Diccionario de matemáticas 9788489784567

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Diccionario

de

MatemOticas

EDITORIAL COMPLUTENSE

OxiOfd is a trade marl ol Oxford Un,.vetstty Press (Oxford as uno marco regtstroda de Oxford Untver:

C Chistopher Clapham C 1QQB Oxford University Press C 1QQB Edttorial Complutense. S. A fv\adud

C de Ia troducci6n: Juan M. 0 L de S6 N.adanoga Primero edtci6n espanola Sephembfe de I QQB Primeta reimpresi6n espanola. Febrtwo de 2002 Segundo reimpresi6n espanola. Enero de 2004

•This translahon of Oicttonary of Earth Sciences published in English'" 1QQ6 is publ•shed by arraJl! with Oxford University Press•. •Esto traducci6n del Oiccionario de Cienoas de Ia originalmente en ingles en 1996. se ed•ta al omrx del controlo establec ido con Oxtord Um~ersitv Pres

•

Sumar•o Prefacio ................................................. . Diccionario Apendices

1. Tabla de areas y volumenes ................ .. 2. Tabla de 3. Tabla de 4. Tabla de 5. Tabla de 6. Tabla de

derivadas ............................. . integrales .............................. . desarrollos en serie de potencies formulas trigonometricas .......... . simbolos

Este diccionario pretende servir como guia de referencia. ofreciendo detiniciones fiables y explicaciones claras y precisas de los tenninos matematicos mas corrientes. Su nivel se adecua a los programas de ensei\anza de los cursos de bachillerato y primeros cursos de facultades de ciencias y escuelas tecnicas. Los estudiantes de esos niveles podnin buscar en el cualquier termino que encuentren en sus estudios y profundizar en su conocimiento mediante las reterencias a otros terminos recogidos en el diccionario. Cubre los conceptos y terminologia de todos los temas recogidos en esos programas . ya se trate de matematica pura o aplicada . ode probabilidad y estadistica (a ese nivel elemental). Tam bien se incluyen sucintas biografias de los mas notables matematicos hasta Ia primera mitad de este siglo . y algunos otros temas de interes general.. si bien no se recogen mas que unos pocos terminos correspondientes a las ciencias de Ia computacion o informatica. Los apendices ofrecen tablas utiles para una consulta nipida. Algunas entradas proporcionan una definicion directa en pocas palabras. mientras que otras desarrollan Ia definicion u ofrecen una explicacion del contexto habitual en que aparece el tennino en cuestion. En tal caso . ese termino se reproduce en negrita al inicio de su definicion. Pueden tam bien aparecer otros tenninos en negrita si ese es el Iugar mas adecuado para definirlos o explicarlos. Se utiliza Ia letra cur.'iiva para tenninos que poseen su propia entrada . facilitando asi las referencias cruzadas. El texto se ha beneficiado de los comentarios de varios colegas que han leido diferentes partes de el. Aunque no tiguren sus nombres . quiero reconocer aqui su ayuda y expresarles mi agradecimiento.

Christopher Clapham

A abaco Tablero sobre el que se realizaban las operaciones aritmeticas en Grecia y Roma. cuyo uso se prolongo en Europa occidental hasta el siglo XVIII, y en Extremo Oriente hasta nuestros dias. El abaco occidental estaba dividido en franjas, correspondientes a los distintos ordenes decimates, y las cuentas se realizaban desplazando sobre elias las fichas (guijarros, huesecillos, etc.).

Abel, Niels Henrlk ( 1802-1829) Matematico noruego que a Ia edad de diecinueve ai\os demostro que una ecuacion generica de quinto grado no puede resolverse algebraicamente (algo que ya habia intentado infructuosamente Ruffini en 1796). Con otras palabras, no existe una formula para las raices de tal ecuaci6n semejante a Ia conocida formula que proporciona las de una ecuacion cuadratica. Tambien realiz6 avances imponantes en Ia teoria de las funciones algebraicas. Muri6 en Ia pobreza con veintiseis ai\os, pocos dias antes de que llegara a su direccion una cana anunciando que se le habia concedido un puesto como profesor en Berlin.

abellano (grupo) Supongamos que G es un gruJJO con Ia operaci6n

o.

Se dice que G es abeliano si esa operacion es conmutativa, es decir, si para elementos cualesquiera a y h de G se cumple que a o h = h o a.

absclsa La coordenada x en un sistema canesiano de coordenadas en el plano. que corresponde habitualmente al eje horizontal. Tambien se utiliza ese termino para referirse a Ia unica ··coordenada" de un punto de una recta en Ia que se ha fijado un sistema de referencia, esto es, un sentido como positivo. un punto 0 como origen y una unidad de longitud. Para cualquier punto P de Ia semirrecta positiva, si I OP I = x. se dice que x es Ia abscisa de P con respecto a esa referencia; si P esta en Ia semirrecta negativa y I OP I =x, Ia abscisa de Pes -x. p ()

X

absoluto (error) Ver error. absoluto (valor) Ver valor absoluto. absorbente (estado) Ver paseo aleatorio. absorclon (leyes de) Para dos conjuntos cualesquiera A y B (subconjuntos de algun conjunto universal), se cumple que J4 n (A u B) = A y A u (A n B) = A. accl6n Funcional que viene dado por Ia integral definida de una funci6n, cuyos valores estacionarios determinan el movimiento real de un sistema bros.me

aceleraci6n

mecanico. Hamilton definia Ia accion porIa integral de Ia energia total del sistema, T + l/, m ientras qu e Lagrange pre feria definirla como integral del doble de Ia energia cinetica, 2T. Ver energiu cinetica, energia potencial y calculo de variaciones.

aceleracl6n Supongamos que una particula se mueve a lo largo de una linea recta, en Ia que hemos sei\alado un punto 0 como origen y fijado un sentido como positivo. Sea x el despla=amiento de Ia particula en el instante t. La aceleracion de Ia particula es entonces d :.xldt :. , es decir, Ia variacion de velocidad por unidad de tiempo. Si Ia velocidad es positiva, moviendose Ia particula en el sentido positivo, Ia aceleracion es positiva cuando su velocidad crece, y negativa cuando esta ultima decrece. Por el contrario, si Ia velocidad es negativa y Ia particula se mueve en sentido negativo, Ia aceleracion es positiva cuando Ia particula se mueve mas despacio. y negativa cuando se mueve mas deprisa. En el parrafo precedente se ha seguido un convenio habitual, suprimiendo el vector unitario i en sentido positivo sobre Ia recta. La aceleracion es en realidad una rnagnitud vectorial, que deberiamos escribir en ese caso unidimensional como d :..\·ldt:. i. Para un movirniento en el plano o en el espacio tridimensional hay que utilizar los vectorcs explicitamente: Ia aceleracion a de una particula es el vector que expresa Ia variacion de velocidad v por unidad de tiempo. es decir, a= d vldt. Si res el vector de po.\·ic:itjn de Ia particula. a= d:.rldt :. Cuando se utilizan coordenadas cartesianas. r =xi+ .'i + =k. y d:rldt: = d :..\·ldt: i + d :.yldt :. j + d :.=ldt :.k. Las dimensiones de Ia aceleracion son LT :. y su unidad en el Sistema lnternacional es el metro por segundo al cuadrado. cuya abreviatura es ., ·m s - .

.

aceleracl6n angular Supongamos que Ia particula P se mueve a lo largo de una circunferencia. con centro en el origen de coordenadas 0. y radio p0 ; si las coordenadas polares de P son (p0 ,9). entonces podemos detinir a un nivel elemental Ia aceleracion angular como d:9 ldt :_ A un nivel mas avanzado, Ia aceleracion angular Cl de Ia particula Pes el vector detinido por Cl =elm !dt, donde e es Ia velocidad angular. Sean i y j vectores unitarios en las direcciones de los ejes de abcisas y ordenadas . respectivamente, con sentido positivo, y sea k = i x j. En el caso anterior de una particula que se mueve recorriendo una circunferencia. se tiene CD= d9 ldt k, y Cl = d :ro hit: k. Si r. v y a son el vector de posicion. Ia velocidad y Ia aceleracion de Ia particula. entonces r =Po e1). v =drldt =p0 d91tlt e 8 ., a =d: rldt: = -p0 (d9 ldt):eP + p0 cf 9/c/r e8 .,

ad junto

donde e" = i cos 8+ j sen By e 8 =-i sen 8+ j cos 8(ver movimiento circular). Utilizando el hecho de que v = e x r, se deduce que a = Cl X· r +

+•X (ex

r).

aceptacl6n (regi6n de) Ver hip6tesis (contraste o test de). acotada (funci6n) Una funcion real.f es acotada en un dominio D si existe algun numero M tal que para todo x de D se cumple 1/(x) I< M. Si f es continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b), entonces es una fun.cion acotada en ese intervalo; una prueba rigurosa de tal resultado esta lejos de ser elemental (ver.funcion continua).

acotada (sucesi6n) Una sucesion de numeros reales a 1, a1, •••• an •... es acotada si existe algun numero M tal que para todo n se cumple

I On I< A/. acotado (conjunto) Ver cota.'t in_feriores y superiores. adlcl6n Ver sumo (de complejos, de matrices, mOdulo n, de segmentos orientados, de vectores ).

adltlvo (grupo) En un grupo aheliano, es decir, conmutativo, Ia operacion se denota frecuentemente con el signo +. y se le llama soma o adicioa. En tal supuesto suele hablarse de un grupo aditivo. adjunta La adjuata de una matriz cuadrada A, denotada por adj A, es Ia traspuesta de Ia matriz de los adjuntos (o cofactores) de A. Para A = [a,,]. si A,, es el adjunto del tennino a,1, Ia matriz de los adjuntos es [A,,]. y adj A= [A,,) 1. Por ejemplo, una matriz A de orden 3x3 y su adjunta pueden escribirse en Ia fonna

En el caso 2x2, Ia correspondencia entre una matriz y su adjunta viene dada por: adj A= d . [ -c a

A=[: !].

-h]

La importancia de Ia adjunta proviene sobre todo del hecho de que A adj A= (det A) I, de fonna que si det A~ 0, Ia matriz inversa de A es A- 1 = (I/ det A) adj A.

adjunto (o cofactor) de un tennino de una matriz cuadrada. Sea A Ia matriz cuadrada [a;1]. El adjunto A;; del tennino a;1 es igual a (-1 )i+i por el determinante de Ia matriz que resulta al eliminar .en A Ia fila i-esima y Ia columnaj-esima (ver menor complementario). Si A es una matriz 3x3, el

bros.me

4

admlsible

factor (-I )'+1 asocia a cada Iugar de Ia matriz un signo + 6- tal como se ve en Ia figura: all

a~~

A= a.!l

a11

[

0 11

°11

Por ejemplo, AI;!=

1 a.,l

a1J

a,l

a_u

•

Para una matriz 2 x 2, el modelo es

(: ;) (: :} Asi pues, el adjunto de a es d, el adjunto de b es -c. etc. Para una matriz generica n x n, se cumplen las siguientes propiedades: (i) La expresion a, 1A11 + a,1a, 1 + ... + a,,Am tiene el mismo valor para cualquier i, y se puede tomar como definicion del determinante de A, det A. Se dice que esa expresion constituye Ia evaluacion de det A a partir de Ia fila i-esima. (ii) Por otra parte, si i ~.i. a 11 A11 + a, 1A, 1 + ... + a,,A,, =0. Para las columnas tenemos resultados analogos a los recogidos en (i) e (ii) para las ti las.

admlslble (regi6n) Ver programac:ion lineal. adyacencla (matriz de) Para un grafo simple G. con los n vertices v1, v1, ••• , v,, Ia matriz de adyacencia es Ia matriz A de orden n x n A= [a,,]. donde a;;= I si v; esta unido directamente a v,. y a,,= 0 en caso contrario. Es evidentemente simetric~ y los tenninos de Ia diagonal son cero (puesto que en un grafo simple no hay lazos). El numero de unos de cada fila o columna es el grado del correspondiente vertice. En Ia figura se muestran un ejemplo de grafo simple y su matriz de adyacencia.

0

0

afelio Ver apsides. agudo (angulo) Es todo angulo menor que un recto. Un triangulo acutangulo es aquel cuyos tres angulos son agudos.

ww,

algebra de conjuntos

alargamlento Es Ia diferencia x - I entre Ia longitud de un alambre o muelle sometido a una fuerza y su longitud natural. El alargamiento de un muelle es negativo cuando se comprime.

alea nee (en Mecanica) El ale a nee de un proyecti I sobre un plano horizontal o inclinado que contiene al punto de partida es Ia distancia desde ese punto al de llegada o impacto.

aleatorla (muestra y variable) Ver muestra y variahle aleatoria. aleatorlos (numeros) Las tablas de numeros aleatorios ofrecen listas fonnadas con las cifras 0, I. 2. 3, 4. 5. 6, 7, 8. 9 en las que cada uno de esos digitos tiene Ia misma probabilidad de aparecer (son equiprobables), sin que haya fonna de predecir el siguiente. Se utilizan para seleccionar muestras aleatorias de una poblacion. Actualmente se emplean con mayor frecuencia numeros generados por un algoritmo detenninista que se adapta razonablemente bien a Ia exigencia de equiprobabilidad. numeros a los que se da el nombre de pseudoaleatorios.

Algebra

Rama de las matematicas que se ocupa de las operaciones aritmeticas. como Ia adicion y multiplicacion y sus inversas sustraccion y division. asi como de las ecuaciones en que las incognitas solo se ven afectadas por ese tipo de operaciones. En el desarrollo de los conceptos y shnbolos algebraicos intluyeron decisivamente las obras de Dic~fi.Jnto de Alejantlria (s. I\') y de .4/-Juu·ari=,,; (s. IX). que ya conocia los procedimientos genericos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado. A finales del siglo xv. los algebristas italianos introdujeron los signos + y -. y mas tarde los exponentes. raices y parentesis. F. Vieta fue el primero, hacia finales del XVI, en representar las incognitas y las constantes mediante letras. En los siglos X\'111 y XIX se desarrollo el calculo con polinomios y los primeros rudimentos del calculo vectorial y matricial.

61gebra abstract& Es Ia rama de las matematicas de las estructuras algebraicas. como son Ia de grupo. aniI/o o cuerpo. en las que los elementos de un conjunto quedan relacionados por operaciones que satisfacen ciertos axiomas. Su objetivo consiste en deducir del conjunto de axiomas resultados generales que puedan aplicarse a cualquier ejemplo particular de Ia estructura algebraica en cuestion. La teoria de algunas estructuras algebraicas esta muy desarrollada; en particular. Ia teoria de los espacios vectoriales es tan extensa que su estudio. conocido como algebra lineal, ya no se considera como parte del algebra abstracta.

ilgebra de conjuntos El conjunto de todas las partes de un conjunto universal E es cerrado para las operaciones binarias u (union) y n (interseccion) y Ia operacion monaria ' (complementacion); esas operaciones satisfacen ademas las siguientes propiedades, para cualesquiera subconjuntos A, B y C de £:

bros.me

algebra lineal (i)

6

Au (8 u f') =(Au 8) u C y A t1 (8 t1 ()=(An 8) n C (pro-

piedades asociativas).

n 8 = B t1 A (propiedades conmutati\'as).

( ii) (iii) ( iv)

Au 8 =8 u A y

(v)

AuA=A y AnA=A.

(vi)

A u (8 t1 C) =(A u 8) f.l (A u C) y A t1 (8 u C) =(A t1 8) u (A n () ( propiedades distributivas).

(vii)

A t1 A' =0

Au 0

=A

A

y A t1 0

=0

. donde 0 es el subconjunto \'acio de E.

AuE=E v AnE=A. "'

y A

u A' = E.

(viii) E' = 0 y 0' =E. ( ix) (A')'=A. (X)

(A

u B)' = A' t1 B' y (A

t1

8)' = A' u B' (I eyes de De Morgan).

La satisfaccion de esas Ieyes otorga al conjunto .1, (£)de las partes de £. con esas opcraciones. Ia estructura de algebra de conjuntos; pese a ciertas semejanzas con el algebra de los numeros. hay tambien importantes y notorias diferencias. Ver Boo/e. En Teoria de Ia Probabilidad son tambien de gran importancia las cr-algebras de conjuntos o sucesos: siendo E el espacio de sucesos o e.vpacio mue.vtral asociado a detenninado experianento o inspcccion. un subconjunto ..., de .1'(£) es una a-algebra si tiene las siguientes propiedades: ( i) 0 y E pertenecen a ...,. (ii) Paracada Ae .../.tambien £\A=A'e .../. (iii) Para cada familia numerable (A,) de elementos de.·'/. su union esta en .../. es decir. e .·-/.

UA,

La funcion o medida de probabilidad puede no estar detinida en todo .f (E). sino solamente en una sub-a-algebra.

ilgebra lineal Es Ia rama de las matematicas que se ocupa de los e.vpacio... vectoriales y las aplicaciones lineales entre ellos. asi como de las nu1trices asociadas a esas aplicaciones lineales. Se distingue como caso especial de esa teoria el de las aplicaciones multilineales. como son distintos tipos de producto bilineal (escalar. vectorial. etc.) y los determinantes. asi como el estudio de las formas cuadraticas ( ver conica y cutidrica).

Algebra (Teorema Fundamental del) Ver Teorema Fundamental del iilgehra.

algebraic& (estructura) Tennino utilizado para describir un concepto abstracto definido como un conjunto con ciertas operaciones que satisfacen determinados axiomas. Los grupos, anil/o.v. cuerpos y espacios vectoriales son ejemplos de tales estructuras. El prop6sito de tal definicion con-

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altern as

siste en aprovechar las semejanzas entre entes matematicos que aparecen en diferentes contextos. resumiendolas en un conjunto de axiomas.

algebralco (numero) Todo numero real que sea raiz de una ecuacion polinomica con coeficientes enteros. Los numeros racionales son algebraicos. ya que a~b es raiz de Ia ecuacion bx - a = 0. Hay numeros irracionales algebraicos. por ejemplo. J2 . que es raiz de Ia ecuacion .r - 2 = 0. Los numeros irracionales que no son algebraicos (como 7t) se IIaman trascendentes. algorltmo (en castellano medieval, algorismo) Es todo procedimiento rutinario. descrito con precision. que puede a pi icarse sistematicamente a unos datos iniciales hasta obtener un resultado o llegar a una conclusion. Para un ejemplo. ver Euclide.'fi (algoritmo de). AI-Juwarlzml, Abu Ya'far Muhammad Ibn Musa Nacido en el 783 en Jiva. en el Jarezm. y tnuerto en Bagdad hacia el 850. Vivio en Ia corte del califa abasi AI Ma'mun. y fue uno de los miembros mas importantes de un grupo de matematicos y astronomos que trabajaron en Ia ""Casa de Ia Sabiduria'' (Bayt a/ Hikn1a) de Bagdad. Se hizo muy famoso por dos obras que divulgaron las cifras y los metodos de calculo de origen indio. tanto en el mundo musulman como en el cristiano. La primera de esas obras. Kitah al-m1~jta...ur n1in ltisah al-yuhr ua '/ n1uqahalu (""Transposicion y Reducci6n"). estaba dedicada a los procedimientos fundamentales de Ia ciencia algebraica. y contenia metodos de resolucion de ecuaciones cuadraticas del tipo ··c:otnpletar el cuadrado''. Ha llegado hasta nosotros tanto en su version arabe como en una traduccion latina elaborada por Gerardo de Cremona bajo el titulo Liher Maun1eti .filii Moysi Alc:hoaris111i de algebra et alnutcltahala. extraordinariamente celebre en su tiempo. hasta el punto de que a el sc debe el nombre mismo de esa rama fundamental de las maten1aticas que se llama algebra. La otra obra de AI Ju"·arizmi llevaba en arabe el titulo de Kitah a/ yami ua '/ ta.friq hi hisah a/ hind (""Libro de Ia adicion y Ia sustracci 0). roy a son constantes. Tal ecuacion proporciona. por ejemplo. Ia posicion x en el instante 1 de una particula que se mueve sobre una linea recta. oscilando en tomo al origen 0. La constante A es Ia amplitud. y representa Ia maxima elongaci6n. o distancia al origen. que alcanza Ia particula en cada sentido. El mismo tennino puede utilizarse en el caso de o!;ci/aciones umortiguadas para referirse al coeticiente correspondiente. aunque en ese caso no sea constante. Por ejemplo. si Ia ecuacion del movimiento es x = 5e -~' sen 3t. se dice que las oscilaciones tienen como amplitud 5e-~'. que tiende a 0 cuando 1 tiende a intinito. An611sls Es Ia rama de las matematicas que se ocupa de los temas o cuestiones en los que estan implicados procesos de paso al limite. como el calculo diferencial y el calculo integral; ademas de estos. hay otros temas. como Ia sumacion de series intinitas. que tambien implican procesos ··intinitos" del mismo tipo. El Teorema del Binomio. por ejemplo, abandona el terreno del algebra para entrar en el del anal isis cuando el exponente noes un entero positivo. y el estudio de las funciones seno y coseno. que nace como trigonometria. se convierte en analisis en cuanto se plantean los desarrollos de esas funciones en series de potencias. El tennino ··anal isis" tambien se utiliza para indicar un enfoque bastante mas riguroso en los temas de calculo, y Ia fundamentacion del sistema de los numeros reales. an611sls de varlanza Es un procedimiento generico, elaborado principalmente por Sir R. A. Fisher, para detenninar Ia probabilidad de que al variar diferentes factores de un experimento se obtengan distintos resultados. descomponiendo asi el campo de variabilidad de un conjunto de datos en sectores atribuibles a causas especificas o a variaciones aleatorias. Los

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llngulo

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resultados se presentan habitual mente como tab las AN OVA (en caste llano ANDEVA; el nombre recoge las iniciales de Ia expresion inglesa "analysis of variance""), que proporcionan un resumen conciso de esos datos, a partir del cual se puede estimar Ia influencia de las variables explicativas y contrastar distintas hip6tesis (ver contraste.'i F y contrastes t).

analysis situs Nombre con que se conocia a finales del siglo XIX y principios del xx Ia rama de Ia matematica actualmente llamada topologia (de toJt~/lugar', "sitio'). Ver Brouwer y Poincare. angular (aceleraci6n) Ver aceleracion angular. angular (frecuencia) Ver.frecuencia angular. angular (medida) Hay dos formas principales de medir los angulos, utilizando grado.'i sexagesimales (un recto = 9()0, un giro completo = 360°) o radiane.'i (un recto= Jt/2, un giro completo = 27t). angular (momenta) Ver momento anKUiar. angular (rapidez) Es el mOdulo de Ia velocidad angular. angular (velocidad) Ver velocidad angular. 6ngulo (entre rectas en el espacio) Dadas dos rectas en el espacio, sean u 1 y u~ vectores directores de esas rectas. El angulo entre ambas, aunque no se corten, es por definicion el que forman esos vectores directores u 1 y u~ (ver angulo (entre vectores)). Normalmente se eligen los vectores a 1 y u~ de fonna que el angulo entre ellos 9 satisfaga 0 S 9 S tc/2 (midiendo 9 en radianes), o bien 0 S 9 S 900 (si se mide 9 en grados). Si 11 , m1 , n 1 y 1~. m~, n~ son coeficientes directores de am bas rectas (componentes de sus vectores directores), el angulo 9 entre elias sat is face Ia relacion cos 9 =

II, I~ + m, m~ + nl n! I . l., , "J" , , ~It + mj + n,· I~ + m2 + n2

6ngulo (entre rectas en el plano) En un plano con un sistema de referencia cartesiano, el angulo a entre dos rectas con pendientes m 1 y m2 es el que viene dado por Ia relacion tg a=

m1 -m, .. l+m1 m2

•

formula que se obtiene de Ia que proporciona tg (A - B). Hay casos especiales que requieren una interpretacion adecuada: cuando m1m2 = -1, ambas rectas son perpendiculares entre si; cuando m1 (resp. m2 ) es infinita (recta paralela al eje de ordenadas), Ia formula se reduce a tg a= ll/m 21 (resp. tg a= II /m1 1).

bros.me

6ngulo

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6ngulo (entre pianos) Dados dos pianos en el espacio tridimensional. un metodo para obtener el angulo entre ellos consiste en hallar el que forman vectores nonnales n 1 y n:! a esos dos pianos ( ver angulo (entre vectores)).

angulo (entre vectores) Dados dos vectores a y b. sean OA y OB segmentos dirigidos que los representen. El angulo 9 entre ambos vectores a y b es por definicion LAOB. Se suele elegir el orden entre los puntos A y B de manera que 9 satisfaga 0 S 9 S 1t (si se mide en radianes). o 0 S 9S 180° (si se mide en grados). La formula que proporciona ese angulo es cos 9 =a · b/ I a I I b I . angulo de frlcclon Ver.lriccicjn (angulo de). angulo de lncllnaclon Ver plano inclinaclo. angulo de proyeccl6n Es cl angulo que hace con Ia horizontal (o con Ia linea o superficie sobre Ia que se proyecta) Ia direccion en que se proyecta una particula o un punto. En Mecanica se entiende nonnalmente que es el angulo de Ia velocidad inicial con Ia horizontal.

angulo s611do Es el analogo tridirnensional del concepto bidimensional de angulo. Del mismo rnodo que un angulo esta limitado por dos scmirrectas con el mismo origen. un angulo solido esta limitado por las generatrices de un cono. Los angulos solidos se miden en estereorradianes. lo que coincide con el area de Ia interseccion del angulo solido con una superficie esferica de radio unidad con centro en el vertice de este. Asi pues. un angulo solido •completo' mide 4n estereorradianes. como un giro completo mide 2n radianes. El estereorradian es Ia unidad del Sistema lntemacional para medir angulos solidos. y su abreviatura es 'sr·.

t-

...

/~· y

I

! I

7.r

anldado (producto) El valor de un polinomio como_l(x) = .,\",+ 5x + II para x = h se puede evaluar calculando h~ y h~. multiplicando por los respectivos coeficientes y sumando los resultados obtenidos, pero se precisan menos operaciones si el polinomio se reescribe en Ia forma ((2x- 7)x + 5)x + 11 y se sustituye ahora Ia indetenninada x por h. Este metodo, conocido como multiplicacion anidada. o producto anidado, es

II

anlllo

por tanto mas eficiente. y debe utilizarse tanto en los calculos a mano como con calculadora. Un polinomio como ayX"5+a4x 4+ a 3r 1+ a:r+ a 1x+ a 0 deberia reescribirse en Ia fonna ((((a~\"+ a4 ~\" + a 3 )x + a 1 )x + a 1)x + a 0 • Las etapas que se recorren entonces para evaluar.f(h) se corresponden exactamente con las que se llevan a cabo en el algoritmo o regia de Ruffini para dividir por x- h. obteniendo como resto.f(h).

anlllo En diferentes campos de Ia matematica aparecen conjuntos con dos operaciones. llamadas habitualmente suma y producto, que gozan de propiedades semejantes; una vez caracterizadas, esas propiedades pueden servir para definir una estructura subyacente a distintas situaciones. Asi sucede con Ia estructura de ani llo, constituida por un conjunto de tales propiedades basicas, que se dan en todos ellos. La definicion es Ia que sigue: Un anillo es un conjunto A, cerrado para dos operaciones binarias, llamadas suma y producto, y denotadas de Ia fonna habitual para esos operaciones con numeros, con las siguientes propiedades: 1. Para cualesquiera elementos a, h y c de A, a+ (h +c)= (a+ h)+ c. 2. Para cualesquiera elementos a y h de A, h +a= a+ h. 3. En A hay un elemento 0, tal que para cualquier elemento a de A. a+ 0 =a. 4. Para cada elemento a de A hay otro elemento -a tal que a+ (-a)= 0. 5. Para cualesquiera elementos a, h y c de A, a (h c)= (a h) c. 6. Para cualesquiera elementos a, h y c de A. a (h + c) = a h + a c y (a+ h) c =a c + h c. El anillo puede denotarse (A. +, x) o (A, +, x) cuando es preciso especificar las operaciones, pero normalmente se da solo el nombre del conjunto, en nuestro caso A, sobreentendiendose cuales son las operaciones en cueslion. El elemento 0 del apartado 3 es neutro para Ia suma; es facil probar que solo puede haber un elemento con esa propiedad, y que para cada elemento a de A debe sera x 0 = 0 x a= 0. AI igual que con numeros, se le suele llamar 'el cero' del anillo. Del mismo modo, para cada elemento a de A el elemento -a es unico. y se le llama el opuesto de a. Se dice que el anillo A es conmutativo si se cumple ademas Ia propiedad 7. Para cualesquiera elementos a y b de A, b x a= ax b, y que es un anillo con unidad (o unitario) si 8. Existe un elemento l(;t 0) de A tal que para cualquier a de A, ax I= I x a= a. Anadiendo otras propiedades se obtienen las estructuras de dominio de integridad y de cuerpo. Ejemplos notables de anillos, aparte del de los numeros enteros Z y el de las clases de restos mOdulo n, Zn, son los anillos de matrices cuadradas Mnxn (con unidad, pero no conmutativos, a bros.me

1:!

anlllo principal

menos que n = I) o el anillo de polinomios en una ( conmutativo y con unidad).

indetennina~

R [x]

anlllo principal Es un dominio de integridad (anillo conmutativo con unidad, sin divisores de cero) en el que todos los ideales son principales. es decir, mon6genos. Ejemplos de tales anillos son el de los enteros Z o el de polinomios en una indetenninada, R [x]. El anillo de polinomios en dos indetenninadas, R [x, y], noes principal. ya que el ideal (x. y). por ejemplo, no es monogeno.

