Exerciţii şi probleme de analiză matematică pentru clasele a XI-a şi a XII-a

Table of contents :
COPERTA
CUPRINS
Partea 1 - ENUNŢURILE PROBLEMELOR
Capitolul 1 - Inegalităţi. Funcţii
Capitolul 2 - Şiruri de numere reale
Capitolul 3 - Limite ale funcţiilor reale de o variabilă reală
Capitolul 4 - Continuitatea funcţiilor reale de o variabilă reală
Capitolul 5 - Derivabilitatea funcţiilor reale de o variabilă reală
Capitolul 6 - Aplicaţii ale derivatei în studiul funcţiilor reale de o variabilă reală
Capitolul 7 - Integrabilitatea funcţiilor reale de o variabilă reală. Integrale. Aplicaţii
Capitolul 8 - Probleme de sinteză
Capitolul 9 - Teme de Analiză Matematică pentru cercurile de elevi
Partea 2 - Soluţii. Indicaţii. Răspunsuri
Capitolul 1 - Inegalităţi. Funcţii
Capitolul 2 - Şiruri de numere reale
Capitolul 3 - Limite ale funcţiilor reale de o variabilă reală
Capitolul 4 - Continuitatea funcţiilor reale de o variabilă reală
Capitolul 5 - Derivabilitatea funcţiilor reale de o variabilă reală
Capitolul 6 - Aplicaţii ale derivatei în studiul funcţiilor reale de o variabilă reală
Capitolul 7 - Integrabilitatea funcţiilor reale de o variabilă reală. Integrale. Aplicaţii
Capitolul 8 - Probleme de sinteză
INDEX DE AUTORI
BIBLIOGRAFIE

Citation preview

D. M. BĂTINEŢU

I. V. l\IAFTEI

I. M. STANCU-M.INASIAN

lEXlERC~î~~ ~ .f>ROl83LIEMIE DlE •

AINAUZĂ MAîlEMAî~CĂ PENTRU CLASELE $1

AXl-a AX~~-a

~DITURA DIDACTICĂ ŞI PimAGOGICĂ, BUCUREŞTI - 1981

Referenţi:

Rt-idacţor:

Prof. dr. docent SOLOMON MARCUS dr. N. N. TEODORESCU Cercet;Hor SORIN POPA

Prof. Valentin Rq,Ju Tehnoredactor: Par(lbChiva Gaşpu Coperta: f{jcol,~ Ştrbrl,

ENUNŢURILE

PB~BLEMELOB

Capltohil J INEGALITlŢI. FUN(Yfll

1.1. hae11lltlti reJIUlff&bile 1.1.1. Inegalitatea mediilor. (V)n E N• şi (V)zi E B.l,, , __ "n ~$f·



1.2.20.• Dacă O < Zi ,s; ~2 ,s; ••• ·~

+

.t;i--i

.z;.

+ a:,,

;rl

~ ='-=. ;rl

Zn să

+~ + ... + ...::!!.. + .=i, Z1 :ln-1· :ln

se demonstreze că: .r1

a:a

(V)n E N• -

+ ~ + ... + 2

;Z:"3

{1}• 5

1,1.-. DW

„

?:li>

o,

r,;i,

f-

(1 +

atunci

+:!)9 >â

:

r

r

+ (1 + ;;" + ... + (1 +

:Z:1

i..2.a1.• Fie a, 1,, n E N* - {1}, unde a şi b sint bazele a două sisteme de numeraţie. Notăm cu An respectiv Bn numărul x~xn_1 ••• x 1 x 0 scris in. l>aza a respectiv b, unde xi, i E {O, 1, 2, ... , n} sint cifre în ambele baze şi unde Xn, Xn-i E N*. Notăm Ân-t respectiv Bn-t nmtuirele care se obţin din An respectiv Bn prin suprimarea cifrei Xn· Să se demonstreze că a> b dacă şi numai dacă An_ 1 Bn < AnBn-i· (Problemă propusă de D.M. Bătineţu şi dâtă la a XII-a 0.1.M., Budapesta, 1970). 1.2,28. Fie a baza unui sistem de numere scrise in baza a. (n - 1)An+1

>

a(n

+ 1)An-1•

Să

se demonstreze

Exerciţii

1.3. 1.3.1.

Să

rtumeraţie şi

privind

f(x + .!.J = x + 1-.

