Quadrivium de Georges Pachymère 8821004198, 9788821004193

Citation preview

STUDI E TESTI 94

P. TANNERY

QUADRIVIUM DE GEORGES PACHYMÈRE ου ΣΥΝΤΑΓΜ Α

ΤΩΝ

ΤΕΣΣΑΡΩΝ

Μ ΑΘΗΜ ΑΤΩΝ

αριθμητικής, μουσικής, γεωμετρίας καί αστρονομίας

TEXTE RÉVISÉ E T ÉTABLI par le R . P. E . S T É P H A N O U A . A .

CITTÀ DEL VATICANO B IB L I O T E C A

A P O S T O L IC A

V A T IC A N A

MCMXL

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

PACHYMÈEE (Cod. gr. monacen. 442, îol. 6T)

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

STUDI E TESTI 94

P. TANNERY

QUADRIVIUM DE GEORGES PACHYMÈRE ου ΣΎ ΝΤΑΓΜ Α

ΤΩΝ

ΤΕΣΣΑΡΩΝ

ΜΑΘΗΜ ΑΤΩΝ

αριθμητικής, μουσικής, γεωμετρίας καί άστρονομίας

TEXTE RÉVISÉ ET ÉTABLI par le R. P. E . S T É P H A N O U A . A .

CITTÀ DEL VATICANO B IB L IO T E C A

A P O S T O L IC A

V A T IC A N A

MCMXL

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

IM P R IM A T U R :

Datum in Civ. Vat. die 10 Novembris 1940.

A lfonsus C. Episc. Porphyr. Vic. Gen. Civitatis Vaticanae

Ristampa anastatica Tipo-Litografia Dini s.n.c. - Modena 1994

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Une émotion profonde m'étreint >devant ce beau volume, œuvre chère entre toutes, car elle est pour moi comme une réparation due à une mémoire vénérée dont j'avais retardé la volonté. M . l'Abbé Borne, professeur à l'Université de Louvain, eut le premier pitié de ma détresse, et ce fut avec une grande bonté qu'il me promit son aide. C'est sur sa demande que le R. P . Laurent et le R. P . Stéphanou, tous deux de l'Institut Français des Etudes byzanti­ nes, alors à Kadikôy, voulurent bien prendre en mains cette grande tâche. Je leur dois à tous les trois, une profonde reconnaissance. I l ■ surent admirer la perfection consciencieuse apportée à ce travail par mon mari, et voulurent bien participer à sa publication, en lui donnant l'appoint, si précieux, de leurs connaissances. Je n'oublierai jamais leur dévouement, et leur bonté. Je dois remercier aussi le R. P . Albareda, Préfet de la Vaticane, de l'accueil qu'il a bien voulu réserver à V édition de Pachymère, en l'acceptant dans sa collection des Studi e testi. Je prie encore, très humblement, Son Eminence le Cardinal Eugène Tissera/nt, secrétaire de la S. Congrégation pour l'Eglise orien­ tale, et Son Éminence le Cardinal Jean Mercati, bibliothécaire et archiviste de la Sainte Eglise Romaine qui ont bien voulu s'intéresser et protéger la grande œuvre de Pachymère, d'accueillir ici mon in­ finie gratitude. M a r ie P a u l T a n n e r y

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

PEEPACE

L ’enquête par moi consacrée jadis à l’œuvre historique1 de Georges Pachymère (1242-c. 1310) me vaut aujourd’hui l’honneur, dû à de plus compétents, de présenter l’une des plus belles créa­ tions scientifiques, la plus complète peut-être, du Moyen âge byzan­ tin. L ’abbé Rome, professeur à l ’ Université de Louvain et éditeur de Pappus, sachant l’intérêt que notre Institut portait à ce polygraphe, voulut bien m’entretenir, lors d’une mission à Istanbul, du Traité des quatre sciences, en très grande partie encore in éd it1 2. Sa démarche faisait suite à un désir de Mme Paul Tannery de voir paraître une édition pour laquelle son mari avait beaucoup peiné et qui lui avait été chère entre toutes. Le portefeuille du célèbre historien des sciences conservait la copie du texte grec avec colla­ tions partielles, quelques notes et une ébauche de préface3. I l restait à poursuivre l’étude de la tradition manuscrite, soit en décou­ vrant de nouveaux témoins dans les nombreux catalogues publiés depuis la mort du savant, soit en achevant par leur confrontation (1) Cf. Byzantion, V, 1929-1930, 129-205. La direction de notre Institut, qu’il m’a fallu assumer, et plusieurs autres entreprises plus considérables, elles aussi en voie d’ exécution, ne m’ont pas encore permis de mener à terme l’édition cri­ tique de l’importante chronique de Pachymère. Elle paraîtra néanmoins et aura beaucoup gagné à ce délai. Il a été dressé trois catalogues des œuvres de notre auteur, dus à Allatius (cfr. F abricius -H arles , Bibliotheca graeca, V I « , 458-469, 550, 551, V I I b, 775-787 = P . G., C X L III, 421-436), à Ch.-EM. R uelle (cfr. Annuaire de l ’Association pour l ’encouragement des études grecques en France, V II, 1873, 162-165) et à K. K rumbacher , Geschichte der byzantinischen Litteratur, 1896, 288-291. Les écrits de caractère religieux sont recensés dans mon arti­ cle du Dictionnaire de Théologie catholique, X I , 1932, 1713-1717. (2) Les parties publiées, dont tout le second livre (Harmonique ou Musique), sont indiquées dans l ’appareil critique. Notons ici seulement que l’intéressante préface a été publiée et traduite par A. J. H. V incent dans Notices et Extraits des manuscrits de la bibliothèque du roi, 16, 1847 (deuxième partie) 362-383, immé­ diatement avant le traité précité de la Musique (401-553) donné en grec seulement. (3) Un échantillon ci-dessous, p. 66, n. 2.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

vin

Préface

avec le texte déjà établi la mise au point de la publication. Le deman­ deur, spécialisé en ces sortes d’ouvrages, promettait son aide pour identifier les citations de mathématiciens antiques, que, faute de bibliothèque assortie, nous ne-pouvions consulter sur le Bosphore. L ’entente se fit aisément à cette condition et le R. P. Stéphanou, membre de notre Institut, accepta la tâche de reviseur et d’éditeur. C’est à son patient labeur, dont le mémoire qui suit relève seulement les conclusions, que l’entreprise doit d’ être venue à terme. Les notes critiques sont, comme il avait été convenu, de l’abbé Rome. Madame Tannery, qui n’a épargné pour procurer à l’enquête les éléments nécessaires ni son temps ni son dévouement, a pris la généreuse initiative de faire reproduire en tête de la publi­ cation le portrait en couleurs de Pachymère, tel qu’il se conserve dans le Codex monacens. graec. 442. Ainsi paré et traité, l’ouvrage que' la Vaticane accepta d’hospitaliser dans sa grande collection de textes et d’études ne sera pas la moindre contribution de l’ériïdition moderne à l’histoire des sciences. La volonté de Paul Tannery n’eût pu être mieux satisfaite. Son effort d’ailleurs méritait à lui seul d’ être continué, tant en raison des mérites par- lui acquis au service des études byzantines qu’en fonction de ^importance de ce gros ouvrage dans le mouvement intellectuel de la Grèce médié­ vale. Choses assez peu sues que les pages suivantes vont à grands traits remettre en lumière en présentant sous trois chefs: § 1. Paul Tannery et les études byzantines. § 2. Le Quadrivium et la formation intellectuelle sous les premiers Paléologues. § 3. Georges Pachymère et le haut enseignement.

§ 1. P aul Tannery

et les études byzantines .

L ’histoire des études byzantines boude inconsciemment depuis qu’ elle s’é c rit1, la mémoire de Paul Tannery; injustice d’autant (1) On chercherait en vain son nom dans l’étude pourtant si circonstanciée de Ch . D iehl , Les études byzantines en France au X I X « siècle-, c f. Etudes byzantines Paris, 1905, 21-37. L ’ouvraae fondamental de K rumbacher (voir ci-dessus n. 1) lui accorde, en revanche, quelques justes mentions sans faire toutefois un état complet de ses divers travaux. On sait que ceux-ci ont été réunis dans le tome IV des Mémoires scientifiques, de Paul Tannery publiés par Heiberg et Zeuten Paris, 1920 sous ce titre : Sciences exactes chez les Byzantins.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Préface

ix

plus étrange qu’il a réalisé une œuvre de pionnier et aurait fait grand, si les initiatives libres, moins routinières et plus fécondes, trouvaient en France davantage de crédit et de considération auprès des officiels. Certes Byzance ne fut qu’un point, quoique un point majeur, du vaste horizon visité par son esprit, et l’on ne reste que plus étonné par la précision de ses connaissances en un domaine où le traitement du problème scientifique requiert des compétences historiques particulières et, bagage assez insolite chez un ingénieur de l ’ État, une initiation très poussée à la philologie classique. Sa maîtrise y devint si incontestable que les travaux par lui consacrés, en surcroît d’autres vastes recherches, à la Grèce médiévale, ont paru aux meilleurs professionnels un miracle de mémoire et de péné­ trante intelligence. A sa mort, l’École française de byzantinologie eut légitimement pu prendre le deuil si elle avait eu alors une tête et une conscience, car avec lui disparut un chef dont les leçons n’étaient pas seulement applaudies, mais dont l’ardent exemple et le sens de la décision eussent sûrement entraîné de jeunes vocations qui trop souvent, faute de guide écouté, ont dérivé vers d’autres disci­ plines. Sa volonté de réalisation, forte de son expérience quotidienne de directeur d’une grande manufacture, était trempée pour l’œuvre ardue qui, menée à bien, eût égalé celle de nos grands érudits du X V IIe siècle. Ce rappel fonde un regret dont l’ expression a sa place en tête du présent ouvrage, pierre d’angle d’un édifice qu’il n’aura ni vu ni fait construire. 11 lui était dû comme un hommage d’autant plus séant que sa fidélité à servir nos études fut plus désintéressée. Cet homme, qui eut le privilège de vivre pleinement deux exi­ stences 1, vint aux choses de Byzance par le détour de l’histoire des sciences à une époque où la recherche, stimulée par le grand exemple de G. Schlumberger, s’organisait lentement. Mais tandis que tels de ses pairs, Rambaud et autres, s’évadaient vers des spé­ cialités plus voyantes, il se confinait, lui, dans l’un de ses plus lontains domaines et portait son principal effort sur un auteur d’une médiocre notoriété. Certes, l’amicale pression de sa femme, action­ nant son sens aigu du devoir patriotique, arrêta net vers 1893 ses ébauches de grandes publications au profit de l’édition nationale des œuvres de Descartes 1 2. Dans son esprit toutefois cette conces­ (1) Notice sur Paul Tannery daüs Osiris, IV , 1938, 633-689; on la reproduira dans le dernier volume de la Correspondance à paraître dans les Mémoires précités. (2) Voir la notice biographique, loc. cit., 669.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

X

Préface

sion à sa qualité de français n’était pas une infidélité envers Byzance, car il se savait assez de talent et se croyait assez de forces pour mener plusieurs entreprises de front. De fait, son édition de Diophante et de ses commentateurs, ses recherches sur l ’histoire de l’astronomie ancienne prouvent qu’il ne sacrifiait pas entièrement à l’époque moderne1. D ’autre part, s’il ne consacra pas davantage d’articles au Moyen âge grec, ses recensions critiques et plusieurs essais restés en portefeuille1 2 révèlent le soin qu’il prenait de maintenir, en vue de prochaines reprises, le contact avec l’actualité scientifique. Quelle fut donc, quelle eût aussi voulu être l ’œuvre de Paul Tannery au service des études byzantines t E t d’abord comment fut-il amené à s’y donner et à s’occuper plus spécialement de Pachymère ? Comme d’autres maîtres, ses contemporains, il a eu le génie de la synthèse, mais peut-être, éprouva-t-il plus impérieusement qu’eux le besoin de fonder celle-ci sur une austère et probe érudition. L ’histoire des sciences et celle de la philosophie qu’il n’en sépara jamais lui parurent en effet devoir tout gagner à une exploration méthodique des ouvrages des commentateurs byzantins. Mcomaque, Diophante, Euclide, Ptolémée, Pappus, Porphyre et autres mathé­ maticiens ont eu une estimable postérité d’éxégètes dont les obser­ vations, parfois décisives pour la restitution des textes originaux sont révélatrices du rayonnement de leur pensée et de l’influence pratique de leurs méthodes. C’est par ces intermédiaires et leurs successeurs directs, les rescapés de 1453, que la Renaissance ita­ lienne découvrit pour une bonne part l’antiquité scientifique. Cette constatation fixa la nature et l’étendue de ses recherches en ce domaine 3. (1) Des seize volumes de Mémoires parus à ce jour, trois s’occupent des sciences exactes dans l’antiquité, un (t. IV ) des sciences exactes chez les B y ­ zantins, un autre (t. Y ) des sciences exactes au Moyen-âge. Puis viennent t. V I, sciences modernes, t. V II, philosophie ancienne et t. V I I I , philosophie moderne, t. IX , philologie, t. X , généralités historiques, t. X I - X Ï I , comptes-rendus et t. X I I - X V I correspondance. L ’érudition de Tannery n’était pas à cloisons étan­ ches; aussi quelle que fut l’époque par lui étudiée, les retours à la période byzan­ tine ne sont pas rares soit pour l ’histoire des sciences soit pour la philosophie. (2) Il serait vivement à désirer que l ’imposante série des Mémoires ne s’ achève pas sans qu’on y ait publié les notes éparses recueillies par Tannery. Tout ce qui a forme doit être de quelque prix. Le supplément byzantin serait donc le très bien venu. (3) En 1903, T annery écrivait dans un rapport destiné au Collège de France et à l ’Académie des Sciences: J ’ai . jugé indispensable d'étudier suffisamment ces

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Préface

xi

On pourrait être étonné que son attention ne soit qu’incidemment remontée plus haut que le x m 3 siècle; limitation qui semble, de plus, une gageure, puisque la période ainsi élue est celle de la décadence politique et du plus grand désarroi social. Mais des esprits vigoureux habitent parfois les corps en délique­ scence et Paul Tannery aura eu le mérite d’avoir compris, l’un des premiers, que l ’époque des Paléologues (1258-1453), si décevante à tant de points de vue, compte parmi les plus brillantes sous le rapport culturel. I l a même écrit - et son avis doit faire loi - que, si les byzantins n’ont pas eu alors un seul grand génie, ils n’en sont pas moins comme sciences et connaissances 'philosophiques tout à fait à la hauteur, sinon au-dessus de la plupart des occidentaux de la même époque1. Certes, il n’y eut jamais à· Constantinople de pen­ seur comparable à saint Thomas d’Aquin et à Duns Scot; en revanche il s’y trouva des esprits plus universels, des compilateurs systéma­ tiques qui suppléèrent à l ’originalité par l ’éclat du style et la puis­ sance de leurs constructions. Celles-ci ont, en outre, sur les produc­ tions latines contemporaines, l ’avantage inégalable de constituer dans la tradition directe le chaînon qui relie l ’oeuvre prestigieuse de l ’anti­ quité aux réalisations des inventeurs modernes. A ce dernier titre, les auteurs byzantins sont des témoins impersonnels peut-être, mais ils n’en restent pas moins fidèles interprètes des glorieux ancêtres. Et c’est pourquoi leur étude apparut à Tannery comme un pré­ lude nécessaire à l ’histoire des sciences et de la philosophie hellé­ niques. Son premier essai2, daté de 1884, analyse le petit traité de Manuel Moschopoulos sur les Carrés Magiques, auxquels il revint 3 deux ans plus tard; il y joignait l ’examen d’une réédition faite par le smyrniote Mcolas Ehabdas du Grand calcul suivant les Indous de Maxime Planude. C’est ensuite aux lettres arithmétiques de Ehabdas qu’est consacré le long Mémoire 4 de 1886 incluant édition, traduction et commentaire de textes particulièrement délicats. Paul Tannery y découvre, à défaut d’une influence indoue-arabe d’abord suspectée, des méthodes de calcul inédites qui peuvent, qui doivent*1 4 3 2 époques ( — antiquité et moyen-âge) afin de faire comprendre exactement les détails de l ’évolution scientifique à partir de la Benaissance, cfr. Mémoires, X 133. (1) Cfr. Mémoires, IV , 427. (2) Mémoires, IV , 1-19. (3) Ibid., 27-60. (4) Ibid., 61-198.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

X II

Préface

être plus anciennes que cet écrit, bien qu’elles ne se rencontrent que là; voire, telle position de problème comme la présentation de la règle de trois, dénommée πολιτικός λογαριασμός, est estimée un morceau unique en grec. L ’année précédente, le scholie du moine Néophytos 1 sur les chiffres indous lui fournissait l’occasion de toucher la question de la ressemblance de nos signes numéraux avec ceux des Arabes d’Orient et d’Occident et de rechercher la connaissance qu’en purent avoir les byzantins, sujet bientôt repris et complété dans un article de la Grande Encyclopédie 2. Ces travaux sur des écrivains du x iv e siècle ramenaient toujours l’ auteur dans sa recherche des sources, soit à l’ époque, soit à la personne même de Georges Pachymère dont il s’occupa surtout dans la notice consacrée aux Mois attiques chez les byzantins3 et qu’il caractérisa en l’occurrence, mieux que ne l’avait su faire Poussines, comme un démarqueur assez capricieux de l ’antiquité. Mais ses vrais mérites ne lui échappèrent point et il eut l ’occasion d’y toucher incidemment dans des écrits de caractère plus général sur le calcul des parties proportionnelles 4 et l’emploi1 5 des éphé4 3 2 mérides (celui-ci posthume). La notice, restée inachevée, où est exposée la géomancie ou l ’art de la divination au Moyen âge 6 a un intérêt surtout littéraire, intérêt qu’offrent également les Notes critiques sur le traité de Vastrolabe de Philopon7, Psellus sur les nom­ bres 89 , Psellus sur la grande année9 et Psellus sur Diophante 10 où 0 1 il a la satisfaction de résoudre ou de poser des problèmes historiques nouveaux touchant la tradition manuscrite des œuvres du célèbre mathématicien. Un travail antérieur (1887) sur le Grand et le Petit de Théodore Prodrom e11 révélait chez ce poète impénitent un logi­ cien de quelque talent dans son commentaire d’Aristote.

(1) Mémoires., 20-26. (2) Ibid., 413-421. (3) Ibid., 223-239. (4) Ibid., 283-287. (5) Ibid., 289-293. (6) Ibid., 295-411: Le Babolion ou étude comparée de géomancie chez les ara­ bes, les latins et les byzantins; l ’étude consacrée à ces derniers se lit, pp. 354-371. (7) Ibid., 241-260. (8) Ibid., 269-274. (9) Ibid., 261-268. (10) Ibid., 275-282. (11) Ibid., 207-222.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Préface

X III

Ces dernières études montrent clairement que si Paul Tannery accordait une attention plus particulière aux deux dernièrs siècles de l’empire (1250-1453), parce qu’il y retrouvait la source où s’ali­ menta en partie le mouvement scientifique de la Renaissance occi­ dentale, sa curiosité embrassait la littérature byzantine dans toute son ampleur et il 1’ eût explorée systématiquement si le temps ne lui avait été mesuré. Mais à mesure qu’il s’engagea dans l’édition de Fermât (1891-1896) et de Descartes (6 vol., 1897-1904), l’étude des doctrines lui parut moins urgente. En revanche, le besoin de rassembler de nouveaux textes le hanta toujours et il ambitionna jusqu’au dernier moment d’éditer de gros manuscrits où, depuis Ducange, peu de français sont venus se perdre. Une exploration des catalogues l ’avait, en 1886, transporté d’aise au point de lui faire écrire à un ami qu’il en aurait pour la vie à publier les inédits rencontrés1. Or deux grandes œuvres de Pachymère constituaient l’essentiel de ce butin littéraire, le Traité des quatre Sciences que nous présentons et qu’il avait transcrit en entier, la musique exceptée, et le Commentaire de toute la Philosophie d'Aristote auquel une ini­ tiative étrangère l ’avait amené à s’intéresser. C’est en effet la lec­ ture de cette vaste compilation qui lui fit adopter d’enthousiasme un projet dont il n’était pas le père mais dont il resta, après l ’avoir mis au point, le seul promoteur en qui les collaborateurs sollicités eussent pu trouver aide et conseil. L ’entreprise assumée par l ’Académie de Berlin de publier un Corpus des commentateurs du Stagyrite parut en effet à plusieurs pratiquer l’arbitraire1 2 en excluant du programme des œuvres byzantines qu’aucun commissaire n’avait et n’a jamais lues. De l’échange d’idées, dont cette constatation fut l’objet, naquit chez le professeur Ludwig Stein, de Berne, le grandiose projet d’un Corpus des Humanistes byzantins. Au cours de dix huit années de recherches, ce savant s’était particulièrement persuadé de deux choses: de la nécessité, pour écrire l’histoire de la philosophie pendant la Renais­ sance, d’une étude préalable des écrivains byzantins, qui se trou­ (1) Mémoires, X I I I , 98; lettre du 3 juillet 1886. (2) Cfr. Mémoires, IV , 427: « Pour ne citer qu’un nom, si l’ on considère que « le grand travail inédit de George Pachymère sur la philosophie a été laissé en « dehors dans le plan de l ’édition des commentaires sur Aristote que poursuit « l ’Académie de Berlin, qu’ il serait exclu de même dans le plan primitif du Corpus « conçu par Stein, il est clair qu’il y a lieu de se préparer dès maintenant à com« hier la lacune relative au x m e et au xive siècle ».

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

x iv

Préface

vèrent mêlés aux x iv e et x v e siècles au mouvement intellectuel en Italie; en second lieu, de la trop grande pénurie de documents accessibles, là où il y avait abondance d’inédits. Mais le plan qu’il form a1 n’intéressait que la philosophie et se trouvait chronologi­ quement trop limité. Paul Tannery prit sur lui de l’étendre aux sciences et d’y comprendre le x m e siècle, époque décisive où les grecs, jetés en plein désarroi par le sac de 1204, s’obligèrent à déployer, pour restaurer leur enseignement, une activité très remarquable. Une intéressante note, retrouvée dans ses papiers, précise ses idées sur une entreprise dont il ne cessa d’ être l’avocat auprès des Académies et l’animateur dans les Congrès internationaux1 2. La marche à suivre est celle-là même qui a été adoptée pour les oeuvres hagiographiques d’une part, astrologiques et alchimiques de l’autre: rédaction préalable de catalogues raisonnés où, grâce à un dépouil­ lement exhaustif des manuscrits, il eût voulu voir figurer 3 jusqu’au plus modeste témoin de la pensée grecque; choix des œuvres à publier et répartition du travail sous les auspices des Académies associées. La belle part, qui se devait d’ être la plus lourde, était par lui réservée aux hellénistes français chargés d’explorer les bibliothèques de leur pays, d’Angleterre et d’Espagne, de Suisse, de Belgique et de Hollande. Hélas, les premières adhésions étaient recueillies et une première tran­ che de besogne distribuée quand la mort ruina le grand dessein réduit à n’ être plus par la disparition prématurée de Paul Tannery qu’une de ces manifestations platoniques par quoi les assemblées interna­ tionales ont coutume de se donner la quiète illusion du travail. I l vient, à la vérité, d’ être repris suivant la même méthode, mais d’après un critère qui peut légitimement faire craindre que les hellénistes, encore moins les byzantinistes, n’y auront leur compte. Le nouveau Corpus philosophorum medii aevi 4 semble en effet devoir (1) Voir le vœu que ce professeur fit adopter au Congrès des sciences histo­ riques (Rome, 1903) et la mise au point de T annery dans Mémoires, IV , 422-431. (2) Adopté, sur proposition de T annery , par l ’Association des études grec­ ques, le vœu fut adressé au Ministère de l’ Instruction Publique, aux Académies des Inscriptions et Belles-Lettres et des Sciences morales et politiques; il fut, en outre, approuvé sur la même initiative au Congrès d’ Histoire des sciences tenu à Genève en 1904 et au Ile Congrès international de Philosophie (ibidem); discours prononcé par T annery au banquet de clôture en cette dernière occurrence dans Mémoires, IV , 429-431. (3) Son plan et ses remarques, ibid., 425-428. (4) Proposé par l ’Académie des Sciences de Pologne, il a été adopté par l ’Union Académique Internationale et semble, malgré un certain flottement dans

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Préface

xv

rester un recueil occidental intéressant surtout la scolastique et l’antiscolastique. Besogne certainement urgente pour l’histoire lit­ téraire et l’histoire philosophique de la pensée médiévale de l’Occi­ dent latin, mais qui importait infiniment moins à l’étude de la pensée antique qu’une édition princeps des maîtres byzantins. Certes, on semble devoir faire à ceux-ci, après coup, dans le plan, une petite place, la place du parent pauvre. Paul Tannery, qui fut de ces rares esprits à posséder sur les grands courants de la pensée médiévale telle qu’elle s’exprimait à Paris ou Oxford, Constantinople ou Thessalonique, Bagdad ou Cordouë, une vue d’ensemble largement informée dans le commerce des inédits, eût vigoureusement protesté contre ce demi ostracisme et il reviendra à quelque futur congrès des études byzantines de réparer cette méprise en rendant hommage à la clairvoyance de l’historien des sciences. L ’effort de systématisation dont cette tentative fournit la preuve visait dans l’intention de son promoteur un double but: ouvrir un nouveau champ d’activités aux hellénistes français et contribuer au maintien du niveau de l’enseignement du grec en France. Venu trop tard, il ne fut pas continué, mais il doit du moins rester comme le signe concret de la fidélité que Paul Tannery, occupé de Descartes, gardait aux sciences byzantines qu’il ne cultivait pas en partisan puisqu’il n’était pas de cette chapelle, mais qu’il servait du dehors d’autant plus efficacement que ses vigoureuses initiatives étaient toujours fonction de l’intérêt général. Si son esprit se complut dans le commerce des scoliastes de l’époque des Paléologues, on y doit aussi voir un effet de circonstances qui, met­ tant à la portée de l ’érudit déjà célèbre les richesses si mal invento­ riées de la Bibliothèque Nationale, lui permirent d’y faire ample moisson. C’est évidemment là qu’il rencontra les grands ouvrages mathématique et philosophique de Georges Pachymère, avec lequel ses recherches antérieures l’avaient déjà plusieurs fois mis en contact. Le Traité des quatre sciences et la grande paraphrase d’Aristote s’ y conservent en effet en un nombre insolite de copies. Aussi para­ doxal que la chose puisse paraître de la part d’un directeur de ma­ le recrutement des compétences, en assez bonne voie d’exécution; cf. Revue des Sciences théologiques et philosophiques, X X I I , 1933, 350, 351. La tâche reconnue comme plus urgente est l ’édition des versions gréco-latines, d’où, doit sortir VA ris­ tóteles latinus. Mais ne convenait-il pas plutôt d’approfondir plus que ne l ’a fait l’entreprise berlinoise, la tradition byzantine où l’on devra nécessairement recher­ cher les prototypes de ces traductions occidentales ?

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

XVI

Préface

nufactures, aux occupations très absorbantes et chez un savant à l’attention déjà dérivée sur des recherches toutes modernes, Paul Tannery prit courageusement sur lui de donner à l’érudition cette vo­ lumineuse compilation. L ’ouvrage philosophique fut d’abord destiné par lui au Corpus berlinois dont il voulait combler une lacune; en définitive, si l’édition avait abouti, elle aurait sans doute constitué la pièce liminaire 1 du vaste recueil des Humanistes projeté dans la suite. E t il en eût vraisemblablement été de même du Quadrivium qui paraît ici, quoique une lettre de 1886 - il en avait alors transcrit 450 pages-parlât1 2 de le proposer aux Notices et Extraits de la B i­ bliothèque Nationale. Les lettres byzantines perdirent ainsi à sa mort prématurée un animateur et un réalisateur au moment où, terminant l’édition de Descartes, il allait revenir aux textes médiévaux. N ’était-il pas d’ailleurs, en cette année 1904, le président de notre Association natio­ nale pour l ’encouragement des études grecques ? On peut augurer, sur la foi de sa correspondance et la chaleur de ses campagnes en faveur de l’antiquité, que, si le temps lui en eût été donné, il s’y fût dépensé avec ardeur, menant à bien une œuvre appelée selon lui à rallier tous les hellénistes et tous les philosophes. Belle perspec­ tive dont le souvenir seul demeure, où devront se retremper les homnes de l’avenir qui reprendront un si généreux dessein. Mais s’en trou­ vera-t-il jamais à la mesure de Paul Tannery ? Les sciences byzan­ tines sont aujourd’hui désertées et il n’est accordé à la philosophie des grecs du Moyen âge qu’une attention sporadique insuffisante pour alimenter un courant de recherches. Puisse la présente édition re­ nouer la chaîne en suscitant ces vocations d’ érudits très spéciales mais indispensables à l’étude de la civilisation de l’empire d’Orient. (1) Ch . E m . K uelle , après avoir examiné et confronté avec le texte d’Aris­ tote et les conjectures souvent embarrassées de ses interprètes modernes la Para­ phrase universelle de Pachymère, concluait: « L e lecteur qui prendra la peine de « suivre pas à pas, le texte d’Aristote en mains, l’ ouvrage dont ils (les passages «p a r lui examinés précédemment) sont extraits (et j ’ai surtout en vue la partie « mathématique et physique de cet ouvrage) ne manquera pas d’y reconnaître « une source abondante d’éclaircissements sur la pensée du Stagirite... ». Cf. A n ­ nuaire de l ’Association pour l’encouragement des études grecques en France, V II , 1873, 185, 186; extraits et commentaire, ibid., 173-185. (2) Cf. Mémoires, X I I I , 98 et X IV , 175.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Préface

§ 2. - L e Quadrivium

χνπ

et la formation intellectuelle

SOUS LES PALÉOLOGUES.

L e classement des sciences en Trivium et Quadrivium1 fut, du moins durant tout le haut moyen âge, spécifiquement occidental. Certes on en enseignait tout autant dans le monde grec, voire la distinction apparaît fort nette dès la première époque entre les deux groupes de matières dont se compose l’enseignement général ou οικουμενικόν διδασκαλεΐον 1 2. L ’ensemble des connaissances grou­ pées sous cette dénomination recevait, en style académique, le nom de philosophie, distinguée en philosophie du dedans et philosophie du dehors (άπασαν γνώσιν της τ ε θύραθεν καί τής καθ’ ημάς φιλοσο­ φίας). Un second terme aussi compréhensif, celui d’ εγκύκλιος παι­ δεία 3, avait une égale fréquence et comportait aussi une initiation {προπαιδεία). Mais, de part et d’autre, il n’y eut jamais unanimité dans la délimitation des compétences; car, suivant les époques et les auteurs, le domaine de ce que l ’on peut nommer l’enseignement supérieur s’ étend ou se rétrécit capricieusement. Toutefois, quelles que fussent les querelles, parfois simplement apparentes, des théori­ ciens, la septuple science (έπτάς τω ν μ αθημ άτων), nettement définie par Joseph Bryennios au début du x v e siècle 4, existe en fait depuis toujours quoique en butte à des dédoublements et à des simplifica­ tions arbitraires auxquelles l’imprécision et la mobilité des appella­ tions 5 ajoutaient un élément de confusion. (1) L ’équivalent grec de cette appellation latine est TexpaßtßXoi;, mais le terme grec est de sens beaucoup plus restreint, et se réfère à un ordre d’idées différent et plus concret. (2) Sur le haut enseignement à Constantinople on consultera avec fruit la monographie, d’inspiration un peu courte mais copieusement documentée, de F K.. F uchs, Die höheren Schulen von Konstantinopel im Mittelalter, Leipzig-Berlin, 1926 ( = Byzantinisches Archiv. H eft 8). (3) Sur cette dénomination, celle qui précède et plusieurs autres dont la faconde byzantine aimait à parer leur université et autres centres d’enseignement, voir F r . F u c h s , ibid., 8 suiv., 41 suiv. 62 suiv.

(4) Cf. F r . F uchs, op. cit., 65 n. 10. (5) Les Byzantins, n’ont eu, en aucun domaine, de terminologie officielle bien rigide. Leur nomenclature des fonctions et des titres d’état eux-mêmes admit pour le même office une pluralité de termes dont quelques uns se sont avérés d’inventions purement littéraire. 2

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Préface

XVIII

La moyenne des estimations donne, comme spécialités du haut enseignement, les sept disciplines traditionnelles: la grammaire supérieure, la rhétorique, la philosophie, l’arithmétique, la musique, la géométrie et l’astronomie. Mais la systématisation de ces sciences et leur répartition en deux catégories semble ne s’ être faite que sous l’influence des latins, soit durant l’empire de Nicée, soit après le retour à Constantinople (1261). Nicéphore Grégoras ( + c. 1360) fut, a-t-on d it 1, le premier à signaler entre elles une distinction très nette: τήν τω ν μαθημάτων τετρακτύν. Or il est clair que le double titre du présent ouvrage de Pachymère: Τ ετρ ά βίβλος ou Σ ύ νταγμ α τω ν τ ε σ σ ά ρ ω ν μαθημάτων en laisse supposer pour le moins tout autant, en montrant le classement déjà usuel. A la fin de l’empire, la terminologie byzantine, totalement adaptée au vocabulaire occi­ dental sous l’ influence italienne1 2, crée un vocable collectif : l'A rt aux sept sciences (ή έπτάσοφος τέχ νη ), comprenant trois τεχνικαί δυνάμεις (grammaire, rhétorique et dialectique, cette dernière nom­ mée d’après la terminologie occidentale) et les quatre arts par excellence (arithmétique, géométrie, musique et astronomie). Pour être à proprement parler philosophe 3 ou savant de bon aloi, il fallait avoir non seulement terminé ses cours d’université, mais encore fourni au monde lettré des preuves de ses capacités; et le titre que l’on voit surtout aux x m e et x v e siècles donné à nombre d’écrivains, se décernait moins comme sanction d’une épreuve devant jury que sur juger du public instruit, arbitre du talent et des mérites. Or ce qui donnait au savoir tout son éclat et à la culture sa profondeur était l’étude de nos quatre sciences exactes. L ’achèvement du cycle menait en effet l ’esprit sur le sommet de la philosophie (τό κυριώτατον τής φιλοσοφίας), entendue dans le (1) F b . F u c h s , op. eit., 66.