·

ANDEVA o ANOVA Ver ana/isis de varian=a.

antlderlvada Ver primitiva. antllogarltmo El antilogaritmo de x, antilog x, es el numero cuyo logaritmo es x. Supongamos, por ejemplo, que se utilizan tablas de logaritmos vulgares para calcular el producto 2.75 x 3.12. Si en Ia tabla encontramos log 2. 75 =0.4393 y log 3.12 =0.4942, dado que 0.4393 + 0.4942 =0.9335, necesitamos el antilogaritmo de 0.9335, y buscando en las tablas encontramos el resultado 8.58. En Ia actualidad, las tablas de logaritmos se han visto sustituidas por calculadoras, y el tennino .. antilogaritmo" se utiliza poco. Si y es el numero cuyo logaritmo es x. es decir. si log cl y = x. Ia definicion de logaritmo implica que y =a' ; asi pues, si se esta utilizando como base a, antilog cl x coincide con cl ; para los logaritmos vulgares. antilog 1oX = I Ox, y esta ultima notacion es preferible.

antipodas Extremos opuestos de cualquier diametro de una esfera o supertic ie es ferica.

antlprlsma Tennino utilizado en ocasiones para referirse a cualquier poliedro convexo con dos caras paralelas opuestas que son poligonos regulares, a las que se llama bases, siendo las demas caras triangulos isOsceles; cada vert ice de una base esta, pues, unido por aristas laterales iguales ados vertices de Ia otra base. Tambien se utiliza el mismo tennino para poliedros parecidos, aunque las bases no sean regulares y las caras laterales no sean is6sceles, llamando entonces a los primeros ·antiprismas rectos regulares'. Si las bases son poligonos regulares y las caras laterales son triangulos equi lateros, se dice que el antiprisma es un poliedro semirre-

gular. antlslmetrlca (matriz) Una matriz cuadrada A= [a;,] es antisimetrica si Ar = -A ( ver traspue~ttla de una matriz), es decir, si a1, = -a;, para cualesquiera i.j. Los terminos diagonales de una matriz antisimetrica son nulos: a;;= 0 para todo i. antlslmetrlca (relaci6n) Una relacion binaria- sobre un conjunto C es antisimetrica si para cualesquiera elementos a y b de C, si se cumple que a - b y b - a, entonces a = b. Por ejemplo. Ia relacion en el conjunto de

13

Apolonlo

los numeros enteros es antisimetrica (compcirese con Ia definicion de reiacion asimetrica ).

aplicaclon Una aplicacion .f(II am ada tam bien a veces funcion . aunque ese nombre suele reservarse para las apl icaciones cuyos val ores son numeros) deC a D. escrito nonnalmentef: C ~D. donde C y D son dos conjuntos no vacios. es una correspondencia o regia que asocia a cada elemento deC (el dominio o conjunto de partida de Ia aplicacion. Dom.f) un unico elemento de D (el conjunto de llegada o codominio). Para cada elemento x de C. el unico elemento de D asociado ax mediante .fse denota _((x) . y se denomina imagen de x por.t: El subconjunto de D fonnado por las imagenes de los elementos de C por .f~ ll' I tv e D) " (3 x e C tal que .f (x) =y) J. es Ia imagen o recorrido de .f. .f (C) o im .t: El subconjunto ((x._((x)) I x e CJ del producto cartesiano C x Des el grafo o grafica de.l (el ultimo tennino se suele reservar para las funciones reales de una o varias variables reales). Algunos autores prefieren definir una aplicacion .f: C ~ D directamente como subconjunto del producto cartesiano C x D al que penenece un unico elemento (x. y) para cada x e C. haciendo entonces y =.f(x).

apllcacl6n lineal Si E y F son dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo conmutativo K. se dice que una aplicacion 0) es una constante. En Ia figura . OA = a n.. OB = 2a n. y por tanto OB = 20A. p--a6

.4

0•

B

arqulmedlanos (s61idos o poliedros) Un poliedro convexo se llama semirregular si sus caras son todas elias poligonos regulares. aunque no todos congruentes (ni siquiera deben tener el mismo numero de lados). y los vertices son iguales . en el sentido que los diferentes tipos de caras se disponen en ellos con el mismo orden. Los prismas (respectivamente antiprismas) rectos regulares. cuyas caras laterales son cuadrados (respectivamente triangulos equilateros) caen dentro de esa clase de poliedros. Aparte de ellos. hay otros trece poliedros semirregulares. conocidos como solidos (o poliedros) arquimedianos. entre los que se encuentran el cubo truncado . el tetraedro trunc:ado. el ,·ubo,·taedro y el ic:o.ttadodecaedro. arrastre aerodlnimlco Un cuerpo que se mueve en el aire. como un avion que vuela en Ia atmosfera terrestre. experimenta una fuerza debida al tlujo del aire sobre Ia superticie del cuerpo. Esa fuerza es Ia suma del •rrastre aerodin,mico y el empuje bacia arriba. tangente y normal. respecti\'arnente. a Ia trayectoria de vuelo. Aryabhata (c. 476-550) Pionero de Ia astronomia india. sin duda uno de los sabios mas originates de Ia ciencia de aquel pais. Conocido desde el siglo VIII por los astronomos arabo-musulmanes . y mas tarde en Ia Europa medieval con el nombre latinizado de Arduharius. vivio en Ia ciudad de Kusumapura . cerca de Pataliputra (Ia actual Patna. en el estado de Bihara). Su obra. conocida con el titulo de .4ryabhat~\'a, fue escrita (en verso) hacia el ai\o 510. Se trata del primer texto conocido que presenta un cuadro general de Ia astronomia india. Ia mas avanzada de su tiempo, ofreciendo un resumen de los principales conocimientos matematicos indios de su epoca.. no solo en trigonometria.. sino tambien areas de figuras planas (triangulo . circulo. etc.). reg las para ex traer raices cuadradas y cubicas y para sumar progresiones aritmeticas. problemas de interes compuesto en tenninos de progresiones geometricas . identidades algebraicas, etc. Otra particularidad del .4ryabhat~va es que mientras que Ia trigonometria de Ptolomeo se basaba principalmente en una relacion entre cada cuerda de un circulo y el angulo (con vert ice en el centro) que Ia abarca, Ia que aparece en ese texto indio establece una relacion entre Ia semicuerda y el arco correspondiente . que no es otra que Ia .funcion seno, ofreciendo ademas una tabla de senos que toma como ""valor aproximado ,. de 7t el numero

aslgnaclon

_20

62832/20000 = 3, 1416 == Jt. Sei\alemos para tenninar que Aryabhata muy probablemente conocio el cero y las cifras de Ia numeracion decimal posicional; hay fundamento para esta suposicion tanto en el hecho de que su numeracion alfabetica precisa de un perfecto conocimiento del cero y del principio posicional con una base decimal, como en que el notable procedimiento de calculo de raices cuadradas y cubicas que aparece en su obra seria dificilmente imaginable si los numeros en cuestion nose expresaran por escrito segun ese principio y .con Ia ayuda de nueve cifras distintas y un decimo signo que haga el papel de cero.

aslgnacl6n (problema de) Consiste en emparejar los elementos de dos conjuntos de acuerdo con algun principio prefijado. Por ejemplo, para asignar n obreros a n puestos de trabajo, se puede estimar el valor v,, que Ia empresa extraeria del trabajador i en el puesto j, mostrando esos valores como los tenninos de una matriz cuadrada n x n. lntroduciendo las variables correspondientes, Ia maximizacion de Ia plusvalia obtenida por Ia empresa se puede tratar como un problema de programacion lineal.

aslmetria (de una distribuci6n de probabilidad) El coeficieate de asimetria de una distribucion de probabilidad se define como el cociente f.1, I (f.l~)l/ 2 • donde J.1 2 y f.l, son los momentos de segundo y tercer orden con respecto a Ia media, siendo por tanto 0 si Ia distribucion es simetrica (con respecto a Ia media). Si Ia distribucion tiene una larga cola hacia Ia izquierda, como en Ia primera figura, se dice que es asimetrica bacia Ia izquierda. y el coeficiente de asimetria resulta entonces negativo. Si por el contrario Ia cola se alarga hacia Ia derecha. como en Ia segunda figura. el coeticiente de asimetria resulta positivo. y se dice que Ia distribucion es asimetrica bacia Ia derecba. En general, una distribucion es asimetrica cuando el coeticiente de asimetria tiene un valor absoluto relativamente alto. 0-3

a

·. etrlca Una figura plana es asimetrica si no posee centro ni eje de

simetria.

asimetrica (relaci6n) Una relaci6n binaria - sobre un conjunto C es asimetrica si para cualesquiera elementos a y b de C. si se cumple que a - b, entonces b + a. Por ejemplo, Ia relacion < en el conjunto de los numeros enteros es asimetrica (comparese con Ia definicion de relacion antisimetrica ). asintota Una recta es asintota a una curva si Ia distancia de un punto generico P de Ia curva a Ia recta tiende a 0 al tender P a infinito a lo ~~-

aumentada

:!I

de alguna rama no acotada de Ia curva. Consideremos. por ejemplo . las curvas dadas por las ecuaciones .

( I)

l'

·

=

x+3

..

(x+2)(x-l)

" ( II)

l'

·

3x~

. ..

= ., " ( Ill ) x-+x+l

l'

~

x3

= ., . x-+x+l

El primer ejemplo tiene dos asintotas verticales . x = - 2 y x = I . y una asintota horizontal, y = 0. El segundo no tiene asintotas verticales, e y = 3 es su unica asintota horizontal. Para estudiar el tercer ejemplo, podemos reescribir su ecuacion en Ia fonna l'=

.

1 x-1+-,- x- + x + 1

observando asi que y = x- I es una asintota inc lin ada. ni vertical ni horizontal. asoclatlva Una opemcioo binaria o sobre un conjunto C es asociativa si para cualesquiera elementos a, h y c de C. se cumple que (a o h) o c =a o (hoc). astrolde Es una hipocicloide en Ia que el radio del circulo rodante es igual a un cuarto del radio del circulo tijo. Sus ecuaciones parametricas son x =a cos' t, y =a sen 1 t. donde a es el radio del circulo tijo.

atmosferlca (presi6n} Ver pre.t•itin atmos.ferica.

atto- Prefijo utilizado, por ejemplo con las unidades del Sistema lntemacional, para indicarel producto por 10- 1".

aumentada (matriz} Para un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas x1, x~, .... , x,. a 11

x1 +a1 ~ x~

a:!l X 1 +a:!:!

x" = b1, X 2 +···+a2 n Xn = b2 , +···+a1"

Ia matriz aumentada es all

a~:~

al,

0 21

On

a2n

h, b,

a,l

a,.~

a,,

h,.

Se obtiene ai\adiendo Ia columna de los tenninos independientes h 1, b~ • ...• h111 • a Ia matriz de los coeficientes. Se pueden buscar las soluciones del sistema de ecuaciones lineales llevando Ia matriz aumentada mediante operaciones elementales a Ia forma escalonada de Gauss o a Ia e.'u:alonada reducida de Gauss-Jordan. Ver gau.'t.'tiana (e/iminacion) y Gau.'is-Jordan (eliminacion), asi como si.'itemas de ecuaciones /ineale.'t.

aurea (raz6n) Es el numero t definido en el item siguiente. aurea (secci6n) Es Ia division de un segmento en media y extrema raz6n, es decir, en dos subsegmentos de longitudes a y h tales que (suponiendo a> h), (a+ h)/a= alb. Si tomamos como unidad de longitud el subsegmento mas corto, y Ia longitud del otro es entonces t, se tiene (t + I )/t =t/ I, de donde resulta que r-t-1 =0, y por tanto t =If~( I + J5 )=1.6180 con cuatro cifras decimales exactas. lJn rect,ngulo aureo es aquel cuyos lados guardan esa proporcion, llamada ~oivina' por Luca Pacioli en el siglo xv, y que ha tenido tantas repercusiones en Ia Historia del Arte y de Ia Arquitectura. El rectangulo aureo tiene Ia propiedad de que al coger de el un cuadrado de lado igual al lado menor resulta otro rectangulo aureo.

automorflsmo (de un espacio vectorial) Es cualquier biyeccion lineal de un espacio vectorial sobre si mismo. Los automorfismos de un espacio vectorial E forman un grupo con Ia composicion como operaci6n, llamado gropo lineal (general) de£. que se denota por GL(£). auxlllar (ecuaci6n) Ver

d~ferenciallineal con c:o~/icientes con.'ttantes

(ecuacion).

axial (plano) Cualquiera de los tres pianos coordenados en un sistema de referencia cartesiano. axloma Aserto cuya veracidad se da por evidente o se asume como convenio. En algunas areas de Ia matematica se estudian las consecuencias de Ia elecci6n de un sistema u otro de axiomas, comparando los resultados que se pueden obtener a partir de ellos. www.

B Babbage, Charles ( 1792-1871 ) Matematico ingles. a qui en se suele atribuir Ia invencion de las calculadoras mecanicas. Su 'ana(vtical engine' r·dispositivo o aparato analitico") fue disei\ado con el prop· (x:h YJ• =_,). Ia definicion es Ia misma. y las coordenadas del baricentro G son 1 ( /J. (x 1 + x~

1 /, (1· 1 + y~

1

vamente, el vector de posicion de G es

1/ (a+ 3

+ y_~). /_~ + + + 3. 2

Ese mismo entero se podria escribir como sumas de potencias de 8 como sigue: 4703 = (I X 8") + (I X g.')+ (I X 82 ) + (3 X 8) + 7. lo que abreviadamente se expresa en Ia forma ( 1113 7)M • y se dice que es Ia represent•cion de ese numero en base 8. En general. si g es un entero mayor que I. cualquier otro entero positivo a se puede escribir univocamente como (c,xg,)+(c, 1 xg" 1)+ ... +c 1g+c0 , donde cada c, es un entero mayor o igual que 0 y rnenor que g. Esa es pues su representacion en base g. abreviadamente (c,c, 1 ... c 1c0 )..:. Los numeros reales, igual que los enteros, tam bien se pueden escribir en cualquier base, con una pane entera como Ia anterior. y a continuacion una parte fraccionaria. separada por un punto o una coma (notaciones inventadas. respectivamente, por el italiano Magini y el holandes Willebrod Snellius para Ia representacion decimal). solo que esa parte fraccionaria puede tener un desarrollo infinito; ver decimal (representacion). Ver tambien binaria (repre.~entacion) y hexadecimal (representacicjn).

base (de un triangulo) En un triangulo puede convenir distinguir uno de los lados como base, llamando entonces apice al vertice opuesto. y altura a Ia perpendicular desde el apice a Ia base. base (de un triangulo is6sceles) Ver triangulo isosceles. base (de una funci6n exponencial) Verfuncion exponencial de base a. base (de una piramide) Ver piramide. basica (unidad) Ver Sistema lnternacional (unidades). Bayes, Thomas ( 1702-1761) Matematico ingles. recordado por sus trabajos en probabilidad. que condujeron a un metodo de inferencia estadistica basado en el teorema que II eva su nombre. El articulo que lo contiene no fue publicado hasta despues de su muerte, en 1763.

bros.me

Bayes (Teorema de)

Bayes (Teorema de) Es el siguiente teorema para calcular probahilidades a posteriori (ver probabilidades a priori o condicionadas). TEOREMA: Sean A 1, A~ . ... , An sucesos mutuamente excluyentes cuya union (o disyunci6n) sea Ia totalidad del espacio muestral de cierto experimento, y sea B un suceso con probabilidad no nula (Pr (8) ~ 0). Entonces. (A, I B)

=

.

Pr ( B I A; ) Pr (A, ) . Pr ( B I A, ) Pr ( A, ) + · · · + Pr ( B I An ) Pr ( A,, )

Por ejemplo, sean A 1 y A:!, respectivamente, los experimentos consistentes en arrojar al aire una moneda con dos caras y una moneda nonnal. Supongamos que se elige al azar una de las dos monedas, de fonna que Pr (A 1 ) = Pr (A~)= Y2. Sea 8 el suceso consistente en obtener ·cara·. Entonces. Pr (8 I A 1 ) =I y Pr (8 I A:!)= Y2. Asi pues, Pr (A 1

I8) =

Pr ( B I A1 ) Pr ( A1 ) = 1x ,~ = 2 1 1 1 Pr ( B I A1 ) Pr ( A1 ) + Pr ( B I A~ ) Pr (A~ ) I x ~ + : x ~ 3

Lo que quiere decir que, sabiendo que se ha obtenido una ·cara ·, Ia probabilidad de que Ia moneda arrojada fuera Ia que tiene dos caras es ~/,. Se suele decir que Pr (A,) es una probabilidad ·a priori'. mientras que Pr (A, I 8) es una probabilidad ·a ptJ.'Ueriori'.

Bernoulli (distribuci6n de) Es Ia di.'ttribucion de prohabilidad dbu:reta que corresponde a una variable aleatoria con valores 0 y I y medic/a de probabilidad Pr (X= 0) = I - p, Pr (. \' = I)= p, donde 0 < p < I. Es un caso particular de Ia distribucion binomial. 8 (I. p).

Bernoulli (familia) Familia de 8asilea (Suiza) a Ia que pertenecieron varios notables matematicos. El primero de ellos, Jakob ( 1655-1705 ). fue uno de los pioneros del calculo de variaciones. Su estudio de Ia catenaria. de 1691, se aplico casi inmediatamente a Ia construccion de puentes colgantes, y su Ars Conjectandi (pub Iicada p6stumamente en 1713) contenia Ia primera fonnulaci6n rigurosa de las pennutaciones y combinaciones, el desarrollo en serie de Ia funcion exponencial, y varios conceptos fundamentales de probabilidad, entre ellos Ia ··ley de los grandes numeros ... Su hennano Johann ( 1667-1748) aplic6 el calculo diferencial a Ia recti ticaci6n de curvas y a Ia cuadratura de regiones planas. al estudio de ciertas ecuaciones diferenciales y a problemas de mecanica; su estudio de Ia tautocrona se revelo de gran importancia en Ia construccion de relojes. A el se debe Ia que hoy se conoce como regia de I"Hopital para el calculo de limites indetenninados. Daniel ( 1700-1782). hijo de Johann . estudio no solo matematicas, sino tambien medicina.. biologi~ tisiologia~ fisica~ astronomia y oceanografia. Su trabajo mas sobresaliente fue Ia Hydro~.

bill neal

namica, de 1738. en Ia que estableci6 su famoso teorema sobre Ia relacion entre presion. densidad y velocidad en un tluido en movimiento, y sent6 las bases de Ia teoria cinetica de los gases y del calor.

Bernoulli (pruebas de) Sucesi6n de experimentos independientes, en cada uno de los cuales s61o se consideran dos posibles resultados, exito o fracaso. siempre con las mismas probabilidades. p y I - p. El numero de exitos en una sucesi6n de pruebas de Bernoulli tiene una distribucion binomial. y el numero de experimentos precisos para alcanzar el primer exito. una distribucion geonletrica.

Bessel, Friedrich Wilhelm ( 1784-1846) Astr6nomo y matematico aleman. cuya determinacion de las posiciones de unas 50 000 estrellas permiti6 las primeras evaluaciones de las distancias interestelares; el mismo fue el primero en medir Ia distancia a una estrella distinta del Sol, 61 del Cisne. Tambien ampli6 los recursos de Ia matematica pura con las funciones que llevan su nombre. soluciones de Ia ecuaci6n diferencial .\~ try/en.:. + + x dyld,· + ci )Y = o.

(x. u) + J.l CZ, (x. v). para cualesquiera s, Y de E. u. v deFy"" Jl de C. Un subconjunto AJ deE y otro N de F son ortogonales ( respecto de CZ,) cuando para cualesquiera x de My u de lv se

bros.me

bill neal

28

tiene Cl» (x, u) = 0. El conjunto de elementos deE (resp. F) onogonales a un subconjunto N de F (resp. M de E) es un subespacio vectorial de E (resp. F), que se denota N 1 (resp. M 1 ). Se dice que« es degenerada porIa izquierda (resp. porIa derecha) si F 1 ~ {0} (resp. si E 1 ~ {0}).

blllneal (forma) Si E es un espacio vectorial real o complejo, una aplicacion bilineal (resp. sesquilineal) con valores en el cuerpo base es una forma bilineal (resp. sesquilineal) sobre £. Se dice que Ia forma bilineal CZ, es simetrica (resp. que Ia forma sesquilineal CZ, es autoadjunta, o bermitiana) si para cualesquiera x, y de £, se cumple que Cl» (y, x) = CZ, (x, y) (resp. cz, (y, x) = cz, (x, y). Asi como en dimension finita el ejemplo tipico es el producto escalar, existe algo semejante en ciertos espacios vectoriales infinito dimensionales, el producto bilbertiano, que viene dado, por ejemplo, en el espacio de las funciones continuas en un intervalo [a, b), porIa formula (j·, g)= J:!

g(t)

dt. Ver tambien series de Fourier.

blll6n En Europa, un mill6n de millones (I ot:!); en Norteamerica, mil mill ones (I 0~). La acepci6n americana se ha extendido ultimamente en Ia prensa y otros medios de comunicaci6n, por lo que conviene ser cautos en el empleo de este termino para evitar eventuates confusiones.

bimodal Una distribuci6n de frecuencias se llama bimodal si muestra claramente dos maximos.

blnarla (operaci6n) Una operacion binaria o sobre un conjunto C es una regia que asocia a cada dos elementos a y h de C otro elemento que se denota a o b. Si para cualesquiera elementos a y b deC a o b tambien est8 en C, se dice que ese conjunto es cerrado bajo Ia operacion o, o que esta es cerrada en C. Con frecuencia se supone implicitamente que ese es el caso cuando se habla de una operaci6n binaria sobre un conjunto C.

blnarla (palabra) Una palabra binaria de longitud n es una cadena de n digitos binarios, o bits. Por ejemplo, existen 8 palabras binarias de longitud 3, que son: 000, 00 I, 0 I 0, 0 II, I 00, I 0 I, II 0 y Ill.

blnarla (relaci6n) Se define formal mente una relacion binaria sobre un conjunto C como un subconjunto R del producto cartesiano de C por si mismo, C x C, de manera que para cada dos elementos a y b de C, se puede detenninar si (a, b) e R 6 (a, b) t! R . Sin embargo, resulta mas intuitivo denotar una relacion binaria mediante un simbolo - que se situa entre dos tetras que representan elementos de C y se lee ·esta relacionado con' (es decir, en Iugar de (a, b) e R se escribe a- b). Los ejemplos mas habituates se escriben asi, como sucede por ejemplo con Ia relaci6n •:!· blnarlo (arbol) Ver arhol.

blnarlo (c6digo) Un cOdigo binario de longitud n es un conjunto de palabras binarias de longitud n, que son las palabras-codigo. Por ejemplo, si se trata de enviar un mensaje conteniendo una infonnaci6n acerca de detenninada direcci6n, para especiticar si es norte, sur, este u oeste, se puede emplear un cooigo de longitud 2, en el que por ejemplo 00 podria significar 'norte'. II 'sur'. 01 'este' y 10 'oeste'. binomial (distribuci6n) Ver distribucion binomial. binomial (serie o desarrollo) La serie a a(a-1) , a(a-l) ... (a-n+l),. I +-x+ x· +···+ x +··· I! 2! n! es el desarrollo de Maclaurin de lafuncion (I + x) 0 , valido en general solo cuando -I < x < I. Si a es un entero ~ 0 esa serie es finita, es decir, un

polinomio igual a (I + x)a para todo x. Binomial (Teorema) En algebra elemental se utilizan las f6nnulas (x + J')~ = r + 2\)' + y:!, y (x + y)J = r' + 3r y + 3o/ + .V. El Teorema Biaomia~ o Desarrollo de las Potencias de un Binomio, proporciona una f6nnula similar para (x + y )n. donde n es cualquier entero positivo: TEOREMA:

Para cualquier entero positivo n, se cumple que

blnomlales

donde

30

(nl= n! r r!(n-r)!

(vera continuacion binomiale... (co~(lcientes)).

El siguiente es un caso especial del Desarrollo de las Potencias de un Binomio, y tambien de Ia serie binomial: TEOREMA: Para cualquier entero positivo n, se cumple que 11

(l+x)"

= r-o i(n)xr = 1+( )x+···+(n)xr r 1 r

+···+( : I )x"- +x". 1

n

blnomlales (coeficientes) Son los numeros que se denotan habitualmente en Ia forma ( ~) donde n es un entero positivo y r otro entero tal que

1

n! ,. d fi "d 0 ,. ~ r ~ n. e 101 os por 1 as c:· .onnu 1as ( n = n( n - I) ... ( n - r + 1) = . r lx2x···Xr r!(n-r)!

Como, por convenio, 0!

= I. tenemos que ( ~) =(:) =I .

Esos numeros se llaman coeficientes binomiales porque aparecen como coeficientes en el desarrollo de las potencias de un binomio. (x + y) ". Tam bien se denota en ocasiones ( ~) como "C,.. y se le llama 'nUmero de combinaciones de n elementos tornados de r en r' (ver combinaciones). Esos numeros tienen las siguientes propiedades: ( i)

( ~) es un entero ( lo que noes obvio a partir de Ia definiciOn).

(ii)

(n:r )=(~}

(iii) ( n : I ) =( r :

(iv)

I)+ (~ l

(~)+(~)+(;)+ . ·+(:)=2".

Puede resultar instructivo observar Ia disposicion de los coeficientes binomiales en elllamado triangulo de Pascal (ode Tartaglia).

blpartlto (grato) Ver gra_fo bipartito.

www.

31

Bolyal, J6nos

blsecclon Es un metodo numerico. un tanto rudimentario. para aproximar soluciones de una ecuacion.f(x) = 0. Si se dispone de dos valores de x. a y h. en los que .f tiene distinto signo, y .f es continua en el intervalo [a. h]. el Teorema del Valor lntern1edio asegura que existe algun punto en (a. b) en el que.fse anula. El metodo consiste entonces en dividir el intervalo (a. h] porIa mitad y localizar Ia solucion en uno de los dos subintervalos. Sea pues c = Y~ (a + h), y evaluemos .f (c). Si tiene el mismo signo que f (a), nos quedamos con el intervalo [c, b ]: si tiene el mismo signo que ~((h). nos quedamos con el intervalo [a. c) (si por casualidad sucediera que .f(c) = 0. ya habriamos encontrado Ia solucion buscada). Basta repetir el proceso hasta quedamos con un intervalo de longitud menor que 2e y tomar su punto medio para tener una aproximacion de Ia solucion con error menor que £.

blsectrlz Es Ia recta que divide un angulo en dos partes iguales. Ver tarnbien. a continuacion. hi."ectri= interna y hi."ectri= externa. blsectrlz externa (de un poligono convexo) Es Ia bisectriz de un tingulo exterior, que es el que fonna un lado con Ia prolongacion del contiguo.

blsectrlz lnterna (de un poligono convexo) Es Ia bisectriz de un angulo interior. que es el que fonnan dos lados contiguos.

bit Es un digito binario, esto es. 0 o I. blunivoca (correspondencia) = Aplicacion hiyectiva. hiyeccicjn. blvarlada (distribuci6n) Relativo a dos variables aleatorias. consideradas conjuntamente. Ver di!•trihucion conjunta, distrihucion conjunta (funcion de). densidad conjunta (funcion de) y prohahilidad conjunta (medida de).

blyecclon Ver. a continuacion. h~vectiva (aplicacion). blyectlva (aplicaci6n) Una aplicacion .f: C--+ Des biyectiva. o una biyeccion de C sobre D. cuando es a Ia vez inyectiva y sobreyectiva.

bola Otro nombre para Ia es,(era. Si su centro C tiene como coordenadas (a. h. c) y su radio es r. el interior de Ia esfera, :(x. y. => I (x - a) 2 + + tv - b)~ + I. La circunferencia resulta como caso limite de Ia elipse, con excentricidad nula y directriz a distancia intinita.

En un sistema de coordenadas cartesiano, una conica es una curva que tiene una ecuacion de segundo grado, esto es, de Ia fonna or+ 2hxy + bj+ + 2gx + 2/y + c = 0. Esa ecuacion representa una parabola si h2 =ab, una elipse si Ji! < ab y una hiperbola si h2 > ab. La elipse es una circunferen-

bros.me

con leo

60

cia si h=O y a=b, y Ia hiperbola es regular si a+ b = 0. Si es el detenninante a h g ~=

h

b

j"

g

f

c

~

= 0, donde

~

esa ecuacion representa un par de rectas (que pueden coincidir). La ecuacion en polares de una conica se escribe normalmente tomando como origen un foco, y Ia semirrecta origen de angulos perpendicular a Ia directriz; resulta entonces una ecuacion de Ia fonna p =II ( I + e cos 8) (para 8 tal que cos 9 ;t I /e), siendo e Ia excentricidad, y I otra constante.

conlco (pendulo) Ver pendulo conico. conjugado (de un numero complejo) Para cualquier numero complejo= = x +.,vi. donde x e y son reales (partes real e imaginaria de=· respectivamente ). su conjugado : es el numero complejo con Ia misma parte real y Ia parte imaginaria cambiada de signo, esto es. x - yi. En el plano complejo, los puntos que representan a un numc:ro complejo y su conjugado son simetricos con respecto al eje real. Se cumplen las siguientes propiedades: (i)

: =:;

asi pues. si : 1

==~ .

se tiene

=: =:

1•

es real; si :=x+iy. :+:=2x. ., . . - " ~ (iii) ===I =I. ; s I == X + 'Y • === X. + y . .

(ii)

:+:

-

(iv) (v)

=,+=2==,+=2•

Y

=,-=2==,-=2·

y

Es importante sei\alar que si el numero complejo a es raiz de Ia ecuacion . . · · ....,, + a, ....n-t + ... + an-I= + a n = 0, donde IOS Coe tiICientes po I1n0m1ca a, •... an-t • an son reales, entonces tambien es raiz de esa ecuacion.

conjugados (diametros) Sides un diametro de una conica con centro. los puntos medios de las cuerdas paralelas a d yacen sobre una recta d' que tambien es diametro de Ia conica; los puntos medios de las cuerdas paralelas ad' pertenecen a su vez al diametro d. Se dice entonces que d y a son diametros conjugados de Ia conica; en el caso de una circunferenci~ son perpendiculares.

conjunclon Sip y q son dos proposiciones. Ia proposicion ·p y q •• denotada nonnalmente por p "q, es lo que se llama Ia conjuncion de p y q. Por ejemplo, sip es ··esta lloviendo" y q es "hoy es Junes", entonces p "q es "esta lloviendo yes Junes". La conjuncion de p y q s61o es verdadera cuando lo son ambas, y tiene Ia siguiente tabla de verdad:

www.

con junto

61

p

q

pl\q

v

'. F

v

I'

F I'

F F

F

F

F

conjunta (distribuci6n) La distribuci6n conjunta de dos o mas variables aleatorias se refiere a Ia probabilidad de que asuman simultaneamente valores, fijos o comprendidos en determinados intervalos, y como varia esa probabilidad. Se puede presentar bajo Ia fonna de la.funcion (acumu/ati\'a) de distrihucion conJunta. aunque en el caso de variables aleatorias discretas es mas habitual dar Ia 111edida de prohahilidad conjunta. y en el de variables aleatorias continuas. dar su .fi1ncion de densidad de prohahi/idad conjunta.

conjunta (funci6n (acumulativa) de distribuci6n) La funeion (aeumulati,·a) de distribueion eonjunta de dos variables aleatorias "\' e Yes Ia funci6n F (x. y ) = Pr (. \" S x. }' S y). La rnisma ex presion se utiliza para mas de dos variables aleatorias. Si son dos se habla de distribueion bivariada. y si son mas. de distribueion multivariada. conjunta (funci6n de densidad de probabilidad) La funeion de densidad de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias ..\' e }' es Ia funcion.f"de dos variables reales tal que Pr (a s . \' s h • c s

,·'

r s d) = JI.f" (X. y) dx dy.

