Écrits d’histoire et de philosophie des sciences: Volume III Optique et Astronomie 9783110784725, 9783110784640

Table of contents :
AVANT-PROPOS
TABLE DES MATIÈRES
LE « DISCOURS DE LA LUMIÈRE » D’IBN AL-HAYTHAM (ALHAZEN)
OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE ET DOCTRINE OPTIQUE CHEZ IBN AL-HAYTHAM
LE MODÈLE DE LA SPHÈRE TRANSPARENTE ET L’EXPLICATION DE L’ARC-EN-CIEL : IBN AL-HAYTHAM, AL-FĀRISĪ
KAMĀL AL-DĪN ABUʾL ḤASAN MUḤAMMAD IBN AL-ḤASAN AL-FĀRISĪ
LUMIÈRE ET VISION : L’APPLICATION DES MATHÉMATIQUES DANS L’OPTIQUE D’IBN AL-HAYTHAM
PROBLEMS OF THE TRANSMISSION OF GREEK SCIENTIFIC THOUGHT INTO ARABIC: EXAMPLES FROM MATHEMATICS
A PIONEER IN ANACLASTICS IBN SAHL ON BURNING MIRRORS AND LENSES
FŪTHĪṬOS (?) ET AL-KINDĪ SUR « L’ILLUSION LUNAIRE »
DE CONSTANTINOPLE À BAGDAD ANTHÉMIUS DE TRALLES ET AL-KINDĪ
CONIC SECTIONS AND BURNING MIRRORS: AN EXAMPLE OF THE APPLICATION OF ANCIENT AND CLASSICAL MATHEMATICS
LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’ OPTIQUE D’EUCLIDE : UN TRAITÉ JUSQU’ICI INCONNU
DE LA GÉOMÉTRIE DU REGARD AUX MATHÉMATIQUES DES PHÉNOMÈNES LUMINEUX
AL-QŪHĪ CONTRE ARISTOTE : SUR LE MOUVEMENT
SUR UNE CONSTRUCTION DU MIROIR PARABOLIQUE PAR ABŪ AL-WAFĀʾ AL-BŪZJĀNĪ
ASTRONOMIE ET MATHÉMATIQUES ANCIENNES ET CLASSIQUES
AL-QŪHĪ: FROM METEOROLOGY TO ASTRONOMY
TRANSMISSION ET INNOVATION : L’EXEMPLE DU MIROIR PARABOLIQUE
THE CELESTIAL KINEMATICS OF IBN AL-HAYTHAM
THE CONFIGURATION OF THE UNIVERSE : A BOOK BY AL-ḤASAN IBN AL-HAYTHAM
IBN AL-HAYTHAM’S SCIENTIFIC RESEARCH PROGRAMME
PTOLEMY, IBN AL-HAYTHAM AND AL-FĀRISĪ: THE BEGINNINGS OF QUANTITATIVE RESEARCH IN OPTICS
IBN AL-HAYTHAM’S PROBLEM IN HIS BOOK ON OPTICS
FERMAT ET LE PRINCIPE DU MOINDRE TEMPS
IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT
PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS : SUR LES MIROIRS
IBN AL-HAYṮAM, SUR LE MIROIR ARDENT PARABOLIQUE

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Roshdi Rashed Écrits d’histoire et de philosophie des sciences III

Scientia Graeco-Arabica herausgegeben von Marwan Rashed

Band 36/3

De Gruyter

Roshdi Rashed

Écrits d’histoire et de philosophie des sciences Volume III Optique et Astronomie

De Gruyter

ISBN 978-3-11-078464-0 e-ISBN (PDF) 978-3-11-078472-5 ISSN 1868-7172

Library of Congress Control Number: 2023940476 Bibliographic information published by the Deutsche Nationalbibliothek The Deutsche Nationalbibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; detailed bibliographic data are available on the internet at http://dnb.dnb.de. © 2023 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Boston Printing and binding: CPI books GmbH, Leck www.degruyter.com

AVANT-PROPOS

Les études réunies dans ces quatre volumes ont été publiées pendant les cinquante dernières années dans différentes revues et Actes de colloques. Y figurent également quelques écrits encore inédits. Toutes ces études portent sur l’histoire des mathématiques, leurs applications et leurs philosophies. Quelques unes traitent de la mathématisation des sciences sociales à partir du xviii e siècle. La plupart relèvent de l’histoire des mathématiques, de l’optique et de l’astronomie entre le ix e et le xvii e siècle, en arabe, en latin, etc. D’autres enfin se réfèrent à des auteurs plus anciens – Euclide, Archimède, Apollonius, Diophante, Ménélaüs, etc. – et mettent en perspective les découvertes et les pratiques de leurs successeurs. Ces recherches historiques procèdent toutes de la même intention : décrire la constitution des rationalités successives de chacune de ces disciplines et suivre la formation des différentes modernités. Quant à la méthode, c’est celle qui a présidé à la rédaction de la plupart de mes livres : elle consiste à restituer les faits encore inconnus par l’édition critique et la traduction des textes des anciens mathématiciens, en les éclairant d’un commentaire historique et mathématique qui dégage les concepts et les pratiques à l’œuvre et permet de comprendre leurs développements. J’ai choisi d’intervenir aussi peu que possible dans ces écrits, présentés ici dans l’ordre de leur publication. J’ai bien sûr corrigé les erreurs ou coquilles qui avaient pu échapper à leur première publication, mais j’ai conservé en l’état toutes les références bibliographiques, même si elles sont obsolètes. Certaines citations, certaines notes, certaines références renvoient en effet à des textes qui n’étaient alors disponibles que sous forme de manuscrits ou d’éditions provisoires, et dont j’ai, tout au long de ces années, publié l’édition critique, la traduction et le commentaire historique et mathématique. Plutôt que d’intégrer ces modifications, je donne cidessous les références de ces nouvelles publications. Dans le premier volume, on a recueilli les études sur l’histoire de l’arithmétique, de la théorie des nombres et de l’algèbre. Le second est consacré à l’histoire des constructions et des méthodes géométriques. Le troisième porte sur l’histoire de l’optique et de l’astronomie. Dans le quatrième, on se situe à la frontière de la phi-

vi

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

losophie et des mathématiques, et on examine certains aspects de la transmission scientifique. Remerciements

Je tiens à exprimer ma gratitude au Dr Moza al-Rabban, Présidente de l’ARSCO (Arab Scientific Community Organization), qui a amicalement soutenu la publication de ces volumes. Je remercie Monsieur Yannis Haralambous, qui a mis sa compétence et son talent au service de leur réalisation.

R. Rashed : Sources bibliographiques mises à jour

Diophante : Les Arithmétiques, Livre IV, vol. 3. ; Livres V, VI, VII, vol 4. « Collection des Universités de France », Paris : Les Belles Lettres, 1984. Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī, Œuvres mathématiques. Algèbre et Géométrie au xii e siècle, 2 volumes. Collection « Sciences et philosophie arabes – textes et études », Paris : Les Belles Lettres, 1986. Nouvelle édition, 2018. Les Mathématiques infinitésimales du ix e au xi e siècle. 5 volumes, London : al-Furqān Islamic Heritage Foundation, 1993-2006. Traduction anglaise. A History of Arabic Sciences and Mathematics, 5 volumes, Culture and Civilization in the Middle East, London, Centre for Arab Unity Studies, Routledge, 2011-2016. Œuvres philosophiques et scientifiques d’al-Kindī. Vol. I : L’Optique et la Catoptrique d’al-Kindī, Leiden : E.J. Brill, 1997. Vol. II : Métaphysique et Cosmologie, (avec J. Jolivet), Leiden, E.J. Brill, 1998. Al-Khayyām mathématicien, en collaboration avec B. Vahabzadeh, Paris, Librairie Blanchard, 1999. Version anglaise : Omar Khayyam. The Mathematician, Persian Heritage Series n o 40, New York, Bibliotheca Persica Press, 2000, (sans les textes arabes). Pierre Fermat : La théorie des nombres, Textes traduits par P. Tannery, introduits et commentés par R. Rashed, Ch. Houzel et G. Christol, Paris, Blanchard, 1999. Ibrāhīm ibn Sinān. Logique et géométrie au x e siècle, en collaboration avec Hélène Bellosta, Leiden, E.J. Brill, 2000. Les Catoptriciens grecs. I : Les miroirs ardents, édition, traduction et commentaire, Collection des Universités de France, publiée sous le patronage de l’Association Guillaume Budé, Paris : Les Belles Lettres, 2000. Œuvre mathématique d’al-Sijzī. Volume I : Géométrie des coniques et théorie des nombres au x e siècle, Les Cahiers du Mideo, 3, Louvain-Paris, Éditions Peeters, 2004. Geometry and Dioptrics in Classical Islam, Londres, al-Furqān, 2005 Apollonius de Perge : Les Coniques, 5 volumes ; commentaire historique et mathématique, édition et traduction du texte arabe, Berlin / New York, Walter de Gruyter, 2008-2010. Al-Khwārizmī : Le commencement de l’algèbre, Paris, Librairie A. Blanchard, 2007, viii-386 p. Trad. anglaise : Al-Khwārizmī : The Beginnings of Algebra, « His-

AVANT-PROPOS

vii

tory of Science and Philosophy in Classical Islam », Londres, Saqi Books, 2009. Apollonius de Perge, La section des droites selon des rapports, commentaire historique et mathématique, édition et traduction du texte arabe par Roshdi Rashed et Hélène Bellosta, Scientia Graeco-Arabica, vol. 2, Berlin / New York, Walter de Gruyter, 2009. Thābit ibn Qurra. Science and Philosophy in Ninth-Century Baghdad (éditeur et coauteur), Scientia Graeco-Arabica, vol. 4, Berlin / New York, Walter de Gruyter, 2009. Abū Kāmil : Algèbre et analyse diophantienne, Berlin/ New York, Walter de Gruyter, 2012. Histoire de l’analyse diophantienne classique : D’Abū Kāmil à Fermat, Scientia GraecoArabica, 12, Berlin, New York, Walter de Gruyter, 2013. Les Arithmétiques de Diophante : Lecture historique et mathématique (en collaboration avec Ch. Houzel), Berlin, New York, Walter de Gruyter, 2013. Angles et grandeur : D’Euclide à Kamāl al-Dīn al-Fārisī, Berlin, New York, Walter de Gruyter, 2015. Al-Khilāṭī : Nūr al-Dalāla li-Fakhr al-Dīn al-Khilāṭī : al-jabr al-ḥisābī fī al-qarn al-thālith ʾashar, Markaz Ḥasan b. Muḥammad li-al-Dirasāt al-tārīkhiyya, Qatar, 2016 Lexique historique de la langue scientifique arabe (editor), Hildesheim, W. Georg Olms, 2017. Menelaus’ Spherics : Early Translation and al-Māhānī / al-Harawī’s Version (en collaboration avec A. Papadopoulos), edition, translation and commentary, Berlin, De Gruyter, 2017. Fermat et les débuts modernes de la géométrie, Olms ; Hildesheim, Zurich, New York, 2018. Al-Samawʾal. Algèbre arithmétique au xii e siècle – Al-Bāhir d’al-Samawʾal, commentaire historique et mathématique, édition et traduction du texte arabe par Roshdi Rashed, Scientia Graeco-Arabica, Berlin / New York, Walter de Gruyter, 2020. L’hydrostatique de Ménélaüs, introduction, édition et traduction, De Gruyter, 2020. Ibn al-Haytham. L’émergence de la modernité classique, Paris, Hermann, 2021.

TABLE DES MATIÈRES TOME III

Avant propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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« Le discours de la lumière d’Ibn al-Haytham (Alhazen) », Revue d’Histoire des Sciences, 21 (1968), p. 197-224. . . . . . . . . . . « Optique géométrique et doctrine optique chez Ibn al-Haytham Archive for History of Exact Sciences, 6.4 (1970), p. 271-298. .

29

« Le modèle de la sphère transparente et l’explication de l’arcen-ciel : Ibn al-Haytham, al-Fārisī », Revue d’Histoire des Sciences, 23 (1970), p. 109-140. . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

« Kamāl al-Dīn al-Fārisī », in Dictionary of Scientific Biography, vol. 7, New York : Scribner, 1973, p. 212-219. . . . . . . . . . . . .

95

« Lumière et vision : l’application des mathématiques dans l’optique d’Alhazen », in Roemer et la vitesse de la lumière ed. R. Taton, Paris : Vrin, 1978, p. 19-44. . . . . . . . . . . . .

109

« Problems of the Transmission of Greek Scientific Thought into Arabic : examples from Mathematics and Optics », History of Science, XXVII, 1989, p. 199-209. . . . . . . . . . . . . . .

135

« A Pioneer in Anaclastics. Ibn Sahl on Burning Mirrors and Lenses », Isis, 1990, 81, p. 464-491. . . . . . . . . . . . . . .

147

« Fūthīṭos (?) et al-Kindī sur “l’illusion lunaire” », in M.-O. Goulet, G. Madec, D. O’Brien (éds), Σοφίης Μαιήτορες, « Chercheurs de sagesse », Hommage à Jean Pépin », Collection des Études Augustiniennes. Série Antiquité 131, Paris : Institut d’Études Augustiniennes, 1992, p. 533-559. . . . . . . . . . . . . . .

183

« De Constantinople à Bagdad : Anthémius de Tralles et alKindī », in Actes du Colloque : La Syrie de Byzance à l’Islam (Lyon, 1990) ; Damas, 1992, p. 165-170. . . . . . . . . . . . . . . . .

213

« Conic Sections and Burning Mirrors : An Example of the Application of Ancient and Classical Mathematics », in K. Gavroglu et al. (eds.), Physics, Philosophy and the Scientific Community, 1995, Kluwer Academic Publishers, p. 357-376. .

221

x

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

« Le commentaire par al-Kindī de l’Optique d’Euclide : un traité jusqu’ici inconnu », in Arabic Sciences and Philosophy, 7.1 (1997), p. 9-57. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

241

« De la géométrie du regard aux mathématiques des phénomènes lumineux », dans G. Vescovini, Filosofia e scienza classica, arabo-latina medievale e l’età moderna, Fédération Internationale des Instituts d’Études Médiévales (FIDEM), Textes et études du Moyen Âge, 11, Louvain-la-Neuve, 1999, p. 4359. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 « Al-Qūhī vs. Aristotle : On motion », Arabic Sciences and Philosophy, 9.1, 1999, p. 7-24. Version française : « Al-Qūhī contre Aristote : sur le mouvement », Oriens-Occidens. Sciences, mathématiques et philosophie de l’Antiquité à l’Âge classique, 2 (1998), p. 95-117. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 « Sur une construction du miroir parabolique par Abū al-Wafāʾ al-Būzjānī » (avec Otto Neugebauer), Arabic Sciences and Philosophy, 9.2, 1999, p. 261-277. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

327

« Astronomie et mathématiques anciennes et classiques », dans Épistémologiques (Revue internationale Paris / São Paulo) : Cosmologie et philosophie, hommage à Jacques Merleau-Ponty, vol. I (12), janvier-juin 2000, p. 89-100. . . . . . . . . . . . . . . .

347

« Al-Qūhī : From Meteorology to Astronomy », Arabic Sciences and Philosophy, 11.2, 2001, p. 157-204 . . . . . . . . . . . . . . . .

359

« Transmission et innovation : l’exemple du miroir parabolique », dans 4 000 ans d’histoire des mathématiques : les mathématiques dans la longue durée, Actes du treizième colloque Inter-IREM d’Histoire et d’Epistémologie des mathématiques, IREM de Rennes, les 6-7-8 mai 2000, IREM de Rennes, 2002, p. 57-77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 « The Celestial Kinematics of Ibn al-Haytham », Arabic Sciences and Philosophy, 17, 1, 2007, p. 7-55. . . . . . . . . . . . . . . . 435 « The Configuration of the Universe : a Book by al-Ḥasan ibn alHaytham ? », Revue d’Histoire des Sciences, tome 60, numéro 1, janvier-juin 2007, p. 47-63. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

481

« Ibn al-Haytham’s Scientific Research Program », dans M. Alamri, M. El-Gomati et M. Suhail Zubairy (éd.), Optics in Our Time, Springer, 2016, p. 25-39. . . . . . . . . . . . . . 497

TABLE DES MATIÈRES

xi

« Ptolemy, Ibn al-Haytham, and al-Fārisī : the beginnings of quantitative research in optics », dans Ana Maria Cetto, Maria Teresa Josefina Pérez de Celis Herrero (eds.), Light Beyond 2015, Luz más allá de 2015, Univ. Nacionál Autónoma de México, 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

517

« Ibn al-Haytham’s Problem » (en collaboration avec Pierre Coullet), dans Rashed et alii. (eds.), Light-Based Science, CRC Press, Taylor and Francis Group, Boca Raton, London, New York, 2018, pp. 109-121. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

531

« Fermat et le principe du moindre temps », Comptes Rendus Mécanique, vol. 347, 4, 2019. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

545

« Ibn al-Haytham et le mouvement d’enroulement », en collaboration avec Erwan Penchèvre, Arabic sciences and philosophy, 30 (2020) : 27-137. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

559

« Pseudo-Euclide, Pseudo-Ptolémée et Thiasos : sur les miroirs », Arabic Sciences and Philosophy, 32, 2022, p. 1-65. . . . 653 « Ibn Al-Hayṯam : sur le miroir ardent parabolique », Arabic Sciences and Philosophy, 33, 2023, p. 25-54. . . . . . . . . . . .

747

TOME I Avant propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Savoir hellénistique », dans Le savoir grec : Dictionnaire critique, édité par Pierre Pellegrin et al., Paris : Flammarion, 2011, p. 447-469 . . . « L’induction mathématique : Al-Karajī, As-Samawʾal », Archive for History of Exact Sciences, 9 (1972), p. 1-21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Algèbre et linguistique : l’analyse combinatoire dans la science arabe », in R. Cohen (éd.), Boston Studies in the Philosophy of Sciences, Reidel : Boston, 1973, p. 383-399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Al-Karajī », in Dictionary of Scientific Biography, vol. 7 (New York : Scribner, 1973), p. 240-246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « L’arithmétisation de l’algèbre au xii e siècle », in Actes du XIII e Congrès d’Histoire des Sciences, Moscou, 1974, p. 3 -30 . . . . . . . . . . . . . « Résolution des équations numériques et algèbre : Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī Viète », Archive for History of Exact Sciences, 12.3 (1974), p. 244 -290 « Les travaux perdus de Diophante, I », Revue d’Histoire des Sciences, 27.2 (1974), p. 97-122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Les travaux perdus de Diophante, II », Revue d’Histoire des Sciences, 28.1 (1975), p. 3-30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Les recommencements de l’algèbre aux xi e et xii e siècles », in J.E. Murdoch and E.D. Sylla (éds), The cultural Context of Medieval Learning, Dordrecht : Reidel, 1975, p. 33-60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « L’extraction de la racine n-ième et l’invention des fractions décimales », Archive for History of Exact Sciences, 18.3 (1978), p. 191-243 . . . . . « L’analyse diophantienne au x e siècle : l’exemple d’al-Khāzin Revue d’Histoire des Sciences, 32 (1979), p. 193-222 . . . . . . . . . .

v 1 25

49 65 77 83 139 165

189

275

xii

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

« Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson », Archive for History of Exact Sciences, 22.4 (1980), p. 305-321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « L’idée de l’algèbre selon al-Khwārizmī », Fundamenta Scientiae, 4 (1983), p. 87-100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Nombres amiables, parties aliquotes et nombres figurés aux xiii e et xiv e siècles », Archive for History of Exact Sciences, 28 (1983), p. 107-147 « Lagrange lecteur de Diophante », in Sciences à l’époque de la Révolution française. Recherches historiques. Travaux de l’équipe REHSEIS, édités par R.Rashed. Paris : Blanchard, 1988, p. 39-83 . . . . . . . . . . . . . « Ibn al-Haytham et les nombres parfaits », Historia Mathematica 16, 1989, p. 343-352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Al-Samawʾal, al-Bīrūnī et Brahmagupta : les méthodes d’interpolation », Arabic Sciences and Philosophy : a Historical Journal, 1, 1991, p. 100-160 « Notes sur la version arabe des trois premiers livres des Arithmétiques de Diophante, et sur le problème 1. 39», in Historia Scientiarum, 4-1 (1994), p. 39-46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Fibonacci et les Mathématiques arabes », in Micrologus II - 1994, p. 145160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∑ « Al-Yazdī et l’équation ni=1 x2i = x2 in Historia Scientiarum, Vol. 4-2 (1994), p. 79-101. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Fermat et les débuts modernes de l’analyse diophantienne », Historia Scientiarum, vol. 9-1, 1999, p. 3-16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Fermat and Algebraic Geometry », Historia Scientiarum, 11.1, 2001, p. 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Diofanto di alessandria », Storia della scienza, vol. I : La scienza antica, Enciclopedia Italiana, 2001, p. 800-805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Fibonacci et le prolongement latin des mathématiques arabes »,Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche, Anno XXIII, Numero 2, Dicembre 2003, Pisa-Roma, Istituti Editoriali e Poligrafici Internaziolali, MMV, p. 55-73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « The impossible problems in rational numbers and the inaccessible problems » ; traduction anglaise de Histoire de l’analyse diophantienne classique : D’Abū Kāmil à Fermat, Berlin, De Gruyter, 2013, chap. III

309 331 345

393 443 455

513 523 537 565 583 611

629

647

TOME II Avant propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Al-Kindī’s commentary on Archimedes’ “The Measurement of the Circle” », Arabic Sciences and Philosophy, vol. 3 (1993), p. 7-53 . . . « Ibn Sahl et al-Qūhī : dioptrique et méthodes projectives au x e siècle », in S. Garma, D. Flament, V. Navarro (éds), Contra los titanes de la rutina, Madrid : CSIC, 1994, p. 9-18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Ibn Sahl et al-Qūhī : Les projections. Addenda & Corrigenda », Arabic Sciences and Philosophy, vol. 10.1, 2000, p. 79-100 . . . . . . . . . . « Archimedean Learning in the Middle Ages : The Banū Mūsā », Historia Scientiarum, 6-1 (1996), p. 1-16. Publié en français : « Les commencements des mathématiques archimédiennes en arabe : Banū Mūsā », in Perspectives médiévales arabes et latines sur la tradition scientifique et philosophique grecque, Actes du Colloque de la SIHSPAI, Paris/Louvain, 1996, p. 1-19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Article « Thābit ibn Qurra », in Lexikon des Mittelalters, Munich, 1996.

v 1

45 55

77 97

TABLE DES MATIÈRES

xiii

« La Géométrie de Descartes et la distinction entre courbes géométriques et courbes mécaniques », dans J. Biard et R. Rashed (éds), Descartes et le Moyen Âge, Études de philosophie médiévale LXXV, Paris, Vrin, 1997, p. 1-26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

« Al-Qūhī et al-Sijzī : sur le compas parfait et le tracé continu des sections coniques », Arabic Sciences and Philosophy, 13.1, 2003, p. 9-44 . . .

121

« Les mathématiques de la terre », dans G. Marchetti, O. Rignani et V. Sorge (éd.), Ratio et superstitio, Essays in Honor of Graziella Federici Vescovini, Textes et études du Moyen Âge, 24, Louvain-la-Neuve, FIDEM, 2003, p. 285-318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

« La classification des courbes, Géminus et al-Sijzi », Words, Texts, and Concepts Cruising the Mediterranean Sea : Studies on the Sources, Contents and Influences of Islamic Civilization and Arabic Philosophy and Science : Dedicated to Gerhard Endress on His Sixty-fifth Birthday, Peeters publisher, 2004, p. 387-399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

187

« Thābit ibn Qurra et la théorie des parallèles » (en collaboration avec Ch. Houzel), Arabic Sciences and Philosophy, 15.1, 2005, p. 9-55 . . . . .

201

« La modernité mathématique : Descartes et Fermat », dans Philosophie des mathématiques et théorie de la connaissance. L’Œuvre de Jules Vuillemin, éd. R. Rashed et P. Pellegrin, Collection Sciences dans l’histoire, Paris, Librairie A. Blanchard, 2005, p. 239-252 . . . . . . . . . . . . . . .

249

« Les premières classifications des courbes », Physis, XLII.1, 2005, p. 164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Les ovales de Descartes », Physis, XLII.2, 2005, p. 333-354 . . . . . .

265 329

« Arabic Versions and Reediting Apollonius’ Conics », dans Study of the History of Mathematics, Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University, Kyoto, Avril 2007, p. 128-137 . . . . . . . . . . .

351

« Lire les anciens textes mathématiques : le cinquième livre des Coniques d’Apollonius », Bollettino di storia delle scienze matematiche, vol. XXVII, fasc. 2, 2007, p. 265-288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

363

« Le concept de tangente dans les Coniques d’Apollonius », dans Kosmos und Zahl. Beiträge zur Mathematik- und Astronomiegeschichte, zu Alexander von Humboldt und Leibniz, Berlin, 2008, p. 361-371 . . . . . . .

387

« Les constructions géométriques entre géométrie et algèbre : l’Épître d’Abū al-Jūd à al-Bīrūnī », Arabic Sciences and Philosophy, 20.1 (2010), p. 1-51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

403

« Sur un théorème de géométrie sphérique : Théodose, Ménélaüs, Ibn ʿIrāq et Ibn Hūd » (en collaboration avec M. Houjairi), 20.2, Arabic Sciences and Philosophy, 2010, p. 207-253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

457

« Qu’est-ce que les Coniques d’Apollonius ? », dans Les Courbes : Études sur l’histoire d’un concept, édité par Roshdi Rashed et Pascal Crozet, Collection Sciences dans l’histoire, Paris : Librairie A. Blanchard, 2013, p. 1-16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

507

« On Menelaus’ Spherics III.5 in Arabic Mathematics, I : Ibn ʿIrāq » (en collaboration avec Athanase Papadopoulos), Arabic Sciences and Philosophy, 24.1, 2014, p. 1-68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

523

« On Menelaus’ Spherics III.5 in Arabic Mathematics, II : Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī and Ibn Abī Jarrāda » (en collaboration avec Athanase Papadopoulos), Arabic Sciences and Philosophy, 25.1, 2015, p. 1-33 . . . .

593

« Abū Naṣr ibn ʿIrāq : ʿindamā kāna al-Amīr āliman (When the Prince was a scientist) », al-Tafahom, 40, 2013, p. 145-170. . . . . . . . . . . .

625

xiv

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

TOME IV Avant propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Première section : probabilités et sciences sociales « L’introduction de la mathématique du probable dans la science sociale », in Actes du XII e Congrès International d’Histoire des Sciences, vol. 9, Paris, Blanchard, 1971, p. 55-59. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « La mathématisation des doctrines informes dans la science sociale », in La mathématisation des doctrines informes, sous la direction de G. Canguilhem, Paris, Hermann, 1972, p. 73-105. . . . . . . . . . . . . . . « Mathématiques et mathématique sociale au temps de la révolution française », in Bulletin d’information de l’Association des écrivains scientifiques de France, n o 38, octobre 1989. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Probabilité conditionnelle et causalité : un problème d’application des mathématiques », in J. Proust et E. Schwartz (éds), La connaissance philosophique. Essais sur l’œuvre de Gilles Gaston Granger, Paris, PUF, 1994, p. 271-293. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Deuxième section : entre mathématiques et philosophie « L’analyse et la synthèse selon Ibn al-Haytham », in Mathématiques et philosophie de l’Antiquité à l’âge classique. Études en hommage à Jules Vuillemin, éditées par R. Rashed, Paris : éditions du CNRS, 1991, p. 131-162. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Combinatoire et métaphysique : Ibn Sīnā, al-Ṭūsī et al-Ḥalabī », dans Les Doctrines de la science de l’antiquité à l’âge classique, R. Rashed et J. Biard (éd.), Leuven, éd. Peeters, 1999, p. 61-86. . . . . . . . . . . . . . . « Philosophie et mathématiques selon Maïmonide : Le modèle andalou de rencontre philosophique », dans Maïmonide, philosophe et savant (11381204), Études réunies par Tony Lévy et Roshdi Rashed, Ancient and Classical Sciences and Philosophy, Leuven, Peeters, 2004, p. 253273. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Le concept de démonstration de l’antiquité à l’âge classique », Préface des Actes d’un colloque qui s’est tenu les 3-6 juin 2008 au Centre d’Histoire des Sciences et des Philosophies Arabes et Médiévales (CNRS, Universités Paris 7 et Paris 1). . . . . . . . . . . . . . . . . « La démonstration aux commencements de l’algèbre », conférence prononcée lors du colloque « Le concept de démonstration de l’antiquité à l’âge classique », Paris, les 3-6 juin 2008. . . . . . . . . . . . . . « L’étude mathématique du lieu », dans Oggetto e spazio. Fenomenologia dell’oggetto, forma e cosa dai secoli XIII-XIV ai post-cartesiani, Atti del Convegno (Perugia, 8-10 settembre 2005), a cura di Graziella Federici Vescovini e Orsola Rignani, Micrologus’ Library 24, Florence, Sismel-Edizioni del Galluzzo, 2008), p. 71-79. . . . . . . . . . . . « The Philosophy of Mathematics », dans Shahid Rahman, Tony Street, Hassan Tahiri (éd.), The Unity of Science in the Arabic Tradition, Science, Logic, Epistemology and their Interactions, vol. 11, Springer, 2008, p. 153-182. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « L’angle de contingence : un problème de philosophie des mathématiques », Arabic Sciences and Philosophy, 22.1, 2012, p. 1-50. . . . . . « Descartes et l’infiniment petit », Bollettino di storia delle scienze matematiche, vol. XXXIII, Fasc. 1, 2013, p. 151-169. . . . . . . . . . . . . . . « Philosophy and Mathematics : Interactions », Physis, vol. XLVIII, fasc. 1-2, 2011-2014, p. 241-257. . . . . . . . . . . . . . . .

v

1 7 31

41

61 95

119

141 145

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169 207 259 279

TABLE DES MATIÈRES

« Avicenne, “Philosophe analytique” des mathématiques », Les Études philosophiques, avril 2016-2, p. 283-306. . . . . . . . . . . . . . . . . . . « La multiplicité des styles : les isopérimètres », conférence prononcée à l’occasion du colloque consacré à l’étude de la pensée de GillesGaston Granger, co-organisé par Élisabeth Schwartz, David Lefebvre et David Rabouin. Clermont Ferrand, les 16-18 mars 2017. . . . . « Démonstration par l’absurde ou démonstration directe : Al-Sijzī, sur l’incommensurabilité de la diagonale avec le côté », Arabic sciences and philosophy, 29 (2019) : 61-85. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Ibn al-Haytham, Ibn Sinā, al-Ṭūsī : égalité ou congruence », Arabic Sciences and Philosophy, 29 (2) (2019), p. 157-170. . . . . . . . . . . « Fermat critique de la Géométrie de Descartes », in E. Haffner et D. Rabouin (dir.), L’épistémologie du dedans. Mélanges en l’honneur d’Hourya Benis Sinaceur, p. 251-263, Garnier, 2020. . . . . . . . . . . . . . . . « Ménélaüs : un mathématicien proto-intuitionniste ? », conférence prononcée au colloque sur « L’intuitionnisme entre philosophie, mathématique et logique : mutations et histoire longue », Paris, 25-27 octobre 2021. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Troisième section : l’asymptote « Al-Sijzī et Maïmonide : Commentaire mathématique et philosophique de la proposition II-14 des Coniques d’Apollonius », Archives Internationales d’Histoire des Sciences, n o 119, vol. 37, 1987, p. 263-296. . . . « L’asymptote : Apollonius et ses lecteurs », Bollettino di storia delle scienze matematiche, vol. XXX, fasc. 2, 2010, p. 223-254. . . . . . . . . . . « Le pseudo-al-Ḥasan ibn al-Haytham : sur l’asymptote », dans R. Fontaine, R. Glasner, R. Leicht et G. Veltri (éd.), Studies in the History of Culture and Science. A Tribute to Gad Freudenthal, Leiden / Boston, Brill, 2011, p. 7-41. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quatrième section : histoire des mathématiques, problèmes et méthodes « La notion de science occidentale », in Human Implications of Scientific Advance, ed. E.G. Forbes (Edinburgh, 1978), p. 45-54. . . . . . . . . « La périodisation des mathématiques classiques », Revue de synthèse, IV e S., n os 3-4, 1987, p. 349-360. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Mathématiques traditionnelles dans les pays islamiques au xix e siècle : l’exemple de l’Iran », in E. Ihsanoglu (éd.), Transfer of Modern Science and Technology to the Muslim World, Istanbul, 1992, p. 393-404. . . « Science classique et science moderne à l’époque de l’expansion de la science européenne », in P. Petitjean, C. Jami et A. M. Moulin (éds), Science and Empires, Boston Studies in the Philosophy of Science, Kluwer Academic Publishers, 1992, p. 19-30. . . . . . . . . . . . . . . « Modernité classique et science arabe », in C. Goldstein et J. Ritter (éds), Mathématiques en Europe, MSH, 1996, p. 68-81. . . . . . . . . . . . « L’histoire des sciences entre épistémologie et histoire », Conférence terminale prononcée à l’Université de Tokyo le 19 mars 1997 ; publiée dans Historia scientiarum, 7.1, 1997, p. 1-10. . . . . . . . . . . . . . . « Conceptual Tradition and Textual Tradition : Arabic Manuscripts on Science », dans Y. Ibish (éd.), Editing Islamic Manuscripts on Science, Proceedings of the Fourth Conference of al-Furqān Islamic Heritage Foundation (London, 29th-30th November 1997), London, al-Furqān, 1999, p. 15-51. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Communauté scientifique et tradition nationale de recherche », conférence prononcée en 2002 à l’Université des Émirats arabes unis.

xv

297

325 337 363 377

389

397 435

469

505 525 531

543 555 569

583 617

xvi

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

« Inaugural Lecture : History of Science and Diversity at the Beginning of the 21st Century », dans Juan José Saldaña (éd.), Science and Cultural Diversity, Proceedings of the XXIst International Congress of History of Science (Mexico City, 7-14 July 2001), Mexico, 2003, vol. I, p. 1529. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Greek into Arabic : Transmission and Translation », dans James E. Montgomery (éd.), Arabic Theology, Arabic Philosophy. From the Many to the One : Essays in Celebration of Richard M. Frank, Orientalia Lovaniensia Analecta 152, Leuven-Paris, Peeters, 2006, p. 157-196. . . . . . . . « A. Youschkevitch, historien des mathématiques arabes », dans Mémorial Adolf Youschkevitch, édité par Serguei S. Demidov et Roshdi Rashed, Archives internationales d’histoire des sciences, vol. 58, n os 160-161, Juindécembre 2008, p. 9-13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Études et travaux : Otto Neugebauer (1899-1990) » (en collaboration avec Lewis Pyenson), Revue d’histoire des sciences, tome 65-2, juilletdécembre 2012, p. 381-394. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . « Founding Acts and Major Turning-Points in Arab Mathematics », dans J. Z. Buchwald (éd.), A Master of Science History : Essays in Honor of Charles Coulston Gillispie, Archimedes 30. New Studies in the History and Philosophy of Sciences and Technology, Dordrecht-HeidelbergLondon-New York Springer, 2012, p. 253-271. . . . . . . . . . . .

639

655

695

701

713

LE « DISCOURS DE LA LUMIÈRE » D’IBN AL-HAYTHAM (ALHAZEN) traduction française critique Introduction Le texte que nous avons traduit, annoté et que nous rééditons 1 est l’œuvre d’al-Ḥasan abū ʿAlī ben al-Ḥasan ben al-Haytham connu sous le nom latin d’Alhazen. Si naguère certains purent penser, Montucla par exemple 2, qu’Alhazen n’était pas Ibn al-Haytham, l’identification fut reconnue par la suite grâce aux travaux de E. Wiedemann et prouvée définitivement par l’ouvrage fondamental de l’historien le plus récent d’al-Haytham : M. Naẓīf. Né à Basra, mort après 1040 3, al-Haytham vécut au Caire en ce siècle que, dans son étude historique et sociologique, A. Metz nomParu dans Revue d’Histoire des Sciences, 21 (1968), p. 197-224. ‎1. Ce « Discours de la Lumière » – fiʾl Dawʾ – a déjà été édité deux fois ; la première, à Berlin avec une traduction allemande de J. Baarmann sous le titre Ibn Al Haitams Abhandlung über das Licht, Dissertation inaugurale présentée à Halle en 1882, à partir du seul manuscrit, parfois défectueux, de Berlin (Zeitschrift der deutschen morgenländischen Ges., vol. 36, p. 195-237, 1882), l’autre, simple transcription du manuscrit de l’India Office, fut publié à Hayderabad en 1938-1939. Nous savons, d’autre part, par Ḥidjdjāb qu’il existe deux autres manuscrits de ce texte, l’un à ʿTif (n o 1714, suppl. 11) et l’autre à Fātih (n o 3499, suppl. 6) outre un troisième en Inde. Nous n’avons pu consulter ces derniers pour des raisons indépendantes de notre volonté. Cependant la confrontation du manuscrit de Berlin et de celui de l’India Office nous a permis une mise au point satisfaisante du texte. Notre traduction française a donc été faite à partir de ces deux manuscrits, l’un de Berlin et l’autre de l’India Office : a) Le manuscrit de Berlin, ex-Königliche Bibliothek zu Berlin, Sprenger 1834 ; Ahlwardt, 5668, 20 pages, écriture moyenne, manuscrit en bon état ; b) Le manuscrit de l’India Office Library, n o 734, belle écriture et très bon état. ‎2. J.-F. Montucla, Histoire des mathématiques, seconde édition, t. I, Paris, an VII (1799), p. 385. ‎3. Pour une biographie détaillée d’al-Haytham, nous renvoyons aux sources suivantes : Ibn Abī Uṣaybiʿa, ʿUyūn al-Anbāʾfi Tabaʿāt al Aṭibbāʾ, éd. Müller, Königsberg, 1884, vol. II, p. 90-98. Ibn Al Qifṭī, Taʾrīḥ al-ḥukamā, éd. J. Lipperet, Leipzig, 1903, p. 165-168. Muṣṭafā Naẓīf, Al-Ḥasan ben al-Haytham : Buḥūthuḥū wa-Kushūfuhūʾl baṣariyya, 1 er vol., Le Caire, 1942-1943, p. 10 sq. (en arabe). E. Wiedemann, Ibn al-Haitham, ein arabischer Gelehrter in Festschrift, für J. Rosenthal, Leipzig, 1906, p. 149-178.

2

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

ma : die Renaissance des Islams. La traduction des livres scientifiques anciens alors achevée pour les ouvrages essentiels, les savants de ce siècle – al-Bīrūnī, Ibn Yūnus, Avicenne... – abordaient déjà les différentes disciplines pour leur propre compte. Al-Haytham, lui, se tourna vers l’optique et les mathématiques 1 muni de sa connaissance des Anciens et d’intérêts nouveaux dont nous croyons avoir montré la portée et les limites à partir de son œuvre principale, le «Traité de l’Optique» 2 : l’on sait l’importance de ce traité, qui par suite des larges emprunts de Witello et de l’édition de F. Risner, Thesaurus Opticae Alhazeni 3, a marqué le cheminement ultérieur de l’optique. Le texte que nous présentons ici fut rédigé après le «Traité» et contient quelques-unes des conclusions de ce volumineux ouvrage de 1 400 pages. Un tel mémoire, bien entendu, ne pouvait contenir ni toutes les conclusions, ni les démonstrations de l’auteur. Ce qui s’y trouve toutefois permet de dégager l’allure de l’optique nouvelle. Par ailleurs, rédigé après le « Traité», le «Discours de la Lumière» insiste davantage sur certaines des notions qui y sont utilisées couramment. Nulle part ailleurs chez al-Haytham on ne trouve en effet discussion plus fournie des différentes doctrines de la lumière : ainsi, pour ne citer qu’un exemple, la notion de milieu transparent mise en relief comme objet de recherche et décrite par rapport aux problèmes posés par la réfraction.

‎1. La liste des travaux d’al-Haytham est longue. Ibn abī Uṣaybiʿa cite près de 200 ouvrages et dissertations dont 58 en géométrie et en algèbre, dont il ne reste que 21, et 24 en optique et physique, dont il ne reste que 12. À titre indicatif nous renvoyons pour l’essentiel aux éditions suivantes : M. Ḥidjdjāb, Liste des ouvrages que l’on peut trouver d’al-Haytham et des lieux où ils se trouvent (en arabe), Le Caire, Proceed. Math. Physical Soc. Egypt., vol. I, n o 3, 1939. Id., Le trésor scientifique d’al-Haytham ; H. Suter, Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, Leipzig, 1900, p. 91-95. E. Wiedemann, op. cit. Une bibliographie plus complète est donnée par G. Sarton, Introduction to the History of Science, t. I, Baltimore, 1927, p. 721-723. Voir aussi : M. Naẓīf, op. cit., pour les travaux optiques et surtout le « Livre de l’Optique » ; M. Schramm, Ibn al-Haythams Weg zur Physik, Wiesbaden, 1963 (cf. Chronologische Bemerkungen zu den Schriften Ibn al-Haythams, p. 274 sq.). ‎2. Cf. notre étude en préparation : L’optique de Ibn al-Haytham, problèmes de clivage entre histoire et préhistoire des sciences. Voir aussi l’intéressant article de A. I. Sabra, The Authorship of the Liber de crepusculis, an eleventh century work on atmospheric refraction (Isis, vol. 58, 1967, p. 77-85). ‎3. Opticae Thesaurus. Alhazeni Arabis Libri septem, nunc primum editi. Eiusdem liber De crepusculis et nubium ascensionibus. Item Vitellonis Thuringopoloni Libri X. Omnes instaurati, figuris illustrati et aucti, adiectis etiam in Alhazenum commentariis, a Federico Risnero (Basileae, 1572).

LE « DISCOURS DE LA LUMIÈRE » D’IBN AL-HAYTHAM (ALHAZEN)

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Au début du « Discours», al-Haytham rappelle une idée fondamentale qui fait partie des préliminaires de l’optique nouvelle et que l’on retrouve de manière plus ou moins explicite dans ses écrits sur « la Figure du Cosmos» et « la Lumière de la Lune» 1 : il faut, estime al-Haytham, composer mathématiques et physique – au sens des philosophes – pour l’étude de l’optique. S’il s’est efforcé dans le «Traité» d’appliquer systématiquement son idée – comme nous avons voulu le montrer dans notre étude citée – le « Discours» se propose, pour sa part, d’exposer les idées des philosophes et des géomètres sur la lumière. Il s’interdit bien, dans une certaine mesure, le choix entre l’une ou l’autre des deux définitions pour autant que seuls l’intéressent les traits communs aux phénomènes lumineux – mais retient toutefois la division traditionnellement admise par les philosophes de la lumière, en forme substantielle et forme accidentelle, devenue différence des milieux dans les limites de l’optique géométrique. Al-Haytham distingue désormais entre milieu transparent et milieu opaque dans la mesure où l’opacité du milieu, si petite soit-elle, ne laisse guère passer la lumière, mais la fixe, comme une forme se fixe sur un corps : si le milieu transparent fixe la lumière c’est pour autant que sa transparence n’est pas pure et qu’il contient une certaine opacité. Al-Haytham donne ensuite son principe de la propagation rectiligne de la lumière – nommé dans l’« Optique » «propagation sphérique dans toutes les directions» : la lumière se propage de tout point d’un corps suivant toute droite qui peut être menée de ce point, c’est une particularité de la lumière – fût-elle substantielle ou accidentelle – et nullement du milieu. Le « rayon» est pour al-Haytham le faisceau lumineux ou l’ensemble des droites issues du même point-source suivant lesquelles la lumière se propage : or, malgré cette définition bien précise, il évite le terme de «rayon» là où il risquerait d’être confondu avec le rayon visuel des géomètres. Ainsi, dans le « Livre de l’Optique», là où la confusion pourrait intervenir dans le cas de la lumière accidentelle servant à la vision des choses qui nous entourent, celle des objets éclairés colorés, al-Haytham préfère remplacer « rayon » par «forme » pour revenir au premier terme là où le risque de confusion est absent et où il s’agit de la seule lumière substantielle : (cf. son étude sur « Le miroir caustique par les rayons du Soleil»). C’est à cette partie du « Discours» précisément qu’il rappelle l’opinion des géomètres ou doctrine du «rayon visuel » à laquelle il n’a guère ménagé ses critiques dans le « Livre de l’Optique».

‎1. Cf. pour le traité « De la Lumière de la Lune », l’édition de Hayderabad (1938-1939). Cf. également R. Rashed, «The Configuration of the Universe : a Book by al-Ḥasan ibn al-Haytham ? », voir plus loin.

4

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Mais c’est aux géomètres qu’il attribue au début de son investigation la définition de la lumière comme «chaleur de feu». Or, quand al-Haytham en optique se réfère aux géomètres, il entend essentiellement Euclide et Ptolémée. Un problème apparaît alors : veut-il dire qu’Euclide et Ptolémée parlant de « rayon visuel » – avec des différences qu’il n’ignore pas – définissent en fait la lumière comme une chaleur de feu ? Les textes conservés ne permettent pas de l’affirmer d’une manière certaine et l’hypothèse selon laquelle la théorie du cône visuel ne serait primitivement que la traduction géométrique de la synaugie de Platon reste d’après A. Lejeune 1 invérifiée. Il est vrai que dans une optique qui demeure, quoi qu’on en dise, essentiellement une géométrie, l’on se soucie peu de la nature de la lumière. Quant à l’« opinion des mathématiciens» mentionnée par alHaytham, il semble que, concernant la nature de la lumière, il s’agisse plutôt d’Empédocle et de Platon que de mathématiciens à proprement parler (cf. pour Empédocle, 31 B 485 et pour Platon, le Timée, 45 B, 58 C). Al-Haytham, cette fois historien des idées, admit-il que le «rayon visuel » eût pour origine la synaugie de Platon ? La question reste posée. Toutefois les opinions d’Empédocle et de Platon étaient connues, et pas seulement à travers les critiques d’Aristote et d’Alexandre d’Aphrodise. Le Timée fut traduit aussi bien – semble-t-il – que le Commentaire de Proclus où ce dernier proclame notamment que la lumière « n’est pas même chose que la flamme, ni la flamme que la braise mais il se fait depuis le haut jusqu’à la terre, une dégradation de feu, lequel procède du plus immatériel, plus pur et plus incorporel jusqu’aux corps les plus immergés dans la matière et les plus épais ». La lumière « est un feu qui passe à travers toutes choses» (I, II B 521). Al-Haytham revient ensuite à la transparence pour distinguer entre transparence pure sans aucune opacité et transparence comportant une certaine opacité comme tous les corps transparents sublunaires ; cependant, ces derniers fixent la lumière puis émettent une lumière seconde ou accidentelle. Si donc la transparence est en raison inverse de l’opacité, le problème est de savoir s’il y a une limite à la transparence. Al-Haytham conclut à cet égard que si dans la représentation la transparence n’a aucune limite, que pour tout milieu transparent on peut en représenter un autre qui le soit plus et ainsi à l’infini – tel est l’avis du géomètre – dans les corps physiques, elle a une limite et cette limite existe : la transparence des corps célestes. C’est pour démontrer ce résultat qu’il rappelle quelques-unes

‎1. A. Lejeune, Euclide et Ptolémée : deux stades de l’optique géométrique grecque, Louvain, 1948, p. 63.

LE « DISCOURS DE LA LUMIÈRE » D’IBN AL-HAYTHAM (ALHAZEN)

5

de ses conclusions sur la réfraction – au livre 7 de l’«Optique ». Vue leur importance, nous allons citer celles-ci d’après ce même livre 1

Fig. 1

Comme nous l’avons vu par ailleurs, al-Haytham démontre que le rayon incident, la normale au point de réfraction et le rayon réfracté sont dans un même plan. Il ajoute à ceci certaines règles de la réfraction sur lesquelles on peut trouver des indications à la fin du « Discours». Avant de résumer ces règles établies et vérifiées expérimentalement, rappelons que par angle de réfraction al-Haytham entend l’angle GDE (cf. fig. 1), angle de déviation égal à la différence des angles d’incidence et de réfraction au sens actuel. C’est seulement une fois, comme on va le voir, qu’il utilise l’angle EDF = r. On retrouvera cet usage pendant longtemps : Kepler, par exemple, y est encore fidèle. Désignons donc par D cet angle = i − r : angle de déviation, i étant l’angle d’incidence et r l’angle de réfraction suivant l’usage actuel. Al-Haytham énonce dans l’ordre. – les angles de réfraction varient en raison directe des angles d’incidence ; si donc dans le milieu n1 on prend i ′ > i on aura D ′ > D ; – si l’angle d’incidence croît d’une certaine quantité, l’angle de réfraction croît d’une quantité plus petite, autrement dit si i ′ > i, D ′ > D, on aura D ′ − D < i ′ − i. Cette règle cependant ne peut pas être considérée comme valable d’une façon générale ainsi que l’a cru al-Haytham. Si elle est valable ‎1. Voir l’« Optique », p. 630 v. sq.

6

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

en général dans le cas du passage de la lumière d’un premier milieu réfringent à un second milieu plus réfringent, il n’en est pas de même dans le cas inverse. En effet dr cos i sin i = n sin r ⇒ = . (1) di n cos r D est pour al-Haytham une différence (positive) entre i et r. Il y a donc deux cas à considérer : 1 o Cas où n > 1. – D = i − r : dD dr cos i π =1− =1− (0 ≤ i ≤ ) di di n cos r 2 sin i = n sin r ⇒ sin i > sin r ⇒ cos i ≤ cos r

⇒

cos i ≤1 n cos r

d’autre part 0≤i≤

π cos i ⇒ ≥0 2 n cos r

donc 0≤

cos i ≤1 n cos r

d’où 1 , 2 0≤

dD ≤ 1. di

(2)

2 o Cas où n < 1. – Il est clair que D (= r − i) est dans ce cas aussi une fonction croissante de i, mais D peut dans ce cas varier plus vite que i (i. e. dD peut être plus grand que 1). En effet di D=r−i⇒

dD cos i = −1 di n cos r

(1 ′ )

i comme n < 1 on a sin i ≤ sin r ⇒ cos i ≥ cos r ⇒ ncos cos r − 1 > 0. ′ Donc D est croissant d’après (1 ). Mais dD peut être > 1 ; en effet ceci est vérifié pour di

cos i > 2; n cos r et si on pose sin i = x, (2 ′ ) sera

r

1 − x2 1 − x2 4n2 − 1 2 > 2 ⇐⇒ > 4 ⇐⇒ x > , n 2 − x2 n 2 − x2 3

‎1. D est une fonction croissante de i. ‎2. D varie moins vite que i (car dD ≤ di d’après (2)).

(2 ′ )

LE « DISCOURS DE LA LUMIÈRE » D’IBN AL-HAYTHAM (ALHAZEN)

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relation qui est vérifiée quel que soit x (i.e. ∀i) pour n ≤ 21 . Si, dans le cas de la réfraction d’un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent, la règle n’est pas généralement valable, il ne faudrait pas oublier qu’elle l’est toutefois dans les limites des expériences qu’al-Haytham a pu faire et surtout quant aux moyens dont il disposa pour ces expériences. En effet, si on prend un exemple courant chez lui : la réfraction d’un rayon issu de l’eau et pénétrant dans l’air (n = 43 ), on a :

r

4n2 − 1 5 x < = ; 3 2 2

x
i, D ′ > D ; on a Di ′ > Di . Il s’intéresse ici directement à l’angle de réfraction au sens actuel pour énoncer que ce même angle croît en raison de l’angle d’incidence ; si donc i ′ > i, on aura r ′ > r. ‎1. Nous avons

1) Cas n ≥ 1. – Soit croissante

D i

D′ D > pour i ′ > i. (1) i′ i = φ(i), la relation (1) est vérifiée si la fonction φ(i) est

⇐⇒

( dφ π) ≥ 0 pour 0 ≤ i ≤ di 2

dφ di d( φ) di d ( D) di i cos i (2) sera r − n cos r r ⇒ i

=

i

d(D) − di i2

D

d ( D) −D≥0 di cos i =1− n cos r r cos i sin i ≥ 0 ⇐⇒ ≥ avec n = i n cos r sin r tg i cos i sin r i ≥ ou ≥ , cos r sin i tg r r

≥0

si i

(2)

(3)

comme i ≥ r la relation (1) est donc toujours vérifiée. 2) Cas n < 1, r > i. – Toutes les relations sont symétriques en i et r, la condition tg r sera tg i ≥ ri puisque r ≥ i. La relation sera donc vérifiée.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Si la lumière pénètre à partir d’un milieu moins réfringent dans un milieu plus réfringent, on a D < 21 i ; dans le passage inverse, on a D < i+2D , on a 2i > r. Cette règle cependant n’est pas aussi générale qu’Alhazen le croit : En effet : i i i D< ⇐⇒ < r ⇐⇒ sin < sin 2 2 2 2 i ⇐⇒ n ≤ 2 cos d’après (1) 2 √ ⇐⇒ n ≤ 2.



0≤i≤ 0≤r≤

π 2 π 2



Pour n ≥ 2 la règle n’est pas vérifiée. Mais dans le cas où 2 ≤ n ≤ 2, elle est vérifiée pour certaines valeurs de i qu’on calculera. Dans les limites de ses expériences (i ne pouvant pas se rapprocher indéfiniment de 2π et la règle sera vérifiée pour n allant jusqu’à 1,5), elle l’est dans le cas de l’air, l’eau ou le verre par exemple. – Lorsque la lumière pénètre à partir d’un milieu n1 selon le même angle d’incidence dans deux milieux différents n2 et n3 alors l’angle de réfraction est différent pour chacun de ces milieux en raison de son opacité ou de sa transparence. Si donc n3 est plus opaque que n2 l’angle de réfraction sera plus petit en n3 qu’en n2 . Inversement si n1 est plus opaque que n2 et n2 que n3 l’angle de réfraction sera plus grand en n3 qu’en n2 . – Finalement al-Haytham formulera le principe du retour inverse, comme on le verra au terme du « Discours». Soit i l’angle d’incidence de la lumière se propageant à partir du milieu moins réfringent n1 dans le milieu plus réfringent n2 , et D l’angle de réfraction – toujours de déviation – si la lumière se propage ensuite à partir du milieu n2 vers le milieu n1 en suivant le rayon précédemment réfracté, elle se réfractera dans le milieu n1 suivant un angle égal à i. Telles sont les règles de la réfraction dont le « Discours» explicite certaines. Sans vouloir insister sur leur importance, nous rappellerons que, dans les limites des conditions expérimentales que fixe al-Haytham, air, eau, verre, avec des angles choisis de telle façon que le plus grand est de 80° – à quelques exceptions près, elles semblent vérifiables.

√

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Une page du manuscrit de Berlin

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III. OPTIQUE ET

ASTRONOMIE

Deux pages du manuscrit de l’India Office

DISCOURS DE LA LUMIÈRE traduction française intégrale 1 [Nécessité de composer mathématiques et physique pour l’étude de la lumière]

Traiter de l’essence de la lumière appartient aux sciences physiques mais traiter du mode de sa propagation nécessite un recours aux sciences mathématiques en raison des lignes suivant lesquelles les lumières se propagent. De même, l’étude de l’essence du rayon fait partie des sciences physiques tandis que celle de sa forme et de sa figure renvoie aux sciences mathématiques. De la même manière pour les corps transparents où la lumière pénètre, traiter de l’essence de leur transparence revient aux sciences physiques alors que l’étude du mode dont la lumière se propage en eux appartient aux sciences mathématiques. Ainsi l’étude de la lumière, du rayon et de la transparence doit nécessairement se composer des sciences physiques et des sciences mathématiques. [Opinion des philosophes et des géomètres sur la lumière]

Ceci étant admis, nous pouvons énoncer concernant ces notions une proposition universelle, à savoir que toute notion se trouvant dans un corps physique parmi ces notions qui en constituent l’essence, est appelée forme substantielle – car la substance de tout corps n’est constituée que de l’ensemble de toutes les notions qui s’y trouvent et n’en sont guère séparables tant que sa substance ne change pas. C’est ainsi que la lumière de tout corps lumineux par luimême est de ces notions qui constituent son essence : la lumière de tout corps lumineux par lui-même en est donc une forme substantielle et la lumière accidentelle qui apparaît sur les corps opaques éclairés par d’autres est une forme accidentelle ; telle est l’opinion des philosophes. Mais les géomètres pour leur part considèrent que la lumière émise par un corps lumineux par lui-même – forme substantielle dans ce corps – est une chaleur de feu contenue en lui ; ils ont constaté, en effet, que si la lumière du Soleil est reflétée par un miroir concave et qu’elle se concentre en un seul point, tout corps combustible se trouvant en ce point prendra feu. Ils se sont aperçus de même

‎1. Les sous-titres (en italique et entre crochets), ont été ajoutés par nous-même, afin de faciliter la compréhension du texte.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

que la lumière du soleil apparaissant dans l’air le chauffe comme elle chaufferait sensiblement tout corps opaque qu’elle éclairerait et sur lequel elle se serait fixée pour un temps. Ces conditions les ont amenés à conclure que la lumière solaire est une chaleur de feu. Ils virent ensuite que toutes les lumières appartiennent au même genre, que leur ensemble est une chaleur de feu et qu’elles se différencient en plus fortes et plus faibles : les unes brillent parce qu’elles sont fortes, les autres ne brûlent pas à cause de leur faiblesse, il en est ainsi pour la chaleur du feu où le feu chauffe l’air ambiant qui est d’autant plus chaud qu’il est plus proche du foyer : un corps combustible ne brûlera pas s’il est placé à une certaine distance du feu, mais s’il en est rapproché et placé dans l’air contigu au foyer, il brûlera. La seule différence entre l’air contigu au foyer et celui qui en est éloigné mais a été chauffé par sa chaleur est que le premier a une chaleur plus forte : chacun des deux a donc une chaleur de feu mais l’un brûle parce que sa chaleur est forte, l’autre ne brûle pas car la sienne est faible. C’est ainsi que les lumières sont des chaleurs de feu dont les plus fortes brûlent et les plus faibles ne brûlent pas. Pour les géomètres toute lumière est une chaleur de feu et apparaît dans le corps lumineux comme apparaît le feu dans le corps qui le porte. [Réception et transmission de la lumière dans les différents corps physiques]

Il y a deux espèces de corps lumineux en eux-mêmes que nos sens perçoivent : les astres et le feu. Ces corps éclairent de leur lumière tous ceux qui les entourent – ceci est perçu par les sens. Or, nous avons montré dans le premier chapitre de notre « Livre de l’Optique » 1 que toute lumière de tout corps lumineux – essentielle ou accidentelle – éclaire tout corps qui lui fait face, caractère que nous avons dans cette partie expliqué d’une manière exhaustive. Cependant, l’induction le confirme : il n’est pas, en effet, de corps lumineux dont la lumière n’apparaisse sur tout corps opaque qui lui est opposé, si entre eux aucun écran ne s’interpose, si la distance qui les sépare n’est pas excessive, si la lumière du corps lumineux n’est pas extrêmement faible. Mais tous les corps physiques, transparents ou opaques, ‎1. L’Optique premier chapitre : « Sur la vision en général», voir p. 9 r. et 17 r., et Al-Fārisī, I er livre, chap. 3 : Opticae. Ce chapitre est très résumé dans l’édition de Risner (cf. Opticae, liv. I er, § 14, p. 7). « Jam declaratum est superius (chap. 1 er) quod ex corpore quolibet illuminato cum quolibet lumine exit lux ad quamlibet partem oppositam ei. Cum ergo visus opponitur alicui rei visae, et fuerit res illa illuminata cum quolibet lumine, ex lumine rei visae veniet lumen ad superficiem visus.»

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ont une puissance transmettrice de lumière et reçoivent par conséquent la lumière des corps lumineux. Les corps transparents ont, en outre, une puissance transmettrice de lumière qui est la transparence. Les corps dits transparents sont ceux à travers lesquels la lumière pénètre et dont l’œil perçoit ce qui se trouve derrière eux. Ces corps se divisent en deux parties car la lumière y pénètre de deux manières différentes : le corps transparent peut en effet être traversé par la lumière entièrement ou partiellement. Ainsi la lumière pénètre entièrement dans l’air, l’eau, le verre et leurs analogues. Mais elle traverse les tissus légers et leurs analogues seulement en certaines de leurs parties : dans un tissu fin, la lumière ne peut passer qu’à travers les pores qui séparent les fils, ces fils étant eux-mêmes corps opaques qui arrêtent la lumière, et parce que le tissu fin est fait de fils d’une extrême ténuité, l’œil ne distingue pas la lumière issue des pores de celle qui est arrêtée par les fils. L’œil perçoit ce qui est derrière le tissu fin grâce aux rayons qui peuvent passer, mais malgré cela, il ne saurait distinguer ces rayons de ceux que les fils arrêtent à cause de l’étroitesse des pores et de la ténuité des fils, l’œil ne pouvant percevoir l’extrêmement fin. La transparence qui est dans l’air, l’eau, le verre et leurs analogues n’est donc pas la même que celle qui est dans les tissus légers. Mais le corps transparent étant en vérité celui où la lumière pénètre entièrement – air, eau, verre et ainsi de suite – les tissus fins n’ont été appelés transparents que pour leur ressemblance avec ceux-là quant à la pénétration de la lumière. Et s’il faut distinguer parmi les corps transparents, nous dirons que ceux-là où la lumière pénètre entièrement ont une puissance réceptrice de lumière semblable à celle qui est dans les corps opaques – et ceci peut être prouvé pour l’une et l’autre espèce, à savoir les corps opaques et ceux où la lumière pénètre entièrement. L’on peut, en effet, démontrer qu’en tout corps opaque il y a une puissance réceptrice de lumière car si un corps opaque est opposé à un corps lumineux, si aucun écran ne s’interpose entre eux, si la lumière du corps lumineux n’est pas trop faible et si ce corps est fixé devant le corps opaque pour un temps sensible, tout observateur du corps opaque percevra – pour un temps sensible – la lumière sur sa surface si toutefois il n’est pas trop éloigné de la vue ou du corps lumineux. La perception de la lumière sur la surface d’un corps opaque pour un temps sensible, prouve manifestement que la lumière s’y est fixée ; or, aucune forme ne se fixe en aucun corps s’il ne s’y trouve une puissance réceptrice de la forme car pour un corps recevoir une forme n’est autre que la fixation de cette forme dans ce corps ; ainsi l’apparition de la lumière sur la surface des corps opaques est une preuve évidente qu’il y a en eux une force réceptrice de lumière.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Pour les corps transparents la chose est encore plus manifeste : placés entre le corps lumineux et le corps opaque, la lumière pénètre en eux et apparaît sur les corps opaques se trouvant derrière eux. La lumière se fixe sur le corps opaque placé derrière le corps transparent aussi longtemps que le corps lumineux est fixe à l’opposé du corps opaque. Et si la lumière qui apparaît sur le corps opaque est émise par le corps lumineux et qu’elle se propage à travers le corps transparent jusqu’au corps opaque, tant que la lumière est fixe sur le corps opaque, elle l’est dans le corps transparent. On peut prouver que la lumière après avoir pénétré dans un corps transparent s’y fixe : en effet, si un corps opaque coupe un corps transparent quel que soit l’endroit de leur intersection, la lumière apparaîtra sur le corps opaque. Cette propriété se révèle là où le corps transparent est l’air ou l’eau. L’apparition de la lumière sur un corps opaque coupant un corps transparent en quelque endroit que ce soit est une preuve manifeste de la fixité de la lumière dans le corps transparent, et s’il en est ainsi, c’est qu’il y a en lui comme on l’a vu une puissance réceptrice de lumière. Ce que nous en avons dit montre donc qu’il y a en tout corps physique – transparent ou opaque – une puissance réceptrice de lumière. Mais le corps transparent a, en outre, une puissance transmettrice de lumière qui n’est pas dans le corps opaque : ceci est évident car la lumière pénètre dans tout corps transparent alors qu’elle ne traverse aucun corps opaque. Il y a par conséquent dans le corps transparent une propriété qui n’est pas dans le corps opaque. Ainsi, la lumière pénétrant en tout corps transparent et en rien des corps opaques – le corps opaque n’ayant en lui rien de la transparence – la transparence est ce par quoi la lumière est transmise. La transparence étant donc une des notions qui constituent l’essence du corps transparent, elle est dans ce corps une forme substantielle. Il apparaît ainsi que tout corps physique 1 a une puissance réceptrice de lumière et que les corps transparents ont, en outre, une forme transmettrice de lumière. Ceci révèle que la transparence est une forme substantielle qui constitue l’essence du corps transparent. Mais les corps transparents sont différents à la fois quant à leur transparence et quant à leur mode de réception et de transmission de la lumière – ce que nous montrerons plus loin quand nous aurons suffisamment parlé de la lumière.

‎1. Le manuscrit de Berlin comporte une faute de transcription : au lieu de « aladjsām al-ṭabīʿuyya», on a « al-adjsām al-laṭīfa» que Baarmann traduit par « fein», p. 12, dont l’ambiguïté est manifeste.

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[Principe de la propagation rectiligne]

Mais si l’on a vu que tout corps lumineux éclaire tout corps opposé et l’ensemble des corps voisins, il nous reste à montrer comment les lumières éclairent les corps opposés et traversent les corps transparents voisins. Rappelons d’abord que la lumière émise par tout corps lumineux, traverse tout corps transparent voisin et apparaît sur tout corps opaque opposé. Notion évidente et qui ne requiert aucune démonstration ; ainsi la lumière du Soleil, de la Lune, des Astres, traverse le ciel qui est un corps transparent, l’air transparent lui aussi, et apparaît sur la surface de la Terre et sur les corps terrestres – elle traverse l’eau pure, et si celle-ci est contenue dans un récipient transparent, la lumière apparaîtra sur tout corps opaque derrière le récipient. Il en est de même pour les pierres transparentes : le verre, le cristal ou leurs analogues sont traversés par la lumière de telle sorte qu’elle apparaît sur tout corps opaque placé derrière eux. Ces considérations montrent que de toute évidence la lumière pénètre dans les corps transparents. Quant au mode de propagation de la lumière dans les corps transparents, la lumière se propage en eux suivant des trajectoires rectilignes – et seulement suivant celles-ci – et elle se propage de tout point du corps lumineux suivant toute ligne droite pouvant être menée de ce point au corps transparent voisin du corps lumineux ; notion que nous avons montrée suffisamment dans notre « Livre de l’Optique » 1 mais dont nous rappelons ici un aspect pour étayer ce que nous voulons prouver. Ainsi la propagation de la lumière suivant des trajectoires rectilignes est évidente pour les lumières pénétrant à travers des ouvertures dans des chambres obscures. La lumière du Soleil, de la Lune ou du feu, pénétrant dans une chambre obscure à travers une ouverture d’une certaine grandeur – si dans cette chambre il y a de la poussière ou que l’on en soulève – apparaîtra manifestement sur la poussière mêlée à l’air et se montrera sur la surface du plancher ou sur le mur opposé à l’ouverture : de l’ouverture au plancher ou au mur, la lumière suit des trajectoires rectilignes. Si maintenant on compare cette lumière visible à une barre rectiligne, on s’apercevra qu’elle se propage suivant la rectitude de la barre. Si la chambre ne contient pas de poussière, la lumière apparaîtra sur le plancher ou sur le mur opposé à l’ouverture. Plaçons alors une barre rectiligne entre la lumière apparente et l’ouverture ou maintenons entre elles un fil ‎1. Voir Opticae Thesaurus Alhazeni, liv. I er, § 17, et dans une certaine mesure § 19 : la vision n’est pas produite par des rayons émis par l’organe de la vision, etc.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

fortement tendu : si on interpose un corps opaque entre la lumière et l’ouverture, la lumière quittera sa première position pour apparaître sur le corps et si on déplace celui-ci sur la distance qui s’étend suivant la rectitude de la barre, on retrouvera toujours la lumière sur le corps opaque. On s’aperçoit ainsi que la lumière se propage de l’ouverture jusqu’au lieu où elle apparaît suivant des trajectoires rectilignes ; nous avons montré dans notre « Livre de l’Optique» comment il faut considérer la propagation de la lumière pour chaque espèce de corps transparent et ce que nous en disons ici est suffisant. La propagation de la lumière dans les corps transparents est une particularité physique de toutes les lumières. Mais certains peuvent prétendre que la propagation de la lumière dans les corps transparents suivant des trajectoires rectilignes est une particularité des corps transparents puisque ceux-ci ne transmettent la lumière que suivant des trajectoires rectilignes : cette notion ne résiste ni à l’examen ni à l’expérimentation et le premier énoncé est le seul vrai. Si la propagation de la lumière dans le corps transparent était une particularité de ce corps, elle ne se ferait que suivant des trajectoires particulières, ce qui n’est pas. Les lumières, par contre, se propagent dans les corps transparents suivant des trajectoires qui s’entrecoupent, sont parallèles, se rencontrent ou ne se rencontrent pas, en même temps et à partir de la lumière d’un même corps. En effet, tout point d’un corps lumineux émet une lumière qui se propage suivant toute ligne droite pouvant être menée de ce point et ainsi les lumières émises de deux points séparés d’un corps lumineux s’entrecoupent, ce qui signifie que les lignes menées d’un point dans toutes les directions coupent les lignes menées dans toutes les directions d’un autre point. Si plusieurs corps lumineux sont présents en même temps, les lumières se propageront de chacun d’entre eux et leurs lignes de propagation auront ainsi des directions très variées. Par conséquent, la propagation des lumières se fera dans des directions opposées si les corps lumineux sont dans des directions opposées par rapport au corps transparent. On ne peut donc parler de particularité (de la propagation de la lumière au corps transparent) et il n’y a pas dans le corps transparent de trajectoires particulières pour transmettre la lumière. Cependant, les mouvements physiques ne se font guère dans des directions opposées car si la forme transmettrice de lumière qui est dans le corps transparent transmettait la lumière suivant des trajectoires rectilignes en raison d’une particularité qui lui serait propre, il ne lui serait guère possible de transmettre la lumière suivant des trajectoires identiques dans deux directions opposées. Si les lumières se propagent dans un même corps transparent suivant les mêmes trajectoires identiques dans deux directions

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opposées, la propagation de la lumière dans les corps transparents suivant des trajectoires rectilignes n’est pas une particularité propre aux corps transparents. Et si la lumière ne se propage qu’à travers les corps transparents, et ne se propage dans ceux-ci que suivant des trajectoires rectilignes, et que la propagation suivant des lignes droites n’est pas une particularité propre aux corps transparents, la propagation de la lumière suivant des trajectoires rectilignes est donc en raison d’une particularité propre à la lumière ; c’est par conséquent le propre de la lumière de ne se propager que suivant des trajectoires rectilignes et c’est le propre de la transparence de ne point s’opposer au passage de la lumière à travers les corps transparents. [Définition du «rayon» et opinion des géomètres]

La lumière qui se propage dans les corps transparents suivant des trajectoires rectilignes est appelée rayon : le rayon est donc la lumière qui se propage dans le corps transparent depuis le corps lumineux suivant des trajectoires rectilignes. Les lignes droites suivant lesquelles la lumière se propage sont des lignes virtuelles et non réelles. Les lignes virtuelles et la lumière qui se propage suivant ces lignes forment ensemble ce que l’on appelle rayon : le rayon est donc une forme substantielle qui se propage suivant des lignes droites. Mais les géomètres appellent rayon les rayons visuels par analogie avec les rayons solaires et les rayons du feu : en effet, les plus anciens d’entre eux considéraient que la vision est au moyen d’un rayon qui sort de l’œil pour aboutir à l’objet vu 1, le rayon produisant ainsi la vision 2. Ce rayon est une puissance lumineuse qui appartient au même genre que la lumière, elle est la puissance de vision et se propage depuis l’œil suivant des trajectoires rectilignes dont l’origine est au centre de l’œil. Si la puissance lumineuse aboutit à l’objet vu, il sera

‎1. Une faute de transcription dans le manuscrit de Berlin donne le contresens suivant : « Le rayon sort de l’œil pour aboutir à l’œil (baṣar, visus).» Baarmann force la traduction et déclare : «... das Sehengeschehen vermöge eines Strahles der von dem Auge ausgehe und zu dem Auge zurückgelange...», p. 19. Le manuscrit de l’India Office corrige cette faute et au lieu de « baṣar», on a « mubṣar » (res visa). C’est dans ces termes mêmes qu’Ibn al-Haytham rapporte la doctrine des géomètres dans son Optique. ‎2. Voir l’Optique : Opticae, liv. I, § 23 : «L’opinion de ceux qui affirment que ces droites sont virtuelles est vraie : celle de ceux qui pensent que quelque chose sort de l’œil est fausse.» Voir dans l’Optique, p. 2 v. sq. et surtout 60 v. sq., la critique de l’opinion des géomètres. Voir Al-Fārisī, p. 121 sq. et l’Optique, liv. I, § 23.

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perçu 1. Cette puissance lumineuse qui se propage suivant des lignes droites issues du centre de l’œil forme avec ces droites ce que les géomètres appellent rayon visuel 2. Quant à ceux qui considèrent que la vision est produite par le renvoi d’une forme de l’objet vu à l’œil, ils estiment que le rayon est la lumière qui se propage depuis l’objet vu suivant des trajectoires rectilignes se rencontrant au centre de l’œil. Les partisans de cette opinion pensent, en effet, que la lumière se propage à partir de tout point lumineux suivant toute ligne droite pouvant être menée de ce point. Si l’œil rencontre donc un quelconque objet et qu’il y a en cet objet une lumière – substantielle ou accidentelle – de tout point de la lumière, une lumière se propagera suivant toute ligne pouvant être menée de ce point à la surface de l’œil ; de l’objet vu il sort ainsi une lumière qui va jusqu’à la surface de l’œil en suivant une infinité de lignes droites et dans une infinité de positions variées 3. Les lignes droites virtuelles qui sont menées du centre de l’œil à la surface de l’objet vu sont donc de ces lignes suivant lesquelles les lumières se propagent. L’œil perçoit ainsi la forme de l’objet vu dans la lumière qui lui est renvoyée seulement suivant les trajectoires de ces lignes car les partisans de cette opinion croient que l’œil est impressionnable seulement par les lumières qui lui sont renvoyées suivant les trajectoires de ces lignes et qu’il ne sent pas ce qui lui est renvoyé

‎1. Même remarque que précédemment : on a «baṣar » au lieu de « mubṣar » dans le manuscrit de Berlin ; la traduction donne alors : «... und wenn diese Leuchtkraft zum Auge zurückgelange...», p. 19-20, ce qui est manifestement un contresens. ‎2. La puissance lumineuse : cette expression résume l’opinion des géomètres et particulièrement celle d’Euclide dans la tradition optique arabe. Ainsi, par exemple, Ahmad b. ʿīsā dans son al-Manāẓr waʾl Marāyāʾl Muḥrikā, mss. Ragip, paṣa 789-934, déclare : « Les philosophes et Euclide parmi eux disent qu’il y a une puissance lumineuse Kuwa nūriyā qui émerge de l’œil... » Dans la tradition médicale, c’est de l’âme lumineuse que l’on parle ; voir le texte de Ḥūnaīn Ibn Isḥāq dans la traduction de M. Meyerhof, The book of the ten Treatises on the Eye, Cairo, 1928, p. 98 sq. ‎3. Ici la faute du manuscrit de Berlin reproduite par la traduction de Baarmann est plus grave car elle teinte d’ambiguïté une doctrine qu’Ibn al-Haytham a pourtant défendue clairement et catégoriquement. Au lieu de «... pouvant être mené de ce point à la surface de l’œil (baṣar)», on a « à la surface de l’objet vu (mubṣar)» ce qui exprime que la lumière sort de l’œil et se trouve donc en contradiction avec la doctrine d’Ibn al-Haytham. Ainsi Baarman traduit par les lignes droites : «Zwischen diesem Punkte (point de la lumière) und der Oberfläche des sichtbaren Gegenstandes ziehen lasse », p. 20. Le contresens est total quand au lieu de « de l’objet vu il sort ainsi une lumière qui va jusqu’à la surface de l’œil en suivant une infinité de lignes droites»..., on trouve : «Nun gehe von dem Auge nach dem sichtbaren Gegenstande Licht aus auf unendlichen geraden Linien...» Ce contresens qui déforme la doctrine d’Ibn al-Haytham est dû à la faute du manuscrit de Berlin, seul connu par Baarmann.

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par ailleurs 1. La lumière qui se propage suivant des trajectoires rectilignes se rencontrant au centre de l’œil, avec ces lignes mêmes, se nomme rayon : le rayon visuel est pour tous les géomètres une certaine lumière se propageant suivant des trajectoires rectilignes qui se rencontrent au centre de l’œil. Ces lignes considérées individuellement sont les lignes virtuelles appelées par les géomètres lignes des rayons. Selon la proposition première, universelle, le rayon est une lumière – celle du Soleil, de la Lune, des Astres, du feu ou de l’œil – qui se propage suivant des trajectoires rectilignes : telle est la définition du rayon au sujet duquel les physiciens n’ont aucune doctrine particulière. [Différents corps transparents et émission de la lumière seconde]

Ceci étant admis, revenons à notre propos sur les corps transparents ; nous disons donc que la transparence est une forme dans le corps transparent car elle est transmettrice de lumière. Les corps transparents se divisent en deux parties ou corps célestes et corps sublunaires. Les corps célestes étant tous d’une même substance forment une seule espèce mais les sublunaires parmi les corps transparents se subdivisent en trois parties : l’une qui est l’air ; la deuxième, l’eau, les humeurs transparentes tels le blanc d’œuf, les couches transparentes de l’œil et ainsi de suite ; la troisième, les pierres transparentes comme le verre, le cristal, les pierres précieuses transparentes – toutes ces espèces forment l’ensemble des corps transparents. Ces corps diffèrent de par leur transparence et, excepté le corps céleste, chaque espèce a sa propre transparence. L’air en effet a une transparence différente selon qu’il est épais ou subtil, épais comme le brouillard et la fumée, air mêlé de poussière ou de fumée, subtil comme les courants d’air entre les murs, l’air proche du céleste, l’air pur de tout mélange. L’air subtil a une plus grande transparence comme c’est le cas pour l’eau courante comparée à l’eau mêlée de teintures 2. Il en est de même pour les humeurs transparentes dont les unes sont plus transparentes que les autres ; de même pour les pierres transparentes, le cristal est plus transparent que le rubis ; de toutes

‎1. Pour la vision voir : l’Optique, I er livre, chap. 6, p. 49 r. sq., Al-Fārisī, I er livre, chap. 6, p. 111 sq., Opticae Thesaurus, liv. I er, chap. 5, § 14 sq. ‎2. On a là un passage qui manque dans le manuscrit de Berlin pour lequel Baarmann a ajouté une phrase qui ne se trouve pas dans le texte : « Ebenso hat von den durchsichtigen Flüssigkeiten die eine stärkere Durchsichtigkeit als die andere...», p. 23.

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ces choses nos sens peuvent témoigner. Mais aucune différence n’apparaît dans les corps célestes qui sont seulement transparents : ceci est évident car l’œil perçoit tous les astres malgré la différence de leurs distances à la Terre et de leurs positions dans la voûte céleste. Les corps transparents sublunaires ont tous une certaine opacité : éclairés par la lumière du Soleil, ils émettent en effet une lumière seconde de la même manière qu’un corps opaque éclairé par la lumière solaire. Mais la lumière seconde émise par un corps transparent est plus faible, notion que nous avons montrée suffisamment dans le premier chapitre de notre « Livre de l’Optique», tout en indiquant les moyens qui le révèlent pour chacune des lumières qui apparaissent sur les corps opaques et sont dans les corps transparents. Rappelons ici une partie de notre démonstration : à la lumière de l’aurore, on peut voir que l’air émet une lumière seconde – en effet, avant le lever du Soleil, la surface de la Terre éclaire à l’aurore et les sens perçoivent la surface de la Terre et les murs plus lumineux que dans la nuit. Or, le Soleil à l’aurore, avant de paraître à la vue, n’est pas opposé à la Terre et les lumières émises par les corps lumineux ne le sont que suivant des trajectoires rectilignes, notion que nous avons dégagée dans le «Livre de l’Optique» par la démonstration et l’expérimentation. Et comme il n’est guère de lignes droites que le corps terrestre pourrait rencontrer entre le Soleil et la face de la Terre qui ne voit point son lever, la lumière qui apparaît sur la surface de la Terre n’est donc pas une lumière émanant du corps même du Soleil. Mais la surface de la Terre ne rencontre d’autre corps lumineux susceptible de l’éclairer que l’air qui, entre le ciel et la Terre, est éclairé par la lumière solaire – et l’air, rencontrant le corps solaire dont nul écran ne le sépare est lumineux à l’aurore ; les sens en perçoivent la lumière et celle qui apparaît sur la surface de la Terre à l’aurore est cette lumière même qui émane de l’air opposé à la surface de la Terre. Quant à l’eau, au verre, aux pierres transparentes, éclairés par la lumière solaire, il en émane une lumière seconde avec la pénétration même de la lumière, et cette lumière apparaît aux sens : approchons un corps blanc de l’eau ou d’une pierre transparente dans une direction autre que celle où se propage la lumière qui y pénètre, on verra se produire une lumière non aperçue auparavant sur le corps blanc et cette lumière sera faible. Nous avons démontré cette notion d’une manière exhaustive dans le « Livre de l’Optique» et ce que nous en disons ici peut convaincre suffisamment. Ainsi tous les corps transparents sublunaires, éclairés par la lumière du Soleil, émettent une lumière seconde de la manière même dont est émise la lumière qui émane des corps opaques éclairés par la lumière solaire – la lumière seconde émanant des corps trans-

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parents étant toutefois plus faible que celle qui est émise par les corps opaques. Nous avons déjà montré que les corps opaques ont de même que les corps transparents une puissance réceptrice de lumière. Nous avons montré aussi qu’il y a dans les corps transparents, après la pénétration des lumières en eux, une lumière fixe ; ajoutons que l’émanation de la lumière seconde depuis les corps transparents n’a pas lieu à partir des lumières qui y pénètrent car la lumière ayant pénétré dans un corps transparent se propage dans les directions opposées au corps dont elle émane et se propage seulement dans ces directions : ainsi la lumière seconde que ces corps émettent se propage dans les directions opposées à celles-ci et son émission par le corps transparent ne provient pas de la lumière qui y pénètre ; or, le corps transparent ne contenant que cette lumière outre la lumière fixe, les lumières secondes émanant des corps transparents ne peuvent être émises que par les lumières fixes. À la fixité de la lumière dans les corps physiques, il n’est d’autre cause que l’opacité, contraire de la transparence. En effet, le corps qui n’est pas opaque est transparent : s’il est transparent la lumière y pénètre mais s’il est extrêmement transparent sans opacité d’aucune sorte, la lumière y pénètre seulement et ne s’y fixe pas – car la transparence est cause de pénétration et non de fixité : si tout corps opaque fixe la lumière et si tout corps transparent est traversé par elle, il n’est d’autre cause à la fixité que l’opacité. Or, on a montré qu’en tout corps transparent sublunaire éclairé par la lumière il y a une lumière fixe : par conséquent tout corps transparent sublunaire renferme avec la transparence une certaine opacité. On a vu que la transparence des corps transparents diffère ; mais si cette transparence diffère et que chaque corps transparent a, comme on l’a vu, une certaine opacité, la transparence qui est dans ces corps diffère selon leur opacité : plus un corps a d’opacité moins il est transparent et moins il a d’opacité plus il est transparent. [Transparence et angle de « réfraction»]

Quant à la transparence des corps célestes, le logicien pense qu’elle est plus pure que celle de tous les corps transparents, qu’ils sont d’une extrême transparence telle qu’aucun corps ne saurait être plus transparent qu’eux. Mais les géomètres, pour leur part, considèrent qu’il n’est pas de limite à la transparence et que pour tout corps transparent il peut toujours en exister un autre qui le soit plus 1. ‎1. Voir Optique, liv. 7, p. 623 r. sq. et Al-Fārisī, liv. 7, p. 136 sq., vol. II. cf. Opticae, liv. 7, § 8. «Nam in omni corpore naturali necesse est, ut sit aliqua grossieties ;

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Cette notion a été explicitée par quelques géomètres récents tel Abū Saʿd al-ʿAlā Ibn Sahl 1 qui en a donné dans un de ses écrits une preuve géométrique. Nous nous proposons de citer cette preuve, de la résumer plus brièvement que ne l’a fait Abū al-ʿAlā et de l’expliquer de manière plus évidente. Disons donc que toute lumière qui éclaire un corps transparent pénètre dans ce corps suivant des trajectoires rectilignes : ceci est prouvé par les faits. Si ensuite la lumière se propage dans le corps transparent et aboutit à un autre corps transparent dont la transparence est différente de la sienne, si la lumière est inclinée sur la surface du deuxième corps, elle se réfractera et n’y pénétrera pas en ligne droite. Nous avons montré cette notion dans le chapitre XII de notre « Livre de l’Optique » et indiqué la voie de la preuve expérimentale pour chacun des corps transparents. Nous y faisions voir que la réfraction s’effectue suivant des angles particuliers et que si la réfraction a lieu du corps le plus subtil au corps le plus épais, elle s’effectue dans la direction de la normale menée du point de réfraction à la surface du corps épais « en formant des angles droits». Mais si la réfraction a lieu du corps le plus épais au corps le plus subtil, elle s’effectuera dans une direction autre que celle de la normale. Si la lumière se propage dans le corps le plus subtil et se réfracte dans le corps le plus dense elle forme un certain angle au point de réfraction. Mais si elle se propage d’abord dans le corps le plus dense et se réfracte ensuite dans le corps le plus subtil, la lumière qui se propage dans le corps le plus dense suivant la ligne de réfraction, se réfractera dans le corps le plus subtil selon un angle égal à celui qui est formé par le premier rayon et le rayon réfracté. Et si la lumière se réfracte d’un corps transparent subtil dans deux corps plus épais que lui mais dont l’épaisseur est différente, la réfraction sera plus importante dans le corps le plus épais : je veux dire que si la lumière se réfracte dans un corps plus épais, elle se rapprochera de la normale menée du point de réfraction. Mais si la lumière se réfracte d’un corps transparent épais dans deux corps subtils dont la subtilité est différente, la réfraction de la lumière dans le corps le plus subtil s’éloignera de la normale menée au point de réfraction. Ptolémée a nam corpus parvae diaphanitatis non habet finem in imaginatione, quae est imaginatio lucidae diaphanitatis ; et omnia corpora naturalia perveniunt ad finem, quem non possunt transire. Corpora ergo naturalia diaphana non possunt evadere aliquam grossitiem. Luces ergo cum transeunt per corpora diaphana transeunt secundum diaphanitatem, quae est in eis, et sic impediunt lucem secundum grossitiem, quae est in eis.» ‎1. Abū Saʿad al-ʿAlā Ibn Sahl. cf. M. Steinschneider, Die arabischen Übersetzungen a. d. Griechischen, Graz, 1960, p. 217 et H. Suter, Die Mathematiker und Astronomen d. Araber und ihre Werke, Leipzig, 1900, p. 82. E. Wiedemann, in Zeitschrift der deutschen morgenländischen Gesellschaft, 38 (1884), p. 145-148.

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montré dans le chapitre V de son Optique que cette notion vaut aussi pour les rayons visuels : ainsi il a fait apparaître que si un rayon visuel se propage dans un corps transparent puis rencontre un autre corps transparent de transparence différente et qu’il soit incliné sur la surface du deuxième corps, il se réfractera et ne le traversera pas en ligne droite. Il a montré que la réfraction du rayon visuel est donc plus importante de l’air au verre que de l’air à l’eau – le verre étant plus épais que l’eau. Il y fait apparaître aussi que si l’œil est dans le corps le plus subtil et que le rayon se réfracte dans le corps le plus épais suivant un certain angle puis que l’œil passe dans le corps le plus épais en suivant le rayon réfracté, le rayon se réfractera suivant le même angle : on en déduit que tout rayon qui se propage dans un corps transparent puis rencontre un autre corps transparent plus épais se réfractera dans le deuxième corps en raison de son épaisseur et l’angle de réfraction sera d’autant plus grand que ce corps est plus épais 1. De même tout rayon qui se propage dans un corps transparent puis rencontre un autre corps transparent plus subtil se réfractera dans le deuxième corps en raison de sa transparence plus grande. Prenons un exemple pour plus d’évidence : Soient deux corps transparents de transparence différente et A un point dans le corps le plus subtil. Menons du point A une surface plane perpendiculaire à la surface du corps le plus épais de telle sorte que la droite BC forme leur intersection. Menons du point A un rayon AD incliné sur la droite BC et se réfractant suivant la droite DE. Du point D menons la perpendiculaire DF au corps le plus dense. Pro[ est l’angle de la réfraction. Soit un rayon longeons AD en G : GDE émis suivant la droite ED : il se réfracte suivant la droite DA. Prolongeons la perpendiculaire FD jusqu’au point H. Si à la place du corps le plus transparent contenant le point A se trouvait un corps encore plus transparent, le rayon ED se réfracterait suivant une droite plus éloignée de la perpendiculaire DH. Soit DI la droite suivant laquelle se fait la réfraction dans le corps le plus transparent : le rayon qui se propage dans le corps le moins transparent et se réfracte suivant DA est le plus proche de la droite DF. Soit DJ le rayon qui se réfracte suivant DA. Soit un rayon se propageant suivant AD : si le deuxième corps est plus subtil donc plus

‎1. Dans le manuscrit de Berlin quelques mots manquent, ce qui rend la phrase inintelligible. Ainsi Baarmann a traduit la suite par « in stärkerer Dichtigkeit ist der Ablenkungswinkel grösser», et pense qu’elle fut introduite par le transcripteur sans raison valable. Or, il n’en est rien comme le montre la phrase telle qu’elle est établie par le manuscrit de l’India Office.

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transparent, le rayon se réfractera suivant DJ. Mais si le corps qui contient le point A est plus subtil – donc encore plus transparent que le deuxième corps – le rayon qui se propage dans le corps le plus épais et se réfracte suivant la droite DA sera plus proche de la perpendiculaire DF que DJ. Si le rayon qui se propage suivant AD était dans un troisième corps encore plus transparent, il se réfracterait suivant une ligne encore plus proche de la perpendiculaire DF que DJ. Et ainsi de suite, le rayon se réfracte chaque fois sur une droite qui est d’autant plus proche de la perpendiculaire DF que le corps est plus transparent. De même chaque fois que le rayon réfracté se rapproche de DF l’angle FDJ est plus petit. L’angle formé par le rayon réfracté et la perpendiculaire dépend donc de la transparence du corps le plus subtil et il en résulte nécessairement que la qualité de la transparence dépend et dépend seulement de l’angle au point de la réfraction (cf. fig. 1, p. 5). [Limite de la transparence]

Les mathématiciens et les physiciens s’accordent à reconnaître que tout angle peut être divisé à l’infini. Si l’on prend donc pour centre le sommet de l’angle et que l’on trace à une quelconque distance un arc de cercle intercepté par l’angle, cet arc de cercle pourra être divisé en un nombre infini de petites parties en raison-même de leur petitesse. L’arc de cercle intercepté par l’angle peut en effet être divisé à l’infini « car il est une grandeur et toute grandeur peut être divisée à l’infini» 1. Si l’on mène des droites du point de division (de l’arc) au sommet de l’angle, par suite de la petitesse de ses parties, cet angle pourra être divisé à l’infini. Pour tout angle on a donc toujours un angle plus petit et si la transparence d’un corps dépend seulement de l’angle de réfraction et que pour tout angle on a toujours un angle plus petit, pour toute transparence on peut donc supposer toujours une transparence supérieure. Mais toute transparence dont on peut supposer qu’il en est une supérieure n’est pas la plus transparente et ainsi il n’est pas de limite où s’arrête la transparence. Or, Ptolémée a montré que le rayon visuel se réfracte à la partie concave de la voûte céleste et que le corps céleste étant plus transparent que l’air, il s’ensuit nécessairement que la lumière du Soleil et la lumière des Astres se réfractent à la partie concave du corps céleste.

‎1. Défection dans le manuscrit de Berlin et dans la traduction de Baarmann.

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Reprenons l’exemple de telle sorte que le corps le plus épais soit cette fois un corps sphérique. Soit BDC l’arc de centre I formant l’intersection du plan qui contient le point A et de la surface sphérique. Le corps le plus épais englobe le centre et le corps le plus subtil est extérieur à la courbure de l’arc. Soit le point A dans le corps le plus subtil. Menons de A le rayon AD incliné sur la surface sphérique et se réfractant suivant la droite DE. Joignons DI et prolongeons cette droite jusqu’en F : on aura DF perpendiculaire à la surface du corps sphérique. Si un rayon est émis suivant ED il se réfractera suivant DA. Mais si le corps qui englobe A est plus transparent, le rayon émis suivant AD se réfractera suivant une droite encore plus proche de la perpendiculaire ID. Ceci apparaît de la même manière que pour la ligne droite et ainsi l’angle formé par le rayon réfracté et la perpendid peut être divisé à l’infini culaire ID est plus petit que l’angle EDI. EDI en parties de plus en plus petites et l’on peut supposer que la transparence du corps le plus subtil qui englobe A croît en transparence et en subtilité à l’infini. Si le corps le plus subtil est le corps céleste, soit le Soleil au point A, ses rayons se propageant suivant une droite AD et se réfractant suivant une droite DE : si l’on supposait la transparence du corps céleste encore plus pure et supérieure, le rayon AD se réfracterait suivant une droite située entre les deux droites ED et DI. De la même façon une infinité de droites peuvent se situer entre ED et DI et l’on peut supposer la transparence du corps céleste infiniment plus pure et supérieure (cf. fig.

Fig. 2

Cette opinion que nous exprimons est celle des géomètres, à savoir que la transparence qui est dans les corps transparents peut croître à l’infini en subtilité et en pureté et que l’on peut supposer pour la transparence de tout corps transparent une transparence plus pure. Mais les physiciens pour leur part disent que toute propriété

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

d’un corps physique implique le limité et le fini et ne saurait être infinie : les angles divisés à l’infini ne sont autres que les angles virtuels compris entre des droites virtuelles. Quant aux angles qui sont dans les corps physiques, ceux que l’on suppose dans les corps physiques, ils ne sont guère divisibles à l’infini. Le corps dans lequel ils se trouvent qui est limité par ce qu’il est – le corps dans lequel on suppose l’angle – ne peut être divisé à l’infini car tout corps physique ne peut être divisé que dans une certaine limite. Il est limité par sa forme et s’il était divisé ensuite, il s’en déferait pour en revêtir une autre. Par exemple, l’eau divisée jusqu’à l’extrême, ne peut aller audelà d’une limite où la plus petite partie de l’eau si elle était encore divisée se déferait de la forme de l’eau pour revêtir celle de l’air. De même si l’air était divisé en sa partie la plus infime et devait être divisé encore, il se déferait de la forme de l’air et revêtirait celle du feu. Mais si le feu était divisé en sa partie la plus infime, il ne pourrait être divisé par-delà cette limite car il n’existe aucune forme plus subtile que celle du feu. Et si la forme du corps céleste est plus subtile que celle du feu et qu’il soit possible au feu de devenir du genre du corps céleste, la plus infime partie du feu pourrait alors être divisée et le feu devenir de la substance du corps céleste. Cependant le corps céleste n’est guère divisible et si l’on supposait sa division elle s’arrêterait à la plus infime de ses parties après quoi il n’y aurait nulle division car il n’existe pas de forme plus subtile que celle du corps céleste. Si l’on suppose après cela une division – si celle-ci était possible – on peut supposer qu’elle ne concernerait que les dimensions du corps et non sa substance. Et si l’on suppose la division de la substance du corps celle-ci concernerait notre représentation et non la réalité. Le logicien, lui, dit que le corps céleste est d’une transparence extrême et requiert qu’aucun corps physique ne soit plus transparent. Mais cela ne peut pas exister car le logicien estime que seul existe, en fait, ce qui parmi les espèces est en droit d’exister. Les deux doctrines sont justes : que la transparence n’a pas de limite dans la représentation et qu’elle en a une dans les corps physiques laquelle est la transparence du corps céleste. Ces choses que nous avons rappelées concernent la transparence et les corps transparents ; elles forment l’ensemble de ce qu’il faut savoir de leurs conditions. [Résumé]

Nous avons été amenés à montrer l’ensemble des notions que nous nous proposions de révéler dans ce « Discours» dont nous donnons un résumé pour faciliter l’étude de ceux qui voudraient les

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comprendre sans rechercher leurs causes et leurs preuves. Nous avons montré dans ce «Discours» que pour les philosophes la lumière est en tout corps lumineux par lui-même une forme substantielle ; la lumière accidentelle est une forme accidentelle qui apparaît sur les corps opaques éclairés par la lumière. La lumière est pour les géomètres une chaleur de feu – substantielle ou accidentelle – qui apparaît sur les corps opaques éclairés par la lumière. L’accidentel apparaît sur les corps éclairés comme le feu dans les corps qui le portent. Le rayon est toute lumière se propageant suivant des trajectoires rectilignes dans un corps transparent, qu’il s’agisse de la lumière du Soleil, de la Lune, des Astres, du feu ou de l’œil. Les corps transparents sont l’ensemble de ceux où la lumière pénètre et dont l’œil aperçoit ce qui est derrière eux ; ces corps se divisent en deux parties dont l’une est entièrement traversée par la lumière alors que l’autre ne l’est que partiellement ; les corps traversés entièrement se divisent à leur tour en deux parties ou corps célestes et corps sublunaires eux-mêmes divisés en trois parties : l’air, l’eau, et leurs analogues parmi les humeurs transparentes et les pierres transparentes tels le verre et les pierres précieuses. La transparence des corps transparents est une forme transmettrice de lumière. La transparence diffère et cette différence des transparences peut être examinée au moyen des angles de la réfraction. Soit deux corps transparents de transparence différente et deux rayons qui s’y propagent en formant avec les rayons les deux perpendiculaires menées aux points de réfraction deux angles égaux contenus dans ces deux corps. Si ces rayons se réfractent dans un seul corps plus dense que les deux premiers suivant deux droites différentes formant avec les deux normales deux angles différents dans ce corps, le milieu qui aura produit l’angle le plus petit sera le plus transparent. Ces notions sont l’ensemble de celles que nous avons montrées dans notre traité et nous concluons ici en nous recommandant à la grâce de Dieu.

OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE ET DOCTRINE OPTIQUE CHEZ IBN AL-HAYTHAM Dans l’histoire de l’optique, Al-Haytham occupe une place particulièrement importante. Encore faut-il remarquer que c’est seulement après les traductions de son œuvre principale – Opticae Thesaurus Alhazeni – et à quelques siècles d’intervalle, que se situe le gros de son influence 1. La nouveauté de sa méthode, l’originalité attribuée à ses idées, ont soulevé autour de l’auteur et de son œuvre les jugements les plus contradictoires. Créateur de la physique « au sens moderne », pour les uns 2, conservateur consciencieux et parfois ingénieux du musée de la science grecque, pour les autres 3 : les contradictions qui apparaissent dans le débat des historiens ne tiennent pas seulement à la conception de l’histoire des sciences des uns et des autres, mais renvoient pour une part au moins au statut particulier d’une optique, où la nouveauté du projet n’exclut pas la Paru dans Archive for History of Exact Sciences, 6.4 (1970), p. 271-298. ‎1. Cf. l’édition de Risner : Opticae thesaurus alhazeni arabis libri septem nunc primum editi. Ejusdem liber de crepusculis et nubium ascensionibus. Item Vitellionis – Thuringo – Poloni, libri X. Omnes instaurati et aucti adjectis etiam in Alhazenum commentariis a Federico Risner. Basel 1572. Dans nos renvois ultérieurs à cette œuvre, nous en résumerons le titre en OTA. Pour l’histoire de la réception et de la traduction de l’œuvre d’Alhazen en Occident à partir du xiii e siècle, voir : (1) G. Sarton : The Tradition of the Optics of Ibn al-Haitham, « Isis» XXIX, 1938, pp. 403-406. (2) D. Lindberg : Alhazen’s Theory of Vision and its Reception in the West, «Isis» LVIII, part 3 in 193, 1968, pp. 321-341. ‎2. Moustapha Naẓīf, dans un ouvrage fondamental sur Al-Haytham : Al-Hassan ibn al-Haytham buḥūthuhu wa-kuchūfuhu al-baṣariyya – 2 vols, Le Caire 1942-1943 (le premier en date et le plus étendu des ouvrages sur l’Optique d’Al-Haytham à partir des manuscrits retrouvés de l’auteur). Plus récemment M. M. Schramm dans un article intitulé : Zur Entwicklung der physiologischen Optik in der arabischen Literatur, in „Sudhoffs Arch. f. Gesch. d. Med. u. d. Natur.“ n o 43 (1959) pp. 289-316, déclare à propos d’Al-Haytham : « Ce qui voit le jour c’est une chose principalement neuve, la physique non pas au sens antique mais dans le sens moderne» p. 295: thèse à laquelle il reviendra dans son bel ouvrage : Ibn Al-Haythams Weg zur Physik, Wiesbaden 1963. ‎3. Thèse très courante, présente de Montucla à Tannery et Duhem en passant par Lalande, Delambre ... et récemment encore défendue dans le compte-rendu du livre de M. Schramm – « Isis», décembre 1964 vol. 55.4 n o 182, pp. 463-5 – par G. J. Toomer qui y revient pour critiquer la thèse de M. Schramm.

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présence de notions traditionnelles : seul le statut d’un tel savoir nous occupera dans les pages suivantes. Le projet d’Al-Haytham est manifestement nouveau. Après avoir dénoncé la « multiplicité des doctrines optiques », la « faiblesse des arguments» et l’« obscurité des idées», il entend – et l’exprime clairement – se séparer des optiques de son temps. 1 Or, il ne s’agit pas seulement d’amender les optiques des philosophes ou de corriger celles des géomètres, mais bien de s’attaquer au but et à la preuve. Dans son Discours de la lumière 2, Al-Haytham dit que l’étude de la lumière, du rayon et de la transparence doit se composer nécessairement à la fois des sciences physiques et des sciences mathématiques. Les mêmes instruments, poursuit-il dans le Livre de l’Optique 3, doivent servir à l’étude de la vision, et cette intention sera sans cesse confirmée dans d’autres œuvres comme le Discours de la lumière de la lune et le Discours de la figure du Cosmos 4. Contre les géomètres, Al-Haytham pense que l’on peut pour l’étude de l’optique, combiner géométrie et «physique», donc conférer une signification physique à ce qui fut géométriquement établi ou ‎1. Cf. l’Optique Livre I – Nos références à l’Optique renvoient au manuscrit n o 2448 d’Ayasofia que nous avons revu à l’aide des manuscrits d’Al-Fātih n os 32123215-3216 – Ahmed III 3339-1899. Al-Haytham après avoir exposé les doctrines des philosophes, les opinions des géomètres, et en avoir relevé les contradictions, formule ses doutes et déclare : « Nous avons voulu nous intéresser à cette notion (la modalité de la vision) dans la mesure de nos possibilités, résumer le soin que nous en avons pris, la considérer, nous consacrer sérieusement à la recherche de sa vérité et renouveler l’étude de ses principes et préliminaires. Notre investigation commencera par une étude inductive des choses, l’examen des états des choses visibles, le discernement des propriétés des particuliers. L’induction nous permettra d’atteindre ce qui caractérise l’œil en état de vision et ce qui est général, inaltérable, évident, incontestable au sens. Puis nous poursuivrons plus loin notre recherche et nos déductions, progressivement et avec ordre, en critiquant les préliminaires et avec vigilance quant aux conclusions. Nous nous donnerons pour but dans tout ce que nous induirons et examinerons, l’usage de la justice et non la poursuite de nos goûts, nous attachant à travers tout ce que nous élirons ou critiquerons à la recherche de la vérité et non au penchant pour les opinions. Peut-être cette voie nous conduira-t-elle au vrai ... et parviendrons-nous à la certitude par la critique et la vigilance, à la vérité qui fait disparaître la controverse et tranche les matières en litige.» P. 3r et 3v. ‎2. « Discours de la lumière » – cf. notre traduction française in Revue d’Histoire des Sciences, t. XXI, 1968. ‎3. Cf. L’Optique, p. 2r-v. ‎4. De la lumière de la lune (Fī Ḍawʾ al-Qamar, éd. Hayderabad 1938-39, pp. 3 et 4). Al-Haytham, il est vrai, ne formule pas clairement cette méthode, mais l’explicite suffisamment. V. de même pour l’Arc-en-ciel et le halo chez Al-Haytham, Al-Fārisī, Commentaire sur l’Optique d’Al-Haytham : Tanqīḥ al-manāẓir li-dhauīʾl abṣār waʾl baṣāʾir, 2 vols. Hayderabad 1928-1930, vol. II, p. 259.

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encore géométriser des significations physiques, reçues par tradition ou récemment élaborées. Mais à l’opposé des philosophes, il estime que pour rendre l’argument convaincant, il faut d’une manière systématique introduire la certitude de la démonstration géométrique dans l’étude du phénomène physique de la propagation lumineuse et rapporter ainsi les notions utilisées au plan d’une situation expérimentale. La preuve du physicien ne saurait être, dans les perspectives d’un tel projet, élément d’une doctrine ou argument d’une polémique, opposé aux autres dans le seul but de les amender afin de rendre compte avec plus de cohérence des données de l’observation immédiate : elle doit valoir ici, tant par les déductions logiques du géomètre que par les vérifications de l’expérimentateur. Et si quelques-unes des données de ce projet avaient pu apparaître avant Al-Haytham, il reste que c’est dans son œuvre que, pour la première fois, il est révélé avec autant de clarté et de manière aussi systématique. La question du statut se précise davantage : l’historien fait-il tort à l’optique d’Al-Haytham, soit quand il y découvre l’origine d’une physique « au sens moderne», soit quand il la renvoie à l’optique des géomètres ? Ce qui revient en somme à se demander quel est le sens et quelles sont les limites du traitement mathématique de représentations et de problèmes qui restent, pour une grande part, traditionnels. Considérons un exemple pour illustrer l’exécution du projet d’AlHaytham : celui de la propagation rectiligne de la lumière. L’auteur veut ici à partir d’une distinction, traditionnelle – quoi qu’on en dise – de la lumière, en substantielle et accidentelle, établir le principe de la propagation rectiligne : il s’agit de comprendre comment il soumet ces notions informes à un traitement géométrique. En premier lieu, on peut voir qu’il renonce dès le départ à vouloir définir la nature de la lumière ou du rayon lumineux et qu’il s’en tient à l’énumération des traits communs à la propagation, traits qui pour lui sont empiriques et qu’il entend soumettre directement au traitement géométrique. Penchant positiviste avant la lettre, pourrait-on dire ; le fait est qu’Al-Haytham, après avoir rappelé la définition du philosophe – la lumière est une forme substantielle – celle du géomètre – la lumière est une chaleur de feu 1 – passe aux conditions de la propagation sans opter en faveur de l’une ou de l’autre et sans en présenter de troisième. Dans son Livre de l’Optique aussi bien que dans le Discours de la lumière, il dénombre ainsi les conditions suivantes :

‎1. Cf. Discours de la lumière, traduction op. cit., p. 207.

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1) La lumière émise par un corps lumineux par lui-même – lumière substantielle – et la lumière émise par un corps éclairé – lumière accidentelle – se propagent sur les corps qui les entourent. 2) Elle peut pénétrer dans les corps (ou milieux) transparents : l’eau, l’air, le cristal, et leurs homologues. 3) Les corps opaques peuvent être éclairés puis à leur tour émettre de la lumière. 4) Les corps transparents ont de même que les corps opaques une «puissance réceptrice» de lumière, mais les corps transparents ont, en outre, une « puissance transmettrice» de lumière. 5) La lumière existe indépendamment de et extérieurement à la vision ; elle a la propriété de se propager en ligne droite dans le milieu transparent et dans toutes les directions. Ces droites virtuelles forment avec la lumière « le rayon». 6) Ces lignes peuvent êtres parallèles ou se croiser : dans l’un et l’autre cas, les lumières ne se mélangent pas. Après avoir vérifié la propagation rectiligne de la lumière substantielle 1 au moyen d’expériences multiples – pour la plupart variantes de l’expérience de la chambre obscure – Al-Haytham se propose de la démontrer pour la lumière accidentelle. Il commence par distinguer celle-ci de la lumière réfléchie, pour considérer ensuite plusieurs cas : la lumière de la lune, celle de l’aurore. Mais ici comme pour la lumière substantielle, il veut donner une démonstration générale qui dépende des conditions énumérées et d’une autre condition, laquelle postule que la vision se fait au moyen de la lumière émise par l’objet lumineux ou éclairé qui vient frapper l’œil. Démonstration significative qui intéresse le problème posé ci-dessus, et l’on voudra bien pour cette raison excuser une certaine longueur 2. Al-Haytham veut démontrer que la lumière accidentelle émise par un corps opaque éclairé se propage sur toute droite pouvant être menée à partir de tout point de ce corps. Il propose ainsi de considérer les deux chambres closes P et Q où Q ne laisse passer la lumière qu’à travers une ouverture. L’expérimentateur doit alors tailler un cube de bois muni de deux passages cylindriques et un cône droit dont le sommet est ai-

‎1. L’Optique Livre I, p. 9r sqq. Cf. Le commentaire sur l’Optique d’Al-Haytham, de Kamāl al-dīn Al-Fārisī : Tanqīh al manāẓir li-dhauīʾl abṣār waʾl baṣāʾir, 2 vols, Hayderabad 1928-1930 vol. 1, p. 20 sqq. ‎2. L’Optique p. 22v sqq. et Al-Fārisī, op. cit. Vol. I p. 33 sqq. Cf. aussi la traduction de quelques textes du commentaire d’Al-Fārisī, Wiedemann : Zu Ibn Al-Haithams Optik in „Archiv für die Geschichte der Naturwissenschaften und der Technik“ n o 3 (1910).

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gu et la base d’un diamètre égal à celui du passage cylindrique 1. Il place le cube dans l’ouverture de la chambre Q, puis marque par le cône à travers le passage perpendiculaire le point G sur AB. Après avoir retiré le cône, il fixe le point le plus éloigné de G sur AB, vu à travers le même passage, et trace ensuite un cercle de centre G et de diamètre EF. Si la lumière émise par AB se propage suivant des trajectoires rectilignes, l’expérimentateur lorsqu’il bouche le passage perpendiculaire et regarde par le passage oblique ne doit voir que le cercle. Autrement dit, si la propagation est rectiligne, le point le plus éloigné de T sera le point E et T, O, E seront sur la même droite. Si l’œil se tourne vers le cercle de centre R, on ne voit que le cercle de SM NK centre G et de rayon GE : On sait par définition que MG = KM NK + KM SM + MG = KM MG

ou encore

NM SG = KM MG

mais

RS SG = KM MG mais KM // RS donc R, K, G sont sur la même droite. Or si le point J est au milieu de RK et I le point milieu de HL, IJ est parallèle à la surface GE IM JK IM ML = mais = IG JG IG GE NM = RS

d’où

ML = KO, rayons de cercles égaux IM KO = IG GE

JK KO = JG GE

et les points J, O, E sont sur la même droite. Si l’on prolonge la droite EOJ elle passera par T sur le cercle de centre R et T, O, E seront sur la même droite. Donc si la propagation est rectiligne, le point le plus éloigné que pourra voir l’expérimentateur en dirigeant son œil vers le cercle de ‎1. On trace au milieu du cube sur des faces parallèles des lignes parallèles entre elles et parallèles aux arêtes du cube. On marque ensuite sur chacune de ces lignes deux points R et S à une distance de deux doigts de l’arête perpendiculaire. Chacun des points R et S sera le centre d’un cercle dont le rayon ne doit pas dépasser un doigt. Sur l’autre face on fixe de la même manière M et N. La droite MN sera divisée au point K de telle sorte que NK/KM égale SM/MG – la longueur de l’arête du cube à la distance entre les deux murs – K et M seraient au centre de deux cercles d’un rayon qui ne doit pas dépasser un doigt. À partir des points S et R on creuse deux passages cylindriques, l’un perpendiculaire SM dont le diamètre est celui d’un cercle de centre S l’autre étant RK oblique et de la même manière. Al-Haytham précise en outre que la largeur et la longueur du cube ne doivent pas dépasser «une coudée » la hauteur étant selon l’épaisseur du mur.

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I

J

Fig. 1

centre R, sera le point E, et le seul cercle qu’il verra, sera le cercle de centre G et de rayon GE. Al-Haytham n’entend pas s’arrêter là. I1 veut effectuer une série de vérifications expérimentales de ce qu’il vient de démontrer. À partir de la chambre Q et après avoir bouché le passage oblique, l’expérimentateur reçoit sur un écran à travers l’autre passage, la lumière renvoyée par le corps opaque à l’aurore, avant le lever du soleil : il constate que la tache lumineuse – dont l’intensité dépend de la luminosité du corps opaque – a la même forme que ce corps. S’il regarde à nouveau à partir d’un point quelconque de la tache et à travers le passage, il ne verra que le corps opaque. Par contre, s’il retire le corps opaque et prend la précaution de supprimer la lumière de la circonférence du passage, la lumière disparaîtra ; s’il répète à plusieurs reprises l’expérience – retirant et replaçant le corps – il obtiendra chaque fois les mêmes résultats. Maintenant, il peut à un point quelconque de la distance entre le passage et le corps opaque, interposer un écran blanc et pur, éclairé, la lumière apparaîtra sur l’autre écran placé à l’intérieur de Q. L’expérimentateur obtiendra les mêmes résultats, si, toutes les conditions étant par ailleurs égales, il change de passage et se sert du passage oblique ; et il en sera de même quand il utilisera les différentes lumières accidentelles. Ceci montre que la lumière accidentelle se propage de tout point du corps éclairé suivant

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des trajectoires rectilignes 1, ou pour reprendre les propres termes de l’auteur : Ces considérations font apparaître avec évidence qu’à partir des lumières accidentelles qui sont dans les corps opaques, des lumières se propagent dans toutes les directions et que la propagation de la lumière se fait seulement suivant des trajectoires rectilignes. Il apparaît aussi que la lumière qui se propage à partir d’une lumière accidentelle est plus faible qu’elle, et qu’elle est d’autant plus faible qu’elle est plus éloignée de la source dont elle émane. Appelons ces lumières issues de lumières accidentelles des lumières secondes. Je dirai que ces lumières secondes ne sont pas émises par des lumières accidentelles selon la réflexion, – comme elles se réfléchiraient à partir des corps polis – mais émanent des corps opaques de la manière dont les lumières premières et substantielles sont émises par des corps lumineux en eux-mêmes : si on considérait parmi les corps opaques, des corps polis ou ayant des parties polies, et qu’une lumière les éclairât, on constaterait que cette lumière se réfléchit, mais qu’avec elle une lumière seconde est émise de la manière même dont la lumière est émise par les corps lumineux en eux-mêmes 2.

Ainsi, à partir d’une distinction – notion d’une philosophie naïve de l’expérience – de la lumière en substantielle et accidentelle, le traitement mathématique rapporte ces notions au plan d’une situation expérimentale. Mais dans les limites de cette tentative, la distinction a perdu le caractère antagoniste qui la définit à l’heure doctrinaire, si bien que la lumière accidentelle n’est autre ici qu’une lumière seconde qui émane et se propage à partir d’un corps opaque de la même manière que la lumière première émise par un corps lumineux en lui-même. Peut-on penser alors, comme le suggèrent M. Naẓīf 3 et M. Schramm 4 que l’opposition est abolie et que la persistance des termes «substantielle» et « accidentelle » n’est nullement significative ? Ou simplement selon M. Ronchi 5 relever « l’influence discrète

‎1. L’Optique, p. 29. ‎2. L’Optique, p. 29. ‎3. Cf. Naẓīf, op. cit. p. 87: « La division en lumières substantielles et lumières accidentelles n’ajoute selon Al-Haytham aucune différence à l’essence de l’une ou de l’autre ; elle est seulement une voie qui permet d’expliciter la différence qui sépare les caractéristiques des corps transparents de celles des corps opaques.» ‎4. Cf. Schramm, op. cit. 272, Al-Haythams Weg. : „Ein Mißverständnis war in diesem Zusammenhang durch den Terminus ʿaraḍī (accidentel) ausgeschlossen der eben nur auf die Lichtquelle bezogen ist. ... der selbst-leuchtende Körper kann aus sich heraus, ohne dauernd von außen angeregt zu werden, die Form des Lichtes dem Medium aufprägen, der akzidentell leuchtende Körper dagegen vermag dies nur in Abhängigkeit von einer Lichtquelle die auf ihn einwirkt.“ ‎5. Cf. Ronchi : Histoire de la lumière, éd. A. Colin, p. 42. Cf. aussi E. Wiedemann, qui dans sa traduction de certains textes de Al-Fārisī – son article se compose pour

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des anciens modes de raisonnement et spécialement celui de la théorie atomistique» ? Il semble bien que l’une et l’autre de ces réponses, en omettant de marquer avec rigueur le domaine de sa validité, fasse tort à l’optique d’Al-Haytham. Car s’il est vrai qu’Al-Haytham s’exprime encore dans un langage traditionnel, les exigences du type nouveau de la preuve font que les termes de l’opposition n’ont plus – ne peuvent plus avoir – le même sens. La question toutefois reste posée : pourquoi garder le même langage, celui d’un autre savoir dont les ambiguïtés sémantiques ne peuvent que constituer un obstacle, si l’on veut faire table rase de tout résidu doctrinaire ? En conservant les mêmes termes, ne veuton pas réintroduire par contrebande et à d’autres fins les éléments d’une doctrine pourtant réformée ? N’a-t-on pas enfin démontré que les deux lumières sont émises de la même manière, se propagent suivant des trajectoires rectilignes, se réfléchissent et se réfractent selon les mêmes règles, diminuent en intensité en raison de la distance du corps lumineux ? En fait, dans l’étude de la propagation, la seule différence qui subsiste entre les deux lumières est, après avoir ignoré la nature physique de la lumière et dans les limites d’une preuve géométrique et expérimentale, une différence de milieu plus ou moins opaque. La lumière des corps lumineux par eux-mêmes – le soleil, le feu, les astres ... – se propage à partir de ces corps et dans toutes les directions suivant toute droite pouvant être menée de tout point de ce corps dans un milieu transparent, ou comme il l’exprime lui-même, ... « en une émission sphérique dans toutes les directions» 1. Si la lumière rencontre un corps opaque, après avoir reçu la lumière, ce corps deviendra lui-même source d’émission de lumière qui, à son tour, se propagera suivant des trajectoires rectilignes menées de tout point de ce corps. Mais cette lumière accidentelle ne doit guère être confondue avec la lumière réfléchie qui, elle, a des trajectoires fixées par la loi de la réflexion 2. Tout indique que dans les limites de ce raisonnement, la distinction ne garde pas grand-chose de l’opposition «forma substantialis» – « forma accidentalis», dans la mesure où ici la différence porte sur les milieux et point sur les lumières. Peut-on en déduire que d’une manière générale Al-Haytham utilise les deux termes pour désigner la même notion et qu’il y a donc redondance dans le discours de l’optique ? Beaucoup s’opposent à cette conclusion, présente d’ailleurs sous une forme ou une autre l’essentiel de traductions du commentaire d’Al-Fārisī – donne pour « forme» Abbild, et donc reprend les anciennes eidola. Cf. p. 42 et 43. ‎1. L’Optique, p. 33. ‎2. De la lumière de la lune, p. 17.

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chez ceux qui veulent voir en lui le précurseur d’une physique ; en réalité, lui-même, non seulement tient à sa distinction, mais présente une notion supplémentaire pour l’étayer : la fixation. Par fixation, il entend – comme font les philosophes – la présence dans le corps dense d’une puissance qui reçoit et fixe la forme – cf. le Discours de la lumière 1 – mais il se sert de cette notion dans l’étude de la propagation, surtout dans la mesure où il aura recours à elle lorsqu’il sera question de la couleur. Autrement dit, la distinction entre lumière substantielle et accidentelle, après avoir perdu de sa force la retrouve, dans une certaine mesure, pour étayer une autre opposition : celle de la lumière et de la couleur, dans les limites où seule la lumière accidentelle accompagnera la couleur et se mélangera avec elle, si bien que l’œil en définitive recevra un mélange des formes de la lumière et des couleurs. Pour Al-Haytham la couleur « existe, elle est une forme dans le corps coloré et non pas un objet interposé entre l’œil et la lumière (p. 37)». Et ce n’est qu’après avoir ainsi postulé l’indépendance de la lumière et de la couleur qu’il rend compte d’un ensemble de données observables : les couleurs ne sont perçues qu’en présence de la lumière et cette perception est parfois diffuse. Mais en géomètre et expérimentateur, il veut soumettre l’étude de la couleur aux mêmes règles que celles de la lumière. De la même manière, il va essayer de montrer que lumière et couleur, ... sont émises ensemble et pénètrent dans l’air et dans les corps transparents suivant toute trajectoire rectiligne se propageant à travers ces corps. De même, la forme de la couleur se propage à partir de tout point de la surface du corps coloré, éclairé, suivant toute ligne droite pouvant être menée à partir de ce point. En effet, pour tout corps coloré, éclairé par quelque lumière que ce soit, à partir de tout point de sa surface, la forme de la lumière et la forme de la couleur qui sont en lui se propagent suivant toute ligne droite pouvant être menée de ce point dans l’air et dans les corps transparents contigus et opposés au point, et se projettent sur tout corps opposé à lui. Cette propagation se fait toujours dans toutes les directions et elle se projette sur les corps opposés, s’ils sont éclairés et si les corps contigus sont transparents, contigus par leur transparence, que l’œil soit présent ou absent. » 2

‎1. À « la fixité de la lumière dans les corps physiques, il n’est pas d’autre cause que l’opacité, contraire de la transparence» – Quand un corps est extrêmement transparent « la lumière y pénètre seulement et ne s’y fixe pas ». ‎2. L’Optique, p. 39r.

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Faut-il en déduire que les couleurs accompagnent toute lumière, fût-elle substantielle ou accidentelle – ou seulement la lumière accidentelle comme le texte semble l’indiquer ? Si l’on revient aux couleurs pour observer de plus près les conditions de la perception des objets relativement à leur couleur, en faisant abstraction de tout critère de grandeur, volume, poids, ... on constate que les couleurs apparaissent : ... dans les corps s’ils sont éclairés par la lumière, soit ces couleurs mêmes qui leur appartiennent, soit les couleurs d’autres corps se réfléchissant sur leur surface, soit de corps interposés entre eux et l’œil ou entre eux et l’objet lumineux qui les éclaire, soit encore composées de ces trois espèces 1.

Mais pour les conditions de leur apparition à l’œil : ... si les couleurs elles-mêmes sont fortes, si les lumières qui les éclairent sont fortes, si elles sont en présence de corps aux couleurs pâles et modérément éclairées ; si les corps aux couleurs éclatantes – «pourpre rouge, pourpre violet, jaune» et gris souris – sont éclairés par la lumière du soleil et se trouvent à proximité d’un mur blanc ou d’un corps d’une blancheur très pure, si le mur est éclairé par une lumière modérée – lui-même étant dans l’ombre – les formes des couleurs éclairées apparaîtront sur le mur ou sur les corps blancs voisins, avec la lumière seconde émise par le soleil qui les éclaire 2.

Donc pour que la couleur, propre au corps ou composée d’espèces différentes, apparaisse sous l’action de la lumière 3, il faut qu’il y ait deux corps, que l’un et l’autre reçoivent et fixent les formes, mais que le dernier soit en outre un corps – écran, rôle qui reviendra à l’œil dans la théorie de la vision, si bien que le rapport entre eux est celui d’une différence d’intensité qualitative. Les couleurs sont les unes aux autres dans le même rapport, dans la mesure où aux couleurs fortes du premier corps correspondent les couleurs faibles du corps-écran. A cette différence s’ajoute le rapport de proportionnalité entre lumières et couleurs : différence et proportionnalité sont ainsi les conditions de l’apparition de l’objet, voire de sa perception comme objet éclairé et coloré. ‎1. De la lumière de la lune, p. 40. ‎2. L’Optique, p. 34 – v. aussi p. 72v et OTA p. 18. «Quare vero non appareant omnes formae omnium corporum vel colorum super omnia corpora opposita, sed quaedam appareant, quaedam non, non est, nisi quando color fuerit fortis et lux quae est in corpore fuerit fortis et lux quae est in corpore super quod apparet forma coloris, debilis ... » (souligné par nous). ‎3. Cf. OTA, p. 18 et Optique, p. 34.

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On peut remarquer déjà qu’il ne s’agit pas de toute lumière : les couleurs accompagnent généralement la lumière accidentelle. Dans un paragraphe aussi ambigu que bref, Al-Haytham dit : Nous constatons aussi que les couleurs qui se trouvent dans les corps opaques éclairés par une lumière accidentelle accompagnent les lumières émises par ces corps. Ainsi, la forme de la couleur est toujours sur la forme de la lumière ; pour les corps lumineux par eux-mêmes, on voit que leurs lumières sont semblables à leurs formes qui tiennent lieu de couleurs : ainsi la forme de la lumière du soleil, tenant lieu de couleur, est semblable à la forme du soleil ; de même la lumière du feu a une forme semblable à celle du feu 1.

Si par « forme » 2, Al-Haytham n’entend rien d’autre que « eidos», on peut déduire des citations précédentes que la lumière substantielle ne s’altère pas et ne se mélange pas à proprement parler avec les formes des couleurs. Or, l’on sait par les quatre conditions de leur perception que l’apparition des formes des couleurs exige que le corps reçoive et fixe les formes avant de rencontrer un corps – écran avec lequel il est dans un certain rapport. Et si l’apparition des formes des couleurs – quelle que soit la supposition qui préside à la mise en rapport de la lumière et de la couleur 3 – n’est possible que par l’action de la lumière, elles apparaissent avec la lumière accidentelle, si bien que : ... les couleurs perçues par l’œil sont perçues mélangées avec les formes des lumières qui sont en elles, mélangées avec toutes les formes des couleurs qui se projettent sur elles à partir des couleurs des corps opposés. Et si le corps transparent interposé entre elles et l’œil comporte quelque

‎1. L’Optique, p. 34. ‎2. V. Naẓīf, op. cit. p. 103 et Schramm, op. cit. p. 204. ‎3. L’Optique, p. 36. Ici Al-Haytham expose sans ambages ses doutes : «Il est probable que l’air et les corps transparents reçoivent les formes des couleurs comme ils reçoivent celles des lumières, soit que la lumière les accompagne, soit qu’elle ne les accompagne pas. Ainsi les couleurs sont émises à partir de tous les corps colorés et se propagent dans l’air et tous les corps transparents dans toutes les directions de la même manière que la lumière. Elles ont les mêmes propriétés que les lumières, se propageant et s’étendant toujours dans l’air et les corps transparents, qu’elles soient accompagnées ou non par la lumière, mais n’apparaissent à la vue que celles qui sont accompagnées de lumières, car la vue ne perçoit rien qui ne soit éclairé. Il est probable aussi que les couleurs n’émettent pas ces formes et ne se propagent dans l’air ni ne sont reçues par l’air que lorsque la lumière les éclaire. Mais ce qui ne fait pas de doute et n’admet aucune incertitude, c’est que la forme de la couleur et la forme de la lumière sont émises ensemble, à partir des corps colorés éclairés et se propagent dans les corps transparents qui sont en contact avec eux et ceux qui leur sont opposés.»

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densité, sa couleur se mélangera de même avec elles. L’œil ne peut donc percevoir de couleur singulière, sans mélange de formes 1.

Par conséquent, si les formes des couleurs ne peuvent apparaître que sous l’action de la lumière, il reste que c’est ce mélange de lumières et de couleurs qui apparaît finalement sur le corps-écran, donc sur l’œil. La lumière substantielle ne subit aucun mélange et c’est seulement la lumière seconde qui est affectée. Les formes des couleurs, en effet, ne se mélangent qu’avec les formes de cette lumière déjà reçue et fixée par un corps coloré, puis « réémise» pour ainsi dire comme un élément de ce mélange. Tout se passe comme si la lumière substantielle, sans mélange lorsqu’elle se projette sur un corps, l’animait de telle sorte qu’il renvoie ce mélange de lumières qui est support des couleurs. Tout indique donc qu’Al-Haytham, après avoir éliminé en fait la distinction entre lumière des corps lumineux par eux-mêmes et lumière accidentelle, dans l’étude de la propagation de la lumière, la retrouvait dans son étude de la couleur pour récupérer ainsi ce qui semblait perdu. Après avoir modifié le sens de cette distinction, il revient à ses termes pour en revendiquer la persistance et redonner vie au sens de l’opposition dans l’étude de la couleur. Seule une compréhension réelle de ce double mouvement peut défendre contre la tentation de voir la distinction comme partout présente ou nulle part active et qui en conséquence renvoie l’œuvre d’Al-Haytham à l’optique des Anciens ou décerne à l’auteur le titre de précurseur. Mais encore faut-il en saisir les raisons si l’on veut éviter l’interprétation éclectique de certains historiens qui, mêlant les deux attitudes, morcellent le texte et empruntent l’une ou l’autre selon le cas. Al -Haytham, comme on l’a vu, veut traiter au moyen de la géométrie, directement – sans passer par une théorie explicative – les faits et les notions : les corps transparents, les corps opaques, les lumières, sont des faits ; celles-ci se propagent suivant des trajectoires rectilignes, se décomposent en faisceaux, sont des notions. L’étude de l’ensemble des phénomènes lumineux à partir de la propagation de la lumière – tout en ignorant sa nature physique – est possible dans une première approximation : l’optique géométrique. Mais dans les limites de cette étude locale de l’ensemble des phénomène lumineux, ‎1. L’Optique, p. 76r et OTA, p. 19: « Et declaratum est modo quod colores quos comprehendit visus ex rebus visis, non comprehendit nisi admixtos cum formis lucis quae sunt in eis et admixtos cum omnibus formis orientibus super ipsos ex coloribus corporum oppositorum. Et si in corpore diaphano quod est medium inter ipsos et visum fuerit aliqua spissitudo, admiscebitur color eius etiam cum eis et visus non comprehendit ilium colorem singularem ... »

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la distinction entre lumière substantielle et accidentelle perd son sens doctrinaire, non pas globalement mais seulement localement. Les termes sont toutefois conservés pour les besoins de l’argumentation car ils deviennent indispensables là où les hypothèses sur la nature de la lumière font défaut, c’est-à-dire quand il s’agit de la couleur et qu’il faut dépasser la limitation logique du point de vue local requis par la première approche. Mais avec des normes nouvelles, le retour aux termes traditionnels veut garder le type, récemment élaboré, de la preuve – géométrique et expérimentale. La doctrine récente des couleurs postule que leur étude soit fidèle aux exigences de cette preuve. Si extérieures et si programmatiques soient-elles, ces exigences, inefficaces pour le problème des rapports entre les lumières et les couleurs, auront été toutefois novatrices en d’autres domaines parfois non prévus initialement : les couleurs ne sont pas seulement, comme la lumière, objet de géométrie, mais servent à préparer par la « géométrisation» – ou articulation de la géométrie et de la physiologie de l’œil – une réforme dans la théorie de la vision. Or il est d’une importance particulière de suivre ces problèmes là où Al-Haytham tente d’expliquer certains aspects de la propagation. Après avoir établi la loi de la réflexion et l’avoir vérifiée par la construction d’un dispositif expérimental complexe 1, Al-Haytham entreprend d’en expliquer le phénomène. Il s’agit tout d’abord de rappeler rapidement la formulation du problème de la réflexion tout en la distinguant des contributions anciennes, notamment celles d’Euclide et de Ptolémée. Chacun sait qu’Euclide 2 a démontré l’égalité de l’angle d’incidence et de l’angle de réflexion et que Ptolémée 3 révéla que le rayon incident et le rayon réfléchi sont dans un même plan perpendiculaire au miroir. Al-Haytham, pour sa part, reprend le problème dans une perspective nouvelle. Ayant éliminé l’hypothèse d’un cône de rayons rectilignes émis par l’œil, il croit pouvoir démontrer par la déduction géométrique et la construction de situations expérimentales que la lumière accidentelle et celle des corps lumineux par eux-mêmes sont réfléchies selon les mêmes règles : celles qui régissent aussi la réflexion des couleurs :

‎1. Cf. L’Optique, p. 323 et Al-Fārisī, op. cit. p. 339 sqq. vol. I. ‎2. Cf. Euclide : L’Optique prop. XIX et la Catoptrique prop. I du pseudo-Euclide dans Euclide, l’optique et la catoptrique, trad. par Ver Eecke, Paris 1959. ‎3. Cf. Ptolémée : l’Optique dans la version latine d’après l’arabe de l’Emir Eugène de Sicile, éd. critique et exégétique par A. Lejeune, Louvain 1956 pp. 89 et 90. V. aussi A. Lejeune : Recherches sur la catoptrique grecque pp. 33-34.

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Toute lumière se réfléchit sur une surface polie : de tout point de la surface polie, la lumière se réfléchit suivant une droite qui forme un plan commun avec la droite suivant laquelle la lumière s’est propagée jusqu’au point et avec la normale menée au plan tangent à la surface polie en ce même point. La droite suivant laquelle la lumière se réfléchit se situe par rapport à la normale de la même manière que la droite suivant laquelle la lumière s’est propagée jusqu’au point de réflexion. Je veux dire que toute droite suivant laquelle la lumière se réfléchit sur une surface polie forme avec la normale menée de ce point un angle égal à l’angle formé par la ligne de propagation de la lumière jusqu’au point et la normale. Les trois droites sont dans un même plan, perpendiculaire au plan tangent à la surface polie au point de réflexion et formant des angles droits. Et si la ligne de propagation de la lumière jusqu’à la surface polie est normale au plan tangent à la surface polie en son point de rencontre avec elle, la lumière se réfléchit en retour suivant cette même droite. 1

Il est évident que, bien plus que la surface atteinte par la lumière, c’est le plan formé par le rayon d’incidence, le rayon réfléchi et la normale à la surface au point de leur rencontre, qui est ici l’élément le plus important, si bien que l’on peut appliquer la loi aux courbes en général : les rayons réfléchis sont dans le plan d’incidence et les angles d’incidence et de réflexion sont égaux. Mais si la loi de la réflexion est ainsi établie dans sa généralité, Al-Haytham s’efforce ensuite de déterminer le plan tangent pour les miroirs sphériques, cylindriques, coniques aigus, coniques obtus et les positions respectives de l’image pour chaque cas. On peut noter enfin qu’il conçoit la lumière réfléchie dans le même sens que les autres en ce qui concerne la diminution de son intensité proportionnellement à la distance de la surface réfléchissante. Cependant par-delà toute représentation géométrique du phénomène de la réflexion et abstraction faite de la formulation générale d’une règle régissant ce phénomène, Al-Haytham veut déterminer les raisons pour lesquelles la lumière suit des trajectoires données dans son mouvement de réflexion et ainsi établir une séquence causale d’un certain genre. Mais comme il n’attribue à cette explication que la valeur toute relative d’un problème local – nous y reviendrons – le géomètre s’allie au doctrinaire et la séquence causale sera teintée, fortement, du finalisme d’une physique traditionnelle. Quoiqu’il en soit, Al-Haytham va utiliser dans sa recherche, outre certains principes déjà élaborés, une « analogie» : nous savons en effet que la lumière, non seulement existe indépendamment de la vision mais encore elle se meut avec une très grande rapidité ; il

‎1. L’Optique, p. 323.

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est donc possible pour expliquer sa réflexion de revenir à un cas particulier et « analogue», celui du mouvement des corps graves. Qu’Al-Haytham reconnaisse là une analogie, se justifie par son emploi du terme « nazīr» (similaire, correspondant, semblable, ...) dans un passage qui, reproduit in extenso par Al-Fārisī, fut intitulé par cet auteur « tamthīl» (analogie) : Pour la réflexion de la lumière par certains corps à l’exclusion d’autres, dit en substance Al-Haytham, il y a une similitude avec les corps naturels : si, en effet, des corps graves, tombant d’une certaine hauteur, rencontrent à leur point de chute un corps solide – comme le rocher ou le fer – ils se réfléchissent immédiatement et rebondissent par un mouvement fort ; mais s’ils rencontrent un corps mou – comme le sable ou la poussière – ils s’y attachent et ne rebondissent point ; si toutefois ils rencontrent un corps de quelque solidité – comme le plâtre ou le bois – ils rebondissent faiblement. De la même manière, une pierre lancée dans une certaine direction et qui rencontre un corps solide, avant que son mouvement ne soit aboli, se réfléchit en rebondissant ; si son mouvement est fort, elle rebondit avec une force intense ; mais si elle rencontre un corps mou – comme la laine ou le coton – elle s’y attache ou tombe vers le bas ; si toutefois elle rencontre un corps de quelque solidité, elle rebondit faiblement. Il apparaît donc que les corps solides opposent une forte résistance aux corps mobiles qui, alors, rebondissent ; de la même manière, les corps polis opposent une forte résistance aux lumières qui, alors, sont réfléchies. (Cf. l’Optique 352v et Al-Fārisī : vol. I p. 375.)

Al-Haytham se pose la question suivante : pourquoi les lumières sont-elles réfléchies par des surfaces compactes, lisses et polies, dans un plan et suivant des trajectoires déterminées ? 1 Il sait toutefois que la réflexion a lieu sur tout corps, fût-il lisse et compact ou raboteux et rude. Mais dans ce dernier cas, si certaines parties réfléchissent la lumière, ailleurs les aspérités la laissent passer et, en définitive, à cause de l’irrégularité des parties réfléchissantes, la lumière réfléchie est dispersée et n’apparaît pas à la vision 2. Le caractère général de cette explication ne doit pas cependant tromper sur sa portée. Al-Haytham essaie, en fait, de fonder son analogie pour ‎1. OTA, p. 112: « Quare autem fiat reflexio lucis secundum lineam eiusdem situs cum linea, per quam accedit ad speculum ipsa lux, est ... ». Cf. le ms. original p. 353r : « Pourquoi les lumières se réfléchissent dans le plan perpendiculaire au plan tangent au miroir et seulement dans ce plan et pourquoi la réflexion se fait suivant la droite qui, avec la droite d’incidence et la perpendiculaire menée du point de réflexion, forment des angles égaux». Al-Haytham pose cette question après avoir répondu au paragraphe précédent à la question suivante : «Amplius quare ex politis corporibus, non ex asperi fiat reflexio, est ... » OTA, p. 112. ‎2. Cf. L’Optique, p. 351v et p. 112.

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expliquer seulement la réflexion de la lumière sur les surfaces lisses et compactes, à savoir, dans le seul cas d’un système catoptrique. Ainsi, aux surfaces lisses et compactes correspondent – par analogie dans le schéma du mouvement l’obstacle solide, à la réflexion la notion de force de répulsion ou de résistance – repulsio, prohibitio 1, et enfin aux trajets de la lumière, les trajectoires du mobile. Au lieu de la complexité rencontrée au départ – la réflexion sur toute surface – c’est ici seulement celle plus limitée réellement – la réflexion sur la seule surface lisse et compacte – que l’on veut expliquer : « Expliquer» non pas pour comprendre le fonctionnement idéal, mais pour saisir un mouvement à court terme : l’explication est donc limitée aussi logiquement. Mais avant de poursuivre cette recherche qui va porter sur le sens et les limites de l’« analogie», quelques réflexions s’imposent qui concernent le mouvement du mobile. À partir de la division traditionnelle du mouvement en naturel et violent, Al-Haytham veut, pour construire son schéma explicatif, trouver ce qui est commun à l’un et à l’autre relativement au mouvement réfléchi résultant d’un choc. Si dans son mouvement un mobile rencontre un obstacle qui l’empêche, et que la force du mouvement soit restée en lui à sa rencontre avec l’obstacle, il retournera dans sa direction de départ. La force du mouvement réfléchi sera proportionnelle à la force du mouvement incident et à la force de la résistance. La distance parcourue par le mouvement réfléchi par rapport à l’obstacle sera proportionnelle à la distance parcourue par le mouvement incident par rapport à l’obstacle, proportionnelle à la trajectoire du mouvement incident par rapport à l’obstacle. Le deuxième mouvement est acquis par le mobile à partir de la même résistance. Cette propriété se retrouve dans tous les corps graves, soit dans leur mouvement naturel vers le bas, soit dans leur mouvement accidentel 2.

Pour vérifier ces principes, Al-Haytham prend une petite balle solide, en fer, parfaitement polie et d’un poids déterminé : le Mithqāl 3. Si on la laisse tomber sur une surface plane en fer, à partir d’une hauteur au moins égale à vingt coudées 4, on doit pouvoir démontrer que le mobile animé d’un mouvement naturel, subissant un choc, rebondit dans la direction de l’incidence avant de retomber par la suite. Pour le mouvement violent, on lance la même balle, fortement, sur une surface plane en fer, verticale, à deux reprises : une première fois suivant la normale à la surface et une deuxième fois ‎1. ‎2. ‎3. ‎4.

OTA, p. 113. L’Optique, p. 353. Poids équivalent à environ 4,68 gr. Une coudée mesurait 60 ou 70 cm. selon les époques.

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avec une force égale et à partir de la même distance, obliquement. Dans le premier cas, la balle revient sur la normale avant de retomber ; dans le deuxième, elle revient sur une trajectoire située entre la normale menée à partir : du point de rencontre sur l’obstacle et se prolongeant à l’intérieur de l’obstacle, la normale menée perpendiculairement à la première dans le même plan qu’elle, et la droite sur laquelle s’est effectué le premier mouvement 1.

Mais avant de suivre les raisons données par Al-Haytham, récapitulons d’une manière exacte la description du mouvement de la balle et de ses trajectoires. C’est ici, par ailleurs, qu’il développe sa conception du parallélogramme des mouvements 2 souvent lue par

‎1. L’Optique, p. 354v. ‎2. II est question du parallélogramme des mouvements aussi bien dans la « Mechanica» du pseudo-Aristote que dans la Mécanique de Héron d’Alexandrie (cf. texte arabe et trad. par Carra de Vaux dans le Journal Asiatique, mai-juin, juilletaoût, novembre-décembre 1896). Ici et là, il s’agit de montrer que si un point est animé de deux mouvements dans un rapport constant à chaque instant, le mouvement résultant est une droite qui n’est autre que la diagonale d’un parallélogramme. Ainsi Héron d’Alexandrie montre « qu’un point qui se meut d’un mouvement régulier décrit des lignes inégales, le mouvement du point sur la ligne ab est composé du mouvement ab sur les droites ac, bd et du mouvement de a sur la droite ab ». cf. op. cit. p. 429 et traduction pp. 471-72. Le pseudo-Aristote et Héron d’Alexandrie

Fig. 3 ayant démontré la composition de deux mouvements en un mouvement résultant, on peut se demander si le schéma d’Al-Haytham n’est pas celui de Héron amélioré, voire élaboré ? Mais une différence importante interdit une telle assimilation. Pour AlHaytham, il ne s’agit pas seulement de composer la résultante, mais surtout – et pour les besoins de son optique – de faire apparaître les composantes du mouvement : l’une suivant la direction de la normale, l’autre suivant la perpendiculaire à cette normale dans le plan d’incidence au point d’impact. Pour son explication, il décompose le mouvement selon ces directions et introduit ainsi la démarche réciproque en énonçant que le mouvement n’est pas seulement objet de composition mais aussi de décomposition. D’autre part en appliquant le schéma au mouvement d’un projectile lancé contre un corps solide – mouvement dont il admet qu’il est rectiligne, sans préciser s’il est uniforme et sans indiquer si ses composantes sont entre elles dans un rapport constant, comme font le pseudo-Aristote et Héron – il introduit une «généralisation» qui ne sera d’ailleurs justifiée qu’avec l’application de cette décomposition en dynamique non pas aux mouvements mais aux vitesses. Il nous semble que c’est ce dernier

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ses historiens, parallélogramme des vitesses ; aspect d’un débat où la lecture se fait par anticipation : les yeux fixés sur une mécanique formée, on modifie un terme pour glisser un concept et on se retrouve finalement sur un tout autre terrain. Nous y reviendrons.

Fig. 2

Soit l’obstacle, plan P ; la balle ayant subi un mouvement violent sur la trajectoire AI rencontre au point I l’obstacle (surface solide) qui l’empêche de poursuivre son chemin dans la même direction. De I on mène la perpendiculaire au plan P que l’on prolonge en IG. Dans le plan AID on mène la perpendiculaire IF à ID que l’on prolonge en IE. Le mouvement de la balle en I est formé de deux composantes, l’une dans la direction de IG et l’autre dans la direction de IE. Par suite de la résistance et de la répulsion, la composante suivant IE est remplacée par la composante suivant ID. Si la résistance est à la limite, ce mouvement acquis suivant ID est identique au mouvement suivant IG, tandis que le mouvement suivant IE ne subit aucun changement. La résultante est formée de deux composantes. L’une suivant IE, l’autre suivant ID égale à la composante dans la direction de IG. Par conséquent, la balle animée, par suite d’un choc, du mouvement AI, suit la d = DIB d 1. droite IB de telle sorte que l’angle AIB trait qui a induit nombre d’historiens en erreur en les amenant à lire la notion de vitesse là où Al-Haytham écrit mouvement. En bref, tout indique qu’Al-Haytham, pour les besoins de l’Optique et non en vue d’une théorie du mouvement a proposé le schéma du mouvement de manière différente en faisant apparaître les composantes selon des directions qui sont désormais objet à la fois de composition et de décomposition. ‎1. « Si corpus sphaericum ponderosum ab aliqua altitudine descendere permittamus perpendiculariter super politum corpus, videbimus ipsum super perpendicularem reflecti, per quam descenderat» ... cf. L’Optique, p. 353 sqq. et OTA, pp. 112-113.

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Considérons maintenant les différents cas du mouvement et les notions dont se sert Al-Haytham pour expliquer les trajectoires suivies par le mouvement réfléchi. D’une manière générale, un mobile animé par un mouvement naturel ou violent, rebondit s’il rencontre à son point de chute un corps solide : le fer ou ses homologues. Les autres substances lui résistent en raison de leur «solidité» et inversement par suite de leur mollesse 1 ou « infiʿāl» selon l’expression d’Al-Haytham. Par ce dernier terme on sait que la tradition de la philosophie aristotélicienne arabe – qui constitue pour une part au moins l’arsenal des notions physiques et des éléments doctrinaux d’Al-Haytham – entendait la catégorie πάσχειν. Le mobile par son action ποιεῖν agit sur la surface solide qui, en raison de sa plus ou moins grande solidité, est plus ou moins « passive». L’on discutera encore longtemps avant de savoir si la notion « susceptible de passion » est recouverte complètement par celle d’«al-infiʿāl». Il reste qu’elle retient une image énergétique – de transport d’énergie – entre le moteur et le mû et intervient principalement pour déterminer la force de répulsion. Le corps solide contrairement à la surface molle est caractérisé par l’absence d’al-infiʿāl dont la présence et la rapidité sont le propre de la deuxième ; la répulsion est inversement mais qualitativement proportionnelle à al-infiʿāl donc directement à la solidité de la surface. Pour le mouvement naturel, après avoir constaté que le mouvement réfléchi de la balle est d’autant plus fort qu’elle est lancée à partir d’une distance plus grande, Al-Haytham conclut : « le mouvement réfléchi dépend du mouvement acquis par sa chute et non pas du mouvement naturel dû au poids ». Dans le cas du mouvement violent, fût-il normal ou oblique, outre la force de répulsion ou de résistance, le mouvement réfléchi dépend de la force du mouvement incident. Aussi dans ce mouvement le mobile rebondit car : ... il acquiert par la résistance un mouvement dans la direction du retour. Il est démontré que le mouvement a lieu effectivement à cause de la résistance car il est proportionnel à la résistance et d’autant plus fort qu’elle est plus forte. La force de résistance, elle, est proportionnelle à la force du premier mouvement et proportionnelle à l’absence de passion dans l’obstacle 2.

‎1. L’Optique, p. 359v. ‎2. L’Optique, p. 354r et v et OTA p. 112: « Quod autem ex prohibitione corporis politi accidat luci motus reflexionis, palam : quia cum fortior fuerit repulsio vel prohibitio, fortior erit lucis reflexio ... ».

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Dans le cas du mouvement sur la normale, la trajectoire du mouvement et la force de répulsion s’opposent ; la résistance est à l’extrême (à la limite) : ... car si le mobile poursuivait son premier mouvement, il le poursuivrait suivant la normale prolongée à l’intérieur de l’obstacle. En effet, le mouvement produit par la résistance n’a lieu que suivant la normale car la résistance étant sur la normale, il ne peut y avoir de mouvement ailleurs que sur elle. Il n’y a donc pas de résistance hors de la normale et c’est pourquoi le mobile ainsi défini revient suivant cette même normale 1.

Le mobile rebondit donc à cause de la force de résistance et de la force d’incidence de telle sorte que les distances parcourues par le mobile à l’incidence et à la réflexion sont proportionnelles. Dans le cas du mouvement sur la normale, tout le mouvement est sur la normale et il n’y a guère de mouvement sur la tangente au point d’impact. Pour le mouvement oblique 2, l’opposition n’existe pas et «le mouvement incident est composé du mouvement dans la direction de la normale à l’intérieur de l’obstacle et du mouvement dans la direction de la normale à la première qui est elle-même prolongée dans le plan où se trouve le mouvement incident». Si donc le mouvement incident est composé de ces deux mouvements, le mouvement acquis par la résistance est composé du mouvement dans la direction de la normale à l’extérieur de l’obstacle et du mouvement dans la direction de la deuxième normale 3. Afin de construire son schéma du mouvement – pour expliquer la réflexion – Al-Haytham met donc en rapport les notions de mouvement – sa force et sa composition – force de répulsion, de résistance, répulsion à la limite, « al-infiʿāl» dont les règles peuvent être résumées brièvement : le mobile animé par un mouvement violent rejoint l’obstacle sans que ce mouvement incident soit complètement aboli ; au moment du choc, le mouvement est supprimé et le mobile acquiert un nouveau mouvement qui dépend de la force de répulsion et du

‎1. L’Optique, p. 354v et OTA p. 112: « Cum descendit corpus ponderosum super perpendicularem repulsio corporis politi, et motus descendentis ponderosi directe sibi sunt oppositi, nec est ibi motus, nisi perpendicularis, et prohibitio fit per perpendicularem quare repellitur corpus secundum perpendicularem. Unde perpendiculariter regreditur». ‎2. « Cum vero descendent corpus, super lineam declinatam, cadit quidem linea descensus inter perpendicularem superficiei politi, per ipsum politum transeuntem, et lineam superficiei eius orthogonalem super hanc perpendicularem ... » Cf. OTA, p. 112-13 et l’Optique, pp. 354v, 355r. ‎3. L’Optique, pp. 354v, 355r.

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mouvement incident pourtant supprimé : si l’on rappelle que la répulsion est en raison directe de la force du mouvement incident et de la solidité de l’obstacle, à savoir l’absence de « passion», il reste à déterminer si cette contradiction manifeste tient à une certaine contingence et si elle peut, par conséquent, être éliminée, grâce à l’introduction d’une notion supplémentaire sans que le schéma même de l’explication en soit modifié. Rappelons d’autre part qu’Al-Haytham croit être en mesure de montrer l’égalité des angles formés par les mouvements réfléchi et incident à l’aide de ces notions, égalité qu’il affirme en outre avoir vérifiée par l’expérience. Bien qu’il fasse abstraction – ou plus précisément procède à une élimination – de certaines conditions réelles du mouvement : le frottement de la balle contre la surface, la balle comme système matériel, cette vérification n’en paraît pas moins impraticable dans les conditions qu’il donne. L’on a démontré par ailleurs que le mouvement après le choc est, par suite de la résistance – si elle est à la limite – formé de la même composante tangentielle et d’une autre normale égale, mais dont la direction est opposée à celle du mouvement au moment du choc. C’est ici qu’une interprétation séduisante est proposée 1 qui, par l’introduction de l’élasticité, veut éliminer la contradiction et confirmer que l’égalité des angles peut être prouvée à partir du même schéma adapté. En effet, si nous prenons le schéma d’Al-Haytham dans les conditions les plus simples : la balle est un point matériel, absence de frottement, il faut que le choc soit parfaitement élastique et l’énergie de vibration négligeable pour que la somme des énergies cinétiques des deux corps soit égale avant et après le choc, que la balle rebondisse de telle sorte que le vecteur-vitesse avant le choc soit égal au vecteur – vitesse après le choc et que les deux vecteurs soient également inclinés sur le plan tangent en I, si bien que le sinus de l’angle d’incidence sin i = Vt /V0 et le sinus de l’angle de réflexion sin r = Vt /V1 soient égaux. 2 Ainsi l’introduction de l’élasticité paraît suffisante et ‎1. Cf. A. I. Sabra : Explanation of optical reflection and refraction, Ibn Al-Haytham, Descartes, Newton dans «Actes du dixième congrès international d’histoire des sciences (1962) » Paris, 1964, I, pp. 551-4. “If elasticity were introduced, it would be possible to answer by saying that the incident movement is, in fact, imported to the reflecting body which, being elastic, would re-transfer it to the sphere, thus causing it to retum in accordance with (a new movement [which] is acquired from the force of repulsion itself). V. aussi le bel ouvrage de l’auteur : Theories of light, ed. Oldbourne Book Co. Ltd. 1967, p. 76. ‎2. Dans le cas où un point matériel frappe la surface en I, la force de contact est dirigée – à tout instant ∫du choc – dans la direction ID. Il en est de même pour r le vecteur-percussion φ = r 1 F dt. Le point matériel rebondit de telle sorte que la 0

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l’analyse d’Al-Haytham serait correcte lorsqu’il considère que le mouvement incident s’annule, que la force propulsant le mobile s’annule également et qu’elle est remplacée par une force de sens contraire exercée par le solide sur le projectile. Mais si l’introduction de l’élasticité est suffisante, pour affirmer qu’Al-Haytham s’en soit effectivement servi, il faudrait supposer qu’il ait eu connaissance de la conservation de l’énergie et de l’énergie cinétique. Or l’on ne pressent guère ces notions dans la démarche d’Al-Haytham, ni cette autre notion nécessaire à la définition des premières : la vitesse. Là où il aborde des questions relatives à la composition et à la décomposition, Al-Haytham parle de mouvement et point de vitesse, dans la mesure où ce sont les positions du mobile qui l’intéressent et non aussi ses vitesses. En fait une composition de la vitesse est difficilement concevable en l’absence de l’intervention explicite et raisonnée de la variable temps, telle que les positions du mobile soient des fonctions continues du temps. Mais cette construction, comme chacun sait – et le xvii e siècle le démontrera – n’est possible qu’en raison d’un appareil mathématique que la géométrie utilisée alors n’était guère en mesure de fournir. En bref, une définition de la vitesse ne saurait aller sans une modification des cadres mêmes de la conception du mouvement : mais alors la contradiction qui fait problème perd toute raison de persister. Il convient de préciser ici les limites de la contribution d’AlHaytham. Celles de son schéma explicatif ne relèvent pas seulement de la contradiction incriminée : même si on la supprimait, ceci ne suffirait pas à sauver le schéma et à le revendiquer comme celui du choc. Supposons toutefois que la contradiction n’existe pas et qu’AlHaytham ait donné toutes les règles syntactiques nécessaires au schéma du mouvement, il n’en serait pas moins dans l’impossibilité réelle de proposer les règles permettant d’attribuer à chaque notion d’une théorie du mouvement un sens précis pouvant être retrouvé chaque fois qu’on veut l’utiliser. Ceci tient pour une part à l’indétermination des notions utilisées, mais bien plus au fait que le discours ici ne concerne pas une théorie du mouvement et se limite aux éléments nécessaires à l’explication du mouvement réfléchi – qui déjà changent, et doublement pour la réfraction. Cet aspect partiel de nature logique, est essentiel : comme tel, il exige pour la réforme du schéma, que soient radicalement transformés, et sa position, et son sens.

différence des vitesses V1 et V0 − V1 sur IB après le choc et V0 sur AI avant le choc – soit un vecteur parallèle à ID. V0 , V1 et ID sont dans un même plan et la composante de Vt – parallèle au plan tangent en I – reste constante.

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Quoi qu’il en soit, utilisant ce schéma pour rendre compte de la réflexion de la lumière, il ne semble pas qu’Al-Haytham fasse l’effort d’une révision ou d’une adaptation particulière. Au contraire, une garantie supplémentaire est présentée : la lumière n’est pas arrêtée dans son mouvement très rapide par le milieu, de la même manière qu’un obstacle empêche un mobile de poursuivre sa route ; dans l’un ou l’autre cas du mouvement local, la résistance du milieu est une résistance de l’obstacle comme surface, résistance à la limite, pour autant que l’influence de la pesanteur n’intervient pas et ainsi la lumière : ... n’a pas en elle de force qui la meuve dans une direction particulière, sa propriété étant de se mouvoir suivant des trajectoires rectilignes dans toutes les directions possibles à condition qu’elles se propagent dans des corps transparents. Si la lumière se réfléchit avec ce qu’elle a reçu de force acquise et qu’elle se propage suivant la trajectoire exigée par la réflexion, elle se propage suivant cette trajectoire sans être détournée par aucune force, car il n’est pas de sa propriété d’exiger une direction particulière 1.

Ainsi le mouvement réfléchi sera très fort si «le mouvement de la lumière est très fort et si la surface réfléchissante lui résiste à la limite» 2. Peut-on affirmer dès lors que l’« analogie»considérée a la même signification, donc le même statut que d’autres évoquées antérieurement ? Qu’elle prolonge selon un mode certes plus élaboré l’analogie de la catoptrique de Héron d’Alexandrie ou celle de l’Optique de Ptolémée ? Ou bien faut-il plutôt y voir l’inauguration d’une autre tradition qui se transmet jusqu’à Kepler puis passe – avec changement de références et de titre – chez Descartes ? La question préjuge du statut même de l’Optique d’Al-Haytham. Une réponse précise a le devoir en premier lieu de distinguer parmi les métaphores. Car si on consacre avec raison la notion d’analogie à la seule analogie assurée d’un isomorphisme de structure entre deux phénomènes – éventuellement le mouvement du choc et la réflexion de la lumière – analogie assurée d’un statut mathématique, toute autre ne saurait l’être qu’à titre métaphorique. C’est à travers cette distinction que le problème apparaît. En effet, on admet sans peine que les métaphores ne se valent pas : si chez Héron d’Alexandrie la métaphore signifie désignation d’une ressemblance, chez Ptolémée, elle n’est autre que l’évocation d’un rapprochement. À partir d’Al-Haytham, puis chez Kepler, elle est rapprochement provoqué pour ‎1. L’Optique, p. 355v-356r. ‎2. L’Optique, p. 345r.

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autant qu’on y revient systématiquement et que l’on n’épargne pas – et délibérément – le souci de la fonder. Al-Haytham ne se contente pas d’insister sur un rapprochement pour l’oublier ensuite – comme fait Héron d’Alexandrie dans sa Catoptrique – quand il s’agit d’expliquer la réflexion. Mais il reste vrai que Héron rapproche la réflexion du rayon visuel et le mouvement du projectile ayant subi un choc contre un solide. La propriété des corps denses, dit Héron – et il prend pour exemple un mur – est de faire rebondir un projectile lancé contre l’un d’eux avec violence. Par contre un corps mou – la laine et ses homologues – le tient au repos. De la même manière, un rayon visuel se réfléchit sur une surface polie alors qu’il est arrêté par une surface rugueuse. D’autres substances telles l’eau, la glace, ... ne réfléchissent le rayon visuel que partiellement : les parties solides le réfléchissent mais les parties rares le laissent passer 1. Le rapprochement s’arrête là et les notions utilisées – force de projection, ... – pour le mouvement du projectile, ne sont pas reprises pour expliquer l’égalité des angles d’incidence et de réflexion 2. Mais c’est à partir du principe « que la nature ne fait rien en vain» qu’il montre que le rayon visuel se propage avec une très grande vitesse et que sa trajectoire est le chemin le plus court. Or ce chemin est la droite brisée qui forme avec la surface polie deux angles égaux parmi tous ceux qu’on peut mener « d’un point à un autre en les faisant se briser sur la même surface sous des angles divers 3 ». Ptolémée étudie plus minutieusement le rapprochement entre le dit mouvement et la réflexion. Mais les notions nécessaires pour le justifier de même que l’idée de composition du mouvement en conséquence du choc oblique sont absentes. En cette absence persiste l’imprécision d’une métaphore. Le rapprochement bénéficie toutefois d’une discussion plus serrée dans la mesure où Ptolémée y évoque l’égalité des angles formés par le rebondissement d’un projectile lancé contre une surface et par la réflexion de la lumière. La réflexion est donc régie par la même règle que le mouvement. Si le projectile est lancé suivant la normale à la surface il ne peut guère poursuivre son mouvement dans la même direction et se réfléchit. Mais si dans cette trajectoire, le projectile rencontre un obstacle tangent, il est à peine freiné et se meut dans la même voie, sans se réfléchir – de même

‎1. Cf. Héron d’Alexandrie : Mechanik und Katoptrik, éd. et trad. allemande de L. Nix et W. Schmitt, Leipzig 1900 pp. 322 sqq. ‎2. H. d’Alexandrie : op. cit. p. 324 sqq. ‎3. Cf. Damianos : Schrift über Optik, mit Auszügen aus Geminos, éd. grecque et allemande de R. Schöne, Berlin 1897, p. 20. Cf. aussi V. Ronchi : Histoire de la lumière p. 22, T. Heath : Greek mathematics, vol. II, p. 384 sqq. et A. Lejeune : Recherches ... op. cit. p. 48.

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que le manche d’un arc ne détourne pas les flèches. C’est conformément à ce mouvement, conclut Ptolémée, qu’il faut comprendre le mouvement de toute chose. Si donc les rayons visuels tombent sur la normale à la surface, ils sont réfléchis suivant la même droite et s’ils suivent la tangente, ils continuent leur trajet sans être arrêtés ni déviés. Le rayon oblique occupe une position intermédiaire, sa trajectoire est la transition naturelle entre les trajectoires des deux cas précédents ou « extrêmes» – d’où l’égalité des angles 1. Al-Haytham, lui, ne fait pas allusion à une ressemblance générale et lointaine entre mouvement du choc et réflexion de la lumière. Il fait appel à la composition du mouvement pour expliquer la réflexion – et l’égalité des angles – en sorte que les ressemblances puissent être systématiquement recensées et ensuite fondées par les notions d’une « théorie» du mouvement du choc. La présence des éléments d’une théorie – même fausse – permet dès lors ce qui auparavant était interdit : la métaphore peut devenir le noyau de l’explication de la réflexion – et aussi de la réfraction – dans la mesure où chaque proposition explicative de l’une ou de l’autre peut être réduite à une ou plusieurs notions au moyen de la métaphore. Si donc l’aspect systématique est lié à la composition du mouvement, c’est pour autant que l’on veut élaborer les notions requises pour la fonder. Chez Kepler et dans une certaine mesure chez Descartes – compte tenu de la différence des doctrines – le même type de situation se présente. Dans ses opuscules philosophiques – remarques sur Descartes sur l’art. 32 – Leibniz 2 attribue à Kepler la paternité de la décomposition du mouvement pour l’explication de la réflexion, à Descartes le droit de succession et à Galilée enfin – gradation significative – la priorité de son utilisation en mécanique. Sans insister sur

‎1. Ptolemée : L’Optique op. cit. pp. 98-99. « Hinc ergo de facili apparet proportio equalitatis angulorum que fit ex reverberatione, et quod sit secundum naturalem cursum, quoniam res que emittuntur, vix prohibentur a rebus tangentibus illas tantum, sed prohibentur multum a rebus resistentibus penes lineam motionis. Et ideo, cum aliquid prohibuerit has res contraria et forti obstantia, secat lineam longiorem et adversatur ei, illi videlicet que protenditur ad principium, quemadmodum parietes prohibent speras que cadunt super eas ad rectos angulos ; illa vero nullatenus prohibent, quemadmodum manubia arcuum non prohibent sagittas. Intelligendum est etiam iuxta hunc modum de uniuersis rebus que moventur, et cognoscendum est quod ita fiunt». ‎2. Kepler fut le premier à se servir de la composition des mouvements pour expliquer l’égalité de l’angle d’incidence et de l’angle de réflexion dans son Ad Vitellionem Paralipomena où il décompose le mouvement oblique en deux mouvements, l’un perpendiculaire et l’autre parallèle. Il fut suivi par Descartes aussi bien ici que dans sa Dioptrique. Mais c’est Galilée qui a montré le premier l’usage fécond que l’on peut faire de la composition des mouvements en physique et en mécanique.

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la nécessité de savoir si oui ou non il y eut paternité, il est vrai que Kepler après avoir exposé dans son ad Vitellionem Paralipomena – prop. XVIII – les notions qui fondent la métaphore 1, dit dans la prop. XIX pour expliquer la réflexion : ‎1. Kepler attribue en effet à la lumière une espèce du mouvement – «émanation» ou «projection» – qui va de sa source vers un lieu lointain. Il dit dans la proposition 1 : «Luci effluxus vel eiaculatio competit a sua origine in locum distantem » (p. 20). Dans la proposition V, il est dit que ce mouvement de la lumière «... non est in tempore, sed in momento» (p. 21). Dans la proposition XVIII enfin, Kepler rappelle cette espèce du mouvement qui n’est autre que « pulsus». Mais il déclare que « Pulsus est actio, et inter contraria ; sed cum actione est mutua passio : ergo et in pulsu. Percussui vero, quo lux ferit superficiem ex una plaga contrarius est repercussus in partem alteram. Virtus enim, et quae mobile appulit, et quae ab apposito repellit, eadem est, quia in puncto inflictus consideratur» (p. 25). Or Kepler avait montré auparavant les éléments qui permettent le mouvement physique et celui de la lumière : « Quod enim est in motu physico durities confligentium quae consistit in permanentia superficierum, hoc est in luce nuda superficies, seu terminatio vel figuratio corporum. Eo ipso enim, quod corpora physica terminata et ipsa sunt, dura intelliguntur» (p. 25). Finalement, se demandant pourquoi la réflexion a lieu, et dans le mouvement physique, et dans la lumière, Kepler en trouve la raison dans la violence du mouvement – motus violentia. Ainsi lorsque : «vis movens non omnis a conflictu aboleri potest ; superabit itaque motus terminum suae linae, superficiem scilicet. At non potest in directum : obsistit enim illic corpus corpori : hic superficies superficiei : illic in solidum, hic ex parte, ut audiemus. Relinquitur igitur, ut in oppositum. Concinnius ista fortasse sic » (p. 25). Cf. Kepler : ad Vitellionem paralipomena, dans l’éd. complète de l’œuvre de Kepler de M. Caspar et F. Hammer, Munich 1941, vol. II. Même chose pour la réfraction (cf. proposition XX) – on le verra plus loin chez Al-Haytham –. On pourrait résumer ainsi l’argument de Kepler : soit BC la surface rencontrée par la balle, le mouvement de la balle est composé de la composante perpendiculaire à la surface IB et de la composante parallèle à la surface BH. La balle

Fig. 4 sera d’abord arrêtée par la résistance du milieu perpendiculairement à sa surface, pour être arrêtée par la suite parallèlement à la surface. Mais dans le cas de la lumière, pour autant qu’elle est arrêtée par la surface, elle est arrêtée dans la direction parallèle à cette surface. Ainsi quand elle pénètre dans un milieu dense comme l’eau et le cristal

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Lorsqu’une chose se meut obliquement vers une surface, le mouvement est composé d’un mouvement perpendiculaire et d’un mouvement parallèle à la surface. Mais la surface est opposée seulement à cette partie qui lui est perpendiculaire, non à celle qui lui est parallèle. C’est pourquoi elle n’empêche (impedit) pas la partie qui lui est parallèle 1.

Avec Descartes 2, la métaphore dépend d’un même type de situation ; pour expliquer l’égalité des angles, elle est utilisée dans la composition du mouvement d’un projectile. Encore faut-il remarquer que déjà elle change de références et de titre : il y a changement de références dans la mesure où la doctrine nécessaire pour la fonder appartient à une philosophie qui, comme chacun sait, fait appel en vue de l’explication aux seuls principes mécaniques – grandeur, forme et mouvement des derniers corpuscules – donc aux grandeurs extensives. Dans ces limites, la lumière n’est pas autre chose qu’une pression exercée sur un milieu, elle est une propriété mécanique du milieu transmetteur dont la propagation est instantanée. Pour éviter une difficulté apparente, au mouvement de la balle – solide quoiqu’on en dise – correspond une inclination de la lumière à se mouvoir qui, en définitive, doit suivre les mêmes lois. Changement de titre, dans la mesure où c’est seulement depuis Descartes qu’elle revendique l’épithète de « mécanique». Pour situer la contribution d’Al-Haytham, nous avons suivi son utilisation « analogique» du schéma du mouvement pour en marquer les limites. Faute d’une telle démarche, on risquait d’en suggérer la généralité et c’est pourquoi il est important de considérer ensuite l’application du schéma à l’explication de la réfraction ; on ne pourra éviter ici de se demander si l’on est toujours devant ce même schéma dont tout indique qu’il n’est le même qu’en apparence. Or il éclate franchement en deux parties, l’une pour l’explication du passage de la lumière dans un milieu rare et l’autre dans le cas inverse. Mais avant l’intervention du schéma puis son éclatement dans la réfraction, rappelons que – outre les résultats connus depuis Ptolémée, mais redécouverts par Al-Haytham dans le cadre nouveau de son optique – l’auteur formule explicitement que le rayon incident, le rayon réfracté et la normale au point d’incidence sont situés dans un

à partir d’un milieu rare – par exemple l’air – elle se réfracte en se rapprochant de la perpendiculaire. Cf. Kepler, op. cit. p. 26. ‎1. Kepler, op. cit. p. 25. ‎2. Descartes : La Dioptrique (et particulièrement le discours second).

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même plan – cf. Le Discours de la lumière et le livre VII de l’Optique. Il retient enfin pour cause de la réfraction la différence entre les vitesses du mouvement de la lumière dans les deux milieux. Ainsi, dit-il : ... si la lumière se réfracte quand elle rencontre un corps transparent dont la transparence est différente de celle du corps où elle se trouve, c’est parce que la pénétration de la lumière dans les corps transparents a lieu selon un mouvement dont la rapidité est extrême. Nous avons montré cette propriété dans notre deuxième livre. Les lumières se propagent dans les corps transparents selon un mouvement dont la rapidité est telle qu’il n’apparaît pas au sens. Cependant leur mouvement est dans les corps subtils – je veux dire très transparents – plus rapide que dans les corps denses – je veux dire moins transparents. En effet, si en un corps transparent une lumière se propage, elle sera quelque peu empêchée par le corps transparent et proportionnellement à la densité qui est en lui ; car, en tout corps physique, il y a nécessairement une certaine densité et si la pureté de la transparence n’a dans la représentation aucune limite – à savoir l’idée de transparence – elle a dans le corps physique une limite qu’elle ne peut dépasser. Ainsi les corps physiques transparents ne sont jamais dénués d’une certaine densité. Les lumières qui traversent les corps transparents, pénètrent en eux proportionnellement à leur transparence et sont empêchées par eux proportionnellement à la densité qui est en eux. Par conséquent, si la lumière se propage dans un corps transparent puis rencontre un autre corps de transparence plus dense, ce corps plus dense empêchera la lumière plus fortement que ne le faisait le premier corps 1.

Le schéma du mouvement intervient pour expliquer la réfraction comme précédemment pour la réflexion, avec cette différence – on comprendra aisément pourquoi – qu’ici, au lieu d’un obstacle solide, on a une surface mince fixée sur une grande ouverture. L’expérience ‎1. L’Optique, p. 623r et OTA p. 240: « Quare autem refringatur lux, quando occurit corpori diaphano diversae diaphanitatis, causa haec est : quia transitus lucis per corpora diaphana fit per motum velocissimum, ut declaravimus in tractatu secundo. Luces ergo, quae extenduntur per corpora diaphana, extenduntur motu veloci, qui non patet sensui propter suam velocitatem. Praeterea motus earum in subtilibus corporibus, scilicet in illis, quae valde sunt diaphana, velocior est motu earum in iis, quae sunt grossiora illis, scilicet quae minus sunt diaphana. Omne enim corpus diaphanum, cum lux transit in ipsum resistit luci aliquantulum, secundum quod habet de grossitie. Nam in omni corpore naturali necesse est, ut sit aliqua grossities ; nam corpus parvae diaphanitatis non habet finem in imaginatione, quae est imaginatio lucidae diaphanitatis, et omnia corpora naturalia perveniunt ad finem, quem non possunt transire. Corpora ergo naturalia diaphana non possunt evadere aliquam grossitiem. Luces ergo cum transeunt per corpora diaphana, transeunt secundum diaphanitatem, quae est in eis, et sic impediunt lucem secundum grossitiem quae est in eis. Cum ergo lux transiverit per corpus diaphanum et occurit alii corpori grossiori primo, tunc corpus grossius resistit luci vehementius, quam primum resistabat».

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consiste comme auparavant à lancer la balle solide à deux reprises contre la surface, à partir de la même distance et avec la même force : la première fois suivant la normale à la surface, une deuxième fois suivant une ligne oblique. Si pour le premier mouvement, constate Al–Haytham, la balle traverse la surface en demeurant sur la normale, pour le deuxième, elle glisse sur cette surface et poursuit son trajet dans une autre direction 1. Ce dernier mouvement résulte de deux composantes comme on l’a vu dans le cas de la réflexion. À partir de cette constatation, générale en apparence, examinons de plus près les notions élaborées par Al-Haytham pour expliquer les trajets de la lumière réfractée. Deux nouvelles notions sont introduites et péniblement articulées aux notions présentes, non sans difficulté ni sans contradiction. La première est la différence des vitesses en raison de la densité du milieu, la deuxième celle de la voie la plus aisée : Le mouvement suivant la normale est le plus aisé et le plus fort et, parmi les mouvements obliques, les plus proches de la normale sont les plus aisés 1.

L’exemple de la réflexion montrait en effet une résistance maximale sur la normale ; pour la réfraction, la résistance sur la normale est au contraire minimale. Al-Haytham affirme ainsi : Si la lumière rencontre un corps transparent de transparence plus dense que celle du corps où elle se trouve, ce corps l’empêchera de pénétrer en lui suivant la direction de son mouvement, mais la résistance n’est pas extrêmement forte et elle ne retourne pas dans la direction de son mouvement. Si le mouvement de la lumière suit la normale, elle pénètre en suivant la même trajectoire à cause de la force du mouvement sur la normale. Mais si le mouvement suit une ligne oblique elle ne peut pénétrer suivant la même trajectoire à cause de la faiblesse de son mouvement. Il en résulte qu’elle tend vers la voie de pénétration la plus aisée ; or le mouvement le plus aisé est celui qui suit la normale et le plus proche de la normale est plus aisé que les autres 2.

‎1. L’Optique, p. 623v et OTA p. 241 : «Quod motus super perpendicularem est fortior et facilior : ex quod de obliquis motibus ille, qui vicinior est perpendiculari est facilior remotiore». ‎2. L’Optique, p. 624r et OTA p. 241 : « Lux ergo, si occurit corpori diaphano in grossiori illo corporé, in quo existit, tunc impedietur ab eo, ita quod non transibit in partem, ad quam movebatur, sed quia non fortiter resistit, non redibit in partem, ad quam movebatur. Si ergo motus lucis transiverit super perpendicularem, transibit recte propter fortitudinem motus super perpendicularem ; et si motus eius fuerit super lineam obliquam, tunc non poterit transire propter debilitatem motus ... ».

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Dans le cas du passage de la lumière d’un milieu moins dense à un milieu plus dense, l’incidence perpendiculaire, étant la voie la plus aisée, ne pose à Al-Haytham aucun problème. Mais pour l’incidence oblique la question reste entière : pourquoi la lumière ne suit-elle pas toujours le même chemin et se rapproche-t-elle de la normale seulement quand elle se réfracte ? L’argumentation d’Al-Haytham consiste à rappeler que le mouvement n’a pas été complètement aboli à la surface du milieu réfringent et qu’il en est de même pour ses deux composantes. Ainsi : Il est nécessaire que la lumière tende vers la voie la plus aisée tout en conservant son mouvement composé. Or la voie la plus aisée où persiste le mouvement est la voie la plus proche de la normale. C’est ainsi que la lumière qui se propage dans un corps transparent et rencontre un corps transparent plus dense se réfracte suivant une ligne plus proche que la ligne de son mouvement de la normale menée du point où elle rencontre le corps dense 1.

Avec le passage inverse de la lumière – d’un milieu dense à un milieu rare – la chose se complique : tout se passe alors comme si AlHaytham ne considérait plus la notion de chemin le plus aisé pour s’en tenir à la différence des vitesses ou rapidité du mouvement dans chacun des deux milieux. Pourquoi dans ce cas la lumière se réfractet-elle dans le milieu le plus dense en passant de l’autre côté de la normale et en s’en écartant ? Le principe de la répulsion établi auparavant indique que le milieu résiste à la propagation de la lumière dans la mesure où chaque milieu n’est pas d’une rareté absolument pure. Il reste toujours une certaine densité mais qui, plus grande dans le milieu plus dense, résiste à la propagation de la lumière plus fortement qu’en milieu plus rare. C’est pourquoi, dit Al-Haytham, le mouvement de la lumière est plus rapide en milieu rare qu’en milieu dense. Le mouvement d’une pierre est plus rapide et plus aisé dans l’air que dans l’eau, car la résistance de l’eau est plus grande. Pour le mouvement de l’incidence normale on a une autre variété de vitesse. Mais si l’incidence vient frapper obliquement le dioptre, le mouvement est formé de deux composantes : radiale et tangentielle. Si la lumière passe d’un milieu rare dans un milieu dense, la résistance à la ‎1. L’Optique, p. 624r et OTA p. 241 : «necesse est, ut lux declinet ad partem faciliorem parte, ad quam prius movebatur, remanente in ipso motu composito ; sed pars facilior parte, ad quam movebatur remanente motu in ipso, est ilia pars quae est vicinor perpendiculari. Unde lux quae extenditur in corpore diaphano, si occurit corpori diaphano grossiori corpore, in quo existit, refringetur per lineam propinquiorem perpendiculari, exeunti a puncto, in quo occurit corpori grossiori, quae extenditur in corpore grossiore per aliam lineam quam sit linea, per quam movebatur».

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composante tangentielle sera plus grande que la résistance à la composante radiale. Mais on peut inverser les termes de la situation dans le cas où la lumière pénètre dans le milieu le plus rare : la résistance à la composante tangentielle diminue, la composante tangentielle devient plus grande et la réfraction se fait en s’écartant de la normale. On peut alors se demander pourquoi c’est seulement la composante tangentielle qui croît. S’agit-il là d’une reprise implicite de l’hypothèse de la voie la plus aisée suivant la normale, impliquant que seule la tangentielle est objet de variation ? Rien dans le texte d’AlHaytham ne permet de justifier une telle conclusion et, en premier lieu, le simple fait qu’il n’en dit rien lui-même. Fait en soi significatif puisqu’il indique que le principe de la voie la plus aisée n’est pas aussi général qu’on a pu le croire – et on peut sans exagérer, affirmer qu’on se retrouve en définitive devant deux schémas explicatifs, selon que la lumière pénètre dans le milieu le plus dense ou dans le milieu le plus rare. Le schéma du mouvement adapté à la réfraction ne va ni sans difficulté, ni sans contradiction, par rapport à l’usage que l’on en avait fait dans l’explication de la réflexion : non seulement la paroi mince est de trop, mais on a vu aussi que si la résistance est extrême sur la normale, pour la réflexion, elle est minimale sur la normale, pour la réfraction. Les difficultés rencontrées ont amené un physicien commentateur d’Al-Haytham du xiv e siècle à émettre des doutes sur la valeur explicative du schéma et même à en refuser l’hypothèse de base : l’«analogie» entre mouvement d’un projectile après un choc et mouvement de la lumière. Il propose que le mouvement de la lumière soit analogue ... au mouvement des sons et non au mouvement des corps ; s’il en est ainsi la résistance qu’il mentionne ne peut y être représentée 1

indication qui, on le comprend sans peine, ne sera pas développée plus longuement. Pour restituer historiquement quelques parties de l’Optique d’AlHaytham, il nous a paru nécessaire de marquer les limites d’une « analogie» – toujours en vigueur aux xvi e et xvii e siècles – entre schéma du mouvement du choc et schéma de la lumière – dans chacune de ses applications, réflexion et réfraction, selon le milieu d’incidence. Cette tâche nous a astreint, pour neutraliser les goûts de l’historien, à revenir à un autre plan, celui de l’analyse épistémologique, permettant de dégager les traits caractéristiques d’un savoir. ‎1. Cf. Al-Fārisī : op. cit. Vol. 1 p. 374 – vol. 2 p. 336.

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Dégagés par la restitution d’un passé donc au cours même du travail de l’historien, comme traits épistémologiques, ils en deviennent à la fois et en même temps le support. Mais chaque utilisation de l’analogie – et ceci est significatif – présente une limitation interne de nature logique. Chaque schéma se proposant de fournir une explication de l’ensemble du phénomène de la propagation à partir d’un point de vue local, non seulement est incompatible avec un autre, mais aussi avec tout autre ultérieurement fondé. La confrontation des deux schémas de la réflexion et de la réfraction a fait apparaître cette contradiction et quel que soit le domaine que l’on considère – théorie du mouvement ou de la lumière – on retrouve chaque fois le schéma de la réflexion avec une armature conceptuelle différente et un sens modifié. Les constructions proposées pour expliquer réflexion et réfraction sont en définitive bien loin de tendre vers une organisation unitaire quelconque et nous renvoient sans cesse à la méthode et au but d’Al Haytham. Tout se passe comme si l’auteur voulait, dans les limites d’une articulation pour le moins difficile entre une géométrie et une interprétation naïve de l’expérience, mettre en place des constructions pour expliquer le fonctionnement de complexités beaucoup plus limitées – réellement et logiquement – que celles initialement considérées. Si la propagation est schématisée, une fois comme réflexion sur des surfaces polies ou compactes, elle l’est deux fois comme réfraction, sans que soient assurées en aucune manière les règles du passage d’un schéma à l’autre. Connaître dans ces conditions, ce n’est pas reconstruire ou dévoiler le fonctionnement idéal, mais c’est articuler une géométrie à des notions informes – qu’on croit empiriques – pour saisir le sens à court terme d’un mouvement. Le caractère partiel de l’explication est essentiel et le corps du savoir est formé de la mosaïque des schémas dispersés d’une science en attente. Par « science en attente» nous indiquons ce savoir qui, contrairement à un savoir spéculatif, ne croit plus à la seule vertu d’une « systématisation» des dénominations ou prétendus concepts, sans penser pour autant, à la manière des géomètres – ou des calculateurs du xiv e siècle – qu’une physique n’est pas plus une géométrie ou une arithmétique qu’elle n’est une logique. Mais si le doctrinaire collabore avec le géomètre, c’est au prix d’un changement non seulement des notions mais aussi du style, du type de rationalité. Le doctrinaire doit accepter que les couleurs soient objet d’un traitement géométrique, plus encore, que couleur et lumière soient étayées d’une structure géométrique dans la mesure où, à partir d’un objet éclairé, lumière et couleur se propagent de chaque point en suivant une trajectoire rectiligne – punctiforme – dont l’ensemble forme le «rayon» – lisons faisceau – et, enfin, que

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les deux lumières – substantielle et accidentelle-soient soumises aux mêmes règles de propagation. Doctrinaire et géomètre doivent ensemble imaginer un œil qui satisfasse aux résultats obtenus et, si l’œil ici n’est pas encore appareil optique, au moins est-il déjà – et désormais – sans âme et reçoit-il la lumière. Pour collaborer, chacun doit se réformer et admettre systématiquement la nécessité d’un type de démonstration à la fois géométrique et expérimental : il faut en somme que l’un et l’autre acceptent de rapporter au moyen de la géométrie les notions d’une doctrine au plan d’une situation expérimentale. Cette nouvelle optique se distingue à la fois de celle du géomètre et de celle du doctrinaire, sans toutefois se présenter comme une synthèse éclectique des vues de l’un et des moyens de l’autre. Là apparaît une question particulièrement importante : la survivance du langage traditionnel. La langue d’Al-Haytham n’est elle pas en effet celle de la philosophie aristotélicienne arabe ? Une telle survivance, il est vrai, ne dissimule pas la transformation des normes comme on a pu s’en apercevoir. Il reste que ce langage n’apparaît pas pour autant comme le dernier vestige d’une langue morte et présente faute d’une épuration stylistique. La langue pense – faut-il le rappeler – et la survivance des termes est aussi celle des significations. Le changement des normes n’est donc ici ni complet ni radical – indication qui d’ailleurs pèche par sa généralité. Pour une réponse plus précise, il faut revenir au domaine où apparaît cette survivance, où elle est encore active. La distinction de la lumière en substantielle et accidentelle a montré, en fait, que la survivance diminue lorsqu’AlHaytham traite du principe de la propagation rectiligne – établi dans sa généralité – définit le concept de rayon, postule l’indépendance des rayons d’un faisceau, exprime sous une forme pour ainsi dire définitive la loi de la réflexion et s’approche dans une certaine mesure de la loi de la réfraction. La langue traditionnelle fait sans doute partie de ces développements, mais sa présence est inerte : elle est composée de termes muets qui ne pensent plus et attendent leur réanimation, réanimation qui s’avère nécessaire avec l’introduction d’hypothèses sur la nature physique de la lumière, le problème de la couleur et les notions de schéma explicatif. Si donc sur le plan de l’optique géométrique cette persistance ne dissimule pas la modification des normes, il reste qu’elle entrave la tâche sérieusement et inutilement : il suffit de rappeler l’effort difficile et a posteriori superflu pour démontrer que lumière accidentelle et lumière substantielle suivent les mêmes règles de propagation. Sur le plan de l’optique physique, s’il est vrai que cette présence ne cache pas l’introduction de normes nouvelles, elle exprime cependant sans cesse que l’on

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est encore prisonnier de représentations et de questions traditionnelles, si bien que les normes introduites s’intègrent mal et restent pour une grande part extérieures. Mais, même dans ce dernier cas, les représentations traditionnelles sont adaptées et dans une certaine mesure réformées sans toutefois changer de nature : le mouvement se compose et se décompose, les couleurs sont objet de géométrie et la lumière cherche le chemin le plus aisé pour se réfracter ... Au sein d’une même discipline, d’une même œuvre, on peut donc relever un double mouvement : de l’idéologie de l’optique à l’optique géométrique et de l’optique géométrique à une idéologie réformée. L’hétérogénéité du discours, la survivance du langage traditionnel indiquent que ce va-et-vient est diffus et non contrôlé. Mais si on le retrouve ici et là, c’est parce qu’il est dans la totalité de l’œuvre. Cet aspect diffus est à l’origine des jugements contradictoires portés par les historiens, mais il est responsable aussi, pour une part au moins, d’une certaine indifférence de longue durée. Les successeurs arabes d’Al-Haytham – à quelques rares exceptions près – lui rendent le plus grand hommage comme Al-Fārisī, mais cela ne les empêche pas de poursuivre leurs travaux dans la tradition de l’optique euclidienne ou ptoléméenne – ainsi le grand mathématicien Al-Ṭūsī 1 et mieux encore, l’allusion de l’encyclopédiste célèbre Ibn Khaldoun 2 qui, après avoir rappelé dans ses Prolégomènes la définition de l’optique à la manière des géomètres, cite Al-Haytham comme le plus illustre des savants de l’optique ! Ce n’est qu’avec le xvi e siècle européen que la science en attente sera activée.

Cette étude a été rédigée dans le cadre de l’Institut d’Histoire des Sciences et des Techniques, sous la direction de Monsieur Georges Canguilhem. ‎1. Al-Ṭūsī : Taḥrīr al-manāẓir li-Uqlīdis dans «Revue de l’Institut des Manuscrits» éd. Demerdash, Le Caire vol. 9 1963 pp. 243-90 et Fī inʿikās al-shuʿāʿātwain ʿiṭāfihā dans H. J. Winter et W. Arafat : A statement of optical reflection and refraction attributed to Naṣīr al-Dīn Al-Ṭūsī. ‎2. Ibn Khaldoun : Prolégomènes, (arabe) Le Caire, 6 e section, chapitre 15 p. 487.

LE MODÈLE DE LA SPHÈRE TRANSPARENTE ET L’EXPLICATION DE L’ARC-EN-CIEL : IBN AL-HAYTHAM, AL-FĀRISĪ 1 I Dans l’histoire de l’optique – et particulièrement l’optique météorologique – l’étude de l’arc-en-ciel occupe une place importante. Peut-on dès lors récrire l’histoire des explications de ce phénomène comme une « expression localisée » – respective à chaque étape contemporaine – du progrès de la science des phénomènes lumineux ? Une fois rédigée 2, cette histoire n’indiquerait-elle pas, pour chaque étape, la portée et les limites d’une connaissance optique ? Il suffit pour s’en convaincre de confronter, parmi d’autres, les textes des Météorologiques d’Aristote, Le halo et l’arc-en-ciel d’al-Fārisī, le De iride et radialibus impressionibus de Théodoric, les Météores de Descartes et la IX e proposition du livre I, part. II de l’Optique de Newton. Encore ne faudrait-il pas confondre expression localisée et histoire indicielle afin de ne point perdre toute particularité du problème en le considérant comme le reflet direct de telle optique ou telle autre. La réserve est d’autant plus valable là où l’arc-en-ciel fut étudié indépendamment comme dans une partie des Météorologiques ou Météores. Le caractère exceptionnel des textes consacrés à l’arc-en-ciel et au halo dans les Météorologiques d’Aristote n’a certes pas plus que ceux du De Anima ou du De Sensu valeur d’indicateur de l’optique aristotélicienne. Ailleurs, l’échec d’Ibn al-Haytham – qui avait cependant fourni tous les moyens nécessaires pour réussir au moins à expliquer la figure de l’arc – ne qualifie pas davantage son optique. Pourquoi donc l’expression localisée n’a-t-elle point ici valeur d’indice ? Une réponse immédiate nous renvoie au statut privilégié du problème : soumise prématurément à un traitement géométrique, cette géométrisation s’est dressée comme obstacle pendant longtemps.

Paru dans Revue d’Histoire des Sciences, 23 (1970), p. 109-140. ‎1. Cette étude est dédiée à Jean Tanguy. ‎2. Cf. C. B. Boyer. The rainbow from myth to mathematics, N. Y., 1959, ainsi que l’abondante bibliographie de cet ouvrage. Voir aussi les textes choisis par G. Hellmann, Meteorologische Optik, Berlin, 1902.

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Pour l’entreprendre, Aristote s’était référé à l’hypothèse – guère encore précise – de la réflexion et l’arc-en-ciel bénéficia ainsi, dans l’ensemble de l’œuvre optique du philosophe, d’un statut privilégié. Mais c’est précisément cette hypothèse, fixée pour ainsi dire par la géométrie, qui jouera encore comme obstacle chez un savant de l’importance d’Ibn al-Haytham. Quoi qu’il en soit, c’est ce statut qui nous occupera dans les pages suivantes, pour les cas particuliers d’Ibn alHaytham et d’al-Fārisī 1. Bien que Descartes déclare « venir à des connaissances que ceux dont nous avons les écrits n’ont point eues» 2 et que Newton 3 mette subtilement en doute cette priorité revendiquée par Descartes pour l’attribuer à Antoine de Dominis dans son De radiis visus et lucis, on sait déjà depuis le xiv e siècle que l’arc-en-ciel apparaît à un observateur bien placé lorsque les rayons du soleil se réfractent dans les gouttelettes d’eau provenant de la condensation des nuages et que nous avons alors deux arcs de cercle : le premier, intérieur, produit par deux réfractions et une réflexion entre ces deux, et le second, extérieur, formé de deux réfractions et deux réflexions. Chaque arc est formé de bandes concentriques offrant une variété de couleurs – plus tard on aurait dit toutes les couleurs du spectre – le rouge à l’extérieur et le violet à l’intérieur pour le premier arc et inversement pour le deuxième. Les couleurs de celui-ci sont plus pâles que celles du premier. Entre les deux arcs, il y a une région plus obscure que partout ailleurs. Cette connaissance, qui n’est ni épurée, ni

‎1. Kamāl al-Dīn al-Fārisī, mort en 1319, est l’élève de l’astronome et mathématicien célèbre Qutb al-Dīn al-Shirāzī qui lui conseilla – comme il le déclare lui-même au début de son Tanqīḥ al-Manāẓir – l’étude du livre de l’optique d’Ibn al-Haytham. AlShirāzī, lui-même, citait Ibn al-Haytham dans son Nihāyat-ʾl-idrāk fi dirāyat ʾl-aflāk – dont le fonds arabe de la Bibliothèque Nationale possède deux manuscrits : 2517 et 2518, bien qu’il affirme n’avoir guère pu jusque-là voir ce livre (p. 9 v). Le Tanqīḥ al-Manāẓir contient, parmi d’autres, l’essai d’Ibn al-Haytham sur la sphère ardente – Taḥrīr maqāla fīʾl kuraʾl muḥriqa. On peut y lire aussi son propre essai sur Le halo et l’arc-en-ciel. Il n’existe pas encore d’édition critique de ce livre. La seule édition du texte est celle de Ḥayderabad, en deux volumes, 1928-1929. Voir pour ces essais E. Wiedemann, « Über die Brechung des Lichtes in Kugeln nach Ibn al-Haitam und Kamal al-Dīn al-Fārisī», in Sitzungsberichte der physikalisch-medizinischen Societät in Erlangen, XLVI, 1914, pp. 15-57, et, du même auteur : Théorie des Regenbogens von Ibn al-Haitam, in ibid., XLVI, 1914 ; enfin, toujours de cet auteur, Zur Optik von Kamāl al-Dīn, in Archiv für die Geschichte der Naturwissenschaften und der Technik, 3, 1910- 1911, pp. 161-177, où de larges extraits sont traduits. Nous avons utilisé l’édition de Ḥayderabad en la vérifiant et la corrigeant à l’aide du manuscrit de la Bibliothèque de Leyde : Or. 201, Leiden. ‎2. Descartes, Œuvres, éd. Adam-Tannery, vol. VI, p. 325. ‎3. Newton, Traité d’optique, pp. 190-191.

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corrigée, n’est pas – pour l’optique géométrique – aussi claire que l’exposé cartésien. Il est vrai que personne au xiv e siècle n’a « pris la plume et calculé par le menu tous les rayons qui tombent sur les divers points d’une goutte d’eau pour savoir sous quels angles après deux réfractions et une ou deux réflexions, ils peuvent venir à nos yeux» 1. Cependant, bien que la loi des sinus ne fût guère encore appliquée, les résultats obtenus à cette époque sont dans l’ensemble corrects tandis que la méthode adoptée n’est pas différente de celle que Descartes utilisera plus tard. Nous pensons ici à ces deux savants du xiv e siècle, différents à tous égards, séparés par les continents et la culture : l’Allemand Théodoric 2 et le Persan al-Fārisī. Ils présentent, en outre, l’avantage d’être contemporains et d’appartenir au

‎1. Descartes, op. cit., pp. 335-336. Remarquons toutefois qu’une différence importante sépare al-Fārisī et Théodoric sur ce point. Les résultats de Théodoric sont essentiellement qualitatifs tandis qu’al-Fārisī, profitant des travaux d’Ibn al-Haytham sur la réfraction dans la sphère ardente, essaya d’aller plus loin à deux égards : a) D’une part, utilisant les techniques des astronomes pour la construction de leurs tables, il construisit à son tour une table de réfraction – air, verre – pour les angles d’incidence n × 5° avec 1 < n < 17. Wiedemann reproduit et explicite cette table ; voir Wiedemann, Über die Brechung des Lichtes nach Ibn al-Haytham und Kamāl al-Dīn al-Fārisī, p. 33. Une discussion de cette table et de ses rapports avec celles de Ptolémée est parfaitement menée par Schramm, Steps towards the idea of function : a comparison between eastern and western science of the middle-ages, in History of Science, vol. 4, I965, pp. 81 sqq. La conclusion de Schramm est significative : « By Kamāl al-Dīn’s skill in using the methods of numerical tabulation, a basis for the quantitative analysis of the phenomenon was created while at the very same time Western scholars like Theodoric of Freiberg had to confine themselves to qualitative considerations, not yet having mastered such methods. The new element présent in Descartes’ famous treatment of the subject was precisely the introduction of numerical tabulation as a means of quantitative analysis ; but his ideas on the subject of the angle of return for which the density of rays reaches a maximum were still of a rather vague and dubious kind », p. 85. Il reste néanmoins qu’al-Fārisī n’utilise pas cette tabulation numérique d’une manière systématique dans l’étude de l’arc-en-ciel. Il ne se sert pas de ses résultats mais distingue seulement entre les deux groupes de rayons d’incidence – inférieure ou supérieure à 50°. C’est en ce sens que la formule citée de Descartes est valable. b) D’autre part, al-Fārisī obtient des résultats importants au cours de sa discussion du problème du halo quant à la réfraction dans deux sphères transparentes. Ces résultats sont exposés et discutés par Naẓīf avec la rigueur connue de cet auteur. Voir M. Naẓīf, Kamāl al-Dīn al-Fārisī et certaines de ses recherches sur la science de la lumière (en arabe), in La société égyptienne d’histoire des sciences, n o 2, déc. 1958, pp. 63100. Nous renvoyons pour ces deux points aux références citées. ‎2. Theodoricus Teutonicus, De iride et radialibus impressionibus, ed. J. Würschmidt, in Beiträge zur Geschichte der Philosophie des Mittelalters, XII (5, G), 1914, ainsi que le choix de textes de Hellmann, op. cit.

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xiv e siècle, ce qui nous permet raisonnablement – et fort heureusement – de neutraliser la question des influences 1. Le seul trait qui

‎1. En effet, Théodoric a composé le De iride... entre 1304 et 1311. Voir pour cet auteur : E. Krebs, Meister Dietrich (Theodoricus Teutonicus de Vriberg), sein Leben, seine Werke. seine Wissenschaft, in Beiträge zur Geschichte der Philosophie des Mittelalters, Bd. V, Heft 5-6, pp. 105 sqq., et P. Duhem, Le système du monde, vol. 3, pp. 383 sqq. Krebs « dit au sujet des rapports entre Théodoric et Ibn al-Haytham : «Hingegen scheint es sehr wahrscheinlich zu sein, daß Dietrich das große Werk des „arabischen Vaters der modernen Optik“ ausführlich benutzt hat, denn auf Alhacens Optik bezogen, lassen sich Dietrichs Sätze verifizieren, wenn man die Ziffern als die Bezeichnung der Bücher nimmt», op. cit., p. 40. Dans sa préface à son édition critique du De iride el radialibus impressionibus, J. Würschmidt écrit que l’œuvre-source « auf das sich Dietrich nach seiner eigenen Angabe bei der Behandlung dieses Problems (l’arc-en-ciel) stützt, die Optik Ibn alHaitams (Alhacens) ist». V.J. Würschmidt, Dietrich von Freiberg, über den Regenbogen und die durch Strahlen erzeugten Eindrücke. in Beiträge zur Geschichte der Philosophie des Mittelalters, Bd XII. Heft 5-6, p. 1, Münster, 1914. Pour al-Fārisī, on sait qu’il a – selon l’opinion de Wiedemann – terminé son Tanqīḥ al-Manāẓir entre 1302 et 1311, donc à une époque contemporaine de Théodoric : voir Wiedemann, Zu Ibn al-Haitams Optik, in Archiv für die Geschichte der Naturwissenschaften und der Technik, n o 3 (1912), pp. 3 et 4, où il conclut : «Wir können also jedenfalls die definitive Redaktion des Werkes zwischen 1302 und 1311 legen», p. 4. Mais si cette thèse convient mieux à notre propos, il en existe une autre qu’il ne nous est guère possible d’ignorer, mieux soutenue et plus convaincante. Wiedemann propose, en effet, deux arguments principaux : a) Le livre fut composé du vivant d’al-Shirāzī, donc avant 1311. b) Al-Fārisī y fait référence à une éclipse de Lune que Wiedemann situe en 1302. Cette thèse sera utilisée plus tard par des historiens comme Würschmidt (op. cit., p. 2). À ces arguments, Naẓīf répond : « Dans ses recherches sur l’arc-en-ciel contenues en appendice au Tanqīḥ, alFārisī emprunte au Commentaire du Canon d’Al-Shirāzī son opinion sur la manière dont naissent les couleurs : le passage qui contient les propos d’al-Shirāzī indique clairement que le Commentaire du Canon n’était pas terminé. Ce qui reviendrait à dire qu’Al-Fārisī avait terminé le Tanqīḥ avant qu’Al-Shirāzī ait achevé le Commentaire du Canon. Quant à l’éclipse de la Lune sur laquelle s’appuie Wiedemann si l’on accepte qu’elle se soit produite en 1304 [Wiedemann dit en 1302] le fait reste qu’elle n’est évoquée ni dans le corps du livre du Tanqīḥ, ni en conclusion, ni en appendice mais qu’elle apparaît seulement dans le Commentaire d’Al-Fārisī de l’un des trois traités d’Ibn al-Haytham ajoutés par al-Fārisī en appendice à son livre ; il s’agit du Traité des ombres et l’on peut penser que ces traités furent ajoutés au livre après son édition ou que l’évocation de l’éclipse fut introduite par la suite. « Pour le moins qu’on puisse supposer, je ne crois pas me tromper en disant qu’ai-Fārisī avait terminé les recherches sur lesquelles il devait fonder deux théories de l’arc-en-ciel – sans pour autant généraliser ce jugement en l’étendant à l’ensemble du livre du Tanqīḥ, avec son corps, sa conclusion, ses appendices et excursus – avant, qu’al-Shirāzī ait achevé son Commentaire du Canon. Ainsi, je n’émets pas ce qui est probable mais plutôt ce qui est certain en disant qu’al-Fārisī avait terminé ses recherches

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leur soit commun est d’avoir adhéré l’un et l’autre à l’optique d’Ibn al-Haytham dont ils ont tous deux accepté la réforme. Nous avons caractérisé ailleurs 1 la réforme d’Ibn al-Haytham comme ayant introduit de nouvelles normes – mathématiques et expérimentales – pour traiter une problématique traditionnelle où se trouvent unies lumière et vision. Jusqu’alors la lumière n’était essentiellement que l’instrument de l’œil et réciproquement, voir c’était éclairer. Pour construire une théorie de la lumière, il fallait commencer par une théorie de la vision, mais pour établir une théorie de la vision, il était nécessaire de revenir d’abord à la propagation lumineuse, si bien que chaque tache renvoyait immédiatement à l’autre, chaque théorie empruntant la langue de l’autre. L’optique d’Aristote, de même que celles d’Euclide et de Ptolémée. ne séparait point et, pour introduire de nouvelles normes, une meilleure séparation s’imposait à Ibn al-Haytham. Mais cette introduction étant fondée sur une analogie entre le mouvement du choc et la propagation lumineuse, la science qui en résulta demeurait en attente d’une apodicticité véritable. Aussi limitative fût-elle, l’analogie permit ce-

sur l’arc-cn-ciel comprises en appendice au livre du Tanqīḥ au moins quelque dix ans avant que Théodoric ait composé son traité entre les années 1301 et 1311.» Mais Naẓīf ne s’arrête pas là et confirme une fois de plus la possibilité de l’influence d’al-Fārisī sur Théodoric qu’il justifie à partir de l’histoire des contacts à cette époque (voir Naẓīf, op. cit., p. 94). Or bien que nous admettions la priorité d’al-Fārisī, nous ne croyons pas comme Naẓīf à une influence de celui-ci sur Théodoric – au moins au stade actuel de notre connaissance – pour les raisons suivantes : a) On n’a retrouvé jusqu’aujourd’hui aucune trace latine de l’œuvre d’al-Fārisī ; b) Théodoric ne cite pas al-Fārisī, ce qui en soi est peu important en raison de la pauvreté des références aux auteurs dans la littérature médiévale européenne ; il reste cependant que l’on ne trouve guère de référence au Tanqīḥ, pas plus qu’à l’essai d’al-Fārisī sur l’arc-en-ciel dans la littérature optique de l’Occident médiéval ; c) Plus importants encore sont l’examen de deux textes et l’utilisation des résultats précieux d’Ibn al-Haytham dans son Essai sur la sphère ardente qui favorisent à bien des égards l’étude optique d’al-Fārisī. Un jugement raisonné est donné à ce propos par celui qui a lu de plus près les textes optiques de Théodoric ; J. Würschmidt écrit, en effet : «Ein Vergleich dieses Werkes (il s’agit du travail d’al-Fārisī) mit dem Meister Dietrich ergibt, dass dieser sicher den Kommentar des Kamāl al-Dīn nicht gekannt hat ; Kamāl al-Dīn hat vor allem eine Reihe von Fehlern, die sich bei Dietrich und ebenso bei früheren arabischen Gelehrten finden, vermieden und besonders das Wesen des für die später von Descartes aufgestellte Regenbogentheorie so wichtigen « Umkehrstrahles» klar erkannt.» Il nous semble donc que la priorité d’al-Fārisī n’implique aucunement qu’il ait influencé Théodoric, mais que l’un et l’autre, disciples de l’optique d’Ibn al-Haytham et ayant puisé aux mêmes sources pour l’essentiel, ont pu parvenir simultanément à l’idée du modèle de la sphère transparente pour l’explication de l’arc-en-ciel. ‎1. Voir notre étude, Optique géométrique et doctrine optique chez Ibn alHaytham, in Archive for the History of Exact science, n o 4, vol. 6, 1970.

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pendant de rapporter les notions d’une doctrine physique – au sens aristotélicien du terme – au plan d’une situation expérimentale. C’est à la suite de cette réforme que deux « alhazéniens», pour ainsi dire, ont utilisé la même méthode pour expliquer l’arc-en-ciel en sorte que C. Boyer a pu écrire : Il est peut-être significatif que les commentaires grecs, latins ou arabes des œuvres philosophiques d’Aristote n’aient guère fait de grands progrès pour débrouiller les mystères de l’arc-en-ciel, tandis que les commentaires du traité géométrique d’Alhazen conduisaient au succès à propos de cet intraitable phénomène ; mais ce fut probablement la nouvelle approche expérimentale, plutôt que les mathématiques elles-mêmes, qui justifia ce succès 1.

Depuis longtemps pour Théodoric et récemment pour al-Fārisī – c’est-à-dire depuis les traductions de Wiedemann – on sait que l’un et l’autre ont eu recours à un objet fabriqué 2 pour expliquer l’arc-encicl : une sphère massive en verre remplie d’eau. Expliquer c’est, pour ‎1. C. Boyer, op. cit., p. 127. ‎2. Après H. Wiedemann et Sarton, on a toujours associé le nom d’al-Fārisī à celui de son maître al-Shirāzī. En rappelant que l’élève a emprunté au maître l’idée de l’explication de l’arc-en-ciel, C. Boyer écrit : «Hence the discovery of the theory presumably should be ascribed to the latter (al-Shirāzī), its elaboration to the former (al-Fārisī)», voir C. Boyer, The Rainbow..., p. 125. On trouve la même idée chez A. Crombie, Grosseteste and experimental science, p. 234, n. 1 ; et, depuis, dans la plupart des études. L’opinion est cependant inadmissible. En effet, le texte sur l’arc-en-ciel attribué à al-Shirāzī se trouve en une page de la fin du livre cité plus haut, dans le manuscrit 2517 du fonds arabe de la Bibliothèque Nationale. Rédigé avant 1518, ce manuscrit est incomplet. En outre, le texte qui concerne l’arc-en-ciel lui est étranger : d’une part, il vient après quelques pages d’alchimie sans rapport avec l’objet du livre et rédigées en une écriture différente de celle de l’ensemble du manuscrit. D’autre part, la page relative à l’arc-en-ciel est rédigée en une écriture encore différente des deux premières. Naẓīf a déjà suggéré après examen de ce manuscrit et d’un autre du même livre, se trouvant à la Bibliothèque Nationale du Caire, que cette page a pu être ajoutée. Voir Naẓīf, op. cit. – et nous avons pu le vérifier pour le manuscrit 7797 de la Bibliothèque Nationale du Caire, rédigé en 1340 à Mossoul. Nous avons comparé ce manuscrit à un autre du même livre se trouvant à la Bibliothèque Nationale, fonds arabe 2518. Ce manuscrit est complet, l’écriture en est belle et de date récente : 1785. Or il ne contient pas le passage sur l’arc-enciel, ce qui confirme, nous semble-t-il, que ce passage n’existait pas dans le livre de Shirāzī. De plus, si on examine la théorie de l’arc-en-ciel contenue dans ce texte, on s’aperçoit qu’il s’agit en fait de la réflexion de la lumière sur les gouttelettes d’eau dispersées dans l’atmosphère, conception traditionnelle qui ne correspond pas à l’idée d’al-Fārisī. Une étude philologique des termes optiques d’al-Fārisī montre aisément une différence essentielle. Ainsi, pour ne citer qu’un exemple, al-Shirāzī, à la suite des géomètres – comme al-Ṭūsī – plutôt que d’Ibn al-Haytham, parle encore de rayon visuel.

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l’un comme pour l’autre, exploiter d’une manière systématique une analogie entre ladite sphère et la goutte d’eau, c’est construire un ensemble de correspondances analogiques entre les deux objets et, par conséquent, réduire systématiquement, au moyen de la géométrie, la propagation de la lumière dans un objet naturel à sa propagation dans un objet fabriqué. Que ce mode d’explication apparaisse à la suite de la réforme d’Ibn al-Haytham et – pour al-Fārisī au moins – contre la théorie de l’arc-en-ciel de celui-là, est un fait d’histoire. Mais que ce mode d’explication – que d’aucuns appelleraient aujourd’hui «modèle » – n’eût été possible en optique que par suite de cette réforme est une question de possibilité logique. Notre problème, celui du statut et des limites de ces tentatives, se précise : le fait historique dépend-il de la possibilité logique ? Sa compréhension exige-t-elle que l’historien se double de l’épistémologue dans sa propre tâche de restitution historique ? Ces questions sont d’autant plus importantes qu’Ibn al-Haytham lui-même, après avoir énoncé son intention d’appliquer sa réforme à l’étude de l’arc-en-ciel, reste proche d’une tradition qu’il critique pourtant sur des points essentiels. Plus déroutant encore, il n’a même pas, à l’exemple de ses « commentateurs ». utilisé les instruments qu’il avait cependant créés pour une meilleure explication du phénomène. Son étude n’a d’ailleurs jamais cessé d’étonner et de décevoir les historiens de l’optique. Ainsi, après avoir relevé les grandes lignes de l’optique d’Ibn al-Haytham, C. Boyer écrit : L’étape semblait tout à fait prête pour un très grand avancement dans l’histoire de l’arc-en-ciel. Mais quelle déception brutale ! C’est presque comme si Ibn al-Haytham avait un voile sur les yeux ! 1.

A. Sayili 2 n’hésite pas, non sans exagération, à faire de ce voile une fixation qui aurait lié Ibn al-Haytham pour le soumettre, au même titre qu’Avicenne, à l’autorité de celui que les philosophes arabes appelaient le premier maître. Il est vrai que les textes des Météorologiques relatifs à l’arc-en-ciel et au halo avaient pu par leur caractère exceptionnel – ou combinaison rudimentaire de physique et géométrie – apparaître à Ibn al-Haytham comme une partie de son projet. On comprend dès lors que l’auteur ait pu être tenté de s’engager – sans examen supplémentaire, excepté celui de la géométrie imparfaite d’Aristote – sur la même pente pour expliquer l’arc-enciel : ce qui peut donner à croire qu’Ibn al-Haytham connaissait ces ‎1. C. Boyer, op. cit., p. 80. ‎2. A. Sayili, The aristotelian explanation of the rainbow, in Isis, XXX, 1939, pp. 65-83.

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textes sous leurs formes originelles comme on le laisse souvent entendre. Or cette connaissance n’est nullement certaine. La traduction arabe connue 1 des Météorologiques omet les démonstrations géométriques. Elles sont absentes, de même, chez les aristotéliciens arabes comme dans les Météorologiques d’Al-Shifāʾ d’Avicenne 2. Ibn al-Haytham sait cependant que, pour expliquer l’arc, Aristote s’était servi de la réflexion de la lumière solaire sur le nuage. Quoi qu’il en soit, exposé dans la traduction arabe sous forme d’une doctrine, tout indique qu’Ibn al-Haytham a entrepris le traitement géométrique. Arrêtonsnous d’abord à son explication de l’arc.

II Ibn al-Haytham aborde l’examen de l’arc-en-ciel dans la ferme intention de lui appliquer le projet qui avait fait ses preuves dans d’autres recherches optiques 3 : la composition des mathématiques et de la physique. Il ne tarde pas à déclarer : On rencontre toujours ces deux effets (le halo et l’arc-en-ciel) dans l’air dense et ils sont formés d’une figure nécessaire au même ordre ; le halo a toujours la figure d’un cercle tant qu’il n’est pas affecté par un accident qui le modifie et l’arc-en-ciel a toujours la figure d’une portion de cercle. Comme leur objet est l’air, il est nécessaire qu’on les considère d’un point

‎1. Il s’agit de la traduction d’Ibn al-Bitrīq au début du ix e siècle. Voir l’édition de A.-R. Badawī, Le Caire, 1961, et l’édition de C. Petraitis, sous le titre de : The arabic version of Aristotle’s Meteorology, Beyrouth, 1967. ‎2. Avicenne, Les métaux et la météorologie, in Al-Shifāʾ V, ed. Madkour et al., Le Caire, 1965. Remarquons toutefois qu’on peut trouver une démonstration géométrique dans les commentaires plus tardifs des Météorologiques d’Ibn Roshd (Averroès). Faut-il en déduire qu’il existe peut-être une autre traduction encore ignorée des Météorologiques ? Cette possibilité ne provient pas en tout cas des textes d’Averroès : il présente, en effet, d’une part, la démonstration géométrique comme une suite de travaux de géométrie et non comme contenue dans le texte du philosophe. Il écrit ainsi : «Quant à la position où doivent se trouver le nuage, le Soleil et l’observateur, nous la décrirons ici suivant la postulation. Nous dirons ainsi que ce qui apparaît dans la science de l’optique c’est que la position où la vision est possible est... », p. 168. Et, d’autre part, cette démonstration est différente de celle qui fut donnée par Aristote dans les Météorologiques dans l’état où nous les connaissons actuellement. Enfin, le commentaire d’Averroès révèle une connaissance de l’optique géométrique incomparablement plus étendue et plus précise que celle d’Aristote. Voir Ibn Roshd, Rasāīl, Ḥayderabad, 1947, pp. 65 sqq. ‎3. Différentes études révèlent ainsi la constance de ce projet ; voir par exemple notre traduction du Discours de la lumière, in Revue d’Histoire des Sciences, t. XXI, n o 3, juillet-sept. 1968, p. 205.

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de vue physique et comme leur figure est circulaire, il est nécessaire aussi qu’on les considère d’un point de vue mathématique. C’est pourquoi l’étude qui permet de rechercher la vérité de ces deux effets se compose de la physique et des mathématiques. Nous en traiterons donc dans un exposé qui en recherche la vérité selon les exigences tant des questions physiques que des principes mathématiques et en tenant compte de ce qui est conforme à leur réalité 1.

On sait déjà, par ailleurs, que cette physique propose, pour expliquer la figure de l’arc, que la lumière se réfléchisse sur le nuage avant de parvenir à l’œil et confirme, dans une représentation du cosmos, que les parties de celui-ci qui entourent les éléments – air ou eau, par exemple – ont une forme sphérique. L’air humide et dense évolue donc dans l’atmosphère d’une surface sphérique à une autre de la même forme et cet élément ne peut avoir de forme que sphérique, le centre de cette sphère étant celui de l’univers. Le chemin de la composition des mathématiques et de la physique est déjà tracé : l’étude de l’arc peut être considérée comme celle de la lumière sur une portion de sphère réfléchissante. Encore faut-il s’assurer que l’air humide et dense peut être assimilé à une surface réfléchissante. Ibn al-Haytham écrit : On ne peut rien voir de la couleur d’un objet vu sur des surfaces qui ne sont pas unies et si on peut en voir quelque chose, c’est d’extrêmement atténué et faible. Il est donc nécessaire que le corps humide où le rayon peut se réfléchir et où la couleur de l’objet vu peut apparaître soit de surface lisse et composée de parties lisses qui ne soient pas extrêmement petites ; plus la surface est unie et plus les parties qui la composent sont grandes, plus ce qui apparaît sur elle est de vision nette et de couleur évidente ; mais moins la surface est lisse et plus les parties qui la composent, sont petites, plus ce qui apparaît sur elle est brouillé et de couleur atténuée. Ainsi les deux effets que nous avons évoqués ne se trouvent que dans l’air humide, si celui-ci a une figure qui permet au rayon de se réfléchir et à la couleur de l’objet vu d’apparaître, je veux dire, si sa surface la plus proche – ou celles qui la suivent – est unie. Plus l’air affecté est uni, plus les deux effets sont de couleur nette. Et, parce que l’effet circulaire n’apparaît, que sur une surface particulière ou sur des surfaces composées, de composition particulière, il nous reste à montrer quelle figure parmi celles des surfaces peut réfléchir le rayon sous une forme circulaire 2.

Après s’être assuré de l’assimilation de l’air humide et dense à une surface réfléchissante, Ibn al-Haytham peut maintenant exploi‎1. Tanqīḥ..., vol. II, p. 259. ‎2. Tanqīḥ, p. 263.

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ter les conclusions relatives à la réflexion sur les surfaces sphériques concaves 1 de son Livre de l’optique 2. Il cherche la condition pour qu’un rayon émanant d’une source lumineuse – un corps céleste par exemple, et réfléchi sur cette surface, en dehors de l’axe – passe par l’œil à la suite de sa réflexion. Supposons, en effet, que A soit cette source lumineuse (cf. figure I), C le centre du cercle produit par l’intersection de la sphère et d’un plan quelconque passant par AC. Soit A ′ le centre de l’œil. Prolongeons ACA ′ en S sur la surface de la sphère. Quelle est la condition pour qu’un rayon émis de A et réfléchi en I passe par A ′ ? Dans son Livre de l’optique 3, Ibn al-Haytham montre qu’il faut que AS/SA ′ > AC/CA ′ . Si maintenant nous considérons le système de révolution autour de AC, la réflexion se fera de la même manière des points de la circonférence du cercle décrit par I, de centre T et de rayon IT – la normale menée de I en T. Ibn al-Haytham pense qu’un observateur placé en A ′ doit percevoir ces points sous forme d’un arc de cercle. La condition pour qu’apparaisse l’arc-en-ciel est que l’œil soit sur l’axe mené du centre de la source lumineuse au centre de la sphère ou portion de sphère de l’air dense et humide : C’est seulement quand cette position se réalise, écrit-il, que l’effet peut apparaître, mais ceci n’est guère possible dans toutes les autres positions 4.

D’une manière toute géométrique, Ibn al-Haytham essaie ensuite, en combinant les positions du point S et celles du point T, de recenser toutes les positions possibles suivant lesquelles l’apparition de l’arc diffère en grandeur. S peut être à l’horizon, au-dessus ou

‎1. Ibn al-Haytham pense que c’est la partie concave qui est réfléchissante. Il écrit, en effet : « Les espèces de concavités dans lesquelles on peut imaginer les cercles et les portions de cercle varient. Mais la plus régulière, celle qui ressemble le plus à la réalité des parties de l’univers, la plus apte à communiquer sa forme à ce corps (à savoir, l’air humide) est la forme sphérique, si telle est la forme de l’air, de l’eau et des parties de l’univers qui entourent l’air. Et, parce que la vapeur évolue, de même, d’une surface sphérique à une autre surface sphérique suivant la même position dans toutes les directions, il est nécessaire qu’elle soit sphérique et que le centre de sa sphère soit celui de l’univers, que chacune de ses portions ait cette figure ou une figure proche. Or, le plus vraisemblable est que la concavité de l’air humide cité soit une concavité sphérique.» Voir Tanqīḥ, p. 264. ‎2. Voir Kitāb al-Manāẓir, 5 e partie. MS : 3215 Fatīh Istamboul, pp. 267 sqq. MS : 2448 Ayasofia Istamboul, pp. 465 v sqq. ‎3. Voir Kitāb al-Manāẓir, op. cit. ‎4. Tanqīḥ, p. 265.

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Fig. 1

au-dessous, T peut être avant A ′ , en A ′ , entre A ′ et S. Si S est à l’horizon, l’arc est un demi-cercle, quelle que soit la position de T ; si S est au-dessus de l’horizon et T entre A ′ et S, l’arc est plus grand qu’un demi-cercle ; si T est en A ′ , l’arc est un demi-cercle ; si T est avant A ′ , il est plus petit qu’un demi-cercle. Ces rapports sont inversés si S est au-dessous de l’horizon 1. Un observateur placé en A ′ percevra donc la figure d’un arc plus ou moins grand suivant les positions de S et de T ; mais il verra aussi les couleurs de la source lumineuse puisque, pour Ibn al-Haytham, les couleurs se réfléchissent comme les lumières, en même temps qu’elles et suivant la même loi. Selon la doctrine du Livre de l’optique, ces couleurs apparaissent, en outre, mélangées à celles du corps réfléchissant. Si, par ailleurs, ce corps n’est pas d’une extrême transparence, ni parfaitement lisse, comme l’air dense et humide, alors : La vision ne s’en assure pas et l’objet n’apparaît point d’une manière certaine. Il est nécessaire que dans ce nuage la couleur de la source lumineuse n’apparaisse pas à l’extrême, par suite de la coloration du nuage et du mélange des deux couleurs ; parce qu’il n’est pas d’une extrême transparence, ni parfaitement lisse, la vision ne s’en assure pas. L’effet qui apparaît n’est autre que la couleur de la source lumineuse, et sa luminosité est faible... Et parce que le corps lumineux a une étendue, il est nécessaire que la position de la réflexion en ait une 2.

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‎1. Tanqīḥ, pp. 266-267. ‎2. Op. cit.

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Quand un observateur bien placé perçoit dans ce cas la lumière atténuée, Ibn al-Haytham sait bien que c’est à cause de la réflexion, mais quand les couleurs reçues diffèrent de celles de la source lumineuse, la raison en est, croit-il, dans la nature même de l’air humide et dense. De ce résumé rapide de la théorie de l’arc-en-ciel chez Ibn alHaytham, retenons pour l’instant deux points : – Une supposition qui fonde l’ensemble de la tentative : l’auteur admet, comme la tradition aristotélicienne avant lui, la possibilité d’une étude directe du phénomène, à savoir que tous les éléments constituants de celui-ci sont directement accessibles à l’examen optique. – Une constatation non moins importante qui concerne la nature même de la preuve : à aucun moment, dans l’essai sur l’arc, il n’a tenté, comme il l’a toujours fait, de construire une situation expérimentale pour vérifier les hypothèses géométriques. On ne s’étonnera pas qu’une étude directe de l’arc ne se prête point, dans la situation théorique et instrumentale que l’on sait, à ce type de preuve pourtant exigé par Ibn al-Haytham.

III Sans abandonner le projet d’Ibn al-Haytham mais au contraire en le prenant entièrement en charge, al-Fārisī voulut en sauver la réalisation dans l’étude de l’arc-en-ciel. Pour l’arracher à la tradition, malgré le poids d’Ibn al-Haytham, al-Fārisī commença par soumettre la tentative de son prédécesseur à une critique sévère dont on peut dégager, pour l’essentiel, le besoin d’une meilleure physique qui, composée cette fois avec la géométrie, devait permettre l’accomplissement du projet formulé et manqué par Ibn al-Haytham. Pour trouver une telle physique, il ne fait cependant que revenir à la tradition philosophique : son maître est, lui-même, élève du mathématicien et commentateur d’Avicenne 1, Naṣīr al-Dīn al Ṭūsī. C’est, en effet, à la physique d’al-Shifāʾ, qu’al-Fārisī s’adressa. Avicenne avait déjà, pour sa part, renouvelé la doctrine physique de l’arc-en-ciel. Aristotélicien, il est vrai, il ne conserve toutefois de la théorie du Philosophe que l’idée des gouttelettes d’eau dispersées dans l’atmosphère au moment où les nuages se résolvent en pluie, à l’origine d’un arc reproduit par la réflexion sur la totalité de ces gouttes. Mais une fois ceci exprimé, il rejette un point qui lui paraît ‎1. Nous pensons à son commentaire d’Al-ishārāt waʾl tanbīhāt, Le Caire, 1957.

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obscur chez le « premier maître» : l’intervention de l’air «dense et humide» dans la formation de l’arc. II écrit à cet effet : J’ai répété successivement cette expérience plusieurs fois et il m’est apparu que le nuage clair ne convient aucunement comme un miroir où se produise cette image (khayāl) mais que la réflexion se fait pour la vision à partir d’un air humide où sont dispersées des gouttelettes d’eau transparentes et pures comme une pluie légère (rash), non pas qu’elles ternissent et éliminent la transparence, mais parce que s’il ne se trouve guère derrière elles d’objet coloré, elles ne sont pas un miroir. Il en va comme pour un cristal qui, s’il est masqué d’un côté, devient un miroir de l’autre et s’il n’est pas masqué et qu’on laisse derrière lui un vide transparent illimité n’est pas un miroir. Il est donc nécessaire qu’il y ait dans la plupart des cas un objet non transparent derrière l’air humide : une montagne ou un nuage sombre afin que l’effet se dessine, réfléchi à partir des gouttelettes d’eau transparentes, dispersées et présentes dans l’atmosphère mais non pas vapeurs claires, car si elles étaient des vapeurs claires, elles ne conviendraient pas à ceci (c’est-à-dire comme un miroir) 1.

Retenant l’amendement d’Avicenne, al-Fārisī, en adepte de la nouvelle optique, l’utilisera toutefois dans un tout autre contexte et à des fins différentes. Il en fera un moyen de médiatiser l’étude de l’arc qui lui permettra d’abandonner toute prétention à un traitement direct. Au lieu de considérer alors, comme Avicenne, la totalité des gouttes d’eau dispersées dans l’atmosphère, dans une première approche, il brisera cette totalité pour ne prendre qu’une seule goutte : moment essentiel d’une analogie entre la goutte d’eau et la sphère transparente remplie d’eau qui, désormais, peut devenir efficace. Après avoir énoncé cette analogie, l’idée d’al-Fārisī est d’éliminer la réflexion au profit de deux réfractions entre lesquelles ont lieu une ou plusieurs réflexions. L’étude de la double réfraction implique nécessairement que l’on connaisse les trajets de la lumière à l’intérieur de la sphère – entre les deux réfractions – d’une part, et que l’on détermine à nouveau comment ils se propagent à leur émergence de ‎1. Al-Shifāʾ, op. cit., p. 51. Dans la tradition de la philosophie arabe, on a insisté sur la réflexion de la lumière sur le nuage, passant ainsi sous silence – comme dans le texte des Météorologiques là où il s’agit de la démonstration géométrique – ce qui vient d’être souligné, à savoir les rapports entre l’arc et la réflexion de la lumière sur les gouttelettes d’eau dispersées dans l’atmosphère de même que l’assimilation de chaque gouttelette à un miroir, petit et invisible. Les Frères de la Pureté écrivaient dans leur Encyclopédie : « Quant à la production de cet arc, elle est le rayonnement du Soleil sur les parties de ces vapeurs humides suspendues dans l’air et la réflexion de ses rayons à partir d’elles en direction du Soleil », éd. de Beyrouth, 1957, vol. Il, pp. 77-78. Voir aussi Al-Qārafī, dans la trad. de Wiedemann, Arabische Studien über den Regenbogen, in Geschichte der Naturwissenschaften und der Technik, t. IV , 1912-1913, pp. 453-460.

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celle-ci, d’autre part. Pour les deux recherches, al-Fārisī bénéficiera des résultats obtenus par Ibn al-Haytham dans son Essai sur la sphère ardente 1. Ce dernier, en effet, avait déjà montré, pour la première recherche, les trajets suivant lesquels la lumière se propage entre les deux réfractions, en fonction des rapports d’accroissement des angles d’incidence et des rapports d’accroissement des angles de déviation. Il considère aussi des rayons incidents parallèles et parallèles à l’axe OO ′ . Ces rayons rencontrent la sphère en des points qui s’éloignent de O ′ sur la portion de sphère opposée et ceci jusqu’à l’angle d’incidence 50° : cas air-verre 2. Pour un angle d’incidence supérieur à 50°, les points de la deuxième réfraction se rapprochent successivement de O’ (voir fig. 2a). Pour la propagation des rayons à la sortie de la sphère, Ibn alHaytham avait, de même, déjà fait apparaître l’aberration sphérique. Il démontrait, en effet, la proposition suivante : soit un rayon parallèle à OO ′ qui se réfracte une seconde fois en un point G et rencontre le prolongement de OO ′ en T – voir fig. 2a. Il est impossible qu’un autre rayon parallèle au premier rencontre après sa deuxième réfraction le prolongement de OO ′ en T, sauf si ce rayon se réfracte en un point de la circonférence décrite par G sur la sphère. Si ce deuxième rayon se réfracte en un point E plus distant de O ′ que le point G, il passera à la sortie de la sphère par un point moins distant de T sur le prolongement OO ′ 3. En possession de ces résultats. al-Fārisī va essayer de montrer comment, à la suite de la double réfraction dans la sphère, suivant que l’on considère des rayons proches ou éloignés de

‎1. Publié dans le Tanqīḥ, vol. II, pp. 285 sqq. ‎2. Remarquons ici qu’Ibn al-Haytham pense, relativement au rayon d’incidence 90°, que le deuxième point de réfraction se trouve du même côté de l’axe que le point de la première réfraction. Or dans le cas air-verre qu’il considère, ceci n’est pas vérifié. Par contre, dans le cas air-eau étudié par al-Fārisī, ceci est aisément vérifiable en sorte que, reprenant les résultats d’Ibn al-Haytham, al-Fārisī ne rencontre pas la même difficulté. ‎3. À partir de valeurs données par Ptolémée pour le passage de la lumière de l’air au verre et de sa règle énonçant que D = i − r est une fonction croissante de i et varie moins vite que i (nous avons donné cette règle avec les autres énoncées par Ibn al-Haytham en montrant que pour n > 1, elle ne pose aucune difficulté. Voir notre introduction au Discours de la lumière, op. cit., pp. 202-205). Ibn al-Haytham établit qu’il faut pour que deux rayons se coupent à l’intérieur du cercle – c’est-à-dire que les points de la deuxième réfraction se rapprochent du pôle O ′ au lieu de s’en éloigner – que D ′ − D > 21 (i ′ − i). Il est vrai que ceci est valable pour le passage de l’air au verre, mais on peut démontrer facilement que cette relation est indépendante de n. Cette relation lui permet de démontrer – par une démonstration géométrique simple – que l’angle à partir duquel se produit cette intersection est 50° pour le cas i où n = 3/2 (air-verre). Ceci peut être vérifié au moyen de la relation dD = 1 − ncos di cos r qui donne dans le cas air-verre i ≃ 49°7 ′ .

