99 вариантов доказательства [1 ed.] 9785937002433

Citation preview

Филип Ординг

99 вариантов доказательства

Philip Ording

99 Variations on a Proof

Princeton University Press Princeton and Oxford

Филип Ординг

99 вариантов доказательства

Москва, 2024

УДК 51 ББК 22.1 О65

Ординг Ф. О65 99 вариантов доказательства / пер. с англ. А. А. Слинкина. – М.: ДМК Пресс, 2023. – 270 с.: ил.  ISBN 978-5-93700-243-3 Эта книга предлагает взглянуть на математику с разных сторон, ознакомившись с 99 различными доказательствами одной и той же теоремы разными стилями – разными с точки зрения исторического контекста, уровня формализации и богатства воображения. Вы встретите средневековую, топологическую, стихотворную, хроматическую, электростатическую и психоделическую вариации; обнаружите неожиданные связи самых разных областей человеческого духа: от мистицизма до технологии и от архитектуры до языка жестов. Вне зависимости от уровня подготовки читатель откроет в этих доказательствах и сопровождающих их комментариях новые удивительные черты математического ландшафта.

УДК  51 ББК  22.1

All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage and retrieval system, without permission in writing from the Publisher. Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в  какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав.

ISBN 978-0-691-15883-9 (англ.) ISBN 978-5-93700-243-3 (рус.)

Copyright © 2019 by Philip Ording © Перевод, оформление, издание, ДМК Пресс, 2023

Посвящается Александре, которая никогда не говорит «это невозможно»

Содержание 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Опущенное От издательства 11 15 Предисловие 12

Элементарное 23

Головоломка 25

В два столбца 19 Аксиоматическое 27

Иллюстрированное 21 Обретенное 31

Считающееся известным 33

9

Моносиллабическоеi 35

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

Циркулем и линейкой 41 Древнее 49 Дефинитивное 57 Еще одна симметрия 67 В виде блок-схемы 79

6

Однострочное 17

Еще один контрпример 87

Приведение к противоречию 43 Интерпретация 51 На доске 61 Открытое коллективное 71 Модель 81

Методами дифферен­циального исчисления 89

Без слов 37

От противного 45

С отступами 53 С подстановкой 63 Акустическое 75

Полученное по формуле 83 Средневековое 91

На экзамене 39

Матричное 47

Жаргонное 55 Симметрия 65 Алгоритмическое 77

Контрпример 85

Сверстанное 93

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

Социальные сети 97 По индукции 105 Опущенное с высокомерным снисхождением 119 С помощью компьютера 127 Античное 135 Постфиксное 147

Геометрическое 155

Научный семинар 165

Текстовая задача 173

Препринт 99 Новость 107 Вербальное 121

Взгляд постороннего 129 Заметки на полях 139 На калькуляторе 149

Современное 157

За чаем 167

Статистическое 175

Бессоюзное 101 Аналитическое 109 Остроумное 123

Хроматическое 131

Древовидное 143 Парадокс изобретателя 151 Аксонометрическое 159

Размахивание руками 169 Еще одно средневековое 177

Содержание

Оригами 103 Сценарий 111 Хитроумное 125

Топологическое 133

Префиксное 145 В форме патента 153

На обороте конверта 163 Приближенное 171

Из блога 181

7

Содержание

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

Переведенное 185

Экспериментальное 197

Параноидальное 205 Табличное 213

Диалог 223

Отзыв на статью 233

Электро­статическое 241 Послесловие 249 Благодарности 250 Сноски 252 Источники 259 Предметный указатель 266 8

Еще одно переведенное 187 Методом Монте-Карло 199 Скверностишие 207 Полный перебор 215

Внутренний монолог 227 Неологизм 235

Психоделическое 243

Еще одна интерпретация 189 Вероятностное 201

Противоречие 209 Еще одна подстановка 217 От конца к началу 229

Со ссылкой на авторитет 237 Не расслышал 245

На логарифми­ ческой линейке 195 Интуиционистское 203

Переписка 211 Механическое 221

Мистическое 231

От первого лица 239

В качестве упражнения 247

От издательства

Отзывы и пожелания Мы всегда рады отзывам наших читателей. Расскажите нам, что вы ду­маете об этой книге – что понравилось или, может быть, не понравилось. Отзывы важны для нас, чтобы выпускать книги, которые будут для вас максимально полезны. Вы можете написать отзыв на нашем сайте www.dmkpress.com, зайдя на страницу книги и оставив комментарий в разделе «Отзывы и рецензии». Также можно послать письмо главному редактору по адресу [email protected]; при этом укажите название книги в теме письма. Если вы являетесь экспертом в какой-либо области и заинтересованы в написании новой книги, заполните форму на нашем сайте по адресу http://dmkpress.com/ authors/publish_book/ или напишите в издательство по адресу [email protected].

Список опечаток Хотя мы приняли все возможные меры для того, чтобы обеспечить высокое качество наших текстов, ошибки все равно случаются. Если вы найдете ошибку в одной из наших книг, мы будем очень благодарны, если вы сообщите о ней главному редактору по адресу [email protected]. Сделав это, вы избавите других читателей от недопонимания и поможете нам улучшить последующие издания этой книги.

Нарушение авторских прав Пиратство в интернете по-прежнему остается насущной проблемой. Издательство «ДМК Пресс» очень серьезно относится к вопросам защиты авторских прав и лицензирования. Если вы столкнетесь в интернете с незаконной публикацией какой-либо из наших книг, пожалуйста, пришлите нам ссылку на интернет-ресурс, чтобы мы могли применить санкции. Ссылку на подозрительные материалы можно прислать по адресу элект­ронной почты [email protected]. Мы высоко ценим любую помощь по защите наших авторов, благодаря которой мы можем предоставлять вам качественные материалы.

Предисловие 19 апреля 1610 года, получив сигнальный экземпляр «Звездного вестника» Галилея, Иоганн Кеплер написал письмо от почитателя. «Наверное, может показаться, что я  тороплюсь согласиться с  Вашими утверждениями так безоговорочно, не имея для того оснований в  собственном опыте, – писал Кеп­лер Галилею. – Но с какой стати я не должен доверять самому ученому математику, стиль которого уже свидетельствует об основательности его суждений?»1 Сегодня нам непривычно говорить о работе математика в терминах стиля. Доказательство – это форма рассуждения, но истинность доказываемой теоремы вряд ли зависит от риторических изысков, не говоря уже о стилистических особенностях. Накопленная веками мудрость убеждает нас, что у математики, универсального языка науки, есть только один стиль – математический, – который характеризуется символической нотацией, абст­ракцией и логической строгостью2. Цель этой книги – поставить под сомнение такое понимание математики. Хотя вера в  универсальность и  единство ars mathematica не лишена оснований, стоит на минутку задуматься, как возникает целый ряд важных вопросов. Откуда берет начало «правильный» математический стиль? Как он развивался по мере накопления математических знаний? Какие возможности он открывает или, наоборот, исключает? Как его потенциал эволюционировал вместе с изменениями в форме написания, а стало быть, и чтения математических работ? Каковы его выразительные, познавательные и образные возможности? Эти вопросы, по существу, относятся к математической литературе. Представить обзор этой литературы – огромного материала, тематически простирающегося от алгебры до геометрии, от теории чисел до физики, от логики до статистики, а по времени от вавилонских глиняных табличек бронзового века до современных рецензируемых журналов и  электронных препринтов, – очевидно невозможно в  книге такого объема. Вместо этого я  опишу одно сечение математики, вдохновляясь эссе Раймона Кено «Упражнения в стиле»i. В этой литературной работе, написанной в 1947 го­ду, одна и та же история – странного человека, которого мы впервые наблюдаем спорящим в автобусе, а затем в беседе с приятелем о положении пуговицы на пиджаке, – изложена девяносто девятью разными способами. Стилистические экзерсисы Кено дают примеры различных форм прозы, поэзии и разговорной речи, но встречаются и более интересные изыски, например «Ономатопея», «Вульгарное» и «Перекрестные перемещения групп букв». Кено был не только автором и  поэтом, но и  математиком-любителем и  вместе с  историком математики Франсуа ле Лионнезом основал экспериментальную группу писате10

i

Раймон Кено. Упражнения в стиле / пер. М. Голованивской. М.: Има-пресс, 1992.

лей под названием Oulipo. Название группы, состоящей в основном из пишущих по-французски, – акроним от Ouvroir de Litérature Potentielle (Мастерская потенциальной литературы). В ней состояли писатели, художники и математики, в т. ч. Жорж Перек, Итало Кальвино, Марсель Дюшан, Жак Рубо, Клод Берже и Мишель Оден. Провозглашенная цель группы  – исследовать возможности литературы, вытекающие из вдохновленных математикой правил и  ограничений3. Узнав об Oulipo и книге Кено, я захотел посмотреть, как ограничения на письменное изложение могли бы отразиться на математическом повествовании – доказательстве. Темой книги «99 вариаций доказательства» я  выбрал кубическое уравнение, и  в  каждой главе доказывается одна и  та же несложная  – кто-то даже скажет, тривиальная, – теорема о его решениях. Многие доказательства, от 16 «Древнее» до 61 «Современное», берут начало в математической литературе по кубическим уравнениям. В некоторых случаях это не потребовало никакой обработки с моей стороны; самый разительный пример – доказательство 7 «Обретенное», которое я нашел в уже готовом виде на странице самого известного трактата по математике эпохи Возрождения. Но чаще вариации требовали значительного объема интерпретации и придумывания. Иногда это было связано с тем, что стиль зародился в области, далекой от кубических уравнений, как в случае 6 «Аксиоматическое» или основанного на физике доказательства 96 «Электростатическое». Еще больше усилий потребовалось для перевода на язык математики стилей, с математикой вообще не связанных, как, например, музыкальная партитура в доказательстве 26 «Акустическое» и архитектурное доказательство 62 «Аксонометрическое». Некоторые доказательства удовлетворяют конкретному стандарту строгости, другие не отвечают современным стандартам, а  есть и  такие, перед которыми ставились совершенно иные цели. Все вариации, за немногими исключениями, умещаются на одной странице, а их краткое обсуждение находится на обороте этой страницы. Вспомогательный текст включает подробные объяснения, сведения об источниках и мои замечания о природе и значимости каждого стиля. Перекрестные ссылки на связанные ва­ риа­ции приглашают читателя отойти от выбранного мной, исходя из собственных соображений, порядка глав, и читать книгу, как ему удобно. Это не математический трактат по кубическим уравнениям, да и сам выбор конкретного уравнения был сделан почти произвольно. Несмотря на исторические аллюзии, на которые намекают названия глав, это не книга4 по истории математики. Хотя онтологический характер содержания и стиля может стать предметом спора, это все же не философская работа. Это книга о математике, ее отношении к миру, ее нормам, воззрениям и практикам – короче говоря, о ее культуре. Существуют и  другие сопоставимые исследования математического доказательства, в которых связь между формой и содержанием рассматривается разными способами. В 1938 году некто H. Pétard опубликовал работу «К математической теории охоты», в которой предложил 38 приложений современной математики

11

Предисловие

12

и физики к задаче о поимке льва5. Во время написания этой книги появились еще две математические вариации на тему «Упражнений» Кено: Ludmila Duchêne, Agnès Leblanc «Rationnel mon Q» и  John McCleary «Exercises in (Mathematical) Style». Между этими книгами по необходимости имеется некоторое перекрытие, но удивительно то, насколько сильно исследования стиля могут сами отличаться по стилю. Это само по себе подтверждает истинность основного посыла оригинала Кено. Что отличало стиль самого ученого математика, Галилея? Согласно Итало Кальвино, «для него хорошее мышление означало быстроту, гибкость рассуждений, экономию аргументов, но также использование образных примеров»6. Этот член Oulipo находит самое яркое проявление галилеева стиля в следущем пассаже из книги Галилея «Пробирных дел мастер»i, вышедшей в 1623 году: критикуя стремление своего оппонента опираться на авторитеты в своей аргументации, Галилей утверждает: «но беседа сродни охоте на зайца, а не перевозке грузов, а один берберийский скакун обгонит сотню фризских тяжеловозов»7. Кальвино называет это галилеевским «исповеданием веры – стиль как метод мышления и как признак литературного вкуса»8. Это то кредо, которому я старался следовать. На протяжении всего этого проекта я руководствовался одним желанием: попытаться представить математику как литературную или эстетическую среду. Хватает свидетельств в  пользу того, что профессиональные математики описывают свою работу в  эстетических терминах, но терминология, которой они пользуются, по крайней мере публично, сильно ограничена. Часто повторяемые слова «красота» и  «элегантность», возможно, и  являются важными составными час­тями математического вкуса, но не передают его широту, утонченность и связи с литературным и эстетическим опытом за пределами математики9. Девяносто девять (или, если вы согласны принять опущенное доказательство за таковое, то ровно сто) доказательств служат одной цели – продемонстрировать существенные различия в  логике, манере выражения мыслей, выборе образного ряда и  даже типографского шрифта – всего того, что придает характерный вкус и аромат математике10. Я надеюсь, что читатели, не имеющие или почти не имеющие каких-то предрасположений к обсуждаемому предмету, начнут воспринимать эти стилис­ тические различия, просто просматривая пример по диагонали, задерживаясь на тех, что затронули – или оскорбили – их чувства, и с легким сердцем оставляя позади те, что оставили их равнодушными. Читатель, склонный к  углублению в предмет, возможно, заметит, что сама книга представляет собой математическую игру. В любом случае, если, пройдя через руки читателя, математика станет более яркой, значит, книга достигла своей цели.

i

Галилео Галилей. Пробирных дел мастер. М.: Наука, 1987.

Теорема. Если x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2, то x = 1 или x = 4. Доказательство. Опущено.



0

Опущенное

13

Опущенное

14

К чему вообще доказательство? Авторы часто опускают доказательство по разным причинам, в т. ч. из соображений эстетики. В стандартном вузовском учебнике по общей алгебре мы встречаем такую фразу: «Доказательство этого предложения громоздко и некрасиво и при этом не содержит ничего интересного, поэтому мы его опускаем»11. Читатели часто прощают такие пропуски в чисто информационных работах, но вообще принимать математику на веру следует с осторожностью. Прежде чем переходить к доказательству этого предложения, громоздкому или нет, следует отметить несколько его особенностей. Нам дано алгебраическое уравнение, содержащее несколько чисел, неизвестную величину x, ее квадрат x2 и ее куб x3. Таким образом, мы имеем алгебраическое уравнение третьей степени, или просто кубическое уравнение. В более стандартной форме все члены уравнения собираются в одной части от знака равенства, например x3 - 6x2 + 9x - 4 = 0. Это первая особенность, и несколько доказательств начинаются с  приведения к  нормальному виду. Но на самом деле это вторая особенность предложенной теоремы, а первая заключается в том, что она ничего не говорит о природе x. Некоторые читатели математической литературы готовы смириться с опущенным доказательством, но введение переменной без указания области ее определения – всеми осуждаемый грех умолчания. Почему? Потому что это прямой путь к неоднозначности. Но для нашей цели исследования стиля это весьма продуктивная неоднозначность – термин, введенный в обиход американским философом и поэтом Эмили Грошольц12. И последняя, наиболее интересная с  точки зрения математики, особенность заключается в том, что у этого кубического уравнения всего два решения. Если вы не забыли формулу корней квадратного уравнения с ее знаками ±, то, наверное, помните, что уравнение второй степени имеет два корня. И хотя я еще не встречал человека, который помнил бы наизусть формулу корней кубического уравнения, она существует (см. доказательство 30 «Полученное по формуле») и дает три корня для любого уравнения третьей степени. Отсутствие третьего корня, отличного от первых двух, технически означает, что наше уравнение является вырожденным случаем.

Теорема. Пусть x – вещественное число. Если x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2, то x = 1 или x = 4. Доказательство. После вычитания получаем уравнение x - 6x   + 9x  - 4 = 0, которое раскладывается на множители (x - 1)2(x - 4) = 0.  3

2

1

Однострочное

15

Однострочное

16

Математики, как и  поэты, часто стремятся к  экономии, а  однострочное доказательство – своего рода моностих. Даже аббревиатура ЧТД (что и требовалось доказать), которой традиционно завершают доказательство, по современным стандартам, слишком пространна. Вместо нее мы встречаем квадратик  , который часто называют халмошем, в честь американского математика венгерского происхождения Пола Халмоша, впервые ставшего употреблять его в математических текстах. Экономия – идеал, который не ограничивается только доказательствами, а распространяется и на более крупные работы. Как-то раз в «Бюллетене Американского математического общества» появилась научная статья, написанная двумя специалистами по теории чисел, которая состояла всего из двух предложений13. Есть у меня подозрение, что авторы просто не смогли договориться об одном. Несколько загадочное предложение, приведенное выше, по крайней мере оставляет читателю возможность чем-то заняться. Давайте-ка, приведите подобные члены и отыщите эти множители.

Дано: x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2, где x – вещественное число. Доказать: x = 1 или 4. Утверждение 1.

x3

2.

Причина

6x2

11x

6

2x

2

x

3

6x

2

11x

6

2

2x

x

3

6x

2

11x

4

2x

x

3

6x

2

11x

4  2x

5.

x

3

6x

2

9x

6.

x   (1

5)x

7.

x  x

5x

8.

x (x  1)  5x(x  1)

9.

(x

3. 4.

