Cours d'électrotechnique théorique

Table of contents :
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1re PARTIE
1. CIRCUITS ÉLECTRIQUES LINÉAIRES À COURANT CONTINU
2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES NON LINÉAIRES À COURANT CONTINU
3. CIRCUITS MAGNÉTIQUES
4. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE ET FORCES MÉCANIQUES AGISSANT DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE
5. CIRCUITS ÉLECTRIQUES À COURANT SINUSOÏDAL MONOPHASÉ
6. THÉORIE DES QUADRIPÔLES ET DIAGRAMMES CIRCULAIRES
Appendices à la 1re partie du cours
IIe PARTIE
8. COURANTS PÉRIODIQUES NON SINUSOÏDAUX DANS LES CIRCUITS ÉLECTRIQUES LINÉAIRES
9. CIRCUITS ÉLECTRIQUES NON LINÉAIRES À COURANT ALTERNATIF
10. PHÉNOMÈNES TRANSITOIRES DANSLES CIRCUITS ÉLECTRIQUES LINÉAIRES
11. RÉGIMES PERMANENTS DANS LES CIRCUITS ÉLECTRIQUES ET MAGNÉTIQUES COMPRENANT DES LIGNES À PARAMÈTRES DISTRIBUÉS. BASES DE LA THÉORIE DES FILTRES ÉLECTRIQUES
12. PHÉNOMÈNES TRANSITOIRES DANS LES CIRCUITS ÉLECTRIQUES COMPRENANT DES LIGNES À PARAMÈTRES DISTRIBUÉS
APPENDICES A LA IIe PARTIE DU COURS
IIIe PARTIE
INTRODUCTION
13. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
14. CHAMP ÉLECTRIQUE DE COURANT CONTINU DANS UN MILIEU CONDUCTEUR
15. CHAMP MAGNÉTIQUE DE COURANT CONTINU
16. ÉQUATIONS FONDAMENTALES D’UN CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE VARIABLE
17. CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE VARIABLE DANS UN MILIEU CONDUCTEUR HOMOGÈNE ET ISOTROPE
18. PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS UN DIÉLECTRIQUE HOMOGÈNE ET ISOTROPE
19. POTENTIELS RETARDÉS DANS UN CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUEVARIABLE ET RAYONNEMENT D’ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE
APPENDICES À LA Nie PARTIE DU COURS
SOMMAIRE

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THÉORIE DES CIRCUITS ÉLECTRIQUES LINÉAIRES

THÉORIE DES CIRCUITS ELECTRIQUES NON LINÉAIRES

THÉORIE DU CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE

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COURS D 'E L E C T R O T E C H N ia U E

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V EDITIONS «ECOLE SUPERIEURE» MOSCOU

19 6 8

4H ( ( 1- 24 ) Substituons (1.24) dans (1.23) et cherchons cp0 D’où

E 2 > E 3. Attribuons un sens positif aux courants. Admettons, par exemple, que tous les courants soient dirigés vers le nœud a. Alors, d’après la première loi de Kirchhoff : •fl + ^2 + ^8= 0* (2.1) Chacun de ces courants est une fonction non linéaire de la chute de ten­ sion aux bornes de sa « propre » résistance non linéaire. Ainsi /j —fonc­ tion de Uu / 2 — fonction de t/2 et I 3 — fonction de U3. Cherchons à représenter tous les courants en fonction non point de trois variables différentes (Ui, U2, U3) mais d’une seule variable, à savoir de la tension Uab entre les deux nœuds. Ceci est possible, puisque (2.2) — Uab î (2.3) U%= E2 —Uab \ U = £3 —Uab» (2.4) Nous devons maintenant transformer la courbe li = / (Ui) en courbe I t = / (Uab)> la courbe / 2 — / (U2) en courbe I 2 — f (Uab), etc. Com­ mençons par reconstruire la courbe = / (t/j) (fig. 41, a) pour obtenir la courbe h = f (Uat) (fig. 42). Désignons les points correspondants par les mêmes chiffres. Pour le point 5, / t = 0 et Ui = 0; en outre, Uab = E i (voir l’expression 2.2). En d’autres termes, l’origine de la courbe h — f (Uah) s’est déplacée au point t/0&= Eu F»2

Une augmentation de Ui (pour U\ > 0) correspond à une diminution de Uab. Pour le point 2, pour UA = Et, Uab — 0. Une augmentation de Ui (pour Ui < 0) correspond à une augmentation de Uab> et en outre Uab > Ei. En partant des considérations ci-dessus et des constructions de la fig. 42 il est recommandé d’effectuer cette transformation de la manière suivante: 1. Déplacer la courbe Ii — f(U i) parallèlement à elle-même de manière que son origine se trouve au point Uab = Ej La courbe obtenue par cette translation est représentée en pointillé sur la fig. 42.