11.1 ... 111, n E N*,

:t:::

n cifre

oricare ar fi n E N * -

{1}

atunci

funcţiile şi inegalităţile

f :R

->

R astfel incit (V)x E R*

f: lt*

->

R astfel incit

funcţia

se determine

că

An

să

avem

2

Z

zS

1.3.2. Să se detern1ine ftirteţia:

r( ~-) = x + vr+ :t

2•

1.3.S. Să se determine funcţia f: [O, 1] -> R astfel incit f (sin2 :t) = co$2 x, 1,3.4, Să se determine funcţia f : J -> R, I C R, J interval care satisface 2 ) = x, (V)x E /. condiţia f + 1 ) + 2{

(xx-2

(xx+1 -

1.3.5. Să se arate că funcţia f: R -> R, f(x) = c12x + C24x satisface condiţia f(x + 2)- 6f(x + 1) + 8f(x) = O, C11 C2 E R, (V)x E R. 1.3.6. Să se arate că funcţia f : R -> ~ : f(x) -:-- 3x(c1 + C11x) satisfac~ cpiţ R, f(x) = C1 cos ax+ C2 sin ax, satisface condiţia f(x + 2) - 2f(x + 1) cos a + f(x) = O, (V)x E R. 1.3:s. Să se determine funcţia f: R '\_ {1} -+ R, care satisface condiţia: f(x) - f(x + 1) = f(x)f(x + 1). ·

+

1.3.9. Fie funcţia f : R "- {O, 1} •

X;

R, f(x) = -

1-. 1-:z:

Să se arate că (f of o f)(x) =

(V)x E B '\_{O, 1}.

1.3.10. Fie lj,(z)

-+

funcţiile:

f,

lj,: R

-+

R definite astfel: f(x)

2 • I xi < 2 • Să se determine funcţia f o lji. -1, l.tl > 2 1.3.11. Se dau fufieţiile: cp : R .... R+, q;(x) z 2, lj, : R Si se determine: q> cil cli, ci, o ci,, cp o cli, iJ, o rp.

=

{o, Ix! ~ 1 i, !xi> 1

= {a,Z -

=

-+

lt+,

·

qi(3')

·

= 2x.

fi

t.3.1!. Se dau funcţiile ip: R-+ {O, t, -tJ, q>(m) = 11gn :t şi lf,: B '.{O} -+ B qi(x) = .!. . 3J ' Să se determine funcţiile: cp o cp, q, o lf,, cp o q,, 1f, o cp. 1.3.13. Se consideră funcţia f : R se determine funcţia f o f o ... o f.

------

Să

-+

R de forma f(x) == az

+ b, (a -!: O, a, b E R)

n cm

fi

1.3.14. Fie funcţia f: R -+ B. Să se demonstreze că: : B -+ R, f1(aJ) ~ f(:») + f(-x), este pară fi (2 : B -+ B, 2

este

f8(~) _

f(.x) -

f(-x).

2

impară.

1.3.15. Fie fuMţia f: B.-+ 1, f(~) a funcţiei.

principală

1.3.16.* Se consideri nu este periodică. 1.3.17. Fie

funcţia

funcţia f: B ·

-+

== sin 2t1: + 2 ain 3:t.

f: B ... [-t, 1], f(z)

1:11:

{O, 1} dată de relaţia f(x)

Sli se determine perioada Să

sinxt.

se arate

={0,1' xE zE Q • B-Q

arate că orice număr raţional nenul este perioadă pentru funcţia

că

Să

f se

f.

1.3.18. Fie funcţiile f; E -+ E, g : E

-+ E, h : E -+ E. a) Dacă f este injectivă şi f o g = f o h atunci g = h•. h} Dacă f este injectivă şi g of= ho f, rezultă g = h?

1.3.19. Fie M o mulţime finită şi o fu11cţie f .: M -+ M. a) Să se arate eă dacă f injectivă, atunci feste surjectivă şi reciproc. h} Ce se poate afirma despre propoziţia a) atunci cind M este infinită? ·

este

1.3.20.* Fie funcţia f: R-+R al cărui grafic admite două axe de simetrie paralele cu axa Oy. Să se demonstreze că funcţia feste periodică. 1.3.21. Fie funcţiile f, g : A -+ A, (A c R, este o mulţime simetrică faţă de origine). Os.oă f e11te pară şi g imparil, ce se poate afirma din punet de vedere al parităţii

l,(i· -!- 1) •

(2k)2

IL=l

2.4.5. an=

2k + 1 4 6 an -_ l;n - --(2n + 1}....... n+ 1

•

1

i

1

n

2.4.7. an = 2 E

----. k=t k(k + 1) (/r + 2)

2.4.9. an

1 = .:-cos n .:n

3n

9 -

2.4.10.

