die Leitlinie ist durch

y-

zy'2

=

t•;

Z=0 x2

bestimmt. gleichung

=U

+ y~ =

r2

Die Elimination von x, !I· z führt zu der Bedingungsui

+ r 2 ~=

r~,

somit lautet die Zylindergleichung:

+

1) Durch eine Koordinatentransformation I x = ax b y, y' = a' .x ka.nn der Gleichung die Gestalt F;:r, Y' = o gegeben werden (223, 2).

+ b' y)

:363

Zylinderfläehen.

2

Durch die Ellipse

::=0

+ a 2 y~ =

b2 •.t:~

a'b:

sind Zylinderflächen zu legen~ die von der !II-; bzw. zx-Ebene nach Krrisen geschnitten werden. Aus den vorstehenden Gleichungen der Leitlinie und den Glei~bungPu der Erzeugenden: X =

U -l- rt.Z

y

v

=

+ ßz

erg·ibt :;ich folgende Bedingungsgleichung zwischen den Parametern: bi1t2 + a2v2

a2bz.

=

Mithin lautet die allgemeim• Gleichung emer durch die ohigt" Ellipse ~elegten Zylinderfläche: h2 (x·- az1 2 o 2 (!f -- ße) 2= a 2V

+

Ihre Schnittlinie mit der yz-l!Jbene: a2y2- 2a2ßyz i~t

+ (1J~c,2-.l.. a2ß2)z2= a2b~

dann em Kreis, 'venn (188)

und die Schnittlinie mit der zx- Ebene: bi.te- 2b2axz (b2a2

+

+ t!2ß~)ze =

a2b2

dann, wenn (( c= Ü

l,2a2

1m ers ten

V

r

• c a lle Ist

=

-+- fl-

--- /1 '

+ a2ß2 ~~ IJS: . Im zwm'teu ß =

--'- -b · -- a

Es bilden also die beiden Paarl:' von Zylinderflächen

(b.c :r: azf b 2 x~ + (ay

= f1z) 2 =

-t- a 2 y~

a 2 h~

:+~

a 2 h~

die Lösung de1· Aufgabe. 2&8. Konoide. Die Bewegungen der Geraden. durch welehe die Kegel- und Zylinderfliichen erzeugt werden, sind dadurch gekenn · zeichnet, daß jede zwei Lagen der Geraden einen festen Punkt miteinander gemein haben: bei der Erzeugung einer Kegelfläche liegt diest>r Punkt im Endlichen und die Bewegung ist eine drehende; bei der Erzeugung einer Zylinderfläche liegt er im Unendlichen und die ßPwegung ist eine fnrtscltreitende. Bei der drehenden Bewegung be-

364

Analytische Geometrie des Raumes.

§ !. Krumme Flä!·ben.

schreiben die einzelnen Punkte der Geraden ähnliche, bei der fortschreitenden Bewegung kongruetzte Bahnen. Eine Bewegung der Geraden, bei der zwei beliebige Lagen keinen gemeinsamen Punkt besitzen, wird eine schraubende Bewegung genannt; eine solche Bewegung kann als Zusammensetzung der drehenden mit der fortschreitenden Bewegung aufgefaßt werden. Sind nämlich g1 , g 2 zwei beliebige Lagen der Geraden, so kann man g1 in g2 dadurch überführen, daß man mit g1 zuerst längs einer gemeinsamen Transversale von g1 und g2 eine fortschreitende Bewegung ausführt, wodurch g1 in die Lage g{ kommen möge, in der e" mit .lh einen Punkt gemein hat; und daß man sodann g{ in der Ebene (.q{, p2 ) dureh Drehung um den letztgenannten Punkt in g2 überführt. Zur Regelung einer schraubenden Bewegung bedarf es im allgemeinen dreier Leitlillien. Ist eine dieser Leitlinien eine Gerade im Endlichen, eine zweite eine Gerade im Unendlichen, so heißt die beschriebene Fläche ein Konoid. Anders ausgedrückt: Ein Konoid entsteht, wenn eine Gerade längs einer geraden und irgendeiner zweiten Leitlinie sich bewegt und einer festen Ebene, der Richtebeue, parallel bleibt. Wenn die gerade Leitlinie auf der Riebtebene senkrecht steht, so heißt das Konoid ein gerades, sonst ein schiefes. · Bei einem geraden Konoid wird die einfachste Anordnung gegen das Koordinatensystem darin bestehen, daß man die gerade Leitlinie in eine der Koordinatenachsen legt; die dazu senkrechte Koordinatenebene kann danach als Riebtebene aufgefaßt werden . .Fällt die gerade Leitlinie in die x-Achse, so schreiben sich tlie Gleichungen der Erzeugenden:

X= U \

(1)

z = vy;l

hat sich mit Hilfe der zweiten Leitlinie die Bedingungsgleichung rp(u, v) = 0 (2) zwischen den Parametern ergeben, so liefert die Elimination von u, v zwischen (1) und (2) die Gleichung des Konoids:

rp(x, f)

nach x aufgelöst:

=

(3)

0,

X=J(~)·

(ß*)

Hat die y-, bzw. die. z-Achse als gerade Leitlinie gedient, "-(' kommt als Gleichung des Konoids eine Gleichung von der li'orm zustande.

y=

/

(-zx) ,

bzw.

z=

-'Y)

;(;

(4)

365

Konoide.

Immer ist also bei dieser Anordnung des Koordinatensystems die eine Koordinate eine homogene Funktion der beiden · anderen (954). Beispiele. 1. Die Gleichuug eines geraden Konoids zu bilden, dessen gerade Leitlinie die .x- Achse, dessen zweite Leitlinie ebenfalls eine G.~rade ist, die die y-Achse im Abstande b vom Frsprnng recht" inklig schneidet. Eliminiert man ans d(·ll Gleichungen 1ler ~:rzeugine Gerade enthalte nur einen unendlich fernen Punkt, so kann man sagen, daß auch die unendlich fernen Punkt.e des Raumes bei einer affinen Transformation in Ruhe hleiben . •Je nachdem k < 1 oder > 1, findet. eine Verkürzung or!er Verlängerung der Strecken Pli{ statt: bei k = l bliebe alles um-eriindert (identische 1'ransformation). Die affinen Transformationen bezüglich der zx- und der .1:y- Ehene» sind durch die Substitutionsgleichungen (.:!) x' == :r, y' = ky 1 z = ::, x'=:J.·, y' = y, z' = 1.-z gekennzeichnet. Man kann jede Ebene zur Affinitätsebene und jede ihr nicht angehörende Richtung ~ur Affinitätsrichtung wählen. Denkt man sich auf alle Punkte eines geometrischen Gebildes eine affine Transformation ausgeübt, so entsteht ein neues Gebilde, das zu dem ursprünglichen affin heißt; insbesondere entsteht au!': einer Fläche wieder eine Fläche und aus einer Linie wieder eine Linie. Bezüglich des Zusammenhangs affiner Gebilde sind insbesondere die folgenden Tatsachen hervorzuheben. Aus einer Ebene entsf.e}ll: durclt affine Tnws{ormafwn wieder eine Bbem~, die .'~ich mit der urs-priitl.(fliclwn iu der Affinitätsebene .~ch.nddet. Die Gleichung A x + BH + C:: + D =~ 0

verwandelt sich nämlif'h durch die Substitution (1) iri

1. x' + Btt' + Cz' + [) =~ 0,

Aftinität im Haume.

Flächen zweiter Ordnung.