2. Dresser une verticale à partir du point Uab = Eu et par rapport à cette verticale, tracer une courbe symétrique à la courbe en pointillé. La reconstruction des courbes pour les autres branches du circuit se fait d’une manière analogue. Traçons les courbes h = f (Uab), h = f (Uab) et I 3 = f (Uab) sur le même schéma (sur la fig. 43 ces cour­ bes sont désignées par les chiffres 1, 2 et 3) et construisons la courbe Ii + h + ^3 = / (Uab) (désignée par le chiffre 4 sur la fig. 43), en additionnant les ordonnées des courbes /, 2, 3. Le point m d’intersection de la courbe 4 avec l’axe des abscisses donne la valeur de Uab, pour laquelle l’équation (2.1) est satisfaite. Dressons en ce point une perpen­ diculaire à l’axe des abscisses. Les ordonnées des points d’intersection de cette perpendiculaire avec les courbes 1, 2, 3 donnent respectivement les courants I t, / 2 et / 3 en grandeur et en signe. § 33. Remplacement de plusieurs branches couplées en parallèle et contenant des RN et des F.E.JVt. par une seule branche équivalente. Exami­ nons la position du problème. Admettons qü’il existe un ensemble de plusieurs branches, couplées en parallèle, comprenant des RN et de F.E.M. (fig. 44). Toutes ces branches couplées en parallèle font partie d’un circuit compliqué, non représenté sur la fig. 44. On demande quelle doit être la F.E.M. et la caractéristique courant-tension d’une RNE (résistance non linéaire équivalente) du tronçon du circuit, représenté sur la fig. 45, pour que ce tronçon soit équivalent aux branches, couplées 53

en parallèle, de la fig, 44. Pour que la branche de la fig. 45 soit équiva­ lente à l’ensemble des branches de la fig. 44, il faut que le courant /, circulant dans la partie non ramifiée du circuit de la fig. 44 soit égal au courant /, circulant dans la branche équivalente de la fig. 45, quelles que soient les valeurs de la tension UabUtilisons les courbes tracées sur la fig. 43 du paragraphe précédent. La courbe 4 de la fig. 43 représentera fonction +

~ f (Uab)'

En d’autres termes, la courbe 4 n’est que la caractéristique résul­ tante courant-tension de trois branches couplées en parallèle. La branche équivalente, représentée sur la fig. 45, doit .avoir une caractéristique

I

< îm < R \l Fig. 44

Fig. 45

identique. Si le courant / du circuit de la fig. 45 est nul, Uab = Ee. Par conséquent, Ee de la fig. 43 dépend de la valeur de la tension Uab, pour laquelle la courbe 4 coupe l’axe des abscisses. Pour calculer les caractéristiques de la résistance non linéaire RNE, il faut tracer la courbe 4 de la fig. 43 symétriquement par rapport à la verticale passant par le point m. La caractéristique de RNE est représentée sur la fig. 46. Il y a lieu de souligner que par suite de l’insertion des F.E.M. dans les branches couplées en parallèle, la caractéristique courant-tension de RNE est devenue asymétrique, bien que toutes les caractéristiques des résistances non linéaires 1, 2, 3 du circuit de la fig. 40 fussent symétriques. Ainsi, en faisant varier la F.E.M. dans les branches du groupe en parallèle on peut modifier la caractéristique résultante et créer pour ainsi dire artificiellement des RN ayant des caractéristiques couranttension les plus bizarres. § 34. Application de la méthode de marche à vide et de court-circuit au calcul des circuits à résistances non linéaires. Si un circuit électrique compliqué comprend une seule branche à RN, le courant circulant dans cette branche peut être calculé d’après la méthode de marche à vide (mv) et de court-circuit (cc). Pour cela isolons la branche à résistance 54