La misma expresion se utiliza para mas de dos variables aleatorias. Si son dos se habla de funeion de densidad bivariada. y si son mas. de funeion de densidad multivariada.

conjunta (medida de probabilidad) La medida de probabilidad eonjunta de dos variables aleatorias discretas ..\" e Y es Ia definida sobre los pares (x, • y, ) de posibles valores de . \" e }' por p (x, • y, ) = = Pr (. \" = x,. r = y, ). La misma expresion se utiliza para mas de dos variables aleatorias. Si son dos se habla de medida de probabilidad bivariada. y si son mas. de medida de probabilidad multivariada. conjunto Los conjuntos finitos se presentan especificando sus elementos. como (a. e. i. o . u: para el conjunto de las vocales o : 1. 2..... , I 00} para el conjunto de los cien primeros numeros naturales. Tambien esta claro el significado de {I, 2, 3, ... : como conjunto de todos los enteros positivos. En general, se puede definir el conjunto de todos los elementos de algun conjunto universal que satisfacen detenninada propiedad, como .els_onjunto de los numeros reales mayores que I, (x I x e lR " x > I } o

conmutar

62

{x e R I x > I } , to que se lee: 'conjunto de todos los x que pertenecen a R y son may ores que I'.

conmutar Se dice que dos elementos a y b de un conjunto C sobre el que esta definida una operacion binaria o conmutan, si a o b = b o a. Dos matrices diagonales del mismo orden, por ejemplo, conmutan para el producto, aunque esa operacion no se~ en general, conmutativa.

conmutatlva Una operaci611 binaria o sobre un conjunto C es conmutativa si para cualesquiera elementos a y b de C se cumple que (a o b) = (b o a). Por ejemplo, el producto de matrices (a menos que sean diagonales, lo que incluye las de orden I x I) no es conmutativa.

cono En su fonnulacion mas elemental, un cono consiste en un circulo como base, un vert ice en Ia perpendicular a Ia base que pasa por su centro, y Ia superficie curva fonnada por los segmentos (generatrices del cono) que unen el vert ice con los puntos de Ia circunferencia borde de Ia base. La distancia del vertice a Ia base es Ia altura del cono; si el radio de Ia base es r, Ia altura h y Ia longitud de las generatrices g, el volumen del cono es 1/ 1 h, y el area lateral es Jtrg. En un nivel mas avanzado, el cono se define como Ia superficie fonnada por las rectas (generatrices) que pasan por un punto v (el vert ice) y los puntos de una curva (directriz). Un cono circul•r recto es entonces un cono cuya directriz es una circunferencia y cuyo vertice esta en Ia recta perpendicular al plano que contiene a esa circunferencia, pasando por su centro. El eje de un cono circular recto es Ia recta

v

que pasa por el vert ice y el centro de Ia directriz; todas las generatrices forman el mismo angulo con el eje. Si ese angulo es a. el cono circular recto con vertice en el origen y eje z tiene como ecuacion + = i tg1 a. Ver tambien cono cuadratico.

r y

cono cuadratlco Es Ia cuadrica que en un sistema de referencia adecuado tiene como ecuacion

www.

conservatlvo

63

., ., =-.,+-., =-.,. .,

x-

y-

a·

b-

c·

Las secciones planas paralelas al plano .lJ' son elipses, y si a = b, circunferencias; los pianos paralelos a los otros pianos axiales cortan al cono en hiperbolas, y ellos mismos en pares de rectas. conservaclon de Ia energia Cuando todas las fuerzas que actuan en un sistema estan asociadas a campos conservativos, se cumple que Ec + EP es constante, donde £,. es Ia energia cinetica del sistema y EP su energia potencial. Este hecho se conoce como principio de conservacion de Ia eaergia. A partir de Ia ecuaci6n del movimiento F = m a, para una particula de masa m que se mueve con aceleraci6n a, resulta que F · v = m a·v y, por tanto, (dldt ) (Yl m v·v) = F·v. Cuando Ia fuerza F deriva de un potencial U (ver mas adelante conservativo (campo de fuerzas)), integrando ambos miembros respecto del tiempo resulta Ia ley de conservacion de Ia energia. conservaclon del momento angular Cuando una particula se ve sometida a un campo central de fuerzas, su momento angular con respecto al centro del campo se mantiene constante a lo largo del tiempo. Este hecho recibe el nombre de 'principio de Ia conservacion del momento angular·. Analogamente. cuando Ia suma de los momentos de las fuerzas que actuan sobre un cuerpo rigido, con respecto a un punto fijo (o el centro de masa) es nul~ el momento angular de ese cuerpo rigido con respecto a ese punto fijo (o con respecto al centro de masa) se mantiene constante. conservaclon del momenta lineal Cuando Ia fuerz.a total que actua sobre un sistema es nul~ el momento lineal del sistema se mantiene constante a lo largo del tiempo. Este hecho recibe el nombre de 'principio de Ia conservacion del mom en to lineal'. Podemos ver una aplicaci6n de ese principio en el retroceso de un anna de fuego al disparar. Antes del disparo el momento lineal del sistema fonnado por anna y proyectil es nulo, y tambien debe serlo, por tanto, despues del disparo. Asi pues, las masa del anna debe ser mucho mayor que Ia del proyectil para que Ia velocidad de retroceso de aquella sea menor que Ia velocidad del proyectil. Tambien puede utilizarse ese principio en el estudio de las colisiones de dos bolas de biHar. conservadora (estrategia) Ver estrategia conservadora. conservative (campo de fuerzas) Un campo de fuerzas definido en un dominio simplemente conexo es conservativo si el trabajo realizado por esas fuerz.as cuando el punto de aplicaci6n recorre un camino cerrado bro§~rfflflo; de ahi se sigue que el trabajo realizado al desplazarse de un punto

conslstente

a otro no depende del camino recorrido . sino unicamente de los extremos. Por ejemplo . un campo gravitatorio unlfiJrme . Ia tension en un muelle que satisfaga Ia ley de Hooke o el campo gravitatorio nen·toniano F( r) = = -GMrlr' (donde r =I r I) son conservativos. Si el campo de fuerzas F es conservativo deriva de un potencial . esto es, existe una funcion l./ tal que F = -V U (ver gradiente de unafuncion). Tal funcion potencial fJ se puede definir dandole el valor 0 en un punto cualquiera 0 prefijado de antemano (en el dominio donde F esta definido) y haciendo

J

lJ ( P) = F · ds . r

donde yes cualquier camino que una 0 con P. Una condicion equivalente para que el campo de fuerzas F sea conservativo es que sea V x F = 0 (ver rotacional de un campo vectorial). Para el campo gravitatorio n('lt'loniano se suele tomar como potencial Ia funcion V( r) = -G.~II r, que se anula en el intinito.

conslstente (sistema de ecuaciones) Ver compatible. conslstente (estimador) Ver estimador. constante (aceleraci6n) Ver ec:uac:ione... del movitniento un~fiJrmemen­ te ac:elerado. con stante de lntegraclon Si .f'es una funcion real de variable real, y se conoce alguna primitiva tP de .f; cualquier otra primitiva de .lditiere de Fen una constante. Esa es Ia razon por Ia que suclc escribirse J.r(x) dx = F(x) +c.

donde c. una constante arbitraria. es Ia constante de integracion.

constante de proporclonalldad Ver proporcitjn. constante (funci6n) Una funcion real de variable real.fes constante si para todo x se tiene.f(x) =a, donde a, el valor de.f. es un numero real tijo. Siempre se puede suponer que el dominio de una funcion constante es todo R.

constante (termino) Ver polinomio. constante (velocidad) Se dice que una particula se mueve con velocidad constante si Ia nonna o mOdulo de su velocidad es independiente del tiempo. Asi pues, v·v debe ser constante, y derivando tenemos 2v (dvldt ) = 0. De aqui resultan tres posibilidades: v = 0. (d vldt ) = 0, o v ortogonal a (d vldt). La tercera posibilidad muestra que el vector velocidad no tiene por que ser constante. lo que sucede. por ejemplo . cuando una particula se mueve a lo largo de una circunferencia con un movimiento circular uniforme, siendo entonces Ia aceleracion ortogonal a Ia vetRw.

continua

65

dad (Ia primera con Ia direccion del radio y Ia segunda tangente a Ia circunferencia).

construcciones con regia y com pits Ver duplicacion del cubo. cuadratura del circulo y triseccion de un angulo. contacto (fuerza de) Ver fuer=a de contacto. contenldo, contlene A es un subcoojuoto de B, o esta cooteoido (o incluido) en B ( lo que se denota por A ~ B) cuando todos los elementos de A penenecen a B (x e A ~ x e B). En tal caso se dice tambien que B contiene (o incluye) a A (denotado B ::2 A). Ver tambien subconjunto y subconjunto propio.

contlngencla (tabla de) Es un metodo para presentar las frecuencias con que ocurren los resultados de un experimento en el que los datos estan ordenados de acuerdo con algun criterio prefijado. Cada celdi II a de Ia tabla da Ia frecuencia de una combinacion detenninada de categorias. En Ia tigura se muestra una tabla de contingencia en Ia que los individuos que fonnan una poblacion se agrupan por sexo y color de pelo. Se puede ai\adir una fila y una columna finales con Ia suma de las anteriores, siendo entonces Ia suma de esa ultima fila o columna el tamai\o de Ia muestra.

mujeres hombres

negro

castafto

rojizo

rubio

~4

18 ..,..,

5 6

9

30

6

continua (fracci6n) Es una expresion de Ia fonna q 1 + llb 2 • donde a su vez b~ = q 2 + llb 3 • b3 = q 3 + llb 4 • y asi sucesivamente. siendo q 1 • q2 • una sucesion de enteros. nonnalmente positivos. Se puede escribir asi:

q 3•

•••

q,+-----q~+---~­

q,+--q.. +··· 0

impren~

o en fonna mas comoda para Ia I

I

q,+------q~

+ qJ + q.. + ...

Si Ia sucesion q 1 • q~, q 3 , ••• es fini~ Ia fraccion continua representa un numero racional; cualquier numero racional puede expresarse de esa forma. obteniendose los enteros q 1 , q 2 , q 3 , ••• mediante el conocido a/J!oritmo de Euclides. Por ejemplo, el numero 1274/871 puede escri-

bros.me

continua

66

birse primeramente en Ia fonna I + 403/871, a continuacion como I + 1/(2 + 65/403), despues como I + 1/(2 + 1/(6 + 13/65)), para concluir ., I I I I en Ia expres1on + - - - . 2+ 6+ 5 Si Ia sucesion q 1 , q 2 , q 1 , ••• es infini~ Ia fraccion continua representa un numero real, limite de Ia sucesion de racionales

ql+--.-, q l + - - - - - , ... q2+ql

. Io, se puede probar que I + - I - I -I- es 1gua . I a Ia razon . aurea, , Por eJemp I+ I+ I+··· y que Ia representacion de

../2

1 1 como fmccioo continua es 1+ - - - - - - 2+ 2+ 2+···

continua (funci6n) La funcion real f de una variable real es coatiaua en a si y solo si/(x) ~/(a) cuando x ~a (ver limite (def(x))). La idea es que los valores que toma Ia funcion en puntos proximos a a deben estar pr6ximos a f (a), lo que implica que Ia grafica no salta bruscamente en x = a ni toma valores sensiblemente espaciados cuando x se aproxima sufic ientemente a a. La funci6n f es continua ea un intervalo abierto si lo es en cada punto del intervalo. y es contiaua ea un iatervalo cerndo (a, h). donde a< h, si lo es en el intervalo abierto (a, h) y lim /(x) =/(a) y

' .......,•

lim

/(x) =/(b). Se cumplen las siguientes propiedades:

(i) La suma de dos funciones continuas es continua. (ii) El producto de dos funciones continuas es otra funcion continua. (iii) El cociente de dos funciones continuas es una funcion continua en cualquier punto o cualquier intervalo en el que el denominador no se anule. (iv) Sifes continua en a,f(a) =h y g es continua en h, entonces Ia composicion h =go f (es decir, Ia funcion h(x) = g (/(x))) es continua en a. (v) Se puede demostrar facilmente que las funciones constantes y Ia identidad i(x) = x son continuas (en cualquier punto y en cualquier intervalo). Aplicando (i), (ii) y (iii) resulta entonces que cualquier funcion polinomica es continua y que cualquier funcion racional es continua en los puntos o intervalos donde el denominador no se anula. Las siguientes propiedades de las funciones continuas parecen obvias considercindolas como aquellas cuya gnifica es una curva contin~ pero las

www.

67

contraste

x2

demostraciones rigurosas distan de ser elementales, al estar basadas en propiedades bastante intrincadas de los numeros reales: Sifes continua en un intervalo cerrado [a, b], y 11 es un numero real comprendido estrictamente entre /(a) y /(b), existe algun punto c del intervalo (a, h) en el que f (c) = 1'1· Se conoce esta propiedad como Teorema del (o los) Valor(es) lntermedio(s). (vii) Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b), es acotada en el. Ademas, si S es el conjunto de los valoresf(x) para x en [a, b], y M = sup S, existe algun punto ~ en [a, b] tal que f (~) = M (y lo mismo para m = inf S). Se dice, pues, que "una funcion continua en un intervalo cerrado (y acotado) [a, b] alcanza en el un maximo y un minimo" (Teorema de Weierstrass). (vi)

continua (variable aleatoria) Ver variable aleatoria. continuos (datos) Ver datos. contraejemplo Sea p (x) un aseno matematico del que fonna parte un simbolo x, tal que cuando x recorre detenninado conjunto universal, p (x) es una proposicion que puede ser verdadera o falsa. Si se trata de probar que p (x) no es verdadera para todos los elementos x de ese conjunto, un metodo habitual es el de mostrar algun elemento x para el que sea falsa, al que se llama contraejemplo (de Ia hip6tesis de que p (x) es verdadera para cualquier x). Por ejemplo, sip (x) es Ia proposici6n sen x +cos x = I, basta comprobar que para x = Jt/4 no es verdade~ pudiendo entonces a firmar que Ia hip6tesis de que p (x) se cumple para todo numero real es falsa.

contrarreciproco (en 16gica matematica) El contrarreciproco de una implicaci6n p ~ q es Ia implicacion -q ~ --.p. Una implicaci6n y su contrarreciproca son logicamente equivalentes, de manera que una de elias es verdadera si y s61o si lo es Ia otra. Asi pues, para probar detenninado resultado matematico, puede en ocasiones resultar mas sencillo establecer su contrarreciproco. Por ejemplo, el teorema que asegura que si n 2 es impar 2 tam bien lo es n puede probarse mostrando que si n es par tam bien lo es n •

contraste de hlpotesls Ver hip()tesis (contra.'tte o test de). contraste F Es un test o contraste basado en Ia distribucion F de FisherSnedecor.

contraste X 2 La distribucion X2 se emplea en diferentes contrastes de hip6tesis, por ejemplo para contrastar Ia hip6tesis nula de que una muestra de n observaciones, estratificadas en grupos o clases, se ajusta a las medias o esperanzas J,l; supuestas para esas clases. Se evahian las frecuencias /; con que aparece cada una de las clases en Ia muestra, y se suman los valores (JJ,- /, )2/p,. El resultado se compara con las tablas de una distri~~~\Qn X2 con el adecuado numero de grados de libenad, que depende del

contraste t (de Student)

68

numero de clases y tam bien del numero de parametros a estimar. y se acepta o se rechaza Ia hip6tesis nula seglln sea Ia discrepancia. Este metodo exige que las observaciones sean independientes y que el tamai\o de Ia muestra y las medias supuesta excedan ciertos mimimos, que dependen del numero de c lases.

contraste t (de Student) Es un test o contraste de Ia hip6tesis de que una muestra de tamai\o n con media x proviene de una poblacion con distribucion normal de media JJ, estimando. por tanto, si Ia media de Ia muestra difiere significativamente de Ia media de Ia poblacion. El estadis-

.

tlco

1=

.Jn (x- JJ) ,

d on d e s-., es Ia vananza . (centrad a) d e Ia muestra.

s tiene una di!urihucion 1 con n- I grados de libertad, para Ia que existen tablas. Por ejemplo, si deseamos contrastar Ia hip6tesis de que una muestra de tama~o 16. con media 80 y desviacion tipica I 0. representa a una poblacion con media 75. obtenemos para 1 el valor 4· 51 I 0 = 1. y consultando Ia tabla (ver di!;1rihucion 1) vemos que para un nivel de confianza (en el test bilateral; en el unilateral 0.025) de 0.05 y 15 grados de libertad el valor tabulado es 2.13 (es decir. Pr ( I 1 I > 2.13) = 0.05). de manera que podemos aceptar Ia muestra como representativa.

convexa (hacia arriba o hacia abajo) Algunos autores prefieren utilizar Ia nocion de convexidad en Iugar de su contraria, Ia concavidad. cuando se trata de funciones reales de variable real: asi pues. una funcion es convexa (hacia arriba) en un intervalo cuando en el es concava (hacia abajo ). y viceversa. Ver concavidad. convexo Una figura plana o tridimensional, por ejemplo un poligono o un pol iedro, es convesa si para cada dos de sus puntos el segmento que los une esta totalmente contenido en Ia figura. coordenadas (en un plano) Una forma de asignar coordenadas a los puntos de un plano es como sigue: Se fijan un punto 0 como origen. dos rectas orientadas que pasan por el, Ox y 0· como ejes (de abscisas y ordenadas ), y una unidad de longitud. Para cualquier punto P del plano. sean Mel punto de corte del eje de abscisas con Ia paralela al eje de ordenadas que pasa por P, y "' el punto de corte del eje de ordenadas con Ia paralela al eje de abscisas que pasa por P. Las coordenadas del punto P (con respecto al sistema de referencia elegido) son entonces x = OA-f (abscisa de P) e J' = ON ( ordenada de P). Si los ejes elegidos se cortan en angulo recto, se dice que el sistema de referencia es cartesiano. o rectangular. y que (x, y) son coordenadas cartesianas de P. Normal mente se eligen los sentidos de los ejes de forma que un giro de 90° en sentido contrario al de las agujas del reloj lleve el semieje positivo de abscisas sobre el semieje positivo de ordenadas.

www.

coordenadas polares

69

N/.1---------9 p

/

/

I •

o/

JC

I

Existen otros metodos para asignar coordenadas a los puntos de un plano, uno de los cuales es el de las coordenadas polares.

coordenadas polares Si elegimos un punto 0 del plano como origen, .v una semirrecta Ox, sobre Ia que se ha fijado una unidad de longitud, como origen de angulos, las coordenadas polares de un punto P con respecto a ese sistema de referencia son (p, 8 ), donde p =lOP I y 8 es el angulo, medido en radianes (satisfaciendo las desigualdades OS8 . para cualquier valor entero de k. p

.P

o_ --

•y

8

Las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto P se pueden obtener a partir de las cilindricas mediante las fonnulas x =p cos 8 e y =p sen 8;

reciprocamente. las coordenadas cilindricas se pueden obtener a partir de las cartesianas como en el caso de las polares en el plano: p=

Jx

2

+y

2

•

y 8 tal que cos 8

= J ., x

..,

x· + y·

. sen 8 = Jx· y+ y· ..,

..,

.

La tercera coordenad~: (Ia 'cota' del punto P), es Ia misma en ambos sis-

temas de coordenadas. Las coordenadas cilindricas pueden ser muy utiles en problemas con simetria axial. tomando como eje Oz el de simetria.

coordenadas esferlcas Supongamos tijado en el espacio tridimensional un sistema de referencia cartesiano, es decir: un punto 0 como origen; como ejes, tres rectas orientadas que pasan por el, Ox, ~ y Oz. mutuamente perpendiculares y que fonnan un triedro directo de acuerdo con Ia regia del sacacorchos; y una unidad de longitud. Para un punto cualquiera P que no este en el eje Oz. seaM su proyecci6n sobre el plano Oxy, y sean p = lOP I y 8 el angulo. medido en radianes (satisfaciendo las desigualdades 0 S 8 < 2tc ), que fonna Ia semirrecta OM con Ox, tomando como positivo el sentido de giro del semieje positivo Ox al semieje positivo Oy. Sea ahora ; el angulo, medido en radianes (satisfaciendo las desigualdades 0 s ; S 1C ). que fonna Ia semirrecta OP con 0:, tomando como positivo el senlido de giro del semieje positivo Oz al semieje negativo. Se dice entonces que (p. 8, ;) son las coordenadas esfericas del punto P con respecto al sistema de referencia elegido. Como en el caso de las coordenadas polares o cilindricas, tambien se admiten como coordenadas esfericas de ese punto (p. 8 + 2k ~ ;), para cualquier valor entero de k.

Las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto P se pueden obtener a partir de las esfericas mediante las fonnulas x = p sen t; cos 8, y = p sen (/) sen 8 y z = p cos ;. Las coordenadas esfericas pueden ser muy utiles en problemas con simetria central, tomando como origen el centro de simetri~ en particular

Copernlco, Nlcol6s

T2

en problemas sobre esferas. que en estas coordenadas tienen como ecuacion p = cte.

()-8 x•

p

p

•.. M

Copernlco, Nlcol6s ( 1473-1543) Astronomo polaco. autor de Ia 'revoluci6n copemicana" que sustituy6 al geocentrismo por el heliocentrismo, haciendo girar a Ia Tierra (y los demas planetas) en tomo al Sol. Tras estudiar griego, tilosofia, matematicas . astronomia . leyes y medicina en Cracovia. Bolonia y Padua. se instal6 como can6nigo en Frombork ( Frauenburg). donde prosigui6 sus investigaciones astronomicas; sintiendose insatisfecho con el sistema geocentrico de Ptolomeo y sus epiciclos. encontr6 en autores griegos anteriores Ia posibilidad de un modelo alternativo, con el Sol como centro, que comenz6 a plantear a sus amigos desde 1514, sosteniendo que el movimiento aparente de las estrellas y el Sol. asi coano el 'retroceso' de los planetas, pod ian explicarse a panir de Ia rotacion diaria de Ia Tierra en tomo a su eje y su movimiento de traslacion anual en tomo al Sol. Aunque el Papa Clemente VII dio su aprobacion a unas lecciones que pronuncio en Roma en 1533. no entrego su De revolutionibus orbium coelestium a Ia imprenta hasta 1540. publicandose el mismo ar'lo de su muerte. El destronamiento de nuestro planeta como supuesto 'centro del Universo" desat6 una polemica que no quedo zanjada hasta siglo y medio despues, con las leyes del movimiento y de Ia gra\'itaci6n universal de Newton. Ver tambien Galileo. coplanarlos (puntas y rectas) Los que estan en un mismo plano. Tres puntos siempre son coplanarios: si no son colineales. detenninan un unico plano que los contiene. coplanarlos (vee to res) Ver vectores coplanarios. Corlolls (fuerza de) Ver _(uer=as jicticias. corolarlo Es un resultado que se deduce de fonna casi inmediata de un teorema, con frecuencia sin necesidad de mas demostracion. corona circular Es Ia region comprendida entre dos circunferencias concentricas. Si los radios de esas dos circunferencias son r v r + "'· el area de Ia corona es 1C (r + \l~)~- 1C r = \l' X 2TC (r + Y2lf). coincidiendo. por

73

coseno hlperb611co

tanto con el area de un rectangulo de dimensiones "·' y Ia longitud de Ia circunferencia intennedia entre las que limitan Ia corona.

correlaclon La correlacion entre dos variables aleatorias mide hasta que punto un cambio en una de elias se retleja en un cambio en Ia otra; Ia correlacion es tanto mas elevada cuanto mas estrecha sea Ia relaci6n entre ambas variables aleatorias. Se dice que esa correlaci6n es positiva cuando a un cambio de una de las variables en un sentido le corresponde un cambio en Ia otra con el mismo sentido, y que Ia correlaci6n es negativa si los cambios se producen en sentidos opuestos. Las variable.._ aleatorias independiente.'i tienen correlacion nula. Una medida de correlaci6n entre las variables aleatorias . \' e }' es el llamado coeflciente de correlaci6n p dado por Cov (X,Y)

p = ---;=======--=-======-~~~~~r

Jvar (x) Var (Y)

(ver covurian=a y vuriun=u). Ese coeticiente satisface las desigualdades -I S p S I; si . \' e }' estan linealmente relacionadas, entonces p=-1 0 p= I. Para una muestra de n observaciones emparejadas. (x 1 • y 1 ), (x2 • y, )•...• (x,.. y,. ). el coeticiente de correlacion de Ia muestra se define como

Observese que Ia existencia de correlacion no nula entre dos variables no implica que Ia relacion entre elias sea del tipo causa-efecto.

correspondencla biunivoca Ver aplicacion biyectiva. cosecante Ver trigonometricas (funciones). cosecante hiperbollca Ver hiperbO/icas (funciones). coseno Ver trigonometricas (funciones). coseno (Regia del) Ver triangulo. rli&)seno hlperbolico Ver hiperbO/icas ( funciones ).

cota

74

cota En el espacio tridimensional con un sistema de referencia cartesiano se suele llamar cota de un punto P a su tercera cooordenad~ que lo es tambien en coordenadas cilindricas. cotangente Ver trigonometrica~~ ( funciones ). cotangente hlperbollca Ver hiperbolicas ( funciones ). cotas Sea C un subconjunto no vacio de R. El numero real c es una cota superior de C si es mayor o igual que todos los elementos de C; si hay alguna cota superior de C se dice que ese conjunto esta acotado superiormente. Si el conjunto de cotas superiores de C no es vacio tiene un minimo (resultado que esta lejos de ser trivial). al que se llama supremo o extremo superior de C, y de denota sup C. Por ejemplo. si C = (0.9. 0.99, 0.999, ... }, sup C = I. Como seve en ese ejemplo. el numero sup C puede no estar en C; solo esta en C si ese conjunto tiene un maximo, y en tal caso sup C = max C. De manera analoga se dice que el numero real c es una cota inferior de C si es menor o igual que todos los elementos deC; si hay alguna cota inferior deC se dice que ese conjunto esta acotado inferiormente. Si el conjunto de colas inferiores deC noes vacio tiene un maximo, al que se llama infimo o estremo inferior de C. y de denota inf C. Por ejemplo, si C = (0.1, 0.0 I. 0.00 I, ... }• inf C = 0. Como se ve en ese ejemplo. el numero inf C puede no estar en C; solo esta en C si ese conjunto tiene un minimo, y en tal caso inf C = min C. Se dice que un conjunto esta acotado si lo esta inferior y superionnente. Ver tambien

intervalo.

covarlanza La covarianza de dos variables aleatorias X e Y. denotada Cov (X, Y), se define como E ((.-Y - JJ x )( Y - JJr )) (que es igual a E (XY)- JJ x JJr ), donde JJ.r y JJr son. respectivamente. las esperanzas o medias poblacionales (ver esperanza matematica o valor esperado) de ambas variables aleatorias. Si X e Y son variables aleatorias independientes. Cov (X, Y ) = 0. Para una muestra de datos emparejados. (x 1 • y 1 ). (x 2 , y 2 ), ••• , (x,, y, ), Ia covarianza de Ia muestra es

~

n

Cramer, Gabriel ( 1704-1752) Matematico suizo, cuyo estudio sobre curvas algebraicas, publicado en 1750, contiene Ia llamada regia de Cramer, aunque ya era conocida al menos por Maclaurin. Cramer(regla de) Considerese un sistema lineal den ecuaciones conn incognitas, x 1 , x 2 , ••• , x,, escrito en fonna matricial como Ax = b. Si Ia matriz A es invertible, Ia solucion del sistema es unica, y viene dada por x =A -I b. Dado que A -I =(1/det A) adj A, tenemos como soluci6n \Aru

critlco

75

(adj A) b s=

det A

'

lo que tambien se puede escribir

x

'

= bl

AI, + b~ A1 j + ... + b, A,.,

det A

(j

= I, ... , n ),

utilizando los tenninos de Ia matriz columna b y los adjuntos de los terminos de Ia columna }-sima en Ia matriz A. Esta es precisamente Ia regia de Cramer; observese que el numerador de esta ultima fracci6n coincide con el detenninante de Ia matriz que se obtendria al sustituir Ia columna j-sima de Ia matriz A por Ia columna b, desarrollado por Ia columna j-esima. Por ejemplo, Ia solucion del sistema de ecuaciones

ax+ by= h, C X+ dy =/c, cuando ad- be

x=

~

0, no es otra que

h

h

k a

d b

c d

=

hd-bk y= ad -he'

a h c lc a b

ale- he

= ad-be'

c d

creclente (funci6n) Una funci6n real de variable real.f es crecieate en un intervalo /, si para cada dos puntos x 1 y x 2 de I tales que x 1 < x 2 , se cumpie quef(x2) S/(x 1). Se dice quefes estrictamente creciente en/, si cuando x 1 < x 2 , se cumple quef(x2 ) > /(x 1).

creclente (sucesi6n) Una sucesi6n de numeros reales a 1 , a 0 , ••• , an, ... es creciente si para todo n se cumple que an S an+ a. Si para todo n se cumpie que a,. < art+ 1 , se dice que esa sucesion es estrictamente crecieate. crlba de Eratostenes Es un metodo para encontrar todos los numeros primos menores que un entero dado N, listando todos los impares de 2 aN, y suprimiendo primero todos los multiplos de 3 (excepto 3 ), los multiplos de 5, de 7, y asi sucesivamente, hasta llegar a un numero no suprimido que sea mayor que JN. Los enteros que quedan entonces son los primos entre 2 y N.

critlca (regi6n) Ver hip()tesis (contraste o test de). critlco (amortiguamiento) Ver oscilaciones amortiguadas. critlco (analisis de camino) Supongamos que los nudos de una red representan fases de un proceso, y los pesos sobre los arcos el tiempo que bros~~ transcurrir entre esas fases. El analisis de camino critico es un meto-

critlco

76

do de determinacion del camino mas corto en Ia red, para minimizar el tiempo en que el proceso se completa. critico (punta) critlco (valor)

=punto estacionario. = valor estacionario.

cuadrado greco-latlno La nocion de cuadrado Iatino (vera continuacion) puede extenderse haciendo intervenir dos conjuntos de simbolos. Supongamos. por ejemplo, que se trata de los alfabetos griego y Iatino; un cuadrado greco-latino es una disposicion en tantas filas como columnas de pares fonnados por una letra latina y otra griega, de forma que tanto las letras latinas como las griegas fonnan un cuadrado Iatino. estando emparejada cada letra latina con una griega solamente una vez. El siguiente es un ejemplo de tales cuadrados greco-latinos, que se utilizan en el disei\o de ciertos experimentos:

Aa

BP

Cy

By

Ca

AP

cp

Ay

Ba

cuadrado Iatino Es una disposicion en tantas tilas como columnas de detenninados simbolos, de manera que cada uno de ellos aparece solo una vez en cada fila y en cada columna. Se utilizan en el disei\o de experimentos relacionados con el ensayo de diferentes semillas o fertilizantes. He aqui dos ejemplos de tales cuadrados:

A

B

C

D

A

B

C

D

B

A

D

C

D

C

B

A

C

D

A

B

C

D

A

B

D

C

B

A

B

A

D

C

cuadrado maglco Es una disposicion en tantas filas como columnas de ciertos numeros, de manera que todas las filas, todas las columnas, y las dos diagonales. tienen Ia misma suma. A menudo se emplean para confeccionarlo los numeros I, 2, ...• n2, donde n es el numero de filas y columnas. He aqui dos ejemplos de tales cuadrados (el de Ia izquierda se asegura que es de origen chino. muy antiguo; el de Ia derecha aparece en un grabado de Alberto Durero ):

cuadr6tlca

77

cuadrado perfecto Se llama asia los enteros de Ia fonna n1, donde n es un entero positivo. Son. pues. los numeros I, 4. 9. 16, 25, ... cuadrangulo completo Es Ia configuracion plana consistente en cuatro puntos. entre los que no hay tres que sean colineales, junto con las seis rectas que pasan por cada dos de ellos. En Ia figura se puede observar un ejemplo.

cuadrante En un sistema de coordedanas cartesianas en el plano. los ejes dividen a este en cuatro regiones llamadas cuadrantes. Convencionalmente se numeran asi: el primer cuadrante es l(x, y) lx > 0. y > 0:; el segundo. ~ (x. y) ~'" < 0. y > 0 J; el tercero. ~ (x. y) I x < 0• .\' < 0:; y el cuarto. l(x. y) ~t>O. y 4ac hay dos soluciones reales distintas; b1 =4ac hay una sola solucion real (que conviene a veces tratar como raiz doble; ver raices de un polinomio ); final mente, si b 2 < 4ac no hay soluciones reales. pero si dos soluciones complejas, conjugadas Ia una de Ia otra:

cuadr6tlca

78

or+

Si a y fJ son las soluciones de Ia ecuacion cuadritica bx + c = 0, entonces a+ f3 = -hia y a /3 = cla . Asi pues, una ecuacion cuadritica con (a+ fj) X+ a /J = 0. soluciones a y fj es

r-

cuadr6tlca (forma) Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K.; se dice que Ia aplicacion Q: E ~ K es una forma cuadritica sobre E si se cumplen las dos Gondiciones siguientes: (i) Para cualquier A. de K y cualquier s de£, se tiene Q(h)=A.:!Q(s). (ii) La aplicacion CZ,: ExE ~x definida por (s,y)=Q (s + y)- Q(s)- Q(y) es una.forma bilineal sobre E (necesariamente simetrica). Se dice que Ia fonna cuadratica Q es degenerada (resp. no degenerada) si lo es Ia fonna bilineal asociada CZ,, y que dos elementos (o dos subconjuntos) de E son ortogonales con respecto a Q si lo son con respecto a CZ,. Si el espacio vectorial E es de dimension finita n sobre K, y ~A ={u 1 • u~, ...• u,.} es una base de £, con respecto a Ia cual Ia matriz de CZ, es B = [h,, ]. se tiene para cada s = x 1 u 1 + x:! u 1 + ... + x,. u,. de £, 2Q(x)

" " =cl>(x, s) =l',l',x, b;1 x1•

lo que tambien puede escribirse, iden-

i=l i'" I

tificando el vector s con Ia matriz columna de sus coordenadas, 2Q (s) = = s ra s. En particular, si Ia base !.A= {u,. U2, •••• u,.} es ortogonal, y Ia matriz B por tanto diagonal, siendo sus tenninos A. 1 • ~ ••••• A, . se tiene 2Q (x 1 u 1+x2 u 2 +... +x,.u,.) =A., x~,+ ~r2+ ...+ A,r,. Ver tambien Sylvester (ley de inercia de).

cuadr6tlca (funci6n) En analisis real, se llama funcion cuadritica a una funci6n polin6mica de segundo grado /(x) =or+ bx + c, donde a. b y c son numeros reales dados, con a ~ 0 (como caso excepcional se puede admitir Ia posibilidad a= 0). El dominio de tal funcion es todo R. y su gnifica y = .f (x) es una parabola con eje paralelo al eje de ordenadas, dirigida hacia arriba (con un minimo def(x) en el vertice) si a >0, y hacia abajo (con un maximo de /(x) en el vert ice) si a < 0. Esa panibola corta al eje de bx + c =o. asi que los puntos de corte (si los hay) vieabscisas donde nen dados por las soluciones (reales) de esa ecuacion cuadratica. La posicion del vertice se obtiene completando el cuadrado para dejar Ia ecuaci6n en Ia fonna y - y 0 = a (x - x0 )~. o hallando el punto estacionario de Ia funcion mediante derivaci6n. Si Ia grafica corta al eje de abscisas en dos puntos ( es decir, si b2 > 4ac ), Ia abscisa del vert ice es Ia media aritmetica de las dos raices de f (x). Asi se puede esbozar Ia grafica de Ia funcion cuadratica e inferir infonnaciones adicionales para otros prop6sitos.

or+

cuadr6tlco (polinomio) Polinomio de segundo grado. cuadratura Obtencion o aproximaci6n del area de una figura. ya sea plana o curva, mediante algim proceso de paso al limite. Ver Cavalieri, Eudoxo de Cnido y Gregory, James.

cu•dn~tura

79

del circulo

cuadratura del circulo Fue uno de los problemas que tantalizaron a los geometras griegos (como Ia duplicacion del cubo y Ia triseccion de un angulo ): pretend ian encontrar un proceso de cons truce ion mediante regia l' compQs de un cuadrado con Ia misma area que un circulo dado, lo que ·equivale a obtener .Ji a partir de una unidad de longitud dada. Ahora bien, esas construcciones con regia y compas solo pueden proporcionar numeros de cierta clase, obtenida a partir de los enteros mediante las cuatro reglas elementales de Ia aritmetica mas Ia extraccion de raices cuadradas. Ni siquiera pueden obtenerse asi todos los numeros algebraicos, por ejemplo }.j2 . La demostracion de Lindemann en 1882 de que TC es trascendente prueba que Ia ·cuadratura' que pretend ian los griegos es imposible. cu6drlca Es un Iugar geometrico en el espacio tridimensional que puede representarse en coordenadas cartesianas mediante una ecuacion algebraica de segundo grado en las variables x, y, z, es decir, una ecuaci6n de Ia fonna + b); + + 2hxy + 2gxz + 41Y= + 2ux + 2~ + 2wz + d = o. que en fonna matricial puede escribirse como

ar

cr

(X

Si 4

~

y

=I)

a

h

g

u

X

h

b

.l

v

y

g

I

c

w

u

v

w

d

.....

=0

0, donde 4 es el detenninante de Ia matriz

a B= h [ g

gl

h h

I

I

c

Ia cwidrica tiene un centro de simetria unico, cuyas coordenadas constituyen Ia solucion del sistema que se expresa matricialmente en Ia fonna Bx = u, siendo u Ia matriz columna fonnada por los coeficientes u, v y w. Si Ia ecuacion de mas arriba no representa un Iugar geometrico vacio, mediante una traslacion y una rotacion de ejes se puede reducir a una de las siguientes form•s c•nonic•s: ( i) Elipsoide:

(ii) Hiperboloide de una hoja: (iii) Hiperboloide de dos hojas:

80

cuadrll6tero

(iv) Parabo/oide eliptico:

(v)

., x-

.,

2= -.,--., = a- bc

Paraboloide hiperbo/ico:

y-

(vi) Cono cuadratico:

(vii) Cilindro eliptico:

(viii) Cilindro hiperholico: .,

x· - 2r . -.,-a· h

( ix) Cilindro paraho/ico:

b (es decir. y = ±- x).