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Fig. 2a. – Cas air-verre

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Le tracé de la figure 2 b (voir p. 80) donné par al-Fārisī est approximatif dans la mesure où il ne respecte pas les conditions de réfraction démontrées par Ibn al-Haytham et reprises par al-Fārisī, lui-même. En particulier, pour que l’angle 50° donne le rayon limite du cône central qu’il a défini, il faut considérer un faisceau de rayons parallèles tombant sur la sphère. On obtient alors le tracé de la figure 2a. Ceci n’enlève rien à la validité du texte, car al-Fārisī considère que le point S est éloigné et utilise en fait un faisceau de rayons parallèles. On sait, en outre, que cet angle dépend de l’indice de réfraction : s’il est de 49°7 ′ dans le cas air-verre considéré d’abord par Ibn al-Haytham, il est de 50° dans le cas air-eau. Cependant, al-Fārisī, pour sa part, considéra que la réfraction est approximativement équivalente pour le verre et pour l’eau.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

l’axe, on pourra obtenir une ou plusieurs images d’un objet lumineux et des formes différentes telles que celles de l’arc ou de l’anneau – dans le cas d’un objet circulaire 1. Toujours est-il qu’avant d’aborder une description plus détaillée de la double réfraction dans la sphère, de mieux préciser la superposition des images et d’examiner la formation de l’image dans les différents cônes de rayons réfractés, al-Fārisī semble conscient d’une difficulté qui tient à l’ensemble de sa tentative. Il sait que pour une sphère ou une fiole en verre remplie d’air, il y a quatre réfractions et pas seulement deux : Si le rayon pénètre dans la fiole, dit-il, et parvient jusqu’à l’air, il se réfracte, puis s’il parvient à la fiole, il se réfracte une deuxième fois et connaît en définitive quatre réfractions ; or, la réfraction affaiblit le rayon et si elle se répète plusieurs fois, l’effet de ce rayon diminue 2.

Mais comme la goutte d’eau ne possède pas d’enveloppe de verre, pour que l’explication fournie soit valable aussi bien pour elle que pour la sphère, il faut tenir compte avec exactitude de cette enveloppe. Autrement dit, pour être en mesure de garantir la correspondance analogique entre les deux, il faut s’assurer que les règles de la propagation sont exactement les mêmes pour l’une et pour l’autre. Afin d’y parvenir, al-Fārisī a recours à une approximation fournie par l’étude de la réfraction et justifiée par le fait que les indices des deux milieux sont assez voisins pour permettre, en définitive, de négliger l’enveloppe de verre : Comme la transparence du verre pur et celle de l’eau sont très semblables, le rayon qui pénètre dans la fiole ne se réfracte pas de manière dont on doive tenir compte 3.

Cette difficulté éliminée, il peut alors admettre que l’analogie est assurée d’un statut géométrique et ne plus examiner pour l’explication de l’arc-en-ciel que la propagation dans la sphère en verre remplie d’eau. Al-Fārisī considère le cercle de centre γ et les rayons qui forment avec lui des angles d’incidence de 10°, 20°, ..., 90°. Il divise ces rayons en deux groupes dont les cinq premiers forment des angles d’incidence inférieurs à 50° et les quatre autres (voir fig. 2b). Il divise l’arc DE en deux parties égales par O ′ et prend F et G équidistants

‎1. Sur la sphère ardente, in Tanqīḥ, vol. II, pp. 293 sqq. ‎2. Op. cit., p. 302. ‎3. Op. cit.

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de O ′ . Nous avons vu avec Ibn al-Haytham que pour l’angle d’incidence de 50° – cas air-verre – les rayons réfractés une première fois se réfractent une seconde fois dans la sphère en les points les plus éloignés de O ′ – soit D et E. Les rayons d’angle d’incidence supérieur à 50° sont réfractés en des points plus proches de O ′ – c’est-à-dire que les points de la deuxième réfraction se rapprochent du pôle O ′ au lieu de s’en éloigner. Soit SJ le rayon d’angle d’incidence de 50° et SJ ′ son symétrique par rapport à l’axe OO ′ . Ces deux rayons se réfractent suivant JE et J ′ D et se rencontrent après la deuxième réfraction au point A extérieur à la sphère et sur l’axe. Selon la deuxième proposition, ce point est unique. Tous les rayons d’incidence inférieurs à 50° seront après la première réfraction à l’intérieur du tronc de cône engendré par JE et J ′ D – « cône central», dit al-Fārisī. Après la deuxième réfraction, ces mêmes rayons seront à l’intérieur du cône engendré par EA et DA – « cône ardent». Les rayons appartenant à la deuxième partie – incidence supérieure à 50° – se réfractent, d’une part, entre JE et LG et symétriquement, d’autre part, entre J ′ D et L ′ F qui engendrent les deux cônes extérieurs – « cônes creux », selon al-Fārisī. Ces rayons se réfractent une seconde fois entre GB et EA, d’une part, et entre FG et DA, d’autre part, qui engendrent les cônes extérieurs réfractés – « creux opposés ». Ces rayons se coupent sur l’axe aux points H et A 1. Il s’agit désormais, pour al-Fārisī, de faire apparaître à partir d’un même objet placé devant la sphère dans certaines conditions indiquées ci-dessous – plusieurs images possibles. Il pourra ensuite varier leurs positions respectives, puis les amener à s’éloigner l’une de l’autre ou à se superposer les unes aux autres, suivant le cas. On verra donc qu’al-Fārisī cherche en fait à se placer en dehors de ce que nous appelons aujourd’hui les conditions d’approximation de Gauss pour faire apparaître cette multiplicité d’images. Tâche difficile entre toutes qui expliquera, par ailleurs, nombre d’hésitations et d’ambiguïtés de son texte. Il considère ainsi une source lumineuse S (voir fig. 2b) et un objet situé du même côté de la sphère que O ′ et déduit la position de l’image formée par réfraction. L’utilisation du principe du retour inverse lui permet de déduire parmi d’autres cas : – Si l’objet – une droite, par exemple – est placé sur l’axe et très près de la sphère en FGH, de telle sorte qu’il ne touche ni FH, ni EH, l’œil placé en S percevra une image droite, unique, formée dans le cône central. Il semble qu’il entende cette fois par « cône central» le « cône ardent» qui prolonge celui-ci.

‎1. Op. cit., pp. 303 sqq.

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Fig. 2b

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– Si ce même objet est placé en FHBD, l’œil percevra une image plus grande et droite, formée à la fois dans le cône central et dans le cône extérieur droit, renversée. – S’il se trouve ensuite en GHCE, l’image se formera à la fois dans le cône central plus grande et droite et dans le cône extérieur gauche, renversée. – Si enfin cet objet est en ABHC, l’image se formera dans le cône central plus grande et droite et dans toutes les directions des cônes extérieurs mais renversée. Si on considère une révolution de la figure autour de OO ′ , l’image d’une droite sera un cercle dans le cône central entouré d’un anneau dans le cône extérieur. Pour juger de la réalisation physique de ces résultats, al-Fārisī construit immédiatement une situation expérimentale que l’on peut, en gros, résumer ainsi : on prend une première fois un petit cercle, centré sur OO ′ et divisé en deux parties, rouge à droite de l’axe et noire à sa gauche. On place le cercle très près de O ′ , en sorte que sa circonférence ne touche ni FH, ni GH. On obtiendra une image droite plus grande que nature dans le cône central dont la partie droite est rouge et la partie gauche noire. Puis al-Fārisī déplace ce cercle sur l’axe en l’éloignant de la sphère et observe l’agrandissement de l’image et la formation d’anneaux autour du cercle suivant la position de celui-ci par rapport aux cônes de rayons réfractés : Quand le cercle touche FH et GH, il se forme autour de l’image du cercle un anneau dont la partie droite est rouge et la partie gauche noire. Si on déplace à nouveau le cercle, la largeur de l’anneau augmente et la circonférence du cercle-image diminue jusqu’au moment où le centre du cercle dépasse le point H : on observe alors un deuxième anneau autour du premier tel que sa partie droite est noire et sa partie gauche rouge. Si on poursuit le déplacement, l’image du cercle se confond avec les anneaux. Il reprend la même expérience une deuxième fois mais avec deux cercles de même centre sur l’axe OO ′ . Un des cercles est grand et rouge, l’autre petit et noir. Il observe alors la formation et la multiplication de l’image par rapport aux mêmes cônes de rayons réfractés et constate ainsi que pour un objet placé au voisinage du point A, on a six images : trois noires et trois rouges 1. Si nous comprenons aisément l’importance d’une description aussi détaillée pour montrer – et concrétiser – les trajets des rayons à l’intérieur de la sphère et à leur sortie de celle-ci, les raisons pour lesquelles al-Fārisī tente une tâche aussi difficile que déterminer la ‎1. Tanqīḥ..., pp. 309-310.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

position de l’image dans le cas de la réfraction dans la sphère nous échappent de prime abord. Cet effort ne nous semblerait toutefois point superflu s’il était pour al-Fārisī un élément essentiel à son explication de l’arc – c’est-à-dire de la figure géométrique de l’arcen-ciel. Mais il n’en est rien et tout indique, par contre, que pour l’heure, superflue, la tâche s’avérera par la suite nécessaire à al-Fārisī pour « résoudre» le problème de la couleur. Avant de comprendre la tâche d’al-Fārisī, il nous faut d’abord considérer la reprise de son modèle, compliqué de nouvelles précisions. On a donc vu qu’al-Fārisī examine la propagation des rayons à l’intérieur de la sphère entre deux réfractions et qu’il traite les différents cas de réflexion 1. L’idée confirmée par l’auteur tout au long de son étude est que les rayons réfractés dans la sphère après une ou plusieurs réflexions à l’intérieur de celle-ci ne sont pas renvoyés indifféremment dans toutes les directions mais qu’il y a accumulation des rayons dans certaines régions de l’espace. Cette accumulation, et le texte d’al-Fārisī ne laisse subsister aucun doute à ce sujet, est dans le voisinage de la direction d’émergence du rayon qui correspondra au maximum de déviation. De plus, al-Fārisī admet que les intensités lumineuses s’additionnent et qu’il doit en résulter un plus grand éclairement. Ce sont ces idées qu’al-Fārisī exprime dans le langage compliqué des «cônes» de rayons réfractés après avoir subi une ou deux réflexions à l’intérieur de la sphère et un plus grand éclairement aux bords de ces « cônes». Pour le cas d’une réflexion entre

‎1. L’idée d’al-Fārisī est qu’un faisceau de rayons parallèles tombant sur la goutte d’eau se transforme, après un certain nombre de réflexions dans la sphère, en un faisceau divergent – ce qui peut être vérifié aisément – qu’il appelle « cône». Al-Fārisī s’attache à montrer que les rayons réfractés après une réflexion sortent de la sphère sous forme d’un «cône» en direction de la source lumineuse. L’angle que chacun d’eux forme avec l’axe OO ′ – c’est-à-dire l’angle de déviation – est d’autant plus grand que le rayon incident est plus éloigné de OO ′ – et ceci, jusqu’à une certaine valeur à partir de laquelle l’angle de déviation diminue ce qui entraîne une intersection des rayons sur les bords du cône. Dans le cas de deux réflexions, al-Fārisī constate que les rayons sortent de la sphère dans une direction opposée à celle de la source et que leur divergence est plus grande. Cependant, à partir d’une certaine valeur d’incidence, les rayons finissent par se recouper également comme dans le premier cas. Il constate même que la distance entre les rayons qui proviennent du cône central et ceux qui proviennent du cône extérieur est plus importante que dans le cas d’une seule réflexion. À partir de ces considérations, al-Fārisī explique que la lumière est plus forte sur les bords des faisceaux des rayons provenant du cône extérieur, réfractés après une ou deux réflexions. Il montre par ailleurs que, après deux réflexions, les rayons qui sortent de la sphère se recoupent suivant un ordre inversé par rapport au cas d’une seule réflexion – ce qui lui permettra, par la suite, d’expliquer l’inversion de l’ordre des couleurs dans le deuxième arc par la réfraction après deux réflexions.

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deux réfractions, il distingue deux faisceaux de rayons provenant des cônes extérieurs et du cône central (voir fig. 2). Pour celui de deux réflexions, il obtient ensuite également deux groupes de rayons plus divergents que dans le cas précédent et qui donnent également une ou deux images. Selon que l’œil reçoit les rayons 1 provenant du cône central ou qu’il est placé dans la région où les rayons issus du cône central et du cône extérieur se recoupent, il verra une seule image dans une seule position ou deux images dans deux positions. Si enfin l’œil est placé dans la région où les faisceaux issus d’une réflexion et deux réflexions entre deux réfractions se recoupent, il verra quatre images dans quatre positions. Il écrit : Si l’on sait que le premier réfracté se réfléchit d’abord dans la sphère même, qu’il se produit ensuite le réfracté après une réflexion, puis en deuxième lieu le réfracté après deux réflexions, on saura qu’il se réfléchira une troisième fois, qu’il se produira ensuite le réfracté après trois réflexions puis en quatrième lieu le réfracté après quatre réflexions. On peut expérimenter (iʾtibār) ceci bien que ce soit difficile. Mais pour ce qui vient après, on ne le connaît point 2.

Pour mettre à l’épreuve le modèle complété, al-Fārisī relance une pratique expérimentale que l’on retrouvera plus tard, et indépendamment, chez Descartes. Il construit une chambre noire avec une ouverture et, à l’intérieur de celle-ci, place une sphère transparente, éclairée par les rayons du Soleil. Il masque la moitié de la sphère d’un corps blanc, dense, et observe la face qui se trouve du côté de la sphère. Il voit alors un arc dont le centre est sur l’axe mené du centre de la sphère au Soleil : cet arc est formé par les rayons lumineux qui ont subi une réfraction, une réflexion et une dernière réfraction. L’intérieur en est plus brillant que l’extérieur, car il contient des rayons issus à la fois du cône central et du cône extérieur. Devant la sphère, il place ensuite un autre corps blanc moins dense que le premier et observe également la face qui se trouve tournée vers la sphère. Il y verra cette fois un anneau complet comprenant toujours les couleurs de l’arc-en-ciel. Cet anneau est formé par les mêmes rayons, réfractés une deuxième fois après avoir été réfléchis dans la sphère. Il notera alors la variation de l’intensité des couleurs suivant la position de l’écran 3. Poursuivant sa tâche, il reprendra la chambre noire pour considérer cette fois le cas de deux réflexions entre deux réfractions. Par tâtonnement, dit-il, il s’efforcera

‎1. Tanqīḥ..., p. 310. ‎2. Tanqīḥ..., p. 320. ‎3. Tanqīḥ..., p. 318.

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de placer l’œil sur le trajet des rayons et constatera que : si l’œil est au bord du cône formé par les rayons, il percevra une seule image rouge noirâtre, s’il est déplacé légèrement vers l’axe, l’image deviendra plus forte et de couleur jaune clair. Elle se sépare ensuite en deux parties qui s’éloignent l’une de l’autre petit à petit. La plus proche du bord devient moins intense tandis que la partie centrale encore présente est plus faible. Elle devient de plus en plus petite puis disparaît 1. II compare ensuite les deux expériences et observe dans le cas des rayons deux fois réfléchis avant de subir une deuxième réfraction le même phénomène – arc et anneau – que dans le cas des rayons réfléchis une seule fois avant d’être réfractés mais, dans le cas de l’arc extérieur, les lumières sont atténuées et les couleurs plus pâles. AlFārisī conclut : L’expérimentateur trouvera l’image du Soleil très lumineuse dans le cône ardent et sans couleur. Dans le cas des rayons réfractés après avoir été réfléchis une fois, il observera cette image légèrement colorée et dans celui des rayons réfractés après deux réflexions, il la trouvera encore plus colorée et d’une couleur verdâtre. Il en est ainsi pour toutes les images fortes, ce qui confirme nos dires sur la réflexion et la réfraction et la manière dont leurs couleurs apparaissent moins vives et dont la luminosité diminue 2.

Expérience importante à la fois par sa portée et par sa signification. Encore faut-il remarquer que pour l’interpréter, al-Fārisī ne recourt pas systématiquement, semble-t-il, aux considérations, qu’il a longuement développées dans son ouvrage, sur la possibilité de former plusieurs images par rapport aux différents cônes de rayons réfractés. Il note seulement que le centre de la figure est plus brillant parce qu’il contient l’ensemble des rayons de deux cônes et que ceux du cône central sont, en outre, moins déviés. La question de la formation de l’image n’intervient ici comme plus tard que lorsqu’il s’agit de la couleur. Les deux images mentionnées plus haut ne sont citées que pour la différence de leurs couleurs.

IV Le transfert des notions physiques de l’arc-en-ciel – éléments d’une doctrine essentiellement avicennienne – au plan d’une situation expérimentale, possibilité nouvelle jusque-là interdite, a permis

‎1. Op. cit. ‎2. Tanqīḥ..., p. 319-320.

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l’accomplissement d’une étape importante dans l’étude du phénomène. Il s’agit en fait d’une restitution, contre Ibn al-Haytham, de son propre style de l’optique. Mais le succès d’une telle restitution soulève une question importante : a-t-elle pour origine la seule compréhension du rôle de la réfraction dans la formation de l’arc ou se réfère-t-elle à une source plus lointaine et moins immédiate ? La question semble importante, car il n’est pas rare, en effet, depuis l’ouvrage fondamental de Crombie 1, que les historiens de l’arc-en-ciel insistent sur le rôle de la réfraction 2. Or, si la découverte de la réfraction a sans doute permis d’ébranler la première géométrisation aristotélicienne, on ne peut dire pour autant qu’elle ait rendu possible l’élimination de l’obstacle tenace créé par cette géométrisation. Et si l’on peut admettre que la mise en valeur du rôle de la réfraction a pu favoriser la tentative d’un Grosseteste, il reste qu’elle a sûrement interdit la possibilité de comprendre la différence qui sépare celle-ci de la démarche d’un al-Fārisī ou d’un Théodoric. Une réponse plus précise nous ramène à notre point de départ : le projet d’Ibn al-Haytham. Adopté par al-Fārisī, il exigeait, comme on l’a vu, pour l’arc et pour tout autre phénomène de propagation lumineuse, une composition systématique de la géométrie et de la physique. Les déductions du géomètre – insistons encore – doivent représenter des significations physiques ; ces dernières, en revanche, se soumettront partout et toujours au traitement géométrique. Or, pour une réalisation minimale de ce projet, à savoir, sa traduction dans la langue de l’activité constructive et schématisante, il fallait pouvoir ramener effectivement, au moyen de la géométrie, les notions informes d’une physique au plan d’une situation volontairement construite. On peut alors mettre ces notions à l’épreuve pour juger dans quelle mesure elles sont susceptibles, sinon d’expliquer le fonctionnement du phénomène qu’elles sont censées décrire, au moins de saisir d’un point de vue local l’ensemble dudit phénomène. Cette situation peut seule autoriser une évaluation de la composition géométrie-physique, c’est-à-dire tant des équivalents physiques des déductions géométriques que des formulations géométriques des notions physiques. L’exemple d’Ibn al-Haytham montre bien que pour nombre de phénomènes autres que celui de l’arc, on a ici une condition minimale à une réalisation de son projet.

‎1. A. Crombie, Grosseteste and Experimental science. ‎2. Voir par exemple Bruce S. Eastwood, Robert Grosseteste’s Theory of the Rainbow, in Archives internationales d’histoire des sciences, 1966, n o 77, pp. 313-322.

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La restitution du style de l’optique haythamienne se précise et peut, en définitive, se résumer en la question suivante : peut-on à la fois se réclamer du projet d’Ibn al-Haytham et étudier directement et complètement le phénomène de l’arc-en-ciel ? Comment, par ailleurs, introduire dans cette étude une preuve qui vaille à la fois par les déductions du géomètre et par les « vérifications» ou « évaluations» de l’expérimentateur ? Bref, de quelle manière peut-on avec une connaissance élémentaire et une pratique rudimentaire expérimenter un phénomène atmosphérique ? Une étude directe du phénomène ne saurait répondre à la condition minimale de la composition géométrie-physique. Evoquer l’expérience c’est, dans ce cas, tout au plus au titre d’une Gedankenexperiment. L’échec d’Ibn al-Haytham est attribuable, croyons- nous, moins au choix de la réflexion qu’au fait d’avoir cédé à la tentation d’une étude directe du phénomène. Mais cette tentation est précisément à l’origine de ce que nous avons appelé l’obstacle de la première géométrisation : y ont cédé, non seulement ceux qui, comme Ibn alHaytham, avaient choisi la réflexion mais d’autres encore qui, comme Grosseteste, avaient opté pour la réfraction. Le cas de Grosseteste est, à cet égard, particulièrement significatif, même si sa connaissance de la réfraction reste moins fine que celle d’Ibn al-Haytham. Ayant choisi la réfraction dans son De iride... il a, en outre, utilisé la sphère ; mais l’ambition d’une étude directe l’a conduit à assimiler le nuage à une énorme sphère et l’objet fabriqué a perdu par là même toutes les propriétés pour lesquelles il sera plus tard recherché par al-Fārisī : sa maniabilité et son accessibilité. Se réclamer de la nouvelle optique, c’était donc accepter les normes de la composition de la géométrie et de la physique, mais tenir aux nouvelles normes orientait nécessairement vers l’abandon de l’étude directe, pour une réalisation effective dans le cas d’un phénomène compliqué et peu accessible à la vérification expérimentale. Cet abandon requérait, à son tour, la découverte d’un autre phénomène mieux dominé par la connaissance optique du moment et plus accessible à ladite vérification : il impliquait donc l’usage nécessaire d’un type particulier d’analogie avec un objet pouvant satisfaire aux critères de domination. Le plus souvent, pour l’étude d’un objet naturel proposé, le choix se porte ainsi sur un objet fabriqué et bénéficie en quelque sorte de l’objectivité d’une technique millénaire. La fiole sphérique en verre remplie d’eau ne fut donc pas un moyen d’introduire la réfraction : elle servit à réaliser la démarche décrite ; quant à la réfraction, elle a seulement suivi. Une condition de la construction du modèle était, comme on l’a vu, la neutralisation de certains aspects du phénomène de l’arc-en-

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ciel – la couleur, par exemple – pour se limiter strictement au plan où la réforme s’était produite : l’optique géométrique telle qu’elle était conçue depuis Ibn al-Haytham. Beaucoup mieux qu’auparavant, alFārisī fut en mesure d’expliquer l’ensemble du phénomène de l’arc à partir de la seule figure. Examiner cette limitation logique revient à se demander si le modèle peut avoir la même valeur heuristique ailleurs qu’au plan de la réforme. C’est cette valeur qu’al-Fārisī a essayé d’obtenir sur un terrain autre que celui des origines du modèle. L’un des résultats qualitatifs de l’expérience de la chambre noire est que réfraction et réflexion atténuent la lumière et font apparaître les couleurs. Expliquer ce fait – production de variations de couleurs principalement entre les deux arcs – commandait un retour, pour intégrer dans un deuxième moment ce que l’on a cherché dans un premier à isoler. Al-Fārisī retrouve ainsi la question très difficile de la couleur, difficulté ressentie depuis des siècles, à tel point qu’Avicenne n’hésitait pas à avancer : Dans l’ensemble, nos amis les péripatéticiens n’ont rien apporté que j’aie pu comprendre, au sujet de ces couleurs et de ces chapitres et j’espère qu’un autre puisse y comprendre quelque chose que je puisse comprendre 1.

Il est vrai que les doctrines de la couleur rencontrées çà et là dans les livres des savants et philosophes arabes sont, pour l’essentiel, des variantes de la conception aristotélicienne. On sait que les textes du De anima et des Météorologiques étaient à la disposition des savants dans des traductions arabes 2. On sait aussi que le commentaire d’Alexandre d’Aphrodise était traduit 3. Les philosophes de la 2 e moitié du ix e siècle comme Al-Kindī 4 et plus tard les « Frères de la Pureté» 5 ou Avicenne, lui-même, ont repris et commenté avec de légères variantes la doctrine aristotélicienne. Al-Fārisī, dans cette tradition, reprend un commentaire d’un texte d’Avicenne par al-Shirāzī 6. Incessamment, toutefois, des divergences vont appa-

‎1. Avicenne, op. cit., p. 55. ‎2. Voir l’édition A.-R. Badawī de la traduction du De anima par Isḥāq BenHunain, Le Caire, 1954. ‎3. Voir H. Gätze, Die arabische Übersetzung der Schrift des Alexander von Aphrodisias über die Farbe, Göttingen, 1967. ‎4. Pour Al-Kindī, voir par exemple : «De la cause de la couleur azurée que l’on voit dans l’atmosphère en direction du ciel et que l’on croit être sa couleur», in Rasāīl al-Kindī ʾl-falsafiyya, éd. Abū-Rīda, Le Caire, 1953, vol. II, pp. 103 sqq. ‎5. Voir les Frères de la Pureté, op. cit. ‎6. Il s’agit du Commentaire d’al-Shirāzī sur le Canon d’Avicenne. Voir Tanqīḥ..., pp. 331 sqq.

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raître au sujet des couleurs de l’arc-en-ciel dont les plus importantes concernent moins le nombre des couleurs que la position même du problème de la couleur 1 traité par le modèle. Tout se passe comme si ce modèle, utile à l’explication de la figure de l’arc, aurait dû pouvoir aussi expliquer la couleur. En sorte qu’après en avoir exposé ladite doctrine, al-Fārisī semble l’oublier pour n’en garder que l’inspiration générale qu’il adaptera à son modèle. L’inspiration consiste, rappelons-le, à considérer les couleurs comme produites par un mélange de lumière et d’obscurité, de blanc et de noir, que le rouge, par exemple, contient plus de lumière et moins d’obscurité, plus de blanc et moins de noir que le vert et a fortiori que le violet. Mais quand alFārisī revient à l’étude de l’arc, le problème se particularise : ce ne sont pas les couleurs en général qu’il veut expliquer, mais seulement celles qui sont formées sur un écran devant la sphère par suite de la combinaison des réflexions et des réfractions. Déjà, au cours de l’expérience de la chambre noire, il avait pu constater que la production et la multiplicité des couleurs sont fonction à la fois des positions des images et de leurs intensités lumineuses. Les couleurs de l’arc sont, par conséquent, fonction de la combinaison de la réflexion et de la réfraction. Il écrit ainsi : Les couleurs de l’arc sont différentes, rapprochées, entre le bleu, le vert, le jaune et le rouge noirâtre et proviennent de l’image d’une source lumineuse forte parvenant à l’œil par réflexion et réfraction ou une composition des deux 2.

En variant ainsi les positions respectives des images dans les différents cônes formés par les rayons réfractés, il déclare percevoir les différentes couleurs au fur et à mesure que les deux images sont superposées : le bleu lumineux est produit par le rapprochement sans superposition de deux images d’une même source lumineuse, tan-

‎1. Déjà la traduction arabe des Météorologiques s’éloignait sur ce point du texte aristotélicien. Le texte arabe dit : «Trois ou quatre couleurs seront unies dans l’arc», tandis qu’on peut lire dans le texte d’Aristote : « Chacun d’eux a alors trois couleurs», 372a. Nous savons qu’il existe une traduction latine du texte arabe. Il nous semble donc qu’il ne faut pas accorder au fait qu’al-Fārisī – pas plus que Théodoric – ne retient guère le nombre de trois couleurs une signification aussi grande que celle qu’y attache Crombie pour Théodoric – d’autant plus que Théodoric, s’il n’avait pas travaillé sur la traduction latine du texte arabe des Météorologiques, avait, lui-même, ses sources arabes – avicenniennes – très hésitantes sur ce point. Voir Crombie, op. cit., pp. 241 sqq. et Théodoric, De iride..., p. 60. ‎2. Tanqīḥ..., p. 337.

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dis que le jaune lumineux est donné par la superposition des deux images ; le rouge noirâtre apparaît au bord du faisceau de rayons 1. Ayant constaté que les couleurs de l’arc-en-ciel sont liées à une combinaison de la réflexion et de la réfraction, al-Fārisī prend deux images au lieu d’une afin d’expliquer cet effet. C’est ainsi qu’il a cherché à identifier les différentes images d’un même objet lumineux par rapport aux divers cônes de rayons réfractés. Dans ce but il a essayé maintes fois de varier leurs positions respectives : leurs grandeurs et leurs possibilités d’intersection. Mais concilier les résultats obtenus au cours de cette étude et ceux donnés par les recherches sur la couleur devait amener à modifier la position du problème : il s’agissait dès lors d’accorder une doctrine traditionnelle de la couleur à des résultats concernant la superposition des images. Ce n’est donc plus le mélange de lumière et d’obscurité qui produit la couleur : c’est désormais le rapprochement et la superposition de deux ou plusieurs images – ou « formes » – de la lumière 2 sur un fond d’obscurité qui expliquent la formation et la diversité des couleurs : Si l’on rapproche deux images de lumière séparées par de l’obscurité et sur le point de s’unir, un bleu lumineux apparaîtra entre elles comme on peut le constater à l’origine de la mèche, par suite du mélange entre l’obscurité et ce qui entoure les deux images de leurs lumières et se produit au voisinage de leurs cônes. Si elles sont éloignées et que l’œil ne les distingue pas, ce qui en est perceptible est seulement le bleu et si elles se rejoignent, il se produira une image lumineuse intense, plus puissante que chacune d’elles séparée 3.

Ou encore : Puis elles se rapprochent (les deux images ou formes de la lumière) jusqu’au point où se produit le bleu lumineux puis, après leur union, le jaune lumineux, comme au centre de la mèche. À la fin, au bord du cône, là où si l’œil le dépasse, il sort du cône, une luminosité noirâtre qui est le rouge aboutissant à l’obscurité (comme au plus haut de la mèche). C’est ainsi que les couleurs sont perceptibles dans cet ordre dans l’arc qui se

‎1. Voir Tanqīḥ..., p. 338 et pour le texte d’al-Fārisī sur les couleurs, voir la traduction de Wiedemann sous le titre : Zur Optik von Kamāl al-Dīn, op. cit. ‎2. Nous avons traduit le concept «sūra» par « image». Justifié en optique géométrique, le mot doit retrouver son sens aristotélicien quand il s’agit de la couleur et il faut alors lire «forme» au lieu d’« image». Toutefois, nous avons utilisé couramment « image» pour ne pas obscurcir l’exposé. Sur ce concept, voir notre étude : Optique géométrique et doctrine optique, op. cit. ‎3. Tanqīḥ..., p. 337.

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produit sur le corps blanc quand on expérimente la réfraction après une réflexion 1.

Si suggestive soit-elle, constatons que cette tentative pour étendre le modèle par-delà son terrain d’origine en s’efforçant de lier de manière tout intuitive la formation des couleurs et la réfraction, ne possède, en définitive, aucune valeur heuristique mais recouvre, au contraire, les fonctions d’un savoir doctrinaire. Elle est au plus un moyen d’amender des vues doctrinaires de la couleur et aspire seulement à rendre compte des données d’une expérience immédiate et réaliste de celle-ci. Le retour d’une optique géométrique de l’arc-enciel à une doctrine physique a, certes, permis un renouvellement de la dernière dans les limites où il a rendu possible de poser le problème de la couleur en termes de position des images et de leurs intensités lumineuses. Mais il faut bien remarquer aussi qu’il a marqué d’une certaine ambiguïté l’optique géométrique en imposant au problème de l’arc une tâche difficile et en quelque sorte sans nécessité absolue, celle de déterminer, comme al-Fārisī l’a tenté, toutes les positions possibles des multiples images obtenues en considérant les rayons qui s’écartent fortement de l’axe.

V Après avoir tenté ce nouveau départ – étendre le modèle au-delà de son domaine de validité – sans y réussir véritablement, al-Fārisī pense finalement pouvoir expliquer l’observation de l’arc-en-cicl. Il montre que lorsque la sphère s’éloigne sur la perpendiculaire à l’axe menée de l’œil au centre du Soleil (voir fig. 3) on peut faire apparaître suivant la position de la sphère l’image du Soleil par simple réflexion entre deux réfractions ou par deux réflexions entre deux réfractions. Autrement dit, suivant l’angle que font les rayons du Soleil avec la sphère, l’observateur bien placé percevra soit les rayons réfractés après une réflexion, soit les rayons réfractés après deux réflexions. On a alors successivement les couleurs du premier arc puis celles du deuxième. Si au lieu d’une goutte d’eau on prend toutes les gouttes sur un même cercle – dans les conditions précédentes, donc en faisant tourner la figure autour de l’axe BAC – on aura les deux arcs-en-ciel. Mais voyons ce qu’en dit al-Fārisī dans un texte important :

‎1. Tanqīḥ..., p. 338.

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Supposons, écrit-il, que B centre de l’œil soit entre A centre du Soleil et C centre d’une sphère polie transparente. ABC est une droite. Menons de C la perpendiculaire CD et supposons que la sphère s’éloigne de la droite ABC de telle sorte que son centre reste sur la perpendiculaire. Si son centre s’éloigne de ABC, le cône de rayons réfractés après une réflexion s’inclinera sur le Soleil tandis que celui-ci, proportionnellement à l’éloignement de la sphère de ABC, continuera à se rapprocher du bord du cône dans la direction du mouvement de la sphère et apparaîtra en deux images, sur deux positions de la sphère... À mesure que la sphère s’éloigne, les deux images se rapprochent jusqu’au moment où elles deviennent tangentes ; c’est alors que la lumière devient plus forte et produit un bleu tirant sur le violet, s’il s’y mêle de l’obscurité ou du vert ; puis si elles s’interpénètrent, la lumière s’intensifie encore et produit un jaune lumineux ; ensuite, l’image mélangée diminue et devient d’un rouge de plus en plus sombre jusqu’au moment où elle disparaît quand le Soleil est à l’extérieur du cône de rayons réfractés après une réflexion. Si la sphère continue à s’éloigner de la droite ABC, le cône des rayons réfractés après deux réflexions se rapprochera de plus en plus du Soleil jusqu’au moment où celui-ci se trouvera à l’intérieur de ce cône et alors réapparaîtra dans un ordre inversé ce qui avait disparu au début, en commençant par le rouge pourpre, puis le jaune lumineux, puis le bleu pur, puis une lumière que l’on ne perçoit pas vraiment par suite de la disparition de l’une des images ou de leur séparation, s’éloignant l’une de l’autre. S’il y a dans l’air beaucoup de gouttes d’eau accumulées, celles ordonnées sur un cercle – dont chacune donne une des images citées selon sa largeur – produisent l’image de deux arcs comme on peut le voir : le petit est rouge sur sa circonférence extérieure, puis jaune, puis bleu. Il en est de même pour l’arc supérieur dans un ordre inversé, masquant ce qui se trouve derrière lui par les couleurs et les lumières qui apparaissent en lui. L’air entre les deux arcs est plus sombre que ce qui est au-dessus et au-dessous d’eux, car les parties entre les deux arcs sont soustraites à la lumière du Soleil 1.

Nous venons de voir ainsi la réussite et les limites de la méthode du modèle. Conçue et réalisée pour intégrer l’étude d’un phénomène aussi compliqué que l’arc-en-ciel dans la nouvelle optique, la construction du modèle de la sphère fut non seulement sollicitée par cette optique, mais celle-ci fut, bien plus, la condition de son avènement. Une meilleure séparation de la vision et de la propagation ‎1. Tanqīḥ..., pp. 340-342. D’une manière plus précise, al-Fārisī utilise, comme il le fait habituellement, le principe du retour inverse : il forme ainsi, d’une manière fictive, les cônes de rayons réfractés après une ou deux réflexions, en plaçant dans un premier temps la source lumineuse à la place de l’œil. Dans un deuxième temps, il renversera la situation pour considérer ensuite le déplacement du Soleil par rapport à ces cônes de rayons, l’œil étant revenu à sa place initiale.

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Fig. 3

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lumineuse s’imposait comme une condition nécessaire à l’éclatement de la totalité de « la pluie légère» (rash) dans l’atmosphère, car la propagation dans une seule goutte n’eût guère pu être conçue alors que les conditions de la vision étaient celles de la propagation. Mais cette meilleure séparation a servi, d’autre part, à rendre possible l’abandon de l’étude directe et complète. La nouvelle optique a permis, enfin, par le changement du concept de « rayon », la formulation du principe de la propagation rectiligne, l’élaboration de la loi de la réflexion dans toute sa généralité, les multiples et importantes règles de la réfraction 1, d’assurer d’un statut géométrique les correspondances analogiques de la propagation dans un objet fabriqué et dans un objet naturel. Que la nouvelle optique ait donc sollicité la méthode du modèle pour certains phénomènes peu accessibles et difficilement maniables, c’est dans la mesure où elle en était la condition de possibilité. Que la méthode ait découlé de la réforme, c’est dans la mesure où elle lui servait de moyen pour intégrer les phénomènes de l’arc. Bien plus, les limites de la méthode sont celles mêmes de la nouvelle optique, comme on l’a vu pour la couleur. Postérieure à l’optique d’Ibn al-Haytham, la méthode des modèles était donc à la fois logiquement et historiquement déterminée. Cette détermination – ou surdétermination si l’on veut – ne se manifeste pas seulement à propos du style de l’optique. On la retrouve aussi dans les caractères de l’exposé optique. Le premier n’étonnera ni par ses changements, ni par ses limites : à côté d’une optique écrite par un géomètre physicien, au terme d’un mouvement qui mène d’une doctrine optique de l’arc-en-ciel à une optique géométrique de l’arc, persistera comme une nécessité et point comme un vestige – par suite des limites propres à la réforme – une rédaction beaucoup plus traditionnelle : celle du physicien redevenu philosophe après sa séparation d’avec le géomètre, et à l’heure de son retour de l’optique géométrique vers une doctrine physique renouvelée ; pour s’en convaincre, il suffit de revoir attentivement le texte d’al-Fārisī cité plus haut. Quant au style de l’exposé optique, on voit apparaître avec la science en attente un nouveau « genre littéraire». Nous ne nous trouvons plus en présence de l’habituel «commentaire» puisque commenter n’est plus un retour aux sources pour une interprétation meilleure et plus conforme. Commenter, c’est ici reprendre pour comprendre, afin de renouveler et non plus invoquer, pour interpréter. Quand al-Fārisī « commente» l’essai d’Ibn al-Haytham sur l’arc-en-ciel, c’est tout simplement pour écarter l’ensemble de ‎1. Voir Discours de la lumière, op. cit.

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sa théorie afin d’en sauver les normes. Il n’en va pas autrement quand il «commente» son livre de l’Optique : il ne nous donne point un Commentaire de l’optique – Sharḥ al-Manāẓir – mais une Révision de l’optique – Tanqīḥ al-Manāẓir – où al-Fārisī récuse des théories – celle de l’analogie entre mouvement du choc et propagation lumineuse – en développe d’autres, l’exemple de la camera obscura, si bien qu’un commentaire c’est désormais un amalgame de résumés, critiques, développements initialement absents, genre hybride entre le commentaire traditionnel du philosophe et le rappel historique et critique du savant, courant à partir du xvii e siècle. Mais quand dans un même livre on quitte le plan de la réforme pour l’optique physique, ce genre disparaît au profit du commentaire traditionnel. Tout se passe comme si la science en attente inaugurait non seulement un style théorique, mais aussi un type nouveau d’exposé scientifique : c’est en ces termes qu’il faut comprendre al-Fārisī, commentateur d’Ibn al-Haytham.

KAMĀL AL-DĪN ABUʾL ḤASAN MUḤAMMAD IBN AL-ḤASAN AL-FĀRISĪ (d. Tabrīz [?], Iran, 1319), optics, mathematics Kamāl al-Dīn was the disciple of the famous Qutb al-Dīn al-Shīrazī, mathematician, astronomer, and commentator on Ibn Sinā. 1 Scholars since Wiedemann and Sarton have linked the names of the two, and some questions of priority have arisen, as will be seen below. Although Kamāl al-Dīn produced a number of writings in different branches of mathematics—particularly arithmetic and geometry—his essential contribution was in optics. It was in response to a question addressed to him on the principles of refraction that al-Shīrazī recommended to Kamāl al-Dīn that he study the Kitāb al-manāẓir (“Book of Optics”) of Ibn al-Haytham. Once Kamāl al-Dīn had undertaken this study, al-Shīrazī, who was at this time occupied in commenting on the Canon of Ibn Sīnā, suggested further that Kamāl al-Dīn write his own commentary on Ibn al-Haytham’s book. Kamāl al-Dīn chose to extend the task set him to other works of Ibn al-Haytham as well, so that his Tanqīḥ al-manāẓir li-dhawi ʾl-abṣār waʾl-baṣāʾir contains, in addition to the originally planned study of the Kitāb al-manāẓir, essays on Ibn al-Haytham’s The Burning Sphere, The Halo and the Rainbow, Shadows, The Shape of Eclipse, and the Discourse on Light. He was also led, in the course of this work, to study Ibn al-Haytham’s The Solar Rays, although he did not comment upon it. Kamāl al-Dīn was thus dealing with the essential optical works of Ibn al-Haytham, and with this group we must also consider his own work on optics, Albaṣāʾir fī ʿilm al-manāẓir (“Insights Into the Science of Optics”). This is basically a textbook for students of optics, presenting the conclusions of the Tanqīḥ without the proofs or experiments. In order to grasp the meaning and scope of Kamāl al-Dīn’s contribution, it must first be understood that his work was more properly a revision (tanqīḥ) than a commentary (sharḥ), as the title itself indicates. To Kamāl al-Dīn “to comment” meant a reconsideration and reinterpretation, rather than the medieval notion of a

Paru dans Dictionary of Scientific Biography, vol. 7, New York : Scribner, 1973, p. 212-219. ‎1. See R. Rashed, “Le modèle de la sphère…,” p. 114.

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return to the original sources for a more faithful reading. In the course of his revision, Kamāl al-Dīn did not hesitate to refute certain of Ibn al-Haytham’s theories, such as the analogy between impact of a ball on an obstacle and the propagation of light, an essential element of the explanation of reflection and refraction. He further had no reluctance in developing other of Ibn al-Haytham’s ideas, notably the example of the camera obscura, refraction in two transparent spheres, and the numerical tabulation of refraction (air to glass); indeed, from time to time he simply set aside Ibn al-Haytham’s doctrine to substitute one of his own. An important instance is the theory of the rainbow. This profound change in the notion of a commentary is directly attributable to the new stage reached by Ibn al-Haytham in his optics, which may be briefly characterized as the systematic introduction of new norms—mathematical and experimental—to treat traditional problems in which light and vision are united. Until then light had been considered to be the instrumentality of the eye and to see an object was to illuminate it. In order to construct a theory of light, it was necessary to begin with a theory of vision; but to establish a theory of vision required taking a position on the propagation of light. Each task immediately involved the other and each theory borrowed the language of the other. The optics of Aristotle, like that of Euclid and even that of Ptolemy, comprised both factors. In order to introduce the new norms systematically, a better differentiation forced itself on Ibn al-Haytham. But the distinction between seeing and illuminating had to allow the transfer of the notions of a physical doctrine to an experimental situation and thus to bring about a realization of the initial project. The essential and most representative part of Kamāl al-Dīn’s work, however, is his study of the rainbow. The question of Kamāl al-Dīn’s originality here has been raised; recalling that Kamāl al-Dīn had borrowed the idea of studying the rainbow from his teacher, Carl Boyer writes, “Hence the discovery of the theory presumably should be ascribed to the latter [al-Shīrāzī], its elaboration to the former [Kamāl al-Dīn].” 1 Although the same notion is supported by A. Crombie and many subsequent authors, it remains unconvincing, despite a manuscript text on the rainbow attributed to al-Shīrazī (at the end of his commentary on Ibn Sīnā’s Canon, in a manuscript kept at Paris). The manuscript, written before 1518, is incomplete, and the text dealing with the rainbow occurs after several pages on alchemy that are irrelevant to the rest of the book, and in a different hand. ‎1. The Rainbow: From Myth to Mathematics, p. 125.

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The text on the rainbow itself is in yet another hand; after examining this manuscript and comparing it with one of the same book in the National Library at Cairo, M. Naẓīf suggested that the passage is an interpolation. 1 The Cairo manuscript has in turn been compared with a complete version of the same book, copied in an elegant handwriting and dating from 1785. 2 In confirmation of Naẓīf’s theory, this last altogether lacks the passage on the rainbow. Even were this text on the rainbow to be accepted as being by alShīrazī, no doubt would be cast on Kamāl al-Dīn’s originality, since we have seen that Kamāl al-Dīn drew upon a new interpretation of Ibn al-Haytham’s optics. The theory of the rainbow elucidated in the text in question deals with the reflection of light on droplets of water dispersed in the atmosphere, a traditional conception that does not agree with Kamāl al-Dīn’s (although it is not too unlike al-Shīrazī’s, since the latter, following in the path of such geometers as al-Ṭūsī, was still concerned with visual rays): The disputed manuscript reveals a further fundamental difference from the work of Kamāl al-Dīn in its optical terminology. Ibn al-Haytham, on the other hand, had in his discussion of the rainbow dealt specifically with the problem of reflection; that is, in order to explain the form of the arc, he had proposed that the light from the sun is reflected on the cloud before reaching the eye. He sought the condition under which a ray emanating from a source of light—the sun—and reflected on a concave spherical surface, outside the axis, passes through the eye after its reflection. Admitting, as did the Aristotelian tradition before him, the possibility of a direct study of the arc, Ibn al-Haytham did not attempt to construct an experimental situation in order to verify the geometrical hypotheses. But the direct study of the rainbow did not lend itself to this sort of proof, even though Ibn al-Haytham called for it. Kamāl al-Dīn took up Ibn al-Haytham’s project at this point. Despite Ibn al-Haytham’s authority, Kamāl al-Dīn began by submitting his predecessor’s attempt to a severe criticism that, essentially, showed the need of a better physics which, when joined with geometry, would allow him to reach the goal formulated but unattained by Ibn al-Haytham. Thus Kamāl al-Dīn returned to the doctrine of the rainbow proposed by Ibn Sīnā, who conceived of the arc as being produced by

‎1. The Paris MS is Bib. Nat., Fonds arabe, MS 2517; that at Cairo, written in 1340 at Mossoul, is National Library MS 7797. ‎2. Paris, Bib. Nat., Fonds arabe, MS 2518.

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reflection from a totality of the water droplets dispersed in the atmosphere at the moment when the clouds dissolve into rain. Ibn Sīnā’s improvement justified an analogy—important for the explanation of the rainbow—between a drop of water and a transparent sphere filled with water. Having stated the analogy, Kamāl al-Dīn wished to introduce two refractions between which one or several reflections occur. He benefited here from the results obtained by Ibn al-Haytham in The Burning Sphere, in which the latter showed that the paths followed by the light propagated between the two refractions are a function of the relationships of the increase in the angles of incidence and those of the increase in the angles of deviation. Ibn al-Haytham established that for two rays to intersect inside the circle—that is, for the points of the second refraction to approach O ′ instead of moving away from each other—it is necessary that D ′ − D > 1/2(i ′ − i) (compare Kamāl al-Dīn’s diagram, Figure 1). While it is true that this relationship is valid for the passage from air to glass, it can be easily demonstrated that it is independent of n. Drawing upon this relationship, however, Ibn al-Haytham was able to show by a simple geometric demonstration that the angle beginning with which this intersection occurs is 50° for the case in which n = 3/2 (from air to glass). This can be verified by the relation dD i = 1 − ncos di cos r . It should be noted that Ibn al-Haytham thought that with the incident ray at 90°, the second point of refraction was on the same side of the axis as the point of the first refraction; this was not verified in the air-to-glass case that he was considering. In the water-to-air case that Kamāl al-Dīn studied, on the other hand, this was easily verifiable, so that in taking up Ibn al-Haytham’s results, Kamāl al-Dīn did not encounter the same difficulty. Kamāl al-Dīn thus considered the incident rays to be parallel to the axis OO ′ . These rays intersect the sphere at points increasingly removed from O and are refracted in it at points distant from O ′ on the opposite portion of the sphere up to the angle of incidence of 50°. For an angle of incidence greater than 50°, the points of the second refraction successively approach O ′ . Concerning the propagation of rays at their exit from the sphere, Ibn al-Haytham had already demonstrated spherical aberration. With these results Kamāl al-Dīn attempted to show how, following double refraction in the sphere and depending on whether rays near to or distant from the axis are considered, one or several images of a luminous object as well as different forms can be obtained— an arc or a ring in the case of a circular object. Before treating in detail double refraction in the sphere, however, Kamāl al-Dīn elimi-

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Fig. 1

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nated a difficulty resulting from the fact that, unlike the sphere, the drop does not have a glass envelope and that there are therefore four refractions, not two, in the sphere. In order to guarantee the correspondence between the manufactured object—the sphere—and the natural object—the drop of water—Kamāl al-Dīn employed an approximation furnished by the study of refraction and justified by the consideration that the indexes of the two mediums are quite close, which allowed him, finally, to disregard the glass envelope. Kamāl al-Dīn considered the circle of center γ and the rays that form angles of incidence of 10°, 20°, …, 90° with it. He divided the rays into two groups. The first five form angles of incidence of less than 50°; the four others, of more than 50°. (See Figure 2.) He divided the arc DE into two equal parts at O ′ and took F and G equidistant from O ′ . Let SJ be the ray with the angle of incidence 50° and SJ ′ its symmetric counterpart in relation to the axis OO ′ . These two rays are refracted along the lines JE and J ′ D and meet after the second refraction at point A, exterior to the sphere on the axis. Following the first refraction, all the rays of incidence of less than 50° are contained in the interior of the trunk of the cone generated by JE and J ′ D, called the “central cone” by Kamāl al-Dīn. Following the second refraction, these same rays are contained within the cone generated by EA and DA, the “burning cone.” The rays that constitute the second group—with angle of incidence greater than 50°—are refracted, some between JE and LG and others symmetrically between J ′ D and L ′ F, which generate the two exterior cones, or “hollow cones.” These rays are refracted a second time, some between GB and EA and some between FC and DA; they generate the exterior refracted cones or “hollow opposites.” These rays intersect on the axis at points H and A. At this stage, Kamāl al-Dīn’s problem was to produce, under certain conditions, several possible images of the same object placed before the sphere. He could then vary their respective positions, causing them to become more distant from each other or superimposing them. Kamāl al-Dīn sought, in fact, to place himself outside what are today called Gauss’s approximation conditions in order to produce this multiplicity of images. He then returned to his model and complicated it with new, precise details. He examined the propagation of rays inside the sphere between two refractions and also treated the different types of reflection. Kamāl al-Dīn believed that a bundle of parallel rays falling on the drop of water is transformed, following a certain number of reflections in the sphere, into a divergent bundle. He knew, moreover, that the rays refracted in the drop of water after one or several

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Fig. 2

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reflections in its interior are not sent equally in all directions but produce a mass of rays in certain regions of space. This mass—and Kamāl al-Dīn’s text allows no doubt on this point—is in the vicinity of the point of emergence of the ray which corresponds to the maximum (actually maximum or minimum) of deviation. He stated, in addition, that the intensities of the lights join together, producing a greater illumination. He expressed these ideas in the complicated language of “cones” of rays that have been refracted after having undergone one or two reflections in the interior of the sphere and also in the concept of a greater illumination at the edges of the “cones.” In the case of one reflection between two refractions, he distinguished two bundles of rays coming from the exterior cones and the central cone (see Figure 2); in the case of two reflections, he obtained two groups of rays that were more divergent than in the case of one reflection and that also gave one or two images. If the eye receives the rays coming from the central cone, Kamāl al-Dīn stated, a single image will be seen in a single position; and if the eye is placed in the region where the rays issuing from the central cone and the exterior cone intersect, two images will be seen in two positions. In order to test the completed model, Kamāl al-Dīn employed an experimental procedure that was independently rediscovered by Descartes. He constructed a dark chamber with one opening, and placed inside it a transparent sphere illuminated by the rays of the sun. He masked half of the sphere with a dense white body and observed the face-on the side toward the sphere: on it he saw an arc whose center was on the axis leading from the center of the sphere to the sun. This arc was formed from light rays that had undergone a refraction, a reflection, and another refraction. The inside of the arc was brighter than the outside because it contained rays emitted by both the central cone and the exterior cone. Kamāl al-Dīn next placed another white body, less dense than the first, before the sphere and again observed the face turned toward the sphere. This time he saw a complete ring that always displayed the colors of the rainbow. This ring was formed from the rays refracted a second time after having been reflected in the sphere. He noted the variation in the intensity of the colors according to the position of the screen, then employed the same dark chamber to consider the case of two reflections between two refractions. This introduced into the study an important possibility that had not been considered then: the transfer through geometry of a physical doctrine of this phenomenon—essentially that of Ibn Sīnā—into the realm of experiment. It was in fact a question of restoration, contrary to Ibn al-Haytham, of the latter’s own style of optics. The new

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optics promised to respect the norms of the combination of geometry and physics. But to follow the new norms with some prospect of success necessarily led, in the case of a phenomenon as complicated as the rainbow, to the abandonment of direct study. This abandonment led to research on phenomena better mastered by the contemporary optical knowledge and more accessible to experimental verification— to the use of practical analogy. The analogue could be subjected to objective observation, and the resulting data applied to the study of the proposed natural object. Thus, Kamāl al-Dīn’s spherical glass vial filled with water served to demonstrate the natural phenomenon of refraction. On the problem of color, Kamāl al-Dīn turned to a commentary by al-Shīrazī on the text of Ibn Sīnā’s Canon. 1 His work soon began to diverge from its older model, however. In particular, Kamāl al-Dīn chose to treat four colors instead of three and to treat the problem of color by a reformulation of al-Shīrazīs method. Kamāl al-Dīn set forth the doctrine of color, then limited its scope so as to consider only the colors formed on the screen in front of the sphere after the combination of reflections and refractions. He wrote: The colors of the arc are different but related, between the blue, the green, the yellow, and the dark red, and come from a strong luminous source reaching the eye by a reflection or a refraction or a combination of the two [Tanqīḥ … p. 337].

Thus varying the respective positions of the images in the different cones formed by the refracted rays, Kamāl al-Dīn declared that he perceived the different colors gradually as the two images were superposed. The bright blue was produced by the approach, without superposition, of two images; the bright yellow resulted from the superposition of two images; and the darkish red appeared at the edge of the bundle of rays. It was no longer, therefore—as in a traditional doctrine of color—the mixture of light and darkness that produced color, but the bringing together or the superposition of two or more images—or, still better, “forms”—of light on a background of darkness that explained the formation and diversity of colors. Kamāl al-Dīn thought that he finally could explain how the rainbow should be observed. He showed that when the sphere was moved up and down along the perpendicular to the axis from the eye to the center of the sun (see Figure 3), then according to the position of the sphere the image of the sun could be produced by simple reflection between two refractions. In other words, depending on the angle ‎1. Tanqīḥ, p. 331 et seq.

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III. OPTIQUE ET

Fig. 3

formed by the rays of sun meeting the sphere, the well-placed observer will perceive either the rays refracted after one reflection or the rays refracted after two reflections. Then the colors of the first arc and those of the second are obtained successively. It must be noted that Kamāl al-Dīn employed here—as elsewhere—the principle of reversibility. Thus he imagined the cones of the rays refracted after one or two reflections, by putting, in the first step, the light source where the eye had been. In the second step he reversed the situation in order to consider the displacement of the sun in relation to these cones of rays, the eye being returned to its initial position. He wrote:

ASTRONOMIE

Let us suppose that B, the center of the eye, is between A, the center of the sun, and C, the center of a polished transparent sphere. ABC is a straight line. Draw a perpendicular, CD, from C and suppose that the sphere is moved away from the line ABC in such a manner that its center remains on the perpendicular. If its center is moved away from ABC, the cone of rays refracted after one reflection will incline toward the sun while the latter, proportionally to the displacement of the sphere from

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ABC, will continue to approach the edge of the cone in the direction of the movement of the sphere and will appear in two images, at two positions on the sphere. … To the extent that the sphere is displaced, the two images draw closer until they become tangent. It is then that the light becomes stronger and produces an isfanjūnī blue if it blends with the darkness or with the green. If the images then interpenetrate, the light is again intensified and produces a bright yellow. Next, the blended image diminishes and becomes a darker and darker red until it disappears when the sun is outside the cone of rays refracted after one reflection. If the sphere continues to become more distant from the line ABC, the cone of rays refracted after two reflections approaches closer and closer to the sun until the sun is contained within this cone, and then what had disappeared in the beginning reappears in inverse order, beginning with the purple red, then the bright yellow, then the pure blue, and finally a light that is not really perceived because of the disappearance of one of the images or because of their mutual separation. If there are a great many drops of water massed in the air, these, arranged in a circle—each drop giving one of the images mentioned according to its size—produce the image of two arcs, as one may see: the small one is red on its exterior circumference, then yellow, then blue. The same colors appear in inverse order on the superior arc, hiding what is behind it by the colors and lights that appear in it. The air between the two arcs is darker than the air above and below them, because the portions between the two arcs are screened from the light of the sun [Tanqīḥ …, pp. 340-342].

In order to bring the combination of geometry and physics as in Ibn al-Haytham’s optics to the study of the rainbow—that is, to arrive at a valid proof through geometrical deduction and experimental verification—Kamāl al-Dīn was led to reject as a starting point the notion of direct study, used by Ibn al-Haytham and by a whole tradition. He therefore elaborated a mode of explanation by reduction by establishing a group of correspondences between a natural object and a synthetic object, which he then systematically reduced by the geometry of the propagation of light in the first object to its propagation in the second. Appearing in the wake of Ibn al-Haytham’s reform, this achievement was a means of extending that reform to an area where it was not yet operative. It is in this way that the importance of Kamāl alDīn’s contribution is to be understood. It remains for us to consider Kamāl al-Dīn’s work on the rainbow in conjunction with that of Dietrich von Freiberg. Dietrich’s De iride et radialibus impressionibus was written between 1304 and 1311; 1 Krebs

‎1. See E. Krebs, “Meister Dietrich (Theodoricus Teutonicus de Vriberg), sein Leben, seine Werke, seine Wissenschaft,” in Beiträge zur Geschichte der Philosophie

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found the direct influence of Ibn al-Haytham in this work: “However, it seems very likely,” he wrote, “that Dietrich used fully the great work of the Arabic father of modern optics…” 1 Würschmidt, too, stated, “that Dietrich, by his own testimony, used in the treatment of this problem of the rainbow … the optics of Ibn al-Haytham.” 2 Wiedemann concluded that Kamāl al-Dīn completed the definitive version of his work between 1302 and 1311, 3 during Dietrich’s lifetime. In support of this thesis he offered the arguments that the book was written during al-Shīrazī’s lifetime (that is, before 1311), and that in it Kamāl al-Dīn refers to a lunar eclipse that, according to Wiedemann, occurred in 1302. This evidence has been accepted by other historians; Naẓīf, however, took exception to it. In his research on the rainbow included in the appendix to the Tanqīḥ, al-Fārisī [Kamāl al-Dīn] borrowed from al-Shīrazī’s commentary to the Canon the latter’s conception of the manner in which colors originate; the passage containing al-Shīrazī’s remarks clearly indicates that the commentary had not been completed. This is tantamount to saying that al-Fārisī had completed the Tanqīḥ before al-Shīrazī finished the commentary to the Canon. As for the lunar eclipse that Wiedemann emphasizes, if the year 1304 is accepted for its occurrence (Wiedemann gives 1302), the fact remains that the eclipse is not mentioned either in the main portion of the Tanqīḥ, in its conclusion, or in the appendix. The eclipse is referred to only in al-Fārisī’s commentary on one of Ibn al-Haytham’s treatises that al-Fārisī appended to his own book. This is Shadows, and it is conceivable that these treatises were added to the book after publication or that the reference to the eclipse was added at a later date. At least one can speculate; I do not believe that it is mistaken to say that al-Fārisī had completed the research on which he would base his two theories of the rainbow before al-Shīrazī had finished his commentary. This is not to generalize and include the entire Tanqīḥ—corpus, conclusion, appendixes, and excursus—in this chronology. Thus, I am not suggesting what is probable but, rather, what is certain, in alleging that al-Fārisī had completed the research on the rainbow that is included in the appendix to the Tanqīḥ at least ten years before Theodoricus [Dietrich] wrote his treatise between the years 1304 and 1311 [M. Naẓīf, “Kamāl al-Dīn al-Fārisī…,” p. 94]. und Theologie des Mittelalters, V, pts. 5-6 (Münster in Westfalen, 1906), 105 ff.; and P. Duhem, Le système du monde, III (Paris, 1915), 383 ff. ‎1. See Krebs, op. cit., p. 40. ‎2. “Dietrich von Freiberg; Über den Regenbogen und die durch Strahlen erzeugten Eindrücke,” in Beiträge zur Geschichte der Philosophie und Theologie des Mittelalters, XII, pts. 5-6 (Münster in Westfalen, 1906), p. 1. ‎3. “Zu Ibn al-Haitams Optik,” in Archiv für die Geschichte der Naturwissenschaften und der Technik, no. 3 (1912), pp. 3-4.

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Naẓīf went on to posit the possibility of Kamāl al-Dīn’s influence upon Dietrich. Such influence would seem tenuous at best, however; no trace has been found of Kamāl al-Dīn’s work in Latin, and Dietrich himself did not cite him. The influence of Ibn al-Haytham on Dietrich is another matter. As Würschmidt wrote: … a comparison of these works [those of Kamāl al-Dīn] with those of Master Dietrich indicates that the latter definitely did not know Kamāl al-Dīn’s commentary; Kamāl al-Dīn avoided a succession of errors which occur with Dietrich as well as with earlier Arab scholars, and saw clearly especially the returned rays so important later in Descartes’s rainbow theory. 1

It may thus be seen that Kamāl al-Dīn’s priority in no way implies his influence upon Dietrich, but, rather, that both Kamāl al-Dīn and Dietrich were disciples of Ibn al-Haytham and, relying upon the same source for their essential ideas, independently arrived at the model of the transparent sphere to explain the rainbow.

Bibliography I. Original Works

The Tanqīḥ al-manāẓir, 2 vols. (Ḥyderabad, 1928-1929), contains, at the end of vol. II, commentaries on the following works of Ibn al-Haytham: The Halo and the Rainbow, trans. by E. Wiedemann as “Theorie des Regenbogens von Ibn al-Haitam,” in Sitzungsberichte der physikalisch-medizinischen Sozietät in Erlangen, 46 (1919), 39-56; The Burning Sphere, trans. by Wiedemann as “Ober die Brechung des Lichtes in Kugeln nach Ibn al-Haitam und Kamāl al-Dīn al-Fārisī,” ibid., 42 (1910), 15-58; Shadows, trans. by Wiedemann as “Über eine Schrift von Ibn al-Haitam, über die Beschaffenheit der Schatten” ibid., 39 (1907), 226-248; The Shape of Eclipses, and Discourse on Light, trans. by R. Rashed in Revue d’histoire des sciences, 21, no. 3 (1968), 197-224. Works still in MS are Al-Basāʾir fi ʿilm al-manāẓir fīl hikma; Asās al-gawāʾid fī uṣūl alfawaʾid; Taḍhirat al-aḥhāb fī bayān al-tahābb; and “Treatise on a Geometrical Proposition of Nasīr al-Dīn al-Ṭūsi.” See C. Brockelmann, Geschichte der arabischen Literatur, supp. II (Leiden, 1938), p. 295; and H. Suter, Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke (Leipzig, 1900), p. 159.

‎1. Op. cit., p. 2, note 8.

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II. Secondary Literature

On Kamāl al-Dīn or his work, see Carl Boyer, The Rainbow: From Myth to Mathematics (New York, 1959), pp. 127-129; M. Schramm, “Steps Towards the Idea of Function: A Comparison Between Eastern and Western Science of the Middle-Ages,” in History of Science, 4 (1956), 70– 103, esp. 81–85; M. Naẓīf, “Kamāl al-Dīn al-Fārisī wa baʿḍ buḥūṭuhu fī ʿilm al-ḍawʾ,” in La société égyptienne et l’histoire des sciences, no. 2 (Dec. 1958), 63-100 (in Arabic); R. Rashed, “Le modèle de la sphère transparente et l’explication de l’arc-en-ciel: Ibn al-Haytham—al-Fārisī,” in Revue d’histoire des sciences, 22 (1970), 109-140; and J. Würschmidt, “Über die Brennkugel,” in Monatshefte für den naturwissenschaftlichen Unterricht, 4 (1911), 98-113.

LUMIÈRE ET VISION : L’APPLICATION DES MATHÉMATIQUES DANS L’OPTIQUE D’IBN AL-HAYTHAM Si l’on s’interroge sur les rapports entre mathématiques et physique dans une œuvre scientifique, fût-elle du moyen âge ou de la renaissance, l’on se place d’emblée sur un terrain qui, bien que familier aux philosophes, reste toujours difficile à parcourir. Il s’agit bien sans doute du traditionnel problème de l’application des mathématiques à une théorie de la lumière, du mouvement, du levier,... mais si l’on ne précise pas davantage ce que l’on entend par théorie, la tentation est grande, et somme toute naturelle, d’adopter une position étrangère aux œuvres traitées. On leur impose alors une problématique dont rien n’indique a priori la présence et que résume parfaitement l’expression célèbre de Kant : « Or je soutiens que dans toute théorie particulière de la nature, il n’y a de science proprement dite qu’autant qu’il s’y trouve de mathématique ». Et déjà l’on attribue au moyen âge et à la renaissance un projet dont l’élaboration exigera tout le développement ultérieur des « mathématiques appliquées » au sens où l’entendront un d’Alembert ou un Condorcet. Les oppositions « aristotélicien-archimédien » et « aristotélicien-galiléen », forgées par des historiens et des philosophes estimés pour situer certaines œuvres scientifiques et décrire deux types de rationalité, ne font souvent que dissimuler ce transfert de problématique, en fournissant une réponse à une question non encore posée. Dans cet exposé, on évitera ce transfert pour analyser de manière précise les rapports des mathématiques et de la physique tels qu’Ibn al-Haytham les a lui-même conçus. Quand on procède cependant à leur examen, deux questions au moins se posent : comment Ibn al-Haytham a-t-il réalisé la jonction des mathématiques et de la physique ? Comment l’a-t-il pensée et interprétée ? Même si les deux questions sont liées, elle peuvent recevoir des réponses qui ne sont ni nécessairement contemporaines, ni forcément du même âge. D’ailleurs l’interprétation que donne le savant

Paru dans Roemer et la vitesse de la lumière, éd. R. Taton, Paris, Vrin, 1978, p. 1944.

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de ses propres réalisations peut être oblique et souvent décalée : cet écart est un instrument précieux pour l’historien. C’est en fait seulement la réponse à la première question, comment s’effectue la liaison des mathématiques et de la physique, qui permet de saisir le statut de la tâche proprement scientifique du savant ; répondre à la deuxième question, c’est-à-dire comprendre comment l’auteur explique lui-même son œuvre, ne peut rendre compte que du point de vue du savant devenu philosophe et parfois aussi historien de sa propre tâche. Distinction particulièrement importante dans une œuvre novatrice comme celle d’Ibn al-Haytham, car rien n’impose qu’une réforme scientifique s’accompagne de la philosophie qu’elle mérite, de même que rien n’exige qu’un savant soit le meilleur historien de sa propre œuvre. Les aléas philosophiques, historiques, sociologiques, bref idéologiques, dont dépend l’interprétation, sont trop nombreux pour lui permettre de correspondre immédiatement à la réalisation scientifique. Dans cet exposé, nous distinguerons les deux tâches, mais bien plus, nous subordonnerons l’interprétation d’Ibn al-Haytham à ses constructions, leur attribuant ainsi valeur non pas de démonstration mais seulement d’indice. Que l’œuvre scientifique d’Ibn al-Haytham soit novatrice, les historiens s’accordent à l’admettre. Si l’on assiste en effet à une réforme de l’optique, bien plus importante s’avère la réforme, au sens fort, de la théorie de la preuve en physique. Mais l’auteur lui-même ne fournit guère d’explications, parfois même n’en fournit aucune : ainsi pour la preuve expérimentale qu’il est cependant le premier à systématiser. Quelques textes d’allure programmatique, d’autres abstraitement historiques, faute de noms et de détails, et critiques pour l’ensemble, font la somme de sa tâche interprétative. Des textes programmatiques, on retient, pour l’essentiel, trois textes placés au début de ses œuvres respectives : l’Optique, Du halo et de l’arc-en-ciel, Le Discours de la Lumière. Le mot d’ordre est « composer sciences mathématiques et sciences physiques » pour étudier la vision, le halo et l’arc, et les phénomènes lumineux en général. À partir de ces textes et à l’aide de leur confrontation avec l’œuvre d’Ibn al-Haytham, certains historiens dégagent la thèse que l’on peut résumer de la manière suivante : la composition des mathématiques et de la physique est une synthèse des deux doctrines qui se partageaient l’optique avant Ibn al-Haytham, celle des géomètres Euclide et Ptolémée, et celle des philosophes aristotéliciens. Mais une synthèse, quel que soit le sens attribué à ce terme, une synthèse de deux doctrines reste une doctrine. Les seuls critères de la composition sont la cohérence interne de la doctrine produite et son pouvoir de rendre compte des données immédiates de l’expérience. La « syn-

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thèse », dans ces conditions, se fait par amendements successifs pour mieux épuiser les données d’une expérience particulière dans un exposé toujours plus cohérent. La difficulté est donc : si synthèse il y eut, comment a-t-elle pu produire parfois une doctrine et parfois une science ? Comment a-t-elle pu, au moins à un certain niveau, réformer les critères de la connaissance et introduire les normes d’une preuve mathématique et expérimentale ? C’est là, semble-t-il, que réside la véritable question. Plus encore, si synthèse il y avait eu, sans se présenter pour autant comme une juxtaposition, elle eût sans doute gardé les traits communs aux doctrines originelles, dans la mesure surtout où ce qui est commun concerne le statut même de la connaissance. Or pour Aristote l’optique fait partie des mathématiques au même titre que l’astronomie, l’harmonique, la mécanique, c’est-à-dire les sciences qui forment « la partie la plus physique des mathématiques ». Bien que dans ces sciences, comme dit Aristote, « la connaissance du fait relève des observateurs empiriques, et celle du pourquoi des mathématiciens », elles demeurent partie des mathématiques ; pour les philosophes arabes comme al-Fārābī dans la « classification des sciences » et Avicenne dans « les parties des sciences théoriques », l’optique reste une partie des mathématiques. Et si par géomètres Ibn al-Haytham entend Euclide et Ptolémée, on sait que ce dernier a repris dans l’avant-propos de l’Almageste la classification aristotélicienne des sciences. Dans les conditions d’une « synthèse » l’on serait donc en droit d’attendre que l’optique fût restée pour Ibn al-Haytham une partie des mathématiques. Or dans un livre important sur « l’analyse et la synthèse » où il reprend le problème pour l’ensemble des disciplines mathématiques – il parle en effet de « toutes les espèces des sciences mathématiques » – on trouve, outre l’arithmétique et la géométrie, l’astronomie et l’harmonique. On chercherait en vain optique et mécanique. Cette absence dans une étude classificatrice et à vocation systématique ne saurait être l’effet du hasard ou d’un oubli, d’autant plus que ces disciplines sont bien présentes dans la classification de ses prédécesseurs comme al-Fārābī ou de ses contemporains comme Avicenne. De quelque manière que l’on interprète cette omission délibérée, elle interdit d’assimiler le statut de l’optique à celui de l’une ou l’autre partie des mathématiques, parmi lesquelles se trouvent encore l’astronomie et l’harmonique. Le moins que l’on puisse dire est que si synthèse il y eut, elle fut révolutionnaire au point de réformer, et les critères de la connaissance, et le statut de la discipline. Pour examiner ce problème, revenons aux réalisations mêmes d’Ibn al-Haytham.

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I L’exposé méthodologique d’Ibn al-Haytham évolue dans un ordre déterminé qui ne peut laisser le commentateur indifférent. À quelques variantes près, on retrouve chaque fois le même développement : l’auteur énonce d’abord le projet de « composer mathématiques et physique », recense ensuite les doctrines de ses prédécesseurs géomètres et physiciens pour relever leur diversité et souligner leurs contradictions, et présente enfin sa propre méthode. Projet, histoire critique, méthode, tel est le schéma utilisé généralement par Ibn al-Haytham dans ses introductions, à l’exception de son Traité du halo et de l’arc-en-ciel qui, précisément, et pour des raisons particulières, se distingue des autres œuvres d’Ibn al-Haytham 1. Or les variantes de même que les silences d’Ibn al-Haytham peuvent être significatifs à cet égard. C’est ainsi que la seule différence entre le Livre de l’Optique et le Discours de la Lumière est l’absence d’un exposé explicite par l’auteur de sa propre méthode. Différence compréhensible dans la mesure où le deuxième se présente comme un résumé non démonstratif, un traité de la science des phénomènes lumineux en général, et non pas comme un développement destiné à fonder une théorie particulière. Une variante plus importante distingue ces deux ouvrages du Traité de la lumière de la lune où Ibn al-Haytham n’annonce pas son projet au début, mais rappelle les anciennes doctrines, pour proposer ensuite la méthode qu’il va suivre. C’est peut-être parce qu’il ne s’agit plus d’un corps physique au sens aristotélicien, mais d’un corps céleste, donc d’une substance simple non composée, qu’Ibn al-Haytham n’éprouve pas le besoin de formuler son projet, dans la mesure où il n’y a pas opposition entre mathématiques et physique. L’absence d’un exposé du projet lorsqu’il s’agit de corps célestes semble confirmer cette interprétation : la composition des mathématiques et de la physique n’intervient qu’au niveau du monde sublunaire. D’où une première détermination du sens de cette composition. À la lecture des textes d’Ibn al-Haytham, cet exposé préalable n’apparaît nullement comme une clause de style, mais semble montrer que, si ce projet permet seul de fonder l’optique, l’histoire n’accomplit pas le projet ; seule la nouvelle méthode réformera l’histoire. Ses déclarations du Livre de l’Optique illustrent bien cette démarche. Ainsi, après avoir exposé les doctrines des géomètres et

‎1. Sur ces « raisons », voir R. Rashed, « Le modèle de la sphère transparente et l’explication de l’arc-en-ciel : Ibn al-Haytham – al-Fārisī », in Revue d’Histoire des Sciences, 23 (1970), pp. 109-140.

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les thèses des philosophes-physiciens, il en relève les oppositions et les contradictions, exprime ses doutes et annonce son intention de renouveler l’étude des principes de la modalité de la vision. C’est alors qu’il se propose pour méthode, « l’examen des états des visibles et la distinction des propriétés des [choses] particulières, et nous rassemblerons par induction ce qui est propre à l’œil en état de vision, ce qui dans la qualité de la sensation est constant et ne change pas, évident et non douteux ; nous nous élèverons ensuite dans la recherche et les raisonnements, progressivement et de manière ordonnée, en critiquant les prémisses et en nous préservant de l’erreur dans les résultats » 1. Dans le Traité de la lumière de la lune, c’est de la même manière qu’il expose les doctrines des géomètres et des physiciens pour écrire ensuite : Et c’est parce qu’il en est ainsi et que nous ne trouvons pas de propos satisfaisants qui auraient rendu intelligible la qualité véritable de la lumière de ce corps, et comme les âmes s’attachent à connaître les quiddités des choses qui existent et ne se reposent qu’en la certitude qui supprime les opinions, c’est cela qui nous a décidé à la recherche de la qualité de la lumière de ce corps, en l’étudiant de manière exhaustive et en découvrant ce qui en était dissimulé. Nous avons commencé notre étude par l’examen des attributs de l’ensemble des corps lumineux et la considération de leurs états ; c’est donc après avoir rendu intelligible la qualité des corps lumineux et distingué leurs propriétés, que nous avons trouvé... 2.

 Conformément à la méthode énoncée, dans chacun des ouvrages cités, Ibn al-Haytham passe directement à l’énumération des traits communs aux phénomènes étudiés, traits qui pour lui sont empiriques ; ainsi dans son Livre de l’Optique, il présente les conditions de la vision comme inductivement élaborées et écrit : De l’ensemble de ce que nous avons rappelé, de ce que l’on trouve par induction et expérimentation, et que l’on trouve constant, ne changeant pas et ne diminuant pas, il est apparu que l’œil ne perçoit des visibles que ce qui est avec lui dans le même air, – ou bien cette perception est par réflexion –, si sont réunies les notions que nous avons rappelées : à savoir qu’il y ait entre le visible et l’œil une certaine distance relative à ce visible, qu’il soit en face de l’œil, c’est-à-dire qu’il y ait entre tout point de sa surface perçue par l’œil et tout point de la surface de l’œil une ligne ‎1. Livre de l’Optique (OP), 3 r-3 v. Les références renvoient au manuscrit n o 2448 de la Bibliothèque d’Aya Sofya (Istanbul). Nous l’avons confronté aux manuscrits de la Bibliothèque d’al-Fātiḥ (Istanbul), n os 3212 – 3215 – 3216, et de la Bibliothèque d’Ahmet III (Istanbul), n os 3339 et 1899. ‎2. Traité de la Lumière de la Lune, Fī Ḍawʾ al-Qamar, Ḥayderabad, 1938-1939.

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droite virtuelle, qu’il y ait en lui une lumière, soit par son essence, soit par un autre que lui, qu’il soit d’un certain volume, relatif à la puissance de sensation de l’œil, que l’air qui est entre lui et la surface de l’œil ou le corps qui les sépare soit transparent, d’une transparence continue que ne pénètre rien des corps opaques, que le visible soit opaque ou qu’il contienne une certaine opacité, je veux dire qu’il n’y ait pas en lui de transparence ou que sa transparence soit plus dense que celle de l’air qui s’étend entre lui et la surface de l’œil, ou que celle du corps transparent, intermédiaire entre lui et la surface de l’œil. Or l’opaque ne peut qu’être doué de couleur ou de ce qui se comporte comme la couleur de même que le transparent contenant une certaine opacité ; ces notions sont celles sans le rassemblement desquelles en le visible, il ne saurait y avoir de vision 1.

Quelle que soit la conception qu’Ibn al-Haytham se fait de l’élaboration inductive des traits ainsi recensés, déjà un ensemble de choix est effectué, des hypothèses sont faites. Notamment, la vision s’effectue selon des droites, c’est-à-dire que l’œil perçoit l’objet suivant des droites menées de tout point de l’objet à l’œil. Rien dans les conditions énumérées de la vision ne concerne ni la nature de la lumière, ni le mode de sa propagation. Poursuivons encore l’exposé d’Ibn al-Haytham. Il examine ensuite la propagation même de la lumière. Ici également, il dénombre les traits communs aux lumièrçs et à leur propagation. Il reprend cet exposé dans le Discours de la Lumière. On peut en dégager les traits suivants : (1) La lumière émise par un corps lumineux par lui-même – lumière substantielle – et la lumière émise par un corps éclairé – lumière accidentelle – se propagent sur les corps qui les entourent. (2) Elle peut pénétrer dans les corps transparents : l’eau, l’air, le cristal et leurs homologues. (3) Les corps opaques peuvent être éclairés puis à leur tour émettre de la lumière. (4) Les corps transparents ont de même que les corps opaques, une « puissance réceptrice » de lumière, mais les corps transparents ont en outre une « puissance transmettrice » de lumière. (5) La lumière existe indépendamment de, et extérieurement à, la vision, elle a la propriété de se propager en ligne droite dans le milieu transparent, dans toutes les directions. Ces droites virtuelles forment avec la lumière le « rayon ». (6) Ces lignes peuvent être parallèles ou se croiser : dans l’un et l’autre cas, les lumières ne se mélangent pas. ‎1. OP, 7 r.

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Encore une fois, aucune de ces conditions de propagation ne concerne la vision. Ibn al-Haytham commence par vérifier la propagation de la lumière substantielle à l’aide d’expériences qui sont des variantes de la chambre obscure et d’autres observations sur les ombres, la lumière de la lune... Il propose ensuite la démonstration géométrique et expérimentale de la même propriété pour la lumière accidentelle, et construit à cet effet un dispositif expérimental complexe pour l’époque. Il procède d’une manière analogue pour les lumières réfléchies et réfractées et conclut : De l’ensemble de ce que nous avons expliqué et montré par induction et expérimentation, il est apparu que la propagation de toutes les lumières ne se fait que suivant des lignes droites et qu’à partir de la lumière qui est en tout point de tout corps lumineux, fût-elle substantielle ou accidentelle, une lumière se propage suivant toute ligne droite que l’on peut imaginer, menée de ce point dans le corps transparent qui lui est contigu, par une propagation sphérique, je veux dire suivant toute ligne droite pouvant être menée de ce point dans le corps transparent... Il est apparu également que les lumières secondes sont plus faibles que les lumières dont elles émanent et qu’elles s’affaiblissent, à mesure qu’elles s’éloignent de leurs sources 1.

C’est la première fois qu’est formulé en toute généralité le principe de la propagation rectiligne. Même les prédécesseurs immédiats d’Ibn al-Haytham, al-Kindī, par exemple, ne sont jamais parvenus à une telle généralité. Quelles sont les raisons de cette réussite ? Le succès d’Ibn al-Haytham tient à son renversement du point de vue traditionnel. Au niveau le plus immédiat ce renversement consiste pour Ibn al-Haytham à affirmer contre les géomètres que la lumière se propage de l’objet à l’œil, et ses critiques des nombreuses variantes du rayon visuel sont là pour le confirmer. Contre les philosophes il ne conserve de l’opposition forma substantialis – forma accidentalis que la distinction entre milieux plus ou moins transparents. Certes à ce niveau immédiat, l’on ne peut encore apprécier à sa juste valeur l’importance du renversement du point de vue traditionnel, réalisé par Ibn al-Haytham. Beaucoup plus fondamentale pour la formulation du principe de la propagation rectiligne est la séparation entre les conditions de la vision et les conditions de la propagation, telle qu’Ibn al-Haytham l’a effectuée. Or cette séparation représente déjà une rupture avec l’optique traditionnelle.

‎1. OP, 33 r.

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En effet, dans toutes les variantes de la doctrine du rayon visuel, voir c’est éclairer, et la constitution d’une doctrine des phénomènes lumineux revient à l’élaboration d’une doctrine de la vision. Chaque doctrine renvoie immédiatement à l’autre et chacune parle la langue de l’autre. Avec Ibn al-Haytham voir et éclairer ont, comme nous l’avons dit, des conditions indépendantes. Il se plaît d’ailleurs souvent, quand il parle du phénomène lumineux, à rappeler la vérité de sa proposition « que l’œil soit absent ou présent ». Les deux doctrines désormais ne parleront plus le même langage. Séparer les conditions de la propagation de celles de la vision a en fait permis à Ibn al-Haytham de définir le concept de faisceau lumineux ; un tel faisceau est composé de rayons lumineux, de droites suivant lesquelles la lumière se propage, rayons indépendants dont la propagation dans une région quelconque mais homogène de l’espace n’est pas modifiée par celle des autres rayons qui traversent la même région. Ce concept a permis à Ibn al-Haytham d’exposer finalement les phénomènes de la propagation, y compris le phénomène important de la diffusion, en langage géométrique. À ce niveau, le rapport entre géométrie et optique est un isomorphisme de structure, et nullement une synthèse. Il reste à comprendre ce qui a rendu possible cette séparation et ce nouveau rapport entre mathématique et physique. Pour cela, il faut encore suivre la démarche d’Ibn al-Haytham, lorsqu’il complète au fur et à mesure de la rédaction du Livre de l’Optique la doctrine de la lumière et de sa propagation. Jusque là on sait qu’en optique il s’agit bien d’une physique et nullement d’une géométrie de la vision. On vient juste de voir comment sont nettement distingués ligne géométrique et rayon lumineux et que le phénomène physique est seulement isomorphe à la structure géométrique. Mais qu’est-ce que ce phénomène physique et que supporte cette droite géométrique ? L’on sait seulement que ces droites sont les supports de quelque chose qui existe indépendamment de et extérieurement à la vision. Ce quelque chose traverse les milieux transparents et éclaire les corps opaques. C’est au cours de la rédaction de son ouvrage que des précisions nécessaires et supplémentaires s’imposeront à Ibn al-Haytham pour rendre compte des règles qui régissent le comportement de ce quelque chose. On voit alors que : (1) Sans préciser davantage la nature de cette chose indépendante de la vision et extérieure à elle, Ibn al-Haytham souligne fortement sa matérialité, mais n’adopte pas pour autant une thèse atomistique : ce rayon que l’on peut concevoir comme droite et traiter géométriquement comme telle, occupe en fait, dans la nature, un

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espace : « Nous disons donc que la lumière ne s’étend que dans un corps et qu’un corps, si fin et subtil fût-il, n’existe que doué de largeur. La plus petite des lumières telle qu’on ne saurait en trouver de plus fine n’existe donc que douée de largeur » 1. (2) Assuré de la matérialité de l’agent lumineux, Ibn al-Haytham peut supposer qu’il se meut dans un temps. Ainsi pour décrire comment la lumière se transmet d’une ouverture à un écran qui lui fait face, il écrit : «[ce qui va] de l’ouverture au corps qui lui fait face n’existe que dans un temps, même si cela est dissimulé au sens » 2. (3) Ce mouvement rectiligne dans un milieu transparent est réfléchi ou dévié selon certaines règles si le milieu change de transparence, et change de vitesse avec le changement de milieu. (4) La lumière diminue en intensité, à mesure qu’elle s’éloigne de sa source. Ces propriétés supplémentaires permettent à Ibn al-Haytham de parfaire une doctrine physique de la lumière, doctrine où la nature de la lumière ou de la plus petite des lumières reste imprécise. Il est vrai cependant que même dans ces limites les principes et les règles de la propagation de la lumière ne sont plus de purs postulats, ils sont le résultat d’une activité naturelle. Non donnés dans une évidence absolue, ils sont relatifs à un autre ordre. Mais, d’autre part, ils sont choisis de telle sorte que l’on s’intéresse à la propagation pour ellemême. Autrement dit, les principes et les règles de la propagation ne réclament plus évidence et vérité absolue ; ils sont relatifs à un autre ordre qui peut cependant être négligé lorsque l’on étudie pour euxmêmes ces principes et ces règles. D’où la volonté délibérée d’Ibn al-Haytham de ne pas s’engager quant à la nature de la plus petite des lumières. Désormais l’optique géométrique peut être interprétée en termes d’une optique physique qui assure l’existence et l’indépendance de l’agent lumineux et fonde ses propriétés. Ce support physique auquel l’optique géométrique emprunte son langage se présente déjà sous un double aspect : susceptible d’un traitement géométrique, il peut sans difficulté expliquer les propositions de l’optique géométrique ; suffisamment général, il peut être négligé en une première approximation. À l’heure de l’optique géométrique, on peut se permettre d’ignorer la nature de l’agent, les raisons de son mouvement, sa diminution en intensité en fonction de l’éloignement de la source...

‎1. OP, 349 r. ‎2. OP, 113 r-113 v. Voir aussi les pages suivantes.

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Cette distinction des niveaux a assuré la séparation entre la propagation et la vision. Les principes de la propagation dérivent d’un autre ordre où le sujet de la vision n’a plus de place.

II Grâce au concept de rayon, comme on vient de le voir, le seul rapport entre mathématiques et optique est un isomorphisme de structure. Mais avec les précisions supplémentaires, nécessaires à la doctrine de la lumière, nous sommes déjà en présence d’un autre type de rapport plus complexe, c’est-à-dire beaucoup moins direct. Si l’on considère en effet l’ensemble des propriétés de la lumière telles qu’elles sont données au fur et à mesure par Ibn al-Haytham, on constate qu’elles sont pour la plupart de nature mécanique ou plus précisément dynamique. L’agent lumineux se meut dans un temps, par un mouvement rectiligne, dans un milieu transparent, ce mouvement est réfléchi ou dévié selon certaines lois quand le milieu change de transparence. Tout indique donc que lumière et corps grave se meuvent de la même manière à ces différences près que la lumière n’est pas soumise à la pesanteur et que son mouvement est d’une extrême vitesse, ou comme l’écrit Ibn al-Haytham : La lumière n’a pas en elle de force qui la meuve dans une direction particulière, sa propriété étant de se mouvoir suivant des trajectoires rectilignes dans toutes les directions possibles, à condition qu’elles s’étendent dans un corps transparent. Si la lumière se réfléchit avec ce qu’elle a reçu de force acquise et qu’elle se propage suivant la trajectoire exigée par la réflexion, elle se propage suivant la trajectoire, sans être détournée par aucune force, car il n’est pas de sa propriété d’exiger une direction particulière 1.

Ibn al-Haytham veut en somme, tout en tenant compte de ces différences, établir et utiliser l’analogie entre le mouvement du corps grave et le mouvement de la lumière, pour déduire et interpréter physiquement les lois de l’optique géométrique : réflexion, réfraction. C’est pour y parvenir qu’il compose mathématiques et physique. Mais comment procède-t-il et quel est le sens de cette composition ? À partir de la division traditionnelle du mouvement en naturel et violent, Ibn al-Haytham cherche d’abord à déterminer ce qui est commun aux deux mouvements dans le cas du choc, c’est-à-dire dans le cas où le mouvement naturel est intercepté par un obstacle plan et ‎1. OP, 355 v-356 r.

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de matière solide et dans le cas où l’on lance le corps contre un tel obstacle par un mouvement violent. Il écrit alors : Si dans son mouvement un mobile rencontre un obstacle qui l’empêche, et que la force du mouvement reste en lui à sa rencontre avec l’obstacle, il retournera dans sa direction de départ. La force du mouvement réfléchi sera proportionnelle à la force du mouvement incident et à la force de la résistance. La distance parcourue par le mobile réfléchi par rapport à l’obstacle est proportionnelle à la trajectoire du mouvement incident par rapport à l’obstacle. Le deuxième mouvement est acquis par le mobile à partir de la même résistance. Cette propriété se trouve dans tous les corps graves, soit dans leur mouvement naturel vers le bas, soit dans leur mouvement accidentel 1.

Sans insister sur les notions de dynamique utilisées par Ibn alHaytham et que nous avons étudiées ailleurs 2, rappelons ce qui est nécessaire à notre propos : (1) Un corps d’un poids déterminé, animé d’un mouvement naturel, à partir d’une distance déterminée, rebondit dans la direction même de l’incidence, par suite d’un choc avec une surface plane de matière solide. (2) On obtient le même résultat si le corps est animé d’un mouvement violent suivant la normale à la surface. (3) Si le corps est animé d’un mouvement violent de même force et de distance égale, mais obliquement, le corps ne rebondit plus sur la normale mais suivant une trajectoire située entre la normale menée à partir « du point de rencontre sur l’obstacle et se prolongeant à l’intérieur de l’obstacle, la normale menée perpendiculairement à la première dans le même plan qu’elle, et la droite sur laquelle s’est effectué le premier mouvement » 3. Autrement dit, si l’obstacle est extrêmement résistant, le corps animé d’un mouvement naturel rebondit sur la normale à la surface et selon une distance égale à celle de la chute, le corps animé ‎1. OP, 352 v. ‎2. Voir « Optique géométrique et Doctrine Optique chez Ibn al-Haytham », in Archive for the History of Exact Sciences, vol. 6, n o 4, 1970, pp. 271-298. Si on examine de plus près les travaux d’Ibn al-Haytham, on constate que sa doctrine du mouvement s’inscrit dans une tradition déjà élaborée par les philosophes de la théologie rationnelle – les muʿtazilites –, et ensuite par les aristotéliciens arabes qui ont subi à cet égard l’influence de Jean Philopon. Il s’agit en particulier du contemporain d’Ibn al-Haytham, Avicenne. Il est hors de notre propos ici d’écrire cette histoire, aussi intéressante et importante puisse-t-elle être. ‎3. OP, 354 r.

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d’un mouvement violent extrêmement fort mais sur la normale se comporte de la même manière ; finalement le corps animé d’un mouvement oblique rebondit d’un mouvement résultant de deux composantes : l’une suivant la direction de la normale à la surface, l’autre suivant la perpendiculaire à cette normale dans le plan d’incidence au point

Fig. 1

Si le projectile subit un mouvement violent sur la trajectoire AI, il rencontre en I l’obstacle qui l’empêche de poursuivre son chemin dans la même direction. Le mouvement du projectile en I est formé de deux composantes : l’une dans le direction de ID ′ et l’autre dans la direction de IE ′ . Si la résistance est à la limite, ce mouvement acquis suivant ID est identique au mouvement suivant ID ′ , tandis que le mouvement suivant IE ′ ne subit aucun changement. La résultante est formée de deux composantes, l’une suivant IE et l’autre suivant ID égale à la composante dans la direction ID ′ . Par conséquent le projectile suit après le choc la droite IB, telle que : ∠ AID = ∠ BID (cf. figure 1). Ibn al-Haytham prétend en outre avoir vérifié ce schéma comme celui de la réfraction par l’expérimentation. Quoiqu’il en soit, on constate que les lois de la réflexion en dérivent directement. C’est d’une manière analogue qu’Ibn al-Haytham veut étudier la réfrac-

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Fig. 2

tion. Au lieu cette fois d’un obstacle solide, on a une surface mince, fixée sur une grande ouverture. L’expérience consiste à lancer une balle solide contre l’obstacle à deux reprises, à partir de la même distance et avec la même force : la première fois suivant la normale à la surface et une deuxième fois obliquement (cf. figure 2). De la même manière, le mouvement se décompose en deux composantes : l’une radiale, suivant ID1 , l’autre tangentielle, suivant IE ′ . La première composante est modifiée pour devenir IE2 < ID1 , alors que la deuxième composante ne change pas. La résultante est la direction IE1 , qui devrait donc s’éloigner de la normale. Mais Ibn alHaytham sait que le rayon réfracté se rapproche au contraire de la normale suivant une direction IA2 .

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La difficulté qui sera reprise plus tard apparaît avec Ibn alHaytham et c’est pour la résoudre qu’il introduit une notion supplémentaire dans le cas de la réfraction : la voie la plus aisée, ou comme il l’écrit, « ce mouvement suivant la normale est le plus aisé

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et le plus fort et, parmi les mouvements obliques, les plus proches de la normale sont les plus aisés » 1. Il ne s’agit point de reprendre ici la portée et les limites de ce schéma, mais seulement de rappeler que si l’un ou l’autre de ses éléments a été évoqué avant Ibn al-Haytham, jamais il n’a été provoqué, construit et détaillé aussi systématiquement pour expliquer les lois de l’optique géométrique. En effet, les lois de la réflexion proviennent directement de ce schéma ; celles de la réfraction en dérivent également, à l’aide de l’intervention des notions d’une physique finalisée : la voie la plus aisée. Il conclut donc pour la réfraction : Si la lumière rencontre un corps transparent de transparence plus dense que celle du corps où elle se trouve, ce corps l’empêche de pénétrer en lui suivant la direction de son mouvement. Mais la résistance n’est pas extrêmement forte et la lumière ne retourne pas dans la direction de son mouvement. Si le mouvement de la lumière suit la normale, elle pénètre en suivant la même trajectoire à cause de la force du mouvement sur la normale. Mais si son mouvement suit une ligne oblique, elle ne peut pénétrer suivant la même trajectoire à cause de la faiblesse de son mouvement. Il en résulte qu’elle tend vers une direction de pénétration plus aisée que la direction vers laquelle elle se meut. Or le mouvement le plus aisé est celui qui suit la normale, et le plus proche de la normale est plus aisé que celui qui s’en éloigne 2.

Il donne des explications encore plus précises dans le cas de l’incidence oblique et écrit : Il est nécessaire que la lumière tende vers une direction plus aisée que la direction vers laquelle elle se mouvait, tout en conservant son mouvement composé. Or la direction la plus aisée et où persiste le mouvement est la direction la plus proche de la normale. C’est ainsi que la lumière qui se propage dans un corps transparent et rencontre un corps transparent plus dense se réfracte suivant une droite plus proche que la droite de son mouvement de la normale menée du point où elle rencontre le corps dense 3.

Comme on vient de le voir, les rapports entre mathématiques et doctrine physique de la lumière ne sont nullement directs. Les mathématiques sont introduites en optique physique par l’entremise des analogies établies entre les schémas du mouvement d’un corps grave et ceux de la réflexion et de la réfraction de la lumière. Autrement dit, ‎1. OP, 623 v. ‎2. OP, 623 v. ‎3. OP, 623 v.

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les mathématiques sont introduites par l’intermédiaire d’une tiercediscipline elle-même mathématisée ou considérée comme telle. Au sens propre on ne peut dire qu’il y ait application des mathématiques aux hypothèses de la doctrine physique de la lumière ; seules les analogies entre le mouvement de la lumière et le mouvement d’un corps grave permettent d’établir la correspondance entre les hypothèses physiques de la doctrine de la lumière et les principes de cette dynamique ; ainsi peut-on introduire dans l’étude des premières les mathématiques appliquées aux secondes. Cette mathématisation des notions d’une doctrine physique permet leur transfert dans une situation expérimentale. Ici encore il sera difficile de parler de synthèse entre la doctrine des géomètres et la doctrine des physiciens.

III Nous venons de voir qu’entre mathématiques et physique il y a déjà deux types de rapports. Encore faut-il savoir si l’œuvre d’Ibn alHaytham en présente d’autres. Pour répondre à cette question, il est utile de revenir au problème des survivances, et en particulier celle d’un certain langage aristotélicien dans l’optique de l’auteur. On peut constater, il est vrai, qu’à l’heure de la formulation du principe et des lois de la propagation, la distinction entre la lumière substantielle et la lumière accidentelle perd son aspect antagoniste. La lumière accidentelle n’est qu’une lumière seconde qui émane d’un corps opaque et se propage suivant le même principe que la lumière d’un corps lumineux par lui-même, ou lumière substantielle. Moins intense que cette dernière, elle se réfléchit, se réfracte et subit la loi du retour inverse au même titre que la lumière d’une source. Une question s’impose alors tout naturellement à l’historien : pourquoi Ibn al-Haytham a-t-il conservé les deux termes de substantiel et accidentel ? S’agit-il seulement d’un vestige d’une langue morte ou bien faut-il y voir la persistance discrète d’anciens modes de raisonnement ? Tout le conflit des interprétations dépend dans une large mesure de la réponse à cette question. La difficulté toutefois demeure entière dans les deux cas : si l’on affirme la présence d’anciens modes de raisonnement, on ne comprend pas pourquoi l’opposition traditionnelle perd son aspect antagoniste quand il s’agit des principes et des lois de l’optique géométrique. Si par contre l’on opte pour l’autre réponse pour soutenir que la distinction est abolie, on ne comprend pas pourquoi l’auteur garde les deux termes. Le fait est qu’Ibn al-Haytham,

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non seulement les maintient, mais encore avance de nouvelles notions pour les soutenir : forme de la lumière, fixité de la forme dans un corps opaque. Pour résoudre cette difficulté, il est nécessaire de reprendre l’exposé même d’Ibn al-Haytham pour voir à quel moment et dans quel contexte cet antagonisme reprend des forces, à quel moment donc ses supports sont introduits pour la première fois. Après avoir établi le principe de la propagation rectiligne, Ibn al-Haytham étudie systématiquement, pour la première fois à notre connaissance, le phénomène de la diffusion de la lumière, la propriété que possèdent les corps opaques éclairés de renvoyer des lumières dans toutes les directions. Il découvre au cours de son étude expérimentale que les corps diffusent la lumière des corps lumineux, mais modifient souvent leur couleur. Les lumières secondes ne sont pas seulement moins intenses que la lumière première, mais leurs couleurs également sont plus faibles que les couleurs de celle-ci. Si l’on corrige l’erreur historique qui vient d’être ainsi commise pour dire, avec Ibn al-Haytham « les couleurs des corps opaques », on se fait une idée de la difficulté que l’auteur a dû surmonter. En effet, selon lui, les corps opaques ne renvoient pas seulement une lumière seconde moins intense dans toutes les directions, mais ces lumières seules sont accompagnées de couleurs soumises aux mêmes règles que celle-ci. C’est précisément dans ce contexte que l’on voit apparaître dans l’ouvrage d’Ibn al-Haytham la notion de forme de la lumière. Certes cette notion existait ailleurs avant d’être reprise par ce texte, mais dans les parties précédentes de l’œuvre elle est liée principalement au corps et non à la lumière. Elle réapparaîtra par la suite chaque fois que l’on posera le problème de la couleur et, bien entendu, celui de la vision. Quant à la distinction entre la lumière substantielle et la lumière accidentelle, après avoir perdu de sa force, elle sera réactivée pour étayer une autre opposition, celle de la lumière et de la couleur, dans les limites où seule la lumière seconde s’accompagne de la couleur et se mélange avec elle, si bien qu’un écran ne reçoit, en définitive, qu’un mélange de formes de la lumière et de formes de la couleur. En effet, pour Ibn al-Haytham, seuls les corps opaques et les corps transparents ayant une certaine opacité sont doués de couleur. Mais que la couleur dépende de l’opacité restreint déjà son domaine aux seuls corps sublunaires. Parmi les corps sublunaires, à la différence des corps célestes qui sont la limite physique de la transparence, même les corps qui sont transparents ont une certaine opacité. En sorte que seuls les corps doués effectivement de couleur

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renvoient une lumière seconde. Mais si lumière seconde et couleur appartiennent l’une et l’autre à la même classe d’êtres, elles sont d’une certaine manière indépendantes. Selon la définition d’Ibn al-Haytham, la couleur « existe, elle est une forme dans le corps coloré et non pas un objet interposé entre l’œil et la lumière ». Mais en dépit de l’indépendance de la couleur, à la fois par rapport à la lumière seconde et par rapport à la vision, il reste que la couleur n’apparaît que sous l’action de la lumière seconde, en sorte que les couleurs perçues par l’œil, écrit Ibn alHaytham « sont perçues mélangées avec les formes des lumières qui sont en elles, mélangées avec toutes les formes des couleurs qui se projettent sur elles, à partir des couleurs des corps opposés. Et si le corps transparent interposé entre elles et l’œil comporte quelque densité, sa couleur se mélangera de même avec elles. L’œil ne peut donc percevoir de couleur particulière, sans mélange de formes » 1. On voit ainsi que si les formes des couleurs ne peuvent apparaître que sous l’action de la lumière, il reste que c’est un mélange de lumières et de couleurs qui apparaît finalement sur le corps-écran ou à l’œil. La lumière substantielle ne subit aucun mélange et c’est seulement la lumière seconde qui est affectée. Les formes des couleurs, en effet, ne se mélangent qu’avec les formes de cette lumière déjà reçue et fixée par un corps coloré, puis pour ainsi dire « réémise » comme un élément de ce mélange. Tout se passe comme si la lumière substantielle, sans mélange lorsqu’elle se projette sur ce corps, l’animait de telle sorte qu’il renvoie ce mélange de lumières qui est support de couleurs. Il semble donc qu’Ibn al-Haytham, après avoir éliminé la distinction traditionnelle entre la lumière substantielle et la lumière accidentelle, ait retenu ces termes pour les réactiver dans l’étude de la couleur. Cependant, comme pour la lumière, Ibn al-Haytham évite de s’engager sur leur nature physique. Les couleurs ne sont pas seulement soumises au même principe de propagation que la lumière, mais elles le sont également à l’ensemble des lois de l’optique, comme Ibn al-Haytham essaie systématiquement de le montrer. C’est ainsi que les couleurs sont exprimées dans la langue utilisée par la géométrie pour formuler les lois de la lumière. Il est manifeste que l’on ne peut confondre le rapport mathématiques-physique que l’on vient d’évoquer avec les deux précédents types de rapport. Dans le premier, la définition du concept de rayon, de celui de la propagation, ont permis à la géométrie d’épouser parfaitement les idées de l’optique. Toute articulation de la géométrie ‎1. OP, 75 v.

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avait pour répondant univoque une règle d’interprétation des idées optiques. Dans le deuxième rapport, les analogies ont permis d’introduire localement des règles syntactiques. Mais cette fois, l’on assiste à une application directe de la géométrie aux notions d’une doctrine de la couleur. Les couleurs des corps opaques peuvent être soumises directement au traitement géométrique. Dans ce cas cependant, le physicien ne doit pas seulement admettre l’existence indépendante de la couleur – elle n’est plus un objet interposé entre l’œil et la lumière – mais aussi la possibilité de son étude géométrique. Cet affrontement quelque peu brutal entre géométrie et couleur, cette application directe, est difficilement assimilable à une synthèse de la doctrine du géomètre et de la doctrine du physicien.

IV Le rapport mathématiques-physique a donc un sens différent selon le niveau d’analyse où se place explicitement Ibn al-Haytham pour traiter des phénomènes lumineux. Mais quel que soit ce niveau il s’agit bien d’une tentative pour introduire l’analyse mathématique dans l’étude d’un phénomène physique. Cependant, même si au niveau de l’optique géométrique on ignore la nature de la lumière, à aucun moment Ibn al-Haytham n’a prétendu faire une géométrie de la lumière ou de la vision, mais c’est bien une physique qu’il réalisait ; à aucun moment non plus il n’a essayé de suivre, comme ses prédécesseurs, un exposé axiomatique de l’optique, à l’exemple de la géométrie. C’est au contraire de faits et de concepts empiriques qu’il pensait partir : corps opaques, corps transparents, lumière sont des faits, le rayon, le faisceau, la propagation sont des concepts. À l’autre extrême, lorsque le physicien intègre le phénomène difficilement analysable de la couleur pour donner finalement une idéologie renouvelée, il croit soumettre directement des significations physiques à la géométrie. C’est en effet au sens d’une application que l’on peut comprendre le texte du Discours de la Lumière qui exprime le plus généralement sa conception du rapport mathématiques-physique 1. Comme d’ailleurs cette œuvre résume

‎1. Discours de la Lumière, p. 205. Voir R. Rashed « Le Discours de la Lumière d’Ibn al-Haytham, traduction française critique », in Revue d’Histoire des Sciences, 21 (1968), pp. 197-224.

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l’ensemble de sa tâche et parce qu’elle est moins orientée vers la théorie de la vision que le Livre de l’Optique, elle semble mieux exprimer l’essentiel du projet d’Ibn al-Haytham. Mais c’est précisément au niveau de la doctrine de la vision que l’on rencontre la liaison mathématiques-physique en un sens particulier, différent des trois significations recensées ; mais de plus, on ne retrouve plus ici la notion d’application que celles-ci ont en commun. Cette fois les mathématiques – la géométrie – quittent le devant de la scène et cèdent la place à l’optique ; le rapport mathématiques-vision n’est plus un rapport mathématiques-physique, mais bien un rapport optique physique-vision, assuré au moyen de quelques figures géométriques. Pour se constituer, la théorie de la vision doit remplir les exigences de la science des phénomènes lumineux, de l’optique géométrique et de l’optique physique. Ses hypothèses doivent, sinon dériver de la nouvelle optique, tout au moins s’y conformer. Celleci doit donc se composer avec une autre partie de la physique – la biologie – et cette composition se fera, comme on va le voir, par l’attribution à l’œil d’une certaine structure géométrique. Comme il s’agit en fait de deux parties de la physique, c’est sur ce terrain, et seulement sur ce terrain, que la composition peut apparaître comme une « synthèse ». Revenons rapidement au commencement, pour comprendre la contribution d’Ibn al-Haytham. La séparation entre les conditions de la propagation et les conditions de la vision a placé d’emblée l’œil parmi les corps-écran. Au même titre que tout écran, l’œil reçoit la lumière et la couleur d’un corps éclairé s’il s’oppose à lui, à une certaine distance, si le milieu qui les sépare est transparent, et enfin si le corps éclairé a un certain volume, dense et éclairé, qui lui permet d’être coloré. Dans une première analyse à laquelle procède Ibn al-Haytham, on s’aperçoit que les conditions nécessaires de la vision sont en fait les mêmes que celles de l’apparition de l’image d’un objet sur un écran. Or ce progrès manifeste jouera désormais un rôle d’obstacle. Dans une seconde analyse, ces conditions nécessaires de la vision s’avèrent non suffisantes. L’œil n’est pas encore un appareil optique destiné à former une image de l’objet extérieur : il demeure un écran et doit être un écran particulier. Comme écran, il reçoit lumières et couleurs de l’objet extérieur, cet objet est perçu selon sa position dans l’espace et non inversé, mais en plus l’œil ne perçoit pas seulement les lumières et les couleurs de l’objet éclairé : il voit distinctement l’ordre des parties de cet objet. Autrement dit, un objet éclairé renvoie dans toutes les directions les formes de la lumière et les formes

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de la couleur, mais contrairement à un simple écran, l’œil perçoit les différentes parties de l’objet et, pour différents objets, distinctement, leurs propres relations dans l’espace. Tout le problème d’Ibn al-Haytham est de surmonter cette difficulté technique et l’élaboration de sa théorie de la vision se présente ainsi comme la solution théorique d’un problème technique. Il cherche donc à compléter les conditions de la vision par « une ou des conditions par lesquelles se distinguent les couleurs des visibles et s’ordonnent les parties de chacun des visibles lors de la vision, ces conditions devant elles-mêmes concorder avec l’existence [ce qui existe] » 1. On devine déjà à quel point cette position, aussi rigoureuse qu’elle pût être, détermine la réponse. Sous forme d’hypothèse, Ibn al-Haytham énonce la condition fondamentale : la correspondance biunivoque entre les points de l’objet et les points de la surface de l’œil. Or s’interroger sur le rapport mathématiques-vision, c’est en particulier examiner les conditions qui ont rendu cette hypothèse possible, c’est aussi considérer comment Ibn al-Haytham en a conçu la réalisation physique. Il est manifeste que la correspondance biunivoque entre l’ensemble des points de l’objet et l’ensemble des points de l’œil – du cristallin – était possible seulement grâce à la nouvelle optique, dans la mesure où Ibn al-Haytham avait déjà démontré qu’à partir de tout point de l’objet, des lumières et des couleurs se propagent suivant des trajectoires rectilignes ; c’est-à-dire dans la mesure où, pour ce qui est de la propagation on refuse non seulement la doctrine du rayon visuel, mais également la langue de la totalité, comme celle des eidola. Mais pour une correspondance qui fût véritablement biunivoque, la réalisation optique de l’hypothèse exigeait par ailleurs une certaine structure anatomique de l’œil. C’est ainsi qu’Ibn al-Haytham a retrouvé l’anatomie de l’œil, telle qu’elle fut donnée dans la tradition galénique. Ce retour à Galien n’est pas celui du médecin, mais se présente comme la démarche du physicien dont le but est d’adapter la structure de l’œil aux conditions de la nouvelle optique, d’une part, ce qui permet d’autre part à Ibn al-Haytham de s’assurer de la réalisation de son hypothèse, mais toujours dans le cadre de l’œil-écran. Il est impossible de reprendre ici les détails de cette adaptation. Notons seulement qu’Ibn al-Haytham suppose que les surfaces des milieux oculaires traversés par les lumières et les couleurs 1) sont sphériques

‎1. OP, 50 r.

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2) de même centre sous toutes les conditions 3) que ce centre est celui même de l’œil. En particulier, les deux surfaces de la cornée sont sphériques et la surface postérieure de l’humeur cristalline est sphérique, ces surfaces ont toutes le même centre que l’œil, la vision se fait comme dans la tradition galénique, seulement par l’humeur cristalline. Cette adaptation de la structure anatomique de l’œil a souvent été décrite comme sa géométrisation. Or aussi importante que cette géométrisation est ce à quoi elle répond. Elle a manifestement pour fonction de neutraliser la réfraction et de faire en sorte que l’œil demeure un écran d’un type particulier. Le rayon issu d’un point quelconque de l’objet traverse les milieux oculaires, plus denses que le milieu de l’objet éclairé, puisque la lumière se propage en tout milieu transparent. Si de plus ce rayon est suivant une droite menée de ce point de l’objet au centre de l’œil, il ne se réfracte pas dans ces milieux oculaires, puisqu’il est perpendiculaire aux surfaces sphériques. L’ensemble des conditions d’Ibn al-Haytham se trouvent d’un coup réalisées. La lumière et la couleur qui se propagent de tout point de l’objet jusqu’à l’œil suivant les normales à la cornée parviennent sur les normales au cristallin sans se réfracter. On a aussi une correspondance biunivoque entre les points de l’objet et les points du cristallin. Mais cette réalisation est au prix d’un sacrifice : il faut faire abstraction d’une propriété essentielle de la lumière : elle se propage de tout point dans toutes les directions. Pourquoi donc privilégier les normales à la cornée ? Ibn al-Haytham répond : [...] la nature de l’œil est réceptrice de la lumière des visibles qui lui est renvoyée, et en outre, [...] à cette nature est attribué particulièrement de ne recevoir les formes qui lui sont renvoyées que sur des trajectoires particulières, et non sur toutes les trajectoires... Et ce fait qu’à l’œil sont attribuées particulièrement certaines trajectoires à l’exclusion des autres, a des analogues dans les choses physiques. Les lumières émanent à partir des corps lumineux et s’étendent seulement suivant des trajectoires rectilignes et non suivant des lignes arquées ou courbes, et les corps graves se meuvent vers le bas par le mouvement naturel, suivant des lignes droites et non suivant des lignes courbes, arquées ou obliques ; de même, ils ne se meuvent pas sur toutes les lignes droites qui sont entre eux et la surface de la terre, mais suivant des lignes droites particulières qui sont des perpendiculaires à la surface de la terre et en sont des diamètres. Et les corps célestes se meuvent suivant des lignes circulaires et non pas suivant des lignes droites, ni suivant des lignes d’ordre différent. Et si l’on considère les mouvements naturels, on verra qu’à chacun sont attribuées certaines trajectoires particulières, à l’exclusion des autres. Il n’est donc pas impossible que l’œil ait pour particularité de recevoir des impressions de lumières et de couleurs suivant des trajec-

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toires rectilignes qui se rencontrent en son centre seulement, lesquelles sont des perpendiculaires à sa surface 1.

Mais comme toutes ces perpendiculaires forment un cône de rayons dont le sommet est le centre de l’œil et la base la surface de l’objet vu, le commentateur peut, comme Ibn al-Haytham lui-même, penser au cône visuel du géomètre. Devant cette ressemblance, Ibn al-Haytham engage l’un des plus longs passages qu’il ait jamais écrit pour critiquer et attaquer la doctrine du rayon visuel dont il ne garde tout compte fait que le sens mathématique, la figure purement géométrique du cône, vidée de toute l’interprétation des Anciens qu’il remplace par la sienne propre. Si donc il y eut synthèse, celle-ci ne fut point entre des doctrines de la vision, mais bien entre une figure géométrique neutre par rapport au contenu doctrinaire et une partie de la physique, c’est-à-dire l’anatomie galénique de l’œil. Mais l’on vient de voir que tout l’effort d’Ibn al-Haytham consista précisément à concilier les exigences de la nouvelle optique et les contraintes de l’ancienne anatomie dans le but de conserver l’œil-écran. Parmi les modèles géométriques possibles pour réaliser cette conciliation, on compte le cône géométrique. Disponible dans une optique qu’Ibn al-Haytham se proposait justement de réformer, il lui restait toutefois à attribuer à ce modèle sa propre interprétation intromissioniste. Tout se passe finalement comme si le progrès réalisé par l’introduction de l’œil-écran, devenu obstacle à une théorie de la vision, avait amené Ibn al-Haytham à une concession formelle quand il choisit le modèle du cône géométrique. Mais la composition demeure entre la nouvelle optique et une partie de la physique : la biologie. Si l’on revient au texte d’Ibn al-Haytham qui engage le plus à comprendre la composition comme une synthèse entre doctrine de la vision du mathématicien et doctrine de la vision du physicien, on s’aperçoit que ce texte de l’auteur, à la fois interprète de son œuvre et historien des doctrines de la vision, pose plus de problèmes qu’il n’en résout. Il écrit en effet : Cette notion que nous avons montrée, à savoir le comment de la vision, s’accorde avec l’opinion des plus éclairés parmi les physiciens et avec ce qu’on admet de l’opinion des mathématiciens. On a ainsi montré que ces deux catégories ont raison, et que les deux doctrines sont vraies, en accord mutuel et non contradictoires, encore que chacune ne s’accomplisse

‎1. OP, 58 v.

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que par l’autre, que la sensation ne s’accomplisse point par l’une sans l’autre et que la vision ne vaille que par l’ensemble de ces deux notions 1.

S’agit-il simplement d’intégrer les prédécesseurs par une récurrence historique rapide ? Le procédé est commun aux historiens de la science, et Ibn al-Haytham se montre ici, en partie au moins, historien. Il reste clair cependant qu’Ibn al-Haytham n’admet pas les deux doctrines telles qu’elles sont : il s’agit de « ce qu’on admet de l’opinion des mathématiciens », et non pas de l’opinion des mathématiciens. La nuance est d’importance et s’accorde d’ailleurs avec les critiques qu’Ibn al-Haytham adresse aux mathématiciens. Plus encore, ce même texte est cité dans le commentaire d’Ibn al-Haytham par le physicien du xiv e siècle Kamāl al-Dīn al-Fārisī, avec une variante importante qui confirme ce que nous venons de souligner. On trouve en effet «... que les deux doctrines sont vraies, non contradictoires si elles sont rédigées 2 comme nous l’avons évoqué encore que...» 3 Que la phrase soit d’Ibn al-Haytham ou ajoutée par al-Fārisī, la question ne peut être tranchée tant que n’a pas été trouvé et identifié le manuscrit du Livre de l’Optique utilisé par al-Fārisī. Il reste que, dans tous les manuscrits que nous possédons du Livre de l’Optique d’Ibn alHaytham, aussi bien que dans celui qui a été lu par al-Fārisī, on peut affirmer que, si composition il y a eu, ce fut bien entre deux doctrines rectifiées. L’une des deux est celle des mathématiciens, dont la rectification a donné la nouvelle optique ; l’autre est celle des physiciens. Or, l’interprétation que nous venons de donner peut être corroborée par un argument fort : il s’agit du développement interne du Livre de l’Optique d’Ibn al-Haytham. Dans le même ouvrage en effet, mais au Livre VII, il va amender ce qu’il venait d’établir au Livre I, pour s’éloigner relativement de l’œil-écran et du cône visuel : ce qui montre la portée et les limites de ses déclarations programmatiques. En effet, comme on l’a vu, la première doctrine se constituait au prix d’abstraire une propriété essentielle de l’optique d’Ibn alHaytham : la propagation de la lumière dans toutes les directions à partir de chaque point de l’objet vu. Mais pour que la doctrine de la vision pût tenir compte de cette propriété, il fallait réintroduire ce qu’Ibn al-Haytham avait commencé par éliminer : la réfraction. C’est précisément ce qu’Ibn al-Haytham a fait. Un point quelconque de l’objet vu sera cette fois le sommet d’un cône de rayons ‎1. OP, 63 r-63 v. Il n’y a aucune variante entre les deux manuscrits du Livre de l’Optique, pour ce texte. Voir aussi le manuscrit de Fātiḥ, Livre I, 105 v. ‎2. Souligné par nous. ‎3. Kamāl al-Dīn al-Fārisī, Tanqīḥ al-manāẓir, vol. 1, p. 124, Ḥayderabad, 19281930.

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dont la base est la portion de la cornée qui fait face à la pupille. Les rayons du cône se réfractent dans les milieux oculaires, sauf celui qui suit la normale. On a ainsi, selon Ibn al-Haytham, une image au point de rencontre des rayons réfractés avec la normale. Il en va de même pour les autres points de l’objet vu, et on aura finalement une image de l’objet. Deux propositions d’une importance réelle pour toute théorie de la vision se dégagent : (1) la correspondance biunivoque entre les points de l’objet et les points de l’image ; (2) la constitution d’une image étendue dans l’œil même. Il est clair que l’œil a cessé d’être un corps-écran et devient beaucoup plus un appareil optique où les lumières pénètrent en se réfractant. Si le cône de rayons utilisé dans la première version de la doctrine persiste, il est déjà très loin de toute image traditionnelle, même purement formelle. En effet, si les perpendiculaires menées de tout point de l’objet au centre de l’œil – le cône de rayons – sont toujours le moyen de la vision, c’est dans la mesure où elles sont les supports des points de l’image. L’accent est mis désormais sur la réfraction, et Ibn al-Haytham l’a parfaitement saisi quand il écrit : Cette notion, à savoir que l’ensemble de ce que l’œil perçoit est perçu par réfraction, est une notion qui n’a été trouvée par aucun Ancien et n’a attiré l’attention d’aucun Moderne 1. Elle est en fait la manière dont l’œil perçoit l’ensemble des visibles 2.

V Isomorphisme de structures, discipline intermédiaire dominée elle-même par les mathématiques ou considérée comme telle, application directe des mathématiques aux notions informes d’une doctrine sont trois types de rapports entre mathématiques et physique que l’on ne peut assimiler à une synthèse entre les doctrines du géomètre et du physicien. L’on ne peut parler en termes de synthèse que sur le terrain de la théorie de la vision et dans le sens que nous avons essayé de préciser : celui d’une conciliation entre la nouvelle optique et l’ancienne anatomie de l’œil, au moyen d’un modèle

‎1. Souligné par nous. ‎2. OP, 661 v.

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géométrique emprunté à la tradition, mais neutre par rapport à son ancienne interprétation optique. Ainsi, bien qu’au premier abord le projet d’Ibn al-Haytham – composer mathématiques et physique pour l’étude des phénomènes lumineux et de la vision – paraisse homogène, il révèle, à une analyse plus précise, une variété de types de réalisations, quatre au moins. Prendre l’un de ces types pour les autres pourrait faire tort à l’optique d’Ibn al-Haytham. Cette analyse pourrait permettre par ailleurs de différencier les sens de l’expérimentation – iʾtibār. Si l’on s’accorde en effet à admettre qu’Ibn al-Haytham est le premier qui ait distingué la preuve expérimentale des autres preuves, le premier qui en ait systématisé l’usage, l’on sait aussi qu’il n’a jamais fourni aucune explication sur la nature et les limites de cette preuve. L’analyse précédente nous permet de reconnaître ces différents sens de l’expérimentation selon le niveau auquel se place l’auteur. En optique géométrique, l’expérience se présente comme un montage plus ou moins complexe destiné à contrôler techniquement des assertions déjà contrôlées sur le plan linguistique, au moyen de la langue de la géométrie ; alors qu’en optique physique l’indétermination sémantique des notions fait que par expérience l’on entend rapporter au moyen de la géométrie des notions informes sur le plan d’une situation expérimentale. Dans les deux cas cependant et à la différence de l’observation astronomique, l’expérience n’est pas seulement un moyen de contrôle, mais fournit de plus un plan d’existence à des notions syntactiquement structurées. Ainsi contrairement à l’observation en astronomie, l’expérience est un moyen de réaliser – physiquement – un objet de pensée non réalisable auparavant. En optique, ni le rayon ni sa propagation ni sa diffusion, pour prendre les exemples les plus simples ne pouvaient être physiquement pensés avant leur réalisation expérimentale. Un examen plus précis peut montrer que cette réalisation n’a ni le même sens ni la même extension selon les niveaux d’analyse où se place successivement Ibn al-Haytham.

PROBLEMS OF THE TRANSMISSION OF GREEK SCIENTIFIC THOUGHT INTO ARABIC: EXAMPLES FROM MATHEMATICS AND OPTICS Historians of science have frequently stressed the significance of the transmission of the Greek and especially Hellenistic heritage into Arabic for the history of scientific thought, until the eighteenth century at least. They have not waited until now to appreciate the importance of this phenomenon for Arabic, Hellenistic and Latin sciences. The emergence of Arabic science itself is incomprehensible unless one refers to the reception of its Greek heritage; nor can one hope to reach a full understanding of the achievements of Greek science itself without the substantial part that has survived only in Arabic, as for example, Apollonius and Diophantus. The same holds for the history of the relationship between Greek and Latin science whose understanding requires the examination of Greek texts translated into Arabic and then into Latin. Given these conditions, one might therefore expect to encounter an abundance of detailed works on a question whose importance for the history of ancient and classical science is undisputed. But this is not the case. Infrequent as they are, such investigations consider the problem from only one angle, that of translation; moreover, most of them share a vision of transmission that may well distort analysis: a vision that is all-inclusive, passive and scholarly. All-inclusive, in so far as transmission, of both philosophy and science, confined to translation is considered all in one piece; and consequently, the transmission of Greek science and philosophy is viewed en bloc. Passive, since it is based on the affirmation of what one might call the law of the three estates that governs both the logical and the historical sequence of translation, assimilation and creative production in Arabic. 1 Lastly, scholarly, in so far as scientific and philosophical knowledge can circulate only via translated books. Paru dans History of Science, XXVII, 1989, p. 199-209. ‎1. Still maintained today by some authors, this opinion does not stand up to the slightest reflection. Contributions as constructive and creative as those of alKhwārizmī in algebra, for example, are to be found in the early ninth century, i.e., at the height of the period of so-called reception and assimilation. A deeper knowledge of the texts and the history of science shows that these contributions often took place

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Now against an all-inclusive vision of history, we have upheld a differential approach, which respects the cleavages not only between science and philosophy, but also between the sciences themselves. We oppose the image of transmission as passive reception with one of conversion, reactivation, and even occasionally the renewal of one or more disciplines. 1 On this point let us recall two elementary facts known to all: first, the transfer of knowledge does not occur on either the geographical or the cultural level: it is essentially linguistic. Is it necessary to recall that this knowledge was mainly developed on the spot, i.e., in the centres, regions and peoples of ancient Hellenism who, after Islam, changed their language and the majority their religion? To forget this fact is to overlook another: transmitted science was not only scholarly; the administrative texts translated in the eighth century included metrology and geodesy and the inherited craft techniques included geometry, hydrostatics, optics, and agronomy. However, the history of these indispensable vehicles for the transmission of science remains to be written. It would be useless to pretend here and now to remedy the inadequacy of research. I shall confine myself to one theme: the relationship between translation and research, since all questions refer to this one. How can one reflect on the identity of translators, the works they translated, and why they translated, without returning to the state and organization of research when they were translated? Similarly, it is impossible to question translation methods if contemporary scientific disciplines and linguistic studies are ignored. This approach may perhaps avoid two pitfalls: an exposé where an author lavishes methodological advice or rather didactic recipes, all the easier since he has not put them into practice himself; or yet again the danger of an exposé on the archaeology of a fragment, where the transfer of words is assimilated with those of concepts. Without going into too much detail, I shall therefore start by pinpointing some aspects of translation, before taking up the points just raised, on the basis of two examples taken from mathematics and optics. Let us go back to Baghdad in the early ninth century and note that the translation movement is no longer in its early stages, but is

at the same time as transmission. Let us once again recall writings by the Banū Mūsā and Thābit ibn Qurra in the ninth century. ‎1. We have maintained this viewpoint in a public discussion following Roger Arnaldez’s lecture on “L’Histoire de la pensée grecque vue par les Arabes,” in Bulletin de la Société française de Philosophie, 72 e année (1978), 150-7. Some of the ideas contained in the present article were also presented at a symposium on the transmission of Greek into Arabic organized by Georges Saliba at Columbia University in 1982.

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entering a second phase which will bring it to its zenith. From the first period only a few vestiges 1 have survived, occasionally a title; for instance, from Ibn al-Nadīm we know about the existence of an ancient translation of Theon’s Introduction to the Almagest. However, these scattered references do not enable us to draw a faithful picture of the translating activity, they merely indicate individual initiatives. In the course of the second period, of incomparable importance—and the subject of this paper—translation has become a part of a much wider activity that may be designated by the evocative title “the institutionalization of science”. I This progressive movement started by spreading to newly created disciplines directly linked to the new society, its organization and its ideology: the science of language, jurisprudence, theology, history, hermeneutics, etc. In the middle of the eighth century new questions arose in the field of linguistics, hermeneutics, theology, jurisprudence; the number of scholars and writings in these fields increased considerably, specialization became more pronounced and one witnesses the emergence of rival schools marked by an increasingly defined professionalization. 2 However, the Hellenistic scientific legacy, particularly in the mathematical sciences, was affected by this movement only in Baghdad and in the ninth century. A closer examination would show that interest in the Greek legacy was partly linked to this research activity in Islamic disciplines. Oft-repeated anecdotes about the specialists in these disciplines, such as the linguist al-Khalīl, are a good illustration. 3 From now on it is understandable why the movement did not reach the legacy of Hellenistic science before the ninth century; and also why the translating enterprise in Baghdad involved several disciplines at the same time—medicine, as well as

‎1. Ancient bibliographers such as Ibn al-Nadīm recalled an “ancient translation”—naql qadīm—of some scientific works. For instance, Ibn al-Nadīm spoke of an ancient translation of the Almagest, as well as an ancient translation of Theon’s Introductio. Cf. Al-Fihrist, ed. by Reḍā-Tejaddud (Tehran, 1971), 327-8. ‎2. It is enough to recall here the schools of grammarians and linguistics in the second century of the Hegira (that of al-Baṣra and al-Kūfa notably), their rise and the social status of their members not only at the court at Baghdad but among the leading citizens. The same applies to jurists, historians, etc. ‎3. This linguist of the second century of the Hegira was the founder both of Arabic prosody and of lexicography. He was also a musical theorist and an arithmetician. He made use of combinatorial analysis in order to solve the problem of the composition of an Arabic dictionary, while at the same time he was concerned with research in arithmetic.

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geometry and astronomy—and was not confined, as has been written, to medicine and astrology, i.e., disciplines that present a practical interest. The error of perspective that results from such a limitation cannot be sufficiently emphasized. But why did the institutionalization of the Hellenistic scientific legacy get under way at that time and in that place? Two reasons must be considered, the first of which is common knowledge: the existence of a social need. All studies on the transfer from Greek to Arabic relate facts and anecdotes that show that caliphs and patrons founded libraries and observatories and graciously encouraged translation and research. But what is never said is that not only individuals but also groups are to be found in the new institutions, one might even call them ‘teams’, sometimes rival and competing. These groups and the social positions created for translation and research were to be a means of integrating Hellenistic science into the ‘scientific city’ as it was developed and expanded. As a reminder, let us recall that the renowned House of Wisdom in Baghdad included astronomers such as Yaḥyā ibn Manṣūr, translators such as al-Ḥajjāj ibn Maṭar—the translator of Euclid and Ptolemy—and mathematicians such as al-Khwārizmī. Another group also connected with the House of Wisdom, the Banū Mūsa, three brothers and scientists, included the translator of Apollonius, Hilāl ibn Hilāl al-Ḥimṣī and the translator and eminent mathematician Thābit ibn Qurra as well. Lastly, it is also known that scientists gathered around Ḥunaīn and al-Kindī, among others. This organization of translation clarifies one of its most striking aspects at that time: its large-scale appearance. In fact, in the space of a few decades, Euclid’s Elements were translated three times, Ptolemy’s Almagest twice and also other books of Euclid and Ptolemy; and Apollonius’s Conics. Over the century several of Archimedes’s treatises were translated, seven books of Diophantus’s Arithmetica, and among others, the works of Hero of Alexandria and Pappus. Though on a large-scale, the work of translating was neither systematic, nor organized according to an increasing order of difficulty, nor even according to the historical sequence of Greek authors. One might as well say the translating venture was not dictated by a preconceived programme. Nevertheless, it would be a mistake to assume that the translations were made haphazardly, i.e., depending on the random discovery of texts. Several accounts by contemporary translators bear witness that it was, on the contrary, a deliberate undertaking: the text to be translated was selected and then the manuscripts of the text were tracked down. 1 All these aspects, the large-scale, unsystematic trans‎1. A famous example in this respect is Ḥunain ibn Isḥāq’s search for Galen’s

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lations which were nevertheless deliberately organized, are connected with the second reason which explains why the institutionalization of the Greek heritage developed in Baghdad and in the early ninth century. Insufficiently stressed though obvious, the second reason is the deep-seated connection between translating and research: the latter, depending on the circumstances, preceded translation itself or was contemporary with it, or yet again was more-or-less indirectly set in motion by the translation of another text in a neighbouring domain. The aim of the translation of scientific texts at that time was not to write the history of science but make available in Arabic texts necessary for the training of researchers or even the advance of research. For instance, the translation of Archimedes’s work was to facilitate studies on the measurement of areas and volumes, certainly not as a contribution towards the writing of the history of this chapter, nor for commentaries on Archimedes. If we call attention to this point it is because it influenced the choice of the text to be translated and governed the method and style of the translation. In other words, the underlying order behind the choice of works for translation and the succession of translations makes sense only in reference to contemporary research activity. At the same time light is shed on the fourth characteristic of scientific translation: it was often the work of first-class researchers such as Ḥunain, Thābit ibn Qurra, and Qusṭā ibn Lūqā, who, as we already know, were also scientists fully conversant with Greek. Though it is true that the bulk of scientific work was translated directly from Greek without recourse to Syriac, it was however the work of scientists equally concerned with meaning, to such an extent that its literal aspect might conceal interpretations and even corrections of the text. But in order to grasp the characteristics just pointed out at work, it would be preferable to support our argument with meaningful examples. I shall therefore select two examples, one from mathematics, the other from optics. II To start with, let us take the translation of the seven books of Diophantus’s Arithmetica, four of which are still lost in Greek. Before examining the Arabic translation, two introductory remarks are necessary. 1 On demonstration. Cf. Diophante, Les Arithmétiques, ed. and transl. by R. Rashed, iii (Paris, 1984), pp. xxiv-xxv, note 44. ‎1. Op. cit. (note précédente).

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The first concerns Diophantus’s alleged aim in the preface to the first book of Arithmetica and the nature of his contribution. The author intended to construct an arithmetical theory, ἀριθμητικὴ θεωρία. The constituent elements of this theory are numbers—considered according to the Euclidean concept, i.e., as pluralities of units, μονάδων πλῆθος, and fractional parts, like the fractions of magnitudes. These elements of theory are not only present ‘in person’, but as species of numbers. Diophantus mentions three species: the linear number, the plane number and lastly, the solid number. The other species are engendered from these three by composition, and each of their powers is necessarily a multiple of 2 or 3. One will look in vain for the fifth or seventh power in the statement of Greek or Arabic problems of the Arithmetica. Light is thus shed on the composition of the Arithmetica: it concerns combining species with each other under certain conditions, and with the aid of the operations of elementary arithmetic. For instance, one seeks two cubes whose sum is a square; a given square is divided into the sum of two squares. In each case, to solve these problems amounts to trying to proceed “until there remains one species on either side”. In the course of his solutions, Diophantus applied the substitution, the elimination, and the transfer of species, in short, using algebraic techniques. The Arithmetica is not however, as is understood, a work on algebra, but is really a treatise on arithmetic. Our second introductory remark leads us back to the early ninth century when al-Khwārizmī conceived algebra as an independent discipline and devoted his famous book to the subject. This book does in fact conclude a set of problems of indeterminate analysis of the first degree. Like all the other chapters in this work, the problems are set forth and dealt with using new concepts and the new terminology of algebra. Al-Khwārizmī’s successors, notably Abū Kāmil, pursued the chapter of indeterminate analysis as an integral part of algebra though ignorant of Diophantus’s Arithmetica. However, it was precisely during this momentous period of research on indeterminate analysis—or according to modern terminology, rational Diophantine analysis—that Diophantus’s Arithmetica was translated. The new title given by the translator to Diophantus’s book, The art of algebra, belonged neither to the Greek lexicon nor to the conception of Hellenistic mathematicians. Taking place right in the heart of active research on algebra, this translation later contributed to the pursuit of the works of the tenth century algebraists, such as Abū al-Wafāʾ al-Būzjānī and especially al-Karajī. It is therefore a striking example of a translation prompted by an already well-

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advanced research. This situation will explain moreover the lexical and stylistic traits of the Arabic text. In fact, though literal, the translation surprises the reader by its algebraic appearance: the translator deliberately drew on the algebraic vocabulary of al-Khwārizmī and his successors to seek out terms that designate not only entities on which Diophantus was working but also operations that are applied to them. For instance, the Greek πλευρά, usually translated by ḍilʿ in Arabic, ‘side’, is often translated here by jiḏr, ‘root’, which belongs to the algebraic vocabulary alone. Similarly, ἄλογος ἀριθμός is rendered by the algebraic term al-shayʾ and again δύναμις, κύϐος express māl and kaʿb. A single word al-jabr replaces the entire Greek expression “to add the species subtracted from either side of both members”; ... similarly, “to subtract the same from the same” is simply translated as al-muqābala. Such lexical choices are clearly the manifestation of an interpretation of Diophantus’s Arithmetica through the eyes of al-Khwārizmī’s algebra. Of course, Diophantus is not seen in the history of Arabic mathematics merely as al-Khwārizmī’s predecessor, but his mathematical investigations will be purely and simply integrated into a chapter of algebra as fī al-ʾIstiqrāʾ, i.e., indeterminate analysis. As we are fortunate enough to know about the translator, which is not always the case, let us pause for a moment: Qusṭā ibn Lūqā, famous as a physician, philosopher and scientist, was also a mathematician conversant with contemporary algebra. He was the author of several opuscules on geometry and catoptrics, and his name was also linked to an algebraic procedure of false positions. Lastly, this scientist had completely mastered the three learned languages of the day—Greek, Syriac and Arabic. As a result of these talents, he was invited to Baghdad, where he is to be found before 866 connected with the various groups mentioned earlier—the Banū Mūsā, al-Kindī. At the request of the future caliph al-Mustaʿīn (862-6), he translated several Greek works and composed others for state officials, vizirs, tax directors and other patrons, notably Yaḥyā al-Munajjim, the private founder of a small-scale replica of the House of Wisdom. 1 III The second example, unlike the first, does not belong to the domain of pure mathematics, but illustrates a very ancient attempt to apply mathematics. Its alleged purpose is to construct a technical device for producing a phenomenon that does not exist in nature; ‎1. Ibid., pp. xx-xxii.

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furthermore, the technical device was intended to fulfil a practical need. This particularly interesting scientific and epistemological situation is illustrated by the writings of Alexandrian and Byzantine mathematicians on burning mirrors. First of all, note that the major part of these writings have survived in Arabic. That investigations in this field were continued by Byzantines in the sixth century and the Arabs in the ninth century, as we shall see, was due to entirely different kinds of reasons. Presumably an effective weapon, burning mirrors were, according to Diocles, a means of illuminating temples during celebrations as well as an instrument for measuring the time of day. The legend of Archimedes and the exceptional interest that the great mathematicians—Euclid, Archimedes, Apollonius—showed in the study of burning mirrors conferred on it an aura of special prestige from the sixth century onwards. It is common knowledge that during the siege of Syracuse, as the legend relates, Archimedes set fire to Marcellus’s flotilla with the aid of such mirrors. Now it was this legend that incited mathematicians to inquire into the possibility of setting fire in this way. Hopes of effectiveness, associated with legends and prestige, enveloped the theory of burning mirrors and attracted scientists. Let us now return to the ninth century and note the existence of a call for research on burning mirrors and, simultaneously or almost so, the translation of the major part of known Greek texts and intensive research on the subject. In a letter, Qusṭā ibn Lūqā echoed this social need: “You must know as well—God holds you in high esteem—that people are interested in using burning mirrors. Kings and caliphs have searched for it, but only managed to set fire at a distance of thirty cubits. They only managed to set alight at this distance. If someone devised a mirror that set fire at a hundred cubits, would you then call him a prophet?” 1 Ibn Lūqā’s proposal was fulfilled by al-Kindī whose work on burning mirrors—to which we shall return—was composed in honour of the caliph al-Mustaʿin. As for the translations, what has survived in Arabic is a compilation of Diocles’s lost Greek treatise, a treatise by Anthemius of Tralles of which part of the Greek text is lost, and works by Didymus and a certain Dtrūms, as yet unidentified—both these texts are also lost in Greek. 2 Consequently, except for the Bobbio fragment, Arab scientists had access to the entire Greek literature on the subject ‎1. K. Samir (ed.), Une correspondance islamo-chrétienne entre Ibn al-Munaggim Ḥunayn ibn Isḥāq et Qusṭā ibn Lūqā (Patrologia Orientalis, xl, fasc. 4, n. 185; Turnhout, 1981), 156. ‎2. R. Rashed, Les Catoptriciens grecs. I : Les miroirs ardents, édition, traduction et commentaire, Paris : Les Belles Lettres, 2000.

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known to us. Nor could these collected works, any more than their translations, be the result of chance alone; on the contrary, they apparently expressed a determination to amass all the available works on a theme that preoccupied scientists. Everything does in fact indicate that the Greek texts on burning mirrors were tracked down, then translated into Arabic at the opportune moment when ninth century scientists were engaged in research in this field. The advance of these scientists over their forebears is the clearest proof of the link between research and translation. To corroborate our affirmation, we shall compare the Arabic translation of Anthemius of Tralles’s text with al-Kindī’s application of it in his treatise on burning mirrors. The fragment on burning mirrors from Anthemius’s On remarkable mechanical devices had been translated into Arabic. The translation 1 was literal, expressed in a word-for-word manner of which al-Kindī spoke so highly at that time. 2 An occasional clumsy turn of phrase reveals the Greek behind the Arabic. Moreover, when the translator did not understand a term, he left it unaltered in the text. For instance, the term ἀμϐολεύς, which also balked modern translators from Louis Dupuy in the eighteenth century to C. Belger and Thomas Heath, was rendered by the ninth century translator as al-Ambūlūs. Nine centuries later Dupuy opted for a similar solution by translating it as embole. In this fragment Anthemius begins by asking the following question: How to ensure that a solar ray always falls on a given point, whatever the hour and season? This problem led Anthemius to the study of the ellipsoidal mirror where he showed that he was conversant with the bifocal property of the ellipse and the properties of the tangent. But as Anthemius observed, the use of this type of mirror does not explain how Archimedes managed to set fire to the Roman flotilla. He then wrote: “However, since no blot must blemish the name of Archimedes, of whom there is unanimity in relating that he set fire to the enemy vessels using the sun’s rays, one must reasonably suppose that, according to this fact, the problem can be solved.” 3 At this point Anthemius affirmed that “the task of setting alight requires no fewer than twenty-four reflectors”. He constructed a system of seven hexagonal mirrors consisting of a central mirror with six adjacent mirrors, the common side being used as a hinge. The system is apparently arranged so that parallel rays falling on the centre of each

‎1. Ibid. ‎2. Diophante, Les arithmétiques, iii (op. cit.), pp. xxviii-xxix. ‎3. Les Catoptriciens grecs, op. cit.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

of the seven mirrors are reflected to a given point. Anthemius then declared, but without proof, that to obtain a more effective burning, four or five seven-mirror systems may be employed. The fragment ends with a study of the parabolic mirror. After quoting Anthemius’s text, al-Kindī immediately continued: “This is what Anthemius said; now Anthemius would never have accepted any mathematical statement without proof and especially not in the art of geometry, nor did he impose something without proof. He explained how to construct a mirror from which twenty-four rays are reflected to a single point without showing how to establish the point where the rays unite at a given distance from the middle of the mirror’s surface”. 1 Al-Kindī was not content with this openly critical attitude towards his predecessor, but suggested taking up afresh the problem of the convergence of reflected rays to a single point and the distance of this point, while respecting the requirements of geometrical proof. So he opened up a new path and went far beyond Anthemius in his study of burning mirrors. His treatise opens with the study of a system consisting of two plane mirrors placed on the surfaces of a dihedral. With the results obtained, he shows how to construct a cone-shaped burning mirror before turning to examine concave spherical mirrors. Note that the last analyses are missing from Anthemius’s fragment, but on the other hand al-Kindī did not resume Anthemius’s study on the ellipsoidal mirror. Whatever the case, in Part Three of his tract al-Kindī went back to a problem posed by Anthemius on the construction of a system of twenty-five hexagonal mirrors permitting the reflection of solar rays falling on a single point in the centre of each mirror, and endeavoured to remedy the defects of Anthemius’s text. On examination, al-Kindī’s demonstration turns out to be correct for six mirrors around the central mirror; but he affirmed, likewise without proof, that the result remains true for the other systems, which is not quite accurate. He next attempted to go further by proposing to construct a more elaborate mirror than that of Anthemius or, in his own terms: “We want to construct a mirror on which as many rays as one wants are reflected to a single point of the perpendicular raised from its centre, much more elaborate than the one constructed by Anthemius.” The project was conceived as follows: from a twenty-four-sided regular polygon, al-Kindī constructed a regular twenty-four-sided pyramid so that the solar rays falling on

‎1. R. Rashed, Œuvres philosophiques et scientifiques d’al-Kindī. Vol. I : L’Optique et la Catoptrique d’al-Kindī, Leiden : E.J. Brill, 1997.

THE TRANSMISSION OF GREEK SCIENTIFIC THOUGHT

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the side of the base of each surface taken as a mirror are reflected to the same axis-point of the pyramid. He defined this point by considering two symmetrical surfaces in relation to the axis. Al-Kindī concluded his treatise with a resumption of Anthemius’s study on the construction of a mirror of a given diameter that reflects rays on a given point. The procedure involves applying the construction of a parabola with points and tangents whose focus and directrix are known. Al-Kindī’s demonstration is undoubtedly much clearer and more methodical than that of his predecessor, but it cannot be said he made an original contribution to the subject. IV The two examples just analysed—Diophantus’s Arithmetica and burning mirrors—illustrate two forms taken by the dialectic between translation and research. In the case of Diophantus, we have seen that translation was not only stimulated by current trends in research but came to integrate Diophantus into a trend that was not his own. In the example of burning mirrors, translation and research were contemporary with each other and, moreover, scientists tackled translated works in a deliberately critical frame of mind and with the avowed intention of surpassing them. But these are not the only forms this dialectic was to take, so we shall briefly recall two other examples. At the same time, translations occasionally stimulated the extension of translated knowledge, i.e., the elaboration of a new theory. For instance, Thābit ibn Qurra, translator of Nichomachus of Gerasa’s Introductio arithmetica, noted that the latter mentioned amicable numbers without constructing their theory, which is also lacking in Euclid’s Elements. Ibn Qurra therefore set to work on this problem and conceived the first theory of amicable numbers. The second example we shall mention concerns the translation of masterly treatises, e.g., Euclid’s Elements and Apollonius’s Conics. In this case, the translations were in great demand among translators themselves, their colleagues, contemporaries and patrons, who wished to develop research not only in the same field but in others as well. For instance, knowledge of the Elements certainly enriched the geometrical research of the colleagues of the first translator— al-Ḥajjāj—but also proved fruitful for the works of his colleague in the House of Wisdom, al-Khwārizmī; the latter was inspired by the Euclidean concept of an apodictic approach and proto-geometrical proofs that would be essential for the construction of the new science: algebra.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

The above examples sufficiently illustrate, I think, that in order to understand the transmission of Greek science into Arabic, it is necessary to start with the dialectic translation-research. Its complexity forces us to reject two attitudes: the first, increasingly challenged today, is what we designated by the triplet receptionassimilation-creation as three successive stages in Arabic scientific and philosophical thought. The second, though underlying the most contradictory of theses, is just as erroneous. Frequently, not only supporters of the thesis of passive reception but those who affirm the appropriation of the Greek heritage by their Arabic successors, consider the philosophical and scientific translations as a simple entity. Both of them merely incorporate both activities—scientific translation and philosophical translation—into a single perspective, and so favour analogies at the cost of differences. Now, even if we confine ourselves to the sciences alone, such a position is untenable: it suffices to mention the differences between the translation of medical works and those of the exact sciences. And we have just seen that, when we limit ourselves to the latter, the dialectic between translation and research appears in multiple forms that only a differential approach can exhaust.

Acknowledgements This paper was given as a lecture in a series on “Difficult choices in the history of science and medicine,” arranged by Dr Alistair Crombie at the Maison Française d’Oxford.

A PIONEER IN ANACLASTICS IBN SAHL ON BURNING MIRRORS AND LENSES The geometrical study of lenses was essential for the development of optics in the late sixteenth and early seventeenth centuries. 1 This study, which historians have seen as a turning point in the history of optics, was designated as either anaclastics or dioptrics. In writing the history of this chapter, it is common practice to give prominence to Kepler, some of Mersenne’s circle, Willebrord Snellius, and Descartes. Furthermore, the perceived modernity of the optics of this period is frequently explained, partially at least, by external reasons: a very modest technical advance in the construction of optical instruments. A reading of the eleventh-century Book of Optics (Kitāb al-Manāẓir) by Ibn al-Haytham, however, whether in Arabic or in Latin translation, should have suggested to historians that research on anaclastics started well before the late sixteenth century. In Book 7 there is a study of the spherical diopter and the spherical lens. 2 Furthermore, Ibn al-Haytham devoted an entire memoir to the burning sphere, whose scientific and historical importance is unanimously recognized. This work contains an examination of double refraction in the sphere and of related problems. Three centuries later, Kamāl al-Dīn al-Fārisī wrote a commentary on the work and used it for the first correct explanation of the rainbow. 3 Paru dans Isis, 1990, 81, p. 464-491. I am grateful to Julia McVaugh and Frances Coulbom Kohler for all their help in improving the English as well as the presentation of this article. ‎1. This topic is encountered in numerous works on the history of optics—in particular, in attempts to understand Descartes’s contribution to the discipline. On this subject see Gaston Milhaud, Descartes savant (Paris: Felix Alcan, 1921), Ch. 5; and the commentary by Cornelis de Waard to his edition of Correspondance du P. Marin Mersenne, religieux minime, 7 vols. (Paris: Presses Universitaires de France, 1933-1962), Vol. I: 1617-1627. ‎2. The texts relating to lenses in Book 7 of Ibn al-Haytham’s work have been edited, translated into French, and analyzed in Roshdi Rashed, Géométrie et dioptrique au x e siècle: Ibn Sahl, al-Qūhī, et Ibn al-Haytham (Collection Sciences et Philosophie Arabes, Textes et Études) (Paris: Les Belles Lettres, 1993). ‎3. Al-Fārisī’s commentary, which more or less reproduces Ibn al-Haytham’s text, has been translated freely into German by Eilhard Wiedemann and was recently reexamined by Matthias Schramm: see Wiedemann, “Beiträge zur Geschichte

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Until now, however, historians have not constructed a clear picture of Ibn al-Haytham’s research on lenses and of anaclastics in general. For example, Mustafa Naẓīf’s masterful study of Ibn al-Haytham’s investigations in optics is still unsurpassed, and his analyses have frequently been borrowed. But even Naẓīf, having ascertained that Ibn al-Haytham dealt with the study of lenses, was incapable of extracting the exact meaning of his research and concluded with some remarks that leave us perplexed. 1 This weakness can be ascribed to several causes: incomplete knowledge of Arabic optics before Ibn al-Haytham; a dogma springing from this ignorance, according to which no one before him made effective use of Ptolemy’s Optics; 2 and an underestimation of how much works on burning mirrors and instruments have contributed to the history of optics. The only predecessor of Ibn al-Haytham of any importance to be mentioned by historians is the tenth-century philosopher and scholar al-Kindī, but for his De aspectibus rather than for his On Burning Mirrors. When historians analyze Ibn al-Haytham’s dioptrics, they refer only to Ptolemy. The result is that Ibn al-Haytham appears in their work as a singular occurrence in the late tenth and early eleventh centuries, preceded by a vacuum reaching back to Ptolemy and followed by another vacuum up to al-Fārisī. In this article we shall see that this picture of history is inaccurate. I shall show that (1) Ibn al-Haytham was not the first to have effectively used Ptolemy’s Optics, and consequently the dogma of a vacuum is unfounded; (2) al-Kindī was not the only significant figure in the history of Arabic optics before Ibn al-Haytham—rather, there existed a tradition of research in this field that included names just as prestigious; and (3) it is vital to take into account research on burning mirrors and instruments in order to understand not only the history of catoptrics at that time but also dioptrics.

der Naturwissenschaften, XIX: über die Brechung des Lichtes in Kugeln nach Ibn al-Haytham und Kamāl al-Dīn al-Fārisī,” Sitzungsberichte der physikalisch-medizinischen Sozietät in Erlangen, 1910, 13: 15-57; and M. Schramm, “Steps towards the Idea of Function: A Comparison between Eastern and Western Science in the Middle Ages,” History of Science, 1965, 4: 70-103. I have edited, translated into French, and analyzed al-Fārisī’s commentary, including Ibn al-Haytham’s original text: see Rashed, Géométrie et dioptrique. ‎1. Mustafa Naẓīf, Al-Haṣan ibn al-Haytham, buḥūthuhu wa kushūfuhu al-Baṣariyya, 2 vols. (Cairo: Univ. Cairo, Faculty of Engineering. 1943), Vol. II, Sect. 227. ‎2. A. I. Sabra, e.g., wrote in 1987, “It is remarkable that no one in late antiquity or in the Islamic world seems to have made any effective use of Ptolemy’s Optics until Ibn al-Haytham”: Dictionary of the Middle Ages (New York: Scribners, 1982-), Vol. IX (1987), p. 245.

IBN SAHL ON BURNING MIRRORS AND LENSES

Fig. 1. The piano-convex lens from Ibn Sahl’s treatise On the Burning Instruments; compare Figures 11, 12. From Millī MS 867, folio 7r; courtesy of Millī Library, Tehran.

Some years ago, I discovered and began to reconstruct a treatise on burning instruments written around 984 by a mathematician connected with the court of Baghdad, Abū Saʿd al-ʿAlaʾ Ibn Sahl, whose work was known to Ibn al-Haytham and was even sometimes copied in his own hand (see Fig. 1). 1 Ibn Sahl not only knew Ptolemy’s Optics but, as we shall see, went further than he did in the study of

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‎1. The treatise is soon to be available in Rashed, Géométrie et dioptrique (op. cit.). Ibn Sahl was at the full height of his activity in the second half of the tenth century; this treatise was composed between 983 and 985: on these dates and for a biography of Ibn Sahl see ibid. In his Discourse on Light, Ibn al-Haytham referred explicitly to Ibn Sahl and recalled some of his ideas on the transparency of media and refraction; see Roshdi Rashed, “Le Discours de la lumière d’Ibn al-Haytham: Traduction française critique,” Revue d’Histoire des Sciences, 1968, 21: 197-224. Ibn al-Haytham also copied

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

refraction. 1 This treatise, On the Burning Instruments, makes Ibn Sahl the first mathematician known to have studied lenses and shows that in the first half of the tenth century catoptricians were actively working on refraction. When Ibn Sahl had completed his examination of burning mirrors, both parabolic and ellipsoidal, he considered hyperbolic plano-convex lenses and hyperbolic biconvex lenses. Moreover, he succeeded in stating Snellius’s law long before Snellius himself, and he studied the mechanical drawing of the three conic curves. I am not unaware that these results may come as a surprise. They invite us to reexamine the history of the beginnings of anaclastics and the genesis of its concepts in a new light. Let us remember that Ibn Sahl’s geometrical study of lenses runs parallel with that of burning mirrors and that, at its birth, anaclastics was the daughter of catoptrics and unconcerned with the study of conditions of vision.

I. Ibn Sahl’s treatise on burning instruments It has long been known that Ibn Sahl wrote on burning mirrors: libraries in both Damascus and Tehran contain a manuscript bearing this title. It was thought, on the basis of catalogue information alone, that these were two copies of one and the same manuscript. 2 This is, however, not the case: not only do the manuscripts contain different texts, but they have been found to contain no passages in common. In fact, each manuscript reproduces a separate section of Ibn Sahl’s original work: that is, the Damascus manuscript contains

Ibn Sahl’s opuscule entitled Proof That the Celestial Sphere Is Not Completely Transparent; see Rashed, Géométrie et dioptrique. ‎1. For the last century it could have been known, on the strength of Ibn Sahl’s Proof That the Celestial Sphere…, that he undertook an examination of Book V of Ptolemy’s Optics. In the beginning of this work we read of “a proof deduced by Ibn Sahl when he examined Ptolemy’s book on optics, which he wanted to incorporate in the overall examination of Book V of this work.” This opuscule has not been studied, any more than Ibn Sahl’s other optical and mathematical works; Eilhard Wiedemann simply mentioned its name, which he found in a catalogue of manuscripts in the St. Petersburg library. See Wiedemann, “Bemerkung zu dem Aufsatz von Herrn Dr. J. Baarmann: Abhandlung über das Licht von Ibn al-Haitham,” Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft, 1884, 38: 145-148. ‎2. This error occurs in Fuat Sezgin’s bibliographical work Geschichte des arabischen Schrifttums—Astronomie (Leiden: Brill, 1978), Vol. VI, p. 233. The two manuscripts are Damascus, al-Ẓāhirīya MS 4871, 3 fols. (hereafter D); and Tehran, Millī MS 867, 51 fols. (hereafter T). The first is entitled Fī al ʾāla al-muḥiriqa (On the burning instrument); the second has no title, apart from the one added in another hand on fol. 1r: Kitāb al-ḥarrāqāt ʿamilahu Abū Saʿd al-ʿAlāʾ Ibn Sahl (The book of burners composed by Abū Saʿd al-ʿAlāʾ Ibn Sahl).

IBN SAHL ON BURNING MIRRORS AND LENSES

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a long fragment missing from the Tehran copy. The latter is much more substantial, but it is seriously damaged and the sheets are out of order. My first task was to discern the latent structure of the extant Tehran manuscript and find out how it was organized. This was only possible once I had understood the underlying plan of the whole treatise itself. It was then easy to rearrange the Tehran manuscript, specify its missing parts, and prove that the Damascus fragment was indeed one of them. I then determined where to insert it and filled in some other gaps. Only then was it possible to verify the overall plan of Ibn Sahl’s treatise, provide a definitive reconstruction of what has survived, establish and translate the text, and comment on it as well as on all Ibn Sahl’s extant works on optics and mathematics. It is now clear that we possess the major part of Ibn Sahl’s treatise on burning instruments, and the absence of certain fragments in no way hinders comprehension; it is quite easy to surmise what their contents were. Providentially, the most significant section on lenses has survived in full. First, let us recall the problem posed by Ibn Sahl and the various steps necessary for its solution. By thus exposing the underlying plan of his treatise, we can show how the treatise is organized, designate precisely what is missing, and undertake its final reconstruction. The problem Ibn Sahl tackled may be stated as follows: To burn at a given point A, using a distant or near luminous source, by reflection or refraction. To solve this problem, it is necessary to examine, on the one hand, (a) reflection and (b) refraction; and on the other hand, (c) the case where rays can be considered parallel and (d) the case where rays come from a point at a finite distance. By combination, we obtain the following: (a) and (c), which indicate a parabolic mirror; (a) and (d), an ellipsoidal mirror; (b) and (c), a plano-convex lens; and last (b) and (d), a biconvex lens. Therefore, following the introduction, Ibn Sahl’s treatise should comprise the four chapters indicated. We should also remark that Ibn Sahl intended to construct these burning instruments. He thus could not limit himself to a theoretical study of each curve but, like others studying burning mirrors, needed to explain how to draw the curves; consequently, each chapter should comprise two parts—one theoretical and one practical. And, in fact, the parts of his treatise that have survived intact verify these assumptions. For instance, the chapter on the hyperbola is divided into two sections: a study of the curve as a conic section, and the continuous drawing of the curve. In the first part, Ibn Sahl defines the hyperbola by the vertex, the axis, and the latus rectum; he examines the tangent

152

III. OPTIQUE ET

Fig. 2. The structure of On the Burning Instruments.

ASTRONOMIE

from the bifocal property; and he then goes on to study the hyperboloid and the tangent plane, whose uniqueness he demonstrates. In the second part, he proceeds with the continuous drawing of the arc of a curve that is none other than a hyperbolic arc, although he does not identify it as such, and then takes up the study of the plane tangent to the surface obtained by rotating this arc about a fixed straight line. In both parts, as we shall see, he uses the properties of the tangent to rediscover the laws of refraction, and thus to deduce the construction of a plano-convex lens and a biconvex lens. The preceding analysis offers us a reliable guide to reconstruct-

IBN SAHL ON BURNING MIRRORS AND LENSES

153

ing On the Burning Instruments. The diagram in Figure 2 indicates not only the organization of the work but also the state of preservation of each of its sections. It is easy to see where the missing section should be inserted: between the end of the study on the parabola and the beginning of the one on the ellipse. The theoretical study of the parabola has survived in full, but of the study of the continuous drawing of the parabolic arc we have only a fragment: we lack the discussion of the tangent to this arc, of the tangent plane to the paraboloid, and of their application to optics. And as for the section on the ellipse, the study of this curve as a conic section is missing, but we possess an almost complete study of the ellipsoidal mirror engendered by an elliptic arc obtained by a continuous drawing. It is worth emphasizing here that the structure of the treatise itself illustrates Ibn Sahl’s new position in the history of optics: although his work continues the Greco-Arabic tradition of research on burning mirrors, his introduction of refraction and lenses constitutes a break with that tradition as well.

II. The parabolic mirror The study of the parabolic mirror had been undertaken long before Ibn Sahl by Diocles, Anthemius of Tralles, “Dtrūms” (author of a treatise on burning mirrors translated into Arabic from a now-lost Greek original), the author of the Bobbio fragment, and al-Kindī. 1 It is more than likely that Ibn Sahl was familiar not only with alKindī’s treatise but with at least a fragment of Anthemius’s work, as well as with other Greek writers. First, Ibn Sahl himself affirms that he consulted some Greek texts translated into Arabic. He claims, moreover, that Hellenistic writers dealt only with burning by reflection, and that he was the first to study burning by refraction. That he

‎1. See Les catoptriciens grecs, op. cit.; or see Johan Ludvig Heiberg, Mathematici Graeci Minores (Kongelige Danske Videnskabernes Selskab: Historisk-filologiske Meddelelser, 13.3) (Copenhagen: Hast, 1927), pp. 77-92; and Wilbur Knorr, “The Geometry of Burning-Mirrors in Antiquity,” Isis, 1983, 74:53-73). See also al-Kindī, Kitāb fī alShuʿāʿāt, Patna, India, Khuda Bakhsh MS 2048. For a description of the text ascribed to “Dtrūms,” British Library MS 7473, see Les catoptriciens grecs, op. cit.; and William Cureton, Catalogus codicum manuscriptorum orientalium qui in Museo Britannico asservantur, 3 vols., Vol. II (London, 1846-1871), p. 205: “Codex bombycinus in quarto maiori, ff. 198, extractus a.h. 639, a.d. 1242.” The Arabic spelling of the name, as well as the presence of a fragment attributed to Didymus, precludes the first name’s being an alteration of the second.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

studied other Greek authors is also confirmed by a systematic comparison of his study of the parabolic mirror with theirs. Ibn Sahl, for example, did not adopt Diocles’ method, but approximated that applied by “Dtrūms.” He also mentions the legend according to which Archimedes set fire to the Roman flotilla using burning mirrors. This suggests that he read the work of Anthemius of Tralles, who relates the legend in a fragment on burning mirrors that was translated into Arabic at least a century before, for it was consulted by al-Kindī. This conjecture is supported by the fact that Anthemius’s text is the only one on burning mirrors translated from Greek into Arabic that examines the ellipsoidal mirror, and it is precisely the study of this mirror that Ibn Sahl resumes. 1 Ibn Sahl’s study differs from these earlier texts and thus merits close examination. The parabola as a conic section

Ibn Sahl used the following steps when determining how to burn at a given distance using sunlight. 2 Let AB be this distance and AC the direction of solar rays (Fig. 3). Suppose AC perpendicular to AB, and set AC = AB/2. Draw CD⊥AC, such that CD · AC = AB2 . The parabola of vertex C, with axis AC and latus rectum equal to the distance CD, passes through B. Consider arc BE on this parabola in the opposite direction to C. If we rotate arc BE about the fixed straight line AC, B describes a circular arc BF, and E describes a circular arc EG. We thus delimit a portion of the paraboloid EBFG, written (BG). Proposition. — Rays parallel to AC falling on surface (BG), supposed reflective, are reflected to point A. To demonstrate this proposition, Ibn Sahl starts by discussing the tangent plane at point H and the uniqueness of the tangent plane. Let H be a point on (BG); plane ACH cuts (BG) along arc IJ, a parabolic arc equal to arc BE. Let K be the orthogonal projection of H on AC, and let L be a point on AC, such that CL = CK; then line LH is tangent to arc IJ. The plane that passes through line LH and is perpendicular to plane AHC is tangent to surface (BG) at H.

‎1. For Ibn Sahl’s claims see T, fol. lv. On Ibn Sahl’s study of the parabolic mirror see Les catoptriciens grecs, op. cit., ed. Rashed; see also the end of this subsection. The Arabic version of Anthemius, previously considered lost, has now been found, and an edition with translation is to be published in Ibid. ‎2. D, fol. 81r.

IBN SAHL ON BURNING MIRRORS AND LENSES

Fig. 3. This and the following figures reproduce those of Ibn Sahl, with corrections as necessary.

By reductio ad absurdum Ibn Sahl shows that this plane cannot cut surface (BG) at point H, and then that the plane tangent to H is unique. In stage two Ibn Sahl discusses the reflection of a ray of light parallel to the axis. Let HX be the ray falling at H, and M a point on the prolongation of LH; we must show that ∠ MHX = ∠ AHL. We have 2

2

CD · AC = AB = 4AC ,

hence

CD = 4AC.

On the other hand, H is on the paraboloid, hence 2

HK = CD · KC + 4AC · KC. We deduce from the above that 2

2

2

2

AH = AK + 4AC · KC = AK + 4AC + 4AC · AK

155

= (AK + 2AC)2 = AL2

156

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

and consequently

∠ AHL = ∠ ALH. But as HX // IAL, we have ∠ ALH = ∠ MHX, hence ∠ MHX = ∠ AHL. The ray XH falling at H is reflected to point A.

Ibn Sahl then considers the case where AC is not perpendicular to AB

Fig. 4

Fig.5

Draw the perpendicular to AC from B; let C be the foot of this line; and draw a length AD = AB on line AC. There are two possibilities: C and D on either side of A (Fig. 4), and C and D on the same side of A (Fig. 5). Let E be the midpoint of CD, and EF the perpendicular to CD, such that EF · CE = BC2 . The parabola of vertex E, with axis AE and latus rectum equal to the distance EF, therefore passes through B. We consider arc BG on this parabola, and the portion of the paraboloid

(BI) obtained by rotation about AC. If this portion of the paraboloid is reflective, any ray parallel to AC, falling at a point on this surface, is reflected to point A.

To demonstrate the proposition in both these cases, Ibn Sahl wants to arrive at the preceding case. It therefore suffices to show

IBN SAHL ON BURNING MIRRORS AND LENSES

that A is the focus of the parabola—that is, that EA = ceeds as follows:

157 1 EF. 4

He pro-

We have EF · CE = BC

2

and

2

2

2

2

AB = AC + BC = AC + EF · CE.

But if we consider both possibilities, we can have AD = 2EC − AC,

and

AE = EC − AC

(Fig. 3),

AD = 2EC + AC,

and

AE = EC + AC

(Fig. 4).

or

We therefore have 2

2

2

2

AD = AC + 4EC ± 4EC · AC = AC + 4EC(EC ± AC)

= AC2 + 4EC · AE. We deduce that EC · EF = 4EC · AE, and hence EF = 4AE. Thus point A lies at a distance from vertex E of the parabola equal to a quarter of the latus rectum. Therefore, as in the first case, any ray parallel to the axis falling on mirror (BI) is reflected to point A.

Ibn Sahl has thus shown that in all three cases—∠ BAC = π/2, ∠ BAC < π/2, and ∠ BAC > π/2—rays parallel to the axis are reflected to point A on the axis whose distance from the vertex is a quarter of the latus rectum. We note that in his demonstration Ibn Sahl resorts to the fundamental relation, the symptōma, of the parabola, and to the property of the vertex of a parabola, which is to be the midpoint of the subtangent, in considering the three cases. As mentioned earlier, this approach differs from that of Diocles, who stated the same proposition by resorting to the fact that the subnormal is equal to the parameter—without using the symptōma. In the Greek text translated into Arabic and attributed to “Dtrūms,” on the other hand, the author used the same auxiliary propositions as Ibn Sahl to demonstrate the same main property, but his starting point was different: instead of starting, like Ibn Sahl, with the focus to establish the equality of the angles, he started with this equality to determine the focus. Ibn Sahl’s approach bears the closest resemblance to that followed in the Bobbio fragment, but there is no indication that the latter text was translated into Arabic. Moreover, it appears that Ibn Sahl was the first, so far as we know, to examine the problem of the uniqueness of the tangent plane. If we compare Ibn Sahl’s study with that of Ibn al-Haytham’s On the Burning Parabolic Mirror, we encounter the same proposition and

158

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

the same demonstration, even if the latter’s exposition is somewhat improved and proceeds by “analysis” and “synthesis.” 1 Drawing the parabola

Ibn Sahl then proceeds with the continuous drawing of the parabola, using the focus and the directrix. 2 Take a fixed point A, a fixed straight line DF, and a length DE = l produced on the perpendicular at DF. Let AC be the perpendicular drawn to DF from A; A and E lie on either side of DF, and DE > AC (Fig.

Fig. 6. Ibn Sahl’s device for drawing parabolas

Ibn Sahl explains the construction of three points that belong to the parabola of focus A and whose directrix is line EH parallel to DF. (Note that at this point he does not name the parabola.)

‎1. The points made in n. 1, p. 149 also show that Ibn al-Haytham was acquainted with Ibn Sahl’s treatise and followed the same method. ‎2. T. fols. 14-17.

IBN SAHL ON BURNING MIRRORS AND LENSES

159

Situate point F and let B on DE, and I on GH, a segment perpendicular to DF, such that iheir locations satisfy the equalities AF = l,

BE = BA,

and

IH = IA,

and consequently BD + BA = IG + IA = FA = l.

(1)

Points C, D, G, and F follow one another in this order on DF. We prove by reductio ad absurdum that AI > AB. Draw a semicircle with center A and diameter JK, with JK ≤ AB, and two circles with centers B and I, respectively, all with the same radius. The hypothesis JK ≤ AB implies that JK < AI; therefore circles (A) and (B) on the one hand, and (A) and (I) on the other, do not intersect each other. Construct PU tangent to both (A) and (B), and MN tangent to (B) and perpendicular to DF. We deduce that PU = AB,

MN = BD,

and

Ŋ = UM Ŋ. PK

The outline JPUMN therefore has a length s1 . Call the semiperimeter of one of the circles p; we have

Ň + PU + UM Ŋ + MN = l + p. s1 = JP Using the same procedure, we associate outline JWZQR with circle (I), and we have Ŋ + QR = l + p. Ŋ + WZ + ZQ s2 = JW

The procedure used by Ibn Sahl to arrive at a continuous drawing is deduced from the equality s1 = s2 , which results from equality (1). Take a rigid set-square, and let one of its right-angle sides, NO, slide along DF, while the other side, NS, is applied to NM; NS is chosen greater than NM. Point A is fixed, as is semicircle (A). Circle (B) is mobile and in contact with a belt of length l + p, one of whose ends is attached at J on semicircle (A) and the other at N on the set-square. We suppose the belt inelastic. If we push on circle (B) while keeping the belt taut, with circle (B) remaining in contact with side NS of the set-square, the latter slides along line DF, which functions as a rail. A stylus placed at point B draws a parabolic arc BI. Note that point B can be displaced to either side of its starting position: as far as the vertex of the parabola on one side, and until the mobile circle (B) is tangent to line DF on the other side.

The last part of this study on the continuous drawing of the parabola, unfortunately lost, must have included—as the other chapters lead us to suppose—a study of the tangent to a point of the

160

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

arc BI just constructed, the tangent plane to the surface engendered by this arc, and lastly, the reflection of a light ray on this surface. This lost study also would have aimed at verifying that the mirror so constructed—by the focus and the directrix—is indeed a parabolic mirror. In the tenth century, at least for Ibn Sahl, the focus-directrix property did not yet define the parabola as a geometrical locus of points. 1

III. The ellipsoidal mirror The only known work on the ellipsoidal mirror prior to that of Ibn Sahl is a preliminary study by Anthemius of Tralles, in which he used the bifocal property of the ellipse and affirmed, without further explanation, that by virtue of the laws of reflection, a ray from one focus is reflected toward the second focus. Anthemius also invoked the procedure known as the “gardener’s method” for the continuous drawing of the ellipse. 2 It seems highly likely, as I have observed, that Ibn Sahl was acquainted with the Arabic version of Anthemius’s work. However, as noted earlier, the section of his text on the study of the ellipse as a conic section is lost; only the passage on the continuous drawing of the ellipse has survived. Drawing the ellipse

To draw an elliptic arc, Ibn Sahl starts with three nonaligned points, A, B and C, such that AB < AC < BC (Fig. 7). 3 Place point D on line CB, such that CB + BA = CD = l. On a circle with center C and radius l place point E such that ∠ ACB < ∠ ACE ≤ ∠ CAB, B and E being on the same side of the line CA; and place point F on segment CE such that AF = EF. We therefore have FA + FC = l. Hence, points B and F belong to the ellipse of focuses A and C with circle (C, l) as a directrix circle.

Just as in the case of the parabola, Ibn Sahl does not name the ellipse when he sets out the method for the continuous drawing of arc BF thus defined. ‎1. See Rashed, Géométrie et dioptrique (op. cit.). ‎2. Heiberg, Mathematici Graeci Minores (op. cit.); and Thomas L. Heath, “The Fragment of Anthemius on Burning Mirrors and the ‘Fragmentum mathematicum Bobiense,’ ” Bibliotheca Mathematica, 3rd Ser., 1906/7, 7: 225-233. ‎3. T, fols. 13, 2.

IBN SAHL ON BURNING MIRRORS AND LENSES

Fig. 7. Ibn Sahl’s device for drawing ellipses

From the hypotheses made for the construction of F it follows that AF > AB, an inequality that can be proved by reductio ad absurdum and consequently CF < CB. It also follows that CF ≥ AB. 1 Draw two parallel, equal segments, GH and IJ, with centers A and C, respectively—IJ = GH < AB—and draw circles (A), (C), (B), and (F), of radius 21 GH, with centers A, C, B, and F, respectively. The hypothesis GH < AB entails that these circles taken in pairs do not intersect each other.

‎1. Let there be an ellipse of focuses A and C, with major axis B1 B2 . If B describes arc B1 FB2 , distance AB increases from AB1 to AB2 , and consequently CB decreases:

∠ ACF > ∠ ACB → AF > AB

161

∠ ACF ≤ ∠ CAB → CF ≥ AB

162

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

If MN is a tangent common to (A) and (B), and KL a tangent common to (B) and (C), we have MN = AB

and

KL = BC,

whence

MN + KL = l.

Ő + NK Ŋ + LJ Ň = p, On the other hand, AM // BN, BK // CL, AH // CJ implies HM the perimeter of one of the circles. The outline HMNKLJ, of length s1 , is associated with circle (B): Ő + MN + NK Ŋ + KL + LJ Ň = l + p. s1 = HM Similarly, draw UQ tangent to both (A) and (F), and PO tangent to (F) and (C). With circle F we associate the outline HUQPOJ, whose length is

Ŋ + PO + OJ Ň. Ŋ + UQ + QP s2 = HU We have, as above, UQ + PO = AF + FC = l,

and

Ŋ + OJ Ň = p; Ŋ + PQ HU

therefore s2 = l + p = s1 .

To draw the curve Ibn Sahl imagined a device consisting of three circles with the same radius, functioning as pulleys, and a belt with a constant length l+p. Two of the circles are fixed, with centers A and C; the third, with center B, is mobile. The belt, with one end fixed to circle (A) at H, and the other to circle (C) at J, revolves around pulley B (Fig. 8). If we push on circle (B) while keeping the belt taut, center B describes an elliptic arc BF

Fig. 8. Another device for drawing ellipses

IBN SAHL ON BURNING MIRRORS AND LENSES

163

Ellipsoidal reflection

While the theoretical study of the ellipse as a conic section has been lost, that of the reflection on an ellipsoidal mirror has been preserved in its entirety, unlike the case for the parabola. Starting with the bifocal property, Ibn Sahl wants to show that rays falling on one of two focuses are reflected to the other focus and may therefore burn. 1 By rotating arc BF about line AC we engender a surface (BX), B describing a circular arc BG, and F, a circular arc FX. It can be shown that light rays from C are reflected to A. Let T be any point on arc BF; it is associated with a circle (T) and with an outline of length s. Circle (T) corresponds to a position of circle (B), and therefore we have s = s1 we deduce that TA + TC = BA + BC (Fig.

Fig. 9

Let I ′ be any point on (BX); plane AI ′ C cuts (BX) along arc Ba O ′ , a position of arc FB; we therefore have I ′ A + I ′ C = BA + BC (Fig. 10). If we prolong CI ′ by length I ′ Bb = I ′ A, the bisector Bc I ′ Bd of ∠ AI ′ Bb is tangent to arc Ba O ′ at I ′ .

Ibn Sahl proves this, and the uniqueness of the tangent, reasoning by the absurd. The plane drawn along line Bc Bd and perpendicular to plane ACI ′ , is tangent to surface (BX) at point I ′ ; this tangent plane is unique.

Ibn Sahl also proves by the absurd that lines AI ′ and CI ′ do not meet surface (BX) other than at point I ′ . The ray from a luminous ‎1. T, fols. 2-5.

164

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

body along CI ′ is reflected by mirror (BX) along I ′ A, according to the laws of reflection. This applies to all points on surface (BX)

Fig. 10

IV. The plano-convex lens In the second part of his treatise, Ibn Sahl is quite naturally led to prove that the hyperbola is an anaclastic curve, and consequently to elaborate the first geometric theory of lenses. This section, which has survived in full, starts with the first stage of the law of refraction. The hyperbola as a conic section: The law of refraction

Ibn Sahl first considers refraction on a plane surface. Defining GF as the plane surface of a piece of crystal of homogenous transparency, he emphasizes a relation that is the reciprocal of the refractive index n of this crystal in relation to air. 1 ‎1. T, fols. 5-9. Excavation of rock crystal was practiced intensively at Bassorah, according to al-Bīrūnī, Al-jamāhir fī maʿrifat al-jawāhir (Ḥyderabad: Dāʾirat al-Maʿārif al-ʿOsmānyya, 1936 [1355 a.h.]), p. 184.

IBN SAHL ON BURNING MIRRORS AND LENSES

165

Let DC be a light ray in the crystal, which is refracted (Fig. 11; see also Fig. 1) in the air along CE. The perpendicular to the plane surface GF at G intersects line CD at H and the refracted ray at E.

The ratio CE/CH < 1, which Ibn Sahl uses throughout his study, is the reciprocal of n: Let i1 and i2 be the angles formed by CD and CE, respectively, with the normal; we have CE CE CG sin i1 1 = · = = . CH CG CH sin i2 n Let I be a point on segment CH such that CI = CE, and let point J be the middle of IH. We have CI/CH = 1/n. Therefore C, I, J, H characterize the crystal for any refraction.

This result of considerable importance, encountered here for the first time, enabled Ibn Sahl to utilize the law of inverse return in the case of refraction, which is essential for the study of biconvex lenses, as we shall see later. Constructing the lens

To construct a lens allowing burning at a finite distance by parallel rays, Ibn Sahl considers a lens whose substance has the same index of refraction n as the crystal just studied. Let A, B, K, and L be points on a straight line, reproducing a division similar to C, J, I, H—that is, such that AK CI = AB CJ we have therefore

and

BL = BK;

AK CE 1 = = . AL CH n

Then let M be on AB such that AM = BK, and place N such that BN is perpendicular to AB and BN · BM = 4BL · LM. Consider the hyperbola with vertex B, axis BM, and latus rectum BN. 1 By rotating arc BS of this hyperbola about line AB we engender a hyperbolic surface; S describes a circle with center O, and we obtain a revolution solid limited by the hyperbolic surface and circle (O, OS) (Fig. 12; see also Fig. 1). We suppose this solid to be made of crystal with refractive index n. ‎1. This hyperbola, with vertices B and M, has focuses A and L; therefore its eccentricity is e = MB/AL = AK/AL = 1/n. Therefore the choice of the hyperbola depends on the nature of the crystal.

166

III. OPTIQUE ET

Fig. 11

Proposition. — Solar rays parallel to OB and passing through this solid are refracted at the hyperbolic surface, and the refracted rays converge at A. In fact, any ray parallel to OB falling at a point on surface (O, OS) crosses it without refraction and meets the hyperbolic surface either at B or at point T ̸= B. In the case of point B, Ibn Sahl proves by the absurd

ASTRONOMIE

Fig. 12

IBN SAHL ON BURNING MIRRORS AND LENSES

167

– the plane perpendicular to OB at B is tangent to the hyperboloid at B; – the tangent plane at B is unique; and – line AO meets the hyperboloid only at point B. He deduces that the ray propagated along OB is perpendicular to the plane tangent at B, does not undergo refraction, and arrives at A. In the case of point T ̸= B (Fig. 13), Ibn Sahl shows that – plane BLT meets the surface of the lens along the hyperbola VBW of axis BM and focuses A and L; – the bisector TZ of ∠ ATL is tangent to the hyperbola at T; – the plane drawn along TZ, perpendicular to plane BLT, is tangent to the hyperbolic surface at T, and this tangent plane is

Fig. 13

We have AT − LT = BM. Let U ′ be on TA, such that AU ′ = BM; then TU ′ = TL, TZ is the bisector of LU ′ , and LU ′ is therefore perpendicular to the tangent plane. Let XT be the incident ray; XT is parallel to AL, the lines XT, TL, TZ, and TA all being in plane ATL which also contains the normal to the hyperboloid at T; the refracted ray will also be in this plane. The straight

168

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

line XT cuts LZ at Ba ; we have TU ′ AU ′ AK = = . TBa AL AL But, by construction, AK CE = ; AL CH therefore

TU ′ CE = . TBa CH

Figure TZBa U ′ is therefore similar to figure CGHE; TU ′ A is thus the refracted ray corresponding to the incident ray XT, which passes through plane OS at Bb without deviation and meets the surface of the hyperboloid at T. The bundle of rays parallel to AB falling on circle (O, OS) penetrates the lens without deviation, and is transformed into a bundle of rays converging at point A.

Drawing the hyperbola

To effect the continuous drawing of the hyperbola, Ibn Sahl starts with the division (A, B, K, L), which he presented earlier, and therefore obtains AK/AL = 1/n, if n is the index of the crystal studied. 1 Let M be a point on circle (A, AK), such that ∠ AML is obtuse, and place N on the straight line AM, such that ∠ MLN = ∠ LMN; we have therefore NM = NL, and NA − NL = AM = AK; N belongs to the hyperbola with focuses A and L and with a vertex at B.

As we have seen before, Ibn Sahl does not name the conic section at this stage. He wants to construct arc BN, which is none other than a hyperbolic arc. In this case, his approach is inspired by the procedures he has already used for the two other conic sections. Let OP be a segment with bisecting point A, perpendicular to AB, with OP ≤ AB and OP ≤ KL (Fig. 14). On the parallel to AB drawn through O, place points U and X, orthogonal projections of points L and B, respectively, and then place V and Q, such that UV = OQ (an arbitrary length), and any segment UT > LN. Draw circles (A, AO) and (B, BX).

‎1. T, fols. 10-12, 17-19.

IBN SAHL ON BURNING MIRRORS AND LENSES

169 S Bd

N Bh

Bc

M R

W

Bb T

Q

O

Ba

O’ A

Bi

Bf V X Be K

P

U

Bg

B

L

U

Bj

Z

Fig. 14

On the perpendicular to LN at L, set U ′ , such that LU ′ = LU, and draw the diameter of circle (A) parallel to LU ′ ; label this diameter O ′ AI ′ . Let I ′ Ba be perpendicular to AI ′ , with I ′ Ba = OQ; and on the perpendicular to LU ′ at U ′ let points Be , Bc , and Bd be situated such that U ′ Be = OQ, U ′ Bc = LN, and U ′ Bd = UT. At points Q, V, Ba , and Be raise equal segments perpendicular to plane ALM: QR = VW = Ba Bb = Be Bf ; therefore we have ′ ′ AL = OU = RW = I U = Ba Be = Bb Bf . If we draw the circle with center N equal to circle (A), it is tangent to U ′ Bc at Bc (since NLU ′ Bc is a rectangle, NBc = LU ′ = AI ′ ). Draw PZ tangent to both (A) and (B), and Bg Bh tangent to both (A) and (N); we have PZ = AB, AN = Bg Bh , LN = U ′ Bc , and NS = Bc Bd . We will show that Bg Bh + Bc Bd = PZ + XT. We have Bg Bh + Bc Bd = AN + NS = AK + MN + NS; but MN + NS = LS = UT = LBi , Bi , being the orthogonal projection of T on AB. We deduce that AN + NS = Bg Bh + Bc Bd = AK + LBi

= AK + LB + BBi = AB + BBi = l,

(1)

170

III. OPTIQUE ET

Fig. 15. Ibn Sahl’s device for drawing hyperbolas, shown at its starting position for drawing a hyperbolic arc. The fine lines indicate the indeformable system; the bold lines, the belt of constant length.

and for any point on the hyperbola, we have 1 AN + NS = AB + BBi . But since AB = PZ and BBi = XT, equality (1) is verified, On the other hand, Ő Ŋ′ B since ∠ Bg AI ′ = ∠ Bh NBc ; h Bc = Bg I ′ PB + B Ő Ő therefore O g h Bc =

1 2

circle, and we have

′B + B B + B Ő Ő O g g h h Bc + Bc Bd = PZ +

1 2

circle + XT = l + p,

(2)

p being the semiperimeter of one of the circles.

Note that circles (A) and (B) do not intersect, since AB ≥ OP. On the other hand, we have AN > AB, a property of the hyperbola that Ibn Sahl proves by the absurd; therefore AN ≥ OP, and circles (A) and (N) do not intersect. Now Ibn Sahl starts with equality (2) and imagines a device for making a continuous drawing of the hyperbolic arc BN (Fig. 15). This device consists of a system of two rigid parts. The first part, associated with the fixed point A, pivots about this point; it is formed by the semicircle limited by diameter OP, the segment OQ, and the segment RQ, which is perpendicular to plane LAO. The second part is associated with the fixed point L, about which it pivots, and is formed by the rigid set-square LUT and by segment VW, perpendicular to plane LUT; VW = QR and V is on UT, such that UV = OQ. The two parts are joined to each other by shaft RW, functioning as a connecting rod. Any rotation of the second part about L produces the same degree of rotation of the first part about A. To the two rigid parts Ibn

ASTRONOMIE

‎1. Conversely, AN + NS = AB + BBi → AN + NS − LS = AB + BBi − LBi , whence AN − NL = AB − BL.

IBN SAHL ON BURNING MIRRORS AND LENSES

171

Sahl then adds a mobile part consisting of circle (B) functioning as a pulley, and a belt fixed at P and T and turning around (B); its outline PZXT has a constant length l + p according to equality

Fig. 16. The drawing device, showing the position reached when both parts of the system have turned angle α, one about points A, the other about point L. The pulley has moved from position B to position B ′ .

If we push on circle (B), the belt remaining taut, the circle in turn pushes the rigid set-square TUL, which pivots about the fixed point L, pulling the entire rigid device, while shaft RW remains parallel to AL. The setsquare LUT will replace LU ′ Bd , P will be at O ′ , and the belt will arrive at position O ′ PBg Bh Bc Bd , when point B is superposed on point N (Fig. 16). In this displacement, center B of the pulley describes arc BN. 1 As point M is the intersection of line AN and circle (A, AK), we have NM < NK, and hence NL < NK. In triangles NBL and NBK, therefore, we have ∠ LBN < ∠ KBN, and consequently ∠ LBN is acute. Foot Bj of the perpendicular drawn from N to AB therefore lies on the segment BLBj . We can then show, by the absurd, that line NBj does not meet arc BN at any point other than N. By rotation of the figure limited by arc BN and segments BBj and NBj about line BBj we engender a solid and suppose it made in the crystal studied earlier.

‎1. Note that the movement of the pulley (B) is obstructed neither by shaft RW, which lies above plane ALN, nor by the movement of the set-square LUT, since, according to the condition OP ≤ KL stated at the beginning of the problem, the radius of the pulley is smaller than distance BL.

172

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Refraction at a hyperbolic surface

After completing the continuous drawing of the hyperbola, Ibn Sahl examines the anaclastic property of the curve. 1 He presents the following proposition: Proposition. Solar rays parallel to BBj , falling on surface (Bj ), pass through this surface without deviation, and fall on the hyperbolic surface (B); they are then refracted to point A. To prove this proposition, Ibn Sahl considers on the hyperbolic surface, successively, point B, which is on the axis, and a point other than B. He examines the tangent plane and the path of the luminous rays in both Ck Ch

N Cv

Cg

Cw

Ci Cj A

Fig. 17

B

Bj

BO’

Bi’

A

K

B

L

Bj

Ci

Fig. 18

Consider point B. In plane BLN we have arc NBBi ′ a hyperbolic arc whose vertex is B (Fig. 17). Let BBO ′ be perpendicular to BL.

Ibn Sahl shows by the absurd that BBO ′ is tangent to arc NBBi ′ at B. He also shows by the absurd that no other straight line is tangent to this arc at B. He then considers the plane perpendicular to plane BLN through line BBO ′ , and shows that it is tangent to surface (B) at B, and that this is the only tangent plane at this point. Lastly, he shows—by the absurd—that line AL meets surface (B) only at point B.

‎1. T, fols. 20-25.

IBN SAHL ON BURNING MIRRORS AND LENSES

173

Thus sunlight is propagated along Bj B in the crystal, and along BA in the air. Now consider point Cg ̸= B (Fig. 18). Plane BLCg cuts surface (B) along line Ch Bj Ci .

Ibn Sahl shows by the absurd that the bisector Cg Cj of ∠ LCg A is tangent to this line at Cg , and that this straight line is the only tangent to this line at Cg . Lastly, he shows that the plane perpendicular to plane ALCg drawn through line Cg Cj is tangent to surface (B) at point Cg . Let Cl , be the intersection of ACg and circle (A, AK). Line LCl meets the tangent at point Cj , and is perpendicular to the tangent plane at Cj . The parallel to AL drawn through Cg intersects plane (Bj ) at Cw , and line LCl at point Cv ; we have Cg Cl ACl AK = = ; Cg Cv AL AL however, by hypothesis, AK CE = , AL CH and therefore

Cg Cl CE 1 = = . Cg Cv CH n

On the other hand, Ibn Sahl shows by the absurd that Cg is the only meeting point of surface (B) with line Cw Cv and line ACg . Consequently, the solar ray parallel to AL, falling on plane (Bj ) at Cw , penetrates the crystal and is propagated along Cw Cg ; at Cg on surface (B) it is refracted, and it is then propagated in the air along line Cg A.

The same is true for any solar ray falling on surface (Bj ).

V. The biconvex lens Ibn Sahl terminates his study by constructing a lens limited by two portions of a hyperboloid of revolution of the same axis and composed of the same substance as the plano-convex lens, above. 1 In his construction, he uses the result established in the course of his study of that lens, while admitting the principle of the inverse return

‎1. T, fols. 25-26.

174

III. OPTIQUE ET

Fig. 19

of light. The biconvex lens constructed here consists of two planoconvex lenses joined together. As above, Ibn Sahl considers a division A, K, B, L on a straight line, similar to division C, I, J, H, which is associated with arc BM of a hyperbola with vertex B and focuses A and L. He considers a second division N, O, S, P, also similar to C, I, J, H, associated with a hyperbola of vertex S and focuses P and N (Fig. 19; cf. Fig. 20). We have CI NO AK 1 = = = , CH NP AL n n being the refractive index of the crystal in relation to air. The bisector of ∠ AML, labeled MQ, is tangent to curve BM at M. Let R be on AM, such that MR = ML (therefore AR = AK); then MQ meets LR at X in a right angle, and therefore ∠ LQX is acute. Similarly, the bisector of NUP, labeled UT, is tangent to curve SU, and ∠ PTU is acute. Therefore lines MQ and TU meet each other; let this be at point V. Curve BM meets line QB only at point B; it meets line QM only at point M, and it meets line TV at only one point, labeled W. Curve SU meets line TV only at point U; it meets curve BW at point Z.

ASTRONOMIE

If we fix line BS and pivot the surface limited by arcs BZ and ZS and line BS about it, point Z describing circle ZU ′ , we obtain the solid BZSU ′ . We make a solid equal to this one from the same crystal previously considered.

IBN SAHL ON BURNING MIRRORS AND LENSES

Fig. 20. The biconvex lens as depicted in Millī MS 867, folio 26r; compare Figure 19. Courtesy of Millī Library Teheran.

Proposition. — Luminous rays proceeding from N, falling on surface ZSU ′ , penetrate this solid, meet surface ZBU ′ , and are propagated to point A; they burn at this point.

Start by considering the case for point S. Line NS meets the surface of the luminous body at I ′ . Ray I ′ S penetrates the solid at S, is propagated along SB, emerges at B, and is propagated along BA.

175

Then consider any point O ′ ̸= S. Plane BSO ′ intersects the surface of the solid along SO ′ Ba and Ba Bc B (Ba is a position of Z, arc SO ′ Ba a position of arc SZ, and arc Ba Bc B a position of arc ZB); we suppose O ′ Bc parallel to BS. Line NO ′ meets the surface of the luminous body at point Bd . The light at point Bd is propagated in the air along Bd O ′ , penetrates the solid at O ′ , is propagated along O ′ Bc , emerges at Bc , and is propagated along Bc A.

176

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

A bundle of rays emanating from point N undergoes a first refraction at surface S that transforms it into a cylindrical bundle; when this bundle falls on surface B, it is refracted a second time and is transformed into a bundle of rays that will converge at point A.

VI. Ibn Sahl’s continuous drawing of conics: the perfect compass Tenth-century mathematicians paid particular attention to the construction of conics by continuous drawing. For that purpose they devised certain instruments, including the perfect compass, and several wrote treatises on them. Among those, who composed such a treatise was al-Qūhī, whose works were known to Ibn Sahl, since the latter commented on one of them, a Treatise on the Art of the Astrolabe. Al-Qūhī affirmed that he knew of no work on the perfect compass by Greek geometers. 1 Ibn al-Haytham also wrote such a text, for he refers to it in his treatise on parabolic burning mirrors, as one in which he showed “the determination of all conic sections by the instrumental method: how to determine conic sections so accurately [ʿalā ḥaqīqatihī] that no other more accurate may be achieved on the matter, as in determining the existence of a circle by the compass.” This latter treatise is still undiscovered. 2 Although some of these compasses have already been studied, an analysis of their interconnections has yet to be made. I shall now consider the instruments devised by Ibn Sahl and endeavor to extract from their apparent complexity the idea on which they are based. I shall then give a brief summary of the principle of the perfect compass. Ibn Sahl’s devices for the continuous drawing of the three conic sections each have, as we have seen, two components: one rigid, the ‎1. See Franz Woepcke, “Trois traités arabes sur le compas parfait,” Notices et extraits des manuscrits de la Bibliothèque Impériale et autres bibliothèques, n.d., Vol. XXII, Part I, pp. 68, 145. For al-Qūhī’s treatise on the astrolabe and Ibn Sahl’s commentary see Rashed, Géométrie et dioptrique (op. cit.). ‎2. Ibn al-Haytham, Fī al-marāyā al-muḥriqa bi al-quṭūʿ (On burning mirrors by conic sections), p. 11; translated into Latin by Gerard of Cremona as Liber de speculis comburentibus. The Latin text, with a German translation of the Arabic text, was published by Johan Ludvig Heiberg and Eilhard Wiedemann, “Ibn al-Haitams Schrift über parabolische Hohlspiegel,” Bibl. Math., 3rd Ser., 1910/11, 70: 193-208. On the role of the text for our understanding of conics in Latin science see Marshall Clagett, Archimedes in the Middle Ages (Philadelphia: American Philosophical Society, 1980), Vol. IV, pp. 13-18. An English translation also exists by H. J. Winter and Walid ʿArafāt: “Ibn al-Haitham on the Paraboloidal Focusing Mirrors,” Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal, 3rd Ser. (Science), 1949, 15: 25-40.

IBN SAHL ON BURNING MIRRORS AND LENSES

177

other flexible though of constant length (see Figs. 6, 14, 15, and 16). The flexible component consists of a cord or belt that turns about a mobile circle, acting as a pulley, whose function is to prevent the breaking of the cord while facilitating the movement of the mobile part. If the center of this circle is equipped with a stylus it will draw the arc of the curve studied. For each of the three conic sections, which we will consider in turn, it is a property of the focus that is important. The parabola Let there be a parabola with focus F, and a straight line Δ perpendicular to the axis that cuts the parabola at points A and B (Fig. 21). For every point M on arc AB with projection H on Δ, we have MF + MH = l,

and

AF = BF = l,

(3)

l being the distance from Δ to the directrix D. We have, on the other hand, ′ MF = MH (4

Fig. 21

Ibn Sahl, like his predecessors, did not name the directrix; however, his demonstration uses the two above equalities and the transition from one to the other. If we examine the device conceived for the continuous drawing of the parabola, we note that it is based on the first equality. The only

178

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

difference between this device and the one using a cord of length l fixed at F and at vertex H of a set-square is the use of a pulley. A pencil that tightens the cord at M draws a parabolic arc when the setsquare slides along Δ: this is the instrument Ibn Sahl imagined for drawing the parabola. The ellipse

Ibn Sahl uses the property that enables us to determine the locus of a point M the sum of whose distances between two fixed points F and F ′ is equal to a constant magnitude l—that is, MF + MF ′ = l; F and F ′ are the two focuses of the ellipse, and l is the length of the major axis. The device that Ibn Sahl proposes differs from the wellknown “gardener’s method” only in the use of pulleys, of which two are fixed and one is mobile (see Fig. 22). The hyperbola Let there be a hyperbola with focuses F and F ′ whose transverse axis has a length 2a. Any point M on the branch that surrounds point F is characterized by ′ MF − MF = 2a. Let S be a point on the prolongation of FM (Fig. 23); we have

(SM + MF ′ ) − SF = 2a.

Given these relations, it is possible to imagine a device for the continuous drawing of a hyperbolic arc: Consider a ruler that pivots about focus F, and a cord attached at one end to focus F ′ and at the other end to point S on the ruler. If the distance between the two points F and S on the ruler is FS = l, we take a piece of cord of length l ′ = l + 2a. We keep the cord taut with the help of a pencil resting at M on the ruler: the pencil point draws arc MB when the ruler pivots about F.

Now let us turn to the device imagined by Ibn Sahl for drawing the hyperbola, which evolved precisely from the idea we have just set forth. He uses two pulleys of the same radius—one with a fixed center, the other with a mobile center—on which the cord or belt of invariable length rests.

IBN SAHL ON BURNING MIRRORS AND LENSES

Fig. 22

Fig. 23

Ibn Sahl must have been acquainted with existing contemporary works on the perfect compass—I referred earlier to his commentary on the Treatise on the Art of the Astrolabe by al-Qūhī, author of a treatise on the perfect compass. Al-Qūhī’s instrument consists of three articulated parts (Fig. 24): part MN, called the base of the compass, corresponds to axis V of the conic; part LP, called the axis of the compass, corresponds to the axis of the cone. Line segment RQP, called the drawing pen, revolves about line PL; its length is variable, which enables pen point R to remain in contact with plane π during rotation, and thus to draw the conic

Fig. 24. Al-Qūhī’s perfect compass and the corresponding cone

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The perfect compass therefore draws a conic section if we know, for example, the latus rectum, a diameter, and the angle formed by this diameter and the conjugate direction. However, this drawing requires preliminary constructions to determine the two angles, α

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

and β, of the perfect compass (which are equal in the case of the parabola). Ibn Sahl may indeed have proposed his method in order to dispense with such lengthy and complicated preliminary constructions. This conjecture seems plausible, but here as elsewhere Ibn Sahl does not reveal his intentions. As to whether the method that Ibn Sahl used to construct conic sections survived, I suggest that it did, on the following evidence. As already noted, Ibn Sahl’s successor Ibn al-Haytham, in his work on the parabolic mirror, mentioned a treatise he had composed on the construction of conic sections “using the instrumental method” (biṭarīq al-ʾāla). He wrote: “As for the way to determine the parabola and other conic sections using the instrumental method, this was mentioned by a group of geometers, even if they did not determine it exactly [ʿalā ḥaqīqatihi]”; 1 this last phrase suggests that Ibn al-Haytham had perfected the method himself. I suspect that among this “group of geometers,” he had been thinking first and foremost of Ibn Sahl.

VII. Concluding remarks As we have seen, it was the study of burning mirrors that led Ibn Sahl to the first investigations on anaclastics; and his mastery of the theory of conics, as revealed not only in this treatise but also in his mathematical work analyzed elsewhere, made the birth of this chapter possible. Just as in research on burning mirrors, in anaclastics one proceeds by applying geometric structures, notably supplied by the theory of conics, to certain luminous phenomena so as to achieve the practical goal aimed at from the beginning: burning. The constructed object—whether mirror or lens—must therefore conform to the geometric structure applied. Some would say today, and justifiably so, that it is a matter of constructing models with the aid of mathematics to achieve a practical end: that of burning from a distant or near source. In this respect, the only differences between the new chapter on anaclastics and the much older one on burning mirrors are the complexity of the phenomena studied and the subtlety of the mathematical structures employed. Consequently, renewed interest in the study of refraction in the tenth century is fully justified: for the first time since Ptolemy’s Optics, real progress was made in the knowledge of refraction. Ibn Sahl, who read and commented on the Alexandrian writer, knew that the

‎1. Ibn al-Haytham, Majmuʿ al-Rasāʾil (Ḥyderabad: Dāʾirat al-Maʿārif a!ʿOsmānyya, 1938 [1357 a.h.]), p. 11.

IBN SAHL ON BURNING MIRRORS AND LENSES

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incident ray and the refracted ray lie on a plane containing the normal, on either side of it. Similarly, he knew the principle of inverse return. To this he added the ratio he discovered, equivalent to Snellius’s law as the latter would later formulate it: as noted, he introduced the ratio of the refracted ray to the distance of the image at the point of incidence (CE/CH throughout his study) as a constant ratio for two given media. Even if he did not state the law explicitly, it underlies all of his research on lenses, and his contribution is of the utmost importance. (Ibn Sahl’s discretion in this matter is apparently not fortuitous: it would seem due to the absence of inquiry into the physical causes of refraction—that is to say, to the lack of any attempt to justify this mode of propagating light.) The discovery of this treatise by Ibn Sahl compels us to consider the connections between Ibn al-Haytham and his predecessor, and thus it enables us to place more exactly in its historical context a contribution that historians readily qualify as revolutionary. If we confine ourselves to the study of lenses alone, we observe that Ibn Sahl considers only rays parallel to the axis and obtains the convergence of all refracted rays at a single point on the axis. Let us remark that, for Ibn Sahl, the notion of focus of a conic ceases to be connected simply with reflection; it is henceforth linked to refraction as well. Nonetheless, it remains true that Ibn Sahl’s sole intention was burning and his study is purely geometric. At no time does any kind of experimentation whatsoever intervene as part of his proof. Because he only wanted to burn, he confined himself to the conception and construction of a geometric model that would help to construct the mold of the lens. As a result he refined and advanced geometric study; the practical value and effectiveness of the model were to be tested when the model was eventually used. But when attention is paid to the problems raised by the image of an object observed through the lens, the situation becomes quite different; in this case it is impossible to avoid difficulties such as astigmatism and aberration. Such problems, unimagined in Ibn Sahl’s treatise, would arise in the work of Ibn al-Haytham, who would be led to redefine the relationships between conditions for vision and conditions of light and its propagation, between sight and illumination. It would have been surprising for such a major contribution to the history of optics, remarkable for its time, to remain without an heir. And it would be equally surprising if earlier important works had not paved the way for a work as revolutionary as that of Ibn al-Haytham. We know that Ibn al-Haytham was in fact acquainted with Ibn Sahl’s writings and with the treatise reconstructed here. His

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achievement was to consolidate this chapter on anaclastics while expanding its scope—but that is the topic of another study. 1 For the time being, let me simply stress that through our recently acquired knowledge of Ibn Sahl’s contribution, we are now in a position to assess more precisely Ibn al-Haytham’s contribution to anaclastics and his work on optics in general. In conclusion, let me note the insufficiently emphasized impact of the study of optical instruments—mirrors and lenses—on the interest in geometric constructions in the tenth and eleventh centuries. The search for mechanical means of constructing conic sections was related to research in optics, just as the construction of the perfect compass during the same period was related to research in astronomy, and in particular to the construction of astrolabes and sundials.

‎1. See Rashed, Géométrie et dioptrique (cit. n. 2).

FŪTHĪṬOS (?) ET AL-KINDĪ SUR « L’ILLUSION LUNAIRE »

Introduction L’étude de l’arc-en-ciel, du halo, et de bien d’autres phénomènes d’optique atmosphérique, occupe une place centrale dans l’histoire de l’optique jusqu’au xvii e siècle au moins. Aussi loin que l’on remonte dans l’histoire de la discipline, on observe que philosophes et mathématiciens furent aux prises avec ces phénomènes. Les Météorologiques d’Aristote, on le sait, en témoignent. Mais c’est essentiellement par la place qu’elle occupe dans l’optique ancienne et classique que cette étude est inscrite dans l’histoire. On dira, si l’on veut pasticher la célèbre formule d’Aristote, que c’est la partie la plus physique de l’optique géométrique : on ne pouvait en effet analyser ces phénomènes sans invoquer les propriétés physiques de la lumière ou du milieu, et donc sans rencontrer les bornes d’une optique, simple géométrie de la vision. Aussi la recherche sur l’arc-en-ciel et le halo, si elle a pu refléter l’état de l’optique à un moment de son histoire, fut-elle aussi un excellent instrument pour mesurer la limitation de la discipline. Que l’on pense aux travaux d’Aristote, d’Ibn al-Haytham, d’al-Fārisī ou de Descartes..., sur l’arc-en-ciel, par exemple 1. Or, parmi ces phénomènes atmosphériques, il en est un, non moins célèbre : l’agrandissement des astres à l’horizon, que l’on connaît aujourd’hui sous le titre de l’« illusion lunaire » 2. Tout comme les précédents, il porte sur les apparences du ciel, et son examen a lui aussi exigé l’invention de méthodes permettant de contourner les difficultés d’une étude directe : celle-ci est à l’évidence inaccessible, étant donné la dimension du phénomène et la distance à laquelle il a lieu. Mais l’illusion lunaire appartient en même temps à une

Paru dans M.-O.Goulet, G. Madec, D. O’Brien (éds), Σοφίης Μαιήτορες, « Chercheurs de sagesse », Hommage à Jean Pépin, Collection des Études Augustiniennes. Série Antiquité 131, Paris : Institut d’Études Augustiniennes, 1992, p. 533-559. ‎1. R. Rashed, « Le modèle de la sphère transparente et l’explication de l’arc-enciel ». Revue d’Histoire des Sciences 23, 1970, p. 109-140. ‎2. Sur ce phénomène, voir par exemple H. Walden, « Wieso sehen wir Sonne und Mond in Horizontnähe grösser als im Zenit ? », Der Wetterlotse (Deutscher Wetterdienst, Seewetteramt) Hambourg, n os 197/198, avril-mai 1963, p. 105-111.

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autre classe, celle des méprises de la vue, ou des illusions optiques, ainsi qu’on le découvrira au cours de la recherche. Rien d’étonnant qu’elle ait suscité l’intérêt du « philosophe » : non seulement, et pendant bien longtemps, comme objet d’étude du « physicien », mais aussi comme thème de réflexion sur la connaissance et le rôle de l’illusion. Ainsi s’expliquent la popularité et la longévité de la question : pourquoi voyons-nous les astres, et en particulier les deux luminaires, plus grands à l’horizon qu’au zénith ? Engagée, comme le montrent bien des vestiges, avant Ptolémée 1, cette réflexion fut poursuivie par celui-ci 2, reprise par ses commentateurs et ses successeurs, avant de recevoir avec Ibn al-Haytham, à la fin du x e siècle, une solution correcte. Mais, même bien après qu’Ibn al-Haytham eut donné cette solution dans son Optique – connue en arabe, et en latin à partir du xii e siècle – la discussion demeurait vive, puisqu’au xvii e siècle encore elle était objet de débats et de controverses chez des philosophes qui cependant n’ignoraient point l’Opticae Thesaurus Alhazeni. Rappelons pour mémoire le sixième discours de la Dioptrique, où Descartes reprend l’explication de cette illusion 3. On se souvient également des textes de Malebranche dans De la Recherche de la Vérité, de sa controverse avec M. Régis 4, ainsi que de l’intervention de l’Académie des Sciences. Cet intérêt ne s’est pas démenti depuis. Les traités d’optique du xviii e siècle accueillent ce phénomène sous le titre évo-

‎1. Il s’agit par exemple du papyrus P. Paris 7733 ; voir notamment C. Wessely, « Bruchstücke einer optischen Schrift aus dem Alterthum », Wiener Siudien 13, 1891, p. 312-323. Voir aussi Strabon, plus loin. ‎2. A. Rome, « Notes sur les passages des Catoptriques d’Archimède conservés par Théon d’Alexandrie », Annales de la Société scientifique de Bruxelles 52, 1932, série A, Sciences mathématiques, p. 30-41. Plus récemment, voir H.E. Ross et G. M. Ross, « Did Ptolemy understand the moon illusion ? » Perception 5, 1976, p. 377-385; et A. Sabra, « Psychology versus mathematics : Ptolemy and Alhazen on the moon illusion », dans E. Grant and J. E. Murdoch (édit.), Mathematics and its applications to science and natural philosophy in the Middle Ages. Essays in honor of Marshall Clagett, Cambridge 1987, p. 217247. ‎3. C. Adam et P. Tannery (édit.), Œuvres de Descartes, Paris 1965, t. VI, p. 145 : «...car ordinairement ces Astres semblent plus petits, lorsqu’ils sont fort hauts vers le midi, que lorsque, se levant ou se couchant, il se trouve divers objets entre eux et nos yeux, qui nous font mieux remarquer leur distance. Et les Astronomes éprouvent assez, en les mesurant avec leurs instruments, que ce qu’ils paraissent ainsi plus grands une fois que l’autre, ne vient point de ce qu’ils se voient sous un plus grand angle, mais de ce qu’ils se jugent plus éloignés.» ‎4. F. Bouillier (édit.), Malebranche, De la Recherche de la Vérité, Paris 1879, t. I, p. 67 sqq. et 80 sqq. Voir aussi A. Cuvillier (édit.). Entretiens sur la Métaphysique et sur la Religion, Paris 1948, t. II, p. 106, ainsi que sa réponse à M. Régis.

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cateur de « la lune horizontale » 1, et plus près de nous, les philosophes et les psychologues lui consacrent de longues analyses 2. En dépit de leur diversité, toutes les explications anciennes de l’illusion lunaire dérivent d’une même idée : la cause du phénomène réside dans la différence de densité de l’air, qui résulte en particulier de la présence de la vapeur d’eau qui s’interpose entre les astres et nous. Ainsi, pour rappeler quelques exemples, Strabon invoque l’infléchissement du rayon visuel : « en traversant ces dégagements , comme à travers des objets de verre, et recueille des images plus grandes » 3 ; Cléomède donne pour raison « un air plus épais et plus humide – l’air qui est plus proche de la terre présente en effet ces caractéristiques –, tandis que lorsqu’il (le soleil) passe au méridien, nous le voyons à travers un air pur » 4 ; Olympiodore dans un commentaire des Météorologiques perdu en grec écrit : « C’est pourquoi nous trouvons que les astres sont plus grands au lever et au coucher car la vision se fait dans un air épais et non limpide » 5. C’est une raison analogue que Ptolémée développe dans l’Almageste, et qui sera retenue par certains commentateurs ensuite. ‎1. Voir par exemple J. Priestly, The history and present state of discoveries relating to vision, light and colours, London 1772, p. 708 sq. ‎2. C’est en effet un exemple privilégié lorsqu’ils discutent du problème de l’illusion. Voir par exemple Alain, Libres Propos, Paris 1921, dans Vigiles de l’esprit, NRF, 1942, p. 31 ; et M. Merleau-Ponty, Phénoménologie de la Perception, coll. « Bibliothèque des idées », Paris 1945, p. 300. ‎3. Strabon, Géographie. Texte établi et traduit par F. Lasserre, CUF, Paris 1966, III, 1,4, p. 25. ‎4. Cléomède, Théorie élémentaire (« De motu circulari corporum caelestium »). Texte présenté, traduit et commenté par R. Goulet, coll. « Histoire des doctrines de l’andquité classique » 3, Paris 1980, p. 134. Pour le texte établi, voir R. Todd (édit.), Cleomedis Caelestia, Leipzig 1990, p. 45, li. 29. Cléomède a également recours à l’analogie des « objets plongés dans l’eau (qui) nous apparaissent différents de ce qu’ils sont parce que nous ne les voyons pas en vision directe ». Voir R. Todd, op. cit., li, 34-36. ‎5. ʿAbdurraḥmān Badawī, Commentaire sur Aristote perdu en grec et autres épîtres, Beyrouth 1986, p. 146. Il s’agit du commentaire par Olympiodore des Météorologiques d’Aristote. – Dans un commentaire qui, en revanche, a survécu en grec, le même Olympiodore s’étend sur les causes de cette illusion, et écrit : « Il existe aussi une troisième différence [entre la réflexion et la réfraction] : c’est que, pour la réflexion, l’objet vu apparaît plus petit, tandis que, pour la réfraction, il apparaît plus grand. La cause en est que, pour la réflexion, les rayons vers l’objet vu sont rassemblés tandis que, pour la réfraction, ils sont dispersés. Et il est clair que pour la réfraction l’objet vu apparaît plus grand. Car les petites pierres vues au fond de l’eau semblent être grandes , et d’autant plus qu’elles sont plus profondément enfoncées. Eh bien, le soleil aussi, contemplé lorsqu’il se lève à travers le brouillard semble être plus grand », In Aristotelis Meteora Commentaria, CAG III 2 [Arist. 371a 18].

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Or, en cherchant dans la vapeur d’eau la principale cause de cette illusion, ces doctrines ont ouvert une voie pour son étude : il suffit d’observer ce qui a lieu lorsque les rayons traversent l’eau, examen qui, lui, est direct et accessible. Mais cette voie est celle de l’erreur, aussi l’histoire de notre problème fut-elle longtemps celle d’une erreur. Dans cet article, c’est cette période qui nous intéresse. Deux textes jusqu’ici inconnus, l’un d’un auteur grec, Fūthīṭos, perdu dans sa langue d’origine et conservé dans sa traduction arabe, et l’autre attribué au philosophe et savant du ix e siècle al-Kindī, vont nous permettre de restituer un peu plus fidèlement l’histoire de ce problème, particulièrement chez les auteurs qui s’attachaient à l’optique géométrique. Ils révèlent par ailleurs que, dans une certaine tradition de l’antiquité tardive et du début de la science arabe, l’Optique de Ptolémée était mal connue. C’est dans un deuxième article que nous examinerons les différentes contributions d’Ibn al-Haytham à la solution de ce problème de l’illusion lunaire.

Fūthīṭos et Théon d’Alexandrie Dans l’Almageste, Ptolémée évoque ce phénomène ; il écrit notamment : en effet, si leurs grandeurs apparaissent plus grandes à l’horizon, ce n’est pas parce que la distance est moindre, mais à cause de l’exhalaison de l’humidité qui entoure la terre, du fait qu’elle se trouve entre l’œil et les astres ; ainsi les objets plongés dans l’eau paraissent plus grands, et plus ils sont profondément enfoncés, plus ils grandissent 1.

L’intérêt de ce texte réside d’une part dans l’analogie explicitement proposée – bien qu’à l’évidence elle ne soit pas physiquement pertinente 2 – et d’autre part dans les contradictions entre les affirmations ici formulées par Ptolémée, et ce qu’il écrit ailleurs. Dans le précédent texte de l’Almageste, Ptolémée ne démontre en fait rien,

‎1. C. Ptolémée, Syntaxis Mathematica, edidit J.L. Heiberg, Paris-Leipzig 1898, p. 13, li. 4-9. ‎2. O. Neugebauer, A History of ancient mathematical astronomy, Berlin-Heidelberg-New York 1975, Part two, p. 896. Il écrit : « Obviously such a superficial and incorrect analogy antedates Ptolemy’s own serious study of optics. Indeed, in the “Planetary Hypotheses” this explanation is no longer upheld and the said phenomenon is recognized as an optical illusion caused by wrongly estimating size in relation to nearby terrestrial objects, a topic further studied in his “Optics” ».

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mais dessine une analogie qui sera à la base des tentatives de démonstrations proposées par les commentateurs de ce livre. Mais dans le Livre des Hypothèses 1 et dans l’Optique 2, il abandonne cette explication au profit d’une autre, plus psychologique, revirement que ses successeurs ne manquèrent pas de souligner. Ces deux observations nous aident donc à comprendre l’essentiel de la recherche après Ptolémée. Ainsi, pour pallier l’absence de démonstration, les successeurs de Ptolémée ont tenté d’établir géométriquement qu’un objet immergé dans l’eau paraît effectivement plus grand qu’il ne paraît dans l’air, certains à l’aide de la réfraction, d’autres à l’aide de la réflexion. Quant aux divergences d’explication entre les différents textes de Ptolémée, Ibn al-Haytham nous informe qu’elles furent relevées par les savants, et lui-même fut amené, pour résoudre ces contradictions, à reprendre l’étude de ce phénomène. Le seul commentaire que l’on connaissait jusqu’ici dans la littérature grecque, directement et explicitement consacré à ce passage de l’Almageste, est celui de Théon d’Alexandrie au iv e siècle. Celui-ci semble supposer que Ptolémée s’est référé à la réfraction atmosphérique comme cause d’agrandissement. C’est en tout cas ce qu’il essaie d’établir dans un long passage souvent cité, et que nous donnons ici pour les besoins de notre argumentation, dans la traduction de A. Rome. Théon écrit :

‎1. Dans le Livre des Hypothèses, Ptolémée revient sur ce phénomène pour en donner une autre explication, nettement plus psychologique. En attendant la parution prochaine de l’édition et de la traduction française engagées depuis plusieurs années par R. Morelon, nous donnons dans l’Appendice III le paragraphe qui nous intéresse ici, ainsi que sa traduction. Ce paragraphe a été établi et traduit en anglais par A. Sabra [cf. note 4]. Les différences entre cette édition et la nôtre sont telles qu’il nous a semblé utile de donner ici notre propre établissement du texte, et sa traduction. Nous remercions R. Morelon qui nous a communiqué les photocopies des manuscrits. ‎2. A. Lejeune, L’Optique de Claude Ptolémée, 2 e édition, Leyde 1989. Voici ce qu’écrit Ptolémée, p. 115-116: « Généralement, en effet, le flux visuel, quand il tombe sur les objets d’une manière autre que celle qui lui est naturelle et habituelle, perçoit moins nettement toutes les caractéristiques qui leur sont inhérentes. De même, sa discrimination des distances perçues s’amoindrit. C’est la raison, semble-t-il, pour laquelle des objets célestes qui sous-tendent des angles égaux entre les rayons visuels, ceux qui sont plus proches du zénith semblent plus petits, tandis que ceux qui sont proches de l’horizon apparaissent de façon différente, selon l’habitude.» – Sur l’évolution de la pensée de Ptolémée entre l’Almageste et l’Optique, voir A. Lejeune, Recherches sur la Catoptrique grecque, Bruxelles 1957, p. 22 sq. Cette évolution est, en partie tout au moins, responsable des doutes relatifs à l’attribution de l’Optique à Ptolémée. Relativement ancienne, cette thèse est reprise, non sans talent, par W. Knorr dans « Archimedes and the pseudo-Euclidean Catoptrics : early stages in the ancient géométrie theory of mirrors », Archives Internationales d’Histoire des Sciences 35, n os 114-116, 1985.

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[...] Soit donc dans l’air pur deux grandeurs inégales AB, ΓΔ, vues sous le même angle ΓEΔ, le point de vue étant évidemment E. Il est clair que AB et ΓΔ paraîtront égaux, puisqu’on les voit sous le même angle. Mais mettons-les sous eau, la surface de l’eau étant ZH. Faisons tomber (de E) des rayons EΘ et EK sur la surface de l’eau, et supposons-les réfractés dans la direction des points A et B, leurs trajets étant EΘA et EKB, comme l’explique Archimède en ses Catoptriques ainsi que nous l’avons dit. Et puisque la nature de la vue la fait voir suivant des lignes droites, prolongeons les rayons EΘ et EK en ligne droite jusqu’en Λ et M, et aussi AB dans les deux sens jusqu’en Λ et M. La grandeur AB donnera donc l’illusion d’être aussi grande que ΛM, puisqu’elle est vue sous l’angle ΛEM. Et il est clair que la grandeur AB paraîtra plus grande sous eau. Laissons tomber d’autres rayons EN, EΞ réfractés suivant NT, ΞΔ qui embrassent la grandeur ΓΔ. Et menons NO, ΞΠ dans le prolongement de EN et EΞ, et prolongeons également ΓΔ de part et d’autre jusqu’en O et Π. De nouveau, pour les mêmes raisons, la grandeur ΓΔ sera vue comme OΠ, et agrandie. Donc les grandeurs AB et ΓΔ, qui dans l’air pur paraissent égales, dans l’eau semblent inégales (et la plus enfoncée paraît la plus grande) puisqu’elles sont vues sous des angles

Or il se fait, bien qu’il y ait du brouillard dans toutes les parties de la terre, qu’au lever et au coucher les astres paraissent plus grands, parce que la terre – on le démontre plus loin par les phénomènes dont elle est le siège – est sphérique et au milieu du monde. Il s’ensuit que le plan de l’horizon s’étendant plus loin devant nos yeux, nous voyons les astres au travers d’une plus grande quantité d’humidité. 1

L’importance de ce passage réside moins dans la démonstration qu’il contient que dans l’autorité de laquelle se réclame Théon, à savoir Archimède. Même s’il montre ici une connaissance de la réfraction incomparablement moins parfaite que celle exposée dans ‎1. A. Rome, op. cit., p. 32-33.

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l’Optique de Ptolémée, Théon nous fournit cependant ici le plus solide témoignage connu 1, jusqu’à la découverte de Fūthīṭos, de l’existence éventuelle d’un traité de catoptrique de la main d’Archimède. Mais les mathématiques et l’optique contenues dans ce passage ne peuvent se comparer aux travaux que nous connaissons du mathématicien de Syracuse, ce qui rend bien douteuse l’authenticité de cette attribution. Il reste cependant hors de doute qu’à l’époque circulait un écrit en catoptrique, attribué, en totalité ou en partie, à Archimède. C’est en tout cas ce que semble confirmer le fragment retrouvé. L’auteur de ce fragment est un Grec, dont le nom translitéré en arabe donne ‫سطيثوـف‬, « Fūthīṭos » ; mais, étant donné les différentes translitérations possibles des phonèmes grecs en arabe, il peut s’écrire en grec de plusieurs façons 2. Sur l’identité de l’auteur, nous ne sommes parvenu à aucune conjecture plausible, non plus que sur ses dates. Nous savons seulement qu’il s’agit d’un auteur grec postérieur à Ptolémée, qui disposait de la même source que Théon d’Alexandrie et s’intéressait non seulement aux raisons géométriques du phénomène de l’« illusion lunaire », mais aussi à ses raisons physiques. La seule voie qui nous soit offerte est donc de comparer ce fragment à celui de Théon 3. Tout comme Théon, Fūthīṭos attribue un livre à Archimède. Mais, alors que Fūthīṭos cite expressément une proposition de ce livre et s’en sert comme d’un lemme dans son explication optique, Théon l’utilise sans en donner l’énoncé. Il s’agit de cette proposition où sont comparés le diamètre apparent d’un objet dans l’air et le diamètre apparent du même objet immergé dans l’eau, la distance à l’œil restant la même. Par ailleurs, alors que Théon évoque le livre attribué à Archimède sous le titre de « ses livres de Catoptrique », [ἐν] τοῖς περὶ κατοπτρικῶν, Fūthīṭos parle de « son livre en optique », fī kitābihi fī al-manāẓir. Cette différence n’est pas négligeable, si l’on sait que, lorsqu’ils rencontraient une expression dérivée de κάτοπτρον, les traducteurs arabes trouvaient un moyen d’introduire le terme marāyā – ‎1. Les deux autres témoignages connus sont celui, bien vague, d’Apulée, celui d’Olympiodore, ainsi qu’un scholie à la Catoptrique dite d’Euclide. Ces fragments sont rassemblés par Heiberg, Archimedis Opera Omnia, 2 e édition, Leipzig 1913, t. II. ‎2. L’arabe Fūṯīṭūs est la translittération exacte du nom grec Ποθῆτος, « Désiré ». Ce nom ne paraît attesté qu’en contexte chrétien (cf. W. Pape et G. E. Benseler, Wörterbuch der griechischen Eigennamen, Dritte Auflage, Zweite Hälfte (Λ-Ω), Braunschweig, 1875, p. 1215, s. n. Ποθῆτος). Ce serait un indice supplémentaire pour identifier notre auteur à un chrétien de l’Antiquité tardive, sans doute actif à Alexandrie ou à Constantinople. Je remercie M. Yannis Haralambous et M. Marwan Rashed de m’avoir alerté sur ce point. ‎3. Sur le manuscrit ainsi que sur l’histoire du texte, voir notre étude à paraître sur l’illusion lunaire d’après Ibn al-Haytham.

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miroirs 1, ce qui n’est pas le cas ici, où le terme choisi est manāẓir : perspectives, ou optique. On remarque d’autre part que la seule proposition de ce livre attribuée à Archimède est une proposition optique et non catoptrique, puisqu’il s’agit de la vision directe et du diamètre apparent. Comment comprendre ces différences ? La solution immédiate, mais la plus fallacieuse, ferait endosser au traducteur la responsabilité d’avoir substitué un mot à un autre. Or, la nature même de la proposition citée répugne à cette explication. Pour l’heure, nous retiendrons une conjecture : les deux auteurs avaient sous les yeux ou bien un écrit attribué à Archimède, ou bien un écrit citant un texte attribué à Archimède, et qui comportait aussi bien des propositions optiques que des propositions catoptriques. Conjecture qui permettrait d’expliquer que Théon et Fūthīṭos, malgré les différences entre les exposés et les citations, manient cependant des idées de même nature, ainsi que nous le verrons. Après avoir rappelé la proposition attribuée à Archimède, Fūthīṭos procède à la construction de la figure plane, telle qu’elle est expliquée dans son texte (cf. App. I). Il montre qu’Archimède considérait que le point image est sur le prolongement du rayon visuel incident, et savait que le rayon change de direction quand il traverse la surface de séparation de deux milieux. On ne voit cependant pas apparaître la normale à la surface de l’eau, ni dans la figure tracée sur le manuscrit, ni dans le raisonnement de l’auteur, ce qui interdit de parler d’angle de réfraction. Maintenant, si nous tracions la normale, les rayons CH et HE seraient de part et d’autre de cette normale, et HE en serait plus rapproché. Il en va de même pour CG et GD. La figure respecterait alors les lois de la réfraction, pourtant nullement énoncées, ce qui permet de conclure que l’angle HCG est plus grand que l’angle ECD. Fūthīṭos traite ensuite de la proposition suivante : si deux objets de grandeurs différentes sont vus dans l’air sous le même angle, alors, si les positions relatives de l’œil et des objets sont les mêmes, ces derniers sont vus dans l’eau sous des angles différents : à l’objet le plus

‎1. Cette constatation, faite à partir des titres des livres traduits du grec ou composés en arabe, sera dotée d’un statut théorique dans les livres sur la classification des sciences, comme celui d’al-Fārābī. Ainsi, la « science des perspectives », ou l’optique, se partage selon al-Fārābī, en deux parties ; la première : l’examen de ce qu’on voit par les rayons droits (c’est-à-dire la vision directe) ; la seconde : l’examen de ce qu’on voit par les rayons non droits (c’est-à-dire la vision indirecte), et qui est particulière à la science des miroirs (c’est-à-dire la catoptrique, ou, comme l’a rendue la traduction latine, scientia speculorum) ; al-Fārābī, Iḥsāʾ al-ʿUlūm, édit. O. Amin, 2 e édition, Le Caire 1968, p. 102.