(2) Ibid., Il faut toutefois noter que si l ’expression est parlante et dénote par son rappel de la notion d’Art une orientation nouvelle, la formule elle-même est d’essence poétique; cf. A. E l l is e n , Analekten der mittel- und neugriechischen L ittsratur, I I I , 1857, 138 où elle figure dans un thrène sur la perte de Constantinople. (3) L e décompte des écrivains byzantins porteurs de ce titre n’a jamais été fait; il est beaucoup plus considérable qu’on ne le laisse entendre généralement. Il n’a parfois d’autre signification que celle que nous lui donnons ici même mais, le plus souvent, dans ce cas précis de titulature, il vise l’ensemble des connais­ sances générales. Sur la portée diverse du titre lire les notations de F r . D o l g e r , Zur Bedeutung von Φιλόσοφος und Φιλοσοφία in byzantinisaher Zeit, dans les Mélanges Théophile Boréas, Athènes, 1939, 125-136. Il y aurait sur le sujet, à peine effleuré, une très intéressante monographie à écrire.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Préface

χιχ

sens très large développé plus haut. Sans elles, point de sagesse selon les Grecs, bien qu’ elles présupposassent l ’ initiation à la dia­ lectique. C’est que les sciences exactes ont joué dans la civilisation byzantine, à l’instar de la théologie, un rôle capital qui a été insuf­ fisamment mis en lumière1, mais dont Paul Tannery a fort bien saisi les caractéristiques. Certes, les Grecs, traditionnalistes forcenés et chré­ tiens pointilleux, ont toujours subordonné la science profane, comme humble servante, à la théologie, mère de la seule vraie contempla­ tion 1 2. Les audaces des dialecticiens ou les écarts des astrologues furent à maintes époques durement tancés et il y eut des moments où certains milieux monastiques boycottèrent sévèrement l’enseigne­ ment des humanistes et où des cabales de couvents luttèrent même contre le principe des universités. La restauration des Paléologues régla le conflit séculaire, en passant l’enseignement officiel aux mains de l ’E glise3. L ’émulation ne tarda pas à gagner les monastères et l’on vit ce paradoxe de cercles jadis irréductibles devenir les plus farouches tenants 4 de la culture hellénique. En dépit de la lettre plus ou moins morte des canons, des écoles monastiques s’ouvrirent en divers points, dont plusieurs 5, comme celles de Maxime Pla(1) L e livre de F u c h s , ici plusieurs fois cité, n’envisage qu’incidemment ce côté formel de l’enseignement byzantin. (2) C’est que depuis le me siècle (cf. F r . D ô lg e r , loc. cit., 126) la démarcation était faite entre les connaissances utiles au salut ou théologie largement conçue et les connaissances purement profanes. Les premières composaient la philosophie selon les Chrétiens, les autres la philosophie selon le Grecs. Elles parurent s’op­ poser et entrèrent en conflit à diverses époques. D ’où la suspicion dont les milieux portés à interpréter trop littéralement certains propos des Pères ou des auteurs spirituels entourèrent les sciences profanes ou parfois même la simple instruction. (3) Déjà après la condamnation des rhéteurs et dialecticiens du X Ie et x n e siècles, Jean Italos et ses émules, l ’Eglise avait obtenu le contrôle de l ’enseignement officiel; cf. L . B r é h ie r , Notes sur l ’enseignement supérieur à Constantinople dans Byzantion, I I I , 1926, 77. I l paraît bien toutefois qu’au x m siècle il y eût à nou­ veau un enseignement d’ État et un enseignement d’Église. Sous Michel V II I, cette éventualité est certainement exclue. (4) Tout mouvement d’opposition ne cessa pas pour autant, comme nous le notons plus bas. (b) Sur ces différentes écoles voir F u c h s , op. cit., 57-65. L e couvent du Sau­ veur Inconcevable (του Άκαταλήπτου) est exactement localisé à l ’actuel Khalender Camisi; cf. Echos d’Orient, 34, 1935, 227. Comme Planude qui dirigea aussi, au Mont Saint-Auxence, une autre école moins voyante, et le Chypriote ensei­ gnèrent dans ce même monastère, il paraît bien que le premier dut y succéder à l’ autre devenu patriarche en 1283. Sur Grégoras professeur, consulter plus par­ ticulièrement R. G u il l a x d , Essai sur Nicéphore Grégoras, Paris, 1926, 13 suiv.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

XX

Préface

nude et de Georges de Chypre au couvent urbain de l’inconcevable et celle de Mcéphore Grégoras à Chora, éclipsèrent les officines patentées. Toutefois ces gens d’ Église, tout comme leurs collègues sécu­ liers, abhorraient, ce que nous appelons de nos jours, d’ailleurs bien vainement, la science pour la science. Excepté peut-être en matière de rhétorique où, tout en se livrant, par une façon de sport national, à de fréquents exercices d’éloquence, on s’ entraînait aussi à bien dire, la raison de l’effort intellectuel fut moins le perfectionnement des connaissances, quel qu’en fût l’ordre, que la poursuite d’un avantage tangible, plaisir ou bien. Cette utilité était, au regard de la conscience, la suprême excuse par quoi se tolérait ce qui, aux époques de stricte orthodoxie, eût pu passer pour curiosité sacrilège. La nouvelle orientation fut moins l ’effet d’une évolution interne qu’un produit de l’influence latine. Les usages occidentaux et les méthodes scolastiques avaient, durant le demi-siècle d’occupation franque, pénétré 1 les milieux intellectuels de Constantinople, et de là rayonné à Brousse, à Éphèse, à M cée et partout où l ’on ensei­ gnait. Néanmoins rien ne purgea jamais radicalement l ’âme byzan­ tine de sa répugnance à la pure abstraction, de sorte que, si elle transigea sur l ’ancienne exclusive portée contre les sciences, elle se garda, en les étudiant, de toute grande originalité. L ’œuvre massive, éditée, ici, pour la première fois dans son intégralité, peut être donnée comme le type le plus parfait d’un ouvrage de sciences profanes dû à un clerc enseignant dans un éta­ blissement d’État contrôlé par l’Église. Elle consacre et symbo­ lise tout à la fois la réconciliation du magistère et de la curiosité intellectuelle. Bien ne saurait d’ailleurs être plus caractéristique du nouvel état d’esprit que les premières pages de notre manuel byzantin. On y respire même un relent de naturalisme épicurien, émané d’un propos emprunté, ô scandale, à un authentique latin, Favorinus d’Arles. Les sciences sont connaturelles à l ’homme, glose notre auteur, et c’est la raison du plaisir qu’elles lui procurent, en lui facilitant l’exercice de l’intelligence. A la vérité, si cette décla­ ration n’est révolutionnaire qu’en apparence, elle n’en formule pas moins le principe libérateur ouvrant à l’esprit le champ sans (1) Durant le même temps fut ouvert auprès d elà Sorbonne un Collegium Constantinopolitanum où l ’on formait vingt clercs orientaux destinés à rentrer dans leur milieu d’origine. Cf. F r . F tjchs, loc. cit., 54.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Préface

XXI

limite de la spéculation et fondant le vrai bonheur humain sur l’am­ pleur des connaissances acquises. Théorie platonicienne dont l ’énoncé avait jadis soulevé des anathèmes. E t cette image d’Archimède souriant à la mort, s’il avait pu achever son expérience, est-elle assez curieuse ? Le trépas joyeux dans l’excès de bonheur que cause la découverte est d’une essence assez païenne, et l’on serait en droit d’ en suspecter l ’expression chez un clerc, si l’on ne savait que cet homme, l ’un des plus modérés de son temps, n’en était aussi l’un des plus réalistes. Philosophe à l’antique, il admet volontiers que le savoir puisse être à lui seul une jouissance, mais il professe que la science, cette systématisation du savoir, doit être utile avant tout. Les perspectives intellectuelles, que l ’âme amplifie en soi en raison du développement de ses connaissances, créent la joie de vivre, mais celles-ci n’a sa raison d’ être qu’en se traduisant au dehors, au bénéfice de la société. Le savant, perdu dans ses rêves, est un luxe, comme le simple replié dans son ignorance est une tare; tous deux sont des anormaux. La saine recherche, qui multiplie les délices de la vérité, est bienfaisante et constructive; elle achemine à la perfection l’âme raisonnable, selon le mot de Platon, sans cesser d’ être très secourable à l’homme. Voire, la quadruple science n’ob­ tient même, dans la hiérarchie des disciplines intellectuelles, la pre­ mière place que parce qu’elle procure à la vie les biens essentiels: l ’arithmétique enseigne le calcul et ses multiples opérations, la géométrie sert la guerre, bâtit les villes et reste l’ instrument du cadastre, la musique est l’agrément des fêtes et l’ornement du culte, l ’astronomie enfin a ses multiples emplois sur terre et sur mer et, particulièrement règle les cultures et conduit les nautonniers. Dans un ordre plus relevé, la science jette le pont ou l’échelle - l’image est de l’auteur - entre les deux mondes ' qui se partagent notre être, le sensible et le spirituel. Tout en admettant l ’importance primordiale des disciplines mathématiques pour la formation intellectuelle, la nouvelle uni­ versité, d’accord avec le sentiment ou plutôt avec l’instinct public, affirmait hautement le primat de l’astronomie. Sans apporter à défendre cette idée la chaleur qu’y mettra plus tard Nicéphore Grégoras, Pachymère montre, par maintes applications qu’il en fait dans ses Histoires, qu’elle importe à l ’homme plus que toute autre. Les mouvements du ciel sont en effet, croyait-on de son temps, intimement liés aux événements de la terre et il ne lui répu­ gnait pas de discerner, le cas échéant, parmi ceux-là quelques signes

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

X X II

Préface

avant-coureurs de ceux-ci. Platon, qu’il contribua fort à faire goûter, lui avait appris son excellence. Intermédiaire entre les arrêts de la raison et les impulsions de la foi, ses conclusions relient le réel au surnaturel. En ce domaine brûlant, sa réserve est de bon aloi. Nulle part son apologie ne verse dans un pseudo-mysticisme, familier à Grégoras; jamais surtout, il ne jouera à l’astrologue dans une téméraire application des mathématiques à la théologie. Son émule et contem­ porain, Eoger Bacon, eut plus d’érudition et de génie que lui, mais les extravagances et les rêveries du moine franciscain lui restèrent étrangères. Les abus de la méthode, chez ses disciples, viendront à nouveau inquiéter l’orthodoxie byzantine. Quant à lui, s’il fut témoin des premiers excès qui allaient marquer (avant 1328) la fin du règne d’Andronic I I prince inquiet et superstitieux, le courant ne l’en­ traîna jamais. I l ne semble pas d’ailleurs que l’Église se soit autre­ ment émue d’un enseignement qu’elle n’avait jadis permis que pour complaire à des complicités impériales. Les querelles dogmati­ ques, conduites par tout l’empire pour combattre ou défendre la politique d’union des Églises, lui parurent-elles assez absorbantes pour détourner les esprits d’autres aventures intellectuelles ? Non évidemment, car cette controverse, dont chaque Grec prit sU part entre 1275 et 1300, ne pouvait éteindre toute autre curiosité et le présent traité de Pachymère dit bien, par son ampleur et sa valeur didactique, le succès qu’il dut connaître. Néanmoins, si officiellement rien n’était fait à l’encontre, une rumeur réagissait déjà sourdement qui, quelque vingts ans plus tard, devait coaliser contre l ’école du tout puissant ministre, Théo­ dore le Métochite ( f 1332), la cabale des clercs et des sophistes. Le professeur d’astronomie d’alors, Manuel Bryennios, fut spécia­ lement pris à partie. Or la manière dont Maxime Planude, un adepte et un admirateur, dénonce 1 les opposants laisse clairement entendre que la cabale se contentait, au temps de Pachymère, de hausser les épaules et d’en rire, de ce rire facile que multiplie l ’ ignorance. Resta-t-il, lui qui dans les conjonctures les plus difficiles de la politique religieuse sut prêcher la modération et s’ entendre avec

(1) Voir sa lettre à Manuel Bryennios dans M. T r e u , M axim i monachi Planudis epistulae, Vratislaviae, 1890, 54. Χαίρειν γάρ έώ τούς πολλούς, oî τά σεμνά διαβάλλοντες μάταια ταϋτα φάσκουσιν, αύτω τούτω δεικνύντες εαυτούς της περί ταϋτα δεξιότητος ήττους δντας.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Préface

XXXII

tous, à l ’abri de ces sarcasmes ? Certes, il dut lui être facile d’imposer à la foule le respect de sciences dont la portée pratique était de chaque instant. Mais ce pieux homme semble bien, en dépit d’une louable réserve, avoir prêté aux comètes et aux éclipses un langage d’une précision téméraire. Aussi le sage, le prudent Pachymère aurait-il souffert de la censure des zélotes, ces vengeurs bénévoles de l ’orthodoxie, qu’il n’y aurait là rien d’anormal. Quoi qu’il en soit, avec lui surtout, la science officielle s’installe dans une position de conciliation que le x iv e siècle accusera fortement jusqu’à l’abandon des vieux anathèmes. Ceux-ci seront réservés aux pratiques de magie et de sorcellerie, grâces auxquelles clercs et moines se procu­ raient de profitables succès1. Mais la spéculation pure des théoriciens les plus hardis allait être d’autant moins inquiétée que les empe­ reurs eux-mêmes' ne se firent pas faute de demander à l’astrologie1 2 la solution de leurs plus graves difficultés ou le secret de leurs plus importantes décisions. Un si haut exemple3 consacra la fortune de l’astronomie, mais les trois autres sciences en reçurent aussi leur surcroît de vogue. Euclide et Ptolémée furent en effet très à la mode et les commen­ taires de leurs œuvres s’échelonnèrent jusqu’à la fin de l’empire avec Théodore le Métochite, Mcéphore Grégoras, Isaac Argyros, (1) Voir par exemple le très intéressant acte synodal du 12 mai 1371 qui donne un aperçu sur ce que furent tout ensemble la clientèle, les livres, les procédés et la vogue de la sorcellerie à Byzance. Texte dans Miklosich et Muller , Acta et diplomata graeea medii aevi, 1,541-550. Le principal inculpé, Démétrius Chloros, était protonotaire de la Grande Eglise; ce qui montre le mal travaillant l ’entourage même du patriarche. Cette curieuse affaire a été étudiée par F r . Cumont dans le .Bulletin de la Société nationale des antiquaires de France, 1919, 175-181. Le pen­ chant pour les sciences occultes fut toujours plus fort que la répression officielle. L e fait le plus symptomatique en est que leurs adeptes se recrutaient, particuliè­ rement au xxv- siècle, dans les milieux hostiles à l’enseignement des sciences, en particulier de l’astronomie, à savoir parmi les clercs et les moines. (2) L ’ astrologie, qui fut toujours de mode à Byzance, semble avoir reçu, passé Tan 1300, une particulière impulsion par la venue d’ occidentaux, débiteurs de prophéties, qui appelèrent de la part des grecs, piqués au jeu, des répliques sa­ vamment orchestrées. De ces contestations le goût resta pour ces sortes de recher­ ches sur l ’avenir. Voir le rôle de Grégoras en plusieurs occurrences dans B. Gu il land , op. cit., 15. (3) Soit, pour exemple, trois horoscopes tirés l’un pour la reconstruction des murs de Constantinople (mai 1330), les deux autres pour la proclamation de Manuel, fils de Jean V Paléologue (25 septembre 1374) et pour l’entrée à Constantinople d’Andronic I V (12 août 1375); cf. F r . Cumont, loc. cit., 180,181.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

XX IV

Préface

Nicolas Kabasilas, Théodore Méliténiotès, Barlaam le moine cala­ brais, Georges Chysokokkès de Trébizonde et autres, tous encyclo­ pédistes de grand savoir, quoique d’une inégale originalité. L ’ œuvre mathématique de Pachymère est à l’origine de ce mouvement. On ne saurait déterminer, faute de savoir ce que tant d’inédits conservent encore, la mesure de son influence sur le nouveau courant. Il est toutefois certain que, sans être la première œuvre byzantine du genre, le Traité des quatre sciences en est le monument le plus insigne dont il nous reste à mesurer la portée dans le cadre restreint du haut enseignement à Constantinople.

§ 3. Georges P achymère

et le haut enseignement .

La Renaissance littéraire, qui nous a valu cette floraison d’œu­ vres scientifiques, est un effet assez inattendu de psychologie poli­ tique. Réduits à n’habiter plus qu’un État aux étroites limites, les grecs, déplorant après 1204 la double usurpation latine et turque, se consolèrent en affirmant leur supériorité intellectuelle sur leurs barbares spoliateurs. Ils n’abdiquaient, certes, aucun de leurs droits souverains, mais bien plutôt trouvaient dans leurs incessantes reven­ dications, qui devinrent une obsession à partir du règne de l’entre­ prenant et heureux Jean I I I Batatzès (1222-1254), un stimulant de leur activité culturelle. Avant la catastrophe du début du siècle, Constantinople avait été - et sous les Comnènes non sans un parti­ culier éclat - avec Bagdad et Paris, l’une des grandes capitales du savoir. La quatrième croisade dispersa évidemment maîtres et élèves et les lettres byzantines semblent avoir mené quelque temps à travers la Bithynie et l’Asie une préjudiciable vie de bohème b L ’ État désemparé nourrissait, comme bien l ’on le pense, d’au­ tres soucis que leur restauration. A son défaut, l ’Eglise maintint la tradition et cette circonstance eut une grande conséquence, car elle amorça cette reconciliation, dont il est parlé plus haut, du magis­ tère ecclésiastique avec les sciences trop facilement suspectées. A l’ombre des couvents ou sur le flanc des édifices de culte, moines*I, (1) L e signe le plus caractéristique de cet éparpillement, heureux d’ ailleurs à bien des égards, est que chaque ville eut en principe son école supérieure, comme l’indique l’édit de Jean Batatzès obligeant gouverneurs et notables à rétribuer ceux qui enseignent la rhétorique, la médecine, et les mathématiques; cf. Byzantion, I I I , 1926, 78.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Préface

xxv

et clercs rivalisaient de zèle pour répandre l ’instruction. La dispersion du premier moment fut même cause que des écoles de renom s’ou­ vrirent sur divers points simultanémentx, à Brousse où le moine philosophe Mcéphore Blemmyde suivit, quatre ans durant, les leçons de grammaire du futur métropolite d’Ephèse Monastériotès; à îficée où fleurissaient la poésie, la rhétorique et la dialectique; à Smyrne où Démétrios Karykès enseignait la médecine; à Skamandros même, petite ville de Troade où fleurissait aussi la médecine. Ces divers centres étaient accessibles à quiconque désirait s’instruire. En réaction contre ce libéralisme, le rigoriste Blemmyde n’ouvrait ses cours, avant comme après 1248, qu’aux seuls candidats à l ’état reli­ gieux, conformément aux stipulations des anciens canons. Mais avant de se poser en défenseur d’une tradition périmée, lui-même avait sans scrupule fréquenté successivement presque tous les foyers d’enseigne­ ment monastiques. Comme le moine gyrovague allait d’un couvent à l ’autre en quête d’une impossible perfection, les écoliers nomades pas­ saient de chaire en chaire pour la satisfaction de leur intelligence. Ces itinéraires souvent mouvementés d’étudiants témoignaient à la fois du désarroi dont souffrait l’ enseignement et du souci que l ’on gardait partout d’en conserver la flamme. Les initiatives de Blem­ myde, si peu profitables aux séculiers, eurent du moins l’avantage de créer chez les lettrés une grande émulation et justifièrent une réputation de science qui, malgré l ’inclémence des temps, se main­ tenait à l’ étranger. Aussi, lorsque, vers 1237, le pape Grégoire I X eut é c rit1 2, non sans une excessive politesse, au basileus que la sagesse de sa nation se répandait partout comme le ruisseau sort de la source, le propos ne fut relevé que comme un très juste hommage. E t cepen­ dant, malgré les efforts qu’y dépensa Théodore I I Lascaris, le prince le plus lettré que les grecs eussent eu depuis Léon V I le Sage, les cours de l’époque - tels du moins qu’on les donnait à Nicée - ne de­ vaient pas laisser à tous un brillant souvenir3. Certes, l’enseignement œcuménique avait retrouvé ses maîtres 4 et ses chaires, mais aucun (1) Cf. pour les grandes lignes F. F u c h s , op. oit., 54, 55. (2) Cf. Echos d’Orient, 29, 1930, 452.

(3) Voir, dans P . G. C X L II 24 D, 25. A , le passage souvent cité où Georges de Chypre peint sa déception de n’avoir pas trouvé au cœur de la Bithynie des maîtres qui enseignassent autre chose que la grammaire et la poétique. (4) A ceux que nomme F k . F u c h s , op. cit., 55 ajouter le maître du futur pa­ triarche Jean Beccos, Georges Babouscomitès; cf. Mélanges Spyridon Lampros, Athènes 1935, 86, 87, 93. Ce professeur enseignait la logique.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

xxvi

Préface

n’eut ni le talent ni la notoriété de Blemmyde, retranché volontaire, dont les leçons réservées éclipsèrent celles de ses émules de l’uni­ versité officielle. Du moins, la rhétorique et la philosophie, qui sont comme un besoin du tempérament national, eurent cette large dif­ fusion qui est la marque d’une culture exceptionnelle. Les sciences mathématiques, indubitablement enseignées comme les autres, n’ont laissé, elles, trace qui vaille. A défaut de chefs d’œuvre, les maîtres de Nicée, de Smyrne et de Nymphée formèrent des élèves, à qui la reprise de Byzance en 1261 allait fournir la possibilité de faire à nouveau rayonner la science grecque. Georges Pachymère, qui achevait alors sa dix-neuvième année, était de ce nombre. Michel V I I I Paléologue, soucieux de restaurer le haut ensei­ gnement, fit appel à la compétence d’un laïc, Georges Àcropolite qui, formé par Blemmyde et Hexaptérvgos, était à la mesure des grands esprits du passé. Homme d’ État et humaniste à la Psellos, sa maîtrise participait de cette universalité qui donnait dans un milieu aux prétentions difficiles l ’autorité nécessaire pour une restau­ ration des lettres. Des esprits envieux du savoir d’autrui, comme Georges de Chypre, ont reconnu en lui un génie et un sauveur. I l est à noter toutefois que, ses multiples compétences lui permettant de satisfaire brillamment aux besoins les plus variés de ses étudiants, le ministre dut être professeur quasi uniquex, en sorte qu’on ne sau­ rait parler d’université proprement dite. Les mathématiques n’en étaient pas moins enseignées par lui, d’après Buclide et Nicomaque. L ’idée d’une restauration complète de l’ancienne Alma Mater vint au patriarche Germain I I I (1265-1267). Ce prélat qui, avant de gouverner l’Eglise d’Andrinople, fré­ quenta l’école de son homonyme et prédécesseur Germain I I (12221240), avait eu un long commerce dans les monastères de Palestine avec la civilisation arabe. Les points de contact qui s’établissent à cette époque entre cette culture et la byzantine, même dans le domaine des sciences exactes, ne sont peut-être pas étrangers à cette circonstance. En tout cas, le chef de l ’Eglise, à qui l ’empereur laissa carte blanche, reforma 1 2 les cadres et remit sur pied l ’ancien didaskaleion œcuménique. Un nouveau recteur, Manuel-Maxime (1) Acropolite eut certainement des aides; cf. P . 6. C X L II 25 C, mais pour d’autres matières que la philosophie, l’ arithmétique, la géométrie, la rhétorique et la physique par lui enseignées; ibid., 25 CD, 28 A. (2) Cf. F r . F u c h s , op. oit., 57, où il y a cependant deux inexactitudes: en effet il n’est dit nulle part que le patriarche ne voulait pas confier ses clercs au lo-

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Préface

X X V II

Holobolos, rappelé d’exil à cette fin, suppléa le grand logothète retourné à la politique, mais non si complètement qu’il ne pût con­ tinuer à enseigner, en particulier les sciences. Certes, la charge de premier ministre rendait impropre à gérer le corps enseignant tout entier, mais on sait que, jusqu’en 1271 au moins, ses cours ne chô­ mèrent pas. Dès lors, on ne voit pas pourquoi son enseignement se serait donné hors de la grande institution, sur laquelle au reste il devait garder la haute main x, tout comme nos ministres de l’Edu­ cation Nationale sont grands chanceliers de l’Université. Holobolos, qualifié en raison de sa fonction de philosophe des philosophes, de grand didascale et de rhéteur des rhéteurs, avait pour spécialités la grammaire, la rhétorique et la logique. Les noms de ses premiers collaborateurs ne nous sont pas parvenus. Georges Pachymère, qui touchait alors à sa vingt-cinquième année, devait être sur la fin de ses études poursuivies, de 1261 à 1267, aux côtés de Georges de Chypre 2 à l’école du grand logothète Acropolite. I l entra dans la cléricature, mais, comme l’indique clai­ rement le portrait inséré dans ce volume, il semble n’avoir jamais été que diacre 3. Le prologue de ses diverses œuvres nous apprend, d’autre part, qu’il fit une double carrière dans l’officialité patriar­ cale dont il devint le quatrième dignitaire en qualité de protekdikos et au Palais où il remplit la fonction de dikaiophylax, équivalent à celle de garde des sceaux. Est-ce tout? Conseiller d’ État et chargé d’un important dicastère ecclésiastique, eut-il le loisir d’autres charges ? Parfaitement; à son tour, il fut professeur ainsi que l’eussent aisément*1 2 gothète; en second lieu, il ne ressort nullement du texte de Pachymère (éd. Bonn, I, 283) qu’Acropolite fut alors âgé, mais bien qu’il se trouvait fatigué* (1) T el était le cas vers 1300, comme l’atteste la correspondance de Théo­ dore Hyrtakénos: cf. Notices et extraits des manuscrits de la Bibliothèque nationale V I, 1800, 35, 47; F r . F u c h s , op. cit., 58, 59. (2) Celui-ci termina son éducation à 33 ans et la poursuivit pendant sept ans. Ce devait sans doute être une vocation tardive. ( 3) I l n’est écrit nulle part qu’il ait été moine et la seule allusion qui soit faite à cet état à son sujet figure dans son épitaphe. M. Philès, un de ses élèves, le félicite d’avoir embrassé la 'pauvreté volontaire ; cf. P . G. C X L III 422 B. Ce n’est là évidemment qu’une manière de parler pour caractériser son détachement et la modestie de son train de vie (ήθος μετρ',ον). On ne saurait dire s’il fut marié, bien que la chose paraisse probable. Deux frères, Jean et Michel Pachymère, signalés au début du x iv e siècle, durent être, soit ses fils, soit ses neveux. L e premier de ces deux parents s’intéressait très spécialement à la philosophie, à la géographie et à l ’astronomie. Cf. Annales Academiae scientiarum fennicae, Série B, X I V (deu­ xième partie) 1916, 61.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

X X V III

Préface

laissé supposer le nombre et la nature de ses ouvrages. Comme le titre de ceux-ci fait mention des deux hautes fonctions susmention­ nées, on pourrait toutefois croire que sa carrière professorale fut tardive. En automne 1285, il n’était encore en effet que hiéromnémon h Mais ce n’est là qu’une trompeuse apparence, due à ce que les suscriptions actuelles ont été remaniées soit à la fin de sa vie soit même après sa mort. En réalité, Pachymère débuta assez tôt dans l ’enseignement supérieur puisqu’il se trouvait à trente-trois ans, en 1275, titulaire 2 de la chaire d’exégèse du Nouveau Testament (saint Paul). Aucun texte ne nous dit formellement qu’il occupa d’autres postes à l ’université, mais le caractère de ses ouvrages permet de croire qu’il enseigna d’abord aussi la poétique; il a laissé des essais autobiographiques ou des épigrammes qui ont fait le désespoir d’Allatius 1 3, lequel avait meilleure opinion de son élève, 2 Manuel Philès, le plus grand versificateur du temps. L ’épitaphe que ce dernier a consacré à son maître nous le présente toutefois plutôt comme professeur de rhétorique et surtout de philosophie; ainsi qu’ il ressort expressément de ce jeu de mots sur le nom d’A ­ ristote auquel d’ailleurs s’adresse l’apostrophe 4: 'Ο γάρ κατά σέ τ ε χ ν ι κ ό ς

διδάσκαλος

ά ρ ι σ τ ο ν έκτήσατο και φίλον τ έ λ ο ς ά ν α λ υ τ ι κ ώ ς έκδοθείς τοΐς πατρασιν.

L ’homme de loi se contenta sans doute d’interpréter le droit dans la pratique 5. Δικαιοφύλαξ, εί μέτεστί σοι πάλιν θεσμ ώ ν φυλακή και βραβεύεις τα ϊς δίκαις, θέσπιζε, δογμ άτιζε, τάς στάσεις λύε τήν άπροσωπόληπτον έξά γω ν κρίσιν.

Bien en effet, ni traité, ni signalement, ne nous dit qu’il en fut autrement. La grammaire exceptée puisqu’il n’en est soufflé mot, les compétences du professeur embrassait donc tout le programme (1) Cf. Echos d'Orient, 26, 1927, 148. (2) Signature inédite: Ό διδάσκαλος τοϋ ’Αποστόλου Γεώργιος ό Παχυμέρης, υπέγραψα. (3) Cf. P . G., C X L III, 419: Ferreus ipse sum si quid est hisce carminibus in iota antiquitate duriis, dit-il, après avoir donné un échantillon de la manière du poète amateur. (4) Ibid., 421 B. (5) Ibid., 421 C, 422 A

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Préface

X X IX

de l’enseignement œcuménique. On peut dès lors se demander si elles ne l ’élevèrent pas à la direction même de l’ Université. Rien de plus certain si le titre du Quadrivium tel que le libelle 1 le codex angel. gr. 38 mérite créance. Pachymère y est en effet appelé grand didascale, ce qui est proprement le nom 1 2 du recteur sous les Paléologues. Malheureusement cette importante précision n’est pas ori­ ginale, apposée qu’elle fut sur le manuscrit déjà mutilé à la ün du X V e siècle au plus tôt. Le lemme primitif, conservé par une copie ancienne, le marcian. gr. V I, n. 6 3, donne à l’auteur les qualités traditionnelles et extrascientifiques de protekdikos et de dikaiophylax. La question ne s’en pose pas moins de savoir si le scoliaste plus récent n’a pas emprunté son renseignement à une source perdue depuis. Cette éventualité reste plausible4 et l’ on peut conjecturer qu’il succéda, non à Holobolos à nouveau disgracié en 1275/76, mais environ dix ou quinze ans plus ta rd 56au recteur qui le rem­ plaça. Dans cette hypothèse, les diverses étapes de son ascension universitaire auraient suivi la hiérarchie des études: les traités d’ exégèse et de philosophie se plaçant avant ou peu après 1285, les discours d’éloquence et l’œuvre mathématique étant postérieures. Dans ces conditions, l’édition de notre Syntagma se situerait à la fin du x m e siècle ou dans les premières années du x iv e. Quel jugement porter sur le Traité de Pachymère et quelle place lui accorder dans l’histoire des sciences ? Les notations de Paul Tannery, éparses dans ses lettres ou ses écrits, vont nous per­ mettre de nous faire sous ce double rapport une idée assez précise. Le savoir de l ’auteur en imposait à ses contemporains qui goû­ taient les nouveautés de ses enseignements. Témoin cette invite du poète à son maître décédé e: ΙΙλή ν εί πάλιν αΐσθησιν εις λόγους ά/οις, Παχυμέρη, πρόελθε και λογογράφει (1) Voir ci-après p. 15. (2) Cf. F r . F uchs , op. cit., 15, 57. (3) Voir ci-dessous p. 11, 12. (4) Au cas même où elle serait du lemmatiste cette précision prouverait qu’ aux yeux de celui-ci Pachymère faisait, par la variété de ses connaissances, figure de recteur. (5) Certainement pas avant 1285, la qualité de rhéteur des rhéteurs étant incompatible avec la dignité, relativement inférieure, de hiéromnémon qu’il avait alors. (6) Cf. P . G., loc. cit., 421 C.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

XXX

Préface καί τούς τά μαθήματα συνθέντας νίκα καινάς επ’ αύτοίς έκδιδάσκων ευρέσεις.

En définitive, cette originalité est très relative, mais l’on con­ çoit à· merveille que ses admirateurs lui en aient attribué le mérite. Certes, ce gros ouvrage ne présente dans son ensemble qu’une com­ pilation de multiples problèmes agités par l’Antiquité, dont l’auto­ rité s’imposait à tous, en toutes circonstances, et restait la pierre de touche du vrai savoir. Car, lorsqu’ils ne commentaient pas direc­ tement un traité déterminé, les Byzantins s’interdisaient, sauf raris­ sime exception, de tenter la moindre construction personnelle. La science sous son visage traditionnel en imposait plus à ses esprits systématiquement conservateurs que la plus éminente et la plus inédite spéculation.. Pachymère copie donc abondamment, mais non servilement. Comme le dit excellemment, à propos du traité de la Musique, le copiste Yergèce ou son modèle, ses emprunts, tirés d’au­ teurs anciens et nouveaux, sont groupés avec un très grand a r t1. En effet, si le compilateur respecte le fond, il assortit l ’arrangement au point de mettre une très sensible coquetterie à varier ses effets de style. La langue de ce livre est, comparée à celle de son œuvre historique, d’une clarté et d’une simplicité méritoires, et c’est même là un des signes les plus manifestes qu’il a été pensé pour des élèves*2. Les apprêts sont tels qu’ici les connaissances mathématiques sem­ blent bien encore l’accessoire, et que le but de l’écrivain est de faire avant tout œuvre de littérateur. Bien dire a toujours été le moyen infaillible de plaire aux grecs. Pachymère donnait en outre à son temps, par un langage technique aux couleurs singulières, l’impression d’ être un esprit créateur. L ’étude des mathématiciens de l’antiquité a posé à tous les commentateurs la grave question du vocabulaire, si particulier en ses détails que le sens de nombreux termes et de problèmes entiers s’est progressivement altéré ou même perdu. La cause de ce désarroi venait de loin, puisqu’ Euclide lui-même se souciait fort peu d’accommoder ses citations à sa véritable nomenclature technique. Quant à la difficulté éprouvée par les lecteurs du xixxe siècle, elle apparaît au naturel dans cette (X) Voir ci-dessous p. 23. (2) On ne lit pas sans étonnement sous la plume de Théodore le Métochite l’af­ firmation que vers 1300, au moment donc où Pachymère était en pleine activité les mathématiques étaient délaissées depuis longtemps (ετη πολλά), sans professeur et sans élève. Le travail de Pachymère qu’il ne pouvait méconnaître ni ignorer serait-il postérieur ? L ’éventualité doit être retenue. Voir cependant ci-dessous p. 23 n. 6.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Préface

XXXI

pittoresque apostrophe d’un scribe du temps, eu marge d’une copie de Diophante: ή ψυχή σου, Δ (.άφαντε, είη μετά τοϋ Σ α τα νά ενεκα της δυσκολίας τω ν

τ ε άλλων σου θεωρημάτων καί δη καί τοϋ παρόντος

θεωρήματος h Or notre auteur, non content de transcrire

et peu soucieux de maudire, n’en éprouvait pas moins la difficulté commune et y parait hardiment d’une double manière, soit en employant ce que Paul Tannery appelle le langage spontané de l ’homme technique, soit en se créant un vocabulaire artificiel. Dans le premier cas, l’écri­ vain, plus soucieux de forme que d’exactitude, donne des termes ou expressions de l’antiquité des explications plus ou moins vagues; dans le second il les commente d’une façon certainement fausse en prêtant aux mots un sens inconnu jusque-là. A ce compte, il ne pouvait passer aux yeux de sa génération que pour très savant et très subtil, d’autant que personne avant lui ne fit un inventaire aussi complet des ouvrages scientifiques de l’antiquité. I l était à lui seul une bibliothèque: ή γάρ κιβωτός τω ν καθ’ ήμας βιβλίων dit le précieux Philès 1 2, et dut paraître prodigieusement érudit, quoique ses procédés stylistiques n’en aient peut-être pas imposé à tous 3. Le Quadrivium n’apprendra donc pas grand’chose sur l’histoire des sciences chez les Anciens. L ’utilité de sa publication est cependant multiple. I l présente d’abord de manière exacte et précise le niveau moyen de l’enseignement mathématique sous les premiers Paléologues. Premier n é 4 d’une série ininterrompue de manuels qui se relayent jusqu’à la chute de l’empire, il marque en outre l’état initial d’un mouvement de recherches qui ne cessa de s’animer et se trouve à l’origine de la Renaissance italo-française. On le placera donc sans le surfaire au centre de l’évolution des sciences exactes à Byzance. Plus complet dans son ensemble que les compilations similaires, son utilité sera très grande pour classer les problèmes dans l’ordre où les Grecs se les proposèrent. L ’état dans lequel Pachymère expose chacun d’eux peut donner du relief à leur histoire antérieure et au (1) Cf. Mémoires, X I I I , 344. (2) Cf. P . G., loo. cit., 421 C. (3) Je ne doute pas que le trait de rhéteurs malhabiles (κακοτέχνως ρητορεόοντες) décoché par Nicéphore Choumnos (cf. F r . B oissonade, Anecdota graeca, I I I 367, 369) contre les émules officiels de son maître Grégoire de Chypre, ne s’ adresse au­ tant à Holobolos qu’à Pachymère. E t certes la langue de notre auteur, savam­ ment tourmentée en plusieurs de ses œuvres, prête à critique. (4) Très rares furent les compilations similaires avant la fin du X I I I e siècle. Sur celle d’un anonyme du X I e siècle que J. L. Heiberg édita naguère (Anonymi Y/ogica et Quadrivium, Copenhague 1929), voir Byz. Zeitschr. 31, 1931, 82-90.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

X X X II

Préface

progrès qu’on leur a fait faire après lui. H y aurait certes présomption à soutenir que l’auteur, restaurant un enseignement peu fréquenté jusqu’alors1, ait poussé dans ce domaine beaucoup plus loin que ses devanciers. Son apport n’en est pas pour autant négligeable. La terminologie technique, encore flottante malgré la contri­ bution d’ un Acropolite, s’enrichit de sens et de mots nouveaux 1 2, parfois contestables, mais toujours utiles à enregistrer. C’est même la persistance de ses néologismes et de ses interprétations erronées qui donneront, lorsque l’inventaire aura pu en être fait, la mesure de son influence sur les œuvres postérieures. Mais la tâche du philo­ logue sera en l ’occurrence particulièrement ardue et son verdict ne sera équitable qu’après examen de nombreux traités inédits. On peut certes s’étonner que vers 1400 notre Syntagma ne paraisse pas dans la bibliothèque universitaire de Joseph Bryennios 3 à côté de ses cadets Jean Glykys, Manuel Moschopoulos, Maxime Planude, Manuel Bryennios et Thomas Magistros. I l paraît même bien, d’autre part, que les écrits de Maxime Planude aient nui aux siens, sans les évincer toutefois de l ’enseignement officiel. Ainsi Théodore Méliténiote 4, recteur vers 1350 et son émule en exégèse et astronomie, le lit et le copie. La Benaissance, en le faisant si souvent reproduire5, souligne l ’estime qu’elle en avait, estime que les juges modernes, malgré les réserves nécessaires, n’ont pas démentie. Comme nous l ’indiquons plus haut, le principal intérêt de l ’ou­ vrage vient de l ’époque de sa publication, cette fin du x i h ® siècle qui voit, en Orient comme en Occident, le triomphe de la recherche scientifique. Ainsi le chapitre I I du Syntagma, traitant de la Musique ou Harmonique, est considéré par son premier éditeur, A. J. Vincent, comme formant Vanneau qui rattache Vantiquité cmx temps modernes 6. Ce serait même l ’un des plus intéressants que nous posséderions sur la matière et l’on ne doit pas s’étonner qu’il ait été démarqué ou copié par ses contemporains eux-mêmes, en particulier par Manuel (1) Voir ci-dessus p. 21 n. 2 l ’observation de Théodore le Métochite. (2) Un triple exemple que Ch . K u e ix e appréciait fort dans Annuaire de l’Association pour l ’encouragement des études grecques en France, V II, 1873, 185 n. 23 et 186. (3) Cf. F k . F u c h s , op. cit., 74. (4) L e prototype dont dérivent les nombreuses copies actuelles du Traité des Quatre sciences, le cod. angelic. gr. 38 paraît être, au jugement de son Em. le cardinal G. Mercati, de la main de se savant; cf. ci-après, p. 60. (5) La très grande majorité des copies est en effet du x v ie siècle. (6) Cf. Notices et extraits... X V I (Deuxième partie), 1847, 384.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Préface

X X X III

Bryennios \ En mathématiques proprement dites, Pachymère fraye de nouvelles voies. I l se présente en effet comme le premier1 2 qui se soit occupé expressément de Diophante et résoud des problèmes peu ou point traités qui posent la question de leur aboutissement moderne. Tels sont en particulier les problèmes indéterminés du premier degré 3, les observations sur l ’échelle d’Anatolius, distincte de celle de Diophante 4, et le théorème du carré de l ’hypothénuse curieusement intitulé: θεώρημα της νύμφης en concordance appa­ remment parfaite avec la géométrie arabe qui l’appelle théorème de la fiancée, mais dont Paul Tannery 5 donne une explication qui im­ plique une influence byzantine dans le milieu oriental6. D’importance documentaire de la présente édition est donc exceptionnelle. Le génie de l’auteur y paraîtra certainement médiocre, mais ce n’est pas sous ce jour qu’il faut apprécier les œuvres byzan­ tines, condamnées par un conservatisme outrancier à être trop large­ ment impersonnelles. Dans l ’histoire des sciences, comme dans l’histoire tout court, comme dans les autres branches de sa multiple activité, Pachymère est un témoin attentif et patient. Son information a ses défauts et ses méthodes sont parfois contestables. Néanmoins peu de savants médiévaux ont tant lu et si intelligemment noté. On s’en rendra un compte très exact quand auront paru les nombreuses œuvres mathématiques des Xive et x v e siècles encore inédites. Puisse alors se trouver un nouveau Paul Tannery, dont la large compétence pourrait seule discerner les influences, fixer l’apport des divers au­ teurs et définir à coup sûr la place de chacun dans l ’évolution des con­ naissances scientifiques. „ _ ^

Y. L aurent

Directeur de l’Institut français d’Études byzantines.

