99 секретов математики 9785699975419

Table of contents :
Знакомимся с числами и счётом
№ 1. Большие числа: сколько песчинок во Вселенной
№ 2. Русский крестьянский способ умножения для всех сословий
№ 3. Метод «галера», или Лодка для деления
№ 4. Лишний верблюд и признаки делимости
№ 5. Много ли соли в морской воде: проценты
№ 6. Квадраты и корни: проще, чем кажется
№ 7. Средняя величина и как ее «пощупать»
№ 8. Числа-близнецы и другие простые числа
№ 9. Знатные и почетные совершенные числа
№ 10. Число 666. И почему оно такое «страшное»?
№ 11. Дружба в мире чисел
№ 12. В поисках верхней границы: числа Мерсенна
№ 13. Разложить по кирпичикам, или Основная теорема арифметики
№ 14. Взаимная простота и решето Эратосфена
№ 15. Бесконечная спираль вечного календаря
№ 16. Неопределенные уравнения, или что придумал Диофант
№ 17. Теорема Ферма и ее разные варианты
№ 18. Аликвотные дроби: десятичные и компания
№ 19. Бесконечные значения рациональных чисел
№ 20. «Неразумные» иррациональные числа
№ 21. Цепные дроби: не посчитать, но построить
№ 22. Золотое сечение, или Что расскажет пентаграмма
№ 23. «Потусторонний мир» трансцендентных чисел
№ 24. Чудные формулы одного числа Пи
№ 25. Есть ли предел у числа e?
№ 26. Числа, которые совсем нельзя измерить, но они есть
№ 27. Как нарисовать то, чего нет: геометрия комплексных чисел
№ 28. Нереальная реальность мнимых чисел
№ 29. Аргументы в споре с векторами
№ 30. Формула Эйлера, или Чем проще, тем лучше
Фигуры и тела. Плоские и объемные
№ 31. Наш друг треугольник и его незнакомые линии
№ 32. Окружности — верные друзья треугольников
№ 33. Равные и подобные: не одно и то же
№ 34. Теорема Пифагора: при чем тут штаны?
№ 35. Фаньяно, Ферма, Торричелли: классические задачи о треугольнике
№ 36. Многоугольники, или когда больше трех
№ 37. Равносоставленность, или как превратить квадрат в неквадрат
№ 38. Внезапные задачи о паркете
№ 39. Из чего состоит окружность
№ 40. Что еще мы знаем об окружности: длина и площадь
№ 41. Разрешимость задач на построение: что можно, а что нет
№ 42. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга: над чем бились древние
№ 43. Все начинается с четырех точек
№ 44. Параллельность и перпендикулярность: дело в углах
№ 45. Проекция, или Как передать объем на плоскость
№ 46. Когда у угла больше двух граней
№ 47. Многообразие объемных фигур
№ 48. Тела вращения, или Торжество симметрии
№ 49. Платоновы и архимедовы тела: многообразие многогранников
№ 50. Измерение как сравнение с эталоном
№ 51. Квадрируемость, или Много мелких в большом
№ 52. Кубируемость, или Переход от плоскости к объему
№ 53. Формулы объема: смотрим на высоту и вращаем плоскость
Древнее искусство Аль-Джебра
№ 54. Прекрасная краткость буквенных выражений
№ 55. Что общего у уравнений и торговых весов?
№ 56. Тождество уравнений: почти волшебство
№ 57. Формула и теорема Виета: разве это не одно и то же?
№ 58. Как победить кубическое уравнение: формула Кардано
№ 59. Уравнения четвертой степени: когда Феррари не машина
№ 60. Если степень больше пяти: решить нерешаемое
№ 61. Кирпич на кирпич, или Системы уравнений
№ 62. Младший брат, или О неравенствах
№ 63. Системы координат, или что изобрел Декарт
№ 64. Линейные уравнения и системы: магия карандаша и линейки
№ 65. Парабола, гипербола, овал… при чем тут конус?
№ 66. Откуда в названии «тригонометрия» слово три?
№ 67. Превращаем синус в косинус и обратно
№ 68. Векторы: непростые линии
№ 69. Кручу-верчу, или Операции с векторами
№ 70. Геометрия на сфере: в треугольнике больше 180°
№ 71. Когда непрерывность можно начертить карандашом на бумаге
№ 72. Линейные и степенные функции: все дело в кривых
№ 73. Показательная и логарифмическая функции: не могут друг без друга
№ 74. Синус и косинус: на одно лицо
№ 75. Веселое интегрирование
№ 76. Дифференциал: а теперь делаем все наоборот
№ 77. Округления: допустимое и недопустимое
№ 78. Погрешность, когда ее можно не бояться?
№ 79. Как вычислить квадратный корень и не ошибиться ненароком
№ 80. Алгоритм: что может быть проще… или сложнее?
Тысяча мелочей математики
№ 81. Размещения с повторениями и без
№ 82. Сели ровно в ряд: перестановки
№ 83. Сочетания и с чем их едят
№ 84. Подумаешь, бином Ньютона!
№ 85. Числа, выстроенные в лесенку: треугольник Паскаля
№ 86. Разбиение плоскости, или Как бы нам порезать торт
№ 87. Числа Каталана, или Каждой точке по паре
№ 88. Сделать магический квадрат из чисел
№ 89. С мостами все непросто: графы в математике
№ 90. Задача коммивояжера, или Из пункта А во все другие пункты
№ 91. Задача четырех красок, или Как сделать красиво
№ 92. Последовательности: что вообще мы о них знаем
№ 93. Арифметическая и геометрическая прогрессии
№ 94. Числа, выстроенные в ряд, сходятся и расходятся
№ 95. Случайны ли случайности, возможно ли невероятное?
№ 96. Посчитать то, что только может случиться
№ 97. Гаусс, его шляпа и распределение
№ 98. Что же в матлогике отличается от обычной логики?
№ 99. Выражения, или Что такое пропозиция

Citation preview

Юлия Кита

Москва 2018

 51  22.1 45

45

, . 99        /   . —   :    «», 2018. — 224 . — (99    ). ISBN 978-5-699-97541-9         ?    !"    # ! %&"     !   , '    &  666, !       ,   '  '  *   '   '  ' '     !  51  22.1

ISBN 978-5-699-97541-9

© , 2017 © .  «  «», 2017

                          7

¹ 1. Áîëüøèå ÷èñëà: ñêîëüêî ïåñ÷èíîê âî Âñåëåííîé............8 ¹ 2. Ðóññêèé êðåñòüÿíñêèé ñïîñîá óìíîæåíèÿ äëÿ âñåõ ñîñëîâèé ..........................................................................9 ¹ 3. Ìåòîä «ãàëåðà», èëè Ëîäêà äëÿ äåëåíèÿ..........................11 ¹ 4. Ëèøíèé âåðáëþä è ïðèçíàêè äåëèìîñòè .......................14 ¹ 5. Ìíîãî ëè ñîëè â ìîðñêîé âîäå: ïðîöåíòû ......................16 ¹ 6. Êâàäðàòû è êîðíè: ïðîùå, ÷åì êàæåòñÿ ..........................18 ¹ 7. Ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà è êàê åå «ïîùóïàòü» ..........................20 ¹ 8. ×èñëà-áëèçíåöû è äðóãèå ïðîñòûå ÷èñëà .......................23 ¹ 9. Çíàòíûå è ïî÷åòíûå ñîâåðøåííûå ÷èñëà .......................25 ¹ 10. ×èñëî 666. È ïî÷åìó îíî òàêîå «ñòðàøíîå»?................27 ¹ 11. Äðóæáà â ìèðå ÷èñåë ........................................................29 ¹ 12.  ïîèñêàõ âåðõíåé ãðàíèöû: ÷èñëà Ìåðñåííà..............32 ¹ 13. Ðàçëîæèòü ïî êèðïè÷èêàì, èëè Îñíîâíàÿ òåîðåìà àðèôìåòèêè..........................................33 ¹ 14. Âçàèìíàÿ ïðîñòîòà è ðåøåòî Ýðàòîñôåíà.....................36 ¹ 15. Áåñêîíå÷íàÿ ñïèðàëü âå÷íîãî êàëåíäàðÿ......................38 ¹ 16. Íåîïðåäåëåííûå óðàâíåíèÿ, èëè ÷òî ïðèäóìàë Äèîôàíò ........................................................40 ¹ 17. Òåîðåìà Ôåðìà è åå ðàçíûå âàðèàíòû ...........................42 ¹ 18. Àëèêâîòíûå äðîáè: äåñÿòè÷íûå è êîìïàíèÿ................44 ¹ 19. Áåñêîíå÷íûå çíà÷åíèÿ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ...............47 ¹ 20. «Íåðàçóìíûå» èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà ..........................48 ¹ 21. Öåïíûå äðîáè: íå ïîñ÷èòàòü, íî ïîñòðîèòü..................50 ¹ 22. Çîëîòîå ñå÷åíèå, èëè ×òî ðàññêàæåò ïåíòàãðàììà ......52 ¹ 23. «Ïîòóñòîðîííèé ìèð» òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë ...........54 ¹ 24. ×óäíûå ôîðìóëû îäíîãî ÷èñëà Ïè................................56 ¹ 25. Åñòü ëè ïðåäåë ó ÷èñëà e? .................................................59 ¹ 26. ×èñëà, êîòîðûå ñîâñåì íåëüçÿ èçìåðèòü, íî îíè åñòü....................................................................................61

¹ 27. Êàê íàðèñîâàòü òî, ÷åãî íåò: ãåîìåòðèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ..................................................64 ¹ 28. Íåðåàëüíàÿ ðåàëüíîñòü ìíèìûõ ÷èñåë..........................66 ¹ 29. Àðãóìåíòû â ñïîðå ñ âåêòîðàìè......................................69 ¹ 30. Ôîðìóëà Ýéëåðà, èëè ×åì ïðîùå, òåì ëó÷øå ..............71                                                       7 3

¹ 31. Íàø äðóã òðåóãîëüíèê è åãî íåçíàêîìûå ëèíèè ..........74 ¹ 32. Îêðóæíîñòè — âåðíûå äðóçüÿ òðåóãîëüíèêîâ ..............77 ¹ 33. Ðàâíûå è ïîäîáíûå: íå îäíî è òî æå .............................78 ¹ 34. Òåîðåìà Ïèôàãîðà: ïðè ÷åì òóò øòàíû? .......................80 ¹ 35. Ôàíüÿíî, Ôåðìà, Òîððè÷åëëè: êëàññè÷åñêèå çàäà÷è î òðåóãîëüíèêå .............................................................................82 ¹ 36. Ìíîãîóãîëüíèêè, èëè êîãäà áîëüøå òðåõ .....................84 ¹ 37. Ðàâíîñîñòàâëåííîñòü, èëè êàê ïðåâðàòèòü êâàäðàò â íåêâàäðàò ...................................................................................87 ¹ 38. Âíåçàïíûå çàäà÷è î ïàðêåòå............................................89 ¹ 39. Èç ÷åãî ñîñòîèò îêðóæíîñòü............................................91 ¹ 40. ×òî åùå ìû çíàåì îá îêðóæíîñòè: äëèíà è ïëîùàäü ..........................................................................93 ¹ 41. Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷ íà ïîñòðîåíèå: ÷òî ìîæíî, à ÷òî íåò....................................................................96 ¹ 42. Óäâîåíèå êóáà, òðèñåêöèÿ óãëà, êâàäðàòóðà êðóãà: íàä ÷åì áèëèñü äðåâíèå ...............................97 ¹ 43. Âñå íà÷èíàåòñÿ ñ ÷åòûðåõ òî÷åê....................................100 ¹ 44. Ïàðàëëåëüíîñòü è ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü: äåëî â óãëàõ .................................................................................101 ¹ 45. Ïðîåêöèÿ, èëè Êàê ïåðåäàòü îáúåì íà ïëîñêîñòü .....103 ¹ 46. Êîãäà ó óãëà áîëüøå äâóõ ãðàíåé ..................................105 ¹ 47. Ìíîãîîáðàçèå îáúåìíûõ ôèãóð ...................................107 ¹ 48. Òåëà âðàùåíèÿ, èëè Òîðæåñòâî ñèììåòðèè ................109 ¹ 49. Ïëàòîíîâû è àðõèìåäîâû òåëà: ìíîãîîáðàçèå ìíîãîãðàííèêîâ ...............................................112 ¹ 50. Èçìåðåíèå êàê ñðàâíåíèå ñ ýòàëîíîì .........................114 ¹ 51. Êâàäðèðóåìîñòü, èëè Ìíîãî ìåëêèõ â áîëüøîì........115 ¹ 52. Êóáèðóåìîñòü, èëè Ïåðåõîä îò ïëîñêîñòè ê îáúåìó ..118 ¹ 53. Ôîðìóëû îáúåìà: ñìîòðèì íà âûñîòó è âðàùàåì ïëîñêîñòü.................................................................121

                  -            1 2 3

¹ 54. Ïðåêðàñíàÿ êðàòêîñòü áóêâåííûõ âûðàæåíèé...........124 ¹ 55. ×òî îáùåãî ó óðàâíåíèé è òîðãîâûõ âåñîâ? ................125 ¹ 56. Òîæäåñòâî óðàâíåíèé: ïî÷òè âîëøåáñòâî ...................128 ¹ 57. Ôîðìóëà è òåîðåìà Âèåòà: ðàçâå ýòî íå îäíî è òî æå?.........................................................130 ¹ 58. Êàê ïîáåäèòü êóáè÷åñêîå óðàâíåíèå: ôîðìóëà Êàðäàíî ......................................................................131 ¹ 59. Óðàâíåíèÿ ÷åòâåðòîé ñòåïåíè: êîãäà Ôåððàðè íå ìàøèíà........................................................133 ¹ 60. Åñëè ñòåïåíü áîëüøå ïÿòè: ðåøèòü íåðåøàåìîå........135 ¹ 61. Êèðïè÷ íà êèðïè÷, èëè Ñèñòåìû óðàâíåíèé .............137 ¹ 62. Ìëàäøèé áðàò, èëè Î íåðàâåíñòâàõ.............................140 ¹ 63. Ñèñòåìû êîîðäèíàò, èëè ÷òî èçîáðåë Äåêàðò.............143 ¹ 64. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ è ñèñòåìû: ìàãèÿ êàðàíäàøà è ëèíåéêè ....................................................146 ¹ 65. Ïàðàáîëà, ãèïåðáîëà, îâàë… ïðè ÷åì òóò êîíóñ? .......148 ¹ 66. Îòêóäà â íàçâàíèè «òðèãîíîìåòðèÿ» ñëîâî òðè? ........151 ¹ 67. Ïðåâðàùàåì ñèíóñ â êîñèíóñ è îáðàòíî......................152 ¹ 68. Âåêòîðû: íåïðîñòûå ëèíèè ...........................................153 ¹ 69. Êðó÷ó-âåð÷ó, èëè Îïåðàöèè ñ âåêòîðàìè ....................156 ¹ 70. Ãåîìåòðèÿ íà ñôåðå: â òðåóãîëüíèêå áîëüøå 180° .......158 ¹ 71. Êîãäà íåïðåðûâíîñòü ìîæíî íà÷åðòèòü êàðàíäàøîì íà áóìàãå ..............................................................161 ¹ 72. Ëèíåéíûå è ñòåïåííûå ôóíêöèè: âñå äåëî â êðèâûõ ...163 ¹ 73. Ïîêàçàòåëüíàÿ è ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèè: íå ìîãóò äðóã áåç äðóãà ..............................................................166 ¹ 74. Ñèíóñ è êîñèíóñ: íà îäíî ëèöî.....................................168 ¹ 75. Âåñåëîå èíòåãðèðîâàíèå................................................170 ¹ 76. Äèôôåðåíöèàë: à òåïåðü äåëàåì âñå íàîáîðîò ...........173 ¹ 77. Îêðóãëåíèÿ: äîïóñòèìîå è íåäîïóñòèìîå ...................175 ¹ 78. Ïîãðåøíîñòü, êîãäà åå ìîæíî íå áîÿòüñÿ? .................177 ¹ 79. Êàê âû÷èñëèòü êâàäðàòíûé êîðåíü è íå îøèáèòüñÿ íåíàðîêîì ......................................................180 ¹ 80. Àëãîðèòì: ÷òî ìîæåò áûòü ïðîùå… èëè ñëîæíåå?.....181           

               1 8 3

¹ 81. Ðàçìåùåíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè è áåç ..............................184 ¹ 82. Ñåëè ðîâíî â ðÿä: ïåðåñòàíîâêè ...................................186

¹ 83. Ñî÷åòàíèÿ è ñ ÷åì èõ åäÿò .............................................188 ¹ 84. Ïîäóìàåøü, áèíîì Íüþòîíà!.. .....................................189 ¹ 85. ×èñëà, âûñòðîåííûå â ëåñåíêó: òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ ................................................................191 ¹ 86. Ðàçáèåíèå ïëîñêîñòè, èëè Êàê áû íàì ïîðåçàòü òîðò .................................................193 ¹ 87. ×èñëà Êàòàëàíà, èëè Êàæäîé òî÷êå ïî ïàðå...............195 ¹ 88. Ñäåëàòü ìàãè÷åñêèé êâàäðàò èç ÷èñåë .........................196 ¹ 89. Ñ ìîñòàìè âñå íåïðîñòî: ãðàôû â ìàòåìàòèêå............198 ¹ 90. Çàäà÷à êîììèâîÿæåðà, èëè Èç ïóíêòà À âî âñå äðóãèå ïóíêòû ...................................201 ¹ 91. Çàäà÷à ÷åòûðåõ êðàñîê, èëè Êàê ñäåëàòü êðàñèâî ......204 ¹ 92. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: ÷òî âîîáùå ìû î íèõ çíàåì .....205 ¹ 93. Àðèôìåòè÷åñêàÿ è ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèè.........207 ¹ 94. ×èñëà, âûñòðîåííûå â ðÿä, ñõîäÿòñÿ è ðàñõîäÿòñÿ.....210 ¹ 95. Ñëó÷àéíû ëè ñëó÷àéíîñòè, âîçìîæíî ëè íåâåðîÿòíîå?.......................................................213 ¹ 96. Ïîñ÷èòàòü òî, ÷òî òîëüêî ìîæåò ñëó÷èòüñÿ .................215 ¹ 97. Ãàóññ, åãî øëÿïà è ðàñïðåäåëåíèå.................................217 ¹ 98. ×òî æå â ìàòëîãèêå îòëè÷àåòñÿ îò îáû÷íîé ëîãèêè? ..................................................................219 ¹ 99. Âûðàæåíèÿ, èëè ×òî òàêîå ïðîïîçèöèÿ......................222

  

   



!"

  

   

# $  %   &   '  

Äîëãîå âðåìÿ äðåâíèå ëþäè äàæå íå ïûòàëèñü ïðåäñòàâèòü ñåáå, ÷òî Âñåëåííóþ ìîæíî èçìåðèòü è ïîñ÷èòàòü. Ïîêà âåëèêèé ó÷åíûé Àðõèìåä â ñâîáîäíîå îò âîñêëèöàíèé «Ýâðèêà!» âðåìÿ íå îïóáëèêîâàë ñî÷èíåíèå «Ïñàììèò».  íåì îí ïîñ÷èòàë äâå íåâåðîÿòíûå âåùè: ðàçìåð Âñåëåííîé è ÷èñëî ïåñ÷èíîê, äîñòàòî÷íîå, ÷òîáû çàïîëíèòü âñå îáîçðèìîå ïðîñòðàíñòâî. Äèàìåòð Âñåëåííîé îí ïðåäñòàâèë êàê 1014 ñòàäèé, èëè 2 ñâåòîâûõ ãîäà. À êîëè÷åñòâî «ïåñ÷èíîê» êàê 1063. Òàêèõ ìàëåíüêèõ, ÷òî â ìàêîâîì çåðíå èõ ñîäåðæàëàñü ìèðèàäà (òî åñòü 104). Õîòÿ âî âðåìåíà Àðõèìåäà íå áûëî ïðèâû÷íîãî íàì äåñÿòè÷íîãî èñ÷èñëåíèÿ, îí ïðèäóìàë ñèñòåìó, îñíîâàííóþ íà ìèðèàäî-ìèðèàäàõ — 108. Îò 1 äî 108 – 1 îí ñ÷èòàë «ïåðâûìè ÷èñëàìè», îò ìèðèàäû ìèðèàä äî 1016 — «âòîðûìè». È òàê äàëåå äî 1080000000000000000. Ýòó ñèñòåìó èñïîëüçîâàëè âïëîòü äî ýïîõè Âîçðîæäåíèÿ.

8

!(

)     

Ëþáûå ÷èñëà ìîæíî ïåðåìíîæàòü, íå çíàÿ òàáëèöó óìíîæåíèÿ. Äëÿ ïðîñòîãî «êðåñòüÿíñêîãî» ñïîñîáà íàäî âñåãî-òî óìåòü óìíîæàòü è äåëèòü ÷èñëà íà 2. È ñêëàäûâàòü â ñòîëáèê. Èòàê, óìíîæèì 44 íà 108. Çàïèñûâàåì äâà ÷èñëà ðÿäîì. 44 108 22 216 11 432 5 864 2 1728 1 3456 È äàëåå â äâà ñòîëáèêà: ïåðâîå ÷èñëî äåëèì íà äâà, âòîðîå óìíîæàåì íà äâà. Åñëè ïîëó÷àåì ïðîìåæóòî÷íûé îñòàòîê åäèíèöó, òî åå îòáðàñûâàåì. Ïîëó÷èâ â ïåðâîì ñòîëáèêå 1, èùåì â íåì ÷åòíûå ÷èñëà. Èõ âû÷åðêèâàåì âìåñòå ñ ÷èñëàìè âòîðîãî ñòîëáöà (îíè âñå ÷åòíûå, ìû âåäü óìíîæàåì íà 2), ñòîÿùèìè ðÿäîì.  ïðèìåðå ìû âû÷åðêèâàåì ïåðâóþ, âòîðóþ è ïÿòóþ ñòðî÷êè. Îñòàåòñÿ ñëîæèòü ÷èñëà âî âòîðîì ñòîëáöå è ïîëó÷èòü ðåçóëüòàò. 44 × 108 = 432 + 864 + 3456 = 4752 9

  

   

&  * 

+       +     #       , #      . /        '      $       0   )     4                      $ 5   &    %  (1 0 (  :  "" (  :  " ( (  :  " ; (  + :  " = 2>?; @ A  B          $   C    D        5     &                   &             &    E" F (  :  "" (  :  " ( 2

 " ; (  :  " = 2>

!;

Ýòîò ìåòîä, èçîáðåòåííûé â Èíäèè, áûë î÷åíü ïîïóëÿðåí â ñðåäíåâåêîâîé Âåíåöèè. Çäåñü íå íóæíî ïåðåìíîæåíèå ìíîãîçíà÷íûõ ÷èñåë. Òðåáóåòñÿ òîëüêî óìíîæåíèå íà îäíîçíà÷íîå ÷èñëî è âû÷èòàíèå. Èòàê, ðàçäåëèì 346 íà 987 654. Ïèøåì ýòè äâà ÷èñëà îäíî ïîä äðóãèì. Ïîäáîðîì íàõîäèì ïåðâóþ öèôðó ÷àñòíîãî. Ýòî 2 (ðèñ. 1 íà ñòð. 13). Óìíîæàåì ïåðâóþ öèôðó äåëèòåëÿ íà 2 è âû÷èòàåì ðåçóëüòàò èç ïåðâîé öèôðû äåëèìîãî. 9 – 3 × 2 = 3. Çàïèñûâàåì íàä ïåðâîé öèôðîé äåëèìîãî. Çà÷åðêèâàåì 9 è 3 (ðèñ. 2 íà ñòð. 13). Âòîðóþ öèôðó äåëèòåëÿ 4 óìíîæàåì íà 2 è ðåçóëüòàò âû÷èòàåì èç âòîðîé öèôðû äåëèìîãî 8. Ïèøåì 0. Âû÷åðêèâàåì 4 è 8. 307 (äâå öèôðû íàä äåëèìûì è òðåòüÿ äåëèìîãî) ìèíóñ òðåòüÿ öèôðà äåëèòåëÿ 6, óìíîæåííàÿ íà 2. Ïîëó÷àåì 295, çàïèñûâàåì «ëåñåíêîé» ñâåðõó. Âû÷åðêèâàåì 307 è 6. Ñíèçó «ëåñåíêîé» ïèøåì 346 (ðèñ. 3 íà ñòð. 13). Èùåì ïðîñòûì ïîäáîðîì âòîðóþ öèôðó ÷àñòíîãî, 8. 11

  

   

G .4C 

  H   

  

   

2956 ìèíóñ 346 × 8. Ïîëó÷àåì 188. Çàïèñûâàåì ñâåðõó «ëåñåíêîé». Çà÷åðêèâàåì 2956 è 346. Âíèçó «ëåñåíêîé» çàïèñûâàåì 364 (ðèñ. 4). Èùåì îïÿòü ïîäáîðîì ñëåäóþùóþ öèôðó ÷àñòíîãî, 5. 1885 – 346 × 5 ðàâíî 155. Çàïèñûâàåì ñâåðõó «ëåñåíêîé». Âû÷åðêèâàåì 1885 è 364. Îïÿòü «ëåñåíêîé» âíèçó 346 (ðèñ. 5). Ïîäáîðîì èùåì ïîñëåäíþþ öèôðó ÷àñòíîãî — 4. 1554 – 346 × 4 = 170. Ýòî îñòàòîê îò äåëåíèÿ. Çàïèøåì åãî â ñêîáêàõ ñïðàâà îò ÷àñòíîãî 2854 (ðèñ. 6). Ïðè ïîâîðîòå ðèñóíêà âû÷èñëåíèÿ íà òðè ÷àñà ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè ìîæíî óâèäåòü ñèëóýò êîðàáëÿ. Ïîòîìó ìåòîä íàçâàí «ãàëåðîé».

G      I  J         $        C  J     D     I+ #

12

!=

H $ 5 

  

   

& D  



Åñòü òàêàÿ ñòàðàÿ âîñòî÷íàÿ ïðèò÷à. Ó òðåõ áðàòüåâ óìåð îòåö. Çàâåùàë èì ñâîå ñòàäî âåðáëþäîâ — äåâÿòíàäöàòü ãîëîâ. Ñêàçàë: «Ñòàðøåìó ïîëîâèíó, ñðåäíåìó ÷åòâåðòü, à ìëàäøåìó — îäíó ïÿòóþ». Íî íå äåëèòñÿ 19 íè íà 4, íè íà 5 áåç îñòàòêà. Äàæå íà 2 íå äåëèòñÿ — íó íå ðóáèòü æå «ëèøíåãî» âåðáëþäà íàïîïîëàì? Îáðàòèëèñü áðàòüÿ ê ìóäðåöó. Òîò ïîñëóøàë èõ è ãîâîðèò: «Âîò ñòîèò åùå îäèí âåðáëþä, ìîé. Äîáàâüòå ê ñâîåìó ñòàäó è óæå òîãäà ðàçäåëèòå». Äîáàâèëè. Âûøëî 20 âåðáëþäîâ. Ñòàðøåìó, òàêèì îáðàçîì, äîñòàëîñü 10 âåðáëþäîâ, ñðåäíåìó 5 è ìëàäøåìó 4. «Ñïàñèáî, ìóäðûé ÷åëîâåê, — ãîâîðÿò áðàòüÿ, — íî ó íàñ îñòàëñÿ îäèí ëèøíèé âåðáëþä». «Ýòî íå ëèøíèé, — îòâå÷àåò ìóäðåö, — à ìîé. Îñòàâüòå åãî òóò, à ñàìè èäèòå äîìîé. È íàñëåäñòâî ñâîå çàáèðàéòå». Åñëè ðàññìîòðåòü çàäà÷êó ñ òî÷êè çðåíèÿ ÷èñåë, òî ìû ïîëó÷èì òàêîå âûðàæåíèå: 1/2 + 1/4 + + 1/5. Ïîïðîáóåì ïîñ÷èòàòü: 1/2 + 1/4 + 14

• íà 2, åñëè ïîñëåäíÿÿ åãî öèôðà äåëèòñÿ íà 2. • íà 3, åñëè ñóììà åãî öèôð äåëèòñÿ íà 3. • íà 5, åñëè çàêàí÷èâàåòñÿ íà 5 ëèáî íà 0. • íà 7 êîãäà êîëè÷åñòâî äåñÿòêîâ, óìíîæåííîå íà 3, ïëþñ êîëè÷åñòâî åäèíèö äåëèòñÿ íà 7. Ïðîâåðèì äåëèìîñòü ÷èñëà 1029: • 9 íå äåëèòñÿ íà 2, çíà÷èò 1029 íå äåëèòñÿ íà 2. • 1 + 2 + 9 = 12, 1 + 2 = 3, òî åñòü 1029 äåëèòñÿ íà 3. • 9 íå ðàâíî íè 5 íè 0, è 1029 íå äåëèòñÿ íà 5. • 102 × 3 + 9 = 315, 31 × 3 + 5 = 98, 9 × 3 + + 8 = 35, • 35 = 7 × 4, òî åñòü 1029 äåëèòñÿ íà 7.                  &    D         C          D   I       #    

15

  

   

+ 1/5 = 10/20 + 5/20 + 4/20 = 19/20. Îáùèé çíàìåíàòåëü ó äðîáåé 20, òî åñòü âñå íàñëåäñòâî-ñòàäî ïëþñ åùå îäèí âåðáëþä. Âîîáùå, ãëÿäÿ íà ÷èñëî, ìîæíî ñðàçó ñêàçàòü, íà êàêîå èç ïðîñòûõ ÷èñåë îíî äåëèòñÿ.

!A

G    

  

   

   %&K 

Ìû ïðèâûêëè ãîâîðèòü «ñëàäêèé», «ñîëåíûé», à ìîæíî ëè ýòî èçìåðèòü? Íàñêîëüêî ñîëåíîå, íàïðèìåð, ìîðå? Ìîæíî âû÷èñëèòü, ñêîëüêî ñîëè â êîíêðåòíîì ñòàêàíå. Íóæíî íàãðåòü æèäêîñòü äî êèïåíèÿ, ïîäîæäàòü, ïîêà âñÿ âîäà âûêèïèò, à ïîòîì âçâåñèòü îñòàâøóþñÿ íà äíå ñòàêàíà ñîëü. Íî åñëè âçÿòü äðóãóþ òàðó, ìû ïîëó÷èì óæå äðóãîé ðåçóëüòàò — áîëüøå èëè ìåíüøå. Ê ïðèìåðó, âîçüìåì ðîâíî êèëîãðàìì ìîðñêîé âîäû.  èòîãå ïîëó÷àåì, äîïóñòèì, 3 ãðàììà ñîëè. Ïåðåâîäèì 1 êã â òå æå ãðàììû, ïîëó÷àåì äðîáü 3/1000 (â êèëîãðàììå 1000 ãðàìì). Íî òàêèå äðîáè íåóäîáíû â ðàñ÷åòàõ. Ñëîæíî ñðàçó ñêàçàòü, ÷òî áîëüøå: 18/5000 èëè 15/6000. Ïðîùå èñïîëüçîâàòü äåñÿòè÷íûå äðîáè 0,0036 è 0,0025. Òàê è ñ íàøèì çíà÷åíèåì «ñîëåíîñòè» — 0,003 êã. À åñëè íàäî óçíàòü ñîñòàâ äðóãîãî ðàñòâîðà, íàïðèìåð ñîäåðæàíèå æåëåçà â ñòàëè èëè ñèíòåòè÷åñêîãî âîëîêíà â òêàíè? Ñ êàêîé òî÷íîñòüþ ìû äîëæíû ñ÷èòàòü? Âåäü ìîæåò 16

Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà íå ìåíÿåòñÿ ïðè ðàçíûõ óñëîâèÿõ. Êàê â øóòêå: «×òî òÿæåëåå, òîííà ïóõà èëè òîííà æåëåçà?» Ýòî îäíà è òà æå òîííà.  êîíòåêñòå ñîëåíîñòè 3/1000 êèëîãðàììà ñîëè ìîæåò ñîäåðæàòüñÿ êàê â îäíîì âåäðå âîäû, òàê è â îäíîé êðóæêå. À âîò 0,3% ñîëè — âåëè÷èíà óæå îòíîñèòåëüíàÿ.  îäíîì êèëîãðàììå ìîðñêîé âîäû 0,3% ñîëè ðàâíû 3 ãðàììàì, à â îäíîé òîííå (1000 êèëîãðàìì) — óæå 3 êã.

L D     " F M       

D     C      &    *    C  NFMI

D       K    J    I  B    D       

17

  

   

ïîëó÷èòüñÿ ÷èñëî 0,355625 èëè 0,01005.  ñîâðåìåííûõ ðàñ÷åòàõ îáû÷íî áåðóò äâà çíàêà ïîñëå çàïÿòîé. È ïåðåõîäÿò ê îòíîñèòåëüíûì âåëè÷èíàì, à èìåííî ê ïðîöåíòàì — äåñÿòè÷íóþ äðîáü óìíîæàåì íà 100 è ïîñëå ÷èñëà ïèøåì çíàê %.