--•

6n

2.4.8. an

+1

=

+ 1)

(/,·

+ 2)

3-h

i•2h

•

n

= ""' ~t

2.4.lo. an

=

211 - 1 211 •

k=1 k(/r

1

+ 1)

-2~• 3'&-1.

n

= k=t E ------, (xh + 1).(xh+l + 1)

2.4.16. an

n

2.4.17. tln

k+2

2k-1

,1

kJlO

.

""' 2 •4• 14• an -- '-'

E ------. 11=1 (2k + 1)(211+ + 1)

+

+ 1010.

+ 2)1

h=t (k

n

2.4.13• an

,

ln n10

,,

.,P.... 1,·9t,h .,P.... 2.4.11. ~ · - - - - . 2.4.12. ~ (/r

100

~1

>'

t;'o he=I

)n .nn ++ ;(--1I )n+l •

q

2

a;

E R~

•

n

= ~ 1 (6k -

1)3-k. 2.4.18. an

n

= ~t ln(1 -

/c-2).

.

n (1-8(3m + 2k+1>- ,(3m + 2k + 3t 2.4.20. an= nP n . ,unde pER.

2.4.19.. an=

1

1).

k=1

n

kD- 1

k=t k·+ k- 6

2.4.21. ·a.~ 2.4.23.* an=

ti (v + :g _ 1

t;t k(Vk~+k-k)n

2.4.20. an

1). 2.4.22.

1

= E y· .__ . k=2 1 nk+1+1

1•

07i

2;4.24.* an=

=

Vt

1

t.1 (~ n

2.4.26. an

= n-1 E

k=i

k-1• 1

kirp·, unde pEN*-f1}.

V(n 2 + k ·

+ ktl,

114 a+bVn~-1+ctln+2 ..;; •• 27. an== n ln ---'--'-_-__ __ undo a, b, .c E R+.

a+ bVn+2 +cVn+3

13

Et!iV

+ ki + tlj

n

1----2.4.28.* an= n ln.-i1•~--..

E aii/n +hi+ a, i =t

2.4.29. an = ln

2.4.30. an

~ - , p, r E R+

~ - - ln

lr°nk+IP

-)p--. ln

= -(--·v_1._1 1+

ş1

a+

b(1 + /-r a

+b

n

'

p, q E N*, a, b > O.

-1

~

n

2.4.31.* an=n 2(n+vx - n+ţl"x), x E R+, ·m, k E N, k 2.4.32. * a11 = 2n • O)

2.4.33.

k, q E N* - {1}.

l,Ynq+r

< m, n E N* - {1}.

V2 - 1/2 -i- \/2 + ... + V2 + 1/ 3 , numărul.. radicalil0r fiind n. ~)

.,

= --- · - . --=------- · . i/ 2 V 2 + i/ t V2 + !' :.i +i/1

,j

ll 71

-

-

2+V2+ ... +v2

, număru]

radicalilor fiind n.

~2 ~ V '

+ ·· >- V.'_ 2 + !/2+ ... +v:!

B.4.34. a,. , 2• •

2.4.35. an

= --=, ------, V 2

-"

,,

...

2

ln cos!!..

ln ln (e +sin.::)

n , (k, p lu.,cos f..

> 0). 2.4.39.* an= . ( . . ;) , ln ln e

n

,.,,.

o"Stl'.&Vo

,n radicali.

-l-

2

1.4.88. a,.....

I - ,t

.

2

V 2 + V:i ~ + V 2 v' '.\ V2 ..... V :: + .. - + V :i a,. = (cos .!: + k • sin :!..)n; k ':/= O. 2.4.37. a7l =(sin~~ + cos _.'.!..:.....::..}n. · n n 6n + 1 3n + 1 V3

2.4.36.

, numărul radicalilor fiind n.

+k

2

cz, ~

> O.

h.

I t n + k1 n D g n + k, • 4 ------"- , n + k1 51t I n tg -,---.h

+ sm -

1..

"1.,

k

2

> O.