3 3

2 

4 2

(5

5x

10. [x   (1

4)x

11. (x   x  4x 2

2x  2x

4x  4

0

1

1

16. x

1 или x

4

0

Разложение на множители Разложение на множители

4)(x  1)

1 или x

Дистрибутивность

0 0

Сложение

0

13. [(x  4)(x  1)](x  1) 15. x

Сложение

4(x  1)

4](x  1)

0 или x  4

Прибавление к обеим частям уравнения Вычитание из обеих частей уравнения

0

Дистрибутивность

12. [x(x  1)  4(x  1)](x  1) 14. x  1

2

Сложение

4)x  4

4)(x  1)

2

2

Вычитание

2

2 

В два столбца

Дано

0

5x

2

2

0

Разложение на множители

0

Разложение на множители

0

4

Произведение равно нулю

4

4

Прибавление к обеим частям уравнения Сложение ЧТД

17

В два столбца

18

Эта форма знакома ученикам американских средних школ, которые будут не так уж неправы, полагая, что придумана она, чтобы упростить выставление оценок, а  не для лучшего понимания материала. Добавление пятнадцати строк к  предыдущему доказательству не углубляет соразмерно проникновение в  предмет, сколько бы уверенности ни пыталась вселить вертикальная черта, отделяющая шаг доказательства слева от его обоснования справа. Более того, за выигрыш в логической прозрачности приходится расплачиваться отсутствием ясной риторики. Двухстолбцовый формат освобождает ученика от необходимости печься о стиле, не говоря уже о грамматике. Согласно Патрисио Хербсту, профессору факультета образовательных исследований и  математики Мичиганского университета, это, возможно, и было целью доказательства в два столбца. В статье «Establishing a Custom of Proving in American School Geometry: Evolution of the Two-Column Proof in the Early Twentieth Century» он пишет: «по мере того как учащиеся должны были заучивать наизусть доказательства геомет­ рических теорем, утрачивалась умственная дисциплина, которую воспитывала геометрия. Необходимы были методические изменения, чтобы геометрия могла выполнить свою работу…. [Двухстолбцовый формат] дал учащимся “объективное” представление, облегчившее осознание сходства между такими разными действиями, как доказывание фундаментальных утверждений и решение задач на доказательство»14. В доказательстве 18 «С отступами» мы встретим развитие доказательства в два столбца.

3

Иллюстрированное

Кубическая кривая y = x3 - 6x2 + 11x - 6 пересекается с прямой y = 2x - 2 в двух точках: (1, 0) и (4, 6).

19

Иллюстрированное

20

Когда я показал черновые варианты нескольких десятков доказательств коллеге-физику, тот объявил это настоящим доказательством. В некотором смысле он был прав. Первоначально я подумывал о том, чтобы сформулировать теорему в виде утверждения о пересечении двух графиков. Но этот пример «доказательства путем взгляда на рисунок» не считается доказательством по стандартам большинства математиков. Откуда уверенность в том, что кривые действительно пересекаются именно в этих двух точках? А что происходит за пределами нарисованной области? Это напоминает мне историю, рассказанную французским математиком Этьеном Гизом. После выступления на семинаре Бурбаки (см. комментарии к доказательству 6 «Аксиоматическое»), посвященного геометрическому построению, которое включало иллюстрации, к нему подошел знаменитый французский математик и лауреат премии Филдса Жан-Пьер Серр и заметил: «То, что вы рассказали, было интересно. Но у меня есть вопрос. Вы и правду считаете это теоремой?»15 Тем не менее начерченные компьютером графики, равно как построения циркулем и линейкой (см. доказательство 12) и рисунки на доске (см. доказательство 21), – действенные инструменты обнаружения математических фактов и сообщения о них.

Предложение. Если x – вещественное число и x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2, то x = 1 или x = 4. Доказательство. Это уравнение третьей степени можно записать в стандартной форме x3 - 6x2 + 9x - 4 = 0. Представим линейный член 9x в виде суммы 5x + 4x, так чтобы стало очевидным наличие общего множителя в левой части.

4

Элементарное

(x3 - 6x2 + 5x) + (4x - 4) = (x2 - 5x)(x - 1) + 4(x - 1). Вынесение за скобки x - 1 оставляет квадратный трехчлен, который тоже легко разлагается на множители. (x2 - 5x + 4)(x - 1) = (x - 4)(x - 1)(x - 1). Поскольку правая часть равна 0, по крайней мере один из множителей, (x - 1) или (x - 4), должен быть равен нулю. Таким образом, x = 1 или x = 4.

21

Элементарное

Экономия средств не менее ценна, чем экономия формы. Я считаю доказательство элементарным, если аргументация опирается только на базовые техники в той области, к  которой относится предложение, а  судить об этой области позволяет терминология. В этом смысле элементарное доказательство – естественно возникающее ограничение для математического рассуждения. Другие формы рассуждений и методов включают доказательство сведением к противоречию (см. доказательство 13) и подстановкой (см. доказательство 22). Авторы учебников и учебных курсов по математике часто пытаются организовать материал так, чтобы учащийся видел только проблемы, элементарные в указанном смысле. Вероятно, это послужило основанием для широко распространенного предположения о  том, что сама математика развивается, следуя тому же логическому шаблону. Контрпримером может служить теорема о простых числах, которая описывает рост среднего расстояния между соседними простыми числами при их увеличении. Этот результат относится к теории чисел, но математикам потребовалось полстолетия, чтобы найти теоретико-числовое доказательство тео­ремы, которая первоначально была доказана средствами комплексного анализа. Существует ли элементарный стиль записи математических результатов? Если да, то я думаю, что лучше всего его выразил знаменитый венгерский математик и педагог Дьёрдь Пойа: Правила стиля. Первое правило стиля: иметь, что сказать. Второе правило стиля: конт­ролировать себя, когда, по стечению обстоятельств, нужно сказать две вещи; сначала говорите одно, потом второе, но не то и другое одновременно16.

22

Пусть имеется четыре последовательных числа и произведение первых трех равно удвоенному третьему. Чему равно четвертое число?

5

Головоломка

23

Ответ: 4.

Головоломка

24

Быть может, первым возникает вопрос «А при чем тут уравнение?» Но есть вопросы и посерьезнее. В статье, озаглавленной «Для чего нужна математика?», американский математик Андервуд Дадли заключает: «В математике задачи могут быть решены путем рассуждения, а решения можно проверить и продемонстрировать их правильность… Для этого и предназначено математическое образование, и так было всегда: научить рассуждать, обычно на примере глупых задач»17. Текстовая задача, изложенная в доказательстве 68, – пожалуй, самый распространенный жанр глупых задач в преподавании математики. Чтобы понять, как ответ на эту головоломку решает (или не решает) наше уравнение, обозначим четвертое число x. Тогда три последовательных числа, предшествующих x (в предположении, что они целые), равны в порядке возрастания x  - 3, x  - 2, x  - 1. Если их произведение равно удвоенному третьему числу, то (x - 3)(x - 2)(x - 1) = 2(x - 1). Перемножение этих чисел – дело муторное, но пос­ ле приведения результата в порядок получается уравнение из доказательства 0 «Опущенное».

Обозначения Нуль и единица – числа, обозначаемые соответственно 0 и 1. Суммой чисел x и  y называется результат сложения x и  y, она обозначается x + y. Произведением чисел x и  y называется результат умножения x и  y, оно обозначается x ´ y или x ´ y. Числа x и y равны, если они совпадают, этот факт обозначается x = y.

6

Аксиоматическое

Определения 1. Числа от 2 до 11 определяются как суммы 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, …, 11 = 10 + 1. 2. Обратным относительно сложения для числа x называется число -x такое, что x + (-x) = 0. 3. Разность двух чисел x и y обозначается x - y и определяется как сумма x + (-y). 4. Квадратом числа x называется произведение x с самим собой, он обозначается x2. 5. Кубом числа x называется произведение x и его квадрата, он обозначается x3.

Аксиомы 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

Для любого предложения P если P или P, то P. Для любых чисел x и y если x = y, то y = x. Для любых чисел x, y и z если x равно y и y равно z, то x равно z. Для любых чисел x и y и любого равенства E если x равно y, то y можно подставить вместо любого вхождения x в E, и значение истинности E при этом не изменится. Если x и y – числа, то сумма x + y и произведение x ´ y – тоже числа. Для любых чисел x, y и z если x равно y, то суммы x + z и y + z равны, точно так же, как произведения x ´ z и y ´ z. Для любых чисел x и y суммы с переменой мест слагаемых x + y и y + x равны, точно так же произведения с  переменой мест сомножителей x ´ y и y ´ x. Для любых чисел x, y, z суммы (x + y) + z и x + (y + z) равны, точно так же произведения (x ´ y) ´ z и x ´ (y ´ z). Если x, y, z – числа, то произведение x на сумму y + z равно сумме произведений x ´ y + x ´ z. Число 1 не равно числу 0. Для любого числа x сумма 0 + x равна x. Для любого числа x произведение 1 ´ x равно x. Для любого числа x существует единственное обратное относительно сложения -x. Для любых чисел x и y если x ´ y = 0, то x = 0 или y = 0.

25

Аксиоматическое

Теоремы 20. Для любых чисел x, y, z если x = y, то x - z = y - z. 21. Для любого числа x x - x = 0. 22. Для любого числа x 0´x = 0. 23. Для любых чисел x и y (-x)y =-(xy) = x(-y). 24. Для любого числа x - (-x) = x. 25. Для любых чисел x, y, z x(y - z) = xy - xz = (y - z)x. 26. Для любых чисел x, y, z, w (x - y)(z - w) = xz - xw - yz + yw. 27. Для любого числа x x + x = 2x. 28. Для любых чисел x, y -(x + y) = -x - y. 29. -2 + (-4) = -6. 30. 1 + 4 ´ 2 = 9. 31. Для любого числа x (x - 1) 2 = x2 - 2x + 1. 32. Для любого числа x (x - 1)2(x - 4) = x3 - 6x2 + 9x - 4. 33. Для любого числа x x3 - 6x2 + 9x - 4 = (x3 - 6x2 + 11x - 6) - (2x - 2). 34. Для любого числа x если x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2, то x = 1 или x = 4. Доказательство. Предположим, что x - число. Теорема 33 x3 - 6x2 + 9x - 4 = (x3 - 6x2 + 11x - 6) - (2x - 2) (1) Гипотеза x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2 (2) Аксиома 10 2x - 2 – число (3) Аксиома 9, (1), (2), (3) x3 - 6x2 + 9x - 4 = (2x - 2) - (2x - 2) (4) Теорема 21, (3) (2x - 2) - (2x - 2) = 0 (5) Аксиома 8, (4), (5) x3 - 6x2 + 9x - 4 = 0 (6) (7) Теорема 32 (x - 1)2(x - 4) = x3 - 6x2 + 9x - 4 Аксиома 8, (7), (6) (x - 1)2(x - 4) = 0 (8) Аксиома 19, (8) (x - 1)2 = 0 или x - 4 = 0 (9) Определение 4, (9) (x - 1)(x - 1) = 0 или x - 4 = 0 (10) Аксиома 19, (10) x - 1 = 0 или x - 1 = 0 или x - 4 = 0 (11) Аксиома 6, (11) x - 1 = 0 или x - 4 = 0 (12) Определение 3, (12) x + (-1) = 0 или x + (-4) = 0 (13) Аксиома 11, (13) x + (-1) + 1 = 0 + 1 или x + (-4) + 4 = 0 + 4 (14) Определение 2, (14) x + 0 = 0 + 1 или x + 0 = 0 + 4 (15) Аксиома 16, (15) x = 1 или x = 4 (Теорема)

26

Влиятельный немецкий математик Давид Гильберт предлагает одно из самых кратких описаний аксиоматического подхода: «Если мы рассмотрим конкретную теорию более пристально, то всегда обнаружим, что несколько выделяющихся предложений из соответствующей области знаний лежат в основе построения всей системы понятий, и одних этих предложений достаточно для построения всей системы в согласии с принципами логики»18. Это доказательство основано на работе итальянского математика Джузеппе Пеано «Принципы арифметики, представленные новым методом», вышедшей в 1889 году19. Теорема доказывается в конце последовательности теорем, каждая из которых опирается на одну или несколько аксиом, определений и ранее доказанных теорем. Термины слишком примитивные, чтобы давать им точное определение, считаются просто обозначениями. Может показаться нелепым рассматривать простейшее равенство 1 + 4 ⋅ 2 = 9 как теорему, но этот результат можно логически вывести из сформулированных аксиом20. Аксиоматический метод организации знаний в логическую иерархию восходит еще к Евклиду (см. доказательство 52 «Античное»), но в современную эпоху аксио­ матические системы приобрели новый вид и значимость. Группа молодых математиков, писавших под коллективным псевдонимом Николя Бурбаки, поставила себе целью выстроить крупные направления своей науки, следуя современному аксиоматическому стилю, вдохновляясь работами Гильберта и знаменитой женщины-алгебраиста Эмми Нётер21. В манифесте Бурбаки 1948 года «Архитектура математики» объясняется их взгляд на вещи (курсив мой):

Аксиоматическое

С аксиоматической точки зрения, математика предстает складом абстрактных форм – математических структур. … Конечно, нельзя отрицать, что у большинства этих форм первоначально было вполне определенное интуитивное содержание; но именно благодаря осознанному отбрасыванию этого содержания стало возможно придать этим формам всю ту мощь, на которую они способны, и сделать их пригодными для новых интерпретаций22.

Оставляя в стороне дерзость этих строк, нетрудно представить себе, что кто-то мог испытывать серьезные трудности при попытке следования этой формалистской программе. Не ставя вопрос о преимуществах подхода Бурбаки, математик и философ Джан-Карло Рота заметил в конце столетия: Аксиоматический метод изложения математики в наше время достиг вершины фанатизма… Ясность была принесена в жертву таким фетишам, как согласованность нотации, краткость аргументации и искусственная линейность логически выведенных умозаключений. Некоторые математики заходят так далеко, что заявляют, будто математика и является аксиоматическим методом, ни больше ни меньше. Эта претензия на «самоопределение» математики с помощью стиля представления оказывает разрушительное влияние на восприятие математики со стороны ученых, работающих в других дисциплинах23.

Другие математики обнаружат, что сама математика платит высокую цену за чрезмерное стремление к  формализму; см. комментарии к  доказательству 33 «Аналитическое».

27

7

Обретенное

29

Обретенное

Я был ошеломлен, встретив свое невзрачное кубическое уравнение в середине Ars Magna, трактата о кубических уравнениях, изданного в 1545 году итальянским физиком, астрологом, ученым и математиком Джироламо Кардано24. Но на самом деле у большинства кубических уравнений с небольшими целыми корнями есть шансы встретиться в одной из 40 глав этого трактата. Почему глав так много? До включения в алгебру отрицательных чисел уравнения ax3 + bx2 + сx = d и ax3 + bx2 = сx + d попадали в разные категории кубических уравнений, и Кардано рассматривает их по отдельности, приводя несколько примеров. Как и другие математики Возрождения, Кардано использовал громоздкую протоалгебраическую систему сокращений, в  которой p: и  m: означали сложение и вычитание, а Tpq–d – одну треть коэффициента при квадрате (tertia pars numeri quadratorum). Общие правила иллюстрируются с помощью нестрогих геометрических рассуждений, после чего следуют численные примеры, подобные этому. Используя современную нотацию, Ричард Уитмер так переводит подчеркнутый абзац: Снова рассмотрим x3 + 9x = 6x2 + 4. Как и прежде, y3 будет равно 3y. Численно умножим 3, коэффициент при y, на 2, одну треть коэффициента при x2, и получим 6. Прибавим 4, постоянную в этом уравнении, получится 10. Вычтем 8, куб одной трети коэффициента при x2, результатом будет 2. Это нужно прибавить к y-ам, потому что сумма больше, чем куб одной трети коэффициента при x2. Отсюда y3 = 3y + 2, и y будет равно 2. Прибавляя 2, одну треть коэффициента при x2, мы получим, что истинное решение [для x] равно 425.

Обсуждение метода Кардано, включая замену переменной x на y, см. в доказательстве 25 «Открытое коллективное». В Ars Magna было печатно представлено первое полное решение кубического уравнения, и поэтому современная формула корней кубического уравнения носит имя Кардано (см. доказательство 30 «Полученное по формуле»). Несмотря на признание вклада Сципиона дель Ферро и «моего друга Никколо Тартальи» в первой главе, эта книга положила начало яростной и хорошо документированной битве за приоритет (см. доказательство 43 «Сценарий»)26. Почему Кардано называет 4 истинным решением (vera aestimatio)? Что не так с 1? 30

Теорема. Пусть x Î ℝ. Если x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2, то x = 1 или x = 4.

Доказательство. Artin [глава 14, §2] или Herstein [§5.7].

8

Считающееся известным

31

Считающееся известным

32

В отличие от доказательства 7 «Обретенное», ни в одном из цитированных здесь источников, Michael Artin «Algebra» и  I. Herstein «Topics in Algebra», конкретно наше кубическое уравнение не решается 27. Вместо этого обсуждается решение произвольных кубических уравнений с любыми коэффициентами. Вообще говоря, не ясно, что имеют в виду, говоря, что два доказательства «одинаковы». Однако может статься, что критерий различия двух доказательств будет проще сформулировать. Английский математик Джон Конвей, прославившийся своим игровым подходом к математике, и Роберт Шипман, консультировавший казино по математическим вопросам, предлагают ввести частичный порядок на множестве доказательств, столкнув их в состязании. Они считают, что у каждого доказательства имеется «естественная область применимости», или «область действия», и одно доказательство лучше другого, если его область действия содержит область применимости другого28. Представляется разумным, что если одно доказательство обобщается, с соответствующими изменениями, на случай, не покрываемый другим доказательством, то их следует считать различным. Например, Кардано применяет один и тот же метод для решения нашего кубического уравнения и уравнения x3 + 21x = 9x2 + 5 (оно приведено ниже подчеркнутого текста в доказательстве 7 «Обретенное»). Решениями этого второго уравнения являются 2 - 3, 2 + 3 и 5. Эти корни, безусловно, выходят за рамки достижимого аксиоматическим доказательством 6, т. к. оно начинается предположением о том, что число x целое, тогда как числа 2 - 3 и 2 + 3 даже не являются рациональными. Конвей и  Шипман не забывают отметить, что ценность доказательства необязательно коррелирует с  широтой его области действия. Например, доказательство с областью действия, непомерно широкой относительно доказываемого утверждения, сравнимое со стрельбой из пушек по воробьям, обычно считается излишеством и неэлегантностью29. В доказательстве 64 «Научный семинар» приведен один такой пример.