311

und da mit x = 0 auch x' = 0 ist, so haben beide Ebenen dieselbe yz-Spur: R'i C~ D = 0; ist eine der Ebenen der Affinitätsebene parallel, so ist es auch die ande1·e. lnfolge dieses Sachverhaltes ist au~h das affine Gebilde einer Geraden wieder eine Gerade, die sich mit der ursprünglichen in der Affinität!'ehene (im Endlichen orler Unendlichen; schneidet. Weil ferner die der affinen Transformation entsprechende SubHtitution linear ist, eine algebraische Gleichung aher bei einer linearen Substitution ihren Grad nicht iindert, so ist die zu einer Fläche n-ter ()rdmmrt nffine Flüche tt"ieder 1wn der n-tm Ordnung. Ebenso bleibt bei der affinen Transformation einer algebraischen Linie 1leren Ordnung erhalten. 259. Die Flächen zweiter Ordnung. .Jede Fläche, deren Uleichung in rlen Koordinaten .r, y, z vom zweiten Gra.de ist, wird f:'me Fliü·Jw ;;.:;o,itcr 0,-dnullf/ 1auch zweiten Grades) genannt. T. .-\ n'" der Kwwl

+

+

(ll

untstehen, wenn man a11f sie affine I%ene mit k =

c u

anwendet, die

Transform~ttion

bezüglich der xy-

Rotutionsdlipsoid~:­

(:!)

die unterschit•deu werden in verlängerte oder oblonye 1wenn r > u) und in abyeplatltfe oder Sphäroide (wenn c < a.). Wird auf ein Rotationsellipsoid nochmals affine 'fransformation in bPzng auf eiue andere Koordinatenehene, z. ß. in bPzug auf die zxEbmw. mit dPm Verhältui:; k'

an~ewendet, so ent-steht das all-

b

="

rr

,rJemeim orler drPilwh.,ige Ellipsoid

Die Rotationsellipsoide werden unmittelbar erzeugt durch Umdrehung . , drr f.Jllipse x_ o·.. + . z. c· ~~ 1 um die z- Achse (257) . •

2

!

ll Pnreh Umdrehung der Hyperbel :: imagmare Achse Rotnt ionshypl' rboloid

die

entsteht das '}'e

.•

....L

u•

'··

rl.~

-

·•

,,

e%

·-2

~· = 1 nm die ::-, also

=

einmantelige =

1

oder P-inschalige

•

Diese Gleichung geht durch die Sub'itit11tion ;

=

m in die Glt>ichung (ffl

iu 257 üher, >on der erkannt wurde, daß siP einer Fläche mit zwri M* Scharen von Geraden angehört.

37.2

A·:1alytische Geometrie tleo Raumes.

§ 4. Krumme J!'lächen.

Wendet man auf (4) affine Transformation bezüglich der zx-Ebene mit dem Verhältnis k

=

Hyperboloid

an., so entsteht das allgemeine einscftali.Qe

_b__ a

-- + -"-:y• -- z'-- =

.x' a~

c~

1·~

da bei der affinen Transformation Gerade wieder zu Geraden werden, so enthält auch diese Fläche zwei Scharen von Geraden. ·•

x•

III. Durch Umdrehung der Hyperbel a' -- ;,

=

l um die x-,

also um die rt>elle Achse entsteht das zwf'ima11teligt> oder zweischalige Rotationshyperboloid x'

a•

y'

+ z•

---

=

r'

Wird auf dieses affine Transformation mit dem Verhältnis k

=

\Ü)

[.

br~üglieh

der z:t Ebene

~ ausgeiiLt, so entstcl1t da;; allqcmrine ztrri-

schalige Hyperboloid

y

.1'~

,, '

~·

'

r:•

l

IV. Durch Umdrehung der Parahel "lp.z = x~ um 'die z-Achse, die zugleich Achtle der Parabel ist. erhält man das Rotationsparuboloid t8_l

2pz-=x~+y~.