!@

O    % 

  

   

&PC  

Ñòåïåíü ÷èñëà è êîðåíü èç ÷èñëà — ýòî î÷åíü ïðîñòî. Ïÿòü óìíîæèòü íà ñåìü — ýòî ñåìü ðàç ïî ïÿòü. Òî åñòü 5 × 7 = 5 + 5 + 5 + + 5 + 5 + 5 + 5. Ïÿòü â ñåäüìîé ñòåïåíè — ýòî ïÿòü, ñåìü ðàç óìíîæåííîå íà ïÿòü: 57 = = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5. Òàêîå ðàçëîæåíèå ïîçâîëÿåò ëåãêî çàïîìíèòü, êàê óìíîæàòü è äåëèòü ñòåïåíè. Ïðè ïåðåìíîæåíèè ñòåïåíè ñêëàäûâàþòñÿ: 26 × 24 = (2 × 2 × 2 × 2 × × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 210 Ïðè äåëåíèè ñòåïåíè âû÷èòàþòñÿ: 26/24 = = 22. Ïðè âîçâåäåíèè ñòåïåíè â äðóãóþ ñòåïåíü ïîêàçàòåëè (÷èñëà, îáîçíà÷àþùèå ñòåïåíü) ïåðåìíîæàþòñÿ. (24)6 = (2 × 2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) × (2 × × 2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) × × (2 × 2 × 2 × 2) = 224 Èçâëå÷åíèå êîðíÿ — äåéñòâèå, îáðàòíîå âîçâåäåíèþ â ñòåïåíü. Êàê âû÷èòàíèå îáðàòíî ñëîæåíèþ, à äåëåíèå — óìíîæåíèþ: 3 243 = 3 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35−3 = 32 . 18

Q       &    C      D  &    C           5            $               R            &       *     * C  &   &                  *          &

!S

     

  

   

  .&P&4

Âñå ìû çíàåì ïîíÿòèå «ñðåäíåå». Ñðåäíÿÿ çàðïëàòà, ñðåäíÿÿ òåìïåðàòóðà, ñðåäíèé ðîñò — ÷òî-òî ìåæäó ìåíüøèì è áîëüøèì, òî÷íåå ïîëîâèíà ñóììû ìåíüøåãî è áîëüøåãî. Äëÿ íåñêîëüêèõ ÷èñåë — ýòî ñóììà ÷èñåë, ðàçäåëåííàÿ íà èõ êîëè÷åñòâî.  ìàòåìàòèêå åñòü íåñêîëüêî ðàçíîâèäíîñòåé ñðåäíèõ âåëè÷èí. Âîçüìåì äâà ÷èñëà x è y, ãäå x < y. Ïðèâû÷íîå íàì ñðåäíåå — ýòî ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå, òî åñòü ñ = (õ + ó)/2. Åùå åñòü ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå: b = xy . Ñðåäíåå ãàðìîíè÷åñêîå a = 2õó/(õ + ó) è ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå d = ( x2 + y 2 ) / 2 . Ëåãêî çàïóòàòüñÿ, äà? Íî ïîíÿòü, ÷òî îíè çíà÷àò, ìîæíî íà òàêîé ôèãóðå, êàê òðàïåöèÿ. Òðàïåöèÿ — ýòî ÷åòûðåõóãîëüíèê, äâå ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîíû êîòîðîãî ïàðàëëåëüíû, à äâå äðóãèå — íåò. Ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû — îñíîâàíèÿ AB è CD — îáîçíà÷èì x è y. Åñëè ñîåäèíèòü ñåðåäèíû áîêîâûõ ñòîðîí òðàïåöèè, ïîëó÷èì îòðåçîê MN, èëè 20

Îòðåçîê PQ, äåëÿùèé òðàïåöèþ íà äâå ïîäîáíûå òðàïåöèè (CD/PQ = PQ/AB), à çíà÷èò è ñòîðîíû â ïðîïîðöèè DP/PA = CQ/ QB, áóäåò ñðåäíèì ãåîìåòðè÷åñêèì (ðèñ. 2 íà ñòð. 22). Îòðåçîê EF, äåëÿùèé òðàïåöèþ íà äâà ðàâíûõ ïî ïëîùàäè ÷åòûðåõóãîëüíèêà, ðàâåí ñðåäíåìó êâàäðàòè÷íîìó (ðèñ. 3 íà ñòð. 22). Íà ðèñ. 4 (ñòð. 22) âèäíî, ÷òî âñå ÷åòûðå ñðåäíèõ çíà÷åíèÿ íå ðàâíû ìåæäó ñîáîé, íî âñå îíè áîëüøå x (AB) è ìåíüøå y (CD).

2 xy x+ y < xy < < ( x2 + y2 ) / 2 x+ y 2

B                      5 P * C      5 P   5                      T  &                  R        I  +           

21

  

   

ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå (ðèñ. 1 íà ñòð. 22). Åñëè îòðåçîê KL, ñîåäèíÿþùèé ñòîðîíû òðàïåöèè, áóäåò ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó O ïåðåñå÷åíèÿ åå äèàãîíàëåé, òî ýòî áóäåò ñðåäíåå ãàðìîíè÷åñêîå (ðèñ. 1 íà ñòð. 22).

!U

B  -  D K 

Ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ ñàìî íà ñåáÿ è íà åäèíèöó. Åñëè ÷èñëî íå äåëèòñÿ áåç îñòàòêà íà êàêîå-òî ÷èñëî (êðîìå ñåáÿ è åäèíèöû), òî åãî íàçûâàþò ïðîñòûì, åñëè äåëèòñÿ — ñîñòàâíûì. Ïåðâîå ïðîñòîå ÷èñëî, êîíå÷íî æå, 1. Ïîòîì 2 — åäèíñòâåííîå ÷åòíîå ïðîñòîå ÷èñëî. Âåäü ëþáîå äðóãîå ÷åòíîå ÷èñëî áóäåò äåëèòüñÿ íà 2. Ñëåäóþùåå ïðîñòîå ÷èñëî 3. Çàòåì 5, 7, 11, 13… Åâêëèä, äðåâíåãðå÷åñêèé ó÷åíûé, óòâåðæäàë, ÷òî êîëè÷åñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë áîëüøå ëþáîãî ÷èñëà, êîòîðîå ìû ñïîñîáíû ïðåäñòàâèòü. ×òîáû óâèäåòü ðÿä ïðîñòûõ ÷èñåë, äîïóñòèì îò 1 äî 100, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ «ðåøåòî Ýðàòîñôåíà». Ñíà÷àëà âû÷åðêèâàåì âñå ÷åòíûå ÷èñëà, êðîìå äâîéêè. Ñëåäîì âû÷åðêèâàåì âñå ÷èñëà, êîòîðûå êðàòíû òðåì. Êàêèå-òî óæå âû÷åðêíóòû, íàïðèìåð 12, 24. Ïîòîì — âñå çàêàí÷èâàþùèåñÿ íà 5, òî åñòü êðàòíûå ïÿòè. ×èñëà, çàêàí÷èâàþùèåñÿ íà 0, ìû óæå âû÷åðêíóëè, ïîòîìó ÷òî îíè ÷åòíûå. Äàëåå âñå ÷èñëà, äåëÿùèåñÿ íà 7, — à èìåííî 49, 77, 91, 23

  

   

 & 

ïîòîìó ÷òî âñå äðóãèå äåëÿòñÿ íà ìåíüøèå ïðîñòûå ÷èñëà è âû÷åðêíóòû. Âñå îñòàâøèåñÿ ÷èñëà — ïðîñòûå.

  

   

Ïðîñòûå ÷èñëà, îòëè÷àþùèåñÿ íà 2, íàçûâàþò áëèçíåöàìè. Íàïðèìåð, 17 è 19, 29 è 31. Åñòü äàæå òðîéêà òàêèõ ÷èñåë: 3, 5 è 7. ×òîáû íàéòè ÷èñëà-áëèçíåöû, íàäî ïðè èñïîëüçîâàíèè ðåøåòà Ýðàòîñôåíà, êðîìå ñîñòàâíûõ ÷èñåë x, âû÷åðêèâàòü åùå è ÷èñëà x – 2, è òîãäà îñòàíóòñÿ òîëüêî òå ïðîñòûå ÷èñëà y, äëÿ êîòîðûõ y + 2 òîæå ïðîñòûå. Ýòî (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73). Ñàìàÿ áîëüøàÿ èçâåñòíàÿ íà ñåãîäíÿøíèé äåíü ïàðà ïðîñòûõ ÷èñåë-áëèçíåöîâ ýòî 2 996 863 034 895 × 21290000 +(–)1.

         D  K          &   5    C  &                 D               I ' #

24

!N

   & 

Ñîâåðøåííûìè íàçûâàþò íàòóðàëüíûå ÷èñëà, êîòîðûå ðàâíû ñóììå ñîáñòâåííûõ äåëèòåëåé, êðîìå ñàìîãî ñåáÿ.  ïåðâóþ î÷åðåäü ýòî 6, 28, 496 è 8128. Ýòè ñîâåðøåííûå ÷èñëà áûëè íàéäåíû â äðåâíîñòè. Åâêëèä ïèñàë, ÷òî ÷èñëî 2p – 1(2p – 1) ñîâåðøåííî, åñëè ÷èñëî 2p – 1 ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì. Ó ïåðâûõ ÷åòûðåõ ÷èñåë p ðàâíî ñîîòâåòñòâåííî 2, 3, 5 è 7. Ïÿòîå ÷èñëî, äëÿ p = 13, áûëî íàéäåíî â XV âåêå, øåñòîå è ñåäüìîå (äëÿ p 17 è 19) — â XVI âåêå. ×èñëà äëÿ p, ðàâíîãî 89, 107 è 127, áûëè íàéäåíû â íà÷àëå XX âåêà. Çàòåì ïîèñê ïðèîñòàíîâèëñÿ äî èçîáðåòåíèÿ êîìïüþòåðîâ. Ê 2016 ãîäó ñïåöèàëüíûé öåíòð âû÷èñëåíèé GIMPS íàøåë åùå 39 ñîâåðøåííûõ ÷èñåë. Âñå îíè îêàçàëèñü ÷åòíûìè. Ñóùåñòâîâàíèå íå÷åòíûõ ñîâåðøåííûõ ÷èñåë íå äîêàçàíî, òàê êàê íè îäíî èç íèõ íå íàéäåíî. Íî è íå îïðîâåðãíóòî.

25

  

   

$  

   V         

D               $   *       @   ( U  T  &                  %  D   @                

CD(U   &    *       R  D H    '  . +     * 4 V     &      R          $   *      2W  X  "(2p  X  ">   &     ( F F F      H     Y        D   C            5                 $     

!"F

B @@@ T &  

×èñëî 666 óïîìèíàåòñÿ â Áèáëèè êàê «èìÿ çâåðÿ» è ñâÿçàíî ñ ïðîðî÷åñòâàìè îá Àïîêàëèïñèñå. Ëþäè ïîáàèâàþòñÿ åãî, âî ìíîãèõ ãîñòèíèöàõ íåò òàêîãî íîìåðà, æèòåëè Ìîñêâû âûñòóïàëè çà òî, ÷òîáû ïåðåèìåíîâàòü 666-é ìàðøðóò àâòîáóñà. Äëÿ âîñòî÷íûõ ñòðàí æå ÷èñëî 6 ñ÷àñòëèâîå, è ïî÷òè ïîëîâèíà íàøåé ïëàíåòû íå âèäèò â 666 íè÷åãî óæàñíîãî. Íà ñàìîì äåëå ÷èñëî óíèêàëüíîå. Îíî ðåïãåäèò — ÷èñëî, ñîñòîÿùåå èç îäíîé öèôðû, ïîâòîðåííîé íåñêîëüêî ðàç. È ïàëèíäðîì, òî åñòü îäèíàêîâî ÷èòàåòñÿ è ñëåâà íàïðàâî è ñïðàâà íàëåâî. Êóá 666 ðàâåí ñóììå êóáîâ òðåõ ïðåäûäóùèõ ðåïãåäèòîâ: 3333 + + 4443 + 5553 = 6663. 666 äåëèòñÿ íàöåëî íà ñóììó ñâîèõ öèôð, òî åñòü íà 18: 666/(6 + 6 + 6) = 666/18 = 37. 666 — ñóììà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî 36, òàêèì îáðàçîì, 666 — ñóììà âñåõ çíà÷åíèé, êîòîðûå ìîãóò âûïàñòü â èãðå â ðóëåòêó. Åñëè 27

  

   

 .$ 4Z

  

   

ïîäðÿä çàïèñàòü âñå ðèìñêèå öèôðû, êðîìå Ì, îò áîëüøåé ê ìåíüøåé, òî ïîëó÷èòñÿ 666. DCLXVI = 500 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 = 666. ×èñëî 666 ðàâíî ñóììå êâàäðàòîâ ïåðâûõ øåñòè ïðîñòûõ ÷èñåë: 22 + 32 + 52 + 72 + 112 + + 132 + 172 = 666. Äâå òðåòè îò ñîòíè ðàâíî 66 è 6 â ïåðèîäå. Åñëè äâå òðåòè îò òûñÿ÷è îêðóãëèòü â ìåíüøóþ ñòîðîíó, ïîëó÷èòñÿ 666. Åñëè çàïèñàòü öèôðû îò îäíîãî äî äåâÿòè è ðàññòàâèòü ìåæäó íèìè ïëþñû, òî ïîëó÷èì 666 äâóìÿ ñïîñîáàìè, åñëè ÷èñëà èäóò â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ, è îäíèì — åñëè â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ. 1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 = 666 123 + 456 + 78 + 9 = 666 9 + 87 + 6 + 543 + 21 = 666.

#      P        I  

 

      &          [     P                I 

             D       &              I  0     '  

28

!""

Åñëè âçÿòü äâà òàêèõ ÷èñëà m è n, ÷òî ñóììà ñîáñòâåííûõ äåëèòåëåé m áóäåò ðàâíà n, à ñóììà ñîáñòâåííûõ äåëèòåëåé n ðàâíà m, òî òàêèå ÷èñëà íàçûâàþò äðóæåñòâåííûìè. Îíè èçâåñòíû ñ äàâíèõ ïîð. Åùå Ïèôàãîð îïðåäåëÿë äðóãà êàê «òîãî, êòî ÿâëÿåòñÿ ìîèì âòîðûì ß, êàê ÷èñëà 220 è 284». ×òîáû íàéòè ïàðó äðóæåñòâåííûõ ÷èñåë, îïðåäåëÿëè òðè äîïîëíèòåëüíûå âåëè÷èíû: p = 3 × 2n – 1 – 1 q = 3 × 2n – 1 r = 9 × 22n – 1 – 1 Åñëè ýòè òðè ÷èñëà îêàçûâàþòñÿ ïðîñòûìè, òî ÷èñëà A = 2npq è B = 2nr ñîâåðøåííî òî÷íî äðóæåñòâåííû. Ýòîò ñïîñîá íîñèò èìÿ Ñàáèòà èáí Êóðû. Äëÿ ÷èñåë 220 è 284, êîòîðûå íàçûâàåò Ïèôàãîð, n = 2. Ïàðó äëÿ n = 4 (17 298 è 18 416) îáíàðóæèëè îòäåëüíî äðóã îò äðóãà ôðàíöóç Ïüåð Ôåðìà è ìàðîêêàíåö Èáí-àëü-Áàííà (íà òðè ñòîëåòèÿ ðàíüøå Ôåðìà). Åùå îäíó ïàðó (äëÿ n = 7) 29

  

   

   

  

   

âû÷èñëèë Ðåíå Äåêàðò. Ýòî ÷èñëà 9 363 584 è 9 437 056. Íî äàëüíåéøåå îïðåäåëåíèå äðóæåñòâåííûõ ïàð ýòèì ñïîñîáîì íè ê ÷åìó íå ïðèâåëî. Áîëåå òîãî, íå íàéäåíà íè îäíà ïàðà ïðè ðàçëè÷íûõ n äî çíà÷åíèÿ 20 000. Òîëüêî â ñåðåäèíå ÕVIII âåêà Ëåîíàðä Ýéëåð, èñïîëüçóÿ íåòèïè÷íûå ñïîñîáû ïîèñêà, îòêðûë åùå 61 ïàðó òàêèõ ÷èñåë. Ñðåäè íèõ îêàçàëèñü äàæå íå÷åòíûå ïàðû (87 633 è 12 024 045), (69 615 è 11 498 355). Îäíàêî îñòàåòñÿ îòêðûòûì âîïðîñ, åñòü ëè â ýòîì ñïèñêå ÷åòíî-íå÷åòíûå ïàðû. Âòîðóþ ïîñëå ïèôàãîðîâûõ ïàðó äðóæåñòâåííûõ ÷èñåë âîîáùå íàøåë øêîëüíèê Ïàãàíèíè (îäíîôàìèëåö âåëèêîãî ñêðèïà÷à) èç Èòàëèè. Ýòî ÷èñëà 1184 è 1210. Ïîêà íå íàéäåíà îáùàÿ ôîðìóëà äëÿ íàõîæäåíèÿ òàêèõ ÷èñåë. Íåèçâåñòíî, ñóùåñòâóåò ëè ïàðà âçàèìíî ïðîñòûõ äðóæåñòâåííûõ.

G               &      C     5    &           C   J        $      &        I  0       

30

'  D        D    *    $  *            &              D    C     5   I     C         5       \    &     5 5  I   ( 6 3C @=       D     &         ( X  "                &   D   C

   D    R      V    

!"(

  

   

' &  **   K%   G  

×èñëà Ìåðñåííà — ÷èñëà âèäà Mn = 2n – 1, ãäå n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16 383, 32 767, 65 535… Åñëè n — ïðîñòîå ÷èñëî, Mn òîæå áóäåò ïðîñòûì. Ýòî òàê íàçûâàåìûå ïðîñòûå ÷èñëà Ìåðñåííà. Ñåé÷àñ èçâåñòíû 49 òàêèõ ÷èñåë, à ïîðÿäêîâûé íîìåð ïðèñâîåí 45 èç íèõ. Ñàìîå áîëüøîå ÷èñëî Ìåðñåííà M74207281 = 274207281–1. Åñëè çàïèñàòü åãî â äåñÿòè÷íîì âèäå, åãî äëèíà áóäåò 22 338 618 öèôð. Ïðîñòûå ÷èñëà Ìåðñåííà èçâåñòíû êàê ñàìûå áîëüøèå ïðîñòûå ÷èñëà. Íà èõ áàçå ïîñòðîåí ãåíåðàòîð ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë — âèõðü Ìåðñåííà, êîòîðûé èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ðàñøèôðîâêè è îáðàòíîé øèôðîâêè öåïî÷åê ÄÍÊ. Ïîèñêîì ÷èñåë Ìåðñåííà çàíèìàåòñÿ èññëåäîâàòåëüñêèé öåíòð GIMPS, ãäå áûëè íàéäåíû ïîñëåäíèå 14 ïðîñòûõ ÷èñåë.

32

!";

) D & &   C

  ^    

Ïðîñòûå ÷èñëà åùå èíîãäà íàçûâàþò «÷èñëàìè-êèðïè÷èêàìè». Ïî÷åìó? Ïîòîìó ÷òî èç íèõ ìîæíî ñîñòàâèòü ëþáîå ÷èñëî, ïî êðàéíåé ìåðå ñîñòàâíîå. È íàîáîðîò: ëþáîå ñîñòàâíîå ÷èñëî «ðàçîáðàòü» íà êèðïè÷èêè ïðîñòûõ ÷èñåë. Òàê, ÷èñëî 2016 ìîæíî ðàçëîæèòü íà ïðîñòûå äåëèòåëè. 2016 = 1 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × × 3 × 3 × 7; à ÷èñëî 2017 ñàìî ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì. Ó íåãî òîëüêî äâà äåëèòåëÿ: 2017 è 1. Êñòàòè, åäèíèöà ê ïðîñòûì äåëèòåëÿì íå îòíîñèòñÿ. Ïîòîìó ÷òî íà åäèíèöó ìîæíî óìíîæàòü ñêîëüêî óãîäíî è ðåçóëüòàò íå èçìåíèòñÿ. Òî æå ñàìîå ÷òî ïðèáàâëÿòü ê ñóììå ÷èñåë 0. Îñíîâíàÿ òåîðåìà àðèôìåòèêè ôîðìóëèðóåòñÿ òàê. Ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî n > 1 ëèáî ñàìî ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì, ëèáî ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàê ïðîèçâåäåíèå ïðîñòûõ ÷èñåë. Ðàçëîæåíèå íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè âîçìîæíî åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì, åñëè íå îáðàùàòü 33

  

   

 R 

  

   

âíèìàíèÿ íà èõ ïîðÿäîê (è åäèíèöû). Îáû÷íî äëÿ çàïèñè ïîëüçóþòñÿ îáîçíà÷åíèåì ñòåïåíè, ÷òîáû íå ïèñàòü «áåñêîíå÷íî äëèííóþ» ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåëèòåëåé. Òàê: 2016 = 25 × 32 × 71. Åñëè â êàêîå-òî ñîñòàâíîå ÷èñëî âõîäèò ÷èñëî n â ñòåïåíè a, òî ýòî ñîñòàâíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà âñå ñòåïåíè ÷èñëà n îò 0 äî a. Íàïðèìåð, 2673 = 35 × 111. ×èñëî äåëèòñÿ íà 3 (31), íà 9 (32), à òàêæå íà 27 (33), 81 (34) è 243 (35). È êîíå÷íî, íà 1 (ëþáîå ÷èñëî â íóëåâîé ñòåïåíè ðàâíî åäèíèöå). 2016 = = 25 × 32 × 71 äåëèòñÿ íà 2, 4, 8, 16 è 32 (ñòåïåíè äâîéêè îò ïåðâîé äî ïÿòîé), à òàêæå íà 3 è 9 (òðè â ïåðâîé è âòîðîé ñòåïåíÿõ). È íà åäèíèöó — 20 èëè 30.

 P     5                P     5 

         \  +     D         I              R      # D  &  D 

 D    I              $   I            

34

'        )           * &     .        $    4    . _ ` a ` 4  +   &          &            @   ""C        

 "S              T   J           5   5  0             &  K    5              " ;

!"=

  

   

' D

& 

$ Y R 

Âçàèìíî ïðîñòûìè íàçûâàþò òàêèå öåëûå ÷èñëà, êîòîðûå íå èìåþò îáùèõ äåëèòåëåé êðîìå åäèíèöû (ñíîâà åäèíèöà íà îñîáîì ïîëîæåíèè). Ñàìè ïî ñåáå ÷èñëà âïîëíå ìîãóò áûòü ñîñòàâíûìè. Òàê, âçàèìíî ïðîñòû ÷èñëà 4 è 9, 27 è 65, 2016 è 6655. 4 = 2 × 2 è 9 = 3 × 3; 27 = 3 × 3 × 3 è 65 = 5 × 13: 2016 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 è 6655 = 5 × 5 × 11. Ëþáûå äâà ÷èñëà âçàèìíî ïðîñòû, òîëüêî åñëè èõ íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ðàâåí åäèíèöå. Ëèáî åñëè ìîæíî íàéòè òàêèå öåëûå x è y, ÷òî äëÿ íèõ áóäåò ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå Áåçó (ôîðìóëà îïèñàíèÿ íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ äâóõ öåëûõ ÷èñåë), à èìåííî: ax + by = 1, ãäå a è b — òîæå öåëûå ÷èñëà. Ðàçóìååòñÿ, äâà ïðîñòûõ ÷èñëà âñåãäà âçàèìíî ïðîñòû. Âïðî÷åì, íå òîëüêî äâà, à ñêîëüêî óãîäíî ïðîñòûõ ÷èñåë áóäóò âçàèìíî ïðîñòûìè. Ïðîñòóþ äðîáü íåëüçÿ ñîêðàòèòü, êîãäà åå ÷èñëèòåëü 36

• Âîçüìåì ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îò 1 äî õ = a1 × a2 × … × an. • Óáåðåì èç íåå âñå ÷èñëà, äåëÿùèåñÿ íà a1. Òàêèõ ÷èñåë áóäåò õ/a1. • Îñòàåòñÿ x – x/a1. • Äàëüøå óáèðàåì ÷èñëà, äåëÿùèåñÿ x − x / a1 íà a2. Èõ áóäåò . a2 • Îñòàåòñÿ (x – x/a 1) –

x − x / a1 a2

=

= x(1 – 1/a1)(1 – 1/a2). • Ïîâòîðÿåì îïåðàöèþ äëÿ âñåõ äåëèòåëåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. • Ïîëó÷àåì x(1 – 1/a1) (1 – 1/a2) × … × (1 – 1/an), êîëè÷åñòâî ÷èñåë, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ õ. Íàïðèìåð, ïîñ÷èòàåì êîëè÷åñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë îò 1 äî 4000. 4000 = 25 × 53 S = 4000(1 – 1/2) (1 – 1/5) = 4000 × 0,4 = 1600.              &    5    $ C             C       C       IY b J

37

  

   

è çíàìåíàòåëü âçàèìíî ïðîñòû. Èñêàòü âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà ìîæíî ñ ïîìîùüþ óæå èçâåñòíîãî íàì ðåøåòà Ýðàòîñôåíà. Òîëüêî ÷óòü ïîñëîæíåå:

!"A

#    &  

  

   

   

Ëåãêî âû÷èñëèòü, íà êàêîé äåíü íåäåëè ïðèäåòñÿ ñåãîäíÿøíÿÿ äàòà â ñëåäóþùåì ìåñÿöå. Íóæíî 30 èëè 31 (êîëè÷åñòâî äíåé â òåêóùåì ìåñÿöå), à â ôåâðàëå è âîâñå 28 ðàçäåëèòü íà 7. Îñòàòîê îò äåëåíèÿ ïðèáàâëÿþò ê ïîðÿäêîâîìó íîìåðó äíÿ íåäåëè. Åñëè ñåãîäíÿ 23-å è ïÿòíèöà (5), à îñòàòîê äàë 2, òî â ñëåäóþùåì ìåñÿöå 23-å ïðèäåòñÿ íà âîñêðåñåíüå (5 + 2 = 7). À âîò êàê âû÷èñëèòü, êàêîé äåíü íåäåëè áóäåò… ÷åðåç ñîðîê ëåò è òðè ìåñÿöà? Äåëèòü ïðèäåòñÿ ñëèøêîì äîëãî. Äëÿ òàêèõ çàäà÷ ñóùåñòâóåò ôîðìóëà âå÷íîãî êàëåíäàðÿ, ãäå A — íîìåð äíÿ íåäåëè (îò 0 â âîñêðåñåíüå äî 6 â ñóááîòó); Ñ — íîìåð ìåñÿöà, êîòîðûé ìû îïðåäåëÿåì. Åãî îòñ÷åò íà÷èíàåòñÿ â ìàðòå (1) è çàêàí÷èâàåòñÿ ôåâðàëåì (12). Äëÿ âû÷èñëåíèé ïîíàäîáÿòñÿ N — íîìåð ãîäà â ñòîëåòèè, M — êîëè÷åñòâî ñòîëåòèé (ó÷èòûâàåì, ÷òî ÿíâàðü — 11-é ìåñÿö).

13B − 1 È ïîëó÷àåì A = W/7, ãäå W = C + [ ]+ 5 M N + N + [ ] + [ ] – 2M, ãäå êâàäðàòíûå ñêîá4 4 êè îáîçíà÷àþò öåëóþ ÷àñòü ÷èñëà. 38

'          I               I &  D   5   &                  5        *  &   P  5   D  5 K        &   D   D R         

!"@

  

   

+ &   C

   &    R 

Íåîïðåäåëåííûìè íàçûâàþò ñèñòåìû óðàâíåíèé, â êîòîðûõ íåèçâåñòíûõ áîëüøå, ÷åì óðàâíåíèé. Îäíî óðàâíåíèå áóäåò íåîïðåäåëåííûì, åñëè â íåì äâå è áîëüøå íåèçâåñòíûõ. Äîïóñòèì, â àêâàðèóìå æèâóò ìîðñêèå çâåçäû è îñüìèíîãè. Ìû çíàåì, ÷òî ó ìîðñêèõ çâåçä ïÿòü êîíå÷íîñòåé, à ó îñüìèíîãîâ èõ âîñåìü. Âñåãî â àêâàðèóìå ìîæíî íàñ÷èòàòü 39 êîíå÷íîñòåé. Ñîñòàâèì óðàâíåíèå 5x + 8y = 39. Êîëè÷åñòâî æèâîòíûõ — öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî. Çíà÷èò, öåëûå y > 0 è x = (39 – – y)/5 > 0. Ïåðåáîðîì ìû ïîëó÷èì y = 3 è x = 3. Íî ïåðåáîð óäîáåí íå âñåãäà. Ïðîùå èñïîëüçîâàòü ìåòîä ñïóñêà. Èç óðàâíåíèÿ x = (39 – 8ó)/5 âûäåëèì öåëóþ ÷àñòü x = 7 — y + (4 +3ó)/5. Òîãäà õ áóäåò öåëûì, åñëè 4 – 3y äåëèòñÿ íàöåëî íà 5. Ââåäåì äîïîëíèòåëüíóþ ïåðåìåííóþ z: x = 7 – y + z/5, òî åñòü 5z = 4 – 3y. Ïðîäîëæèì ñïóñê, y = (4 – 5z)/3. Âûäåëèì öåëóþ ÷àñòü ñíîâà: y = 1 — z + (1 – 2z)/3. Òåïåðü y áóäåò öåëûì, åñëè 1 – 2z äåëèòñÿ áåç îñòàòêà 40

íà 3. Ââåäåì åùå îäíó äîïîëíèòåëüíóþ ïåðåìåííóþ u: y = 1 – z +u/3, òî åñòü 3u = 1 – 2z.

Òåïåðü «ïîäíèìàåìñÿ», à èìåííî âûðàæàåì âñå ïåðåìåííûå ÷åðåç v: z = 3v – 1; y = 3–5v; x = 3 + 8v. Ïîñêîëüêó x è y — ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, ìîæåì ñîñòàâèòü ñëåäóþùóþ ñèñòåìó íåðàâåíñòâ.

^

3–5v  0; 3 + 8v  0.

Ýòà ñèñòåìà âåðíà ïðè v = 0, òî åñòü ìû è ïîëó÷èëè x = 3 è y = 3. Íåîïðåäåëåííûå óðàâíåíèÿ íàçûâàþò Äèîôàíòîâûìè, ïîòîìó ÷òî â ñâîåì ñáîðíèêå «Àðèôìåòèêà» îí ðàññìîòðåë ñïîñîáû èõ ðåøåíèÿ. c d e  f g h  e i j k lm g nC  e d e  i g o o g n V    D       &        I  D       I            &      

41

  

   

z = (1 – 3u)/2. Âûäåëÿåì öåëóþ ÷àñòü: z = = (1 – u)/2 – u. Ââîäèì òðåòüþ äîïîëíèòåëüíóþ ïåðåìåííóþ v: z = v/3, v = 3z. Òàê ìû èçáàâèëèñü îò äðîáåé.

!"S

      

  

   

D   

 îáùåì âèäå òåîðåìà Ôåðìà ôîðìóëèðóåòñÿ òàê. Íåîïðåäåëåííîå óðàâíåíèå xn + yn = zn íå èìååò ðàöèîíàëüíûõ ðåøåíèé äëÿ n  3, åñëè x, y, z,  0. Èñòîðèÿ äàííîé òåîðåìû çàáàâíà. ×èòàÿ «Àðèôìåòèêó» Äèîôàíòà, Ïüåð Ôåðìà çàïèñàë íà ïîëÿõ êîììåíòàðèé: «Çàäàííûé êâàäðàò ðàçëîæèòü íà äâà êâàäðàòà x2 + y2 = z2. Íåëüçÿ ðàçëîæèòü íè êóá íà äâà êóáà è âîîáùå íèêàêóþ ñòåïåíü âûøå êâàäðàòà… ÿ îòêðûë ýòîìó ïîèñòèíå ÷óäåñíîå äîêàçàòåëüñòâî, íî ïîëÿ ýòè äëÿ íåãî ñëèøêîì óçêè». Áîëåå 350 ëåò òåîðåìà Ôåðìà áûëà íåðàçðåøèìîé çàäà÷åé. Âïðî÷åì, ñàì Ôåðìà îñòàâèë äîêàçàòåëüñòâî äëÿ n = 4.  1768 ãîäó Ýéëåð íàøåë äîêàçàòåëüñòâî äëÿ n = 3, â 1825 Äèðèõëå è Ëåæàíäð äîêàçàëè òåîðåìó äëÿ n = 5, Ëàìå äëÿ n = 7. Îäíàêî îáùåå äîêàçàòåëüñòâî íàéäåíî íå áûëî.  1908 ãîäó çà äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû áûëà íàçíà÷åíà ïðåìèÿ â 100 òûñÿ÷ íåìåöêèõ ìàðîê. 42

Ôîðìóëèðîâêà ìàëîé òåîðåìû Ôåðìà îòëè÷àåòñÿ. Åñëè ÷èñëî a íå äåëèòñÿ áåç îñòàòêà íà ïðîñòîå ÷èñëî p, òî ñóùåñòâóåò òàêîå , ÷òî a – 1 äåëèòñÿ íà p, ïðè÷åì  — äåëèòåëü ÷èñëà p – 1. Òàê ap – 1 – 1 âñåãäà äåëèòñÿ íà p. Äîêàçàë ýòó òåîðåìó Ëåîíàðä Ýéëåð. Îí æå óïðîñòèë ìàëóþ òåîðåìó Ôåðìà äî òàêîãî p, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî ïðîñòûì (ëþáîå öåëîå) ñ ÷èñëîì a. Çíà÷åíèå òåîðåìû Ôåðìà íå â òîì, äîêàçàíà îíà èëè íåò, à â òîì, ÷òî â ïðîöåññå åå äîêàçàòåëüñòâà áûëî ñîçäàíî íåìàëî íîâûõ ìåòîäîâ è òåîðèé.

q              

    K     C      5               I          

43

  

   

 1980-å ãîäû áûë íàéäåí íîâûé ïîäõîä ê äîêàçàòåëüñòâó äàííîé òåîðåìû. Òàê, áûëî äîêàçàíî, ÷òî äëÿ n > 3 ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå êîëè÷åñòâî âçàèìíî ïðîñòûõ ðåøåíèé. Íàêîíåö, â 1994 ãîäó áðèòàíåö Óàéëñ îïóáëèêîâàë 130-ñòðàíè÷íîå äîêàçàòåëüñòâî.

!"U

0    %

  

   

     & 

Äðåâíèå åãèïòÿíå óìåëè îáðàùàòüñÿ ñ äðîáÿìè, õîòÿ äåëàëè ýòî äîâîëüíî çàáàâíî: èç âñåõ ïðîñòûõ äðîáåé îíè ïðèçíàâàëè òîëüêî äðîáè ñ ÷èñëèòåëåì 1, òàê íàçûâàåìûå àëèêâîòíûå (èëè åãèïåòñêèå) äðîáè. Òàê, ëþáîå ÷èñëî îíè ïðåäñòàâëÿëè â âèäå ñóììû òàêèõ äðîáåé. Ñîáñòâåííî, ïðåäñòàâëÿòü òàê öåëûå ÷èñëà íåò íåîáõîäèìîñòè. À âîò äðóãèå ïðîñòûå äðîáè, òî åñòü ðåçóëüòàò äåëåíèÿ, — î÷åíü äàæå. Âîçüìåì êëàññè÷åñêóþ çàäà÷ó: ðàçäåëèòü 7 õëåáîâ íà 8 ÷åëîâåê. Î÷åâèäíîå ðåøåíèå: ðàçðåçàòü êàæäûé õëåá íà âîñåìü ÷àñòåé è äàòü êàæäîìó ïî ñåìü êóñî÷êîâ. À ìîæíî ñýêîíîìèòü âðåìÿ è ðàçëîæèòü äðîáü ñåìü âîñüìûõ íà ñóììó àëèêâîòíûõ. 7/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8 Òåïåðü êàæäûé ïîëó÷èò òðè ðàçíûõ êóñêà: ïîëîâèíó õëåáà, ÷åòâåðòü è âîñüìóþ ÷àñòü. ×òîáû âîñïîëüçîâàòüñÿ î÷åâèäíûì ðåøåíèåì, 44

 äðåâíåé Ìåñîïîòàìèè îïåðèðîâàëè øåñòíàäöàòåðè÷íîé ñèñòåìîé ñ÷èñëåíèÿ, à çíà÷èò è øåñòíàäöàòåðè÷íûìè äðîáÿìè. Òàê, ñåìü âîñüìûõ âàâèëîíÿíå íàïèñàëè áû êàê ÷åòûðíàäöàòü øåñòíàäöàòûõ.  Äðåâíåì Ðèìå èñïîëüçîâàëè äðîáè ñî çíàìåíàòåëåì äâåíàäöàòü. Äà è äî ñèõ ïîð ìíîãèå àíãëîÿçû÷íûå ñòðàíû — Âåëèêîáðèòàíèÿ, Àâñòðàëèÿ, ÑØÀ — ïîëüçóþòñÿ äâåíàäöàòåðè÷íîé ñèñòåìîé ñ÷èñëåíèÿ, êîãäà äåëî êàñàåòñÿ ìåð äëèíû è âåñà. Êàíàäà èçáåæàëà òàêîé ó÷àñòè, òàì áûëî ñèëüíî âëèÿíèå ôðàíöóçîâ, êîòîðûå ïîëüçóþòñÿ ïðèâû÷íûìè íàì äåñÿòè÷íûìè åäèíèöàìè ÑÈ: ìåòðîì è ãðàììîì. Íàì æå ïðèâû÷íåå äåñÿòè÷íûå äðîáè è äâà òèïà çàïèñè: 1/10 èëè 0,1. B      &          C                C            C    D          C                    B       $  D       C       $         I  H        

45

  

   

íóæíî ñäåëàòü 7 × 4 ðàçðåçîâ, òî åñòü 28. Åñëè æå äåëèòü ñíà÷àëà íà ïîëîâèíû, ïîòîì íà ÷åòâåðòè è ïîòîì åùå íà âîñüìûå ÷àñòè, íóæíî ñäåëàòü âñåãî-òî 4 + 4 + 4 = 12 ðàçðåçîâ.