( x) Par de pIa nos no para le los:

a

(es decir. x =±a).

(xi) Par de pianos paralelos:

(es decir. x = 0).

(xii) Plano:

(xiii) Recta

(es decir, x .,

(xiv) Punto:

.,

=y =0) .

.,

x· v- =-1+ - · +-=0 a b1 c~

(es decir. x=_l·===O).

Las cinco primeras son las cuadricas no degeneradas; (i), (ii), (iii). (vi) y (xiv) son las que tienen centro de simetria unico.

cuadrllitero Poligono con cuatro lados. Ver tambien, a continuacion. cuadrilatero completo.

cuadrll6tero completo Es Ia configuracion plana consistente en cuatro rectas, entre las que no hay tres que sean concurrentes, junto con los seis puntos en que se cortan cada dos de elias. En Ia figura se puede observar un ejemplo.

cuartlca

81

cuantlflcador Se llaman cuantificadores las dos expresiones 'para todo ... • y 'existe ... •• que encabezan frases en las que aparece una variable x. dando Iugar a una proposicion con sentido que puede ser verdadera o falsa. La primera de elias se puede enunciar tambien diciendo 'para cada .. .' o 'para cualquier.. .'. y Ia segunda 'hay algun ... •• 'se puede hallar un .. .'. etc .. pero en general resulta conveniente tomar las de mas arriba como nonna. La primera se llama cuantificador univenal, y se representa con el simbolo 'V: Ia segund~ el cuantificador existencial. con el simbolo 3. Por ejemplo, Ia proposicion 'cualquier numero mayor que 3 es positivo · se escribe, con esos simbolos de Ia logica matematica, (~x) (x > 3 => x > 0): analogamente, una frase como 'hay algiln numero real cuyo cuadrado es 2' se escribiria (3x) (x e R ".r = 2). cuantll Sea . .\' una \'ariable aleatoria continua. Para 0 < r < I. se llama r-esimo cuantil al valor x,. tal que Pr (X S x,.) = r. Con otras palabras, Ia propore ion de Ia poblacion en Ia que esa variable aleatoria es menor o igual que x,. es justamente r. Por ejemplo, x 1 ,.~. o si se prefiere x0 .~. es Ia media de esa \'ariable aleatoria (ode Ia poblacion). Es habitual utilizar porcentajes en Iugar de fracciones de Ia unidad; para un entero n comprendido entre I y I 00, el n-simo percentil es el valor x,, 100 tal que en el n °/o de Ia poblacion esa variable aleatoria toma valores menores que x" 100 • Por ejemplo, por debajo del trigesimo percentil esta el 30° o de Ia poblacion. Los percentiles 25°, 500 y 75° se llaman cuartile.'t. Tambien se puede dividir Ia poblacion en deciles: para un entero n comprendido entre 1 y I0, el n-simo decil es el valor x,. 10 tal que en n de cada diez miembros de Ia poblacion esa variable aleatoria toma valores menores que x" 10• Por ejemplo. tres decimas partes de Ia poblaci6n se encuentran por debajo del tercer decil. Esos tenninos se pueden modificar, aunque el resultado no siempre sea demasiado satisfactorio, para aplicarlos a una variable aleatoria discreta o a una muestra grande ordenada de fonna ascendente. 1

cuartica (ecuaci6n) Ecuacion polinomica de grado cuatro. cuartlca (raiz de Ia unidad) Son los cuatro numeros complejos z tales bros.Hilf =" = 1. es decir, I, i, -I y -i. Ver raiz (enesima) de Ia unidad.

cu6rtlco

82

cu6rtlco (polinomio) Polinomio de grado cuatro. cuartll Para datos numericos ordenados de fonna creciente, los cuartiles son ciertos valores derivados de esos datos que los dividen en cuatro partes iguales. Si hay n observaciones, el primer cuartil C 1 es el dato '!.. (n + I )-esimo, el segundo cuartil C2 (Ia mediana), el dato Y2 (n + I) -esimo, y el tercero, C3, el dato % (n + I )-esimo. Cuando Y.. (n + I) no es un numero entero, a veces se toma Ia media (ponderada) de los datos que ocupan los lugares por encima y por debajo de ese numero, como se hace con Ia mediana. Sin embargo, a menos que n sea muy pequei\o, basta normalmente con tomar el dato mas proximo. Por ejemplo, si Ia muestra esta fonnada por los numeros 15, 37, 43, 47, 54, 55, 57, 64, 76 y 98 se pueden tomar C 1 =43, C2 = 54.5 y C 1 =64. Para una variable aleatoria continu~ los cuartiles son los cuantiles x..•• x. y x.1•• es decir, los percentiles 25°, 50° y 75°. J

cuartll (desviaci6n)

=rango semi-intercuartilico.

cuaternlonea(o cuaternios) El cuerpo de los numeros complejos puede construirse a partir de los reales manteniendo las reglas habituates de Ia suma y multiplicacion para 'sumas fonnales' a + hi, donde a y h son numeros reales, con Ia condicion adicional de que P= I. Hamilton concibi6 una extensi6n de ese proceso de ampliacion del campo numerico, considerando (para ciertas aplicaciones en Mecanica) 'sumas fonnales' a + hi + cj + dk, donde a, h, c y d son numeros reales, ai\adiendo a esas reglas habituates las siguientes: r·"' =)·". = k.,.. =- I , I).. =-}I.. =lc , J"k =- 1c·rJ = I , 1c·I =-I·1c =J.. Resulta asi un nuevo cuerpo, esta vez no conmutativo, que se denota H en honor de Hamilton. Cuatro Colore• (Teorema de los) Durante siglos, los confeccionadores de mapas habian observado que bastaban cuatro colores para los diferentes paises, de fonna que dos cualesquiera que compartiesen frontera tuvieran distinto color. Los matematicos intentaron probar ese hecho como teorema de topologia plana desde 1850, pero Ia primera demostracion rigurosa fue Ia ofrecida por Appel & Haken en 1976. Aunque al principio muchos matematicos se mostraron escepticos acerca de Ia prueba por basarse en el anal isis mediante ordenador de una enonne cantidad de configuraciones, actualmente se Ia considera val ida y un gran logro. cubatur• Ver cubicacion. cublca (ecuaci6n) Ecuacion polinomica de grado tres. cublca (raiz de Ia unidad) Son los tres numeros complejos =tales que z 3 = I. Ademas de 1, las otras dos son ro y ro2 , donde www.

cuerpo

83

.,.., . 1

m = e2

m =e

21c

.

21c

I

3

2

J3 .

· =cos -+1 sen-= --+-1,

3

.e.a . 3

2

J3 .

41r . 41r I =cos -+1 s e n - = - - - - 1. 3 3 2 2

Esas raices tienen las propiedades (i) aT= ru (ver conjugado) y (ii) I+cot-aT= 0. cublcaclon Calculo del volumen de un salido. Los matematicos tienen tendencia a utilizar el barbarismo cubatura. cublco (polinomio) Polinomio de grado tres. cubo (o hexaedro regular) Poliedro regular con seis caras cuadradas, ocho vertices y doce aristas. cubo truncado Es uno de los s61idos arquimedianos, con seis caras octogonales y ocho triangulares, obtenido al "cortar las esquinas" a un cubo mediante ocho pianos perpendiculares a sus cuatro diagonales, a igual distancia del centro. Las caras del cubo quedan asi reducidas a oct6gonos regulares. cuboctaedro Otro de los s61idos arquimedianos, con seis caras cuadradas y ocho triangulares. Como el anterior, puede obtenerse "cortando las esquinas" a un cubo mediante ocho pianos perpendiculares a sus cuatro diagonales, a igual distancia del centro, pero ahora de manera que las caras del cubo original queden reducidas a cuadrados, con vertices en los puntos medios de las aristas de aquel. Tambien puede obtenerse "cortando las esquinas" de un octaedro regular mediante seis pianos perpendiculares a sus tres diagonales, a igual distancia del centro, pasando por los puntos medios de las correspondientes aristas del tetraedro original. cuerpo (en Mecanica) Es cualquier objeto del mundo real, idealizado en un modelo matematico como particula. cuerpo rigido o cuerpo e/astico. cuerpo (en Algebra) Es un anillo unitario (o con unidad; ver anillo), con Ia siguiente propiedad adicional: 10. Para cada a~ 0, existe un elemento a- 1 tal que aa- 1 = a- 1a = I. (La numeracion del axioma prosigue Ia de Ia tabla correspondiente a Ia estructura de anillo, mas el 9 que define los dominios de integridad; en real idad. de los axiomas I a 6 mas el 8 se deduce que no puede haber divisores de cero en un cuerpo. Si bien muchos de los cuerpos mas habituates son conmutativos y satisfacen por tanto el axioma 7. tam bien los hay no conmutativos, como el de los cuaterniones ). Los mas comunes son el cuerpo Q de los n(uneros racionales, el de los reales R, y el de los complejos C. Otros ejemplos menos corrientes son el de los cuatemiones H y los cuerpos Z P de las closes de restos mOdulo un numero primo p.

curva

curva En el plano o en el espacio tridimensional. es Ia imagen de un camino y, que habitualmente se supone con derivada continua a trozos en el intervalo donde esta definido. Se dice que Ia curva es simple si yes una aplicacion inyectiva (excepto quiza en los extremos). y que es cernda si coinciden las imagenes de los extremos del intervalo dom y. curva de Jordan Curva cerrada simple en el plano. Ver Jordan.

D dado (en latin alea; de ahi el termino aleatorio) Pequeno cubo cuyas caras van numeradas del I al 6. Cuando se arroja un dado, Ia probabilidad de obtener cualquiera de los seis resultados posibles es igual a I/6. datos Son los resultados obtenidos de un experimento, o de una inspeccion u observacion. Con frecuenci~ esos datos constituyen una muestra seleccionada al azar de cierta poblacion. Los datos numericos son discretos si Ia poblacion de Ia que se extraen es tin ita o numerable, y son continuos si esa poblacion es un intervalo. acotado o no. Los datos son nomin•les si los registros no son numericos (cuantitativos), sino solo descriptivos, sin que exista un orden natural entre ellos, como sucede por ejemplo con los datos referidos al pais de origen. tipo de vehiculo, etc. datos estratlflcados Un conjunto de datos esta estratificado cuando se han detinido ciertas categorias entre las que se reparten, teniendo en cuenta cuantos caen en cada categoria para evaluar las .frecuencias. En el caso de datos numericos. con frecuencia se agrupan por intervalos. deca- Prefijo utilizado. por ejemplo con las unidades del Sl. para indicar el producto por I 0. dec6gono Poligono de diez lados. deceleracion Frenado. Supongamos que una particula se mueve a lo largo de una linea recta. sobre Ia que se ha tijado un sentido como positivo. Si Ia particula se mueve en ese sentido, experimenta una deceleracion cuando Ia aceleracion es negativa. Sin embargo, eso noes cierto cuando Ia particula se mueve en sentido contrario (ver ace/eracion). deci- Prefijo utilizado, por ejemplo con las unidades del Sf, para indicar el producto por I o- 1• decil Ver cuantil. decimal (fracci6n) Numero racional expresado mediante Ia representacion decimal. Por ejemplo, 3/4 es una fraccion ordinari~ mientras que 0. 75 es Ia representacion decimal del mismo numero. decimal (representaci6n) Un numero real a comprendido entre 0 y I tiene una representacion decimal. que se escribe en Ia fonna O,d1 d1 d 3 •••• donde cada uno de los d, es uno de los digitos (o cifras) 0, I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9. Eso significa que

dec Imales

86

Esa notacion se puede extender para expresar cualquier numero real en Ia fonna CnCn-1 .•• c, Co. d, d1d3 ... , utilizando para Ia parte entera Ia representacion nonnal en en- I ••• c 1 c0 en base I 0 (ver base (de un sistema de numeracion posicional)). Si Ia representaci6n decimal consiste, a partir de cierto Iugar, en una cadena finita de digitos repetida indefinidamente, tenemos lo que se llama una fraccion peri6dica, que corresponde a·un numero racional. Por ejemplo, Ia fraccion peri6dica 0.12748748748... (que corresponde a Ia fraccion ordinaria 12736/99900) puede escribirse tambien en Ia fonna 0.12748, donde Ia barra indica Ia cadena de digitos que se repite. Esa cadena puede estar formada po!_ una sola cifra, como en 0.16666 ... (= 1/6), que se escribiria tambien 0.16 . Si Ia cadena que se repite consta de un solo 0, este se omite ( Ia representaci6n corresponde en tal caso a un numero racional que es el cociente de un entero por una potencia de I 0). La representaci6n decimal de cualquier numero real es unica salvo en ese ultimo caso, que tam bien_puede expresarse como un decimal con periodo 9. Por ejemplo, 0.25 y 0.249 representan el mismo numero, 1/4. declmales (lugares) AI redondear o truncar un numero a Ia n-sima cifra decimal, el original es sustituido por otro numero que tiene precisamente n cifras despues del punto decimal. Cuando se redondea o trunca a Ia izquierda del punto decimal hay que seftalar explicitamente cual es Ia ultima cifra exacta. Una frase como "a= 1.9 hasta Ia primera cifra decimal' significa que a proviene del redondeo de un numero comprendido entre 1.85 y I. 95. decreclente (funci6n) Una funci6n real de variable real f es decreciente en un intervalo /, si para cada dos puntos x 1 y x 2 de I tales que x 1 < x2 , se cumple quef(x 2) S/(x 1). Se dice quefes estrictamente decreciente en/, si cuando x 1 < x2 , se cumple quef(x2) h, a~ h, donde a y h son ciertas cantidades o expresiones. Dada una desigualdad en Ia que aparece una variable real x, se puede plantear el problema de detenninar explicitamente las solucioaes, esto es, Jo.., valores de x que satisfacen Ia desigualdad. Con frecuenci~ el conjunto dt· soluciones, o coajuato solucioa, esta constituido por un intervalo o un~' union de intervalos. Por ejemplo, el conjunto solucion de Ia desigualdad 6 x-2>-x+J es Ia union de dos intervalos, (-4, -3) u (3, oo). Algunos autores utilizan el tennino 'desigualdad' unicamente para una proposicion en Ia que aparece alguno de los simbolos de mas arriba. que se cumple para todos los valores de las variables que intervienen en ella: por ejemplo, x2 + 2 > 2x es una desigualdad en ese sentido. Para una proposicion con alguno de esos simbolos que 501o se cumple para algunos valores de las variables se utiliza entonces el termino 'inecuacion'. En tal caso, una inecuacion tiene un conjunto solucion., pero una desigualdad no. como sucede con una identidad. desplazamiento Supongamos que una particula se mueve a lo largo de una linea recta., en Ia que hemos seilalado un punto 0 como origen y fijado un sentido como positivo. Sean P Ia posicion de Ia particula en el instante t y lOP I Ia distancia entre 0 y P. El desplaumieato x de Ia particula en el instante 1 es igual a -lOP I si P esta en Ia semirrecta positiv~.

determlnante

95

a lOP I si Pesta en Ia semirrecta negativ~ es decir, Ia medida (con signo) del segmento OP. En el pclrrafo precedente se ha seguido un convenio habitual, suprimiendo el vector unitario i en sentido positivo sobre Ia recta. El desplazamiento es en realidad una magnitud vectorial, que deberiamos escribir en ese caso unidimensional como x i. Para un movimiento en el plano o en el espacio tridimensional hay que utilizar los vectores explicitamente: el desplazamiento x de una partfcula es el vector que expresa su cambio de posicion. Si Ia particula se desplaza desde el punto A hasta el punto B, no necesariamente a lo largo de una recta. su desplazamiento es el vector de posicion deB C£!! respecto a A, esto es, el vector representado por el segmento dirigido AB. desplazamlento-tlempo (grafica) Ver grqfica tiempo-desplazamiento. desvlaclon tiplca Es Ia raiz cuadrada (positiva) de Ia varianza, y se utiliza. al igual que esta. como medida de Ia disper~ttion de los datos de una muestra. Para una distribucion nonnal N (JJ , a 2 ), con media JJ y desviacion tipica a, aproximadamente el 95 o/o de Ia distribucion cae en el intervalo [p- 2a, JJ + 2a ]. La desviacion tipica de un estimador para un parametro desconocido de una poblacion solia llamarse error tipico o error cuadratico medio. determlnante El detenninante det A o 1 A 1 de una matriz cuadrada A puede detinirse como sigue: Consideremos primeramente el caso de matrices I x I o 2 x 2; para una matriz I x I [a], det [a] es simplemente a; para una matriz 2 x 2, A

=[ac

db]'

det A= ad -be.

Para una matriz 3 x 3, A= [a ;1 ], es decir,

all A = D21 [ a31

al2 a22

aiJ] a2J •

a32

°JJ

definimos su detenninante "desarrollando por Ia primera fila": det A= all det [a22 0 J2

a2J]- al2 det [a21 an aJI

a23] +an det [all a33 °JI

a22]. 0J2

Observese que cada uno de los detenninantes 2 x 2 que aparecen en esa formula corresponde al menor que resulta de eliminar Ia fila y Ia columna correspondientes al termino que le acompafia como coeficiente. Teniendo en cuenta Ia definicion de adjunto (de un tennino de una matriz cuadrada bros~~), tambien podemos escribir det A = all All + a 12 A 12 + an An; de

diagonal

hecho, se puede evaluar el detenninante de A desarrollando por cualquier otra fila o columna; por ejemplo, a~ 1 A, 1 + a~~A 3 ;! + a~~A_n es el desarrollo por Ia tercera fi Ia, y a 11 A 1;! + a11 A11 + a J;! A31 el desarrollo por Ia segunda columna; no es dificil probar que todos esos desarrollos proporcionan el mismo valor. Se puede ahora dar una definicion inductiva del detenninante de una matriz n x n, recurriendo a los adjuntos de cualquier fila o columna. que son detenninantes de matrices (n - I) x (n - I) (acompai\ados de un coeficiente ±I). Asi. si A es Ia matriz n x n [a ;1 ]. podemos escribir det A= a 11 A 11 + a 11 A 11 + ... + a 1, A 1, ; tam bien ahora se obtiene el mismo valor desarrollando por cualquier fila o columna. Los detenninantes tienen las siguientes propiedades: (i) Si dos tilas o dos columnas de Ia matriz A son identicas. det A=O. (ii) Si se intercambian dos filas (o dos columas) de Ia matriz A. s61o cambia el signo del detenninante. (iii) Si a una fila (o columna) se le suma un multiplo de otra. el detenninante no cambia. (iv) Si A y 8 son matrices cuadradas del mismo orden. det (A8) = = (det A)(det 8). (v) Si A es invertible. det (A-- 1) = (det Ar 1• (vi) Si A es una matriz n x n. det k A= K' d\!t A. El detenninante de una matriz puede evaluarse recurriendo a operaciones con las tilas y columnas del tipo descrito en (iii). para llegar progresivamente a una matriz cuyo detenninantc sea particulannente facil de hallar. por ejemplo. una matriz diagonal o triangular.

diagonal (matriz) Es una matriz cuadrada A = (a,,] tal que si i ~ j. a;; = 0. es decir. cuyos tenninos fuera de Ia diagonal principal son todos nulos. diagonal (termino) En una matriz cuadrada A = [a,, ]. son los tenninos a11 , a11 •••• , a,,, que constituyen su diagonal principal. diagonal principal (de una matriz cuadrada) Ver el item anterior. dlagonallzable (endomorfismo) Es un endomorfismo cp de un espacio vectorial£ para el que se puede encontrar una base de vectore.~ propio.~. Si E es de dimension fin ita y ! A = {v 1 • v1 , •••• v" } es una base de £ fonnada por vectores propios para cp. Ia matriz de ese endomorfismo respecto de !A es diagonal. fonnada por los valores propios de cp. Si el polinomio caracteristico de cp es p.., (A)= (-1 )" (A-A. 1 t 1 (A,-~ f:. ... (A.-A_. )r· • Ia eondie ion necesaria y suficiente para que cp sea diagonalizable es que Ia dimension de cada subespacio propio coincida con el orden de multiplicidad del valor propio correspondiente en el polinomio caracteristico. esto Www.

dlagrama de cajas

97

que para I S i S s se tenga dim Ker (

0) y k son constantes, y 1 representa alguna medida del tiempo. Cuando k < 0 se dice que y decrece exponencialmente. En tales condiciones, el lapso de tiempo en que Ia cantidad y se reduce a Ia mitad de su valor es el mismo sea cual sea el valor dey; en el caso de las sustancias radiactivas, ese lapso de tiempo se llama periodo de semidesintegracion.

exponenclal (distribuci6n) Ver dislribucion exponencial. exponenclal (funci6n) Es Ia funcion expx = e"', definida para todox e R. Las dos notaciones provienen de los dos enfoques descritos mas adelante. pero se usan indistintamente. Las propiedades mas importantes de Ia funci6n exponencial son las siguientes:. (i) exp (x + y) =(exp x)(exp y), exp(-x) = 1/exp x, y (exp x)' =exp rx. ( Estas propiedades corresponden a las habituates reg las para los exponentes, una vez que se ha comprobado Ia equivalencia entre exp x y ~).

(ii) La funci6n exponencial es Ia inversa de Ia funcion logaritmo: y =exp X si y solo si X = In y.

) d ( ... 111 (exp x) =exp x. dx

x x1 x" (iv) exp xes Ia suma de Ia serie I+-+-+···+-+··· 1! 2! n! (v)

Cuando n--+

oo,

(I+: J--+ exp x.

Se puede definir esa funcion exponencial a partir de tres planteamientos diferentes:

1. Supongamos establecido el valor de e mediante algun procedimiento previo. Se puede entonces definir ec utilizando el primer enfoque para Ia funcion exponencial con base a, d, en el caso particular en que a= e. El problema con este planteamiento es que depende de una previa defi· nicion del numero e, y sobre todo Ia dificultad para probar las demas propiedades de Ia exponencial. www.

JJ9

1. Se puede definir primero Ia funcion In como en el segundo planteamiento de logaritmica (funcion), mediante integrates definidas de Ia funcion /(t) = 1It, y a continuacion Ia funcion exp como in versa de ln. El numero e se define entonces simplemente como el valor exp I, y quedan por probar Ia equivalencia entre exp x y II y las restantes propiedades. Este enfoque es mucho mas satisfactorio desde el punto de vista matematico, aunque tam bien hay que reconocer su artificialidad, y noes muy acorde con las primeras experiencias que el estudiante suele tener de Ia exponenciacion. 3. Tambien se puede tomar como punto de partida para Ia definicion de exp alguna otra de sus propiedades: puede definirse como Ia unica funcion que satisface Ia ecuacion diferencial dyldx = y (esto es, una funcion que coincide con su propia derivada), y que toma el valor I para x = 0. Asimismo se puede adoptar como punto de partida Ia propiedad (iv) o Ia (v). En cada caso es preciso probar que las demas propiedades son consecuencia de Ia definicion elegida. v 1 I

I

.~-

• exponenclal con baH • (funci6n) Sea a un numero real positivo distinto de I. La funcion exponencial con base a es f (x) = a\ detinida para todo x e R. Conviene distinguirla claramente de Ia que suele llamarse 'funcion exponencial' sin especiticar Ia base, que entonces es el numero e.

Las gnificas dey = 2x y dey = (~)" muestran Ia diferencia esencial que existe entre los casos a> 1 y a< 1 (ver tambien exponencial (crecimiento) y exponencial (decrecimiento)).

v'

~1

• r

3~

2~

2~

y=(Jt"

-2

-1

0,

-·-~

1

2

•

-2

-1

Se puede clariticar de dos 1naneras el significado de a': I. Las habituates reglas para el manejo de exponentes (ver el item siguiente) dan un significado a d cuando el exponente x es racional. Para un ~ rn~ponente x irracional hay que aproximar el valor de cl mediante una

exponente

sucesion de racionales que tienda ax. Por ejemplo, six=

J2 , esa suce-

si6n podria ser Ia de las sucesivas sumas decimates, I, 1.4, 1.41, 1.414, .. Como los numeros a, at.", at. 41 , al. 414 , ••• estan bien definidos por tener exponente racional, todo esta en probar que Ia sucesion que forman tiene limite, y ese sera el valor de a.fi. El mismo metodo se puede aplicar para cualquier valor real de x. 2. Si suponemos definida Ia 'funcion exponencial' como inversa del/oga. ritmo (ver segundo enfoque en exponencial (funcion)), se puede tomar como definici6n para una base distinta dee Ia siguiente: d = exp (x In u 1. Este planteamiento es menos elemental, pero mas satisfactorio que 1. De esa definicion se deduce que In (a') = x In a, como cabia esperar, : se puede probar tambien que (i)

cf+Y

= d a",

ax= lid,

y

(a' t

=a'"'·.

(ii) Cuando n es un entero positivo, se cumple con esta definicion qul· d' es el resultado de multiplicar a por si mismo n veces, y que a 1 · es igual a '{;. (iii) .!!__(ax)= ax In a. dx

exponente Sea a un numero real. Cuando el producto a x a x a x a x " se escribe en Ia fonna a\ se dice que 5 es el exponente. Si el exponente e" un entero positivo p, d' significa ax ax ... x a, donde hay p factores iguales a a. Se puede probar facilmente que (i) aP x a 9 = af"WW, (ii) aP I aq = ap-q (a~ 0). (iii) (aP) 9 = apq. (iv) (ab)P = aP bP, donde en (ii). en un primer momento, suponemos que p > q. Se puedt· ahora extender Ia definici6n de aP, pennitiendo un exponente p racional. para lo que hay que dar significado primero a a 0 ya-p con p entero positivo. y luego a '"1", con m entero y n entero positivo. Si queremos que s~ sigan cumpliendo las propiedades (i)-(iv) con p y q racionales, habra qul· dar las siguientes definiciones: (v) a 0 = I, (vi) a -p = I I aP

(a~

0).

(vii) a'" " = ~- (m entero y n entero positivo). 1

Las propiedades (i)-(vii), en conjunto, son las reglas basicas para los exponentes. La misma notaci6n se utiliza en otros contextos; por ejemplo, para detinir zP donde z es un numero complejo, o AP donde A es una matriz cuadrada.

www

t41 0

extremos locales de una funcl6n

para definir gP, donde g es un elemento de un grupo multiplicativo, aun-

que en estos ultimos casos Ia no conmutatividad del producto invalida Ia propiedad (iv).

exterior (de una curva cerrada simple) Ver Jordan. exterior (angulo) (de un poligono convexo) Es el que fonna un lado con Ia prolongacion del contiguo.

externa (bisectriz) (de un poHgono convexo) Es Ia bisectriz de un angulo exterior. externa (fuerza) Cuando un sistema de particulas o un cuerpo rigido se considera como un todo, una fuerza extema es Ia que actua sobre el sistema desde fuera. Comparese con inlerna (fuerza).

extrapolacl6n Supongamos que se conocen los val ores f (x0 ), f (x 1), f(x 2), •••• /(x,) que toma cierta funci6n fen los puntos x0 < x 1 < x 2 < ... < x,, es decir, /, = f (x, ). Para aproximar el valor de fen un pun to x fuera del intervalo [x 0 , x, ] existen varios metodos, aunque normal mente todos ellos son menos tiables que Ia interpolacion, cuando x esta entre x0 y x,. extremo Inferior Para un subconjunto A de R acotado inferionnente (ver colas) es Ia maxima cota inferior, denotada inf A. Puede penenecer a A, como sucede si A = (0, I), en cuyo caso inf A =min A. pero puede tambien estar fuera de A, por ejemplo si A = (0, I]. Se le llama tambien fnfimo.

extremo superior Para un subconjunto A de R acotado superionnente (ver colas) es Ia minima cota superior, denotada sup A. Puede penenecer a A. como sucede si A = (0, I ]. en cuyo caso sup A = max A. pero puede tambien estar fuera de A, por ejemplo si A = [0, I). Se le llama tambien supremo.

extremos (de un intervale) Un intervalo acotado de Ia recta real tiene dos extremos, inferior y superior, que pueden penenecer o no al intervalo (ver ejemplos en los dos itemes anteriores ). Los intervalos no acotados superionnente, del tipo (a. oo) 0 [a. oo), solo tienen extremo inferior, y los no acotados inferionnente, del tipo (-oo, a) o (-oo, a], solo tienen extremo superior.

extremos locales de una funcl6n Ver local (mtiximo) y local (minimo).

www.

f (distribuci6n) Ver distribucion F de Fisher-Snedecor. tector Ver divisor. tectorial Para un entero positivo n, n! (lei do n factorial) es el producto n (n- 1) (n- 2) ... x 2 x 1. Asi pues. 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24, y 10! = ::: 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3 628 800. Tam bien se establece. por definicion. que 0! = 1. Ver tambien gamma (funcion).

familia Una familia de elementos de algun conjunto universal E (que a su vez puede ser el conjunto de las partes de otro conjunto) se fonna asignando a los elementos i de un conjunto de indices I elementos X; de £; asi pues. no es otra cosa que una aplicacion de I en E. solo que en Iugar de escribir x (i) Ia imagen del indice i, se pretiere en este caso Ia notaci6n x,. yen Iugar de 'Ia familia x: I--.E' se escribe simplemente (x, );E=/• o incluso (x, ). sobreentendiendo el conjunto de indices. Un ejemplo de tales familias son las sucesione.... en las que el conjunto de indices es el de los numeros naturales. N.

familia de dletrlbuclonee Distribuciones de probabilidad cuya formula matematica depende de uno o varios parametros (que son en este caso los inc/ice... de Ia familia. ver el item anterior). Dando valores especificos a esos parametros se obtiene cada miembro de Ia familia.

fase Supongamos que una particula se mueve a lo largo de una recta, siendo su de...pla=amiento en el instante I, x (I) =A sen ( CIJ 1 + a ), donde A (> 0). CIJ y a son constantes. Esa particula efectua entonces oscilaciones acercandose y alejandose del origen. La constante a es Ia fase. Dos particulas que oscilan con Ia misma amplitudA y periodo 2n ICJJ, pero distinta fase. realizarian el mismo movimiento. sin mas que variar el origen de tiempos.

femto- Prefijo utilizado. por ejemplo con las unidades del Sistema lnternacional. para indicar el producto por I 0 1~.

Fermat, Pierre de ( 1601-1665) Matematico trances. una de las figuras mas destacadas. junto a Descartes y Pascal. de Ia primera mitad del siglo xvu; recordado sobre todo por sus trabajos en teoria de numeros, que incluyen el 'Pequeno' Teorema y el 'Gran' o 'Ultimo' Teorema que llevan su nombre: inspirado por una edici6n en 1621 de Ia Aritmetica de Diofanto. dedic6 notables esfuerzos al estudio de los numeros primos, obteniendo, ademas de los ya mencionados, resultados tan elegantes como el de que un primo de Ia fonna 4 n + 1 se puede expresar univocamente

Fermat

144

como suma de los cuadrados de dos enteros. No menos interesantes fueron sus investigaciones geometricas y probabilisticas: independientemente de Descartes, al reescribir Ia obra sobre lugares pianos de Apolonio concibi6 Ia posibilidad de asignar coordenadas a los puntos, fundamento de Ia geometria analitica; su estudio de Ia relacion entre curvas y ecuaciones (algebraicas) le pennitio desarrollar un metodo para hallar tangentes, extremos relativos y puntos de inflexion que anticipaban el calculo diferencial de Newton y Leibniz, si bien su adhesion a Ia notacion de Vieta dificult6 que se reconociera .Ia utilidad de ese metodo. En cuanto a sus ideas sobre probabilidad y juegos de azar, contenidas en su correspondencia con Pascal, fueron ampliadas y publicadas por Huygens en su De Ratiociniis in Ludo Aleae ( 1657). Fermat (Pequeno Teorema de) Se conoce con este nombre el siguien-

te resultado: TEOREMA: Sean p un numero primo, y a un entero que no sea divisible

por p. Entonces, a,- 1 • I (moo p). A veces se da tambien ese nombre al siguiente corolario del teorema: Sipes primo y a es cualquier entero aP iii a (mOd p). Fermat (primos de) Son los numeros primos de Ia fonna 2:!'+ I. Aunque Fermat conjetur6 en 1640 que todos los entero~ de esa fonna debian ser primos, Euler mostr6 un siglo mas tarde que 22 + I es divisible por 641.