Bucarest, 6 janvier 1940. (1) Cf. A. J. H. V incent , op. et loe. cit., 384. Si l’on se rappelle que ce Bryennios fut le professeur de Théodore le Métochite, il est quasi impossible que celui-ci n’ ait pas eu connaissance de l ’ouvrage de Pachymère. S’il l’ignore ce ne peut donc être que systématiquement dans le but de magnifier ses propres mérites. (2) Cf. Mémoires, I I I 356. (3) Ibid., X I I I , 329, 330. (4) Ibid., X , 279 et X I I I . 79, (98, 80: « Je viens de trouver, dans Georges Pa« chymère, ce théorème du carré de l’hypothénuse sous le nom de θεώρημα της νύμφης. « Les Arabes disaient: la figure de la fiancée; il semble dès lors que cette expres« sion leur soit venue des Grecs, quoiqu’à la vérité elle ait pu revenir des Arabes à « Pachymère. I l me semble d’ailleurs possible que νύμφη chez les Grecs ait désigné « non pas une fiancée, mais un insecte ailé, et que le nom donné au théorème re« pose sur une assimilation de forme » (lettre du 27 avril 1885). (5) Ibid., X I I I , 343. (6) Autres signalements ci-dessus, p. xn. 3

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

L ES M A N U S C R I T S

DU Q U A D R I V I U M

DE G E OR G E S P A C H Y M Ë R E

Parmi les nombreux manuscrits que la mort a surpris dans les cartons de Paul Tannery (1843-1904) il convient de citer, en tout premier lieu, le Quadrivium ou TerpâptpXoç de Pachymère. On sait que le deuxième des quatre traités, la Musique, avait déjà été pu­ blié avec force notes par A. J. H. Vincent dans les Notices et Extraits des manuscrits de la Bibliothèque du Roi, tome X V I e, seconde par­ tie, Paris 1847, pp. 384r-553. Tannery, que les œuvres des maîtres en sciences exactes chez les Byzantins tels que Pachymère ne pou­ vaient pas ne pas tenter, avait décidé l ’édition du reste, à savoir des traités d’arithmétique, de géométrie et d’astronomie. Déjà bien avant 1886, il avait commencé d’en relever le texte d’après les ma­ nuscrits de Paris. Cette première copie reçut bientôt, mais toujours avant 1886, les corrections et compléments qu’apporta un manus­ crit de la Marcienne de Venise, le Nanianus 255 qu’il put alors obte­ nir. Bref, le 2 septembre 1886 il pouvait écrire à H. Diels: « J ’ai déjà 450 pages de texte grec de prêtes pour l ’impression » 1. I l écrivait également à Heiberg: « Je suis en instance auprès de l ’Académie des Inscriptions et Belles-Lettres, pour publier l ’ou­ vrage mathématique de Pachymère d’après un manuscrit de Venise. Ma copie est prête, et, si on l ’accepte, j ’espère que l ’impression pourra être faite l ’année prochaine » 1 2. I l dut remettre ce projet si près de sa réalisation. La correspon­ dance échangée avec Heiberg et Omont semble en indiquer les causes. Tout d’abord le manuscrit était trop important pour les Notices 1 Mémoires scientifiques de P . Tannery, publiés par J. L. Heiberg et H. G. Zeutben, t. IV ., Paris, 1920, p. 427, note 1 ; - Correspondance, t. X IV , lettre v, p. 175. 2 Cf. Mémoires scientifiques, Correspondance t. X V lettre x xiu , p. 61; voir aussi la lettre x x v i p. 72.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

XXXVI

Les manuscrits du quadrivium de Georges Pachymère

et Extraits, et pour le publier à l ’Imprimerie Nationale, il y avait une mise au point à faire. D ’autre part, appelé à ce moment comme Ingénieur de l ’Etat en province 1 il laissa dormir Pachymère, d’autant que ses propres recherches le conduisaient à conjecturer qu’un nouveau manuscrit devait se trouver à R om e1 2. Son texte, établi en 1886, ne tient naturellement pas compte de l ’ouvrage de Narducci paru en 18913. Les multiples travaux qui absorbaient Tannery 4 suffisent pro­ bablement à expliquer pourquoi, dans sa publication de Diophante d’Alexandrie, où figurent aussi les paraphrases, commentaires et scholies d’anciens nathématiciens, il ne produisit de l ’Arithmétique de Pachymère que les chapitres X X V - X L I V 5 d’après le manus­ crit de la Marcienne. Or, comme j ’essaierai de l ’ établir au cours de ces quelques pages, ce manuscrit dépend de celui de la biblio­ thèque Angelica, le témoin le plus ancien de l ’œuvre du Quadrivium de Pachymère. Son ardeur de production avait forcément entraîné Tannery vers d’autres voies. I l n’oubliait cependant pas Pachymère6; mais à son retour à Paris, il se v it obligé de se consacrer à la publication des œuvres 1 Directeur de la Manufacture des Tabacs à Tonneins et à Bordeaux. 2 Cf. Rapport sur une mission en Italie (1886); Mémoires scientifiques t. I I pp. 283-284. Cf. également Mém. scient, t. X V I p. 139, lettre iv de Henri Omont à Paul Tannery (24 août 1888). 3 E. N arducci , D i un codice archetipo e sconosciuto délVopera di Giorgio Pachimere, Περί των τεσσάρων μαθημάτων. Rendiconti R. Ace. dei Lincei, Classe Sc. fis. mat. nat., ser. 4, vol. 7 (1891), pp. 192-196. Du même: Complemento alla nota intorno al codice Angelico delVopera di Giorgio Pachimere: Περί των τεσσάρων μαθημάτων. Ibidem Classe mor. stor. filol., ser. 5, vol. 1 (1892) pp. 153-156. 4 Editions de Diophante (1893-1895), de Fermât (1891-1896) etc. dont la préparation directe ou indirecte remplit les années 1886-1896. 5 P. T annery , Diophanti Alexandrini opera omnia. Vol. II , continens Pseudepigrapha, Testimonia veterum, Pachymerae Paraphrasin, Planudis com­ mentarium, Scholia vetera, omnia fere adhuc inedita, cum prolegomenis et indi­ cibus. Leipzig, Teubner, 1895, pp. 78-122. Antérieurement Tannery n’en affirmait pas moins l’existence à Borne, à la fin du x v i siècle, d’un manuscrit de Pachymère, source à la fois des manuscrits de Paris et des extraits contenus dans le Vaticanus gr. 116 (f. 190 sqq). 6 C’est ainsi que dans sa réponse à une question posée par J. Neuberg à propos du triangle rectangle avec carrés construits sur les côtés, il rappelle le nom donné à cette construction «dans les manuscrits de l ’ouvrage inédit Sur les quatre Sciences du byzantin Georges Pachymère » (Cf. Intermédiaire des Mathémati­ ciens t. I, 1894, p. 254 et Mém. Scient, t. X p. 279) et que, écrivant à Karl

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Les manuscrits du quadrivium de Georges Pachymère

X X X V II

de Descartes *1 que le Gouvernement sollicitait de lui. I l avait d’abord refusé, disant qu’il n’avait pas le temps de s’en charger; mais Madame Tannery le pria d’accepter pour son pays. Pouvait-elle songer alors que la vie lui serait si cruellement mesurée. C’est ainsi que madame Paul Tannery, qui consacre le meilleur de sa vie à l ’édition ou réédition des œuvres de son mari, sollicita l ’Institut Assomptioniste de Kadikôy pour la mise au point du texte inédit qu’elle désirait ardemment voir paraître. Mais passons rapidement en revue les manuscrits qui nous intéressent.

Manitius à propos des Commentaires sur Hipparque, le 19 Juillet 1895, il l’in­ forme qu’il a commencé à préparer la publication d’un ouvrage inédit de Pachy­ mère (cf. Mém. Scient, t. X V I p. 9). 1 L a préparation de cette édition remplit les années 1896-1904.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

D e s c r ip t io n des m a n u s c r it s .

Nous connaissons du Quadrivium de Pachymère plusieurs ma­ nuscrits dont il me sera permis de donner ici une description plus ou moins rapide, selon leur importance. Mais, dès l ’abord, je tiens à dé­ clarer que, mes investigations m’ayant amené à considérer le codex Angelicus 38 (c. 37) comme la source commune de la plupart des autres, je me contente pour ceux-ci d’une présentation plutôt som­ maire. La Bibliothèque Nationale de Paris nous en fournit un lot assez considérable; ce sont les codices 2.338, 2.339, 2.340, 2.341, 2.438, 2.536 du Fonds grec, et le cod. 51 du Supplément1.

1. - Parisinus 2.338. Manuscrit de mm. 355 x 230, comptant 345 feuillets numérotés. Le feuillet 345r est à moitié blanc, 345® est blanc tout entier; suivent trois feuilles de garde blanches non numérotées. Le ms. débute par trois feuilles de garde également non numérotées. Sur le recto de la première feuille, on lit, de la main d’Ange Yergèce, une note ainsi libellée: -¡-Γεωργίου του Παχυμέρη περί των τεσσάρων μαθημάτων,

Γ Ce Γ signifie que ce ms. est le troisième exemplaire de Pachy­ mère conservé à la bibliothèque de Fontainebleau, A et B, étant des 1Pour la présentation des eodices Parisini, je m’inspire de la description rapide envoyée jadis par Aristide Marre à E. Narducci (Cf. E. N arducci, D i un codice archétype e sconosciuto delVopéra di Giorgio Pachimere : Περί των τεσσάρων μαθημάτων. Pendiconti B. Acc. dei Lincei, Cl. Sc. fis. mat. nat., s. 4, vol. 7 (1891), pp. 192-193). ainsi que des notes complémentaires prises sur place, à Paris, par le directeur de l ’ Institut français d’études byzantines de Bucarest, le B. P. Laurent.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

P a r is in i 2.338 et 2.339

XXXIX

exemplaires de la Paraphrase sur Aristote. Au dessous de cette note l ’on trouve l ’extrait du catalogue d’Omont et l’indice 2.338. Au verso de la troisième feuille voici le titre du contenu tracé à l’encre rouge. Παχυμέρη μεγάλου διδασκάλου περί των τεσσάρων μαθημάτων. Περί αριθμητικής, ής το πρώτον κεφάλαιον έκλείπει. Περί μουσικής. Περί γεωμετρίας. Περί άστρονομίας.

Dans sa marge supérieure le feuillet l r contient les armes royales bibliothecae regiae et trois côtes: Dccxcn (barré) du catalogue de 1622 859 du catalogue de 1645 2170 du catalogue de 1682. Le texte commence ex abrupto et sans titre καί διορίζεται ποταπον χρή τον δντως φιλόσοφον, et se continue jusqu’au bout, à raison

de vingt quatre lignes à la page et d’ une quarantaine de signes à la ligne. I l faut signaler, encore, la présence d’une double main, celle du texte proprement dit, fort régulière mais plutôt lourde dirait-on, et celle des dessins fine, jolie, rappelant en plein l’écriture du x v i siècle. Au point de vue de l’intégrité du texte, le traité d’arithmétique comporte trois grandes lacunes fort remarquables, communes d’ail­ leurs à tous les manuscrits de Paris. La première lacune, qui rend le manuscrit acéphale, comprend les vrais titres de l ’ouvrage, l’épigramme, et une bonne partie du chapitre I de l’arithmétique. La deu­ xième lacune ronge les dernières lignes du chapitre V I I I et les 2/;i du chapitre I X . Enfin la troisième lacune supprime la moitié du cha­ pitre X X X I X et les premières lignes du chapitre X L . De ces lacunes il sera question plus en détail dans la description du codex Angelicus. Disons pour en finir que ce manuscrit provient de la Biblio­ thèque de Fontainebleau et est relié au chiffre d’Henri II.

2. - Parisinus 2.339. Manuscrit de mm. 296x197 (200x110 pour le texte), comptant 284 feuillets numérotés. Avant et après deux pages de garde non numérotées. Entre les feuillets 1 et 2 on peut lire l’authentique d’une

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

XL

Description des manuscrits

lettre de François I donnant à Ange Yergèce ses patentes d’écrivain expert en lettres grecques. An feuillet 2r , le titre de l ’ouvrage est tracé à l’encre rouge: Γεωργίου Παχυμερίου μαθηματικά, αριθμητικά, μου­ σικά, γεωμετρικά, καί άστρονομικά. | λείπει ή αρχή ; et sur un papier en­ carté l ’inscription latine suivante: Georgii Pachymeris Mathematica id est (supra versum) arithmetica, musica, geometrica et astronomica, vide cod 3946. Cod. char. Angeli Vergetij manu scriptus. E t beaucoup plus bas le chiffre 1540. Les anciens indices de ce manuscrit, portés sur la marge supérieure de ce feuillet, sont: Codex Colbert 1540, Rè­ gnes 2639. Le texte des traités commence ex abrupto aux mots καί διορίζεται ποταπόν χρή τον όντως φιλόσοφον et se continue jusqu’à la fin à raison de vingt sept lignes à la page. Les 56 premiers feuillets sont de la main d’Ange Yergèce; à partir du feuillet 57 jusqu’à la fin l’entreprise revint à Constantin Paléocappa. Nous avons à signaler les mêmes lacunes exactement que pour le codex 2.338. Enfin la re­ liure est moderne et précisément de Charles X .

3. - Parisinus 2.340. Manuscrit de mm. 324x210 (204x112 pour le texte) comptant 269 feuillets numérotés. Avant et après, deux feuillets de garde non numérotés. Ceux de la fin restent entièrement blancs. Sur le feuillet I® du début, à pleine page, on peut lire, écrite sur trois lignes, la note suivante: Codex chart. 16 saec. scriptus quo continetur Georgius Pachymeres de quatuor mathematicis scientiis nempe Arithmetica, musica, Geometria et Astronomia, desideratur initium. Rocce opus nondum lucem aspexit. Un peu plus bas sur le même feuillet, on trouve l’extrait de l ’inventaire sommaire d’Omont, puis, écrit à l ’encre, l ’indice 2340. Sur la marge supérieure du feuillet l r sont marquées à l ’encre noire les côtes anciennes: CCCL (barré), 381, 2168. En dessous, à l ’encre rouge, la note suivante : Του βιβλίου τούτου των τεσσάρων μαθη­ μάτων λείπει ή άρχή, ίσως φύλλον εν μόνον καί ού πλεΐον · ούκ εχομεν δέ καί τοΰνομα του διδασκάλου τίνος έστίν, όμως καθάπερ έν άλλοις έμάθομεν ύπολαμβάνομεν είναι Γεωργίου του Παχυμερίου. E t le texte commence ex

abrupto καί διορίζεται ποταπόν χρή τόν όντως φιλόσοφον et Se Continue jusqu’à la fin, à raison de vingt sept lignes à la page. Le feuillet 269® se termine par la finale suivante tracée à l’encre rouge : f τέλος σύν θεω των δ μαθημάτων : 1559.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

P a r is in i 2.339, 2.340 et 2.341

XLl

Cette copie qui est en entier de la main de Pierre Vergèce pré­ sente les mêmes lacunes que les codices précédents. Signalons enfin que le ms. porte une reliure aux armes de Catherine de Médicis.

4. - Parisinus 2.341. Manuscrit de mm. 280x200 (205x138 pour le texte) comptant 101 feuillets numérotés. Avant et après, quatre feuillets de garde non numérotés. Ceux de la fin sont entièrement blancs. Sur le feuillet I I du début on trouve une note ainsi libellée. Codex papyr. manu N icolai Nancelij anno 1557 scriptus quo continetur: 1) Georgij Pachymerae arithmetiea hactenus inedita; 2) eiusdem geometria et stereometria nondum édita. Sur ce même feuillet se trouve l ’extrait de l’in­ ventaire sommaire d’Omont, enfin le chiffre 2.341 marquant l ’indice actuel du manuscrit. Sur la marge supérieure du feuillet l r , sont marquées les côtes anciennes: Cod. Bal. 240, R. 2.079; puis vient le titre du premier traité: Παχύ μέρη μεγάλου διδασκάλου περί άρι&μητικής ή; το πρώτον κφ' εκλείπει.

L e texte, ici encore, commence ex abrupto: καί διορίζεται ποταπόν χρή τον όντως φιλόσοφον et se continue jusqu’à la fin à raison de vingt

sept lignes à la page. Au feuillet 56® qui marque la fin du traité d’Arithmétique on lit: Γεωργίου τοϋ Παχυμερίου Άριθ-μητικής τέλος et au dessous : N. ό Ναγκήλιος έγραψεν έτει τω ,αφνζ συν ί>εω. Le feuillet 57® commence le traité de Géométrie avec le titre: Γεωργίου τοϋ Πα­ χυμερίου Γεωμετρία στερεομετρία. Incipit: Ό τ ι μεν θέμεθλόν έστι. Au feuil­ let 102® on lit: Γεωργίου Παχυμερίου Γεωμετρίας ή στερεομετρίας τέλος συν θεω κρατίστω. Et au dessous: Νικόλεως 6 Ναγκήλιος εγραψεν έν τοϊς Παρισίοις νουμηνία τοϋ Άνθεστηριώνο; μηνός έτει Χ τοΰ τω αφνζ. La copie est donc de Nicolas .de Nancel, et elle est caractérisée par les grosses lacunes des codices précédents. Un détail relatif à la numérotation des cahiers. Ceux-ci sont numérotés au bas des pages (αον, β°ν etc.) tous les deux feuillets, mais avec cette particularité que chacun des deux traités possède une numérotation propre. Celle du traité d’Arithmétique (fol. 1-56®) αον-κ η ον, celle du traité de géométrie (fol. 57-101®) αον-κ δ ον. Au point de vue extérieur le manuscrit porte une reliure assez ancienne en peau de truie.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Description des manuscrits

X L II

5. - Parisinus 2.438. Manuscrit de mm. 323x213 (207 x l3 5 pour le texte) comptant 201 feuillets numérotés. Avant et après, deux feuillets de garde non numérotés. Sur le feuillet du début I r on trouve l’indice actuel de ce codex 2.438 qui fut d’abord un Regius 2176,2. Les feuillets 1-86 sont occupés par des extraits de mathématiciens anciens tels Athénée, Biton, Héron, Apollodore, Philon. L ’écriture en est très élégante mais peu correcte, au jugement de Tannery. Le feuillet 87r porte la mention suivante: Το παρόν βιβλίον έστί -τοΰ έν αίδεσιμωτάτοις καί άγαυοΐς ήρωσι Κυρίου Λαιλίου του Ρουϊνίου τοΰ έξ εύγενών της μητροπόλεως Βονονίας καταγομένου. Άντιγραφέν εκ τίνος κώδικός της Βατικανης Βιβλιοθήκης δι* έμοΰ Ίωάννου Σαγκταμαύρα τοΰ έκ μητροπόλεως Λευκοσίας της Κύπρου νήσου. Μηνί σεπτεμβρίω ο.®

Lp δ“ ετει άπο Χριστοΰ.

Les feuillets 88-113 contiennent le βιβλίον γεηπονικον d’ Héron, 114—117 restent vacants. Au fol. 118r sur la marge supérieure on lit cette note de la main de Boivin: Roc loco abundavit folia sexdecim, quibus continetur unius ejusdemque exemplaris quater inchoata descriptio. Transi bine ad folium 135. En effet du feuillet 118r à 135r il y a cinq essais de copie, par différentes mains, du Quadrivium de Pachymère, comme suit: 1) fol. 118r-119®, première copie d’une main autre que celle de Santa Manra: incipit: καί διορίζονται ποταπόν χρή... desmit: διά ταΰτα καί άφαιρεματικά λέγονται.

2) fol. 120r , cinq lignes d’écriture, de la même main que pré­ cédemment. Incipit : καί διορίζονται ποταπον, desinit : άρμονίας σύστασιν άπασαν. Le feuillet 120ν est vide. 3) fol. 121r-121® deux pages pleines de texte de la main de Santa Maura. Incipit : καί διορίζεται ποταπον, desinit : των έν ΰλη μεν βλεπομένων.

4) fol. 122r -122v, contiennent la fin du quatrième chapitre du traité d’arithmétique et la plus grande partie du cinquième. In ­ cipit : ή άριθμητική ότι συναναιρεΐ μεν, desinit : καί έναλλάξ χύματος τοΰ άριθμοΰ. Ecriture de Santa Maura. 5) fol. 123r-131v, la main des fol. 118-120 reprend le texte, en une écriture grande et relâchée, pour le conduire jusque près du

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

P a r is in i 2.438 et 2.536

X L III

chapitre V I. Incipit : καί διορίζονται, desinit : ως γίνεσθαι όκτάκις τά οκτώ καί πάλιν.

6) fol. 132®-134® sont complètement blancs. 7) fol. 135®-201® contiennent un texte continu depuis le dé­ but καί διορίζεται ποταπόν χρή τον όντως φιλόσοφον, jusqu’au milieu du chapitre I I I de la musique. Desinit : τά πρώτα δηλαδή άμφοτέρων των διά πασών, ή δίς διά πασών. La fin du traité d’Arithmétique, au feuil­ let 197®, porte cette note: τέλος της του Παχυμέρους Γεωργίου αριθμητι­ κής έπιστήμης ; le feuillet 198® intitule ainsi le traité de Musique: τοΰ Παχυμέρους = άρμονική = μουσική. Tout cela est de la main de Jean de Santa Maura. Notons encore que ce manuscrit comporte les grosses lacunes signalées dans les codices précédents.

6. - Parisinus 2.536. Manuscrit de mm. 241x170 (160x91 pour le texte) comptant 71 feuillets numérotés. A la fin, quatre feuillets de garde absolument vides, au début trois seulement, dont le premier porte l ’extrait de l ’inventaire d’Omont et le chiffre 2536. Sur la marge supérieure du feuillet l r se trouvent les cotes an­ ciennes tracées de deux mains différentes: Codex Colbert 3946, Regius 3119. Sur ce même feuillet le décor de titre peint en or, bleu et rouge est superbe. Le titre tracé en lettres d’or est ainsi libellé: Π Ε ΡΙ Α Ρ Μ Ο Ν ΙΚ Η Σ Η Τ Ο Υ Ν Μ Ο Υ Σ ΙΚ Η Σ et en dessous ην ό σοφώτατος καί λογιώτατος Γεώργιος ό Παχυμέρης, έκ πολλών παλαιών τε καί νέων διδα­ σκάλων έν άκριβεία πολλή έκλεξάμενος, συνετάξατο κάλλιστα τοΐς τά μουσικά έξασκοϋσιν όντως χαριζόμενος.

Suit le texte Δευτέραν εχει τάξιν jusqu’au bout à raison de vingt six lignes à la page. Ce manuscrit, un de ceux que la plume d’Ange Yergèce a le mieux soignés du point de vue calligraphique, ne con­ tient que la musique et son texte servit à l ’édition de A. J. H . Vin­ cent L Voici ce que celui-ci en dit : « Ce superbe manuscrit de la plus belle écriture d’Ange Vergèce, enrichi par les mains de sa fille1 1 Cf. Notices et extraits des manuscrits de la Bibliothèque du Boi et autres bi­ bliothèques, X V I (1847), pp. 384-553.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Description des manuscrits

X L IV

des plus jolies miniatures en or et couleurs est un véritable chef d’œuvre de calligraphie. L ’extérieur répondait à l’intérieur avant que l ’on eût détruit deux médaillons, sans doute aussi en miniature, qui ornaient les plats de la couverture. Comme d’ailleurs ce manuscrit ne contient que l ’harmonique, il est vraisemblable qu’il aura été exé­ cuté par l ’ordre de François I, pour être donné en cadeau à quelque personne amie de la musique que le roi honorait d’une considération particulière. Quant à l ’exactitude du texte, qualité sur laquelle j ’avais compté... la collation avec les autres manuscrits a fait voir qu’elle était loin de répondre à mon espoir » 1.

7. - Parisinus supplem. 51. Manuscrit de mm. 300x210 comptant 411 feuillets numérotés. A la fin neufs feuillets non numérotés vides; au début un seul feuillet non numéroté, au recto duquel on trouve l’extrait de l ’inventaire d’Omont et, tracés au crayon, ces mots: Volume de 411 feuillets || 3 janvier 1876. Au verso de ce même feuillet se lit la note suivante: « P x libris Pierre-Daniel Huet episcopus Abricensis, lequel le donna en 1692 à la maison des Jésuites à Paris ». Au feuillet l r : « Pachymerii opus supra quatuor disciplinis nempe Arithmetica, Musica, Geometria et Astronomia, codex uno, ut videtur folio in fronte mutilus ». E t encore: « Ms grec in folio sur papier de la bibliothèque de P . D. Huet donnée en son vivant en 1692 à celle de la maison professe des Jésuites à Paris, quoté X X V sur le catalogue latin imprimé en (espace v id e )2 des manuscrits de la bibliothèque du collège de Clermont ». On trouve aussi sur ce feuillet un autre numéro mo­ derne, inutile, 406. Au feuillet 2°, à pleine page, un joli décor en couleurs sur fond or encadre le titre de l ’ouvrage tracé en lettres capitales: Παχυμερίου εις τά τέσσαρα μαθήματα * δηλαδή άριθμητικήν, μουσικήν, γεωμετρίαν καί αστρο­ νομίαν.

Au haut du feuillet 3r la note: Domus professa parisiensis Societatis Jesu. Enfin le texte commence ex abrupto par les mots : καί διορίζεται ποταπόν χρή τον όντως φιλόσοφον. Sur la marge inférieure de ce feuillet se trouve aussi, en imprimé, la note: Ne extra hanc Biblio-1 2 1 Ibid., p. 400. 2 II s’agit du catalogue imprimé en 1761.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

P a r is . 2.536, S u p p l. 51, Vos. 62, Am6r. 979

XLV

thecam efferatur. E x obedientia. Le texte, qui est une copie de Jac­ ques Diassorinos, se continue régulièrement jusqu’au feuillet final à raison de vingt quatre lignes à la page; mais il présente les mêmes grosses lacunes signalées dans le codex 2.338 et les autres.

*

*

*

Après Paris les Bibliothèques de Leyde, Milan, Sinaï, Vienne, Venise, Borne nous présentent leurs débris ou leurs trésors.

8. -

Vossianus 62.

Manuscrit de mm. 290 x 190 comptant 68 feuillets. La pagina­ tion en est double: l’une, dont les chiffres sont tracés à l ’encre rouge, est ancienne et compte les pages (135); l ’autre, faite au crayon, compte les feuillets (68). Le manuscrit est consacré entièrement et uniquement au traité de musique de Pachymère. Le feuillet l r nous en fournit le titre: 'Αρμονική Μουσική Παχυμερίου. Incipit : Δευτέραν έχει τάξιν μετά τήν ’Αριθμητικήν ή μουσική... Le texte se continue jusqu’au bout à raison d’une trentaine de lignes par page. Ce manuscrit, à part les trois premières pages du début, est de la main de Nicolas de Nancel, le scribe du Parisinus 2.341. Le Vossianus appartient, comme on sait, à la Bibliothèque de Leyde. 9. - Ambrosianus 979 (D 473 inf.). De ce manuscrit composé de dix cahiers d’époque et de contenu différents seuls les feuillets 93-94 du neuvième cahier nous concer­ nent1. Les feuillets 93r et 94wcontiennent, en effet, le début du traité de Musique tracé d’une main du x v i siècle, certainement, et qu’après comparaison je suis tenté de rapprocher de celle de Jacques Diasso­ rinos. I l débute ainsi : περί αρμονικής ήτουν μουσικής, κεφαλ. α. Le texte commence par ces mots dont la majuscule initiale est omise : Δευτέραν 1 A. Ma rtin i et D. Bassi, Catalogus codicum graecorum bibliothecae ambro· sianae.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

XLVI

Description des manuscrits

έχει τάξιν μετά τήν αριθμητικήν ή μουσική; il s’arrête au milieu du feuillet 94* aux mots : πώς δέ ό έπόγδοο; λόγον εχει τόνου, μετ’ ολίγον είρήσεται (Cf. Vincent dans Notices et Extraits, X V I (1847)2, pp. 401-40313).

10. - Sinaiticus 535 (1754). Manuscrit de mm. 204x155 comptant 331 feuillets. Les notes descriptives que nous donne Uspenskij1 sont malheureusement fort insuffisantes et l ’on ne peut avoir de ce codex qu’une idée vague. Les renseignements supplémentaires que me fournissent les quelques photographies ou copies de texte que j ’ ai pu obtenir2 demeurent bien pauvres, cependant ils m’éclairent assez sur la qualité et même sur les origines de ce manuscrit, comme on essaiera de prouver tout à l ’heure. Le Sinaiticus 535 débute donc par le titre: Τοϋ σοφωτάτου κυροϋ Γεωργίου Πρωτεκδίκου τοϋ Παχυμέρη, σύνταγμα των τεσσάρων μαθημάτων άριθμητικής, μουσικής, γεωμετρίας, καί αστρονομίας. Suit l ’épigramme de

trente vers; incipit : Σύνταγμα τοΰτο των σοφών μαθημάτων, desinit : φ κλήσίς έστι συνταγή μαθημάτων. Viennent enfin les quatre traités d’arith­

métique, musique, géométrie et astronomie. Les textes de sondage que je possède ne m’autorisent pas à affirmer l ’intégrité absolue du manuscrit, je penche cependant à croire qu’il demeure avec tous ses feuillets et sans lacune notable; d’abord parce qu’il est, comme nous le verrons, une copie du Marcianus cod. V I clas. V I, qui lui même est entier, et ensuite parce qu’étant, par endroits, absolument imprati­ cable il n’a pas dû souvent tenter les lecteurs ou les copistes. Mes photographies trahissent deux copistes du x v i siècle. Le traité d’a­ rithmétique aux feuillets 59*-60” présente une écriture très soignée, en tout voisine à celle d’Ange Vergèce; le traité de géométrie aux feuillets 210r-212r n’est plus ou du moins ne semble plus de la même écriture. Le papier du manuscrit doit être détestable. Par endroits, par exemple aux fol. 210v-212r, l’encre l’imbibe jusqu’à traverser les*8 1V. Bexechevitch , Catalogua codicum manuscriptorum graeeorum qui in monasterio sanctae Cafharinae in monte Sinai asservantur, 1.1, St-Petersbourg, 1911. 8 C’est à l’intermédiaire de Mgr. Athénagoras ex-métropolite de Paramytbia, un des prélats orthodoxes les plus travailleurs et connu par ses études sur les œu­ vres de Denys l’Aréopagite, que je dois d’avoir obtenu ce secours. Son Excellence trouvera ici l’expression de ma vive gratitude.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

A m b r. 979. S in a ïticu s 535, Rossianus X I, 130

X LV II

pages, au point que si l ’on ne connaît pas, par ailleurs, le texte, la lec­ ture en devient impossible. De plus, à en juger par ces mêmes feuil­ lets le copiste ne dessine pas les figures géométriques mais se contente de leur réserver une large place dans le texte; c’est sans dou te pour attendre une main plus dextre que la sienne. Malheureusement cette main a fait défaut et l ’espace des dessins reste vide. Une copie des deux dernières pages du manuscrit me permet de constater que le Sinaiticus se termine régulièrement par le chapitre X X V I du traité d’astronomie qui fournit le texte final du Quadrivium.

11. - Rossianus X I , 130. Manuscrit en papier de mm. 340x230, comptant 63 feuillets. L ’ordre d’un ternion et d’un quinternion est interverti; au 4e quinternion, qui est le dernier, il manque la dernière feuille. Sur le dos de la reliure, on lit: « M axim i Planudis in Diophanti arithmetic graece, cod. chart. saec. x v i ». Le contenu est ainsi réparti: Fol. l r—42r άχολία (sic) της άριθμητικής · διοφάντου· του Πλανούδη κϋρ Μαξίμου. Incipit : ’Αριθμός έστιν ώς έπί υποδείγματος, desinit: καί εξει το πρόβλημα ελεύθερον του ήμίσεος. (Cf. Diophanti opéra omnia, édition de P. Tannery, Leipzig 1892-93, t. I I , pp. 125-255). Fol. 42r—53r . έξ έτέρου· Incipit: έπειδή πλεϊστα συμβαίνει, γίνεσθαι προβλήματα, desinit: καί μένει τα μείζονα των ελασσονών τριπλάσια. (Cf. P. Tannery ορ. cit., Georgii Pachymerae Arithmetices capitula viginti, pp. 851-122g). Ce texte présente une grosse lacune, qui comprend, d’après l ’édition de Tannery, pp. 1159 ιβ, η, ιδ - p. 1203 ήτις έστιν ό β. Fol. 53r Όρος Διοφάντου. Incipit : Λεΐψις επί λεΐψιν, desinit θεωρεΐν τόν άριθμόν. (Cf. P. Tannery ορ. cit., ρ. 122, en note). Fol. 53r-56r , contiennent les chapitres X V I (Ζητοΰσιν οί γεωμέτραι), X X I I (Έπειδήπερ έκ δύο ονομάτων), X X I X (Γίνονται δέ καί άλλοι λόγοι), X X X I (ôpot των εξ άποτομών· ύποκειμένης ρητής καί άποτομής) de la Géo­

métrie de Georges Pachymère. Fol. 56”-63®, sans titre, δέκα ï P α

ï ï

ά

ï

Incipit : άπό p εως ü, desinit : έπί πάντων των τετραγώνων αριθμών γίνεται. C’est un long extrait du livre deM. Planude Ψηφοφορία κατ’ ΐνδούς.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Description des manuscrits

X L V I II

La fin de ce manuscrit est marquée par une note très utile de l ’auteur. La το ici avec ses fautes d’orthographe: Έτελειώθη το παρόν βιβλίον διά χειρος έμοϋ ελάχιστου ίωάννου ρασεοϋ έκ νήσου κρήτης έν ετη αφοε1? έν μηνί ίουλίφ κα έν ημέρα πέμπτη· οί άναγινώσκοντες ευχεσθαι και καταρασθαι: ώσπερ ξένοι χαίροντες οίδεΐν πατρίδα ουτω καί οί θαλαττεύοντες εύρεΐν λοιμένα ουτω καί οί γράφοντες οίδεΐν βιβλίου τέλος· τέλος σύν θεω άγίω άμήν.