FŪTHĪṬOS (?) ET AL-KINDĪ SUR « L’ILLUSION LUNAIRE »

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grand, qui est aussi le plus éloigné, correspond le plus grand angle. Il applique à chacun des objets immergés BC et GH la proposition attribuée à Archimède pour mettre en évidence son diamètre apparent, afin de comparer les deux diamètres obtenus. En raisonnant par réduction à l’absurde, il essaie de démontrer qu’il est impossible qu’ils soient égaux, et pour montrer que BC est vu plus grand que GH, il précise que les rayons réfractés QG et RH rencontrent le segment BC en deux points de celui-ci. Notons qu’ici encore la figure respecte les lois de la réfraction qui ne sont énoncées, nous l’avons dit, nulle part, c’est-à-dire que le rayon incident et le rayon réfracté sont de part et d’autre de la normale (le rayon incident étant ici le rayon visuel), que l’angle d’incidence est plus grand que l’angle de réfraction, et que l’angle de réfraction augmente avec l’angle d’incidence. C’est précisément en vertu de cette dernière loi que les rayons QG et MB d’une part, RH et NC d’autre part, sont divergents, et que l’angle MAN est supérieur à l’angle QAR. Dans le fragment de Théon d’Alexandrie, c’est le même problème qui est traité, mais Théon prend dès le départ les deux objets vus dans l’air sous le même angle. Il ne rappelle pas d’emblée la proposition attribuée à Archimède, mais il y fait référence, et l’intègre à ce qu’il présente comme démonstration. Il l’applique à chacun des objets immergés, pour obtenir le diamètre apparent de chacun d’eux, et conclut rapidement, en affirmant que le diamètre apparent le plus grand correspond à l’objet le plus éloigné. Théon n’explique pas cette conclusion tandis que Fūthīṭos, nous venons de le voir, a essayé d’en donner une justification. Observons aussi que Fūthīṭos, dans le premier paragraphe de ce fragment, conclut que l’objet plongé dans l’eau est vu à la fois déplacé et agrandi. Mais, dans le paragraphe consacré à deux objets, il ne tient plus compte du déplacement, considérant, comme Théon, que l’objet reste à la même distance ; dans les deux cas, seule la notion de diamètre apparent est à considérer. Notons enfin que les figures de Fūthīṭos et de Théon sont presque identiques ; les lettres changent ; les segments LC et MD et les prolongements de OA et KB que le premier utilise dans son raisonnement ne sont pas tracés dans la figure du second. L’analyse précédente montre que, si les deux auteurs ont la même source et manient les mêmes idées, ils ne procèdent cependant pas de manière identique. Le texte de Fūthīṭos n’a pu être composé à partir de celui de Théon, mais tous deux sont issus d’un même écrit, certainement antérieur au iv e siècle. Dans cet écrit, il n’était pas seulement question de la vision directe, mais aussi de la vision par réflexion, et même de la vision par réfraction. Quoique primi-

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tive, cette dernière étude de la vision par réfraction a pu survivre jusqu’au iv e siècle au moins, c’est-à-dire après qu’eut été composé le cinquième livre de l’Optique de Ptolémée, qui contient une théorie de la réfraction autrement plus développée. Cette théorie, et d’ailleurs le livre de Ptolémée lui-même, semblent être ignorés de Théon et de Fūthīṭos.

Al-Kindī, Ibn ʿĪsā et le Pseudo-Ibn al-Haytham Le texte de Fūthīṭos ne fut pas le seul traduit en arabe. Selon toute vraisemblance, le fragment de Théon a lui aussi été rendu dans cette langue, puisque les anciens bibliographes affirment que le Commentaire du premier livre de l’Almageste a été traduit assez tôt 1. Bien des indices montrent du reste qu’al-Kindī a eu recours à ce Commentaire pour rédiger son Grand Art 2. Ce même al-Kindī a aussi écrit sur les objets immergés dans l’eau ; il a démontré qu’ils paraissent plus grands, et ceci d’autant plus qu’ils sont davantage enfoncés (cf. App. II) 3. Contrairement à Théon et à Fūthīṭos, al-Kindī explique ce ‎1. D’après Ibn al-Nadīm, ce commentaire a été traduit tôt, bi-naqlin qadīm ; alFihrist, éd. Reḍā-Tajaddud, Téhéran 1971, p. 328. ‎2. Al-Kindī, Fī al-ṣināʾt al-ʿuẓmā, ms. Aya Sofya 4830, fol. 53 r-80 v. ‎3. Le manuscrit 1647 de la collection Izmirli i. Hakkı de la bibliothèque Süleymaniye comprend quatre courts textes. L’ensemble est explicitement attribué à Abū Yūsuf al-Kindī. Ces textes sont, dans l’ordre : 1) « Il ne peut exister une grandeur infinie en acte.» 2) « La surface de l’eau de la mer est sphérique.» 3) « Les grandeurs des figures immergées dans l’eau sont vues plus grandes à mesure qu’elles sont plongées plus profond.» 4) « Tout miroir dont l’arc est un tiers de son cercle... réfléchit le premier rayon de son extrémité vers le centre du miroir.» Or les deux derniers textes se trouvent dans le livre d’Ahmad ibn ʿĪsā : Kitāb almanāẓir wa al-marāyā al-muḥriqa ʿalā maḏhab Uqlīdis fī ʿilal al-baṣar [ms. Raġib Pasha 934 et Laleli 2759, İstanbul], très vraisemblablement du x e siècle. Récemment certains historiens, non au fait de l’œuvre optique d’al-Kindī, ont attribué la proposition que nous établissons ici à Aḥmad ibn ʿĪsā. Deux groupes d’arguments permettent de dissiper cette confusion. D’abord, le livre d’Aḥmad ibn ʿĪsā est essentiellement une compilation. Il emprunte en effet d’autres propositions à l’œuvre optique d’al-Kindī [par exemple ms. Raġib Pasha 934, fol. 29 v-30, et la proposition 1 du livre Des Rayons d’al-Kindī], à l’Optique d’Euclide [par exemple fol. 104 r, 111 r, 113 r, etc.], à Anthémius de Tralles [par exemple fol. 41 v sq. Cf. R. Rashed, Les catoptriciens grecs, op. cit., ainsi qu’à d’autres auteurs grecs et arabes. Un second groupe d’arguments est fourni par le manuscrit en question et par l’œuvre d’al-Kindī lui-même. Notons d’abord que ce manuscrit est une copie récente, de la fin du siècle dernier si l’on considère le papier et l’écriture, d’un autre manuscrit non encore trouvé ; le fait est démontrable à partir des remarques du copiste, comme on peut le voir dans l’apparat critique.

FŪTHĪṬOS (?) ET AL-KINDĪ SUR « L’ILLUSION LUNAIRE »

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phénomène par la seule réflexion. Son explication sera reprise par certains successeurs comme Aḥmad ibn ʿĪsā et par un Pseudo-Ibn alHaytham. Commençons par résumer l’argument d’al-Kindī : si un objet AB placé à la surface de l’eau est vu du point C sous l’angle ABC, alors cet objet placé dans la position IH est vu sous l’angle MCL plus grand que l’angle ACB ; sous l’angle ACB l’œil placé en C ne voit que la portion KJ de l’objet IH. La justification d’al-Kindī consiste à montrer que les rayons FB, GA, NL, SM, dont les prolongements aboutissent respectivement en J, K, H, I sans subir de déviation à la surface de l’eau, résultent de la réflexion, sur cette surface, des rayons CB, CA, CL et CM. Or cette explication se retrouve presque in verbis dans un traité d’un compilateur vraisemblablement du x e siècle : Aḥmad ibn ʿĪsā. Ce dernier emprunte à al-Kindī non seulement cette explication, mais encore d’autres propositions ; en cela il procède comme avec d’autres auteurs, Euclide et Anthémius de Tralles par exemple. Ainsi, après avoir redonné l’explication d’al-Kindī, Ibn ʿĪsā ajoute : C’est pour cette cause que nous avons décrite que le soleil, la lune et tout astre sont vus à l’horizon est et à l’horizon ouest plus grands que lorsqu’ils sont au milieu du ciel ; car la vapeur de la terre s’élève toujours vers le haut sur le prolongement, et ainsi elle nous voile les astres jusqu’à ce que Venons-en maintenant aux textes eux-mêmes. Le deuxième est attesté par Ibn al-Nadīm dans son Fihrist. Celui-ci cite en effet le même titre dans la liste qu’il donne des écrits d’al-Kindī. D’autre part, al-Kindī lui-même revient dans des termes analogues au même problème dans son opuscule Sur la sphéricité des éléments et du corps du tout ; cf. M. Abū Rida (édit.), Rasāʾil al-Kindī al-falsafiyya, Le Caire 1953, t. II, p. 52-53. En revanche, le titre du premier texte n’est pas de ceux que reproduit Ibn alNadīm. Il reste que la terminologie, les idées et le raisonnement sont ceux-là mêmes que l’on retrouve dans plusieurs travaux d’al-Kindī : La Philosophie Première (Abū Rida [édit.], t. I, p. 114-116), l’épître à al-Ḥurāsānī Sur l’éclaircissement de la finitude du corps du monde (ibid., p. 186-192), l’opuscule Sur l’essence de ce qui ne peut pas être infini (ibid., p. 194-196), et dans son épître à Ibn al-Jahm Sur l’unicité de Dieu et la finitude du corps du monde (ibid., p. 201-203). La comparaison ne laisse aucun doute sur l’attribution du texte. Le quatrième texte n’est pas, lui non plus, explicitement nommé dans la liste d’Ibn al-Nadīm. Celle-ci mentionne cependant plusieurs écrits sur les miroirs ardents dont le contenu nous reste inconnu. Remarquons toutefois que ce texte est entièrement consacré à une seule proposition sur les miroirs ardents. Or cette proposition se trouve énoncée et démontrée dans le livre d’al-Kindī Des Rayons (cf. notre édition et traduction à paraître), fl reste à savoir si cette proposition provient d’un écrit d’al-Kindī sur les miroirs ardents autre que son livre Des Rayons, ou constituait ellemême le sujet d’un court opuscule. Notons que, dans les deux manuscrits d’Ibn-ʿĪsā, il manque à l’énoncé « le tiers du cercle », ce qui rend la proposition plutôt obscure. Le texte que nous établissons ici appartient donc à cette collection des écrits d’al-Kindī, qui se présentaient comme opuscules indépendants, ou extraits des opuscules.

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ce qui est entre eux et nous devienne sombre ; or la vapeur est humide ; il se produit alors pour le soleil, la lune et les astres, ce qui se produit pour les corps immergés dans l’eau, en vertu de la cause que nous avons mentionnée précédemment ; et ils seront vus sous un angle plus grand que s’ils étaient au milieu du ciel, et ils seront ainsi vus d’une grandeur supérieure quand ils sont au lever et au coucher 1.

On retrouve la même explication par la réflexion dans un commentaire de l’Almageste de Ptolémée, attribué au mathématicien Ibn al-Haytham, mais qui selon nous revient très vraisemblablement à un autre auteur 2. Voici ce que nous pouvons lire dans ce commentaire :

‎1. Aḥmad ibn ʿĪsā, Kitāb al-Manāẓir wa al-marāyā al-muḥriqa ʿalā maḏhab Uqlidis fī ʿilal al-baṣar, ms. Raġip Pasha, 789-934, fol. 55 v-56 r. ‎2. Le texte que nous avons traduit ici est un paragraphe du manuscrit Ahmet IH, 3329, du musée Topkapı Sarayı, à İstanbul, fol. 6. Ce texte a été copié par A. Sabra et N. Shehaby dans les notes à leur édition du livre d’Ibn al-Haytham, AlShukūk ʿalā Baṭlamyūs, Le Caire 1971, p. 75-77. Ce commentaire de l’Almageste est dû à un certain Muḥammad al-Ḥasan ibn al-Haytham. Celui-ci, depuis le xiii e siècle, c’est-à-dire depuis les travaux du biobibliographe Ibn Abī ʿUṣaybīʿa, a été identifié au célèbre mathématicien et physicien Abū ʿAli al-Ḥasan ibn al-Ḥasan ibn al-Haytham. Reprise sans discussion aucune par les historiens, cette identification est cependant fort douteuse ; il me semble même qu’elle renvoie à deux personnalités bien différentes : Muḥammad, au penchant nettement philosophique, disons un philosophe informé en mathématiques et en astronomie, alors qu’al-Ḥasan est le mathématicien, physicien et astronome de grande renommée. Ce n’est pas ici le lieu d’engager cette controverse ni d’argumenter en faveur de notre conjecture, ce qui exigerait d’entrer dans bien des détails bibliographiques et biographiques. Notons seulement des arguments propres à notre texte, qui rendent son attribution à al-Ḥasan ibn al-Haytham inconcevable. Tout d’abord, l’auteur de ce texte reprend l’explication d’al-Kindī sur le passage du rayon de l’air dans l’eau. Or, al-Ḥasan ibn al-Haytham était familier des règles de la réfraction, non seulement à partir de la traduction de l’Optique de Ptolémée, diffusée même avant sa naissance, mais aussi des travaux de ses prédécesseurs comme Ibn Sahl [R. Rashed, Géométrie et dioptrique au x e siècle : Ibn Sahl, al-Qūhī, Ibn al-Haytham, Paris, Les Belles Lettres, 1992]. D’autre part, al-Ḥasan revient à ce phénomène au moins trois fois : dans ses Doutes sur Ptolémée, dans son Optique, et dans son mémoire sur la Visibilité des astres. Il procède par recours à la réfraction lorsqu’il évoque l’analogie, et dénonce l’erreur de Ptolémée, ou présente sa nouvelle explication. Aucun lien de parenté, aussi vague soit-il, n’existe entre ses études et celle entreprise dans le texte traduit ici. Enfin, les témoignages historiques que nous connaissons des anciens auteurs n’attribuent à Ibn al-Haytham que l’explication par la réfraction ou l’explication psychologique [cf. par exemple le commentaire anonyme de l’Almageste, Ahmet III, 3329]. Enfin, al-Ḥasan ibn al-Haytham ne mentionne ce commentaire de l’Almageste dans aucun écrit qui nous soit parvenu – et ils sont bien nombreux. À cela on peut ajouter bien d’autres arguments internes concernant le style de démonstration et d’exposition, pour montrer que ce dernier livre n’est pas d’Ibn al-Haytham : l’usage des arguments philosophiques au cours de la démonstration mathématique, ou l’invocation fréquente des prédécesseurs arabes et grecs au cours du commentaire, etc. – autant de traits qui tranchent avec le style d’al-Ḥasan. Rappelons pour conclure que tous les textes qui ont survécu et qui portent le nom de Muḥammad ibn al-Ḥasan

FŪTHĪṬOS (?) ET AL-KINDĪ SUR « L’ILLUSION LUNAIRE »

Soit AB la surface de l’eau, DE le visible et le point C l’œil. Puisque l’œil perçoit le visible sous un angle entouré par les deux rayons visuels qui passent par les deux extrémités du visible, comme les droites CE et CD, alors la grandeur du visible dépend de la grandeur de l’angle visuel. Imaginons que DE a été enfoncé dans l’eau jusqu’à ce qu’il devienne EFGD. Puisqu’on a montré dans les livres d’optique que les rayons visuels se réfléchissent sur la surface du visible suivant des angles égaux et suivant des droites comme les droites EL et DI, et que les droites pénètrent dans le corps des choses transparentes et aboutissent à la chose enfoncée dans ce corps, la vision a donc lieu par les rayons réfléchis. Ceci est clair si tu poses un vaisseau concave et si tu poses sur son fond une chose qui ne flotte pas dans l’eau, et si tu t’élèves ensuite de sorte que tu ne le voies, dans le fond du vaisseau, qu’en t’inclinant. Si tu mets dans le vaisseau de l’eau qui couvre la chose et la dépasse, tu la vois sans que tu t’inclines ; et à mesure que tu augmentes l’eau tu vois la chose qui est dans le fond dans une position plus éloignée . Si nous imaginons que les deux rayons réfléchis DI et EL ont pénétré jusqu’à la chose visible, il est clair qu’ils tombent avant ses deux extrémités comme ils sont tombés maintenant aux points F et G. Puisque les deux angles E et D sont aigus – car ils sont égaux en raison de l’égalité des rayons – et que les deux qui sont audessous d’eux, c’est-à-dire ceux engendrés par les deux rayons réfléchis, leur sont égaux, ils sont donc aussi aigus ; est donc plus

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[nous en avons déjà examiné deux, en plus de celui qui est en question ici] ne peuvent selon nous être d’al-Ḥasan ibn al-Ḥasan. Nous rejetons donc l’identification implicite faite par les historiens de Muḥammad ibn al-Ḥasan et d’al-Ḥasan ibn al-Ḥasan, et considérons pour cette raison que ce texte est l’œuvre du Pseudo-Ibn al-Haytham.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

petite que deux droits. Les deux droites EF et GD se rencontrent donc si on les prolonge. Ainsi, à mesure qu’on les éloigne des points E et D, suivant les deux extrémités, ils deviennent deux autres rayons menés du point C et tombant sur deux autres points de la surface de l’eau dans les deux directions A et B de part et d’autre des deux points E et D, comme les deux rayons CM et CO, ils se réfléchissent comme les deux droites MH et OK et pénètrent jusqu’aux points E et D. Il est donc clair que DE est vu sur la surface de l’eau sous le petit angle ECD, et, enfoncé dans le corps de l’eau, sous le grand angle OCM. Mais ce qui est vu sous un angle plus grand est vu plus grand car, comme nous l’avons dit précédemment, le visible est vu selon la grandeur de l’angle de vision. C’est pourquoi, à mesure que enfoncée dans l’eau, elle est vue plus grande.

Comme al-Kindī, l’auteur traite de la visibilité d’un objet plongé dans l’eau, sans aborder l’illusion lunaire, pour affirmer que cet objet est vu dans une position qui diffère suivant la hauteur de l’eau qui le recouvre. Mais, comme on peut le constater, il n’en donne aucune justification. Il compare ensuite l’angle sous lequel on le voit quand il est plongé dans l’eau, l’œil n’ayant pas changé de position. Cette comparaison est conduite de la même manière que celle d’alKindī, c’est-à-dire par l’utilisation des lois de la réflexion. On notera que l’auteur de ce texte invoque l’expérience d’un objet au fond d’un vaisseau, déjà mentionnée dans la Catoptrique du Pseudo-Euclide 1 et par Olympiodore 2. C’est là un phénomène de réfraction, connu de ce dernier, que l’auteur entend expliquer par la réflexion.

∗ Les études géométriques de l’illusion lunaire dans l’antiquité tardive, comme l’attestent les documents disponibles, sont présentées comme des commentaires d’un paragraphe de l’Almageste. Tel est au moins le cas des études de Théon d’Alexandrie et de Fūthīṭos. Confrontés à ce phénomène de l’agrandissement des astres à l’horizon, c’est-à-dire à un phénomène échappant aux prises d’une étude directe, ceux-ci ont procédé par. analogie pour le réduire à un phénomène accessible à une telle étude ; d’aucuns diraient aujourd’hui qu’ils ont procédé à l’aide de la construction d’un modèle : le modèle

‎1. Il s’agit du postulat VI de la Catoptrique du Pseudo-Euclide : « Que si quelque objet regardé dans un vaisseau y acquiert une distance telle qu’il ne soit plus vu, et si cette distance restant la même, on verse de l’eau, l’objet regardé sera vu » ; cf. Euclide, L’Optique et la Catoptrique, trad. P. Ver Eecke, Paris 1959, p. 99. ‎2. Pour Olympiodore, cf. G. Stüve (édit.). In Aristotelis Meteora Commentaria, CAG XII 2, Berlin 1900, p. 211, li. 18-23.

FŪTHĪṬOS (?) ET AL-KINDĪ SUR « L’ILLUSION LUNAIRE »

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d’un objet plongé dans l’eau. Mais l’analogie invoquée ici en dissimule une autre : analogie entre ce phénomène et ceux de l’arc-en-ciel et du halo, dont l’explication a été recherchée, depuis les Météorologiques d’Aristote tout au moins, dans l’humidité de l’atmosphère. Or la connaissance encore assez pauvre et imprécise de la réfraction qui ressort de l’écrit attribué à Archimède empêchait justement de déterminer son rôle dans l’explication de ce phénomène d’illusion optique. Si du reste al-Kindī et ses successeurs eurent recours à la réflexion, peut-être est-ce précisément pour l’une ou l’autre de ces raisons : une méconnaissance de la réfraction, même sous la forme primitive déjà constatée, ce qui ne laisse pas de surprendre puisqu’al-Kindī disposait du Commentaire de Théon d’Alexandrie ; une volonté de se conformer au modèle aristotélicien non seulement sur le plan de la physique, mais aussi de la géométrie, à l’occasion de l’explication de l’arc-en-ciel et du halo ; ou enfin un choix délibéré des règles de la réflexion, connues et maîtrisées, et déjà expliquées dans les livres optiques et catoptriques qu’ils citent, ou ceux qu’ils ont rédigés. Mais, bien qu’erronés, ces modèles des savants grecs ou arabes n’étaient cependant ni superflus, ni inutiles. Tentatives pour rendre compte rationnellement d’un phénomène, ils ont constitué un acquis dans l’attente d’une réforme profonde. Cette réforme a été accomplie en deux étapes par Ibn al-Haytham. Mais c’est là une autre histoire, que nous espérons retracer ailleurs.

APPENDICES 1. Commentaire de Fūthīṭos du propos de Ptolémée : si les astres sont à l’horizon, leurs grandeurs apparaissent supérieures, à l’œil 2. Al-Kindī : les grandeurs des figures immergées dans l’eau 3. Ptolémée : livre des hypothèses

Au nom de Dieu Clément et Miséricordieux Que Dieu nous assiste

Commentaire de Fūthīṭos du propos de Ptolémée : Si les astres sont à l’horizon, leurs grandeurs apparaissent supérieures, à l’œil Le commentaire physique : la raison pour laquelle les astres sont vus plus grands quand ils sont à l’horizon, c’est-à-dire au moment de leur lever et au moment de leur coucher, n’est pas que leurs distances à nous à ce moment soient moindres, mais l’humidité la terre qui les vapeurs dégagées qui augmentent à partir de l’humidité 1 qui entoure / la terre, notamment aux moments du lever et du coucher des astres, si elles embrassent toute l’atmosphère, alors l’obscurité nous entoure ; ceci a le plus souvent lieu dans les endroits où se trouvent des roseaux ou de l’eau stagnante, et ainsi, si la pupille se dilate et si les instruments de la vision sont mouillés par la rosée qui les entoure, l’homme imagine que les choses qu’il voit sont plus larges que les grandeurs selon lesquelles il les voyait auparavant, du fait que l’œil dans ce cas ne peut pas distinguer parfaitement les grandeurs selon leur réalité ; en effet la distinction claire lui fait défaut dans ce cas. C’est pourquoi si nos yeux pleurent, tout ce que nous voyons paraît plus grand en raison de la ressemblance entre ceci et cet intermédiaire humide. Ceci est la raison physique. Le commentaire mathématique : nous allons exposer ici une notion, appartenant à la science de l’optique mentionnée par Archimède dans son livre de l’Optique, par laquelle on montre la raison pour laquelle les grandeurs jetées dans l’eau sont vues plus grandes. Il a dit : que la surface de l’eau soit AB, la pupille C et le visible dans l’eau d’une grandeur DE. Si on mène vers l’eau deux rayons CH et CG qui y pénètrent et sont tels qu’ils se réfléchissent jusqu’à ce qu’ils rencontrent la grandeur visible DE, comme les deux rayons CHE et CGD, le visible apparaîtra comme s’il était sur la droite LK, le point E sera vu sur la droite CL et le point D sera vu sur la droite CK ; la distance entre les deux points D et E sera donc vue tout entière sous l’angle LCK et sera vue comme si elle était déplacée, et une grandeur supérieure 2. ‎1. Littéralement : les humidités. ‎2. On pouvait traduire par « s’était transformée en une grandeur supérieure ». En effet, il était possible de placer les points L et K sur les prolongements de DE. Mais comme dans la figure du manuscrit, la droite LK est placée au-delà de DE, nous avons préféré garder la traduction littérale.

‫ّبر نعأ‬

‫لوق سطيثوف يف هريسفت لوقل ‪:‬سويملطب‬ ‫ترهظ‬ ‫تراص‬ ‫اهرادقأ رصبلل مظعأ‬ ‫يف قافآلا‬ ‫نإ بكاوكلا اذإ‬ ‫لوقلا يعيبطلا يف ‪:‬كلذ نإ ببسلا يف نا بكاوكلا ]اذإ[ ىرت مظعأ اذإ تراص يف‬

‫‪،‬قافآلا ينعأ يف تقو اهعولط يفو تقو ‪، 1‬اهبورغ سيل وه نأ اهداعبا انم دنع كلذ نوكت‬

‫‪٥٣‬‬

‫‪،‬صقنا نكل ةبوطرلا ‪ 2‬ضرألا يتلا ‪ 3‬ةيراخبلا ةديازتملا نم تابوطرلا يتلا طيحت ‪/4‬‬ ‫ضرألاب ةصاخو يف تاقوأ عولط بكاوكلا دنعو اهبورغ اذإ تلمشأ ءاوهلا طيحت انب ؛ةملظلا‬

‫رثكأو ام ضرعي كلذ يف عضاوملا يتلا اهيف ماجآ وأ عاقن ‪،‬ءام كلذو نأ رظانلا اذإ رشتنا تلتباو‬

‫تالآ رصبلا ىدنلاب طيحملا اهب ليخُي ناسنإلل نأ ءايشألا يتلا اهاري عسوأ نم ريداقم ام اهاري هيلع‬

‫لبق ‪،‬كلذ نم لِبق نأ رصبلا دنع كلذ ال ىوقي ىلع نأ يصقتسي زييمت ريداقملا ‪،‬ةقيقحلاب كلذو‬ ‫هنأ مدعي يف كلت لاحلا نييبتلا ‪،‬يفاصلا اذهلو انرص اذإ تعمد ‪،‬اننيعأ نيبت ‪ 5‬انل لك ام هارن مظعأ‬

‫هبشلل نيب كلذ نيبو اذه ضراعلا ‪،‬بطرلا اذهو وه ببسلا يعيبطلا يف ‪.‬كلذ‬

‫لوقلا ‪:‬يميلاعتلا نحنف نوركاذ هيف ىنعم لخدي يف ملع رظانملا هركذ سديمشرأ يف هباتك يف‬

‫رظانملا نيبت هب ببسلا يذلا هل تراص رادقألا يتلا ىقلت يف ءاملا ىرت ‪.‬مظعأ‬

‫‪:‬لاق نكيلف طيسب ءاملا ا ب رظانلاو ـج رَصبملاو يف ءاملا هرادقم د ه‪ .‬نإف جرخ ىلإ ءاملا‬

‫اعاعش ‪ 6‬ـج ح ـج ز اذفنو اسكعناف ىتح ايقلي رادقم د ه ‪،‬رَصبملا يعاعشك ـج ح ه ـج ز د‪ ،‬ليُخ‬

‫رَصبملا هنأك ىلع طخ ل ـك ةطقنو< ه ىرت ىلع طخ ـج ل ةطقنو د> ىرت ىلع طخ ـج ـك؛‬ ‫دعبلاف نيب ‪ 7‬يتطقن د ه اًذإ هرسأب ىرُي ةيوازب ل ـج ـك ىري>و< هنأك دق لقتنا ىلإ رادقم ‪.‬ديزأ‬

‫‪ ‎1.‬يفو ‪:‬تقو ةسومطم‬

‫ةسومطم‬

‫‪: ‎2.‬ةبوطرلا اهيلي ناتملك ناتسومطم‬

‫‪: ‎4.‬طيحت اطيحم انب‬

‫‪: ‎5.‬نيبت نيب‬

‫‪: ‎3.‬يتلا اهيلي عبرأ تاملك‬

‫‪: ‎6.‬اعاعش عاعش‬

‫‪: ‎7.‬نيب ةسومطم‬

202

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Il en résulte que si on voit l’étendue de la largeur de DE plus grande selon l’étendue de KL, alors on la voit plus grande et les choses qui sont vues dans l’eau, à mesure qu’elles sont plus enfoncées sont vues plus grandes, d’après

Soit dans un air pur deux grandeurs visibles GH et BC vues sous un seul angle soit BAC, il est clair qu’elles sont vues égales tout en sachant que la grandeur BC est plus longue 1. Qu’on les couvre d’eau, la surface de l’eau étant suivant la droite MQRN. Que le rayon AQG et le rayon ARH se réfléchissent vers la droite GH 2, que l’on prolonge les deux rayons AQI et ARK et qu’on prolonge la droite GH de part et d’autre jusqu’à ce qu’elle rencontre les deux points I et K. Que les deux rayons AQIB et ARKC se réfléchissent également vers la droite BC, que l’on prolonge les deux droites AMD et ANE ainsi que la droite BC de part et d’autre jusqu’aux points D et E ; les deux droites GH et BC qui sont inégales et qui sont vues dans l’air égales, sous un même angle qui est l’angle BAC, seraient vues dans l’eau inégales suivant le même angle, la plus grande étant la plus éloignée et la plus enfoncée vers le bas, soit la droite BC 3. Mais la droite GH est vue suivant la droite IK sous l’angle IAK, et la droite BC est vue suivant la droite DE sous un angle plus grand que cet angle, soit l’angle DAE. Quant aux deux rayons AQ et AR, si on les mène suivant les droites QG et RH et qu’ils entourent le visible GH, ils n’entourent pas, en même temps, le visible BC. C’est pourquoi il est ainsi. En effet, si ‎1. Diamètre apparent, définition 4 de l’Optique, Euclide. ‎2. L’auteur applique la proposition précédente d’Archimède. ‎3. Dans ce paragraphe l’auteur veut montrer que les deux grandeurs inégales GH et BC qui sont vues dans l’air sous le même angle BAC ne peuvent pas être vues dans l’eau sous un même angle. Il procède en quelque sorte par l’absurde et suppose que GH et BC sont vus tous deux de A sous le même angle IAK. Pour obtenir ce résultat il admet que les rayons AI et AK subissent, dans l’eau, en I et K une réfraction suivant IB et KC respectivement Mais les trajets AQIB et ARKC ne correspondent pas à la proposition attribuée à Archimède, laquelle conduit aux trajets AMB et ANC et détermine l’angle DAE sous lequel on voit la grandeur BC, avec −DAE > −IAK.

‫‪203‬‬

‫» ‪FŪTHĪṬOS (?) ET AL-KINDĪ SUR « L’ILLUSION LUNAIRE‬‬

‫بجيف نم كلذ نأ نوكي ضرع د ه‪ ،‬اذإ تناك ىرت هتعس ديزأ ىلع ةعس ـك ل‪ ،‬وهف‬

‫‪،‬ديزأ ءايشألاو يتلا ىرت يف ءاملا املك تصاغ هيف رثكأ تيؤر بسحب كلذ ‪.‬مظعأ‬

‫نكيلف يف ءاوه ٍفَص نارادقم نارصبم ز ح ب ـج نايري ةيوازب ةدحاو يهو ب ا ـج؛‬

‫نمو نّيبلا امهنأ نايري نييواستم ىلع نأ رادقم ب ـج ‪.‬لوطأ ضيفنلو امهيلع ًءام نكيلو هطيسب‬ ‫ىلع طخ م ق ر ن‪ .‬سكعنيلو ىلإ طخ ز ح عاعش ا ق ز عاعشو ا ر ح‪ ،‬جرخيلو اعاعش ا ق ط‬ ‫ا ر ـك ىلع ةماقتسالا ىلإ نيبناجلا ىتح ىقلي يتطقن ط ـك‪.‬‬

‫سكعنيلو اًضيأ ىلإ طخ ب ـج اعاعش ا ق ط ب ا ر ـك ـج‪ ،‬جرخيلو اطخ ا م د ا ن ه‬

‫ىلع ةماقتسالو اًضيأو طخ ب ـج نم هيتهج ىلإ يتطقن د ه‪ ،‬اطخف ز ح ب ـج ناذللا امه ريغ‬ ‫‪،‬نييواستم دقو ايؤر يف ءاوهلا نييواستم ةيوازب ةدحاو يهو ةيواز ب ا ـج‪ ،‬نايري يف ءاملا ريغ‬

‫نييواستم ةيوازب ‪،‬ةدحاو امهمظعأ امهدعبأ اًصوغ ىلإ لفسأ وهو طخ ب ـج‪ .‬نكلو ‪ 1‬طخ ز ح‬

‫ىري ىلع طخ ط ـك ةيوازب ط ا ـك‪ ،‬طخو ب ـج ىري ىلع طخ د ح ىري ىلإ طخ ط ـك‬ ‫ةيوازب ط ا ـك‪ ،‬طخو ب ـج ىري ىلع طخ د ه ةيوازب مظعأ نم هذه ‪،‬ةيوازلا يهو ةيواز د ا ه‪.‬‬ ‫امأو نأ يعاعش ا ق ا ر اذإ اجرخأ ىلع يطخ ق ز ر ح ايوتحاو ىلع رصبم ز ح‪ ،‬ال نايوتحي‬

‫اًضيأ ىلع رصبم ب ـج‪ .‬كلذلف نكي ‪ .2‬كلذو انأ اذإ انجرخأ يعاعش ق ز ىلع ‪،‬ةماقتسالا‬

‫‪: ‎1.‬نكلو كلذ نا‬

‫‪: ‎2.‬نكي ةسومطم‬

204

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

nous prolongeons les deux rayons QG et RH, ils coupent la droite BC en son intérieur. Les deux rayons qui embrassent le visible BC se rencontrent / à l’extérieur des deux rayons AQ et AR, comme les deux rayons AM et AN, et se réfractent suivant les droites MB et NC, donc l’angle du visible BC est suivant la droite DE comme l’angle de la droite GH est suivant la droite IK ; il s’ensuit que les deux droites GH et BC, qui sont vues égales dans l’air, sont vues inégales dans l’eau, la plus grande des deux est la plus distante de l’œil dans la direction de la profondeur. De même si les choses visibles sont égales, elles sont vues dans l’air pur différentes d’après la différence de leurs distances et si elles sont jetées dans l’eau, la plus basse est vue plus grande suivant cet

Ceci est la fin du traité de Fūthīṭos pour commenter le propos de Ptolémée. Achevé avec la grâce de Dieu et ses bienfaits.

‫‪205‬‬

‫» ‪FŪTHĪṬOS (?) ET AL-KINDĪ SUR « L’ILLUSION LUNAIRE‬‬

‫اعطق طخ ب ـج اًلخاد ‪ 1‬نم كلذ نأ نوكي ناعاعشلا ناذللا نايوتحي ىلع رصبم ب ـج‬ ‫‪٥٤‬‬

‫نايقتلي ‪ /‬جراخ يعاعش ا ق ا ر لثم يعاعش ا م ا ن نافطعنيو ىلع يطخ م ب ن ـج‪ 2 .‬ةيوازف‬

‫رصبم ب ـج ىلع طخ د ه امك نأ ةيواز طخ ز ح تناك ىلع طخ ط ـك؛ بجيف نم كلذ‬ ‫نأ نوكي اطخ ز ح ب ـج — امهو نايري يف ءاوهلا نييواستم — نايري يف ءاملا ريغ ‪،‬نييواستم‬

‫امهمظعأو امهدعبأ نم رصبلا اًذخآ يف ‪.‬قمعلا نإو تناك اًضيأ ءايشألا ةرصبملا ‪،‬ةيواستم تيؤر‬ ‫يف ءاوهلا يفاصلا ةفلتخم نم لَبِق فالتخا ‪،‬اهدعب نإو تيقلأ يف ءاملا يؤر اهلفسأ ىلع كلذ لاثملا‬

‫اذهو رخآ ةلاقم سطيثوف ريسفتل مالك سويملطب تمت دمحب هّللا ‪.‬هّنمو‬

‫‪: ‎1.‬اًلخاد ‪،‬الخد اهيلي ةملك ةسومطم‬

‫‪ ‎2.‬نم كلذ ‪ ...‬ن ـج‪ :‬ةسومطم — ‪:‬لكشلا مسر خسانلا‬

‫ةعبرأ ‪،‬لاكشأ مث برض ىلع ةثالث اهنم ملقلاب بتكو اهيلع »لطاب«‬

Al-Kindī 1 : Les grandeurs des figures immergées dans l’eau Il a dit : les grandeurs des figures immergées dans l’eau sont vues d’autant plus grandes que les figures sont plus enfoncées. Démonstration. Il a été montré, dans nos livres, dans les liminaires des Perspectives, qu’un rayon se réfléchit suivant des angles égaux 2, et que, sur les surfaces des corps transparents, un rayon se réfléchit suivant des angles égaux et que les réfléchis 3 qui parviennent perpendiculairement à la surface de l’eau traversent l’eau suivant le prolongement des perpendiculaires à la surface de l’eau. Soient la droite AB sur la surface de l’eau et le point C la position de l’œil. Supposons les deux distances CB et CA égales et la surface de l’eau la droite DBAE sans extrémités limitées. La grandeur AB est perçue par le rayon dont les extrémités sont CB et CA, le rayon CB se réfléchit vers le point F, l’angle DBF est égal à l’angle CBA, le rayon CA se réfléchit du A vers G et l’angle GAM est égal à l’angle CAB. Si le corps AB est immergé pour venir dans la position de la droite HI, le rayon FB – qui tombe sur la surface de l’eau qui est la droite DE – traverse sur le prolongement de FB, à partir de B dans l’eau et tombe au point J de la droite HI. De même la droite GA traverse l’eau sur le prolongement de la droite GA à partir du point A et tombe sur le point K de la droite HI. Donc le rayon FB et le rayon GA ne tombent pas sur les deux points H et I. Par conséquent, sur les deux points H et I tombent des rayons menés de C et qui entourent un angle plus grand que l’angle ACB, ce sont les deux rayons CL et CM. Donc le rayon CL se réfléchit dans la direction de F en N et traverse l’eau en L, sur le prolongement de la droite NL jusqu’à ce qu’il passe par H. De même le rayon CM se réfléchit de M dans la direction de G jusqu’au point S et traverse l’eau en M sur le prolongement de SM jusqu’au point I. Donc les deux rayons CL et CM qui traversent l’eau de L jusqu’à H et de M jusqu’à I entourent un angle LCM qui est plus grand que l’angle ACB et on voit par eux la grandeur AB si elle

‎1. Sur le manuscrit, voir la note 3 p. 192 l’article. ‎2. Voir par exemple la proposition 16 des Perspectives. ‎3. Par les réfléchis, il désigne les réfléchis des rayons visuels.

‫‪:‬يدنكلا ماظعأ لاكشألا‬

‫ةصئاغلا‬

‫يف ءاملا‬

‫‪:‬لاق ماظعا لاكشألا ةصئاغلا يف ءاملا املك تصاغ ىرت ‪.‬مظعأ‬

‫ناهرب ‪:‬كلذ هنأ دق نّيبت يف لئاوأ رظانملا نم انبتك ‪ 1‬نأ عاعشلا سكعني ىلع اياوز ةيواستم‬

‫نأو ماسجألا تاوذ فشتسملا سكعني نع اهحوطس عاعشلا ىلع اياوز ةيواستم يضميو يف ءاملا‬ ‫نم تاسكعنملا يتلا ريصت ةمئاق ىلع هجو ءاملا ىلع ةماقتسا ةمئاقلا ىلع هجو ‪.‬ءاملا‬

‫نكيلف طخ ا ب ىلع هجو ءاملا عضومو رظانلا ةمالع ـج ضرفنو يدعب ـج ب ـج ا‬

‫نييواستم حطسو ءاملا طخ د ب ا ه ريغ دودحم ‪.‬تاياهنلا مظعف ا ب ّسحي عاعشلاب يذلا هيتياهن‬

‫ـج ب ـج ا عاعشو ـج[ ]ا ـج ب ]ا[ سكعني ىلإ ةمالع و ريصتو ةيواز د ب و ةيواسم ةيوازل‬ ‫ـج ب ا عاعشو ـج ا سكعني نم ا ىلإ ز ريصتو ةيواز ز ا م ةيواسم ةيوازل ‪ 2‬ـج ا ب‪ .‬نإف صاغ‬ ‫مسج ا ب راصف يف عضوم طخ ح ط عاعشو و ب عقاولا ىلع حطس ءاملا ‪ 3‬يذلا وه طخ د ه‪،‬‬ ‫يضمي ىلع ةماقتسا و ب نم ب ‪ 4‬يف ‪،‬ءاملا عقيف ىلع ةمالع ي نم طخ ح ط‪ .‬اًذإف عاعش و ب‬ ‫عاعشو ز ا ال ناعقي ىلع يتمالع ح ط‪ .‬اًذإف امنإ ‪ 5‬عقي ىلع يتمالع ح ط ناعاعش ناجرخي نم ـج‬

‫ناطيحي ةيوازب مظعأ نم ةيواز ا ـج ب امهو اعاعش ـج ل ـج م‪.‬‬

‫نإف عاعش ـج ل سكعني يف ةهج و ‪ 6‬ىلإ ن‪ ،‬يضميو ىلع ةماقتسا يف ءاملا نم< ل> نم‬

‫طخ ن ل ىتح ّرمي ىلع ح‪ .‬كلذكو عاعش ـج م سكعني نم م يف ةهج ز ىلإ ةمالع س يضميو‬

‫ىلع ةماقتسا س م نم م يف ءاملا ىلإ ةمالع ط ‪ .7‬نذإف اعاعش ‪ 8‬ـج ل ـج م نييضاملا يف ءاملا‬ ‫نم ل ‪ 9‬ىلإ ح نمو م ىلإ ط‪ ،‬ذإ امه ناطيحم ةيوازب ل ـج م يتلا يه مظعأ نم ةيواز ا ـج ب‪ ،‬ىرُي‬

‫‪: ‎1.‬انبتك بتك »نانباتك« مث اهتبثا اهقوف‬

‫تبثأ باوصلا اهقوف‬

‫‪ ‎4.‬ب ‪:‬يف يقاب‬

‫‪: ‎2.‬ةيوازل ةيواز‬

‫‪: ‎5.‬امنإ ما‬

‫‪: ‎3.‬ءاملا بتك ا« ب ‪»،‬د مث‬

‫‪ ‎6.‬و ىلإ ن‪ :‬ىلا ز دا ن‬

‫‪ ‎7.‬ط‪ :‬ـك‪،‬‬

‫بتكو اهدعب ب(« )ك م ه »ط بتكو قوف ب( ‪):‬ك هليوب« هد نوقوا ‪»،‬رولب اذهو ينعي امك« اهنأ نكمي نأ‬ ‫أرقت »اذكه‬

‫‪: ‎8.‬اعاعش يعاعش‬

‫‪ ‎9.‬ل‪ :‬بتك اهدعب هلصا(« »)اذكه‬

208

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

est superposée à la droite IH plus grande que la droite AB qui est sur la surface de l’eau, laquelle est DE. Ce qu’il fallait démontrer 1

‎1. Pour comprendre ce problème de l’image d’un objet immergé, supposons IH parallèle à la surface de l’eau. D’après les lois de la réfraction, l’image du point I est sur la normale IA en un point I ′ déterminé par la réfraction de IK suivant I ′ K. On a, en appelant n l’indice eau/air : n sin i = sin r

avec

n = 3/2,

d’où i < r < π/2; or

tg r AI ′ = AI tg i

d’où

AI ′ < AI.

Dans le cas de l’approximation de Gauss pour i voisin de 0, on a

tg i ∼ sin i 2 = ; = tg r sin r 3

2 H ′I ∼ = HI. 3

Le même raisonnement s’applique à H, donc l’image I ′ H ′ est parallèle et égale à IH, elle est plus rapprochée de la surface de l’eau. L’œil C voit l’image sous l’angle ∠ I ′ CH ′ , et on a ∠ I ′ CH ′ > ∠ ICH. Mais si l’objet était dans la position AB à la surface de l’eau, il serait vu de C sous l’angle ∠ CAB, et on aurait ∠ I ′ CH ′ < ∠ ACB.

‫‪209‬‬

‫» ‪FŪTHĪṬOS (?) ET AL-KINDĪ SUR « L’ILLUSION LUNAIRE‬‬

‫امهب مظع ا ب اذإ راص اًبكار طخب ط ح مظعأ نم طخ ا ب يذلا يف حطس ءاملا يذلا وه‬ ‫ه؛ كلذو ام اندرأ نأ ‪.‬نّيبن‬

Ptolémée : Livre des Hypothèses 1 Quant à la cause pour laquelle ce qui apparaît à l’œil et ce que l’œil se représente de la taille de son corps ne correspond pas au rapport de ses distances, il nous faut savoir que c’est l’illusion qui se produit pour l’œil due à la diversité des vues. Cette diversité est manifeste dans tout ce qui apparaît et se voit à une grande distance. De même que les distances elles-mêmes ne sont pas de grandeur connue dans ce qui apparaît à l’œil, et que la différence entre les choses de grandeur diverse n’est pas connue selon la proportionalité entre les distances auxquelles sont ces choses, parce que l’œil ramène cette différence et la saisit en la réduisant à ce qui est connu plus familièrement en raison des diminutions continues de ces distances – c’est pourquoi nous voyons chacun des astres plus proche de nous que sa réalité car l’œil se rabaisse aux distances auxquelles il est accoutumé, qui lui sont familières et qui sont dans notre environnement – de même pour les augmentations et les diminutions qui se produisent pour la taille en raison de l’augmentation des distances et de leur diminution. Elles sont moindres que les rapports qui sont entre elles, comme c’est le cas pour les distances, en raison de l’incapacité de l’œil – comme nous l’avons dit – de distinguer et de percevoir les grandeurs de la différence de chaque espèce comme nous l’avons mentionné.

‎1. Ce texte a été établi à partir de deux manuscrits : Londres, British Library Add. 7473 (noté B) et Leiden, Or. 180 (noté L).

‫‪:‬سويملطب باتك صاصتقالا‬ ‫ظ‪-٢٥-‬ل‬ ‫‪-٣٤‬ب‬ ‫‪-٣٥‬ب‬

‫امأو ببسلا يذلا نم هلجأ راص ام رهظي رصبلل ‪ 1‬ليختيو هيلإ نم مظع اهمرج سيل ىلع لثم‬

‫‪2‬‬

‫بسن ‪،‬اهداعبأ يغبنيف انل نأ ملعن هنأ طلغلا يذلا لخدي ىلع ‪ /‬رصبلا نم لَبِق فالتخا رظانملا ‪.3‬‬ ‫نّيبتيو ‪ 4‬فالتخا ‪ 5‬كلذ يف عيمج ام رهظي ىريو ىلع دعب ‪.‬ريثك امكف نأ داعبألا اهسفنأ ال نوكت‬ ‫اهتيمك ةمولعم اميف ‪ 6‬رهظي نيعلل الو لضافتلا اميف نيب ءايشألا ةفلتخملا رادقألا اهنم ملعي ىلع بسانتلا‬

‫يذلا ‪ 7‬يه هيلع عمجل ‪ 8‬رصبلا هضبقو هايإ هصيقنتب ‪ 9‬هل ىلإ ام وه ‪ 10‬دشأ اًفلأ نأ ملعي اهناصقنل مئادلا‬ ‫— كلذلو ىرن لك دحاو نم بكاوكلا اًبيرق اّنم رثكأ‬

‫ىلإ داعبألا يتلا دق اهداتعا اهفلأو اميف‬

‫‪13‬‬

‫اننيب‬

‫‪14‬‬

‫‪12‬‬

‫‪11‬‬

‫نم لاح هتقيقح طاطحنال رصبلا‬

‫— كلذك لاحلا يف تادايزلا تاناصقنلاو يتلا‬

‫ضرعت مظعلل بسحب ةدايز داعبألا ‪،‬اهناصقنو اهنإف نوكت لقأ ‪ 15‬نم ةبسنلا يتلا ‪ 16‬يه اهل لاحلاك‬

‫يف داعبألا زجعل ‪،‬رصبلا امك انلق — نع زييمت ‪ 17‬كاردإو رادقأ ‪ 18‬ةيمك لضافت لك عون امم ‪.‬انركذ‬

‫‪: ‎4.‬نيبتي نيبن‬ ‫‪: ‎3.‬رظانملا رظنلا ]ل[‬ ‫‪: ‎2.‬لثم ةصقان ]ب[‬ ‫‪: ‎1.‬رصبلل رظنلل ]ب[‬ ‫‪: ‎7.‬يذلا يتلا ]ب[‬ ‫‪: ‎6.‬اميف امف ]ب[ ام ]ل[‬ ‫‪: ‎5.‬فالتخا ةصقان ]ل[‬ ‫]ب[ نّيبن ]ل[‬

‫‪: ‎8.‬عمجل عمج ]ب[‬

‫‪: ‎9.‬هصيقنتب هصقيي ]ب[ هضيقتت ]ل[‬

‫‪ ‎11.‬نأ ‪: ...‬مئادلا ةصقان ]ل[‬

‫انبب ]ب[ ةصقان ]ل[‬

‫ٍزييمت ]ل[‬

‫‪: ‎12.‬رثكأ ركا ]ل[‬

‫‪: ‎15.‬لقأ صقنأ ]ل[‬

‫‪: ‎18.‬رادقأ ةصقان ]ل[‬

‫‪ ‎10.‬ام ‪:‬وه ام وه هل ]ل[‬

‫‪: ‎13.‬اميف ةصقان ]ل[‬

‫‪ ‎16.‬يتلا يه ‪:‬اهل ةصقان ]ب[‬

‫‪: ‎14.‬اننيب‬

‫‪: ‎17.‬زييمت‬

DE CONSTANTINOPLE À BAGDAD ANTHÉMIUS DE TRALLES ET AL-KINDĪ Quel fut le rôle de la science byzantine dans la transmission des savoirs grecs et hellénistiques ? Quel fut son rôle dans le développement de la science arabe elle-même ? Selon une ancienne représentation, déjà répandue au x e siècle, et que l’on peut lire en filigrane dans al-Fihrist d’Ibn al-Nadīm un siècle plus tard, ce rôle se réduit à la transmission aux auteurs arabes des manuscrits de leurs prédécesseurs grecs et alexandrins. Et de fait l’image de la nouvelle Byzance était celle d’un terrain de missions à la recherche de ces manuscrits. Dans cet exposé, je voudrais rompre avec cette image, sans toutefois préjuger de la réponse à donner à la double interrogation, ni de l’opportunité de la généraliser. Bien des recherches restent à faire, bien des textes sont encore à établir. Mais, d’ores et déjà, cette double question rend possible un regard moins global sur le phénomène de transmission des savoirs grecs et hellénistiques en arabe ; elle permet aussi de mieux comprendre, dans certains domaines tout au moins, l’émergence d’une recherche scientifique en arabe. Pour illustrer cette situation, je me bornerai à l’exemple de la catoptrique, notamment à l’étude des miroirs ardents, en m’attachant plus particulièrement à un savant du vi e siècle : Anthémius de Tralles. Notons pour commencer que les mathématiciens alexandrins et byzantins se sont intéressés aux miroirs ardents. Ce domaine représente un très ancien chapitre d’application des mathématiques, dont le but déclaré était la fabrication d’un objet technique rendant possible la réalisation d’un phénomène que l’on ne rencontre pas dans la nature ; cet objet technique était de plus censé répondre à un besoin pratique. Nous trouvons dans les écrits de mathématiciens alexandrins et byzantins sur les miroirs ardents l’illustration de cette situation scientifique et épistémologique particulièrement intéressante. Or la plupart de ces écrits ont survécu en arabe. Si la recherche en ce domaine a connu une continuité chez les byzantins du vi e siècle ainsi que chez les arabes du ix e siècle, comme on le verra, c’est pour plusieurs raisons de nature différente. Armes présumées efficaces, les

Paru dans Actes du Colloque : La Syrie de Byzance à l’Islam (Lyon, 1990) ; Damas, 1992, p. 165-170.

214

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

miroirs ardents étaient également, selon le témoignage de Dioclès, un moyen d’illuminer les temples lors de célébrations, ainsi qu’un instrument pour mesurer les heures du jour. À partir du vi e siècle, cette recherche s’est trouvée auréolée d’un prestige particulier : la légende d’Archimède, et l’intérêt particulier que les grands mathématiciens - Euclide, Archimède, Apollonius - auraient porté à l’étude de ces miroirs. Nul n’ignore que, selon la légende, Archimède aurait incendié la flotte de Marcellus à l’aide de ces miroirs, lors du siège de Syracuse. Or c’est cette même légende qui a incité les mathématiciens byzantins et arabes ensuite à s’interroger sur la possibilité d’un tel embrasement. Espoir d’efficacité, fables et prestige ont entouré la théorie des miroirs ardents et attiré les chercheurs 1

Revenons à présent au ix e siècle, pour constater l’existence d’une demande de recherche sur les miroirs ardents et, simultanément ou ‎1. R. Rashed, Les Catoptriciens grecs, op. cit.

DE CONSTANTINOPLE À BAGDAD

215

presque, la traduction de la plupart des écrits grecs connus, ainsi qu’une recherche déjà avancée, sur ce sujet. Dans une correspondance, Qusṭā ibn Lūqā se fait l’écho de cette demande sociale : « Tu sais aussi, que Dieu t’honore, que l’on s’occupe de l’embrasement par les miroirs. Les Rois et les Califes l’ont cherché, mais ils n’ont pas pu embraser à plus de trente coudées. Les gens n’ont pu embraser qu’à cette distance seulement. Si quelqu’un t’apporte un miroir qui embrase à cent coudées, dirais-tu alors qu’il est prophète ? » 1. Cette indication d’Ibn Lūqā est corroborée par al-Kindī, dont l’écrit sur les miroirs ardents - sur lequel nous reviendrons - est rédigé à l’intention du calife al-Mustaʿīn. Cet intérêt pour les miroirs ardents a-t-il été renouvelé à l’époque, ou provenait-il d’une tradition plus ancienne ? À cette question, je ne puis répondre. En revanche, le texte grec le mieux connu en ce temps, et durant une longue période, est le fragment sur les miroirs ardents des Paradoxes mécaniques d’Anthémius de Tralles. Cité par al-Kindī, nommé par Ibn Sahl, ʿUṭārid ibn Muḥammad, Aḥmad ibn ʿĪsā et Ibn al-Haytham, ce fragment a joué un rôle important. Cette traduction était considérée comme perdue, jusqu’à ce que ma bonne fortune m’ait permis de la retrouver [voir la reproduction de la première page du manuscrit]. La traduction 2 est littérale, énoncée dans ce mot-à-mot dont al-Kindī faisait alors l’éloge 3. On y relève aussi quelques gaucheries syntaxiques qui laissent percer le grec derrière l’arabe. Bien plus, lorsque le traducteur ne comprenait pas un terme, il le laissait tel quel dans son texte. Ainsi, le terme ἀμϐολεύς, sur lequel ont également hésité les traducteurs modernes depuis L. Dupuy au xviii e siècle, en passant par C. Belger et Th. Heath, devient sous la plume du traducteur du ix e siècle, al-ambūlūs. Neuf siècles plus tard, L. Dupuy opte d’ailleurs pour une solution analogue, en le rendant par l’embole. Notons enfin que la traduction arabe restituée comprend quelques paragraphes perdus en grec. Venons-en maintenant à cet écrit d’Anthémius. Son problème est le suivant : « comment devrions-nous mener un rayon solaire fixe à ne pas quitter une certaine position quand on nous demande de briser ce rayon vers cette position, à tout moment et en toute saison ? » Reprenons rapidement la démarche d’Anthémius. Il commence par

‎1. Kh. Samir (éd.). Une correspondance islamo-chrétienne entre Ibn al-Munaggim Ḥunayn ibn Isḥāq et Quṣtā ibn Lūqā, in F. Graffin, Patrologia Orientalis, t. 40, fasc. 4, n o 185, Turnhout/Belgique, 1981, p. 156, avec quelques modifications de la lecture du texte arabe et de la traduction française. ‎2. Dioclès, Anthémius de Tralles, Didyme et al., op. cit. ‎3. Diophante : Les Arithmétiques, texte établi et traduit par R. Rashed, Les Belles Lettres, collection Guillaume Budé, 1984, vol. 3, p. 28-29.

216

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

donner la première étude connue du miroir ellipsoïdal. Cette étude nous laisse mesurer quelle était la connaissance optique d’Anthémius, ainsi que sa connaissance en théorie des coniques. En optique, il a recours à la loi de la réflexion sur tout miroir plan ou conique. En théorie des coniques, il applique la définition bifocale de l’ellipse et les propriétés tangentielles à l’ellipse 1. Mais le miroir ellipsoïdal dont les foyers sont F et F ′ ne répond pas entièrement au problème posé par Anthémius. Tout au long de l’année, ou, comme il dit, « à tout moment et en toute saison », le rayon solaire qui passe par F ′ est réfléchi vers F. C’était bien le but du problème, mais il est clair qu’à un instant donné, le rayon considéré est unique, et ne peut donc pas embraser. Si l’on veut en faire un miroir ardent, il faut imaginer une source de lumière placée en F ′ . Tous les rayons émanant de cette source et tombant sur le miroir sont réfléchis vers le point F, ce qui engendre une concentration de lumière et de chaleur en ce point. Il est donc clair que ce miroir ne répond pas, non plus, au problème d’Archimède. Anthémius écrit : Cependant, puisqu’il ne peut être porté atteinte à la renommée d’Archimède, dont on rapporte d’un accord unanime qu’il a incendié les vaisseaux des ennemis au moyen des rayons du soleil, il faut raisonnablement supposer aussi que, d’après ce fait, le problème est possible. 2

C’est alors qu’Anthémius affirme, que « l’obligation d’enflammer n’exige pas moins de vingt-quatre réflexions ». Anthémius établit alors plusieurs propositions afin d’expliquer qu’avec des systèmes de miroirs plans assez nombreux, il est possible de provoquer un embrasement à une certaine distance, et propose un système de sept miroirs hexagonaux composé d’un miroir central et de six miroirs adjacents à celui-ci, le côté commun étant utilisé comme charnière. Son but semble être d’utiliser un tel système afin que des rayons parallèles tombant au centre de chacun des sept miroirs soient réfléchis vers un point donné. Mais le texte est trop peu clair pour que l’on puisse conclure que ce point donné est le centre du miroir central, un point de l’axe du miroir, ou un autre point. Quoi qu’il en soit, Anthémius propose ensuite que, pour obtenir un meilleur embrasement, on utilise quatre ou cinq systèmes de sept miroirs placés en des points ‎1. Il s’agit de la propriété selon laquelle en tout point P de l’ellipse, la tangente et la normale à l’ellipse sont les bissectrices de l’angle FPF ′ , avec F et F ′ les deux foyers. ‎2. « Mathematici Graeci Minores », edit. J.-L. Heiberg, in Det Kgl. Danske Videnskabernes Selskab. Historisk-filologiske Meddelelser XIII, 1, 1926, p. 77-87 ; traduction de P. VerEecke in Les opuscules mathématiques de Didyme, Diophante et Anthémius, Paris et Bruges, 1940, p. 51.

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autres que le centre du miroir central. Mais une étude précise de ces systèmes montre que, contrairement à ce que pensait Anthémius, on n’obtient pas de concentration de rayons au point donné d’avance, mais seulement au voisinage de ce point. En tous les cas, Anthémius ne démontre pas ces dernières affirmations, ce qui lui sera reproché, comme on le verra incessamment, par al-Kindī. Anthémius considère ensuite un autre type de miroir ardent étudié bien avant lui par Dioclès. Il introduit lui-même l’étude de ce miroir en ces termes : Mais les anciens ont mentionné les miroirs connus à ce propos et comme leur figure doit être selon le gabarit qu’ils ont donné d’un instrument, ils n’ont pas pour cela établi de démonstration géométrique, si ce n’est qu’ils ont prétendu que ces miroirs sont des surfaces coniques, et ils n’ont pas dégagé comment cela était. C’est pourquoi nous voulons également le montrer par des démonstrations que nous établissons à partir des doctrines de la géométrie. 1

Un examen de l’étude d’Anthémius nous montre en effet qu’il connaissait la propriété caractéristique de la parabole : la parabole de foyer F et de directrice D est l’ensemble des points M du plan (F, D) à égale distance du foyer et de la directrice. Il connaissait également une propriété importante de la tangente. Ces deux propriétés étaient du reste connues de Dioclès. Avec le miroir parabolique s’arrête le texte grec qui nous est parvenu. Le texte arabe va plus loin. Selon la version arabe, Anthémius poursuit et propose d’autres miroirs. Il écrit : « comme il a été possible d’amener un rayon solaire fixe et immobile sur la position qu’on nous a demandée, de même on peut amener beaucoup de rayons qui ne s’écartent pas de la position qu’on a voulu atteindre. Mais si ces nombreux rayons sont réunis, de sorte que leur nombre ne soit pas inférieur à vingt-quatre, alors ils font cette action » 2 ,c’est-à-dire qu’ils provoquent cette action à une distance donnée. L’instrument imaginé ici par Anthémius comporte vingt-quatre miroirs plans disposés autour d’un bassin dont l’ouverture est un cercle. Tels sont donc les problèmes abordés par Anthémius, repris schématiquement ici. Or ce texte d’Anthémius, ainsi que d’autres écrits byzantins, a été connu du savant et philosophe al-Kindī. Ce dernier a lui-même écrit une étude sur les miroirs ardents, que l’on ne peut ni comprendre,

‎1. Voir P. Ver Eecke, op. cit. p. 55, et notre traduction dans Les catoptriciens grecs, op. cit., Anthémius de Tralles, Didyme et al., op. cit. Voir l’édition de Heiberg, p. 85. ‎2. Les catoptriciens grecs, op. cit..

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

ni établir, sans une connaissance approfondie du texte d’Anthémius, et plus particulièrement de sa version arabe. C’est en tout cas grâce à ce dernier texte que j’ai pu établir le texte d’al-Kindī, qui nous est parvenu en un seul manuscrit, particulièrement défectueux. Prêtons attention, pour l’heure, à ce dialogue qui s’établit, par-delà les siècles, entre al-Kindī et Anthémius de Tralles. Al-Kindī commence par citer ce texte d’Anthémius avant d’enchaîner immédiatement : C’est ce qu’a dit Anthémius ; or Anthémius devait n’accepter aucune connaissance sans démonstration en mathématiques, ni surtout dans l’art de la géométrie ; ni non plus imposer une chose sans démonstration. Il a représenté comment on peut faire un miroir sur lequel vingt-quatre rayons se réfléchissent vers un seul point ; mais ils n’a pas montré comment ce point, sur lequel se réunissent les rayons, est à quelque distance que nous voulons du centre de la surface des miroirs. 1

Al-Kindī ne s’en tient pas à cette attitude franchement critique à l’égard de son prédécesseur, mais il se propose de reprendre le problème de la convergence des rayons réfléchis en un point, et de la distance de ce point, mais en respectant les exigences de la preuve géométrique. Il fraye alors une nouvelle voie, et va beaucoup plus loin qu’Anthémius dans l’étude des miroirs ardents. Le traité d’al-Kindī s’ouvre sur l’étude d’un système formé de deux miroirs plans placés sur les faces d’un dièdre. À partir des résultats obtenus à ce propos, il montre comment construire un miroir ardent de forme conique, pour ensuite s’intéresser aux miroirs sphériques concaves. Notons que ces dernières analyses sont absentes du fragment d’Anthémius, mais que, en revanche, al-Kindī ne reprend pas l’étude faite par Anthémius du miroir ellipsoïdal. Quoi qu’il en soit, dans la troisième partie de son mémoire, al-Kindī revient au problème posé par Anthémius de la construction d’un système de vingt-cinq miroirs hexagonaux permettant de réfléchir vers un même point les rayons solaires tombant en leur centre, et tente alors de pallier les défauts du texte d’Anthémius. À l’examen, sa démonstration s’avère juste pour les six miroirs entourant le miroir central ; mais al-Kindī a affirmé, sans démonstration à son tour, que le résultat reste vrai pour les autres miroirs, ce qui n’est pas tout à fait exact. Il tente alors d’aller plus loin, en proposant de construire un miroir beaucoup plus perfectionné que celui d’Anthémius, ou, selon ses propres termes : « nous voulons construire un miroir sur lequel autant de rayons que l’on veut se réfléchissent en un même point de ‎1. R. Rashed, L’Optique et la Catoptrique d’al-Kindī, op. cit.

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la perpendiculaire menée de son centre, beaucoup plus perfectionné que celui construit par Anthémius.» Le projet est ainsi conçu : à partir d’un polygone régulier de vingt-quatre côtés, al-Kindī construit une pyramide régulière de vingt-quatre faces, pour que les rayons solaires tombant au milieu des bases de ces faces prises comme miroirs soient réfléchis vers un même point de l’axe de la pyramide. Il définit ce point en considérant deux faces symétriques par rapport à l’axe. Al-Kindī achève son traité en reprenant l’étude par Anthémius de la construction d’un miroir de diamètre donné, qui réfléchisse les rayons vers un point donné. Le procédé consiste à appliquer la construction par points et tangentes d’une parabole dont on connaît le foyer et la directrice. Certes, la démonstration d’al-Kindī est plus claire et plus ordonnée que celle de son devancier, mais on ne peut pas dire qu’il ait innové sur ce point. Le texte d’Anthémius a survécu à la critique d’al-Kindī et à l’usage qu’il en a fait. Nous le retrouvons non seulement chez certains commentateurs comme ʿUṭāriḍ ibn Muḥammad au x e siècle, ou comme Ahmad ibn ʿĪsā, mais chez des mathématiciens de premier rang comme Ibn Sahl. Ce dernier reprend dans un traité de 984 environ l’étude des miroirs ardents, avant de donner la première théorie géométrique des lentilles connue dans l’histoire : Il examine ainsi le miroir ellipsoïdal et le miroir parabolique. Mais cette fois la maîtrise mathématique du domaine ne laisse à Anthémius que le rôle d’un lointain ancêtre historique. Même si on continue à citer son nom, comme le fait Ibn al-Haytham un peu plus tard, tout indique qu’il s’agit cette fois de donner à la catoptrique ses titres anciens. Cet exemple d’Anthémius de Tralles, connu en arabe avant le milieu du ix e siècle, illustre bien la présence de la science byzantine en arabe : elle intervient non seulement dans la traduction, mais aussi dans l’activité de recherche. Ici encore, la version arabe a permis de mieux connaître le texte du savant de Constantinople. Cet exemple n’est certes pas unique, et d’autres analyses sont nécessaires avant que l’on puisse tenter de spécifier le rôle et la place de cette science byzantine en arabe ; mais déjà l’image de Constantinople comme simple conservatoire des manuscrits des savants alexandrins se révèle bien contestable.

CONIC SECTIONS AND BURNING MIRRORS: AN EXAMPLE OF THE APPLICATION OF ANCIENT AND CLASSICAL MATHEMATICS

1. Introduction. On the Application of Mathematics What does it mean, ‘to apply mathematics?’ Even if mathematics could ‘speak’ immediately and directly with phenomena, it would be of no help, for this would mean that everything could be expressed in mathematical terms and that mathematical structures were an exact reflection of shapes carved in space and forever fixed in time. We would grasp the ideal functioning of every phenomenon, and our power over things would be infinite. But it does not take an epistemologist or an historian of science to realize that nothing could be further from the truth. A veil hangs between mathematics and things, in the case of most of the sciences, a thick veil. Over millennia, this veil has become more transparent, first in astronomy and then in optics, and more recently in mechanics and the other disciplines of physics. But despite this veil, there have always been applications of mathematics, which force us to learn about phenomena and things in terms of mathematics. Clearly, as the applications grew in number and impact, so our question claimed the attention of philosophers, until—starting from the second half of the eighteenth century—it became the very heart of modern philosophy. To apply is also to act, that is, to draw from objects only those useful traits that might be expressed in the language of mathematics; other traits must be set aside, or, at the very least, remain in the background. It is in the choice of these traits, in their delineation, that the difficulty, but also the value, of an application lies. To examine the application of mathematics is, first of all, to stress this reductive, simplifying, and schematic task as well as its means and its residue. But no sooner is this question raised than—provided one is an historian of science—one sees that the term ‘application’ covers a broad

Paru dans K. Gavroglu et al. (eds.), Physics, Philosophy and the Scientific Community, 1995, Kluwer Academic Publishers, p. 357-376.

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spectrum and has several meanings. At one end of the spectrum, application can try to enhance understanding; at the other end, it tries to clarify conduct in order to guide our actions. In this last instance, the goal of mathematics is not only to grasp functioning but also to perform an act effectively. The two meanings are not separate, even if philosophical discourse, ever anxious about radicalism, privileges the first. Philosophers have all recognized that the nub of the problem of applying mathematics lies in the identification of the traits of the phenomena that are receptive to mathematical information. The relevance of the latter depends, in turn, on its power to explain, predict, and finally, act. In a word, rather than apply mathematics to things themselves, we limit ourselves to applying it to the concepts attached to things. Stemming from the very generality of mathematics, this appproach is more pronounced when influenced by the language needed to discuss it. But the concepts that are introduced between mathematics and things appear necessary to transmit mathematical information to them. Philosophers have not failed to raise the questions summarized here nor to highlight the difficulty. We can find two examples in Leibniz and Hume. And we have all read at least once Kant’s famous formula: “I maintain, however, that in every special doctrine of nature only so much science proper can be found as there is mathematics in it” (Kant 1970, p. 6). Despite its specific historical determinations, Kant’s thesis, which has been the subject of gifted work, became the most general and the most commonly shared. But equally as important as Kant’s position was the insistence on the link between the application of mathematics and precise prediction. This was enough to dispel any illusion that might crop up and relegate mathematics to the level of simple language. Prediction is nothing of the sort: mathematics delivers more than experience gives to it. All our thoughts on the application of mathematics must take account of this fact. The extension of the application of mathematics to other, initially resistant fields has raised a second question: just what does ‘to apply mathematics’ mean when, instead of one theory suitable for conveying mathematical information we come across only doctrinal considerations or crude doctrines, when we consider, for example, Tartaglia’s dynamics, Descartes’s physical optics, and the social sciences today? I will not pursue this line of questioning here, but it does have the merit of bringing a heretofore marginal question to the fore, namely the variety of meanings of applications and their essential disparities. And, in fact, applications are valid neither in their absolute incontestability nor in their efficacy.

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It is clear that in examining the applications of mathematics we are led to analyse scientific knowledge itself, something we are neither pretentious nor immodest enough to try. We propose to delve as deeply as possible into history in order to find the earliest applications of mathematics and to understand their significance. We shall examine what distinguishes them from other forms of application, both contemporary and subsequent. From this historical perspective we shall pay particular attention to the contribution of these applications to the history of mathematics. Our goal is to demonstrate that some applications are as old as mathematics itself and that in other respects, without the history of its applications, the history of mathematics would be deprived of an essential dimension. I shall confine myself to a single example, that of the burning mirrors.

2. Poetic Sciences and the Application of Mathematics Beginning with the second half of the eighteenth century, particularly with D’Alembert and his successors, the potential of any one science was often reduced to the potential application of mathematics to the phenomena in question. This attitude was foreign to the scholars of antiquity, and particularly so to the dominant philosophy, that of Aristotle. For him, mathematics and physics are separate: the first deals with knowledge that can be proven, while the second deals with the knowledge of becoming. But this opposition of principle was not the radical schism that some commentators, beginning with Alexander, made it out to be. Aristotle reserved at least three uses for mathematics. Before getting to those, let us remember that for the philosopher, mathematics concerns the physical, but by no means a separate world. Nonetheless, it has its own objects, which are not physical objects. These mathematical objects, which are not detached from physical objects, exist after them while in definition they precede them. If we add to this the celebrated doctrine of potentiality, we can no longer speak of the application of mathematics in this context. This problem is completely alien to Aristotelian philosophy, but it is not opposed to it. Didn’t Aristotle resort to mathematics in his physics? Didn’t he use the theory of proportions in his discussion of motion? In other respects he acknowledged that mathematics had another, instrumental use, namely in the poetic sciences, in the productive knowledge intended for the manufacture of useful or beautiful objects. Here is what he wrote in the famous passage of the Nicomachean Ethics: “For a carpenter and a geometer investigate the right angle in different ways; the former does so insofar as the

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right angle is useful for his work, while the latter inquires what it is or what sort of thing it is; for he is a spectator of the truth” (Book 1, Chap. 7, Sect. 1098a, ll. 28-32). Finally, for Aristotle, there are “the more physical of the branches of mathematics” (Physics, Book II, Chap. 2, 194a) of which the example of optics is of particular interest to us here. Despite its distinctive place as the socalled most physical part of mathematics, optics still keeps its distance; or, as Aristotle writes in the Physics: “While geometry investigates physical lines, but not qua physical, optics investigates mathematical lines, but qua physical, not qua mathematical” (Book II, Chap. 2, Sect. 194a, ll. 9-11). If we compare this passage with that of the Metaphysics we cannot but be astonished. In effect, harmonics, no more than optics, writes Aristotle: “... considers its objects qua sight or qua voice, but qua lines and numbers” (Book 13, Chap. 3, Sect. 1078a, ll. 14-16). And our surprise is linked to Aristotle’s idea of the subordination, of the relation between arithmetic and geometry, on the one hand, and harmonics, optics, astronomy, and mechanics on the other. We are dealing with the relation of superior to inferior described in the Posterior Analytics (Book I, Chap. 7, 75b; Chap. 9, 76a; Chap. 13, 78b-79a). In brief, as long as we are dealing with physical rays in optics, we study them geometrically only by considering them as straight lines. Thus geometry serves to describe the figure of a phenomenon, to trace its contour; it is not responsible for either explaining or grasping its essence. This is precisely what we see at work in the geometric study of the rainbow at the end of the Meteorology, assuming that this passage on the rainbow is genuine. The question of the application of mathematics, in the sense that will appear later, does not arise in this context. But mathematics still plays two roles, one instrumental in the poetic sciences and the other in the determination of the contour of a phenomenon. Perhaps it is because of these two roles assigned to mathematics that the first Greek mathematicians concerned with the problems of the application of mathematics did not declare themselves anti-Aristotelians. Let us turn now to the latter, but limit ourselves to that privileged discipline, optics. Two great traditions stand out: that carried on under the banner of Archimedes on burning mirrors and that of Euclid, and later Ptolemy, on a geometry of vision. As for Hero of Alexandria, he concerned himself particularly with the application of catoptrics to useful or amusing problems. We are considering a single tradition, that of research on burning mirrors, confining ourselves, moreover, to the study of conic sections. We shall see, on the one hand, that the application of mathematics takes on a particular meaning by no means opposed

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to Aristotle’s philosophy, and that, on the other hand, it is mathematically productive. As we said earlier, this application was carried out on organons on instruments, just as it was done elsewhere on machines. It made possible the elaboration of a mechanical model which allowed one to speak mathematically of a localized phenomenon, for example, the propagation of rays parallel to the axis of a paraboloid mirror. In the field of mathematics this application developed an entire branch of research on conics, which can be neither identified nor understood without it. Nevertheless, its obvious physical sterility would mask a potential productivity, which becomes effective when one moves from mirrors to lenses. To prove these assertions, let us return briefly to the origins of the theory of conic sections as they relate to burning mirrors.

3. The Tradition of Catoptrics in the History of the Theory of Conic Sections The origins of the theory of conic sections are obscure, as origins often are in mathematics. Some facts and, above all, some conjectures and commentaries derived from later evidence really do add up and these can be found in some still unsurpassed books: Zeuthen’s Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum [The theory of conic sections in antiquity], published in 1886 and Heath’s edition of Apollonius’s Treatise on Conic Sections (1896). To these we should add two studies of Otto Neugebauer (1932; 1959). In the shorter article, which was published in 1959 and is of greater interest (although it is entirely conjectural since his hypothesis is not supported by any fact), Neugebauer tries to show that the theory of conic sections was invented by Eudoxus in order to conceive and construct a certain type of sundial, thus confirming the astronomical origin of this theory. The other, much longer article deals with the concept of focus, which I will discuss in more detail below. My goal here is definitely not to present what would of necessity be a very short summary of what has been well expounded at great length elsewhere. I only want to recall some salient facts that need to be borne in mind in order to understand the application of mathematics to burning mirrors. 3.1. Menaechmus, a student of Eudoxus, is credited with discovering the theory of conic sections in the middle of the fourth century B.C.E. The conics were obtained from the plane sections of a cone with a circular base. According to later evidence, it seems that Menaechmus was dealing with a right-angle cone, which he cut by a plane perpendicular to one of its generators. The three conics are

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obtained by varying the angle at the apex of the cone, hence the three terms (which were subsequently modified by Apollonius): Menaechmus’s right-angle conic section becomes Apollonius’s parabola, an obtuse-angle section becomes a hyperbola, and an acute-angle one becomes an ellipse. It is precisely this perpendicularity of the cutting plane to one of the generators that provided Neugebauer with his conjecture about the sundial. But this discovery attributed to Menaechmus by Geminus (according to statements of Proclus of the fifth century C.E.) was not the only one. According to Eratosthenes (by way of the sixth century mathematician, Eutocius), it was again Menaechmus who, using two conic sections—two parabolas or one parabola and one hyperbola— solved the problem of determining the two means in order to solve the problem of doubling the cube. From the start, the theory of conic sections might have been tied directly to the solution of problems of solid geometry and thus, applied. 3.2. Whatever the historical path that led to about the fourth century B.C.E., it is still Aristaeus the Elder and Euclid who are credited with the first two treatises on Conics. Conic sections would have been considered explicitly as means to obtain the plane loci needed to solve problems of solid geometry. But although Aristaeus’s book is mentioned in the Collection of Pappus of Alexandria (1986, I, Book 7, pp. 114-115; Pappus 1965, pp. 672-673; Pappus 1933, II, p. 503), Archimedes, six centuries earlier in his Quadrature of the Parabola (167), mentions a certain ‘Elements Relating to Conic Sections’ (ἐν τοῖς κωνικοῖς) which may well have been Aristaeus’s work or that of another mathematician such as Euclid. 3.3. A privileged moment in research on conic sections is to be found at the beginning of the third century B.C.E., with Conon of Samos, Trasydeus, Nicoteles of Curene, and Archimedes. This intense activity is not only attested to by Archimedes’s works but it is also evoked by the evidence of Apollonius, particularly in his Preface to Book 4 of the Conic Sections. Younger than Archimedes by one or two generations, Apollonius pursued this tradition of the Alexandrian mathematicians and, in a way, he perfected it. His treatise, Conic Sections—eight books devoted entirely to this subject—is the only one to survive antiquity. The first four books have come to us in a Greek as well as an Arabic version; the next three exist only in an Arabic translation while the eighth book was lost very early on. In this treatise Apollonius expounds most of the elementary properties of conic sections in a purely synthetic manner, without the slightest mention of earlier analysis. It is Apollonius as well who modified

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the terminology and imposed the use of the terms ‘parabola’, ‘hyperbola’, and ‘ellipse’. The two terms, ‘parabola’ and ‘ellipse’, appear in Archimedes’s Method (Book III. 87) and in his On Conoids and Spheroids (Prop. 9) respectively. But Heiberg is of the opinion, based on a statement of Pappus (Pappus 1986 I, pp. 114-117) that it was Apollonius who had opted for the new terminology, that these terms might have been interpolated. The definition covered is in any case more general. Unlike the situation for Euclid (Book XI, definition 18 of the Elements), for Apollonius a conic surface is no longer generated by the rotation of a right triangle, but by the displacement of an infinite straight line passing through a fixed point and meeting a fixed that is, through an apex and a cercle directeur. 3.4. In order to characterize the three conic sections, Apollonius, at the beginning of his treatise, defines the diameter and the associated conjugate direction, in his language, the ordinate. He then takes these as the reference point for coordinates in order to obtain the fundamental property (the symptoma) 1 of the points of each of the three conics. He is led to differentiate them and in each case to characterize a segment called the latus rectum (the double of the parameter) which depends on the cone and the secant plane. After having recalled some salient facts that mark the high road of research on conic sections starting with the fourth century B.C.E., we can better frame our question. Had there ever been another research tradition on conic sections—connected to that just mentioned—whose roots could be found in application? And, in such a hypothesis, where would we find the contributions of its representatives, and what meaning should be applied to the term application? These are the questions that take us to the history of burning mirrors. From the Latin rhetorician and philosopher, Apuleius (125-180), we know that Archimedes wrote a treatise on catoptrics. Two centuries later, Theon of Alexandria confirmed this attribution. On the other hand, a legend that spread from the sixth century on, revived by Olympiodorus and by a certain Fūṭitos echoed Archimedes’s interests. According to the well-known legend, Archimedes set fire to Marcellus’s fleet during the siege of Syracuse by using burning mirrors. But this interest in burning mirrors that history attributes to Archimedes does not distinguish him in particular. We know in fact from another anonymous Greek—the author of the famous Bobbio fragment—that Apollonius himself might also have written on burning mirrors. If we add to this the work of pseudo-Euclid on the same ‎1. A symptoma is the equation of the conic curve.

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subject, we see that this research was present relatively early. But this evidence and these legends, whose reliability is difficult to evaluate, have nonetheless one common element: research on burning mirrors is essentially the work of the theorists of conic sections. But if the evidence suggests such a conjecture to us, common sense proposes a second: works on burning mirrors had to tackle the problems of the construction of figures insofar as it was necessary to construct these mirrors, or at the very least indicate a method for fashioning their models. Thus if this research existed and if one considered conic mirrors, one could not avoid the problem of application from the start, a problem that lies at the very heart of theoretical research. Today we are in a position to confirm these conjectures and to establish the existence of this tradition of research on conic sections, starting with several texts, one from Archimedes’s successor and a probable contemporary of Apollonius, namely Diocles, and others—difficult to date—from Apollonius’s successors who pursued this research until the end of the tenth century, at least. Let us begin with a somewhat detailed examination of the compilation of Diocles’s book that has come down to us, called On Burninq Mirrors (Περὶ Πυρίων). To begin with, Diocles’s book is presented in a paradoxical manner, namely 16 propositions divided into six relatively independent subgroups. The first subgroup includes three propositions, 1, 4, and 5, which deal with the paraboloidal burning mirror. Following the sequence of propositions and explicit references from one to another and to the preliminaries, these propositions, together with the Preface, reveal a certain unity. It is this group that is of definite interest to us here. The second group is made up of the second and third propositions, which deal with the spherical mirror and are inserted abruptly and surprisingly between propositions of the first group. These two propositions are nonetheless connected, at least indirectly, with the Preface and, together with the first group, constitute all that the book contains on burning mirrors. Proposition six deals with apparent diameters. The other groups deal with geometrical constructions. The outline of the book is displayed in Fig. 1. Beneath this diversity of themes presented and their heterogeneity, we see a certain unity of intention and homogeneity of approach. In effect, Diocles, in most of the groups, works by applying geometry, particularly the theory of conic sections, either to catoptric problems or to the problems of geometric constructions. One could say that his approach is a deliberately applied one, and when compared with famous mathematical compositions of the period, his book is profoundly informed by this characteristic. Let us even say that, at

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Fig. 1

least in the writings that have come down to us, Diocles was not at all tempted by research into geometric properties for themselves, but wanted essentially to achieve the requisite constructions. Although it has never been stressed enough, this trait of Diocles’s work is nevertheless doubly fruitful for us, for it allows us from now on to grasp certain aspects of this work, in particular, the author’s silence concerning the proof of certain results of the theory of conic sections that he brings up—for example, the properties of the sub-tangent and the sub-normal for the parabola. On the other hand, he shows us traces of a research tradition on conic sections directed precisely by the same goal of application. Thus Diocles will be our principal guide along this path. In the Preface to his book, Diocles tells us the following facts:

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– One Pythion, a geometer from Thasos, about whom we know nothing further, searched for a mirror to reflect the sun’s rays following the circumference of a circle. – An astronomer named Hippodamos, about whom we have no further information, also looked for a mirror to reflect the sun’s rays at a single point and to burn at that point. – Dositheus, a disciple of Conon and correspondent of Archi-

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medes, concerned himself with burning mirrors after the death of his master, solved the problem, and tried to build a mirror that would burn without being turned toward the sun, that would be fixed and would tell time without a gnomon. This was an extremely difficult problem, which placed him by himself at the level attained by applied research. – Certain mathematicians studied the spherical mirror and mistakenly thought that its rays were reflected at the center. A scholium to the last proposition of the catoptrics of pseudo-Euclid echoed these mathematicians, which confirms Diocles’s statement. – Archimedes could probably be added to these authors, as he was in contact with some of them. All these facts converge and are evidence that, beginning around the middle of the third century B.C.E., there was a wave of research devoted to burning mirrors that used conic sections. According to his own words, Diocles was not the first to have undertaken such research. The essential point of his task was obviously to finish the study of the issues raised by his predecessors, either because they were still unresolved or to offer new solutions. But this wave of applied research, in its turn, carved out a new field of research into the theory of conic sections, namely the optical properties of conics. Let us take a closer look at the result for the parabola, the only case studied by Diocles. The ellipse will appear in the writings of Anthemius of Tralles, while in the case of the hyperbola, we must wait for the birth of anaclastics and the tenth-century mathematician, Ibn Sahl [Rashed, 1990, 1993]. Diocles states that the problem posed by the astronomer, Hippodamus, namely, to construct a mirror to reflect the suns’s rays at a single point, “was solved by Dositheus.” Nevertheless, we do not know whether Dositheus built this mirror nor whether he demonstrated the focal property. It is Diocles who leaves us uncertain by claiming for himself “the composition of the proofs” and “the classification of the problem,” assertions that are far from clear: how could the student and successor of Conon and the correspondent of Archimedes have left out the proof? Moreover, how could he have built such a mirror—hardly an easy construction without having first teased out the optical property of the parabola, that is, without having proven the existence of an observable point on the axis at which all rays parallel to the axis meet after reflection? If this were so, it would suggest that research into the optical properties of certain conic sections had already been carried out in the third century, and in the school of Conon. Now we need to know whether this research had seen the light of day by the time of research into the burning

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mirrors or independently of it. And this leads us to take up the history of the notion of the focus of the parabola.

4. The Parabolic Burning Mirror and the Focus of the Parabola The notion of the focus of the parabola (without being given any particular name; for this we must wait for Kepler) arises twice in Diocles: the first time in the study of the parabolic mirror and the second time in a problem on geometrical construction. In order to answer the question raised above, let us retrace the history of this idea as well as that of the directrix, so that we can appreciate more precisely the contribution of the research on the burning parabolic mirror to the understanding of this notion. In a text of Pappus—the one cited endlessly for a century—that Alexandrian mathematician tells us that Euclid was already familiar with these notions in the case of the three conic sections. According to Pappus, Euclid would have considered these notions to determine the loci of the points. But is Pappus’s evidence—he is the historian on this occasion—the effect of a late reading of Euclid’s On Surface Loci or is it a definite statement? Whatever it is, this testimony is not confirmed by a mathematician who knew Euclid’s books better than anyone and, what’s more, lived about six centuries before Pappus— I mean Apollonius himself. In the Conics one looks in vain for the notion of the focus of the parabola or that of the directrix, for the three conic sections. In the third book of the Conics, Apollonius (in propositions 45 to 52) determines the focal properties of central conics. These appear in the course of the proof of the eight propositions dealing with the relations between the positions of the tangents and the rays from the foci to the points of contact. The notion of focus for these central conics already appears under the heading of “points stemming from the application” (τὰ ἐκ τῆς παραϐολῆς γινηθέντα σημεῖα)—see Apollonius 1891-1893, I, 424, line 10. But how do we then explain the absence of the focus of the parabola and the directrices of the three conics sections? There are two types of answers to this question. One could invoke Apollonius’s own method for determining the foci of central conics, which is understood in the terms given these remarkable points, i.e. the method of applying areas (Apollonius 1891-1893 I, p. 432; Apollonius 1923, p. 263; Apollonius 1896, pp. 113-114). We are dealing with the application of a rectangle which has as its sides the principal diameter and the associated right side. This method

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

of applying areas undoubtedly clarifies for us the reasoning that led Apollonius to consider the foci of central conics, but it is not enough to explain why the notions raised are absent. Neugebauer proposes another type of explanation. According to the eminent historian, the issue is the immediate character of this notion. It is as if Apollonius had never judged it necessary to bring up such a notion in the Conics. In his study Neugebauer expounds a principle which, according to him, was followed by Apollonius in his book. According to this principle, Apollonius’s approach consisted of obtaining the properties of a hyperbola by means of generalizing propositions about the parabola. If one then tries to reduce the propositions on the hyperbola in the Conics to those on the parabola, Neugebauer writes that the “existence of a focus of the parabola follows directly and trivially.” Neugebauer concludes “that we can practically rule out the fact that Apollonius could miss that implication.” This is certainly very interesting, but by Neugebauer’s own admission, this thesis cannot explain the absence of the notion of the directrix, which does not follow from generalizing the properties of the parabola to obtain those of the hyperbola. But there is more: this thesis assumes that what Apollonius had in mind, implicitly or not, was a common definition of the parabola and the hyperbola and, consequently, of the three conic sections. Now this does not seem to be the case. In a word, since the appearance of Zeuthen’s famous book of 1886, aIl historians of conic sections share one position that is not remarkable for its clarity: while not ignoring the notion of the focus of the parabola, Apollonius utters not a word about it. And the same goes for the directrix. But this bias has not succeeded in quelling the astonishment of the very people who adopt it. We freely admit that it is really difficult to answer these negative questions with certainty. Nevertheless, let us note that this notion of focus was never treated in itself nor as a means to characterize the curve, not only where the parabola is concerned but also in the very place where it appears in Apollonius’s Conics. As Zeuthen himself has already remarked, even if Apollonius teased out some of the most important focal properties of central conics, it is as steps in a proof of the loci of points whose distances to these foci have a given sum or difference. In this context Apollonius is not at all driven to reconsider the parabola as a conic section whose center and second focus go to infinity. In the Conics, he does not seem to be looking for a common definition for the three sections, that is, a definition for each as the locus of points where their distances to a fixed point and to a fixed straight line are constant and equal to the eccentricity. Apollonius

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does not seem to be trying to characterize the optical properties of these curves. Let us turn now to the tradition of the catoptricians, who concerned themselves with burning mirrors, in order to see these notions emerge in the course of the application of the theory of conic sections to mirrors. We have said that this tradition is attested to by Dositheus, Diocles, and many others, and it is the survival of a compilation of Diocles’s writings that allows us to make a first identification of this trend. A good tactic will be to examine quickly the book that has survived. In the first part (the first five propositions whose organization we have already outlined), Diocles’s goal is clear: to know the optical properties of two kinds of mirrors, the parabolic and the spherical, and to make models of them. It is understood that this new task cannot be limited to a theoretical study, or, as Archimedes wrote first and Diocles later, an apodictic one: one must “master the problem and make it usable,” while assuring it a practical dimension. It is thus necessary to adapt the knowledge of conic sections to this goal in the case of the parabolic mirror. In the first proposition, Diocles moves from the traditional definition of the parabola, by means of the abscissa and the ordinate, in order to study the focal property; for this he has recourse to the properties of the sub-tangent and the sub-normal. Next he shows that a light ray falling parallel to the axis on a parabolic surface is reflected toward the focus. In the second part of the same proposition, Diocles passes to the paraboloid of revolution and shows that, if its inner surface is reflecting and if its axis is turned toward the sun, every solar ray streaming toward the mirror is reflected toward the focus. He shows that the larger the parabolic arc generating the paraboloid, the more numerous the rays reflected toward the focus. In the third part of the same proposition, Diocles considers a chord that is perpendicular to the axis of the parabola and shows that by rotating around the chord, the corresponding arc generates a circle whose center is the middle of the chord. He then takes as the mirror the inner surface of half of the figure obtained and states that if the mirror is turned toward the sun, the solar rays are reflected toward the points of a semi-circle described by the focus. We can show that this last statement of Diocles is not precise, except during equinoxes, that is, when the declination of the sun is null or close to zero. In this last case, there is a concentration of rays reflected in the proximity of a point which changes its place from hour to hour on the circle described by the focus of the parabola. As we have said, the next two propositions—the second and

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

third—are devoted to the spherical mirror. In the fourth proposition, Diocles returns to the determination of the parabola, generator of a paraboloid of revolution mirror such that the reflected rays are concentrated in a point situated at a given distance from the center of the mirror. This leads to the construction of a parabola if the focus and apex are known. In this proposition, Diocles proceeds by construction, using points of the figure, with the focus and directrix being known. This figure provides a model for the sought-for mirror. In the fifth and last proposition, devoted to burning mirrors, Diocles shows that the figure obtained earlier proves the fundamental property of the parabola, that is, the symptoma: the square constructed on the ordinate is equal to the rectangle constructed on the right side, having the abscissa for its width, or, in our language, the equation of the parabola. Note that in the course of applying conics to the burning instrument, Diocles teases out the optical property from the focus and the focus-directrix property from the parabola. Now this last property, understood in the course of research on the optical properties of the curve, will be used by Diocles in a purely geometric application, namely the problem of the doubling of the cube. In this second context, Diocles’s approach is identical to the first. Let us summarize the steps of this approach. We have just seen that Diocles begins by using points to draw a curve defined in terms of its apex and its focus. He next justifies his outline by constructing a straight line—the directrix—and shows that each point obtained is equidistant from this straight line and the focus. But in the course of this construction Diocles never has to characterize the parabola by means of this focus-directrix property. He undoubtedly knows that the parabola constitutes the locus of points that prove this property and yet, for him, as for his successors down through the centuries, the true characterization of the curve must come about through the symptoma, as it does for all mathematicians, even before Apollonius. The symptoma allows one to locate the points of the curve in a system of axes constituted by the diameter and the tangent at the apex of the parabola. And because, according to him, the focus-directrix property does not allow him to characterize the curve, Diocles then had to show that the curve outlined, whose construction is justified afterwards, is indeed a parabola. In short, he had to deduce the symptoma from the focus-directrix property, which he does in the fifth proposition. This sheds light on the justification and placement of this proposition. It is in fact this proposition that finally allows him to refer back to the first proposition, since he has demonstrated that the curve is really a parabola.

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Diocles takes exactly the same approach in another group of propositions concerning the doubling of the cube. Thus in the tenth proposition, where this property appears again, Diocles goes through the same procedure, step-by-step: using points he constructs two curves with the same apex and different foci. He then justifies this construction by showing that every point of each of the two curves proves the corresponding focus-directrix property. He deduces the symptoma from each of the curves and he writes: “... it is equally clear that the two lines ... are two sections of a right-angled cone,” in Apollonius’s terminology, two parabolas. The whole question of the application of conic sections to mirrors boils down to this: did Diocles—or one of his predecessors— discover the optical properties of conics as the result of this application or did he have them beforehand as a geometrical result, only exploiting them in his research on optics? In other words, are these optical properties of conic sections the results of the application of conics to optics, or are they the means that made this same application possible? No response is satisfactory a priori. Let us return to history and to the text of Pappus mentioned above (Collection, Book VII, Prop. 238). According to Pappus, Euclid was aware of this property. Pappus gives as a lemma in Euclid’s On Surface Loci a proposition that can be written as follows: the locus of points whose distance to a given point is related to the distance to a given straight line is a conic section. It is an ellipse, a parabola, or a hyperbola, depending on whether the relation is less than, equal to, or greater than one. Unless one can prove him wrong, Pappus’s assertion suggests that Euclid used this proposition. Nevertheless the question remains: why would Euclid not have proven it? Every time historians respond, they only put forward more or less arbitrary conjectures. Zeuthen states that “Euclid has used a previously known proposition.” Heath pushes the same conjecture further, starting with the fact that the proposition cannot be found in the four books of the Conics attributed to Euclid, since Apollonius’s Conics, which recapitulate Euclid’s, do not contain precisely this property. Heath concludes with these words: “If Euclid did not take it from his own Conics, what is more likely is that it was contained in Aristaeus’s Solid Loci.” If we wanted to avoid such conjectures, we would have to take Pappus at his word and compare what he reports from Euclid with Diocles’s text. 1

‎1. Pappus investigates the points on a curve Γ whose distance to a fixed point and a fixed straight line is given, let it be k. The case k = 1 is dealt with in Proposition

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

The analysis of the text lets us show that, after having assumed the existence of the points that prove the focus-directrix property (still without constructing them), Pappus shows that these points prove the fundamental property of the parabola. This step corresponds to the one where Diocles constructs points that prove the focus-directrix property and shows that they equally prove the symptoma. A considerable difference is already apparent between the two mathematicians: Diocles uses the property mentioned above to construct effectively the points of the curve, while Pappus assumes their existence and shows that if they exist they belong to one parabola. This is understandable since Pappus is led to demonstrate a converse: every point of this parabola demonstrates the focus-directrix property. This split between Diocles and Pappus is not pure and simple: it is not just a matter of the process of the proof, but shows the difference in the goals they strove for. Diocles’s problem is not, as 238 of his Collection (Pappus 1986 I, pp. 368-371), where it is reduced to the problem treated in Proposition 236 (ibid., pp. 362-367), which is as

Given a segment AB with midpoint Z, we try to calculate points Γ projecting to Δ on AB and satisfying ΓΔ2 + ΔB2 = ΔA2 . (1) From (1) we conclude ΓΔ2 = 2AB · ΔZ;

(2)

this equality (2) shows that Γ belongs to the parabola with apex at Z, axis AB and straight side 2AB, parabola ZH. Pappus then writes the converse: (2) ⇒ (1); each point that satisfies (2) also satisfies (1), and the parabola ZH is the geometric locus of the points that satisfy (1). Note that (1) is written ΓB2 = ΔA2 , or ΓB = ΔA, and if K is the orthogonal projection of Γ on the perpendicular to AB at A, we get ΓB = ΓK, that is ΓB/ ΓK = 1.

(3)

Now it is precisely in Proposition 238 (ibid., pp. 368-371) that Pappus poses the following problem: given a straight line and a point B which is projected from A on that straight line, we look for the points Γ that satisfy (3). He then shows that Γ satisfies (1) and thus belongs to parabola ZH. Pappus then shows the converse: each point of the parabola that satisfies (2) also satisfies (3). Finally, we get (1) ⇐⇒ (2) ⇐⇒ (3).

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it is for Pappus, to determine the locus of the points but to construct the points independently of the conic sections in order to show subsequently that these points belong to a parabola traditionally characterized as such by mathematicians of conics, that is, defined in terms of the symptoma. This proof does not introduce any concept that was unknown to Diocles’s predecessors, but the fact remains that Diocles, as far as we know, was the first to have formulated it. But clearly Diocles’s problem is by no means the general problem of reducing the construction of a curve capable of reflecting rays parallel to a given direction toward a given fixed point, to that of a curve defined in terms of a focus-directrix property. Such a question, which is not the one raised by Diocles, would lead in effect to the solution of a differential equation, which would give a family of curves. Only Anthemius of Tralles would treat a particular instance of this general problem eight centuries later. He assumes as known two points A and B of the curve and fixed point C on the mediatrix of AB, the direction of the rays being that of the mediatrix. In this case, a single parabola solves the problem.

5. The Fruitfulness of the Application of Conic Sections to Burning Instruments As we have just seen, during Archimedes’s time and later, the application of conic sections to the study of burning mirrors was fruitful not only for the knowledge of the anaclastic properties of mirrors, but also for the theory of conics itself. The catoptricians had a whole tradition of research on conics at the same time that the high road led from Aristaeus the Elder to Euclid, Conon, Archimedes, and Apollonius, to cite only the most salient stages. The descendants of the catoptricians include the Alexandrians in the school of Conon, undoubtedly Archimedes himself, Dositheus, all those who cite Diocles, and finally, Diocles himself. This application of conics permitted raising some previously barely understood notions to the level of a real mathematical tool, thus providing them with an operating dimension, that is, to introduce the process of construction by points (or later, by continuous plotting) of conic curves among other mathematical results. But this tradition lasted long after Diocles. It can be found with the Byzantines, in Arabic, in the seventeenth century. And better yet: without any fundamental changes in character, this research passed to a higher level when people raised the still unasked question about burning by refraction. And from mirrors people passed to lenses, par-

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ticularly to the plane-convex and biconvex lens. This is where the discovery of Snell’s law comes in: to make a lens, people undertook completely new research on the hyperboloid, its plane tangents, etc. And it is at this juncture that people tackled different mechanical processes for the continuous plotting of the hyperbola, as well as for the other conic sections. As we have shown, this important discovery took place during the last decade of the tenth century and was made by Ibn Sahl. These questions will be raised again in the seventeenth century by Kepler, Snell, and many other scientists in Mersenne’s circle. In this tradition, which dealt with mirrors or lenses by applying mathematics, it was less a matter of quantifying a physics of light in order to establish a science of light phenomena, than to conceive an organon, which is nothing but mathematical theory incarnate. Mathematics embraces fewer physical meanings than the very figure of this instrument and the mode of its functioning. But in order for this application to be possible, the mathematician finds himself forced to postulate a certain number of physical hypotheses, not at all on the nature of light nor its movement, but on propagation, reflection, and heat, in the case of the mirrors, and on the medium, refraction, and constancy of the refractive index for the lenses. But whatever the physical poverty of such an application, it nevertheless expresses a new epistemic conception: it becomes admissible that the goals of mathematical knowledge can lie outside of itself, in the realization of a technical object. This conception does not appear to contradict the Aristotelian conception formulated for the poetic sciences, but it undoubtedly has not had the philosophical grounding that it deserves. Perhaps it is for this reason that it has remained veiled before the eyes of the majority of the historians of science. The situation is completely different when, instead of organons, there are the ideas of phenomena which are treated mathematically. Thus one draws another conception of the application as a ‘composition’ of mathematical and physical notions. This conception and the project corresponding to it are explicitly formulated as such by Ibn al-Haytham at the beginning of the eleventh century. But that is another story [Rashed, 1990, 1993].

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Apollonius of Perga. 1896. Treatise on conic sections, edited in modern notation, with introductions including an essay on the earlier history of the subject, by T. S. Heath, Cambridge: University Press. Apollonius of Perga. 1923. Les coniques d’Apollonius de Perge; œuvres traduites pour la premiere fois du grec en français avec une introduction et des notes par Paul ver Eecke. Bruges: Desclée de Brouwer. [The following three items are taken from The Basic Works of Aristotle edited by Richard McKeon. New York: Random House.] The Nicomachean Ethics, translated by W. D. Ross. Physics, translated by R. P. Hardie and R. K. Gaye. Metaphysics, translated by W. D. Ross. Kant, Immanuel. 1970. Metaphysical foundations of natural science with introduction and essay, by James Ellington. Indianapolis: Bobbs-Merrill. Neugebauer, Otto. 1932. ‘Apollonius-Studien,’ in Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Abteilung B: Studien Band 2, pp. 215-253. Neugebauer, Otto. 1959. ‘Eccentric and Epicyclic Motion according to Apollonius’, in Scripta mathematica 24, pp. 5-21. Pappus of Alexandria. 1933. La collection mathématique; œuvre traduite pour la première fois du grec en français par Paul ver Eecke. Paris: Desclée de Brouwer. 2 v. [This is a French edition of Pappus of Alexandria, 1965]. Pappus of Alexandria. 1965. Pappi Alexandrini Collectiones que supersunt; e libris manuscriptis edidit latina interpretatione et commentariis instruxit Fridericus Hultsch. Amsterdam: Hakkert. 4 v. in 3. (Reprint of 1875-1878 edition). Pappus of Alexandria. 1986. Book 7 of the Collection, edited with translation and commentary by Alexander Jones. New York: Springer-Verlag. 2 v. Rashed, Roshdi. 1990. “A pioneer in Anaclastics. Ibn Sahl on Burning Mirrors and Lenses”, Isis, 1990, 81 : 464-491. Rashed, Roshdi. 1992. “Fūthiṭos (?) et al-Kindī sur ‘l’illusion lunaire’,” in Σοφίης μαιήτορες, Hommage à Jean Pépin, ed. Goulet, Madec, O’Brien, Institut d’Études Augustiniennes, Paris, 1992 : 533-559. Rashed, Roshdi. 1993. Géométrie et Dioptrique aux x e-xi e siècles : Ibn Sahl—al-Qūhī et Ibn al-Haytham. Paris : Les Belles Lettres, 1993. 705 pp. Zeuthen, Hieronymus Georg. 1886. Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum. Copenhagen: Host & Sohn.

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE : UN TRAITÉ JUSQU’ICI INCONNU

Introduction Parler de l’optique d’al-Kindī, c’était interpréter son livre communément connu sous le titre De aspectibus. Aucun autre choix n’était laissé à l’historien, en l’absence de l’original arabe de cette traduction latine, et dans l’ignorance où il se trouvait des autres travaux optiques du philosophe. Il est clair, à la simple lecture du De aspectibus – que le savant de Bagdad se définissait certes en fonction du mathématicien d’Alexandrie, mais aussi contre lui. Sans doute alKindī suivait-il le chemin qu’Euclide avait tracé en optique, mais en s’opposant à lui. Il reste que le seul De aspectibus ne permettait pas de connaître, avec toute la précision voulue, la version de l’Optique que lisait al-Kindī, non plus que les points sur lesquels il s’écartait d’Euclide. Le De aspectibus ne se présente pas comme un « commentaire », quel que soit d’ailleurs le sens que l’on donne à ce terme. Telle était hier encore la situation, jusqu’à ce que la fortune m’eût fait découvrir un traité substantiel encore ignoré, un commentaire extensif et exhaustif de l’Optique par al-Kindī. L’étude de ce commentaire mène à deux résultats importants pour l’histoire de l’optique grecque et de l’optique arabe au milieu du ix e siècle : une meilleure compréhension des rapports d’al-Kindī avec l’Optique, en même temps qu’une connaissance plus fidèle des traditions textuelles et conceptuelles de celle-ci. C’est dire que l’image que nous avons de la recherche optique au milieu du ix e siècle en arabe se redessine et que la question – agitée depuis Heiberg et aujourd’hui encore – de la multiplicité des traditions textuelles de l’Optique se complique et s’enrichit. C’est cet apport du commentaire d’al-Kindī à la connaissance de ces traditions que j’entends examiner dans cet article. 1

Paru dans Arabic Sciences and Philosophy, 7.1 (1997), p. 9-57. ‎1. Cet article est extrait du premier chapitre de mon livre L’optique et la catoptrique d’al-Kindī (Leiden, 1997). On y trouvera l’editio princeps, la première traduction de la Rectification, ainsi que tous les autres écrits optiques et catoptriques retrouvés d’al-Kindī et de Qusṭā ibn Lūqā.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Le traité retrouvé a un titre pour ainsi dire « programme » : Épître d’Abū Yūsuf Yaʿqūb ibn Isḥāq al-Kindī à certains de ses amis sur la rectification de l’erreur et des difficultés dues à Euclide dans son livre appelé l’Optique ; désormais nous l’appellerons brièvement la Rectification. Ce qu’al-Kindī entend par ce titre est une lecture critique de la totalité de l’Optique d’Euclide. Et de fait, dans la Rectification, al-Kindī reprend systématiquement, et dans l’ordre, les propositions de l’Optique, dans le but d’en améliorer la démonstration, d’en résoudre les difficultés et d’en corriger les erreurs. Il s’agit donc d’un commentaire critique de l’Optique ; le premier commentaire connu du livre d’Euclide est ainsi destiné par son auteur à dépasser l’œuvre commentée. En effet, « commenter » ne se réduit pas à reprendre pour comprendre : il s’agit aussi de reprendre pour rectifier. Mais, avant toute analyse de la tâche que s’est fixée al-Kindī, soulignons qu’un tel livre constitue un témoignage textuel et conceptuel de premier ordre sur l’histoire de l’ouvrage d’Euclide et sur celle de la discipline. Plus que tout autre livre, y compris les autres ouvrages d’al-Kindī, la Rectification nous renseigne sur l’état du texte d’Euclide au ix e siècle : d’abord sur la version arabe de celui-ci, et ensuite – tout au moins indirectement – sur la version grecque que celle-ci a pu rendre. Nous allons montrer précisément que la version arabe lue et commentée par al-Kindī n’est pas celle qui nous est parvenue dans la tradition manuscrite arabe, ni l’une de celles que la tradition manuscrite grecque a conservées. Al-Kindī nous permettra donc d’établir que l’Optique d’Euclide n’a pas été l’objet, comme on le croit encore, d’une unique traduction arabe, mais de deux au moins, et ceci à partir de deux traditions manuscrites grecques différentes. Nous serons ainsi amené à affirmer rigoureusement qu’avant le ix e siècle, il y avait au moins quatre traditions manuscrites de l’Optique d’Euclide, et non point deux comme on persiste à le soutenir. Ce sont ces questions qui nous retiendront d’abord, ainsi que celles qui leur sont associées, telles que l’attribution de la Rectification et sa postérité. La Rectification, mais aussi le De aspectibus, le commentaire critique de l’Optique ainsi que la nouvelle rédaction de l’optique, réalisés par al-Kindī, soulèvent la question de l’apport conceptuel des rédactions optiques d’al-Kindī, et notamment de la manière dont il pouvait entendre les notions fondamentales de l’optique des géomètres : rayon et cône visuels par exemple. L’apport conceptuel d’al-Kindī, et les questions qu’il soulève, importants pour l’histoire de l’optique médiévale, sont également autant de clés pour mieux pénétrer les intentions des prédécesseurs d’al-Kindī, et, en premier lieu, d’Euclide. Cet apport, en nous offrant l’instrument pour mesurer l’écart qui sépare al-Kindī de son prédécesseur, éclaire du coup les intentions de

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE

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l’un comme de l’autre, ainsi que les limites de leurs contributions. C’est sur de telles questions que nous nous arrêterons ensuite. Enfin, rédigée selon toute vraisemblance après le De aspectibus, la Rectification permet d’en mieux saisir quelques points restés obscurs et de retracer le progrès de la pensée optique d’al-Kindī pour engager sa reconstitution.

Al-Kindī et les versions grecques et arabes de l’Optique d’Euclide Dans la Rectification, al-Kindī examine les définitions d’Euclide, avant de reprendre toutes les propositions de l’Optique l’une après l’autre, et dans l’ordre. On a ainsi, avec le livre catoptrique de Qusṭā ibn Lūqā, 1 les deux témoignages les plus anciens en arabe sur le livre du mathématicien alexandrin. Mais laquelle des versions de ce livre al-Kindī a-t-il commentée ? Depuis les travaux fondateurs de Heiberg, 2 on savait l’histoire de l’Optique d’Euclide complexe. La tradition grecque 3 est en effet à la fois tardive (le plus vieux manuscrit de l’Optica genuina, le Vind. phil. gr. 103, date du xii e siècle) et confuse : si l’Optica genuina – que nous notons ici G1 – est en effet attribuée à Euclide par la tradition manuscrite, ce qui, pour Heiberg est la « recension de Théon », que nous notons ici G2 , et dont le plus ancien manuscrit, le Vat. gr. 204, remonte aux environs de l’an mil, est transmise sans nom d’auteur dans les manuscrits conservés. La seule référence explicite à la paternité de l’Alexandrin figure dans un titre de la main d’Ange Vergèce copiant à Paris en 1566, pour le chancelier Michel de l’Hospital, le Paris, gr. 2468 4 : τὸ προοίμιον ἐκ τῆς τοῦ Θέωνός ἐστιν ἐξηγήσεως, « le préambule provient du commentaire de Théon ». 5 Ces constatations ont conduit un certain nombre de chercheurs à remettre en cause les conclusions de Heiberg, et en particulier son attribution conjecturale du texte transmis par le Vat. gr. 204 à

‎1. Sur ce livre Kitāb fī ʿilal mā yaʿriḍu fī al-marāya min ikhtilāf al-manāẓir, MS Āstān Quds 5593, fol. 78 r-93 r, voir l’édition, la traduction et le commentaire dans Rashed, L’optique et la catoptrique, Appendice II. ‎2. Euclidis Opéra Omnia (Leipzig, 1945), vol. VII : Euclidis optica, opticorum recensio Theonis, catoptrica, cum scholiis antiquis, éd. J.L. Heiberg ; J.L. Heiberg, Literargeschichtliche Studien über Euclid (Leipzig, 1882), chap. IV. ‎3. Voir Heiberg, Euclidis optica, « Prolegomena », pp. XIII-XVI et Literargeschichtliche Studien über Euclid, notamment pp. 90-1. ‎4. Cf. M. Vogel et V. Gardthausen, Die griechischen Schreiber des Mittelalters und der Renaissance (Leipzig, 1909; repr. Hildesheim, 1966), p. 3. ‎5. Heiberg, Euclidis optica, « Prolegomena », p. XXX.

244

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Théon. 1 Ces critiques, qui ont le grand mérite d’attirer une nouvelle fois l’attention sur un problème qu’on considérait sans doute un peu rapidement comme réglé, soulignent à juste titre la fragilité d’une attribution ne reposant sur aucune mention explicite de Théon avant le xvi e siècle. Un pas supplémentaire a cependant été franchi avec l’attribution de la recension « de Théon » à Euclide lui-même, attribution conduisant à voir dans l’Optica genuina un développement plus tardif de l’œuvre authentique. Notons toutefois que l’on ne trouve pas davantage d’attribution à Euclide qu’à Théon dans cette recension. Les trois passages cités par Heiberg ne peuvent en aucun cas être considérés comme des attributions. Les trois scholies mentionnées dans l’apparat critique de Heiberg ne sauraient établir une véritable attribution. On ne peut, de fait, accorder grande valeur à la seule portant sans l’ombre d’un doute sur le texte lui-même (et non sur le prologue « de Théon »), présente seulement dans le Vat. gr. 191 (xiii e-xiv e siècle selon Heiberg) 2 ; elle consiste en effet en une note marginale, d’une main plus récente que celle du copiste principal du manuscrit, qui se borne à remarquer, au moment où G2 présente les définitions euclidiennes : ἐντεῦθεν οἱ ὅροι τῶν Εὐκλείδου ὀπτικῶν, « ici sont les définitions de l’Optique d’Euclide » – ce qui reste incontestable même si Théon (ou un autre) est l’auteur de la « recension ». La deuxième mention « externe » d’Euclide, si elle se retrouve dans les trois manuscrits (y compris donc le Vat. 204, du x e siècle), ne se rapporte en revanche pas le moins du monde à G2 : purement descriptive (τὰ πρὸ τῶν Εὐκλείδου ὀπτικῶν, « ce qu’il y a avant l’Optique d’Euclide »), elle semble avoir été placée en cet endroit pour tenir lieu de titre au prologue attribué par Ange Vergèce à Théon. On affirmera tout au plus que dans le cas, probable mais non certain, où le prologue aurait toujours précédé G2 dans la tradition manuscrite,

‎1. Voir A. Jones, « Peripatetic and Euclidean Theories of the visual ray », Physis, 31. 1 (1994) : 47-76, en particulier p. 49 n. 6 et W.R. Knorr, « Pseudo-Euclidean reflections in ancient optics : A re-examination of textual issues pertaining to the Euclidean Optica and Catoptrica », Physis, 31.1 (1994) : 1-45, notamment pp. 28 sqq. ‎2. Plus précisément, le manuscrit est fait de trois parties distinctes dues à au moins seize copistes et contenant des œuvres de mathématique, d’astronomie, d’astrologie, de géographie et de musique. Il semble bien que les trois parties du manuscrit ont été réunies en un, par un seul et même correcteur qui le fit exécuter par des amis, des élèves ou des secrétaires, entre 1296 et 1298, et que des notes ont été ajoutées jusqu’au 1 er septembre 1303. Cf. P. Canart et V. Péri, Sussidi bibliografici per i manoscritti greci della Biblioteca Vaticana, Studi e Testi, 261 (Roma, 1970), pp. 387-8; A. Turyn, Codices graeci Vaticani saeculis XIII et XIV scripti annorumque notis instructi (Roma, 1964), pp. 91-3; A. Allard, « La tradition du texte grec des Arithmétiques de Diophante d’Alexandrie », Revue d’histoire des textes, 12-13 (1982-1983) : 57-137, aux pp. 69-70.

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE

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l’auteur de ce titre voyait en ces pages un texte de l’Optique d’Euclide. En d’autres termes, cette brève mention – dont il faudrait se garder de surcharger l’interprétation – soulève davantage la question du rapport des différentes versions entre elles qu’elle ne contribue à la résoudre. La troisième mention est fort douteuse. Elle ne se lit que dans le Paris, gr. 2390, manuscrit relativement tardif (xiii e siècle selon Heiberg) : τὰ πρὸ ὀπτικῶν Εὐκλείδου φίλε τέλος εἴληφε θεῷ [θεῷ om. Heiberg] εὐδοκοῦντος, ᾧ δόξα. Tout en paraissant porter sur le seul prologue (τὰ πρὸ ὀπτικῶν Εὐκλείδου), elle se trouve reléguée après la totalité du texte de G2 , pour clore l’ensemble du livre. Prise rigoureusement, elle signifierait donc que le texte de G2 dans son ensemble devrait être compris comme une introduction à l’Optique d’Euclide (G1 ?). Si d’un autre côté cette dernière « scholie » est déplacée et qu’elle faisait à l’origine directement suite au prologue anonyme, elle tombe alors sous la même critique que celle que nous adressions à la précédente – tout en étant, remarquons-le encore une fois, textuellement moins bien attestée. 1 Il serait donc fort téméraire de vouloir faire dire à ces trois mentions externes de l’Optique plus que ce qu’elles veulent bien nous révéler – très peu de choses à la vérité – sans recourir à une pétition de principe des plus flagrantes. Le problème demande cependant à être reconsidéré à la lumière de la tradition arabe. Il va de soi que l’on ne saurait, dans l’état actuel des connaissances et en l’absence d’une édition critique de la version arabe conservée de l’Optique d’Euclide, apporter de réponse globale et définitive à toutes les questions posées. Nous allons donc montrer qu’il n’y a aucune version privilégiée de l’Optique d’Euclide, que G1 et G2 sont indépendantes, que G2 est bien une recension, non pas de G1 mais très vraisemblablement d’un archétype dont seules les traductions arabes ont gardé quelque trace et, enfin, que le rédacteur de G2 nous est inconnu. ‎1. Le Paris, gr. 2390 demanderait de toute évidence une étude attentive, et que l’on déterminât avec précision sa situation stemmatique exacte. Son copiste a en effet toujours pris le soin, aussi bien pour le texte euclidien que pour ce qui le précède, de noter le titre du traité ainsi qu’un explicit, dans une encre mauve très caractéristique. C’est aussi avec cette encre qu’il numérote les différentes propositions. Il est donc clair qu’il ne s’agit pas là de l’inspiration intempestive de quelque érudit byzantin, mais bien du travail rigoureux d’un copiste attentif. Comme en outre ce copiste n’adopte pas la moindre séparation entre le « prologue » et G2 , il est indiscutable que sa source voyait dans l’ensemble (prologue+G2 ) « ce qu’il y a avant l’Optique d’Euclide », τὰ πρὸ ὀπτικῶν Εὐκλείδου. Étant donné la présence de Théon dans le manuscrit, il appartiendra donc à la recherche future de déterminer si ce dernier ne reflète pas, même lointainement, la scolastique alexandrine.

246

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

On peut cependant d’ores et déjà remarquer qu’on connaissait, au ix e siècle, au moins deux versions arabes de l’Optique. La première est constituée par le texte d’Euclide, conservé en plusieurs manuscrits : celui-ci s’écarte souvent du texte proposé par les deux versions grecques, et dans des passages aussi fondamentaux que les définitions liminaires. Cette même version arabe a été utilisée par Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī et par Ibn Abī Jarrāda (xiii e siècle) dans leurs rédactions de l’Optique. La seconde version arabe, dont on n’avait jusqu’ici jamais soupçonné l’existence, est au moins aussi ancienne que la première, puisque c’est celle qu’a utilisée al-Kindī. Elle est proche de la traduction arabe connue, mais ne lui est cependant pas identique ; il arrive même en certains endroits qu’al-Kindī rejoigne le texte conservé par la version grecque G1 . Mieux encore, quand la version G1 du texte grec attribuée par Heiberg à Euclide et la version G2 du même texte, attribuée, par Heiberg également, à Théon, divergent, la version arabe, tout en étant incontestablement plus proche de G1 , rejoint cependant G2 dans certains cas. S’il fallait voir avec les contradicteurs de Heiberg, dans la version G1 un développement de la version G2 1 et non pas en celle-ci une recension de celle-là, on serait forcé de conclure d’une part que cette amplification aurait eu lieu avant l’époque des traductions arabes et, d’autre part, qu’il aurait existé au moins deux états de texte intermédiaires – celui auquel remonte al-Kindī et celui de la traduction arabe conservée. Cette hypothèse d’une réélaboration devient, ipso facto, quasiment intenable : nous sommes en effet en présence de quatre traditions indépendantes, c’est-à-dire opposables deux à deux – ce qui nous assure qu’aucune n’a conservé seule la version correcte du texte d’Euclide. Si en effet la version G1 était une simple réélaboration de la version G2 , comment expliquer que les deux versions arabes concordent tantôt avec l’une et tantôt avec l’autre ? comment expliquer aussi que parfois, comme on le verra, G2 soit en revanche un développement de G1 ? Quelles conclusions en tirer concernant l’histoire du texte d’Euclide ? Tout d’abord, que les doutes sur la paternité de la version G2 sortent plus que renforcés par la tradition arabe. S’il serait illusoire de voir là le texte d’Euclide, il n’en demeure pas moins que l’érudit

‎1. Ainsi W.R. Knorr conclut à propos de la proposition 15 (en notant G1 = A et G2 = B) : « In sum, the comparison of the two versions of prop. 15 illustrates a general pattern : the proofs in A are ampler and the exposition more regular than in B ; the idiosyncratic terminology of B (e.g., οὐκοῦν) is generally avoided in A, although it is occasionally found there ; while idiosyncratic terms of A are absent from B. These features accord nicely with the view that B is the antecedent of A ». [« Pseudo-Euclidean reflections in ancient optics », p. 33.]

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE

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auquel nous devons sa forme actuelle – qu’il se nomme Théon ou autrement – avait entre les mains une tradition indépendante du texte de l’Optique et que cette recension dérive d’un archétype dont seule la tradition arabe a gardé quelques traces. On propose d’abord, dans le tableau suivant, une table des concordances (ou des discordances) entre la version G1 la version G2 , la version commentée par al-Kindī dans la Rectification que nous notons K, la traduction arabe conservée A, le commentaire d’al-Ṭūsī et celui d’Ibn Abī Jarrāda. Ce tableau ne peut être que très schématique, étant donné les différences considérables qui séparent les diverses traditions. Il ne concerne que l’ordre des propositions, leur nombre et leur numérotation.

Sigla G1 Version de l’Optique considérée par Heiberg comme authentique et établie à partir de plusieurs manuscrits, notamment le Vindobonensis phil. gr. 103. G2 Version de l’Optique considérée par Heiberg comme une recension de Théon d’Alexandrie, établie à partir de plusieurs manuscrits, notamment le Vaticanus gr. 204. A Version de l’Optique provenant du texte par nous établi à partir des trois manuscrits suivants : 1. Leyde, Or. 133, fol. 81-105 [noté L]. 2. Le Caire, Dār al-kutub, Riyāḍa 260, fol. 59 r-91 r [noté Q]. 3. İstanbul, Topkapı Sarayı, Ahmet III 3494, fol. 59 v-74 r [noté I]. Nous adoptons la numérotation des propositions du manuscrit de Leyde. K Version de l’Optique commentée par al-Kindī dans la Rectification. T Rédaction de l’Optique d’al-Ṭūsī. J Rédaction de l’Optique d’Ibn Abī Jarrāda, Le Caire, Dār al-kutub, Riyāḍa 638, fol. 1 v-12 r.

G1

G2

A

K

T

J

1 2 3 4 5 6a

1 2 3 4 5 6a

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

248 6b 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 Autrement 1 22 Autrement 2 23 24 25 26 27 28 28 Autrement 29 30 31 32 33 34a 34b 34c 35 énoncé 35a 35b 35c 35d 36 37a 37b 38 39a absente absente 39b absente absente 40 absente 41

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE 6b 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 absente absente 22 23 24 25 26 27 absente 28 29 30 31 32 33 34 35a 35b 36 énoncé 36a, b, c absente 36d 36e 37 absente absente absente 38a absente absente 38b absente 40a 40b 40c 39

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 absente absente 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 absente 38 énoncé 39 absente 40 41 42 43a absente 43b et 48 44 absente absente 45a absente 45b 46 47 49

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 absente absente 24 25 26 27 28 29a absente 29b 30a 30b 31 32 33 34 35a 35b 36a 36b * 37a 37b 38 39 absente 40 et 44 41a 41b 41c 42a 42b, c 43a 43b 43c 45

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 absente absente 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 absente 38 39 absente 40 41 42 43 absente 43b et 48 44 absente absente fin de 44 absente 47 46 45 49

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 absente absente 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 absente 38 39 absente 40 41 42 43 absente 43b et 48 44 absente absente 44 absente 47 46 45 49

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE 42a 42b Autrement 43 44 Autrement 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 Autrement 1 Autrement 2 55 56 57 58

42 43 43 43 44 absente 45 46 absente 47 48 absente 49 50 51 52 53 absente absente 54 55 56 57a

absente 50 50 50 51 52 absente 54 53 55 absente 56 57 58 absente 59 absente 60 absente 61 62 63 64

absente absente absente 46 47 absente 49 48 51 absente 52 53 54 absente 55 absente absente absente partie de 56 absente absente 59

249

absente

absente

50

50

51 52 absente 54 53 55 absente 56 57 58 absente 59 absente 60 absente 61 62 63 64

51 52 absente 54 53 55 absente 56 57 58 absente 59 absente 60 absente 61 62 63 64

La lecture attentive du tableau ci-dessus suffit à modifier notre connaissance des traditions textuelles de l’Optique d’Euclide ; elle montre de plus que le face à face dans lequel on a enfermé les deux versions G1 et G2 est de pure circonstance. L’ignorance de K, et la négligence à l’égard de A, ont fait prendre ce fait de circonstance pour un fait essentiel. Ce face-à-face ne pouvait donc avoir qu’une seule issue : si l’on attribuait l’une des deux versions à Euclide pour la considérer comme la version de base, l’autre devenait du même coup le fait d’un commentateur. C’est précisément la démarche de l’éminent historien et philologue Heiberg, lorsqu’il considère G1 comme la version de base, et G2 comme la recension de Théon. C’est également ce qu’ont fait ses contradicteurs en prenant simplement le contre-pied, pour considérer G2 comme la version de base, et G1 comme une rédaction développée à partir de celle-ci. La thèse de Heiberg, qui nous semble injustifiée, part d’une constatation et aboutit à une conjecture, qui, elles, nous semblent en revanche correctes. Le constat est que G1 et G2 sont différentes ; constat exact, même si la raison invoquée – G2 est une recension de G1 – n’est pas la bonne. Cette différence a été élégamment décrite par Ver Eecke, lorsqu’il écrit dans l’introduction de sa traduction de l’Optique que la version G2 « n’est ni corrective ni complétive » de la

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

version G1 , et que la première, même si elle est souvent d’un « verbalisme plus concis », est géométriquement beaucoup plus rigoureuse. 1 Quant à la conjecture, c’est celle qui voit dans G2 une recension. Cette conjecture semble défendable, à condition que G2 ne soit pas la recension de G1 . Certes, la comparaison entre G2 et G1 semble suffire à établir leur indépendance. Mais la prise en compte de A et, à un moindre degré, de K, ne laisse plus guère de chance à cette alternative « développement-recension ». 2

L’indépendance des versions de l’Optique L’examen du précédent tableau montre d’une part que l’ordre des propositions des versions arabes diffère de celui de G1 et de celui de G2 ; d’autre part, que l’ordre des propositions de K diffère de celui de A, de celui de T et de celui de J ; que, enfin, l’ordre est identique pour les deux dernières versions. C’est dire non seulement que la structure de l’Optique varie d’une tradition à l’autre, mais qu’il n’y a aucune raison de privilégier du point de vue de l’ordre l’une des versions aux dépens de l’autre. On ne tarde pas non plus à voir se profiler quelques rudes questions d’authenticité, pour la solution desquelles il faut nécessairement établir le texte de l’Optique à partir de toutes les versions : tâche immense, sinon impossible, et qui de toutes façons dépasse de loin le cadre de cet article. Il nous suffit ici d’avancer quelques remarques, pour confirmer l’indépendance de ces versions prises deux à deux, et donc montrer qu’al-Kindī lisait l’Optique dans une traduction autre que celle qui nous est parvenue – A -, et faite selon toute vraisemblance à partir d’un texte grec autre que celui rendu en arabe dans A. Notons avant de nous engager dans ces remarques qu’al-Ṭūsī, dans sa propre rédaction, suit la traduction A, mais qu’il aurait pu avoir accès à une autre source, de nous ignorée, qui comportât les définitions 5 et 6, absentes de A ainsi que de K. L’indépendance de G1 et de G2 est reconnue de tous : il s’agit bien de deux versions différentes. C’est cela, semble-t-il, qui a suggéré à Heiberg d’attribuer G1 à Euclide et G2 à Théon d’Alexandrie. A la suite de Heiberg, Ver Eecke écrit très justement, pour introduire la traduction française qu’il donne de ces deux versions :

‎1. Euclide. L’optique et la catoptrique. Œuvres traduites pour la première fois du grec en français avec une introduction et des notes par Paul Ver Eecke (Paris, 1959), p. XXVIII. ‎2. Pour un examen détaillé de cette question, voir Rashed, L’optique et la catoptrique, chap. I, pp. 14 sqq.

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE

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Les trois premières propositions [de G1 ] sont énoncées chez Théon [G2 ] dans les mêmes termes, et démontrées à peu près de la même manière que par Euclide. À la quatrième proposition, dont l’énoncé est encore celui de la proposition originale, la démonstration est déjà différente ; car elle ne fait plus intervenir ni des parallèles ni des triangles semblables. Les différences vont en s’accentuant à partir de la cinquième proposition ; les énoncés deviennent tantôt moins complets, tantôt plus explicites ; les démonstrations, généralement identiques par le fond, affectent une forme plus concise, surtout dans l’exposé des constructions géométriques, et font disparaître ainsi l’ordonnance, la précision et la rigueur des démonstrations originales. D’autre part, les figures sont le plus souvent établies d’une autre manière ; leur littération a changé, et un certain nombre de démonstrations, entièrement nouvelles, sont des variantes que Théon [G2 ] ne juxtapose pas, mais substitue aux démonstrations d’Euclide. Ces démonstrations de seconde manière ne sont d’ailleurs pas toujours heureuses. [Ver Eecke, p. XXVII-XXVIII]

Plus généralement, la comparaison proposition à proposition des deux textes, G1 et G2 , fait ressortir des différences souvent considérables. 1 Venons-en maintenant à la version A, pour montrer qu’elle est bien indépendante de G1 et de G2 . Relevons quelques-unes des principales divergences. 1. Alors que G1 et G2 commencent chacune par sept définitions ou hypothèses, la version arabe A n’en présente que quatre : on cherchera en vain dans A la cinquième et la sixième définition, non seulement absentes de l’introduction, mais nulle part évoquées ensuite dans le corps du texte. La septième définition, en revanche, pose un problème textuel intéressant. Dans G1 et G2 la quatrième définition s’écrit : Et que les grandeurs vues sous un plus grand angle apparaissent plus grandes ; tandis que celles qui sont vues sous un plus petit angle apparaissent plus petites, et que celles qui sont vues sous des angles égaux apparaissent égales. [Heiberg, p. 2, l. 10-12 et p. 154, l. 13-15; trad. Ver Eecke, p. 1 et p. 57]

Dans A, T et J, elle s’écrit de la manière suivante : Ce qui est vu sous un grand angle apparaît grand ; tandis que ce qui est vu sous un petit angle apparaît petit, ce qui est vu sous des angles nombreux apparaît nombreux, et que les choses vues sous des angles égaux apparaissent égales. [Mss I, fol. 59 v ; L, fol. 81] ‎1. Sur l’authenticité de ces textes, voir l’introduction de J.L. Heiberg, ainsi que son étude : Literargeschichtliche Studien über Euclid, pp. 90 sqq.

252

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

La vraie différence entre les deux formulations réside dans l’intercalation de la phrase en italique dans la définition. Mais la septième définition de G1 et de G2 s’écrit : Enfin, que les grandeurs vues sous des angles plus nombreux paraissent plus distinctement. [Heiberg, p. 2, l. 19-20 et p. 154, l. 22-23; trad. Ver Eecke, p. 2 et p. 57]

Dans A, la quatrième définition comprend donc la septième définition de G1 et de G2 , mais modifiée. Or cette présentation, aussi bien que cette modification, se retrouvent dans K 1, version qui, nous le montrerons, dépend d’une autre traduction, laquelle a selon toute vraisemblance été faite à partir d’une autre tradition manuscrite grecque. À la fin de la seconde proposition, une seconde différence apparaît, liée à la précédente. Euclide y considère deux grandeurs égales et parallèles – ΓΔ et KΛ – et veut démontrer que la plus proche de l’œil – ΓΔ – est vue plus distinctement. Il montre donc que ΓΔ est vue sous davantage de rayons visuels que KΛ, et conclut : En conséquence, la grandeur ΓΔ apparaîtra plus distinctement que la grandeur KΛ ; car les grandeurs vues sous des angles plus nombreux apparaissent plus distinctement. [Heiberg, p. 4, l. 22-23; trad. Ver Eecke, p.

Cette dernière phrase se présente ainsi dans A : ‫قدصأ‬. ‫امو عقو هيلع عاعشلا رثكأ هتيؤرف‬ Ce sur quoi tombent plus de rayons, sa visibilité sera plus distincte. 2

Cette comparaison nous laisse face à trois solutions, au moins. La première est d’admettre le texte de G1 repris par G2 , tel quel. On a alors sept définitions indépendantes. Dans ce cas, nous sommes obligés de considérer les définitions 5 et 6 comme authentiques. Or nous

‎1. Voir la Rectification, dans Rashed, L’optique et la catoptrique, p. 165, l. 18-21. ‎2. MSS I, fol. 81; L, fol. 59 v ; Q fol. 59 r.

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE

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savons qu’elles font défaut à A et à K, non seulement dans l’introduction, mais aussi dans le corps du texte – nulle part en effet on n’y a recours pour établir une proposition. Si l’on revient à G1 et à G2 , le seul endroit à notre connaissance où ces définitions sont explicitement évoquées est la fin de la proposition 10, où on lit « car les choses vues sous des rayons plus élevés apparaissent plus élevées », qui n’est autre que la cinquième définition. Or cette phrase est absente de la version arabe ; elle ne semble pas être essentielle à la démonstration, et l’authenticité de ces définitions ne va pas sans soulever quelques problèmes. Des deux autres solutions, aucune n’est privilégiée, car on va montrer que chacune des traditions textuelles a sa cohérence. On peut en effet concevoir que la quatrième définition ne comportait pas la phrase mise en italique et que la septième définition aurait été ajoutée pour remédier à ce manque et être en mesure d’établir la seconde proposition : on a alors le texte de G2 et de G1 . Mais on peut tout aussi bien concevoir la fameuse phrase bien à sa place dans la quatrième définition, la septième définition n’ayant alors pas lieu d’être. On aboutira alors à la présentation de A et de K. Il apparaît donc que, au cours de leur histoire, les traditions textuelles ont organisé leur propre cohérence, ce qui dissuade, dans le cas de l’Optique, d’en privilégier absolument une aux dépens des autres. 2. Plusieurs propositions figurant dans G1 et G2 sont absentes de A ; par exemple, l’Autrement 2 de la proposition 22 de G1 qui est la proposition 22 de G2 et l’Autrement de la proposition 42 de G1 , qui est la proposition 43 de G2 , ne figurent pas dans A. De même l’Autrement de 44 de G1 (proposition 45 de G2 ), la proposition 48 de G1 , la proposition 52 de G1 (proposition 51 de G2 ), sont toutes absentes de A. Inversement, la proposition 45b de A, absente de G1 est la proposition 40a de G2 , et la proposition 47 de A, absente de G1 , est la proposition 40c de G2 . 3. Les différences entre les textes de certaines propositions, si, dans la grande majorité des cas, elles n’altèrent pas leur identité, sont si importantes et si nombreuses qu’elles ne peuvent pas être imputées à la traduction. Pour illustrer ces différences, prenons un exemple ordinaire, c’est-à-dire avec le moindre écart entre le grec et l’arabe, et où le texte de G1 et celui de G2 sont identiques. Pour des raisons d’économie – nous reviendrons à cet exemple plus tard – considérons la première proposition, qui s’écrit : Aucune des choses vues n’est vue en même temps tout entière. Soit en effet AΔ quelque chose qu’on voit, et soit B l’œil, d’où tombent les rayons visuels BA, BΓ, BK, BΔ. Donc, puisque les rayons visuels qui tombent sont menés à intervalle [c’est-â-dire à divergence], ils pourraient bien tomber

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sur AΔ sans être contigus, de sorte qu’il y aurait sur AΔ des intervalles sur lesquels les rayons visuels ne tombent pas. Ainsi donc AΔ ne sera pas vue en même temps tout entière. Mais on a l’impression qu’elle est vue en même temps, du fait que les rayons visuels sont conduits rapidement. [Heiberg, p. 2, l. 22 – p. 4,1. 8 et p. 156, l.

Voici la traduction de la version arabe A : Aucune chose parmi celles qu’on voit n’est vue tout entière en même temps. Exemple : Soit la ligne AB ce qu’on voit, je dis que la ligne AB ne peut être vue tout entière en même

Démonstration : Posons l’œil le point C et menons les rayons CA, CD, CE, CG et CB. Le rayon CA tombe donc avant le rayon CD, le rayon CD tombe avant le rayon CE, CE avant CG et CG avant CB. La grandeur AD est donc avant la grandeur DE. Aucune chose parmi celles qu’on voit n’est donc vue tout entière en même temps, alors qu’on imagine qu’on la voit tout entière en même temps, en raison de la rapidité du regard (li-surʿat lamḥ al-baṣar) ; ce qu’il fallait démontrer. [MSS I, fol. 81; L, fol. 59 v ; Q fol. 59 r]

Entre les deux textes, on observe d’abord une différence formelle ; alors que A conserve la forme d’exposé des propositions géométriques, G1 et G2 ne le font pas. À la lecture, une seconde différence entre les deux textes, bien plus importante, se fait sentir : A comprend une tentative de démonstration, absente de G1 et de G2 . Dans toutes les versions, en effet, l’explication s’appuie sur la définition des rayons visuels qui divergent à partir de l’œil et ne tombent pas d’une manière contiguë, et invoque le déplacement rapide des

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rayons pour rendre compte de cette impression que la totalité de la grandeur est vue simultanément ; mais seule A, pour pouvoir établir géométriquement cette proposition, formule l’hypothèse selon laquelle les rayons tombent l’un après l’autre, et dans l’ordre. Or, si l’on ôte cet argument, on ne peut plus parler de démonstration géométrique. On notera que, sur ce point, K confirme A. Al-Kindī en effet, après avoir sévèrement critiqué Euclide, cite ce dernier et écrit : Euclide avait dit dans la première de ses propositions : aucune chose parmi celles qu’on voit n’est vue tout entière en même temps, mais la vue se déplace d’une chose à une autre ; on croit alors, en raison de la rapidité du déplacement, qu’on la voit tout entière en même temps. 1

4. Il est aisé de multiplier les exemples pour montrer l’indépendance de A et sa position textuelle par rapport à G1 et G2 . Nous ajouterons simplement ici quelques faits marquants. La proposition 28 de G1 , nous l’avons vu, est suivie par une seconde démonstration, un Autrement, soit 28a. Or G2 ne comprend pas la proposition 28, mais seulement la 28a à sa place. En revanche, A contient la proposition 28 aussi bien que la 28a. De même, les propositions 37a, 46, entre autres, absentes de G2 , figurent dans A ; alors que l’Autrement 1 de la proposition 22 de G1 est absent à la fois de G2 et de A. Autant d’indices qui confirment sans aucun doute que A n’est pas la traduction de la version dont dépend G1 , pas plus que la traduction de celle dont dérive G2 . Ils attestent aussi que A est tantôt plus proche de G1 , tantôt plus proche de G2 , ce qui renforce à nouveau son indépendance à l’égard des deux versions. Que A soit parfois plus proche de G2 , cela est manifeste dans plusieurs cas. Considérons ici un seul exemple, celui de la proposition 6 de G1 . Celle-ci se compose de deux parties. Dans A, K, T, ces deux parties se présentent comme deux propositions successives, 6 et 7. Nous considérerons la première partie seulement. On lit dans G1 : Les droites parallèles, vues à distance, paraissent de latitude inégale. Soient AB, ΓΔ, deux grandeurs parallèles, et soit E l’œil ; je dis que les grandeurs AB, ΓΔ paraissent de latitude inégale, et que la latitude plus rapprochée paraît toujours plus grande que celle qui est plus éloignée. Menons les rayons EB, EZ, EΘ, EΔ, EH, EK, et menons les droites de jonction BΔ, ZH, ΘK. Puisque l’angle BEΔ est plus grand que l’angle ZEH, il s’ensuit que la droite BΔ paraît aussi plus grande que la droite ZH. *Puisque l’angle ZEH est plus grand que l’angle ΘEK, la droite ZH paraît

‎1. Voir la Rectification, dans Rashed, L’optique et la catoptrique, p. 165, l. 1-3.

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donc aussi plus grande que la droite ΘK. En conséquence, la latitude BΔ paraît plus grande que la latitude ZH, et la latitude ZH plus grande que la latitude ΘK ; donc, des droites qui sont parallèles ne seront pas vues de latitude égale, mais inégale. [Heiberg, p. 8, l. 18 – p. 10, l. 5; trad. Ver Eecke, p.

Si à présent on compare ce texte à celui qui lui correspond dans G2 , on remarque, outre quelques différences d’expression et le changement des lettres, une différence particulièrement importante. Celle-ci revient, dans le texte précédent (compte tenu du changement de notation), à récrire à partir de * : De même la droite ZH paraît donc aussi plus grande que la droite ΘK. En conséquence, les droites ne seront plus vues parallèles, mais de latitude allant en diminuant, et inégales ; les droites parallèles, vues à distance, paraissent donc de latitude inégale. [Heiberg, p. 160, l. 18-22; trad. Ver Eecke, p. 60]

Si on revient à la version A, on constate qu’elle est à la fois différente de G1 et de G2 , mais qu’elle est plus proche de G2 . Voici sa traduction : Les droites parallèles sont vues à distance de latitude inégale. Exemple : Soient AB, ΓΔ, deux parallèles ; et soit l’œil E. Je dis que les latitudes entre AB et ΓΔ sont vues inégales, et que la latitude la plus proche de l’œil est vue plus grande. Démonstration : Menons les rayons EB, EZ, EΘ, EΔ, EH, et joignons les droites de la latitude BΔ, ZH, ΘK ; l’angle BEΔ est donc plus grand que l’angle ZEH, et il s’ensuit que la droite BΔ sera vue plus grande que la droite ZH. De même, la droite ZH sera vue plus grande que la droite ΘK, donc les droites de la latitude entre les deux droites AB et ΓΔ seront vues inégales. [MSS I, fol. 60 r ; L, fol. 82; Q, fol. 60 r v]

L’exemple de cette sixième proposition nous montre que, sans être identiques, G2 et A sont cependant dans ce cas assez proches,

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alors que beaucoup d’autres exemples confirment que ces deux versions sont bel et bien indépendantes. L’un des plus significatifs à cet égard est la proposition G1 -22. Il s’agit de montrer que si l’œil est dans le plan d’un arc de cercle, celui-ci paraît être une ligne droite. Pour cette proposition, le texte de A est très voisin de celui de G1; et la seule différence notable réside dans une phrase peu claire, ainsi que dans la présence de deux Autrements dans G1 . Par les problèmes textuels qu’il pose, cet exemple mérite que l’on s’y arrête. Euclide veut montrer que, si l’œil A est dans le plan d’un arc BΓ, alors celui-ci paraît être une droite. Que l’œil A soit sur la médiatrice de la corde BΓ, ce que, implicitement, le texte semble supposer. Soit K le centre du cercle. Les rayons KB, KΔ, KE sont vus respectivement à partir de A sous les angles KAB, KAΔ et KAE ; donc KB apparaît plus grand que KΔ, KΔ apparaît plus grand que KE et KE plus grand que KZ. De même KΓ apparaît plus grand que KΘ, KΘ plus grand que KH et KH plus grand que KZ

Le texte se poursuit, sans autre explication : « διὰ τοῦτο δὴ τῆς μενούσης εὐθείας τῆς KA κάθετος ἡ BΓ ἀεί ἐστιν » que P. Ver Eecke rend ainsi : « Dès lors, c’est à cause de cela que, la droite KA restant fixe, l’arc BΓ lui est toujours perpendiculaire ». 1 Dans A, on lit : .‫نمف لجأ كلذ ىنفت سوق ب ـج نوكي>و< طخ ب ـج ةدعاق دومعل ا ز ـك‬ Ainsi, c’est pour cela que l’arc BΓ disparaît et que la droite BΓ sera une base de la perpendiculaire AZK. [MS L, fol. 88]

‎1. Heiberg, p. 34, l. 16-17; trad. Ver Eecke, p. 16.

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La phrase, en grec comme en arabe, est corrompue. La version arabe rend manifestement un meilleur texte grec, même si elle ne contient pas plus que ce dernier de preuve de l’assertion énoncée. C’est, sans doute, confronté à cette difficulté que l’on a par deux fois tenté de donner une démonstration. Deux Autrements suivent la proposition dans G1 . Dans A, aucun d’eux ne suit la proposition. Quant à G2 , il ne retient que le second Autrement : la proposition ainsi que le premier Autrement sont absents. 5. Notons enfin que la citation dans la proposition 19 de G1 de l’expression « comme il est dit dans les Catoptriques » – ὡς ἐν τοῖς Κατοπτρικοῖς λέγεται, 1 reprise dans G2 : « car cela est démontré dans les Catoptriques » – τοῦτο γὰρ δείκνυται ἐν τοῖς Κατοπτρικοῖς, » 2 est absente de A, de K, de T et de J. Or ces expressions, on le sait, sont de toute évidence, interpolées. À tout prendre, les précédents arguments, joints à bien d’autres que nous ne mentionnons pas pour éviter d’alourdir l’exposé, montrent que A diffère de G1 et de G2 , eux-mêmes distincts l’un de l’autre, et que K diffère de G1 et de G2

La lecture de la Rectification ne tardera pas à corroborer ces remarques, et à convaincre qu’al-Kindī disposait d’une traduction de l’Optique dans une version différente non seulement de G1 et de G2 , mais aussi de A.

La version de l’Optique consultée par al-Kindī et la traduction arabe conservée Le moment est venu à présent d’examiner les rapports entre A et la traduction lue et commentée par al-Kindī. Cette fois, nous nous heurtons à une double difficulté, insurmontable en l’état actuel de nos informations. La traduction A dresse le premier obstacle. ‎1. Heiberg, p. 30, l. 3; trad. Ver Eecke, p. 13. ‎2. Heiberg, p. 176, l. 18-19; trad. Ver Eecke, p. 67.

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L’absence de la traduction lue par al-Kindī, et dont nous devons établir l’existence, engendre une seconde difficulté. Sur la version A, nous savons très peu : elle attend encore non seulement d’être étudiée comme elle le mérite, mais même d’être établie de manière critique. Rien ne permet en tous cas d’affirmer comme certains érudits que cette traduction revenait au célèbre Isḥāq ibn Ḥunayn, et qu’elle avait été révisée par Thābit ibn Qurra. Aucune source biobibliographique ancienne, en effet, n’autorise une telle hypothèse. L’un des manuscrits de la version A semble même mentionner le nom de « Khalīl ibn Sarjūn » comme l’auteur de cette traduction 1 ; nous savons d’autre part que cette dernière a été achevée avant 893, date du début de la rédaction de la célèbre Histoire d’al-Yaʿqūbī. 2 Ce dernier écrit en effet : Euclide a un livre sur les perspectives et leur diversité à partir des issues des yeux et des rayons (kitāb fī al-manāẓir wa ikhtilāfihā min makhārij alʿuyūn wa al-shuʿāʿ ) dans lequel il dit : Les rayons émanent de l’œil suivant des lignes droites par lesquelles ils engendrent des directions en nombre infini. Les choses sur lesquelles tombent les rayons sont vues, et celles sur lesquelles ils ne tombent pas ne sont pas vues. 3

Al-Yaqūbī poursuit et affirme que ce livre est de « soixantequatre propositions ». 4 Ce témoignage de l’historien du ix e siècle est bien connu, mais on n’a pas relevé qu’al-Yaʿqūbī se réfère ici à la traduction A. En effet, ce sont la première et la troisième définition d’Euclide, d’après cette traduction, qu’il cite, en omettant une expression. On peut lire dans A [MSS I, fol. 81; L, fol. 59 v] : ‫داعبألا ريداقملاو ثدحتو هب تومس ةميقتسم ال ةياهن‬

‫ةفلتخم‬

‫نإ عاعشلا جرخي نم نيعلا ىلع طوطخ ةميقتسم‬ ‫اهترثكل‬.

Seule l’expression en italique, « de distances et de grandeurs différentes » manque à la citation d’al-Yaʿqūbī. Quant à la troisième définition, elle est identique à celle que donne A. Enfin, la version ‎1. Pour l’attribution à Ḥunayn, voir M. Steinschneider, Die arabischen Übersetzungen aus dem griechischen (Graz, 1960), § 92, p. 171 (163). La mention d’« Ibn Sarjūn » est rapportée par E. Kheirandish, « The Arabic ‘version’ of Euclidean optics : Transformations as linguistic problems in transmission », dans Tradition, Transmission, Transformation, Proceedings of two conférences on pre-modem science held at the University of Oklahoma, éd. F. Jamil Ragep et Sally R. Ragep (Leiden, 1996), pp. 227-45, à la p. 229, n. 8 (nous n’avons pas eu ce manuscrit entre les mains). ‎2. Voir Kaḥḥāla, Muʿjam al-muʾallifin, vol. I (Beyrouth, s.d.), p. 161; Yāqūt, Muʿjam al-udabāʾ, vol. V (London, 1926), p. 154. ‎3. Tārikh al-Yaʿqūbī (Beyrouth, 1992), p. 123. ‎4. Ibid., p. 123.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

A est de 64 propositions exactement, à la différence de G1 et de G2 qui n’en comportent respectivement que 58 et 57, tandis que, selon alKindī, la version qu’il a lue et commentée serait de 59 propositions. L’année 893 est donc bien le terminus ante quem de la traduction A. Ce nouvel élément vient resserrer les dates des versions arabes, et complique encore davantage la question de leur nombre et de leurs auteurs. Ceci n’a d’ailleurs rien d’exceptionnel : il arrivait qu’un même livre soit traduit plus d’une fois dans un laps de temps relativement court – que l’on pense par exemple au cas de l’Almageste. Venons-en à présent à K, et aux différences entre elle et A. On sait déjà que, si K a existé, l’ordre et le nombre des propositions n’y sont pas les mêmes que dans A. Pour montrer son existence, on aura recours à plusieurs groupes d’indices. Mais nul n’ignore que cette question de l’existence de textes perdus est des plus scabreuses qui s’offrent à l’historien. Nombre d’arguments peuvent être avancés, dont aucun ne suffit à emporter la conviction, et le problème revient alors à démontrer que ces arguments convergent. Mais le résultat atteint demeurera toujours un gage de la recherche future. C’est donc en connaissance de cause que nous proposons les arguments suivants. Le premier est de nature lexicale : il suffit de confronter les deux textes A et la Rectification pour percevoir rapidement les différences entre leur vocabulaire. Certaines sont caractéristiques ; bien plus, elles distinguent al-Kindī et Ibn Lūqā de A, comme si ces deux contemporains avaient sous les yeux cette version K, et non pas A. Dans A, on parle de « rayon qui émane », ou « issu » (yakhruj) de l’œil, alors qu’Ibn Lūqā et al-Kindī utilisent pour rendre la définition d’Euclide les termes « se propage », « se disperse », ou encore « émerge en se dispersant » (yanbathth), expression peu courante dans les textes plus tardifs d’optique. De même, alors que dans A, comme dans la traduction des livres de géométrie, le sommet du cône est dit « tête » (raʾs), Ibn Lūqā et al-Kindī, dans le même contexte, le désignent par « la partie aiguisée » (mustaḥadd), terme lui aussi exceptionnel. D’autre part, en bien des endroits où A utilise ẓahara (apparaître), al-baṣar (la vue), al-Kindī a recours à raʾā (voir), et al-nāẓir (la pupille). Ces quelques exemples, entre autres, sont empruntés aux définitions, dans lesquelles Ibn Lūqā et al-Kindī reproduisent le texte d’Euclide. La différence entre les deux lexiques ne porte pas seulement sur les termes, mais aussi sur les expressions. Reprenons un exemple déjà évoqué pour pouvoir faire la comparaison, soit la première proposition de l’Optique.

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On lit dans A : ‫رصبلا‬. ‫سيلف ءيش نم تارصبملا رصبي اًعيمج اًعم دقو مهوتي رصبي انَعيمج >اًعم< ةعرسل حمل‬ Aucune chose parmi celles qu’on voit n’est donc vue tout entière en même temps, alors qu’on imagine qu’on la voit tout entière en même temps en raison de la rapidité du regard. [MSS I, fol. 81; L, fol. 59 v ; Q fol. 59 r]

La même phrase figure dans la Rectification : ‫ءيش ّنظيف ةعرسل هلاقتنا هنأ ىري‬، ‫اًعم نإو رصبلا لقتني نم ءيش ىلإ‬، ‫هنإ سيل ءيش نم تارصبملا رصبي اًعيمج‬ ‫اًعم‬. اًعيمج‬ Aucune chose parmi celles qu’on voit n’est vue tout entière en même temps, mais la vue se déplace d’une chose à l’autre ; on croit alors, en raison de la rapidité de son déplacement, qu’on la voit tout entière en même temps.

On note que la première partie de la phrase est identique, traduction du grec : Οὐδὲν τῶν ὁρωμένων ἅμα ὅλον ὁρᾶται [Heiberg, p. 2, l. 22]. Dans la seconde partie de la phrase, on a ẓanna (croire), au lieu de tawahhama (imaginer) pour rendre δοκεῖ, yurā au lieu de yubṣar pour rendre ὁρᾶσθαι, intiqālihi au lieu de lamḥ al-baṣar pour rendre παραφερομένων. Cette dernière substitution est particulièrement importante pour deux raisons : d’une part, chez al-Kindī, il s’agit de la vitesse du regard, alors que dans A, le regard, ou plus exactement « le regard lancé », est une expression idiomatique, dont il serait surprenant qu’al-Kindī, après l’avoir trouvée à sa disposition dans la traduction, l’eût abandonnée par inadvertance. Le deuxième argument en faveur de l’existence de deux versions historiques différentes repose sur la présence dans la Rectification de propositions absentes de A, et inversement. Considérons par exemple la proposition 34 de G1 . Euclide veut démontrer que : Si on élève, du centre d’un cercle, une droite perpendiculaire au plan de ce cercle, et si on place l’œil sur celle-ci, les diamètres menés transversalement dans le plan du cercle apparaîtront tous égaux. [Heiberg, p. 60, l. 12-15; Ver Eecke, p. 26]

En fait, dans G1 , la proposition d’Euclide se décompose en trois parties : 34a, où l’œil est placé sur la perpendiculaire ; 34b où l’œil ne se trouve pas sur la perpendiculaire, mais sur une droite menée du centre, égale au rayon ; et enfin 34c, lorsque l’œil se trouve sur une droite quelconque. Dans A, 34a et 34b correspondent respectivement à 36 et 37, alors que 34c n’a pas de correspondant. Cette

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

absence est encore confirmée dans les rédactions d’al-Ṭūsī et d’Ibn Abī Jarrāda, qui elles aussi dépendent de A. Dans la rédaction d’alKindī, les trois cas sont présents, et les propositions 34a, 34b et 34c de G1 correspondent respectivement aux propositions 33, 34 et 35a de la Rectification. De plus, pour la proposition 34b de G1 qui correspond à la proposition 37 de A et à la proposition 34 de K, on suppose dans A les deux diamètres perpendiculaires. Cette condition, qui n’est pas nécessaire, est absente de G1 et de K. Ceci montre, au minimum, que A ne pouvait être la seule source de la Rectification, et qu’il existe une autre version arabe de l’Optique. Réciproquement, on rencontre dans A des propositions qui ne figurent pas chez al-Kindī, sans que leur absence soit due à un accident de la copie du manuscrit de la Rectification que nous avons. Il ne s’agit pas, non plus, d’une omission délibérée d’al-Kindī dans la mesure où celui-ci, nous l’avons observé, commente exhaustivement et dans l’ordre, l’Optique. 1 Ainsi, la proposition 42b de G1 – la cinquantième de A – ne se trouve pas dans la Rectification. Il en est de même pour l’Autrement de la proposition 28 de G1 qui est la trentième proposition de A. À cela, on peut ajouter bien d’autres arguments qui prouvent tous l’indépendance réciproque de K et de A. Nous en retiendrons brièvement trois. Le premier s’appuie sur une importante différence entre les textes : alors que l’on montre aisément que le texte que donne A de la proposition 18 – c’est-à-dire de la proposition 17 de G1 – est corrompu, on établit qu’al-Kindī dans la proposition 18 commente bien un texte correct. Le second se fonde sur la présence d’une proposition qui devait figurer originairement dans K et qui ne se trouve dans aucune version existante. En effet, dans la proposition 50 de la Rectification, al-Kindī commente une proposition de l’Optique. Il écrit : « Euclide a supposé que les deux grandeurs sont les deux grandeurs AB et BC sur une même droite..». 2 Ce commentaire ne porte pas, semble-t-il, sur les propositions précédentes.

‎1. Al-Kindī lui-même ne manque pas de souligner ce trait de son commentaire lorsqu’il écrit à propos de la prop. 28 de l’Optique qu’elle se ramène à la prop. 24 de ce même livre, et cependant il la reprend « pour qu’aucune des propositions de son [Euclide] livre ne soit délaissée (li-allā yatakhallaf ʿan kitābihi [ʿan kitāb Uqlīdis] shayʾ min ashkālihi) ». Il reprend mot pour mot cette même expression plus loin lorsqu’il écrit « pour ne délaisser aucune proposition de son livre sans la vérifier (li-allā yatakhallaf min kitābihi shakl yaʿdam taḥqīquhu) ». ‎2. Voir la Rectification, dans Rashed, L’optique et la catoptrique, p. 309, l. 4-5.

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE

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Enfin, l’énoncé de la dixième proposition de la Rectification, qui reproduit l’énoncé 9 de G1 , diffère de l’énoncé de la même proposition dans A. Nous en discutons plus loin. Si donc l’existence d’une version arabe autre que A, lue et commentée par al-Kindī, ne soulève pas le moindre doute, la comparaison de ces deux versions, A et K, par l’intermédiaire de la Rectification, ainsi que la confrontation de cette version K avec G1 et G2 , montre que celle-ci a été rendue en arabe à partir d’un manuscrit grec qui appartenait à une tradition indépendante. Notons enfin que l’ordre des propositions est identique dans A et dans K jusqu’à la proposition 28 de G1 et diffère ensuite. Cette identité, manifeste non seulement dans le tableau, est confirmée par al-Kindī lui-même. Celui-ci rappelle précisément au cours de la proposition 28, les numéros des propositions 28 et 24 de l’Optique d’Euclide, numéros identiques dans A. Ceci montre d’ailleurs que dans les deux versions manuscrites grecques dont ces deux traductions dépendent, la proposition 6 de G1 correspondait à deux propositions, ce qui semble convenir à l’esprit du texte.

Al-Kindī et le prologue à l’Optique attribué à Théon d’Alexandrie Tout ceci nous oblige à reconsidérer les rapports entre al-Kindī et l’auteur de ce fameux prologue à la version G2 de l’Optique, attribué à Théon ou à l’un de ses disciples. Dès lors en effet qu’on renonce à attribuer la version G2 à Théon, les raisons ordinairement invoquées pour soupçonner une lecture d’Euclide médiée par celle de ladite version s’évanouissent. Rien d’étonnant dans ce cas si al-Kindī ne semble nulle part s’inspirer, comme il pouvait le faire, d’un commentaire au sens classique. Cette argumentation qui, avouons-le, est négative, nous aurait permis de nous en tenir là, en attendant le jour faste qui nous aurait éclairés sur l’auteur du Prologue, si al-Kindī n’avait luimême cité Théon dans la Rectification. Si à cela on ajoute qu’il a lu attentivement, comme nous allons le montrer, le préambule conservé par la tradition manuscrite grecque et placé par cette dernière juste avant le texte de la version G2 , on voit resurgir ce problème, que l’on croyait déjà réglé, d’un éventuel commentaire de l’Optique par Théon. Dans la Rectification, une fois critiquée la conception euclidienne du cône visuel, al-Kindī écrit : Les éminents anciens mathématiciens s’accordent avec nous en cela, car pour ceux qui suivent la voie la plus directe vers un même but à partir d’un même commencement, le dernier suit nécessairement les pas du

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

premier avant que ce dernier connaisse l’action du premier ; parmi eux, Ptolémée, qui est parvenu à la perfection en mathématiques et qui utilise dans ses conditions et dans ses démonstrations les conditions et les démonstrations philosophiques dans les mathématiques, et celui qui a suivi ses pas et qui est également distingué en mathématiques, Théon d’Alexandrie. 1

Par cette déclaration générale, al-Kindī attribue en particulier à Théon une conception du cône visuel inspirée de celle de Ptolémée, et non pas de celle d’Euclide ; il ne nous livre cependant pas sa source, et la seule certitude que nous ayons à cet égard est qu’il n’a pas eu accès à l’Optique de Ptolémée. Or, on rencontre chez al-Kindī des conceptions d’inspiration ptoléméenne, comme par exemple celle de l’axe visuel. Toute la question est donc de savoir comment al-Kindī a pu avoir accès à ees conceptions, comment il a pu connaître ce préambule d’allure non-euclidienne, et pourquoi il cite Théon dans ce contexte. On peut en tout cas affirmer qu’al-Kindī a eu entre les mains une source différente de l’écrit de Damien, et dont l’auteur aurait été Théon ou quelqu’un qui le cite, source qui porte sur l’Optique d’Euclide en y intégrant quelques conceptions de Ptolémée : cône visuel, axe visuel... C’est peut-être à cette source qu’al-Kindī aurait recueilli une version du célèbre préambule. Voici la liste des passages du De aspectibus 2 qu’il a repris, dont l’origine est la moins discutable, et qui suffisent à établir l’existence de cette source pour l’heure disparue : Théon (?), p. 144, L 3-8 Heiberg

al-Kindī, De aspectibus, p. 441, L 29-34

σημεῖον δὲ τούτου μέγιστον τάς τε ἀπὸ τῶν σωμάτων ἀπορριπτούμενας σκιὰς καὶ τὰς ἀπὸ τῶν θυρίδων τε καὶ ὀπῶν φερομένας αὐγὰς κομίζει. ἕκαστον δὲ τούτων οὐκ ἂν ἐγίγνετο, καθάπερ νῦν θεωρεῖται γιγνόμενον, εἴπερ μὴ αἱ ἀπὸ τοῦ ἡλίου φερόμεναι ἀκτῖνες κατά τινας εὐθείας ἐφέροντο.

Quod uero uidemus ex rectitudine finium umbrarum corporum in latitudine et luminibus per fenestras ingredientibus, necessario ducit nos ad hoc ut transitus radiorum procedentium a corporibus luminosis fiat secundum rectitudinem rectarum linearum. Nihil enim horum duorum esset secundum quod sentimus, nisi radii secundum rectarum linearum rectitudinem procédèrent.

‎1. Voir la Rectification, dans Rashed, L’optique et la catoptrique, p. 173, l. 20-25. ‎2. Édition et traduction dans Rashed, L’optique et la catoptrique, p. 437-523.

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE

265

Et il en fournit comme preuve la plus importante les ombres projetées par les corps, ainsi que les traits lumineux introduits par les fenêtres et par les ouvertures ; car toutes ces choses n’auraient pas lieu comme on observe qu’elles se produisent en réalité, si les rayons du soleil ne se propageaient pas suivant certaines lignes droites.

Quand nous voyons que les limites en étendue des ombres des corps sont rectilignes, et quand nous voyons les lumières qui entrent par des ouvertures, nous sommes nécessairement amenés à que le trajet des rayons provenant des corps lumineux est rectiligne. Car ces deux faits ne seraient pas tels que nous les percevons si les rayons ne suivaient pas des lignes droites.

Théon (?), p. 144, l. 8-13 Heiberg

al-Kindī, De aspectibus, p. 441, l. 3842

ἐπί τε τῶν παρ᾿ ἡμῖν πυρῶν τὰς ἀποστελλομένας ἔφασκεν αὐγὰς αἰτίας εἶναι τοῦ τε φωτίζεσθαί τινα τῶν παρακειμένων σωμάτων καὶ ἀπορρίπτειν σκιὰς τὰς μὲν ἴσας τοῖς ὑποκειμένοις σώμασι, τὰς δὲ μείζονας, τὰς δὲ ἐλάσσονας τῶν ὑποκειμένων σωμάτων.

Videmus enim radios procedentes a candelis, que coram nobis ponuntur, causas illuminandi corpora eis opposita et iaciendi illorum corporum umbras existere. Quorum quidem umbre quandoque corporibus existant equales quandoque maiores quandoque eis minores. Nous voyons en effet que les rayons qui partent de chandelles placées devant nous sont les causes de l’éclairement des corps placés en face d’elles et de la projection des ombres de ces corps. Et les ombres de ces corps tantôt leur sont égales, tantôt sont plus grandes qu’eux, tantôt plus petites.

Et quant aux feux qui existent chez nous, il disait que les traits lumineux émis étaient causes de ce que certains corps exposés fussent éclairés et projetassent des ombres tantôt égales aux corps soumis, tantôt plus grandes et tantôt plus petites qu’eux.

Théon (?), p. 146, l. 6-17 Heiberg

al-Kindī, De aspectibus, p. 449, , l. 1-451, l. 13

ἐκφανέστατα δὲ τούτων πάντων τοῦτο ἐπὶ τῶν κατασκευαστῶς γινομένων θεωρεῖσθαι συμϐαίνει. λύχνου γὰρ ὁπωσδηποτοῦν κειμένου εἰ προστεθείη τούτῳ πτυχίον ἔχον ἐπιτομὴν λεπτοῦ πριονίου, ὥστε καὶ

Hoc quoque manifestius et clarius uidebimus, si tabulam assumpserimus in medio eum serra directe et equaliter perforatam, et occurrerimus deinde cum medio foraminis serrati medio can-

266

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

τὴν ἐπιτομὴν κατὰ μέσου τοῦ λύχνου πίπτειν τῷ δὲ πτυχίῳ τούτῳ κατὰ τὰ ἕτερα μέρη παρατεθείη πτυχίον ἔγγιον, ᾧ προσπεσεῖται ἡ αὐγὴ ἡ διὰ τῆς ἐντομῆς φερομένη, πάντως τὴν προσπίπτουσαν αὐγὴν τῷ πτυχίῳ εὐθείαις γραμμαῖς περιεχομένην εὑρήσομεν καὶ τὴν ἐπιζευγνύουσαν τό τε μέσον τοῦ λύχνου καὶ τὴν ἐντομὴν τοῦ πτυχίου κατὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν οὖσαν.

D’ailleurs, tous ces faits s’observent de la façon la plus manifeste dans des conditions que l’on obtient artificiellement. Une lampe étant disposée de n’importe quelle manière, si l’on place face à elle une planchette munie d’une fente effectuée à l’aide d’une scie mince de telle sorte que la fente tombe selon le milieu de la lampe, et si de l’autre côté de cette planche on place une planche à distance relativement rapprochée, sur laquelle tombera le trait lumineux passant par la fente, nous découvrirons bel et bien que le trait lumineux tombant sur la planche est contenu par des lignes droites et que le trait lumineux joignant le milieu de la lampe et la fente de la planche est selon la même ligne droite.

dele, donec sit linea, que protrahitur a candela, secans diametrum candele et foramen serratum orthogonaliter, et post occurramus tabule, in qua est foramen, cum alia tabula, cuius superficies, que ei occurrit, equidistet superficiei eius que ipsi occurrit. Si ergo ab extremitate luminis, quod cadit per foramen tabule super tabulam aliam ei equidistantem, in latitudine protrahatur ab una duarum partium ad finem candele in latitudine in parte altera linea recta, continget extremitatem foraminis quod est in tabula. Quod quidem non esset nisi radiorum fines secundum rectas procederent lineas. Nous verrons encore cela de manière plus évidente et plus claire, si nous prenons une planche percée à la scie en son milieu, droite et régulière ; si nous mettons ensuite en vis-à-vis le milieu de l’ouverture pratiquée à la scie et le milieu d’une chandelle, de façon que la ligne menée à partir de la chandelle coupe orthogonalement le diamètre de la chandelle et l’ouverture pratiquée à la scie ; et si nous plaçons enfin, en face de la planche où est l’ouverture, une autre planche dont la surface, qui fait face à la , soit parallèle à la surface de la qui lui fait face. Si alors, en partant du bord de la lumière qui tombe par l’ouverture de la planche sur l’autre planche parallèle à la , on mène une ligne droite joignant l’un des deux côtés , en largeur, au bord de la chandelle, du côté opposé en largeur, touchera lebord de l’ouverture pratiquée dans

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE

267

la planche. Cela, assurément, ne se produirait pas si les limites des rayons ne suivaient pas des lignes droites.

Théon (?), p. 152, l. 3 sqq. Heiberg

al-Kindī, De aspectibus, p. 453, l. 1718

πρὸς δὲ τὸ τὰς ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ταῖς ὄψεσι κειμένας περιφερέιας εὐθείας φαίνεσθαι ἔλεγε τάδε· [...] καὶ γὰρ τὸ ἐπίπεδον τὸ ἐπ᾿ εὐθείας κείμενον τῇ ὄψει αὐτὸ μὲν ἀθεώρθητόν ἐστι διὰ τὸ μὴ προσπίπτειν αὐτῷ μηδεμίαν τῶν ἀπὸ τῆς ὄψεως ἐκχεομένων ἀκτίων κτλ ...

Immo cum circuli et aspiciens in una consistunt superficie, circuli nullo modo uidentur.

En ce qui concerne le fait que des arcs de cercle situés dans le même plan que les rayons visuels apparaissent des droites, il disait les choses suivantes : [...] Et en effet, le plan situé en ligne droite avec le rayon visuel est en tant que tel invisible, du fait qu’aucun rayon diffusé à partir de l’œil ne tombe sur lui, etc. ...

Bien au contraire, quand les cercles et la pupille sont dans un même plan, les cercles ne sont vus en aucune façon.

Théon (?), p. 146, l. 18; p. 148, l. 2 Heiberg

al-Kindī, De aspectibus, p. 457, l. 1-5

al-Kindī, Rectification p. 165, l. 17-20

ἐναργοῦς οὖν ὄντος τοῦ, ὅτι πᾶν φῶς κατ᾿ εὐθείαν γραμμὴν φέρεται, καὶ πᾶσι προδήλου [...]· πολλάκις γὰρ βελόνης ἤ τινος τοιούτου ἑτέρου σωματίου ἐκριφέντος εἰς τὸ ἔδαφος φιλοτιμότερόν τινες προσεκάθισαν τῇ ζητήσει καὶ τὸν αὐτὸν τόπον πολλάκις ἐμάτευσαν οὐδενὸς ἐπιπροσθοῦντος τῷ ζητουμένῳ σωματίῳ· εἶτα μέντοι γε ὕστερον ἐπιϐάλλοντες τὴν ὄψιν τῷ τόπῳ, ἐν ᾧπερ ἧν

Ex eis etiam que id quod diximus uerificant est quod aspiciens res uisui suo expositas, sicut librum, fortasse inquirit eius litteram, quam non comprehendit nisi post tempus. Cuius causa existit quod rectitudo uirtutis uisus imprimentis non cadit super id quod querit, quia postquam super ip-

‫رصبلا ال كردي هتارصبم ةعفد هبلطل‬ ‫يف ضعب نيياحألا فورحلا نم‬ ‫باتكلا عقيالف اهيلع باتكلاو ىري‬ ‫هرظن مث عقي هيلع دعب‬، ‫هلك تحت‬ ‫كلذ< اونظف نأ رصبلا عقي هيلع‬

‫ينعأ فرحلا >دعب ام هنأ ناك عقي‬ ‫هريغ‬. ‫ىلع ءايشأ‬

268

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

τὸ σωμάτιον, εἶδον τὴν βελόνην.

sum comprehendit.

Le fait que toute lumière se propage suivant une ligne droite étant évident et limpide pour tout le monde [...] : en effet, si une aiguille ou quelque autre petit corps de ce genre est jeté sur le sol, d’aucuns se sont livrés souvent d’une manière obstinée à leur recherche ; ils ont scruté plusieurs fois un même endroit, bien que rien ne cachât le petit objet cherché, et ils n’ont cependant vu l’aiguille que plus tard, en dirigeant la vue sur l’endroit où se trouvait ce petit objet.

Parmi les encore qui confirment ce que nous avons dit, il y a celui-ci : il se peut que quelqu’un, regardant des choses exposées à sa vue, un livre par exemple, cherche à en voir une lettre et ne la saisisse qu’au bout de quelque temps. La cause en est que la ligne droite selon laquelle la puissance de la vue, qui s’imprime, ne tombe pas sur ce qu’elle cherche : en effet, après qu’elle est tombée dessus, elle le saisit aussitôt.

La vue ne perçoit pas ses visibles d’un coup car, parfois, elle cherche les lettres d’un écrit sans tomber sur elles, alors que l’écrit est vu tout entier sous son regard tombe ensuite sur elle ; ils ont alors cru que la vue tombe sur elle, c’est-à-dire la lettre, après être tombé sur des choses autres qu’elle.

Théon (?), p. 148, l. 7-15 Heiberg

al-Kindī, De aspectibus, p. 457, l. 2126

ἐπί τε τῶν ἀτενιζόντων τοῖς βιϐλίοις συνιστάμενος ἔφασκε μηδὲ τούτους ἂν δύνασθαι πάντα τὰ ἐν τῇ σελίδι γράμματα ὁρᾶν. πολλὰ γοῦν ἀναγκαζομένους δεῖξαι τῶν σπανίως γραφομένων γραμμάτων μὴ δύνασθαι δεῖξαι διὰ τὸ μὴ πρὸς πάντα τὰ γράμματα τὰς ὄψεις φέρεσκαι, ἀλλ᾿ ἐκ διαστημάτων ταύτας ὑπάρχειν καὶ πολλὰ τῶν κατατεταγμένων μὴ θεωρεῖν. ὥστε ἐκ τούτου φανερόν ἐστι, διότι οὐδὲ ὁ τόπος τῆς σελίδος ὅλος ὁραθήσεται.

Huius autem demonstrator est quod, cum tenderimus ad litteram libri et non remouerimus oculos nostros ab ea, apparebit nobis et uidebimus illud, quod eam sequitur, ab ea occultari, et quanto plus elongabitur ab ea, uehementius occultabitur, donec ex omnibus litteris non appareat nisi nigredo in albedine. Sed ut nos cum eo libri lectionem consequi possimus, impossibile est et non repertum. Voici qui le montre : si nous fixons une lettre d’un livre sans en détourner nos yeux, elle

Se basant, en outre, sur ceux qui regardent attentivement les livres, il disait qu’ils ne peuvent pas aper-

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE

269

cevoir toutes les lettres qui se trouvent dans une page ; car, s’ils avaient à désigner les lettres qui y sont tracées en minorité, ils seraient incapables de le faire, parce que les rayons visuels ne sont pas dirigés sur toutes les lettres, mais se présentent avec des écarts, et qu’ainsi un grand nombre de lettres alignées ne sont pas vues. Il s’ensuit évidemment que l’espace de la page ne sera pas vu tout entier.

nous apparaîtra, et nous verrons qu’elle nous dérobe ce qui la suit ; plus on s’éloignera d’elle, plus sévère sera cette occultation, jusqu’à ce que de toutes les lettres n’apparaisse plus que du noir sur du blanc. Mais il est impossible et contraire à l’expérience que nous puissions poursuivre, dans ces conditions, la lecture d’un livre.

Théon (?), p. 150, L 8-27 Heiberg

al-Kindī, De aspectibus, 459, l. 5-12

καὶ μὴν τὴν φύσιν ἔφασκε κατὰ τὰ ζῷα τὰ μὲν τῶν αἰσθητηρίων πρὸς ὑποδοχὴν εὔθετα κατασκευακέναι, τὰ δὲ μή. ἀκοὴν μὲν γὰρ καὶ γεῦσιν καὶ ὄσφρησιν κοῖλα κατεσκεύακεν ἐντὸς ὡς ἔξωθεν αὐταῖς προσπίπτειν σώματα κινήσοντα τὰς αἰσθήσεις ταύτας. ἀκοῇ μὲν γὰρ φωνὴ προσπίπτουσα τόπον ἐπιτήδειον ὤφειλεν εὑρίσκειν πρὸς τὸ ἀναμεῖναι καὶ μὴ κατὰ τὴν πρόσπτωσιν εὐθέως ἀποπαλθεῖσαν τήν τε αἴσθησιν ἀκίνητον διαφυλάττειν καὶ τὴν ἐπιφερομένην συγχέαι φωνήν. ὁμοίως δὲ καὶ ὄσφρησιν [...]. καὶ ἐπὶ τῆς ὁράσεως οὖν, εἴπερ ἔξωθεν αὐτῇ προσέπιπτε, τὰ κινήσοντα αὐτὴν σώματα, καὶ μὴ αὐτὴ ἐξαπέστελλέ τι ἀφ᾿ ἑαυτῆς, ἔδει τὴν κατασκευὴν αὐτῆς κοίλην τε καὶ εὔθετον πρὸς ὑποδοχὴν τῶν προσπιπτόντων σωμάτων εἶναι· νυνὶ δὲ θεωρεῖται τοῦτο οὐχ οὕτως ἔχον, ἀλλὰ μᾶλλον σφαιροειδὴς οὖσα θεωρεῖται ἡ ὅρασις.

Preparauit ergo instrumenta sensuum secundum quantitatem suorum sensibilium. Fecit ergo odoratum ut ad ipsum fieret cursus in fine de subtili partis que ipsum defert. Et fecit auditus supremum concauum et infimum strictum, quoniam uox non est nisi aeris percussio, et aer currens impellit instrumentum auditus. Gustum quoque similiter condidit. Visus uero instrumentum fecit spericum ; ne ad ipsum currentia supra ipsum morarentur. Omnium autem sensuum centra morantia fecit, ...

Il alléguait encore que, chez les êtres vivants, la nature avait organisé les sens, les uns d’une manière propre à la réception, les autres d’une manière qui ne l’est pas. C’est ainsi qu’elle a organisé l’ouïe, le goût et l’odorat en

a donc disposé les organes des sens selon la grandeur des sensibles qui leur correspondent. Il a donc fait l’odorat de telle sorte qu’y aboutisse le trajet du composant extrêmement subtil, qui porte . Il a fait l’ouïe concave en haut et étroit en bas, parce que le son n’est autre chose qu’une percussion de l’air, et l’air dans son déplacement frappe l’organe de l’ouïe. Il a créé aussi de la même façon l’organe du> goût. Quant à l’organe de la vision, il l’a fait sphérique, pour que ce qui vient à lui ne s’attarde pas à sa surface. Les centres de tous les sens, il en a fait des lieux d’arrêt, ...

Cette mise en regard appelle quelques commentaires. Tout d’abord, on l’a noté, al-Kindī ne cite pas sa source, mais l’intègre anonymement dans son propre texte. Ensuite, et plus fondamentalement, on constate que le philosophe ne se contente pas de répéter servilement les arguments du préambule. Nous n’avons pas ici une traduction en lieu et place du texte grec, mais une utilisation libre suivant les besoins de la démonstration présente. De ces quelques pages, on ne peut donc tirer aucun argument philologique d’histoire du texte : voyageaient-elles indépendamment du texte grec ? Étaient-elles attribuées, et si oui, à qui ? Si elles l’étaient à Théon, cela entraînait-il l’attribution à ce dernier de l’une des versions de l’Optique ? On ne peut apporter une réponse complète à toutes ces questions. Notons simplement que les biobibliographes arabes n’attribuent aucun texte sur l’Optique d’Euclide à l’Alexandrin. Bien plus : al-Kindī, dans la Rectification, attribue à Théon, au sujet du cône visuel, une opinion explicitement opposée à celle d’Euclide. Ce point étant l’un des plus importants de son traité, la possibilité d’une bévue ou d’une distraction du philosophe est presque à exclure. Si, par conséquent, l’une des versions de l’Optique circulait à l’époque sous le nom de Théon, il n’aurait pas pu ne pas voir la contradiction ; la conclusion s’impose d’elle-même, et confirme les doutes sur la paternité de la recension « de Théon » : al-Kindī, s’il connaît celle-ci, ne la connaît pas sous cette attribution. En outre, tout laisse supposer qu’al-Kindī

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE

271

avait eu vent, par une voie ou par une autre, d’un texte de Théon où celui-ci suivait Ptolémée contre Euclide. 1 En l’absence de tout renseignement supplémentaire, on se refusera à hasarder la moindre hypothèse sur le bien-fondé de ce passage. Rien ne laisse pour l’instant supposer, en particulier, que Théon ait commenté l’Optique de Ptolémée. Résumons-nous et concluons. La tradition arabe permet d’affirmer l’existence non pas d’une tradition grecque « recensée » (thèse de Heiberg) ou développée (thèse, entre autres, de W.R. Knorr) mais de deux traditions grecques indépendantes ; à ces deux traditions elle en ajoute au moins deux. En outre, al-Kindī connaît le préambule attribué à Théon mais ne propose pour sa part aucune attribution. Il paraît en revanche disposer d’une source « théonienne » perdue s’inscrivant dans une tradition euclidienne, associée à quelque connaissance de celle de Ptolémée. 2 Rien n’indique en tout cas qu’al-Kindī connaissait directement l’Optique de Ptolémée. Peut-être est-ce par cette source qu’il a pu connaître la conception du cône visuel comme cône de radiation continue. 3

La Rectification : texte, attribution et postérité Comme toute redécouverte d’un ancien texte, celle de la Rectification soulève deux groupes de questions, dont on ne peut guère faire l’économie. Le premier groupe porte sur tous les problèmes posés par l’authenticité du texte retrouvé et son attribution ; le second concerne l’impact de ce même texte sur le domaine dont il relève : dans le cas présent, de l’optique. Il nous faut savoir qui ont été les lecteurs de la Rectification, et comment ils l’ont lue. La place de tout premier plan occupée par al-Kindī, à la fois en histoire de l’optique – comme en témoigne la traduction du De aspectibus –, et en histoire de la transmission des savoirs grecs, rend ces questions aussi nécessaires que difficiles. Nous n’avons pas la prétention de les poser toutes – encore moins de les résoudre ; nous voulons simplement entamer une recherche, dans l’espoir de la voir se poursuivre dans l’avenir. L’attribution de la Rectification à al-Kindī est assurée par quatre arguments indépendants. Le plus immédiat, qui n’est pas le moins fort, ‎1. La Rectification, dans Rashed, L’optique et la catoptrique, p. 173, l. 23-25. ‎2. Ibid., proposition 3, pp. 170 sqq. ‎3. L’Optique de Claude Ptolémée dans la version latine d’après l’arabe de l’émir Eugène de Sicile, Edition critique et exégétique augmentée d’une traduction française et de compléments par Albert Lejeune (Leiden, 1989), p. 37.

272

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

est le titre même du manuscrit. À moins de supposer un malin copiste qui ait délibérément cherché à tromper la postérité, il faut bien reconnaître que le titre est explicite et, bien plus, dans le style même des titres d’al-Kindī : un opuscule adressé à l’un de ses amis ou de ses protecteurs. 1 Le second argument, lexical, relève de la stylistique : la plupart des expressions et des tournures du prologue appartiennent au lexique d’al-Kindī, et se retrouvent dans les autres écrits du philosophe 2 (il suffit de les avoir quelque peu fréquentés pour relever une certaine uniformité sous ce rapport). Il en est d’ailleurs de même pour les autres parties du texte, qui toutes comportent des termes et des tournures courantes à l’époque, et notamment dans les autres écrits d’al-Kindī. Plus encore, on rencontre parfois des expressions reprises par al-Kindī dans son De aspectibus. 3 Le troisième argument est fourni par un texte anonyme, connu depuis longtemps, et rendu en allemand par E. Wiedemann 4, et qui a fait l’objet de conjectures invraisemblables. L’auteur de ce fragment cite al-Kindī et le titre de son livre (Iṣlāḥ al-Manāẓir). Nous allons montrer qu’il s’agit de la Rectification. Ce témoignage d’un ancien auteur

‎1. S’agit-il de véritables épîtres ou d’un procédé de composition ? Cette présentation est très fréquente dans les écrits philosophiques et scientifiques d’al-Kindī. Pour s’en convaincre, il suffit de lire les débuts des différents opuscules [Rasāʾil alKindī al-falsafiyya, éd. Abū Rīda, 2 vol. (Le Caire, 1950-1953), vol. I, pp. 97, 186, 194, 201, 214, 244, 265, 272, 300, 353, 363; vol. II, pp. 40, 48, 54, 64, 70, 76, 80, 90, 101, 110]. ‎2. Une simple comparaison entre le prologue de la Rectification et ceux d’autres opuscules suffit pour montrer cette uniformité. Donnons quelques exemples parmi beaucoup d’autres. Ainsi, une expression comme ‫ كقفو هّللا كردل قحلا‬se retrouve à une légère variante près dans l’édition d’Abū Rīda, vol. I, pp. 194, 265, 272; vol. II pp. 64, 90, 110. L’expression ‫تمسر نم كلذ ردق ام هتيأر اًقفاوم كتدارإل‬ variantes vol. I, p. 293; vol. II, pp. 48, 76, 80, 103, 110.

‫ دقو‬se retrouve avec quelques

La construction ‫ مسر باتك‬... ‫ تلأس‬se retrouve par exemple dans le vol. I, pp. 194,

201,265, 353. On peut ainsi multiplier les exemples qui illustrent ce style particulier d’alKindī. Voir à ce propos R. Rashed, « Al-Kindī’s commentary on Archimedes’ “The measurement of the circle” », Arabic Sciences and Philosophy, 3.1 (1993) : 7-53, aux pp. 52-3. On retient des expressions comme

‫ةيفسلفلا عنشأ لاحملا هحبقأو‬، ‫اًدج انليواقأ‬، ‫ فلخ جمس‬au-

tant d’expressions que l’on retrouve dans les écrits d’al-Kindī. ‎3. Voir notes complémentaires à la Rectification, dans Rashed, L’optique et la catoptrique, par exemple pp. 338-9. ‎4. E. Wiedemann, « Aus al-Kindīs Optik », dans Sitzungsberichte der physikalischmedizinischen Sozietät zu Erlangen, Bd. 39 (1907), pp. 245-8; repris dans Aufsätze zur arabischen Wissenschafts-Geschichte, Bd. 1 (Hildesheim, 1970), pp. 396-9, voir notamment p. 399.

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE

273

qui avait sous les yeux le texte d’al-Kindī et la version A de l’Optique d’Euclide, elle-même lue dans la rédaction d’al-Ṭūsī, suffit à lui seul pour trancher définitivement la question de l’attribution, et, en partie tout au moins, celle de l’authenticité. Le quatrième argument est encore plus puissant que le précédent. Il nous est fourni par un compilateur ancien, qui a copié des pages entières de la Rectification, comme d’ailleurs d’autres écrits d’alKindī. Ce compilateur est un certain Aḥmad ibn ʿĪsā, dont le livre est indépendant de celui de l’auteur anonyme. À la lumière de ces arguments, aucun doute ne pourra plus planer sur l’attribution et sur l’authenticité de la Rectification. Grâce aux deux derniers textes, nous pourrons aussi repérer certaines voies de diffusion du texte, et mesurer son impact.

Le critique anonyme de la Rectification Un auteur anonyme reproche à al-Kindī d’avoir été trop long dans sa démonstration de deux propositions de l’Optique d’Euclide. Il cite à cette occasion le titre du livre d’al-Kindī, ainsi que les numéros des propositions en question, avant de reproduire, à sa manière, leurs énoncés seulement. Ces informations présentent le grand avantage d’être précises, et donc vérifiables. Mais venons-en d’abord au texte de cet auteur anonyme. Ce texte nous est parvenu dans un nombre considérable de manuscrits, et, fait remarquable, le plus souvent à la suite de la rédaction de Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī de la version A de l’Optique d’Euclide. 1 Outre cette concomitance de l’écrit d’al-Ṭūsī et de ce fragment anonyme, notons que l’auteur de ce fragment se réfère aux numéros des propositions de l’Optique qu’il cite. Or, il s’agit des numéros tels qu’ils sont donnés dans la version A, laquelle, on vient de le dire, est à la base de la rédaction d’al-Ṭūsī. De là à attribuer ce texte à al-Ṭūsī luimême, il n’y a qu’un pas, que rien n’autorise cependant à franchir. Contentons-nous d’affirmer pour l’heure que ce fragment a été adjoint relativement tôt à la fin du texte d’al-Ṭūsī. L’auteur du texte anonyme évoque le livre d’al-Kindī sous le titre : la Réforme de l’Optique (Iṣlāḥ al-Manāẓir). Ainsi, au lieu du long titre Sur la rectification de l’erreur et des difficultés dues à Euclide dans son livre appelé l’Optique, l’anonyme opte pour un court titre qui reflète la substance du titre complet. À taqwīm (rectification), il substitue le

‎1. Ce texte se trouve en effet à la suite de celui d’al-Ṭūsī dans la plupart des manuscrits que nous avons consultés.

274

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

terme iṣlāḥ (réforme). Or la différence entre réformer et rectifier est à peine perceptible dans ce contexte, comme nous l’enseignent les dictionnaires anciens. Tout se passe donc comme si l’auteur anonyme suggérait le sens du long titre d’al-Kindī ; à moins que, à partir d’une certaine date, le livre d’al-Kindī n’ait été désigné sous ce titre. Il n’y a cependant à notre connaissance aucun autre argument en faveur d’une telle hypothèse. L’examen de ce fragment anonyme 1 nous livre bien plus que le titre de l’écrit d’al-Kindī. L’auteur, nous l’avons dit, confrontait la version A de l’Optique – au moins dans la rédaction d’al-Ṭūsī – et la Rectification. Pour établir cette assertion, commençons par la seconde proposition citée par l’anonyme. Selon ce dernier, cette proposition est la soixante et unième de l’Optique. Voici ce qu’il écrit : Il [al-Kindī] a dit à propos de la proposition 61: les points sur une droite, soit AB – si l’œil, soit C, est en mouvement dans la direction de la droite sur laquelle sont ceux-ci, il [al-Kindī] veut dire AB –, sont vus dans un ordre différent, c’est-à-dire que le plus proche de l’œil, soit A, est vu parfois en avance sur B, le plus éloigné, parfois en même temps que lui suivant une droite, et parfois en retard sur lui. 2

Cet énoncé, tel qu’il se présente dans le fragment anonyme, est une citation de la Rectification. On peut en effet y lire, proposition 57: Les points sur une droite, si l’œil est en mouvement suivant la direction de la droite sur laquelle se trouvent ces points, paraîtront dans un ordre différent, c’est-à-dire que le plus proche de l’œil paraîtra parfois en avance sur le plus éloigné de l’œil, parfois sur la droite sans que l’un soit en avance sur l’autre, et parfois le plus proche de l’œil paraîtra en retard sur celui qui est éloigné de l’œil. 3

Les seules différences entre les deux textes proviennent du fait que l’anonyme a intégré dans l’énoncé les désignations tirées de l’exemple, et d’un allégement de quelques expressions. Il s’agit donc d’une citation, au sens admis à l’époque, de la Rectification, et de celleci seulement. Pour justifier cette restriction, venons-en à la version A de l’Optique. C’est celle-ci, et celle-ci uniquement, parmi toutes les versions connues, qui attribue à la proposition le numéro donné par l’anonyme. Or, l’énoncé dans A est non seulement différent, mais aussi fautif. Il se présente ainsi : ‎1. Ce fragment est établi et traduit dans Rashed, L’optique et la catoptrique, Appendice I. ‎2. Ibid., p. 539, l. 9-12. ‎3. Voir la Rectification, dans Rashed, L’optique et la catoptrique, p. 327, l. 7-11.

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE

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‫اهنم‬. ‫] امع وه برقأ‬MS [‫اًكرحتم نوكت ءايشألا ةديعبلا ةيواستملا ّنظي اهنأ ةفلختم ةفلتخم‬، ‫اذإ ناك رصبلا‬ Si l’œil est en mouvement, les choses égales les plus éloignées semblent être retardées par rapport à celles qui sont plus proches qu’elles. 1

Dans sa rédaction de la version A de l’Optique, al-Ṭūsī reproduit exactement le même énoncé, ce qui montre que l’erreur est inhérente au texte, et n’est pas due à tel ou tel copiste. Al-Ṭūsī indique cependant à la fin de cette proposition – la soixante et unième – que celle-ci est fautive ; ou, comme il l’écrit : « C’est ainsi dans le texte, qu’on l’examine » – hākadhā fī al-matni wa-li-yunẓar fīhi. 2 L’erreur est donc antérieure au xiii e siècle, et remonte peut-être même au traducteur lui-même ou au texte grec traduit. Il suffit pourtant d’ajouter une négation (si l’œil n’est pas en mouvement), le terme « égale » présent dans le manuscrit I, et le terme « vitesse », pour obtenir : « Si l’œil en mouvement, les choses à égale les plus éloignées semblent être retardées par rapport à celles qui sont plus proches qu’elles » – l’énoncé est alors correct. C’est précisément sous cette forme que se présente cet énoncé dans 54 de G1 et 53 de G2 . La version A 61 reprend avec quelques modifications le second Autrement de 54 de G1 , lequel est absent de G2 . En un mot, la citation du fragment est faite à partir de la Rectification, et diffère non seulement de ce qu’on trouve dans A 61, mais aussi de ce qui lui correspond dans G1 et G2 . L’examen de l’autre proposition (la première) contenue dans ce fragment, nous conduit à des résultats analogues. Selon l’auteur anonyme, il s’agit de la proposition soixante. En effet, dans la version A de l’Optique d’Euclide, on lit sous ce numéro : al-aqdār al-mutasāwiya alḥaraka fa-inna abʿadahā yuẓannu annahu abṭaʾ ḥarakatan, ce qui se retrouve identiquement dans T, à cette différence que l’on a al-abʿad au lieu de abʿadahā ; ce qui ne change rien. On lit donc : « Des grandeurs d’égal mouvement, celle qui est la plus éloignée semble d’un mouvement plus lent ». Cet énoncé est donné par al-Kindī, comme on peut le vérifier 3 en confrontant l’énoncé 56 d’al-Kindī à la citation. La liberté, un peu plus grande que dans la proposition précédente, que se permet l’auteur anonyme, tient, en partie tout au moins, à la longueur de

‎1. MSS L, fol. 104; I, fol. 73 r ; Q, fol. 90 v. ‎2. Voir les éditions non critiques de A.S. al-Dimirdāsh, « Nasīr al-Dīn al-Ṭūsī wa Kitābuhu Taḥrīr al-Manāẓir li-Uqlīdis », Revue des manuscrits de la Ligue Arabe du Caire, vol. 9 (1963) : 243-90, à la p. 288; Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī, Kitāb al-Manāẓir (Ḥyderabad, 1939/1358), p. 23. ‎3. Voir la Rectification, dans Rashed, L’optique et la catoptrique, p. 320.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

l’énoncé d’al-Kindī. Notons que celui-ci diffère nettement non seulement de A 60, mais aussi du premier Autrement de G1 54, lequel est absent de G2 . L’anonyme reproche à al-Kindī « la longueur de sa démonstration ». Il écrit qu’[al-Kindī] « a été très long pour établir son énoncé qui est évident à partir de cette figure, bien qu’elle soit une conséquence de la proposition 57». 1 Autrement dit, selon l’anonyme, al-Kindī aurait pu déduire cette proposition – qui est la cinquantesixième dans sa numération – de la proposition 57 de A, c’est-à-dire la cinquante-troisième de la Rectification –, ce qui aurait évité une longueur inutile dans la démonstration. Les deux propositions – 53 et 56 de la Rectification – traitent, il est vrai, du même problème, mais al-Kindī montre en outre dans 56 que, à un moment donné, les deux points mobiles sont vus en même temps. Il reste cependant bien des longueurs dans la démonstration, dues sans doute à un excès de justification. C’est ce que l’anonyme a voulu dénoncer. Quoi qu’il en soit, nous avons, avec ce fragment, une confirmation qu’il existait un livre d’al-Kindī dont le projet était de « réformer » l’Optique, et que ce livre est bien celui que nous avons trouvé sous le titre de la Rectification. L’intérêt de ce fragment est d’offrir autant de renseignements en si peu de lignes.

Aḥmad ibn ʿĪsā compilateur de la Rectification et d’autres écrits d’al-Kindī Aḥmad ibn ʿĪsā a composé un livre intitulé L’optique et les miroirs ardents selon la doctrine d’Euclide sur les causes de la vision (Kitāb al-manāẓir wa al-marāyā al-muḥriqa ʿalā madhhab Uqlīdis fī ʿilal al-baṣar). 2 De ce livre, nous disposons pour l’heure de trois manuscrits, dont l’un est en caractères hébraïques. 3 C’est M. Krause 4 qui, dans la liste qu’il a établie d’un certain nombre de manuscrits scientifiques d’Istanbul, a le premier signalé ce livre d’Ibn ʿĪsā. Nous avons eu par la suite,

‎1. Voir Appendice I, dans Rashed, L’optique et la catoptrique, p. 539, l. 7-8. ‎2. Édition et traduction dans Rashed, L’optique et la catoptrique, Appendice III. ‎3. C’est Y. T. Langermann qui a attiré mon attention sur cette version hébraïque : MS. Vat. Heb. 378. Il a repris cette information dans un article récent « Arabic writings in Hebrew manuscripts : A preliminary relisting », Arabic Sciences and Philosophy, 6.1 (1996) : 137-60, aux pp. 143-5. ‎4. Voici ce que M. Krause écrit : « Genannt werden Euklid, Aristoteles, Hippokrates und Galen, dagegen kein islamischer Gelehrter », dans « Stambuler Handschriften islamischer Mathematiker », Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Bd. 3 (1936), pp. 437-532, à la p. 513.

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE

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à plusieurs reprises, l’occasion d’attirer l’attention des historiens de l’optique sur ce livre, et sur l’emprunt par son auteur d’un texte d’alKindī. 1 Le livre lui-même est une somme optique, où se juxtaposent des textes hétérogènes, d’origines diverses, sans que l’auteur se soucie de discuter de leurs apports. Ainsi, outre l’optique au sens euclidien, on y trouve des textes sur la sensation et les sens d’après Aristote, d’autres textes d’origine galénique, des fragments de catoptrique, sur les miroirs ardents, le halo, l’arc-en-ciel et l’illusion lunaire. Bref, un pot-pourri des différentes branches de l’optique avant les progrès accomplis par Ibn Sahl puis par Ibn al-Haytham. Ce livre se signale aussi par un trait demeuré jusqu’ici inaperçu : son parti pris hellénistique. Ibn ʿĪsā ne cite que des auteurs « anciens », au sens de l’époque (al-awāʾil) – même quand il emprunte aux « modernes ». On voit ainsi apparaître les noms d’Hippocrate, d’Euclide, de Galien, d’Anthémius de Tralles, et, bien entendu, d’Aristote, alors que c’est en vain qu’on chercherait le nom d’un seul moderne. Or ce parti pris n’est pas l’apanage d’Ibn ʿĪsā, puisque l’astronome du x e siècle, ʿUṭārid al-Ḥāsib, le dénonce chez certains de ses contemporains. 2 Mais à elle seule, cette indication ne permet pas de conjecturer les dates d’Ibn ʿĪsā. Faute de s’interroger sur la nature de cette somme optique ou sur ses partis pris, l’historien se heurtera à deux écueils : attribuer à Ibn ʿĪsā des textes qui ne lui reviennent pas, pour ensuite situer leur auteur à une époque qui ne peut être la sienne. En partant de textes dont nous montrerons qu’ils appartiennent aux auteurs du ix e siècle, et en raison de la langue de ces textes, M. Krause l’a placé au milieu du iii e siècle de l’hégire, c’est-à-dire autour de 864-5. Plus récemment, après avoir attribué à Ibn ʿĪsā des textes appartenant à al-Kindī, on est allé jusqu’à conjecturer qu’Ibn ʿĪsā précédait ce dernier, et on a opposé deux textes d’al-Kindī comme s’il s’agissait de deux textes écrits par deux auteurs différents, al-Kindī et Ibn ʿĪsā. 3 Ces méprises

‎1. R. Rashed, « Fūthīṭos (?) et al-Kindī sur ‘l’illusion lunaire’ », dans Σοφίης Μαιήτορες « Chercheurs de sagesse ». Hommage à Jean Pépin, Institut d’Études Augustiniennes (Paris, 1992), pp. 534-9, à la p. 543; id. Géométrie et dioptrique au x e siècle. Ibn Sahl, al-Qūhī et Ibn al-Haytham (Paris, 1993), p. 238; id. « Le Discours de la Lumière d’Ibn al-Haytham (Alhazen) », Revue d’histoire des sciences, 21 (1968) : 197-224, à la p. 214, note 2; repris dans id., Optique et mathématiques : Recherches sur l’histoire de la pensée scientifique en arabe, Variorum Reprints (Aldershot, 1992) ; id. « Geometrical optics », dans R. Rashed (éd.), Encyclopedia of the History of Arabic Science (London, 1996), pp. 643-71, à la p. 656. ‎2. C’est ce qui ressort de l’introduction de ʿUṭārid à son livre al-Anwār almushriqa fī ʿamal al-marāyā al-muḥriqa, MS Istanbul, Süleymaniye, Laleli 2759/1, fol. 1 v-2 r. ‎3. Voir A.I. Sabra, The Optics of Ibn al-Haytham. Books I-III on Direct Vision. Translated with Introduction and Commentary, Studies of the Warburg Institute, vol. 40, i-ii, 2 vol. (London, 1989), vol. II, pp. XXV-XXVI. À ces méprises, A.I. Sabra en ajoute

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

se dissipent d’elles-mêmes pour peu qu’on examine avec quelque attention la rédaction d’Ibn ʿĪsā et les sources de sa somme. Celle-ci comprend non seulement des fragments d’Anthémius de Tralles et d’autres écrits grecs rendus en arabe, mais aussi, comme nous l’avons affirmé ailleurs, une compilation des livres d’al-Kindī sur Les rayons solaires, 1 ainsi que de l’opuscule de ce dernier sur Les grandeurs immergées dans l’eau. 2 Parmi ces sources, nous avons également pu identifier Les dix livres sur l’œil, de Ḥunayn ibn Isḥāq (mort en 873 ou 877), ainsi que la Rectification de son aîné al-Kindī. En effet, de Ḥunayn ibn Isḥāq, Ibn ʿĪsā emprunte un long fragment, du fol. 131 r au fol. 136 r du manuscrit Ragip Paşa 934 de la bibliothèque Süleymaniye d’Istanbul, c’est-à-dire les pages 120 à 124 de l’édition de Max Meyerhof. 3 Mais c’est à la Rectification d’al-Kindī qu’est fait l’emprunt le plus massif, qui nous intéresse ici à double titre : l’écrit d’Ibn ʿĪsā ne nous permettra pas seulement d’authentifier le texte de la Rectification, mais aussi d’apprécier toute l’influence ultérieure de son auteur. Notons en effet dès maintenant que le texte du compilateur a lui aussi constitué une voie importante de diffusion de l’œuvre optique d’al-Kindī, et indirectement de celle d’Euclide. La compilation d’Ibn ʿĪsā semble avoir été diffusée directement ainsi que par d’autres auteurs tardifs, comme Ṣalāḥ al-Dīn al-Kaḥḥāl. 4 Le manuscrit en caractère hébraïque, enfin, atteste de l’audience occidentale de cette œuvre composite. Pour établir qu’il s’agit bien d’une compilation de la Rectification, à peine est-il besoin d’une preuve, puisque Ibn ʿĪsā recopie, à quelques légères modifications près et dans l’ordre, les propositions suivantes : (14, 15, 16, 17, 18, 10), (23, 24, 25, 26, 27 et fin 28), (33, 34, 35, 38, 39, 40, 41, 44, 49, 51, 54, 46, 47). À cela s’ajoutent l’une des preuves des propositions restantes, et quelques paragraphes disséminés. De sorte que le cinquième environ du livre d’Ibn ʿĪsā provient directement de la Rectification d’al-Kindī. quelques autres, lorsqu’il attribue un autre texte d’al-Kindī sur les Grandeurs immergées dans l’eau, que Muḥammad ibn al-Haytham s’est borné à reprendre, au mathématicien al-Ḥasan ibn al-Haytham ; deux auteurs qu’il faudra bien, soit dit en passant, cesser un jour de confondre. Voir Rashed, L’optique et la catoptrique, pp. 125 sqq. ‎1. Rashed, « Geometrical optics », dans Encyclopedia of the History of Arabic Science, p. 656. ‎2. Rashed, « Fūthīṭos (?) et al-Kindī sur ‘l’illusion lunaire’ », pp. 541 sqq. ‎3. M. Meyerhof, The Book of the Ten Treatises on the Eye Ascribed to Hunain ibn Ishâq (809-877 A.D.) (Le Caire, 1928). ‎4. Nūr al-ʿuyūn fī jāmīʿ al-funūn, MS Paris, B.N. 3008, fol. 15 v-23 v ; trad. allemande J. Hirschberg, J. Lippert et E. Mittwoch, Ṣalāḥ ad-Dīn. Licht der Augen, aus arabischen Handschriften übersetzt und erläutert (Leipzig, 1905) ; repris dans F. Sezgin (éd.), Augenheilkunde im Islam. Texte, Studien und Übersetzungen (Frankfurt am Main, 1986), pp. 206-30; pour les coïncidences entre le texte d’Ibn ʿĪsā et celui d’al-Kaḥḥāl, voir Sabra, The Optics of Ibn al-Haytham, vol. II, pp. lxvi-lxvii.

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE

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Emprunt massif – c’est le moins que l’on puisse dire – le livre d’Ibn ʿĪsā est en outre d’une absolue discrétion sur le nom des auteurs : al-Kindī, non plus qu’Ḥunayn ibn Isḥāq, n’y sont jamais nommés, ne serait-ce qu’une fois. Leur présence, si l’on ose ainsi parler, n’est signalée que noyée dans la foule, et seulement une fois. Avant de transcrire les propres mots d’al-Kindī, Ibn ʿĪsā a écrit une fois : « Les philosophes et Euclide parmi eux et avec eux ont dit...». – qālat al-falāsifa wa-Uqlīdis minhum wa maʿahum. 1 Il en est de même pour Ḥunayn, dont le fragment est précédé par : « Les médecins Hippocrate, Galien et d’autres ». Plus encore : tous les paragraphes de la Rectification qui pourraient laisser penser qu’il s’agit d’un commentaire critique de l’Optique, et donc trahir la présence d’al-Kindī, ont été systématiquement éliminés. Citons à titre de simple exemple la proposition 34 de la Rectification où l’ensemble du texte a été recopié par Ibn ʿĪsā, sauf ces quelques lignes : Mentionnons les propositions qu’Euclide a mentionnées, et montrons-les de la manière la plus claire possible, si Dieu le veut. Il y a en effet apporté des choses particulières et accidentelles, dont il pouvait se dispenser par une seule proposition à l’aide de laquelle on peut comprendre que tout ce qui est différent de ceux-ci est vu différent (il s’agit des diamètres égaux). 2

Le silence d’Ibn ʿĪsā est à ce point systématique qu’on ne peut l’imputer qu’à une volonté délibérée. Il semble de fait qu’Ibn ʿĪsā cherchait à faire passer son livre pour ce qu’il n’était pas : une rédaction propre, faite à partir de seules sources anciennes, sans référence aux modernes. Mais cet « idéal », et les procédés adoptés par Ibn ʿĪsā pour l’atteindre, s’écartent de ceux d’al-Kindī, des Banū Mūsā, d’Ibn Qurra, bref des savants du ix e siècle. Ceux-ci, tout en vénérant leurs prédécesseurs, n’hésitaient pas à s’en séparer pour les critiquer : nous avons sous les yeux l’exemple de la Rectification. Tout désigne donc Ibn ʿĪsā, des dates des textes qu’il compile à son idéal et à ses procédés, comme un savant d’un rang bien inférieur, et relativement tardif. Sur ses dates exactes, la question demeure bien sûr ouverte 3. ‎1. Voir MSS Ragip Paşa 934, fol. 5 v et Laleli 2759, fol. 26 r. ‎2. La Rectification, dans Rashed, L’optique et la catoptrique, p. 255, l. 1-3. ‎3. Nous allons démontrer qu’Aḥmad ibn ʿĪsā est postérieur à al-Kindī puisqu’il a compilé la Rectification ainsi que d’autres écrits de celui-ci. Il a compilé par ailleurs Les dix livres sur l’œil de Ḥunayn ibn Isḥāq. Ses propres commentaires montrent de plus qu’il ne s’agit pas d’un savant de premier rang. Or al-Nadīm mentionne un « artisan des instruments astronomiques et scientifiques (min ṣunnāʿ al-ālāt) » : Aḥmad ibn ʿAlī ibn ʿĪsā. Si ce dernier, comme il est vraisemblable, était bien le fils de ʿAlī ibn ʿĪsā, lui-même artisan des instruments astronomiques et protégé d’Ibn Khalaf al-

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Reste encore à examiner, même brièvement, les procédés de rédaction appliqués par Ibn ʿĪsā dans sa compilation de la Rectification. 1. Le premier procédé, de loin le plus usité, est la copie directe, émaillée de quelques gloses destinées à aider un lecteur débutant, et à lui éviter certaines confusions. Ibn ʿĪsā modifie quelques expressions d’al-Kindī, pour les remplacer par d’autres qui lui semblent mieux convenir. Ces modifications n’altèrent d’aucune manière le texte d’al-Kindī. Prenons l’exemple de la proposition 14. L’énoncé repris par Ibn ʿĪsā est celui de la Rectification, différent de celui de la version A. On lit dans le livre d’Ibn ʿĪsā : ‫اهتمس ىري دعبألا اهنم نع رصبلا‬، ‫قفألا رصبلاو ىلعأ اهنم جراخو نع‬، ‫ةدمعألا ةيواستملا رادقألا يتلا ىلع حطس‬

‫رصبلا‬. ‫لوطأ امم وه برقأ هنم ىلإ‬

Des perpendiculaires de grandeurs égales étant élevées au-dessus de l’horizon, l’œil étant plus élevé qu’elles et à l’extérieur de leur direction, la plus éloignée de l’œil sera vue plus longue que celle qui s’en approche. 1

La seule différence entre ce texte copié par Ibn ʿĪsā et celui d’al-Kindī est que chez Ibn ʿĪsā on trouve « Des perpendiculaires de grandeurs égales » au lieu de « Des perpendiculaires égales ». L’énoncé de A s’écrit : ‫هنود‬. ‫دحاو يذلاف دعب اهنم ىري ىلعأ امم وه‬، ‫رادقألا ةيواستملا اذإ تناك تحت رصبلا ىلع تمس‬ Des grandeurs égales, si elles sont au-dessous de l’œil dans une même direction, celle qui s’éloigne sera vue plus élevée que celle qui est avant elle. [MS L, fol. 85.]

À un mot près, le texte d’Ibn ʿĪsā est une copie du texte d’al-Kindī et diffère de celui de A. Poursuivons la comparaison et considérons le texte d’al-Kindī en mettant entre (...) les ajouts d’Ibn ʿĪsā, dont certains proviennent sans doute du manuscrit d’al-Kindī par lui utilisé, et dont nous n’avons aucun moyen de le distinguer des gloses ajoutées. ‫كلذ نأ ضرفن ةدمعألا ةيواستملا رادقألا( )و ةمئاقلا ىلع )حطس( قفألا يذلا( وه و م) ةدمعأ ا ب ـج د‬: ‫لاثم‬ ‫اهتمس‬. ‫ رصبلاو ةمالع ز اًجراخ )جراخ( نع‬،‫ـه و‬

Marwarrūdhī, alors qu’Aḥmad serait un homme du x e siècle ou, à l’extrême rigueur, de la toute fin du ix e siècle. Toute la question est de savoir si Aḥmad ibn ʿAlī ibn ʿĪsā était le même qu’Aḥmad ibn ʿĪsā. D’autres informations sont nécessaires pour pouvoir y répondre. Voir al-Nadīm, Kitāb al-fihrist, éd. R. Tajaddud (Téhéran, 1971), pp. 342-3. ‎1. Al-Manāẓir wa al-marāyā al-muḥriqa, MS Ragip Paşa 934, fol. 82 r.

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE

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Exemple : Supposons les perpendiculaires (de grandeurs) égales (et qui sont) élevées au-dessus (du plan) de l’horizon (qui est FM), les perpendiculaires AB, CD, EF, et l’œil le point G à l’extérieur de leur direction.

‫لوقأف نإ )دومع( ا ب دعبألا نم ز ىري لوطأ نم )دومع( ـج د برقألا نم ز هنم نم( دومع ا ب) )دومع(و‬: .‫ج د دعبألا نم ز نم )دومع( ـه و ىري لوطأ نم )دومع( ـه و برقألا نم ز نم )دومع( ـج د‬

Je dis que (la perpendiculaire) AB, la plus éloignée de G est vue plus longue que (la perpendiculaire) CD, qui est plus proche que celle-ci de G [Ibn ʿĪsā explicite : « de celle-ci », mais en écrivant : « plus proche que la perpendiculaire AB »], et (la perpendiculaire) CD plus éloignée de G que (la perpendiculaire) EF est vue plus longue que (la perpendiculaire) EF qui est plus proche de G que (la perpendiculaire) CD.

Les différences entre les deux textes sont le plus souvent de cet ordre : nommer l’être désigné, perpendiculaire, cercle, arc … ; expliciter un pronom relatif. Certains de ces ajouts pourraient correspondre à des omissions dans une copie plus primitive du manuscrit. Mais, dans un cas comme dans l’autre, ces différences n’altèrent en rien l’esprit du texte, ni même, pourrait-on dire, sa lettre. 2. Le second procédé s’apparente au premier, à cette différence près que le nombre des gloses croît, de même que les libertés prises à l’égard du texte. Tout en restant proche de la lettre d’al-Kindī, Ibn ʿĪsā intercale des explicitations, et il lui arrive de recomposer les termes d’al-Kindī. Cette forme de rédaction est davantage employée par le compilateur, on le comprend, lorsqu’il s’agit des paragraphes doctrinaux. Mais ces écrits d’Ibn ʿĪsā, rappelons-le, n’altèrent en rien ‎1. Ibid., fol. 82 v. Ibn ʿĪsā regroupe la figure de cette proposition et celle de la proposition 15 de la Rectification.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

le texte de la Rectification, et ne le rendent jamais méconnaissable. Ce n’est nullement une rédaction de la Rectification, mais une libre copie de ces paragraphes. En guise d’exemple, mentionnons ici le passage capital de la Rectification où al-Kindī élabore ses vues sur le rayon et le cône visuels. On donnera alors la copie d’Ibn ʿĪsā en notant entre (...) les expressions absentes du texte d’al-Kindī, désignant par un changement de caractère (le ruqʿah) celles qui ont été légèrement modifiées ou recomposées, et enfin en signalant entre [...] la reprise un peu plus libre du texte d’al-Kindī. ‫)اًئيضم عمجأ ًءايض‬، ‫ءيضملا( ينعأ ءاوهلا اذإ ناك‬، ‫ نم ّوجلا‬/ ‫نيعلا ثبني نم اهرظان ةوق ةيرون رثؤت اميف تقال‬ ‫هتدعاق نوكيف لكشلا‬، ‫هسفن املكو دعب تعستا‬، ‫خرلاب )هخرو ينعأ هدحتسم دنع رظانلا‬، (‫)هلكش( اًيربونص هيبش‬

‫هيلإ امف عقو هيلع كلذ عاعشلا‬. ‫يذلا طيحي هب كلذ ءايضلا اًطورخم اًيناوطسأ هدحتسم دنع رظانلا هتياهنو سامت روظنملا‬

‫هكردي‬. ‫عاعشلا مل هري رصبلا ملو‬، ‫ امو مل عقي هيلع كلذ‬،‫رصبلا هآر رصبلا هكردأو‬، ‫)يرونلا( وهو ءايضلا ثبنملا نم‬ (‫رظانلا سحيف هب‬، ‫ريصيف كلذ رونلا يعاعشلا طورخملا جراخلا( نم رصبلا ثبنملا يف ءاوهلا )ءيضملا وضعلاك ّيحلل‬ ‫رظانلا ةعفترملا هنع )عناوملا لك ام هسمال عقُو( )هيلع نم مارجألا هدحتسمو( يذلا وه هخر وهو جرخم رونلا نم‬

‫)ةيواز امف ناك اتياهن كلذ رونلا جراخلا نم رصبلا سامملا يتياهنل مرجلا[ روظنملا هيلإ ناطيحت نم‬، ‫رصبلا جرخي ىلع‬ ‫اًميظع امو ناك اتياهن كلذ رونلا جراخلا نم‬، ‫ يئر كلذ مرجلا روظنملا هيلإ‬/ ‫ةميظع‬، ‫رظانلا ىلإ روظنملا هيلإ ةيوازب‬ ‫رصبلا سامملا يتياهنل مرجلا روظنملا هيلإ ناطيحت نم رظانلا ىلإ روظنملا هيلإ ةيوازب ةريغص يئر كلذ مرجلا روظنملا هيلإ‬ ‫اًريغص‬...]

Voici la traduction de ce texte d’Ibn ʿĪsā : Il se disperse à partir de la pupille de l’œil une puissance lumineuse qui imprime dans tout l’air (illuminé, c’est-à-dire l’air, s’il est lumineux) qu’elle rencontre une luminosité (de figure) conique (semblable au tour, et son tour) c’est-à-dire son sommet est dans la pupille elle-même, et à mesure qu’elle s’éloigne, sa base s’élargit ; ainsi la figure entourée par cette luminosité sera un cône cylindrique dont le sommet est dans la pupille et dont l’extrémité est du côté de ce qui est regardé. Ce sur quoi tombe ce rayon (lumineux) qui est la luminosité dispersée à partir de l’œil, l’œil le voit et le saisit, et ce sur quoi ce rayon ne tombe pas, l’œil ne le voit ni ne le saisit. Cette lumière radiante conique (issue de l’œil et dispersée dans l’air lumineux) sera comme le membre du vivant : la pupille ; (la pupille débarrassée des obstacles) sent donc des corps tout ce que le rayon touche (et ce sur quoi il tombe), (son sommet, qui est son tour et qui est l’issue de la lumière de l’œil, sort sous un certain angle), tout ce dont les deux extrémités de cette lumière issue de l’œil qui touche les deux extrémités [du corps regardé entourent à partir de la pupille au regardé un grand angle, ce corps regardé sera vu grand, et ce dont les extrémités de la lumière issue de l’oeil qui touche les deux extrémités du corps regardé entoure à

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE

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partir de la pupille jusqu’au regardé un petit angle ; ce corps regardé sera vu petit]. 1

On observe donc que les ajouts, les modifications et les reprises ne sont rien de plus que des explicitations souvent superflues des propos d’al-Kindī. Changer jism en jirm, ou shuʿāʿ en nūr khārij min albaṣar dans ce contexte, ou encore reprendre une expression ramassée et un peu rugueuse à la manière d’al-Kindī pour la développer, rien de cela ne modifie le fond du texte ni ne parvient à voiler le texte copié. 3. Il arrive qu’Ibn ʿĪsā ajoute d’autres cas non traités par al-Kindī, en guise de développement. Ces ajouts sont de deux ordres : ou bien une illustration sensible d’une propriété, une sorte d’expérience qualitative 2 ; ou bien, ce qui est bien moins intéressant, la multiplication des cas superflus. Un exemple que nous traiterons incessamment est celui de la proposition 10 de la Rectification, consacrée à la vision des figures polygonales à partir d’une certaine distance. Al-Kindī, comme Euclide, considère le cas du carré. Ibn ʿĪsā multiplie les cas : triangle, hexagone ... 3 Pour ces cas, son étude, et plus généralement ses commentaires, sont mathématiquement et optiquement bien au-dessous de ceux d’al-Kindī. Mais ce n’est pas ce qui nous intéresse ici. 4. Une fois n’est pas coutume, Ibn ʿĪsā cite d’Euclide de façon plus précise, et non de la manière vague que nous avons constatée précédemment. Le fait mérite que l’on s’y arrête, puisqu’il soulève l’importante question de savoir quelle version de l’Optique il pouvait connaître, et, d’autre part, comment il a poursuivi son travail de compilation, dans ce cas. Ibn ʿĪsā écrit : ‫ةريدتسم لثم عبرملا هنإف اذإ دعب نع‬، ‫ لاكشألا تاوذ ىرتاياوزلا نم دعب ام‬:‫رظانملا‬

‫فالتخا‬

‫لاق سديلقأ يف باتك‬ ‫اًرودم‬. ‫رصبلا يئر‬

Euclide a dit dans le livre sur La diversité des perspectives : les figures polygonales sont vues, à une certaine distance, arrondies, comme le carré s’il s’éloigne de l’œil sera vu arrondi. 4

‎1. Ibid., fol. 5 v-6 v. Au cours de l’impression de L’optique et la catoptrique (p. 62, l. 10), il y a eu un saut du même au même : ‫ مرجلا روظنملا هيلإ‬... ‫( اًميظع‬l. 11-12) ; lire aussi p. 163, l. 19 ‫ ناطيحت‬au lieu de ‫ناطيحي‬. ‎2. Comme exemples d’expérience qualitative, voir Ibn ʿĪsā, ibid., fol. 12 r, 13 r. ‎3. Ibid., fol. 91 r-93 v. ‎4. Ibid., fol. 89 r.

284

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

La première partie de cette citation est identique à celle de la Rectification, alors que la seconde, en italique, n’y figure pas. Or cet énoncé rapporté par Ibn ʿĪsā, tout comme celui de la Rectification, sont tous deux différents de l’énoncé donné dans A, aussi bien que de ceux donnés dans G1 et G2 . Dans A on lit en effet : ‫ةريدتسم‬. ‫لاكشألا ةمئاقلا اياوزلا اذإ ترصبأ نم دعب ىرت‬ Les figures rectangulaires vues à distance sont vues arrondies. 1

C’est mot pour mot l’énoncé que l’on trouve dans T et J, sans aucun doute à partir de A. Dans G1 et G2 on a le même énoncé que dans A, à cette différence près (que l’on peut sans inquiétude mettre sur le compte du traducteur arabe) qu’au lieu de « figures rectangulaires », on lit « grandeurs rectangulaires » : τὰ ὀρθογώνια μεγέθη). Donc dans toutes les versions connues de l’Optique, seuls al-Kindī et Ibn ʿĪsā citent l’énoncé d’Euclide avec « les figures polygonales ». Nous nous trouvons ainsi devant l’alternative suivante : ou bien Ibn ʿĪsā a reproduit la Rectification en ajoutant la seconde partie de l’énoncé, qui n’en est qu’un exemple (le mot mā, « certain », dans la première partie, qui manque à l’énoncé d’al-Kindī, n’est pas significatif, car il peut aussi bien être un ajout par Ibn ʿĪsā, qu’une omission dans le manuscrit de la Rectification 2) ; ou bien Ibn ʿĪsā a eu accès, directement ou non, à la version K de l’Optique, celle que connaissait al-Kindī. La seule certitude que nous ayons pour l’heure est qu’il ne cite ni l’énoncé de A ni une variante de celui-ci. Il reste que Ibn ʿĪsā a fait suivre cet énoncé d’un exemple et d’une démonstration très proches de ceux de A, pour ensuite redonner la démonstration d’alKindī qui est tout à fait différente. Mieux encore : la démonstration de A est différente de celle de G1 , laquelle est différente de celle de G2 , si bien que les démonstrations des différentes versions de l’Optique sont deux à deux différentes ; ce qui rend le rapprochement entre la démonstration donnée par Ibn ʿĪsā et celle qui se trouve dans A particulièrement intéressant. Comparons-les. EUCLIDE D’APRÈS IBN ʿĪSĀ [fol. 89 r-v]

EUCLIDE A [MSS L, 84; Q, 63 r]

‫رصبلا يئر‬، ‫كلذ عبرم ا ب ـج د اذإ دعب نع‬: ‫لاثم‬

‫نكيلف لكشلا مئاقلا اياوزلا لكش ا ب ـج د اًديعب نع‬

‫اًريدتسم‬.

‫اًريدتسم‬. ‫رصبلا لوقأف هنإ ىري‬.

‎1. MS L, fol. 84. ‎2. La Rectification, dans Rashed, L’optique et la catoptrique, p. 189, l. 10.

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE

285

‫ةدحاو‬، ‫نأل رصبلا نم ةفاسم ةديعب ال فقي ىلع ةطقن‬ ‫لقتني امنيبف عقي ىلع ةطقن يهو ةطقن ـه‬، ‫هنكلو‬

‫هناهرب نأل رصبلا نم ديعبلا ال فقي ىلع ةطقن‬: ‫لقتني نيبتف هنأ امنيب عقي ىلع ةطقن‬، ‫ةدحاو هنكلو‬،

‫عقي ىلع ةطقن ط امنيبو عقي ىلع ةطقن ي امنيبو عقي‬

‫طقنلا‬. ‫امنيبو عقي ىلع ةطقن ط امنيبو عقي ىلع ةيقب‬

‫امنيبو عقي ىلع ةطقن ز امنيبو عقي ىلع ةطقن ح امنيبو‬

‫ىلع ةطقن ـك امنيبو عقي ىلع ةطقن ل امنيبو عقي ىلع‬

‫ةطقن م؛‬ ‫كلذلف نوكي يذلا ىري نم لكش ا ب ـج د عبرملا‬ ‫اًريدتسم لثم لكش ا ب ـج د‬، ‫اذإ دعب نع رصبلا يئر‬

‫ـه امنيبو عقي ىلع ةطقن ز امنيبو عقي ىلع ةطقن ح‬

‫كلذلف نوكي يذلا ىري لكش ـه ز ح ط ـك ل م ن‬ ‫كلذ لكشلاف مئاقلا اياوزلا يذلا هيلع‬. ‫الو ىري ام نيب‬

‫هنايب‬. ‫مئاقلا ؛اياوزلا كلذو ام اندرأ‬

‫ا ب ـج د ىري نم دعبلا ؛اًريدتسم كلذو ام اندرأ نأ‬

Exemple : Si le carré ABCD s’éloigne de l’œil, il sera vu arrondi. Puisque l’œil à une grande distance ne s’arrête pas sur un seul point, mais se déplace ; alors qu’il tombe sur un point qui est le point E, alors il tombe sur le point G, alors il tombe sur le point H, alors il tombe sur le point I, alors il tombe sur le point J, alors il tombe sur le point K, alors il tombe sur le point L, alors il tombe sur le point M. C’est pourquoi ce qu’on voit de la figure carrée ABCD, si elle s’éloigne de l’œil, est arrondi ; comme la figure ABCD rectangulaire. Ce qu’il fallait démontrer.

Soit la figure rectangulaire ABCD éloignée de l’œil. Je dis alors qu’elle sera vue arrondie. Démonstration : Puisque l’œil à distance ne s’arrête pas sur un seul point, mais se déplace, il est clair qu’il tombe alors sur le point E, alors il tombe sur le point G, alors sur le point H, alors sur le point I, et alors sur les points qui restent. C’est pourquoi ce qu’on voit est la figure EGHIKLMN, et on ne voit pas ce qui est entre cela. La figure rectangulaire ABCD est donc vue, à distance, arrondie. Ce qu’il fallait démontrer.

Le face-à-face entre ces deux textes révèle une situation pour le moins singulière : suffisamment proches pour s’affilier à un ancêtre

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

commun, ils sont néanmoins assez distants pour laisser entrevoir les traces de deux traditions textuelles différentes. La comparaison mot à mot des deux textes montre qu’ils entament la démonstration de la même façon, et utilisent la même figure, à une légère modification près de l’ordre de la littération. C’est à ce titre qu’ils sont les héritiers d’un modèle plus ou moins lointain. Mais, alors que dans la version A on s’arrête à la moitié de l’énumération des points pour laisser au lecteur le soin de poursuivre, l’auteur du texte cité par Ibn ʿĪsā tient à conduire celui-ci par la main jusqu’au dernier point. La justification même de la proposition est différente : dans A on explicite l’argument principal, « ce qu’on voit est la figure EGHIKLMN, et on ne voit pas ce qui est entre cela », c’est-à-dire les points A, B, C, D. Le lecteur serait invité à réitérer le procédé à partir de la nouvelle figure, et pourrait ainsi voir à distance la figure polygonale engendrée. On chercherait en vain cet argument dans le texte reproduit par Ibn ʿĪsā. On peut bien sûr le récuser et lui contester la valeur d’une démonstration, mais on ne peut lui régler son compte en quelques mots, « la raison mentionnée par Euclide est manifestement erronée et indémontrable », 1 comme le fait al-Kindī. Ces propos sévères du philosophe s’appliqueraient mieux au texte rapporté par Ibn ʿĪsā, lequel est, lui, dénué de toute justification. On peut, en d’autres termes, présenter la situation de la manière suivante : 1. Ibn ʿĪsā nous informe, pour une fois, qu’il cite l’Optique d’Euclide. 2. L’énoncé est celui donné par al-Kindī, à partir de la version de l’Optique à laquelle il avait accès, c’est-à-dire la version K. 3. Al-Kindī condamne l’exposé de K, et, immédiatement après l’énoncé, donne sa propre démonstration. 4. L’ecthesis, la figure, ainsi que le début de la démonstration dans le texte d’Ibn ʿĪsā, sont proches de A. 5. Le reste de la démonstration dans Ibn ʿĪsā diffère de A. 6. La version A diffère de G1 et de G2 , lesquelles diffèrent entre elles, même si elles ont le même énoncé. Il semble donc, dans ces conditions, qu’Ibn ʿĪsā nous donne ici une citation de la version K. Ici comme en d’autres endroits, celleci paraît bien croiser A à un moment de son histoire. On attendrait qu’Ibn ʿĪsā s’arrête après avoir cité Euclide en personne : il n’en est rien. Il poursuit en copiant le texte d’al-Kindī, c’est-à-dire sa démonstration, sans même relever qu’elle contredit celle qu’il vient de

‎1. Ibid., p. 189, l. 11.