En Ia actualidad, los unicos primos de Fermat conocidos son los que se obtienen para r = 0, I, 2, 3 y 4. Fermat (Ultimo o Gran Teorema de) Contenido en una nota manus-

crita al margen de su ejemplar de Ia Aritmetica de Diofanto, en Ia que se lamentaba de no disponer de mas espacio para exponer Ia demostracion, ese teorema afinna que para cualquier entero n > 2, Ia ecuaci6n x" + f' = :" carece de soluciones enteras positivas. Los esfuerzos dedicados desde entonces por los matematicos a probarlo han sido ingentes, y hasta 1994 no se ofreci6 una demostracion medianamente satisfactori~ terriblemente complicada y que ocupa centenares de paginas. Cabe, sin embargo, esperar que si de verdad es correc~ pueda simplificarse algun dia.

Feuerbach (Teorema de) Ver circunferencia de los nueve puntas. Fibonacci (c. 1170-1250) Pseudonimo de Leonardo de Pi~ comerciante y matematico italiano que fue el primero en interesarse, tras Ia Edad Oscura, por Ia aritmetica india y arabe. Despues de visitar el Africa musulmana, viaj6 al Oriente Proximo, donde mantuvo contactos con matemati· cos arabes e hizo que le explicaran su sistema de numeraci6n, sus metodos de calculo, las reglas algebraicas y los principios fundamentales de Ia geometria. A su regreso escribi6 un tratado destinado a convenirse en breviario de todos los practicantes del algoritmo: el Liber Abaci ("Tratado del

)45

Fisher, Ronald Alymer

abaCo", 1202), que contribuyo considerablemente a Ia difusion de las cifras "arabes" y al desarrollo del algebra en Europa occidental. A pesar del titulo, con el que Fibonacci pretendia sin duda evitar Ia c6lera de los clerigos que entonces controlaban el monopolio de los numeros, y que preconizaban el uso irrestricto del abaco de fichas, Ia obra no tenia ya nada en com lin con los tratados aritmeticos anteriores, puesto que expl icaba todas las reglas del calculo escrito usando el cero y las nueve cifras regidas por el principio posicional. El Emperador Federico II, enfrentado al Papado, que habia acogido en su cone de Palenno a eruditos de todas las religiones, incluyendo a los herejes albigenses que huian del horror de Ia "cruzada" desatada contra ellos y de Ia persecuci6n de Ia lnquisici6n, se interes6 por Ia obra de Fibonacci, quien le dedic6 en 1225 su Liber quadratorum sobre ecuaciones diofanticas de segundo grado. Tambien difundi6 Ia geometria de Euclides, que habia conocido en las traducciones al arabe de finales del siglo VIII.

Fibonacci (numeros de) Son los que fonnan Ia sucesion de Fibonacci, I, I, 2, 3, 5, 8, 13, ... , en Ia que a partir del tercer tennino cada uno de ellos es Ia suma de los dos anteriores. Esta sucesi6n tiene varias propiedades interesantes; por ejemplo, Ia sucesi6n fonnada por las razones entre cada niunero de Fibonacci y el anterior, I, 2, 3/2, 5/3, 8/5, ... , tiene como Ifmite Ia razon aurea. Ver tambien ecuacion en diferencias y funcion generatriz.

flctlcla (fuerza) Ver fuerzaficticia. Fields (Medalla) Premio que se concede por resultados matematicos sobresalientes, considerado como un 'Premio Nobel en Matematicas'. J. C. Fields propuso en el Congreso lntemacional de Toronto ( 1924) e I establecimiento de una Fundaci6n que otorgara cada cuatro aftos (plazo con el que se suelen reunir los Congresos Intemacionales de Matematicas) dos medallas, que efectivamente se concedieron por primera vez en el de Oslo ( 1936). En algunas ocasiones se ha llegado a premiar a tres o incluso cuatro personas, nonnalmente de menos de cuarenta aftos.

fljo (punta) Ver transformacion (del plano). fila (matriz) Es una matriz de orden I x n, es decir, con una sola fila, del tipo [a 1, a2, ••• , a,]. A veces es util tratar las distintas filas de una matriz m x n como matrices fi Ia individuates. flnlta (serie) Ver serie. flnlta (sucesi6n) Ver sucesion. finltas (diferencias) Ver diferenciasfinitas. Fisher, Ronald Aylmer ( 1890-1962) Genetista y estadistico britanico, bros.RIW estabtecio metodos de disei\o experimental, analisis de varianzas, con-

ftotllnte

trastes de significaci.On de pequei\as muestras (ver contraste t). tab/as de contingencia, etc., que se han venido usando ampliamente en el analisb es-tadistico. Su influyente texto Statistical Methods for Research Workers, publicado en J 925, ha servido como referencia para estudios y cursos de estadistica durante mas de cincuenta ai\os.

flotante (notaci6n de coma o punta) Ver notacion de coma o punru flotante.

fluente Ver el item siguiente. fluxl6n Nombre empleado por Newton para referirse a Ia derivada de una variable, considerada como "fluyente" (de ahi el nombre "fluente') con el tiempo, respecto de este. Si el •fluente • es su fluxion se representaba con un punto por encima, :.

=·

foco Ver conica, elipse. hiperhola y parabola. forma (bilineal, cuadratica. lineal) Ver bilineal, cuadratica,lineal (fonna).

f6rmula de Her6n Ver triangulo. forzadaa (oscilaciones) Ver oscilacionesfor=adas. Foucault (pendulo de) Ver pendulo de Foucault. Fourier [Jean-Baptlat•]JoHph ( 1768-1830) Matematico e ingeniero frances. conocido tambien como egiptologo y hombre de Estado (bonapartista convencido. acompai\o, junto con Monge. a Napoleon en su expedicion a Egipto; a su regreso qued6 encargado de Ia publicacion del ingente material all i recogido. siendo tam bien nombrado prefecto de lsere). Ejerci6 una notable influencia en Ia fisica matematica con su Theorie Analitique de Ia chaleur ( 1822 ). en Ia que mostr6 como podia estudiarse Ia conducci6n del calor en los s61idos mediante Ia descomposici6n de funciones en las series trigonometricas que llevan su nombre, aplicadas mas tarde con exito en otros problemas de contomo. El llamado Analisis de Fourier, o Analisis Annonico. constituye hoy dia una de las ramas mas vigorosas de Ia matematica.

Fourier (series de) Se llaman asi las series trigonometric as del tipo Y2 a0 + (a 1 cos x + h 1 sen x) + (a:! cos 2x + b~ sen 2x) + ... + + (an cos nx + h" sen nx) + ... Aunque ya habian sido utilizadas por Euler y otros matematicos del siglo XVIII, cobraron una imponancia decisiva cuando se comprobO que graficas con saltos o discontinuidades podian representarse analiticamente mediante tales series, lo que llev6 a una revision drastica del concepto de funcion. No es una mera coincidencia que ese concepto surgiera en su fonna actual, como correspondencia, en una memoria de Dirichlet ( 183 7) dedicada a las series de Fourier. Mas tarde, a finales del siglo XIX,~

tracclonee elmplea

J.t7

investigaciones de Riemann. Cantor, Borel. Lebesgue y otros sobre las representaciones de funciones arbitrarias mediante series de Fourier, Ia unicidad de tal representacion y su convergencia. etc .• suscitaron las modemas teorias de conjuntos y de Ia integracion. Por otra parte. las propiedades de las series de Fourier sugirieron a Hilbert Ia idea de generalizar el producto escalar de vectores o n-plas de nl.uneros a ciertos espacios de funciones. como el de las continuas en el intervalo [0, 21r ]; mas concreta-

J

2.11'

mente. Ia fonna bilineal simetrica

(!.g)=

/(t) g(t) dt es definida posi-

o

" 2x, ... tiva. y Ias func .aones (.....,w\-l"' , .. , -. Tr_,..,-sen x, TC_,,...,-cos x. Tf 1..,-sen 2x• 1( 1'"-cos

constituyen un sistema ortononnal ~ ese producto; sin embargo. con Ia distancia II/- g II=(/- g. f- g)'·- hay sucesiones (In) no convergentes para las que II f, - .t:, II se puede hacer tan pequefto como se quiera. por lo que hay que completar el espacio funcional asi fonnado siguiendo el modelo de Ia construccion de R a partir de Q. El espacio •completo' resultante es el de las (clases de) funciones de cu•dndo integrable en [0. 2Tr].

trace Ion La fracci6n a! b. donde a y b son dos enteros positivos, surgi6 como concepto geometrico, dividiendo Ia unidad de longitud en b partes de las que se toman a. El entero a es el numerador de Ia fracci6n. y b su denomia•dor. Se trata de una fr•cclon propia cuando a< b, e impropia si a > b; estas se pueden expresar en Ia fonna c + d le (fraccioa mixta o aumero mixto), donde c es un entero (Ia parte entera de Ia fracci6n alb) y cld es una fracci6n propia. Por ejemplo. 3 '12 es Ia fraccion mixta que tambien se puede escribir 7/2. fracclonarla (parte) Para cualquier numero real x, su parte fraccionaria es x- (x]. donde [x] es Ia parte entera de x, es decir, el mayor entero que es menor o igual que x. La parte fraccionaria de cualquier numero real x satisface las desigualdades 0 S x- [x] < I.

fracclonea almplea Sean /(x) y g (x) dos polinomios con coeficientes reales, de fonna que el cociente /(x) I g (x) define unafuncion racional. y supongamos que el grado de /(x) es estrictamente menor que el de g (x). En general, g (x) puede descomponerse (en el anillo R [x]) en producto de ciertos factores lineales elevados a diversas potencias, por otros factores cuadraticos irreducibles (en R[x ]. esto es, sin raices reales) con sus respectivos exponentes. La fraccion original /(x) I g (x) puede entonces descomponerse en suma de diferentes tenninos llamados fracciones simples: a cada factor del tipo (x - a )"de g (x) le corresponde una suma

__.1._+ x-a

A2

(x-a) 2

+···+

A, (x-a)" •

y a cada factor del tipo (or+ bx +c)"' con b2 < 4ac, una suma Libros.me

fractal

148

B1x+C1 ax 2 + bx + c

-~-~+

B2x+C2 B,x+C, +···+-......;.;.;.._........;.;.;_ 2 2 (ax + bx + c) (ax 2 + bx +c)"' '

donde los numeros reales representados por tetras maylisculas estan univocamente detenninados. Aunque el procedimiento parece quiza complicado a primera vista, enWlCiado en esa fonna general, se comprendeni mejor con \D10S cuantos ejemplos:

3 A B -----=--+--, (x-l)(x+2) x-1 x+2 3x 2 + 2x + I A B C --~3~=--+ 2 + J' (x-1) x-1 (x-1) (x-1) 3x+2 A Bx+C Dx+E ., .,=--+2 +., .,, (x-l)(x .. +x+l).. x-1 x +x+l (x .. +x+l) ..

3x+2 A B Cx+D 2 2 2 ( x - I)( x + x + I ) = x - I + ( x- I ) + x 2 + x + I · Los valores de los numeros A, B, C, etc., se obtienen multiplicando ambos miembros por el denominador g (x). En el ultimo ejemplo, pongamos por caso, resulta 3x + 2 = A (x - 1)(r + x + 1) + B + x + 1) + (ex + D)(x - 1)2• Como esa igualdad debe cumplirse para todos los valores reales de x, se pueden igualar los coeficientes de cada una de las potencias de x en los dos miembros, de donde resultan los valores A = -2/3, B = 513, C = 2/3, D = I /3. En algunos casos se pueden detenninar esos coeticientes mas rapidamente dando a x algunos val ores particulares (si en Ia ecuaci6n de mas arriba hacemos X= I resulta inmediatamente s = 38). La descomposici6n en fracciones simples es particulannente util en Ia integracion de funciones racionales.

(r

fractal Es un conjunto cuya dimension fractal noes entera. Se trata de objetos con una estructura muy complej~ a menudo con algun tipo de autosemejanza, de fonna que cualquier parte del conjunto, por pequei\a que sea, contiene una versi6n a escala reducida del propio conjunto. Ver como ejemplos el conjunto ternario de Cantor, el conjunto de Mande/brot y Ia curva de Koch. fractal (dimensi6n) Es una extension de Ia nocion de dimension, que puede tomar valores no enteros, mas apropiada para detenninados objetos geometricos complejos. La curva de Koch, por ejemplo, tiene dimension fractal In 4 I In 3 == 1.26, lo que retleja el hecho de que es . mas extenso' que una simple curva, sin llegar a serlo tanto como un disco o cualquier

149

Frege, [Friedrich Ludwig] Gottlob

otra figura plana habitual. El conjunto de Cantor tiene dimension fractal In 2 I In 3. Ese concepto y otros relacionados con el, como Ia entropia o los exponentes caracteristicos, se han revelado de gran utilidad en el estudio de procesos 'caoticos' (ver caos). trecuencla (en Estadistica) La frecuencia absoluta es el numero de veces que se produce determinado resultado al observar una muestra. Cuando se agrupan los datos, Ia frecuencia de cada grupo es el numero de resultados que caen en el; cuando se agrupan datos numericos en intervalos, Ia frecuencia de cada uno de ellos es Ia cantidad de datos pertenecientes a ese intervalo. Se utiliza mas, sin embargo, el concepto de frecuencia rea.tiv•. que es el cociente de Ia absoluta por el numero total de observaciones o datos de Ia muestra. frecuencla (en Mecanica) Cuando un cuerpo oscila, o lleva a cabo un movimiento ciclico de periodo T. su frecuencia es I IT. La frecuencia es, pues, el numero de oscilaciones o ciclos por unidad de tiempo. Su dimension es T 1, y Ia unidad de medida en el Sistema lntemacional es el hertzio. tambien escrito herzio o hercio. frecuencla acumulada Es Ia suma de las frecuencias de todos los valores hasta uno detenninado. Si los valores x 1• x2• •••• x". ordenados de forma creciente. se producen con las frecuencias J; .12 .... ,f,, Ia frecuencia acumulada en xP es x 1 + x~ + ... + xP. Se puede definir de manera analoga para datos estratiticados o agrupados. frecuencla angular Es Ia constante m que aparece en Ia ecuacion d~xld1 2 + m 2 x = 0 del movimiento arm6nico simple, cuyas soluciones son de Ia fonna x =A cos CIJ 1 + B sen CIJ 1 ; el producto m t, donde t es el tiempo. actlia en ciertos aspectos como un angulo. La frecuencia angular se mide habitualmente en radianes por segundo. La frecuencia de las oscilaciones es igual a CIJ 12tc. frecuenclas (distribuci6n de) Para datos nominates o discretos, se llama distribuci6n de frecuencias a Ia informacion consistente en el conjunto de posibles val ores y sus correspondientes frecuencias. Para datos estratificados o agrupados, consiste en el conjunto de grupos y sus correspondientes frecuencias. Se puede presentar mediante una tabla o en un diagrama de barras, un hislograma, etc. frecuencla (distribuci6n acumulativa de) Para datos nominales o discretos, se llama distribucion acumulativa de frecuencias a Ia informacion consistente en el conjunto de posibles valores y sus correspondientes frecuencias acumuladas. Para datos agrupados, consiste en el conjunto de grupos y sus correspondientesfrecuencias acumuladas. Se puede presentar mediante una tabla o en un diagrama de barras, un histograma, etc. Frege, [Friedrich Ludwig] Gottlob (1848-1945) Matematico y filobros.rmfo alem~ que fue uno de los fundadores de Ia logica matematica. En su

frlccl6n

15u

Begriffsschrift r·Escrito conceptual'", 1879) y en Die Grundlagen der Arithmetik r·Los Fundamentos de Ia Aritmetica". 1884) desarrollo su~ ideas clave y Ia notaci6n ahora habitual de cuantificadores y variables. La~ criticas desfavorables que recibi6 amargaron su caracter. y en el segundo volumen de sus Grundgesetze der Arithmetik c·Leyes Fundamentale\ de Ia Aritmetica"'. 1903; el primer volumen es de 1893 ), ademas de verst~ obligado a cambiar (inutilmente) uno de sus axiomas con el fin de evitar Ia aparici6n de contradicciones como Ia paradoja de Russell, respondi(·, con gran dureza a sus criticos.

trlccl6n Supongamos dos cuerpos en contacto. y que Ia fuerza de fricci6n y Ia reacci6n normal tienen respectivamente los val ores F y N (vcr fuerza de contacto ). El coeficiente de friccion ntatica JJ ,. es el cocientt· FlN en el caso limite en que cada uno de ellos esta a punto de moverse con respecto al otro. Asi pues, si ambos cuerpos se mantienen en reposo relativo con respecto al otro, se tiene F S JJ •. lV. El coeficiente de friccion cinetica JJ ,. es Ia raz6n Fl N cuando los cuerpos resbalan el uno con respecto al otro. Esos coeficientes de fricci6n dependen de los materiales qut· constituyen ambos cuerpos. Normal mente JJ ,. es algo menor que JJ ~ . Ver tambien el siguiente item,friccion (angu/o de).

trlccl6n (angulo de) Es el angulo A. que viene dado por Ia relaci6n tg A= JJ", donde JJ ,. es el coejiciente de .friccion e.~tatica. Consideremo~ un bloque situado sobre un plano horizontal, como se ve en Ia figura. En el caso limite. cuando el bloque esta a punto de moverse hacia Ia derecha a causa de Ia fuerza aplicada de magnitud P, N =mg. P =F y F =JJ ~ .\·. La fuerza de contacto, de componentes N y F. fonna entonces un angulo A con Ia vertical. N

F

frlccl6n (fuerza de) Ver fuerza de contacto. fuerza En el mundo real, Ia experiencia de ia fuerza forma parte de Ia vida cotidiana. Los seres humanos, como los demas animales, emplean Ia fuerza de sus musculos para mover objetos; un motor produce una fuerza que puede aplicarse para hacer girar una rueda, etc. Otras fuerzas identificables son Ia de Ia gravedad, las fuerzas de rozamiento entre dos cuerpoww

t51

fuerza flctlcla

(uerzas que defonnan o restauran el aspecto de un objeto, y fuerzas elec-

tricas y magneticas. El modelo matematico usual de fuerza le otorga magnitud, direcci6n, sentido y un punto de aplicacion ( ver, no obstante, campo de .fuerzas ). Una (uerza individual actlia en un punto y se representa por un vector anclado, cuyo mOdulo es proporcional a Ia magnitud de Ia fuerza, y su direcci6n y sentido, los de esta. Las dimensiones de Ia fuerza son MLT ~, y su unidad en el Sistema lntemacional es el ne,•·ton.

tuerza de contacto Cuando dos cuerpos estan en contacto, cada uno de ellos ejerce una fuerza de contacto sobre el otro, siendo ambas opuestas ,. de igual magnitud. La fuerza de contacto es Ia suma de Ia fuerza de fric~ioa y Ia reaccion normal, tangente y perpendicular respectivamente a las superficies en el punto de contacto. Si Ia fuerza de fricci6n es nula, se dice que el contacto entre ambos cuerpos es suave; en caso contrario se dice que ese contacto es aspero. Si ambos cuerpos se encuentran en movimiento relativo el uno con respecto al otro. Ia fuerza de fricci6n se opone a ese movimiento. Ver tam bien .friccion.

fuerza flctlcla Es Ia que puede suponer que existe un observador cuyo sistema de referencia se mueve con aceleraci6n no nula con respecto a un sistema de referencia inercial. Sup6ngase, por ejemplo. que un sistema de referencia con origen 0 gira (con respecto a un sistema de referencia inercial con el mismo origen) en tomo a un eje que pasa por 0. La segunda ley del movimiento de Newton se cumple en sistemas inerciales. pero a un observador ligado al sistema de referencia que gira le parecera que los moviles estan sometidos a una ley del movimiento con tenninos adicionales, que puede atribuir a fuerzas ficticias, con el fin de que Ia ley de Newton se satisfaga en su sistema de referencia. Considerese el caso particular en que el sistema de referencia no inercial gira con velocidad angular constante w, y que una particula P se mueve en el plano perpendicular a esa velocidad angular que pasa por 0. Se puede incorporar entonces a Ia ecuacion del movimiento de Ia particula una fuerza ficticia con Ia direccion del segmento OP, llamada fuena centrifuga; es Ia que experimenta el que cabalga en un caballito del tiovivo. Pero hay tambien una segunda fuerza ficticia perpendicular al eje de rotacion y a Ia trayectoria de P. llamada fuena complementaria o de Coriolis (Ia aceleraci6n correspondiente es el doble del producto vectorial de Ia velocidad relativa v de P por co). El efecto de esa fuerza fictici~ estudiada y descrita por primera vez por el ingeniero y matematico frances Gustave-Gaspard Coriolis ( 1792-1843), puede apreciarse, por ejemplo, en Ia trayectoria de un misil intercontinental lanzado en direcci6n tangente a un meridiano: Ia rotaci6n de Ia Tierra brosiM parecer que se desvi~ hacia Ia derecha en el hemisferio Norte y hacia

fuerza total

Ia izquierda en el Sur. Otros efectos notables de Ia fuerz.a de Coriolis son los vientos alisios que soplan del Nordeste en el hemisferio boreal, y de· I Sudeste en el austral; el giro de las conientes marinas ode un liquido que escapa por un sumidero, en el sentido de las agujas del reloj en el hemi-..ferio Norte y en el contrario en el Sur; Ia mayor erosion en el hemisferi,, Norte del margen derecho de los rios o del canil derecho en el sentido d~ Ia marcha en los ferrocani les de doble via, etc. Ver tam bien pendulo ell· Foucault. fuerza total Es el vector suma de todas las fuerzas que actuan sobre un,t particula, sistema de particulas o cuerpo rigido. fulcro Ver palanca. funcl6n (real de variable real) Es una aplicacion cuyo dominio y recurrido son subconjuntos del conjunto R de los numeros reales; nonnalmente el dominio (o conjunto de part ida de Ia funci6n) es un intervalo, o un,, union de intervalos. Como para cualquier aplicaci6n, se suele utilizar b notaci6n f: I~ R para indicar una funci6n real definida en I (o con dominio 1). aunque tambien se expresa tal funcion f mediante Ia ecuacion y = f (x), sin especificar el dominio. Para cada elemento x de I, el unicn numero asociado a x mediante f se denota f (x), y se denomina imagen de x por fo valor de f en x. El subconjunto de R fonnado porIa" imagenes de los elementos de I por /. I (y e R ) " ( 3 x e I tal qul' /(x) = y)}, es Ia imagen o recorrido de /. /(1) 6 im /. y el subconjuntP {(x,f(x)) I x e I } de R 2 es Ia grafica de f.

tv

funcl6n escalonada Ver escalonada (funci6n). funcl6n generatrlz (de una sucesi6n) Ver generatri: (funcion). funclonal (lineal) Es cualquier forma lineal sobre un espacio vectorial

J h

de funciones; por ejemplo, Ia integral definida

/(t) dt es un funcional

Q

lineal sobre el espacio de las funciones reales continuas en el intervalo (a, b]. funclones clrculares o trlgonometrlcas Ver trigonometricas (funciones). tunc Iones clrculares lnversas Ver inversas ( funciones circulares o trigonometricas ). funclones hlperbOIIcas Ver hiperbolicas (funciones). funclones hlperbOIIcas lnversas Ver inversas (fimciones hiperb6licas). Fundamental (Teorema) Ver Teorema Fundamental (del Algebra. de Ia Aritmetic~ del Calculo, de Ia Teoria de Juegos, etc.). www

G Gallleo Gall lei ( 1564-1642) Matematico, fisico y astronomo italiano, que establecio el metodo experimental en Mecanica, combinandolo con Ia teoria; para el, uel Libro de Ia naturaleza esta escrito con caracteres matematicos", y se trata de saber leer esos caracteres. Hacia 1604 consiguio refutar Ia afinnacion de Arist6teles de que los cuerpos mas pesados caen a mayor velocidad, fonnulando y verificando Ia ley s = Y2 at 2 del movimiento unifonnemente acelerado. y probando tambien Ia trayectoria parab61ica de los proyectiles. En 1609 llego a su conocimiento Ia reciente invencion del telescopio, y construyo uno para su uso en Ia observaci6n astronomies. anunciando a continuacion en su infonne Sidereus Nuncius C'EI Mensajero de los Astros", 161 0), una serie de descubrimientos: Ia irregularidad de Ia superficie lunar, los satelites de Jupiter y los anillos de Satumo. etc. En 1613 se atrevio a hacer publica. en un infonne sobre las manchas solares. su adhesion a Ia teoria copemicana, que ya habia confesado privadamente a Kepler en una carta de 1597. La reacci6n de Ia lnquisicion no se hizo esperar, y en 1616 se conden6 como "falsa y err6nea" Ia teoria del movimiento planetario en tomo al Sol y se impuso el silencio a Galileo, quien dedic6 varios aftosa escribir su gran libro Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, tolemaico y copernicano ( 1632). Aunque en un principio cont6 con Ia autorizacion para publicarlo, en junio de 1633 fue condenado para el resto de su vida a prisi6n, conmutada en arresto domiciliario. por haber "mantenido y ensei\ado" Ia doctrina heretica de Copemico.

Galois, Evarlste ( 1811-1832) Matematico frances. famoso tanto por su contribucion al algebra con sus grupos de automorfismos de un cuerpo, que dejo definitivamente zanjadas cuestiones de tan larga tradici6n como Ia duplicacion del cubo o Ia triseccion de un angu/o, como por su tragica muerte en un duelo, a Ia edad de veinte aftos. despues de pasar Ia noche en vela escribiendo su testamento cientifico. lgnorante de Ia demostraci6n de Abel ( 1824) para las ecuaciones de quinto grado, hacia 1827 emprendi6 Ia caracterizacion de las ecuaciones algebraicas resolubles por radicales, lo que le llev6 al estudio de las pennutaciones "admisibles" entre las eventuates raices. De sus tres comunicaciones a Ia Academia de Ciencias. las dos primeras fueron perdidas por Cauchy y Fourier, y Ia tercera rechazada por Poisson, al tiempo que fracasaban sus intentos por entrar en Ia Ecole Polytechnique y se veia expulsado de Ia Nonnale Superieure y encarcelado durante seis meses por un articulo fervientemente republicano contra Ia entronizaci6n de Louis-Philippe. Segun parece, el duelo en que perdi6 Ia vida fue provocado por un policia mon3rquico.

Galton, Francie

154

Galton, Francia { 1822-1911) Explorador y antrop61ogo ingles, primo de Charles Darwin, cuyo interes se centro principalmente en Ia eugenesia (tennino acunado por el mismo), esto es, en Ia aplicacion de las leyes de Ia herencia biol6gica al perfeccionamiento de Ia raza humana. Fue un pionero en el calculo de correlaciones y regresion, y su pasi6n por el enfoque estadistico de los problemas se muestra, por ejemplo, en un articulo de juventud sobre Ia eficacia de las plegarias.

gamma (funci6n) Generalizacion del factorial de un numero a valore" no enteros, que aparece en varias funciones de densidad de distribucione\ de probabilidad continuas (ver distribucion ide Pearson y distribucion r de Student). Se define como una integral impropi~ para valores positivo" de Ia variable p, como f(p)

=-Je-txp-t dx, 0

y se prueba facilmente que r (1) = 1 y que para p ~ I r ( p) = ( p - II f ( p- I), de fonna que sip es un entero positivo, f ( p) = ( p- I)!.

Gauea, Carl Friedrich ( 1777-1855) Matematico y astronomo aleman. quiza el mayor de todos los tiempos en el campo de Ia matematica pura (sl· le llam6 princep.t mathematicorum), si bien realizo asimismo importantisimas contribuciones en matematica aplicada, fisica, astronomia y geodesis. Fue lo que se suele llamar un •nii\o prodigio', distinguiendose en Ia escuela secundaria por su facilidad para las lenguas antiguas y las matematicas y concibiendo antes de cumplir los diecisiete ai\os muchos de su~ descubrimientos. A los dieciocho dio a conocer su metodo de los minimos cuadrados y un metodo para construir el poligono regular de 17 lados con regia y compas; a los veintidos obtuvo el doctorado con su demostracion del Teorema Fundamental del Algebra, y a los veinticuatro publico Ia~ Disquisitiones Arithmeticae, de enonnes consecuencias en Ia Teoria de Numeros, en las que hizo amplio uso de los complejos, hasta entonces utilizados solo de fonna intuitiva (ver, no obstante, Euler (formula o identidad de)). si bien hasta 1832 no publico una exposicion detallada de Ia formalizaci6n del plano complejo. En 1809, tras haber sido nombrado dos aiios antes director del Observatorio de Goting~ aparecio su Theoria Motus Corporum Coelestum, todavia en uso. Hacia 1820 su atencion se volc6 hacia Ia geodesi~ desarrollando Ia teoria de las superficies curvas ~ los metodos que ahora se conocen como 'geometria diferencial'. Cuando Bolyai y Lobachevsky dieron a conocer hacia 1830 sus investigaciones sobre geometrias no euclideas, Gauss apoy6 sus conclusiones, insinuando que desde hacia treinta ai\os tambien el habia supuesto que podia suprimirse el postulado de las parole/as sin perder consistencia; su voluntad de rigor le retrajo tam bien de Ia publicaci6n de sus importantes resultados en

Gauaa-Jordan

)55

analisis complejo. En 1840 dio a conocer, no obstante, un importante articulo sobre analisis real, motivado por su interes en gravitaci6n y magnetismo, que aunque no cumplia esa habitual exigencia fue el punto de partida para Ia modema teoria del potencial y posibilit6 el desarrollo de Ia telegrafia. Tambien se debe a el Ia distribucion conocida por los estadisticos como normal.

gaunlana (distribuci6n) = distribucion normal. gaunlana (eliminaci6n) Procedimiento sistematico para resolver un sistema de ecuaciones lineales en varias incognitas. fundamento de los diversos metodos utilizados con ese fin en computaci6n. Se lleva a cabo nonnalmente mediante operaciones elementales de jilas en Ia matriz ampliada a:! I

a.,.,

a, 1

a,~

a,,

b,.

para llevarla a Ia forma escalonada, dividiendo Ia primera fila por a 11 (supuesto que no sea nulo; de lo contrario hay que cambiar antes esa primera fila por otra) y restando entonces los multiplos adecuados de esa fila de las demas, para obtener una matriz de Ia fonna I

0 '12

' a,, a~,

'

b' 1 h'.,

' a,,

b',

A partir de ahi se repite el proceso con las restantes tilas, dividiendo Ia segunda por a''!1 para obtener un I. y restando los multiplos adecuados de Ia fi Ia obtenida a las siguientes para tener ceros bajo ese I, y asi sucesivamente. En cada etap~ el sistema de ecuaciones resultante tiene el mismo conjunto de soluciones que el original (ver tambien sistemas de ecuaciones lineales).

Gauss-Jordan (eliminaci6n de) Es una extensi6n del metodo anterior de eliminacion gaussiana: en cada ocasion en que se ha obtenido un l en Ia diagonal, se restan multiplos adecuados de Ia correspondiente fila, no s61o de las siguientes, sino tambien de las anteriores, de manera que por encima y por debajo de ese I s61o queden ceros. La matriz ampliada queda asi transfonnada en su fonna escalonada reducida. Este metodo requiere mas operaciones que Ia eliminacion gaussiana simple seguida de Ia sustitucion hacia att·as de las soluciones que se van obteniendo a partir de Ia ultima ecuacion, por lo que no es recomendable, si el objetivo solo es el de obtener las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

gener11trlz

156

generatrlz Ver cilindro y cono. generatrlz {funci6n) La serie de potencias G (x) =g0 + g 1 x + g 2 r + g 3 xl + ... + g,.x" + ...

es Ia funcion generatriz de Ia sucesi6n infinita g 0 , g 1 , g 2 , g 3 , ••• , g,, ... (observese que conviene aqui comenzar por un tennino con subindice 0). Las series de potencias se pueden manipular algebraicamente, y se puede probar, por ejemplo, que I 2 1 - - = I +x+x +x· +···, l-x I ---., =I+ 2x + 3x·., + 4x J + · · ·. (1- x) ..