Seine affine Transformation bezüglich

1.-

=

0 am. ~o ergiht sid1 der al7r1Cmeine Ke.oel

u

374

Analytische Geometrie des Raumes. § 4.-. Krumme Flächen.

zweiter Ordnung

(13)

vl.I Die Zylinder zweiter Ordn.ung mit zur z-Achse parallelen Seitenlinien sind in den Gleichungen der Linien ;~;weiter Ordnung, bezogen auf die a;y-Ebene, enthalten, also in den Gleichungen: x2 + y2= a~ x'

a•

+

y'

b2

1

=

(14)

x' y~ - --=1 a' b'

y 2 = 2p:L

"VIII. Die Gleichungen (1) bis (14) beziehen sich j~weilen auf ein spezielles Koordinatensystem, das den Symmetrieverbältnissf'n der betreffenden FHtche angepaßt ist und darum zu einer beaonder~ einfachen Gleichungsform führt. Sowie man das Koordinatensystem ändert, kompliziert sich die Gleichung, ohne jedoch ihren Grad zu ändern. Wie auch das (rechtwinklige oder ParaJiel-)Koordinatensystem angeordnet werden möge, immer ist die Flächengleichung in der allgemeinen Gleichung zweiten Grade:; zwigchen .r-, y, z, nämlich in: Ax~

+ A' y 2 + .A." z + '2 Byz + 2B' zx + 2B"a:y 2

+ 2Cx + 2C'y + 2C"z + F= 0

(15)

enthalten. Diese Gleichung ist demnach die allgemeine Gleiehung der Flächen zweiter Ordnung. Da sie 7oehn Koeffizienten, also nenn Konstanten enthält, so .ist eine Fläche zweiter Ordnung im allgemeinen durch neun Beding11Jlgen, insbesondere durch neun ihrer Punkte, bestimmt. Auch der Komplex zureier Ebenen, dargestellt durch

(ax

+ by +c.z+ d)(a'x + b'y + c'z + d')

=

0,

(16)

ist in (15) enthalten, weil die Aueführung der Multiplikation zu emem Ausdruck zweiten Grades Ilihrt; der Komplex zweier Ehenen bildet also eine Degenerationsform d~r Flächen zweiter Ordnung (vgl. hierzu 803). 260. Tangentialebenen. Auf der Fläche

_/(1:, y, z) liege der Punkt M(x/y/z). Punkt M' (.x h / tJ k/z

+

+

f(x

=

0

(1)

In seiner Nachbarschaft werde ein zweiter

+ l)

angenommen, so daß auch

+ h, y + k, z + l) =

0

(2)

Fliichen 7.weiter Ordnung.

ist.

375

TangenUalebenen.

Die Yerhindungsgerade heider Punkte. dargestellt dllrch (246) ~-x

--Ii-

1J --y

~-z

(3)

-T-- ·

k

heißt eine Se kaute der Fläch~:-. Aus den Gleichungen (li und (2) folgt, daß auch

f(x+h, 11-rk. z+l)-/'(x,y,.c'l=O, daher auch

+ h, y + !,-, z + l) -- f(_:r, y + k, +f(.r, y + 1:, -~ + l) -- f(x·, y, : + l) f(x

.?

+I)

+_!{:v, y, z + J, --f(x, y, z) = 0 ist; für dill drei Difi'erenzen, aus denen sich die linke Seite zus:lrumeus~>tzt, k:mn nach dem Mi.tt.elwertsatze. (73) der Reihe nach hf;!;r + Oh, y + k, z + l) k_t;(x, y + 01 k, z + lj

lf(.:r, y, z ~e".chriaben

wenl€ll, woh•Ji 6. fl.,

+ Otl) I)~

iP.t. also aueh f.;(x

positive echte Brüche

bedeut~::n:

+ Oh, y + k, ;: + l) +/ ;(x, y + 6 k, z + l) ~ + 1

1

+_f;rx, y, z + 8sl) ~- =~ 0, ~ähert

es

man df.'n Punkt 31' dem festgehaltenen Punkte

}J[

(.f .) längs

der Fläch() unbegrenzt flf'rli.rt, daß ~:- gegen die> Grenze t konvergil;rt, so wird auch