LE COMMENTAIRE PAR AL-KINDĪ DE L’OPTIQUE D’EUCLIDE

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donner. Ainsi, même lorsqu’il a recours à d’autres sources, et non des moindres puisqu’il s’agit de l’Optique d’Euclide, Ibn ʿĪsā éprouve le besoin de transcrire extenso le texte de la Rectification. L’auteur anonyme et Ibn ʿĪsā ont ainsi permis d’établir l’authenticité de la Rectification, et son attribution à al-Kindī. Il arrive souvent, nous l’avons constaté, que les textes cités de celle-ci, notamment par Ibn ʿĪsā, soient si proches du manuscrit retrouvé qu’ils peuvent servir de second manuscrit dans l’établissement critique du texte. Les différences les plus fréquentes sont les « ajouts », dans le texte d’Ibn ʿĪsā – qui pourraient être des omissions dans le texte retrouvé – de termes comme « droite », « arc », « perpendiculaire », devant la désignation. Le texte du manuscrit d’al-Kindī semble être plus économe sur ce plan. Mais, quel que soit le point de vue qu’on adopte, ces différences sont insignifiantes. Tout comme Ibn ʿĪsā et Ṣalāḥ al-Dīn al-Kaḥḥāl, l’auteur anonyme renseigne aussi sur la diffusion de la pensée optique d’al-Kindī. Sans être nommé, il était bien au nombre de ceux qui s’intéressaient à l’optique ancienne – ce qui constitue du reste une leçon de prudence, et nous garde de mesurer l’impact d’une pensée à la présence du nom du penseur.

DE LA GÉOMÉTRIE DU REGARD AUX MATHÉMATIQUES DES PHÉNOMÈNES LUMINEUX Commençons par rappeler un fait et par évoquer une métaphore. L’optique, la science physique la plus ancienne, la première mathématisée et la plus mûre s’est développée et transformée dans ses périodes anciennes et classiques autour de la Méditerranée. Voilà le fait. Quant à la métaphore, elle porte sur la production et la circulation du savoir scientifique autour de la Méditerranée : celleci se présente comme un lieu, un topos au sens aristotélicien, lieu d’échanges entre toutes les civilisations de l’Ancien Monde, celles qui encerclent ses rives et celles qui s’en éloignent. Pour illustrer cette situation, quittons le terrain miné des métaphores pour examiner brièvement la situation de l’historien avant de revenir à la science elle-même. Si par exemple, de nos jours, un historien veut étudier les débuts de l’optique hellénistique, il ne manquera pas de rencontrer l’œuvre de Dioclès, du second siècle avant notre ère. Sa recherche exigera donc l’examen de la compilation arabe de cette œuvre, la seule qui ait survécu. Si maintenant il s’attache à une période plus tardive de l’optique hellénistique, il devra consacrer la majeure partie de ses efforts à l’étude de la contribution capitale que l’on attribue à Ptolémée (ii e siècle). Il lui faudra cette fois se satisfaire de la traduction latine faite au xii e siècle par l’émir Eugène de Sicile, à partir de la version arabe, elle-même faite à partir du texte grec, au ix e siècle : les deux textes, grec et arabe, sont en effet perdus. Supposons enfin que notre historien ne s’intéresse qu’à la seule optique arabe, et qu’il soit suffisamment désinvolte pour négliger les sources grecques et les traductions arabes de celles-ci, il ne pourra cependant pas faire l’économie des traductions latines et hébraïques issues de l’arabe. Nous savons que l’un des premier travaux en optique arabe est du philosophe Ibn Isḥāq al-Kindī. De son livre sur l’optique, il ne nous reste que la traduction latine, qui fut une référence essentielle aussi bien pour Roger Bacon que pour John Pecham et pour Robert Grosseteste. Mais, s’il étudie un chapitre particulier de l’optique arabe, comme

Paru dans G. Vescovini, Filosofia e scienza classica, arabo-latina medievale e l’età moderna, Fédération Internationale des Instituts d’Études Médiévales (FIDEM), Textes et études du Moyen Âge, 11, Louvain-la-Neuve, 1999, p. 43-59.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

celui consacré aux phénomènes atmosphériques, il rencontrera inévitablement le livre de l’Andalou Ibn Muʿādh, De Crepusculis, qui n’existe que dans ses traductions latine et hébraïque. Il serait facile de multiplier de tels exemples, qui tous concourent à montrer que nous sommes bien là face à une situation spécifique, aussi bien dans le temps que dans l’espace. Si, en effet, on le compare à l’historien de l’optique d’une époque plus tardive, telle le xviii e siècle, ou à un historien de l’optique dans une autre ère culturelle – la Chine par exemple –, l’historien des sciences et des mathématiques dans les cultures méditerranéennes, jusqu’au xvii e siècle, doit suivre une démarche plus contournée. Il lui faut sans répit parcourir tous les lieux ; jamais il ne peut s’appuyer sur un point fixe ; il doit rejeter, au risque de manquer totalement son objet, toute tentation de culturocentrisme et d’histoire linéaire. Mais cette condition propre à notre historien n’est, en fait, que le reflet des méandres de la constitution et de la diffusion de l’optique elle-même. Arrêtons-nous donc à l’élaboration de cette science, et, au lieu des recherches de l’historien d’aujourd’hui, considérons le parcours du savant d’hier. La recherche optique dans l’antiquité grecque et hellénistique se répartit essentiellement en cinq chapitres, qui parfois se superposent ou se chevauchent : l’optique au sens propre, c’est-à-dire l’étude géométrique de la perception de l’espace et des illusions de perspective ; la catoptrique, c’est-à-dire l’étude géométrique de la réflexion des rayons visuels sur les miroirs ; les miroirs ardents, étude de la réflexion convergente des rayons solaires sur les miroirs ; les phénomènes atmosphériques comme le halo et l’arc-en-ciel ; et enfin l’étude de la vision par les philosophes et les médecins. Dans les chapitres où l’on traite en même temps de la propagation de la lumière et de la vision, dominait la doctrine du « rayon visuel » : il s’agit d’un faisceau divergent, émis par l’œil, c’est-à-dire un cône dont le sommet est l’œil, et dont les arêtes sont les rayons visuels qui se propagent en ligne droite et vont parcourir les objets qui leur font obstacle. Selon cette doctrine, voir, c’est éclairer, et les conditions de la propagation sont celles de la vision. Chacune des deux problématiques – propagation et vision – renvoie immédiatement à l’autre ; or c’est précisément sur ce double mouvement de renvoi qu’ont reposé les conditions de possibilité de l’ancienne optique, mais aussi ses limites et les obstacles à son développement. Cette doctrine du rayon visuel, selon laquelle la vision est conçue comme un acte tactile, une palpation à distance, a été développée dans le livre de l’Optique attribué à Euclide, et a trouvé sa formulation quasi-définitive dans l’Optique attribuée à Cl. Ptolémée. Cette doctrine domine l’optique jusqu’à la fin du x e siècle, et même plus tard.

DE LA GÉOMÉTRIE DU REGARD AUX MATHÉMATIQUES

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En ce sens, l’optique n’est qu’une géométrie de la perception, une géométrie du regard. Son thème principal est celui de la variation de la grandeur du visible en rapport avec la variation de sa distance de l’œil source, ou, mieux encore, de l’œil phare, et en rapport avec sa position parmi les autres objets. Dans cette optique, on se préoccupe principalement de l’objet visible, non pas comme tel, mais on s’intéresse uniquement à la question de savoir comment il apparaît à l’œil. C’est en quelque sorte une géométrie de l’apparence, où lumière et vision n’ont pas de statuts ontologiques distincts. Rappelons à ce propos les postulats de l’Optique d’Euclide. I. Supposons que les lignes droites qui émanent de l’œil se propagent à divergence des grandes grandeurs (μεγεθῶν μεγάλων). II. Et que la figure comprise sous les rayons visuels est un cône ayant son sommet dans l’œil, et sa base aux limites des grandeurs regardées. III. Et que les grandeurs sur lesquelles tombent les rayons visuels sont vues ; tandis que celles sur lesquelles les rayons visuels ne tombent pas ne sont pas vues. IV. Et que les grandeurs vues sous un plus grand angle apparaissent plus grandes ; tandis que celles qui sont vues sous un plus petit angle apparaissent plus petites, et que celles qui sont vues sous des angles égaux apparaissent égales. V. Et que les grandeurs vues sous des rayons plus relevés apparaissent plus élevées ; tandis que celles qui sont vues sous des rayons plus abaissés apparaissent plus basses ; VI. Et que, pareillement, les grandeurs vues sous des rayons plus à droite apparaissent plus à droite ; tandis que celles qui sont vues sous des rayons plus à gauche apparaissent plus à gauche ; VII. Enfin, que les grandeurs vues sous des angles plus nombreux apparaissent plus distinctement» (trad. Ver Eecke, p. 1-2).

Dans cette Optique, l’œil est un phare, sommet d’un cône de rayons visuels qui éclairent les objets, et ce sont les angles et les directions de ces rayons qui déterminent l’apparence des visibles. C’est sur cette base euclidienne qu’une science géométrisée de l’optique se constitue et trouve sa forme la plus accomplie dans l’Optique de Ptolémée. Ptolémée traite successivement dans les quatre livres de son ouvrage : la vision directe, la vision par réflexion sur les différents miroirs – plans, sphériques concaves, sphériques convexes, cylindriques, coniques – et enfin la vision par réfraction. Même si la doctrine reste pour l’essentiel la même, la perception devient maintenant le résultat d’un jugement complexe, fondé sur l’intervention de plusieurs facultés de l’âme.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

C’est donc cette optique comme géométrie du regard qui fut transmise en arabe, avec la plupart des travaux grecs et hellénistiques sur les miroirs ardents, sur l’optique météorologique, ainsi que les écrits des philosophes et médecins. Cette dépendance de l’optique grecque et hellénistique, et, pourrait-on même dire, d’elle seule, n’a cependant pas entravé l’émergence relativement précoce d’une recherche novatrice. Très rapidement en effet, après la transmission massive des écrits grecs, l’histoire de la discipline est devenue celle de la rectification de ces écrits, de l’accumulation de nouveaux résultats, et du renouvellement des principaux chapitres. Deux siècles ont suffi pour préparer ce qui, finalement, fut une véritable révolution, qui marquera à jamais l’histoire de l’optique, voire, plus généralement, celle de la physique. C’est ce mouvement dialectique entre une solide continuité et une profonde rupture que je voudrais maintenant esquisser. À la réception de l’Optique d’Euclide ainsi que de l’écrit d’Anthémius de Tralles sur les Miroirs ardents, le philosophe et savant du milieu du ix e siècle al-Kindī rédige plusieurs mémoires dans les diverses branches de l’optique. Ainsi, à la suite d’Euclide, il se donne expressément pour tâche «d’exposer l’enseignement des anciens», «de développer ce qu’ils ont commencé», et de rectifier les erreurs commises. Ainsi, dans son livre perdu en arabe mais conservé en latin, intitulé Liber de causis diversitatum aspectus [De Aspectibus], il veut démontrer ce qu’Euclide a postulé. En effet, un quart du De Aspectibus est destiné à justifier la propagation rectiligne des rayons lumineux, à l’aide des considérations géométriques sur les ombres, et le passage de la lumière à travers les fentes. Une fois établie la propagation rectiligne, al-Kindī revient à la théorie de la vision. Il commence par rappeler et critiquer les principales doctrines connues depuis l’antiquité, pour finalement adopter celle de l’émission. Il n’admet cependant pas la doctrine euclidienne sans lui apporter de sérieux amendements. Le cône visuel, selon lui, et à la différence de ce que soutient Euclide, ne sera plus formé de rayons discrets, mais se présentera comme le volume de radiations continues. Cet amendement tient son importance de l’idée qui la fonde : celle de rayon. Al-Kindī écarte une conception purement géométrique du rayon : les rayons ne sont pas des droites géométriques, mais des impressions produites par des corps à trois dimensions ; ou, dans les termes d’al-Kindī, un rayon est une impression du corps lumineux sur des corps opaques, dont le nom est dérivé de celui de la lumière en raison de l’altération des accidents survenus aux corps qui reçoivent cette impression. Donc l’impression, avec ce dans quoi est l’impression, tout cela est un rayon. Mais le corps qui produit l’impression est un corps qui a trois dimensions : lon-

DE LA GÉOMÉTRIE DU REGARD AUX MATHÉMATIQUES

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gueur, largeur, profondeur. Donc le rayon ne suit pas des lignes droites entre lesquelles il y aurait des intervalles.

Cette critique du concept de rayon, en elle-même importante, prépare en quelque sorte un pas fondamental qui sera franchi un siècle et demi plus tard environ par Ibn al-Haytham : la séparation entre la lumière et la droite suivant laquelle elle se propage. Mais al-Kindī doit encore expliquer la diversité de la perception selon les différentes régions du cône. Il se démarque à cette occasion à la fois de la position d’Euclide et de celle de Ptolémée, en supposant que de tout point de l’œil sort un cône visuel. Al-Kindī étudie ensuite la réflexion des rayons visuels sur différents types de miroirs. Il consacre en outre tout un livre aux miroirs ardents. Ici également, ce livre se situe à la fois dans la continuité des savants anciens, et contre eux. Al-Kindī entend ici remédier aux insuffisances de l’étude d’Anthémius de Tralles, qu’il complète. Celui-ci n’a-t-il pas en effet pris pour une vérité incontestable la légende selon laquelle Archimède aurait incendié la flotte romaine, sans même démontrer que c’était possible ? N’a-t-il pas travaillé à la construction d’un miroir sur lequel vingt-quatre rayons se réfléchissent vers un seul point, sans déterminer rigoureusement la distance de ce point au miroir ? C’est cette tâche qu’al-Kindī se propose de reprendre. À cette fin, il étudie cinq types de miroirs ardents : miroir dièdre, miroir conique, miroir sphérique concave, système catoptrique de vingt-cinq miroirs, miroir parabolique 1. Un des résultats importants de cette recherche qui s’occupe de la propagation et de la focalisation de la lumière est, qu’à la suite d’alKindī, aucun savant de renommée en optique ne négligera d’inclure l’étude des miroirs ardents dans son programme de recherche. Tel est au moins le cas pour les deux auteurs les plus importants : Ibn Sahl et Ibn al-Haytham. Il s’agit donc bien là d’un chapitre central de l’optique, et non plus, comme dans l’antiquité, d’une spécialité à part. Nous verrons du reste que cette étude mènera précisément, au x e siècle, à l’inauguration d’un nouveau chapitre : la théorie géométrique des lentilles ; et, avec Ibn Sahl, vers 980, à l’anaclastique. Avant Ibn Sahl, les catoptriciens s’interrogeaient sur les propriétés géométriques des miroirs, et sur l’embrasement qu’ils produisent à une distance donnée. Tel est en somme le problème que se posent Dioclès, Anthémius de Tralles et al-Kindī. Ibn Sahl modifie d’emblée la question, en considérant non plus seulement les miroirs, mais les

‎1. Cf. R. Rashed, L’Optique et la Catoptrique d’al-Kindī, op. cit.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

instruments, ardents, c’est-à-dire ceux qui sont susceptibles d’embraser non seulement par réflexion, mais aussi par réfraction. Ibn Sahl étudie alors successivement, selon la distance de la source – finie ou infinie – et le mode d’embrasement – réflexion ou réfraction : le miroir parabolique, le miroir ellipsoïdal, la lentille plan-convexe et la lentille biconvexe. Dans chacune de ces sections, il procède à une étude théorique de la courbe, puis expose un procédé mécanique pour la tracer. Pour la lentille plan-convexe, par exemple, il commence par étudier l’hyperbole comme section conique, puis procède au tracé continu d’un arc d’hyperbole, pour ensuite reprendre l’étude du plan tangent à la surface engendrée par la rotation de cet arc autour d’une droite fixe, et enfin retrouver les lois de la réfraction. Mais, si l’on veut comprendre l’étude des lentilles par Ibn Sahl, il convient de déterminer auparavant la connaissance qu’il avait de la réfraction. Dans un autre mémoire, qui a survécu et qui a été commenté par Ibn al-Haytham, rédigé alors qu’il examinait le cinquième livre de l’Optique de Ptolémée, et intitulé Preuve que la sphère céleste n’est pas d’une transparence extrême, Ibn Sahl applique à l’étude de la réfraction des concepts déjà présents chez Ptolémée. Mais dans cette étude la notion de milieu tient une place importante. Ibn Sahl montre que tout milieu – y compris la sphère céleste – est doté d’une certaine opacité qui le définit. Mais – et c’est là sa véritable découverte – Ibn Sahl caractérise le milieu par un certain rapport, ce qu’il fait dans son traité sur les Instruments ardents. C’est précisément ce concept de rapport constant, caractéristique du milieu, qui est la pièce maîtresse de son étude de la réfraction dans les lentilles. Au début de cette étude, Ibn Sahl considère une surface plane GF limitant un morceau de cristal transparent et homogène. Il considère ensuite la droite CD suivant laquelle la lumière se propage dans le cristal, la droite CE suivant laquelle elle se refracte dans l’air, et la normale en G à la surface GF qui coupe la droite CD en H et le rayon refracte en E. Manifestement, Ibn Sahl applique ici la loi connue de Ptolémée, et selon laquelle le rayon CD dans le cristal, le rayon CE dans l’air, et la normale GE à la surface plane du cristal, se trouvent dans un même plan. Il écrit alors, d’une manière brève, et, selon son habitude, sans aucun commentaire conceptuel : La droite CE est done plus petite que CH. Séparons de la droite CH la droite CI égale à la droite CE ; partageons HI en deux moitiés au point J » 1.

‎1. Ibn Sahl : Les instruments ardents, dans R. Rashed, Géométrie et dioptrique au x e siècle : Ibn Sahl, al-Qūhī et Ibn al-Haytham, Paris, 1993, p. 24.

DE LA GÉOMÉTRIE DU REGARD AUX MATHÉMATIQUES

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Dans ces quelques phrases, Ibn Sahl dégage d’abord que CE/CH < 1, ce qu’il utilisera d’autre part tout au long de sa recherche sur les lentilles fabriquées dans ce même cristal. Il ne manquera pas en effet de redonner ce même rapport, ni de reproduire cette même figure, chaque fois qu’il discutera de la réfraction dans ce cristal. Mais ce rapport n’est rien d’autre que l’inverse de l’indice de réfraction dans ce cristal par rapport à l’air. En effet, considérons i1 et i2 les angles formés respectivement par CD et par CE avec la normale GH ; on a 1 sin i1 CG CE CE = = · = . n sin i2 CH CG CH Ibn Sahl prend sur le segment CH le point I tel que CI = CE, et le point J au milieu de IH. On a CI 1 = . CH n La division CIJH caractérise ce cristal pour toute réfraction. Ibn Sahl montre en outre, au cours de sa recherche sur la lentille plan-convexe et la lentille biconvexe, que le choix de l’hyperbole pour façonner la lentille dépend de la nature du cristal, puisque l’excentricité de !’hyperbole est e = 1/n. Ce résultat lui permettra d’introduire, dans le cas de la réfraction, la règle du retour inverse, essentielle à l’étude des lentilles biconvexes.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

C’est donc bien la loi de Snellius 1 qu’Ibn Sahl a trouvée, et telle que celui-ci l’a effectivement conçue. Or cette découverte d’Ibn Sahl, ainsi que l’application de la loi du retour inverse dans le cas de la réfraction, montrent assez la distance parcourue depuis Ptolémée. C’est donc muni de ces techniques conceptuelles qu’Ibn Sahl affronte l’étude des lentilles. Ainsi, Ibn Sahl avait conçu et constitué un domaine de recherche sur les instruments ardents et, peut-on dire, la dioptrique de surcroît. Mais, obligé à penser d’autres coniques que la parabole et l’ellipse – l’hyperbole par exemple – comme courbe anaclastique, il a été tout naturellement conduit à la découverte de la loi de Snellius. On comprend dès lors que la dioptrique, lorsqu’elle voit le jour avec Ibn Sahl, ne traite que de ce qui touche à la propagation de la lumière, indépendamment des problèmes de la vision. L’œil n’y a pas sa place au sein des instruments ardents, non plus du reste que le sujet de la vision. C’est donc un point de vue objectif qui est délibérément adopté dans l’analyse du phénomène lumineux. Riche en matériau technique, cette nouvelle discipline est en fait très pauvre en contenu physique : il est évanescent, et se réduit à quelques considérations énergétiques. À titre d’exemple, tout au moins dans ses écrits qui nous sont parvenus, Ibn Sahl n’a jamais tenté d’expliquer pourquoi certains rayons changent de direction et se concentrent quand ils changent de milieu : il lui suffisait de savoir comment un faisceau de rayons parallèles à l’axe d’une lentille plan-convexe hyperbolique donne par réfraction un faisceau convergent. Quant à la question de savoir pourquoi la concentration produit l’embrasement, Ibn Sahl se contente comme réponse d’une définition du rayon lumineux par son action d’embraser, en postulant, comme le firent d’ailleurs ses successeurs pendant bien longtemps encore, que l’échauffement est proportionnel au nombre des rayons. Avec Ibn Sahl, nous sommes à la veille d’une des premières révolutions en optique, sinon en physique. C’est une génération à peine après Ibn Sahl qu’Ibn al-Haytham engage ses travaux. Comparée aux écrits des mathématiciens grecs et arabes qui le précèdent, l’œuvre optique d’Ibn al-Haytham présente au premier regard deux traits frappants : l’extension et la réforme. On conclura d’un examen plus attentif que le premier trait est la trace matérielle du second. Personne en effet, avant Ibn al-Haytham, n’a embrassé

‎1. Ibid., pp. XXIX-XXXIV ; et R. Rashed, «A Pioneer in Anaclastics : Ibn Sahl on Burning Mirrors and Lenses », dans Isis, 81 (1990), pp. 464-491 [repris dans ID., Optique et mathématiques. Recherches sur l’histoire de la pensée scientifique en arabe, Aldershot, 1992, Variorum Reprints, VI].

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dans sa recherche autant de domaines, relevant de traditions diverses : philosophiques, mathématiques, médicales. Les titres de ses livres sont du reste là pour illustrer ce large spectre : La Lumière de la lune, La Lumière des astres, L’Arc-en-ciel et le halo, Les Miroirs ardents sphériques, Les Miroirs ardents paraboliques, La Sphère ardente, La Forme de l’éclipse, La Qualité des ombres, Le Discours de la lumière, ainsi que son magistral livre de l’Optique traduit en latin au xii e siècle, étudié et commenté en arabe et en latin jusqu’au xvii e siècle. Ibn al-Haytham a donc abordé non seulement les thèmes traditionnels de la recherche optique, mais aussi d’autres, nouveaux, pour enfin couvrir les domaines suivants : optique, optique météorologique, catoptrique, miroirs ardents, dioptrique, sphère ardente, optique physique. Un regard plus minutieux révèle que, dans la plupart de ces écrits, Ibn al-Haytham poursuit la réalisation d’un programme de réforme de la discipline, qui l’a précisément amené à reprendre tour à tour les différents problèmes. L’acte fondateur de cette réforme consistait à faire clairement le départ, pour la première fois dans l’histoire de l’optique, entre les conditions de la propagation de la lumière et les conditions de la vision des objets 1. Elle a conduit d’une part à doter d’un support physique les règles de la propagation – il s’agit d’une analogie mathématiquement assurée entre un modèle mécanique du mouvement d’une balle solide lancée contre un obstacle, et celui de la lumière 2 – et, d’autre part, à partout procéder géométriquement, par observation et expérimentation. L’optique n’a plus le sens qu’elle revêtait naguère : une géométrie de la perception. Elle comprend désormais deux parties : une théorie de la vision, à laquelle sont également associées une physiologie de l’œil et une psychologie de la perception, et une théorie de la lumière, à laquelle sont liées une optique géométrique et une optique physique. L’organisation de son traité – l’Optique – reflète déjà la nouvelle situation. Y figurent des chapitres intégralement consacrés à la propagation – le troisième chapitre du premier livre et les livres IV à VII ; d’autres traitent de la vision et des problèmes afférents. Cette réforme a abouti, entre autres, à l’émergence de problèmes neufs, jamais posés auparavant, tels le célèbre problème d’Alhazen en catoptrique, l’examen de la lentille sphérique et du dioptre sphérique, non seulement

‎1. R. Rashed, «Optique géométrique et doctrine optique chez Ibn al-Haytham», A.H.E.S., 6, 4, 1970, p. 271-298 (repris dans Optique et mathématiques, II), et id. « Lumière et vision : L’application des mathématiques dans l’optique d’Ibn al-Haytham», dans R. Taton (éd.), Roemer et la vitesse de la lumière, Paris, Vrin, 1978, p. 19-44 (repris dans Optique et mathématiques, IV). ‎2. R. Rashed, « Optique géométrique et doctrine optique chez Ibn alHaytham», p. 281 sqq.

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en tant qu’instruments ardents, mais comme instruments optiques, en dioptrique ; et au contrôle expérimental, aussi bien comme pratique d’investigation que comme norme de la preuve en optique, et plus généralement en physique. Suivons maintenant la réalisation de cette réforme dans l’Optique et dans d’autres traités. L’Optique s’ouvre sur un rejet et une reformulation. Ibn al-Haytham rejette d’emblée toutes les variantes de la doctrine du rayon visuel, pour se ranger auprès des philosophes qui défendaient une doctrine intromissioniste des formes des visibles. Une différence capitale demeure cependant entre lui et des philosophes, comme son contemporain Avicenne : Ibn al-Haytham ne considère pas les formes perçues par l’œil comme des totalités qui émanent du visible sous l’effet de la lumière, mais comme réductibles à leurs éléments : de tout point du visible émane un rayon vers l’œil. Celui-ci est devenu sans âme, sans πνεῦμα ὀπτικόν, un simple instrument optique. Tout le problème était alors d’expliquer comment l’œil perçoit le visible à l’aide de ces rayons émis à partir de tout point du visible. Après un court chapitre introductif, Ibn al-Haytham consacre deux chapitres successifs – le second et le troisième de son Optique – aux fondations du nouvel édifice. Dans l’un, il détermine les conditions de possibilité de la vision, alors que dans l’autre il s’agit des conditions de possibilité de la lumière et de sa propagation. Ces conditions, qu’Ibn al-Haytham présente dans les deux cas comme des notions empiriques, c’est-à-dire comme résultant d’une observation réglée ou d’une expérience contrôlée, sont autant de contraintes pour l’élaboration de la théorie de la vision, et de ce fait du nouveau style de l’optique. Les conditions de la vision recensées par Ibn al-Haytham sont au nombre de six : le visible doit être lumineux par lui-même ou éclairé par un autre ; il doit faire face à l’œil, c’est-à-dire que l’on peut mener de chacun de ses points une droite jusqu’à l’œil ; le milieu qui le sépare de l’œil doit être transparent, sans être coupé par aucun obstacle opaque ; le visible doit être plus opaque que ce milieu ; il doit être d’un certain volume en rapport avec l’acuité visuelle 1. Ce sont les notions, écrit Ibn al-Haytham, «sans lesquelles la vision ne peut pas avoir lieu». Or ces conditions, on ne manquera pas de le noter, ne renvoient pas, comme dans l’ancienne optique, à celles de la lumière et de sa propagation. De celles-ci, les plus importantes, établies par Ibn al-Haytham, sont les suivantes : la lumière existe indépendamment de la vision et extérieurement à celle-ci ; elle se meut avec une très grande vitesse et non point instantanément ; elle perd de l’intensité à mesure

‎1. Ibn al-Haytham, Kitāb al-Manāẓir : Books I-III (On Direct Vision), éd. A.I. Sabra, Koweit, 1983, p. 189.

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qu’elle s’éloigne de la source ; la lumière d’une source lumineuse – substantielle – et celle d’un objet éclairé – seconde ou accidentelle – se propagent sur les corps qui les entourent, pénètrent les milieux transparents, éclairent les corps opaques qui à leur tour émettent de la lumière ; la lumière se propage de tout point de l’objet lumineux ou éclairé selon des lignes droites dans les milieux transparents et dans toutes les directions ; ces droites virtuelles suivant lesquelles les lumières se propagent forment avec elles « les rayons» ; ces lignes peuvent être parallèles ou se croiser, les lumières ne se mélangeant dans aucun des deux cas ; les lumières réfléchies ou réfractées se propagent selon des droites dans des directions particulières. Comme on peut le constater, aucune de ces notions ne renvoie à la vision. Ibn al-Haytham les complète par d’autres notions relatives à la couleur. Selon lui, les couleurs existent indépendamment de la lumière dans les corps opaques, et par conséquent seule la lumière émise par ces corps – lumière seconde ou accidentelle – accompagne les couleurs qui se propagent alors selon les mêmes principes et les mêmes lois que la lumière. Comme nous l’avons expliqué ailleurs, c’est cette doctrine des couleurs qui a imposé à Ibn al-Haytham des concessions à la tradition philosophique, l’obligeant à garder le langage des « formes» déjà vidé de son contenu, lorsqu’il ne traitait que de la lumière. Une théorie de la vision doit désormais répondre non seulement aux six conditions de la vision, mais aussi aux conditions de la lumière et de sa propagation. Ibn al-Haytham consacre le reste du premier livre de son Optique et les deux livres suivants à l’élaboration de cette théorie, où il reprend la physiologie de l’œil et une psychologie de la perception comme partie intégrante de cette nouvelle théorie intromissioniste. Les trois livres de l’Optique – du quatrième au sixième – traitent de la catoptrique. Or ce domaine, aussi ancien que la discipline elle-même, amplement étudié par Ptolémée dans son Optique, n’a jamais cependant été l’objet d’une étude aussi extensive que celle d’Ibn al-Haytham. Outre les trois volumineux livres de son Optique, Ibn al-Haytham lui consacre d’autres mémoires qui les complètent, à l’occasion de problèmes connexes, comme celui des miroirs ardents. La recherche catoptrique d’Ibn al-Haytham se distingue, entre autres traits, par l’introduction de notions physiques, à la fois pour expliquer des notions connues, et pour saisir de nouveaux phénomènes. C’est au cours de cette étude qu’Ibn al-Haytham se pose de nouvelles questions, comme le problème qui précisément porte son nom 1.

‎1. II s’agit du célèbre « problème d’Ibn al-Haytham», magistralement analysé par M. Naẓīf, Al-Ḥasan b. al-Haytham, Buḥūhuhu wa-kushūfuhu al-baṣariyya (Ibn al-Haytham, His Optical Researches and Discoveries), 2 vol., Le Caire, 1942-1943, p. 487-521.

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Considérons quelques axes de cette recherche catoptrique d’Ibn al-Haytham. Il redonne la loi de la réflexion, et l’explique à l’aide du modèle mécanique déjà évoqué. Puis il étudie cette loi pour les différents miroirs : plans, sphériques, cylindriques et coniques. Dans chaque cas, il s’attache avant tout à la détermination du plan tangent à la surface du miroir au point d’incidence, pour déterminer le plan perpendiculaire à ce dernier plan, et qui comprend le rayon incident, le rayon réfléchi, et la normale au point d’incidence. Ici comme dans ses autres études, afin de vérifier expérimentalement les résultats, il conçoit et fabrique un appareil inspiré de celui que Ptolémée avait construit pour étudier la réflexion, mais plus complexe 1 et susceptible de convenir à tous les cas. Ibn al-Haytham étudie également l’image d’un objet et sa position pour les différents miroirs. Il s’attache à toute une classe de problèmes : la détermination de l’incidence d’une réflexion donnée pour les différents miroirs, et inversement. Il pose également, pour les différents miroirs, ce problème auquel est attaché son nom : deux points quelconques devant un miroir étant donnés, comment déterminer sur la surface du miroir considéré un point tel que la droite qui joint ce point à l’un des deux points donnés soit le support du rayon incident, alors que la droite qui joint ce point à l’autre point donné est le support du rayon réfléchi. Ce problème, qui ne tarde pas à se compliquer, a été résolu par Ibn al-Haytham 2. Ibn al-Haytham poursuit ses recherches catoptriques dans d’autres mémoires, dont certains sont postérieurs à l’Optique, comme Les Miroirs ardents sphériques 3. C’est dans ce mémoire d’un intérêt tout particulier qu’Ibn al-Haytham découvre l’aberration sphérique longitudinale. Le septième et dernier livre de l’Optique d’Ibn al-Haytham est consacré à la dioptrique. De même qu’il l’a fait pour la catoptrique, Ibn al-Haytham insère dans ce livre les éléments d’une explication physique – mécanique – de la réfraction. Par ailleurs, son livre se trouve complété par des mémoires, tel que son traité sur la sphère ardente, ou même son Discours de la lumière, où il revient sur la notion de milieu, prenant la suite d’Ibn Sahl.

‎1. Ibid., p. 685-690. ‎2. II s’agit du problème d’Ibn al-Haytham ; cf. notes précédentes. ‎3. «Al-marāyā al-muḥriqa bi-al-dāʾira», quatrième traité dans Ibn al-Haytham, Majmūʿ al-rasāʾil, Ḥyderabad, 1938-1939. Voir aussi E. Wiedemann, « Ibn al-Haythams Schrift über die sphärischen Hohlspiegel», Bibliotheca Mathematica, 3 e série, 10, 190910, p. 393-407, et H.J.J. Winter and W. ʿArafat, « A Discourse on the Concave Spherical Mirror by Ibn al-Haytham», Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal, 3 e série, Science, 16, 1950, p. 1-6.

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Dans ce septième livre de l’Optique, Ibn al-Haytham commence par s’appuyer sur deux lois qualitatives de la réfraction, et sur plusieurs règles quantitatives, toutes contrôlées expérimentalement à l’aide d’un appareil qu’il conçoit et qu’il fabrique comme dans le cas précédent. Les deux lois qualitatives connues de ses prédécesseurs, Ptolémée et Ibn Sahl, peuvent ainsi s’énoncer : (1) le rayon incident, la normale au point de réfraction et le rayon réfracté sont dans un même plan ; le rayon réfracté s’approche – respectivement s’éloigne – de la normale, si la lumière passe du milieu moins – respectivement plus – réfringent – au milieu plus – respectivement moins – réfringent ; (2) le principe du retour inverse. Mais, au lieu de poursuivre la voie ouverte par Ibn Sahl grâce à sa découverte de la loi de Snellius, Ibn al-Haytham revient aux rapports des angles et établit ses règles quantitatives : – les angles de déviation varient en raison directe des angles d’incidence : si dans le milieu n1 on prend i ′ > i, on aura dans le milieu n2 , d ′ > d (i angle d’incidence, r angle de réfraction, d angle de déviation ; d = |i − r|) ; – si l’angle d’incidence croît d’une certaine quantité, l’angle de déviation croît d’une quantité plus petite : si i ′ > i, d ′ > d, on aura d ′ − d < i ′ − i. – l’angle de réfraction croît en raison de l’angle d’incidence : si i ′ > i, on aura r ′ > r ; – si la lumière pénètre à partir d’un milieu moins réfringent, dans un milieu plus réfringent, n1 < n2 , on a d < 21 i ; dans le passage inverse, on a d < (i + d)/2, et on aura 2i > r ; – Ibn al-Haytham reprend les règles énoncées par Ibn Sahl dans son opuscule sur La Sphère céleste ; il affirme que, si la lumière pénètre à partir d’un milieu n1 selon le même angle d’incidence, dans deux milieux différents n2 et n3 , alors l’angle de déviation est différent pour chacun de ces milieux, en raison de la différence d’opacité. Si par exemple n3 est plus opaque que n2 , alors l’angle de déviation sera plus petit en n3 qu’en n2 . Inversement, si n1 est plus opaque que n2 , et n2 que n3 , l’angle de déviation sera plus grand en n3 qu’en n2 . Contrairement à ce qu’a pu croire Ibn al-Haytham, ces règles quantitatives ne sont pas toutes valables d’une façon générale 1. Mais ‎1. M. Naẓīf, Al-Ḥasan b. al-Haytham, Buḥūhuhu wa-kushūfuhu al-baṣariyya, p. 720723, et R. Rashed, « Le discours de la lumière d’Ibn al-Haytham (Alhazen) », Revue d’histoire des sciences, 21, 1968, p. 197-224, aux p. 201-204 (repris dans Optique et mathématiques, V).

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toutes sont vérifiables dans les limites des conditions expérimentales effectivement envisagées par Ibn al-Haytham dans son Optique : les milieux sont l’air, l’eau et le verre, avec des angles d’incidence qui ne dépassent pas 80°. Ibn al-Haytham consacre une partie substantielle du septième livre à l’étude de l’image d’un objet par réfraction, notamment si la surface de séparation des deux milieux est ou plane ou sphérique. C’est au cours de cette étude qu’il s’arrête au dioptre sphérique et à la lentille sphérique, poursuivant ainsi en quelque sorte la recherche d’Ibn Sahl, mais en la modifiant profondément ; cette étude du dioptre et de la lentille figure en effet dans ce chapitre consacré au problème de l’image, et n’est pas séparée du problème de la vision. Pour le dioptre, Ibn al-Haytham considère deux cas de figure, selon que la source – ponctuelle et à distance finie – se trouve du côté de la concavité ou du côté de la convexité de la surface sphérique du dioptre 1. Ibn al-Haytham étudie ensuite la lentille sphérique, en portant un intérêt particulier à l’image qu’elle donne d’un objet. Il se borne cependant à l’examen d’un seul cas, quand l’œil et l’objet sont sur un même diamètre. Autrement dit, il étudie l’image à travers une lentille sphérique d’un objet placé dans une position particulière sur le diamètre passant par l’œil. Sa démarche n’est pas sans évoquer celle que suit Ibn Sahl lorsqu’il étudie la lentille biconvexe hyperbolique. Ibn al-Haytham considère séparément deux dioptres, et applique les résultats obtenus auparavant. C’est au cours de cette étude de la lentille sphérique qu’Ibn al-Haytham recourt à l’aberration sphérique d’un point à distance finie dans le cas du dioptre, pour étudier l’image d’un segment qui est une portion du segment défini par l’aberration sphérique. Dans son traité sur La Sphère ardente, l’un des sommets de la recherche en optique classique, Ibn al-Haytham explicite et affine certains résultats sur la lentille sphérique qu’il avait déjà obtenus dans l’Optique. Il y revient d’autre part sur la question de l’embrasement au moyen de cette lentille. Or c’est dans ce traité que nous rencontrons la première étude délibérée de l’aberration sphérique pour les rayons parallèles tombant sur une sphère de verre et subissant deux réfractions. Au cours de cette étude, Ibn al-Haytham se sert des données numériques de l’Optique de Ptolémée pour les deux angles d’incidence 40° et 50°, et, pour expliquer ce phénomène de focalisation de la lumière propagée suivant des trajectoires parallèles au diamètre de la sphère, il revient aux valeurs angulaires au lieu d’appliquer la loi dite de Snellius. ‎1. R. Rashed, Géométrie et dioptrique au x e siècle, chapitre 2.

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Dans ce traité sur La Sphère ardente, comme dans le septième livre de son Optique ou dans d’autres écrits dioptriques, Ibn al-Haytham expose sa recherche d’une façon quelque peu paradoxale : alors qu’il dispense beaucoup de soin pour inventer, monter et décrire des dispositifs expérimentaux raffinés pour l’époque, permettant de déterminer les valeurs numériques, il évite, dans la plupart des cas, de donner ces valeurs. Lorsqu’il lui arrive, comme dans le traité sur La Sphère ardente, d’y recourir, c’est avec économie et circonspection. À cette attitude, déjà remarquée, on peut peut-être trouver deux raisons au moins. La première tient au style de la pratique scientifique elle-même : la description quantitative ne semble pas encore être une norme contraignante. La seconde lui est sans doute liée : les dispositifs expérimentaux ne pouvaient donner que des valeurs approchées. C’est du reste à ce titre qu’Ibn al-Haytham avait pu prendre en compte les valeurs qu’il avait empruntées à l’Optique de Ptolémée. Mais déjà l’expérimentation est une catégorie de la preuve en optique. Celle-ci a changé de sens pour devenir une science des phénomènes lumineux. Ce n’est plus une discipline psychologique, mais physique. Ni la réflexion, ni la réfraction, ne peuvent être tenues exclusivement comme des causes de l’erreur. Dans l’optique des anciens, celle du rayon visuel, l’image est à proprement parler un mirage, n’ayant, en l’absence de celui qui regarde, aucune existence objective, aucune raison d’être. Chez Ibn al-Haytham, au contraire, l’image acquiert un statut objectif. Cet ancrage physique et matériel de l’optique, avec les conditions épistémiques pour le réaliser, va être consolidé par les successeurs d’Ibn al-Haytham, en arabe et en latin, et surtout avec ses lecteurs du xvii e siècle : Kepler, Descartes, Huygens, principalement.

AL-QŪHĪ CONTRE ARISTOTE : SUR LE MOUVEMENT Résoudre un problème de philosophie théorique à l’aide des mathématiques est une voie que certains philosophes et mathématiciens n’ont pas hésité à emprunter. Nous avons récemment montré, en philosophie islamique, comment Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī a traité la question de l’émanation à partir de l’Un à l’aide des combinaisons 1. Cet exemple logico-métaphysique est loin d’être unique : en métaphysique, en philosophie naturelle et en philosophie des mathématiques, d’autres travaux attendent encore les études qu’ils méritent. Cette contribution d’al-Ṭūsī, comme bien d’autres travaux, participent à l’évidence de la philosophie et de la science. L’étude d’al-Ṭūsī, comme les autres qui sont à la frontière de ces deux domaines, ne l’emporte pas seulement par la recherche métaphysique qu’elle a pu susciter, mais aussi par le développement des mathématiques qu’elle a provoqué. Elle eut en effet un rôle fondamental dans le développement de l’analyse combinatoire. Cette fois, ce n’est plus la métaphysique que l’on retrouve, mais la physique, et au lieu d’al-Ṭūsī, c’est d’un mathématicien du x e siècle que nous nous occupons, Abū Sahl Bijān al-Qūhī (al-Kūhī). Notre but est double. Il s’agit de montrer comment la tentative de résoudre à l’aide de la géométrie les problèmes relatifs au mouvement rencontrés dans la Physique d’Aristote, reprise par les commentateurs grecs et arabes, a mené à de nouvelles recherches en cinématique, et plus généralement en mécanique. Dans cette perspective, nous avons déjà rencontré les travaux d’Ibn al-Haytham, lorsque celui-ci a procédé à un traitement géométrique de la dynamique aristotélicienne. Nous avons alors montré que cette « application » des mathématiques a rendu possible le transfert de ces notions sur le plan d’une situation expérimentale 2. Mais on a également vu comment cette application Paru dans Oriens-Occidens. Sciences, mathématiques et philosophie de l’Antiquité à l’Âge classique, 2 (1998), p. 95-117. ‎1. « Combinatoire et métaphysique : Ibn Sīnā, al-Ṭūsī et al-Ḥalabī », dans R. Rashed et J. Biard (éd.), Les Doctrines de la science de l’antiquité à l’âge classique, Leuven, Peeters, 1999, p. 61-86. ‎2. Voir R. Rashed, « Optique géométrique et doctrine optique chez Ibn alHaytham », Archive for the History of Exact Sciences, 6, 1970, p. 271-298 et « Lumière et vision : l’application des mathématiques dans l’optique d’Alhazen », dans R. Taton (éd.), Roemer et la vitesse de la lumière, Paris, 1978, p. 19-44 ; tous deux reproduits

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a transformé des notions comme celles de mouvement radial, mouvement tangentiel, force de résistance etc. 1. Cette transformation ne portait pas seulement sur les notions, mais sur les normes mêmes de la connaissance mécanique. Mais Ibn al-Haytham n’était ni le seul, ni le premier. Son prédécesseur, al-Qūhī, a tenté à sa manière de résoudre des questions cinématiques géométriquement, mais aussi en agençant, chaque fois, une situation expérimentale – soit Gedankenexperiment, soit une situation idéalisée – pour offrir à ces notions un plan d’existence. Avant d’en venir au commentaire de ces études d’alQūhī, il reste à souligner chez les mathématiciens cette tradition qui consiste à traiter géométriquement le mouvement. Les contributions d’al-Qūhī et d’Ibn al-Haytham, en attendant les autres, montrent déjà à qui veut les lire que l’histoire de la mécanique en arabe ne se réduit nullement à celle des doctrines des philosophes ; mais qu’elle comprend cette tradition de recherche mathématique dont une variante est aussi ancienne que la tradition archimédienne. Telle qu’elle nous est parvenue, la contribution d’al-Qūhī comporte un court texte ainsi qu’un témoignage bien bref. Le premier porte sur la question du mouvement infini dans un temps fini ; le second traite du problème d’un arrêt entre deux mouvements contraires. S’agit-il là de la somme des travaux d’al-Qūhī en mécanique ? Nous ne pouvons pour l’heure répondre. Mais, en dépit de sa brièveté, la contribution d’al-Qūhī est intéressante à plus d’un titre : la personnalité de l’auteur, son audace épistémique et critique et, enfin, son milieu et l’accueil qu’il réservait à la Physique d’Aristote. Géomètre de la classe la plus éminente, al-Qūhī 2 a concouru par des travaux originaux au développement des mathématiques infinitésimales, à la géométrie des projections – c’est avec lui que l’étude des projections est devenue un chapitre des mathématiques 3 – et à l’étude des centres de gravité. Dans un cas comme dans l’autre, il s’agit de domaines de la recherche mathématique la plus avancée à l’époque. Si l’on en croit son talentueux contemporain, le littérateur al-Tawḥīdī 4, ce mathématicien appartenait à ce groupe de savants dans Optique et Mathématiques : Recherches sur l’histoire de la pensée scientifique en arabe, Variorum Reprints, Aldershot, 1992. ‎1. Ibid. Cf. aussi M. Naẓīf : Ibn al-Haytham, Buḥūthuhu wa-kushūfuhu al-baṣariyya, Le Caire, 1942, vol. I, p. 121-135 and « Arāʾ al-falāsifa al-islāmiyyīn fī al-ḥaraka », Majallat al-Jamʿiyya al-miṣriyya li-tārīkh al-ʿulūm, n o 2, 1943, p. 45-64. ‎2. Sur la vie et l’œuvre mathématique d’al-Qūhī, voir R. Rashed, Les mathématiques infinitésimales du ix e au siècle, London, 1995, vol. I, chap. 5. ‎3. R. Rashed, Géométrie et dioptrique au x e siècle. Ibn Sahl, al-Qūhī et Ibn al-Haytham, Paris, 1993 ; Geometry and Dioptrics in Classical Islam, London, 2005. ‎4. Abū Ḥayyān al-Tawḥīdī, al-Imtāʿ wa-al-mu’ānasa, éd. A. Amīn et A. al-Zayn, reprod. Būlāq, s.d., vol. 1, p. 38.

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qui voyaient d’un œil plutôt réservé les recherches métaphysiques. Ce groupe se réunissait avec les autres, y compris les philosophes métaphysiciens, à la cour royale de ʿAḍud al-Dawla et ses fils, Ṣamṣām al-Dawla et Sharaf al-Dawla, à Bagdad. Or, parmi les personnages reçus à la cour, où l’on discutait aussi bien de philosophie que de mathématiques ou d’astronomie, etc., on rencontre le philosophe aristotélicien, membre de la fameuse école philosophique de Bagdad : Abū al-Faraj ibn al-Ṭayyib. Ce même Abū al-Faraj n’a pas seulement commenté la Métaphysique d’Aristote, mais aussi la Physique, à partir de la seconde moitié du sixième livre. C’est en tout cas ce commentaire qui nous est parvenu 1. À bien y regarder, les deux thèses aristotéliciennes critiquées par al-Qūhī se présentent l’une comme l’autre dans la partie de la Physique commentée par Abū al-Faraj. Il n’est donc pas totalement invraisemblable que ces thèses aient pu faire l’objet de commentaires à la cour, et qu’al-Qūhī ait voulu montrer la faiblesse des bases de la physique des philosophes aristotéliciens. Venons-en donc à ces critiques.

1. C’est dans un texte d’un demi-folio 2, tout au plus, qu’al-Qūhī va tisser des liens entre les domaines, qui vont s’enchevêtrer et s’appliquer les uns aux autres. On peut d’ailleurs voir dans cette entreprise les vrais traits distinctifs d’un savoir pourtant réputé fidèle à la séparation des genres. Dans le sixième livre de la Physique, après avoir discuté de l’impossibilité de parcourir en un temps infini une distance finie, Aristote en vient à la réciproque : l’impossibilité (pour un mobile qui ne passe pas toujours par les mêmes points) de parcourir une distance infinie dans un temps fini, que le mouvement soit uniforme ou non 3. L’analyse du raisonnement d’Aristote montre qu’il repose sur deux

‎1. Cf. note 9. ‎2. Aydin Sayili, « Al-Qūhī on the Possibility of Infinite Motion in Finite Time », Belleten, 21, 1957, p. 489-495. Le regretté Professeur Sayili a donné une édition de ces pages, ainsi qu’une traduction anglaise et une traduction turque, attirant ainsi l’attention sur ce texte important. C’est pour nous l’occasion de rendre hommage à la mémoire de cet ami disparu. ‎3. Physique, Livre VI, 7, 238 a, 20-37. Cf. traduction arabe, éd. ʿA. Badawī, Arisṭūṭālīs, al-Ṭabīʿa , Le Caire, 1964-1965, vol. II, p. 699. Cf. aussi le commentaire de ce passage par Abū al-Faraj ibn al-Ṭayyib, ainsi que celui de Yaḥyā (très probablement Jean Philopon), p. 697-8.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

postulats : tout mouvement est dans un temps et, d’autre part, la distance parcourue est proportionnelle au temps, lorsque le mouvement est uniforme ; et dans tous les cas fonction du temps. Al-Qūhī reprend dans son opuscule la réciproque de la thèse aristotélicienne, et veut établir la possibilité d’un mouvement infini dans un temps fini. L’opuscule s’oriente donc vers une réfutation de la thèse aristotélicienne. La position d’al-Qūhī apparaît d’autant plus originale qu’aucun des commentateurs antérieurs d’Aristote, que ce soit Alexandre 1, Thémistius 2, Simplicius 3, ou Abū al-Faraj ibn alṬayyib, ne semble avoir eu l’idée de contester ce point de la Physique. C’est une véritable communis opinio dont al-Qūhī prend ici le contrepied 4. On ne sait cependant pas précisément comment al-Qūhī a eu connaissance du texte d’Aristote. La voie la plus probable est celle d’une lecture directe du texte disponible en arabe, objet de débats dans le milieu que fréquentait al-Qūhī. À cette voie s’en ajoute sans aucun doute une autre, celle des commentaires de la Physique des aristotéliciens arabes qu’al-Qūhī a connus, comme Abū al-Faraj ibn al-Ṭayyib. Enfin, al-Qūhī ne pouvait manquer de s’intéresser à ce texte d’Aristote, après la lecture des Éléments de Physique 5 de Proclus, dont l’existence d’une traduction arabe ne fait aucun doute, et qui de plus circulait dans le milieu des mathématiciens de l’époque, comme en témoigne un traité d’al-Sijzī 6. ‎1. Cf. Phys., éd. ʿA. Badawī, Le Caire, 1964-1965, p. 634. Il est à noter que nous avons ici à faire à l’une des gloses les plus longues de la version arabe parmi celles attribuées explicitement à Alexandre. ‎2. Sa paraphrase (Them. In Ar. Phys. Paraphrasis, éd. H. Schenkl, Berlin, 1900, C.A.G. V, 2, 188,10 sqq) reprend d’ailleurs quasiment mot pour mot la phrase d’Aristote : ἡ αὐτὴ δὲ ἀπόδειξις καὶ εἰ τὸ μῆκος ἄπειρον ὑποθοίμεθα, τὸν χρόνον δὲ πεπερασμένον. ‎3. Simplicius, In Ar. Phys. Comm., éd. H. Diels, Berlin, 1895, C.A.G. X, 951,22 sqq. :

Δείξας δὲ οὕτως, ὅτι ἀδύνατον ἐν ἀπείρῳ χρόνῳ τὸ πεπερασμένον μέγεθος κινηθῆναι, τοῖς αὐτοῖς χρωμένους ἔνεστιν, φησίν, δεῖξαι ὅτι μηδὲ τὸ ἄπειρον ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ διελθεῖν δυνατόν. Précisons pour mémoire que la version conservée (et lacunaire) du commentaire de Philopon ne commente pas ce passage (cf. Ioan. Philop., In Ar. Phys. Comm., éd. H. Vitelli, Berlin, 1888, C.A.G. XVII, p. 864). ‎4. Cf. par exemple P. Kraus, Jābir ibn Ḥayyān, Contribution à l’histoire des idées scientifiques dans l’Islam, Jābir et la science grecque, réimpr. Paris, 1986, p 320-321 : « au cours du iii e/ix e siècle on avait maintes fois traduit le texte et les anciens commentaires (Alexandre, Porphyre, Themistius, Jean Philopon) de la Physique, on en avait constitué des paraphrases et des abrégés » (et les notes). ‎5. Il s’agit notamment de la proposition 12 des Éléments de Physique (Procli Diadochi Lycii Elementatio Physica, A. Ritzenfeld, Leipzig, 1912, p. 37) : ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ τὸ ἄπειρον κινεῖσθαι οὐκ ἔστι. ‎6. Nous avons montré que le mathématicien al-Sijzī connaissait les Éléments de Physique de Proclus, qu’il avait cités. Cf. R. Rashed, « Al-Sijzī et Maïmonide : Commentaire mathématique et philosophique de la proposition II-14 des Coniques

AL-QŪHĪ CONTRE ARISTOTE : SUR LE MOUVEMENT

309

Pour réfuter la thèse aristotélicienne, al-Qūhī conçoit un montage d’un mouvement qui n’a ni commencement, ni fin – donc infini – dans un temps fini. Tacitement donc, tout comme avant lui Thābit ibn Qurra, al-Qūhī admet l’infini actuel. Examinons donc le montage que propose al-Qūhī, ainsi que sa preuve. Soit dans un plan P un demi-cercle ABC de centre D, limité par le diamètre AC ; un piquet DE perpendiculaire au plan P. Une source lumineuse décrit la demi-circonférence en partant de A. P

G

B J

I D

C

A

E K

H

Q

L

Fig. 1

Soit un plan Q perpendiculaire à P ; Q est donc parallèle au plan (ACE) ; les rayons AE et CE sont alors parallèles à Q. Par conséquent, lorsque la source est en A ou en C, le point E n’a pas d’ombre sur Q, et tout autre rayon rencontre Q en un point, ombre du point E. Quand la source décrit l’arc AC, les rayons engendrent une surface conique de sommet E et d’axe ED qui coupe Q suivant une branche H d’hyperbole. L’ombre du point E est en mouvement sur H. Un point quelconque H de H peut-il être le « commencement » du mouvement ? La droite HE rencontre l’arc AC en G. Soient I et J les milieux des arcs GA et GC ; les rayons IE et JE coupent Q respectivement en K et L. Les points K et L se trouvent sur H de part et d’autre du point H. Si donc la source part de A et décrit AIGJC, l’ombre de E passe en K avant de passer en H, et H n’est donc pas un « commencement ». De même, un point quelconque H ne peut pas être une « fin », car l’ombre passe en L après être passée en H. d’Apollonius », Archives internationales d’histoire des sciences, vol. 37, n o 119, 1987, p. 263296. Traduction anglaise, Fundamenta Scientiae, vol. 8, n os 3/4, 1987, p. 241-256. Voir S. Pines, « Hitherto unknown Arabic Extracts from Proclus’ Stoicheiōsis Theologikē and Stoicheiōsis Physikē », dans The Collected Works of Shlomo Pines, vol. II : Studies in Arabic Versions of Greek Texts and in Mediaeval Science, Jérusalem, 1986, p. 287-293.

310

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

J

C

B

D

F

A I

N L’

E

O M

H L

K

Q

Fig. 2

G

AL-QŪHĪ CONTRE ARISTOTE : SUR LE MOUVEMENT

311

La branche d’hyperbole H considérée dans ce problème se déduit du demi-cercle ABC par la projection conique de pôle E, sur le plan Q parallèle au plan (ACE) Le demi-cercle AFC aurait pour projection la seconde branche de la même hyperbole, dont les asymptotes sont les droites parallèles à EA et EC menées par le point O tel que EO soit perpendiculaire à Q. Le raisonnement d’al-Qūhī est conduit selon la méthode des projections. Tout se passe comme si, imprégné de ses propres résultats en géométrie, essentiels assurément, al-Qūhī pensait disposer là d’une clé lui ouvrant la solution de bien d’autres problèmes – tentation aussi naturelle que fréquente dans l’histoire des mathématiques. Seulement, son argument suppose la propagation instantanée de la lumière 1. Dans le cas contraire en effet, le temps de propagation de la lumière du point variable J sur le demi-cercle au point correspondant L sur la branche de l’hyperbole est proportionnel à la √ distance JL = JE + EL. Évaluons cette distance : JE est constant, égal à r2 + p2 , où r est le rayon du demi-cercle, et p la longueur du piquet ; tandis que EL2 = EM2 + ML2 , où M est la projection de L sur le plan parallèle au plan du demi-cercle passant par E.

L

E

M p

J

r

L′

D Fig. 3

On a

ML p = , EM r

donc

( 2

2

EL = EM

p2 1+ 2 r

) = DL

′2

(

p2 1+ 2 r

) .

‎1. Cf. A. Sayili, « Al-Qūhī on the Possibility of Infinite Motion in Finite Time ».

312

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

J

r

c

A

D d N

L' Fig. 4

Il reste à calculer DL ′ , où L ′ est la projection de L sur le plan du demi-cercle. En notant θ ∈ [0, π] l’angle polaire ADJ de J sur le demicercle, et d la distance de D au plan Q (d = DN = OE), on a

sin θ = d’où DL ′ =

d

EL2 =

et

sin θ (

Ainsi JL =

1+

d , DL ′

d r sin θ

d2

(

sin2 θ

1+

p2 r2

) .

)√ r2 + p2 .

Si c est la vitesse de la lumière, le temps de parcours est donc

( 1+

)√

d r sin θ

r2 + p2 . c

Lorsque θ tend vers 0 (resp. π), ce temps tend vers l’infini, comme d c

√ 1 r2 + p2 × θ

( resp.

d c

√

r2 + p2 ×

1 π−θ

) .

L’argument d’al-Qūhī est donc invalide.

2. Dans le huitième livre de la Physique, Aristote soutient qu’entre deux mouvements contraires – rectilignes ou suivant un arc de cercle – il y a nécessairement un arrêt 1. Alexandre cité par Simplicius explicite la position aristotélicienne en faisant apparaître le ‎1. Physique 262a, 7-8 ; trad. arabe, vol. II, p. 892-893.

AL-QŪHĪ CONTRE ARISTOTE : SUR LE MOUVEMENT

313

rôle fondamental joué ici par l’infini de division. Abū al-Faraj ibn al-Ṭayyib, déjà mentionné, qui disposait très probablement du texte d’Alexandre, commente longuement ce passage ; il écrit notamment : « Si les mouvements vers le haut et vers le bas sont contraires, il est nécessaire que le mobile s’arrête un certain temps, petit ou grand, pour ensuite rebrousser chemin.» Cette thèse aristotélicienne 1 est d’autant plus essentielle qu’elle prolonge pour le mouvement un principe plus général : « Les contraires sont différents spécifiquement et ne font pas une seule chose. 2 » Réfuter cette thèse de la Physique, c’est donc aller directement contre ce principe de la différence spécifique entre les contraires. La thèse artistotélicienne avait déjà fait l’objet d’une controverse au ix e siècle. D’après le biobibliographe al-Nadīm, le philosophe Ibn Karnīb, contemporain de Thābit ibn Qurra, a écrit un livre pour réfuter « la négation » par ce dernier de l’existence du

‎1. Voici le passage de Simplicius (In Phys. 1281,37-1282,31) : « Mais Alexandre interprète ‘le milieu joue le rôle des deux extrêmes par rapport à chacun d’eux (Phys. VIII 8, 262a 20)’ ... comme signifiant que puisque le milieu est opposé à chacun comme étant l’autre, il devient les deux. Mais si l’on prend aussi les extrêmes dans les deux sens (c’est-à-dire à la fois comme commencement et comme terme) – par exemple, dans le mouvement rectiligne de haut en bas, le haut est un commencement par rapport à ce dont le mouvement provient mais un terme pour ce qui y parvient (et il en va de même pour le point du bas) –, le milieu joue aussi les deux rôles en pensée (car en réalité, le milieu est numériquement un). Mais pour ce qui concerne les points sur la ligne droite intermédiaires entre les deux extrêmes, aussi longtemps que l’on prend la ligne droite comme étant une et continue, ils n’existent qu’en puissance et, puisqu’ils n’existent qu’en puissance, ils ne peuvent pas être ‘milieux’ au sens propre. Au sens propre, rien n’existe qui n’existe pas en acte. Le milieu devient en acte quand le mobile sur la droite divise celle-ci en l’un de ses points par le fait de s’arrêter. [...] Car il est impossible que simultanément et au même instant quelque chose advienne en une chose et en provienne – comme le mettra en évidence un peu plus tard – ou que le mobile parvienne à un point et s’en aille . Car dans ce cas, le mobile serait et ne serait pas simultanément dans la même chose. Par conséquent, il doit en un instant et en un autre. En sorte que, s’il en va bien ainsi et si entre deux instants il existe un temps intermédiaire, c’est pendant ce temps qu’il y a repos dans la chose dans laquelle quelque chose advient et hors de laquelle quelque chose provient. Mais tout ce qui se meut d’une manière continue ne saurait advenir en l’un des points de la ligne droite. Par rapport à ces points, on ne saurait dire qu’il est dans le temps, mais qu’il est à des instants du temps, qui sont la limite du temps et non pas le temps . Car si le mobile était dans un temps, il serait nécessaire qu’il s’arrête en ce temps. En tout instant, par conséquent, le mobile est à un point différent de la ligne droite. Le mobile A ne peut advenir au point B ni en provenir : en cette position, il est seulement dans un instant et non pas dans le temps. Il y a en effet une analogie entre les points intermédiaires de la droite et les instants intermédiaires du temps. Par conséquent, ce qui se meut d’une manière continue n’est qu’en puissance dans les points intermédiaires et dans les instants intermédiaires.» ‎2. Ibid., 262a, 5-6.

314

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

repos entre deux mouvements contraires 1. Or c’est précisément ce que fait al-Qūhī dans sa seconde contribution. De cette dernière, il ne nous reste pour l’heure qu’un vestige, mais qui ne laisse cependant aucune ambiguïté sur le but recherché par le mathématicien. Ce vestige se présente sous la forme d’un bref témoignage d’un médecin célèbre de Bagdad, Ibn Buṭlān, repris plus tard par le philosophe Abū al-Barakāt al-Baghdādī. Ibn Buṭlān, dans une polémique qui a fait date et qui l’a opposé à un médecin du Caire, non moins célèbre, évoque un Traité (maqāla) d’al-Qūhī, adressé par celui-ci à ʿAḍud al-Dawla, où le mathématicien se propose de montrer au roi la faiblesse de la thèse aristotélicienne. Cette scène ne manque d’ailleurs pas de rappeler celle d’Archimède et du roi de Sicile, Hiéron. Mais nous savons d’autre part qu’Ibn Buṭlān est le propre disciple d’Abū al-Faraj ibn al-Ṭayyib. Autant de noms et d’éléments qui dépeignent le milieu, et renforcent la conjecture selon laquelle ces thèses physiques auraient fait l’objet de débats à la cour. Pour infirmer l’idée d’Aristote, al-Qūhī procède à l’aide d’un montage expérimental 2. C’est la description de ce montage que nous donne ce témoignage. La perte du texte, et la brièveté du témoignage d’Ibn Buṭlān, nous mettent dans une situation inconfortable : avoir la description d’une expérience sans sa justification théorique ; connaître l’événement sans connaître le discours. Que ce discours ait existé, cela ne fait aucun doute : tous ceux qui ont fréquenté les travaux d’al-Qūhī savent bien que celui-ci n’a jamais avancé une proposition quelle qu’elle soit sans tenter de la démontrer. Or la démonstration qui devait accompagner cette expérience aurait eu recours à des notions plus ou moins explicites, dont celle de la vitesse instantanée. Nous sommes en tout cas forcé d’y recourir pour comprendre et commenter, au moins à notre manière, le témoignage d’Ibn Buṭlān. Notre commentaire comporte sans aucun doute une

‎1. Plusieurs sources soulignent l’importance de cette famille Karnīb, aussi bien en mathématiques qu’en philosophie. Pour l’heure, à part les citations rapportées par leurs successeurs comme Ibrāhīm ibn Sinān, aucun de leurs écrits ne nous est parvenu. Selon al-Nadīm, Abū Aḥmad ibn Abī al-Ḥusayn ibn Karnīb, philosophe, contemporain de Thābit ibn Qurra, était « d’une grande éminence, possédait une grande connaissance et était très familier des anciennes sciences physiques ; parmi ses livres, on trouve Réponse à Abū al-Ḥasan ibn Thābit ibn Qurra à propos de la négation de l’existence du repos entre deux mouvements contraires » (al-Nadīm, Kitāb al-fihrist, éd. R. Tajaddud, Téhéran, 1971, p. 321). Al-Qifṭī cite ce titre d’une manière très vraisemblablement fautive. Cf. aussi R. Morelon, « Les deux versions du traité de Thābit b. Qurra Sur le mouvement des deux luminaires », MIDEO, 18, 1988, p. 9-44, à la p. 42. ‎2. C’est précisément cette expérience que le philosophe du xii e siècle, Abū alBarakāt al-Baghdādī, mentionne et attribue à « certains éminents » (baʿḍ al-fuḍalāʾ), Kitāb al-Muʿtabar, Hyderabad, 1358, vol. II, p. 97. Voir citation ci-dessous p. 324.

AL-QŪHĪ CONTRE ARISTOTE : SUR LE MOUVEMENT

315

partie conjecturale, dont nous espérons qu’elle sera confirmée le jour où l’on découvrira le traité d’al-Qūhī. Al-Qūhī prend une règle qu’il place horizontalement (voir Fig. 5). Il la perce en son milieu, et par le trou il fait passer un fil à plomb d’une longueur égale à celle de la règle. On maintient l’extrémité du fil sur la règle, et on lui fait décrire toute la longueur d’un mouvement uniforme. Le mouvement vertical du plomb, qui en résulte, est lui aussi rectiligne et uniforme, et de même vitesse. Le fil est descendant dans la première moitié du mouvement, jusqu’à ce qu’il soit entièrement vertical, son extrémité supérieure étant parvenue au trou ; puis il devient ascendant dans la deuxième moitié du mouvement.

h(0) = h(2T)

h(T)

Fig. 5

Notons la longueur totale de la règle 2a, la durée totale du mouvement 2T, et la distance du plomb au trou h(t). Le graphe de h(t) et le graphe de la vitesse v(t) sont représentés respectivement sur les figures 6 et 7. Or le graphe de la vitesse met en évidence la discontinuité de cette vitesse à l’instant T. On ne peut donc pas définir la vitesse ins-

316

III. OPTIQUE ET

T

2T

t

-a/T t

T 2T

a

a/T

2a h

v Fig. 6

Fig. 7

tantanée en T, mais seulement : v(T+ ) = −

a T

et

v(T− ) = +

a , T

à droite et à gauche. On voit bien que le mouvement du plomb engendré par le mouvement continu et uniforme de la main comporte un saut de la vitesse, sans pourtant marquer une position d’arrêt avec une vitesse instantanée nulle ; cependant, le mouvement est bien composé de deux mouvements contraires, et la thèse d’Aristote se trouve donc en défaut. Notons que les sauts de la vitesse sont aussi caractéristiques des phénomènes de choc, dans lesquels peuvent également apparaître deux mouvements contraires. Mais il est moins facile dans ce cas d’affirmer que ces mouvements ne sont pas séparés par une position de repos : on n’a aucune information sur ce qui se produit à l’instant du choc. Ici, au contraire, al-Qūhī peut affirmer que le mouvement de la main, qui entraîne le fil, se poursuit identique à lui-même. L’idée d’Aristote, qu’il critique ici, consiste à refuser la possibilité du saut de la vitesse instantanée, même si le concept de vitesse instantanée n’apparaît pas 1.

ASTRONOMIE

‎1. Al-Qūhī donne en effet un contre-exemple pour réfuter Aristote. Il savait sans doute qu’il existe bien des couples de mouvements contraires entre lesquels il y a un arrêt. Avec ce même dispositif qu’il a construit, on peut donner l’exemple d’un mouvement du plomb défini à partir du trou O par y = a + a sin t ; sa vitesse est donc a cos t. Cette vitesse s’annule et change de signe pour t = π/2. Dans ce cas, on peut

AL-QŪHĪ CONTRE ARISTOTE : SUR LE MOUVEMENT

317

3. Par deux fois, au moins, al-Qūhī critique la Physique d’Aristote et passe outre sa doctrine fondamentale de l’impossibilité de l’infini en acte. Il est particulièrement intéressant de noter qu’al-Qūhī réfute aussi précisément les deux conceptions aristotéliciennes de l’infini : l’infini d’addition et l’infini de division. Il est peu probable que cette démarche est le simple effet du hasard. Plus importante que la critique elle-même est la méthode élaborée pour réfuter les notions du Stagirite. Cette fois, contrairement aux philosophes, le mathématicien ne veut pas amender la doctrine par des arguments de même nature que celle-ci, à l’instar des penseurs de l’impetus par exemple ; il entend réfuter les notions d’Aristote à l’aide de la géométrie. C’est en effet l’application de celle-ci aux notions d’une philosophie du mouvement qui permet de les placer dans une situation expérimentale. Grâce à la géométrie, on avance donc sous un double contrôle : l’un est linguistique, l’autre est expérimental. Dans le premier cas étudié, ce dernier contrôle est certes spéculatif, comme toute expérience de pensée ; mais cela ne diminue en rien la nouveauté de la méthode et du style. C’est dire que la rencontre entre mathématiques et philosophie du mouvement a créé un nouveau lieu, où l’on pense différemment les notions mécaniques. Cette tradition de mathématiciens, dans laquelle s’inscrivent al-Qūhī et son successeur Ibn al-Haytham, risque d’être beaucoup plus riche qu’on l’imagine. Son histoire, encore à écrire, permettrait d’éclairer ce moment de l’histoire de la mécanique.

aisément montrer que le mouvement de la main sur la règle sera défini à partir du trou O par π x = −a + a sin t pour 0 ≤ t ≤ 2 et π x = a − a sin t pour ≤ t ≤ π. 2 La vitesse de la main est donc toujours positive et égale à a| cos t| ; elle s’annule pour t = 2π .

Au nom de Dieu Clément et Miséricordieux

Opuscule d’Abū Sahl Wayjan ibn Rustam al-Qūhī : Dans un temps fini, il y a un mouvement infini Supposons un demi-cercle ABC sur un diamètre AC, de centre le point D, imaginons sur le diamètre un objet perpendiculaire 1 ; soit DE et supposons une chose lumineuse qui a commencé à se mouvoir sur du demi-cercle ABC à partir du point A et dont le rayon tombe au sommet de l’objet au point E. Je dis que le mouvement de l’ombre 2 du sommet de l’objet 3 en raison du mouvement de la chose lumineuse dans le temps fini, n’a ni commencement ni fin. G

B

I

C

D

A E

K H

En effet, si nous supposions par exemple que le point H est le commencement du mouvement du sommet de l’objet et si nous le joignions au sommet de l’objet par une droite que nous prolongeons, soit la droite GEH, elle séparerait du demi-cercle ABC un arc quelconque, soit AG. Si nous partagions cet arc en deux moitiés au point I et si nous menions de celui-ci une droite jusqu’au sommet de l’objet, soit la droite IEK, elle tomberait sur un point, qui précède le point du commencement, et qui est le point K ; ce qui est impossible.

‎1. Sous-entendu : perpendiculaire au plan ABC. ‎2. Ce mot a été ajouté par Muḥammad ibn Sartāq al-Marāghī. Celui-ci est un mathématicien de la première moitié du xiv e siècle, auteur du livre al-Ikmāl, commentateur de l’Istikmāl d’Ibn Hūd, et de nombreuses gloses aux écrits d’al-Qūhī contenus dans cette collection. ‎3. C’est-à-dire l’ombre du point E.

‫تنعتسا هّللاب هناحبس‬

‫ظ‪١٧٠-‬‬

‫لوق يبأل لهس نجيو نب متسر يهوقلا ىلع نأ يف نامزلا يهانتملا‬

‫ةكرح‬

‫ريغ‬

‫ةيهانتم‬

‫ضرفن فصن ةرئاد ا ب ـج ىلع رطق ا ـج هزكرمو ةطقن د‪ ،‬مهوتنو هيلع اًصخش اًمئاق وهو‬

‫د ـه‪ ،‬ضرفنو اًئيش نم ءايشألا ةئيضملا دق أدتبا هتكرحب يف فصن ةرئاد ا ب ـج نم ةطقن ا‪،‬‬ ‫عقوو هعاعش ىلع سأر صخشلا ىلع ةطقن ـه‪.‬‬

‫‪:‬لوقأف نإ ةكرح ‪ّ> 1‬لظ< سأر صخشلا ةكرحب ءيشلا ءيضملا يف نامزلا يهانتملا سيل‬

‫اهل ‪ 2‬أدبم الو ‪.‬ىهتنم‬

‫‪G‬‬

‫‪B‬‬

‫‪I‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪K H‬‬

‫انأل ول انضرف اًلثم ةطقن ح‪ ،‬أدبم ةكرحل ‪ 3‬سأر ‪،‬صخشلا انلصوو هنيب نيبو سأر صخشلا‬

‫‪،‬طخب هانجرخأو لثم طخ ز ـه ح‪ ،‬ناكل عطقي نم فصن ةرئاد ا ب ـج اًسوق ‪،‬ام لثم ا ز‪.‬‬ ‫اذإف اهانمسق نيفصنب ىلع ةطقنا ط‪ ،‬انجرخأو اهنم اًطخ ىلإ سأر ‪،‬صخشلا لثم طخ ط ـه ـك‪،‬‬

‫ناكل عقي ىلع ةطقنلا لبق كلت ةطقنا يتلا يف أدبملا لثم ةطقن ـك‪ ،‬كلذو ‪.‬لاحم‬

‫انققح اذه صنلا ىلع ةطوطخم ايأ ايفوص ‪ ٤٨٣،‬ةقرو ‪ ١٨٠‬ظ ‪ ١٨١ -‬و‬

‫‪: ‎1.‬ةكرح فاضأ‬

‫دمحم نب قاترس يغارملا — وهو نم ءاملع نرقلا نماثلا يرجهلا فصنلا( لوألا نم نرقلا عبارلا رشع‬ ‫)يداليملا فلؤمو باتك لامكإلا وهو حرش باتكل لامكتسالا نبال دوه — تاقيلعت ةمج ىلع لئاسر يهوقلا يف‬

‫هذه ةعومجملا — ءازإب ةملك »ةكرح« يف شماهلا لظ« وأ ؛»عاعش اذهو وه ىنعملا نمضتملا‬

‫هل‬

‫‪ ‎3.‬أدبم ‪:‬ةكرحل أدبم ةكرحلا‬

‫‪: ‎2.‬اهل‬

320

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

De même, nous montrons, dans l’autre moitié, que le mouvement de l’ombre du sommet de l’objet n’a ni commencement ni fin. Ce qu’il fallait démontrer. L’opuscule a été achevé, grâce à Dieu seul.

‫‪321‬‬ ‫و‪١٧١-‬‬

‫‪AL-QŪHĪ CONTRE ARISTOTE : SUR LE MOUVEMENT‬‬

‫كلذكو يف فصنلا رخآلا نيبن نأ ةكرح ‪ّ> /‬لظ< ‪ 1‬سأر صخشلا سيل اهل ‪ 2‬أدبم< >الو‬

‫‪.‬ىهتنم كلذو ام اندرأ نأ ‪.‬نّيبن‬

‫‪3‬‬

‫تمت ةلاسرلا دمحلاو هّلل ‪.‬هدحو‬

‫‪ّ>: ‎1.‬لظ< بتك دمحم نب قاترس يف شماهلا لظ« وأ »عاعش‬

‫‪>:‬الو اهفاضأ دمحم نب قاترس يغارملا يف شماهلا‬

‫‪: ‎2.‬اهل هل‬

‫‪ ‎3.‬أدبمةكرحلا مزل دوجو نيتكرح‬

‫نيدض ال نوكس ‪.‬امهنيب‬

‫‪: ‎1.‬لزن أرق ناققحملا »كبرت« الو ميقتسي ىنعملا اهب‬

Fragment d’al-Muʿtabar fī al-ḥikma d’Abū al-Barakāt al-Baghdādī 1 Quelqu’un d’éminent a posé une règle au milieu de laquelle il a percé un trou par lequel il a fait passer un fil auquel il a accroché un plomb. Puis il a placé l’autre extrémité du fil à l’extrémité de la règle, tiré par une navette. Ensuite il a fait circuler la navette sur une droite tracée sur la règle d’un bout à l’autre, passant à côté du trou. Il a dit : tant que cette navette se dirige, nécessairement, vers le trou, le plomb est tiré vers le bas jusqu’à ce qu’elle aboutisse à l’extrême voisinage du trou. Puis il remonte suivant son mouvement quand elle s’éloigne en se dirigeant vers l’autre extrémité. Ce plomb n’aura pas un poids d’une grandeur telle qu’on puisse croire qu’il arrête nos mains, ainsi que la navette, au milieu. Ces deux mouvements contraires du plomb sont l’effet nécessaire, selon l’ordre 2 de la succession, d’un même mouvement rectiligne suivant une même distance d’un même mobile dans un même temps continu. Alors quand y a-til repos ?

‎1. Éd. Ḥyderabad, 1358, vol. II, p. 97. ‎2. Litt. : voie.

‫ضعبو ءالضفلا عضو ًةرطسم لعجو يف اهطسو اًبقث لعجو هيف اًطيخ قلع هيف ‪،‬اًلوقاش مث‬

‫عضو فرطلا رخآلا نم طيخلا ىلع فرط ةرطسملا اًدودشم ‪ 1‬يف ‪،‬طخم مث ىرجأ ‪ 2‬كلذ طخملا ىلع‬

‫طخ طوطخم يف ةرطسملا نم اهلوأ ىلإ اهرخآ اًرام ىلإ بنج ‪.‬بقثلا ‪:‬لاق اذهف طخملا ال ةالاحم‬ ‫ام ماد هجوتي وحن ‪،‬بقثلا نإف لوقاشلا رجني اًطباه ىتح يهتني ىلإ ةياغ هبرق ‪،‬هنم مث دوعي اًدعاص‬ ‫اًعابتإ هتكرحل ثيح هجوتي هنع ىلإ فرطلا ‪،‬رخآلا الو لعجي كلذل لوقاشلا نم لقثلا ٌردق ام نظي‬

‫ناظ هنأ فقوأ انيديأ طخملاو دنع ‪.‬طسولا نوكتف ناتاه ناتكرحلا ناتداضتملا لوقاشلل دق اتمزل ىلع‬ ‫قيرط عابتإلا ةكرحل ةدحاو ةميقتسم ىلع ةفاسم ةدحاو نم كرحم دحاو يف نمز دحاو ‪،‬لصتم‬

‫ىتمف ناك ؟نوكسلا‬

‫‪: ‎1.‬اًدودشم ادودسم‬

‫‪: ‎2.‬ىرجأ ىرحا‬

SUR UNE CONSTRUCTION DU MIROIR PARABOLIQUE PAR ABŪ AL-WAFĀʾ AL-BŪZJĀNĪ Parmi les miroirs ardents, le miroir parabolique occupe une place de choix. Aux dires de Dioclès, nous l’avons vu, c’est à ce miroir que ses prédécesseurs et ses contemporains se sont intéressés. Dioclès lui-même, Dtrūms, Anthémius, l’auteur du fragment de Bobbio s’en sont occupé. Cet intérêt n’a pas diminué d’intensité, et la recherche n’a pas perdu son ardeur chez les successeurs des mathématiciens grecs. Al-Kindī reprend pour ce miroir l’étude d’Anthémius 1, al-Būzjānī presqu’un siècle plus tard en recommence l’examen ; Ibn Sahl – à la génération suivante – révolutionne le domaine 2, son successeur Ibn al-Haytham approfondit encore la transformation opérée par ce dernier. Leurs successeurs, comme al-Ghundijānī et Ibn Ṣāliḥ, perfectionnent encore les résultats obtenus. Ce n’est assurément pas le lieu ici de retracer cette histoire ni de reconstituer cette longue tradition avec les dénivellements qui la scindent. Nous voulons seulement savoir quel fut l’impact des travaux des savants grecs sur leurs successeurs avant la transformation opérée par Ibn Sahl. C’est seulement dans cette période que cet impact pourrait avoir de l’importance. Il s’agit donc d’examiner les travaux, autres que ceux de ʿUṭārid et d’Ibn ʿĪsāʾ 3, rédigés au cours du x e siècle avant ceux d’Ibn Sahl. Malheureusement, de ces travaux que nous croyons multiples, ne nous est parvenue pour l’heure qu’une courte rédaction d’Abū al-Wafāʾ al-Būzjānī, commentée beaucoup plus tard par un nouveau venu à l’histoire de l’optique : al-Ghundijānī.

Paru dans Arabic Sciences and Philosophy, 9.2, 1999, p. 261-277. Le paragraphe I.2 de cet article est dû à O. Neugebauer. J’ai, à la demande du défunt savant, traduit de l’allemand le texte qu’il a bien voulu me communiquer lors de nos entretiens à l’Institute for Advanced Study, Princeton, en 1986-1987 – « Über eine Parabelkonstruktion von Abū al-Wafā ». ‎1. Rashed, Œuvres philosophiques et scientifiques d’al-Kindī, Vol. I : L’optique et la catoptrique (Leiden, 1997). ‎2. R. Rashed, « A pioneer in anaclastics. Ibn Sahl on burning mirrors and lenses », Isis, 81 (1990) : 464-91 et Géométrie et dioptrique au x e siècle : Ibn Sahl, al-Qūhī et Ibn al-Haytham (Paris, 1993). ‎3. Les catoptriciens grecs. I : Les miroirs ardents, op. cit.

328

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Mathématicien de premier rang, al-Būzjānī (né en 328/940) n’a cependant pas répugné à s’occuper des problèmes d’arithmétique et de géométrie « pratique ». En arithmétique, il a composé un livre fondamental à l’usage des fonctionnaires de l’État ; en géométrie un manuel de fabrication destiné aux artisans sous le titre « Sur ce dont l’artisan a besoin en géométrie ». Parmi les nombreux procédés de fabrication exposés dans ce manuel, deux sont consacrés au miroir parabolique. Il est dans le style de ce genre de livre, on le comprend, de donner le procédé, mais non la démonstration. Nous allons examiner successivement ces deux méthodes.

I. Première construction du miroir parabolique I.1. Soit un cercle dont le diamètre AC est égal au côté droit de la parabole cherchée. Al-Būzjānī sait que la distance du sommet au foyer est le quart du côté droit et veut que le quart du diamètre soit égal au quart du côté droit. Soit D le centre du cercle ; on partage le segment CD en parties égales aux points I, H, G, E. On mène par ces points des droites perpendiculaires à AC qui coupent le cercle en M, L, K, J, B. On porte ensuite sur ces droites les segments IN, HS, GO, EQ, DU respectivement égaux aux cordes CM, CL, CK, CJ, CB

Fig. 1

Pour le point O, par exemple, on a OG2 = CK2 = CG · CA. Si on pose OG = y et CG = x, AC = 2r, on a y2 = 2r · x. Chacun des

SUR UNE CONSTRUCTION DU MIROIR PARABOLIQUE

329

points construits vérifie cette propriété, ils appartiennent donc à la parabole de sommet C, d’axe CA, de côté droit CA = 2r. Son foyer est à la distance r/2 du point C. À tout point M du demi-cercle CBA est associé par cette construction un point P d’un arc CR de parabole. Il s’agit donc d’une construction par points avec règle et compas. On vérifiera aisément la justesse de la construction d’al-Būzjānī. Reste encore à savoir comment il a pu trouver cette méthode. Or l’examen de la seconde méthode nous montre qu’al-Būzjānī penche, comme beaucoup de ses contemporains, al-Qūhī par exemple, 1 vers les procédés projectifs. Il est possible qu’il ait procédé ainsi. Poursuivons alors ce chemin et considérons un cône d’angle droit, de sommet D ; posons DA = DE = r et dans le plan (ADE), une droite AC parallèle à DE et telle que AC = 2r

Fig. 2. Les lignes en pointillé représentent les rabattements de DBP et du cercle ALE sur le plan ADE.

Le plan Π perpendiculaire à (ADE) suivant AE donne une section circulaire C. Le plan Π ′ perpendiculaire à (ADE) suivant AB, donne

‎1. Voir R. Rashed, « Al-Qūhī vs. Aristotle : On motion », Arabic Sciences and Philosophy, 9.1 (1999) : 7- 24, et Géométrie et dioptrique au x e siècle.

330

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

une section parabolique P. Dans Π ′ on considère le cercle de diamètre AC. À tout point B du segment AC sont associés dans Π ′ un point F sur le cercle et un point P sur la parabole, BF est perpendiculaire à AC, donc BF est perpendiculaire au plan (ADE). La droite DP est une génératrice du cône, elle coupe C en L et on a HL parallèle à BF. Mais HL est perpendiculaire à AE, donc HL2 = HA · HE. Il vient de la similitude des deux triangles (AHD) et (EHM) AH AD = , HE ME d’où AH = r ·

HE ; ME

et de la similitude des deux triangles (MED) et (DAB) EM r = , r AB d’où EM =

r2 . x

Posons AB = x, il vient des deux relations précédentes AH =

x · HE ; r

or on a

(1)

√

AH + HE = r 2.

(2)

De (1) et (2), on tire

√

√

r2 2 EH = . x+r

xr 2 AH = , x+r

Mais le triangle (AL ′ E) est rectangle, d’où HL ′ 2 = HL2 = AH · EH =

2xr3 ; (x + r)2

et HG = HL. De la similitude des deux triangles (DHE) et (BHA), on tire DH =

r · HB x

et on a DH + HB =

√

x2 + r2 ,

SUR UNE CONSTRUCTION DU MIROIR PARABOLIQUE

d’où DH =

r·

331

√

x2 + r2 . x+r

Or les deux triangles (GHD) et (KBD) sont semblables, donc BK DB = . HG DH Posons BP = y = BK, il vient y = HG ·

√ x+r = 2xr. r

Dans le triangle rectangle AFC, on a AF2 = AB · AC = 2rx, donc AF = y = BP ; ce qui conduit à la construction donnée par Abu alWafāʾ al-Būzjānī. Cette construction n’exige d’ailleurs aucune notion inconnue d’al-Būzjānī, et semble même refléter un certain esprit mathématique de l’époque. Pour déterminer la position du foyer, il suffit de prendre un rayon incident parallèle à l’axe. I.2. O. Neugebauer avait donné un commentaire de cette première méthode pour construire la parabole d’Abū al-Wafāʾ, en des termes de mathématiques pré-apolloniennes. Voici ce qu’il écrivait sous le titre « Sur la construction de la parabole d’Abū al-Wafāʾ » : On a attiré mon attention sur une construction de la parabole décrite par Abū al-Wafāʾ qui, me semble-t-il, n’est pas attestée ailleurs. 1 La méthode est très maniable, mais fournit seulement des points qui sont à une distance du sommet de la parabole de moins de 2r quand r/2 est l’éloignement du foyer du sommet. Ceci est évidemment suffisant pour la fabrication souhaitée d’un miroir ardent. La justesse de la construction est facile à comprendre analytiquement ; cependant une question se pose : comment cette méthode se laisse-t-elle déduire à l’aide des méthodes grecques de la théorie des coniques pré-apollonienne ? Ce qui suit décrit une telle possibilité. Nous définissons une parabole comme la figure obtenue par l’intersection d’un cône de révolution à angle droit avec un plan qui est perpendiculaire à l’un des générateurs. Nous nous limitons à un arc fini, étendu du sommet A jusqu’à une abscisse C (voir Fig. 3). Nous indiquons tout d’abord un analemma qui nous permet de trouver un point P de la parabole de cette abscisse donnée D ; ‎1. Cf. F. Woepcke, « Recherches sur l’histoire des sciences mathématiques chez les Orientaux, d’après des traités inédits arabes et persans », Journal asiatique, série 5, tome 5 (1855) : 309-59, à la p. 326.

332

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

nous montrons ensuite que la construction d’Abū al-Wafāʾ correspond à cet analemma et enfin nous déterminerons la position du foyer. 1) Analemma : Dans la figure 3, soit ABC l’axe de la parabole dont le plan est représenté par le demi-plan inférieur à la figure, tandis que le demiplan supérieur représente la section droite (normale), qui comprend la génératrice orthogonale AD ainsi que la génératrice DE parallèle au plan de la parabole. Quand nous prenons DE = r, alors AE est un diamètre d’une section circulaire du cône de révolution. Nous transposons de ce cercle une moitié à ANLE

Fig. 3

SUR UNE CONSTRUCTION DU MIROIR PARABOLIQUE

333

Nous considérons maintenant la génératrice qui détermine un point de la parabole d’abscisse AB = x (en supposant que x < AC = 2r). La droite DHB est la projection de cette génératrice sur le demi-plan supérieur. Cette génératrice coupe le cercle ANE en un point L dont la distance c au demi-plan supérieur est donnée par HL. Quand donc nous élevons au point H une perpendiculaire HG de longueur c, alors la droite DGK est obtenue par rotation de la génératrice qui se projette sur DHB. Le point K sur la perpendiculaire BK qui est perpendiculaire à DB nous donne ainsi la distance y du point K de l’axe de la parabole, sur lequel la génératrice DG rencontre le plan de la parabole. Il s’ensuit que P est un point de la parabole quand nous faisons BP = BK. 2) Nous éliminons maintenant la construction spatiale à l’aide des considérations simples de similitude comme elles se trouvent partout dans les mathématiques grecques. Nous traçons dans le plan de la parabole (voir Fig. 3) le demi-cercle AFC avec le rayon AN = NC = r. Soit F le point d’intersection de ce cercle avec l’ordonnée BP. Abū al-Wafāʾ affirme que AF = y ′ a la même longueur que BP = y. Démonstration : Les triangles AHD et EHM sont semblables ; il s’ensuit a=

rb . d

(1)

Les triangles MED et DAB sont semblables ; il s’ensuit d=

r2 , x

(2)

a=

xb . r

(3)

d’où

D’autre part,

√

a + b = r 2, d’où

√

a=

(4)

√

xr 2 x+r

b=

r2 2 . x+r

(5)

D’où il résulte pour le demi-cercle ALE 2

c = ab = xr ·

2r2 . (x + r)2

(6)

Parce que les triangles DHE et BHA sont semblables, on a e= Mais e+f=

rf . x

√

x2 + r2 ,

(7)

(8)

334

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

d’où

√

e=

r x2 + r2 . x+r

(9)

Finalement les triangles GHD et KBD sont semblables, alors c y = (e + f) · . e

(10)

Les facteurs qui sont dans le membre droit sont connus par (8), (6) et (9) et donnent simplement y=

√

2xr.

(11)

D’autre part, on a dans le demi-cercle AFC y

′2

= x2 + g2 = x2 + x(2r − x) = 2xr,

(12)

d’où avec (11) ′

y = y.

(13)

On devrait encore remarquer que de cette construction résulte que la plus grande ouverture du miroir ardent correspond à un rayon 2r. 3) Pour déterminer la position du foyer, nous choisissons la réflexion du rayon parallèle à l’axe, qui rencontre la parabole au point Q dont l’abscisse AN√= r (voir Fig. 4). Selon notre construction, Q a pour ordonnée NQ = r 2. Le plan tangent au cône qui le touche selon la génératrice DQ, sera coupé par le plan de la parabole selon la tangente à la parabole qui appartient au point Q. La projection de la génératrice DQ sur le demi-plan supérieur est la droite DN. La droite DT perpendiculaire à celle-ci est la droite intersection du plan tangent avec le demi-plan supérieur. Son point T appartient aussi au plan de la parabole. Il s’ensuit que la droite TQ est la tangente à la courbe en Q. Parce que TA = AN = r, nous avons aussi TR = RQ. Le rayon incident en Q est réfléchi vers S sous un angle qui se retrouve aussi en T. Il s’ensuit que QST est un triangle isocèle dont la hauteur rencontre la tangente QT en son milieu R, afin que AR2 = rs. D’autre√ part, il s’ensuit de la similitude des triangles RAT et QNT que AR = r/ 2. Il s’ensuit que s = r/2, la distance du foyer S au sommet A de la parabole.

Remarquons que les deux interprétations proposées (dans I.1 et I.2) conduisent à se servir des mêmes similitudes de triangles et, par conséquent, des mêmes calculs de proportions. Cependant, la première s’inspire plutôt des considérations de projection conique, familières chez les mathématiciens de l’époque d’Abū al-Wafāʾ, tandis que la seconde fait appel à des techniques de géométrie descriptive.

SUR UNE CONSTRUCTION DU MIROIR PARABOLIQUE

Fig. 4

II. Deuxième construction de la parabole La distance à laquelle on veut embraser est le quart de AB. Donc AB sera le côté droit de la parabole. Soit BD la droite perpendiculaire en B à AB et soit C un point arbitraire sur le prolongement de AB, on partage BC en parties égales aux points E, G, H. Soit I le milieu de AE, J sur BD tel que IJ = IA = IE et L la projection orthogonale de J sur la parallèle à BD menée par E (voir Fig. 2 du texte). On a JB2 = AB · BE = EL2 .

335

Si on pose AB = c, BE = x, EL = y, le point L(x, y) vérifie la relation y2 = cx. On réitère la construction indiquée à partir des points G et H, on obtient les points S et U qui vérifient également la relation y2 = cx.

336

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Les points B, L, S, U sont sur la parabole de sommet B, d’axe BC, de côté droit AB = c. Le foyer se trouve sur BC à la distance c/4. Cette construction peut s’étendre à un point quelconque pris sur la demi-droite BC et permet de prolonger aussi loin que l’on veut l’arc de parabole. Cette méthode se trouve déjà dans le traité d’Ibn Sinān sur Le tracé des trois sections. 1 Abū al-Wafāʾ utilise la propriété caractéristique de la parabole, c’est-à-dire le symptōma, et prend dès le départ un segment égal au côté droit. Ce texte d’Abū al-Wafāʾ sur le miroir parabolique montre à sa manière que ce dernier s’intéressait aux méthodes conçues par les mathématiciens de son temps – Ibn Sinān, al-Qūhī, Ibn Sahl, parmi bien d’autres –, c’est-à-dire qu’il utilisait les projections et les transformations géométriques.

‎1. Voir The Works of Ibrahim ibn Sinan, ed. A. S. Saidan (Kuwait, 1983), pp. 41-4.

SUR LA CONSTRUCTION DU MIROIR ARDENT ABŪ AL-WAFĀʾ AL-BŪZJĀNĪ

A-14 D-10 v

Sur la construction du miroir ardent Abū al-Wafāʾ al-Būzjānī 1

Q-7 r D-11 r

Q-7 v

Si nous voulons construire un miroir qui embrase / par les rayons du soleil à la distance que nous voulons, nous construisons d’abord le gabarit par lequel le miroir sera rectifié ; et ceci en traçant un cercle tel que son demi-diamètre 2 soit égal à la grandeur de la distance selon laquelle nous voulons embraser ; qu’il soit le cercle / ABC ; menons son diamètre, soit ADC

Fig. 1

Séparons sur la droite DC à partir du point C autant de parties égales que nous voulons ; à mesure que les parties sont plus petites, cela sera meilleur et plus correct pour le gabarit ; que les parties de DC soient CI, IH, HG, GE, ED. Menons des points D, E, G, H, I des perpendiculaires , prolongeons-les des deux côtés aux ‎1. Ce texte a été établi à partir des manuscrits suivants : [A] Istanbul, Süleymaniye, Aya Sofya 2753, fols. 14-16. [D] Le Caire, Dār al-Kutub, Riyāḍa 260, fols. 10 v-12 r. [Q] Le Caire, Dār al-Kutub, Riyāḍa 366, fols. 7 r-8 r. Une ancienne version persane de ce texte a été établie et traduite par J. Aghayani Chavoshi, L’œuvre scientifique d’Abû al-Wafāʾ al-Būzjānī, Thèse soutenue à l’Université Paris 7 (1997), non publiée. ‎2. Le quart de son diamètre.

‫‪-١٤‬ا‬ ‫ظ‪-١٠-‬د‬ ‫و‪-٧-‬ق‬ ‫و‪-١١-‬د‬

‫يف لمع‬

‫ةآرملا ةقرحملا‬

‫وبأ ءافولا يناجزوبلا‬

‫اذإف اندرأ نأ لمعن ةآرم قرحت ‪ / 1‬عاعشب سمشلا ىلع ّيأ دعُب ‪،‬اندرأ انلمع اًلوأ ةرطسملا‬

‫يتلا اهب ححصت ‪،‬ةآرملا كلذو نأب طخن ةرئاد نوكي فصن اهرطق اًيواسم رادقملل ‪ 2‬يذلآ ديرن نأ‬ ‫قرحن ىلع ‪،‬هدعب نكتلو ةرئاد ‪ /‬ا ب ـج‪ ،‬جرخنو اهرطق ‪ 3‬وهو ا د ـج ‪.4‬‬

‫لصفنو نم طخ د ـج ‪ 5‬نم دنع ةطقن ـج مك انئش نم ماسقأ ‪،‬ةيواستم املكو تناك‬

‫ماسقألا رغصأ ‪ 6‬ناك دوجأ حصأو ‪،‬ةرطسملل نكتلو هماسقأ ـج ط ط ح ‪ 7‬ح ز ز ه ه د‪ .‬جرخنو‬

‫نم طقن د ه ز ح ط اًطوطخ ىلع اياوز ‪،‬ةمئاق اهذفننو يف نيتهجلا ىلإ طقن ب ي ـك ل م‪ ،‬لصنو‬

‫‪ ‎3.‬اًيواسم ‪: ...‬اهرطق ةصقان ]ا[‬ ‫‪: ‎2.‬رادقملل رادقمل ]ق[‬ ‫‪: ‎1.‬قرحت قرحي ]ا[‬ ‫‪ ‎7.‬ط ح‪ :‬ـحص ]ق[‬ ‫‪: ‎6.‬رغصأ رغصأ ام ]ا[‬ ‫‪ ‎5.‬د ـج‪ :‬د ح ]ق[‬ ‫‪ ‎4.‬ا د ـج‪ :‬ا د ح ]ق[‬

340

A-15

D-11 v

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

points B, J, K, L, M et joignons les droites CB, CJ, CK, CL, CM. Posons la droite IN égale à la droite CM, la droite HS égale à la droite CL, la droite GO / égale à la droite CK, la droite EQ égale à la droite CJ et la droite DU égale à la droite CB et joignons les points C, N, S, O, Q, U. Nous rectifions ensuite le gabarit suivant cette ligne, nous moulons ensuite le miroir dans une substance quelconque comme le fer, le cuivre jaune, le cuivre, le carbonate de plomb, tel que, une fois poli, il sera brillant. Nous rectifions une lime / courbée telle que la courbure soit celle du gabarit. Nous limons le miroir avec celle-ci, nous superposons le gabarit au miroir et nous posons le point C de la lime au centre du gabarit, afin que le gabarit se superpose au miroir. Nous polissons ensuite celui-ci. Il embrase alors intensément. Voici sa figure.

‫‪341‬‬

‫‪SUR UNE CONSTRUCTION DU MIROIR PARABOLIQUE‬‬

‫طوطخ ـج ب ـج ي ـج ـك ـج ل ‪ 1‬ـج م‪ .‬لعجنو طخ ط ن ‪ 2‬اًيواسم طخل ـج م َّطخو ح س‬ ‫‪-١٥‬ا‬

‫اًيواسم طخل ـج ل َّطخو‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫ز ع ‪ /‬اًيواسم طخل ـج ـك َّطخو ه ق اًيواسم طخل ـج ي ‪َّ 5‬طخو‬

‫د ص اًيواسم طخل ـج ب ‪ ،6‬لصنو نيب طقن ـج ن ‪ 7‬س ع ق ص‪ .‬مث ححصن ةرطسملا ىلع‬ ‫اذه ‪،‬طخلا مث برضن ةآرملا نم ّيأ رهوج ناك لثم ديدحلا رفصلاو ساحنلاو ىورديفسألاو‬

‫ظ‪-١١-‬د‬

‫‪8‬‬

‫دعب نأ نكمي نأ نوكي هل لاقص اذإ ‪ّ.‬يلج ححصنو اًداربم ‪ / 9‬اًجوعم ‪ 10‬نوكي ‪ 11‬هجيوعت ‪،‬ةرطسملا‬

‫دربنو‬

‫‪12‬‬

‫هب ةآرملا قبطنو‬

‫ةرطسملا ىلع ةآرملا‬

‫‪13‬‬

‫‪14‬‬

‫لعجنو ةطقن ـج هنم ىلع طسو ةرطسملا‬

‫‪15‬‬

‫قبطنت ةرطسملا ‪ 16‬ىلع ‪،‬ةآرملا مث اهولجن ‪ 17‬قرحتف ‪ 18‬ةآرملا اًقارحإ ‪،‬اًديدش هذهو اهتروص ‪.19‬‬

‫‪ ‎1.‬م ‪ ...‬ـج ل‪ :‬ةصقان ]ق[‬

‫‪: ‎4.‬طخو طخو طخل ]ق[‬ ‫]ق[‬

‫‪ ‎5.‬ج ي‪ :‬ح ي ]ق[‬

‫ححصنو قبطنو ]ا|‬

‫‪: ‎11.‬نوكي نوكت ]د[‬

‫‪ ‎3.‬ح س‪ :‬ـح س ]ق[‬

‫‪ ‎6.‬ـج ب‪ :‬ح ب ]ق[‬

‫‪: ‎8.‬ىورديفسألاو اذكه يف ‪،‬تاطوطخملا ةرابعلاو ةيسراف ةبرعم‬

‫‪: ‎10.‬اًجوعم جوعم ]ا[‬

‫‪ ‎7.‬ن‪ :‬ر‬

‫‪: ‎9.‬اًداربم داربم ‪،‬ا[ ]ق‬

‫‪ ‎12.‬دربنو ‪:‬هب نـٮـٮو ࢽد ]ق[‬

‫‪: ‎13.‬قبطنو‬

‫‪ ‎14.‬قبطنو ‪: ...‬ةآرملا ةرركم ]ق[‬

‫‪ ‎15.‬هنم ىلع طسو ‪:‬ةرطسملا رمت هنم ىلع‬

‫‪ ‎18.‬قرحتف ‪:‬ةآرملا نوكيف هذه ةآرملا قرحي ]ا[‬

‫‪: ‎19.‬اهتروص اهتروص نيبنسو نإ ءاش هللا‬

‫طسولا ينعأ طسو ةرطسملا ]ا[‬ ‫]د[‬

‫‪ ‎2.‬ط ن‪ :‬ط ر ‪،‬ا[ ]ق‬

‫ىتح‬

‫‪: ‎16.‬ةرطسملا ةصقان ‪،‬د[ ]ق‬

‫‪: ‎17.‬اهولجن هولجن ‪،‬ا[ )ق ولجن‬

‫زع لجو ]د[ اهتروص نيبنسو نإ ءاش هللا هدحو زيزعلا ]ق[ — دجن يف شماه طوطخم ‪]،‬ا[ ةحفص ‪١٥،‬‬ ‫قيلعتلا ‪:‬يلاتلا ‪:‬ناهرب« ضرغلا يف اذه لكشلا نأ دجن ةعطق نم عطق طورخملا يذلا ىمسي ‪،‬ئفاكملا يذلا‬

‫هتيصاخ نأ نوكي عبرم دومعلا عقاولا ىلع همهس اًياسم واسم( ‪ )MS‬حطسلل يذلا طيحي هب طخ هنيعب —‬ ‫لاقي هل علضلا مئاقلا — ُّطخلاو يذلا هلصفي دومعلا نم ‪.‬مهسلا امأ ةدمعألا يهف ةدمعأك ص د ق ه هص(‬

‫‪ )MS‬ع< >ز س ح ن ط‪ ،‬امأو علضلا مئاقلا طخف ا ـج‪ ،‬طوطخلاو ةلصفنملا نم مهسلا يه طوطخك ـج ط‬

‫ـج ح ـج ز ـج ه ـج د‪ ،‬يقبف نأ نيبن نأ عبرم ص د ٍواسم حطسل ا ـج يف ـج د‪ ،‬كلذو نّيب نأل عبرم ـج ب‬ ‫ٍواسم حطسل ا ـج يف ـج د (ـج ب ‪ )MS‬انأل نإ انلصو طخ ا ب‪ .‬تناك ةيواز ا ب ـج ‪،‬ةمئاق وب د دومع‬

‫ىلع رطق ا ـج‪ ،‬نوكيف ةبسن ا ـج ىلإ ـج ب ةبسنك ـج ب ىلإ ـج د امك نّيب يف لكش ح نم ةلاقم و‪ ،‬عبرمو‬

‫ـج ب ٍواسم عبرمل ص د‪ ،‬عبرمف ص د ٍواسم حطسل ا ـج يف ـج د‪ .‬كلذكو نيبن نأ لك دحاو نم تاعبرم‬ ‫ق ه ع ز س ح ن ط ٍواسم حطسل ا ـج يف ام هلصفي كلذ دومعلا نم طخ ـج د‪ ،‬نذإف طخلا ثداحلا عطقك‬ ‫ئفاكم ئفاكملا( ‪ )،MS‬امأو نأ هيلع قارحإلا اذهب عطقلا لوطيسف ‪،‬اهحرش اذهو فاك اميف اندرأ نا »نّيبن‬

Q-8 r

D-12 r

A-16

/ Une deuxième manière pour construire le gabarit du miroir ardent. Si nous voulons cela, nous posons la distance, suivant laquelle nous voulons embraser, égale à la moitié de la droite AB 1que nous prolongeons au point C. Nous élevons au point B la droite BD perpendiculaire à BC des deux côtés. Nous séparons sur la droite BC des droites égales aussi petites que nous le pouvons, soient les droites BE, EG, GH, HC et nous partageons AE en deux moitiés au point I. Posons le point I comme centre et traçons un cercle avec la distance IA, qui coupe la droite BD au point J. Menons du point J une droite JL parallèle à la droite AC et du point E une droite parallèle à la droite BD, elles se rencontrent au point L. Partageons ensuite la droite AG en deux moitiés au point M, posons également le point M comme centre et avec la distance MA traçons un cercle qui coupe la droite BD au point N, menons des points N et G les deux droites NS et SG, parallèles aux deux droites AC et BD, elles se rencontrent au point S. Partageons ensuite AH en deux moitiés au point O que nous posons comme centre et avec la distance OA / traçons un cercle qui coupe la droite BD au point Q. Menons ensuite des deux points Q et H deux droites parallèles aux deux droites BC et BD, elles se rencontrent au point / U.

‎1. Au quart de la droite AB.

‫‪ /‬هجو ٍناث ‪ 1‬يف لمع‬

‫و‪-٨-‬ق‬

‫‪ 2‬ةرطسملا ةآرملل‬

‫‪.‬ةقرحملا‬

‫اذإف اندرأ ‪،‬كلذ انلعج دعبلا يذلا ديرن نأ قرحن هيلع فصن طخ ا ب‪ ،‬هجرخنو ‪ 3‬ىلع‬

‫هتماقتسا ‪ 4‬ىلإ ةطقن ـج‪ .‬ميقنو ىلع ةطقن ب طخ ب د اًدومع ىلع ب ـج يف ‪،‬نيتهجلا لصفنو نم‬

‫طخ ب ـج اًطوطخ ةيواستم َرغصأ ام ردقن ‪،‬هيلع يهو ‪ 5‬طوطخ ب ه ه ز ز ح ح ـج ‪ .6‬مسقنو‬ ‫ا ه نيفصنب ىلع ةطقن ط ‪ ،7‬لعجنو ةطقن ط اًزكرم دعببو ط ا ةرئاد عطقت طخ ب د ىلع ةطقن‬

‫ي‪ .‬جرخنو نم ةطقن ي طخ ي ل اًيزاوم طخل ا ـج نمو ةطقن ه اًطخ ‪ 8‬اًيزاوم طخل ب د‪،‬‬ ‫>امهف< نايقنلي ىلع ةطقن ل‪ .‬مث مسقن طخ ا ز ‪ 9‬نيفصنب ىلع ةطقن م‪ ،‬لعجنو اًضيأ ةطقن م اًزكرم‬ ‫دعببو م ا‬

‫زس‬

‫و‪-١٢-‬د‬ ‫‪-١٦‬ا‬

‫‪14‬‬

‫‪10‬‬

‫ةرئاد عطقت طخ ب د ىلع ةطقن ن‪ ،‬جرخنو نم يتطقن‬

‫نييزاوم‬

‫‪15‬‬

‫يطخل‬

‫‪16‬‬

‫‪11‬‬

‫ن‬

‫‪12‬‬

‫ز يطخ‬

‫‪13‬‬

‫نس‬

‫ا ـج ب د نايقتلي ىلع ةطقن س‪ .‬مث مسقن ا ح نيفصنب ىلع ةطقن‬

‫ع اهلعجنو اًزكرم دعببو ع ا ‪ /‬ةرئاد عطقت طخ‬

‫‪17‬‬

‫ب د ىلع ةطقن ق‪ .‬مث جرخن نم يتطقن ق ح‬

‫نيطخ نييزاوم يطخل ب ـج ب د نايقتلي ىلع ةطقن ‪ /‬ص‪.‬‬

‫‪ٍ: ‎1.‬ناث يناث ]د[ يناثلا ]ق[‬

‫طخب رخآ ةرطسم« »ةآرملا‬

‫وهو ]ق[‬

‫‪: ‎3.‬هجرخنو جرخن ]ق[‬

‫‪ ‎6.‬ح ـج‪ :‬حح ]ق[‬

‫]ا[‬

‫‪ ‎9.‬ا ز‪ :‬ا ن ‪،‬د[ ]ق‬

‫]ا[‬

‫‪: ‎17.‬طخ ةصقان ]ا[‬

‫‪: ‎13.‬يطخ طخ ]ا[‬

‫‪: ‎2.‬لمع بتك خسان ]ق[ اهدعب ةملك ريغ ‪،‬ةءورقم بتكو اهقوف‬ ‫‪: ‎4.‬هتماقتسا ةماقتسا ]ا[‬

‫‪ ‎7.‬ط‪ :‬اهبتك ب ط‪ ،‬مث تفذح ءابلا ]ق[‬

‫‪ ‎10.‬م ا‪ :‬م ا م ]ا[‬

‫‪ ‎14.‬ز س‪ :‬س ز ]د[‬

‫‪: ‎11.‬يتطقن ةطقن ]ا[‬

‫‪: ‎15.‬نييزاوم نييزاوتم ]ا[‬

‫‪: ‎5.‬يهو‬

‫‪: ‎8.‬اًطخ اًطوطخ‬

‫‪ ‎12.‬ن ز‪ :‬ر ن ]ا[‬

‫‪: ‎16.‬يطخل ىطخب‬

344

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Si nous joignons les points B, L, S, U par une ligne BLSU, si nous prenons la ligne BLSU comme gabarit, si nous rectifions le gabarit et que nous posons le point B de celui-ci au centre du miroir, alors ce miroir embrase intensément. Voici sa

Fig. 2

‫‪345‬‬

‫‪SUR UNE CONSTRUCTION DU MIROIR PARABOLIQUE‬‬

‫اذإف انلصو نيب طقن ‪ 1‬ب ل س ص طخب ‪ 2‬ب ل س ص انلعجو طخ ب ل س ص‬

‫‪4,3‬‬

‫ةرطسم ‪ ،‬اذإف انححص ‪،‬ةرطسملا انلعجو ةطقن ب ‪ 5‬هنم ‪ 6‬ىلع طسو ‪،‬ةآرملا تناك كلت ةأرملا قرحت‬ ‫‪،‬اًديدش هذهو ‪.‬اهتروص‬

‫‪7‬‬

‫‪ ‎3.‬انلعجو طخ ب ل س ص‪ :‬اهانلعجو ]ا[‬ ‫‪: ‎2.‬طخب طخ ]ق[‬ ‫‪: ‎1.‬طقن ةطقن ]د[‬ ‫‪ ‎7.‬دجن يف‬ ‫‪: ‎6.‬هنم نم ]ا[‬ ‫‪ ‎5.‬ب‪ :‬ر ]ق[‬ ‫‪ ‎4.‬ب ل س ص‪ :‬ص ص ]د[ س ص ]ق[‬ ‫شماه طوطخم ‪]،‬ا[ ةحفص ‪ ١٦،‬قيلعتلا ‪:‬يلاتلا ‪:‬هناهرب« هضرغ وه ام انلق يف لكشلا يذلا مدقت وهو نأ عبرم‬

‫ نوكي اًيواسم حطسل ا ب يف ب ه‪ ،‬انأل نإ انلصو يطخ ا ه ه ي‪ ،‬تناك ةيواز ا ي ه يف فصن‬ ‫ةرئاد نوكتف ‪،‬ةمئاق طخو ب ي دومع ىلع اهرتو امكو نّيب يف لكشلا ح نم ةلاقم و نوكي عبرم ب ي اًيواسم‬

‫حطسل ا ب يف ب ه‪ ،‬نكل >عبرم< ب ي ٍواسم عبرمل ل ه‪ ،‬عبرمف ل ه ٍواسم حطسل ا ب يف ب ه‪ ،‬اًضيأو‬ ‫انأل نإ انلصو يطخ ا ز (ا ن ‪ )MS‬ز ن‪ ،‬تناك ةيواز ا ن ز (ا ب ز ‪ )MS‬ةمئاق اهنأل ةعقاو يف فصن ‪.‬ةرئاد‬

‫طخو ن ب دومع ىلع ‪،‬اهرتو نوكيف حطس ا ب يف ب ز اًيواسم عبرمل ب ز؛ طخو ب ز ٍواسم طخل ز س‬ ‫نأل حطس ب س يزاوتم ‪،‬عالضألا عبرملاف نئاكلا نم ز س ٍواسم حطسل ا ب يف ب ز‪ ،‬كلذكو طوطخلا‬

‫‪،‬ةيقابلا طخف ا ب علضلا مئاقلا وب ـج ةلزنمب مهسلا طوطخو ل ه س ب ص ح ةدمعألا طوطخو ب ه ب ز‬ ‫ب ح يه ةلصفنملا نم ‪،‬مهسلا طخلاف ثداحلا ةلزنمب عطق ؛ئفاكم كلذو ام اندرأ نأ »نّيبن‬

ASTRONOMIE ET MATHÉMATIQUES ANCIENNES ET CLASSIQUES

RÉSUMÉ. – On examine les disciplines mathématiques qui doivent leur existence à l’astronomie ancienne et classique. Les exemples de la géométrie des coniques et des recherches sur le gnomon, des méthodes d’approximation numérique et de l’établissement de tables astronomiques, de la trigonométrie et l’étude des mouvements célestes, sont rapidement évoqués. On s’attache plus particulièrement à deux autres chapitres des mathématiques : les recherches isopérimétriques, tout d’abord, qui doivent leur origine aux conceptions cosmologiques sur le cercle et la sphère, et ont suscité les études sur l’extrémalité (Ibn alHaytham), et donné lieu à la géométrie métrique. Les problèmes de projection de la sphère qui sont à l’origine de la géométrie des positions, d’autre part, qui doivent leur développement initial à la construction des astrolabes étendus ensuite au point de vue projectif d’une manière plus générale (en particulier, Ibn Sahl, al-Qūhī). Ces domaines des mathématiques se sont développés ultérieurement en s’affranchissant de ces conditions d’origine. ABSTRACT. – We examine the mathematical disciplines that owe their existence to ancient and classical astronomy. The examples of the geometry of conics with the researches on the gnomon, of the methods of numerical approximations with the setting of astronomical tables, of trigonometry with the study of celestial motions, are briefly evoked. We emphasize two other chapters of mathematics. Firstly, the studies on isoperimetrics, originated in cosmological conceptions on the circle and the sphere, have generated the studies on extremality (Ibn al-Haytham) and given rise to metrical geometry. Secondly, the problems of projection of the sphere, which generated geometry of positions, have been initially impulsed by the construction of astrolabs ; the projective problem has been considered afterwards in a more general way (in particular, Ibn Sahl, al-Qūhī). These domains of mathematics have developed further independently of the conditions of their origins.

L’histoire des mathématiques est intimement liée à l’histoire de la cosmologie et de l’astronomie. Cette affirmation va de soi lorsqu’il

Paru dans Épistémologiques (Revue internationale Paris / Sao Paulo) : Cosmologie et philosophie, hommage à Jacques Merleau-Ponty, vol. I (1-2), janvier-juin 2000, p. 89-100.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

s’agit de l’histoire récente : le renouvellement des notions astronomiques a, chaque fois, des répercussions sur les mathématiques, et il n’est pas moins vrai que les nouvelles méthodes mathématiques ont permis l’élaboration des conceptions astronomiques. On sait combien ces rapports entre astronomie et mathématiques sont essentiels à l’histoire du calcul différentiel, de la géométrie différentielle, du calcul des probabilités, des statistiques, entre autres disciplines mathématiques. Par conséquent, l’historien des mathématiques récentes ne peut ni ne doit faire l’économie de l’examen de ces rapports. En est-il de même pour l’historien des mathématiques anciennes et classiques ? Autrement dit, ces liens étroits entre mathématiques et astronomie étaient-ils également, pour les mathématiciens de l’antiquité et du moyen-âge, l’horizon privilégié de leur recherche ? S’il s’agit de l’antiquité, la question risque de s’étendre et de se compliquer davantage, puisqu’elle peut porter sur l’origine historique, mais aussi phénoménologique, de certaines branches des mathématiques. On songera alors à ce qu’aurait pu être la géométrie dans l’espace, par exemple, si l’astronomie positive n’avait jamais vu le jour. On se demandera aussi ce qu’il serait advenu d’une telle discipline si l’homme avait négligé d’observer le ciel pour décrire, et, éventuellement, mesurer, les apparences. Ces questions d’« origine » ne peuvent à l’évidence être résolues à l’aide de la seule description, fût-elle eidétique : leur solution appelle une restitution historique, qui n’est pas faite, tant s’en faut. La seule stratégie qui se dessine pour approcher ce but lointain est d’examiner les disciplines mathématiques qui doivent peu ou prou leur existence à l’astronomie ancienne et classique. Parmi ces disciplines, on rencontre aussi bien la géométrie des positions que la géométrie métrique, l’analyse numérique et la trigonométrie. Venons-en d’abord, et très brièvement, à l’une des théories mathématiques parmi les plus importantes des mathématiques grecques : la théorie des coniques telle qu’elle se présente dans le livre d’Apollonius. L’origine de cette théorie semble se fondre dans deux traditions de recherche relatives à deux espèces d’« organon » au sens premier du terme, toutes deux en quelconque relation à l’astronomie. La première tradition, ainsi que j’ai pu l’établir, porte sur les miroirs ardents. Il s’agissait, dans le milieu de Conon d’Alexandrie, de Dosithée, de Dioclès, etc., de construire des miroirs ardents paraboliques. On exigeait par exemple qu’ils embrasent selon un cercle, ou qu’ils embrasent sans être dirigés vers le soleil, fixes et indiquant l’heure sans gnomon ; problème optico-astronomique d’une difficulté redoutable. Dans la seconde tradition s’inscrivent les recherches menées sur le gnomon. Il s’agit d’un gnomon d’une longueur donnée, et

ASTRONOMIE ET MATHÉMATIQUES ANCIENNES ET CLASSIQUES

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de position fixe. Le plan sur lequel tombe l’ombre de l’extrémité de ce gnomon est perpendiculaire à celui-ci, et on cherche à déterminer la grandeur de l’ombre en fonction du temps. On peut alors montrer que l’on retrouvera dans ces conditions les sections coniques, selon la conception de Menechme. C’est ce qu’a fait O. Neugebauer, lorsqu’il a proposé, en des termes certes spéculatifs, mais non point invraisemblables, de fixer là l’origine des coniques. Il apparaît donc que les instruments et les problèmes astronomiques sont l’une des origines de la théorie des coniques, laquelle semble prendre son autonomie vers le iii e siècle avant notre ère. Mais le rôle de l’astronomie n’est pas moins important si l’on considère la formation et le développement de l’analyse numérique. Les astronomes ont très tôt cherché des méthodes pour établir et utiliser des tables astronomiques et trigonométriques, et ils ont à cette occasion développé des concepts et des méthodes d’interpolation. L’interpolation linéaire, aussi ancienne que l’astronomie babylonienne, était le point de départ de toutes les tentatives ultérieures : la voie naturelle consista en effet à améliorer cette interpolation. C’est en tous cas celle qu’a suivie Brahmagupta pour l’élaboration d’une méthode d’interpolation parabolique. C’est la même voie qu’a empruntée un anonyme indien pour donner une autre méthode d’interpolation quadratique, dite Sankalt. Les astronomes vont, à partir du ix e siècle, multiplier le nombre des méthodes d’interpolation quadratique, les comparer pour choisir celle qui approche le mieux la fonction considérée. Cette comparaison a donné sa première dimension théorique à une recherche essentiellement « expérimentale », pour ainsi dire. C’est avec ces astronomes-mathématiciens, comme al-Bīrūnī, que l’on assiste à l’émergence du calcul aux différences finies 1. Il en est de même, comme chacun sait, pour la trigonométrie. À l’origine, elle n’a pas de nom, elle se présente comme un auxiliaire de l’étude des mouvements célestes. On attribue à Hipparque la première table des cordes ; mais ce sont les astronomes de l’Inde qui, vers le vi e siècle de notre ère, ont remplacé la corde de l’arc double par sa moitié. Il fallut cependant attendre le x e siècle avant que les astronomes obtiennent les premières relations du triangle sphérique : c’est vers cette époque que la trigonométrie émerge comme science autonome, sous forme de compositions propres et indépendantes. On rencontre entre autres contributions la découverte de méthodes pour

‎1. R. Rashed, « Al-Samawʾal, al-Bīrūnī et Brahmagupta : sur les méthodes d’interpolation », Arabic Sciences and Philosophy : a Historical Journal, 1 (1991), p. 100-50.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

le calcul de sin 1°. 1 À peine rappelés, ces exemples suffisent à désigner l’astronomie ancienne comme étant à l’origine, partiellement tout au moins, des disciplines mathématiques, lesquelles toutefois ne se constituent comme telles qu’une fois rompues les attaches qui les unissaient à l’astronomie. Pour illustrer cette idée, j’examinerai, sans m’étendre davantage, deux autres chapitres des mathématiques anciennes et classiques : les recherches isopérimétriques et les études projectives. Venons-en d’abord au problème isopérimétrique qui a surgi tout naturellement pour ainsi dire dans le cadre de la cosmologie babylonienne et grecque. Montrer que, parmi les domaines du plan ayant un périmètre donné, le disque a la plus grande aire ; et que, de tous les solides de l’espace ayant la même aire latérale, la sphère a le plus grand volume : d’après les témoignages tardifs, ce résultat semble être un acquis ancien. C’est en tout cas l’opinion de Simplicius. Mais de l’avis de tous, c’est à Zénodore que revient d’avoir traité le problème et d’avoir établi la démonstration, dans son traité perdu Sur les figures isopérimétriques. Le problème n’a d’ailleurs pas cessé d’intéresser les astronomes et les mathématiciens : Héron d’Alexandrie, Ptolémée, Pappus, Théon d’Alexandrie. En fait, c’est Ptolémée et son Almageste qui ont été la source de ce problème pendant plus d’un millénaire. Dans l’Almageste en effet, à l’appui de sa thèse de la sphéricité, si importante pour sa cosmologie et son astronomie, Ptolémée rappelle le précédent résultat comme un acquis, et écrit : Puisque, parmi les figures différentes mais isopérimétriques, celles qui ont le plus de côtés sont plus grandes, parmi les figures planes, c’est le cercle qui est la plus grande, et parmi les solides, c’est la sphère qui a le plus grand volume et le ciel est le plus grand corps. 2

À partir de Théon d’Alexandrie et de Pappus, les commentateurs de l’Almageste ne pouvaient désormais faire silence sur cette affirmation, et se devaient d’en apporter la preuve. Tout un courant de recherche s’enclenche donc, afin d’établir cette conception cosmologique. Citons simplement Théon d’Alexandrie :

‎1. M.-Th. Debarnot, « Trigonométrie », dans R. Rashed (éd.), Histoire des sciences arabes, Paris, 1997, Vol. II, p. 163-98. ‎2. J.L. Heiberg, Claudii Ptolemaei opera quae extant omnia. I. Syntaxis mathematica (Leipzig, 1898), p. 13, l. 16-19.

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Nous allons le prouver d’une manière abrégée, tirée de la démonstration de Zénodore dans son traité des figures isoperimetres. 1

Dans les premières décades du ix e siècle, l’Almageste aussi bien que le Commentaire de Théon d’Alexandrie étaient rendus en arabe. Tous les commentateurs arabes de l’Almageste s’intéressent à ce problème, et deux courants de recherche mathématique s’engagent alors pour établir l’affirmation de Ptolémée. Le premier courant est représenté par un mathématicien-astronome du milieu du x e siècle : al-Khāzin. Son idée directrice est de placer ce problème dans un contexte plus général, celui de toutes les figures convexes, et de montrer que, parmi les figures convexes d’un type donné (triangle, losange, parallélogramme, etc.), celle dont la symétrie est la plus parfaite réalise un extremum pour un certain paramètre (aire, rapport d’aire, périmètres, etc.) 2. On procède alors de la manière suivante : on fixe un paramètre et on fait varier la figure en la symétrisant par rapport à une certaine droite. Par exemple, on fixe le périmètre d’un parallélogramme, et on transforme ce parallélogramme en un losange en symétrisant par rapport à une diagonale : l’aire augmente au cours du processus. La démarche concrète d’al-Khāzin s’ordonne de la manière suivante : 1) il commence par comparer les polygones réguliers de même périmètre et montre que celui qui a le plus grand nombre de côtés a la plus grande aire. 2) il compare ensuite un polygone régulier circonscrit à un cercle et un cercle de même périmètre. Démarche « statique », en ce sens que l’on a d’une part le polygone donné, et, de l’autre, le cercle. Sans vouloir entrer dans les détails, disons simplement qu’al-Khāzin termine son traité une fois établies la propriété isopérimétrique et la propriété isépiphanique, c’est-à-dire ce qui est requis par la cosmologie. La seconde tendance est représentée par un autre mathématicien, mort après 1040, le célèbre Ibn al-Haytham 3. Il entendait à l’évidence donner une démonstration « dynamique » de ces deux propriétés. C’est alors qu’il a rédigé un traité qui fut à l’avant-garde de la recherche mathématique de l’époque, mais qui conserva ce poste

‎1. A. Rome, Commentaires de Pappus et de Théon d’Alexandrie sur l’Almageste, texte établi et annoté, t.II : Théon d’Alexandrie, Commentaire sur les livres 1 et 2 de l’Almageste (Vatican, 1936), p. 33. ‎2. R. Rashed, Les Mathématiques infinitésimales du ix e au xi e siècle, Vol. I : Fondateurs et commentateurs : Banū Mūsā, Thābit ibn Qurra, Ibn Sinān, al-Khāzin, al-Qūhī, Ibn al-Samḥ, Ibn Hūd, Londres, 1996. ‎3. R. Rashed, Les Mathématiques infinitésimales du ix e au xi e siècle, Vol. II : Ibn alHaytham, Londres, 1993.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

durant bien des siècles. Ibn al-Haytham commence par régler rapidement le cas des figures planes. Tout comme son prédécesseur al-Khāzin, il compare des polygones réguliers de même périmètre, et d’un nombre de côtés différents, et démontre 1. Soient deux polygones réguliers de même périmètre, celui qui a le plus grand nombre de côtés a la plus grande aire. 2. Si un cercle et un polygone régulier ont le même périmètre, alors l’aire du cercle est plus grande que celle du polygone. Contrairement à tous ses prédécesseurs, Ibn al-Haytham utilise la première propriété pour établir la seconde, en considérant le cercle comme limite d’une suite de polygones réguliers ; c’est en cela que sa démarche est « dynamique ». Notons qu’au cours de sa démonstration, il suppose l’existence de la limite – l’aire du disque – ce qui était assuré à partir de La Mesure du cercle d’Archimède. La seconde partie de son traité est consacrée aux isépiphanes. Elle s’ouvre sur dix lemmes qui constituent à eux seuls le premier traité véritable sur l’angle solide, que je passe sous silence ici. Ces lemmes lui permettent en tout cas d’établir les deux propositions suivantes : 1. De deux polyèdres réguliers ayant des faces semblables et des surfaces égales, celui qui a le plus grand nombre de faces a le plus grand volume. 2. Si deux polyèdres réguliers ont pour faces des polygones réguliers semblables, et sont inscrits dans une même sphère, alors celui qui a le plus grand nombre de faces a la plus grande surface et le plus grand volume. On observe donc qu’Ibn al-Haytham part des polyèdres réguliers. Les deux propositions que je viens de citer ne s’appliquent alors qu’au cas du tétraèdre, de l’octaèdre et de l’icosaèdre, puisque le nombre des faces d’un polyèdre régulier à faces carrées ou pentagonales est fixé (6 ou 12). L’intention d’Ibn al-Haytham ressort cependant clairement de ce qui précède : à partir de la comparaison entre polyèdres de même aire et d’un nombre différent de faces, établir la propriété extrémale de la sphère ; c’est-à-dire approcher la sphère comme limite des polyèdres inscrits. Mais cette démarche dynamique se heurte manifestement à la finitude du nombre des polyèdres réguliers, et j’avoue que ce fait demeure incompréhensible. Cela dit, cet échec se double d’une grande réussite : la théorie de l’angle solide.

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Ce traité d’Ibn al-Haytham prend déjà des distances à l’égard du cadre cosmologique, qui était initialement celui du problème isopérimétrique. Bien plus, porté par le courant de ce nouvel esprit, Ibn al-Haytham engage une autre étude sur l’extrémalité. Il compare entre les différentes courbes convexes dans un segment de cercle, en considérant que la longueur de chaque courbe est la borne supérieure des polygones inscrits, pour ainsi ramener la comparaison entre les courbes à celle des polygones. Pour aller plus loin qu’Ibn al-Haytham, il a fallu attendre le début du xviii e siècle et l’essor du calcul infinitésimal. Le problème resurgit avec celui du Brachistochrone, que J. Bernoulli formule en ces termes : étant donné deux points A et B dans un plan vertical, trouver le chemin AMB qu’un point mobile M parcourt de A à B par vertu de son poids dans le plus court temps possible. 1

Nous sommes déjà là sur un autre terrain, celui du calcul des variations naissant, différent de celui qu’avait investi la recherche issue du problème cosmologique. Cette dernière recherche s’était déjà épuisée, non pas après Ibn al-Haytham, mais, si j’ose dire, dès le milieu de son livre. Le second exemple sur lequel je voudrais rapidement m’arrêter ne relève plus de la géométrie métrique, mais de la géométrie des positions. Cette fois encore, c’est de Ptolémée qu’il faut partir, de son Planisphère conservé dans une version arabe, ainsi que dans une traduction latine de cette dernière. Voici le début du livre de Ptolémée : Puisqu’il est possible, Ô Syros, et utile dans plusieurs chapitres, de tracer sur une surface plane les cercles qui se trouvent sur la sphère solide comme s’ils étaient plans, j’ai pensé qu’il est de mon devoir vis-à-vis de la science d’écrire un livre pour celui qui veut connaître cela, dans lequel je montre brièvement de quelle manière il est possible de tracer le cercle de l’orbe incliné (l’écliptique), les cercles parallèles au cercle de l’équateur, les cercles connus par les cercles méridiens, de sorte que ce qui se produit soit conforme à ce qui apparaît sur la sphère solide. 2

Le but de Ptolémée est clair : trouver un procédé pour représenter certaines lignes de la sphère céleste sur un plan, sans qu’il soit question de l’étude géométrique de ce procédé. Et de fait, Ptolémée conçoit la projection stéréographique d’une sphère sur un plan, mais les problèmes soulevés par le tracé de ces lignes exigent une étude ‎1. Acta Eruditorum, 1696, p. 269. ‎2. Fi tasṭīḥ basit al-kura, ms. Istanbul, Ayasofia 2671, fol. 1.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

géométrique de la dite projection, étude que Ptolémée semble avoir ignorée. Pappus l’avait-il faite dans son commentaire du Planisphère ? On n’en sait rien : le texte de Pappus ne nous est jamais parvenu, non plus que sa traduction arabe. Telle est la situation jusqu’au ix e siècle. Au ix e siècle on parvient en effet à une découverte considérable, celle du point de vue des transformations en géométrie. Cette découverte, pour le dire vite, s’est faite presque naturellement, et, en tout cas, indépendamment, lors de l’étude de deux groupes de questions. Il s’agit d’abord de ces questions qui surgirent au cours de la recherche sur les coniques, sur les aires de certains segments elliptiques et paraboliques, et sur la génération de certaines courbes. Le second groupe comporte en revanche des questions rencontrées par les astronomes, et que nous avons déjà évoquées à propos de Ptolémée : celles qui touchent à la représentation exacte de la sphère céleste. Ces questions s’imposent avec d’autant plus de force que l’on s’intéresse activement à la construction des astrolabes. L’astrolabe, on le sait, est un instrument destiné à étudier la sphère céleste, animée d’un mouvement de rotation autour d’un axe, par projection sur une surface mobile superposée à une surface fixe. Il permet donc la représentation exacte de la sphère céleste, et de la position des étoiles en fonction de leur hauteur sur l’horizon. Il servait à déterminer les heures, la longitude et la latitude célestes des astres, la direction de La Mecque, l’ascension des étoiles ... ; autrement dit, il répondait aux besoins de l’astronomie, de la géographie, de l’astrologie, de la religion, de la médecine, etc. On n’insistera jamais assez sur un phénomène bien nouveau, au ix e siècle : un progrès sans précédent de la construction des astrolabes et de leur usage. À son tour, la demande sociale d’astrolabes a suscité la multiplication des recherches sur les projections, utiles à leur construction. Ainsi, pour ne prendre qu’un exemple au milieu du ix e siècle, le philosophe et savant al-Kindī, les mathématiciens et astronomes, les frères Banū Mūsā, l’astronome al-Farghānī, étudiaient les projections et engageaient la première controverse sur la valeur respective de chacune. Quant à l’astronome al-Farghānī 1, il invente une projection zénithale équidistante, rapportée à l’un des pôles de l’écliptique. Cette projection est très proche de celle inventée par Lambert plus tard, et, ensuite, par Cagnoli. C’est encore al-Farghānī qui donne le premier exposé théorique de la projection stéréographique. Il démontre en outre sa

‎1. Al-Kāmil, mss Londres, British Library, Or 5479, fol. 38 v-40 v. L’édition et la traduction, ainsi que son commentaire sont à paraître dans R. Rashed, « Al-Farghānī : On Geometry ».

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propriété fondamentale : cette projection transforme les cercles passant par le pôle en droites, et les cercles ne passant pas par le pôle en cercles. Il n’est pas question de faire ici l’histoire de ces travaux aux ix e e et x siècles. Je rappelle simplement que la recherche était intense, multiple et continue ; on ne s’y arrêtait plus à la projection stéréographique, mais on inventa d’autres projections. Cette recherche a abouti vers la fin du x e siècle à la constitution d’un nouveau chapitre de géométrie : à ce chapitre, on associe les noms des deux mathématiciens, al-Qūhī et Ibn Sahl 1. Je voudrais un peu insister sur ce point. Al-Qūhī a rédigé un livre intitulé L’art de l’astrolabe par la démonstration 2. Comme le suggère le titre, l’auteur ne s’intéresse pas aux problèmes pratiques qui pouvaient se poser aux artisans constructeurs d’astrolabes, ou aux utilisateurs de l’astrolabe : il ne considère que la théorie géométrique sous-jacente à cette construction. Al-Qūhī se livre donc, dès le début de son traité, à l’étude générale de la projection d’une sphère d’axe connu sur une surface, qui peut être, ou non, de révolution. Cette étude, à son tour, l’amène à distinguer deux cas pour la surface de révolution, selon que son axe est, ou non, parallèle à l’axe de la sphère. Aussi al-Qūhī a-t-il été amené à définir les projections cylindriques – de direction parallèle ou non à l’axe de la sphère – et les projections coniques à partir d’un sommet appartenant ou n’appartenant pas à cet axe. On ne s’arrête donc plus à la seule projection stéréographique, celle qui est nécessaire à la construction de l’astrolabe, mais on invente et on étudie d’autres projections indépendantes de l’astrolabe : projections coniques, dont le pôle n’est plus situé sur la sphère, projections cylindriques, orthographiques ou non. Aussi importante que ces nouveaux concepts est leur présentation : ils interviennent comme les éléments d’un exposé sur la méthode des projections. Sans doute suscité par les problèmes posés par la construction de l’astrolabe, ce discours général est aussi élaboré indépendamment d’eux. C’est ainsi qu’al-Qūhī prend délibérément le parti – qu’il justifie – de négliger les cas qu’il a pris soin de définir : la projection cylindrique de direction non parallèle à l’axe de la sphère ; et la projection conique de sommet non situé sur la sphère. Autrement dit, al-Qūhī a introduit les différents types de projection, dont un seul sera utilisé pour l’astrolabe. Pour dégager ce trait de

‎1. R. Rashed, Géométrie et Dioptrique au x e siècle : Ibn Sahl, al-Qūhī et Ibn alHaytham, Paris, 1993. ‎2. Ibid., Appendice III.

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la recherche géométrique, considérons les différentes étapes parcourues, à partir d’al-Qūhī, par son contemporain Ibn Sahl. Ibn Sahl n’étudie pas seulement ces projections ; il examine aussi comment, selon les différents cas, la surface mobile de l’astrolabe peut tourner tout en restant superposée à la surface fixe. Il commence par considérer le cas où la surface de l’astrolabe est un plan : toute perpendiculaire à ce plan est alors un axe pour ce plan. Il envisage deux situations, selon que l’axe de la sphère et l’axe de la surface sont ou non confondus. Considérons à titre d’exemple le cas où les deux axes sont confondus. À la suite d’al-Qūhī, mais de manière plus élaborée, Ibn Sahl introduit les concepts suivants : 1. 2. 3. 4.

Projection cylindrique de direction donnée, parallèle à l’axe ; projection cylindrique de direction donnée, non parallèle à l’axe ; projection conique à partir d’un point donné sur l’axe ; projection conique à partir d’un point donné qui n’est pas sur l’axe.

Notons que, dans un autre traité intitulé Sur les propriétés de trois sections coniques, le même Ibn Sahl étudie la division harmonique. Il s’écarte alors d’Apollonius, et, au lieu de caractériser, comme ce dernier, les divisions harmoniques par l’égalité de deux rapports, il donne la relation rapportée au milieu de l’un des couples conjugués, pris comme origine. Or la division harmonique se conserve par projection cylindrique ou conique, qui sont les deux projections étudiées par Ibn Sahl. On voit, sans qu’il faille entrer davantage dans les détails, comment au x e siècle, à partir des préoccupations astronomiques, on est parvenu à la découverte du point de vue projectif : l’étude des projections cylindriques et coniques de la sphère, de ses points, de ses diamètres, de ses cercles et des figures qui sont tracées sur elle. Tout comme le commentaire d’Ibn Sahl, le traité d’al-Qūhī commence, je l’ai rappelé, par un exposé de ces projections et de leurs propriétés, indépendamment de l’astrolabe, pour ensuite passer aux problèmes résolus par les projections stéréographiques, et qui pouvaient se poser, théoriquement au moins, lors de la construction et de l’utilisation de l’instrument. Ce clivage qui partage l’exposé entre une partie entièrement consacrée aux projections, mais de la sphère seulement, et une seconde partie relative aux problèmes qui pouvaient se poser pour l’astrolabe, marque bien les limites de l’autonomie de ce chapitre par rapport à son terrain d’origine. Autre survivance de ce lieu d’origine, le privilège accordé au problème inverse : au lieu de partir de la sphère projetée, on part au contraire de sa représentation. Ce nouveau chapitre de la géométrie se distingue également par

ASTRONOMIE ET MATHÉMATIQUES ANCIENNES ET CLASSIQUES

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son langage et par les procédés de démonstration mis en œuvre. Le langage est mixte : au vocabulaire de la théorie des proportions, celui de la géométrie traditionnelle, se mêlent des termes qui désormais désignent les concepts projectifs. Les démonstrations sont elles aussi composées de comparaisons de rapports, tout comme dans la géométrie traditionnelle, mais aussi de rabattements. Lorsque par exemple al-Qūhī établit la propriété suivante : à tout cercle tracé sur la sphère, et dont le plan ne contient pas le pôle, la projection stéréographique associe un cercle dans le plan de projection, et inversement ; le mathématicien utilise à cet effet la proposition 1. 5 des Coniques d’Apollonius, proposition qui étudie la section d’un cône à base circulaire par un plan, dans le cas où le plan de base et le plan sécant sont des plans antiparallèles. L’idée de l’inversion n’effleure pas encore cet auteur, ni du reste ce fait que la projection stéréographique est la restriction d’une inversion dans l’espace. Mais il reste qu’al-Qūhī a fréquemment recours à la technique de rabattement. Il résout le plus souvent le problème à l’aide de la propriété suivante : un point quelconque, son homologue et le pôle de projection sont alignés. Il fait alors appel à plusieurs reprises à des rabattements, qui permettent des constructions en géométrie plane. Ainsi, qu’il s’agisse de son domaine, de son langage ou des méthodes de démonstration qui s’y déploient, ce chapitre de géométrie conçu par les mathématiciens du x e siècle est issu des problèmes de l’astrolabe, auxquels on avait commencé à répondre plus d’un siècle auparavant. Il s’agit d’un chapitre de géométrie projective, dont les. mathématiciens du siècle suivant – comme par exemple al-Bīrūnī – ne cesseront de s’occuper. Mais à la différence des recherches sur les isopérimètres, ce chapitre n’avait jamais rompu les liens qui l’unissent à son terrain d’origine. Cette rupture ne sera consommée qu’au prix d’une accumulation d’autres méthodes projectives, obtenues à l’occasion d’autres recherches : l’étude de la perspective, des coniques, etc.; c’est-à-dire dans les travaux de Kepler, Desargues, Pascal, La Hire, Newton, et bien d’autres encore avant Poncelet. Il ressort des exemples précédents que les chapitres les plus avancés des mathématiques anciennes et classiques semblent bien être originairement liés à l’activité théorique ou pratique de l’astronomie. Rappelons, pour ne retenir que les deux derniers exemples, que l’extrémalité de la sphère et du cercle était une notion cosmologique avant d’être investie d’un vrai statut mathématique, et que la projection stéréographique était un procédé pour tracer une carte du ciel avant d’être conçue comme transformation géométrique. L’extrémalité de la sphère et du cercle devient un objet véritablement mathématique lorsque l’on commence à l’insérer dans un réseau dé-

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jà complexe de définitions, d’axiomes et d’opérations divers, qui lui ôtent tout caractère d’unicité : telle est la première étape. Dans un deuxième temps, le cercle lui-même devient une limite des polygones, et la sphère une limite des polyèdres. Ainsi s’établit une double distance avec les objets d’origine. Il en est de même pour la projection stéréographique : pour qu’elle devienne une vraie transformation géométrique, il faut attendre qu’elle soit conçue comme une projection conique de pôle l’un des points de la sphère, soit sur un plan tangent à la sphère au point diamétralement opposé, soit sur un plan parallèle à celui-ci. Cette transformation n’a plus rien de propre à l’astronomie, même si celle-ci demeure l’un de ses domaines privilégiés d’application. Dans les deux cas évoqués, comme dans les autres, la distance qui sépare doublement de l’origine s’établit à deux niveaux différents : l’objet est reformulé pour transcender l’objet astronomique de départ ; la discipline – isopérimétrie, projections, coniques ... – est, en quelque sorte, le fossoyeur de ses origines, pour commencer, ou recommencer. Notons en conclusion que, au moins pour ces chapitres, l’idéalité mathématique semble bien se fonder sur une autre idéalité, qui permet déjà de parler mathématiquement des organons ou des contours des phénomènes ; de sorte que la notion d’origine est déjà trop abstraite et trop dense pour se prêter à une description eidétique, et encore moins à une investigation archéologique, quel que soit le sens que l’on donne à cette formule.

AL-QŪHĪ: FROM METEOROLOGY TO ASTRONOMY I The reader of a treatise on meteorology, whether ancient, medieval, or even classical, is immediately struck by some features that are, at first glance, paradoxical. Whereas, according to Aristotle, this is a discipline that should not be confused with any other, and which deals with all phenomena concerning the four elements “which we may consider as accidents,” 1 yet this discipline deals with such a wide variety of subjects that it can be defined only negatively. We encounter in it the most diverse phenomena, which today belong to sciences as different as astronomy, geography, chemistry, seismology, volcanology, meteorology, and optics. All efforts to identify a unifying principle—exhalation, for example—behind this variety are condemned to defeat in advance, or at the very least to arbitrarily excluding part of the Stagirite’s Meteorologica as apocryphal. On the contrary, it is as though this diversity was in accordance with the Stagirite’s intentions, in so far as he seems to have wished to relegate to the Meteorologica all the sublunary phenomena which were not retained in the physical treatises: the Physics, On the Heavens, and On Generation and Corruption. This situation, created by the philosopher, lasted more than two millennia, as is still attested by Descartes’ Les Météores. By their number as well as by their variety, the phenomena studied by the Meteorologica ensured a certain popularity for the discipline. Literary authors have often been interested in them, as have philosophers, physicians, and even theologians. Take the example of shooting stars in classical Islam, which we shall study in this article: the philosophers had been concerned with them since al-Kindī 2; and literary authors and theologians examined them when they dealt

Paru dans Arabic Sciences and Philosophy, 11.2, 2001, p. 157-204. ‎1. Aristote, Météorologiques, texte établi et traduit par Pierre Louis, Collection des Universités de France (Paris, 1982), vol. I, 338b, 20-25. ‎2. The ancient bibliographers attribute to al-Kindī a treatise entitled “On the effect which appears in the atmosphere, and which is called a star” (Fī al-athar alladhī yaẓharu fī al-jaww wa-yusammā kawkaban)”. See al-Nadīm, Kitāb al-fihrist, ed. R. Tajaddud (Teheran, 1971), p. 319.

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with certain Koranic texts. 1 Thus, this single theme of shooting stars lent itself easily to several historical readings, according to one’s area of interest: literature, Koranic commentary, philosophy, etc. It was the object of at least two redactions, one of which belongs to the history of doctrines, and the other to the history of science. These two redactions are obviously interdependent, and one would have to be naive indeed to wish to separate them. Nevertheless, we shall limit ourselves here to the studies which pertain to the history of science, for the following reasons: The phenomena dealt with in the Meteorologica pertain to the domain of experience. Some, however, pertain to it in a particular sense: that is, to the realm between heaven and earth. Rainbows, shooting stars, etc., are sublunary phenomena, without, however, being objects which are accessible to a direct treatment: that is to say, they require the construction of a model. To remedy this situation, we must know how to observe, and above all, how to control our observations. As we raise this question, however, and undertake the research necessary for such control, we modify the very status of our study. Thus, we have shown previously with regard to the phenomenon of the rainbow, 2 that once we substitute rigorous methods in the place of uncontrolled observation and naive geometrical representation of the phenomenon (as with the research of Ibn al-Haytham on burning spheres, and that of Kamāl al-Dīn al-Fārisī on the model of the water-filled sphere), research on the rainbow became detached from the Meteorologica in order to become part of another domain: that of reformed optics. 3 Our goal here is the similar: first of all, we wish to ask the same questions about this second phenomenon of meteorology: shooting stars. We intend to show when and how the introduction of controlled observation and of the necessary rigorous methods led this phenomenon, in its turn, to detach itself from the Meteorologica, in or-

‎1. Several Koranic verses explain how demons (jinn) are struck by “shuhub”— that is, brilliant flames—when they surreptitiously reach the heavens in order to eavesdrop; for instance in Sūrat al-ḥijr, Sūrat al-mulk. The commentators interpreted these “brilliant flames” as shooting stars; cf. for instance al-Zamakhsharī, al-Kashshāf ed. Muḥammad ʿAbd al-Salām Shākūn (Beirut, 1995), vol. IV, p. 565; al-Rāzī, al-Tafsīr al-kabīr, 3rd ed. (Beirut, n.d.), vol. X, p. 169 and vol. XXIX, p. 61. ‎2. “Le modèle de la sphère transparente et l’explication de l’arc-en-ciel: Ibn alHaytham, al-Fārisī,” Revue d’histoire des sciences, 23 (1970): 109-40; reprod. in Optique et Mathématiques: Recherches sur l’histoire de la pensée scientifique en arabe, Variorum reprints (Aldershot, 1992), III. ‎3. Geométrie et dioptrique au x e siecle: Ibn Sahl, al-Qūhī et Ibn al-Haytham (Paris, 1993).

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der to become part of astronomy. Here again, Ibn al-Haytham plays an important role, 1 but only after Abū Sahl al-Qūhī. 2 Since he was interested in the mathematical control of observations, al-Qūhī also studied a second phenomenon which, although it is not part of the Meteorologica, is related to them. This was the question of the rigorous analysis of that part of the sea or the sky which can be observed from the top of a building of a known height, which rises perpendicular to a plane (for instance, the surface of the sea). It is thus a new field of research that al-Qūhī inaugurated. In both cases, however, the goal was to invent methods to control observation, both linguistically and technically.

II Abū Sahl al-Qūhī, a mathematician of genius and an astronomer, 3 was at best indifferent to all forms of speculative thought. His contemporary, the critic Abū Ḥayyān al-Tawḥīdī, 4 reports this crucial attitude, which has been insufficiently understood. As we have pointed out elsewhere, 5 al-Tawḥīdī recalls al-Qūhī’s aversion to metaphysical discussions. He took pleasure in refuting those of the Stagirite’s theses that were upheld by the Aristotelians of his time, some of whom, like him, circulated at the court of ʿAḍud alDawla, and then, after him, of his two sons. 6 Recently, we analysed his refutation of two theses on motion which Aristotle set forth in the Physics, and we showed that each time, he proceeds with the help of geometry, and by means of a thought experiment. Obviously, this approach was not accidental, but reflected a deliberate epistemic

‎1. Ibn al-Haytham wrote on the same theme, following al-Qūhī; cf. R. Rashed, Les Mathématiques infinitesimales du ix e au xi e siecle, vol. V, Ibn al-Haytham : Astronomie, géométrie sphérique et trigonométrie, Londres, al-Furqān Islamic Heritage Foundation, 2006. It was, moreover, in order to understand the contribution of Ibn al-Haytham that we returned to the study of al-Qūhī. ‎2. Cf. below. ‎3. Cf. Yvonne Dold, “Al-Qūhī,” Dictionary of Scientific Biography (1975), vol. XI, pp. 239-41; and R. Rashed, Les Mathématiques infinitesimales du ix e au xi e siecle, vol. I: Fondateurs et commentateurs: Banū Mūsā, Thābit ibn Qurra, Ibn Sinān, al-Khāzin, al-Qūhī, Ibn al-Samḥ, Ibn Hūd (London, 1996), pp. 835-8. ‎4. Abū Ḥayyān al-Tawḥīdī, Kitab al-imtāʿ wa al-muʾānasa, ed. A. Amin and A. al-Zayn (reproduction Būlāq, n. d.), first part, p. 38. ‎5. R. Rashed, Les Mathématiques infinitesimales du ix e au xi e siecle, vol. I, p. 835. ‎6. R. Rashed, “Al-Qūhī vs. Aristotle: On motion,” Arabic Sciences and Philosophy, 9.1 (1999): 7-24.

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position, which al-Qūhī formulated several times. For him, it is mathematics that provides the ideal of knowledge. He says in the treatise we have edited below: With regard to the people that neither Galen nor anyone else could criticize—they could not criticize either them or their science, for they relied upon demonstrations in all their sciences and their books—they are the mathematicians. 1

Al-Qūhī did not hesitate to proclaim this mathematical ideal of knowledge loud and clear, when addressing the King in person. Here are his words: The science of geometry is a model which we observe for truth, and a guide we follow for veracity, for its principle is established, its reasoning constant and continuous, and not susceptible of grievances. No weakness nor corruption affects it; no blow may touch it; no denial nor refusal changes it; it is incomparable with regard to the truth, and without analogy with regard to nobility. 2

This praise of geometry and mathematics, reiterated throughout his writings, becomes the echo of an epistemic position that has an affinity with certain modern currents of thought. As we shall see, such a position could not be blended with the doctrine of Aristotle, nor with that of the Aristotelians contemporary with al-Qūhī, in order to explain the mechanism of shooting stars. Yet what precisely did he know of this doctrine? And what are the conditions that would make possible a geometrical study of this phenomenon? We shall have to consider these two questions before we return to the contribution of al-Qūhī himself. With regard to the first question, al-Qūhī is of no great help. He does not mention any name, not even that of Aristotle; nor does he mention any title, not even Aristotle’s Meteorologica. This is not surprising; the Aristotelian thesis was well known and widely diffused at the time. The Arabic version of the Meteorologica by Ibn al-Biṭrīq 3 was available, as was the Compendium of Ḥunayn ibn ‎1. See infra, p. 378 and Additional note, p. 407. ‎2. See al-Qūhī’s introduction to the construction of the regular heptagon in R. Rashed, Les Mathématiques infinitesimales du ix e au xi e siecle, vol. Ill: Ibn al-Haytham, Theorie des coniques, constructions geometriques et geometrie pratique (London, 2000), p. 766. ‎3. C. Petraitis, The Arabic Version of Aristotle’s Meteorology, A Critical Edition with an Introduction and Greek-Arabic Glossaries, Recherches publiées sous la direction de l’lnstitut de Lettres Orientales de Beyrouth. Serie I: Pensée arabe et musulmane, vol. XXXIX (Beirut, 1967), see pp. 30-2 of the Arabic text.

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Isḥāq. 1 There were also the Arabic versions of the Greek commentaries on Aristotle’s work: those of Alexander, 2 Olympiodorus, 3 and the Pseudo-Olympiodorus. 4 What could this literature have taught al-Qūhī about shooting stars? According to Aristotle, they are an atmospheric phenomenon; that is, they take place beneath the sphere of the moon. They have their origin in the exhalation in the form of hot breath which rises into the upper atmosphere, which is therefore inflammable. As he writes in the Meteorologica: [...] so that a little motion often makes it burst into flame, just as smoke does, for flame is the ebullition of a dry exhalation. So whenever the circular motion stirs this stuff up in any way, it catches fire at the point at which it is the most inflammable. 5

Shooting stars thus occur “if the whole length of the exhalation is scattered in small parts and in many directions and in breadth and depth alike”. 6 Thus, for Aristotle, shooting stars are an atmospheric phenomenon connected with the earth, the form of which is explained by exhalations. It is part of those phenomena which “happen beneath the moon. This is shown by their apparent speed, which is equal to that of the things thrown by us; for it is because they are close to us, that these latter seem far to exceed in speed the stars, the sun, and the moon”. 7

‎1. H. Daiber, Ein Kompendium der aristotelischen Meteorologie in der Fassung des Ḥunayn ibn Isḥāq, Aristoteles Semitico Latinus 1 (Amsterdam-Oxford, 1975). ‎2. According to al-Nadīm, al-Fihrist, p. 311, Olympiodorus’ commentary on the Meteorologica was translated by Abū Bishr and glossed by Abū ʿAmr al-Ṭabarī (on this point, cf. A. Hasnawi, “Un élève d’Abū Bišr Mattā b. Yūnus: Abū ʿAmr al-Ṭabarī,” Bulletin d’Études Orientales, 48 [1996] pp. 35-55, particularly pp. 41-2); and Alexander’s commentary was translated into Arabic, but not into Syriac. It was only later that Yaḥyā ibn ʿAdī translated it from Arabic into Syriac. ‎3. A. Badawī, Commentaires sur Aristote perdus en grec et autres épîtres (Beirut, 1986), contains the critical edition of the Ps.-Olympiodorus’ commentary on the books of Aristotle’s Meteorologica, the translation by Ḥunayn ibn Isḥāq, and revised by his son Isḥāq ibn Ḥunayn, pp. 83-190; cf. ibid., p. 95 on shooting stars. ‎4. We can also add the translation by Qusṭā ibn Lūqā of the Placita Philosophorum, in which Ps.-Plutarch reviews the opinions of the ancients on shooting stars. Cf. H. Daïber, Aetius Arahus. Die Vorsokratiker in arabischer Überlieferung (Wiesbaden, 1980), pp. 39-41. On the totality of the Meteorologica in Arabic, see the study by Paul Lettinck, Aristotle’s Meteorology and its Reception in the Arab World (Leiden, 1999). ‎5. Aristotle, Meteorologica, I, 4, 341 b 20 ff. [The translation is that of E.W. Webster (Oxford, 1923)]. ‎6. Ibid., 341 b 32-35; translation Webster. ‎7. Ibid., 342 a 30-33; translation Webster.

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This Aristotelian doctrine became the communis opinio. It was discussed, and even criticized, but its nucleus, which we have briefly recalled here, remained intact. Shooting stars are not extraterrestrial objects, but phenomena, produced beneath the sphere of the moon. Thus, in his comments on Aristotle, Alexander writes: He (Aristotle) says that so-called shooting stars (τοὺς καλούμενους διᾴσσοντας ἀστέρας) sometimes occur in that way, when the fuel which underlies the celestial bodies is ignited by their movement, and in turn sets ablaze the body contiguous to it. Sometimes as well, they occur in the following way: the heat enclosed within, encircled by the cold surrounding air and gathered together in a single, compact mass, finds itself, as soon as it is ignited, violently expelled from the air constituted by cooling (which has its position beneath the fuel). Its trajectory is then similar to that of fruit-pits 1 which we squeeze between our fingers, with the fire remaining the same and identical without igniting that which is adjacent to it. These are the two ways in which the so-called shooting stars seem to occur. 2 That these compositions (sustaseis) and trajectories take place under the moon, he thinks is shown by the apparent speed of these things in their trajectory: for just as the things we throw seem to us to move more quickly than the stars, because of their proximity, whereas in fact they are very far from traveling at the same speed, so the so-called shooting stars seem to us to been moved more quickly than the stars, because of their proximity (οὕτως καὶ οἱ διᾴττειν λεγόμενοι θᾶττον ἡμῖν φαίνονται τῶν ἄστρων κινούμενοι διὰ τὴν ἐγγύτητα). 3

In turn, Olympiodorus affirms: Having said that shooting stars also occur at the apogee, he adds, so that we do not believe that they occur above, at the level of the stars, the distinction drawn from their speed: they are not, he says, moved as quickly. 4

The same idea is taken up again by the Pseudo-Olympiodorus, who writes:

‎1. See Aristotle, Meteorology, I, 4, 342 a 9-10, and note 3 below. ‎2. Alexandri In Aristotelis Meteorologicorum libros commentaria, CAG III, ed. M. Hayduck (Berlin, 1899), 22, 11-19 (this passage is repeated almost word for word by the Byzantine Nicephorus Blemmydes. Cf. Nicephori Blemmidæ Epitome Physica, PG 142, col. 1005-1320, 1133A). ‎3. Ibid., 23, 13-18. Cf. Nicephori Blemmidæ Epitome Physica, PG 142, col. 10051320, 1136A. ‎4. Olympiodori In Aristotelis Meteora commentaria, CAG XII, ed. G. Stüve (Berlin, 1900), p. 43, 20-22.

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Shooting stars occurs in two ways: by themselves and by accident. Those which occur by themselves are engendered only when a smoky vapor becomes concentrated above , such that its concentration is extended and unequal; it ignites through the movement of the celestial sphere, and that is how it is formed [...]. With regard to those which occur by accident, they do so if a smoky vapor is enclosed in a nearby place, contained and compressed by a moist vapor, and it suddenly escapes because of the condensation of the latter, just like the pit of an olive which escapes from between one’s hands. This is why its generation is not similar to ignited fire, but to the fire by which it is engendered. If this vapor escapes, it either falls downwards if it is pushed from above, or else it rises upwards when it is pushed upwards, or else it is propelled towards the right or the left when it is pulled from the side opposite to this side. The reason for the rapidity of the movement we observe for the star is the proximity of its place. 1

Even Philoponus, who is often critical of Aristotle, testily rejects the thesis which might seem to be anti-Aristotelian. He writes: It is possible to refute the puerile supposition of those who think that the movements of shooting stars are in truth the trajectories of stars; they rely on the fact that all the visible fixed stars, from the first to the sixth magnitude, are catalogued by the astronomers, and we always see them the same in the same condition, and remaining unfailingly in the same places. Here, however, he shows this from the apparent rapidity of their movement (διὰ τοῦ φαινομένου τάχους τῆς κινήσεως αὐτῶν). 2

Such unanimity is very rare, but it is reassuring for us: without any doubt, it is this thesis which philosophers accepted at the time of al-Qūhī, and it was the one current in the milieu of the philosophers who frequented the Royal Court. 3 On the nature of the phenomenon of shooting stars, al-Qūhī clearly departs from Aristotelian doctrine, opting for a thesis that is positivist avant la lettre. For him, a shooting star is a “luminous thing,” on the nature of which he does not wish to commit himself. He merely poses the question: Is it truly a star, or the ray of a star which rises and sets, or a fire which occurs for an instant and disappears, or the flame of a fire which always

‎1. Badawī, Commentaires sur Aristote, p. 95. ‎2. Ioannis Philoponi In Aristotelis Meteorologicorum librum primum commentarium, CAG XIV, ed. M. Hayduck (Berlin, 1901), p. 66, 22-27. He sides with Aristotle on this point even in the De Æternitate Mundi contra Proclum, ed. H. Rabe (Leipzig, 1899), p. 492, 5-20. ‎3. That is, the famous Aristotelian philosophers of the court of Baghdad.

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exists above, or a thing which is ignited and then extinguished, or a fire engendered by the speed of the movement of something other than fire? 1

Al-Qūhī does not propose the slightest response to this question he raises; for him, it is enough to know that what is at issue is a “thing (shayʾ),” a luminous being, or a “body,” as he says later on. The principal task he assigns to himself is to succeed in achieving controlled observation, which is the only means of determining this “thing” in the sky, its difference from the earth, and its size. In other words, in the study of shooting stars, al-Qūhī neutralizes everything pertaining to the Meteorologica, in order to keep only what relates to astronomy. Al-Qūhī’s “positivism” serves, as it were, as an epistemic means for proceeding to such a transformation. Yet to the preceding condition of possibility, which amounts to retaining only that part of the phenomenon which is observable in a rigorous sense, there is added another, equally important: the observation must be carried out in two different places. This method was developed by Arabic astronomy. As early as the beginning of the 9th century, we find clear traces of the comparison of the results of observations carried out in two different places for one and the same phenomenon. For instance, the measurement of the summer solstice of 217/832, which had been carried out at Baghdad, “on which the totality of the learned researchers of our time had agreed,” 2 in the words of the author who records this result; an obvious reference to the continuous observations carried out in parallel by the astronomers of Damascus. This comparison presupposed a precise knowledge of the coordinates of each place: its latitude, and especially the difference between the longitudes, in order to know the local time. One generation after al-Qūhī, al-Bīrūnī took up the question of simultaneous observations of the same phenomenon in two places situated far from one another; this time, however, the goal is to measure the local time of the phenomenon in each place, and thus calculate the difference in longitude between the two. He reports that such an operation had been carried out on the occasion of an eclipse of the moon, by himself, observing in Kāth (Central Asia), and by Abū al-Wafāʾ al-Būzjānī, who observed it from Baghdad. 3 ‎1. Infra, p. 378. ‎2. Regis Morelon, Thābit ibn Qurra, Œuvres d’astronomie (Paris, 1987); “Livre sur l’année solaire,” text p. 33; commentary p. 195. ‎3. See al-Bīrūnī, Kitāb Taḥdīd nihāyāt al-amākin li-taṣḥīḥ masāfāt al-masākin, critical ed. by P. Boulgakov, in Majallat al-makhṭūṭāt al-ʿarahiyya (Cairo, 1962); English translation by Jamil Ali, The Determination of the Coordinates of Positions for the Correction

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Finally, al-Qūhī himself carried out observations, in an observatory built in the gardens of the Royal Palace, under Sharaf al-Dawla (372-379/982-989). This observatory included new instruments which were not transportable, among which was a circular building 12.5 meters in diameter, intended for the observation of the Sun. Al-Qūhī and Abū al-Wafāʾ al-Būzjānī carried out observations in it. Yet although our information in this regard is poor, we know enough about it (thanks also to the observatory at Rayy, built in the same years under Fakhr al-Dawla – 366-387/977-997) to conclude that the astronomical observations were multiplied with the help of new, more accurate instruments, including the simultaneous observation of one phenomenon from two different places. It is precisely this method of simultaneous observation that alQūhī proposes for the observation of shooting stars. He suggests that two observers be placed in two places E and G of the terrestrial sphere, which are sufficiently far from one another (see Fig. 1, p. 384). Of course, the difference of the local times in these places must be known, and hence the difference in the longitudes of each of the two places. Let S be the center of the terrestrial sphere; the plane SEG intersects with it along a circle (S, SE). The two observers, placed at E and G, are two astronomers who are also familiar with mathematical geography. They must sight the shooting star at the same precise moment. The observer at E sees it in the direction of the fixed star I, and the observer at G sees it in the direction of the fixed star H. At the instant of these two observations, the position of the shooting star is the point K, at the intersection between the two lines EI and GH. The line KE intersects the circle (S, SE) at the point L. The line ES intersects this circle at the point M, and intersects the great circle of center S, on which we have represented the stars H and I, at point N. The line EO, perpendicular to MN, represents the horizon of the place E. The angle KEN is the complement of the angle KEO = α, height of the point I above the horizon of E. The angle α is a known angle. But [ = KEN [ = 1 right angle—α is therefore known. The triangle EML MEL is right-angled in L, for EM is a diameter of the circle (S, SE). The angle EML is known, and is equal to the angle KEO, the height of I, for they have equal complements; therefore, angle EML = α. We therefore EL have EM = sin α, EL = EM sin α. The length EL is therefore known, for the diameter EM is known. But the points E and G are known,

of Distances between Cities (Beirut, 1967); commentary by E. S. Kennedy, A Commentary upon Bīrūnī’s Kitāb Taḥdīd al-Amākin: An 11th Century Treatise on Mathematical Geography (Beirut, 1973).

368

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

so the arc EG is known, as is the chord EG. The angle OEG is then equal to the inscribed angle which intercepts the known arc EG. But [ = α + OEG; [ it is known. Likewise, the angle KGE is known. The KEG triangle KEG is therefore of known form. The base EG of this triangle is known; therefore, KE and KG are also known. But LK = EL + EK; it is therefore known. The power of point K with regard to the circle (S, SE) gives KL · KE = KS2 − SE2 ; therefore, the distance KS of the shooting star with regard to the center of the earth is known. The same measurements, and the same reasoning may be carried out for any visible shooting star, at a given instant, from both point E and point G, which are sufficiently far from each other on the earth’s surface. This distance is thus calculated from the parallax of the shooting star. The second and last proposition of al-Qūhī’s treatise deals with the determination of the volume of a “thing (shayʾ)” of which one knows the distance to the center of the earth. This “thing” whose volume may be determined is necessarily a body. Why does al-Qūhī opt here for the term “thing,” whereas in the first proposition he has dealt with shooting stars? What is more, he declares in the introduction to his treatise that he will deal with “the science of the determination of the magnitude of the distance between the center of the earth and the position of each shooting star in the night, and of the magnitude of its body”. 1 The logic of this short treatise, its initial proposition, and this unambiguous declaration taken from the Introduction leave no doubts as to al-Qūhī’s intentions: the “thing” of which the volume is sought is the shooting star’s “body”. Why, then, do we encounter this slight, but significant lexical change? If he had taken up the term “body” of the shooting star, al-Qūhī would have committed himself as to its nature; but he wished carefully to avoid this. He was therefore obliged to speak of this “thing” or this entity, without committing himself as to its nature. Thus, he avoided the explicit admission that the object in question is a celestial one, which possesses a volume. This flight towards the more general notion of “thing,” be it a shooting star or any other celestial body, appears, at least at first glance, to save his choice, which was “positivist” avant la lettre. This avoided his having to take the next step, and affirm that the shooting star is a celestial body—which step, moreover, al-Qūhī could not take without proof; and this proof would not be achieved until centuries later. As in many analogous cases, al-Qūhī’s “positivism” was by default, due to the lack of means rigorously to establish the nature of the phenomenon. ‎1. The emphasis is ours. See infra, p. 378.

AL-QŪHĪ: FROM METEOROLOGY TO ASTRONOMY

369

Let us suppose, with al-Qūhī, that the “thing” is a sphere of center B, that its distance from the earth’s center is BA = d1 and that this distance is known (see Fig. 2, Text 1, p. 386). We wish to calculate the radius r1 of this sphere of center B, for its volume (B, r1 ) = V1 is equal to 43 πr31 . The sphere (B, r1 ) is supposed to be inside the sphere S, upon which the orb of the moon is situated. For the observer, the sphere (B, r1 ) hides part of the sphere S. The reasoning is carried out as if the observation corresponded to the moment in which the moon, of center C and of radius r2 , comes to occupy this part of the sphere S. The sphere (B, r1 ) of volume V1 and the sphere (B, r2 ) of volume V2 are seen from A, at the same angle. The homothetic transformation of center A gives AB r1 = . AC r2 We know the distances AB = d1 and AC = d2 , therefore d1 r1 = . d2 r2 The volumes verify V1 r3 d3 = 31 = 31 . V2 r2 d2 But d1 , d2 and r2 are known; therefore, r1 and V1 are also known. It remains to be noted that in order to measure the volume of a “thing,” the volume must, in these conditions, be substantial enough to hide the whole of the moon, which does not seem to be the case with a shooting star. Perhaps this fact did not escape al-Qūhī, who may have found here a second reason for his lexical change of speaking of a “thing” instead of a shooting star. The treatise ends with the following proposition. Considered from the angle of geometry—which is moreover rather simple—alQūhī’s study observes the same rigor to which he has accustomed his reader. The actual realization of the observation seems possible, although difficult. The difficulty lies with the kind of shooting stars under consideration. Everything suggests that al-Qūhī deals with the shooting stars which result from the passage of bodies in celestial space, and which become ignited through friction with the earth’s atmosphere. The shooting stars in question are not those which result from the disintegration of a periodic comet, for these continue to follow approximately the comet’s orbit, and produce showers of shooting stars (Perseides, Leonides). In this case, the trajectory is elliptical, but is difficult to specify which is the shooting star one wants

370

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

to observe. This case, then, is excluded for this reason, but also because these stars do not enter the earth’s atmosphere. Thus, there remains the case in which the shooting star results from the passage in celestial space of a body which ignites through friction with the earth’s atmosphere. Yet several factors make observation difficult in this case: first, the appearance of such stars is unpredictable; moreover, the duration of its passage is very short, even if the combustion of the ignited body is not complete until after it disappears beneath the horizon. Finally, the speed of the shooting star, observed at the same moment by two observers distant from one another, is very high. Did al-Qūhī actually attempt such an observation? At least he gives us its plan. This allows us to look at the role of geometry in the study of such meteorological phenomena: the transposition of the study of the shooting star’s trajectory and volume onto the plane of observation, controlled both linguistically and technically. It is this plane of observation that constitutes its plane of existence; for the phenomenon, in this case, has no existence outside the model itself. One of the results of this, and not the least important, was to detach this study from meteorology in order to integrate it within astronomy: henceforth, it was these methods and their hypotheses which were used for the study of shooting stars. No doubt this is the reason why al-Qūhī does not hesitate, at the beginning of his treatise, to lay claim to priority in this field.

III

In a second treatise, on the knowledge of what we see of the sky and of the sea from a point placed between the sky and the earth, al-Qūhī deals with another class of observations. These observations (made from a building—a tower or a mast—raised perpendicularly above the level of the surface of the sea, as long as nothing impedes visibility) are intended, on each occasion, to evaluate the visible part of the sea, the earth, or the sky, as well as the other invisible part in the case of the sky. We must not, however, misunderstand alQūhī’s intentions: in this treatise, his interest is concentrated more on the geometrical foundations of observation than on the problem of measurement. We shall therefore refrain from situating this text within the famous tradition of research on optical mensuration, already illustrated by Euclid’s Optics, and amply developed from the 9th

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371

century on by al-Kindī and his successors. 1 It is in this sense that we must understand al-Qūhī when, at the beginning of his treatise, he alludes to the novelty of his research, which he claims to be the first to have undertaken. He intends, then, to propose a new science (ʿilm). For a mathematician like him, such a science could only be apodictic. Nevertheless, according to al-Qūhī, this “science” is also valuable because of the numerous “benefits” (manāfiʿ ) it was to procure. For instance, building lighthouses in order to guide ships by night as well as by day. In the preamble, al-Qūhī insists on this efficacious dimension of the new science, which reflects a position doubly divergent from the Aristotelian tradition. On the one hand, al-Qūhī seems here, as is indicated both by the letter (manāfiʿ, “benefits”) and the spirit of his words, to adhere to the key notion in Islamic culture of “useful science” (al-ʿilm al-nāfiʿ ); on the other hand, he opts for the thesis that apodictic knowledge may have its goals outside itself. In this second treatise, which is no longer than its predecessor, al-Qūhī conducts two primary observations: that of the spherical terrestrial dome visible to the eye placed at the top of a vertical building and that of the arc of the sky visible from this same point. He performs this task with his usual elegance in six propositions. First of all, in order to grasp the logical structure of this treatise, let us mark by A the point situated vertically at height h. The surface of the sea is spherical, of diameter d, the diameter of the terrestrial sphere. We note by S the surface of the spherical terrestrial dome visible to the eye at A; by α the arc of visible sky; and by β the arc of the sky hidden by the terrestrial sphere. Al-Qūhī then demonstrates the following six propositions: 1. If h is known, then S is known, 2. if h is known, then (α − β)—the difference between two arcs of a great circle of the celestial sphere of center A—is known, 3. if S known, then h is known, 4. if S is known, then (α − β) is known, 5. if (α − β) is known, then S is known, 6. if (α − β) is known, then h is known. We can see right away the two-by-two reciprocity of propositions (1, 3), (2, 6) and (4, 5). The logical structure of these propositions may be represented as follows:

‎1. Rashed, Les Mathématiques infinitesimales du ix e au xi e siecle, vol. III, Appendice II: Sinān ibn al-Fatḥ et al-Qabīṣī, pp. 899-908.

372

III. OPTIQUE ET

We can clearly see the primary role played by two parameters: the height of the building and the terrestrial diameter. Let us return to the preceding propositions. In the first one, alQūhī gives a method for the calculation of the area of the spherical dome as seen from point A, where A is known. Let us assume that AB = h, BE = d, of known lengths, and BG = x, of unknown length (see Fig, 1, Text 2, p. 390). We have AC2 = h(h + d),

BC2 = dx

and

CG2 = x(d − x),

whence GA2 = AC2 − CG2 = h(h + d) − x(d − x).

(1)

Moreover, we also have GA2 = (x + h)2 = (2h + x)x + h2

(2)

al-Qūhī makes here use of Elements, II.6; from (1) and (2), we have x=

hd 2h + d

and

S = π · BC2 = π ·

hd2 . 2h + d

In the second proposition, al-Qūhī considers the two arcs NKS and NMS of the great circle; the first is the one the eye sees when it is placed at point A, and the second the one which the earth hides from Ő − NMS Ő is known if AB is it. He wants to show that the difference NKS known (see Fig. 2, Text 2, p. 394). According to the first proposition, the lengths of the sides AB, AC and BC of the triangle ABC are known; therefore, the angles of this triangle are known, in particular, angles BAC and NAI; therefore, the arc NI is known. We have

ASTRONOMIE

Ň= IN

1 Ő Ő 1 Ő Ő ), (NKS − IML = (IML − NMS 2 2

AL-QŪHĪ: FROM METEOROLOGY TO ASTRONOMY

373

whence

Ň= 2IN

1 Ő Ő) (NKS − NMS 2

and

Ň= IN

1 Ő Ő ). (NKS − NMS 4

The third proposition is the reciprocal of the first; if the size of the spherical dome CBD, seen from the point A is known, then the height AB is known (see Fig. 3, Text 2, p. 396). The area of the spherical dome BCD is indeed known; therefore, the area of the circle of radius BC is known, and the length BC is known. The hypotenuse of triangle ECB is known, and it is the diameter of the earth. Therefore, CB is a known ratio, the angles BEC and BE CBE are known, and the angles BCA and CBA as [well; finally, the an] BC gle BAC is known. The ratio AB is then known, sin AB BC ∠ ACB = sin ∠ BAC . Therefore, the length BC is known; therefore, the length AB is also known. In the fourth proposition, the eye is placed at point A; it sees the spherical dome DBC at the surface of the sea, and the arc KIN on the celestial great circle; but it does not see the latter’s arc KMN. It is shown that the area of the spherical section DBC is known, and Ŋ − KMN Ŕ is known (see Fig. 4, Text 2, p. 400). that the difference KIN The demonstration is immediate, with the help of the two preceding propositions: if the area BCD is known, then the height AB is also known, according to the preceding proposition. And if AB is known, then the difference we sought is known, according to the second proposition. The fifth proposition is the reciprocal of the preceding proposiŊ − KMN Ŕ is known, then the tion: it is shown that if the difference KIN area CBD is also known. According to the second proposition, the arc IK is known; there[ = fore the angle IAK is known, as is the angle ACD. The angle CED [ ACD is therefore known, as is the angle CEB, its half. The triangle ECB is right-angled, and of known ]hypotenuse BE; therefore, the ra[

[ , and the length BC is therefore = sin CEB known; therefore, the spherical section CBD has a known area, equal to π · BC2 . In the sixth proposition, al-Qūhī shows that if the difference Ŋ −KMN Ŕ is known, then the length AB is known. The demonstration KIN is immediate, with the help of the third and the fifth propositions. In the fifth proposition, it has been shown that if the difference is known, then the area CBD is known; and in the third proposition, that if this area is known, then the length AB is known. tio BC/BE is known

BC BE

374

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

IV 1. The first treatise, On the knowledge of the magnitude ofthe distance between the center of the earth and the position of a shooting star, by al-Qūhī, is extant in a single manuscript: n o 4821 of the Bibliothèque nationale, fol. 34 r-36 v. Each folio contains 18 lines, at about 11 words per line. The text is in naskhī writing, by the hand of al-Ḥusayn Muḥammad ibn ʿAlī, who transcribed it on Tuesday, the 15 of Ramaḍān 544 H; that is, January 16, 1150. No additions or glosses are observed. After the colophon, we read, in a different hand, in Persian, that the copy was completed on the 15 of Ramaḍān 544, “at Asad, as God knows”. 1 We are not aware of any edition of this text prior to the one we present here, nor has it been the subject of any translation or study until now. 2. The second treatise, On the knowledge of the magnitude of what is seen of the sky and of the sea, has survived in two manuscripts. The first one belongs to Collection n o 5412, riyāḍa 184, fol. 13-22, of the Asṭān Quds Library, Meshed, Iran. Written in careful nashkī script, it was copied, according to the colophon, in the month of Rabīʿ al-Awwal of the year 672 of the Hegira; that is, September/October 1273. Each folio contains 16 lines, of 9-10 words per line. The only additions are in the hand of the scribe, when he compared his copy with his model. There are no erasures. This manuscript is noted as B. The second manuscript of this text is at Aligarh, India, and belongs to the Habib Ganj collection, n o 44/6, fol. 1 v-5 v. The scribe did not record the date nor the place of this copy’s completion in the colophon. The script is nastaʿlīq. Each folio contains 17 lines, of 12-13 words each. A reader named Aḥmad ibn Sulaymān has written some glosses, sometimes in the margin, sometimes between the lines; these are quite distinct from al-Qūhī’s text. Most of these glosses indicate the propositions of Euclid or Archimedes implicitly used by al-Qūhī. A gloss in the margin of the first page gives the meaning of a word, and another, in the margin of folio 3 v, gives a quotation which adopts a calculation attributed to Ibn al-Haytham. This manuscript is noted as A. The comparison between A and B leaves no doubt as to their independence from each other. Thus, B lacks four words and one sentence, which are present in A; conversely, A lacks six sentences and six words which can be read in B. A few phrases shared in common are written differently in A and in B.

‎1. Rashed, Les Mathématiques infinitesimales du ix e au xi e siecle, vol. III, pp. 648-57.

AL-QŪHĪ: FROM METEOROLOGY TO ASTRONOMY

375

These two manuscripts, the only ones known of this treatise, have allowed the establishment of its editio princeps here. We also provide the first translation and the first study of it. We remind the reader that there exists an abridged version of this text, in all probability made on the basis of B. Can we conclude that the scribe had B in his hands, or its model, or one of its ancestors? This cannot be decided. The abridged version has come down to us in the manuscript Ayasofia, n o 4832, fol. 193 v-194 r. A man named Ibn Ḥamāmī apparently bought this collection on the 19th of Rajab 568 H; that is, March 6, 1173. Thus, the copy dates from the 6th century of the Hegira at the latest, and quite probably much earlier. We have discussed the history of this collection several times. 1 Nevertheless, the text of al-Qūhī is in a hand different from the one which copied the group of texts by al-Kindī, among which the latter has been inserted. Still another text is by a third hand: Fī tarbīʿ al-dāʾira of Ibn al-Haytham, which immediately precedes the pages by al-Qūhī (191 v-193 r). It appears, however, that its writing is as old as that of the other treatises in the collection. This manuscript of the abridged version of al-Qūhī’s text is here noted C. The second manuscript of the abridged version also belongs to the Ayasofia collection (n o 2587, fol. 120 v). This page is transcribed in naskhī. No indication of the date or place of the copy has come down to us, nor has the name of the scribe. The latter indicates between the lines, in an abridged manner, the number of the propositions of the Elements, as well as the number of the proposition of Archimedes referred to. Did he have the manuscript A of the entire version at hand? We have no means of knowing. This manuscript is noted here as D. Comparison between C and D reveals two errors in C—wa instead of aw and maʿlum instead of maʿluma—that is, two errors which the least skilled scribe can correct mechanically. The two texts coincide, but since C is obviously older, if we judge by its writing, it may possibly have been the model of D. Be this as it may, we have also given the editio princeps of the abridged version, but without giving its translation, which seems useless in our present context.

‎1. See Les Mathématiques infinitesimales du ix e au xi e siecle, vol. I, p. 147.

TEXT AND TRANSLATION AL-QŪHĪ 1. On the knowledge of the magnitude of the distance between the center of the earth and the position of a shooting star 2. On the knowledge of the magnitude of what is seen of the sky and of the sea 3. Fī maʿrifat mā yurā min al-samāʾ wa-al-baḥr (abridged version)

34 r

In the name of God, the Clement and the Merciful

Treatise by Abū Sahl Wayjan ibn Rustum al-Qūhī On the knowledge of the magnitude of the distance between the center of the earth and the position of a shooting star in the night

34 v

As we have seen that the care which our Lord Ṣamṣām al-Dawla bestows upon scientists and writers is greater than that which other Kings have had, and that the sciences of the ancients, and the other sciences are more widely recalled and discussed than they were under other Kings, we knew that he preceded all Kings in science, in merit, magnanimity, and in every virtue which singles him out among all the Kings of his time. Likewise, his servant—thanks to his State, his care, his good opinion and the gift of his possessions from his purse—in order to please him, and to hasten to his service, has preceded all others in the science of the determination of the magnitude of the distance between the center of the earth and the position of each shooting star in the night, and the magnitude of its body. With regard to this luminous thing called “shooting star”: is it truly a star, or the ray of a star which rises and sets, or a fire which occurs for an instant and disappears, or the flame of a fire which always exists above, or a thing which is ignited and then extinguished; or a fire engendered by the speed of the movement of something other than fire? Some have spoken of that which Galen always criticized, as well as their science, for they spoke at length of all things without demonstration. With regard to the people that neither Galen nor anyone else could criticize—they could not criticize either them or their science, for they relied upon demonstrations in all their sciences and their books—they are the mathematicians. 1 Some of them have spoken of / the knowledge of the science of distances, of bodies and of things which are attached to the science of observations and of stars; they have composed many books on this subject, like Archimedes, Aristarchus, Timocharis, Ptolemy, and other ancients whose books and whose deeds have come down to us. They have not set forth in their books the knowledge of the magnitude of the distance between the center of the earth and the position of every shooting star in the

‎1. See Additional note, p. 407.

‫و‪٣٤-‬‬

‫ةلاسر‬ ‫‪1‬‬ ‫متسر‬ ‫نب‬ ‫نجيو‬ ‫لهس‬ ‫يهوقلا‬ ‫يبأ‬ ‫ّضقني‬ ‫زكرم ضرألا‬ ‫ةفرعم‬ ‫ليللاب‬ ‫رادقم دعبلا نيب‬ ‫ناكمو بكوكلا ‪ 2‬يذلا‬ ‫يف‬ ‫امل انيأر ةيانع انالوم ماصمص ةلودلا ءاملعلاب ءابدألاو َرثكأ نم ةيانعلا يتلا تناك هريغل نم‬

‫كولملا ‪،‬مهب َرْكذو مولع لئاوألا اهريغو نم مولعلا هدنع َعسوأ نم اهرْكذ دنع هريغ نم ‪،‬كَولملا‬ ‫انملعف هنأ دق قبس كولملا مهَّلك يف ملعلا لَضفلاو ملحلاو يفو لك ةليضف ّصتخي اهب ُرئاس كولم هنامز‬

‫نود ‪،‬هريغ امك دق قبس هُدبع — هتلودب هتيانعو نسحو هيأر لذبو هلام نم ‪،‬هتنازخ اًبّرقت هيلإ‬ ‫ًةعراسمو ىلإ هتمدخ — ىلإ ملع جارختسا رادقم دعُبلا نيب زكرم ضرألا نيبو ناكم لك بكوك‬

‫ضقني يف ليللا رادقمو ‪.‬همرج‬

‫امأ اذه ءيشلا ءيضملا يذلا ىمسي بكوكلا ‪ّ،‬ضقنملا أ بكوك وه يف ‪،‬ةقيقحلا مأ عاعش‬

‫بكوك رهظي ‪،‬بيغيو وأ ران ثدحت ةظحل ‪،‬لطبتو وأ ةلعش ران ةدوجوم كانه ‪،‬اًدبأ وأ ءيش‬ ‫لعتشت هيف ران مث ‪،‬ئفطنت وأ ران ثدحت نم ةعرس ةكرح ءيش رخآ ريغ ؟رانلا‬

‫دقف مّلكت هيف ‪،‬موق ناك سونيلاج نعطي مهيلع ىلعو مهملع اًدبأ ةرثكل مهمالك يف لك ءيش‬

‫الب ‪.‬ناهرب امأو موقلا نيذلا مل نكي ردقي سونيلاج الو هريغ نأ نعطي مهيلع الو ىلع ‪،‬مهملع‬ ‫ظ‪٣٤-‬‬

‫مهدامتعال ىلع نيهاربلا يف عيمج مهمولع ‪،‬مهبتكو مهو باحصأ ‪،‬ميلاعتلا مهنمو نم دق مّلكت يف ‪/‬‬ ‫ةفرعم ملع داعبألا مارجألاو ءايشألاو يتلا قلعتت ملعب داصرإلا ؛بكاوكلاو اوفّلأو يف كلذ اًبتك‬

‫‪،‬ةريثك لثم سديمشرأ سخرطسرأو سراخوميطو سويملطبو مهريغو نم ءامدقلا نيذلا تعقو‬ ‫مهبتك مهرابخأو ؛انيلإ مل اوركذي يف مهبتك ةفرعم رادقم دعُبلا نيب زكرم ضرألا نيبو ناكم لك‬

‫‪ ‎1.‬؛متسر متسو‬

‫‪: ‎2.‬بكوكلا بكاوكلا‬

380

35 r

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

night, and that must belong to one of the following divisions. Either they did not set it forth; or else they did set it forth, but did not inscribe it in books; or else they did inscribe it, and these books in which that has been inscribed have not come down to us, nor into our climes and into our hands. The opinion I have of them is nothing but fine and good, for I know about them, about their deductions, about their immersion in and their perspicacity for discovering obscure sciences; this I know better than anyone else in our time. To know the magnitude of the distance between the center of the earth and the position of a shooting star in the night, we need verification by two men well versed in the science of countries, their longitude, their latitude and their azimuth, 1 and other such things, and who, in addition, know the science of the fixed stars, their positions, their constellations, and their numbers in the constellation in which they are found, in order that, if someone should ask, for instance, about any star: what is this star? the response may be either that this star is the fifth in a given constellation, if it is indeed the fifth; or the tenth, if it is indeed the tenth of this constellation, or that it is located from 2 such-and-such a constellation in such a direction, if this is true. They must be very skillful in this science, and in the knowledge they have of it; in addition, they must be in two countries far from another, and they must inscribe what they see / of the state of each of the shooting stars in the night; for instance, they must inscribe the beginning, the end, and the middle 3; the fact that it is in the direction of the North or in that of the South; the size of its body compared to one of the apparent stars; the time of the night in which it is found—that which has passed, and that which is still to come; its passage by one of the fixed stars, or two, or more; or, if it is close to it, the magnitude of the altitude of the star from which it begins ; and that of the star from which it finishes; the star by which it passes, and that which is similar; let them examine this in a way which is completely exhaustive. It is by this kind of examination that the longitude of countries is known. If this happens, the two men take note of what we have described, and thanks to them

‎1. Longitude and latitude are the geographical coordinates which determine the position of the earth with regard to the terrestrial equator and a meridian taken as the origin. The azimuth and the altitude of a star are the horizontal coordinates which determine the star’s position with regard to a terrestrial place. The azimuth is an arc of the horizon circle of this place, measured from a point taken as its origin. The author mentions the azimuth here in anticipation of the observation of a shooting star or a fixed star from a given place. ‎2. Literally: “has issued forth from”. ‎3. Literally: “its beginning, its end, and its middle”.

‫‪381‬‬

‫‪Al-QŪHĪ : FROM METEOROLOGY TO ASTRONOMY‬‬

‫بكوك ضقني يف ؛ليللا اذهو ال ولخي ‪ 1‬نم دحأ هذه ‪.‬ماسقألا امأ مهنأ مل هروكذي وأ اوركذ كلذ‬ ‫ملو هوتبثي يف بتكلا وأ هوتبثأ كلتو بتكلا يتلا تبثأ اهيف مل عقت انيلإ الو ىلإ انميلقإ الو ىلإ‬ ‫‪.‬انيديأ سيلو ينظ مهب الإ نسحلا ‪،‬ليمجلا ينأل فرعأ مهنم نمو مهطابنتسا مهصوغو مهرحبتو‬

‫يف جارختسا مولعلا ةضماغلا ام ال هفرعي يريغ يف اننامز ‪.‬اذه‬

‫جاتحنو يف ةفرعم رادقم دعبلا نيب زكرم ضرألا نيبو ناكم بكوكلا يذلا ضقني يف ليللا‬

‫ىلإ تْبَث نيلجَر نيملاع ملعب نادلبلا اهضورعو اهلاوطأو اهتومسو ريغو كلذ امم ‪،‬ههبشأ نانوكيو عم‬

‫كلذ نيفراع ةفرعمب بكاوكلا ةتباثلا اهعضاومو اهروصو ددعو اهتيمك نم روُصلا يتلا يه ‪،‬اهيف‬ ‫ىتح ول لأس لئاس اًلثم نع بكوك ام نأ اذه بكوكلا يأ بكوك ‪،‬وه نوكي باوجلا هيف‬ ‫نأ اذه بكوكلا سماخ نم ةروص ‪،‬اذك اذإ ناك ؛اًسماخ وأ ناك ‪،‬اًرشاع اذإ ناك اًرشاع ‪،‬اهنم‬ ‫وأ جراخلا نم ةروص اذك ىلإ ةهج ‪،‬اذك اذإ ناك ‪،‬كلذك انوكيلو نيرهام اًدج يف اذه ملعلا‬

‫و‪٣٥-‬‬

‫ةفرعملاو ‪،‬هب عمو اذه نانوكي يف نيدلب ‪،‬نيدعابتم ناتبثيو ام نايري ‪ /‬نم لاح لك دحاو نم‬

‫بكاوكلا يتلا ّضقنت يف ‪:‬ليللا لثم هئادتبا هئاهتناو ‪،‬هطسوو ةهجو هنوك ىلإ لامشلا وأ بونجلا‬ ‫رادقمو همرج ىلإ دحأ بكاوكلا ‪،‬ةرهاظلا نامزو هنوك نم ليللا أ اًيضام ناك كلذ مأ ‪،‬اًلبقتسم‬

‫هرورمو ىلع بكوك نم بكاوكلا ةتباثلا وأ ىلع نيبكوك وأ ىلع رثكأ نم ‪،‬كلذ وأ اًبيرق اهنم‬ ‫رادقمو عافترا بكوكلا يذلا ئدتبي ‪،‬هنم بكوكلاو يذلا يهتني ‪،‬هيلإ بكوكلاو يذلا ّرمي هيلع‬ ‫امو هبشأ ‪،‬كلذ اًرظن اًيصقتسم ‪.‬اًدج اذهبو سنجلا نم رظنلا فرعي لوط ‪.‬نادلبلا اذإف لصح تْبَث‬

‫‪: ‎1.‬ولخي اولخي‬

382

35 v

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

we shall then know the magnitude of the distance between the center of the earth and the position of the shooting star in the night, the state of which is written down in their registers, as we have described it; for if the latitude, longitude, and azimuth for each of the two countries is known, then the distance between the two countries is known. And the star which shoots among the other shooting stars will not raise any problem for them, with regard to the time which has elapsed in that night until the moment when it falls, 1 nor with regard to the time following after this moment, nor to the states which will follow, all that has been obtained in their registers. With regard to the line engendered on the orb of the fixed stars, which is the homologue of the trajectory in the orb of the shooting star, known in each of the two countries; it is not possible for this line to be the same, even if the same shooting star were equally on the orb of the moon. What, then, would happen if it were beneath the latter, for the difference of perspective takes place for all that is in the orb of the moon? What, then, would happen 2 for what is beneath? Indeed, we will necessarily have two lines which are engendered / in the orb of the fixed stars. Let one of these two lines be the line AB, and let the other be the line CD. Let one of the two countries be the point E, and the other the point G. We draw a great circle whose plane traverses the two countries in which the points E and G are located, and part of the circumference of which, the arc HI, falls between the two lines BA and CD in the position of which we wish to know the distance from the center of the earth. We join the lines EG, EI, and GH. Let the intersection of the lines EI and GH be this very position; that is, the point K. It is obvious that the point K is the position at which the shooting star was at the moment when they saw it at point I from country E, and at point H from country G. I say that the distance between the center of the earth and the point K is known, and that it is in this very position. Demonstration. Let there be the sphere ELMG, the terrestrial sphere of which the center is the point S. We produce the line KE as far as point L; we join the line ES and produce it in both directions as far as the points M and N; and we join the lines ML, LS, and SK. From point E, we draw the perpendicular EO on the line MN; the angle KEN is therefore known, for it is the complement of the angle of the altitude ‎1. A shooting star may be completely destroyed by combustion in the course of its passage into the terrestrial atmosphere; otherwise, it disappears behind the horizon of their observation. ‎2. The author implies that the difference of perspective is much more important than for any point of the orb of the moon.

‫‪383‬‬

‫‪Al-QŪHĪ : FROM METEOROLOGY TO ASTRONOMY‬‬

‫نيلجرلا ىلع ام ‪،‬انفصو ملعن ذئنيح امهنم رادقم دعُبلا نيب زكرم ضرألا نيبو ناكم بكوك ضقني‬

‫يف ليللا ًيذلا هلاح ةتبثم يف امهيتبث ىلع ام ‪،‬انفصو هنأل اذإ ناك ضرعلا لوطلاو تمسلاو لكل‬ ‫دحاو نم نيدلبلا ‪،‬اًمولعم دعبلاف نيب نيدلبلا نوكي ‪.‬اًمولعم سيلو لكشُي امهيلع بكوكلا ضقنملا‬ ‫نم هريغ نم رئاس بكاوكلا ةضقنملا نم ةهج نامزلا يضاملا نم كلت ةليللا ىلإ تقو ‪،‬هضاضقنا‬

‫وأ لبقتسملا هنم لاوحألاو يتلا ‪،‬هعبتت هنأل لّصحم يف ‪.‬امهيتبث‬

‫امأو ‪،‬طخلا يذلا ثدحي يف كلف بكاوكلا ةتباثلا ريظن طخلا ّراملا يف كلف بكوكلا‬

‫‪،‬ضقنملا مولعملا ‪ 1‬يف لك دحاو نم ‪،‬نيدلبلا سيلف زوجي نأ نوكي طخلا ‪،‬اًدحاو ولو ناك اًضيأ‬ ‫سفن بكوكلا ّصقنملا ىلع كلف ‪.‬رمقلا فيكف اذإ ناك ‪،‬هتحت نأل فالتخا رظنملا عقي يف لك‬

‫ظ‪٣٥-‬‬

‫ام وه يف كلف ؟رمقلا فيكف ام ؟هنود لب نوكي ناطخ ناثدحي ‪ /‬يف كلف بكاوكلا ةتباثلا ال‬

‫‪.‬ةلاحم‬

‫نكيلف دحأ نيذه نيطخلا طخ ا ب ‪ ،2‬رخآلاو طخ ج د؛ دحأو نيدلبلا ةطقن ه رخآلاو‬

‫ةطقن ز؛ لعجنو ةرئاد ةميظع ّرمي اهُحطس ىلع سفن نيدلبلا نيذللا ‪ 3‬امهيلع اتمالع ه ز عقيو نم‬

‫اهطيحم نيب يطخ ب ا ـج د يف عضوملا يذلا ديرن نأ ملعن هدعُب نم زكرم ‪،‬ضرألا سوق ح ط‪.‬‬

‫لصنو طوطخ ه ز ه ط ز ح‪ .‬نكيلو ىلع كلذ عضوملا هنيعب عطاقت يطخ ه ط ز ح‪ ،‬نكتلو‬ ‫ةطقن ـك‪ٌ .‬رهاظف ٌنيب نأ ةطقن ـك يه ‪ 4‬عضوملا يذلا ناك بكوكلا ضقنملا هيلع يف تقولا يذلا‬

‫هوأر نم دلب ه ىلع ةطقن ط نمو دلب ز ىلع ةطقن ح‪.‬‬

‫‪:‬لوقأف نإ دعبلا نيب زكرم ضرألا نيبو ةطقن ـك ‪،‬مولعم وهو ىلع كلذ عضوملا ‪.‬هنيعب‬

‫‪:‬هناهرب نأ لعجن ةرك ه ل م ز ةرك ضرألا اهزكرمو ةطقن س‪ ،‬جرخنو طخ ـك ه ىلع‬

‫ةماقتسا ىلإ ةطقن ل‪ ،‬لصنو طخ ه س هجرخنو ىلع ةماقتسا يف نيتهجلا ىلإ يتطقن م ن‪ ،‬لصنو‬

‫طوطخ م ل ل س س ـك‪ ،‬جرخنو نم ةطقن ه دومع ه ع ىلع< طخ م ن‪ >.‬ةيوازف ك ه ن‬ ‫ةمولعم اهنأل مامت ةيواز عافترا ةطقن ط ىلإ ةمئاقلا يف دلبلا يذلا هيلع ةطقن ه‪ ،‬عافتراو ةطقن‬

‫‪: ‎1.‬مولعملا مولعم‬

‫‪ ‎2.‬ا ب‪ :‬ا ـج‬

‫‪: ‎3.‬نيذللا نيذلا‬

‫‪: ‎4.‬يه وه‬

384

III. OPTIQUE ET

Fig. 1

‎1. Literally: “which falls onto the arc”. The angle in question is that which is inscribed in the arc, and which intercepts the complementary of this arc in the circle.

ASTRONOMIE

36 r

of point I in the country in which the point E is located, and the altitude of point I in the country in which the point E is located is known; it is the angle KEO. But the angle MEL is known, for it is opposed to the angle KEN, which is known; and the angle ELM is a right angle, for it is inscribed within a semi-circle; the remaining angle of the triangle ELM is therefore known, and the triangle ELM is of known form; the ratio / of the line ME to the line EL is therefore known. But the line ME is known, for it is the diameter of the earth; therefore, the line EL is known, and its ratio to the line EG is known, for the line EG is also of known size. Similarly, each of the angles KGE, KEG is known, for the altitude of each of the points H and I in each of the countries E and G is known; and the azimuth of each of them is known, for the longitude and the latitude of each of them is known. With regard to the angle KEG: since the angle KEO, which is the angle of the altitude of point I in country E is known, and the angle OEG is also known, for it is equal to the inscribed angle in the known arc EMG, 1 for this arc is the complement of the known arc EG , therefore it is known, and likewise the angle KGE is

‫‪385‬‬

‫‪Al-QŪHĪ : FROM METEOROLOGY TO‬‬

‫ط يف دلبلا يذلا هيلع ةمالع ه ‪،‬مولعم وهو ةيواز ـك ه ع‪ .‬ةيوازو م ه ل ةمولعم اهنأل ةلباقم‬

‫ةيوازل ـك ه ن ‪،‬ةمولعملا ةيوازو ه ل م ةمئاق اهنأل يف فصن ؛ةرئادلا ةيوازلاف ةيقابلا نم ثلثم‬

‫و‪٣٦-‬‬

‫ه ل م ‪،‬ةمولعم ثلثمو ه ل م مولعم ‪،‬ةروصلا ةبسنف ‪ /‬طخ م ه ىلإ طخ ه ل ‪.‬ةمولعم نكلو‬

‫طخ م ه مولعم هنأل رطق ‪،‬ضرألا طخف ه ل ‪،‬مولعم هتبسنف ىلإ طخ ه ز ‪،‬ةمولعم نأل طخ‬ ‫ه ز مولعم ردقلا ‪.‬اًضيأ ‪،‬اًضيأو نإف لك ةدحاو نم يتيواز ـك ز ه ـك ه ز ‪،‬ةمولعم نأل عافترا‬

‫لك ةدحاو نم يتطقن ح ط يف لك نم يدلب ه ز ؛مولعم تمسو لك دحاو امهنم ‪،‬مولعم‬

‫نأل لوطلا ضرعلاو لكل دحاو امهنم ‪.‬مولعم امأ ةيواز ـك ه ز‪ ،‬نألف ةيواز ـك ه ع يتلا >يه،‬ةمولعم اذكهو ةيواز ـك ز ه ةمولعم‬

‫‪ASTRONOMY‬‬

386

36 v

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

known, and the line EG is of known size and position; therefore, the remaining angle of the triangle KGE is known, and the triangle GKE is of known form; the ratio of EG to EK is known, and the line EG is known; the line EK is known, and the line LK is known. The product of the line LK by the line KE is therefore known; the product of LK by KE plus the square of ES is therefore equal to the square of SK, and the square of SK is known. The line SK is therefore known, and it is the distance between the center of the earth and point K; the distance between the center of the earth and point K is therefore known; but the point K was the position / of the shooting star in the night, which was in the country E in the direction of point I, and in the country G in the direction of the point H; the distance between the center of the earth and the position of every shooting star is therefore known. This is what was to be demonstrated. If a thing’s distance from the earth is known, then its volume is also known, for the ratio of distance to distance, multiplied three times, is equal to the ratio of volume to volume. Example. Let the point A be the center of the earth, and the thing whose distance to point A is known is B I say that the volume of B is also known. Demonstration. Suppose that in the sphere of the moon, for instance, there is a solid equal to the solid B by vision and observation; that is, the size which it conceals of the sphere of the moon; let this be the solid C. The size of the solid C in the orb of the moon is then necessarily known, for the volume of the moon is itself known, and the ratio of the diameter of the known solid C to the diameter of B is equal to the ratio of the distance CA to the distance AB. But the ratio of the distance CA to the distance AB is known, for each of them is known; the ratio of the diameter of the solid C to the diameter of the solid B is known. But the diameter of the solid C is known; therefore, the diameter of the solid B is also known. This is what was to be demonstrated. This treatise has been completed by the hand of al-Ḥusayn Muḥammad ibn ʿAlī, on Tuesday, the 15th of Ramaḍān, 544. Thanks be to God. May the blessing of God be upon our prophet Muḥammad and his Family.

‫‪387‬‬

‫‪Al-QŪHĪ : FROM METEOROLOGY TO ASTRONOMY‬‬

‫طخو ه ز مولعم عضولاب ‪،‬ردقلاو ةيوازلاف ‪ 1‬ةيقابلا نم ثلثم ـك ز ه ‪،‬ةمولعم ثلثمف ز ـك ه مولعم‬

‫‪.‬ةروصلا ةبسنف ه ز ىلإ ه ـك ةمولعم طخو ه ز ؛مولعم طخف ه ـك ‪،‬مولعم طخف ل ـك ‪.‬مولعم‬ ‫حطسف طخ ل ـك يف طخ ـك ه ‪.‬مولعم حطسف ل ـك يف ـك ه عم عبرم ه س ٍواسم عبرمل س ـك‪،‬‬ ‫عبرمف س ـك ‪.‬مولعم طخف س ـك ‪،‬مولعم وهو دعبلا نيب زكرم ضرألا نيبو ةطقن ـك‪ .‬دعبلاف نيب‬

‫ظ‪٣٦-‬‬

‫زكرم ضرألا نيبو ةطقن ـك ؛مولعم تناكو ةطقن ـك ناكم ‪ /‬بكوك ضقنم يف ‪،‬ليللا ناكو يف‬ ‫دلب ه ىلع ةلباقم ةطقن ط يفو دلب ز ىلع ةلباقم ةطقن ح‪ .‬دعبلاف نيب زكرم ضرألا نيبو ناكم لك‬

‫بكوك ضقني ؛مولعم كلذو ام اندرأ نا ‪.‬نيبن‬

‫اذإو ناك دعب ءيش نم ضرألا ‪،‬اًمولعم نإف همرج اًضيأ نوكي ‪،‬اًمولعم نأل ةبسن دعبلا ىلإ‬

‫دعبلا ةثّلثم ةبسنك مرجلا ىلإ ‪.‬مرجلا‬

‫لاثم ‪:‬كلذ نأ زكرم ضرألا ةطقن ا ءيشلاو يذلا هدعب نم ةطقن ا مولعم وه ب‪.‬‬ ‫نإ مرج ب مولعم ‪.‬اًضيأ‬

‫‪:‬هناهرب امأ نإ انضرف يف ةرك رمقلا — اًلثم — اًمرج اًيواسم مرجل ب يف‬

‫ةيؤرلا ‪،‬ةدهاشملاو ينعأ رادقملا يذلا هرتسي نم ةرك ‪،‬رمقلا نكيلو كلذ مرجلا‬

‫ـج‪ .‬رادقمف مرج ـج يف كلف رمقلا نوكي اًمولعم ال ‪،‬ةلاحم نأل سفن مرج رمقلا‬ ‫‪،‬مولعم ةبسنو رطق مرج ـج مولعملا ىلإ رطق ب يه ةبسنك دعب ـج ا ‪ 2‬ىلإ دعب‬

‫ا ب ةبسن>و< دعب ـج ا ىلإ دعب ا ب ‪،‬ةمولعم نأل لك دحاو امهنم ‪،‬مولعم ةبسنف‬ ‫رطق مرج ـج ىلإ >رطق< مرج ب ‪.‬ةمولعم رطقو مرج ـج ‪،‬مولعم رطقف مرج ب‬ ‫مولعم ؛اًضيأ كلذو ام اندرأ نأ ‪.‬نيبن‬

‫تمت ةلاسرلا طخب نيسحلا دمحم نب ىلع يف ـج هي ط دمث‪.‬‬ ‫دمحلاو هّلل ةالصلاو ىلع يبنلا دمحم ‪.‬هلآو‬

‫‪ ‎1.‬ةمولعم ‪: ...‬ةيوازلاف اهتبثأ يف شماهلا عم »حص«‬

‫‪ ‎2.‬ـج ا‪ :‬ـج‬

A-1 vB-13

In the name of God, the Clement and the Merciful

A Treatise by Abū Sahl Wayjan ibn Rustum al-Qūhī On the knowledge of the magnitude of what is seen of the sky and of the sea from the top of an elevated thing

B-14

He said: as we have seen that the concern of our illustrious Master to do good is superior to that of past ministers; that his attachment to reforming the world exceeds that of the Greats of whom we have any memory, and that the consideration he attributes to virtuous people is superior to that allotted for their science and their virtue by the other known leaders; we have therefore realized that, among them all, he has the greatest concern, the noblest soul, and the most just opinion of the things of this world and the next. Thus it is that all kinds of erudite and eminent people dedicate to him that which is most dear to them. For my part, I dedicate to him what is dear to me: a science in which none of our colleagues has preceded us, in order to please him, so that he may linger over it and become aware of it. The advantages of the science of the contents of this treatise are numerous, particularly for the person who wishes to build a signal upon an island, at sea, thanks to which, by what rises from its summit—fire at night and smoke during the day—travelers may be guided—and this will be a means to keep them from foundering. Thus, he will be able to aspire to approach the Most High God, to attract for himself recompense in the other world, and renown and compliments in this world. Indeed, by this science he shall know what is the magnitude of the distance at which we see the top of every thing elevated above the surface of the water of the sea; he will begin by doing what is possible, without coveting what is not possible; and he will follow the knowledge of what pertains / to this thing, and of what does not pertain to it, as well as other advantages which, if I mentioned them, would make what I have to say too long; but my goal is not to go on for too long. In summary, let us say that in this treatise there is the science for knowing the magnitude of what is seen of the surface of the water of the sea from the top of a thing elevated above it; to know the magnitude of the excess of the apparent part of the sky on which the fixed stars are located, over the part hidden at the top of this elevated thing; and to know the height 1 of this thing with regard to the surface of the water of the sea.

‎1. Literally “the magnitude of the height,” which we render by “height”.

‫‪1‬‬

‫ظ‪-١-‬ا‬ ‫‪-١٣‬ب‬

‫ةلاسر‬ ‫‪2‬‬ ‫يبأ لهس نجيو نب متسر يهوقلا‬ ‫ةفرعم‬ ‫‪3‬‬ ‫رادقم ام ىري نم ءامسلا رحبلاو نم سأر ءيش عفترم‬ ‫يف‬ ‫‪:‬لاق امل انيأر ةمه ذاتسألا ليلجلا ‪ 4‬يف لامعإ ريخلا َرثكأ نم ةمه هريغ نم ءارزولا ‪،‬نيمدقتملا‬

‫هَصرِحو يف حالصإ ‪ 5‬ايندلا َرثكأ نم صرح هريغ نم ءاربكلا ‪،‬نيروكذملا َرادقمو لهأ لضفلا‬ ‫هدنع َمظعأ نم مهرادقم دنع هريغ نم ءاسوؤرلا ‪ 6‬نيفورعملا ملعلاب ‪،‬لضفلاو انملعف هنأ ربكأ سانلا‬ ‫‪ً،‬ةمه مهفرشأو ‪،‬اًسفن مهبوصأو اًيأر رومأب ايندلا ؛ةرخآلاو اذهلف دصقي هيلإ ُّلك فنص نم لهأ‬

‫ملعلا لضفلاو امب وه زيزع ‪.‬مهيلع ُتدصقو انأ امب وه زيزع ‪،‬يدنع نم ملع ‪ْ 7‬مل قبسي هيلإ ٌدحأ نم‬ ‫‪،‬انباحصأ اًبرقت ‪،‬هيلإ فقيل هيلع ‪ 8‬هملعيو ‪ .9‬عفانمو ملعلا امب نّمضتت هذه ةلاسرلا ‪،‬ةريثك ةصاخو‬

‫‪10‬‬

‫نمل دارأ نأ ينبي يف ةريزج نم رحبلا ‪ 11‬اًملع يدتهَيل هب امبو ُرَهْشَينم هسأر نم رانلا ليللاب ناخدلاو‬ ‫راهنلاب‬

‫‪12‬‬

‫ُباّكُر‬

‫‪13‬‬

‫‪،‬رحبلا نوكيو كلذ اًببس مهصالخل نم ؛قرغلا يغتبيو كلذب ةبرقلا ىلإ هّللا‬

‫ىلاعت ‪ ،14‬باوثلاو يف ‪،‬ةرخآلا ركذلاو ءانثلاو يف ‪.‬ايندلا كلذو هنأ ملعي اذهب ‪:‬ملعلا مكب رادقم نم‬

‫دعبلا ىرُي سأر ِّلك ءيش عفترم نع حطس ءام ؟رحبلا ئدتبيو لمعب ام زوجي الو عمطي اميف ال‬

‫‪-١٤‬ب‬

‫‪،‬زوجي نوكيو هل ةمُدْقَت‬ ‫‪،‬عفانملا ولو اهتركذ‬

‫ٌملع ةفرعمب‬

‫‪17‬‬

‫‪16‬‬

‫‪15‬‬

‫ةفرعملا امب نوكي ‪ /‬نم رمأ كلذ ءيشلا امبو ال ‪،‬نوكي ريغو كلذ نم‬

‫لاطل ‪،‬مالكلا سيلو يضرغ ‪.‬ليوطتلا رصتخنلف ‪:‬لوقنو نإ يف هذه ةلاسرلا‬

‫رادقم ام ىري نم حطس ءام‬

‫لضف رهاظلا نم‬

‫‪19‬‬

‫‪18‬‬

‫رحبلا نم سأر ءيش عفترم ‪،‬هنع ةفرعمو رادقم‬

‫ءامسلا يتلا اهيلع بكاوكلا ةتباثلا ىلع ام يه ةبئاغ نع سأر كلذ ءيشلا‬

‫‪،‬عفترملا ةفرعمو رادقم عافترا كلذ ءيشلا ‪ 20‬نع حطس ءام ‪.‬رحبلا‬

‫‪: ‎1.‬ميحرلا بتك اهدعب هبو« »نيعتسا ؛]ب[ بتك ةلمسبلا دعب ناونع ةلاسرلا ]ا[‬

‫نب ‪:‬متسر ةصقان ]ا[‬

‫ةتس »يواعد ]ا[‬

‫‪ ‎3.‬نم سأر ءيش ‪:‬عفترم ةصقان ]ب[ دجن اهقوف يف شماهلا ةلمتشم« ىلع‬

‫‪: ‎4.‬ليلجلا ةصقان ]ا[‬

‫‪ ‎7.‬امب وه ‪: ...‬ملع ملعب ]ب[‬

‫‪: ‎5.‬حالصإ حالص ]ا[‬

‫‪: ‎8.‬هيلع هيلا ]ب[‬

‫‪:‬ةصاخو ةريثك ةصاخو ملعب ام نمضتت هذه ةلاسرلا ]ا[‬ ‫رانلاب ]ا[‬

‫‪: ‎13.‬باّكُر باكرل ]ا[‬

‫ةصقان ]ا[‬

‫‪: ‎19.‬نم ةصقان ]ا[‬

‫‪:‬فرشلا يأ يضملا هيف‬

‫‪ ‎2.‬نجيو‬

‫‪: ‎9.‬هملعيو هملعبو ]ب[‬

‫‪ ‎11.‬نم ‪:‬رحبلا ةصقان ]ا[‬

‫‪: ‎14.‬ىلاعت زع لجو رجألاو ]ب[‬

‫‪: ‎16.‬اهتركذ اهانركذ ]ا[‬

‫‪: ‎6.‬ءاسوؤرلا اسرلا ]ب[‬ ‫‪: ‎12.‬راهنلاب‬

‫‪: ‎15.‬ةمُدْقَت ةمدقتلا يف‬

‫‪ ‎17.‬ةفرعمب ‪:‬رادقم رادقمب ]ا[‬

‫‪: ‎20.‬ءيشلا ةصقان ]ب[‬

‫‪ ‎10.‬امب ‪...‬‬

‫‪: ‎18.‬ءام‬

390

A-2 r

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

- 1 - We wish to show that if the height of a thing with regard to the surface of the water of the sea is / known, then the size of what is seen of the surface of the water of the sea from the top of this thing is

Fig. 1

B-15

Example. Let AB be the known thing elevated above the surface of the water of the sea, and let the magnitude of the surface of the sea visible from point A be CBD. There is a cone between the eye and the surface of the water of the sea; its vertex is point A, its surface is tangent to the sphere of the water of the sea along the circle of the horizon, for the water of the sea is spherical, and the diameter of this circle is CD. I say that if the height AB is known, then the surface of the water of the sea separated by the circle of diameter CD is known. Demonstration. The intersection of the conical surface and the plane which traverses the point A and the center of the earth is the two lines AC and AD; they are tangent to the circumference of the circle, / which is the intersection of this same plane and of the surface of the sphere of the water of the sea, at points C and D. This circle is CBDE, of which the diameter—which is EB—is known, for the diameter of the earth is known by the observation of certain astronomers. But the line BA is known; therefore the line EA is known; the product of the line EA by the line AB is known, and it is equal to the square of the line AC, for this line is tangent to the circle. The square of the line AC is therefore known.

‫‪391‬‬ ‫و‪-٢-‬ا‬

‫‪Al-QŪHĪ : FROM METEOROLOGY TO ASTRONOMY‬‬

‫— ا — ديرن ‪ 1‬نأ نيبن ‪ 2‬هنأ اذإ ناك عافترا ءيش نع حطس ءام رحبلا ‪، /‬اًمولعم نإف رادقم‬

‫ىري نم حطس ءام رحبلا نم سأر كلذ ءيشلا ‪. 3‬مولعم‬

‫لاثم ‪:‬كلذ نأ ءيشلا مولعملا عفترملا نم ‪ 4‬حطس ءام رحبلا ا ب‪ ،‬رادقمو حطس ءام رحبلا‬

‫يذلا ىري ‪ 5‬نم ةطقن ا‪ ،‬ـج ب د عقيف طورخم اميف نيب رصبلا نيبو حطس ءام رحبلا هسأرو ةطقن‬

‫ا هحطسو سامي ةرك ءام رحبلا ىلع ةرئاد قفألا ‪ ،6‬نأل ءام رحبلا ؛ّيرك رطقو كلت ةرئادلا ّج د‪.‬‬ ‫‪:‬لوقأف هنإ اذإ ناك عافترا ا ب ‪،‬اًمولعم نإف حطسلا يذلا لصفني ةرئادلاب — يتلا اهرطق‬

‫ـج د — نم حطس ءام رحبلا ‪ٌ.‬مولعم‬

‫ناهرب كلذ ‪ :7‬نأ لصفلا كرتشملا اميف نيب حطسلا يطورخملا حطسلاو يوتسملا يذلا ّرمي‬

‫‪-١٥‬ب‬

‫ةطقنب ا زكرمو ضرألا اطخ ا ـج ا د‪ ،‬امهو ناسامي طيحم ‪،‬ةرئادلا يتلا يه ‪ /‬لصفلا كرتشملا اميف‬ ‫نيب كلذ حطسلا يوتسملا هنيعب حطسو ةرك ءام رحبلا ىلع يتطقن ـج د‪ .‬كلتو ةرئادلا ـج ب د ه‬ ‫اهرطقو — وهو ه ب — ‪،‬مولعم نأل رطق ضرألا مولعم دصرب ضعب باحصأ داصرإلا ‪ .8‬طخو‬

‫ب ا ‪،‬مولعم طخف ه ا ؛مولعم برضف طخ ‪ 9‬ه ا يف طخ ا ب ‪،‬مولعم وهو ٍواسم عبرمل طخ‬

‫ا ـج‪ ،‬هنأل سامم ؛ةرئادلل عبرمف طخ ا ـج ‪.‬مولعم نكلو عبرم طخ ا ـج ٍواسم يعبرمل يطخ ـج ز‬ ‫‪: ‎1.‬ديرن ديرنف ]ب[‬

‫‪: ‎2.‬نيبن نيبتن ]ب[‬

‫‪: ‎3.‬ءيشلا بتك اهدعب نم« حطس »ءاملا ]ب[‬

‫‪ ‎4.‬عفترملا ‪:‬نم ةداع ام بتكي عفترملا« ‪»،‬نع ىنعملاو ‪.‬دحاو نعف انه فرح ىنعمب ‪»،‬ىلع« »نم«و يتأت‬ ‫‪ ‎7.‬ناهرب‬ ‫‪: ‎6.‬قفألا ةصقان ]ب[‬ ‫‪: ‎5.‬ىري ةصقان ]ا[‬ ‫ىنعمب »نع« بسح لوق نييفوكلا‬ ‫‪: ‎9.‬طخ ةصقان ]ب[‬ ‫‪ ‎8.‬دصرب ضعب باحصأ ‪:‬داصرإلا دصرلاب ]ا[‬ ‫‪:‬كلذ هناهرب ]ا[‬

392

A-2 v

B-16

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

But the square of the line AC is equal to the sum 1 of the squares of the lines CG and GA; therefore, the sum of the squares of the lines CG and GA is known. We suppose that the line AI is equal to the line AB; the square of the line GA is therefore equal to the product of the line IG by GB, plus the square of the line AB, for the line IB is divided into two halves, and the line BG is an excess over it. The square of the line CG, plus the product of the line IG by the line GB, plus the square of the line AB, is a known sum. We subtract the square of the line AB, which is known, and there remains the square of the line CG plus the product of IG by GB, which is known. But the square of the line CG is equal to the product of the line EG by the line GB, for the line EB is the diameter of the circle. Therefore, the product of the line EG / by the line GB, plus the product of the line IG by the line GB—that is, the product of the line EI by the line BG—is known. But the line EI is known; therefore, the line GB is known; its product by the line GE is known, for the line GE—the remainder of the diameter of the circle—is known, and the product of the line BG by the line GE / is equal to the square of the line GC; therefore, the square of the line GC is known; but the square of the line GB known. We join the line CB; the sum of the squares of the lines CG and GB is then equal to the square of the line CB; therefore, the square of the line CB is known. The circle of which the half-diameter is the line BC is therefore known, and it is equal to the surface separated by the circle of diameter CD of the spherical surface of the water of the sea, as was shown by Archimedes in his book on The Sphere and the Cylinder. 2 The spherical surface CBD of the water of the sea is known, and it is the magnitude which is seen from the point A, which is the summit of the thing elevated above the surface of the water of the sea. If, therefore, the height of this thing with regard to the surface of the water of the sea is known, then the magnitude of the surface of the water of the sea which is seen from the top of this thing elevated above it is known. This is what was to be demonstrated. Likewise, from every point on the circumference of the circle of diameter line CD, one sees the sign which is at the summit of this elevated thing, like fire at night, smoke during the day, or their analogues.

‎1. In such expressions, we add the term “sum,” in order to conform to English usage. ‎2. See Archimedes, On the Sphere and the Cylinder, prop. 1.42 of Heiberg edition.

‫‪393‬‬

‫‪Al-QŪHĪ : FROM METEOROLOGY TO ASTRONOMY‬‬

‫ز ا‪ ،‬اعبرمف يطخ ـج ز ز ا مولعم ‪ .1‬لعجنو ‪ 2‬طخ ا ط اًيواسم طخل ا ب‪ .‬عبرمو طخ ز ا ٍواسم‬

‫برضل طخ ط ز يف ز ب عم عبرم طخ ا ب‪ ،‬نأل طخ ط ب موسقم نيفصنب طخو ب ز‬ ‫ةدايز ‪.‬هيلع عبرمف طخ ـج ز‪ ،‬عم برض طخ ط ز يف طخ ز ب عمو ‪ 3‬عبرم طخ ا ب‪. ،‬مولعم‬

‫يقلنو ‪ 4‬عبرم طخ ا ب ‪،‬مولعملا ىقبيف عبرم طخ ـج ز عم حطس ط ز يف ز ب اًمولعم ‪ .5‬عبرمو‬

‫طخ ـج ز ٍواسم برضل طخ ه ز يف طخ ز ب‪ ،‬نأل طخ ه ب رطق ؛ةرئادلا برضف طخ ه ز‬ ‫ظ‪-٢-‬ا‬

‫‪ /‬يف طخ ز ب عم برض طخ ط ز يف طخ ‪ 6‬ز ب‪ ،‬ينعأ برض طخ ه ط يف طخ ب ز‪،‬‬

‫‪-١٦‬ب‬

‫رطق ةرئادلا مولعم ‪ ،8‬برضو طخ ب ز يف طخ ز ه ‪ٍ /‬واسم عبرمل طخ ز ـج‪ ،‬عبرمف طخ ز ـج‬

‫‪.‬مولعم طخو ه ط ‪، 7‬مولعم طخف ز ب ؛مولعم هبرضف يف طخ ز ه مولعم نأل طخ ز ه يقابلا نم‬

‫‪،‬مولعم عبرمو طخ ز ب ‪.‬مولعم لصنو طخ ـج ب ‪ ،9‬عيمجف يعبرم يطخ ـج ز ز ب ٍواسم‬

‫عبرمل طخ ـج ب‪ ،‬عبرمف طخ ـج ب ‪.‬مولعم ةرئادلاف يتلا فصن اهرطق طخ ب ـج ‪،‬ةمولعم‬

‫يهو ةيواسم حطسلل لوصفملا ةرئادلاب ىتلا اهرطق ـج د نم حطس ءام رحبلا ‪ّ،‬يركلا امك نهرب‬ ‫ةركلا ةناوطسألاو‬ ‫‪.‬‬ ‫سديمشرأ يف باتك‬ ‫حطسف ـج ب د ّيركلا نم ءام رحبلا ‪،‬مولعم وهو رادقم ام ىري نم ةطقن ا يتلا يه سأر‬

‫ءيشلا عفترملا نم حطس ءام ‪.‬رحبلا اذإف ناك عافترا كلذ ءيشلا نع حطس ءام رحبلا ‪،‬اًمولعم‬ ‫نإف رادقم حطس ءام رحبلا يذلا ىري نم سأر كلذ ءيشلا عفترملا هنع ؛مولعم كلذو ام اندرأ‬

‫نأ ‪.‬نّيبن‬

‫كلذكو ىري نم لك ةطقن ىلع طيحم ‪،‬ةرئادلا يتلا اهرطق طخ ـج د‪ ،‬ةمالعلا يتلا نوكت‬

‫ىلع سأر كلذ ءيشلا عفترملا لثم رانلا ليللاب ناخدلاو راهنلاب وأ ام ‪ 11‬هبشأ ‪.‬كلذ‬

‫‪: ‎1.‬مولعم دصقي عومجم ‪،‬نيعبرملا نلو ريشن ىلإ اهلثم اميف دعب‬

‫‪: ‎3.‬عم ةصقان ]ا[‬ ‫‪ ‎7.‬ه ط‪ :‬ط ه ]ا[‬

‫‪: ‎4.‬يقلنو ىقلتو ]ب[‬

‫‪: ‎5.‬اًمولعم مولعم ]ب[‬

‫‪ ‎8.‬طخف ‪ ...‬ةرئادلا ‪:‬مولعم ةصقان ]ا[‬

‫يف شماهلا عم »حص« اهقوف ]ب[‬

‫‪: ‎10.‬نوكت نوكي ‪،‬ا[ ]ب‬

‫‪10‬‬

‫‪12‬‬

‫‪: ‎2.‬لعجنو لعجيو ]ا[‬ ‫‪: ‎6.‬طخ ةصقان ]ا[‬

‫‪ ‎9.‬لصنو طخ ـج ب‪ :‬ةصقان ]ا[ اهنبثأ‬ ‫‪ ‎11.‬وأ ‪:‬ام امو ]ا[‬

‫‪ ‎12.‬بتك‬

‫دمحأ نب ‪،‬نايملس وهو دحأ ءارق هذه ‪،‬ةطوطخملا يف شماهلا ءازإ لكشلا قحاللا اذه ‪:‬قيلعتلا لاق« يف‬

‫‪:‬ةفحتلا ول لعج قفألا ةرئاد اهمسري طخلا جراخلا نم رصبلا اًسامم ضرألل اًيهتنم ىلإ ‪،‬ءامسلا نوكي رهاظلا‬ ‫نم كلفلا رثكأ نم يفخلا عبرأب قئاقد تسو ٍناوث نإ ناك ةماق صخشلا جراخلا نم هرصب ةثالث عرذأ ‪،‬اًفصنو‬

‫ىلع ام هنيب نبا مثيهلا يف هتلاسر نأ رهاظلا نم ءامسلا رثكأ نم ‪.‬اهفصن نم »لوكشكلا ]ا[‬

394

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

- 2 - We wish to show that if the height of any thing with regard to the surface of the water of the sea is known, then the magnitude of the excess of what is seen of the sky from the top of this thing elevated above the surface of the water, over that which is not seen, is

Fig. 2 B-17 A-3 r

Example. Point A / is the top of the elevated thing, / and the figure remains the same; from center A, we make a circle IKLM, and we suppose that it is one of the circles for which it is indifferent whether their center is at point A or in the center of the earth. 1 We make the diameter IL perpendicular to the diameter MK, and we produce the lines AC and AD to the points N and S. I say that the excess of the arc NKS, apparent from the point A, over the arc NMS, which is hidden from this point, is known. Demonstration. Each of the sides of the triangle ABC is known, as we have shown previously 2; therefore, the angle GAC is known, and the angle GAI is known, for it is a right angle; therefore, the remaining angle NAI is known; therefore, the arc NI is known, and it is half of the excess of the arc NKS over half the circumference of the circle IKLM, for the two arcs IN and LS are equal. The arc NI is also half of the excess of half of the circumference of the circle IKLM over the arc

‎1. The circle is one of the great circles of the celestial sphere. ‎2. In proposition I.