Asi pues, I/( I - x) y I/( I - x)2 son respectivamente funciones generatrices de las sucesiones I, I, I •. I, ... y I, 2, 3, 4, ... . La sucesion de Fibonacci fo, \ft , h , fi, ... , /,, ... , donde lo = I, It = I, ) fn+2 =In+ I + /,, tiene Ia funci6rl\generatriz I/( I -X - r ). El uso de funciones generatric~ pennite operar con sucesiones de forma concisa y algebraica. Una ecuaci6n en diferencias para una sucesi6n puede a veces expresarse como una ecuaci6n para Ia correspondiente funci6n generatriz, y llevando a cabo por ejempl~ una descomposici6n en fracciones simples podemos encontrar una fonnula general para el tennino enesimo de Ia sucesi6n.

geodesic• Curva que une dos puntos de una superficie, siendo Ia de menor longitud entre todas las posibles. Sobre Ia esfera, las geodesicas son arcos de circunferencia maxima, y Ia geodesica que une dos puntos es unica a menos que se trate de puntos antipodas. geometrias no euclideas Despues de numerosos intentos de deducir el postulado de las para/e/as del resto de postulados y axiomas expuestos al inicio de los Elementos de Euclides, Lobachevsky y Bolyai (ver tambien Gauss) consiguieron construir hacia 1830 ejemplos de geometrias no euclfdeas en los que ese postulado no es valido, demostrando asi su independencia. En Ia llamada geometrfa biperbOlica, por un punto que no este sobre una recta pasa mas de una paralela a es~ mientras que en Ia geometrfa elfptica no hay paralelas. geometric• (distribuci6n) Ver distribucion geometrica. geometrlca {media) Ver media. geometrlca (progresi6n) Ver progresion geometrica. geometrlca {serie) Ver serie geometrica.

grado

157

glga- Prefijo utilizado, por ejemplo con las unidades del Sistema Jntemacional, para indicar el producto por I09 • Godel, Kurt ( 1906-1978) Logico y matematico nacido en Bmo (Checoslovaquia), profesor de Ia Universidad de Viena desde 1930, emigrado en 1940 a Estados Unidos. Demostro en 1931 que en cualquier sistema axiomatico hay proposiciones indecidibles, es decir, cuya verdad o falsedad no puede probarse, acabando asi con las esperanzas de cuantos pretendian establecer un sistema consistente de axiomas del que pudieran deducirse todas las matematicas. En particular resulta de su famoso Teorema en el cual demuestra que no puede probarse Ia consistencia de Ia aritmetica elemental desde dentro del sistema mismo. Goldbach, Christian ( 1690-1764) Nacido en K6nigsberg (Prusia), en 1725, fue nombrado profesor de matematicas e historiador de Ia Academia Imperial en San Petersburgo, y tres ai\os despues tutor del zar Pedro II en Moscu. Se le recuerda sobre todo por su famosa conjetura ( ver el siguiente item), que propuso en 1742 en una carta a Euler. Goldbach (conjetura de) Segun ella, todo entero par, mayor que 2, seria Ia suma de dos primos. Nadie ha conseguido hasta Ia fecha demostrarla o refutarla, aunque si se ha verificado para los I00 000 primeros numeros naturales, y sigue siendo uno de los mas famosos problemas no resueltos de Ia Teorfa de Numeros. googol Tennino de origen ingles inventado por el matematico americano Edward Kastner en los silos cuarenta. Designa el numero I 0 elevado a I00, que sobrepasa todo lo que es posible contar o medir en el mundo propiamente fisico. googolplex La googolesima potencia de I0. En notaci6n decimal, un I seguido de 10 100 ceros. Gosset, William Sealy ( 1876-1937) Cientifico industrial y estadistico britanico, conocido en matematicas por Ia distribucion 1 de 'Student', pseud6nimo con el que publicaba sus articulos. Sus primeros trabajos en estadistica tuvieron como estimulo Ia mejora de Ia producci6n de Ia fabrica de cerveza para Ia que trabajaba. El articulo donde propuso Ia dislrihucion 1 aparecio en 1908. gradlente (de una funci6n de varias variables) Para una funci6n real /definida en un dominio D de R", su gradiente en un punto a de Den el que fsea diferenciable es el vector cuyas componentes son las derivadas parcia/es de fen ese punto, (d f/ I (a), f/ ax2 (a), ... f/ Xn (a)), que se denota por grad /(a) o V f(a), o tambien Va f. El campo vectorial gradieate V f es Ia aplicacion que asocia a cada punto x de D el gradiente de fen x.

ax

a

bros.Mtado (de un polinomio) Ver polinomio.

,a a

grado

grado (de un vert ice de un grato) El grado de un vert ice v de un graf0 es el numero de aristas que concurren en v (si se admiten la=os, cada unu de los que unen v consigo mismo se cuenta dos veces). En el grafo de Ia izquierda, los vertices u . v, "' y X tienen los grados 2, :. 3 y I' respectivamente. El de Ia derecha tiene los vertices v, . v:!' VJ y \'~ . con grados 5, 4 . 6 y 5. 11

gradol de llbertad (en Estadistica) Es un entero positivo. por lo corriente igual al numero de observaciones independientes en una muestra menos el numero de parametros de Ia poblaci6n que se deben estimar .t partir de ella. Por ejemplo . cuando se aplica un contra!Ue (o test) a un~t tabla de contingencia, con h fi las y k columnas, el numero de grados dl· libertad es (h- I )(k- I).

i

gradoa de llbertad (en Mecanica) El numero de grados de libertad dl· un cuerpo es el mfnimo numero de coordenadas independientes necesario para definir su posicion en cada instante con respecto a un sistema de referencia dado. Una partfcula en movimiento rectilineo o circular tiene un grado de libertad, como un cuerpo rigido que gira en tomo a un eje. Una particula que se mueve en un proyectil, por ejemplo . o sobre un cilindro o una superticie esferica. tiene dos grados de libertad. Un cuerpo rigido en un movimiento generico tiene seis grados de libertad.

gradoa(medida angular) La medici6n de los angulos en grados sesageslmales se remonta a Ia matematica babilonica. hacia el 2000 a. de C. Un giro completo, o Ia circunferencia.. se divide en 360 grados (0 ); los angulos rectos miden 900. Cada grado se divide a su vez en 60 minutos ('). y cada minuto en 60 segundos ("). En estudios mas avanzados los angulos deben medirse en radianes.

gr6flca o grafo(de una aplicaci6n o funci6n) Para una aplicacion.f (llamada tam bien a veces funcion, aunque ese nombre suele reservarse para las aplicaciones cuyos valores son numeros) de CaD . escrito normalmente f. C -+ D, donde C y D son dos conjuntos no vacios, el subconjunto {(x, /(x)) I x e C} del producto cartesiano C x Des el grafo o grifica de f; el ultimo tennino se suele reservar para las funciones reales de una o varias variables reales, de manera que si f es una funci6n real de variable real, su gr8fica es el conjunto de los pares (x. y) de R 2 tales que x esta en el dominio de f e y =f(x). Para muchas de las funciones mas~-

grtlflca tlempo-velocldad

tuales., ese conjunto de puntos constituye una curva de un tipo especifico

(quiza con varias componentes), que puede dibujarse en el plano. Normalmente se entiende por gnifica de Ia funcion esa curva, de ecuacion y = j(x).

gr6flca tlempo-aceleraclon Es una grafica que muestra Ia aceleraci6n como funcion del tiempo para el movimiento de una particula a lo largo de una linea recta., en Ia que hemos sei\alado un punto 0 como origen y fijado un sentido como positivo. Sean v (I) y a (I) Ia velocidad y Ia aceleraci6n., respectivamente., de Ia particula en el instante 1. La graifica tiempoaceleracion es Ia de Ia funcion J' =a (I), tomando como eje de abscisas el de los tiempos y como eje de ordenadas, con direccion positiva hacia arriba.. el de las aceleraciones. Con el convenio de que las areas bajo el eje de abscisas son negativas, el area por debajo de esa gnifica entre las verticales 1 =11 y 1 =11 es igual a Ia diferencia v (11 ) - v (1 1). (Se ha seguido aqui un convenio habitual, suprimiendo el vector unitario i en sentido positivo sobre Ia recta. La velocidad y Ia aceleracion de Ia particula son en realidad magnitudes vectoriales. que deberiamos escribir en ese caso unidimensional como v(l)i y a(l)i. respectivamente.) gr6flca tlempo-desplazamlento Es una grafica que muestra el desplazamiento como funcion del tiempo para el movimiento de una particula a lo largo de una linea recta. en Ia que hemos seilalado un punto 0 como origen y fijado un sentido como positivo. Sean P Ia posicion de Ia particula en el instante 1 y lOP I Ia distancia entre 0 y P. El desplazamiento x(l) de Ia particula en el instante 1 es igual a I OP I si Pesta en Ia semirrecta positiva y a - I OP I si P esta en Ia semirrecta negativa. Dicho con otras palabras, el desplazamiento xes Ia medida (con signo) del segmento OP. La grifica tiempo-desplazamiento es Ia de Ia funci6n x =x (I), tomando como eje de abscisas el de los tiempos y como eje de ordenadas, con direccion positiva hacia arriba., el de los desplazamientos. La pendiente de esa gnifica en cualquier punto es Ia velocidad de Ia particula en ese instante. (Se ha seguido aqui un convenio habitual, suprimiendo el vector unitario i en sentido positivo sobre Ia recta. El desplazamiento es en realidad una magnitud vectorial. que deberiamos escribir en ese caso unidimensional como x(l)i, y Ia velocidad es asimismo vectorial. en este caso x'(l)i.) gr6flca tlempo-velocldad Es una grafica que muestra Ia aceleraci6n como funci6n del tiempo para el movimiento de una particula a lo largo de una linea recta. en Ia que hemos sei\alado un punto 0 como origen y tijado un sentido como positivo. Sean x(l) y v(l) el desplazamiento y Ia velocidad., respectivamente. de Ia particula en el instante 1. La graifica tiempovelocidad es Ia de Ia funcion J' = v(l), tomando como eje de abscisas el de los tiempos y como eje de ordenadas. con direcci6n positiva hacia arriba, el de las velocidades. Un punto de esa gnifica por encima del eje de abscisas significa que Ia particula se mueve en ese instante en el sentido seiia.hlal como positivo., mientras que los puntos por debajo de ese eje repre-

grato

161)

sentan movimientos en el sentido contrario. La pendiente de esa gnifica en cualquier punto es Ia aceleracion de Ia particula en ese instante. Con el convenio de que las areas bajo el eje de abscisas son negativas, el area por debajo de esa gnifica entre las verticales 1 = 11 y 1 = 12,

,, JV (I) dt =X (I2 ) ,, .

X (tl ),

proporciona el cambio de posici6n en el intervalo de tiempo [1 1, 12 ], que nn tiene por que ser igual a Ia distancia recorrida, si v cambia de signo en e~\! intervalo. Se ha seguido aqui un convenio habitual, suprimiendo el vector unitario i en sentido positivo sobre Ia recta. El desplazamiento, Ia velocidad y Ia aceleraci6n de Ia particula son en realidad magnitudes vectoriales, qu\! deberiamos escribir en ese caso unidimensional como x(l)i, v(l)i y a(t )i. respectivamente.

grafo (de una relaci6n binaria) SeaR una relacion binaria sobre un conjunto C, de manera que para cada dos elementos a y b de C, se pued\! detenninar si a R b. El grafo de Ia relacion Res el subconjunto {(a, b) I (a, b) e C x C" aRb} del producto cartesiano C x C . o sea, el conjunto de los pares (a, b) tales que a R b.

grafo Un grafo (no dirigido) esta fonnado por (i) Un conjunto no vaci,) de vertices (o puntos, o nodos) y (ii) un conjunto (que puede ser vacit', de aristas, que unen pares de vertices. Si una arista une los vertices u y \' se puede denotar por (u, v) o (v, u), aunque puede surgir alguna confusion en el caso de existir aristas multiples, es decir mas de una arista uniend, l los mismos vertices. Tambien pueden existir lazos, esto es, aristas qul· unen un vertice consigo mismo. El conjunto de los vertices de un grafo c; se suele denotar por V( G), y el conjunto de sus aristas, por A( G). Por ejenlplo, en el grafo de Ia izquierda V(G) = {u, v, M', x} y A(G) = {(u, ,.,. (u, w), (v, w), (w, x)}. En el grafo de Ia derecha hay dos aristas que unen v1 con v 2, y tres uniendo v2 con v3, y tambien hay tres lazos.

Nonnalmente, tanto V( G) como A( G) son conjuntos finitos, pero alguno de los dos (o ambos) puede ser infinito, en cuyo caso hay autores que pretieren recordarlo hablando de grafos infinitos en contraposicion a los corrientes. www.

grato eulerlano

)61

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grafo blpartldo Es un grafo cuyos vertices pueden descomponerse en dos conjuntos V1 y V2 tales que no existe conexion directa entre ningun par de vertices de V1, ni entre ningun par de vertices de V2 • El grafo bipartido completo K,.,., es el grafo bipartido que consta de m vertices en V1 y n vertices en

v2.

grafo comple~o Es un grafo simple en el que cada vertice esta unido directamente a todos los demas. El grafo completo con n vertices, denotado K,, es regular de grado n - I, y el numero de sus aristas es Yln (n - I). Ver tambien grafo bipartido.

grafo conexo Es un grafo en el que cada dos vertices estan unidos por algun camino, de fonna que resulta '1odo de una pieza'', es decir, con una unica componente.

grafo dlrlgldo Un grafo dirigido (o digrafo) consiste en cierta cantidad de vertices, algunos de los cuales estan unidos por arcos sobre los que se ha marcado un sentido mediante una punta de flecha. Un arco que vaya del venice u al vertice v se denota por el par ordenado (u, v). En Ia figura de Ia izquierda se muestra un grafo dirigido para el que V( G) = = (u, v, w, x} y A( G)= {(u, v), (u, w), (v, u), (w, v), (w, x)}. Como en el caso de los grafos conientes, tambien en los dirigidos puede haber arcos multiples y lazos, como muestra Ia figura de Ia derecha.

grafo eulerlano Uno de los problemas interesantes en Teoria de Grafos se refiere a Ia posibilidad de recorrer un grafo de manera que s61o se pase una vez por cada arista. Se define un grafo euleriano como un grafo conexo en el que se puede formar una sucesi6n v0 , a 1 , v1 , ••• , a A:, vA: de vertibros.me

grato hamlltonlano

16~

ces y aristas altemados, en Ia que cada a; es una arista que une los venices v;_ 1 y v;, siendo v0 = v,, y utilizando cada arista del grafo exactamente una vez. En tenninos sencillos, significa que •puede dibujarse el grafo sin levantar el hipiz del papel y sin dibujar dos veces ninguna linea, tenninando en el mismo punto donde se comenz6'. El nombre proviene de las reflexiones de Euler acerca de Ia posibilidad de cruzar los puentes de Konigsberg de esa forma (ver Konigsberg (puentes de)). Se puede demostrar que un grafo conexo es euleriano si y solo si todos los vertices tienen grado par.

grato hamlltonlano Uno de los problemas interesantes en Teoria de Grafos se refiere a Ia posibilidad de recorrer un grafo de manera que s61o se pase una vez por cada vertice. Se define un ciclo bamiltoniano como un cic/o que contiene a todos los vertices; si existe tal ciclo se dice que cl grafo es bamiltoniano. De hecho, Hamilton mismo se intereso por Ia existencia de tales ciclos en el grafo del dodecaedro regular.

grato plano Es un grafo que puede dibujarse de manera que ningun par de aristas se corten. El grafo completo K4 , por ejemplo, es plano, comt) muestran las dos realizaciones de el que aparecen en Ia figura. Por el contrario, ni el grafo completo K" ni el grafo hi partido completo K1. 1 son pianos.

grato regular Es un gra_fo en el que todos los vertices tienen el mismo grado. Si este es r, se habla de un grafo regular de gndo r. grato simple Es un grajiJ sin lazos o aristas multiples. gramo En el Sistema lnternacional de Unidades, Ia unidad de masa es el kilogramo. Un gramo se define entonces como milesima parte del kilogramo.

greco-latlno (cuadrado) Ver cuadrado greco-latino. gravedad Cerca de Ia superficie terrestre un cuerpo experimenta Ia atraccion gravitatoria ejercida por el planeta, que puede suponerse constante; Ia aceleracion debida a Ia gravedad es -gk • donde k es el vector unitario vertical, dirigido hacia arriba, perpendicular a Ia superficie terrestre que se supone (a corta distancia) plana. La constante g, magnitud o mOdulo de esa aceleraci6n, es igual a GMIR2, donde G es Ia constante gravitatoria universal, M es Ia masa de Ia Tierra y R su radio, y su valor, a corta distancia de Ia superficie terrestre, puede tomarse como 9.81 mlseg1, aunque varia entre 9.78 m/seg1 en Ia zona ecuatorial y 9.83 m/seg1 cerca de los polos.

Gregory, James

163

gravltacl6n universal (ley de) Es Ia ley fonnulada por Newton que describe Ia fuerza de atraccion existente entre dos cuerpos cualesquiera. Si p y Q son dos particulas con masas (gravitatorias) My m, y r es el vector de posicion de Q con respecto a P, esto es, el vector representado por el

-

segmento orientado PQ, de mOdulo r =I r 1. Ia fuerza F experimentada GMm • donde G es Ia con.fttante gravitatoria unipor Q es entonces F = 1 r l'er.~al. Como rlr es un vector unitario, Ia magnitud de Ia fuerza experimentada por Q es inversamente proporcional al cuadrado de Ia distancia entre ambas particulas. La fuerza que actila sobre P es igual en magnitud y direccion, y de sentido contrario, a Ia que se ejerce sobre Q.

gravltatorla (constante) Es Ia constante de proporcionalidad, denotada por G. que aparece en Ia ley de gravitacion universal de Newton. Su valor depende de Ia decision de igualar. para detenninada particula. Ia masa gravitatoria y Ia masa inerte o inercial. Las dimensiones de G son L 1 M 1 T 1, y su valor es de 6.672 x 10 11 N m1 kg 2•

gravltatorla (energia potencial) Es Ia energia potencial asociada al campo gravitatorio. Cuando este se supone un~forme. cerca de Ia superficie terrestre, es decir. cuando F =- mgk. se toma como energia potencial £" = mg= + cte. Para el campo gravitatorio newtoniano F(r) = -GM r/r 1 (donde r =I r I) se suele tomar como potencial Ia funcion U(r) = -GM/r, que se anula en el infinito, aunque tambien se le puede sumar cualquier constante.

gravltatorla (fuerza) Es Ia fuerza de atraccion entre los cuerpos descrita por Ia ley de gravitacion universal de Newton.

gravltatorla (masa) Es el panimetro asociado a cada cuerpo al que se aplica Ia ley de gravitacion universal. Ver tambien masa e inercial (masa).

Green, George ( 1793-1841) Matematico ingles autodidacta, que despues de trabajar unos ai\os como panadero se intereso por Ia ciencia y formula por primera vez (en 1828) una teoria matematica de Ia electricidad y el magnetismo, generalizando y extendiendo los trabajos del frances Simeon Poisson y definiendo el concepto de potencial. Tam bien demostr6, en el mismo ensayo, el teorema que lleva su nombre. En 1832 y 1833 publico otros trabajos sobre las leyes del equilibria en tluidos y sobre Ia alteracion de este por las vibraciones de un solido, antes de ingresar en Cambridge a sus cuarenta ai\os. Gregory, James ( 1638-1675) Matematico y astronomo escoces. que estudio en Padua ( ltalia), donde escribio su Vera Circuli et Hyperbolae Ouadratura c~verdadera cuadratura del circulo y Ia hiperbola", 1667), utilizando series infinitas y sefialando Ia diferencia entre las divergentes y bro~~eonvergentes. Tambien obtuvo los desarrollos en serie de algunas fun-

Gregory-Newton

164

ciones trigonometricas, como el arc tg. A su regreso a Escocia ocup6 una catedra en Ia Universidad de St. Andrews y mas tarde en Ia de Edimburgo. Coetaneo de Barrow y antecesor de Newto~ ofrecio una serie de regia~ para Ia obtencion de areas y volumenes de s61idos de revolucion que anticipaban el Teorema Fundamental del Calculo, y conocio los desarrollo., en serie de Taylor cuarenta ai\os antes de que Taylor publicara sus trabajos en 1715.

Gregory-Newton (f6rmula de diferencias progresivas de) Sean xf .. x 1 , x2 , ••• , xn val ores igualmente espaciados, de fonna que x, = x0 + ih para i =0, I, 2, 3, ... , n. Supongamos que se conocen los valores fo,J. ,J;, ... ,.J. que toma cierta funcion I en esos puntos, es decir, /; =l'·

www.

H -Hadamard, Jacques-Salomon ( 7

Ver cuaterniones.

1865-1963) Matematico frances, conocido sobre todo por su demostracion en 1896 del Teorema sobre e/ numero de primos. que asegura que el numero de primos anteriores a n, tr (n). dividido por n I In n, tiende a I cuando n ~ oo. Sus Le9ons sur le calcul des variations. de 1910, en las que introdujo el tennino 'funcional". contribuyeron a sentar las bases del anal isis funcional.

Hamilton, William Rowan ( 1805-1865) El mas importante matematico irlandes, cuyo logro mas notable fue Ia fundamentaci6n te6rica de Ia 6ptica geometrica. anticipando Ia teoria cuantica. Quiza se le conoce mas en mecanica y matematicas por las ecuaciones del movimiento que llevan su nombre, que muestran Ia dualidad entre las componentes del momento lineal y las coordenadas de Ia posicion, y por su descubrimiento de los cuatemiones. con las que se inici6 el estudio del algebra no conmutativa. Fue un 'nii\o prodigio '.. que a sus trece ai\os dominaba 13 lenguas, entre elias latin, griego, hebreo, sirio antiguo y farsi. A los dieciocho ai\os entr6 en el Trinity College. y a los veintid6s fue nombrado profesor de Astronomia en Dublin y Astr6nomo Real de I rlanda. Hamilton-cayley (Teorema de) Ver Cayley-Hamilton (Teorema de). hamlltonlano (grato) Ver grafo hami/toniano. Hardy, Godfrey Harold (1877-1947) Matematico ingles, figura destacada de Ia Universidad de Cambridge. Junto con el tambien ingles J. E. Littlewood publico desde 1912 numerosos articulos sobre numeros primos. ecuaciones diofanticas. sumaci6n de series divergentes, y Ia funci6n ~ de Riemann. hecto- Prefijo utilizado, por ejemplo con las unidades del Sl, para indicar el producto por I 0~. hellce Curva sobre un cilindro circular recto, que corta con un angulo constante a las generatrices. como Ia barandilla de una escalera de caracol. hemlsferlo Mitad de una esfera o superficie esferica, resultado de cortar a estas mediante un plano que contenga al centro. hept6gono Poligono de 7 lados. Hermite, Charles ( 1822-1901 ) Matematico frances que apl ic6 las funciones elipticas a Ia resolucion de Ia ecuacion general de quinto grado ( 1858) y publico, en 1873, Ia primera demostraci6n de que e es trascendente. Tambien trabaj6 en Ia teoria aritmetica de lasformas cuadraticas.

Heron de AleJ•ndri•

168

Heron de Alejandria (Siglo 1 de n. e.) Geometra y cientifico griego. conocido por sus trabajos en optica y mecanica y sus aplicaciones practicas, y sobre todo por Ia formula que II eva su nombre ( ver triangulo ), contenida en su libro Metrica, redescubierto en 1896, en el que tambien se encuentran metodos para aproximar Ia raiz cuadrada de un numero y para evaluar areas y volumenes de diferentes figuras geometricas.

Hertz, Heinrich (Rudolf) ( 1857-1894) Fisico aleman, que fue el primero en emitir y recibir ondas de radio. Entre 1885 y 1889 pudo medir Ia longitud de onda y velocidad de ondas electromagneticas producidas en su laboratorio de Ia Politecnica de Karlsruhe, mostrando asi que Ia luz y el calor son radiaciones electromagneticas.

hertzlo, herzlo o herclo Unidad de frecuencia en el Sistema lntemacional, equivalente a un ciclo por segundo. La abreviatura normalmente usada es ~Hz'.

hesslana (matriz) Para una funcion real I de n variables reales x 1• x2, ••• , x", dos veces diferenciable en un punto P, su matriz bessiaaa en P es Ia constituida por las derivadas segundas de

Hess

I= [

a!

I

en ese punto, esto es,

2 '/ }

Se utili:za sobre todo en lospuntos estacionarios def

en los que al anularse todas las derivadas primeras, Ia aproximacion de segundo orden de I viene dada por el valor en el punto en cuestion mas Ia .forma cuadratica cuya matriz es YJ Hess I; mas en concreto,

f (a+ b) a f (a)+.!. br

Hess" f b, . 2 donde, como es habitual, se identi fica b con Ia matriz columna de sus componentes. El estudio de esa forma cuadnitica puede entonces determinar si nos hallamos o no ante un extremo local.

hesslano Es el determinante de Ia matriz hessiana. hexadecimal (representaci6n) Es Ia representacion de los numeros en base 16. En tal sistema se requieren como es obvio 16 digitos o cifras, utilizandose normal mente los siguientes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, 8, C, D, E y F. Los numeros representados por las letras A, 8, ... , F son los que con Ia notacion decimal se escriben 10, 11, ... , 15. La representacion hexadecimal del numero 712, por ejemplo, es 2C8, o para mayor claridad (2C8) 16, ya que 712 = 2 X 162 + 12 X 16 + 8. La transfonnacion de un numero de base 2 a base 16, y viceversa, es particulannente simple: basta transfonnar cada bloque de 4 digitos en base 2 ( formando esos bloques desde Ia derecha) en su correspondiente digito en base 16. Asi, por ejemplo,

HI parco

)69

.(101101001001101)2 = (101 1010 0100 1101)2 = (5A4D) 16

•

Los numeros racionales . y no s61o los enteros. tambien pueden escribirse en notacion hexadecimal . separando Ia parte entera y Ia parte fraccionaria mediante un punto,. tal como se hace ordinariamente para escribir Ia representacion decimal de un numero no entero. La notacion hexadecimal es particulannente importante en computaci6n. Se traduce con facilidad a notaci6n binaria, y es mas concisa y facil de leer.

hexaedro Poliedro de 6 caras. Ordinariamente se designa con ese termino al hexaedro regular o cubo, cuyas caras son cuadrados. hex6gono Poligono de seis lados. Hilbert David ( 1862-1943) Matematico aleman, uno de los padres fundadores de Ia matematica pura del siglo xx. que contribuy6 sustancialmente a establecer los fundamentos del enfoque fonnalista predominante. Nacido en Ktsnigsberg . donde se doctor6 en 1884; en 1895 se traslad6 a Ia Universidad de Gotinga. donde pennaneci6 hasta su muerte. Entre sus trabajos destacan los Grundlagen der Geometrie ("Fundamentos de geometria''. 1899). en los que propuso un sistema de axiomas consistente, aunque menos intuitivo que el contenido en los Ele-mentos de Euclides. Su fama descansa tambien en Ia celebre lista de 23 problemas propuestos en el Congreso lntemacional de Matematicas de 1900, que han mantenido ocupados a los matematicos desde entonces y han generado una importante proporcion del trabajo realizado en este ultimo siglo. Sus trabajos en ecuaciones integrates de 1909 inauguraron el anal isis funcional y establecieron las bases para Ia generalizaci6n infinito-dimensional de Ia geometria. Aunque a menudo se le presenta como prototipo del matematico puro. esos trabajos y el seminario de fisica at6mica que dirigi6 en Gotinga muestran su preocupaci6n por las aplicaciones de Ia matematica. habiendo ejercido gran influencia en el desarrollo de Ia teoria cuantica. Hilbert (decimo problema de) Es el problema propuesto por Hilbert (ver item anterior) de hallar un algoritmo capaz de detenninar si una ecuacion diofantica dada posee o no soluciones En 1970. Y. Matiasievich dio una respuesta negativa al problema. probando que no existe tal algoritmo. HI parco (finales del siglo 11 a. de C.) Matematico y astronomo griego, descubridor de Ia precesion de los equinoccios. calcul6 Ia duraci6n del afto con un error de 61f2 minutos. compil6 el primer catalogo conocido de estrellas (unas 850). y confeccion6 una tabla de 'cuerdas' [Ia cuerda de un circulo que corresponde a un angulo central no es otra que 2sen (a I 2)]. Abundantemente citado en el Almagesto de Ptolomeo, sostuvo contra Aristarco y Arquimedes Ia doctrina geocentrica. explicando los movimientos aparentes de los astros mediante epiciclos. bros.me

Hlpatla

170

Hlpatla (370-415) La primera mujer matematica de Ia que guarda constancia Ia Historia. Hija de un matematico y filosofo. llego a ser reconocida como Iider de Ia escuela neoplatonica de Alejandri~ simbolo del estudio y Ia ciencia, lo que le granje6 el aborrecimiento de los monjes cristianos y el patriarca Cirilo, quienes atizaron el odio hacia aquella "orgullosa pagana" hasta su brutal asesinato por una turba fanatica. Suele senalarse aquel linchamiento como el comienzo de Ia decadencia de Alejandria como foco cuhural del Medite.mineo. Escribio comentarios sobre Ia Aritmetica de Diofanto, sobre las Conicas de Apolonio y sobre el Canon astronomico de Ptolomeo. desgraciadamente perdidos.

hlp8rbola Es una conica de excentricidad mayor que I. Asi pues. es el Iugar geometrico de los puntos P del plano cuya distancia a un punto fijo F 1 (II amado foco) es igual al producto pore(> I) de Ia distancia de P a una recta fija r 1 (llamada directriz). Es facil comprobar que existen otro foco F 2 y otra directriz r1 con respecto a las cuales los puntos de Ia hiperbola satisfacen Ia misma condicion. Una hiperbola es tambien Ia seccion conica obtenida al cortar un cono de revolucion con un plano que no pase por el vertice, de modo que Ia seccion obtenida conste de dos componentes, para lo cual es necesario y suficiente que el angulo que fonna el eje del cono con ese plano sea estrictamente menor que el que fonna con las generatrices ( ver conica ). La recta que pasa por los dos focos F 1 y F~ es el eje transvenal de Ia hiperbola, y los puntos donde corta a est~ VI y v:!. son sus vertices. La mediatriz del segmento V1 V:! (o del segmento F 1 F:!) es el eje conjugado de Ia hiperbola, y el punto donde se conan ambos ejes. 0. su centro. La distancia I VI v~ I es Ia longitud del eje transversal 2a. si hacemos IOVI I = = 10 V2 1 =a. Se suele introducir otro parametro, b (> 0), detinido por Ia formula b1 a 2 (e 1 - I), lo que tambien puede escribirse t? I + b~ I ci. La excentricidad e detennina el aspecto de Ia hiperbola. Particulannente interesante es el caso e = ya que entonces a = b (hiperbola equilatera). Puede resultar conveniente considerar los puntos (0, b) y (0, -b) sobre el eje conjugado, pese a que Ia hiperbola no lo corta. Las dos componentes separadas de Ia hiperbola suelen llamarse ramas.

=

=

J2 .

hlperbola equll6tera

J71

Tomando un sistema de referencia con origen en el centro de Ia hiperbola, el eje transversal de esta como eje de abcisas, y el conjugado como eje de ordenadas, los focos tienen como coordenadas (ae, 0) y ( -ae, 0), las directrices tienen como ecuaciones x =ale y x =-ale, y Ia ecuaci6n de Ia hi perbola es 2 2 X V -.,-.:.,=I. a· b· A diferencia de lo que sucede con Ia elipse, no tiene por que sera> b. Esa representacion es particulannente c6moda para estudiar las propiedades de Ia hiperbola. Tambien puede resultar uti I tomar x = a sec 9 , y = b tg 9 (0 S 9 < 21C, 9 ~ 1C 12, 9 ~ 31C 12) como ecuaciones parametricas, o bien x =a cosh I, y = b senh t (t e R) (ver funciones hiperbolicas), aunque asi s61o se recorre Ia rama de Ia derecha (Ia otra rama se obtiene con x = - a cosh I, y = b senh t). Si por el contrario, manteniendo como origen el centro de Ia hiperbola, se toma el eje transversal de esta como eje de ordenadas, y el conjugado como eje de abscisas, los focos tienen como coordenadas (0, ae) y (0, -ae), y Ia ecuacion de Ia hiperbola es ., ., v· x· -· --=1 a2 h2 . Tanto en un caso como en otro, las rectas con ecuaciones y = (bla) x e y -(bla) x son las asintotas de Ia hiperbola (perpendiculares entre si en el caso de Ia hiperbola equiltitera).

=

hiP'rbola equll6tera Es una hiperbola cuyas asintotas son perpendiculares entre si. Si se toma el centro como origen y como eje de abcisas el eje transversal de Ia hiperbola. Ia ecuacion de esta es de Ia fonna ; - = cl ; si con ese mismo origen se toman como ejes de coordenadas las asintotas, de fonna que las ramas de Ia hiperbola queden en el primer y tercer cuadrante, Ia ecuacion de esta es entonces de Ia fonna xy = c2• Por ejemplo, y = I lx es una hiperbola rectangular. Para xy =c2 se acostumbra a suponer c positivo y a utilizar como ecuaciones parametricas x =cl, y =cit (I~ 0).

y

1t

hlperb611ca

172

hlperbollca (geometria) Ver geometrias no euclideas. hlperbollcas (funciones) Son las funciones cosh (o ch), senh (o sh). tgh, sech, cosech y cotgh, definidas como sigue: cosh x =

Yl(~

+e-.. ),

senh x =

Yl(~

- e-x),

tgh x = senh xI cosh x,

cotgh x = cosh x I senh x

(x ~ 0).

sech x = 1 I cosh x, .

cosech x = 1 I senh x

(x ~ 0).

