Diccionario básico de matemáticas

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Mariano Díai Velázquez

anaya

© Mariano Díaz Velázquez ED IC IO N ES A N A Y A , S. A. - 1980 Madrid: Iriarte, 4 Depósito Legal: M. 2 5 .1 7 9 * 1980 ISBN: 84-207-1434-8 Printed in Spain Im prim e: Gráficas Torroba Villafranca del Bierzo, 21-23 Polígono Industrial Cobo Calleja Fuenlabrada (Madrid).

P R E S E N T A C IO N

Con el D i c c i o n a r i o B á s i c o d e M a t e m á t i c a s que ahora se publica, se ha pretendido ofrecer a padres, profesores y alumnos una obra de consulta funda­ mental o para los niveles de E. G. B., es decir, aquella matemática considerada como imprescindible y de uso normal dentro del contexto de una cultura general Cada término lleva uno o varios ejemplos que ayudan a una mejor comprensión y, en muchos casos, se resuelven problemas que suelen presentarse tanto a nivel de estudios como de situaciones vitales. Se ha incorporado una amplia terminología de la matemática actual y se com­ pleta con tablas y formularios que ayudarán en gran medida a la resolución de muchos problemas. Se ha procurado respetar el orden alfabético de los contenidos que se presentan. Sin embargo, en alguna ocasión, y para dar unidad a ciertos conceptos afines, se han fundido en un articulo nociones que debieran presentarse en lugares distintos. En estos casos, y para facilitar su localización, cada palabra está en el lugar que le corresponde, com o en todo Diccionario, aunque, para su explica­ ción, se remita al lugar donde se desarrolla el contenido. Somos conscientes de las dificultades que se pueden producir al tratar de resumir en breve espacio temas que, en cualquier libro de los utilizados por nuestros alumnos, llenan lecciones enteras. Sin embargo, ahí estaba el desafío de la obra. N o se trataba de hacer un libro de texto más, sino un auténtico libro de consulta para cualquier nivel de E. G. B., y que a la vez sirviera de recordatorio para aquellos padres y alumnos que, habiendo superado esta etapa, hubieran olvidado algunas cuestiones relacionadas con este nivel. Esta dificultad que antes señalábamos, ha permitido por otro lado condensar, en un solo libro, contenidos de todo un ciclo de la enseñanza y ofrecerlos de forma ordenada para su fácil localización. No queremos finalizar estas lineas sin unas palabras de agradecimiento al Departamento de Lexicografía de EDICIONES A N A YA , y de manera especial a D. Enrique Fontanillo Merino, Director, y a D. Hipólito Remondo Fernández, por la valiosa ayuda que nos han prestado con sus sugerencias para la ordenación y adaptación de esta obra.

SIMBOLOS MAS UTILIZADOS EN EL LENGUAJE MATEMATICO

o divide a b .............................................

X a/b

A d i c i ó n ..........................................................

.+

A b s c i s a ....................................................................................................................

D e c í m e t r o ..................................................

dm

D e s v i a c i ó n t i p o ........................................

s \

D i f e r e n c i a s i m é t r i c a ............................. 4

a

D i s t i n t o ........................................................

A l t u r a .........................................................................................................................

h

D i v i s i ó n ..............................................................................................................

A n g u l o [ i .........................................................................................................

t

D iv id e a

A l f a ...................................................................

A

A n e u l o g e n er a l

...............................................................

A n g u l o r e c t o .......................................................................................... Aplicación com p u esta f y q

L

• •

..............................................................................................................

D i s y u n c i ó n e x c l u s i v a ....................................................

/ V

D i s y u n c i ó n l ó g i c a ....................................................................

V

E l e m e n t o i n v e r s o ..................................

e

.....................

/ 0 í/

A p l i c a c i ó n p r o d u c t o f y q .............

f ■(1

E l e m e n t o n e u t r o .....................................

e

A p o t e m a .................................................’ . .

«p

E p s i l ó n .......................................................... E q u i v a l e ........................................................

£ o

A p r o x i m a d o ................................................

~

1

A r c o A B ........................................................

'Tb '

E x i s t e u n o y s ó l o u n o .....................

3

A r c o gen eral A B .....................................

!T/t ;

F a l s o ................................................................

F.O .

a r e l a c i o n a d o c o n b ........................... a n o r e l a c i o n a d o c o n h .....................

a Rb a Rb

F r e c u e n c i a ..................................................

/

F r e c u e n c i a a c u m u l a d a ........................

/(«)

B e t a ..................................................................

P

F r e c u e n c i a r e l a t i v a ................................

C l a s e s de e q u i v a l e n c i a ........................

F u n c i ó n p r o p o r c i o n a l ........................

C e n t í m e t r o ..................................................

{} cm

M P(x)

G a m m a ..........................................................

y

C o n ju n to com plem entario de A . .

Á

G i r o ................................................................

C onju n to

com plem entario

r e s p e c t o de

de

V ...................................

C o n d i c i ó n n e c e s a r i a y s u fic ie n te . . C onju n ción

l ó g i c a ................................

C o n j u n t o c o c i e n t e ................................ C o n j u n t o de las parte s de A . . . . C o n j u n t o de los n ú m s . c o m p l e j o s . C o n j u n t o de los m ú l t i p l o s de b . . . C o n j u n t o de los n ú m s . e n t e r o s . . C on ju n to

de

los

núms.

de

los

núm s.

C onju n to

de

los

núm s.

n

c. n. s.

G r u p o .............................................................

G

A

I d é n t i c o ........................................................

A/R *§ P(A) C 0 M(b),{bj Z

I g u a l ................................................................

z + Z"

enteros

sin el c e r o .............................................. C o n j u n t o de los n ú m s . n a t u r a l e s .

C o n j u n t o de los n ú m s . r a c i o n a l e s .

Im.

I m a g e n de u n a a p l i c a c i ó n ( / ) . . . . I m p l i c a ..........................................................

m =>

I m p l i c a c i ó n d o b l e ..................................

I n c l u i d o e n ................................................

c:

I n c l u y e a .....................................................

z>

I n t e r s e c c i ó n ................................................

r

I n t e r v a l o a b i e r t o .....................................

][

I n t e r v a l o c e r r a d o ..................................

[]

I s o m o r f i s m o .............................................

N

L a m b d a ........................................................ M áxim o com ún

d i v i s o r ...................

M a y o r q u e ..................................................

N0 Q

* / m. c. d. >

M a y o r o igual q u e .............................

C o n j u n t o de los n ú m s . r a c i o n a l e s n e g a t i v o s ................................................

I m a g e n ..........................................................

Z0

C o n j u n t o s de los n ú m s . n a t u r a l e s sin el c e r o .............................................

(g)

G r a d o s s e x a g e s i m a l e s ........................

enteros

n e g a t i v o s ...............................................

c e n t e s i m a l e s ...........................

CuA

enteros

p o s i t i v o s ................................................. C on ju n to

Grados

A

Q-

C o n j u n t o de los n ú m s . r a c i o n a l e s

M e d i a a r i t m é t i c a ..................................

Ma

M e d i a n a ........................................................

Me

M e n o r q u e ..................................................


es conj unto de elementos que pertenecen a A pero no a B. Se simboliza por: A — B. Ej.: Si A = = {a, b, c, d,\ y B = { f g, b, d] el con­ ju n to diferencia A — B será A — B =

=

4

De la definición de conjunto diferencia, se sigue que:

\o A — BczA 2.° Los conjuntos (A — B), A fl B y (B — A) son m utuam ente disjuntos.

De la definición de intersección se siguen las siguientes propiedades: 1. ° Conmutativa: A t ) B = BV\A 2 . 0 Asociativa: (A D B) fl C = A fl (B fl C) 3.° Si dos conjuntos no tienen elementos com unes, su intersección es el co n ju n to vacío.

Conjunto de posibles. C o n ju n to fo rm ad o por todos los sucesos que pueden pre­ sentarse en un experimento aleatorio. (V. Suceso* aleatorio.) Conjunto finito. 1. C onjunto en el que, al contar sus elementos, resulta un núm ero finito. 2. C u a n d o no puede establecerse una aplicación biyectiva entre él y alguna de sus partes. Ej.: Si M es el co n ju n to form ado por los días de la sem ana, en­ tonces M es finito (7 elementos). Propiedades: 1.° Es posible ordenar el conjunto de m odo que tenga un primer elemento anterior a todos y un último elemento posterior a todos. 2.° T o d o conjunto parcial del anterior (subconjunto) tiene tam bién prim er y últim o ele­ mento. Conjunto imagen. C onjunto form ado por elementos hom ólogos a los de otro, al establecer una correspondencia o función entre am bos.

A f] B = (f) 4.° Idempotente: A (1 A = A (V. U nión.) C onjunto nulo. (V. C onjunto* vacío.) C onjunto ordenado. C o n ju n to en el que se ha definido una relación de orden. (V. Relación* de orden.) C onjunto original. Es el fo rm ad o por los elementos que tienen hom ólogo en otro c o n ju n to , al establecer una corres­ pondencia o función entre am bos. Ej.:

Imagen

C onjunto parcialmente ordenado. C o n ­ ju n to en el que, al introducir u n a rela­ ción de orden, algunos elementos del con­ ju n to no son com parables. E j.: L a rela­ ción de inclusión es u n a relación de orden parcial. (V. Relación* de orden parcial.) C onjunto potencia. C o n ju n to fo rm ad o por todos los subconjuntos de o tro con­ ju n to d ado. T am bién recibe el nom bre de subconjunto de partes de un conjun­ to. Se representa p o r ¿p(A). El núm ero de elementos que fo rm an el co n ju n to p o ­ tencia viene expresado p o r la siguien­ te fórm ula: N ú m ero de elementos de ^ ( A ) = 2n, donde n es el cardinal del

Conjunto infinito. 1. C o n ju n to en que, al contar sus elementos, el proceso de con­ tar es infinito, no puede acabar. 2. C u a n ­ do puede establecerse una aplicación bi­ yectiva entre él y alguna de sus partes. Ej.: El c o n ju n to de los núm eros naturales es un co n ju n to infinito.

N = { 1 ,2 , 3 , 4 , . . . } C onjunto intersección. Es el form ado por todos los elementos com unes a dos o

31

C onjunto unión. D ados dos conjuntos A y B es el co n ju n to de todos los ele­ mentos que pertenecen a A o B, o a a m ­ bos. Se simboliza p o r A[ ) B. Ej.:

co n ju n to dado A. E j.: D ado el conjunto A = \a, b, cj el co n ju n to potencia (A) será: bU a*cMb' c^ a' b>c^]

p (A> =|.

N ú m ero de elementos de (A) = 23 = 8.

C onjunto producto. C o n ju n to producto de dos d ad o s A y B es el co n ju n to fo r­ m ado por todos los pares ordenados (a, b) tal que a 6 A y b E B. Se denota A x B. Ej.: Si A = { l, 2, 3,} y B = = { a, b, }. El co n ju n to producto A x B será entonces: A x B = {(1, a), (1, ó), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}. El p ro d u cto cartesiano de dos conjuntos no es conm utativo, es decir, que:

En la unión de conjuntos no tiene sen­ tido repetir los elementos comunes. Propiedades de la unión de conjuntos. De la definición de la unión de conjuntos se siguen las siguientes propiedades: 1.° C onm utativa: A U B = B\JA. 2 .ü Asociativa: (A U B) U C = A U (B U O 3.° Idempotente: A U A = A (V. Unión.) C onjunto universal o referencial. C o n ­ j un t o que contiene todos los elementos del co n ju n to que se considere. Ej.: El co n ju n to universal o referencial del con­ ju n to A = {a, e, /}. Será el conjunto de todas las vocales U = [a, e, i, o, u). C o n ju n to universal de A.

A x B í B x A a menos que A = B o que uno de los factores sea co n ju n to vacío. El co n ju n to p ro d u cto de dos conjuntos dados se puede representar en un diagra­ ma de coordenadas cartesianas (de aquí que tam bién reciba el nom bre de p ro d u c ­ to cartesiano). Ej.: A = {a, b, c, d,} y

B = {x, y, z,}. El p ro d u cto de A x B se puede repre­ sentar por el diagram a de coordenadas cartesianas de la siguiente form a:

u B

O

£ y

—

m

—

%

^—

— 4

p

*---------

---------
B = A A = A = C 3.° Transitiva:

Ej.:

B Siendo A, B y C tres conjuntos cuales­ quiera. C onjuntos solapados. Los que tienen ele­ m entos comunes. Los conjuntos no dis­ ju n to s son conjuntos solapados. Ej.: A y B son conjuntos solapados.

propiedades de la equipolencia: La equi­

B

polencia goza de las siguientes propie­ dades: 1.° Reflexiva: A ^ A 2 .° Simétrica: A ~ B ^ > B ~ A 3.° Transitiva: A~B 1 A~C B~C J Conjuntos disjuntos. C o n ju n to s que no tienen elementos com unes. Su intersec­ ción es el co n ju n to vacío. Ej.: =

>

‘

Conm utativa. P ro p ied ad que deja inm u­

Conjuntos equivalentes. Los que tienen el mismo núm ero de elementos. Ej.:

table el resultado de una operación ( ©) , aunque se altere* el orden de colocación de los elementos de dicha operación. Ej.: a e b = b e a en la suma: a + b = b + a en la multiplicación: a x b = b x a C on o. C uerpo sólido que se engendra por revolución de un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de sus catetos (eje); el o tro cateto barre una superficie circular que es la base del cuerpo; y la hipotenusa (generatriz) origina la superfi­ cie curva (superficie cónica).

Conjuntos iguales o idénticos. Los que tienen todos sus elementos iguales. Ej.:

El cono puede ser recto y oblicuo, según que el eje caiga perpendicularm ente o no sobre la base.

B

n

= 0

33

C ono truncado. Porción de cono c o m ­ prendida entre la base y un plano p a ra ­ lelo a la misma.

Trazado de ángulos: Llevamos el vértice del ángulo sobre u n a semirrecta. El ori­ gen O se sitúa sobre el centro del semi­ círculo. Fijam os el p u n to H que corres­ ponde, en este caso, a un ángulo de 40°. U niendo OH, trazam os el otro lado del ángulo.

C o n o tru n c a d o

Conmensurables. (V. Segmentos* conm en­ surables.)

o

Constante. C antidad cuyo valor no cam ­ bia en una serie de operaciones m atem á­ ticas. Ej.: El cociente entre la longitud de una cir­ cunferencia y su diám etro es siempre igual

Bisectriz de un ángulo: tom am os una ab ertu ra de com pás cualquiera OB = = OM. H aciendo centro en B y M, con la misma ab ertu ra, trazam os dos arcos que se cortarán en H. La semirrecta OH es la bisectriz del ángulo dado.

al núm ero n (Pi): — = n es una consD tante. Construcción. D ibujo de una figura que satisfaga determ inadas condiciones. P ara la construcción de una figura geométrica, se emplean generalmente la regla y el compás. (V. Construcciones* geométricas.) Construcciones geométricas. Trazado de paralelas: Situar la regla en posición de acuerdo con la orientación que quiera darse a las paralelas. C olo­ car la escuadra sobre la regla y dejarla deslizar.

Trazado de triángulos: a) conociendo sus lados:

H-

a

■

«

b i-------------------------- i

i—

c

- - i

D ibujam os el lado c. H aciendo vértice en los extremos A y B y con una aber-j tu ra de com pás igual a a y b traza-j mos respectivamente dos arcos. El lugar] de cruce corresponde al o tro vértice (A/) del triángulo.

C a d a u n a de las rectas anteriores es perpendicular a m o a c. Mediatriz de un segmento: haciendo cen­ tro en los extremos A y B, con un radio m ayor que la m itad del segmento A B , se trazan arcos. El p u n to de cruce de los arcos d a rá n los puntos por donde pasa la mediatriz. La m ediatriz es perpendicu­ lar al segmento A B en el p u n to medio.

b) conociendo dos lados y el ángulo com prendido.

a

34

el extrem o del lado b sobre el v é r t i c e M ( c e n t r o del semicírculo) y el l a d o a p a r t i e n d o de M pasará por el lu­ gar q u e c o r r e s p o n d e a 30° del semicírcu­ lo U n i e n d o A y B tenemos el tercer l a d o d e l triángulo.

c)

S itu am o s

c)

rom boide

Conociendo un lado y dos ángulos.

M

C o m o conocem os u n ángulo igual a 60 el o tro ángulo o b tu so medirá:

50'

2-60°

360

=

60 °

120°

2

Se traza el lado a y sobre sus extremos ángulos de 60° y 120° con lados de longitud igual a y b. d) Rom bo:

Trazam os el lado a y en sus extremos á n ­ gulos de 50° y 60°. El p u n to de cruce de las semirrectas c y d d a rá el vértice del triángulo (M ). d) trazado de triángulos rectángulos d a ­ dos sus lados.

a = 4 cm b = 5 cm c = 3 cm

i--------------- 1

C onocido un ángulo igual a 45° el otro ángulo obtuso medirá: 360

Se traza un lado y se construye el p er­ pendicular a u n o de los extremos de acuerdo con las medidas. Los lados tra ­ zados han de corresponder a los segmen­ tos menores (catetos). U niendo los extre­ mos quedará d ib u ja d o el triángulo.

2-45

= 135

2

Se construye el lado a y sobre sus extre­ mos ángulos de 45° y 135°, el o tro lado de los ángulos m edirá tam bién a. %

e)

Trazado de paralelogramos.

Trapecio:

a) cuadrado: se d ib u ja el lado y sobre sus extremos trazam os perpendiculares de longitud a:

B

Se traza la base b y se levantan dos al­ turas ( h) desde la base. U nim os los p u n ­ tos extremos de h (A y B) y fijam os una longitud igual a a, que será la o tra base. U niendo los extremos de las bases q u ed a­ rá construido el trapecio.

b) rectángulo: se traza el lado a y sobre sus extremos se levantan dos perpendicu­ lares de longitud igual a b.

Hexágono regular de lado a:

a

35

Se traza una circunferencia de radio a. C on la longitud del radio com o abertura del com pás se trazan a partir de un p u n ­ to cualquiera 6 arcos. U niendo esos puntos con cuerdas quedará construido el hexágono.

do los extremos de dichas bisectrices se obtendrá el octógono.

Triángulo equilátero inscrito en una cir­ cunferencia de radio r: Se construyen la circunferencia y el hexágono inscrito. U niendo de dos en dos los vértices del hexágono quedará determ inado el trián­ gulo.

Polígonos circunscritos. Se contruyen los inscritos correspondientes y sobre cada uno de los vértices se trazan tangentes, que serán adem ás paralelas al lado del polígono inscrito opuesto a ese vértice.

Cuadrado inscrito en una circunferencia de radio r: T razam os la circunferencia y Rectificación de la circunferencia: Llevar

dos diám etros perpendiculares. U nim os los extremos de los diám etros, quedando construido el cuadrado.

su longitud sobre una línea recta. El

diám etro BM se divide en siete partes. T o m a n d o com o unidad cada parte, se prolonga BM, llevando sobre dicha p ro ­ longación quince veces esa unidad.