~·

im 1\Hgmt..einen eine:r Grenze u und d.iP Sekante einer

G-reuzla.go::• sich nähern, die durch 6 -- x = lj -- y = 1

t

'-::_z

(5)

u

dargestellt ist und ala ein'! 1'an.gente der Fläche lm Punkte M bezeichnet witd. Zwischen flem 'oeliRhig festzusetzenden t und dem u besteht aber, sofern ditrischen Funktionen. im Polal'l'ystem 2-t2. 112: -- der zyklomPtrischen FunktioAill.zahl 3. nen 113. A pproximation$ma thematik 20. Differentialq uotienteu, höhere 126; Arithmetische Reihen verschiedener Ordihre Herleitung 12f;. nung 219. · Dill'erentiat.ion 102. Assoziatives Gesetz der Addition ''; - , Difl'erenz !j, der Multiplikation 6. flifferentiierbarke it einer Funktion 94; -Asteroide 251. . und Stetigkeit 99. Asymptotn 296. Differenzenreiben 218. Diskontiunitat 89. ßasis einer Potenz 7; - der Logarith- · Diskriminante 209; - der Gleichung mcn 20. " G d · >01 BedeutuP-g de~; Differentialquotie nten 96 ~- 'ra es 10 x, y, · · bis (IR. Distributive~> Gesetz der Multi}Jlikation 6. B d' k t R ·Divergenz einer Reibe 33; - eines uuL' mgt omergen e e1'h en 45-46. dl' h p d k BewegungPn einer Geraden: drehende, I D'e? . IC en ro u t.s 49. fortschreitende, schraubende 363-364. DJVJSioln 1°.: . , • 1 1 ·ßinomialt'ormel von Moivre 25. i oppe ver _1a tms ~~3, 2y2. . 1are K d' t ' Drehungssmn, positiver, m der Ebene 242. B1po 243 oor ma en . . .. B .. h 1o ,' DreJCckstlacbe 265-267. ruc e · : Dreiseit.lläche \!68. Cardanische ~'ormd 227-229. i Dreiteilung des Winkels 231. Cassinisr.he Linien 248. ; Durchmesser 305; konjugierte ·- 306. Casus irreducibilis 229. Ebene 329; - durch drei Punkte 3111; Chordale, s. Hadika.lachse. ; - durch eine Gerade und einen Punkt Dugenerierte Linien 2. Ordnung 299. , 349. DeriYierte Funktion !J5. : Ebenenbiindcl 330; - bestimmt durch Determinantedera djungierten:\7. 79. Extrf'mwerte s. Maxima-Miuima.

379

Grad einer 'Vurzcl 13. Grenze 16; - einer l!.eihe 3:l; -· euws unendlieh1~n Produkts 49. 13ren:r.en der ·wurzeln einer algt>bra.ie~hf'n Glt>ichung 212. Grenzwerte von Funktiuuen. im Endlichen 71: - im Unendlichen H; -von Funktionen zweier Variablen 80. Grenzpunkte einPs KreisbüseLeis 290. Grundpunkte eines Kreisbüschels 288. Grundfunktionen. Rymmttri8che, derW urzeln 2011.

J'aktoren G. Flächenerzeugung 3:.~. Harmonische Punkte :lti:l. Flächen zweiter Urdnung :>11-ilH. Harmonische Heihe 37, 40. Fluente, Fluxion, Fluxionskalkül ns. Harmonische Strahlen 273. FundamentalreihP 16. Hauptglie lt..

GlE>icbmiißigP Stdigk!>it ss, !1:!. GlPichung. kubi,che 221i: rl!dnzit•rte kuhisl'he :!26: biquadratische _ 233: reduzierte hi1piadratische _ :!3-i; _ einer Linie :!4R; _ rrsteu Ura 31!1.

380

Saehregister.