‫‪395‬‬

‫‪Al-QŪHĪ : FROM METEOROLOGY TO ASTRONOMY‬‬

‫— ب — ديرن نأ نيبن هنأ اذإ ناك عافترا ءيش ام نم حطس ءام رحبلا ‪،‬اًمولعم نإف رادقم‬

‫ةدايز ام ىري نم ءامسلا نم سأر كلذ ءيشلا عفترملا نع ‪ 1‬حطس ‪،‬ءاملا ىلع ام ال ىري ‪،‬اهنم‬

‫‪-١٧‬ب‬ ‫و‪١-٣-‬‬

‫لاثم ‪:‬كلذ نأ ةطقن ا ‪ /‬سأر ءيشلا ‪،‬عفترملا ‪ /‬ةروصو ‪ 2‬لكشلا ىلع ؛اهلاح لعجنو ىلع زكرم‬

‫ا ةرئاد ط ـك ل م‪ ،‬اهضرفنو نم رئاودلا ىتلا ال قرف نيب نأ نوكي اهزكارم ىلع ةطقن ا وأ ىلع‬

‫زكرم ‪.‬ضرألا لعجنف ‪ 3‬رطق ط ل اًدومع ىلع رطق م ـك‪ ،‬جرخنو يطخ ا ـج ا د ىلع ةماقتسالا‬

‫‪4‬‬

‫ىلإ يتطقن ن س‪.‬‬

‫‪:‬لوقأف نإ لضف سوق ن ـك س ةرهاظلا نم ةطقن ا ىلع سوق ن م س ةبئاغلا اهنع ‪.‬مولعم‬ ‫ناهرب ‪:‬كلذ نأ لك ‪ 5‬دحاو نم عالضأ ثلثم ا ب ـج ‪،‬مولعم امك انيب لبق ؛كلذ ةيوازف‬

‫ز ا ـج ‪، 6‬ةمولعم ةيوازو ز ا ط ‪ 7‬ةمولعم اهنآل ‪،‬ةمئاق ةيوازف ن ا ط ةيقابلا ‪،‬ةمولعم سوقف ن ط‬ ‫‪،‬ةمولعم ىهو فصن لصف سوق ن ـك س ىلع فصن طيحم ةرئاد ط ـك ل م ‪ ،8‬نأل يسوق ط ن‬

‫ل س ناتيواستم ‪ .9‬سوقو ن ط اًضيأ فصن لضف فصن‬

‫‪10‬‬

‫طيحم ةرئاد ط ـك ل م ىلع سوق‬

‫‪: ‎4.‬ةماقتسالا‬ ‫‪: ‎3.‬لعجنف لعجيف ]ا[‬ ‫‪: ‎2.‬ةروصو تروصو ]ب[‬ ‫‪: ‎1.‬نع ىلع ]ا[‬ ‫‪ ‎6.‬ز ا ـج‪ :‬د ا ـج ]ا[‬ ‫‪: ‎5.‬لك اهتبثأ يف شماهلا عم »حص« ]ب[‬ ‫ةماقتسا ]ب[‬

‫‪ ‎7.‬ز ا ط‪ :‬ب ا ط ]ا[‬

‫‪: ‎9.‬ناتيواستم نيتيواسم ]ا[‬

‫‪ ‎8.‬ط ـك ل م‪ :‬بتك اهدعب ىلع« سوق ن م‪ »،‬مث برض اهيلع ملقلاب ]ا[‬ ‫‪: ‎10.‬فصن اهتبثأ يف شماهلا ]ب[‬

396 B-18

A-3 v

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

NMS. / The arc IN, which is known, is therefore one-quarter of the excess of the arc NKS over the arc NMS. The excess of the arc NKS over the arc NMS is known. But the arc NKS is the arc which is apparent from point A, and the arc NMS is the arc which is hidden from point A; therefore, the excess of what appears of the sky over what does not appear of it from the top of a thing elevated above the surface of the water of the sea is known. This is what was to be demonstrated. / - 3 - We wish to show that if the magnitude of the surface of the water of the sea apparent from the top of an elevated thing is known, then the height of this thing with regard to the surface of the water is

Fig. 3

A-4 r B-19

Example. Let CBD be the surface of the water of the sea apparent from the point A, and which is known; and let AB be the thing elevated above the surface of the water, as in the preceding figure. I say that the line AB is known. Demonstration. We join the line CB. Since the known spherical surface CBD, part of the surface of the water of the sea, is equal to the circle, the half-diameter of which is the line CB, then the circle the half-diameter of which is the line CB is known; therefore, the line CB is known. But the line BE is known, for it is the diameter of the circle BCE. Therefore, the ratio of one to the other is known, and the angle ECB is a right angle; therefore, the triangle BEC / is of known form; therefore, each of the angles / CBE and BEC is known; the sum of the angle CBE and of the angle CBA is equal to two right angles; but the angle BEC is equal to the angle BCA, for the line AC is tangent to the circle at point C; therefore, each of the angles ABC and ACB is known.

‫‪397‬‬ ‫‪-١٨‬ب‬

‫‪Al-QŪHĪ : FROM METEOROLOGY TO ASTRONOMY‬‬

‫ن م س‪ / ،‬سوقف ط ن ةمولعملا عبر لضف سوق ن ـك س ىلع سوق ن م س ؛ لضفف سوق‬ ‫ن ـك س ىلع سوق ن م س ‪.‬مولعم سوقو ن ـك س يه ةرهاظلا نم ةطقن ا‪ ،‬سوقو ن م س‬ ‫يه ةبئاغلا ‪،‬اهنع ةدايزف ام رهظي نم ءامسلا ىلع ام ال رهظي اهنم نم سأر ءيش عفترم نم حطس‬

‫ظ‪-٣-‬ا‬

‫ءام رحبلا ؛ةمولعم كلذو ام اندرأ نأ نّيبن ‪]/ .1‬‬

‫— ـج — ديرن ‪ 2‬نأ نّيبن هنأ اذإ ناك رادقم حطس ءام رحبلا رهاظلا نم سأر ءيش عفترم‬ ‫نإف عافترا كلذ ءيشلا نم حطس كلذ ءاملا ‪.‬مولعم‬

‫لاثم ‪:‬كلذ نأ حطس ءام رحبلا مولعملا رهاظلا ‪ 3‬نم ةطقن ا وه ـج ب د‪ ،‬ءيشلاو عفترملا‬

‫نم حطس ءام رحبلا وه ا ب‪ ،‬امك يف ةروصلا يتلا لبق ‪.‬اذه‬ ‫‪:‬لوقأف نإ طخ ا ب ‪.‬مولعم‬

‫ناهرب ‪:‬كلذ نأ لصن طخ ـج ب‪ .‬نألف حطس ـج ب د مولعملا يركلا نم حطس ءام‬

‫رحبلا ٍواسم ةرئادلل يتلا فصن اهرطق طخ ـج ب ‪ ،4‬ةرئادلاف يتلا فصن اهرطق طخ ـج ب‬ ‫‪،‬ةمولعم طخف ـج ب ؛مولعم طخو ب ه ‪،‬مولعم هنأل رطق ‪ 5‬ةرئاد ب ـج ه‪ .‬ةبسنف امهدحأ ىلإ‬

‫و‪-٤-‬ا‬ ‫‪-١٩‬ب‬

‫رخآلا ةمولعم ةيوازو ‪ 6‬ه ـج ب ‪،‬ةمئاق ثلثمف ب ه ـج ‪ /‬مولعم ‪،‬ةروصلا لكف ةدحاو ‪ 7‬نم يتيواز‬ ‫‪ /‬ـج ب ه ب ه ـج ‪،‬ةمولعم ةيوازو ـج ب ه عم ةيواز ـج ب ا ناتيواسم ؛نيتمئاقل ةيوازو‬ ‫ب ه ـج ةيواسم ةيوازل ب ـج ا‪ ،‬نأل طخ ا ـج سامم ةرئادلل ىلع ةطقن ـج‪ ،‬لكف ةدحاو‬ ‫‪8‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪ ‎1.‬اندرأ نأ ‪:‬نيبن هاندرأ ]ا[‬

‫‪ ‎2.‬ديرن نأ ‪:‬نّيبن اهتبثأ يف شماهلا عم »حص« ]ب[‬

‫سأر ‪: ...‬رهاظلا اهتبثأ يف شماهلا ]ب[‬

‫يف ةيادب رطسلا يلاتلا ]ا[‬

‫‪ ‎4.‬ـج ب‪ :‬بتك اهدعب »ةمولعم« ]ا[‬

‫‪: ‎6.‬ةيوازو اهتبثأ يف شماهلا عم »حص« اهقوف ]ا[‬

‫‪ ‎8.‬ةمولعم ‪ ...‬ةيوازو ب ه ـج‪ :‬ةصقان ]ا[‬ ‫]ا[‬ ‫‪: ‎11.‬ةدحاو دحاو ]ا[‬

‫‪: ‎9.‬ةيواسم واسم ]ا[‬

‫‪11‬‬

‫‪ ‎3.‬نم‬

‫‪: ‎5.‬رطق ةرركم‬

‫‪: ‎7.‬ةدحاو دحاو‬

‫‪: ‎10.‬لكف لكو ]ا[‬

398

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Therefore, the triangle ABC is of known form; therefore, the ratio of the known line BC to the line BA is known; therefore, the line BA is known, and it is the height of the thing with regard to the surface of the water of the sea; therefore, the height of this thing with regard to the surface of the water of the sea is known. This is what was to be demonstrated.

B-20

A-4 v

- 4 - We wish to show that if the magnitude of the surface of the water of the sea which is apparent from the top of a thing elevated above it is known, then the magnitude of the excess of what is seen of the sky over what is not seen of it from the top of this elevated thing, is known. Demonstration. If the magnitude of the surface of the water of the sea apparent from the top of a thing elevated above it is known, then the height of this thing is known. 1 But if the height of this thing with regard to the surface is known, then the magnitude of the excess of what is seen of the sky over what is not seen of it from the top of this thing elevated above the surface / of the water is known, as we have shown. 2 If, therefore, the magnitude of the surface of the water of the sea which is apparent from the top of a thing elevated above it is known, then the magnitude of the excess of what is seen of the sky over what is not seen of it from the top of this elevated thing, is known. This is what was to be demonstrated. - 5 - We wish to show that if the magnitude of the excess of the part of the sky from the top of a thing elevated above the surface of the water of the sea, over what is hidden from it, is known, then the magnitude of the surface of the water of the sea which is apparent from the top of this thing is known. Example. Let AB be the thing elevated above the surface of the water of the sea; its summit is the point A: KILN is the magnitude of the part of the sky apparent from the point A, and KMN is the part which is hidden from it. I say that if / the magnitude of the excess of the part of the sky KILN over KMN is known, then the spherical surface CBD, the part of the surface of the water of the sea, is known. Demonstration. The known excess of the arc KILN over the arc KMN is four times the arc KI, as we have shown. 3 Therefore, the arc KI is known; therefore, the angle IAK is known, and it is equal to the angle ACD, for they are alternate; therefore, the angle ACD is known;

‎1. According to proposition 3. ‎2. In proposition 2. ‎3. In proposition 2.

‫‪399‬‬

‫‪Al-QŪHĪ : FROM METEOROLOGY TO ASTRONOMY‬‬

‫نم يتيواز ا ب ـج ا ـج ب ‪،‬ةمولعم ثلثمف ا ب ـج مولعم ‪،‬ةروصلا ةبسنف طخ ‪ 1‬ب ـج مولعملا‬

‫ىلإ طخ ‪ 2‬ب ا ‪،‬ةمولعم طخف ب ا ‪،‬مولعم وهو عافترا ءيشلا نع حطس ءام ‪،‬رحبلا عافتراف‬

‫‪3‬‬

‫كلذ ءيشلا نع حطس ءام رحبلا ؛مولعم كلذو ام اندرأ نأ ‪.‬نّيبن‬

‫— د — ديرن نأ نّيبن هنأ اذإ ناك رادقم حطس ءام رحبلا رهاظلا نم سأر ءيش عفترم هنع‬

‫‪،‬اًمولعم نإف رادقم ةدايز ام ىري نم ءامسلا ىلع ام ال ىري اهنم نم سأر كلذ ءيشلا ‪،‬عفترملا‬

‫‪.‬مولعم‬

‫ناهرب ‪:‬كلذ هنأ اذإ ناك رادقم حطس ءام رحبلا >رهاظلا< نم سأر ءيش عفترم هنع ‪،‬اًمولعم‬

‫نإف عافترا كلذ ءيشلا ‪.‬مولعم اذإو ناك عافترا كلذ ءيشلا هنع ‪،‬اًمولعم نإف رادقم ةدايز ام‬

‫‪-٢٠‬ب‬

‫ىري نم ءامسلا ىلع ام ال ىري ‪،‬اهنم نم سأر كلذ ءيشلا عفترملا نع ‪ 4‬حطس ‪، /‬ءاملا ‪،‬مولعم‬ ‫امك ‪.‬انيب اذإف ‪ 5‬ناك رادقم حطس ءام رحبلا رهاظلا نم سأر ءيش عفترم هنع ‪،‬اًمولعم نإف رادقم‬ ‫ةدايز ام ىري نم ءامسلا ىلع ام ال ىري ‪،‬اهنم نم سأر كلذ ءيشلا ‪،‬عفترملا ؛مولعم كلذو ام‬ ‫اندرأ نأ ‪.‬نّيبن‬

‫— ـه — ديرن نأ نّيبن ‪ 6‬هنأ اذإ ناك رادقم ةدايز رهاظلا نم ءامسلا نم سأر ءيش عفترم‬

‫نع ‪ 7‬حطس ءام رحبلا ىلع ام باغ هنع ‪،‬اًمولعم نإف رادقم ‪ 8‬حطس ءام رحبلا رهاظلا نم سأر‬

‫كلذ ءيشلا ‪.‬مولعم‬

‫لاثم ‪:‬كلذ نأ ءيشلا عفترملا نع حطس ءام رحبلا ا ب‪ ،‬هسأرو ةطقن ا‪ ،‬رادقمو رهاظلا نم‬

‫‪،‬ءامسلا نم ةطقن ا‪ ،‬ـك ط ل ن‪ ،‬بئاغلاو اهنع ـك م ن‪.‬‬

‫‪:‬لوقأف هنإ اذإ ناك ‪ /‬لضف ـك ط ل ن نم ءامسلا ىلع ـك م ن ‪،‬اًمولعم نإف حطس ـج ب د‬

‫ظ‪-٤-‬ا‬

‫ّيركلا نم حطس ءام رحبلا ‪.‬مولعم‬

‫ناهرب ‪:‬كلذ نأ لضف سوق ـك ط ل ن مولعملا ىلع سوق ـك م ن ةعبرأ لاثمأ سوق‬

‫ـك ط‪ ،‬امك ‪.‬انيب سوقف ـك ط ‪،‬ةمولعم ةيوازف ط ا ـك ‪،‬ةمولعم يهو ةيواسم ةيوازل ا ـج د‪،‬‬ ‫امهنأل ‪،‬ناتلدابتم ةيوازف ا ـج د ‪.‬ةمولعم نكلو ةيواز ا ـج د ةيواسم ةيوازل ـج ه د‪ ،‬نأل طخ‬

‫‪: ‎1.‬طخ ةصقان ]ا[‬

‫ىلع ]ا[‬ ‫]ا[‬

‫‪: ‎2.‬طخ ةصقان ]ا[‬

‫‪: ‎5.‬اذإف نذاف اذا ]ا[‬

‫‪: ‎8.‬رادقم ةصقان ]ا[‬

‫‪ ‎3.‬عافتراف ‪: ...‬رحبلا ةصقان ]ا[‬

‫‪ ‎6.‬نأ ‪:‬نّيبن اهتبثأ يف شماهلا عم »حص« ]ب[‬

‫‪: ‎4.‬نع‬

‫‪: ‎7.‬نع ىلع‬

400

III. OPTIQUE ET

Fig. 4

A-5 r

B-22

- 6 - We wish to show that if the magnitude of the excess of the part of the sky apparent from the top of a thing elevated above the surface of the water of the sea, over that which is hidden from it, is known, then the magnitude / of the height of this thing elevated above it is known. Demonstration. If the magnitude of the excess of the part of the sky which is apparent from the top of a thing elevated above the surface of the water of the sea over that which is hidden, is known, then the magnitude of the surface of the water of the sea apparent from

ASTRONOMIE

B-21

but the angle ACD is equal to the angle CED, for the line AC is a tangent to the circle BCED; therefore, the angle CED is known, and its half, which is / the angle CEB, is known. But the angle ECB is a right angle; therefore, the remaining angle is known. The triangle ECB is therefore of known form, and the ratio of the line EB to the line BC is known. But the line EB is known through the observation of certain astronomers; therefore, the line BC is known. The circle of half-diameter BC is therefore known, and it is equal to the spherical surface CBD, part of the surface of the water of the sea; therefore, the spherical surface CBD, part of the surface of the water of the sea, is known; but this is the magnitude which is seen from the top of the thing elevated above it. If, therefore, the magnitude of the excess of the part of the sky apparent from the top of a thing which is elevated over the part which is hidden from it, is known, then the magnitude of the part of the surface of the water of the sea which is apparent from the top of this elevated thing, is known. This is what was to be demonstrated. /

‫‪401‬‬

‫‪-٢١‬ب‬

‫‪Al-QŪHĪ : FROM METEOROLOGY TO‬‬

‫ا ـج سامم ةرئادل ب ـج ه د ‪ ،1‬ةيوازف ـج ه د ‪،‬ةمولعم ‪،‬اهفصنو يهو ‪ /‬ةيواز ـج ه ب‪ ،‬ةمولعم‬ ‫ةيوازو ه ـج ب ‪،‬ةمئاق ةيوازلاف ةيقابلا ‪.‬ةمولعم ثلثمف ه ـج ب مولعم ‪،‬ةروصلا ةبسنف طخ ه ب‬

‫ىلإ طخ ب ج ‪.‬ةمولعم طخو ه ب مولعم دصرب ضعب باحصأ داصرإلا ‪ ،2‬طخف ب ـج ‪.‬مولعم‬ ‫ةرئادلاف يتلا فصن اهرطق ب ـج ‪،‬ةمولعم يهو ةيواسم حطسل ـج ب د يركلا نم حطس ءام‬

‫‪،‬رحبلا حطسف ـج ب د يركلا نم حطس ءام رحبلا ‪،‬مولعم وهو رادقم ام ىري نم سار ءيشلا‬ ‫عفترملا ‪.‬هنع ‪،‬نذإف اذإ ‪ 3‬ناك رادقم ةدايز رهاظلا نم ءامسلا نم سأر ءيش عفترم ىلع ام باغ‬

‫هنع ‪،‬اًمولعم نإف رادقم حطس ءام رحبلا رهاظلا نم سأر كلذ ءيشلا عفترملا ؛مولعم كلذو ام‬ ‫و‪-٥-‬ا‬

‫اندرأ نأ نيبن ‪/ .4‬‬

‫— و — ديرن نأ نّيبن هنأ اذإ ناك رادقم ةدايز رهاظلا نم ءامسلا نم سأر ءيش عفترم‬

‫‪-٢٢‬ب‬

‫نع ‪ 5‬حطس ءام ‪،‬رحبلا ىلع ام وه بئاغ ‪،‬هنع ‪،‬اًمولعم نإف رادقم ‪ /‬عافترا كلذ ءيشلا عفترملا‬

‫‪6‬‬

‫هنع ‪.‬مولعم‬

‫ناهرب ؛كلذ هنأ اذإ ناك رادقم ةدايز رهاظلا نم ءامسلا نم سأر ءيش عفترم نع حطس‬

‫ءام ‪،‬رحبلا ىلع ام وه بئاغ ‪،‬هنع ‪،‬اًمولعم نإف رادقم حطس ءام رحبلا رهاظلا نم سأر كلذ ءيشلا‬

‫‪ ‎2.‬دصرب ‪: ...‬داصرإلا دصرلاب ]ا[‬ ‫‪ ‎1.‬ب ـج ه د‪ :‬ب ه ـج د ]ا[‬ ‫‪: ‎6.‬عفترملا ةصقان ]ب[‬ ‫‪: ‎5.‬نع ىلع ]ا[‬ ‫‪ ‎4.‬نأ ‪:‬نيبن هنايب ]ا[‬

‫‪، ‎3.‬نذإف ‪:‬اذإ اذاف ]ا[‬

‫‪ASTRONOMY‬‬

402

A-5 v

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

the top of this elevated thing, is known 1; and if the magnitude of the surface of the water of the sea apparent from the top of this elevated thing is known, then the height of this thing with regard to it is known, as we have shown previously. 2 Consequently, if the magnitude of the excess of the part of the sky apparent from top of this thing, over that which is hidden, is known, then the magnitude / of the height of this thing with regard to the surface of the water of the sea is known. This is what was to be demonstrated. Similarly for the surface of the earth, if it is as regular as the water of the sea; that is, if nothing is elevated above it, like hills and their analogues, which may prevent what is behind from being seen. The treatise on the magnitude of what is seen of the sky and of the sea from the top of a thing elevated above the surface of the water, is finished.

‎1. This is shown in proposition 5. ‎2. In proposition 3.

‫‪403‬‬

‫‪Al-QŪHĪ : FROM METEOROLOGY TO ASTRONOMY‬‬

‫عفترملا ‪.‬مولعم اذإو ناك رادقم حطس ءام رحبلا >رهاظلا< نم سأر كلذ ءيشلا عفترملا ‪،‬اًمولعم‬

‫نإف عافترا كلذ ءيشلا هنع ‪،‬مولعم امك هانيب ‪ 1‬اميف ‪.‬مدقت ‪،‬نذإف اذإ ناك رادقم ةدايز رهاظلا نم‬

‫ظ‪-٥-‬ا‬

‫ءامسلا نم سأر كلذ ءيشلا ىلع ام وه بئاغ هنع نإف‪،‬اًمولعم رادقم ‪ /‬عافترا كلذ ءيشلا نع‬ ‫حطس ءام رحبلا ؛مولعم كلذو ام اندرأ نا نيبن ‪.2‬‬

‫ىلعو كلذ حطس ضرألا اذإ ناك حطسك ءام رحبلا يف ‪،‬ءاوتسالا ينعأ الأ عفتري ‪ 3‬هنع‬

‫ءيش عنمي نم ةيؤر ام هءارو ةيبارلاك ‪ 4‬امو ‪.‬اههبشأ‬

‫تمت ةلاسرلا يف رادقم ام ىري نم ءامسلا رحبلاو نم سأر ءيش عفترم نع حطس ءاملا ‪.‬‬

‫‪6 5‬‬

‫‪: ‎1.‬هانيب انيب ]ب[‬

‫‪: ‎4.‬ةيبارلاك ةيبارتلاك ]ا[‬

‫‪ ‎2.‬كلذو ‪: ...‬نيبن ةصقان ]ا[‬

‫‪ ‎5.‬يف رادقم ‪: ...‬ءاملا ةصقان ]ا[‬

‫‪ ‎3.‬الأ ‪:‬عفتري هنا ال عقي ]ا[‬

‫‪ ‎6.‬دجن اهدعب يف ‪]:‬ب[ هللاو«‬

‫ىلو قيفوتلا بتكو يف عيبر لوألا ةنس نيتثا نيعبسو ةئامتسو ةيرجه ‪،‬ةيبرعلا اًدماح اًيلصمو »اًرفغتسمو‬

‫ةلاسر‬

‫يهوقلل يف‬

‫ةفرعم‬

‫ام ىري نم ءامسلا رحبلاو‬

‫‪:‬لاق دعب ةيمستلا ‪،‬ديمحتلاو عفانم ملعلا امب نمضتت ذه ةلاسرلا ‪،‬ةريثك ةصاخ نمل دارأ نأ‬

‫ينبي يف ةريزج اًملع يدتهَيل هب امبو رَهْشَي نم هسأر نم رانلا ليللاب ناخدلاو راهنلاب باّكُر ‪، 1‬رحبلا‬ ‫ملعي ‪:‬اهنم مكب رادقم نم دعبلا ىرُي سأر ءيشلا عفترملا نم حطس ءام ؟رحبلا‬

‫ اذإ ناك عافترا ءيش ـكا ب نع حطس ءام رحبلا ـكـج ب د يئرملا نم ا ‪،‬اًمولعم‬

‫رادقمف ام ىري نم حطس هئام نم سأر كلذ ءيشلا ‪،‬مولعم هنأل طيحي حطسلاب يئرملا طورخم‬ ‫هسأر ا هتدعاقو ةرئاد اهرطق ـج د‪ .‬نكيلو لصفلا كرتشملا نيب حطس طورخملا حطسلاو راملا هسأرب‬

‫زكرمو ضرألا ا ـج ا د نيسامملا طيحمل ‪،‬ةرئادلا يتلا يه لصفلا كرتشملا نيب حطس ةرك ءام رحبلا‬

‫حطسلاو ‪،‬روكذملا اهرطقو — وهو ه ب — ‪،‬مولعم نأل رطق ضرألا دصرب باحصأ داصرإلا‬ ‫‪.‬مولعم وب ا ‪،‬مولعم اذكف ه ا‪ ،‬ـفه ا يف ا ب‪ ،‬ينعأ عبرم ا ـج‪ ،‬لب يعبرم ـج ز ز ا‪. ،‬مولعم‬

‫جرخنو ا ط ـكا ب‪ .‬عبرمف ـج ز‪ ،‬ينعأ ه ز يف ز ب‪ ،‬عم عبرم ز ا‪ ،‬ينعأ ط ز يف ز ب عم عبرم‬ ‫ب ا‪. ،‬مولعم يقلنو عبرم ا ب ‪،‬مولعملا ىقبيف ط ه — مولعملا — يف ب ز ‪،‬اًمولعم وب ز ‪.‬مولعم‬ ‫هبرضو يف ز ه يقاب رطقلا ‪،‬مولعملا ينعأ عبرم ـج ز‪ ،‬لب عبرم ـج ب يواسملا يعبرمل ـج ز ز ب‬ ‫‪: ‎1.‬باّكُر تاكرو ‪،‬د[ ]ـج‬

‫ظ‪-١٩٣-‬ج‬ ‫ظ‪-١٢٠-‬د‬

‫‪405‬‬

‫‪Al-QŪHĪ : FROM METEOROLOGY TO ASTRONOMY‬‬

‫‪،‬نيمولعملا ‪.‬مولعم ـفـج ب فصن رطق ةرئادلا ةيواسملا حطسلل لوصفملا نم ءام رحبلا ‪،‬ةرئادلاب‬ ‫ةركلا ةناوطسألاو‬ ‫نم ‪،‬امهيواست‬ ‫يتلا اهرطق ـج د‪ ،‬مولعم ةرئادلاف لب حطسلا ىلع ام نّيب سديمشرأ يف‬ ‫‪.‬مولعم‬

‫حطسف ـج ب د يركلا نم ءام رحبلا يئرملا نم ا‪ ،‬سأر ءيشلا عفترملا ‪،‬هنم ؛مولعم وهو‬

‫‪.‬بولطملا‬

‫كلذكو ىري نم لك ةطقن ىلع طيحم ةرئادلا يتلا اهرطق ـج د ةمالعلا يتلا نوكت نع سأر‬

‫كلذ ءيشلا عفترملا رانلاك ليللاب وأ ناخدلا راهنلاب وأ ام ‪ 1‬هبشأ ‪.‬كلذ‬

‫ اذإ ناك عافترا ءيش ام نم حطس ءام رحبلا ‪،‬اًمولعم نإف رادقم ةدايز ‪ 2‬ام ىري نم‬ ‫نم سأر كلذ ءيشلا عفترملا هنم ىلع ام ال ىري اهنم ‪.‬مولعم‬

‫نكيلف لكشلا ‪،‬هلاحب مسرنو ىلع ا ط ـك ل م نم رئاودلا يتلا ال قرف نيب نأ نوكي اهزكرم‬

‫ا وأ زكرم ‪،‬ضرألا جرخنو يرطق م ـك ط ل ىلع ‪،‬مئاوق وا ـج ا د ىلإ ن س‪.‬‬

‫لضفف ن ـك س يئرملا نم ا ىلع س م ن ةبئاغلا ‪ 3‬هنم ‪،‬مولعم نأل عالضأ ا ب ـج ‪،‬ةمولعم‬

‫امك ‪.‬مدقت ةيوازف ز ا ـج لب اهمامت ن ا ط‪ ،‬لب سوق ن ط ةيواسملا ـلس ل‪ ،‬يهو عبر لضف‬

‫ن ـك س ىلع ن م س‪ ،‬نأل ن ـك س دئاز ىلع فصنلا فعضب ن ط ون م س صقان هنع‬ ‫‪،‬هفعضب ؛ةمولعم لضفف ن ـك س ةرهاظلا نم ا ىلع ن م س ةبئاغلا ‪ 4‬هنع ؛مولعم وهو ‪.‬بولطملا‬ ‫‪ ‎1.‬وأ ‪:‬ام امو ]ـج[‬

‫هذه ةلمجلا ثّنأ رّكذو سوقلا‬

‫‪: ‎2.‬ةدايز اهتبثأ يف شماهلا ]ـج[‬

‫‪: ‎3.‬ةبئاغلا ينعي سوقلا ‪،‬ةبئاغلا يفو‬

‫‪ ‎4.‬ةبئاغلا ‪:‬هنع ذخأي نمب نعو يف اذه قايسلا‬

‫‪406‬‬

‫‪III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE‬‬

‫ اذإ ناك حطس ءام رحبلا رهاظلا نم سأر ءيش عفترم ‪،/‬اًمولعم نإف عافترا كلذ‬

‫ءيشلا نم حطس كلذ ءاملا ‪.‬مولعم‬

‫جرخنلف يف ةروصلا ىلوألا ـج ه‪ ،‬نألف حطس ـج ب د يركلا ‪،‬مولعم ـفج ب فصن رطق‬

‫‪1‬‬

‫ةرئادلا ةيواسملا هل ‪،‬مولعم وب ه ‪.‬مولعم ةبسنف امهدحا ىلإ رخآلا ةمولعم ‪ .2‬ةيوازو ـج ‪،‬ةمئاق ثلثمف‬

‫ـج ب ه مولعم ‪،‬ةروصلا اتيوازف ب ه ‪،‬ناتمولعم ـفـج ب ا مامت ـج ب ه ةمولعم ‪ ،3‬وب ـج ا‬ ‫ةيواسملا ـله‪ ،‬نوكل ا ـج اًسامم ىلع ـج‪. ،‬ةمولعم ثلثمف ا ب ج مولعم ‪،‬ةروصلا ةبسنف ب ـج‬

‫مولعملا ىلإ ب ا ‪،‬ةمولعم ـفب ا ؛مولعم وهو ‪.‬بولطملا‬

‫ اذإ ناك رادقم ‪ 4‬حطس ءام رحبلا رهاظلا نم سأر ءيش عفترم هنع ‪،‬اًمولعم نإف رادقم‬

‫ةدايز ام ىري نم ءامسلا ىلع ام ال ىري اهنم نم سأر كلذ ءيشلا ‪،‬مولعم ذإ مزلي هنم نأ نوكي‬

‫عافترا كلذ ءيشلا ‪،‬اًم'ولعم هنمو نأ ريصي >رادقم< ةدايز رهاظلا ىلع يفخلا نم ءامسلا ؛اًمولعم‬

‫وهو ‪.‬بولطملا‬

‫ اذإ ناك رادقم ةدايز رهاظلا نم ءامسلا نم سأر ءيش عفترم نع حطس ءام رحبلا‬

‫ىلع ام باغ هنع ‪،‬اًمولعم نإف رادقم حطس ءام رحبلا رهاظلا نم هسأر ‪.‬مولعم‬

‫نأل لضف ن ـك س مولعملا ىلع ن م س ةعبرأ لاثمأ ط ن‪ ،‬امك يف لكشلا ‪.‬مدقتملا ـفط ن‪،‬‬

‫لب ط ا ن ةيواسملا اهتلدابمل ا ـج د ةيواسملا ـلـج ه د‪ ،‬نوكل ا ج اًسامم ىلع ـج‪. ،‬ةمولعم اهفصنف‬

‫ـج ه ب ‪،‬ةمولعم وه ـج ب ‪.‬ةمئاق ةيقابلاف ‪،‬ةمولعم ثلثمف ه ـج ب مولعم ‪،‬ةروصلا ةبسنف ه ب‬ ‫مولعملا دصرلاب ىلإ ب ـج ‪،‬ةمولعم ـفـج ب فصن رطق ةرئادلا ةيواسملا حطسل ـج ب د‪ ،‬لب‬

‫حطس ـج ب د ؛مولعم وهو ‪.‬دارملا‬

‫ اذإ ناك >رادقم< ةدايز رهاظلا نم ءامسلا نم سأر ءيش عفترم نع حطس ءام‬

‫‪،‬رحبلا ىلع ام وه بئاغ ‪،‬هنع ‪،‬اًمولعم نإف رادقم عافترا كلذ ءيشلا هنع ‪،‬مولعم ذإ ريصي حطس‬ ‫ءام رحبلا رهاظلا نم سأر كلذ ءيشلا هنم اًمولعم هنمو هعافترا ‪.‬اًمولعم‬

‫ىلعو كلذ حطس ضرألا اذإ ناك حطسك ءام رجبلا يف ‪،‬ءاوتسالا ينعأ الأ عفتري هنع ءيش‬

‫عنمي نم ةيؤر ام هءارو ةيبارلاك امو ‪.‬اههبشأ‬

‫تمت ةلاسرلا نوعب هللا ‪.‬هقيفوتو‬ ‫‪: ‎1.‬رطق اهتبثأ يف شماهلا ]ـج[‬

‫‪: ‎4.‬رادقم اهتبثأ قوف رطسلا ]د[‬

‫‪: ‎2.‬ةمولعم مولعم ‪،‬ـج[ ]د‬

‫‪: ‎3.‬ةمولعم مولعم ]ـج[‬

‫و‪-١٩٤-‬ـج‬

Additional note To mention Galen, in the tenth century, in the context of a reflection on demonstration, is not innocent. The doctor from Pergamum was the author of a treatise On Demonstration (Περὶ ἀποδείξεως) in fifteen books, which aroused intense interest from the ninth century on; at least, that is, if we may judge by the eagerness of Ḥunayn ibn Isḥāq to locate and establish it. 1 The crux of the matter is to know exactly what al-Qūhī means here. That of all types of demonstration, only those of mathematics are beyond the reach of criticism, is an idea Galen himself never tires of emphasizing; since his youth, he had grasped that it was necessary “to keep oneself away from what philosophers say, and stick as close as possible to the characteristic of geometrical demonstrations”. 2 The same idea emerges from a lost treatise: “That geometrical analytics is better than that of the Stoics”. 3 More importantly, it was this apodictic ideal that he wished to approximate in the De demonstratione: I advise all those who desire to exercise themselves in geometrical demonstrations to educate themselves in them, and then to study our work On Demonstration, which we have divided into fifteen books. 4

It seems, moreover, that in the fourth book of the Apodictics, Galen attacked people who used mathematics any which way; for instance, in order to demonstrate the immortality of the soul. 5 Nevertheless, al-Qūhī does not limit himself to mentioning Galen in general, but evokes a precise criticism on his part of a certain kind of meteorological “demonstrations”.

‎1. Cf. G. Bergsträsser, Ḥunain ibn Isḥāq über die syrischen und arabischen GalenÜbersetzungen [= Abhandlungen für die Kunde des Morgenlandes 17] (Leipzig, 1925), pp. 47-8. ‎2. Scripta Minora, II, 117, 14-16: ... ἔγνων δεῖν ἀποστῆναι μὲν ὧν ἐκεῖνοι λέγουσιν, ἀκολουθῆσαι δὲ τῷ χαρακτῆρι τῶν γραμμικῶν ἀποδείξεων. ‎3. Scripta Minora II, 123, 17: Ὅτι ἡ γεωμετρικὴ ἀναλυτικὴ ἀμείνων τῆς τῶν Στωϊκῶν. ‎4. Scripta Minora II, 117, 16-20: Ὅσοι τοίνυν ἐθέλουσι κατὰ τὰς γραμμικὰς ἀποδείξεις

ἀσκηθῆναι, παιδευθῆναι μὲν [ἐν] αὐτοῖς ἐν ἐκείναις συμϐουλεύω, μετ᾿ ἐκείνας δὲ τὴν ἡμετέραν ἀναλέξασθαι περὶ τῆς ἀποδείξεως πραγματείαν, ἣν ἐν πεντεκαίδεκα βιϐλίοις ἐποιησάμην. ‎5. Cf. I. von Müller, Über Galens Werk vom wissenschaftlichen Beweis [= Abhandlungen der phil.-philol. Classe der k. bayerischen Ak. der Wissenschaften 20] (München, 1897), p. 464.

408

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

We can thus imagine two kinds of reflection in Galen. He must either have been criticizing the arbitrary discourse of the cosmologists about phenomena which are beyond our reach (along the lines of the Hippocratic treatise On Ancient Medicine 1), or else he may have been denouncing an inadequate use of geometrical methods in the field of atmospheric phenomena—of which the Aristotelian treatment of the rainbow or the halo provided him with an ideal case (in the same way as the theories of place and time in book four of Physics allowed him to emphasize the necessity of internal coherence of a definition). Thus, al-Qūhī might suggest, in the first case, that real mathematics (and not just the epistemic paradigm Galen derives from them) allow us to escape from a cosmological dead-end; in the second case, that the critique of the poor use of mathematics by certain meteorologists does not condemn the project of the use of mathematics in physics, but need only constrain us to the greatest rigor in establishing our protocols of observation. In any case, it is likely that al-Qūhī was aware of the De demonstratione, either directly or indirectly. This ought not to surprise us, in view of the interests of the philosophers with whom he mixed at the Court.

‎1. Cf. Treatise on Ancient Medicine, 1, 36, 15-21 H.: “This is why I myself have not judged that medicine needs a newly-invented hypothesis, like that which is out of sight and problematic, about which we are indeed obliged, as soon as we undertake to deal with them, to use a hypothesis: for instance, the things which are in the heavens or under the earth. Such things, even if we define them as they are, neither the speaker nor the listeners would see clearly whether it was true or false, for there is no criterion on which we could rely to know exactly what the truth is”.

TRANSMISSION ET INNOVATION : L’EXEMPLE DU MIROIR PARABOLIQUE Parmi les objets de science, il est une classe particulière où se mêlent intimement une theoria et une technè. Il ne suffit donc pas, si l’on veut décrire l’un ou l’autre de ces objets, d’évoquer les concepts et leurs connexions réglées, mais il faut en même temps rappeler les procédés techniques nécessaires à sa fabrication. La tâche de l’historien des sciences se double à l’évidence du métier d’historien des techniques. Mais cette tâche se complique encore dès lors que ces objets appartiennent à un passé lointain. Il y en a en effet qui viennent de si loin que personne n’oserait en fixer les origines. Celles-ci se perdent souvent à l’aube de l’astronomie, de la géométrie et de la statique. C’est le cas de beaucoup d’instruments : les cadrans solaires, les astrolabes, les leviers, les balances, les mésolabes, les miroirs ardents, et bien d’autres instruments mathématiques. Tous ces objets sont l’œuvre des anciens géomètres et ingénieurs. Tous pourraient relever de ce que d’aucuns nommeraient aujourd’hui les mathématiques appliquées. Tous se présentent comme objets techniques, orientés vers un but pratique et doués d’une utilité sociale. Que cette utilité soit effective ou simplement l’effet de l’imaginaire social, cela importe relativement peu ; elle assigne en tous les cas à cet objet géométrico-technique une finalité qui dépasse la simple connaissance qu’il exprime. L’astrolabe, par exemple, ne se réduit ni à la connaissance en astronomie exigée par sa fabrication, ni aux procédés de l’artisan qui l’a réalisé ; il évoque aussi l’utilité précieuse qu’il offre à l’astronome, et celle que l’imagination de l’astrologue et du médecin lui attribue. C’est cette utilité multiple qui a suscité une demande sociale responsable de l’institution d’une profession, celle des « astrolabistes », reconnue comme telle par les historiens et les biobibliographes des ix e-x e siècles tout au moins. Mais astrolabes, miroirs ardents, etc. furent non seulement objets de transmission, mais aussi vecteurs de la propagation du savoir

Paru dans 4 000 ans d’histoire des mathématiques : les mathématiques dans la longue durée, Actes du treizième colloque Inter-IREM d’Histoire et d’Epistémologie des mathématiques, IREM de Rennes, les 6-7-8 mai 2000, IREM de Rennes, 2002, p. 57-77.

410

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

scientifique. Il y a donc toute une réflexion à mener sur cette transmission, ses formes particulières, et sur l’intégration successive de ces instruments aux différentes traditions. C’est cette réflexion que je vais entamer ici, pour les miroirs ardents et notamment le miroir parabolique. Commençons par nous interroger sur ce que pouvait signifier aux yeux d’un ancien grec un miroir ardent. Ce n’est rien d’autre qu’un organon, une machine de construction délicate destinée à un usage pratique. Ce but pratique, qu’il soit spéculatif ou effectif, attribué au miroir, a joué un rôle important dans l’incitation à la recherche depuis le second siècle avant l’ère chrétienne au moins, et jusqu’au xviii e siècle, en attirant non seulement les géomètres de premier rang, mais aussi toute une foule de mathématiciens de moindre prestige. D’autre part, au cours de cette recherche, le miroir ardent, objet apparemment simple, ne tarde pas à révéler une complexité dont l’élucidation renvoie à plusieurs traditions : géométrique, catoptrique, technique, et, parfois, astronomique. Examinons tout cela dans le cas du miroir ardent parabolique, en passant d’Alexandrie à Byzance, avant de nous rendre à Bagdad, au Caire, en Europe du Sud..., c’est-à-dire dans les plus fameux centres scientifiques, jusqu’au xvii e siècle environ. Revenons au début de cette recherche à l’époque hellénistique. Plusieurs savants de l’entourage de Conon d’Alexandrie, d’autres ayant vécu au second siècle avant notre ère, avaient déjà engagé une recherche active sur ces miroirs. Cette recherche, ainsi que les objets qui étaient les siens, semblent sortir tout droit d’un livre de catoptrique, si toutefois on donne à ce terme un sens autre que celui qu’il revêt dans le livre du même titre attribué à Euclide. Dans l’étude des miroirs ardents, contrairement à ce qui a lieu pour l’optique et la catoptrique anciennes, il n’est pas question du « regard ». Cette recherche semble aussi appartenir à un livre de géométrie, mais nullement au sens où Euclide et ses successeurs entendent ce mot. En effet, on n’examine pas les propriétés géométriques pour ellesmêmes, et on ne cherche pas à démontrer à leur propos de nouveaux théorèmes. Les miroirs ardents ont représenté, à partir du troisième siècle avant notre ère tout au moins, un champ d’étude d’un statut particulier, puisque « mixte » ; et c’est ce caractère qui fut une source de fécondité à la fois mathématique et optique. Et de fait le mathématicien et l’ingénieur de l’antiquité se sont trouvés engagés dans deux tâches à la fois : étudier les propriétés optiques de certaines courbes — cercle, ellipse, parabole — et les établir rigoureusement à l’aide de véritables démonstrations ; concevoir les gabarits qui permettent de fabriquer les miroirs, sphériques, paraboliques, ellipsoïdaux, co-

TRANSMISSION ET INNOVATION

411

niques. On mesure donc combien est féconde une démarche où les techniques se mêlent à la géométrie et à l’optique. On comprend également quel put être l’impact de ce nouveau style scientifique sur les positions épistémiques et philosophiques traditionnelles. Il s’agit, au moins, d’admettre la possibilité d’appliquer les mathématiques aux objets, de procéder à cette application et de reconnaître qu’un savoir théorique peut avoir un but en dehors de lui-même. Mais prenons-y garde : ce n’est pas aux phénomènes naturels qu’il s’agit d’appliquer les mathématiques, pour en expliquer le fonctionnement idéal, mais, comme nous l’avons dit ailleurs 1, aux seuls organons au sens ancien du terme, pour atteindre une utilité présumée. D’aucuns diraient aujourd’hui que l’on procède par construction de modèles dominés par la géométrie. C’est de ce point de vue que la recherche sur les miroirs ardents, aussi loin que l’on remonte dans son histoire, s’est trouvée liée à l’optique et à la géométrie. Pour la géométrie, et en particulier pour la géométrie des coniques, les miroirs ardents tenaient lieu de domaine d’exercice. Si on ignore ce domaine, on laisse échapper une tradition importante dans l’histoire des coniques, tradition différente de celle qui a mené d’Euclide et Aristée l’Ancien à Apollonius, même si elle n’est pas sans liens avec cette dernière. D’autre part, si on écarte l’étude des miroirs ardents, on ne comprendra rien à l’histoire de la catoptrique ; et on sera aussi désarmé devant celle de l’anaclastique et de la dioptrique à partir du x e siècle, avec Ibn Sahl et Ibn al-Haytham : nous savons en effet à présent que la première théorie géométrique des lentilles a vu le jour comme une extension de la recherche sur les miroirs ardents 2. Enfin l’utilité présumée — effective ou spéculative — des miroirs ardents, semble avoir été une incitation à ces travaux deux fois millénaires. Deux siècles avant notre ère, Dioclès invoquait l’efficacité de certains miroirs pour illuminer les temples et pour marquer les heures. Quatre siècles plus tard, Porphyre en souligne encore l’importance 3. Et toute une tradition, au moins aussi vieille qu’Anthémius ‎1. R. Rashed, « Conic Sections and Burning Mirrors : An Example of the Application of Ancient and Classical Mathematics », dans K. Gavroglu et al. (éd.), Physics, Philosophy and the Scientific Community, Boston Studies in the Philosophy of Science, Dordrecht, 1995, p. 357-376. ‎2. R. Rashed, Géométrie et dioptrique au x e siècle : Ibn Sahl, al-Qūhī et Ibn al-Haytham, Paris, 1993, et « A Pioneer in Anaclastics. Ibn Sahl on Burning Mirrors and Lenses », Isis, 81, 1990, p. 464-491. ‎3. Porphyre, Περὶ ψυχῆς πρὸς Βόηθον (ap. Euseb. Praep. Evang. XI 28, 13 sqq.) = Fr. 245F Smith (p. 263) : « Or il est bien naturel que l’âme apparaisse à la fois divine en raison de son assimilation à l’indivisible et mortelle par tout son commerce avec la nature mortelle. Elle chute tout comme elle s’exhausse, elle a forme mortelle tout comme elle ressemble aux immortels. Oui : l’homme a beau être la créature qui se

412

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

de Tralles, invoquant l’autorité d’Archimède, attribuait aux miroirs ardents les vertus d’une arme efficace. Thème récurrent, donc, qui, on le comprend, pouvait séduire les Rois et les Princes 1. Quant à l’histoire de cette recherche, les documents récemment découverts — comme le traité d’Ibn Sahl — permettent d’en repérer les principales étapes. Cette recherche sera poursuivie par beaucoup d’autres, et non des moindres, Newton, Buffon, etc. 2 Sur la première période, Dioclès nous fournit les informations les plus importantes. Deux miroirs ont été étudiés par ses prédécesseurs et par ses contemporains : le miroir sphérique et le miroir parabolique. Certains prédécesseurs ont traité le premier d’une manière erronée, et la trace de cette étude a survécu dans un texte du PseudoEuclide 3. C’est toutefois au miroir parabolique qu’était consacrée la majorité des travaux. Au cours de l’étude de ce miroir, les mathématiciens ont dégagé la propriété foyer-directrice de la parabole et construit, à l’aide de la géométrie, le gabarit du miroir parabolique. Si l’on veut cependant bien aller au-delà des résultats nus, pour pénétrer l’esprit de cette recherche, on note que celle-ci fait partie de la géométrie des coniques : ce sont les propriétés anaclastiques des courbes qui intéressent le mathématicien ; les retombées optiques ne

remplit l’estomac, la créature qui court après sa satiété comme le bétail — ce n’en est pas moins la créature capable de sauver son navire en mer, par sa science, au milieu des dangers, de se sauver elle-même des maladies, la créature qui découvre la vérité, la créature qui, ayant progressé méthodiquement vers la saisie intellective, a machiné la découverte des miroirs ardents (πυρείων τε εὑρέσεις ... μηχανησάμενος), l’interprétation des horoscopes et l’imitation des créations du Démiurge ». ‎1. Kh. Samir, « Une correspondance islamo-chrétienne entre Ibn al-Munaǧǧim, Ḥunayn ibn Isḥāq et Qusṭā ibn Lūqā», dans F. Graffin, Patrologia Orientalis, t. 40, fasc. 4, n o 185, Turnhout, 1981. Les livres littéraires (adab) destinés aux hommes cultivés ne manquent pas de rappeler d’une manière ou d’une autre les miroirs ardents et leur utilité. Ainsi al-Nuwayrī dans Nihāyat al-arab écrit à propos d’Archimède « spécialiste en mécanique, en géométrie et miroirs ardents, construction de catapultes et bombardement des fortifications, procédés pour manœuvrer les armées et les soldats sur la terre et sur la mer » (vol. I, p. 352). Le prestige des miroirs ardents comme arme efficace est couramment invoqué. Les auteurs latins comme les auteurs grecs et arabes y font référence à leur tour. Ainsi Roger Bacon écrit : « C’est le point extrême que le pouvoir de la géométrie puisse atteindre. Car ce miroir brûlerait sauvagement tout ce sur quoi il serait concentré. Nous avons toutes les raisons de croire que l’Antéchrist utilisera ces miroirs pour brûler les villes, les camps et les armées » (Roger Bacon, Opus Majus, vol. I, p. 134-135). ‎2. Voir D.L. Simms, « Buffon’s Burning Mirrors », Atti della Fondazione Giorgio Ronchi, Anno XLIX, n o 5 (septembre – octobre 2004), p. 711-742. ‎3. Cf. Les Catoptriciens grecs. I : Les miroirs ardents, édition, traduction et commentaire par R. Rashed, Collection des Universités de France, publiée sous le patronage de l’Association Guillaume Budé, Paris : Les Belles Lettres, 2000, p. 144.

TRANSMISSION ET INNOVATION

413

sont certes pas abandonnées, mais on peut dire qu’elles sont là de surcroît. Arrêtons-nous quelque peu sur le livre de Dioclès Prologue

1 miroir parabolique Miroirs ardents

4 miroir sphérique

Optique

Constructions géométriques

2

3

diamètres apparents

6

Problème d'Archimède

7

Construction d'une longueur

9

duplication du cube, deux moyennes, courbe de Dioclès

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Le livre de Dioclès se présente, au premier abord, de manière paradoxale : à la diversité des sujets abordés et à leur hétérogénéité s’oppose une unité d’intention manifeste. La diversité des thèmes transparaît directement du schéma qui reflète la structure de l’œuvre ; quant à l’unité d’intention, elle se manifeste à la lecture de chacun des groupes séparés qui composent l’œuvre. Dioclès procède en effet dans la grande majorité des propositions en appliquant des résultats obtenus en théorie des coniques aux problèmes catoptriques et aux constructions géométriques notamment. Sa démarche est, pourrait-on dire, délibérément appliquée. Dans les écrits qui nous sont parvenus, à aucun moment Dioclès n’est tenté par la recherche

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des propriétés géométriques des sections coniques pour elles-mêmes. Cet aspect insuffisamment souligné de l’œuvre de Dioclès nous permet désormais d’en saisir certains traits, et en particulier de comprendre pourquoi l’auteur ne dit rien de la démonstration de certains résultats de la théorie des coniques auxquels il fait appel 1 ; et pourquoi coexistent dans ses écrits des traditions différentes intégrant les notions de cette théorie 2. Même les deux propositions dans lesquelles il n’est pas fait usage des sections coniques — la sixième et la neuvième — sont destinées, comme on peut le constater, à l’application. Or c’est précisément cette visée d’application qui distingue les écrits de Dioclès en catoptrique et en géométrie de bien d’autres travaux hellénistiques. Nous allons reprendre l’analyse et le commentaire des écrits de Dioclès, en considérant successivement les différents groupes que nous avons pu distinguer, à commencer par sa propre introduction ; nous y trouvons d’abord quelques renseignements historiques. Dioclès nous informe en effet qu’un certain géomètre de Thasos, sur lequel nous ne savons rien par ailleurs 3, cherchait un miroir qui réfléchisse les rayons solaires suivant la circonférence d’un cercle. Il nous dit également qu’un certain astronome, nommé, selon toute vraisemblance, Hippodamos, et dont nous ignorons tout, cherchait quant à lui un miroir tel que les rayons du soleil se réfléchissent en un seul point et embrasent en ce point. Dioclès reconnaît en outre que Dosithée a résolu ce problème, et rappelle d’autre part qu’on avait tenté de construire un miroir qui embrase sans être dirigé vers le soleil, fixe et indiquant l’heure sans gnomon. Il invoque enfin la tentative de certains qui ont étudié le miroir sphérique, et se sont trompés en pensant que les rayons du soleil se réfléchissent au centre. À l’évidence Dioclès n’est donc pas le premier à avoir étudié ces miroirs, et sa tâche est alors de reprendre les questions posées par ses prédécesseurs et laissées en suspens, pour en achever l’étude. Les questions soulevées par les miroirs paraboliques sont reprises dans la première proposition, complétée par la quatrième et la cinquième ; celles que suscitent les miroirs sphériques sont également examinées

‎1. Par exemple, la propriété de la sous-normale et de la sous-tangente pour la parabole. ‎2. Il ne s’agit pas seulement d’une terminologie différente, composée d’éléments archimédiens et d’un vocabulaire plus tard utilisé par Apollonius pour nommer les sections coniques ; mais des notions mêmes, comme celle de « foyer ». Nous montrons plus loin qu’elle relève chez Dioclès de deux traditions : catoptrique et géométrique. ‎3. Sur les noms cités par Dioclès, voir R. Rashed, Les Catoptriciens grecs, p. 143.

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dans la première proposition, complétée cette fois par la seconde et par la troisième. L’explication de Dioclès à propos de Dosithée, que nous avons rappelée plus haut, est quelque peu obscure. Nous ne savons pas avec certitude si Dosithée a seulement construit un miroir parabolique, ou s’il a également démontré la propriété de son foyer. Dioclès s’attribue seulement « la composition des démonstrations... et leur éclaircissement », expression qui autorise, selon la connotation du mot « composition (taʾlīf ) », deux réponses différentes, voire contradictoires 1. Il serait cependant bien peu vraisemblable que le compagnon de Conon d’Alexandrie et le correspondant d’Archimède eût négligé la démonstration. Comment aurait-il du reste pu construire un tel miroir, construction bien difficile de surcroît, sans auparavant connaître la propriété optique de la parabole et sans l’avoir démontrée — c’est-à-dire la propriété selon laquelle il existe un point remarquable sur l’axe, sur lequel se rencontrent, après réflexion, tous les rayons parallèles à l’axe ? Quoi qu’il en soit, cette notion de « foyer de la parabole », sans être désignée d’un nom particulier 2, surgit à deux reprises dans le livre de Dioclès ; une première fois — dans l’introduction et dans la première et la quatrième proposition — pour l’étude de cette proposition optique ; une seconde fois — proposition dix — pour résoudre un problème de construction géométrique. Les deux démarches sont suffisamment différentes pour que nous devions les examiner. Commençons par nous arrêter, avant toute chose, à cette notion centrale de foyer. Depuis un siècle au moins on ne cesse d’invoquer un texte de Pappus (voir plus loin) pour montrer qu’Euclide était déjà familier avec cette notion, ainsi qu’avec celle de directrice, pour les trois sections coniques. On vient d’autre part de rappeler que Dosithée connaissait la notion de foyer. Mais une première différence apparaît dès que l’on confronte le texte de Pappus à celui de Dioclès : alors qu’Euclide considérait le foyer et la directrice pour la détermination des lieux de points, Dosithée et Dioclès, dans la première proposi-

‎1. On pourrait comprendre par ce terme ou bien que Dioclès a conçu la démonstration ainsi que sa rédaction, ou bien qu’il a seulement réécrit une démonstration due à l’un de ses prédécesseurs d’une manière plus explicite. ‎2. Le terme « foyer » est attesté déjà chez Kepler dans Ad Vitellionem paralipomena quibus Astronomiae pars optica traditur, Frankfurt, 1604, p. 92-96, qui précisément appelle ce point « focus ». Sur l’histoire de ce terme voir Ch. Taylor, An Introduction to the Ancient and Modern Geometry of Conics, Cambridge, 1881, p. lvii-lviii ; et M. Clagett, Archimedes in the Middle Ages, vol. IV, Philadelphia, 1980, p. 335 n. 37.

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tion, n’envisagent que la notion de foyer, en raison de ses propriétés optiques. On comprend dès lors l’étonnement des historiens devant l’absence de cette notion de directrice des Coniques d’Apollonius, ainsi que devant le silence du mathématicien lorsqu’il s’agit du foyer de la parabole : notions toutes deux mentionnées par ses prédécesseurs. Si l’on s’en tient au foyer, on remarquera qu’Apollonius, toujours sans le nommer 1, le détermine au cours de ses démonstrations de quelques propositions relatives à l’ellipse et à l’hyperbole, mais ne dit rien sur le foyer de la parabole 2. Dans les propositions III. 45-52 des Coniques, Apollonius détermine en effet indirectement les foyers comme deux points de l’axe d’une conique à centre ; c’est-à-dire que les foyers apparaissent au cours de la démonstration des propositions sur les rapports entre la position de la tangente à l’une de ces deux courbes et les rayons menés du foyer jusqu’au point de contact 3. La notion de foyer se présente ainsi dans le troisième livre des Coniques, lorsqu’Apollonius considère la question des lieux des points dont les distances à deux points donnés ont une somme ou une différence donnée 4. Comment expliquer que, dans ces conditions, la notion de foyer de la parabole soit absente des Coniques d’Apollonius ? À cette question, on a donné les réponses les plus diverses. On a par exemple invoqué la méthode même que suit Apollonius pour déterminer les ‎1. Apollonius parle seulement de ... τὰ ἐκ τῆς παραϐολῆς γενηθέντα σημεῖα, « les points issus de l’application » ou comme le rend Heath « the points arising out of the application » (Heath, Apollonius of Perga, Cambridge, 1896 ; repr. 1961, p. 113 ; Apollonius Pergaeus, éd. J.L. Heiberg, Stuttgart, 1974, vol. I, p. 424, 10-12). ‎2. Voici ce qu’écrit en 1886 H.G. Zeuthen à ce propos « Er (Apollonius) macht also keinen Satz über den Brennpunkt der Parabel namhaft, und daraus haben moderne Schriftsteller, die über diese Sache geschrieben haben, geschlossen, dass man damals garnichts über diesen Punkt gewusst habe » (Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum, Copenhagen, 1886 ; repr. Hildesheim, 1966, p. 367). Il est possible que Zeuthen sous-entende par ces écrivains M. Cantor qui avait précisément affirmé qu’on ne connaissait pas encore à l’époque le foyer de la parabole. Cf. M. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, vol. I, Stuttgart, 1907 ; repr. New York, 1965, p. 339. Tous ceux qui ont ensuite écrit sur ce sujet n’ont pas manqué de rappeler cette absence. Voir par exemple Th. Heath, Apollonius of Perga, p. 114 ; O. Neugebauer, « Apollonius-Studien », Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Abteilung B, Band 2, 1933, p. 215-253, à la p. 236. ‎3. Ainsi par exemple, dans les propositions 45 et 46, Apollonius mène deux perpendiculaires des extrémités d’une conique à centre, qui rencontrent la tangente en un point quelconque de la courbe, et montre que cette tangente est vue de chacun des foyers sous un angle droit ; il prouve ensuite certaines égalités angulaires. Sur l’analyse du texte d’Apollonius, voir Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum, p. 367 sqq. et notamment p. 374. ‎4. Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum, p. 370.

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foyers, c’est-à-dire l’application des aires. Soit l’exemple de l’ellipse : on procède en appliquant suivant le grand axe, à partir de l’une de ses extrémités, un rectangle qui, diminué d’un carré, est équivalent au quart du rectangle ayant pour côtés le diamètre et le côté droit correspondant 1. Le cas de l’autre conique à centre, l’hyperbole, est semblable : on applique suivant l’axe transverse un rectangle auquel on ajoute un carré. Cette méthode d’application des aires éclaire sans aucun doute la raison qui a conduit Apollonius à considérer les foyers des coniques à centre. Mais il faut avouer qu’elle ne prouve aucunement qu’Apollonius ignorait vraiment le foyer de la parabole 2. On a également expliqué l’absence de cette notion en soulignant son caractère immédiat : tout se passe dans ce cas comme si Apollonius n’avait pas jugé nécessaire de rappeler une telle notion dans les Coniques. C’est ainsi qu’O. Neugebauer affirme, dans une étude rigoureuse, un principe qui, selon lui, a été suivi par Apollonius dans son livre. Selon ce principe la démarche d’Apollonius consiste à obtenir les propositions relatives à l’hyperbole au moyen des généralisations des propositions sur la parabole 3. Si on essaie de ramener les propositions relatives à l’hyperbole à celles qui ont trait à la parabole, il s’ensuit « directement et trivialement l’existence d’un foyer de la parabole (mais non pas de la directrice), et qu’il est pratiquement exclu qu’Apollonius eût manqué justement ici cette implication » 4. Sans insister davantage sur les commentaires apportés, depuis Zeuthen, par les historiens aux Coniques d’Apollonius, on peut cependant dégager une position sur laquelle tous s’accordent : ils admettent en effet unanimement qu’Apollonius, presque sûrement, n’ignorait pas la notion de foyer de la parabole. Zeuthen lui-même conjecturait qu’Apollonius faisait appel à cette notion, ainsi qu’à celle de directrice, pour construire les sections coniques. Mais cet accord, qui semble fondé, ne parvient pas à faire taire l’étonnement devant l’absence de la directrice pour les trois sections, et celle du foyer, pour la parabole, dans un ouvrage qui entendait présenter au lecteur le corps de l’enseignement des sections coniques 5.

‎1. Les Coniques d’Apollonius de Perge, Œuvres traduites pour la première fois du grec en français, avec une introduction et des notes par Paul Ver Eecke, Nouveau tirage, Paris, 1959, Livre III, prop. 65, p. 263-264. ‎2. Ibid., p. xviii. ‎3. O. Neugebauer, « Apollonius-Studien », p. 237 sqq. ‎4. Ibid., p. 237. ‎5. Voici comment Apollonius décrit dans la préface au quatrième livre le but des huit livres qui composent les Coniques : «... les trois premiers des huit livres dans lesquels je rassemble méthodiquement ce qui a trait aux coniques » (trad. Ver Eecke, p. 281).

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En bref, si l’on peut aisément admettre qu’Apollonius n’ignorait pas la notion de foyer de la parabole, c’est à condition de préciser aussitôt qu’il n’a jamais considéré cette notion pour elle-même, non seulement dans le cas possible de la parabole, mais aussi là où il l’a effectivement dégagée, c’est-à-dire dans le cas de l’ellipse et de l’hyperbole. C’est ce que Zeuthen avait déjà remarqué lorsqu’il affirmait que quelques-unes des plus importantes propriétés des foyers de l’ellipse et de l’hyperbole ont été dégagées comme étapes de démonstration des lieux des points dont les distances à ces foyers ont une somme ou une différence donnée. Dans un tel contexte, aucune nécessité interne n’avait imposé à Apollonius de reconsidérer la parabole comme une conique dont le centre et le second foyer sont à l’infini. Outre cette tradition de recherche sur les lieux des points, qui remonte à Euclide et qui recourait, selon les uns, aux deux foyers ou à un foyer et à une directrice, on rencontre une seconde tradition catoptrique où l’on s’intéresse aux foyers pour leurs propriétés optiques. Dans ce contexte catoptrique, on comprend, a posteriori tout au moins, l’intérêt que l’on a pu porter au foyer de la parabole 1. Cette tradition est déjà attestée, selon le témoignage de Dioclès, chez Dosithée. Dans les écrits de Dioclès, ces deux traditions se présentent successivement. Alors que dans la première proposition de son livre, il part de la définition de la parabole au moyen de l’abscisse et de l’ordonnée pour ensuite étudier la propriété focale, dans les propositions 4 et 5, et ensuite dans la proposition 10, il épouse la première tradition pour tracer la courbe par points, ou pour résoudre un problème de construction géométrique. Tout indique du reste que l’originalité de Dioclès ne tient pas à la découverte de la notion, mais à la réunion de deux traditions jusque-là séparées. Dioclès démontre, dans la première proposition, la propriété focale de la parabole, et utilise pour cela les propriétés de la soustangente et de la sous-normale. Il passe ensuite au paraboloïde de révolution. Dans la quatrième proposition, Dioclès passe à la détermination de la parabole génératrice d’un miroir parabolique de révolution, de sorte que les rayons réfléchis se rencontrent en un point situé à une distance donnée du centre du miroir. Dans cette proposition, on voit donc surgir, sans toutefois qu’elle soit nommée, la propriété foyer-directrice de la parabole. Et le texte

‎1. Peut-être les auteurs avaient-ils remarqué, intuitivement au moins, que le miroir parabolique ne subit pas l’aberration sphérique suivant l’axe, quand le pointobjet est dans une certaine position vis-à-vis de la face du miroir.

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considéré jusqu’ici comme le premier, encore existant, où l’on rencontre cette propriété, le fragment d’Anthémius de Tralles, cède sa priorité au livre de Dioclès 1. Dans ce livre en effet la propriété apparaît à deux reprises : d’abord dans le groupe de propositions consacré au miroir parabolique ; ensuite dans la dixième proposition, à l’occasion de l’étude de la duplication du cube. Il s’agit donc de deux contextes différents — l’un optique-géométrique, l’autre purement géométrique — dont seule la confrontation permettrait de saisir les idées que pouvait formuler Dioclès à ce propos, et de décrire le statut de cette propriété dans son œuvre. On a déjà noté que Dioclès traite, dans la première proposition, de quelques propriétés géométriques et optiques de la parabole. Mais c’est seulement dans la proposition 4 qu’il tente de construire un miroir parabolique destiné à embraser à une distance donnée du sommet de la parabole. Il procède alors par des étapes dont il faut souligner la succession. Il commence par tracer par points une courbe définie par son sommet et par son foyer. Il justifie ensuite ce tracé, en construisant la droite RS, et montre que chaque point obtenu est équidistant du foyer et de cette droite. On observera que Dioclès, au cours de cette construction, ne représente pas la propriété foyer-directrice explicitement pour caractériser la parabole comme lieu des points dont la distance au foyer est égale à la distance d’une droite fixe. C’est dire, par conséquent, qu’il sait intuitivement que la parabole constitue un tel lieu de points, sans la définir comme un lieu de points 2. La propriété foyer-directrice est donc, semble-t-il, destinée à tracer ce lieu ; c’est un moyen pour construire par points cette courbe. La caractérisation de la courbe devait s’opérer par la propriété fondamentale, c’est-à-dire le symptoma, comme on le voit chez des mathématiciens même antérieurs à Apollonius, qui permet de repérer les points de la courbe dans un système d’axes constitué par

‎1. Voici ce qu’écrit Th. Heath dans un article de 1907 à propos de ce fragment d’Anthémius : « Most important of all, we have here the first instance on record of the principal use of the directrix, though the property of conics with reference to the focus and directrix was known to Pappus (lemma on Euclid’s Surface loci) and possibly to Euclid himself » (« The Fragment of Anthemius on Burning Mirrors and the Fragmentum mathematicum Bobiense », Bibliotheca Mathematica, III.7, 1907, p. 225-233, à la p. 230). On comprend que cette opinion ait pu s’imposer avant la connaissance du texte arabe attribué à Dioclès. Cf. également G.L. Huxley, Anthemius of Tralles, A Study in Later Greek Geometry, Cambridge, Mass., 1959, p. 19. ‎2. W. Knorr a justement perçu la difficulté quand il écrit : « In fact, the role of the line SR is so submerged in the construction that one strains to view Diocles as working toward the solution of a problem of locus as such » (« The Geometry of Burning-Mirrors in Antiquity », Isis, 74, 1983, p. 53-73, à la p. 59). Voir aussi The Ancient Tradition of Geometric Problems, Boston, Basel, Stuttgart, 1986, p. 237.

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le diamètre et la tangente au sommet de la parabole, ou, dans un autre langage, d’établir l’équation. On comprend dès lors que Dioclès devait démontrer que la courbe tracée, et dont la construction a été ensuite justifiée, est bien une parabole : il lui fallait déduire le symptoma de la propriété foyer-directrice. C’est précisément à quoi il s’emploie dans la proposition suivante, la cinquième. À elle seule, la présence de cette proposition prouve que Dioclès n’a pas considéré la propriété foyer-directrice comme caractérisation de la parabole. Quoi qu’il en soit, cette démonstration lui permet de se ramener à la proposition 1, puisqu’il a montré maintenant qu’il s’agit bien d’une parabole. Revenons maintenant à la dixième proposition, où apparaît de nouveau cette propriété. Dioclès procède, ici aussi, successivement par les mêmes étapes : il commence par construire par points deux courbes, de même sommet et de foyers différents ; il justifie ensuite cette construction en montrant que tout point de chacune des deux courbes est à égale distance du foyer et de la directrice correspondants, pour enfin déduire le symptoma de chacune de ces deux courbes ; et c’est là seulement qu’il écrit : « il est clair également que les deux lignes... sont deux sections d’un cône à angle droit » 1. Dans les deux groupes de propositions, la démarche de Dioclès est donc identique. A-t-on alors le droit de considérer qu’il est le premier à avoir dégagé la propriété foyer-directrice ? Pour tenter une réponse à cette question difficile, rappelons d’abord que selon Pappus cette propriété était connue d’Euclide. Nul n’ignore en effet que dans VII.238 de la Collection mathématique, Pappus donne — pour le livre d’Euclide sur Les lieux à la surface — un lemme que l’on peut ainsi réécrire : le lieu des points dont la distance à un point donné est dans un rapport donné à la distance à une droite fixe, est une section conique ; c’est une ellipse, une parabole ou une hyperbole selon que ce rapport donné est inférieur, égal ou supérieur à l’unité 2. Cette affirmation de Pappus — à moins que l’on soit en mesure de prouver qu’il se trompait ou voulait abuser — montre bien qu’Euclide a utilisé cette proposition. Mais pourquoi ne l’a-t-il pas démontrée ? Il y a un siècle, H.G. Zeuthen proposait, en réponse à cette question, la conjecture se-

‎1. Voir R. Rashed, Les Catoptriciens grecs, p. 130-131. ‎2. Cf. Pappi Alexandrini Collectionis quae supersunt e libris manu scriptis edidit latina interpretatione et commentariis instruxit F. Hultsch, 3 vols, Berlin, 1876-1878, vol. II, p. 1004-1006 et 1012-1014 ; Pappus d’Alexandrie, La Collection mathématique, Œuvre traduite pour la première fois du grec en français, avec une introduction et des notes par Paul Ver Eecke, Tome second, Nouveau tirage, Paris, 1982, p. 793-794 et 801.

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lon laquelle « Euclide a utilisé une proposition connue auparavant » 1. Th. Heath pousse plus loin la même conjecture, et, partant du fait qu’elle ne pouvait se trouver dans les quatre livres sur les Coniques d’Euclide — puisque les Coniques d’Apollonius, qui les reprennent, ne contiennent précisément pas cette propriété — affirme : « If, then, Euclid did not take it from his own Conics, what more likely than that it was contained in Aristaeus’s Solid Loci ? » 2. Que l’on accepte ou conteste la conjecture de Th. Heath, peu importe ici ; on sait en revanche que, selon toute vraisemblance, Euclide connaissait cette propriété. Le couple foyer-directrice détermine bien une parabole ou, comme l’écrit Pappus, la parabole « constitue le lieu ». Notre analyse, si elle est exacte, permet de montrer que Pappus, après avoir supposé l’existence des points qui vérifient la propriété foyer-directrice — sans les construire — montre que ces points vérifient la propriété fondamentale de la parabole. Cette étape correspond à celle où Dioclès construit des points qui vérifient la propriété foyer-directrice et montre qu’ils vérifient également la propriété fondamentale de la parabole. Une différence importante demeure néanmoins entre les deux mathématiciens : alors que Dioclès utilise la propriété foyer-directrice pour construire effectivement des points de la courbe, Pappus suppose leur existence et montre que, s’ils existent, alors ils appartiennent à une parabole. On comprend dès lors que Pappus soit amené à démontrer une réciproque, c’est-à-dire que tout point de cette parabole vérifie la propriété foyer-directrice, et, par conséquent, à montrer l’existence des points cherchés et à déterminer leur lieu. Cet écart entre Dioclès et Pappus n’est pas de pure forme ; il ne tient pas au seul procédé de la démonstration, mais indique la différence des buts cherchés. Le problème de Dioclès n’est pas, comme pour Pappus, de déterminer le lieu des points, mais de construire les points indépendamment des coniques, pour ensuite démontrer que ces points appartiennent à une parabole caractérisée selon la tradition des mathématiciens des coniques, c’est-à-dire définie par le symptoma. Cette démonstration ne fait intervenir aucun concept inconnu des prédécesseurs de Dioclès, mais il reste que ce dernier, pour autant que nous le sachions, est le premier à l’avoir formulée. Une différence analogue marque du reste l’évolution de la conception de la ‎1. H.G. Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum, p. 213. Voici ce qu’il écrit notamment : « der Umstand indessen, dass Pappus diese Bedingungen mit anführt, macht die Annahme wahrscheinlicher, dass Euklid einen Satz benutzt hat, der schon im voraus bekannt war ». ‎2. Th. Heath, A History of Greek Mathematics, vol. II, p. 119.

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parabole comme ensemble de points. Pour Pappus en effet, la parabole est désormais donnée, en vertu de la réciproque, comme le lieu des points qui vérifient la propriété foyer-directrice. Cette conception reste cependant enfouie dans un ensemble d’études sur les lieux des points ; ce n’est que bien plus tard qu’elle sera considérée pour elle-même et explicitement employée à la définition de la parabole, comme on peut le voir dans les travaux d’un La Hire par exemple. Concluons sur la démarche de Dioclès dans les propositions 4 et 5. Dans la proposition 4, il se donne deux points fixes A et B et construit la droite RS perpendiculaire à AB au point R, tel que AB = BR. Il construit à la règle et au compas des points équidistants de A et de la droite RS. Il montre que sur toute parallèle à RS dans le demi-plan (RS, A), il existe deux points répondant au problème. Mais l’idée de tangente, soulignons-le, n’apparaît à aucun moment dans sa construction. Dans la proposition 5, il montre que les points ainsi définis sont sur la parabole de foyer A et de sommet B, laquelle est caractérisée par la propriété fondamentale. K

S

M W

V

E

N

A

C

B

Q

R

T Fig. 1

Si Dioclès avait pensé définir une parabole par la propriété foyerdirectrice, il lui aurait encore fallu montrer que tout point d’une parabole définie par son sommet et par la propriété fondamentale est équidistant d’un point fixe et d’une droite fixe, qui sont définis à partir du sommet et du paramètre. Or s’il n’a pas entrepris cette démonstration, c’est qu’il ne recherchait pas une telle caractérisation. Mais, cela ne fait aucun doute, le problème de Dioclès n’est nullement le problème général de réduire la construction d’une courbe ayant la propriété de réfléchir les rayons parallèles à une direction donnée vers un point fixe donné, à celle d’une courbe définie par la

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propriété foyer-directrice. Un telle question, qui n’est donc pas celle que se pose Dioclès, conduirait en effet à la résolution d’une équation différentielle, qui donnerait une famille de courbes. Seul Anthémius de Tralles 1, huit siècles plus tard, traitera un cas particulier de ce problème général. Il suppose connus deux points A et B de la courbe, et le point fixe D sur la médiatrice de AB, la direction des rayons étant celle de la médiatrice. Dans ce cas, une seule parabole répond au problème. Quel fut l’impact de l’étude de Dioclès ? nous n’en avons aucune trace. Perdu assez tôt, le texte n’est connu que dans sa version arabe. Le cas n’est pas unique et se retrouve pour d’autres traités consacrés aux miroirs ardents : ainsi le texte attribué à un certain Dtrūms, tout aussi important, et qui traite également des miroirs sphériques et paraboliques dans le même esprit : la géométrie des coniques. Dtrūms commence — pour le miroir parabolique — par montrer la propriété focale de la parabole, puis il établit que la distance du sommet de la parabole au foyer est égale au quart du côté droit ; il construit alors la parabole par points, et montre pour finir comment façonner le gabarit du miroir. C’est encore Dtrūms qui mène le plus loin, dans ce mémoire, l’étude du miroir sphérique 2. À la fin de cette première période se dessine une tradition différente, dont le meilleur représentant est Anthémius de Tralles. Le savant byzantin prend comme point de départ la célèbre légende d’Archimède, dont il veut établir la plausibilité. Il se propose de répondre à la question suivante : comment faire parvenir un rayon solaire à un point éloigné de nous d’une distance donnée. Il examine plusieurs miroirs, et conclut sur l’étude du miroir parabolique. Il procède donc à la construction par points et tangentes d’une parabole dont on connaît le foyer et la directrice. À tout prendre, le traité d’Anthémius se situe davantage dans une perspective catoptrique que dans celle de la géométrie des coniques. Incomplet en grec, cet écrit nous est parvenu dans sa version arabe. Également traduit dans cette langue, un court traité d’un certain Didyme. En fait, tout laisse penser qu’au ix e siècle se développait une recherche active en arabe sur les miroirs ardents et la catoptrique, menée principalement par al-Kindī (mort en 866 environ) et par son contemporain Qusṭā ibn Lūqā, initiatrice d’un mouvement massif de traduction des écrits grecs traitant de ce sujet. L’horizon catoptrique déjà perceptible en filigrane dans l’écrit d’Anthémius et dans celui de

‎1. Voir R. Rashed, Les Catoptriciens grecs, Troisième partie. ‎2. Sur l’histoire des miroirs ardents sphériques, cf. R. Rashed : L’Optique et la Catoptrique d’al-Kindī, p. 117-125.

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Didyme s’imposera dans les études consacrées par al-Kindī aux miroirs ardents. C’est en tout cas cette perspective qui l’emportera à l’heure de la transmission des textes grecs en arabe, assurant du coup au livre d’Anthémius une pérennité dont les autres ont été privés. En effet, à la différence des autres textes traduits du grec, l’ouvrage d’Anthémius a été généreusement consulté ; il fut même l’objet d’un commentaire critique d’al-Kindī ; Aḥmad ibn ʿĪsā l’a fréquemment cité ; ʿUṭārid, au x e siècle, l’a repris intégralement dans sa compilation. Or, un tel changement d’horizon au moment de la transmission est indissociable de l’émergence d’un nouveau caractère dans la recherche sur les miroirs ardents au ix e siècle : celle-ci fait désormais partie de la catoptrique, le fait doit être souligné. C’est donc un seul et même savant qui s’occupe d’optique ou de catoptrique, en même temps que des miroirs ardents — ainsi al-Kindī et Qusṭā ibn Lūqā. Tels sont les traits qui distinguent la seconde période de l’histoire des miroirs ardents : ni Dioclès, ni Dtrūms, ni l’auteur du fragment de Bobbio, ni d’ailleurs Anthémius lui-même, en dépit de tout ce qui peut les séparer, n’ont poursuivi en même temps une recherche optique. C’est à al-Kindī le premier, semble-t-il, que revient d’avoir unifié des champs disparates, modifiant ainsi la physionomie d’ensemble du domaine. Il a écrit sa fameuse Optique, connue sous le titre De aspectibus dans la traduction latine de son texte arabe perdu, ainsi que La Rectification des erreurs et des difficultés dues à Euclide dans son livre appelé l’Optique ; on lui doit aussi plusieurs traités en catoptrique. Il consacre un traité aux miroirs ardents, intitulé Sur les rayons solaires, où il déclare vouloir remédier aux insuffisances de l’étude d’Anthémius de Tralles, et la compléter. Ce traité s’achève sur une étude du miroir parabolique. Qusṭā ibn Lūqā écrit quant à lui une catoptrique, et, aux dires des biobibliographes, un traité sur les miroirs ardents. Leur successeur du x e siècle, qui est aussi le compilateur d’al-Kindī, Ibn ʿĪsā, regroupe dans un même livre optique, catoptrique, optique météorologique et miroirs ardents. Il est donc clair que la transmission par la recherche, celle qui s’opère au ix e siècle, n’est nullement une livraison de résultats nus : elle s’accompagne, à l’évidence, d’une rénovation. Déjà présente chez les savants du ix e siècle, elle apparaîtra plus tard dans tout son éclat. Avec Ibn Sahl à la fin du siècle suivant, l’unification opérée par al-Kindī et par ses contemporains connaîtra toute son ampleur, et s’achèvera dans la naissance d’un nouveau chapitre de l’optique : l’anaclastique ou la dioptrique. Ibn Sahl, rappelons-le, est le premier mathématicien connu qui ait élaboré une théorie géométrique des lentilles, et formulé la loi dite de Snell. En fait, il a conçu un chapitre de l’optique, qui porte sur les instruments ardents, miroirs et lentilles. Son point de départ

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est plus général que celui de ses prédécesseurs : non seulement Ibn Sahl connaissait l’Optique de Ptolémée, et donc le cinquième chapitre consacré à la réfraction — ce qu’al-Kindī et Ibn Lūqā ignoraient — mais il a infléchi la théorie transmise en donnant de l’importance au concept de milieu réfringent, certes, mais aussi en définissant ce milieu par un certain rapport constant. Ibn Sahl considère l’embrasement non seulement comme l’effet de la réflexion, mais aussi de la réfraction, relatif à la distance, finie ou infinie, de la source. Le miroir parabolique par exemple n’apparaît pas pour lui-même ; ce n’est pas non plus un miroir parmi les autres : il se place à l’intersection de la réflexion et de la distance infinie, c’est-à-dire là où l’embrasement se fait par réflexion, la source étant à l’infini. Le miroir parabolique, tout comme le miroir ellipsoïdal, ont chacun une place particulière dans une étude plus générale qui porte sur les miroirs et les lentilles. Dans son étude du miroir parabolique par exemple, Ibn Sahl commence par examiner les propriétés anaclastiques de la parabole avant de procéder au tracé continu de la courbe à l’aide du foyer et de la directrice. Il fabrique à cette fin un appareil mécanique conçu pour le tracé continu de trois courbes coniques. Au cours de son étude des deux miroirs, parabolique et ellipsoïdal, Ibn Sahl s’attache tout particulièrement à la détermination du plan tangent au point d’impact de la lumière incidente à la surface réfléchissante, ainsi qu’à l’unicité de ce plan. Pourquoi cet intérêt ? Certes, on y retrouve bien la connaissance qu’Ibn Sahl avait de la théorie des coniques, mais aussi sa conception de la réflexion de la lumière. Ibn Sahl veut non seulement s’assurer de l’égalité de l’angle d’incidence et de l’angle de réflexion, mais aussi vérifier que la droite suivant laquelle la lumière parvient au point d’une surface, la droite suivant laquelle cette lumière est réfléchie, et, enfin, la normale menée au plan tangent à la surface en ce point, sont dans un même plan. En fait, pour Ibn Sahl, ce n’est pas la surface réfléchissante qui importe, mais bien ce plan tangent. C’est d’une manière analogue qu’il étudie le miroir ellipsoïdal, la lentille plan-convexe et la lentille biconvexe. Avec Ibn Sahl, l’étude des miroirs ardents fait désormais partie de l’optique géométrique : c’est précisément cela qui caractérise la troisième période. Et là, nous sommes à la veille d’une grande transformation, celle qu’accomplit Ibn al-Haytham. Cependant, l’étude du miroir parabolique que nous a laissée ce dernier est proche de celle d’Ibn Sahl, mais à une différence près, qui n’est pas négligeable : Ibn al-Haytham souligne le contenu physique des notions géométriques, comme celles de rayon lumineux et de faisceau lumineux. Il commence par établir les propriétés anaclastiques de la parabole,

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

celles du paraboloïde de révolution ensuite, puis il s’emploie à la fabrication du miroir. Il explique comment construire sur des plaques d’acier les gabarits nécessaires à la confection des miroirs. Il distingue deux types de plaques : plaque du sommet de la section, et plaque du milieu de la section. Si donc on construit un miroir ovoïdal, on utilise une plaque du premier type, le côté droit de la parabole étant choisi à partir de la distance souhaitée pour l’embrasement ; le côté droit sera égal au quadruple de la distance. Mais si on veut construire un miroir parabolique en forme d’anneau, on détermine la plaque en supposant connus la distance à laquelle on veut embraser et le côté droit de la parabole. Ainsi se poursuit la recherche sur les miroirs ardents, depuis la transmission des travaux grecs jusqu’à Ibn al-Haytham. Le développement de cette recherche ne se réduit pas, comme on le voit, à un accroissement mécanique des résultats, ni à un perfectionnement linéaire des techniques ; c’est l’histoire de la modification du sens, elle-même effet d’une rénovation des perspectives. Beaucoup plus que toute autre, l’étude d’Ibn al-Haytham eut un grand impact sur les travaux consacrés aux miroirs ardents, que ce soit en arabe ou en latin. Mais on verra brièvement que cet impact ne fut nullement le même dans chaque cas. Rédigé au Caire avant les années quarante du xi e siècle, le mémoire d’Ibn al-Haytham sur le miroir parabolique, en effet, n’a pas seulement été lu en arabe, mais aussi en latin à partir du xii e siècle. La différence qui, pendant un temps tout au moins, a distingué ces deux lectures, est riche d’enseignement pour une réflexion sur l’histoire des miroirs ardents et sur la transmission scientifique. En fait, la ligne de clivage passe pour ainsi dire entre optique et géométrie. Amplement diffusé en arabe, ce mémoire a été commenté à Bagdad, à l’Est comme à l’Ouest islamiques, mais en tant qu’écrit optique. L’essentiel de la recherche d’Ibn al-Haytham dans ces pages est, en effet, optico-technique, nullement géométrique. À cela, rien d’étonnant : la tradition de l’optique est alors bien établie, avec ses noms, ses références, ses problématiques et son langage. Quant à la recherche en théorie des coniques, elle est déjà trop avancée pour qu’un mathématicien qui s’y adonne aille chercher des informations dans un traité consacré aux miroirs ardents. Mais il en va tout autrement au xii e siècle, en latin. La traduction du traité d’Ibn al-Haytham par Gérard de Crémone ne semble pas, quant à elle, répondre aux besoins de la recherche en optique, puisqu’en effet celle-ci n’existait pas encore. En revanche, cette tradition offrait le premier accès en latin à la géométrie des coniques. Lisons ce qu’écrit Marshall Clagett : « Avant le douzième siècle, la connaissance des sections coniques à l’Ouest

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était inexistante » 1, et il poursuit : « Les premières traces d’une quelconque connaissance des sections coniques en Occident résultaient de la traduction latine de deux ouvrages d’Alhazen (Ibn al-Haytham). Le premier était la traduction par Gérard de Crémone du Liber de speculis comburentibus d’Alhazen...». Il fallait attendre la traduction du De aspectibus d’al-Kindī et celle du Livre de l’optique d’Ibn al-Haytham pour que fût entamée en latin la recherche en optique. Il reste que l’impact de ce mémoire en géométrie des coniques fut grand, comme l’a montré M. Clagett à l’aide de l’analyse de travaux comme le Speculi almukefi compositio, anonyme, ou le Libellus de seccione mukefi, de Johannes Fusoris 2. Comme je viens de le rappeler, le rôle de ce mémoire en arabe était bien différent, du fait même de son intégration dans une tradition de recherche continue, et bien établie depuis déjà deux siècles. Pour illustrer son rôle dans le développement de la recherche future, je m’en tiendrai à un seul exemple, celui d’un auteur jusqu’ici inconnu, un certain Ibn Ṣāliḥ. Ibn Ṣāliḥ a écrit un volumineux mémoire sur le miroir parabolique, dans lequel il emprunte de nombreux paragraphes au texte d’Ibn al-Haytham. L’auteur commence par des considérations sur la théorie des coniques, en mêlant le langage des Éléments d’Euclide à celui des Coniques d’Apollonius 3. Puis il revient au miroir parabolique. La principale difficulté qu’il pressent concernant ce miroir est d’ordre technique : réussir la courbure d’un miroir parabolique d’une surface assez grande pour augmenter l’embrasement. On comprend qu’un tel miroir est difficile, voire impossible, à fabriquer pour l’artisan de l’époque. L’idée est donc la suivante : perdre un peu en focalisation pour gagner en surface. Or, on se souvient qu’Ibn al-Haytham a étudié le miroir « en forme d’anneau », dont l’axe est toujours l’axe du paraboloïde, et le point d’embrasement le foyer. On peut dans ce cas choisir l’arc EB générateur d’un tel miroir, pour que le foyer F soit à une distance arbitrairement choisie du centre du cercle décrit par le point E. Ibn Ṣāliḥ considère alors un miroir concave engendré par la rotation de cet arc EB autour de la normale BK au point B ; BK sera donc l’axe du miroir. Tous les rayons incidents parallèles à BK et tombant sur le cercle engendré par E sont réfléchis vers un point P de BK. La ‎1. M. Clagett, Archimedes in the Middle Ages, Volume Four : A Supplement on the Medieval Latin Traditions of Conic Sections, Part I : Texts and Analysis, Philadelphia, 1980, p. 3. ‎2. Ibid., vol. IV, chap. 4 et 5. ‎3. On peut à ce propos souligner tout le danger qu’il y a à déterminer la succession des auteurs à l’aide de leur seule langue.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

E B

E

B

F

E' P K Fig. 2

distance BP dépend du point E qui détermine le bord du miroir. Un rayon incident parallèle à BK tombant en un point quelconque du miroir rencontrera l’axe en un point différent de P, point plus proche de B. Ibn Ṣāliḥ procède au calcul de ces points. Il n’y a donc pas un point d’embrasement, mais une concentration de rayons réfléchis au voisinage de l’axe BK. Ibn Ṣāliḥ expose ensuite un procédé qui permet d’obtenir un arc de parabole comme section plane d’un tronc de cône de révolution ; il décrit en détail les procédés techniques employés à la fabrication de ce miroir 1. L’exemple d’Ibn Ṣāliḥ est clair : s’il conçoit ce type de miroir, jamais pensé auparavant, c’est qu’il y est poussé par une contrainte technique. Ni les matériaux, ni les procédés de fabrication de son temps, ne permettaient en effet de construire un miroir parabolique avec une grande courbure. On peut dire que cette dialectique entre la tradition conceptuelle développée depuis al-Kindī et la tradition technique, domine et distingue de part en part l’histoire des miroirs ardents en arabe. Voici donc un bref tableau historique des principales étapes de la recherche sur les miroirs ardents, au long de quinze siècles environ. La transmission pour la recherche, comme on l’a vue au ix e siècle, s’accompagne d’une traduction massive des écrits ; elle est critique et innovatrice. On reprend les anciens acquis pour les intégrer dans de nouvelles traditions conceptuelles et techniques, en formation ; à leur tour, les écrits transmis sont productifs dans ce mouvement d’élaboration d’une nouvelle tradition. Ce mouvement lui-même représente le véritable mode de survie des écrits de Dioclès, de Dtrūms, d’Anthémius et de Didyme. Même s’ils ont rapidement cessé d’exister « en

‎1. Voir notre article à paraître « Les miroirs ardents d’Ibn Ṣāliḥ ».

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personne » après le ix e siècle au nombre des écrits sur les miroirs ardents, ils sont cependant présents par le rôle qu’ils jouent dans cette recherche au ix e siècle, et peut-être même encore au x e siècle. L’étude du miroir parabolique a été entreprise par tous les auteurs dont nous connaissons les écrits : Dioclès, Dtrūms, Anthémius, et, implicitement tout au moins, Didyme. À ceux-ci il faut ajouter l’auteur du fragment de Bobbio et al-Kindī ; ainsi qu’Ibn al-Haytham, enfin, dans un célèbre mémoire connu aussi bien en arabe qu’en latin. Certains historiens ont cru pouvoir placer ce dernier à la suite de Dioclès ; d’autres à la suite d’Anthémius. Mais il nous faut introduire encore une autre figure, Ibn Sahl, si nous voulons situer l’œuvre d’Ibn al-Haytham. Pour confronter ces textes, nous procéderons par deux comparaisons, l’une à partir de la propriété rayon-foyer, et l’autre à partir de la propriété foyer-directrice. Mais, pour que ces comparaisons soient à la fois concises et claires, commençons par rappeler quelques propriétés de la parabole. Soit F le foyer, S le sommet, DK la directrice, T le pied de la tangente en un point quelconque M de la parabole sur l’axe, H la projection de M sur l’axe, D la projection de M sur DK et N le pied de la normale. Menons SP = 4SF, le côté droit, et joignons FM et FZ. Menons la droite XM parallèlement à l’axe ; on a d’abord 1. S le milieu de la sous-tangente HT. 2. La sous-normale HN est égale à la moitié du côté droit, donc HN = 2SF. 3. FM = MD. Nous avons montré que Dioclès utilise les propriétés (1) et (2) ; il part du foyer et établit les égalités d’angles. Il part ainsi d’un rayon incident parallèle à l’axe et montre que la droite joignant le point d’incidence au foyer est bien le rayon réfléchi, car la loi de la réflexion est vérifiée. Cette étude manque à l’écrit d’Anthémius. Nous savons seulement qu’il utilise implicitement la propriété selon laquelle MT est la médiatrice de FD, qui n’est autre que la propriété foyer-directrice. Le cas de Dtrūms se distingue des deux précédents. Dtrūms utilise le symptoma de la parabole, et la propriété (1). De plus, il part de l’égalité d’angles pour aboutir au foyer, contrairement à Dioclès. Quant à l’auteur du fragment de Bobbio, il utilise lui aussi le symptoma, mais, contrairement à Dtrūms, il part du foyer et en déduit une égalité d’angles. On voit bien que, tout au moins pour la propriété rayon-foyer, il y a autant de démarches que d’auteurs : rien ne permet donc de déceler les traces d’une quelconque influence de l’un sur l’autre.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

M

D

X

Z

T

K

S

F

H

N

P Fig. 3

Venons-en maintenant aux successeurs arabes de ces mathématiciens. Nous avons montré qu’al-Kindī 1, dans son traité sur Les Rayons, reprend la construction de la parabole opérée par Anthémius. Abū al-Wafāʾ al-Būzjānī, au x e siècle, dans son étude du miroir parabolique, a recours au symptoma, et prend dès le départ un segment égal au côté droit ; mais il construit par points la parabole 2. Quant à son contemporain Ibn Sahl 3, il se donne d’abord le foyer, joint le point d’incidence à ce dernier par une droite, et montre que celle-ci est la droite suivant laquelle se propage le rayon réfléchi, c’est-à-dire qu’elle détermine une égalité d’angles. La démonstration d’Ibn Sahl se fait à l’aide du symptoma de la parabole et de la propriété (1). Son successeur Ibn al-Haytham procède pratiquement de la même manière, et utilise au cours de sa démonstration par analyse et synthèse les deux propriétés auxquelles recourait Ibn Sahl. Tous deux distinguent trois cas dans leur démonstration, selon que l’angle MFS est aigu, droit ou obtus. Notons enfin que Ibn Sahl utilise les deux propriétés auxquelles recourait l’auteur du fragment de Bobbio. Mais la

‎1. Rashed, L’Optique et la Catoptrique d’al-Kindī, p. 114-115 et 414-419. ‎2. O. Neugebauer et R. Rashed, « Sur une construction du miroir parabolique par Abū al-Wafāʾ al-Būzjānī », Arabic Sciences and Philosophy, 9.2, 1999, p. 261-277. ‎3. R. Rashed, Géométrie et Dioptrique au x e siècle : Ibn Sahl, al-Qūhī et Ibn alHaytham, Paris, Les Belles Lettres, 1993, p. xix-xxvi et 2-15.

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maîtrise géométrique d’Ibn Sahl est bien supérieure à celle de ce dernier, et rien n’indique d’autre part que ce fragment fût traduit en arabe. Aussi brève soit-elle, la précédente comparaison permet de partager nos auteurs en trois grands groupes. Le premier, dont les membres n’examinent pas la propriété rayon-foyer, comprend Anthémius et al-Kindī. Le second se réduit à Dioclès : il n’y a que lui en effet qui utilise dans sa démonstration les deux propriétés (1) et (2), et elles seules. Le troisième groupe comprend l’auteur du fragment de Bobbio, Dtrūms, Ibn Sahl et Ibn al-Haytham, dans la mesure où tous utilisent le symptoma de la parabole et la propriété (1). Il reste que dans ce groupe on peut isoler deux sous-groupes, dont l’un comprend Dtrūms tout seul, alors que l’autre comprend l’auteur du fragment de Bobbio, Ibn Sahl et Ibn al-Haytham. En effet, alors que ces derniers partent du foyer pour établir une égalité d’angles, Dtrūms au contraire part de l’égalité d’angles pour aboutir au foyer. Or, dans le sous-groupe formé des trois savants, Ibn al-Haytham connaissait l’œuvre optique d’Ibn Sahl, et a même recopié de sa propre main l’un des travaux de son prédécesseur 1. Mais aucune indication ne suggère que les mathématiciens arabes avaient une connaissance, directe ou indirecte, du fragment de Bobbio. Pour confirmer cette conclusion, importante pour l’histoire d’Anthémius arabe, il nous faut affiner notre comparaison, en reprenant la confrontation des auteurs, à partir de la propriété foyer-directrice cette fois. Rappelons que Dioclès part du foyer F et du sommet S, et construit la directrice KD. Sur une parallèle à cette directrice dans le demi-plan (DK, F) il construit deux points qui sont sur le cercle de centre F et dont le rayon est la distance des deux parallèles. Il démontre ensuite que ces deux points appartiennent à la parabole de foyer F et de sommet S. Sa construction ne fait donc pas apparaître la tangente. Anthémius en revanche part de la propriété catoptrique d’égalité des angles d’incidence et de réflexion sur un miroir plan. Il se donne un point F et un segment AB, avec FA = FB, et construit une droite DK parallèle à AB, telle que A et B soient équidistants de F et de cette droite. Sa construction fait implicitement appel à la propriété suivante : sur toute parallèle à l’axe d’une parabole de foyer F et de directrice DK, il existe un point M de cette parabole qui appartient à la média-

‎1. En effet Ibn al-Haytham a copié le traité d’Ibn Sahl, Preuve que la sphère céleste n’est pas d’une transparence extrême, et le reprend dans son mémoire sur le Discours de la lumière. Voir Rashed, Géométrie et Dioptrique au x e siècle, p. cxli-cxlii.

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III. OPTIQUE ET

D M

F

H

S

K

M'

Fig. 4

trice de FD, et cette médiatrice est la tangente en M à la parabole. Al-Kindī, nous l’avons montré, reprend la construction d’Anthémius.

M

F

D

K

Fig. 5

ASTRONOMIE

Dtrūms, quant à lui, ne fait pas appel à cette propriété foyerdirectrice, mais construit par points la parabole à l’aide de deux règles, à partir d’une propriété sur les rapports établie par lui auparavant. Si cette propriété sur les rapports est bien une propriété caractéristique, le fait est que Dtrūms lui-même ne l’a pas exposée, puisqu’il a négligé d’en démontrer la réciproque. Les autres textes considérés ici cessent d’être comparables dans cette perspective, celle de la propriété foyer-directrice ; soit en raison de son absence — comme dans le fragment de Bobbio — soit que l’on opère la construction de la parabole par un procédé différent de ceux de Dioclès et de Dtrūms : c’est le cas d’Ibn Sahl et d’Ibn al-Haytham. Ibn Sahl, pour sa part, procède par tracé continu. Il se sert dans sa

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construction du foyer et d’une droite parallèle à la directrice. La propriété foyer-directrice, MF = MD, donne immédiatement MK + MF = l, K étant la projection de M sur Δ et l la distance des deux droites parallèles. Ibn Sahl utilise alors un fil de longueur l, dont une extrémité est fixée au foyer F et l’autre au sommet K d’une équerre, qui glisse sur Δ. Un stylet placé en M décrit un arc de parabole. D

M

K

F

Fig. 6

La comparaison qui vient d’être établie semble donc confirmer les résultats de la première confrontation des textes. On peut donc sans trop de risques conclure : — L’étude de Dioclès semble n’avoir eu aucune influence directe sur les travaux d’Anthémius, de l’auteur du fragment de Bobbio et de Dtrūms. Traduit en arabe, ce texte de Dioclès n’a pas davantage influencé les travaux d’Ibn Sahl et d’Ibn al-Haytham. — L’étude par Anthémius du miroir parabolique, en revanche, a été reprise par al-Kindī. Elle circulait encore au x e siècle, comme l’attestent Ibn ʿĪsā et ʿUṭārid, sans cependant avoir d’impact sur les travaux ultérieurs, comme ceux d’Ibn Sahl et d’Ibn al-Haytham. En effet, même si ces derniers avaient lu le texte d’Anthémius, leur recherche était trop avancée pour qu’ils puissent en tirer un vrai profit. — Il n’y a aucun lien direct entre le fragment de Bobbio et celui d’Anthémius. Il n’y a non plus aucune trace du fragment de Bobbio en arabe, autant que nous le sachions. — Il est possible que le texte de Dtrūms ait été connu d’Ibn Sahl, mais dans ce cas, il n’aurait eu guère d’effet sur sa recherche — rapport en tous points comparable à celui qui lie la compilation de Dioclès et celle d’un auteur tardif, Ibn Ṣāliḥ 1. Il reste que la recherche en arabe sur les miroirs ardents s’est rapidement développée en extension et en compréhension, pour aboutir à une transformation de

‎1. Voir notre article à paraître « Les miroirs ardents d’Ibn Ṣāliḥ ».

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

l’ensemble du domaine, avec Ibn Sahl d’abord, et Ibn al-Haytham ensuite. — Enfin, cette étude de l’histoire du miroir parabolique confirme celle du miroir sphérique concave chez Dioclès, Dtrūms, l’auteur du fragment de Bobbio, al-Kindī et Ibn al-Haytham, que nous avons présentée ailleurs 1. Je viens de retracer l’histoire des miroirs ardents pendant un millénaire et demi : l’histoire des textes aussi bien que celle des concepts. Mais cette histoire ne s’arrête pas là. La recherche en ce domaine est restée bien vivante encore, pour un demi-millénaire au moins. À la suite d’Ibn al-Haytham, les mathématiciens de la Renaissance s’en font l’écho : Maurolico, Della Porta, .... D’autres s’y intéressent, comme le fameux Kircher. Kepler et Descartes en discutent en vue de la recherche anaclastique. Le Père Taquet, plus tard, s’en occupe lors de l’étude des section coniques. Newton, enfin, en personne, puis Buffon, lui portent un intérêt renouvelé : on souligne bien plus qu’auparavant le phénomène physique et l’effet cinétique de la focalisation. Newton a reproduit au cours de plusieurs réunions de la Royal Society une expérience, à l’aide d’un miroir ardent composé de sept miroirs concaves articulés, dont le diamètre est d’un pied. Tout se passe comme si le souvenir de l’architecte de Sainte-Sophie — Anthémius — ne voulait pas s’effacer. Si ce n’est qu’au lieu d’un système catoptrique de sept miroirs plans, on passe aux miroirs concaves. Voici donc un thème de recherche qui a traversé pas moins de deux millénaires, productif en géométrie, en optique et en technique. Ce thème a également fourni aux mathématiciens un domaine d’exercice, où ils se sont familiariés avec les valeurs expérimentales, comme il a offert aux historiens quelques instruments de réflexion sur les problèmes soulevés par les mathématiques appliquées.

‎1. Rashed, L’Optique et la Catoptrique dʾal-Kindī, p. 117-124.

THE CELESTIAL KINEMATICS OF IBN AL-HAYTHAM , 1

The astronomical work of Ibn al-Haytham From Pierre Duhem onwards, at least, historians of astronomy have been agreed that Ibn al-Haytham made an important contribution to the study of celestial kinematics. Some have paid particular attention to his criticisms of Ptolemy, criticisms that gave rise to the construction by his successors of new planetary models. But Ibn alHaytham is not seen as having participated in this work, merely as having made the criticisms. Other historians have seen his contribution as synthesizing the Almagest with an Aristotelian cosmology. But a careful historical reading of Ibn al-Haytham’s writings, including some new texts that have not previously been taken into consideration, shows that these two pictures of him are inaccurate. We find that Ibn al-Haytham tried to carry out a reform of astronomy, excluding any consideration of cosmology and developing the study of celestial kinematics. However, such a reading requires us to consider Ibn alHaytham’s astronomical work as a whole, so as to define the limits of his concerns and to exclude the writings that have been incorrectly ascribed to him, which distort any assessment of his contribution. The early bio-bibliographers—al-Qifṭī, Ibn Abī Uṣaybiʿa and an anonymous predecessor—tell us that Ibn al-Haytham wrote twentyfive astronomical works, 2 which means that a quarter of the eminent mathematician’s works were concerned with astronomy. Further, that is to say that he wrote twice as many works on this subject as

Paru dans Arabic Sciences and Philosophy, 17, 1, 2007, p. 7-55. ‎1. This article is an English translation of a slightly modified version of the Introduction in my most recent book, Les mathématiques infinitésimales du ix e au xi e siecle. Vol. V: Ibn al-Haytham: Astronomie, géométrie sphérique et trigonométrie (London, 2006). I am grateful to J. V. Field for translating this article from French into English, and for making comments that led to improvements in the text. It goes without saying that I alone am responsible for any remaining errors. ‎2. The first critical examination of what is known about Ibn al-Haytham and his writings is given in R. Rashed, Les mathématiques infinitésimales du ix e au xi e siecle. Vol. II: Ibn al-Haytham (London, 1993), together with a summary in the form of a table listing all his works, including those on astronomy (p. 511-35).

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

he did on optics, the field with which his name will always be associated. The number of writings alone indicates the huge size of the task accomplished by Ibn al-Haytham and the importance of astronomy in his life work. From the writings that have come down to us it becomes clear that, even if the author’s primary concerns are theoretical and mathematical, there was no part of astronomy that he neglected. Several treatises relate to technical applications of astronomy, others to methods of astronomical calculation, others again to procedures for making astronomical observations, and so on. One can nevertheless divide his writings into four groups, on the basis of surviving texts or, for lost texts, from titles mentioned in the books of early bibliographers. The first group consists of about ten treatises in which Ibn alHaytham is concerned with technical problems: Hour Lines (Fī Khutūṭ al-sāʿāt), Horizontal Sundials (Fī al-Rukhāmāt al-ufuqiyya), 1 The Direction of Mecca (Fī Samt al-qibla bi-al-ḥisāb), 2 Exact Determination of the Pole (Fī Istikhrāj irtifāʿ al-quṭb ʿalā ghāyat al-taḥqīq), Exact Determination of the Meridian (Fī Istikhrāj khaṭṭ niṣf al-nahār ʿalā ghāyat al-taḥqīq), The Correction of the Operations in Astronomy (Fī Taṣḥīḥ al-aʿmāl al-nujūmiyya), 3 and so on. The second group is made up of two treatises on astronomical observation: conditions for making observations, the errors that may occur in observation, and so on. The third group of writings is concerned with various questions and ranges of problems such as those relating to parallaxes, to the Milky Way and so on. The fourth group is concerned with astronomical theory and can in turn be divided into three subgroups: In the writings in the first of these, Ibn al-Haytham discusses the work of Ptolemy. We have three books, which are of great historical and theoretical interest: 1. Doubts concerning Ptolemy (Fī al-Shukūk ʿalā Baṭlamiyūs) 4 2. Corrections to the Almagest (Fī Tahdhīb al-Majisṭī) 3. Resolution of Doubts concerning the Almagest (Fī Ḥall shukūk fī kitāb alMajisṭī). ‎1. See our edition, translation and commentary of these two treatises in Les mathématiques infinitésimales, V, part II, chap. I and II. ‎2. See A. Dallal, “Ibn al-Haytham’s universal solution for finding the direction of the Qibla by calculation,” Arabic Sciences and Philosophy, 5.2 (1995): 145-93. ‎3. See Rashed, Les mathématiques infinitésimales, V, Appendix. II, p. 895. ‎4. Al-Shukūk ʿalā Baṭlamiyūs (Doubts concerning Ptolemy), ed. A. I. Sabra and N. Shehaby (Cairo, 1971).

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Of these three books, only the first and the third have come down to us. In the writings in the second subgroup Ibn al-Haytham examines individual celestial motions: 1. The Winding Motion (Fī Ḥarakat al-iltifāf ) 2. Resolution of Doubts concerning the Winding Motion (Fī Ḥall shukūk ḥarakat al-iltifāf ) 1 3. The Motion of the Moon (Fī Ḥarakat al-qamar) In this subgroup, only the last two texts survive. The third subgroup includes four titles: 1. The Different Heights of the Planets (Fī Ikhtilāf irtifāʿāt al-kawākib) 2. The Ratios of Hourly Arcs to their Heights (Fī Nisab al-qusiyy al-zamāniyya ilā irtifāʿātihā) 3. The Model 2 of the Motions of Each of the Seven Planets (Fī Hayʾat ḥarakāt kull wāhid min al-kawākib al-sabʿa) 4. The Model of the Universe (Fī Hay’at al-ʿālam) The first of these texts has come down to us, while the second has been lost. A part of the third survives; 3 the fourth is not to be identified with the apocryphal text of the same title. 4 This simple summary shows very clearly that this major body of astronomical work is far from being well known, apart from The Model of the Universe (whose authenticity is doubtful), the treatise The Different Heights of the Planets, and The Model of the Motions of Each of the Seven Planets. We also notice that in the three books in which Ibn al-Haytham mentions Ptolemy or the Almagest he does so in order to criticize the work. He indeed speaks of “Doubts,” of “Corrections,” of “Resolution of doubts”. If to that we add the criticism of Ptolemy put forward in The Resolution of Doubts concerning the Winding Motion, it is no exaggeration to describe Ibn al-Haytham’s researches as explicitly and deliberately designed as criticism and projects for reform. It remains to be seen when this project of reform was actually conceived, and what ‎1. A. I. Sabra, “Maqālat al-Ḥasan ibn al-Haytham fī ḥall shukūk ḥarakat aliltifāf,” Journal for the History of Arabic Science, 3.2 (1979): 183-212, 388-92. ‎2. The Arabic hayʾa could be translated equally by “configuration” or “model”. ‎3. See our edition, translation and commentary of treatises 1 and 3 in Les mathématiques infinitésimales, V, part I. ‎4. See R. Rashed, “The Configuration of the Universe: a Book by al-Ḥasan ibn alHaytham?”, Revue d’Histoire des Sciences, tome 60, numéro 1, janvier-juin 2007, p. 47-63 and Les mathématiques infinitésimales, V, Appendix. I

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its outcome was. Here our task is made harder by the fact that some treatises have been lost, and because it is difficult to date the writings that have survived. We know that The Doubts concerning Ptolemy was promised at the end of The Resolution of Doubts concerning the Winding Motion. We also know that The Resolution of Doubts concerning the Almagest was completed after August 1028, the date when Ibn al-Haytham finished The Halo and the Rainbow, which he cites. 1 Lastly, we know that these four books must have been composed at different times. So the order of composition is: The Winding Motion, The Resolution of Doubts concerning the Winding Motion and, finally, The Doubts concerning Ptolemy. Like the Resolution of Doubts concerning the Almagest, these three treatises were all composed before 1038, as we learn from the list of Ibn al-Haytham’s writings up to that date. So it seems that around 1028, and certainly before 1038, Ibn al-Haytham was actively engaged with astronomy. Although we cannot speak for the content of the Corrections to the Almagest, because the text is lost, the titles of these works make it obvious that Ibn al-Haytham took a critical stance. It is clear that this critical attitude is common to all the titles we have mentioned so far. Even in his book The Motion of the Moon, also composed before 1038, where he makes a point of explaining the difficulties in Ptolemy as the result of a first reading, Ibn al-Haytham does not completely abstain from making criticisms. That is to say that his criticisms, far from being merely incidental, are an expression of dissatisfaction with Ptolemy’s astronomy. To get a measure of how radical these criticisms of Ptolemy are, by way of example we shall look at what Ibn al-Haytham says in reply to an anonymous scholar who had criticized his treatise The Winding Motion: From the statements made by the noble Shaykh, it is clear that he believes in Ptolemy’s words in everything he says, without relying on a demonstration or calling on a proof, but by pure imitation (taqlīd); that is how experts in the prophetic tradition have faith in Prophets, may the blessing of God be upon them. But it is not the way that mathematicians have faith in specialists in the demonstrative sciences. And I have taken note that it gives him (i.e., noble Shaykh) pain that I have contradicted Ptolemy, and that he finds it distasteful; his statements suggest that error is foreign to Ptolemy. Now there are many errors in Ptolemy, in many passages in his books. Among others, what he says in the Almagest: if one examines it carefully one finds many contradictions. He (i.e., Ptolemy)

‎1. In fact, Ibn al-Haytham himself transcribed his book The Halo and the Rainbow (Fī al-Hāla wa-qaws quzaḥ) in the month of Rajab 419 of the Hegira, that is at the beginning of August 1028. Ibn al-Haytham refers to this book and to his Optics in his Resolution of Doubts concerning the Almagest (Fī Ḥall shukūk fī kitāb al-Majisṭī); see Aligarh, MS ʿAbd al-Ḥayy n o 21, fol. 12r and Istanbul, MS Beyazıt, 2304, fol. 8v.

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has indeed laid down principles for the models he considers, then he proposes models for the motions that are contrary to the principles he has laid down. And this not only in one place but in many passages. If he (i.e., noble Shaykh) wishes me to specify them and point them out, I shall do so. I resolved to write a book to establish the truth in the science of astronomy; in it I show the contradictory passages in the Almagest, then the correct passages, and I show how to correct the [faulty] passages. He made many mistakes in the Book on Optics, one of which was a mistake in the proof concerning the shape of mirrors, which shows how uncertain his grasp was. As for his Book on Hypotheses, if one examines the notions he propounded in the second chapter and the models he put forward using spheres and parts of spheres, the demonstration [of the models] is immediately seen to be refuted and flawed. In my reply I have shown his error in regard to the two parts of the sphere, which he postulated for the epicycle, and I have explained with an irrefutable demonstration; and I have shown that, whatever cases one postulates for the [two] parts of spheres, one obtains an indefensible impossibility. 1

This radical critique has led many historians to believe that Ibn al-Haytham’s purpose was merely the limited one of criticism, or

‎1. St Petersburg, MS B1030 /1, fol. 19v:

‫دقو نيبت يل نم فيعاضت مالك يالوم خيشلا هنأ قدصي لوق سويملطب يف عيمج ام هلوقي نم ريغ دانتسا ىلإ‬

‫ءايبنألا تاولص هللا‬، ‫ةجح لب اًديلقت ؛اًضحم اذهو وه داقتعا باحصأ ثيدحلا يف‬، ‫ناهرب الو ليوعت ىلع‬

‫ةيناهربلا هتدجوو اًضيأ بعصي هيلع يطيلغت‬. ‫مهيلع سيلو اذه داقتعا باحصأ ميلاعتلا يف باحصأ مولعلا‬.

‫طلغلا سويملطبلو طالغأ ةريثك يف‬. ‫هنم رهظيو نم همالك نأ سويملطب ال زوجي هيلع‬، ‫سويملطبل ضعتميو‬ ‫ةضقانتم كلذو هنأ ررق‬، ‫رظنلا دجو هيف ءايشأ‬، ‫ اذإ ققح هيف‬، ‫هبتك اهنمف نأ همالك يف يطسجملا‬. ‫عضاوم ةريثك نم‬ ‫اًدحاو لب‬، ‫اهررق تسيلو اًعضوم‬. ‫اهركذي مث ىتأ تائيهب تاكرحلل ةضقانم لوصألل يتلا‬، ‫اًلوصأ تائيهلل يتلا‬

‫تلعف‬. ‫اهنيبأو‬، ‫ةريثك نإف بحأ نأ اهفشكأ‬. ‫عضاوم‬

‫ةئيهلا نيبأو هيف اًلوأ عضاوملا ةضقانتملا نم‬، ‫دقو تنك تممزع نأ لمعأ اًباتك يف قيقحت قحلا نم ملع‬

‫ةضقانتملا هلو طالغأ يف‬. ‫هنم مث نيبأ فيك ققحت عضاوملا‬، ‫ مث نيبأ عضاوملا ةحيحصلا‬، ‫باتك يطسجملا‬ ‫هروصت‬. ‫باتكلا رظانملا؛ اهنمف طلغ يف ناهربلا يف لكش نم ايارملا لدي ىلع فعض‬ ‫امأف باتك صاصتقالا نإف يناعملا يتلا اهركذ يف ةلاقملا ةيناثلا تائيهلاو يتلا اهررق ركألاب تاروشنملاو اذإ‬

‫لاحلا دق تنيب هطلغ يف اذه باوجلا يف نيروشنملا‬. ‫ققح رظنلا اهيف لطب اهرثكأ لحمضاو يفو لجاع‬

‫هيف تنيبو هنأ ىلع يأ عضو ضرف ناروشنملا‬، ‫ريودتلا هتحضوأو ناهربلاب يذلا ال كش‬، ‫نيذللا امهضرف كلفل‬ ‫هيف‬. ‫ضرع امهنم لاحملا يذلا ال ردع‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

as it is sometimes called ‘aporetic’. 1 However, this is not so. During this same period, that is before 1038, Ibn al-Haytham had done some work on a problem that was later to prove fundamental: the heights of planets in the course of their motion. Moreover, in all his other critical writings apart from Doubts concerning Ptolemy, Ibn al-Haytham tries to resolve particular problems encountered in the Almagest, notably those that are not connected with the work’s theoretical structure. That is to say that even at this stage the criticism is also a heuristic strategy. This will become still more apparent when we look at the consequences. It is in the course of these researches, and after carrying out further work to bring them to maturity, that Ibn al-Haytham conceived the idea of writing his monumental book The Model of the Motions of Each of the Seven Planets, in which he sets out the details of his new astronomy. That is to say that this last book—in which he again takes up the problem of heights—is the ultimate result of his critical and inventive researches carried out during at least two decades before 1038, and which was very probably not published until shortly after that date. Now, by an ironic chance, there has recently been a confident attribution to our mathematician, al-Ḥasan ibn al-Haytham, of a Commentary on the Almagest, written in strictly Ptolemaic terms, and composed by someone of the same name, a philosopher with an interest in the sciences, but not himself a mathematician, called ‎1. Because of this intention to criticize, which is clearly stated, some historians have followed S. Pines in believing that Ibn al-Haytham can be seen as belonging to an ancient aporetic tradition. Thus we find the mathematician placed in the same category as the eminent physician al-Rāzī, the author of the famous Doubts concerning Galen. This is to overlook an important difference that specifically separates Ibn al-Haytham, al-Rāzī and many others in a very wide range of disciplines, from this so-called aporetic tradition. Indeed, it is one thing to raise difficulties and criticize solutions, quite another to criticize for constructive purposes. For innovative research, of whatever kind, criticism is an integral part of the heuristic procedure. For instance, Ibn al-Haytham’s doubts and criticisms were not put forward as arguments for a principle, but as statements the mathematician strove to prove mathematically and with the help of disciplined observations. More importantly still, these doubts and criticisms cannot be understood except in the light of what is in some sense Ibn alHaytham’s final work: The Model of the Motions of Each of the Seven Planets. It is thanks to his endeavours to provide a firmer footing for Ptolemy’s astronomy by ridding it of its internal inconsistencies that Ibn al-Haytham discovers that to prepare the way for this reformulation he needs to separate an account of the motions—that is celestial kinematics—from cosmology. In short, in the case of Ibn al-Haytham, it is not possible to separate doubts and criticisms from a conscious aim to make fundamental reforms. See S. Pines, “Ibn al-Haytham’s critique of Ptolemy,” in Actes du dixième Congrès international d’histoire des sciences, 1, n o 10 (Paris, 1964), pp. 547-50 and Id., “What was original in Arabic science,” in A. C. Crombie (ed.), Scientific Change (Leiden, 1963), pp. 181-205.

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Muḥammad ibn al-Haytham. 1 Confusion naturally reaches a peak when this text is cited by way of introduction to a deliberately critical book such as the Doubts. Such confusion necessarily creates a false impression and makes it impossible to understand al-Ḥasan ibn alHaytham’s astronomy. But, as we have already seen, Ibn al-Haytham is the subject of another misapprehension, on the part of historians of astronomy. For centuries he has been supposed to be the author of the book called On the Model of the Universe (Fī Hayʾat al-ʿālam). This book, which is cited by early bio-bibliographers, was translated into Hebrew and into Latin. Y. T. Langermann, who edited and translated the text, says about it: “Many of the sharp criticisms of Ptolemy which are developed in the Doubts can, in fact, be directed equally well at On the Configuration [i.e., The Model of the Universe], which faithfully mirrors the astronomical theory of the Almagest. 2 I have added some further observations that cast doubt on the attribution of such a work to Ibn al-Haytham. 3 To escape from so flagrant a contradiction, one is tempted to claim that this is an early work. But there is no evidence to support such a conjecture. On the contrary. In fact, even in regard to much less significant matters, when Ibn al-Haytham returns to a subject he has treated before, he is in the habit of referring back to his first treatment and warning the reader that it is now superseded by the present one. 4 One would therefore, a fortiori, expect a similar gesture here, particularly since he would be in the process of criticizing the theses defended in the first treatment. But it does not happen. So our present knowledge of Ibn al-Haytham’s astronomical work is: some people see no difficulty in attributing to him a thoroughly traditional Commentary on Ptolemy, or a treatise that conforms strictly to Ptolemy, and ignore the contradiction with Ibn al-Haytham’s Doubts and his criticisms. Others, with good reason, note the contradiction, but stop there. Others still, of much earlier date, concentrate on the Doubts and express regret that

‎1. In the introduction to the printed edition of al-Shukūk (note 3), A. Sabra believes it is possible to shed light on the critical text of this book by calling upon the Commentary on the Almagest of Muḥammad ibn al-Haytham, a book which follows Ptolemy to the letter. This strange enterprise stems from the long-standing confusion between Muḥammad ibn al-Haytham and al-Ḥasan ibn al-Haytham. On this matter, see Rashed, Les mathématiques infinitésimales, II, 8-19; III, 937-41 and IV, 957-9. ‎2. Y. Tzvi Langermann, Ibn al-Haytham’s On the Configuration of the World (New York / London, 1990), p. 8. ‎3. See Rashed, Les mathématiques infinitésimales, V, Appendix I. ‎4. See for example Ibn al-Haytham, Le Traité exhaustif sur les figures des lunules, in Rashed, Les mathématiques infinitésimales, II, 102-3; also V, 267.

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Ibn al-Haytham was satisfied merely to criticize Ptolemy, without proposing another “astronomy”. Thus the astronomer al-ʿUrḍī (who died in 1266) writes: No one came after him (Ptolemy) to bring that art (astronomy) to completion in a correct manner; no modern scholar has added anything at all to his work or subtracted anything from it, instead, all have followed him. Some among them have raised doubts, but without contributing more than the expression of doubts, such as Ibn al-Haytham and Ibn Aflah of Andalusia. 1

If we simply take them at face value, these words of al-ʿUrḍī are surprising for several reasons. They would seem to ignore what was achieved by Thābit ibn Qurra (826-901) and likewise all the other contributions which were made in the course of three centuries of mathematical astronomy; they would seem to place very little value on the secure observational results obtained by astronomers since the beginning of the ninth century, and they likewise seem to pass over work on instruments; they would also seem to reflect a mistaken outlook, one that had become more extreme in our time, according to which there existed an independent tradition of mathematical astronomy dedicated to criticizing errors in Ptolemy; finally, they would seem to indicate that al-ʿUrḍī knew no other astronomical text by Ibn al-Haytham apart from the Doubts concerning Ptolemy. Now, all this is very improbable, coming as it does from an astronomer like al-ʿUrḍī, the more so since his future “boss” at Marāgha, Nasīr al-Dīn al-Ṭūsī knew, at least, Ibn al-Haytham’s book The Winding Motion, in which Ibn al-Haytham proposes a model of this motion that combines kinematics with some cosmology. 2 Everything points to

‎1. Muʾayyad al-Dīn al-ʿUrḍī: Kitāb al-Hayʾah, Edition with English and Arabic Introductions by G. Saliba, Tārīkh al-ʿulūm ʿind al-ʿArab 2 (Beirut, 1990), p. 214:

‫نيرخأتملا ملو صقني اًئيش‬، ‫باوصلا ملو دزي دحأ نم‬، ‫ملو تأي نم هدعب نم لمكي ذه ةعانصلا ىلع هجولا‬

‫مهعمجأب مهنمو نم ككش ملو تأي ءيشب ريغ ركذ كشلا طقف يبأك يلع نب‬، ‫هلمع نكل هوعبات‬، ‫ىلع ام‬ ‫يبرغملا‬. ‫مثيهلا نباو حلفألا‬

‎2. According to what is reported by Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī, on the basis of a text by Ibn al-Haytham that is now lost (see F. J. Ragep, Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī: Memoir on Astronomy (al-Tadhkira fī ʿiim al-hayʾa), 2 vols. [New York, 1993], vol. I, pp. 215-17), the matter concerned is the deviation of the apogee and perigee of the epicycle as well as the two points on the epicycle at mean distance. Ibn al-Haytham seems to intend to construct a model using solid orbs as the mechanism for the motion. In this model, Ibn al-Haytham adds three solid orbs for the epicycles of the superior planets and five solid orbs for the inferior planets, so as to take account of the various deviations noticed by observers.

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the explanation being that al-ʿUrḍī wanted to emphasize that Ibn alHaytham had not proposed a model of the Universe based jointly on the two traditions—that of the Almagest and that of the Planetary Hypotheses—a model in which celestial kinematics and a cosmology are combined in such a way that the resulting planetary theory is coherent and capable of making predictions that are as accurate as possible; in other words a model (hayʾa), like the one that al-ʿUrḍī thought he had constructed in his own book. 1 And in fact al-ʿUrḍī’s criticism, which in one sense misses the point, is in another sense justified. Ibn al-Haytham did indeed write an Astronomy, which will be discussed below. In this Astronomy, Ibn alHaytham has understood that a genuine reform does not consist of constructing a model in the sense in which this was understood by alʿUrḍī, but in establishing a kinematic system, on a solid mathematical basis, before thinking about any kind of dynamics.

The Model of the Motions of Each of the Seven Planets Ibn al-Haytham’s Model of the Motions of Each of the Seven Planets is a monumental achievement. 2 It deals with the “model,” or the “structure” (hayʾa), that is to say with a new astronomy or a new theory of the planets. The book, whose mathematical content is at the cutting edge of the science of its time, and which describes work that is both innovative and important, has come down to us in a single manuscript, which is in a pitiful state: a substantial part of it has been ‎1. Later, Ibn al-Shāṭir expressed a more qualified opinion than that of al-ʿUrḍī. This can be found in The New Zīj (Al-zīj al-jadīd, Oxford, Bodleian Library, MS Arch. Seld. A30, fol. 2 r):

‫تدجو لضافأ نيرخأتملا لثم يطيرجملا يبأو ديلولا يبرغملا نباو مثيهلا ريصنلاو يسوطلا ديؤملاو يضرعلا‬

‫ةروهشملا وهو بهذم‬، ‫بطقلاو يزاريشلا نباو ركش يبرغملا مهريغو دق اودروأ ىلع ةئيه كالفأ بكاوكلا‬

‫ةيعيبطلاو مث اودهتجا يف عضو لوصأ‬، ‫سويملطب اهيف كوكش ةينيقي ةفلاخم امل ررقت نم لوصألا ةيسدنهلا‬، ‫لوصألا ملف اوقفوي ىلع كلذ اوفرتعاو كلذب يف‬، ‫يفت تاكرحلاب ةيلوطلا ةيضرعلاو نم ريغ ةفلاخم امل هيضتقت‬ ‫مهبتك‬.

“I have noticed that eminent modern scholars, such as al-Majrīṭī, Abū al-Wal•ld al-Maghribī [Averroes], Ibn al-Haytham, Naṣīr al-Ṭūsī, Muʾayyid al-Dīn al-ʿUrḍī, Quṭb al-Shīrāzī and Ibn Shukr al-Maghribī, have expressed doubts about the model of the orbs of the planets, that is the system of Ptolemy, doubts that contest the geometrical and physical principles [he] established, and they [the scholars] have then proceeded to work to put in place principles adequate to [explain] the motions in longitude and in latitude, among those that do not contest what these principles demand. They have not succeeded in this and have admitted as much in their books”. ‎2. Rashed, Les mathématiques infinitésimales, V, part I.

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cut away, the leaves are out of order, damp has made some parts illegible and the handwriting is hard to decipher. 1 The Model of the Motions of Each of the Seven Planets—which we shall henceforth refer to as The Model of the Motions—was originally in three books: the first was mathematical astronomy, in which Ibn al-Haytham gives details of his planetary theory; the second was devoted to astronomical calculation or, as he writes, “all the operations of calculation”; and the third was concerned with an astronomical instrument, one that was easy to manipulate, and designed for precise calculation of the heights of the sun and the planets. Of this complete volume, only the planetary theory has come down to us. The bulk of this first section is a reminder of the original size of the work before so much of it was lost, and allows us to grasp something of the magnitude of the task Ibn al-Haytham undertook. It is very probable that he wanted this book to take in all parts of astronomy, just as his Book on Optics had taken in all parts of that subject. But, equally, it also shows us that, at this time, a book about the model (hayʾa) would cover several areas of investigation, not only one: a planetary theory, a study of the procedures used in the astronomical calculations needed for compiling tables showing the parameters required for calculating positions of planets—the zījs; and research on astronomical instruments. The first book, which has come down to us, is on the theory of planetary motion; it also includes the introduction to the work as a whole, in which Ibn al-Haytham explains the organisation of the work and the style of presentation. In this introduction Ibn alHaytham states that the style is that of demonstration, and that The Model of the Motions supersedes all the works he has previously written on the same subjects. This introduction is followed by mathematical text that takes up slightly less than half the section. This work deals with fifteen propositions which feature as lemmas in the construction of the planetary theory. This latter working appears in the last part of the surviving text. We note that in the first part Ibn al-Haytham breaks new ground in the mathematics of infinitesimals since he is explicitly concerned with variations, variations of elements of a figure as a function of other elements, variations of ratios and variations of trigonometrical relationships. In this new area of research Ibn al-Haytham employs infinitesimal geometry and compares finite differences. This work on variable quantities, set in train by the needs of astronomy, made them a part of the geometry of infinitesimals.

‎1. MS St. Petersburg, 600 (previously Kouibychev, V.I. Lenin).

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Once he has completed this mathematics, Ibn al-Haytham is in a position to construct his planetary theory. But the length of the treatment and the deep nature of the mathematics in this part of the work are indicative of one of the motives that drive Ibn al-Haytham in his astronomical research: he wants to make planetary theory even more, and much more systematically, mathematical. Here, as in other disciplines, Ibn al-Haytham is following the procedure laid down by his predecessors, from Thābit ibn Qurra onwards, but going more deeply into things and more widely and pushing on further. If we forget this purpose we shall not understand The Model of the Motions. But for this further mathematisation to be possible, in a framework that continues to be geometric, and so that it can take place without running up against the inconsistencies in Ptolemy that have already been censured in the Doubts, Ibn al-Haytham is compelled to rethink the fundamental tenets of Ptolemaic astronomy. Thus in his eyes this systematic mathematisation, far from being a merely instrumental or linguistic task, was an undertaking that truly engaged with theory. That is how Ibn al-Haytham came to devise a new planetary theory—one that does not concentrate on anomalies—by starting by separating kinematics from cosmology. In the Doubts, Ibn al-Haytham comes to the conclusion that “the model (hayʾa) Ptolemy assumes for the motions of the five planets is a false model”. 1 A few lines further on he continues: “The order in which Ptolemy had placed the motions of the five planets conflicts with the theory ”. 2 A little later he states: The models that Ptolemy assumed for the the five planets are false models; he decided on them knowing they were false, because he was unable other ones. For the motions of the five planets there is a true model to be found in (i.e., from) the actual bodies, a model Ptolemy did not obtain and which he did not arrive at. 3

After making remarks such as these, and many others like them in several places in his writings, a mathematician of Ibn alHaytham’s stature, one who had infinite respect for Ptolemy, as is

‎1. Al-Shukūk ʿalā Baṭlamiyūs, ed. Sabra and Shehaby, pp. 34:

‫ةلطاب‬. ‫دقف نيبت نم عيمج ام هانركذ نأ ةئيهلا يتلا اهررق سويملطب تاكرحل بكاوكلا ةسمخلا يه ةئيه‬ ‎2. Al-Shukūk ʿalā Baṭlamiyūs, ed. Sabra and Shehaby, p. 33-4:

‫سايقلا‬. ‫بيترتلاف يذلا هبتر سويملطب تاكرحل بكاوكلا ةسمخلا جراخ نع‬

‎3. Al-Shukūk ʿalā Baṭlamiyūs, ed. Sabra and Shehaby, p. 42:

‫ةلطاب هنأل مل‬، ‫ةلطاب اهررقو ىلع ملع هنم اهنأب‬، ‫تائيهلاف يتلا اهضرف سويملطب بكاوكلل ةسمخلا يه هئيه‬

‫اهيلإ‬. ‫اهريغ تاكرحلو بكاوكلا ةئيه ةحيحص يف ماسجأ مل فقي اهيلع سويملطب الو لصو‬. ‫ردقي ىلع‬

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proved by other comments, had no option but to construct a planetary theory of his own, on a solid mathematical basis, and free of the internal contradictions found in his predecessor. It was precisely the realisation of this programme for which Ibn al-Haytham intended his treatise The Model of the Motions. Most of the serious contradictions that Ibn al-Haytham censures set the Almagest against the Planetary Hypotheses. If we wish to describe the irreducible inconsistencies that, according to Ibn al-Haytham, vitiate Ptolemy’s astronomy, we may say that they arise from the lack of fit between a mathematical theory of the planets and a cosmology. Ibn al-Haytham had experience of similar, though of course not identical, situations when, in optics, he encountered the inconsistency between geometrical optics and physical optics as understood by philosophers. In reforming optics he opted, so to speak, for a “positivism” (before the term was invented): we do not go beyond experience, and we cannot be content to use pure concepts in investigating natural phenomena. Understanding of these cannot be acquired without mathematics. Thus, once he has assumed light is a material substance, Ibn al-Haytham does not discuss its nature further, but confines himself to considering its propagation and diffusion. In his optics “the smallest parts of light,” as he calls them, retain only properties that can be treated by geometry and verified by experiment; they lack all sensible qualities except energy. That is to say we begin by insisting on making optics geometrical, or on reforming geometrical optics, leaving aside the “why” questions that have to do with teleological physics, but prepared to introduce them later when we come to physical optics. It can be shown that this imposition of geometry led Ibn al-Haytham to study the propagation of light in kinematic—mechanical—terms. 1 Ibn al-Haytham adopts a similar approach in astronomy: in The Model of the Motions he deals with the apparent motions of the planets, without ever raising the question of the physical explanation of these motions in terms of dynamics. It is not the causes of celestial motions that interest Ibn al-Haytham, but only the observed motions in space and time. Thus, to proceed with the systematic mathematical treatment, and to avoid the obstacles encountered by Ptolemy, he first needed to break away from any kind of cosmology. And, in fact, in this treatise Ibn al-Haytham does not call upon the theory of material spheres, which

‎1. R. Rashed, “Optique géométrique et doctrine optique chez Ibn al-Haytham,” Archive for History of Exact Sciences, 6.4 (1970): 271-98; repr. Optique et Mathématiques: Recherches sur l’histoire de la pensée scientifique en arabe, Variorum reprints (Aldershot, 1992), II.

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had appeared in his Resolution of Doubts concerning the Winding Motion and in the Doubts concerning Ptolemy. Thus the purpose of Ibn al-Haytham’s Model of the Motions is clear: to construct a geometrical kinematics. Ibn al-Haytham’s second intention is implied by the first one: to avoid the difficulties found in Ptolemy’s astronomy. In the Resolution of Doubts concerning the Almagest, he states that “in the Almagest as a whole there are doubts (aporias) too numerous for one to list them”. 1 All the same, in the Doubts concerning Ptolemy he distinguishes between doubts that can be resolved without modifying the structure of the theory and those whose elimination requires the theory to be subjected to radical reform. 2 One of the best examples of the latter type is the concept of the equant, exposed as an error in the Doubts and banished from The Model of the Motions. Ibn al-Haytham rejects the idea because one cannot, at the same time, suppose that a sphere rotates uniformly on its axis and suppose that this same rotation takes place about a line that is not a diameter of the sphere. In rejecting the equant, Ibn al-Haytham is already distancing himself very considerably from Ptolemy. As the author of two books on astronomical observation and the errors to which it is subject, and moreover as one who is well informed regarding the wealth of observations built up over two centuries, Ibn al-Haytham’s third intention in writing The Model of the Motions is to construct a planetary theory which explains these observations. These three intentions: mathematisation, avoiding Ptolemy’s contradictions and accounting for the observations, work together to fulfil Ibn al-Haytham’s overall purpose for The Model of the Motions, that is to set up a completely geometrical celestial kinematics. But in ‎1. Fī Ḥall shukūk al-Majisṭī, Istanbul, MS Beyazıt 2304, fol. 195r:

‫ىصحت‬. ‫يفو عيمج يطسجملا كوكش رثكأ نم نأ‬ ‎2. Al-Shukūk ʿalā Baṭlamiyūs, ed. Sabra and Shehaby, p. 5:

‫هبتك امنإو ركذن عضاوملا ةضقانتملا طالغألاو يتلا ال‬، ‫انسلو ركذن يف هذه ةلاقملا عيمج كوكشلا يتلا يف‬

‫طقف يتلا ىتم مل جرخي اهل هوجو ةحيحص تائيهو ةدرطم تضقتنا يناعملا يتلا اهررق تاكرحو‬، ‫لَّوأت اهيف‬

‫ةررقملا يهو لحنت نم ريغ نأ صقتني‬، ‫اهلصح امأف ةيقب كوكشلا اهنإف ريغ ةضقانم لوصألل‬. ‫بكاوكلا يتلا‬ ‫ريغتي‬. ‫ءيش نم لوصألا الو‬

“We shall not mention in this book all the doubts contained in his works, but shall only mention the passages that contradict one another and the mistakes that cannot be rectified; the ideas he has put in place, and the motions of the planets he has arrived at, collapse if we cannot obtain true methods or uniform models or these passages and these errors. As for the remaining doubts, they do not impute error to the established principles and they can be resolved without any of these principles being overturned or altered”.

448

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

order to achieve this he needed to find a way of measuring time. To this end, he introduced a new concept, that of “required time,” that is a period of time measured by an arc. A close examination of the way he organizes his exposition of his planetary theory shows that Ibn al-Haytham begins by proposing simple models—that is simple descriptive models—of the motions of each of the seven planets. As the exposition progresses, he makes the models more complicated and increasingly subordinates them to the discipline of mathematics. This increasingly mathematical formulation led him to regroup the motions of several planets as a single model. And it is precisely the mathematical nature of the model which makes this regrouping possible, specifically starting from Proposition 24. This step obviously has the effect of privileging a property that is common to several motions. In this way Ibn al-Haytham opens up the way to achieving his principal objective: to establish a system of celestial kinematics, this without as yet formulating the concept of instantaneous speed, but with the help of the concept of mean speed, represented by a ratio of arcs. Here we shall explain the principal results Ibn al-Haytham obtained. A detailed commentary together with an edition of the text and a French translation of it is published elsewhere. 1

The structure of The model of the motions The first section of The Model of the Motions, the section that has come down to us, divides into two parts. The first, which is mathematical and chiefly devoted to the study of variable quantities, comprises 15 propositions. The second part deals with planetary theory. Work on variable quantities

The fifteen propositions with which the section begins may be separated into several groups. The first consists of the first four propositions, which deal with the variation of trigonometrical functions such as sin x/x. Ibn al-Haytham gives rigorous proofs of the following propositions:

‎1. Rashed, Les mathématiques infinitésimales, V, part I.

THE CELESTIAL KINEMATICS OF IBN AL-HAYTHAM

449

1. If the measures in radians of the arcs a and a1 of a circle are such that a + a1 ≤ π/2 and a > a1 , then a sin a > a1 sin a1

a + a1 sin (a + a1 ) > . a1 sin a1

and

2. If the measures in radians of the arcs a and a1 of a circle and of the arcs β and β1 of a different circle are such that β + β1 < a + a1 < then

π 2

a β 1 = = a1 β1 k

and

sin a sin β < sin a1 sin β1

(where k < 1),

sin a sin β < . sin ka sin kβ

or

As a corollary to this proposition, Ibn al-Haytham proves that

sin (β + β1 ) sin (a + a1 ) < sin a1 sin β1

sin (1 + k)a sin (1 + k)β < . sin ka sin kβ

or

Ibn al-Haytham had proved this proposition in his treatise On the Hour Lines. 1 3. If the measures in radians of the arcs a and a1 of a circle and of the arcs β and β1 of a different circle are such that β + β1 < a + a1 ≤

π 2

sin (β + β1 ) sin (a + a1 ) = , sin β1 sin a1

and

then β . a1 β1

sin (β + β1 ) sin (a + a1 ) ≤ , sin β1 sin a1 β + β1 a + a1 < β1 a1

and

β a < . β1 a1

‎1. Rashed, Les mathématiques infinitésimales, V, part II.

450

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

The second group is made up of the following three propositions—5, 6 and 7—which also deal with variable quantities and variable ratios. In the first two—5 and 6—Ibn al-Haytham considers changes in the angular position of a point on a quadrant of a circle. In proposition 7, he examines changes in right ascension. In the course of these propositions he compares finite differences, calls upon ideas about the geometry of infinitesimals and makes use of the Sine Rule (which was known to mathematicians of the time such as Abū al-Wafāʾ al-Būzjānī and Ibn ʿIrāq). 1 In propositions 5 and 6, Ibn al-Haytham considers a sphere with centre ω on which positions are described with respect to a great circle ABC of diameter AC, its pole K and the great circle KC orthogonal to ABC [Fig. 1]. A great circle of diameter AC cuts the arc KB in the point D. With any point, such as H, on the arc CD there is associated a great circle KH that cuts the arc CB in the point P, and a circle through H parallel Ň The Ŋ = CU. to (ABC) which cuts the arc KC in the point U, we have PH arcs PH and CP are, respectively, the inclination (the declination if the reference circle is the equator) and the right ascension of the point H with respect to the circle ABC.

Fig. 1

Ŋ First of all, Ibn al-Haytham considers how the inclination of PH varies when the point H describes the arc CD.

‎1. M.-Th. Debarnot, Al-Bīrūnī: Kitāb maqālīd ʿilm al-hayʾa. La Trigonométrie sphérique chez les Arabes de l’Est à la fin du x e siècle, Institut Français de Damas (Damascus, 1985).

THE CELESTIAL KINEMATICS OF IBN AL-HAYTHAM

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Let the (rectilinear) dihedral angle between the planes ABC and Ŋ = x and PH Ň = a. Let us put CH Ŋ= [ = a, so BD ADC be a, we have BωD π Ň CU = y, we have 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ a. The proposition is in two parts which can be summarized as follows [Fig. 2]: (a) The arc CD is divided into n equal parts at the points with spherical abscissae xi , 0 ≤ i ≤ n, x0 = 0 and xn = π/2. For Δx = xi − xi−1 = π/2n we have Δy = yi − yi−1 . We show that Δy decreases when i increases from 1 to n. In other words, y is a concave function of x. (b) We consider two equal arcs with a common endpoint, with xi < xj < xk and xj − xi = xk − xj .

Fig. 2

We show that from (a), we have yj − yi > yk − yj . This result may be expressed in the form xk − xj yk − yj > , xj − xi yj − yi or as

yk − yj yj − yi < , xk − xj xj − xi

which is to say that the gradient of the graph of y as a function of x decreases as x increases. Proposition 6 extends this result to unequal arcs, such as arcs IJ and JK, where xi < xj < xk and xj − xi ̸= xk − xi . – If the two arcs in question that have an endpoint in common are commensurable, the result follows from (a) and (b). – In the case where the same two arcs are incommensurable, Ibn al-Haytham gives a reductio ad absurdum argument to show that it

452

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

is impossible to have xk − xj yk − yj ≤ . xj − xi yj − yi We note that after proving the required inequality holds when the magnitudes are commensurable, Ibn al-Haytham proves the general case by “extension by continuity” giving a rigorous abductive (apagogic) proof, and by applying his extension of Proposition 1 of Elements X. So we have an argument based on infinitesimals for extending by continuity an inequality for which we have, as yet, no earlier example. We also note that Ibn al-Haytham is treating arcs and angles as magnitudes to which one can apply the theory of proportions. Let us now return to his discussion of the variation of the inclination and show that his results are correct: Ň = x. We have y = f(x). Ŋ as a function of CP Let us put y = PH  In the spherical triangle CHP, the arcs PH and PC are orthogonal, b = π/2, and the angle between arcs CP and CH is that between so P b = a. [ so we have C their tangents and it is equal to BωD, The relation Ŋ Ŋ sin CH sin PH

b sin P

=

b sin C

therefore gives

sin x =

sin y ; sin a

so y as a function of x is given by

sin y = sin a · sin x,

y = arcsin(sin a · sin x),

we have

cos y dy = sin a · cos x dx, that is yx′ (x) =

dy sin a · cos x =p ; 2 2 dx 1 − sin a · sin x

from which it follows that y′′ = −

sin a · cos2 a · sin x (1 − sin2 a · sin2 x) 2 3

.

Ŋ = f(x) So for 0 < x < π/2, we have y ′ > 0 and y ′ ′ < 0, y = PH increases from 0 to a.

THE CELESTIAL KINEMATICS OF IBN AL-HAYTHAM

453

But f ′ (x) decreases over the interval [0, π/2] and the function f is thus concave; so xm − xk ym − yk > . xj − xi yj − yi If in this expression we take:

• xm − xk = xj − xi = π/2n, we recover the result for (a). • xm − xk = xj − xi , we recover the result for case (b), for equal arcs. • xm − xk ̸= xj − xi , we recover the result for case (c), for unequal arcs. – If xj = xk , the arcs concerned are contiguous. – If xj < xk , the arcs concerned are disjoint. In the seventh proposition [Fig. 3], Ibn al-Haytham considers the Ň when the point H describes the arc CD. right ascension CP Ŋ = x and CP Ň = z for 0 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ z ≤ π/2. We put CH (a) as in considering the inclination, we divide the arc CD into n equal parts at points with spherical abscissa xi . For the increment Δx = xi − xi−1 the corresponding increment in the right ascension, Δz = zi − zi−1 , and using Menelaüs’ theorem for the arcs of great circles, we show that Δz increases when i increases from 1 to n. (b) Ibn al-Haytham next says that, as in the treatment of the inclination, one can generalize this result by considering two arcs lying on the arc CD arcs that are equal to one another or unequal, contiguous or disjoint, and commensurable or incommensurable. Thus for arcs Ii Ij and Ik Im with xi < xj ≤ xk < xm one will have xm − xk zm − zk ≤ . xj − xi zj − zi In other words, z is a convex function of x. Let us return to his discussion of the right ascension. Ň as a function of x = CH, Ŋ when H describes the Considering z = CP arc CD, z = g(x). The four circles involved are all great circles, and Menelaüs’ theorem gives

Ŋ = x, CH

Ŋ Ň sin KB Ň sin CH sin CP = · Ŋ Ň sin KD Ŋ sin HD sin PB π π Ň = z, PB Ŋ = − x, CP Ň = − z, DB Ň = a, HD 2 2

So we have

sin x sin z 1 = · , cos x cos z cos a

Ŋ= KD

π − a. 2

454

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Fig. 3

which gives

tg z = cos a · tg x, z = arctg (cos a · tg x) = g(x). So we have

(1 + tg2 z) dz = cos a · (1 + tg2 x) dx, z ′ = g ′ (x) =

cos a(1 + tg2 x) cos a = , 2 2 2 1 + cos a · tg x cos x + cos2 a sin2 x

from which it follows that z′′ =

sin 2x cos a sin2 a (cos2 x + cos2 a sin2 x)2

.

So for 0 < x < π/2, we have z ′ > 0, z increases from 0 to π/2. We also have z ′ ′ > 0, z ′ = g ′ (x) increases from 0 to 1/ cos a, hence the result Ibn al-Haytham obtained for the increment Δz. As in the discussion of the inclination, Ibn al-Haytham indicates that his result can be extended to give an inequality involving differences of the right ascensions for unequal arcs, first in the case where these arcs are commensurable, then in the general case by using an argument of extension by continuity. The third group is made up of propositions 8 and 9. Ibn alHaytham considers a circle (D, DC), that is with centre D and radius Ň BH, Ŋ HI Ň such that DC, and a point E on DC, so that the equal arcs AB,

THE CELESTIAL KINEMATICS OF IBN AL-HAYTHAM

455

d [ < BEH [ < HEI we have the chord AB < EC and he shows that AEB [Fig. 4]. [ = θ, where θ ∈ [0, π], AEB [ = φ, we see that Ibn If we put ADB al-Haytham is considering how φ varies as a function of θ. In proposition 9 he considers the sense of its variation.

Fig. 4

The fourth group is concerned with variable ratios, in cases that become more and more complicated. This work is done in propositions 10, 11, 12, 14 and 15. Proposition 13 is a lemma to do with technique. In this group, although proposition 10 does not raise the complicated question of the range of the variables, propositions 11 and 12, on the one hand, and propositions 14 and 15, on the other, all require a long discussion, which is given in our commentary. 1 In proposition 10, Ibn al-Haytham considers two perpendicular planes P and Q, two points A and C on their line of intersection, a semicircle of diameter AC lying in the plane P and a circular arc whose chord is AC, an arc smaller than a semicircle in the plane Q, [Fig. 5]. We are trying to prove that there exists a point D such that DE⊥AC and EB⊥AC (where B lies on the semicircle) and such that we have DB/DC > k > 1 the given ratio. We first show that there exists a unique point K on AC such that KA/CK = k2 . We then draw a circle of diameter CK in the plane Q and we show that any point D on the circle yields the ratio.

‎1. Rashed, Les mathématiques infinitésimales, V, part I.

456

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Fig. 5

In the two propositions 11 and 12, we consider the meridian circle ABC for a given place G, the celestial poles A and C, a circle with centre O parallel to the horizon for G and which cuts the meridian circle in D and E, a circle of centre Q parallel to the equator and which cuts the meridian circle in H, the horizontal circle in L and the plane of the circle with centre Q cuts DE in X [Fig.

Fig. 6

Fig. 7

Ibn al-Haytham shows that when the point X moves along DE from D towards E, the point L describes the parallel circle with centre O and the ratio HL/HD decreases and tends to 0. In proposition 12, we assume that the pole A is above the horizon, [ angle inde[ = DOz, and that GOz the vertical at G; we have DXH pendent of the position of X [Fig. 7]. Ibn al-Haytham shows that:

THE CELESTIAL KINEMATICS OF IBN AL-HAYTHAM

457

[ decreases when X moves along DE, the arc HE decreases, sin HDX [ [ and HX/DH = sin HDX/ sin DXH consequently also decreases from D to E. Finally, propositions 14 and 15 involve the celestial sphere for a given place, its axis, the two poles π and π ′ , the meridian and horizontal planes for the place—the pole π is assumed to lie on or above the horizon.

Fig. 8

In proposition 14, Ibn al-Haytham considers ADB the meridian for an arbitrary place, and ABC a horizontal circle; two circles parallel to the equator cut the meridian in E and D, the circle ABC in I and C and a great circle with diameter ππ ′ in I and K [Fig. 8]. Ibn alŐ then (IE Ŋ/DB Ň < BD Ň ≤ 1/2ADB, Ň/EB Ň ) > (CD Ň) > Haytham proves that if BE Ň /KI Ň ). (CK

Ň/EB Ň varies as a function of We are in fact concerned with how IE Ň that is to say we want to show that this ratio decreases when E BE; moves from B towards F along the chord of the meridian (where F is the mid-point of the arc AB). Proposition 15 is a generalisation of the preceding one. The two propositions show that Ibn al-Haytham, using the geometrical means at his disposal, investigated the variation of certain trigonometrical ratios; an investigation he could not complete but which sets some

458

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

new mathematical research in train, as will be shown in our commentary on the translation. The planetary theory

Once he has proved these fifteen mathematical propositions, Ibn al-Haytham immediately moves on to consider the apparent motions of the seven planets. He deals with the apparent motion on the celestial sphere, as seen from a given place, of a planet that is carried round by the diurnal rotation of the world about its axis, in the case where the planet in question has rising and setting points on the horizon of the given place of observation. Throughout his investigation, the place in question is in the Northern hemisphere. From the first propositions, and starting from the results Ptolemy obtained for the orbs of the planets and for the different motions of the planets, Ibn al-Haytham shows that the observed trajectory of each of the planets, as seen on the celestial sphere, is different from the horary circle passing through a point of that trajectory, that is to say it is different from the circle parallel to the equator swept out by a star whose position coincides, at a given moment, with that of the planet. 1 He deals in turn with the moon, the sun and the five planets, and, for the motion of these last along their orbs, 2 he distinguishes direct motion, retrograde motion and the case where the planet is stationary. From this investigation, Ibn al-Haytham extracts and defines two new concepts: “the required time” (al-zamān al-muḥaṣṣal), and “the

‎1. In his treatise on The Different Heights of the Planets, composed earlier, Ibn alHaytham writes as if the trajectory of this apparent motion could be identified with a horary circle (see Rashed, Les mathématiques infinitésimales, V, part I, text no 2). ‎2. In Arabic astronomy, the word falak designates the orb as defined in the Almagest, i.e., the spherical shell within which the planet moves. Every planet has its own orb. For example, Thābit ibn Qurra (d. 901) wrote in his Almagest simplified: “The orb in which the moon moves is the nearest orb to the earth and it is thick (lahu sumk). The moon moves sometimes in its upper part, sometimes in its lower part, and sometimes between them. The same happens for all the other planets” (Thābit ibn Qurra, Œuvres d’astronomie, ed. Régis Morelon [Paris, 1987], p. 5, for Arabic text with French translation). This was the conventional meaning of the word in the Arabic tradition of Ptolemy, and it is also the sense in which Ibn al-Haytham employed the word in the works he wrote before The Models of Motions. In this last book, Ibn al-Haytham used the word falak in a new—and unconventional—meaning, indeed so unconventional that the word “orb” seems in places inappropriate. The right translation, as we shall see later, would be “trajectory,” “path,” or even simply “orbit”. But, as Ibn alHaytham himself continued to use the same word, though with a new meaning, we have no choice but to follow his example.

THE CELESTIAL KINEMATICS OF IBN AL-HAYTHAM

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proper inclination for the required time” (al-mayl alladhī yakhuṣṣu alzamān al-muḥaṣṣal). The “required time” corresponds to two known positions of the planet in the course of a motion of known duration. It is measured by an arc of the horary circle, and it is equal to the difference of the right ascensions of the two observed positions. The proper inclination for the “required time” is equal to the difference of their inclinations. We may note that, since the celestial sphere rotates uniformly, so that physical time can be represented by an arc of the horary circle, this concept of “required time” is essentially a geometrical one. It is precisely in this way that Ibn al-Haytham represents physical time, and this has the further effect of permitting him to call upon the theory of proportions when time is involved. Ibn al-Haytham then shows that, in all possible configurations, there exists a ratio greater than the ratio of the required time to the inclination for that time. Thanks to this property he proves that, for each of the planets observed from a given place, the planetary position whose height above the local horizon is a maximum does not correspond to the point of the planet’s meridian transit, which is unlike the situation for a star. For a planet, the maximum height is greater than that of its meridian transit and, depending on the position of the planet in its trajectory, maximum altitude will be reached either before meridian transit, and thus to the east of the meridian, or after meridian transit, to the west of the meridian. The investigation of the apparent motion of a planet, when it is above the horizon, ends with a discussion of the case where the geographical latitude of the place from which observations are made is equal to the complement of the maximum declination of the observed axis, or is very close to it. Ibn al-Haytham shows that for places like these, the planet may set in the east and then rise in the east, or rise in the west and then set in the west. In the course of this work, whose main lines have been sketched here, we encounter a concept of astronomy that is new in several respects. Ibn al-Haytham sets himself the task of describing the motions of the planets exactly in accordance with their paths on the celestial sphere. He is not trying to save the appearances, that is explain the irregularities in the assumed motion by means of artifices such as the equant—a notion he criticizes in his Doubts concerning Ptolemy—nor is he willing to account for the observed motions by appealing to underlying mechanisms whose nature is hidden. He wants to give a rigorously exact description of the observed motions in terms of geometry. The only mechanical device involved in the description of the motions of the planets (other than the sun and the moon) is an epicycle, which is employed to account for retrograde

460

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

motions and the variable speeds near apogee and perigee. Ibn alHaytham doubtless knew that using an epicycle and deferent was equivalent to using an eccentric circle, and also knew the precise conditions for this equivalence. What Ibn al-Haytham proposes—and the proposal takes him a little further away from the Ptolemaic tradition—is thus to give a description of the motion in two dimensions on the celestial sphere. He considers the motion appears to be composed of two elementary motions along great circles of the celestial sphere. The free parameters are the speeds of the elementary motions, considered to be independent of one another. But for planets whose trajectory has a variable inclination to the ecliptic, Ibn al-Haytham nevertheless calls upon an epicycle to account for the variation in the inclination, thus (for the moment) returning to a model in a three-dimensional space. That indeed puts him in the Ptolemaic tradition, but without recourse to an equant. So the guiding principle of Ibn al-Haytham’s description is clear: use Ptolemy’s mechanisms as sparingly as possible. In considering the apparent motions of the planets on the celestial sphere, always with respect to the horizon, Ibn al-Haytham picks out four reference points: those of rising, meridian transit, setting and maximum altitude. He shows that this last point is unique and may lie to the east or to the west of the point of meridian transit. The new astronomy no longer aims at constructing a model of the Universe, but only at describing the apparent motion of each planet, a motion composed of elementary motions, and, for the inferior planets, also of an epicycle. Ibn al-Haytham considers various properties of this apparent motion: localisation and kinematic properties of the variations in speed. In the last part of The Model of the Motions, he considers the apparent motion of the planet on the celestial sphere in the course of a day and proves that the planet attains its maximum height once and only once, and that any height less than the maximum is reached twice, once on each side of the maximum height. For heights greater than that of meridian transit, the two points where such a height is reached are on the same side of the meridian. Taken together, these discussions make twenty-one propositions. In this new astronomy, as in the old one, every observed motion is circular and uniform, or composed of motions that are circular and uniform. Ibn al-Haytham considers three basic motions: diurnal motion parallel to the equator; motion of the oblique orb relative to the axis (the line joining the two poles of the ecliptic); and motion of the nodes of the proper orb. The observed motion of a planet

THE CELESTIAL KINEMATICS OF IBN AL-HAYTHAM

461

is composed of these three motions plus, for the five planets (excluding the sun and moon), a motion on an epicycle. For the sun, only the first two basic motions are involved. To find these motions Ibn al-Haytham makes use of various systems of spherical coordinates: equatorial coordinates—required time and proper inclination for it—which are the first coordinates; horizon coordinates—altitude and azimuth; and ecliptic coordinates. The use of equatorial coordinates marks a break with Hellenistic astronomy. In the latter, the motion along the orbs was measured against the ecliptic, and all coordinates were referred to the ecliptic (latitude and longitude). Thus analysing the motion of the planets from their apparent motions changes the reference system for the data; we are now dealing with right ascension and declination. This book by Ibn al-Haytham takes us into a different system of analysis. Ibn al-Haytham then considers how the speed of change in the inclination varies for any planet, measuring it as the mean speed over an interval that is itself variable. He looks at the change in height of the planets between their rising and setting. These investigations are all carried out rigorously, using the mathematical propositions proved in the first part and rely upon considerations involving infinitesimals (which make repeated appearances). The geometrical proofs that are employed assume only that the motion of the planet is from east to west, and that it is monotonic along the north-south axis. When the geometry is conceptualized in this way, the question of a possible motion of the earth does not arise, because we are concerned only with the motion of the planet on the celestial sphere as it appears to a terrestrial observer. In other words, we have a kind of phenomenological description of the motions of the planets, which however can be given only in terms of spherical geometry, infinitesimal geometry and trigonometry. There is nothing surprising about this since Ibn al-Haytham is concerned to ensure that his description employs only minimal hypotheses about the properties that characterize the motions: variation of speed and day by day variation of height. Let us briefly summarize the various chapters of this astronomical part. I. The apparent motion of the planets

In the first part of the section devoted to astronomy, Ibn alHaytham starts from results Ptolemy proved for each of the seven planets (the three basic motions) and introduces definitions of the

462

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

“required time,” the inclination of the motion of the planet and the inclination of the ascending node. He investigates in turn: 1. The motion of a planet between rising and meridian transit; 2. Motion of known duration between two points of known position. 1.1 The apparent motion of the moon between rising and meridian transit

Ibn al-Haytham begins by citing the results proved by Ptolemy in relation to the inclined orb of the moon, and the position of this sphere in relation to the circle of the ecliptic and to the nodes, that is to the points of intersection of these two orbs. Ibn al-Haytham considers the dihedral angle between the plane of the inclined orb and the plane of the ecliptic to be fixed. In fact, this angle is almost constant and remains close to 5°. The orb of the moon would thus lie within the Zodiac. Ibn al-Haytham then reminds us that the motion of the moon on its orb is in the direction of the signs of the Zodiac (direct motion, motion in consequence) and that each of the nodes has a uniform motion round the ecliptic in the direction opposite to that of the signs of the Zodiac (retrograde motion, motion in precedence). Thus the north pole of the orb of the moon, X, describes on the celestial sphere a circle centred on the pole of the ecliptic, P, and each point of the orb of the moon describes a circle parallel to the ecliptic (in retrograde motion). Now, the angle between the circle of the ecliptic and the circle of the equator is constant; but because the nodes move, the inclination of the orb of the moon to the equator of the celestial sphere will vary. The inclination will be equal to the arc of the great circle HX, where H is the north pole of the celestial equator. Ibn al-Haytham investigates in minute detail how this arc varies as the node N makes a complete circuit of the ecliptic. In this preliminary investigation, he ignores the precession of the equinoxes, that is, in his terms, the retrograde motion of the equinoxes, which is very slow. He treats the planes of the celestial equator, of the ecliptic and of the circle through the poles of the celestial sphere as if they were all fixed with respect to one another. He does the same thing later on, making it explicit, when he is considering the extreme (maximum and minimum) inclinations of the orb of each of the seven planets to the equator. He behaves as if he were deliberately first constructing a simple model and intended to make it more complicated later. Ibn al-Haytham then defines the most northerly and the most southerly points of the lunar orb with respect to the equator. These points are the mid-points of the semicircles into which the orb is divided by the diameter, that is its line of intersection with the plane of the equator. They accordingly lie on the great circle HX that passes

THE CELESTIAL KINEMATICS OF IBN AL-HAYTHAM

463

Fig. 9

through the poles of the lunar orb and those of the equator; their inclination to the equator is equal to HX and is thus variable [Fig. 9]. Ibn al-Haytham then investigates the apparent motion of the moon, in relation to a horizon ABCD, between its rising at B and its meridian passage at a point N [Fig. 10, where ABC is the east half of the circle of the horizon]; he first considers the case in which the motion along its orb is from north to south, then the case in which it is from south to north. He points out that his argument does not involve the horizon, and is consequently applicable to the motion of the moon between any point B on its trajectory (where B lies to the east of the meridian) and the point of its meridian transit. This is the moment at which Ibn al-Haytham introduces the following three definitions: “Required time”: the time a fixed star takes to travel from a point B to a point I on the meridian; this is the arc BI. It is also the difference of the two right ascensions, δ(B, N), the difference between the right ascension of the moon’s initial position, B, and the right ascension of its final position, N. This arc BI will also be called the right ascension of the motion.

464

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Fig. 10

Ň = Δ(B, N) the difference Inclination of the motion of the moon: IN between the inclinations of the initial position, B, and the final position, N. Ň Inclination of the motion of the ascending node: IQ. This investigation of the apparent motion of the moon from its rising to its meridian passage is interrupted by a discussion of the relative positions of two circles through B, whose poles are the pole of the equator and the pole of the ecliptic. Finally, Ibn al-Haytham considers the motion of the moon between its meridian passage and its setting, for which he makes use of the concepts he has already defined. We note that, in this geometrico-kinematic model, Ibn al-Haytham does not introduce an epicycle since, as he says, “the moon’s epicycle does not leave the plane of the orb, so the centre of the moon does not leave the plane of the inclined orb”. 1 1.2. The apparent motion of the sun between its rising and its meridian passage

Ibn al-Haytham works through the same stages as in the previous investigation: he begins by reminding us of what is known about the orb of the sun—the ecliptic—and the sun’s proper direct motion through the signs of the Zodiac. He defines the points of the orb that are called equinoxes and solstices. He then deals with two examples, referred to a horizon ABCD, concerned with the apparent motion of the sun between its rising at B and its meridian passage. In the first case, the motion of the sun along its orb is from north to south, in relation to the equator; and in the second case from south to north.

‎1. Rashed, Les mathématiques infinitésimales, V, 428; ar. 429, 23-25.

THE CELESTIAL KINEMATICS OF IBN AL-HAYTHAM

465

In each example, Ibn al-Haytham finds the arcs that represent “the required time” and the inclination of the motion of the sun. This investigation is simpler than the one he carried out for the motion of the moon, which required one to take account of the motion of the node along the ecliptic. 1.3. The apparent motion of each of the five planets between rising and meridian passage

Here, as in previous cases, Ibn al-Haytham begins by reminding us of what was established by Ptolemy. He also tells us that his investigation will not take account of the motion of the node, since, he writes, it is “a slow motion that is not apparent to the senses”. 1 We should recollect that Ibn al-Haytham has always maintained that, unlike in mathematics, where reasoning is exact, in physics we always allow a certain amount of approximation. And, here, the inclination of the plane of the epicycle to that of the orb is variable. Accordingly, its variation must be taken into account when investigating the motion of each of the five planets towards the meridian circle. Ibn al-Haytham does exactly this when he considers the motion of a planet between its rising, at a point B on the horizon, and its meridian passage. He distinguishes three cases: when the planet’s motion is direct; when it is retrograde; and finally when the planet is stationary. Ibn al-Haytham’s investigation ends with a conclusion on the planets as a whole, concerning the “required time” and the “inclination of the motion”. 2.

In the previous part of the work, the two positions considered for each of the seven planets were rising, at the point B, and meridian passage, at the point N; or sometimes the motion considered was from point N to setting. In this part of his work, Ibn al-Haytham investigates, for each of the seven planets, an apparent motion of known duration, between two points A and B, whose position on the celestial sphere is known. He shows that the “required time” and the “inclination of the motion” are then known. Ibn al-Haytham begins by dealing briskly with the case of the sun, which is simple because his model does not take account of the precession of the equinoxes. Thus if A and B are respectively the starting and end points of the motion, we at once have: “required time”: δ(A, B), the difference of the right ascensions of the two points

‎1. Rashed, Les mathématiques infinitésimales, V, 428; ar. 429, 2.

466

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

A and B; “inclination of the motion”: Δ(A, B), the difference of the declinations of the two points A and B, that is the difference of their inclinations to the equator. The investigation of the motion of the moon must, however, take account of the motion of the ecliptic and the motion of the node of the orb of the moon. 1 Here, as in the case of the sun, the motion is described in equatorial coordinates: “required time” and “proper inclination”. For each of the inferior planets (Venus and Mercury), the ecliptic coordinates—ecliptic latitude and longitude—depend on the inclination of the epicycle to the orb. 2 All the same, if at some known time the ecliptic coordinates are known, we use them to find the equatorial coordinates. Ibn al-Haytham continues his investigation in the same way as he did in the case of the moon. For the superior planets (Mars, Jupiter and Saturn), the motion of the nodes is very slow, and insensible over the course of a day. As a result, the arc that corresponds to arc which is parallel to the ecliptic in the case of the moon, is insensibly small; the point G merges with the point K and thus lies on the horary circle AD [Fig. 11].

Fig. 11

‎1. See commentary on proposition 20 in Rashed, Les mathématiques infinitésimales, V, 189 sqq. ‎2. I.e., the circle on which the epicycle moves (circulus deferens). We shall find this formulation more than once.

THE CELESTIAL KINEMATICS OF IBN AL-HAYTHAM

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Ibn al-Haytham concludes by taking the five planets together: if the motion of the planet along its orb is direct, “the required time” δ(A, B) is less than the known time, as happens for the sun and the moon; and if the motion of the planet is retrograde, the “required time” is then greater than the known time. II. The inclination of the planets to the equator

Ibn al-Haytham begins by discussing the sun, next the moon and then the five planets. As ever, he first of all reminds us of Ptolemy’s results. Here, Ibn al-Haytham further determines, in each case, the ecliptic coordinates of the point I, the most southerly point of the orb with respect to the equator. In the case of the sun, the dihedral angle a between the plane of its path, that is the ecliptic, and the plane of the equator is constant (a = 23°27 ′ ). This angle a is the maximum inclination of points on the ecliptic with respect to the equator, and corresponds to the solstices. The two points of maximum inclination are thus the first point of Cancer to the north of the equator, and the first point of Capricorn to the south. In the case of the moon, the dihedral angle β between the orb of the moon and the circle of the ecliptic is constant, but the orb of the moon rotates about the axis of the ecliptic. Accordingly, the dihedral angle δ between the orb of the moon and the plane of the equator is variable; it depends on the position of the ascending node. If the ascending node is at the point γ (Spring equinox) we have δ = a + β. But if the descending node is at the point γ, the ascending node is then at the point γ ′ , the Autumn equinox, and we have δ = a − β. In either case, the positions of the extreme north and south points of the inclined orb are known. In the case where the ascending node is not at an equinoctial point, Ibn al-Haytham embarks on a very detailed investigation using spherical trigonometry, in which he applies Menelaüs’ theorem four times, and shows that, if we know the position of a node on the ecliptic, we can calculate the maximum inclination of the inclined orb with respect to the equator, and find the position, with respect to the ecliptic, of the most northerly or most southerly point of the inclined orb with respect to the equator. For the superior planets, the procedure is the same as for the moon, since the inclinations of their orbs to the plane of the ecliptic are more or less constant: for Mars, 1°51 ′ , for Jupiter 1°19 ′ and for Saturn 2°30 ′ . On the other hand, the inclination of the orb of each

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

of the inferior planets to the ecliptic is variable. Ibn al-Haytham accordingly devotes many pages to the investigation of this problem. He begins by examining the inclination as a function of the position of the planet in its orb, a position for which there is a corresponding point on the excentric. He shows that this inclination is known at any known time. He goes on to investigate the case where the nodes occur at the equinoctial points. The most northerly and most southerly points of the orb relative to the equator, and when related to the ecliptic, are the points of the solstices. We calculate the inclination relative to the equator as we did for the moon. Ibn al-Haytham next considers the case where the nodes are not the points of the equinoxes. The positions of the extreme north and south points relative to the equator are found from the extreme north and south points relative to the ecliptic, and the same method is then employed as before. Ibn al-Haytham goes on to describe—still for the inferior planets—the oscillating motion of the plane of the inclined orb about the line of nodes. The motion of the line of nodes is very slow and for the purposes of this calculation the line is accordingly assumed to be fixed. So any point I of the orb describes a circle with the nodes as its poles, and the point will have a to and fro motion along an arc of the orb. With this point I there is associated a point L that represents its position in regard to the ecliptic; this point L will also have a to and fro motion along an arc of the ecliptic. In his investigation of the motion of the points I and L, Ibn al-Haytham takes the point I as lying, successively, on each of the four arcs into which the orb is divided by the nodes and the extreme northern and southern points. He assumes that the initial position of the orb is when its inclination to the ecliptic is at a maximum, and he calls the two points in question I and L. 1 He first describes the motion of the points I and L. Next he shows that the circular arc described by the point I in a known time is known; finally, he shows that the arc of the ecliptic described by the point L in a known time is known. III

From proposition 24 to the end of the book, Ibn al-Haytham proposes general models for the planets, models that are constructed with the help of the mathematical propositions he has already proved. His work, explicitly analytical and employing infinitesimals, ‎1. The great circle through the pole cuts the orb in I and the ecliptic in L. The points I and L have the same ecliptic longitude.

THE CELESTIAL KINEMATICS OF IBN AL-HAYTHAM

469

concerns itself with some kinematic properties of the motion. This time, we cannot follow Ibn al-Haytham’s procedure without examining his demonstration in detail, which we do in the commentary of his text. 1 Here we shall merely present a general outline. In the first three propositions—24 to 27—Ibn al-Haytham investigates the variation of the mean speed of a planet. He expresses the mean speed as the inverse ratio δ(X, Y)/Δ(X, Y), where X and Y are two general known positions of a planet in its orb, δ(X, Y) is the “required time” and Δ(X, Y) is the difference between the inclinations of the points X and Y with respect to the equator. Ibn al-Haytham proves that, if we consider the four arcs into which the orb is divided by the diameter, that is the line of intersection of the planes of the orb and the equator, and the extreme northern and southern points of the path with respect to the equator, and if we take two positions X and Y on one of these arcs, then there always exists a ratio k such that k > δ(X, Y)/Δ(X, Y). We may note that the known time is a real interval that can be measured by the motion of the planet. Ibn al-Haytham’s idea of comparing “required time,” an equatorial coordinate, to this known time, looks like the beginnings of a kinematic description of the motion. In the following group of propositions, Ibn al-Haytham investigates the apparent motion of a planet above the horizon of a given place. The observed motion depends on the place and on the date of the observation. In the course of this investigation Ibn al-Haytham makes use of the planet’s equatorial coordinates, and consequently of its position on its trajectory, of the inclination of the orb to the equator and of the inclination of the equator to the horizon; that is to say he uses the geographical latitude of the place where the observation is made. Throughout this investigation, Ibn al-Haytham assumes that the celestial sphere is inclined to the south; the observation site thus has a northern latitude. The case of the sphaera recta, that is to say the case where the observer is on the terrestrial equator, appears as a special case. Ibn al-Haytham assumes that the planet’s meridian passage takes place between the zenith and the southern horizon, which means that the geographical latitude of the place where the observation is made must be greater than the declination of the planet for the date in question. He also assumes that the latitude of the observation site is smaller than the complement of the declination. Ibn al-Haytham makes a detailed study of the part played by the latitude, which leads him to consider the cases in which

‎1. See Rashed, Les mathématiques infinitésimales, V, part I.

470

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

meridian transit occurs at the zenith or north of the zenith, and finally the case of places whose latitude is equal to the complement of the maximum declination of the planet. So, in two propositions, 28 and 29, Ibn al-Haytham investigates heights of a planet above the horizon. Let us suppose that the planet rises at the point B and crosses the meridian at D. The arc BD which it describes is to the east of the meridian plane. Let the height of the planet above the horizon be h [Fig. 12]. Ibn al-Haytham shows that on arc BD there exist

Fig. 12

– points of height h > hD (the height of point D). Let M be one of these points; – at least one point X on the arc BM such that hX = hD ; – at least two points with the same height h with hD < h < hM , one on the arc XM and the other on the arc MD. He also shows that, after it crosses the meridian at D, the planet continues its motion towards the western horizon and its height h decreases from hD to 0. Any height h < hD is thus reached at least once. Ibn al-Haytham also shows that, if hm is the maximum height, the planet will reach this height only once, say at a point W; and that height hD will be reached once and only once at a point X ̸= D, such Ŋ that X ∈ BW. In proposition 29, Ibn al-Haytham investigates the movement of the planet from the most southerly to the most northerly points of its trajectory. The planet crosses the meridian at G and sets at D. The arc GD that it describes is to the west of the meridian [Fig. 13]. Ibn al-Haytham shows that there exist on the arc GD: – points with height h > hG , let M be one of them; – at least one point X, on the arc MD, such that hX = hG ; – two points with the same height h, where hG < h < hM , one of which is on the arc XM and the other on the arc MG.

THE CELESTIAL KINEMATICS OF IBN AL-HAYTHAM

471

He also shows that, between the planet’s rising in the east, at B, and when it crosses the meridian at G, the height h increases from 0 to hG and that any height h < hG is reached at least once.

Fig. 13

Later on Ibn al-Haytham returns to this investigation to calculate the heights reached by the planet to the west of the meridian. He shows that, if hm is the maximum height, the planet reaches that height only once—let it be at point W; and that the height hG which is that of the planet’s meridian transit is reached once and only once at a point other than G—let it be at point X on the arc WD; that any height h < hG is reached once and only once, at a point between X and D; and that any height h such that hG < h < hM is reached at two points and at only two points—one on the arc GW and the other on the arc WX. In proposition 30, Ibn al-Haytham proves that the point at which maximum height is reached is unique; he then, in proposition 31, returns to the investigation of heights to the east of the meridian. In these two propositions, Ibn al-Haytham once again introduces innovations in infinitesimal geometry. He is in fact developing a new and entirely original method of working in spherical geometry: he considers infinitesimal curvilinear triangles on the sphere (triangles whose sides are not necessarily arcs of great circle)—constructs a sequence of such triangles whose sides tend to zero—and he handles these triangles as if they were infinitesimal rectilinear triangles. What we are encountering here is in effect a geometry of infinitesimals like what will be used later in the differential geometry. In order to sum up some results Ibn al-Haytham established in his investigation of the point D where the planet crosses the meridian (that is in this group of propositions 28 to 36 where he is investigating the heights of a planet), let us consider the meridian plane, with pole Z, and the equator, whose north pole is N [Fig. 14].

472

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Fig. 14. a < λ < π/2 − a

Let the latitude of the place be λ, the declination of the planet at meridian transit δ and the maximum value of the declination a; we have Ŋ = XZ Ň = λ, Ŋ = δ, Ŋ1 = XD Ŋ1′ = a. AN XD XD We consider only places in the northern hemisphere, and we use the sun as our example, so a = 23°27 ′ . We may summarize the investigation of the position of D, as a function of the geographical latitude λ and the date, in the form of a table. Let us assume that −a < λ < π/2 − a.

latitude

date

position of D

λ=0 terrestrial equator

• • • •

D=Z=X D = D1 north of Z D = D1′ south of Z D between Z and D1 north of Z D between Z and D1′ south of Z D = D1 = Z D lies on the arc ZD1′ , south of Z

Spring and Autumn equinoxes Summer solstice Winter solstice Spring and Summer

• Autumn and Winter λ=a tropic of Cancer

• day of the Summer solstice δ = λ • any other day δ < λ

0a

for any day of the year

473

D is at Z D lies on the arc ZD1 north of Z D lies on the arc ZD1′ , south of Z D lies south of Z

(1)

(2)

(3) Fig. 15

In the case of the sphaera recta, whether meridian transit is north or south of the zenith Z, we can apply the method employed in proposition 28 or proposition 29 and show that the planet will have equal heights h at pairs of points (for h > hD ) either to the east of the meridian, or to the west of it. In the case where the point D, the point of meridian transit, is at the zenith Z, 1 the maximum height of the planet is hD , and any height h < hD will be reached once and only once to the east, and the same will apply in the west. So far, Ibn al-Haytham has considered places north of the equator with latitude, λ < π/2 − a, a being the inclination of the orb to the equator; to complete his investigation of the trajectory of a planet ‎1. See Rashed, Les mathématiques infinitésimales, V, 255.

474

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

seen above the horizon, he considers places with northern latitude λ = π/2 − a or λ ≃ π/2 − a and shows that in such places, and on particular dates, the planet in question may set in the east and rise in the east and that, on other dates, it may set in the west and rise in the west. Let BHID [Fig. 16] be the meridian plane for some place, BD the diameter of the horizon, EG the diameter of the equator, H the pole of Ŋ = λ = π/2 − a, HZ Ŋ = a. If we draw BI // EG and DI ′ // EG, the equator BH ′ Ň Ň Ň Ŋ we have BG = EI = ED = GI = a, so the circles with diameters BI and DI ′ touch the horizon of the place in question at B and D respectively. The trajectories of the planet’s diurnal motion therefore lie between these two circles.

Fig. 16

We have assumed that: the planet reaches point B, the north cardinal point of the horizon in question, ABCD, at the time it gets to the most northerly point of its trajectory, that is to say at the moment when its declination is a maximum and equal to a. So after that the declination decreases and the trajectory of the planet moves away from the circle BI and begins to cut the meridian again at the point N above the horizon. Ibn al-Haytham then defines: – a point L that lies on this trajectory and is above the horizon ABCD and to the east of B; – a horizon circle with diameter JS, at latitude λ + ε which shares the same meridian and is such that the point L is above the horizon. But the points B and N are above this horizon JS, so when the planet moves from B towards L it sets at a point on the eastern part

THE CELESTIAL KINEMATICS OF IBN AL-HAYTHAM

475

of this horizon, and when it moves from L towards N it rises at a point which is likewise on the eastern part of this horizon. At the other extreme, the planet is assumed to be at the most southerly point of its trajectory, at the point B of the horary circle BQI [Fig. 17], and this point B is the south cardinal point of the horizon in question, which has latitude λ = π/2 − a. So after that the declination increases and the trajectory of the planet moves away from the circle BQI and begins to cut the meridian again at a point N above the horizon. The method is accordingly the same as in the previous part. Ibn al-Haytham defines: – a point L that lies on this trajectory and is above the horizon ABCD and to the west of B; – a horizon circle AJCS at latitude λ − ε which shares the same meridian and is such that the point L is above it. [Fig. 17]. When the planet moves from B towards L it rises at a point on the western part of this horizon, and when it moves from L towards N it sets at a point on the western part of this horizon. Ibn al-Haytham has thus shown that on the day that a planet reaches its maximum northern declination, a, there exist places in the northern hemisphere, with latitude λ = π/2 − a + ε, on whose horizons the planet sets and rises in the east, and that on the day when the planet reaches its maximum southern declination, a, there exist places in the northern hemisphere, with latitude λ = π/2 − a − ε on whose horizons the planet rises and sets in the west. In both cases, the points at which the planet rises and sets are very close to one another. We have sketched the principal results that Ibn al-Haytham obtains in his Model of the Motions. Our aim was not so much to expound all the results in detail, which we do elsewhere, but rather to give an overview of what he was trying to do in his book. All the way through The Model of the Motions he directs his efforts to constructing a descriptive phenomenological theory of the celestial motions, as they are seen by an observer on the earth. This theory, as one can easily assure oneself, does not incorporate any idea of a teleological physics, though it does not conflict with what Aristotle calls the most physical parts of mathematics, which here is geometrical optics, a subject reformed by Ibn al-Haytham himself. When Ibn al-Haytham is constructing his astronomy his obvious concern is, as we have noted, to adopt at each stage the least possible number of hypotheses. Thus his theory for the motion of the planets calls upon no more than observation and conceptual constructs susceptible of explaining

476

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Fig. 17

the data, such as the excentric circle and in some cases the epicycle. However, this theory does not aim to describe anything beyond observation and these concepts, and in no way is it concerned to propose a causal explanation of the motions. In this respect, The Model of the Motions is both in the astronomical tradition that Ibn al-Haytham inherited and in a tradition that continues after Ibn al-Haytham as far as Kepler. To sum it up, in The Model of the Motions Ibn al-Haytham’s purpose is purely kinematic; more precisely, Ibn al-Haytham wanted to lay the foundations of a completely geometrical kinematic tradition. Carrying out such a project involves first of all developing some branches of geometry required for solving new problems that arise from this kinematic treatment: Ibn al-Haytham took a huge step forward in spherical geometry as also in plane and spherical trigonometry. To get a measure of how far he has advanced beyond the Greeks, one need only compare The Model of the Motions with chapters 9 to 16 of the first book of Ptolemy’s Almagest; and to appreciate the distance that separates him from his contemporaries one may compare The Model of the Motions with, for example, the Almagest of Abū al-Wafāʾ al-Būzjānī. As we have seen, Ibn al-Haytham considers the changes in infinitesimal magnitudes that necessarily arise in astronomical research. In astronomy, there are two major processes that are jointly in-

THE CELESTIAL KINEMATICS OF IBN AL-HAYTHAM

477

volved in carrying through this project: freeing celestial kinematics from cosmological connections, that is from all considerations of dynamics, in the ancient sense of the term; and to reduce physical entities to geometrical ones. The centres of the motions are geometrical points with no physical significance; the centres to which speeds are referred are also geometrical points with no physical significance; even more radically, all that remains of physical time is the “required time,” that is a geometrical magnitude. In short, in this new kinematics, we are concerned with nothing that identifies celestial bodies as physical bodies. All in all, though it is not yet that of Kepler, this new kinematics is no longer that of Ptolemy nor of any of Ibn alHaytham’s predecessors; it is sui generis, half way between Ptolemy and Kepler. It shares two important ideas with ancient kinematics: every celestial motion is composed of elementary uniform circular motions, and the centre for observations is the same as the centre of the Universe. On the other hand, it has in common with modern kinematics the fact that the physical centres of motions and speeds are replaced by geometrical centres. There remains a major question, that of the relation of this kinematics to the celestial dynamics of the day, that is to say to cosmology. The question is relevant here only if we come across evidence that Ibn al-Haytham had intended to write on cosmology once he had completed The Model of the Motions. In that case, one would expect a new cosmology to go with the new kinematics. In fact none of the titles that have come down to us, none of the manuscripts of Ibn al-Haytham’s undoubtedly authentic astronomical works, gives grounds for affirming that such a cosmology, based on the new kinematics, ever existed. The only cosmology text known to have been composed by Ibn al-Haytham (that is of well-attested authenticity) is earlier than The Model of the Motions since it forms part of his treatise on the winding motion. When, in his Resolution of Doubts concerning the Winding Motion, he himself mentions this work, which is now lost, he writes:

The winding motion to which Ptolemy referred, and from which arise the motions in latitude of the five planets, can only be according to the model that I demonstrated and according to the account that I gave. It is a model that is not subject to any impossibility or any absurdity. From this motion is generated a motion of the planet which, by the motion of its centre, produces a curve imagined as if the planet were wound round on the body of the small sphere which moves the body of the planet. It is because of the winding of this curve round the body of the epicycle

478

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

that this motion has been called the winding motion, and for no other reason. 1

That leaves no room for doubt: Ibn al-Haytham had indeed, in his treatise on the winding motion, proposed a model for the motions in latitude of the epicycles of the five planets, a model in which he considered the physical “small spheres” that moved the celestial bodies; in other words, he had proposed a cosmology. Many other passages of the treatise confirm this. Now, from the order of composition of Ibn al-Haytham’s writings that we have already established, we know that, of these writings, the two books on the winding motion were composed before the Doubts concerning Ptolemy. Moreover, while in the first two books he makes use of the idea of an equant, in the last one he criticizes it, and eventually ends up completely excluding it from The Model of the Motions. Furthermore, since Ibn al-Haytham emphasizes in the introduction to The Model of the Motions that the results described in this work supersede any different ones to be found in all his other writings, we may safely conclude that The Model of the Motions was written after the Doubts concerning Ptolemy and, a fortiori, after the two books about the winding motion. Thus Ibn al-Haytham’s contribution to cosmology is (as it were) local, since it relates only to a particular motion and antedates the Doubts and The Model of the Motions. We proved elsewhere that The Model of the Motions is also later than his treatise on The Different Heights of the Planet. 2 Another argument in favour of this historical and conceptual sequence is drawn from the language used in The Model of the Motions. The book not only contains new concepts such as “required time” and “proper inclination for the required time,” but also terms from ancient astronomy whose meaning has changed. For example let us consider a concept central to traditional astronomy, that of falak. It is well known that in traditional astronomy this term signifies “orb”. It refers to the various solid bodies attached to a specific planet. These solid bodies move with uniform circular motions, and the sum

‎1. Fī Ḥall shukūk ḥarakat al-iltifāf, St Petersburg, MS B1030/1, fol. 15v-16r:

‫سيلو حصي نأ نوكت ةكرح فافتلالا يتلا راشأ اهيلإ سويملطب يتلا نوكت اهنم تاكرح ضرعلا بكاوكلل‬ ‫هتلصف يهو هذه ال ضرعي اهيف ءيش نم تالاحملا الف‬، ‫ةسمخلا الإ ىلع ةئيهلا يتلا اهتنيب ليصفتللو يذلا‬ ‫تاعانشلا دلوتتو اهنم بكاوكلل ةكرح ثدحي اهب نم ةكرح زكرم طخ ليختم هنأك فتلم‬، ‫اهمزلي ءيش نم‬

‫بكوكلا فافتلالو اذه طخلا ىلع مسج كلف ريودتلا تيمُس ذه‬. ‫ىلع مسج ةركلا ىرغصلا ةكرحملا مرجل‬

‫ىرخأ‬. ‫فافتلالا ال ةلعل‬، ‫ةكرحلا ةكرح‬

‎2. See Rashed, Les mathématiques infinitésimales, V, part I.

THE CELESTIAL KINEMATICS OF IBN AL-HAYTHAM

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of these motions constitutes the apparent motion of the planet concerned, as seen from the earth, which is at the centre of the world. In this system, a planet does not have a motion of its own, it is moved by something else, and one cannot speak of the motion of a planet along its particular orbit, but only of its apparent motion resulting from the composition of the motions of its various spheres. This same word falak is also used in the same context to designate the (plane) circles that are the lines on the sky that correspond to the solid bodies in question. In fact, Ibn al-Haytham uses this term falak in these senses in all the works we have cited above, except in The Different Heights of the Planets, where he has no need of it. On the other hand, in The Model of the Motions, the term falak no longer has the same meaning. In this book it refers mainly to the apparent trajectory of a particular planet across the celestial vault, and everything else derives from the analysis of this apparent motion, without reference to solid bodies that might move the planet in question. This semantic difference, taken together with the new concepts, shows that The Model of the Motions was composed after the books we referred to earlier. This difference alone also shows that this treatise cannot be placed within a purely Ptolemaic tradition. One might almost translate the term as the “orbit” of a planet 1 since the apparatus of the orb, in the sense in which the term was conventionally understood, no longer come into it. In the Doubts we have seen a turning point in Ibn al-Haytham’s thoughts about astronomy. There is every indication that The Model of the Motions is the most substantial result produced by this change. The book gives us a new astronomy even though it retains a geocentric framework within which all motions are circular and uniform. We have a break with tradition despite the background of continuity. We need to know the reasons for such a change. On this matter the available texts are silent. We may, however, offer the following hypothesis. In the absence of a theory of gravitation, the mathematician-astronomer was faced with two alternatives: either abide by the traditional principle whereby the motion of each planet is due to a cause specific to that body, and thus construct a cosmology of material spheres; or accept the necessity of abandoning that route and instead start by constructing a kinematic account, thus acknowledging the primacy of kinematics in any investigation of dynamics. In many of his astronomical writings, Ibn al-Haytham

‎1. However, we do not do this in the translation, preferring to keep to period usage. We simply need to alert the reader here.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

had been tempted by the first alternative. But, once he had engaged upon mathematizing astronomy and had noted not only the internal contradictions in Ptolemy, but doubtless also the difficulty of constructing a self-consistent mathematical theory of material spheres using an Aristotelian physics, he turned to the second alternative, that of giving a completely geometrized kinematic account. His experience in optics perhaps helped him to take this step: here kinematics and cosmology are entirely separated to effect a reform of astronomy, just as in optics work on the propagation of light is entirely separated from work on vision to effect a reform of optics; in the one case as in the other Ibn al-Haytham arrived at a new idea of the science concerned.

THE CONFIGURATION OF THE UNIVERSE: A BOOK BY AL-ḤASAN IBN AL-HAYTHAM , 1?

Our statements on all the motions are only according to the viewpoints of Ptolemy, and according to his opinion. (Langermann (ed.), op. cit. in n. 1, ar. 6.) From what emerges from the remarks by His Excellency the Shaykh, it is clear that he believes in the word of Ptolemy in all that he says, without relying on a demonstration and without invoking any proof, but by pure imitation; it is thus that the specialists of the prophetic tradition have faith in the Prophets, may God bless them. Yet it is not in this way that mathematicians have faith in the specialists of demonstrative sciences. And I have observed that it is painful to him that I have contradicted Ptolemy, and that he feels resentment because of this; his remarks make it clear that error is foreign to Ptolemy. But there are many errors in Ptolemy, in many passages of his books. Among others, there is what he says in the Almagest: if one examines it attentively, one discovers many contradictions in it. Indeed, he has affirmed principles for the configurations he mentions, then for the motions he proposed configurations in contradiction with the principles he affirmed. (al-Ḥasan ibn al-Haytham, “On the solution of doubts concerning the winding movement” (Fī ḥall shukūk ḥarakat al-iltifāf ), ms Leningrad, B1030, fol. 19 v°.)

Translated into Hebrew, and then into Latin from the Hebrew translation, The Configuration of the universe (Fī hayʾat al-ʿalam) was one of the references for medieval astronomy, as has been shown by Pierre Duhem, C. Nallino, F. J. Carmody, and many others 2. The impact of

Paru dans Revue d’Histoire des Sciences, tome 60, numéro 1, janvier-juin 2007, p. 47-63. ‎1. This contribution touches upon astronomy, and optics in Ibn al-Haytham, two areas with which Gérard Simon has not ceased to concern himself. I thus thought to offer him a friendly homage. ‎2. Pierre Duhem, Le Système du monde, vol. 2: Histoire des doctrines cosmologiques de Platon à Copernic (Paris, 1965), 119-126. Y. T. Langermann has given an edition of the Arabic text on the basis of two manuscripts, that of London and that of Turkey (Kastamonu), as well as an English translation. The ensemble, preceded by a 50-page introduction, and an Arabic, Latin, and Hebrew glossary, is entitled Ibn al-Haytham’s On the configuration of the world (New York-London, 1990).

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this work on Arabic astronomy was quite weak. It was used only by a few low-ranking astronomers, such as al-Kharaqī, as we shall see below. Since Duhem, however, a common opinion has become entrenched, according to which The Configuration of the universe represents an essential dimension of Ibn al-Haytham’s contribution. Among other reasons for the success of this opinion, commonly widespread among historians, as well as of the book itself during the Middle Ages, are quite certainly retain the simplicity of its contents, the absence of any mathematical technicality, and above all the combination of the planetary theory of the Almagest with a specific cosmology. This success was all the more resounding in that the book bears the name of the prestigious mathematician and physicist Ibn alHaytham. It is not rare, however, that a great success is the effect of misunderstanding, if not of a mistake. This is precisely what I shall establish here. Three Arabic manuscripts 1 have come down to us, which give alḤasan ibn al-Haytham as the author; thus, the book as it has been handed down to us would be the work of the eminent 11th-century mathematician. However, the latter’s name has undergone a transformation in two of these three manuscripts. Thus, instead of al-Ḥasan ibn al-Ḥasan, we find Abī al-Ḥasan, which already shows that we are dealing with the act of a scribe. As far as the third manuscript is concerned, which is relatively late 2, it contains several treatises by al-Ḥasan ibn al-Haytham, which may have induced the scribe to

‎1. This book has come down to us in three manuscripts. (1) London, India Office, Loth 734, fol. 101 -116. It is thus part of collection that was written late, approximately in the 17th century. (2) Kastamonu (Turkey) 2298, fol. 1-43. We do not know the date of the transcription of this manuscript. As Langermann has observed, it is marred by serious omissions. (3) Rabat, Bibliothèque royale, n o 8691, fol. 29r-48r. It can be verified that these three manuscripts differ in pairs, and that some of these differences are irreducible; all these elements show that the transmission of the text raises serious problems, which remain to be studied. What is even more serious is that the London manuscript includes a gloss, added at the end, which reads as follows: “gloss [taʿlīq] we found in the hand of the Shaykh, may God prolong his life; we have therefore copied it as we have found it” (fol. 116r; Langermann (ed.), op. cit. in n. 1, ar. 66). On the identity of this Shaykh, who was still alive since the scribe wishes that his life should be prolonged, we know nothing whatsoever. This attributed gloss, which is uncertain at best, sets forth common ideas on celestial motions, as well as a few vague elements of an Aristotelian cosmology. Without any precaution, people have hastened to attribute it to al-Ḥasan ibn al-Haytham, at the conclusion of a comparison, as arbitrary as it is vague, with a few general phrases by Ibn alHaytham in The Light of the Moon. It was this gloss that misled a scholar as great as the late M. Schramm—Ibn al-Haythams Wegzur Physik (Wiesbaden, 1963), p. 63 ff. ‎2. The London manuscript, India Office, Loth 734.

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normalize the name. As we shall see, however, this attribution raises numerous epistemic and historical problems, problems which are of major importance, but are never tackled head on by historians. Some fifteen years ago, on the occasion of the first critical study of the bio-bibliographical and historical sources concerning the activities and titles of al-Ḥasan ibn al-Haytham, a study which was preliminary to the critical edition of his mathematical works, we had showed that there were two personages who had been eventually confused by the vicissitudes of history: the mathematician al-Ḥasan ibn al-Haytham and the philosopher and physician Muḥammad ibn al-Haytham. We had also raised doubts concerning the validity of the attribution to al-Ḥasan ibn al-Haytham of the Configuration of the universe 1. A few years later, however, the appropriateness of our method was questioned, and it has been thought possible to affirm that the two personages were in fact one and the same, and the authenticity of the attribution of The Configuration of the universe to al-Ḥasan ibn al-Haytham has been clearly proclaimed 2. Several arguments were advanced, only one of which deserves to be considered, since all the others are either purely rhetorical, or else the result of misunderstanding the mathematical contents of Ibn al-Haytham’s work: we have, moreover, already refuted the main ones 3. This argument relies primarily on the reproduction of the colophon of one of the three manuscripts of the Configuration of the universe where the scribe attributes it explicitly to al-Ḥasan ibn al-Haytham—note that the colophons of the other two manuscripts do not provide any information 4. We will show in what follows that this argument is also erroneous and that the objections raised are based on a very weak argument. ‎1. See Roshdi Rashed, Les mathématiques infinitésimales du ix e au xi e siecle, vol. II: Ibn al-Haytham (London: Al-Furqan Islamic Heritage Foundation, 1993), 1-17, 490491 and 511-538. See also vol. III: Ibn al-Haytham: Théorie des coniques, constructions geométriques et géométrie pratique (London: Id., 2000); and particularly the addenda, 937-941, entitled “Al-Ḥasan ibn al-Haytham et Muḥammad ibn al-Haytham: Le mathématicien et le philosophe”; and vol. IV: Méthodes géométriques, transformations ponctuelles et philosophie des mathématiques (London: Id., 2002), 957-959, on al-Ḥasan ibn al-Haytham and Muḥammad ibn al-Haytham: the mathematician and the philosopher: on place. ‎2. Cf. Abdelhamid I. Sabra, One Ibn al-Haytham or two?, Zeitschrift für Geschichte der arabischen-islamischen Wissenschaften, Band 12 (1998), 1-51, particularly 19-21. ‎3. See Rashed, op. cit. in n. 2, p. 481, particularly volumes III and IV. ‎4. Indeed, the London manuscript does not contain a colophon. As far as the Moroccan manuscript is concerned, it informs us that the copy was completed on “Sunday the third of Rajab one thousand two hundred ninety-one” of the Hejira, that is in 1874. In this manuscript as in the one from Kastamonu, “Abū al-Ḥasan” is written instead of “Ibn al-Ḥasan”.

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If we insist on replying here to this question of authenticity, it is not only in order to rectify a historical error, but because it concerns our conception of the astronomy of al-Ḥasan ibn alHaytham. Indeed, if it is demonstrated that this book is not, and cannot belong among the latter’s works, then we must conclude that the interpretations given of his astronomy by historians on the basis of this book are to be rejected. According to these interpretations, Ibn al-Haytham’s astronomy is descriptive rather than demonstrative, like The Configuration of the universe, where the author combines the planetary theory of the Almagest, just as it is, with a cosmology of Aristotelian origin. In fact, this is an inaccurate image of Ibn al-Haytham’s astronomy 1. Let us begin by recalling a few wellestablished facts, taking care to distinguish them from conjectures. The biography as well as the bibliography of Ibn al-Haytham have been recounted by several ancient authors: the principal ones among them are al-Qiftī [568/1172-646/1248], Ibn Abī Uṣaybiʿa [596/1200-668/1270], and an Anonymous, whose text is found in a manuscript of Lahore 2. The latter is the oldest one, since it was copied in 1161 at Niẓāmiyya in Baghdad. A second fact, which has not been noticed, has given rise to serious confusion: al-Qiftī gives only the list of writings of al-Ḥasan ibn al-Haytham, and never mentions the name of “Muḥammad” ibn al-Haytham. The list given by al-Qiftī is almost exclusively of his writings in the mathematical sciences, and once a verification is made, all the works of al-Ḥasan that have come down to us—with two exceptions—also appear on this list by al-Qiftī. The Anonymous of Lahore and Ibn Abī Uṣaybiʿa had the same source: an autograph manuscript of Muḥammad ibn al-Ḥasan in which the latter, after having narrated a few elements of his biography, or rather of his philosophical biography, gives a list of his writings down to the year 417/1026. He gives immediately after a complementary list of his writings down to the year 419/1028. However, there are two important differences, which have gone unnoticed, between the Anonymous of Lahore and Ibn Abī Uṣaybiʿa. Immediately after this list, the Anonymous of Lahore transcribes a list of the writings of al-Fārābī, after a copy by the Baghdad judge Ibn al-Murakhkhim. It is after this list that he transcribes a list of

‎1. This debate is all the more urgent in that we have just completed the editio princeps as well as the first translation of the main work of Ibn al-Haytham on astronomy, spherical geometry and trigonometry—Rashed, op. cit. in n. 2, p. 481, vol. V: Ibn al-Haytham: Géométrie sphérique et astronomie, op. cit. ‎2. We shall call it the Anonymous of Lahore.

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the writings of al-Ḥasan ibn al-Haytham. In other words, the Anonymous of Lahore has not confused either al-Ḥasan and Muḥammad, or their lists. The exposition by Ibn Abī Uṣaybiʿa is quite different. He is not a scribe, but a bio-bibliographer, like al-Qiftī, and he therefore intends to write an article on Ibn al-Haytham in his dictionary. He begins his article with an introduction in which he borrows, particularly from Qiftī, some facts which the latter attributes to al-Ḥasan ibn al-Haytham. However, since he will soon follow this introduction by the philosophical autobiography as well as the lists of Muḥammad ibn al-Ḥasan, he combines the two personages and composes a new portrait, that of an alleged “Abū ʿAlī Muḥammad ibn al-Ḥasan ibn al-Haytham”. No author and no source before Ibn Abī Uṣaybiʿa mention such a personage, and no work by al-Ḥasan ibn al-Haytham, any more than a commentator on his works, as we have shown, mentions such a name. It is this confusion committed by Ibn Abī Uṣaybiʿa that has misled the bio-bibliographers and historians 1. Whatever may be the case for the examination of the list of works by Muḥammad ibn al-Ḥasan given by Ibn Abī Uṣaybiʿa, it emerges clearly that he had at his disposition the same autograph manuscript that was available to the Anonymous of Lahore. It remains true that once he has copied these lists, Ibn Abī Uṣaybiʿa follows them with the list of the works of al-Ḥasan ibn al-Haytham. He introduces this list with the words: “this is also a list (fihrist) that I found of the books of Ibn al-Haytham, down to the end of the year four hundred twentynine 2.” Except for some differences in the order 3, this list resembles the one given by the Anonymous of Lahore and by al-Qiftī. The fact that Ibn Abī Uṣaybiʿa adds this list at the end, and introduces it in these terms, shows that it existed independently of the autograph copy of Muḥammad ibn al-Haytham, since it had been found in the manuscript of Lahore.

‎1. Anton Heinen edited the text of the manuscript of Lahore while eliminating the list of al-Fārābī that separates the work by Muḥammad ibn al-Ḥasan and the list of al-Ḥasan. He simply remarked in a note: “An dieser Stelle, auf derselben Seite und in derselben Hand, folgt das Verzeichnis der Werke al-Fārābīs.” (Anton Heinen, Ibn al-Haitams Autobiographie in einer Handschrift aus dem Jahr 556 H./1161 A.D., in Ulrich Haarmann und Peter Bachmann (Hrsg.), Die islamische Welt zwischen Mittelalter und Neuzeit: Festschrift für Hans Robert Roemer zum 65. Geburtstag (Beirut: Franz Steiner Verlag, 1979), 254-277, at 272, n. 27.) Following Ibn Abī Uṣaybiʿa, he has confused the two authors. ‎2. Ibn Abī Uṣaybiʿa, ʿUyūn al-anbāʾ fī ṭabaqāt al-aṭibbāʾ, ed. by N. Riḍā (Beirut, 1965), 559. ‎3. Rashed, op. cit. in n. 4, vol. II, 8-12.

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A third fact is equally indisputable: the examination of these two lists, that of Muḥammad and that of al-Ḥasan, shows that the writings of Muḥammad deal with philosophy, and particularly medicine, or are commentaries, didactic in intention, on ancient scientific texts, such as the Elements, Almagest, as well as a work by Menelaus, whereas the works of al-Ḥasan deal with research problems, often cuttingedge, in the mathematical sciences. To take only one example, that of analysis and synthesis, which is significant because both men deal with it: whereas Muḥammad wrote his treatise “by the method of examples for students 1,” al-Ḥasan 2 tackled research problems that were still alive in the 18th century, such as the reciprocal of Euclid’s theorem on perfect numbers, or the problem of three tangent circles: that is, problems of advanced research, far removed from any didactic intention. We can see the distance that separates the two projects. A fourth fact is particularly important: the commentaries on the Ancients by Muḥammad that have come down to us under his name—those on the Almagest and on the work by Menelaus—are repetitive and didactic paraphrases. Now, of the works by al-Ḥasan ibn al-Haytham that appear on the list, the only ones—and they are rare—that could belong to the genre of the commentary are rectificative: that is, they deal with the solution of aporias by Euclid or Ptolemy, and foundational, in the sense that they go back to the very foundations, like his commentary on the postulates of the Elements. A fifth fact, which has also gone unnoticed, is the testimony of ancient authors who had access to the works both of Muḥammad and of al-Ḥasan: thus, the philosopher Fakhr al-Dīn al-Razī does distinguish the two authors 3. These facts, which are far from being the only ones, all lead to the same conclusion: there were two homonymous personages, alḤasan ibn al-Ḥasan ibn al-Haytham and Muḥammad ibn al-Ḥasan ibn al-Haytham. The first was the famous mathematician; as far as the second one is concerned, he was a philosopher-doctor, familiar with the sciences, like many philosophers in the tradition of alKindī, but without being an inventive scientist himself. Homonyms, these two personages are also contemporaries, have the same origin (southern Iraq), and were perhaps related. Yet whereas the mathematician emigrated to Cairo, the philosopher remained in Iraq. Since confusions tend to be long-lived, a meticulous examination

‎1. Ibn Abī Uṣaybiʿa, op. cit. in n. 11, 555. ‎2. Rashed, op. cit. in n. 4, vol. IV. ‎3. Rashed, op. cit. in n. 4, vol. III.

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of the authenticity of The Configuration of the universe is essential. Once again, let us recall a few facts. Whereas the three ancient bio-bibliographers inscribe the title of The Configuration of the universe on the list of al-Ḥasan, Ibn Abī Uṣaybiʿa and the Anonymous of Lahore inscribe it twice, once on the list of Muḥammad, and once on that of al-Ḥasan—which might have alerted historians and induced them to discuss the authenticity of the attribution of The Configuration of the universe. Yet nothing of the sort occurred. However we interpret this double attribution, if we persist in considering that Muḥammad and al-Ḥasan are one and the same person, we can only end up with an absurdity. Indeed, in that case we would have to accept that the same author wrote two different books, at two different times, with the same title, and without pointing it out: a conclusion which is all the less plausible in that it is not supported by any argument. To be sure, we could impute the responsibility for this to the author of the source (or the sources) of the works of al-Ḥasan ibn al-Haytham consulted by Ibn Abī Uṣaybiʿa and the Anonymous of Lahore, or else to these authors themselves. Yet since this title appears on the list of the works of al-Ḥasan established by al-Qiftī, with has no link to the source on which Ibn Abī Uṣaybiʿa and the Anonymous of Lahore depend, there is nothing to induce us to conclude that the last two bibliographers or their source could have committed such an error. For the moment, we must restrict ourselves to the bibliographical fact, prepared to discuss it later on: there are two books entitled Configuration of the universe, one attributed to Muḥammad and the other to al-Ḥasan. The arguments advanced in favor of the authenticity of The Configuration of the universe such as it has come down to us boil down to two: (1) the title cited by the ancient bio-bibliographers; and (2) the colophon of one of the manuscripts of The Configuration of the universe. The three ancient bio-bibliographers indeed cite the title of The Configuration of the universe among the works of al-Ḥasan. Let us recall a well-known fact, however: before the beginnings of printing, titles were scarcely stable, and the variations they underwent were sometimes considerable. Among many other examples, let us take the list of the writings of al-Ḥasan established by al-Qiftī, the great majority of whose titles are authenticated. Al-Qiftī cites a book by al-Ḥasan which he entitles The Sphere is the greatest of the solid figures (al-kura awsaʿ alashkāl al-mujassama) 1, instead of giving it its real title: On the sphere, which is the greatest of the solid figures with equal perimeters, and on the circle, which is the greatest of the plane figures with equal perimeters (fī anna al-kura awsaʿ al-ashkāl ‎1. Al-Qifṭī, Taʾrīkh al-ḥukamāʾ, ed. by Julius Lippert (Leipzig, 1903), 168.

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al-mujassama allatī iḥāṭātuhā mutasāwiya, wa-anna al-dāʾira awsāʿ al-ashkāl almusaṭṭaḥa allatī iḥāṭātuhā mutasāwiya). It is easy to see that the title given by al-Qiftī is incomplete and less detailed. The argument from the title, especially when invoked by an ancient bio-bibliographer, should be handled with infinite precautions. In the case of The Configuration of the universe, attributed to al-Ḥasan because he had written another book whose title begins with the same expression, “On the configuration of...,” viz. On the configuration of the movements of each of the seven planets (Fī hayʾat ḥarakāt kull waḥid min al-kawākib al-sabʿa), a title that is not cited by any ancient bibliographer, any more than his capital work on The Completion of conics, increased precautions are called for. We now come to the colophon of one of the three manuscripts that have come down to us. Here is the colophon: ‫بتكو اذه باتكلا نم ةخسنلا يتلا خسُن )اذك( نم ةخسن خيشلا يبأ مسقلا يطاسيمسلا هطخب ركذ هنأ اهلقن نم ةخسن‬ ‫طخب فنصم باتكلا خيشلا ىبأ ىلع نسحلا نب نسحلا نب مثيهلا لباقو اهيلع نم اهلوأ ىلإ اهرخآ يف بجر نم ةنس‬ ‫ةئامعبرأو‬. ‫تس نيعبسو‬

This book was transcribed from the copy that was transcribed from the copy of the Shaykh Abū al-Qasam al-Sumaysāṭī in his hand. He (alSumaysāṭī) mentioned that he had transcribed it from a copy in the hand of the author of the book, Abū ʿAlī al-Ḥasan ibn al-Ḥasan ibn alHaytham; and that he (al-Sumaysāṭī) confronted it with the latter from the beginning to the end, in the of Rajab of the year four hundred seventy-six 1.

‎1. MS Kastamonu 2298, fol. 43r. The meaning of the Arabic is clear, qābala cannot be translated by “was checked”. There is no need to be a great philologist in order to grasp that the subject of this active verb is the same as that of dhakara and of naqala, that is, al-Sumaysāṭī. However, it is this strange error in translation (which is not made by Langermann, op. cit. in n. 1, cf. 43), that compromises Sabra’s entire argumentation (op. cit. in n. 5, 19-20 and note 34). This colophon is followed by a gloss, clearly separated from it in the manuscript, of which the following is a translation, as literal as possible: “The copy from which this copy has been transcribed has been confronted with the copy of above-mentioned origin, which is in the hand of the Shaykh Abū ʿAlī ibn al-Haytham. It was rectified, thanks be to God, the Lord of worlds, and transcribed in the month of Rajab of the aforementioned year.” (MS Kastamonu 2298, fol. 43r°.)

‫ةخسنلاو ةبوتكملا هنم ]اذك[ هذه ةخسنلا ضروع اهب ةخسنلا لصألا روكذملا وهو طخب خيشلا يبا يلع‬ ‫ةروكذملا‬. ‫]اذك[ نب مثيهلا ححصو دمحلاو هلل بر نيملاعلا بتكو يف بجر نم ةنسلا‬

Despite the mistakes in Arabic, as numerous as they are gross, which disfigure these few lines (and which can only confirm our doubts with regard to the quality of the information transmitted), it seems that the scribe confines himself to extracting from the colophon the information necessary for specifying the relationship between

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According to this colophon, the grandfather of the Kastamonu manuscript would be the one belonging to al-Sumaysāṭī, which is supposed to be have been copied by him in 476/1083, after the autograph of al-Ḥasan ibn al-Haytham. If this information could be verified, one would have a strong argument in favor of the authenticity of the attribution of The Configuration of the universe to al-Ḥasan ibn al-Haytham; all the more so in that al-Sumaysāṭī is a younger contemporary of the latter. But nothing could be further from the truth: the colophon is more than dubious. Abū al-Qasam al-Sumaysāṭī is not an unknown figure. He has left us a short treatise on isoperimetric figures (MSS Istanbul, Carullah 1502 and Beshir Aga 440) 1. In addition, the ancient biographers and historians inform us about his dates and some of his activities. Thus, Ibn al-ʿImād, in his Shadharāt al-dhahab, lists at the same time among personalities who died in the course of the year 453/1061, the doctor Ibn Riḍwān, a contemporary of al-Ḥasan ibn al-Haytham: ‫[ ىلع نب دمحم نب ىيحي ىملسلا‬...] ‫قشمدب‬. ‫اهيفو )يفوت( وبأ مسقلا يطاسيمسلا فقاو هاكناخلا برق عماج ينب ةيمأ‬

‫ةنيهلاو بحاص ةمشح ةورثو ةعساو شاع‬، ‫هريغو ناكو اعراب ىف ةسدنهلا‬، ‫ىقشمدلا ىور نع دبع باهولا يبالكلا‬، ‫ةنس‬. ‫نيينامث‬ Abū al-Qasam al-Sumaysāṭī, who has bequeathed a hospice, next to the mosque of the Omeyyads at Damascus, as a religious bequest [...], ʿAlī ibn Muḥammad ibn Yaḥyā al-Sulamī of Damascus, who recited according to ʿAbd al-Wahāb al-Kilābī, and others; he excelled in geometry and in astronomy. He had a retinue of servants and a great fortune, and he lived for eighty years 2.

This information is confirmed by other classical historical and bio-bibliographical sources, for instance Ibn ʿAsākir, Yāqūt, alDhahabī, al-Nuʿaymī. Thus, in his History of Damascus, Ibn ʿAsākir evokes Dār al-Sūfiyya, that is, the house of the Sufis, the one bequeathed by al-Sumaysāṭī 3. More important is the article devoted to the town of Sumaysāṭ by Yāqūt in his Dictionary of the lands (Muʿjam

the manuscript he has just copied and the autograph of the author. He therefore suppresses the mention of the name of al-Sumaysāṭī, which is useless for his purposes, and contents himself with saying that the copy [i.e., that by al-Sumaysāṭī] on the basis of which “this copy” [i.e., what is now the MS Kastamonu] was transcribed, that is, from which it derives, is a copy made after the autograph of the text, then compared with it. ‎1. See Rashed, op. cit. in n. 4, vol. I, 830-832. ‎2. Ibn al-Īmād, Shadharāt al-dhahab fī akhbār man dhahab (Beirut, n. d.), vol. 2, 291. ‎3. Ibn ʿAsākir, Tarīkh Madīnat Dimashq, vol. 43, ed. by Sakīna al-Shīrabī (Damascus, 1993), 13.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

al-buldān). Thus, after having given its geographical coordinates, he writes: ‫شيمجلاب تام قشمدب يف رهش عيبر رخآلا ةنس‬، ‫اهيلإو بسني وبأ مساقلا يلع نب دمحم يطاسيمسلا يملسلا فورعملا‬

‫ةيفوصلاو‬. ‫نيينافطانلا ناكو دق اهفقو ىلع ءارقف نيملسملا‬، ‫ نفدو يف هراد بابب‬٤٥٣

Related to the latter is Abū al-Qasim ʿAlī ibn Muḥammad al-Sumaysāṭī al-Sulamī, known as al-Jamīsh, who died at Damascus in the month of Rabīʿ al-ākhar of the year 453. He was buried in his house at Bāb alNāṭafāʾiyyīn, which he had bequeathed as a religious bequest to Muslims and to poor Sufis 1.

And he continues: ٣٧٧. ‫ناكو ركذي نأ هدلوم يف ناضمر ةنس‬ He (al-Sumaysāṭī) mentioned that his birth was of Ramaḍān of the year 377 2.

Al-Dhahabī provides the same information, but with the difference that he gives as a birth date the month of Ramaḍān, in the year three hundred seventy-four 3. As far as al-Nuʿaymī 4 and Ibn Taghrībardī 5 are concerned, they repeat the same information. Other historians inform us about certain facts concerning alSumaysāṭī, such as al-Dhahabī, and all of them agree on the date of his death: the year 453. Thus, born in 374/984 or 377/987, al-Sumaysāṭī lived for 79 or 76 lunar years before dying in 453/1061, at Damascus. This confirms the global estimate of Ibn al-ʿImād: 80 lunar years of life. Now these dates are in flagrant contradiction with the colophon. Indeed, if we accept, according to the colophon, the date of 476/1083 for the transcription of the manuscript, al-Sumaysāṭī would have carried it out at the age of 102 or 99 lunar years. Yet this fact, in its

‎1. Yāqūt, Muʿjam al-buldān (Beirut, n. d.), vol. 3, 258. ‎2. Yāqūt writes “Abū al-Qāsim” instead of “Abū al-Qasam”. This confusion may be due to the scribes, or else to Yāqūt himself; we find it in other bio-bibliographers, but it is not consequential, since the first names are the same, as are the last names and the dates. ‎3. Al-Dhahabī, Sitar aʿlām al-rtubalāʾ, ed. by Sh. al-Aranuʾūṭ et al. (Beirut, 1984), vol. 18, 71-72. ‎4. Al-Nuʿaymī, al-Dāris fī taʾrīkh al-madāris, ed. by Jaʿfar al-Ḥasanī (Damascus, 1951), vol. 2, 151-152. He gives al-Sumaysāṭī’s birth date as 373/983-984, which confirms the date given by Yāqūt. ‎5. Al-Taghrībardī, al-Nujūm al-zāhira fī muluk Miṣr wa-al-Qāhira, 12 vol. (Beirut, 1992), vol. 5, 70-72.

THE CONFIGURATION OF THE UNIVERSE

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singularity, would not have struck historians. This is more than improbable, even impossible. If, on the other hand, we are to believe the unanimous biographers, we should also accept that al-Sumaysāṭī would have transcribed The Configuration of the universe twenty-two years after his death. This is unlikely. However we envisage the date given by the colophon, we observe that it is severely erroneous. Is this the scribe’s mistake, or the intervention of a forger, as sometimes happens? It is impossible to decide, since we know nothing of the scribes, their dates, and their places of activity. In any case, nothing can be established on the basis of such a fanciful colophon. It is thus obvious that neither the title, nor the colophon allow us to discuss the validity of the attribution of The Configuration of the universe to al-Ḥasan. We must therefore turn towards the book itself and its contents, in order to compare it with al-Ḥasan’s other works on astronomy. Now, as soon as we study The Configuration of the universe as the book has come down to us, as well as its contents, its attribution to alḤasan seems indefensible. According to the dates given by Ibn Abī Uṣaybiʿa and the Anonymous of Lahore, The Configuration of the universe attributed to Muḥammad was written before 417/1027, when the philosopher was 63 years old. Still according to the same sources, The Configuration of the universe attributed to al-Ḥasan was written before 429/1038. If, therefore, we suppose that Muḥammad and al-Ḥasan are one and the same person, we would necessarily have to admit that this last writing— that is, that of The Configuration of the universe mentioned in the list of al-Ḥasan—was carried out between 1027 and 1038, that is, between the author’s sixty-third and his seventy-fourth year. If, moreover, we recall that al-Ḥasan died soon after 1040, these would be the last years of his life. Yet this hypothesis is not only adventurous, but leads to irreducible contradictions. Indeed, other testimonies 1 inform us that al-Ḥasan had written his book entitled The Resolution of doubts concerning the Almagest in this same period of time (between 1027-1038), that is, after 1028. In this work, he declares without the slightest ambiguity that “the aporias (in the Almagest) are much too numerous to be enumerated”. We should also note that in this work, al-Ḥasan ibn al-Haytham cites his Book of optics, which contains the reform with which we are familiar, as well as a radical critique of the visual ray doctrine. Now, in the ‎1. See Rashed, op. cit. in n. 4, vol. II.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Configuration of the universe, which, according to Ibn Abī Uṣaybiʿa and the Anonymous of Lahore, should have been written in the period 1027-1038, the author adheres to this refuted doctrine without any nuances. Here is what we read: “The ray emanates from our eyes in the form of a cone whose summit is the point of the eye, and whose base is the surface of the visible object 1.” We also know that in his Treatise on the light of the Moon, written relatively early, since the doctor Ibn Riḍwān had copied it at Cairo on Friday August 7, 1031, Ibn alHaytham criticized the doctrine according to which the Moon is a polished body that reflects the light of the Sun. Yet this is precisely the doctrine adopted by the author of The Configuration of the universe. Indeed, he writes that the Moon “is a polished body which, if the sun is facing it, receives its light, and this light is reflected on its surface towards the earth 2”. Thus, in proposition 7 and those that follow of his Treatise on the light of the Moon, al-Ḥasan ibn al-Haytham demonstrates that “the light emanating from the moon to the earth is not by reflection”. In these conditions, we should conclude that he is in full contradiction, which is absurd. In addition, according to Ibn Abī Uṣaybiʿa and the Anonymous of Lahore—if we stick to the hypothesis identifying him with Muḥammad—he had written several books, all of which were critical of Ptolemy (Doubts on Ptolemy, On the winding motion, Solution of doubts concerning the winding motion) 3, between 1027 and 1038. In The Configuration of the universe, however, the author’s starting point is perfectly transparent. He writes: “Our statements on all the motions are only according to the viewpoints of Ptolemy, and according to his opinion 4,” that is, without any possible dispute, according to the planetary theory set forth in the Almagest And in fact, the author follows Ptolemy’s work step by step: he speaks of the prosneusis (almuḥādhā 5) of the Moon, whereas al-Ḥasan gets rid of it in his writings; and of the equant, whereas the latter rejects it, etc. In other words, if we stick with this position, the mathematician Ibn al-Haytham, in

‎1. Langermann (ed.), op. cit. in n. 2, p. 481, ar. 42:

‫رصبملا‬. ‫عاعشلاو جرخي نم انراصبأ ىلع لكش طورخم هَسأر ةطقن رصبلا هتدعاقو حطس مرج‬

‎2. Langermann (ed.), op. cit. in n. 1, ar. 44:

‫كلذو نأ رمقلا ال رون هل امنإو بستكي رونلا نم ءوض سمشلا وهو مسج ليقص اذإ هتلباق سمشلا لبق اهرون‬ ‫هب‬. ‫رانتساو اهءوضب سكعناو كلذ رونلا نم هحطس ىلإ ضرألا ترانأف‬

‎3. See Rashed, op. cit. in n. 1, p. 483. ‎4. Langermann (ed.), op. cit. in n. 1, ar. 6:

‫هداقتعاو‬. ‫انلوقو يف لك تاكرحلا امنإ وه بسحب يأر سويملطب اهيف‬

‎5. Langermann (ed.), op. cit. in n. 1, ar. 42.

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the course of the same years, would have written one thing and its contrary. Yet this is not the only absurd conclusion. Indeed, the explicit goal of The Configuration of the universe is to present, on the basis of Ptolemy, the orbs of the planets in terms of simple and continuous motions of the solid spheres. The goal is thus to wed the planetary theory of the Almagest to a cosmology inspired by Aristotelian philosophy, yet without raising any of the technical problems raised by such a project, and without solving any of the difficulties in mathematical astronomy that follow from it. Yet it suffices to skim through the works of al-Ḥasan, in astronomy as well as in optics or in statics, to observe that these technical questions are always important to him, and that, at any rate, these works are at a theoretical and technical level that is incomparably higher than that of The Configuration of the universe. In all his astronomical works, without exception, alḤasan deals, with all the required technicality, with the problem of the combination of geometrical models with the terms of a description of celestial motions. To be sure, it sometimes happens, as in his work on the winding motion 1, that he studied the combination of the geometrical model with a physical description of the motion, but always with the technicality the subject demands. He always behaves as a mathematical astronomer, whereas The Configuration of the universe is rather the work of a philosopher. To these numerous and irreducible differences between the project, the method and the style of al-Ḥasan and those of the author of The Configuration of the universe, we can add a few others, which are just as flagrant. The author of The Configuration of the universe 2 calculates the celestial motions that figure in the Almagest. He counts forty-seven: one for diurnal motion, one for precession, eighteen for the three highest planets, two for the Sun, eight for Venus, nine for Mercury, six for the Moon, and two for the sublunary world (the heavy and the light) 3. Here again, the author recalls that he is relying on “his [Ptolemy’s] research and his observations for all the celestial motions”. Now, in the Doubts on Ptolemy, al-Ḥasan makes the ‎1. Indeed, in The Winding motion, he engages in a technical discussion to show the error committed by Ptolemy when he supposes that portions of the sphere cause the epicycle to move. He demonstrates that such an assumption leads either to one of the spherical portions straying from its location, or else to the epicycle’s being subject to a tipping motion; in other words, to two impossibilities. It is always problems of mathematical astronomy that he raises, as for instance that of the diameters that remain in the vicinity of the center of the ecliptic. There is nothing in common here with the style of The Configuration of the universe. ‎2. Langermann (ed.), op. cit. in n. 1, § 138, 25. ‎3. Ibid., ar. 65.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

same calculation, but only for the motions of the seven stars; he finds thirty-six motions. Indeed, he does not count the first two, and obviously leaves aside the last two; and he counts one less motion for each of the stars, since he naturally leaves out the diurnal motion for each of them, insofar as this motion is inclusive. This difference in a simple reckoning of motions is enough to distinguish, on the one hand, al-Ḥasan Ibn al-Haytham, who understood what was at issue; and on the other the author of The Configuration of the universe, a commentator in the tradition of Ptolemy, like Muḥammad ibn al-Haytham. Still other facts of the same nature could be added, some of which have not ceased to intrigue the editor of The Configuration of the universe. Projects, methods, styles, and scientific facts, whether in astronomy or in optics: everything opposes the writings of al-Ḥasan and The Configuration of the universe. The historical argument—the only one set forth—that of the colophon, is inconsistent and fallacious. To attribute The Configuration of the universe to al-Ḥasan is to maintain the confusion between the authors and the writings; but it is also to falsify the interpretation of the latter’s astronomy, and it is finally to accuse him of a serious scientific schizophrenia, which has never manifested itself in any of the numerous other domains he engaged in. To maintain, as has recently been done, arbitrarily and without the shadow of a proof, that we are in the presence of a work of the author’s youth, does not resist the argument of the dates given by the ancient bio-bibliographers. We have recalled that after 1028, alḤasan was struggling with the aporias of the Almagest, and therefore far from following Ptolemy slavishly, as is done by the author of The Configuration of the universe both in astronomy and in optics. The contradiction is even more striking if, like Ibn Abī Uṣaybiʿa and the Anonymous of Lahore, we place its writing between 1027 and 1038. In addition, to show that this is a work of the author’s youth, one would have to explain rigorously by what paths it leads to the works of maturity. But none of those who hazard such an affirmation has ever set out in search in of these paths, none of which, moreover, in our opinion, links The Configuration of the universe to the other works of al-Ḥasan ibn al-Haytham. When did this confusion of attribution take place? Everything indicates that it is already present in the bio-bibliographers—in Ibn Abī Uṣaybiʿa—as well as in such third-class astronomy professors as al-Kharaqī 1. It is to be noted, however, that no great astronomer has ever, to my knowledge, ever committed this confusion. Thus, al-ʿUrdī cites the Doubts, al-Ṭūsī evokes the Winding motion, but neither one nor ‎1. “Muntahā al-idrāk fī taqāsīm al-aflāk,” MS Paris, BNF Arabe 2499, fol. 2v.

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the other, nor any other astronomer of their stature, associates the name of al-Ḥasan with The Configuration of the universe. We shall thus affirm clearly, and with no risk of being proven wrong, that The Configuration of the universe as we have it is not a work of al-Ḥasan ibn al-Haytham, but is quite probably a book by Muḥammad ibn al-Haytham. As far as the title Configuration of the universe, attributed to al-Ḥasan, is concerned, it would be that of a book that has never come down to us or the result—and here we enter the realm of conjecture—of a modification of the title of his book On the configuration of the motions of each (kull, all) of the seven stars, which could have been written On the configuration of the motions of the all… Yet while it is true that this conjecture must await the confirmation of future research, the attribution of The Configuration of the universe to al-Ḥasan is henceforth indefensible. One may well be astonished that The Configuration of the universe could have been attributed to al-Ḥasan ibn al-Haytham, all the more in that the case is far from being unique. Recently, in fact, and without the slightest hesitation, the eminent mathematician and astronomer has been seen as the author of a Commentary on the Almagest, which is of pure Ptolemaic obedience, and what is more, explicitly attributed to Muḥammad ibn al-Haytham 1. In conclusion, let us note that here as elsewhere, we have been forced, in order to undertake a critical philological examination and carryout a rigorous history of the textual tradition, to have recourse to the conceptual tradition, that is, to the examination of the scientific contents of the text. Is there any other way?