A B = — del diám etro 7

Dodecágono inscrito en una circunferen­ cia de radio r: Se traza el hexágono regu­

AB = 3,14 • D; AB = Longitud de la circunferencia.

lar y se dibujan las bisectrices de los ángulos interiores del hexágono. Uniendo los extremos de dichas bisectrices o b ten­ drem os el dodecágono.

Trazado del pentágono inscrito: a

T razam os dos diám etros perpendiculares AB_LCD. D ibujam os la mediatriz del ra­ dio CO. C on centro en M y abertura de com pás hasta A, hacemos un arco que corta en H al radio OD. La distancia A H es el lado del pentágono que se llevará sobre la circunferencia.

Octógono regular inscrito en una circun­ ferencia de radio r: T razad o el c u a d ra­ do inscrito, se dibujan las bisectrices de los ángulos interiores al cuadrado. Unien­

36

T razado

del heptágono inscrito:

Tom am os un p u n to cualquiera de la cir­ cunferencia (O) y trazam os un radio R. Desde O hacemos un arco con radio R. Este arco corta a la circunferencia en A y B. La cuerda A B es igual a dos la­ dos del heptágono, luego A P será el lado del heptágono, que se llevará siete veces sobre la circunferencia to m a n d o una abertura de com pás igual a AP.

Unimos O ’C y O ’D y obtenem os los p u n ­ tos M y ' N que son los de tangencia. Desde O trazam os paralelas a O ’M y ON. Los puntos P y Q son los otros dos de tangencia. b) Interiores: T razam o s dos circunfe­ rencias de centros O y O ’ y radios R y R ’. C oncéntrica con la m ayor se traza otra circunferencia de radio (R -t- R ’). T razam os su mediatriz a la recta O O ’ (m) y obtenem os el p u n to B. C o n centro en B y radios BO trazam os un arco que corta a la circunferencia auxiliar en C y D. U nim os OC y OD y obtenem os los p u n ­ tos de tangencia M y N. En O ’ se consiguen los puntos de ta n ­ gencia trazan d o paralelas a los radios

O M y ON.

Trazado del eneágono inscrito:

T razam os el diám etro AM . H aciendo centro en M y con radio R dibujam os el arco HOP y la cuerda HP. Con centro en C y radio R trazam os el arco (a), que corta la prolongación de HP en E. C o n centro en £ y radio R trazamos el arco ( m ), que corta al arco a en D. U nim os D con O; el segmento PZ es el lado del eneágono.

Trazado de óvalos. a) Dado el eje menor: Se traza la m ediatriz CD del eje m enor A B y llam am os O al p u n to de corte. Se construye u n a circunferencia C ’ de radio A O = OB. Se unen los puntos A y B con E y F. P r o ­

Trazado de tangentes a dos circunfe­ rencias. a) Exteriores: Se trazan circunferencias (dos) de radios R y R ’ y centros O y O ’. Concéntrica con la m ayor y radio igual a ( R ‘ — R) construimos o tra cir­

longando estas semirrectas obtenem os los puntos extremos de los cuatro arcos G, H, /, J. H aciendo centro en A y B y con ra d io igual A B obtendrem os los arcos H B I y

cunferencia. Trazam os la mediatriz a la recta OO' (m). Esta recta corta en B a O O ’. H a ­ ciendo centro en 5 y con radio O ’B se traza un arco que corta en C y D.

H aciendo centro en E y F y con radios iguales EG, obtenemos los otros dos arcos

Ga j .

G H y JI.

b) Dados los dos ejes: Los segmentos (ejes) A B y CD se cons­ truyen perpendiculares en el p u n to medio O. C on centro O y radio A O se describe un arco que co rta al eje m enor en H. U nim os AC. C o n centro en C y radio C H se traza otro arco que corta A C en M, y dibujam os la mediatriz del segm ento A M que corta al eje m ayor en N y a la prolongación del eje m enor en P. C o n igual distancia O N se traza OR. Los extremos de los 4 arcos quedan deter­ m inados por los puntos STU V y los cen­ tros para trazarlos NHRP.

Contiguos: (V. Á n g u lo s * adyacentes.) Continuidad. Postulado de la c o n tin u id a d . Postulado axiom a que e sta b le c e que en la recta ordinaria no hay l a g u n a s o agujeros. C ontinuo. Seguido, sin interrupción. Se dice que un c o n ju n t o d e núm eros es con­ tinuo cu an d o en tre d o s cualesquiera ele­ mentos de dicho c o n j u n t o existen infini­ tos números. T a m b i é n recibe el nombre de conjunto denso. E j . : El co n ju n to de los núm eros reales ( R ) es un conjunto continuo, ya que e n t r e dos cualesquiera de sus elementos existen infinitos nú­ meros racionales. (V . C o n ju n to * denso.) C ontorno. Línea o superficie que limita una figura o cu erp o . E j.: La circunferen­ cia es el c o n to rn o d el círculo.

C o n to rn o del c írc u lo

La superficie cónica es el c o n to rn o del cono.

C o n to rn o del cono

(V. C uarta* proporcional. Media* pro porcional. Tercera* proporcional y die dros* representación diédrica.) Contar. Proceso mental por el que se aso­ cia cada elemento de un co n ju n to de o b ­ jetos con o tro de los elementos del con­ ju n to de los núm eros naturales (N ) N = { 1 ,2 , 3 ,4 ...} . El últim o n ú m ero asignado es el n ú m e­ ro cardinal del co n ju n to de que se tr a ­ ta. E j.: Cardinal del co n ju n to de los de­ dos de la m ano.

Coordenada. C oordenadas cartesianas. 1. P a r o rd en a­ d o de núm eros que lleva asociado un p u n to de un plano. La prim era c o m p o n en te del par o rd e n a ­ d o recibe el n o m b re d e abscisa por repre­ sentarse en el eje de abscisas o eje de las X; la segunda c o m p o n en te recibe el n o m ­ bre de ordenada p o r representarse en el eje de ordenadas o eje de las Y.

El p u n to P corresponde a las coordena das (3, 2) en el sistema de coordenada rectangulares (X, T).

Proceso para co n tar los dedos de una m ano.

38

Correspondencia. Relación que asocia

p ar de rectas (ejes) que convergen 2‘ endicularmente en un p u n to (oriP de coordenadas) y que permiten asogen a cada p u n to del plano un p ar de c,aL r0s reales, que tom an entonces el n o m b re de coordenadas del p u n to en el

cada elemento de un c o n ju n to con uno o más elementos de o tro conjunto. Ej.: Correspondencia: pasar por.

sistema dado. Fl eje horizontal recibe el nom bre de eje de abscisas, y el vertical eje de orde­

nadas.

. El origen de coordenadas se asocia al punto (0,0). ordenada (+ )

(V. Aplicación.) Pi (2, 2)

P3 (-2 , 2)

Correspondencia biunivoca. Relación que asocia cada u n o de los elementos de un co n ju n to con u n o , y sólo uno, de los de o tro co n ju n to , y cad a elemento de este últim o con u n o , y sólo uno, del otro. (V. Aplicación.)

abscisa (+ )

abscisa ( - )

- * P j (2, - 2 )

P4 ( origen de coordenadas

•■ ordenada (—)

Coplanarios. P u n to s situados en un mis­ mo plano. Ej.: U n círculo es un c o n ­ junto de puntos coplanarios.

Correspondencia univoca. C orresponden cia en la que la imagen de cada elemen to del co n ju n to de partida es un conjun to unitario. Ej.:

Corolario. Proposición que se deduce f á ­ cilmente de lo que antes ha sido d em o s­ trado y no requiere prueba particular. Ej.: Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son com plem entarios. Esta afirmación es corolario de un teorem a ya dem ostrado: la sum a de los ángulos de un triángulo m iden 180°. Corona circular. Figura plana com pren­ dida entre dos circunferencias concén­ tricas.

Correspondientes. (V. Ángulos* corres­ pondientes.) Cosecante. Razón goniométrica inversa del seno. Abreviadamente se escribe cosec. (V. T rigonom etría.) B Cosec A =

39

1

c

Sen A

a

C oseno. Razón goniométrica que se ex­

C uadrado circunscrito. C u a d ra d o que tiene sus lados tangentes a una circun­ ferencia. El lado del cuadrado es igual a dos veces el radio.

presa m ediante el cociente del valor del cateto adyacente al ángulo y el valor de la hipotenusa. A breviadam ente se escribe eos. (V. Trigonom etría.) cos/4 = b /c B

Coste. Valor de una cosa. Costo. Valor de cada unidad fabricada,

C uadrado inscrito. C u a d ra d o cuyos vér tices están sobre la circunferencia.

teniendo en cuenta el valor de los m ate­ riales empleados, el del capital empleado, el valor de los locales, salarios, am orti­ zación de m aquinaria, reparaciones y to ­ dos los gravámenes que pesan sobre la fabricación de un producto. Cotangente. Razón goniométrica inversa de la tangente. A breviadam ente se escribe cotg (V. Trigonom etría.)

B

B

cotg de A =

1 tg A

C uadrado de un binomio: 2 . a potencia de un binom io que es igual al cuadrado de cada uno de sus términos ± el doble del prim ero p o r el segundo. Ej.:

b a

Creciente. Q ue crece ordenadam ente. Ej.: El polinom io 2 x + x 2 — x 3 está o rd en a­

(a

do en form a creciente respecto de los ex­ ponentes de la incógnita.

b)2 = a2 + b2 + lab

+

C uadrado de un polinomio: 2 . a potencia de un polinom io que es igual al c u a d ra ­ do de cada uno de sus términos í doble de cada u n o de ellos por el que le sigue. Ej.:

Criba de Eratóstenes. (V. Números* pri­ mos.)

Cuadrado. P aralelogram o regular que tie­ ne los cuatro lados iguales y los ángulos rectos. Sus diagonales son iguales y se cortan en su p u n to medio form ando ángulos rectos.

(iax2 -i-

bx+ c)2 = a 2x 4 -+- b 2x 2 + c 2 + 2abx 3 + -i- lacx2 + Ibcx C uadrado de un núm ero: 2 . a potencia de un núm ero. Ej.: 42 = 16. C uadrado perfecto. N úm ero o expresión que puede desarrollarse com o producto de dos factores iguales. Ejemplo: 16 = 4 x 4 = 42

a2

+

b2

+

lab

=

{a

+

b)2

(Ver Igualdades* notables.) Cuadrante. C ad a una de las cuatro p a r­ tes en que dos diám etros perpendiculares dividen a una circunferencia. Se suelen

40

C uantificador universal. Símbolo que ex­ presa que cualquier elemento a pertene­ ciente a un co n ju n to d a d o y que sustitu­ ye a x en la relación R (.x ) es verdadera o falsa. Símbolo del cuantificador uni­ versal: V, que se lee para todo... Ej.: Sea P el co n ju n to de los núm eros primos. En la relación V x G P se verifica que x es m ayor o igual que 1 (para to d o x pertene­ ciente a P se verifica que x es m ayor o igual que 1); es verdadera, ya que para cualquier valor que tom e x la relación anterior se cum ple siempre. C u a r t a proporcional. C u a rto térm ino de una proporción a /b = c/d. E j.: 2 /7 = = 4 /1 4 ; 14 es la cuarta proporcional a 2, 4 y 7.

numerar los cuadrantes en s trario a las agujas de un reloj.

También se llama cu adrante a cada una de las cuatro partes en que es dividido un plano por los ejes de coordenadas car­ tesianas rectangulares.

1

Construcción de la cuarta proporcional. C onstruir un segm ento que form e p ro ­ porción con tres segmentos dados a, b y c. Sobre los lados del ángulo BAC se llevan a, b y c com o se indica en la figura.

C u a d r á tic a . (V. Ecuación* cuadrática o de segundo grado.) C u a d r a t u r a . C onstruir un cuadrado de igual área que el de u n a figura dada. C uadratura del círculo. Construir un cuadrado de igual área que el de un círculo d ado. Fue intentado por los grie­ gos. D ado que cualquier longitud que se pueda construir con regla y com pás p a r­ tiendo de un segmento unidad, es alge­ braico, el problem a de cuadrar un círcu­ lo no tiene solución, ya que n y V tF no son números algebraicos. Cuadrilátero. Polígono de cuatro lados o ángulos. Ej.: Cuadrado

Se traza DE y luego p o r F u n a paralela a DE; DG = x es la cuarta proporcio­ nal pedida, ya que p o r el teorem a de Thales podem os escribir la proporción:

a /b = c/x. C u a r t o , -a . C a d a una de las partes que se obtienen al dividir un to d o o unidad en cuatro partes iguales.

R ectángulo

A L

C

B

-L

D

E -J

J.

A B = BC = CD = DE = 1M A E

T rapecio

C u b o . Paralelepípedo recto que tiene las tres dimensiones iguales. Un cubo es un poliedro regular por cuanto tiene todas las caras y ángulos respectivamente igua­ les. El cubo tiene seis caras que son cuadrados iguales entre sí, doce aristas iguales y ocho vértices.

C u a n tif ic a d o r . Cuantificador existencial. Símbolo que expresa que existe algún elemento a que sustituido en la relación R (*), la rela­ ción R (a) es verdadera o falsa. El sím ­ bolo del cuantificador existencial es 3 , Que se lee existe. Ej.: La relació n 3 * , tal Que x es un número primo par es verda­ dera, ya que para el número 2, 2 es un nú­ mero primo par; la relación es verdadera.

Cara •

Arista

41

V é rtic e

D esarrollo

Cuerda. Segmento que tiene sus extremos

Cubo de un binomio. Tercera potencia

en la circunferencia.

de un binom io que es igual al cubo de cada uno de sus términos ± triplo del cuadrado del primero por el segundo ± triplo del cuadrado del segundo por el primero. Ej.:

(a — b)1 = a3 — b> — 3a2b + 3ab2 Cuerpo. Estructura que presenta un con­

Cubo de un número. T ercera.potencia

ju n to C en el que se definen dos leyes de composición interna u operaciones * , 1 entre sus elementos, de m odo que: 1.° ( O ) es grupo abeliano. 2.° (C,_L) es grupo. 3.° La operación l e s distributiva respec­ to a *. E j.: El conjunto de los números racionales Q y las operaciones + , x es un cuerpo conm utativo ya que además (x) es conmutativa.

de un núm ero. N úm ero que se obtiene multiplicando el núm ero dado tres veces por sí mismo. É j.: 23 = 2 x 2 x 2 = 8

Cuenta. En contabilidad, relación de in­ gresos y gastos.

,

3

3

Asociativa: I— + - + 4 5 1 2 —

4

•+

3_ _ 3 4 C onm utativa: — + — + 5 4 4 5 (0 , +)

E. N eutro:

0

n 0

Simétrico: — + —

3

Asociativa

5

(0 , +• x)

3

4

3

2

2

3

C o n m u tativ a:

5

(Q*. x )

a E. N e u tr o : a 20 = a_

Sim étrico:

20

a

Distributiva de x respecto de + : 3

4 + 2 5 2

42

3

4 + 2 5 4

3^ 2

bución de un suceso aleatorio en el que el experimento tiende a crecer indefinida­ mente. Esta curva recibe su nom bre por el parecido al de una cam pana y porque el matemático alemán Gaüss (1777-1865) estudió este tipo de distribución. Curva simple. Curva que no se cruza a sí misma.

Porción de volum en de una ^ e s fe r a comprendida entre un huso esfé­ rico y el diámetro de la esfera que pasa por los extremos del huso. -

e sfé r ic a .

Ej.:

C u rv a . C onjunto form ado por una suce­ sión ininterrumpida de puntos.

Curva abierta. La que tiene principio y fin (extremos).

A

Las curvas simples cerradas separan al plano en tres conjuntos de puntos: 1.° conjunto de los puntos del plano que for­ m an la curva. 2.° C o n jun to de los puntos del plano que están en la región ence­ rrada p o r la curva. 3.° C o n ju nto de puntos restantes.

B

Curva de cam pana o de Gaüss. C urva de probabilidad hacia la cual tiende la distriF re cu en cia

0

Curvas no simples

43

Dato. Antecedente necesario para llegar al

Decalitro. M edida de capacidad equivalen­

conocimiento exacto de una cosa. D ato estadístico. C a d a uno de los valo­ res que puede to m ar la variable en un experimento estadístico. Ej.: Si lanzamos una m oneda al aire repetidas veces y anotam os los resultados, el d ato estadís­ tico es el valor obtenido en cada u n a de las jugadas (cara o cruz). Deca-. Prefijo griego que significa diez. Ej.: Decagramo (diez gramos). Decalitro (diez litros). Década. Período de diez años. Decaedro. Sólido o poliedro de diez caras.

te a 10 litros. Se representa por dal. 1 dal = 10 1 Decámetro. M edida de longitud equiva­ lente a diez metros. Se representa por dam 1 dam = 10 m Decena. C o n ju n to fo rm ad o por 10 u n i­ dades. 1 decena = 10 unidades Las decenas, en el sistema de num eración decimal ocupan el segundo lugar em pe­ zando a contar p o r la derecha. 34 (Tj5

^

24 0 6

decenas

Deci-. Prefijo que significa décima parte.

Decágono. Polígono de diez lados o á n g u ­ los. Decágono regular. Polígono de diez la­ dos y ángulos iguales.

Decagramo. M edida de masa equivalente a diez gram os. Se representa por dag. 1 dag =

Ej.: Decímetro (décima parte del metro). Decigramo. M edida de m asa equivalente a la décima parte del gram o. Se repre­ senta por dg 1 g = 1/10 g = 0,1 g Decilitro. M edida de capacidad equivalen­ te a la décima parte del litro. Se repre­ senta por di. 1 di = 0,1 1 Décima. 1. C ada una de las 10 partes igua­ les en que se divide una unidad o un todo. 2. U nidad decimal de denom inador 10. i/io - < 3

1

1 1 . i —J__ 1 _.]

I

una décima = 1/10 = 0,1

10 g

Decimal. (V. Sistema* de num eración de­ cimal y Sistema* métrico decimal.) Decímetro. M edida de longitud equiva­ lente a la décima parte del metro. Se representa por dm. 1 dm = 1/10 m = 0,1 m

Postulado 2: Dos rectas distintas no r

a

c

i

m

o

.

*

•

P

r

e

f

i

j

0

q

u

e

s

e

u

t

i

l

i

z

a

p

a

r

a

pueden tener más de un p u n to co­ mún. Deficiente. (V. Núm ero* deficiente.) Déficit. 1. Lo que falta a las ganancias o ingresos para equilibrarlas con los gastos. 2. Saldo negativo que se produce cuan­ do los gastos superan a los ingresos. Ej.:

f o r m a r los ordinales que corresponden a

° números que van del trece al dieci­ nueve. Ej.: Décimo tercero, décimo cuart0 etc. 2. Sufijo p a ra form ar los o rd in a­ les de la segunda decena. Ej.: Duodécimo. Décuplo* Que contiene un núm ero diez veces, exactamente. Ej.: el décuplo de 3 es 30. D edo. S im bo lism o de los dedos. Sistemas de

numeración antiguos basados en el n ú ­ mero 10, núm ero de dedos de am bas manos. Otros sistemas de num eración tienen por base el núm ero 5, núm ero de dedos de una mano. En algunos países se sigue representando el 5 por una m ano abier­ ta. Probablem ente la V de los rom anos de valor 5, tiene su origen en la m ano abierta.