Ce manuscrit fut donc copié en 1575 L

12. - Marcianus (Nanianus) Cod. V I cl. V I 1 2. Manuscrit de fort papier de mm. 222x145 (162x101 pour le texte) comptant 327 feuillets numérotés à l ’encre, à raison de vingt lignes, en moyenne, par page. En avant un feuillet non numéroté porte le titre et l ’épigramme de l ’ouvrage. A la fin quatre feuillets blancs numérotés au crayon continuent la pagination du volume, 328-331. La couverture de bois est recouverte d’une assez belle peau rouge ornée de dessins où l ’on peut relever, comme motif principal, l ’aigle à double tête et la fleur de lis. Le dos de la reliure porte quatre étiquettes avec, de haut en bas, les indications suivantes: a) L ’indice actuel : Georgius Pachymerus, cl. V I, cod. V I. Ce papier est fort usé; b) Le chiffre 255 ancien indice; c) Le titre et contenu du volume TsTpà(3ipXo;... Uy.yyaspr¡ paùrjp.aTixYj; d) Le n° d’ordre: Manoscritti Marciani 1320. Les étiquettes b et c sont d’une main grecque posté­ rieure, je crois, au x v i siècle. Une petite feuille collée sur l ’intérieur de la couverture porte la mention suivante. L X V I I Ï a (sic) 5 Georgii Pachymeris Protecdici et | Dicaeophylacis Syntagma quatuor | Scientiarum, Arithmeticae, Musicae, | Geometriae, et 1Les renseignements sur ce manuscrit ont été puisés dans E. G-ollob, Die griechische Literatur in den Handschriften der Bossiana in Wien, I. Teil (Wien 1910), pp. 106-108 (Sitzungsberiehte der Kais. Akademie der Wissensehaften in Wien, Philosopliiscli-Historiselie Klasse, 164. Bd. 3. Abhandlung). 2Cf. A l . Mingakelli, Oraeci códices manu scripti apud Nanias Patricios Venetos asservati, Bononiae 1784, p. 448.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Boss. X I, 130. M a rcia n u s V I, 6

X L IX

Astronomiae, Opus | in quatuor Libros divisum. Primus est j Ma­ thematica seu Arithmetica | Secundus Harmonica seu Musica | Tertius Geometria, seu Stereometria. | Quartus Definitiones Sphae­ ricae j seu Astronomiae. Cod. Gr. Chart. Ms. in 4° saec. xv. Cias. V I Cod. V I

XC

I

(ce dernier signe est au crayon).

Sur le feuillet I non numéroté l’on trouve: a) Un premier titre au dessus d’une belle et grande vignette qui occupe le haut de la page: Ή τετρά βίβλος του Παχυμέρη; b ) Un épigramme de trente vers. Incipit : Σύνταγμα τούτο των σοφών μαθημάτων. Desinit : ή κλήσίς έστι συν­ ταγή μαθημάτων: c) Un second titre courant sur la marge tout le long de l ’épigramme : Του σοφωτάτου κυροΰ Γεωργίου πρωτεκδίκου καί δικαιοφύλάκος τοΰ Παχυμέρη, σύνταγμα των τεσσάρων μαθημάτων, άριθμητικής, μουσικής, γεωμετρίας καί άστρονομίας; d ) au bas du feuillet la note sui­ vante indiquant l ’ancien possesseur du manuscrit et due à une main moderne: τής αγίας Αικατερίνης των Σιναϊτών. 255. L ’épigramme et le second titre se continuent au verso de ce feuillet. Suivent les traités qui sont ainsi distribués : Arithmétiqîie (Μαθηματική· ’Αριθμητική.) fol. l r-68” ; les fol. 12” , 69r-71* sont blancs. Musique ('Αρμονική· μουσική) fol. 72r-157r ; les fol. 79r est blanc. Comme particularité il faut signaler la distribution des chapitres. Le manuscrit saute en effet (mais sans préjudice pour le texte qui reste entier) du chapitre X L I V au chapitre X L V II I ; à partir de ce point il n’en signale plus le chiffre. Les fol. 157”-159® sont blancs. Géométrie (Γεωμετρία· Στερεομετρία) fol. 160r—235r. Le fol. 217r ne comporte que quatre lignes de texte, le reste étant blanc. Les fol. 235”-239” sont blancs. Astronomie ('Όροι σφαιρικής εΐτουν άστρονομίας) fol. 240r -327®. On rencontre le cachet de la Bibliothèque Marcienne aux fol. I du début, V et 327®. Ce manuscrit d’une écriture régulière et soutenue appartient d ’un bout à l ’autre à la même main. Deux mains postérieures sont intervenues ici ou là pour de petites notes explicatives sur les marges ou au dessus des lignes mais elles sont facilement reconnaissables. Les dessins sont objet de soin particulier; on n’en trouve pas de né­ gligemment jetés sur les marges. Les initiales des chapitres sont calligraphiés et ornées de miniatures. Toutes les notes marginales 4

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

L

Description des manuscrits

sont tracées à l ’encre rouge. Quant à l’état général du manuscrit, il est fort satisfaisant: c’est le seul codex qui présente le Quadrivium de Pachymère sans lacunes, et les mites qui en ont perforé les marges ont eu la délicatesse de laisser le texte intact.

13. - Vaticanus 116 (olim 1006). Manuscrit de mm. 260x177 comptant v i i + 232 feuillets. R e­ cueil factice, ce codex trahit plusieurs mains et touche à de nombreux sujets. Pour une description plus complète - qui n’est pas d’ailleurs en rapport avec notre sujet - les lecteurs sont renvoyés au travail monumental de J. Mercati et Pie Franchi de’ Cavalieri1. Ce qui nous intéresse ce sont les feuillets 166r-203r dont voici le contenu1 2: Fol. 166r—189” : Σχόλια της αριθμητικής του Διοφάντου του Πλανούδη κυροϋ Μαξίμου (cf. P. Tannery Diophanti opéra omnia, Leipzig 1892-93, t. I I , pp. 125-255). Fol. 190r-1991’. Le titre est anonyme, έξ ετέρου, tracé deux fois par une main différente de celle du texte. In cipit de ce texte: Επειδή πλειστα συμβαίνει γίνεσθαι, desinit: καί μένει τά μείζονα των έλασσόνων τριπλάσια. Ce sont les chapitres X X V I - X L I V de l ’Arithmétique de Georges Pachymère (cf. P. Tannery, op. cit., Georgii Pachymerae arithmetices capitula viginti). Mais je signale quelques particularités qui peuvent avoir leur importance. Le copiste ne marque pas le chiffre des chapitres, dont les initiales, de proportions le plus souvent modestes, sont bonnement laissées à l ’intérieur des lignes, un simple espace blanc indiquant un chapitre nouveau. Sur la marge, en face des chapitres Χ Χ Χ ΙΠ , X X X V I , X X X I X une main, point du tout ressemblante à celle du texte, a marqué άλλο θεώρημα ou άλλο. De la note marginale signalée par Tannery au chapitre X L (p. 106 en note) point de trace ici. Remarquons de plus que le texte du fol. 199r ne fait pas suite à celui du précédent. Une grosse lacune, due probable­ ment à la chute d’un feuillet, a emporté une grande partie du cha­ pitre X L I I et le chapitre X L I I I presque en entier, et plus précisé­ ment dans le texte de Tannery 115fl ιβ, η, δ - 1203 ήτις έστιν ό β ;

1 Codices Vatieani Graeci, tomus I, codices 1-329, Bomae 1923. 2 On peut consulter aussi, P. T ann e r y , Rapport sur une mission en Italie du 24 janvier au 24 février 1886, dans Archives des Missions scientifiques et littérai­ res, 3e série, t. X I V (1888), pp. 418-419.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

M a rc . V I, 6. Vaticanus gr. 116

LI

cependant en marge du fol. 198® l’on trouve la finale du chapitre X L II : δει δέ έν πάσι τούτοις — μείζων γάρ ό ζ του ε (Tannery, ρρ. Ι Ι 622 - 29 )· Cette addition me semble de la main du texte. Fol. 199® v/3. L ’ étude de la filiation des manuscrits ayant abouti à un manuscrit-source, 1’Angelicus 38, l’appareil critique s’ attache principalement à relever les modalités ou vicissitudes du texte de celui-ci; mais pour plus d’exactitude et de fidélité, il signale également les corrections, suppléments, omissions ou autres petites diffé­ rences relevées dans le manuscrit de Tannery ou dans la partie du texte publié jadis par lui (édition de Diophante). Pour plus de clarté, les lettres accompagnant les figures et rapportées tout le long du texte ont été présentées sous leur forme majuscule, alors que le manuscrit ne donne que des minuscules. Souvent les noms des signes du zodiaque, sont accompagnés de ces signes mêmes. L e texte établi les supprime, mais on a pris soin de les reproduire, tels que les donne Pachymère, au bas d’une page de l’Astronomie. L e texte reproduit est celui de 1’Angelicus 38 sauf pour les parties qui man­ quent à celui-ci et qui ont été prises dans le Marcianus. E. S.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

L IS T E DES A U T E U R S CITÉS E N A B R É G É D AN S LES NOTES

A p o l l o n iu s , A p o l l o n ii P e r g a e i quae graece exstant ed. J. L . Heiberg, 2 vols.

Leipzig, Teubner, 1891-1893. t r a d . A b r a h a m . A p o l l o n ii P e r g a e i conicorum libri v. vi, v i i . paraphraste Abalphato Asphahanensi. .. additus in calce A r c h im e d is as· symptorum liber. . . Abrahamus Ecchellensis latinos reddidit, 1. A . Borellius ... contulit... et notas adiecit. Florentiae. 1661. A p o l l o n iu s , t r a d . V er E e c k e , Les coniques d'A p o l l o n iu s d e P e r g e , trad. part. P. Ver Eecke Bruges, Desclée 1924. A r atü s P h e n . A r a t i , Phaenomena ed. E. Maass. Berlin, Weidmann 1893. A r c h im e d e e d . H e ib e r g . A r c h im e d is , Opera omnia, cum commentariis E u to c ii ed. J. L . H e ib e r g , 3 vols. Leipzig, Teubner 1910-1913. A rchimede , trad . V er Eecke , Les œuvres complètes d’ A rchimède , trad. par P. Ver Eecke, Bruxelles 1921. Berger, F ragm. Er . Merger, Die geographischen Fragmente des Eratostbenes. Leipzig, Teubner 1880. Cl è o m è d e . Cl e o m e d e i , De motu circulari libri duo, ed. H. Ziegler. Leipzig, Teub­ ner 1891. D iels V orsokr . H. D ie l s , Die Fragmente der Vorsokratiker, 5. Aufl. hrsg. von W . Kranz. Berlin, Weidmann 1934 sqq. D i o p h a n t e . D io p h a n t u s , éd. P. Tannery. 2 vols. Leipzig, Teubner 1893-1895. E r a t o s t h è n e voir Berger, Fragm. Er. E u c l id e E l e m . E u c l id is , Elementa, éd. J. L. Heiberg. 5 vols. Leipzig, Teubner 1883-1888. E u c l id e Op t . E u c l id is , Optica, éd. J. L. Heiberg. Leipzig, Teubner 1895. E u c l id e P hèn . E u c l id is Phaenomena et scripta musica, éd. Menge. Leipzig, Teubner 1916. Eutocius (voir Archimède, éd. Heiberg, 3e volume). H éso n B e l o p . H é r o n s , Bélopoiika, gr. und deutsch von Diels und Schramm. Berlin, Reimer 1918 ( = Abhandl. der B. Preuss. Akad. der Wiss. Phil.-H ist. E l. 1918, n. 2). H ipparque Comm. H ipparchi in Arati et Eudoxi Phaenomena commentariorum libri 3e éd. C. Manitius. Leipzig, Teubner 1894. N ic o m a q u e . N icom achus G e r a s e n u s , éd. R. Hoche. Leipzig, Teubner 1866. P a p pu s Co l l . P a p p i A l e x a n d r in i , Collectionis quae supersunt, éd. F. Hultsch. 3 vols. Berlin, Weidmann 1875-1878. P a p pu s Comm. P a p p u s D ’A l e x a n d r ie , Commentaire sur les livres 5 et 6 de l’A lmageste, éd. Rome (Studi e Testi, n. 54), Rome 1931.

A p o l l o n iu s ,

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

CII

Liste des auteurs

P l o t in

ed

. B r é h iv . P l o t in , Ennéades, éd. Bréhier. 5 vols. Paris, les Belles-Let­

tres 1924-1931. P to lém ée A l m . Cl a u d ii P to lo m a e i , Syntaxis mathematica, éd. J. L . Heiberg,

pars I, Leipzig, Teubner 1898; pars 2, Leipzig, Teubner 1903. P to lém ée H ar m . Die Harmonielehre des K l a u d io s

P t o le m a io s , brsg. von I. Düring. Göteborgs högskolas ärskrift 36 (1930), n. 1. T a n n e r y in P a c h . A r it h m . G eo r g ii P ac h y m e r a e arithmetices capitula viginti, dans D io p h a n t u s , éd. Tannery. Leipzig, Teubner 1893-1895, vol. 2, pp. 78 à 122. T a n n e r y Sc . h e l l . P a u l T a n n e r y , Pour l’histoire de la science hellène, 2e éd. par A. Diès, Paris, Gauthier-Villars 1930. T héodose D e h a b . T h e odosii de Habitationibus liber; de diebus et noctibus libri duo, éd. E. Pecht. Berlin, Weidmann 1927 ( = Abhandl. der Gesellsch. der W is­ senschaften zu Göttingen. Phil. hist. K l. X I X , 4.). T h é o n A l . T a b l e s . Tables manuelles astronomiques de Ptolémée et de Théon... traduites... en français par H a l m a . 2e. partie. Paris, Bobée 1823. T h é o n A l . C om m . T h é o n d ’A l e x a n d r ie , Commentaire sur les livres 1 et 2 de VAlmageste, éd. Eome ( = Studi e Testi, n. 72). Città dei Vaticano 1936. T h é o n d e Sm y r n e . T h e o . S m y r n a e u s , éd. E. Hiller. Leipzig, Teubner 1878. V in c e n t M. A . J. H. V in c e n t , Notices sur divers manuscrits grecs relatifs à la mu­ sique dans Notices et extraits des manuscrits de la bibliothèque du S oi. 16 (1847) 2e partie, p. 362-553. Contient le texte et la traduction d’une portion de l’introduction, et de la partie relative à la musique.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

TEXTE

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

ΤΟΥ ΣΟΦΩΤΑΤΟΥ

Εχ Μ α η ή α η ο οοά. V I οΐϋβ. V I

ίοΐ. I

ΚΥΡΟΥ

ΓΕΩΡΓΙΟΥ

Π Ρ Ω Τ Ε Κ Δ ΙΚ Ο Υ Κ Α Ι Δ ΙΚ Α ΙΟ Φ Υ Λ Α Κ Ο Σ

Τ Ο Υ ΠΑΧΥΜΕΡΗ

ΣΥΝΤΑΓΜΑ ΤΩΝ ΤΕΣΣΑΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ

Α Ρ ΙΘ Μ Η Τ ΙΚ Η Σ Μ Ο Υ Σ ΙΚ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ ΙΑ Σ

Ιοί. I I

Κ Α Ι Α Σ Τ Ρ Ο Ν Ο Μ ΙΑ Σ

8

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Σ ύ ντα γμ α τούτο των σοφών μαθημάτων

Ecod M a r · ciano fol. I

σπουδαΐς κατ’ ίσχύν συντεθέν πρωτεκδίκου και δικαιοφύλακος έκ τής άξίας, οίκτροΰ δ’ δμως γε λευΐτου Γεωργίου, 5 σπούδασμα παικτόν, άμπνοή συχνών πόνων καί πολυπληθούς, έξ άμαθίας κάκης. Καν γάρ σκοτεινός προς τό φώς θέλοι μένειν ώ μίσος έντέτηκε κατά σοφίας, άλλα συνάμα καμμύειν καί τάς κόρας 10 ώς άλαός φευ καί ψυχήν καί καρδίαν, μενεΐ γε τοϊς βλέπουσι δυσκλεής θέα ώς αποφυγών την Θεού λαμπράν δόσιν, δΓ ής διδακτούς καί Θεού τών κριμάτων ποιείν έδίδου τούς βροτού; θαυμασίως, 15 ώς δ’ ού συνήκαν ευδοκεί την μωρίαν καί την άφ’ απλής πίστεω ς σωτηρίαν. Πλήν οΰκ αχρείοι την άπ’ άρχαίου χάριν |ό δούς τό δώρον έκ ξένων πληρωμάτων

fol. 1 1

μένει δέ χάρις εις ψυχής προσαμβάσεις 20

έκ τών χαμερπών τής ύλης τυρβασμάτων, καί τον δοτήρα τό χάρισμα δεικνύει. Τώ γοϋν μισοϋντι καί κόρας καλόν μύειν ή καί δύνειν μάλιστα τούς τροφωνίους μη καί λαθών που προσθαρή κατά μέσους

25 καί τής εαυτού τούς συχνούς πλήση λύμης. Εΐ δ’ άνακύψει προς μαθημάτων φάος ώς άμβλυωπών προς τοσαύτην λαμπάδα προς σκαρδαμύξεις καί πικράς καί καίριους ή βίβλος έ'σται τώ κακώς θέλονθ’ όράν 30

ή κλήσίς έστι συνταγή μαθημάτων.0 1

10 Pro σωτηρίαν Tannery legerat άπιστίαν. Verbum pene deletum vix legi potest. 17 In marg. infer, cod, manu recentiori: Τής Αγίας Αικατερίνης τών Σιναϊτών 255. 23 In δύνειν prima litt, deleta in cod. 29 κακώς in καλώς vertebat Tannery.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Μαθηματική - ’Αριθμητική

A "Οτι μέν σύμφυτα τά μαθήματα καί οικεία τω άνθρωπίνω voi, καί ιδία αυτού άσχολία ή περί ταΰτα τριβή καί ή έγγινομένη έκ τούτων τή ψυχή ήδονή, 5 άριδήλως παρίστησι, το γάρ κατά φύσιν ήδύ, φησί Φαβωρΐνος το παρά φύσιν καί βίαιον αλγεινόν.

ώσπερ αδθις

Εΐ δε το έναντίον τη ήδονή ταύτη, όπερ

έστίν ή λύπη, ούκ εστι λαβεΐν τοϊς μή θεωροΰσιν, ώσπερ άμέλει τοϊς θεωρούσι την ηδονήν, θαυμαστόν ούδέν, εί μή καί μάλλον έκ τούτου το κατά φύσιν καί οίκείον συνίσταται · ώς γάρ έπί των έξωθεν άγαθών καί οΐς χαίρομεν άνθρωποι,

10 ή μέν απουσία καί πάντη καί πάντως κινεί, καί λύπην έντίκτει, ή δ’ έσαΰθις κτήσις ούδέν έστιν άλλο ή το τυχόντα άγαπαν, ούτως άντιστρόφως συμβέβηκε καί έπί των οικείων καί καθ’ αυτό τή ψυχή.

Τω γάρ παρεΐναι, κινεί καί

ήδονήν έντίκτει τω νω, είπερ ή ήδονή κίνησις, τω δ’ άπεϊναι, τοϊς μέν ούπω τεθεωρηκόσιν, έχέγγυος προς το μή λυπεϊσθαι ή άγνοια, τοϊς δέ τεθεωρη15 κόσιν, άπόχρη καί αύθις ή θεωρία έμμένουσα, εΐ μόνον άπεργασθείη καί μή έλλιπώς έχοι το θεωρούμενον.

"Αμβλωμα γάρ, ώσπερ τοϊς σωματικώς

κυΐ-

σκουσι, πάμπαν άχρηστον, οδτω καί ψυχή πονούση προς θεωρίας άπότεξιν · καί του μέν προτέρου, ό Χρύσης μάρτυς, ό πολλά πάσχων τής φιλτάτης | άφαιρεθείς, καί μηδέν εΐπών, ταύτην αδθις απολαβών, του δέ δευτέρου, ό μαθη20 ματικώτατος Αρχιμήδης 1 2, τάν κεφαλάν πλήττειν, μή τάν γραμμάν άφανίζειν, έπιστάντι τω πολεμίω ένστατικώς προτρεπόμενος · εΐ γάρ έξειργάσθη τότε εις τέλος το θεωρούμενον, ούκ αν έφρόντισεν οΐμαι καί τήν κεφαλήν έκεϊνος προσαφαιρούμενος, παύλαν σχούσης τής θεωρίας έν τή ψυχή καί εύφροσύνην έμποιησάσης οϊαν τ ’ οδσαν καί προς το τού θανάτου πικρόν άπομάχεσθαι.

1 Cfr. J. L. Maeres , De Favorini ArWatensis vita, studiis, scriptis. Utrecht, 1853. - Colardeau , De Favorini Arelatensis studiis, scriptis, Gratianopoli, 1903. 2 Cfr. A rchimede, trad. Ver Eecke, pp. xxvm -xxix (voir ci-deesus p. ci la liste des auteurs cités en abrégé dans les notes).

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Quadrivium de Georges Pachymère

8

Εί τοίνυν ή έπιστήμη άνάγειν θέλει ημάς προς τά νοητά, άλλως δέ ού δυνάμεθα άπό των αισθητών προσβήναι τοΐς νοητόΐς, εί μή τινι γεφύρα χρησαίμεθα, είσί γέφυραι καί κλίμακες τά μαθήματα, έν (ίλη μεν φαινόμενα, της ΰλης δέ άφαιρούμενα· διά ταϋτα καί άφαιρεματικά λέγονται καί μέσον είσί των τε αισθητών οίς συντεθράμμεθα καί τών νοητών οΐς προσβαίνειν γλιχόμεθα.

5

Πλήν ουδέ τά νοητά είσι παντελώς ήμών άλλότρια καί μηδέν ήμϊν ζητεϊσθαι προσήκοντα, εΐπερ ψυχήν έχομεν λογικήν καί νώ διοικούμεθα.

Τούτον ούν

τοΐς κατά κόσμον καί αΐσθητοΐς κατορυττόμενον οιον καί άμαυρούμενον, ούκ άλλως έχομεν έξιάσθαι καί προς τήν τών νοητών μετάληψιν διεγείρειν, εΐ μή διά μέσων αυτών τών μαθημάτων, τών έν ΰλη μέν βλεπομένων, της ΰλης δέ 10 δυναμένων άφαιρεΐσθαι· « Παραδοτέον γάρ τοϊς νέοις τά μαθήματα, φησίν ό Πλωτΐνος1, προς συνεθισμόν της άσωμάτου φύσεως».

Ούκ άρα τών μαθη­

μάτων άνευ δυνατόν τά τοΰ όντος είδη άκριβώσαι, ούδ’ άρα τήν έν τοϊς ουσιν άλήθειαν εύρεΐν, ής έπιστήμη σοφία. Φαίνεται δέ δτι ούδ’ όρθώς φιλοσοφεΐν · φησί γάρ ό Πυθαγορικός Άνδροκίδης1 2. 15 «δπερ ζωγραφίη συμβάλλεται τέχναις βαναύσοις προς θεωρίης ορθότητα, τοΰτό foi.2 r τοι γραμμαί καί άριθμοί καί αρμονικά | διαστήματα καί κύκλων περιπολήσιες προς λόγων σοφών μαθήσιας συνεργίην έχουσιν ».

Οϊόν τι λέγει · έπιτάττομεν,

φησί, τώ βαναύσω, φέρε χαλκεϊ, τοιανδέτινα μάχαιραν τεχνουργήσαι · ού δύναται ό βάναυσος έπινοήσαι τό έπιταττόμενον ακριβώς· διαζωγραφοϋμεν τούτο καί 20 δείκνυμεν γραφικώς όποιον καί έπιτάττομεν· ομοίως καί έπί τών άλλων.

Οδτω

δή καί έπί τών μαθημάτων, έκ τινων άφαιρέσεων τών έν ΰλη δντων, προς τά νοητά συνεθιζόμεθα.

'Ως γάρ έκεΐ ή έπιταττομένη μάχαιρα νοητή έστι καί

ού δύναται έπινοήσαι ό βάναυσος, δμως τη ζωγραφίη προσβιβάζεται καί ως έν ΰλη τό είδος μανθάνων, άφαιρούμενος τοΰτο μόνον δίχα τών χρωμάτων, 25 τεχνουργεΐ τό έπιταττόμενον, οΰτω καί ένταΰθα, γέφυραί τινές εΐσιν ήμϊν τά μαθήματα άπό τών αισθητών πρός τήν τών νοητών κατανόησιν, ά δή καί μάλλον οικεία ήμϊν έστι, μάλλον δέ τώ διανοητική της ψυχής ήμών.

Β Επειδή σοφία έστίν έπιστήμη τής έν τοΐς ούσιν άληθείας, έπιστήμη μέν 30 έστι κατάληψις του υποκειμένου άπταιστος καί άμετακίνητος, αΰτη δέ ή κατάληψις ού δύναται άπταιστος καί άμετακίνητος είναι, εί μή τά υποκείμενα 23 In έκεΐ litt, κ e corr. in cod. 30 In Επειδή litt, initialem E om. cod. qua« sane rubeo exaranda erat. 27 In κατάληψις litt, κ e corr. in cod.

1 P lot ix, éd. Bréhier, Ennèade 1, chap. 3, p. 64, 5. 2 Cfr. N ic o m a q u e , 1, 3, 3, p. 6, 11-16.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

9

Traité d’Aritlimétique - chapp. A, B, Γ'

ταύτη τά αυτά καί ωσαύτως έχοντα άεί διατελοΰσι· τοιαΰτα δέ τά κυρίως δντα, ών κατά μετοχήν καί τά τήδε δντα λέγονται, ταϋτα δέ είσι τά άϋλα· τά μέν γάρ έν ύλη τρεπτά καί άλλοιωτά, μιμούμενα την έξ αρχής αυτών διά παντός άλλοιωτήν φύσιν, — πανδεχές γάρ ή ύλη καί πάντα δυνάμει έστί καί 5 εις πάντα τρέπεται — τά δέ περί ταύτην άσώματά τε καί άϋλα καί διά τούτο

άτρεπτα καί άεί ώσαύτως έχοντα, οιον ποσότητες, ποιότητες, σχηματισμοί, μεγέθη καί τά τοιαΰτα. — Τό μέν γάρ λευκόν σώμα μετατρέπεται καί άλλοιοΰται, ή δέ λευκότης αυτή καθ’ αυτήν άναλλοίωτος καί άτρεπτός έστι · καί ό μέν χαλκούς κύβος δύναται πυραμίς γενέσθαι, ή δέ κυβότης ού δύναται | εις άλλο τι σχήμα fol. 2 ν

10 μεταβήναι. "Ωσπερ δήτα καί αύτή ή ουσία άμετάβλητός έ σ τ ιν ού γάρ άλλοιωθήσεταί ποτέ τό τού έγκεφάλου τού ίππου είδος εις σφήκας, άλλ’ ή ύλη τού εγκεφάλου εις σφήκας άλλοιωθήσεται.

"Ωστε τά πάθη

καθ’ έαυτά ακίνητα

καί άμετάπτωτα, παραπολαύουσι δέ τών περί τό υποκείμενον σώμα παθών. Τών γοΰν τοιούτων έξαιρέτως έπιστήμη έστίν ή σοφία, συμβεβηκότως δέ καί 15 τών μετεχόντων αυτών, δ έστι σωμάτων.

"Ωστε μάλλο ν διαρθρωτέον τά τοΐς

ύποκειμένοις συμβεβηκότα τω σοφώ τε καί έπιστήμονι* μάλλον γάρ ταΰτα δντα.

Τοιγάρτοι μή τούς δέκα κίονας, φέρε, άλλά τον δέκα αύτόν ζητητέον

τί έστι, καί μή τά τέσσαρα στοιχεία, άλλά τον τέσσαρα αύτόν τί έστιν · εκείνα γάρ υποκείμενα, ό δέ δέκα καί ό τέσσαρα αύτοΐς έπισυμβέβηκε · ποσά γάρ 20 εκείνα, ταΰτα δέ ποσότητες. Έπεί δέ ού δυνάμεθα καθ’ αυτά γνώναι, εΐ μή έν ύποκειμένοις θεωροΐντο) διά τούτο λέγομεν· τών δντων τών τε κυρίως καί τών καθ’ ομωνυμίαν, δπερ έστι νοητών τε καί αισθητών, τά μέν έστιν ηνωμένα καί συνεχή, ά καί ιδίως καλείται μεγέθη, τά δέ διηρημένα καί έν παραθέσει, ά καλείται καί πλήθη · 25 τών άρα δύο ειδών τούτων έπιστήμην νομιστέον τήν σοφίαν είναι.

παν πλήθος καί παν μέγεθος άπειρα τη εαυτών φύσει είσι, πλήθος άπό ώρισμένης αρχής άρξάμενον εΐ; άπειρον

Ά λ λ ’ έπεί

(τό μέν γάρ

πρόεισι, τό δέ μέγεθος

άπό ώρισμένης όλότητος διαιρούμενον ούχ ίστησι τήν τομήν), αί δέ έπιστήμαι πεπερασμένων εΐσίν, άπειρων δέ ούδαμώς, ούτε περί άπλ ώς μέγεθος, ούτε περί 30 απλώς πλήθος συσταίη άν ποτέ έπιστήμη, άλλά περί

τι άπ’ άμφοΐν άφωρι-

σμένον, άπό μέν πλήθους περί τό πόσον, άπό δέ μεγέθους περί τό πηλίκον.

Γ Έπεί τοίνυν τού ποσού τό μέν έστι συνεχές, τό δέ διωρισμένον, έκ μέν τού διορισμένου δύο έπιστήμαι συνίστανται, αριθμητική καί | αρμονική, εϊτ’ούν fo l.3r 35 μουσική, έκ δέ τού συνεχούς άλλαι δύο, ή τε γεωμετρία καί ή άστρονομία·5 5 Pro περί forte ύπέρ legendum. διωρισμένον litt, δ e corr. in cod.

15 δ έστι: & έστι cod.

20 έαυτών: αύτών cod.

34 Iu

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Quadrivium de Georges Pachymère

10

καί γάρ του διωρισμένου το μέν όράται καθ’ αύτό καί ποιεί τήν αριθμητικήν, το δέ προς άλλο έχει τήν σχέσιν καί ποιεί τήν άρμονικήν· καθ’ αυτό γάρ ό τρία, ό δέκα, ό άρτιος, ό περισσός καί τά παραπλήσια · προς έτερον δε το διπλάσιον, το τριπλάσιον καί τά έξης.

Του δέ συνεχοϋς, το μέν περί το ακίνητον κα­

τα γίνεται καί ποιεί τήν γεωμετρίαν · ακίνητος γάρ ή γη ώς του παντός κέντρον ·

5

το δέ περί το κινούμενον καί ποιεί τήν αστρονομίαν· κινείται γάρ καί άεί κινείται δ τ ε ούρανός καί τά περί αυτόν. Δ ιό καί Ά ρ χ ύ τ α ς *1 ό Ταραντΐνος άρχόμενος του 'Αρμονικού οΰτω πως λέγει * « Καλώ ς μοι δοκοϋντι περί τά μαθήματα διαγνώμεναι καί ούδέν άτοπον αυτούς όρθώς, οίά έντι, περί

έκάστου φρονέειν·

περί

γάρ της τω ν δλων 10

φύσιός καλώς διαγνόντες, έμελλον καί περί τώ ν κατά μέρος, οΐά έντι, καλώς όψεϊσθαι · περί τοι δή της γεωμετρικής καί άστρονομίης καί αριθμητικός παρέδωκαν ήμϊν σαφή διάγνωσιν,'οΰχ ήκιστα δέ καί περί μουσικάς· ταΰτα γάρ τά

μαθήματα δοκοϋντι έμμεναι άδελφεά· περί γάρ άδελφεά τά του δντος

π ρώ τιστα δύο εϊδεα τάν άναστροφάν έχει ». ’Α λλά ταΰτα

15

μέν Ά ρχύτας, δεικνύς δτι περί έν καί το αύτό έστι τά

τέσσαρα μαθήματα· πρώ τιστα γάρ τά τοΰ δντος ε’ίδεα λέγει τό τ ε διωρισμένον καί το συνεχές, τά άδελφά άπό2 τής αύτής ρίζης τοΰ ποσοΰ· π ρώ τιστα δέ ταΰτα, δτι έκ τούτων τά άλλα· έκ μέν τοΰ διορισμένου τά πλήθη πάντα, έκ δέ τοΰ συνεχοϋς τά μεγέθη πάντα.

20

Δ "Ο τι δέ πρώτη τώ ν μαθηματικών ή αριθμητική έστι, δήλον έντεΰθεν. Π ρώ τον μέν δτι καί ούσίαν φησί Πυθαγόρας τον άριθμόν, έν τή τοΰ τεχνίτου θεοΰ διανοία προϋποστάντα τώ ν άλλων, ώσανεί λόγον τινά κοσμικόν καί παρα­ δειγματικόν, προς δν άπερειδόμενος ό τώ ν δλων δημιουργός ώς προς προκέν- 25 τημ ά τ ι καί αρχέτυπον παράδειγμα, τά έκ τής ΰλης. αποτελέσματα κοσμεί ν καί τοΰ οικείου τέλους, ε’ί τ’ούν είδους, τυγχάνειν ποιεί.

Δ ιό | καί Π λάτω ν

τάς ιδέας αριθμούς φησιν· εΐεν δέ αΰται αί δημιουργικαί έννοιαι, κατ’ εύσεβή λόγον, καθ’ ας τώ ν οντων έκαστον συνέστησέ τ ε καί ειδοποίησε. Δεύτερον δέ δτι φύσει προγενεστέρα υπάρχει τώ ν άλλων ή αριθμητική, 30 δτι συναναιρεΐ μέν έαυτή τάς λοιπάς, ού συναναιρεΐται δέ έκείναις.

Ά να ιρε-

θέντος γάρ τοΰ τρία, δπερ έσ τι τής άριθμητικής, ούκ αν εϊη τρίγωνον, δπερ ου 10 έκάστω cod.

21 Δ recissum in cod.

29 In &ς litt. ς e

coit,

in cod.

1 D i e l s , VorsoTcr., p. 431. - N ic o m a q u e , 1, 3, 4, p. 6, 16 à 7, 4. 1 Cfr. V i n c e n t , p. 378, note 10.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Traité d’Arithmétique - chapp. Γ, Δ, E

II

έστί της γεωμετρίας· και άναιρεθέντος τοΰ έπιτρίτου, δπερ έστί της αριθμη­ τικής, ούκ αν εΐη τδ διά τεσσάρων, δπερ έστί της μουσικής · καί άναιρεθέντος τοΰ άριθμοΰ, ούκ αν άριθμηθείη ποτέ ή οΰρανοΰ κίνησις ή ήλιου ή άλλου τίνος άστέρος· όθεν καί πρώτιστης ουσης αυτής, περί ταύτης καί πρώτης 5 λέγομεν. ’Έστι δέ αριθμητική επιστήμη θεωρητική των περί άριθμούς συμβαινόντων, κατά τε πλήθη καί είδη καί τούς λόγους αύτών, έτι δέ διαιρέσεις καί συνθέσεις. ’Αριθμός δέ έστι πλήθος ώρισμένον ή μονάδων σύστημα'. 10

Μονάς δέ έστι καθ’ δ έκαστον των όντων έν λέγεται, καν συστηματικόν ή. Ά π ’ αύτής δέ ως άπό σπέρματος καί άϊδίου ρίζης, έφ’ έκάτερον άντιπεπονθότως αόξεται μέν τό ποσόν, μειοΰται δέ έμπαλιν τό πηλίκον. Μονάς δέ έκλήθη άπό τοΰ τούς κατ’ αύτήν πολυπλασιαζομένους μηδαμώς άλλοιοΰσθαι, άλλ’ έν ταύτφ διαμένειν · άπαξ γάρ τα πέντε, αύθις πέντε, καί

15 άπαξ τα δέκα, δέκα.

Ταύτόν γάρ ή μονάς, ώς καί έαυτήν καί πάντα άριθμόν

ταύτίζουσα· άπαξ γάρ τό έν, έν καί άπαξ τά τέσσαρα, τέσσαρα.

"Ετερον δέ

ή δυάς, ώς καί έαυτήν εις τό αύτό μή τηροΰσα, καί πάντα άριθμόν · δίς γάρ τά δύο, ού πάλιν δύο, άλλά τέσσαρα· καί δίς τά τρία, ού πάλιν τρία, αλλά έξ.

Ε

20

Τρεις δέ οί αριθμοί· πρώτος μέν, ό παρά τώ δημιουργικώ νώ άίδιος, καθ’ δν τά πάντα άριθμοΰνταί τε καί αρμόζονται, δν καί ούσίαν Πυθαγόρας τίθησι, καθ’ δν ούσιοΰνται τά πάντα· δεύτερος ό έπιστημονικός, ό τή έπιστήμη υποκείμενος, ού τά πάθη ζητοΰμεν · τρίτος, ό ένυλος, ό τοΐς πράγμασιν έμφαινόμενος, ώς τρεις βόες | φέρε, ή τρεις άνδρες.

25

fol. 4r

’Ανάγκη δέ τον έπιστημονικόν άριθμόν καθ’ εαυτόν ήρμόσθαι καί ούχ ύπ’ άλλου, άλλ’ ύφ’ έαυτοΰ 1 2. Παν δέ ήρμοσμένον έξ έναντίων πάντως ήρμοσται καί όντων · ούτε γάρ τά μή όντα άρμοσθεΐεν άν, οότε τά όντα μέν, όμοια δέ άλλήλοις, ούτε τά διαφέροντα μέν, άλογα δέ προς άλληλα3, ούδέ γάρ άρμοσθείη άν τώ βαρεΐ τό λευκόν.