H      D  Q    I       I

 &   D          D          C              D            "?(    "?@ =  '            @ ;?@ =C    C  &        C    5 P  5  "?@ =  D     ^  

!"N

#    D  

Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà âêëþ÷àþò â ñåáÿ íå òîëüêî öåëûå, íî è äðîáè, èëè ðåçóëüòàò äåëåíèÿ îäíîãî ÷èñëà íà äðóãîå. Ðàöèîíàëüíûì ÿâëÿåòñÿ òàêîå ÷èñëî, êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äðîáè m/n, ãäå m — öåëîå ÷èñëî, à n — íàòóðàëüíîå. Òàê, ê öåëûì ïîëîæèòåëüíûì, öåëûì îòðèöàòåëüíûì è íóëþ ïðèñîåäèíÿþòñÿ äðîáè. Âïðî÷åì, äðîáè áûëè èçâåñòíû ÷åëîâå÷åñòâó çàäîëãî äî òîãî, êàê ïîÿâèëñÿ òåðìèí «ðàöèîíàëüíûå». Ïî êðàéíåé ìåðå, ÷òîáû ïîðîâíó ðàçäåëèòü îäèí àïåëüñèí ìåæäó òðåìÿ ëþäüìè, îñîáûå çíàíèÿ íå òðåáîâàëèñü.  ìíîæåñòâå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë äëÿ äåëåíèÿ îòêðûâàþòñÿ øèðîêèå âîçìîæíîñòè. Ìû áîëüøå íå îïåðèðóåì ïîíÿòèÿìè «íàöåëî» èëè «îñòàòîê» — íåò, åñëè îäíî ÷èñëî íå äåëèòñÿ áåç îñòàòêà íà äðóãîå, òî ìû ïîëó÷àåì äðîáü. Åñëè ìû äåëèì äðîáü íà äðîáü, òî ïîëó÷àåì íîâóþ äðîáü. È òàê äî áåñêîíå÷íîñòè. Õîòÿ îäíî îãðàíè÷åíèå âñå-òàêè åñòü: íèêîãäà è íè÷åãî íå äåëèòå íà íîëü. 47

  

   

K   * 

  

   

!(F « + D 4

K    

Èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà èçâåñòíû ñ äðåâíîñòè, îäíàêî äàòü èì ÷åòêîå îïðåäåëåíèå ó÷åíûå ñìîãëè òîëüêî ïîñëå ïîÿâëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è ïîíÿòèÿ ïðåäåëà. Íà ëèíåéêå åñòü äåëåíèÿ 9 ìì è 1 ñì. Åñëè âçÿòü òî÷êó ìåæäó ýòèìè äåëåíèÿìè, ìû ïîëó÷èì áîëüøå, ÷åì 0,9, íî ìåíüøå, ÷åì 1. Óìåíüøàÿ äåëåíèÿ è «óòî÷íÿÿ» äëèíó, ìû âñå ðàâíî íå ñìîæåì òî÷íî «îòìåðèòü» èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Âìåñòå ðàöèîíàëüíûå è èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà ñîñòàâëÿþò ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ, èëè âåùåñòâåííûõ, ÷èñåë.  îòëè÷èå îò ðàöèîíàëüíîãî, èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå äðîáè èëè òî÷íî îòìåòèòü åãî âåëè÷èíó íà ëèíåéêå. Äëÿ åãî îáîçíà÷åíèÿ ïðèìåíÿåòñÿ îïåðàöèÿ èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ (èëè âîçâåäåíèÿ â äðîáíóþ ñòåïåíü). Òàê ÷èñëî – èððàöèîíàëüíîå. Ïåðèîäè÷åñêèå (áåñêîíå÷íûå) äðîáè, íàïðèìåð 1/6, ÿâëÿþòñÿ ðàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè. À âñå áåñêîíå÷íûå íåïåðèîäè÷åñêèå äðîáè èððàöèîíàëüíû. 48

G               *       E r >       D    K      * Es >      K      * E rt s >  )  K        Es >                   K          E u>         K    *     5                Ev>

!("

w &  % & C

  

   

& 

Öåïíûìè íàçûâàþò äðîáè âèäà 1 a0 = , ãäå a0 — ëþáîå öåëîå 1 a1 + 1 a2 + a3 +… ÷èñëî, à ìíîæåñòâî a1, a2… an — öåëûå ïîëîæèòåëüíûå (íàòóðàëüíûå) ÷èñëà. Èõ òàêæå íàçûâàþò íåïîëíûìè ÷àñòíûìè, èëè ýëåìåíòàìè öåïíîé äðîáè. Íåñìîòðÿ íà ãðîìîçäêóþ çàïèñü, öåïíûå äðîáè î÷åíü óäîáíû, êîãäà íóæíî ïîòî÷íåå îïðåäåëèòü (èëè çàïèñàòü) èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Öåïíûå äðîáè ìîãóò áûòü êîíå÷íûìè, íàïðèìåð 1 + 1/5 èëè 7 + 1/(5 +1/8). À ìîãóò áûòü è áåñêîíå÷íûìè, òî åñòü öåïíîé äðîáüþ ìîæíî çàïèñàòü êàê ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, òàê è èððàöèîíàëüíîå. Ñ ïîìîùüþ ýòèõ óäèâèòåëüíûõ äðîáåé ðåøàþòñÿ çàäà÷è äâóõ òèïîâ. ¹ 1. Äàíî öåïíîå âûðàæåíèå, íàäî îïðåäåëèòü åãî çíà÷åíèå. ×àùå âñåãî ýòî äåëàþò, îòáðîñèâ êàêîå-òî êîëè÷åñòâî «õâîñòîâ» è óêàçàâ ïîãðåøíîñòü ïðèáëèçèòåëüíîãî âû÷èñëåíèÿ. Çäåñü áûâàþò óäà÷íûå ñëó÷àè, íàïðèìåð â âûðàæåíèè: 50

1

1 +

2+

çíàìåíàòåëü ïåðâîé

1 2+

1 2+…

1

2+

2+

1 2 + ...

1

= 1 + (1 +

2+

1 2+

)

1 2 + ...

Åñëè ïîäñòàâèòü âìåñòî çíà÷åíèÿ öåïíîé äðîáè x, òî ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå âèäà x = 1 + 1/(1 + x) èëè x(1 + x) = (1 + x) + 1, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî x2 = 2, à x = 2 . ¹ 2. Äàíî äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, íàäî ïîñòðîèòü ê íåìó öåïíóþ äðîáü. Ðåøàåòñÿ òàêàÿ çàäà÷à ìåòîäîì «îáðàùåíèÿ îñòàòêà». Âîçüìåì äðîáü 3338/106 (òàê â Äðåâíåé Ãðåöèè îïðåäåëÿëè îòíîøåíèå äëèíû îêðóæíîñòè åå äèàìåòðó). 333/106 = 3 + 15/106. Îáðàòèâ äðîáíóþ ÷àñòü 15/106, ïîëó÷èì 1/106/15 è çàïè1 øåì âûðàæåíèå 3 + = 3 + 1/(7 + 1/15). 106 15   IK   &    &   D           I  x   

51

  

   

äðîáè ðàâåí âñåìó âûðàæåíèþ ïëþñ 1, òî åñòü:

!((

  C   B 

  

   

 & 



Èçäðåâëå ïÿòèóãîëüíèê ñ âïèñàííîé â íåãî çâåçäîé — ïåíòàãðàììîé — ïðèâëåêàë âíèìàíèå ó÷åíûõ. Êàçàëîñü áû, ÷òî òàêîãî îñîáåííîãî â ýòîì ìíîãîãðàííèêå, ÷åãî íåò íè â êâàäðàòå, íè â ñåìèóãîëüíèêå? Äåëî â òîì, ÷òî äðåâíèå (îñîáåííî ãðåêè) ïðèìåíÿëè ìàòåìàòè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè â àðõèòåêòóðå è èñêóññòâå. Ñ èõ ïîìîùüþ îíè ñîçäàâàëè êàíîíû êðàñîòû, ñòðåìèëèñü ê èçîáðàçèòåëüíîìó ñîâåðøåíñòâó. Âàì íàâåðíÿêà çíàêîìî âûðàæåíèå «çîëîòîå ñå÷åíèå»? Ýòî ñïîñîá äåëåíèÿ öåëîãî íà äâå íåðàâíûå ÷àñòè òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îòíîøåíèå áîëüøåé ÷àñòè ê ìåíüøåé áûëî ðàâíî îòíîøåíèþ öåëîãî ê áîëüøåé ÷àñòè. Èìåííî ýòî ñîîòíîøåíèå ìîæíî íàáëþäàòü â ïåíòàãðàììå (ñì. ðèñ.). È íå îäèí ðàç: AD/AC = AC/CD = AB/BC = AD/AE = AE/EC Ýòî îòíîøåíèå îáîçíà÷àþò áóêâîé Ô è íàçûâàþò ÷èñëîì Ôèäèÿ. Îíî ïðèìåðíî ðàâíî 5 −1 1,618034… èëè . 2 52

  

   

!(; «    4  K   * 

Åñëè âçÿòü âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà è ïðèìåíèòü âñå ÷åòûðå àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèÿ (ñëîæåíèå, âû÷èòàíèå, äåëåíèå è óìíîæåíèå), òî â ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðûå ìîæíî íàçâàòü àðèôìåòè÷åñêèìè. Èñïîëüçóÿ îïåðàöèþ èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ, ìû ïîëó÷èì ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Âîîáùå âñå ÷èñëà, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âèäà anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = 0, íàçûâàþò àëãåáðàè÷åñêèìè. Ïðàâäà, íàéòè êîðíè óðàâíåíèÿ íå âñåãäà óäàåòñÿ ïðè ïîìîùè ïÿòè îñíîâíûõ äåéñòâèé. Íàïðèìåð, óðàâíåíèå x5 – 4x – 2 = 0, ðåøàåòñÿ ñëîæíåå, òàê ÷òî àëãåáðàè÷åñêèå ÷èñëà íå òàê ïðîñòû, êàê êàæåòñÿ íà ïåðâûé âçãëÿä. Îäíàêî â ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë åñòü è äðóãèå, êîòîðûå êîðíÿìè òàêîãî óðàâíåíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ. Èõ íàçûâàþò òðàíñöåíäåíòíûìè, èëè «ïîòóñòîðîííèìè». Ê òðàíñöåíäåíòíûì ÷èñëàì îòíîñÿòñÿ ñëåäóþùèå: ÷èñëî  (3,1415926535…); 54

Êñòàòè, ïîêà îòêðûò âîïðîñ, ÿâëÿåòñÿ ëè ÷èñëî ln ðàöèîíàëüíûì èëè èððàöèîíàëüíûì, àëãåáðàè÷åñêèì èëè òðàíñöåíäåíòíûì, òàê æå êàê íå îïðåäåëåíà è ìåðà èððàöèîíàëüíîñòè äëÿ ÷èñåë ln2 è ln3. Êîëè÷åñòâî òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë íå êîíå÷íî. Êàæäîå âåùåñòâåííîå òðàíñöåíäåíòíîå ÷èñëî èððàöèîíàëüíî, à âîò îáðàòíîå íåâåðíî: íå êàæäîå èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî òðàíñöåíäåíòíî.

q      P 5      5  C        *      &    D           D    &              K          0                           * Z I ' 0 

55

  

   

÷èñëî e (2,7182818284…); äåñÿòè÷íûé ëîãàðèôì ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà, êðîìå ÷èñåë âèäà 10n; sin, cos è tg ëþáîãî íåíóëåâîãî àëãåáðàè÷åñêîãî ÷èñëà, à òàêæå ab, ãäå a  0,1, ãäå a — àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî è b — èððàöèîíàëüíîå, â ÷àñòíîñòè 2 .

!(=

  

   

B  R      

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ êîíñòàíòà  ïîêàçûâàåò îòíîøåíèå äëèíû îêðóæíîñòè ê åå äèàìåòðó. Èëè ïëîùàäè êðóãà ê êâàäðàòó åãî ðàäèóñà. ×èñëî  èððàöèîíàëüíî, òî åñòü íå ìîæåò áûòü òî÷íî âûðàæåíî â âèäå öåëî÷èñëåííîé äðîáè.  äåñÿòè÷íîì âûðàæåíèè îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áåñêîíå÷íóþ íåïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü. ×èñëî  òðàíñöåíäåíòíî, à çíà÷èò, íå ìîæåò áûòü êîðíåì óðàâíåíèÿ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè. Çíà÷åíèÿ ÷èñëà Ïè: • â äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå 3,1415926535897… • â äâîè÷íîé ñèñòåìå 11,0010010000111… • â øåñòíàäöàòåðè÷íîé ñèñòåìå 3,243F6A8885A30… • â âèäå ðàöèîíàëüíîé äðîáè: 22/7, 223/71, 333/106, 355/113, 103993/33102 (â ïîðÿäêå óâåëè÷åíèÿ òî÷íîñòè); 56

 Äðåâíåì Åãèïòå  ðàâíÿëîñü 25/8. Àðõèìåä óêàçûâàë çíà÷åíèå 22/7  3,142857.  Êèòàå âî II âåêå íàøåé ýðû  ñ÷èòàëè . Ñàìûì òî÷íûì èç äðåâíèõ  áûëî êèòàéñêîå çíà÷åíèå V–XIV âåêîâ, è ðàâíÿëîñü îíî 355/113.  òî âðåìÿ áûëè èçâåñòíû äåñÿòü öèôð ÷èñëà ïîñëå çàïÿòîé. Äâàäöàòü çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé ïîëó÷èë Ëþäîëüô âàí Öåéëåí â 1596 ãîäó, òàê ÷òî  äàæå íàçûâàëè ëþäîëüôîâûì ÷èñëîì.  1884 ãîäó óæå áûëî èçâåñòíî 200 öèôð, à â 2002 ãîäó ïîëó÷èëè 1 241 100 000 000 çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé. Ïîêà íåèçâåñòíî, çàâèñèìû ëè àëãåáðàè÷åñêè òðàíñöåíäåíòíûå ÷èñëà  è e. Êðîìå òîãî, íåèçâåñòíà òî÷íàÿ ìåðà èððàöèîíàëüíîñòè  (ïðèáëèçèòåëüíî ñåìü).

B    y             *              I   &           " N @ F, *        &   

57

  

   

• â âèäå öåïíîé äðîáè; • â òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ åäèíèöàõ — ðàäèàí = 180°.

      b   &            &  P    D     

             %   $          &      &              y

!(A

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ êîíñòàíòà e — îñíîâàíèå íàòóðàëüíîãî ëîãàðèôìà, òî åñòü ôóíêöèÿ ex èíòåãðèðóåòñÿ è äèôôåðåíöèðóåòñÿ ñàìà â ñåáÿ. ×èñëî e ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî ÷åðåç âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë: n ⎛ 1⎞ li ⎜1 + ⎟ , èëè êàê åäèíñòâåííîå ïîëîæèn →∞ ⎝ n⎠ òåëüíîå ÷èñëî n, äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâî: d x n = nx. dx ×èñëî e èððàöèîíàëüíî è òðàíñöåíäåíòíî (êàê äîêàçàë â 1873 ãîäó ôðàíöóç Ýðìèò). Îáëàäàåò ìåðîé èððàöèîíàëüíîñòè 2, ÷òî ìåíüøåå èç âîçìîæíûõ äëÿ òàêîãî ÷èñëà. Çíà÷åíèÿ ÷èñëà e: • â äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå 2,7182818284590… • â äâîè÷íîé ñèñòåìå 10,1011011111100… • â øåñòíàäöàòåðè÷íîé ñèñòåìå 2, B7E151628AED2… • â âèäå ðàöèîíàëüíîé äðîáè: 8/3, 11/4, 19/7, 106/39, 1264/465;

59

  

   

V  & kZ

  

   

×èñëî e ðàíüøå íàçûâàëè íåïåðîâûì ÷èñëîì, ïîòîìó ÷òî ïåðâîå óïîìèíàíèå îá ýòîé êîíñòàíòå äàåòñÿ â ïðèëîæåíèè ê ïåðåâîäó «Îïèñàíèÿ óäèâèòåëüíîé òàáëèöû ëîãàðèôìîâ» øîòëàíäöà Íåïåðà. Çíà÷åíèå êîíñòàíòû ( 2,718298) âû÷èñëèë øâåéöàðåö ßêîá Áåðíóëëè êàê ìàêñèìàëüíî âîçìîæíóþ ãîäîâóþ ïðèáûëü (â çàäà÷å ðîñòîâùèêà) ïðè 100% ãîäîâûõ. Òîãäà îíà îáîçíà÷àëàñü êàê b. Îáîçíà÷åíèå e âïåðâûå èñïîëüçîâàë Ëåîíàðä Ýéëåð â 1736 ãîäó â òðóäå «Ìåõàíèêà, èëè íàóêà î äâèæåíèè, èçëîæåííàÿ àíàëèòè÷åñêè». Ñîáñòâåííî, ñåé÷àñ e íàçûâàþò ÷èñëîì Ýéëåðà. Ñïîñîáîâ çàïîìíèòü ïðèáëèçèòåëüíîå çíà÷åíèå ÷èñëà e åñòü íåñêîëüêî: • ñ òî÷íîñòüþ äî 0,000001  (1 – 1/106)106 • ïðàâèëî Áîèíãà ñ òî÷íîñòüþ äî 0,0005: e  4 × sin0,747; • ñ òî÷íîñòüþ äî 0,001  /6; • ñ òî÷íîñòüþ äî 0,01  5 – 13. T                  $   &      %    C            C    &               I  H      Y   

60

!(@

B C  

Ãîâîðÿ î ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë è î òîì, ÷òî îíè îïðåäåëÿþòñÿ ïÿòüþ îñíîâíûìè àðèôìåòè÷åñêèìè äåéñòâèÿìè, ìû äîëæíû ïîìíèòü îá îãðàíè÷åíèÿõ. Íàïðèìåð, íåëüçÿ äåëèòü íà íîëü è èçâëåêàòü êâàäðàòíûé êîðåíü èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. È íå òîëüêî êâàäðàòíûé, íî è êîðåíü ÷åòíîé ñòåïåíè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷òî òàêîå êîðåíü? Ýòî äðîáíûé ïîêàçàòåëü ñòåïåíè. Íàïðèìåð, 1/6 = 2/12, à çíà÷èò 6 (−1) , êîòîðîå íå èìååò ñìûñëà, â óñòàíîâëåííûõ ðàìêàõ áóäåò 1

ðàâíî ( −1) 6 . 2

1

( −1) 6 = ( −1) 12 = 12 (−1) = 12 1 , à êîðåíü 12-é ñòåïåíè èç åäèíèöû óæå èìååò ñìûñë. Âòîðîé ïðèìåð. Ìû ìîæåì âîçâåñòè â ñòåïåíü îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, à çíà÷èò (–1)2, èìååò ñìûñë (õîòÿ è ðàâíî åäèíèöå). Äàëüøå ìû îïÿòü èãðàåì ñ ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè: 4

(−1)2 = (−1)2 =

1

( −1) 2 61

4

4

= ( −1 ) .

  

   

D D  C  

  

   

Íî åñëè íå ñóùåñòâóåò (−1) , òî è åãî ÷åòâåðòàÿ ñòåïåíü ñóùåñòâîâàòü íå äîëæíà. Òðåòèé ïðèìåð. Äëÿ ðåøåíèÿ êóáè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïðèìåíÿþò ôîðìóëó Êàðäàíî. Òàê, äëÿ óðàâíåíèÿ x3 = 30x + 36 ôîðìóëà Êàðäàíî áóäåò äàâàòü çíà÷åíèå: 3 3 x = 18 + −676 − 18 − −676 , ãäå, êàê ìû âèäèì, ïîä çíàêîì êâàäðàòíîãî êîðíÿ ñòîèò îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî. Ðåøàåì, ÷òî îòâåòà íåò?

Òåì íå ìåíåå ýòî êóáè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò êîðåíü 6 (ýòî ìîæíî ïðîâåðèòü, ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå). Âîò è ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî îïåðàöèþ ìû âûïîëíèòü ÿêîáû íå ìîæåì, íî (îäíî íåâîçìîæíîå ÷èñëî ìèíóñ äðóãîå òàêîå æå íåâîçìîæíîå ÷èñëî äàåò íîëü, äà?) îòâåò ó íàñ âñå ðàâíî åñòü! Ïàðàäîêñ!

+    D       I      

D          & K    I  +  &      #   &  

62

   D             C  y

 ¡          R     H      Y       y ¡  z  X " G     0       O            R      Y               

   %  « X "  &            R   C  ¡ I         C



y  I        5 C  I   D4

!(S

O    C 

  

   

 %    &  * 

Äëÿ ðàçðåøåíèÿ ïàðàäîêñîâ, îïèñàííûõ â ¹ 26, ìàòåìàòèêè äîãîâîðèëèñü ñäåëàòü óñòóïêó äëÿ –1 è ââåñòè ñïåöèàëüíîå îáîçíà÷åíèå äëÿ êâàäðàòíîãî êîðíÿ èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. Íîâûé ïîäâèä ïîëó÷èë íàçâàíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë è îïðåäåëÿåòñÿ êàê ÷èñëî âèäà x + yi, ãäå i — ýòî ìíèìàÿ åäèíèöà, òî åñòü ÷èñëî, êâàäðàò êîòîðîãî ðàâåí –1. Ïðè ýòîì x è y — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà; x çîâåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ ÷èñëà, à yi — ìíèìîé. Äëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íåò ïîíÿòèé áîëüøå èëè ìåíüøå. Ìû íå ìîæåì ñðàâíèòü 3 + 7i è 7 + 3i, ìû ìîæåì ñðàâíèâàòü òîëüêî èõ ìíèìûå è äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè. Ïî îòäåëüíîñòè æå ïðîèçâîäÿòñÿ è àðèôìåòè÷åñêèå âû÷èñëåíèÿ. (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1i + b2i) (a1 + b1i) — (a2 + b2i) = (a1 — a2) + (b1i — b2i) (a1 + b1i) × (a2 + b2i) = (a1 × a2) + (b1i × b2i) 64

Äâà ÷èñëà a + bi è a – bi íàçûâàþò êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûìè ÷èñëàìè. Êàæäîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî (b = 0) ñîïðÿæåíî ñàìî ñåáå. Ñóììà è ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñîïðÿæåííûõ ÷èñåë — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà.

(a + bi)(a – bi) = a2 + b2(i × (–i)) = a2 + b2 Òàê âîò çíà÷åíèå a2 + b2 çîâåòñÿ íîðìîé ÷èñëà a + bi (ðàâíî êàê è a – bi), à a 2 + b 2 — èõ ìîäóëåì. Ìíèìîå ÷èñëî îáúÿñíèòü ñëîæíî, à ïîêàçàòü ïðîñòî (ñì. ðèñ. íà ñòð. 67). Îòìåòüòå íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü ÷èñëà. Ìíèìóþ ÷àñòü îòëîæèòå íà âòîðîé îñè. Ñîåäèíèòå íà÷àëî êîîðäèíàò ñ ïîëó÷èâøåéñÿ òî÷êîé íà ïëîñêîñòè è ïîñòðîéòå âåêòîð — ãåîìåòðè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. O                      D C



&

P &    D   5              C                &       &           I  Q     Y    

65

  

   

a + bi + a – bi = 2a

!(U

+   

  

   



* 

Ðàíåå ìíèìûìè ÷èñëàìè íàçûâàëè âîîáùå âñå êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Åñëè ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê êîìïëåêñíîå ÷èñëî âèäà x + yi (ãäå x è y — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, à i — ìíèìàÿ åäèíèöà) ñ y = 0, òî ìíèìîå ÷èñëî èìååò òîò æå âèä ñ äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ x ðàâíîé íóëþ. Ìíèìàÿ åäèíèöà — ÷èñëî, êâàäðàò êîòîðîãî ðàâåí –1, à çíà÷èò ýòî îäèí èç êîðíåé óðàâíåíèÿ x2 + 1 = 0. Íî óòâåðæäàòü, ÷òî êîðåíü êâàäðàòíûé èç –1 ðàâåí i, íåêîððåêòíî. Âåäü óðàâíåíèå x2 + 1 = 0 èìååò äâà êîðíÿ: i è –i.  îáùåì-òî äëÿ âû÷èñëåíèé ýòî íå èìååò îñîáîãî çíà÷åíèÿ, âåäü â ëþáîé ôîðìóëå çàìåíà i íà –i (è íàîáîðîò) íå ïîâëèÿåò íà ðåçóëüòàò. Íî äëÿ òî÷íîñòè âû÷èñëåíèé íóæíî ó÷èòûâàòü, ÷òî, õîòÿ i2 = –1, i  (−1) .

66

              &          &     *       &   D 5 &        0     '                    D  5    D     5    C        K                    

!(N

0   &

Ïðåäñòàâëåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë â âèäå âåêòîðîâ ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ ñ íèìè. Ñëîæåíèå ïðîèñõîäèò ïî ïðàâèëó òðåóãîëüíèêà. Ñòðîÿòñÿ äâà âåêòîðà, ïîòîì âòîðîé âåêòîð ïðîñòî ïåðåíîñèòñÿ òàê, ÷òîáû åãî íà÷àëî áûëî êîíöîì ïåðâîãî. Âåêòîð, ñîåäèíÿþùèé íà÷àëî ïåðâîãî è êîíåö âòîðîãî, áóäåò èõ ñóììîé (ðèñ. 1).  ñëó÷àå âû÷èòàíèÿ íàäî ïîñòðîèòü èç íà÷àëà êîîðäèíàò âåêòîð òîé æå äëèíû, ÷òî è âòîðîé, íî ïðîòèâîïîëîæíîãî íàïðàâëåíèÿ. È óæå åãî ïåðåíîñèòü è ñêëàäûâàòü ñ ïåðâûì (ðèñ. 2). Äëèíà âåêòîðà ðàâíà ìîäóëþ èçîáðàæåííîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Âçàèìíî ñîïðÿæåííûå ÷èñëà íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè áóäóò âûãëÿäåòü êàê äâà âåêòîðà îäèíàêîâîé äëèíû, ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííûå îòíîñèòåëüíî îñè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (ðèñ. 3). Õîòÿ â àëãåáðàè÷åñêèõ âû÷èñëåíèÿõ (a + bi) è (a – bi) ñîâïàäàþò, äëÿ ãðàôè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çíàê â ÷èñëå èìååò çíà÷åíèå.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò, ÷òî 69

  

   

 

  

   

äëÿ ÷èñëà n1 óãîë ïîëîæèòåëüíûé, à äëÿ ÷èñëà n2 — îòðèöàòåëüíûé. Ýòîò óãîë íàçûâàþò àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà  = argn. Åãî ÷àùå âñåãî èçìåðÿþò â ðàäèàíàõ. Òàê êîìïëåêñíîå ÷èñëî ìîæíî çàäàòü åùå è ïàðîé ïàðàìåòðîâ «ìîäóëü è àðãóìåíò». Åñëè ïðèíÿòü âåêòîð n çà ãèïîòåíóçó ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè a è b, òî ìîæíî âû÷èñëèòü åãî äëèíó (ìîäóëü ÷èñëà) èç òåîðåìû Ïèôàãîðà: |n| = a 2 + b 2 Çíàÿ æå äëèíó âåêòîðà, ìîæíî âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíòû a è b (ðèñ. 4 íà ñòð. 68): a = |n|cos è b = |n|sin.

\ I        D      

 *  D C         D              V       

  &         5                  C         D   C           C      C          C          5        I  T      *   

70

!;F

   Y C   B  

Ìû ïðåäñòàâèëè êîýôôèöèåíòû êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ÷åðåç òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè: a = |n|cos; b = |n|sin. Çàïèøåì òåïåðü ñàìî êîìïëåêñíîå ÷èñëî: n = a + bi = |n|cos + i × |n|sin = |n| × (cos+ + i × sin).  òàêîé ôîðìå ñòàíîâèòñÿ ãîðàçäî ïðîùå óìíîæàòü è äåëèòü êîìïëåêñíûå ÷èñëà. È ïðàâäà: n × m = |n| × (cos + i × sin) × |m| × (cos + + i × sin) = |n| × |m| × (cos + i × sin) × × (cos + i × sin) = |n| × |m| × (coscos + + sinsin) + i × (cossin + sincos)  ñêîáêàõ ìû âèäèì ôîðìóëû êîñèíóñà è ñèíóñà ñóììû äâóõ óãëîâ: coscos + sinsin = cos ( + ) cossin + sincos = sin ( + ), òî åñòü n × m = |n| × |m| × (cos ( + ) + i × sin ( + ). 71

  

   

&PC $

  

   

Ïðè óìíîæåíèè äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ìû ïåðåìíîæàåì ìîäóëè è ñêëàäûâàåì àðãóìåíòû, à ïðè äåëåíèè ìîäóëè äåëèì, àðãóìåíòû âû÷èòàåì. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ òàêîé. Ïðè ïåðåìíîæåíèè âåêòîðîâ n è m íóæíî äëèíó âåêòîðà n âûòÿíóòü â |m| ðàç è ïîâåðíóòü íà óãîë  (ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè). Ïðè äåëåíèè âåêòîðîâ n è m íóæíî äëèíó âåêòîðà n ñæàòü â |m| ðàç è ïîâåðíóòü íà óãîë –  (ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå). Ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî ñóììà êîñèíóñà àðãóìåíòà è ñèíóñà àðãóìåíòà, óìíîæåííîãî íà i, ðàâíî íåêîåìó ÷èñëó A â ñòåïåíè, ðàâíîé àðãóìåíòó: cos + i × sin = A. Ëåîíàðä Ýéëåð äîêàçàë, ÷òî A ðàâíî ÷èñëó Ýéëåðà â ñòåïåíè i: A = ei. B òàêîì ñëó÷àå cos + i × sin = ei. Ýòó ôîðìóëó íàçûâàþò ôîðìóëîé Ýéëåðà.

+  &                 C     Y                                 5 P    D   %  . G    C  E {  :  d i >? i  z  |C             C #      P       4  I  )       D

72

 

  

 

!;"

+ $  

         

 D   

Òðåóãîëüíèê — ïðîñòåéøàÿ èç ïëîñêèõ ôèãóð.  ñàìîì äåëå: ëþáûå òðè òî÷êè âñåãäà ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Òðåóãîëüíèê (ñì. ðèñ. 1) — ìíîãîóãîëüíèê ñ òðåìÿ âåðøèíàìè (A, B è C), òðåìÿ ñòîðîíàìè (a = BC, b = CA è c = AB) è òðåìÿ óãëàìè (èõ îáîçíà÷àþò ëèáî êàê âåðøèíû A, B è C, ëèáî ïî òðåì òî÷êàì ABC, BCA è CAB). Ñóììà óãëîâ â òðåóãîëüíèêå âñåãäà ðàâíà 180°. Åñëè âñå óãëû îñòðûå — òðåóãîëüíèê îñòðîóãîëüíûé, åñëè îäèí èç óãëîâ òóïîé — òóïîóãîëüíûé, åñëè ïðÿìîé — ïðÿìîóãîëüíûé. Ñòîðîíû, îáðàçóþùèå ïðÿìîé óãîë íàçûâàþòñÿ êàòåòàìè, à ïðîòèâîëåæàùàÿ ñòîðîíà — ãèïîòåíóçîé. Èñõîäÿ èç ñóììû óãëîâ òðåóãîëüíèêà, òóïîé èëè ïðÿìîé óãîë â òðåóãîëüíèêå ìîæåò áûòü òîëüêî îäèí. Ðàâíîñòîðîííèì íàçûâàþò òðåóãîëüíèê, ÷üè òðè ñòîðîíû ðàâíû äðóã äðóãó. Óãëû åãî òîæå ðàâíû ìåæäó ñîáîé è ïðèíèìàþò çíà÷åíèå 180°/3 = 60°. Åñëè òîëüêî äâå ñòîðîíû ðàâíû ìåæäó ñîáîé, òî òàêîé òðåóãîëüíèê 74

         

íàçûâàþò ðàâíîáåäðåííûì. Ñîîòâåòñòâåííî ïðîòèâîëåæàùèå ðàâíûì ñòîðîíàì óãëû òàêæå ðàâíû. Â ðàâíîáåäðåííîì ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå äâà îñòðûõ óãëà ðàâíû (180° – 90°)/ 2 = 45°. Êðîìå òîãî, â òðåóãîëüíèêå åñòü òàêèå ýëåìåíòû (ïî òðè äëÿ êàæäîé ñòîðîíû èëè óãëà). Ìåäèàíà — îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé âåðøèíó òðåóãîëüíèêà ñ ñåðåäèíîé ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû. Áèññåêòðèñà — îòðåçîê, äåëÿùèé óãîë ïîïîëàì. Âûñîòà — îòðåçîê, ïðîâåäåííûé èç óãëà ê ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíå ïîä ïðÿìûì óãëîì. Åñëè òðåóãîëüíèê òóïîóãîëüíûé, òî âûñîòó ñòðîÿò ê ïðîäîëæåíèþ ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû (ñì. ðèñ. 3 íà ñòð. 75). Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ — îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ñåðåäèíû äâóõ ñòîðîí. Â ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå áèññåêòðèñû, ìåäèàíû è âûñîòû ñîâïàäàþò ìåæäó ñîáîé. q  &   5 C                           C        D    #                                    C          D            I  T   q 

76

!;(

^   I    

Èíòåðåñíî ñâÿçàíû òðåóãîëüíèêè ñ îêðóæíîñòÿìè. Åñëè òðè âåðøèíû ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè, òàêàÿ îêðóæíîñòü íàçûâàåòñÿ îïèñàííîé. Öåíòð òàêîé îêðóæíîñòè S ëåæèò íà ïåðåñå÷åíèè ñðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ òðåóãîëüíèêà. Òàê íàçûâàþò ïåðïåíäèêóëÿðû, ïðîâåäåííûå èç ñåðåäèíû êàæäîé èç ñòîðîí. Åñëè òðåóãîëüíèê òóïîóãîëüíûé, òî öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè íàõîäèòñÿ âíå åãî, åñëè ïðÿìîóãîëüíûé — òî íà ãèïîòåíóçå. Âïèñàííàÿ îêðóæíîñòü íàõîäèòñÿ âíóòðè òðåóãîëüíèêà è êàñàåòñÿ (òî åñòü èìååò îáùóþ òî÷êó) êàæäîé èç òðåõ åãî ñòîðîí. Ñëåäîâàòåëüíî, åå öåíòð ðàâíîóäàëåí îò êàæäîé ñòîðîíû. Òàêàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ åùå è òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ.  êàæäûé òðåóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü, à âîêðóã êàæäîãî òðåóãîëüíèêà ìîæíî îêðóæíîñòü îïèñàòü. Ýòèì òðåóãîëüíèêè îòëè÷àþòñÿ îò äðóãèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ.