El nombre dado esas funciones proviene de Ia posibilidad de utilizar x = a cosh 1, y = b senh 1 (I e R) como ecuaciones parametricas de una rama de Ia hiperbola de ecuacion ~ lcr- lb 2 = I (Ia otra rama se obtiene con x = -a cosh t, y = b senh 1). Satisfacen fonnulas parecidas a las de las funciones circulares o trigonometricas, pero hay que prestar atencion a ciertos cambios de signo. Concretamente, se tiene:

y

cosh 2 x- senh 2 x = I, tgh 2 x + sech 2 x = I, senh (x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y, cosh (x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y. senh 2x = 2 senh x cosh x. cosh 2x = cosh~ x + senh 2 x. Como cosh (-x) =cosh x y senh (-x) = senh x, cosh es unafuncion par. y senh unafuncion impar. En Ia figura se muestran las gnlficas de las funciones hiperb61icas; puede resultar un ejercicio instructivo construir las gnlficas del senh y del cosh junto con las de e' y e--x en el mismo diagrama. )'

0

X

Las siguientes derivadas se obtienen facilmente: cosh' (x) = senh x,

senh' (x) =cosh x,

Ver tambien inversas (funciones hiperbOiicas).

tgh' (x) = sech~ x.

www.

hlperbololde de doe hojas

173

·''

)'

0

%

--.....::-~-

-I

- - :.1

%

- - - - - - - - -

)'

y= scch x

hlperb611co (cilindro) Es un cilindro cuya directriz es una hiperbola, y

cuyas generatrices son perpendiculares al plano que contiene a esa hiperbola. Se trata de una cuadrica. que en un sistema de coordenadas adecuado tiene como ecuaci6n

hlperb611co (paraboloide) Ver paraboloide hiperbolico. hlperbololde de doa hojaa Es una cuadrica cuya ecuaci6n en un sis-

tema de coordenadas adecuado puede escribirse en Ia fonna ., ., .,

x·

v·

=·

-+-· a2 b2 --=-1 c2 . Los tres pianos coordenados son entonces pianos de simetria del hiperboloide. Las intersecciones con los pianos z = k paralelos al plano xy son elipses (circWlferencias si a= b) para I k I> c; para I k I< c son vacias. y si k =c I

hlperbololde de una hoja

o k = -c se reducen a un punto. Estos hiperboloides tienen, por tanto, do-.. componentes u bojas, una de elias contenida en el semiespacio z ~ c, y Ia otra en el semiespacio z S c. Las intersecciones con pianos paralelos a lo") pianos coordenados yz y xz son hiperbolas. Los pianos que contienen al ej\: z cortan al hiperboloide en hiperbolas con vertices en los puntos (0, 0, c 1 y (0, 0, -c).

hlperbololde de una hoja Es una cuadrica cuya ecuacion en una

si~­

tema de coordenadas adecuado puede escribirse en Ia fonna

., ., ., y· =-., +-., --., =I. a· b- c· x-

Los tres pianos coordenados son entonces pianos de simetria del hiperboloide. Las intersecciones con los pianos z = k paralelos al XJ' son elipse" (circunferencias si a = b). Estos hiperboloides tienen una sola componente u boja. Las intersecciones con pianos paralelos a los pianos coordenados y= y xz y con pianos que contienen al eje son hiperbolas.

=

hlpercubo Es Ia gcneralizacion an dimensiones del cuadrado en dimension 2 y el cubo en dimensi6n 3. No es facil una descripcion geometrica. como sucede con cualquier figura en dimension ~ 4, pero el enfoque planteado a continuacion pennite imaginar el hipercubo mas frecuentemente utilizado, cuyas aristas son de longitud I: En el plano, los puntos de coordenadas (0, 0), (0, I), (I, 0) y (I, I) son los vertices del cuadrado unidad. De igual modo, en el espacio tridimensional los puntos (0, 0, 0), (0, 0, I), (0, I, 0) (I, 0, 0), (I, I, 0), (I, 0. I), (0, I, I) y (I, I, I) son los vertices del cubo unidad. Y en el espacio n-dimensional. los 2n puntos cuyas coordenadas x 1 , x2 , ••• , xn son todas elias 0 o I, son los vertices del hipercubo unidad. Cada dos vertices que difieren solamente en una coordenada estan unidos por una arista del hipercubo. Los vertices y aristas del hipercubo n-dimensional son tambien los vertices y aristas del grafo conocido como n-cubo.

hlpergeometrlca (distribuci6n) Ver distribucion hipergeometrica. hlperplano Ver lineal (forma), n-dimensional (espacio) y vectorial (espacio).

www

)75

hlstograma

hlpoclclolde Es Ia curva descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizamiento dentro de otra circunferencia. Un caso particular es Ia astroide. que resulta cuando el radio del circulo rodante es igual a un cuarto del radio del circulo fijo. hlpotenusa Es el lado opuesto al angulo recto de un triangulo rectangulo. hlp0tesls (contraste o test de) En Estadistica, una bip6tesis es un aserto acerca de una poblaci6n. Normalmente se plantea aceptar o rechazar cierta hip6tesis H0 , a Ia que se denomina nola, junto con su negaci6n 0 alternativa, H 1• Para adoptar una decision se supone que H0 es cierta y se llevan a cabo contrastes tomando muestras de Ia poblaci6n y aplicandoles un estadistico ..\'del que se sepa a priori que Pr (X e S I H 0 ) (ver condicional (probabilidad)) es pequena para cierto conjunto de eventuates valores S; si resulta el suceso X e S, hay que rechazar Ia hip6tesis. Si por el contrario resulta que ..\' ~ S, no hay evidencia para rechazar H 0 • Mas en detalle. podemos dividir el conjunto de posibles valores del estadistico en una region de aceptacion y otra critic& (ode recbazo) S; esa descomposici6n depende del nivel de significacion a que hay amos decidido considerar como ·probabilidad pequei\a' (corrientemente se toma a= 0.005, 0.0 I o 0.05, y se dice que el resultado ha sido muy significativo. significativo o poco significativo ). AI practicar el contraste de hip6tesis podemos caer en distintos tipos de errores: un error de Tipo I es el que se produce cuando se rechaza Ia hip6tesis H0 a pesar de ser verdadera, quiza por haber fijado un nivel de contianza demasiado alto (poco significativo). Si por el contrario se acepta Ia hip6tesis H0 a pesar de ser falsa, se comete un error de Tipo II. Si Ia probabilidad de cometer ese tipo de error es /3, Ia potencia del contraste es I - /3 (es decir. Ia probabilidad de rechazar H 0 cuando es efectivamente falsa). La hip6tesis nula H0 frecuentemente consiste en que detenninado parametro 8 de Ia poblaci6n tiene un valor 80 ; si Ia hip6tesis altemativa H 1 dice que el panimetro no tiene ese valor. el contraste es bilatero; si H 1 dice que el parametro es mayor que ese valor, o que es menor que ese valor, el contraste es bacia un lado. o unilateral. hlstograma Es un diagrama que representa Ia distribucion de frecuencias de ciertos datos agrupados en intervalos. Consiste en una colecci6n de rectangulos cuyas bases corresponden a esos posibles intervalos, y cuyas alturas respectivas son tales que el area de cada uno de ellos sea proporcional a Ia frecuencia con que se da un valor en el correspondiente intervalo. Si todos los intervalos son de igual longitud, las alturas son proporcionales a las frecuencias respectivas. Algunos autores utilizan tambien el termino histograma para datos discretos, con lo que se tiene en realidad un diagrama de barras con los rectangulos yuxtapuestos. La figura muestra un eiemplo de una muestra de 500 observaciones:

bros.me

3

•

I

I

7

I

I

hoja Ver hiperboloide de dos hojas e hiperboloide de una hoja. homogenea (ecuaci6n diferencial ordinaria de primer arden) E~ una ecuacion diferencial dyldx = l dr Cl

se puede evaluar facilmente mediante Ia Regia de Barrow o Segundo Teorema Fundamental del Calculo, siendo igual a' (b)-' (a) (si sedan *unas condiciones adicionales, por ejemplo que a y b pertenezcan a un

lntegreclon

188

intervalo en el que Ia funci6n f sea continua). Sin embargo, para muchas funciones I no existen primitivas que puedan expresarse en tenninos de funciones elementales, y hay que emplear otros metodos para evaluar Ia integral definida, por ejemplo, aproximandola mediante las tecnicas de integracion numerica.

t,De que forma, pues, se puede obtener una primitiva de una funcion dada f? Si hay alguna manera de reconocer a esa funcion como derivada de otra conocida, ya tenemos una prin:titiva. Algunas primitivas tipicas aparecen en Ia Tabla de Integrates del Apendice 3, y existen Tablas mas amplias. Tambien se pueden intentar ciertas tecnicas de integncion como las siguientes: CAMBIO DE VARIABLE: Si es posible encontrar una funci6n g tal que el integrando se escriba como I (g (x)) g' (x), con el cambio de variable u =g (x) se puede obtener una integral indetinida, ya que

I/(g(x)) g'(x) d:c =I f(u) du, por Ia regia de Ia cadena para Ia derivada de una composici6n de funciones. Por ejemplo, si en Ia integral

J

2

2x (x +It etc

r

hacemos u = g (x) = + I. se tiene g (X) = 2x (tambien podemos escribir •du =2x etc''). y segun esa regia con .f(u) =u8 , resulta

., K IM I 2x ( x· + I) dx = u du

=I

9

u

q

= 9I(, x· + I) . Q

La regia anterior. consecuencia de Ia regia de Ia cadena para Ia derivada de una composici6n de funciones, puede escribirse en Ia fonna

SUSTITUCION:

I/(:c) dx =If (g(u)) g' (u) du, y utilizarse para realizar Ia sustituci6n x = g (u). Por ejemplo, en Ia integral I

., ' f (I+ X'"')-

., cJx.

..

hagamos x =g (u) =tg u; entonces g' (u) = sec 2 u (lo que puede escribirse •dx = sec 2 u du'), y Ia integral se convierte en 2

f

I

I

J

sec., u ,., u= --du= 1 cosudu=senu= x 3 (I + tg- u) · . . sec u 1+ x:!

INTEGRACION POR PARTES:

.

La regia para Ia integracion por partes.

I f(x) g'(x) dr: =.f(:c) g(x)- Jg(x) /'(x) d:c,

Integral

189

es consecuencia de Ia que proporciona Ia derivada de un producto f(x) g (x), y es util cuando Ia integral del miembro de Ia derecha es mas facil de resolver que Ia de Ia izquierda. Por ejemplo, en Ia integral

JX COS X dx, hagamos f (x) = x y g' (x) = cos x, de manera que podemos tomar g (x) = sen x y f' (x) = I, con lo que resulta

I x cos x dl: =x sen x-I sen x dx =x sen x +cos x. Ver tambien formula de reduccion y .fracciones parciales. lntegracl6n por partes Ver integracion. Integral Sea ~f una funcion (acotada) definida en un intervalo cerrado y acotado [a, h). Para cada particion de ese intervalo fonnada por los puntos x0 , x 1 , ••• , x", tales que a= x0 < x 1 < x:! < ... < x"_ 1 < x" = b, tomando en cada subintervalo (x,_ 1, x,] un punto c,, fonnemos Ia suma de Riemann .f(c1 )(X1 -

X0 )

" ,.,,

+ .f(c: )(X:- .\"1 ) + · · · + .f(c, )(X,- Xn-1) = r,.f(c; )(X,- X;-1 ).

Geometricamente, suponiendo .f posit iva, cada sumando representa el area del rectangulo de base [x, 1, x,] y altura .f(c, ), y Ia suma de las areas de esos rectangulos constituye una aproximacion al area limitada por Ia curva y =.f(x), el eje de abcisas, y las ordenadas x =a y x =h.

Para alcanzar lo que intuitivamente se entenderia como ese area. se define Ia integral (de Riemann) de fen el intervalo [a, b) como limite (en un sentido que precisaria mas explicaciones que las que aqui se pueden dar) de esas sumas de Riemann cuando tiende a 0 Ia norma de Ia particion, creciendo el nl.unero de subintervalos y disminuyendo su longitud. El valor de ese limite, cuando existe, se denota por h

h

J.f(x) dx, o

J/(t) dt,

Q

Q

siendo irrelevante que letra, x o t, aparezca en Ia integral (ver muda (variable)). Una condicion suficiente (pero no necesaria) para Ia existencia de tal limite es que Ia funcion f sea continua en el intervalo [a, b].

bros.me

Integral

190

Si f es continua en [a, b ], y definimos una nueva funcion F en ese intervalo mediante Ia f6nnula .1"

J

F(x) = /(t) dt,

se demuestra que F es derivable y F' (x) =/(x) para todo x de (a, b) (tambien por Ia derecha en a y por Ia izquierda en b). Dicho con otras palabras . F es una primitiva de j: Este resultado se conoce como (Primer) Teorema · Fundamental del Calculo. Ademas, si se conoce alguna primitiva 'de /. Ia integral

,

J/(t) dt se puede evaluar facilmente mediante Ia Regia de BarroK· o Segundo Teorema Fundamental del Calculo: como Ia diferencia F- • debe ser constante por tener derivada nula, el valor de esa integral, igual (porIa propia definicion de F) a F (b)- F (a). es tambien igual a ' (h)-' (a). De las dos integrates

,

It dt

e

It dt,

Ia primer~ con limites de integracion, se denomina iateg... l deftaid•; Ia segunda, que denota cualquier primitiva de /. es lo que se llama una inte-

gral indefinida.

Integral (calculo) Es Ia parte de las matematicas que se ocupa del problema de obtener el area de una region con borde curvo. En general. esc area se calcula mediante un paso al limite en las aproximaciones que sc pueden obtener de su valor utilizando regiones con hordes rectos (nonnalmente rectangulos). La integral se define entonces como ese limite. basandose en Ia idea intuitiva del area encerrada por Ia grafica de una funcion. el eje de abscisas y paralelas al eje de ordenadas. Hacia 16 70, Isaac Barrow, profesor de Newton y traductor al ingles de los Elementos de Euclides, realizo el descubrimiento fundamental de que los problemas de Ia obtencion de tangentes a una curva (objeto del calculo diferencial) y del calculo de areas son inversos el uno del otro.

lntegnando Es Ia funcion f o indefinidas

(x) que aparece en las integrates definidas

,

J.f(t) dt

0

J

/(t) dt.

lntegrante (factor) Ver ecuacion diferenciallineal de primer orden. lntegrldad (dominic de) Ver dominio de integridad.

www.

lnterpolacl6n

191

lntercuartillco (rango) Es una medida de Ia dispersion de una muest~ igual a Ia diferencia entre el primer y el tercer cuartiles. Interior (de una curva cerrada simple) Ver Jordan. Interior (angulo) (respecto a Ia transversal de un par de rectas). Ver "ansversal. Interior (6ngulo) (de un poligono convexo) Es el que fonnan dos lados contiguos.

Interior (punta) Para un subconjunto C de Ia recta real,..uit punto x deC es interior si existe un 6 > 0 tal que el intervalo (x - 6 , x + 6 ) esta contenido en C. Para un un subconjunto D del plano complejo, un punto z de D es interior si existe un 6 > 0 tal que el disco de centro z y radio 6 esta contenido en D. Interior de un conjunto Es el conjunto de sus puntos interiores. lntermedlo (Teorema del Valor) Es el siguiente

teorem~

debido a Bernhard Bolzano ( 1781-1848), que establece una importante propiedad de las .funciones continuas: TF.RF.MA: Si Ia funcion real de variable real f es continua en el intervalo cerrado [a, b], y 1J esta comprendido estrictamente entre /(a) y /(b), existe algun c en (a, h) tal que /(c)= 1J. Este teorema es uti I para localizar raices de ecuaciones. Por ejemplo, sea /(x) =x-cos x, que es continua en (0, I]; como /(0) =-I < 0 y /(1) > 0, podemos asegurar que Ia ecuacion /(x) =0 tiene (al menos) una raiz en el intervalo (0, I).

Intern• (blaectrlz) (de un polfgono convexo) Es Ia bisectriz de un angulo interior. lntema (fuerza) Cuando un sistema de particulas o un cuerpo rigido se considera como un todo, una fuerza intema es Ia que ejerce una particula del sistema sobre otra. o una porcion del cuerpo rigido sobre otra. La suma de las fuerzas intemas debe ser nula. Comp8rese con externa ( fuerza).

lnterpolaclon Supongamos que se conocen los val ores lo. fa, fi, ... , /, que toma cierta funcion I en los puntos Xo. x 1, x 2, ••• , x, es decir, /, = f (x; ). Para aproximar el valor de I en un punto x, comprendido por ejemplo entre x0 y x 1, se puede seguir el siguiente metodo, conocido con el nombre de iaterpolacion lineal:

f

(X) = f (X(,)+

X - .lQ x1 -Xn

(! (X1 ) -

/( .lQ))

Esta fonnula resulta de suponer que fse comporta entre x 0 y x 1 aproximadamente como Ia funcion polioomica de primer grado cuya gnlfica es Ia recta que pasa por los puntos (xo..fo) y (x .,fa). Existen metodos de inter-

bros.me

lntersecclon

polaci6n mas complejos, utilizando como aproximantes funciones polin6micas de grado mas elevado, cuya grcifica pasa por tres 0 mas puntos conocidos (x;, _{; ).

lntersecclon La intersecci6n de dos conjuntos A y B (subconjuntos dt: algun conjunto universal E) es el conjunto fonnado por todos los elementos (de E) que estan en ambos. Se denota A f""\ B (leido ·A inteneccion B' ). Asi pues, el mismo tennino 'inteneccioa' se utiliza tanto para Ia operacion como para el resultado de esta. Se trata de una operacion binaria en el conjunto de las partes de £, que satisface las siguientes propiedades. para cualesquiera subconjuntos A, B y C de £: (i) A n 0 =A y A n A =A (ii) A n 8 = 8 n A (propiedad conmutativa). (iii) A n (8 n C ) =(A n 8 ) n C (propiedad asociativa). Debido a (iii), Ia intersecci6n A 1 n A~ n ... f""\ A, puede escribirse sin parentesis, y tambien en Ia fonna

nA,. ,.,., n

Para Ia intersecci6n o conjuncion de dos sucesos, ver .tuce.wJ.

Intervale Un intervalo acotado de Ia recta real es un subconjunto (conl·xo) de R detinido por sus extremos a y b. Dado que cada uno de ellos pul·de pertenecer o no al intervalo, existen cuatro tipos de intervalos acotado": (i) El intervalo cerrado (a, b] = {xI x e R "aS x S bJ; (ii) El intervalo abierto (a, b)= {x I x e R" a< x < b J; (iii) El intervalo semiabierto (o semicerrado) (a, b)= {xI x e R" a< x S h:: (iv) El intervalo semiabierto (o semicerrado) (a, b)= {xI x e R "aS x < h:. Hay tam bien cuatro tipos de intervalos no acotados (aparte del propio :F.,: (v) El intervalo cerrado (a, oo) = {xI x e R 1\ aS x}; (vi) El intervalo abierto (a, oo) = {xI X E R 1\ a< x}; (vii) El intervalo cerrado (- oo, a)= {xI x e R "x Sa}; (viii)EI intervalo abierto (- oo, a)= {xI x e R "x n exponencial de base a). La funci6n logaritmica en base a, denotada log. es entonces Ia inversa de esa funci6n exponencial, de manera que se cunlple lo&,X = ..v si y solo si x = a'. Dicho con otras palabras, lo&rt es el exp,lnente al que hay que elevar a para obtener x. Como cualquier potencia d de a es posit iva, para que este detinido log.x, x tiene que ser positivo, y p.)r tanto el dominio de Ia funci6n lo~ es Ia semirrecta de los numeros realc:' positivos (ver funcion inversa para una explicaci6n mas detallada d~l dominio de una funci6n inversa). El valor lo&,t" se llama simplement~

www.

logaritmlca

217

togaritmo de x en base a. Cuando se sobreentiende Ia base se puede utilizar Ia notacion log x. Para cualesquiera numeros reales x e y. estrictamente positivos, se cumplen las siguientes propiedades: ( i) log., (.lJ') =log., x + log.,y. ( ii) log., (I /x) = -log., x. (ii) log., (x/y) = lo&,x -lo&,,v. (iv) lo&, (r) = r lo&,x. (v) Los logaritmos con diferentes bases estan relacionados porIa f6rmula log x log~»x

=

u

logub

Los logaritmos en base I 0 se llaman vulgares. Hasta hace un tiempo se utilizaban las tablas de logaritmos vulgares para los calculos aritmeticos. Los logaritmos en base e se llaman naturales o neperianos, y se puede utilizar para ellos Ia notaci6n 'In' en Iugar de log... Sin embargo, esto presupone una definicion independiente del valor de e, y resulta preferible construir Ia funcion logaritmica de una fonna completamente diferente, a panir de Ia cual se define e y se establece posterionnente Ia equivalencia entre In y log...

logarftmlca (funcl6n) La funci6n Ia debe distinguirse de Ia funcion logaritmica en base a (ver /ogaritmo). Veamos dos enfoques diferentes: I. Supongamos que el valor del numero e ha quedado establecido de fonna independiente. Se puede entonces definir como en el item anterior el logaritmo de un numero real positivo x en base e. lo&X. y Ia funcion logaritmica seria entonces simplemente lo&,. El problema con este enfoque es que descansa sobre una definicion previa de e, y surgen ciertas dificultades al tratar de probar algunas importantes propiedades de Ia funci6n ln.

2. Este otro enfoque es mas satisfactorio: sea f Ia funci6n definida para 1 > 0 porIa fonnulaj(t) = 1/t. La funci6n logaritmica se define entonces mediante Ia f6nnula

rr tI dt

In x = J.

0

La cuesti6n se aprecia mejor cuando x > I. ya que entonces In x es simplemente el area bajo Ia grafica de.len el intervalo [I. x]. La funci6n In es continua y creciente; es tambien diferenciable. y debido a Ia relaci6n fundamental entre derivaci6n e integracion, su derivada es precisamente Ia funcion.f. Queda asi establecido que d

I

-(lnx) =- (x > 0). dx X

r

~In

•

•

••

A partir de Ia definicion se pueden deducir las siguientes propiedades. donde x. y y r son reales, x > 0 e y > 0:

(i) (ii) (iii) ( iv)

In (xy) = In x + In y. In( IIx) = -In x. ' ln(x/y) = In x - In y. ln(.t'") = r In x.

Con este enfoque, exp se puede definir como Ia funcion inversa de In, y el numero e como exp I. Final mente se prueba que In x y lo&, x son identicos.

logarftmlca (escala) Es un metodo para representar numeros (estrictamente positivos y habitualmente mayores o iguales que I) mediante puntos de una recta. del siguiente modo: Se elige uno de los sentidos de Ia recta como positivo, y un punto 0 como origen. El numero x queda representado por el punto P tal que Ia longitud del segmento OP es. en determinadas unidades, log x, nonnalmente en base 10. El punto 0 representa

www

longltud

219

al I., y si el punto A representa al I0, el punto B que representa al I00 cumpie que OB = 20A.

0

s

2

3

4

I

I

I I I I I II

6 7 8 910

:10

I

lO 40

I

A

so 80

80 100

I I I I II I

•

B

1ogarftmlcll (espiral) Es una curva cuya ecuacion en coordenadas polares es p = a£*&, donde a (> 0) y k son constantes. Esa ecuacion se puede escribir tambien en Ia fonna In p = ke + c, de ahi el nombre de 'logarit-

mica' para Ia curva. Se Ia llama tam bien 'equiangular' debido a Ia siguiente propiedad: Sean 0 el origen y P un punto cualquiera de Ia curva; el angulo a que fonna el radio vector OP con Ia tangente a Ia curva en P es constante (de hecho. k = cotg a) .

•

rftmleta (representaci6n) Existen dos tipos de papel tramado con

escalas logaritmicas: en uno de ellos, llamado semilogarftmico, el eje de abscisas se divide de Ia fonna habitual, en intervalos de igual longitud, mientras que el eje de ordenadas se divide de acuerdo con una escala logaritmica (ver mas arriba). En ese tipo de papel, una ecuacion de Ia fonna y = ha• (donde a y h son constantes), que establece un crecimiento o decrecimiento exponencial de Ia variable y con respecto a x (segun sea a > I 6 a < I ). se representa mediante una recta. El otro tipo de papel, doblemente logaritmico o log-log, tiene ambos ejes divididos logaritmicamente; sobre el, una ecuacion de Ia fonna J· = bxm (donde b y m son constantes) tiene como representacion una recta. Dada una colecci6n de datos experimentales, u obtenidos de Ia inspeccion de una poblaci6n, puede utilizarse su representacion sobre un tipo u otro de papel logaritmico para inferir Ia fonna en que cierta variable depende de otra.

16glca (equlvalencla) Ver equivalencia logica. longltud La longitud de un punto P de Ia superficie terrestre es el angulo, en grados Oeste o grados Este, que fonnan el meridiano que pasa por P y el meridiano origen de longitudes, usual mente el de Greenwich (considerando los meridianos como semicirculos ). Si el meridiana que pasa

longltud

220

por P y el que pasa por Greenwich cortan al Ecuador en P' y G' (se entiende aqui a cada meridiano como semicircunferencia), y si 0 es el centro de Ia Tie~ Ia longitud de Pes entonces el angulo P'OG', que puede alcanzar como maximo 1800 Oeste o 180° Este. La longitud y Ia latitud determinan univocamente Ia posicion de un punto de Ia superficie terrestre.

longltud (de un c6digo binario) Ver codigo binario. longltud (de un segmento). En un espacio vectorial euclideo, Ia longitud de un segmento AB es Ia distancia e_!!!re A y B, o sea, el mOdulo (\ nonna del segmento dirigido AB o del BA . Se denota por JAB! (=JBA! ). Silas coordenadas de A y B con respecto a una base ortonormal son, respectivamente, (a 1, a2, ••• , a,.) y (b 1, b 2, ••• , b,.), Ia longitud de AB es entonces:

Ver tambien modulo (de un segmento orientado, de un vector), y distancia entre dos puntos.

longltud (de una palabra binaria) Ver binaria (palabra). longltud (del eje mayor y del eje menor) Ver elipse. longltud de areo Sea y =j(x) Ia ecuacion de Ia gnifica de una funci()n f, cuya derivadaf' es continua en el intervalo [a. b). La loagitud del•rcn de esa curva comprendido entre los puntos (a,j(a)) y (b,j(h)) es entoncc'

,

JJ1 +

2

(/'(x)) dx.

" FORMA PARAMETRICA: Si una curva plana viene dada por las ecuacionc' parametricas x = x(t), y = y(t), donde las derivadas x'(t) e y'(t) son conti-

nuas, Ia longitud del arco comprendido entre los puntos (x(a), y(a)) (x(p), Y

> es entonces

~

FORMA POLAR: Para una curva plana dada en polares por Ia ecuacion p = p(9), Ia longitud del arco de curva comprendido entre los puntos d~

coordenadas polares (a, p(a)) y (p, p{p)) es

:!21

Iugar

Iugar geometrlco Llamado tambien locus, es el conjunto de los puntos del plano, o del espacio, que satisfacen detenninada propiedad. Por ejemplo, Ia circunferencia es el Iugar geometrico de los puntos del plano que equidistan de uno dado. Del mismo modo, el Iugar geometrico de los puntos del plano que equidistan de dos dados, A y B, es Ia recta mediatriz del segmento AB. Si, en un detenninado sistema de coordenadas en el plano, cierto Iugar geometrico se expresa en Ia fonna {(x, y) Ij(x, y) = 0}, se dice que .f(x, y) = 0 es una ecuacioa de ese Iugar geometrico (en el sistema de referencia elegido). Se puede decir tambien que Ia ecuaci6n "representa" el Iugar geometrico en cuestion.

www.

Maclaurin, Colin ( 1698-1746) Matematico escoces que desarrollo y amplio los trabajos de Newton en calculo, geometria y gravitaci6n. Su Treatise of Fluxions ( 1742) contiene importantes resultados originates, pero las series de Maclaurin que alii aparecen no son sino un caso especial de las series de Taylor, conocidas con bastante anterioridad. Tambien escribi6 un tratado de algebra. muy popular tras su muerte.

Maclaurin (series o desarrollo& de) Supongamos quefes una funcion real de variable real. indefinidamente derivable en un entomo del 0. Se puede escribir entonces Ia serie de potencias ((0) + /'(0) X+ /"(0) X~

·

I!

+ ... + f'nl (0) Xn + ...

2!

n!

'

que es Ia serie (o desarrollo) de Maclaurin de .f. Para muchas funciones importantes, esa serie converge para todo x o al menos en un intervalo centrado en 0. y Ia suma de Ia serie para esos valores de xes precisamente.f{x); se dice que para esos valores Ia serie de Maclaurin es un 'desarrollo valido' de _l(x). En Ia tabla de Series del Apendice 4 se incluyen las series de Maclaurin de las funciones mas corrientes. La funci6n /(x)=e-1

x·

para todo X~ 0, siendo./(0) = 0,

ofrece un ejemplo curioso a este respecto, ya que todas sus derivadas en 0 son nulas y por tanto su serie de Maclaurin es convergente y tiene suma 0 para todos los valores de x. Esto muestra que incluso cuando Ia serie de Maclaurin de una funci6n es convergente, su suma bien puede no coincidir conj(x). Ver tambien Taylor (Teorema de).

maglco (Cuadrado) Ver Cuadrado magico. magnltud o m6dulo (de un vector) Ver vector. Si el vector a viene dado por sus componentes con respecto a Ia referencia o base estandar, i, j y k, porIa formula a = a 1i + a~ + a 3k, Ia magnitud de a viene dada por

Mandelbrot (conjunto de) Es el conjunto de los puntos c del plano complejo para los que una aplicaci6n repetida de Ia funcion.fc(z) = z2 + c a partir del origen produce una sucesi6n acotada; tambien puede definirse bros.fiRPlo el conjunto de puntos c tales que el conjunto de Julia de esa funcion

manti sa

es conexo. Se trata de un objeto extraordinariamente complicado, cuyo borde o frontera es un conjunto fractal, por lo que se utiliza muy frecuentemente como ilustracion o ejemplo de lo que es un fractal geometrico.

mantlsa Verflotante (notaci6n de coma). m6qulna Es un dispositivo que posibilita que Ia energia procedente de una fuente detenninada sea modificada y transmitida en fonna diferente o con un prop• (yl• Y2• .. ·Yn» = = XaY 1 + ... + X,Jl~ al que se llama simplemente grupo ortogonal en n variables (reales), que se denota por O(n) (ver el item siguiente). El nucleo del . mQ.rfismo de grupos cp ~ det cp (es decir, el conjunto de automorfismos

ortogonal

258

ortogonales de detenninante I) es un subgrupo de O(n), llamado grupo especial ortogonal ode las rotaciones, SO(n).

ortogonal (matriz) Una matriz real cuadrada A es ortogonal si AT A==l. donde AT es Ia traspuesta de A. Se cumplen las siguientes propiedades: (i) Si A es ortogonal, A-1 =AT, y por tanto AAT =I. En consecuencia. A -1 tam bien es ortogonal. La matriz identidad I es evidentemente ortogonal. (ii) Si A y B son matrices ortogonales del mismo orden, tambien lo es su producto AB. (iii) Las propiedades (i) y (ii) expresan que el conjunto O(n) de las matrices onogonales de orden n es un subgrupo del grupo de las matrices invertibles GL(n). (iv) Si A es ortogonal, det A=± I, dado que det:! A= det I

= I.

Las matrices ortogonales de orden n con detenninante I fonnan a su ve1 un subgrupo de O(n), llamado grupo especial ortogoaal ode las rotacione.tt, denotado por SO(n).

ortogonalea (vectores) Dos vectores a y b no nulos son

ortogoaale~

si sus direcciones son perpendiculares entre si, o lo que es lo mismo, si su producto escalar 1 · b es nulo.

ortogonallzacl6n de Gram-Schmidt En el espacio tridimensional ordinario, a partir de una base cualquiera de vectores fa, b, c' se puedc fonnar una base ortogonal fa', b', c'), con Ia propiedad de que el plano detenninado por a' y b' es el mismo que el detenninado por a y b; basta para ello hacer

(a·

• b' = b - (-• ·b) , ) - -( ,b'·c a+a, a , c=c- -c a - , ) b' . •·•

•·•

b·b

Lo que hacemos con esas fonnulas es restar primero a b su proyeccion sobre a (ver proyeccion (de un vector sobre otro)), y luego restar a c sus proyecciones sobre a y b'. El mismo procedimiento se puede seguir en un espacio vectorial euclideo de dimension n, para obtener, a partir de una base !A = ~u 1 , o 2, ••• , u"} una buse ortogonal !A' = (v 1, v 2, ••• , ''"} tal que para cada r entre I y n, el subespacio [v 1, v2, ••• , vr] coincide con el

[u 1, o 2,

••• ,

u,].

ortonormal Un sistema ortoaormal de vectores es aquel en que todos ellos son unitarios (de nonna o mOdulo I) y onogonales entre si. En el espacio tridimensional, tres vectores unitarios mutuamente ortogonales fonnan una base ortonormal. La base ortononnal estandar o canonica Www

259

un sistema de coordenadas cartesiano esta fonnada por los vectores unitarios i, j y k. vectores directores de los tres ejes de coordenadas.

oscllaclones Una particula o s61ido rigido efectua oscilaciones si se mueve repetidamente pasando por una posicion central, que habitualmente es un punto de equilibria estable. Ejemplos de oscilaciones son los movimicntos de un pendulo simple o compuesto, o los de una masa suspendida de un tirante elastico o un muelle, o las vibraciones de una cuerda de violin. Las oscilaciones se llaman amortiguadas si existe una fuerza o rozamiento que las va atenuando, y forzadas si existe una fuerza que las mantiene.

oacllaclonea amortlguadaa Son oscilaciones cuya amplitud decrece con el tiempo. Considerese Ia ecuacion del movimiento m cf.xldt~ = = - lex - c: dxldt, donde el primer tennino del segundo miembro corresponde a una fuerza elastica de restauracion, segun Ia ley de Hooke, y el segundo a una re... i.ttencia al movimiento; las constantes k y c: son positivas. La fonna de Ia solucion general de esa ecuacion diferenciallineal con coeticientes constantes depende de Ia ecuacion caracteristica auxiliar mr~ + cr + k = 0. Si c~ < 4mk, esa ecuacion no tiene raices reales; si sus raices complejas son a ± ip, Ia solucion general de Ia ecuacion del movimiento es x = e'u(A cos Pt + B sen Pt), y como a = -c/2m < 0, hay amortiguamiento de las oscilaciones 0.f'(x) es posit iva en el intervalo abierto (a-~. a) y negativa en el intervalo abierto (a. a + ~). o negativa en (a - ~. a) y positiva en (a, a + ~). Si el cambio (al crecer x) es de concava hacia arriba a c6ncava hacia abajo, tenemos uno de los casos dibujados en Ia primera fila de Ia figura; si el cambio es de c6ncava hacia abajo a concava hacia arriba. uno de los casos dibujados en Ia segunda fila. El diagrama central en cada fila muestra un punto de inflexion que tam bien es estacionario, es decir, con tangente horizontal. www.