9

Моносиллабическоеi Вот факт: Коль x вещественное и куб x без шесть раз квадрат x плюс пять раз x плюс шесть раз x без шесть равно x без двух, то x есть либо один, либо четыре. Вот доказательство: Взгляни, три первых члена в левой части суть квадрат x без пять раз x, умноженное на x без единицы. А два последних члена в левой части суть шесть x без единицы, тогда как правая часть есть два, умноженное на x без единицы. Стало быть, если бы x было равно единице, то мы имели бы нуль плюс нуль есть нуль – так и есть. То есть x может быть равен единице. Иначе x – не единица, и x без единицы – не нуль. Тогда мы можем умножить все на единицу, деленную на x без единицы, и будет: квадрат x без пять x плюс шесть есть два. Вычтем два из обеих сторон, тогда квадрат x без пять x плюс четыре равно нулю. Это есть x без четырех, умноженное на x без единицы. Так как мы знаем, что x без единицы – не нуль, x без четырех должно быть равно нулю. Стало быть, x равно единице или четырем, что и требовалось доказать.

i

В оригинале текст доказательства действительно состоит из односложных слов – почти, но при всем старании переводчика сохранить эту стилистическую особенность не удалось. Например, не существует односложного аналога слова «четыре». – Прим. перев.

33

Моносиллабическое

34

В биографии Конвея, написанной Сиобханом Робертсом «Genius at Play: The Curious Mind of John Horton Conway», знаменитый математик утверждает, что прочитал целую лекцию по теории чисел, следуя правилам «Игры в однобитовые слова» – автологическое название ограничения односложности30. Вместо eleven (одиннадцать)  – единственного многосложного коэффициента в  уравнении – я  написал «five plus six» (пять плюс шесть). Это тривиальное изменение напрямую ведет к  разложению на множители, лежащему в  основе приведенного решения (см. доказательство 4 «Элементарное»). Почему меня это так удивляет? Математические доказательства часто возникают в результате последовательности преобразований, которые не являются последовательными по отдельности, а управляются внешними ограничениями. Возможно даже, что это типичная ситуация. В статье 1948 года «The Place of Mathematics in the Classification of the Sciences» Раймон Кено утверждает, что математика – это одновременно метод и игра, «в более точных терминах, то, что называется jeu d’esprit». И заключает статью цитатой из письма, написанного до образования Oulipo: «Мы могли бы сказать, придавая Искусству его неоднозначный смысл, что Наука совершает колебания между Искусством и Игрой, а Искусство – между Игрой и Наукой»31.

(x3)

x3

x2

x3

(x3

x2

x 2)

10

x

Без слов

x3

x3

x3

x2

x

2x2

5x

2x2

9x

(x3

(x3

4

(x3

x2

2x2

2x2

x2

x)

9x

5x)

4)

2x2

x3

4

4x2

(x3

x

x3

2x2

5x

4

x3

6x2

9x

4

(x

1)(x

1)(x

4)

(x3

2x2

2x2

4x

x)

5x

4)

4x

35

Без слов

Некоторые диаграммы и  рисунки настолько убедительны, что кажутся достаточными без всяких объяснений. Под названиями «Гляди-ка, доказательства» или «Доказательства без слов» они стали визитной карточкой математических журналов с момента появления в 1970-х годах32. Вопрос об их приемлемости в качестве доказательств представляется вторичным, но в любом обсуждении доказательств без слов авторы считают необходимым оговорить это. В статье, написанной для онлайнового журнала Математической ассоциации Америки «Convergence», Тим Дойл и др. очерчивают рамки спора в стилистических терминах: Мы используем термин «барочный», чтобы подчеркнуть, что право называться математическим доказательством подтверждается формальной корректностью, точно так же как право называться музыкальной композицией подтверждается формальными качествами музыки. … Мы используем термин «романтический», чтобы показать, что хорошее доказательство есть нечто такое, что направляет математическую интуицию или интеллект в правильную сторону, отдавая предпочтение математическому опыту перед барочными жанровыми стандартами. При барочном подходе доказательство строится с  соблюдением конкретных формальных ограничений, тогда как при романтическом любое доказательство, вполне убедительное для математически образованного и в меру разумного читателя, считается приемлемым.

Это полезные рамки, не в последнюю очередь потому, что позволяют авторам уточнять свою позицию в споре, подстраховывая себя с точностью аналитика: Мы должны быть осторожны, чтобы не зайти по барочному пути настолько далеко, что уже никто не отважится писать доказательства! Если немного ослабить стандарт, то будет интересно спросить, могут ли не столь канонические формы изложения доказательств, например доказательства без слов, просочиться сквозь сеть и занять свое место в шеренгах доказательств – или, быть может, рядом с ними33.

Это доказательство возникло в  ходе работы над доказательством 52 «Античное». Я нарисовал начальный куб x3 размером 10´10´10. Что произойдет с доказательством, когда сторона куба приближается к решению, x = 1 или x = 4? Можете ли представить доказательство с  меньшим числом шагов? В  доказательстве 62 «Аксонометрическое» предложено одношаговое доказательство без слов.

36

Правила. Пишите ответ прямо на этой странице. Работа должна быть написана только синей или черной ручкой. Все алгебраические выкладки должны быть ясно видны. Использование отдельных листов для черновиков не допускается, но разрешается использовать для черновых выкладок обратную сторону этого лис­ та. Пользование любыми устройствами связи во время экзамена категорически запрещено. Если вы хотя бы на краткий миг воспользуетесь любым устройством связи, ваша экзаменационная работа будет аннулирована, и отметка выставляться не будет.

11

На экзамене

Решить уравнение x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2.

37

На экзамене

38

Для многих самой яркой формой математики, вероятно, является экзамен. Словосочетание «экзамен по математике» сродни таким устойчивым выражениям, как «раскалывается голова» или «мучительная боль». Эта вариация, включая грозные правила, построена по образцу выпускного экзамена по алгебре 2 и тригономет­ рии в штате Нью-Йорк34. На самом деле на большинстве стандартных экзаменов по математике, начиная с начальной школы и до вступительного экзамена в аспирантуру, задают вопросы с  несколькими вариантами ответа, которые не требуют от учащегося демонстрации рассуждений. Интересно, что когда в таких тестах рассуждение все же оценивается, стандарты могут зависеть от предмета. В случае выпускного экзамена по алгебре инструкции по выставлению оценок требуют ставить высший балл, если дан правильный числовой ответ и «продемонстрированы надлежащие алгебраические выкладки», но в случае геометрии требуется «полное и правильное доказательство, содержащее заключительное утверждение». Почему? Быть может, более высокие стандарты доказательства в  геометрии отражают долгое наследие «Начал» Евклида с их аксиоматическим стилем (см. доказательство 6).

Корни кубического многочлена x3 - 6x2 + 11x - 6 - (2x - 2), или x3 - 6x2 + 9x - 4, можно построить следующим образом: 1. Произвольно разместить две точки O и P. 2. Построить отрезки длины, кратной OP, по разу для каждого коэффициента b = -6, с = 9 и d = -4. 3. Построить отрезки длины, равной двум вспомогательным коэффициентам

12

Циркулем и линейкой

4. Построить точку Q на продолжении отрезка OP такую, что длина OQ равна -b∕3 = 2. 5. Провести окружность OSR с центром в точке Q радиуса 2 p = 2. 6. Провести окружность QST того же радиуса с центром в точке O. 7. Провести отрезки PS и PT. Каждый из них перпендикулярен прямой OQ.

39

Циркулем и линейкой

8. Двойной корень равен длине OP, а простой корень – длине OR. Эти инструменты – линейка без делений и циркуль – дали математикам больше пищи для размышлений, чем кажется разумным с  учетом их примитивности. Самый главный вопрос, имеющий далеко идущие последствия, очень прост: что можно и чего нельзя измерить? Одна из классических задач на построение – разделить произвольный угол на три равные части (в доказательстве 41 «Новость» упоминается еще одна, удвоение куба). Как оказалось, задача о трисекции угла эквивалентна задаче нахождения корней произвольного кубического многочлена x3 + bx2 + сx + d. К сожалению, ни разделить угол на три части, ни найти кубические корни с помощью циркуля и линейки в общем случае невозможно. Однако если кубическое уравнение имеет кратные вещественные корни, как наше, то их решения можно построить. (Если кубическое уравнение имеет три разных вещественных корня, то их можно найти с  помощью циркуля и  линейки с  делениями35.) Вспомогательные коэффициенты p, q соответствуют частному случаю – неполному кубическому уравнению вида x3 - 3px + 2q, а кубический многочлен имеет кратные корни тогда и только тогда, когда p3 = q2. Для построения корней мы применяем тригонометрическое тож­ дество из доказательства 47 «Хитроумное»: 4cos3𝜃 - 3cos 𝜃 = cos 3𝜃.

Приведенное выше кубическое уравнение от cos 𝜃 идеально совпадет с заданным кубическим уравнением, если положить x = 2cos 𝜃 + 2 и cos 3𝜃 = 1. В терминах координат первое из этих двух условий означает, что корень x – горизонтальная координата точки 𝜃 на окружности радиуса 2 с центром в точке Q = (2, 0). Из второго условия следует, что 𝜃 – одна треть угла, кратного 2𝜋, т. е. 0, 2𝜋∕3 или 4𝜋∕3. Эти углы соответствуют точкам R, S и T.

40

Теорема. Пусть x – вещественное число. Если x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2, то x = 1 или x = 4. Доказательство. То, что x = 1 и x = 4 – решения, легко проверяется. Предположим, что имеется третье решение x такое, что x ≠ 1 и x ≠ 4. Тогда мы можем разделить x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2 на x - 1, получив x2 - 5x + 6 = 2, т. е. x2 - 5x + 4 = 0. После деления на x - 4 получаем x - 1 = 0. Еще одно деление на x - 1 дает 1 = 0 – противоречие. Следовательно, x = 1 или x = 4, что и требовалось доказать. 

13

Приведение к противоречию

41

Приведение к противоречию

42

Приведение к  противоречию (reductio ad absurdum) – непрямой метод доказательства, похожий на метод от противного, описанный в доказательстве 14. Хотя оба метода начинаются с предположения, что доказываемое утверждение ложно, цель сведения к противоречию – не вывести, что гипотеза ложна (это не является противоречием), а показать, что ложно некоторое третье утверждение, относительно которого заведомо известно, что оно истинно, – аксиома или уже доказанная теорема. В данном случае противоречие состоит в том, что 1 равно 0. Что считать противоречием, зависит от вашей логики, и  некоторые логики оспаривают приведение. Сомнению подвергается предположение о том, что опровергнуть отрицание предложения – все равно, что доказать его истинность. Голландский математик и философ XX века Л. Э. Я. Брауэр был самым знаменитым критиком этого предположения, известного как закон исключенного третьего. Это не значит, что он был сторонником третьего значения истинности (я думаю, что на самом деле это было бы примером рассуждения «третьего не дано»). См. доказательство 79 «Интуиционистское». Еще одно сомнение заключается в том, что, принимая доказательства от противного, мы молчаливо предполагаем, что наши правила доказательства непротиворечивы (т. е. что нельзя доказать одновременную истинность A и  не A). Чтобы понять, что произойдет в  противном случае, см. доказательство 82 «Противоречие». Даже если вы готовы исключить третье и принять непротиворечивость на веру, придание смысла прямому доказательству осложняется искажением, вносимым в предложение в процессе доказывания. Это, однако, может быть риторическим усилением. Пойа замечает: «“Приведение к  противоречию”  – математическая процедура, но она чем-то напоминает иронию – любимый инструмент сатириков. Ирония заключается в том, чтобы по видимости принять некое мнение, а затем усиливать и усиливать его, пока не станет очевидна вся его абсурдность»36.

Теорема. Пусть x – вещественное число. Если x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2, то x = 1 или x = 4. Доказательство. Предположим, что x ≠ 1 и x ≠ 4. Тогда (x - 1)(x - 1)(x - 4) ≠ 0, т. к. сомножители (x - 1) и (x - 4) отличны от нуля. Имеем:

14

От противного

(x - 1)(x - 1)(x - 4) = x3 - 6x2 + 9x - 4 = (x3 - 6x2 + 11x - 6) - (2x - 2), и правая часть тоже должна быть отлична от нуля. Следовательно, x3 - 6x2 + 11x - 6 ≠ 2x - 2, и мы доказали от противного, что единственные возможные корни – 1 и 4. То, что это действительно корни, легко проверяется.

43

От противного

Следующий силлогизм восходит, наверное, к философам-стоикам III века до н. э. Если сейчас день, то светло. Но сейчас не светло. Следовательно, сейчас не день37. Это типичный пример логической эквивалентности между условным предложением если P, то Q и его контрапозицией если не Q, то не P; это правило еще называют modus tollens. Внимательный читатель заметит, что непрямые доказательства как здесь, так и в доказательстве 13 «Приведение к противоречию» дополнены мимолетным замечанием о проверке того, что 1 и 4 – корни. Это объясняется тем, что непрямая аргументация устанавливает только, что 1 и 4 – единственные возможные корни, но оставляет открытым вопрос о том, есть ли вообще решения у уравнения. Мой друг учил меня не забывать о праздных предположениях с помощью старой математической шутки: Учитель: Предположим, что x – число овец в нашей задаче. Ученик: Но, сэр, что, если x – не число овец?

44

Теорема. Пусть 𝜆 ∈ ℝ. Если 𝜆 – собственное значение линейного оператора

15

Матричное

то 𝜆 = 1 или 𝜆 = 4.

Доказательство. Число 𝜆 называется собственным значением матрицы A, если существует ненулевой вектор x = (x1, x2, x3)T Î ℝ3 такой, что Ax = 𝜆x.

Отсюда следует однородная система уравнений (A - 𝜆I)x = 0,

которая имеет нетривиальное решение, если определитель (A - 𝜆I) равен нулю. Раскрывая определитель характеристического уравнения, получаем

Корнями этого уравнения являются 𝜆1 = 1 = 𝜆2 и 𝜆3 = 4, они и есть собственные значения A. 

45

Матричное

В этой вариации наше кубическое уравнение предстает в виде характеристического многочлена числового массива 3´3, или матрицы38. Матрицы возникли как инструмент для решения систем уравнений, но с тех пор матричная алгебра превратилась в самостоятельную математическую дисциплину. На первый взгляд операции с  матрицами кажутся громоздкими, но очень скоро они становятся весьма выразительным средством. Многие объекты современной математики допускают матричную форму – от алгебраических и дифференциальных уравнений до симметрий и групп (см. обсуждение групп в доказательстве 24 «Еще одна симметрия»). У слова «стиль» два значения: способ написания текстов и  инструмент для письма (он же стилус). Французский философ и историк Давид Рабуин придает важное значение этой двоякой интерпретации математического стиля: Важно не только подчеркнуть существование [математических] стилей, циркулирующих в различных культурных детерминациях, но и отнестись к этой категории положительно, утвердив ее в  способах написания, т. е. в  наиболее материальном аспекте этой циркуляции (в отличие от того, что привязывается к «интерпретациям» и «смыслам», разделяемым сообществом акторов, или в противоположном направлении – к некотором платоническим «идеям», питающим предполагаемую «универсальность» предполагаемых «концептуальных» предпосылок)39.

Короче говоря, «концептуальное содержание стиля отражается в самом способе написания (а не выражается посредством него)… для нас написание и есть рассуждение».

46

16

Древнее

47

Древнее

48

Эта таблица чисел – воображаемая форма, в  которой могла бы выразить кубическое уравнение одна из самых ранних математических культур, от которой осталось письменное наследие: вавилоняне II тысячелетия до н. э. В двухстолбцовом списке клинописных знаков перечислены значения каждой части уравнения x3 + 11x + 2 = 6x2 + 2x + 6, являющегося результатом такой реорганизации уравнения x3  - 6x2 + 11x  - 6 = 2x  - 2, при которой нет членов со знаком минус (мы избегли соблазна попутно упростить его). Нашими решениями являются строки чисел – первая и четвертая, – в которых оба элемента совпадают. Эти элементы – числительные, обозначающие 14 и 110 соответственно. Вся таблица представлена в доказательстве 17 «Интерпретация» индо-арабскими цифрами. Одно из благ изучения истории математики, по словам американского математика Барри Мазура, – то, что оно прививает взгляд на математику как на «один длинный разговор, растянувшийся на тысячелетия»40. Настоящий артефакт того периода – глиняная табличка, известная под названием «Вавилонский текст о погребе», – демонстрирует многочисленные вычисления размеров подвального этажа в терминах его длины, ширины, глубины и объема вынутого грунта41. Создается впечатление, что вавилоняне умели решать уравнения вида ax3 + bx2 = с путем построения таблиц значений n3 + n2.