< In πρώτιστης litt. e e corr. in eod.

25 δέ sup. lin. in cod. et a sec. manu, utvidetur.

1 Cfr. N ic o m a q u e , 1,7, 1, p. 13,7. 2 Cfr. N i c o m a q u e , 1 , 6 , 2 , p . 1 2 , 1 2 - 1 4 . 3 Cfr. N ic o m a q u e , 1, 6, 3, p. 12, 14-18.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Quadrivium de Georges Pachymère

12

"Ωστε και ό επιστημονικός αριθμός έκ τοιούτων αν συναρμοσθείη · έστι δέ ταϋτα τό περιττόν καί τό άρτιον \

Καί εΐσί ταϋτα συμβεβηκότα καθ’ αυτό

τω άριθμω, ώς μή είναι αριθμόν δλως, εί μή τι τούτων έχει. Καί άρτιον μέν έστι, τό εις Ισα δύο διαιρούμενον1 23 *· περιττόν δέ, τό εχον μέσον των Ισων μονάδα, ά δή καί εναλλάξ τω άριθμω έμφαίνονται, ύπό τίνος

5

θαυμαστής καί θείας φύσεως, άχωρίστως καί ένοειδώς διηρμοσμένα άλλήλοις “. Κατά δέ τό Πυθαγορικόν, άρτιος αριθμός έστιν ό τήν εις τά μέγιστα καί τά έλάχιστα κατά ταυτόν τομήν έπιδεχόμενος, μέγιστα μέν πηλικότητι, ελάχιστα δέ ποσότητι, κατά τήν φυσικήν των δύο τούτων γενών άντιπεπόνθησιν · περισσός δέ ό μή ούτως έχων, άλλ’ εις άνισα δύο τεμνόμενος \

10

ΟΙόν τι λέγω- τέμνω τον δέκα άρτιον εις πέντε, καί πέντε ταυτά είσι τά μέγιστα μέν πηλικότητι, — ουδέ γάρ δύνανται μείζονα εύρεθηναι των πέντε του δέκα τμήματα - έλάχιστα δή ποσότητι — δτι δύο τά τμήματα.

Άντιπεπονθότως

δέ πάλιν τέμνω τά δέκα εις δύο καί δύο καί δύο καί δύο καί δύο· ταϋτα τά δύο τή πηλικότητι μικρά, τή δέ γε ποσότητι μέγιστα, ήτοι πλείονα · πέντε 15 γάρ αί δυάδες τοΰ δέκα. Έ κ τούτου δ’ άρα τοΰ φυσικοΰ κατ’ αντιπάθειαν καί εναλλάξ χύματος τοΰ άριθμοΰ, καί πας αριθμός των παρ’ έκάτερα συντεθέντων άμα, ήμισύς έστι· καί των υπέρ ένα εκατέρωθεν κειμένων ήμισύς έστι · καί έτι των υπέρ έκείνους · καί τοΰτο μέχρις οδ δυνατόν 5.

20

Μόνη δέ ή μονάς, διά τό μή έχειν εκατέρωθεν αύτήν δύο άριθμούς, ενός μόνου, τοΰ παρακειμένου, ήμισύς έστιν °. Οΐον. α. β. γ. δ. ε. ς. ζ. η. θ. ι. ια.

'Υποθετέον τον ς μέσον τοΰ τε

ε καί ζ· πέντε δέ καί ζ, ιβ· οδ τό ήμισυ, έξ· μή μόνον δέ, άλλά καί δ καί loi. 4 ΐ η, ιβ· καί γ καί θ · καί β καί ι· καί α καί ια. | Ό

δύο δέ, μέσον τοΰ τε 25

ενός καί τοΰ τρία κείμενος, ήμισύς έστι των δ, των συγκειμένων έκ των άκρων. Ή

δέ μονάς, έπεί ούκ έχει παρ’ έκάτερα αυτής άριθμούς, ένός μόνου, τοΰ

μετ’ αύτήν, ήμισύς έστιν · ήμισύς γάρ των δύο. Ούτως άρα άρχικωτάτη ή μονάς παντός άριθμοΰ, ώς αύτό τό πράγμα δεικνύει.

30

26 Post δύο addidit Tannery .

1 Cfr.. 2 Cfr. 3 Cfr. * Cfr. 5 Cfr. * Cfr.

N ic o m a q u e , 1, N ic o m a q u e ,1, N ic o m a q u e , 1, N ic o m a q u e , 1, N ic o m a q u e , 1, N ic o m a q u e , 1,

6, 4, ρ. 12, 20-13, 4. 7, 2, ρ. 13, 10.

6, 7, 8, 8,

4, 3, 1, 2,

p.13, >5-6. p. 13, 15-20. p. 14, 13-16. p. 14, 16-18.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

ΪΓαΐΐό (ΓΑπίΙιπιβίίςιΐί“ - ο,ΐιβρρ. Ε, ζ

13

ς Ο ΰτω μέν διαιρουμένου του αριθμού εις άρτιον καί περισσόν, πάλιν καθ’ ύποδιαίρεσιν του άρτιου, τό μέν άρτιάκις άρτιον, τό δέ άρτιοπέρισσον, τό δέ, μέσον τούτων, περισσάρτιον’ . 5

Κ α ί άρτιάκις μέν άρτιόν έστι, τό μέχρι μονάδος κατά διχοτομίαν διαιρούμενον, ώς ό ξδ. Άρτιοπέρισσον δέ, τό μίαν τομήν έπιδεχόμενον, ώς ό λ. Περισσάρτιον δέ, τό κοινωνοϋν άμφοτέροις, τό έχον μέν πλείονας τομάς του ενός, ού μέχρι δέ μονάδος καταλήγον, ώς ό κδ.

10

Τω

γοϋν άρτιάκις άρτίω

συμβέβηκεν

άρτιάκις άρτια τα

μέρη έχειν,

καί κατά τό όνομα καί κατά την δύναμιν, πλήν άντιπεπονθότως ώσπερ επί του λ β · κεΐνται γάρ εφεξής ουτω τά μέρη τούτου άπό μονάδος, ότι καί ή γένεσις αύτοϋ κατά διπλασιασμόν άπό μονάδος έσ τίν· οΐον α. β. δ. η. ις. λβ · άνθυπακούεται γάρ τ ω άπαξ τά λβ, καί τ ω

δίς τά ις1, καί τ ω τετράκις τά

15 η· καί αύθις τό άπαξ τοίς λβ, καί τό δίς τοίς ις·, καί τό τετράκις τοίς η. Ώ ς λέγεσθαι τριακοστόδυον κατά τό έν, καί έξκαιδεκάκις τά β, καί όκτάκις τά δ.

Ταϋτα δέ πάντα άρτιάκις άρτια, ότι καί μέχρι τής μονάδος τήν τομήν

επιδέχονται. Πλήν τά έπιρρηματικώς λεγάμενα, ώς δίς καί τετράκις, άρτιώνυμα λέ20 γονται· ή δέ ποσότης τω ν μονάδων, δηλονότι β καί τέσσαρα καί οκτώ, άρτιοδύναμα· μέρη γάρ εκείνα, ή δέ ποσότης τω ν μονάδων, δύναμις.

Ώ σ π ερ αύθις

καί τό άνάπαλιν. Ε ΐ γοϋν αί εκθέσεις τω ν μερών καί τω ν δυνάμεων άρτιοι, ώς ενταύθα, δύο καί οι μέσοι εύρίσκονται καί άνθυπακούουσιν άλλήλοις, ώς ένταϋθα τά δ 25 καί τά η. ΕΕ δέ περιτταί, προστεθέντος τούτοις καί του ξδ, μία εΰρηται ή μεσάτης ό η, καί αύτός προς εαυτόν άνθυπακούεται, [ ώς γίνεσθαι όκτάκις τά οκτώ καί ίοΐ.

5ν

πάλιν έξηκοντατέσσαρα. Συμβέβηκε δέ πάσαις τα ΐς έκθέσεσι συντεθειμέναις σωρηδόν ΐσας ένί τω 30 μετ’ αύτάς παρά μονάδα γίνεσθαι, καί άναγκαίως είναι τον τοιοϋτον άριθμόν περισσόν· άεί γάρ ό παρά μονάδα ίσος τ ω άρτίω, περισσός έστι. Χρησιμεύσει δέ ή έπίγνωσις αδτη προς τήν τω ν τελείω ν άριθμών, όσον οόπω, γένεσίν τ ε καί σύστασιν, οΐόν τ ι λέγω · έσ τω άπό μονάδος ή έκθεσις

1 ζ ι βοίββιιιη ίη οοά.

6 Ιη ώς

ω θ οογγ. ίη οο i x etvwv sup. lin. in cod. » Md: ME cod. dcpaigelodo) Tannery in Pach. Arithm . 121». 99 %r\TeloQ· τήν άμβλεϊαν om. Tannery.

1 Cfr.

E

u c l id e ,

8 άπό/2 om.

E iern. , 2, 13, v o l . 1, ρ. 158, 2.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Traité de Géométrie - cliapp. Γ, Δ

215

| ’Έστω οξυγώνιον τρίγωνον τό Α Β Γ όξεΐαν εχον τήν προς τώ Β γωνίαν fol. 106 ν καί ήχθω άπό του A σημείου έπί τήν Β Γ κάθετος ή Α Δ · λέγω δτι το άπό της Α Γ τετράγωνον ελαττόν έστι των άπο των ΓΒ, Β Α τετραγώνων τω δίς ύπό των ΓΒ, Β Δ περιεχόμενά όρθογωνίω. 5

Έπεί γάρ έάν εύθεΐα γραμμή τμηθή ώς έτυχε, το από της δλης τετρά­ γωνον καί αύθις τδ άφ’ ένδς των τμημάτων, τά συναμφότερα τετράγωνα ΐσά έστι τω τε δίς ύπό της δλης καί του εΐρ'ημένου τμήματος περιεχομένω όρθο­ γωνίω καί τω άπο του λοιπού τμήματος τετραγώνω.

Εύθ-εΐα ή Β Γ τέτμηται,

ώς ετυχε, κατά τό Δ, καί τά άπό των ΓΒ, Β Δ τετράγωνα ΐσά έστι τω τε 10 δίς ύπό των ΓΒ, Β Δ περιεχομένω όρθογωνίω καί τω άπό της Δ Γ τετραγώνω. Κοινόν προσκείσθω τό άπό της Α Δ τετράγωνον · τά άρα άπό των ΓΒ, ΒΔ, Δ Α τετράγωνα ΐσά έστι τω τε δίς ύπό των ΓΒ, Β Δ περιεχομένω όρθο­ γωνίω καί τοΐς άπό των Α Δ , Δ Γ τετραγώνοις.

’Αλλά τοΐς μέν άπό των ΒΔ,

Δ Α ΐσόν έστι τό άπό της Α Β ■ ορθή γάρ ή πρός τω Δ γωνία · τοΐς δε άπό των 15 ΑΔ, Δ Γ ίσον τό άπό της Α Γ · τά άρα άπό των ΓΒ, Β Α ΐσά έστι τω τε άπό της Α Γ καί τω δίς ύπό των ΓΒ, Β Δ · ώστε μόνον τό άπό τής Α Γ ελαττόν έστι των άπό των ΓΒ, Β Α τετραγώνων τω δίς ύπό των ΓΒ, Β Δ περιεχομένω όρθογωνίω. Δείκνυται δέ καί δι’ άριθμών ούτως. 20

Έ στω

του οξυγωνίου τριγώνου ή υποτείνουσα τήν πρός τω Β όξεΐαν

γωνίαν ή Α Γ μονάδων ιε, καί τό άπ’ αύτης τετράγωνον σκε · ή δέ ΓΒ μο­ νάδων ιδ, καί τό άπ’ αύτης τετράγωνον ρής · ή δέ Β Α άπ’ αύτης τετράγωνον ρξθ ’ ή δέ Α Δ

μονάδων ιγ, καί τό

μονάδων ιβ, καί τό άπ’ αύτης τετρά­

γωνον ρμδ. 25

Καί έπεί ή Γ Β πλευρά έστι

μονάδων ιδ, έτμήθη δέ ώς έτυχε, κατά

τό Δ, έστω ή μέν Β Δ μονάδων ε, ή δέ Δ Γ μονάδων Θ, ώστε τό ύπό των ΒΓ, Β Δ ορθογώνιον, ο, δίς δέ τούτο, ρμ· πάλιν, έπεί ή Β Δ μονάδων έστι ε, τό άπ’ αύτης τετράγωνόν έστιν κε, καί έπεί τό άπό της Γ Β τετράγωνον ρή£ έστί, τό δέ άπό της Β Α ρξθ, τά συναμφότερα γίνονται τξε· | ώστε τό των foi. i07r 30

σκε τετράγωνον, τό γινόμενον άπό της ύποτεινούσης τήν πρός τω Β όξεΐαν γωνίαν, έλλιπές έστι των

δύο τετραγώνων, των τξε, τω δίς ύπό των ΓΒ,

Β Δ , άπερ έστί δίς ο ήτοι ρμ· εί γάρ τω σκε προστεθήσεται τά ρμ, γενήσονται τξε· δπερ έδει δεΐξαι. 9 post τά Tamiery addebat άρα.

w ρμ/1 in ras. in cod.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Quadrivium de Georges Pachymère

216

E Τά 1 τρίγωνα και τα παραλληλόγραμμα τα ύπό το αύτό ύψος οντα προς άλληλά έστιν ώς αί βάσεις. "Εστω τρίγωνα μέν τά Α Β Γ , Α Γ Δ , παραλληλόγραμμα δέ τά ΕΓ, Γ Ζ ύπό τό αύτό ύψος όντα, την άπό τοϋ Α έπί την Β Δ κάθετον άγομένην.

Λέγω

5

δτι έστίν ώς ή Β Γ βάσις προς την Γ Δ βάσιν, οΰτω τό Α Β Γ τρίγωνον προς τό Α Δ Γ τρί­ γωνον, καί τό ΕΓ παραλληλόγραμμον προς τό Γ Ζ παραλληλόγραμμον · ήγουν εί ή βάσις τη βάσει ϊση, καί τό τρίγωνον τω τριγώνω 10 Ι σ ον, καί τό παραλληλόγραμμον τω παραλ­

ληλογράμμου · εΐ δέ άνισος κατά τινα σχέσιν της άνισότητος, καί τά σχήματα ωσαύτως άνισα, ή κατά ήμιόλιον, ή κατά έπίτριτον, ή κατ’ άλλον τινά έπιμόριον, ή μήν κατά 15 λόγον τον πολλαπλάσιον, ή όπωσοΰν άλλως. Έ ά ν 2 δέ τριγώνου περί μίαν των πλευ­ ρών άχθη τις ευθεία, άνάλογον τεμεΐ τοϋ τριγώνου τάς πλευράς · καί έάν αί τοϋ τρι­ γώνου πλευραί άνάλογον τμηθώσιν, ή έπί

Α

20

τάς τομάς έπιζευγνυμένη ευθεία παρά τήν λοιπήν έσται τοϋ τριγώνου πλευράν, οίονεί παράλληλος έκείνη. Έ σ τω γάρ τρίγωνον τό Α Β Γ , καί πα­ ράλληλος ήχθω μια των πλευρών τη Β Γ · έστω ή ΔΕ.

26

Εί παράλληλός έστιν ή Δ Ε τη

ΒΓ, άνάλογον τέμνει τάς δύο λοιπάς πλευ­ ράς· καί εί άνάλογον τέμνει, παράλληλός έστιν αδτη τη τοϋ τριγώνου πλευρά Καί έάν τριγώνου ή γωνία δίχα τμηθη, ή δέ τέμνουσα την γωνίαν εύθεΐα τέμνη καί τήν βάσιν, τά της βάσεως τμήματα τον αυτόν έξει λόγον ταΐς λοιπαΐς τοϋ τριγώνου πλευραΐς· καί έάν τά της βάσεως τμήματα τον αυτόν έχη λόγον 12 άνισος e coir, in cod. ex άνισον. 1 Cfr. E u c i .id k , 2 Cfr. E u c l i d e ,

Eiern., E le m .,

17 περί: παρά Tannery.

6, 1, vol. 2, p. 72, 17. 6, 3, vol. 2, p. 80, 20.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

30

T r a i t é d e G é o m é t r ie - c h a p . E

2 17

τα ΐς λοιπούς του τριγώνου πλευραΐς, ή άπό της κορυφής έπί τήν τομήν έπιζευγνυμένη ευθεία δίχα τέμνει την του τριγώνου γωνίαν. Ή γο υ ν έστω τρίγωνον το Α Β Γ j καί τετμ ή σθ ω ή ύπο Β Α Γ γω νία δίχα f 0i. 107 ν υπό τής Α Δ ευθείας.

Λ έγ ω δτι έστίν ώς ή Β Δ προς τήν Δ Γ , ούτως ή Β Α Δ

5 προς τήν Α Γ · εί μεν ϊση, ίση κάκείνη, εί δ’ ανισος όπωσοϋν, άνισος καί ή πλευρά προς τήν πλευράν ώσαύτως. Τ ω ν 1 δέ ισογωνίων δύο τριγώ νω ν άνάλογόν είσιν αί περί τάς ϊσοις γωνίας πλευραί ΰποτείνουσαι. A

Οϊον έστωσαν δύο τρίγω να το Α Β Γ , Δ Ε Ζ , καί έσ τω ή μέν προς τ ώ A

10 γω νία ΐση τή προς τ ω Δ , ή δέ προς τ ω Β ϊση τη προς τ ω Ε, ή δέ προς1 0 10 τφ/ι : xfj cod.

1

C fr. E

u c l id e ,

E lem ., 6 , 4 , v o l . 2, p . 8 4 , 1 4 .

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

218

Quadrivium de Georges Pacliyinère

τ ω Γ ϊση τη προς τ ώ Ζ.

Λ έ γ ω δτι ώς ή Α Β προς τήν Δ Ε , ούτως ή Α Γ

προς τήν Δ Ζ , καί ή Β Γ προς τήν ΕΖ. Κ α ί 1 εάν τάς πλευράς άνάλογον τά τρίγω να έχωσιν, ίσογώνιά είσι κατά τό άντίστροφον. Κ α ί1 2 έάν δύο τρίγω να μίαν γωνίαν μια γω νία ϊσην έ'χη περί δέ τάς ϊσας

5

γωνίας τάς πλευράς άνάλογον, ισογώνια έσται τά τρίγωνα καί ϊσας έξει τάς γωνίας, ύφ’ άς αί ομόλογοι πλευραί ύποτείνουσιν. 'Ο μ όλογοι34 δέ είσι πλευραί αί ήγούμεναι τα ΐς ήγουμέναις καί αί έπόμεναι τα ΐς έπομέναις. A

Οΐον έσ τω δύο τρ ίγωνα τά Α Β Γ , Δ Ε Ζ μίαν γωνίαν τήν προς τ ώ Α μια 10 γω νία τη προς τ ω Δ Ϊσην έχοντα, περί δέ τάς ϊσας γωνίας τάς πλευράς άνά­ λογον, οΐον ώς τήν Β Α προς τήν Α Γ , ούτως τήν Ε Δ προς τήν Δ Ζ .

Λ έγω

δτι ισογώνιόν έστι τό Α Β Γ τρίγωνον τ ω Δ Ε Ζ τριγώ νω , καί ϊσας εξουσι καί τάς λοιπάς γωνίας, τήν μέν προς τ ω Β τή προς τ ω Ε, τήν δέ προς τ ω Γ τη προς τ φ Ζ. Έ ά ν 1 δέ έν όρθογωνίω τριγοόνω άπό της ορθής γωνίας επί τήν βάσιν

3 έχωσιν e corr. ili cod. ex έχουσιν.

1 * 8 4

Cfr.E u c l i d e , Cfr.E u c l i d e , Cfr.E u c l i d e , Cfr.E u c l i d e ,

Eletti., Elem., Eletti., Elem.,

9 In. έπομέναις litt. ε prima e corr. iü cod.

6, 5, voi. 2, p, 88, 5. 6, 6, voi. 2, p. 90, 28. 5, déf., 11, voi. 2, p. 4, 15. 6, 8, voi. 2, p. 98, 26.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

219

Traité de Géométrie - chapp. E, ζ

κάθετος άχθη, τά προς τη κα θέτω τρίγω να όμοια έστι τ ώ τε δλω τριγώνω καί άλλήλοις. Ό μ ο ια *1 δέ τρίγωνά, είσι τά εχοντα τάς μέν γωνίας ίσος. τάς δέ πλευράς άνάλογον. A

Olov έστω τρίγωνον ορθογώνιον Α Β Γ ορθήν Ιχον τήν προς τ ώ A γ ω ­

5

νίαν, καί ήχθω κάθετος άπό του A επί τήν Β Γ υποτείνουσαν τήν ορθήν γ ω ­ νίαν.

Λ έ γ ω ότι τά Α Β Δ καί Α Δ Γ δμοιά έστιν άλλήλοις καί τ ώ δλω · έκαστον

γάρ τούτων ορθήν έχει μίαν καί αί προς τ ω Β καί Γ κοιναί είσιν, | ή μέν fol. I08r προς τ ω Β του τε δλου τριγώνου καί του Α Β Δ τριγώνου, ή δέ προς τ ώ Γ του 10 τε δλου καί του Α Δ Γ τριγώνου · έπεί δέ καί όρθαί είσιν ή τε πρός τώ A όλη καί αί δύο αί πρός τ ώ Δ , καί τήν μέν ύποτείνει ή Β Γ , τάς δέ ύποτείνουσιν ή τε Α Β καί Α Γ · ισογώνια αρα τά τρία είσί, τώ ν δέ ισογωνίων τρι­ γώνων καί αί πλευραί άνάλογον. Κ α ί 3 έκ τούτου φανερόν έστιν, δτι εάν έν όρθογωνίω τριγώ νω άπό της 15 ορθής γωνίας έπί τήν βάσιν κάθετος άχθη, ή άχθεΐσα τώ ν τής βάσεως τμη­

μάτων μέση άνάλογον έστι καί έτι τής βάσεως καί ένός όποιουουν τώ ν τμ η­ μάτων ή πρός τ φ τμ ήμ ατι πλευρά μέση άνάλογον έστιν · δπερ έδει δεϊςαι.

ς Τ ά 3 δμοια τρίγω να - δηλονότι τά εχοντα τάς γωνίας ϊσας καί τάς πλευράς

20 άνάλογον - τά γοϋν τοιαϋτα δμοια τρίγω να πρός άλληλα έν διπλασίονι λόγω είσί τώ ν ομολόγων πλευρών — δηλονότι τώ ν ίδιων πλευρών - αΐτινές είσιν ή 8 In marg. inf. fol. 107 v adversaria figurae geometricae inepte delineatae. raa. in cod. 18 Eti e corr. in cod. 21 6|j.oI,6y

Κ

It

5ι·ηΑοΟς Λ ντιβειτίτ^ίτβς Μ

μ

η

Οί άρα λόγοι της τε Κ προς την Λ καί της Λ προς τήν Μ οί αυτοί είσι τοΐς λόγοις των πλευρών, της τε Β Γ προς την ΓΗ καί της Δ Γ προς τήν ΓΕ.

Ά λ λ ’ ό της Κ προς τήν Μ λόγος σύγκειται έκ τε του της Κ προς 10

τήν Λ λόγου καί του της Λ προς τήν Μ · ώστε καί ή Κ προς τήν Μ λόγον έχει τον συγκείμενον έκ τών πλευρών.

Καί έπεί έστιν ως ή Β Γ προς τήν ΓΗ,

οδτω τό Α Γ παραλληλόγραμμον προς τό ΓΘ.

Ά λ λ ’ ώς ή Β Γ προς τήν ΓΉ,

οδτως ή Κ προς τήν Λ , καί ώς άρα ή Κ προς τήν Λ , οδτω τό Α Γ προς τό ΓΘ.

Πάλιν έπεί έστιν ώς ή Δ Γ προς τήν ΓΕ, οδτω τό ΓΘ παράλληλό- 15

γραμμον προς τό ΓΖ.

Ά λ λ ’ ώς ή Δ Γ προς τήν ΓΕ, οδτως ή Λ προς τήν

Μ, καί ώς άρα ή Λ προς τήν Μ οδτω τό ΓΘ παραλληλόγραμμον προς τό Γ Ζ παραλληλόγραμμον.

Έπεί ούν έδείχθη, ώς μέν ή Κ πρός τό Λ οδτω τό Α Γ

παραλληλόγραμμον πρός τό ΓΘ παραλληλόγραμμον, ώς δέ ή Λ πρός τήν Μ, οδτω τό ΓΘ παραλληλόγραμμον πρός τό Γ Ζ παραλληλόγραμμον.

Δι’ ίσου 20

άρα έστιν ώς ή Κ πρός τήν Μ, οδτω τό Α Γ παραλληλόγραμμον πρός τό Γ Ζ

1£ ή sup. lin. in cod.

21τήν : τό Tanpery.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Traité de Géométrie - chapp. I, IA παραλληλόγραμμον.

227

Ή δέ K προς την Μ λόγον έχει τον συγκείμενον έκ

των πλευρών καί τό Α Γ άρα προς τό Γ Ζ | λόγον έχει τόν συγκείμενον έκ fol. ι ι ι· των πλευρών. Τά άρα ισογώνια παραλληλόγραμμα προς άλληλα λόγον εχει τόν συγκεί­ 5 μενον έκ τών πλευρών · όπερ έδει δεϊξαι.

ΙΑ '0 μέν ούν Γεωμέτρης,1 έπεί διά τριών άναλόγων γραμμών καί συνεχούς άναλογίας δεικνύει τά δύο ταϋτα παραλληλόγραμμα, όμοια όντα διά την ομοιό­ τητα τών πλευρών, λόγον εχοντα προς άλληλα τόν συγκείμενον έκ τών πλευ­ 10 ρών, έξ άνάγκης τάς δύο πλευράς έκατέρου τών παραλληλογράμμων ϊσας ποιεί­ ται, ώς μονάδων τών αύτών είναι τήν τε ΓΔ καί την ΓΗ, τάς έλάττους πλευράς τών δύο παραλληλογράμμων. Έξεστι δέ καί έπί άνίσων τών πλευρών κατά τέσσαρας όρους καί μη συνημμένην αναλογίαν γυμνάζειν τόν λόγον, άλλά διεζευγμένην έν άριί)μοΐς 15 τέσσαρσιν. Οΐον έστω ή Β Γ πλευρά μονάδων ς, ή δέ Γ Δ

μονάδων τριών, ώς γί-

νεσθαι τό εν παραλληλόγραμμον μονάδων ιη · καί αύ-9-ις ή μέν ΓΗ μονάδων τεσσάρων, ή δέ ΓΕ μονάδων δύο, καί τό παν παραλληλόγραμμον οκτώ μο­ νάδων. - Οιον ς. δ. γ. β ■ ό ς προς τόν δ ήμιόλιος, ού τό πλάτος εν 20 β καί αυτός ήμιόλιος, οδ τό πλάτος α έν· καί άπαξ τό δ " · όμοϋ β δ".

.

Συγκείσθωσαν ταΰτα.

, ήμισυ· καί ήμισάκις τό εν,

· ό γ του 'Ά παξ έν,

· καί ήμισάκις τό

,

Καί έστι τό παραλληλόγραμμον τών ιη μονάδων προς τό

παραλληλόγραμμον τών οκτώ μονάδων διπλασιεπιτέταρτον. 1 In marg. haec nota cum figuris habetur :

Δι5 ϊσου έστί ληψις τών άκρων καΦ* ύπεξαίρεσιν τών μέσων

3 συγκείμενον έκ τών πλευρών deletum in corruptione codicis. dein deletum fuit.

e Cod.

h a b e b a t IB

quod

1 Cfr. ci-dessus, théorème précédent·, p. 225 sq.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Quadrivium de Georges Pachymère

228

Ο ΰτω γάρ εστιν ή σύνθεσις τω ν λόγων · ώσπερ καί έπί τώ προτέρω παραδείγματι · ιβ. ζ . η · συνεχής γάρ ή άναλογία.

Είσί τοίνυν οί λόγοι, διπλά­

σιος, καί ύποεπίτριτος · ό δε ύποεπίτριτος τρία τέτα ρτά έστι του προλόγου καί έπιτρίτου.

Τ α ϋ τα συντίθενται οΐον ώς. αν τις λέγοι · δίς τά τρία τέτα ρ τα

καί γίνονται εξ τέτα ρτα ,

τά δέ εξ τέτα ρ τα εν , έστί, καί έσ τω ό λόγος

5

ήμιόλιος, καί έστι τό παραλληλόγραμμον τό ον μονάδων οβ του παραλληλο­ γράμμου του μονάδων μη ήμιόλιον. 'Ομοίως καί έπί το ΐς λοιποΐς λόγοις τό αυτό γίνεται · σύγκειται γάρ ό διπλάσιος έξ ήμιολίου καί έπιτρίτου, α

fol. 112r καί ήμισάκις τό εν,

καί α γ " · άπαξ τό α γ " , εν γ " ·

’ καί ήμισάκις τό τρίτον, | εκτον · καί δη εν γ " καί 10

ήμισυ καί εκτον, διπλάσιον · τό γ " γάρ καί τό

καί τό έκτον, δλον ·

εν

δέ καί δλον έν, δύο. Ό τ ι δέ τό γ " , τό οή .καί· τό έκτον, δλον, ό ιβ παραστήσει· τούτου γάρ τό ci) καί τό τρίτον καί τό έκτον, άπερ είσίν έξ, τέσσαρα καί δύο, άποτελοΰσι τον ιβ.

15

Κ α ί έπί τω ν άλλων λόγων, τω ν συγκειμένων έκ λόγων, ό αύτός λόγος.

ΙΒ Π α ν τό ς 1 παραλληλογράμμου τά περί τήν διάμετρον παραλληλόγραμμα δμοιά έστι τω τε δλω καί άλλήλοι ;.

Έ σ τω

παραλληλόγραμμον τό Α Β Γ Δ , διάμετρος δέ αύτοϋ ή Α Γ , περί δέ 20

τήν Α Γ παραλληλόγραμμα τ ό 'τ ε Ε Η καί Θ Κ · λέγω

δτι έκάτερον τούτων

δμοιόν έστιν δλω τω Α Β Γ Δ καί άλλήλοις. Έ π εί γάρ τριγώνου του Α Β Γ

παρά μίαν τω ν πλευρών τήν Β Γ ήκται

ή Ε Ζ , άνάλογόν έστιν ώς ή BE προς τήν Ε Α , ούτως ή Γ Ζ προς τήν Ζ Α . Πάλιν, έπεί τριγώνου του Α Δ Γ παρά μίαν τω ν πλευρών τήν Γ Δ ήκται ή Ζ Η , 25 28 τήν ΓΔ om. Tannery.

1 Cfr.

E

u c l id e

, E lem ., 6 , 2 4 ,

vol.

2, p .

148 , 22.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

229

Traité de Géométrie - chapp. IA , IB άνάλογόν έστιν ώς ή Γ Ζ προς τήν Ζ Α , ούτως ή Δ Η ποος τήν Η Α .

’Α λ λ ’ ώς ή

Γ Ζ προς τήν Ζ Α , οδτως έδείχθη καί ή Β Ε προς τήν Ε Α · καί ώς άρα ή Β Ε προς τήν Ε Α , οδτως ή Δ Η προς τήν Η Α , καί συντεθειμένα άρα ώς ή Β Α προς τήν Α Ε , οδτως ή Δ Α προς τήν Α Η , καί εναλλάξ ώς ή Β Α προς τήν Α Δ ,

5 οδτως ή Ε Α προς τήν Α Η .

Κ α ί αρα τω ν Α Β Γ Δ , ΕΗ παραλληλογράμμων

άνάλογόν είσιν αί πλευραί αί περί τήν κοινήν γωνίαν τήν ύπό Β Α Δ .

Καί

έπεί παράλληλός έστιν ή Η Ζ τη Δ Γ , ΐση έστίν ή μέν ύπό Α Η Ζ γω νία τη ύπό Α Δ Γ — ώς έκτος τη έντός, - ή δέ ύπό Η Ζ Α τη ύπό Δ Γ Α - ώς έκτος τη έντός [καί άπεναντίον] καί έπί τα αύτά μέρη · — καί κοινή τω ν δύο τριγώ νω ν 10 τω ν Α Δ Γ , Α Ζ Η ή ύπό Δ Α Γ · ισογώνιον αρα έσ τί τό Δ Α Γ τρίγωνον τ ω Α Η Ζ τριγώνω.

Δ ιά τά αύτά δή καί τό Α Β Γ τρίγωνον ισογώνιόν έσ τι τ ω Α Ζ Ε τρι-

γώ νω , καί δλον τό Α Β Γ Δ παραλληλόγραμμον τ ω ΕΗ παραλληλογράμμω ισο­ γώνιόν έστιν.

Ά νάλογον αρα έστιν ώς ή Α Δ προς τήν Δ Γ , οδτως ή Α Η ποός

τήν Η Ζ, ώς δέ ή Δ Γ προς τήν Γ Α , οδτως ή Η Ζ προς τήν Ζ Α ,

ώς δέ ή

15 Α Γ | προς τήν Γ Β , οδτως ή Α Ζ προς τήν ΖΕ , καί έτι ώς ή Γ Β προς τήν foi. 112 « Β Α οδτως ή Ζ Ε προς τήν Ε Α .

Κ α ί έπεί έδείχθη ώς μέν ή Δ Γ προς τήν

Γ Α , οδτως ή Η Ζ προς τήν Ζ Α , ώς δέ ή Α Γ προς τήν Γ Β , οδτως ή Α Ζ προς τήν Ζ Ε , δι’ ϊσου άρα έστίν ώς ή Δ Γ προς τήν Γ Β , οδτως ή Η Ζ προς τήν ΖΕ. Κ α ί άρα τω ν Α Β Γ Δ , ΕΗ παραλληλογράμμων άνάλογόν είσιν αί πλευραί αί 20 περί τάς ΐσας γω ν ία ς· δμοιον άρα έστί τό Α Β Γ Δ παραλληλόγραμμον τω ΕΗ παραλληλογράμμω.

Δ ιά τά αύτά δή καί τό Α Β Γ Δ παραλληλόγραμμον τ ω Κ Θ

παραλληλογρά μμω δμοιόν έστιν · έκάτερον άρα τω ν ΕΗ, Θ Κ παραλληλογράμ­ μων τ ω Α Β Γ Δ παραλληλογράμμω δμοιόν έστιν.

Τ ά δέ τ ω αύτω εύθυγγράμ-

μω δμοια καί άλλήλοις δμοιά

25 έ σ τιν · δμοιον άρα καί τό ΕΗ παραλληλόγραμμον τ ω Θ Κ πα­ ρ αλληλογρά μμω. Π αντός

άρα

παραλληλο­

γράμμου τά περί τήν διάμετρον

30 παραλληλόγραμμα

δμοιά

έστι

τ ω τε δλω καί άλλήλοις, δπερ εδει δεΐξαι. ’Α λ λ ά 1 καί

άντιστρόφως.

Έ ά ν άπό παραλληλογράμμου παραλληλόγραμμον άφαιρεθη, δμοιόν τ ε τ ω δλω

35 καί ομοίως κείμενον κοινήν γωνίαν έχον αύτω, περί τήν αυτήν διάμετρόν έστι τώ δλω. * προς ir* ras. iu cod. elusit Taunery.

1

Cfr.

E

u c l id e ,

e Iu ΒΑΔ litt. Δ e corr. iu cod.

E l e m .,

9 και άπεναντίον iiQciuie ln-

6, 26, vol. 2, p. 156, 4.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Quadrivium de Georges Pachymère

230

'Ω ς έάν άφαιρεθη άπδ του Α Β Γ Δ παραλληλογράμμου δμοιον καί ομοίως αύτω κείμενον καί κοινήν αύτω γωνίαν έχον, την προς τ ω Α , τδ Α Ε Ζ Η , ή αυτή διάμετρος, ή Α Γ , καί τω ν δύο αυτών παραλληλογράμμων έστίν.

ΙΓ Π ά ντω ν ' τω ν παρά τήν αύτήν ευθείαν παραβαλλομένων παραλληλογοάμ-

5

μων καί έλλειπόντων ειδεσι παραλληλογράμμοις όμοίοις τε καί ομοίως κειμένοις τ ω άπδ της ήμισείας άναγραφομένφ, μέγιστόν έστι τδ άπδ της ήμισείας παραβαλλόμενον παραλληλόγραμμον δμοιον δν τ ω έλλείματι.