Ingresos

Gastos

4000

4500

Déficit: 500

Delta. 1. C u a rta letra del alfabeto griego. E ra usada com o cifra cuatro. El símbolo delta tiene la fo rm a de un triángulo ( A ) . 2. La notación A y o A x signi­ fica increm ento de la coordenada y o x, respectivamente. Demostración. Proceso por el cual, me­ diante una serie de razonam ientos lógi­ cos, se llega a establecer la verdad de una proposición (teorema) a partir de determ inadas premisas (hipótesis). Ej.: En el teorem a de Pitágoras, la h ip ó ­ tesis es que el triángulo sea rectángulo y la conclusión o teorem a es que el cua­ d rad o de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Denominador. T érm ino de una fracción que indica en cuántas partes se divide un todo o unidad. Ej.: El denom inador en la fracción 3 /4 es 4 (V. Fracción). D enom inador com ún. Múltiplo com ún a los denom inadores de dos o más frac­ ciones. G eneralm ente se emplea el míni­ m o com ún m últiplo (M .C .M .) de los de­ nom inadores com o denom inador com ún. Ej.: Un d en o m in ad o r com ún a las frac­ ciones: 1/2; 2/3; 3 /4 es su m ínim o com ún múltiplo 12. En es­ te caso es tam bién su mínimo com ún de­ nominador. (V. mínimo común múltiplo.) D enso. (V. C onjunto* denso.) Depreciación. Disminución del valor de los bienes o del poder adquisitivo de la moneda.

v D ed u c c ió n . 1. Conclusión basada en un conjunto de proposiciones justificadas por postulados o bien por teoremas de­ mostrados previamente. 2. Acción y efecto de deducir. D ed ucir. 1. Sacar consecuencias partiendo de un principio, proposición o supuesto. 2. Rebajar, restar, descontar alguna p a r­ tida de una cantidad. D e d u c tiv o . Que procede por deducción. Sistema deductivo: C o n ju n to de térm i­ nos, relaciones y postulados no definidos que se usan para deducir teoremas por aplicación de las leyes de la lógica. Ej.: En un desarrollo deductivo de la geom e­ tría plana euclidiana tenemos: E ° Puntos y rectas son términos no definidos. 2 ° Recta que contiene un punto es una relación no definida. 2 ° Dos de los postulados son: Postulado 1: Dos puntos distintos están sobre una misma recta.

45

Desarrollo. Figura plana obtenida ab rien ­

del valor nom inal que media entre el día de negociación y el día de vencimiento. El descuento se obtiene por la fórmula:

do un sólido sin cam biar las dim ensio­ nes de sus caras. Ej.:

D =

N- R

T

100

N = Valor nom inal de la letra. R = Rédito o tan to p o r ciento. T = Tiempo: Si se opera en años, 100; si en meses, 1200; si en días, 36000.

Descuento matemático o racional. Dife­ rencia entre el im porte nominal (/V) de una cantidad a pagar en el fu tu ro y su valor actual (A).

D esarrollo del c o n o

D = N —A Se obtiene p o r la fórmula: D e sa rro llo del c u b o

N •R • T Dm = 100 + R • T

Descomposición factorial. Descomposición de un núm ero en sus factores primos. P a r a descom poner un núm ero en sus fac­ tores primos se divide por la serie na­ tural de núm eros prim os, aplicando los criterios de divisibilidad. El cociente se vuelve a dividir hasta encontrarnos con un cociente prim o. El p ro d u cto de los di­ visores parciales serán los factores del núm ero dado. Ej.: 420 2 i0 105 35 7 1

2 2 3 5 7

108 54 27 9 3 1

2 2 3 3 3

144 72 36 18 9 3 1

En la práctica, p a ra simplificar operacio­ nes, se prefiere el descuento comercial ya que au n q u e se comete un error este es despreciable si los plazos no son muy largos. Desigual. N o igual. En m atem áticas se ex­ presa por el sím bolo t . E j.: En la ope­ ración 5 + 4 t* 10 afirm am os que la sum a de 5 + 4 no es igual a 10. Si A y B son conjuntos A ? B significa que A y B no tienen los mismos elementos.

2 2 2 2 3 3

A = {a, b, c, d } B = { 1 ,2 ,3 }

420 = 22.3.5.7 ; 108 = 22.33 ; 144 = 24.32 (V. Teorema* fundam ental de la arit­ mética.) Descontar. R ebajar u n a cantidad al tiempor de pagar una cuenta, una factura, u n a letra, etc. (V. Descuento.) Descuento. R eb aja que se hace sobre un efecto que se paga antes de su venci­ miento. Descuento bancario. C antidad de dinero con que se q u ed a u n banco com o interés de un préstam o y que se deduce del valor del mismo. Se expresa en tan to por ciento. Descuento comercial. C antidad que se rebaja al nom inal de una letra p o r h a ­ ber adelantado su pago a la fecha de vencimiento. Equivale al interés simple

Desigualdad. Relación m atem ática que in­ dica que dos expresiones no son iguales. Se expresa m ediante los signos: m ayor que ( > ) m enor que ( < ) no igual ( t* ) Ej.: Desigualdades: 5 < 10 (5 m enor que 10). 5 > 4 (5 m ayor que 4). 3 1 1 (3 no igual a 1). a 2 + b 2 + lab ? a 2 — b 2

Propiedades de las desigualdades: 1.° Si a los dos m iem bros de una desigualdad

46

7 9 : ( - 3 )

se le suma o resta un m ism o número, la desigualdad continúa siendo cierta.

Ej.:

Al dividir p o r (—3) cam bia el signo de la desigualdad. 3 + 5>

Desviación. E n Estadística, diferencia de cada valor con el promedio. Ej.:

sum ado 5 a los dos miembros

H em os

1A Ej.:

A

B

>

f ; A ---------------------- ► B, f A : B

S = f (b) El área es función de la base.

f (N ) = N 2; r

75

1

(N) = x / a T

♦a

Función lineal. (V. Aplicación* lineal). Función polinómica. Polinom io en el que

Ej.:

y = x2 + x — 2

definimos una función. Ej.:

x 2 + x — 2 (polinomio) y = x2 + x — 2 (función polinómica) P ara cada valor de x hay una sola im a­ gen en y. N o es inyectiva pues pueden existir valores distintos de x que tengan la misma imagen.

Representación gráfica. D ando valores a x obtendremos los correspondientes de y form ando un con­ ju n to de pares ordenados que pueden lle­ varse sobre un sistema de ejes cartesia­ nos rectangulares. Uniendo los puntos obtendremos la re­ presentación gráfica de la función de que se trate.

-2

o

-1 o +i

-2 -2

+2

+4

0

Función proposicional. Expresión que con­ tiene variables proposicionales y que al reemplazar éstas por constantes se con­ vierte en u n a proposición lógica. E j.: x es un número entero positivo (función pro­ posicional). + 2 es un número entero positivo (pro­ posición lógica). (V. Proposición* lógica.)

C onsideradas simbólicamente las cantida­ des x e y, que corresponden al punto P \ pueden ser tratad o s algebraicamente, pero perm anecerán asociadas al p u n to P ”. De este m o d o se enlaza el álgebra con la geom etría. El descubrimiento del álgebra analítica se atribuye a René D es­ cartes.

G a m m a . T ercera letra del alfab eto griego usada com o cifra 3. Se escribe Y o T . Se em plea p a ra desig­ nar un ángulo.

Giro. Giro completo. G iro que recorre los 360° de u n a circunferencia.

Geometría. R am a de las m atem áticas que estudia las propiedades de las figuras y las relaciones entre los puntos, líneas ángulos, superficie y cuerpos. La geom etría plana tra ta de las figuras cuyos p u n to s y líneas están situados en un plano, y la geom etría del espacio las figuras cuyos elementos no están todos en el m ism o plano. El n o m b re de geom etría proviene de las palabras griegas «geo» tierra y «m etro» m edida. Geometría analítica. C o n ju n ció n de la geom etría y el álgebra. Se desarrolla así u na correspondencia en que las líneas (rectas o curvas) pueden estudiarse por m edio de sus ecuaciones. Los puntos de las líneas pueden repre­ sentarse p o r m edio de u na pareja de núm eros en un sistema de coordenadas cartesianas.

G iro c o m p le to

Giro o rotación. M ovimiento directo. C ad a p u n to y su imagen están sobre una circunferencia con centro en el centro de giro.

77

Un giro queda determ inado d an d o el centro de giro, un p u n to y su imagen. Producto de giros del mismo centro. Aplicación sucesiva de giros: (G ,) • (G2). g

,

g

G r á f i c o . Representación gráfica de da­ tos que facilita la com prensión de hechos y relaciones. Los gráficos son m uy utilizados en mate­ máticas y estadística. (V. D iagram a, Histogram a.)

2

15% V e s tid o

' 17 % \ O tro s gastosX /

El co n ju n to de todos los giros en el pla­ no presenta estructura de grupo no c o n ­ m utativo. (V. M ovim ientos en el plano.) G r a d o . U nidad de m edida de ángulos. E n el sistema sexagesimal la circunferen­ cia se divide en 360 unidades angulares o grados sexagesimales. E n dicho sistema, un ángulo recto mide 90 grados sexage­ simales.

30%

/

18% V iv ie n d a

W'

A lim entaciónV o.

G rá fic o circu la r representando los gastos de una fa m ilia

G r u p o . E structu ra m atem ática que con­ siste en un c o n ju n to de elementos y una operación interna (*) entre ellos, que cum ple las siguientes propiedades: a) La operación (*) es asociativa (a * b) * c = a * (b * c) b) Tiene elem ento n eu tro a*e = e*a = a e = elem ento neutro c) P a ra cada elem ento del co n ju n to existe elem ento simétrico. a * a ’ = a* * a = e a ’ = elem ento simétrico de a. E j.: El co n ju n to de los núm eros enteros (Z) form a g ru p o respecto de la operación adición (operación interna). a) La operación es asociativa. [(+ 3) 4 - ( + 5)] 4 ( 4 2) = ( 4 3) 4 4 [ ( + 5) 4 - ( + 2)] b) Tiene elem ento neutro ( + 3) 4 0 = ( 4 - 3) 0 = elem ento neutro c) P a ra cada elem ento del co n ju n to existe elem ento simétrico. ( 4 - 3) 4 ( - 3 ) = ( - 3 ) + ( + 3) = 0 (— 3) = elem ento simétrico de ( + 3) G ru p o conm utativo o abeliano. G rupo en el que la operación definida (*) posee la propiedad conm utativa: a * b = b * a E j.: El co n ju n to de los núm eros enteros (Z) es grupo co n m utativ o o abeliano res­ pecto de la operación adición, ya que cum ple la propiedad conm utativa

Los grados sexagesimales se representan con un ° sobre el n ú m ero que indica la ab ertu ra: (90°). E n el sistema centesimal, la circunferen­ cia se divide en 400 unidades angulares o grados centesimales. E n este sistema un ángulo recto mide 100 grados centesi­ males.

( + 2) + ( + 3) = ( + 3)

Los grados centesimales se representan con una «g» sobre el n ú m ero que indica la abertura: (100^). (V. Sistema* centesi­ mal, Sistema* sexagesimal.)

4

( 4

2)

G r u p o i d e . E stru ctu ra m ínim a que puede tener un c o n ju n to cualquiera. Si en un c o n ju n to definim os u n a operación inter­ na (*), éste es grupoide respecto a esta operación.

G rad o de un polinomio. (V. Polinom io.) G rado de una ecuación. (V. Ecuación.)

78

H . 1. A breviatura de hora. 2. E n urt triánguio suele representar la altura.

H e p t a e d r o . P oliedro de siete (7) caras,

H a . A breviatura de hectárea. H a c ie n d a . 1. Bienes y riquezas que uno tiene. 2. O rganism o e n c a rg a d a de la a d ­ ministración de los caudales públicos. P re­ para los presupuestos (gastos o ingresos) del T esoro Público. H e c ta . P re fijo que significa cien. H e c tá r e a . M edida de superficie q ue equi­ vale a 100 áreas, 100 decám etros c u a ­ drados o 10.000 m etros cuadrados. Se representa por ha. 1 ha = 10.000 m 2. H e c tó g r a m o . M edida de peso equivalente a 100 g. Se representa por hg.

H e p t a g o n a l . Q ue tiene figura de heptá gono o es sem ejante a él. H e p t á g o n o . Polígono de siete lados o á n ­ gulos.

1 hg = 100 g

H e c tó litr o . M edida de capacidad equiva­ lente a 100 litros. Se representa p o r hl.

H ep tág o n o regular. P olígono de siete la­ dos y ángulos iguales. El ángulo interior mide:

1 hl = 1 0 0 1

2 Rectos (n — 2) _ 180° (7 — 2)

H e c t ó m e t r o . M edida de longitud equiva­ lente a 100 m. Se representa p o r hm.

n

1 hm = 100 m

900 9

H e m is f e r io . C ad a u na de las dos partes iguales de una esfera, lim itadas p o r un círculo m áxim o.

H em isferio s

79

♦ y = 128° 34’ 17

H eró n . F órm ula de H erón. F órm ula para hallar el área de u n triángulo en función de los lados.

La hipérbola tiene dos ramas con dos distintas tangentes en sus puntos al infinito, denom inadas tas. Si las asíntotas form an entre sí gulos rectos, la hipérbola se llama látera.

0 , a + b + c S em ipenm etro = ---------------- = p

A =V

p {p — a) (p — b) {p — c)

H e x a . P refijo q ue significa seis: Ejem plo: H exaedro, hexágono. H e x a e d r o o cubo. (V. C ubo.) H e x a g o n a l. Q ue tiene figura de hexágono o sem ejante a él. H e x á g o n o . P olígono de seis lados o á n ­ gulos. H exágono regular. P olígono de seis lados y ángulos iguales.

La hipérbola tiene com o centro de sime­ tría el p u n to d o n d e se co rtan las asínto­ tas, y por eje de simetría las bisectrices de las asíntotas. La ecuación de la hipérbola referida a sus asíntotas tiene la form a

y =

C a d a ángulo interior mide 120°. H e x a g r a m a . Figura plana com puesta de dos triángulos equiláteros que se cortan entre sí, de m o d o que cada lado de u no es paralelo a u n lado del o tro y form an u n hexágono.

K

(P a ra * ¿ 0 y K ¿ 0)

Representación gráfica. Pueden presen tarse dos casos: K > 0 y K < 0 Ejemplo:

\ K = 2\ y = H ip é r b o la . 1. C urva plana y simétrica que se obtiene al co rtar u n a superficie cónica por un plano paralelo a dos generatrices o al eje de la cónica. 2. Lugar geom étrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancia a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

f-- j ' ~ T ~ ...r .. • r ir—-i■ ..4.. —. ®..Am 11* p b..— i 1 i V - __I \ C M .J j1 r»— I i 1 1 .•••-. T i J .H e i ..i . r + .. • •■ ■t--• A ’B ’ en

A ”B ” M

Movimiento Movimientos en el plano. T ran sfo rm acio ­

M* - A B - A " B "

El p ro du cto de dos m ovim ientos directos es directo: traslación • giro -* directo. — El p ro d u cto de dos m ovim ientos inver­ sos es directo: simetría • simetría -» di­ recto.

nes geom étricas del plano que conservan las distancias. Si dos puntos de la figura original A B tienen com o imágenes los puntos A *B \ la distancia A B = distan­ cia A ’B \

103

Multiplicación. O peración aritm ética que

— El pro d ucto de dos m ovim ientos u no directo y o tro inverso es inverso, trasla­ ción • simetría -► inverso.

consiste en sum ar un núm ero (m ulti­ plicando), tantas veces com o indica otro (m ultiplicador). El resultado se llama producto. Ej.: 5 M ultiplicando x 6 M ultiplicador

—El conjunto de los movimientos del plano y la operación producto presenta estructura de grupo no conmutativo. Operación interna: T - T

30 P ro d u cto .

Asociativa: (M • A /’) M ” = M - (M ’ • M ”). E. Neutro: (La identidad). M E. Simétrico: M

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30

I - M.

La notación suele ser a • b; tam bién a x b. En realidad, la m ultiplicación, tam bién llam ada p ro d u cto , es u n a operación bi­ naria en la que a cada par de elementos pertenecientes al co n ju n to de núm eros corresponde o tro elem ento de dicho con­ ju n to . Ej.:

M’= I

—El conjunto de los movimientos del plano (directos) es un grupo. El co n ju n to de los m ovim ientos inversos no es grupo pues, / • / = directo. (V. Giro; Simetría; Traslación.) Muestra. E n E stadística, grupo elegido al azar que pretende ser lo más representati­ vo de u na población*. De este grupo, m ediante encuestas, etc., se pretenden sa­ car consecuencias p ara to d a la población. La m uestra es por tan to u na parte, un subconjunto de la población. E j.: Si querem os conocer el lugar más ap ro ­ piado p ara situar u n cine en u na p o ­ blación, harem os un cuestionario que deberán contestar los diferentes secto­ res que com ponen la población, pero au nque sea m uy num eroso no sería válido si to d o lo hacem os en u na de­ term inada zona del pueblo o en sec­ tores sociales próxim am ente iguales. Es, por tan to , necesario hacer una m uestra lo más representativa posible de la p o ­ blación total.

Z = {0, + 1 , - 1 , + 2 , - 2 , + 3 , - 3 , + 4 , - 4 , + 5 ,- 5 , +6, - 6 } e

( + 2 ) - ( + 3) Factores

e

z

(+ 6) P ro du cto

La multiplicación se asocia al producto cartesiano de dos co n ju n to s, ya que el núm ero de pares ordenados que form an el co n ju n to p ro d u c to es igual al produc­ to de los cardinales correspondientes a los conjuntos dados.

Ej.: La población de un b arrio la com ponen M etalúrgicos 10000 Técnicos 2000 C onstrucción 8000 Militares 400

B

A x B = {(a, e) (b, e) (c, e) (a, f ) {b, f ) (c,J)} A ={3 elem entos} ; B = {2 elementos} A x B = 6 elementos

U n a buena m uestra será M etalúrgicos Técnicos C onstrucción Militares

z

100 20 80 4

M ultiplicación de núm eros enteros. Es o tro núm ero entero, cuyo valor abso­ luto es el p ro d u c to de los valores ab so ­ lutos de los factores. El signo del produc­ to será ( + ) si los factores tienen el mis-

Multilineal. (V. Aplicación* multilineal.) 104

m o signo, y (— ) si los factores tienen signo contrario.

Multiplicación de números racionales. D ados dos núm eros racionales

Ej.:

- y

b J

c

— el p ro d u c to es otro núm ero racional, ( + 4) • ( + 3) (-4 ) • (-3 ) (+ 4 )-(-3 ) ( - 4 ) . ( + 3)

= = = =

d

+12 + 12 -1 2 -1 2

que tiene com o n u m erad o r el producto de los num eradores, y com o deno m ina­ d o r el p ro d u c to de los denom inadores.