14” 32” 1’2” 1’50” 3’2” 4’44” 7’2” 10’2” 13’50” 18’32” 24’14” 31’2” 39’2” 48’20” 59’2” 1°11’14” 1°25’2” 1°40’32” 1°57’50” 2°17’2” 2°38’14” 3°1’32” 3°27’2” 3°54’50”

14” 34” 1’6” 1’50” 2’46” 3’54” 5’14” 6’46” 8’30” 10’26” 12’34” 14’54” 17’26” 20’10” 23’6” 26’14” 29’34” 33’6” 36’50” 40’46” 44’54” 49’14” 53’46” 58’30”

17

Интерпретация

49

Интерпретация

50

Открыть свой слух к голосам, звучащим из исторических артефактов, конечно, не просто. В этой таблице представлена интерпретация клинописных знаков из доказательства 16 «Древнее». В двух столбцах вавилонская письменность переведена в индо-арабские числительные с сохранением 60-ричной системы счисления. В этом мы следовали примеру историков математики, например Йенса Хойрупа из Дании42. Символы секунд, минут и градусов обозначают единицы, кратные 60 и кратные 602 соответственно. Современную вариацию на тему этого и предыдущего доказательств см. в доказательстве 84 «Табличное».

Теорема. x Î ℝ, x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2 ⇒ x = 4 ∨ x = 1.

Доказательство. x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2 ≡ ⟨Вычесть 2x - 2⟩ ≡ ⟨Свойство вычитания⟩ x3 - 6x2 + 11x - 6 - (2x - 2) = 2x - 2 - (2x - 2) ≡ ⟨Упрощение⟩ x3 - 6x2 + 9x - 4 = 0 ≡ ⟨Замена переменной⟩ ≡ ⟨Подстановка x = y + 2⟩ (y + 2)3 - 6(y + 2)2 + 9(y + 2) - 4 = 0 ≡ ⟨Раскрытие скобок⟩ (y3 + 6y2 + 12y + 8) - (6y2 + 24y + 24) + (9y + 18) - 4 = 0 ≡ ⟨Упрощение⟩ y3 - 3y - 2 = 0 ≡ ⟨Замена переменной⟩ ≡ ⟨Подстановка

18

С отступами

≡ ⟨Раскрытие скобок⟩

≡ ⟨Упрощение⟩ ≡ ⟨Решение⟩ ≡ ⟨Свойство умножения⟩ ≡ ⟨Упрощение⟩ u6 - 2u3 + 1 = 0 ≡ ⟨Разложение на множители⟩ (u3 - 1)2 = 0 ≡ ⟨Нулевой множитель⟩ u3 = 1 ≡ ⟨Кубические корни⟩ ≡ ⟨Обратная подстановка y⟩

≡ ⟨Упрощение⟩ y = 2 ∨ y = -1 ∨ y = -1 ≡ ⟨Обратная подстановка x⟩ x = 2 + 2 ∨ x = -1 + 2 ∨ x = -1 + 2 ≡ ⟨Сложение⟩ x = 4 ∨ x = 1 ∨ x = 1 ≡ ⟨Исключение одного ∨⟩ x = 4 ∨ x = 1

51

С отступами

52

Это доказательство основано на форме, которую Раймон Бутэ, заслуженный профессор Гентского университета, называет вычислительным стилем доказательства43. Этот формат, в каком-то смысле обобщающий формат с двумя столбцами, который мы видели в  доказательстве 2, на N столбцов, отделяет каждый шаг доказательства от его обоснования, и шаги вложены, как подпрограммы в алгоритме. Увеличение глубины этой формы отражает заметно возросшую сложность доказательства. Это доказательство с двойной подстановкой (см. доказательство 22 «С подстановкой») является вариантом метода Кардано, который более подробно обсуждается в доказательствах 25 «Открытое коллективное» и 88 «Диалог». Часть вложенных обоснований в угловых скобках на самом деле являются пояснениями к следующим далее шагам и иерархиям (например, «Упрощение» – маркер последовательности алгебраических операций). Символ ℝ, встречавшийся также в доказательстве 5 «Матричное», обозначает множество вещественных чисел, а символ ∨ означает «или». Буте пропагандировал этот стиль в основном из педагогических соображений, но вместе с тем он считает, что преобладающий стиль написания профессиональных текстов оставляет желать лучшего. Он уподобляет этот стиль предсимвольной эпохе в алгебре (см. доказательство 7 «Обретенное») и цитирует специалиста по информатике Лесли Лэмпорта: «структура математических доказательств не изменилась за последние 300 лет. … Доказательства по-прежнему пишутся в форме эссе, напыщенным слогом»44. Какие бы струны ни задевал этот вопль в моей душе, все же интересно, что является истинной проблемой: сама проза или напыщенная форма, которую она часто принимает.

Теорема. Значение истинности импликации, заключающейся в том, что алгебраическое равенство приведенного кубического квадрочлена с одной переменной x3 - 6x2 + 11x - 6 линейному двучлену с одной переменной 2x - 2 над полем вещественных чисел влечет за собой исключающую дизъюнкцию x = 1 или x = 4, равно Истина.

19

Жаргонное

Доказательство. Допустим существование элемента поля x, удовлетворяющего алгебраическому равенству, упомянутому в посылке. В силу свойств коммутативности и дистрибутивности поля, применение оператора вычитания многочленов с  вычитаемым 2x - 2 к  равенству, стоящему в  посылке, влечет алгебраическое равенство приведенного кубического квадрочлена от одной переменной x3 - 6x2 + 9x - 4 нейтральному элементу относительно сложения. Дальнейшее разложение на множители (x - 1)2(x - 4) нейтрального элемента относительно сложения, в силу отсутствия делителей нуля в поле, означает справедливость исключающей дизъюнкции, указанной в заключении. ЧТД

53

Жаргонное

54

Это доказательство представляет собой результат набивания однострочного доказательства 1 математической терминологией и несущественными деталями. Так, наше кубическое уравнение становится алгебраическим равенством приведенного кубического квадрочлена от одной переменной x3 - 6x2 + 9x - 4 нейтральному элементу относительно сложения. Математический текст, как и любой другой, проще написать плохо, чем хорошо. Тем не менее подход к исследованию стиля путем доведения до абсурда (см. доказательство 13 «Приведение к противоречию») имеет свои достоинства45.

Теорема (утверждение, выведенное из предпосылок, а не предполагаемое истинным). Значение истинности (атрибут, присвоенный семантическому значению предложения) импликации (логической связки между двумя утверждениями p и q, которая эквивалентна не (p и не q)), заключающейся в том, что алгебраическое равенство (отношение между двумя алгебраическими выражениями, утверждающее, что они принимают одно и то же значение) приведенного (с коэффициентом при старшем члене 1) кубического (третьей степени) квадрочлена (многочлена с четырьмя членами) от одной переменной x3 - 6x2 + 11x - 6 линейному (первой степени) двучлену (многочлену с двумя членами) от одной переменной 2x - 2 над полем (ненулевым коммутативным кольцом с  операцией деления) вещественных чисел (чисел, имеющих возможно бесконечное десятичное представление) влечет за собой исключающую дизъюнкцию (логическая операция, результат которой равен Истина, только когда входы различны) x = 1 или x = 4, равно Истина (одно из значений истинности в булевой области, другое значение – Ложь). Доказательство (цепочка рассуждений с применением правил вывода, которая ведет к требуемому заключению). Допустим существование (квантор, интерпретируемый как «имеется по крайней мере один») элемента поля (член ненулевого коммутативного кольца с  операцией деления) x, удовлетворяющего алгебраическому равенству (отношение между двумя алгебраическими выражениями, утверждающее, что они принимают одно и то же значение), упомянутому в посылке (первый операнд импликации). В силу свойств коммутативности (симметрия бинарной операции, благодаря которой результат не зависит от порядка ее операндов) и  дистрибутивности (симметрия операции, благодаря которой результат ее применения к комбинации совпадает с комбинацией результатов применения к отдельным членам комбинации) поля (ненулевое коммутативное кольцо с операцией деления), применение оператора вычитания (обращение оператора сложения) многочленов (выражение, являющееся суммой членов, каждый из которых является произведением постоянной на неотрицательную степень одной или нескольких переменных) с вычитаемым (второй операнд оператора вычитания, который в сумме с разностью равен уменьшаемому) 2x - 2 к равенству, стоящему в посылке (первый операнд импликации), влечет алгебраическое равенство (отношение между двумя алгебраическими выражениями, утверждающее, что они принимают одно и  то же значение) приведенного (с коэффициентом при старшем члене 1) кубического (третьей степени) квадрочлена (многочлена с четырьмя членами) с одной переменной x3  - 6x2  + 9x  - 4 нейтральному элементу относительно сложения (элемент, сложение с  которым не изменяет других элементов, часто обозначается  0). Дальнейшее разложение на множители (представление в  виде произведения множителей, перемножение которых дает исходный элемент) (x - 1)2(x - 4)

20

Дефинитивное

55

Дефинитивное

56

нейтрального элемента относительно сложения, в  силу отсутствия делителей нуля (ненулевых элементов кольца, которые, будучи умножены на другой ненулевой элемент, дают произведение, равное нулевому элементу кольца) в поле (ненулевое коммутативное кольцо с операцией деления), означает справедливость исключающей дизъюнкции (логическая операция, результат которой равен Истина, только когда входы различны), указанной в  заключении (второй член импликации). ЧТД (что и требовалось доказать)

Разбираться в том, что означает утверждение теоремы, обычно является поучительным упражнением. Когда изучаешь новую область математики, часто приходится искать определение слова, которое встречается в только что найденном определении другого слова, и уверяю вас, что процесс «нашпиговывания» доказательства 19 «Жаргонное» – не такое уж преувеличение, как может показаться46. Иногда такое упражнение приводит к доказательству, тогда мы говорим, что оно «следует из определений». Примером может служить теорема о том, что каждое вещественное число является пределом некоторой последовательности Коши рациональных чисел. Вы спросите, что такое последовательность Коши? Отвечу: если мы определили вещественное число как предел некоторой последовательности Коши (что бы это ни было) рациональных чисел, то это и не важно. Доказательство следует из определения. Как такое вообще возможно? Джан-Карло Рота напоминает нам: «то, что аксиоматическое представление некоторой части математики скрывает, не менее существенно для понимания математики, чем то, что аксиоматическое представление пытается сформулировать»47. Иными словами, в зрелой теории определения формулируются так изобретательно, что они сами по себе способны принять на себя бремя доказывания теоремы.

Дефинитивное

57

21

На доске

59

На доске

60

Доска для математики является не просто учебным инвентарем, а коммуникативной средой. Историк науки Майкл Бэрэни и социолог Дональд Маккензи утверждают, что материал и демонстрационные качества мела и доски вносят немалый вклад в характерную для математики строгость, потому что доказательства, записываемые на «визуально разделяемой» поверхности доски, «развиваются шаг за шагом и на каждом шаге могут быть оспорены аудиторией»48. Такая степень открытости, хотя и не оставляет темных мест, без сомнения, является источником беспокойства, когда тебя вызывают к доске. Поэтому некоторые студенты вообще избегают математики. Когда Йельский университет в 1830 году включил только нарождающуюся технологию классной доски в экзамен по геометрии, это привело к бунту, закончившемуся исключением более сорока студентов49. Даже если знаешь, как держат мел, чтобы он не скрипел (как волшебную палочку, а не как ручку), эффективная работа с доской – навык, которому нужно учиться, как и всему прочему в математике. Я еще помню, как известный японский специалист по теории узлов отчитывал меня за неправильное использование тряпки во время рисования узлов на доске. В представленном здесь доказательстве используется метод Кардано, подробно описанный в доказательстве 25 «Открытое коллективное».

Теорема. Если x – вещественное число такое, что x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2, то x = 1 или x = 4. Доказательство. Вычитая 2x - 2 из обеих частей уравнения, получаем кубическое уравнение x3 - 6x2 + 9x - 4 = 0. Его можно упростить, выполнив подстановку x = y + 1:

22

С подстановкой

0 = (y + 1)3 - 6(y + 1)2 + 9(y + 1) - 4 = (y3 + 3y2 + 3y + 1) - (6y2 + 12y + 6) + (9y + 9) - 4 = y3 - 3y2 = y2(y - 3). Поэтому y равно 0 или 3. Отсюда следует, что x равно 1 или 4, что и требовалось доказать. 

61

С подстановкой

62

Применяя литературную терминологию, мы могли бы сравнить подстановку с «метафорой», как это делает философ и историк математики Ревил Нетц. «Математика, – пишет он, – только тогда становится по-настоящему интересной и оригинальной, когда старается увидеть нечто одно как нечто другое»50. Технически подстановкой называется преобразование уравнения, интеграла или еще какого-то объекта путем замены каждого экземпляра переменной (например, x) другим выражением (например, y + 1), чтобы либо упростить объект, либо привести его к более сложной, но допускающей вычисления форме. Найдя решение таким образом измененной задачи (например, y = 0), мы выполняем заключительный шаг подстановки – выражение решения в терминах исходной переменной (например, x = 1). См. пример неэлементарной подстановки в доказательстве 47 «Хитроумное». Внезапная или неожиданная замена терминов может оставить читателя в недоумении, как случилось с Гёте, который сетовал, что математики «как известный тип французов: когда беседуешь с ними, они всё переводят на свой язык, и очень скоро это становится чем-то совершенно иным»51.

Теорема. Пусть x – вещественное число. Если x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2, то x равно 1 или 4. Доказательство. Вычитание 2x - 2 из обеих частей уравнения показывает, что его решения являются корнями кубической кривой y = x3 - 6x2 + 9x - 4. Любая кубическая кривая симметрична относительно своей точки перегиба Q; иначе говоря, точка P лежит на кривой тогда и только тогда, когда точка R = 2Q - P также лежит на кривой. В частности, корень P кубической кривой является отражением R = 2Q - P.

23

Симметрия

В данном случае Q = (2, -2), откуда следует, что отражением P = (x, 0) является R  = 2(2, -2) - (x, 0) = (4 - x, -4). Положив y = -4, найдем координату x точки R, xR, следующим образом: xR3 - 6xR2 + 9xR - 4 = -4 xR3 - 6xR2 + 9xR = 0 xR(xR - 3)2 = 0. Отсюда xR равно 0 или 3. Но xR = 4 - x, следовательно, x равно 1 или 4, что и требовалось доказать. 

63

Симметрия

64

При любой возможности математик смотрит, распадается ли задача на части вдоль какой-нибудь прямой или оси симметрии, потому что тогда есть шанс, что решение одной части можно будет продолжить «в силу зеркального отражения» или «в силу поворота» на задачу в  целом. В  данном случае симметрия вокруг точки перегиба – точки, где изгибание кривой меняется на противоположное, – используется для рассуждения об искомых решениях. Почему любая кубическая кривая симметрична относительно точки перегиба? В доказательстве 24 «Еще одна симметрия» описана более абстрактная идея симметрии.

Теорема. Пусть x Î ℝ. Если x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2, то x равно 1 или 4.

Доказательство. Предположим, что x1, x2, x3 – корни кубического многочлена f(x) = x3  - 6x2 + 9x  - 4. Рассмотрим ассоциированный многочлен g(y), корни которого являются линейными комбинациями

24

Еще одна симметрия

y = с 1x 1 + с 2x 2 + с 3x 3 с фиксированными коэффициентами с1, с2, с3 и который не зависит от порядка корней x1, x2, x3. Он должен иметь корень для каждой перестановки корней f(x). Всего существует 3! = 6 перестановок трех предметов, поэтому корнями g(y) будут: y 1 = с 1x 1 + с 2x 2 + с 3x 3 y 2 = с 1x 1 + с 2x 3 + с 3x 2 y 3 = с 1x 2 + с 2x 1 + с 3x 3 y 4 = с 1x 2 + с 2x 3 + с 3x 1 y 5 = с 1x 3 + с 2x 1 + с 3x 2 y 6 = с 1x 3 + с 2x 2 + с 3x 1. Отсюда следует, что g = g(y) – многочлен шестой степени, и кажется, что решить уравнение будет гораздо труднее. Однако мы можем выбрать коэффициенты с1, с2, с3, так что степени y в ненулевых членах g будут кратны трем. Это значит, что степень многочлена g = g(z), где z = y3, всего лишь два, и y будет равно кубическому корню из решения квадратного уравнения. Для этого необходимо выполнение условия: если g(y) = 0, то g(𝜔y) = 0 = g(𝜔2y), где 𝜔 – первообразный корень третьей степени из единицы, т. е. 𝜔 – комплексное число такое, что 𝜔3  = 1 и 𝜔  ≠ 1. Если 𝜔y1  = y2, то 𝜔с1x1 + 𝜔с2x2 + 𝜔с3x3 = с1x1 + с2x3 + с3x2. Но, сравнивая коэффициенты при x1, мы приходим к противоречию: 𝜔 = 1. Следовательно, 𝜔y1 ≠ y2, и аналогичное рассуждение показывает, что 𝜔y1 ≠ y3 и 𝜔y1 ≠ y6. Предположим, что 𝜔y1 = y4, тогда 𝜔с1x1 + 𝜔с2x2 + 𝜔с3x3 = с1x2 + с2x3 + с3x1.

Сравнивая коэффициенты, мы видим, что 𝜔с1 = с3, 𝜔с2 = с1, 𝜔с3 = с2, или с 2 = 𝜔 2с 1

с3 = 𝜔с1.