Έ σ τ ω τοίνυν ευθεία ή Α Β καί τετμ ή σθω δίχα κατά τδ Γ , καί παραβεβλήσθω παρά τη Α Β ευθεία τδ Α Δ παραλληλόγραμμον έλλεΐπον εϊδει πα- 10 ραλληλογράμμφ τ ω Δ Β , δμοιον τ ε καί ομοίως άναγραφέν τ φ άπδ της ήμιfol. 113r σείας της Α Β , | τούτέστι της Γ Β · λέγω δτι πάντων τω ν παρά τήν Α Β πα­ ραβαλλομένων παραλληλογράμμων καί έλλειπόντων ειδεσι παραλληλογράμμοις όμοίοις τε καί ομοίως κειμένοις τ φ Δ Β , μέγιστόν έστι τδ Α Δ .

Παραβεβλήσθω

γάρ παρά τήν Α Β ευθείαν τδ Α Ζ παραλληλόγραμμον, έλλεΐπον εΐδει παραλ- I 5 ληλογράμμφ τ ω Ζ Β όμοίφ τε καί ομοίως κειμένω τ φ Δ Β · λέγω δτι μεΐζόν έστι τδ Α Δ του Α Ζ . Έ π εί γάρ δμοιον έστι τδ Δ Β

παραλληλόγραμμον τ ω Ζ Β παραλληλο-

γράμμφ, περί τήν αύτήν άρα είσί καί άμφότερα διάμετρον.

’Ή χ θ ω

αύτών

διάμετρος ή Δ Β , καί καταγεγράφθω τδ σχήμα.

20

Έ πεί ουν ισόν έσ τι τδ Γ Ζ τ ω Ζ Ε - παραπληρώματα γάρ, - κοινδν προσκείσθω τδ Ζ Β , δλον άρα τδ Γ Θ δλφ τ ω Κ Ε ΐσόν έστιν. έστίν ίσον, έπεί καί ή Α Γ τη Γ Β ΐση έστί. ίσον.

’ Αλλά τδ Γ Θ τ ω Γ Η

Κ α ί τδ Η Γ αρα τ ω Ε Κ έστίν

Κοινδν προσκείσθω τδ Γ Ζ · δλον άρα τδ Α Ζ τ ω Λ Μ Ν γνώμονί έστιν

Ισον — γνώ μ ω ν δέ λέγεται παρά τ ω

γεγω νιώ σθ αι έν τ ω συλλαμβάνειν τά 25

• έλλείματι: έλλείποντι Taimery.

1 Cfr.

E

u c l id e ,

E le v i., 6, 27, v o l . 2, p. 158, 13.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Traité de Géométrie - chapp. IB, ΙΓ , ΙΔ

231

τρία παραλληλόγραμμα - ώστε τό Δ Β παραλληλόγραμμον, τούτέστι τό Α Δ , του Α Ζ παραλληλογράμμου μεΐζόν έστιν. Όμοίως καί του Α Ξ μεΐζον καί έτι του Α Π καί έπέκεινα · όπερ έδει δεΐξαι.

ΙΔ 5

Έ ν 1 τοΐς ίσοις κύκλοις αί γω νίαι τον αυτόν έχουσι λόγον τα ΐς περίφερείαις, έφ’ ών βεβήκασιν, έάν τε προς τοΐς κέντροις, έάν τε προς τα ΐς περιφερείαις ώ σι βεβηκύϊαι, - έτι δέ καί οί τομείς οΰτως τον λόγον έξουσιν, οί προς τοΐς κέντροις συνιστάμενοι. Έ σ τω σ α ν ίσοι κύκλοι οί Α Β Γ , Δ Ε Ζ , καί προς μέν τοΐς κέντροις αυτών

10 τοΐς Η, Θ γω νίαι εστωσαν αί υπό Β Η Γ , ΕΘ Ζ, προς δέ τα ΐς περιφερείαις αΐ A

Δ

ύπό Β Α Γ , Ε Δ Ζ ' λέγω οτι έστίν ώς ή Β Γ περιφέρεια πρός τήν Ε Ζ περιφέρειαν, οΰτως ή τε ύπό Β Η Γ γω νία πρός τήν ύπό ΕΘ Ζ καί ή ύπό Β Α Γ πρός τήν ύπό Ε Δ Ζ , - καί έτι ό Η Β Ξ Γ τομεύς πρός τόν Θ Ε Π Ζ τομέα.

Κ α ί ή άπό-

δειξις οΰτως. 15

| Κείσθωσαν γάρ τή μέν Β Γ περιφερείς ίσα ι ή τε Γ Κ καί ή Κ Λ , τή δέ Ε Ζ toi. 1131 ή τε Ζ Μ καί ή Μ Ν καί έπεζεύχθωσαν έκ τω ν κέντρων τά Κ , Λ καί Μ , Ν σημεία. Έ π εί γοϋν ίσαι άλλήλαις είσίν αί περιφέρειαι του ενός κύκλου καί ίσαι άλλήλαις αί του λοιπού κύκλου περιφέρειαι, ίσαί εΐσι καί αί γω νίαι αυτών άλλή-

20 λαις · όσαπλασίων άρα έστίν ή Β Λ περιφέρεια της Β Γ περιφερείας, τοσαυταπλασίων έστί καί ή ύπό Β Η Λ γω νία της ύπό Β Η Γ · καί όσαπλασίων έστίν ή Ε Ν περιφέρεια της ΕΖ, τοσαυταπλασίων καί ή ύπό ΕΘ Ν γω νία της ύπό ΕΘΖ. οΰτως : αύτόν Tannery. 1 C’f r . E

u c l id e

,

Elem.,

τόν λόγον : των λόγων cod. 6, 3 3 , v o l.

2, p .

17.8 , 6 .

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

232

Quadrivium de Georges Pachymère Εί γοΰν έστίν ίση ή περιφέρεια, ή Β Λ , τη περιφερεία, τη Ε Ν , καί γωνία

ή υπό Β Η Λ ίση τη ύπό Ε Θ Ν γωνία: * εί δέ μείζων μία της λοιπής, έπεί τεσ­ σάρων μεγεθών, δύο μεν των περιφερειών των ΒΓ, Ε Ζ, δύο δέ των γωνιών τών ύπό ΒΗΓ, ΕΘΖ, είληπται της μέν Β Γ περιφερείας καί της ύπό Β Η Γ γω­ νίας ισάκις πολλαπλασίων ή τε Β Λ περιφέρεια καί ή ύπο Η Β Λ γωνία, της

5

δέ Ε Ζ περιφερείας καί της ύπο ΕΘ Ζ γωνίας ή τε Ε Ν περιφέρεια καί ή ύπο Ε Θ Ν γωνία, δσον άρα ύπερέχει ή Β Λ περιφέρεια της Ε Ν περιφερείας, τοσοϋτον ύπερέξει καί ή ύπο Β Η Λ γωνία της ύπο Ε Θ Ν γωνίας.

Έστιν άρα ως

ή Β Γ περιφέρεια προς την ΕΖ, ούτως ή ύπό Β Η Γ γωνία προς την ύπό ΕΘ Ζ ’Αλλά καί ώς ή Β Γ περιφέρεια προς την Ε Ζ περιφέρειαν, ούτως ό ΗΒΞΓ

10

τομεύς πρός τόν Θ Ε Π Ζ τομέα · κατά γάρ τάς περιφερείας καί τάς γωνίας καί οΐ τομείς. Τομεύς1 γάρ έστι κύκλου, όταν πρός τώ κέντρω του κύκλου σταθη γωνία, τό περιεχόμενον σχήμα ύπό τε τών τήν γωνίαν περιεχουσών ευθειών καί της άπολαμβανομένης ύπ’ αυτών περιφερείας.

15

Κ α ί1 3 δμοια τμήματα κύκλων έστί τά δεχόμενα γωνίας ϊσας, ή έν οΐς αί 2 γωνίαι ίσαι άλλήλαις είσίν. Εί δέ άνισα τά τμήματα τών κύκλων έν τοΐς ϊσοις κύκλοις, ού δέξονται ϊσας γωνίας τά τών κύκλων τμήματα, άλλά κατά τήν άναλογίαν τών περι­ φερειών, εϊτουν τών τμημάτων, καί αί γωνίαι καί οί τομείς έσονται, ώς έλέ- 20 γομεν.

ΙΕ toi. 114r

Κύκλος* κύκλον ού τέμνει κατά πλείονα σημεία ή δύο. é

1 γοΰν : άρα Tannery; γοΰν sup. lin. et e corr. e 6’ ip cod.

e ΕΝ περιφέρεια in ras. in cod.

1 Cfr. E u c lide , Eleni., 3, déf., 10, voi. 1, p. 166, 7. 2 Gir. E uclide , Eleni., 3, déf., 11, voi. 1, p. 166, 11. 3 Cfr. E u c lide , Eleni., 3, 10, voi. 1, p. 192, 16.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Traité de Géométrie - chapp. ΙΔ, IE

233

Ss Κύκλος1 δέ γραμμής καί επιπέδου άπτεται κατά εν σημεΐον.

^

Καί έάν1 23ληφ-θή τι σημεΐον εντός του κύκλου, άπό δέ του σημείου

προς τον κύκλον προσπίπτωσι πλείους ή δύο Ισαι εύθεΐαι, τό ληφθέν σημεΐον κέντρον έστί του κύκλου.

5

30 Έ άν 5 άπτηται δέ κύκλος μείων μείζονος έντός, καί ληφ-θή αύτών τά κέντρα, ή έπί τά κέντρα αύτών έπιζευγνυμένη εύθεΐα επί την συναφην πεσεΐται τω ν κύκλων.

1 Cfr. E u clide , Elem., 3, 13, voi. 1, p. 198, 18. 2 Cfr. E u clide , Elem., 3, 9, voi. 1, p. 190, 12. 3 Cfr. E uclide , Elem., 3, 11, voi. 1, p. 194, 19.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Q u a d r iv iu m

de

Georges

P a c h y m fe re

234

p

Καν' i i » έατόί 84« χύΛον 5 π τ ω « α . ΛΧήΧων, ή «

ω>Τνυμέν->] ώ θ « Ι « 8ώ νήί

®

™ * ·« Ρ * —

«λ««««™ «

, ' ¿, ^ifYtiETooc των δε άλλων η εγγιον «ου Κ α ί3 έν κύκλω μεγίστη μεν η όιαμετρ ς,

κέντρου μείζων της άπώτερον. Θ

1 Cfr. J Cfr. s Cfr.

3, 12, 3, 14, E u c l i d e , E le v i., 3, 15,

E

u c l i d e ,E le v i.,

v o i.

E

u c l i d e ,E le v i.,

v o i. v o i.

1, p. 19C, 18. 1, p. 202, 4. 1, p. 206, 2.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Traité de Géométrie - chap. IE

ero Ή δέ 1 τη

235

διαμέτρω του κύκλου προς όρθάς άπ’ άκρας άγομένη έκτος

πεσεΐται του κύκλου, καί συνίσταται μέν όρθή γωνία άπό τε της καθιεμένης καί της διαμέτρου, καί ή περιφέρεια του κύκλου τεμεϊ τάς δύο γωνίας εις δύο οξείας, την τε μεγίστην καί την έλαχίστην.

5

θ

Έάν * δέ κύκλου έφάπτηταί τις εύθεΐα, άπο δέ της άφής τη έφαπτο-

μένη προς όρθάς γωνίας ευθεία γραμμή άχθη, έπί της άχθείσης έσται τό κέντρον του κύκλου.

))) Έ ν " δέ κύκλω ή προς τω κέντρω γωνία διπλάσιων έστί της προς τη περιφερεία, όταν τήν αύτήν περιφέρειαν βάσιν Ιχωσιν αι γωνίαι. »

1 a 3

Cfr.E u c l i d e , E le v i., 3, 16, v o i. 1, p. £08, 8. Cfr.E u c l i d e , E le v i., 3, 19, vo i. 1, p. 216, 19. Cfr.E u c l i d e , E le v i., 3, 20, voi. 1, p. 218, 16.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

236

(έύαάπ νΐιιιη άβ Ο β ο ^ β κ ΡαοΙιγπιέΓβ

ο-ο Έν 1 δε τοϊς ίσοις κύκλοις αΐ ίσαι γωνίαι έπί ίσων περιφερειών βεβήκασιν, έάν τε προς τοϊς κέντροις, έάν τε προς ταΐς περιφερείαις ωσιν.

Ο® Έάν κύκλου έκτος τεθή τι σημεϊον, άπό δέ του σημείου έπί γε την κοίλην περιφέρειαν καί τήν κυρτήν έκτος προσπίπτωσιν εύθεϊαι, μεγίστη μέν

έ'σται ή διά τοϋ κέντρου, έλάττων δέ τούτου ή έγγιον, καί έτι έλάττων ή

5

άπωτέρω, καί αμφοτέρωθεν της διά τοϋ κέντρου · αί δέ προσπίπτουσαι προς τήν κυρτήν, έλαχίστη μέν ή μέση, αί δέ άπωτέρω μείζονες.

ις ίηΙ. 114 ν

| Ζητοϋσιν οί γεωμέτραι καί περί γραμμών συμμέτρων τε καί «συμμέ­ τρων, καί έτι ρητών τε καί άλογων ού γάρ ταύτον άσύμμετρον καί άλογον, 10 ούδέ ταύτον σύμμετρον καί ρητόν. * μ ε γ ίσ τη

β ο ο γ γ . ιώ . ο ο ά .

7 α ί θ ο ο γ γ . ΐη ο ο ίί. ρ γ ο

ή.

11 φ η τ ό ν

α

ο ογγ.

ϊι»

V.

1 Οίι*. ΕυοοΌΕ, Ε Ιβηι., 3, 26, νοί. 1, ρ. 230, 11.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

237

Traite de Geomdtrie - chapp. ΙΕ, K

Διότι τά μέν σύμμετρα καί ασύμμετρα, φύσει · σύμμετρα 1 γάρ εΐσι τα τώ αύτώ μέτρω μετρούμενα, ή τά έχοντα λόγον προς άλληλα δν αριθμός όστισοΰν προς αριθμόν · ασύμμετρα δέ άλλήλοις, τά μή εχοντα μέτρον κοινόν, ή τά μή εχοντα λόγον δν έχει αριθμός προς αριθμόν. 5

Τά δέ ρητά καί τά άλογα, θέσει· καί γάρ τά τούτω τυχόν σύμμετρα, άλλω τινί μεγέθει ασύμμετρα, καί τά τούτω άσύμμετρα, άλλω σύμμετρα. Πάντα τοίνυν ούτε σύμμετρά τισιν ούτε άσύμμετρα, άλλά πρός τι καί σύμ­ μετρα καί άσύμμετρα. Σύμμετρα δέ ή καί μήκει καί δυνάμει, - ώς τό τετράπηχυ πρός τό δί-

10 πηχυ · μήκει γάρ, άλλά καί δυνάμει · δύναται γάρ καί τό δίς τετράπηχυ πρός τό δίς δίπηχυ συμμετρίαν έχειν, - ή ού μήκει μέν, δυνάμει δέ · - ώς ή διά­ μετρος τοΰ τετραγώνου άσύμμετρος τή πλευρά μήκει, άλλά δυνάμει σύμμε­ τρος · δύναται γάρ ποιήσαι τετράγωνον ή .διάμετρος, δπερ άν εΐη διπλάσιον τοΰ άπό της πλευράς τετραγώνου. 15

Ουδέποτε δέ είσι σύμμετρα μέν τώ μήκει, άσύμμετρα δέ τη δυνάμει· καί σύμμετρα μέν καί άσύμμετρα ταΰτα. 'Ρητά δέ καί άλογα μεγέθη πάντα δύναται είναι ώς έχουσι, διό τό μέν σύμμετρον φύσει άν εΐη αύτοΐς καί τό άσύμμετρον, τό δέ ρητόν καί άλογον, θέσει · καί δτι τό μέν ρητόν καί τό άλογον καθ’ αύτό, τό δέ σύμμετρον, πρός άλλο.

20

Εύρίσκεται δέ τά σύμμετρα καί άσύμμετρα τριχώς, κατά τάς τρεις δια­ στάσεις · καί γάρ καί κατά μήκος, καί κατά πλάτος, καί κατά βάθος, δ καί ύψος καί πάχος λέγεται. Ήλθον δέ τήν άρχήν έπί τήν της συμμετρίας ζήτησιν οΐ Πυθαγόρειοι, πρώτον αυτήν έξευρόντες έκ της των άριθμών κατανοήσεως · κοινού γάρ μέ­

25 τρου άπάντων των άριθμών οΰσης της μονάδος, έπί τών μεγεθών κοινόν μέ­ τρον άπάντων ζητήσαντες, εΰρεΐν ούκ ήδυνήθησαν, διά τό εις άπειρα διαι­ ρετόν τοΰ συνεχοΰς. Ούκ έστι γάρ εύρεΐν έπί τοϊς μεγέθεσι τό έλάχιστον, ώς έπί τοΐς άριθμοϊς τήν μονάδα, άλλά τό λαμβανόμενον έκ τοΰ μεγέθους εις άπειρα διαιρετόν 30 έστιν. | ’Ανάγκη δέ τό μετροΰν έλαττον είναι τοΰ μετρουμένου, καί ό μέν fol. 115 r αριθμός έχει κοινόν μέτρον τήν μονάδα, τών δέ μεγεθών, τά μέν έχουσι πρός άλληλα κοινόν τι μέτρον καί σύμμετρά είσιν άλλήλοις, τά δέ ου δύνανται καί άσύμμετρά είσιν · άπειρου γάρ της έν τοΐς μεγέθεσιν ύπαρχούσης τομής, καί μηδενός ύφεστηκότος έλαχίστου μέτρου, δήλον δτι τοΰ ρητοΰ μεγέθους ούχ 35 έν τι καί ώρισμένον, ώς δάκτυλος φέρε, έλάχιστον μέτρον, άλλ’ έφ’ ήμΐν έστιν όπηλίκον άν θέλωμεν έλάχιστον ύποθέσθαι μέτρον γνώριμον. 3 άσύμμετρα: άσύμετρα Υ. διαστάσει cod.

1 Cfr.

E

u c l id e ,

19 και/χ supra versum additum iu cod.

2C- 2t διαστάσεις:

E lem ., 10, def., 1 a 4, v o l . 3, p. 2, 3 a 4, 3.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

238

Quadrivium de Georges Pachymère Παν γάρ καθ’ εαυτό μέγεθος οΰτε ρητόν οΰτε άλογον · δτι καί Λάσα ευ­

θεία καθ’ έαυτήν οΰτε ρητή οΰτε άλογός έστι, συγκοινομένη δέ πρός ύποτεθεΐσαν έν θέσει μονάδος, £ητή ή άλογος εύρίσκεται.

Τό γοΰν σύμμετρον καί

ρητόν πάντως· ου μην δέ παν τό ρητόν σύμμετρον, έπεί καί τό φύσει δύναται καί θέσει άλλον τρόπον γενέσθαι, τό δέ θέσει οΰ δύναται παν φύσει είναι.

5

Οΰτως ούν της τετραγώνου πλευράς ύποτεθείσης ρητής, ή διάμετρος δυνά­ μει ρητή εύρίσκεται, οδσα δμως άσύμμετρος πρός έκείνην μήκει· καί πάλιν αύ της διαμέτρου ρητής ύπαρχούσης, ή πλευρά δυνάμει ρητή, έκατέρας αύτών καθ’ έαυτήν οΰτε ρητής οΰτε άρρητου, τούτέστιν άλογου, ύπαρχούσης. Οΰτως οδν τω ν εύθειών έλάχιστόν τ ι μέτρον ύποθέμενοι, εύθεΐαν μονάδα οί 10 άπό τω ν μαθημάτων ρητήν ώνόμαζον καί τάς αύτή συμμέτρους ρητάς καί τό άπ’ αύτής τετράγωνον ρητόν καί τά τούτω σύμμετρα χωρία, ρητά έκάλεσαν · καί ρητόν ομοίως τόν άπ’ αδαής κύβον καί τά τούτω σύμμετρα στερεά, ρητά. ’Ά ρρητον δ’ άκουστέον, τούτέστιν άλογον, στερεόν μέν τό άσύμμετρον τώ άπό ρητής κύβω, έπίπεδον δέ τό άσύμμετρον τω άπό ρητής τετραγώ νω , μήκος 15 δέ, τούτέστιν εύθεΐαν άσύμμετρον · επί δέ τω ν ευθειών, διττής νοουμένης τής fol. Π5« άσυμμετρίας, μιάς μέν, όταν αύταί αί εύθεΐαι άσύμμετροι ώσι | καί τά άπ’αύ­ τώ ν χωρία άσύμμετρα, καί λέγονται καί μήκει καί δυνάμει άσύμμετροι · δευτέρας δέ, δταν αύταί μέν πρός άλλήλας άσύμμετροι, τά δ’ άπ’ αύτών χωρία σύμμετρα άλλήλοις ώσι, καί λέγονται μήκει μέν άσύμμετροι, δυνάμει δέ σύμ- 20 μετροι.

Δ ιτ τ ή καί ή πρός τήν ρητήν διαφορά · αί μέν γάρ λέγονται δυνάμει

ρηταί, αί δέ άλογοι δυνάμει · αί δέ λοιπαί, καί ρηταί καί άλογοι μήκει, δυνά­ μει μέν είσι ρηταί, όσαι αδται μέν άσύμμετροι είσι τή ρητή, τά δ’ άπ’ αύτών τετράγω να σύμμετρα τώ άπό τής ρητής τετραγώ νω , μήκει δέ, δταν τά άπ’αύτών τετράγω να ή έν τετραγώνοις άριθμοΐς ώσιν, ή τάς πλευράς έχη συμ- 25 μέτρους τή ρητή μήκει. Καί καθόλου καλείται ή τή ρητή σύμμετρος, ρητή, είτε μήκει, είτε δυ­ νάμει μόνον · ή γάρ μήκει σύμμετρος πάντως καί δυνάμει σύμμετρος. 'Ορίζονται δέ τήν ρητήν ούτως · ρητή έστιν ή δι’ άριθμών γνώριμη.

Ούκ

έστι δέ ρητής δρος οδτος, άλλά συμβεβηκός αύτή · δταν γάρ λόγου χάριν έκτε- 30 θώσι ρηταί, τών άπό τής πηχυαίας ρητής οΐδαμεν έκάστην πόσων έστί παλαι­ στών ή δακτύλων· ού μήν δέ καί είς άριθμούς άνάγομεν τήν γνώσιν, άλλ’ είς παλαιστάς καί δακτύλους, άπερ είσι καί αύτά μεγέθη.

"Οθεν έκ τών συμ-

βεβηκότων λέγομεν ρητήν γνωρίμην δι’ άριθμών. Διαφέρει δέ ρητή δοθείσης, τω τήν μέν ρητήν δοθεΐσαν είναι πάντως τίθεται γάρ τό έλάχιστον αύτής μέτρον καί δίδοται - τήν δέ δοθεΐσαν ούκ1 4 14 δ*: δέ cod. et V. Ια στερεόν litt. στ e corr. in cod. τώ . . . κύβω : τό . . . κύβος cod. et V. 15 τφ. . . τετραγώνω : τό . . . τετράγωνον cod. et V. 23 αύται om. V. 11 άπό τής : άπ5αύτής Tannery. 32 έστί παλαιστών ή δακτύλων : παλαιστών έστιν, ή δακτύλων V. 33 μεγέ-ύη : μεγέΦει V.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

35

239

Traité de Géométrie - chap. IÇ έξ άνάγκης ρητήν.

Ή

μέν γάρ ρητή καί πηλικότητι καί ποιότητι γνώριμη

έστιν, ή δέ δοθεΐσα 7Γηλικότητι μόνον καί μεγέθει · καί γάρ είσί τινες άλογοι δεδομέναι, ώς ή άπειρο? γραμμή, ήν ούτε πολλαπλασιάσαι ούτε συγκρίναι προς έτέραν δύναταί τις ποτέ. 5

Ό μ ω ς ή τοιαύτη δεδομένη μέν έστι, ρητή δέ ούδαμώς.

Τετραχώς δέ τό δεδομένον δέδοται ■ ή θέσει, ή λόγω, ή μεγέθει, ή ειδει. 'Ό τα ν γάρ λέγωμεν προς τω δοθέντι σημείω χρή τη δοθείση εύθεία ϊσην ευθείαν θέσθαι, θέσει δίδοται τό σημεϊον.

'Ό τα ν δέ· εάν τέσσαρα μεγέθη

άνάλογον ή, τά έναλλάξ άνάλογόν εΐσι, λόγω δέδοται τά μεγέθη. | 'Ό τα ν δέ fol. l i e r λέγωμεν · δύο δοθεισών άνίσων εύθειών, άπό της μείζονος τη έλάσσονι ϊσην

10 άφελεΐν, — δπερ διά του κύκλου ποιοϋμεν πρόβλημα δν, ού θεώρημα· διά τοϋτο καί έπί τέλει λέγομεν, δπερ έδει ποιήσαι, έν δέ τω θεωρήματι, δπερ έδει δεΐξαι, — δταν ουν οδτω λέγωμεν, μεγέθει δίδομεν τάς ευθείας.

'Ό τα ν δέ λε-

γωμεν · τήν δοθεΐσαν γωνίαν εύθύγραμμον δίχα τεμεΐν, — δπερ ποιοϋμεν διά της έμβληθείσης γραμμής καί της εις δύο ταύτης τομής καί τής έπ’ όρθάς

15 γωνίας στάσεως τής ευθείας έπί τήν γωνίαν· καί έστι καί αύτό πρόβλημα, — ειδει δίδομεν τήν γωνίαν · εύθύγραμμον γάρ αύτήν δίδομεν, έστι γάρ καί περιφερόγραμμος γωνία ή του ήμικυκλίου, έφ’ οΰ καί γωνία, εί συσταίη, εί όπωσπαντελώς γάρ όρθαί

ουν συσταίη, ορθή έστιν ώσπερ καί εί έπί τμήματος κύκλου συσταθή γωνία, εί μέν έπί έλάττονος τοΰ ήμικυκλίου, άμβλεΐά έστιν ή γωνία· εί δέ έπί μεί13 ποιοϋμεν e corr. iu cod.

15 αύτό : αύτή V.

19 τοΰ supra versum additum.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

240

(έυαάπνίιιηι Λβ Οβ0Γ£ββ ΡαοΙιγπιβΓβ

ζονος τμήματος του ημικυκλίου, όξεΐά έστι, καί όπόσον το τμήμα μεϊζον, οξυτέρα · ώσπερ καί όπόσον έλαττον τό τμήμα του κύκλου, άμβλυτέρα γωνία

παντελώς άμβλεΐαι

παντελώς όξεΐαι

συνίσταται· καν όπωσουν συσταίη, μόνον ίνα άπτωνται αί περιέχουσαι αυτήν των άκρων του τμήματος.

ΙΖ

5

Ώ ς αν ουν κατά τον Στοιχειωτήν εΐποιμεν Σύμμετρα μεγέθη λέγεται τα τω αύτω μέτρω μετρούμενα. ’Ασύμμετρα δέ ών μηδέν ενδέχεται κοινόν μέτρον γενέσθαι. Εύθεΐαι δέ δυνάμει σύμμετροί είσιν, όταν τα άπ’ αύτών τετράγωνα τω αύτω χωρίφ μετρήται ·

10

’Ασύμμετροι δέ, όταν τοΐς άπ’ αύτών τετραγώνοις μηδέν ένδέχηται χωρίον κοινόν μέτρον γενέσθαι. Τούτων υποκειμένων, δείκνυται ότι τή προτεθείση εύθεία ύπάρχουσιν εύθειαι πλήθει άπειροι σύμμετροί τε καί άσύμμετροι, αί μέν μήκει καί δυνάμει, αί δέ δυνάμει μόνον · καλείσθω ούν, φησίν, ή μέν προτεθεΐσα εύθεία ρητή. 15 Καί αί ταύτη σύμμετροι, είτε μήκει καί δυνάμει, είτε δυνάμει μόνον, ρηταί. Α ί δέ ταύτη άσύμμετροι άλογοι καλείσθωσαν. Καί τό μέν άπό τής προτεθείσης ευθείας τετράγωνον, ρητόν. Καί τά τούτιρ σύμμετρα, ρητά. Τα δέ τούτω άσύμμετρα άλογα καλείσθωσαν.

20Τη

οοά. Ιιοο schema οηιη δοςιιβηϋ ιιοία habet.nr: Ή διάμετρος τη πλευρά μήκει μέν άσύμμετρος, δυνάμει δέ σύμμετρος · διπλάσιον γάρ τό άπό τής διαμέτρου τού άπό τής πλευράς * έστω τοίνυν ή πλευρά τού τετραγώνου' φητή καθ’ ύπόθεσιν πέντε * όμού τό τετράγωνον κε και ή διάμετρος άφφητος * δ μ°ι ζ δ' ιε" ν '", άριϋμός δς πολλαπλασιαζόμενος έφ5έαυτόν άποτελέσει τόν ν δς έστι διπλάσιος τού κε.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

202 0

Traité de Géométrie - chapp. K , IZ , IH

241

Καί αί δυνάμεναι αύτά άλογοι καλείσθωσαν, | εί μεν τετράγωνα εϊεν foi. ιιο * αύτά, καί αί πλευραί αύτών, εί δ’ έτερά τινα εύθύγραμμα, αί Ισα αύτοΐς τε­ τράγωνα άναγράφουσαι. Έπεί δέ τα πλεΐστα διά λεπτών, το δέ λεπτόν μοίρας έστίν εξηκοστόν, 5

τό σύμμετρον καί τό άσύμμετρον των ευθειών δείκνυται, καί τά λεπτά πολλάκις πολλαπλασιάζονται, ίστέον δτι μοίρα επί μοίραν πολλαπλασιαζομένη μοίραν ποιεί · επί δέ πρώτα λεπτά, πρώτα καί πάλιν λεπτά · ώσπερ καί έπί δεύτερα, δεύτερα- καί έπί τρίτα, τρίτα- καί έξης ομοίως. Πρώτα δέ λεπτά έπί πρώτα πολλαπλασιαζόμενα ποιεί δεύτερα λεπτά, ά

10 καί συμποσούμενα έπί τά ξ ποιεί πρώτον έν λεπτόν · πρώτα δέ έπί δεύτερα ποιεί τρίτα, ά καί μεριζόμενα παρά τόν ξ ποιεί δεύτερα λεπτά. Δεύτερα δέ έπί δεύτερα πολλαπλασιαζόμενα ποιεί τέταρτα, ά καί μερι­ ζόμενα παρά τά ξ ποιεί τρίτα. Καί έπί παντός πολλαπλασιασμού τών λεπτών τά ευρισκόμενα άεί δεύ­ 15

τερα λεπτά, εί μέν έντός είσι τών λ, παραθεωροϋνται καί ού λογίζονται, εί δέ άπό τών λ έπέκεινά, ώς λεπτόν έν πρώτον λαμβάνονται.

ΙΗ Δύο 1 μεγεθών άνίσων έκκειμένων, έάν άπό του μείζονος άφαιρεθη μεΐζον ή τό ήμισυ καί του καταλειπομένου μεΐζον ή τό ήμισυ καί τοΰτο άεί γίγνη20 ται, λειφθήσεταί τι μέγεθος, δ έσται έλασσον του έκκειμένου έλάσσονος με­ γέθους. 2 τινα om. cod.

17 In ora infer. cod. hoc schéma habetur:

έλασσον μεΐζον

!

έλασσον τον έλάσσονος

Τό αβ έκ τον γδ τό εδ έκ τοΰ αβ τό κβ έκ τον εδ τό ξδ έκ τον κβ τό λβ έκ τον ζδ τό ηδ έκ τοΰ λβ τό μβ έκ τοΰ ηδ καί άεί οΰτως. 1 C fr. E u c l i d e , E le m ., 10, 1, v o l. 3, p . 4, 5.

23

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Quadrivium de Georges Pachymère

242

Διατί δέ μεΐζον ή το ήμισυ καί ούχί τό ήμισυ, ή δτι, εί τό ήμισυ άφαιρεΐται αεί, πολλάκις ξυμπέση τδ λειφθέν μέγεθος, ούτως γινομένων των διαι­ ρέσεων, έξισωθηναι τώ έλάσσονι μεγέθει · ώς έπί τοΰ αριθμού, εί έστι τδ μέν μεΐζον μ, τδ δέ έλαττον ε· άφαιρεΐται γάρ τα κ, καί αδθις τά ι, καί αύθις τα ε · καί ιδού τδ λειφθέν Ισον τω έλάττονι.

Ό μεντοι γε Στοιχειωτής1 λέγει

5

« ομοίως δέ δειχθήσεται καν ήμίση ή τά άφαιρούμενα» δηλονότι εί καί τδ λειφθέν εκείνο Ισον τω έλάττονι δίχα τμηθείη. Έ άν1 23 * δέ δύο μεγεθών άνίσων οντων, άνθυφαιρουμένου άεί τοΰ έλάσσονος άπδ τοΰ μείζονος, τδ καταλειφθέν ουδέποτε μετρη τδ πρδ αύτοΰ, άσύμμετρα έσται τά μεγέθη. fol. Π τ

10

j Ε ί ” δέ σύμμετρα εΐεν τά μεγέθη, εις έν τι κοινόν μέτρον διφορούμενον άποτελευτήσουσι. Κ α ί' έκ τούτου φανερδν δτι, έάν μέγεθος τι δύο μεγέθη μετρή, καί τδ μέγιστον αύτών κοινδν μέτρον μετρήσει. Έ ά ν 5* δέ τέσσαρα μεγέθη άνάλογον ή, τδ δέ πρώτον τω δευτέρω σύμμε- 15 τρον ή, καί τδ τρίτον τω τετάρτω σύμμετρον έσται· καί έάν τδ πρώτον τώ δευτέρω άσύμμετρον, καί τδ τρίτον τώ τετάρτω άσύμμετρον. Κ α ί0 έάν δύο μεγέθη σύμμετρα ή, τινί άλλω μεγέθει εί θάτερον σύμμε­ τρόν έστι, καί θάτερον σύμμετρον έσται · κ αί7 εί άσύμμετρον έκείνω θάτερον, καί θάτερον άσύμμετρον.

20

Έ ά ν 8 δέ δύο μεγέθη άσύμμετρα συντεθή, καί τδ δλον εκείνο έκατέρω αύτών άσύμμετρον έσται·· καί άντιστρόφως. Ή δυναμένη εύθεΐα άλογον χωρίον καί αύτή άλογός έστιν. Εί γάρ έστι ρητή ή εύθεΐα, καί τδ άπ’ αύτης τετράγωνον ρητόν έσται · ούκ έστι δέ τδ χωρίον ρητόν · άοα κάκείνη άλογος.

25

Εί γοΰν ουτω, καί ή δυναμένη άρα ρητδν χωρίον ρητή έστιν· δυναμένη δέ έστιν ή εύθεΐα ήτις δύναται έκ τοΰ ίδιου πολλαπλασιασμού ποιήσαι τετρά­ γωνον.

'Ήτις ούν δύναται ρητδν χωρίον, καί αύτή ρητή έστιν · ή δέ δυνα­

μένη άλογον χωρίον, καί αύτή άλογος. 'Ρ η τή δέ, πολλάκις μέν καί μήκει καί δυνάμει, ώς ή τετραπηχυαΐα εύ- 30 θεία, ή δυναμένη τδν ις τετράγωνον ■ πολλάκις δέ δυνάμει μόνον · ή γάρ διά1 διά τΐ Tannery. και om. Tannery. 9 μετρεΐ cod. 30 τριπηχυαΐα cod., quod Tannery τετραπ. legendum putavit.

1 Cfr. 2 Cfr. 3 Cfr. * Cfr. 6 Cfr. * Cfr. 7 Cfr. 8 Cfr.

E

u c l id e ,

10 τό πρώτον e corr. iri cod.

Eleni., voi. 3, p. 6, 9-10.

E uclide , Eleni., 10, 2, voi. 3, p. 6, 12. E

u c l id e ,

Eleni., 10,

3, voi. 3, p. 8, 15.

E uclide, Eleni., 10, 3, porisme, voi. 3, p. 12, 8. E uclide, Eleni., 10, 11, voi. 3, p. 34, 7. E u c l i d e , Elem., 10, E u c l i d e , Elem., 10, E u c l i d e , Elem., 10,

12, voi. 3, p. 36, 7. 13, voi. 3, p. 38, 8. 16, voi. 3, p. 44, 17.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Traité de Géométrie - chapp. IH , ΙΘ,

243

μετρος του τετραγώνου άλογος μέν έστι μήκει, πλήν ρητή δυνάμει: γίνεται γάρ έξ αύτης τετράγωνον ρητόν· διπλάσιον γάρ έστι του τετραγώνου οΰ εκείνη διάμετρος.

ΙΘ 5

Τ ο 1 ύπό ρητών εύθειών δυνάμει μόνον συμμέτρων περιεχόμενον ορθο­ γώνιον άλογόν έστι, και ή δυναμένη αυτό άλογος έσται · καλείσθω δέ αυτή δη ή δυναμένη άναγράψαι τετράγωνον άφ’ έαυτης Ισον τώ άλόγω έκείνω ορ­ θογώνιοι τώ περιεχομένω ύπό τών ρητών εύθειών καί δυνάμει μόνον συμ­ μέτρων, μέση.