Multiplicación de operadores enteros. O tro o p erad o r, cuyo prim er co m p o n en ­ te es la sum a de los p ro ductos de los prim eros y segundos com ponentes. E j.:

a b

c d

a-c b- d

4

5

20

10

3

6

18

9

:

(a, b) • (c, d) = {a • c + b • d, ...) El segundo com po n en te es la sum a de los productos del 1.° y 2.° con el 2.° y 1.°, respectivamente:

M u ltip lic a c ió n de n ú m e ro s n a tu ra le s . O peración p o r la que asignam os a cada par de núm eros naturales a y b, otro c, llam ado p ro d u cto de am bos. (V. M ultiplicación, y ley u n ifo rm e de la m ultiplicación*.)

(a, b) • (c, d) = (..., a • d + b • c). luego. ( a,b)'(c,d) = (a c

+ bd, a d +

b-c)

Ej.: (4, 6) • (5, 8) = (4 • 5 + 6 • 8, 4 • 8 + + 6 • 5) = (20 + 48, 32 + 30) = = (68,62) = (6, 0).

N yZ

Propiedad Asociativa

C onm utativa

E. Neutro

E. Simétrico

Propiedades de la multiplicación. Asocia­ tiva, co n m u tativ a, E. neutro.

(a - b )c - a (b • c)

Q c\ e

a c

d f

b \d

a

a

a•b = b•a

a• 1 = a

f

a

a

a

a

n

no existe

n

Distributiva: de x resp. +

a ■(b -f c) = ab + ac

Estructura:

(Z, x ); (N, x ) Semigrupo conmutativo con E. neutro

105

a b

i c

e\

ac

— + — | — — 4-

\d

fl

bd

(Q, x ) G ru p o conm utativo

ae —

bf

sum ar el m u ltip lic an d o consigo mismo pa­ ra obtener el r e s u lta d o o producto.

Tabla de Multiplicar. Los factores dígitos aparecen encima y a la izquierda del c u a d ro y su producto, dentro del rectángulo que forma el cuadro.

E j.:

3 m u ltip lic a n d o x 7 m u ltip lic a d o r X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

l

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

21 p ro d u c to 3 x 7

= 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 =

2 3

0

2

4

8 10 12 14 16 18

3

4

0

—► 4 8 12 16 20 24 28 32 36

5

0

5

1C 15 20 25 30 35 40 45

6

0

6

12 18 24 30 36 42 48 54

0

7

M ú l t i p l o . C a n tid a d aritm ética o algebrai­ ca que es p r o d u c t o de otras dos que son divisores de ellas.

9 12 15 18 21 24 27

0

7

6

6

E j.:

4 x 3 factores

0

8

16 24 32 40 48 56 64 72

9

0

9

18 27 36 45 54 63 172 81

= 12. m últiplo.

12 es m últiplo de 4 y de 3. 3a2 x 5ab = \ 5ayb 15á*b es m últiplo d e 3í72 y de 5ab. Múltiplo com ún. C a n tid a d que es múlti pío de otras varias. Ej.:

14 21 28 35 42 49 56 63

8

21

0

30 15 5 1

E j.: 3 • 4 = 12. D onde se cruza la co lum na y la fila q ue se inician con los nú ­ meros que m ultiplicam os, en este caso 3 x 4 , encontram os la solución ( = 12).

2 3 5

30 = 2 • 3 • 5

M u l t i p l i c a d o r . T érm in o de u na m ultipli­ cación que indica las veces que hay que

30 es m últiplo co m ú n de 2, 3 y 5

106

Negociar. Com erciar com prando, vendien­

N. Sím bolo que designa al co n ju n to de

d o o cam b ian do valores. Neutro. (V. Elemento* neutro.) Nivel. Instrum ento p ara averiguar la dife­ rencia de nivel o co m p ro b ar la altura entre dos puntos o planos. No. T érm ino que se utiliza en las negacio­ nes preposicionales. (V. Negación de una proposición y P r o ­ posición* lógica.) No igual. Expresión que indica u na des­ igualdad; se representa por ^ . Ej.: •

los núm eros naturales. V = {0, 1, 2. 3. ...} T am bién suele emplearse p ara represen­ tar a la sucesión de núm eros naturales. N-semimódulos. Sem igrupo aditivo con­ m utativo (C, + ) cuyos elementos respec­ to de la operación p ro du cto ( x ) con el co n ju n to de los núm eros naturales (N) es u na operación externa (N x C->C), y dicha operación reúne las siguientes propiedades:

Si a >b ; a ^ b Si c> a ; c ^ a No negativos. C o n ju n to de los números positivos incluyendo el cero. Se repre­ sentan:

I) n(a + b) = n - a + n - b II) ( n + m)a = na + ma III) n(ma) = ( nm)a IV) 1 • a = a siendo a y b s C y m y n £ N . E j.: El c o n ju n to de los segmentos Z , respecto de la operación + , es un sem igrupo adi­ tivo conm utativo: (Z , +) $emigrupo aditivo conm utativo. N x Z Z operación externa y verifica (V m, n E N y a1, b, G Z ) las siguientes propiedades: I) II) III) IV)

Z + (enteros positivos) Q + (racionales positivos)

No positivos. Relación de núm eros ne­ gativos incluido el cero. Se representan:

Z ~ (enteros negativos) Q— (racionales negativos)

n(a + b) = n (n +. mía - ría + nía n(ma) = (nmía 1•a = a

Nomograma. G ráfica de tres escalas gra­ duadas con distintas variables. Están construidas de form a que la recta que une dos puntos de la escala pasa por el p u n to de la tercera, que corresponde a dos de la relación establecida que se representa en el nom ogram a. Nómina. Relación de las personas que en u na em presa tienen que co b rar haberes. Nominal de una letra. (V. Letra* de cam bio.) Nominilla. Im preso en el que se detallan los haberes de los que tra b a ja n en cual­ quier em presa.

Luego direm os que Z es un sem im ódulo sobre N , o bien, Z es un N-semim ódulo. Negación de una proposición. En L ó ­ gica m atem ática, proposición cuya tabla de valores es opuesta a u n a proposición dada. (V. Proposición* lógica.) Negociable. Valores que se pueden nego­ ciar p o r ser al p o rtad o r.

107

Nonius. Instrum ento de m edida que sirve

sobre el su b co n ju n to 0. Este tipo espe­ cial de aplicación recibe el nom bre de ecuación y los elementos del núcleo reci­ ben el nom bre de raíces o soluciones de la ecuación. En el ejem plo e s tu d ia d o r a ecuación ven­ drá expresada por la form a:

para medir con exactitud las fracciones de una división. Está provisto de dos escalas, la principal y o tra que ab arca 9 divisiones de la principal y tiene 10 partes iguales. La m edida que se observa en la ilustración está entre 5 y 6 de la escala principal. Se coloca el 0 de la o tra es­ cala en el lugar de la medición. El n ú ­ m ero de esta escala que coincida con u na graduación de la principal será la frac­ ción que corresponde a la medición (4).

Ix 1 — 6x + 4 = 0 y sus raíces o soluciones serán los ele­ m entos del núcleo que anulan al poli­ nom io en cuestión. N={1,2} 2(D2 — 6(1) + 4 2( 2)2 — 6(2) + 4

0 0

Nueve. Sím bolo que representa un conjun­ to con 9 elementos. Prueba del nueve. Procedim iento para com probar si algunas operaciones aritm é­ ticas están bien resueltas. E j.: A la suma de los valores absolutos de las cantida­ des que se indican se resta el múltiplo de 9 que contienen. La prueba del nueve en la multiplicación.

Normal. Semirrecta que form a ángulo rec­ to o es perpendicular a otra. Notación. Sím bolo que expresa concep­ tos matemáticos, cantidades, operacio­ nes... Ej.: N otación potencial 3565000000 = 3,565 • 109 Núcleo de una aplicación. Subconjunto de elementos del co n ju n to inicial que en una aplicación tienen com o imagen el cero en el c o n ju n to final. Ej.: Sea la aplicación o función:

m ultiplicando 453 x 28 3624 906

producto

12684 m ultiplicador

/

>Z; y = Ix 1 — 6x + 4 V v, y G Z f{x) = Ix 2- — 6x + 4 x

4 + 2 + 1 +

Iy = A x)

i 0 1 2 3 4

1 =(D

5 + 3 = 12; 12 — 9 = 3 8 = 10; 10 — 9 = 1 2 + 6 + 8 + 4 = 21; 21 — 18 = 3

La prueba del nueve en la división. divisor 4

F

4 0 0 4 12

4 -4 = dividendo

3 3 4 4 Núcleo = N = { 1, 2}

+ 6 + 4 + 1=4 + 7 + 6 - 4+3 25 — 18

16

9 =©

= 13; 13 — 9 = 4 (divisor) cociente + 3 + 5 = 25; 25 — 18 = 7 = > 1 6 + 3 + 1 + 5 = 25 : = 7

La prueba del nueve en la potenciación.

P or tanto, los elementos del núcleo anu­ lan el polinom io o función dad o y de­ term inan una aplicación del conjunto N

122 = 144. La potencia se trasform a en producto.

108

Numeral. Perteneciente al núm ero. Numerar. C o n ta r ordenadam ente. Número. 1. C a d a una de las clases que re­

m ultiplicador

1

m ultiplicador

1+2 = 3 1+2 = 3 j + 4 + 4 = 9; 9 — 9 = 0

La prueba del nueve en la radicación. Raíz

2 + 5 = 7 252 + 18 = 643; 6 + 4 + 3 = 9 + 4 = 4 7 • 7 + 18 = 4 9 + 18 => 4 + 9 + 1 + + 8 = 22; 2 2 - 18 = 4 Los núm eros encerrados en círculos de­ ben ser iguales p ara que la prueba esté bien hecha. A lgunas veces no son váli­ das, por eso se usan poco. N u l o . 1. Sin valor. 2. C o n ju n to vacío. Se representa por: 0 Numerable. C o n ju n to con el que se puede establecer u n a correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales.

Los núm eros situados a la derecha del 0 son los llam ados números positivos; es decir, los reales m ayores que 0. Los núm eros situados a la izquierda de 0 son los números negativos; es decir, los reales m enores que 0. P o r tanto: 1.°) C ualquier núm ero positivo es m a­ yor que cualquier núm ero negativo. 2.°) E ntre dos núm eros positivos es m ayor el de m ayor valor absoluto. 3.°) E ntre dos núm eros negativos es m ayor el de m enor valor absoluto. Números enteros. Son los núm eros reales del tipo:

Numerador. Prim er elemento del p ar o r ­ d enado — e Q.

b

.

sultan al clasificar los conjuntos finitos respecto de la relación ser coordinables. 2. Expresión de una cantidad con rela­ ción a u na unidad. Teoría de los números. P arte de las m a­ tem áticas puras, que se o cupa de las p ro ­ piedades y relaciones entre los núm eros naturales y entre los núm eros enteros. C onjuntos de números. Números reales. N úm eros en los que es posible establecer u na aplicación biyecti­ va con el c o n ju n to de puntos de u n a rec­ ta. Es decir, que cada p u n to de la recta representa un núm ero único y cada n ú ­ m ero viene representado p o r un p u n to único de la recta. P ara representar los núm eros reales se elige un p u n to sobre la recta llam ado origen, que representa el 0, y o tro pun to, por lo general a la derecha, p ara repre­ sentar el 1. Esta recta recibe el nom bre de recta real, y pueden em plearse uno por o tro los conceptos de p u n to y de n ú ­ mero.

_4_ num erador 7 denom inador

... —4, —3, — 2, — 1, 0, + 1, + 2 , + 3,... Se denotan por Z

El n u m erad o r indica las partes que se to m an de u n a partición.

Z

. —3, —2,

— 1 ,0 , + 1, + 2, + 3,...}

El co n ju n to

de los núm eros enteros Z se N x N define com o el conjunto cociente ----------- ,

R

4/2

siendo R la relación de equivalencia, de­ finida de la form a:

(a,b) = (c,d) => a + d = ó + c y /V x N el co n ju n to p ro d u cto del de los

(V. Fracción.)

109

núm eros naturales, N. C a d a u na de las clases de este c o n ju n to cociente es un núm ero entero. P o r ta n to , un número entero vendrá definido por un par de n ú ­ meros naturales dados en un orden de­ term inado.

la relación establecida es de equivalencia p o r ser:

En efecto, si en el co n ju n to producto

III)

Simétrica: (a,b) = (c, d) II) Reflexiva: (a,b) = (a, b) I)

N x N = {... (a,b), (c.tf)...} V a , b , c , d E N establecemos la relación:

( c,d) = (a,b)

Transitiva: (a,b ) = (c,d) (c,d) = ( e,f)

( a,b ) = ( e j )

P o r ta n to , dicha relación clasifica el con­ ju n to N x N en clases de equivalencia. C ad a u na de estas clases es lo que llam a­ mos un núm ero entero. H e aquí algunas de estas clases:

a + d = b + c que se expresa así:

(a,b) = (c,d) => (a + d) = (b + c) R. ca n ó n ico

i cn O) *— c

(0,0)

(0,1)

0 ,0 )

(0,2)

(2,0)

(0,3)

(3,0)

(1,1) (2,2)

(1,2) (2,3)

(2,1) (3,2)

(1.3) (2.4)

(3.1) (4.2)

(1.4) (2.5)

(4.1) (5.2)

(0 ,n)

(n, 0)

—n

f n

ro

4c

0) ^ 3 » • • • » a n

P o r definición, se verifica:

a2 = ax - r a3 = a \ ’ r2 P o r tan to , p ara el término, n se tendrá:

133

Se pueden p erm u tar los extremos

q.ie nos perm ite hallar el térm ino an de una progresión geom étrica, conocidos el prim er térm ino (a,), la razón de la p ro ­ gresión y el núm ero de térm inos. E j.: D a­ dos tf, = 3; r = 2; n = 3 hallar n construir la progresión:

an = a

—=

b

a

; d • a = b • c = (1)

Se pueden perm utar medios y extremos:

d

n — 1

Í73 = 3 • 2 2 = 12

b ; d • a = c • b = (1) a

E n cualquiera de las tres, se cum ple la propiedad fundam ental (1). Basta aplicar la propiedad conm utativa del producto.

La progresión será: 3. 6 , 12. P ro m e d io .. N úm ero que se utiliza en E sta­ dística p ara convertir u n c o n ju n to form ad o por gran núm ero de datos en un o solo que exprese el resultado equivalente al de los dem ás. Estos núm eros son los llam a­ dos promedios. Entre ellos se encuentran: M edia, M ediana y M oda. (V. M edia, M ediana, M oda.) P ro p ie d a d . Propiedad de involución. El com plem en­ tario del com plem entario de un co n ju n to es el m ism o conjunto: (A 9)' = A. Propiedades de las operaciones aritm é­ ticas. (V. Asociativa, C o nm utativa, Dis­ tributiva, U niform e.) Propiedades de las relaciones. (V. A ntisi­ métrica, Reflexiva, Simétrica, Transitiva.) P r o p o r c i ó n . Igualdad de dos razones:

— Sum a o diferencia de antecedente y consecuente de la prim era razón, es a su antecedente o consecuente como la sum a o diferencia de antecedente y consecuen­ te de la segunda razón es a su antece­ dente o consecuente.

a ± b

c + d

a + b

c + d

b

a

E n cualquiera de las 4 proporciones re­ sultantes de la pro pied ad enunciada debe verificarse que: a • d - b • c ( 1 ) E j.:

8

a

d

b

(a — b)d = b(c — d) ad — Jbeb - b c — b&

que se lee: a es a b

E n general:

b d com o c es a d. a y d, son los térm inos extremos b y c, son los térm inos medios a y c, son antecedentes b y d, son los consecuentes. Propiedad fundamental. E n to d a p ro p o r­

ad = be cum ple la pro p iedad fu n d am en ­ tal ( 1 ). Proporción arm ónica. C o n ju n to de tres núm eros en los que el m ay o r form a con el m enor, la m ism a razó n que la existen­ te entre la diferencia del m ayor y el medio y el m edio y el m enor. Ej.: Los núm eros 3, 4 y 6 form an una cuarteta arm ónica, pues:

ción el p ro d u cto de m edios es igual al p ro d u cto de extremos:

6

6

3

3

Otras propiedades. Se pueden p erm utar

6 - 1

los medios:

a

c

b

~d

____

1

=3*2

Proporción continua. 1. Sucesión en la q ue la razón entre dos elementos conse­ cutivos es la misma. E j.: 1, 2, 4, 8 . La razón es 2 . Coincide con la progresión geométrica. (V. Progresión* geom étrica.)

a d

a • d = c • b = (1 )

134

2. P ro p o rc ió n cuyos térm inos m edios o extrem os son iguales:

E j.: M agnitudes directam ente p ro p o rcio ­ nales son aquellas que au m en tan o dis­ m inuyen g u a rd a n d o la m ism a relación. Ai y P son dos m agnitudes directam ente proporcionales si al duplicar Af se dupli­ ca P, al triplicar Af se triplica P. Si Af se convierte en m itad , P tam bién se c o n ­ vierte en m itad, etc.

a _ b . b__ c y ~b ~b ~ c a 2 _

4 y. 8 _ 16

4

8

4

8

Proporcional. Perteneciente a la p ro p o r­

M

ción. Cantidades directamente proporcionales. E ntre dos series de núm eros A , B, C, ..., a, b, c, ..., existe proporcionalidad direc­ ta cu an d o se cum ple que:

A_ = a b

f = ( X 10)

P

= C

e

Cantidades inversamente proporcionales. E n tre dos series de núm eros A, B, C, ..., a, b, c, ..., existe proporcionalidad inver­ sa, c u a n d o se cum ple que: A • a = = B • b • = C • c ... Media proporcional. U n n ú m ero m es m edia pro p orcio n al entre a y b cu an d o se cumple:

Proporcionalidad inversa. U n a p ro p o r­ cionalidad (/) es inversa cu an d o cum ple las siguientes propiedades: a) / es u n a biyección entre dos m agni­ tudes Af y A f \

b) f (a ■ m) = — f ( m ) a

a _ m m b

E j.: M agnitudes inversam ente p ro p o rcio ­ nales son aquellas en que cu an d o una au m en ta, la o tra disminuye en la m ism a p roporción e inversamente. Dos m agnitudes D y O, son inversam ente proporcionales si al duplicar D, entonces O se convierte en m itad, al triplicar D, O A

Proporcionalidad. A plicación lineal entre m agnitudes: E j.:

metros

f

Ptas.

se convierte en — , etc. EL: 3 E n 10 días hacen un tra b a jo 12 obreros. En 20 días hacen el tra b a jo 6 obreros. E n 30 días hacen el tra b a jo 4 obreros. Aplicación de la proporcionalidad. (Ver Reglas*, Regla* de tres, Repartim ientos* proporcionales y Regla* de com pañía). Proporcionalidad compuesta. P ro p o rc io ­ nalidad en la que intervienen m ás de dos m agnitudes. Estas m agnitudes son proporcionales a u na d a d a au n q u e entre ellas no lo sean.