Таким образом, полагая с1 = 1, имеем с2 = 𝜔2, с3 = 𝜔, и  мы можем выразить все шесть корней g в терминах y1 и y2. Действительно, y3 = 𝜔2y2, y4 = 𝜔y1, y5 = 𝜔2y1 и y6 = 𝜔y2. Тогда многочлен g(y) принимает вид

65

Еще одна симметрия

g(y) = (y - y1)(y - 𝜔y1)(y - 𝜔2y1)(y - y2)(y - 𝜔y2)(y - 𝜔2y2) = (y3 - y13)(y3 - y23)

= y6 - (y13 + y23)y3 + y13y23, где второе равенство следует из тождества 1 + 𝜔 + 𝜔2 = 0. Заметим, что коэффициенты y13 + y23 и y13 y23 многочлена g(y) симметричны относительно всех перестановок корней x1, x2, x3. Из основной теоремы о симметричных многочленах вытекает, что эти коэффициенты можно выразить в терминах элементарных симметричных многочленов 𝐸 1 = x 1 + x 2 + x 3, 𝐸 2 = x 1x 2 + x 2x 3 + x 1x 3, 𝐸 3 = x 1x 2x 3.

Согласно формулам Виета, эти элементарные симметричные многочлены можно вычислить в терминах коэффициентов f(x): 𝐸1 = 6, 𝐸2 = 9, 𝐸3 = 4. Тогда несколько утомительное, но прямолинейное вычисление дает: y13 + y23 = 2Е13 - 9𝐸1𝐸2 + 27𝐸3 = 54,

y13y23 = (Е12 - 3𝐸2)3 = 729.

Следовательно,

g(y) = y6 - 54y3 + 729 = (y3 - 27)2, и мы получаем, что корни g(y) равны {3, 3𝜔, 3𝜔2} и что каждый такой корень имеет кратность 2. В силу симметрии можно считать, что y1 = y2 = 3. Корни f(x) теперь являются решениями линейной системы уравнений y1 = x1 + 𝜔2x2 +𝜔x3 =3 y2 = x1 + 𝜔x2 +𝜔2x3 =3

𝐸1 = x1 + x2 + x3 = 6.

Решив эту систему, находим, что x1 = 4, x2 = x3 = 1, на чем доказательство и завершается. 

66

В этом решении кубического уравнения также используется симметрия, но более Еще одна симметрия тонко, чем в предыдущей вариации. Саму стратегию придумал живший в XVIII ве­ ке математик итальянского происхождения, которого многие считают французом, Жозеф-Луи Лагранж. Вместо того чтобы непосредственно упрощать задачу решения кубического уравнения, он сначала удваивает степень, получая многочлен шестой степени – он называется резольвентой Лагранжа, – а затем сводит задачу к квадратному уравнению. Хотя в других доказательствах (например, 25 «Открытое коллективное») делается то же самое, здесь удвоение степени и последующее деление на три производится с учетом симметрии корней многочлена. Многочлен с двумя или более переменными называется симметричным, если при любой перестановке переменных он не меняется. Например, элементарными симметричными многочленами третьей степени являются 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3. Вообще, существуют элементарные симметричные многочлены любой степени. Основная теорема о симметричных многочленах утверждает (грубо говоря), что любой симметричный многочлен (любой степени) можно единственным способом выразить через элементарные симметричные многочлены52. Эта современная концепция симметрии чаще всего выражается на языке теории групп, а работа Лагранжа – центральная в предыстории этой теории53.

67

Задача. Доказать, что если x Î ℝ и x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2, то x = 1 или x = 4.

1. Чтобы с чего-то начать, быть может, стоит заметить, что это уравнение можно записать в стандартной форме x  - 6x + 9x - 4 = 0. 3

2

25

Открытое коллективное

Comment by ALPHA, June 25 @ 5:03pm | Reply 1.1. Можно также записать в форме Горнера (еще один «стандарт»): ((x - 6)x + 9)x - 4 = 0. Comment by BETA, June 25 @ 5:29pm | Reply 2. Уверен, что другие уже пробовали, но просто интересно, не стоит ли разложить на множители: x(x2 - 6x + 9) - 4=0 x(x - 3)2 = 4. Comment by GAMMA, June 25 @ 5:35pm | Reply 2.1. Я шел в том же направлении, но подумал, что будет жульничеством использовать теорему о  разложении на множители, которая, раз уж мы знаем решения, дает: (x - 1)(x - 4)(x - 4) = 0. Comment by DELTA, June 25 @ 5:36pm | Reply 2.1.1. Пардон, но почему три решения? Разве 1 – не повторяющийся корень? Comment by EPSILON, June 25 @ 5:45pm | Reply 2.1.2. Это следует из основной теоремы алгебры, но применение такого большого молотка для решения этой задачи похоже на еще одну форму жульничества. Блин! А вы правы, должно быть (x - 1)(x - 4)(x - 4) = 0. Comment by DELTA, June 25 @ 5:50pm | Reply 3. Обычно квадратные уравнения, для которых сразу не видно разложения на множители, решают «дополнением до полного квадрата». А нет такой штуки, как «дополнение до полного куба»?? Пока не уверен, что это правильная стратегия. Comment by ZETA, June 25 @ 5:59pm | Reply

69

Открытое коллективное

3.1. Разложение куба суммы имеет вид (x + a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3. Зная, что коэффициент при квадрате равен -6, мы должны взять a = -2, тогда x3 - 6x2 + 9x - 4 = (x - 2)3 - 3x + 4. Похоже, нет никакой гарантии, что мы сможем дополнить до куба, по крайней мере не путем прибавления постоянной. Comment by ALPHA, June 25 @ 6:19pm | Reply 4. А я вот только что заметил, что исходное уравнение прекрасно разлагается на множители: (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 2(x - 1). Comment by GAMMA, June 25 @ 6:20pm | Reply 4.1. Сократив общий множитель (x - 1), получаем квадратное уравнение с нужными решениями! Comment by EPSILON, June 25 @ 6:22pm | Reply 5. Я хочу вернуться к последнему комментарию ALPHA. Если произвести замену переменной x = x - 2, то мы хотя бы получим кубическое уравнение без квад­ ратного члена: y3 - 3y - 2 = 0. Мне это кажется важным. Comment by ZETA, June 25 @ 6:41pm | Reply 5.1. TAU называет это «неполным кубическим уравнением». Вот ссылка на статью Comment by ETA, June 25 @ 6:44pm | Reply 5.1.1. Спасибо, ETA, я ее раньше не видел! Comment by ZETA, June 25 @ 6:47pm | Reply 5.2. Если положить z = x + 1, то линейный и  постоянный члены пропадут, а z3 - 3z = 0 легко разлагается на множители. Это жульничество? Comment by GAMMA, June 25 @ 6:51pm | Reply 5.3. У меня нет конкретной идеи, но 3 кажется важным. y3 = 3y + 2.

70

Никак нельзя это использовать, чтобы убрать еще какие-то члены? Comment by ALPHA, June 25 @ 6:52pm | Reply

5.3.1. Может быть, такая форма разложения куба суммы поможет? (x + a)3 = x3 + 3xa(x + a) + a3

Открытое коллективное

Comment by BETA, June 25 @ 7:22pm | Reply 5.3.2. Ага! Давайте положим y = u + v, тогда (u + v)3 = 3uv(u + v) + u3 + v3 выглядит очень похоже на наше уравнение y3 = 3y - 2. Теперь нам нужно решить систему uv = 1 u3 + v3 = 2. Comment by ALPHA, June 25 @ 7:25pm | Reply 5.3.3. Это квадратное уравнение относительно u3. Подставим v = 1∕u во второе уравнение: u3 + 1/u3 = 2 u6 - 2u3 + 1 = 0. Его решение u3 = 1, откуда следует, что v = 1 и y = 2. Мы решили! Comment by ZETA, June 25 @ 7:28pm | Reply 5.3.4. Поскольку y = x - 2, получаем корень x = 4. Comment by ALPHA, June 25 @ 7:29pm | Reply 5.3.5. А если разделить исходное кубическое уравнение на (x - 4), то останется (x - 1)2 = 0. Comment by ZETA, June 25 @ 7:31pm | Reply 6. Ура, мы нашли доказательство! Comment by ALPHA, June 25 @ 7:32pm | Reply

71

Открытое коллективное

72

Этот стиль основан на проекте Polymath. В 2009 году математик Тимоти Гоуэрс из Кембриджского университета воспользовался своим блогом, чтобы предложить, а затем провести эксперимент для ответа на вопрос: «Возможна ли массово коллективная математика?»54 Первая поставленная им задача состояла в отыскании нового доказательства частного случая теоремы Хейлза–Джуитта о плотности из области комбинаторики. Как ни странно, цель была достигнута за пять с небольшим недель, при участии двадцати семи человек в обсуждении. «Любой, у кого было что сказать, мог присоединиться», объяснял Гоуэрс55. Недавно в проекте Polymath 8 (организованном еще одним лауреатом премии Филдса, Терренсом Тао) удалось улучшить результат Итан Чжана, касающийся гипотезы о  простых числах-близнецах56. Помимо практического значения для математических исследований, проект Polymath «наглядно показывает, как идеи развиваются, изменяются, улучшаются и отбрасываются… и как даже лучшие математики могут допускать простые ошибки и обдумывать множество неудачных идей»57. Здесь Гоуэрс вторит Имре Лакатосу, философу и  математику XX века, чья рациональная реконструкция исторического развития математических идей, книга «Доказательства и  опровержения», очень напоминает прототип проекта Polymath, правда, ворчания в ней куда больше58. Небольшие изображения справа от комментариев – аватары, созданные с помощью плагинов Скотта Шеррила-Микса для WordPress, WP_Identicon и  WP_ MonsterID, которые сами основаны на программах Дона Парка и Андреаса Гора соответственно. Исключение – аватар Тао, который основан на фронтисписе сочинения Никколо Тартальи «Quesiti et inventioni diverse».

26

Акустическое

73

Акустическое

74

Нотная запись представляет партитуру обеих частей уравнения для скрипки; первая скрипка играет мелодию, которая аппроксимирует кубическое уравнение в левой части, а вторая – хроматическую гамму, представляющую линейную функцию в правой части. Длительность фразы четыре с четвертью такта соответствует интервалу ¾ ≤ x ≤ 4. Область значений обеих функций на этом интервале разделена на 54 полутона, это диапазон непрерывно звучащего классического музыкального инструмента с наибольшим диапазоном – скрипки – в предположении, что несколько дополнительных высоких нот можно сыграть за пределами грифа. Решения уравнения соответствуют моментам, когда обе скрипки играют одну и ту же ноту, а именно до-диез, первую ноту первого полного такта, и додиез, первую ноту последнего (неполного) такта.

Вход x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2: кубическое уравнение с двумя решениями; x : символ;

27

Алгоритмическое

Выход оба решения; Необходимые процедуры Left_side, Right_side, Derivative, Remainder, Solve, Quotient; Локальные переменные A, B, P, Q, R, x1, x2; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Begin A := Left_side(x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2); B := Right_side(x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2); P := A - B; Q := Derivative(P, x); while Q ≠ 0 do R := Remainder(P, Q, x); P := Q; Q := R; := x1 Solve(P, x); x2 := Solve(Quotient(A - B, (x - x1) ∗ (x - x1))); Return(([x1, x2]); End

75

Алгоритмическое

76

Как компьютер будет решать кубическое уравнение? Интересно, что едва ли не первое, что делает система компьютерной алгебры при подаче на вход кубического уравнения, – смотрит, есть ли у него кратные корни, например x = 1 в нашем случае. Ключевой факт, стоящий за этим действием, относится к  математическому анализу: кратный корень многочлена P является также корнем его производной Q. Возможно, вы обратили внимание, что две кривые в доказательстве 3 «Иллюстрированное» пересекаются в точке x = 4, но касаются в кратном корне x = 1; так вот, причина именно в этом. Нахождение общего корня двух многочленов – простая процедура, называемая алгоритмом Евклида; это не сложнее, чем найти наибольшее целое число, являющееся делителем двух заданных целых чисел. Она выполняется в цикле while. Найдя кратный корень x = 1, процедура делает кубический многочлен на (x - 1)2, чтобы найти оставшееся решение. Точно так же, как псевдокод представляет собой стиль кодирования, не привязанный ни к какому конкретному языку программирования, математический псевдоязык – это стиль вычисления, не привязанный ни к  какой системе компьютерной алгебры. Этот алгоритм и  сам псевдоязык, на котором он записан, основаны на книге Joel S. Cohen «Computer Algebra and Symbolic Computation: Mathematical Methods»59.

28

Start

В виде блок-схемы

Input: x - 6x + 11x - 6 = 2x - 2 3

2

B := Right_side(x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2)

A := Left_side(x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2)

P := A - B = x3 - 6x2 + 11x - 6

Q := P¢ = 3x2 - 12x + 9

x1 := Solve(P, x) = 1

x2 := Solve((A - B)/(x - x1)2, x) = 4

Output: [x1, x2] = [1, 4]

True

Q=0

False

R := Remainder(P, Q, x)

Q := R

P := Q

Stop

77

В виде блок-схемы

78

Блок-схема – это «инструмент для визуализации процесса и средство его улучшения»60. В данном случае процесс изложен в предыдущем доказательстве 27 «Алгоритмическое». В доказательстве 59 «В форме патента» на эту блок-схему предъявил права автор патента. Школьные учителя иногда используют блок-схемы как визуальное подспорье при объяснении процедуры решения элементарного алгебраического уравнения и  при изложении основных шагов доказательства от противного61. В контексте прикладной математики часто встречаются другие типы блок-схем, например диаграммы состояния и решающие деревья.

29

Модель

79

Модель

Как было отмечено в доказательстве 25 «Открытое коллективное» и в других мес­ тах, замена переменной позволяет свести наше кубическое уравнение к неполному, не содержащему квадрата: z3 - 3z - 2 = 0. На самом деле любое кубическое уравнение можно привести к виду z3 + pz + q = 0 с некоторыми коэффициентами p и q. Если интерпретировать тройку чисел (p, q, z) как геометрические координаты (x, y, z), то становится возможным построить пространство решений всех неполных кубических уравнений в  виде графика уравнения z3 + xz + y = 0. На фотографии показана бумажная модель этой поверхности, палец указывает в направлении точек с координатами (-3, -2, 2) и (-3,-2,-1), которые представляют два решения 2 и -1 нашего неполного кубического уравнения, для которого p = -3 и q = -2. Физические модели алгебраических поверхностей, чаще всего изготавливаемые из гипса, но также из бумаги, дерева или проволоки, получили широкое распространение в конце XIX – начале XX века. Математик Арнольд Эмх изготовил модель этой поверхности примерно в 1935 году, хотя я не смог проверить, находится ли она еще в коллекции Иллинойского университета, где он преподавал62. Эту модель сделала Сара Дэннис, студентка, работавшая над данным проектом. Для этого она напечатала на компьютере графики поперечных сечений области под поверхностью, прорезала в каждой распечатке вертикальные щели и соединила сечения между собой. Такие «слоистые» модели, как их стали называть63, вероятно, были первым шагом изготовления гипсовых моделей64.

80

Чтобы найти решения уравнения x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2, сначала перепишем его в стандартной форме x3 - 6x2 + 9x - 4 = 0. Корень кубического многочлена ax3 + bx2 + сx + d находится по формуле Кардано:

30

Полученное по формуле

Подставляя коэффициенты, a = 1, b = -6, с = 9, d = -4, получаем решения:

81

Полученное по формуле

Формулу Кардано трудно запомнить не только потому, что она такая длинная, есть еще тонкость, связанная с  кубическими корнями. При решении квадратного уравнения нужно рассматривать положительный и отрицательный корни, и точно так же здесь есть дополнительные решения, проистекающие из различных комплексных кубических корней. Эта тонкость, проигнорированная автором данного доказательства, будет более подробно рассмотрена в доказательстве 31 «Контрпример». А  вот полная формула для всей корней xn общего кубического уравнения, где n = 0, 1, 2:

Формула названа по имени автора доказательства 7 «Обретенное».

82

Утверждение. Если x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2, то из формулы Кардано следует, что x = 4.

31

Контрпример

Контрпример. Формула Кардано в данном случае имеет вид: , равен 1, получаем решение x = 4. Однако 1 – не единственное и, принимая, что число, куб которого равен 1. Заметим, что

И точно так же можно показать, что

Комбинирование этих двух комплексных корней из единицы дает решение , и, таким образом, утверждение опровергнуто.

83

Контрпример

Учитывая, что в эпоху Возрождения ученые еще не считали отрицательные величины полноправными числами, может показаться неразумным ожидать, что Кардано будет извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. А  он вот опровергает наши ожидания. В  главе 37 «Ars Magna» он сначала замечает, что «истинное» решение x = 5 уравнения x2 = x + 20 становится отрицательным, если «перевернуть» уравнение: x2 + x = 20. Далее в той же главе он предлагает следующее часто цитируемое обсуждение: Если тебя попросят разделить 10 на две части, произведение которых равно 30 или 40, то понятно, что это невозможно. Тем не менее поступим следующим образом: разделим 10 на две равные части, каждая из которых равна 5. Их мы возведем в квадрат, получится 25. Вычти 40 из получившихся 25, как я показал тебе в главе об операциях в  шестой книге. Получится остаток -15, квадратный корень из которого, прибавленный к  5 или вычтенный из 5, дает части, произведение которых равно 40. Эти части суть 5 + -15 и 5 - -15. … Отложив в сторону умственные терзания, умножь 5 + -15 на 5 - -15 и получишь 25 - (-15), каковое есть +15. Значит, это произведение равно 4065.