‎1. This error is the consequence of another one, which has led Abdelhamid I. Sabra (in the Dictionary of scientific biography, vol. VI, 206-208) to attribute to alḤasan ibn al-Haytham a “summary” by Muḥammad ibn al-Haytham of the book by Ibn Sinān on The Lines of the shadows (see Rashed, op. cit. in n. 1, p. 483, vol. II, 16-18 and 491-494).

IBN AL-HAYTHAM’S SCIENTIFIC RESEARCH PROGRAMME

1. Introduction For the vast majority of historians, and, more generally, of laymen, Ibn al-Haytham’s major contribution concerns the vision in all its aspects (physical, physiological and psychological) and, namely, the causes of perceptual and cognitive effects. The reform of Ibn alHaytham, according to them, was mainly to abandon the traditional theory of vision, to a new one. Henceforth he belongs to ancient and mediaeval traditions, in spite of this reform, in so far that he was concerned with vision and sight. I will argue here that this reform was a minor consequence of a more general and more fundamental research programme, and even his conception of the science of optics is quite different as so far that his main task was about light, its fundamental properties and how they determine its physical behaviour, as reflection, refraction, focalization, etc. Some historians of optics consider that, up to the seventeenth century in Europe, the science in optics before Kepler was aimed primarily at explaining vision. The merest glance at the optical works of Ibn al-Haytham leaves no doubt that this global judgement is far from being correct. Indeed, this statement is correct as far as it concerns the history of optics before the shift done by Ibn al-Haytham and the reform he accomplished. Successor of Ptolemy, al-Kindī and Ibn Sahl, to mention only a few, he unified the different branches of optics: optics, dioptrics, anaclastics, meteorological optics, etc. This unification was possible only for a mathematician who focused on light, and not on vision. Nobody, as far as I know, before Ibn alHaytham, wrote such books titled: On light; On the light of the moon; On the light of the stars; On the shadows, among others, in which nothing concerns sight. At the same time, three books from his famous Book of Optics are devoted strictly to the theory of light. None of the authors

Paru dans M. Alamri, M. El-Gomati et M. Suhail Zubairy (éd.), Optics in Our Time, Springer, 2016, p. 25-39.

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before him, who were mainly interested in vision, wrote a very important contribution on physical optics such as the one on The Burning Sphere. I begin by quoting the expression which Ibn al-Haytham repeated more than once in his different writings on optics. At the beginning of this famous Book of Optics, he writes: Our subject is obscure and the way leading to knowledge of its nature difficult, moreover our inquiry requires a combination of the natural and mathematical sciences. 1

But such a combination in optics, for instance, requires one to examine the entire foundations and to invent the means and the procedures to apply mathematics on the ideas of natural phenomena. For Ibn al-Haytham, it was the only way to obtain a rigorous body of knowledge. Why this particular turn, at that time? Let me remind that Ibn al-Haytham lived in the turn of the first millennium. He was the heir of two centuries of scientific research and scientific translations, in mathematics, in astronomy, in statics, in optics, etc. His time was of intense research in all these fields. He himself wrote more in mathematics and in astronomy than in optics per se. According to early bio-bibliographers, Ibn al-Haytham wrote astronomical works: twice as many works on the subject as he did in optics. The number of his writings alone indicates the huge size of the task accomplished by him and the importance of astronomy in his life work. In all branches of mathematics, he wrote more than all his writings in astronomy and in optics put together. If he wrote in optics the famous huge book, Kitāb al-Manāẓīr—The Book of Optics, in astronomy likewise he wrote a huge book entitled The Configuration of the Motions of each of the Seven Wandering Stars. Before coming back in some details to these contributions, let me characterize Ibn al-Haytham’s research programme. 1. It is a new one, concerning the relationships between mathematics and natural phenomena, never conceived before. His aim is to mathematize every empirical science. This application of mathematics can take different forms, not only given to the different disciplines, but also in one and the same discipline. 2. It does not concern only optics, but every natural science, i.e., for the epoch, astronomy and statics.

‎1. Ibn al-Haytham [2], p. 4.

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3. Its success depends on the means—mathematical, linguistic and technical—by which mathematics control the semantic and syntactical structures of natural phenomena.

2. Between Ptolemy and Kepler: Ibn Al-Haytham’s Celestial Kinematics To put the facts right, I will turn at first, quite briefly, to Ibn alHaytham’s astronomy. He wrote at least three books criticizing the astronomical theory of Ptolemy: 1. The Doubts concerning Ptolemy. 2. Corrections to the Almagest. 3. The Resolution of Doubts concerning the Almagest. In the Doubts, Ibn al-Haytham comes to the conclusion that “the configuration Ptolemy assumes for the motions of the five planets is a false one”. 1 A few lines further on, he continues: “The order in which Ptolemy had placed the motions of the five planets conflicts with the theory ”. 1 A little later, he states: “The configurations that Ptolemy assumed for the the five planets are false ones. He decided on them knowing they were false, because he was unable other ones”. 1 After such comments, and many others like them in several places of his writings, Ibn al-Haytham had no option but to construct a planetary theory of his own, on a solid mathematical basis, and free from the internal contradictions found in Ptolemy’s Almagest. For this purpose, he conceived the idea of writing his monumental and fundamental book The Configuration of the Motions of the Seven Wandering Stars. If we wish to characterize the irreducible inconsistencies that, according to Ibn al-Haytham, vitiate Ptolemy’s astronomy, we may say that they arise from the poor fit between a mathematical theory of the planets and a cosmology; that is, the combination between mathematics and physics. Ibn al-Haytham was familiar with similar, though of course not identical, situations when, in optics, as we shall see, he encountered the inconsistency between geometrical optics and physical optics as understood not only by Euclid and Ptolemy, but also by Aristotle and the philosophers. In The Configuration of the Motions he deals with the apparent motions of the planets, without ever raising the question of the physical ‎1. See Rashed [8], p. 13.

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explanation of these motions in terms of dynamics. It is not the causes of celestial motions that interest Ibn al-Haytham, but only the motions themselves observed in space and time. Thus, to proceed with the systematic mathematical treatment, and to avoid the obstacles that Ptolemy had encountered, he first needed to break away from any kind of cosmology. Thus the purpose of Ibn al-Haytham’s Configuration of the Motions is clear: instead of constructing, as his predecessors, a cosmology, or a kind of dynamics, he constructs the first geometrical kinematics. A close examination of the way he organizes his exposition of planetary theory shows that Ibn al-Haytham begins by omitting physical spheres and by proposing simple—in effect, descriptive— models of the motions of each of the seven planets. As the exposition progresses, he makes the models more complicated and increasingly subordinates them to the discipline of mathematics. This growing mathematization leads him to regroup the motions of several planets under a single model. This step obviously has the effect of privileging a property that is common to several motions. In this way Ibn al-Haytham opens up the way to achieving his principal objective: to establish a system of celestial kinematics. He does so without as yet formulating the concept of instantaneous speed, but by using the concept of mean speed, represented by a ratio of arcs. In the course of his research, which I analysed elsewhere, 1 we encounter a concept of astronomy that is new in several respects. Ibn al-Haytham sets himself the task of describing the motions of the planets exactly in accordance with the paths they draw on the celestial sphere. He is neither trying ‘to save the phenomena’, like Ptolemy, that is, to explain the irregularities in the assumed motion by means of artifices such as the equant; nor trying to account for the observed motions by appealing to underlying mechanisms or hidden natures. He wants to give a rigorously exact description of the observed motions in terms of mathematics. Thus his theory for the motion of the planets calls upon no more than observation and conceptual constructs susceptible of explaining the data, such as the eccentric circle and in some cases the epicycle. However, this theory does not aim to describe anything beyond observation and these concepts, and in no way is it concerned to propose a causal explanation of the motions. The new astronomy no longer aims at constructing a model of the universe, as in the Almagest, but only at describing the apparent motion of each planet, a motion composed of elementary motions, ‎1. See Rashed [8].

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and, for the inferior planets, also of an epicycle. Ibn al-Haytham considers various properties of this apparent motion: localization and the kinematic properties of the variations in speed. In this new astronomy, as in the old one, every observed motion is circular and uniform, or composed of circular and uniform motions. To find these motions, Ibn al-Haytham uses various systems of spherical coordinates: equatorial coordinates (the required time and its proper inclination); horizon coordinates (altitude and azimuth) and ecliptic coordinates. The use of equatorial coordinates as a primary system of reference marks a break with Hellenistic astronomy. In the latter, the motion of the orbs was measured against the ecliptic, and all coordinates were ecliptic ones (latitude and longitude). Thus, basing the analysis of the planets’ motion on their apparent motions drives a change in the reference system for the data; we are now dealing with right ascension and declination. Ibn al-Haytham’s book thus transports us into a different system of analysis. To sum up, in the The Configuration of the Motions, Ibn al-Haytham’s purpose is purely kinematics; more precisely, he wanted to lay the foundations of a completely geometrical kinematics tradition. But carrying out such a project involves first of all developing some branches of geometry, as also of plane and spherical trigonometry. In both fields, Ibn al-Haytham obtained new and important results. In astronomy, properly, there are two major processes that are jointly involved in carrying through this project: freeing celestial kinematics from cosmological connections, that is, from all considerations of dynamics, in the ancient sense of the term; and to reduce physical entities to geometrical ones. The centres of the motions are geometrical points without physical significance; the centres to which speeds are referred are also geometrical points without physical significance; even more radically, all that remains of physical time is the ‘required time’, that is, a geometrical magnitude. In short, in this new kinematics, we are concerned with nothing that identifies celestial bodies as physical bodies. All in all, though it is not yet that of Kepler, this new kinematics is no longer that of Ptolemy nor of any of Ibn al-Haytham’s predecessors; it is sui generis, half way between Ptolemy and Kepler. It shares two important ideas with ancient kinematics: every celestial motion is composed of elementary uniform circular motions, and the centre of observation is the same as the centre of the Universe. On the other hand, it has in common with modern kinematics the fact that the physical centres of motions and speeds are replaced by geometrical centres. In fact, once Ibn al-Haytham had engaged upon mathematizing astronomy and had noted not only the internal contradictions

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in Ptolemy, but doubtless also the difficulty of constructing a self-consistent mathematical theory of material spheres using an Aristotelian physics, he conceived the project of giving a completely geometrized kinematic account. Ibn al-Haytham had the same experience in optics. In astronomy, kinematics and cosmology are entirely separated to effect a reform of the discipline, just as in optics, work on light and its propagation is entirely separated from work on vision to effect a reform of optics; in the one case as in the other, we shall see, Ibn al-Haytham arrived at a new idea of the science concerned.

3. Ibn Al-Haytham’s Reform of Optics It is now time to come to Ibn al-Haytham’s optics. As we have said above, Ibn al-Haytham was preceded by two centuries of translation into Arabic of the main Greek optical writings, as well of inventive research. Among his Arabic predecessors, al-Kindī, Qusṭā ibn Lūqā, Aḥmad ibn ʿĪsā, ʿUṭārid, etc. During these two centuries, the int ˙erest shown in the study of burning mirrors is an essential part of the comprehension of the development of catoptrics, anaclastics and dioptrics, as the book produced between 983 and 985 by the mathematician al-ʿAlāʾ ibn Sahl testifies. Before this contribution of Ibn Sahl, the catoptricians like Diocles, Anthemius of Tralles, alKindī etc. 1 asked themselves about geometrical properties of mirrors and about light they reflect at a given distance. Ibn Sahl modifies the question by considering not only mirrors but also burning instruments, i.e. those which are susceptible to light not only by reflection, but also by refraction; and how in each case the focalization of light is obtained. Ibn Sahl studies then, according to the distance of the source (finite or infinite) and the type of lighting (reflection or refraction) the parabolic mirror, the ellipsoidal mirror, the planoconvex lens and the biconvex lens. In each of these, he proceeds to a mathematical study of the curve, and, then, expounds a mechanical continuous drawing of it. For the plano-convex lens, for instance, he starts by studying the hyperbola as a conic section, in order then to take up again a study of the tangent plane to the surface engendered by the rotation of the arc of hyperbola around a fixed straight line, and, finally, the curve as an anaclastic curve, and the laws of refraction.

‎1. See Rashed [5, 6].

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H J I E

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Fig. 1. Ibn Sahl illustration of a ray of light (DC) refracted as it crosses the boundary (GF) of two media of different refractive indices (see text for more details).

These studies which focused on light and its physical behaviour were instrumental in the discovery by Ibn Sahl of the concept of a constant ratio, characteristic of the medium, which is a masterpiece in his study of refraction in lenses, as well as his discovery of the so-called Snellius’ law. At the beginning of his study, Ibn Sahl considers a plane surface GF surrounding a piece of transparent and homogeneous crystal. He next considers the straight line CD along which the light propagates in the crystal, the straight line CE along which it refracts itself in the air, and the normal at G on the surface GF which intersects the straight line CD at H and the ray refracted at E. Obviously, Ibn Sahl is here applying the known law of Ptolemy according to which the ray CD in the crystal, the ray CE in the air and the normal GE to the plane surface of the crystal are found in the same plane (Fig. 1). He writes then, in a brief way, and, according to his habit, with no conceptual commentary:

503

Straight line CE is therefore smaller than straightline CH. From straight line CH, we separate the straight line CI equal to straight line CE; we divide HI into two halves at point J; we make the ratio of straight line AK

504

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

to straight line AB equal to the ratio of straight line CI to straight line CJ. We draw the line BL on the prolongation of straight line AB and we make it equal to straight line BK. 1

In these few phrases, Ibn Sahl draws the conclusion first that CE/CH < 1, which he will use throughout his research into lenses made in the same crystal. In effect he does not fail to give this same ratio again, nor to reproduce this same figure, each time that he discusses refraction in this crystal (Fig.

H

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Fig. 2. Ibn Sahl’s diagram depicting refraction with planoconvex lenses (see text for more details).

But the ratio is nothing other than the inverse of the index of refraction in this crystal in relation to the air. Considering the i1 and i2 as the angles formed, respectively, by CD and by CE with the normal

‎1. See Rashed [7], p. 106.

IBN AL-HAYTHAM’S SCIENTIFIC RESEARCH PROGRAMME

505

GH, we have 1 sin i1 CG CE CE = = · = . n sin i2 CH CG CH Ibn Sahl takes on the segment CH a point I such that CI = CE, and a point J at the midpoint of IH. This gives CI 1 = . CH n The division CIJH characterizes this crystal for all refraction. Ibn Sahl shows, moreover, in the course of his research into the plano-convex lens and the biconvex lens, that the choice of hyperbola to fashion the lens depends on the nature of the crystal, since the eccentricity of the hyperbola is e = 1/n. Thus, Ibn Sahl had conceived and put together an area of research into burning instruments and, also, anaclastics. But, obliged to think about conical figures other than the parabola and the ellipse—the hyperbola for example—as anaclastic curves, he was quite naturally led to the discovery of the law of Snellius. We understand therefore that dioptrics, when it was developed by Ibn Sahl, only dealt with matters involving the propagation of light, independently of problems of vision. The eye did not have its place within the area of burning instruments, nor did the rest of the subject of vision. It is thus an objective point of view which is deliberately adopted in the analysis of luminous phenomena. Rich in technical material, this new discipline is in fact very poor on physical content: it is evanescent and reduces a few energy considerations. By way of example, at least in his writings that have reached us, Ibn Sahl never tried to explain why certain rays change direction and are focused when they change medium: it is enough for him to know that a beam of rays parallel to the axis of a plano-convex hyperbolic lens gives by refraction a converging beam. As for the question why the focusing produces a blaze, Ibn Sahl is satisfied with a definition of the luminous ray by its action of setting ablaze by postulating, as did his successors elsewhere for much longer, that the heating is proportional to the number of rays. Whilst Ibn Sahl was finishing his treatise on Burning Instruments very probably in Baghdad, Ibn al-Haytham was probably beginning his scientific career. It would not be surprising therefore if the young mathematician and physicist had been familiar with the works of the elder, if he cited them and was inspired by them. The presence of Ibn Sahl demolishes straightaway the image carved by historians of an isolated Ibn al-Haytham whose predecessors were the Alexandrians and the Byzantines: Euclid, Ptolemy and Anthemius of Tralles.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Thus, thanks to this new filiation, the presence of certain themes of research in the writings of Ibn al-Haytham, not only his work on the dioptre, the burning sphere and the spherical lens, is clarified; it authorizes what was not possible previously: to assess the distance covered by a generation of optical research—a distance so much more important, from the historical and the epistemological point of view, now that we are on the eve of one of the first revolutions in optics, if not in physics. Compared with the writings of the Greek and Arab mathematicians who preceded him, the optical work by Ibn al-Haytham presents at first glance two striking features: extension and reform. It will be concluded on a more careful examination that the first trait is the material trace of the second. In fact no one before Ibn al-Haytham had embraced so many domains in his research, collecting together fairly independent traditions: mathematical, philosophical, medical. The titles of his books serve moreover to illustrate this large spectrum: The Light of the Moon, The Light of the Stars, The Rainbow and the Halo, Spherical Burning Mirrors, Parabolical Burning Mirrors, The Burning Sphere, The Shape of the Eclipse, The Formation of Shadows, On Light, as well as his Book of Optics translated into Latin in the twelfth century and studied and commented on in Arabic and Latin until the seventeenth century. Ibn al-Haytham therefore studied not only the traditional themes of optical research but also other new ones to cover finally the following areas: optics, catoptrics, dioptrics, physical optics, meteorological optics, burning mirrors, the burning sphere. A more meticulous look reveals that, in the majority of these writings, Ibn al-Haytham pursued the realization of his programme to reform the discipline, which brought clearly to take up each different problem in turn. The founding action of this reform consisted in making clear the distinction, for the first time in the history of optics, between the conditions of propagation of light and the conditions of vision of objects. It led, on one hand, to providing physical support for the rules of propagation—it concerns a mathematically guaranteed analogy between a mechanical model of the movement of a solid ball thrown against an obstacle, and that of the light— and, on the other hand, to proceeding everywhere geometrically and by observation and experimentation. It led also to the definition of the concept of light ray and light bundle as a set of straight lines on which light propagates, rays independent from each other which propagate in a homogeneous region of space. These rays are not modified by other rays which propagate in the same region. Thanks to the concept of light bundle, Ibn al-Haytham was able to study the propagation and diffusion of light mathematically and experimen-

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tally. Optics no longer has the meaning that is assumed formerly: a geometry of perception. It includes henceforth two parts: a theory of vision, with which is also associated a physiology of the eye and a psychology of perception, and a theory of light, to which are linked geometrical optics and physical optics. Without doubt traces of the ancient optics are still detected: the survival of ancient terms, or a tendency to pose the problem in relation to the subject of vision without that being really necessary. But these relics do not have to deceive: their effect is no longer the same, nor is their meaning. The organization of his Book of Optics reflects already the new situation. In it are books devoted in full to propagation—the third chapter of the first book and Books IV to VII; others deal with vision and related problems. This reform led, amongst other things, to the emergence of new problems, never previously posed, such as the famous “problem of Alhazen” on catoptrics, the examination of the spherical lens and the spherical dioptre, not only as burning instruments but also as optical instruments, in dioptrics; and to experimental control as a practice of investigation as well as the norm for proofs in optics and more generally in physics. Let us follow now the realization of his reform in the Book of Optics and in other treatises. This book opens with a rejection and a reformulation. Ibn al-Haytham rejects straightaway all the variants of the doctrine on the visual ray, to ally himself with philosophers who defended an intromissionist doctrine on the form of visible objects. A fundamental difference remains nevertheless between him and the philosophers, such as his contemporary Avicenna: Ibn al-Haytham did not consider the forms perceived by the eyes as “totalities” which radiate from the visible object under the effect of light, but as reducible to their elements: from every point of the visible object radiate a ray towards the eye. The latter has become without soul, without πνεῦμα ὀπτικόν, a simple optical instrument. The whole problem was then to explain how the eye perceives the visible object with the aid of these rays emitted from every visible point. After a short introductory chapter, Ibn al-Haytham devotes two successive chapters—the second and the third books of his Book of Optics—to the foundations of the new structure. In one, he defines the conditions for the possibility of vision, while the other is about the conditions for the possibility of light and its propagation. These conditions, which Ibn al-Haytham presents in the two cases as empirical notions, i.e., as resulting from an ordered observation or a controlled experiment, are effectively constraints on the elaboration of the theory of vision, and in this way on the new style of optics. The conditions for vision detailed by Ibn al-Haytham are six:

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

the visible object must be luminous by itself or illuminated by another; it must be opposite to the eye, i.e., one can draw a straight line to the eye from each of its points; the medium that separates it from the eye must be transparent, without being cut into by any opaque obstacle; the visible object must be more opaque than this medium; it must be of a certain volume, in relation to the visual sharpness. These are the notions, writes Ibn al-Haytham, “without which vision cannot take place”. These conditions, one cannot fail to notice, do not refer, as in the ancient optics, to those of light or its propagation. Of these, the most important, established by Ibn alHaytham, are the following: light exists independently of vision and exterior to it; it moves with great speed and not instantaneously; it loses intensity as it moves away from the source; the light from a luminous source—substantial—and that from an illuminated object— second or accidental—propagate onto bodies which surround them, penetrate transparent media, and light up opaque bodies which in turn emit light; the light propagates from every point of the luminous or illuminated object in straight lines in transparent media and in all directions; these virtual straight lines along which light propagates form with it “the rays”; these lines can be parallel or cross one another, but the light does not mix in either case; the reflected or refracted light propagates along straight lines in particular directions. As can be noted, none of these notions relate to vision. Ibn al-Haytham completes them with other notions relative to colour. According to him, the colours exist independently from the light in opaque bodies, and as a consequence only light emitted by these bodies—second or accidental light—accompanies the colours which propagate then according to the same principles and laws as the light. As we have explained elsewhere, it is this doctrine on colours which imposed on Ibn al-Haytham concessions to the philosophical tradition, obliging him to keep the language of “forms,” already devoid of content when he only deals with light. 1 A theory of vision must henceforth answer not only the six conditions of vision, but also the conditions of light and its propagation. Ibn al-Haytham devotes the rest of the first book of his Book of Optics and the two following books to the elaboration of this theory, where he takes up again the physiology of the eye and a psychology of perception as an integral part of this new intromissionist theory. Three books of the Book of Optics—the fourth to the sixth—deal with catoptrics. This area, as ancient as the discipline itself, amply studied by Ptolemy in his Optics, has never been the object of so ‎1. See Rashed [4], pp. 271–298.

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extensive a study as that by Ibn al-Haytham. Besides the three voluminous books of his Book of Optics, Ibn al-Haytham devotes other essays to it which complete them, on the subject of connected problems such as that of burning mirrors. Research into catoptrics by Ibn al-Haytham distinguishes itself, among other traits, by the introduction of physical ideas, both to explain the known ideas and to grasp new phenomena. It is in the course of this study that Ibn al-Haytham poses himself new questions, such as the problem that bears his name. Let us consider some aspect of this research into catoptrics by Ibn al-Haytham. He restates the law of reflection, and explains it with the help of the mechanical model already mentioned. Then he studies this law for different mirrors: plane, spherical, cylindrical and conical. In each case, he applies himself above all to the determination of the tangent plane to the surface of the mirror at the point of incidence, in order to determine the plane perpendicular to this last plane, which includes the incident ray, the reflected ray and the normal to the point of incidence. Here as in his other studies, to prove these results experimentally, he conceives and builds an apparatus inspired by the one that Ptolemy constructed to study reflection, but more complicated and adaptable to every case. Ibn al-Haytham also studies the image of an object and its position in the different mirrors. He applies himself to a whole class of problems: the determination of the incidence of a given reflection in the different mirrors and conversely. He also poses for the different mirrors the problem which his name is associated with: given any two points in front of a mirror, how does one determine on the surface of the mirror a point such that the straight line which joins the point to one of the two given points is the incident ray, whilst the straight line that joins this point to the other given point is the reflected ray. This problem, which rapidly becomes more complicated, has been solved by Ibn alHaytham. Ibn al-Haytham pursues this catoptric research in other essays, some of which are later than the Book of Optics, such as Spherical Burning Mirrors. 1 It is in this essay of a particular interest that Ibn al-Haytham discovers the longitudinal spherical aberration; it is also in this text that he proves the following proposition: On a sphere of centre E let there be a zone surrounded by two circles of axis EB; let IJ be the generator arc of this zone, and D its midpoint. Ibn al-Haytham has shown in two previous propositions that to each of the two circles is

‎1. Ibn al-Haytham [1].

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

associated a point of the axis towards which the incident rays parallel to the axis reflect on this circle. He shows here that all the rays reflected on the zone meet the segment thus defined: if GD is the medium ray of the zone, the point H is associated with D, and the segment is on either side of H. The length of this segment depends on the arc IJ (Fig. I

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Fig. 3. Ibn al-Haytham illustration of the longitudinal spherical aberration

The seventh and last book of the Book of Optics by Ibn alHaytham is devoted to dioptrics. In the same way as he did for catoptrics, Ibn al-Haytham inserts in this book the elements of a physical—mechanical—explanation of refraction. Moreover, his book is completed by his essays, such as his treatise on the Burning Sphere or his Discourse on Light, where he comes back to the notion about the medium, following Ibn Sahl. In this seventh book of the Book of Optics, Ibn al-Haytham starts by taking on the two qualitative laws of refraction, and several quantitative rules, all controlled experimentally with the help of an apparatus that he conceives and builds as in the previous case. The two quantitative laws known by his predecessors, Ptolemy and Ibn Sahl, can be expressed as follows: (1) the incident ray, the normal at the point of refraction and the refracted ray are in the same plane; the refracted ray approaches (or moves away from) the normal if the light passes from a less (respectively more) refractive medium to a more (respectively less) refractive medium; (2) the principle of the inverse return. But, instead of following the way opened by Ibn Sahl through his discovery of the law of Snellius, Ibn al-Haytham returns to the ratios of angles and establishes his quantitative rules. 1. The angles of deviation vary in direct proportion to the angles

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of incidence: if in medium n1 one takes i ′ > i, one will have, in medium n2 , d ′ > d (i is the angle of incidence, r the angle of refraction and d the angle of deviation; d = |i − r|). 2. If the angle of incidence increases by a certain amount, the angle of deviation increases by a smaller quantity: if i ′ > i and d ′ > d, one will have d ′ − d < i ′ − i. 3. The angle of refraction increases in proportion to the angle of incidence: if i ′ > i, one will have r ′ > r. 4. If the light penetrates from a less refractive medium into a more refractive medium, n1 < n2 , one has d < 21 i; in the opposite path, (i+d)

one has d < 2 , one will have 2i > r. 5. Ibn al-Haytham takes up again the rules stated by Ibn Sahl in his book on The Celestial Sphere; he affirms that, if the light penetrates from a medium n1 , with the same angle of incidence, into two different media n2 and n3 , then the angle of deviation is different for each of these media because of the difference in opaqueness. If, for example, n2 is more opaque than n3 , then the angle of deviation will be larger in n2 than in n3 . Conversely, if n1 is more opaque than n2 , and n2 more opaque than n3 , the angle of deviation will be larger in n2 than in n3 . Contrary to what Ibn al-Haytham believes, these quantitative rules are not all valid in a general sense. But to his credit all are provable within the limits of the experimental conditions he effectively envisaged in his Book of Optics; the media are air, water and glass, with angles of incidence which do not go above 80°. 1 Ibn al-Haytham devotes a substantial part of the seventh book to the study of the image of an object by refraction, notably if the surface of separation of the two media is either plane or spherical. It is in the course of this study that he settles on the spherical dioptre and the spherical lens, following thus in some way the research by Ibn Sahl, but modifying it considerably; this study of the dioptre and the lens appears in effect in the chapter devoted to the problem of the image, and is not separated from the problem of vision. For the dioptre, Ibn al-Haytham considers two cases, depending on whether the source—punctual and at a finite distance—is found on the concave or convex side of the spherical surface of the dioptre. Ibn al-Haytham studies the spherical lens, giving particular attention to the image that it gives of an object. He restricts himself nevertheless to the examination of only one case, when the eye and the object are on the same diameter. Put another way, he studies the ‎1. See Rashed [3].

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

image through a spherical lens of an object placed in a particular position on the diameter passing through the eye. His procedure is not without similarities to that of Ibn Sahl when he studied the biconvex hyperbolic lens. Ibn al-Haytham considers two dioptres separately, and applies the results obtained previously. It is in the course of his study of the spherical lens that Ibn al-Haytham returns to the spherical aberration of a point at a finite distance in the case of the dioptre, in order to study the image of a segment which is a portion of the segment defined by the spherical aberration. In his treatise on the Burning Sphere, Ibn al-Haytham explains and refines certain results on the spherical lens which he had already obtained in his Book of Optics. However, he returns to the question of the burning by means of that lens. It is in this treatise that we encounter the first deliberate study of spherical aberration for parallel rays falling on a glass sphere and undergoing two refractions. In the course of this study, Ibn al-Haytham uses numerical data given in the Optics by Ptolemy for the two angles of incidence 40° and 50°, and, to explain this phenomenon of focusing of light propagated along trajectories parallel to the diameter of the sphere, he returns to angular values instead of applying what is called the law of Snellius. In this treatise on the Burning Sphere, as in the seventh book of his Book of Optics or in other writings on dioptrics, Ibn al-Haytham exposes his research in a somewhat paradoxical way: while he takes a lot of care to invent, fashion and describe some experimental devices that are advanced for this age, allowing the determination of numerical values, in most cases he avoids giving these values. When he does give them, as in the treatise on the Burning Sphere, it is with economy and circumspection. For this attitude, already noted, at least two reasons can perhaps be found. The first is in the style of the scientific practice itself: quantitative description does not yet seem to be a compelling norm. The second is no doubt linked: the experimental devices can only give approximate values. It is for this reason that Ibn al-Haytham took into account the values which he had borrowed from the Optics by Ptolemy. This book on the Burning Sphere is undoubtedly one of the summits of research in classical optics. Kamāl al-Dīn al-Fārisī (d. 1319) was able to put this book to work in order to explain for the first time the rainbow and the hallo. In this book, Ibn al-Haytham returns to the problem of combustion with the help of a spherical lens. Here then, is a text that enables us to follow the evolution of Ibn alHaytham’s thought on spherical lenses, by examining how he takes up the problem raised by his predecessor Ibn Sahl: to cause combus-

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tion by refraction, with the help of a lens. For Ibn al-Haytham, this research is an integral part of optics. He begins this book by proving several propositions two of which are particularly important: 1. 4i < d < 2i (i, angle of incidence in the glass; d, angle of deviation). 2. Let α and β be two arcs of a circle; we suppose that α > β, such that α = α1 + α2 and β = β1 + β2 , such that β α2 = 2 =k . sin β2 sin α2

With the help of these two propositions, as well as his rules of refraction, Ibn al-Haytham studies the propagation of a bundle of parallel rays falling upon a glass or crystal sphere. Let us sketch how he proceeds. In a first proposition, he shows that all parallel rays falling on the sphere with one and the same angle of incidence converge, after two refractions, towards one and the same point of the diameter which is parallel to the ray. This point is the focus associated with incidence i. Thus, he considers a ray (HN) parallel to the diameter AC, falling upon the sphere at M. The refracted ray corresponding to it meets the sphere at B, and meets AC at point S. Point S is the focus associated with incidence i, and it belongs to the segment [CK] where K is the intersection of MB with AC (Fig. 4). In a second proposition, he proves that the total deviation is twice each of the deviations: D = 2d. He proves then that a given point S, beyond C on the diameter, can be obtained only from a single point M; that is to say, S corresponds to a single incidence. In a third proposition, he proves that the two incidences i and i ′ , correspond two distinct points S and S ′ . In a fourth proposition, he proves: for i > i ′ , we have S and S ′ such that CS ′ > CS. Therefore, when i increases, CS decreases. To a given point S, therefore, there corresponds one single incidence i. Ibn al-Haytham proposes to determine the extremities of the segment on which the points S are located. With this in view, he studies the positions of B—the point of the second refraction—when the

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III. OPTIQUE ET E Q I

D

A

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S

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Fig. 4. Illustration of spherical aberration in glass (crystal) spheres

angle of incidence varies. As far as we know, this is the first deliberate study of spherical aberration for parallel rays which fall on a glass sphere and undergo two refractions. 1 4. Conclusion Let us stop at this point on spherical aberration, to conclude. With Ibn al-Haytham, one result has been definitively obtained: the half century which separates him from Ibn Sahl should be counted among the distinctive moments in the history of optics: dioptrics appears to have extended its domain of validity and, by its very progress, to have changed its orientation. With Ibn al-Haytham, the conception of dioptrics as a geometry of lenses has become outdated. Here again, in his own words, we must combine mathematics and physics in order to study dioptres and lenses, whether burning or not. The mathematization could only be achieved with Ibn al-Haytham because he separated the study of the natural phenomenon of light from vision and sight. The step taken suggests already that the domain carved out by Ibn Sahl was not long-lived and wound up, 50 years later, exploding under the assault of the mathematician and physicist Ibn al-Haytham. In optics as in astronomy the research programme of Ibn al-Haytham is the same: mathematize the discipline and combine this mathematization with the ideas of the natural phenomena. References 1. Ibn al-Haytham. Fī al-marāyā al-muḥriqa bi-al-dawāʾir, MS Berlin, Oct. 2970/7, fols 66r-73v.

ASTRONOMIE

‎1. See Rashed [7], p. 164.

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2. Ibn al-Haytham (1989) The optics of Ibn al-Haytham, I, Books I-III (trans.: Sabra A. I.). London. 3. Rashed R. (1968) Le discours de la lumière d’Ibn al-Haytham (Alhazen). Revue d’Histoire des Sciences 21 (1968):197-224, repr. in Optique et Mathématiques: Recherches sur l’histoire de la pensée scientifique en arabe, Variorum reprints, Aldershot. 4. Rashed R. (1992) Optique géométrique et doctrine optique chez Ibn alHaytham. In: Optique et Mathématiques: Recherches sur l’histoire de la pensée scientifique en arabe. Variorum reprints, Aldershot 5. Rashed R. (1997) Œuvres philosophiques et scientifiques d’al-Kindī. Vol. I: L’Optique et la Catoptrique d’al-Kindī. E.J. Brill, Leiden; Arabic translation: ʿIlm almanāẓir wa-ʿilm inʿikās al-ḍawʾ, Silsilat Tārīkh al-ʿulūm ʿinda al-ʿArab 6, Beirut, Markaz Dirāsat al-Waḥda al-ʿArabiyya. 6. Rashed R. (2000) Les Catoptriciens grecs. I: Les miroirs ardents, édition, traduction et commentaire, Collection des Universités de France, publiée sous le patronage de l’Association Guillaume Budé. Les Belles Lettres, Paris. 7. Rashed R. (2005) Geometry and dioptrics in classical islam. Al-Furqān, London. 8. Rashed R. (2014) Ibn al-Haytham. New spherical geometry and astronomy. A history of Arabic sciences and mathematics, vol. 4, Culture and civilization in the Middle East, London, Centre for Arab Unity Studies, Routledge.

PTOLEMY, IBN AL-HAYTHAM AND AL-FĀRISĪ: THE BEGINNINGS OF QUANTITATIVE RESEARCH IN OPTICS For many philosophers and historians of science, the quantitative approach to natural phenomena was almost absent from the normal scientific practise up to the last decades of the 17th century. For them, it is precisely this approach which characterises classical modernity. The merest glance at the history of ancient mathematical sciences—astronomy for example—leaves no doubt that such a global judgment is far from being correct. The only thing that we can probably say is that this approach was not a compelling norm in every scientific practise before late in the 18th century. Why ? From historical point of view, the main reason was not the ignorance of the experimental method, particularly with Ibn al-Haytham, but the weakness of experimental devices suitable for quantitative research. In order to explain what I mean, let me take a well-known example : the speed of light. Among the conditions he formulated to build up his new research program and to reform science of Optics, Ibn al-Haytham writes that light exists independently of vision, and exterior to it; it moves with great speed and not instantaneously, and it loses intensity as it moves away from the source. But Ibn al-Haytham, who proves all the other conditions, has no means of demonstrating experimentally the finite speed of light. Descartes raised the same problem in his correspondence with Beeckman. He undoubtedly knew the thesis of Ibn al-Haytham through the Latin translation of the Book of Optics 1. He noticed that there is no experimental device to answer the question of the speed of light, and took a speculative step further, arguing that such an experimental device cannot exist, for the simple reason that, in this Paru dans Ana Maria Cetto, Maria Teresa Josefina Pérez de Celis Herrero (eds.), Light Beyond 2015, Luz más allá de 2015, Univ. Nacional Autónoma de México, 2017. ‎1. Ibn al-Haytham : Opticae Thesaurus Alhazeni Arabis Liber Septem, éd. Frederic Risner, Basel, 1572 ; réimpr. New York, 1972, with an introduction by David C. Lindberg.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

case, this experimental device, as well as experiment itself, would be organized on the earth’s surface and, consequently, would fit only for weak speeds. He then defended the thesis of instantaneous speed of light. The problem will be solved by Roemer in 1676, thanks to a double progress: of quantitative research in astronomy, and of the time measuring instruments. This example shows how much quantitative research, once Optics became an experimental science, depends on the availability of experimental devices. Let us come back to the beginnings of this research, in Ptolemy, Ibn al-Haytham and al-Fārisī. Let us begin by recalling that Ptolemy, in his Optics, not only gave the law of refraction of the visual ray, but constructed an instrument for measuring the “intensity” of the refraction of the visual ray—that means the value of the angle of refraction in two cases: 1 o air – water, 2 o air – glass, for the values of angle of incidence, every ten degrees. For instance, the table air – water 1: Incidence Refraction

10° 8°

20° 15°30 ′ ′

30° 22°30 ′

40° 29°

50° 35°

60° 40°30 ′

70° 45°30 ′

80° 50°

These values were known by the Arabic translation of Ptolemy’s Optics. Just before Ibn al-Haytham, the mathematician Ibn Sahl, in the last decades of the 10th century, discovered the so-called Snellius’ law and defined the concept of a constant ratio characterizing the medium. He applied these new findings in his study of refraction of lenses 2. Ibn al-Haytham was aware of Ibn Sahl’s optical work. But, instead of following Ibn Sahl and applying his findings to the study of refraction, he returned to the comparison of the ratios of the angles, as in Ptolemy’s Optics. Why this step backwards? Let us come at first to his Book on Optics. In the seventh book of his Book of Optics, Ibn al-Haytham demonstrates that the incident ray, the normal at the point of refraction, and the refracted ray are in the same plane. He also shows that the refracted ray approaches the normal when it passes from a less refringent to a more refringent medium, and that it departs from the normal in the opposite case. We have already found this law stated ‎1. L’Optique de Claude Ptolémée, ed. A. Lejeune, 4 e sér., fasc. 8 (Louvain, 1956), p. 229. ‎2. R. Rashed, “A Pioneer in Anaclastics. Ibn Sahl on Burning Mirrors and Lenses,” Isis, 81, 1990, p. 464-491.

PTOLEMY, IBN AL-HAYTHAM AND AL-FĀRISĪ

519

by Ibn Sahl, and even, in a sense, by Ptolemy; yet between Ibn Sahl and Ibn al-Haytham there is a stylistic distance. As a simple geometer, so to speak, Ibn Sahl sticks to a theoretical statement of the law and to its application, whereas Ibn al-Haytham immediately carries out its experimental verification; and whereas the geometer continues by giving Snell’s law, the physicist is content with stating and experimentally verifying rules concerning the ratios between the angles of incidence and those of deviation. It is as if the experimental demands of the time had to engender a certain theoretical regression. Let us first recall the following rules given by Ibn al-Haytham 1: 1. The angles of deviation vary in direct proportion to the angles of incidence: if, in a medium n1 , we take i ′ > i, we will have d ′ > d in medium n2 (i is the angle of incidence, r the angle of refraction, and d = |i − r|). 2. If the angle of incidence increases by a given quantity, the angle of deviation increases by a smaller quantity: if i ′ > i, d ′ > d, we will have d ′ − d < i ′ − i. 3. The angle of refraction increases in direct proportion to the angle of incidence: if i ′ > i, we will have r ′ > r. 4. If light from a less refringent medium passes through a more refringent medium, n1 < n2 , we have d < 21 i; in the opposite case, we have d < i+2d , and we will have 2i > r. 5. Ibn al-Haytham takes up the rules stated by Ibn Sahl in his work on the Celestial Sphere; he affirms that, if light from a medium n1 passes through two different media n2 and n3 , with the same angle of incidence, then the angle of deviation is different for each of these media, because of the difference in opacity. If, for instance, n3 is more opaque than n2 , then the angle of deviation will be greater in n3 than in n2 . Conversely (cf. rule 4), if n1 is more opaque than n2 and n2 than n3 , the angle of deviation will be greater in n2 than in n3 . Contrary to what their author believed when he stated them, these quantitative rules are not all generally valid 2; this is the case for the second and fourth rules. Nevertheless, all are verifiable within the

‎1. Ibn al-Haytham, Book of Optics (Kitāb al-Manāẓir), book VII, MS Istanbul, Aya Sofya 2248, fols. 630 v ff.; and MS Istanbul, Fātiḥ 3216, fols. 43 v ff. ‎2. R. Rashed, ‘Le Discours de la lumière d’Ibn al-Haytham: traduction française critique’, Revue d’histoire des sciences, 21 (1968), pp. 197-224, on pp. 202-204 (on p. 203, read 0, 648 instead of 6, 48, and on p. 204 sin r instead of sin 2); reprint in Optique et Mathématiques: Recherches sur l’histoire de la pensée scientifique en arabe, Variorum Reprints (Aldershot, 1992), V.

520

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

limits of the experimental conditions which Ibn al-Haytham actually considered: where the media are air, water, and glass, with angles of incidence that do not surpass 80º. Finally, Ibn al-Haytham states the principle of inverse return, which was both known to and applied by his predecessors 1. In this same seventh book of his Book of Optics, Ibn al-Haytham deals with spherical diopter and spherical lens. He wrote later another book, about the burning sphere. This book is considered by all historians of optics as one of the summits of research in classical optics. In this book, the author deals with quantitative research. In the first proposition, Ibn al-Haytham shows that all the parallel rays falling upon a transparent sphere with one and the same angle of incidence i converge, after two refractions, towards one and the same point of the diameter which is parallel to the ray. This point is the focus associated with incidence i. Thus, he considers a ray parallel to the diameter AC, falling upon the sphere at M; the refracted ray corresponding to it meets the sphere at B and straight line AC at K. At B, the ray undergoes a second refraction, and meets straight line AC at point S. Point S is the focus associated with incidence i, and it belongs to the segment [CK], where K is the intersection of BM with AD E Q I

G

A

D

C B

H

O

M

N

S

K

L

P

Fig. 1

In his second proposition, he demonstrates that the total deviation is twice each of the deviations: D = 2d. The angle BSD

‎1. We have encountered this principle in Ibn Sahl and, well before him, in Ptolemy; see L’Optique de Claude Ptolémée, ed. A. Lejeune, 4 e sér., fasc. 8 (Louvain, 1956), pp. 242-243; A. Lejeune, ‘Recherches sur la catoptrique grecque, d’après les sources antiques et médiévales’, Mémoires de l’Académie royale de Belgique. Classe des Sciences, 52, 2 (1957), p. 158. In his own studies, for instance that on the biconvex lens, Ibn Sahl uses this principle, which Ptolemy gives and examines in the fifth book of his Optics.

PTOLEMY, IBN AL-HAYTHAM AND AL-FĀRISĪ

521

corresponding to the total deviation is such that

[ = 2OMB \ = 2d. [ = BON BSD Ibn al-Haytham then shows that a given point S, beyond C on the diameter, can be obtained only from a single point M; that is to say, S corresponds to one single incidence. In his third proposition, he shows that to two incidences i and i ′ , there correspond two distinct points S and S ′ . In his fourth proposition, he obtains the following result: for i ′ > i, we have S ′ and S such that CS ′ < CS; therefore, when i increases, the distance CS decreases. To a given point S, therefore, there corresponds one single incidence i. Ibn al-Haytham then proposes to determine the extremities of the segment on which the points S are located. With this in view, he must study the positions of point B—the point of the second refraction—when the angle of incidence varies. As far as we know, this is the first deliberate study of spherical aberration for parallel rays which fall on a glass sphere and undergo two refractions. In this study, Ibn al-Haytham has recourse to the numerical data of Ptolemy’s Optics for i = 40° and i = 50°; from them he deduces that the two refracted rays associated with them—BK for i = 50°, and B ′ K for i = 40°—fall at one and the same point K, such that the arc CK = 10°. Ray BK is then refracted towards a point N such that L, K, and N are on a straight L I Z

O

Q M

B

K J U V

S

N

C

D

H

P E

F

P

A

R

Fig. 2

Ibn al-Haytham does not specify the position of the point N ′ as-

522

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

sociated with i = 40°; he simply affirms that N ̸= N ′ . He then shows that – to a point O such that arc AO > 50° (i > 50°) there corresponds a refracted ray OU 1 (U between K and C) and a point S between N and C, such that CS < CN; 2 ‎1. U = G in al-Fārisī’s commentary. ‎2. To determine the length of CN, where N is the intersection of the straight lines AC and KL, and the radius of the sphere is supposed to be equal to 60°, Ibn alHaytham does not give the details of his calculation. After indicating that (1) LD = DN KX NX and (2) KX = KD sin 10* = 10,419 ≈ 10,5; he gives, without any justification, (3) CX > 0,5. L

K

N

C

X

D

A

This result, which is not immediate, may be obtained as follows: Note that CX =

[ but CDK \ = 10°, hence KCX [ = 1 KDA \ = 85°, and CKX [ = 5°. We have KX · tan CKX; 2 CX = 10,5 · tan 5° ≈ 10,5 · 0,09 ≈ 0,9, and thus CX is clearly superior to 0,5. ,5 NX From (1) and (2), we deduce ND = 10 , hence NX ≈ 61 ND; and the difference 60 CX = NX − NC is large enough for us to write NC < 61 ND, that is NC < 12. Therefore this result is deduced from the conditions (1), (2) and (3) given by Ibn al-Haytham at the beginning of his calculus. Hence NC < 61 (NC + CD), hence NC < 51 CD. Note that Ibn al-Haytham, having established (proposition 2) that angle KND \ = 2d50 = 40°. We therefore have ND = is twice the deviation, we have here KND LD cotan 40° = CD tan 50°. Hence NC = ND − CD = CD(tan 50° − 1) = CD · 0,1917K
CN ′ ; – we always have CS < CV (= R). From this he deduces that when i increases from 0 to 2π , point S is displaced on segment VC, from V towards C. Note that Ibn al-Haytham has not considered the rays for which 40° < i < 50°, and for which S belongs to [N, N ′ ]. He merely points out that N ′ ̸= N, without, however, apparently taking it into account. He then proceeds to the calculation of CN, and finds that CN ∼ = 1/5R; he does not calculate CN ′ . He then writes: what is refracted upon N ′ V are the rays whose incidence is 0° < i < 40°, and those refracted upon CN ′ are the rays for which we have 40° < i < 90°. If we take S0 as the midpoint of CV, the rays refracted upon CS0 are much more numerous than those refracted upon S0 V, whence we obtain better combustion on CS0 , which is equal to one-quarter of a diameter. Let us take up in modern terms Ibn al-Haytham’s study of the arc CB when M describes the arc AL, in order to be able to judge his

L

N

M

B M0′ V M′

S0 S

C B1

A

M1′

D

Fig. 3

on SC. Nevertheless, by experiments in the case air-glass, n = 3/2, Ibn al-Haytham was able to observe that they in fact are situated on that line.

524

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Consider the arc AM = i, where 0 < i
0 for i < i0 , and that φ presents a maxi′ Ŋ0 ∼ mum for i = i0 ∼ = 49°48 ; we then find r0 ∼ = 30°36 ′ , and 2r0 − i0 = CB = 11°25 ′ . Likewise, we find for i = 50°, r = 30°43 ′ ,

Ň; 2r − i = 11°26 ′ = CK and for i = 40°, r = 25°22 ′ ,

Ŋ′ . 2r − i = 10°44 ′ = CK These two results are notably different from those given by Ibn al-Haytham. To conclude, here is a summary of the results of Ibn al-Haytham: i

Ň CB

DM ′ DS

0 0 2R 3 R 2

i0 ≈ 4948 ′ 11°25 ′

i1 ≈ 82°49 ′ 0 R R

90°

−6°24 ′ 0.89R point S does not exist

PTOLEMY, IBN AL-HAYTHAM AND AL-FĀRISĪ

525

The limit positions of point S are thus not points C and V, contrary to what Ibn al-Haytham had thought. We have just seen that when i increases from 0 to 2π , SD decreases from DS0 = 3 R2 to DS1 = R, where S1 is at C if we take n = 23 . Point S therefore describes the segment S0 C whose length is equal to R2 . The comparison just made shows clearly that the inaccuracies still present in Ibn al-Haytham’s study do not detract in any major way from the value of the conceptual means he applied to delimiting the phenomenon of the focalization of light propagated along trajectories parallel to the sphere’s diameter. These inaccuracies can, moreover, apparently be explained by the truly approximate aspect of the numerical values selected, as well as by the recourse to angular ratios instead of to Snell’s law. It remains true that spherical aberration for this class of rays is henceforth recognized. Despite his mistrust of numerical values, Ibn al-Haytham was seeking a quantitative description here, and in fact he did try to define the interval of the points S—yet he had recourse to only two values of refraction, corresponding to incidences 40° and 50°, which values are borrowed in turn from Ptolemy’s Optics. What is more, in this treatise on the burning sphere, as well as in the seventh book of his Optics and in other writings where he deals with refraction, Ibn al-Haytham sets forth his research in a somewhat paradoxical form: whereas he expends a great deal of care to invent, set up, and describe experimental devices which were quite advanced for the time, and which allow the determination of numerical values, he most often omits to give these values. When, as here, he does have recourse to numerical values, he does so with economy and circumspection. This attitude, which has already been noted 1, may perhaps be linked to at least two reasons. The first has to do with scientific practice itself: quantitative description does not yet seem to have been a constraining norm. The second is no doubt connected to the first: experimental devices could still give only approximate values—it was, moreover, for this reason Ibn al-Haytham considered the values he borrowed from Ptolemy’s Optics. Yet such quantitative research would be taken up later by al-Fārisī, who, by giving it its full extension, would bring his predecessor’s project to fulfillment. In his commentary on Ibn al-Haytham’s Burning Sphere, al-Fārisī pays particular attention to the quantitative study initiated by Ibn al-Haytham. The passage he devotes to this exposition is considered

‎1. M. Schramm, ‘Steps towards the Idea of Function: a comparison between Eastern and Western science in the middle ages’, History of Science, IV (1965), pp. 70102, p. 81.

526

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

by historians to be one of the most crucial texts for the history of optics. In it, we encounter not only the most developed quantitative optical study known from this period, but much more importantly, the foreshadowing of functional representations 1. Thus, it undertakes theoretical considerations on the ratios of angles of incidence, deviation, and refraction, as well as on first-order differences. These considerations are followed by a table in which the author examines the numerical values of these magnitudes for incidences between 0°59 ′ and 89°59 ′ , every five degrees. Finally, he recalls that he has had recourse to a subtle method for this calculation, of the same kind as the one called ‘the arc of difference’ (qaws al-khilāf ). Scholars knew only the name of this method, and an attempt was made to determine it from the values given in the table. This was our own situation, until we discovered in one of the manuscripts of al-Fārisī’s commentary a gloss, in all probability by the author, which provides an explanation of this method of interpolation—borrowed, as its name suggests, from the astronomers. Today, we are thus able to understand alFārisī’s commentary without recourse to conjecture. We have seen that Ibn al-Haytham established that if a ray IM of Ň = 2r − i = i − 2d; and incidence i is refracted along MB, we have CB Ibn al-Haytham, on the basis of Ptolemy’s values, gives for i = 40° Ň Thus, he obtains the same point K for and i = 50°, 2r − i = 10° = CK. both incidences. With index n = 23 , for instance, we obtain for i = 40°, 2r − i ∼ = 10°44 ′ , and for i = 50°, 2r − i ∼ = 11°26 ′ ; and if we suppose

Ň = 2r − i = r − d = φ(i), CB

(1)

we have seen that φ presents a maximum for i = i0 = 49°48 ′ . We have also noted that Ibn al-Haytham did not study the position of point B for values of i between 40° and 50°—that is, the behavior of the function φ over this interval. But it is precisely here that al-Fārisī steps in: he wished to specify these variations of d and of r, and thereby that of arc CB. Al-Fārisī begins by studying the first-order difference: Δ(2r − i) = Δr − Δd, and he deduces the existence of an incidence i0 , between 40° and 50°. He calls this value a ‘separation’, such that – for i < i + Δi < i0 , Δr > Δd and Δr − Δd decreases and tends towards zero when i tends towards i0 , ‎1. Ibid.

PTOLEMY, IBN AL-HAYTHAM AND AL-FĀRISĪ

527

– and for i0 < i < i + Δi, Δr < Δd and Δd − Δr increases when i increases. We therefore have Δ(r − d) = Δ(2r − i) > 0, in the first case, and Δ(r − d) < 0 in the second case, which establishes the existence of a maximum value for incidence i0 . Once these results have been stated, al-Fārisī sets forth his table. The examination of the values of d, r, Δd, and Δr as a function of i shows that this table is divided into two parts, according to whether i < i0 or i > i0 . We note that for the values of i taken every 10°, from 40° to 90°, al-Fārisī’s results coincide with those of Ptolemy; but we no longer observe this coincidence for i < 40°. In order to grasp the reasons for this difference, we must return to the method applied by al-Fārisī in the construction of this table, which he himself qualifies as ‘subtle’. Al-Fārisī’s method consists in approaching the function di = φ(i) by an affine function over the interval [40°, 90°], and by a polynomial function of the second degree over the interval [0°, 40°], which gives d by a polynomial function of the second degree in the first case, and of the third degree in the second case. The calculation can then be carried out more simply: 1) i ∈ [40°, 90°]:

d i

= ai + b, d = ai2 + bi;

for i = 40°,

d = 15°,

whence 15 = 1600a + 40b;

i = 50°,

d = 20°,

whence 20 = 2500a + 50b.

From this we deduce a=

1 400

whence d=

and

b=

11 , 40

110 i + i2 . 400

2) i ∈ [0°, 45°]. The interval [40°, 45°] may be associated with the second part as with the first, according to al-Fārisī’s reasoning, in order to correct the intervals: d = ai2 + bi + c, i

d = ai3 + bi2 + ci;

528

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

for d 1 = ; i 4 d 3 = ; i 8 ( ) d 31 d 110 + i = calculated by = . i 80 i 400

i = 0°, i = 40°, i = 45°, Whence the system

3 1 = 1600a + 40b + , 8 4 31 1 = 2025a + 45b + , 80 4

which can be rewritten 1 , 320 11 45a + b = ; 3600

40a + b =

whence a=−

1 20 · 3600

and

and

b=

53 , 4 · 3600

−i3 + 265i2 + 18000i . 72000 These formulas enable the calculation of an approximate value of d for i varying from degree to degree, or for any value of i, as al-Fārisī promised. The preceding analysis gives a rigorous exposition of al-Fārisī’s method while rendering his intentions more explicit. This physicist, who was also an algebraist and a theoretician of numbers, deliberately sought an algorithm to express the functional dependence between angles of incidence and angles of deviation, in order to deduce therefrom the values of the deviation for any given incidence, for two determinate media. As we have seen, al-Fārisī divides the interval [0°, 90°] into two sub-intervals, and then approaches the function φ(i) = di by an affine function over [40°, 90°], and by a polynomial function of the second degree over the interval [0°, 40°]. He then connects the two interpolations, making the first difference the same at i = 40°—or, to put it differently, by making the curves practically tangent at this point; more precisely, he makes the parabola d=

PTOLEMY, IBN AL-HAYTHAM AND AL-FĀRISĪ

529

and the straight line cut one another at two neighboring points of abscissa i = 40° and i = 45°. If, therefore, we seek the derivatives, instead of proceeding like the author and seeking the finite differences of the two functions that make up the algorithm, we find 37/14400 and 37/14800 respectively—an a posteriori proof with the precision that al-Fārisī desired. This procedure cannot be confused either with that of Ptolemy, or with that of an experimenter armed with Snell’s law. To be sure, both al-Fārisī and Ptolemy had recourse to methods inspired by those of the astronomers; yet, unlike what occurred in ancient astronomy, al-Fārisī’s method does not consist in translating a series of numerical values obtained by observation into an arithmetical progression 1. Not only is his method more sophisticated mathematically, but it is based in the last analysis on only two observations—corresponding to incidences 40° and 50°, borrowed from Ptolemy via Ibn al-Haytham— and on the estimations of di as equal to 41 in the neighborhood of zero, and 21 in the neighborhood of 90°. In order to determine the second difference over the interval [0°, 40°], al-Fārisī uses the first difference between 0° and 45°, which he obtains via his algorithm for the interval [40°, 90°]. Thus, with the help of his algorithm, he seeks to obtain all possible values, on the basis of two observations. According to him, calculation should predict unmeasured values with great precision. Thus, the table established by al-Fārisī is not intended to record, in whole or in part, the results of observation, either raw or regularized. Instead, its function is to give some of the results that algebraic calculus can obtain on the basis of two observations. This algebraic calculus is thus not merely the instrument of precise quantitative research: for al-Fārisī, it is invested with heuristic power in this, the most physical part of geometrical optics. Nevertheless, this method remains intrinsically limited, owing to the fact that the affine function—like the polynomial function of the second degree—is linked to the conditions of experiments on refraction in two media: air and glass. The difficulty thus does not lie with the mathematical instrument, but with the framework of al-Fārisī’s thought: he thinks in terms of the particular class of observed data, without trying to intrinsically characterize such a class among others.

‎1. This is how A. Lejeune explains Ptolemy’s procedure (‘Recherches sur la catoptrique grecque’, op. cit. p. 161).

IBN AL-HAYTHAM’S PROBLEM IN HIS BOOK ON OPTICS In books IV and V of his Optics, Ibn al-Haytham 1 studied systematically and exhaustively the reflection of light on various mirrors. In the fifth book he raises the issue that bears his Latin name: “The problem of Ibn al-Haytham.” He begins, in the simplest case, with that of the plane mirror. Two points A and B and a plane mirror DE being given, how to determine the point of reflection of a light ray emitted from A, reflected to B. One must then find a point C on the mirror so that the straight lines AC and BC represent the incident and the reflected rays. Later, Ibn al-Haytham provides a mechanical model of the mechanism of light reflection. Given a circular pool, find all paths from a ball A hitting a ball B after a single reflection on the pool table. This model is the general case encountered by Ibn alHaytham immediately after the simple case, that is to say when the mirror is spherical, cylindrical or conical either concave or convex. The successors of Ibn al-Haytham resumed this issue, from the Arabic text as Kamāl al-Dīn al-Fārisī 2 and Ibn Hūd 3, or from the Latin translation of his Optics, published by Risner 4. Still, this Latin translation is poor and contains some inaccuracies that have been unfairly charged to Ibn al-Haytham. However, Galileo, Huygens, Sluse, Barrow and many others worked from this translation. The situation remained the same until 1942. It was in effect on that date that the physicist and historian of optics M. Naẓīf 5 wrote a study of optics of Ibn al-Haytham starting from the arabic manuscripts. Recently,

Paru (en collaboration avec Pierre Coullet), dans Rashed et al. (eds.), LightBased Science, CRC Press, Taylor and Francis Group, Boca Raton, London, New York, 2018, pp. 109-121. ‎1. Ibn al-Haytham, Kitāb al-Mānaẓir (The Optics), Books IV-V, The Arabic text, ed. by Abdelhamid Sabra, Kuwait 2002, p. 194. ‎2. Kamāl al-Dīn al-Fārisĩ: Tanqih al-Mānizir, ed. Dairat al-Maarif, Hyderabad, India, A929, vol. 1, p. 458-467. ‎3. Jan P. Hogendijk, Al-Muʾtaman ibn Hūd, 11th century King of Saragossa and brilliant mathematician, Historia Mathematica 22 (1995), 1- 18, p. 11-12. ‎4. Federico Risner, Opticae Thesaurus Alhazeni Arabis Libri Septem, Basel, 1572 (Johnson Reprint Corporation 1972), p. 143-145. ‎5. Mustafa Naẓīf, Al-Ḥasan ibn al-Haytham, Buḥūlkulu wa Kūshufuhuʾl ba ṣariyya, vol. 1, 2, 1942, Cairo. vol. 2, p. 496-505.

532

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

A. Sabra 1 gave the edition books IV and V of the Treaty. To pose and solve the problem that bears his name, Ibn al-Haytham outlines and demonstrates six lemmas. We will discuss here the first two.

K

D

E

G

H

C

A

B Fig. 1. Lemma 1

Lemma 1. — Given the known circle ABC, in which the diameter BC has been produced on the C side, given the segment KE and the point A on the circumference of the circle, we want to draw, from A, a line AHD such as its part which lies between the diameter and the circle, homologous to the line HD, be equal to the segment KE. 2 So there are several cases according that AB = AC and whether AHD is tangent to the circle or cuts the circle in A and H. Ibn alHaytham successively examines these cases. Lemma 2. — Let a circle ABC, the diameter BC, a point A on the circumference of the circle and given a segment GH. We want to draw from point A a line that ‎1. Abdelhamid I. Sabra, The Optics of Ibn al-Haytham. Edition of the Arabic Text of Books IV and V: On Reflection and Images Seen by Reflection, The National Council for Culture, Arts and Letters, Kuwait, 2002, and Ibn al-Haytham’s Lemmas for Solving Alhazen’s Problem, Archive for History of Exact Sciences 26 (1982), 299-324. ‎2. Ibn al-Haytham, op. cit., p. 235.

IBN AL-HAYTHAM’S PROBLEM IN HIS BOOK ON OPTICS

533

intersects BC and ends on the circle, such that its portion between the circle and the diameter is equal to GH 1.

G

H

D

C

B

A Fig. 2. Lemma 2

To establish these two lemmas and construct the point D, Ibn al-Haytham proceeds by the intersection of a rectangular hyperbola and a circle (Lemma 1), and by the intersection of two branches of a hyperbola and a circle (Lemma 2). Every time, He mentions the propositions of Conics of Apollonius he is using. As the idea of the demonstration of the two lemmas are the same, we discuss here only the case of Lemma 1. 2 Ibn al-Haytham starts by giving himself a segment IN (see Fig. 4) and draws BA, CA and the parallel CG to AB (see Fig. 3). Let us cond = DCA [ and INM [ (see [ = DCG struct the rectangle IQNM such that INL Fig. 4). One draws the rectangular hyperbola which passes though M with asymptotes OQ and QL. We cut this hyperbole by a circle with center M and radius IN (BC/KE); U is the intersection point. We draw MU, which meets the asymptotes with OM = LU. The parallelogram LMIP is constructed (see Fig. 4). One then shows that AG BC = . CD KE

‎1. Ibid., p. 240. ‎2. Mustafa Naẓīf, op. cit.

534

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

D G

C

A

B Fig. 3.

As the two lemmas are similar, much more, are two forms of the same geometric method, Naẓīf has developed a single demonstration for the two lemmas at a time, using only the ideas of Ibn al-Haytham. Here is this proof: Let a point A on the circumference of a circle and a diameter BC (see Fig. 5). We want to draw a line from A, which cuts the circle in DBC—or its extension to E—such as DE = FG, where FG is a given segment. Let us draw CH parallel to AB which cuts the circle in H. From H, draw a hyperbola whose asymptotes are the extensions of AC and AB. Determine the line HI such that HI =

BC2 . FG

Draw the circle with center H and radius HI. This circle cuts the hyperbola in four points I, I1 , I2 and I3 . Let us join H and I, H and I1 , H and I2 , H and I3 . From A draw four lines parallel to these segments such that each of these lines cuts the circle circumscribed to ABC and the diameter or its extension. One shows that each of this line solves the problem.

IBN AL-HAYTHAM’S PROBLEM IN HIS BOOK ON OPTICS

535

S

O M

I

J

U

X

F Q

N

P

L

Fig. 4.

Later solutions of Ibn al-Haytham’s problem The question raised by Ibn al-Haytham is that of the multiple images in a curved mirror. Let A = (xA , yA ) the position of a point observer and B = (xB , yB ) the position of the source, also supposed be a point. Let us remark that the role of A and B can be inter-changed without inconvenience. Ibn al-Haytham and later Huygens show that the solutions of this problem can be obtained as the intersection of a rectangular hyperbola and a circle mirror. Many mathematicians have tackled the Ibn al-Haytham’s problem, including Galileo, Sluse, Huygens, Barrow, Quetelet, Tychsen and most recently Neumann 1 who showed in particular the impossibility to solve it with compass and ruler. The most comprehensive analysis has been given by C. Tychsen 2. Remarkably, it solves the problem by explicitly giving its bifurcation set.

‎1. Peter M. Neumann, Reflections on Reflection in a Spherical Mirror, Am. Math. Monthly, 105 (1998), 523-528. ‎2. Camillo Tychsen, On a mathematical investigation of a Billard problem, Matematisk Tidsskrift (1859), 60-64.

536

III. OPTIQUE ET

G

U

F

I

2

M

I

ND C

I

3

A S

L B K

H

I1

Fig. 5.

ASTRONOMIE

J

E

IBN AL-HAYTHAM’S PROBLEM IN HIS BOOK ON OPTICS

M θ θ

A D

α

A′

B

φ

O

β

B′

D′ B′′

A′′

Fig. 6. The geometry of the problem Ibn al-Haytham

The trigonometric solution

We first follow the solution given by Heinrich Dorrie in a classic book on “100 great problems of elementary mathematics” 1. In Fig. 6, ′ A ′ M, β = D ′ B ′ M, φ = D ′ B ′ M and θ = MOB ′ O. The law of \ \ \′ = MA \ α = D\ reflection leads to θ = β − φ = φ − α. (1) Let M = (x, y), A = (xA , yA ), B = (xB , yB ). The mirror, without loss of generality, is assumed to be the unit circle. We then have y x yA − y tan α = xA − x yB − y tan β = . xB − x

tan φ =

The condition of reflection (1)

tan (β − φ) = tan (φ − α) and the trigonometric identity

tan (a + b) =

tan (a) tan (b) 1 + tan (a) tan (b)

537

‎1. Heinrich Dorrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, 1965, Dover.

538

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

lead to the following relation between x and y xyA − yxA xyB − yxB =− 2 , x2 + y2 − xxA − yyA x + y2 − xxB − yyB or, after simplifications p(x2 − y2 ) − 2qxy + (x2 + y2 )(ry − sx) = 0,

(2)

where p = xA yB + xB yA q = xA xB − yA yB r = xA + xB s = yA + yB .

R1

C A

B

R1

R4 B′′ R3

R2 A ′′

Fig. 7. The Barrow’s solution

The equation 2 defines a cubic curve whose intersections with the circle are the solutions of the problem of Ibn al-Haytham (see

IBN AL-HAYTHAM’S PROBLEM IN HIS BOOK ON OPTICS

539

Fig. 7). This is the solution proposed by Barrow 1. The polar representation of the Barrow’s curve write ρ=c or

cos(2t + δ) cos(t + η)

r c=

p2 + q2 r2 + s2

p q r tan(η) = . s

tan(δ) =

Let us note that in the equation 2, x2 + y2 can be replaced with 1, since we are looking the intersections of the Barrow’s curve with the unit circle. This equation then describes a quadratic curve, namely that of an equilateral hyperbola. This is the hyperbola of Ibn al-Haytham and Huygens. Its intersections with the circle are the solutions of the problem of Ibn al-Haytham. p(x2 − y2 ) − 2qxy + ry − sx = 0.

(3)

The complex solution

The above analysis can be greatly simplified by using the complex plane 1. Let a = xA + iyA the complex coordinate of A, b = xB + iyB that of B and z = x + iy that of P. The equality of incident and reflected angles reads a−z b−z θ = arg( ) = − arg( ) z z or (a − z)(b − z) arg( )=0 z2 and equivalently (a − z)(b − z) Im( ). z2 ¯ = 1, we finally get the Using the equation of the unit circle zz complex version of the equation (3)

¯2 ) = Im((a + b)z ¯) Im((ab)z ‎1. John D. Smith, The Remarkable Ibn al-Haytham, The Mathematical Gazette (The Use of the History of Mathematics in the Teaching of Mathematics) 76 (1992), 189-198.

540

III. OPTIQUE ET

R A

C

B

Fig. 8. The hyperbola of Ibn al-Haytham and Huygens

where p = Im(ab) q = Re(ab) r = Re(a + b) s = Im(a + b). An appropriate choice of coordinates simplifies the expression of hyperbola. Precisely, if one chooses the axis of x as the bisector of the angle ACB, we get p = Im(ab) = 0, then the equation of the hyperbola becomes xy − hy x − hx y = 0 (4) where H = (hx , hy ) is the center of the hyperbola

 H=

r s ,− 2q 2q

 .

ASTRONOMIE

Let us note that the problem of Ibn al-Haytham is reduced to a two parameters problem, hx and hy , which are the coordinates of

IBN AL-HAYTHAM’S PROBLEM IN HIS BOOK ON OPTICS

541

the center of the equilateral hyperbola while it seems to be a four parameters problem (xA , yA , xB , yA , yB ). The elimination of y from equation (4) and the equation of the circle x2 + y2 = 1 leads to the quartic equation x4 − 2hx x3 + (h2x + h2y − 1)x2 + 2hx x − h2x = 0. At this stage of the analysis, one could consider that the problem is solved analytically, since the solutions of quartic equations are given by explicit formula. These expressions are however useless to study the bifurcations as hx and hy vary. The Tychsen

Fig. 9. The Tychsen’s astroid

The elegant solution proposed by Tychsen 1, a Danish mathematician in 1861, allows one to push the analysis much further. This solution is mentioned by Henning Bach in a report found on the Internet entitled “Some Ray Tracing Problems Related to Circles and Ellipses” 2. Let us introduce the following parametrization of the ‎1. Camillo Tychsen, op. cit. ‎2. Henning Bach, Some Ray Tracing Problems Related to Circles and Ellipses, Report RADC-TR-89-31, Defense Technical Information Center, 1989 https://apps. dtic.mil/sti/pdfs/ADA219306.pdf.

542

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

circle 1 − t2 1 + t2 2t y= . 1 + t2 x=

Using these expressions in equation (4) we get another quartic equation t4 + at3 + bt − 1 = 0, (5) where

 a = −2

 b=2

1 + hx hy

1 − hx hy



 .

Equation (5) has two or four real solutions 1. The bifurcation set where two solutions coincide occurs when



a−b 4

 23

 −

a+b 4

 23 = 1.

(6)

The locus of points in the plane (a − b) where the problem of Ibn al-Haytham has double solutions is achieved by simultaneously seeking zeros of the quartic equation and its derivative 4t3 + 3at2 + b = 0.

(7)

From equations (5) and (7), one can compute a and b as a function of t, a=

t2 − 1 8t3


3 b=−

,

t2 + 1 8t3


3 .

The elimination of t between these two expressions leads to the condition (6). In the variables of the problem of Ibn al-Haytham, this condition simply becomes 2

2

hx3 + hy3 = 1.

(8)

In the plane (x − y) the curve (see Fig. 9) 2

2

x3 + y3 = 1 ‎1. Camillo Tychsen, A Remark Concerning an Equation of the Fourth Degree”, Matematisk Tidsskrift (1851), 141-144.

IBN AL-HAYTHAM’S PROBLEM IN HIS BOOK ON OPTICS

543

defines the bifurcation set. When the center of hyperbola is located inside of the curve, the problem of Ibn al-Haytham has four real solutions and only two when the center is outside. The regular part of the astroide corresponds to a tangent bifurcation where two solutions appear or disappear. The four cusps correspond to the case where three solutions coincide. The “Ray-Tracing” solution

We have presented two ways to reduce the problem of Ibn al-Haytham to a quartic equation. They are closely tied to the properties of the circle. Let us consider another way to solve this problem which has the advantage to apply itself in cases where the mirror is no longer circular. Let C a parametrically defined curve x = f(t) y = g(t).

ˆ be the unit normal, at a point M = (f(t), g(t)) Let n ⃗n = (− p

g ′ (t)

f ′ (t) ,p ) f ′2 + g ′2 f ′2 + g ′2

where f ′ and g ′ are respectively the derivatives of f and g by respect ⃗ ′ the norto t. Let A the source A = (xA , yA ) (see Fig. 10). Let ⃗r = MA malized reflected ray.

⃗ ′ = 2MH ⃗ + MA ⃗ .n ⃗ = 2(MA ˆ )n ˆ, MA or

⃗ .n ⃗ . ⃗r = 2(MA ˆ )n ˆ − MA ⃗ orthogonal to ⃗r Let us introduce the vector ⃗s = MO ⃗s = (−ry , rx ), where ⃗r = (rx , ry ). Let B, the observor B = (xB , yB ). The condition for the reflected ray corresponding to the incident ray AM to pass through B is given by

⃗ .⃗s = 0. A(t; xA , yA ; xB , yB ) = MB

(9)

For A and B given, the solutions of the equation for t determine the solutions of the Ibn al-Haytham problem for the mirror C. Let us remark that when A = 0 and A ′ = 0, where A ′ is the derivative of

544

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

A with respect to t, the problem of Ibn al-Haytham admits a double solution. Similarly, if simultaneously A ′ ′ = 0, the problem has a triple solution. Let us look now at how this method inspired by the techniques of “ray-tracing” 1 allows to solve the problem of Ibn al-Haytham. The curve C = (x, y) then is the unit circle, x2 + y2 = 1. Its normal is ˆ = (−x, −y). n The reflected ray ⃗r is given by

⃗r = 2pn ˆ − (xA − x, yA − y), where p = 1 − xA x − y A y . This expression has been simplified, using x2 + y2 = 1. The Ibn al-Haytham condition (9) then reduces itself, in the frame such as [ to the rectanxA yA = −xB yB , that is when the x bisects the angle AOB, gular hyperbola (4) A′′

A

N

H

M A′ B

(C)

Fig. 10. Ray-Tracing

‎1. Matt Pharr, Jakob Wenzel, Physically Based Rendering: From Theory To Implementation, Morgan Kaufmann, 2016.

FERMAT ET LE PRINCIPE DU MOINDRE TEMPS RÉSUMÉ. — Le principe du moindre temps a d’abord été conçu par des mathématiciens-physiciens, tel Ibn al-Haytham (Alhazen), comme le principe de la voie la plus aisée suivie par le rayon lumineux. Il a fallu attendre l’invention de la méthode du maximum et du minimum par Pierre Fermat pour que ce principe, énoncé dans le Livre de l’Optique d’Ibn alHaytham, devienne le principe du moindre temps. Dans cet article, on étudie l’histoire de ce principe dans l’optique ancienne et classique. ABSTRACT. — The principle of least time was first conceived by mathematicians-physicists, such as Ibn al-Haytham (Alhazen), as the principle of the easiest way followed by the light ray. It was not until the invention of the maximum and minimum method by Pierre Fermat that this principle, stated in the Book of Optics of Ibn al-Haytham, became the principle of least time. This article examines the history of this principle in ancient and classical optics.

En hommage à mon ami Pierre Coullet Il est bien vraisemblable que l’on savait, avant toute étude de la réfraction, que la lumière se réfracte à son passage de l’air à l’eau, par exemple. Les astronomes, tel que Cléomède, évoquent l’analogie entre un bâton dont une partie est immergée dans l’eau et le rayon visuel quand il pénètre dans la sphère céleste 1. Mais c’est Ptolémée qui, le premier, a soumis la réfraction à une étude à la fois mathématique et empirique dans le cinquième livre de son Optique 2. Ainsi après avoir étudié dans les livres précédents de son ouvrage la vision directe et la vision par réflexion sur différents miroirs, il s’occupe dans le cinquième livre de la réfraction. Il écrit : La réfraction se produit non seulement au passage de milieux rares à des milieux denses, comme dans la réflexion, mais également au passage d’un milieu plus dense à un milieu plus rare ; il n’y a pas dans ce cas

Paru dans Comptes Rendus Mécanique, vol. 347, 4, 2019. ‎1. Richard Goulet, Cléomède, Théorie élémentaire, Paris, Librairie philosophique Vrin, 22. ‎2. Ptolémée, L’Optique, dans la version latine de l’Emir Eugène de Sicile, éd. critique et exégétique par A. Lejeune, Louvain, 1956.

546

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

de réflexions à angles égaux, mais [ces angles] présentent une certaine relation quantitative par rapport à la normale [au point d’impact] 1.

Dans ce paragraphe introductif à l’étude de la réfraction du rayon visuel (celui qui émane de l’œil vers l’objet), Ptolémée évoque déjà plusieurs notions qui vont être considérées par toute théorie de la réfraction de la lumière : les milieux, leurs densités, l’inégalité des angles d’incidence et ceux de réfraction, les relations quantitatives entre eux par rapport à la normale au point d’incidence. Ptolémée s’est mis immédiatement à mesurer ces angles pour pouvoir déterminer les relations quantitatives entre eux, lors du passage du rayon visuel de l’air dans l’eau, de l’air dans le verre et de l’eau dans le verre, et donne les résultats dans des tableaux pour des valeurs d’incidence tous les 10 degrés, jusqu’à 80 degrés. Ce cinquième livre de l’Optique sera la principale référence de la recherche future sur la réfraction. Mais il a fallu attendre huit siècles avant que celle-ci reprenne et se renouvelle. C’est à la suite de la traduction arabe de l’ouvrage de Ptolémée que les mathématiciens de la seconde moitié du x e siècle engagent la recherche dioptrique selon deux orientations. 1. La recherche de la loi générale de la réfraction. Le premier, à ma connaissance, qui a entrepris cette recherche est le mathématicien de la seconde moitié du x e siècle, Ibn Sahl 2. Il a commencé par caractériser chaque milieu par un certain rapport constant, qui n’est autre que l’inverse de l’indice de réfraction de ce milieu par rapport à l’air. Il a formulé une loi équivalente à la loi des sinus 3. Il s’agit d’une étude purement mathématique de la réfraction dans les lentilles plan-convexes et bi-convexes. Plus tard, Mauricolo propose la loi de la réfraction i = kr sans la démontrer. Kepler formule ensuite la loi, où k est une constante caractéristique des deux milieux, les rayons incidents i étant mesurés dans le milieu le moins réfringent. Viennent ensuite Snell, Descartes et Barrow. 2. Le successeur d’Ibn Sahl, Ibn al-Haytham (mort après 1040) procède à une réforme de l’optique, et plus généralement de la physique. La preuve dans celle-ci doit désormais être mathématique et expérimentale. Pour y parvenir, il commence par élaborer une théorie de la lumière. Celle-ci existe indépendamment de la vision et extérieure à elle ; elle se propage selon des lignes droites, ces droites et la lumière qui se propage sur elles définissent le rayon. Cette propagation dans toutes les directions à partir de la source n’est ‎1. Ibid., p. 90. ‎2. R. Rashed, Geometry and Dioptrics in Classical Islam, Londres, al-Furqān, 2005. ‎3. Ibid.

FERMAT ET LE PRINCIPE DU MOINDRE TEMPS

547

pas instantanée, mais dans un temps. Le mouvement de la lumière change de vitesse avec le changement de milieu. Enfin la lumière diminue en intensité à mesure qu’elle s’éloigne de la source. Ibn al-Haytham détermine plusieurs règles de la réfraction qu’il vérifie expérimentalement. Par exemple, il monte que, si la lumière pénètre à partir d’un milieu n1 avec un angle d’incidence dans deux milieux n2 et n3 , alors l’angle de réfraction est différent dans n2 et n3 et il est plus petit dans le milieu le plus dense. Il démontre ainsi huit règles pour la réfraction. Reste à expliquer les raisons physiques du changement du chemin de la lumière lors de la réfraction. Ibn al-Haytham propose pour cela une théorie cinématique du mouvement de la lumière. Selon cette théorie, la vitesse de la lumière lorsqu’elle passe d’un milieu à un autre de transparence différente se décompose en deux composantes, l’une dans la direction de la normale au point d’incidence sur la surface de séparation des deux milieux, et l’autre dans la direction de la tangente en ce point. La vitesse de la lumière n’est pas la même selon chacune de ces deux composantes. Nous avons examiné cette cinématique en détail ailleurs 1. En plus de cette théorie, Ibn al-Haytham fait appel à une propriété du mouvement de la lumière : lors de son passage d’un milieu à un autre de transparence différente, elle suit le chemin « le plus aisé et le plus rapide », car écrit-il : Le mouvement suivant la normale est plus aisé et plus fort, et parmi les mouvements obliques, les plus proches de la normale sont les plus aisés 2.

Il explique encore qu’il est nécessaire ... que la lumière tende vers la voie la plus aisée tout en conservant son mouvement composé. Or la voie la plus aisée où persiste le mouvement est la voie la plus proche de la normale. C’est ainsi que la lumière qui se propage dans un corps transparent et rencontre un corps transparent plus dense se réfracte suivant une ligne plus proche que la ligne de son mouvement de la normale menée du point où elle rencontre le corps dense. 3

‎1. R. Rashed, Optique géométrique et doctrine optique chez Ibn al-Haytham, Archive for History of Exact Sciences, 6.4 (1970), p. 271-298. Repris dans R. Rashed, Optique et Mathématiques : Recherches sur l’histoire de la pensée scientifique en arabe, Variorum reprints, Aldershot, 1992. ‎2. Ibn al-Haytham, Opticae Thesaurus Alhazeni Arabis Liber Septem, éd. Frederic Risner, Basel, 1572; réimpr. New York, 1972, avec une introduction de David C. Lindberg, p. 241. ‎3. Necesse est, ut lux declinet ad partem faciliorem parte, ad quam prius movebatur, remanente in ipso motu composito ; sed pars facilior parte, ad quam movebatur remanente motu in ipso, est illa pars, quae est vicinor perpendiculari. Unde lux, quae extenditur in corpore diaphano, si occurrit corpori diaphano grossiori corpore, in quo existit, refringetur per lineam

548

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Ibn al-Haytham propose donc une interprétation physique du changement de chemin de la lumière lors de son passage d’un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent. Le passage inverse pose d’autres problèmes. Il reste qu’Ibn al-Haytham ne donne aucune formulation mathématique de ce principe de la voie la plus aisée. Pour cela, il a fallu attendre Fermat et son invention de la méthode des maxima et minima.

Fermat 1 Fermat n’a pas appliqué sa méthode du maximum et du minimum aux seuls problèmes géométriques et algébriques, mais aussi aux questions d’optique et de dioptrique. Tout a commencé en 1637, à la suite de la publication de la Dioptrique de Descartes. Sollicité par Mersenne pour donner son avis sur cette publication, Fermat répond dans une lettre — n o XXII — datée par P. Tannery et Ch. Henry du mois de septembre, et par Ch. Adam et G. Milhaud d’avril ou mai de la même année. Cette lettre laisse paraître que Fermat connaissait le Livre de l’Optique d’Ibn al-Haytham dans sa traduction latine, ainsi que ceux de Vitellius et de Maurolico, mais non pas celui de Kepler. Par ailleurs, Fermat y semble attacher davantage d’importance à la preuve formelle qu’à la preuve expérimentale, se montrant ainsi plus mathématicien que physicien. Il adresse à la Dioptrique de Descartes une critique solide : 1. Il n’est pas permis de soumettre un phénomène instantané, celui de la propagation de la lumière par transmission des pressions, aux lois du mouvement des projectiles. Il écrit : [...] Il semble qu’il y a une particulière disconvenance, en ce que le mouvement d’une balle est plus ou moins violent, à mesure qu’elle est poussée par des forces différentes, là où la lumière pénètre en un instant les corps diaphanes, et semble n’avoir rien de successif. Mais la Géométrie ne se mêle point d’approfondir les matières de la Physique.

Notons qu’à cette époque Fermat admet lui aussi la propagation instantanée de la lumière, contestant seulement qu’on puisse lui ap-

propinquiorem perpendiculari, exeunti a puncto, in quo occurrit corpori grossiori, quae extenditur in corpore grossiore per aliam lineam quam sit linea, per quam movebatur. ‎1. Les pages suivantes sont extraites de R. Rashed, Fermat et les débuts modernes de la géométrie, Olms-Weidmann (2018).

FERMAT ET LE PRINCIPE DU MOINDRE TEMPS

549

pliquer les lois du mouvement des projectiles ; d’ailleurs, tout comme Descartes, il accepte la loi aristotélicienne. 2. L’autre critique porte sur l’analogie invoquée par Descartes, et déjà par Ibn al-Haytham : le modèle de la balle animée d’un mouvement violent, lancée contre un obstacle. Dans une autre lettre à Mersenne, datée de décembre 1637 (n o XXIV), Fermat réagit aux réponses que Descartes adresse à ses critiques. Il réitère et développe ses critiques du modèle de la balle, mais en introduisant une modification notable. Alors, en effet, que, dans la première lettre, il est loin de concevoir la nature vectorielle de la vitesse de la lumière, dans la seconde il laisse nettement apparaître le parallélogramme des vitesses. Vingt ans après, dans sa correspondance avec Clerselier (Lettre XC bis) du 10 mars 1658, et la lettre (XCV ) du 2 juin 1658, Fermat réitère ses anciennes critiques de la Dioptrique de Descartes, auxquelles il en ajoute quelques nouvelles. En 1664, après avoir écrit « L’analyse de la réfraction » et « La synthèse de la réfraction », il écrit à un anonyme (Lettre CXVI) en rappelant les deux précédentes critiques. Il reste que l’essentiel de sa critique porte sur le modèle de la balle pour expliquer la réfraction, et sur la distinction faite par Descartes entre la «  détermination  », ou droite de support du vecteur vitesse, et la vitesse elle-même. Tout indique qu’il est alors dans la même opinion que vingt ans auparavant, lorsqu’il écrivait à Mersenne : Voilà mon sentiment sur ces nouvelles propositions (de Descartes), dont les conséquences qu’il en tire, lorsqu’il traite de la figure que doivent avoir les lunettes, sont si belles, que je souhaiterais que les fondements sur lesquels elles sont établies fussent mieux prouvés qu’ils ne sont pas ; mais j’appréhende que la vérité leur manque aussi bien que la preuve.

À la lecture de la correspondance de Fermat en 1637 et en 1658, on constate qu’il admet les résultats de la Dioptrique de Descartes, la loi des sinus (en attendant de l’asseoir sur des bases solides) et son application à l’étude des lentilles, mais qu’il rejette les explications de Descartes — les fondements physiques adoptés pour construire le modèle de la balle. Au cours de ces deux décennies, la pensée de Fermat se modifie et se rectifie. Dans la réponse à de la Chambre qui lui avait envoyé son livre 1 La lumière, il écrit :

‎1. Notons qu’en août 1657 Fermat parle à de la Chambre « de la perte d’un Discours que je vous avais adressé, il y a déjà quelques années, sur ce même sujet et que j’ai su n’être pas venu entre vos mains ». D’autre part, le 21 mai 1662, il écrit à

550

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

[...] et j’ose même vous assurer par avance que, si vous souffrez que je joigne un peu de ma géométrie à votre physique, nous ferons un travail à frais communs qui nous mettra d’abord en défense contre M. Descartes et tous ses amis.

Il poursuit : Je reconnais premièrement avec vous la vérité de ce principe, que la nature agit toujours par les voies les plus courtes. Vous en déduisez très bien l’égalité des angles de réflexion et d’incidence,[...] ;

et, un peu plus loin : Mais, puisqu’il (notre principe) a servi à la réflexion, pourrons-nous en tirer quelque usage pour la réfraction ? Il me semble que la chose est aisée et qu’un peu de géométrie nous pourra tirer d’affaire.

Ainsi, dans cette lettre d’août 1658 à de la Chambre, Fermat expose un nouveau projet : combiner sa géométrie à une nouvelle physique de la lumière qui admet le principe de la voie la plus aisée, mais aussi la propagation de la lumière dans un temps fini. Sans doute lui fallait-il alors modifier d’autres éléments, et notamment formuler le principe de telle sorte qu’il puisse épouser la géométrie. Autrement dit, il fallait doter ce principe qualitatif d’un statut mathématique. Nous avons vu qu’Ibn al-Haytham, dans son Optique, avait tenté semblable démarche en étudiant les deux composantes du mouvement de la lumière — radiale et tangentielle 1. Mais cela ne semble pas suffire. Selon Fermat, cela ne sera en effet possible que lorsqu’on formule ce principe comme un principe d’extremum. Mais, pour ce faire, il faut adapter le contenu physique. En 1658, Fermat s’efforce de transformer ce problème en problème de minimum. Il écrit dans la même lettre à de la Chambre : Étant donnés les deux points C et A et la droite DB, trouver un point dans la droite DB auquel si vous conduisez les droites CB et BA, la somme de CB et de la moitié de BA contienne la moindre de toutes les sommes

Clerselier : « J’écrivis, il y a plus de dix ans, à M. de la Chambre que je croyais que la réfraction se devait réduire à ce problème de la géométrie ...» (Fermat, Œuvres II, p. 483). Les dates s’accordent pour confirmer que Fermat avait bien écrit ce Discours, aujourd’hui perdu, et donc qu’autour des années 1652 il écrivait sur l’optique. ‎1. Alhazen, Opticae Thesaurus Alhazeni Arabis Liber Septem, éd. Frederic Risner, Basel, 1572; réimpr. New York, 1972, avec une introduction de David C. Lindberg, p. 241. Cf. R. Rashed, Optique géométrique et doctrine optique chez Ibn al-Haytham, Archive for History of Exact Sciences, 6.4 (1970), p. 271-298; voir p. 294-295.

FERMAT ET LE PRINCIPE DU MOINDRE TEMPS

551

pareillement prises, ou bien que la somme de CB et du double de BA contienne la moindre de toutes les sommes pareillement prises. 1

Et le point B qui sera trouvé par la construction de ce problème sera le point où se fera la

A

D

B

C Fig. 1

Fermat fera le calcul de ce problème de minimum et s’expliquera sur ces choix de la moitié et du double cinq ans plus tard. On lit les premières explications dans une lettre qu’il adresse à de la Chambre le 1 er juillet 1662, sur la réfraction. Dans cette lettre, il traduit le principe de la voie la plus aisée de sorte qu’il se prête à une formulation géométrique. Il donne l’exemple suivant : Soit, en la figure à part, le cercle ACBG, duquel le diamètre soit AOB, le centre O et un autre diamètre GOC. Des points G et C soient tirées des perpendiculaires sur le premier diamètre, GH, CD. Supposons que le premier diamètre AOB sépare deux milieux différents, dont l’un qui est celui de dessous, AGB, soit le plus dense, et celui de dessus, ACB, soit le plus rare, en telle sorte, par exemple, que le passage par le plus rare soit plus aisé que celui par le plus dense en raison double. Il suit de cette supposition que le temps qu’emploie le mobile ou la lumière de C en O est moindre que celui qui les conduit de O en G, et que le temps du mouvement de C en O, qui se fait dans le milieu le plus rare, n’est que la moitié du temps du mouvement de O en G. Et par conséquent la mesure du mouvement entier par les deux droites CO et OG peut être représentée par la somme de la moitié de CO et de la totale OG ; de même, si vous prenez un autre point, comme F, le temps du mouvement par les

‎1. Fermat, Œuvres II, p. 358.

552

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

deux droites CF et FG peut être représenté par la somme de la moitié de CF et de la totale FG.

C

A

H

F O

D

B

G

Fig. 2

Après avoir traduit le principe de la voie la plus aisée dans les termes «  du temps du mouvement  », et aussi en termes de vitesse, il écrit : [...] parce que, pour satisfaire à mon principe, il ne suffit pas d’avoir trouvé un point comme F, par où le mouvement naturel se fait plus vite, plus aisément et en moins de temps que par la droite COG, mais [qu’] il faut encore trouver le point qui fait la conduite en moins de temps que quelque autre que ce soit, pris des deux côtés, il m’a été nécessaire d’avoir en cette occasion recours à ma méthode de maximis et minimis qui expédie cette sorte avec assez de succès.

Fermat conclut qu’il lui restait à surmonter deux obstacles : d’une part, mener de longs calculs pour traduire mathématiquement le principe du temps le plus court ; d’autre part, vérifier par l’expérience les valeurs obtenues. Or il savait par M. Petit et par d’autres que les valeurs de la réfraction obtenues grâce à la loi des sinus de Descartes sont vérifiées expérimentalement. Mais ces valeurs avaient été obtenues à l’aide

‎1. Ibid., p. 458-459.

FERMAT ET LE PRINCIPE DU MOINDRE TEMPS

553

d’une hypothèse selon laquelle le rapport du sinus de l’angle d’incidence et de celui de l’angle de réfraction pour deux milieux n1 et n2 est égal au rapport des vitesses de la lumière dans les deux milieux respectifs. Vient donc s’ajouter, selon Descartes, une seconde hypothèse : si le milieu n2 est plus réfringent que le milieu n1 , alors on a

sin a v2 = sin b v1 avec a angle d’incidence dans n1 , b angle de réfraction dans n2 , v2 vitesse dans n2 et v1 vitesse dans n1 . Dans ses calculs, Fermat admet la première hypothèse et inverse la seconde ; il obtient sin a/ sin b = v1 /v2 . Mais, au cours du calcul, il considère la résistance des milieux, ce qui est équivalent aux vitesses. Il présente ces calculs dans deux textes, l’un consacré à l’analyse, l’autre à la synthèse. 1. Analyse pour les réfractions

Selon De Waard, ce texte, comme celui qui porte sur la synthèse, est extrait de la correspondance de Descartes. Fermat l’avait envoyé à M. de la Chambre en même temps que sa lettre du 1 er janvier 1662. Il aura donc fallu à Fermat cinq ans environ avant de livrer ses calculs. Dans ces pages, Fermat représente la résistance des divers milieux au mouvement de la lumière par des grandeurs (définies à un facteur près), et le mouvement qui doit être rendu minimum (selon la voie la plus aisée) par le produit de la résistance par la longueur du parcours. Il considère un rayon incident CD, réfracté en DI au passage de la surface de séparation ADB des deux milieux. Les points C et I sont sur un cercle de centre D, et ils se projettent, en F et H respectivement, sur AB. Le milieu le moins dense est le demi-cercle supérieur, et le plus dense l’autre demi-cercle. Si les résistances des deux milieux sont représentées respectivement par DF et par m, le mouvement total est représenté par mCD + DI · DF , qu’il faut rendre minimum. Fermat écrit alors : Nous emploierons à cet effet notre méthode, déjà répandue parmi les géomètres et exposée depuis environ vingt ans par Hérigone dans son Cursus mathematicus.

Il fait varier le point D sur AB, C et I restant fixes. Si D vient en O tel que DO = e petit, on a : CO2 = CF2 + FO2 = CD2 − FD2 + (FD − e)2 = n2 − 2be + e2

554

III. OPTIQUE ET

m C

H

D

A

F

O

B

I Fig. 3

en posant CD = n et FD = b. De même IO2 = n2 + 2ae + e2 , avec a = DH. Le vrai chemin est donc : CO · m + IO · b =

√

m2 n2 + m2 e2 − 2m2 be +

√ b2 n2 + b2 e2 + 2b2 ae.

C’est cette expression qu’il s’agit de rendre minimum. Fermat indique les étapes du calcul, sans l’effectuer : il commence par élever l’expression au carré et la compare à la valeur (mn + nb)2 correspondant pour e = 0. La différence s’écrit : m2 e2 − 2m2 be + b2 e2 + 2b2 ae

+2

√

√

m2 n2 + m2 e2 − 2m2 be

b2 n2 + b2 e2 + 2b2 ae − 2bnm2 ,

on l’adégale à 0, ce qui donne : 2

√

√

m2 n2 + m2 e2 − 2m2 be

b2 n2 + b2 e2 + 2b2 ae

= 2bm2 − m2 e2 + 2m2 be − b2 e2 − 2b2 ae. On élève à nouveau au carré pour faire disparaître tous les radicaux : 4(m2 n2 + m2 e2 − 2m2 be)(b2 n2 + b2 e2 + 2b2 ae)

ASTRONOMIE

= (2bmn2 − m2 e2 + 2m2 be − b2 e2 − 2b2 ae)2 .

FERMAT ET LE PRINCIPE DU MOINDRE TEMPS

555

En effectuant les multiplications, en faisant disparaître les termes communs et en simplifiant par le facteur e, on trouve :

(m2 − b2 )2 e3 + (b2 − m2 )(ab + m2 )e2 + 4be((ab + m2 )2 b − mn2 (m + b)2 ) ≡ 8mn2 b2 (a − m)(m + b). Selon la méthode de Fermat, on peut maintenant remplacer e par 0, et on obtient 8mn2 (a − m)(m + b) = 0, ce qui donne a = m. C’est alors que Fermat écrit : Par conséquent, pour trouver le point de réfraction, il faut, ayant mené les droites CD et CF, prendre les droites DF et DH dans le rapport de la résistance du milieu plus dense à celle du milieu moins dense, soit dans le rapport de b à m. On élèvera ensuite en H la perpendiculaire HI au diamètre ; elle rencontrera le cercle en I, point où passera le rayon réfracté ; et ainsi d’ailleurs le rayon, passant d’un milieu moins dense dans un plus dense, s’infléchira du côté de la perpendiculaire : ce qui concorde absolument et sans exception avec le théorème découvert par Descartes ; l’analyse ci-dessus, dérivée de notre principe, donne donc de ce théorème une démonstration rigoureusement exacte.

Autrement dit, au point D on a port des résistances des milieux.

DF DH

=

b a

=

FD m

, c’est-à-dire le rap-

2. Synthèse pour les réfractions

Au début de ce texte, Fermat revient sur la controverse qui l’a opposé à Descartes à propos de la réfraction. Il écrit : Le savant Descartes a proposé pour les réfractions une loi qui est, comme on dit, conforme à l’expérience ; mais, pour la démontrer, il a dû s’appuyer sur un postulat absolument indispensable à ses raisonnements, à savoir que le mouvement de la lumière se ferait plus facilement et plus vite dans les milieux denses que dans les milieux rares ; or ce postulat semble contraire à la lumière naturelle.

Fermat cherche à fonder la loi de la réfraction à partir, dit-il, « du principe contraire ». En effet, sa démonstration repose sur le postulat classique qui veut que la nature opère « par les voies les plus aisées », et sur le contenu quantitatif qu’il donne à ce postulat : le principe de la voie la plus aisée doit rendre, non pas la longueur parcourue, mais

556

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

le temps de parcours minimum. Ce temps est égal, dans un milieu donné, à la longueur parcourue divisée par la vitesse de propagation. Cette vitesse est supposée constante pour un milieu diaphane donné et la « résistance » du milieu est considérée comme proportionnelle à l’inverse de cette vitesse. C’est ce qu’il entend démontrer dans ce texte. Il ne s’agit donc pas d’une « synthèse » au sens usuel en mathématiques, c’est-à-dire l’inverse de l’analyse avec des constructions auxiliaires s’il le faut ; mais de la démonstration d’une loi physique, où l’on procède à l’aide des notions optiques et des concepts géomé-

M I A

P

D

N V

R S

B

0

H Fig. 4

Fermat considère deux chemins MNH et MRH entre les points fixés M et H. Les points N et R sont des points de la frontière entre les deux milieux dans le plan de la figure, plan déterminé par les droites MD et HS qui projettent orthogonalement M et H sur le plan de séparation des deux milieux. Il représente le rapport des vitesses dans les deux milieux par : VMN VMR MN MR = = = . VNH VRH NI RP On a donc MN · VNH = NI · VMN et MR · VRH = RP.VMN . Le rapport des temps de parcours s’écrit : temps(MNH) = temps(MRH)

MN VMN MR VMR

+ +

NH VNH RH VRH

=

MN.VNH + NH · VNM , MR.VRH + RH · VMR

FERMAT ET LE PRINCIPE DU MOINDRE TEMPS

557

car VMN = VMR et VNH = VRH , ce rapport se transforme en VNM (NI + NH) IN + NH = . VMR (RP + RH) PR + RH Le principe adopté par Fermat revient à dire que IN + NH est minimum si MNH est le trajet suivi par la lumière. Fermat interprète ensuite la loi des sinus telle que Descartes l’a formulée en termes de vitesse de propagation, pour pouvoir la rapprocher de son principe. Il introduit dans la figure précédente un cercle centré sur la droite séparant les deux milieux et qui passe par M et H. Si on suppose que le point N par où passe le rayon lumineux est le centre du cercle, les segments DN et NS, projections respectives de MN et NH sur le diamètre AB du cercle, sont proportionnels aux sinus de l’angle d’incidence et de l’angle de réfraction. La loi des sinus signifie donc que DN est une NS constante, ne dépendant que des deux milieux. Fermat interprète ce rapport comme étant celui des vitesses de propagation dans les deux milieux, ce qui lui permet de se ramener au problème purement géométrique suivant : si le point I sur MN est déterminé par DN = MN , la NS NI somme IN + NH est minimum. La démonstration est désormais purement géométrique et synthétique. On considère un point quelconque R ̸= N sur la droite AB ; il s’agit de démontrer que IN + NH < RP + RH, où P est le point de MR tel que MR = DN . RP NS RN Fermat introduit les points O et V de MN tels que MN = NO et DN DN NO = ; on a évidemment NO < NR et NV < NO, si on suppose que M NS NV se trouve dans le milieu le moins dense (DN > NS). Le calcul est le suivant : MR2 = MN2 + NR2 ± 2DN · NR RH2 > HN2 + NR2 ∓ SN · NR, où le signe supérieur correspond à un point R à droite de N. Comme DN · NR = MN · NO et SN · NR = HN · NV, puisque HN MN MN DN RN NO = = · = · NS NS DN NS NO NV on a MR2 = MN2 + NR2 ± MN · NO et RH2 > HN2 + NR2 ∓ 2HN · NV. En utilisant le fait que NR > NO > NV, on a MR2 > MN2 + NO2 ± 2MN · NO = (MN ± NO)2

558

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

et RH2 > HN2 + NV2 ∓ 2HN · NV = (HN ∓ NV)2 . Ainsi, MR > MN ± NO et RH > HN ∓ NV. Or MR MN NO MN ± NO = = = , RP NI NV NI ± NV donc RP > NI ± NV. On en déduit enfin que PR + RH > IN + NH et donc que le temps selon le rayon brisé MNH est moindre que le temps selon le rayon brisé MRH, au moins d’après la position des points R et N et si la surface réfringente est plane. On démontre la proposition d’une manière analogue dans le cas où R est un point de AN. Concluons sur le commentaire de Fermat : En effet, de même qu’en spéculant sur les mouvements naturels des graves, Galilée en mesure les rapports aussi bien par le temps que par l’espace, de même nous ne considérerons pas les espaces ou les lignes les plus courtes, mais celles qui peuvent être parcourues le plus facilement, le plus commodément et dans le temps le plus court.

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT RÉSUMÉ. — Dans l’Almageste, Ptolémée a proposé le concept du mouvement d’enroulement pour expliquer notamment les latitudes planétaires. Ibn al-Haytham (début xi e s.) a rédigé un traité intitulé Fī ḥarakat aliltifāf, « Sur le mouvement d’enroulement ». Un anonyme a écrit une critique de ce traité. Les deux mémoires sont perdus ; mais heureusement a survécu la réponse d’Ibn al-Haytham, intitulée Fī ḥall šukūk ḥarakat aliltifāf, « La résolution des doutes sur le mouvement d’enroulement ». Il y rappelle le modèle élaboré et en détaille encore l’explication. Nous donnons ici édition critique, traduction et commentaire de cette réponse, ainsi qu’une édition et traduction de passages apparentés des Hypothèses planétaires de Ptolémée et de la Nihāyat al-idrāk de Quṭb al-Dīn al-Shīrāzī (xiii e s.). ABSTRACT. — In the Almagest, Ptolemy proposed the concept of winding motion, especially to explain planetary latitudes. Ibn al-Haytham (beginning 11th c.) wrote a treatise entitled Fī ḥarakat al-iltifāf, “Concerning the winding motion”. An anonymous scholar wrote a refutation of this treatise. Both texts have been lost ; but the answer of Ibn al-Haytham has survived : Fī ḥall šukūk ḥarakat al-iltifāf, “The resolution of doubts concerning the winding motion”. There he reminds us of his model and gives us a more detailed explanation. We give here a critical edition, translation and commentary of this answer, as well as an edition and translation of some related excerpts from Ptolemy’s Planetary Hypotheses and Quṭb alDīn al-Shīrāzī’s Nihāyat al-idrāk (13th c.).

On a montré ailleurs qu’Ibn al-Haytham (mort après 1040 au Caire) a composé en astronomie deux fois plus d’écrits qu’en optique, à laquelle son nom est à jamais associé. Ses travaux en astronomie couvrent tous les domaines de recherche en son temps 1. Ils se partagent en plusieurs groupes dont chacun comprend plusieurs traités. Parmi ces groupes on en souligne ici deux. Le premier comprend

En collaboration avec Erwan Penchèvre, paru dans Arabic sciences and philosophy, 30 (2020) : 27-137. ‎1. Voir R. Rashed, Les Mathématiques infinitésimales du ix e au xi e siècle (Londres : Al-Furqān Islamic Heritage Foundation, 1996-2006), vol. V ; idem, « The Celestial Kinematics of Ibn al-Haytham », Arabic Sciences and Philosophy, 17 (2007), p. 7-55, repris dans Classical Mathematics from al-Khwārizmī to Descartes (Londres : Routledge, 2017), p. 637-680 ; C. Houzel « The new astronomy of Ibn al-Haytham », Arabic Sciences and Philosophy, 19 (2009), p. 1-41.

560

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

trois livres consacrés à la critique de l’Almageste de Ptolémée : les « Doutes sur Ptolémée », la « Correction de l’Almageste », et la « Résolution des doutes relatifs à l’Almageste » 1. Dans ces livres, il discute du modèle de Ptolémée. Dans le second groupe Ibn al-Haytham examine l’un ou l’autre des mouvements célestes tels que le mouvement de la Lune, le mouvement de l’enroulement — Fī ḥarakat al-iltifāf — où il soulève plusieurs doutes à l’étude dans l’Almageste de ce mouvement, pour écrire ensuite la « Résolution des doutes relatifs au mouvement de l’enroulement » 2. Ces travaux montrent à eux seuls qu’Ibn al-Haytham n’était pas satisfait de la configuration de l’univers, c’est-à-dire du modèle, de Ptolémée. Mais cet éminent mathématicien et physicien a sans aucun doute compris que, sans une cinématique céleste où l’on combine mathématique et physique, il n’était pas possible de proposer un autre modèle sous les hypothèses de l’Almageste — même rectifié. Ainsi a-t-il proposé, non pas un nouveau modèle, mais une nouvelle astronomie, dans sa somme « La configuration des mouvements de chacun des sept astres errants 3 ». Les livres critiques d’Ibn al-Haytham, ainsi que ses recherches sur des mouvements célestes particuliers et sur la question des hauteurs des astres errants 4, sont importants pour comprendre non seulement cette nouvelle astronomie, mais aussi, comme chacun sait, les travaux de l’école de Marāgha, c’est-à-dire d’al-Ṭūsī et ses collaborateurs, de même que la contribution du damascain Ibn al-Šāṭir. Dans cette étude nous considérons un seul écrit parmi ceux consacrés par Ibn al-Haytham à la critique de Ptolémée. Il s’agit de son écrit « Sur le mouvement de l’enroulement ». Malheureusement le texte d’Ibn al-Haytham n’existe plus ; en revanche, il nous est parvenu sa « Résolution des doutes sur le mouvement d’enroulement ». Cet écrit est une réponse d’Ibn al-Haytham aux objections qui lui ont été adressées par un certain savant contemporain qui n’est pas nommé et qu’Ibn al-Haytham désigne en ces termes respectueux : « Monseigneur le Šayḫ ». Ce texte nous est parvenu en trois manuscrits : Berlin oct. 2790/11 f. 118r-127r, Saint-Pétersbourg B 1030 f. 1v-20v, et Istanbul Suleymaniyye Atif 1714, f. 139v-148v. Ce dernier manuscrit a été transcrit à partir de celui de Berlin, et de lui seul, avec des fautes de transcription. Notre édition critique est donc faite à partir

‎1. Rashed, Les Mathématiques infinitésimales, vol. V, p. 2. ‎2. Ibid. ‎3. Ibid., vol. V, p. 263-615. ‎4. Ainsi dans son traité « Sur la diversité qui se manifeste pour les hauteurs des astres errants », ibid., vol. V, p. 633-679.

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

561

des deux premiers manuscrits 1. Les manuscrits de Berlin et de SaintPétersbourg sont identifiés respectivement par les lettres arabes bāʾ et lām dans l’apparat critique. Ce texte d’Ibn al-Haytham s’organise en une introduction (p. 598, l. 8 – p. 600, l. 14), huit sections correspondant chacune, plus ou moins, à une réponse à une objection du Šayḫ, puis une conclusion (p. 628, l. 8 – p. 632, l. 26). Dans l’introduction, Ibn al-Haytham classe sous trois catégories les difficultés rencontrées par le Šayḫ lors de sa lecture du traité d’Ibn al-Haytham sur ce mouvement. Bien que le texte ne soit pas dénué d’un certain ton polémique, le Šayḫ, nous le verrons, n’était sûrement pas un néophyte ; il n’est guère surprenant qu’Ibn al-Haytham lui ait consacré une réponse aussi longue et circonstanciée. Cette réflexion initiale sur la cause des erreurs qu’Ibn al-Haytham attribue à son contemporain est aussi d’un grand intérêt épistémologique. La première catégorie relève du rapport à l’autorité : le Šayḫ prendrait à la lettre les paroles de Ptolémée, sans chercher à les « interpréter » ni à les « expliquer ». Nous verrons qu’Ibn al-Haytham ne prétend pas avoir découvert ni inventé ce qu’il nomme « mouvement d’enroulement » : il affirme seulement expliquer un mouvement utilisé par Ptolémée dans l’Almageste, dont la description présente dans l’Almageste était, au mieux, insuffisante à ses yeux. De plus, Ibn al-Haytham dénonce quelques erreurs commises par Ptolémée en astronomie et en optique, aussi bien dans l’Almageste que dans ses Hypothèses planétaires. La deuxième catégorie de difficultés concerne la notion même de vérité physique et le rôle de l’imagination (taḫayyul) dans la méthode scientifique. L’argument est subtil, car le texte d’Ibn al-Haytham relève de deux disciplines distinctes : il y est à la fois question de modèles cosmologiques (« configurations », hayʾāt) et de l’analyse mathématique de ces modèles selon le canon de la rigueur géométrique. Nous verrons à plusieurs reprises Ibn al-Haytham reprocher au Šayḫ de formuler des hypothèses géométriquement impossibles (muḥāl) : par exemple, l’hypothèse qu’une certaine droite soumise à certaines transformations reste dans un certain plan ; mais Ibn al-Haytham juge aussi légitime qu’entre deux modèles géométriquement équivalents, les mathématiciens (aṣḥāb al-taʿālīm) décident d’en rejeter un pour son impossibilité physique 2. ‎1. Abdelhamid I. Sabra a publié une édition critique du texte arabe avec une brève introduction anglaise, sans traduction, dans A. I. Sabra, « Ibn al-Haytham’s treatise : Solution of difficulties concerning the movement of iltifāf », Journal for the history of Arabic science, 1979, 3(2), p. 388-422. ‎2. Ce sera l’objet de la huitième réponse d’Ibn al-Haytham ; voir en particulier p. 628, l. 11-15.

562

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Ibn al-Haytham fait de nombreuses allusions, au fil de ses réponses, à ces deux premières catégories de difficultés. La troisième catégorie comprend la confusion entre simplicité au sens ordinaire d’un énoncé et simplicité physique du mouvement. Ibn al-Haytham fait bien sûr allusion à la formule célèbre de Ptolémée : Il ne faut donc pas juger de la simplicité des choses célestes, par les choses familières qui nous paraissent simples ; puisque celles-ci ne sont pas également simples pour tous les hommes 1.

Ibn al-Haytham, nous le verrons, obéit à l’impératif fondamental de construire des modèles par composition (tarkīb) de mouvements élémentaires « simples et continus » (basīṭ et muttaṣil) 2 ; en revanche, il n’impose pas à ces mouvements l’uniformité en vitesse angulaire dans ce texte, contrairement à ce que l’on trouvera chez ses successeurs Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī et Ibn al-Šāṭir. Enfin, cette activité de modélisation s’adosse chez lui à une analyse géométrique du mouvement qui s’accompagne de démonstrations qu’il voulait rigoureuses.

Transformations affines, et connus Les objections du Šayḫ au texte d’Ibn al-Haytham ne sont pas rapportées intégralement par Ibn al-Haytham, et le contenu de leur source originale, le traité perdu d’Ibn al-Haytham, est encore plus difficile à appréhender. Pour ne pas nous perdre dans des conjectures à l’issue incertaine, nous avons approché les œuvres accessibles d’Ibn al-Haytham dont la thématique recoupe celle du traité perdu. Une partie du traité sur La Configuration des mouvements 3 nous permet de mieux cerner l’objet étudié par Ibn al-Haytham dans ses recherches sur les mouvements planétaires. Dans ce traité, Ibn al-Haytham entreprend l’étude mathématique des trajectoires des astres dans un référentiel attaché à l’observateur. Traditionnellement, le référentiel priviligié pour les théories planétaires était un référentiel sidéral (chez Ptolémée) ou bien tropique 4. Ibn al-Haytham choisit un système de coordonnées sphériques équatoriales « locales », c’est-à-dire dans un référentiel attaché ‎1. Composition mathématique de Claude Ptolémée, éd. et trad. Abbé Halma (Paris : 1816), t. 2, p. 375. ‎2. Voir par exemple p. 620, l. 35-36. Nous verrons plus loin ce que cela signifie. ‎3. Cf. op. cit. dans la note 3 p. 560, supra. ‎4. Tropique, peut-être depuis les Banū Mūsā qui « repoussent l’écliptique audelà de la sphère des fixes » comme l’explique R. Morelon dans son commentaire du Livre sur l’année solaire, dans Thābit ibn Qurra, Œuvres, p. lxvi.

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

563

à l’observateur : déclinaison et temps requis 1. Le pôle Nord est supposé immobile par rapport à l’observateur. En fait, Ibn al-Haytham ne précise pas l’origine de la coordonnée temps requis car il ne considère jamais que des accroissements en temps requis. Cela permet au savant d’imaginer des figures qui devaient ressembler à la fig. 1, où DB désigne un accroissement en déclinaison et AD un accroissement en temps requis le long d’un segment AB de la trajectoire d’un astre.

G

C

B K D A

HN I E

éq u

at eu r

Fig. 1. Une trajectoire dans un référentiel attaché à l’observateur : la Configuration des mouvements, prop. 20.

À cause du fait que le mouvement diurne domine très nettement (même pour la Lune) les mouvements propres des astres par rapport à l’écliptique, pour l’observateur, la trajectoire apparente d’un astre progresse toujours d’est en ouest, c’est-à-dire qu’elle est paramétrisable selon le temps requis. L’étude des trajectoires revient donc à étudier des taux d’accroissements finis DB/AD. L’objet d’étude est donc une ligne qui n’est pas une ligne simple. C’est la trace du mouvement d’un point matériel dans un certain référentiel dont le substrat figuré est ici une sphère, immobile par rapport à l’observateur, et géocentrique. L’analyse du mouvement est menée, comme on va le voir, au moyen de transformations affines : des

‎1. À un instant donné, le temps requis (al-zamān al-muḥaṣṣal, cf. R. Rashed, Mathématiques infinitésimales, vol. V, p. 25, 187 et 413) est mesuré comme une ascension dans la sphère droite ; mais, à la différence du temps requis, l’ascension droite repère la position des astres dans un référentiel en mouvement par rapport à l’observateur (le mouvement diurne). Remarquons que ces coordonnées d’Ibn al-Haytham (déclinaison, temps requis) sont précisément les coordonnées équatoriales locales (latitude, longitude) utilisées pour repérer les lieux à la surface de la Terre.

564

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

rotations spatiales. Elle consiste en l’étude de relations quantitatives entre différents points de cette ligne, et un premier résultat de cette analyse s’exprime dans le langage des connus 1. L’exemple fondamental en est l’énoncé suivant : Si chacun des sept astres errants se meut à un moment connu pendant un intervalle de temps connu, alors l’arc qui est son temps requis sera connu et l’arc qui est l’inclinaison de son mouvement sera connu 2.

Ibn al-Haytham démontre cet énoncé de manière très détaillée pour la Lune, dans la proposition 20 de la Configuration des mouvements. Nous allons résumer cette démonstration pour mieux illustrer ce qui précède. On a deux référentiels solides pour repérer les positions des astres sur la sphère céleste : celui de l’observateur en coordonnées équatoriales locales, et le référentiel de l’écliptique. Dans le référentiel de l’écliptique, on peut repérer les points de la sphère céleste en longitude écliptique et latitude écliptique. On peut aussi les repérer par leur distance au pôle Nord et leur « point de passage » sur le cercle de l’écliptique : Ibn al-Haytham connaissait bien sûr les formules de changements de coordonnées pour en déduire longitude écliptique et latitude écliptique, et inversement. Soit A la position de la Lune sur la sphère céleste à un instant donné t (voir fig. 1). Ibn al-Haytham suppose qu’on peut obtenir sa position B à l’instant t + Δt en appliquant à A trois rotations spatiales : – une rotation RAK autour du pôle Nord, due au mouvement diurne, mouvement uniforme dans le référentiel de l’observateur. Cette rotation transforme A en K, et elle transforme l’écliptique (cercle passant par E) en le cercle HNI. – une rotation RKG autour du pôle de l’écliptique, due au mouvement des nœuds, mouvement uniforme par rapport au référentiel de l’écliptique. Cette rotation transforme K en G, mais elle entraîne aussi tout l’orbe solide, dit incliné 3, qui porte la Lune. ‎1. Cf. le Traité des connus et L’Analyse et la synthèse dans Rashed, Mathématiques infinitésimales, vol. IV, p. 177-583. ‎2. Voir Configuration des mouvements, p. 434. On a traduit là par inclinaison le mot mayl désignant ce qu’on appelle aujourd’hui une déclinaison. ‎3. Ibn al-Haytham dit de l’orbe incliné : « Cet orbe est l’un des grands cercles qui se trouvent dans la sphère dont le centre est le centre de l’univers.» On pourrait donc douter qu’il s’agisse d’un solide, mais nous emploierons ce terme, ici, dans le sens où l’on parle de trièdre solide, ou de point matériel, en mécanique moderne, pour désigner des abstractions mathématiques qui ne sont pas nécessairement des attributs d’une substance. C’est qu’Ibn al-Haytham utilise ce cercle matériel mathématique – peu importe sa figure – comme un référentiel solide en mouvement par rapport

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

565

– une rotation RGB autour du pôle de l’orbe incliné, due au mouvement de l’« argument de latitude moyen » λ + λ☊ de la Lune auquel s’ajoutent des corrections dues à la présence d’un épicycle, d’un excentrique et du point de prosneuse dans le troisième modèle de la Lune de l’Almageste. Quel que soit celui des orbes précédents pris pour référentiel, cette rotation n’est donc pas uniforme 1. Cette rotation transforme G en B. Ibn al-Haytham se propose donc de démontrer que si t et t + Δt sont connus, alors B est connu dans le référentiel local. Démonstration. Si t est connu, alors A est connu par rapport à l’écliptique, i. e. sa distance au pôle CA et son point de passage sur l’écliptique E sont connus. De même pour t + Δt et le point B, sa distance au pôle CB et son point de passage I sont connus. La variable temps mesure précisément le mouvement diurne, i. e. AK est proportionnel à Δt, donc AK est connu. Mais K est l’image de A par la rotation RAK qui entraîne aussi tout l’orbe de l’écliptique, donc la position de K par rapport à l’écliptique HNI est égale à celle de A par rapport à l’écliptique 2 : CK = CA, et le point de passage N de K est connu, puisque E est connu, par rapport à l’écliptique. L’arc d’écliptique NI est donc connu, il a donc une coascension droite KD connue. Donc AD = AK − KD est connu ; et DB = DC − CB = AC − CB est connu. q. e. d. Si les relations entre les points d’une trajectoire sont entièrement déterminées par des composées de rotations spatiales d’axes et d’angles donnés, on voit donc que l’analyse du mouvement est presque immédiate ; aussi ne s’étonnera-t-on pas qu’Ibn al-Haytham ait cherché à interpréter le modèle de l’Almageste pour les latitudes en termes de rotations spatiales.

Première objection : position du cercle de l’épicycle quand son centre est aux nœuds La première objection du Šayḫ tient à l’ambivalence du discours même de Ptolémée dans l’Almageste en XIII.1 et XIII.2. Le Šayḫ avait d’ailleurs cité Ptolémée, mais Ibn al-Haytham ne reproduit pas cette

auquel la Lune a un mouvement de rotation non uniforme mais dans un plan fixé et autour d’un pôle fixé. ‎1. Ibn al-Haytham l’énonce clairement dans la Configuration des mouvements, p. 390, sans toutefois préciser la nature des corrections mentionnées ci-dessus. ‎2. Le raisonnement original d’Ibn al-Haytham est ici moins direct : pour montrer que N est connu, il repart du fait que la position de B est connue par rapport à l’écliptique, et que les arcs GB et KG sont connus. Alors I connu ⇒ H connu ⇒ N connu.

566

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

citation dans ses réponses. En revanche, on détiendrait ici notre premier fragment du traité perdu d’Ibn al-Haytham, cité par le Šayḫ, et rapporté dans la réponse d’Ibn al-Haytham : Si le diamètre de l’épicycle qui passe par l’apogée et par le périgée se trouve dans le plan de l’orbe excentrique pour les trois planètes, alors tout le plan de l’épicyle se trouve dans le plan de l’orbe excentrique 1.

Pourtant Ibn al-Haytham semble immédiatement nier avoir fait une telle affirmation : il s’agit donc certainement d’une extrapolation du Šayḫ. Quant à Ptolémée, voici ce qu’il dit dans le chapitre XIII.1 de l’Almageste : D’après les observations particulières de chaque planète, quand le nombre de la longitude corrigée et celui de l’anomalie corrigée sont également éloignés l’un et l’autre, d’environ un quart de cercle, l’un de la limite boréale ou méridionale de l’excentrique, l’autre, de l’apogée de la planète, les astres paraissent dans le plan de l’écliptique 2.

Puis dans le deuxième chapitre du même livre : Mais ces petits cercles [...] tournent d’un mouvement uniforme [...]. Depuis l’une des intersections des plans par les épicycles, ils portent la planète vers les ourses, par exemple ; ils entraînent avec eux les plans des épicycles vers la limite boréale, dans le premier quart de leur révolution ; dans le second quart, ils les ramènent vers le plan de l’excentrique. Dans le troisième quart il les entraînent vers la limite australe ; enfin, dans le dernier quart, ils les ramènent au plan d’où il sont partis 3.

En partant du nœud ascendant, à la fin du second quadrant, i. e. au nœud descendant, le plan de l’épicycle serait donc confondu avec le plan de l’excentrique. Or la citation de XIII.1 semble contredire cela ! Le Šayḫ pouvait donc facilement s’appuyer sur XIII.1 pour objecter à l’affirmation qu’il attribuait à Ibn al-Haytham. La réponse d’Ibn al-Haytham est à peu près la suivante. Ptolémée, dans l’Almageste, n’offre pas de modèle définitif d’emblée. Les modèles sont en fait des « hypothèses » (furūḍ) sans cesse soumises à révision après confrontation avec les données de l’observation. Que l’on pense, par exemple, aux trois modèles de la Lune présentés dans l’Almageste. Ptolémée, au dire d’Ibn al-Haytham, aurait proposé un modèle pour le mouvement d’enroulement. Pour ce faire,

‎1. Voir infra p. 600, l. 17-20. ‎2. Ptolémée, Composition mathématique, p. 368. ‎3. Ptolémée, Composition mathématique, p. 372.

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

567

il serait parti des modèles hypothétiques formulés dans les livres X, XI, XII pour les mouvements en longitude des planètes, puis il les aurait adaptés. Comme le dit Ibn al-Haytham, Ptolémée procède par « l’approximation » (al-taqrīb) plutôt que par « l’exactitude » (altaḥqīq). La citation du XIII.1 décrit une donnée de l’observation (au dire de Ptolémée lui-même), tandis que la citation du XIII.2 s’inscrit dans cette activité de construction de modèles géométriques, où l’on adapte graduellement les hypothèses de modèles antérieurs. Comme Ibn al-Haytham s’est seulement proposé d’interpréter les paroles de Ptolémée, il serait donc, comme Ptolémée, parti de l’hypothèse que le plan de l’épicycle est confondu avec le plan incliné de l’excentrique (comme dans X, XI, XII), pour ensuite décrire un dispositif faisant varier la position relative de ces deux plans. D’ailleurs, un autre passage de XIII.2 laisse planer l’ambiguïté quant à leur position relative à la fin du second quadrant : Les diamètres qui coupent à angles droits les diamètres apogées, et périgées, s’il s’agit des trois planètes que nous avons nommées les premières, demeurent constamment parallèles au plan de l’écliptique, où la variation est du moins insensible [...] 1

Qu’en conclure ? On voit que le Šayḫ n’est pas un néophyte : il était conscient d’une des principales difficultés du treizième livre de l’Almageste. Même si la citation du Šayḫ, qu’Ibn al-Haytham semble renier, n’est qu’une extrapolation, il faut peut-être la prendre au sérieux et penser qu’au moins en première interprétation, le modèle donné par Ibn al-Haytham dans son traité perdu produisait l’effet décrié ; sur ce point, Ibn al-Haytham n’avait peut-être pas non plus donné une explication suffisamment détaillée de son modèle. En fait, nous verrons que cette première objection est sans doute la plus importante des huit objections auxquelles répond Ibn al-Haytham. En tout cas, une question s’impose : qu’a pu faire Ibn al-Haytham dans ce traité sur le mouvement d’enroulement ? On voit qu’il ne réclame pas non plus crédit pour l’invention ou la découverte du mouvement d’enroulement, puisqu’il prétend seulement avoir voulu « montrer comment Ptolémée a ordonné le mouvement d’enroulement ». D’ailleurs les successeurs d’Ibn al-Haytham qui connaissaient son traité perdu semblent confirmer la justesse de notre conclusion : le modèle que Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī attribue à Ibn al-Haytham a pour effet, on le verra, que le diamètre transverse est à peu près dans le ‎1. Ptolémée, Composition mathématique, p. 372 ; nous soulignons la fin de la citation.

568

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

plan de l’excentrique quand le centre de l’épicycle est aux nœuds, et non pas dans le plan de l’écliptique 1. S’appuyerait-on sur Ptolémée en disant que ce diamètre présente une inclinaison qui « est du moins insensible » par rapport au plan de l’écliptique ? Ibn al-Šāṭir affirmera que cette inclinaison n’est pas négligeable ; elle contredit les données de l’observation, ainsi que le modèle numérique des chapitres XIII.3 à XIII.6 de l’Almageste. Nous détaillerons tout cela plus loin. Il est temps d’expliquer le modèle qu’al-Ṭūsī a trouvé dans le traité perdu d’Ibn al-Haytham.

Le modèle d’Ibn al-Haytham selon Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī Al-Ṭūsī expose d’abord le modèle d’Ibn al-Haytham dans un chapitre d’un appendice à un traité écrit en persan en 1235 2. Nous traduisons ci-dessous l’exposé qu’il en donne ultérieurement dans son Mémoire sur l’astronomie 3 : Ibn al-Haytham a composé un traité dans lequel il mentionne les corps qui produisent ces mouvements. Dans chaque épicycle, il ajoute deux sphères pour l’inclinaison, et dans les planètes inférieures, deux autres sphères pour l’obliquité 4. Il a décidé de supposer une sphère qui contient l’épicycle et qui a deux pôles dont la distance aux deux extrémités du diamètre passant par l’apogée et le périgée, de part et d’autre, est de la grandeur de l’inclinaison maximale de ce diamètre, pour cette planète, par rapport au plan où, quand il s’y trouve, son inclinaison s’annule. Il

‎1. Nous appellerons désormais « diamètre transverse » le diamètre perpendiculaire au diamètre de l’apogée. ‎2. C’est d’ailleurs dans ce même appendice qu’il décrit pour la première fois le « couple de Ṭūsī ». Le chapitre de l’appendice concernant le modèle d’Ibn al-Haytham a été édité et traduit en anglais par F. Jamil Ragep dans « Ibn al-Haytham and Eudoxus : The revival of homocentric modeling in Islam », in C. Burnett, J. Hogendijk, K. Plofker et M. Yano (éd.), Studies in the history of the exact sciences in honour of David Pingree (Leyde : Brill, 2004), p. 786-809. ‎3. F. J. Ragep, Naṣīr al-Dīn al-Ṭūṣī’s Memoir on astronomy (N. Y. : Springer-Verlag, 1993), II.11 [16], p. 214-217. Cet exposé en arabe est légèrement différent de celui donné en persan, notamment quant à l’ordre dans lequel les orbes sphériques sont emboîtés les uns dans les autres, cf. Ragep, « Ibn al-Haytham and Eudoxus », note 16 p. 804. L’ordre d’emboîtement, s’il a une importance cosmologique et physique, n’en a pas sur le plan mathématique quand on conçoit l’orbe comme un substrat géométrique au concept de référentiel, comme nous le faisons dans notre commentaire. ‎4. Nous suivons ici Halma qui utilise les deux termes inclinaison et obliquité pour traduire ce qu’al-Ṭūsī désigne respectivement par mayl et inḥirāf, et les historiens anglophones par deviation et slant.

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

569

suppose que a un mouvement comme celui que le petit cercle mentionné 1 appartenant à cette planète est supposé avoir, afin que se meuvent, par son mouvement, les deux extrémités du diamètre mentionné le long d’un circuit précisément égal à ce petit cercle, d’un mouvement uniforme par rapport à un point distinct de son centre, comme on l’a supposé pour le petit cercle ; mais son mouvement entraîne nécessairement le mouvement de toutes les parties de l’épicycle jusqu’au diamètre moyen. Celui-ci va quitter sa position, son extrémité matutinale devenir vespérale, et inversement ; de même pour les autres parties de l’épicycle. C’est pourquoi il faut supposer une autre sphère, entre cette sphère et la sphère de l’épicycle, dont les deux pôles soient les deux extrémités du diamètre mentionné, c’est-à-dire les deux points de l’apogée et du périgée. Son mouvement est supposé précisément égal au mouvement mentionné pour la première sphère, mais en sens contraire, afin de ramener à leur position requise toutes les parties de l’épicycle qui allaient quitter leur position. Il ne reste dans aucune trace du mouvement de la première sphère, sauf ce qui est nécessaire à cause du mouvement du diamètre mentionné et de ce qui lui est contigü dans le plan de la ceinture de l’épicycle. On suppose pour chacune des inférieures deux autres sphères pour l’obliquité, selon la même description, afin que l’une des deux donne l’obliquité au diamètre moyen de l’épicycle et que l’autre préserve la position du reste de l’épicycle, de sorte que l’apogée ne devienne pas périgée, ni le périgée apogée. L’épicycle de chacune des trois supérieures englobera donc trois sphères, et l’épicycle de chacune des deux inférieures, cinq sphères ; et ce que Ptolémée a indiqué est accompli en établissant des moteurs solides. Ibn al-Haytham a mentionné qu’on pouvait accomplir ceci en supposant des prismes à la place des sphères, mais selon les fondements de cette science il n’est pas correct d’établir autre chose qu’une sphère 2.

Étant donnée l’une des trois planètes supérieures, on prendra pour référentiel un plan confondu avec le plan de l’orbe excentrique et au sein duquel la direction de l’apogée j et le centre de l’épicycle C sont fixes d’après les hypothèses suivies dans les modèles planétaires des livres X, XI et XII de l’Almageste. On choisit une base orthonormée directe (i, j, k) avec i aussi dans le plan de l’excentrique, et un repère cartésien associé, d’origine C. Dans ses réponses aux objections, Ibn al-Haytham semble parler de l’orbe de l’épicycle comme s’il s’agissait d’un cercle matériel centré en C le long duquel se déplace la planète. L’extrémité du « diamètre de l’apogée » est alors conçue comme un point matériel parmi les points de ce cercle, et Ibn al-Haytham ‎1. Le petit cercle est celui décrit dans Almageste XIII.2 comme le rappelle al-Ṭūsī avant cet extrait. ‎2. Ragep, Al-Ṭūsī’s Memoir on astronomy, p. 214-217. Nous traduisons ici et ailleurs le mot manšūra (pluriel manšūrāt, manāšīr) par « prisme ».

570

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

première sphère seconde sphère sphère de l'épicycle j

t C

k j i

Fig. 2. Les trois sphères matérielles utilisés par Ibn al-Haytham selon al-Ṭūsī.

souhaite faire décrire à ce point un petit cercle perpendiculaire à la droite (C, j). Mais comme Ibn al-Haytham a d’autre part introduit plusieurs sphères matérielles centrées en C animées de mouvements distincts, et qu’il n’y a pas trace, dans les réponses aux objections, de noms servant à désigner ces différentes sphères, nous suivrons al-Ṭūsī et nous parlerons d’une première sphère et d’une seconde sphère centrées en C, contenant toutes deux la sphère de l’épicycle de même centre, portant à son tour le globe planétaire (voir fig. 2). Ces trois sphères sont emboîtées dans une cavité sphérique immobile au sein de l’orbe excentrique. Peu importent les rayons de ces sphères. Si l’on suit cette dénomination, le cercle matériel qu’Ibn al-Haytham appelle parfois orbe de l’épicycle est donc fixe par rapport à la seconde sphère, et non par rapport à la sphère de l’épicycle ; pour ne pas le confondre avec la sphère de l’épicycle, nous le nommerons cercle de l’épicycle, et nous supposerons que c’est un cercle de rayon 1 le long duquel est mu le centre du globe planétaire. D’après les hypothèses du modèle géométrique esquissé par Ptolémée dans l’Almageste, chap. XIII.2, on choisit un instant initial où le plan de l’épicycle est contenu dans le plan (C, i, j). Les extrémités du

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

571

« diamètre de l’apogée » sont alors conçues comme des points matériels de la seconde sphère ; ce diamètre contient les pôles en lesquels la seconde sphère s’articule à la première, et ils sont donc fixes aussi par rapport à la première sphère. Notons t la direction du diamètre de l’apogée à l’instant initial. L’angle (t, j) est égal à l’inclinaison maximale ε souhaitée 1. On a donc :



 − sin ε t =  cos ε  . 0 Pendant une durée Δt, cette direction, ainsi que tous les points de la première sphère et des deux sphères qu’elle contient, subissent une rotation RC,j,κΔt ˙ , car la première sphère est animée d’un mouvement de rotation uniforme 2 par rapport à l’orbe excentrique, de vitesse angulaire égale à la vitesse moyenne du centre de l’épicycle le long de ˙ Une seconde rotation vise à compenser l’effet de la l’excentrique (κ). première sur les autres parties du cercle de l’épicycle, sans déplacer le diamètre de l’apogée. On obtient donc les positions successives du cercle de l’épicycle en appliquant au cercle de centre C et de rayon 1 dans le plan (C, i, j) la composée de rotations suivantes : RC,j,κΔt ◦ RC,t,−κΔt ˙ ˙ . On va représenter les trajectoires périodiques des trois points suivants : – un point du diamètre de l’apogée (− sin ε, cos ε, 0) ; – un point du diamètre transverse, perpendiculaire au diamètre de l’apogée, (cos ε, sin ε, 0) ; – un point sur l’axe de la sphère de l’épicycle (0, 0, 1). Comme ces trajectoires sont contenues dans la sphère de centre C et de rayon 1 et qu’elles sont proches des points (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1), respectivement, on les représentera en les projetant orthogonalement sur les plans tangents à la sphère, y = 1, x = 1, z = 1, respectivement (voir fig. 3). ˙ Notons θ = κΔt. Comme les axes des deux rotations passent par l’origine C, on peut travailler avec des rotations vectorielles. Écrivons

‎1. L’inclinaison du plan de l’épicycle par rapport au plan de l’excentrique est de l’ordre de quelques degrés dans les modèles de Ptolémée : elle atteint 4°30 ′ au plus, pour Saturne. On prendra ε = 5° ou 10° dans les applications numériques. ‎2. On liquidera cette hypothèse d’uniformité ensuite ; on l’adopte provisoirement pour simplifier la notation.

572

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

leurs matrices dans la base (i, j, k) :



Rt,−θ

Rj,θ

sin2 ε + cos2 ε cos θ −(1 − cos θ) cos ε sin ε = −(1 − cos θ) sin ε cos ε cos2 ε + sin2 ε cos θ cos ε sin θ sin ε sin θ   cos θ 0 sin θ 1 0 . = 0 − sin θ 0 cos θ

 − cos ε sin θ − sin ε sin θ  , cos θ

Dans toute cette section, nous identifierons les rotations vectorielles à leurs matrices dans la base (i, j, k). La trajectoire du point (− sin ε, cos ε, 0) est alors décrite par l’extrémité du vecteur suivant quand le paramètre θ varie :



   − sin ε − sin ε cos θ . cos ε Rj,θ ◦ Rt,−θ  cos ε  =  0 sin ε sin θ Il s’agit, comme on le souhaitait, d’un « petit cercle » parallèle au plan y = 1 (voir fig. 3, en bas à gauche). La trajectoire du point (cos ε, sin ε, 0) est décrite par l’extrémité du vecteur suivant :



   cos ε 1 − (1 − cos ε) cos2 θ . sin ε cos θ Rj,θ ◦ Rt,−θ  sin ε  =  0 (1 − cos ε) sin θ cos θ

C’est donc la courbe dont les équations paramétriques sont :

 2  x = 1 − (1 − cos ε) cos θ y = sin ε cos θ   z = (1 − cos ε) sin θ cos θ. En posant y = Y sin ε, et z = (1 − cos ε)Z, on obtient :

 2   x = 1 − (1 − cos ε)Y Y = cos θ   Z = sin θ cos θ.

Et on vérifie aisément que les équations implicites de la courbe sont :

(

x = 1 − (1 − cos ε)Y2

Z2 = Y2 − Y4 . C’est donc une quartique avec deux plans de symétrie et un point double ; il s’agit d’une lemniscate (voir fig. 3, en bas à droite).

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

573

Enfin, pour calculer la trajectoire du point (0, 0, 1), on peut utiliser le fait que

    0 cos ε 0 = Rt,− π  sin ε  . 2 1 0

Alors

    0 cos ε Rj,θ ◦ Rt,−θ 0 = Rj,θ ◦ Rt,−(θ+ 2π )  sin ε  1 0 = Rj,− 2π ◦ Rj,θ+ 2π



 cos ε ◦ Rt,−(θ+ 2π )  sin ε  . 0

On s’est ainsi ramené au calcul précédent. En posant x = X(1 − cos ε), et y = Y sin ε, on obtient les équations paramétriques :

  X = − sin θ cos θ Y = cos θ   z = 1 − (1 − cos ε)Y2 ,

d’où les équations implicites :

( 2 X = Y2 − Y4 z = 1 − (1 − cos ε)Y2 .

Il s’agit à nouveau d’une lemniscate (voir fig. 3, en haut). Étudions à présent la trajectoire d’un point matériel quelconque du cercle de l’épicycle. Un tel point peut s’écrire sous la forme :

(u cos ε − v sin ε, u sin ε + v cos ε, 0), avec u2 + v2 = 1.     u cos ε − v sin ε u − u(1 − cos ε) cos2 θ − v sin ε cos θ . u sin ε cos θ + v cos ε Rj,θ ◦ Rt,−θ u sin ε + v cos ε =  0 u(1 − cos ε) sin θ cos θ + v sin ε sin θ Projetons la trajectoire orthogonalement sur un plan parallèle à x = 0. On obtient les équations paramétriques suivantes :

(

y = u sin ε cos θ + v cos ε

z = (u(1 − cos ε) cos θ + v sin ε) sin θ d’où, en posant Yu sin ε = y − v cos ε (ce n’est plus la même variable Y que précédemment) :

(

Y = cos θ

z2 = (Yu(1 − cos ε) + v sin ε)2 (1 − Y2 ).

574

III. OPTIQUE ET

y

0,1

0

0,1

x

z z 0,1

0,1

0

0,1

x

0

0,1

y

Fig. 3. Les trajectoires de trois points matériels par rapport à l’orbe excentrique, projetées sur des plans tangents à la sphère de centre C et de rayon 1, pour ε = 10°.

Sauf pour u = 0, on obtient donc toujours une quartique, symétrique par rapport à z = 0, et dont la partie réelle est comprise entre Y = −1





sin ε et Y = 1. Si u(1v−cos < 1, cette courbe possède un point singulier, ε)

 (z, Y) =

v sin ε 0, − u(1 − cos ε)

 ,

et elle présente deux lobes qui se rencontrent en ce point. Sinon, la courbe est de forme ovoïde. Pour 0 < ε < π/2, on a :

ASTRONOMIE

v sin ε < 1 ⇐⇒ u > sin ε = cos(ε/2) ⇐⇒ |v| < sin(ε/2). u(1 − cos ε) v 1 − cos ε sin(ε/2)

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

575

Si ε est de l’ordre de quelques degrés, alors la trajectoire ne présente deux lobes que pour les points très proches des extrémités du diamètre transverse (voir la fig. 4 où toutes les trajectoires représentées sont ovoïdes, sauf la lemniscate, à peine visible, parcourue par une extrémité du diamètre transverse).

z

y

x

Fig. 4. Les trajectoires de quelques points du cercle de l’épicycle, pour ε = 5°.

Il n’est pas certain qu’Ibn al-Haytham se soit intéressé aux trajectoires des points matériels du cercle de l’épicycle par rapport au référentiel solide de l’orbe excentrique. En revanche, il s’est intéressé à la trajectoire du centre du globe planétaire, porté par la sphère de l’épicycle, par rapport au référentiel de l’orbe excentrique. Il dit que ce mouvement produit « une ligne qu’on imagine s’enrouler sur le corps de la petite sphère mouvant le corps de la planète 1 ». Comme ‎1. Voir infra p. 622, l. 4-5.

576

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

la sphère de l’épicycle est elle-même animée d’un mouvement de rotation par rapport à la seconde sphère, la description de cette trajectoire va impliquer une troisième transformation affine. Supposons que le centre du globe planétaire est, à l’instant initial, situé à l’apogée (− sin ε, cos ε, 0). Si la vitesse angulaire de la sphère de l’épicycle ˙ la position de la planète après Δt sera donnée par : est α,

  − sin ε  cos ε  . Rj,−κΔt ◦ Rt,κΔt ◦ Rk,αΔt ˙ ˙ ˙ 0 On a représenté cette ligne, fig. 5, pour ε = 5°, en prenant, comme pour Jupiter, κ˙ = α˙ /12. Notons que la trajectoire est périodique si κ˙ /α˙ est rationnel.

Deuxième objection : il faudrait donner une obliquité au diamètre transverse pour les planètes supérieures La deuxième objection du Šayḫ n’est que la suite logique de la première. Pour les planètes supérieures, si le diamètre transverse doit être dans le plan de l’écliptique quand le centre de l’épicycle arrive aux nœuds, c’est qu’il est incliné par rapport au plan de l’excentrique. Or Ibn al-Haytham aurait choisi le plan de l’excentrique comme plan de référence (C, i, j) par rapport auquel le plan de l’épicycle oscille. C’est donc qu’il faut aussi soumettre le diamètre transverse à un mouvement oscillatoire, et lui donner une « obliquité », comme Ptolémée le faisait pour Mercure et Vénus. Dans sa réponse à cette objection, Ibn al-Haytham insiste sur le fait que Ptolémée introduit une nette distinction entre planètes supérieures et planètes inférieures dans son livre sur les latitudes : il ne décrit explicitement le mouvement produisant l’obliquité du diamètre transverse que pour les planètes inférieures. S’il avait aussi supposé un tel mouvement pour les planètes supérieures, il aurait dû le décrire plus explicitement, et il aurait au moins indiqué « son commencement et son terme » comme il le fait pour Mercure et Vénus quand il dit : Et enfin le point de départ et de restitution pour Vénus, est au nœud du demi-cercle additif ; et pour Mercure, il est au nœud du demi-cercle soustractif 1.

‎1. Ptolémée, Composition mathématique, p. 373.

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

z

y

x

577

Fig. 5. « Une ligne qu’on imagine s’enrouler sur le corps de la petite sphère mouvant le corps de la planète.»

578

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Si le modèle proposé par Ibn al-Haytham est tel que nous l’avons restitué ci-dessus, étant donné l’ambiguïté des paroles de Ptolémée rapportées ci-dessus p. 566 et 567, l’idée du Šayḫ est justifiable. Le diamètre transverse est, aux nœuds, à peu près dans le plan (C, i, j) puisqu’il parcourt une lemniscate qui reste très proche de ce plan (voir fig. 3 en bas à droite, et fig. 4 près de l’axe des x). Ce diamètre n’est donc pas dans le plan de l’écliptique. Un dernier indice renforce notre restitution : Ibn al-Haytham semble être en désaccord avec une assertion du Šayḫ selon laquelle « le plan de l’épicycle ne peut à aucun moment du mouvement des cinq planètes être dans le plan de l’orbe excentrique 1 ». Ibn alHaytham avait donc posé que le plan de l’épicycle se superpose au plan de l’excentrique, aux nœuds, pour les planètes supérieures, même si cette intention n’était peut-être pas explicite dans le traité perdu 2. L’argument décisif dans la réponse d’Ibn al-Haytham concerne l’interprétation du passage de l’Almageste déjà cité : Les diamètres qui coupent à angles droits les diamètres apogées, et périgées, s’il s’agit des trois planètes que nous avons nommées les premières, demeurent constamment parallèles au plan de l’écliptique, où la variation est du moins insensible [...] 3

Ibn al-Haytham cite une traduction un peu différente : « quant aux diamètres des épicycles, perpendiculaires aux diamètres déjà cités, ils restent en permanence parallèles au plan de l’écliptique, pour les trois planètes », et « s’ils dévient, leur déviation serait d’une grandeur négligeable 4 ». Le mot « déviation » (inḥirāf que nous avons rendu plus haut par « obliquité ») est ici précisément le terme utilisé ailleurs dans le livre XIII pour désigner le mouvement du diamètre transverse causé par un dispositif ad hoc, pour Mercure et Vénus ; mais Ibn al-Haytham pense qu’il ne faut pas ici l’entendre en ce sens. Il faudrait l’entendre dans le sens plus général d’un simple « changement de position » qui serait seulement la conséquence des autres hypothèses. Pour conclure, il semble donc qu’Ibn al-Haytham tienne à garder pour (C, i, j) le plan de l’excentrique, et qu’il soit conscient de cette conséquence fâcheuse : le diamètre transverse n’est pas parallèle au

‎1. Voir infra p. 604, l. 15-26. ‎2. Comme on l’a vu ci-dessus, Ibn al-Haytham nie avoir écrit ceci, cf. supra première objection, p. 565 sq. et infra p. 600, l. 22-24. ‎3. Ptolémée, Composition mathématique, p. 372. ‎4. Voir infra p. 602, l. 19-24.

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

579

plan de l’écliptique quand le centre arrive aux nœuds. Il s’en accomode en songeant que ce « changement de position » du diamètre transverse est négligeable, et que Ptolémée avait déjà choisi de le négliger.

Le mouvement des planètes supérieures L’enquête précédente va nous permettre de greffer le modèle géométrique d’Ibn al-Haytham aux modèles des livres X, XI, XII de l’Almageste. Dans un premier temps, nous allons résumer le modèle géométrique de Ptolémée pour les longitudes des planètes supérieures, ainsi que son modèle numérique pour les latitudes, afin de définir toutes les notations utiles 1. Les paramètres numériques sont le rayon de l’excentrique R, l’excentricité e, le rayon de l’épicycle r, et les mou-

˙ ˙

˙

vements moyens λ, λa , λ☉ . L’équation du mouvement en longitude est q + p, avec :

 q = − arcsin

r

2e sin κ ρ



 ,

p = arcsin

r sin α Δ

 ,

q (2e sin κ)2 + ( R2 − (e sin κ)2 + e cos κ)2 , q Δ = (r sin α)2 + (ρ + r cos α)2 , ρ=

κ = κ(0) + tκ˙ , α = α − q,

˙

˙

κ˙ = λ − λa ,

α = λ☉ − λ.

Pour calculer la latitude β de la planète, on considère l’argument nodal de latitude λd défini par : λd = κ + q + λa − λ☊ , où λ☊ − λa = −140° pour Saturne, −70° pour Jupiter, et −90° pour Mars. On note i1 l’inclinaison de l’excentrique par rapport à l’écliptique, et i1 + i2 l’inclinaison maximale de l’épicycle par rapport à ‎1. Nous suivons à peu près les notations d’Olaf Pedersen, A survey of the Almagest (Odense Univ. Press, 1974) ; son analyse de la théorie des latitudes présente des défauts qu’il faut corriger en s’aidant de N. M. Swerdlow, « Ptolemy’s theories of the latitude of the planets in the Almagest, Handy Tables, and Planetary Hypotheses », dans Jed Z. Buchwald et Allan Franklin (éd.), Wrong for the right reasons (Springer, 2005).

580

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

l’excentrique. La méthode numérique de Ptolémée consiste en une interpolation. Si sin λd > 0, alors β ≃ β90 sin λd ; si sin λd ≤ 0, alors

β ≃ β270 |sin λd | .

Ici β90 et β270 sont les latitudes calculées en fonction de α comme si l’on avait λd = 90°, resp. 270° :

 β90 = arcsin

q

TK =

TK sin(i1 + γ) D

 ,

(ρ(κ90 ) + r cos(i1 + i2 ) cos α)2 + (r sin(i1 + i2 ) cos α)2

≃ ρ(κ90 ) + r cos(i1 + i2 ) cos α, où κ90 est la valeur de κ vérifiant κ + q(κ) + λa − λ☊ = 90°, et où :

 γ = arcsin

q D=

−r sin(i1 + i2 ) cos α TK

 ,

TK2 + (r sin α)2 .

Les mêmes formules s’appliquent pour κ270 et β270 , au signe près pour β270 :   TK sin(i1 + γ) β270 = − arcsin . D Pour greffer le modèle géométrique d’Ibn al-Haytham à la théorie de Ptolémée, il va falloir écrire les formules de changement de coordonnées et passer du référentiel (C, i, j, k) à un référentiel défini par le centre du monde (la Terre), le cercle de l’écliptique et le point vernal. Notons O le centre du monde, u la direction du solstice d’hiver par rapport au centre du monde, v la direction du point vernal, et w un vecteur unitaire orthogonal à l’écliptique. On obtient le trièdre (i, j, k) partir de (u, v, w) en appliquant la transformation vectorielle suivante : RRw,λ☊ (v),i1 ◦ Rw,λa +κ = Rw,λ☊ ◦ Rv,i1 ◦ Rw,κ+λa −λ☊ . La rotation Rw,λa +κ a pour effet de transformer la direction v du point vernal en la direction OC du vecteur j ; la seconde rotation a pour effet de transformer le plan de l’écliptique (u, v) en le plan de l’excentrique (i, j) qui est incliné d’un angle i1 autour de la direction des nœuds Rw,λ☊ (v).

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

581

Notons M la matrice de cette transformation dans la base (u, v, w). Ici κ = κ + q. Si (xC , yC , zC ) sont les coordonnées de C dans le repère (O, u, v, w), et si (x, y, z) sont les coordonnées de la planète dans le repère (C, i, j, k), ses coordonnées sphériques (D, β, λ) dans le référentiel de l’écliptique vérifient donc :       −D cos β sin λ xC x  D cos β cos λ  = yC  + M y . D sin β zC z

−→

−→

Mais si ρ = ∥OC∥, alors OC est précisément l’image de ρv par les mêmes rotations que ci-dessus :

−→

xC u + yC v + zC w = OC = Rw,λ☊ ◦ Rv,i1 ◦ Rw,κ+λa −λ☊ (ρv). Enfin, (x, y, z) se calcule au moyen des éléments décrits ci-dessus p. 576, en prenant ε = i1 + i2 . À noter toutefois que nous règlerons le mouvement de la « première sphère » et de la « seconde sphère » d’Ibn al-Haytham sur κ, et non sur le centre moyen κ, puisque Ptolémée écrit, au sujet des petits cercles : Leurs mouvements uniformes ne s’accomplissent pas autour de leurs propres centres, mais autour d’un centre qui donne à ces petits cercles la même équation que celle de longitude de l’astre rapportée à l’écliptique 1.

De même, il n’y a aucune raison de supposer que le mouvement de la sphère de l’épicycle soit un mouvement de rotation uniforme. On prendra donc α = α − q au lieu de α, pour obéir à Ptolémée qui impose de mesurer le mouvement de l’épicycle par rapport au « diamètre de l’apogée vrai » passant par le point équant 2. Finalement, xi + yj + zk = Rj,−κ−λa +λ☊ ◦ Rt,κ+λa −λ☊ ◦ Rk,α (rt), où les coordonnées du vecteur t dans la base (i, j, k) sont :

  − sin(i1 + i2 )  cos(i1 + i2 )  . 0

‎1. Ptolémée, Composition mathématique, p. 373. ‎2. La sixième réponse au Šayḫ confirmera qu’Ibn al-Haytham souhaitait aussi rendre compte de la théorie du point équant dans son traité perdu (cf. infra p. 618 – 620).

582

III. OPTIQUE ET

L’Almageste Ibn al-Haytham

2.5 2 1.5 latitude en degrés

1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 0

2

4

6

8

10

12

temps en années Fig. 6. Latitudes de Jupiter sur 12 ans.

À la fig. 6, nous comparons la latitude β de Jupiter calculée au moyen de ce modèle à celle calculée au moyen de la formule d’interpolation de l’Almageste rappelée ci-dessus, pour 0 < t < 12 ans. Comme la comparaison avec des positions observées importe peu, nous avons pris pour radices des mouvements moyens : λa (0) = 0,

λ(0) = 0,

λ☉ (0) = 0.

Pour simplifier, on suppose λa constant en négligeant précession et mouvement des apogées planétaires. Pour les autres paramètres, on suit Ptolémée :

˙

λ ≃ 30° par an, R = 60,

˙

λ☉ ≃ 360° par an,

r = 11, 5, ′

i1 = 1°30 ,

i2 = 1°,

e = 2, 75, λ☊ − λa = −70°.

ASTRONOMIE

Aux extrémités nord et sud de l’excentrique, l’ajustement entre les deux courbes est bon ; en revanche, on observe des écarts de l’ordre de 0°20 ′ près des nœuds.

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

583

Un modèle alternatif Un scénario alternatif, un peu plus élaboré et donc moins vraisemblable historiquement, nous permettra de réfléchir davantage aux possibilités conceptuelles qui s’ouvraient à l’astronomie du x e siècle. Les autres réponses au Šayḫ contribueront à rendre ce scénario un peu plus plausible. On a vu que le choix du plan de référence (C, i, j), confondu avec le plan de l’excentrique, dépendait essentiellement, au dire d’Ibn al-Haytham, de l’ordre d’exposition adopté par Ptolémée dans l’Almageste : le plan de l’épicycle était d’abord supposé confondu avec le plan de l’excentrique dans les livres X, XI, XII. Et si les données de l’observation – celles mêmes transmises par Ptolémée – nous obligeaient finalement, après vérification, à choisir un plan de référence parallèle au plan de l’écliptique ? Et si l’hypothèse contraire produisait un effet non « négligeable » sur le diamètre transverse, aux nœuds ? Car c’est précisément cela que nous révèle la fig. 6 ci-dessus. Est-il raisonnable de croire qu’Ibn al-Haytham eût pu trouver une solution à ce problème, dans son traité perdu ou ailleurs ? Bien sûr, si l’on décrète que le plan (C, i, j) est un plan parallèle à l’écliptique, il faut changer l’inclinaison maximale en conséquence. Si l’inclinaison de l’excentrique par rapport à l’écliptique vaut i1 , et que l’inclinaison maximale de l’épicycle par rapport à l’excentrique vaut i1 + i2 , alors l’inclinaison maximale de l’épicycle par rapport à l’écliptique vaut i2 . Dans les formules ci-dessus, il faut donc prendre ε = i2 au lieu de ε = i1 + i2 , et changer en conséquence les coordonnées du vecteur t en :   − sin i2  cos i2  . 0 D’autre part, la matrice de changement de base M sera ici simplement la matrice de la rotation Rw,λa +κ dans la base (u, v, w), puisque le plan (C, i, j) doit rester parallèle au plan (O, u, v). Le modèle obtenu après ces deux petites corrections semble presque plus simple que le modèle de la section précédente, mais ne nous laissons pas abuser par l’habillage algébrique. Ce nouveau modèle présente une difficulté qui aurait pu arrêter les astronomes du x e siècle. Le plan de référence (C, i, j) étant à présent parallèle au plan de l’écliptique, il ne contient plus le point O. La direction (C, j) ne passe donc plus par O, et ce n’est plus, à proprement parler, la di−→ rection de « l’apogée ». En fait, la direction OC n’est même plus une direction constante dans le référentiel (i, j, k), puisqu’elle est parfois dans le plan (i, j), à savoir, aux nœuds, et parfois non ! Si l’on ne peut

584

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

plus parler de diamètre de l’apogée, la description du modèle dans le langage de l’époque devient ardue 1. En tout cas, la courbe des latitudes calculées au moyen de ce modèle alternatif s’ajuste presque parfaitement à la courbe de l’Almageste (au point qu’à l’échelle de la fig. 6, on ne pourrait guère les distinguer). Ce modèle alternatif donne donc une excellente réalisation géométrique du modèle numérique de Ptolémée.

Troisième objection : Ptolémée mentionne le mouvement d’enroulement dans les Hypothèses planétaires Concernant les Hypothèses planétaires de Ptolémée, la position d’Ibn al-Haytham est tranchée. Selon lui : – Ptolémée n’y utilise pas le mouvement d’enroulement pour les latitudes ; – pour construire le mouvement d’enroulement avec des solides, il faut utiliser des sphères entières et l’on ne peut pas se contenter de troncs de sphères (les « prismes », manšūrāt, du livre II des Hypothèses planétaires). La troisième objection du Šayḫ concerne le premier point, mais nous n’en connaissons pas la teneur exacte ; Ibn al-Haytham mentionne seulement 2 de « longs propos à la fin desquels il a dit : “Cela est contraire aux principes posés dans l’Almageste” ». Ailleurs, nous verrons qu’Ibn al-Haytham lui aussi reproche à Ptolémée d’avoir commis des erreurs dans les Hypothèses ; mais dans sa réponse à la troisième objection, il préfère défendre Ptolémée contre le Šayḫ, et accuser le Šayḫ d’avoir pris Ptolémée à la lettre. Nous verrons qu’il existe en effet des occurrences explicites d’un « mouvement d’enroulement » (iltifāf ) dans le livre II arabe des Hypothèses de Ptolémée. Pourtant, au dire d’Ibn al-Haytham, la seule manière de comprendre ce que fait Ptolémée dans les Hypothèses est justement d’admettre qu’il y a renoncé au mouvement d’enroulement pour modéliser les latitudes planétaires. ‎1. Pourtant, à cet égard, les propos d’Ibn al-Haytham p. 616, l. 20-22, ajoutent vraisemblance à ce scénario alternatif. Là, il envisage en effet un cas où « le centre du petit cercle est en dehors de cette ligne », i. e. la ligne OC : il faudrait donc, au profit du scénario alternatif, rejeter notre premier scénario puisque l’axe de rotation de la première sphère y est toujours confondu avec la droite OC. Pourtant un troisième scénario reste envisageable : on pourrait décréter que la droite (C, j), axe de rotation de la première sphère, doit passer par le centre de l’excentrique, et non par le centre O de l’écliptique (voir à ce sujet la cinquième objection du Šayḫ)... En l’absence d’autre indice textuel, nous ne pouvons trancher. ‎2. Voir infra p. 606, l. 4-5.

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

585

Le texte des Hypothèses donne raison à Ibn al-Haytham : Ptolémée n’y utilise, pour chaque planète, que des mouvements de rotation autour d’axes orthogonaux à l’un des trois plans suivants : l’équateur, l’écliptique et l’excentrique. Le mouvement d’enroulement qu’Ibn al-Haytham a trouvé dans le livre XIII de l’Almageste implique au contraire un axe de rotation contenu dans le plan de l’excentrique, ou bien dans un plan parallèle à l’écliptique : l’axe (C, j). Le Šayḫ avait-il remarqué que Ptolémée formule néanmoins dans les Hypothèses une théorie produisant une oscillation du plan de l’épicycle par rapport au plan de l’excentrique ? La réponse d’Ibn alHaytham, au ton assez polémique, ne nous permet pas d’en savoir davantage. Cette réponse est surtout intéressante car elle montre les deux savants arabes aux prises avec les passages des Hypothèses où il est question des latitudes planétaires. Or la théorie qu’y décrit Ptolémée contient un orbe solide centré en le centre de l’épicycle et dont le plan orthogonal à l’axe reste constamment parallèle à l’écliptique 1. C’est là l’ingrédient essentiel à notre « modèle alternatif » ci-dessus. Il faut donc penser que ce modèle était à la portée d’Ibn al-Haytham.

Quatrième objection : possibilité de construire le mouvement d’enroulement au moyen de prismes Comme on l’a dit, Ibn al-Haytham aurait soutenu dans son traité perdu qu’il est impossible de construire le mouvement d’enroulement au moyen de prismes (manšūrāt) 2. Le Šayḫ aurait au contraire expliqué que cela est possible ; son objection est peut-être citée intégralement par Ibn al-Haytham, p. 606, l. 22-41. À cette occasion, le Šayḫ reprend les paroles mêmes de Ptolémée. Lisons en effet le début du livre II des Hypothèses planétaires, où Ptolémée introduit les prismes qu’il conçoit comme des troncs de sphères (qiṭʿa min kura) : L’autre manière, c’est de ne pas distinguer une sphère entière pour chacun des mouvements, mais d’établir seulement un tronc de sphère, en tronquant des deux côtés du grand cercle – l’un des plus grands parmi les cercles de cette sphère – duquel est le mouvement en longitude ; et ce que ce tronc occupe, des deux côtés, est de la

‎1. Voir notre commentaire du modèle des Hypothèses dans la section suivante : l’axe ḎḌ d’une des sphères de l’épicycle reste en permanence perpendiculaire au plan de l’écliptique. Cf. Swerdlow, « Ptolemy’s theories of the latitude », p. 65. ‎2. Il le dit explicitement infra, p. 612, l. 23-27.

586

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

grandeur de la latitude 1. De sorte que, s’il est dans un orbe d’épicycle, la forme de ce tronc est semblable à un tambour ; et s’il est dans les sphères creuses, il est semblable à une ceinture, à un bracelet ou à un peson de fuseau comme l’a dit Platon. Or le point de vue mathématique montre qu’il n’y a aucune différence entre ces deux manières que nous avons décrites 2.

Les raisons non mathématiques qui poussent Ptolémée à préférer cette « autre manière » semblent être les suivantes : – Les troncs de sphères constituent une économie considérable de matière à mouvoir : au contraire les sphères entières « prennent au sein de l’éther un grand espace 3 ». – Éviter l’utilisation de coquilles sphériques permet de regrouper certaines paires d’orbes animés tous deux d’un même mouvement mais séparés par une coquille sphérique (l’un étant situé à l’intérieur et l’autre à l’extérieur de la coquille). Ceci permet de réduire le nombre total de corps utilisés dans le modèle de l’univers, « l’excès en leur nombre 4 ». – Si l’on ne regroupe pas ainsi certaines paires d’orbes, le fait que deux corps ou deux composantes connexes d’un même corps soient animés exactement du même mouvement est une coïncidence inexplicable du point de vue d’une physique céleste qui associe à chaque corps son mouvement propre 5. – L’utilisation de sphères pose la question de la nature physique des pôles situés sur l’axe de rotation. Les pôles d’une sphère solide étant fixes dans la sphère qui la contient, ils permettent certes d’expliquer comment une sphère en entraîne une autre par contrainte ; mais ces pôles n’étant pas des points idéaux, ne risquent-il pas aussi d’entraver, voire d’empêcher, le mouvement de rotation ? En supposant l’axe de symétrie extérieur au solide (comme dans un « bracelet »), on évite cette question délicate. Ptolémée ne voulait pas

‎1. Cette dernière phrase serait citée presque textuellement par le Šayḫ, cf. infra p. 606, l. 36-39. ‎2. Voir le fac-similé, accompagné d’un apparat critique, publié par Bernard R. Goldstein, « The Arabic version of Ptolemy’s Planetary hypotheses », Transactions of the American Philosophical Society, Philadelphia, 1967, 57 (4) : 1-55, en particulier p. 37, l. 11-17. ‎3. Voir infra, p. 628, l. 28, où Ibn al-Haytham rappelle lui-même les raisons formulées dans les Hypothèses planétaires. ‎4. Voir infra, p. 628, l. 27. ‎5. Ce point et le suivant sont peut-être confondus dans la formulation rapide qu’en donne Ibn al-Haytham quand il dit, infra, p. 628, l. 30-33 : « Ptolémée a considéré que le besoin d’un grand vide pour ces sphères et le fait qu’elles s’entraînent mutuellement forment un argument contre ce mouvement.»

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

587

concevoir l’entraînement mutuel des orbes comme un mouvement par contrainte. Ibn al-Haytham avait certainement conscience de ces raisons, mais l’impossibilité mathématique l’emporte ici : l’usage de prismes n’est pas compatible avec la géométrie du mouvement d’enroulement. Pour comprendre cela, il faut comprendre quelles sont les troncatures autorisées par Ptolémée. L’entraînement mutuel des orbes se fait par attachement de chaque orbe en son « lieu » (makān) au sein de l’orbe qui le contient. Soit un orbe A contenant un orbe B. Si l’orbe B est animé d’un mouvement propre par rapport à l’orbe A qui le contient, il ne peut donc s’agir que d’un mouvement de rotation par rapport à un axe de symétrie de l’orbe B. Sinon, comme le dit Ibn al-Haytham, l’orbe B « sortirait de son lieu pour en remplir un autre » et il aurait besoin « d’un lieu plus grand que son lieu ». Ptolémée peut évider les sphères pleines et en faire des coquilles sphériques creuses ; il peut aussi leur soustraire deux calottes dont les bases sont perpendiculaires à l’axe de rotation. Or revenons à la figure 2 décrivant les trois solides utilisés pour le mouvement d’enroulement ; j, t et k sont leurs axes de rotation. Notre dessin représente des coquilles sphériques pour la première et la seconde sphère, et une sphère pleine pour la sphère de l’épicycle. La sphère de l’épicycle ayant pour axe de rotation le vecteur k, on peut éventuellement lui soustraire deux calottes sphériques et en faire un « tambourin » dont les deux bases sont perpendiculaires à k. Ce tambourin restera attaché en son lieu au sein de la seconde sphère, et il contiendra bien sûr la droite (C, t), puisque cette droite indique le « diamètre de l’apogée », et que la planète elle-même, portée par le tambourin, doit pouvoir atteindre ce diamètre à chaque tour. Le corps de la « seconde sphère » doit être suffisamment vaste pour contenir ce tambourin : si l’on veut soustraire une calotte de la coquille sphérique représentant la seconde sphère sur la fig. 2, il faut donc prendre une calotte dont la base soit perpendiculaire à t, direction de l’axe de rotation, tout en conservant le segment de la droite (C, t), diamètre de l’apogée, contenu dans le tambourin ! La hauteur de la calotte soustraite doit donc être inférieure à l’épaisseur de la coquille sphérique. Pour économiser de la matière, autant réduire l’épaisseur des coquilles sphériques... À la limite, l’économie des calottes sera nulle. Le Šayḫ objecte que Ptolémée lui-même, dans les Hypothèses, parvient à soustraire des calottes à deux corps sphériques centrés en C pour chaque planète. Ibn al-Haytham répond que Ptolémée n’a pas disposé ces deux corps sphériques pour produire le mouvement d’enroulement dans les Hypothèses ; en effet, le mouvement d’enroulement utilise au moins trois corps. D’ailleurs, Ibn al-Haytham mettra le

588

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Šayḫ au défi de construire le mouvement d’enroulement avec deux corps seulement 1. Le rôle de la seconde sphère est en effet essentiel pour éviter que l’épicycle ne « bascule ». Si l’on omet la seconde sphère, [...] l’épicycle bascule en conséquence : sa face nord devient face sud et sa face sud devient face nord, son côté est passe à l’ouest et son côté ouest passe à l’est 2.

Ibn al-Haytham ne se contente pas de répondre à cette quatrième objection. Il veut montrer que Ptolémée a commis « une erreur grave » dans les Hypothèses planétaires, une erreur qu’il n’avait pas relevée dans son traité perdu 3. Selon Ibn al-Haytham, le modèle des planètes supérieures dans les Hypothèses ne rend certes pas compte du mouvement d’enroulement décrit dans l’Almageste, mais pire encore, ce modèle est erroné. Pour comprendre, il faut étudier le livre II des Hypothèses ; nous donnons la traduction du passage concernant les orbes de Saturne dans l’appendice 1. Nous renvoyons à la figure 7 p. 640 pour les noms des points utilisés ci-dessous. Supposons que l’arrangement décrit par Ptolémée et représenté sur cette figure corresponde à la position des orbes quand Saturne est à l’apogée de son épicycle, quand le centre de l’épicycle est à l’apogée de l’excentrique, et quand l’apogée est en direction du point vernal. Attention, on a ḤḌ // AC, et ḤC ′ // ZŠ, mais les droites AC, AZ et ZŠ ne sont pas coplanaires, contrairement à ce que pourrait laisser croire la figure si on l’interprète abusivement comme une figure plane, section des corps solides par un plan perpendiculaire à l’écliptique 4. On obtiendra la position de Saturne à un instant ultérieur en appliquant au point L une composée de rotations affines. En première lecture, on est tenté d’interpréter les indications de Ptolémée par la composée de rotations suivante : → → R− ◦ R− AC, λ a

ZŠ , κ

◦ R−−→′

Ḥ C ,− κ

− → (L). ◦ R− Ḥ Ḍ, α

κ Mais il faut corriger κ en κ − arcsin e sin . En effet, à cause du point R équant, le mouvement rotatoire de l’excentrique n’est pas supposé uniforme par rapport au centre de l’excentrique. Ptolémée le rappelle en ces termes :

‎1. Voir infra p. 632, l. 10-22. ‎2. Voir infra, p. 610, l. 28-31. ‎3. Voir infra, p. 612, l. 28-32. ‎4. Les trois droites serait coplanaires si l’on avait λ☊ − λa = −90° ; mais pour Saturne, λ☊ − λa = −140°.

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

589

Les sphères et les prismes analogues au corps NO ont toujours pour centre le point Z, mais ce n’est pas par rapport à lui que s’accomplissent l’uniformité du mouvement et la neusis de l’orbe de l’épicycle : comme nous l’avons dit et démontré au sujet des orbes, plutôt par rapport à un point de AḤ dont la distance à A est de la distance à Z 1.

Enfin, pour comprendre comment corriger α, censé mesurer le mouvement de l’épicycle par rapport au diamètre de l’apogée vrai, il faut comprendre ce qu’est le diamètre de l’apogée dans notre système de sphères solides. Il s’agit du diamètre ḤL de la coquille sphérique B ′ Ḏ contenant la sphère de l’épicycle ḎLḌ. Dans la disposition représentée sur la figure, apogée vrai, apogée moyen et apogée apparent sont bien sûr confondus puisqu’on a supposé le centre de l’épicycle situé à l’apogée de l’excentrique ; mais quelle est l’image de ḤL par les rotations mouvant la coquille sphérique B ′ Ḏ ? La direction de ce diamètre devient à peu près (on omet la correction de κ) : → → R− ◦ R− AC, λ a

− →

ZŠ, κ

◦ R−−→′

Ḥ C ,− κ

−−→ −−→ → ḤL = R− ḤL , AC, λa

−−→

car ZŠ = ḤC ′ . Par rapport au centre du monde, il pointera donc toujours vers l’apogée de l’excentrique. Il n’indiquera donc l’apogée de l’épicycle que lorsque le centre de l’épicycle est à l’apogée de l’excentrique. C’est ce qu’explique Ibn al-Haytham en disant que « l’apogée de l’épicycle devient tantôt le périgée et tantôt la position moyenne 2 ». Pour avoir un modèle qui produise des effets en longitude à peu près équivalents à celui de l’Almageste, il faut donc corriger drastiquement α d’une grandeur à peu près égale à κ ; il faudrait par exemple adopter la composée de rotations suivantes : → → R− ◦ R− AC, λ a

ZŠ , κ−arcsin

e sin κ R

◦ R−−→′

Ḥ C ,− κ+arcsin

e sin κ R

− → ◦ R− (L). Ḥ Ḍ, κ + α

Cette correction n’est guère évidente, et elle n’est pas mentionnée dans le livre II des Hypothèses. Certes Ptolémée ne s’y attachait guère à donner une description mathématique précise du mouvement en termes de transformations géométriques (contrairement à ‎1. Cf. Bernard R. Goldstein, « The Arabic version », p. 47, l. 18-23. On voit que les deux sources arabes utilisées par Goldstein sont vraisemblablement corrompues : l’omission du mot « double » laisse croire que le point équant est le milieu entre le centre du monde et le centre de l’excentrique, contrairement à ce qu’enseigne l’Almageste. Nous avons traduit l’arabe mayl par le grec neusis pour désigner ici l’oscillation du diamètre de l’apogée vrai due au point équant. ‎2. Cf. infra, p. 610, l. 10-15.

590

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Ibn al-Haytham) : pour lui, il s’agissait surtout, semble-t-il, d’ordonner un système de corps présentant suffisamment de degrés de liberté pour permettre les mouvements célestes. C’est cette omission, aggravant celle du mouvement d’enroulement, qu’Ibn al-Haytham a qualifiée d’« erreur ».

Cinquième objection : le diamètre oscillant peut-il rester aligné avec le centre du monde ? Au début du chapitre XIII.2 de l’Almageste, Ptolémée écrit : Les diamètres des apogées apparents des épicycles qui, à certain point de départ, étaient dans le plan de l’excentrique, sont transportés par de petits cercles fixés, pour ainsi dire, à leurs extrémités périgées 1.

Le Šayḫ y voit une contradiction avec les propos d’Ibn alHaytham que celui-ci reprend dans sa réponse 2. D’après le Šayḫ, Ibn al-Haytham semblerait en effet avoir aligné le centre du petit cercle avec le centre de l’épicycle et le centre de l’excentrique. Le centre du petit cercle serait alors situé sur le diamètre de l’« apogée moyen », et non sur le diamètre de l’« apogée apparent » qui passe par le centre de l’écliptique. Mais il est difficile de savoir vraiment à qui attribuer chacun des propos rapportés dans ce paragraphe : certes Ibn al-Haytham ne renie pas les citations que semble lui avoir attribuées le Šayḫ, mais celui-ci n’aurait-il pas poussé un peu certains traits pour mieux le critiquer ? Nous nous garderons donc d’en tirer des conclusions hâtives. D’après la restitution que nous avons faite du modèle d’Ibn alHaytham dans la section supra consacrée au mouvement des planètes supérieures, le vecteur j indique toujours la direction OC de l’apogée apparent ; dans notre modèle « alternatif », la composante de j projetée dans le plan de l’écliptique indique aussi toujours la direction de l’apogée apparent. Pour construire un modèle où j indique la direction de l’apogée moyen, il faudrait faire intervenir des rotations dont l’axe passe par le centre de l’excentrique : on pourrait le faire, à condition de corriger en conséquence le mouvement du κ centre, κ = κ + q, en κ − arcsin e sin , comme nous l’avons fait dans la R section précédente pour expliquer le mouvements des orbes solides dans les Hypothèses planétaires. ‎1. Ptolémée, Composition mathématique, p. 371. En italiques, nous avons corrigé la traduction de Halma : il rend αἱ τῶν φαινομένων ἀπογείων διάμετροι par « les diamètres apogées » en omettant le mot « apparents » qui nous importe tant ici. ‎2. Cf. p. 612, l. 33 – 614, l. 4 infra.

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

591

À partir du moment où l’on souhaite interpréter les modèles de l’Almageste en termes de rotations affines, il serait certes assez naturel de procéder ainsi, et il est bien possible que ce fût là l’intention d’Ibn al-Haytham, mais nous nous abstiendrons de compliquer davantage nos deux scénarios en y faisant intervenir le centre de l’excentrique. Le Šayḫ va plus loin encore, en attribuant aussi l’intention suivante aux paroles de Ptolémée rapportées ci-dessus : il faudrait que les transformés successifs du diamètre (C, t) de l’épicycle, dans le mouvement engendré par le petit cercle, restent constamment dans la direction de l’apogée apparent ! Ibn al-Haytham va s’attacher à réfuter cette prétention par une démonstration apodictique. Le caractère universel de l’énoncé nous rappelle le style dont témoignent les autres ouvrages du grand savant : Toute droite qui possède un point fixe et qui se déplace d’un mouvement circulaire continu ne reste, durant le temps de son mouvement, dirigée vers aucun autre point fixe que son propre point fixe 1.

Le lecteur moderne notera vite l’ambiguïté : il n’est ici question d’aucun référentiel, mais le contexte même laisse penser que la première occurrence du mot « fixe » ne renvoie pas au même référentiel que la seconde. Ne nous y trompons pas, Ibn al-Haytham ajoute : « C’est une proposition universelle que je montre pour le diamètre de l’épicycle.» Gardons à l’esprit ce cas particulier, si l’on veut comprendre la démonstration d’Ibn al-Haytham. Il s’agit de démontrer que les transformés successifs de la droite (C, t) ne peuvent pas constamment passer par le centre de l’écliptique. Pour le démontrer, Ibn al-Haytham conçoit la ligne composée (ḫaṭṭ murakkab) décrite par l’intersection de cette droite mobile et du plan de l’écliptique. Montrons que cette courbe ne se réduit pas à un unique point situé au centre de l’écliptique. Les transformés successifs de la droite (C, t) ne sont qu’exceptionnellement dans le plan de l’excentrique, puisque ce diamètre de l’épicycle « oscille autour du plan de l’orbe excentrique » ; donc leur intersection avec le plan de l’écliptique ne sera qu’exceptionnellement sur la droite des nœuds. Ainsi la courbe décrite ne peut pas se réduire à un unique point. Ibn al-Haytham conclut la réponse à cette cinquième objection en citant le chapitre XIII.1 de l’Almageste :

‎1. Cf. p. 614, l. 35-39, infra.

592

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Nous supposons des épicycles relatives à leurs diamètres dirigés vers le centre de l’écliptique et sur lesquels on observe les apogées et périgées apparents 1.

Ibn al-Haytham cite deux traductions arabes de l’Almageste où le mot πρός, « relatives à », est traduit tantôt par bi-ḥasab, tantôt par ʿalā. Il comprend que ces inclinaisons sont « rapportées », bi-al-qiyās, à ces diamètres : les diamètres inclinés eux-mêmes ne passent bien sûr pas, quant à eux, par le centre de l’écliptique.

Sixième objection : neusis et point équant La section suivante du texte d’Ibn al-Haytham (p. 618, l. 29 – p. 622, l. 8) aborde un autre sujet : la question de la neusis du diamètre de l’apogée vrai en direction du point équant. Il semble donc qu’il s’agisse de la réponse à une sixième objection, mais Ibn al-Haytham ne rapporte pas ici les paroles du Šayḫ. Il décrit en détail comment il a construit, dans son traité perdu, un modèle produisant la neusis du diamètre de l’apogée vrai en direction du point équant, au moyen du mouvement d’enroulement. Pour suivre ses explications, il faut bien distinguer centre du monde, centre du déférent excentrique et point équant 2. Les diamètres de l’épicycle passant par ces trois points s’appellent respectivement apogée apparent, apogée moyen et apogée vrai. On dirait aujourd’hui qu’Ibn al-Haytham souhaite décrire le mouvement d’un cercle matériel, appelé cercle de l’épicycle et portant l’apogée vrai, dans le référentiel attaché au déférent excentrique. Négligeons les inclinaisons produisant les mouvements en latitude. Pour commencer, on supposera donc le cercle de l’épicycle attaché dans le plan de l’orbe excentrique et entraîné par le mouvement de rotation de celui-ci autour de son axe, en même temps que le centre de l’épicycle. La direction de l’apogée moyen, définie par la droite joignant centre du déférent et centre de l’épicycle, subira donc le même mouvement de rotation. Il est clair qu’aucun diamètre matériel du cercle de l’épicycle ne pourra alors rester constamment aligné avec le point équant. Or Ptolémée impose au diamètre de l’apogée vrai d’être constamment aligné avec le point équant. Il faut donc changer notre ‎1. Cf. Ptolémée, Composition mathématique, p. 368, mais nous n’avons pas suivi ici la traduction de Halma qui s’éloigne un peu du texte grec. ‎2. Dans le texte, le point équant est appelé centre de l’orbe équant (al-falak almuʿaddil al-masīr).

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

593

hypothèse, et autoriser le cercle de l’épicycle et ses diamètres à se mouvoir au sein de l’orbe excentrique. Pour cela, Ibn al-Haytham introduit deux sphères comme il l’a fait pour les latitudes (voir fig. 2) ; maintenant l’axe (C, j) de la première sphère est le diamètre de l’apogée moyen, fixe au sein de l’orbe excentrique, et l’axe de la seconde sphère sera animé d’un mouvement d’oscillation autour du diamètre de l’apogée moyen ; à condition de bien régler l’amplitude des oscillations dictée par l’angle ε = (j, t), cet axe reproduira assez bien l’oscillation causée par la neusis de l’apogée vrai. Le cercle de l’épicycle, le long duquel se déplace la planète, peut donc à présent être attaché à la seconde sphère : le mouvement de la planète se rapportera à l’apogée vrai, approximativement. Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī s’est peut-être inspiré de cette idée puisqu’il a lui aussi décidé d’expliquer un mouvement de neusis (celui du point de prosneuse dans le troisième modèle de la Lune de l’Almageste) au moyen du même dispositif que pour les latitudes des cinq planètes 1. Les propos d’Ibn al-Haytham illustrent clairement une méthode scientifique à double visage : la mesure du phénomène sensible (ici l’inclinaison sensible par rapport au diamètre de l’apogée apparent, al-mayl al-maḥsūs), et la recherche de sa cause (ʿilla) dans une composition de mouvements simples et continus (basīṭa wa-muttaṣila 2). La « simplicité » du mouvement suppose qu’il engendre une ligne simple (ici un cercle) ; sa « continuité » suppose qu’il ne s’interrompe pas – le mouvement de rotation doit parcourir un cercle complet, et non seulement un petit arc en va-et-vient. C’est probablement ainsi qu’il faut comprendre ces deux termes, et Ibn al-Haytham ne semble pas postuler ici l’uniformité en vitesse des mouvements élémentaires, contrairement à ses lointains successeurs Naṣīr al-Dīn et Ibn al-Šāṭir.

Septième objection : définition du mouvement d’enroulement La septième objection du Šayḫ fait allusion au passage suivant du Livre des Hypothèses : Quant à ceux qui ont pris pour point de départ de leur raisonnement les mouvements sphériques que l’on a ici-bas, ceux-là avaient raisonné en physiciens en posant des sphères entières ; car ils ont vu, dans les sphères que l’on fait ici-bas, qu’il y a dans les mouvements sphériques deux points qui retiennent la sphère par contrainte, et ce sont ceux qu’on appelle ‎1. Voir Ragep, Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī’s Memoir, II.11 [12] et [13], p. 208-211. ‎2. Voir p. 620, l. 23-36, infra.

594

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

les deux pôles. Imaginer ceci pour les positions des prismes est difficile ; mais c’est facile avec des sphères entières ; donc ils se sont appuyés, comme l’a aussi fait Aristote, sur l’affirmation que les pôles des sphères contenues sont fixés sur les sphères contenantes. Ensuite, puisqu’il ne restait plus aucune contiguïté entre les sphères intérieures et la première sphère extérieure, et que le mouvement de toutes les sphères n’était pas égal en vitesse mais qu’il était variable en diverses différences, alors ils ont été contraints de chercher à savoir de quelle manière chacun des astres se meut selon le premier mouvement [mouvement diurne], comme on le voit et comme cela nous apparaît, étant donné que les sphères situées entre nous et entre elle [la première sphère] diffèrent en position et en mouvement ; et pour cela, Aristote a utilisé les mouvements qui sont semblables à l’enroulement 1

Il n’est pas évident que les deux savants arabes aient lu, dans l’exposé de la doctrine d’Eudoxe résumée au livre Λ de la Métaphysique d’Aristote, précisément ce que les historiens modernes ont su y voir. La description du modèle du Soleil d’Aristote par Ibn al-Haytham (infra, p. 624, l. 16-27) permet d’en douter puisqu’elle mentionne deux sphères seulement là où Aristote en donne trois (voire cinq, suivant Callippe). Aristote nous dit en effet : Eudoxe plaçait donc, d’une part, le transport du Soleil et de la Lune dans trois sphères pour chacun : la première était celle des étoiles fixes, la deuxième suivait le cercle qui passe par le milieu du Zodiaque, et la troisième suivait le cercle oblique dans la largeur du Zodiaque (mais le cercle sur lequel la Lune est transportée est oblique selon un plus grand angle que celui que suit le Soleil) 2.

‎1. Voici le texte arabe, établi à partir du fac-similé et de l’apparat critique publiés par Goldstein, op. cit. dans la note 2 p. 586 supra, p. 37 l. 20 – p. 38 l. 3 :

‫اّمأو نيذلا اولعج ءادتبا مهسايق نم تاكرحلا ةّيركلا يتلا نوكت اندنع مهّنإف دق اوساق ًاسايق ًاّيعيبط يف عضو‬

‫ةّماتلا كلذو مهّنأ اواز ًاواز اميف رهظي اندنع نم ركألا ّنأ تاكرحلا ةّيركلا نوكت اهيف ناتطقن ناكِسمُت‬، ‫ركألا‬ ‫رسع اّمأو يف ركألا ةّماتلا‬. ‫ةركلا ًارارطضا امهو ناتللا نايمسُي ؛نيبطق مّهوتو كلذ يف عضولا يذلا تاروشنملل‬

‫لهسيف اونكرف ىلإ لوقلا كلذب امك لعف سيلاطاطسرأ ًاضيأ ىّتح نوكي باطقأ ركألا يتلا طاحت اهب ةتباث ىلع‬. ‫ىلوألا ملو نكت ةكرح‬، ‫ركألا ةطيحملا ّمث اّمل مل قبي ءيش نم لاصّتالا نيب ركألا ةلخادلا نيبو ةركلا ةجراخلا‬

‫ركألا اهّلك ةيواستم ةعرسلا نكل ةفلتخم تافالتخا ىّتش اورطضا ىلإ بلط ةفرعم هجولا يذلا هب كّرحتي ّلك‬ ‫دحاو نم بكاوكلا ةكرحلاب ىلوألا امك هارن رهظيو انل ذإ تناك ركألا يتلا اميف اننيب اهنيبو ةفلتخم يف اهعضو‬

‫فافتلالاب‬. ‫يفو اهتكرح كلذلو لمعتسا سيلاطاطسرا تاكرحلا يتلا نوكت ًاهيبش‬

‎2. Aristote, Métaphysique : Livre lambda, prés. et trad. Fabienne Baghdassarian (Paris : Vrin, 2019), ch. 8, 1073b, p. 72.

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

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En tout cas, le Šayḫ peine à voir la différence entre les propos d’Aristote, ceux de Ptolémée, et ceux d’Ibn al-Haytham ; et ce dernier lui explique que les trois savants ont tous fait allusion, sous ce vocable d’« enroulement », à une même « espèce » (nawʿ ) de mouvement, mais pas au même mouvement. Au dire d’Ibn al-Haytham, le Šayḫ fait bien de décrire le mouvement d’enroulement comme étant « des mouvements de sphères contenues les unes dans les autres, tels que la sphère externe entraîne la sphère interne si les deux axes sont distincts, alors que la sphère interne se meut d’un mouvement qui lui est propre ». Il pourrait donc s’agir là d’une définition générale du mouvement d’enroulement, définition qu’il faudrait sûrement préciser en affirmant que les deux sphères doivent être concentriques. Confrontons à présent cette définition à ce que l’on rencontre chez Aristote et Ptolémée. Aristote n’aurait utilisé ce mouvement que pour des orbes géocentriques : Ibn al-Haytham explique à titre d’exemple un modèle simple pour le Soleil, combinant le mouvement diurne (orbe du premier moteur) au mouvement du Soleil le long de l’écliptique. Le Ptolémée de l’Almageste aurait eu recours au mouvement d’enroulement pour les latitudes des planètes, mais sans l’expliquer, comme on l’a vu. Enfin, nous avons déjà commenté le point de vue d’Ibn al-Haytham concernant la théorie des latitudes des Hypothèses planétaires : elle est différente de celle de l’Almageste, Ptolémée n’y explique pas davantage le modèle géométrique de l’Almageste, et il y aurait même commis une erreur. Si le Ptolémée des Hypothèses cite l’usage par Aristote du mouvement d’enroulement pour des orbes géocentriques, c’est d’ailleurs pour le rejeter. Il y a certes des orbes géocentriques d’axes distincts dans les Hypothèses : par exemple l’orbe des étoiles fixes animé du mouvement de précession autour d’un axe perpendiculaire à l’écliptique, et entraîné par le premier moteur qui est un orbe animé du mouvement diurne autour d’un axe perpendiculaire à l’équateur. Or Ptolémée dit ici : L’affirmation que des sphères tournent et s’enroulent les unes sur les autres est une étape dont nous n’avons pas besoin 1

C’est peut-être ce qui fait dire à Ibn al-Haytham que ce mouvement d’enroulement (pour des orbes géocentriques) « n’est pas utilisé par les mathématiciens, car ils n’en ont pas besoin ». Puisque les

‎1. Cf. fac-similé Goldstein, p. 43, l. 13-14 :

[...] ‫اّمأف ّنأ لوقلا ّنأب اًركأ فيطت ّفتلتو اهضعب ىلع ٍضعب لصف ال جاتحن هيلإ‬

596

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

mouvements planétaires sont en général décrits dans un référentiel attaché au « premier moteur », le mouvement diurne n’apparaîtra pas dans la description géométrique du modèle. Il n’apparaîtrait que si l’on adoptait un référentiel attaché à l’observateur 1. Quant aux autres irrégularités des mouvements planétaires, l’astronomie ptoléméenne les représente plutôt au moyen d’une combinaison d’excentriques et d’épicycles, non homocentriques. Quoiqu’en dise Ibn al-Haytham, le refus par Ptolémée d’utiliser le mouvement d’enroulement, ne serait-ce que pour les sphères géocentriques, était peut-être aussi dicté par un argument de philosophie de la nature : il ne serait pas convenable que la perfection d’un corps céleste fût soumise à la contrainte de deux pôles fixes. En effet le discours de Ptolémée semble mêler étroitement le concept d’« enroulement » aux modèles conçus au moyen de sphères solides. Or selon Ptolémée : [...] il ne convient pas que nous attribuions aux corps éthérés les choses que nous sommes obligés de poser dans les corps d’ici-bas. 2

Mais Ibn al-Haytham ne semble pas recourir à un tel argument, car il n’en dit rien.

Huitième objection La huitième objection était peut-être une vraie question : le Šayḫ voudrait qu’on lui explique, pour une planète donnée, le mouvement des sphères géocentriques dans les modèles des Hypothèses compris sous l’hypothèse que les sphères s’entraînent de la manière attribuée à Aristote, c’est-à-dire comme des sphères entières, par le truchement de pôles. C’est en tout cas ainsi qu’Ibn al-Haytham semble comprendre la demande du Šayḫ. Il s’agit donc d’expliquer le mouvement des coquilles sphériques BN et NO représentées sur la fig. 7 p. 640 ci-dessous, bien que ces deux solides ne soient pas concentriques ; en général, leurs axes de rotation AC et ZŠ ne sont même pas des droites concourantes. Ibn al-Haytham affirme que, sauf en ce qui concerne cette différence ‎1. D’ailleurs, Ibn al-Haytham adoptera un référentiel attaché à l’observateur dans un autre ouvrage, la Configuration des mouvements, cf. op. cit. dans la note 3 p. 560, supra ; ainsi, on pourrait presque voir en cet ouvrage une suite logique de ces recherches sur le « mouvement d’enroulement ». ‎2. Cf. fac-similé Goldstein, p. 38, l. 3-4 :

‫ماسجألا‬. ‫سيل ىغبني انل نأ بسنن ىلإ مسجلا يريثألا ءايشألا يتّلا ّرطضن ىلإ اهعضو اميف اندنع نم‬

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

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des centres, ce mouvement est bien « comme le mouvement par les sphères » exposé dans son traité perdu, soulignant ainsi l’unité de la méthode mathématique face à la diversité des cas offerts par la géométrie des modèles. Hélas, il esquive aussitôt la question du Šayḫ sous le prétexte que Ptolémée a critiqué, dans ce cas précis, l’usage de sphères entières avec leurs pôles pour les raisons physiques que nous avons rappelées ci-dessus p. 586 sq. Quand les « mathématiciens » (aṣḥāb al-taʿlīm) imaginent plusieurs configurations ou modèles (hayʾa) pour un même mouvement, Ibn alHaytham conçoit en effet que l’une puisse être rejetée au profit de l’autre à cause d’incohérences ou d’impossibilités de nature physique. Mais la prudence du savant ne doit pas masquer ici l’essentiel. Ibn al-Haytham semble hésiter à concevoir un cosmos tout en sphères entières solides ; néanmoins, quand il est poussé par l’analyse mathématique du modèle géométrique de Ptolémée pour les latitudes, on le voit recourir librement à de telles sphères et affirmer que son modèle ne peut pas être construit avec seulement des prismes. Le texte s’achève d’ailleurs sur le défi lancé au Šayḫ de trouver un modèle équivalent avec seulement deux prismes, là où Ibn al-Haytham utilise trois corps dont deux au moins sont sphériques. Ce qui importe aux yeux du mathématicien est donc surtout d’avoir un modèle géométrique bien défini, avec des référentiels solides au sein desquels il puisse analyser la trace engendrée par le mouvement d’un point matériel. La « ligne composée » décrite en réponse à la cinquième objection, et la ligne qui « s’enroule autour du corps d’une sphère » représentée fig. 5, sont deux exemples de telles courbes. Les référentiels solides ne sont pas les seuls invariants du mouvement : nous avons vu qu’Ibn al-Haytham envisageait l’étude générale « de points fixes » sur des droites mobiles, au sujet du cas particulier traité dans la réponse à la cinquième objection. Enfin, à défaut d’une analyse numérique des trajectoires, peut-être encore trop lointaine, la perspective d’une analyse en termes de connus, comme on en trouvera dans d’autres ouvrages du savant, pouvait motiver ces évolutions conceptuelles.

ÉDITION ET TRADUCTION La résolution des doutes sur le mouvement d’enroulement par Ibn al-Haytham

5

Au nom de Dieu clément et miséricordieux Que Dieu facilite et achève par le bien Traité d’al-Ḥasan ibn al-Ḥasan ibn al-Haytham sur la résolution des doutes sur le mouvement d’enroulement

10

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25

J’ai pris connaissance des doutes de Monseigneur le Šayḫ, que Dieu lui prête longue vie, et j’y ai réfléchi ; alors j’ai constaté, tout d’abord, d’après la teneur de ses propos sur ceux-ci, qu’il a utilisé trois notions qui l’ont troublé et qui l’ont dévié de la lumière de la vérité vers l’obscurité du doute. La première de ces notions est qu’il a pris les paroles de Ptolémée de façon apparente sans les interpréter ni les méditer, mais il s’est trompé à propos de Ptolémée ; car si l’on prenait toutes les paroles de Ptolémée dans leur apparence sans les interpréter ne serait-ce que quelques-unes, la majeure partie de l’Almageste serait fausse. La preuve de l’exactitude de cette affirmation est que Ptolémée utilise dans la plupart des notions développées dans l’Almageste la concision plutôt que l’explication et l’approximation plutôt que l’exactitude. Toute parole ainsi caractérisée et prise dans son apparence donne des résultats non voulus par cet homme. La deuxième de ces trois notions est que s’il imagine une des notions dont la vérité est douteuse sans qu’elle soit impossible, s’il m’interroge à son propos et s’il veut que ma réponse rectifie ce qu’il a imaginé, alors cela n’est pas obligatoire, car si tout ce que l’homme imagine était vrai il n’y aurait pas d’opinion dans le monde qui soit un péché. Or Dieu, qu’il soit loué et exalté, a dit que certaines opinions sont des péchés.

‫لح< كوكش ةكرح >فافتلالا‬ ‫ظ‪-١-‬ل‬ ‫ظ‪-١١٨-‬ب‬

‫نبال< >مثيهلا‬

‫‪/‬‬

‫ةلاقم‬

‫بر رسي ممتو ريخلاب‬

‫‪1‬‬

‫‪ 2‬نسحلل نب نسحلا نب مثيهلا‬

‫لح كوكش‬

‫يف‬ ‫ةكرح فافتلالا‬

‫تفقو ىلع كوكش يالوم خيشلا لاطأ هّٰللا هءاقب ‪ 3‬اهتلّمأتو نيبتف يل اًلّوأ نم فيعاضت‬

‫همالك اهيف هّنأ دق لمعتسا ةثالث ناعم يه يتلا هتككش تلدعو هب نع ةءاضإ ّقحلا ىلإ ةملظ‬

‫‪.‬كيكشتلا‬

‫لّوأو هذه يناعملا هّنأ ذخأ مالك سويملطب ىلع هرهاظ نم ريغ لّوأت هيف الو لّمأت ‪،‬هل اذهو‬

‫طلغ ىلع سويملطب هّنأل ول ذخأ عيمج مالك سويملطب ىلع هرهاظ نم ريغ لّوأت هيف الو يف ‪ 4‬ءيش‬ ‫هنم لطبَل رثكأ يطسجملا ‪ .‬ليلدلاو ىلع ةّحص اذه لوقلا هّنأ لمعتسي يف رثكأ يناعملا يتلا اهركذ يف‬

‫يطسجملا راصتقالا نود حرشلا بيرقتلاو نود ‪.‬قيقحتلا امو هذه هتفص نم مالكلا اذإ ذخأ ىلع‬ ‫هرهاظ تناك هجئاتن ريغ ام دصق هل لجرلا ‪.5‬‬

‫يناثلاو نم هذه ‪ 6‬يناعملا ةثالثلا وه هّنأ اذإ لّيخت ىنعم نم يناعملا كّكشتملا ‪ 7‬يف هتّحص ملو‬

‫زجت ‪ 8‬هيف ‪،‬ةلاحتسالا اذإف ينلأس هنع ديريف ‪ 9‬نأ نوكي يباوج اًحّحصم ‪ 10‬امل ‪،‬هليخت اذهف ريغ بجاولا‬ ‫هّنأل ول ناك ّلك ام هليختي ناسنإلا اًّقح امَل ناك يف ملاعلا نظ وه ‪.‬اًمثإ هّٰللاو كرابت ىلاعتو لوقي نإ‬

‫ضعب نظلا ‪.‬مثإ‬

‫]ب[‬

‫‪ ‎1.‬بر رسي ممتو ‪:‬ريخلاب ةلمج ةصقان ]ل[‬ ‫‪: ‎4.‬يف قوف رطسلا يف ]ل[‬

‫اهعوضوم ]ل[‬

‫‪: ‎6.‬هذه ةصقان ]ب[‬

‫‪: ‎2.‬ةلاقم لوق ]ل[‬

‫‪ ‎3.‬لاطأ هّٰللا ‪:‬هءاقب ةصقان‬

‫‪ ‎5.‬امو هذه هتفص ‪ ...‬ام دصق هل ‪:‬لجرلا يف شماهلا راشأو ىلإ‬ ‫‪: ‎7.‬كّكشتملا مل كشُي ]ل[‬

‫‪: ‎8.‬زجت زوجت ]ب‪،‬ل[‬

‫‪: ‎10.‬اًحّحصم يف شماهلا راشأو ىلإ اهعوضوم ؛]ل[ ىنعم ةلمجلا ال حصي الإ‬ ‫‪: ‎9.‬ديريف ديري ]ل[‬ ‫اذإ تمهف ةملك اححصم ىنعمب اتبثم‬

600

5

10

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20

25

30

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40

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

La troisième de ces notions est qu’il a eu le sentiment que le mouvement d’enroulement est une notion obscure, cachée, subtile et difficile, qu’on ne peut résumer et saisir qu’après une intense fatigue et qu’il est comme le phénix de la fable. Le mouvement d’enroulement est plus proche que ce qu’il avait imaginé ; ce qui l’a fait glisser vers ce sentiment, c’est l’excuse que Ptolémée a faite. En fait Ptolémée ne s’est pas excusé, à propos du mouvement d’enroulement, parce que ce mouvement est extrêmement difficile et compliqué jusqu’à un point où personne ne peut l’étudier, mais il s’est excusé, car il a dit dans l’Almageste que les mouvements du ciel sont des mouvements simples, alors que le mouvement d’enroulement ne l’est pas. Ce sont ces trois notions qui l’ont fait tomber dans le doute. Je montrerai plus loin comment il s’est servi de ces notions lorsque je parlerai de doutes. Après cette introduction, je commence à résoudre les doutes. Le premier de ces doutes concerne une affirmation faite dans ce mémoire : si le diamètre de l’épicycle qui passe par l’apogée et par le périgée se trouve dans le plan de l’orbe excentrique pour les trois planètes, alors tout le plan de l’épicycle se trouve dans le plan de l’orbe excentrique. Puis il a rappelé, après cette citation, une assertion de Ptolémée ; cette assertion n’a pas été citée par moi dans mon mémoire sur le mouvement d’enroulement ; et je n’ai pas dit non plus dans ce mémoire quand le plan de l’épicycle se trouve dans le plan de l’orbe excentrique ni quand il se trouve dans le plan de l’écliptique. J’ai plutôt montré dans ce livre comment Ptolémée a ordonné le mouvement d’enroulement et comment il a déterminé le petit cercle sur lequel se déplace le diamètre de l’épicycle. J’ai dit que Ptolémée a supposé que l’épicycle était dans le plan de l’excentrique ; qu’il a mené ensuite le diamètre dont les extrémités sont l’apogée et le périgée ; et que ce diamètre est alors dans le plan de l’orbe excentrique. Puis il a supposé à l’extrémité de ce diamètre un petit cercle et il a supposé que l’extrémité de ce diamètre se meut sur ce petit cercle. J’ai montré ainsi, par ces propos, comment Ptolémée a ordonné le mouvement d’enroulement. C’est d’après la première hypothèse que j’ai supposé l’épicycle et son diamètre dans le plan de l’excentrique ; je veux dire que Ptolémée dans son rapport sur les mouvements des planètes a supposé le plan de l’épicycle dans le plan de l’orbe excentrique. Puis il a représenté l’épicycle, dans le treizième livre, dans le plan de l’orbe excentrique. En fait, ce que j’ai expliqué sur l’ordre de Ptolémée concernant le mouvement d’enroulement ne comprend

‫‪601‬‬ ‫و‪-٢-‬ل‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫ثلاثلاو نم ‪ /‬يناعملا وه هّنأ رعشتسا ‪ّ 1‬نأ ‪ 2‬ةكرح فافتلالا وه ىنعم ضماغ يفخ قيقد‬

‫ريسع ال صّخلتُي الو لّصحتي ‪ 3‬اّلإ دعب بعت ديدش هّنأو لثم ءاقنع ‪.‬برغم ةكرحو فافتلالا‬ ‫برقأ اّمم بهذ ‪.‬هيلإ يذلاو هعقوأ يف اذه راعشتسالا وه راذتعا ‪.‬سويملطب امّنإو رذتعا سويملطب‬

‫نم ةكرح فافتلالا هّنأل لاق يف يطسجملا ّنإ تاكرح ءامسلا يه تاكرح ةطيسب ةكرحو فافتلالا‬

‫تسيل ‪،‬ةطيسب كلذلف رذتعا ‪،‬اهنم ال نم لجأ اهّنأ يف ةياغ رسعلا ةبوعصلاو ىّتح ال نكمي دحأ‬ ‫نأ ثحبي ‪. 4‬اهنع‬

‫هذهف يناعملا ةثالثلا يه يتلا هتعقوأ يف ‪.‬كُّكشتلا انأو نيبأ ‪ 5‬اميف دعب هّنأ لمعتسا هذه يناعملا‬

‫دنع يمالك يف ‪.‬كوكشلا‬

‫ذإو دق ترّرقت هذه ‪،‬ةمدقملا يّنإف ئدتبأ لحب ‪.‬كوكشلا لّوأف كوكشلا ‪ 6‬وه ‪:‬هلوق ليق«‬

‫يف هذه ‪:‬ةلاقملا نإ رطق كلف ريودتلا يذلا ّرمي دعبلاب دعبألا دعبلاو برقألا يف بكاوكلا ‪،‬ةثالثلا‬

‫ظ‪-٢-‬ل‬

‫اذإ راص يف حطس كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا راص عيمج حطس كلف ريودتلا يف حطس كلفلا ‪ /‬جراخلا‬

‫و‪-١١٩-‬ب‬

‫‪،‬فافتلالا امو ‪ 7‬تركذ يف كلت ةلاقملا ىتم ريصي حطس كلف ريودتلا ‪ /‬يف ‪ 8‬حطس كلفلا جراخلا‬

‫»‪.‬زكرملا ّمث ركذ مالك سويملطب نم دعب اذه ‪.‬لوقلا هذهو لوقلا ام هتركذ انأ يف يتلاقم يف ةكرح‬

‫زكرملا الو ىتم ريصي يف حطس كلف ‪.‬جوربلا‬

‫امّنإو تنّيب يف كلت ةلاقملا فيك بتر سويملطب ةكرح فافتلالا فيكو جرختسا ةرئادلا‬

‫ةريغصلا يتلا كّرحتي اهيلع رطق كلف ‪.‬ريودتلا ‪:‬تلقف ّنإ سويملطب ضرف كلف ريودتلا يف حطس‬ ‫كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا ّمث جرخأ رطقلا يذلا هافرط دعبلا دعبألا دعبلاو ‪،‬برقألا راصف اذه رطقلا يف‬

‫حطس كلفلا جراخلا ‪.‬زكرملا ّمث ضرف دنع فرط اذه رطقلا ةرئاد ‪،‬ةريغص ّمث ضرف فرط رطقلا‬ ‫كّرحتي ىلع طيحم ةرئادلا ‪.‬ةريغصلا تنّيبف اذهب لوقلا فيك بّتر سويملطب ةكرح ‪.‬فافتلالا امّنإو‬

‫تضرف كلف ريودتلا هرطقو يف حطس كلفلا جراخلا زكرملا هّنأل ضرفلاب لّوألا ‪،‬كلذك ينعأ ّنأ‬

‫سويملطب يف هريرقت تاكرحل بكاوكلا ضرف حطس كلف ريودتلا يف حطس كلفلا جراخلا ‪.‬زكرملا‬ ‫و‪-٣-‬ل‬

‫‪ّ،‬مث يف ةلاقملا ةثلاثلا ‪،‬ةرشع لّثم كلف ريودتلا ىلع حطس ‪ /‬كلفلا جراخلا ‪.‬زكرملا يذلاف هتحرش‬

‫نم بيترت سويملطب ةكرحل فافتلالا مل نّمضتي ّنأ رطق كلف ريودتلا يذلا ّرمي دعبلاب دعبألا دعبلاو‬ ‫‪ ‎1.‬يف ‪:‬ناسللا لوقت« لجرلل رعشتسا ةيشخ هّللا ّيأ هلعجا راعش ‪،‬كبلق رعشتساو نالف فوخلا اذإ‬

‫‪ ‎3.‬ال صّخلتُي الو ‪:‬لّصحتي ال لّصختي الو لّصحتي ‪]،‬ب[ ال صّلختي‬ ‫‪ّ: ‎2.‬نأ ةصقان ]ل[‬ ‫»هرمضأ‬ ‫‪: ‎6.‬كوكشلا هكوكش ‪]،‬ل[‬ ‫‪: ‎5.‬نيبأ نيبأ هل ]ل[‬ ‫‪: ‎4.‬ثحبي برقي ؟]ل[‬ ‫الو صّخلتي ]ل[‬ ‫‪: ‎8.‬يف ةصقان ]ل[‬ ‫‪: ‎7.‬امو الو ]ب‪،‬ل[‬ ‫كوكش ]ب[‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

pas le fait que si le diamètre de l’épicycle qui passe par l’apogée et par le périgée pour les trois planètes se trouve dans le plan de l’orbe excentrique, alors il faut que tout le plan de l’épicycle soit dans le plan de l’orbe excentrique. Ce qui indique que je n’ai pas voulu l’entendre en ce sens, c’est que j’ai dit que Ptolémée n’a pas trouvé par l’observation mais qu’il a plutôt supposés comme hypothèses. Et ce qui montre que je n’ai pas voulu l’entendre en ce sens, c’est que lorsque j’ai ordonné le mouvement d’enroulement, je n’ai pas utilisé cette notion, et je n’ai pas dit que l’épicycle parvient dans le plan de l’orbe excentrique ni qu’il en sort ; j’ai plutôt renoncé à cela en m’appuyant sur le fait que Ptolémée avait déjà détaillé cette notion et l’avait établie. Cela constituait l’un des doutes, le voici levé. Quant à son assertion selon laquelle le diamètre de l’épicycle, qui coupe le diamètre sur lequel se trouvent l’apogée et le périgée, s’incline comme le fait le diamètre qui lui est homologue dans les deux mouvements de Vénus et de Mercure, elle est en contradiction avec les hypothèses de Ptolémée, car Ptolémée a distingué ce diamètre dans les trois planètes de ce même diamètre dans les deux planètes restantes en disant : quant aux diamètres des épicycles, perpendiculaires aux diamètres déjà cités, ils restent en permanence parallèles au plan de l’écliptique, pour les trois planètes, comme nous l’avons dit ; c’est que, en disant « restent en permanence », il nie le mouvement de ce diamètre ; tandis qu’en disant que « s’il dévie, sa déviation serait d’une grandeur négligeable », il veut si l’épicycle se déplace sur l’orbe excentrique, ce diamètre doit changer de position par rapport à l’écliptique. Ceci est la déviation qu’il a crue négligeable ; il (le diamètre) n’a pas de mouvement de déviation comme le diamètre des deux planètes restantes. Ce terme est l’un des termes de Ptolémée ; Monseigneur le Šayḫ l’a prise selon son apparence, je veux dire la parole de Ptolémée ; par le mot « s’il dévie » il a cru qu’il s’agissait du mouvement de déviation, mais il n’en est pas ainsi. Ce qui montre que ce diamètre n’a pas de mouvement de déviation, est que s’il avait un mouvement de déviation, Ptolémée aurait mentionné son commencement et son terme, comme il l’a fait pour le diamètre des deux planètes restantes. Il n’y a aucune nécessité de croire que, parmi les mouvements de ces trois planètes, il existe un mouvement de déviation. Ce qu’il a imaginé – que ce diamètre dévie à la manière des deux diamètres des deux planètes restantes – est une étape dont on n’a pas besoin. Ce qui l’a conduit à croire cela est la supposition que ce diamètre est dans le plan de l’écliptique au moment où l’épicycle est au nœud ; il a cru, en raison de cela, qu’il avait dévié ; mais ce diamètre peut se trouver dans le plan de

‫‪603‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫‪،‬برقألا يف بكاوكلا ‪،‬ةثالثلا اذإ راص يف حطس كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا الف ّدب نأ ريصي عيمج‬

‫حطس كلف ريودتلا يف حطس كلفلا جراخلا ‪.‬زكرملا يذلاو ّلدي ىلع يّنأ مل درأ اذه ىنعملا يّنأ ‪:‬تلق‬

‫ّنإ سويملطب ضرف ملو لقَأ ‪ 1‬دجو ‪.‬دصرلاب اّممو ّلدي ىلع يّنأ مل درأ اذه ىنعملا ‪،‬يّنأ اّمل تبّتر‬

‫ةكرح ‪،‬فافتلالا مل لمعتسأ اهيف اذه ىنعملا ملو لقأ ‪ّ 2‬نإ كلف ريودتلا ريصي يف حطس كلفلا جراخلا‬ ‫زكرملا جرخيو ‪،‬هنع لب تضرعأ نع كلذ اًلِّوعم ىلع ّنأ سويملطب دق لّصف اذه ىنعملا ‪،‬هرّرقو‬ ‫اذهف دحأ ‪،‬كوكشلا دقو ‪.‬لطب‬

‫اّمأو ‪: 3‬هلوق ّنإ رطق كلف ريودتلا عطاقملا رطقلل يذلا هيلع دعبلا دعبألا دعبلاو برقألا فرحني‬

‫امك فرحني رطقلا ريظنلا هل يف يتكرح ةرهزلا دراطعو هّنإف فلاخم امل هضرف ؛سويملطب ّنأل سويملطب‬

‫ظ‪-٣-‬ل‬

‫‪ /‬قّرف نيب اذه رطقلا يف بكاوكلا ةثالثلا هنيبو يف نيبكوكلا نييقابلا ‪:‬هلوقب اّمأف راطقأ كالفأ‬

‫ريوادتلا ةمئاقلا ‪ 4‬ىلع اياوز ةمئاق ىلع راطقألا يتلا مدقت اهركذ اهّنإف يف بكاوكلا ةثالثلا ىقبت امك‬ ‫انلق اًدبأ ًةيزاوم حطسل كلف ‪.‬جوربلا هلوقبف ىقبت« »اًدبأ دق يفن ةكرحلا نع اذه ‪.‬رطقلا اّمأف هلوق‬

‫ظ‪-١١٩-‬ب‬

‫نإو« تفرحنا ناك اهفارحنا ال ردق هل دتعُي »هب ‪ /‬هّنإف ديري ّنأ كلف ريودتلا اذإ كّرحت ىلع طيحم‬ ‫كلفلا جراخلا زكرملا الف ّدب نأ رّيغتي عضو اذه رطقلا سايقلاب ىلإ كلف ‪.‬جوربلا اذهف وه فارحنالا‬

‫يذلا دقتعا هّنأ ال دتعي ‪،‬هب ال ّنأ هل ةكرح فارحنا لثم ةكرح يرطق نيبكوكلا ‪.‬نييقابلا هذهو‬

‫ةظفللا يه ‪ 5‬نم ظافلأ ‪،‬سويملطب يتلا اهذخأ يالوم خيشلا ىلع ‪،‬اهرهاظ ينعأ لوق سويملطب‬

‫نإو« ‪»،‬تفرحنا ّنظ هلوقب »تفرحنا« هّنأ ‪ 6‬ديري ةكرح فارحنالا سيلو رمألا ‪.‬كلذك‬

‫يذلاو ّلدي ىلع هّنأ سيل اذهل رطقلا ةكرح فارحنا وه هّنأ ول ناك هل ةكرح فارحنا ناكل‬

‫ظ‪-٣-‬ل‬

‫سويملطب دق ركذ ‪ /‬اهأدبم اهءاهتناو امك هركذ يف يرطق نيبكوكلا ‪.‬نييقابلا سيلو يف تاكرح هذه‬

‫بكاوكلا ةثالثلا ةرورض وعدت ىلإ نأ دقتعن نأ اهل ةكرح ‪.‬فارحنا هلُّيختف فارحنال اذه رطقلا‬ ‫هّنأو ىلع لثم يرطق نيبكوكلا نييقابلا وه لَصف ال جاتحي ‪.‬هيلإ يذلاو هداق ىلإ اذه داقتعالا وه‬ ‫هّنأ هضرف يف حطس كلف جوربلا يف تقو نوك ‪ 7‬كلف ريودتلا يف ‪،‬ةدقعلا دقتعاف نم لجأ كلذ‬

‫‪8‬‬

‫هّنأ ‪.‬فرحنا اذهو رطقلا دق نكمي نأ لصحي يف حطس كلف جوربلا دنع نوك ‪ 9‬كلف ريودتلا يف‬

‫]ل[‬

‫‪: ‎1.‬لقَأ لقي ]ب[‬

‫‪ ‎2.‬ملو ‪:‬لقأ الو تلق ]ب[‬

‫‪: ‎5.‬يه قوف رطسلا يف ]ل[‬

‫لجأ ‪:‬كلذ يف شماهلا ]ل[‬

‫‪: ‎3.‬اّمأو اّمأف ]ب[‬

‫‪: ‎6.‬هّنأ ةصقان ]ب[‬

‫‪: ‎9.‬نوك نود ؟]ب[‬

‫‪: ‎4.‬ةمئاقلا مئاقلا‬

‫‪: ‎7.‬نوك نود ؟]ب[‬

‫‪ ‎8.‬نم‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

l’écliptique lorsque l’épicycle est au nœud, sans qu’il y ait déviation. En effet ce diamètre et le diamètre qui passe par l’apogée et le périgée sont toujours dans le même plan qui est le plan de l’épicycle. Alors si le plan de l’épicycle se trouve dans le plan de l’écliptique, comme il l’a supposé dans ses propos, ce diamètre se trouve dans le plan de l’écliptique sans déviation ; et il est possible que le plan de l’épicycle soit dans le plan de l’écliptique au cours du mouvement de l’épicycle autour du petit cercle. En fait, Ptolémée a dit que ce diamètre reste toujours, comme nous l’avons dit, parallèle au plan de l’écliptique ; alors lorsque le centre de l’épicycle se trouve au nœud, ce diamètre se trouve dans le plan de l’écliptique sans qu’il soit mû par un mouvement de déviation. Ainsi pour les trois planètes, il n’y a pas de déviation pour ce diamètre, et il n’y a aucun impératif, dans le mouvement de ces planètes, qui oblige à la déviation de ce diamètre. Il a dit ensuite, après ce propos : ce que je ressens de l’assertion de Ptolémée est que le plan de l’épicycle ne peut à aucun moment du mouvement des cinq planètes être dans le plan de l’orbe excentrique, car pour tout plan d’épicycle, son inclinaison s’annule lors du maximum de déviation et sa déviation s’annule lors du maximum d’inclinaison ; et la déviation et l’inclinaison coexistent pendant son déplacement entre les deux positions où ces phénomènes se produisent. C’est un propos incomplet en soi, car il a dit « ce que je ressens de l’assertion de Ptolémée », puis il a dit « car pour tout plan d’épicycle son inclinaison s’annule lors du maximum de déviation et sa déviation s’annule lors du maximum d’inclinaison », ce que Ptolémée n’a pas dit à propos de tous les épicycles. Et si Ptolémée n’a pas dit cela à propos de tous les épicycles, comment comprendre cette notion à partir du propos de Ptolémée ? C’est plutôt un sentiment dont il n’a pas mis en doute l’exactitude ; c’est l’un des sentiments dont j’ai déjà parlé et que j’ai décidé de clarifier. Ce doute est alors levé, car la raison qui y a conduit – la croyance que le diamètre transverse de l’épicycle peut se trouver dans le de l’écliptique par déviation – n’est plus valable. Il a dit ensuite après cette affirmation, et il a été dit dans ce mémoire, que Ptolémée n’a pas expliqué dans le livre des Hypothèses comment est le mouvement des corps qu’il a supposés pour les mouvements des planètes dans l’épicycle, et qu’il n’a pas ajouté de corps supplémentaire dans les orbes de Vénus et Mercure pour le mouvement supplémentaire qu’est le mouvement de déviation. Le mouvement d’enroulement, pris selon l’apparence de ce qu’il a dit, implique des choses affreuses. Le fait qu’il a supposé pour l’épicycle deux corps seulement est contraire aux principes qu’il a établis dans

‫‪605‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫ةدقعلا نم ريغ ؛فارحنا كلذو ّنأ اذه رطقلا وه اًدبأ رطقلاو يذلا ّرمي دعبلاب دعبألا دعبلاو برقألا‬

‫يف حطس ‪،‬دحاو وهو حطس كلف ‪.‬ريودتلا اذإف راص حطس كلف ريودتلا يف حطس كلف ‪،‬جوربلا امك‬ ‫هضرف يف ‪،‬همالك دقف راص اذه رطقلا يف حطس كلف جوربلا نم ريغ ؛فارحنا وهو نكمم نأ ريصي‬

‫حطس كلف ريودتلا يف حطس كلف جوربلا ةكرحب ‪ 1‬كلف ريودتلا لوح ةرئادلا ‪.‬ةريغصلا امّنإو لاق‬ ‫ظ‪-٤-‬ل‬

‫سويملطب يف اذه رطقلا هّنأ ‪ 2‬ىقبي امك انلق اًدبأ اًيزاوم حطسل ‪ /‬كلف ؛جوربلا ىّتح اذإ راص زكرم‬ ‫كلف ريودتلا ىلع ‪،‬ةدقعلا راص اذه رطقلا يف حطس كلف جوربلا نم ريغ نأ كّرحتي ةكرح ‪.‬فارحنا‬

‫سيلف اذهل رطقلا يف بكاوكلا ةثالثلا فارحنا الو يف تاكرح هذه بكاوكلا ًةرامإ بجوت‬

‫فارحنا اذه ‪.‬رطقلا‬

‫ّمث لاق نم دعب اذه ‪:‬مالكلا يذلاف لصحي يف يسفن نم ‪ 3‬مالك سويملطب ّنأ حطس كلف‬

‫ريودتلا ال نكمي نأ نوكي اًتقو نم تاقوألا يف ءيش نم بكاوكلا ةسمخلا يف حطس كلفلا جراخلا‬

‫و‪-١٢٠-‬ب‬

‫‪،‬زكرملا ّنأل ّلك حطس كلف ريودت ىنفي هليم دنع ةياهن هفارحنا ىنفيو ‪ /‬هفارحنا دنع ةياهن ‪،‬هليم‬ ‫عمتجيو هيف فارحنالا ليملاو يف هريسم ‪ 4‬نيب عضاوملا يتلا ضرعي كلذ ‪.‬اهيف اذهو لوق ‪ 5‬صقتنم‬

‫نم ‪،‬هسفن هّنأل لاق يذلاو« لصحي يف يسفن نم مالك ‪»،‬سويملطب ّمث لاق ّنأل« لك حطس كلف‬ ‫ريودت ىنفي ‪ 6‬هُليم دنع ةياهن هفارحنا ىنفيو ‪ 7‬هفارحنا دنع ةياهن ‪»،‬هليم ملو لقي ‪ 8‬سويملطب اذه لوقلا‬

‫يف عيمج كالفأ ‪.‬ريوادتلا اذإو مل نكي سويملطب لاق اذه لوقلا يف عيمج كالفأ ‪،‬ريوادتلا امف مهف‬ ‫و‪-٥-‬ل‬

‫اذه ‪ /‬ىنعملا نم مالك ؟سويملطب امّنإو وه راعشتسا هرعشتسا ّمث مل ّكشي يف ‪،‬هتّحص اذهو وه نم‬ ‫تاراعشتسالا يتلا تمدق اهركذ تمّمصو نأ ‪.‬اهنّيبأ اذهف ّكشلا اًضيأ دق ‪،‬لطب ّنأل ةّلعلا يتّلا‬ ‫هتداق ىلإ اذه ّكشلا دق ‪،‬تلطب يهو ‪ 9‬هداقتعا ّنأ رطق كلف ريودتلا ضرتعملا‬

‫ةرئاد جوربلا ‪.‬فارحنالاب‬

‫‪10‬‬

‫امّنإ‬

‫‪11‬‬

‫لصحي يف‬

‫ّمث لاق نم دعب اذه ‪:‬لوقلا ليقو يف هذه ةلاقملا ّنإ سويملطب مل حرشي يف باتك صاصتقالا‬

‫ةّيفيك ةكرح ماسجألا يتلا اهضرف تاكرحل بكاوكلا يف كلف ريودتلا ملو دزي يف يكلف ةرهزلا‬

‫دراطعو اًمسج اًدئاز ةكرحلل ةدئازلا يتلا يه ةكرح ‪.‬فارحنالا ّنإو‬

‫‪12‬‬

‫ةكرح ‪،‬فافتلالا نإ تلمُح‬

‫ىلع رهاظ ام ‪،‬هركذ تمزل اهنم ‪ 13‬ءايشأ ؛ةعينش ّنإو يف هضرف كلفل ريودتلا نيمسج طقف فلاخم‬ ‫‪: ‎2.‬هّنأ ةصقان ]ل‪،‬ب[‬ ‫‪: ‎1.‬ةكرحب ةكرحب ةكرحى ]ب[‬ ‫‪: ‎6.‬ىنفي ينعي ‪].‬ل[‬ ‫‪: ‎5.‬لوق ةصقان ]ب[‬ ‫ٍةريسم ]ب[‬

‫ةصقان ]ب[‬

‫‪: ‎9.‬يهو يقبو ]ب[‬

‫‪ّ: ‎12.‬نإو فلخ ]ب[‬

‫‪: ‎4.‬هريسم‬ ‫‪: ‎3.‬نم ةصقان ]ب[‬ ‫‪: ‎8.‬لقي‬ ‫‪: ‎7.‬ىنفيو ينعيو ]ل[‬

‫‪: ‎10.‬ضرتعملا ضرعملا ]ل[‬

‫‪: ‎13.‬اهنم هنم ]ب[‬

‫‪14‬‬

‫‪: ‎11.‬امّنإ اًضيأ ]ب[‬

‫‪: ‎14.‬فلاخم ًةفلاخم ]ل[‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

l’Almageste. Le mouvement d’enroulement, s’il est supposé avec des prismes, impliquerait nécessairement des choses affreuses. Il a dit ensuite : « ce que j’ai compris des paroles de Ptolémée...» ; et il a mentionné de longs propos à la fin desquels il a dit : « Cela est contraire aux principes posés dans l’Almageste.» En fait, s’il a su que cela est contraire aux principes posés dans l’Almageste, c’est qu’il a su que c’est faux ; et s’il a su que c’est faux et contraire aux principes posés dans l’Almageste, c’est qu’il n’a pas compris cela à partir des paroles de Ptolémée, puisque ce que l’on comprend de ce qu’a dit Ptolémée n’est pas en contradiction avec ce qu’a dit Ptolémée dans l’Almageste. Ce qu’il a compris, ce sont des sentiments faux qu’il a éprouvés, de ces sentiments que j’ai déjà cités. La cause de ces sentiments est qu’il a pris les propos de Ptolémée dans leur apparence sans les méditer ni les interpréter. Si ce qu’il a compris est faux, je n’ai pas besoin d’y répondre. D’ailleurs il n’aurait pas eu lui-même besoin d’en parler. Il a dit après cela : « ou bien Ptolémée n’a pas utilisé le mouvement d’enroulement, ce qui est clair d’après ses propres propos à certains endroits du livre des Hypothèses », puis il a mentionné ses propos. Cet aveux prouve l’exactitude de ce que j’ai dit, à savoir que Ptolémée n’a pas expliqué, dans le livre des Hypothèses, les caractéristiques du mouvement d’enroulement. Il a dit ensuite que le petit prisme qui est dans l’épicycle nécessite quand il se déplace un lieu plus grand que son lieu ; il en est ainsi si les deux bases de ce prisme sont parallèles au cercle, incliné sur le plan de l’orbe excentrique, sur lequel se déplace le centre de la planète. Mais si les deux bases de ce prisme étaient parallèles au plan de l’orbe excentrique, et si sa largeur correspondait à l’éloignement de la planète en latitude de part et d’autre du plan de l’orbe excentrique, alors que ce prisme tournerait autour d’un axe perpendiculaire aux deux plans de ses deux bases, le centre de la planète tournant sur un cercle incliné tangent à deux cercles parallèles à ces deux bases, à une distance égale au rayon du globe planétaire, sur l’axe de ce cercle incliné selon les hypothèses de Ptolémée, alors le prisme ne sortirait pas de son emplacement et il ne nécessiterait pas plus que son lieu. En fait, il a montré cela au début du deuxième chapitre du livre des Hypothèses. Ce tronc se trouve de part et d’autre du grand cercle de cette sphère dans lequel a lieu le mouvement en longitude. La grandeur de ce lieu qui contient ce tronc de part et d’autre est selon la grandeur de la latitude. Comme il dit « où a lieu le mouvement en longitude », il est clair que les deux bases du prisme sont parallèles au plan de l’orbe excentrique.