Af (m etros) y p (pesetas), son dos m ag ­ nitudes entre las que hemos establecido la correspondencia (/). / es u n a aplicación lineal y cum ple las siguientes propiedades:

f ( a + b) = f ( a ) + A b ) f i n - a) = n - f[a) Luego / es u n a proporcionalidad entre Af y P, y entonces decimos que Af y P son proporcionales. U na proporcionalidad es u n isomorfismo. Proporcionalidad directa. U n a p ro p o r­ cionalidad / es directa cu an d o cum ple las siguientes propiedades: a) Es u n a biyección entre dos m agnitudes Af y A f ' b) V a € Af.V/w E Af se verifica que (a • m) =

•

A ® B C (x) B D (x) B A

(A proporcional respecto de B ) (C proporcional respecto de B) (D proporcional respecto de B ) ® C ® D ------------ >B

A , D y C son m agnitudes directa o inver­ sam ente proporcionales a B, sin q ue ten­ gan que ser entre sí A , C, y D y necesa­ riam ente proporcionales. (V. Regla* de tres com puesta).

c) V a, b E A f ; f{a + b) = f(a) + f(b)

135

E n lógica y en m atem ática la letra o se usa siempre en el sentido no exclusivo; la disyunción es considerada verdadera si am bos, o por lo menos u n o de sus m iem bros, son verdaderos; en caso con­ trario, es considerada falsa.

P roporcionalidad de segm entos. (V. T eo ­ rem a* d e Thales; M edia*, Tercera* y C u a rta * proporcional).

Proposición. P ro p o sic ió n lógica. Frase o enunciado al que c o rre sp o n d e u n o y sólo u no de los posibles valores, verdadero o falso. Ej.: a ) 2 es u n n ú m ero entero (verdadero)

d) Implicación o proposición condicional. Proposición que se obtiene al com binar dos proposiciones simples por m edio de las palabras s i ..., entonces ... Se representa p o r ► . E j.: Si el hierro es u n m etal, entonces el hierro es m alea­ ble p —►q. La cláusula sub ordinada a la que se ha prefijado la palabra si, se llama antece­ dente. La cláusula principal introducida p o r la p alabra entonces, se llam a con­

b ) — es n úm ero entero (falso).

2 N o s o n proposiciones: x es u n n ú m e ro entero a es m e n o r q ue cero ya q u e n o expresan una afirm ación deter­ m in a d a y no se pueden confirm ar ni re­ fu tar. (V. Función* proposicional y V a­ riables* preposicionales). Tipos de proposiciones. C o n la ayuda de expresiones com o no, y, o, si, entonces, etc., se fo rm an proposiciones simples. Las m á s elementales son las siguientes: a) Negación proposicional. Proposición que lleva antepuesta la p alabra no. Se rep resen ta p o r ^ . E j.: Proposición: (2 es u n n ú m e ro positivo) (p) Negación: ( 2 no es un número posi­ tivo) ( ~ P ) . D os proposiciones, la prim era de las cua­ les es la negación de la segunda, se llaman co n tradicto rias. C u a n d o enunciam os la negación de una p roposición, expresam os la idea de que dicha negación es falsa. Entonces lógica­ m ente su negación es verdadera. E n caso c o n tra rio su negación es falsa. b) Conjunción o producto lógico de pro­ posiciones. Proposición que se obtiene al unir dos proposiciones simples por la p a ­ labra Se representa por A. E j.: 1 es un n ú m ero positivo y J_4 5— 2 = 6 — 3 8 • 5 = 40

P r o t e s t o . A cto notarial por el que se re­ quiere a u n a persona al pago de un efecto por no haberlo hecho en la fe­ cha de vencimiento. P r o y e c c ió n . 1. T ransform ació n de los puntos de u na figura en los de o tra por m edio de una correspondencia de m odo que cada p u n to esté alineado p o r su hom ólogo. 2. A plicación que lleva cada p u n to de una figura del plano a un p u n to de la recta, que se obtiene al trazar la perpen­ dicular de ese p u n to respecto de la recta. p

B

i

D

N

M I

E

~ ; A;v Las proposiciones simples se sustituyen por las variables preposicionales: p; q;

P'

r; s.

C

M’

N’

O

P'

P’ A 'B ' C M ’N ’ OP’

P u l g a d a . U nidad inglesa de longitud equi­ valente a 2,54 cm. P u n t o . C oncepto geom étrico sin defini­ ción. Tiene posición, pero no dim ensio­ nes y se representa por la intersección de dos rectas que se cortan. Se desig­ na con la letra mayúscula P.

P b) Ley de simplificación:

p

B'

P ■ ABDE MN OP

P or tan to , las funciones proposicionales com puestas más sencillas se representan por las expresiones: ~ p; p /\ q; p \j q; p —►q. E j.: Si el hierro es un metal entonces el hierro es maleable (p —> q). Leyes proposicionales. Leyes del cálculo proposicional que afirm an algo acerca de las propiedades de proposiciones a rb i­ trarias. Estas leyes son: a ) Ley de identidad:

Si p, entonces p o q~\

A'

q \j p

137

U n p u n to P que pertenece a una recta r se dice que es incidente con dicha recta y la recta incidente con el punto. P u n to de tangencia. P u n to de contacto de una circunferencia y una tangente a la misma.

Punto medio. P u n to que divide a un seg­ m ento en dos partes iguales. p

\--------------------------- #---------------------------- I Puntos notables de un triángulo. N o m ­ bres que se d an al baricentro, circuncentro, excentro, incentro y ortocentro. (V. Baricentro, C ircuncentro, Excentro, Incentro y O rto cen tro .)

138

El n u m erad o r 3 indica las partes que se tom an; y el denom inador 5, las partes en que se ha dividido la unidad.

Q. Sím bolo con el que se representa el con ju n to de los núm eros racionales:

Q

= { ..., { -

i+

4

}- " i

Q + . C o n ju n to de los núm eros racionales positivos: (V. Fracción.) Quilate. 1. U nidad de peso p ara las per­ las y piedras preciosas que equivale, en E sp añ a, a 205 mg. 2. C a d a u n a de las veinticuatroavas partes de o ro fino que contiene u n a alea­ ción de este m etal. E j.: C u an d o decimos o ro de 18 quilates, entendemos que, de 24 partes de aleación, 18 son de oro puro. Quinario. C o n ju n to de cinco elementos. E j.:E l sistema de num eración en base 5, es u n sistema quinario, ya q ue utiliza cinco signos:

1

Q

9

» + — * + ... 3

Q - . C o n ju n to de los núm eros racionales negativos:

Q ~

== |

l

__L _ ± ’

16 *

1

4 *

J

Quebrada. Línea fo rm a d a por varias rec­ tas, u n a a continuación de o tra, con dis­ tin ta dirección. Las líneas q uebradas pueden ser abiertas o cerradas.

A b ie rta

0, 1 ,2 , 3 ,4 . (V. Sistemas* de num eración.) Quincena. Espacio de 15 días. Quincenal. Q ue se repite o sucede cada quincena. Quincuagena. C o n ju n to de 50 unidades. Quincuagésimo, -a. 1. Q ue sigue en o r­ den al cuadragésim o nono. 2. C a d a u na de las partes q ue resultan al dividir un to d o o unidad en cincuenta partes iguales. Quintal métrico. M edida de peso que equivale a 1 00 kg en el sistema m étrico decim al. Se representa p o r q

Cerrada

Quebrado. T érm ino con el que tam bién se designa u n a fracción. Ej.:

3

1

5

139

q =

1 00 kg

Quintuplicar. M ultiplicar por cinco una

Quinto. 1. Q ue sigue en orden al cuarto.

cantidad. E j.: 5 • 3 = 15.

2. C ad a u n a de las partes que resultan al dividir un to d o o unidad en cinco partes iguales:

Quíntuplo. Q ue contiene cinco veces exac­ tam ente a un núm ero. E j.: 15 es q u ín ­ tu p lo de 3. 15 = 5 • 3

5

140

R . Sím bolo que designa el c o n ju n to de los núm eros reales. ( 01 ) . r. Sím bolo con el que se designa al radio de la cincunferencia.

b) El denominador es una raíz enésima. Se multiplica el n u m erad o r y d en o m in a­ dor por la raíz del denom inador cuyo radicando se eleva a la diferencia entre el índice y el exponente. Ej.:

Ax

A x\fa- ~ 1 ~

_ Ax

_ Ax '/a*

a

Expresión racional. 1. Expresión que se presenta com o el cociente de dos poli­ nomios. 2. Suele definirse tam bién com o la expre­ sión algebraica o función que no contie­ ne ningún exponente fraccionario. Ej.:

c) El denominador es una suma de raí­ ces cuadradas. Se m ultiplican los dos térm inos p o r la diferencia de raíces del denom inador. Ej.: 3

_

3 ( v5~ — \ í 2)

v T T \/T

”

( V T + y / 2 ) ( % / ! — y /2 .)

3 V T — 3V /2 4at — 1 3

’

5(3x —

2) t 4y

3* —

1 ’ 25

" (V ?)2 -

R a c i o n a l i z a r . 1. O peración que tiene por ob jeto tran sfo rm ar las expresiones que contienen denom inadores con radical, en otras equivalentes que n o tengan radica­ les en sus denom inadores. P ueden estu­ diarse cu atro casos: a) El denominador es una raíz cuadrada. Se m ultiplica el denom inador y n um era­ dor p o r la raíz que contiene el d en om i­ nador.

_

3V T— 3V 2

{y/2)2

3 -

2

d) El denominador es una diferencia de raíces cuadradas. Se m ultiplican los dos térm inos p o r la sum a de raíces del d en o ­ m inador. Ej.: 2

=

2 ( V 2 + 5)

y/2 - 5 2 y /2 + ~ ~ J y /2 )2 -

(y¡2 — 5) {y/2 + 5) 10

52

2

y /2 + 2 -

10

25

Ej.: 3x

\íí

=

3x y/2

V2-V2

_

3x V 2 ~ = VÍ

~

IxVl 2

2. E n las ecuaciones, suprim ir las raíces en las que figura alguna incógnita de la ecuación.

1 radián = 57° 17’ 44,8”

a)

y jx + 2 = 6 ( V F T 2) 2 = 62 2 = 36

x 4-

x = 34 b)

> /Í3 + x = \J x 4- 1 4- 2 ( V i 3 4- A-)2 = ( v i + 1 + 2)2 13

4- A-

=

1

A- 4-

( 8)2 = (4

V (x + l ) 2

64

( x 4-

16

=

R a d i c a c i ó n . O peración inversa de la potenciación consistente en que, dado el resultado de una potencia y el exponennente, hallar la base. Ei.:

4V* + 1

4-44-

1)

64 = 16x 4- 16 48 = 16x

23

x = 3

8

=

V T = 2 4 radicación

4 potenciación

c) Raíz enésim a de un núm ero a, (V ^ )» es aquel núm ero b, cuya enésima potencia (ó") es igual al núm ero d ad o a.

y jx — y/5 x = V T ( v í T - V S )2 = ( ^ ) 2 x + 5x — 2 V i V § x = 7

\ f a = b ; bn = a

x 4- 5x —7 = 2 Leyes form ales de la radicación: a) Uniforme. Al extraer la raíz enésima de los dos m iem bros de u na igualdad re­ sulta otra igualdad.

x 4- 5x — 7 = 2x n/5~ (6x — 7)2 = ( 2 x \ í ) 2 36x2 4 -4 9 — 84x = 4X2 • 5 36x2 — 20x 2 — 84x 4- 49 = O

a = b ; v i ”= V ó

16x2 — 84x 4- 49 = O Ej.:

84 ± V 8 4 2 — 4 • 16 • 49 2 • 16

6 = 2 ■3 ; \ / 6

= \ /2~3

84 ± V 3 9 2 0 b) La raíz enésima de un producto indicado es igual al p ro du cto de las raíces enésimas de cada factor.

32 146

x =

73 16

84 ± 6 2

-n

32

22

H

32

16

y /a • b ■c - \ / a < /b \J c Ei.:

R a d i á n . U nidad de m edida de ángulos que equivale a un ángulo que con el vértice en el centro de la circunferencia sostiene un arco de longitud igual ahradio. Equivalencia del radián:

■

■

=

\Á~- y/b-s/s

a raíz enésima de un cociente indicado es igual al cociente de las raíces enésimas del dividendo y del divisor.

2 n radianes = 360ü 1 radián =

6 8

n

180°

K

a

/«. 47, 34 4

Raíz. Raíz de una ecuación. Valores numéricos que to m a la variable y que, sustituidos en la ecuación, hacen que se cum pla la igualdad establecida. Reciben tam bién el nom bre de soluciones. Ej.: *2 —

\ ,

Sustituyendo los valores x = 3 y x = — 1, en la ecuación x 2 — 2x — 3 = 0, se cum ple la igualdad: 32 — 2 -3 — 3 = 0

0 (

1)2 - 2

=

V8 4 7 i 4 4

0

• ( - 1) - 3 = 0

4 4,7 44 1

1 + 2 — 3 = 0

0 0 6 3,4 58 1

P o r ta n to , las raíces o soluciones son:

*\ =

22 = 4

c) A la derecha del resto se b aja el gru­ p o siguiente, se separa la cifra de la de­ recha y la p arte de la izquierda se divide entre el d u p lo de la parte de raíz hallada. El cociente se escribe a la derecha del d u ­ plo de la raíz hallada. El núm ero fo rm a d o se multiplica p o r el cociente ob ten id o y el p ro d u cto se resta del dividendo seguido de la cifra sepa­ rada. d) A continuación, se b aja el g ru p o si­ guiente y se procede com o en el caso anterior, hasta term inar los grupos de dos cifras del radicando:

lx — 3 = 0

y- - 2 ± ^ 22 + 4~~3 _ 3 ± 4 2 2

2

291 22 = 4 44 : 4 49 • 9 63 : 58 581 • 1

9 . C 441 1

581

3

53 = resto *2 = - 1

(V. Ecuación.) Raíz cuadrada. Expresión radical de índi­ ce dos. El índice de estas raíces suele suprim irse. La raíz cu ad rad a de u n núm ro positivo tiene siempre dos soluciones: una positiva, tam bién llam ada aritm ética, y o tra negativa. Ej.: V7¡T = ± 4

Raíz cúbica. Expresión radical de indi ce 3. 3

\ía = b ; b3 = a

Si el rad icand o es negativo, no tiene solución en R, pues ningún núm ero ele­ vado al cu ad rad o puede ser negativo.

Ej.: i V 6 4 = 4 ; 4* = 64

145

zonam iento se utiliza en el caso en que u na proposición general se aplica a un caso particular (razonam iento deductivo). Ej.:

Se pueden presentar dos casos: a) Raíz cúbica de un número positivo:

\J + 125 = + 5 . R adicando positivo y raíz positiva. b) Raíz cúbica de un número negativo

Proposición general

^ — 125 = —5. R adicando negativo y raíz negativa. Raíz entera. M ayor núm ero entero que elevado a la potencia del índice de la raíz da un n ú m ero que se puede restar del radicando. Ej.:

P a ra ser ingeniero es necesario cursar cinco años en u n a Escuela Técnica.

Proposición particular Luis quiere ser ingeniero.

V 4 0 = 6 ; 6 2 = 36

Conclusión

\

Raiz entera

Luis debe cu rsar cinco años en una Escuela Técnica. R e b a ja . R educción de precios en valores, tarifas, etc. R e c a u d a r . C o b ra r, percibir caudales o efectos. R e c íp ro c o d e u n n ú m e r o . N úm ero r a ­ cional que se obtiene invirtiendo los dos elementos de la p areja de núm eros ente­ ros que fo rm an una fracción distinta de 0 . Recibe el n o m b re de inverso. Tiene la particularidad de que, m ultiplicado por el núm ero racional propuesto, d a la unidad:

Raíz exacta. N úm ero entero que elevado a la potencia del índice de la raíz, da el radicando. Ej.: V 3 6 = 6 ; = > 6 2 = 36 \

Raíz exacta 3

,------

V — 125 = —5. R adicando negativo y raíz negativa.

9

R azón. Razón de dos números. Cociente com ple­ to de la división del prim er núm ero por el segundo. La razón de dos núm eros a y b, se repre­

a , b — -* reciproco — b a a b a•b — • — = = ] b a b •a

senta p o r la notación: — , que se lee a es

b

a b; a es el antecedente y ó el conse­ cuente. Ej.: Razón de los núm eros 3 y 2:

Ej.: 3 — ,

, 2 -*■ reciproco = — 4

, 5 , -*• reciproco = ------5 4

La notación de la razón es análoga a la de fracción, au n q u e más general, ya que sus térm inos pueden ser núm eros cualesquiera. Razones goniométricas. Relaciones exis­ tentes entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Las razones goniom étricas fundam entales son el seno , coseno y tangente. Su estu ­ dio corresponde a la T rigonom etría. (V. C oseno, Seno y T angente.) R a z o n a m i e n t o . Acción y efecto de razo­ nar. E n M atem áticas, el m étodo de ra ­

R e c o r r id o . N o m b re que se da a la dife­ rencia entre el m ayor y m enor de los va­ lores observados en u na serie estadística. E j.: Los años de los 6 niños que han participado en u n trab ajo son: 7, 7, 8 , 8 , 8 , 9, 19, 13. R ecorrido 13 — 7 = 6 . R e c ta . C o n ju n to de p u n to s alineados. El borde de u na cuartilla, el doblez de un p ap el..., nos d a n idea de una recta. U na recta es infinita y se representa así: 0

146

Rectas secantes. Rectas que tienen un p u n to en común:

Las rectas pueden ser: Rectas convergentes. A quellas q ue tienen un p u n to com ún:

Rectas que se cruzan. Rectas que no tienen puntos en com ún y están en dis­ tinto plano.

Rectas paralelas. Rectas que n o tienen puntos en com ún y están en el m ism o plano:

Propiedades de las rectas paralelas: a) Si u n a recta r es perpendicular a una de dos paralelas, tam bién lo es a la otra.

r-La; a II b =>rA-b r // c, luego a es per­ pendicular a r y c .

Recta numérica. Recta a la que acudim os p ara representar los núm eros enteros: Z (recta numérica); y Q (recta racional). C o n ju n to de los puntos de la recta que establecen una correspondencia biunívoca con el co n ju n to Z y Q.

b) Si dos rectas son paralelas a una ter­ cera, son paralelas entre sí (Propiedad

transitiva).

i

c) T o d a recta es paralela a sí misma (P. reflexiva). d) Si u na recta a es paralela a otra b , la recta b es paralela a la recta a (P. simétrica). e) E n el co n ju n to de todas las rectas del espacio, la relación es paralela a es una relación de equivalencia. Rectas perpendiculares. Si fo rm an al cor­ tarse ángulos adyacentes iguales y rectos:

—2 _ 3 —1 2 2 2

•\) r

♦ ■ J------- 1-------- >

1 1 3 2 2

*

*

2

(V. N úm ero real.) Rectas fundamentales de un triángulo. N om bre con el que se conoce a las al­ turas, mediatrices, bisectrices y m edia­ nas de un triángulo. (V. M ediana, Bisectriz, M ediatriz.) R e c t á n g u l o . P aralelogram o fo rm a d o por la intersección de dos bandas desiguales y perpendiculares.

a

T

..j----- *-----------1—:— i

o

b

o

90

aib

Propiedad de las rectas penpendiculares a una recta dada. La perpendicular a una recta d ad a, desde un pun to, es única.