84

Утверждение. Если x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2, то x = 1 или x = 4. Контрпример. После вычитания 2x - 2 из обеих частей уравнения кубический многочлен приводится к стандартной форме x3 - 6x2 + 9x - 4 = 0, которая допус­ кает разложение на множители

32

Еще один контрпример

(x - 1)2(x - 4) = 0. Отсюда следует, что x - 1 = 0 или x - 4 = 0, и, следовательно, x = 1 или x = 4, как и утверждалось, но только в предположении, что x принадлежит множеству чисел X, удовлетворяющему свойству нулевого произведения: для любых a, b Î X если ab = 0, то a = 0 или b = 0. Этот вовсе не обязательно, как показывает пример (конечного) множества X остатков от деления на 12: X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Определим сумму, разность и произведение любой пары остатков как остаток от деления на 12 их обычной суммы, разности и произведения соответственно. Теперь заметим, что при x = 7 приведенное выше разложение на множители принимает вид: (x - 1)2(x - 4) = (7 - 1)2(7 - 4) = 108. Поскольку 108 нацело делится на 12, это произведение соответствует остатку 0 в X. Стало быть, мы нашли три решения уравнения, x1 = 1, x2 = 4, x3 = 7, и утверждение опровергнуто.

85

Еще один контрпример

86

Арифметику на множестве остатков от деления на 12 (по модулю 12) можно рассматривать как «арифметику часов», потому что она похожа на действия с часами на циферблате. Утверждение в этом упражнении можно было бы рассматривать как улучшение в ответ на первое критическое замечание – контпример 31. Как это утверждение можно было бы еще уточнить, чтобы принять во внимание второй контрпример? Обычно возможные значения переменной x ограничивают множеством целых, рациональных или вещественных чисел, как мы и делаем во многих теоремах из данного сборника. (Наименее ограничительное множество чисел, удовлетворяющее свойству нулевого произведения, называется доменом.) Как уже отмечалось в обсуждении, следующем за доказательством 25 «Открытое коллективное», Имре Лакатос был одним из первых математиков-философов, который систематически изучал утверждения и контпримеры, типичные для исторического развития математики66. Еще одна особенность анализа контрпримеров у Лакатоса, которой я здесь подражаю, – способ их появления в результате критики различных доказательства одних и  тех же утверждений. (Отмечу, что приведенный здесь контрпример также опровергает утверждение в  контрпримере 31.) Поэтому, как указывает Лакатос, часто бывает возможно в различных предположениях, перечисленных в начале теоремы – или еще не опровергнутого утверждения, – распознать следы нескольких неудачных попыток доказательства.

Теорема. Определим функцию f: ℝ → ℝ f(x) = x3 - 6x2 + 9x - 4. Если f(x) = 0, то x = 1 или x = 4.

Доказательство. Разложим функцию f в ряд Тейлора в окрестности первого из двух предполагаемых корней, x = 1. Вычислим производ­ ные f: f ¢(x) = 3x2 - 12x + 9, f ²(x) = 6x - 12, f ¢¢¢(x) = 6 и f (n) = 0 для n ≥ 4. Отсюда

33

Методами дифференциального исчисления

Таким образом, корни f равны 1 и 4, что и требовалось доказать.

87

Методами диффернциального исчисления

88

В 1994 году американский математик Уильям Тэрстон написал статью «On Proof and Progress in Mathematics», в которой перечислил различные концептуальные трактовки производной67. Выглядит этот перечень как приглашение к еще одному набору упражнений в стиле: 1. Инфинитезимальная. 2. Символическая. 3. Логическая. 4. Геометрическая. 5. Скорость. 6. Аппроксимация. 7. Микроскопическая. ⋮ 37. Лагранжево сечение кокасательного пучка. «У математиков в  каком-то смысле есть общий язык: язык символов, технических определений, вычислений и логики, – намечает Тэрстон. – Этот язык эффективно передает некоторые, но не все способы математического мышления». И  далее предупреждает: «Если не прикладывать значительных усилий для сохранения тона и аромата оригинальных озарений, снисходящих на человека, то различия начинают испаряться, как только умственные концепции переводятся на язык точных, формальных и явных определений»68. В первом наброске этого доказательства применялось правило произведения, являющееся примером символического способа мышления. Производная при этом рассматривается как аппроксимация кубической функции. Благодарю Эми Фивер из университета Кинга в Эдмонтоне, предложившую этот вариант.

П

редположим, что интенсия величины есть куб ее экстенсии и  еще девять раз за вычетом ушестеренного квадрата. Будет доказано, что когда эта величина достигает интенсии 4, ее экстенсия равна 1 или 4. О такой величине говорят, что ее форма неравномерна и надлежит прибегнуть к помощи умозрительного мероопределения искривленных фигур. Наше умозрительное рассуждение будет предпринято в соответствии с методом двойного ложного положения. Для начала произвольно предположим, что экстенсия равна 1. Тогда куб и девятикратная экстенсия за вычетом ее же ушестеренной, а именно 1 и 9 минус 6, в точности равны 4. В самом деле, 1 является истинным решением, как и утверждалось. Затем произвольно предположим, что экстенсия равна 2. Куб и девятикратная экстенсия за вычетом ее же ушестеренной, а именно 8 и 18 минус 24, дают 2. Это отличается от 4, истинного значения, на минус 2, значит, это положение ложно. Теперь положим экстенсию равной 12. Сумма куба и девятикратной экстенсии за вычетом ее же ушестеренной, а именно 1728 и 108 минус 864, дает 972. Таким образом, второе положение тоже ложно. Различие в  приближениях равно их сумме, 2 и 972, т. е. 974, поскольку одна ошибка с минусом, а другая с плюсом. Теперь возникает вопрос: сколько прибавить к  первому положению, чтобы уменьшить

разность между значением минус 2, которое получилось, и 4, истинным числом? Предположим, что величина равномерно растянута по этой разности. Тогда умножим эту разность на разность между обоими положениями и  разделим на разность полученных ранее приближений, а именно умножим 2 на 10 и  разделим на 974. Частное равно

34

Средневековое

,

поэтому увеличим экстенсию на одну единицу до 3. Это положение тоже ложно. Сумма куба и девятикратной экстенсии за вычетом ее же ушестеренной, а  именно дважды 27 минус 54, не дает вообще никакой интенсии. Второе положение, а именно 12, привело к интенсии, гораздо большей, чем истинная; поэтому уменьшим экстенсию вдвое и возьмем 6 в качестве второго положения. Сумма куба и  девятикратной экстенсии за вычетом ее же ушестеренной, а именно 216 и 54 минус 216, дает 54. Это второе положение также ложно. Продолжая, как и  раньше, умножим разность на разность между двумя положениями; разделим на разность между полученными приближениями, а именно умножим 4 на 3 и разделим на 54. Частное равно , поэтому экстенсия увеличивается еще на единицу, с 3 до 4. Теперь куб и девятикратная экстенсия за вычетом ее же ушестеренной, а именно 64 и 36 минус 96, в точности равны 4. Поэтому 4 является вторым истинным решением.

89

Средневековое

Это доказательство  – компиляция двух средневековых источников: главы 13 «о  методе двойного ложного положения и  его применении к  решению почти всех задач математики» из трактата «Liber abaci» (Книга абака, 1202) Леонардо Пизанского, известного под именем Фибоначчи69, и «Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum» (Трактат о конфигурации величин и движений, ок. 1370) философа-схоласта Николая Орезмского70. Метод двойного ложного положения в наши дни называется линейной интерполяцией. Если требуется оценить решение x уравнения f(x) = y для некоторой непрерывной функции f, то мы берем две произвольные точки, x1 и x2, вычисляем значения в них y1 = f(x1), y2 = f(x2) и решаем уравнение прямой, соединяющей «ложные положения»:

Удивительно, но, применяя этот метод, Фибоначчи получил вещественный корень кубического уравнения x3 + 2x2 + 10x = 20 с точностью до девяти знаков после запятой71. Он называет этот метод арабским словом «элхатаим», и это признание заслуг средневековой исламской математики, которую он предположительно изучал­. Еще раньше этот метод встречается в  древнекитайском тексте «Девять глав о математическом искусстве»72. Анализ Николая Орезмского интенсии величины (ее скорости) в терминах экстенсии – предтеча современного понятия функции. В этом сообщении линейная функция с  ненулевым углом наклона называется равномерной формой (uniform difform), а нелинейная функция – неравномерной формой (difform deformity). Этот же текст, набранный не столь завораживающим шрифтом, см. в доказательстве 35 «Сверстанное».

90

\documentclass[11pt]{book} \usepackage{multicol,yfonts,lettrine}%needs yinitas.mf \begin{document} \begin{center}\begin{multicols}{2}

\textfrak{\begin{spacing}{1.25}\large \lettrine[lines = 3]{П}{редположим}, что интенсия величины есть куб ее экстенсии и еще девять раз за вычетом ушестеренного квадрата. Будет доказано, что когда эта величина достигает интенсии 4, ее экстенсия равна 1 или 4. О такой величине говорят, что ее форма неравномерна и надлежит прибегнуть к помощи умозрительного мероопределения искривленных фигур. Наше умозрительное рассуждение будет предпринято в соответствии с методом двойного ложного положения. % Для начала произвольно предположим, что экстенсия равна 1. Тогда куб и девятикратная экстенсия за вычетом ее же ушестеренной, а именно 1 и 9 минус 6, в точности равны 4. В самом деле, 1 является истинным решением, как и утверждалось. % Затем произвольно предположим, что экстенсия равна 2. Куб и девятикратная экстенсия за вычетом ее же ушестеренной, а именно 8 и 18 минус 24, дают 2. Это отличается от 4, истинного значения, на минус 2, значит, это положение ложно. Теперь положим экстенсию равной 12. Сумма куба и девятикратной экстенсии за вычетом ее же ушестеренной, а именно 1728 и 108 минус 864, дает 972. Таким образом, второе положение тоже ложно. Различие в приближениях равно их сумме, 2 и 972, т. е. 974, поскольку одна ошибка с минусом, а другая с плюсом. % Теперь возникает вопрос: сколько прибавить к первому положению, чтобы уменьшить разность между значением минус 2, которое получилось, и 4, истинным числом? Предположим, что величина равномерно растянута по этой разности. Тогда умножим эту разность на разность между обоими положениями и разделим на разность полученных ранее приближений, а именно умножим 2 на 10 и разделим на 974. Частное равно $\frac{\textfrak{2}} {\textfrak{97}}$, поэтому увеличим экстенсию на одну единицу до 3. Это положение тоже ложно. Сумма куба и девятикратной экстенсии за вычетом ее же ушестеренной, а именно дважды 27 минус 54, не дает вообще никакой интенсии. Второе положение, а именно 12, привело к интенсии, гораздо большей, чем истинная; поэтому уменьшим экстенсию вдвое и возьмем 6 в качестве второго положения. Сумма куба и девятикратной экстенсии за вычетом ее же ушестеренной, а именно 216 и 54 минус 216, дает 54. Это второе положение также ложно.

35

Сверстанное

91

Сверстанное

92

% Продолжая, как и раньше, умножим разность на разность между двумя положениями; разделим на разность между полученными приближениями, а именно умножим 4 на 3 и разделим на 54. Частное равно textfrak{2}}{\textfrak{9}}$, поэтому экстенсия увеличивается еще на единицу, с 3 до 4. Теперь куб и девятикратная экстенсия за вычетом ее же ушестеренной, а именно 64 и 36 минус 96, в точности равны 4. Поэтому 4 является вторым истинным решением. \end{spacing}} \end{multicols} \end{document}

В этом упражнении приведен исходный код электронной разметки для текста из доказательства 34 «Средневековое». Когда меня посетила идея адаптировать «Упражнения в стиле» к математическому доказательству, я старался избавиться от этой заразы, убеждая себя в том, что кто-то уже это сделал. К сожалению, единственное, что я тогда смог найти, – набросок шести потенциальных направлений для упражнений в стиле, написанных тогдашним директором Wikipedia.fr, взявшим себе псевдоним Ellisllk73. Но восемь лет спустя я узнаю, что кое-кто таки сделал это. Книга Ludmila Duchêne и Agnès Leblanc «Rationnel mon Q: 65 exercices de styles» – веселое и профессио­ нально сделанное изложение доказательства иррациональности 2 разными стилями74. Интересно, что всего несколько стилей пересекаются с моими. Один пример такого плагиата путем предчувствия, как сказали бы члены Oulipo, – глава «Irrationalité de 2 (source)». Как и приведенный здесь пример, она содержит исходный код на языке TEX, предназначенном для верстки документов. Почти все члены (международного!) математического и  естественно-научного сооб­ щества привыкли полагаться на TEX (произносится «тек») с тех пор, как математик и специалист по компьютерным наукам Дональд Кнут выпустил систему верстки с открытым исходным кодом в 1978 году. Высококачественный выход и относительно небольшой размер исходных texфайлов стали причиной фундаментальных изменений в математических исследованиях и публикациях (см. доказательство 37 «Препринт»). В качестве примера исходного кода для современной математической нотации ниже приведен код формулы Кардано из доказательства 30 «Полученное по формуле»: {\small \begin{align*} \begin{split} x=&\sqrt[\leftroot{-1}\uproot{2}\scriptstyle 3] {\left( \frac{-b^3}{27a^3} + \frac{bc}{6a^2} \frac{d}{2a}\right) + \sqrt{\left( \frac{-b^3}{27a^3} + \frac{bc}{6a^2} - \frac{d}{2a}\right)^2 + \left(\frac{c}{3a} - \frac{b^2}{9a^2} \right)^3}} \\&+ \sqrt[\leftroot{-1}\uproot{2}\scriptstyle 3] {\left( \frac{-b^3}{27a^3} + \frac{bc}{6a^2} - \frac{d}{2a}\right) - \sqrt{\left( \frac{-b^3}{27a^3} + \frac{bc}{6a^2} - \frac{d}{2a}\right)^2 + \left(\frac{c}{3a} - \frac{b^2}{9a^2} \right)^3}} - \frac{b}{3a}. \end{split} \end{align*} }

Сверстанное

93

36

Социальные сети

Куб & первая степень, умноженная на 9, равно квадрат, умноженный на 6, & 4 решено сведением к уравнению @delferro arxiv.org/abs/4307.1160 #cubic #tartaglia

95

Социальные сети

Несмотря на репутацию профессии одиноких гениев или школьного предмета для социально не адаптированных, математика все же присутствует в социальных сетях, в т. ч. и в Твиттереi. (Конечно, социальные сети как технология являются продуктом математики.) Согласно статье, опубликованной в «Science» в 2014 году, среди 50 «научных звезд Твиттера» было два математика75. Маркус дю Сотой (@MarcusduSautoy) из Оксфордского университета занял 19-е место с 34 200 подписчиками и 3555 твитами, а Джон Аллен Паулос (@JohnAllenPaulos) из университета Темпла расположился на 43-й позиции с 14 000 подписчиков и 4144 твитами. Но оба кажутся карликами на фоне занявшего первое место астрофизика Нила деГрассе Тайсона (@neiltyson) из Хейденского планетария, который в то время имел 2,4 миллиона подписчиков. Приведенное здесь 137-символьноеii сообщение написано по образцу твитов организации Mathematics Papers (@MathPaper), которая публикует ссылки на новые математические работы, появившиеся на сервере препринтов (arXiv). Реферат, на который ссылается этот твит, см. в доказательстве 37 «Препринт». Когда я уже заканчивал работу над рукописью, вышла в свет книга John McCleary «Exercises in (Mathematical) Style: Stories of Binomial Coefficients». Если я правильно понимаю намерения автора, то основной ее смысл составляет математическое содержание, но все же имеется ряд прямых пересечений с приведенными в этой книге доказательствами. В  частности, в  главе «Твиты» демонстрируется работа группы людей в Твиттере над поиском доказательства. Быть может, пришло время восстановить «Семинар потенциальной математики», или Oumathpo. Согласно Компендиуму Oulipo Compendium, «принципиальной целью [Oumathpo] было сделать доступными математикам – в обмен на конструкции, которые математика подарила литературе (в особенности Oulipo), – математические приложения того, что до сей поры считалось чисто литературными процедурами»76. В  состав Oumathpo входили Кено, ле Лионез, Рубо, Берже, Пол Браффорт, Георг Крейзель, Пьер Самуэль, Джан-Карло Рота и Станислав Улам77.

После покупки в 2022 году Илоном Маском Твиттер стал называться «социальная сеть X». – Прим. ред. ii Имеется в виду оригинальный англоязычный текст. – Прим. перев. i

96

---------------------------------------------------------------\\ arXiv: 4307.1160

Дата: Wed, 28 Jul 1543 09:04:16 GMT (11kb) Название: О равенстве куба и первой степени квадрату и числу Авторы: Джироламо Кардано Категории: math.AG Примечания: 4 страницы, 1 рисунок \\ Сообщается о значительном прогрессе в решении кубических уравнений со времен основополагающей работы Хайяма. В этом веке общий метод нахождения решений в случае, когда сумма куба и первой степени равна числу, был предложен дель Ферро. В настоящей статье мы вычисляем все решения кубического уравнения $x^3+9x=6x^2+4$ путем преобразования его в кубическое уравнение, не содержащее квадратов. Затем следует обсуждение некоторых производных квадратных уравнений. Дополнительные приложения включают вычисление сложных процентов, прибыток от многократных деловых командировок и надлежащее распределение денежных сумм среди солдат. \\( http://arxiv.org/abs/4307.1160 , 11kb)

37

Препринт

97

Препринт

98

Не так уж редко случается, что разные математики, работая независимо друг от друга, открывают один и тот же объект или доказывают одну и ту же теорему. Если авторы хотят утвердить приоритет или просто поделиться своей работой, прежде чем она пройдет весь процесс взаимного рецензирования и  появится в  печати (на это уходит от шести месяцев до года и дольше), то размещают электронный препринт в  архиве препринтов на сервере arxiv.org. (О том, как приоритет научного открытия отстаивался во времена до интернета, см. доказательство 80 «Параноидальное».) Это доказательство представлено в  форме ежедневного рассылаемого по электронной почте уведомления от сервера arXiv. Подписчики могут выбирать из тридцати двух категорий, включая «Алгебраическую геометрию» (math.AG). В 2016 году в математическом разделе arXiv было опубликовано 32 553 препринта78.

x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2. x3 - 6x2 + 9x - 4 = 0. (y + 2)3 - 6(y + 2)2 + 9(y + 2) - 4 = 0.