2 4 41 ~

o

.

o

ll,i

, {kii)' = ~n.. sin - - • ==t n'

4

= .!. •f.. tg2 ka • 2.4.43. a,i = ! , f.. cos (2/r + 1 )?t. n fi='t n fi=1 4n an -_ sin 1_+ sin 2_+ ••• + si~ • 2.4.45. an == [na].

1.4.42. an

fi

n 444 • •

Q.

n1 + n

+2 n. 4 46 ___ [a]+ [2a] + ... + [na] la• • • an ;;....;;..---''-----''----~ • ,,2 _ 2447 .. . an-

n8

+1

n1

[1·2-3•a]+[2·3·4·nl+ ... +rn,/n +1lfn+2)a] . 4 • n

2.4.48.* Fie (x71 )n;.. 1, (Yn)n;..t, (z,i} 71 ~

1

E n~co

Să se demonstreze că dacă liro

11.=1

şiruri

de numere reale strict pozitive. n

n

14

h

1 X1&YkZ1&

-

= O atunci lim ~ · >' n~.., n fi;;:;;'1

(x1i+ Y1+ .Zk)~ = •·

2.6. Rezolvarea unor probleme de Dacă

2.5.1. a) rezultă

suma a

do1iă şiruri

şiruri

de numere reale estP Uil

şir

convergent, atunci

eil şirurile sint co~vergrntP? b) Analog pentru produs.

2.5.2. * Fie (an)neN un şir de numere reale. a) Dacă Iim(an+P - an) = O, (V) pEN rezultă

că şirul

(an)neN este convergent?

11_..,ao

b) Dacă Jim

an+p

n_..,a:,

nn

= 1,

(V) p E N rezultă că şirul (an)neN este convergent?

2.5.3. Să se arate că oricare ar fi i:t E R; există două şjruri (an)neN (b11 )neN astfel tncit: 1) lim an = + oo, 2) Jim bn = + oo, 3) lim(lin - bn) = «. 71 ..... 00

bn

2.o.4. * Să se arate că oricare ar fi « E R, O oricare ar fi n E N astfel incit:

există două şiruri

(an)neN, (bn)neN,

::f

1) Jim a11 11....,ix,

=O,

2) liin bn n_..,oo

= O,

3) li:m

llft n....,011 br,.

:i=!

o:,

2.5.3. Să s~ arate că există două şiruri (an)neN, a11 > O, (V) ai!itfel lnctt: 1) Jim an = 1, Jim bn = oo şi şirul a~n nu are limită.

n E N ~i

(h" ).,eN

+

2.o.6. Fie (a.n)neN un şir de numere reale. a) Dacă (a~n),,e~ este con,;fll'~eni rezultă că (an)ne~ este convergent? b) Dar· dacă (a~n+P)neN, (V) pE.N este convergent rBzultă cil ş1rul (an) este convergent? 2.5.7,* Şirul (an)neN satisface condiţiile: 1), n (lln+1 - an ) -+ O' ·2) ci1 + as + ... + an -+ O• . n

a) Există şiruri divergento care îndeplinesc condiţia 1)? b) Există şiruri divergente care îndeplinesc condiţia 2)? 2.5.8. Să se arate că şirul (tZn)neN, an vergent.

I 1 = a+1 -.-1 + ---+ ... + ~ es-te :1+1 3n+1--2

con„

2.o.9. Se consideră şirul (xn)neN definit in modul următor: 1

1

1' 2, 3. a) Să b) Să

i;e

11,1

2

1

3 •

1

:J

5, 4, 7.

'• f, ' ....

dAtermine forma termenului general al st.ndi„ze convergenţ.a.

şir_ului.

2,6.10. Se consideră şiru.J (xn)neN definit astfel: 1

1

3

1

7

2' 2' 4' ,.-, B'

1

s' ···

a) Să se determine forma termenului general,

b)

Să

se studieze

convergenţa.

,

16

I-.

.n par

1,

=

Zn

1

n impar.

n

Să se studieze convergenţa şirurilor: 2.6.12. Se consideră Birul (xn)neN•, • Să

se arate

că· şirul

Xn

se arate

că şirul

(Xn)neN• nu are

!:. l" • F" 2.u. ":to 18 8irul {lZn )neN•, an

•

Să

se arate

că

.

(xn - Yn), ( ;: ) •

= 1 + ~lt + 1,23 + ~ + ... + ~4a 4n-1

(xn)neN este monoton

2.o.13. Se Consideră şirul (Xn)neN•, Xn Să

+ Yn),

(xn • Yn), (xn

şi mărginit.