10

Διατί.μέση, ή δτι, κειμένων τών δύο τούτων ευθειών παρ’ έκάτερα ταύτης, μέσον αύτη κειμένη την αναλογίαν προς έκατέραν σώσει · ώς ή Α Β προς τήν μέσην, αύτη προς τήν ΒΓ. | Λάβωμεν τοίνυν τήν του αύτοΰ τετραγώνου πλευράν καί τήν διάμετρον fol. 117 ν αΰται γοϋν άσύμμετροι πρός άλλήλας οδσαι, ρηταί δέ καθ’ αύτάς έκάτεραι,

15 δυνάμει εΐσί σύμμετροι, δύνανται γάρ τετράγωνα ποιήσαι, ώς είναι τό εν θατέρου διπλάσιον.

’Ή μήν τήν πλευράν του ς ήτις έστι, κατά μεν τό άπλού-

στερον, β κζ', κατά δέ τό άκριβέστερον, β κς' νθ", καί τήν πλευράν του β ήτις έστί, κατά μέν τό άπλούστερον, α κε', κατά δέ τό άκριβέστερον, α κδ' νβ".

Τό1 2γοΰν έξ αύτών ορθογώνιον άλογόν έστι καί ή γραμμή έκείνη ή δυνα­

20 μένη έξ ίδιου πολλαπλασιασμού τετράγωνον Ισον τώ άλόγω όρθογωνίω, έξ άνάγκης μέσον τών δύο έστί κατά τινα άναλογίαν γεωμετρικήν · διά τούτο καί μέση κέκληται. 'Ό τ ι δέ τοιοΰτόν έστιν, ύπόλαβε ορθογώνιον τόν λς, λέγων δ*1 -5 τά Θ· ή γοΰν δυναμένη τόν τοιοΰτον άριθμόν, ήγουν τόν λς1, έκ τού οικείου πολλαπλα­ 25 σιασμού, ήπερ έστίν ή ς, μέση τών Θ καί δ εύρίσκεται κατά ήμιόλιον λόγον. ’Αλλά ταΰτα μέν έπί τών συμμέτρων τε καί ρητών * έπί δέ τών άλογων ό Στοιχειωτής3 τίθησι τήν άπόδειξιν. 'Υπό γάρ ρητών δυνάμει μόνον συμμέτρων εύθειών τών Α Β , Β Γ ορθο­ γώνιον περιεχέσθω τό Α Γ · λέγω δτι άλογόν έστι τό Α Γ καί ή δυναμένη αύτό 30 άλογός έστι · καλείσθω δέ μέση. 2 αύτης e corr. in cod. β αύτη : αυτή cod. 8 ύπό e corr. in cod. 10 ΔιατΙ: διά τΐ Tannery. δύο e corr. in cod. 15 In marg. cod. αύται δυνάμει σύμμετροι, ό γάρ ς τού β τρι­ πλάσιος [διπλάσιος. Tannery]. . 16 τήν πλευράν: τά πλ Tannery. μέν ojn. Tannery. 17 νθ" : νθ' Tannery. 19 Sententia *Ή μήν — α κδ' νβ" in margine cod., ad quam rejicit signum in textu. 30 τε om. Tannery. άλογων : άλλων Tannery.

1 Cfr. E u c l i d e , Hiem,., 10, 21, voi. 3, p. 60, 15. 2 Cfr. E u c l i d e , Eiern., 10, 21, voi. 3, p. 60, 15. 3 Cfr. E u c l i d e , Eiern., 10, 21, voi. 3, p. 60, 19.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Quadrivium de Georges Pachymère

244

Άναγεγράφθω γάρ άπό της Α Β τετράγωνον το Α Δ · ρητόν άρα έστί τό Α Δ , καί άσύμμετρός έστιν ή Α Β τη ΒΓ μήκει · δυνάμει γάρ μόνον ύπόκεινται σύμ­ μετροι. "Ιση δέ ή Α Β τη ΒΔ· άσύμμετοος αρα έστί καί ή Δ Β τη Β Γ μήκει.

Καί έστιν ώς ή Δ Β προς την ΒΓ, ούτω τό Α Δ προς το Α Γ · άσύμμετρον άρα τό Α Δ τω ΑΓ, ρητόν δέ τό Δ Α · άλογον άρα έστί τό Α Γ · ώστε καί ή δυναμένη τό Α Γ

5

- ήγουν ή δυναμένη έκ του οικείου πολλαπλασιασμού ποιήσαι τετράγωνον ίσον τω άλόγω όρ&ογωνίω - άλογός έστι καί κέκληται μέση κατά τον λόγον δν εΐπομεν. Έ σ τι δέ καί διά λεπτών δεΐξαι τον λόγον άλη&ή ύποτεθέντων ώσανεί ρητών αριθμών · πολύ δέ τό έργώδες τούτων καί διά τοΰτο άρκούμεθ-α τη γραμμική άποδείξει. δα 5 ΑΔ'ι : — cod. αδ bentur :

10 9 άριύμών in ras. et e corr. in cod. α β γ δ ε ς ζ η θ i

r

r

t

o

-

V

A

10 In marginibus cod. haec ha-

S

'Όταν έκαστον τούτων μόνον κεΐται, εΐ μέν άνευ τζίφρας, υπέρ δηλο τό ούδέν, τούς άπό μονάδος άριφμούς δηλοΐ. 'Όταν δέ μετά άλλου κεΐται, τούς δεκαδικούς. 'Όταν δέ μόνον μετά τζίφρας, έπεί διά την τζίφραν δεύτερος γίνεται (άντιστρόφως κατά την τής χειρός τϊν Δ συνηθ') και τότε τούς δεκαδικούς, [a χειρός ad finem textum in cod. legere nequeo] ι κ λ V π ο h μ % Ιο Γο Γο 0ο Αο So Vo [loo to τ.» Γοο roo tco] [oni. cod.] ια

Φ

ιγ

ιδ

ιε

ις

ιζ

ιη

ιθ

II

ir

ir

it

10

Π

IV

ΙΑ

IS

ρια

ρκα

ρλβ

III

in

irr

,αρια

IMI

/βσκβ rrrr

ρμγ

[ρμδ cod.]

it r

,γτλγ

,δυμδ

rrrr

tut

/εφνε 0000 ξα -il

οε V0

τζίφραι δύο T V»TV“» 11 Π Γ

eve

οξβ

100

ΠΓ

/ςχξς τγπ

πγ ΛΓ

ροε

IVO ,ζψοζ

VVVV ^ζ SV

ρπθ

IAS 7ηωπη ΛΛΛΛ

1ST

WS

*7η SA

Ό πρώτος τόπος, έπί μονάδων [μονάδων e corr. in cod.] , ό δεύτερος, έπί δεκάδων · ό τρίτος, έπί έκατοντάδων * ό τέταρτος έπί χιλιοντάδων καί αύύτς άντιστρόφως, ό τέταρτος, έπί μονάδων ή μάλ­ λον ό έσχατος * ό δέ προ αύτοΰ τρίτος, έπί δεκάδων * ό δέ μετ’ αύτόν δεύτερος, έπί έκατοντάδων * ό δέ προ τούτων, έπί χιλιοντάδων. Καί άεί ούτως. Πώς δέ καί τά λεπτά καί αί μοΐραι, έδφέ'θ'η όπισΦεν, δι’ ών εύρίσκεται ό τής άποδείξεως λόγος άλη-θ-ής.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Traite de Geometrie - rhapp. ΙΘ, K

24 5

Κ | Λήμμα. - ’Ε ά ν' άσι δύο εύθεΐαι, έστιν ώς ή πρώτη προς τήν δευτέραν, fol. 118 r ουτω το άπό της πρώτης προς τό υπό των δύο ευθειών, καί έπί μέν των ρητών καί έτι συμμέτρων δι’ αριθμών δειχθήσεται τό λήμμα, δπερ λέγεται 5 λήμμα καί ού θεώρημα, ότι λαμβάνει τούτο εις άποδείξεις άλλων έσόμενον. Έ σ τω γάρ ή μέν μονάδων εξ φέρε, ή δέ τριών καί έστιν ή πρώτη προς τήν δευτέραν διπλάσιά* λοιπόν τό άπό της πρώτης έστί λζ, τό δέ ύπό τών δύο ιη * ς·*1? γάρ τα γ * ώστε ώς ή πρώτη προς τήν δευτέραν, ουτω τό άπο τής πρώτης προς τό ύπό τών δύο εύθειών ορθογώνιον. 10

Έπί .δέ τών αρρήτων καί ¿συμμέτρων, ουτω γραμμικώς δειχθήσεται. Έστωσαν δύο εύθεΐαι αί ΖΕ , ΕΗ* λέγω δτι έστίν ώς ή Ζ Ε προς τήν ΕΗ, ουτω τό άπό τής Ζ Ε προς τό ύπό τών ΖΕ , ΕΗ. Άναγεγράφθω γάρ άπό τής Ζ Ε τετράγωνον τό Δ Ζ, καί συμπληρούσθω τό Η Δ ορθογώνιον έπεί ούν έστιν ώς ή Ζ Ε προς τήν ΕΗ, ουτω τό Ζ Δ προς Η

»/ ίση ¿X

15 τό ΔΗ, καί έστι τό μέν Ζ Δ τό άπό τής ΖΕ , τό δέ ΔΗ τό ύπό τών ΔΕ, ΕΗ, έστι δέ ή Δ Ε τή Ζ Ε ’ίση, έστιν άρα ώς ή Ζ Ε πρός τήν ΕΗ, ουτω τό άπό τής Ζ Ε πρός τό ύπό τών ΖΕ, ΕΗ.

Άναστρέψαντι άρα καί ώς τό HE, Ε Ζ τούτ-

έστι ώς τό ΗΔ πρός τό Δ Ζ , ούτως ή HE πρός τήν Ε Ζ * δπερ έδει δεΐξαι. Οΰτως άρα καί ευθεία δίδοται 'ίνα τμηθή οδτως ώστε τό ύπό τής δλης 20 καί του ετέρου τών τμημάτων περιεχόμενον ορθογώνιον Ισον είναι τώ άπό του λοιπού τμήματος τετραγώνω. ’Έστω γάρ ή Α Β δεδομένη καί άναγεγράφθω άπό ταύτης τετράγωνον το Α Β Γ Δ , καί τετμήσθοι ή Α Γ δίχα κατά τό Ε σημείον καί έπεζεύχθω ή Ε Β καί διήχθω ή Γ Α έπί τό Ζ καί κείσθω τή ΕΒ ϊση ή Ε Ζ καί άναγε25 γράφθω άπό τής Α Ζ τετράγωνον τό ΖΘ καί διήχθω ή ΗΘ έπί τό Κ * λέγω δτι ή Α Β τέτμηται κατά τό Θ, ώστε τό ύπό τών Α Β , ΒΘ περιεχόμενον όρθογώνιον Ισον είναι τώ άπό τής Α Θ τετραγώνω. - Λήμμα in marg. in cod.

1 Cfr.

E

u c l id e ,

Elem.,

τό: τήν cod.

4 έτι e corr. in cod. pot ins oiSxi legritur-

10, 2 1 , le im n e , v o l . 3, p . 62,

10.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Quadrivium de Georges Pachymère

246

όλη ή αβ μ " Ι. ιλ (Tannery) ________]_________

r

Ή πάσα μοιρών 8 καί λεπτών ιλ . τά δέ ιλ λεπτά εΐσιν μοίρας μιας τέταρτον μέρος καί εικοστόν' τά ιε (ιε: ιο Tannery) τέταρτον τά δέ r εικοστόν.

iλ

A

£>

Έ σ τω ή αβ μοιρών θ καί λεπτών πρώτων ιη, άπερ έστί τών ξ δον καί κ". Τεμεϊς γοϋν ταύτην εϊς τε (τε: τάς Tannery) μοίρας ς καί μοίρας γ καί λε­ πτά πρώτα ιη. Γίνεται γοϋν τό (τδ bis repetitum in cod.) ζθ τετράγωνον λς. Τδ δέ θδ ορθογώνιον ΙΠ καί αύτδ λς (λς: r i Tannery) οΰτως' τρίς θ, κζ ΙΛ μοϊραι' λείπονται καί Θ μονάδες, άς έν τοΐς λεπτοϊς εύρήσομεν οΰτως- πολλαπλασιάζομεν έπί τά ιη (ιη: η Tannery) τάς τε τρεις μοίρας καί (καί om. Tan­ nery) τά ιη λεπτά, έπεί προηγουμένως έπολλαπλασιάσαμεν τάς γ έπί τάς Θ μοίρας καί εΰρομεν τδν κζ. Λέγομεν γοϋν, καί τρίς ιη, νδ, καί δκτωκαιδεκάκις τά Θ ρξβ, όμοΰ σις· καί όκτωκαΐδεκάκις τά ιη, τκδ. Όμοΰ ταΰτα κάκεΐνα, φμ. Ταΰτα έπί τά ξ, 0 μοϊραι γίνονται. Έπεί γάρ ευθεία ή Α Γ τέτμηται δίχα κατά το Ε, πρόσκειται δέ αύττ) fol. Π8τ ή Α Ζ , εστι δέ ότι, έάν ευθεία γραμμή τμηθη δίχα, προστεθή δέ τις | αύτη ευθεία επ’ ευθείας, το υπό της δλης συν τη προσκειμένη καί της προσκείμε­ νης περιεχομένου ορθογώνιον μετά του άπό

της ήμισείας τετραγώνου ΐσόν

έστι τώ άπό της συγκείμενης έκ τε της ήμισείας καί της προσκειμένης τετρά-

5

γών

3Ad oram superiorem cod. hoc schema cum sequenti nota. S

&

lb

X.

Κ ε

’Έστω ή αβ μονάδων η* πρόσκειται δέ καί ή βδ μονάδων δύο * και τό ύπό τής δλης συν τή προσ­ κειμένη καί τής προσκειμένης μονάδων κ * καί τό αγθε τετράγωνον μονάδων ις · και τό γδζη μονά­ δων λς.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

247

Traité de Géométrie - chapp. K, KA Γ Ζ , Z A περιεχόμενον ορθογώνιον Ισόν έστι τω άπό της Α Β τετραγώνω. Καί έστι τό μεν ΰπό των ΓΖ, Ζ Α το Ζ Κ · ϊση γάρ ή Α Ζ τη Ζ Η · τό δέ άπό της Α Β τό Α Δ · τό άρα Ζ Κ ισόν έστι τω ΑΔ.

Κοινόν άφη-

ρήσθω τό Α Κ ■ λοιπόν άρα τό ΖΘ τω Δ Θ ισόν έστι.

Καί έστι τό μέν

ΘΔ τό ΰπό των Α Β , ΒΘ · ϊση γάρ 10 ή Α Β τη ΒΔ.

Τό δέ ΖΘ τό άπό

της Α Θ · τό αρα υπό των Α Β , ΒΘ περιεχόμενον ορθογώνιον ισόν έστι τω άπό τής Α Θ τετραγώνω.

Τέ-

τμηται άρα ή Α Β ευθεία κατά τό Θ, ώστε τό υπό των Α Β , ΒΘ περιεχόμενον 15 ορθογώνιον ίσον είναι τω άπό τής ί Θ τετραγώνω · όπερ έδει ποιήσαι.

ΚΑ Ή 1 τη μέση σύμμετρος καί αυτή μέση έστί. Καί γάρ, έπεί ή μέση δύο ευθειών πολλάκις μέν ρητή έστι, πολλάκις δέ άλογος, έάν ρητή ή, καί δι* άριθμών δειχθήσεται το θεώρημα. 20

Έ σ τω γάρ ή μέση του τε τεσσάρων πήχεων μεγέθους καί του έννέα, τό ζ πήχεων μέγεθος · έστω γοϋν τω ζ σύμμετρος τό ιη · ό γάρ δύο μεγέθη ταϋτα μετρήσει. Έστιν

ε

Δ

άρα καί ή των ιη πήχεων εύθεΐα μέση της τε'ιβ καί κζ κατά ή μιlcto v

όλιον λόγον. Εί δέ άλογός έστιν ή μέση καθ’ αυτήν, ότι ή σύμμετρος αύτη μέση ^

15

TTCO CXJTD TT]C OL

tcrov' TCÓ c*7TO

σύμμετρα τά μεγέθη

της.ρ>

έστίν, κάκείνη έστίν άλλων ευθειών, οότω γραμμικώς δειχθήσεται. 30

Έ σ τω

ή Α

μέση καί ή Β

σύμμετρος αύτη · λέγω ότι καί αύτή ή Β μέση έστίν.

Γ ΈπεΙ γάρ σύμμετρος ή «β καί τά άπ’ αυτών τετράγωνα σύμμετρα’ αλλά καί τά Ισα τοΐς τοιούτοις τετραγώνοις όρθ-ογώνια, σύμμετρα.

Έκκείσθω γάρ ρητή ή ΓΔ εύθεΐα καί παραβεβλήσθω παρά ταύτην χωρίον ορθογώνιον τό ΓΕ ίσον τω άπό τής Α τετραγώνω, πλάτος ποιούν τήν 35 Ε Δ · | ρητή άρα έστίν ή Ε Δ καί άσύμμετρος τη ΓΔ.

fol. 119 r

ao τοvh e corr. in cod.

1 Cfr.

E

u c l id e ,

E le m ., 10, 23, vol. 3, p. 66, 13.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

248

Q u a d r iv iu m

d e G eo rges P a ch ym è re

Δ ιατί; ότι φησί τό προ τούτου θεώρημα1, ότι το άπό της μέσης παρά ρητήν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεί ρητήν καί άσύμμετρον τη παρ’ ήν παράκειται, μήκει. Το γοϋν Ε Δ πλάτος παρά ρητήν, τήν ΓΔ , έξ ών συνέστη το ορθογώνιον, τό Γ Ε , δ τω άπό της Α τετραγώνω ισόν έστιν · αυτή γοϋν ή ΕΔ ρητή έστι καί άσύμμετρος μήκει τη ΓΔ. 5 Παραβεβλήσθω δέ καί άλλο χωρίον ορθογώνιον περί τήν ΓΔ τό ΓΖ , πλάτος ποιούν τήν Δ Ζ , Ισον τω άπό της Β. Έ π εί οδν σύμμετρός έστιν ή Α τη Β , σύμμετρόν έστι καί τό άπό της Α τετράγωνον τra ver­ sum additum in cod.

In ora infer, cod. hoc habetur schema:

A

/

X TÔ c X ccttov avojxou

J

ή μση μ ίΛ ^ ρ ν ο ν ο μ Λ .

μ?ν C λ ε τ τ τ χ

IS

x o q í f c O r t p á T i » '« !

ΚΎ] ΓΛ

c * y à p T tJ η crC/p-p-t-rpoc ^ηχε,ι

ò

.ρττξ

Λ.—

Y

A ή θ \η

iC

6

1C. TTpòi, TÒV

5vrAouSto&Tp¿£>Sb^L*»/

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

253

Traité de Géométrie - ohapp. Κ Γ, ΚΔ

γωνον αριθμόν · καί οΰτω μέν έκ δύο ονομάτων έστίν ή ΕΗ · καί γάρ αί ΕΖ, Ζ Η ρηταί είσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, άλλ’ ού μικεή. 'Ό τι δέ καί ή πρώτη, ώς είναι τό μεΐζον όνομα τοΰ έλάττονος μεΐζον δυνάμενον τω άπό συμμέτρου έαυτη μήκει, εντεύθεν δήλον- έπεί γάρ έστιν

5 ώς ó Β Α [ις] αριθμός προς τον Α Γ [ζ], οΰτω τό άπό της Ε Ζ [ξδ] προς τό άπό της ΖΗ

[κη], μείζων

της Ε Ζ [ξδ]

του άπό της ΖΗ

τα άπό των

Ζ Η [κη]

δέ óΒ Α [ις] του Α Γ [ζ], μεΐζον άρα καί τόάπό [κη].

’Έστω ουν τω άπό της Ε Ζ

[ξδ] ισα

Θ [λς]. Καί έπεί έστιν ώς ό Β Α [ις] προς τον Α Γ

[ζ], οΰτω τό άπό της Ε Ζ [ξδ]

προς τό άπό της Ζ Η [κη], | άναστρέψαντι αρα Ιοί. 121 r

10 έστίν ώς ό Β Α [ις] προς τον Β Γ [Θ], οΰτω τό άπό τής Ε Ζ [ξδ] προς τό άπό της Θ [λς].

Ό

δέ Α Β [ις] προς τον Β Γ

[Θ] λόγον έχει, δν τετράγωνος

άριθμός [ις] προς τετράγωνον άριθμόν [ιθ] · καί τό άπό της Ε Ζ

[ξδ]

άρα

προς τό άπό της Θ [λς] λόγον έ'χει δν τετράγωνος άριθμός προς τετράγωνον άριθμόν · σύμμετρος άρα μήκει έστίν ή Ε Ζ [η] τή Θ [ς] · ή Ε Ζ

[ξδ]

άρα

15 της Ζ Η [ε καί λεπτών ια' κ η "] μεΐζον δύναται τω [λς] άπό συμμέτρου έαυτη [τη η].

Καί είσί ρηταί αί ΕΖ, Ζ Η καί σύμμετρος ή Ε Ζ [η] τη Δ [ς] μήκει ·

ή ΕΗ άρα έκ δύο ονομάτων έστί πρώτη.

"Οπερ έδει δεΐξαι.

ΚΔ [Ή έκ δύο ονομάτων δευτέρα]. 20

Εύρεΐν1 τήν έκ δύο ονομάτων δευτέραν. Έκκείσθωσαν δύο άριθμοί οί Α Γ [ζ], Γ Β [Θ], ώστε τον συγκείμενον έξ αύτών, τον Α Β , προς μέν τον Β Γ λόγον έχειν, δν τετράγωνος άριθμός προς τετράγωνον άριθμόν, προς δέ τον Γ Α λόγον μή έχειν, δν τετράγωνος άριθμός προς τετράγωνον άριθμόν · καί έκκείσθω ρητή ή Δ, καί τή Δ σύμμετρος μήκει

25 έστω ή Ζ Η · ρητή άρα έστίν ή ΖΗ.

Γεγονέτω δέ καί ώς ό Γ Α άριθμός προς

τον Α Β , οΰτω τό άπό της ΖΗ προς τό άπό της Ζ Ε · καί έπεί ό Γ Α άριθμός προς τον Α Β λόγον ούκ έχει, δν τετράγωνος άριθμός πρός τετράγωνον άριθ­ μόν, ούδ’ άρα τό άπό τής Η Ζ πρός τό άπό τής Ζ Ε λόγον έχει, δν τετράγω­ νος άριθμός πρός τετράγωνον άριθμόν - άσύμμετρος άρα έστίν ή Η Ζ τη Ζ Ε

30 μήκει- αί ΕΖ, Ζ Η άρα ρηταί είσι δυνάμει μόνον σύμμετροι- έκ δύο άρα ονο­ μάτων έστίν ή ΕΗ. Δεικτέον δέ δτι καί δευτέρα.

Έπεί γάρ άνάπαλίν έστιν ώς ό Β Α άριθμός

πρός τόν Α Γ , οΰτω τό άπό τής Ε Ζ πρός τό άπό τής ΖΗ, έστιν τω άπό τής 15 Ιη τής litt. ς sup. lin· addita.

1 Cfr.

E

u c l id e ,

τόν : τό cod.

E lem ., 10 , 49, v o l . 3, p . 140, 7.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

254

Quadrivium de (Jeorges Pachymère

Ε Ζ ίσα τά άπό των ΗΖ, Θ · άναστρέψαντι άρα έστίν ώς ó Α Β προς τον ΒΓ, οδτω τό άπό της Ε Ζ προς τό άπό της Θ.

Ά λ λ ’ ό Α Β προς τον Β Γ λόγον

έχει, δν τετράγωνος άριθμός προς τετράγωνον άριθμόν · καί τό άπό τής Ε Ζ άρα προς τό άπό τής Θ λόγον έχει, δν τετράγωνος άριθμός προς τετράγωνον άριθμόν · σύμμετρος αρα έστίν ή Ε Ζ τή Θ μήκει · ώστε ή Ε Ζ τής Ζ Η μεϊζον δύναται τω άπό συμμέτρου έαυτή μήκει.

¡j

Καί εΐσί ρηταί αί ΕΖ, ΖΗ

δυνάμει μόνον σύμμετροι καί τό ΖΗ έλασσον όνομα τη έκκειμένη ρητή σύμ­ μετρόν έστι τή Δ μήκει· ή ΕΗ αρα έκ δύο ονομάτων έστί δευτέρα· δπερ εδει δεΐξαι.

foi.

ΚΕ

12 1V

10

Εΰρεΐν' την έκ δύο ονομάτων τρίτην. Έκκείσθωσαν δύο αριθμοί οί Α Γ , ΓΒ, ώστε τον συγκείμενον έξ αύτών, τόν Α Β , προς μέν τό Β Γ λόγον έχειν, δν τετράγωνος άριθμός προς τετρά­ γωνον άριθμόν, προς δέ τόν Α Γ λόγον μη έχειν, δν τετράγωνος άριθμός προς τετράγωνον άριθμόν.

Έκκείσθω δέ τις καί άλλος μη τετράγωνος άριθμός,

15

ό Δ, καί προς έκάτερον των Β Α , Α Γ λόγον μή έχέτω, δν τετράγωνος άριθμός προς τετράγωνον άριθμόν.

Καί έκκείσθω τις εύθεΐα, ή Ε, καί γεγονέτω ώς

ό Δ προς τόν Α Β , οδτω τό άπό τής Ε προς τό άπό τής Ζ Η · σύμμετρον άρα έστί τό άπό τής Ε τω άπό τής ΖΗ.

Καί έστι ρητή ή Ε · ρητή άρα έστί

καί ή ΖΗ.

Καί έπεί ό Δ προς τόν Α Β λόγον ούκ έχει, δν τετράγωνος άριθ­ 20 μός προς τετράγωνον άριθμόν, ούδέ τό άπό τής Ε προς τό άπό τής ΖΗ λόγον

έχει, δν τετράγωνος άριθμός προς τετράγωνον άριθμόν · άσύμμετρος άρα έστίν ή Ε τή ΖΗ μήκει.

Γεγονέτω δή πάλιν ώς ό Β Α άριθμός προς τόν ΑΓ, οδτω1

1 In marg. cod. haec nota legitur : 'Ό ρος. Αναστροφή λόγου έστι λήψις του ήγουμένου προς τήν υπεροχήν ή υπερέχει τό ηγούμενον τού έπομένου. 9 In ora inf. hoc schema habetur:

θ

5 i.

e-

η

< 1




Καί' γάρ ύποκειμένης ρητης καί άποτομής, ούτως ή τάξις αύτών καί τά ονόματα εύθετοϋνται · πλήν, προ του ταϋτα λέγειν, φησί προλαβών ό Γεωμέτρης καί διά της άδυνάτου δείκνυσι τό λεγόμενον, δτΐ τη άποτομή μία μόνη προσαρμόζει εύθ-εΐα ρητή δυνάμει μόνον σύμμετρος ούσα τη δλη. 20

Έ σ τω άποτομή ή ΑΒ, προσαρμόζουσα δέ αύτή ή ΒΓ, αί Α Γ , ΓΒ άρα ρηταί είσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· λέγω δτι τη Α Β έτέρα ού προσαρμόζει ρητή δυνάμει μόνον σύμμετρος ούσα τη δλη. Εί γάρ δυνατόν, προσαρμοζέσθω ή ΒΔ.

Καί αί Α Δ , Δ Β άρα ρηταί είσι

δυνάμει μόνον σύμμετροι · καί έπεί ώ ύπερέχει τά άπό των Α Δ , Δ Β του δίς

25 ύπό των Α Δ , Δ Β , ύπερέχει δέ τω άπό της Α Β τετραγώνω. A _____________ s_5________

Ε>

'-ς π

r β

Γ

ις

Γ Ρ>

Δ ξ§ ^

π

Λ ή δλη

Ύποθεμένων γάρ τήν μέν Α Β μονάδων δ, 1, καί τήν Β Γ μονάδων δύο, μ. ομοίως τήν Γ Δ μονάδων δύο, Κ, καί τήν πάσαν μονάδων οκτώ, Λ, έστιν, όκτάκις τά οκτώ ξδ καί τετράκις τά δ ις, όμοϋ π. «ο τής: του cod. et V.

1 Cfr.

E

u c l id e

Καί τετράκις τά οκτώ

10 και γάρ in margine additum in cod.

, E iern.,

27 έστιν om. cod.

10, 80, vol. 3, p. 238, 23.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

262

Quadrivium de Georges Pachymère

λβ, ΡΨ, καί αύθις τετράκις τά οκτώ λβ, μψ, όμοϋ ξδ, J i.

Καί υπερέχει

τα δύο τετράγωνα εκείνα του δίς ύπό της δλης καί της υποκείμενης άρμό-

ις, I/·

ζειν τω άπό της Α Β τετραγώνω, οίωνεί τω

ξδ γάρ καί

ις

π.

ΊΩ

γοϋν υπερέχει τά από τε της δλης καί άπδ της ύποκειμένης προσαρμόζειν Β Δ τετράγωνα του δίς ορθογωνίου υπό των Α Δ , Δ Β τω άπό της άποτομης Α Β

5

τετραγώνω, τούτω υπερέχει καί τά άπό των Α Γ , ΓΒ, της άληθώς τη Α Β προσαρμοζούσης, τετράγωνα του δίς ύπό των Α Γ , ΓΒ · τω γάρ αύτω τω άπό της Α Β άμφότερα υπερέχει άπ’ άμφοτέρων.

Εναλλάξ αρα φ υπερέχει τά άπό

των Α Δ , Δ Β των άπό των Α Γ , ΓΒ, τούτω υπερέχει καί τό δίς ύπό των Α Δ , Δ Β του δίς ύπό των Α Γ , ΓΒ · τά δέ άπό των Α Δ , Δ Β των άπό των 10 Α Γ , Γ Β ύπερέχει ρητω- ρητά γάρ, φησίν', έστιν άμφότερα - ύπόκειται γάρ ή Δ Β ρητή προσαρμόζουσα έτέρα τη Α Β · καί τό δίς αρα ύπό των Α Δ , Δ Β του δίς ύπό των Α Γ , Γ Β ύπερέχει ρητω · δπερ έστίν άδύνατον · μέσα γάρ είσιν άμφότερα · μέσον δέ μέσου ούχ ύπερέχει ρητω · τη αρα Α Β

έτέρα ού

προσαρμόζει ρητή δυνάμει μόνον σύμμετρος ούσα τη δλη · δπερ εδει δεΐξαι. 15 s I d ύπό litt. υ e corr. in cod. In marg. et in ora inf. cod.:

In ύποκειμένης litt. ύ e corr. in cod.

3 τής: τού cod.

TQ ύπερέχει (ύπερέχοι Tannery) τά άπό των ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα τού δίς ύπό των ΑΔ, ΔΒ όρύογωνίων, τούτφ ύπερέχει (ύπερέχοι TaDnery) καί τά άπό των ΑΓ, ΓΒ τετράγωνα τού δίς ύπό των ΑΓ, ΓΒ όρύ-ογωνίου. Τω άπό των ΑΒ τετραγώνω. 'Ώστε καί έναλλάξ φπερ (φ Tannery) ύπερέχει (ύπερέχοιεν TaDnery) τά άπό των ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα τών άπό των ΑΓ, ΓΒ τετραγώνων, τούτω ύπερέχει (ύπερέχοι Tannery) καί τό δίς ύπό τών ΑΔ, ΔΒ (ξδ) τού δίς ύπό τών ΑΓ, ΓΒ (λβ) διπλάσιων ήμίσεων τών δύο τετραγώνων.

1 β r r r δ A ---------------------------- 1------------------ 1------------------τά δύο τετράγωνα :

Π , λς [τά] καί δ , ί

Ί ΐ , ξδ [τ] ις , Π

όμού μ, Ιο (τζίφρα)

όμού π, Λο (τζίφρα)

διπλάσια γάρ τών ήμίσεων. 4 In άπό/a litt, α e corr. in cod.

14 ούχ: ούκ Tannery.1

1 Cfr. E u c l i d e , E ie rn ., vol. 3, p. 240, 19.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Traité de Géométrie - chapp. Λ, Λ Α

263

ΛΑ | "Οροι των εξ άποτομών \

fol. 125r

'Υποκείμενης ρητής και άποτομής, εάν μέν ή δλη της προσαρμοζούσης μεϊζον δύνηται τφ άπό συμμέτρου έαυτη μήκει, και ή δλη σύμμετρος τη 5 έκκειμένη ρητή μήκει, καλείσθω άποτομή πρώτη. Έάν δέ ή προσαρμόζουσα σύμμετρος ή τη έκκειμένη ρητη μήκει, καί ή δλη της προσαρμοζούσης μεϊζον δύνηται τω άπδ συμμέτρου έαυτη, καλεί­ σθω άποτομή δευτέρα. Έάν δέ μηδετέρα σύμμετρος ή τη έκκειμένη ρητη μήκει, μήτε ή δλη, 10 μήτε ή προσαρμόζουσα, ή δέ δλη της προσαρμοζούσης μεϊζον δύνηται τφ άπδ συμμέτρου έαυτη, καλείσθω άποτομή τρίτη. Πάλιν έάν ή δλη της προσαρμοζούσης μεϊζον δύνηται τφ άπδ άσυμμέτρου έαυτη, έάν μέν ή δλη σύμμετρος ή τη έκκειμένη ρητη μήκει, καλείσθω άποτομή τετάρτη. 15

Έάν δέ ή προσαρμόζουσα σύμμετρος ή τη έκκειμένη ρητη μήκει, άπο­ τομή καλείσθ-ω πέμπτη. Έάν δέ μηδετέρα, μήτε ή δλη, μήτε ή προσαρμόζουσα, σύμμετρος ή τη έκκειμένη ρητη μήκει, της όλης μεϊζον δυναμένης τφ άπδ άσυμμέτρου έαυτη τής προσαρμοζούσης, καλείσθω άποτομή έκτη. 2 In marg. cod. haec habentur, ρητή Δ άποτομή

προσαρ μόζουσα

Ή

δ

Yx

η

'Ό λ η ή αβ, προσαρμόζουσα ή γβ. ΕΙ γοΰν έκείνη ταύτης μεϊζον δύναται τφ άπό συμμέτρου έαυτη μήκει, ή δέ δλη έστί σύμμετρος μήκει τη φητή, καλείται ή άποτομή πρώτη. ΕΙ δέ και πάλιν ή δλη τής προσαρμοζούσης μεϊζον δύναται τφ άπό συμμέτρου έαυτη, ή δέ σύμ­ μετρος τη φητή μήκει, ούχ ή δλη άλλ5 ή προσαρμόζουσα, καλείται ή άποτομή δευτέρα. ΕΙ δέ καί πάλιν ή δλη τής προσαρμοζούσης μεϊζον δύναται τφ άπό συμμέτρου έαυτη, ούτε δέ ή δλη ούτε ή προσαρμόζουσα σύμμετρος ή τη φητή μήκει, καλείται ή άποτομή τρίτη. Πάλιν έάν ή δλη τής προσαρμοζούσης μεϊζον δύνηται τφ άπό άσυμμέτρου έαυτη, ή δέ δλη ή σύμμετρος τή.φητή μήκει, καλείται ή άποτομή τετάρτη. ΕΙ δέ ούχ ή δλη άλλ* ή προσαρμόζουσα σύμμετρός έστι τη φητή μήκει, μεϊζον δέ ή δλη δύναται τής προσαρμοζούσης τφ άπό άσυμμέτρου έαυτη, καλείται ή άποτομή πέμπτη. Έ ά ν μηδετέρα, μήτε ή δλη μήτε ή προσαρμόζουσα σύμμετρος ή τη φητή μήκει, ή δέ δλη πάλιν μεϊζον δύναται τής προσαρμοζούσης τφ άπό άσυμμέτρου έαυτη, καλείται ή άποτομή Ι'κτη. 'Οποία δέ έστιν ή προσαρμόζουσα εϊρηται. ΐ2-ιε άσυμμέτρου : συμμέτρου V .

Cfr,

E

u c l id e

, E le m .,

10, déf., vol. 3, p. 254, 7.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

264

Quadrivium de Georges Vaehyrnère

AB Εύρεΐν' την πρώτην άποτομήν. Έκκείσθω ρητή ή Α , καί τη Α μήκει σύμμετρος έστω ή Β Η · ρητή άρα έστί καί ή Β Η - ή γάρ τη ρητη σύμμετρος καί αύτή ρητή έστι.

Καί έκ-

κείσθωσαν δύο τετράγωνοι αριθμοί οί ΔΕ, ΕΖ, ών ή υπεροχή, ό Δ Ζ, μή έστω

τετράγωνος* ούδ’ άρα ό ΕΔ προς τόν Δ Ζ λόγον έχει, ον τετράγωνος αριθμός προς τετράγωνον αριθμόν - έπεί ούκ έστιν ό Δ Ζ αριθμός τετράγωνος, ό δέ Ε Δ έστί.