38

Бессоюзное

y3 - 3y - 2 = 0. (2z)3 - 3(2z) - 2 = 0. 4z3 - 3z = 1. 4(cos 𝜃)3 - 3(cos 𝜃) = 1. 4 cos3𝜃 -3 cos 𝜃 = cos 3𝜃. cos 3𝜃 = 1.

𝜃 = 0, 2𝜋/3. z = -1/2, 1. y = -1, 2. x = 1, 4.

99

Бессоюзное

Подробнее о  шагах этого доказательства см. доказательство 47 «Хитроумное» и комментарий к нему. Этьен Гиз, математик из Лионской высшей нормальной школы во Франции, вспоминает, что потратил шесть месяцев, пытаясь понять результаты одного исследования по динамике (Марины Ратнер), чтобы представить их на семинаре. В  процессе обсуждения с ней ее статей он заметил, что у него создалось ощущение, что она пишет статьи не для того, чтобы другие математики их поняли, а в основном чтобы убедить себя в правильности теорем. Д-р Гиз пишет, что в ответ услышал: «Да! Именно! Вы правильно поняли, почему и как я пишу статьи по математике». Нью-Йорк таймс79

100

39

Оригами

Сложить пополам, сформировав сгиб, затем развернуть

Сложить по диагонали из угла до центрального сгиба

Развернуть

Сложить по диагонали, сформировав сгиб, затем развернуть

Сложить так, чтобы оказалась на нижней стороне, а  на правой. Угловой коэффициент каждого сгиба – корень 3 – 2 + многочлена x 6x 9x – 4

Сложить по горизонтали, сформировав сгиб, затем развернуть

Сложить по вертикали, сформировав сгиб, затем развернуть

Конец

101

Оригами

102

Любой отрезок, который можно построить циркулем и  линейкой (см. доказательство 12 «Циркулем и линейкой»), можно построить с помощью складывания бумаги, не имея никаких других инструментов, крому рук и  глаз80. Более того, итальянский математик Маргарита Пьяцолла Белох открыла, что складывание бумаги является строго более мощным инструментом, потому что позволяет решить любое кубическое уравнение 81. Белох доказала это, продемонстрировав, что оригами позволяет воспользоваться методом Лилла, несколько запутанным способом решения кубических уравнений, описанным в доказательстве 60 «Геометрическое». Здесь ориентация прямоугольного пути Лилла изменена, но все равно ее можно проследить на листе бумаги, если считать, что он имеет форму квадрата 10´10. Точки O и D в доказательстве 60 «Геометрическое» – это соответственно белая и  черная звездочки в  этом доказательстве. Ключевой шаг 7 – согнуть лист так, чтобы эти звездочки оказались на соседних краях, а два способа сделать это соответствуют двум решениям. В книге «Mathematics Under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice» профессор математики Манчестерского университета Александр Боровик описывает оригами как пример «математического мема» – элементарной единицы культурного общения, обладающей «тем внутренним свойством, что оно повышает точность воспроизведения и  исправляет ошибки в комплексах мемов, которым принадлежит»82.

Теорема. Если n – натуральное число и n3 - 6n2 + 11n - 6 = 2n - 2, то n = 1 или n = 4. Доказательство. Прямое вычисление показывает, что при 1 ≤ n ≤ 4 это кубическое уравнение удовлетворяется только для n = 1 и n = 4. Остается показать, что n3 - 6n2 + 11n - 6 ≠ 2n - 2 для всех n ≥ 5. Обозначим P(n) предложение n3 - 6n2 + 11n - 6 > 2n - 2. Мы докажем P(n) индукцией по n ≥ 5. База индукции: для n = 5 n3 - 6n2 + 11n - 6 = 24 > 8 = 2n - 2. Таким образом, P(5) истинно. Шаг индукции: Заметим, что

40

По индукции

(n + 1)3 - 6(n + 1) + 11(n + 1) - 6(n + 1) = (n3 - 6n2 + 11n - 6) + (3n2 - 9n + 6) = (n3 - 6n2 + 11n - 6) + 3n(n - 3) + 6 > (n3 - 6n2 + 11n - 6) + 6, т. к. n > 3 > (2n - 2) + 6 по предположению индукции > 2(n + 1) - 2, и, следовательно, P(n + 1) истинно. Таким образом, по индукции заключаем, что P(n) истинно для всех натуральных чисел n ≥ 5. Мы доказали, что n = 1 и n = 4 – единственные решения. 

103

По индукции

104

Принцип математической индукции утверждает, что предложение P(n), зависящее от натурального числа n, истинно для всех n, если P(1) истинно и из истинности P(n) следует истинность P(n + 1). Это не похоже на индуктивное рассуждение, встречающееся в естественных науках, – да и не является таковым, – но математики, конечно же, рассуждают от частного к общему, например, когда пытаются понять, что именно нужно доказать с применением этого принципа. Согласно статье Флориана Каджори о происхождении термина «математическая индукция», английский математик XVII века Джон Валлис подвергся жесткой критике со стороны современников за введение в обиход слова «индукция» для описания одновременно неформального и формального этапов умственного труда. «[Ферма] ругает меня за доказательство по Индукции и старается исправить его. … Я смотрю на Индукцию как на очень хороший метод Исследования; такой, который очень часто приводит нас к открытию Общего Правила», сетовал Валлис. А о другом своем критике, Исмаэле Буллиалдусе, он пишет: «он думает, что я не оказал своему изобретению столько почестей, сколько оно заслуживает»83. Что почетнее, угадать или доказать формулу Валлиса?

НОВОЕ РЕШЕНИЕ ДРЕВНЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАГАДКИ АНТОНИО да ЧЕЛЛАТИКО 9 марта 1539 года Все началось с Дельфийского оракула. Чтобы утишить политическую смуту в древнегреческом городе Делосе, оракул загадал горожанам геометрическую загадку. Называется она «делийская задача», и  с  тех пор математики бьются над ней. 29 декабря итальянский математик из Брешии объявил, что решил связанную задачу и что это может стать прорывом в решении делийской задачи. Говорят, что уроженец Брешии Зуан де Тонини да Кои опирался на новую технику из области знаний под названием «алгебра», хотя детали его решения просачиваются медленно. Заявление да Кои содержалось в письме к  миланскому доктору медицины и математику Джеронимо Кардано. «Это сенсация,  – сказал Кардано, получатель субсидий от маркиза дель Васто. – Если это окажется правдой, то совершит революцию в этой области». Другие не так уверены. «Иногда мы находим решение уравнения, но еще не можем обосновать его,  – сказал Никколо Тарталья, еще один математик из Брешии. – Но я  склонен сомневаться, пока не увижу доказательства». В конце прошлого века Лука Пачио­ ли, монах-францисканец и  ученый, сотрудничавший с  великим Леонардо

да Винчи, трудился над похожими задачами алгебры. По словам ученых, знакомых с его трактатом на эту тему, Пачиоли даже предположил, что некоторые так называемые «кубические уравнения» могут не иметь решений. Эти сомнения разделяли и делийцы. Указание оракула заключалось в  том, чтобы измерить новый алтарь богу Аполлону в форме куба. Одна из любимых Платоном форм, куб представляет собой твердое тело в форме игральной кости с шестью равными гранями. «Сложность, однако, заключается в том, что, по требованию оракула, новый алтарь должен быть ровно в  два раза больше старого,  – объяснил доктор Кардано. – Нельзя просто удвоить длину стороны, потому что тогда получится куб, в восемь раз больший первого». И как бы ни был доволен Аполлон алтарем большего размера, оракула это не устроило бы. Выраженная в  хитроумных терминах современной математики, задача да Кои не менее сложна, чем задача древних. Согласно его письму, он ищет «куб и умноженную на 11 сторону и два, равный умноженному на шесть квадрату и умноженной на два стороне плюс шесть». И все же уравнение да Кои, возможно, имеет решения. Пока новое открытие не полностью подтверждено, исследования будут продолжаться. В  любом случае делийская задача, вероятно, будет занимать умы если не граждан Делоса, то по крайней мере математиков еще много лет.

41

Новость

105

Новость

106

Этот стиль – подражание различным статьям, опубликованным в Нью-Йорк таймс за последние двадцать лет84, и  сатирическому посту в  блоге Мартина Роббинса «This is a news website article about a scientific paper», опубликованному Гардиан85. Делийская задача – одна из классических задач на построение – ставит вопрос о числах, которые можно построить, пользуясь только циркулем и линейкой. Кардано, Тарталья и другие искали решения кубических уравнений в предположении, что любой кубический корень можно найти, или, как мы говорим, «извлечь». Такие тонкости часто теряются в пересказе журналистов, вызывая смятение в умах математиков, но не причиняя вреда широкой публике. Имена и даты взяты из статьи Нордгаарда «Sidelights on the Cardan-Tartaglia Controversy»86. О делийской задаче мы знаем от Плутарха. Невозможность удвоения куба с помощью циркуля и линейки была доказана Пьером Ванцелем в 1837 году.

Теорема. Существует вещественное число x такое, что x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2. Доказательство. Обозначим f : ℝ → ℝ функцию, значением которой в точке x является разность между левой и правой частями уравнения

42

Аналитическое

f(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6 - (2x - 2).

Определим A ⊂ ℝ как подмножество области определения f, которое отображается в строго отрицательные вещественные числа A = {x∶f(x) < 0}.

Заметим, что A – непустое и  ограниченное подмножество вещественных чисел. Например, 0 ∈ A, потому что f(0) = -4, а 10 является верхней гранью A, т. к. f(10) = 486. По аксиоме полноты множества вещественных чисел, существует вещественное число с, являющееся наименьшей верхней гранью A: с = sup A. Мы покажем, что f(с) = 0, т. е. с является корнем уравнения. Пусть 𝜖 > 0. В силу непрерывности f, существует 𝛿 > 0 такое, что |f(x) - f(с)| < 𝜖, если |x - с| < 𝛿. Из первого неравенства следует, что f(x) - 𝜖 0 /\ x > 0 /\ y > 0 /\ z > 0 /\ w > y /\ x > z -> w + x y + z. Proof. intros; intuition. Qed. Lemma XmultY_gt_Z : forall x y z:nat, y >= 1 /\ x >= z /\ y >= z -> x * y >= z. Доказательство. intros; destruct H; destruct H0. rewrite x^3 + 9 * x = 6 * x^2 + 4) /\ (x = 0 \/ x = 2 \/ x = 3 \/ x = 5 \/ x = 6 \/ x > 6 -> x^3 + 9 * x 6 * x^2 + 4). Proof. intros; split. intros; destruct H. rewrite H; easy. rewrite H; easy. intros; destruct H. rewrite H; easy. destruct H. rewrite H; easy. destruct H. rewrite H; easy. destruct H. rewrite H; easy. destruct H. rewrite H; easy. apply WplusX_ne_YplusZ; intuition. do 2 use_XmultY_gt_Z. do 2 use_XmultY_gt_Z. assert (x^3 = x^2 * x) by (simpl; intuition). rewrite H0; do 2 rewrite mult_comm. assert (6 * x^2 = x^2 * 6) by intuition. rewrite H1; apply mult_lt_compat_l; intuition; use_XmultY_gt_Z. Qed.

48

С помощью компьютера

125

С помощью компьютера

126

Как и любое доказательство, этот текст является одновременно программой для проверки истинности теоремы (для натуральных чисел) и  записью хода мыслей, приведшего к  такому способу проверки. Здесь «ход мыслей» разделяется человеком-доказателем и компьютером-доказателем, в роли которого в данном случае выступает программа доказательства теорем Coq  – одна из многих доступных сегодня программных систем такого рода95. Со стороны человека заслуга по праву принадлежит двум студентам, работавшим над этим проектом, Саре Дэннис и Маршаллу Пангилинану. Помощник работает, применяя «тактики» для распаковки (intros, destruct, split), перезаписи (rewrite, apply) или иного преобразования искомого заключения либо цели в более простые подцели. Что для человека просто или до отвращения элементарно, зачастую сложно для компьютера, и у программы Coq есть набор тактик, которые можно импортировать для автоматизации поиска неявных логических связок (easy, intuition, exact). Или же доказатели могут определять собственные тактики с помощью команды Ltac. С тех пор как Кеннет Аппель и  Вольфганг Хакен в  1976 году доказали теорему о  четырех красках, было написано много слов об отвращении математиков к  доказательствам, проверяемым компьютером. Сравнительно недавний пример – разбирательства и мытарства, испытанные Томасом Хейлзом, чье доказательство гипотезы Кеплера в конце концов, хотя и со скрипом, было принято96. Духоподъемный взгляд на этот спор, которому уже минуло несколько десятков лет, можно найти на сайте Dr. Z’s Opinions, где выложены статьи типа «Don’t Ask: What an The Computer do for ME?, But Rather: What CAN I do for the COMPUTER?» (Не спрашивай, что компьютер может сделать для ТЕБЯ. Спроси, что ты можешь сделать для КОМПЬЮТЕРА)97.

Уважаемый д-р Ординг! Сердечно благодарю Вас за весьма содержательное письмо (электронное сообщение от 18 января в 13:26). Не существует нетривиального представления «x» в Вашем предложении, которое можно переформулировать в виде: «если (x - 1)2(x - 4) = 0, то x = 1 или x = 4». Дело в том, что «x» в Вашем предложении не является переменной. Его значение (или значения) может быть только логическим или не имеющим смысла (решения нет). То, что у Вашего предложения имеется осмысленное решение, можно отнести на счет логики, но это не проясняет осмысленность квантового постулата, который и является первопричиной логики. Предлагаемая мной работа касается осмысленности. Квантовый постулат создал логику, чтобы ограничить нестабильность, но сохранить свободу предопределенной гармонии.

49

Взгляд постороннего

Я надеюсь, что если Вы не раз перечитывали мое письмо от 5 мая 2017 года, то каждое новое прочтение приближает Вас к пониманию моей работы. Знание и понимание – не одно и то же. В логике то и другое переменчиво. НО знание кванта и ЕСТЬ понимание. Квант не подвержен никакой изменчивости. В моей работе первое Поколение – это нетривиальное представление его исходного аргумента. Первое Поколение создается квантовым постулатом в момент, когда последняя «переменная» исходного предложения заменена логически нетривиальным представлением этой переменной. В этот момент исходное предложение инициализируется в первом Поколении в соответствии с логикой, использованной при создании первого Поколения. Квантовый постулат не изменяет никаких допущений, а лишь гипотезы, т. е. исходную гипотезу с нетривиальным представлением. Если первое Поколение обнаруживает изменение в допущениях предложения, то это является признаком того, что исходное предложение эмпирически ложно. Логический анализ такого первого Поколения точно скажет, что пошло не так и что можно сделать для восстановления гармонии в ложном предложении. Я не уверен, что моя работа по квантам уместна в Вашей книге, но желаю Вам всего наилучшего. А  если Вы полагаете, что ее можно включить, то буду рад поработать с Вами. С наилучшими пожеланиями, Джон П. Колвис PS. На случай если Вы пожелаете сообщить о моей работе другим людям, недавно появился такой способ. Издательство Marquis Who’s Who создало сайт, чтобы помочь мне донести свою работу до мира. Его адрес http://www. johnpariscolvis.com.