= _:.n_ _

2 n

+ 3n + ... + (-1r-l • !:._. n

limită.

2 + 3 --. .- + ··· + -----n = -13 + -3•5 3•5•7 3 • 5 • 7 ... (2n. + 1) şi să

(an)neN• este convergent

i se calculeze limita.

= log 1 ·k

2.6.lo. Fie şirul cu termenul ele rangul k, ak

21.·

3 ...L.

'

-(k 2

+ 1)

,

k

3

= 1,2, ... , n

şi şirul

n

(bn)neN•, bn 8ă Să

a) b)

=];

ak•

ee arate că şirul (bn)neN• este strict se calculeze lim bn.

crescător şi mărginit.

2.6.16.* Fie şirul (bn)ne N• ou termenul general an= -

1-

Ol--j-11

1+ -11+21 +... + -1 - . (n--1)!+nl

a) Să se s~rie termenul general an într-o formă mai simplă. b) Să se arate că şirul (an)neN• este convergent.

2.5.17. Se Să Să

a) h)

se calculeze limita se caJculeze limita

C) !:. 18 ... u. •

.

consideră şirul

(an)neN, an ..:....

'5' logs (t -

r='2

1

J.

2

k(k

+ 1)'

şirului (an)neN•· şirului (n • ln an)ne N••

F'10 şiru . l an =, { (a ..+

n)!

ni na

.·1n ,

~ a E· .n.

n) Să se calculeze limita şirulu·i (an)ne:N· h) Dacă ·notăm.f(a} = Jim a11 , să se demonstreze că f(1)f(2) ... f(a)

=

(ţ"f(a)f.,._2 •

71-)-?')

.

J)f)

•

•

•

~ Jr2

_J_

3k

+ 1.

nn

(b 11 )nEN: an= n - L...I -.-.-----, bn = a1• . he·,! k• ·:·· 3lc-(- 2 i~( a} Să se arate că cele două şiruri sint convergente şi să se determine limitele lor, care le notăm_respectiv a şi b. Se va prer.iza dacă ele sînt monoton crescătoare sau

2.5.19. Se dau

şirurile

descrescătoare. b) Să se găsească

(a 71 )neN ·

ŞI

termenul a 11 începînd de la care avem ] an --- a , ~ 0,01. se afle vecinătatea lui b în care să fie c.uprinşi toţ,i termenii şirului (bn )ne:,O, cu excepţia primilor trei. · c)

16

Să

!.6.20. Sl -.. c,Iculeze limita tirului de termen geaeral:-. ·

+ _!_crn) n

Un= (1

11

'E

= k,..d

unde cr11

,

·

1 (21.· -

+

·1) (2/c

1)

-.

2.o.21.* Se consideră şirul dat do termenul general a11 = V -'- V n v;;· · 1 , 2+ ... + n Pentl'u fiecare k nat'ural se consideră şirul de termen general: I n.

b(h) _

[Îi+ V:!+ ;.. + V k

n -

- 1

+ (n -

'

h

+ 1) V 1r. •

u) Să se arate că pentru orice k ~ n avem a11 ,i;; b~1l. b) }'olosind definiţ-ia limitei să se arate că şirul (a11 )n;,,. 1 are

2.o.22, Fie a, r E R~.

n

şi

an = a -1- (n - 1)r, (V) n E N'\

limită.

Să

se calculeze lim Xn,

2n -L 1

unde

Xn

=

(V) n E N*.

l½n+k • k=1 a2n+2k-2

construieşte şirul (a11 )11EN• astfel: a1 , a2 , a3 sînt in progresie·' geome· a 2 , a 3 , a4 in progresie aritmetică, a 3 , a4, a5 in progresie geometrică şi aşa mai departe: Să se calculeze termenul general al şirului în funcţ.ie de a1, a2 şi n.

2.5.23. Se

trică,

I

şi şirul (X11 )nE~·

2~o.24.* Fie x1, rER+

Se consideră şirul (pn)nEN• cu Yn

cu

Xn

n

= x1 + (n - 1)r, (V)-nEN* - {1}.

Ilxi, (V) n E N*.