77

         

D 

!;;

)   & % 

         

  

Ðàâíûìè òðåóãîëüíèêàìè íàçûâàþò òàêèå òðåóãîëüíèêè, ó êîòîðûõ âñå òðè óãëà è òðè ñòîðîíû ðàâíû. Íî âîîáùå ðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêîâ óñòàíàâëèâàåòñÿ ïî òðåì ñëåäóþùèì ýëåìåíòàì. 1. Åñëè äâå ñòîðîíû è óãîë ìåæäó íèìè îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè äðóãîãî: A1B1 = A2B2, B1C1 = = B2C2 è B1 = B2. 2. Åñëè äâà óãëà è ñòîðîíà ìåæäó íèìè îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû äâóì óãëàì è ñòîðîíå ìåæäó íèìè äðóãîãî: A1B1 = A2B2, C1 = C2 è B1 = B2. 3. Åñëè òðè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû òðåì ñòîðîíàì äðóãîãî, A1B1 = A2B2, B1C1 = B2C2 è C1A1 = C2A2, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû. ×òîáû ïîñòðîèòü òðåóãîëüíèê îïðåäåëåííûõ ïàðàìåòðîâ, íóæíû òðè ýëåìåíòà èç ñïèñêà âûøå. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ðàâåíñòâî óñòàíàâëèâàåòñÿ ïî äâóì ýëåìåíòàì (ïîòîìó ÷òî ïðÿìûå óãëû äâóõ òðåóãîëüíèêîâ óæå ðàâíû). 78

1. Åñëè äâà óãëà îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû äâóì óãëàì äðóãîãî A1 = A2 è C1 = C2. 2. Åñëè óãîë îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâåí óãëó äðóãîãî, à ñòîðîíû, îáðàçóþùèå ýòè óãëû, ïîïàðíî ïðîïîðöèîíàëüíû, òî åñòü A1 = A2, B1A1/B2A2 = C1A1/C2A2. 3. Ðàâíû îòíîøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòîðîí, òî åñòü A1B 1/A2B 2 = B 1C 1/B 2C 2 = = C1A1/C2A2. ×òîáû óñòàíîâèòü ïîäîáèå ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà íóæíû ëèáî ðàâåíñòâî äâóõ óãëîâ (îäíîãî è âòîðîãî òðåóãîëüíèêà), ëèáî ðàâåíñòâî îòíîøåíèé äâóõ ñòîðîí. Âñå ðàâíîñòîðîííèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû. T             C       &          R                C                        C &           D           I  b   O   

79

         

Ïîäîáíûìè æå íàçûâàþò òðåóãîëüíèêè, ÷üè ñòîðîíû íå ðàâíû, à âîò òðè óãëà — ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû. Îïÿòü-òàêè ïîäîáèå îïðåäåëÿåòñÿ ïî òðåì ïðèçíàêàì.

!;=

    R% 

         

&  $ Z

Òåîðåìà Ïèôàãîðà — ýòî îïèñàíèå ïðîñòîãî îòíîøåíèÿ ìåæäó ñòîðîíàìè ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà: êâàäðàò ãèïîòåíóçû ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ êàòåòîâ: a2 + b2 = c2. Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè â òðåóãîëüíèêå ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ ñòîðîí ðàâíà êâàäðàòó òðåòüåé, òî ýòîò òðåóãîëüíèê ïðÿìîóãîëüíûé. Åñòü øóòî÷íûé ñòèøîê: Ïèôàãîðîâû øòàíû íà âñå ñòîðîíû ðàâíû. Ñàì Ïèôàãîð, êàê è âñå äðåâíèå ãðåêè, íå íîñèë øòàíîâ. Ñòèøîê ñâÿçàí ñ ñàìûì äðåâíèì, ãåîìåòðè÷åñêèì ñïîñîáîì äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû (ñì. ðèñ.). Åñëè îò êàæäîé ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ïîñòðîèòü ïî êâàäðàòó, òî ïëîùàäü ïîñòðîåííîãî îò ãèïîòåíóçû áóäåò ðàâíà ñóììå äâóõ äðóãèõ. À ïëîùàäü êâàäðàòà, êàê ìû çíàåì, ðàâíà êâàäðàòó ñòîðîíû. Âîîáùå, òåîðåìà Ïèôàãîðà — ðåêîðäñìåí ïî êîëè÷åñòâó ñïîñîáîâ äîêàçàòåëüñòâà. 80

!;A

   C   C

   %   

         

D  

Çàäà÷à Ôàíüÿíî — âïèñàòü â òðåóãîëüíèê äðóãîé òðåóãîëüíèê, òî åñòü ïîñòðîèòü îäèí òðåóãîëüíèê â äðóãîì òàê, ÷òîáû âåðøèíû ìåíüøåãî ëåæàëè íà ñòîðîíàõ áîëüøåãî, ñ ìèíèìàëüíûì ïåðèìåòðîì. Ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è áóäåò òðåóãîëüíèê, îáðàçîâàííûé îñíîâàíèÿìè âûñîò — òî÷êàìè ïåðåñå÷åíèÿ âûñîòû è ñòîðîíû, ê êîòîðîé îíà ïîñòðîåíà. Çàäà÷à Ôåðìà — Òîððè÷åëëè: íàéòè òàêóþ òî÷êó F, ÷òîáû ðàññòîÿíèÿ îò íåå äî âåðøèí áûëè ìèíèìàëüíûìè. Çàäàë âîïðîñ ôðàíöóç Ôåðìà, à îòâåòèë íà íåãî èòàëüÿíåö Òîððè÷åëëè. Òàêàÿ òî÷êà ñóùåñòâóåò òîëüêî â òðåóãîëüíèêàõ, ÷üè óãëû íå áîëüøå 120°. Îò êàæäîé ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ÷åðòèòñÿ ðàâíîñòîðîííèé (ñì. ðèñ. ñïðàâà) òðåóãîëüíèê.  êàæäîì èç ïîëó÷åííûõ òðåóãîëüíèêîâ èç âíåøíåãî óãëà íàäî ïðîâåñòè áèññåêòðèñó, è íà ïåðåñå÷åíèè òðåõ ýòèõ áèññåêòðèñ è áóäåò èñêîìàÿ òî÷êà.

82

!;@

         

G  C 

  $*

Åñëè íà÷åðòèòü íåñêîëüêî îòðåçêîâ òàê, ÷òîáû íà÷àëî êàæäîãî ñîâïàäàëî ñ êîíöîì ïðåäûäóùåãî, ìû ïîëó÷èì ëîìàíóþ ëèíèþ. Ñîâìåñòèâ êîíåö ïîñëåäíåãî îòðåçêà ñ íà÷àëîì ïåðâîãî, ìû çàìêíåì ëîìàíóþ. Òàêàÿ ëèíèÿ äåëèò ïðîñòðàíñòâî íà äâå îáëàñòè — âíóòðåííþþ, ñ êîíêðåòíîé ïëîùàäüþ, è âíåøíþþ, áåñêîíå÷íóþ. Âíóòðåííþþ îáëàñòü íàçûâàþò ìíîãîóãîëüíèêîì. Ïðîñòåéøèé ìíîãîóãîëüíèê — òðåóãîëüíèê. ×òîáû íàðèñîâàòü çàìêíóòóþ ëîìàíóþ ëèíèþ, íóæíî ñîåäèíèòü ìåæäó ñîáîé êàê ìèíèìóì òðè òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé. Îòäåëüíóþ òåìó äëÿ èçó÷åíèÿ ñîñòàâëÿåò âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê. Ýòî ôèãóðà, êîòîðàÿ ïîëíîñòüþ ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó êàæäîé èç ïðÿìûõ, ïðîâåäåííûõ ÷åðåç åãî ñòîðîíû. Ïðîùå ãîâîðÿ, â êîòîðîì âñå óãëû ìåíüøå 180°. Âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê, ñîîòâåòñòâåííî, èìååò ïî ÷åòûðå ñòîðîíû è âåðøèíû. Åñëè åãî ñòîðîíû ïîïàðíî ïàðàëëåëüíû — åãî 84

Âûïóêëûå ìíîãîóãîëüíèêè ñ êîëè÷åñòâîì ñòîðîí áîëüøå ÷åòûðåõ, â êîòîðûõ âñå ñòîðîíû è óãëû ìåæäó ñìåæíûìè ñòîðîíàìè ðàâíû, íàçûâàþòñÿ ïðàâèëüíûìè ìíîãîóãîëüíèêàìè. Ìíîãîóãîëüíèêè, ó êîòîðûõ âñå óãëû è ñòîðîíû ðàâíû, íî ïåðåñåêàþòñÿ, íàçûâàþò çâåçä÷àòûìè, èëè ïîëèãðàììàìè. Ñàìûé ïðîñòîé òàêîé ìíîãîóãîëüíèê — ïåíòàãðàììà, ïÿòèêîíå÷íàÿ çâåçäà. Ïðàâèëüíûå ôèãóðû íàêëàäûâàþòñÿ ñàìè íà ñåáÿ ïðè ïîâîðîòå âîêðóã ñâîåãî öåíòðà íà 360°/n, ãäå n — êîëè÷åñòâî óãëîâ.

'   5                      &    I  '     O R   

85

         

íàçûâàþò ïàðàëëåëîãðàììîì. Ïàðàëëåëîãðàìì, â êîòîðîì âñå ñòîðîíû ðàâíû, — ýòî ðîìá. Ðîìá, â êîòîðîì âñå óãëû ðàâíû, íàçûâàþò êâàäðàòîì. ×åòûðåõóãîëüíèê, ó êîòîðîãî äâå ñòîðîíû ïàðàëëåëüíû, à äðóãèå äâå íåò, ÿâëÿåòñÿ òðàïåöèåé.

!;S

)   C

   &  

Åñëè äâå ôèãóðû ìîæíî ðàçðåçàòü íà íåñêîëüêî îäèíàêîâûõ ÷àñòåé, òî òàêèå ôèãóðû íàçûâàþò ðàâíîñîñòàâëåííûìè. Ëîãè÷íî, ÷òî îíè òàêæå ÿâëÿþòñÿ ðàâíîâåëèêèìè, òî åñòü èìåþò îäèíàêîâóþ ïëîùàäü. Âåðíî è îáðàòíîå: ðàâíîâåëèêèå ìíîãîóãîëüíèêè ÿâëÿþòñÿ ðàâíîñîñòàâëåííûìè. Ïðåâðàòèì, íàïðèìåð, íèçêèé ïðÿìîóãîëüíèê â âûñîêèé (ñì. ðèñ. 1). Äâà ðàçðåçà — è ïîëó÷àåì íàáîð èç ïÿòèóãîëüíèêà è äâóõ òðåóãîëüíèêîâ (ñì. ðèñ. 2). Ñäâèãàåì òðåóãîëüíèêè íàâåðõ (ñì. ðèñ. 3). Çàäà÷è, â êîòîðûõ èùåòñÿ íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ðàçðåçîâ èëè ýëåìåíòîâ «ìîçàèêè», íå èçó÷àþòñÿ â øêîëå. Ñàìàÿ èçâåñòíàÿ èç íèõ — ïðåâðàùåíèå êâàäðàòà ABCD â ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê XYZ (ðèñ. 4, 5). Ïðîäîëæèì AB âëåâî è âïðàâî íà ðàññòîÿíèå ñòîðîíû êâàäðàòà ABCD. Ñîåäèíèì ïðîäîëæåíèå îòðåçêà AB ñ îòðåçêîì DC òàê, ÷òîáû ñîåäèíÿþùèé îòðåçîê áûë ðàâåí ñòîðîíå çàäàííîãî òðåóãîëüíèêà è ïåðåñåêàëñÿ 87

         

  

ñ îòðåçêîì DC ïîä óãëîì  òàê, ÷òîáû 4

         

sin =

3 , òî åñòü ïðèìåðíî 52°36. 2

Ïåðåñå÷åíèå ýòîãî îòðåçêà ñî ñòîðîíîé AB — òî÷êà M. Ïåðåñå÷åíèå ñî ñòîðîíîé CD — òî÷êà N. Ïåðåñå÷åíèå NM ñ CB — K. Íà îòðåçêå NK ñòàâèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Z. Îò òî÷êè Z ïðîâîäèì ZY = NM òàê, ÷òîáû MZY = 60°. Îò òî÷êè Z ïðîâîäèì ZX = NM òàê, ÷òîáû XZY = 60°. Ñîåäèíÿåì òî÷êè X è Y. Ïîëó÷àåì òðåóãîëüíèê (ñì. ðèñ. 4 íà ñòð. 86). Îòìå÷àåì òî÷êè ïåðåñå÷åíèé êàê N, O è P. Ôèãóðà ZLAO ó êâàäðàòà è òðåóãîëüíèêà îáùàÿ, ODNZ = OAPX. «Âðàùàåì» LBKZ âîêðóã L ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè òàê, ÷òîáû Z ñîâïàëî ñ Y, è ðàçäåëÿåì LYP íà LEFY = = LBKZ è FEP = KCN. Èíòåðåñíî, ÷òî â îòíîøåíèè ìíîãîãðàííèêîâ ïðàâèëî ðàâíîñîñòàâëåííîñòè íå ðàáîòàåò: êóá è òåòðàýäð (ôèãóðà, ñîñòîÿùàÿ èç 8 ðàâíîñòîðîííèõ òðåóãîëüíèêîâ) íå ðàâíû ïî îáúåìó.             $   I                 $            I  +           

88

!;U

Åùå äðåâíèå ãðåêè âû÷èñëèëè, ÷òî åñëè áðàòü ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè îäíîãî òèïà, òî çàìîñòèòü ïëîñêîñòü áåç ïðîáåëîâ è ïåðåêðûòèé ìîæíî òîëüêî êâàäðàòîì, òðåóãîëüíèêîì è øåñòèóãîëüíèêîì. Ïðè÷èíà ýòîãî ïðîñòà: íà ñòûêå íåñêîëüêèõ ïëèòîê îáðàçóåòñÿ ñóììà óãëîâ, ðàâíàÿ 360°.  ïðàâèëüíîì òðåóãîëüíèêå óãîë ðàâåí 60° è 360 äåëèòñÿ íà 60 áåç îñòàòêà. Òàê æå è íà 90 (óãîë êâàäðàòà), è íà 120 (óãîë øåñòèóãîëüíèêà). Ïîëó÷àåòñÿ 4 è 3 ñîîòâåòñòâåííî. À âîò íà óãîë ïÿòè- èëè ñåìèóãîëüíèêà óæå íåò — èõ óãëû 108° è 128,5° ñîîòâåòñòâåííî. Íî åñëè áðàòü ðàçíûå ïðàâèëüíûå ôèãóðû, êîëè÷åñòâî âàðèàíòîâ âîçðàñòàåò. Òàê, ìîæíî ñî÷åòàòü òðåóãîëüíèêè ñ øåñòè- è âîñüìèóãîëüíèêàìè, òðåóãîëüíèêè ñ êâàäðàòàìè è òàê äàëåå. Ñàìî çàìîùåíèå íàçûâàåòñÿ ïàðêåòîì, à åãî ýëåìåíòû — ïëèòêàìè.

89

         

' D& D & 

H 5    *   R D  

       G   K Y $    J  &            D   C    D    &           &          O          D            D       D   P   C  &       &      

!;N

T D 

Äëÿ íà÷àëà íàäî ðàçäåëÿòü êðóã è îêðóæíîñòü. Ìíîãèå èõ ïóòàþò. Îêðóæíîñòü — ýòî ìíîæåñòâî òî÷åê, ðàâíîóäàëåííûõ îò îäíîé, íàçûâàåìîé öåíòðîì. À êðóã — ýòî ïëîñêîñòü, êîòîðóþ îêðóæíîñòü îãðàíè÷èâàåò. Ðàññòîÿíèå îò öåíòðà äî îêðóæíîñòè íàçûâàþò ðàäèóñîì. Òàê æå çîâåòñÿ è îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé öåíòð îêðóæíîñòè ñ êàêîé-ëèáî èç òî÷åê, åå ñîñòàâëÿþùèõ. Äâà ðàäèóñà, ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé, ýòî äèàìåòð îêðóæíîñòè. Ëþáàÿ ïðÿìàÿ ìîæåò èìåòü íå áîëüøå äâóõ îáùèõ òî÷åê ñ îêðóæíîñòüþ. Îòðåçîê òàêîé ïðÿìîé, íàõîäÿùèéñÿ â ïëîñêîñòè êðóãà, íàçûâàþò õîðäîé. Òàê, äèàìåòð — ýòî õîðäà, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð. Õîðäà, êàê áû åå íè ïðîâîäèëè, âñåãäà ïðèíàäëåæèò êðóãó, à çíà÷èò, êðóã — âûïóêëàÿ ôèãóðà. Åñëè ïðÿìàÿ èìååò îäíó îáùóþ òî÷êó ñ îêðóæíîñòüþ, òî åå íàçûâàþò êàñàòåëüíîé. ×åðåç îäíó òî÷êó, ïðèíàäëåæàùóþ 91

         

  

         

îêðóæíîñòè, ìîæíî ïðîâåñòè òîëüêî îäíó êàñàòåëüíóþ. ×åðåç òî÷êó, ëåæàùóþ âíå îêðóæíîñòè, — äâå. Åñëè äâå îêðóæíîñòè èìåþò äâå îáùèõ òî÷êè — îíè ïåðåñåêàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì; îäíó — äðóã äðóãà êàñàþòñÿ. Êàñàíèå ìîæåò áûòü âíåøíèì, à ìîæåò áûòü âíóòðåííèì. Íå êàñàþùèåñÿ äðóã äðóãà îêðóæíîñòè, èìåþùèå îáùèé öåíòð, íàçûâàþòñÿ êîíöåíòðè÷åñêèìè. Îêðóæíîñòü ìîæåò «ñêîëüçèòü ñàìà ïî ñåáå», òî åñòü ïðè ïîâîðîòå âîêðóã öåíòðà íà ëþáîå êîëè÷åñòâî ãðàäóñîâ îíà áóäåò ñîâïàäàòü ñàìà ñ ñîáîé. Ïîäîáíûì ñâîéñòâîì îáëàäàåò åùå îäíà ôèãóðà — ïðÿìàÿ ëèíÿÿ (òîëüêî îíà ñêîëüçèò íå ïðè ïîâîðîòå, à ïðè ñìåùåíèè âäîëü). Êðîìå òîãî, îêðóæíîñòü — ýòî çàìêíóòàÿ ëèíèÿ, îãðàíè÷èâàþùàÿ íàèáîëüøóþ ïëîùàäü ïðè çàäàííîì ðàçìåðå.

L D I J      &         C K            &    5 C    I    I  b   O   

92

!=F

B P D  

Ôîðìóëû âû÷èñëåíèÿ äëèíû îêðóæíîñòè è ïëîùàäè êðóãà (2R è R2) èçâåñòíû ñ äðåâíèõ âðåìåí. Ñ òîãî æå âðåìåíè ó÷åíûå ïûòàþòñÿ íàèáîëåå òî÷íî âû÷èñëèòü çíà÷åíèå ÷èñëà Ïè (). Íàèáîëåå òî÷íûì çíà÷åíèåì ÷èñëà Ïè ÿâëÿåòñÿ 22/7. Ñåé÷àñ âû÷èñëåíèå ÷èñëà  âîçìîæíî äî ñîòîãî çíàêà ïîñëå çàïÿòîé è äàëüøå.  îñíîâíîì çàäà÷àìè íà òî÷íîå âû÷èñëåíèå  ïðîâåðÿþò è äåìîíñòðèðóþò ïðîèçâîäèòåëüíîñòü êîìïüþòåðîâ è ñïåöèàëüíûõ ïðîãðàìì. Îáå ôîðìóëû — ïëîùàäè è äëèíû — âûðàæàþò îòíîøåíèÿ ýòèõ âåëè÷èí ê çàäàííûì ïàðàìåòðàì îêðóæíîñòè.  ïåðâîì ñëó÷àå — ê äâîéíîìó ðàäèóñó èëè äèàìåòðó, âî âòîðîì ñëó÷àå — ê êâàäðàòó ðàäèóñà. Âîçüìåì îêðóæíîñòü ñ ðàäèóñîì 1 è âïèøåì â íåå øåñòèóãîëüíèê. Äëèíà ïåðèìåòðà øåñòèóãîëüíèêà ðàâíà 6R, ãäå R — ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè. Ïîòîìó ÷òî â ïðàâèëüíîì òðåóãîëüíèêå âñå ñòîðîíû ðàâíû, à çíà÷èò, ñòîðîíà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ãðàíüþ øåñòèóãîëüíèêà, 93

         

   %    &P

         

ðàâíà êàæäîé èç äâóõ äðóãèõ ñòîðîí, êîòîðûå è ðàâíû R. À åñëè ãðàíåé íå 6, à 36? Òàêîé ìíîãîóãîëüíèê óæå áîëüøå ïîõîæ íà îêðóæíîñòü. Âîîáùå îêðóæíîñòü ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê 360-óãîëüíèê, òîãäà äëèíîé ãðàíè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. À 360°, êàê íàì èçâåñòíî èç òðèãîíîìåòðèè, ýòî 2, òî ïåðèìåòð åãî áóäåò 2R. Ñ ïëîùàäüþ òî÷íî òàê æå, òîëüêî ìû áåðåì íå âïèñàííûé, à îïèñàííûé âîêðóã êðóãà 360-óãîëüíèê. Îí òîæå î÷åíü áëèçîê ê îêðóæíîñòè. Ïëîùàäü ìíîãîóãîëüíèêà ñ÷èòàåòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèå ïîëóïåðèìåòðà íà ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè R, à èìåííî S = 2R2/2 × R = R2.

         D   5         &           *  

D           . q 4  I  Q     '            * Q    

94

 R      D   % .       $              $  C    &      $   &     R      I    4  G               R     D  %        &      C   &           &      C        

     

!="

) D$

D

         

& %    C 

Çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå — îáëàñòü ìàòåìàòèêè, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ðåøàòü àëãåáðàè÷åñêèå çàäà÷è â âèäå ÷åðòåæà.  íåé äåéñòâóþò íåêîòîðûå íåîæèäàííûå ïðàâèëà. Ëèíåéêà ïðèçíàåòñÿ îäíîñòîðîííåé, â èäåàëå íà íåé íå äîëæíî áûòü íèêàêîé ðàçìåòêè, à åñëè ðàçìåòêà åñòü, òî îíà èãíîðèðóåòñÿ. Ëèíåéêîé íåëüçÿ èçìåðÿòü, ìîæíî òîëüêî ïîñòðîèòü ïðÿìóþ ëèíèþ. Öèðêóëü èñïîëüçóåòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðî÷åðòèòü îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå O è çàðàíåå çàäàííûì ðàäèóñîì AB. Òî÷êè ïåðåñå÷åíèé ïðÿìûõ ñ÷èòàþòñÿ àâòîìàòè÷åñêè ïîñòðîåííûìè. Ðàçðåøàåòñÿ âûáèðàòü ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó íà ïëîñêîñòè, à òàêæå â ïðåäåëàõ îòðåçêà èëè îêðóæíîñòè. Ñàìûå ïðîñòûå ïîñòðîåíèÿ — äåëåíèå îòðåçêà ïîïîëàì, ïðîâåäåíèå ïåðïåíäèêóëÿðà è ïîñòðîåíèå ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà — íàçûâàþò áàçîâûìè. Ê íèì ñâîäÿòñÿ âñå ñëîæíûå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå. 96

!=(

/   C  K 

Ñ äðåâíèõ âðåìåí äî íàñ äîøëè òðè çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå, íàçûâàåìûå íåðàçðåøèìûìè ñ ïîìîùüþ ëèíåéêè è öèðêóëÿ. Íåñìîòðÿ íà î÷åíü ïðîñòûå ôîðìóëèðîâêè èñõîäíûõ çàäàíèé, ðåøåíèÿ âûãëÿäÿò äîâîëüíî ñëîæíî. Êâàäðàòóðà êðóãà — çàäà÷à, â êîòîðîé íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü êâàäðàò, ðàâíûé ïî ïëîùàäè çàäàííîìó êðóãó ñ åäèíè÷íûì ðàäèóñîì. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ñòîðîíà êâàäðàòà äîëæíà áûòü ðàâíà êîðíþ êâàäðàòíîìó èç . π — èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, è ÷òîáû ïðèéòè ê îêîí÷àòåëüíîìó ìíåíèþ î òîì, ÷òî çàäà÷à íåðàçðåøèìà, ó÷åíûì íóæíî áûëî äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî  íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì íèêàêîãî óðàâíåíèÿ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè. Òðèñåêöèÿ óãëà — çàäà÷à î äåëåíèè óãëà íà òðè ÷àñòè. Íà ñàìîì äåëå åñòü óãëû, êîòîðûå íà òðè ÷àñòè ëåãêî ðàçäåëèòü: 180°, 90° è 45°. Òî åñòü òå, êîòîðûå ðàâíû 360°/n, ãäå 97

         

C  %      

         

n — öåëîå ÷èñëî, íå äåëÿùååñÿ íà 3. Íî âîò ÷òîáû ðàçäåëèòü ëþáîé ïðîèçâîëüíûé óãîë íà òðè èëè æå (÷òî ðàâíîöåííî) ïîñòðîèòü óãîë, ðàâíûé 1/3 èñõîäíîãî óãëà, íàäî ðåøèòü óðàâíåíèå x3–3x — 2cos = 0. Èëè èñïîëüçîâàòü íåâñèñ — äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó èç ëèíåéêè ñ äåëåíèÿìè, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ïåðåíîñèòü íà ïëîñêîñòè çàäàííûé îòðåçîê. Óäâîåíèå êóáà — çàäà÷à î ïîñòðîåíèè îáúåìíîé ôèãóðû. Äàí êóá ñ ðåáðîì, ðàâíûì A, íàäî ïîñòðîèòü êóá âäâîå áîëüøåãî îáúåìà. Òî åñòü x3 = 2a3, ñëåäîâàòåëüíî, x = a 3 2 . À âîò ïîñòðîèòü îòðåçîê äëèíîé ñ ïîìîùüþ îäíèõ òîëüêî öèðêóëÿ è ëèíåéêè íåâîçìîæíî. Çàòî âîçìîæíî ñ ïîìîùüþ ïëîñêîãî îðèãàìè — ìåòîäà, â êîòîðîì îòðåçêè ïîëó÷àþòñÿ ïóòåì ñëîæåíèÿ ëèñòà áóìàãè â îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå.

w        D       &   &   K                            I  H        

98

      . '           4  H        '    &                   H        C       $  D                G    &  D     D   C          $           

      I        

!=;

'   *

         



 ïëàíèìåòðèè ïðèñóòñòâóåò ïîíÿòèå ïëîñêîñòü. Ñîáñòâåííî, «ïëàíèìåòðèÿ» è ïåðåâîäèòñÿ ñ ãðå÷åñêîãî êàê «èçìåðåíèå ïëîñêîñòè». Ìû ãîâîðèì «â ïëîñêîñòè ìíîãîóãîëüíèêà», èìåÿ â âèäó, ÷òî åñòü åùå è îñòàëüíàÿ ÷àñòü, ëåæàùàÿ âíå ôèãóðû. Íî ïðè òàêèõ ðàñ÷åòàõ ïëîñêîñòü îäíà.  ñòåðåîìåòðèè (ïðîñòðàíñòâå) ìû ðàáîòàåì ñ ìíîæåñòâîì ïëîñêîñòåé. Äëÿ êàæäîé èç íèõ äåéñòâóþò òå æå ïðàâèëà, ÷òî è â ñòåðåîìåòðèè, è äîáàâëÿþòñÿ èõ ñîáñòâåííûå ñâîéñòâà. Ñóùåñòâóþò ñëåäóþùèå àêñèîìû ñòåðåîìåòðèè. Àêñèîìà âûõîäà â ïðîñòðàíñòâî: â ïðîñòðàíñòâå åñòü êàê ìèíèìóì ÷åòûðå òî÷êè, íå ëåæàùèå â îäíîé ïëîñêîñòè. Àêñèîìà ïëîñêîñòè: ÷åðåç ëþáûå òðè òî÷êè ïðîõîäèò ïëîñêîñòü. Àêñèîìà ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé: åñëè äâå ïëîñêîñòè èìåþò õîòÿ áû îäíó îáùóþ òî÷êó, òî ëèíèÿ èõ ïåðåñå÷åíèÿ — ïðÿìàÿ. Íà êàæäîé ïëîñêîñòè âûïîëíÿþòñÿ âñå çàêîíû ïëàíèìåòðèè.

100

!==

  

 ñòåðåîìåòðèè ïî-íîâîìó çâó÷àò íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ ïëàíèìåòðèè, óæå çíàêîìûå íàì, òàêèå êàê ïàðàëëåëüíîñòü è ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü. Âçàèìíî ïàðàëëåëüíû (èëè ïåðïåíäèêóëÿðíû) ìîãóò áûòü äâå ïðÿìûå, äâå ïëîñêîñòè èëè ïðÿìàÿ è ïëîñêîñòü. Ïàðàëëåëüíûìè ïðÿìûìè íàçûâàþòñÿ äâå ïðÿìûå, ëåæàùèå â îäíîé ïëîñêîñòè è íå èìåþùèå îáùèõ òî÷åê. Íåïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, ëåæàùèå â ðàçíûõ ïëîñêîñòÿõ, íàçûâàþò ñêðåùèâàþùèìèñÿ. Îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ.  ïðîñòðàíñòâå ïàðàëëåëüíûìè ìîãóò áûòü íå òîëüêî ïðÿìûå, íî è ïëîñêîñòè. Îíè ïàðàëëåëüíû, êîãäà íå èìåþò îáùèõ òî÷åê. Åñëè äâå ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû òðåòüåé, òî îíè ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé. Ïðÿìàÿ ñ÷èòàåòñÿ ïàðàëëåëüíîé íåêîé ïëîñêîñòè, åñëè îíà ïàðàëëåëüíà êàêîé-ëèáî ïðÿìîé íà ýòîé ïëîñêîñòè. Ïðÿìûå, ïî êîòîðûì äâå ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþò òðåòüþ, ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó. 101

         

&&   %  *

         

Ïðÿìàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè, êîãäà îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà äâóì ïåðåñåêàþùèìñÿ ïðÿìûì, ëåæàùèì íà ýòîé ïëîñêîñòè (êàæäîé èç íèõ îäíîâðåìåííî). ×åðåç ïðÿìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ïëîñêîñòè, ìîæíî ïðîâåñòè áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî ïëîñêîñòåé, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïåðâîé. Ïëîñêîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíû äðóã äðóãó, åñëè ìîæíî ïîñòðîèòü äâå òàêèå ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïðÿìûå, ÷òîáû ïåðâàÿ ïðÿìàÿ ïðèíàäëåæàëà ïåðâîé, à âòîðàÿ ïðÿìàÿ — âòîðîé ïëîñêîñòè. ×åðåç òî÷êó â ïðîñòðàíñòâå, íå ëåæàùóþ íà ïðÿìîé, ìîæíî ïðîâåñòè òîëüêî îäíó ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ïðÿìîé, è íàîáîðîò, ÷åðåç òî÷êó, íå ëåæàùóþ íà ïëîñêîñòè, ìîæíî ïðîâåñòè òîëüêî îäíó ïðÿìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ïëîñêîñòè. /       K   I       &       &              [            $         D     C                       C          &          D     C           D              I  '     Q5 

102

!=A

  K C   O  &

×òîáû èçîáðàçèòü òðåõìåðíûå îáúåêòû íà äâóìåðíîé áóìàãå (à èíîãäà è äâóìåðíûå, íî ñëîæíî ðàñïîëîæåííûå â ïðîñòðàíñòâå), ïîëüçóþòñÿ ïðîåêöèåé. Ýòî ñïîñîá çðèòåëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ïðåäìåòîâ. Áåðåòñÿ íåêàÿ òî÷êà O, öåíòð ïðîåêöèè, ãäå íàõîäèòñÿ íàáëþäàòåëü. Âñå òî÷êè îáúåêòà ñîåäèíÿþòñÿ ñ òî÷êîé O ïðÿìûìè, è âîò òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ ñ íåêîåé ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé èì (ïëîñêîñòü ìåæäó îáúåêòîì è öåíòðîì ïðîåêöèè), è ñîñòàâëÿþò ïðîåêöèþ ïðåäìåòà íà ïëîñêîñòü. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî öåíòð ïðîåêöèè ðàâíîóäàëåí îò ýòîé ïëîñêîñòè, òî ëèíèè, ñîåäèíÿþùèå îáúåêò ñ òî÷êîé O, ïðèíèìàþòñÿ çà ïàðàëëåëüíûå è ïðîåêöèÿ çîâåòñÿ ïàðàëëåëüíîé. Åñëè ïëîñêîñòü íå ïåðïåíäèêóëÿðíà ïðÿìûì (åñëè äà, òî ïðîåêöèÿ îðòîãîíàëüíàÿ), òî ïðîåêöèÿ çîâåòñÿ êîñîóãîëüíîé. Íî â ãåîìåòðèè òàêóþ èñïîëüçóþò ðåäêî.

103

         

  & 

      *       &   K 

   D     &   D          R     & 

!=@

O  

Êîãäà ìû ïåðåõîäèì îò ãåîìåòðèè íà ïëîñêîñòè ê ãåîìåòðèè â ïðîñòðàíñòâå, ìû ñòàëêèâàåìñÿ ñ ïåðåñåêàþùèìèñÿ ïëîñêîñòÿìè. Òî åñòü óãëû ñòàíîâÿòñÿ èç ïëîñêèõ îáúåìíûìè. Åñëè äâå ïëîñêîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíû òðåòüåé è ïåðåñåêàþòñÿ ìåæäó ñîáîé, òî ôèãóðà, ñîçäàííàÿ èõ ïåðåñå÷åíèåì, íàçûâàåòñÿ äâóãðàííûé óãîë. Ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ îáðàçóþò ëèíåéíûé óãîë äâóãðàííîãî óãëà. Åãî âåëè÷èíà ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ îò 0° äî 180°, è âñå ëèíåéíûå óãëû îäíîãî äâóãðàííîãî óãëà ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Èíîãäà äâóãðàííûì óãëîì ñ÷èòàþò òîëüêî òî ïðîñòðàíñòâî, êîòîðîå çàêëþ÷åíî ìåæäó äâóìÿ ïîëóïëîñêîñòÿìè. Åñëè áðàòü ëèíåéíûé óãîë, òî ýòî óæå íå äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå, à äâà ëó÷à, èñõîäÿùèå èç îäíîé òî÷êè. Òàêîé óãîë ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ îò 0° äî 360°. Ïîëóïëîñêîñòè íàçûâàþòñÿ ãðàíÿìè óãëà, à ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ — ðåáðàìè. 105

         

$* 

         

Åñëè ìû âîçüìåì òðåóãîëüíèê ABC è òî÷êó S, íå ïðèíàäëåæàùóþ ïëîñêîñòè òðåóãîëüíèêà, òî ôèãóðà, îáðàçîâàííàÿ ïëîñêîñòÿìè ASB, BSC è CSA, áóäåò íàçûâàòüñÿ òðåõãðàííûì óãëîì. Óãëû ïëîñêîñòåé áóäóò åãî ãðàíÿìè, ëó÷è SA, SB, SC — ðåáðàìè, à òî÷êà S — âåðøèíîé. Äëÿ òðåõãðàííîãî óãëà õàðàêòåðíû ñõîæèå ñ òðåóãîëüíèêîì ñâîéñòâà. Ïàðû ãðàíåé îáðàçóþò êàæäàÿ ïî äâóãðàííîìó óãëó. Êàæäûé ïëîñêèé óãîë, îáðàçîâàííûé ïàðàìè ðåáåð òðåõãðàííîãî, êàê è â òðåóãîëüíèêå, ìåíüøå ñóììû äâóõ äðóãèõ, à ñóììà âñåõ òðåõ ìåíüøå 360°.