Καί πεποιήσθω ώς ό ΕΔ πρός τόν Δ Ζ , οδτω τό άπό της ΒΗ

τετράγωνον πρός τό άπό της ΗΓ τετράγωνον * σύμμετρον αρα έστί τό άπό τής ΒΗ τω άπό της Η Γ · ρητόν δέ τό άπό της Β Η - ρητή γάρ ύπέκειτο καί

10

ful. ΐΐβν ή πλευρά τούτου ή ΒΗ - | ρητόν άρα καί τό άπό της ΗΓ* ρητή άρα καί ή πλευρά αύτοϋ, ή ΗΓ.

Καί έπεί ό Ε Δ πρός τόν Δ Ζ

λόγον ούκ έχει, ον

τετράγωνος άριθμός πρός τετράγωνον άριθμόν, ούδ’ άρα τό άπό της ΒΗ πρός τό άπό της ΓΗ λόγον έχει, ον τετράγωνος άριθμός πρός τετράγωνον άριθ­ μόν * άσύμμετρος άρα έστίν ή ΒΗ τη Η Γ μήκει, καί είσίν άμφότεραι ρηταί · αί ΒΗ, Η Γ άρα ρηταί είσι δυνάμει μόνον σύμμετροι* ή άρα Β Γ άποτομή έστι. 15 16 In ora sup. cod. lineae figurae praecedentis denuo habentur. Γ

B

1 Cfr.

E u c l id e ,

H ie m .,

H

10, 85, vol. 3, p. 256, 2.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Traité de (¿éométrie - cliapp. ΛΒ, Λ Γ Λέγω δή δτι καί πρώτη.

265

γΩ γάρ μεΐζόν έστι τδ άπδ της Β Η τοϋ άπδ

της ΗΓ, έστω τδ άπδ της Θ · καί έπεί, έστιν ώς δ Ε Δ πρδς τδν Δ Ζ , ουτω τδ άπδ της Β Η πρδς τδ άπδ της ΗΓ, καί άναστρέψαντι άρα έστίν ώς δ Δ Ε πρδς τδν ΕΖ, ουτω τδ άπδ της ΗΒ πρδς τδ άπδ της Θ · ό δέ Δ Ε πρδς τδν 5 Ε Ζ λόγον έχει, δν τετράγωνος αριθμός πρδς τετράγωνον αριθμόν · έκάτερος γάρ τετράγωνός έστι· καί τδ άπδ της Η Β αρα πρδς τδ άπδ της Θ λόγον έχει, δν τετράγωνος άρι-Β-μδς πρδς τετράγωνον άριθμόν · σύμμετρος αρα έστίν ή ΒΗ τη Θ μήκει.

Καί δύναται ή ΒΗ της Η Γ μεΐζον τω άπδ της Θ · ή Β Η άρα

της Η Γ μεΐζον δύναται τω άπδ συμμέτρου έαυτη μήκει.

Καί έστιν ή δλη, ή

10 ΒΗ, σύμμετρος τη έκκειμένη ρητή μήκει, τη Α · ή Β Γ άρα άποτομή έστι πρώτη. Εύρηται άρα ή πρώτη άποτομή ή Β Γ · δπερ έδει δεΐξαι.

ΛΓ Εύρεΐν' τήν δευτέραν άποτομήν. Έκκείσθω ρητή ή Λ καί τη Λ σύμμετρος μήκει ή ΗΓ · ρητή άρα έστι 15 καί ή Η Γ · καί έκκείσθωσαν δύο τετράγωνοι άριθμοί οΐ ΔΕ, ΕΖ, ών ή υπε­ ροχή δ Δ Ζ μή έστω τετράγωνος.

Καί πεποιήσθω ώς ό Ζ Δ πρδς τδν ΔΕ,

Β ___________ Γ__________ Η

Δ

Ζ

ε

ουτω τδ άπδ της ΓΗ τετράγωνον πρδς τδ άπδ τής ΗΒ τετράγωνον · σύμμε­ τρον άρα έστι τδ άπδ της ΓΗ τετράγωνον τω άπδ της Η Β τετραγώνω.

‘Ρη-

τδν δέ τδ άπδ της ΓΗ · ρητόν άρα έστι καί τδ άπδ της ΗΒ · ρητή άρα έστίν 20 ή ΗΒ.

Καί έπεί τδ άπδ τής Η Γ τετράγωνον πρδς τδ άπδ τής Η Β λόγον

ουκ έχει, δν τετράγωνος άριθμός πρδς τετράγωνον άριθμόν, άσύμμετρός έστιν ή ΓΗ τη ΗΒ μήκει.

Καί εΐσίν άμφότεραι ρηταί αί ΓΗ, Η Β δυνάμει μόνον

σύμμετροι· ή Β Γ άρα άποτομή έστι. Λέγω δή δτι καί δευτέρα.

|Ώ

25 άπδ τής ΗΓ, έστω τδ άπδ τής Θ.

γάρ μεΐζόν έστι τδ άπδ τής Β Η τοϋ fol. 126 r Έπεί ούν έστιν ώς τδ άπδ τής ΒΗ πρδς

τδ άπδ τής ΗΓ, ούτως δ Ε Δ άριθμός πρδς τδν Δ Ζ άριθμόν, άναστρέψαντι άρα έστίν ώς τδ άπδ τής ΒΗ πρδς τδ άπδ τής Θ, ούτως δ Δ Ε πρδς τδν ΕΖ. Καί έστιν έκάτερος των ΔΕ, Ε Ζ τετράγωνος · τδ άρα άπδ τής ΒΗ πρδς τδ 18 ό '2: ή cod.

17"18 τετράγωνον : τετράγωνος Tannery.

1 Cfr. E u c l i d e , E le m ., 10, 86, vol. 3, p . 258, 14.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Quadrivium de Georges Pachymère

266

άπό τής Θ λόγον έχει, δν τετράγωνος άριθμός προς τετράγωνον αριθμόν · σύμ­ μετρος άρα έστίν ή Β Η τη Θ μήκει.

Καί δύναται ή Β Η της Η Γ μεΐζον τω

άπό της Θ · ή ΒΗ άρα της ΗΓ μεΐζον δύναται τω άπό συμμέτρου έαυτή μήκει.

Καί έστιν ή προσαρμόζουσα, ή ΗΓ, τη έκκειμένη ρητή σύμμετρος τη Α.

Ή Β Γ άρα άποτομή έστι δευτέρα.

5

Ευρηται άρα δευτέρα άποτομή ή Β Γ · δπερ έδει δεΐξαι.

ΛΔ Εύρεΐν 1 τήν τρίτην άποτομήν. Έκκείσθω ρητή ή A καί έκκείσθωσαν τρεις αριθμοί οί Ε, ΒΓ, ΓΔ, λόγον μή εχοντες πρός άλλήλους, δν τετράγωνος αριθμός πρός τετράγωνον άριθμόν · 10 ©

Η

Κ

ό δέ ΓΒ πρός τον Β Δ λόγον έχέτω, δν τετράγωνος άριθμός πρός τετράγω­ νον άριθμόν.

Καί πεποιήσθω ώς μέν ό Ε πρός τον ΒΓ, ούτω τό άπό τής

A τετράγωνον πρός τό άπό της Ζ Η τετράγωνον· ώς δε ό Β Γ πρός τον ΓΔ, οδτω τό άπό της Ζ Η τετράγωνον πρός τό άπό τής ΗΘ.

Έπεί ούν έστιν ώς

ό Ε πρός τόν ΒΓ, οδτω τό άπό τής A τετράγωνον πρός τό άπό τής Ζ Η τετρά-

15

γοονον, σύμμετρον άρα έστί τό άπό τής A τετράγωνον τω άπό τής ΖΗ τετρά­ γωνη).

'Ρητόν δέ τό άπό τής A τετράγωνον · ρητόν άρα καί τό άπό τής Ζ Η ·

ρητή άρα έστίν ή ΖΗ.

Καί έπεί ό Ε πρός τόν Β Γ λόγον ούκ έχει, δν τετρά­

γωνος άριθμός πρός τετράγωνον άριθμόν, ούδ’ άρα τό άπό τής A

τετράγω­

νον πρός τό άπό τής Ζ Η λόγον έχει, δν τετράγωνος άριθμός πρός τετράγω- 20 νον άριθμόν· άσύμμετρος άρα έστίν ή A

τη ΖΗ

μήκει.

Πάλιν έπεί έστιν

ώς ό Β Γ πρός τόν ΓΔ , οΰτω τό άπό τής Ζ Η τετράγωνον πρός τό άπό τής ΗΘ, σύμμετρον άρα έστί τό άπό τής ΖΗ τω άπό τής Θ Η · ρητόν δέ τό άπό τής Ζ Η · ρητόν άρα καί τό άπό τής ΗΘ · ρητή άρα έστίν ή ΗΘ.

Καί έπεί ό

ίο!. 126» Β Γ πρός τόν ΓΔ λόγον ούκ έχει, δν τετράγωνος άριθμός | πρός τετράγωνον 25 άριθμόν, άσύμμετρος άρα έστίν ή Ζ Η τη ΗΘ μήκει. Καί είσίν άμφότεραι ρηταί · αΐ ΖΗ , ΗΘ άρα ρηταί είσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · άποτομή άρα ή ΖΘ. Λέγω δή δτι καί τρίτη.

Έπεί γάρ έστιν ώς μέν ό Ε πρός τόν ΒΓ, οδτω

τό άπό τής A τετράγωνον πρός τό άπό τής ΖΗ , ώς δέ ό Β Γ πρός τόν ΓΔ, 15 A : ΔΓ cod.

1

Cfr.

E

u c l id e

, E len i.,

10, 87, vol. 3, p. 260, 20.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Traité de Géométrie - ehapp. Λ Γ , Λ Δ , ΛΕ

267

οότω το άπό της Ζ Η προς το άπό της ΘΗ, διίσου άρα έστ'ιν ώς ό Ε προς τον ΓΔ, ουτω το άπό της A προς το άπο της Θ Η · ό δε Ε προς τον ΓΔ λόγον ούκ έχει, δν τετράγωνος άριθμός πρός τετράγωνον άριθμόν· ούδ’ άρα το άπο της A προς τό άπό της ΗΘ λόγον έ χ ε ι, δν τετράγωνος άριθμός πρός 5 τετράγωνον άριθμόν · άσύμμετρος άρα ή A τη ΗΘ μήκει · οόδετέρα άρα των ΖΗ , Η Θ σύμμετρός έστί τη έκκειμένη ρητη, τη Α , μήκει.

ΤΩ γουν μεΐζόν

έστι τό άπό της Ζ Η του άπό της ΗΘ, έστω τό άπό της Κ · έπεί ούν έστιν ώς ό Γ Β πρός τον ΓΔ, οΰτω τό άπό της Ζ Η πρός τό άπό τής ΗΘ, άναστρέψαντι άρα έστ'ιν ώς ό Β Γ πρός τον Β Δ (ουτω τό άπό της Ζ Η πρός τό 10 άπό της Κ · ό δέ Β Γ πρός τόν Β Δ ) λόγον έ'χει, δν τετράγωνος άριθμός πρός τετράγωνον άριθμόν* καί τό άπό της Ζ Η άρα πρός τό άπό της Κ λόγον έχει, δν τετράγωνος άριθμός πρός τετράγωνον άριθμόν · σύμμετρος άρα έστίν ή ΖΗ τη Κ μήκει.

Καί δύναται ή Ζ Η της ΗΘ μεϊζον τω άπό συμμέτρου έαυτη,

καί οόδετέρα των ΖΗ , ΗΘ σύμμετρός έστι τη έκκειμένη ρητη, τη Α, μήκει. 15 Ή Ζ Θ άρα άποτομή έστι τρίτη. Εδρηται άρα ή τρίτη άποτομή, ή ΖΘ · δπερ Ιδει δεΐξαι.

ΛΕ Εύρεΐν' τήν τετάρτην άποτομήν. Έκκείσθω ρητή ή Α , καί τη Α μήκει σύμμετρος ή ΒΗ · ρητή άρα έστίν 20 ή ΒΗ.

Καί έκκείσθωσαν δύο άριθμοί οί Δ Ζ , ΖΕ, ώστε τόν Δ Ε δλον πρός β ;______________Γ_____________Μ

A

Q

Δ

Z

(Hanc figuram oui, Tannery).

E

έκάτερον των Δ Ζ , Ε Ζ λόγον μή έχειν, δν τετράγωνος άριθμός πρός τετρά­ γωνον άριθμόν.

Καί πεποιήσθω ώς ό Δ Ε πρός τόν ΕΖ, ουτω τό άπό της

ΒΗ τετράγωνον πρός τό άπό της Η Γ · σύμμετρον άρα έστί τό άπό της ΒΗ τω άπό της Η Γ · ρητόν δέ τό άπό τής ΒΗ · ρητόν άρα καί τό άπό της ΗΓ* 25 ρητή άρα έστί καί ή ΗΓ.

Καί έπεί ό Δ Ε πρός τόν Ε Ζ λόγον ούκ έχει, δν

τετράγωνος άριθμός πρός τετράγωνον άριθμόν, ούδ’ άρα τό άπό της ΒΗ πρός 3 oia sup. lip. additum ip cod. 7rov: quod ipter upcinos inclusit Tappery, om. cod.

1 Cfr.

E

u c l id e

, E lem .,

t o Tannery. 15 Z 0 : ZH Tappery.

jtQ o g

10, 88, vol. 3,

p.

9 olixco — j c q o ?

xov

BA.

264, 26.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

268

Quadrivium de Georjres Pacdiymère

το άπό της ΗΓ λόγον έχει, δν τετράγωνος άριθμός πρ ός τετράγωνον αριθμόν · foi. νη r άσύμμετρος άρα έστίν ή Β Η τη Η Γ μήκει.

| Καί εΐσίν άμφότεραι ρηταί· αί

ΒΗ, ΗΓ άρα ρηταί εΐσι δυνάμει μόνον σύμμετροι · άποτομή άρα έστίν ή ΒΗ. (Λέγω δή δτι καί τετάρτη).

ΤΩ οόν μεΐζόν έστι τό άπό της ΒΗ του

άπο της ΗΓ, έστω τό άπό της Θ.

Έπεί ούν έστιν ως ό ΕΔ πρός τον ΕΖ,

5

οδτω τό άπό της ΒΗ πρός τό άπό της ΗΓ, καί άναστρέψαντι άρα έστίν ώς ή Ε Δ πρός τόν Δ Ζ , οδτω τό άπό της ΒΗ πρός τό άπό της Θ ' ό δέ Β Γ πρός τόν Δ Ζ λόγον ούκ έχει, δν τετράγωνος άριθμός πρός τετράγωνον αριθ­ μόν· ούδ* άρα τό άπό της Η Β πρός τό άπό της Θ λόγον έχει, δν τετράγω­ νος άριθμός πρός τετράγωνον άριθμόν · άσύμμετρος άρα έστίν ή ΒΗ τή Θ 10 μήκει.

Καί δύναται ή ΒΗ τής ΗΓ μεΐζον τω άπό της Θ * ή άρα ΒΗ

ΗΓ μεΐζον δύναται τω άπό άσυμμέτρου έαυτή.

της

Καί έστιν δλη ή Β Η σύμ­

μετρος τή έκκειμένη ρητή μήκει, 'τή Α· ή άρα Β Γ άποτομή έστι τετάρτη. Ευρηται άρα ή τετάρτη άποτομή · δπερ έδει δεΐξαι.

AC

15

Εύρεΐν1 την πέμπτην άποτομήν. Έκκείσθω ρητή ή Α , καί τή Α μήκει σύμμετρος έστω ή ΓΗ · ρητή άρα ή ΓΗ.

Καί έκκείσθωσαν δύο άριθμοί οί Δ Ζ , Ζ Ε ώστε τόν Δ Ε πρός έκάτερον

©

(Haue tig. om. Tannery).

των Δ Ζ , Ζ Ε λόγον πάλιν μη έχειν, δν τετράγωνος άριθμός πρός τετράγωνον άριθμόν.

Καί πεποιήσθω ώς ό Ζ Ε πρός τόν ΕΔ, οδτω τό άπό της ΓΗ πρός 2ς>

τό άπό τής Η Β · (σύμμετρον άρα έστι τό άπό τής ΓΗ τω άπό τής Η Β · ρητόν δέ τό άπό τής ΗΒ·> ρητόν άρα καί τό άπό τής Η Β · ρητή άρα έστι καί ή ■ Λέγω δή δτι και τετάρτη om. coil. Tannery addidit.

cod.

10 In τετράγωνον litt. ον e corr. in 21 σύμμετρον — τής HB quod inter uncinos inclusit Tannery om. cod.

1 C fr. E

u c l i d e , K ie w ..

10. 89, vo l. 3. |>. 208, 5.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Traité de Géométrie - chapp. ΛΕ, AC, Λ Ζ BH.

269

Καί έπεί έστιν ώς ό Δ Ε προς τον Ε Ζ, οΰτω το άπό της Β Η προς το

άπό της ΗΓ, ό δέ Δ Ε προς τον Ε Ζ λόγον ούκ έχει, δν τετράγωνος αριθμός πρός τετράγωνον αριθμόν, ουδέ τό άπο της Β Η πρός τό άπό της Η Γ λόγον έχει, δν τετράγωνος άριθμός πρός τετράγωνον άριθμόν · άσύμμετρος άρα έστίν ή ΒΗ 5 τη Η Γ μήκει.

Καί εΐσίν άμφότεραι ρηταί · αί ΒΗ, Η Γ άρα ρηταί εΐσι δυνάμει

μόνον σύμμετροι· ή Β Γ άρα άποτομή έστι. Λέγω δη δτι καί πέμπτη. ~Ω γάρ μεΐζόν έστι τό άπό της Η Β τοΰ άπό της ΗΓ, έστω τό άπό της Θ '

έπεί ούν έστιν ώς τό άπό της.ΒΗ πρός το

άπό της ΗΓ, ούτως ό Δ Ε πρός τόν ΖΕ, άναστρέψαντι άρα έστίν ώς ό Δ Ε 10 πρός τόν Δ Ζ , ουτω τό άπό της Β Η πρός τό άπό της Θ · ό δέ ΕΔ πρός τόν Δ Ζ λόγον ούκ έχει, δν τετράγωνος άριθμός πρός τετράγωνον άριθμόν · ούδ’ άρα τό άπό της ΒΗ πρός τό άπό της Θ λόγον έχει, δν τετράγωνος άριθμός πρός τετράγωνον άριθμόν· άσύμΙμετρος άρα έστίν ή ΒΗ

τη Θ μήκει· καί δύ- fol. 127»

ναται ή ΒΗ της Η Γ (μειζον) τω άπό της Θ · ή ΒΗ 15 δύναται τω άπό άσυμμέτρου έαυτη μήκει.

άρα της ΗΓ

μειζον

Καί έστιν ή προσαρμόζουσα, ή ΓΗ,

σύμμετρος τη έκκειμένη ρητη, τη Α, μήκει · ή άρα Β Γ άποτομή έστι πέμπτη. Εΰρηται άρα ή πέμπτη άποτομή ή Β Γ · οπερ έδεε δεϊξαι.

ΛΖ Εύρεΐν ' τήν εκτην άποτομήν. 20

Έκκείσθω ρητή ή A καί τρεις άριθμοί οί Ε, ΒΓ, ΓΔ, λόγους μη έχοντες πρός άλλήλους, δν τετράγωνος άριθμός πρός τετράγωνον άριθμόν · έτι δε καί

©

Ζ.

Μ

κ

A

Β

ε

Δ

Γ

(Hanc fig. om. Tanuery).

ό ΓΒ πρός τόν Β Δ λόγον μή έχέτω, δν τετράγωνος άριθμός πρός τετράγωνον άριθμόν.

Καί πεποιήσθω ώς μέν ό Ε πρός τόν ΒΓ, ουτω τό άπο της A 1

1 Β Η /,: jjjj cod.

1 Cfr.

E

u c l id e

14 · om. cod. , E le m .,

10, 90, vol. 3, p. 270. 15.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

270

Quadrivium de Georges Pachymère

προς το άπό της ΖΗ, ώς δε δ Β Γ προς τον ΓΔ , ουτω τό άπό της ΖΗ προς τό άπδ της ΗΘ. Έ π εί ούν έστιν ώς δ Ε προς τόν Β Γ , ουτω τδ άπδ της A πρδς τδ άπδ της ΖΗ, σύμμετρον άρα τδ άπδ της A τω άπδ της ΖΗ · ρητόν δε τδ άπό της Α · ρητόν άρα καί τό άπό της Ζ Η · ρητή άρα έστί καί ή ΖΗ. Κ αί έπεί δ Ε πρός τόν Β Γ λόγον οΰκ έχει, ον τετράγωνος άριθμός πρός τετράγωνον άριθμόν, οΰδ’ άρα τό άπό της A πρός τό άπό της ΖΗ λόγον εχει, δν τετράγωνος άριθμός πρός τετράγωνον άριθμόν · άσύμμετρος άρα έστίν ή A τη ΖΗ μήκει. Πάλιν έπεί έστιν ώς ό Β Γ πρός τόν ΓΔ , ουτω τό άπό της ΖΗ πρός τό άπό της ΗΘ, σύμμετρον άρα έστί τδ άπό της ΖΗ τω άπό της ΗΘ · ρητόν δέ τό άπό της ΖΗ · ρητόν άρα καί τό άπό της ΗΘ · ρητή άρα καί ή ΗΘ. Κ αί έπεί ό Β Γ (πρός τόν ΓΔ) λόγον ούκ έχει, δν τετράγωνος άριθμός πρός τετράγωνον άριθ-μόν, ούδ’ άρα τό άπό της ΖΗ πρός τό άπό της ΗΘ λόγον έχει, δν τετράγωνος άριθμός- πρός τετράγωνον άριθ-μόν · άσύμμετρος άρα έστίν ή ΖΗ τη ΗΘ μήκει. Κ αί είσίν άμφότεραι ρηταί· αί ΖΗ, ΗΘ άρα ρηταί είσι δυνάμει μόνον σύμμετροι- ή άρα ΖΘ άποτομή έστι. Λέγω δτι καί έκτη. Έ π εί γάρ έστιν ώς μέν ό Ε πρός τόν Β Γ , ουτω τό άπό της A πρός τό άπό της ΖΗ, ώς δέ δ Β Γ πρός τόν ΓΔ , ουτω τό άπό της ΖΗ πρός τό άπό της ΗΘ, διΐσου άρα έστίν, ώς δ Ε πρός τόν ΓΔ , ουτω τό άπό της A πρός τό άπό της ΗΘ · δ δέ Ε πρός τόν ΓΔ λόγον ούκ έχει, δν τετράγωνος άριθ-μός πρός τετράγωνον άριθμόν · ούδ’ άρα τό άπό της A πρός fol. 128 r τό άπό της ΗΘ | λόγον έχει, δν τετράγωνος άριθ-μός πρός τετράγωνον άριθμόν · άσύμμετρος άρα έστίν ή A τη ΗΘ μήκει- ούδετέρα άρα των ΖΗ, ΗΘ σύμ­ μετρός έστι τη A ρητή μήκει. ΤΩ ούν μεΐζόν έστι τό άπό της ΖΗ του άπό της ΗΘ, έστω τό άπό της Κ. Έ π εί ούν έστιν ώς δ Β Γ πρός τόν ΓΔ , ουτω τό άπό της ΖΗ πρός τό άπό της ΗΘ, άναστρέψαντι άρα έστίν ώς δ Β Γ πρός τόν Β Δ , ουτω τό άπό της ΖΗ πρός τό άπό της Κ · δ δε Γ Β πρός τόν Β Δ λόγον ούκ έχει, δν τετράγωνος άριθμός πρός τετράγωνον άριθμόν · ούδ’ άρα τό άπό της ΖΗ πρός τό άπό της Κ , λόγον έχει, δν τετράγωνος άριθμος πρός τετράγωνον άριθμόν · άσύμμετρος άρα έστίν ή ΖΗ τη Κ μήκει. Κ αί δύναται ή ΖΗ της ΗΘ μεΐζον τω άπό της Κ · ή ΖΗ άρα της ΗΘ μεΐζον δύναται τω άπό άσυμμέτρου έαυτή μήκει · καί ούδετέρα των ΖΗ, ΗΘ σύμμετρός έστι τη έκκειμένη ρητή μήκει, τη A · ή άρα ΖΘ άποτομή έστιν έκτη. Εΰρηται άρα έκτη άποτομή ή ΖΘ · οπερ έδει δεΐξαι. πρός τόν ΓΔ quod inter uncinos inclusit Tannery om. cod.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

g

10

15

20

25

30

Τ ^ ίΐέ άβ (τέοιηέίΓΐθ - οΐιβρρ. ΛΖ, ΛΗ , ΛΘ

271

ΛΗ Έστιν 1 άρα καί συντομώτερον δεΐξαι την εΰρεσιν των είρημένων έξ άποτομών. Καί δή έστω εύρεΐν τήν πρώτην.

Έκκείσθ-ω ή έκ δύο ονομάτων πρώτη,

5 ή ΑΓ, ής μεΐζον όνομα ή Α Β , καί τη Β Γ ίση κείσθω ή Β Δ · αί ΑΒ, Β Γ

Α __________________________________ Δ _______________ Β _______________ Γ

άρα τούτέστιν αί Α Β , Β Δ

ρηταί ζ ίσ ι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καί ή Α Β

της ΒΓ, τούτέστι της ΒΔ, μεΐζον δύναται τω άπό άσυμμέτρου έαυτη, καί ή Α Β σύμμετρός έστι τη έκκεμένη ρητη μήκει · άποτομή άρα πρώτη Ιστίν ή ΑΔ. 'Ομοίως δη καί τάς λοιπάς άποτομάς εύρήσομεν, έκθέμενοι τάς ίσαρί&10 μους έκ δύο ονομάτων, έκ μέν της δευτέρας τήν δευτέραν, καί έκ των έφεξής τάς άλλας· όπερ έδει δεΐξαι.

ΛΘ Προκείσθω ήμΐν δεΐξαι ότι έπί των τετραγώνων σχημάτων άσύμμετρός έστιν ή διάμετρος τη πλευρά μήκει.

©

15

Έ σ τω τετράγωνον τό Α Β Γ Δ , διάμετρος δέ αύτοϋ ή Α Γ · λέγω ότι ή Γ Α άσύμμετρός έστι τη Α Β μήκει.

1 Ο γ. ΕυουοΕ, ΕΙβτη ., 10, ad ρτορ. 90, νοί. 3, ρ. 400, 16.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

272

Quadrivium de Georges Pachymère Εΐ γάρ δυνατόν, έστω σύμμετρος· λέγω ότι συμβήσεται τόν αύτόν αριθμόν

άρτιον είναι καί περισσόν · φανερόν μέν οδν ότι τό άπό της Α Γ διπλάσιόν έστι ίοΐ.

128 »

του άπό της Α Β , καί έπεί σύμμετρός έστιν ή Γ Α τη Α Β , | ή Γ Α άρα προς τήν Α Β λόγον έχει, δν αριθμός πρός άριθμόν · έχέτω δν ό Ε Ζ προς τόν Η, καί έστωσαν οί ΕΖ, Η έλάχιστοι των τόν αύτόν λόγον έχόντων αύτοΐς · ούκ αρα μονάς έστιν ή ΕΖ.

5

Εΐ γάρ έστι μονάς ή Ε Ζ καί έχει λόγον πρός τόν Η,

δν έχει ή Α Γ πρός τήν Α Β , καί μείζων ή Α Γ της Α Β , μείζων αρα καί ή Ε Ζ μονάς του Η άριθμου · όπερ ατοπον. αρα.

Ούκ αρα μονάς έστιν ό ΕΖ, άριθμός

Καί έπεί έστιν ώς ή Γ Α πρός τήν Α Β , ούτως ό Ε Ζ πρός τόν Η, καί

ώς αρα τό άπό της Γ Α πρός τό άπό της Α Β , οότω τό άπό του Ε Ζ πρός το 10 άπό του Η.

Διπλάσιόν δέ τό άπό της Γ Α του άπό τής Α Β · διπλάσιόν άρα.

καί τό άπό του Ε Ζ πρός τό άπό του Η · άρτιον αρα έστι τό άπό του ΕΖ, ώστε καί αύτός ό Ε Ζ άρτιός, έστιν · εΐ γάρ ήν περισσός, καί ό άπ’ αύτοϋ τε­ τράγωνος περισσός ήν, έπειδήπερ έάν περισσοί άριθμοί όποσοιοϋν συντεθώσι, τό δέ πλήθος αύτών περισσόν ή, όλος περισσός έσται · ό Ε Ζ άρα άρτιός έστι. 15 Τετμήσθω δίχα κατά τό Θ καί έπεί οί ΕΖ, Η άριθμοί έλάχιστοι είσι των τόν αύτόν λόγον έχόντων αύτοΐς, πρώτοι πρός άλλήλους εΐσί.

Καί έστιν ό Ε Ζ

άρτιος· περισσός άρα έστιν ό Η · εΐ γάρ ήν άρτιος, τούς ΕΖ, Η δυάς έμέτρει - πας γάρ άρτιος έχει μέρος ήμισυ — πρώτους όντας πρός άλλήλους · όπερ έστιν άδύνατον · ούκ άρα άρτιός έστιν ό Η, περισσός άρα.

20

Καί έπεί διπλάσιων έστιν ό Ε Ζ του ΕΘ, τετραπλάσιος άρα ό άπό του Ε Ζ του άπό του ΕΘ · διπλάσιος δέ ό άπό τού Ε Ζ του άπό του Η · διπλάσιος άρα ό άπό του Η του άπό του ΘΕ · άρτιος άρα έστιν ό άπό τού Η ■ άρτιος άρα διά τά είρημένα ό Η · άλλά καί περισσός, όπερ έστιν άδύνατον· ούκ άρα σύμ­ μετρός έστιν ή Γ Α τή Α Β μήκει· άσύμμετρος άρα.

25

Μ

Εόρημένων δή μήκει άσυμμέτρων εύθειών, εύρίσκονται καί άλλα πλεΐστα μεγέθη έκ δύο διαστάσεων, λέγω δή επίπεδα άσύμμετρα άλλήλοις. ’Εάν γάρ των A, Β εύθειών μέσην άνάλογον λάβωμεν τήν Γ, έσται ώς foj.

129r

ή A πρός τήν Β, ούτως τό άπό τής A είδος πρός τό άπό τής Γ, τό δμοιον| 30 καί ομοίως άναγραφόμενον, εΐτε τετράγωνα εΐη τά άναγεγραμμένα, ε’ίτε έτερα εύθύγραμμα όμοια, εΐτε κύκλοι περί διαμέτρους τάς Α , Γ καί έπείπερ οί κύ-1 0

rexit.

10 Post άρα parva rasura in cod. του : της cod. 82 περί : παρά e corr. pro περί in cod.

21 ΕΘ : Η cod. quod Tannery cor-

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

273

Traite de Geometrie - chapp. ΛΘ, M

κλοι προς άλλήλους είσίν ώς τά από των διαμέτρων τετράγωνα· εΰρη,νται άρα επίπεδα χωρία άσύμμετρα άλλήλοις.

ΟΕ κύκλοι πρός άλλήλους είσίν ώ ς τά άπό τω ν διαμέτρων τετράγωνα. Τ ό έγγραφόμενον τ ω κύκλω τετράγωνον μεΐζον του ήμ'κυκλίου, έπειδή το περίγραφόμενον περί τόν κύκλον, διπλάσιου δν του έγγραφομένου τετραγώνου, μεΐζον του κύκλου έστί. Τ ο περιγεγραμμένον (e corr. in cod. p ro έπιγραμμένον. Π εριγραφάμενον T a n n e ry ), τετράγω νον διπλάσιάν έστι του έγγεγραμμένου, καί δήλον έκ τω ν διαιρέσεων τω ν τεσσάρων μικρών τετραγώ νων διά τω ν διαμέτρων αύτών, τή ς Γ Β , Γ Α , Α Ρ καί Ρ Β .

Δεδειγμένων δή και των έκ δύο διαστάσεων διαφόρων άσυμμέτρων χω­ ρίων, δείξομεν άπό τής των στερεών θεωρίας ώς έστι καί στερεά σύμμετρά 5 τε καί άσύμμετρα άλλήλοις. 2 Xu ora sup. cod. haec schemata habentur.

cx. IS

y

n

(i

y 3. 5

1

S

25

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

274

Quadrivium de Georges Pachymère Έάν γάρ έπί των Α , Β τετραγώνων ή των ίσων αύτοϊς εύθυγράμμων

άναστήσωμεν ισοϋψή στερεά παραλληλεπίπεδα ή πυραμίδας ή πρίσματα, εσται τά άνασταθέντα προς άλληλα ώς αί βάσεις · καί εί μέν σύμμετροί είσιν αί βάσεις, σύμμετρα έσται καί τά στερεά, εί δέ ασύμμετροι, ασύμμετρα. ’Αλλά μην καί δύο κύκλων δντων των Α, Β, έάν έπ’ αυτών ισοϋψείς κώ-

5

νους ή κυλίνδρους άναγράψωμεν, εσονται προς άλληλα ώς αί βάσεις, τούτέστιν ώς οί Α, Β κύκλοι· καί εί μέν σύμμετροί είσιν οί κύκλοι, σύμμετροι έ'σονται καί οί κώνοι άλλήλοις καί οί κύλινδροι · εί δε άσύμμετροι εΐεν οί κύκλοι, άσύμμετροι εσονται καί οί κώνοι καί οί κύλινδροι · καί φανερόν δτι ού μόνον επί γραμμών καί επιφανειών έστί σύμμετρά τε καί άσύμμετρα, άλλά καί έπί τών 10 στερεών σχημάτων. ΜΑ ίοΐ. 129 ν

| Πυραμίς1 έστι σχήμα στερεόν έπιπέδοις περιεχόμενον τέτρασι τριγώνοις άπό ένός επιπέδου προς ένί σημείω συνεστός.

Καί αυτή έστίν ή κυρίως πυραμίς, ήτις καί πρώτη τών στερεών σχη- 15 μάτων

έστίν, ώσπερ τό τρίγωνον πρώτον τών έπιπέδων σχημάτων · είσί

δέ καί άπό τετραγώνου βάσεως πυραμίδες, αί εχουσαι τέσσαρα τρίγωνα προς ένί σημείο), καί άπό πενταγώνου, καί έξαγώνου, αί έ'χουσαι τρίγωνα ισάριθμα προς ένί καί τώ αύτώ σημείω έκκορυφούμενα. 3 lu Ισοϋψή litt. Ισ e corr. in coti.

1 Cfr.

E

u c l id e

, E len i.,

14 συνεστός : συνεστώς cod.

11, déf., 12 à 28, voi. 4, p. 4. 16 à S, 7.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

ΤΓαΐίέ άβ Οβοιηέίπβ - οΐ^ρρ. Μ, ΜΑ

275

Πρίσμα δέ έστι σχήμα στερεόν έπιπέδοις καί αύτό περιεχόμενον, ών δύο τά άπεγαντίον Ισά τε καί δμοιά έστι καί παράλληλα, τα δέ λοιπά παραλλη­ λόγραμμα.

Σφαΐρά έστιν, δταν, ημικυκλίου μενούσης τής διαμέτρου, περιενεχθέν τό 5 ημικύκλιον εις τό αύτό πάλιν άποκατασταθή, δθεν ήρξατο^φέρεσθαι, τό περιληφθέν σχήμα.

’Ά ξω ν δέ τής σφαίρας έστίν ή μένουσα ευθεία περί ήν τό ήμικύκλιον στρέφεται. Κέντρον δέ τής σφαίρας έστι τό αύτό, δ καί του ημικυκλίου. 10

Διάμετρος τής σφαίρας έστίν εύθεΐα τις διά του κέντρου ήγμένη καί περατουμένη έφ’ έκάτερα μέρη ύπό τής έπιφανείας τής σφαίρας. Κώνος έστιν, δταν, ορθογωνίου τριγώνου μενούσης μιας πλευράς των περί τήν ορθήν γωνίαν, περιενεχθέν τό τρίγωνον εις τό αύτό πάλιν άποκατασταθή,

15 ή τή λοιπή τή περί τήν ορθήν περιφερομένη, ορθογώνιος έσται ό κώνος, έάν δέ έλά ττω ν, άμβλυγώνιος, έάν δέ μείζων, οξυγώνιος.

www.torrossa.com - For non-commercial use by authorised users only. License restrictions apply.

Quadrivium de Georges Pachymère

276

’Ά ξω ν δέ του κώνου έστίν ή μένουσα εύθεΐα, περί ήν τό τρίγωνον στρέφεται. Βάσις δέ ό κύκλος ό ύπό της περιφερομένης ευθείας γραφόμενος. Κύλινδρός έστιν, όταν, ορθογωνίου παραλληλογράμμου μενούσης μιας πλευράς περί την ορθήν γωνίαν, περιενεχθέν τό παραλληλόγραμμον είς τό αύτό πάλιν άποκατασταθή, δθεν ήρξατο φέρεσθαι, τό περιληφθέν σχήμα.

5

__________________ Β

I

____________________ |■Hippokrate