Si j" es continua en a . para lJUC .1 tcnga un pun to de inth:\ IPII ~·n " c~ prcciso que seaf'(u) = o. y ese es el metodo habitual para hallar posibles puntos de inflexion. Sin embargo, esa condicion no es suficiente para asegurar que existe un punto de inflexion en a, ya que debe haber un cambio de signo de Ia derivada segunda .f' en ese punto. La funci6n _f(x) = r, por ejemplo, tiene derivada segunda nula en el origen •. f'(O) = 0, pero no tiene un punto de inflexion en 0, ya que Ia derivada segunda f' es posit iva a ambos lados de ese punto. Tambien puede haber inflexion en un punto donde Ia derivada segunda no exista o sea inti nita, como sucede por ejemplo con Ia curva y = x' 1 en el origen, como muestra Ia figura.

puro(imaginario) Un numero complejo es imaginario puro si su parte real es nula. pura(estrategia) Ver estrategia pura.

www.

Q Ver

racionales (n.umeros).

www.

R Ver reales (nrimeros).

raclonal (funci6n) En anal isis real, una funcion racional es una funcion real de variable real.f(x) dada por el cociente de dos ,li1nciones polinomicas g(x) y h(x). que se puede suponer que no tienen factores comunes de grado mayor o igual que I. El dominio de tal funci6n es entonces toda Ia recta real excluyendo las raices del denominador h(x).

raclonal (numero) Es todo numero que pueda escribirse en Ia forma alb, con a y h enteros (b ~ 0). El conjunto de los numeros racionales se representa habitualmente por ·Q·. Un numero real es racional si, y solo si, su expresion (o desarrollo) decimal es finita o periOdica (ver decimal (repre-~entacit)n)). Son numeros racionales. por ejemplo, 5

- =1.25. 4

.,

-

.=. =0.6. 3

20 = 2.857142. 7

Una famosa demostracion. atribuida a Pitagoras, muestra que .fi. no es racional. Tambien se sabe que e (base de los /ogaritmo.tt neperiano.tt) y 1t no son racionales. lrn mismo numero racional puede expresarse como cociente de enteros alb de muchas formas diferentes: por ejemplo, 2/3 = 6/9 = -41-6. De hecho, alb = cld si y solo si ad= he. Pero si se ailade Ia condicion de que a y h tengan como maximo comun divisor I y h sea positivo, esa expresi6n como cociente de enteros es unica. Aparte de las diferentes formas en que puede aparecer el mismo numero racional, las reglas para Ia suma y Ia multiplicaci6n de racionales son: a c hd

-+-=

ad +be bd

y

a c ac hdbd

-·-=-

El conjunto de los numeros racionales Q es cerrado bajo esas operaciones, y se puede comprobar facilmente que se cumplen todas las condiciones que hacen de Q con esas dos operaciones un cuerpo conmutativo. lJn enfoque mas riguroso pennite construir el cuerpo Q de los numeros racionales como sigue: Consideremos el conjunto Z x (Z \ {0}) de los pares (a. h) de numeros enteros con segunda componente no nula. En ese conjunto se define una relacion de equivalencia haciendo (a. b)- (c. d)(::::) ¢:>ad= be: . y podemos representar por ((a, b)] Ia clase de equivalencia de todos los pares relacionados con (a, b). El enfoque intuitivo de mas arriba

304

raclonalizar

sugiere que Ia suma y multiplicaci6n de clases debe definirse entonces por las f6nnulas: [(a, b)] + [(c, d)]

= [(ad+

be, bel)] y [(a, b)) [(c, d)]

= [(ac, bd)],

pudiendo probarse facilmente que Ia clase del segundo miembro en cada una de esas dos igualdades no depende de los representantes elegidos en las clases que aparecen en los primeros miembros. Se prueba entonces que el conjunto Q = Z x (Z \ {0}) /- de las clases de equivalencia con esas dos operaciones es un cuerpo conmutativo, cuyos elementos son llamados numeros racionales. raclonallzar (una fracci6n) Consiste en hacer desaparecer las raices del denominador, sin cambiar el valor de Ia fraccion. Por ejemplo, en Ia expresi6n 1/(2- .J;) se pueden multiplicar numerador y denominador por 2 + .[; , obteniendo asi Ia fraccion racionalizada

2+.[; 4-x radial (componente) Ver componentes radial y transversal. radllln En el trabajo elemental, los angulos se miden en grados (sexagesimales). siendo 360° Ia medida de un giro completo en tomo al origen elegido. Pero en estudios un poco mas sofisticados los angulos deben medirse de otra forma: Supongamos dos semirrectas a panir de un mismo punto 0, y tomemos una circunferencia con centro en 0 que cona a esas semirrectas en los puntos A y B. El cociente de Ia longitud del arco AB por el radio OA de Ia circunferencia no depende de este ultimo, sino solo del angulo LAOB, y se dice que es Ia medida de ese angulo expresada en radlanes.

/ -21_ \

0

A

El angulo mide exactamente I radian cuando Ia longitud del arco AB es igual a Ia longitud del radio OA, lo que ocurre cuando LAOB mide aproximadamente 57°, mas exactamente 57.296° = s-,o 17' 45" . Como Ia longitud de una circunferencia de radio r es 2Jtr, un giro completo mide 2Jt radianes. Asi pues, r' = ftXI 180 radianes. En muchos estudios te6ricos, particulannente en los relacionados con el calculo infinitesimal, Ia medida en radianes es fundamental. Cuando se evallianfunciones trigonometricas en

305

radio de giro

una calculado~ es esencial asegurarse de que se esta utilizando Ia unidad de medida adecuada. El radian es Ia unidad de medida de angulos en el Sistema lntemacional, y su abreviatura es 'rad'. radical (eje) El eje radical de dos circunferencias es Ia linea recta formada por todos los puntos P tales que las longitudes de las tangentes trazadas desde P a ambas circunferencias son iguales. Las figuras de mas abajo muestran cada una de elias un punto P del eje radical y las tangentes desde ese punto a las dos circunferencias, con puntos de tangencia r, y T2, siendo IPT11 = IPT21. Si las circunferencias se cortan en dos puntos, como en Ia figura de Ia derecha, el eje radical es precisamente Ia recta que pasa por esos dos puntos de corte. En tal caso, parte del eje radical esta contenido en los circulos limitados por las dos circunferencias, desde donde nose pueden trazar tangentes a elias. Para las circunferencias con ecuaciones x2 + y 2 + 2g 1x + ~(Lv + c 1 = 0 y x 2 + y 2 + 2g~ + 2fJY + c2= 0, Ia ecuacion del eje radical es 2(g 1 - g1 ~t + 2(!J -.t;)y + (c 1 - c2) = 0. p

p

.

T

- -·.

'--

-~ \

\I

\ ./'

T,

\

,.,

(bl

f

radical (signo) Es el signo utilizado para indicar las raices cuadradas, cubicas o con indice mayor, Ia notacion ../a indica una raiz cuadrada, !/a una raiz cubica. y '{/a una raiz n-sima o de fndice n. Ver raiz cuadrada y raiz n-sima para una explicacion detallada del correcto uso de esas notaciones. radio Los radios de una circunferencia son los segmentos que unen el centro con los distintos puntos de Ia circunferencia. Todos esos segmentos tienen Ia misma longitud, a Ia que tambien se llama radio de Ia circunferencia. El mismo tennino se aplica (en ambos sentidos) a una esfera. Ver tambien circunferencia y esfera. radio de giro Es Ia raiz cuadrada del cociente del momento de inercia de un cuerpo rigido (con respecto a detenninado eje) por su masa. Asi pues, si ese momento de inercia es /, y el radio de giro es k, I= mk2, lo que significa que al girar en tomo a ese eje, el cuerpo tiene el mismo momento de inercia que un aro con Ia misma masa y radio k.

306

radio vector

radio vector Supongamos que se fija un punto 0 como origen en el plano. Si el vector de posicion de detenninado punto Pes p . se puede llamar tambien a p radio vector (de P), en particular cuando Pes un punto generico de cierta curva, o cuando representa Ia posicion de una particula que se mueve en ese plano. rafces de un pollnomlo f{x) Son los valores h que anulan ese polinomio al sustituirlos en el Iugar de Ia indetenninada x, esto es, las soluciones de Ia ecuacion polinomica j(x) =r 0, o lo que es lo mismo, los ceros de Ia funci6n .f. Algunos autores usan indistintamente los tenninos "raiz" y "cero'. Segun el Teorema del Resto, h es una raiz del polinomio .f(x) si y s61o si x - h divide a _f(x). El valor h es una raiz simple de j(x) si x - h divide a j(x). pero (x- h)~ no lo divide; h es una raiz de orden o multiplicidad n si (x - h)" divide a .f{x). pero (x - h)',. 1 no lo divide. Se dice tam bien que una raiz de orden 2 es una raiz doble. una raiz de orden 3 una raiz triple. etc. Si h es una raiz doble del polinomio j(x). cerca del punto de abscisa h Ia grafica y = j(x) tiene un aspecto como el de uno de los diagramas de Ia primera fila de Ia tigura; si h es una raiz triple. cerca del punto de abscisa h Ia gratica y = _l{x) tiene un aspecto como el de uno de los diagramas de Ia segunda fila. El valor h es una raiz de multiplicidad mayor o igual que n si y s61o si se cumplen las igualdades .f(h) = 0•.f(h) = 0. /"(h) = 0•... .fn

1

~h) =

0.

,. it

'f

.

'-../ •

,. oi- .'--

0-+ I

~--=

•• I

"'

. -of~~

•

Si las raices de Ia ecuacion cuadratica ax:. + hx + c = 0 son a y p, entonces se cumple que a+ p = -bla, y ap = c.:a. Del mismo modo. si a.. p y y son las raices de Ia ecuaci6n cubica a~ 3 + hx~ +ex+ d= 0. entonces a+ P+ + y = -bla, ap + py + yo. = cia y apy = -d./a. Para ecuaciones polinomicas de grado mas elevado se cumplen resultados similares.

rafz cuadrada Son raices cuadradas de un numero real a > 0 los dos numeros reales x e y. uno positivo ~ otro negativo t1· = - x) tales que x:! = y:! =a. Se utiliza Ia notacion ..Ja para Ia raiz positiva. La raiz cuadrada de 0 es 0, y si a < 0 no puede tener raiz cuadrad~ porque los cuadrados de todos los numeros reales son no negativos. www

ran go

307

raiz eneslma Un numero real Xes raiz enesima de otro numero real a si x" = a. Cabe distinguir dos posibilidades: Si n es par, y a < 0, no existen raices enesimas de a; si a > 0 existen dos raices enesimas de a, una positiva y otra negativa. La notaci6n ~ se utiliza especificamente para Ia positiva. Por ejemplo. V16 =2, y 16 tiene

. cuartas. - ), --. dos ra1ces ~

~

Si n es impar, a tiene una unica raiz enesima, sea cual sea a. Por ejemplo, =-2.

r-s

raiz (enealma) de Ia unldad Es cualquiera de los numeros complejos :que satisfacen Ia ecuacion :" = I. Las n raices de Ia unidad son los numeros e'.:!ia ". para k = 0. I. 2•...• n - I. o lo que es lo mismo. 2k1t

.

2k1t

cos--+ 1sen-- ( n n

k

=0. I ..... n -I).

Esas raices enesimas se represantan en el plano complejo por puntos que yacen sobre Ia circunferencia unidad, y son los vertices de un poligono regular de n lados. En Ia tigura se muestran las raices quintas y las raices sextas de Ia unidad. Entre las raices enesimas de Ia unidad siempre esta el numero I. y tam bien el numero -I cuando n es par. Las raices enesimas de Ia unidad no reales aparecen en pares de conjugados. Ver tamhien c1ihica (rai: de Ia unidacl) y cut.irtica (rai: de Ia unidat./).

raiz (de un arbol) Ver cirhol. Rarnanujan, Srlnlvaaa (1887-1920) El matematico indio mas sobresaliente de este siglo. Siendo oticinista en Madras comenz6 a estudiar y trabajar en matematicas sin ninguna ayuda. A raiz de su correspondencia con G H. Hardy fue invitado a visitar Gran Breta~a en 1914, donde colaboro con este ultimo en trabajos sobre particiones y otros temas. principalmente en teoria de numeros. Se le consideraba un genio por su inexplicable habilidad en el manejo. por ejemplo. de series y .fracciones continua.~. Debido a su mala salud tuvo que regresar a Ia India, donde muri6 un arlO mas tarde.

ramas (de una hiperbola) Ver hiperbola. rango o recorrldo (de una funci6n o aplicaci6n) Ver funcion y aplicacion.

rango (de una aplicaci6n lineal) Si E y F son dos espacios vectoriales de dimension fini~ y cp : E--+ F es una aplicaci6n lineal. se llama rango de cp a Ia dimension de su imagen como suhespacio de F.

ran go

308

rango (de una matriz) Sea A una matriz m x n. El rango por columnas de A es el maximo numero de columnas linealmente independientes de A. Analogamente, el rango por filas de A es el maximo numero de filas lineal mente independientes de A. Se puede probar que las operaciones elementales con filas o columnas no alteran el rango por filas o por columnas, de fonna que estos son ambos iguales al numero de fi las no nulas en Ia forma escalonada reducida a Ia que se puede llevar A. Ese valor coml.m es el raago de A. Se puede probar tambien que es igual al numero de filas o columnas del mayor (en cuanto a ese numero) menor no nulo de A. Considerando A como Ia matriz de una aplicaci6n lineal de R, en R"'. con respecto a las bases can6nicas de esos espacios (lo mismo valdria para cualquier otro cuerpo ). el rango de A es Ia dimension del subespacio imagen. Una matriz cuadrada n x n es invertible si y s61o si su rango es precisamente n. ran go (en Estadrstica) Es Ia diferencia entre los valores maximo y minimo de un conjunto de datos numericos u observaciones. Se puede utilizar como indice de Ia dispersion de una muestra. rango (en Mecanica) Ver alcance. rapldez En Mecanica es a menudo uti I distinguir entre Ia velocidad y Ia rapidez de una particula. En el movimiento rectilineo, sobre Ia trayectoria se marca un sentido como positivo, dando una orientacion a Ia recta. La velocidad de Ia particula es posit iva cuando esta se mueve en sentido positivo. y negativa en caso contrario. La rapidez de Ia particula es entonces el valor absoluto de Ia velocidad. En el caso de movimientos menos simples, cuando Ia velocidad se representa mediante un vector v, Ia r.pidez es Ia magnitud, nonna o m6dulo de ese vector, lvl. rapldez angular Es el mOdulo de Ia velocidad angular. rapldez final Cuando un objeto cae a tierra desde gran altura, su rapidez, en detenninados mode los matematicos. tiende a un valor que se llama su rapidez tiaal, o tenninal. Uno de esos posibles modelos matematicos viene dado por Ia ecuaci6n mlflrldt~ = -mgk- c drldt, donde m es Ia masa del cuerpo, k el vector unitario en direcci6n vertical, con sentido hacia arriba, y el segudo tennino del miembro de Ia derecha representa Ia r.esistencia del aire (c es una constante positiva). La velocidad correspondiente a Qlrldt2 = 0 , a Ia que se llama velocidad final. es igual a (-mg/c)k; Ia rapidez finales Ia magnitud de esa velocidad. mglc. Si en Iugar de Ia anterior se emplea Ia ecuaci6n m Qlrldt~ = -mgk - c I drldt I drldt. Ia rapidez finales J = ha o 'I'· Como en el caso de las isometrias, se llaman semejanzas Iineales directas a las que tienen detenninante positivo, y se dice que conservan Ia orientaci6n, mientras que las semejanzas lineales de detenninante negativo invierten Ia orientaci6n. semlclrcunferencla, semlcirculo Mitad de una circunferencia o de un cfrculo, delimitadalo por un diametro. semlespaclo Es cada una de las dos regiones del espacio (tridimensional) en que lo divide un plano. Con mas detalle, si en un sistema de referencia cartesiano el plano tiene como ecuaci6n ax + by + cz + d = 0, se llaman semiespacios abiertos detenninados por ese plano a los conjuntos {(x, y, z) I ax+ by+ cz + d > 0} y {(x, y, z) I ax+ by+ cz + d < 0}, y semiespacios cerrados a los conjuntos {(x, y, z) lax + by + cz + d ~ 0} y {(x, y, z) lax+ by+ cz + d S 0}. El mismo concepto se puede generali~.

327

separable

a espacios n-dimensionales o infinitodimensionales a partir de Ia noci6n de hiperplano.

seml-lntercuartillco (rango) Es una medida de dispersion en un conjunto de datos u observaciones numericas. igual a Ia mitad de Ia diferencia entre el primer y el tercer cuartiles.

semlllneal (aplicaci6n) Si E y F son dos espacios vectoriales complejos. se dice que una aplicacion cp: E-. F es semilineal cuando cp(A.u + Jl v) =A. cp(u) + Jlcp(v)

para cualesquiera u. v de E y A, J.1 de C. semlplano En el plano. con un sistema de referencia cartesiano. una recta r tiene una ecuaci6n del tipo ax + by + c = 0. Se llaman entonces semiplaaos abiertos detenninados por esa recta r a los conjuntos {(x, y)l lax+ by+ c > 0} y {(x. y) I ax+ by+ c < 0}, y semiplaaos cerrados a los conjuntos {(x. y) I ax+ by+ c ~ 0} y {(x. y) lax+ by+ c S 0}. Supuesto que sea c = 0, un metodo util para detenninar cual es cada semiplano consiste simplemente en saber cual contiene al origen, el primero si c > 0, y el segundo si c < 0. El uso de los semi pianos abiertos y cerrados es Ia base de Ia programacion lineal elemental. semlrregular (poliedro) Ver arquimedianos (solidos). semlrregular (teselaci6n) Ver teselacion. semlrrectas Son las dos 'mitades' en que divide a una recta cualquiera de sus puntos.

Mno Ver trigonometricas (funciones). seno hlperb611co Ver hiperbolicas (funciones). sensltlvldad (analisis de) Consiste en ir variando los parametros en una simulacion para descubrir cual 0 cuales de ellos ejercen mayor influencia sobre los rasgos de interes prioritario.

separable (ecuaci6n diferencial de primer orden) Es una ecuaci6n diferencial de primer orden dyldx = j(x, y) en Ia que Ia funci6n f puede expresarse como producto de una funcion de Ia primera variable por una funcion de Ia segunda variable. Tiene, por tanto, Ia fonna dy/dx = g(x) h(y). y sus soluciones vienen dadas por Ia fonnula

1 Jh(y)- dy =Jg(x) dx+c, donde c es una constante arbitraria.

aerie

328

aerie Una serie finita es una suma de Ia fonna a 1 + a1 +

... +a~

donde a" a 2, ... , a, son n numeros. llamados terminos de Ia serie, y n, entero positivo, es su longitud. La suma de Ia serie es simplemente Ia suma de sus n tenninos. Para algunas series finitas como las aritmeticas o las geometricas, se dispone de una fonnula explicita para su suma. como sucede igualmente para las series ~

~r

:!

• 2 =1:! + 2:! +···+n = n( n + 1)( 2n + I) ,

6

rl

~

~r

.l

.1

=1

"'J +~

2

+···+n

3

=

n (n+l)

rI

4

2

.

Una serie intinita es una suma de intinitos tenninos, a 1, a 2, a 1, ••• , uno para cada entero positivo n, que puede escribirse en Ia fonna a 1+ a2 + a 1+ ... , o bien en Ia fonna

Si para cada entero positivo n. s, es Ia suma de los n primeros tenninos de esa serie, y Ia sucesi6n .~ 1 • s 2• s 1, ••• tiene un limite s. se dice que Ia serie converge. y que s es Ia suma de esa serie intinita; si esa sucesion de sumas parciales no tiene limite, Ia serie inti nita no tiene suma. Ver tambien series aritmetica.~. .~eries

geometricas. series hinomiales. series de Taylor y series de Maclaurin.

series arm6nlcas Son series I

a, en las que a 1• a:!• a_" ... es una suce.~ion armonica, es decir. tal que sus inversos l/a 1• l/a 2, lla 3, ••• fonnan una progresion aritmetica. La expresi6n se aplica paniculannente a Ia serie I + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ···, cuyo tt~nnino generales lin. Aunque lin_,.. 0. esa serie noes convergente (tiene suma oo), ya que l/3 + 1/4 > 1/2, 1/5 + l/6 + + 1/7 + 1/8 > 1/2, etc .• de fonna que sis, es Ia suma enesima (suma de los n primeros tenninos). s, _,.. oo. Para valores grandes de n, s, = In n + y, donde yes Ia llamada constante de Euler.

series geometrical Son series I a, (finitas o infinitas) en las que a 1• es una progresion geometrica, existiendo, por tanto, una razon comun r = a,. 11an entre sus tenninos; si el primer tennino a 1 es a, se tiene entonces a,= am •. Seas,= a+ ar + ar2 + ... + am-• Ia suma de los n primeros tenninos de Ia serie. Si r ~ I, se puede escribir

a 2, a 3,

•••

s, =

a(l-rn)

1-r

=

a(r" -I)

r-l

329

Sl

Si Ia razon r de Ia serie tiene valor absoluto menor que I (es decir, si -I < < r < I). rr ~ 0. y por tanto sn ~ a/( 1 - r). Asi pues, a/( I - r) es Ia suma de Ia serie infinita a + ar + ar~ + ... En particular. para -I < x < I Ia serie de potencias geometrica I + x + x~ + ... tiene como suma I/( 1 - x). Por ejemplo, haciendo x = Y2, vemos asi que Ia serie 1 + I/2 + 1/4 + 1/8 + · · · suma 2. Si x 5- I ox ~ I, Ia suma enesima sn no tiene limite cuando n -+ oo, y Ia serie no es convergente. Sl (unidades) Son las unidades empleadas habitualmente para medir cantidades fisicas. La abreviatura proviene del frances Systeme International d'Unites. Hay siete unidades basicas. de las que el metro, unidad de longitud; el kilogramo, unidad de masa. y el segundo, unidad de tiempo. son las mas utilizadas en matematicas. Las asi llamadas unidades suplementarias son el radian, para medir angulos, y el estereorradian. para medir angulos s61idos. A panir de esas unidades basicas y suplementarias se definen otras unidades derivadas, como el 'metro cuadrado • para medir areas. o el 'metro por segundo' para medir velocidades. Algunas unidades derivadas tienen nombres especiales. como el newton. el julio, el pascal o el herzio. Cada unidad basica tiene una abreviatura utilizada tambien intemacionalmente. y en las abreviaturas de las unidades derivadas se emplean exponentes positivos y negativos. intercalando cuando es preciso un espacio entre las diferentes unidades implicadas. Por ejemplo, las abreviaturas para 'metro cuadrado •y 'metro por segundo· son 'm~· y •m s 1'; las unidades derivadas con nombres especiales tienen sus propias abreviaturas. Para definir multiplos de las unidades por potencias (positivas o negativas) de I0 se utilizan prefijos griegos. como deca. hecto, kilo, o Iatinos, como deci. centi, mili. etc. En todo caso. se prefieren siempre las potencias cuyo exponente es multiplo de 3. En Ia lista que viene a continuaci6n se presenta entre parentesis Ia abreviatura de cada prefijo. Por ejemplo. I mega"'atio equivale a I(}b watios. y I miligramo a I0 ' gramos; Ia abreviatura de megawatio es 'MW'. y Ia de miligramo. 'mg'. kilo-

(k)

10

mega-

(M)

giga

(G)

mili-

(m)

10 ..

micro-

(IJ)

10 ..

nano-

(n)

l

slgnlflcatlvas

330

Tambien se utilizan a veces los siguientes prefijos: 10

dec a-

(0)

10

I

deci-

(d)

1o~

hecto-

(H)

10:

centi-

(c)

slgnlflcatlvas (cifras) Para contar Ia cantidad de cifras significativas en un numero dado en representaci6n decimal, se comienza con Ia primera cifra no nula desde Ia izquierda, contando hacia Ia derecha e incluyendo el cero final que pueda haber despues del punto o coma decimal. Asi por ejemplo, 1.2048, 1.2040, 0.012 048, 0.00 I 204 0 y 1204.0 tienen todos ellos cinco cifras significativas. AI redondear o truncar un numero se suele especificar de antemano el numero de cifras significativas que deben quedar. Observese que los ceros finales a Ia izquierda del punto o coma decimal pueden ser significativos o no: el numero I 204 000 tiene al menos cuatro cifras significativas, pero sin mas infonnacion no hay manera de saber si hay mas; cuando se redondea I 203 960 a cinco cifras significativas resulta precisamente I 204 000, pero hay que seftalar entonces que el numero de cifras significativas es cinco, lo que queda mas claro en notaci6n cientifica escribiendo 1.2040 x I{)b. AI decir "a = 1.2048 hasta Ia quinta cifra significativa" se pretende indicar que a resulta del redondeo de un numero dejando cinco cifras significativas, es decir, que 1.204 75 Sa S 1.204 85. slgno (funci6n) Es Ia funci6n real de variable real sgn (x) dole el valor 0 en el 0. donde no esta definida, de fonna que

dan-

-1, six< 0, 0, six= 0,

l

sgn(x) =

= x/lxl.

1, six> 0.

slgnos (test de los) Es un test no parametrico para contrastar Ia hi/}0tesis nula de que dos poblaciones tienen Ia misma distribuci6n. Si suponemos extraidos n pares de muestras (x;, J';) de dos poblaciones continuas con densidades .ft(x), J;(x), se tendra, suponiendo cierta Ia hip6tesis nula, Pr (x; - Y; < 0) = Y2, luego Ia variable :;, que toma el valor I cuando X; - y, > 0 (signo + ), y el valor 0 (signo -) cuando x,- J'; < 0, tendra una distribucion binomial correspondiente a un solo experimento con p = Y2. La suma u = l: z, debe tener Ia distribuci6n binomial B(n, Y2). La hip6tesis nula se rechaza si el valor obtenido esta en Ia region critica detenninada por el nivel de significacion adoptado. Ese mismo test se puede emplear para comparar las medianas de dos poblaciones a partir de datos emparejados. www.

3~1

slmetria

slmetria (de una grafica) La grafica y = /(x) de una funci6n real de variable real puede exhibir. entre otras. dos simetrias interesantes: puede ser simetrica con respecto al eje de ordenadas. si se trata de un funci6n par. y respecto del origen. si Ia funci6n es impar. simetria (respecto de una recta en un plano) lJna figura plana es ~imetrica respecto de una recta r, si para cada uno de sus puntos P tambien esta en ella Ia imagen especular de P con respecto a r. es decir, el punto P' tal que r es mediatri: de PP'. Por ejemplo, Ia letra ·A' es simetrica con respecto de Ia vertical que pasa por el vertice superior. En tal caso se dice que r es el eje de simetria de Ia figura. aunque el termino se adecua mejor a Ia simetria respecto de una recta en el espacio tridimensional. La ~imetria axial o re.flexion con respecto a una recta r del plano es tambien Ia transformaci6n de este que envia PaP'. Ver reflexion (en el plano). slmetria (respecto de un eje en el espacio tridimensional) Una figura tridimensional es simetrica respecto de una recta r, si para cada uno de sus puntos P tambien esta en ella el punto P' tal que r es mediatri: de PP'. En tal caso se dice que res el eje de ~imetria de Ia figura. La simetria axial con respecto a una recta r del espacio tridimensional es Ia transformaci6n de este que envia P a P'. coincidente con Ia rotacion del angulo 1t en tomo a r. Ver rotacion o Kiro (en el espacio tridimensional). slmetria (respecto de un plano en el espacio tridimensional) Una tigura tridimensional es simetrica respecto de un plano p. si para cada uno de sus puntos P tam bien esta en ella el punto P' tal que p es plano mediadar de PP'. En tal caso se dice que p es el plano de simetria de Ia figura. Si p contiene al origen 0. Ia simetria s respecto de p se expresa matricialmente en Ia forma s' = As. donde Ia matriz A de Ia transformaci6n es ortogonal. con polinomio caracteristico p 4(x) = --(x- I)~ (x + 1) y determinante. por tanto, igual a -1. Si p no contiene al origen, como Ia simetria s es una i...otnetria, se puede descomponer en Ia forma t.to~ o s', donde 1,< 0 , es Ia traslaci6n de vector representado por Os(O), y !i' es otra simetria, que deja fijo 0. y cuyo plano de simetria contiene, por tanto, a 0. Asi pues, Ia ex presion matricial des sera de Ia forma s' =Ax+ b. donde A es una matriz del tipo descrito, y b es Ia matriz columna de las coordenadas de s( 0). slmetria (respecto de un punto en un plano o en el espacio tridimensional) Una figura. plana o tridimensional, es simetrica respecto de un punto 0. si para cada uno de sus puntos P tam bien esta en ella el punto P' tal que 0 es e1 punto medio de PP'. Por ejemplo, Ia letra es simetrica con respecto al punto central. En tal caso se dice que 0 es el centro de simetria de Ia figura. La simetria central con respecto a un punto 0 del plano es tambien Ia transformaci6n de este que envia PaP'. En el plano. ~a simetria central es tam bien una rotaci6n de angulo 1t ( ver rotacion o

·s·

3

slmetrtca

.,_ ~..,

giro (en el plano)). En el espacio tridimensional, Ia ex presion matricial de

una simetria central s es de Ia forma x' = -s + b, donde b es Ia matriz columna de las coordenadas de s( 0).

slmetrlca (matriz) Una matriz cuadrada A= [a;1] es simetrica si AT= A (ver traspuesta de una matriz). es decir. si a1; = a;1 para cualesquiera i,j. slmetrlca (relaci6n) Una relacion binaria - sobre un conjunto C es simetrica si para cualesquiera elementos a y b de C. si a - b se cumple tambien que b- a. · · slmetrlco (endomorfismo) Un endomorfismo «P de un espacio vectorial euclideo E es simetrico cuando para cualesquiera u, v de E. u · cp(v) = = 0, .a ~ I )

In x

eax a·+b 2

eax .,

a 2 +h ..

(a sen bx-b cos bx)

(a cos bx+b sen bx)

d I Ina x In x- x

386

Apendlce

~ =

/(x)

It d.r

.r

sen-•a

I 2

a +x

2

(a> 0)

2

(a> 0)

I 2

x -a

I I X - tg- a a

I ~-a -In 2a x+a

senh- 1 ~ 6 ln(x+Jx 2 +a 2 ) a cosh -•

~ a

J

6 In I x + x 2 - a 2

I

Apendlce

387

Apendlce 4. Tabla de desarrollos en serle de potenclas x x2 x" ez =1+-+-+···+-+··· I! 2! n!

(para todo x)

xl xs x' senx=x--+---+···+(-1)" 3!

S!

7!

x2"•• (2n +I)!

+···

x2 x4 x' x2" cos x = 1--+---+···+(-1)" --+··· 2! 4! 6! (2n)! Xl

XS

X7

S!

(para todox)

Xlrt+l

senh x = x+-+-+-+···+ 3!

(paratodox)

7!

(2n +I)!

+···

xl x4 x' xl" cosh x= 1+-+-+-+···+--+··· 2! 4! 6! (2n)!

(para todox)

(para todo x)

xl xl x4 x" ln(l +x) = x--+---+···+(-1)"- 1 -+··· 2 3 4 n

(-1 < x S I)

xJ xs x' x2"•' arctg x = x--+---+···+(-1)" +··· 3 S 7 2n+ I

(-1 S x S I)

I x1 Ix 3 x5 Ix 3x S x 7 arcsenx=x+--+---+ -+··· 2 3 2x4 S 2x4x6 7 (-ISxSI)

a

a

(l+x) =1+-x+ I!

+

a(a-1) 2 x +··· 2!

a (a-l) ... (a-n+l) ,

n!

x+···

(

1 -