147

dem ás menos por el suyo. El resultado se pone por num erador, y por den o m in a­ d o r el p ro d u cto de los denom inadores. Ej.:

Tiene: Los lados paralelos dos a dos. Los ángulos rectos. Las diagonales iguales. Las diagonales se c o rta n en un p u n to medio. (V. P aralelogram o.) R e c to . (V. Ángulo* recto.) R e d . N om bre con el que se conoce ta m ­ bién la estructura de retículo. (V. Re­ tículo.) R é d ito . C antid ad q u e se c o b ra por el prés­ tam o de 100 pesetas. (V. P orcentaje y T a n to por ciento.) R e d u c c ió n . 1. A cción y efecto de reducir. 2. N om bre con el que se conoce u n o de los m étodos p a ra resolver sistemas de ecuaciones. (V. Sistem as* de Ecuaciones, M étodo de reducción.) Reducción de fracciones. Simplificación de fracciones. P a r a ello se divide el n u­ m erador y d e n o m in a d o r p o r un mismo núm ero. E n la práctica se reduce totalm ente una fracción dividiendo el n u m erad o r y deno ­ m in ad o r p o r el m .c.d . de am bos.

2_

6 " 90 * 90 ’

75 90

Ej.: — , — ,— . m .c.m . de 4,12 4 12 16 36

20

y 16 = 48.

9

4 8 ’ 48 ’ 48 Este últim o procedim iento tiene la venta­ ja de d ar los térm inos simplificados. Es conveniente, antes de proceder a re­ ducir a com ún d en o m in ad o r, simplificar las fracciones propuestas. Reducir radicales a índice com ún. (V. Radical.) R e e m b o ls a r. Volver u na cantidad a poder de quien la había desem bolsado. R e fle x iv a . P ro p ied ad de las relaciones binarias que indica que to d o elemento está relacionado consigo m ism o. Ej.: ® o tam bién aRa. R e g ió n . P orción del espacio. Región angular. C a d a u n a de las cuatro partes ilimitadas en q u e q ueda dividido u n plano p o r dos rectas q ue se cortan.

3

Si el m .c.d. es 1, la fracción se llama irreducible. (V. F racción.) Reducciones en el sistema métrico deci­ mal. Conversión de unidades complejas en incom plejas. E j.: R educir a litros 3 hl, 4 Kl., 7 el. 4 Kl = 3 hl = 7 el =

54

b) Se halla el m ínim o com ún m últiplo de los denom inadores (éste será el co­ m ún denom inador). C o m o n u m erad o r se coloca el p ro d u cto de cada num erador por el cociente entre el m .c.m . hallado con el denom inador correspondiente.

= _2_

27 : 9

_5__ 60

3 ’ 5 ’

— m .c.d. de 18 y 27 = 3 2 = 9 27 18 : 9

3_

4000 300 0,07

Región angular

angular

4300,07 1.

R e d u c ir . Reducir a com ún denom inador. C onver­ tir dos o más fracciones en otras equiva­ lentes que tengan los mismos deno m ina­ dores. Esta operación es necesaria para la adición y sustracción de fracciones de distinto denom inador. H ay dos procedim ientos: a) M ultiplicar el n u m erad o r de cada q u e b ra d o por los denom inadores de los

Región cerrada. P orción del espacio fo r­ m ad a por u na superficie curva cerrada y su interior.

148

Regla de tres directa. E j.: Si 20 m etros

Región plana. P orción del plano. Puede clasificarse según la línea cerrada q ue la limita. E j.: Región rectangular, c u a d ra n ­ g l a r , circular.

jlíl* *•.Jf '♦.Ti,• • f i •*-

"i

4

J

/d ire c ta M ----------- ► P 20 m — ► 20 0 ptas. 7m — ► x ptas.

C uadrangular

R ectangular

in /% •y/l

de tela cuestan 200 pesetas. ¿Cuál será el valor de 7 metros? M (m agnitud), / (proporcionalidad). P (m agnitud).

■'•'X/ '■jívv-afcV V''

é • ! > 1fr.■ i . . . ■ r i . 1 r .. . t . í 1 v * i »a/' *i#;V^¡ • ^7* /'.I »I* t.'*1A“.>•>ftrV /.-.’U > + £ + ¿/-_ 130

* 1 0 + (50 — *) • 15

50

152

litros

precios

E j.: Se mezclan 5 gramos de o ro de ley 0,9 con 2 gram os del mismo m etal, de ley 0,85. Calcular la ley m edia de la mezcla obtenida: I .

d

± ^ • 0.85 = 0>885 5 + 2

b) Aleación inversa. Fijada la ley m edia de la mezcla y conocidas las leyes del metal que se va a mezclar, calcular la relación en que han de estar cada una de las clases de ese metal. La fórm ula que hay que emplear es:

C o m o u n a cantidad 10 no tiene pareja con un precio inferior al m edio, se com ­ p a ra n con cualquier precio m en o r que, en este caso es 5.

h

5-

-

190

3

C, _ |Lm — L 21

T i"

| Lm — L¡ |

C2

x ~6

190 ; x = 60 19

y_

190

3

19 190

en q ue las diferencias se to m an siempre com o positivas. E j.: Se desea obten er oro de ley 0,885 partiendo de oro de leyes 0,9 y 0,85. ¿En qué relación h a b rá n de mezclarse?

; y = 30

; z = 40

19 190

; h = 20

19 190

0,85

C, _ 0,885 C2 0,885

; d = 40

0,035

_ 35

0,015

15

c\ C2

19

0 ,9

_

7 3

(V. Ley* de u n a aleación.) Regla de Ruffini. Regla p ara dividir un polinom io p o r (x t a ). Ej.:

Regla de aleación. Tiene interés la mez­ cla de un m ism o metal noble (oro, plata, etc.), con diferentes índices de pureza o ley p ara obtener u n a ley m edia

{Lm). Si C ,, C2, Cn es el peso del metal de leyes L¡, L 2, •••» Ia leY m edia de la mezcla obtenida viene d a d a p o r la fórm ula:

D isponem os la operación del siguiente m odo: + 3 3 1•

2^2

C\ +

C

i

+

. . .

c

n

3

Casos de aleación. E n la mezcla de un metal de diferentes leyes se presentan los siguientes casos: a) Aleación directa. D eterm inar la ley m edia de la mezcla, conocidas las canti­ dades y leyes del metal que intervienen en la misma. P a ra ello se utiliza la fórm ula:

¿rn = |

+

c

2

+

. . .

2 9

+ 5 +21

7 + 2 6

8 78 86

Cociente 3x2 — l x + 26 Resto — 86 V alor num érico del polinom io 3 a:3 + + 2x2 + 5 a: — 8 para x = — 3, es el resto de la división (— 86 ). Descomposición factorial por Ruffini. P a ra descom poner factorialm ente el p o­ linom io x 3 — 4x2 + x + 6 , es necesario

+ ¿ 2 ^ 2 + ••• C

+ —

3

c¡

h n c ra r

153

rn rip n tp c

P Y a rtn c

al

d iv id ir

DOf

Si tom am os un su b co n ju n to cualquiera R de este c o n ju n to C x C, com o por ejemplo:

(.x ± a). Siendo el térm in o independiente de este polinom io 6 , el factor ( ± a ) lo obtendríam os de los divisores de 6 . P ro b aríam o s por a = 1; a = — 1; a = 2; a = —2; a = 3; a = —3; a - 6 ;

x

4x2 + x + 6 : (x + 1)

1

4

1 1

1

+ 1 + 6 + 5 —6

5

+ 6

Cociente = x 2

R = { (a, a); (a,b); (a,c); (b,c),} decimos que este su b co n ju n to define u na relación binaria R en el c o n ju n to C, entendiendo que cada elem ento está relacionado con aquel que form a p a r con él en alguno de los elementos del su b co n ju n to R, lo que se expresa de la siguiente form a: a R a, a R b, a R c, b R c, y no está relacionado con aquellos elementos que n o form an p ar con él en dicho su b co n ju n to R, com o por ejemplo: b $ a que se lee: b no relacionado con a. Las relaciones binarias se pueden representar m ediante un d ia­ gram a cartesiano. Los prim eros co m p o ­ nentes de los pares ordenados deben leerse en la recta horizontal; y los segun­ dos com ponentes en la vertical. Los nudos de la m alla representan los ele­ m entos del su b co n ju n to definidor de la relación. E n el ejem plo que hemos p ro ­ puesto tendrem os:

0 = Resto

5* + 6

i

i

1

1

5

+ 6

2 —

(x-2)

6

(resto cero)

1

Cociente (x — 3) El p ro d u cto de los dividendos por el últi­ m o cociente daría la descom posición fac­ torial del polinom io dado:

(x + 1 ) ( a : - 2 ) ( * - 3 ) = — 4x2 + x + 6 R e l a c i ó n . C aso particular de correspon­ dencia en q ue el c o n ju n to de p artid a y de llegada son iguales.

R (a) = u, q ue se lee: La imagen del elem ento a es el elem ento u en la corres­ pondencia R.

O tra form a de representar el subconjunto definidor de la relación es hacerlo m e­ diante un diagram a de Venn. Se repre­ senta el co n ju n to d ad o y se trazan flechas del prim er elem ento al segundo por cada p ar o rd en ad o del su b co n ju n to definidor de la relación.

Relación: a R u q ue se lee: a está relacionada con u en la relación R. Relación binaría. C orrespondencia de un c o n ju n to en sí m ism o. D ar una relación b in aría R en un c o n ju n ­ to C es d ar un su b co n ju n to del c o n ju n ­ to p ro d u cto C x C. Los elementos de esta relación son pares que se escriben (a R b), indicando que el elem ento a -está relacionado con el b, V a, b G C. En efecto, sea el conjunto: C = {a, b, c*}. El c o n ju n to producto C x C s e rá :

Propiedades de las relaciones binarías. Las relaciones binarias pueden estar d o ­ tadas de algunas de las siguientes p ro ­ piedades:

C x C ={ (a, a); (a,b); (a,c); (b, b); (b,a);

(b,c); (c,c); (c, a); (c,b)}.

154

a) Propiedad reflexiva. U na relación bi­ naria tiene la propiedad reflexiva cuando se verifica que: V a E C => a R a, que dice que to d o elemento del co n ju n to debe estar relacionado consigo m ism o. Se ex­ presa por una flecha que sale del ele­ m ento y vuelve al mismo.

Clases de relaciones binarías. Las princi­ pales relaciones son: a) De equivalencia. U na relación bina­ ria R, es de equivalencia, si cum ple las propiedades reflexiva, simétrica y transi­

tiva. T o d a relación de equivalencia clasifica el co n ju n to en clases; es decir, verifica una partición del c o n ju n to (propiedad fu n d a ­ mental de las relaciones de equivalencia). Ej.: C o n ju n to : Los vasos de una vitrina. Relación: Ser del m ism o tam año.

Propiedades: Reflexiva. T o d o vaso es del mismo tam añ o que él mismo. Recíproca o simétrica. Si un vaso a es del mismo tam año que b, b es del m ism o ta m a ­ ño que a.

b) Propiedad simétrica. U n a relación binaria tiene la propiedad simétrica, si se tiene: V (a, b), a R b => b R a, que dice que si un elem ento cualquiera a está relacionado con o tro b, b está rela­ cionado con a. Se representa p o r dos fle­ chas, u na que sale de a hacia b y o tra de b hacia a.

Transitiva. Si a = b y b = c; a = c

c) Propiedad antisimétrica. U n a rela­ ción binaria tiene la propiedad antisim é­ trica, si para todo par de elementos (a, b), el hecho de cumplirse la doble relación a R b, b R a, implica que a = b.

(a,b):

b) De orden. U n a relación binaria R, será de orden, si cum ple las propiedades: reflexiva, antisimétrica y transitiva. Puede ser de orden total y parcial. U na relación R, entre los elementos de un co n ju n to , es de orden total si en cual­ quiera de los elementos a y b, pertene­ cientes al co n ju n to , se verifica:

í aRb | \=>a = b

d) Propiedad transitiva. U n a relación binaria goza de la propiedad transitiva si:

aRb

aRb

o

bR a

E j.: D ado el co n ju n to de los núm eros enteros (Z ), introducim os la relación ser menor o igual que ( O . V a,b c, G Z se cumple:

aR c bRc Se representa por tres flechas, u na que sale de a hacia ó, o tra de b hacia c, por últim o, la que va de a hacia c.

a) Reflexiva.

a< a, pues a - a b) Antisimétrica.

a - b

155

c) Transitiva.

a^b | b^c I

E j.: El co n ju n to de los triángulos equi­ láteros está contenido en el co n ju n to de los triángulos isósceles y éste en el de todos los triángulos.

a^c

En la relación ^ , cualesquiera que sean núm eros enteros a y b estos son siempre com parables, ya que, de las dos a firm a ­ ciones a ^ b y b ^ c , una siempre es cierta. P o r ello decimos que la relación < es una relación de ordenación total o de orden total. Se suele representar m edian­ te un diagram a lineal (recta numérica):

Propiedades de la relación de inclusión: a) Reflexiva: A ci A b) Antisimétrica: Si A y B son conjuntos arbitrarios:

A czB | Ba A

___

A = B

c) Transitiva: Si A, B y C son conjuntos arbitrarios

A c=B BczC

> A

La relación de inclusión de conjuntos es u na relación de orden parcial, pues dos conjuntos cualesquiera n o siempre son com parables según esta relación:

U na relación de orden parcial cumple también las propiedades citadas, pero exis­ ten elementos pertenecientes al conjunto, tales que a / b y b / a . P o r tanto, o rd en an parcialm ente un con­ ju n to . Ej.: E n el co n ju n to de los núm eros naturales (N) introducim os la relación ser divisor

b

Ca

C_Lc); ( a j b ) j c = a j (ó Te). d) Ley de absorción: (a ló )T a = a (alb)la = a V a, b, ceC. Si am bas operaciones (-LyT) son distri­ butivas la u na respecto de la o tra, dire­ mos que el retículo es distributivo. Ej.: El c o n ju n to de partes de un c o n ju n to C posee estructura de retículo distributivo respecto de las operaciones unión e inter­ sección. P o r tanto, diremos que: f^íc),U,fl] tiene estructura de retículo distributivo.

UNION Idempotente

A

INTERSECCION

UA = A

A HA =A

Conmutativa

AUB=BUA

Asociativa

(A \ J B ) \ J E = —A U ( B \JE)

(A D B ) C\E = = A r\{B C \E )

(A U B )C \A = A

(A C\BJ \ J A = A

A C \B = B C \A

b; R = a — bn Lay de absorción

= 2 ; /? = 18 — 2 4 = 2 Respecto de laU

R e s m a . C o n ju n to de 500 pliegos de papel. R eso lv er u n trián g u lo . (V. Trigonometría). R e s to p o r d e f e c to . (V. División). R e s to p o r ex ce so . (V. División entera.) R e s to , te o r ía d e l. (V. Regla* de R uffini.) R e s to s , re la c ió n e n tre lo s. La sum a de los restos p o r defecto y por exceso de u na división entera es igual al divisor: r + r’ = d

Ley de distribución

8___|_3____

2

1

i

2 \

/

(A U E jn (B U E )

Respecto de laO (A

U B )C \E =

(A r\E )

U (B H E )

•

R e tr ib u c ió n . Recom pensa en pag o de un servicio. R e u n i ó n . 1. A grupación de varias can tid a­ des en una sola. 2. N om bre con el que se conoce la unión de conjuntos. R e v o lu c ió n . R otación alrededor de un eje de cualquier línea. Figuras de revolución. Cono. E n g en d rad o por u n triángulo rec­ tángulo que gira alrededor de u n o de sus catetos.

Ej.: 8____[3____

(A C \B J U E =

3

i

P o r defecto o aditivo / por exceso o \ / sustractivo 2 + 1 = 3

R e s u lta d o . Consecuencia final de la reali­ zación de u na o varias operaciones. R e tíc u lo . C o n ju n to en el que se h an de­ finido dos operaciones ( l y T ) , cada una de las cuales cum ple las propiedades si­ guientes:

157

R o m b o . P aralelo g ram o form ado por la in tersección de d o s bandas iguales y obli cuas.

Cilindro: E n g en d rad o p o r un rectángulo que gira alrededor de u n o de sus lados.

-)-------i-- 1- A - ^ A

Propiedades: a) Sus lados son iguales y paralelos dos a dos. b) Sus ángulos son iguales dos a dos. //v' -O' /ns' "qV a = a ;p =p c) Las diagonales son perpendiculares y se cortan en el p u n to medio. R o t a c i ó n . 1. G iro alrededor de un eje. 2. Rotación de la T ierra alrededor de su eje im aginario. (V. giro). R otación en el p lano. La rotación plana de centro O y ángulo a es u na tra n s­ form ación geom étrica que hace corres­ ponder a cada p u n to ^4_del plano o i x o A ' de form a que OA = OA ’ y a = Á O A \

Esfera: E ngendrada p o r un semicírculo que gira alrededor de su diám etro.

R o y a ltie s . Pagos q ue se hacen para poder explotar u n invento prestado. R u f f i n i . (V. Regla* de Ruffini).

158

2. E n trigonom etría, razón inversa del coseno. Su sím bolo es sec.

S. A . Siglas que significan Sociedad A n ó ­ nima. S a g ita . P erpendicular del arco a su cuerda en el p u n to m edio.

Hipotenusa sec a = cateto contiguo

S a ld a r . L iquidar u n a cuenta. S a ld o . Diferencia que a rro ja u na cuenta en favor o en c o n tra de u n a persona. V a lo r

9 .9 9 1 .0 0

1 9 2 .9 3 0 ,2 3

2 7 / 0 1

6

1 1 5 7 5

2 7

1 1 ,8 3 3 .0 0

1 8 1 .0 9 7 ,2 3

0 2 / 0 2

1 2

2 1 7 3 1

2 4 / 0 2 / 7 8

1 3

5 .6 0 0 .0 0

1 7 5 .4 9 7 ,2 3

1 4 / 0 2

1 3

2 2 8 1 4

2 7 / 0 2 / 7 8

2 7

9 ,9 9 1 .0 0

1 6 5 .5 0 6 ,2 3

2 7 / 0 2

3

4 9 6 5

0 2 / 0 3 / 7 8

2 7

1 1 ,8 3 3 .0 0

1 5 3 .6 7 3 ,2 3

0 2 / 0 3

7

1 0 7 5 7

0 8 / 0 3 / 7 8

0 2

2 2 8 .6 7 3 .2 3

0 9 / 0 3

1 8

4 1 1 6 1

2 7 / 0 3 / 7 8

2 7

9 .9 9 1 .0 0

2 1 8 .6 8 2 .2 3

2 7 / 0 3

5

1 0 9 3 4

0 1 / 0 4 / 7 8

2 7

1 1 ,8 3 3 .0 0

2 0 6 .8 4 9 ,2 3

0 1 / 0 4

1 9

3 9 3 0 1

1 8 2

3 3 5 7 1 5

IC o n c e p to

2 7 / 0 1 / 7 8

2 7

0 2 / 0 2 / 7 8

S u m e *

D e b e

I

H a b e r

7 5 ,0 0 0 .0 0

1 4 1 ,7 7 4 .0 0

1 8 5 ,3 1 4 .0 0

(V. T rigonom etría.) S e c c ió n . Figura q ue resulta de la intersec­ ción de u n a superficie con un sólido. Sección cónica. Sección que se origina al co rtar con un plano u n co no circular recto. Según la posición del p lan o con respecto al cono, pueden originarse di­ ferentes secciones cónicas.