Komplexe Zahlen 21-22; höhere -- 22: }fodul der .'lddition (1: -- der .\Iultipliihre trigonometrische Form 24; geokation 6: - einer komplexen Zahl24; metrisches Rechnen mit ihnen 2!J. · - der Logarithmen 110. Konchoide 249. ::lloivresche Binomialfonnel z;,_ Konjugierte Dnrchme~ser S06. Multiplikation 6. J(onjugiert komplexe Zahlen 23. Konoide 363 __ 36 7. • Näherungöverfabxen zm W urzelausrechKonstanz des Differentials der unabhän-: nung 22 1. 8 • Newtonscbes .i\äherunggverfahren, Regula falsi. gigeu Variablen 133. ·Natürliche Loga..-rithmen >,;0. Konvergenz einer Reihe 32; - einer ~atürliche Potenz !lO. Zahlenfolge 31; ---· eines unendlichen :Nenner 10 • .Produkts 48-50. . Newtonsches Näherung,;verfahren 222. Konve,·genzkriterien für Reihen mit poNewtonsehe Regel zur Bt·~timmung der sitiven Gliedern !18-43; -- für Reihen 't 't' d •. GJ' d Wurzelgrenzen einer algebraiochteu m1 pos1 .1ven un nega.1ven ' 1e ern , Gleichung 212 . 43-46; - für alt.urnierende Reihen Norm eint'r komplexen Z.a 'hl 2?.. 46; -für unendliche Produkte ii0-5LI . .i\ull 8; - :;ls Di.-isor 12. Koordinaten 240, 318. Nulldetlethode der unbe;;timmten Küeffizienten 201 Mittelwertsah der Differentialrechnung 12H; erweiterter - 125. Mittelpunkt bei den Linien 2. Ordnung 1103.

Polarkoordina.ten in der Ebene 242; im Raume il22, 328. Polargleiehung des Kreises 276. Potenz i; - eines Punktes in bezugauf einen Kreis 284. Potenzachse, s. Hadikalaebs!.' . Potenzieren 7. Potenzzentrum, s. Radikalzentrum. -Präzisionsmathematik 20. ·Prinzip der Permanenz 8. Produkt 6. Produkt zwcier Determinanten 182. Produkte, unendliche 4R. ' Punktkoordinaten 240.

SchranlH:nfWehe, geracl.e :alchraubenlinie 3HS. Sr~~Tür·ntgleid1ung der Gnradf·t~ ~~;\~- ~ dPr Ebene S3~. ~tetif~keit d~r Funktio'len ~i\, gl.,iehm>ißig•• ·-- 88; --- von F1>nktiou1m zwcie.r und mehrerer Valial•len n Krcisb·::s.!heL 28~•. Stetigkeit deB Sy:;tm!IS der reell~n ZahlLtdikal·r,r·J:irun~ dreier Krfi~e 28•;. len 20. 11 a•l izier('H B: - komplexer Z:1hlen 'UJ. . :=tn~rke, g··-l;r,: -- Zalden "iumme !\.

t!u;d\t.ät. eir:, einer kubi,chen Gi-:id1un?;" 227; kubische -- einer biquadn:ti,,·hc~ Gleichung 2:15. Rest i2; --- ••:ner Rei!.te 33: - eines unendlirhen i'ro•'lukts ,r,o. Resultante eines Systems linearer Gleiehungen 19:l; . - z-,.-eier algebrai3cher (fleichun;_!-en 2l•G. Ri chttbemo eim::' Konoids :i!H. Riehh,ngHküsin••s der Geraden im R.aumc :;21. . . Unbedingt ko11vergente Reihe!t ·h--46. Hichtnu~swinkd tl,Jr G·~raden 257; " r: . lm, U' 1 lar>--lilfl: 13ö; -,r·ormen , n Je~t1mmte ') Raume :~20. 00 CXJ -- c-x: US; 1!2·CX• · 0 139--14'2; 00 Ri,b!en :!0. R.•Jsette 250. 143-lH; f• 0 , cx• 0 , l"' 111\---14fi. Rohticon l'ine~ K•:oordim:.tem;.·sterus '203, Unendlicl•keits~tello' \11. 325. 'lJnendlichkleinc~, Unend\ie.hgreße5 8''· eigentliches und nMigentllt1ht·~ li1~~ endlieb 82---83. Sat.,; \·on RolL, 1:l:l: - von J~agrange 123; ; Unstetigkeit S9. von ß(,:~ou-t iihcr Permutationen lo9;: Unterdet.erm;nanten 1(;;; adjungicrt:e --1G7 --170. -- ''01< Bezr;ut. über Gleichungspaare ; :!OS;-:- nm De:;cartes üb.:r Glei~:mngs- : Ursprung 2U. · wurzeln :lJ 3. ~iltz~ nm J ~cobi über Determina:lteu 18~. ; ~~rlit:J.le C>ö ;' stetige unJ. unste~·ige - ;,·;. le ~uhes 6. I:OcheJtelgleichung df\r l'arahel 1510; . Vorlr·ieben de1 DiJfereutiahJuotienten 120. der Kegel~chnitte 31 ,:. ' Winkel zweiP-1· Gerade1; in der Eh(·;,e ~ebnitt 14, lt}. 26~t: ---- ltH I\.a.urne B21; --- z.wtüer J{Oe-.;;;~.~;;ni!tpunkt. L.w-eier Geraden in der Ebr~ne einer --;€nhlfiJ n:iit f;tn.er n.or. . ~137; ·!t17: -- e~u~r GerP.tl~n mit eint~r F;o~ne Ebr: nr- :;I\ I). ~3 1:'!.