=

Să se calculeze lim ( 11 +tf Yn+1t. - n+mif Yn+m) unde k, m E N, k 11-l>O'l

> m şi

.

n E N* - {1}. 2,o,26. Fie a()., n)

k

n

= ~ - - - - - , ,. E N. t='1

(

k

(le+ 1,) i ~ i

)

1) Să se studieze monotonia şirurilor a(2, n} şi a(3, n), 2) să se calculeze lim a(2, n) şi lim a(3, n ). n-+co

n-+oo

2,5,26. Se consideră şh'ul (u11 )neN•, Să

Un

se calculeze lim u11 •

= (1 + (-n1}n)oi\

unde

«n= .

sm r.

;

1+n:11

•

·

n-+co

(nP

C) I!!. 2" +1 .,..u. , • gwa se calcuIeze 1·1m - -

n->o:>

2.6.ţ28. Să

=

(1

nq -

se calculeze limita

+ a·+ a ){i +a~+ a

6 ) •••

2

1

)rn-- V ~ , p, q,

şirului (x11 )nEN*

(1 +a~n + a2·3n).

r E"N*.

dat de· termenul general.

:Cn -

2,o.29*. Fie {an I a,. > O}neN•, {hn I bn > O}neN•, {cn I Cn > O}neN• şiruri ou n

E

propri~liţile: 1) lim .!!:. = O; 2) există lim i=t n

n.+co bn

n-+oo

[a~J

=

a E B.

Dacă _a: E B, al H

"•

B [afixl

-.

calculue lim

i=i

,

unde [a] este partea·kltreegl alai•·

2.o.30,* Fie rER.~,, Zr = {ar I a E Z} şi [Jr: R-+ Zr unde [x1, . R ~ rr(x _!_ 2h)] Pentru orice x E să se calculeze D(x) = ,!,i~ 2 ~~1~ r •

~ x = 11

pentru orice

Să se cafoufozp. Urnit.a şirului cu

j~cn111i- 1 J

'

X•

,.

p

termenul general bn

= ln- 1-n . B a!JF, n ~ 2. i~d

2.o.36. * Fie P E R[ X] un polinom intervahtlui [a, b].

2.o.37. Se

~

Să se arate

n că dacă {Yn)neN 1~=1 Xi

2.6.38.

*

n

He.~ bi

i

x 1 < x 2 < ...
O pentru care: Xn+-1 ~ · , ··. , ,. J

oricare ar fi n

natural. Notăm

an .

=

x1

+x

2 -'.- · • •

n

+ :t

11 •

se arate că şirul (an) este monoton. se 11rate cd an -+ O. 2.6.39.* Se consideră următoarele proprietăţ.i ce le poate avea un a)

b pwicte ale

Să

b) Să

reale (a11)11ţ;N•: (P1 J,

_ liro n(an+i - an)

(P2), lim n-+OO

a1

=

. . a(a f1mt).

+ a. + ... + an = 2

J8

de numere

•

b (b finit).

11,

(Pa), (an)n;;~t este convergent. Să se arate că: 1) P1 nu implică P 3 ; 2) P 2 nu implică P 3 ; 3) P 1

şir

şi

P2

implică

P 3•

1.6.40.* Fie 9irul de numere reale (zn)neiii• astfel hiolt: Jim • se demonstreze că 11m

Să

a)

+ + •••+ Xn = o. -=-----------X1

n-+oo

3

n-+oo ·

f + -~ + ··.· + ~ =0. n

X2

n

b) Reciproca este adevărată?

.'

2.5.41. Se consideră sirul (an),, ,1, an= .l.. C!L. • "" 22n "'" a) Să se arate că (an)n;;~1 este monoton şi mărginit. b) Să i se calculeze limita.

2.o.42.

Dacă

(xn)neN• este un şir convergent de numere reale. Să se calculez&

n

lim

n

(Xn.+i -

n-+oo i=1

z,).

2.5.43. Fiind dat Jim

Xn (

n-+CO

şirul (xn)n.;;;i,()

1) -1 +E!...;- • n

XmX11 ~ Xm

cu

+

Xn,

(V) m, nEN,

Să

se calculeze

·

i=2

&J

2.5.44.* Să se demonstreze că oricare ar fi aE (0, +oo) şi oricare ar fi şirul (xn)neN• + Xn) o • f" strict crescator ş1 nemărgm1't cu x 0 > o . at unei. )"1m -ln(a - J ~ = , or1ca.re ar 1 •

w

•

•

:cn

n-iJ'GO

k E N*. 2.5.45. * Să se demonstreze că există un singur şir . de numere reale (,'f12 )72EN•, (Xn > O) cu proprietatea. Xn(1 + ln Xn) = n ori1Jare· ar· fi n E N*. Pentru sirul de mai sus să se demonstreze că Jim ~~ = 1. •

n-+-co

n.