N ú m e ro *

S a ld o

F e c h e

D ím

a ~b

S a tis fa c e r. P a g a r enteram ente lo que se debe. Satisfacer una ecuación. Resultado de una ecuación que sustituido p o r la variable hace que se cum pla la igualdad. Ej.:

3x — 2 = 4 x = 2 3 •2 —2 = 4

S a tis f a c to r io . R esultado que cum ple las condiciones pedidas en un p ro b lem a o cuestión. S e c a n te . 1 . Recta que tiene dos p u n to s de intersección con la circunferencia.

Elipse

P arábola

(V. C ónica.)

159

H ip é rb o la

c) Adición de segmentos no consecutivos. P a ra sum ar segmentos AB, CD... n o c o n ­ secutivos, se construyen segm entos A 'B \ C ’D ’ ... que pertenezcan a su misma clase y sean consecutivos.

Sección plana. Figura que resulta de la intersección de un plano con un sólido.

C

B

A

-4

E

D

i—

-4

A '

B'

t—

F'

D'

H—

■4 —

C'

F -4

H

E'

La adición de segm entos es una o p e ra ­ ción interna, ya que la adición de seg­ mentos es o tro segmento: 5 x 5 — ——>S.

Sector. Sector circular. P orció n de círculo limi ta d o por dos radios y un arco.

Propiedades de la adición de segmentos. La adición de segm entos cum ple las si­ guientes p ropieda d es: Asociativa: A B + (CD + EFS = + Éñ) + Sf

Conmutativa:

A É + C Ü = CD + A B

Elemento Neutro: A B + OO = A B c) Sustracción de segmentos. P a ra hallar la diferencia entre dos segmentos, se lleva sobre el m ayor un representante del m enor y la parte de segm ento que resta se llama su diferencia.

Sector esférico. P orció n de volum en de esfera que está engendrada por un sector circular que gira alrededor de un diám e­ tro de la esfera. E stá fo rm ad a por un casquete y su cono.

i

B

c •A 'h

A ' B" — A B

Cv

diferencia

d) Multiplicación de un segmento por un número. Al m ultiplicar un segm ento por un núm ero n, se obtiene un nuevo seg­ m ento cuya longitud es n veces la del prim ero:

Segmento. Segmento rectilíneo. 1. P orció n de recta lim itada por dos puntos. 2. Intersección de dos semirrectas. Ej.:

B X3 y , -= ~i

Ah

B

M

H A M = 3AB

A -+■

B

La multiplicación de u n segm ento por un núm ero es u na operación externa: x S x N >S

■+-

Los puntos A y B se llam an extremos del segmento. Operaciones con segmentos: a) Adición de segmentos consecutivos. El segmento sum a de dos segmentos consecu­ tivos, A B y BC, es la unión de todos los puntos com prendidos entre A y C (segmento A C \.

Segmento circular. P orción de círculo li­ m itado por un arco y su cuerda.

B AB

4* B

C —A C

160

E n el m ism o co n ju n to , la relación < es de orden total, y deja o rd en ad o el conjunto. Segmentos conmensurables. Segmentos que tienen u n subm últiplo com ún. Es decir, existe un segm ento u, que entra un núm ero m exacto de veces en el p ri­ mer segm ento y u n núm ero n exacto de veces en el segundo. Se define entonces com o relación entre los dos segmentos el núm ero m /n. Si dos segm entos n o son conm ensurables, se dice que son inconm ensurables.

Segmento esférico. 1. Porción de una esfera com prendido entre su casquete y el plano que fo rm a su círculo. S egm ento esférico de una base m e n o r

S egm ento esférico de una base m a y o r

2. P orción de volumen esférico com p ren ­ dido entre dos planos paralelos que la cortan.

4,

"

A ') —

._____ M M A B = 4/Lt

JL_____

^ ------ t____ » - ^ B ' A 'B ' = 3 ¡Ji AB _ 4 A 'B ' 3

al que se le consideran sus extremos. Ej.:

A Segmentos proporcionales. (V. Teorem a* de Thales.)

En el segm ento A B se supone que su di­ rección es del origen A al extrem o B. En realidad, u n vector es un segm ento orientado en el q ue se representa: Origen, dirección, intensidad y sentido. Las representaciones de móviles, fuerzas, etcétera, se hacen m ediante estos seg­ mentos. Segmentos concatenados. Segmentos que tienen un extrem o en com ún y nada más en com ún:

Propiedades de los segmentos propor­ cionales: 1.a U na proporcionalidad hace corres­ ponder a segmentos iguales, segmentos iguales. 2 .a) U n a proporcionalidad hace corres­ ponder a la sum a de dos segmentos x + y, la sum a de sus correspondientes x* + y \

A

AB \AB’ BCT -+ B ’C' * 'AB = S e 1—> A ’B ’ = B ’C

Segmentos congruentes o iguales. Seg­ m entos que se pueden superponer m e­ diante un m ovim iento. En el c o n ju n to de todos los Segmentos S, la relación de congruencia es de equiva­ lencia, p o r cum plir las propiedades re­ flexiva, simétrica y transitiva.

2.a

A É + S e* = A ’B ' + B ’C ’ = A ’C

s/R

A C --------- ► A ’C ’ La proporcionalidad de segmentos es una aplicación biyectiva y adem ás la im a­ gen de la sum a es igual a la sum a de las imágenes:

Reflexiva: A B = A B __ ( Simétrica: A B = CD =>CD = AB Transitiva: A B = £73 1 =>*a B = *eP

CD = EF J

f( X É + W ) = f(A É ) + f(BCS

Longitud de un segmento, es la clase de segmentos congruentes entre sí. C ad a cla­ se de segmentos es u na longitud.

h

I uego es un isomorfismo.

161

S e m e j a n z a . 1. C orrespondencia biunívoca entre dos puntos del plano o del espacio. 2. P rod u cto de una hom otecia y un m o ­ vimiento. La aplicación sucesiva de una hom otecia (H) y un m ovim iento (M ) es una transfo rm ación geom étrica del plano que recibe el nom bre de seme­ janza. (V. H om otecia y M ovim iento.) Propiedades a) Alineación: Si tres o más puntos están situados sobre una recta, las imágenes de estos puntos están tam bién sobre esa recta y las imágenes de las imágenes, también.

S e g u n d o . 1. Unidad de tiempo que equivale 1/60 de m inuto: 1

segundo = — minuto 60

2. Unidad de medida de ángulos, que en el sistema sexagesimal equivale a 1/3600 de grado. Se representa por: 1

segundo = 1 ”

E n el sistema centesimal: 1 segundo =

1

grado

B

10000

Segundo, -a. El que sigue al primero. S e m a n a . P eríodo de tiem po de siete días. S e m e ja n te . Figuras semejantes. 1. Figuras que tienen la misma form a pero diferente extensión.

B'

A ' // f '

C'

B "

I/ /

A , A ’, A " ; B , B ' , B " ; C , C \ C "

están alineadas

b) Paralelismo: Si dos rectas son parale­ las, sus imágenes en la semejanza también lo son.

H

C'

S S = H

AB A ’B ’

BC B ’C ’

CD C ’D ’

DE D 'E ’

M >S’ ------ > S”

M si S/ / S, S V /S ”

c) Igualdad de ángulos: Los ángulos en la sem ejanza son iguales.

EF E ’F ’

2. Figuras cuyos ángulos hom ólogos son iguales y sus segmentos hom ólogos p ro ­ porcionales.

Los segmentos a, b y sus imágenes son proporcionales:

A

A

A

A

A

A

A V B = B ’; C

A c

A

v

D

a ’ = ka b ’ = kb

A

a a

b’

= k

D’ k es la constante de proporcionalidad.

AB A ’B ’

BC B ’C ’

CD C ’D ’

DA D ’A ’

Semejanza de triángulos. Triángulos sobre los que se ha establecido una correspon­ dencia biunívoca llam ada sem ejanza, de form a que: a) Cada vértice del primero posee un

= K

Términos semejantes. Térm inos de un polinom io (m onom io) que tienen la mis­ m a parte literal (variable) con los mismos exponentes. E j.: 3x2 y 4x2

lx*y2

único homólogo en el segundo, y recí­ procamente. b) Los ángulos cuyos vértices son puntos homólogos son iguales.

3x 3y 2

162

c) Los lados que unen vértices homólo­

Semejanza de polígonos. Polígonos cuyos ángulos son respectivam ente iguales y sus lados proporcionales. Ej.:

gos son proporcionales.

B

Triángulos semejantes: a) A hom ólogo A ’ B hom ólogo B ' C hom ólogo C ’ b)

5 = y

Polígonos semejantes

p =p’ y = y’

BC c) B ’C ’

AC A ’C ’

BA B ’A ’

Polígonos

semejantes.

Los polígonos ABCDE y A ’B ’C ’D ’E ’ son semejantes si:

Teorema de semejanza de triángulos.

A

T o d a paralela a la base de un triángulo determina o tro triángulo semejante al pri­ mero. (Triángulos en posición de Thales.)

A

A

A

A

A

1.°) A = A ’; B = B ’; C = C ’; etc.

AB BC CD 2 .°) A ’B ’ B ’C ’ C ’D ’ DE ... = K D ’E ’ Razón de los perímetros de polígonos semejantes. La razón de los perím etros

A B C ^ ANM , pues M = B por co rres­

de dos polígonos semejantes es igual a la razón de sem ejanza

pondientes. /V = C p o r c o r r e s ­ pondientes. ñ com ún.

= K E j.: Si dos polígonos ABC D E y A ’B ’C ’ D ’E ’ son semejantes

La recta MN, que une los puntos medios de dos lados es paralela al tercer lado e igual a su m itad. Criterios de semejanza de triángulos. Dos triángulos son semejantes si: a) Tienen sus lados proporcionales

B

C’ A’

C'

B B'

Se puede escribir la proporción

AB

AC

BC

A ’B ’

A ’C*

B ’C ’

AB A ’B ’ DE D ’E ’

b) Tienen sus tres ángulos iguales A

A

A = A9

A

A

B = B’

A

A

C = C’

BC

A ’B ’

B ’C ’

E ’A ’

CD C ’D ’ = K

De do nd e se deduce que

c) Tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo com prendido entre sus lados

AB

BC B ’C ’ EA

A B + BC + CD + DE + EA A ’B ’ + B ’C ’ + C ’D ’ + D ’E ’ + E ’A ’ AB „ p = K = A ’B ’

163

Razón de las áreas de dos polígonos se­ mejantes. La razón de las áreas de dos

del espacio separadas

polígonos semejantes es igual al cuadrado de la razón de sem ejanza:

AB2 AÁB’‘

BC*2 b r *’2

CD1 U f i ’1

R e g ió n A

Area Area

S e m e s tre . P eríodo de seis meses. S em i- Prefijo que significa m itad. Ej.: Semicírculo es la m itad de un círculo. S em ianillo. Estructura que presenta un con­ ju n to en el que se definen dos operacio­ nes o leyes de com posición interna, tales que la 1 . a operación es asociativa, con­ m utativa y tiene elem ento neutro, y la 2 . a es asociativa y distributiva respecto de la prim era operación.

C, *

S e m ig ru p o . E stru ctu ra que presenta un co n ju n to C en el que se define u na o pe­ ración o ley de com posición interna que tiene la propiedad asociativa. Si, adem ás, la operación es conm utativa y tiene elem ento n eu tro , se dice que el sem igrupo es conmutativo con elemento neutro. E j.: El c o n ju n to de los números naturales (N) presenta estructura de semi­ grupo conm utativo con elem ento neutro, respecto de la operación adición ( + ) .

Es sem igrupo conm u­ tativo con elemento neutro. es asociativa y distri­ butiva respecto a *.

C, 1

( N ,+ >

Si, adem ás, la segunda operación tiene la propiedad con m u tativ a y elemento neutro, se dice que el semianillo es con­ mutativo con elemento neutro. Ej.: El co n ju n to de los núm eros naturales N presenta estructura de semianillo co n m u ­ tativo con elem ento neutro, respecto de las operaciones + y x :

A, +

(N, + , x )

Nt x

x

'

Asociativa: (4 + 7) + 3 = = 4 + (7 + 3) C onm utativa: 4 + 7 = 7 + 4 Tiene elem ento neutro: 4 + 0 = 4

S e m ip la n o . C ad a u n a de las dos regiones del plano separadas por u na recta r. Semiplano A I

sem igrupo co n m u ta ­ tivo con elemento neutro sem igrupo co n m u ta­ tivo con elemento neutro distributiva con res­ pecto a +

Semiplano B

La recta no fo rm a parte de ningún semi­ plano y se la llam a fro n tera o borde del semiplano.

B

Dos sem iplanos que tienen el mismo borde se llam an opuestos.

S e m ic írc u lo . M itad de un círculo. Semicírculo g ra d u a d o . Instrum ento que se utiliza para m edir ángulos.

A y B son opuestos. S e m irre c ta . C ad a u n a de las regiones de una recta separadas p o r un punto. a

o - J -

La sem irrecta tiene origen en el p u n to O de división, pero no fin. El punto O no

164

se considera que form e p arte de ninguna sem irrecta. Dos semirrectas situadas en la m ism a recta y con el m ism o origen O se llam an opuestas. S e n o . R azón entre el lado opuesto a un ángulo y la hipotenusa. A breviadam ente se escribe sen.

S e x ta n te . A p a ra to astron ó m ico que mide ángulos fo rm ad o s por visuales dirigidas a cuerpos celestes. S e x tilló n . E n E spaña y otros países, el 1 seguido de 36 ceros. En Francia, el 1 se­ guido de 2 1 ceros. S e x to . 1 . Q ue sigue en orden al quinto. 2. C ad a una de las 6 partes iguales en que se puede dividir un todo. S e x tu p lic a r. M ultiplicar por 6 una canti­ dad. Ej.: 3 x 6 = 18

lado opuesto c Sen cc = = — hipotenusa a

S é x tu p lo . Q ue vale 6 veces una cantidad. Ej.: 24 es séxtuplo de 4.

S é p tim o , -a. 1. El que sigue en orden al 6 .° 2. C ada una de las siete partes igua­ les en q ue se puede dividir un todo.

S iglo. P erío d o de cien (100) años. S ig n o . Sím bolo que representa una opera­ ción m atem ática o caracteriza una m ag­ nitud determ inada. E j.: + (adición)

0

.

raíz

v

S ig u ie n te . T érm ino que en u na sucesión, ocupa un lugar inm ediatam ente detrás de o tra. E j.: En la sucesión — 1, — 2, — 3, ... el siguiente de — 3, sería — 4. S ilo g ism o . R azonam iento lógico que cons­ ta de tres partes:

S e tilló n . E n E spaña y otros países, dícese del 1 seguido de 42 ceros. O tros países llam an así al 1 seguido de 24 ceros (F ran ­ cia). S erial. Lo que form a o se halla dispuesto en series. S e ria r. P o n e r o fo rm ar series. Serie. Sum a de una sucesión o rd en ad a de térm inos. El núm ero de térm inos es, ge­ neralm ente, infinito.

a) Proposición general (premisa mayor). b) Proposición específica (premisa menor). c) C onclusión (consecuencia de las pre­ misas). Ej.: Premisa mayor: Los números enteros positivos son m ayores que cero. Premisa m enor: + 2 es un número entero positivo. Conclusión: + 2 es m ayor que cero. S ím b o lo . Representación convencional de un núm ero, can tid ad , relación, o p era­ ción, etc. E j.: 1, 1 0 3 ,0 S im e tría . C orrespondencia biunívoca entre los p u n to s del plano o del espacio situa­ dos a un o y a o tro lado del centro, eje o plano de sim etría y a la misma dis­ tancia de él. Dos p u n to s A y A ’ son simétricos res-, pecto de un p u n to O (centro de simetría) cuando O es el p u n to m edio del segmen­ to A A \

Sn = ¿7| + a-i 4 - a 3 + ...a n + ... Ej.: Sn = 1 + 2 + 3 + ... (n — \) + n Sn = 1 + 1/2 + 1/4 ... Serie aritmética. Aquella cuyos términos form an u na progresión aritm ética. (V. Progresión.) Serie geométrica. Serie cuyos términos form an u na progresión geom étrica. (V. Progresión.) S e x a g e sim a l. Q ue tiene p o r base el nú ­ m ero 60. E j.: El sistema sexagesimal di­ vide el g rad o en 60 m inutos y el m inuto en 60 segundos. S e x a g é sim o , -a . 1 . El que sigue en orden al quincuagésim o nono. 2. C a d a u na de las 60 partes iguales en que se puede di­ vidir un to do .

O

A'

. 4. ---------------------------------- 1

165

U na recta y su simétrica se cortan sobre el eje o son paralelas.

Dos puntos A y A * son simétricos res­ pecto de una recta r (eje de simetría) cuando el eje (recta r) es m ediatriz del segmento A A \

b'

A'

A *-•

Eje

Propiedades de la simetría axial. C u an d o dos rectas simétricas a y ó, se cortan en un p u n to del eje de simetría E,

Dos puntos son simétricos respecto de un plano (plano de simetría), cuando el pla­ no es perpendicular y divide al segmento A A *en dos partes iguales.

el eje es bisectriz del ángulo que form an

a y b. Dos puntos simétricos AA* están situa­ dos en u na perpendicular al eje £ y a igual distancia del m ism o. En general, dos figuras son simétricas respecto a un centro, eje o plano, cuando se puede establecer u n a correspondencia entre sus puntos, de m o d o que a cada p u n to de una figura le corresponde su simétrico en la otra. Los puntos que se corresponden en cada figura se llam an hom ólogos. (V. M ovi­ miento). Simetría respecto de un eje (simetría axial). Dos figuras son simétricas, res­ pecto de un eje, si al hacerlas girar 180° m ediante un m ovim iento inverso del pla­ n o respecto del eje, coinciden. Dos figuras simétricas respecto de un eje son inversam ente iguales:

Simetría respecto a un centro. Dos fi­ guras simétricas respecto de un centro O tienen sus elem entos hom ólogos iguales

A B = A ’B ’ (segmentos hom ólogos) A B C = A 'B ’C ’ Los triedros O ABC y O A ’B *C* son si­ métricos respecto del vértice O. Tienen sus caras respectivam ente iguales, por tener sus ángulos iguales (opuestos por el vértice) y sus diedros iguales, por ser opuestos p o r la arista.

T ransform ació n que resulta al aplicar dos veces la m ism a simetría.

La simetría es un m ovim iento inverso. El eje de sim etría es la m ediatriz del segm ento que une cada p u n to original con su imagen.

Simetría respecto a un plano (simetría especular). Dos figuras simétricas respec-

166

Simetría en los poliedros regulares.

to de un p lano tienen sus elementos ho mólogos iguales.

Hexaedro: a) Tiene 9 ejes de simetría: tres que unen los puntos medios de sus caras y seis que son cada una de las rectas que unen dos aristas opuestas.