'              C                          I  G   G     

106

!=S

G D  

Åñëè ïðîèçâîëüíûé âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê ïåðåíåñòè âäîëü íåêîé ïðÿìîé èç ïëîñêîñòè M â ïëîñêîñòü M è ñîåäèíèòü ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè îáåèõ ôèãóð, òî ìû ïîëó÷èì îáúåìíîå òåëî — ïðèçìó. Åñëè ïðÿìàÿ, âäîëü êîòîðîé ìû ïåðåíîñèëè ôèãóðó, ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè M (à çíà÷èò, è ïëîñêîñòè M), òî òàêóþ ïðèçìó íàçûâàþò ïðÿìîé, âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ — íàêëîííîé. Ìíîãîóãîëüíèêè çîâóòñÿ îñíîâàíèÿìè ïðèçìû, îòðåçêè, ñîåäèíÿþùèå èõ, — ðåáðàìè.  çàâèñèìîñòè îò êîëè÷åñòâà óãëîâ n-óãîëüíèêà ïðèçìó çîâóò n-óãîëüíîé. Åñëè îñíîâàíèå ïðèçìû ïàðàëëåëîãðàìì, ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ïàðàëëåëåïèïåäîì. Åñëè ïðÿìîóãîëüíèê — ïðÿìîóãîëüíûì ïàðàëëåëåïèïåäîì. Êóá — ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðÿìîãî ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëîãðàììà, âñå åãî ñòîðîíû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îäèí è òîò æå êâàäðàò. Åñëè â ïðèçìå ïîìåíÿòü ìíîãîãðàííèê îñíîâàíèÿ íà êðóã, ïîëó÷èòñÿ öèëèíäð. 107

         

 *R 

         

Åñëè ìû áåðåì n-ãðàííûé óãîë, è ïëîñêîñòü åãî ñå÷åíèÿ — n-óãîëüíèê, òî òàêàÿ ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ïèðàìèäîé. Îò âåëè÷èíû n çàâèñèò íàçâàíèå ýòîé n-ãðàííîé ïèðàìèäû. Ñå÷åíèå íàçûâàþò îñíîâàíèåì, âåðøèíó óãëà — âåðøèíîé ïèðàìèäû, ðåáðà óãëà — áîêîâûìè ðåáðàìè, à ãðàíè — áîêîâûìè ãðàíÿìè ïèðàìèäû. Êîãäà îñíîâàíèå — ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, à ãðàíè ðàâíû ìåæäó ñîáîé, òî òàêàÿ ïèðàìèäà çîâåòñÿ ïðàâèëüíîé. Ïèðàìèäà, ó êîòîðîé âåðøèíà «îòðåçàíà» ïëîñêîñòüþ, ïàðàëëåëüíîé îñíîâàíèþ, íàçûâàåòñÿ óñå÷åííîé. Åñëè îñíîâàíèå ïèðàìèäû — êðóã, ïîëó÷èòñÿ êîíóñ. Îïðåäåëåíèÿ øàðà è ñôåðû ïîõîæè íà îïðåäåëåíèÿ êðóãà è îêðóæíîñòè. Ñôåðà — ìíîæåñòâî òî÷åê, ðàâíîóäàëåííûõ îò íåêîé îäíîé òî÷êè, åå öåíòðà. Ïðîñòðàíñòâî âíóòðè ñôåðû — øàð.

           D 5      C

 &                   Q    Q K   

108

!=U

Öèëèíäð ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ïðÿìîóãîëüíèê, ïîâîðà÷èâàþùèéñÿ âîêðóã îäíîé èç ñâîèõ âåðòèêàëüíûõ ñòîðîí. Âåðøèíû ïðÿìîóãîëüíèêà îïèñûâàþò êðóã, à ãðàíü, ïðîòèâîïîëîæíàÿ îñè âðàùåíèÿ, ñîñòàâëÿåò ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà. Ïëîùàäü åãî áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ðàâíà âûñîòå, óìíîæåííîé íà äëèíó îêðóæíîñòè îñíîâàíèÿ, òî åñòü 2rh. Êîíóñ æå ïîëó÷àåòñÿ èç âðàùàþùåãîñÿ âîêðóã îäíîãî èç êàòåòîâ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà. Òàê, îñü âðàùåíèÿ ïëîñêîé ôèãóðû ñîâïàäàåò ñ âûñîòîé ôèãóðû îáúåìíîé. Ïëîùàäü åãî áîêîâîé ïîâåðõíîñòè, åñëè ñìîòðåòü íà ðàçâåðòêó, áóäåò ðàâíà ïëîùàäè ñåêòîðà êðóãà rl, ãäå l — ãèïîòåíóçà âðàùàåìîãî òðåóãîëüíèêà, à r — äëèíà îêðóæíîñòè îñíîâàíèÿ. Òàêèå îáúåìíûå ôèãóðû íàçûâàþò òåëàìè âðàùåíèÿ.  îáùåì ëþáàÿ êðèâàÿ, ïðè âðàùåíèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé, ëåæàùåé â ïëîñêîñòè, ñîçäàåò ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ, è íåîáÿçàòåëüíî ýòî ïðàâèëüíàÿ ôèãóðà. 109

         

 P C    



         

Ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ ïîëó÷àåòñÿ ïðè âðàùåíèè âîêðóã êîíêðåòíîé îñè íåêîåãî êîíòóðà, à òåëà âðàùåíèÿ — ïðè âðàùåíèè ïëîñêîé ôèãóðû. Òàê, âðàùåíèå ïîëóîêðóæíîñòè âîêðóã äèàìåòðà ñîçäàåò ñôåðó, à âðàùåíèå ïîëóêðóãà — øàð. Èíòåðåñíàÿ ôèãóðà ïîëó÷àåòñÿ ïðè âðàùåíèè îêðóæíîñòè âîêðóã îñè, íå ïåðåñåêàþùåé ýòó îêðóæíîñòü, — áóáëèê èëè òîð. Åñëè òàêèì æå îáðàçîì âðàùàòü êðóã, ïîëó÷èòñÿ îáúåìíîå òåëî ïîëíîòîðèå. Ñîáñòâåííî, òåëà âðàùåíèÿ èìåþò ëèíåéíóþ ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ. À îòäåëüíûå ñëó÷àè — öèëèíäðû, øàðû, òîðû — ïîçâîëÿþò ãîâîðèòü î ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ øàðà ýòà òî÷êà ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì, äëÿ òîðà è öèëèíäðà — ñ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ñðåäíåé ëèíèè è îñè ñèììåòðèè.

)                    I            P               C         $      

                   D   D  I  )        

110

       P     *    K      5      *      C &    $      C    

!=N

   *



         

% D 

 

Èòàê, ìíîãîãðàííèê — ýòî îáúåìíîå òåëî, êîòîðîå ñîñòîèò èç ìíîãîóãîëüíèêîâ. Ñàìûé çíàêîìûé è ïðèâû÷íûé äëÿ íàñ ìíîãîãðàííèê — êóá. Âñå øåñòü åãî ãðàíåé — êâàäðàòû, à ãðàíèöû êâàäðàòîâ çîâóòñÿ ðåáðàìè êóáà (èõ 12). Âåðøèíû æå ãðàíåé ñòàíîâÿòñÿ âåðøèíàìè (8 øòóê) ýòîãî ìíîãîãðàííèêà. Íî êóá — íå ñàìûé ïðîñòîé èç ìíîãîãðàííèêîâ. Ñàìûé ïðîñòîé — òåòðàýäð, èëè òðåóãîëüíàÿ ïèðàìèäà. Åãî ãðàíè — ÷åòûðå ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêà, ðåáåð øåñòü, à âåðøèí ÷åòûðå. Òàê æå êàê òåòðàýäð — ÷àñòíûé ñëó÷àé ïèðàìèäû, êóá — ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðèçìû. Åñëè ñòîðîíû è óãëû ìíîãîãðàííèêà ðàâíû, åãî íàçûâàþò ïðàâèëüíûì. Åñëè ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî (ïðè n  3), òî ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ íåìíîãî, âñåãî ïÿòü. Ê êóáó è òåòðàýäðó ïðèñîåäèíÿþòñÿ òàêèå òåëà. Îêòàýäð — òåëî, ñîñòîÿùåå èç äâóõ ïèðàìèä ñ êâàäðàòíûìè îñíîâàíèÿìè, ñîâìåùåííûõ 112

Ýòè ïÿòü òåë íàçûâàþò ïëàòîíîâûìè òåëàìè. Íî ìåòîäîì óñå÷åíèÿ âåðøèí ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ ìîæíî ïîëó÷èòü åùå 13 îáúåìíûõ ôèãóð, çîâóùèõñÿ àðõèìåäîâûìè òåëàìè. Îíè ñîñòîÿò òàêæå èç ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, íî ðàçíûõ — îäíîâðåìåííî èç âîñüìèóãîëüíèêîâ è êâàäðàòîâ, èç øåñòèóãîëüíèêîâ è òðåóãîëüíèêîâ è ò. ä. Òàêæå áûâàþò çâåçä÷àòûå ìíîãîãðàííèêè, íåâûïóêëûå è «ñîáðàííûå» èç ðàçëè÷íûõ òðåóãîëüíèêîâ.

G                     E      >C                     I       D        *                      I  O     O     

113

         

îñíîâàíèÿìè (òàê íàçûâàåìàÿ áèïèðàìèäà). Èëè èç âîñüìè ðàâíûõ òðåóãîëüíèêîâ. ×èñëî åãî ðåáåð, êàê è ó êóáà, 12, à âîò âåðøèí âñåãî 6. Èêîñàýäð — îáúåìíàÿ ôèãóðà èç 20 ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ. Ðåáåð ó íåãî 13, à âåðøèí 12. Äîäåêàýäð — ìíîãîãðàííèê èç 10 ïðàâèëüíûõ ïÿòèóãîëüíèêîâ. Ó íåãî 30 ðåáåð è 20 âåðøèí.

!AF

T D      

         

J 

×òî ìû äåëàåì, êîãäà õîòèì ÷òî-òî èçìåðèòü? Áåðåì, äîïóñòèì, ëèíåéêó è ïðèêëàäûâàåì ê èçìåðÿåìîìó îáúåêòó. Òî åñòü ñìîòðèì, êàê ñîîòíîñèòñÿ äëèíà (øèðèíà, âûñîòà) ÷åãî-òî ñ äåëåíèÿìè íà ëèíåéêå. Ñ ïîÿâëåíèåì ó ÷åëîâåêà ïîòðåáíîñòè â èçìåðåíèÿõ ïîÿâèëèñü ðàçíûå èíñòðóìåíòû. Íà äàííûé ìîìåíò ÷åëîâå÷åñòâî ïðèøëî ê òîìó, ÷òîáû èñïîëüçîâàòü îäíó ñèñòåìó â èçìåðåíèÿõ (òîëüêî ÑØÀ è Áðèòàíèÿ âàæíè÷àþò ñ ôóòàìè è óíöèÿìè), òàê íàçûâàåìóþ ÑÈ — ñèñòåìó èçìåðåíèÿ. Òàê íàçûâàåìûå ýòàëîíû — ìåòð, êèëîãðàìì è òàê äàëåå — õðàíÿòñÿ â Ïàðèæñêîé ïàëàòå ìåð è âåñîâ, è èìåííî îíè îïðåäåëÿþò çíà÷åíèÿ èçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðîâ ïî âñåìó ìèðó. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî èçìåðåíèå — ýòî ïðîöåññ ñðàâíåíèÿ ñ íåêîòîðûì îáðàçöîì, ýòàëîíîì. Èëè ïîïûòêà âûÿñíèòü, ñêîëüêî ðàç îïðåäåëåííàÿ ìåðà ñîäåðæèòñÿ â ïàðàìåòðàõ èçìåðÿåìîãî îáúåêòà.

114

!A"

O   C   G 

Ïðîñòåéøèé ìåòîä èçìåðåíèÿ ïëîùàäè ôèãóðû — ìåòîä ïàëåòêè. Íà ìíîãîóãîëüíèê (äîïóñòèì) íàêëàäûâàåòñÿ ïðîçðà÷íàÿ ïëåíêà, íà êîòîðóþ íàíåñåíà ñåòêà èç êâàäðàòîâ çàäàííîãî ðàçìåðà. Ïîäñ÷èòûâàåòñÿ êîëè÷åñòâî «ÿ÷ååê», öåëèêîì íàõîäÿùèõñÿ âíóòðè èçìåðÿåìîé ôèãóðû, è ñóììèðóåòñÿ. Òàê ïîëó÷àåòñÿ çíà÷åíèå ïëîùàäè ôèãóðû. ×åì ìåíüøå ðàçìåð ýòèõ êâàäðàòîâ, òåì òî÷íåå èçìåðåíèå. Òàêîé ïðîöåññ èçìåðåíèÿ íàçûâàåòñÿ êâàäðèðîâàíèåì. Ïðîùå ãîâîðÿ, ïîèñê ÷èñëà êâàäðàòîâ, ñîäåðæàùèõñÿ â èçìåðÿåìîé ôèãóðå. Êâàäðèðóåìîé íàçûâàþò ôèãóðó F, åñëè äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî E ñóùåñòâóþò òàêèå ôèãóðû A è B, A ñîäåðæèò F, B ñîäåðæèòñÿ â F, ÷òîáû áûëî ñïðàâåäëèâî âûðàæåíèå: S(A) – S(B) < F. Ïëîùàäü ëþáîé êâàäðèðóåìîé ôèãóðû íåîòðèöàòåëüíà. Ðàçìåð ÷åãî-ëèáî — ÷èñëî áîëüøå íîëÿ (ôèãóðû ñ íóëåâîé ïëîùàäüþ, êîíå÷íî, áûâàþò, íî ìû èõ íå ðàññìàòðèâàåì). 115

         

 *$

         

Åñëè âçÿòü äâå èëè áîëüøå êâàäðèðóåìûõ ôèãóð, íå èìåþùèõ îáùèõ òî÷åê, òî èõ îáùàÿ ïëîùàäü áóäåò ðàâíÿòüñÿ ñóììå èõ ïëîùàäåé. Åñëè äâå êâàäðèðóåìûå ôèãóðû êîíãðóýíòíû, òî èõ ïëîùàäè áóäóò ðàâíû. Ïðè îïðåäåëåíèè ïëîùàäè ôèãóðû â êà÷åñòâå ýòàëîíà çàäàåòñÿ êâàäðàò ñ íåêîé åäèíè÷íîé ñòîðîíîé A. Ýòî ÷åòûðå îñíîâíûõ ñâîéñòâà êâàäðèðóåìîé ôèãóðû — íåîòðèöàòåëüíîñòü, àääèòèâíîñòü, èíâàðèàíòíîñòü è íîðìèðóåìîñòü. Èç íèõ ñëåäóåò, ÷òî åñëè îäíà ôèãóðà ïðèíàäëåæèò äðóãîé, òî ïëîùàäü ïåðâîé ôèãóðû íå áîëüøå ïëîùàäè âòîðîé — ýòî ñâîéñòâî çîâåòñÿ ìîíîòîííîñòüþ ïëîùàäè. Äâå ôèãóðû íàçûâàþò ðàâíîâåëèêèìè, åñëè èõ ïëîùàäè ðàâíû.

+        &                C                  I  '     

116

              

    &   D      &            *    &  P   C   &    &                         R    

!A(

O   C 

         

   *&    

Èçìåðåíèå îáúåìà ñõîæå ñ èçìåðåíèåì ïëîùàäè, íî âìåñòî ïàëåòêè èñïîëüçóåòñÿ êóáèëüÿæ — îáúåìíàÿ «ñåòêà», ñîñòîÿùàÿ èç åäèíè÷íûõ êóáîâ. Êîëè÷åñòâî êóáîâ â îáúåìíîé ôèãóðå è åñòü îáúåì òåëà. Êóáèðóåìîé íàçûâàþò ôèãóðó F, åñëè äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî E ñóùåñòâóþò òàêèå òåëà A è B, A ñîäåðæèò F, B ñîäåðæèòñÿ â F, ÷òîáû áûëî ñïðàâåäëèâî âûðàæåíèå: S(A) – S(B) < F. Äëÿ êóáèðóåìûõ îáúåìíûõ ôèãóð òîæå ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà íåîòðèöàòåëüíîñòè, àääèòèâíîñòè, èíâàðèàíòíîñòè è íîðìèðóåìîñòè, à òàêæå ìîíîòîííîñòè îáúåìà (ñì. ¹ 51) ïî àíàëîãèè ñ êâàäðèðóåìîñòüþ. Ïðàâäà, íåîòðèöàòåëüíîñòü ïðåâðàùàåòñÿ â ïîëîæèòåëüíîñòü, âåäü òåëî íóëåâîãî îáúåìà — ýòî ïëîñêàÿ ôèãóðà. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïëîùàäè ôèãóðû ìîæíî èñïîëüçîâàòü òîëüêî àääèòèâíîñòü è èíâàðèàíòíîñòü, äëÿ îïðåäåëåíèÿ îáúåìà ê íèì äîáàâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîñòü. 118

'  ` b       J   K  K              . D   C      *         $    4   ^ 

D   D     $      &   C   D     *           &                            O R    G        D       $         b b    

      *     C    &       *         C     &    %   C       J  C   J  C     J  C      J   H    Y          R    C        D           $  E ' >C       E Q >        E ) >   5       &   

      %  '  :  Q  z  )  :  (

куб

кубоид

шестиугольная призма

пятиугольная призма

додекаэдр

квадратная пирамида

цилиндр

конус

тетраэдр

сфера

полусфера

тор

икосаэдр

эллипсоид

треугольная призма

параллелепипед

пятиугольная пирамида

октаэдр

шестиугольная пирамида

!A;

   % 



Ñàìàÿ ïðîñòàÿ ôîðìóëà ïëîùàäè ó êóáà: åñëè åãî ãðàíü ðàâíà a, òî åãî ïëîùàäü ðàâíà a3. Åñëè æå áðàòü ïàðàëëåëåïèïåä, òî ôîðìóëà ïðåâðàùàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèå òðåõ ñòîðîí, òîëüêî îäíà èç íèõ ñ÷èòàåòñÿ âûñîòîé, à äâå äðóãèå îáðàçóþò ïëîùàäü îñíîâàíèÿ: V = h × a × b. Îáúåì n-ãðàííîé ïðèçìû ðàâåí âûñîòå, óìíîæåííîé íà ïëîùàäü îñíîâàíèÿ: V = h × S. Ôîðìóëà îáúåìà ïèðàìèäû ïîõîæà íà ôîðìóëó ïëîùàäè ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà. Åñëè ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïëîùàäè ïðÿìîóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè, ðàâíûìè êàòåòàì, òî îáúåì ïèðàìèäû — îäíà òðåòü îò îáúåìà ïðèçìû ñ òàêèìè æå âûñîòîé è îñíîâàíèåì: V = 1/3 × h × S. Îáúåìû òåë âðàùåíèÿ — êîíóñà è öèëèíäðà — áëèçêè ê îáúåìàì ïèðàìèäû è ïðèçìû ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè ìû âîçüìåì n-ãðàííóþ ïèðàìèäó, ãäå n ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, 121

         

 P  & 

         

òî ìíîãîóãîëüíèê îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê îêðóæíîñòè îñíîâàíèÿ êîíóñà. Òî åñòü V = 1/3 × h × S â ñëó÷àå êîíóñà áóäåò ðàâíî V = 1/3 × hR2, ãäå R — ðàäèóñ îñíîâàíèÿ êîíóñà. Äëÿ öèëèíäðà îáúåì áóäåò ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ âûñîòû íà ïëîùàäü îñíîâàíèÿ, òî åñòü V = hR2. Àðõèìåä äîêàçàë, ÷òî îáúåì øàðà â ïîëòîðà ðàçà ìåíüøå, ÷åì îáúåì îïèñàííîãî îêîëî íåãî öèëèíäðà. Ïðè ýòîì âûñîòà îïèñàííîãî öèëèíäðà ðàâíà äèàìåòðó øàðà (èëè äâóì ðàäèóñàì), ïîòîìó êàê öèëèíäð êàñàåòñÿ «ïîëþñîâ» øàðà. Äèàìåòð öèëèíäðà ðàâåí äèàìåòðó øàðà, ïîòîìó ÷òî èõ «ýêâàòîðû» ñîâïàäàþò. Çíà÷èò, îáúåì îïèñàííîãî öèëèíäðà ðàâåí äâóì ðàäèóñàì, óìíîæåííûì íà ïëîùàäü îñíîâàíèÿ: V = 2R × R2 = 2R3. Îáúåì øàðà V = 4/3R3.

'    &           %                   C       $               I  0    +   

122

 

  -

!A=

     

    ,

  *

 ñëó÷àÿõ, êîãäà öèôð íà÷èíàåò íå õâàòàòü, â àëãåáðå èñïîëüçóþò áóêâû. Òàê íàçûâàåìûå ïåðåìåííûå — âåëè÷èíû, êîòîðûå ìîãóò ïðèíèìàòü ëþáîå çíà÷åíèå (îãðàíè÷åíèÿ îáû÷íî ïðîïèñûâàþòñÿ â óñëîâèÿõ çàäà÷è), îñòàâàÿñü ïðè ýòîì ñîáîé.  îáùåì-òî óðàâíåíèå — âûðàæåíèå ñ îäíîé èëè íåñêîëüêèìè ïåðåìåííûìè. Êîãäà ìû èùåì êîëè÷åñòâî ÿáëîê â äâóõ ÿùèêàõ — â îäíîì ñåìü, â äðóãîì äåâÿòü, äîñòàòî÷íî ïðîñòûõ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé. À âîò êîãäà â îäíîì ÿùèêå ÿáëîê ñêîëüêî-òî, à â äðóãîì íà òðè ìåíüøå (èëè â äâà ðàçà áîëüøå), à âñåãî ÿáëîê 21, òî òóò ìû óæå èñïîëüçóåì áóêâåííûå îáîçíà÷åíèÿ: x + (x + 3) = 21 èëè x + 2x = 21. Çäåñü çà x ìû ïðèíÿëè êîëè÷åñòâî ÿáëîê â ïåðâîì ÿùèêå. Áóêâû èñïîëüçóþòñÿ ëèáî ëàòèíñêîãî àëôàâèòà, ëèáî (÷àùå äëÿ îáîçíà÷åíèÿ óãëîâ, ÷åì èçìåðèìûõ âåëè÷èí) ãðå÷åñêîãî.

124

!AA

B P  

Óðàâíåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñòàðèííûõ ðû÷àæíûõ âåñîâ — ñ îäíîé ñòîðîíû çíàêà ðàâíî âñåãäà íàõîäèòñÿ ñòîëüêî æå «åäèíèö» ÷åãî-ëèáî, ñêîëüêî è ñ äðóãîé. À íà âåñàõ êàê âçâåøèâàþò? Óáèðàþò èëè äîáàâëÿþò íà ÷àøêè âåñû. Äîïóñòèì, íà îäíîé ÷àøå ëåæèò çîëîòîå êîëüöî è 5 çîëîòûõ ìîíåò. À íà äðóãîé — 20 çîëîòûõ ìîíåò (x + 5 = 20). ×òî íóæíî ñäåëàòü, ÷òîáû óçíàòü, ñêîëüêî âåñèò êîëüöî? Ïðàâèëüíî, óáðàòü ñ ïåðâîé ÷àøè âñå ëèøíåå, êðîìå ñàìîãî âçâåøèâàåìîãî ïðåäìåòà. Íî òîãäà âòîðàÿ ÷àøà ïåðåâåñèò. Çíà÷èò, ñ íåå òîæå íàäî óáðàòü ñòîëüêî æå, ñêîëüêî è ñ ïåðâîé: ïî ïÿòü ìîíåò ñ êàæäîé ÷àøè (x + 5 – 5 = 20 – 5). È ïîëó÷èì x = 15. Òàêæå ìîæíî ïðèáàâëÿòü ðàâíûå ÷èñëà èëè ïåðåìåííûå: x + 5 = 2x — 8. Îòíèìåì õ ñ êàæäîé ñòîðîíû: x + 5 – x = 2x – 8 – x; ïîëó÷èì 5 = x — 8. Ïðèáàâèì 8 ê êàæäîé ÷àñòè: 5 + 8 = x – 8 + 8; 13 = x. Ïðîùå ãîâîðÿ, èç îäíîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ â äðóãóþ ìîæíî ïåðåíåñòè ëþáîå ÷èñëî è ëþáóþ ïåðåìåííóþ, íî ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì. 125

    ,

*Z

Ìîæíî óìíîæàòü (èëè äåëèòü) îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà îäíî è òî æå ÷èñëî (êðîìå íóëÿ — óìíîæàòü áåññìûñëåííî, à äåëèòü íåëüçÿ): (õ + 12)/3 = x – 2.

    ,

Óìíîæèì îáå ÷àñòè íà 3 è ïîëó÷èì: x + 12 = = 3x – 6, èëè x = 9. Âîçâîäèòü â ñòåïåíü è èçâëåêàòü êîðåíü: 2 x 2 + ; x= 3 9 3 Óìíîæèâ îáå ÷àñòè íà 3, ïîëó÷èì 2 = + 2; èëè x = 4.

=

Èëè: x2 + 2x = (4x + 7)/2. Óäâîèâ îáå ÷àñòè, ïîëó÷èì 2x2 + 4x = 4x + 7; èëè 2x2 = 7.

7 7 è îäíîâðåìåííî x = – , ïîòîìó 2 2 ÷òî êîðåíü êâàäðàòíûé èç ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ðàâåí ïàðå ÷èñåë, ðàâíûõ ïî ìîäóëþ è ïðîòèâîïîëîæíûõ ïî çíàêó. x=

O      &     &          $           Z                  I  O 

126

) $          C       D          %         

D           &              D         

!A@

   % 

    ,

& $

Òîæäåñòâîì â àëãåáðå íàçûâàþò ðàâåíñòâî ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ (íà âñåé îáëàñòè äàííûõ çíà÷åíèé).  êà÷åñòâå çíàêà òîæäåñòâåííîñòè îáû÷íî èñïîëüçóþò òîò æå çíàê, ÷òî è äëÿ ðàâåíñòâà, íî åñòü è ñïåöèàëüíûé «òîæäåñòâåííî ðàâíî» ( ). Íàïðèìåð: õ 2/õ = x âåðíî òîëüêî äëÿ x  0, x à = âåðíî óæå äëÿ x > 0 (ïîòîìó ÷òî x êâàäðàòíûé êîðåíü èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà íå èìååò çíà÷åíèÿ â äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñëàõ). Òîæäåñòâî x2 – y2 = (x – y) × (x + y) âåðíî äëÿ ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ è êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ çàêîí xy = yx (à äëÿ íåêîòîðûõ ýëåìåíòîâ âûñøåé ìàòåìàòèêè ýòî íå òàê). Òàêæå òîæäåñòâîì ÷àñòî íàçûâàþò âûðàæåíèå áåç ïåðåìåííûõ, íàïðèìåð 196 = 142. Íî âîò x + 3 = 8 òîæäåñòâîì íå ÿâëÿåòñÿ, ïîòîìó ÷òî âåðíî òîëüêî äëÿ x = 5. Êðîìå òîæäåñòâà óðàâíåíèé åñòü åùå ñëåäñòâèå è ðàâíîñèëüíîñòü. 128

Ìîæíî îáîçíà÷èòü ÷àñòü óðàâíåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé, ÷òî óäîáíî äëÿ óðàâíåíèé ÷åòâåðòîé ñòåïåíè: x4 + x2 – 7 = 0. Îáîçíà÷èâ x2 = y, ïîëó÷èì y2 + y — 7 = 0. Èëè äëÿ òðèãîíîìåòðèè: cos2a + 2cosa + + 1/4 = 0. Ïðèìåì n = cosa, òîãäà n2 + + 2n + 1/4 = 0.

B                      C                         D     C      #       &                        &   I  O    G  D   

129

    ,

Îäíî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì äðóãîãî, åñëè ëþáîé êîðåíü ïåðâîãî ÿâëÿåòñÿ êîðíåì âòîðîãî. Îäíî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîñèëüíûì äðóãîìó óðàâíåíèþ, åñëè ìíîæåñòâî åãî êîðíåé ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì êîðíåé âòîðîãî óðàâíåíèÿ.  ðåçóëüòàòå îïåðàöèé ñ «÷àøàìè âåñîâ» ìû êàê ðàç ïîëó÷àåì ðàâíîñèëüíûå óðàâíåíèÿ.

!AS

     ' %

    ,

DJ   Z

Êâàäðàòíûì óðàâíåíèåì íàçûâàþò óðàâíåíèå âèäà: ax2 + bx + c = 0, ãäå a, b è c — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà è a  0. Åñëè a = 1, òî óðàâíåíèå íàçûâàþò ïðèâåäåííûì. Ôîðìóëà Âèåòà äëÿ êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ âûãëÿäèò íåïðîñòî è â øêîëå íå èçó÷àåòñÿ.

b b2 −c x =− ± 2 4 Ìû ïðèâûêëè ñíà÷àëà âû÷èñëÿòü äèñêðèìèíàíò: D = – 4ac, è óæå ïîòîì âû÷èñëÿòü −b ± D êîðíè óðàâíåíèÿ: . Ôîðìóëà Âèåòà 2a âåðíà äëÿ ëþáîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ, ÷åé äèñêðèìèíàíò íå ìåíüøå íóëÿ. Èçâåñòíàÿ ñòàðøåêëàññíèêàì òåîðåìà Âèåòà ñïðàâåäëèâà íå òîëüêî äëÿ ïðèâåäåííûõ êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé. Äëÿ óðàâíåíèÿ âèäà x2 + + bx + c = 0 (a = 1) ÷èñëà x1 è x2 — åãî êîðíè, åñëè x1 + x2 = –b, à x1 × x2 = c. Âïðî÷åì, äëÿ íåïðèâåäåííîãî óðàâíåíèÿ òåîðåìà Âèåòà òîæå ñïðàâåäëèâà, íî òîãäà x1 + x2 = –b/à; x1 × x2 = ñ/à. 130

!AU

Óðàâíåíèå íàçûâàþò êóáè÷åñêèì, åñëè îíî èìååò âèä ax3 + bx2 + cx + d = 0, ãäå a, b, c è d — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà è a  0. Òàêîå óðàâíåíèå ìîæåò èìåòü îò îäíîãî äî òðåõ êîðíåé. Ïî òåîðåìå Âèåòà, êîðíè x1, x2 è x3 òàêîâû, ÷òî: x1 + x2 + x3 = –b/a; x1x2 + x2x3 + x1x3 =c/a; x1x2x3 = –d/a. Êðîìå ïîëíîé ôîðìû, êóáè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò êàíîíè÷åñêóþ ôîðìó: x3 + px + q = 0. Îíà óäîáíà äëÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ, à äëÿ íàõîæäåíèÿ êîðíåé èñïîëüçóþò ñïåöèàëüíóþ ôîðìóëó — ôîðìóëó Êàðäàíî: 2

3

2

3

q ⎛q⎞ ⎛ p⎞ x = 3 − + ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ + 2 ⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠ q ⎛q⎞ ⎛ p⎞ + 3 − − ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠

Òàê ìîæíî íàéòè õîòÿ áû îäèí äåéñòâèòåëüíûé êîðåíü. Çà÷àñòóþ åäèíñòâåííûé íàõîäèìûé, ïîòîìó ÷òî îñòàëüíûå êîðíè — êîìïëåêñíûå. 131

    ,

O  &       %R  O  

T          O     D         C

D       P  H        '  C

 R                      C        K &                         O         &             . O              4 C     ( A,          

D             C               C      $       D       $ *      

!AN

/     & %    

 óðàâíåíèè ÷åòâåðòîé ñòåïåíè x4 + ax3 + + bx2 + cx + d = 0, âñå êîýôôèöèåíòû — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà è a  0. Òàêèå óðàâíåíèÿ ðåøàþòñÿ ìåòîäîì Ôåððàðè. Ñíà÷àëà — êàê äèñêðèìèíàíò äëÿ êâàäðàòíîãî — âû÷èñëÿåòñÿ ðåçîëüâåíòà, êóáè÷åñêîå óðàâíåíèå âèäà y3 – by2 + (ac – 4d)y — a2d + 4bd – c2 = 0. Åñëè y — êîðåíü óðàâíåíèÿ-ðåçîëüâåíòû, òî êîðíè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ íàõîäÿò, ðåa y 2 øàÿ äâà êâàäðàòíûõ óðàâíåíèÿ: x + x + = 2 2

⎞ ⎛ a2 y2 ⎛a ⎞ = ± ⎜ − b + y ⎟ x2 + ⎜ y − c ⎟ x + − d . 4 ⎝2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ Ïîäâèä óðàâíåíèé ÷åòâåðòîé ñòåïåíè — áèêâàäðàòíîå óðàâíåíèå ax4 + bx2 + c = 0. Îíî ðåøàåòñÿ ëåãêî: ïðîñòî õ2 çàìåíÿåòñÿ íà äðóãóþ ïåðåìåííóþ, íàïðèìåð y = x2, è ðåøàåòñÿ êàê îáû÷íîå êâàäðàòíîå, êîíå÷íî, åñëè b2 – 4ac > 0.