2.5.46. Fie (an)neN• un şir de numere reale, strict crescător şi nemărginit cu a 1 ;;;i: 1. Să se demonstreze că există un singur şir de numere reale (xn)neN• astfel incit Xn(1 + 1n Xn) = an oricare ar fi n E :N *. Pentru şirul de mai sus să se demonstreze că lim Xn ln an =1. n-+co

2.6. ·şiruri

date ·pi'bi

ielaţii

an

de· recurenţi

2.6.1. Să se studieze convergenţa şirului (anln.>t dat prin an (V)n.;;,,, 2.

V2 + \;2: + ... + }Y2, definit astfel: tzi= .!. }Y3, ti = ~ + 1. L1/3, ... ' V

2.6.2. Să se studieze convergenţa radicalilor fiind n.

numărul

2.6.3. Se consideră şirul (an)n~t t1n

v

== ,V, 2s~ + 3

leze Jimita. 2.6.4.

Să

3 2a

lln+11

(tin)n~t, an=

2

studieze

88

şirurile

nan + 1 = --"'--t un şir de numere reale astfel tnc1t a.n E (-1, 0), (V)n ~ 1 = a E (-1, O]. Să se demonstreze că şirul de numere reale (xn)n.a,i n.--;....

şi există lim a71 Q)

.. .

este convergent -

şirul

2.6.46. Să ·se demonstreze câ şirul este periodic.

!.1. Să

Şiruri

..

+ anXn)n~ 1 este convergent. (xn)nes cu Xn+a + Xn = Vix,u (V)n E N

de numere reale (Xn+1

şi

eare se studiazi eu ajutorul teoremelor Cesaro-Stolz D'Alembert

se calculeze limitele

şirurilor

Cauchy•

cu termenul general :

1..l.._1_..l..

"l· a,. _1+V2+Va+ ... +lÎn 2...... - -------'------.

'

.... 7.2.

nVn

+-1-

v2 · ··· v-;:; an=------------

Q.

n

- 1+28 V2+a9 e,'3+ ... +n9 v';:;: '>""4 _lnn~lnnl„ 273 ••• 4n ( ..l.. 1') l(l - ; '- ..."), . . -·· •• an n.n nn 1

+ + + ... + --- . ...... • - -----------nm m.+

2 7 I!!. 0

•

~

tm

-

2m

nm

3m

n

1

tm + 3m +5m + ... + (2n - t)m 2771n 7 G an. -_ - - - - - -nm- - - - - - - -m+1·

.a• • •

2.7.7. 4n n

1 n aVk+b = -nf:icVk+d ~ - , a,

h, c, d

>0.

\

7 8. a - .!. ~n Go v;; + a1 Vk+t

.;;;. •

•

ia -

+ ... + Qi Vk+i -u. v;; + b1 Vk + 1 + ... + bi Vk + i 8

nP

"

8

--

r, se N, r, s ~ 2).____

.V

2.7.9. an= ·

·

nn

+1

. ·,e, 2.7.10. an=

= n+V(n + 1.)1-!Yn.f.

2.7.11.• Ln

:,,

n+V(n+t)I ţi nl

Să se calculeze lim ..! ( ~ + ~ + ... +

+ a1

1

+ ag

2.7.13."' Fie Xi, r E B+ şi (xn)n;..1 ou (Yn)neN• este un şir astfel încît Yn

lim (n+~ -

·

3Jn

=

n

')' a,1

calculeze li.m , t=! 24

1

' ' ••. '

.

i,

1

an

= O.

)•

+ ¾'

=Xi+ (n - 1)r, (V)n E N• - {1}.

1J xi, n

(V)n E N*,

să

se calculeze

?YYn)•

2.7.H. Se coo.sideră firul (un)nEY unde

n->-•

• - o·

J-

(Şirul lui Traian Lakscu.) n->-O'J

Dacă

> o'

·

2.1.12. Fie {an)~t un şir de numere pozitive, cu lim an n->-O'J n 1

J

.

tg--.-· 2n

(a· h·

-- '

lo a.

•

lin-=

a + {n - 1.)r, a, r > O.

Să se

2.7.lo. Se consideră şirurile (x11 )neN, (Yn.)n~:s ~u Xn, Yn E R*, (V)n E N astfel tnctt (Yn)ne:s este strict mon