‫‪607‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫لوصألل يتلا اهررق يف يطسجملا ‪ّ ،‬نإو ةكرح فافتلالا نإ تضرف تاروشنمب الف ّدب نأ مزلي اهنم‬ ‫ءايشأ ‪.‬ةعينش‬

‫ظ‪-٥-‬ل‬

‫ّمث لاق نم دعب ‪:‬كلذ يذلاو« هتمهف انأ نم مالك ‪»،‬سويملطب ركذو اًمالك ‪، /‬اًليوط ّمث‬

‫لاق يف ‪:‬هرخآ اذهو« فلاخم لوصألل ةعوضوملا يف يطسجملا »‪ .‬اذإو ناك دق ملع هّنأ فلاخم لوصألل‬ ‫ةعوضوملا يف يطسجملا دقف ملع هّنأ ؛لطاب اذإو ملع هّنأ لطاب فلاخمو لوصألل يتّلا يف يطسجملا هّنإف مل‬ ‫همهفي نم ‪ 1‬مالك ‪،‬سويملطب ّنأل ام مهفُي نم مالك سويملطب ال نوكي اًفلاخم امل هررق سويملطب يف‬

‫يطسجملا ‪ .‬يذلاو مِهَف امّنإ وه ‪ 2‬تاراعشتسا ةلطاب ؛اهرعشتسا يهو نم ‪ 3‬تاراعشتسالا يتلا تمدق‬

‫‪.‬اهركذ ةّلعو هذه تاراعشتسالا يه هّنأ ذخأ مالك سويملطب ىلع هرهاظ ملو هلّمأتي الو لّوأت ‪.‬هيف‬

‫اذإو ناك اذه يذلا مِهَف اًلطاب امف جاتحأ نأ بيجأ ؛هنع دقو ناك ال جاتحي وه اًضيأ ىلإ هركذ ‪.4‬‬ ‫ظ‪-١٢٠-‬ب‬

‫ّمث لاق نم دعب اذه مالكلا ‪ /‬اّمأو« ّنأ سويملطب مل لمعتسي ةكرح فافتلالا وهف نِّيب نم‬

‫سفن همالك يف عضاوم نم باتك صاصتقالا» ركذو ‪.‬همالك هفارتعاو اذهب ‪ 5‬ليلد ىلع ةّحص ام هتلق‬

‫نم ّنأ سويملطب مل حرشي يف باتك صاصتقالا ةّيفيك ةكرح ‪.‬فافتلالا‬ ‫و‪-٦-‬ل‬

‫ّمث لاق نم دعب اذه ‪:‬مالكلا اّمأو ّنأ روشنملا رغصألا يذلا يف كلف ريودتلا ‪ /‬اذإ كّرحت جاتحا‬

‫ىلإ ربكأ نم ؛هناكم ّنإف اذه نوكي كلذك ول تناك اتدعاق اذه روشنملا نيتيزاوم ةرئادلل ةلئاملا نع‬ ‫حطس كلفلا جراخلا زكرملا يتلا اهيلع كّرحتي زكرملا بكوكلا ‪ .6‬اّمأو اذإ ناك اذه روشنملا هاتدعاق‬ ‫نيتيزاوم حطسل كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا و >ناك< هضرع بسحب دعابت بكوكلا يف ضرعلا نع‬

‫يتبنج حطس كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا وهو رودي ىلع روحم مئاق ىلع يحطس ‪،‬هيتدعاق زكرمو بكوكلا‬ ‫رودي ىلع ةرئادلا ةلئاملا ةّسامملا نيترئادل نيتيزاوم نيتاهل نيتدعاقلا امهدعب اهنم رادقمب فصن رطق‬

‫ةرك بكوكلا ىلع روحم هذه ةرئادلا ةلئاملا امك هضرف ‪،‬سويملطب سيلف جرخي نع هناكم الو ‪ 7‬جاتحي‬

‫ىلإ ربكأ ‪.‬هنم دقو نّيب اذه هلوقب يف لّوأ ةلاقملا ةيناثلا نم باتك صاصتقالا‪ ،‬نوكتو كلت ةعطقلا‬ ‫نع يتبنج ةرئادلا ىمظعلا نم رئاودلا يتلا يف كلت ‪،‬ةركلا يهو يتلا نوكت اهيف ةكرح ‪.‬لوطلا‬

‫نوكيو ام هزوحت هذه ةعطقلا نم نيبناجلا رادقمب ‪.‬ضرعلا دقف نّيبت اًنايب اًحضاو ‪:‬هلوقب يتلا« نوكت‬ ‫اهيف ةكرح ‪»،‬لوطلا ّنأ يتدعاق روشنملا ناتيزاوم حطسل كلفلا جراخلا زكرملا ‪.8‬‬ ‫‪ ‎1.‬همهفي ‪:‬نم مهفي ]ل[‬

‫‪: ‎2.‬وه يه ]ل[‬

‫‪ ‎3.‬يهو ‪:‬نم كلذو نم ]ل[‬

‫‪ ‎4.‬اًضيأ‬

‫‪ ‎6.‬زكرملا ‪:‬بكوكلا زكرم بكوكلل ]ب[‬ ‫‪: ‎5.‬اذهب اذهف ]ب[‬ ‫ىلإ ‪:‬هركذ ىلإ هركذ اًضيأ ]ل[‬ ‫‪ ‎8.‬دقف نّيبت اًنايب اًحضاو ‪ ...‬جراخلا ‪:‬زكرملا يف ‪،‬شماهلا راشأو اهيلإ ]ل[‬ ‫‪: ‎7.‬الو سيلو ]ل[‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Cette assertion de sa part, que Dieu le garde, montre une conception erronée, je veux dire dans ses hypothèses sur les prismes de l’épicycle semblables aux prismes du mouvement en longitude, car la situation qu’il décrit est possible dans le mouvement en longitude et dans les orbes entourant la Terre ; cela est impossible dans le mouvement de l’épicycle. Les orbes excentriques qui se meuvent selon le mouvement en longitude pour les trois planètes ont toujours leur inclinaison d’un seul côté, et leurs plans ne se déplacent pas en s’inclinant tantôt vers le nord et tantôt vers le sud. Ces planètes sont les seules pour lesquelles l’hypothèse faite par Ptolémée est valable. Ptolémée a supposé que le plan de l’épicycle est tel que du périgée de ce plan s’incline tantôt vers le nord et tantôt vers le sud du plan de l’orbe excentrique ; il en est de même du côté de l’apogée dans ce plan. De même les prismes en longitude tournent autour du centre du monde sans que leur apogée s’approche ni s’éloigne de ce centre. Mais il n’en est pas ainsi pour l’épicycle, car, l’épicycle tournant autour d’un axe perpendiculaire au plan de l’orbe excentrique, son apogée s’approche du centre du monde ; alors si l’on suppose pour l’épicycle deux prismes ayant les caractéristiques déjà citées et si les deux bases du plus grand prisme (qui est le moteur du plus petit prisme) étaient parallèles au plan de l’orbe excentrique, de sorte que le petit prisme serait enfermé à l’intérieur du grand prisme et que le petit prisme serait incliné et en rotation autour de l’axe du cercle incliné, alors le cercle incliné serait dans une position unique, son inclinaison serait unique et d’un côté unique ; je veux dire que le voisinage de l’apogée dans le cercle incliné serait toujours incliné du même côté par rapport au plan de l’orbe excentrique ; le voisinage du périgée incliné d’un même côté opposé à celui du voisinage de l’apogée. Ainsi, le périgée dans le plan de l’épicycle ne serait pas, selon ce mouvement, tantôt du côté nord et tantôt du côté sud par rapport au plan de l’orbe excentrique ; de même pour l’apogée. Ainsi si le grand prisme tourne autour de son axe perpendiculaire à ses deux bases qui sont parallèles au plan de l’orbe excentrique, il fait tourner avec lui le petit prisme car les deux bases de celui-ci ne sont pas parallèles aux deux bases du grand prisme ; alors tout point du petit prisme se déplace sur un cercle parallèle aux deux bases du grand prisme, ce qui fait que l’apogée et le périgée de l’épicycle se déplacent sur deux cercles parallèles au plan de l’orbe excentrique, l’un de ces deux cercles se trouve toujours du côté du nord alors que l’autre se trouve au sud par rapport au plan de l’orbe excentrique. Par conséquent, l’inclinaison du périgée

‫‪609‬‬ ‫ظ‪-٦-‬ل‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫اذهو لوقلا ‪،‬هنم ‪ /‬هسرح ‪،‬هّللا ّلدي ىلع رّوصت ريغ ‪،‬حيحص ينعأ يف هضرف تاروشنم كلف‬

‫ريودتلا ةهيبش تاروشنمب ‪،‬لوطلا ّنأل عضولا يذلا هركذ امّنإ نكمي يف ةكرح لوطلا يفو كالفألا‬

‫ةطيحملا ؛ضرألاب سيلو نكمي كلذ يف ةكرح كلف ؛ريودتلا كلذو ّنأ ]تاكرح[ كالفألا ةجراخلا‬ ‫زكارملا يتلا كّرحتت ةكرح لوطلا يف بكاوكلا ةثالثلا اهليم اًدبأ يف ةهج ‪ 1‬؛ةدحاو سيلو لقتنت‬

‫اهحوطس ليمتف ًةرات ىلإ لامشلا ًةراتو ىلإ ‪.‬بونجلا هذهو بكاوكلا طقف يه يتلا ّحصي اهيف‬ ‫و‪-١٢١-‬ب‬

‫ضرفلا يذلا هضرف ‪.‬سويملطب حطسو كلف ريودتلا دق هضرف ‪،‬سويملطب ليمي ‪ / 2‬دعبلا ‪ 3‬برقألا‬ ‫نم هحطس ًةرات ىلإ ةهج لامشلا نع حطس كلفلا جراخلا زكرملا ًةراتو ىلإ ‪،‬بونجلا كلذكو ام‬ ‫يلي دعبلا دعبألا نم ‪.‬هحطس اًضيأو ّنإف تاروشنم لوطلا رودت لوح زكرم ملاعلا سيلو ‪ 4‬دعبي‬ ‫اهدعب دعبألا نع زكرم ملاعلا الو برقي ‪.‬هنم سيلو كلذك كلف ‪،‬ريودتلا ّنأل كلف ريودتلا اذإ‬

‫و‪-٧-‬ل‬

‫راد ىلع روحم مئاق ىلع حطس كلفلا جراخلا ‪، /‬زكرملا برق هدعب دعبألا نم زكرم ؛ملاعلا اذإف ضرُف‬ ‫كلفل ريودتلا ناروشنم ‪ 5‬ىلع ةفصلا يتلا اهانركذ ‪ 6‬تناكو اتدعاق مظعألا امهنم ‪ 7‬كِّرحملا رغصألل‬

‫نيتيزاوم ‪ 8‬حطسل كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا ناكو روشنملا رغصألا اًروصحم يف لخاد روشنملا ‪،‬مظعألا‬

‫ناكو رغصألا ‪،‬اًلئام ّنإف روشنملا ‪،‬رغصألا اذإ راد ىلع روحم ةرئادلا ‪،‬ةلئاملا ناك ‪ 9‬عضو ةرئادلا‬ ‫ةلئاملا اًدبأ اًعضو اًدحاو اهليمو اًليم اًدحاو يفو ةهج ؛ةدحاو ينعأ هّنأ نوكي ام يلي دعبلا دعبألا‬

‫نم ةرئادلا ةلئاملا اًلئام اًدبأ ىلإ ةهج ةدحاو نم يتهج حطس كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا امو يلي دعبلا‬ ‫برقألا اهنم ‪ 10‬ىلإ ةهج ةدحاو يهو ةهجلا ةلباقملا ةهجل دعبلا ‪،‬دعبألا الف ريصي دعبلا برقألا نم‬

‫حطس كلف ريودتلا هذهب ةكرحلا ةرات يف ةهج لامشلا نع حطس كلفلا جراخلا زكرملا ةراتو يف ةهج‬

‫بونجلا ‪،‬هنع كلذكو دعبلا ‪.‬دعبألا‬ ‫ظ‪-٧-‬ل‬

‫اًضيأو هّنإف اذإ راد روشنملا مظعألا لوح هروحم مئاقلا ىلع هيتدعاق نيتيزاوملا حطسل ‪ /‬كلفلا‬

‫جراخلا ‪،‬زكرملا هّنإف رودي هعم روشنملا ‪،‬رغصألا ّنأل يتدعاق روشنملا رغصألا اتسيل نيتيزاوم يتدعاقل‬ ‫روشنملا ‪،‬مظعألا كّرحتتف ّلك ةطقن نم روشنملا رغصألا ىلع طيحم ةرئاد ةيزاوم يتدعاقل روشنملا‬ ‫‪،‬مظعألا كّرحتيف دعبلا دعبألا نم كلف ريودتلا دعبلاو برقألا هنم ىلع نيترئاد نيتيزاوم حطسل‬ ‫كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا نوكتو امهادحإ اًدبأ يف ةهج لامشلا نع حطس كلفلا جراخلا زكرملا ىرخألاو‬

‫يف ةهج بونجلا ؛هنع نوكيف ليم دعبلا برقألا نم كلف ريودتلا هذهب ةكرحلا اًضيأ اًدبأ يف ةهج‬ ‫‪: ‎4.‬سيلو‬ ‫‪: ‎3.‬دعبلا برقلا ]ب‪،‬ل[‬ ‫‪: ‎2.‬ليمي ليمف ]ب[‬ ‫‪: ‎1.‬ةهج ةّصح ]ب[‬ ‫‪: ‎7.‬امهنم اهنم ]ب[‬ ‫‪: ‎6.‬اهانركذ ركذ ]ب[‬ ‫‪: ‎5.‬ناروشنم روشنم ]ب‪،‬ل[‬ ‫سيلف ]ل[‬ ‫‪: ‎10.‬اهنم امهنم ]ل[‬ ‫‪: ‎9.‬ناك نإف ]ب[‬ ‫‪: ‎8.‬نيتيزاوم زاوم ]ب[‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

par rapport à l’épicycle se fait, selon ce mouvement aussi, toujours d’un même côté par rapport au plan de l’orbe excentrique ; il en est de même pour l’apogée. Ainsi, selon les deux mouvements, l’inclinaison du périgée de l’épicycle est toujours d’un même côté par rapport au plan de l’orbe excentrique ; de même l’inclinaison de l’apogée est toujours, selon ces deux mouvements, d’un même côté par rapport au plan de l’orbe excentrique. Ainsi le périgée de l’épicycle ne peut pas être incliné tantôt du côté nord et tantôt du côté sud par rapport au plan de l’orbe excentrique ; il en est de même pour l’apogée. Cela est différent de ce que Ptolémée a supposé du mouvement de l’épicycle ; de même si le grand prisme se déplace autour de son axe en faisant mouvoir le petit prisme, et si l’apogée et le périgée se déplacent sur deux cercles parallèles au plan de l’orbe excentrique, l’apogée de l’épicycle devient tantôt le périgée et tantôt la position moyenne, et de même le périgée devient tantôt l’apogée et tantôt la position moyenne, or c’est une impossibilité grave. L’extrémité du diamètre qui est le périgée se déplace sur un grand cercle parallèle au plan de l’orbe excentrique et non sur un petit cercle perpendiculaire au plan de l’orbe excentrique. Le diamètre de l’épicycle ne se meut pas autour d’un petit cercle perpendiculaire au plan de l’orbe excentrique et le plan de l’épicycle ne se meut avec lui que par un mouvement d’un corps qui tourne autour de l’axe du petit cercle qui est dans le plan de l’orbe excentrique. Le fait d’imposer que le grand prisme se meuve autour de l’axe du petit cercle qui est dans le plan de l’orbe excentrique implique que ses deux bases ne sont plus parallèles au plan de l’orbe excentrique ; cela implique aussi que le grand prisme vide un lieu et en remplit un autre ; alors il a besoin d’un lieu plus grand que son lieu ; l’épicycle bascule en conséquence : sa face nord devient face sud et sa face sud devient face nord, son côté est passe à l’ouest et son côté ouest passe à l’est. Si on impose que les deux bases du grand prisme soient orthogonales au plan de l’orbe excentrique et qu’elles soient parallèles au petit cercle, l’axe du grand prisme devient l’axe du petit cercle et ce prisme coupe le petit prisme ; alors, si ce prisme se meut autour de son axe, le cercle de l’épicycle tourne autour du petit cercle selon l’hypothèse de Ptolémée ; mais cette situation implique que le

‫‪611‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫ةدحاو نع حطس كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا كلذكو دعبلا ‪.‬دعبألا نوكيف ليم دعبلا برقألا نم كلف‬

‫ريودتلا نيتكرحلاب اًعيمج اًدبأ يف ةهج ةدحاو نع حطس كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا كلذكو دعبلا دعبألا‬

‫ظ‪-١٢١-‬ب‬ ‫و‪-٨-‬ل‬

‫نوكي هليم اًدبأ ‪ /‬نيتكرحلاب اًعيمج يف ةهج ةدحاو نع حطس كلفلا جراخلا ؛زكرملا الف ريصي دعبلا‬ ‫برقألا نم كلف ريودتلا ًةرات اًلئام ىلإ ةهج لامشلا نع حطس كلفلا جراخلا زكرملا ‪ً /‬ةراتو ىلإ‬

‫ةهج بونجلا ‪،‬هنع كلذكو دعبلا ‪.‬دعبألا اذهو فالخ ام هضرف سويملطب ةكرحل كلف ‪.‬ريودتلا‬ ‫اًضيأو هّنإف اذإ كّرحت روشنملا مظعألا لوح هروحم كّرحو هعم روشنملا رغصألا كّرحتو دعبلا دعبألا‬ ‫دعبلاو برقألا نم كلف ريودتلا ىلع نيترئاد نيتيزاوم حطسل كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا هّنإف ريصي دعبلا‬ ‫دعبألا كلفل ريودتلا ًةرات وه دعبلا برقألا ًةراتو وه دعبلا ‪.‬طسوألا كلذكو دعبلا برقألا ريصي‬ ‫ًةرات وه دعبلا دعبألا ًةراتو وه دعبلا ‪،‬طسوألا اذهو ٌلاحم ‪.‬شحاف عمو كلذ ّنإف فرط رطقلا‬

‫يذلا وه دعبلا برقألا نوكي اًكّرحتم ىلع ةرئاد ةريبك ةيزاوم حطسل كلفلا جراخلا زكرملا ال ىلع‬ ‫ةرئاد ةريغص ةمئاق ىلع حطس كلفلا جراخلا زكرملا ‪.1‬‬

‫سيلو كّرحتي رطق كلف ريودتلا لوح ةرئاد ةريغص ةمئاق ىلع حطس كلفلا جراخلا زكرملا كّرحتيو‬

‫هعم حطس كلف ريودتلا اّلإ ةكرحب ٍمسج رودي ىلع روحم ةرئادلا ةريغصلا يذلا وه يف حطس كلفلا‬

‫ظ‪-٨-‬ل‬

‫جراخلا ‪.‬زكرملا نإف ضرف روشنملا مظعألا كّرحتي ىلع روحم ‪ /‬ةرئادلا ةريغصلا يذلا وه يف حطس‬ ‫كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا مزلو هنم ‪ 2‬نأ جرخت هاتدعاق نع ةازاوم حطس كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا مزلو‬

‫روشنملا مظعألا نأ غرفي اًناكم ألميو اًناكم جاتحيف ىلإ ٍناكم عسوأ نم هناكم بلقنيو عم كلذ‬ ‫كلف ريودتلا ريصتف هتهج ةيلامشلا ةيبونج ةيبونجلاو ةيلامش ريصتو هتهج ةيقرشلا ةيبرغ ةيبرغلاو‬ ‫‪.‬ةيقرش نإف ضرف يتدعاق روشنملا مظعألا نيتمئاق ىلع حطس كلفلا جراخلا زكرملا اتناكو ‪ 3‬نيتيزاوم‬

‫ةرئادلل ةريغصلا راصو هروحم روحم ةرئادلا ‪،‬ةريغصلا راصو اذه روشنملا اًعطاقم روشنملل ‪،‬رغصألا‬ ‫اذإف كّرحت اذه روشنملا لوح ‪، 4‬هروحم ّنإف ةرئاد كلف ريودتلا رودت لوح ةرئادلا ةريغصلا امك‬ ‫اهضرف ؛سويملطب اّلإ هّنأ مزلي نم اذه عضولا نأ جرخي روشنملا رغصألا نع هناكم ألميف اًناكم‬

‫غرفيو ‪،‬اًناكم مزليو هنم اًضيأ نأ بلقنت ةرئاد كلف ‪،‬ريودتلا ريصتف ةهجلا ةيقرشلا نم هطيحم ةيبرغ‬

‫و‪-٩-‬ل‬ ‫و‪-١٢٢-‬ب‬

‫ةيبرغلاو ‪،‬ةيقرش ريصتو ةهج هحطس ةيلامشلا ةيبونج هتهجو ‪ /‬ةيبونجلا ةيلامش ‪ /‬ذاهو فالخب‬ ‫دوجولا فالخبو ام هضرف ‪.‬سويملطب ىلعف يأ ٍعضو ضرف روشنملا مظعألا الف ّدب نأ مزلي هنم‬ ‫‪: ‎1.‬زكرملا يف شماهلا ]ب[‬

‫‪: ‎4.‬لوح كرح ]ل[‬

‫‪ ‎2.‬مزلو ‪:‬هنم مزل هنم ‪]،‬ل[ مزلو ]ب[‬

‫‪: ‎3.‬اتناكو اناك ]ل[‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

petit prisme quitte son lieu. Ainsi il remplit un lieu et vide un lieu ; cela implique aussi que le cercle de l’épicycle bascule : le côté est de sa circonférence devient ouest et le côté ouest devient est, le côté nord de son plan devient sud et son côté sud devient nord ; et cela est en contradiction avec ce qui existe et avec les hypothèses de Ptolémée. Ainsi quelle que soit l’hypothèse sur la position du grand prisme, il est nécessaire que l’un des deux prismes vide un lieu et remplisse un lieu, et cela implique aussi que la position du plan de l’épicycle change : ou bien l’apogée devient le périgée et le périgée devient l’apogée, ou bien le côté est devient ouest et le côté ouest devient est. De même si l’on suppose que le prisme aux bases parallèles au plan de l’excentrique est à l’intérieur du prisme incliné et qu’il entraîne le prisme incliné dans son mouvement, cela implique les impossibilités vues plus haut. Alors si, quelle que soit la position supposée du prisme, ces impossibilités que nous avons citées en découlent, cette notion dont on a dit que Ptolémée l’avait expliquée très clairement devient de façon très claire incohérente et impossible. Il s’ensuit que Ptolémée a commis une erreur grave en supposant que les prismes meuvent l’épicycle, car ces prismes impliquent deux impossibilités dont l’une est la sortie de l’un des deux prismes de son lieu et l’autre est le basculement de l’épicycle ; ces deux impossibilités ont lieu quelles que soient les positions des deux prismes qui entraînent le mouvement de l’épicycle autour du petit cercle. Il est clair, d’après ce que nous venons d’expliquer, que ce que j’ai dit dans mon mémoire sur le mouvement d’enroulement, à propos de la sortie du prisme de l’épicycle de son lieu et de son besoin d’un lieu plus grand que son lieu, sont des propos exacts ; et ce qu’il (le Šayḫ) a conçu contre cette opinion est une imagination erronée. Il apparaît également après cela une impossibilité supplémentaire que je n’ai pas signalée dans mon mémoire, et apparaît clairement de l’ensemble de ce qui a été montré l’erreur de Ptolémée dans son hypothèse sur les prismes pour les mouvements des épicycles. Après cet énoncé, il a cité ce mémoire : ordonnons maintenant, pour le mouvement d’enroulement, des corps qui se meuvent de mouvements circulaires autour de centres et de pôles fixes. Il a complété le propos puis il a dit qu’il restait des doutes qu’il fallait clarifier. Il a dit qu’on prenait pour centre de chacun de ces petits cercles un point bien précis de la ligne qui joint le centre de l’orbe excentrique autour duquel tourne l’épicycle . Il en est venu ensuite à dire : on sait qu’il – le diamètre de l’épicycle – est dirigé vers le centre de l’orbe excentrique ; puis il a dit : Ptolémée a disposé les inclinaisons des orbes excentriques selon leurs diamètres passant par les extrémités nord et sud ; et il a ajouté : si le centre

‫‪613‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫نأ نوكي دحأ نيروشنملا غرفي اًناكم ألميو اًناكم مزليو هنم اًضيأ نأ رّيغتي عضو ‪ 1‬حطس كلف‬

‫‪،‬ريودتلا اّمإف نأ ريصي دعبلا دعبألا وه دعبلا برقألا دعبلاو برقألا وه دعبلا دعبألا ‪ ،2‬اّمإو نأ‬

‫ريصت ةهجلا ةيقرشلا هنم ةيبرغ ةيبرغلاو ‪.‬ةيقرش كلذكو نإ ضرف ‪،‬روشنملا يزاوملا هاتدعاق حطسل‬ ‫كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا يف لخاد روشنملا لئاملا لِعُجو اًكِّرحم روشنملل ‪،‬لئاملا تمزل هنم تالاحملا يتلا‬

‫تمّدقت ىلعو يأ عضو ضرف ‪،‬روشنملا نإو ‪ 3‬مزل هنم تالاحملا يتلا ‪.‬اهانركذ اذهف ىنعملا يذلا ركذ‬ ‫ّنأ سويملطب هنّيب اًنايب اًحضاو دق نّيبت هداسف هتلاحتساو اًنايب ‪.‬اًحضاو نّيبتو هنم اًضيأ ّنأ سويملطب‬ ‫دق طلغ اًطلغ اًشحاف يف هضرف تاروشنملا كِّرحت كلف ريودتلا هّنأل مزلي نم تاروشنملا نالاحم‬

‫ظ‪-٩-‬ل‬

‫‪4‬‬

‫امهدحأ جورخ دحأ نيروشنملا نع هناكم رخآلاو بالقنا ‪ /‬كلف ؛ريودتلا مزليو ناذه نالاحملا ىلع‬

‫عيمج عاضوأ نيروشنملا يتلا يّدؤت ةكرح ‪ 5‬كلف ريودتلا لوح ةرئادلا ‪.‬ةريغصلا دقف نّيبت نم اذه‬

‫لوقلا يذلا هانحرش ّنأ لوقلا يذلا ركُذ ‪ 6‬يف يتلاقم يف فافتلالا نم جورخ روشنم كلف ريودتلا‬ ‫نع هناكم هتجاحو ىلإ ناكم عسوأ نم هناكم ٌلوق ‪،‬حيحص ّنأو يذلا هلّيخت نم دض اذه لوقلا‬ ‫وه ٌلّيخت ريغ ‪.‬حيحص نّيبتيو عم كلذ اًضيأ ٌلاحم ‪،‬دئاز مل هركذأ يف كلت ‪،‬ةلاقملا نّيبتيو نم عومجم‬ ‫ام ‪،‬نّيبت طلغ سويملطب يف هضرف تاروشنملا ةكرحل كالفأ ‪.‬ريوادتلا‬

‫ّمث لاق نم دعب اذه لوقلا ام ليق ‪ 7‬يف هذه ‪:‬ةلاقملا بترنلف« نآلا ةكرحل فافتلالا اًماسجأ‬

‫كّرحتت تاكرح ةريدتسم لوح زكارم باطقأو »‪.‬ةتباث مّمتو مالكلا ّمث ‪:‬لاق هيفو« كوكش جاتحن‬

‫ىلإ »‪.‬اهّلح لاقو دق« ضرف زكرم ّلك ةرئاد نم هذه ‪ 8‬رئاودلا راغصلا ىلع ةطقن ةدحاو اهنيعب نم‬

‫و‪-١٠-‬ل‬

‫ّطخلا يذلا لصي نيب زكرم كلفلا جراخلا زكرملا يذلا رودي هلوح ‪ /‬كلف ريودتلا نيبو< زكرم كلف‬

‫ظ‪-١٢٢-‬ب‬

‫ينعي رطق ‪ /‬كلف ؛ريودتلا ّمث لاق دقو« عضو سويملطب لويم كالفألا ةجراخلا زكارملا بَسَحب‬

‫»‪>.‬ريودتلا ىهتناو يف همالك ىلإ نأ ‪:‬لاق مولعمو« هّنأ نوكي اًيذاحم زكرمل كلفلا جراخلا ‪»،‬زكرملا‬ ‫اهراطقأ يتلا ّرمت تاياهنلاب ةيلامشلا ؛»ةيبونجلاو ّمث ‪:‬لاق اذإو« ناك زكرم كلف ريودت ّلك ٍدحاو اهنم‬

‫‪: ‎1.‬عضو قوف رطسلا يف ]ل[‬

‫‪ ‎3.‬روشنملا ‪:‬نإو تاروشنملا ؟]ل[‬ ‫‪: ‎6.‬ركُذ هتركذ ]ل[‬ ‫‪:‬هذه وه هذه ]ب[‬

‫‪ ‎2.‬دعبلاو برقألا وه دعبلا ‪:‬دعبألا برقألاو وه دعبألا ]ل[‬ ‫‪: ‎4.‬نالاحم نيلاحم‬

‫‪: ‎5.‬ةكرح قوف رطسلا يف ]ل[‬

‫‪ ‎7.‬اذه لوقلا ام ‪:‬ليق اذه لوقلا نم لبق ‪]،‬ل[ اذه لوقلا مث ليق ]ب[‬

‫‪ ‎8.‬نم‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

de l’épicycle de chacun d’eux est à l’une des deux extrémités, alors son diamètre dirigé vers le centre de l’orbe excentrique est celui qui passe par l’apogée moyen, diamètre dirigé vers le centre de l’écliptique, qui passe par l’apogée apparent. Il a continué ce récit, puis il a dit : cela est différent de ce que Ptolémée a posé, car il fait dans la première phrase du treizième chapitre une assertion générale, et il dispose les inclinaisons des épicycles selon leurs diamètres qui sont dirigés vers le centre de l’écliptique, ces diamètres étant ceux sur lesquels se trouvent le périgée et l’apogée apparents, à partir de chaque . Il dit ensuite : Ptolémée n’a prescrit le mouvement que pour les extrémités des diamètres dirigés vers le centre de l’écliptique, et sa parole – il veut parler de Ptolémée – disant que ces diamètres entraînent avec eux les plans des épicycles montre que ce même diamètre se déplace sur le petit cercle mais qu’il doit toujours suivre le centre de l’écliptique sans échange ni alternance. Tout ce discours montre qu’il n’a pas médité – que Dieu le garde – les propos de Ptolémée, et qu’il n’a pas remarqué le but que poursuivait celui-ci en disant : « Nous disposons les inclinaisons des épicycles selon leurs diamètres dirigés vers le centre de l’écliptique, ces diamètres étant ceux sur lesquels se trouvent le périgée et l’apogée apparents.» Ces paroles, je veux dire celles de Ptolémée, font partie des paroles que Monseigneur le Šayḫ a prises selon leur apparence ; il ne les a pas méditées, ni ne les a interprétées ; alors il a cru que le diamètre incliné reste en permanence dirigé vers le centre de l’écliptique. Ce qui prouve cela, c’est son assertion : « Ceci montre que ce diamètre se déplace sur le cercle et qu’il doit toujours être dirigé vers le centre de l’écliptique sans échange ni alternance.» Cette croyance fait partie de ses sentiments dont j’ai parlé plus haut ; je veux dire qu’il n’en doute pas et qu’il veut que la réponse s’y conforme, car sa parole, « il doit toujours être dirigé vers le centre de l’écliptique sans échange ni alternance », montre qu’il s’est laissé convaincre par cette idée et qu’il l’a admise sans douter de sa vérité. Cette croyance est à un degré ultime d’incohérence et d’impossibilité. Je montre cela par une preuve incontestable : c’est que toute droite qui possède un point fixe et qui se déplace d’un mouvement circulaire continu ne reste, durant le temps de son mouvement, dirigée vers aucun autre point fixe que son propre point fixe. C’est une proposition universelle que je montre pour le diamètre de l’épicycle. Considérons le diamètre d’un épicycle qui tourne autour du petit cercle au moment où il est en dehors du plan de l’écliptique. Si on prolonge ce diamètre suivant la ligne droite, il aboutit au plan de l’écliptique, car le plan du petit cercle coupe, en s’étendant, le plan de

‫‪615‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫ىلع ىدحإ ‪،‬نيتياهنلا ّنإف هرطق يذلا يذاحي زكرم كلفلا جراخلا زكرملا وهو يذلا ّرمي دعبلاب دعبألا‬

‫طسولا ]نع[ >ريغ< رطقلا يذلا يذاحي ‪ 1‬زكرم كلف جوربلا يذلا ّرمي دعبلاب دعبألا يذلا »‪.‬ىرُي‬

‫ّمث ّرمتسا يف اذه مالكلا ّمث لاق نم دعب ‪:‬اذه اذهو« فالخ ام هعضو ‪،‬سويملطب هّنأل لوقي‬

‫يف ةلمجلا ىلوألا نم ةلاقملا ةثلاثلا ةرشع اًلوق اًماع عضيو لويم كالفأ ريوادتلا بسحب اهراطقأ‬ ‫ةيداحملا زكرمل كلف ‪،‬جوربلا يهو راطقألا يتلا اهيلع دجوي دعبلا دعبألا دعبلاو برقألا يذلا ىرُي نم‬

‫ّلك دحاو »‪.‬اهنم ّمث لاق نم دعب ‪:‬كلذ ملف« ضرفي سويملطب ةكرحلا اّلإ فارطأل راطقألا يتلا‬ ‫ظ‪-١٠-‬ل‬

‫‪2‬‬

‫يذاحت زكرم كلف ؛جوربلا ‪، /‬هلوقو ينعي ‪،‬سويملطب ّنأ هذه راطقألا رودت ‪ 3‬اهعم حوطس كالفأ‬

‫‪،‬ريوادتلا ّلدي ىلع ّنأ اذه رطقلا هنيعب كّرحتي ىلع ةرئادلا ‪،‬ةريغصلا وهو اًدبأ ٌمزال ةاذاحمل زكرم كلف‬

‫جوربلا نم ريغ ليدبت الو »‪.‬ةرداغم اذهو مالكلا هّلك ّلُدَي ىلع ‪،‬هّنأ هسرح ‪،‬هّللا مل لّمأتي مالك‬ ‫سويملطب الو ظحال هضرغ يف هلوق عضنو« لويم كالفأ اهريوادت ‪ 4‬بسحب اهراطقأ ةيذاحملا زكرمل‬ ‫كلف ‪،‬جوربلا يهو راطقألا يتلا اهيلع دَجوُي دعبلا برقألا دعبلاو دعبألا يذلا ىرُي نم ّلك دحاو‬ ‫»‪.‬اهنم اذهو ‪،‬مالكلا ينعأ مالك ‪،‬سويملطب وه نم مالكلا يذلا هذخأ يالوم خيشلا ىلع هرهاظ‬

‫ملو هلّمأتي ملو لّوأتي ؛هيف دقتعاف ّنأ رطقلا لئاملا نوكي اًدبأ اًيذاحم زكرمل كلف ‪.‬جوربلا ليلدلاو ىلع‬

‫كلذ ‪:‬هلوق ّلدي« ىلع ّنأ اذه رطقلا كّرحتي ىلع ةرئادلا وهو اًدبأ ٌمزال ةاذاحمل زكرم كلف جوربلا نم‬ ‫و‪-١١-‬ل‬

‫ريغ ليدبت الو »‪.‬ةرداغم اذهو داقتعالا وه نم هتاراعشتسا يتلا تمدق ؛اهركذ ‪ /‬ينعأ هّنأ ال ّكشي‬

‫اهيف ديريو نأ نوكي باوجلا اًقفاوم ‪،‬اهل ّنأل ‪:‬هلوق وهو« ‪ 5‬اًدبأ مزال ةاذاحمل زكرم كلف جوربلا نم‬

‫ريغ ليدبت الو ‪»،‬ةرداغم ّلدي ىلع هّنأ دق نّيبت اذه داقتعالا هقّقحتو ملو ‪ّ 6‬كشي ‪.‬هيف اذهو داقتعالا‬ ‫وه يف ةياهن داسفلا ‪.‬ةلاحتسالاو‬

‫انأو نّيبأ كلذ ناهربلاب يذلا ال ّكشُي ‪:‬هيف وهو ّنأ ّلك ّطخ كّرحتي ةكرح ةريدتسم ةلصتم‬

‫ةطقنو هنم ‪،‬ةتباث سيلف مزلي ‪ 7‬اًيذاحم يف عيمج نامز هتكرح ةطقنل ةتباث ريغ ةطقنلا يتلا يه ‪.‬هنم‬

‫و‪-١٢٣-‬ب‬

‫هذهو ةّيضق ةّيّلك ‪ /‬انأو اهنّيبأ يف رطق كلف ‪.‬ريودتلا‬

‫مّهوتُيلف رطق كلف ريودتلا يذلا رودي لوح ةرئادلا ةريغصلا يف تقو هنوك اًجراخ نع حطس‬

‫كلف ‪،‬جوربلا دق ّدتما ىلع ةماقتسا وهف يهتني ىلإ حطس كلف ‪،‬جوربلا ّنأل حطس ةرئادلا ةريغصلا‬

‫‪ ‎1.‬زكرم كلفلا ‪ ...‬يذلا ‪:‬يذاحي ةصقان يف ]ب[ ببسب ةزفق ىلإ رطس رخآ هباشتل تاملكلا‬

‫‪: ‎2.‬يتلا يذلا ]ب[‬ ‫]ل[‬

‫‪: ‎3.‬رودت دوعت ]ب‪،‬ل[‬

‫‪: ‎6.‬ملو الو ]ب‪،‬ل[‬

‫‪: ‎7.‬مزلي نوكي‬

‫‪: ‎4.‬اهريوادت هريوادت ]ب[‬

‫‪: ‎5.‬وهو وه‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

l’écliptique, quelle que soit la position du petit cercle, puisque le plan du petit cercle est toujours orthogonal au plan de l’orbe excentrique, alors que l’orbe excentrique est incliné sur le plan de l’écliptique. Donc si on prolonge en ligne droite le diamètre qui se déplace autour du petit cercle, il aboutit au plan de l’écliptique, il le coupe et le dépasse. Alors si ce diamètre aboutit au plan de l’écliptique, qu’il le coupe, le dépasse, puis se déplace sur le petit cercle, il décrit par ce mouvement un cône dont le sommet est le centre de l’épicycle. Le plan de l’écliptique coupe ce cône dans tous les cas où le cône se prolonge du côté du plan de l’écliptique, car le diamètre de l’épicycle qui tourne autour du petit cercle n’est pas parallèle au plan de l’écliptique, puisqu’il coupe toujours le plan du petit cercle qui coupe toujours le plan de l’écliptique. Il coupe donc toujours le plan de l’écliptique, sauf lorsque l’épicycle se trouve au nœud ; ainsi l’intersection entre le plan de l’écliptique et la surface du cône est une des sections coniques, et le centre de l’écliptique est ou bien à l’intérieur du cône ou bien à l’extérieur du cône ou bien sur sa surface ; parce que, si le centre du petit cercle est sur la droite joignant le centre de l’écliptique et le centre de l’épicycle, le centre de l’écliptique ne peut être qu’à l’intérieur de la section ; et si le centre du petit cercle est en dehors de cette ligne, le centre de l’écliptique peut être à un moment donné sur le périmètre de cette section ou à l’extérieur du périmètre de cette section. Donc le diamètre de l’épicycle ne peut, dans son mouvement, qu’être dirigé vers le périmètre de la section qui se trouve dans le plan de l’écliptique, et il est à chaque moment dirigé vers l’un de ses points ; donc, ou bien le diamètre mobile n’est dirigé vers le centre de l’écliptique à aucun moment, ou bien il l’est à l’un des moments au cours desquels il tourne autour du petit cercle. Si l’épicycle se déplace ensuite de sa position, la section se déplace avec lui et le périmètre de la section devient une courbe composée, et le centre de l’écliptique est soit à l’intérieur, soit à l’extérieur, soit sur cette courbe. Si ce diamètre se trouve sur l’intersection du de l’écliptique et du de l’excentrique au moment où l’épicycle se trouve au nœud, alors il n’est dirigé vers le centre de l’écliptique qu’à un instant unique, puis il s’en éloigne. Cette même notion implique que, si le mouvement du diamètre est composé de plusieurs mouvements, alors d’après cette démonstration le diamètre de l’épicycle qui se meut autour du petit cercle ne peut pas être toujours dans la direction du centre de l’écliptique, et il ne peut pas l’être, en particulier, si le centre du petit cercle est sur la ligne droite joignant le centre de l’écliptique au centre de l’épicycle. De même, l’un

‫‪617‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫اذإ طسبنا وهف عطقي حطس كلف جوربلا يف عيمج عاضوأ ةرئادلا ‪،‬ةريغصلا ّنأل حطس ةرئادلا‬ ‫ظ‪-١١-‬ل‬

‫ةريغصلا وه ‪ 1‬اًدبأ مئاق ىلع حطس ‪ 2‬كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا كلفلاو جراخلا زكرملا ‪ /‬لئام ىلع حطس‬ ‫كلف ‪.‬جوربلا رطقلاف ‪ 3‬كّرحتملا لوح ةرئادلا ةريغصلا اذإ ّدتما ىلع ةماقتسا وهف ‪ 4‬يهتني ىلإ حطس‬

‫كلف جوربلا هعطقيو ‪.‬هزواجتيو اذإف ىهتنا اذه رطقلا ىلإ حطس كلف جوربلا هعطقو هزواجتو ّمث‬

‫كّرحت لوح ةرئادلا ‪،‬ةريغصلا ثُدَح نم هتكرح ٌطورخم هسأر زكرم كلف ‪.‬ريودتلا حطسو كلف‬

‫جوربلا عطقي اذه طورخملا ىلع فيراصت لاوحألا اذإ ّدتما طورخملا يف ةهج حطس كلف جوربلا‬ ‫ّنأل رطق كلف ريودتلا كّرحتملا لوح ةرئادلا ةريغصلا سيل نوكي اًيزاوم حطسل كلف ‪،‬جوربلا هّنأل‬ ‫عطقي اًدبأ حطس ةرئادلا ةريغصلا عطاقلا اًدبأ حطسل كلف ‪.‬جوربلا وهف اًدبأ عطقي حطس كلف‬

‫جوربلا اّلإ يف تقو نوك ‪ 5‬كلف ريودتلا يف ؛ةدقعلا نوكيف لصفلا كرتشملا نيب حطس كلف جوربلا‬ ‫نيبو حطس اذه طورخملا اًعطق نم عوطق ‪،‬طورخملا نوكيو زكرم كلف جوربلا اّمإ يف لخاد اذه‬

‫و‪-١٢-‬ل‬

‫طورخملا اّمإو اًجراخ هنع اّمإو ىلع ؛هطيحم ّنأل زكرم ةرئادلا ةريغصلا نإ ‪ /‬ناك ىلع ّطخلا لصاولا‬ ‫نيب زكرم كلف جوربلا نيبو زكرم كلف ‪،‬ريودتلا زكرمف كلف جوربلا سيل نوكي اّلإ لخاد ؛عطقلا‬

‫نإو ناك زكرم ةرئادلا ةريغصلا اًجراخ نع اذه ‪ّ،‬طخلا نكمأ نأ نوكي زكرم كلف جوربلا يف تقو‬ ‫نم تاقوألا ىلع طيحم عطقلا نكمأو نأ نوكي يف تقو نم تاقوألا اًجراخ نع طيحم ‪.‬عطقلا‬ ‫رطقف كلف ريودتلا اذإ كّرحت سيلف يذاحي اّلإ طيحم عطقلا يذلا ثدحي يف حطس كلف ‪،‬جوربلا‬

‫نوكيو يف ّلك نآ اًيذاحم ةطقنل ؛هنم رطقلاف كّرحتملا اّمإ اّلأ يذاحي زكرم كلف جوربلا يف تقو‬

‫نم تاقوألا وأ هيذاحي يف ٍنآ دحاو نم تانآ نامزلا يذلا رودي هيف لوح ةرئادلا ‪.‬ةريغصلا ّمث‬

‫ظ‪-١٢٣-‬ب‬

‫اذإ كّرحت كلف ريودتلا لقتناف نم هعضوم ّنإف عطقلا كّرحتي هعم ‪ /‬ريصيف طيحم عطقلا اًّطخ اًبّكرم‬ ‫نوكيو زكرم كلف جوربلا يف هلخاد ‪ 6‬وأ ىلع هطيحم وأ اًجراخ نع ‪.‬هطيحم نإو راص اذه رطقلا ىلع‬

‫لصفلا كرتشملا نيب كلف جوربلا نيبو كلفلا جراخلا زكرملا يف تقو نوك كلف ريودتلا يف ‪،‬ةدقعلا‬ ‫ظ‪-١٢-‬ل‬

‫سيلف ‪ /‬يذاحي زكرم كلف جوربلا اّلإ اًنآ اًدحاو ّمث كّرحتي اًجراخ ‪.‬هنع مزليو اذه ىنعملا هنيعب نإ‬

‫تناك ةكرح رطقلا ةبّكرم نم ةّدع ؛تاكرح دقف نّيبت اذهب ناهربلا ّنأ رطق كلف ريودتلا كّرحتملا‬

‫لوح ةرئادلا ةريغصلا سيل نوكي اًدبأ اًيذاحم زكرمل كلف جوربلا الو ّحصي نأ هيذاحي ةّصاخو ْنإ‬

‫ناك زكرم ةرئادلا ةريغصلا ىلع ّطخلا لصاولا نيب زكرم كلف جوربلا نيبو زكرم كلف ‪.‬ريودتلا اًضيأو‬

‫]ب[‬

‫‪: ‎1.‬وه قوف رطسلا يف ]ل[‬ ‫‪: ‎4.‬وهف يهف ]ب[‬

‫‪: ‎2.‬حطس يف ‪،‬شماهلا راشأو هيلأ ]ل[‬

‫‪ ‎5.‬اّلإ يف تقو ‪:‬نوك برقألا رود ]ل[‬

‫‪: ‎3.‬رطقلاف ةصقان‬

‫‪: ‎6.‬هلخاد اهلخاد ]ب[‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

des points de ce diamètre, je veux dire le diamètre de l’épicycle, est toujours dans le plan de l’orbe excentrique : c’est le centre de l’épicycle. Le centre de l’écliptique étant dans le plan de l’excentrique, si le diamètre était toujours dans la direction du centre de l’écliptique, alors tout le diamètre serait toujours dans le plan de l’orbe excentrique ; malgré cela il oscille autour du plan de l’orbe excentrique : c’est une impossibilité grave. Ainsi ce que le Šayḫ a ressenti et sur quoi il a insisté est faux. Ce doute est étonnant, car il a posé que ce diamètre reste toujours dans le plan de l’orbe excentrique alors qu’il oscille constamment autour du plan de l’orbe excentrique ; c’est une croyance dont l’incohérence et l’erreur sont démontrées, ce qui entraîne la fausseté de ce qu’il a ordonné pour le mouvement du diamètre de l’épicycle. Cette croyance étant fausse, il devient exact que ce que j’ai ordonné pour le mouvement du diamètre est en accord avec ce que j’ai ordonné. Je montre l’exactitude de cela, après avoir expliqué l’assertion de Ptolémée, à savoir ce qu’il a dit : « et nous disposons les inclinaisons de leurs épicycles selon leurs diamètres qui sont dirigés vers le centre de l’écliptique », ou, suivant certaines copies, « selon leurs différents diamètres qui sont dirigés vers le centre de l’écliptique ». L’essence de cette affirmation est que le diamètre mobile de l’épicycle et l’inclinaison du plan de l’épicycle sont rapportés au diamètre de l’orbe de l’épicycle qui est dans le plan de l’orbe excentrique et qui est toujours dirigé vers le centre de l’écliptique. En effet le diamètre que Ptolémée a signalé et qui est toujours dirigé vers le centre de l’écliptique est le diamètre par rapport auquel s’incline le diamètre dont l’inclinaison mobile est apparente, et non pas le diamètre mobile lui-même. Cette notion est claire et comprise à partir de ses propos. Pour ce qui concerne le diamètre mobile que j’ai ordonné dans mon mémoire avec le petit cercle, j’ai mené un diamètre joignant le centre de l’orbe déférent jusqu’au centre de l’épicycle et j’ai supposé que l’orbe de l’épicycle est dans le plan de l’orbe excentrique par hypothèse, afin que l’agencement soit plus clair. Ce diamètre est celui qui entraîne l’épicycle dans son mouvement autour de l’orbe déférent, et cela est possible dans n’importe quelle position supposée de ce diamètre, car cette notion va être montrée dans la suite. J’ai supposé que le diamètre de l’épicycle qui passe par l’apogée et par le périgée vrais dans le plan de l’épicycle était dans le plan de l’orbe excentrique. Ce diamètre, je veux dire celui de l’épicycle, est tel que si on le prolonge en ligne droite il aboutit au centre de l’orbe équant se mesure le mouvement en longitude ; ce diamètre est alors incliné par rapport au diamètre sortant du centre de l’orbe

‫‪619‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫ّنإف ةطقن نم اذه ‪،‬رطقلا ينعأ رطق كلف ‪،‬ريودتلا يه اًدبأ ‪ 1‬يف حطس كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا يهو‬

‫زكرم كلف ‪.‬ريودتلا زكرمو كلف جوربلا وه يف حطس كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا اذإف ناك اذه رطقلا اًدبأ‬ ‫اًيذاحم زكرمل كلف جوربلا ناك عيمج رطقلا اًدبأ يف حطس كلفلا جراخلا زكرملا وهو عم كلذ كّرحتم‬

‫لوح حطس كلفلا جراخلا ؛زكرملا اذهو ٌلاحم ‪.‬شحاف دقف لُطَب يذلا هرعشتسا مّمصو ‪.‬هيلع‬

‫اذهو نم بئاجع ‪،‬كوكشلا هّنأل لعج اذه رطقلا يف حطس كلفلا جراخلا زكرملا ‪،‬اًدبأ وهو‬

‫كّرحتي لوح حطس كلفلا جراخلا زكرملا اًدبأ ‪ .2‬اذهو داقتعالا يذلا دق ‪ 3‬نّيبت هداسف هنالطبو وه‬

‫يذلا لطب هب ام هبَّتَر ‪ 4‬يف ةكرح رطق كلف ‪.‬ريودتلا ذإو دق لطب اذه ‪،‬داقتعالا دقف ّحص ّنأ يذلا‬ ‫و‪-١٣-‬ل‬

‫هتبتر نم ةكرح اذه رطقلا وه ىلع ام ‪.‬هتبتر ‪ /‬انأو نّيبأ ةّحص كلذ نم دعب نأ نّيبأ ىنعم لوق‬

‫‪،‬سويملطب ينعأ ‪:‬هلوق عضنو« لويم كالفأ اهريوادت ‪ 5‬بسحب اهراطقأ ةيذاحملا زكرمل كلف ‪»،‬جوربلا‬

‫يفو ضعب ‪،‬خسنلا ىلع« اهراطقأ ةفلتخملا ‪ 6‬ةيذاحملا زكرمل كلف ‪».‬جوربلا ىنعمو اذه لوقلا ّنأ ليم‬

‫‪7‬‬

‫رطق كلف ريودتلا كّرحتملا ليمو حطس كلف ريودتلا امّنإ وه سايقلاب ىلإ رطق كلف جوربلا يذلا‬

‫يف حطس كلفلا جراخلا زكرملا يذاحملا اًدبأ زكرمل ‪ 8‬كلف ‪.‬جوربلا رطقلاف يذلا راشأ هيلإ سويملطب‬

‫يذاحملا اًدبأ زكرمل كلف ‪،‬جوربلا وه رطقلا يذلا ليمي هنع ‪ 9‬رطقلا كّرحتملا ليملا يذلا ىرُي ال رطقلا‬ ‫كّرحتملا ‪.‬هسفن اذهو ىنعملا ٌنِّيب ٌموهفم نم ‪.‬همالك‬

‫اّمأف رطقلا كّرحتملا يذلا هتبتر يف يتلاقم ةرئادلاو ‪،‬ةريغصلا ينإف تجرخأ اًرطق نم زكرم‬

‫كلفلا لماحلا ىلإ زكرم كلف ‪،‬ريودتلا تضرفو كلف ريودتلا يف حطس كلفلا جراخلا زكرملا اًضرف‬

‫نوكيل بيترتلا ‪.‬نّيبأ اذهو رطقلا وه يذلا هتاذ‬ ‫و‪-١٢٤-‬ب‬ ‫ظ‪-١٣-‬ل‬

‫‪10‬‬

‫كّرحي كلف ريودتلا لوح طيحم كلفلا ‪،‬لماحلا‬

‫يفو ّيأ عضوم ضرف اذه رطقلا زاج ّنأل ‪ /‬اذه ىنعملا نّيبتي اميف ‪. /‬دعب تضرفو رطق كلف‬ ‫ريودتلا يذلا ّرمي دعبلاب دعبألا دعبلاو برقألا نيقّقحملا يف حطس كلف ‪،‬ريودتلا ناكو يف حطس‬ ‫كلفلا جراخلا ‪.‬زكرملا اذهو رطقلا ينعأ رطق كلف ريودتلا وه يذلا اذإ ّدتما ىلع ٍةماقتسا ىهتنا‬

‫ىلإ زكرم لّدعم ريسملا يذلا هيلإ ساقت ةكرح ؛لوطلا نوكيف اذه رطقلا اًلئام نع رطقلا جراخلا‬

‫‪ ‎1.‬ىلع ّطخلا لصاولا ‪ ...‬يه ‪:‬اًدبأ يف ‪،‬شماهلا راشأو اهيلإ ]ل[‬

‫يف ]ب[ ببسب ةزفق هباشتل تاملكلا‬

‫اهريودت ]ل[‬

‫‪: ‎3.‬دق ةصقان ]ل[‬

‫‪ ‎2.‬وهو كّرحتي ‪: ...‬اًدبأ ةصقان‬

‫‪: ‎4.‬هبَّتَر هتبتر ]ل[‬

‫‪: ‎6.‬ةفلتخملا ةصقان يف ‪]،‬ل[ برض اهيلع ملقلاب يف ]ب[‬

‫‪: ‎8.‬زكرمل زكرمب ]ل[‬

‫‪: ‎9.‬هنع دنع ]ب[‬

‫‪: ‎10.‬هتاذ هنأك ]ل[‬

‫‪: ‎5.‬اهريوادت‬

‫‪: ‎7.‬ليم ةصقان ]ب[‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

déférent vers le centre de l’épicycle, et il le coupe au centre de l’épicycle ; c’est la raison pour laquelle j’ai supposé le plan de l’épicycle dans le plan de l’orbe excentrique, pour que nous montrions que le diamètre incliné mobile est celui qui, d’après la première hypothèse, était dirigé vers le centre de l’orbe équant, c’est-à-dire le centre le plus éloigné ; et si l’on n’avait pas posé le plan de l’épicycle dans le plan de l’orbe excentrique, on aurait pu croire que le diamètre mobile était, selon ma première hypothèse, dirigé vers le centre du déférent ou vers le centre du monde. J’ai mené ensuite de l’extrémité du diamètre incliné la perpendiculaire au diamètre de l’orbe déférent, puis j’ai posé le pied de cette perpendiculaire comme centre, et j’ai tracé un cercle, de rayon égal à la longueur de cette perpendiculaire, orthogonal au plan de l’orbe excentrique ; ainsi l’extrémité du diamètre incliné se trouve sur la circonférence du petit cercle. J’ai fait ensuite mouvoir le diamètre autour du périmètre de ce cercle ; en ordonnant ainsi on a achevé la configuration du mouvement du diamètre, ce qui a montré que le diamètre mobile est celui dont les extrémités sont l’apogée et le périgée vrais. Puis, si l’épicycle se déplace autour de l’orbe excentrique déférent, il fait mouvoir avec lui le diamètre de l’orbe déférent sur lequel se trouve le centre du petit cercle, le petit cercle est entraîné avec lui, et le diamètre mobile est toujours sur le petit cercle. Malgré cela, on imagine toujours une ligne droite, menée du centre du monde vers le centre de l’épicycle jusqu’à la surface supérieure dont le centre est l’orbe de l’épicycle quelle que soit la position de l’épicycle. Alors, à partir de cette ligne droite, s’engendre pour l’épicycle un diamètre dirigé vers le centre de l’écliptique et tel que l’inclinaison du diamètre mobile soit mesurable par rapport à lui, car l’inclinaison sensible mesurée par l’observation est l’inclinaison du diamètre mobile par rapport au diamètre dirigé vers le centre de l’écliptique. La cause de cette inclinaison est le mouvement du diamètre dirigé vers le centre de l’orbe équant, sur lequel se trouvent en permanence l’apogée et le périgée vrais, autour du centre du petit cercle dont le centre est sur le diamètre de l’orbe excentrique déférent. Le mouvement du diamètre mobile ne peut avoir lieu qu’autour d’un petit cercle unique et précis, afin qu’il soit simple et continu. Le centre du petit cercle ne peut que se trouver sur le diamètre de l’orbe excentrique déférent, de manière que si l’orbe excentrique déférent se meut et qu’il meut l’épicycle, alors le petit cercle se meut. Quant aux lignes qui sont menées du centre du monde vers le centre de l’épicycle et qui servent de repère pour mesurer les inclinaisons sensibles, elles se modifient ; c’est que, si le centre du petit cercle était sur le diamètre qui sort du centre du monde, alors ou

‫‪621‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫نم زكرم كلفلا لماحلا ىلإ زكرم كلف ‪،‬ريودتلا اًعطاقم هل ىلع زكرم كلف ريودتلا ‪1‬؛ هذهلو ةّلعلا‬ ‫تضرف حطس كلف ريودتلا يف حطس كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا نّيبتنِل ّنأ رطقلا لئاملا كّرحتملا وه يذلا‬

‫ناك ضرفلاب لّوألا اًيذاحم زكرمل لّدعم ريسملا يذلا وه زكرملا جراخلا ؛دعبألا ولو مل ضرفي حطس‬ ‫كلف ريودتلا يف حطس كلفلا جراخلا زكرملا ناكل ّنظُي ّنأ رطقلا كّرحتملا وه يذلا ناك ضرفلاب‬

‫لّوألا اًيذاحم زكرمل لماحلا ‪ 2‬وأ زكرمل ‪.‬ملاعلا‬

‫ّمث تجرخأ نم فرط اذه رطقلا لئاملا اًدومع ىلع رطق كلفلا ‪،‬لماحلا ّمث تلعج طقسم‬

‫و‪-١٤-‬ل‬

‫دومعلا اًزكرم تردأو دعبب دومعلا ‪ً /‬ةرئاد ًةمئاق ىلع حطس كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا راصف فرط رطقلا‬ ‫لئاملا ىلع طيحم ةرئادلا ‪.‬ةريغصلا ّمث تكّرح رطقلا لوح طيحم هذه ‪،‬ةرئادلا رّرَحَتف ‪ 3‬اذهب بيترتلا‬ ‫ةئيه ةكرح رطقلا نّيبتو ّنأ رطقلا كّرحتملا وه يذلا هافرط دعبلا دعبألا دعبلاو برقألا ‪.‬نيقّقحملا‬ ‫ّمث اذإ كّرحت كلف ريودتلا لوح طيحم كلفلا جراخلا زكرملا لماحلا كِّرحت رطق كلفلا لماحلا يذلا‬

‫هيلع زكرم ةرئادلا ةريغصلا ‪،‬هعم تكّرحتو ةرئادلا ةريغصلا ‪،‬هعم ناكو رطقلا كّرحتملا اًدبأ ىلع طيحم‬ ‫ةرئادلا ‪.‬ةريغصلا‬

‫عمو كلذ هّنإف لّيختُي اًدبأ ّطخ جراخ نم زكرم ملاعلا ىلإ زكرم كلف ريودتلا يهتنيو ىلإ حطسلا‬ ‫‪،‬ىلعألا هزكرم كلف ‪،‬ريودتلا يف ّلك ٍعضوم نم عاضوأ كلف ‪.‬ريودتلا ثدحيف نم كلذ ّطخلا‬ ‫اًرطق كلفل ريودتلا اًيذاحم زكرمل كلف ‪،‬جوربلا نوكي ليم رطقلا كّرحتملا اًسيقم ‪،‬هيلإ ليملاف سوسحملا‬ ‫سيقملا داصرألاب وه ليم رطقلا كّرحتملا نع رطقلا يذاحملا زكرمل كلف ‪.‬جوربلا ةّلعو اذه ليملا‬

‫ظ‪-١٤-‬ل‬

‫‪ /‬وه ةكرح رطقلا يذاحملا زكرمل لّدعم ريسملا يذلا هيلع اًدبأ دعبلا دعبألا دعبلاو برقألا نيقّقحملا‬

‫لوح زكرم ةرئادلا ةريغصلا يتلا اهزكرم ىلع رطق كلفلا جراخلا زكرملا ‪.‬لماحلا سيلو نكمي نأ‬ ‫‪4‬‬

‫نوكت ةكرح رطقلا كّرحتملا اّلإ لوح ةرئاد ةدحاو ةريغص اهنيعب نوكتل ةكرحلا ةطيسب ‪.‬ةلصّتمو‬ ‫سيلو نكمي نأ نوكي زكرم ةرئادلا ةريغصلا اّلإ ىلع رطق ‪ 5‬كلفلا لماحلا ىّتح اذإ كّرحت كلفلا‬

‫ظ‪-١٢٤-‬ب‬

‫لماحلا كّرحو كلف ريودتلا ‪ /‬تكّرحت ةرئادلا ‪.‬ةريغصلا اّمأف طوطخلا يتلا جرخت نم زكرم ملاعلا ىلإ‬

‫زكرم كلف ‪،‬ريودتلا يتلا اهيلإ ساقت لويملا ‪،‬ةسوسحملا اهّنإف ؛لّدبتت ولف ناك زكرم ةرئادلا ةريغصلا ىلع‬

‫‪: ‎2.‬لماحلا كلفلا لماحلا ]ل[‬ ‫‪ ‎1.‬اًعطاقم هل ىلع زكرم كلف ‪:‬ريودتلا ةصقان ]ب[‬ ‫‪: ‎5.‬رطق يف ‪,‬شماهلا راشأو اهيلإ ]ل[‬ ‫‪: ‎4.‬زكرم ةصقان ]ل[‬ ‫‪: ‎3.‬رّرَحَتف روجيف ]ب[‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

bien le petit cercle devrait se modifier, ou bien le mouvement de l’épicycle serait autour du centre du monde. Ces deux notions sont impossibles ; et ce que j’ai ordonné pour le petit cercle et pour le diamètre qui se meut autour de lui est l’ordre vrai. Aucun autre n’est vrai ni possible. Cette notion indiquée par Ptolémée étant avérée et clairement définie, le doute dont elle a fait l’objet et que le Šayḫ a imaginé et ressenti a été levé ; le Šayḫ s’est trompé en l’imaginant et il s’est éloigné du droit chemin. Il a dit ensuite que l’on a besoin de résoudre ces doutes et de vérifier les principes qui ne sont pas tachés de doute. La réponse à cela est que les doutes sont clarifiés et que les principes exempts de doute ont été vérifiés. Il a dit ensuite : « Je dis après tout cela que je n’ai compris de ce mémoire et du livre des Hypothèses rien d’autre que des mouvements de sphères contenues les unes dans les autres, tels que la sphère externe entraîne la sphère interne si les deux axes sont distincts, alors que la sphère interne se meut d’un mouvement qui lui est propre. Si ce mouvement était le mouvement d’enroulement, ce serait celui que Ptolémée a imposé pour les corps qu’il a considérés dans le livre des Hypothèses ; alors pourquoi dit-il qu’Aristote a parlé du mouvement d’enroulement sans reconnaître que aussi en a parlé ? » La réponse à ce qu’il a dit (« je n’ai compris de ce mémoire et du livre des Hypothèses rien d’autre que des mouvements de sphères contenues les unes dans les autres ») est que ce qu’il a compris des mouvements des sphères contenues les unes dans les autres est bien le mouvement d’enroulement ; mais il a cru qu’il y avait autre chose qui s’appelle mouvement d’enroulement, car il a estimé que le mouvement d’enroulement était une notion vague cachée et extrêmement difficile, alors qu’il n’en est pas ainsi. La raison d’une telle croyance est l’excuse faite par Ptolémée à propos de ce mouvement. Ptolémée s’en est excusé non pas parce que ce mouvement est très difficile et caché, mais parce qu’il est le plus difficile de tous les mouvements cités dans l’Almageste. Quant à ses propos concernant ce mémoire et le livre des Hypothèses, la réponse à cela est que ce qu’il a compris de ce mémoire est différent de ce qu’il a compris du livre des Hypothèses, car Ptolémée n’a pas expliqué ce mouvement dans le livre des Hypothèses et il n’est pas parvenu à l’ordonner. Si Monseigneur le Šayḫ l’avait compris du livre des Hypothèses, il n’aurait pas eu besoin de me questionner là-dessus ; s’il avait compris les mouvements des sphères contenues les unes dans les autres, il n’aurait pu le faire qu’à l’aide de mon mémoire qu’il possède. Il n’est pas correct que le mouvement que Ptolémée a signalé et qui induit les mouvements en latitude pour les cinq planètes soit le mouvement d’enroulement, sauf s’il est conçu selon la configuration que j’ai construite et les détails que j’ai donnés.

‫‪623‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫رطقلا يذلا جرخي نم زكرم ‪،‬ملاعلا مزل ‪ 1‬نأ لّدبتت ةرئادلا ةريغصلا وأ نوكت ةكرح كلف ريودتلا لوح‬

‫زكرم ‪.‬ملاعلا ناذهو ناينعملا ‪،‬نالاحم بيترتلاف يذلا هتبتر ةرئادلل ةريغصلا رطقللو كّرحتملا اهلوح‬ ‫و‪-١٥-‬ل‬

‫وه بيترتلا حيحصلا ‪ 2‬يذلا ال ّحصي الو زوجي ‪. 3‬هريغ وهو ‪ 4‬ىنعملا يذلا ‪ /‬راشأ هيلإ ‪،‬سويملطب‬ ‫دقو ّحص ؛رّرحتو لطبو هعم ّكشلا يذلا هلّيخت هرعشتساو ّلزو نع قيرطلا ميقتسملا يف ‪.‬هلُّيخت‬

‫ّمث لاق نم دعب ‪،‬كلذ هذهف كوكشلا يه يتلا جاتحي ىلإ اهّلح قّقحتو لوصألا يتلا ال ّكشي‬

‫؛اهيف باوجلاف ‪ 5‬نع اذه لوقلا وه ّنأ كوكشلا دق تّلحنا تقّقحتو لوصألا ملو قبي اهيف ءيش نم‬

‫‪.‬كوكشلا ّمث لاق نم دعب اذه ‪:‬لوقلا ّمث« يّنإ لوقأ نم دعب اذه هّلك يّنإ مل مهفأ نم هذه ةلاقملا‬ ‫الو نم باتك صاصتقالا ريغ ‪ 6‬تاكرح تارك طيحت ‪ 7‬اهضعب ضعبب كِّرحُتو ةجراخلا ةلخادلا اذإ‬

‫فلتخا ‪،‬ناروحملا ّمث كّرحتت ةلخادلا ةكرحب ‪.‬اهّصخت نإف تناك هذه ةكرحلا يه ةكرح فافتلالا يهف‬

‫يتلا اهضرف سويملطب يف ماسجألا يتلا اهعضو يف باتك صاصتقالا؛ َمِلفلاق ّنإ وطسرأ ‪ 8‬لاق ةكرحب‬ ‫فافتلالا ملو فرتعي هّنأ وه اًضيأ هسفن دق لاق »؟اهب باوجلاف نع اذه لوقلا اّمأ هلوق مل« مهفأ نم‬

‫ظ‪-١٥-‬ل‬

‫هذه ةلاقملا الو نم باتك صاصتقالا ‪ /‬ريغ تاكرح ركأ طيحي ‪ 9‬اهضعب ‪»،‬ضعبب باوجلاف هنع ّنأ‬

‫يذلا مهف نم تاكرح تاركلا طيحملا ‪ 10‬اهضعب ضعبب وه ةكرح ؛فافتلالا امّنإو دقتعا ّنأ كانه‬ ‫اًءيش رخآ وه ةكرح فافتلالا هّنأل رّدق يف هسفن ّنأ ةكرح فافتلالا وه ىنعم ضماغ يفخ يف‬ ‫ةياهن ‪.‬رْسُعلا سيلو رمألا ‪.‬كلذك ةّلعلاو يف اذه داقتعالا — وهو‬

‫‪12‬‬

‫‪11‬‬

‫راذتعا سويملطب نم هذه‬

‫ةكرحلا ‪ —،‬سيلو اذإ رذتعا سويملطب نم هذه ةكرحلا ‪ 13‬بجو نأ نوكت يف ةياغ رسعلا ‪،‬ءافخلاو‬ ‫امّنإو رذتعا اهنم اهّنأل رسعأ نم عيمج تاكرحلا يتلا مدقت اهركذ يف يطسجملا ‪ .14‬اّمأو‬

‫‪15‬‬

‫هلوق نم‬

‫هذه ةلاقملا نمو باتك صاصتقالا‪ّ ،‬نإف هباوج ّنأ يذلا مهف نم هذه ةلاقملا سيل وه يذلا مهف‬

‫نم باتك صاصتقالا‪ّ ،‬نأل سويملطب مل حرشي هذه ةكرحلا يف باتك صاصتقالا الو ىتأت ‪.‬اهبيترتل ولو‬

‫ناك يالوم خيشلا اهمهف نم باتك صاصتقالا امل ناك جاتحي ىلإ نأ ينلأسي ‪،‬اهنع نإف ناك مهف‬

‫تاكرح تاركلا طيحملا اهضعب ‪،‬ضعبب امف اهمهف اّلإ نم يتلاقم يتلا ‪.‬هدنع سيلو ّحصي نأ نوكت‬

‫و‪-١٦-‬ل‬ ‫و‪-١٢٥-‬ب‬

‫ةكرح ‪، /‬فافتلالا يتلا راشأ اهيلإ ‪،‬سويملطب يتلا نوكي اهنم تاكرح ضرعلا ‪ /‬بكاوكلل ةسمخلا‬ ‫‪ ‎3.‬ال ّحصي الو ‪:‬زوجي ال زوجي الو ّحصي ]ل[‬ ‫‪: ‎2.‬حيحصلا ةصقان ]ل[‬ ‫‪: ‎1.‬مزل مزلي ؟]ل[‬ ‫‪: ‎7.‬طيحت طيحم‬ ‫‪: ‎6.‬ريغ نم ريغ ]ب[‬ ‫‪: ‎5.‬باوجلاف باوجلاو ]ل[‬ ‫‪: ‎4.‬وهو اذهو ]ب[‬ ‫‪: ‎10.‬طيحملا ةطيحملا‬ ‫‪ ‎9.‬ركأ ‪:‬طيحي طيحم ]ل[‬ ‫‪: ‎8.‬وطسرأ سلاطوطسرأ ]ل[‬ ‫]ل[‬ ‫‪ ‎13.‬سيلو اذإ رذتعا سويملطب نم هذه‬ ‫‪: ‎12.‬وهو وه ]ب[‬ ‫‪: ‎11.‬يف يفو ]ل[‬ ‫]ب‪،‬ل[‬

‫‪:‬ةكرحلا ةصقان ]ب[‬

‫‪ ‎14.‬امّنإو رذتعا ‪ ...‬يف يطسجملا ‪ :‬ةصقان ]ب[‬

‫‪: ‎15.‬اّمأو اّمأف ]ب[‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

C’est d’abord une configuration qui n’est susceptible d’aucune impossibilité, qui n’est l’objet d’aucune absurdité, et à partir de laquelle s’engendre pour la planète un mouvement par lequel se produit, par le mouvement de son centre, une ligne qu’on imagine s’enrouler sur le corps de la petite sphère mouvant le corps de la planète. C’est à cause de l’enroulement de cette ligne sur le corps de l’orbe de l’épicycle, et à cause de rien d’autre, que j’ai désigné ce mouvement par « mouvement d’enroulement ». Quant à ce qu’il a dit : « Pourquoi dit-il qu’Aristote a parlé du mouvement d’enroulement ? », la réponse est : il veut dire qu’Aristote a parlé de ce mouvement, c’est-à-dire qu’il a utilisé ce type de mouvements, mais il n’a pas voulu dire qu’il a utilisé le mouvement même que Ptolémée signalait et qui est le mouvement de l’épicycle. C’est que le mouvement dont on dit qu’Aristote l’a utilisé et adopté et qu’on appelle « mouvement d’enroulement » est le mouvement composé de tous les mouvements de la planète. C’est le cas du mouvement du Soleil qui est composé de son mouvement d’est en ouest, selon ce que voit Aristote, et de son mouvement du nord vers le sud ; ce mouvement est celui qui se compose, chez les mathématiciens, du mouvement du Soleil d’ouest en est autour des deux pôles de son orbe et du mouvement du Tout d’est en ouest. Par ces deux manières il se produit pour le centre du Soleil un mouvement sur une ligne hélicoïdale, enroulée sur son orbe, dont l’une des extrémités est le point du solstice d’été et l’autre est le point du solstice d’hiver ; et elle s’enroule autour de l’orbe du Soleil ; elle ressemble à la ligne qui se produit par les mouvements des sphères de l’orbe de l’épicycle que nous avons disposées pour le mouvement d’enroulement. Ainsi le mouvement d’enroulement dont on dit qu’Aristote l’a utilisé est le mouvement composé de tous les mouvements de l’astre. Monseigneur le Šayḫ dit, dans ses pages, qu’il a amené un propos d’Aristote où l’on comprend le mouvement d’enroulement de façon différente de celle que l’on comprend du mémoire. On soupçonne qu’il a compris, du propos d’Aristote, ce mouvement que je viens de citer. Ce mouvement n’est pas cité par les mathématiciens et ils ne l’utilisent pas, car ils n’en ont pas besoin. Ce que les mathématiciens désignent par « mouvement d’enroulement » est le mouvement de l’épicycle autour du petit cercle. Ce mouvement se compose de plusieurs mouvements ; à partir de ce mouvement s’engendre une ligne qui s’enroule autour de la sphère de l’épicycle. C’est à ce mouvement que Ptolémée fait référence dans le livre des Hypothèses ; c’est le mouvement dont les mathématiciens ont un besoin impérieux, car c’est de lui que résultent les mouvements en lati-

‫‪625‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫اّلإ ىلع ةئيهلا يتلا ‪،‬اهتنيب ليصفتلاو يذلا ‪.‬هتلصف يهو ٌةئيه‪ 1‬ال ضرعي اهيف ءيش نم تالاحملا الو‬ ‫اهمزلي ءيش نم ‪،‬تاعانشلا دّلوتيو اهنم بكوكلل ًةكرح ثدحي اهب نم ةكرح هزكرم ّطخ لّيختم‬ ‫هّنأك ّفتلم ىلع مسج ةركلا ىرغصلا ةكِّرحملا مرجل ‪.‬بكوكلا فافتلالو اذه ّطخلا ىلع مسج‬

‫كلف ‪،‬ريودتلا تيمس هذه ةكرحلا ةكرح ‪،‬فافتلالا ال ٍةّلعل ‪.‬ىرخأ‬

‫اّمأف ‪:‬هلوق َمِلف« لاق ّنإ وطسرأ ‪ 2‬لاق ةكرحب ‪»،‬فافتلالا باوجلاف هنع هّنأ ديري ّنأ وطسرأ‬

‫‪3‬‬

‫لاق هذهب ةكرحلا ينعي ‪ 4‬هّنأ لمعتسا اذه عونلا نم ‪،‬تاكرحلا ملو دري هّنأ لمعتسا سفن ةكرحلا يتلا‬ ‫راشأ اهيلإ سويملطب يتلا يه ةكرح كلف ‪.‬ريودتلا كلذو ّنأ ةكرحلا يتلا لاقي ّنإ سيلاطوطسرأ‬

‫‪5‬‬

‫اهلمعتسا لاقو ‪، 6‬اهب >يهو< يتلا ليق اهّنإ ةكرح ‪،‬فافتلالا يه ةكرحلا ‪ 7‬يتلا بّكرتت نم عيمج‬

‫ظ‪-١٦-‬ل‬

‫تاكرح ‪:‬بكوكلا لثم ةكرح سمشلا يتلا يه ‪ٌ /‬ةبّكرم نم اهتكرح ‪ 8‬نم قرشملا ىلإ ‪،‬برغملا‬ ‫ىلع ام هاري وطسرأ ‪ ،9‬نمو اهتكرح نم لامشلا ىلإ ؛بونجلا هذهو ةكرحلا يه يتلا ‪،‬بّكرتت دنع‬ ‫باحصأ ‪،‬ميلعتلا نم ةكرح سمشلا نم برغملا ىلإ قرشملا ىلع يبطق اهكلف نمو كّرحت ّلكلا اهب‬

‫نم قرشملا ىلإ ‪.‬برغملا الِكبو نيهجولا ثدحي زكرمل سمشلا ةكرح ىلع ٍّطخ يبلول ّفتلم ىلع‬

‫‪،‬اهكلف دحأ هيفرط‬

‫‪10‬‬

‫دنع ةطقن بالقنالا يفيصلا رخآلاو دنع ةطقن بالقنالا ؛يوتشلا وهو‬

‫ّفتلم ىلع كلف سمشلا وهو ٌهيبش ّطخلاب يذلا ثدحي نم تاكرح تارك كلف ريودتلا يتلا تبتر‬

‫ةكرحل ‪.‬فافتلالا ةكرحف فافتلالا يتلا لاقي ّنإ وطسرأ اهلمعتسا يه ةكرحلا يتلا بّكرتت نم عيمج‬ ‫تاكرح بكوكلا ‪.11‬‬

‫ركذو انالوم خيشلا يف هتعقر هّنأ رضحأ مالك وطسرأ مهفُت هنم ةكرح فافتلالا ىلع فالخ‬

‫ام مهف نم ‪.‬ةلاقملا هبتشيو نأ نوكي مهف نم مالك وطسرأ هذه ةكرحلا يتلا اهتركذ ‪.‬نآلا هذهو‬

‫ةكرحلا ال اهركذي باحصأ ميلاعتلا الو اهنولمعتسي مهّنأل ال نوجاتحي ‪.‬اهيلإ يذلاو هيمسي باحصأ‬ ‫و‪-١٧-‬ل‬

‫ميلعتلا ةكرح ‪ /‬فافتلالا وه ةكرح كلف ريودتلا لوح ةرئادلا ‪.‬ةريغصلا هذهو ةكرحلا بّكرتت نم‬ ‫ةّدع ‪،‬تاكرح ثدحيو اهنم ّطخ ّفتلم ىلع ةرك كلف ؛ريودتلا ىلإو هذه ةكرحلا راشأ سويملطب‬

‫يف باتك صاصتقالا‪ ،‬هذهو ةكرحلا جاتحي اهيلإ باحصأ ميلاعتلا ةجاح ةديدش ّنأل اهنم لّصحتت تاكرح‬

‫‪: ‎3.‬وطسرأ سلاطاطسرأ ]ل[‬ ‫‪: ‎2.‬وطسرأ سطاطسرأ ]ل[‬ ‫‪ٌ: ‎1.‬ةئيه هذه ]ب[‬ ‫‪: ‎7.‬ةكرحلا‬ ‫‪: ‎6.‬لاقو كلتو ]ب[‬ ‫‪: ‎5.‬سيلاطوطسرأ سلاطسرأ ]ل[‬ ‫‪: ‎4.‬ينعي ىنعم ]ل[‬

‫ةصقان ]ل[‬

‫ريغب )ةراشإ‬

‫‪ ‎8.‬نم ‪:‬اهتكرح قوف رطسلا يف ]ل[‬ ‫‪: ‎10.‬هيفرط اهيفرط ]ب[‬

‫‪: ‎9.‬وطسرأ سلاطسرأ ]ل[ لوقنسو( نآلا « وطسرأ »‬

‫‪: ‎11.‬بكوكلا بكاوكلا ]ل[‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

tude des planètes. En fait, Monseigneur le Šayḫ a compris du propos d’Aristote une chose différente de celle qu’il a comprise du mémoire, car le mouvement d’enroulement qu’Aristote a signalé est autre que le mouvement d’enroulement que Ptolémée a signalé ; ils sont homonymes car ils sont de même espèce. En fait, Ptolémée a cité la parole d’Aristote à propos du mouvement d’enroulement car les deux mouvements sont de même espèce. Si Monseigneur le Šayḫ soulève la question du mouvement d’enroulement signalé par les mathématiciens, c’est celui qui est cité dans le mémoire qu’il possède ; mais si sa question porte sur le mouvement d’enroulement signalé par Aristote, c’est celui qu’il a compris de ce qu’il a cité du propos d’Aristote. Mais s’il veut que l’un soit l’autre, c’est une demande impossible, car l’un n’est pas l’autre, mais il lui ressemble seulement. La preuve de cela est que les mathématiciens n’utilisent pas l’autre ni ne le mentionnent, je veux dire celui signalé par Aristote, car ils n’en ont pas besoin ; de plus Aristote n’utilise pas le mouvement de l’épicycle et il ne lui consacre pas un mot. De même le mouvement que signale Aristote est un mouvement qui se produit incidemment de toute façon, et cela quelles que soient les caractéristiques des mouvements de la planète, sans que des corps lui soient attribués et sans que des mouvements précis lui soient ordonnés ; car tout corps possède différents mouvements circulaires, et il faut donc que se produise, de tous ses mouvements, un mouvement composé, et que ce mouvement soit enroulant. Le mouvement que signale Ptolémée est un mouvement pour lequel il a disposé des corps bien déterminés ayant des mouvements déterminés. Ainsi, ce que j’ai expliqué sur l’essence du mouvement d’enroulement est suffisant.

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Il a dit ensuite : « S’il y avait ici autre chose que je n’ai pas comprise et qui est le mouvement d’enroulement, qu’il soit assez bon pour le montrer ; je pose une question concernant le mouvement d’enroulement grâce auquel chacune des sphères des planètes se meut par le premier mouvement, parce que les sphères qui se trouvent entre la sphère de chaque planète et la sphère qui produit le premier mouvement sont différentes de position et de mouvement ; ce sont elles qui impliquent l’excès dans le nombre , qui occupent un grand espace et qui s’entraînent ensemble vers une même région. Ce sont les mouvements dont Ptolémée dit qu’Aristote les a utilisés ; or ils ressemblent à l’enroulement.» La réponse à cela est que le mouvement sur lequel il pose une question est le mouvement que j’ai montré dans le mémoire qu’il possède : c’est que, si les mouvements de ces sphères étaient supposés assujettis à

‫‪627‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫بكاوكلا يف ‪.‬ضرعلا امّنإو مهف يالوم خيشلا نم مالك وطسرأ ريغ ام مهف نم ‪،‬ةلاقملا ّنأل‬

‫ةكرح فافتلالا يتلا راشأ اهيلإ وطسرأ يه ريغ ةكرح فافتلالا يتلا راشأ اهيلإ ؛سويملطب امهو‬ ‫ناكرتشت يف مسالا امهّنأل نم ٍعون ‪.‬دحاو امّنإو دهشتسا سويملطب لوقب وطسرأ يف ةكرح ‪ 1‬فافتلالا‬

‫ظ‪-١٢٥-‬ب‬

‫ّنأل نيتكرحلا ‪ /‬نم ٍعون ‪.‬دحاو نإف ناك يالوم خيشلا لأسي نع ةكرح فافتلالا يتلا ريشي اهيلإ‬

‫ظ‪-١٧-‬ل‬

‫ريشي اهيلإ وطسرأ يهف يتلا اهمهف ىلع ام هركذ نم مالك ؛وطسرأ نإو ناك ديري نأ ‪ /‬نوكت هذه‬

‫باحصأ ميلاعتلا ‪ 2‬يهف يتلا اهتركذ يف ةلاقملا يتلا ؛هدنع نإو ناك لأسي نع ةكرح فافتلالا يتلا‬

‫يه كلت اذهف بولطم ليحتسم ّنأل هذه تسيل كلت امّنإو ‪ 3‬اههبشت ‪.‬طقف ليلدلاو ىلع كلذ ّنأ‬

‫باحصأ ميلاعتلا ‪ 4‬ال نولمعتسي كلت الو ‪،‬اهنوركذي ينعأ يتلا راشأ اهيلإ ‪،‬وطسرأ مهّنأل ال نوجاتحي‬

‫؛اهيلإ وطسرأو ال لمعتسي ةكرح كلف ريودتلا الو اهّصخي ‪.‬لوقب اًضيأو ّنإف يتلا ريشي اهيلإ وطسرأ يه‬

‫ةكرح ثدحت ‪،‬ضرعلاب ىلع فيراصت لاوحألا ىلعو يأ ٍةفص تناك تاكرح ‪،‬بكوكلا نم ريغ‬ ‫نأ فّلكتت اهل ماسجأ الو بّترت اهل تاكرح ةنَّيعم ّنأل ّلك مسج كّرحتي تاكرح ةفلتخم ةريدتسم‬ ‫الف ّدب نأ ثدحي نم هتاكرح ةكرح ةبّكرم نوكتو ‪.‬ةّفتلم يذلاو راشأ هيلإ سويملطب يه ةكرح‬ ‫فّلكُت اهل ماسجأ ةنيعم ضرفو اهل تاكرح ‪.‬ةنيعم اذهف يذلا هتحرش ٍفاك يف ةيهام ةكرح‬ ‫‪.‬فافتلالا‬

‫‪B‬‬

‫ّمثلاق نم دعب ‪:‬كلذ نإف« ناك انهاه ءيش رخآ مل مهفأ وه ةكرح فافتلالا لّضفت هب هنَّيبو ‪،5‬‬

‫نعف ةكرح فافتلالا تلأس يتلا اهب كّرحتت ّلك ةدحاو نم تارك بكاوكلا ةكرحلا ؛ىلوألا ذإ‬

‫و‪-١٨-‬ل‬

‫‪ /‬تناك تاركلا يتلا نيب ةرك ّلك بكوك نيبو ةركلا يتلا اهنم ةكرحلا ىلوألا ةفلتخم يف اهعضو‬ ‫؛اهتكرحو يهو يتلا اهمزلي طارفإلا يف ةرثك ددعلا ذخأتو ًءاضف اًريبك عفدنتو اًعم ىلإ ةيحان ‪.‬ةدحاو‬ ‫يهو تاكرحلا يتلا لوقي سويملطب ّنإ سلاطسرأ اهلمعتسا ‪ 6‬اهّنإو ةهيبش »‪.‬فافتلالاب باوجلاف‬

‫هنع ّنأ هذه ةكرحلا يتلا لأسي اهنع يه ةكرحلا يتلا اهتنيب يف ةلاقملا يتلا ‪:‬هدنع اذإ تضِرُف تاكرحلا‬

‫‪: ‎1.‬ةكرح ةصقان ]ل[‬

‫ميلعتلا ]ب[‬ ‫اهلمعتسا ]ب[‬

‫‪: ‎2.‬ميلاعتلا ميلعتلا ]ب[‬

‫‪: ‎5.‬هنَّيبو »و« قوف رطسلا يف ]ب[‬

‫‪: ‎3.‬امّنإو امّنإو يه ]ل[‬

‫‪: ‎4.‬ميلاعتلا‬

‫‪ ‎6.‬سويملطب ّنإ سلاطسرأ ‪:‬اهلمعتسا وطسرأ هّنإ‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

des sphères ayant des centres différents, cela impliquerait que ces sphères s’entraînent mutuellement et qu’elles ont besoin d’un grand espace. L’hypothèse des sphères ayant des centres différents et qui s’entraînent mutuellement est tout à fait possible et réalisable de plusieurs manières. Ce n’est pas toujours difficile si ces sphères ont des centres différents et qu’elles s’entraînent mutuellement en prenant un grand espace ; sauf quand cela est en contradiction avec les principes sur lesquels se fondent les mouvements dans le ciel ; et il est plutôt difficile d’imposer ce mouvement à des sphères qui ne s’entraînent pas mutuellement et qui n’ont pas besoin d’un lieu plus grand que leur lieu. Les mathématiciens sont d’accord sur le fait que si un quelconque mouvement dans le ciel est possible selon une configuration n’impliquant ni impossibilité ni incohérence et aussi selon une autre configuration impliquant des impossibilités et des incohérences, alors la seconde configuration est fausse. En fait la configuration de ce mouvement a été établie dans le mémoire qu’il possède, et cela d’une manière n’impliquant ni incohérence ni impossibilité ; alors l’autre configuration au sujet de laquelle il interroge maintenant est fausse ; de plus on n’a pas besoin de cette configuration, car Ptolémée l’a critiquée et a montré que l’on n’en a pas besoin (cela dans ses affirmations sur les prismes). Monseigneur le Šayḫ a cité sa parole, de ses doutes, avant de parler du petit prisme, à savoir : ils – il veut dire les prismes – se meuvent par le mouvement apparent bien qu’ils soient moins nombreux que les sphères ; cela implique l’impossibilité et les incohérences elles-mêmes dans le fait de poser des sphères qui s’enroulent les unes sur les autres, avec ce que cela implique d’excès en leur nombre ; c’est qu’elles prennent au sein de l’éther un grand espace, et l’on n’en a pas besoin dans les mouvements apparents pour les planètes ; mais elles s’entraînent ensemble dans une même direction. En effet, Ptolémée a considéré que le besoin d’un grand vide pour ces sphères et le fait qu’elles s’entraînent mutuellement forment un argument contre ce mouvement. La raison qui appuie cette critique est que la parole de Ptolémée montre que certains de ses contemporains ont réfuté son hypothèse sur les prismes ; alors il a parlé très longuement en défendant les prismes et en réfutant les sphères par une parole visant à amener ses adversaires à préférer les prismes aux sphères. Ainsi puisque Ptolémée a critiqué cette configuration, puisque cette configuration contredit les principes établis pour les mouvements des planètes et puisqu’on n’en a pas besoin pour les mouvements des planètes, il est clair que cette configuration est fausse. Par ailleurs, il a été établi à l’aide du mouvement d’enroulement une configuration vraie n’impliquant aucune impossiblité, cette

‫‪629‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫يتلا يف كلت ركألا يف ركأ ‪ 1‬ةفلتخم زكارملا مزليف نأ عفادتت جاتحتو ىلإ ٍءاضف ‪.‬ريبك ضْرَفو ركأ‬

‫‪2‬‬

‫ةفلتخم زكارملا عفادتت نكمم رسيتمو ىلعو هوجو ةريثك الو رّذعتي اهضرف ّلكب هجو اذإ تناك ةفلتخم‬

‫زكارملا عفادتتو ذخأتو ءاضف ؛اًريبك اّلإ هّنأ فلاخم لوصألل يتلا تررُق اهيلع تاكرح ؛ءامسلا امّنإو‬

‫بعصلا نأ ضرفت هذه ةكرح ‪ 3‬يف ركأ ال عفادتت ‪ 4‬الو جاتحت ىلإ ناكم عسوأ نم ‪.‬اهناكم يذلاو‬ ‫ظ‪-١٨-‬ل‬

‫ال فلتخي هيف باحصأ ميلاعتلا ‪ 5‬وه ّنأ ّلك ةكرح يف ءامسلا اذإ ناك اًنكمم نأ نوكت ىلع ‪ /‬ةئيه‬ ‫ال مزلي اهنم لاحم الو ‪،‬ةعانش ناكو اًنكمم نأ نوكت ىلع ةئيه ىرخأ مزلي اهنم لاحم ‪،‬ةعانشو‬ ‫‪6‬‬

‫و‪-١٢٦-‬ب‬

‫‪7‬‬

‫ةئيهلاف ىرخألا ‪.‬ةلطاب دقو ترّرقت ‪ /‬ةئيه هذه ةكرحلا يف ةلاقملا يتلا هدنع ٍهجوب ال ةعانش هيف‬

‫الو ‪،‬ةلاحتسا هذهف ةئيهلا ىرخألا يتلا لأسي اهنع نآلا يه ةئيه ؛ةلطاب عمو كلذ ّنإف هذه ةئيهلا‬ ‫‪8‬‬

‫ال جاتحي اهيلإ ّنأل سويملطب دق نعط اهيلع نّيبو هّنأ ال جاتحي ‪،‬اهيلإ كلذو يف هترصن ‪. 9‬تاروشنملل‬ ‫دقو ركذ يالوم خيشلا هلوق يف هكوكش لبق هركذ روشنملل ‪،‬رغصألا وهو هلوق اهّنإ كّرحت ‪ ،10‬ينعي‬

‫تاروشنملا ‪ ،11‬يف ةكرحلا يتلا رهظت عم اهّنأ ّلقأ اًددع نم ‪،‬ركألا مزليو هنم ةلاحتسالا تاعانشلاو‬ ‫اهنيعب يف عضو ركأ ّفتلي اهضعب ىلع ضعب ىوس ام مزلي نم اهطارفإ يف ةرثك ‪،‬ددعلا كلذو‬

‫اهّنأ ‪ 12‬ذخأت نم ريثألا ًءاضف اًريبك سيلو جاتحي اهيلإ يف تاكرحلا يتلا رهظت ؛بكاوكلل نكل امّنإ‬ ‫عفدنت اًعم ىلإ ةيحان ‪.‬ةدحاو دقف لعج سويملطب ةجاح هذه ركألا ىلإ ءاضف ريبك اهعفادتو اًنعط‬

‫و‪-١٩-‬ل‬

‫‪.‬اهيلع ةّلعو اذه نعطلا ‪ 13‬وه هّنأ ‪ 14‬نّيبتي نم مالك ‪ /‬سويملطب ّنأ اًموق نم لهأ هنمز اوركنأ هيلع‬ ‫هضرف ‪،‬تاروشنملا ملكتف ىلع تاروشنملا اًمالك اًليوط رصني هب تاروشنملا نعطو ىلع ركألا لوقلاب‬

‫يذلا موقي ىلع قيرط مازلإلا هموصخل‬

‫‪15‬‬

‫لضفيل تاروشنملا ىلع ‪.‬ركألا اذإو ناك سويملطب دق‬

‫نعط ىلع هذه ‪،‬ةئيهلا تناكو هذه ةئيهلا ةفلاخم لوصألل ةرّرقملا تاكرحل ‪ 16‬بكاوكلا ريغو جاتحم‬

‫اهيلإ يف تاكرح ‪،‬بكاوكلا دقف نّيبت اهّنأ ‪.‬ةلطاب اذإو ناك دق ررقت ةكرحب فافتلالا ةئيه ةحيحص ال‬

‫‪: ‎1.‬ركأ ةلآ ]ب[‬

‫عفادتت الو عجارتت ]ل[‬ ‫‪: ‎8.‬عمو نمو ]ب[‬ ‫روشنملا ]ب[‬

‫‪: ‎14.‬هّنأ نأ ]ب[‬

‫‪: ‎2.‬ركأ ةلآ ]ب[‬

‫‪: ‎5.‬ميلاعتلا ميلعتلا ]ب[‬

‫‪: ‎9.‬هترصن ريرقت ]ل[‬

‫‪: ‎3.‬ةكرح ةكرحلا ]ب‪،‬ل[‬

‫‪ ‎4.‬ال ‪:‬عفادتت ال‬

‫‪: ‎10.‬كّرحت يوحت ]ب[‬

‫‪: ‎11.‬تاروشنملا‬

‫‪: ‎6.‬اهنم اهيف ]ب[‬

‫‪ ‎12.‬كلذو ‪:‬اهّنأ يف ‪،‬شماهلا راشأو اهيلإ ]ل[‬ ‫‪: ‎15.‬هموصخل صقان ]ب[‬

‫‪: ‎7.‬اهنم اهيف ]ب[‬

‫‪: ‎13.‬نعطلا نظلا ]ب[‬

‫‪: ‎16.‬تاكرحل تاكرحب ]ل[‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

configuration étant celle que j’ai montrée dans le mémoire qu’il possède ; l’établissement de la configuration fausse et le questionnement à son propos sont une affaire incohérente qui n’est d’aucune utilité. Néanmoins, nous avons montré que la configuration de ce mouvement est qu’il est comme le mouvement par les sphères que nous avons ordonnées dans le mémoire qu’il possède, si les sphères ont des centres distincts et non pas un centre commun. Ainsi nous arrivons à dévoiler toutes les obscurités que Monseigneur le Šayḫ a mentionnées, à montrer leur incohérence et à expliquer leur fausseté et leur impossibilité. Il ne reste plus alors, pour le mouvement d’enroulement, qu’une seule configuration vraie qui n’est autre que la configuration que nous avons établie dans le mémoire qu’il possède. C’est ce que nous avons voulu montrer. De ce qui ressort des propos de Monseigneur le Šayḫ, il est clair qu’il croit en la parole de Ptolémée dans tout ce qu’il dit, sans s’appuyer sur une démonstration et sans invoquer de preuve, mais par pure imitation ; c’est ainsi que les spécialistes de la tradition prophétique ont foi en les prophètes, que Dieu les bénisse. Mais il n’en est pas ainsi des mathématiciens et des spécialistes des sciences démonstratives. J’ai constaté qu’il lui est pénible que j’aie démenti Ptolémée, et qu’il en éprouve du dépit ; ses propos laissent paraître que l’erreur est étrangère à Ptolémée. Or il y a bien des erreurs chez Ptolémée, en bien des passages de ses livres. Entre autres, ce qu’il dit dans l’Almageste : si on l’examine attentivement, on y découvre bien des contradictions. Il a en effet affirmé des principes pour les configurations qu’il mentionne, puis il a proposé pour les mouvements des configurations en contradiction avec les principes qu’il a affirmés, et cela non pas seulement à un endroit , mais en de nombreux endroits. S’il veut que je les découvre et que je les montre, je dis que j’ai l’intention d’écrire un livre pour établir la vérité en astronomie, dans lequel je montrerai tout d’abord les endroits contradictoires du livre de l’Almageste, puis j’y montrerai les endroits exacts, et j’y montrerai ensuite comment j’établis la vérité de ces endroits. Il a commis aussi des erreurs dans le livre d’optique ; l’une d’elles est une erreur dans la démonstration de l’une des propositions à propos des miroirs, erreur qui prouve la faiblesse de sa conception. Quant au livre des Hypothèses, les notions qu’il a mentionnées dans le deuxième chapitre et les configurations qu’il établit à l’aide de sphères et de prismes ont des preuves qui s’évanouissent et s’affaiblissent si on les examine. Dans l’immédiat, j’ai montré son erreur pour les deux prismes qu’il a supposés pour l’épicycle, et je l’ai montrée par une démonstration qui ne comporte pas de doute, en

‫‪631‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫مزلي اهنم ءيش نم تالاحملا يهو ةئيهلا يتلا اهتنيب يف ةلاقملا يتلا ‪،‬هدنع تابثإف هذه ةئيهلا ةلطابلا‬

‫لاؤسلاو اهنع نم ضارغألا ةدسافلا يتلا ال يدؤت ىلإ ‪.‬ةدئاف عمو كلذ دقف اّنيب ةئيه ‪ 1‬هذه‬ ‫ةكرحلا يهو اهّنأ لثم ةكرحلا يتلا ركألاب يتلا اهانبتر يف ةلاقملا يتلا هدنع اذإ تناك زكارم ركألا‬ ‫ةفلتخم ال اًزكرم ‪.‬اًدحاو‬

‫دقف انيتأ ىلع فشك عيمج تاهبشلا يتلا ‪ 2‬اهركذ يالوم خيشلا انّيبو اهداسف انحضوأو اهنالطب‬

‫ظ‪-١٩-‬ل‬

‫‪، /‬اهتلاحتساو ملو قبت ةئيه ةحيحص ّمتت اهب ةكرح فافتلالا ريغ ةئيهلا يتلا اهانررق يف ةلاقملا يتلا‬

‫ظ‪-١٢٦-‬ب‬

‫دقو نّيبت يل نم فيعاضت مالك يالوم خيشلا هّنأ قدصي لوق سويملطب يف عيمج ام ‪ /‬هلوقي‬

‫‪،‬هدنع كلذو ام اندرأ نأ ‪.‬نّيبن‬

‫نم ريغ ٍدانتسا ىلإ ناهرب الو ٍليوعت ىلع ةجح ‪ 3‬لب اًديلقت ‪.‬اًضحم اذهف ‪ 4‬وه داقتعا باحصأ ثيدحلا‬

‫يف ءايبنألا تاولص هّٰللا ‪،‬مهيلع سيلو وه ‪ 5‬داقتعا باحصأ ميلاعتلا باحصأو ‪ 6‬مولعلا ‪.‬ةيناهربلا‬

‫هتدجوو اًضيأ بعصي هيلع يطيلغت سويملطب ضعتميو ؛هنم رهظيو نم همالك ّنأ سويملطب‬

‫ال زوجي هيلع ‪.‬طلغلا سويملطبلو طالغأ ةريثك يف عضاوم ةريثك نم ‪.‬هبتك اهنمف ّنأ همالك يف‬

‫يطسجملا اذإ قّقُح رظنلا هيف ‪ 7‬دجو هيف ءايشأ ةريثك ‪ 8‬؛ةضقانتم كلذو هّنأ ررق اًلوصأ تائيهلل يتلا‬ ‫اهركذي ‪ّ ،9‬مث ىتأ تائيهب تاكرحلل ةضقانم لوصألل يتلا ‪،‬اهررق تسيلو اًعضوم اًدحاو لب عضاوم‬

‫‪.‬ةريثك نإف ّبحأ نأ اهفشكأ اهنّيبأو ؛تلعف دقو تنك تمزع نأ لمعأ اًباتك يف قيقحت ّقحلا‬

‫و‪-٢٠-‬ل‬

‫نم ملع ‪،‬ةئيهلا نّيبأو ‪ /‬هيف اًلّوأ عضاوملا ةضقانتملا نم باتك يطسجملا ‪ّ ،‬مث نّيبأ عضاوملا ةحيحصلا‬ ‫هنم ‪ّ ،10‬مث نّيبأ فيك ققحُت عضاوملا ةضقانتملا ‪.11‬‬

‫هلو طالغأ يف باتك ؛رظانملا اهنمف طلغ يف ناهربلا يف لكش نم ايارملا ّلدي ىلع فعض‬

‫‪.‬هرّوصت اّمأف باتك صاصتقالا‪ّ ،‬نإف يناعملا يتلا اهركذ يف ةلاقملا ةيناثلا تائيهلاو يتلا اهررق ركألاب‬

‫تاروشنملاو اذإ قّقُح رظنلا‬

‫]ل[‬

‫‪: ‎1.‬ةئيه اهنم ]ب[‬

‫‪: ‎5.‬وه اذه ]ل[‬

‫‪: ‎8.‬ةريثك ةصقان ]ل[‬

‫ةصقان ]ب[‬

‫‪12‬‬

‫اهيف لطب ناهربلاب‬

‫‪13‬‬

‫‪: ‎2.‬يتلا يذلا ]ل[‬

‫‪ّ.‬لحمضاو يفو لجاع لاحلا دق تنّيب هطلغ‬

‫‪: ‎3.‬ةجح ةّحص ]ب[‬

‫‪: ‎4.‬اذهف اذهو‬

‫‪: ‎10.‬هنم ةصقان ]ب[‬

‫‪: ‎11.‬ةضقانتملا‬

‫‪: ‎6.‬باحصأو يف باحصأ ]ب‪،‬ل[‬

‫‪: ‎9.‬اهركذي يف شماهلا ]ب[‬

‫‪: ‎12.‬رظنلا رظنلل ]ب[‬

‫‪: ‎13.‬ناهربلاب اهركل ]ل[‬

‫‪ ‎7.‬رظنلا ‪:‬هيف هيف رظنلا ]ل[‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

prouvant que quelle que soit la position supposée des deux prismes, une impossibilité infranchissable en découle. Alors si Monseigneur le Šayḫ peut supposer, pour les deux prismes qu’il a cités pour le mouvement de l’épicycle, une position qui permette d’avoir un mouvement de l’épicycle autour du petit cercle sans que l’un des deux prismes quitte son emplacement et sans que l’épicycle soit renversé, que Monseigneur le Šayḫ l’établisse, qu’il le montre et qu’il me l’envoie. En fait, la position que Monseigneur le Šayḫ a établie pour ces deux prismes et dont il a cru qu’elle n’implique pas d’impossibilité s’évanouit et disparaît. Il apercevrait peut-être en examinant bien ces deux prismes une manière vraie ; s’il lui est possible d’établir pour ces deux prismes une position exacte, s’il me le fait parvenir pour que je l’examine, je le remercierai à jamais, je lui demanderai de m’excuser et je renoncerai à contredire Ptolémée dans aucune de ses paroles. Mais s’il n’arrive pas à imposer pour les deux prismes une position avec laquelle il accomplisse le mouvement de l’épicycle autour du petit cercle sans qu’il en découle une impossibilité, alors il sera exact que Ptolémée a commis une erreur, Monseigneur le Šayḫ devra reconnaître l’erreur de Ptolémée et il devra renoncer à s’émouvoir pour lui, à l’imiter et à croire à l’une de ses paroles sans qu’elle ne soit étayée par une preuve ou un argument. Je m’attends à une réponse sur ce dernier chapitre pour finir cette affaire. Si Monseigneur le Šayḫ décide d’établir cette réponse et de la présenter, même s’il reste dans sa démonstration quelque chose du comportement du mouvement d’enroulement, qu’il en parle afin que j’en dissipe l’obscurité, si Dieu le veut ; louange et salutation à notre maître Muḥammad. Vérifié conforme à l’original. Fin du traité sur la résolution des doutes sur le mouvement d’enroulement. Grâces infinies soient rendues à celui qui donne la raison.

‫‪633‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫يف اذه باوجلا يف نيروشنملا نيذللا امهضرف كلفل ‪،‬ريودتلا هتحضوأو ناهربلاب يذلا ال ّكش ‪،‬هيف‬ ‫تنّيبو ‪،‬هّنأ ىلع يأ عضو ضرُف ‪،‬ناروشنملا ضرع امهنم لاحملا يذلا ال رذع ‪.‬هيف نإف ناك‬

‫يالوم خيشلا هنكمي نأ ضرفي نيروشنملل نيذللا امهركذ ةكرحل كلف ريودتلا اًعضو ّمتي هب ةكرح كلف‬ ‫ريودتلا لوح ةرئادلا ةريغصلا نم ريغ نأ جرخي دحأ نيروشنملا نع هناكم ‪ 1‬نمو ريغ نأ بلقني كلف‬

‫ظ‪-٢٠-‬ل‬

‫‪،‬ريودتلا هررقيف يالوم خيشلا هنّيبيو هذفنيو ‪.‬يلإ ّنإف عضولا ‪ /‬يذلا هررق يالوم خيشلا نيذهل‬

‫و‪-١٢٧-‬ب‬

‫نيروشنملا حولي هل هجو ؛حيحص نإف هنكمأ نأ ررقي نيذهل نيروشنملا ‪ 2‬اًعضو ‪، /‬اًحيحص هّنإف اذإ هذفنأ‬

‫نيروشنملا يذلا دقتعأ هّنأ ال ضرعي هيف لاحم دق لطب ‪ّ.‬لحمضاو هّلعلو اذإ معنأ رظنلا يف نيذه‬ ‫يلإ تفقوو هيلع هتركش هيلع اًركش اًمئاد ترذتعاو هل ‪ 3‬هب بوتأو نم هدعب نأ طّلغأ سويملطب يف‬ ‫ءيش نم ‪.‬هليواقأ نإو مل هنكمي نأ ضرفي نيروشنملل اًعضو ّمتي هب ةكرح كلف ريودتلا لوح ةرئادلا‬

‫ةريغصلا نم ريغ نأ مزلي هنم ‪،‬لاحم دقف ّحص ّنأ سويملطب دق طلغ بجوو ىلع يالوم خيشلا نأ‬ ‫فرتعي طلغب ‪،‬سويملطب بجوو هيلع نأ بوتي نم ضاعتمالا هل بوتيو نم هديلقت نمو هقيدصت‬

‫يف ءيش نم هليواقأ يتلا ال يتأي اهعم ناهربب الو ‪.‬ةجح انأو عّقوتأ باوجلا نع اذه لصفلا رخآلا‬ ‫ّمتأل‪ 4‬رمألا ‪.‬هيلع‬

‫نإف ىأر يالوم خيشلا نأ ميقي اذه باوجلا ‪،‬همدقيو نإو ناك دق يقب نم هنييبت ءيش‬

‫نم كولس ةكرح فافتلالا هركذ فشكأل ةهبشلا هيف ‪ ،5‬نإ ءاش هّٰللا دمحلاو هّلل ةتالصو ىلع انديس‬

‫دمحم ‪.6‬‬

‫لبوق لصألاب ّحصو ‪ .7‬تّمت ةلاقم ّلح كوكش ةكرح ‪،‬فافتلالا بهاولو لقعلا اًدمح الب‬

‫ةياهن ‪.8‬‬

‫]ل[‬

‫طقف‬

‫‪: ‎1.‬هناكم همالك ]ل[‬

‫‪ّ: ‎4.‬متأل نيبأل ]ل[‬

‫‪: ‎2.‬نيروشنملا نيروشنملل ]ب[‬

‫‪ ‎5.‬نإف ىأر ‪ ...‬فشكأل ةهبشلا ‪:‬هيف هذه ةلمجلا تدرو يف ]ل[‬

‫‪ ‎6.‬دمحلاو ‪: ...‬دمحم هذه ةلمجلا تدرو يف ]ل[ طقف‬

‫ةلمجلا تدرو يف ]ل[ طقف‬

‫‪ ‎3.‬ترذتعاو ‪:‬هل رذتعاو يل‬

‫‪ ‎7.‬لبوق لصألاب ‪ّ:‬حصو هذه‬

‫‪ ‎8.‬تّمت ةلاقم ‪ ...‬اًدمح الب ‪:‬ةياهن هذه ةلمجلا تدرو يف ]ب[ طقف‬

Appendice 1 : un extrait du livre II des Hypothèses planétaires de Ptolémée

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 1[...] Montrons donc, après cela, ce qui s’ensuit nécessairement pour la position et l’ordre des sphères de Saturne. Autour de A, centre de l’orbe de l’écliptique appartenant à la deuxième sphère parmi les sphères motrices, celle qui contient le cercle BC, que ce soit comme si le moteur était autour de ce et contenait ce , si nous l’avions déplacée de sa position la plus haute et si nous l’avions posée le plus à l’extérieur possible de ce qui est sous cette . Faisons passer par A, dans le plan de l’orbe de l’écliptique, la droite DA ; et faisons aussi passer par ce point, dans le plan de l’orbe incliné qui contient la Terre, et par le centre de l’orbe excentrique, la droite HZA ; imaginons sur cette le centre de l’orbe excentrique – où se meut l’orbe de l’épicycle – au point Z, et le centre de la sphère de l’orbe de l’épicycle Ḥ. Traçons du centre Ḥ deux cercles ṬK et LM, et menons, dans le plan de l’orbe qui est incliné par rapport à l’orbe de l’épicycle, la droite LḤM ; traçons autour du centre Z les figures qui contiennent les orbes des épicycles, c’est-à-dire NHŠ et OFQ ; et nous traçons le cercle RST de centre A, et le cercle qui est sous celui-ci ; et nous imaginons des points T R B C sur l’axe passant par le point A qui est l’axe de l’orbe de l’écliptique, et nous imaginons des points N O Q Š sur l’axe passant par le point Z qui est l’axe du mouvement circulaire de l’orbe excentrique. Aussi, imaginons deux points B ′ C ′ sur l’axe passant par le centre Ḥ, perpendiculaire à HF, et imaginons deux points Ḏ Ḍ sur l’axe passant par le point Ḥ perpendiculaire à LM et nous imaginons le point L sur l’astre. Soit les droites déterminées en raison de l’astre et qui lui sont propres : les droites AZ et ḤZ, et la droite qui joint le point Ḥ au centre de l’astre.

‎1. L’apparat critique de notre édition s’appuie sur deux manuscrits : Londres add7473 f. 97r-97v [bāʾ] et Leyde Or. 180 f. 33r-34v [lām]. L’original grec étant perdu, nous avons tenté de restituer les noms des points de la figure en suivant un ordre alphabétique méthodique. Ceci nous a parfois conduit à forcer un peu la lecture de l’arabe, tout en conservant une lecture plus prudente dans l’apparat critique.

‫ةرقف‬

‫نم باتك صاصتقالا سويملطبل‬

‫]‪ [...‬نّيبنلف دعب اذه ام مزلي يف عضو بيترتو ركأ ‪.‬لحز‬

‫نكيلف ‪ 1‬لوح ا‪ ،‬يذّلا وه زكرم كلف جوربلا ةركلل ‪ 2‬ةيناثلا ‪ 3‬نم ركألا ‪،‬ةكِّرحملا يهو يتّلا‬

‫طيحت ةرئادب ـجب‪ ،‬امك نأك نوكي كِّرحملا اهلوح وأ اًطيحم ‪ 4‬اهب ول اهانلقن ‪ 5‬نم اهعضوم ىلعألا اهانلعجف‬

‫يف رثكأ ام نوكي اًجورخ اّمم وه ‪. 6‬هنود زيجنو ىلع ةطقن ا يف حطس كلف جوربلا ّطخ اد ‪ .7‬زيجنو‬ ‫اًضيأ اهيلع ‪ 8‬يف حطس كلفلا لئاملا يذّلا طيحي ضرألاب ىلعو زكرم كلفلا جراخلا زكرملا ّطخ ازه‪.‬‬ ‫مّهوتنو هيلع زكرم كلفلا جراخلا زكرملا ‪ ،9‬يذّلا هيلع ‪ 10‬كّرحتي كلف ‪،‬ريودتلا ةطقن ز‪ ،‬زكرمو ةرك كلف‬

‫ريودتلا ح‪ّ .‬طخنو ىلع زكرم ح يترئاد كط ومل‪ ،‬جرخنو يف حطس كلفلا لئاملا نع كلف ريودتلا‬

‫ّطخ محل‪ّ .‬طخنو ىلع زكرم ز لاكشألا يتّلا طيحت كالفأب ريوادتلا يهو شهن‬ ‫ىلع زكرم ا ةرئاد تسر‬

‫‪12‬‬

‫ةرئادلاو يتّلا ‪.‬اهنود مّهوتنو طقن ت ر ب ـج‬

‫‪13‬‬

‫‪11‬‬

‫وقفع‪ّ .‬طخنو‬

‫ىلع مهسلا يذّلا ّرمي‬

‫ةطقنب ا يذّلا وه مهس كلف ‪.‬جوربلا مّهوتنو طقن ن ع ق ش ىلع مهسلا يذّلا ّرمي ةطقنب ز يذّلا‬ ‫‪14‬‬

‫ظ‪-٣٣-‬ل‬

‫وه مهس ةكرح كلف جورخلا نع زكرملا ‪. 15‬ريدتسملا اًضيأو اّنإف مّهوتن ‪ /‬يتطقن ب ـج ‪ 16‬ىلع مهسلا‬ ‫يذّلا ّرمي زكرمب‬

‫‪17‬‬

‫ح مئاقلا ىلع فه ىلع اياوز ‪.‬ةمئاق مّهوتنو يتطقن ذ ض‬

‫‪18‬‬

‫ةطقنب ح مئاقلا ىلع مل ىلع اياوز ‪.‬ةمئاق مّهوتنو ةطقن ل ىلع ‪.‬بكوكلا‬

‫ىلع مهسلا يذّلا ّرمي‬

‫نكتلو ‪ 19‬طوطخلا يتّلا ‪ّ 20‬دحُت ببسب بكوكلا ةّصاخلا ‪،‬هل زا حز ‪ّ ،‬طخلاو يذّلا نيب ةطقن‬ ‫‪21‬‬

‫ح زكرمو ‪.‬بكوكلا‬

‫‪: ‎1.‬نكيلف نوكيلف ]ل‪،‬ب[‬

‫‪: ‎2.‬ةركلل ةركلا ]ل[‬

‫‪: ‎3.‬ةيناثلا ةتباثلا ]ب‪،‬ل[‬

‫‪ ‎4.‬وأ‬

‫‪: ‎5.‬اهانلقن اهانلفت ]ب[‬ ‫‪:‬اًطيحم اًطيحمو ]ب[‬ ‫‪ّ ‎9.‬طخ ‪ ...‬جراخلا ‪:‬زكرملا ةصقان يف ]ب[ ببسب ةزفق هباشتل‬ ‫‪ ‎8.‬اًضيأ ‪:‬اهيلع اهيلع اًضيأ ]ل[‬ ‫تاملكلا‬

‫‪: ‎10.‬هيلع قوف رطسلا ]ل[‬

‫‪]،‬ب[ تشر ]ل[‬

‫‪ ‎6.‬اّمم ‪:‬وه نم ام ]ل[‬

‫‪ ‎7.‬اد‪ :‬ـج ا ]ب[‬

‫‪ ‎11.‬يهو شهن‪ :‬يهو يهو سهن ]ل[‬

‫‪ ‎12.‬تسر‪ :‬تشز‬

‫‪ ‎13.‬ت ر ب ـج‪ :‬رن ـجب ‪]،‬ب[ رى ـجب ّرمت ]ل[‬

‫‪ ‎15.‬جورخلا نع ‪:‬زكرملا جوربلا نع زكرملا ]ل[‬ ‫]ل[‬

‫‪ ‎18.‬ذ ض‪ :‬د ص ]ب‪،‬ل[‬

‫حز‪ :‬را حو ]ل[‬

‫‪ ‎14.‬ن ع ق ش‪ :‬سقعن ]ب‪،‬ل[‬

‫‪ ‎16.‬ب ـج‪ :‬حن ‪]،‬ب[ حق ]ل[‬

‫‪: ‎19.‬نكتلو نكيلو ]ل[‬

‫‪: ‎17.‬زكرمب رك‬

‫‪: ‎20.‬يتّلا يذّلا ]ل[‬

‫‪ ‎21.‬زا‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Or il est clair, d’après ce que nous avons introduit précédemment, que la sphère contenant le cercle BC, quand elle se meut d’est en ouest, meut aussi la sphère contenue entre les cercles BC et NŠ, et qui est la première des sphères de Saturne. Parce que cette sphère motrice se meut autour de l’axe de l’équateur et que les deux pôles de la sphère BNCŠ, qui sont B et C, sont situés sur l’axe de l’orbe de l’écliptique, si la sphère BN se meut, au voisinage de la sphère qui la meut, d’ouest en est, par le mouvement appartenant à l’apogée de l’orbe excentrique, alors se meut aussi avec elle la sphère contenue entre les deux cercles NŠ et OQ. Et parce qu’il y a ici deux autres pôles N et Š qui sont situés sur un autre axe différent de l’axe passant par B et C, se meut aussi, du côté de H et F, vers l’est, d’un mouvement semblable au mouvement de l’orbe de l’épicycle ; et la sphère contenue entre OQ et RT ne se meut pas du mouvement de la sphère NO mais reste en la position appartenant à BN, car les deux pôles de la sphère NO, qui sont N Š, et les deux pôles de la sphère OR, qui sont O Q, sont aussi sur un même axe. Avec la sphère OR se meut la sphère que contient RT parce que les deux pôles de ORT, qui sont O Q, ne sont pas alignés avec les deux points RT sur un seul axe. Et si la sphère que contient RT tourne autour des positions situées sur l’axe contenant B et C, d’est en ouest, de la même grandeur que la sphère BN d’ouest en est, alors celle qui se meut avec le moteur, c’est-à-dire la sphère contenant le cercle BC, et celle que contient le cercle RT, auront toutes deux une même position.

‫‪637‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫وهف ‪ 1‬نّيب اّمم انمدق اًلّوأ ّنأ ةركلا يتّلا طيحت ةرئادب ـجب‪ ,‬اذإ تكّرحت نم قرشملا ىلإ ‪،‬برغملا‬

‫تكّرح ‪ 2‬اًضيأ ةركلا يتّلا طيحت اهب ةرئاد ـجب ةرئادو شن ‪ 3‬يتّلا يه لّوأ ركأ ‪.‬لحز ّنألو هذه‬

‫ةركلا ‪ 4‬ةكِّرحملا كّرحتت ىلع مهس لّدعم ‪،‬راهنلا ابطقو ةرك شجنب ‪ ،5‬ناذللا امه ب ـج ‪ ،6‬امه ناعوضوم‬ ‫ىلع مهس كلف ‪،‬جوربلا ّنإف ةرك نب ‪ ،7‬اذإ تكّرحت برقلاب نم ةركلا يتّلا اهكِّرحُت ‪ 8‬نم ةيحان برغملا‬

‫ىلإ ةيحان قرشملا ةكرحلاب يتّلا يه جوأل كلفلا جراخلا ‪،‬زكرملا تكّرحت اهعم اًضيأ ةركلا يتّلا طيحت‬ ‫اهب اترئاد شن قع ‪ّ .9‬نألف‬

‫رخآ‬

‫‪13‬‬

‫‪10‬‬

‫انهاه اًضيأ نابطق نارخآ‬

‫ىوس مهسلا يذّلا ّرمي ـبـجب‪ ،‬اهّنإف يه اًضيأ كّرحتت ىلإ بناج فه ‪ ،14‬ىلإ ةيحان ‪،‬قرشملا‬

‫لثمب ةكرح زكرم‬

‫‪15‬‬

‫كلف ‪.‬ريودتلا سيلو كّرحتي‬

‫‪16‬‬

‫عن ‪ ،18‬نكل ىقبت ىلع عضولا يذّلا ـلنب‪ّ ،‬نأل‬

‫و‪-٣٤-‬ل‬

‫‪11‬‬

‫امهو ن ش‬

‫‪12‬‬

‫امهو ناعوضوم ىلع ٍمهس‬

‫ةركلا يتّلا طيحت اهب قع وتر‬

‫‪19‬‬

‫يبطق ةرك‬

‫‪20‬‬

‫‪17‬‬

‫عم ةكرح ةرك‬

‫عن‪ ،‬امهو ن ش ‪ ،21‬يبطقو ةرك‬

‫رع ‪ ،22‬نيذللا امه ع ق‪ ،‬يه اًضيأ ‪ /‬ىلع مهس ‪ٍ.‬دحاو كّرحتتو عم ةرك رع ةركلا يتّلا طيحت اهب‬ ‫تر‬

‫‪23‬‬

‫ّنأل يبطق‬

‫‪24‬‬

‫ةرك ترع ‪ ،25‬ناذللا‬

‫امه ع ق‪ ،‬ال ناعقي‬

‫‪26‬‬

‫‪ٍ.‬دحاو نإو تراد ةركلا يتّلا طيحي اهب تر‬

‫‪29‬‬

‫‪27‬‬

‫عم يتطقن تر‬

‫لوح هذه عضاوملا يتّلا يه‬

‫‪30‬‬

‫‪28‬‬

‫ىلع مهس‬

‫ىلع دومعلا يذّلا‬

‫هيلع ـجب‪ ،‬نم قرشملا ىلإ برغملا ‪ ،31‬لثمب رادقملا يذّلا كّرحتت >هب< نم برغملا ىلإ قرشملا ةرك‬

‫نب‪ ،‬يتّلا كّرحتت عم كِّرحملا هّنإف نوكت ةركلا‬

‫‪33‬‬

‫عضو ‪.‬دحاو‬

‫يتّلا طيحت ةرئادب ـجب يتّلاو طيحت اهب ةرئاد تر‬

‫‪: ‎2.‬تكّرح ةكرح ]ل[‬ ‫‪: ‎1.‬وهف وهو ]ل[‬ ‫‪ ‎5.‬شجنب‪ :‬نب سج ‪]،‬ب[ سجنب ]ل[‬ ‫ةكرحلا ]ب[‬

‫‪32‬‬ ‫‪34‬‬

‫‪: ‎4.‬ةركلا‬ ‫‪ ‎3.‬شن‪ :‬سق ‪]،‬ب[ سي ]ل[‬ ‫‪ ‎7.‬نب‪ :‬نف ]ب[‬ ‫‪ ‎6.‬ب ـج‪ :‬ـجب ]ل‪،‬ب[‬

‫‪ّ: ‎10.‬نألف ّنألو ]ل[‬ ‫‪ ‎9.‬شن قع‪ :‬سن قع ‪]،‬ب[ سن وقع ]ل[‬ ‫‪: ‎8.‬اهكِّرحُت امهكّرحت ]ل[‬ ‫‪: ‎13.‬رخآ ىرخأ‬ ‫‪ ‎12.‬ن ش‪ :‬سن ‪]،‬ب[ سز ]ل[‬ ‫‪ ‎11.‬اًضيأ نابطق ‪:‬نارخآ نيبطق نيرخآ ]ب[‬ ‫‪: ‎16.‬كّرحتي كِّرحُت ]ب[‬ ‫‪: ‎15.‬زكرم ةصقان ]ل‪،‬ب[‬ ‫‪ ‎14.‬فه‪ :‬نب ‪]،‬ب[ قب ]ل[‬ ‫]ل[‬ ‫‪ ‎17.‬قع وتر‪ :‬فع وثر ]ب[‬ ‫‪ ‎21.‬ن ش‪ :‬سن ‪]،‬ب[ سي ]ل[‬

‫رطسلا ]ب[‬ ‫ناعقت ]ب[‬

‫‪ ‎18.‬عن‪ :‬عب ]ب[‬

‫‪ ‎22.‬رع‪ :‬فع ]ل[‬

‫‪ّ: ‎19.‬نأل ال ]ب[‬

‫‪ ‎23.‬تر‪ :‬ثر ]ب[‬

‫‪: ‎20.‬ةرك زل ]ب[‬ ‫‪: ‎24.‬يبطق قوف‬

‫‪: ‎27.‬ناعقي‬ ‫‪: ‎26.‬ناذللا نيذللا ]ب[‬ ‫‪ ‎25.‬ةرك ترع‪ :‬ترع ‪]،‬ل[ ةرك زع ]ب[‬ ‫‪ ‎31.‬نم‬ ‫‪: ‎30.‬يه ةصقان ]ل[‬ ‫‪ ‎29.‬تر‪ :‬ثر ]ب[‬ ‫‪ ‎28.‬تر‪ :‬ثر ]ب[‬

‫قرشملا ىلإ ‪:‬برغملا بتُك قوف رطسلا يف ]ل[ « نم برغملا ىلإ قرشملا »‬ ‫‪: ‎33.‬ةركلا ةركلل ]ل[‬

‫‪ ‎34.‬تر‪ :‬ثز ]ب[‬

‫‪: ‎32.‬ةرك ةركو ]ل[‬

638

5

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

La sphère contenant le cercle BC, la deuxième, est parmi les sphères motrices, et elle est parmi les sphères de Saturne, donc la sphère contenue par RT est la troisième des sphères motrices, et elle est parmi les sphères de Jupiter. Quant aux sphères des épicycles, il y a parmi elles la sphère de l’orbe de l’épicycle contenue entre les deux cercles ṬK et LM ; elle est creuse et elle se meut sur un axe B ′ C ′ d’un mouvement égal au mouvement de la sphère entre H et F, mais elle se meut en opposé. C’est qu’elle meut la portion proche de l’apogée vers l’ouest, et celle du périgée vers l’est. La sphère contenue par le cercle LM, qui est contiguë à l’astre où est L, est mue par la sphère B ′ Ḏ vers le côté vers lequel se meut, parce que ses deux pôles ne sont pas sur cet axe ; et elle se meut avec l’astre, d’un mouvement différent de celui autour de l’axe B ′ Ḏ – je veux dire que la portion de proche de l’apogée se déplace vers l’est et que celle du périgée vers l’ouest.

‫‪639‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫دقو تناك ةركلا يتّلا طيحت ةرئادب ـجب‪، ،‬ةيناثلا يه ‪ 1‬نم ركألا ةكِّرحملا ‪ 2‬يهو نم ركأ ‪،‬لحز‬

‫ريصتف ةركلا يتّلا طيحت اهب تر ‪ 3‬يه ةركلا ةثلاثلا نم ركألا ةكِّرحملا يهو نم ركأ ‪.‬يرتشملا‬

‫اّمأف ‪ 4‬نم كالفأ ريوادتلا ّنإف ةرك كلف ريودتلا يتّلا طيحت اهب اترئاد كط ومل يتّلا يه ةفّوجم‬

‫كّرحتت ‪ 5‬ىلع مهس ـجب ًةكرح ًةيواسم ةكرحل ةركلا يتّلا طيحت اهب ‪ 6‬يتّلا يه فه‪ ،‬اّلإ اهّنأ كّرحتت ىلع‬

‫‪.‬فالخلا كلذو اهّنأ كِّرحت ةعطقلا يتّلا يلت ‪ 7‬جوألا ىلإ ‪،‬برغملا يتّلاو ‪ 8‬دعُبلا برقألا ىلإ ‪.‬قرشملا‬

‫ةركلاو يتّلا طيحت اهب ةرئاد مل‪ ،‬يتّلا يه ةلصّتم بكوكلاب يذّلا هيلع ل ‪ ،9‬اهكِّرحُت ةرك ذب‬

‫‪10‬‬

‫ىلإ‬

‫ةيحانلا يتّلا كّرحتت ‪، 11‬اهيلإ ّنأل اهباطقأ تسيل ىلع مهس ‪.‬كلت كّرحتتو يه عم بكوكلا ًةكرح ًةفلاخم‬

‫ظ‪-٣٤-‬ل‬

‫كلتل ىلع مهس ذب ‪ ،12‬ينعأ ّنأ ةعطقلا ‪ /‬اهنم يتّلا يلت ‪ 13‬جوألا اهلقنت ىلإ قرشملا يتّلاو ىلت ‪ 14‬دعُبلا‬ ‫برقألا ‪ 15‬ىلإ ‪.‬برغملا‬

‫‪ ‎1.‬ةيناثلا ‪:‬يه يه ةتباثلا ]ل[‬

‫‪: ‎4.‬اّمأف اّمأو ]ل[‬

‫يتّلاو ىلي ]ل[‬

‫‪: ‎2.‬ةكِّرحملا ةكرحتملا ]ب[‬

‫‪: ‎5.‬كّرحتت كّرحتي ]ل[‬

‫‪ ‎9.‬هيلع ل‪ :‬هيلع ا ]ل[‬

‫‪ ‎12.‬ذب‪ :‬دن ‪]،‬ب[ ذنم ]ل[‬

‫‪: ‎6.‬اهب هب ]ل[‬

‫‪: ‎7.‬يلت ىلي ]ل[‬

‫‪ ‎10.‬ذب‪ :‬دن ‪]،‬ب[ دت ]ل[‬

‫‪: ‎13.‬يلت ىلي ]ل[‬

‫اًلّوأ « دعبألا » ّمث برض اهيلع ملقلاب بتكو اهقوف « برقألا »‬

‫‪ ‎3.‬تر‪ :‬ثز ]ب[‬

‫‪: ‎14.‬ىلت ىلي ]ل[‬

‫‪: ‎8.‬يتّلاو‬

‫‪: ‎11.‬كّرحتت كّرحتي ]ل[‬ ‫‪: ‎15.‬برقألا بتك‬

640

III. OPTIQUE ET

D

B′

H L Ṭ Ḥ

Ḏ K

Ḍ

C′

M

F N

S

O

Z B

Q R

A

T

ASTRONOMIE

Fig. 7. Les sphères de Saturne : une section perpendiculaire au plan de l’écliptique (mais attention, à moins de faire un rabattement, les droites AC, AZ et ZŠ ne sont pas coplanaires...).

C Š

Appendice 2 : ʿUmar al-Khayyām et l’oscillation du plan incliné des planètes inférieures Nous donnons dans cet appendice un extrait de la Nihāyat al-idrāk de Quṭb al-Dīn al-Šīrāzī. Celui-ci y résume les travaux d’Ibn alHaytham sur le mouvement d’enroulement, dans des termes voisins de ceux de son contemporain Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī 1 ; mais Quṭb al-Dīn ajoute une longue citation d’un chapitre que ʿUmar al-Khayyām aurait annexé au traité perdu d’Ibn al-Haytham. Cette annexe est très intéressante. ʿUmar al-Khayyām se propose de modéliser un effet que Ptolémée attribuait à une oscillation du plan incliné de l’excentrique de part et d’autre du plan de l’écliptique, pour les deux planètes inférieures 2. Pour ce faire, il adjoint deux sphères à l’orbe incliné, analogues aux deux sphères qu’Ibn al-Haytham avait adjointes à l’orbe de l’épicycle. Il y a cependant une différence notable avec le modèle d’Ibn al-Haytham : al-Khayyām fixe les pôles de l’orbe incliné très proches des pôles de la seconde sphère, de sorte que la différence soit « presque complètement insensible ». Il rechigne à les superposer, car une sphère solide fixée par des pôles ne peut être entraînée par le mouvement de son contenant que si celui-ci tourne autour d’un axe distinct. Notons O le centre du monde, (O, i, j) le plan de l’écliptique, i la direction de l’intersection de l’écliptique avec le plan incliné, k la direction perpendiculaire à l’écliptique, l’orbe incliné étant la sphère unité, et t la direction de l’axe de l’orbe incliné, avec, dans la base (i, j, k) :   0 t = − sin i3  , cos i3

‎1. Cf. supra, p. 568. ‎2. Cf. Ptolémée, Composition mathématique, p. 371 : « Les cercles excentriques des cinq planètes se trouvent inclinés sur le plan du cercle milieu du zodiaque autour du centre du zodiaque, et cette inclinaison est constante pour Saturne, Jupiter et Mars [...] Mais pour Mercure et Vénus, les effets changent avec le mouvement des épicycles, et portent toujours la planète vers la même latitude, Vénus vers les ourses, et Mercure vers le midi.» Voir aussi Swerdlow, « Ptolemy’s theories of the latitude », où l’amplitude de cette oscillation est notée i3 .

642

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

où i3 est l’inclinaison maximale du plan incliné par rapport à l’écliptique. Supposons que le centre de l’épicycle est situé, à l’instant initial, dans la direction suivante, à l’apogée de l’excentrique, et à son extrémité nord (pour Vénus) :



0



cos i3  . sin i3 La direction du centre de l’épicycle à un instant quelconque sera alors décrite en fonction du paramètre κ par :



0



Rk,−κ ◦ Rt,κ ◦ Rt,κ cos i3  . sin i3 On a représenté cette ligne, fig. 8, pour i3 = 5°. Mais on n’obtient pas tout à fait l’effet souhaité, puisque la ligne oscille entre deux cercles parallèles situés de part et d’autre du plan de l’écliptique. Pour avoir une trajectoire qui reste constamment au nord de l’écliptique, comme Ptolémée le souhaite pour Vénus, il convient donc de translater cette ligne vers le nord, ou bien – comme nous l’avons fait sur la figure – de poser le centre du monde en T = (0, 0, − sin i3 ) au sud du centre O des sphères.

B Le texte de Quṭb al-Dīn al-Šīrāzī est établi au moyen des trois manuscrits suivants : Majlis Šūrā 6457 [mīm], Londres add7482 [lām], Paris 2518 [bāʾ].

IBN AL-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT

643

z

O T

x

y

Fig. 8. Trajectoire du centre de l’épicycle de Vénus, selon al-Khayyām.

La compréhension dernière dans la connaissance des orbes par Quṭb al-Dīn al-Šīrāzī

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Dixième chapitre Les latitudes des cinq astres errants Comme il est apparu que Ptolémée était revenu sur ce qu’il avait cru du rapprochement des deux ceintures et du mouvement des apogées sur les petits cercles, par conséquent il n’y a pas besoin des choses arbitraires que les Modernes ont appliquées pour le corriger ; mais comme il est possible que ce sur quoi il est revenu soit pourtant la vérité, alors rien n’empêche les Modernes de continuer de s’efforcer à déterminer des principes occasionnant de tels mouvements. Parmi les principes qui exigent le rapprochement des deux ceintures d’après ce qui précède, le dernier principe, dont nous avons donné le modèle, dans lequel il y a augmentation et diminution de l’inclinaison, s’accomplit seulement par l’ajout de trois orbes contenant la Terre, suivant la manière expliquée là-bas. est excellent puisqu’il implique l’effet visé tel qu’il est, sans manquer d’aucune chose à première vue ; mais c’est à examiner et on l’indiquera plus tard si Dieu le veut. Quant au fait que sa cause serait que chaque aurait un orbe entraînant l’orbe incliné en latitude sans qu’il achève une révolution complète (parce que les mouvements des orbes sont volontaires), rien n’empêche que la révolution ne s’achève pas comme il a été dit ; donc on ne le rejette pas, même si quelqu’un a dit d’abord qu’il n’était pas permis que la révolution ne s’achève pas et qu’il rejettait cela. Quant au fait que sa cause est ce que l’éminent philosophe ʿUmar al-Khayyām – Dieu lui accorde sa miséricorde – a indiqué dans un chapitre qu’il a annexé à l’épître d’Abū ʿAlī ibn al-Haytham sur le mouvement d’enroulement, je n’y ai pas vu quelle en était l’intention. Mais je l’ai copié tel que je l’ai trouvé pour qu’on puisse l’examiner, et peut-être quelqu’un le découvrira-t-il. Il a dit : « Quant à ce qu’a mentionné Ptolémée sur le mouvement de l’ incliné des planètes inférieures, que le point apogée est tantôt au nord, tantôt au sud, il faut le représenter comme suit.

‫ةيارد‬

‫ةياهن‬ ‫كاردالا يف‬ ‫باتك‬ ‫بطقل نيدلا يزاريشلا‬

‫كالفألا‬

‫بابلا رشاعلا يف ضورع ةسمخلا ةرِّيحتملا‬ ‫ذإو دق رهظ ّنأ سويملطب دق عجر اّمع ‪ 1‬ناك هّنظي نم براقت نيتقطنملا ةكرحو يرذلا ىلع‬

‫رئاودلا راغصلا الف ةجاح نذإ ىلإ تافُّسعتلا ىتلا اهبكتري نورّخأتملا يف ؛اهحيحصت نكل اّمل ناك‬ ‫نم نكمملا نأ نوكي عوجرملا هنع وه ‪ّ،‬قحلا ال مرج نورّخأتملا ال نولازي نولاتحي يف جارختسا‬

‫لوصأ ثدحي اهنم كلت ‪.‬تاكرحلا‬

‫نمف لوصألا ةيضتقملا ‪ 2‬براقتل نيتقطنملا ىلع ام ‪،‬قبس لصألا ‪، 3‬ريخألا يذلا انلعج لاثملا‬

‫يذلا ‪ 4‬هيف دايدزا ليملا ‪،‬هصاقتناو امّنإو ّمتي ةدايزب كالفأ ةثالث ةطيحم ضرألاب ىلع هجولا حورشملا‬ ‫‪.‬ةّمث وهو يف ةياهن نسحلا ذإ مزلي هنم دوصقملا ىلع ام وه هيلع ‪ 5‬نم ريغ لالخإ ‪ 6‬ءيشب اًلصأ يف‬

‫ئداب ؛يأرلا هيفو رظن ئيجتس ةراشإلا هيلإ نإ ءاش ‪.‬هّٰللا‬

‫اّمأو ّنأ هببس ّنأ ّلكل امهنم اًكلف كّرحي لئاملا يف ضرعلا نم ريغ نأ مّمتت ةرودلا نوكل(‬

‫تاكرح كالفألا ‪)،‬ةّيدارإ الف عنام نم نأ ال مّمتت ةرودلا ىلع ام ؛ليق الف ‪،‬عنمي نإو ناك لوق‬ ‫نم لاق اًلّوأ ال زوجي نأ ال ‪ 7‬مّمتت ةرودلا ‪. 8‬عنميو‬

‫اّمأو ّنأ ببسلا هيف ام هركذ ميكحلا ‪ 9‬لضافلا رمُع ماّيخلا همحر هّٰللا‬

‫‪10‬‬

‫يف لصف هقحلأ ةلاسرب‬

‫يبأ يلع نب مثيهلا يف ةكرح ‪،‬فافتلالا ملف ىآرتي يل ‪ 11‬هنم ‪.‬دوصقملا نكلو هتلقن امك هتدجو رظنُيل‬ ‫‪،‬هيف ّلعلف اًدحأ علطي ‪.‬هيلع ‪:‬لاق‬

‫اّمأو« ام هركذ سويملطب يف ةكرح لئام نييلفسلا نم نوك‬

‫‪12‬‬

‫ًةراتو يف بونجلا بجيف نأ رّوصتُي ‪:‬اذكه‬ ‫‪: ‎1.‬اّمع ىلع ام ]ب[‬

‫‪: ‎4.‬يذلا ةصقان ]ل‪،‬ب[‬ ‫]ب[‬

‫‪: ‎5.‬هيلع ةصقان ]ب[‬

‫‪: ‎8.‬ةرودلا ةورذلا ]ب[‬

‫‪: ‎11.‬يل ةصقان ]ب[‬

‫‪: ‎2.‬ةيضتقملا ةيضقملا ]ب‪،‬م[‬

‫‪: ‎3.‬لصألا ةصقان ]ب[‬

‫‪: ‎6.‬لالخإ لالتخا ]م[‬

‫‪: ‎9.‬ميكحلا ةصقان ]ل‪،‬م[‬

‫‪ ‎12.‬نم ‪:‬نوك نوكو ]ب‪،‬م[‬

‫ةطقن جوألا ًةرات يف لامشلا‬

‫‪: ‎7.‬ال ةصقان‬

‫‪ ‎10.‬همحر ‪:‬هّٰللا ةصقان ]م[‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

« On suppose qu’un orbe contient l’orbe incliné et qu’il le meut d’ouest en est d’un mouvement proche de son propre mouvement en grandeur, de sorte que l’astre arrive au nœud deux fois par révolution. L’arrivée au nœud se fait pendant que le centre de l’épicycle traverse la moitié de l’orbe incliné dont le centre est le centre du Monde. Or on sait que l’apogée, pendant cet intervalle, complète sa révolution jusqu’au nœud qui est à l’est. Le pôle de cet orbe doit être dans entre les deux pôles de l’écliptique et de l’excentrique, de sorte que chaque point de la ceinture de l’excentrique décrive un circuit qui coupe l’écliptique ; il est alors nécessaire que chaque point de la ceinture de l’excentrique soit tantôt au nord, tantôt au sud. Si donc le centre de l’épicycle de Vénus est dans la moitié de l’apogée, il est au nord ; et ayant atteint les nœuds il est dans l’orbe de l’écliptique ; alors, si la moitié de l’excentrique le périgée part de l’extérieur vers le nord, le centre de l’épicycle est dans cette moitié, et le centre de l’épicycle est donc toujours nécessairement au nord ou sur la ceinture. Et ainsi, inversement, pour Mercure, au sud. « La grandeur qui est attachée à la différence des inclinaisons dans ces deux orbes excentriques s’amenuise beaucoup et est presque complètement insensible, mais cette position implique que l’apogée de l’astre se meut en coupant deux fois par an l’orbe de l’écliptique ; à cause de cela, le mouvement des astres et des astres moyens est modifié, ainsi que le lieu de l’apogée et du périgée. C’est pourquoi il faut un autre orbe contenant ces deux orbes, qui leur soit concentrique, dont le pôle est le pôle de l’écliptique ou très proche de lui, et qui meuve les deux orbes d’est en ouest d’un mouvement égal au mouvement du deuxième orbe. « Ce troisième conserve l’apogée, le périgée et les autres points en leurs positions relatives à l’écliptique, le deuxième orbe meut l’inclinaison vers le nord et vers le sud, et le premier orbe meut le centre de l’épicycle comme le mouvement du Soleil, d’une révolution par an.» Il a dit : « Ceci n’implique ni trou ni vide, et ce n’est pas différent de l’affirmation de Ptolémée dans ce qu’il a dit du mouvement d’inclinaison sans que cela achève la révolution dans les affaires célestes » ; et quelqu’un peut dire que ceci n’implique pas non plus ce qui est visé, car sa faiblesse n’est pas masquée, pas même à un idiot – pour ne pas parler d’un intelligent.

‫‪645‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫ضرفُي« كلف طيحي لئاملاب ‪ 1‬هكّرحيو نم برغملا ىلإ قرشملا ًةكرح ًةبيرق نم هتكرح يف‬

‫و‪-١٣٤-‬ب‬

‫‪،‬رادقملا ثيحب لصي بكوكلا ىلإ ةدقعلا يف ّلك ةرود ‪.‬نيتّرم نوكيو لوصولا ىلإ ةدقعلا ‪/‬‬

‫يف ةّدم عطق زكرم ريودتلا فصن لئاملا يذلا هزكرم زكرم ‪.‬ملاعلا مولعمف ّنأ جوألا يف هذه ةّدملا‬

‫يفاوي ‪ 2‬هرادم ىلإ ةدقعلا يتلا دنع ‪.‬قرشملا بجيو نأ نوكي بطق اذه كلفلا اميف نيب ‪ 3‬يبطق‬

‫جوربلا ‪،‬جراخلاو ثيحب نوكي ّلك ةطقن نم ةقطنم جراخلا رودت يف رادم عطاق ؛جوربلل مزليف نأ‬ ‫نوكي ّلك ةطقن نم ةقطنم جراخلا ًةرات يف لامشلا ًةراتو يف ‪.‬بونجلا اذإف ناك زكرم ريودت ةرهزلا‬ ‫يف فصنلا ‪،‬يجوألا ناك يف ؛لامشلا دنعو ةافاوم ‪،‬نيتدقعلا نوكي يف كلف ؛جوربلا اذإف ذخأ‬

‫ُفصنلا يضيضحلا نم جراخلا >نأ< ريصي ىلإ لامشلا ناك زكرم ريودتلا يف كلذ ‪،‬فصنلا مزليف‬ ‫نأ نوكي زكرم ريودتلا ‪ 4‬يف لامشلا اًدبأ ‪ 5‬وأ يف ‪.‬ةقطنملا اذكهو دراطع يف بونجلا ‪. 6‬سكعلاب‬

‫ردقلاو« يذلا قحلي نم فالتخا لويملا يف نيذه نيكلفلا يجراخلا زكرملا ريسيف اًدج ال‬

‫داكي ّسحُي ؛ةّتبلأ نكل نم اذه عضولا ‪ 7‬مزلي نأ كّرحتي جوأ بكوكلا يف ةنسلا نيتّرم اًعطاق كلفل‬

‫‪،‬جوربلا رّيغتتف هببسب ةكرح بكاوكلا طاسوألاو عضومو جوألا ‪.‬ضيضحلاو كلذلف بجي نأ‬ ‫نوكي كلف رخآ طيحي ‪ 8‬نيذهب نيكلفلا ىلعو امهزكرم هبطقو بطق جوربلا وأ بيرق هنم اًّدج كّرحي‬

‫نيكلفلا نم قرشملا ىلا برغملا ةكرح ةيواسم ةكرحل كلفلا ‪.‬يناثلا‬ ‫ظ‪-٧٤-‬ل‬

‫نوكيف« اذه ثلاثلا ظفحي جوألا ضيضحلاو ‪ /‬رئاسو طقنلا ىلع اهعضاوم نم ‪،‬جوربلا‬

‫كلفلاو يناثلا كّرحي ليملا ىلإ لامشلا ‪،‬بونجلاو كلفلاو لّوألا كّرحي زكرم ريودتلا لثم ةكرح‬

‫سمشلا يف ةنسلا ةرود »‪.‬ةدحاو‬ ‫ظ‪-١٣٤-‬ب‬

‫‪:‬لاق الو« مزلي نم اذه قرخلا الو ءالخلا الو هفلاخي‬ ‫‪9‬‬

‫ةكرح ليملا اّلإو نأ ال‬

‫‪11‬‬

‫‪10‬‬

‫لوق سويملطب اميف هركذ ‪ /‬نم‬

‫ممتت ةرودلا يف رومألا »‪.‬ةيوامسلا لئاقلو نا لوقي الو دوصقملا اضيأ ذإ‬

‫هلالتخا ال ىفخي ىلع يبغ الضف نع ‪.‬يكذ‬

‫‪: ‎1.‬لئاملاب ةلئاملاب ]ل[‬

‫‪: ‎2.‬يفاوي يفاوي يف ]ل‪،‬م[‬

‫كلذ ‪،‬فصنلا ‪ ...‬زكرم ‪:‬ريودتلا ةصقان ]م[‬

‫‪: ‎7.‬عضولا عضوملا ]ب[‬ ‫ةفلاخم ]ل‪،‬ب[‬

‫‪: ‎5.‬اًدبأ ةصقان ]م[‬

‫‪: ‎8.‬طيحي طيحم ]م[‬

‫‪: ‎3.‬نيب ةصقان ]ل[‬

‫‪ ‎6.‬يف ‪:‬بونجلا بونجلاب ]م[‬

‫‪ ‎9.‬الو ‪:‬ءالخلا و ءالخلا ]م[‬

‫‪ ‎11.‬اّلإو نأ ‪:‬ال الو نا ال ‪]،‬ل‪،‬ب[ الو نا ]م[‬

‫‪ ‎4.‬يف‬

‫‪: ‎10.‬هفلاخي‬

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Quant à la raison pour laquelle chacune des planètes inférieures a un grand épicycle dont le centre est sur la ceinture de l’orbe incliné, et le centre de l’épicycle de Vénus est au nord du centre du grand , c’est-à-dire du plan de l’orbe incliné, et pour Mercure au sud, dont on déduit que le centre de l’épicycle de Vénus est toujours au nord, et pour Mercure, toujours au sud : cette raison est faible. Car supposer que le centre de l’épicycle de Vénus est à l’extérieur du plan de l’orbe incliné n’implique pas que le centre de leurs épicycles soit toujours au nord ; à moins qu’on suppose la distance de leur centre au plan de l’orbe incliné plus grande que la distance de l’orbe incliné au parécliptique, mais ceci ne s’accorde pas avec ce que Ptolémée a trouvé par l’observation : que le centre de l’épicycle arrive à la ceinture quand il est au nœud, que son éloignement maximal de la ceinture est de la grandeur de l’inclinaison maximale de l’orbe incliné, et qu’il se meut sur l’orbe incliné (à moins de dire que ces choses ne sont qu’une intuition de Ptolémée, qu’elles n’ont pas été trouvées par l’observation car la grandeur est tout à fait insensible). La faiblesse n’est pas cachée. Quant à la cause de l’inclinaison des apogées, Ibn al-Haytham a composé un traité où il a mentionné les corps qui font ces mouvements, et il a ajouté, pour chacun des épicycles des cinq , deux sphères en vue de l’inclinaison ; et dans les deux planètes inférieures, deux autres sphères en vue de la déviation. Son affirmation consiste à supposer une sphère qui entoure l’épicycle et qui a deux pôles dont la distance aux extrémités du diamètre passant par l’apogée et le périgée, symétriquement de part et d’autre, est de la grandeur de l’inclinaison maximale de ce diamètre – pour cette planète – par rapport au plan dans lequel il est quand il n’a pas d’inclinaison. Il suppose que a un mouvement comme celui qu’on a supposé pour le petit cercle mentionné pour cette planète, afin que les deux extrémités du diamètre mentionné, par son mouvement, se meuvent sur un circuit égal au petit cercle lui-même, d’un mouvement uniforme par rapport à un point autre que son centre (comme on l’a supposé pour le petit cercle). Mais il s’ensuit du mouvement un mouvement de toutes les parties de l’épicycle jusqu’au diamètre du milieu. Celuici quitte sa position à cause de ce mouvement : son extrémité du matin devient du soir, et inversement. Il en est de même pour les autres parties des épicycles. À cause de cela, il faut donc supposer une autre sphère entre cette sphère et la sphère de l’épicycle, ayant pour pôles les deux extrémités du diamètre mentionné, c’est-à-dire les deux points de l’apogée et du périgée. On suppose

‫‪647‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫اّمأو ّنأ ببسلا ّنأ ّلكل نم نييلفسلا اًريودت اًريبك هزكرم ‪ 1‬ىلع ةقطنم ‪،‬لئاملا زكرمو ريودت‬

‫ةرهزلا يلامش نع زكرم ‪،‬ةريبكلا يأ نع حطس ‪،‬لئاملا دراطعلو ‪،‬يبونج مزليل هنم نوك زكرم‬

‫‪2‬‬

‫ريودت ةرهزلا اًمئاد ‪،‬اًيلامش دراطعلو ‪:‬اًيبونج ‪.‬فيعضف ّنأل ضرف ‪ 3‬زكرم ريودت ةرهزلا اًجراخ ‪ 4‬نع‬

‫حطس لئاملا ال مزلتسي نوك زكرم امهريودت ‪ 5‬اًيلامش ؛اًدبأ اّلإ نأ ضرفُي دعب امهيزكرم نع حطس‬ ‫لئاملا رثكأ نم دعب لئاملا نع ‪،‬لّثمملا هّنكلو ال ‪ 6‬قفاوي ام هدجو ‪ 7‬سويملطب ‪:‬دصرلاب نم لوصو‬

‫زكرم ريودتلا ىلإ ةقطنملا دنع ‪،‬ةدقعلا نوكو ةياغ هدعب نم ةقطنملا ردقب ةياغ ليم ‪،‬لئاملا هنوكو‬ ‫اًكَّرحتم ىلع لئاملا ّمهّللا( اّلإ نأ لاقت هذه رومألا امّنإ يه سدح هسدح سويملطب سيلو اّمم دجو‬

‫دصرلاب ّنأل هرادقم سيل اّمم ّسحي هب ‪). 8‬ةتبلأ هفعضو ال ‪.‬ىفخي‬ ‫اّمأو ببس ليم يرذلا ‪ ،9‬دقف لمع نبا مثيهلا ةلاسر‬

‫‪10‬‬

‫ركذ اهيف ماسجألا يتلا كِّرحت هذه‬

‫‪،‬تاكرحلا دازف يف ّلك ريودت نم ريوادت ةسمخلا نيترك لجأل ‪،‬ليملا يفو نييلفسلا نيترك نيترخأ‬ ‫لجأل ‪.‬فارحنالا‬

‫هريرقتو نأ ضرفي ةرك طيحت ريودتلاب نوكيو اهل نابطق امهدعب نع يفرط رطقلا ّراملا ةورذلاب‬

‫‪،‬ضيضحلاو يف نيتهج ‪،‬نيتلدابتم ردقب ةياغ ليم كلذ رطقلا كلذل بكوكلا نع حطسلا يذلا‬ ‫وه هيف نوكيف ‪ 11‬ميدع ‪.‬ليملا ضرفيو اهل ةكرح لثم ‪ 12‬يتلا ‪ 13‬تضرف ةرئادلل ةريغصلا ةروكذملا‬

‫ظ‪-٤٤-‬م‬

‫كلذل بكوكلا ‪ ،15‬كّرحتيل‬

‫‪16‬‬

‫اهتكرحب افرط‬

‫‪17‬‬

‫رطقلا ‪ /‬روكذملا‬

‫‪18‬‬

‫‪14‬‬

‫ىلع رادم لثم ةرئادلا ةريغصلا‬

‫‪،‬اهنيعب ًةكرح ًةهباشتم دنع ةطقن ريغ اهزكرم امك( تضرف ةرئادلل ‪).‬ةريغصلا‬

‫نكل مزلي نم اهتكرح ‪ /‬ةكرح عيمج ءازجأ ريودتلا ىّتح رطقلا ‪.‬طسوألا هّنإف لوزي كلتب‬

‫و‪-١٣٥-‬ب‬

‫ةكرحلا نع ‪:‬هعضو ريصيف هفرط يحابصلا ‪،‬اًيئاسم ‪.‬سكعلابو كلذكو يف رئاس ءازجأ ‪.‬ريوادتلا‬ ‫بجيف‬

‫‪19‬‬

‫كلذل نأ ضرفن ةرك ىرخأ نيب هذه ةركلا نيبو‬

‫‪20‬‬

‫ةرك ‪،‬ريودتلا اهابطق افرط رطقلا‬

‫روكذملا ينعأ يتطقن ةورذلا ‪.‬ضيضحلاو ضرفيو اهل ةكرح ةيواسم ةكرحلل ةروكذملا يف ةركلا‬

‫‪ ‎1.‬اًريبك ‪:‬هزكرم ريبك هتقطنم ]م[‬

‫‪: ‎4.‬اًجراخ جراخ ]ل[‬ ‫]ب[‬

‫ةلاقم ]م[‬

‫‪: ‎8.‬هب ةصقان ]م[‬

‫‪: ‎11.‬نوكيف نوكي ]م‪،‬ب[‬

‫‪: ‎14.‬ةروكذملا ةروكذملا يتلا ]ل‪،‬ب[‬

‫كرحتيف ]م[‬

‫‪: ‎3.‬ضرف لضف ]م[‬

‫‪: ‎5.‬امهريودت ينعي زكرم ريودت دراطع زكرمو ريودت ةرهزلا‬

‫‪: ‎7.‬هدجو هركذ ]م[‬

‫ثيحب ]ب[‬

‫‪: ‎2.‬زكرم ةصقان ]م‪،‬ل[‬

‫‪: ‎17.‬افرط فرط ]ب[‬

‫‪: ‎9.‬يرذلا يذلا ]ب[‬

‫‪: ‎12.‬لثم ليم ]م[‬

‫‪ ‎6.‬هّنكلو ‪:‬ال الو‬ ‫‪: ‎10.‬ةلاسر‬

‫‪: ‎13.‬يتلا يذلا ]م‪،‬ل[‬

‫‪ ‎15.‬كلذل ‪:‬بكوكلا بكوكلذل ]ب[‬

‫‪ ‎18.‬كلذل بكوكلا ‪: ...‬روكذملا ددرت ]م[‬

‫‪ ‎20.‬نيب هذه ةركلا ‪:‬نيبو نم هذه ةكرحلا نمو ]ب[‬

‫‪21‬‬

‫‪: ‎16.‬كّرحتيل‬ ‫‪: ‎19.‬بجيف‬

‫‪ ‎21.‬يف ‪:‬ةركلا ةصقان ]م[‬

650

5

10

15

20

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

qu’elle a un mouvement égal au mouvement même mentionné pour la première sphère, mais en sens contraire. ramène toutes les parties de l’épicycle qui étaient sur le point de quitter leur position nécessaire ; il ne reste aucun effet du mouvement de la première sphère, sauf ce qui est nécessaire à cause du mouvement du diamètre mentionné et de ce qui lui est contigu dans le plan de la ceinture de l’épicycle. Pour chacune des deux inférieures, on suppose deux autres sphères en vue de la déviation, de la même manière, pour que l’une fasse dévier le diamètre du milieu de l’épicycle, et pour que l’autre conserve la position du reste de l’épicycle afin que l’apogée ne devienne pas périgée, ni le périgée, apogée. Évidemment, si on pose que les deux pôles de la sphère supposée d’abord sont à une distance des deux pôles de l’épicycle égale à la distance qu’il a supposée entre eux et les deux extrémités du diamètre de l’épicycle, alors on atteint ainsi aussi ce qu’il cherchait, c’est-à-dire que l’apogée se meut sur le petit cercle. comme ce qu’on a vu au début du livre, quant au fait qu’un seul mobile suffise pour les deux irrégularités : les deux mouvements d’accès et récès, et d’augmentation et diminution de l’inclinaison.

‫‪649‬‬

‫‪IBN Al-HAYTHAM ET LE MOUVEMENT D’ENROULEMENT‬‬

‫ىلوألا ‪،‬اهنيعب اهّنكل ‪ 1‬ىلإ فالخ كلت ‪،‬ةهجلا ّدرِل عيمج ءازجأ ريودتلا يتلا تداك نأ لوزت نع‬ ‫اهعضو ؛بجاولا الو ىقبي اهيف ‪ 2‬نم ةركلا ىلوألا رثأ ‪،‬ةكرح ىوس ام ناك مزلي ببسب ةكرح رطقلا‬

‫روكذملا امو لصّتي هب ‪ 3‬نم حطس ةقطنم ‪.‬ريودتلا‬

‫ضرفُيو ّلكل دحاو نم نييلفسلا ناترك ناترخأ لجأل ‪،‬فارحنالا هذهب ةفصلا ‪،‬اهنيعب فَّرحُتل‬

‫امهادحإ رطقلا طسوألا نم ريودتلا ظفحتو ىرخألا عضو يقاب ريودتلا يك ال ريصت ةورذلا اًضيضح‬

‫ضيضحلاو ‪ً.‬ةورذ‬

‫الو ىفخي هّنأ نإ لعج ىبطق ةركلا يتلا اهضرف اًلّوأ ىلع دعُب نم يبطق ريودتلا ٍواسم دعبلل‬

‫يذلا هضرف امهنيب نيبو يفرط رطق ‪،‬ريودتلا ّمتَل هدوصقم كلذب ‪،‬اًضيأ ينعأ كّرحت ةورذلا ىلع‬

‫ةرئادلا ‪،‬ةريغصلا لثمب ‪ 4‬ام ّرم يف لئاوأ ‪ 5‬باتكلا يف ءافتكالا ٍكرحمب ٍدحاو ‪:‬نيفالتخالل ينعأ‬ ‫يتكرح لابقإلا ‪،‬رابدإلاو دايدزاو ليملا ‪.‬هصاقتناو‬

‫‪: ‎1.‬اهّنكل ةصقان ]م[‬

‫‪: ‎5.‬لئاوأ لوا ]م[‬

‫‪: ‎2.‬اهيف ةصقان ]م[‬

‫‪: ‎3.‬هب ةصقان ]م[‬

‫‪: ‎4.‬لثمب لثم ]م‪،‬ب[‬

PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS : SUR LES MIROIRS L’étude géométrique de la réflexion des rayons visuels ou solaires sur les miroirs a été menée pendant plusieurs siècles par les mathématiciens grecs dans trois domaines à la fois. Le premier est la catoptrique, qui porte sur la vision par réflexion des rayons visuels, et qui se présente comme toute étude géométrique sous la forme d’un système de propositions déduites de quelques hypothèses sur la vision. Les titres représentant cette étude sont la Catoptrique attribuée à Euclide et les livres III et IV de l’Optique de Ptolémée 1. Le second domaine est celui de l’étude des miroirs ardents depuis l’époque d’Archimède, avec le compagnon de Conon d’Alexandrie, Théodose, puis Dioclès, qui cite dans son livre les noms de plusieurs de ses prédécesseurs mathématiciens. On peut également évoquer Dtrūms, Didyme 2, Anthémius de Tralles. Il s’agit cette fois de l’étude de la réflexion des rayons du soleil sur les miroirs, pour produire une concentration des rayons en vue d’embraser un objet, proche ou lointain. Mais, alors que la première tradition est dite euclidienne, on qualifie la seconde d’archimédienne, en raison de la légende selon laquelle Archimède aurait incendié la flotte romaine lors de l’attaque de Syracuse 3. Il existe une troisième tradition d’étude de la réflexion des rayons visuels, et parfois solaires, sur les miroirs, représentée par un livre d’un Pseudo-Euclide, différent de la catoptrique attribuée à Euclide ; ainsi que par des livres d’un Pseudo-Ptolémée, d’un certain Thiasos et, aussi, de Héron d’Alexandrie. Il s’agit de la réflexion sur les miroirs, des rayons visuels et parfois des rayons solaires, pour

Paru dans Arabic Sciences and Philosophy, 32, 2022, p. 1-65. ‎1. Euclide, L’Optique et la Catoptrique, trad. P. Ver Eecke, Paris, 1959. Ptolémée : L’Optique, dans la version latine de l’Emir Eugène de Sicile, éd. critique et exégétique par A. Lejeune, Louvain, 1956 ; livres III et IV, p. 86 sq. ‎2. R. Rashed, Les Catoptriciens grecs. I : Les miroirs ardents, édition, traduction et commentaire, Paris, 2000. ‎3. Sur cette légende, cf. D. L. Simms, « Galen on Archimedes : burning mirrors or burning pitch ? », Atti della fondazione Giorgio Ronchi, Anno LXI, n o 1, janv. fév. 2006, p. 115-139.

654

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

divertir en produisant des figures curieuses, ou pour éclairer les maisons ou les théâtres. Ces trois traditions, si leurs buts sont différents, ainsi que leurs thèmes d’étude et leurs styles, ne sont pas indépendantes. Certains thèmes leur sont communs, comme par exemple miroirs ardents et miroirs plaisants, ou problèmes de vision et problèmes plaisants, etc. Les auteurs utilisent tous l’égalité des angles d’incidence et de réflexion, sinon la loi de la réflexion. Dans cette étude, nous nous intéresserons à la troisième tradition. Celle-ci est représentée depuis plus d’un siècle par deux traités : le Tractatus de Speculis du [Pseudo-] Euclide et le De Speculis du PseudoPtolémée. Le premier est une traduction latine du xii e siècle, à partir d’un livre arabe intitulé Livre sur les miroirs d’Euclide 1 (lui-même traduction d’un livre grec), faite par Gérard de Crémone ou par l’un de ses élèves. Ce tractatus a été édité et traduit en allemand par A. Bjørnbo et S. Vogl en 1912 2. Ces derniers, au cours de leur traduction allemande, ont souligné que le Pseudo-Ptolémée avait emprunté des problèmes au Livre sur les miroirs d’Euclide, c’est-à-dire au Pseudo-Euclide ; ils ont également noté les emprunts faits plus tard au Pseudo-Ptolémée par Witelo, Roger Bacon, Albert le Grand, Vincent de Beauvais, entre autres. Quant au De Speculis du Pseudo-Ptolémée, c’est une traduction latine d’un texte grec perdu, faite par Guillaume de Moerbeke en 1269. Cette traduction a été imprimée à Venise (en 1518, réimprimé en 1519), puis, en 1870 par V. Rose. W. Schmidt en a donné une édition critique et une traduction allemande en 1900 3. A. Jones a publié une seconde édition en 2001, accompagnée d’une traduction anglaise 4. W. Schmidt, à la suite des historiens G. Venturi (1814) et T. H. Martin (1854) 5, écrit :

‎1. Voir plus loin l’editio princeps et la traduction de ce traité. ‎2. Alkindi, Tideus und Pseudo-Euclid : Drei optische Werke, A. A. Bjørnbo et S. Vogl éd., Abhandlungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen (Vol. 26.3). Leipzig / Berlin 1912. ‎3. W. Schmidt, [Claudii Ptolemaei] De Speculis, in Heronis Alexandrini Opera quae supersunt omnia 2.1. Herons von Alexandria Mechanik und Katoptrik, ed. L. Nix and W. Schmidt. Leipzig, 1900. ‎4. Pseudo-Ptolemy, De Speculis. SCIAMVS : Sources and Commentaries in Exact Sciences 2 (2001) p. 145-186. ‎5. G. Venturi, Commentarj sopra la storia e le teorie dell’ ottica, Bologne, 1814. Th. H. Martin, Recherches sur la vie et les ouvrages de Héron d’Alexandrie, disciple de Ctésibius, et sur tous les ouvrages mathématiques grecs, conservés ou perdus, publiés ou inédits, qui ont été attribués à un auteur nommé Héron, Paris, 1854.

PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS

655

Ich möchte es aus den angeführten Gründen nunmehr für sicher halten, dass uns im Ptolomeus de speculis Herons Katoptrik, wenngleich in stark gekürzter und verderbter Gestalt, vorliegt 1.

Ce résultat est admis par les historiens de la catoptrique grecque. Ainsi A. Lejeune écrit : Les arguments invoqués par Schmidt (Prolégomènes de Héron, Catop. P. 303 suiv.) à la suite de Martin et Venturi nous paraissent concluants 2.

Ainsi, selon ces auteurs, et d’autres ensuite, le De Speculis n’est pas une œuvre de Ptolémée, mais une version abrégée de la Catoptrique de Héron d’Alexandrie. Notons que S. Vogl, dans sa traduction allemande du Tractatus de Pseudo-Euclide, a relevé quelques problèmes communs à ce dernier et à Pseudo-Ptolémée. Nous allons montrer (1) qu’il existe une traduction en arabe d’un livre grec intitulé Livre des miroirs d’Euclide, Kitāb al-marāʾi li-Uqlīdis, qui renferme les principaux problèmes du Tractatus latin, traduit, nous l’avons dit, par Gérard de Crémone ou l’un de ses disciples. (2) Qu’il existe un traité Sur les Miroirs ardents, d’un certain Ṯiāsūs, Θίασος, qui a été traduit en arabe et cité par le mathématicien du x e siècle ʿUṭārid ibn Muḥammad al-Ḥāsib, et qui comprend des problèmes du livre du Pseudo-Euclide ainsi que des problèmes du Pseudo-Ptolémée. De ce Thiasos, nous ne connaissons rien. Le nom est cependant attesté durant la période hellénistique et romaine 3. (3) Nous allons montrer que ces écrits ne sont pas indépendants, comme l’a suggéré S. Vogl il y a un siècle environ. La question ouverte est donc : existait-il ‎1. W. Schmidt, [Claudii Ptolemaei] De Speculis, op. cit., p. 306. ‎2. A. Lejeune, Recherches sur la catoptrique d’après les sources antiques et médiévales, Bruxelles, 1957 ; p. 5, note 6. ‎3. Le nom grec Θίασος, correspondant à l’arabe ‫سوسايث‬, n’est pas attesté, pour un personnage historique, dans les textes grecs transmis par les manuscrits byzantins. On en trouve en revanche neuf mentions dans les inscriptions épigraphiques et les papyrus grecs. Les voici, classées par ordre chronologique. [1]-[2] Les deux plus anciennes (= IG XV, Paphos V 449 et Appl. I, 230) apparaissent sur des amphores. Elles font partie du sceau du fabriquant Thiasos, acteur du commerce rhodien au début du ii e siècle av. J.-C. On peut les dater des années 198 ca-161. [3] Au i er siècle de notre ère, on grave, pour l’Asclepieion de l’île de Cos, une inscription en l’honneur de C. Iulius Thiasos, un affranchi d’Auguste (= IG XII,4, 2 : 873,II, l. 3). [4] On trouve, durant les années 54–59 ap. J.-C., à Éphèse, dans une liste de noms de pêcheurs et de vendeurs de poisson ayant contribué à l’édification d’un telonion en l’honneur de Néron, d’Agrippine, d’Octavie, du demos de Rome et de celui d’Éphèse, un certain Thiasos (= Ephesos 267, l. 30).

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

une source commune, en plus des sources particulières à chacun ? Cela fait partie des questions léguées à la recherche future. Pour l’heure, nous allons établir ces nouveaux faits, et montrer que ceux-ci étaient connus des catoptriciens arabes du ix e siècle, comme al-Kindī et Qusṭā ibn Lūqā, et ensuite de Aḥmad ibn ʿĪsā et de ʿUṭārid ibn Muḥammad al-Ḥāsib au x e siècle.

I. Le livre des miroirs d’Euclide Ce livre du Pseudo-Euclide diffère non seulement par son extension, mais aussi par les sujets traités, de la Catoptrique attribuée à Euclide. Dans cette dernière, en effet, on étudie les propriétés de la réflexion sur les différents miroirs : plan, sphériques convexe et concave, etc. Dans le premier, on procède par l’usage de certaines de ces propriétés dans le montage d’un miroir ou d’un système catoptrique pour produire des phénomènes curieux ou utiles. À la différence de la Catoptrique attribuée à Euclide, dans le Livre des miroirs on ne démontre pas les propriétés de la réflexion sur différents miroirs, mais on cherche à produire des effets particuliers. Ainsi, dans la Catoptrique, on démontre dans les propositions 19, 20, 21 et 22 comment l’image par réflexion apparaît dans le miroir plan, c’est-à-dire

[5] Quelque vingt ans plus tard, dans la Lydie voisine (région de Silandos), figure la mention, sur une stèle gravée à la mémoire d’une jeune femme datée de l’année 74/75, de son grand-père (πάππος) Thiasos (= SEG 35:1257, l. 6). [6] Un papyrus de provenance inconnue (= O.Petr. Mus. 431, 6), remontant au premier siècle de notre ère, mentionne, dans une liste de noms, celui de Θίασος. [7] Un papyrus de Ptolemais Euergetis/Arsinoè, daté de 122/123 (= P. Prag. II 132,1), mentionne un adjoint de Péan, Procurateur d’Alexandrie sous le règne d’Hadrien, du nom d’Οὔλπιος Θίασος (voir L. Vidman, « Ein neuer adiutor procuratoris usiaci », dans Speculum antiquitatis Graeco-Romanae. Studia in Ioanni Burian sexagenario oblata, Prague, 1990, p. 342-347 et F. Beutler, « Paean, der procurator usiacus, und die Datierung von CIL XIV 2932», Zeitschrift für Papyrologie und Epigraphik 160, 2007, p. 232-234). [8] Au ii e ou au iii e siècle, une inscription est gravée à Épidaure. La cité y honore un certain Thiasos, fils d’Aristodamos (= IG IV 2, 1 688). [9] Le nom apparaît enfin, en Attique, dans une longue liste datée des environs de l’an 200 (= IG II 2 2191). De ces neuf attestations archéologiques, on peut retenir que le nom Θίασος est attesté en Grèce, en Asie Mineure et en Égypte, exclusivement durant la période hellénistique et au début de la période romaine, d’environ 200 av. J.-C. à environ 200 ap. J.-C. Quatre de ces occurrences appartiennent plus précisément au i er siècle après J.-C. En revanche, ce nom n’est attesté ni à l’époque classique, ni durant l’Antiquité tardive — ce qui s’explique sans doute aussi en raison de ses connotations païennes [Note rédigée par Marwan Rashed].

PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS

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que le côté droit de l’objet apparaît à gauche, et vice versa pour le côté gauche ; dans le Livre des miroirs, on s’efforce, à l’aide d’un système catoptrique, d’obtenir l’image du côté droit à droite et celle du côté gauche à gauche, dans le but d’étonner et de distraire. Ce livre du Pseudo-Euclide nous est parvenu dans un manuscrit qui n’a ni prologue, qui aurait pu nous renseigner sur le nom du traducteur de l’original grec, ni colophon, qui aurait pu nous apprendre le nom du copiste et la date ou le lieu de la copie. L’examen du texte et de la terminologie optique montre que la traduction a été faite au ix e siècle, sinon avant, lors des traductions des travaux grecs sur les miroirs. C’est en effet la terminologie de la traduction des livres de Dioclès, de Didyme, de Dtrūms, entre autres, qui était encore celle de Qusṭā ibn Lūqā et d’al-Kindī. Pour ne prendre que quelques exemples, on lit ‫بصن ًادومع‬, pour « élever une perpendiculaire », au lieu de ‫لكش يربونص ; ماقأ ًادومع‬, « figure de pomme de pin », au lieu de ‫طورخم‬,

« cône » ; ‫ ّدحتسم‬pour « sommet » au lieu de ‫ باتك ناكرألا ; سأر‬pour « le Livre des Éléments » au lieu de ‫ رّوصن ; باتك لوصألا‬pour dessiner au lieu de ‫; مسرن‬

‫ ّثب‬pour « émettre » au lieu de ‫عاعش رصبلا ; جرخأ‬, « rayon visuel ». Il s’agit de la traduction d’un texte grec, citée ensuite par al-Kindī 1, Aḥmad ibn ʿĪsā, entre autres, et plus tard par Salāḥ al-Dīn al-Kaḥḥāl ... (cf. infra). Le corps de ce livre, tel qu’il se trouve dans le manuscrit, est composé non pas des six propositions sur la réflexion, à démontrer, mais des six problèmes à résoudre, qui suivent immédiatement le titre. Le sixième problème ne tarde pas à s’interrompre, brusquement. La structure de ce livre pourrait suggérer celle d’un fragment d’un traité plus long, duquel on aurait retenu ce groupe de problèmes. Chacun des deux premiers problèmes est composé d’une partie principale, dite « la mère » — al-umm — et d’une partie secondaire, « la glose » — al-ṭurra. Selon le traducteur, cette dernière partie se trouvait en marge de la partie principale dans l’original grec. Il reconnaît l’avoir reportée après cette partie dans la traduction arabe. La traduction latine, Tractatus de Speculis, est composée de 15 problèmes. Les six premiers sont traduits du Livre sur les miroirs d’Euclide tels que nous les trouvons dans le manuscrit établi et traduit ici. Il s’agit de problèmes de construction des miroirs pour obtenir des effets curieux par réflexion des rayons visuels. Les neuf problèmes qui restent dans la traduction latine traitent du rayon solaire et du rayon visuel. Examinons quelques uns de ces problèmes. ‎1. R. Rashed, Œuvres philosophiques et scientifiques d’al-Kindī. Vol. I : L’Optique et la Catoptrique d’al-Kindī, Leiden : E.J. Brill, 1997 ; p. 337-339.

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III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Le septième problème n’en est pas vraiment un. Il s’agit d’une description de la figure du rayon et du cône visuels, que l’on trouve dans la plupart des livres de catoptrique. On y lit : Le rayon visuel, à savoir en forme de pomme de pin, est la lumière sortant des yeux, dont la base est comme le ciel 1.

Les problèmes 8, 9, 10 et 11 traitent des figures des rayons solaires, et ne sont donc pas dans la suite de l’étude du Pseudo-Euclide. Le douzième problème s’énonce : « De quelle manière on montre que le rayon se réfléchit des deux côtés du miroir sur le point qui est le centre du cercle contenant les deux côtés et l’angle contenu par les deux côtés 2 ». Il s’agit d’un problème plus rigoureusement formulé et démontré par al-Kindī dans son livre Sur les rayons solaires 3, et repris par Aḥmad ibn ʿĪsā 4. Le problème suivant, le treizième, s’énonce : « Comment se fait un miroir qui embrase en avant et en arrière ». On retrouve ce problème, énoncé dans les mêmes termes par Aḥmad ibn ʿĪsā 5. Le problème 14, qui s’énonce : « De cette manière aussi on démontre la réflexion du rayon sur un cristal », figure également dans le traité d’Aḥmad ibn ʿĪsā : « De même, nous verrons comment le rayon se réfléchit sur un cristal 6 ». Il est clair que l’existence de plusieurs problèmes commun d’une part aux traités d’al-Kindī et d’Aḥmad ibn ʿĪsā et, d’autre part, au texte latin, suggère que, ou bien le traducteur disposait d’un texte arabe qui contenait les neuf problèmes du texte latin, ou bien il existait une traduction arabe d’un écrit grec qui était une source commune. Si cette source existait, ce serait un livre où l’on étudiait la réflexion des rayons visuels et des rayons solaires à la fois. Venons-en à présent aux six problèmes du Pseudo-Euclide. Problème 1. « Comment dresser un miroir dans lequel tu vois l’image d’un autre et tu ne vois pas ta propre image ». Dans le Tractatus on lit : « Praeparatio speculi, in quo uideas alterius imaginem et non tuam 7 ».

‎1. Alkindi, Tideus und Pseudo-Euclid, op. cit., p. 101. ‎2. Ibid., p. 104. ‎3. R. Rashed, Œuvres philosophiques et scientifiques d’al-Kindī, op. cit., p. 99-100, p. 362-364. ‎4. Ibid., p. 650-652. ‎5. Ibid., p. 670-672. ‎6. Ibid., p. 672. ‎7. Alkindi, Tideus und Pseudo-Euclid, op. cit., p. 97.

PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS

659

Ce même problème, dans le texte de Thiasos, est énoncé : « Dresser un miroir dans lequel l’observateur voit une autre image que la sienne 1 » ; et dans le livre d’Ibn ʿĪsā : « Comment le rayon se réfléchit sur un miroir que nous dressons d’une certaine manière, dans lequel nous voyons plusieurs images sans que nous voyions nos personnes 2 ». La solution donnée à ce problème dans ces différents écrits est toujours la même, ainsi que la figure. On trouve également dans le livre du Pseudo-Ptolémée, problème 18 : « Dresser un miroir en un point déterminé tel que toute personne approchant ne se voie, ni ne voie personne d’autre, mais voie seulement une image qu’on a choisie au préalable 3 ». Ici la solution est un peu développée, mais cette légère différence ne change rien à l’énoncé précédent. Voici la solution de Pseudo-Euclide, de Thiasos aussi, qu’Ibn ʿĪsā a reprise. Solution. Soit AB un mur élevé perpendiculairement à la surface plane BC. Menons BD inclinée de 30° sur AB, et collons le dos d’un [ = 30°. miroir sur BD. On a donc ABD Élevons CE perpendiculaire en E, prolongeons BD et traçons DG. [ = ECD, [ d’où DG // EC. On mène GH ⊥ BC Le point G se définit par CDG et on trace IJ vérifiant IJ // BD et IJ = BD, J étant un point de JH, et faisons GJ = GC. On montre que l’œil en C voit, par réflexion, seulement l’image de la planche JI, sans voir l’image de l’observateur. On remarque qu’il s’agit d’un montage catoptrique, sans véritable démonstration. Ici, la position du point J est définie par CG = GJ, ce qui ne per[ = 1 met pas de déduire le résultat cherché dans l’hypothèse ABD 3 d’un angle droit. En effet, la position du point J doit être définie d pour que le rayon JD se réfléchisse vers C. [ = GDJ par CDG D’autre part, pour que l’œil de l’observateur ne voie dans le miroir BD que la planche JI, il faudrait que le point I soit sur le rayon issu de CB après réflexion en B. La planche répondant au problème serait donc JI ′ telle que JI ′ // BD et JI ′ > BD. Notons que, l’auteur de la glose signale que la définition du point J par GJ = CG est incorrecte, d mais il ne fait pas de remarque [ = GDJ, et indique la condition CDG concernant l’égalité IJ = BD. ‎1. Voir plus loin. ‎2. Ibn ʿĪsā : Livre de l’Optique et des miroirs ardents, Kitāb al-Manāẓir wa-al-marāyā al-muḥriqa, ms. n o 2759, f. 22 v-23 r. ‎3. W. Schmidt, [Claudii Ptolemaei] De Speculis, op. cit., p. 358 sq.

660

III. OPTIQUE ET

A E

D

C

B

G

J

H I

Iʹ x

ASTRONOMIE

Fig. 1

PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS

661

d en[ = DGJ Il note également dans la glose que, pour que CDG traîne GC = GJ, il faut changer l’inclinaison du miroir BD et prendre [ = 45° au lieu de ABD [ = 30 ABD A E D

C

B

G

J

H I

Iʹ x Fig. 2

Les deux triangles CGD et JGD sont équivalents, et on a bien GC = GJ. Mais, dans ce cas comme précédemment, la longueur de la planche doit être JI ′ , le point I ′ étant sur le prolongement Bx de la [ = DBC [ = 45°. droite AB, car CB se réfléchit suivant Bx si ABD L’auteur signale d’ailleurs qu’un rayon issu de C et tombant entre

662

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

D et B se réfléchit vers un point qui peut être sur IJ ou sur son prolongement. Dans le texte de Thiasos, on a également l’œil en C au-delà du point G, ce qui est essentiel pour la suite. Pour que l’observateur en C ne voie dans le miroir que la seule image collée sur IJ, il est nécessaire que I et J soient tels que les rayons JD et IB se réfléchissent sur le d Par hypothèse JI // [ = GDJ. miroir suivant DC et BC. On a donc CDG ′ DB, d’où la construction de I dont l’image I est sur CB. Dans ce cas l’observateur en C a un champ visuel défini par les droites DJ et BI

Gʹ

A

E

Jʹ

D C

G

B

Iʹ

J

I

Fig. 3

Problème 2. « Dresser deux miroirs ; la personne se voit dans l’un, venant (i.e., de face) et partant (i.e., de dos) ». Le traducteur latin a rendu ainsi cet énoncé : « Praeparatio duorum speculorum, in quibus uideas formam unam uenientem et

PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS

663

recedentem 1 ». D’autre part, on lit ce problème (cité par ʿUṭārid) dans le livre de Thiasos : « Comment dresser deux miroirs tels qu’on voie dans l’un une personne de face et de dos 2 ». Quant à Ibn ʿĪsā, il écrit lui aussi : « Comment dresser deux miroirs tels que la personne se voie dans l’un des deux s’approchant et s’éloignant 3 ». Comme le premier problème, celui-ci se divise en une partie principale et une glose à cette partie. Démonstration. On veut construire un système catoptrique de deux miroirs plans tels que, dans l’un, l’observateur se voie de face et de dos. Selon le Pseudo-Euclide, les miroirs sont carrés, de côté égal à a. Soit BC un segment de droite de milieu D, et les perpendiculaires à BC aux points B, D et C. Sur la première, on a BH = BI = 2a ; sur la seconde on a DG = a et sur DG le point Q milieu de DG ; sur la troisième on a CE qui rencontre IG en E. Ces trois perpendiculaires sont parallèles. Traçons le cercle de centre E et de rayon égal à 2a . Ce cercle coupe DE en K et IE en J. Soit L le milieu de l’arc JK et MN ⊥ EL. On a EM = EN = 2a . On considère les deux miroirs perpendiculaires au plan de figure suivant HI et MN. Ils ont pour centre respectivement les points B et E. Le rayon suivant DE est réfléchi sur MN suivant EI qui est réfléchi sur HI suivant ID. Si l’observateur fait face au miroir MN, l’œil étant en D, il se voit dans ce miroir de face directement, et se voit de dos par double réflexion (cf. Fig. 4). L’auteur de la glose remarque qu’« il est plus correct de faire la longueur du miroir HI tout entière, et s’il veut voir le sommet de sa tête, le miroir sera plus grand que cela ». En effet, pour que l’observateur voie le sommet de sa tête, il faut supposer que le miroir HI est prolongé jusqu’au point R (cf. Fig. 5). Un faisceau de lumière issu de D et tombant sur le miroir MN au voisinage de E est réfléchi suivant un faisceau divergent dont le sommet virtuel est D1 symétrique de D par rapport à MN, il tombe sur le miroir HI au voisinage de I et il est réfléchi suivant un faisceau divergent dont le sommet virtuel est D2 symétrique de D1 par rapport au deuxième miroir HI, et qui tombe derrière la tête de l’observateur. Ainsi le point X, sommet de la tête de l’observateur (rayon XROD) sera vu en X ′ dans la direction DO ; les points Y et Z seront vus en Y ′ et Z ′ dans les directions respectives DE et DS. Ces points sont vus derrière la tête de l’observateur qui regarde dans le miroir MN. ‎1. Alkindi, Tideus und Pseudo-Euclid, op. cit., p. 98. ‎2. Cf. infra. ‎3. Ibn ʿĪsā, op. cit., f. 23 r-24 r. Cf. infra.

664

III. OPTIQUE ET

O M

E (O) J G R

L

K

N

Q

I

B D

C

A

H

Fig. Xʹ Yʹ

D2

D1

M O

E S N

R X

I Y

B

Z H

ASTRONOMIE

Fig. 5

D

C

Zʹ

PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS

665

L’auteur de la glose remarque également que, imposer aux miroirs d’être égaux et d’avoir pour centres les points B et E respectivement, ne présente aucun intérêt. Ses remarques sont pertinentes : il est nécessaire de prolonger BI jusqu’en R si l’on veut voir l’image de X, sommet de la tête de l’observateur. De même il n’est pas nécessaire d’avoir EM = EN ; il suffit d’avoir OM = EO. Remarques

1. Si l’observateur fait face au miroir HI, il se voit dans ce miroir de face directement, et de dos par double Dʹ2

M O E Xʹ Yʹ

N

Zʹ I S Dʹ1

B H

X

Y C

D Z

Fig. 6

Notons que la construction donnée de ce miroir répond au but suivant : connaissant la position de l’œil, celle du miroir HI et celle d’un point E du miroir MN, déterminer l’inclinaison de MN pour que l’observateur dont l’œil est en D puisse se voir de face et de dos dans l’un des deux miroirs. Cette inclinaison dépend des longueurs données BC et BI. Pratiquement, lorsqu’un observateur qui tourne le dos à un miroir fixe veut se voir de face et de dos dans un miroir qu’il tient à la main, il cherche la position et l’orientation à donner à ce

666

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

dernier, suivant la partie du dos ou de l’arrière de la tête qu’il veut voir. Notons également que dans l’écrit de Thiasos cité par ʿUṭārid (cf. plus loin), on donnait BI = DG

G2

M I

G

H

2

K N

Y D

L

Z

E

D2 B

Y2

G1

D1

Z

Fig. 7

Dans ce cas le rayon DE se réfléchit sur MN suivant EI qui est perpendiculaire au miroir HI, le rayon EI se réfléchit donc sur lui-même et ne revient pas au point D. L’œil en D voit alors G en G1 directement et en G2 après double réflexion. Le raisonnement précédent s’applique : le faisceau EDK de sommet D est réfléchi suivant un faisceau divergent de sommet D1 , symétrique de D par rapport à MN, et est réfléchi une deuxième fois suivant un faisceau divergent de sommet D2 , symétrique de D1 par rapport à IH. Si donc G représente le sommet de la tête de l’observateur, les points tels que Y et Z, qui sont derrière sa tête, seront vus par l’œil en D dans les positions Y2 et Z2 . 2. Le traducteur de ce livre en arabe écrit à la fin de ce problème : « Ici s’achèvent les propos de la glose qui a été dans le texte principal (la mère). Sache-le.» En effet, il n’y a pas de gloses dans les problèmes suivants. Problème 3. « Construire un miroir tel que, si l’observateur bouge un de ses membres, l’image bouge ce membre, le droit à droite et le gauche à gauche ». On lit dans le texte de Thiasos : « construire un miroir dans lequel la personne voit des membres vis-à-vis de ses membres, le droit vis-à-vis du droit et le gauche vis-à-vis du gauche ».

PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS

667

On trouve l’énoncé suivant dans le problème 11 du [Pseudo] Ptolémée :« Speculum dextrum construere 1 », qui n’est pas clair, à moins de le traduire « Construire un miroir dextre (qui montre à droite ce qui est à droite) », en supposant que le texte latin a été mutilé. Dans le Tractatus, on lit : « Quomodo fiat speculum, in quo, cum aspiciens mouerit unam partium suarum, mouebit forma illam eamdem partem, dextram uidelicet cum dextra et sinistram cum sinistra 2 ». Solution. On trace dans un cercle le côté BC du pentagone et le côté AB de B E

C

Bʹ

Z

Aʹ

A

Cʹ

D

Fig. 8. AB côté de l’hexagone. CB côté du pentagone

On considère ensuite les segments de cercle qui leur correspondent et qui donneront les gabarits de deux limes, et une brique en métal de longueur B ′ C ′ = BC et de largeur A ′ B ′ = AB, et dont l’épaisseur est plus grande que la flèche de l’arc BC. Il s’agit ou bien d’un miroir à une face composée de deux parties de concavités différentes, ou d’un miroir à deux faces, les deux étant concaves. On peut proposer deux interprétations du texte du PseudoEuclide. Première interprétation. En limant dans le sens de la largeur la brique de bronze avec le gabarit BC, on obtient une surface cylindrique de directrice B ′ E ′ C ′ et de génératrice A ′ B ′ = AB. On lime ‎1. W. Schmidt, [Claudii Ptolemaei] De Speculis, op. cit., p. 336. ‎2. Alkindi, Tideus und Pseudo-Euclid, op. cit., p. 98.

668

III. OPTIQUE ET

Bʹ

B1

Aʹ M

Eʹ

N Cʹ

C1

D

Fig. 9

ensuite dans le sens de la longueur avec le gabarit AB, qui est moins profond que le précédent. Cette deuxième lime n’atteindra pas la partie centrale MN de l’arc B1 C1 , par exemple, et laissera donc intacte une partie de la première surface Zʹ

Bʹ

Aʹ

2 M Eʹ

N

1

3 Cʹ D Fig. 10

La surface réfléchissante est alors composée de trois parties. La partie (1) appartient à la première surface cylindrique ; les parties (2) et (3) appartiennent à une même surface cylindrique de courbe directrice B ′ Z ′ A ′ et de génératrice B ′ C ′ = BC.

ASTRONOMIE

Chacune des trois parties est une portion de miroir cylindrique concave. Ayant expliqué la construction de ce miroir, l’auteur affirme sans justification aucune qu’elle conduit à ce qu’on voulait.

PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS

669

Deuxième interprétation. On peut également, en limant, creuser les deux faces de la brique de bronze. Si son épaisseur est un peu plus grande que la somme des flèches des arcs du sixième et du cinquième du cercle, on obtient deux miroirs cylindriques concaves dont les surfaces n’ont aucun point commun : l’un est à génératrice horizontale, l’autre à génératrice

Bʹ

Aʹ

B

A

Cʹ

Dʹ

C

D Fig. 11

Notons que le gabarit BC, comme lime, est placé parallèlement à la longueur B ′ C ′ de la brique ; on lime en profondeur dans le sens de la largeur jusqu’à ce que les points B et C coïncident avec B ′ et C ′

B

C

Bʹ

Cʹ

Fig. 12

Dans le Livre des miroirs d’Euclide et sa traduction latine, il s’agit donc soit d’un miroir à une face, composé de parties de concavités différentes, soit d’un miroir à deux faces, les deux étant concaves.

670

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Troisième interprétation. Dans Pseudo-Ptolémée, il s’agit d’un miroir à deux faces, l’une convexe, l’autre concave. L’auteur commence par écrire : Soit tracé le cercle abg de la grandeur selon laquelle nous voulons construire le miroir. Qu’à l’intérieur du cercle soient inscrits ab, côté du pentagone, et bg, côté de l’hexagone ; que l’on coupe suivant ces cordes les portions de cercle aeb et bzg.

Il propose ensuite de creuser une surface cylindrique concave dont la profondeur est celle de la portion aeb et dont la largeur est d’après l’arc bzg et une surface cylindrique convexe suivant l’arc bzg ; les génératrices ont pour longueur ba, corde du premier arc aeb (fig. 13). Alors, si les génératrices du miroir cylindrique concave sont verticales, celles du miroir cylindrique convexe sont horizontales. On a donc ab côté du pentagone et bg côté de l’hexagone, donc ab > bg. En composant les trois textes (Pseudo-Euclide, Thiasos et Pseudo-Ptolémée), on constate qu’il s’agit d’un même problème et d’une même solution, à quoi le Pseudo-Ptolémée ajoute des remarques sur le regard dans ce miroir. Problème 4. Sur le rayon visuel Ce problème n’en est pas un à proprement parler. Il s’agit d’une définition explicative de la notion de rayon visuel, de sa figure et de sa propagation. Voici la traduction latine du texte arabe : Procedit a pupilla uirtus luminosa imprimens in eo, cui occurrit, ex toto aere, lumen pineale, cuius uidelicet acuitas apud pupillam existit. Et quanto plus elongatur, dilatatur eius basis ; et est figura, quam lumen illud continet, piramis columnea, cuius uidelicet acumen apud aspicientem, et fines sequuntur illud, super quod cadit illud lumen radiale ; et super quod non cadit, ipsum uisus non comprehendit 1.

Al-Kindī reprend cette définition et écrit : Une puissance lumineuse se disperse à partir de la pupille de l’œil et imprime dans toute l’atmosphère qu’elle rencontre une luminosité de la forme d’une pomme de pin, et pour laquelle je veux dire que son sommet est auprès de la pupille elle-même, et à mesure qu’elle s’éloigne, sa base s’élargit, de sorte que la figure entourée par cette luminosité est un cône cylindrique dont le sommet est auprès de la pupille et sa limite est du

‎1. Alkindi, Tideus und Pseudo-Euclid, op. cit., p. 99.

PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS

a

b e

a

b z

z

k

g

f

k

g

Note : Dans son édition (cf. p. 338-339), G. Schmidt considère deux miroirs, l’un concave et l’autre convexe, et les raccorde ensuite en mettant en coïncidence les cordes des deux arcs qui, dans le texte, sont supposés différents. En effet aeb = kft = 51 cercle, gzb = pox = 61 de cercle, kft ̸= gzb. Il trouve la figure suivante (p. 340). Mais dans la figure, on suppose que l’arc gzb est égal à l’arc kft, or ils sont supposés x

p

g

z

o

b

f l

t

h

m k

671

Fig. 13. Miroir à deux faces taillé dans un bloc de bronze, parallélépipède rectangle de longueur ab et de largeur bg.

672

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

côté du visible. Ce sur quoi tombe cette visibilité sera perçu par la vue, et sur quoi elle ne tombe pas ne sera pas perçu par la vue 1.

C’est à l’évidence la définition du Pseudo-Euclide qu’al-Kindī reprend ici. Son contemporain Qusṭā ibn Lūqā fait de même et écrit : Le rayon visuel se disperse à partir de l’œil sous la forme de la figure du cône dont le sommet est auprès de l’œil voyant et dont la base est du côté du visible sur lequel il tombe. Ainsi ce sur quoi tombe la base du cône radiant est perçu par l’œil, et ce sur quoi ne tombe pas le rayon visuel, le sens de la vue ne le perçoit pas 2.

Ibn ʿĪsā, leur successeur, reprend cette définition explicative en termes analogues, et écrit : Les philosophes et Euclide parmi eux et avec eux ont dit : « De la pupille de l’œil se disperse une puissance lumineuse qui imprime dans toute l’atmosphère lumineuse qu’elle rencontre, c’est-à-dire l’air, s’il est lumineux en entier, une luminosité dont la figure est celle d’une pomme de pin, semblable à la tête de la flèche, et sa tête de la flèche, c’est-à-dire son sommet, est auprès de la pupille elle-même, et à mesure qu’il s’éloigne sa base s’élargit, de sorte que la figure qui entoure cette luminosité soit un cône cylindrique dont le sommet est auprès de la pupille et la limite touche le visible ; et ainsi ce sur quoi tombe le rayon lumineux, qui est la luminosité dispersée à partir de la vue, sera perçu par la vue ; et ce sur quoi ce rayon ne tombe pas, la vue ne le voit ni ne le perçoit 3.

Plus loin, Ibn ʿĪsā prend l’exemple suivant : Soit C le point de la vue, la droite AB le visible, le point C est l’angle aigu qui est comme la tête de la flèche — al zujj — et les côtés CA, CB ; donc le triangle est en vérité un solide comme la pomme de pin, lumineux, et la position de la vue est son sommet qui est le point C et la droite AB la base.

On lit cette définition-explication reprise plus tard du livre du Pseudo-Euclide dans bien d’autres écrits catoptriques. À son tour Ibn ʿĪsā propose le montage suivant pour vérifier l’égalité des angles d’incidence et de réflexion pour les faisceaux de rayons visuels (fig. 15).

‎1. R. Rashed, Œuvres philosophiques et scientifiques d’al-Kindī, op. cit., p. 163 et 337. ‎2. Ibid., p. 582-583. ‎3. Ibn ʿĪsā : Livre de l’Optique et des miroirs ardents, Kitāb al-Manāẓir wa-al-marāyā al-muḥriqa, ms. Laleli n o 2759, f. 26 r-26 v ; et ms. Rāġib Pāšā n o 934, f. 5 v-6 r.

PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS

B

A

C Fig. 14. Ibn ʿĪsā, ms. Laleli n o 2759, f. 75 v-76 r

Soit le miroir C de centre C et un tuyau en cuivre de la largeur d’un calame, de longueur la largeur de la main, ou plus ; c’est le tuyau AB. Nous traçons le diamètre du miroir, soit JCK. Nous plaçons le tuyau incliné dans la direction de K, et l’œil au point A du tuyau AB. Nous regardons par l’ouverture en A, qui est la position de l’œil, afin que le rayon visuel sorte de l’ouverture en B jusqu’à la surface du miroir qui est au point C, qui est le centre du miroir.

Ibn ʿĪsā poursuit : Je dis que le rayon sortant du point A qui est l’œil, passant par le tuyau AB qui tombe en C, qui est le centre du miroir, s’est réfléchi du point C selon un certain angle, et ainsi il se produit sur le diamètre JK, qui est le diamètre du miroir, deux angles [égaux] qui sont KCB, JCL, et l’angle JCL est égal à KCB. Le rayon réfléchi du point C, passant sur le prolongement jusqu’au point D éloigné du miroir et du point A qui lui est proche, je dis que tout point de la droite CLD est vu du point A, qui est l’œil placé à l’extrémité du tuyau AB, en C, qui est le centre du miroir, c’est-à-dire que A voit le point D dans la position de C, de même voit E, de même voit F, de même voit G, de même voit H, de même voit I. De même si la droite CLD a une extension, même si elle se prolonge d’une longueur de 25 farsakhs 1 en plus, alors toute chose sur laquelle tombe la droite CLD sera vue au point C, qui est le centre du miroir, à partir du point A, qui est l’œil placé à l’extrémité du tuyau AB ; et ce qui s’écarte ou s’incline de la droite CLD à droite, ou à gauche, ne sera pas vu du tout dans le miroir C 2.

Problème 5. Égalité des angles d’incidence et de réflexion ; et l’image à travers un tuyau fin en roseau.

673

‎1. Un farsakh est de 3 miles (10 km) environ. ‎2. Op. cit., ms. Laleli n o 2759, f. 34 r-v ; ms. Rāġib Pāšā n o 934, f. 13 v-14 r-v.

674

III. OPTIQUE ET

C

K

B

J

L I H M

G

O

F N P

E D

A

Fig. 15

ASTRONOMIE

Le rayon visuel ou solaire, incident, qui tombe sur une surface polie, se réfléchit 1) sur lui-même s’il est perpendiculaire à la surface ; 2) en faisant des angles égaux s’il est incliné. Problème 6. Ici le Pseudo-Euclide décrit une expérience sensible pour prouver l’égalité des angles. Soit AB la surface réfléchissante, ED un rayon incident, DC son prolongement et DG le rayon réfléchi. Il imagine un tuyau fin en fer et détermine la position DG qu’il doit prendre pour que le rayon ré[ = CDB. [ Mais fléchi le traverse. Cette position est atteinte lorsque BDG [ = CDB, [ d’où ADE [ = BDG. [ ADE Maintenant, si un tuyau C fin en roseau est placé entre l’œil et le miroir AB, l’œil voit dans ce tuyau les points de DE par réflexion du rayon CD.

PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS

D

E

C

Fig. 16

C’est la proposition 6 de la traduction latine. Mais le traducteur semble avoir rendu le sens sans l’expérience du tuyau fin en roseau 1. Certains autres problèmes, présents dans la version latine, se trouvent également dans les livres d’optique arabes des ix-x e siècles, comme le problème 7 sur la forme triangulaire du rayon, le 13 qui énonce comment dresser un miroir qui embrase en avant et en arrière, qui correspond au problème 7 d’Ibn ʿĪsā 2, ainsi que le problème 14, qui correspond au problème 8 d’Ibn ʿĪsā 3, qui traite de la réflexion du rayon sur un cristal. Il est donc clair que ce Livre sur les miroirs d’Euclide, traduit du grec en arabe sans aucun doute avant 866 (date du décès d’al-Kindī), a été largement diffusé pendant les siècles suivants en arabe, puis dans sa traduction latine. Quant aux énoncés qui ne se trouvent pas dans le

675

‎1. Alkindi, Tideus und Pseudo-Euclid, op. cit., p. 101. ‎2. R. Rashed, Œuvres philosophiques et scientifiques d’al-Kindī, op. cit., p. 671-672. ‎3. Ibid., p. 6

676

III. OPTIQUE ET

G

E

B

A D

C Fig. 17

seul manuscrit arabe dont nous disposons, mais qui sont attestés dans la traduction latine et dans le livre d’Ibn ʿĪsā, ils montrent l’existence d’une source commune qui reste à identifier.

II. Le livre de Thiasos sur les miroirs ardents Dans son al-Fihrist, daté de 377/987, le biobibliographe al-Nadīm consacre un bref article au mathématicien et astronome ʿUṭārid ibn Muḥammad al-Ḥāsib. Il lui attribue cinq titres, dont Le Livre des miroirs 1. Il s’agit de son livre intitulé Les lumières brillantes dans la construction des miroirs ardents. Dans ce livre, ʿUṭārid reprend deux traités grecs traduits en arabe au ix e siècle, c’est-à-dire avant 866 (date du décès d’al-Kindī). Le premier traité est celui d’Anthémius de Tralles sur les miroirs ardents ; le second est d’un certain Thiasos, sur le même sujet. Mais, troublé par l’incertitude de la transcription en arabe des noms grecs, ʿUṭārid ne savait pas s’il s’agissait de deux auteurs différents, ou d’un seul auteur qui aurait rédigé deux traités ayant le même titre. Après avoir cité plusieurs problèmes sur la vision dans les miroirs, il écrit :

ASTRONOMIE

‎1. al-Nadīm, Kitāb al-Fihrist li-al-Nadīm, éd. Riḍā Tajaddud, Téhéran, 1971, p. 336.

PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS

677

Ce que j’ai connu d’Anthémius est achevé, et ceci est le début du livre de Thiasos sur les miroirs ardents. Thiasos le philosophe a dit [...] 1.

Or l’examen des textes montre que ʿUṭārid a confondu les deux noms : le texte qu’il attribue à Thiasos appartient à Anthémius et vice versa 2. En effet, le livre d’Anthémius de Tralles sur les miroirs ardents était connu, et critiqué par al-Kindī, bien avant ʿUṭārid. Dans son livre Sur les rayons solaires, al-Kindī cite le livre d’Anthémius sur les miroirs ardents. Ainsi, après avoir rapporté ce que dit Anthémius de la légende selon laquelle Archimède avait incendié par des miroirs ardents la flotte de Marcellus lors du siège de Syracuse, il écrit : C’est ce qu’a dit Anthémius ; or Anthémius devait n’accepter aucune connaissance sans démonstration en mathématiques, ni surtout dans l’art de la géométrie ; ni non plus imposer une chose sans démonstration. Il a représenté comment on peut faire un miroir sur lequel vingt-quatre rayons se réfléchissent vers un seul point ; mais il n’a pas montré comment ce point, sur lequel se réunissent les rayons, est à quelque distance que nous voulons du centre de la surface des miroirs 3.

Al-Kindī reprend dans la proposition 15 de son livre la cinquième et dernière proposition du livre d’Anthémius. Notons qu’il n’est pas le seul à citer le livre d’Anthémius avant ʿUṭārid. Aḥmad ibn ʿĪsā en cite un long passage dans son livre de l’optique et des miroirs ardents 4. La comparaison entre ce dernier texte et celui que ʿUṭārid attribue à Thiasos montre que ce dernier est bien de la main d’Anthémius — et que le texte attribué à Anthémius est sans aucun doute dû à Thiasos. L’original grec confirme, si besoin est, cette conclusion. Notons une différence importante entre le texte d’Anthémius et celui de Thiasos. Alors que le premier est entièrement consacré à

‎1. Cf. plus loin, editio princeps et traduction. ‎2. Certains historiens récents, sans remarquer qu’il s’agit de deux noms différents — Anthémius et Thiasos — ont attribué la totalité des propositions de ces deux traités grecs à Anthémius. Ainsi A. Jones, dans deux articles successifs, attribue à Anthémius ce qui revient à Thiasos, et en tire des résultats fautifs. Cf. A. Jones, « On some borrowed and misunderstood problems in Greek catoptrics », Centaurus 30, 1987, p. 117 ; Pseudo-Ptolemy, De Speculis, op. cit. Dans R. Rashed, Les Catoptriciens grecs (op. cit.), on trouve une édition des textes d’Anthémius, en grec et dans les traductions arabes. Voir p. 217-321, sur l’histoire des traductions du texte d’Anthémius de Tralles ; édition, traduction et commentaire. Voir aussi une nouvelle édition du texte grec par M. Rashed, p. 343-359. Sur la version de ʿUṭārid du livre d’Anthémius et l’histoire du manuscrit, cf. p. 242-244 et 296-321. ‎3. R. Rashed, Œuvres philosophiques et scientifiques d’al-Kindī, op. cit., p. 362. ‎4. Ibid., p. 674-683.

678

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

l’étude des miroirs ardents pour établir la légende d’Archimède, le second étudie également des problèmes de montage des miroirs afin que les rayons visuels, et aussi les rayons solaires, produisent des effets plaisants et curieux. On y trouve d’ailleurs plusieurs problèmes que l’on rencontre dans Le Livre sur les miroirs d’Euclide. Thiasos, non plus d’ailleurs que Pseudo-Euclide, ne donne aucune explication optique des problèmes étudiés, c’est-à-dire qu’il montre seulement que le résultat annoncé est atteint. La traduction arabe du livre de Thiasos, citée par ʿUṭārid, est composée de sept problèmes, qui sont : 1. La construction d’un miroir ardent sphérique. 2. La construction d’un miroir où la personne voit l’image d’un autre, sans voir sa propre image. 3. La construction d’un miroir où la personne se voit de face et de dos. 4. La construction d’un miroir tel que, si la personne bouge l’un de ses membres, son image bouge ce membre, le droit à droite et le gauche à gauche. Ces trois derniers problèmes (2, 3, 4) se trouvent également dans le livre du Pseudo-Euclide, et le 2 et le 4 sont également dans le Pseudo-Ptolémée. 5. La construction d’un miroir qui fait voir deux têtes à un seul corps. 6. La construction d’un miroir dans lequel la personne voit qu’elle a quatre yeux. 7. La construction d’un système catoptrique permettant d’éclairer une pièce obscure. Reprenons ces problèmes. Problème 1. La construction d’un gabarit pour un miroir ardent sphérique. Le texte de la traduction arabe de ce problème est perturbé. Il semble interrompu au bout d’une page environ, pour reprendre ensuite d’une manière différente. Pour ne pas le citer deux fois, nous renvoyons à nos remarques dans la traduction française. Problèmes 2, 3 et 4. Ces trois problèmes, nous l’avons noté, correspondent, dans l’ordre, aux problèmes 1, 2 et 3 du Pseudo-Euclide. Le 2 et le 4 sont également étudiés dans le De Speculis du Pseudo-Ptolémée (respectivement problèmes 18 et 11). Les solutions du Pseudo-Ptolémée sont plus développées que celles du Pseudo-Euclide et de Thiasos.

PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS

E

G

A T

H

B

D

L

M

K N Fig. 18

Prenons l’exemple du deuxième problème. Les solutions du Pseudo-Euclide et de Thiasos sont équivalentes sans être identiques ; celle du Pseudo-Ptolémée est plus développée. On observe que les figures du Pseudo-Ptolémée diffèrent, au moins légèrement, de celles du Pseudo-Euclide et de celles de Thiasos, lesquelles sont d’ailleurs proches. Le paragraphe B où Pseudo-Ptolémée donne une synthèse de sa solution, et le paragraphe C où il donne des conseils pratiques pour placer les miroirs, n’ont pas d’équivalent dans les livres du Pseudo-Euclide et de Thiasos. Traduisons la solution de ce problème 18 de Pseudo-Ptolémée.

679

Soit AB le mur sur lequel il faut apposer le miroir. Que le miroir soit incliné vers celui-ci selon un certain angle ; ce sera convenablement disposé s’il est fait un angle d’un tiers d’un angle droit. Que BG soit la surface du miroir et que AB fasse des angles droits avec BD, sur laquelle sera posé le point de vision D, de sorte que la perpendiculaire issue de ce point en direction du miroir BG tombe en dehors de celui-ci. Qu’elle soit ED. Que de D à l’extrémité G du miroir on joigne DG, et que l’angle EGD soit égal à l’angle BGH. Donc, si à partir de la vue D un rayon tombe sur l’extrémité G du miroir, il sera réfléchi en H. Soit HN tracé à angles droits

680

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

jusqu’à DB à partir de H ; et soit un autre rayon incident DT, et joignons H et T. L’angle BTH est donc plus grand que l’angle ETD. Soit l’angle GTD égal à l’angle BTK. Donc la droite TK coupe la droite HN. De même tous les rayons réfléchis tombant sur le miroir coupent la droite HN. Soit donc mené un plan LM parallèle au miroir GB, qu’il soit entre H et N et coupé par le rayon réfléchi. C’est pourquoi il est évident que l’œil ne verra rien d’autre que tout ce qui est entre H et N, pour cette raison que tous les rayons réfléchis tombent entre H et N. Donc, posons une image quelconque que nous voulons auprès du plan LM, et pas un de ceux qui s’approchent n’apparaîtra, mais seulement la dite image. C’est pourquoi il faudra, comme cela a été dit, que LM soit interposé entre H et N, pour que la dite image se place dans le miroir plan parallèle. Il faudra donc tracer une droite AB sur un certain plan, construire un angle ABG qui soit le tiers d’un angle droit, et poser BG égale à la hauteur du miroir et la prolonger jusqu’en E ; tracer BD perpendiculaire à AB et fixer le point E de sorte que la droite EB menée à angles droits à partir du point E tombe à l’extérieur du miroir 1. Ceci étant admis, soit E, et soit EB perpendiculaire à ED, et que soient joints les points D et G. Que l’angle EGD soit égal à l’angle BGH et que HN soit menée perpendiculairement à DB. Le miroir étant donc incliné, comme on l’a dit, il faut l’écarter du mur d’égal à BG ; et il faut qu’un obstacle se tienne droit, un coffre ouvert à la partie supérieure et ayant la hauteur d’un homme, et qu’un plan LM soit interposé parallèle au miroir, dans lequel est posée la dite image. L’œil doit se tenir en D, quelque chose étant là comme obstacle pour qu’il n’aille pas plus à l’intérieur. Ainsi en effet les rayons tombant sur le miroir ne tomberont pas hors de l’intervalle, mais dedans, là où est l’image. Concernant la disposition de ce qui est à l’extérieur, je n’ai pas de remarque à ajouter. Il faut en effet orner et disposer chaque chose, selon ce qu’acceptent le lieu et le choix de celui qui prépare.

Problème 5. Construire un miroir qui fait voir deux têtes pour un seul corps. Partant d’une plaque métallique ABCD dont les dimensions sont d et 43 d, avec d le diamètre du cercle, on lime d’abord un miroir plan rectangulaire dont les dimensions sont 43 d et 81 d (surface 1) et dont l’épaisseur est moindre que celle de la plaque (fig. 19). On lime ensuite dans le sens de la largeur un miroir cylindrique convexe à l’aide du gabarit défini par l’arc d’un cinquième de cercle (surface 2). Ensuite on place le gabarit d’un septième de cercle suivant AE et le gabarit d’un neuvième de cercle suivant ED, et on lime

‎1. Texte latin : « extra m ». Nous suivons W. Schmidt, qui, s’appuyant sur l’analogie avec l’expression de la ligne xxx, «... ad speculum BG extra ipsum cadat », lit « speculum » au lieu de m.

PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS

1/7 cercle

D

1/9 cercle

E

A

4

3

d d

2

1

1/12 cercle

C

3/4 d

1/8 d B

Fig. 19

deux miroirs cylindriques concaves dans le sens de la longueur AB (surfaces 3 et 4). Remarquons que la somme des cordes d’un septième et d’un neuvième de cercle est voisine des 43 du diamètre : d sin

p p + d sin ≈ d(sin 26° + sin 20°) ≈ 0,7833d. 7 9

Ainsi le miroir obtenu est composé de quatre surfaces réfléchissantes, une plane et trois cylindriques. Thiasos ne montre cependant pas que ce miroir permet de résoudre le problème : faire voir deux têtes pour un seul corps.

681

Problème 6. Construire un miroir dans lequel l’observateur voit qu’il a quatre yeux. Thiasos commence par construire les gabarits (fig. 21). On trace un cercle et on prend le côté du pentagone, C5 , et le côté du décagone, C10 , inscrits dans le cercle. On a 2C10 > C5 , et il est donc impossible 1 d’avoir 2C10 + l = C5 , avec l la longueur de la corde de l’arc de 24 de cercle. Pour utiliser les deux gabarits construits sur C10 , il faudrait prendre AD > C5 (fig. 22). Le premier miroir construit pas Thiasos aurait la forme 1. Thiasos propose ensuite d’utiliser le gabarit construit sur C20 , pour limer quatre miroirs cylindriques, deux dans un sens et deux dans l’autre. Ces surfaces cylindriques se coupent deux à deux ; le miroir obtenu a la forme 2.

682

III. OPTIQUE ET

D

2

3

4

arc de 1/5

arc de 1/7

arc de 1/9

4

E

3

A

A

2

1

B

Fig. 20. Le profil du miroir selon ses deux

C

10

C5

D

C C 24

ASTRONOMIE

Fig. 21

C5

miroir carré

A

B

PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS

D

C 10

l

C

C 10 A

B forme 1

forme 2

Fig. 22

Thiasos n’explique pas comment ces miroirs permettent à l’observateur de voir quatre ou huit yeux. Mais Qusṭā ibn Lūqā, dans son livre Causes de la diversité des perspectives, examine au chapitre 33 1 ce phénomène à partir d’un miroir sphérique concave en variant la position du visage. Notons que l’étude de la réflexion sur les miroirs sphériques convexes et concaves, et la diversité des images perçues en fonction de la position du visible par rapport au miroir, de sa distance à celui-ci, etc., orientée vers des buts différents, s’est poursuivie après la traduction des écrits grecs, comme ceux de Pseudo-Euclide et de Pseudo-Ptolémée ; à cette différence près cependant que l’on s’intéresse aux causes optiques de ces phénomènes. Problème 7. Construire un miroir ou un système catoptrique, permettant d’éclairer une chambre obscure par une ouverture pratiquée dans l’un des murs. Les rayons du soleil peuvent pénétrer dans une chambre obscure soit directement, soit après réflexion sur un seul miroir, soit encore après réflexion du faisceau des rayons obtenus par réflexion sur plusieurs miroirs. Il est clair qu’en un lieu donné la position et la direction du miroir dépend d’une part de la saison et, d’autre part, pour une date donnée, de la hauteur du soleil au dessus de l’horizon. L’étude faite par Thiasos correspond au solstice d’été ; les directions du soleil au lever et au coucher sont données respectivement par F et G (fig. 23). Thiasos indique comment noter la position du miroir quand la hauteur du soleil augmente de 6° en 6°.

‎1. R. Rashed, Œuvres philosophiques et scientifiques d’al-Kindī, op. cit., vol. I, p. 638-

683

645.

684

III. OPTIQUE ET Soleil Sud B S

Ouverture

X

I

H

T E

Est C

Ouest

D

F

G miroir plan

M

A Nord

Fig. 23. FG solstice d’été, HI solstice d’hiver

Remarques

1. Si M est le centre du miroir, pour que le rayon solaire SM soit réfléchi vers l’ouverture T, il faut que le plan du miroir soit perpendiculaire à la bissectrice MX de l’angle SMT. Dans le cours de la journée, le rayon MS engendre une surface conique ; il en est de même pour la droite MX ; donc, pour que le miroir M renvoie à tout instant le rayon SM vers l’ouverture T, il faut qu’il puisse pivoter très librement autour du point M

J F

I

M

G I

Fig. 24

ASTRONOMIE

2. Pour repérer la position du miroir, il faut connaître deux angles (fig. 24) : l’angle que fait FG avec la droite MI, intersection du miroir avec le plan horizontal ; et l’inclinaison, c’est-à-dire l’angle que fait MJ (MJ ⊥ MI) avec le plan horizontal. Thiasos ne précise pas la position de la droite fixée au dos du miroir.

PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS

685

3. On peut considérer un seul miroir, dont il faut modifier l’orientation au cours de la journée, ou un système de plusieurs miroirs, l’inclinaison de chacun d’eux correspondant à une hauteur du soleil. 4. Thiasos explique que le procédé utilisé pour éclairer une chambre obscure à travers une ouverture T peut être utilisé pour provoquer un embrasement en un lieu T. À la fin de ce problème, ʿUṭārid écrit : Cet exemple est le dernier de Thiasos ; et ce qui est après est recueilli des livres d’Archimède le philosophe et d’autres 1.

Mais comme rien de tel ne nous est parvenu d’Archimède, nous éditons et traduisons les problèmes qui suivent sans les attribuer ni à Archimède ni à Thiasos, en attendant de nouveaux documents. Problème 1 ′ . Construire un miroir qui embrase à une distance donnée. Soit d la distance donnée. L’auteur considère ici, comme dans le premier problème, qu’un miroir sphérique concave permet d’embraser en un point à une distance d du centre de la sphère. Le rayon de la sphère doit donc être égal à la distance d, que d soit égal à 20 coudées par exemple. Pour construire le gabarit de ce miroir, si l’on veut que son diamètre soit de grandeur l, on prend la corde l d’un arc de cercle de rayon d (fig. pivot

l

gabarit

d

Fig. 25

‎1. 17 r

686

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Le segment de cercle, muni d’un pivot, est le gabarit. Il permet de limer un miroir sphérique concave de courbure d. Remarquons que l’étude du miroir sphérique concave, comme miroir ardent, faisait partie des livres importants sur les miroirs ardents, comme ceux de Dioclès 1, de Dtrūms 2, d’Anthémius de Tralles 3, etc. On trouve plus loin des détails pratiques pour la préparation du gabarit étudié. Il s’agit de tracer un arc de cercle sur une plaque de cuivre pour découper un segment de cercle (fig. planche plaque de cuivre

Fig. 26

Le centre du cercle est marqué par un clou à tête entouré d’un anneau et enfoncé solidement. Une ficelle de longueur égale au rayon souhaité est nouée à cet anneau et porte à l’autre extrémité un stylet qui trace l’arc de cercle. Problème 2 ′ . Construction d’un miroir conique. Il s’agit de construire un miroir pour embraser à une distance égale à cinq fois le diamètre d du miroir. Soit un rectangle ABCD et une règle de longueur l = AD. On veut que l soit voisine du demi-diamètre du miroir conique. Pour embraser à la distance 5d, il faut un cône très ouvert. Soient l M et S les points définis par MD = 10 , DS = 21 MD (fig. 27). On trace le

‎1. R. Rashed, Les Catoptriciens grecs. I, op. cit., p. 63, 112. ‎2. P. 171, 204 ‎3. [Cette note est vide]

PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS

D

M

A'

A

G

B'

B

J

C I H

D

K

A

A' I

B

O

O' Fig. 27

687

U

S

688

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

cercle (A, l) et le cercle (D, DS), soit (D, J et DJ coupe BC en I. On a alors

l ). 20

Ils se recoupent au point

d = DJ = 1 = cos θ. cos ADJ 2DA 40 On obtient le gabarit pour construire le miroir conique en enlevant le triangle DIC de la règle ABCD. Par rotation autour de DI, DA engendre un cône dont le diamètre est AA ′ = 2DA sin θ ≈ 2l. Si l’axe du cône est dirigé vers le soleil, tout rayon tombant sur un point du cercle décrit par le point K milieu de AD est réfléchi vers le point O de l’axe tel que le triangle DKO soit isocèle ; donc DO =

1 DK = 20DK = 10l = 5d, 2 cos θ

c’est la distance demandée dans l’énoncé du problème. De même, tout rayon solaire tombant sur le cercle décrit par le point A est réfléchi vers O ′ tel que DO ′ = 10d. Le faisceau cylindrique de rayons solaires tombant sur le miroir est transformé en un faisceau conique de sommet O ′ ; il y a une concentration des rayons réfléchis sur le segment DO ′ . Rappelons pour conclure quelques résultats établis dans les pages précédentes. 1. Il existe une traduction arabe du Livre sur les miroirs d’Euclide. Le seul manuscrit que nous connaissions comporte six problèmes qui tous traitent de la réflexion des rayons visuels sur les miroirs pour produire des effets voulus au préalable. Deux de ces problèmes sont suivis chacun d’une glose critique. 2. Le Tractatus Pseudo-Euclidis est une traduction latine d’une version arabe de ce livre. Ce n’est plus une conjecture : il suffit pour s’en convaincre de rappeler que les six premiers problèmes sont traduits du Livre sur les miroirs d’Euclide. Le septième problème n’en est pas un, mais une définition explicative tirée du précédent livre. Quant aux huit problèmes qui restent, ils traitent de la réflexion des rayons solaires, thématique différente de celle du Livre sur les miroirs d’Euclide, où il s’agit des rayons visuels. Deux de ces huit problèmes se retrouvent dans le livre d’Ibn ʿĪsā. 3. Il existe une traduction arabe d’un livre sur les miroirs et les miroirs ardents, d’un certain Thiasos, dont l’original grec est perdu. En plus des trois problèmes que l’on trouve dans le PseudoEuclide, ce livre contient trois problèmes : voir dans le miroir deux

PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS

689

têtes d’une même personne ; quatre yeux d’un seul visage ; éclairer par les rayons solaires réfléchis une chambre obscure. À ceux-ci s’ajoute l’étude d’un miroir ardent sphérique. Ce livre, comme celui du Pseudo-Euclide, comprend deux problèmes que l’on retrouve dans le Pseudo-Ptolémée. On note que certains problèmes traités par Thiasos sont du genre de ceux étudiés dans le livre du Pseudo-Ptolémée, lequel sera identifié par plusieurs historiens à la Catoptrique de Héron 1. 4. L’existence des problèmes communs au Pseudo-Euclide, à Thiasos, au Pseudo-Ptolémée (ou Héron) et à Ibn ʿĪsā soulève la question de l’origine et de l’existence d’un fonds commun. Seuls de nouveaux documents, encore à découvrir, permettront de tenter une réponse à cette question.

III. Textes et traductions 1. Le premier texte est l’editio princeps et la première traduction de la version arabe du Livre des miroirs d’Euclide, Kitāb al-marāʾī l’Uqlidis. Ce texte nous est parvenu dans le manuscrit Orient n o 152 de la Bibliothèque Laurenziana de Florence, folios 101 v-104 r. Chaque folio est de 23 lignes, de 15 mots environ chacune. L’écriture est en naskhī ; les lettres utilisées dans les propositions géométriques sont écrites comme on les prononce, comme si elles avaient été dictées — c’est-àdire qu’au lieu d’écrire A, B, etc., on écrit Alef, Bā, etc. Le copiste a laissé des espaces vides pour les figures, sans doute dans l’intention de les tracer ensuite ; ce qu’il n’a pas fait. Le texte de ce manuscrit fait partie d’une collection qui comprend d’autres écrits sur les miroirs, comme celui d’Ibn al-Haytham sur le miroir ardent parabolique (folios 90 v-97 v), tous copiés de la même main et de la même écriture 2. 2. Le fragment de la traduction arabe de l’écrit de Thiasos est cité, comme l’écrit d’Anthémius de Tralles, par ʿUṭārid dans son livre intitulé Les lumières brillantes dans la construction des miroirs ardents. Ce fragment, dont nous donnons ici l’editio princeps, nous est parvenu en bonne et due forme dans le manuscrit n o 2759/1 de la collection Laleli de la Bibliothèque Suleymanye d’Istanbul. Nous avons déjà décrit

‎1. Voir par exemple G. Venturi, Th. H. Martin et W. Schmidt. ‎2. Sur la description du codex, voir A. Sabra, “A Note On Codex Biblioteca Medicea-Laurenziana, Or. 152,” Journal For The History Of Arabic Science 1 (2), 1977, p. 276–283.

690

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

ce manuscrit 1. Au folio 1 r, on lit le titre de l’ouvrage et le nom de l’auteur : Les lumières brillantes dans la construction des miroirs ardents. Composé par le philosophe du temps et l’unique de l’époque et du présent, le savant ʿUṭārid ibn Muḥammad al-Ḥāsib.

Le manuscrit a été copié en écriture naskhī orientale, mais sans que soit notée la date de la fin de la transcription. L’écriture est régulière, dix-sept lignes par page et treize mots environ par ligne. Les figures ont été tracées avec soin et bien placées. Le texte de ʿUṭārid est suivi du livre d’Ibn ʿĪsā : Livre de l’Optique et des miroirs ardents, Kitāb al-Manāẓir wa-al-marāyā al-muḥriqa. Nous avons désigné ce manuscrit par la lettre A. Un fragment de ce livre se trouve également à la Bibliothèque Marʿashī, à Qum, en Iran. Il s’agit de quelques uns des huit folios n o 13340, de forme 13 × 18. Ces folios sont mêlés à d’autres, qui ne sont pas de ʿUṭārid. Ils sont écrits en naskhī soignée, et les figures sont tracées. Sur l’histoire de ce fragment, nous ne savons rien. Nous avons noté ce fragment par la lettre B. Nous avons également comparé le fragment A à un second manuscrit, n o 2676, f. 1 v-18 v, de la collection Ayasofia de la Bibliothèque Suleymanye d’Istanbul. Mais nous avons constaté que le copiste de ce manuscrit ne s’engage pas à transcrire rigoureusement le texte, mais qu’il lui arrive souvent de le reprendre dans son propre langage. Or ceci alourdit inutilement l’apparat critique, comme l’a montré notre édition du fragment d’Anthémius 2. Nous n’y recourons donc que pour vérifier les cas douteux de certaines lectures.

‎1. R. Rashed, Les Catoptriciens grecs (op. cit.), p. 242-244. ‎2. R. Rashed, Les Catoptriciens grecs (op. cit.), p. 290-315.

LIVRE DES MIROIRS D’EUCLIDE LIVRE DE THIASOS SUR LES MIROIRS ARDENTS

A1 v

| Au nom de Dieu Clément et Miséricordieux De Lui, j’ai l’assistance

Livre des miroirs d’Euclide

A2 r

Nous voulons montrer comment dresser un miroir dans lequel tu vois l’image d’un autre et tu ne vois pas ta personne 1. Faisons la surface du mur une droite AB perpendiculaire à la surface la droite BC, et la droite BD qui est dans la surface du miroir incliné de la grandeur du tiers de l’angle ABC qui est droit. Que le miroir soit carré. Prolongeons ensuite la droite BD jusqu’à E, l’angle ABD est un tiers d’un droit, il reste donc l’angle EBC. Quand on mène du point E une perpendiculaire à la droite BE qui est la position de la surface du dos du miroir (dans la copie-mère : qui tient lieu de miroir, et ce qui est correct : qui est la face du miroir), et qu’on la prolonge jusqu’à la droite CB, elle la rencontre, car on les a menées en faisant moins que deux droits ; elles se rencontrent au point C ; donc l’angle BEC est droit et le point C est la position de l’œil qui est donnée. Tu mènes la droite BE indéfiniment et du point C tu fais tomber une droite au point D, et tu construis sur la droite CD, du point D, dans la surface du triangle BCD, un angle égal à l’angle ECD, tu prolonges jusqu’à ce qu’il rencontre la droite BC au point G. Il est clair qu’il la rencontre, car il est parallèle à EC — puisque les deux angles alternes-internes qui sont ECD et GDC sont égaux —, et la droite EC a rencontré la droite BC au point C. Or si la droite DG ne la rencontrait pas, alors qu’elle est avec elle dans le même plan, elle lui serait parallèle. Mais Euclide a démontré dans le premier livre des Éléments que les droites parallèles à une droite sont parallèles, donc la droite EC devrait être parallèle à la droite BC ; or elles se rencontrent, ce qui est absurde. Il est donc nécessaire qu’elle la rencontre. Si tu veux, | tu dis que les deux angles CDB et CBD sont plus petits que deux droits, donc les deux angles GDB et GBD sont beaucoup plus petits que deux droits, donc les deux droites GD et GC se rencontrent nécessairement. Menons GH perpendiculaire à la surface BC de l’autre côté, parallèlement à la droite AB, et menons la droite JI parallèle à la droite DB qui est le miroir ; faisons IJ égale à BD qui est le miroir et faisons GJ égale à GC. Dessinons sur la droite JI, qui est une planche, les images

‎1. Les figures ne sont pas tracées dans le manuscrit ; on les trouve dans l’introduction et on y fait référence dans le texte.