133

    ,

 $ 

Q R                 &                

                Y       $      &          C              D     P  5  R        $  

!@F

V  & $& %

Êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ ðåøàëèñü åùå â Äðåâíåì ìèðå, à âîò ôîðìóëû äëÿ óðàâíåíèé òðåòüåé è ÷åòâåðòîé ñòåïåíåé áûëè ïîëó÷åíû óæå â VI âåêå. Ðåøåíèÿ ñîñòîÿëè èç êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ, ÷åòûðåõ îñíîâíûõ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ íå áîëüøåé ñòåïåíè, ÷åì ñàìî óðàâíåíèå. Ýòî íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì â ðàäèêàëàõ. Íî äàëüøå ÷åòâåðòîé ñòåïåíè äåëî íå äâèãàëîñü. È âîò â XIX âåêå èòàëüÿíåö Ðóôôèíè è íîðâåæåö Àáåëü ñ íåáîëüøèì ïåðåðûâîì è íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà äîêàçàëè ñëåäóþùóþ òåîðåìó. Äëÿ n-ñòåïåííîãî óðàâíåíèÿ îáùåãî âèäà ïðè n  5 ðåøåíèÿ â ðàäèêàëàõ íå ñóùåñòâóåò. Ýòî âîâñå íå çíà÷èò, ÷òî óðàâíåíèÿ ïÿòîé ñòåïåíè è âûøå íåðàçðåøèìû. Ïðîñòî äëÿ íèõ íåò åäèíîé ôîðìóëû, êàê äëÿ óðàâíåíèé ìåíüøèõ ñòåïåíåé, è äëÿ êàæäîãî îòäåëüíîãî ñëó÷àÿ ïðèõîäèòñÿ èñêàòü ñâîå îòäåëüíîå ðåøåíèå.

135

    ,

$  $ 

 KD 

    Y    Q      ( F     &         J  '  &     5 5       &     &   

 D         *         T D       &    ; A    C  J   D  &   &       Q           &  

     b b      Q  

D                & &   &   C     5     

      

!@"

Èíîãäà â óðàâíåíèè ïîÿâëÿåòñÿ íåñêîëüêî ïåðåìåííûõ, è èõ îòíîøåíèå ñâÿçàíî ñðàçó íåñêîëüêèìè ñîîòíîøåíèÿìè — ðàâåíñòâàìè.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ìû ãîâîðèì î ñèñòåìå óðàâíåíèé. Ðåøåíèåì ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ íåñêîëüêî ÷èñåë, ïðè êîòîðûõ âñå ðàâåíñòâà âåðíû. Äîïóñòèì, èçâåñòíû ïëîùàäü êîìíàòû (24 ì2) è ïåðèìåòð (20 ì). Îáîçíà÷èâ äëèíó êîìíàòû õ, à øèðèíó y, ñîñòàâèì ñèñòåìó.

^

x × y = 24 2 (x + y) = 20

Òåïåðü âûðàçèì îäíó ïåðåìåííóþ ÷åðåç äðóãóþ è ïîäñòàâèì â îñòàâøååñÿ óðàâíåíèå. Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ïîëó÷àåì y = 20/2 – x. Ïîäñòàâèì ó â ïåðâîå óðàâíåíèå: x × (10 – x) = = 24. Ðàñêðûâàåì ñêîáêè è ïðèâîäèì óðàâíåíèå ê êâàäðàòíîìó: x2–10x + 24 = 0. Ïîëó÷àåì äâà êîðíÿ è äëÿ êàæäîãî èç íèõ âû÷èñëÿåì y. Èìååì â èòîãå äâå ïàðû ÷èñåë: 6 è 4, 4 è 6. Ïî óñëîâèÿì çàäà÷è äëèíà áîëüøå øèðèíû, çíà÷èò, íàøà ïàðà 6 è 4. 137

    ,

O &   & C 

     

    ,

 ñèñòåìó ìîãóò îáúåäèíÿòüñÿ óðàâíåíèÿ ëþáîé ñòåïåíè. È óðàâíåíèé â ñèñòåìå, è ïåðåìåííûõ â íèõ ìîæåò áûòü áîëüøå äâóõ (íå ìîæåò áûòü ìåíüøå). Ëèíåéíóþ ñèñòåìó èç íåñêîëüêèõ óðàâíåíèé ìîæíî ðåøèòü ìåòîäîì Ãàóññà. Íàïðèìåð:

^

x + y + z = 0; x + 2y + 3z = 2; x – y = 1.

Âû÷òåì ïåðâîå óðàâíåíèå èç äâóõ äðóãèõ ïî î÷åðåäè. Ïîëó÷èì óæå íîâóþ ñèñòåìó, ðàâíîçíà÷íóþ ïåðâîé:

^

x + y + z = 0; y + 2z = 2; –2y – z = 1.

Ìû óáðàëè ïåðåìåííóþ x èç ïîñëåäíèõ äâóõ óðàâíåíèé è òåïåðü ìîæåì ðàññìîòðåòü èõ îòäåëüíî êàê ñèñòåìó èç äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè. +    C   C I C  R CR *I C  &&K C&&K *I C    0 0

138

H   G }      I     $  &            D      '  D     &       C          K  C    &      C         C  &                              &    *         &      &       &      5      D   D               K 

!@(

    ,

G $ C 

  ^   *

Ñëó÷àåòñÿ, ÷òî ïåðåìåííàÿ íå ðàâíà êàêîìó-ëèáî îäíîìó çíà÷åíèþ, à áîëüøå èëè ìåíüøå (ìåíüøå èëè ðàâíî, à òàêæå áîëüøå èëè ðàâíî).  òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò î íåðàâåíñòâàõ. Ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà îáû÷íî ÿâëÿåòñÿ íå îäíî ÷èñëî, à ìíîæåñòâî ÷èñåë. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë âñåãäà áîëüøå íóëÿ, òî åñòü a > 0. Ìíîæåñòâî íåïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ìåíüøå íóëÿ èëè ðàâíî åìó, òî åñòü b  0. Ìíîæåñòâî ÷èñåë çàïèñûâàåòñÿ êàê íåðàâåíñòâî èëè ïàðà ÷èñåë â ñêîáêàõ. Êðóãëûå ñêîáêè îçíà÷àþò ñòðîãîå «áîëüøå/ìåíüøå», à êâàäðàòíûå — «áîëüøå/ìåíüøå èëè ðàâíî». Òàê, 3 > x  26 çàïèñûâàåòñÿ êàê (3; 26], à 0  y > 3 çàïèñûâàåòñÿ êàê [0; 3). Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ íåðàâåíñòâà íàçûâàþò òàêîå ìíîæåñòâî ÷èñåë, íà ïðîòÿæåíèè êîòîðîãî íåðàâåíñòâî èìååò çíà÷åíèå. Íàïðèìåð, íåðàâåíñòâî x + 2/õ > 0 íå èìååò 140

Îáëàñòü çíà÷åíèÿ íåðàâåíñòâà — âñå ìíîæåñòâî ÷èñåë, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì çàäà÷è. Ïî ñóòè ýòî è åñòü ðåøåíèå íåðàâåíñòâà. Ðåøàåòñÿ íåðàâåíñòâî ïðè ïîìîùè òàêèõ æå ïðåîáðàçîâàíèé îáåèõ ÷àñòåé, êàê óðàâíåíèå. Òî åñòü íåðàâåíñòâî x2 – x > 2 ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó x2 – x – 2 > 0 è èìååò îáùèå êîðíè. Äëÿ åãî ðåøåíèÿ (à íåðàâåíñòâà òîæå áûâàþò ëèíåéíûå, êâàäðàòíûå è òàê äàëåå) íóæíî âûÿñíèòü, ïðè êàêèõ x çíà÷åíèå ëåâîé ÷àñòè ðàâíî íóëþ, òî åñòü ðåøèòü óðàâíåíèå x2 – x – 2 = 0. È óæå, èñõîäÿ èç êîðíåé ýòîãî óðàâíåíèÿ, ñìîòðåòü, â êàêèõ ñëó÷àÿõ íåðàâåíñòâî âåðíî.

            &                 I  +     #     

141

    ,

çíà÷åíèé ïðè x ìåíüøå íóëÿ (âåäü íà íîëü äåëèòü íåëüçÿ). Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòîãî íåðàâåíñòâà [0; ) — áåñêîíå÷íîñòü âñåãäà îãðàíè÷èâàåòñÿ êðóãëîé ñêîáêîé.

         &    *          &       E |2  :  ~2  X  2  z  ">      *    *      *      *  ^  &       &            *       *      

!@;

Ñî øêîëû íàì çíàêîìî òàêîå ïîíÿòèå, êàê ãðàôèê ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ — ýòî îïðåäåëåííàÿ âçàèìîñâÿçü äâóõ ìíîæåñòâ — ïåðåìåííûõ x è y. Íàïðèìåð, y = 4 + x2, èëè æå f(x) = 4 + x2. Çíà÷åíèþ x = 1 áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü y = 5; x = 2 y = 8; x = 10 y = 104. Òî åñòü ìû îïåðèðóåì ïàðîé ÷èñåë è èõ âçàèìîñâÿçüþ. Ìíîæåñòâî X íàçûâàþò îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, ìíîæåñòâî Y — îáëàñòüþ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè. È ñàìà ôóíêöèÿ f(x) — çàêîíîìåðíîñòü, ïî êîòîðîé êàæäîìó çíà÷åíèþ x ñîîòâåòñòâóåò ñâîé y. Ãðàôèê ôóíêöèè — ýòî îòðàæåíèå ýòîãî ìíîæåñòâà â îïðåäåëåííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ýòî ìîæåò áûòü ïðÿìàÿ, êðèâàÿ, îêðóæíîñòü è òàê äàëåå. Äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâå îñè, ïåðåñåêàþùèåñÿ ïîä ïðÿìûì óãëîì. Òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ íàçûâàþò íà÷àëîì êîîðäèíàò è îáîçíà÷àþò êàê íîëü íà ëþáîé 143

    ,

    C 

    D   

    ,

èç îñåé. Íà êàæäîé îñè îòìå÷åíà «åäèíèöà» — ìèíèìàëüíîå äåëåíèå, è êàæäàÿ îñü èìååò íàïðàâëåíèå, â ñòîðîíó êîòîðîãî çíà÷åíèÿ äåëåíèé óâåëè÷èâàþòñÿ. À â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó, ñîîòâåòñòâåííî, óìåíüøàþòñÿ. Îñü ñëåâà íàïðàâî íàçûâàåòñÿ îñüþ àáñöèññ Ox à ñíèçó ââåðõ — îðäèíàò Oy. È êàæäîé òî÷êå ïîëó÷èâøåéñÿ ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóþò äâà ÷èñëà — ïî îäíîìó çíà÷åíèþ íà îñü. Ýòè çíà÷åíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ïðîåêöèÿìè òî÷êè íà îñè è ÷èñëåííî ðàâíû òî÷êàì (X, 0) è (0, Y). Ýòè ÷èñëà íàçûâàþò êîîðäèíàòàìè òî÷êè, àáñöèññîé è îðäèíàòîé. Ãðàôèê ôóíêöèè â òàêîì ñëó÷àå — ýòî íåêàÿ êðèâàÿ, «ñîáðàííàÿ» èç òî÷åê, ÷üè êîîðäèíàòû îïèñàíû äàííîé ôóíêöèåé. Òî åñòü âñå-âñå çíà÷åíèÿ ïàðû X è Y äëÿ êîíêðåòíîé ôóíêöèè — çàêîíîìåðíîñòè.

O           $    %        $      C            R      &     *&                     R       D C     C          C     $          &   $   I' 

144

B     D  &       &      C    &   D      &      &      %  &         &       b C €C  u     &   5      $ C    D            &    K   &     

!@=

H    

    ,

  %     $  

Ëèíåéíûìè óðîâíÿìè è íåðàâåíñòâàìè íàçûâàþò óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà ïåðâîé ñòåïåíè. Ñèñòåìó ñîîòâåòñòâåííî íàçûâàþò ëèíåéíîé, åñëè åå ñîñòàâëÿþùèå ÷àñòè — ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ. Ãðàôèê òàêèõ óðàâíåíèé — ïðÿìàÿ ëèíÿÿ. Åñëè äàíî óðàâíåíèå 3x – 4 = 0, òî åãî ðåøåíèå — ïåðåñå÷åíèå ãðàôèêà ñ îñüþ Ox. Ðåøåíèåì æå íåðàâåíñòâà 3x – 4 > 0, áóäåò ìíîæåñòâî (x ; ), ãäå x — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ Ox. Ãðàôèêè óðàâíåíèé ñèñòåìû ìîãóò áûòü ïàðàëëåëüíû (íå èìåòü ïåðåñå÷åíèé), òîãäà è ñèñòåìà íå èìååò ðåøåíèé. Ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ, è òîãäà ðåøåíèåì ñèñòåìû áóäóò êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ. À ìîãóò ñîâïàäàòü, òîãäà ðåøåíèé áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî, íàïðèìåð äëÿ ñèñòåìû:

^

y – x = 1; 3y – 3x = 3.

Ñïîñîá ðåøåíèÿ óðàâíåíèé è ñèñòåì ñ ïîìîùüþ êàðàíäàøà, ëèíåéêè è êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè íàçûâàþò ãðàôè÷åñêèì. 146

   b b            

       &     

       

          &          U F     *      *     " F F            D                  D       C         b b `    C &          " F F F F F        

!@A

 C &C\

    ,

&    Z

Êðèâàÿ, ñîñòàâëÿþùàÿ ãðàôèê êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè, íàçûâàåòñÿ ïàðàáîëîé. Íî ó íåå åñòü åùå îäíî ñâîéñòâî, êîòîðîå íå ïðîõîäÿò â øêîëå. Ïàðàáîëà ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç òðåõ êîíè÷åñêèõ ñå÷åíèé. Ïðîùå ãîâîðÿ, îíà îáðàçóåòñÿ ïðè ïåðåñå÷åíèè ïðÿìîé ñ êîíóñîì. Òàêæå ïðè ïåðåñå÷åíèè ïðÿìîé è êîíóñà îáðàçóåòñÿ ãèïåðáîëà. Ðàçíèöà òîëüêî â òîì, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïàðàáîëû ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü äîëæíà áûòü ïàðàëëåëüíà îòðåçêó, ñîåäèíÿþùåìó âåðøèíó êîíóñà è ãðàíèöó îñíîâàíèÿ, à ïëîñêîñòü ãèïåðáîëû åãî ïåðåñåêàåò.  ëþáîì ñëó÷àå, è ïàðàáîëè÷åñêàÿ, è ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ñåêóùèå ïåðåñåêàþòñÿ ñ êðóãîì îñíîâàíèÿ êîíóñà. Åñëè æå ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò òîëüêî áîêîâûå åãî ïîâåðõíîñòè, òî ïîëó÷àåòñÿ òðåòüå êîíè÷åñêîå ñå÷åíèå — ýëëèïñ. Ïàðàáîëà è ãèïåðáîëà — êðèâûå íåçàìêíóòûå, à ýëëèïñ çàìêíóòûé. Îêðóæíîñòü — ÷àñòíûé ñëó÷àé ýëëèïñà, îíà ïîÿâëÿåòñÿ íà ñåêóùåé, êîòîðàÿ ïàðàëëåëüíà 148

Ýëëèïñ ÿâëÿåòñÿ òðàåêòîðèåé äâèæåíèÿ ïëàíåò è êîìåò, ïðàâäà íåêîòîðûå êîìåòû äâèæóòñÿ ïî îäíîìó èç ëó÷åé ãèïåðáîëû. Äâèæåíèå ïóøå÷íîãî ÿäðà ïðè âûñòðåëå — äóãà ýëëèïñà, äà è âîîáùå âñå äâèæåíèÿ â êîíòåêñòå ãðàâèòàöèè ïëàíåò è çâåçä — ýòî êîíè÷åñêèå ñå÷åíèÿ. Ôèçè÷åñêèå îïûòû èëè òðåíèðîâêè êîñìîíàâòîâ â ñîñòîÿíèè íåâåñîìîñòè ïîâîäÿòñÿ â ñàìîëåòå, ëåòÿùåì ïî ïàðàáîëå Êåïëåðà (âñå ïàðàáîëû ïîäîáíû äðóã äðóãó). Ïàðàáîëè÷åñêîå ñòðîåíèå èìåþò àíòåííû è ñïóòíèêîâûå òàðåëêè, ýòî ïîìîãàåò ôîêóñèðîâàòü ïîòîê ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé â òî÷êå, ãäå íàõîäèòñÿ ïðèåìíèê.

O                   *   Z            &    %         &        I  +      $   

149

    ,

ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ êîíóñà. Ýòè òðè ëèíèè íàçûâàþò êîíèêàìè.

'       *      *            &   5              V            E>    $     C        I  J  &       C       ‚  F  I   &         &         &    * C  &      F  I  &        &    

z

!@@

^   D



Òðèãîíîìåòðèÿ â ïåðåâîäå ñ ãðå÷åñêîãî — èçìåðåíèå òðåóãîëüíèêîâ. Îíà èçó÷àåò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ýëåìåíòàìè òðåóãîëüíèêà íà ïëîñêîñòè — ñòîðîíàìè è óãëàìè. Âîçüìåì ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê. Âñå òðåóãîëüíèêè ñ çàäàííûì îñòðûì óãëîì ïîäîáíû, à çíà÷èò, ñîîòíîøåíèÿ èõ ñòîðîí îäèíàêîâû. Îñòðûé óãîë îáðàçóåòñÿ îäíèì êàòåòîì (ïðèëåæàùèì) è ãèïîòåíóçîé. Òàê ïîÿâèëîñü ïîíÿòèå ñèíóñà îñòðîãî óãëà — îòíîøåíèå ïðîòèâîëåæàùåãî êàòåòà ê âåëè÷èíå ãèïîòåíóçû. Äëÿ îäíîãî è òîãî æå çíà÷åíèÿ óãëà îòíîøåíèå âñåãäà îäíî è òî æå. Íàïðèìåð, ñèíóñ óãëà â 30° ðàâåí 1. Êîñèíóñ óãëà — ýòî îòíîøåíèå âåëè÷èíû ïðèëåæàùåãî êàòåòà ê ãèïîòåíóçå. Äëÿ óãëà â 60° êîñèíóñ áóäåò ðàâåí 1. Âîîáùå ñèíóñ è êîñèíóñ ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ îò –1 äî +1, íî â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå (îñòðûé óãîë âñåãäà ìåíüøå 90°) îíè âñåãäà áîëüøå íóëÿ.

151

    ,

.    4 Z

!@S

 P   

    ,

    

Îñíîâíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî îïèñûâàåò ñîîòíîøåíèÿ ñèíóñà è êîñèíóñà äëÿ îäíîãî óãëà. Îíî âûãëÿäèò âîò òàê: sinõ2 + cosõ2 = 1. Òî åñòü, çíàÿ ñèíóñ óãëà, ìû ìîæåì âû÷èñëèòü êîñèíóñ, è íàîáîðîò.

sin x = 1 − cos x 2 è cos x = 1 − sin x 2 Ñîîòíîøåíèå óãëîâ è ñòîðîí â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå (â îáùåì-òî â ëþáîì òðåóãîëüíèêå) ïîñòîÿííî è çàêëþ÷àåòñÿ âîò â ÷åì: à/sinA = b/sinB = c/sinC. Ýòî ðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé ñèíóñîâ. Åñòü åùå òåîðåìà êîñèíóñîâ, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ áîëåå ïîëíûì âàðèàíòîì òåîðåìû Ïèôàãîðà: c2 = a2 + b2 – 2ab × cosC, ïðîñòî äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà óãîë C ðàâåí 90°, à åãî êîñèíóñ ðàâåí íóëþ. Êðîìå ñèíóñà è êîñèíóñà åñòü åùå äâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèè: òàíãåíñ (sin/cos) è êîòàíãåíñ (cos/sin).

152

!@U

Îòäåëüíûì «îáúåêòîì» àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè ÿâëÿåòñÿ âåêòîð. Ýòî îòðåçîê — ÷àñòü ïðÿìîé, îãðàíè÷åííàÿ äâóìÿ òî÷êàìè, ó êîòîðîãî åñòü íå òîëüêî ðàçìåð, íî è íàïðàâëåíèå. Èç äâóõ êîíöîâ îòðåçêà îäèí ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì, à äðóãîé êîíöîì. Àíòîíèìîì «âåêòîðíîé âåëè÷èíå» ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíà ñêàëÿðíàÿ. Òà, äëÿ êîòîðîé íóæíî òîëüêî îäíî îïðåäåëåíèå — äëèíà. Âåêòîð ñ íà÷àëîì â òî÷êå A è êîíöîì â òî÷êå B çàïèñûâàþò êàê AB . Ìîäóëü âåêòîðà |AB | — ÷èñëî, ðàâíîå åãî äëèíå.  êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, ãäå âñåãî äâå îñè, Ox è Oy, âåêòîðû îáîçíà÷àþòñÿ äâóìÿ ïàðàìè ÷èñåë — íà÷àëîì è êîíöîì (ABX, ABY). Êîîðäèíàòû ñàìîãî âåêòîðà íàõîäÿò, âû÷èòàÿ êîîðäèíàòû êîíöà èç êîîðäèíàò íà÷àëà, òî åñòü (BX – AX, BY – AY). Âûðàçèòü äëèíó ÷åðåç  êîîðäèíàòû ìîæíî ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû a = 2X + aY2 . Åñëè äâà âåêòîðà ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé èëè íà äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, èõ 153

    ,

'  % &

    ,

íàçûâàþò êîëëèíåàðíûìè. Êîëëèíåàðíûå âåêòîðû, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîãóò áûòü ñîíàïðàâëåííûìè èëè ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûìè. Åñëè òðè âåêòîðà, íà÷èíàþùèåñÿ â îäíîé òî÷êå, íàõîäÿòñÿ â îäíîé ïëîñêîñòè, èõ íàçûâàþò êîìïëàíàðíûìè. Âåêòîðû è íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè îíè ñîíàïðàâëåíû, à èõ äëèíû ðàâíû. Ïðîåêöèÿ âåêòîðà íà îñü (äîïóñòèì, Ox) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòðåçîê, íà÷àëîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèÿ íà îñü íà÷àëà âåêòîðà (çíà÷åíèå AX), à êîíöîì — ïðîåêöèÿ íà ýòó æå îñü êîíöà âåêòîðà (çíà÷åíèå AY). Åñëè íàïðàâëåíèå ïðîåêöèè ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îñè, òî ïðîåêöèþ ñ÷èòàþò ïîëîæèòåëüíîé, åñëè ïðîòèâîïîëîæíî — îòðèöàòåëüíîé. \ I   D    

* D E  DC  $ >C  D    V 

 &  C    C 5P$ &   5

  

 C  DC  C C C 5    IT      *   

154

!@N

O ,C 

    ,

  ^ &K

 

Âåêòîðû ìîæíî ñêëàäûâàòü, âû÷èòàòü è óìíîæàòü. Ñëîæåíèå âåêòîðîâ: + = (aX + bX, aY + bY). Ñóììîé íåñêîëüêèõ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ òîæå âåêòîð. Ïî ïðàâèëó ìíîãîóãîëüíèêà, ïîñëåäîâàòåëüíî «öåïëÿþòñÿ» âñå âåêòîðà: íà÷àëî âòîðîãî ê êîíöó ïåðâîãî, íà÷àëî òðåòüåãî ê êîíöó âòîðîãî… íà÷àëî n-íîãî ê êîíöó n–1-ãî. Âåêòîð, ñîåäèíÿþùèé íà÷àëî ïåðâîãî è êîíåö n-íîãî, è åñòü ñóììà n âåêòîðîâ. Äëÿ äâóõ âåêòîðîâ ýòî íàçûâàåòñÿ ïðàâèëîì òðåóãîëüíèêà. ×òîáû íàéòè ðàçíèöó äâóõ âåêòîðîâ, íóæíî âû÷åñòü èõ êîîðäèíàòû: – = (aX – bX, aY – – bY). Èëè ñëîæèòü ïåðâûé âåêòîð ñ âåêòîðîì, ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûì âòîðîìó. Óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî A îçíà÷àåò ïîñòðîåíèå âåêòîðà, ñîíàïðàâëåííîãî ñ , äëèíû | | × A. Ýòî åñëè À > 0. Åñëè A < 0, òî ìû ïîëó÷àåì ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûé âåêòîð òîé æå äëèíû.  êîîðäèíàòàõ ýòî áóäåò âûãëÿäåòü òàê: A × = (A × aX, A × aY) 156

Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå — òîæå âåêòîð: c = [ab] = [a, b] = a × b. Îí ñòðîèòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè ïåðåìíîæàåìûõ âåêòîðîâ, åãî äëèíà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ äëèí âåêòîðîâ íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè. Íàïðàâëåíèå ïðîèçâåäåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó ïðàâîé ðóêè. Åñëè íàëîæèòü ïåðåìíîæàåìûå âåêòîðû íà óêàçàòåëüíûé è ñðåäíèé ïàëåö ðóêè, òî èõ ïðîèçâåäåíèå ñîâïàäåò ñ áîëüøèì ïàëüöåì, íàïðàâëåííûì ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè âåêòîðîâ.

'  J      $                D C                C    &                 K    D   5   

        I  G 5      #    

157

    ,

Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðà — ÷èñëî, è íå èìååò íàïðàâëåíèÿ. Îíî ñòðîèòñÿ èç äëèí âåêòîðîâ, óìíîæåííûõ íà êîñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè: × = | × |cos ( , ), ãäå óãîë ( , ) — óãîë, îáðàçîâàííûé âåêòîðàìè è , íà÷àëà êîòîðûõ ñîâïàäàþò, òî åñòü ïåðåíåñåííûõ òàê, ÷òîáû îáà íà÷èíàëèñü â îäíîé òî÷êå.

!SF

Q    R%

    ,

 $"UFƒ

Äðåâíèå ëþäè ñ÷èòàëè, ÷òî çåìëÿ ïëîñêàÿ. Èç ýòîãî ñëåäóåò ðÿä òåîðåì, êîòîðûå ìîãóò ïîêàçàòüñÿ ëþáîìó øêîëüíèêó î÷åâèäíûìè. Íàïðèìåð, äâå ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ òîëüêî â îäíîé òî÷êå, ñóììà óãëîâ â òðåóãîëüíèêå ðàâíà 180°. Íî ìû çíàåì, ÷òî ôîðìà Çåìëè — ãåîèä, ñïëþñíóòûé øàð. È åñëè âçÿòü ýêâàòîð è äâà ìåðèäèàíà, ïåðåñåêàþùèåñÿ íà ïîëþñå ïîä ïðÿìûì óãëîì, òî ìû ïîëó÷èì ôèãóðó èç òðåõ îòðåçêîâ (äâà ó÷àñòêà ìåðèäèàíà îò ýêâàòîðà äî ïîëþñà è ÷åòâåðòü ýêâàòîðà) è òðåõ óãëîâ. Ïî ïðàâèëàì, ýòî òðåóãîëüíèê. Íî ìåðèäèàíû ïåðåñåêàþò ýêâàòîð ïîä ïðÿìûì óãëîì! Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî â òðåóãîëüíèêå, íàðèñîâàííîì íà øàðå, òðè óãëà ïî 90°, à ñóììà èõ áîëüøå 180°. Åñëè ìû íà÷åðòèì òðåóãîëüíèê íå íà øàðå, à íà âíåøíåé ïîâåðõíîñòè ôèãóðû, íàïîìèíàþùåé âîðîíêó (òàê íàçûâàåìàÿ ïñåâäîñôåðà), òî ñóììà óãëîâ áóäåò óæå ìåíüøå 180°.  çàâèñèìîñòè îò êðèâèçíû ýòîé ôèãóðû èñêàæåíèÿ Åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè áóäóò îòëè÷àòüñÿ. Ê òàêèì âûâîäàì ïðèøëè â ñâîå 158

Ãåîìåòðèþ Ðèìàíà åùå íàçûâàþò ñôåðè÷åñêîé ãåîìåòðèåé — èçó÷àþùåé ôèãóðû è èõ îòíîøåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû.  îáùåì-òî, ëþáàÿ ãåîìåòðèÿ íà «âûïóêëîé» ïîâåðõíîñòè, èëè ïëîñêîñòè ñ ïîñòîÿííîé ïîëîæèòåëüíîé ãàóññîâîé êðèâèçíîé, òîæå íååâêëèäîâà. Õîòÿ åå ïðîùå îáúÿñíèòü íà ïðèìåðå ïîâåðõíîñòè Çåìëè, îíà ïîÿâèëàñü ïîçæå ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêîãî, èëè ãåîìåòðèè ïëîñêîñòè ñ ïîñòîÿííîé îòðèöàòåëüíîé ãàóññîâîé êðèâèçíîé, â 1854 ãîäó. Òîãäà êàê äàòîé «ðîæäåíèÿ» ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêîãî ñ÷èòàåòñÿ 1829 ãîä.

„   D   …       *     I    D   +      )  D   D 5           5  D     *I  $     C

C     &    C        *  5      C     & 5 C & 5     \ I  )    Q D   

159

    ,

âðåìÿ Ëîáà÷åâñêèé è Ðèìàí, ïîäâåðãíóâ ñîìíåíèþ àêñèîìû Åâêëèäà.

G         C   &      K        C              &           I D          5  D      P         )      

     *       * &          

!S"

O  &   

Ïîíÿòèå ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ áàçîâûì â àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ôóíêöèÿ f(x) — íåêîå âûðàæåíèå, îïèñûâàþùåå çàâèñèìîñòü îäíîé ïåðåìåííîé îò äðóãîé, à èìåííî y îò x. Ôóíêöèÿ çàïèñûâàåòñÿ òàê: f(x) = 2x + 3 èëè y = 2x + 3; f(x) = x2 – x + 2 èëè y = x2 – x + 2; f(x) = 5cosx èëè y = 5cosx. Ýòî âñå ôóíêöèè. Ãðàôèê ôóíêöèè — ýòî ìíîæåñòâî òî÷åê â êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, ñîîòâåòñòâóþùåå çàäàííîé ôóíêöèè. Íàïðèìåð, ãðàôèêîì êâàäðàòíîé ôóíêöèè y = ax2 + bx + c áóäåò ïàðàáîëà. Ñõîæèìè êðèâûìè áóäóò ãðàôèêè äðóãèõ ñòåïåííûõ ôóíêöèé, íàïðèìåð êóáè÷åñêîé è ÷åòâåðòîé ñòåïåíè. Ó ôóíêöèé òàêæå åñòü îáëàñòü çíà÷åíèÿ è îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ. Îáëàñòü çíà÷åíèÿ — ýòî äèàïàçîí çíà÷åíèé ó, êîòîðûå ìîæåò ïðèíèìàòü ôóíêöèÿ, à îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî ïåðåìåííûõ x, ïðè êîòîðûõ ôóíêöèÿ èìååò çíà÷åíèå. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f(x) = 2/õ èìååò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ 161

    ,

   $   

    ,

(–; 0) è (0; ), òî åñòü âñå çíà÷åíèÿ, êðîìå íóëÿ, è òàêóþ æå îáëàñòü çíà÷åíèÿ. Ãðàôèêè òàêèõ ôóíêöèé ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ, íî íèêîãäà íå ïåðåñåêàþò îñü êîîðäèíàò. Ôóíêöèè áûâàþò íåïðåðûâíûå è ðàçðûâíûå. Îáëàñòü çíà÷åíèé íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íå èìååò ðàçðûâîâ, òî åñòü íåò òàêèõ çíà÷åíèé, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ íå èìååò ñìûñëà. Ðàçðûâíàÿ æå òàêèå çíà÷åíèÿ èìååò. Êðîìå òîãî, ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü íåïðåðûâíà íà çàäàííîì èíòåðâàëå, åñëè íàñ èíòåðåñóåò òîëüêî ÷àñòü åå ãðàôèêà. Ïîëîæèòåëüíîé íàçûâàþò ôóíêöèþ, ÷åé ãðàôèê íàõîäèòñÿ âûøå îñè Ox.

b   $     D   D  K        &  D        &    D      5  R                 C         &   D                       C         &    C       J        *         P     R   I     R         

162

!S(

H   & 

Ëèíåéíîé ôóíêöèåé íàçûâàþò ôóíêöèþ âèäà y = ax + b. Åå ãðàôèê — ïðÿìàÿ (ñì. ðèñ. 1 íà ñòð. 165). Ïîñòîÿííàÿ a îïðåäåëÿåò íàêëîí êðèâîé (òàíãåíñ óãëà) ê îñè Ox, à b — êîîðäèíàòó ïåðåñå÷åíèÿ ýòîé ïðÿìîé ñ îñüþ Oy (çíà÷åíèå x = 0). Òàêóþ ôóíêöèþ íàçûâàþò ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòüþ, ïîñêîëüêó çíà÷åíèå y óâåëè÷èâàåòñÿ â òî æå êîëè÷åñòâî ðàç, ÷òî è çíà÷åíèå x. Îáðàòíàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü (óìåíüøåíèå y ïðè óâåëè÷åíèè x) âûãëÿäèò òàê: Y = à/õ+ b. Êâàäðàòè÷íîé íàçûâàþò ôóíêöèþ âèäà y = ax2 + bx + c, åå ãðàôèê — ïàðàáîëà (ñì. ðèñ. 2 íà ñòð. 165). Çäåñü a îïðåäåëÿåò íàïðàâëåíèå ôóíêöèè; ïðè a > 0 «âåòâè» ïàðàáîëû íàïðàâëåíû ââåðõ, à ïðè a < 0 — âíèç. Åñëè a < 1, òî ôóíêöèÿ áóäåò «ðàñòÿíóòà» îòíîñèòåëüíî Ox, à ïðè a > 1 — «ñæàòà». Êîýôôèöèåíò b ïîêàçûâàåò, íà ñêîëüêî çíà÷åíèé ãðàôèê áóäåò ñäâèíóò âëåâî (ïðè b < 0 — âïðàâî), à c — ïåðåñå÷åíèå ñ îñüþ Oy. 163

    ,

R K

%   *

    ,

Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñüþ Ox ÿâëÿþòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì îòîáðàæåíèåì êîðíåé óðàâíåíèÿ âèäà ax2 + bx + c = 0. Ñîáñòâåííî êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ — ÷àñòíûé ñëó÷àé ñòåïåííîé ôóíêöèè ñ ÷åòíûì ïîêàçàòåëåì. À âîò ãðàôèêè ôóíêöèé ñ íå÷åòíûì ïîêàçàòåëåì âûãëÿäÿò èíà÷å. Íàïðèìåð, ãðàôèê ôóíêöèè y = ax3 + bx + c áóäåò èìåòü äâå âåòâè, íàïðàâëåííûå ââåðõ è âíèç (ñì. ðèñ. 3). Ñ ïîìîùüþ ãðàôèêîâ ìîæíî ðåøàòü êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ, êóáè÷åñêèå è áîëüøèõ ñòåïåíåé. Äëÿ ýòîãî íóæíî çàïèñàòü óðàâíåíèå, â îäíîé ÷àñòè êîòîðîãî áóäåò ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ, à â äðóãîé — ëèíåéíàÿ. Ðåøåíèåì áóäåò ïåðåñå÷åíèå ãðàôèêîâ. Íàïðèìåð, äëÿ 2x2 + 4x – 8 = 0 íóæíî ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèé 2x2 = 0 è 8 – 4x = 0, èëè ó = 2õ2 è ó = 8 – 4õ (ñì. ðèñ. 4). \      $     

D   $           *      K  * C   &   &                     R        $  I  V     Q $    K

164

!S;

  D 

    ,

 R  R K

%  D

Ó êàæäîãî èç àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé åñòü îáðàòíîå. Âû÷èòàíèå îáðàòíî ñëîæåíèþ, äåëåíèå — óìíîæåíèþ. Äëÿ âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü åñòü äâà îáðàòíûõ äåéñòâèÿ. Ïåðâîå — èçâëå÷åíèå êîðíÿ. Ôóíêöèè f(x) = a7 è f(x) = îáðàòíû äðóã äðóãó. Âòîðîå — ëîãàðèôìèðîâàíèå. Ëîãàðèôìîì ÷èñëà x ïî îñíîâàíèþ a íàçûâàþò ïîêàçàòåëü ñòåïåíè, â êîòîðóþ íóæíî âîçâåñòè a, ÷òîáû ïîëó÷èòü â èòîãå ÷èñëî x. Íàïðèìåð, log327 = 3, òàê êàê 33 = 27. Òî åñòü ôóíêöèè f(x) = a7 è f(x) = log7x ÿâëÿþòñÿ îáðàòíûìè. Îòäåëüíîãî óïîìèíàíèÿ çàñëóæèâàþò òàê íàçûâàåìûå íàòóðàëüíûå ëîãàðèôìû, èëè ëîãàðèôìû ïî îñíîâàíèþ e = 2,71828… Äëÿ íèõ åñòü ñâîÿ êðàòêàÿ çàïèñü, à èìåííî log e x = ln x. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y = ln x, íàîáîðîò, âñå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, à îáëàñòü çíà÷åíèÿ — âñå äåéñòâèòåëüíûå.