382

Sachregister. -

Namenregister.

W urzel13 ;--eines Gleirhungssystems188; !' Zahlenebene 28. - einer algebraischen Gleichung 197. Zahlenfolgen 16,31; divergente und konWurzelfaktor 198. vergente - 31; monotone - 32. Wurzeln, mehrfache 201: komplexe - Zahlkörper 18, 1\J. 202; von numerischen Gleichungen: Zahlwörter 3. ganzzahlige -- 216; gebrochene- 216; Zahlzeichen 3; besondere, allgemeine-~. irrationale - 218. Zeichenwechsel, Zeichenfolge 213. Zeilen in einer Determinante 161. Zahlbegriff 1. Zentrallinie zweier Kreise 286. Zahl e als Grenzwert 77. Zissoide 24 7. Zahlen, nat.lirliche 1; positive und nega- Zyklische Permutationen 160. tive - 8; relative - 9: ganze und Zyklometrische Funktionen 68-71. gebrochene -- 10; rationale - 12; Zylinderflächen 361-363. irrationale - 15; reelle - 19; imaginär!' und komplexe - 21.

Namenregister. (Die Zahlen beziehen sich auf die Seiten )

Abel N. H. 238. Arbogast L. F. A. 95. Argand J. R. 28. Bernoulli Jak. 87. Bernoulli Joh. 37, 56, 137 Hernoulli Nik. 33. Bezout E. 159, 208. Bolzano B. 33. Cantor G. 1!1. Cardano H. 226, 228, 234. Ca.uehy A. 23, 33, 43, 46, 126, 163. Cayley A. 163. Cesaro E. 100, 124, 136. Clairaut A. C. 56. Cramer G. 163, 193. Dedekind R. 14, 20. De Moivre, s. Moivre. Descartes R. 22, 56, 201, 213, 242. Diriehlet P. G. Lejeune45, f>8.

Euler L. 22, 24, 26, 40, 56, 79, 234, 236. Fermat P. 56, 242. Ferrari L. 234. Ferro, Scipione del 226. Forti 117. GaußC. F. 22, 28. 163, 197. Grandi G. 36. Gregory J. 33. Hankel H. 8. Hesse 0. 259. Horner W. G. 199. Hudde J. 227. Huygens Ch. 227. JacobiC.G. J. 96,163,182.

G. W. 56, 96, 98, I Leibniz 101-102,130-133,165, 46,

193. Moivre, A. de 25.

Newton J. 98, 212. 222. Pascal E. 99. Pliicker J. 270. Ricoati V. 114. Riemann B. 46. Rolle 122. Rothe H. 106. 1 Rufflni P. 2S8.

I Sarrus 164. Staude 0. 337.

Sylvester J. 207. Tartaglia N. 226.

Kronecker I•. 168.

Vieta F. 36, ..19.

Lacroix S. F. 102. Lagrange J. 95, 123, 186. Lambert J. H. 114, 117.

Wallis J. 54. Wessel K. 28. Wright E. 117.