-1B '

Bk-

Productos de simetría de ejes a y a \ Las simetrías sucesivas a del p u n to e con res__ _j i

i-

e

e

e '

es e y e . La imagen e ’ del p u n ­ to e es consecuencia del producto de una y o tra simetría. El p ro d u cto de dos simetrías de ejes p a ­ ralelos es u n a traslación.

b) Un centro de simetría, donde se en­ cuentran sus cu atro diagonales.

//

B

c) Nueve planos de simetría, que contienei a cada u n o de los nueve ejes de simetría Ej.: El p ro d u cto de dos simetrías de ejes no paralelos es un giro. e

A

A'

T'

l //

Octaedro: a) Nueve ejes de'simetría B

B'

El co n ju n to de todas las isometrías: tras­ lación, rotación y simetría axial, con la operación producto, form an un grupo no

conmutativo. Las isometrías inversas no fo rm an grupo, pues el c o n ju n to no es cerrado respecto a la operación producto. Ejes de simetría en los paralelogramos.

167

Simplificar. Reducir una ecuación, frac­

c) Nueve planos de simetría. Ej.:

ción, cantidad o expresión algebraica a otra de térm inos más sencillos. Ej.: a) Simplificar igualdades. Se dividen los dos m iembros de una igualdad por un mismo núm ero, resultando otra igualdad del mismo valor pero de términos m e­ nores. Ej.: 18-v = 90

Tetraedro: a) Tres ejes de simetría.

dividimos entre 18

18 x

90 = — de donde x = 5 18 18

b) Simplificar fracciones. Se divide n u ­ m erador y d en o m in ad o r por un mismo número. Ej.: b) Seis planos. Ej.:

S_ 12

En general, se divide el num erador y de­ nom inador por el m áxim o com ún divisor de am bos. Ej.:

18

m. c . d. = 3 2 = 9

27 18 : 9 Estas son las simetrías puram ente geomé­ tricas. Existen otras simetrías, llamadas cristalográficas, en los cuerpos, por giros inferiores a 180°.

27 : 9 Si el m. c. d. es 1, la fracción es irredu­

cible. c) Simplificar radicales. Se divide el índi­

Propiedades: C onm utativa: S, • S2 = S 2 • Asociativa: 5, • (S 2 • S3) = (S| • S2) • S 3 E. N eutro (Identidad): I S ] = S, E. Simétrico: / • / = 5, • Sj = S2 • S2

ce y exponente del radicando por un mismo núm ero (m. c. d. de ambos). m. c. d. de 4 y 8 = 4 4 : 4

I

/

S,

S2

S3

/

S,

S2

S3

5,

S,

/

S3

S2

s2

s2

S3

/

s3

s3

S2

S,

Si I

Síntesis. Acción de reunir varios elementos en uno solo. Sistema. C o n ju n to de reglas y principios sobre una m ateria y perfectamente enla­ zados entre sí. Sistema binario. Sistema de numeración de base dos. En el Sistema binario sólo existen dos cifras: 0 y 1. C ad a dos uni­ dades de un orden form an una unidad del orden inm ediato superior. El sistema binario es utilizado en las cal­ culadoras ultrarrápidas, donde la cifra 1 viene representada por el paso de corriente eléctrica, y la 0 por interrupción del paso de corriente (combinación digital).

Simétrico, -a, Dícese de la propiedad de las relaciones y de las operaciones en las que, si un elemento a de un co n ju n to está relacionado con otro b, b está relacionado con a. Se representa así:

a R b

a? : 4 = a2

bRa. 168

Los diez primeros núm eros del sistema decimal, en sistema binario, serían:

Decimal

Sistema de numeración decimal. Sistema de num eración que tiene com o base el núm ero 10. N uestro sistema de n um era­ ción es decimal y fue introducido por los árabes, quienes lo copiaron de los hindúes. Es el sistema de numeración más extendido. En este sistema, para representar los núm eros, se utilizan los siguientes guarismos:

Binario

0

0

1 2

1 10

3 4 5

■* 11 * 100 ♦ 101

6

110

7

111

8

♦

9

*

0, 1 ,2 , 3, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9 . Diez unidades de un orden cualquiera form an una unidad del orden inmediato superior:

1000 1001

(V. Sistema* de numeración)

10 unidades = 1 decena = 10 10 decenas = 1 centena = 100

Sistema cegesimal (C .G .S.). Sistema de medidas en el que se utilizan com o uni­ dades fundamentales el centímetro, gramo y segundo. Sistema centesimal. Sistema de medidas de ángulos que considera dividido al á n ­ gulo recto en cien partes iguales llamadas grados centesimales, al grado dividido en 10 0 partes iguales, llamadas m inutos, y el m inuto en 10 0 partes iguales, llamadas segundos. Una circunferencia mide 400 grados cen­ tesimales y el ángulo recto, 10 0 grados centesimales.

10 centenas = 1 millar = 10 0 0 10 millares = 1 decena de millar = 10000 • • •

Del m ism o m o d o se van fo rm a n d o los siguientes órdenes de unidades: Centenas de millar, millón, decenas de millón. Ej.: 34567 está fo rm ad o por: 7 unidades 6 decenas 5 centenas 4 millares 3 decenas de millar

= = = = =

7 60 500 4000 30000

unidades unidades unidades unidades unidades

34567 y leemos treinta y cuatro mil quinientas sesenta y siete. Sistema métrico decimal. C o n ju n to de pesas y medidas que tienen su origen en el m etro. Se denom ina métrico por b a ­ sar sus unidades fundam entales en el m etro. Decimal, porque los múltiplos y subm últiplos siguen la ley del sistema de num eración decimal.

Los grados se representan por una g sobre la cantidad; los m inutos por una m y los segundos por una s. Ej.: 100* 45™ 65* Sistema de coordenadas. C o n ju n to de dos rectas perpendiculares que sirven p a ­ ra representar y localizar puntos en el plano.

De longitud: m am (Miriámetro) km (Kilómetro) hm (Hectómetro) dam (Decámetro)

10 0 0 0 m 10 0 0 m 10 0 m 10 m

Unidad principal, el metro: m O

dm (decímetro) cm (centímetro) mm (milímetro)

(V- Abscisa, C oordenadas* cartesianas y O rdenada.)

169

0 ,1 m 0 ,0 1 m 0 ,0 0 1 m

D e volumen:

De capacidad: tr O ■3

£

mal kl hl dal

10000 1

(Mirialitro) (Kilolitro) (Hectolitro) (Decalitro)

Múltiplos

1000 1 100 1 101

Unidad principal: el metro cúbico: m 1

Unidad principal, el litro: I . di (decilitro) el (centilitro) mi (mililitro)

í dm 3 = 0 ,0 0 1 m Subm últiplos! cm 3 = 0,000001 m [ m m 3= 0 ,0 0 0 0 0 0 0 0 1 m

0,1 1

0,01 1 0,001 1

Relaciones entre las medidas de volu m en, capacidad y peso.

De masa: t (Tonelada) C/5 q (Quintal) O o.a é mag (M iriagram o) '3 kg (Kilogramo) 5 hg (H ectogram o) dag (Decagram o)

= = = = = =

10 0 0 0 0 g

lOOOOg lOOOg lOOg lO g

=

0 ,1 g 0 ,0 1 g

=

0 ,0 0 1 g

dm 2 (decímetro O drado) a ■•— cm 2 (centímetro "3 drado) B X> m m 2 (milímetro 3 CO drado)

Peso

1 m3

1 kl

1 tm

1 dm3

1 1

lk g

1 cm 3

1 mi

1 g

100 0 0 0 0 00 m 2 10 0 0 0 0 0 m 2 10 0 0 0 m 2 10 0 m 2

Unidad principal, el metro cuadrado: m2 9

sen

1 2 #

eos

V3 2

60

V3 •

2

c o tg

1 2

V3 1 V3

0°

45°

1

0

75 •

1 tg

90°

7^

2

0

1

75"

X

0

1

0

X

1

2

R E L A C IO N E N T R E LAS F U N C I O N E S D E U N A N G U L O

215

D ife re n c ia s ta b u l a r e s (Sum ar)

S e n o s n a tu r a le s , 45° — 90

0

1 0 '

2 0 '

.7071

.7092

48 49

.7193 .7314 .7431 .7547

.7214 .7333 .7451 .7566

.7112 .7234

50

.7660

.7679

5 1

7771 .7880

.7790 .7898

54

.7986 .8090

.8004 .8107

55 56

.8192 .8290

.8208 .8307

.8387 .8480 .8572

45 46

'

.7173 .7294 .7412 .7528 .7642

.7193 .7314 .7431 .7547 .7660

44

.7698 .7808 .7916 .8021 .8124

.7753

.7771 .7880 .7986 .8090 .8192

39 38

.8274

'.8403 .8496 .8587

.8225 .8323 .8418 .8511 .8601

.8675 .8760 .8843 .8923 .9001

.8689 .8774 .8857 .8936 .9013

.8732 .8816 .8897

64

.8660 .8746 .8829 .8910 .8988

.8975 .9051

.8746 .8829 1.89101 8988 .9063

65 66 67 68 69

.9063 .9135 .9205 .9272 .9336

.9075 .9147 .9216 .9283 .9346

.9088 .9159 .9228 .9293 .9356

.9124 .9194 .9261 .9325 1.93871|

.9135 .9205 .9272 .9336 .9397

70

.9397 .9455 .9511 .9563 .9613

.9407 .9520 .9572 .9621

.9417 .9474 .9528 .9580 .9628

.9446 .9502 .9555 .9605 .9652

.9455 .9511 .9563 .9613 .9659

.9659 .9703 .9744

.9667 .9710 .9750 .9787 .9822

.9674 .9717 .9757 .9793 .9827

.9696 .9737 .9775 .9811

.9703 .9744 .9781 .9816 9848

4 7

5 2

53

5 7

58 59 60 61 6 2

6 3

7 1

7 2

7 3

9 4 6 5

.7353 .7470 .7585

.7862 .7969 .8073 .8175

.8371 .8465 .8557 .8646

.8290 .8387 .8480 .8572 .8660

2

1 0

1 2

1 4

1 6

1

1 0

1

2

1 4

1 6

1 8

1 0

1

2

1 4

1

5

1 8

1 0

1

1

1 3

1

5

1

7

9

1

1

1 3

1

5

1

7

7

9

1

1

1 3

1 5

1

7

7

9

1

1

1 3

1

1 6

9

1 0

1 2

1 4

1

9

1 0

1 2

1 4

1 6

5

1

8

1 0

1 2

1 4

1 5

2

5

1

8

1 0

1

1

1 3

1 5

2

5

6

8

1 0

1

1

1 3

1 5

2

5

8

9

1

1

1 2

1 4

2

5

8

9

1

1

1 2

1 4

1

4

6 6 6

7

9

1 0

1 2

1 3

29

1

7

9

1 0

1

1

1 3

28

1

4 6 4 6 4 1

7

8

1 0

1

1

1

9

1

1

1 2

6

8

6

8

6

8

6

8

6

8

2

6

2

5

2

5

2

5

2

2

4 3

42.

2

2

4 1

40

2

W

A

37 36 35 34 33 32 31 30

27 26 25

1

7

5

1

5

1

4 4

1 6

2

R

5

6

8

9

1 0

1

2

5

6

7

9

1 0

1

1

5

6

7

9

1 0

1

1

5

6

7

8

9

1

1

4

6

7

8

9

1 0

4

5

6

7

9

1 0

4

5

6

7

8

9

4

1

.

8

2 4 1

4

2 3

22

1

3

1

3

2 1

20

1

3

19 18 1 7

1 6

15

7 4

7 5

7 6

7 7

78 79

.9781 .9816

.9843

1 4

1 3

1 2

11

10

D ife re n c ia s t a b u l a r e s (R estar)

C o s e n o s n a t u r a l e s , 0 o - 45

En e s ta ta b la e n c o n t r a m o s los s e n o s d e 45° a 90°, 1.a c o l u m n a (g ra d o s ) y (m in u to s).

216

1

m a ios m i n u i o s

T a m b i é n se e x p r e s a n los c o s e n o s d e á n g u l o s d e 0 (m in u to s).

a 45 , ú l t i m a c o l u m n a (g rad o s) y ú ltim a fila

El m o d o d e b u s c a r el v a lo r del s e n o o c o s e n o d e u n á n g u l o c o m p r e n d i d o en la t*bla es el m i s m o q u e el u ti liz a d o en la ta b l a a n t e r i o r . E jem plos: sen 67° 30 -

0,9239 se n o 79 30

sen 79° 39


0,0025 t a n g e n t e 33 26 —►0,6602

t a n g e n t e 33 26 -----------► ■

E n c o n t r a m o s t a m b i é n las c o t a n g e n t e s d e 45

a 9 0 , ú lt im a c o l u m n a (g ra d o s), ú ltim a fila (m in u to s).

Ejemplos: c o t a n g e n t e 57° 10' -*■ 0,6453 , 7no c o t a n g e n t e 70 28

c o t a n g e n t e 70 2 0 ' - * 0,3574 < ^ D i f e r e n c i a s t a b u l a r 8 -» 0,0026 c o t a n g e n t e 70 28 -» 0,3548

D a d a la ta n g e n t e o la c o t a n g e n t e (en valor) e n c o n t r a m o s el á n g u l o t r a z a n d o la o r d e n a d a y ab sc isa al n ú m e r o d a d o . Si n o fuera el d e la ta b l a el v a lo r d a d o , la d ife re n c ia c o n él se b u s c a en la diferencia t a b u l a r y s u m a m o s ( ta n g e n te s ) o r e s t a m o s (c o ta n g e n te s ) al á n g u l o h a l l a d o el c o r r e s p o n d i e n t e a la d iferen cia ta b u l a r .

R E SO L U C IO N D E U N T R IA N G U L O R E C T A N G U L O

C

b

------------ —

'

—

—

F ó r m u l a s p a r a re so lv er •

Conocem os

I n c ó g n it a s A n g u lo s

b, c

o

,

A

h

ta g B

B, C, a

A

a b

A

o

Lados

=

f

.a g c

°c

í

=

a

y /b 1 + c 2

=

A

sen B

fí, C, c

eos C r

=

-

a

c

b

=

-

a

=

y ja 2 - b 2

•

b a

£

A

A

A

B, a

C, 6, c

C

A

c p n jvll

9 0 o- B

=

b

=

n J M

a

■

D sen B A

A

A

B, b

C, a , c

C

n

=

sen

=

- A

9 0 o- B

^a

b a ~

219

—

=

sen#

a2

c

=

y fP

c

=

y j b 2 - a2

-

^

T a n g e n t e s n a t u r a l e s , 45

— 90

C o tan g en tes naturales, 0

— 45

220

En esta t a b l a e n c o n t r a m o s las t a n g e n t e s d e 45 a 9 0 , 1.a c o l u m n a (g rad os), p r i m e r a fila (m in u to s). T a m b i é n se e x p r e s a n las c o t a n g e n t e s d e á n g u l o s d e 0 o a 45°, ú lt im a c o l u m n a y ú l t i m a fila. El m o d o de b u s c a r el v a lo r d e la t a n g e n t e o c o t a n g e n t e d e u n á n g u l o c o m p r e n d i d o en la ta b l a es el m i s m o q u e el u tiliz a d o e n la t a b l a a n t e r i o r . Ejemplos: t a n g e n t e 6 5 r 30' -+ 2,1943 t a n g e n t e 53° 8

*

> t a n g e n t e 53 -» 1,3270

*

D iferen cia t a b u l a r 8' -r» 0,0065 t a n g e n t e 53 8' -* 1,3335

Ejemplos: c o t a n g e n t e 10 10’ -» 5,5764 c o t a n g e n t e 1 9 ' 2 3 ' ---------------

c o t a n g e n t e 19 20' -> 2,8502 -__ _ D iferen cia t a b u l a r 3 -» 0,0079 c o t a n g e n t e 19 23' -» 2,8423

T E O R E M A S D E LA A D I C I O N D E A N G U L O S P) = e o s a • eos P — sen a • sen P

eo s (a +

e o s (a — P) = e o s a • eos (í + sen a • sen P sen (a +

p) = sen a • eos P + eo s a • sen

sen (a -

fi) = sen a • eo s /? — eos a • sen p

'

-

s

i

.

T R A N S F O R M A C IO N E S DE SU M A S Y RESTAS E N P R O D U C T O S

eo s a •

D e o s (a + /?) + eo s (a - B) eo s = ----------- — ^ 1--------—

0 eo s (1 ■

sen (a + B) + sen (a - B) sen a = ----------—

eo s a •

a sen (a sen p = 1

- fj) - eo s (a + fl) ----------—

-

-

-

sen a •

0 e o s (a sen /? = 1

+ p) 1

221

- sen (a - P) ----------- —

T E O R E M A S

Teorem a de Thales

Triángulos rectángulos

A

B T. Pitágoras: BC = AB 2 4- AC BC

B’C’

T. Catetos

A B 2 = BC • BH A C 2 = B C • HC

T. Altura: A H 2¿ _= B H • HC

Teorema fundam ental de semejanza de triángulos

Triángulos oblicuángulos T o d a paralela a la base de un triángulo determ in a o tro triángulo sem ejante al priCD CE DE m ero CA CB AB

Cuadrado del lad o o p u e sto a un ángulo agudo. 2 = b 2 + c 2 _ 2 cm

m Cuadrado del lado o p u esto a un ángulo o b tu so 2 = b 2 + c 2 + 2 cm

Casos de semejanza de triángulos 1. Tener tres lados proporcionales. 2. Tener dos lados proporcionales e igual al ángulo com prendido. 3. Tener dos ángulos iguales. En los trián­ gulos rectángulos bastará con tener un án­ gulo agudo igual.

Bisectrices de un triángulo

V .

Semejanza de polígonos. Caso general

B

Tener sus lados proporcionales. Razón de las áreas en polígonos semejantes. m A’

AB interior: AC AB exterior: AC

m’ 2

222

MB MC PB PC

T. de la tangente

Potencia de un p u n to P

PA • PA’ = PB d2 - R 2 > 0 P = d2 - R 2

PB’ = PT 2

Medianas de un triangulo

A

Potencia de un p u n to P

B

a m = i

4 c 2) - a 2

P = r2 - d

T. de Euler En to d o poliedro caras 4 - vértices = aristas 4 2 ,

T. de la cuerda

B Angulos inscritos

O

AB 2 = AC 2 - BC 2 AB 2 = AC • AH S = f

T. de la semicuerda

Angulos interiores

A

D B

^ __ AB 4 CD

AO2 = (CO • OD) 223

Angulos exteriores

División aurea AB = a AC = AB AC2 = AB •

A C = | ( V Í ”- 1 ) f i - CD - AB 2

o b

Relación de semejanza entre dos figuras

N =n • _

1 _ h _ r _ R _ a r h ’ r* R ’ a*

s

_ i 2 _ h 2 _ r 2 __ R 2 S’ 1*2 h ’2 r ’2 R ’2 h3 _ r3 h ’3 r’3

R3 R ’3

2

1)

n = n . ° de lados 2

Suma de ángulos en los polígonos a) interiores b) exteriores

a2 a ’2

a)

•

V _13 V l’3

= ^5

Número de diagonales en los polígonos

*

p P’

CB = | ( 3 - V 5 )

a3 a’3

180° (n - 2)

b ) ------------ 4 rectos n = n . ° de lados

224