166

  K  ~  z  { |   ~  z  o† ‡ a |   D                C  &  J      R  R K  ~  z  o† ‡ a |  E  D >          R   R K  ~  z  { |  E    * >                  &                   *     

!S=

    % 

    ,

  K

Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè ñèíóñîèäà è êîñèíóñîèäà, ïî ñóòè, îäíà è òà æå êðèâàÿ (ñì. ðèñ. 1), íî âòîðàÿ ñäâèíóòà âïðàâî íà /2. Ïîëíàÿ çàïèñü òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè: y = a + b × sin(c × x + d). Çäåñü à ïîêàçûâàåò ñäâèã ãðàôèêà ïî îñè Oy (ââåðõ èëè âíèç), d ïî îñè Ox (âëåâî èëè âïðàâî). Ïîñòîÿííàÿ b îïèñûâàåò ðàñòÿæåíèå ãðàôèêà ñíèçó ââåðõ, à c — òîæå ðàñòÿæåíèå ñïðàâà-íàëåâî. Äëÿ ïðîñòåéøåé ñèíóñîèäû a è d ðàâíû íóëþ, à b è c — åäèíèöå. È ôîðìóëà åå âûãëÿäèò òàê: y = sinx. Ãðàôèê òàíãåíñà (ñì. ðèñ. 2) y = tgx íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì, ïîòîìó ÷òî òàíãåíñ — ýòî ñèíóñ, äåëåíûé íà êîñèíóñ. Åñëè êîñèíóñ y ðàâåí íóëþ, òàíãåíñ íå ñóùåñòâóåò (íåëüçÿ äåëèòü íà íîëü). Òî åñòü ôóíêöèÿ íå ñóùåñòâóåò íà çíà÷åíèÿõ /2 ± n, íî ñòðåìèòñÿ ê íèì, ïðèíèìàÿ çíà÷åíèå, áëèçêîå ê áåñêîíå÷íîñòè.

168

!SA

    ,

'    

Âîçüìåì êðèâóþ, äîïóñòèì ïîëóîêðóæíîñòü. Ïîìåñòèì åå â ñèñòåìó êîîðäèíàò, ÷òîáû îäèí èç åå êîíöîâ ñîâïàäàë ñ òî÷êîé (0; 0), à âòîðîé — ñ òî÷êîé (õ; 0). Òîãäà ïîëóêðóã, îáðàçîâàííûé êðèâîé è îñüþ Õ, ìîæíî íàçâàòü ôèãóðîé ïîä êðèâîé. Ìû çíàåì, ÷òî ïëîùàäü êðóãà ðàâíà «ïè ýð êâàäðàò», à ïëîùàäü ïîëóêðóãà âäâîå ìåíüøå. Íî ïðåäïîëîæèì, ìû çàáûëè ôîðìóëó. Êàê âû÷èñëèòü ïëîùàäü ïîëóêðóãà, ôèãóðû ïîä êðèâîé? Ïîëóêðóã ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó íåñêîëüêèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ, ðàñïîëîæåííûõ ðÿäîì è «ñòóïåíüêàìè» ïîâòîðÿþùèõ ïîëóêðóã. Åñëè âïèñàòü â ïîëóêðóã òðè èëè ïÿòü ïðÿìîóãîëüíèêîâ, òî ñîïîñòàâèòü èõ ïëîùàäè ñ ïëîùàäüþ ïîëóêðóãà ìîæíî ëèøü ïðèáëèçèòåëüíî. Ñëèøêîì âûñîêà ïîãðåøíîñòü âû÷èñëåíèÿ. À åñëè òàêèõ «ñòóïåíåê» 600 èëè 8000, ïîãðåøíîñòü óæå ìåíüøå. Ýêðàíû êîìïüþòåðîâ, òåëåâèçîðîâ è ñìàðòôîíîâ ñîñòîÿò èç îòäåëüíûõ òî÷åê — «ïèêñåëåé», êîòîðûå ðàçáèâàþò âñå ëèíèè â èçîáðàæåíèè íà òàêèå æå ñòóïåíüêè. Ïðîñòî 170

Êàæäîé êðèâîé â ñèñòåìå êîîðäèíàò ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííàÿ ôóíêöèÿ. Íàïðèìåð, äëÿ ïàðàáîëû ýòî y = x2. Ïëîùàäü ôèãóðû ïîä ïàðàáîëîé áóäåò èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè y = x2. Ñàìî ñëîâî «èíòåãðàë» ïðîèçîøëî îò ãðå÷åñêîãî «îáúåäèíåíèå», òî åñòü âû÷èñëåíèå ïëîùàäè ïîä êðèâîé êàê ñóììèðîâàíèå ïëîùàäåé áåñêîíå÷íî ìàëûõ «ñòóïåíåê».

'  C   &    C    D   $  C           &  P                       C  I  

        J    &    C                          ,           Z           +      &     IB 

171

    ,

ïèêñåëè î÷åíü ìàëû, èõ êîëè÷åñòâî íà ýêðàíå áîëüøîå, è ÷åëîâå÷åñêèé ãëàç íå óëàâëèâàåò íåðîâíîñòè. Ìû âèäèì ïëàâíûå êðèâûå è ôèãóðû. Ïî ñóòè èíòåãðèðîâàíèå — ýòî íàõîæäåíèå ïëîùàäè ôèãóðû, åñëè èçâåñòíà îïèñûâàþùàÿ åå êðèâàÿ, è îáðàòíûå ìåòîäû — íàõîæäåíèÿ êðèâîé, åå ôîðìóëû.

V            R K  C     

        T         R               &  P    C

        R      $                 &   P 

         *  

 C       C &   D         

             

!S@

 RR K %&

Îáðàòíàÿ èíòåãðèðîâàíèþ îïåðàöèÿ íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì. Åñëè ðàññìàòðèâàòü êðèâóþ êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áåñêîíå÷íîãî êîëè÷åñòâà áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïðÿìûõ ëèíèé, òî íàõîæäåíèå óãëà (è òàíãåíñà) ìåæäó ýòèìè ëèíèÿìè è îñüþ Õ êàê ðàç è ïîçâîëÿåò «ïðèáëèçèòåëüíî» íàéòè ñàìó êðèâóþ. Òàêèå áåñêîíå÷íî ìàëûå ëèíèè íàçûâàþò êàñàòåëüíûìè. Ìû ãîâîðèì, ÷òî îò èçó÷àåìîé ôóíêöèè áåðåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ. Ïðîèçâîäíàÿ îò õ5 ðàâíà 5õ4, à ïðîèçâîäíàÿ îò cosx ðàâíà –sinx (äëÿ ðàçíûõ ôóíêöèé ñâîè ôîðìóëû). Çàïèñûâàåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ êàê f 

   Ôóíêöèÿ, êîòîðóþ ìû äèôôåðåíöèðóåì, íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé. Åå íàõîæäåíèå ïî ñóòè è åñòü èíòåãðèðîâàíèå, åãî âòîðîé ñìûñë, êðîìå ïëîùàäè ïîä êðèâîé, — íàõîæäåíèå òàêîé ôóíêöèè, ïðîèçâîäíàÿ îò êîòîðîé ðàâíÿåòñÿ çàäàííîé.

173

    ,

  

производная

интеграл

   D             I        &         D      D                    D      5    &   K     C           I             $                 *       *

!SS

^  %&



Ñ îòêðûòèåì èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðûå íåëüçÿ âûðàçèòü öåëûì ÷èñëîì èëè êîíå÷íîé äðîáüþ, ïîÿâèëàñü ïîòðåáíîñòü â ïðèáëèçèòåëüíûõ âåëè÷èíàõ.  Äðåâíåé Ãðåöèè óæå çíàëè ðàçíèöó ìåæäó «ðàâíî» è «ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíî». Íàïðèìåð, èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî  â ôèçè÷åñêèõ âû÷èñëåíèÿõ îáû÷íî áåðóò ðàâíûì 3,14, îêðóãëÿÿ äî ñîòûõ. Çíà÷åíèå óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g ïðèáëèçèòåëüíî 9,81. Îêðóãëåíèå áûâàåò äâóõ òèïîâ. Ïîñëåäíþþ öèôðó îêðóãëÿåìîãî ÷èñëà îñòàâëÿþò áåç èçìåíåíèÿ, åñëè ñëåäóþùàÿ çà íåé (îòáðàñûâàåìàÿ) ìåíüøå ïÿòè. Åñëè æå ñëåäóþùàÿ öèôðà áîëüøå ïÿòè, òî ê ïîñëåäíåé îñòàâøåéñÿ öèôðå ïðèáàâëÿþò åäèíèöó, òî åñòü îêðóãëÿþò â áîëüøóþ ñòîðîíó. Òàê 3,14 áóäåò îêðóãëåíèåì â ìåíüøóþ ñòîðîíó, à 3,1416 — â áîëüøóþ. Îêðóãëåíèå â áîëüøóþ ñòîðîíó íàçûâàþò ìàòåìàòè÷åñêèì îêðóãëåíèåì. Åñòü åùå íåñêîëüêî òèïîâ îêðóãëåíèÿ. Áàíêîâñêîå îêðóãëåíèå — îêðóãëåíèå ê áëèæàéøåìó ÷åòíîìó. Òàê,  áóäåò îêðóãëÿòüñÿ êàê 3,14, 175

    ,

 &



    ,

à óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ êàê 9,8. Ñëó÷àéíîå îêðóãëåíèå — îêðóãëåíèå íåñêîëüêèõ âåëè÷èí â ñëó÷àéíîì ïîðÿäêå â áîëüøóþ è ìåíüøóþ ñòåïåíü. Èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ñãëàæèâàíèÿ ïîãðåøíîñòåé ïðè áîëüøèõ êîëè÷åñòâàõ îêðóãëÿåìûõ ÷èñåë. ×åðåäóþùååñÿ îêðóãëåíèå — îêðóãëåíèå íåñêîëüêèõ âåëè÷èí (èëè ðåçóëüòàòîâ íåñêîëüêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îïåðàöèé) ïîî÷åðåäíî è â áîëüøóþ è â ìåíüøóþ ñòîðîíû. Ïðè ñëîæåíèè è âû÷èòàíèè ðåçóëüòàò îêðóãëÿþò äî ïîñëåäíåãî äåñÿòè÷íîãî çíàêà ìåíåå òî÷íîãî èç ïàðàìåòðîâ. À ïðè óìíîæåíèè è äåëåíèè îêðóãëÿþò äî íàèáîëüøåãî êîëè÷åñòâà çíà÷èìûõ öèôð ïîñëå çàïÿòîé.

I  ' $        C                            '           \ I   &    C  &       C              I  ' $        C           D    &                 &    \ I  +    D          $       D            I       0  

176

!SU

 $ C 

Ïðèáëèæåííûì çíà÷åíèåì ÷èñëà N íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî n, êîòîðîå îòëè÷àåòñÿ îò N íàñòîëüêî íåçíà÷èòåëüíî, ÷òî ðàçíèöåé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Òîãäà ðàçíîñòü ìåæäó N è n íàçûâàåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ. Åñëè åå ìîæíî âû÷èñëèòü, åå çîâóò àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ. Íî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ýòó ðàçíîñòü âû÷èñëèòü íåâîçìîæíî, òàê êàê òî÷íîå ÷èñëî ìîæåò áûòü áåñêîíå÷íîé äðîáüþ. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî ïîãðåøíîñòü ðàâíà n, è ÿñíî, ÷òî n – n < N < n + n. Òàêàÿ ïîãðåøíîñòü íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíîé ïðåäåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ. Ñàìà ïî ñåáå ïîãðåøíîñòü íå äàåò ïðåäñòàâëåíèÿ î òî÷íîñòè ïðèáëèæåííîãî ÷èñëà. Íàïðèìåð, äëÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó Ëóíîé è Çåìëåé ïîãðåøíîñòü â ìåòð íåçíà÷èòåëüíà, à äëÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ãðÿäêàìè íà îãîðîäå — âïîëíå áîëüøàÿ è íåäîïóñòèìà. Ïîýòîìó áûë ââåäåí òåðìèí îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè, îáîçíà÷àþùèé îòíîøåíèå çíà÷åíèÿ ïîãðåøíîñòè ê ñàìîìó ÷èñëó. 177

    ,

   Z

    ,

Îòíîñèòåëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü — ýòî îòíîøåíèå àáñîëþòíîé ïðåäåëüíîé ïîãðåøíîñòè ê íå ïðèáëèæåííîìó ÷èñëó: = n/N. Ïðè ñëîæåíèè è âû÷èòàíèè ïðåäåëüíûå ïîãðåøíîñòè ñêëàäûâàþòñÿ. À îòíîñèòåëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ñ÷èòàåòñÿ äëÿ âñåãî âûðàæåíèÿ êàê îòíîøåíèå ñóììû ïîãðåøíîñòåé ê ñóììå/ðàçíîñòè ÷èñåë. Äëÿ (x + + y) = x + y ïîëó÷àåì ôîðìóëû: (x + y) = (x + y)/(x + y); (x – y) = (x + y)/(x – y). Ïðè óìíîæåíèè è äåëåíèè îòíîñèòåëüíûå ïðåäåëüíûå ïîãðåøíîñòè ñêëàäûâàþòñÿ, òî åñòü: (x × y) = x + y, (x/y) = x + y. Âîçâîäÿ â ñòåïåíü ïðèáëèæåííîå ÷èñëî, ìû óìíîæàåì åãî îòíîñèòåëüíóþ ïðåäåëüíóþ ïîãðåøíîñòü íà ïîêàçàòåëü ñòåïåíè: xy = y x. Èçâëåêàÿ êîðåíü, ìû äåëèì îòíîñèòåëüíóþ ïðåäåëüíóþ ïîãðåøíîñòü íà ïîêàçàòåëü δx êîðíÿ: = . y

'   D                   &     $      I  G      O    

178

+  &    C    $    " ( A =       ^     " ( A =    " ( F FC  &        5  5 &     $      A =           5  FCF = ;C    =C; M   ^         " ( A F      &     $    %     5  5  =

         5  FC; M

!SN

O       

    ,

   $     

×àñòî â çàäà÷àõ íåò âîçìîæíîñòè óêàçàòü òî÷íûé îòâåò. Íàïðèìåð, êîðíåì óðàâíåíèÿ x2 + x — 1 = 0 áóäåò èððàöèîíàëüíîå ÷èñ1± 5 ëî , êîòîðîå òî÷íî âû÷èñëèòü íåëü2 çÿ. Ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ êàëüêóëÿòîðîì è ïîëó÷èòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå êîðíÿ èç ïÿòè. À ìîæíî íàéòè ïðèáëèçèòåëüíîå çíà÷åíèå âðó÷íóþ. Âñïîìíèâ, ÷òî ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå äâóõ ÷èñåë áîëüøå èõ ñðåäíåãî ãàðìîíè÷åñêîãî è ìåíüøå ñðåäíåãî àðèô2 xy x+ y < xy < ìåòè÷åñêîãî: , ìîæíî âûx+ y 2 ÷èñëèòü êîðåíü èç ÷èñëà, ïðåäñòàâèâ åãî êàê ïðîèçâåäåíèå ïàðû ÷èñåë. Ñ ïÿòåðêîé ýòî íå ñðàáîòàåò, à âîò ñ ïÿòüþ òûñÿ÷àìè — ïî÷åìó áû è íåò? Åùå ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó êâàäðàòà ñóììû: (x + y)2 = x2 + 2xy + + y2. Çäåñü ÷èñëî ïðîùå ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó äåñÿòêîâ è åäèíèö, ïðèêèíóâ ïðèìåðíîå çíà÷åíèå äåñÿòêîâ ïðîñòûì ïîäáîðîì.

180

!UF

0   % 

Àëãîðèòì ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèñêðåòíóþ ñèñòåìó, òî åñòü ñîñòîèò èç îòäåëüíûõ, èíîãäà çàâèñÿùèõ äðóã îò äðóãà, à èíîãäà íåçàâèñèìûõ ÷àñòåé. Ïðîùå ãîâîðÿ, àëãîðèòì — íàáîð íåêîòîðûõ øàãîâ èëè äåéñòâèé, âûïîëíÿþùèõñÿ â çàäàííîì ïîðÿäêå. Êàæäîå èç äåéñòâèé, åãî ñâîéñòâà è ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïðåäåëÿþòñÿ ñîñòîÿíèåì ðàáî÷åãî ïðîñòðàíñòâà íà ìîìåíò èñïîëíåíèÿ äåéñòâèÿ. Ïðàâèëüíûé àëãîðèòì ñîäåðæèò êîìàíäû è óñëîâèÿ, ïîíÿòíûå òîìó, êòî åãî âûïîëíÿåò.  ñëó÷àå ÷åëîâåêà ýòî äîëæíà áûòü èçâåñòíàÿ åìó ñèìâîëüíàÿ ñèñòåìà è çíàêîìûé ïîíÿòèéíûé àïïàðàò. Ñîáñòâåííî, ñî÷åòàíèå ñèìâîëüíîé ñèñòåìû è ïîíÿòèéíîãî àïïàðàòà, ðàçðàáîòàííîå äëÿ êîíêðåòíîé ìàøèíû, ýòî è åñòü ÿçûê ïðîãðàììèðîâàíèÿ — â òîì ñëó÷àå, åñëè àëãîðèòì âûïîëíÿåòñÿ êîìïüþòåðîì. Ïðîñòîé àëãîðèòì èìååò íà÷àëî è êîíåö, à êàæäîå îòäåëüíîå äåéñòâèå âíóòðè íåãî äîëæíî áûòü çàâåðøàåìûì. Ïðàâäà, ñóùåñòâóþò àëãîðèòìû áåñêîíå÷íûõ öèêëîâ, 181

    ,

&P\   Z

    ,

êîòîðûå ðàç çàïóñêàþòñÿ è äåéñòâóþò ñêîëü óãîäíî áåñêîíå÷íî — ïîêà êîìïüþòåð íå ïîëó÷èò ñèãíàë èçâíå îñòàíîâèòüñÿ. Òàêèì ñèãíàëîì ìîæåò áûòü è ïðåêðàùåíèå ðàáîòû êîìïüþòåðà, â òîì ÷èñëå è èç-çà ïîëîìêè. Àëãîðèòì äîëæåí áûòü áîëåå-ìåíåå óíèâåðñàëüíûì, òî åñòü ðàáîòàòü íå ñ êîíêðåòíîé çàäà÷åé, à ñ êëàññîì çàäà÷. Ïîèñê àëãîðèòìà, êîòîðûé ìîã áû ðåøàòü íåîãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî çàäà÷, íàõîäÿ íóæíûé ñïîñîá äåéñòâèÿ â íîâûõ, èçíà÷àëüíî íå çàäàííûõ çàäà÷àõ, — òî åñòü ñàìîîáó÷àòüñÿ, — ýòî è åñòü ïîïûòêè ÷åëîâåêà ñîçäàòü èñêóññòâåííûé èíòåëëåêò. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ÷åëîâå÷åñêîå ñîçíàíèå — èñïîëíåíèå óæå èçâåñòíûõ è ïîèñê íîâûõ àëãîðèòìîâ ïîâåäåíèÿ â îêðóæàþùåì ìèðå.

T D       &          &         &               I   J        C     K      &              &          I  #    Q  

182



 

 

!U"

) D P  

       

&   D

Êîìáèíàòîðíûé àíàëèç — ðàçäåë ìàòåìàòèêè, èçó÷àþùèé äèñêðåòíûå ìíîæåñòâà, èõ îòíîøåíèÿ è îòíîøåíèÿ ÷ëåíîâ âíóòðè íèõ. Òî åñòü ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ïåðå÷èñëåíèÿ è ñî÷åòàíèÿ ýëåìåíòîâ. Òåðìèí «êîìáèíàòîðèêà» áûë ââåäåí Ëåéáíèöåì â 1666 ãîäó.  êîìáèíàòîðèêå ðàçìåùåíèåì (èç n ïî k) íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííûé íàáîð èç k ýëåìåíòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó n. Íàïðèìåð, äëÿ ðàçìåùåíèÿ 2 èç 5 áåðåì ïÿòü ðàçíîöâåòíûõ ñòàêàíîâ è âûáèðàåì, ñêîëüêî ïàð ñòàêàíîâ ìîæíî èç íèõ ñîñòàâèòü. Ðàçìåùåíèå èç n ïî k ðàâíî óáûâàþùåìó ôàêòîðèàëó: Akn = nk = n( n − 1)… n ( n − k + 1) = n! n = = ( )k ! ( n + k )! k Ðàçìåùåíèå ñ ïîâòîðåíèÿìè — íàáîð èç k ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà n, ãäå êàæäûé ýëåìåíò ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ áîëüøå îäíîãî ðàçà. Äîïóñòèì, ó íàñ òðè áåëûõ ñòàêàíà è ïÿòü ÷åðíûõ, èç ìîæíî ñîñòàâèòü 125 ïàð: A−n k = n k . 184

1

3

3 1

1 3

3

1

         I  J        D      O            " @       *      &    I &   A                 $    &      &   D           &   @                       &  $          &             5       S       *

!U(

   %

       

& 

Ïåðåñòàíîâêà — ýòî ñîçäàíèå èç n ýëåìåíòîâ ëþáîãî óïîðÿäî÷åííîãî íàáîðà. Ïåðåñòàíîâêà îòëè÷àåòñÿ îò ðàçìåùåíèÿ òåì, ÷òî ìû áåðåì íå ñêîëüêî-òî ýëåìåíòîâ èç íàáîðà ýëåìåíòîâ, à èñïîëüçóåì äëÿ óïîðÿäî÷èâàíèÿ âåñü íàáîð. Åñëè ó íàñ ïåðåñòàíîâêà èç øåñòè òàðåëîê, òî ìû âûÿñíÿåì, ñêîëüêî âîîáùå êîìáèíàöèé ïî øåñòü òàðåëîê ìû ìîæåì ñîñòàâèòü. ×èñëî ïåðåñòàíîâîê ðàân! n! íî n ôàêòîðèàëó: Ann = = = n! ( n − n)! 0! Ïåðåñòàíîâêà ñ ïîâòîðåíèåì — ïåðåñòàíîâêà èç n ýëåìåíòîâ, ñîäåðæàùèõ m ìíîæåñòâ îäèíàêîâûõ ïðåäìåòîâ. Íàïðèìåð, ó íàñ òðè ñèíèõ òàðåëêè, äâå æåëòûõ è ïÿòü êðàñíûõ. Ñêîëüêî ïåðåñòàíîâîê èç 10 òàðåëîê ìîæíî ñîñòàâèòü, åñëè öâåòà òàðåëîê ìîãóò ïîâòîðÿòüñÿ? Åñëè: k1 + k2 + … + + km = n, òî êîëè÷åñòâî ïåðåñòàíîâîê ñ ïîâòîðåíèÿìè áóäåò ðàâíî êîýôôèöèåíòó: n! k1 ! × k2 ! × … × km !

186

O        &     D       D            C   D    &     '        D                O        C                DC     D   I   &    Z        &     P        D       ` a    

!U;

       

     *

Ñî÷åòàíèåì èç n ïî k íàçûâàåòñÿ íàáîð k ýëåìåíòîâ, âçÿòûé èç äàííûõ çàðàíåå n ýëåìåíòîâ. Åñëè ó äâóõ íàáîðîâ ýëåìåíòû îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ïîðÿäêîì, òî òàêèå ñî÷åòàíèÿ ñ÷èòàþò îäèíàêîâûìè. Íàïðèìåð, áåðåì ñåìü ðàçíûõ ëîæåê è ñîñòàâëÿåì íàáîðû ïî òðè ëîæêè êàæäûé. ×èñëî ñî÷åòàíèé èç n ïî k íàçûâàåòñÿ áèíîìèíàëüíûì êîýôôèn n! öèåíòîì: = Ckn = .  ñî÷åòàíèÿõ k k!(n − k)! ñ ïîâòîðåíèÿìè êàæäûé èç n ýëåìåíòîâ ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ íåñêîëüêî ðàç. Êîìáèíàòîðèêà áûâàåò ðàçíîé. Ïåðå÷èñëèòåëüíàÿ êîìáèíàòîðèêà èçó÷àåò çàäà÷è ïîäñ÷åòà êîëè÷åñòâà âàðèàíòîâ, ïåðåáîð âñåõ îáúåêòîâ çàäàííîãî òèïà è ïåðå÷èñëåíèÿ âàðèàíòîâ. Âåðîÿòíîñòíàÿ êîìáèíàòîðèêà èçó÷àåò âåðîÿòíîñòè òåõ èëè èíûõ êîìáèíàöèé è ñî÷åòàíèé.  ÿçûêîçíàíèè êîìáèíàòîðèêà èçó÷àåò åäèíèöû ðå÷è è ñåìàíòèêè, çàíèìàåòñÿ èçó÷åíèåì ñî÷åòàåìîñòè.

188

!U=

Ìû çíàåì ôîðìóëó êâàäðàòà äâóõ ÷èñåë (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab. Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé òàê íàçûâàåìîãî áèíîìà (èëè äâó÷ëåíà) Íüþòîíà, à èìåííî: (a + b)n = × an + + × an–1 × b + × an–2 × b2 + … + × n-1 n × a × b + × b .  ýòîé ôîðìóëå — áèíîìèíàëüíûé êîýôôèöèåíò, à èìåííî ñî÷åòàíèå èç n ïî k, ãäå k = 0, 1, 2, … n. È ðàâåí ýòîò êîýôôèöèåíò ñîîòâåòñòâåííî: .

Íüþòîí áûë íå ïåðâûì, êòî âçÿëñÿ ðåøàòü ýòó çàäà÷ó. Áèíîìèíàëüíûå êîýôôèöèåíòû áûëè èçâåñòíû ñ XIII âåêà, Íüþòîí ïðèâåë ôîðìóëó ê îáùåìó âèäó.

Âûðàæåíèåì «ïîäóìàåøü, áèíîì Íüþòîíà», îçíà÷àþùèì ÷òî-òî ñîâñåì ïðîñòîå, ìû îáÿçàíû íå ìàòåìàòèêó, à Ìèõàèëó Áóëãàêîâó, êîòîðûé ïåðâûé óïîòðåáèë åãî â «Ìàñòåðå è Ìàðãàðèòå». 189

       

  $C   + 5 … 

#  D        D        5 &      &   &      D                 C                         $      $    D       D           T  &                          

Треугольник Паскаля

!UA

B C 

Òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ — òàáëèöà áèíîìèíàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé, êàê íè ñòðàííî, òðåóãîëüíèê. Âåðøèíà åãî — åäèíèöà, ðàâíî êàê è âñå ÷èñëà ïî êðàÿì, êðàéíèå äèàãîíàëè. Êàæäîå ÷èñëî ðàâíî ñóììå äâóõ ÷èñåë, ñòîÿùèõ íàä íèì. Âòîðûå äèàãîíàëè òðåóãîëüíèêà — ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 1, 2, 3, 4, 5… òðåòüè — òðåóãîëüíûå ÷èñëà 3, 6, 10, 15… Êàæäîå âòîðîå è ïðåäïîñëåäíåå ÷èñëî (â ïåðâîé ñòðîêå ýòî îäíî ÷èñëî 1, âî âòîðîé ñòðîêå ýòî äâå äâîéêè) — ðàâíî íîìåðó ñòðîêè. Ñóììà ÷èñåë â êàæäîé ñòðîêå òðåóãîëüíèêà ðàâíà 2n, ãäå n — íîìåð ñòðîêè. Åñëè n — ïðîñòîå ÷èñëî, òî âñå ÷èñëà â n-íîé ñòðîêå, êðîìå åäèíèö, äåëÿòñÿ íà íåãî. Åñëè ñëîæèòü ÷èñëà â ëþáîé ìàëîé äèàãîíàëè, ïîëó÷èòñÿ ÷èñëî Ôèáîíà÷÷è, à åñëè ñëîæèòü ñîñåäíèå ÷èñëà — ÷èñëî Êàòàëàíà.

191

       

 %    

                        &            &     5   *     *                 & K      

!U@

Ðåøàÿ çàäà÷è ïî êîìáèíàòîðèêå, íóæíî íå òîëüêî ïîìíèòü ñëîæíûå ôîðìóëû è óìåòü èõ ïðèìåíÿòü, íóæíî åùå è ìûñëèòü â êëþ÷å êîìáèíàòîðèêè, ïðåâðàùàÿ ñëîæíûå ìíîãîñòóïåí÷àòûå âîïðîñû è âû÷èñëåíèÿ â öåïî÷êó ïðîñòûõ. Ðàçáåðåì íåñêîëüêî òàêèõ çàäà÷. Íà÷íåì ñ äåëåíèÿ ïëîñêîñòè íà ÷àñòè íåïàðàëëåëüíûìè ïðÿìûìè — î÷åíü âàæíàÿ çàäà÷à, êîãäà âàñ ìíîãî, à òîðò âñåãî îäèí. Îäíà ïðÿìàÿ äåëèò ïðîñòðàíñòâî íà äâå ÷àñòè. Äâå — óæå íà ÷åòûðå.  ñëó÷àå ñ òðåòüåé ïðÿìîé ó íàñ äâà âàðèàíòà, êàê îíà áóäåò ïåðåñåêàòü ïåðâûå äâå. Åñëè â òî÷êå èõ ïåðåñå÷åíèÿ — òî ÷àñòåé ïîëó÷èòñÿ 6, à åñëè â äðóãîì ìåñòå, òî 7 — îáðàçóåòñÿ «âíóòðåííèé» òðåóãîëüíèê, ñåäüìàÿ ÷àñòü. Íî ïåðåñå÷åíèå âñåõ ïðÿìûõ â îäíîé òî÷êå ìû íå ðàññìàòðèâàåì, òîãäà çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê óâåëè÷åíèþ êîëè÷åñòâà îáëàñòåé íà äâå ïðè óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà ïðÿìûõ. Çíà÷èò, òðè ïðÿìûå óæå äåëÿò ïëîñêîñòü íà 7 ÷àñòåé. ×åòâåðòàÿ ïðÿìàÿ òàêæå ìîæåò 193

       

) D  &  C 

  O    &D

       

«ïåðåñåêàòü» âíóòðåííèé òðåóãîëüíèê, à ìîæåò íå êàñàòüñÿ åãî.  ëþáîì ñëó÷àå ÷àñòåé 11. Ïÿòàÿ ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàÿñü ñ ïåðâûìè ÷åòûðüìÿ (ïî óñëîâèþ, ïðÿìûå íå ïàðàëëåëüíû) îáðàçóåò 16 «êóñî÷êîâ» ïðîñòðàíñòâà. Åñëè ðàññìàòðèâàòü äàëüøå, ìû çàïóòàåìñÿ â êîëè÷åñòâå ïðÿìûõ è ñåãìåíòîâ, òàê ÷òî îñòàíîâèìñÿ íà ïÿòè. Èòàê, ìû èìååì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü: 2, 4, 7, 11, 16. Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òî ðàçíîñòü ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè çíà÷åíèÿìè ñîñòàâëÿåò ðÿä íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íà÷èíàÿ ñ äâîéêè: 4 – 2 = 2; 7 – 4 = 3; 11 – 7 = 4; 16 – 11 = 5. Òàêèì îáðàçîì, êàæäûé ðàç ïðè äîáàâëåíèè íîâîé ïðÿìîé êîëè÷åñòâî ñåãìåíòîâ óâåëè÷èâàåòñÿ íà ÷èñëî, ðàâíîå êîëè÷åñòâó ïðÿìûõ.

I  0       Z  )  D     *     I         Z I    ,      I       0    C         $      B     O         I  #        C     C  I   D        IH5 OJ

194

!US

Ó íàñ åñòü n ïàð ñêîáîê. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî èõ ñêîìïîíîâàòü? Îäíà ïàðà êîìïîíóåòñÿ åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì (). Äâå — óæå äâóìÿ: (()) è ()(). Òðè ïàðû ñêîáîê äàþò áîëüøå âàðèàíòîâ: ()()(), (()()), (())(), ()(()), ((())), òî åñòü ïÿòü. Äëÿ ÷åòûðåõ ïàð âàðèàíòîâ 14, äëÿ ïÿòè — 42, äëÿ øåñòè — 132 è òàê äàëåå. Ìû ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845… Ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòêðûë Ýéëåð, íî íàçâàíà îíà ÷èñëàìè Êàòàëàíà. Äåëî â òîì, ÷òî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü — îòâåò íà åùå íåñêîëüêî çàäà÷ êîìáèíàòîðèêè, à èìåííî: íà ñêîëüêî òðåóãîëüíèêîâ äåëèòñÿ âûïóêëûé 2n-óãîëüíèê íåïåðåñåêàþùèìèñÿ äèàãîíàëÿìè; ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ñîåäèíèòü 2n òî÷åê, ëåæàùèõ íà îêðóæíîñòè, ïî äâå íåïåðåñåêàþùèìèñÿ õîðäàìè.

195

       

B  O  C   O   &&

!UU

     

       

 D 

Ìàãè÷åñêèì êâàäðàòîì íàçûâàþò êâàäðàòíóþ òàáëèöó, â êîòîðîé ñóììà ÷èñåë â êàæäîé ñòðîêå è êàæäîì ñòîëáöå ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Êðîìå òîãî, ðàâíû ñóììû ÷èñåë â äèàãîíàëÿõ. Íåìåöêèé õóäîæíèê Àëüáðåõò Äþðåð óâåêîâå÷èë îäèí èç òàêèõ êâàäðàòîâ â ãðàâþðå «Ìåëàíõîëèÿ». Ïîñòðîèòü åãî íåñëîæíî. Íà ðàçëèíîâàííîé â êëåòî÷êó áóìàãå çàïèñûâàþòñÿ ÷èñëà îò åäèíèöû äî n2, ãäå n — êîëè÷åñòâî ñòðîê (è ñòîëáöîâ). ×èñëà çàïèñûâàþòñÿ ïî äèàãîíàëè ïî n ÷èñåë â ðÿä, ÷òîáû ìåæäó ÷èñëàìè ïî ãîðèçîíòàëè è âåðòèêàëè áûëà îäíà êëåòêà (ñì. ðèñ. 1). Ïîëó÷àåòñÿ äèàãîíàëüíûé êâàäðàò.  öåíòðå î÷åð÷èâàåòñÿ ïðÿìî ðàñïîëîæåííûé êâàäðàò n × n (ñì. ðèñ. 2). Òåïåðü «óãîëêè», îñòàâøèåñÿ çà ïðåäåëàìè, ïåðåíîñÿòñÿ ê ïðîòèâîïîëîæíîé ãðàíè (ñì. ðèñ. 3) — âåðõíèå ê íèæíåé, ëåâûå ê ïðàâîé è íàîáîðîò. Òàê ïîëó÷àåòñÿ ìàãè÷åñêèé êâàäðàò (ñì. ðèñ. 4).