‫هبو نيعتسأ‬

‫ظ‪١٠١-‬‬

‫باتك ايارملا ‪ 1‬سديلقوأل‬ ‫ديرن نأ نّيبن فيك بصنن ًةآرم ىرت اهيف َةروص كريغ الو ىرت ‪.‬كَصخش‬

‫لعجنف حطس اح >طئ< طخ ا ب ميقتسملا ًامئاق ىلع حطس طخ ب ـج ميقتسملا طخو وهو يف حطس ةآرملا ةليمم ردقب ثلث ةيواز ا ب ـج ‪.‬ةمئاقلا نكتلو ةآرملا ‪.‬ةعبرم مث جرخن‬

‫طخ ب د ىلع ةماقتسا ىلإ ه‪ ،‬ةيوازف ا ب د ثلث ‪،‬ةمئاق ىقبتف ةيواز ه ب ـج‪ .‬ىتمف جرخأ نم‬ ‫ةطقن ه ٌدومع ‪ 2‬ىلع طخ ب ه يذلا وه عضوم حطس رهظ ‪،‬ةآرملا يف( مألا ةلزنمب ةآرملا باوصلاو‬

‫هجو ‪)،‬ةآرملا جرخأو ىلع ةماقتسا ىلإ طخ ـج ب ‪ ،3‬هنإف هاقليس امهنأل اجرخ نم ّلقأ نم ‪،‬نيتمئاق‬ ‫نايقتليسف ىلع ةطقن ـج؛ ةيوازف ب ه ـج ةمئاق ةطقنو ـج عضوم رصبلا ‪.‬ةضورفم تجرخأ طخ‬

‫ب ه ىلإ ام ال ةياهن هل تعقوأو نم ةطقن ـج ًاطخ ىلإ ةطقن د‪ ،‬لمعتو ‪ 4‬ىلع طخ ـج د نم‬ ‫ةطقن د هنم يف حطس ثلثم ب ـج د لثم ةيواز ه ـج د‪ ،‬هجرختو ‪ 5‬ىلع ةماقتسا ىتح ىقلي‬

‫‪6‬‬

‫طخ ب ـج ىلع ةطقن ز‪ٌ .‬نّيبو هنأ هاقلي هنأل ٍزاوم ـله ـج نأل نيتلدابتملا امهو ه ـج د وز د ـج‬ ‫‪،‬ناتيواستم دقو يقل طخ ه ـج طخ ب ـج ىلع ةطقن ـج‪ .‬ولف مل هقلي طخ د ز‪ ،‬وهو هعم يف‬

‫حطس ‪،‬دحاو ناكل ايزاوم ‪.‬هل دقو لاق سديلقوأ يف ةلاقملا ىلوألا نم باتك ناكرألا هل طوطخلا‬ ‫ةيزاوملا طخل يه ‪،‬ةيزاوتم ناكف بجي نأ نوكي طخ ه ـج ًايزاوم طخل ب ـج؛ امهو ‪،‬نايقتلم‬ ‫اذه ‪.‬فلخ الف َّدب نأ ‪.‬هاقلي‬

‫و‪١٠٢-‬‬

‫نإو ‪،/‬تئش ‪:‬تلق اتيواز ـج د ب وـج ب د لقأ نم ‪،‬نيتمئاق اتيوازف ز د ب وز ب د‬

‫لقأ نم نيتمئاق ‪،‬ريثكب اطخف ‪ 7‬ز د و ‪8‬ز ـج ال ّدب نأ ايقتلي ‪.9‬‬

‫جرخنو ز ح ًادومع ىلع حطس ب ـج يف ةهجلا ةيناثلا ًايزاومطخل ا ب‪ ،‬جرخنو طخ ي ط‬

‫‪10‬‬

‫ًايزاومطخل د ب يذلا وه ‪،‬ةآرملا لعجنو ط ي لثم ب د يتلا يه ةآرملا لعجنو ز ي لثم ز ـج‪.‬‬

‫‪: ‎1.‬ايارملا يءارملا اذكه يف طوطخملا اهبتكنسو ايارملا‬

‫‪: ‎4.‬لمعتو لمعنو‬ ‫‪: ‎9.‬ايقتلي نايقتلي‬

‫‪: ‎5.‬هجرختو هجرخنو‬

‫‪: ‎2.‬دومع ادومع‬

‫‪: ‎6.‬ىقلي ‪.‬يقتلي‬

‫‪ ‎10.‬ي ط‪ :‬بتك ءايلا ًءاب نلو ريشن اهيلإ اميف دعب‬

‫‪: ‎7.‬اطخف طخف‬

‫‪ ‎3.‬ـج ب‪ :‬ميج‬ ‫‪: ‎8.‬و يازو‬

694

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

A

E D

C

B

G J I

que nous voulons. Plaçons-la dans la position de la droite JI tout entière. Si nous regardons à partir de la position C, nous voyons l’image dans le miroir par la réflexion du rayon vers nous à partir du miroir et nous ne voyons pas nos personnes dans celui-ci, étant donné que le rayon ne se réfléchit vers nous qu’à partir d’un angle droit 1. Ce qu’il fallait démontrer. On a introduit auparavant la figure (fig. 1). Cette glose était dans la copie-mère dans le propos précédent, dans la première proposition du Livre des miroirs d’Euclide, et nous l’avons intégrée dans ce livre telle qu’elle était dans la copie-mère, mot à mot. C’est : « Il est incorrect de procéder ainsi : si l’angle EBC est deux tiers d’un droit, car il a posé CG égale à GJ et a souhaité que l’angle CDG on voie tout cela comme l’angle GDJ ; ceci n’est pas nécessaire car l’angle DGJ du triangle DGJ est égal à un droit plus un tiers d’un droit et l’angle DGC est égal à un droit plus deux tiers et ils sont inégaux. Le procédé correct est que si l’angle GDB est droit, nous posons sur la droite GD au point D de celle-ci un angle égal à l’angle CDG et nous menons la droite jusqu’à ce qu’elle rencontre la perpendiculaire GH au point J ; il est clair qu’elle la rencontre car l’angle DGC est plus grand que l’angle DGJ, l’angle DGJ extérieur est plus grand que l’angle GDC intérieur et l’angle GDJ est égal à l’angle GDC car nous l’avons construit ainsi. Donc l’angle DJG est beaucoup plus grand que l’angle GDJ, mais l’angle droit HGB est

‎1. C’est ainsi dans le texte, ce qui est évidemment incorrect. Peut-être la phrase initiale était-elle « le rayon ne se réfléchit vers nous à partir d’un angle droit » ? En effet tout rayon parvenant à l’œil est entre CB et CD. Dans le texte arabe, nous avons, à titre indicatif, tracé les figures de cette proposition.

‫‪695‬‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪I‬‬

‫رّوصنو يف طخ ي ط يذلا وه ‪،‬حول ّيأ روص ‪، 1‬انئش هرّيسنو يف عضوم ي ط ‪ 2‬طخلا ‪.‬هلك اذإف‬ ‫انرظن نم عضوم ـج‪ ،‬انيأر ةروصلا ةآرملاب ساكعناب عاعشلا انيلإ نم ةآرملا ملو َرن انصاخشأ اهيف ْذإ ال‬

‫سكعني انيلإ عاعشلا اّلإ ىلع ةيواز ةمئاق ‪3‬؛ كلذو ام اندرأ نأ ‪.‬نّيبن‬ ‫دقو تمدقت ‪.‬ةروصلا‬

‫هذهو ٌةّرُط تناك يف مألا يف نتم ‪ 4‬مالكلا مدقتملا يف لكشلا لوألا نم باتك ايارملا‬

‫‪،‬سديلقوأل اهانلخدأ يف لخاد باتكلا ىلع ام تناك يف ةرطلا مألا ًافرح ‪.‬فرحب ‪:‬وهو اذه«‬

‫ال ّحصي هلمع اذإ تناك ةيواز ه ب ـج يثلث ‪،‬ةمئاق هنأل لعج ـج ز لثم ز ي اجرو نأ نوكت‬ ‫ةيواز ـج د ز ىرت لك كلذ لثم ةيواز ز د ي؛ سيلو كلذ مزالب نأل ةيواز د ز ي ‪ 5‬نم‬

‫ثلثم د ز ي تناك نوكت ةمئاق ‪ 6‬ثلثو ةيوازو د ز ـج تناك نوكت ةمئاق يثلثو ‪،‬ةمئاق اتناكف نوكت‬

‫ريغ ‪.‬نيتيواستم لمعلاو يذلا ّحصي اذإ تناك ةيواز ز د ب ‪ 7‬ةمئاق نأ عضن ىلع طخ ز د ةطقن‬ ‫د هنم لثم ةيواز ـج د ز ‪ 8‬جرخنو طخلا ىتح ىقلي دومع ‪ 9‬ز ح ىلع ةطقن ي‪ٌ .‬نّيبو هنأ هاقلي نأل‬ ‫ةيواز د ز ـج‬

‫‪10‬‬

‫مظعأ نم ةيواز د ز ي‬

‫‪11‬‬

‫ةيوازو د ز ي ةجراخلا مظعأ نم ةيواز ز د ـج‬

‫‪،‬ةلخادلا ةيوازو ز د ي لثم ةيواز ز د ـج اّنأل كلذك ‪.‬اهانلمع ةيوازف د ي ز مظعأ ريثكب نم‬ ‫‪: ‎1.‬روص روصلا‬

‫‪ ‎2.‬ي ط‪ :‬ياز اح‬

‫‪: ‎4.‬نتم ىتح ‪:‬أرقت ‪،‬اذه صنلاف ريغ حضاو‬

‫‪ ‎8.‬ـج د ز‪ :‬ميج لاد اب‬ ‫اب ياز‬ ‫لاد ياز اب ‪).‬نيترم(‬

‫‪ ‎3.‬ذإ ال ‪: ...‬ةمئاق اذكه يف ‪،‬صنلا وهو ريغ ‪،‬حيحص رظنا قيلعتلا‬

‫‪ ‎5.‬د ز ي‪ :‬لاد ياز‬

‫‪: ‎9.‬دومع دومعلا‬

‫‪: ‎6.‬ةمئاق نيتمئاق‬

‫‪ ‎10.‬د ز ـج‪ :‬لاد اب ياز‬

‫‪ ‎7.‬ز د ب‪ :‬لاد‬ ‫‪ ‎11.‬د ز ي‪:‬‬

696

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

égal à l’angle droit BDG et les angles du triangle GDB sont égaux à deux droits, donc les deux angles HGD et JDG sont plus petits que deux droits, donc les droites HG et JD se rencontrent nécessairement. Si tu veux corriger le procédé qui est dans le livre, tu supposes l’angle DBC un demi-droit et tu achèves le procédé, comme on l’a mentionné à l’intérieur du livre (fig. 2).

A

E D

C

B

G J

I

A2 v

Démonstration. Les deux angles JGD et CGD | sont égaux car chacun d’eux est égal à un droit plus un demi-droit, alors les deux côtés CG et GD sont égaux aux deux côtés JG et GD et l’angle entouré par les deux premiers côtés est égal à l’angle entouré par les deux autres côtés et le reste des angles d’un triangle sera égal à son homologue, donc l’angle CDG est égal à l’angle GDJ et les angles GDE et GDB sont égaux, car chacun d’eux est droit, il reste l’angle JDB égal à l’angle CDE. Si le rayon émane de l’œil, qui est le point C, vers le point D dans le miroir BD, il se réfléchit vers le point J de la planche JI qui est le début de l’image dessinée, et si le rayon émane de C, qui est l’œil, vers un point sur la droite BD, après le point D, le rayon se réfléchit vers un point de la droite JI, qui est dans le plan de la planche sur laquelle on a dessiné l’image, ou vers la droite qui la continue suivant le prolongement, et à mesure que le point de la droite DB, sur lequel tombe la vision, s’approche du point D, le point de la droite JI vers lequel se réfléchit le rayon visuel s’approche de J. Mais, étant donné que la droite BD est parallèle à la droite IJ et que le rayon émanant

‫‪697‬‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫ةيواز ز د ي‪ ،‬ةيوازو ح ز ب ةمئاقلا لثم ةيواز ب د ز ‪،‬ةمئاقلا اياوزو ثلثم ز د ب لثم‬ ‫‪،‬نيتمئاق اتيوازف ح ز د وي د ز لقأ نم ‪،‬نيتمئاق اطخف ح ز وي د ال َّدب نأ ‪.‬ايقتلي‬

‫نإف تدرأ نأ حّحصت لمعلا يذلا >يف< لخاد ‪،‬باتكلا تضرف ةيواز د ب ـج فصن‬

‫ةمئاق تلمكأو لمعلا ىلع ام هركذ ‪.‬باتكلا‬ ‫‪A‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪G‬‬

‫‪C‬‬

‫‪J‬‬

‫‪I‬‬

‫ظ‪١٠٢-‬‬

‫‪:‬هناهربو نأ يتيواز ي ز د وـج ز د ‪ /‬نانوكت نيتيواستم نأل لك ةدحاو امهنم نوكت ةمئاق‬

‫فصنو ‪.‬ةمئاق نوكيف ‪ 1 ...‬اعلض ـج ز وز د لثم يعلض ي ز وز د‪ ،‬ةيوازلاو يتلا طيحي اهب ناعلضلا‬

‫نالَّوألا ةيوازلاك يتلا طيحي اهب ناعلضلا نارخآلا يقابو اياوز ثلثملا لك ةدحاو لثم ‪،‬اهتريظن‬ ‫ةيوازف ـج د ز ‪ 2‬لثم ةيواز ز د ي اتيوازو ز د ه وز د ب ‪،‬ناتيواستم نأل لك ةدحاو امهنم‬ ‫‪،‬ةمئاق ىقبي ةيواز ي د ب ‪ 3‬لثم ةيواز ج د ه‪ .‬اذإو جرخ عاعشلا نم ‪،‬رصبلا يذلا وه ةطقن ـج‪،‬‬

‫ىلإ ةطقن د يف ةآرم ب د‪ ،‬سكعنا ىلإ ةطقن ي نم حول ي ط يتلا يه لوأ ةروصلا ؛ةرَّوصملا‬

‫اذإو جرخ عاعشلا نم ـج‪ ،‬يذلا وه ‪،‬رصبلا ىلإ ةطقن يف طخ ب د دعب ةطقن د‪ ،‬سكعنا ُعاعشلا‬ ‫ىلإ ةطقن نم طخ ي ط يذلا وه يف حطس حوللا روصملا هيف ‪،‬ةروصلا وأ ىلإ طخلا لصتملا هب‬ ‫ىلع ‪،‬ةماقتسا املكو تبرق ةطقنلا يتلا عقي رصبلا اهيلع نم طخ د ب نم ةطقن د‪ ،‬تبرق ةطقنلا‬

‫يتلا سكعني اهيلإ >عاعش< رصبلا يف طخ ي ط نم ي‪ .‬و نم لجأ نأ طخ ب د ٍزاوم طخل‬ ‫‪ ‎1.‬ةملك ةسومطم‬

‫‪ ‎2.‬ـج د ز‪ :‬ميج لاد‬

‫‪ ‎3.‬ي د ب‪ :‬اب لاد‬

698

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

du point C vers D se réfléchit vers le point J, le rayon mené du point C au B se réfléchit vers un point de la droite continue sur le prolongement de la droite IJ. La droite IJ tout entière est donc vue dans la droite BD, donc la surface IJ tout entière qui est parallèle à la surface plane du miroir dans lequel on a la droite BD est vue dans le miroir. Ce qu’il fallait démontrer.» Ici s’achève la glose qui était dans la copie-mère, sache-le si Dieu le veut.

A3 r

Nous voulons montrer comment dresser deux miroirs dans lesquel la personne se voit de face et de dos (figure 4). Nous traçons une droite d’une longueur de quatre coudées sur laquelle il y a AB et on coupe de celle-ci une portion égale au quart de la largeur du miroir qui est la droite AC. Nous partageons la droite BC en deux moitiés au point D. Nous menons du point D une perpendiculaire égale à la largeur du miroir, soit la droite DG. Nous menons du point B une perpendiculaire égale à la moitié de la largeur du miroir, soit la droite BI. Joignons le point I au point G par une droite que nous prolongeons. Menons du point C une perpendiculaire qui rencontre la droite IG au point E ; il est clair qu’elle la rencontre, car les deux droites IB et CE | sont parallèles, car elles sont deux perpendiculaires à la droite CB. Or, à propos de la réflexion du rayon à partir du miroir, Euclide a dit dans le premier livre des Éléments que, si des droites sont parallèles à une droite, chacune d’elles est parallèle à celles qui restent. Les deux droites BI et IE se rencontrent ; le point E devient un centre autour duquel on trace un cercle à la distance que nous voulons ; soit la portion JK ; partageons-la en deux moitiés au point L, joignons le point L au point E, et menons de part et d’autre de la droite LE, du point E, deux perpendiculaires, l’une est adjacente à l’autre sur le prolongement et la longueur de chacune est égale à la moitié de la largeur du miroir ; soient les deux droites EM, EN. Menons du point B une droite adjacente à la droite BI et sur son prolongement, qui lui est égale ; soit la droite BH 1. Si nous procédons ainsi, nous dressons l’un des deux miroirs sur la droite MN ; la droite MN le coupe en deux moitiés et la position de l’œil sera le point D. C’est alors qu’a lieu ce que nous avons dit, que l’homme se voit dans l’un des deux miroirs, le miroir MN, de face et de dos ; la grandeur des deux miroirs sera la même et les deux miroirs seront carrés. Ce qu’il fallait démontrer.

‎1. On doit supposer qu’un miroir est placé suivant BH.

‫‪699‬‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫ط ي عاعشلاو جراخلا نم ةطقن ـج ىلإ د سكعنا ىلإ ةطقن ي‪ ،‬نوكي عاعشلا جراخلا نم ةطقن‬

‫ـج ىلإ ب سكعني ىلإ ةطقن نم طخلا لصتملا ىلع ةماقتسا طخب ط ي‪ .‬عيمجف طخ ط ي ىرُي‬ ‫هيف ‪ 1‬طخ ب د‪ ،‬عيمجف حطس ط ي يزاوملا حطسل ةآرملا يوتسملا ‪ 2‬يذلا هيف طخ ب د ىرُي‬

‫نم ؛ةآرملا كلذو ام اندرأ نأ »‪.‬نّيبن‬

‫انه ّمت مالك ةّرطلا يتلا تناك يف ‪،‬مألا هملعاف نإ ءاش ‪.‬هللا‬ ‫ديرن نأ نّيبن فيك بصنن نيتآرم ‪ 3‬ىرت صخشلا اهيف هسفن ًالبقم‪ً.‬اربدمو‬ ‫طخنف ًاطخهلوط ةعبرأ عرذأ هيلع ا ب‪ ،‬عطقتو هيلع ةعطق لثم عبر كمس ةآرملا وهو طخ‬

‫ا ـج‪ .‬مسقنو طخ ب ـج نيفصنب ىلع ةطقن د‪ .‬جرخنو نم ةطقن د ًاطخىلع ةيواز ةمئاق لتم كمس‬ ‫‪،‬ةآرملا وهو ‪.‬طخ د ز جرخنو نم ةطقن ‪ 4‬ب ًاطخ ىلع ةيواز ةمئاق لثم كمس ‪،‬ةآرملا وهو طخ‬ ‫ب ط‪ .‬لصنو ةطقن ط ةطقنب ز طخب هّدمنو ىلع ؛ةماقتسا جرخنو نم ةطقن ـج ًاطخ ىلع ةيواز‬

‫و‪١٠٣-‬‬

‫ةمئاق ىقلي طخ ط ز ىلع ةطقن ه‪ٌ .‬نّيبو هنأ هاقلي نأل اطخ ‪ 5‬ط ب و ـج ه ‪، /‬نايزاوتم امهنأل‬

‫نادومع ىلع طخ ـج ب‪ .‬دقو لاق سديلقوأ ساكعناب عاعشلا ‪ 6‬اهيلإ نم ةآرملا يف ةلاقملا ىلوألا نم‬ ‫باتك ناكرألا‪ :‬هل طوطخلا ةيزاوملا طخل لك طخ اهنم ٍزاوم لكل دحاو نم ‪.‬اهيقاب اطخو ب ط‬

‫وط ه ‪،‬نايقتلم ريصتو ةطقن ه ًازكرم ريدنو هيلع ًةرئاد ِّيأب دعب ‪،‬انئش يهو ةعطق ي ـك؛ اهمسقنو‬ ‫نيفصنب ىلع ةطقن ل لصنو ةطقن ل ةطقنب ه‪ ،‬جرخنو نع يتبنج طخ ل ه نم ةطقن ه نيطخ ىلع‬ ‫ةيواز ‪،‬ةمئاق امهدحأ قصال رخآلاب ىلع ‪،‬ةماقتسا لوط امهالك لثم >فصن< كمس ‪،‬ةآرملا امهو‬

‫اطخ ه م ه ن ‪ .7‬جرخنو نم ةطقن ب ‪ً 8‬اطخ ىلع ةماقتسا ًاقصال‪ 9‬طخب ب ط ًايواسمو‪، 10‬هل‬

‫وهو طخ ب ح‪ .‬اذإف انلعف ‪،‬كلذ انبصن ىدحإ نيتآرملا ىلع طخ م ن‪ ،‬نوكيو طخ م ن ًاعطاق‬ ‫اهل ‪،‬نيفصنب نوكيو عضوم نيعلا ةطقن د‪ٍ .‬ذئنيحف نوكي ام انلق نأ ىري ناسنإلا هَسفن يف ىدحإ‬

‫نيتآرملا ًالبقم ًاربدمو يف ةآرم م ن‪ ،‬نوكيو ردق نيتآرملا ًادحاو نانوكتو ؛نيتعبرم كلذو ام اندرأ‬

‫نأ ‪.‬نّيبن‬

‫طخ‬

‫‪: ‎1.‬هيف يف‬

‫‪: ‎2.‬يوتسملا ‪.‬يوتسمل‬

‫‪ ‎6.‬ساكعناب ‪:‬عاعشلا ةسومطم‬

‫‪ً: ‎10.‬ايواسمو ‪.‬يواسمو‬

‫‪: ‎3.‬نيتآرم ةآرم‬

‫‪ ‎7.‬ه م ه ن‪ :‬ميم اه نون‬

‫‪: ‎4.‬ةطقن طخ‬

‫‪ ‎8.‬ب‪ :‬اه‬

‫‪: ‎5.‬اطخ‬

‫‪ً: ‎9.‬اقصال قصال‬

700

A3 v

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Les propos qui suivent étaient en glose dans la copie-mère visà-vis de son affirmation — et le point E devient un centre : « Il est plus correct que nous disions : faisons du point E un centre, traçons un cercle à une distance à volonté — qui est une portion JL 1 —, partageons cette portion en deux moitiés au point U 2 et joignons U à E par une droite UE, les deux angles sont alors égaux puisqu’ils sont au centre du cercle et interceptent des arcs égaux ; menons de part et d’autre de la droite UE, du point E, deux droites dont chacune entoure avec la droite UE un angle droit ; elles sont adjacentes sur le prolongement et deviennent une seule droite, ce qui est clair ; soit la droite NM. Il a mentionné dans son livre : posons la longueur NM égale à la largeur du miroir, ce dont nous n’avons | pas besoin ; mais il est nécessaire que la partie la plus grande de la longueur du miroir soit dans la direction de N et la plus petite dans la direction de M, soit NO la longueur du miroir. Prolongeons IB dans l’autre direction vers H et supposons BH égale à BI. Il a posé, dans son livre, que le miroir est sur la droite HB et ceci est une erreur du copiste. N’as-tu pas remarqué qu’il a dit que la grandeur des deux miroirs doit être la même ? Il est plus correct de faire la longueur du miroir, HI tout entière ; et s’il veut voir le sommet de sa tête, le miroir sera plus grand que cela, c’est-à-dire la droite HR. Si l’observateur regarde le miroir à partir du point D, le rayon visuel tombe de ce point à la position du point D 3 qui est la position de son œil et le rayon s’étend dans son voisinage. N’as-tu pas remarqué qu’Euclide a dit que le rayon visuel se superpose au visible ? Peut-être le rayon émane-t-il de ce qui est voisin du point D suivant des angles non droits dans chacune des quatre directions et se réfléchit dans le voisinage de D à partir des quatre directions, donc de D tout entier ; la personne se voit dans le miroir HI. Joins D à I et suppose la droite BI la moitié de la droite DG, de laquelle on coupe ce qui lui est égal, c’est-à-dire DQ ; DQ lui est donc égale et parallèle, les deux droites QI et DB sont parallèles et égales et l’angle IQG est droit en raison du parallélisme, donc l’angle IGQ est égal à l’angle BID et il est aussi égal à l’angle alterne-interne qui est l’angle GIR, donc l’angle DIB est égal à l’angle GIR, donc le rayon DI se réfléchit suivant la droite IO au point O 4 du miroir NM et se réfléchit du point O sur le miroir vers le point D, à la position de l’œil, car les deux angles LOM et LON sont égaux, car ils sont droits, et les deux

‎1. ‎2. ‎3. ‎4.

Ainsi dans le manuscrit : il faut lire JK. Ainsi dans le manuscrit. Le point U n’est autre que le point L précédent. Après réflexion sur les deux miroirs. Ainsi dans le manuscrit ; il faut lire E au lieu de O dans le paragraphe qui suit.

‫‪701‬‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫اذهو مالكلا يذلا يتأي دعب اذه ناك يف مألا يف ةرطلا ءازإب ‪:‬هلوق ريصيو ةطقن ‪ 1‬ه ‪ً.‬ازكرم‬

‫باوصلا نأ لوقن لمعنو ‪ 2‬ةطقن ه ًازكرم ريدنو ةرئاد ّيأب دعب انئش يهو ةعطق ي ل‪ ،‬اهمسقنو‬

‫‪3‬‬

‫نيفصنب ىلع ةطقن ص‪ ،‬لصنو ص ـبه طخب ص ه‪ ،‬ناتيوازلاف ناتيواستم ‪ 4‬نمو لجأ امهنأ ىلع‬

‫زكرم ةرئادلا امهرّتوتو ناسوق ‪،‬ناتيواستم جرخنو نع يتبنج طخ ص ه نم ةطقن ه نيطخ طيحي‬ ‫لك دحاو امهنم عم طخ ص ه ةيوازب ‪،‬ةمئاق نالصتيف ىلع ةماقتسا ناريصيو ًاطخ ًادحاو كلذو‬

‫ظ‪١٠٣-‬‬

‫نّيب امهو طخ ن م ‪ .5‬ركذو لخاد باتكلا نأ لعجن لوط ن م لثم كمس ةآرملا اذهو ام ‪ /‬ال جاتحن‬

‫‪،‬هيلإ امنإو بجي نأ نوكي رثكأ لوط ةآرملا ىلإ ةهج ن اهلقأو ىلإ ةهج م‪ ،‬ناكو لوط ةآرملا ن ع؛‬

‫جرخنو ط ب ىلع ةماقتسا يف ةهجلا ةيناثلا ىلإ ه ح‪ ،‬ضرفنو ب ح لثم ب ط‪ .‬عضوو لخاد‬ ‫باتكلا ةآرملا ىلع طخ ح ب وهو نم فيحصت ‪.‬خسانلا الأ ىرت هنأ ‪:‬لاق نوكيو ردق نيتآرملا‬

‫؟ًادحاو‬

‫باوصلاو نأ لعجن لوط ةآرملا عيمج ح ط‪ ،‬نإف دارأ نأ ىري ةمق هسأر تناك ةآرملا ربكأ‬ ‫‪6‬‬

‫نم كلذ طخك ح ر ‪ .7‬اذإف رظن ُرظانلا اهيلإ نم ةطقن د ‪ 8‬عقو عاعش رصبلا اهنم ىلع >عضومعاعش< رصبلا قبطي ىلع ؟رصبملا امبرو جرخ عاعشلا امم برقي نم ةطقن د ىلع ريغ اياوز ةمئاق‬

‫يف لك ةدحاو نم تاهجلا ‪،‬عبرألا سكعنيف ىلإ ام برقي نم د يف تاهجلا ‪،‬عبرألا نوكيف‬

‫نع عيمج د نأ ىري ناسنإلا يف ةآرم ح ط ‪.‬هسفن لصتو د ـبط ضرفتو ‪ 9‬طخ ب ط فصن‬

‫طخ د ز‪ ،‬عطقيف هنم هلثم وهو د قوهف‪ ،‬هلثم ٍزاومو ‪،‬هل اطخف ق ط ود ب نايزاوتم نايواستم‬ ‫ةيوازو ط ق ز ةمئاق نم لجأ ‪،‬يزاوتلا ةيوازف ط ز ق لثم ةيواز ب ط د يهو ًاضيأ لثم‬ ‫ةلدابملا اهل يهو ةيواز ز ط ر ‪ ،10‬ةيوازف د ط ب لثم ةيواز ز ط ر ‪ ،11‬عاعشف د ط سكعني‬

‫ىلع طخ ـط ع‬

‫‪12‬‬

‫ىلإ ةطقن ع نم ةآرم ن م سكعنيو نم ةطقن ع نم ةآرملا ىلإ ةطقن د‬

‫ىلإ عقوم ‪،‬رصبلا نأل يتيواز ل ع م ‪ 13‬ول ع ن ‪،‬ناتيواستم امهنأل ‪،‬نيتمئاق اتيوازو ط ع ص‬

‫‪: ‎1.‬ةطقن طقن‬

‫‪ ‎5.‬ن م‪ :‬نون اهو‬

‫‪: ‎6.‬لعجن لعجت‬

‫‪ ‎10.‬ز ط ر‪ :‬ياز ط اه‬ ‫‪.‬ميم‬

‫‪: ‎2.‬لمعنو لصنو‬

‫‪: ‎3.‬اهمسقنو مسقنو اب‬

‫‪ ‎7.‬ح ر‪ :‬اح ام‬

‫‪ ‎11.‬ز ط ر‪ :‬ياز اط فاك‬

‫‪ ‎14.‬ط ع ص‪ :‬اب نيع داص‬

‫‪ ‎8.‬د‪ :‬اب‬

‫‪ ‎12.‬ط ع‪ :‬نيع‬

‫‪14‬‬

‫‪: ‎4.‬ناتيواستم نايواستم‬ ‫‪: ‎9.‬ضرفتو اتضرفو‬ ‫‪ ‎13.‬ل ع م‪ :‬اب نيع‬

702

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

angles IOU 1 et DOU sont égaux, il reste les deux angles MOI et NOD égaux. La personne voit son visage dans le miroir HI et l’arrière de sa tête dans le miroir NM. Si tu veux voir le sommet de sa tête, car en fait il ne voit de la sorte de l’arrière de sa tête que ce qui est opposé à son œil ; si tu veux cela, la longueur de l’un des deux miroirs sera NO et l’autre HIR». Ici s’achève le propos de la glose qui était dans la copie-mère, sache-le. A4 r

Nous voulons montrer comment construire un miroir tel que, si un observateur bouge un de ses membres, | l’image 2 bouge ce membre, le droit à droite et le gauche à gauche. Si nous voulons cela nous traçons un cercle à la distance que nous voulons sur une planche et nous prenons son cinquième qui est de la grandeur de la longueur du miroir 3. Si nous traçons le cercle nous prenons l’arc du sixième, nous faisons de l’arc un gabarit, nous prenons ensuite l’arc du cinquième, nous en faisons un gabarit aussi et nous faisons rectangulaire comme une brique en fer qui a l’épaisseur plus grande que le cinquième 4 ; sa longueur est de la grandeur de la corde du cinquième et sa largeur de la grandeur de la corde du sixième. Plaçons l’arc du cinquième sur elle et ceci en montant la corde du cinquième sur la longueur de la brique de façon que sa convexité 5 soit égale à l’arc du cinquième. Puis tu la limes progressivement dans sa largeur — en profondeur — à partir de la courbure de la convexité du gabarit qui est l’arc du cinquième, de sorte que l’arc du cinquième soit sa profondeur, et tu limes dans sa longueur — en profondeur — à partir de la courbure de la convexité du gabarit qui est l’arc du sixième, de sorte que l’arc du sixième soit sa profondeur. Tu le polis ensuite comme on polit les miroirs afin d’y voir le visage. Si on fait ainsi et si on regarde dans ce miroir, si on bouge sa main droite, l’image bouge sa main droite et si on bouge sa main gauche, l’image bouge sa main gauche, et les miroirs 6 ne sont pas ainsi. Si nous voulons renverser le visage dans le miroir, nous renversons le miroir afin que le regard soit dans sa largeur qui est d’une longueur égale à la corde d’un cinquième 7, le visage se renverse (figures 8, 9, 10, 11, 12, 13). ‎1. ‎2. ‎3. ‎4. cercle. ‎5. ‎6. ‎7.

Les lettres U et L désignent le même point. Litt. : la personne. La longueur du miroir sera celle de la corde qui est le côté du pentagone. C’est-à-dire un peu plus grande que la flèche de l’arc d’un cinquième de La convexité du gabarit. C’est-à-dire les miroirs plans ou sphériques. La largeur est la corde du sixième.

‫‪703‬‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫ود ع ص ‪، 1‬ناتيواستم ىقبتف اتيواز م ع ط ‪ 2‬ون ع د ‪ 3‬نيتيواستم ‪ .4‬ىريف ناسنإلا ههجو يف‬

‫ةآرم ح ط ىريو هافق يف ةآرم ن م ‪ .5‬نإف تدرأ نأ ىرت ةمق ‪،‬هسأر هنأل ال ىري ىلع اذه‬ ‫سايقلا ىلع ةقيقحلا نم هافق اّلإ ام لباقي ‪.‬هرصب اذإف تدرأ ‪،‬كلذ ناك لوط ىدحإ ‪ 6‬نيتآرملا‬

‫ن ع ةيناثلاو ح ط ر ‪.7‬‬

‫انه ّمت مالك ةّرطلا يتلا تناك يف مألا ملعأو ‪.‬كلذ‬ ‫و‪١٠٤-‬‬

‫ديرن نأ نّيبن فيك لمعن ةآرم اذإ كّرح رظانلا ًاءزج نم هئازجأ كّرح ‪ /‬صخشلا كلذ‬

‫ءزجلا ءاوس نيمي عم نيمي لامشو عم ‪.‬لامش‬

‫اذإف اندرأ ‪،‬كلذ انردأ ةرئاد يف حول ىلع يأ دعب ‪،‬انئش >انذخأو< اهسمخ ردقب لوط ‪.‬ةآرملا‬

‫اذإف انردأ ‪،‬ةرئادلا انذخأ اهنم سوق< سدسلا >انلمعو سوقلا ‪ً،‬ةرطسم مث انذخأ سوق ‪،‬سمخلا‬ ‫اهانلمعف هترطسم ‪ً،‬اضيأ اهانلمعو< > ًةعبرم ةليطتسم لثم ةنبللا نم ديدح اهل ظلغ ديزأ ‪> 8‬نمو عضن سوق سمخلا‬ ‫‪،‬اهيلع كلذو نأب بكرت رتو سمخلا ىلع لوط< ‪>،‬ةنبللا نوكي اهتبدح لثم سوق ‪.‬سمخلا مث اهدربت‬

‫يف اهضرع — يف اهقمع ‪ — 10‬نم سيوقت اهتبدح يذلا وه سوق سمخلا ًائيش‪ً>،‬ائيشف< ىتح نوكت‬ ‫سوق< سمخلا يف ‪،‬اهقمع اهدربتو يف اهلوط — يف اهقمع — نم سيوقت اهتبدح يذلا وه سوق‬

‫سدسلا ىتح >نوكت سوق سدسلا يف ‪.‬اهقمع مث اهولجت امك ولجت‬

‫‪11‬‬

‫ايارملا ىتح ىرت هجولا ‪.‬اهيف‬

‫ذإف اهيف نإ كّرح هدي ىنميلا تكَّرح ةروصلا اهدي ‪،‬ىنميلا نإو كَّرح ىرسيلا >تكرح< ةروصلا‬ ‫اهدي ‪،‬ىرسيلا تسيلو ايارملا ‪.‬كلذك اذإو اندرأ نأ بلقن هجولا ‪،‬اهيف اهانبلق ىتح نوكي رظنلا يف‬

‫اهضرع يف لوط رتو سمخلا ‪.‬بلقنيف‬

‫‪ ‎1.‬د ع ص‪ :‬مالو نيع‬

‫ناتيواستم‬

‫‪: ‎9.‬ردقب دق‬

‫‪ ‎5.‬ن م‪ :‬نون‬

‫‪ ‎2.‬م ع ط‪ :‬ميم نيع اب‬

‫‪: ‎10.‬اهقمع قمع‬

‫‪: ‎6.‬ىدحإ دحا‬

‫‪: ‎11.‬ولجت ‪.‬اولجت‬

‫‪ ‎3.‬ن ع د‪ :‬نونو نيع مال‬

‫‪ ‎7.‬ح ط ر‪ :‬اح افاق ميم‬

‫‪: ‎4.‬نيتيواستم‬

‫‪: ‎8.‬ديزأ هديزا‬

704

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

À propos de la propagation des rayons, de leur réflexion et de la propagation du rayon à partir de l’œil et sa réflexion. De l’œil surgit une force puissante qui imprime dans toute l’atmosphère une luminosité de surface conique, comme le sommet de la flèche, c’est-à-dire que son sommet est l’œil lui-même et à mesure qu’elle s’éloigne, sa base s’élargit et la figure entourée par cette luminosité est un cône cylindrique 1 dont le sommet est l’œil de l’observateur et dont l’extrémité est du côté du visible. L’œil voit ce sur quoi tombe cette luminosité et ne voit pas ce sur quoi elle ne tombe pas. A4 v

Exemple. Posons l’œil au point D ; soit le rayon issu du point D les deux rayons | DC, DE et soit CE la droite sur laquelle tombent les deux rayons DC, DE. DEC est la surface de la luminosité issue de l’œil et dont le sommet est le point D et dont la base est la droite CE. Ainsi à mesure que le rayon s’éloigne sa base s’élargit, il est par conséquent de la forme d’une figure conique. Ce qu’il fallait démontrer (figures 14 et 16). Cette forme ou ce rayon, qu’il sorte de l’œil ou du soleil, s’il rencontre un corps opaque poli, dont la surface est plane, se réfléchit suivant des angles égaux, c’est-à-dire s’il sort incliné ; s’il sort perpendiculaire, il se réfléchit sur lui-même et il se réfléchit suivant des angles égaux. La droite AB est une surface opaque, polie, réfléchissante et le point E est la position de l’œil. La droite EC est le passage du rayon à partir de l’œil en ligne droite, s’il n’est pas renvoyé par la droite AB. Si le corps de la droite AB est dans sa position et s’il est opaque, poli, réfléchissant, le rayon, une fois issu, tombe sur le point D, de la droite AB, il se réfléchit ensuite en D vers G. Démonstration. La droite EC est le passage du rayon en ligne droite s’il n’est pas renvoyé par un obstacle. Si nous imaginons la droite DC comme un tuyau fin en fer qu’on fixe à la droite AB dans la direction de la droite EC, c’est-à-dire qu’on conserve la droite BD et le tuyau de fer fin imaginé à la place de la droite CD, l’angle CDB restant dans son état sans augmenter ni diminuer. Si nous imaginons cela, alors l’angle EDA sera égal à l’angle GDB ; ils ont en commun la droite AB et ils sont du côté de E. La droite DC se superpose à la droite DG, car l’angle ADE est égal à l’angle CDB — puisque les deux droites EC et AB se coupent et les deux angles opposés sont égaux.

‎1. C’est ainsi dans le texte, il s’agit ici d’un cône.

‫‪705‬‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫يف جورخ تاعاعشلا ‪،‬اهساكعناو يف جورخ عاعشلا نم رصبلا ‪،‬هساكعناو نم نيعلا ثبني‬

‫نم ‪ 1‬اهرظان ًةوق ًةيوق رثؤت ‪ 2‬اميف تقال نم وجلا عمجأ ًءايض ًايربونصجُّزلاك ‪ ،3‬ينعأ هتدحتسم نيع‬

‫رظانلا ‪،‬هسفن املكو ‪،‬تدعبأ تعسّتا ‪،‬هتدعاق نوكيو لكشلا يذلا طيحي هب كلذ ءايضلا ًاطورخم‬ ‫ًايناوطسأ هدحتسم نيع رظانلا هتياهنو يلت روظنملا ‪.‬هيلإ امف عقو هيلع كلذ ءايضلا < هكردي >رصبلا‬

‫امو مل عقي هيلع مل هكردي ‪.‬رصبلا‬ ‫ظ‪١٠٤-‬‬

‫لاثم ‪:‬كلذ انأ لعجن رصبلا ةطقن د عاعشلاو جراخلا نم ةطقن د اعاعش ‪ /‬د ـج د ه عقاولاو‬

‫هيلع اعاعش د ـج د ه طخ ـج ه‪ .‬د ه ـج ‪ 4‬وه حطس ‪ 5‬رونلا جراخلا نم رصبلا هدحتسمو ةطقن د‬ ‫هتدعاقو طخ ـج ه‪ .‬كلذكو املك َدُعب ‪،‬عاعشلا تعسّتا ‪،‬هتدعاق وهف ًاذإ يف ةروص لكش ؛يربونص‬

‫كلذو ام اندرأ نأ ‪.‬نّيبن‬

‫هذهو ةروصلا اذهو عاعشلا ناك هجرخم نم نيعلا وأ نم ‪،‬سمشلا اذإ يقل ًامسج ًافيثك‬

‫ًاليقصيوتسم ‪،‬حطسلا هنإف سكعني هنم ىلع اياوز ‪،‬ةيواستم ينعأ اذإ جرخ ؛ًافرحنم نإو >جرخو< سكعنا ىلع اياوز ةيواستم ‪.7‬‬

‫نإ طخ ا ب حطس فيثك ليقص يئارم ةطقنو ه عضوم ‪.‬رصبلا طخف ه ـج جرخم عاعشلا‬

‫نم رصبلا ىلع ‪،‬ةماقتسا اذإ مل هدري طخ ا ب‪ .‬اذإف ناك مرج طخ ا ب يف هعضوم ناكو ًافيثك‬ ‫ًاليقص‪ً،‬ايئارم جرخ عاعشلا ‪ً،‬ةرم عقوف ىلع ةطقن د نم طخ ا ب‪ ،‬مث سكعنا نم د ىلإ ز‪.‬‬

‫ناهرب ‪:‬كلذ نإ طخ ه ـج ُّرمم عاعشلا ىلع ةماقتسا نإ مل هدري ‪.‬دار نإف انمهوت نأ طخ د ـج‬

‫بيضق نم ديدح قيقد تبثيف يف طخ ا ب ىلع ةئيه تمس طخ ه ـج‪ ،‬ينعأ نأ ظفحي طخ‬ ‫ب د بيضقو ديدحلا قيقدلا مهوتملا ًاضوعنم طخ ـج د‪ ،‬ةيواز ـج د ب ‪ 8‬ىلع ‪،‬اهلاح الف ديزي‬

‫الو ‪.‬صقني اذإف انمهوت ‪،‬كلذ تناكف ةيواز ه د ا لثم ةيواز ز د ب‪ ،‬امهيف طخ ا ب ىلإ ام يلي‬

‫ةهج ه‪ .‬نإو طخ د ـج قبطني ىلع د ز نألو ‪ 9‬ةيواز ا د ه‬ ‫ه ـج وا ب ناعطاقتم نيتيوازلاو نيتلباقتملا ‪. 11‬ناتيواستم‬

‫‪: ‎1.‬نم ىلإ‬ ‫‪: ‎6.‬سكعنا سكعني‬

‫‪ ‎10.‬ا د ه‪ :‬فلا ميم اه‬

‫‪: ‎2.‬رثؤت رتوت‬

‫‪ِّ: ‎3.‬جزلاك هجر‬

‫‪: ‎7.‬ةيواستم ةملكلا ‪.‬ةسومطم‬

‫‪10‬‬

‫لثم ةيواز ـج د ب نأل يطخ‬

‫‪ ‎4.‬د ه ـج‪ :‬لاد اه‬ ‫‪ ‎8.‬ـج د ب‪ :‬ميج لاد‬

‫‪ ‎11.‬نيتيوازلاو ‪:‬نيتلباقتملا ناتيوازلاو ناتلباقتملا‬

‫‪: ‎5.‬حطس حطسلا‬ ‫‪: ‎9.‬نألو نال‬

706 A5 r

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Si nous disons que la droite AB | est comme nous l’avons dit et que la droite DC se superpose à la droite DG, alors l’angle BDG sera égal à l’angle ADE 1. Donc ED s’est réfléchi en D vers G et alors les deux angles ADE et GDB sont égaux . Si l’œil est au point I et ID est perpendiculaire à la droite AB, alors le rayon ID se réfléchit sur lui-même, car l’angle ADI tout entier est droit et l’angle BDI est aussi droit, donc le rayon ID se réfléchit sur lui-même. Ce qu’il fallait démontrer. On a donné précédemment la forme de ce problème (figure 17). De même si nous dressons un miroir AB et si nous plaçons l’œil au point C, et si nous avons limité le rayon en mettant devant l’œil un tuyau fin en roseau par lequel nous regardons pour que le rayon sorte de l’œil et passe par le tuyau jusqu’à ce qu’il tombe sur du miroir au point D, alors l’œil voit dans le miroir tout ce qui est sur la droite DE, car si le rayon CD n’est pas empêché par la droite AD, il passe suivant sa direction jusqu’en L, et si la droite AB le renvoie, il se réfléchit jusqu’en E pour la cause que nous avons invoquée précédemment. On a donné précédemment la forme de ce problème.

‎1. Car BDG = BDC et BDC = ADE.

‫‪707‬‬ ‫و‪١٠٥-‬‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫اذإو ‪ 1‬انلق طخ ا ب ‪ /‬امك ‪،‬انلق قبطنا طخ د ـج ىلع طخ د ز‪ ،‬ةيوازف< ب >د ز لثم‬

‫ةيواز ا د ه ‪ ،2‬دقف سكعنا ه د ‪ 3‬نم< د >ىلإ ز‪ ،‬تراصف اتيواز ا د ه وز د ب ‪ 4‬نيتيواستم ‪.5‬‬ ‫نإف ناك رصبلا دنع ةطقن ط ناكو < ط د >ًادومع ىلع طخ ا ب‪ ،‬نإف عاعش ط د سكعني ىلع‬ ‫‪،‬هسفن نأل ةيواز ا د ط ‪ 6‬اهلك ةمئاق كلذكو ةيواز ب د ط ‪ً 7‬اضيأ ‪.‬ةمئاق عاعشف ط د سكعني‬

‫ىلع ؛هسفن كلذو ام اندرأ نأ ‪.‬نّيبن‬

‫دقو تمدقت ةروصلا يف هذه ‪.‬ةلأسملا‬

‫ًاضيأو ىتم انبصن ةآرم ا ب انعضوو رصبلا يف< >ةطقن ـج انرصحو عاعشلا نأب عضن نيب‬

‫يدي رصبلا بوبنأ بصق ‪،‬قيقد رظنن اهنم جرخيل عاعشلا نم ‪،‬رصبلا رميف يف بوبنألا ىتح عقي‬

‫ىلع ةآرملا دنع ةطقن د‪ ،‬هنإف ىري يف ةآرملا لك ام ناك ىلع طخ د ه‪ ،‬نأل عاعش ـج د >نإ< مل‬ ‫هعنمي طخ ا ب‪ ،‬هنإف ّرمي ىلع هتمس ىلإ ل؛ اذإو هّدر طخ ا ب‪ ،‬سكعنا ىلإ ه ةلعلل يتلا دق ‪.‬اّنيب‬ ‫دقو تمدقت ةروصلا >يف< ‪ 8‬هذه ‪.‬ةلأسملا‬

‫‪: ‎1.‬اذإو اذإف‬

‫‪ ‎2.‬ا د ه‪ :‬فلا ميم اه‬

‫‪: ‎5.‬نيتيواستم اهدعب كسم« »ةفرحملا امم ال ىنعم ؟هل‬ ‫‪> ‎8.‬يف< ‪:‬هذه ‪.‬درص‬

‫‪ ‎3.‬ه د‪ :‬اه لاد ميج‬

‫‪ ‎6.‬ا د ط‪ :‬فلا ميم اط‬

‫‪ ‎4.‬ا د ه وز د ب‪ :‬ميم نيسو‬ ‫‪ ‎7.‬ب د ط‪ :‬اب نيس ‪.‬اط‬

A1 vB1 v

A2 r

| Au nom de dieu, Clément et Miséricordieux

ʿUṭārid ibn Muḥammad al-Ḥāsib a dit 1 : Le mal des sciences des anciens est que ceux qui les vénèrent leur vouent une admiration excessive, en les laissant dans un état où les copistes ont pu les corrompre et les traducteurs se méprendre dans leur lecture. Étant donné que je suis porté à éliminer le surplus des écrits et à rejeter ce dont il n’est nul besoin ni utilité, je pense éliminer ce qui est en trop dans la construction, et qui n’apporte rien ni à ceux qui veulent apprendre, ni à ceux qui veulent appliquer. J’ai lu le livre d’Anthémius sur la construction des miroirs ardents, entre autres miroirs, et j’ai trouvé dans ses propositions des ajouts de lignes et de points dont n’ont pas besoin ceux qui veulent apprendre, non plus que d’autres. Je les ai donc éliminés des propositions, que j’ai résumées, et j’ai contrôlé la mise en place des points et des lignes dans les lieux et positions qui leur sont propres ; j’ai mené le propos selon la doctrine d’Anthémius, en amplifiant l’explication et en mettant en ordre la pratique qui en indique la science ; j’ai illustré cela par des figures parfaites, qui montrent l’exactitude à celui qui procède par leur moyen, j’ai représenté les miroirs et ce qui leur est nécessaire, ce qui peut aider à les construire selon la meilleure forme, j’ai ajouté à cela ce que j’ai pu obtenir et l’ai rectifié à l’aide de ce que j’ai recueilli du livre de Thiasos, également sur les miroirs ardents. Si ce Thiasos est Anthémius, alors, je les réunis dans un même livre, et Louanges à Dieu pour le succès. Et si c’est un autre, alors nous avons ajouté une espèce de cette science à sa semblable, et l’avons jointe à sa pareille. Je dis cela car les noms étrangers se ressemblent, et nos contemporains sont déconcertés par ces noms, les confondent, se piquent de les altérer et les répètent | à l’envi, en raison de leur admiration excessive que nous avons évoquée. C’est de Dieu que vient l’Assistance, et sur Lui nous nous appuyons dans ce que nous faisons. Celui qui est enclin à copier cela, alors qu’il suive sa voie pour les propositions et les figures, afin d’en profiter, si Dieu le veut.

‎1. Les renvois sont aux figures de l’introduction. On a introduit ici de nouvelles figures, nécessaires. Le lecteur du texte arabe pourra s’y référer (la correspondance est aisée entre les lettres des deux langues). Nous avons opté pour cette présentation pour ne pas charger le texte en reproduisant plusieurs fois les mêmes figures.

‫‪1‬‬

‫لاق دراطُع نب دمحم ‪:‬بساحلا ةفآ مولُع ‪ 2‬لئاوألا طرَف باجعإ ْنَم َلام ىلإ مهمولُع ‪،‬اهب هكرتو‬

‫اهاَّيإ ‪ 3‬ىلع لاحلا يتلا امَّبُر اهدسفأ ‪، 4‬خاسنلا اهفحُصو ‪ 5‬ةَلَقَّنلا ‪ .6‬يِلْيَمِلو ىلإ فذح لوضف ‪، 7‬لوقلا‬

‫يحارطإو ام ال جاتْحُي هيلإ الو عفتنُي ‪،‬هب ىرأ نأ يغلأ ام داز يف لمعلا ‪ ،8‬ملو ّدِجُي ىلع نيملعتملا‬ ‫الو ىلع نيلماعلا ‪ً. 9‬اريخ‬

‫دقو تنك تأرق باتك سيمتنأ يف لمع ايارملا ةقرحملا ‪،‬اهريغو تدجوف يف هلاكشأ تادايز‬

‫طوطخ طقنو ال ةجاح نيملعتملاب الو مهريغ ‪،‬اهيلإ تفذحف كلذ نم لاكشألا اهتصخلو تمكحأو‬ ‫عضو طقنلا طوطخلاو يف صاوخ اهنكامأ ‪،‬اهعضاومو تقسو لوقلا ىلع بهذم سيمتنأ ةدايزب‬

‫يف حرشلا بيترتو لمعلا ‪ 10‬لادلا ىلع ملع ‪، 11‬كلذ تلكشو كلذ ّمتأب لاكشأ اهلدأو نمل لمع اهب‬

‫ىلع ‪،‬باوصلا ترّوصو ايارملا امو جاتحت هيلإ امم نيعُي ىلع اهلمع نسحأب ‪،‬روص تفضأو هيلإ ام‬ ‫عقو ّيلإ نم كلذ هتحّحصو امم هتعمج نم باتك سوسايث يف ايارملا ةقرحملا ‪ً.‬اضيأ نإف ناك سوسايث‬

‫اذه وه ‪، 12‬سيمتنأ عمجلاف ينم باتكل ‪،‬دحاو هللو دمحلا ىلع ‪.‬قيفوتلا‬ ‫نإو نكي‬

‫‪13‬‬

‫‪،‬هريغ دقف انفضأ ًاعون نم ملعلا ىلإ ‪،‬هلكش هانَّمضو ىلإ هقفل‬

‫‪14‬‬

‫امّنإو تلق اذه‬

‫ّنأل ءامسألا ةَّيمجعألا ‪،‬ةهباشتم لهأو اننامز نوبرغتسي هذه ‪،‬ءامسألا نوهِّومُيو ‪،‬اهفيرحتب نورثكُيو‬

‫و‪-٢-‬ا‬

‫اهدادرت ‪ /‬طرفل باجعإلا يذلا ‪.‬هانركذ هللابو نيعتسن ‪ ،15‬هيلعو لّكوتن اميف نحن ‪.‬هليبسب نمف لام‬

‫ىلإ خسن اذه كلساف اهليبس يف لاكشألا روصلاو عفتنيل ‪،‬كلذب نإ ءاش هللا ‪.‬ىلاعت‬

‫‪ ‎1.‬اهدعب ‪:‬بتك كوفع مهللا ]ا[‬

‫‪ ‎2.‬مولع ‪]:‬ب[ مولعلا ]ا[‬

‫‪ ‎3.‬اهاّيإ ‪]:‬ب[ ةصقان ]ا[‬

‫‪ ‎7.‬لوضف‬ ‫‪ ‎6.‬ةلقنلا ‪]:‬ا[ ةلقانلا ]ب[‬ ‫‪ ‎5.‬اهفحصو ‪]:‬ا[ اهجتو ]ب[‬ ‫‪ ‎4.‬اهدسفأ ‪]:‬ا[ اهدسفأ هب ]ب[‬ ‫‪ ‎10.‬لمعلا ‪]:‬ا[ لمعلل‬ ‫‪ ‎9.‬نيلماعلا ‪]:‬ب[ نيملاعلا ]ا[‬ ‫‪ ‎8.‬ةملك "لمعلا" يف شماهلا‬ ‫‪]:‬ب[ ةصقان ]ا[‬ ‫‪ ‎13.‬نكي ‪]:‬ا[ مل نكي ]ب[‬ ‫‪ ‎12.‬اذه وه ‪]:‬ب[ وه اذه ]ا[‬ ‫‪ ‎11.‬ملع ‪]:‬ب[ ةصقان ]ا[‬ ‫]ب[‬ ‫‪ ‎14.‬ىلإ ‪:‬هقفل هقفلا ]ا[ قْفَّللا وه ‪،‬قشلا ىنعمب هفاضأ ىلإ هقش رخآلا‬ ‫اميف ‪.‬دعب‬

‫‪: ‎15.‬نيعتسن انه فقوتي خسان ]ب[ أدبيل‬

710

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

L’auteur du livre qui nous a devancé dans la vertu et nous a enrichi par son travail dit :

A2 v

 Si nous voulons construire les miroirs ardents, nous traçons la droite AB. [Et moi, j’ajoute, et ceci est un liminaire, que la première action est de rectifier les règles et la seconde de couper les arcs qui sont les limes de ces miroirs correspondant à cette figure]. Nous revenons ensuite à la droite AB que nous traçons et partageons en deux moitiés au point C. De part et d’autre du point C, nous marquons deux points à égale distance, qui sont les deux points D et E. Nous élevons au point C une perpendiculaire de même grandeur que la droite CD, soit la perpendiculaire CF ; nous la prolongeons de l’autre côté du point C jusqu’au point G, indéfiniment. Nous menons la droite FD jusqu’au point H, nous élevons au point D une perpendiculaire qui tombe en un point quelconque de la droite CG et nous y marquons le point I. De la grandeur CD, nous traçons un cercle qui passe par les points D, F et E. Par le point F on fait passer la droite FK tangente au point F et parallèle à la droite AB. De part et d’autre des points D et E nous prenons deux distances égales, qui sont EL et DM ; nous élevons au point L la perpendiculaire LJ et au point M la perpendiculaire MK 1. Partageons ensuite les deux perpendiculaires LJ et MK en autant de parties que nous voulons : plus nous multiplions les parties, plus ceci est précis pour la construction. Nous faisons ensuite passer par de chacun des couples de parties opposées sur les deux perpendiculaires une droite parallèle à la droite AB qui coupe les deux arcs EF et DF du cercle en des parties égales |, comme ce qui est dans l’exemple 2. Je dis que l’auteur de ce propos n’a pas montré pourquoi ces droites conviennent ni n’a fait appel à celles-ci pour quoi que ce soit dans sa construction. Leur utilité est qu’elles découpent les arcs que nous appelons, avec leurs cordes, des règles, pour que ceux-ci soient valables, sans qu’il y ait des erreurs dans les arcs et pour qu’on ait des points et les distances de ces points qui tombent sur la circonférence du cercle, comme nous allons le montrer après cela, si Dieu très Haut le veut.

‎1. On suppose que LJ = MK = CF, et par conséquent les trois points J, F et K sont alignés. ‎2. Ce fragment de texte semble s’interrompre ici sans que soit dégagé l’intérêt des points de division des droites LJ et MK et des parallèles qui en sont déduites. Dans les paragraphes qui suivent, on ne trouve aucune trace de l’utilisation de ces premières constructions, comme le remarque le commentateur.

‫‪711‬‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫لوقي بحاص اذه باتكلا قباّسلا ىلإ ‪،‬ةليضفلا يذلا اندافأ ‪:‬هلمع‬ ‫>‪ ىلع طخ ‪.‬ميقتسم‬ ‫ّمُث مسقن يدومع ل ي ـم ك ماسقأب امك ‪،‬انئش امّلكو انرثكأ ماسقألا ناك قدأ ‪،‬لمعلل ّمُث زيجن ىلع‬

‫لك نيمسق نيلباقتم نم نيدومعلا ًاطخ ًايزاوم طخل ا ب عطقي يمسق ه و د و نم ةرئادلا ىلع‬ ‫ظ‪-٢-‬ا‬

‫ماسقأ ةيواستم ‪ /‬بسح ام وه يف ‪.‬لاثملا‬

‫انأو ‪:‬لوقأ ّنإ هذه طوطخلا ذإ مل نّيبي بحاص اذه لوقلا اذامل حلصت الو ناعتسا اهب يف‬

‫ءيش نم ‪،‬هلمع نإ عفنلا نأ عطقن يسقلا يتلا اهيمسن رطاسم عم هذه طوطخلا ‪،‬حلصتل الو لِخدُي‬ ‫يسقلا للز ‪ ،2‬نوكتو تامالع داعبأو نم تامالعلا يتلا عطقت ىلع طيحم ةرئادلا امك نّيبن ‪،‬كلذ‬

‫نإ ءاش ‪.‬هللا‬

‫‪ ‎1.‬م‪ :‬و ]ا[‬

‫‪: ‎2.‬للز كلذ ]ا[‬

712

III. OPTIQUE ET

F

K

J

N

B

M

D C

E

L

A

H

I

G

Il a dit : partageons ensuite la droite FC qui est le demi-diamètre en deux moitiés au point N, et la droite NF en deux moitiés au point S. Nous prenons ensuite la distance CF, qui est le demi-diamètre, par le compas. Nous posons l’une des branches du compas au point F et nous marquons par l’autre branche sur la circonférence du cercle, là où il le coupe, le point O ; tu mènes ensuite la droite OE ; EO est la moitié du sixième du cercle et, une fois coupé, il sera une lime d’un miroir tel que la distance de son embrasement sera de la grandeur de la longueur de la droite CP menée du point C au milieu de la droite EO 1. Cet arc est une lime, que, s’il est coupé, nous appelons règle ; et il touche 2 l’une des droites parallèles à la droite LM, qui a été obtenue par le partage au début, ainsi que les arcs. Nous construisons ensuite une lime 3 suivant sa circularité et de sa grandeur tu limes la face d’un miroir dont la surface est rectifiée suivant une droite ; l’embrasement de ce miroir sera à la distance de la droite CP, comme nous l’avons montré, si Dieu le veut.

ASTRONOMIE

‎1. On compte habituellement une distance d’embrasement à partir du miroir qui embrase. Que le point P soit le milieu du segment EO ou de l’arc EO, l’embrasement provoqué par le miroir sphérique engendré à l’aide de l’arc EO pris comme gabarit ne peut pas se produire à la distance CP. ‎2. Peut-être faut-il comprendre ici que l’extrémité O de l’arc est sur une des parallèles à EM tracées au début ? ‎3. La lime est constituée par le segment limité par l’arc et la corde.

‫‪713‬‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫‪F‬‬

‫‪J‬‬

‫‪K‬‬

‫‪N‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪L‬‬

‫‪E‬‬

‫‪B M‬‬

‫‪C‬‬

‫‪H‬‬

‫‪I‬‬

‫‪G‬‬

‫‪:‬لاق ّمُث مّسقُن طخ و ـج يذلا وه فصن رطقلا نيفصنب ىلع ةطقن ن‪ ،‬مّسقُنو طخ ن و‬

‫نيفصنب ىلع ةطقن س‪ّ ،‬مُث ذخأن دعب ـج و يذلا وه فصن رطقلا ‪،‬راودملاب عضنو دحأ هيفرط‬

‫يف ةطقن و‪ ،‬مّلعتنو فرطلاب رخآلا ىلع طيحم ةرئادلا ثيح اهعطق ةمالع ع‪ّ ،‬مث جرخن طخ ع ـه‬ ‫سوقو< ع ـه> وهو فصن سدس ‪،‬ةرئادلا يهو دربم اذإ تعطق ةآرمل نوكي رادقم ]نوكي[‬

‫اهقارحإ ردقب لوط طخ ـج ف جراخلا نم ةطقن ـج ىلإ فصتنم طخ ـه ع‪ .‬هذهو يسقلا يتلا‬ ‫يه دربم اهيمسن ةرطسم اذإ ‪،‬تعطُق يهو ةسامم دحأل طوطخلا ةيزاوملا طخل ل ـم‪ ،‬يذلا ناك‬ ‫مسق يسقلاو اهب ‪.‬ايدب مُث لمعت ًادربم ىلع اهترادتسا ‪،‬اهرادقمب دربتو اهب هجو ةآرملا حّحصملا اهحطس‬

‫ىلع طخ ‪،‬ميقتسم نوكيف قارحإ كلت ةآرملا رادقمب طخ ـج ف‪ ،‬ىلع ام انّيب نإ ءاش ‪.‬هللا‬

714

III. OPTIQUE ET

F

R

S

TU Q

O

N

B

M W

P

D

C

L

A

V

I′

I

Z

De même, si nous posons le compas au point F, si nous l’ouvrons de la distance FN, si nous marquons avec cette distance sur la circonférence du cercle le point U et si nous menons ensuite la droite | UO, alors l’arc UO sera une règle et une lime pour un miroir dont la distance d’embrasement est la droite CQ 1 menée du point C jusqu’au milieu de la droite OU. De même, si nous prenons la distance FS, si nous marquons par cette distance sur la circonférence du cercle le point R et si nous menons la droite RU, alors l’arc RU sera une lime et une règle dont la distance d’embrasement est d’une

‎1. Voir note 1, p. 712.

ASTRONOMIE

A3 r

E

‫‪715‬‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫‪TU‬‬ ‫‪O‬‬

‫ر‬

‫‪F‬‬ ‫‪S‬‬

‫‪Q‬‬

‫‪N‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪L‬‬

‫‪E‬‬

‫‪P‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫ث‬ ‫ذ‬

‫خ‬

‫‪M‬‬

‫‪B‬‬

‫‪I′‬‬

‫‪I‬‬

‫كلذكو نإ انعضو راودملا يف ةطقن و‪ ،‬هانحتفو دعبب و ن‪ ،‬انملعتو كلذب دعبلا ىلع طيحم‬

‫و‪-٣-‬ا‬

‫ةرئادلا ةمالع ص‪ّ ،‬مث انجرخأ طخ ‪ /‬ص ع ناك< سوق ص ع> ةرطسم ًادربمو ةآرمل دعُب‬

‫اهقارحإ ـج ق‪ ،‬جراخلا نم ةطقن ـج ىلإ فصتنم طخ ع ص‪.‬‬

‫كلذكو نإ انذخأ دعُب ف س انملعتو هب ىلع طيحم ةرئادلا ةمالع ر انجرخأو طخ ر ص‪،‬‬

716

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

grandeur égale à la droite CT, menée du centre jusqu’au milieu de l’arc RU 1. La distance d’embrasement des trois miroirs est une même distance ; mais le diamètre des un est plus grand que celui des autres ; celui qui a le plus grand diamètre a le plus grand contour, celui qui a le plus grand contour a plus de rayons, celui qui a plus de rayons reçoit plus et celui qui reçoit plus embrase plus vite, si Dieu le veut. Si tu veux agrandir le miroir pour que l’arc de l’un de ses quarts soit la règle d’un grand miroir, prends alors l’arc du quart, qui est l’arc FD, prends-le comme lime et à l’aide de celle-ci façonne un grand miroir. Si tu veux un miroir encore plus grand que celui-ci, partage la droite CI en deux moitiés au point V, prends par le compas la distance FV et marque par celui-ci, comme on l’a marqué, le point W sur la circonférence du cercle. Pose ensuite la pointe du compas au point W et marque par l’autre pointe, là où il coupe le cercle, le point Z. Mène ensuite la droite ZW ; l’arc ZW est alors une lime d’un miroir dont le diamètre est trois quarts du diamètre du cercle et dont la distance d’embrasement est plus petite que la distance d’embrasement de ce qui précède d’une distance égale à la droite CI ′ menée du centre

‎1. Ici, l’auteur prend T milieu de l’arc UR. Pour que les distances d’embrasement soient les mêmes dans les trois cas, il faudrait que les points P et Q soient respectivement les milieux des arcs EO et OR. La distance commune est alors le rayon du cercle. Le résultat énoncé est faux, l’embrasement produit par un miroir sphérique ne se fait pas au centre de la sphère. D’où peut provenir une telle erreur ? Remarquons que, si le segment EO représente un miroir plan, le rayon NO parallèle à CE tombant en O sur ce miroir est réfléchi vers C car la normale en O à EO est parallèle à CP. Mais un rayon tombant en un point quelconque du segment OE n’est pas réfléchi vers C F U Q

O N P

C

E

‫‪717‬‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫ناك سوق ر ص ًادربم ةرطسمو دعب اهقارحإ رادقمب ج ت جراخلا نم زكرملا ىلإ فصتنم سوق‬ ‫ر ص ‪.1‬‬

‫ايارملاف ‪ 2‬ثالثلا دعُب ‪ّ 3‬نهقارحإ ًادعب ‪ً،‬ادحاو راطقأو اهضعب مظعأ نم ‪،‬ضعب اهمظعأو ًارطق‬

‫اهرثكأ ‪،‬ةطاحإ اهرثكأو ةطاحإ اهرثكأ ‪ً،‬اعاعش اهرثكأو ًاعاعش اهرثكأ ًالوبق‪ ،4‬اهرثكأو ًالوبق‬

‫اهعرسأ ‪ً،‬اقارحإ نإ ءاش ‪.‬هللا‬

‫نإف تدرأ نأ ديزت يف ربك ةآرملا نوكيل سوق عبر نم اهعابرأ ةرطسم ةآرمل ‪،‬ةميظع ذخف‬

‫سوق عبرلا يذلا وه سوق ف د ‪ 5‬اهذختاف ًادربم لمعاو هب يف ةآرم ‪.‬ةميظع نإو تدرأ مظعأ‬ ‫اهنم ‪ً،‬اضيأ مسقاف طخ ـج ط نيفصنب ىلع ةطقن ث‪ ،‬ذخو دعُب و ث ‪،‬راودملاب ملعتو هب امك انملعت‬

‫ىلع طيحم ةرئادلا ةمالع ـخ‪ّ ،‬مث عض فرط راودملا يف ةمالع ـخ‪ ،‬ملعتو فرطلاب رخآلا ثيح‬ ‫عطق نم ةرئادلا ةمالع ذ‪ّ ،‬مث جرخا طخ ذ ـخ نوكيف >سوق< ذ ـخ ًادربم ةآرمل اهرطق ةثالث‬ ‫عابرأ رطق ‪،‬ةرئادلا دعُبو اهقارحإ ّلقأ نم قارحإ ام مّدقت لثمب دعب طخ ـج ظ جراخلا نم زكرملا ىلإ‬

‫‪ ‎1.‬صر‪ :‬دو ]ا[‬ ‫‪ ‎5.‬ف د‪ :‬و د ]ا[‬

‫‪: ‎2.‬ايارملاف ايارملاب ]ا[‬

‫‪: ‎3.‬دعُب دعَب ]ا[‬

‫‪ ‎4.‬اهرثكأو ‪ً:‬الوبق ةرركم ]ا[‬

718

A3 v

A4 r

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

du cercle au milieu de la droite ZW. Ceci est une proposition générale à partir de laquelle on peut déterminer les limes des miroirs | de grandeurs différentes, comme il a été montré, si Dieu le veut, et le plus grand embrase plus vite. Je poursuis ce qui précède par une proposition qui m’est propre pour montrer la construction des miroirs ardents : je dis que, si le demi-diamètre est une distance quelconque et si on prend sur le cercle des arcs quelconques, donnés ou non donnés, après avoir mené du centre aux deux extrémités de l’arc deux droites qui le limitent ; si ensuite on joint les deux extrémités de l’arc par une droite qui tient lieu de corde et si on mène du centre au milieu de celle-ci une droite, alors cette droite sera la distance d’embrasement du miroir, comme dans l’exemple du cercle ABCD dont l’arc est CD et les deux droites EC et ED ; ce qui les joint est la droite CD et la droite menée du milieu de la droite CD au centre est la droite EF 1, qui est la distance d’embrasement du miroir dont la lime est l’arc CD, si Dieu le veut. Ceux qui traitent de cet art s’accordent tous sur cette assertion. Mais certains mentionnent également un tel arc, sans aucune hypothèse à son propos, qu’il soit petit | ou grand, si ce n’est que le quart

‎1. Si G est le milieu de l’arc CD, aucun rayon tombant sur le miroir ne sera réfléchi vers un point H de la droite AF tel que GH = FE

C

F

G

H

E

D

B

Cette figure est dans le manuscrit.

A

‫‪719‬‬ ‫ظ‪-٣-‬ا‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫فصتنم طخ ذ ـخ؛ اذهو لكش عماج جرخي هنم درابَم ايارمل ‪ /‬ةفلتخم رادقألا ىلع ام تنَّيَب نإ‬ ‫ءاش ‪،‬هللا ىربكلاو عرسأ ‪ً.‬اقارحإ‬

‫عبتاو ام مّدقت نم لكشلا الوق ّيل ‪ 1‬يف نايبت لمع ايارملا ‪.‬ةقرحملا‬

‫‪:‬لوقأ اذإ ناك فصن رطقلا ًادعُب ‪،‬ام ذخأو نم سوق ةرئادلا يأ يسق تناك ةضورفم‬

‫وأ ريغ ‪،‬ةضورفم دعب نأ جرخت نم زكرملا ىلإ يفرط سوقلا نيطخ ‪،‬اهنازيحي ّمث لصو نيب يفرط‬

‫سوقلا طخب موقي ماقم ‪،‬رتولا جرخأو نم زكرملا ىلإ هفصتنم طخ ‪ ،2‬ناك اذه طخلا دعُب قارحإ‬

‫ةآرملا بسح ام يف لاثملا نم ةرئاد ا ب ـج د سوقلاو اهنم ـج د ناطخلاو اطخ ـه ـج و ـه د‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫لصولاو امهنيب طخ ‪ 5‬ـج د طخلاو جراخلا نم فصتنم طخ ـج د ىلإ زكرملا طخ ـه و وهو دعُب‬ ‫قارحإ ةآرملا يتلا نوكي سوق ـج د ‪،‬اهدربم نإ ءاش ‪.‬هللا‬

‫و‪-٤-‬ا‬

‫اذه لوق أطاوت ‪ 6‬هيلع لهأ ‪،‬ةعانصلا ركذيو مهضعب سوقلا ًاضيأ الب ‪،‬ضرف ترغص ‪ /‬مأ‬

‫‪ّ: ‎1.‬يل يأ دراطعل‬

‫‪: ‎5.‬طخ ةسومطم ]ا[‬

‫‪: ‎2.‬طخ ًاطخ]ا[‬

‫‪: ‎6.‬أطاوت اؤطاوت ]ا[‬

‫‪: ‎3.‬قارحإ قارقا ]ا[‬

‫‪ ‎4.‬ـه ـج و ـه د‪ :‬ةسومطم ]ا[‬

720

A4 v

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

du diamètre est la distance de l’embrasement, ce qu’ils n’ont pas vérifié 1. Quant au miroir qui embrase à toute distance et à l’infini — s’il n’est pas supposé à partir d’un cercle — c’est celui dont la face est aplanie par la règle AB, qui est en vérité une ligne plane et également rectifiée. La règle AB adhère à toute la surface du miroir qui est le miroir CD et, quelle que soit la manière selon laquelle on tourne la règle sur le miroir, elle reste véritablement 2 en contact avec lui. Tout rayon réfléchi de ce miroir, lorsque le rayon du soleil tombe sur lui, est réfléchi suivant une forme circulaire selon la circularité de la surface du miroir CD, également, sans ajout ni diminution, et s’éloigne sans fin jusqu’à ce qu’il rencontre un corps opaque sur lequel le rayon sera donc vu circulaire, de la même grandeur que la circularité du miroir 3. Quand on construit de nombreux miroirs de cette forme et selon le liminaire que nous avons introduit, et si ces miroirs sont tenus par des hommes qui projettent leur lumière sur un corps quelconque à une distance quelconque, il se produit un embrasement rapide dans ce corps, si Dieu très Haut le veut. Son affirmation, une distance d’éloignement infinie, n’est pas qu’on cherche que le miroir embrase à la distance d’un parasange 4, ou une distance proche, ou d’un mille ou d’une distance proche, ceci est une exagération de celui qui aspire à cela |, mais il s’agit d’un embrasement à une distance d’une grandeur qui dépasse le diamètre d’un cercle avec le plus grand compas.

‎1. Si le miroir sphérique est de faible ouverture, la distance d’embrasement est bien le quart du diamètre pour des rayons parallèles à l’axe du A C

G

F

E

C

D

C

D

B

De ces trois figures, seule la seconde est dans le manuscrit. ‎2. Littéralement : selon la vérité de la déduction ; c’est-à-dire, selon la vérité du raisonnement. ‎3. On engendre le miroir CD en faisant pivoter la règle AB autour du point central. Le miroir est de forme circulaire. Le faisceau de rayons solaires tombant sur CD est alors cylindrique, et le faisceau réfléchi, cylindrique également, a pour base le cercle CD. ‎4. Ancienne unité de distance perse.

‫‪721‬‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫‪،‬تربك الإ هّنأ نأ عبر رطقلا وه دعُب ‪،‬قارحإلا كلذو ام مل هقحي ‪.1‬‬

‫اّمأف ةآرملا ةقرحملا نم ّلك دعُب ىلإو ريغ ‪،‬ةياهن اذإ تسيل ةضورفم نم ‪،‬ةرئاد يهف يتلا حطست‬

‫اههجو ىلع ةرطسم ا ب ةيوتسملا طخلا ةقيقحلاب ةححصملا كلذك ‪ .2‬نوكتو ةرطسم ا ب ةمزال‬ ‫عيمجل حطس ‪،‬ةآرملا يهو ةآرم ـج د فيك تريدُأ ةرطسملا اهيلع تناك ةقصال اهب ىلع ةقيقح‬

‫‪،‬سايقلا ّنإف عاعش هذه ةآرملا عجارلا اهنم دنع عوقو >عاعش< سمشلا اهيلع وهف عجري ًاريدتسم‬

‫ىلع ةرادتسا حطس ةآرم ـج د ءاوس الب ةدايز الو ناصقن بهاذ الب ةياغ ىلإ نأ هكطصي مسج‬ ‫فيثك ىريف عاعشلا هيلع ًاريدتسم ردقب ةرادتسا ‪.‬ةآرملا ىتمو لمُع ايارم ةريثك ىلع هذه ةئيهلا‬ ‫ةمدقملاو يتلا ‪،‬انمّدق اهكسمأو لاجر نوقلي اهرون ىلع مسج ام ّيأب دعُب ‪،‬ناك ثدح كلذل اقارحإ‬ ‫ًاعيرسيف كلذ ‪،‬مسجلا نإ ءاش هللا ‪.‬ىلاعت‬

‫سيلو هلوق دعُب الب ةياهن يف ‪،‬دعُبلا وه نأ بلاطي نأ قرحت ةآرملا نم خسرف وأ ام ‪،‬هبراق وأ‬

‫ظ‪-٤-‬ا‬

‫ليم امو ‪،‬هلكاش اذه يدعت نمم موسي ‪،‬كلذ ‪ /‬هنكل قارحإ ديعب نم رادقم زواجتي رطق ةرئاد نم‬ ‫مظعأ ‪.‬راودم‬

‫‪: ‎1.‬هقحي هصخي ]ا[‬

‫‪: ‎2.‬كلذك كلذل ]ا[‬

722

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

L’auteur a dit que ce miroir fait voir la vérité de la chose, sans ajout ni diminution, s’il est vérifié selon les conditions de rectitude de la droite , si Dieu le veut 1.

A5 r

 Comment dresser deux miroirs tels qu’on voie dans l’un une personne de face et de dos (fig. 4). Tu traces une droite de longueur quatre coudées ou plus sur laquelle on a AB, et tu coupes de celle-ci une portion égale au quart de la largeur du miroir 2, soit la droite AC ; tu partages la droite CB en deux moitiés au point D, tu mènes du point D une droite suivant un angle droit, égale à la moitié de la largeur du miroir, soit la droite DG. Du point B, nous menons une droite suivant un angle droit, égale à la moitié de la largeur du miroir, soit la droite BI. Joins le point I au point G, prolonge la droite indéfiniment et mène du point C une droite suivant un angle droit, qui la rencontre au point E ; fais du point E un centre et trace une portion de cercle avec une distance à volonté ; soit l’arc JK ; partage-le en deux moitiés au point L et joins le point L au point E ; mène de part et d’autre de LE à partir du point E deux droites suivant un angle droit — l’une est adjacente à l’autre |et sur son prolongement — et telles que la longueur de chacune dans les deux directions soit égale à la moitié de la largeur du miroir ; ce sont les deux droites EN et EM, elles seront une seule droite qui est la droite MN. Menons du point B une droite qui est adjacente à la droite BI et qui lui est égale, soit la droite BH. Si nous faisons cela selon la vérité de ce que nous avons décrit, alors nous dressons l’un des miroirs suivant la droite MN ; la droite MN le coupe en deux moitiés. Nous dressons l’autre miroir suivant la droite IH ; la droite IH le coupe en deux moitiés. La position de l’œil tient lieu de la personne qui est en D. C’est alors qu’on aura ce que nous avons dit, c’est-à-dire qu’on voit dans le miroir MN la personne de face et de dos 3.  Dresser un miroir dans lequel l’observateur voit une image autre que la sienne (fig. 3). Prends un miroir à face parfaitement plane et dresse le miroir selon ce que je décris. Que la droite AB soit un mur perpendiculaire au plan BC ; menons la droite BD, inclinée sur la droite AB suivant le tiers d’un angle droit, sur laquelle on colle le dos du miroir ; menons ensuite la droite DE ‎1. C’est le miroir CD qui, corrigé suivant la rectitude de la règle, embrase au loin et fait voir la forme selon sa vérité. ‎2. Le miroir est supposé carré, comme on le voit plus loin. Sa largeur l est donc le côté du carré. ‎3. Le copiste a écrit vis-à-vis de cette figure ce qu’il a copié d’une autre version : « et les deux miroirs seront de grandeur égale et carrés ».

‫‪723‬‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫لاقو ‪:‬اهبحاص ّنإ هذه ةآرملا يرُت ةقيقح ءيشلا الب ةدايز الو ‪،‬ناصقن اذإ تمكح ىلع‬

‫طئارش ءاوتسالا نم ‪،‬طخلا نإ ءاش هللا زع ‪ّ.‬لجو‬

‫>‪ رثكأ هيلع ا ب‪ ،‬عطقنو هنم ةعطق لثم عبر كمس ‪،‬ةآرملا‬

‫وهو طخ ا ـج‪ ،‬مسقتو طخ ـج ب نيفصنب ىلع ةطقن د‪ ،‬جرختو نم ةطقن د ًاطخىلع ةيواز ةمئاق‬ ‫لثم فصن كمس ةآرملا وهو طخ د ز‪ ،‬جرختو نم ةطقن ب ًاطخىلع اياوز ةمئاق لثم فصن كمس‬ ‫ةآرملا وهو طخ ب ط ‪ ،1‬لصتو ةطقن ط ةطقنب ز‪ ،‬هّدمتو ىلع ةماقتسا الب ‪،‬ةياهن جرختو نم ةطقن‬

‫ـج ًاطخىلع ةيواز ةمئاق هاقلي دنع ةطقن ـه‪ ،‬رِّيَصُتو ةطقن ـه ًازكرم ريدتو ةعطق ةرئاد ّيأب دعُب ‪،‬انئش‬ ‫يهو سوق ي ك‪ ،‬اهمسقتو نيفصنب ىلع ةطقن ل‪ ،‬لصتو ةطقن ل ةطقنب هـ ‪ ،2‬جرختو ىلع يتبنج‬

‫و‪-٥-‬ا‬

‫ل هـ نم ةطقن ـه نيطخ ىلع ةيواز ‪،‬ةمئاق امهدحأ قصال رخآلاب ‪ / 3‬ىلع ‪،‬ةماقتسا نوكيو لوط‬ ‫امهالك يف نيتهجلا لثم >فصن< كمس ‪،‬ةآرملا امهو اطخ ـه ن ـه ـم‪ ،‬ناريصيف ًاطخ >ًادحاو‪ ،‬هيلع< مث ‪،‬جرخت ّمث جرخت طخ د ـه عم حطس رهظ‬

‫‪... ‎1.‬جرخنو طخ ب ط ‪]:‬ا[ اهبتك خسانلا يف شماهلا عم نايب اهعضوم‬

‫يف شماهلا عم نايب اهعضوم‬ ‫اهعضوم‬

‫‪: ‎3.‬رخآلاب ىرخألاب ]ا[‬

‫‪... ‎2.‬لصتو ه ‪]:‬ا[ اهبتك خسانلا‬

‫‪ ‎4.‬انبصنو ‪...‬ةآرملا نيفصنب ‪]:‬ا[ يف شماهلا عم نايب‬

‫‪ ‎5.‬بتك خسانلا ءازإب لكشلا ام هلقن نم ةخسن ‪:‬ىرخأ نوكي" ردق نيتآرملا ‪،‬يواستم وأ نانوكي ‪.‬نيعبرم‬

‫هللاو ملعأ "باوصلاب‬

‫‪: ‎6.‬الئام لئام ]ا[‬

‫‪ ‎7.‬ا ب‪ :‬هيا ]ا[‬

724 A5 v

A6 r

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

faisant avec le dos du miroir une seule droite ; l’angle ABD est donc | le tiers d’un droit. Menons ensuite du point E, de la droite EDB qui est sur la surface du dos du miroir, une droite qui fait un angle droit au point E, soit la droite EC. L’angle BEC est donc droit au point E et le point C est la position de l’œil. Menons du point D une droite jusqu’au point C et menons également du point D une droite qui tombe sur le plan BC telle que l’angle GDC soit égal à l’angle ECD ; menons du point G la perpendiculaire à la droite BC et menons la droite JI parallèle à la droite DB qui est le miroir et telle que la grandeur de GJ soit égale à DB ; la droite JI est une planche perpendiculaire, comme nous l’avons décrit. Nous formons sur la droite IJ, qui est une planche, une image à volonté, que nous cachons par rapport à la position C en même temps que la droite entière. Si nous regardons à partir de la position C, nous voyons dans le miroir seulement l’image ; on ne voit aucune autre personne : ce que nous voulions construire. Il convient pour ce miroir que la hauteur de la droite BD par rapport au sol, qui est la surface BC, soit d’une coudée et demie pour que l’observateur puisse , car s’il était plus bas que cela il empêcherait la vision. C’est d’après la hauteur et l’extension de la droite BD que l’on fait la droite GJ pour achever la construction, si Dieu le veut .  Un autre miroir Construire un miroir dans lequel la personne voit ses membres vis-à-vis de ses membres, le droit vis-à-vis du droit et le gauche visà-vis du gauche. Ceci est différent de ce que tu vois dans nos miroirs, car l’observateur, dans ceux-ci, voit sa droite vis-à-vis de sa gauche, et ces miroirs ne sont pas ainsi. Ce miroir est carré 1, si tu regardes dans sa largeur aussi, il inverse l’image d’une manière surprenante (fig. 8, 9, 10, 11, 12, 13) 2. Si nous voulons cela, nous traçons un cercle de grandeur à volonté dans une plaque ou une planche et nous prenons sur le cercle deux arcs, un arc du sixième que nous prenons comme règle, et qui est l’arc AB ; nous prenons ensuite sur ce cercle l’arc d’un cinquième, que nous prenons comme règle, et qui est l’arc BC. Et, en même temps, nous avons les règles — comme nous l’avons dit précédemment — qui sont les limes. Nous prenons ensuite une portion carrée d’acier sans mélange, bon et pur, telle que sa longueur soit égale à la corde de l’arc d’un cinquième et sa largeur égale à la corde de l’arc d’un sixième ; ces cordes sont les dimensions du miroir. Tu poses ensuite l’arc ‎1. Il veut dire rectangulaire. ‎2. Dans le manuscrit, on a la figure 8 pour l’arc d’un sixième et l’arc d’un cinquième.

‫‪725‬‬ ‫ظ‪-٥-‬ا‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫ةآرملا َاطخ ‪ً،‬ادحاو نوكيف كلذل ةيواز ‪ /‬ا ب د ثلث ‪.‬ةمئاق ّمث جرخت نم طخ ـه د ب‪ ،‬يذلا‬ ‫>وه< عم حطس رهظ ‪،‬ةآرملا نم ةطقن ـه ًاطخ ‪>،‬اًدحاو< وهو طخ ـه ـج ىلع اياوز ةمئاق نم‬ ‫ةطقن ‪،‬ـه نوكتو ةيواز ب ـه ـج ةمئاق ‪ ،1‬ةطقنو ـج عضوم ‪،‬رظنلا جرختو نم ةطقن د ًاطخ ىلإ‬ ‫ةطقن ـج‪ ،‬جرختو ًاضيأ نم ةطقن د ًاطخ عقي ىلع حطس ب ـج نوكت ةيواز ز د ـج لثم ةيواز‬

‫ـه ـج د‪ .‬جرختو نم ةطقن ز ًادومع ىلع طخ ب ـج‪ ،‬جرختو طخ ي ط ًايزاوم طخل د ب‪،‬‬ ‫يذلا وه ‪،‬ةآرملا رادقمو ز ي لثم د ب‪ ،‬طخو ي ط وه حول مئاق ىلع ام ‪،‬انفصو رّوصنو يف‬

‫طخ ي ط‪ ،‬يذلا وه ‪،‬حوللا ّيأ ةروص ‪،‬اندرأ هرتسنو يف عضوم ـج طخلاو ‪.‬هلك‬ ‫‪.‬هلمع‬

‫اذإف انرظن نم عضوم ‪،‬ـج انيأر ةروصلا يف ةآرملا ‪،‬طقف ملو َرن ًاصخش‪،‬اهريغ كلذو ام اندرأ‬

‫قحو هذه ةآرملا نأ نوكي عافترا طخ ب د نع ‪،‬ضرألا يتلا يه حطس ب ـج‪ ،‬رادقمب‬

‫عارذ فصنو نكمتيل رظانلا نم< ةيؤر >حوللا اهنأل نإ تطحنا نع كلذ تعنم ‪.‬رظنلا ردقبو‬ ‫و‪-٦-‬ا‬

‫عافترا دادتماو طخ ب د نوكي طخ ز ي متيل ‪،‬لمعلا نإ ءاش هللا ‪.‬ىلاعت ‪/‬‬ ‫>‪ ‪ ‪ ىلع< طخ ‪،‬رادملا ّمث جرختست طوطخ‬

‫و‪-١٦-‬ا‬

‫تاعافترا ءزج سمشلا تسل جرد تس جرد ىلإ رخآ راهنلا يف ةرئادلا ‪ /‬ىلع بسح ام جرختسُي‬

‫يف ‪،‬رئاودلا امكو ترج هب ‪.‬ةداعلا‬

‫لبقو جارختسا تومسلا ‪،‬ةيقابلا يتلا دعب جردلا تسلا لَوُألا جرخاف ‪ً 2‬اطخ نم عضوملا‬

‫يذلا يقل هيف طخ تمسلا طخ ‪،‬رادملا ىلإ طسو زكرم ‪،‬عاعشلا يذلا هانددر ‪، 3‬ةآرملاب هنإف ثدحي‬

‫كلذل ةيواز يه يتلا يغبني نأ فرعت ‪.‬اهتيمك لمعنو رئاس اياوزلا اهلثم نم ثيح سامت رئاس‬

‫طوطخ تمسلا طخ ‪.‬رادملا اذإف انلصح كلت ‪،‬اياوزلا تواستو ‪،‬اهلك اهيلعف بصنت ايارملا يتلا درت‬

‫عاعشلا ىلإ ناكملا بولطملا كلذ هيف ةماع ‪،‬راهنلا عمو لك عافترا ‪،‬هتمسو نإ ءاش هللا ‪.‬ىلاعت‬

‫كلذكف لمعن طخب ‪،‬نيلادتعالا يذلا وه قرشملا ‪،‬برغملاو طخبو رادقم بلقنملا يوتشلا‬

‫نم جارخإ طوطخ تومس جرد عافترا سمشلا ىتح عطاقت طخ ‪،‬رادملا جارخإو طوطخلا نم‬

‫دنع اهعطاقت طخل رادملا ىلإ عضوم عاعشلا ‪،‬دودرملا ريصتو اياوزلا يتلا ثدحت نم كلذ ‪،‬تايواستم‬

‫بصنو ايارملا اهيلع متيل بولطملا نم كلذ امك ‪.‬انلق‬

‫ملعاو نأ اياوزلا نإ مل ىواستت يف ّدر عاعشلا ىلإ فقسلا ىلإو ‪،‬طئاحلا الف سأب ‪،‬كلذب الإ‬

‫نأ ديزت اياوزلا وأ صقنت ًاناصقن ؛ًاشحاف نإف كلت ةدايزلا وأ ناصقنلا ريسيلا رودي هب عاعشلا امإ‬

‫ظ‪-١٦-‬ا‬

‫يف فقسلا وأ ىلع طئاحلا رادقمب ريسي نع عضوم عاعشلا لوألا امنإو كلذ طبضلا لوألا ‪ /‬درل‬

‫عاعشلا ىلإ زكرم ةآرملا ةقلعملا ‪.‬طقف امنإو ُتنَّيب اذه حصيل يأر سديمشرأ نم هقارحإ بكارم‬ ‫ودعلا درب عاعشلا نم ايارم ةريثك ىلإ ةآرم ؛ةدحاو نمو نسحأ ريداقم ةرئادلا نأ نوكي اهرطق‬ ‫ةثالث عرذأ ىلإ ‪،‬ةعبرألا نوكتو ايارملا ةمظتنم ىلع اياوزلا نم برق قرشملا ىلإ برق برغملا ىلع‬

‫‪: 19 ‎1.‬اسامم سامم ]ا[‬

‫‪: ‎2.‬جرخأف ام جرخي ]ا[‬

‫‪: ‎3.‬هانددر يف شماهلا سفنب ملقلا ]ا[‬

736

A17 r

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

côté de l’Est au côté de l’Ouest, suivant les deux droites parallèles et sur la parallèle de l’équateur. Si sur les miroirs on construit un bâtiment, si on s’assure de leurs positions, si on connait les angles et si on construit pour ce bâtiment un couvercle qui protège les miroirs et ne les découvre qu’au moment où il en est besoin pour voir cela, ceci permet d’entretenir les miroirs et convient à leur maintien en état, sans qu’ils rouillent ni s’abîment, si Dieu le veut. Quand on peut disposer le couvercle pour qu’il s’enlève au moment où il en est besoin également, à mesure de l’arrivée de la lumière du soleil sur les miroirs par la voie qui lui correspond, sans ôter le reste des couvercles, ceci sera meilleur. Si on construit ce bâtiment et si on trace les angles par des marques qui ne disparaîtront pas avec le temps, et si on a un seul miroir qu’on peut déplacer d’un azimut 1 à l’autre et d’un angle à l’autre, il fera la même action ; cependant, dresser plusieurs miroirs est moins pénible et n’exige pas de gens pour en prendre soin. Ceci est suffisant pour réfléchir le rayon là où on le veut |, par les miroirs ardents dont les surfaces sont rectifiées. Thiasos déclare ceci à propos de la chambre obscure : Il dit comment faire une ouverture plus petite que la grandeur de quatre doigts pour éclairer une chambre de longueur et de largeur cinquante pieds. Ceci est possible par le procédé ingénieux précédent, si nous imaginons en haut de la chambre ou sur son côté une ouverture et plusieurs miroirs qui l’entourent et d’une certaine grandeur, afin que l’ouverture reçoive le rayon et que tous les miroirs réfléchissent ensemble le rayon vers l’ouverture que j’ai décrite, étant donné que ces miroirs sont dans des endroits différents pour qu’ils reçoivent le rayon selon les différentes positions du soleil, et réfléchissent tout le rayon qu’ils ont reçu vers l’ouverture, afin que le rayon soit dans des endroits différents de la chambre pour l’éclairer. Ceci est le dernier exemple de Thiasos, ce qui suit est recueilli à partir des livres d’Archimède le philosophe, entre autres.

A17 v

Chapitre. Si tu veux prendre un miroir qui embrase à la distance que tu veux, prends un compas tel que, si tu l’ouvres pour tracer avec lui un cercle, tu auras comme demi-diamètre | la grandeur de la distance à laquelle tu veux que le miroir embrase. Si tu veux prendre un miroir qui embrase à la distance de vingt coudées, prends donc un compas, et si tu traces avec son aide, tu auras comme demi-diamètre vingt coudées, ou plus petit que cela ou plus grand

‎1. C’est-à-dire suivant la position du soleil.

‫‪737‬‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫طخ نيرادملا طخلاو يزاوملا لدعمل ‪،‬راهنلا اذإو ينب ىلع ايارملا ءانب قثوتساو نم اهنكامأ تفرُعو‬ ‫‪،‬اياوزلا ّمث لعج كلذل ءانبلا قبط نكي ايارملا الف فشكت الإ يف تقو ةجاحلا ىلإ ةيؤر ‪،‬كلذ‬

‫ناك نوصأ اهل ردجأو اهئاقبل ّنألو ال أدصت ‪،‬دسفتو نإ ءاش هللا ‪.‬ىلاعت‬

‫ىتمو أّيهت نأ لازُي قبطلا يف تقو ةجاحلا ًاضيأ رادقمب لوصو ءوض سمشلا ىلإ ايارملا نم‬

‫اهقيرط نود فشك رئاس قبطلا ناك ‪.‬دوجأ اذإو ينب اذه ‪،‬ءانبلا تمسرو اياوزلا ملاعمب ال اهسردت‬

‫نم ‪،‬مايألا ّمث تناك ةآرم ةدحاو لقنت عم لك ‪،‬تمس ىلعو لك ةيواز تلعف كلذ ‪،‬لعفلا الإ‬

‫ّنأ بصن ايارم ةريثك ّفخأ ةنؤملل الو جاتحي ىلإ نم ‪.‬اهمدخي هذهو ةلمج ةيفاك يف ّدر عاعشلا ىلإ‬

‫و‪-١٧-‬ا‬

‫ثيح بلط ‪ /‬ايارملاب ةقرحملا ةححصملا ‪.‬هوجولا‬

‫سوسايثلو لوق يف تيبلا ‪.‬ملظملا ‪:‬لوقي فيك بقثي لقأ نم رادقم ةعبرأ عباصأ ءيضيل هب‬

‫تيب هلوط هضرعو نيسمخ ‪ً.‬امدق‬

‫هذهبو ةليحلا يتلا تمدقت اهنيعب نكمي نأ نوكي كلذ نإ انمهوت ّنأ يف ىلعأ تيبلا وأ يف هبناج‬

‫ًابقث ايارمو ةريثك ةطيحم هب نم مظعلا ام يه اميك نوكي بقثلا يذلا لبقي عاعشلا نوكتو لك‬

‫ايارملا درت عاعشلا ًاعمىلإ بقثلا يذلا تفصو دعب نأ نوكت ايارملا ةفلتخم نكامألا لبقتل عاعشلا‬

‫نم بلقتت ‪،‬سمشلا درتو عيمج ام هتلبق نم عاعشلا ىلإ بقثلا نوكيل كلذ يف نكامأ يف تيبلا‬

‫ةفلتخم ءيضيل اهب ‪.‬تيبل‬

‫اذهو لاثملا رخآ ام ‪،‬سوسايثل امو اهدعب عومجمف نم بتك سديمشرأ فوسليفلا ‪.‬هريغو‬ ‫‪:‬باب اذإ تدرأ نأ ذختت ةآرم ةقرحم نم ّيأ دعُب ‪.‬تدرأ ذختاف ًاراودم اذإ تنأ هتجرف‬

‫ظ‪-١٧-‬ا‬

‫تردأو ‪،‬هب ناك فصن رطق ةرئاد ‪ /‬رادقم دعبلا يذلا ديرت نأ نوكي قرح ةآرملا ‪.‬هنم نإف‬ ‫تدرأ نأ ذختت ةآرم قرحت ىلع دعب نيرشع ‪ً،‬اعارذ ذختاف ًاراودم اذإ تنأ تردأ هب ناك فصن‬ ‫‪1‬‬

‫رطق ةرئادلا نيرشع ًاعارذ وأ لقأ نم كلذ وأ رثكأ ىلع بسح ام ‪.‬ديرت ّمث ذختا ةرطسم نوكي‬

‫‪: ‎1.‬تردأ تدرأ ]ا[‬

738

A18 r

A18 v

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

que cela, selon ce que tu veux. Prends ensuite une règle dont la longueur est égale au diamètre du miroir que tu veux façonner ; colle la parfaitement sur une planche et puis écarte le compas d’une grandeur de vingt coudées, si tu veux que le miroir embrase à vingt coudées ; pose ensuite l’une de ses pointes sur un endroit quelconque tel que, si par lui tu traces un cercle, l’autre pointe, en tournant, sépare de la règle que tu as collée sur la planche une portion quelconque. Prends cette portion comme règle pour la construction, après avoir limé de la règle ce qui dépasse du cercle. Prends ensuite suivant cette grandeur une lime, si cela est préparé, et laisse pour la règle un pivot dans son milieu ; monte ce pivot au centre du miroir et façonne à l’aide de la lime la surface du miroir d’une manière régulière suivant la surface de la règle, c’est-à-dire en ligne droite et suivant la circularité de la portion. Quand tu achèves de limer, polis le miroir une fois que cette circularité est parfaite. Plus le limage du miroir est bien lisse et moins concave, plus son embrasement sera éloigné. Je présente cela comme exemple |, saisis-le. Si on s’est préparé pour façonner la règle comme une lime par laquelle on lime le miroir, et de la manière de limer que nous avons mentionnée, elle sera plus parfaite pour la construction, si Dieu le veut. Voici l’exemple. Chapitre. Si tu veux prendre une règle pour un miroir ardent, soit une règle égale au rectangle ABCD telle que sa longueur soit égale au demi-diamètre du miroir que tu veux préparer. Si tu veux embraser à une distance de cinq fois son diamètre, alors partage la longueur 1 de la règle en dix parties égales ; que l’une des parties soit MD, mènela de l’autre côté en suivant MG qui est parallèle à la droite DC et telle que les droites MG et DC soient perpendiculaires aux droites BC et AD. Que la largeur de la règle, qui est la droite DC, soit un peu plus grande que DM, qui est la dernière partie, car, plus elle est ainsi et plus elle est large, mieux elle convient à la construction et mieux elle se prête à l’artisan. Pose ensuite le compas dans la position du point A, écarte-le de l’ouverture AD et fais-le tourner de la position D jusqu’à ce qu’il parvienne à la droite BC ; on aura alors la forme de l’arc DH. Partage ensuite la droite MD en deux moitiés au point S. Pose ensuite le compas dans la position du point D, écarte-le de la distance DS et trace à partir du centre D et avec la distance SD une portion de cercle, comme la forme de l’arc SU. Marque ensuite | à la rencontre de l’arc SU et de la ligne DH le point J ; mène ensuite du point D au point J une droite, que tu prolonges jusqu’à la droite BC ;

‎1. Littéralement : le diamètre.

‫‪739‬‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫اهلوط لثم رطق ةآرملا يتلا ديرت نأ ‪،‬اهطرخت ّمث اهقصلا ىلع حول ًاقاصلإ‪ً،‬اغيلب ّمث جرفا راكربلا رادقم‬

‫نيرشع ًاعارذنإ تدرأ نأ نوكت ةآرملا قرحت ىلع نيرشع ‪ً،‬اعارذ ّمث عض دحأ هيفرط ىلع عضوم‬

‫ام اذإ تنأ ‪ 1‬تردأ ‪ 2‬هب ةرئاد عطق فرطلا رخآلا هرودب نم ةرطسملا يتلا اهتقصلأ ىلع حوللا ًاعطق‬ ‫ام ّيأ عطق ‪،‬ناك ّمث ذختا كلت ةعطقلا ةرطسم لمعلل دعب نأ دربت نم ةرطسملا ام لضف نع‬

‫‪،‬ةرئادلا ّمث ذختا ىلع كلذ ردقلا اًدربم نإ ‪،‬أّيهت كرتاو ةرطسملل ًاجناوريف اهطسو ‪ ،3‬مث بكر اذه‬

‫جناورلا يف زكرم ‪،‬ةآرملا طرخاو هب هجو ةآرملا ًاطرخ ًايوتسم ىلع هجو ‪،‬ةرطسملا ينعأ ىلع ةماقتسا‬ ‫ةرادتساو عطقلا ‪.‬اهنم اذإف تغرف نم ‪،‬طرخلا ولجاف ةآرملا دعب نأ حصت ىلع كلت ‪.‬ةرادتسالا‬

‫املكو ناك طرخ ةآرملا دشأ ةسولم لقأو ‪ً،‬اريعقت ناك دعبأ ‪.‬اهقرحل دقو تروص كلذل ‪ً،‬الثم‬

‫همهفاف ‪.‬هنم‬

‫نإو أيهت نأ لمعن ةرطسملا ًادربم هب دربت ‪،‬ةآرملا وهو طرخلا يذلا ‪، 4‬انركذ ناك كلذ غلبأ يف‬

‫لمعلا نإ ءاش هللا ‪.‬ىلاعت‬ ‫و‪-١٨-‬ا‬

‫اذهو لاثملا ‪/‬‬

‫‪:‬باب اذإ تدرأ نأ ذختت ةرطسم ةآرمل ‪.‬ةقرحم‬

‫نكتلف ةرطسملا لثم عبرم ا ب ـج د‪ ،‬نوكيو اهلوط لثم >فصن< رطق ةآرملا يتلا تدرأ‬

‫‪.‬اهذاختا نإف تدرأ نأ قرحت ةآرملا ىلع دعُب ةسمخ فاعضأ ‪،‬اهرطق مسقاف اهرطق ]ةرطسملا[ ةرشعب‬ ‫ماسقأ ؛ةيواستم نوكيف دحأ ماسقألا ـم د‪ ،‬هجرخاو ىلإ قشلا رخآلا ةئيهك طخ ـم ز‪ ،‬وهو يزاوم‬

‫طخل د ـج‪ ،‬نوكيو اطخ ‪ 5‬ـم ز د ـج نيمئاق ىلع يطخ ‪ 6‬ب ـج ا د ىلع نيتيواز ‪.‬نيتمئاق نكيلو‬

‫ضرع ‪،‬ةرطسملا يذلا وه طخ د ـج رثكأ نم د ـم‪ ،‬يذلا وه رخآ ماسقألا ‪ً،‬اليلق هنأل املك ناك‬

‫كلذك نخثو ناك حلصأ لمعلل نكمأو ‪.‬لماعلل‬

‫ّمُث عض راودملا عضوم ةطقن ا هحتفاو ةعسب ا د رداو هب نم عضوم د ىلإ ام غلب نم طخ‬

‫ب ـج‪ ،‬نوكيف كلذ ةئيهك سوق د ـح‪ّ ،‬مث مسقا طخ ـم د نيفصنب ةئيهك ةطقن س‪ّ ،‬مث عض‬

‫راودملا يف عضوم ةطقن د هحتفاو دعبب د س رداو هب ىلع زكرم د دعببو س د ةعطق ةرئاد ةئيهك‬ ‫ظ‪-١٨-‬ا‬

‫سوق س ص‪ّ ،‬مث ملع ‪ /‬ىلع ىقتلم سوق س ص طخو د ـح ةمالع ي‪ّ ،‬مث جرخا نم د ىلإ‬

‫ي ًاطخ ًاميقتسم هذفنت ‪ 7‬ىلإ ّطخ ب ـج‪ ،‬وهو طخ د ط‪ّ ،‬مث دربا نم هذه ةرطسملا ام جرخ‬ ‫‪: ‎3.‬اهطسو هطسو ]ا[‬ ‫‪: ‎2.‬تردأ تدرأ ]ا[‬ ‫‪: ‎1.‬تنأ يف شماهلا ]ا[‬ ‫‪: ‎7.‬هذقنت هدعبب ]ا[‬ ‫‪: ‎6.‬يطخ طخ ]ا[‬ ‫‪: ‎5.‬اطخ طخ ]ا[‬ ‫طرخلا يتلا ]ا[‬

‫‪ ‎4.‬طرخلا ‪:‬يذلا‬

740

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

soit la droite DI. Lime ensuite de cette règle ce qui dépasse la droite DI, c’est-à-dire le triangle DCI. Fais ensuite sortir un pivot du point D sur le prolongement de DI ; soit le pivot DE ; monte ensuite ce pivot au centre du miroir, il se trouve alors avec la règle et la lime. Fais tourner la règle dans le miroir jusqu’à ce que la droite AD rencontre le creux du miroir et soit tangente à tout ce qu’elle a pris de sa surface. Si tu rends régulier le miroir suivant la droite AD, alors c’est le miroir que tu as voulu construire. Et d’une manière analogue procède pour tout miroir que tu veux et pour toute distance que tu veux, si Dieu très Haut le veut, ceci est la figure du miroir.

A19 r

Chapitre. Sur la fabrication du miroir qui embrase à une grande distance (fig. 27). Si tu veux cela, prends une planche régulière dont on a rectifié la surface en la ponçant ; prends ensuite une plaque de cuivre rouge dont l’épaisseur est la moitié du petit doigt, dont la largeur est trois doigts et dont la longueur est selon le diamètre du miroir que tu veux faire. Tu cloues solidement la plaque sur la planche, fermement, puis tu cloues la planche sur le sol, pour qu’elle ne s’en détache pas et ne bouge pas ; que | cela soit dans un endroit plan du sol. Tu considères ensuite à quelle distance en coudées tu veux embraser par le miroir. Mesure donc cette distance à partir du lieu de la plaque et de la planche au sol et plante dans le sol, là où cette distance a abouti, un piquet qui tient lieu de pivot et dans lequel il y a un clou — qui est enfoncé solidement et qui a une tête — et un anneau que la tête du clou empêche de sortir. Attache solidement à cet anneau un cordeau (ou une ficelle), solide et qui se tend fortement si on le tire, mais qui ne se relâche pas quand on le libère ; que cette ficelle soit l’une des plus solides que l’on fait et très solidement tressée ; attache ensuite à l’autre bout un stylet en acier, très aigu, et façonné pour que tu puisses le tenir dans ta main. Si tu maîtrises tout cela, prends ce stylet dans ta main, tire la ficelle et trace sur la plaque, par ce stylet, une portion d’arc de cercle telle que le demi-diamètre du cercle soit la longueur de la ficelle d’une grandeur en coudées ; et ceci est la grandeur de la distance de l’embrasement. Arrache ensuite la plaque de la planche et prends à l’aide d’une lime l’excédent de la ligne tracée par le stylet. Il se forme ainsi une règle, qui est une portion de cercle 1, comme je te l’avais montré ; si tu le rectifies par une lime, tu t’occupes d’un miroir tel que son diamètre excède de peu cette règle ;

‎1. Littéralement : une portion d’arc.

‫‪741‬‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫لضفو نع طخ د ط ‪ ،1‬وهو ةثلثم د ـج ط‪ّ ،‬مث جرخا ًاجناور نم ةطقن د ىلع ةماقتسا طخ‬ ‫د ط‪ ،‬وهو جناور د ـه؛ ّمث بكر اذه جناورلا يف زكرم ‪،‬ةآرملا يهو ذإ كاذ >عم< ةرطسملا ‪،‬دربملاو‬

‫ردأف ةرطسملا يف ةآرملا ىتح ىقلي طخ ا د نطب ةآرملا نوكيو ًاسامم لكل ام هذخأ نم ‪،‬اههجو‬ ‫اذإف تيوس ‪ 2‬ةآرملا ىلع طخ ا د‪ ،‬يهف ةآرملا يتلا تدرأ ‪،‬اهلمع ىلعو اذه سايقلا لمعاف ّيأل‬

‫ةآرم تببحأ ّيأل دعُب تدرأ نإ ءاش هللا ‪.‬ىلاعت هذهو ةروص ‪.‬ةرطسملا‬ ‫‪:‬باب يف ةعنص ةآرملا ةقرحملا دعبب ‪.‬ريبك‬

‫اذإ تدرأ كلذ ذختاف احول ًايوتسم ححصم هجولا ‪،‬درجلاب ّمث ذخ ةحيفص هْبِش يف ظلغ‬

‫فصن ضرع رصنخلا يفو ضرع ةثالث ‪،‬عباصأ نوكيو رادقم لوطلا بسح ام ديرت نأ لعجت‬ ‫رطق ‪،‬ةآرملا ّمث رمست ةحيفصلا ىلع حوللا ًارمس ‪ً،‬اقيثو ّمث رمست حوللا ىلع ضرألا ىلع قاثيتسا الئل‬

‫و‪-١٩-‬ا‬

‫لوزي الو ‪،‬كرحتي نكيلو ‪ /‬كلذ يف عضوم وتسم نم ‪،‬ضرألا ّمث رظنت يأب ٍدعُب ديرت نأ نوكي‬

‫قارحإ ةآرملا نم ‪،‬عارذ عرذاف نم عضوم ةحيفصلا حوللاو يف ضرألا ًاعارذ كلذب ‪،‬دعبلا ّمث‬ ‫ققدا ‪ 3‬يف ضرألا ثيح ىهتنا كلذ كب دعبلا ًارتو‪ 4‬موقي ماقم بطق هيف رامسم قيثو نكمم هل‬

‫‪،‬سأر يفو رامسملا ةقلح اهعنمي سأر رامسملا نم جورخلا ‪.‬هنع ّمث دش يف هذه ةقلحلا ًاّرت وأ ًاطقم‬ ‫ًابلصديدش دادتمالا اذإ ّدم الو يخرتسي اذإ ‪،‬قلط نكيلو اذه ّرتلا نم قثوأ ام لمعُي هدشأو ‪ً.‬التف‬

‫ّمث ّدش يف سأرلا رخآلا هنم اًطخم نم ذالوف داح ‪،‬ىقسُم أيهتيو نأ نكمتت هنم ‪.‬كديب اذإف تمكحأ‬

‫لك ‪،‬كلذ ذخف طخملا ‪،‬كديب بذجاو ّرتلا ّمث ردأ ىلع ةحيفصلا كلذب طخملا ةعطق سوق نم ةرئاد‬

‫نوكي فصن رطق اهترئاد لوط ّرتلا رادقمب عارذلا كلذو رادقم ‪،‬قارحإلا ّمث عزنت ةحيفصلا نم‬

‫حوللا ذخأتو لضفلا نم طخ طخملا ‪،‬دربملاب ثدحتف كلذل ‪،‬ةرطسم يهو ةعطق نم سوق ىلع‬ ‫ام ُتنّيب ‪،‬كل اذإف اهتححص دربملاب تدمع ىلإ ةآرم نوكي اهرطق لضفي نع ‪،‬ةرطسملا اهطرختف رهجلاب‬

‫‪ ‎1.‬د ط‪ :‬ـخ ط ]ا[‬

‫‪: ‎2.‬تيوس تيوسا ]ا[‬

‫‪: ‎3.‬ققدا تقدا ]ا[‬

‫‪ً: ‎4.‬ارتو اوتو ]ا[‬

742

A19 r

A20 r

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

tu le limes avec le jahr, de façon continue, jusqu’à ce que la convexité de la règle qui est une portion de cercle 1 s’applique sur la partie coupée à l’intérieur du miroir, et pour qu’elle le touche selon la circularité de sa convexité. Tu ordonnes ensuite qu’on le polisse d’une manière parfaite. Si ce miroir reçoit le rayon du soleil, tout rayon | se rassemble en une seule portion et l’embrasement a lieu à une distance de la grandeur du demi-diamètre du cercle qui est la longueur de la ficelle après l’enfoncement, si Dieu le veut (fig. 26). Comment procéder pour fabriquer à la perfection une règle pour un miroir qui embrase à une distance égale à dix coudées, à partir du tableau calculé et établi et de l’exemple dessiné après ce propos. Si tu veux construire cette règle, trace une droite sur la face d’une règle, partage-la en douze parties égales, ; mène de chaque division une perpendiculaire à chaque partie, prends ensuite deux parties de l’extrémité de la règle, une à chaque bord, jusqu’au milieu, jusqu’à ce qu’il ne reste plus de doigts. À moins que tu la poses selon les premiers doigts, puis tu dépasses de deux doigts jusqu’à ce que tu parviennes au milieu 2. Joins ensuite les extrémités des droites et lime-la, comme tu sais, et tu fais le miroir, si Dieu très Haut le veut |.

‎1. Id. ‎2. Cette phrase, que nous avons tenu à rendre littéralement, signifie que, de part et d’autre de la règle, on passe d’une division à l’autre jusqu’à ce qu’on arrive au milieu, et on reporte, à chaque fois, sur la perpendiculaire, la hauteur donnée par le tableau.

‫‪743‬‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫ًادبأ ىتح مزلت ةبدح ‪،‬ةرطسملا يتلا يه ةعطقلا نم سوقلا نطاب طرخلا نم ةآرملا اهسامتو لكب‬

‫ةرادتسا ‪.‬ةبدحلا ّمث رمأت اهئالجب دعب كلذ ‪،‬هماكحإو ّنإف هذه ةآرملا اذإ تلبقتسا عاعش ‪،‬سمشلا‬

‫ظ‪-١٩-‬ا‬

‫عمتجا لك عاعشلا ‪ /‬ىلإ ةعطق ةدحاو ثدحو قارحإلا ردقب دعُب فصن ‪ 1‬رطق ‪،‬ةرئادلا وهو‬

‫‪2‬‬

‫لوط ّرتلا دعَب ‪،‬عرذلا نإ ءاش هللا ‪.‬ىلاعت‬

‫مامت لمعلا يف ةّيفيك لمع ةرطسم ةآرمل دعُب اهقارحإ ةرشع عرذأ نع لودجلا بوسحملا‬

‫تبثملا لاثملاو موسرملا دعب اذه ‪.‬لوقلا‬

‫اذإ تدرأ نأ لمعت هذه ‪،‬ةرطسملا طخف ًاطخ ًاميقتسم ىلع هجو ‪،‬ةرطسم همسقاو ينثاب‬

‫ةرشع ًامسق‪،‬ةيواستم ّمث جرخا اهنم ةدمعأ ةميقتسم ىلع لك مسق اهنم ىلع ةيواز ‪،‬ةمئاق ّمث ذخ اهنم‬ ‫نيأزج نم فرط ةرطسملا نم نيسأرلا ًاعيمجىلإ طسولا ىتح ىنفت ‪،‬عباصألا الإ نأ كعضو هايإ‬

‫ىلع عباصألا ‪.‬ىلوألا مث هزواجتت نيعبصإب ىتح غلبت ‪،‬طسولا مث لصت فارطأ طوطخلا مث اهدربت‬ ‫امك ملعت لمعتو ‪،‬ةآرملا نإ ءاش هللا ‪.‬ىلاعت‬

‫‪: ‎1.‬فصن ةسومطم ]ا[‬

‫‪: ‎2.‬وهو يهو ]ا[‬

744

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

nombre

doigts

minutes 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 6 7 7

0 30 30 30 45 30 45 0 0

1. On peut se demander comment ce tableau a été établi. Les valeurs semblent être données par excès ou par défaut, avec une marge inférieure à 7 ′ 30 ′ ′ = 1/8 de doigt. D’autre part, si nous considérons les écarts d’ordre 2 dans la liste des nombres donnés par l’auteur, ces écarts sont trop différents les uns des autres pour que, même en tenant compte de l’approximation des données, on puisse assimiler cette courbe à une parabole. La liste des nombres donnés est 1 2,30 3,30 4,30 5,45 6,30 6,45 7 7. Les écarts d’ordre 1 sont 1,30 1 1 1,15 0,45 0,15 0,15 0. Les écarts d’ordre 2 sont 0,30 0 0,15 0,30 0,30 0 0,15.

‫‪745‬‬

‫‪PSEUDO-EUCLIDE, PSEUDO-PTOLÉMÉE ET THIASOS‬‬

‫اذكه ‪ 1‬جرخن طوطخلا لصنو اهنيب ‪ 2‬اهيوسنو دربملاب يهو فصتنم دمعلا كلتل ‪.‬ةآرملا‬ ‫و‪-٢٠-‬ا‬

‫‪ّ /‬مت باتك ايارملا ةقرحملا ‪.3‬‬

‫ددع‬ ‫ا‬ ‫ب‬ ‫ـج‬ ‫د‬ ‫ه‬ ‫و‬ ‫ز‬ ‫ـح‬ ‫ط‬

‫‪: ‎1.‬اذكه اذه ]ا[‬

‫‪: ‎2.‬اهنيب امهنيب ]ا[‬

‫عباصأ‬ ‫ا‬ ‫ب‬ ‫ـج‬ ‫د‬ ‫ه‬ ‫و‬ ‫ز‬ ‫ـح‬ ‫ط‬

‫قئاقد‬ ‫ه‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫هم‬ ‫ل‬ ‫هي‬ ‫ه‬ ‫ه‬

‫‪4‬‬

‫‪: ‎3.‬ةقرحملا بتك اهدعب ‪]:‬ا[ ميكحل هنامز دراطُع نب ‪،‬دمحم دمحلاو‬

‫هلل هدحو هتاولصو ىلع انّيس دمحم ىّلص هللا هيلع ‪،‬مّلسو يضرو هللا نع ةباحصلا ‪،‬نيعمجأ انبسحو هللا معنو ‪.‬ليكولا‬ ‫يلعلاب ريبكلا ‪:‬هبتاك دبع نمحرلا نب ‪.‬ريثك‬

‫‪ 4.‬ريشي ىلإ رفصلا ةمالعلاب ه‬

‫قثي‬

IBN AL-HAYṮAM, SUR LE MIROIR ARDENT PARABOLIQUE

RÉSUMÉ. — Cet article comporte l’editio princeps du traité d’Ibn alHayṯam « Sur le miroir ardent parabolique », Fī al-marāyā al-muḥriqa bi-al-quṭūʿ, ainsi que sa première traduction en français. Nous examinons la place qu’il occupe dans l’histoire du miroir parabolique durant plus d’un millénaire et demi, aussi bien en grec qu’en arabe et en latin. ABSTRACT. — This article includes the editio princeps of Ibn al-Hayṯam’s treatise “On the Parabolic Burning Mirror,” Fī al-marāyā al-muḥriqa bi-alquṭūʿ, as well as its first translation into French. We examine its place in the history of the parabolic mirror for more than a millennium and a half, in Greek as well as in Arabic and Latin.

Introduction Depuis le deuxième siècle avant notre ère au moins, les mathématiciens grecs n’ont cessé d’étudier les miroirs ardents comme instruments de guerre et moyens d’éliminer les temples, et notamment les miroirs sphériques et les miroirs paraboliques 1. Ce domaine de recherche se présentait alors comme un domaine des mathématiques appliquées, au sens ancien, et ne se confondait pas avec celui de la catoptrique, lequel était cultivé par les prédécesseurs d’Euclide et par Euclide lui-même et ses successeurs. Ceux-ci étudiaient la réflexion des rayons « visuels » sur les miroirs, et traitaient des questions de la perception. À partir du ix e siècle, notamment avec le savant et philosophe al-Kindī (mort en 866 environ), on s’investit dans les deux domaines à la fois : la catoptrique et les miroirs ardents 2. Ainsi al-Kindī a composé, en plus des livres sur l’optique et la catoptrique, un traité sur les miroirs ardents. Plus tard, à la fin du x e siècle, le mathématicien Paru dans Arabic Sciences and Philosophy, 33 (2023) 25–54. ‎1. Les catoptriciens grecs, vol. 1, « Les miroirs ardents », textes établis, trad. et commentés par Roshdi Rashed (Paris : Les Belles Lettres, 2000). ‎2. R. Rashed, Geometry and Dioptrics in Classical Islam (Londres : Al-Furqān, 2005) ; id., Œuvres philosophiques et scientifiques d’al-Kindī, vol. 1 : « L’optique et la catoptrique » (Brill, 1997), p. 261-422.

748

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Ibn Sahl élargit le domaine, en ajoutant à l’étude des miroirs celle des lentilles 1. Son successeur Ibn al-Hayṯam (mort après 1040), après sa réforme de l’optique 2, étudie la réflexion sur les miroirs sans distinction. Alors qu’il consacre plusieurs recherches à la réflexion de la lumière et à la vision, il compose deux traités sur les miroirs ardents : sphérique et parabolique. C’est de son traité sur le miroir ardent parabolique que nous donnons la première édition critique ainsi que la première traduction en français, en plus du commentaire historique et mathématique. Le traité d’Ibn al-Hayṯam sur les miroirs ardents paraboliques, rédigé avant les années quarante du onzième siècle, porte sur la lumière, sa propagation, sa réflexion sur ces miroirs, et ses propriétés énergétiques. Au début du traité, Ibn al-Hayṯam reprend une distinction qu’il avait établie à la base de sa réforme de l’optique, entre la lumière comme entité matérielle et les lignes géométriques suivant lesquelles elle se propage. Il poursuit, dans la première proposition, qui est à la base du traité, par une étude des propriétés géométriques et optiques de la parabole, avant d’aborder la façon de fabriquer les miroirs ardents paraboliques. Ce traité d’Ibn al-Hayṯam sur le miroir ardent parabolique eut un retentissement considérable sur la recherche, que ce soit en optique ou en géométrie. Le successeur d’Ibn al-Hayṯam, Ibn Ṣāliḥ 3, qui l’a étudié, a tenté de répondre à une question implicitement posée par son auteur : comment gagner en embrasement avec ce miroir même si on perd en concentration des rayons ? Ce même traité, traduit en latin par Gérard de Crémone au xii e siècle 4, a d’abord tenu le rôle d’un livre sur la géométrie des sections coniques. Voici ce que M. Clagett écrit à ce propos :

‎1. Voir Geometry and Dioptrics. ‎2. R. Rashed, Ibn al-Haytham : L’émergence de la modernité classique (De Gruyter, 2021). ‎3. Voir R. Rashed, « Transmission et innovation : l’exemple du miroir parabolique », dans 4000 ans d’histoire des mathématiques : Les mathématiques dans la longue durée, actes du 13 e colloque inter-IREM d’histoire et d’épistémologie des mathématiques, IREM de Rennes, les 6-7-8 mai 2000 (IREM de Rennes, 2002), p. 57-77. ‎4. Cette traduction latine a reçu une édition critique et une traduction allemande, par J. L. Heiberg et E. Wiedemann en 1909-1910, et a été récemment étudiée par M. Clagett (cf. Archimedes in the Middle Ages, vol. 4, « A Supplement on the Medieval Latin Traditions of Conic Sections (1150-1566) », partie I, « Texts and Analysis » [Philadelphia, 1980]). J. L. Heiberg et E. Wiedemann, « Ibn al-Haiṯams Schrift über parabolische Hohlspiegel », Bibliotheca mathematica, 3 e série, vol. 10 (1909-1910), p. 201-237. Republié dans Gesammelte Schriften zur arabisch-islamischen Wissenschaftsgeschichte (Francfort-sur-le-Main, 1984).

IBN AL-HAYṮAM, SUR LE MIROIR ARDENT PARABOLIQUE

749

Before the twelfth century the knowledge of conic sections in the Latin West was non-existant. It is true that occasionally the terms ellipsis, hyperbola and parabola had been used in earlier Latin texts but without their mathematical meanings. The first traces of any knowledge of conic sections in the west came as the result of the Latin translation of the two works of Alhazen (Ibn al-Haytham). The first was the translation by Gerard of Cremona of Alhazen’s Liber de speculis comburentibus, a work on mathematical theory and construction of parabolic mirrors 1…

Commentaire Dans la première proposition, Ibn al-Hayṯam montre que la tangente à la parabole fait des angles égaux avec la parallèle à l’axe et le rayon vecteur mené par le point de contact. Voici comment il procède pour démontrer cette proposition dans tous les cas de figure. On considère un point E sur l’axe d’une parabole ABC de sommet A tel que AE = 41 L, L est le côté droit, et une droite IB parallèle à l’axe AD de la parabole. Alors BI et BE forment avec la tangente au point B de la parabole des angles égaux. Pour démontrer cette proposition, Ibn al-Hayṯam procède par analyse et synthèse ; il considère trois cas de figure selon la position du point G de l’ordonnée du point B par rapport au point E. Dans sa démonstration, il utilise le symptoma, c’est-à-dire l’équation de la parabole, et la propriété caractéristique de la tangente : le sommet A de la parabole est le milieu de la sous-tangente. Il considère successive[ aigu, droit et obtus. ment les cas BEH

[ aigu. 1) BEH Dans ce cas, le point G de l’ordonnée est entre E et A. Soit L le côté droit. d = EBH [ et EA = 1 L, alors le triangle EBH est isocèle, Analyse. Si KBI 4 d = BHE [ ; donc EB = EH. Mais EB2 = EG2 + GB2 = EG2 + 4EA · AG, car KBI car L = 4EA ; EB2 = EH2 , donc EH2 − EG2 = 4EA · AG, donc A est le milieu de GH – propriété de la sous-tangente (Apollonius, Coniques, I. 35). d = EBH [ (et EA = 1 L) ⇒ GA = AH. Ainsi KBI 4 Synthèse. BG est l’ordonnée et BH la tangente, donc A est le milieu [ = de HG et 4EA · EG + EG2 = EH2 . Mais 4EA = L, par conséquent EBH d d [ [ [ EHB. Puisque BI ∥ HD, on a EHB = KBI, donc EBH = KBI.

‎1. M. Clagett, Archimedes in the Middle Ages, p. 3.

750

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

K C I

B

D EG

A

H

L

Fig. 1

Ainsi GA = AH et EA =

1 L 4

d [ = KBI. ⇒ EBH

[ = 1 droit. Dans ce cas E et G sont confondus. 2) BEH

K C I

B

D EG

A

H

L

Fig. 2

Analyse. On a EA =

1 L. 4

d = EBH d = EHB, [ ; mais KBI [ Par hypothèse KBI

[ = EHB [ et EH = EB = BG, BG2 = 4EA · GA = 4EA2 = EH2 ; donc donc EBH EH = GH = 2EA = 2GA, donc A est le milieu de GH, propriété de la sous-tangente. Synthèse. A est le milieu de GH, G = E et AE = 41 L, donc EH = 21 L,

IBN AL-HAYṮAM, SUR LE MIROIR ARDENT PARABOLIQUE

EH2 =

1 2 L . 4

Mais EB2 = EA · L =

751

1 2 L , 4

donc EB = EH et, par conséquent, d d = EBH. [ [ [ [ EBH = EHB. Or IBK = EHB car IB ∥ EH, donc IBK

[ obtus (fig. 3). 3) BEH Dans ce cas G est au-delà de E, AG > AE.

K

C I

B

D G E

A

M

H

Fig. 3

d = EBH. d = EHB, [ Or IBK [ donc EB = EH, Analyse. Par hypothèse IBK 2 2 2 EB = EG + BG = EG + 4EA · AG. Soit M tel que AM = AE. On a GM2 − GE2 = 2GA · EM = 4GA · EA, donc GM2 = EH2 , d’où GM = EH et, par conséquent, GE = MH. Or EA = AM, donc GA = AH, propriété de la sous-tangente. Synthèse. BH est tangente, donc GA = AH. Posons AE = AM, on a alors GE = MH et par conséquent GM = EH. Mais GM2 − GE2 = 4GA · EA et EH2 = GE2 + 4GA · EA = EB2 , donc GM = EH = EB. On en déduit d d’où EBH d [ = EHB. [ Mais EHB [ = IBK, [ = IBK. EBH Dans la seconde proposition, Ibn al-Hayṯam montre que, par la rotation d’une parabole autour de son axe, on engendre un paraboloïde de révolution, et que toute section de ce paraboloïde par un plan passant par l’axe est une parabole égale à la parabole initiale 1 (fig. 4). Dans la troisième proposition, Ibn al-Hayṯam étend à l’espace la propriété étudiée dans la première proposition, pour une droite parallèle à l’axe de la parabole, en considérant la surface concave du paraboloïde et une droite parallèle à l’axe de ce paraboloïde (fig. 5). Dans la quatrième proposition, Ibn al-Hayṯam étudie la réflexion des rayons solaires parallèles à l’axe du miroir parabolique. 2

‎1. Cette proposition a été empruntée par Ibn Ṣāliḥ dans l’assertion 22.

752

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

A

B

H

C

G

D E

Fig. 4

Il démontre que, pour toute surface réfléchissante à concavité paraboloïdale qui fait face au soleil, les rayons se réfléchissent tous en un point de son axe dont la distance au sommet de la surface est égale au quart du côté droit (fig. 6). Dans la cinquième proposition, il explique comment construire sur des plaques d’acier les gabarits nécessaires à la fabrication des miroirs paraboliques voulus, afin d’embraser à une distance connue (fig. 7-11) : a) Il rappelle que, dans un autre de ses livres, il avait indiqué comment trouver une parabole dont on a choisi un diamètre, quel que soit l’angle de l’ordonnée avec le diamètre et quel que soit le côté droit 1. b) Il distingue ensuite deux types de plaques, plaque du sommet de la section et plaque du milieu de la section, et indique, pour chacun de ces deux types, comment fabriquer deux plaques métalliques dont l’une servira à creuser et l’autre à polir (fig. 7). c) Si l’on veut construire un miroir ovoïdal, on utilisera une plaque du premier type, le côté droit L de la parabole étant choisi à partir de la distance d choisie pour l’embrasement, L = 4d (fig. 8). d) Si l’on veut construire un miroir parabolique en forme d’anneau, on fabrique la plaque du second type, en supposant connus la distance à laquelle on veut embraser et le côté droit de la parabole (fig. 10). ‎1. Il s’agit du traité intitulé Fī ʿamal al-quṭūʿ. Cf. R. Rashed, Les mathématiques infinitésimales du ix e au xi e siècle, vol. 2, « Ibn al-Haytham » (Londres : Al-Furqān, 1993), p. 512.

IBN AL-HAYṮAM, SUR LE MIROIR ARDENT PARABOLIQUE

753

K A H

B

L

E G

C

D I

Fig. 5 B E D

I

H K

A

C

Fig. 6

Pour conclure ce résumé, il va falloir situer brièvement ce traité d’Ibn al-Hayṯam sur les miroirs ardents paraboliques parmi les autres contributions, grecques et arabes, consacrées au même thème ; et de fait, Ibn al-Hayṯam n’évoque que deux noms, Archimède et Anthémius, sans s’arrêter à leurs contributions ni citer les titres de leurs écrits. Rappelons qu’aucun titre d’Archimède n’est connu sur ce thème, alors que l’écrit d’Anthémius a été traduit en arabe. En grec, ce sont les noms de Dioclès, Dtrūms, Didyme et, plus tard, Anthémius de Tralles, que l’on associe à cette étude. Tous leurs écrits, dont certains sont perdus en grec, sont conservés dans leur traduction arabe du ix e siècle. À cela s’ajoute le fragment de Bobbio, en grec 1. La transmission des premiers écrits au ix e siècle a été suscitée par la nouvelle recherche engagée dans ce domaine par al-Kindī, son contemporain Qusṭā b. Lūqā et, plus tard, Abū al-Wafāʾ al-Būzǧānī, Ibn Sahl, Ibn ‎1. Les catoptriciens grecs, vol. 1, p. 264, n. 48.

754

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

A

D E

plaque du sommet de la section

plaque du milieu de la section

plaque carrée

C

H

B

Fig. 7

miroir en forme de demi-œuf

Fig. 8

al-Hayṯam et, à sa suite, Ibn Ṣāliḥ. Pour que la comparaison entre ces différentes contributions soit concise et claire, commençons par rappeler quelques propriétés de la parabole. Nous procédons par deux comparaisons : l’une à partir de la propriété rayon-foyer, l’autre à partir de la propriété foyer-directrice. Soit F le foyer, S le sommet, DK la directrice, T le pied de la tangente en un point quelconque M de la parabole, sur l’axe, H la projection de M sur l’axe, D la projection de M sur DK et N le pied de la normale (fig. 12). Menons SP = 4 SF, le côté droit, et joignons FM et FZ. Menons la droite XM parallèlement à l’axe ; on a d’abord 1 o S le milieu de la sous-tangente HT ; 2 o La sous-normale HN est égale à la moitié du côté droit, donc HN = 21 SP = 2SF ; 3 o FM = MD. Nous avons montré que Dioclès 1 utilise les propriétés 1 o et 2 o ; il part du foyer et établit les égalités d’angles. Il part ainsi d’un rayon incident parallèle à l’axe et montre que la droite joignant le point d’incidence au foyer est bien le rayon réfléchi, car la loi de la réflexion est vérifiée. ‎1. Cf. Les catoptriciens grecs, vol. 1, p. 40 sq.

IBN AL-HAYṮAM, SUR LE MIROIR ARDENT PARABOLIQUE

755

A

B

E

C

D

Fig. 9 miroir en forme d’anneau

Fig. 10

Cette étude manque à l’écrit d’Anthémius. Nous savons seulement qu’il utilise implicitement la propriété selon laquelle MT est la médiatrice de FD, qui n’est autre que la propriété foyer-directrice 1. Le cas de Dtrūms 2 se distingue des deux précédents. Dtrūms utilise le symptoma de la parabole, et la propriété 1 o. De plus, il part de l’égalité d’angles pour aboutir au foyer, contrairement à Dioclès. Quant à l’auteur du fragment de Bobbio 3, il utilise lui aussi le symptoma, mais, contrairement à Dtrūms, il part du foyer et en déduit une égalité d’angles. On voit bien que, tout au moins pour la propriété rayon-foyer, il y a autant de démarches que d’auteurs : rien ne permet donc de déceler les traces d’une quelconque influence de l’un sur l’autre. Venons-en maintenant aux successeurs arabes de ces mathématiciens. Nous avons montré qu’al-Kindī 4, dans son traité sur Les rayons,

‎1. Ibid., p. 273 sq. ‎2. Ibid., p. 162 sq. ‎3. Ibid., p. 265 sq. ‎4. R. Rashed, Œuvres philosophiques et scientifiques d’al-Kindī, vol. 1, « L’optique et la catoptrique », p. 114-115 et 414-419.

756

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

D

A

E

G

H I

C

B

Fig. 11 D

M

X

Z

T

K

S

F

H

N

P

Fig. 12

reprend la construction de la parabole opérée par Anthémius. Abū alWafāʾ al-Būzǧānī, au x e siècle, dans son étude du miroir parabolique, a recours au symptoma, et prend dès le départ un segment égal au côté droit ; mais il construit par points la parabole 1. Quant au contemporain d’al-Būzǧānī, Ibn Sahl 2, il se donne d’abord le foyer, joint le point d’incidence à ce dernier par une droite, et montre que celle-ci est la droite suivant laquelle se propage le rayon réfléchi, c’est-à-dire qu’elle détermine une égalité d’angles. La démonstration d’Ibn Sahl

‎1. O. Neugebauer et R. Rashed, « Sur une construction du miroir parabolique par Abū al-Wafāʾ al-Būzjānī », Arabic Sciences and Philosophy, vol. 9, n o 2 (1999), p. 261277. Le commentateur d’al-Būzǧānī, al-Ġundiǧānī, procède de la même manière. ‎2. R. Rashed, Géométrie et dioptrique au x e siècle : Ibn Sahl, al-Qūhī et Ibn al-Haytham (Paris : Les Belles Lettres, 1993), p. xix-xxvi et 2-15.

IBN AL-HAYṮAM, SUR LE MIROIR ARDENT PARABOLIQUE

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se fait à l’aide du symptoma de la parabole et de la propriété 1 o. Ibn al-Hayṯam procède pratiquement de la même manière, et utilise au cours de sa démonstration par analyse et synthèse les deux propriétés auxquelles recourait Ibn Sahl. Tous deux distinguent trois cas dans leur démonstration, selon que l’angle MFS est aigu, droit ou obtus. Notons enfin que Ibn Sahl utilise les deux propriétés auxquelles recourait l’auteur du fragment de Bobbio. Mais la maîtrise géométrique d’Ibn Sahl est bien supérieure à celle de ce dernier, et rien n’indique d’autre part que ce fragment fût traduit en arabe. Aussi brève soit-elle, la précédente comparaison permet de partager nos auteurs en trois grands groupes. Le premier, dont les membres n’examinent pas la propriété rayon-foyer, comprend Anthémius et al-Kindī. Le second se réduit à Dioclès : il n’y a que lui en effet qui utilise dans sa démonstration les deux propriétés 1 o et 2 o, et elles seules. Le troisième groupe comprend l’auteur du fragment de Bobbio, Dtrūms, Ibn Sahl et Ibn al-Hayṯam, dans la mesure où tous utilisent le symptoma de la parabole et la propriété 1 o. Il reste que dans ce groupe on peut isoler deux sous-groupes, dont l’un comprend Dtrūms tout seul, alors que l’autre comprend l’auteur du fragment de Bobbio, Ibn Sahl et Ibn al-Hayṯam. En effet, alors que ces derniers partent du foyer pour établir une égalité d’angles, Dtrūms au contraire part de l’égalité d’angles pour aboutir au foyer. Or, dans le sous-groupe formé des trois savants, Ibn al-Hayṯam connaissait l’œuvre optique d’Ibn Sahl, et a même recopié de sa propre main l’un des travaux de son prédécesseur 1. Mais aucune indication ne suggère que les mathématiciens arabes avaient une connaissance, directe ou indirecte, du fragment de Bobbio. Pour confirmer cette conclusion, importante pour l’histoire d’Anthémius arabe, il nous faut affiner notre comparaison, en reprenant la confrontation des auteurs, à partir de la propriété foyer-directrice cette fois. Rappelons que Dioclès part du foyer F et du sommet S, et construit la directrice KD. Sur une parallèle à cette directrice dans le demi-plan (DK, F) il construit deux points qui sont sur le cercle de centre F et dont le rayon est la distance des deux parallèles. Il démontre ensuite que ces deux points appartiennent à la parabole de foyer F et de sommet S. Sa construction ne fait donc pas apparaître la tangente. Anthémius en revanche part de la propriété catoptrique d’égalité des angles d’incidence et de réflexion sur un miroir plan. Il se donne

‎1. En effet Ibn al-Hayṯam a copié le traité d’Ibn Sahl, Preuve que la sphère céleste n’est pas d’une transparence extrême, et le reprend dans son mémoire sur le Discours de la lumière. Voir R. Rashed, Géométrie et dioptrique au x e siècle, p. cxli-cxlii.

758

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

D M

F

H

S

K

M'

Fig. 13

un point F et un segment AB, avec FA = FB, et construit une droite DK parallèle à AB, telle que A et B soient équidistants de F et de cette droite. Sa construction fait implicitement appel à la propriété suivante : sur toute parallèle à l’axe d’une parabole de foyer F et de directrice DK, il existe un point M de cette parabole qui appartient à la médiatrice de FD, et cette médiatrice est la tangente en M à la parabole. Al-Kindī, nous l’avons montré, reprend la construction d’Anthémius.

M

D

K

F

Fig. 14

Dtrūms, quant à lui, ne fait pas appel à cette propriété foyerdirectrice, mais construit par points la parabole à l’aide de deux règles, à partir d’une propriété sur les rapports établie par lui auparavant. Si cette propriété sur les rapports est bien une propriété caractéristique, le fait est que Dtrūms lui-même ne l’a pas exposée, puisqu’il a négligé d’en démontrer la réciproque. Les autres textes considérés ici cessent d’être comparables dans cette perspective, celle de la propriété foyer-directrice ; soit en raison de son absence – comme dans le fragment de Bobbio – soit que l’on opère la construction de la parabole par un procédé différent de ceux

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759

de Dioclès et de Dtrūms : c’est le cas d’Ibn Sahl et d’Ibn al-Hayṯam. Ibn Sahl, pour sa part, procède par tracé continu. Il se sert dans sa construction du foyer et d’une droite parallèle à la directrice. La propriété foyer-directrice, MF = MD, donne immédiatement MK + MF = ℓ, K étant la projection de M sur Δ et ℓ la distance des deux droites parallèles. Ibn Sahl utilise alors un fil de longueur ℓ, dont une extrémité est fixée au foyer F et l’autre au sommet K d’une équerre, qui glisse sur Δ. Un stylet placé en M décrit un arc de parabole (fig. 15). D

M

Δ K

F

Fig. 15

La comparaison qui vient d’être établie semble donc confirmer les résultats de la première confrontation des textes. On peut donc sans trop de risques conclure : – L’étude de Dioclès semble n’avoir eu aucune influence directe sur les travaux d’Anthémius, de l’auteur du fragment de Bobbio et de Dtrūms. Traduit en arabe, ce texte de Dioclès n’a pas davantage influencé les travaux d’Ibn Sahl et d’Ibn al-Hayṯam ; – L’étude par Anthémius du miroir parabolique, en revanche, a été reprise par al-Kindī. Elle circulait encore au x e siècle, comme l’attestent Ibn ʿĪsā et ʿUṭārid, sans cependant avoir d’impact sur les travaux ultérieurs, comme ceux d’Ibn Sahl et d’Ibn al-Hayṯam. En effet, même si ces derniers avaient lu le texte d’Anthémius, leur recherche était trop avancée pour qu’ils puissent en tirer un vrai profit ; – Il n’y a aucun lien direct entre le fragment de Bobbio et le traité d’Anthémius. Il n’y a non plus aucune trace du fragment de Bobbio en arabe, autant que nous le sachions ; – Il est possible que le texte de Dtrūms ait été connu d’Ibn Sahl, mais dans ce cas, il n’aurait eu guère d’effet sur sa recherche – rapport en tous points comparable à celui qui lie la compilation de Dioclès, et celle d’un auteur tardif, Ibn Sāliḥ 1. Il reste que la recherche en arabe sur les miroirs ardents s’est rapidement développée en extension et ‎1. Voir notre étude, à paraître : Les miroirs ardents d’Ibn Sāliḥ.

760

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

en compréhension, pour aboutir à une transformation de l’ensemble du domaine, avec Ibn Sahl d’abord, et Ibn al-Hayṯam ensuite ; – Enfin, cette étude de l’histoire du miroir parabolique confirme celle du miroir sphérique concave chez Dioclès, Dtrūms, l’auteur du fragment de Bobbio, al-Kindī et Ibn al-Hayṯam, que nous avons présentée ailleurs 1. Je viens d’esquisser l’histoire du miroir parabolique pendant un millénaire et demi : l’histoire des textes aussi bien que celle des concepts. Mais cette histoire ne s’arrête pas là. La recherche en ce domaine est restée bien vivante encore, pour un demi-millénaire au moins. À la suite d’Ibn al-Hayṯam, le mathématicien Ibn Ṣāliḥ et les mathématiciens de la Renaissance s’en font l’écho : Maurolico, Della Porta,… D’autres s’y intéressent, comme le fameux Kircher. Kepler et Descartes en discutent en vue de la recherche anaclastique. Le Père Taquet, plus tard, s’en occupe lors de l’étude des sections coniques. Newton, enfin, en personne, puis Buffon, lui portent un intérêt renouvelé : on souligne bien plus qu’auparavant le phénomène physique et l’effet cinétique de la focalisation. Newton a reproduit au cours de plusieurs réunions de la Royal Society une expérience, à l’aide d’un miroir ardent composé de sept miroirs concaves articulés, dont le diamètre est d’un pied. Tout se passe comme si le souvenir de l’architecte de Sainte-Sophie – Anthémius – ne voulait pas s’effacer. Si ce n’est qu’au lieu d’un système catoptrique de sept miroirs plans, on passe aux miroirs concaves. Voici donc un thème de recherche qui a traversé pas moins de deux millénaires, productif en géométrie, en optique et en technique. Ce thème a également fourni aux mathématiciens un domaine d’exercice, où ils se sont familiarisés avec les valeurs expérimentales, comme il a offert aux historiens quelques instruments de réflexion sur les problèmes soulevés par les mathématiques appliquées.

Histoire du texte Le titre du traité d’Ibn al-Hayṯam, « Sur le miroir ardent parabolique », Fī al-marāyā al-muḥriqa bi-al-quṭūʿ, figure dans les listes des deux anciens bio-bibliographes, l’auteur du manuscrit de Lahore et Ibn

‎1. R. Rashed, Œuvres philosophiques et scientifiques d’al-Kindī, vol. 1, « L’optique et la catoptrique », p. 117-124.

IBN AL-HAYṮAM, SUR LE MIROIR ARDENT PARABOLIQUE

761

Abī Uṣaybiʿa 1. Le troisième bio-bibliographe ancien, al-Qifṭī 2, cite un titre qui peut aussi bien désigner ce traité que l’autre traité, « Sur les miroirs ardents par les cercles ». De ce texte, il existe cinq manuscrits : 1) Bibliothèque de l’Université d’Aligarh, Inde. Il s’agit d’une collection dont la majorité des textes sont dus à Ibn al-Hayṯam. Nous avons édité plusieurs de ces écrits 3. Il s’agit du manuscrit 678, de la collection ʿAbd al-Ḥayy de cette bibliothèque. Ce manuscrit a été copié en 721H, c’est-à-dire en 1321-1322, en écriture nastaʿlīq. Malheureusement les feuilles sont en désordre et l’encre est devenue si pâle que la lecture est difficile. Dans les folios 41 r et 41 v, 44 r, 47 r et 48 v, on peut, laborieusement, lire des paragraphes entiers du traité d’Ibn al-Hayṯam. Ces paragraphes, s’ils permettent de conjecturer que ce manuscrit et celui de Londres (voir plus loin) remontent à un ancêtre commun, ne peuvent cependant être pris en considération lors de l’édition critique. On y recourt seulement pour vérifier certaines lectures. On note ce manuscrit ‫ا‬, A. 2) Hyderabad, Musée de Salar Jung, n o 2196, ‫مثيهلا يف ايارملا ةقرحملا‬: ‫نبا‬

‫عوطقلاب‬, f. 5 v-11 v. L’écriture de ce manuscrit est aussi nastaʿlīq, les figures sont tracées avec soin. On le notera ‫ح‬, H. 3) Londres, India Office, Loth 734, n o 1270. Cette collection comprend différents écrits d’Ibn al-Hayṯam, que nous avons déjà établis dans les différents volumes des Mathématiques infinitésimales. Nous ignorons la date de la copie, comme d’ailleurs celle de la copie du manuscrit H. Ce pourrait être au dixième siècle de l’Hégire. L’écriture est nasḫī et les figures sont, ici encore, tracées avec soin. Ce manuscrit se trouvait en Inde avant d’être acquis par India Office. Il sera noté ‫ل‬, L. L’étude des omissions, ajouts et autres variantes confirme que ces trois manuscrits, A, H et L, ont un ancêtre commun. 4) Florence, Bibliothèque Laurenziana, Or. 153, f. 90 v-97 v. Ce manuscrit est en écriture nasḫī maghrébine. On note ce manuscrit ‫ف‬, F. À la suite du traité d’Ibn al-Hayṯam, f. 97 v-100 r, on trouve un écrit intitulé Kalām fī tawṭiʾat al muqaddamāt li-ʿamal al-quṭūʿ ʿalā saṭḥ mā bi-ṭarīq ṣināʿī, « Propos pour des lemmes pour construire les sections coniques par la méthode de l’art mécanique ». On a attribué à tort ce ‎1. Cf. R. Rashed, Les mathématiques infinitésimales, vol. 2, p. 526. ‎2. Ǧamāl al-Dīn Abī al-Ḥasan ʿAlī b. Yūsuf al-Qifṭī, Taʾrīḫ al-ḥukamāʾ, éd. Julius Lippert (Leipzig : Dieterich’sche Verlagsbuchhandlung, 1903), p. 168. « Corrigenda et addenda » de H. Suter à cette édition, parus dans Bibliotheca mathematica, 3 e série, vol. 4 (1903). ‎3. Cf. par exemple R. Rashed, Les mathématiques infinitésimales, vol. 2, p. 22-23.

762

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

texte à Ibn al-Hayṯam, en l’assimilant au livre qu’il évoque dans le traité sur le miroir ardent parabolique. Nous avons montré qu’il n’en est rien 1. 5) Leiden, Or. 161/3, f. 43-60. Le manuscrit est en écriture nasḫī orientale. Le copiste a laissé des espaces pour les figures, mais ne les a pas tracées. On note ce manuscrit ‫ن‬, N. À ces manuscrits s’ajoute une traduction latine du xii e siècle de ce traité d’Ibn al-Hayṯam par Gérard de Crémone : Liber de speculis comburentibus 2. Cette traduction sera notée ‫ج‬, G. Nous verrons que F et G ont un ancêtre commun. Ainsi, on dispose de deux versions, et non pas d’une seule, du traité d’Ibn al-Hayṯam sur les miroirs ardents paraboliques : l’une, orientale, représentée par A, H, L et N ; l’autre, occidentale, dont les représentants sont F et G. Au cours de notre édition, nous désignons les mots et les phrases omis par la lettre ‫ ; ص‬les omissions communes à H, L et N par ‫; س‬ et, si l’on ajoute un autre manuscrit, comme A, par ‫س ا‬. On observe une différence caractéristique entre les deux versions. Alors que F et G, dans leurs introductions respectives, évoquent par trois fois les miroirs convexes en même temps que les miroirs concaves, tous les autres manuscrits, ceux de la version orientale, ne considèrent que les miroirs concaves – ce qu’on attend d’ailleurs d’Ibn al-Hayṯam dans ce contexte de l’embrasement. D’autre part, le copiste de F, à la différence de tous les autres copistes et de Gérard de Crémone dans sa traduction, ajoute les références aux Éléments d’Euclide et détaille les références aux Coniques d’Apollonius, en précisant le numéro du livre et de la proposition. On trouve dans cette introduction les figures du manuscrit, nécessaires à la compréhension du commentaire mathématique. Nous indiquons leur place dans le texte arabe et dans la traduction française. Correspondance des lettres :

‫ا‬ A

‫ب‬ B

‫ـج‬ C

‫د‬ D

‫ـه‬ E

‫ز‬ G

‫ح‬ H

‫ط‬ I

‫ـك‬ K

‫ل‬ L

‫م‬ M

‎1. R. Rashed, Les mathématiques infinitésimales, vol. 2, p. 19, n. 72. ‎2. J. L. Heiberg et E. Wiedemann, « Ibn al-Haiṯams Schrift über parabolische Hohlspiegel ».

SUR LE MIROIR ARDENT PARABOLIQUE

Au nom de Dieu Clément et Miséricordieux

F 90 v L 18 r

F 91 r

Traité d’al-Ḥasan b. al-Ḥasan b. al-Hayṯam sur les miroirs ardents, par les sections L’une des choses les plus nobles déduites par les géomètres, qui étaient objet de compétition entre les anciens et à propos desquelles est apparu le merveilleux des propriétés des figures géométriques et ce qui s’y produit des choses physiques, est la fabrication des miroirs ardents par la réflexion du rayon du soleil. Pour ce faire, ils ont suivi pour les façonner des voies différentes. Ils ont en effet trouvé que le rayon se réfléchit à partir de la surface du miroir plan, et ils ont aussi trouvé qu’il se réfléchit à partir des miroirs sphériques et que les positions vers lesquelles se réfléchit le rayon se différencient selon la différence de leur grandeur. Mais il était clair pour eux que le rayon qui se réfléchit sur un miroir plan en un seul point se réfléchit à partir d’un point seulement ; et que celui qui se réfléchit à partir d’un miroir sphérique se réfléchit à partir de la circonférence d’un seul cercle, d’entre les cercles qui se trouvent sur cette sphère. Les démonstrations de cela sont claires dans leurs livres. Certains d’entre eux ont considéré des miroirs plans en grand nombre, qu’ils ont réunis les uns aux autres, les rayons se réfléchissant à partir d’eux tous en un seul point. Certains ont considéré les miroirs sphériques concaves, d’autres ont considéré de nombreux miroirs sphériques sur lesquels les rayons se réfléchissent vers un seul point pour que l’embrasement soit plus fort. Ceux qui ont considéré ces miroirs sont célèbres, comme Archimède, Anthémius, et d’autres. Leur pensée s’est ensuite tournée vers les propriétés des figures vers lesquelles le rayon se réfléchit ; ils ont alors examiné les propriétés des sections coniques et ils ont trouvé que les rayons qui tombent sur la totalité de la surface concave du paraboloïde se réfléchissent en un seul point déterminé. On a ainsi montré que l’embrasement à partir d’un miroir de cette figure est plus fort que l’embrasement à partir de tous les miroirs qui ne sont pas de cette figure. Ils n’ont cependant pas expliqué de manière convaincante la démonstration de cette notion, ni la méthode par laquelle ils l’ont déduite. | Mais, puisque ceci comporte de grands profits et des avantages généraux, j’ai voulu l’expliquer et l’éclairer pour que celui qui désire

‫ٌةلاقم‬

‫ف ظ‪٩٠‬‬ ‫ل و‪١٨‬‬

‫ِنَسَحلل ِنب ِنَسَحلا ِنب ِمَثْيَهلا يف ايارَمـلا‬ ‫ِةَقِرْحُمـلا ِعوطُقلاب‬

‫ّنإ نم فرشأ ام هطبنتسا ‪،‬نوسدنهملا َسَفانَتو هيف ‪،‬نومِّدقتملا رهظو هيف ُعيدب ّصاوخ‬

‫لاكشألا ةّيسدنهلا امو ضرعي اهيف نم رومألا ‪،‬ةّيعيبطلا عانطصا ايارملا ةقرحملا ساكعناب عاعش‬

‫سمشلا ‪1‬؛ اوكلسف يف اهذاخّتا اًهوجو ‪،‬ةفلتخم َكِلَذو مهّنأ اودجو عاعشلا سكعني نم طيسب ايارملا‬

‫‪،‬ةحّطسملا هودجوو اًضيأ سكعني نم حوطس ايارملا ‪،‬ةّيِرُكلا فلتختو عضاوملا يتّلا سكعني اهيلإ‬ ‫عاعشلا بسحب فالتخا ‪،‬اهريداقم الإ هّنأ نّيبت مهل ّنأ عاعشلا يذلا ‪ 2‬سكعني نع ةآرملا ةحّطسملا‬

‫ىلإ ةَطْقُن ةدحاو امّنإ سكعني نم ةَطْقُن ةدحاو طقف ‪ ،3‬يذلاو سكعني نم ةآرملا ةّيِرُكلا امّنإ سكعني‬ ‫نم طيحم ةرئاد ةدحاو نم رئاودلا يتّلا عقت يف َكْلِت ‪.‬ةركلا نيهاربلاو ىلع َكِلَذ ةنِّيب يف ‪.‬مهبتك‬ ‫بهذف ٌموق مهنم ىلإ ذاخّتا ايارم ةحّطسم ةريثك ‪،‬ددعلا ٍفاضُم ‪ 4‬اهُضعب ىلإ ‪،‬ضعب سكعني عاعشلا‬

‫نم اهعيمج ىلإ ةَطْقُن ‪.‬ةدحاو بهذو موق ىلإ ذاخّتا ايارملا ةّيِرُكلا ‪،‬ةَرَّعَقُملا مهنمو نم ذخّتا ‪ 5‬ايارم‬ ‫ةّيِرُك ةريثك ‪ 6‬سِكَعْنَت اهتاعاعش ىلإ ٍةَطْقُن ٍةدحاو َنوكيل ُقارحإلا ؛ىَوْقأ نيذّلاو اوذخّتا هذه ايارملا‬

‫نوروهشم لْثِم سديمشرأ سويمثنأو ‪. 7‬امهريغو مث هّنإ ضرع مهل ركفلا يف ّصاوخ لاكشألا يتّلا‬ ‫سكعني اهنم ‪،‬عاعشلا اورظنف يف ّصاوخ عوطقلا ‪، 8‬تاطورخملا اودجوف َحطسلا َرَّعَقُملا نم مَّسَجُملا‬

‫ئِفاكُملا سِكَعْنَت تاعاعشلا يتّلا ُعقت ‪ 9‬ىلع ‪ 10‬عيمج هطيسب ىلإ ٍةَطْقُن ٍةدحاو اهنيعب نّيبتف ّنأ قارحإلا‬ ‫يذلا نوكي نم ةآرملا يتّلا ىلع اذه ِلكشلا نوكي ىوقأ نم قارحإ عيمج ايارملا يتّلا ىلع ريغ اذه‬

‫لكشلا ‪ّ ،11‬الإ مهّنأ مل اوحرشي َناهربلا ىلع اذه ىنعملا الو َقيرطلا يذلا هب اوطبنتسا كلذ اًحرش‬ ‫ف و‪٩١‬‬

‫‪.‬اًعنقم ‪/‬‬

‫امِلو يف َكِلَذ نم ِدئاوفلا ةميظعلا عفانملاو ‪،‬ةّماعلا تدرأ نأ هَحرشأ هَحضوأو‬

‫‪ ‎1.‬ساكعناب عاعش ‪:‬سمشلا ساكعناب عاعشلا يسمشلا ‪،‬ف[ ‪]،‬ا‬ ‫]‪[G‬‬

‫‪: ‎2.‬يذلا ص ]ن[‬

‫‪:‬ذخّتا ص ]ن[‬

‫‪ ‎6.‬ةّيِرُك ‪:‬ةريثك ةريثك ةيرك ‪،‬ف[ ]ا‬

‫‪: ‎8.‬عوطقلا عطقلا ]ف[‬ ‫ص ]ا[‬

‫‪ ‎3.‬امّنإ … ‪:‬طقف ص ]ن[‬ ‫‪ ‎9.‬يتّلا ‪ُ:‬عقت ص ]س[‬

‫‪ ‎12.‬تدرأ ‪:‬هحضوأو انيأر هحضونو ]س[‬

‫‪12‬‬

‫َطيحُيل هملعب‬

‫‪per convertionem radii solaris‬‬

‫‪ٍ: ‎4.‬فاضُم ةفاضم ‪،‬ف[ ]ا‬

‫‪ ‎5.‬نم‬

‫‪: ‎7.‬سويمثنأو سيمتنأو ‪،‬ف[ ‪]،‬ا سوميمتنأو ]ل[‬ ‫‪: ‎10.‬ىلع نم ]س[‬

‫‪ِ ‎11.‬لكشلا … ‪:‬لكشلا‬

766

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

connaître les vérités le connaisse et que celui qui aspire aux affaires supérieures l’apprenne. Je l’ai donc montré dans ce traité, j’ai résumé la démonstration de la connaissance de sa vérité et mentionné la voie de sa réalisation, et j’ai agencé le procédé pour réaliser son instrument. J’introduis les fondements utilisés par les géomètres pour toutes les espèces de miroirs, afin que celui qui les cherche y parvienne et que celui qui les vise les saisisse.

Prémisses sur lesquelles on s’accorde

L 18 v

Le rayon solaire émane du corps du soleil vers les surfaces de toutes les espèces de miroirs et vers tous les corps suivant des lignes droites. Tous les rayons qui tombent sur les miroirs plans se réfléchissent suivant des angles égaux à partir des surfaces des miroirs. Tous les rayons qui tombent sur la surface des miroirs concaves se réfléchissent suivant des angles égaux à partir des surfaces planes tangentes à ces surfaces aux points sur lesquels tombe le rayon. J’entends par « rayons réfléchis suivant des angles égaux » que le rayon réfléchi entoure avec la ligne droite qui est l’intersection du plan des deux droites qui sont 1 et le rayon réfléchi, et du plan qui est la surface du miroir, ou du plan tangent à la surface du miroir si celle-ci est concave, deux angles égaux. Les droites qui aboutissent aux surfaces de toutes les espèces de miroirs et se réfléchissent suivant des angles égaux – soit sur la surface du miroir plan, soit sur les plans tangents aux surfaces concaves – c’est-à-dire les droites qui | se réfléchissent suivant la figure des rayons réfléchis, sont les rayons qui émanent suivant ces droites et se réfléchissent suivant ces droites. Par le plan tangent à la surface concave, j’entends celui entre lequel et la surface concave il y a un seul point commun. Par le plan de la droite réfléchie ou du rayon

‎1. Littéralement : les deux droites du rayon réfléchi.

‫‪767‬‬

‫‪IBN AL-HAYṮAM, SUR LE MIROIR ARDENT PARABOLIQUE‬‬

‫نم تناك هل ٌةبغر يف ةفرعم ‪،‬قئاقحلا هملعنو نم تناك هتمه يف تايالع ‪ 1‬رومألا ‪ ،2‬هُتنّيبف يف هذه‬ ‫ةلاقملا ُتصّخلو ‪َ 3‬ناهربلا ىلع ملع هتقيقح ُتركذو ‪َ 4‬قيرط لمعلا يف هذاخّتا بيترتو لمعلا يف ذاخّتا‬

‫هتلآ ‪.5‬‬

‫ُتمّدقو ‪َ 6‬لوصألا يتّلا اهلمعتسي نوسدنهملا يف عيمج عاونأ ايارملا يدتهيل هيلإ نم هَسمتلا هكرديو‬

‫ُّلك ْنَم ‪ُ.‬هَمار‬

‫تامّدقملا‬

‫‪ 7‬قفّتُملا اهيلع‬

‫ُعاعشلا ّيسمشلا ‪ 8‬عاعشلا جرخي نم مرج سمشلا ىلا حوطس عيمج عاونأ ايارملا ىلإ>و< عيمج‬

‫ماسجألا ‪ 9‬ىلع طوطخ ‪.‬ةميقتسم عيمجو تاعاعشلا ةعقاولا ىلع ايارملا ةحّطسملا سِكَعْنَت ىلع اياوز‬ ‫ةيواستم نم حوطس ‪.‬ايارملا‬

‫عيمجو تاعاعشلا ةعقاولا ىلع ايارملا ةَرَّعَقُملا ‪ 10‬سِكَعْنَت ىلع اياوز ةيواستم نم حوطسلا ةيوتسملا‬

‫ةّسامملا َكْلِتل حوطسلا ىلع طقنلا يتّلا عقي اهيلع عاعشلا – ينعأو عاعشلاب سكعنملا ىلع اياوز‬ ‫ةيواستم ّنأ عاعشلا سكعنملا طيحي عم ّطخلا ميقتسملا يذلا وه لصفلا كرتشملا نيب حطس نيّطخلا‬

‫نيميقتسملا نيذللا امه اّطخ عاعشلا سكعنملا‬

‫‪11‬‬

‫نيبو حطسلا يوتسملا يذلا وه حطس ايارملا وأ‬

‫حطسلا يوتسملا ‪ّ 12‬سامملا حطسلل يئارملا ناك نم ةَرَّعَقُملا ‪ 13‬نيتَيِوازب ‪.‬نيتيواستم‬

‫طوطخلاو ةميقتسملا يتّلا يهتنت ىلا حوطس عيمج عاونأ ايارملا سِكَعْنَتو ىلع اياوز ‪،‬ةيواستم‬

‫اّمأ نم حوطس ايارملا ةيوتسملا وأ نم حوطسلا ةيوتسملا ةّسامملا حوطسلل ‪ 14‬ةَرَّعَقُملا ‪ 15‬ينعأ طوطخلا‬

‫ل ظ‪١٨‬‬

‫‪ /‬يتّلا سِكَعْنَت ىلع لكش عاعشلا ‪،‬سكعنملا نوكت تاعاعشلا يتّلا جرخت ىلع َكْلِت طوطخلا سِكَعْنَت‬ ‫اًضيأ ىلع َكْلِت ‪.‬طوطخلا ينعأو حطسلاب يوتسملا ّسامملا حطسلل َرَّعَقُملا حطسلا يذلا نوكي هنيب‬ ‫نيبو حطسلا َرَّعَقُملاةَطْقُن ةدحاو ةكرتشم طقف ‪ .16‬ينعأو حطسب ّطخلا سكعنملا وأ عاعشلا سكعنملا‬ ‫‪: ‎1.‬تايالع تامالع ]ف[‬

‫… ‪ُ:‬تصّخلو هانيبف … انصخلو ]س[‬

‫هتلآ ]س[‬

‫‪: ‎2.‬رومألا لامعألا ‪]،‬س[ يف ددع تاجرد لامعألا ]ن[‬ ‫‪ُ: ‎4.‬تركذو انركذو ]س[‬

‫‪ُ: ‎6.‬تمّدقو انمدقو ]س[‬

‫‪ ‎3.‬هُتنّيبف‬

‫‪ ‎5.‬بيترتو … ‪:‬هتلآ هبيترتو ‪]،‬ن[ بيترتو‬

‫‪: ‎7.‬تامّدقملا لوصألا ‪،‬ف[ ]ا‬

‫‪ُ ‎8.‬عاعشلا ‪ّ:‬يسمشلا‬

‫‪radius‬‬

‫‪ ‎10.‬ةعقاولا … ‪:‬ةَرَّعَقُملا ةعقاولا‬ ‫‪ ‎9.‬ىلإ>و< … ‪:‬ماسجألا ص ‪،‬ف[ ‪،‬ا ‪]G‬‬ ‫‪ ،[G] solaris‬يسمشلا ‪].‬س[‬ ‫‪: ‎11.‬سكعنملا‬ ‫… ةرعقملا ةبدحملاو ‪]،‬ف[ ‪[G] qui cadunt super specula concava et gibbosa‬‬

‫ص ]س[‬

‫‪: ‎12.‬يوتسملا ص ]س[‬

‫‪: ‎14.‬حوطسلل ايارملل ]س[‬

‫‪: ‎13.‬ةَرَّعَقُملا ةرعقملا ةبدحملاو ‪]،‬ف[‬

‫‪: ‎15.‬ةَرَّعَقُملا ةرعقملا ةبدحملاو ‪]،‬ف[‬

‫‪ ‎16.‬ةكرتشم ‪:‬طقف طقف ةكرتشم ]س[‬

‫‪[G] concava et gibbosa‬‬

‫‪[G] concavorum et gibbosorum‬‬

768

F 91 v

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

réfléchi, le plan dans lequel il y a ces deux droites, qui sont la droite elle-même | et la droite qui est sa réflexion et qui entoure avec elle un angle.

Démonstration de la notion visée

L 19 r

 Soit une parabole quelconque dont on mène l’axe et dont on sépare de l’extrémité de l’axe l’égal au quart de son côté droit ; pour toute droite menée à l’intérieur de cette section parallèlement à l’axe, qui aboutit à sa surface arrondie et se réfléchit vers le point qui sépare le quart, alors les deux droites 1 entourent, avec la droite tangente à la section en ce point auquel a abouti la droite parallèle à l’axe, deux angles égaux. Exemple. La section ABC est une parabole, son axe est AD, son côté droit est L, on sépare de AD la droite AE égale au quart de la droite L, on mène la droite IB parallèle à la droite DA, on joint BE, et on mène la droite KBH tangente à la surface arrondie de la section ABC. Je dis que l’angle IBK est égal à l’angle EBH. Que l’angle EBH soit d’abord aigu. Par la voie de l’analyse, nous supposons l’angle IBK égal à l’angle EBH (figure 1). Puisque la droite IB est parallèle à la droite DA, alors l’angle IBK est égal à l’angle BHD. Mais l’angle IBK est égal à l’angle HBE, | par hypothèse, donc l’angle EBH est égal à l’angle BHE, la droite BE est donc égale à la droite EH et le carré de BE est donc égal au carré de EH. Menons BG perpendiculaire à l’axe, alors les carrés de EG et de GB sont égaux au carré de EH ; mais le carré de BG est égal au produit de AG par la droite L, qui est le côté droit, comme l’a montré l’éminent Apollonius dans son livre sur les Coniques, dans la proposition 11 du premier livre ; le carré de EG plus le produit de GA par L est donc égal au carré de EH ; mais EA est le quart de L, donc le produit de GA par AE quatre fois, plus le carré de EG, est égal au carré de EH. Mais AH est égale à GA, puisque cela est la réciproque de la huitième proposition du livre de l’ouvrage les Éléments, qui est : toute droite partagée en deux parties, à laquelle on ajoute l’égal de l’une des deux parties, alors le produit de la droite tout entière plus l’ajout par lui-même est

‎1. C’est-à-dire la droite incidente et la droite réfléchie.

‫‪769‬‬ ‫ف ظ‪٩١‬‬

‫‪IBN AL-HAYṮAM, SUR LE MIROIR ARDENT PARABOLIQUE‬‬

‫حطسلا يذلا هيف كناذ ‪،‬ناّطخلا يذلا وه ّطخلا هسفن ‪ّ / 1‬طخلاو يذلا وه هساكعنا ‪ 2‬يذلا طيحي‬ ‫هعم ‪.‬ةَيِوازب‬

‫ناهربلا ىلع ىنعملا دوصقملا‬

‫‪3‬‬

‫>‪ّ .‬‬

‫ّنألف ّطخ ط ب ٍزاوم ‪ّ 10‬طخل د ا‪ ،‬نوكت ةَيِواز ط ب ـك ًةيواسم ةَيِوازل ب ح د‪ّ .‬نكلو‬

‫ةَيِواز ط ب ـك ٌةيواسم ةَيِوازل ح ب ـه ضْرَفلاب ‪ ،11‬ةَيِوازف ـه ب ح ٌةيواسم ةَيِوازل ب ح ـه‪،‬‬

‫ّطخف ب ـه ٍواسم ّطخل ـه ح‪ ،‬عّبرمف ب ـه ٍواسم عّبرمل ـه ح‪.‬‬

‫جرخُنو ب ز اًدومع ىلع ‪،‬مهسلا اعّبرمف ـه ز َو ز ب نايواسم عّبرمل ـه ح‪ّ .‬نكل عّبرم ب ز‬

‫لْثِم برض ا ز يف ّطخ ل يذلا وه ّطخلا ‪،‬مئاقلا امك نّيب سوينولبأ لضافلا يف باتك ‪ 12‬تاطورخملا‬

‫يف لكشلا يداحلا رشع نم ةلاقملا ىلوألا ‪ .13‬عّبرمف ـه ز برضو ز ا يف ل ٍواسم عّبرمل ـه ح‪.‬‬

‫ّنكل ـه ا عبر ل‪ ،‬برضف ز ا يف ا ـه عبرأ تاّرم عّبرمو ـه ز ٍواسم عّبرمل ـه ح‪َ .‬و ا ح لْثِم‬ ‫ز ا ّنأل اذه سكع لكشلا< >نماثلا يف ةلاقملا ةيناثلا نم باتك ناكرألا ‪،‬هل وهو ّلك ّطخ مسقُي‬ ‫نيمسقب ّمث دازُي هيلع لْثِم دحأ ‪،‬نيمسقلا ّنإف برض ّطخلا هّلك عم ةدايزلا يف هلْثِم برضك ّطخلا‬ ‫‪: ‎1.‬هسفن هنيعب ]س[‬

‫‪: ‎4.‬هلخاد لخاد عطقلا ]س[‬ ‫ص ‪،‬ف[ ]ا‬

‫‪ ‎2.‬يذلا وه ‪:‬هساكعنا ص ]س[‬

‫‪ ‎5.‬يتّلا ىهتنا … ‪:‬مهسلل ص ]س[‬

‫‪ ‎3.‬ناهربلا … ‪:‬دوصقملا ص ‪،‬ف[ ]ا‬ ‫‪ِّ: ‎6.‬طخل ص ]س[‬

‫‪ّ: ‎7.‬طخ‬

‫‪ ‎8.‬حطسل … ‪:‬ريدتسملا ص ]س[‬

‫‪: ‎9.‬ةَيِوازل ص ‪،‬ف[ ]ا‬

‫‪ٍ: ‎10.‬زاوم ايزاوم ‪،‬ف[‬

‫‪: ‎11.‬ضْرَفلاب ص ]س[‬

‫‪: ‎12.‬باتك هباتك ]س[‬

‫‪ ‎13.‬لكشلا … ‪:‬ىلوألا‬

‫‪،‬ل ‪]،‬ن يزاوم ]ح[‬ ‫ص ]س[‬

770

F 92 r

F 92 v

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

égal au produit de la droite divisée par l’ajout quatre fois, plus le produit de la seconde partie par elle-même. Mais il en est ainsi car BH est tangente et BG est l’ordonnée, comme l’a montré Apollonius dans | la proposition 35 du premier livre et à partir de la proposition 33 de celui-ci également. Par la voie de la synthèse, nous supposons toutes les choses dans leur état. Je dis que l’angle IBK est égal à l’angle EBH. Démonstration. Menons BG ordonnée. Puisque l’angle BGE est droit et que nous avons supposé l’angle BEH aigu, le point G, qui est l’extrémité de la droite BG, tombe entre les deux points E et H. Mais puisque BH est tangente à la section et BG ordonnée, on a GA égale à la droite AH, d’après ce qui a été montré dans le livre d’Apollonius ; et le produit de EA par AG quatre fois plus le carré de EG est donc égal au carré de HE, d’après ce qu’Euclide a montré dans le deuxième livre de l’ouvrage des Éléments ; mais EA est le quart de L, donc le produit de EA par GA quatre fois est le produit de L par GA ; mais le produit de L par GA plus le carré de EG est égal au carré de EH ; mais le produit de L par GA est le carré de BG, car BG est une ordonnée, d’après ce qui a été montré dans le livre d’Apollonius. Donc le carré de BG plus le carré de EG est égal au carré de EH. Mais le carré de BG plus le carré de EG est le carré de EB, car l’angle BGE est droit, donc le carré de EB est égal au carré de EH ; et EB est égal à EH, donc l’angle EBH est égal à l’angle EHB. De plus, la droite IB est parallèle à la droite DA, donc l’angle IBK est égal à l’angle EHB, et l’angle EBH est égal à l’angle IBK. De même toute droite menée parallèlement à l’axe se réfléchit au point | E lorsqu’elle entoure avec EA un angle aigu. Ce qu’il fallait démontrer. Et la figure a été donnée avant. Fixons ce que nous avons mentionné dans son état. Que la droite BE entoure avec la droite EA un angle droit ; je dis que l’angle IBK est égal à l’angle EBH (figure 2). Par l’analyse, nous supposons que les deux angles sont égaux. Puisque la droite IB est parallèle à la droite AD, l’angle IBK est égal à l’angle EHB. Mais l’angle IBK est par hypothèse égal à l’angle EBH,

‫‪771‬‬

‫‪IBN AL-HAYṮAM, SUR LE MIROIR ARDENT PARABOLIQUE‬‬

‫موسقملا يف ةدايزلا عبرأ تاّرم برضو مسقلا يناثلا يف هلْثِم ‪1‬؛ هّنكل َكِلَذك ّنأل ب ح ٌّسامم‬ ‫ف و‪٩٢‬‬

‫وب ز ىلع بيترتلا امك ُهَنَّيَب سوينولبأ يف ‪ /‬لكشلا سماخلا نيثالثلاو نم ةلاقملا ىلوألا نمو لكش‬

‫ل ـج اهنم اًضيأ ‪.2‬‬

‫ىلعو قيرط بيكرتلا ضرفن ءايشألا اهّلك ىلع اهلاح ‪:‬لوقأف ّنإ ةَيِواز ط ب ـك ٌةيواسم‬

‫ةَيِوازل ـه ب ح‪.‬‬

‫ناهرب ‪َ:‬كِلَذ اّنأ جرخُن ب ز ىلع ‪..‬بيترتلا ّنألف ةَيِواز ب ز ـه ‪،‬ةمئاق اّنكو انضرف ةَيِواز‬

‫ب ـه ح ‪،‬ةّداح عقت ةَطْقُن ز‪ ،‬يتّلا يه ةياهن ّطخ ب ز نيب يتَطْقُن ـه َو ح ‪ّ .3‬نألو ‪ 4‬ب ح‬

‫ّسامم عْطَقلل َو ب ز ىلع ‪،‬بيترتلا نوكي ا ز اًيواسم ّطخل ا ح ىلع ام نّيبت يف باتك سوينولبأ ‪.5‬‬ ‫برضف ـه ا يف ا ز عبرأ تاّرم عم عّبرم ـه ز ٍواسم عّبرمل ـه ح ىلع ام هنّيب سديلقأ يف ةلاقملا‬ ‫ةيناثلا نم باتك ناكرألا ‪ّ .6‬نكل ـه ا عبر ل‪ ،‬برضف ـه ا يف ز ا عبرأ تارم وـه برض ل يف‬

‫ز ا‪ .‬برضو ل يف ز ا عم عّبرم ـه ز ٍواسم عّبرمل ـه ح‪ّ .‬نكلو برض ل يف ز ا وه عّبرم ب ز‬

‫ّنأل ب ز ىلع بيترتلا ىلع ام نّيبت يف باتك >سوينولبأ< ‪ .7‬عّبرمف ب ز عّبرمو ـه ز لْثِم عّبرم‬

‫ـه ح‪ّ .‬نكل عّبرم ب ز >عّبرم.‬‬ ‫ليلحتلابف‬

‫‪15‬‬

‫ُضرفن ّنأ نيتَيِوازلا ‪.‬نيتيواستم ّنألف ّطخ ط ب ٍزاوُم ّطخل ا د‪ ،‬نوكت‬

‫ةَيِواز ط ب ـك ةيواسم ةَيِوازل ـه ح ب‪ .‬نكلو ةَيِواز ط ب ـك – ِضْرَفلاب – ٌةيواسم ةَيِوازل‬

‫]س[‬

‫‪ّ ‎1.‬نأل اذه … ‪:‬هلْثِم ص ]س[‬

‫ص ]س[‬

‫‪ّ: ‎4.‬نألو نألف ]س[‬

‫‪ ‎5.‬ىلع بيترتلا … ‪:‬سوينولبأ ص ]س[‬

‫‪ ‎7.‬ىلع ام … ‪>:‬سوينولبأ< ص ]س[‬

‫‪: ‎10.‬رطقلل مهسلل ]س[‬ ‫]س[‬ ‫]س[‬

‫‪ ‎2.‬امك ُهَنَّيَب … ‪:‬اًضيأ ص ]س[‬

‫‪ّ ‎3.‬نألف ةَيِواز … َو ح‪ :‬ص‬

‫‪ّ ‎8.‬نأل … ‪:‬ةمئاق ص ]س[‬

‫‪ ‎11.‬هّنإف سكعني ىلإ ‪:‬ةَطْقُن يهتنيو ىلإ ةطقن ]س[‬

‫‪: ‎13.‬ةَيِوازب ةيواز ]س[‬

‫‪ ‎6.‬ىلع ام … باتك ‪:‬ناكرألا‬

‫‪ ‎14.‬دقو تمّدقت ‪:‬ةروصلا ص ]س[‬

‫‪ّ: ‎9.‬طخل ص ]س[‬

‫‪ ‎12.‬ىتم ‪:‬طاحأ طيحيو‬

‫‪: ‎15.‬ليلحتلابف ليلحتلابو‬

772

F 93 r

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

donc l’angle EBH est égal à l’angle EHB ; la droite BE est donc égale à la droite EH ; le carré de EB est donc égal au carré de EH. Mais le carré de EB est égal au produit de AE par L, qui est le côté droit, puisque BE est suivant un angle droit ; le produit de EA par L est donc égal au carré de EH. Mais le produit de EA par L est le quart du carré de L, le carré de EH est donc le quart du carré de L. Mais EA est le quart de L, donc la droite EH est la moitié de la droite L, puisque EA est le quart de L. AH est donc le quart de L. La droite EA est donc égale à la droite AH, et il en est ainsi car BH est tangente et BE est une ordonnée. Nous supposons toutes les choses dans leur état. Je dis que l’angle IBK est égal à l’angle EBH. Démonstration. La droite BH est tangente à la section et BE est une ordonnée, donc la droite AE est égale à la droite AH. Mais EA est un quart de L, EH est la moitié de L. Le carré de EH est donc le quart du carré de L. Mais le produit de EA par L est le quart du carré de L, car EA est le quart de L. Le produit de EA par L est donc égal au carré de EH. Mais le produit de EA par L est égal au carré de EB, car BE est une ordonnée. Le carré de BE est donc égal au carré de EH, la droite BE est donc égale à la droite EH, l’angle EBH est donc égal à l’angle EHB. Mais puisque la droite IB est parallèle à la droite DH, alors l’angle IBK est égal à l’angle EHB ; mais l’angle EBH est égal à l’angle EHB, donc l’angle IBK est égal à l’angle EBH égal à l’angle EHB. Ce qu’il fallait démontrer. | Fixons ce que nous avons mentionné dans son état et que l’angle EBH soit obtus. Je dis que l’angle IBK est égal à l’angle EBH. Par la méthode de l’analyse, nous supposons qu’il en est ainsi. Puisque la droite IB est parallèle à la droite DH, alors l’angle IBK est égal à l’angle EHB. Mais l’angle IBK, par hypothèse, est égal à l’angle EBH, alors l’angle EBH est égal à l’angle EHB. La droite EB est donc égale à la droite EH, et le carré de BE est égal au carré de EH. Menons BG ordonnée, donc le carré de BG plus le carré de GE est égal au carré de EH , donc le carré de BE est égal au carré de EH, car l’angle BGE est droit ; or on a montré maintenant que le carré de BE est égal au carré de EH ; mais le carré de BG est égal au produit de AG par L, donc le produit de AG par L plus le carré de EG est égal au carré de EH ; mais

‫‪773‬‬ ‫ل و‪١٩‬‬

‫‪IBN AL-HAYṮAM, SUR LE MIROIR ARDENT PARABOLIQUE‬‬

‫ـه ب ح‪ / ،‬ةَيِوازف ـه ب ح ةيواسم ةَيِوازل ـه ح ب‪ّ ،‬طخف ب ـه ٍواسم ّطخل ـه ح‪ ،‬عّبرمف ـه ب‬ ‫ٍواسم عّبرمل ـه ح‪ّ .‬نكلو عّبرم ـه ب ٍواسم برضل ـه ا يف ل‪ ،‬يذلا وه علضلا مئاقلا ّنأل ب ـه‬

‫ىلع ةَيِواز ‪.‬ةمئاق برضف ـه ا يف ل ٍواسم عّبرمل ـه ح‪ .‬نكل برض ـه ا يف ل وه عبر عّبرم ل‬ ‫ّنأل ـه ا عبر ل‪ ،‬عّبرمف ـه ح ُعبر ِعّبرُم ل‪ُّ ،‬طخف ـه ح ُفصن ِّطخ ل ‪ّ .2‬نكل ـه ا عبر ل‪ ،‬ـف َ‬ ‫‪1‬‬

‫ا ح عبر ل‪ّ ،‬طخف ـه ا لْثِم ّطخ ا ح‪ ،‬هّنكل َكِلَذك ّنأل ب ح ٌّسامم َو ب ـه ىلع ‪.‬بيترتلا‬

‫بيكرتلابو ُضرفن َءايشألا اهَّلك ىلع ‪،‬اهلاح ‪:‬لوقأف ّنإ ةَيِواز ط ب ـك ٌةيواسم ِـلـه ب ح‪.‬‬ ‫ُناهرب ‪َ:‬كِلَذ ّنأ َّطَخ ب ح ٌّسامُم عْطَقلل َو ب ـه ىلع ‪،‬بيترتلا ُّطخف ا ـه ُلْثِم ِّطَخ ا ح‪،‬‬

‫َو ـه ا ُعْبُر ل‪ ،‬وـه ح ُفْصِن ‪،‬ل عّبرمف ـه ح ُعْبُر عّبرم ل‪ّ .‬نكلو َبْرَض ـه ا يف ل ُعْبُر عّبرم‬

‫ل ّنأل ـه ا ُعْبُر ل‪ُ ،‬بْرَضف ـه ا يف ل ُلْثِم عّبرم ـه ح‪ .‬نكلو َبْرَض ـه ا يف ل ُلْثِم عّبرم‬

‫ـه ب ّنأل ب ـه ىلع ‪،‬بيترتلا عّبرمف ب ـه لْثِم عّبرم ـه ح‪ّ ،‬طخف ب ـه ُلْثِم ِّطخ ـه ح‪ُ ،‬ةَيِوازف‬ ‫ـه ب ح ٌةيواسم ِةَيِوازل ـه ح ب‪ّ .‬نألو َّطخ ط ب ٍزاوم ِّطخل د ح ُنوكت ُةَيِواز ط ب ـك‬ ‫َلْثِم ِةَيِواز ـه ح ب‪ ،‬دقو ْتناك ُةَيِواز ـه ب ح َلْثِم ِةَيِواز ـه ح ب‪ُ ،‬ةَيِوازف ط ب ـك ُلْثِم‬

‫ف و‪٩٣‬‬

‫ِةَيِواز ـه ب ح ِلْثِم ِةَيِواز ـه ح ب؛ َكِلَذو ‪ /‬ام اندرأ ْنأ ‪َ.‬نِّيَبُن‬ ‫ْتِّبَثُنلو ام انركذ ىلع ‪.‬هلاح‬

‫ْنكتلو ُةَيِواز ـه ب ح ؛ًةجرفنم ‪:‬لوقأف ّنإ َةَيِواز ط ب ـك ٌةيواسم ةَيِوازل ـه ب ح‬

‫لكش< ‪٣>.‬‬

‫ىلعف ِةهج ِليلحتلا ُضرفن ّنأ َكِلَذ ‪َ.‬كِلَذك ّنألف َّطخ ط ب ٍزاوم ّطخل د ح نوكت ُةَيِواز‬

‫ط ب ـك ًةيواسم ةَيِوازل ـه ح ب ‪ .3‬ةَيِوازو ط ب ـك – ضرفلاب – ُلْثِم ِةَيِواز ـه ب ح‪،‬‬ ‫ةَيِوازف ـه ب ح لْثِم ةَيِواز ـه ح ب‪ُّ ،‬طخف ـه ب لْثِم ّطخ ـه ح‪ ،‬عّبرمف ب ـه لْثِم عبرم‬

‫ـه ح‪ُ .‬جرخُنو ب ز ىلع ‪،‬بيترتلا عّبرمف ب ز عّبرمو ز ـه لْثِم عّبرم ـه ح ‪ 4‬عّبرمف ب ـه لْثِم‬ ‫عّبرم ـه ح ّنأل ةَيِواز ب ز ـه ‪.‬ةمئاق‬

‫دقو نّيبت نآلا ّنأ عّبرم ب ـه لْثِم عّبرم ـه ح ‪ّ ،5‬نكل عّبرم ب ز لثم برض ا ز يف ل‪،‬‬

‫برضف ا ز يف ل ‪ 6‬عم عّبرم ـه ز لثم عّبرم ـه ح‪ .‬نكلو ـه ا لثم ‪ 7‬عبر ل‪ ،‬برضف ز ا يف ل‬

‫‪ ‎1.‬نكل برض … وه عبر عّبرم ل‪ :‬ص ]ف[‬ ‫‪]،‬ل[ ـف ـه ح فصن ل ‪،‬ح[ ]ل‬

‫‪ ‎5.‬دقو نّيبت … ـه ح‪ :‬ص ]س[‬

‫‪ُّ ‎2.‬طخف ـه ح ُفصن ِّطخ ل‪ :‬ـف ب ح فصن ل‬

‫‪ ‎3.‬ـه ح ب‪ :‬ـه ب ح‪.‬‬

‫‪ُ ‎4.‬جرخُنو … لْثِم عّبرم ـه ح‪ :‬ص ]ف[‬

‫‪ ‎6.‬برضف ا ز يف ل‪ :‬ص ]ف[‬

‫‪ ‎7.‬لثم ‪):‬يناثلا( ص ]س[‬

774

F 93 v

L 19 v

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

EA est égal au quart de L, le produit de GA par L est égal à quatre fois le produit de GA par AH, donc le produit de GA par AE, quatre fois, plus le carré de GE, est égal au carré de EH. Posons AM égal à AE, donc le produit de GA par AM, quatre fois, plus le carré de GE, est égal au carré de GM, donc le carré de GM est égal au carré de EH et GM est égale à EH. On ôte EM commun, il reste GE égale à MH. Mais on a supposé EA égale à AM, donc GA est égale à AH, et il en est ainsi parce que BH est tangente à la section et BG est une ordonnée. Par la méthode de la synthèse, on suppose toutes les choses dans leur état. Je dis que l’angle IBK est égal à l’angle EBH. Démonstration. Menons BG ordonnée. Puisque BH est tangente à la section et que BG est une ordonnée, la droite GA est égale à la droite AH. Posons AM égale à AE, il reste donc GE égale à MH ; donc GM est égale à EH et le carré de GM est égal au carré de EH. | Mais le produit de GA par AE, quatre fois, plus le carré de GE, est égal au carré de GM, selon ce qu’Euclide a démontré dans le deuxième livre de son ouvrage les Éléments ; donc le produit de GA par AE, quatre fois, plus le carré de GE, est égal au carré de EH. Mais le produit de GA par AE, quatre fois, est le produit de GA par L, car EA est le quart de L. Donc le produit de GA par L plus le carré de GE est égal au carré de EH. Mais le produit de GA par L est le carré de BG car BG est une ordonnée ; le carré de BG plus le carré de GE est égal au carré de EH ; mais le carré de BG plus le carré de GE est le carré de BE, donc le carré de BE est égal au carré de EH ; BE est donc égale à EH, l’angle EBH est donc égal à l’angle EHB ; mais l’angle EHB est égal à l’angle IBK, car la droite IB est parallèle à la droite DH. L’angle EBH est donc égal à l’angle IBK, et de même pour toute droite menée dans la section et qui entoure avec la droite EH du côté de son sommet | un angle obtus. Et toute droite menée de son extrémité sur le périmètre de la section et telle que son prolongement dans la section soit parallèle à son axe et qui se réfléchit au point E entoure avec la droite tangente en ce point deux angles égaux. Ce qu’il fallait démontrer. Et ceci est la figure (figure 3).  Toute parabole dont on fixe l’axe et que l’on fait tourner jusqu’à ce qu’elle revienne à la position dans laquelle elle a commencé son mouvement engendre un solide de révolution et engendre dans le solide qui l’entoure, quel que soit ce solide, une surface concave. Pour toute surface plane menée par son axe et qui coupe la surface concave, l’intersection est une parabole égale à la première

‫‪775‬‬

‫‪IBN AL-HAYṮAM, SUR LE MIROIR ARDENT PARABOLIQUE‬‬

‫ٍواسم عبرأل تاّرم ‪ 1‬لْثِم برض ز ا يف ا ـه‪ ،‬برضف ز ا يف ا ـه عبرأ تاّرم عم عّبرم ز ـه لْثِم‬ ‫عّبرم ـه ح‪ .‬لعجنو ا م لْثِم ا ـه‪ ،‬برضف ز ا يف ا ـه عبرأ تاّرم عم عّبرم ـه ز لْثِم عّبرم ز م‪،‬‬ ‫عّبرمف ز م ‪ 2‬لْثِم عّبرم ـه ح َـف ز م لْثِم ـه ح‪ .‬يقلنف ـه م ‪،‬كرتشملا ىقبيف ز ـه لْثِم م ح‪ ،‬وـه ا‬ ‫هانضرف ‪ 3‬لْثِم ا م‪ ،‬ـف ز ا لْثِم ا ح‪ ،‬هّنكلو َكِلَذك ّنأل ب ح ّسامم عْطَقلل َو ب ز ىلع ‪.‬بيترتلا‬ ‫ىلعو ةهج ‪.‬بيكرتلا ضرفن ءايشألا اهّلك ىلع اهلاح ‪:‬لوقأف ّنإ ةَيِواز ط ب ـك لْثِم ةَيِواز‬

‫ـه ب ح‪.‬‬

‫ناهرب ‪َ:‬كِلَذ اّنأ جرخن ب ز ىلع بيترتلا ‪ ،‬نألف ب ح ّسامم عْطَقلل وب ز ىلع ‪،‬بيترتلا‬ ‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫نوكي طخ ز ا لْثِم طخ ا ح‪ .‬لعجنو ا م لْثِم ا ـه‪ ،‬ىقبيف ز ـه لْثِم م ح‪ ،‬نوكيف ز م لْثِم‬

‫ف ظ‪٩٣‬‬

‫ـه ح‪ ،‬عّبرمف ز م لْثِم عّبرم ـه ح ‪ /‬نكلو برض ز ا يف ا ـه عبرأ تاّرم عم عّبرم ز ـه لْثِم‬ ‫عّبرم ز م ىلع ام هنّيب سديلقأ يف ةلاقملا ةيناثلا نم باتك ناكرألا ‪. 6‬هل برضف ز ا يف ا ـه عبرأ‬

‫تاّرم عم عّبرم ز ـه لْثِم عّبرم ـه ح‪ .‬نكلو برض ز ا يف ا ـه عبرأ تاّرم وه برض ز ا يف‬ ‫ل‪ّ ،‬نأل ـه ا عبر ل‪ ،‬برضف ز ا يف ل عم عّبرم ز ـه لْثِم عّبرم ـه ح‪ .‬نكلو برض ز ا يف ل‬ ‫وه عّبرم ب ز‪ّ ،‬نأل ب ز ىلع ‪،‬بيترتلا عّبرمف ب ز عّبرمو ز ـه لْثِم عّبرم ـه ح‪ ،‬اعّبرمو ب ز‬ ‫ز ـه وه عّبرم ب ـه عّبرمف ب ـه ‪ 7‬لثم عّبرم ـه ح ـف ب ـه لْثِم ـه ح‪ ،‬ةَيِوازف ـه ب ح لْثِم‬ ‫ةَيِواز ـه ح ب‪ ،‬نكلو ةَيِواز ـه ح ب لْثِم ةَيِواز ط ب ـك ـ ّنأل َّطخ ط ب ٍزاوم ِّطخل د ح‪،‬‬ ‫ةَيِوازف ـه ب ح لْثِم ةَيِواز ط ب ـك ‪،‬ـ َكِلَذكو ُّلك ٍّطخ جرخي يف عْطَقلا طيحيو عم ِّطخ ـه ح‬

‫ل ظ‪١٩‬‬

‫امم يلي هسأر ‪ /‬ةَيِوازب ‪،‬ةجرفنم ُّلكو ٍّطخ جرخي نم هفرط يذلا ىلع طيحم عْطَقلا نوكيو هجورخ‬

‫يف عْطَقلا اًيزاوم همهسل ‪ 8‬سكعنيو ىلإ ةَطْقُن ه طيحي عم ّطخلا ّسامملا ىلع َكْلِت ةَطْقُنلا نيتَيِوازب‬ ‫نيتيواستم َكِلَذو ام اندرأ نأ نّيبن هذهو ‪.‬ةروصلا‬

‫>‪ّ .‬‬

‫جرخو نم مهس ا د حطس وتسم امفيك قفّتا عطقف حطسلا ‪ /‬جراخلا عْطَقلا ئِفاكُملا ‪ ،3‬ناكو‬

‫ف و‪٩٤‬‬

‫‪4‬‬

‫لصفلا كرتشملا طخ ا ح ـه؛ ‪:‬لوقأف ّنإ ّطخ ا ح ـه عْطَق ئِفاكُم ٍواسم عْطَقل ا ب ـج‪.‬‬

‫ناهرب ‪َ:‬كِلَذ اّنأ لصن ـه د مّهوتنو عْطَق ا ب ـج د لّوألا اًكّرحتم لوح مهس ا د‪ ،‬ةَطْقُنف‬

‫ـج اذا تهتنا ىلإ ةَطْقُن ـه قبطنا ّطخ د ـج ىلع ّطخ د ـه ‪ 5‬قبطناو عيمج حطس ا ب ـج د ىلع‬ ‫حطس ا ح ـه د اراصو اًحطس ‪،‬اًدحاو امهّنأل نايواستم ‪ّ .6‬نألو عْطَق ا ب ـج د ثدحأ حطسلا‬

‫َرَّعَقُملانوكي ّطخ ا ب ـج ‪،‬اًدبأ ثيح ام راد ‪،‬عْطَقلا اًلصف اًكرتشم نيب حطسلا َرَّعَقُملانيبو ‪.‬عْطَقلا‬ ‫اذإو قبطنا حْطَس ‪ 7‬ا ب ـج د ىلع حطس ا ح ـه د ناك ُلصفلا ُكرتشملا هنيب نيبو ِحطسلا َرَّعَقُملا‬

‫َّطخ ا ب ـج‪ .‬دقو ناك لصفلا كرتشملا نيب حطسلا يذلا قبطنا هيلع راصو هعم اًحطس اًدحاو‬ ‫وهو حطسلا َرَّعَقُملاوه طخ ا ح ـه‪ّ ،‬طخف ا ب ـج قبطني ىلع ّطخ ا ح ـه ناريصيو اًّطخ ‪،‬اًدحاو‬ ‫ريصيو حطسلا هُّلك اًيواسم حطسلل ‪>.‬هّلك< ّطخف ا ح ـه وه عْطَق ئِفاكُم ٍواسم عْطَقل ا ب ـج ـ‬ ‫همهسو ا د؛ َكِلَذو ام اندرأ نأ ‪.‬نّيبن‬

‫>‪ .‬‬

‫ناهرب ‪َ:‬كِلَذ ّنأ يّطخ ط ب د ا ‪،‬نايزاوتم امهف يف ٍحطس ‪،‬دحاو ّطخو ب ح ٌلصاو‬ ‫‪،‬امهنيب وهف يف امهحطس ‪ ،1‬يّطخو ب ح ا د ناعطاقتي امهف يف ٍحطس دحاو وهو حطس نيّطخلا‬

‫نييزاوتملا ‪ ،2‬طوطخف ط ب ب ح ا د يف ٍحطس دحاو ‪ .3‬جُرخُنَف َحطس ب ط د ا ىّتح‬ ‫َعطقي َحطسلا َرَعقملا َحطسلاو يوتسملا ّسامملا هل ىلع ةَطْقُن ب‪ ،‬وهف ُثِدحُي هيف اًعْطَق اًئِفاكُم‬ ‫اًيواسم عْطَقلل يذلا هثدحأ هُمهسو َكِلَذ ‪ُ،‬مهسلا امك انّيب يف لكشلا يذلا لبق ؛اذه نكيلف كلذ‬

‫عْطَقلا عْطَق ا ب ز ثدحيو اًضيأ يف حطسلا يوتسملا ِّسامملا هل ّطخ ‪،‬ميقتسم نكيلف ّطخ‬

‫ـك ب ل‪ ،‬طخف ـك ب ل ّسامي حطسلا َرَّعَقُملا هّنأل هاقلي ىلع ٍةَطْقُن ةدحاو ‪،‬طقف َكِلَذكو‬ ‫ل و‪٢٠‬‬

‫اًضيأ وه ّسامي ‪ /‬عْطَقلا هنأل هاقلي ىلع ةَطْقُن ‪،‬ةدحاو ّنألو َّطخ ـك ب ل ّسامي ‪َ،‬عْطَقلا‬

‫َّطخو ا ح ُعبر هعلض ‪،‬مئاقلا ّطخو ط ب ٍزاوم ِّطخل ا د‪ ،‬دقو سكعنا ىلإ ةَطْقُن ح‪ ،‬نوكي‬ ‫اّطخ ناطيحي عم طخ ـك ب ل نيتَيِوازب ‪.‬نيتيواستم نّيبتيو ‪ 4‬امك نّيبت اميف‬ ‫‪.‬مّدقت اّطخف ط ب ب ح ناطيحي عم طخلا سامملا حطسلل َرَّعَقُملا يذلا وه لصفلا كرتشملا‬

‫نيب حطس يَّطخ ط ب ب ح‪ ،‬حطسلاو سامملا حطسلل َرَّعَقُملا نيتَيِوازب ‪.‬نيتيواستم َكِلَذكو‬

‫نّيبن امك نّيبت اميف مّدقت ّنأ ّلك ّطخ جرخي اًيزاوم مهسلل يهتنيو ىلإ حطسلا َرَّعَقُملا سكعني‬

‫ىلإ ةَطْقُن ح نوكت هذه ؛هلاح َكِلَذو ام اندرأ نأ نّيبن‬

‫>‪ُّ .‬‬

‫ناهرب ‪َ:‬كِلَذ ّنأ عاعشلا ‪ 1‬يذلا جرخي نم مرج سمشلا ىلإ حوطسلا ِةَّيئارملا‪ 2‬جرخي ىلع‬

‫ٍطوطخ ‪،‬ةميقتسم عاعشلاف يذلا جرخي نم ةَطْقُن ط ىلإ ةَطْقُن ا جرخي ىلع طخ ا ط‪ .‬ضرفنو‬ ‫ىلع حطسلا يئارملا ةَطْقُن ىلع طيحم هتدعاق امفيك قفتا نكتلو ةَطْقُن ـج‪ ،‬مّهوتنو اًّطخ اًجراخ نم‬ ‫ةَطْقُن ـج اًيزاوم طخل ا ط لْثِم طخ ـج ـك ‪،‬ـ ّطخف ـج ـك اذإ جرخ ىلع ٍةماقتسا عقو ىلع مرج‬

‫سمشلا ّنأل ضرعلا يذلا هنيب نيبو ّطخ ا ط ٌرادقم ٌريسي ال ردق هل دنع مرج سمشلا وهف‬ ‫عقي اًدبأ ابيرق نم ةَطْقُن ط‪ ،‬ةَطْقُنو ط يف لخاد مرج سمشلا ‪ ،3‬وهف عقي لخاد مرج ‪،‬سمشلا‬

‫عقيلف ىلع ةَطْقُن ـك؛ ضرفنلو ةَطْقُن ـك لخاد ‪،‬سمشلا عاعشلاو ‪ 4‬يذلا جرخي نم ةَطْقُن ـك ىلإ‬ ‫ةَطْقُن ـج جرخي ىلع طخ ـك ــج‪َ .‬كِلَذكو ُّلك ةَطْقُن ىلع طيسب حطسلا ِّيئارملا جرخي اهنم ّطخ‬

‫ٍزاوم مهسلل هّنإف يهتني ىلإ مرج ‪،‬سمشلا نوكيو عاعشلا يذلا جرخي نم كلت ةطقنلا يف سمشلا‬ ‫ىلإ ةطقنلا يتلا يف حطسلا يئارملا جرخي ىلع َكِلَذ ‪ّ.‬طخلا دقف نيبت هّنأ جرخي نم مرج سمشلا‬ ‫تاعاعش ىلإ عيمج طيسب حطسلا ّيئارملا ىلع طوطخ ةيزاوتم >و< ‪5‬ةيزاوم ؛مهسلل ‪:‬لوقأف ّنإ‬

‫اهَعيمج سكعني ىلإ ةَطْقُن ح‪ّ .‬نألو َحطس ا ـج ـه ب ٌحطس َرَّعَقُم َريعقت مّسجملا ‪ 6‬ئِفاكُملا نوكي‬

‫ف ظ‪٩٥‬‬

‫ُعيمج ‪ /‬طوطخلا ةيزاوملا ‪،‬همهسل اذإ تهتنا هيلإ تسكعناو ىلإ ةَطْقُن ح طاحأ ّلك دحاو اهنم ‪ 7‬عم‬

‫طوطخلا ةميقتسملا يتّلا جرخت ىلع ‪ 8‬اهحوطس ًةّسامم حطسلل َرَّعَقُملا اياوزب ةيواستم ىلع ام نّيبت يف‬ ‫لكشلا ‪ 9‬يذلا لبق ‪.‬اذه طوطخلاو ةميقتسملا يتّلا جرخت ىلإ حوطسلا ِةَّيئارملا سِكَعْنَتو ‪ 10‬ىلع اياوز‬

‫ل ظ‪٢٠‬‬

‫ةيواستم نم طوطخلا ةّسامملا حوطسلل ةّيئارملا ‪ /‬يتّلا نوكت يف حوطس طوطخلا ةسكعنملا نوكت‬

‫تاعاعشلا يتّلا جرخت ىلع َكْلِت طوطخلا سكعنت اًضيأ ىلع َكْلِت ‪،‬طوطخلا تاعاعشلاف يتلا جرخت‬

‫نم مرج سمشلا ىلع طوطخلا ةيزاوملا مهسلل ‪ 11‬ىلإ عيمج طيسبلا حطسلل َرَّعَقُملاسِكَعْنَت اًضيأ ىلع‬ ‫َكْلِت طوطخلا يتّلا يهتنت ىلإ ةَطْقُن ح‪ ،‬امك انركذ يف ردص باتكلا ‪.12‬‬

‫‪ ‎3.‬ةَطْقُنو ط يف لخاد مرج ‪:‬سمشلا‬ ‫‪ ‎2.‬حوطسلا ‪ِ:‬ةَّيئارملا ص ]س[‬ ‫‪: ‎1.‬عاعشلا تاعاعشلا ]س[‬ ‫ص ‪]،‬ف[ دعب »يف« يف ةرابعلا ةقباسلا بتك خاسنلا ]س[ وهف« عقي ىلع مرج ‪»،‬سمشلا ودبيو اهنا ةرابع ةدئاز‬

‫‪: ‎4.‬عاعشلاو عاعشلاف ]س[‬

‫‪ ‎5.‬ةيزاوتم ‪>:‬و< ص ]س[‬

‫‪: ‎6.‬مّسجملا مسجلا ]ف[‬

‫‪ ‎7.‬طاحأ ّلك‬

‫‪: ‎10.‬سِكَعْنَتو سكعنو‬ ‫‪: ‎9.‬لكشلا ةلاقملا ]ف[‬ ‫‪: ‎8.‬ىلع يف ]س[‬ ‫دحاو ‪:‬اهنم تطاحأ ]س[‬ ‫‪ ‎12.‬امك انركذ … ‪:‬باتكلا ص ]س[‬ ‫‪ ‎11.‬سكعنت … ةيزاوملا ‪:‬مهسلل ص ]ف[‬ ‫]س[‬

782

F 96 r

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Ainsi on a montré que, du corps du soleil, se propagent vers tout l’intérieur de la surface réfléchissante des rayons suivant des droites parallèles à l’axe. Les rayons solaires qui se propagent vers tout l’intérieur de la surface réfléchissante concave, à concavité paraboloïdale, et qui sont parallèles à l’axe, se réfléchissent donc tous vers le point H, celui dont la distance au sommet de la surface est égale au quart du côté droit. Ce qu’il fallait démontrer.  Dès lors, étant donné qu’on a montré que les rayons qui se propagent du corps du soleil à la surface du miroir concave à concavité paraboloïdale et qui sont parallèles à l’axe, se réfléchissent tous vers un seul point, nous montrons maintenant comment façonner le miroir qui aura cette figure. On prend une plaque en bon acier de la grandeur que nous voulons, qu’elle soit comme la plaque ABC. Nous déterminons sur elle une portion de parabole, quelle que soit cette section, soit la portion AEC. Que l’on coupe la plaque suivant la ligne AEC. Quant à la manière de déterminer la parabole ou les autres sections par la voie de l’instrument, elle a été mentionnée par un groupe de géomètres, même s’ils ne l’avaient pas déterminée selon sa vérité. | Nous avons montré dans un traité dans lequel nous exposons la détermination de toutes les sections par la voie de l’instrument comment déterminer une section à volonté, selon sa vérité, telle qu’aucune autre plus correcte qu’elle ne puisse être réalisée dans la matière – comme c’est le cas pour trouver le cercle par le compas, même si cela présente une difficulté supplémentaire – et suivant le diamètre que nous voulons. Je montre alors comment déterminer cela sur la surface que nous voulons et telle que l’angle de l’ordonnée de cette section soit un angle à volonté et que son côté droit soit une droite à volonté, et une portion de la section à volonté, qu’elle soit du côté du sommet ou en son milieu si nous préférons, de sorte que la distance à son sommet soit une distance à volonté. Par cela, comment déterminer la parabole dans la plaque devient évident. Sans la crainte que ce livre s’allonge et que s’y mêle ce qui ne lui appartient pas, nous l’aurions exposé dans ce lieu ; mais nous l’avons exposé dans le lieu qui lui convient, si Dieu le veut (figure 7). Nous déterminons donc sur la plaque ABCD une portion de parabole, soit la portion AEC. Nous coupons la plaque suivant celle-ci et nous limons son bord afin qu’elle puisse racler tout ce qui passe sur elle. Nous prenons également une autre plaque en acier qui a une

‫‪783‬‬

‫‪IBN AL-HAYṮAM, SUR LE MIROIR ARDENT PARABOLIQUE‬‬

‫دقف ‪ 1‬نّيبت هّنأ جرخي نم مرج سمشلا ىلإ عيمج طيسب حطسلا ّيئارملا ٌتاعاعش ‪ 2‬ىلع طوطخ‬

‫ةيزاوم ‪.‬مهسلل تاعاعشلاو ةيسمشلا ‪ 3‬يتّلا جرخت ىلإ عيمج طيسب حطسلا يئارملا َرَّعَقُملا ريعقت مَّسَجُملا‬

‫‪،‬ئِفاكُملا يتّلا نوكت ةيزاوم ‪،‬مهسلل اهنإف اهّلك سِكَعْنَت ىلإ ةَطْقُن ح يهو يتّلا اهدعب نم سأر‬

‫حطسلا لْثِم عبر علضلا ؛مئاقلا َكِلَذو ام اندرأ نأ ‪.‬نّيبن‬

‫>‪ .‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ْجِرْخَتْسَنف يف ةَحيفَص ا ب ـج د ًةَعْطِق نم ِعْطَقلا ‪،‬ئِفاكُملا نكتلو َةَعْطِق ا ـه ـجـ‪ُ ،‬عَطْقَنَو‬

‫َةَحيفَصلا ‪.‬اهيلع ّمث ُّدحَن اهَترفش ىّتح َنوكت ُثيحب ُتَحْنَت َّلُك ام ُّرُمـَت هيلع ُذخّتنو اًضُيأ ًةَحيفَص ىَرْخُأ‬

‫‪: ‎1.‬دقف دقو ]س[‬

‫‪: ‎5.‬عطقنلو عطقنو ]ف[‬ ‫]ف[‬ ‫]س[‬

‫‪ٌ: ‎2.‬تاعاعش عاعش ]س[‬

‫‪ ‎6.‬اّنأو ‪:‬نّيبأ دقو انيب نحن ]س[‬

‫‪ُ ‎9.‬نِّيَبُأَف َفيك … ‪:‬كلذ ص ]س[‬ ‫‪ُ: ‎12.‬تْرَّكَذَل انركذل ]س[‬

‫‪ُ: ‎15.‬عَطْقَنَو عيطقتو ]ف[‬

‫‪: ‎3.‬ةيسمشلا ص ]س[‬

‫‪: ‎7.‬ركذأ ركذن ]س[‬

‫‪ٍ: ‎10.‬طيسب ارعق ]س[‬

‫‪ ‎13.‬يّنكلو ‪ُ:‬هَرِّكَذُأ اننكلو انركذ ]س[‬

‫‪: ‎4.‬نم ص ]ف[‬ ‫‪: ‎8.‬فيك ص‬

‫‪ ‎11.‬ىلعو ْنأ ‪َ:‬نوكت نوكيو‬ ‫‪ ‎14.‬قيلألا ‪:‬هب ص ]ف[‬

784

F 96 v L 21 r

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

faible épaisseur et nous la coupons suivant la même section et nous gravons dans son épaisseur une lime afin qu’elle lime le fer. Nous prenons ensuite un miroir en acier concave, d’une concavité quelconque, tel que sa grandeur soit une grandeur quelconque proche de ce que nous voulons. Si la portion de la section que nous avons déterminée, du côté du sommet de la section, est comme la portion AECB, nous façonnons ce miroir sous la forme d’un demi-œuf (figure 8). Si la portion de la section que nous avons déterminée appartient au milieu de la section, comme la portion AEHB, nous faisons le miroir sons la forme d’un anneau (figure 10). Nous appuyons ensuite par cette lime sur la concavité du miroir ; elle le lime jusqu’à ce que cette lime soit en contact avec toute la surface du miroir. Si nous terminons cela, nous montons le miroir sur un instrument appelé alšhar, soit sur le centre du cercle de sa base, soit sur son sommet s’il est de la forme d’un œuf, ou sur le centre de l’autre cercle, si c’est un anneau. Nous appuyons cette plaque à bord affûté sur la concavité du miroir et nous le limons comme liment les instruments jusqu’à ce que cet instrument soit en contact avec toute la surface du miroir, et enlève tout ce qu’il comporte de rugueux et devienne le plus lisse possible ; si on fait cela, alors sa surface sera la surface du paraboloïde, ce qui est la figure que nous cherchons. | Elle sera ensuite polie et utilisée, voici sa figure. Ceci est l’ensemble des propos pour la construction des miroirs concaves qui sont suivant la figure du paraboloïde. | Comment alors construire un miroir concave ardent suivant cette figure tel que son embrasement soit à une distance donnée, quelle que soit cette distance, la distance n’existant qu’à partir de l’axe ? Si nous voulons que le miroir soit d’un figure ovoïdale, nous supposons une plaque en acier comme ABCD, nous traçons sur elle une droite égale à CD et nous imaginons la distance cherchée égale à CD ; nous déterminons dans la plaque une portion de parabole, du côté de son sommet, comme la portion AEC, afin que son sommet soit le point C, son axe CD et son côté droit quatre fois CD. Nous avons dit que nous allons exposer comment trouver cela en son lieu de la construction des sections. Si nous déterminons dans la plaque la section AEC selon cette figure, alors sur cette plaque la droite DC sera le quart du côté droit. Or on a montré que le miroir façonné à partir de la section AEC réfléchit tous les rayons qui tombent sur lui vers le point D, et la distance du point D au miroir est la distance supposée. Le miroir ovoïdal façonné à partir de la section AEC aura son embrasement au point D dont la distance au miroir est la distance supposée.

‫‪785‬‬

‫‪IBN AL-HAYṮAM, SUR LE MIROIR ARDENT PARABOLIQUE‬‬

‫َنِم ِذالوفلا اهل ٌكْمُس ٌريسَي اهعطقنو ‪ 1‬ىلع َكِلَذ عْطَقلا ‪ِ،‬هِنْيَعِب ُشقننو ىلع اهِكْمُس اًدَرْبَم ُدربي ‪َ،‬ديدحلا‬

‫ّمث ُذِخّتَن ًةآرِم نم ذالوفلا ًةَرَّعَقُم َّيأ ٍريعقت ‪َ،‬ناك نوكي اهردق ّيأ ردق ناك ‪ 3 2‬دعب نأ نوكي اًبيرق اّمم‬ ‫‪.‬هديرن ْنإف ِتًناك ُةَعْطِقلا يتّلا اهانْجَرْخَتسا َنِم ِعْطَقلا اّمِم يلي َسأر ‪ِ،‬عْطَقلا لْثِم ِةَعْطِق ا ـه ـج ب‪،‬‬

‫انْلَعَج َكْلِت ةآرملا ‪ 4‬ىلع لكش فصن ‪ 5‬ةضيبلا لكش< ‪٨>.‬‬

‫نإو تناك ةَعْطِقلا يتّلا اهانجرختسا نم عْطَقلا نم ‪،‬هطسو لْثِم ةَعْطِق ا ـه ح ب انلعج‬

‫ةآرملا ىلع لكش ‪،‬ةقلحلا مث دمتعن َكِلَذب دربملا ىلع ريعقت ‪،‬ةآرملا هدربيف ىلإ نأ ىقلي َكِلَذ عيمجدربملا‬

‫حطس ‪،‬ةآرملا اذإف انغرف نم ‪َ،‬كِلَذ انبكر ةآرملا يف ةلآلا ةاّمسملا رهشلا ىلع زكرم ةرئاد اهتدعاق وأ‬

‫ىلع اهسأر نإ تناك ةضيب وا زكرم ةرئادلا ىرخالا نإ تناك ‪.‬ةقلح دمتعنو يف َكْلِت ‪ 6‬ةَحيفَصلا‬

‫ةّداحلا ةرفشلا ىلع ريعقت ةآرملا اهطرخنو ‪ 7‬امك طرخت تالآلا ىلإ نأ ىقلت َكْلِت ةلآلا عيمج ‪،‬ةآرملا‬ ‫درجتو عيمج ام اهيف نم ‪،‬ةنوشخلا ريصتو سلمأ ام ‪.‬نكمي اذإف لعف َكِلَذ هّنإف ريصي اهحطس حطس‬

‫ف ظ‪٩٦‬‬

‫مَّسَجُملا ‪،‬ئِفاكُملا وهو ‪ /‬لكشلا يذلا ‪،‬هاندصق ّمث ىلجُت ‪ُ،‬لمعتسُتو هذهو اهتروص لكش< ‪٩>.‬‬ ‫هذه ُةَلْمُج ِلْوَقلا يف ِلَمَع ِةآْرِملا ةَرَّعَقُملا يتلا ىلع لكش ممَّسَجُملا ‪.‬ئِفاكُملا ‪/‬‬

‫ل و‪٢١‬‬

‫اّمأو فيك لمعن ةآرم ةَرَّعَقُم ةقرحم ىلع اذه لكشلا ‪ ،8‬نوكي اهقارحإ ىلع دعُب مولعم ّيأ دعُب‬

‫‪.‬انئش دعبلاو امّنإ دجوي نم ‪.‬مهسلا نإف اندرأ نأ نوكت ةآرملا ىلع لكش ‪،‬ةضيبلا ضرفن ةَحيفَص‬

‫ذالوف لْثِم ا ب ـج د‪ّ ،‬طخنو اهيف اًّطخ اًميقتسم لْثِم د ـج‪ ،‬مّهوتنو دعبلا بولطملا لْثِم ـج د‪،‬‬ ‫جِرْخَتْسَنو يف ةَحيفَصلا ةَعْطِق نم ِعْطَقلا ئِفاكُملا اّمم يلي هسأر لْثِم عْطَق ا ـه ـج ىتح نوكت هسأر‬ ‫ةَطْقُن ـج همهسو ـج د هعلضو مئاقلا ةعبرأ فاعضأ ـج د‪.‬‬

‫دقو انلق ‪ 9‬اّنإ ركذنس ‪ 10‬فيك نوكي دوجو َكِلَذ يف هعضوم نم لمع ‪.‬عوطقلا اذإف انجرختسا‬

‫يف ةَحيفَصلا عْطَق ا ـه ــج ىلع هذه ةروصلا ‪ ،11‬ناك طخ د ــج عبر علضلا ‪.‬مئاقلا دقو نّيبت نأ‬

‫ةآرملا يتّلا ذخّتن نم عْطَق ا ـه ـج سِكَعْنَت عيمج تاعاعشلا يتّلا عقت اهيلع ىلإ ةَطْقُن د‪ ،‬دعُبو ةَطْقُن‬

‫د نم ةآرملا وه دعُبلا ‪،‬ضورفملا ةآرملاف ةيضيبلا ةذخّتُملا نم عْطَق ا ـه ـج نوكي اهقارحإ ىلع ةَطْقُن‬ ‫د يتّلا اهدعُب نم ‪ 12‬ةآرملا دعُبلا ‪.‬ضورفملا‬

‫]س[‬

‫‪: ‎1.‬اهعطقنو اهعيطقتو ]ف[‬ ‫‪: ‎5.‬فصن ص ]ف[‬

‫‪: ‎2.‬ناك ص ]س[‬

‫‪ ‎6.‬يف ‪َ:‬كْلِت كلذب ]س[‬

‫‪: ‎9.‬انلق انمدق ]س[‬ ‫اذه ‪:‬لكشلا ص ]ف[‬ ‫‪ ‎12.‬نم ‪):‬لّوألا( ص ]ف[‬ ‫]س[‬

‫‪: ‎3.‬ناك ص ]س[‬

‫‪: ‎4.‬ةآرملا ايارملا‬

‫‪: ‎7.‬اهطرخنو طرخنو ]ف[‬

‫‪ ‎10.‬اّنإ ‪:‬ركذنس انإ دق انيب ]س[‬

‫‪ ‎8.‬ىلع‬

‫‪: ‎11.‬ةروصلا ةفصلا‬

786

F 97 r

F 97 v

III. OPTIQUE ET ASTRONOMIE

Nous façonnons à partir de la portion AEC un miroir ovoïdal, par la construction que nous avons mentionnée précédemment. Son embrasement sera alors suivant la distance cherchée. Et ceci est sa figure | (figure 9). Si nous voulons que le miroir soit sous la forme d’un anneau, nous supposons la plaque comme ABCD et nous y traçons une droite comme la droite BC et nous supposons une droite quelconque comme H et nous l’ajoutons à la distance à laquelle nous voulons que l’embrasement ait lieu. Nous déterminons dans la plaque une portion de parabole appartenant à son milieu et telle que son axe soit BC, son côté droit quatre fois H et que la distance de la portion à partir du sommet de la section soit égale à la droite somme de la distance donnée et de la droite H. Si nous déterminons dans la plaque une portion de la parabole ayant cette propriété comme la portion AE, nous imaginons la surface AC prolongée au-delà de CH et nous imaginons la droite BC prolongée dans le plan et coupant AE également à l’extérieur. Que rencontre son axe au point G. Imaginons GI égale à H, puisque la section AEG est une parabole dont l’axe est BG et le côté droit quatre fois IG, qui est égale à H ; alors GI est le quart du côté droit. Tous les rayons qui tombent sur le miroir façonné à partir d’une portion quelconque de la section AEG se réfléchissent vers le point I. Mais, puisque nous avons supposé la distance de la portion AE au sommet de la section égale à la distance donnée plus la droite H, alors la droite BG sera égale à la distance donnée plus la droite H ; IG est égale à H, il reste IB égale à la distance supposée. Le miroir façonné à partir de la portion AE qui est selon la figure d’un anneau aura son embrasement au point I dont la distance au miroir est la distance supposée. Nous façonnons donc à partir de la portion AE un miroir sous la forme d’un anneau par le procédé que nous avons exposé précédemment ; son embrasement sera à la distance supposée | (figure 11). Ce propos épuise toute la construction des miroirs ardents qui sont suivant cette figure et qui sont les miroirs qui ont le plus fort embrasement, car les rayons se réfléchissent de toute leur surface intérieure vers un seul point, et c’est cela notre but dans ce traité. Le traité est terminé grâce à Dieu et Son Assistance.

‫‪787‬‬

‫‪IBN AL-HAYṮAM, SUR LE MIROIR ARDENT PARABOLIQUE‬‬

‫ذخّتنف نم ةَعْطِق ا ـه ـج ةآرم ‪ 1‬ىلع لكش ةضيبلا لمعلاب يذلا مّدقت ‪،‬هركذ ّنإف اهقارحإ ىلع‬

‫دعبلا بولطملا ‪ 2‬لكش< ‪١٠>.‬‬ ‫ف و‪٩٧‬‬

‫هذهو ةروص َكِلَذ ‪ / 3‬لكش< ‪٩>.‬‬

‫اذإو اندرأ نأ نوكت ةآرملا ىلع لكش ‪،‬ةقلحلا انضرف ةَحيفَص لْثِم ا ب ـج د‪ ،‬انططخو اهيف‬

‫اّطخ اًميقتسم لْثِم ّطخ ب ــج‪ .‬انضرفو اًّطخ اًميقتسم ‪ 4‬امفيك قفّتا لتم طخ ح‪ ،‬هانفضأو‬ ‫ىلإ دعُبلا يذلا ديرن نأ نوكي هيلع قارحإلا ‪ ،5‬انجرختساو يف ةَحيفَصلا ةَعْطِق نم عْطَق ئِفاكُم نم‬ ‫هطسو نوكي همهس ب ــج‪ ،‬هعلضو مئاقلا ةعبرأ فاعضأ طخ ح‪ ،‬نوكيو دعُب ةَعْطِقلا نم سأر‬ ‫عْطَقلا لْثِم طخلا عمتجملا نم دعُبلا ضورفملا طخو ‪ 6‬ح‪ .‬نّيبنسو فيك نوكي َكِلَذ اًضيأ ‪.7‬‬

‫اذإف انجرختسا يف ةَحيفَصلا ةَعْطِق نم عْطَق ئفاكم ‪ 8‬ىلع هذه ‪،‬ةفصلا لْثِم ةَعْطِق ا ـه‪ ،‬انمّهوت‬

‫حطس ا ـج اًجراخ ىلع ةماقتسا اّمم يلي ـج ـه ‪ ،9‬انمّهوتو طخ ب ــج اًجراخ ىلع ةماقتسا يف‬

‫‪،‬حطسلا عْطَقو ا ـه‪ ،‬اًضيأ ‪،‬اًجراخ قليلف همهس ىلع ةَطْقُن ز‪ .‬مهوتنو ز ط لْثِم ح‪ّ .‬نألف عطق‬ ‫ا ـه ز عْطَق ئِفاكُم همهس ب ز هعلضو مئاقلا ةعبرأ فاعضأ ط ز‪ ،‬يذلا وه لْثِم ح‪ ،‬نوكي ز ط‬ ‫عبر علضلا ‪.‬مئاقلا ةآرملاف يتّلا ذخّتُت نم ّيأ ةَعْطِق تناك نم عْطَق ا ـه ز سِكَعْنَت عيمج تاعاعشلا‬

‫يتّلا عقت اهيلع ىلإ ةَطْقُن ط‪ّ .‬نألو ةَعْطِق ا ـه انضرف اهدعب نم سأر عْطَقلا لْثِم دعُبلا ضورفملا‬ ‫طخو ح ّطخف ب ز ٍواسم‬

‫‪10‬‬

‫دعبلل ضورفملا طخو ح وط ز لْثِم ح‪ ،‬ىقبيف ب ط لْثِم دعبلا‬

‫‪.‬ضورفملا ةآرملاف ةذخّتملا نم ةَعْطِق ا ـه‪ ،‬يتّلا ىلع لكش ‪،‬ةقلحلا نوكي اهقارحإ ىلع ةَطْقُن ط يتّلا‬ ‫اهُدعُب نم ةآرملا ُدْعُبلا ‪.‬ضورفملا‬

‫ُذخّتنف نم ِةَعْطِق ا ـه ًةآرم ىلع لكش ةقلحلا لمعلاب يذلا انمّدق ‪،‬هركذ ّنإف اهقارحإ نوكي‬

‫ف ظ‪٩٧‬‬

‫ىلع دعبلا بولطملا ‪ /‬اذهف لوقلا يفوتسي عيمج لمع ةآرملا ةقرحملا يتّلا نوكت ىلع اذه ‪،‬لكشلا يهو‬ ‫ىوقأ ايارملا اهّلك ‪،‬اًقارحإ ّنأل تاعاعشلا سِكَعْنَت نم عيمج اهطيسب ىلإ ةَطْقُن ‪.‬ةدحاو كلذو ام‬ ‫اندصق هل يف هذه ةلاقملا ‪ 11‬لكش< ‪١١>.‬‬ ‫تّمت ةلاقملا دمحب هللا ‪.‬هنوعو‬

‫‪: ‎1.‬ةآرم ص ]ف[‬

‫‪):‬يناثلا( ص ]ف[‬

‫‪: ‎2.‬بولطملا ص ]س[‬

‫‪ ‎3.‬هذهو ةروص ‪َ:‬كِلَذ ص ]س[‬

‫‪ ‎5.‬هيلع ‪:‬قارحإلا قارحإلا هيلع ]س[‬

‫‪ ‎6.‬طخ ‪):‬يناثلا( ص ]س[‬

‫… ‪:‬اًضيأ يف ]س[ دجن اهناكم دقو« انيب اذه ىنعملا يف انباتك يف لمع »عوطقلا‬

‫حطس … اّمم يلي ـج ـه‪ :‬ص ]س[‬ ‫‪:‬ةلاقملا ص ]ف[‬

‫‪ ‎4.‬اًميقتسم‬

‫‪: ‎8.‬ئفاكم ص ]ف[‬

‫‪ّ ‎10.‬طخف ب ز ‪ٍ:‬واسم نوكي طخ ب ز لثم ]س[‬

‫‪ ‎7.‬نّيبنسو‬ ‫‪ ‎9.‬انمّهوت‬

‫‪ ‎11.‬كلذو …‬