127

Взгляд постороннего

Уважаемый м-р Джон Колвис! Прошлой весной я получил Ваше письмо о квантовом постулате. Благодарю Вас. Не могу сказать, что понял его до конца, но был заинтригован. Недавно я перечитывал его, и мне пришло в голову, что оно может иметь отношение к проекту, над которым я сейчас работаю, – рукопись о различных стилях математического доказательства. В каждой коротенькой главе книги будет представлен способ нахождения корней одного и того же элементарного кубического уравнения. Будут освещены исторические стили (античный, средневековый, современный), различные предметные области (геометрия, теория вероятностей, топология), различные инструменты (компьютер, калькулятор, логарифмическая линейка) и привлечен широкий круг ресурсов. Я надеюсь, книга понравится читателям, интересующимся математикой. Предложение, доказываемое в каждой главе, звучит так: Если x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 2x - 2, то x = 1 или x = 4. В математике и естественных науках немало примеров открытий, совершенных людьми, не принадлежащими профессиональному сообществу. В статье Нью-Йорк таймс такие открытия называются «математикой посторонних» (http://www.nytimes.com/2002/12/15/magazine/the-year-in-ideas-outsidermath.html). В той узкой области, которой я занимаюсь, теории узлов, самым известным примером может служить Кеннет Перко. Он, как и Вы, получил формальное образование, но не работал ни в каком академическом учреждении, когда открыл «пару Перко». Поэтому я хочу спросить, не будет ли Вам интересно представить доказательство указанного выше предложения, которое иллюстрировало бы Ваш квантовый постулат? Разумеется, Ваш вклад не останется анонимным. Каждое доказательство в книге занимает 1–2 страницы и сопровождается кратким комментарием о стиле и его источниках. Рукопись проходит последние этапы редактирования. Если хотите, я буду рад сообщить дополнительную информацию о проекте и его целях. В любом случае еще раз благодарю Вас за письмо. С наилучшими пожеланиями, Филип Ординг98

128

50

Хроматическое

Два спектра представляют две части уравнения x3 - 6x2 + 11x - 6 = 2x - 2. На высоте x тон левого спектра пропорционален f(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6, а тон правого – g(x) = 2x - 2. Единица измерения соответствует различию в  тоне 40°. Красная полоса (0°) при x = 1 и синяя полоса (240°) при x = 4 – решения уравнения. 129

Хроматическое

Эта диаграмма больше типична для изображений в условном цвете, встречающихся в естественных науках, где цвет используется для акцентирования и выявления особенностей сложных наборов данных (вспомните карту погоды). Некоторые математики тоже сталкиваются со сложными наборами данных – особенно после пришествия вычислений на компьютерах, – но в  журнальных статьях цветные изображения встречаются реже, чем хотелось бы. Математик, инженер и революционер Оливер Бирн, живший в XIX веке, считал это упущением и написал книгу «The First Six Books of the Elements of Euclid in Which Coloured Diagrams and Symbols Are Used Instead of Letters for the Greater Ease of Learners» (Первые шесть книг Начал Евклида, в которых используются цветные схемы и знаки вместо букв для большего удобства обучающихся). Его введение усиленно рекламировалось на том основании, что на усвоение Евклида учащиеся тратят в три раза меньше времени, чем обычным порядком, без цвета. Он даже защищался от потенциальных критиков: Цель этой РАБОТЫ – не просто иллюстрация; мы вводим цвета не для развлечения и не для того, чтобы порадовать читателя определенными сочетаниями оттенка и формы, а для того, чтобы помочь разуму в его погоне за истиной, расширить диапазон средств обучения и распространить прочные знания99.

Некоторые люди воспринимают математику только в  цвете. Физик Ричард Фейнман писал: «Когда я смотрю на уравнения, я вижу цветные буквы – сам не знаю, почему. Когда я читаю лекцию, я вижу смутные изображения бесселевых функций из справочника Янке и Эмде, а вокруг порхают светло-коричневые буквы 𝑗, голубовато-фиолетовые n и темно-коричневые x. И мне очень интересно, как все это видят студенты»100.

130

Теорема. Существует такое комплексное число z, что z3 - 6z2 + 11z - 6 = 2z - 2. Для любого такого числа |z| ≤ 8.

𝑡 = 8

ℂ

Доказательство. Пусть f∶ ℂ → ℂ – функция f(z) = z3 - 6z2 + 11z - 6 - (2z - 2) = z3  -  6z2 + 9z - 4. Рассмотрим траекторию на комплексной плоскости, описываемую f(z), когда z движется против часовой стрелки по окружности с центром в  начале координат и  радиусом t ≥ 0. Если f(z) ≠ 0 для всех z, принадлежащих этой окружности, то мы можем определить число кручения 𝜔  = 𝜔(t) функции f, равное числу оборотов этой траектории вокруг начала координат. То есть 𝜔 равно полному углу, заметаемому прямой, соединяющей начало координат и f(z), поделенному на 2𝜋. При t = 0 окружность сводится к  единственной точке, расположенной в начале координат. Поскольку образ f(0) начала координат – постоянная -4, то эта «траектория» не делает ни одного оборота вокруг начала координат, и 𝜔(0) = 0. Теперь предположим, что t > 8, тогда

51

Топологическое

|f(z) - z3| = |-6z2 + 9z + 4| ≤ 6|z|2 + 9|z| + 4 = 𝑡2(6 + 9/𝑡 + 4/𝑡2) < 𝑡2 ⋅ 8 < 𝑡3 = |0 - z3|.

Эта цепочка неравенств показывает, что расстояние |f(z) - z3| между f и кубом z3 меньше, чем расстояние от начала координат до куба z3, так что их числа кручения одинаковы. Поскольку число кручения z3 равно 3, имеем 𝜔(t) = 3 для t > 8. Отсюда следует, что f(z) ≠ 0 для |z| > 8, поскольку в любом таком корне 𝜔(t) = 𝜔(|z|) было бы не определено. Кроме того, должен существовать по меньшей мере один корень z внутри круга |z| ≤ 8. По определению, 𝜔 – целочисленная функция, непрерывно зависящая от t, поскольку f – непрерывная функция от z. Так как единственными непрерывными целочисленными функциями являются постоянные, отсутствие корня в круге |z| ≤ 8 означало бы, что 𝜔 постоянна, что противоречит тому факту, что она принимает значения 0 и 3. 

131

Топологическое

132

Доказательство построено по образцу топологического доказательства того, что любой непостоянный многочлен имеет корень на комплексной плоскости, – это утверждение называется основной теоремой алгебры101. Как и математический анализ, топология изучает непрерывность, но не ограничивается вещественными или, как в данном случае, комплексными числами. Незабываемая пародия на разные стили математических рассуждений – статья «К математической теории охоты», опубликованная в 1938 году под псевдонимом H. Pétard. В ней под номером 7 находим ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД: «Заметим, что связность тела льва во всяком случае не меньше, чем связность тора. Переводим пустыню в четырехмерное пространство. В этом пространстве можно непрерывным образом выполнить такую деформацию, что по возвращении в трехмерное пространство лев окажется завязанным в узел. В таком состоянии он беспомощен»102.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ Если сумма куба со стороной, равной некоторому отрезку, и параллелепипеда со стороной основания девять и высотой, равной тому же отрезку, равна сумме параллелепипеда с квадратным основанием со стороной, равной отрезку, и  высотой шесть и  параллелепипеда с основанием четыре и высотой единица, то величина отрезка равна четырем единицам.

52

Античное

Пусть AC – отрезок, AD – квадрат со стороной AC, AE – куб со стороной AC, AT – параллелепипед с  основанием девять и высотой AC, AI – параллелепипед с основанием AD и высотой шесть, а K – параллелепипед с  основанием четыре и  высотой единица, такие что AE и AT равны AI и K. Я утверждаю, что величина AC равна четырем. Пусть AC разрезан в точке B такой, что три AB совпадает с DI. Построй квадрат AZ со стороной AB. Дострой прямоугольники ZD и ZC. Пусть тела AE, AT и AI рассечены плоскостью, проходящей через B перпендикулярно AC. Построй куб AH со стороной AB и дострой параллелепипеды HE, CH и DH. Тело HE совпадает с кубом со стороной BC, а сумма CH и DH совпадает с телом со сторонами AC, AB и BC.

133

Античное

Если отрезок разрезан в произвольной точке, то квад­ рат со стороной, равной полному отрезку, равен сумме квадратов со сторонами, равными каждой части отрезка, плюс удвоенный прямоугольник со сторонами, равными этим частям. Поэтому AD равно сумме AZ, ZD и  удвоенного ZC. Параллелепипеды с  одинаковыми высотами относятся друг к другу как их основания. Поэтому AI равно сумме параллелепипедов высотой шесть с основаниями AZ и ZD плюс удвоенный параллелепипед высотой шесть с основанием ZC. Если параллелепипед рассечь плоскостью, параллельной основанию, то отношение высот равно отношению самих параллелепипедов. Поэтому AT равно сумме AB, умноженного на девять, и BC, умноженного на девять.

134

Если отрезок разрезан в произвольной точке, то куб со стороной, равной целому отрезку, равен сумме кубов со сторонами, равными каждой части отрезка, плюс утроенный параллелепипед со сторонами, равными целому отрезку и  его частям. Поэтому AE равно сумме куба со стороной AB, куба со стороной BC и утроенного параллелепипеда со сторонами AC, AB и BC. Сущности, совпадающие друг с другом, равны, а произведение суммы величин на число равно сумме произведений величин на то же число, поэтому AE равно сумме AH, HE, утроенного DH и утроенного CH.

По предположению, параллелепипеды AE и AT равны AI и K. Поэтому сумма AH, HE, утроенного DH, утроенного CH, удевятеренного AB и удевятеренного BC равна сумме параллелепипедов высотой шесть и основания­ ми AZ и  ZD плюс удвоенный параллелепипед высотой шесть с основанием ZC и K. Если равные вычесть из равных, то остатки будут равны. Поэтому HE равен сумме одной трети BT и половины K.

Античное

Но HE совпадает с кубом со стороной BC, а одна треть AT совпадает с параллелепипедом высотой BC и основанием три, поэтому они соответственно равны. Сущности, равные одному и тому же, равны между собой, поэтому куб со стороной BC равен сумме параллелепипеда с основанием три и высотой BC и половины K. Если куб со стороной, равной отрезку, равен сумме параллелепипеда с основанием три и высотой, равной отрезку, и параллелепипеда с основанием два и высотой единица, то величина отрезка равна двум единицам. Следовательно, величина BC равна двум единицам. Так как AB тоже равен двум единицам, AC равен четырем единицам. Таким образом, если сумма куба со стороной, равной отрезку, и параллелепипеда с основанием девять и высотой, равной отрезку, равна сумме параллелепипеда с квадратным основанием со стороной, равной отрезку, и высотой шесть и параллелепипеда с основанием четыре и высотой единица, то отрезок равен четырем единицам. Это именно то, что требовалось доказать.

135

Античное

136

В японском языке числа нельзя использовать сами по себе для подсчета предметов, как в  русских предложениях «два листа бумаги» или «два карандаша». Необходимо сопроводить число подходящим счетным суффиксом. Для плоских объектов, например листов бумаги, употребляется суффикс (mai), а для длинных тонких объектов, таких как карандаш, – суффикс (pon). В «Началах» Евклида не разрешается сравнивать квадрат с кубом, если не найдено представление для каждого в терминах одной и той же размерности. Избавившись от знаков минус, которые были бы анахронизмом, получаем кубическое уравнение, которое утверждает, что объем x3 + 9x конгруэнтен объему 6x2 + 4. Книга XI «Начал», в  которой рассматривается стереометрия, послужила образцом для этого доказательства103. Априори геометрическое ограничение не исключает случая AC =1, но его исключает доказательство. По-видимому, большинство теорем, приведенных в  «Началах», не принадлежат Евклиду, но логическое изложение, основанное на аксиомах, построениях, предложениях и  доказательствах, возможно, его. По сравнению с  «Диалогами» Сократа, которые датируются веком раньше, «дедуктивный стиль», как называет его Лакатос104, звучит повелительно и по-новому. Когда-то организатор междисциплинарной конференции в  школе дизайна Пенсильванского университета уверял меня, что после изучения Евклида в течение года он чуть не тронулся умом. Тогда я не вполне понимал, что он имеет в виду, но теперь мне стало яснее.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ Формулировка

Если сумма куба со стороной, равной некоторому отрезку, и параллелепипеда со стороной основания девять и высотой, равной отрезку, равна сумме параллелепипеда с  квадратным основанием со стороной, равной отрезку, и высотой шесть и параллелепипеда с основанием четыре и высотой единица, то величина отрезка равна четырем единицам.

Предложение, сформулированное в геометрических терминах, эквивалентно тому, что кубическое уравнение x3 + 9x = 6x2 + 4 имеет решение x = 4.

Подготовка

Пусть AC – отрезок, AD – квадрат со стороной AC, AE – куб со стороной AC, AT – параллелепипед с  основанием девять и высотой AC, AI – параллелепипед с основанием AD и высотой шесть, а K – параллелепипед с  основанием четыре и  высотой единица, такие что AE и AT равны AI и K.

AC = x AT = 9x AD = x2 AI = 6x2 AE = x3 K=4

Утверждение Построение

53

Заметки на полях

Я утверждаю, что величина AC равна четырем. Пусть AC разрезан в точке B такой, что три AB совпадает с DI. Построй квадрат AZ со стороной AB. Дострой прямоугольники ZD и ZC. Пусть тела AE, AT и AI рассечены плоскостью, проходящей через B перпендикулярно AC. Построй куб AH со стороной AB и дострой параллелепипеды HE, CH и  DH. Тело HE совпадает с кубом со стороной BC, а сумма CH и DH совпадает с телом со сторонами AC, AB и BC.

Таким образом, AB = 2. AZ = AB2 =4 ZD = (x - 2)2 ZC =2(x - 2) AH = AB3 = 8 HE = (x - 2)3 CH = 4(x - 2) DH = 2(x-2)2 CH + DH = 2x(x - 2)

В Ватиканском кодексе 532 стоит G вместо C

137

Заметки на полях

Доказательство

II.4 (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab XI.32

XI.40

XI.43 (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) CN.4 V.1

138

Если отрезок разрезан в произвольной точке, то квад­ рат со стороной, равной полному отрезку, равен сумме квадратов со сторонами, равными каждой части отрезка, плюс удвоенный прямоугольник со сторонами, равными этим частям. Поэтому AD равно сумме AZ, ZD и  удвоенного ZC. Параллелепипеды с  одинаковыми высотами относятся друг к другу как их основания. Поэтому AI равно сумме параллелепипедов высотой шесть с основаниями AZ и ZD плюс удвоенный параллелепипед высотой шесть с основанием ZC. Если параллелепипед рассечь плоскостью, параллельной основанию, то отношение высот равно отношению самих параллелепипедов. Поэтому AT равно сумме AB, умноженного на девять, и BC, умноженного на девять. Если отрезок разрезан в произвольной точке, то куб со стороной, равной целому отрезку, равен сумме кубов со сторонами, равными каждой части отрезка, плюс утроенный параллелепипед со сторонами, равными целому отрезку и  его частям. Поэтому AE равно сумме куба со стороной AB, куба со стороной BC и утроенного параллелепипеда со сторонами AC, AB и BC. Сущности, совпадающие друг с другом, равны, а произведение суммы величин на число равно сумме произведений величин на то же число, поэтому AE равно сумме AH, HE, утроенного DH и утроенного CH.

AD = AZ + ZD + 2ZC AI = 6AZ + 6ZD + 2·6ZC ZC = 2(х − 2) 6x2 = 24 + 24(x − 2) + 6(x − 2)2

9x = 18 + 9(x − 2)

AE = AB3 + BC3 + 3AC · AB · BC

AE = AH + HE + 3DH + 3CH x3 = 8 + (x − 2)3 + 6(x − 2)2 + 12(x − 2)

CN.3

CN.4 CN.1

XI.50 Если y3 = 3y + 2, то y = 2.

Вывод

По предположению, параллелепипеды AE и AT равны AI и  K. Поэтому сумма AH, HE, утроенного DH, утроенного CH, удевятеренного AB и удевятеренного BC равна сумме параллелепипедов высотой шесть и основаниями AZ и ZD плюс удвоенный параллелепипед высотой шесть с основанием ZC и K. Если равные вычесть из равных, то остатки будет равны. Поэтому HE равен сумме одной трети BT и половины K.

AE + AT = AI + K

Но HE совпадает с  кубом со стороной BC, а  одна треть AT совпадает с  параллелепипедом высотой BC и основанием три, поэтому они соответственно равны. Сущности, равные одному и тому же, равны между собой, поэтому куб со стороной BC равен сумме параллелепипеда с основанием три и высотой BC и половины K.

HE = BC3 = (x − 2)3

Если куб со стороной, равной отрезку, равен сумме параллелепипеда с основанием три и высотой, равной отрезку, и  параллелепипеда с  основанием два и высотой единица, то величина отрезка равна двум единицам. Следовательно, величина BC равна двум единицам. Так как AB тоже равен двум единицам, AC равен четырем единицам.

Так как сторона основания K равна четырем, половина K совпадает с параллелепипедом с основанием два и высотой единица. [XI.32], и в силу CN.4 они равны.

Заметки на полях

AH + HE + 3DH + 3CH + 9AB + 9BC = 6AZ + 6ZD + 2 · 6ZC + K 8 + (x − 2)3 + 6(x − 2)2 + 12(x − 2) + 18 + 9(x − 2) = 24 + 24(x − 2) + 6(x − 2)2 + 4 1

1

HE = 3 BT + 2 K

1 3 AT

= 3BC 1

BC3 = 3BC + 2 K Неполное кубическое уравнение (x − 2)3 = 3(x − 2) + 2

Таким образом, если сумма куба со стороной, равной отрезку, и  параллелепипеда с  основанием девять и высотой, равной отрезку, равна сумме параллелепипеда с квадратным основанием со стороной, равной отрезку, и высотой шесть и параллелепипеда с основанием четыре и высотой единица, то отрезок равен четырем единицам. Это именно то, что требовалось доказать.

139

Заметки на полях

140

Чтобы не потерять нить рассуждений, при чтении любого математического текста полезно где-то рядом оставлять письменный комментарий. Такой стиль можно было бы назвать схолия. В качестве примера аннотированных «Начал» см. оцифрованный манускрипт MS D’Orville 301105. На левом поле этого доказательства расставлены ссылки на предложения и постулаты (CN) из «Начал», настоящие (например, II.4) или фиктивные (например, XI.40), а  также стилистические термины, обозначающие формальное деление доказательства. Хит обсуждает эти термины  – формулировка, подготовка, утверждение – во введении к своему переводу106. Замечу, что в предложении XI.50 предположительно решается неполное кубическое уравнение y3 = 3y + 2. Студент, работавший над этим проектом, Хуэй Бу, заметил, что у него также имеется трактовка в терминах объемов, нужно только прибавить к обеим частям параллелепипед высотой единица и основанием y2. По этому пути идет доказательство 81 «Скверностишие». На правом поле я перевел геометрическое изложение на язык алгебраических уравнений, без чего не смог бы следить за доказательством. Ватиканский кодекс 532 – еще одна фикция, навеянная комментариями, встречающимися в переводах, которые объединяют несколько изданий текста.

0