196

!UN

    &%

       

R   

Ãîðîä Êàëèíèíãðàä, ðàíåå Êåíèãñáåðã, ðàñïîëîæåí íà ðåêå, êîòîðàÿ îáðàçóåò äâà îñòðîâà. ×åðåç íåå ïåðåêèíóòî ñåìü ìîñòîâ — ïÿòü íà îäèí îñòðîâ è òðè íà âòîðîé (îäèí ìîñò îáùèé, ñ îäíîãî îñòðîâà íà äðóãîé). Ìåñòíûå æèòåëè îáû÷íî ïðåäëàãàþò ïðèåçæèì ïðîãóëÿòüñÿ ïî ãîðîäó, ïîáûâàâ íà êàæäîì èç ìîñòîâ îäèí ðàç è âåðíóòüñÿ â íà÷àëüíóþ òî÷êó.  ñâîå âðåìÿ ðåøèòü ýòó «ïðîãóëî÷íóþ» çàäà÷ó ïðåäëîæèëè Ëåîíàðäó Ýéëåðó. Ïîïðîáîâàâ ðåøèòü çàäà÷ó îïûòíûì ïóòåì è íå íàéäÿ îòâåòà, îí íàáðîñàë ñõåìó. Îíà ñîñòîÿëà èç îòðåçêîâ (ìîñòîâ) è âåðøèí — òî÷åê íà áåðåãàõ. Ïîëó÷èëñÿ òàê íàçûâàåìûé ãðàô — ñõåìà, ñîñòîÿùàÿ èç òî÷åê, ñîåäèíåííûõ îòðåçêàìè. Âîîáùå â ãðàôå òî÷êè ìîãóò ñîåäèíÿòüñÿ ðàçíûìè ñïîñîáàìè, è íåîáÿçàòåëüíî ïî äâå. Íàïðèìåð, ñõåìà ìàðøðóòîâ òðàíñïîðòà — ãðàô, êàê è íåêîòîðûå äðóãèå êàðòû. Ýéëåð âûâåë äâà óñëîâèÿ äëÿ ðåøåíèÿ ïîäîáíîé çàäà÷è. 198

1. Äîëæåí ñóùåñòâîâàòü ïóòü èç ëþáîé îäíîé âåðøèíû â ëþáóþ äðóãóþ, òî åñòü ãðàô äîëæåí áûòü ñâÿçàííûì. Ñåòü îòðåçêîâ äîëæíà áûòü åäèíîé.

       

2. Èç êàæäîé âåðøèíû äîëæíî âûõîäèòü ÷åòíîå êîëè÷åñòâî îòðåçêîâ. Ãðàôû, ïîäõîäÿùèå ïîä îáà óñëîâèÿ, íàçûâàþò ýéëåðîâûìè öèêëàìè. Åñëè âîçâðàùàòüñÿ â íà÷àëî ïóòè íåîáÿçàòåëüíî, òî äîïóñòèìî íàëè÷èå äâóõ âåðøèí, â êîòîðûõ êîëè÷åñòâî èñõîäÿùèõ îòðåçêîâ íå÷åòíîå. Òîãäà ýòè äâå âåðøèíû ñòàíîâÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî íà÷àëîì è êîíöîì. Êàê ìû âèäèì, ãðàô ìîñòîâ íå ñîîòâåòñòâóåò âòîðîìó êðèòåðèþ, âñå åãî âåðøèíû — íå÷åòíûå. Çíà÷èò, çàäà÷à î ìîñòàõ íå èìååò ðåøåíèÿ. Ê ïîäîáíûì æå çàäà÷àì îòíîñÿòñÿ è çàäà÷è òèïà «íàðèñîâàòü ôèãóðó, íå îòðûâàÿ êàðàíäàøà îò áóìàãè». \               5     C                      C &                    &                      \ b   O   

200

!NF

    

C 

  T D&  0 

Äîáàâëÿÿ óñëîâèÿ ïîñòðîåíèÿ ìàðøðóòà, òàêèå êàê äëèíà, à çíà÷èò è äåøåâèçíà ïðîêëàäêè äîðîãè è ïîåçäêè ïî íåìó, ìû ïîëó÷èì çàäà÷ó êîììèâîÿæåðà. Îíà çàêëþ÷àåòñÿ â ïðîêëàäêå ìàðøðóòà ïî íåñêîëüêèì ãîðîäàì òàê, ÷òîáû îí áûë íàèáîëåå ýêîíîìè÷åí.  êàæäîì ãîðîäå íàäî ïîáûâàòü îäèí ðàç è âåðíóòüñÿ â èñõîäíóþ òî÷êó. Êàê íè ñòðàííî, òàêîé ìàðøðóò íå âñåãäà ïðîñò. Ïðè îòíîñèòåëüíî íåáîëüøîì êîëè÷åñòâå ãîðîäîâ — ãäå-òî íà÷èíàÿ ñ 66 — îáúåì äàííûõ î âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè òî÷åê ñòàíîâèòñÿ òàêèì, ÷òî íå êàæäàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàøèíà ñïðàâèòñÿ ñ çàäà÷åé. Ïîñìîòðèì íà ñõîæóþ «òðàíñïîðòíóþ» çàäà÷ó. Äîïóñòèì, íàäî ñîåäèíèòü íåñêîëüêî ãîðîäîâ æåëåçíîé äîðîãîé. Åñòü äàííûå î òîì, ñêîëüêî ñòîèò ïðîêëàäêà âåòêè ìåæäó êàæäîé ïàðîé èç çàäàííîãî ìíîæåñòâà. Çäåñü íàäî íà÷àòü ñ ñàìîãî äåøåâîãî ìàðøðóòà. Ñîåäèíèòü äâà ãîðîäà (A è B), äîðîãà ìåæäó êîòîðûìè 201

       

 & 

       

äåøåâëå âñåãî. Ïîòîì èç äîðîã ýòèõ ãîðîäîâ èùåì ñàìóþ äåøåâóþ èç îñòàâøèõñÿ è ïðèñîåäèíÿåì ãîðîä C. Ïîòîì èùåì ñàìóþ äåøåâóþ âåòêó îò ãîðîäîâ A, B è C ê îñòàâøèìñÿ. È òàê äî êîíöà. Íî ýòà çàäà÷à îòëè÷àåòñÿ îò çàäà÷è êîììèâîÿæåðà òåì, ÷òî ãîðîäà ìîãóò áûòü ñîåäèíåíû íå ïîñëåäîâàòåëüíî, à ðàçâåòâëåííî, è äåøåâèçíà ðàññ÷èòûâàåòñÿ íå ñ òî÷êè çðåíèÿ ïóòåøåñòâåííèêà (êîíêðåòíûé ìàðøðóò A–D ìîæåò áûòü äåøåâëå, ÷åì ïîñòðîåííàÿ äîðîãà A–B–C–D), à ñ òî÷êè çðåíèÿ ïîñòðîéêè ñåòè. Åñëè, ïðîêëàäûâàÿ ìàðøðóò, êîììèâîÿæåðó ïîëüçîâàòüñÿ òåì æå ïðèíöèïîì — âûáèðàòü ñàìûé äåøåâûé èç îñòàâøèõñÿ, òî ìîæíî â êàêîé-òî ìîìåíò îêàçàòüñÿ ïåðåä ôàêòîì, ÷òî ïóòü â îñòàâøèåñÿ ãîðîäà áóäåò íåñîèçìåðèìî äîðîãèì.

'        $   C             &      I  0       O 

202

O               &   &      C     &  *           &    I

         K  Q     0             5     C             $            &   $   &   K   Y 

!N"

       

 *  C 

  O    

Êàê óæå ãîâîðèëîñü, ãåîãðàôè÷åñêèå êàðòû — òîæå ãðàôû. Èçíà÷àëüíî çàäà÷à î ÷åòûðåõ êðàñêàõ áûëà î êàðòå ãðàôñòâ Àíãëèè, êîòîðóþ ðàñêðàøèâàë íå î÷åíü áîãàòûé ñòóäåíò. È âîò îí çàäàëñÿ âîïðîñîì, à êàê áû ñýêîíîìèòü íà êðàñêå, òî åñòü èñïîëüçîâàòü íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî öâåòîâ. Îí ñ÷èòàë, ÷òî ÷åòûðåõ êðàñîê äîëæíî áûòü äîñòàòî÷íî, íî äîêàçàòåëüñòâî òàê è íå âûâåë. Òîëüêî â 1979 ãîäó, êîãäà óæå ïðèìåíÿëèñü êîìïüþòåðíûå òåõíîëîãèè, áûëî îáñ÷èòàíî îêîëî 2000 êàðò è ïîëó÷åí îäíîçíà÷íûé îòâåò. Êàðòû, äëÿ êîòîðîé íå õâàòèëî áû ÷åòûðåõ êðàñîê, íàéäåíî íå áûëî. Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ãðàôà: ñòîëèöû ãîñóäàðñòâ ñòàíîâÿòñÿ åãî âåðøèíàìè, è òå, ÷üè ãîñóäàðñòâà èìåþò îáùóþ ãðàíèöó, ñîåäèíÿþòñÿ âîîáðàæàåìûìè îòðåçêàìè — ñ óñëîâèåì, ÷òî ñîåäèíåíû ìîãóò áûòü òîëüêî âåðøèíû ðàçíûõ öâåòîâ. 204

!N(

   % 

 ìàòåìàòèêå î÷åíü ìíîãî ðàçíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé: ÷èñëà Êàòàëàíà, ÷èñëà Ôèáîíà÷÷è, ïðîñòûå ÷èñëà, íàòóðàëüíûå — âñå ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Îáû÷íî èõ çàïèñûâàþò â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ÷åðåç çàïÿòóþ {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…}. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îòëè÷àþòñÿ îò õàîòè÷íîãî íàáîðà ÷èñåë òåì, ÷òî êàæäûé ñëåäóþùèé ýëåìåíò èìååò ñâÿçü ñ ïðåäûäóùèì (íàïðèìåð, â ÷èñëàõ Ôèáîíà÷÷è êàæäîå ñëåäóþùåå ÷èñëî ðàâíî ñóììå äâóõ ïðåäûäóùèõ) èëè ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî îäíîé è òîé æå ôîðìóëå (êàê ÷èñëà Êàòàëàíà) ñ íåêîåé ïåðåìåííîé, ðàâíîé ïîðÿäêîâîìó íîìåðó ÷èñëà â ðÿäó.  ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç n ýëåìåíòîâ êàæäîìó n ñîîòâåòñòâóåò ñâîé ýëåìåíò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè an. ×èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîæíî çàäàòü îïèñàòåëüíî. Íàïðèìåð, âñå ÷èñëà â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíû 5. Èëè âñå ÷èñëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè — ÷åòíûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. Íî åñëè íà÷àëüíûå ýëåìåíòû 205

       

P  *D 

       

ìîæíî îïðåäåëèòü ïåðåáîðîì, òî, íàïðèìåð, 230-é ýëåìåíò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïî îïèñàòåëüíûì äàííûì íå âû÷èñëÿåòñÿ. Ïîýòîìó ÷àùå èñïîëüçóþò ôîðìóëüíûé ñïîñîá çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Çàäàåòñÿ çàâèñèìîñòü ýëåìåíòà îò åãî ïîðÿäêîâîãî íîìåðà ôîðìóëîé.  ñëó÷àå ÷åòíûõ ÷èñåë ôîðìóëà áóäåò ðàâíà {2n}, â ñëó÷àå ñòåïåíåé òðîéêè: {3n –1}. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàäàåòñÿ çàâèñèìîñòüþ n-íîãî ýëåìåíòà åå îò ïðåäûäóùåãî (n–1)-ãî, òî òàêîé ñïîñîá íàçûâàþò ðåêóððåíòíûì. Îáû÷íî çàäàåòñÿ ïåðâûé ýëåìåíò è ôîðìóëà. Äëÿ íå÷åòíûõ ÷èñåë: a1 = 1, an = = an + 1 + 2, äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Ôèááîíà÷è: a1 = 1, an = an-1 + an-2. À åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîòîðûå íè îáû÷íîé, íè ðåêóððåíòíîé ôîðìóëîé íå îïèñàòü, íàïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîñòûõ ÷èñåë.

                 I  &         &     P    5  C  $   *            I  ^    /    

206

!N;

0  R   

Âîçüìåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an}, â êîòîðîé êàæäûé ÷ëåí îòëè÷àåòñÿ îò ïðåäûäóùåãî íà êàêîå-òî êîíêðåòíîå ÷èñëî. Åå ôîðìóëà áóäåò an = an-1 + d, ãäå d — êàêîå-òî ïîñòîÿííîå ÷èñëî. Òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàþò àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, à d íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ ïðîãðåññèè. Àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèÿ íàçûâàåòñÿ ïîòîìó, ÷òî êàæäûé åå ýëåìåíò (êðîìå ïåðâîãî) ðàâåí ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó äâóõ ñîñåäíèõ. Ðàçóìååòñÿ, îíî ìîæåò áûòü íå òîëüêî ïîëîæèòåëüíûì, íî è îòðèöàòåëüíûì (çäåñü ïîäîøëî áû ñëîâî «ðåãðåññèÿ»). Èëè íóëåâûì — òàêàÿ ïðîãðåññèÿ íàçûâàåòñÿ âûðîæäåííîé. Ôîðìóëüíûé âèä òàêîé ïðîãðåññèè íåñëîæåí: {a1 + (n – 1) × d}. Ñóììà n ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè ðàâíà ñóììå ïåðâîãî è n-íîãî ÷ëåíîâ, äåëåííîé íà äâà è óìíîæåííîé íà n: a +a Sn = 1 n × n. 2 Åùå åñòü ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ. Åå ðåêóððåíòíàÿ ôîðìóëà an = an–1 × q, 207

       

   &

       

ãäå q — çíàìåíàòåëü ïðîãðåññèè — êàêîå-òî ïîñòîÿííîå ÷èñëî. Êàæäûé ÷ëåí ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè (êðîìå ïåðâîãî) ðàâåí ñðåäíåìó ãåîìåòðè÷åñêîìó ñâîèõ ñîñåäåé. Åñëè ïîëîæèòåëüíûé çíàìåíàòåëü ïðîãðåññèè áîëüøå 1, òî ïðîãðåññèÿ âîçðàñòàþùàÿ, à åñëè ìåíüøå — òî óáûâàþùàÿ (çäåñü óìíîæåíèå êàê áû çàìåíÿåòñÿ äåëåíèåì). Êîãäà çíàìåíàòåëü îòðèöàòåëüíûé, âñå íàîáîðîò: îò íóëÿ äî ìèíóñ åäèíèöû ïðîãðåññèÿ ïîëîæèòåëüíàÿ, à ìåíüøå ìèíóñ åäèíèöû — îòðèöàòåëüíàÿ. Ôîðìóëüíûé âèä ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè òàêîé: {a1 × dn–1}. Ôîðìóëà ñóììû n ÷ëåíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïåðâîãî ÷ëåíà íà ðàçíîñòü çíàìåíàòåëÿ â ñòåïåíè n è åäèíèöû, äåëåííîìó íà ðàçíîñòü çíàìåíàòåëÿ è åäèíèöû. Sn =

a1 ( q n − 1) q −1

.

                 I   5        D     0         5 

208

)         *     *

                   &       B        $           C   &  *     D                  &          R       &     5

!N=

B C C

       

* *

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {1/n} íàçûâàþò ãàðìîíè÷åñêîé, ïîòîìó ÷òî êàæäûé åå ýëåìåíò ðàâåí ñðåäíåìó ãàðìîíè÷åñêîìó ñâîèõ äâóõ ñîñåäåé (åñëè îíè ó íåãî åñòü). Ýòî óáûâàþùàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ. Ïðè ñðàâíèòåëüíî áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n êàæäûé ñëåäóþùèé ýëåìåíò áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò ïðåäûäóùåãî íà î÷åíü ìàëîå çíà÷åíèå. Ïðè n = 10 000 ýòèì îòëè÷èåì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü è îêðóãëèòü çíà÷åíèå äî íóëÿ. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ýòà ïðîãðåññèÿ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè âîçðàñòàþùåì (ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè) n. Òî åñòü ó ãàðìîíè÷åñêîé ïðîãðåññèè åñòü ïðåäåë: lim 1/n = 0. n→∞

Ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé åñòü ïðåäåë è ýòî êîíêðåòíîå ÷èñëî — íîëü èëè ëþáîå äðóãîå, — íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé. Ïðî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {2ò} — ðÿä ñòåïåíåé äâîéêè — ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî îíà íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò ïðè âîçðàñòàíèè n, òî åñòü ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè n, ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè: 210

lim 2ò = . Ó òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

n→∞

Èíòåðåñíî îáñòîÿò äåëà ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ {(1 +1/n)n}. Êàçàëîñü áû, ïðè óâåëè÷åíèè n äîëæíî óìåíüøàòüñÿ çíà÷åíèå 1/n è ïðè ýòîì æå óâåëè÷èâàòüñÿ îáùåå çíà÷åíèå, ïîòîìó êàê n — ïîêàçàòåëü ñòåïåíè âñåãî âûðàæåíèÿ. Âû÷èñëèòü, ê ÷åìó æå ñòðåìèòñÿ äàííàÿ ïðîãðåññèÿ, ñìîãëè ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî, íåñêîëüêî âåêîâ íàçàä: ïðîãðåññèÿ õîòü è ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé (î÷åíü ìåäëåííî ïîëîæèòåëüíîé), íî èìååò ïðåäåë. È ýòîò ïðåäåë — ÷èñëî e. Åñëè ó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åñòü ïðåäåë è ýòî ÷èñëî (à íå áåñêîíå÷íîñòü, êàê â ñëó÷àå ñî ñòåïåíÿìè äâîéêè äà è ëþáîãî äðóãîãî ÷èñëà), òî åå íàçûâàþò ñõîäÿùåéñÿ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàñõîäÿùàÿñÿ.

          & *       D   %        &  *     C                 5     I       #  

211

       

íåò ïðåäåëà.

H                       &               &           T*    &       &          5 C          

 D            I             /            " ?;  E" ( F ‰ >C          I  (?AC    &    I  ;?UC       I  A?" ;

!NA

     C

Âåðîÿòíîñòü — îòíîñèòåëüíàÿ ìåðà âîçìîæíîñòè íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ. Îíà ìîæåò áûòü áîëüøå èëè ìåíüøå, ýòî èçìåðèìàÿ âåëè÷èíà. Åäèíèöà ñîîòâåòñòâóåò âåðîÿòíîìó ñîáûòèþ, à íîëü — ñîáûòèþ, êîòîðîå íå ïðîèçîéäåò. Òàê, îò íóëÿ äî îäíîãî âîçìîæíû ðàçíûå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ: âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ M; âåðîÿòíîñòü íå íàñòóïëåíèÿ 1 – M. Ïî ñóòè ìåðà âåðîÿòíîñòè — ýòî êîëè÷åñòâî âîçìîæíûõ áëàãîïðèÿòíûõ (îæèäàåìûõ) èñõîäîâ ñèòóàöèè, äåëåííîå íà êîëè÷åñòâî âñåõ âîçìîæíûõ èñõîäîâ. Íàïðèìåð, âûïàäåíèå îðëà èëè ðåøêè íà ìîíåòå ñîñòàâëÿåò 1/2 îò âñåõ âîçìîæíûõ. À âûïàäåíèå ïÿòåðêè íà èãðàëüíîé êîñòè — 1/6. Îïðåäåëÿÿ âåðîÿòíîñòü, ìû äîïóñêàåì ðàâíûå âîçìîæíîñòè âñåõ âàðèàíòîâ èñõîäà. Òîãäà ìû ìîæåì óâåðåííî äåëèòü íåîáõîäèìûé ðåçóëüòàò íà îáùåå êîëè÷åñòâî âàðèàíòîâ. Êîñòü ñèììåòðè÷íà, èìååò îäèíàêîâóþ ïëîòíîñòü, âîçìîæíîñòè âûïàäåíèÿ ëþáîãî 213

       

D     Z

       

÷èñëà ðàâíîâåðîÿòíû. Äîïóñòèì, ìû ïîäáðàñûâàåì íå îäíó, à äâå èãðàëüíûõ êîñòè. Âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ ïÿòåðêè áóäåò ðàâíà 2 (ïî êîëè÷åñòâó ïÿòåðîê) ê 36 (êîëè÷åñòâî ãðàíåé îäíîé êîñòè, óìíîæåííîå íà êîëè÷åñòâî ãðàíåé âòîðîé). Âûïàäåíèå äâóõ ïÿòåðîê — óæå 1 ê 18, åñëè êîñòè êèäàþòñÿ îäíîâðåìåííî, ïîòîìó ÷òî èç 36 âàðèàíòîâ (åñëè êîñòè îäèíàêîâû) îäíà ïîëîâèíà ñîîòâåòñòâóåò âòîðîé ïîëîâèíå, íàïðèìåð âûïàäåíèå 1 è 4 äëÿ íàñ ðàâíî âûïàäåíèþ 4 è 1. ×àñòîòíîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè çâó÷èò êàê: âåðîÿòíîñòü ðàâíà ïðåäåëó ÷àñòîòû, ñòðåìÿùåìóñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, ïðè îäíîðîäíûõ è íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèÿõ n P (A) = nlim . →∞ N

'            C         &       C   P                                I     K  O R 

214

!N@

  C 

Âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ A ïðè íàñòóïëåíèè B íàçûâàþò óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ. Âåðîÿòíîñòüþ, âåðíîé ïðè îïðåäåëåííîì óñëîâèè: P (A|B) =

P AB è çíà÷èò: P A

P (AB) = P (A) × P (A|B) è îäíîâðåìåííî: P (AB) = P (B) × P (B|A). À åùå: P (A|B) = =

P A P B A . P B

Åñëè ìû áåðåì íåñêîëüêî ñîáûòèé Ai, õîòÿ áû îäíî èç êîòîðûõ îáÿçàòåëüíî íàñòóïèò, ìû ïðèìåíÿåì ôîðìóëó ïîëíîé âåðîÿòíîñòè: P (B) =

P B A P A .

Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà — òàêàÿ âåëè÷èíà, ïðåäñêàçàòü êîòîðóþ äî èçìåðåíèÿ íåâîçìîæíî, êàê íåâîçìîæíî è ïîâëèÿòü íà ðåçóëüòàò. Ïðè ýòîì íàáëþäàþòñÿ íå ñàìè ñîáûòèÿ, à âàðèàíòû èõ ðåàëèçàöèè, êîíêðåòíûå âåëè÷èíû. Íåçàâèñèìûìè íàçûâàþòñÿ äâà ñîáûòèÿ, åñëè 215

       

 

íàñòóïëåíèå îäíîãî èç íèõ A íèêàê íå ñâÿçàíî ñ íàñòóïëåíèåì âòîðîãî B. Äëÿ äâóõ òàêèõ ñîáûòèé ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà.

       

1. Åñëè âåðîÿòíîñòü B íåíóëåâàÿ, òî óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A ïðè ñîáûòèè B ðàâíà âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ: P (A|B) = P (A). 2. Ñîâìåñòíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé ïðèâîäèò ê ïîïàðíîé íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé, õîòÿ îáðàòíîå íåâåðíî. 3. Íåñîâìåñòíîñòü äâóõ ñîáûòèé A è B — âîçìîæíîñòü âûïàäåíèÿ èëè A èëè B, íî íå îáîèõ ñðàçó. Èõ îáùàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà: P (A + B) = P (A) + P (B). Ïðè íåñêîëüêèõ íåçàâèñèìûõ èçìåðåíèÿõ âåðîÿòíîñòü êîíêðåòíîãî âàðèàíòà ðàâíà èõ ïðîèçâåäåíèþ, òî åñòü åñëè âûïàäåíèå îðëà èëè ðåøêè ðàâíî 1/2, òî âûïàäåíèå îðëà íà òðåõ êèäàåìûõ îäíîâðåìåííî ìîíåòàõ áóäåò ðàâíà 1/8 (1/2 × 1/2 × 1/2).

'         C        &    *            I  0R 

216

!NS

Q C$&

Ñòàòèñòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå ñîñòîèò èç íàáëþäåíèÿ è ðåãèñòðàöèè ìíîæåñòâà ñëó÷àéíûõ è ñëàáî ñâÿçàííûõ âåëè÷èí, áåçîòíîñèòåëüíî òî÷íûõ öèôð. Ðåçóëüòàò îñòàåòñÿ ïðèáëèçèòåëüíî îäèíàêîâûì, åñëè åãî ïðåäñòàâèòü â âèäå ãðàôèêà. Ýòî òàê íàçûâàåìîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, èëè ðàñïðåäåëåíèå Ãàóññà. Ôîðìóëà ãðàôèêà äîâîëüíî ñëîæíà: − 1 e f (x) = σ 2π

( x − μ )2 2σ 2

, íî, ÷åñòíîå ñëîâî,

íå íàäî åå çàïîìèíàòü. Ñàì ãðàôèê ôóíêöèè âïîëíå çàïîìèíàþùèéñÿ. Îí âûãëÿäèò êàê óñëîâíàÿ «øëÿïà» èëè óäàâ, ïðîãëîòèâøèé ñëîíà. Ñìûñë ýòîé ôóíêöèè ïðîñò: ÷åì ÷àùå âñòðå÷àåòñÿ îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû, òåì áëèæå îíî ê ñåðåäèíå ãðàôèêà. Òàê, â áûòó ìû èñïîëüçóåì ñëîâî «ñðåäíèé» — íå «ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå», à «ñàìîå ÷àñòî âñòðå÷àþùååñÿ».

217

       

& 

!NU

B   

Èç ïðîñòûõ âûñêàçûâàíèé ìîæíî ñîñòàâëÿòü ñëîæíûå, èñïîëüçóÿ ïÿòü ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé. 1. Ýêâèâàëåíòíîñòü èëè «À ðàâíî Á». (Ãîëëàíäèÿ ðàâíî Íèäåðëàíäû.) 2. Îòðèöàíèå «À íå Á». (Ñîáàêè íå êîøêè.) 3. Èìïëèêàöèÿ êîíñòðóêöèÿ âèäà «Åñëè À, òî Á». (Åñëè â íåáå âèäíû çâåçäû, òî íàñòàëà íî÷ü.) 4. Êîíúþíêöèÿ  «ëîãè÷åñêîå óìíîæåíèå», èëè ëîãè÷åñêîå È. Âûðàæåíèå À è Á èñòèííî, åñëè îäíîâðåìåííî èñòèííû À è Á. (Ó êîøåê åñòü õâîñò è ó ñîáàê åñòü õâîñò.) 5. Äèçúþíêöèÿ V «ëîãè÷åñêîå ñëîæåíèå», èëè ëîãè÷åñêîå ÈËÈ. Âûðàæåíèå èñòèííî åñëè èñòèííà õîòÿ áû îäíà ÷àñòü. (ß ñúåì èëè êàøó, èëè òîðò, èëè è òî è äðóãîå.)

219

       

     Z

       

 ëîãèêå âûñêàçûâàíèÿ çàìåíÿþòñÿ ïåðåìåííûìè è ïðåâðàùàþòñÿ â ôîðìóëû. Îáîçíà÷èì âñå øàõìàòíûå ôèãóðû X; áåëûå ôèãóðû A; ÷åðíûå ôèãóðû B; íåèçâåñòíàÿ ôèãóðà N. Ïîëó÷àåì, À ¬  (Áåëûå ôèãóðû íå ÷åðíûå.) X A v B (Øàõìàòíûå ôèãóðû èëè áåëûå, èëè ÷åðíûå.) (N ¬ Â) (N À) (Åñëè ôèãóðà íå ÷åðíàÿ, òî îíà áåëàÿ.) Ôîðìóëû ÷èòàþòñÿ òàê æå, êàê è â àðèôìåòèêå, ñëåâà íàïðàâî. Ñíà÷àëà îòðèöàíèå, ïîòîì óìíîæåíèå è ñëîæåíèå: (n  m) (n V m) (íå ëåòàþò ýìó è ïèíãâèíû — íå ëåòàþò ëèáî ýìó, ëèáî ïèíãâèíû, ëèáî è òå è äðóãèå); (n

m) (n m): (â íåáå çâåçäû — íàñòóïèëà íî÷ü, â íåáå íåò çâåçä — íî÷ü åùå íå íàñòóïèëà). Ñêîáêè ðàñêðûâàþòñÿ òàê æå: a  (n V m)

(a  n) V (a  m) (ñëàäêèé ëèáî ÷àé, ëèáî ïå÷åíüå — ëèáî ñëàäêèé ÷àé, ëèáî ñëàäêîå ïå÷åíüå); a V (n  m) (a V n)  (a V m) (ôëàã æåëòûé èëè êðàñíûé è ñèíèé — ôëàã æåëòûé èëè êðàñíûé è æåëòûé èëè ñèíèé); a a (ñäåëàíî — íå íå ñäåëàíî). H &  D& 0   &    '   '         &                  I0Y $

220

0   . 0               4          

     D   D $ R                   R    C   &    K        C                    C           C      5            

C       C        &K

!NN

'  C   

       

B  &&D K 

Îáû÷íî êîãäà ãîâîðÿò «ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà», èìåþò â âèäó ëîãèêó âûñêàçûâàíèé, èëè ïðîïîçèöèîíàëüíóþ ëîãèêó.  ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå ñîäåðæàòñÿ íåñêîëüêî óçêîñïåöèàëèçèðîâàííûõ ðàçäåëîâ, à ëîãèêó âûñêàçûâàíèÿ îáû÷íî âêëþ÷àþò â ãóìàíèòàðíûå ïðîãðàììû óíèâåðñèòåòîâ. Ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ëîãèêà èçó÷àåò ïðîñòûå è ñëîæíûå âûñêàçûâàíèÿ èõ îòíîøåíèÿ è âçàèìîñâÿçü.  âûñêàçûâàíèè âûäåëÿþò ñëåäóþùèå ýëåìåíòû. 1. Ñóáúåêò — òî, î ÷åì ãîâîðèòñÿ. Íàïðèìåð, óòêè. 2. Ïðåäèêàò — òî, ÷òî óòâåðæäàåòñÿ î ñóáúåêòå. Óòêè ëåòàþò. 3. Ëîãè÷åñêàÿ ñâÿçêà — ýòî òî, ÷òî ñîåäèíÿåò ñóáúåêò ñ îñòàëüíîé ÷àñòüþ âûñêàçûâàíèÿ, ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ, îáúåäèíåíèå èëè îòíîøåíèå «áîëüøå-ìåíüøå» ìåæäó äâóìÿ ñóáúåêòàìè. 222

Ìû ñòàëêèâàåìñÿ ñ ëîãèêîé âûñêàçûâàíèÿ êàæäûé ðàç, êîãäà ñàäèìñÿ çà êîìïüþòåð èëè áåðåì â ðóêè ñìàðòôîí. Äåëî â òîì, ÷òî âñå ÿçûêè ïðîãðàììèðîâàíèÿ ïîñòðîåíû íà äâîè÷íîé ñèñòåìå, ãäå çíà÷åíèÿì 1 è 0 ñîîòâåòñòâóþò îïðåäåëåííûå äèàïàçîíû íàïðÿæåíèÿ. Ýòè çíà÷åíèÿ — ëîãè÷åñêèå íîëü è åäèíèöà — îïðåäåëÿþò ñîäåðæèìîå â áèòå èíôîðìàöèè (1 èëè 0). Ìû îïåðèðóåì äâóìÿ òèïàìè âûñêàçûâàíèé — èñòèííûì (1) è ëîæíûì (0). ×òîáû èç ïðîñòûõ íóëåé è åäèíèö ïîëó÷èòü Adobe Photoshop èëè Half-Life, íóæíû îãðîìíûå êîëè÷åñòâà ïðåîáðàçîâàíèé è îïåðàòîðîâ óæå ÿçûêà ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Íî âñÿ ñîâðåìåííàÿ ýëåêòðîíèêà ðàáîòàåò èìåííî ïî ïðèíöèïàì ïðîïîçèöèîíàëüíîé ëîãèêè. H              C       &    D 5      R    R \                C       C          C  &    D            I  Q      Q   

223

       

4. Êâàíòîð — ÷àñòü âûñêàçûâàíèÿ, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò, äëÿ êàêîé ÷àñòè îáúåêòîâ ýòî ñóæäåíèå âåðíî. Íåêîòîðûå ëåáåäè áåëûå, íî âñå ëåáåäè ïòèöû, òàê? Âîò «íåêîòîðûå» è «âñå» è åñòü êâàíòîðû.

Íàó÷íî-ïîïóëÿðíîå èçäàíèå 99 ÑÅÊÐÅÒΠÍÀÓÊÈ

Þëèÿ Êèòà 99 ÑÅÊÐÅÒΠÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ Äèðåêòîð ðåäàêöèè Å. Êàïü¸â Âûïóñêàþùèé ðåäàêòîð Å. Ìèíèíà Îòâåòñòâåííûé ðåäàêòîð Þ. Ëàâðîâà Õóäîæåñòâåííûé ðåäàêòîð Â. Äàâëåòáàåâà  îôîðìëåíèè îáëîæêè èñïîëüçîâàíû èëëþñòðàöèè: Dmitriy Rybin, agsandrew / Shutterstock.com Èñïîëüçóåòñÿ ïî ëèöåíçèè îò Shutterstock.com ООО «Издательство «Э» 123308, Москва, ул. Зорге, д. 1. Тел.: 8 (495) 411-68-86. ндіруші: «Э» АБ Баспасы, 123308, Мскеу, Ресей, Зорге к#шесі, 1 $й. Тел.: 8 (495) 411-68-86. Тауар белгісі: «Э» аза&стан Республикасында дистрибьютор жне #нім бойынша арыз-талаптарды &абылдаушыны7 #кілі «РДЦ-Алматы» ЖШС, Алматы &., Домбровский к#ш., 3«а», литер Б, офис 1. Тел.: 8 (727) 251-59-89/90/91/92, факс: 8 (727) 251 58 12 вн. 107. німні7 жарамдылы& мерзімі шектелмеген. Сертификация туралы а&парат сайтта ндіруші «Э» Сведения о подтверждении соответствия издания согласно законодательству РФ о техническом регулировании можно получить на сайте Издательства «Э» ндірген мемлекет: Ресей Сертификация &арастырылмаHан

Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 16.10.2017. Ôîðìàò 76x1001/32. Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Óñë. ïå÷. ë. 9,85. Òèðàæ ýêç. Çàêàç