non linéaire et représentons sous forme d’un dipôle actif la partie restante linéaire du circuit (fig. 47, a). Comme il a été dit précédemment (§ 22), le schéma d’un dipôle linéaire actif peut être représenté par rapport aux bornes a et b de la branche isolée sous forme d’une source de F.E.M., couplée en série avec une F.E.M. égale à la tension (Uabmv) aux bornes ab, en cas de coupure de la branche et d’une résis­ tance égale à la résistance d’entrée Rentt d’un dipôle linéaire et de la résistance de la branche ab (fig. 47, b). F'g- 47 Le calcul du courant dans le schéma de la fig. 47, b ne présente pas de difficulté et peut être effectué conformément au § 29. E x e m p l e 17. Calculer le courant dans la branche ab du schéma de la fig. 48, a par la méthode mv et ce pour R t = Ro = 2Q, R z = 8Q, R 3 = 4Q, R i = 6Q. La caractéristique de RN est représentée sur la fig. 49, a ; E = 58,4 V. S o l u t i o n . Coupons la branche ab et calculons la tension du mouvement à vide Uabmv —8,35 V . Pour calculer la résistance d’entrée Rent de la partie linéaire du circuit par rapport aux bornes ab, il faut transformer le triangle formé par les

a) Fig. 48 résistances R lt R z, R0 (ou R it R0, R 3 de] la fig. 48, b) en une étoile équivalente (48, c) en utilisant pour cela les expressions (1.35— 1.37): 2-8

2 4 -8 + 2

1,333Q; Re = 0,33C2.

et R , = 1.3332,

R „ , „ R ,+ %

'l ‘> - 4.05Q. 55

Pour calculer le courant dans la branche ab du schéma de la fig. 48, a traçons sur la fig. 49, a à partir du point m (Umv = 8,35 V) le rayon mn, dont la tangente de l’angle y de pente par rapport à la verticale est égale à Rent (compte tenu des échelles en abscisses et en ordonnées). Le point n d’intersection du rayon mn avec la caractéristique de la résistance non linéaire détermine le régime de fonctionnement du circuit 7 = 0,22 A. § 35. Résistances statique et différentielle. Les propriétés d’une résistance non linéaire peuvent être caractérisées soit par sa caractéristi­

que courant-tension, soit par les valeurs de ses résistances statique et différentielle en fonction du courant (ou de la tension). La résistance statique R at est égale au rapport de la tension aux bor­ nes de RN, au courant qui y circule *.* = ■7-.

(2 5)

La résistance statique est numériqtément égale à la tangente de l’angle a de la fig. 49, a. Lorsqu’on passe d’un point situé sur la caractéristique courant-ten­ sion au point voisin, la résistance statique varie. Cette résistance caracté­ rise le comportement de la résistance RN en régime de courant invariable. On entend par résistance différentielle Rd le rapport d’un accroisse­ ment petit (théoriquement infiniment petit) de la tension dU aux bornes de RN à l’accroissement correspondant du courant d l =

( 2. 6)

La résistance différentielle (appelée jadis résistance dynamique) est numériquement égale à la tangente trigonométrique de l’angle P (fig. 49, a) de la pente de la caractéristique au point de fonctionnement et caractérise le comportement de R N pour des écarts suffisamment petits de l’état précédent. En d’autres termes, l'accroissement de la ten56

sion aux bornes d’une résistance non linéaire est lié à l'accroissement du courant circulant dans cette résistance par l’expression dU —Ra dl. Si la caractéristique courant-tension de RN a un tronçon tombant, c'est-à-dire un tronçon pour lequel, à un accroissement de la tension, égal à AU, correspond une diminution de courant, égale à AI, la tension différentielle dans ce tronçon a une valeur négative; ceci a lieu par exemple, pour un arc électrique (voir la caractéristique de ce dernier sur la fig. 34, e). De deux résistances mentionnées (Rst et R a) c’est là résistance R 17-35 est re­ présentée, à titre d’exemple, sur la fig. 56. Le premier chiffre de la dési­ gnation donne le courant (en ampères) pouvant être maintenu constant par le barretter et les chiffres 17-35 indiquent la jplage de la variation 59

de tension en volts aux bornes d’un barretter pour le tronçon de la» caractéristique, assurant la stabilisation du courant. E x e m p l e 20. Le barretter type 0,3B 17-35 est utilisé pour la sta­ bilisation du courant de chauffage d’un tube électronique. Le courant nominal de chauffage est de 0,3 A et la tension est de 6 V. Chercher les limites de variation de la tension U à l’entrée du circuit, entre lesquel­ les le courant dans le filament de chauffage du tube reste pratiquement invariable et égal à 0,3 À. S o l u t i o n . Calculons la résistance du filament de chauffage de tube Traçons par les points a et b (fig. 56), limitant le tronçon de stabilisa­ tion, deux droites faisant un angle a (tg a = 20Q) avec la verticale. Nous lisons alors sur la fig. 56, que la tension U peut varier entre 23 et 41 V. E x e m p l e 21. La résistance Rt est intercalée en série dans le cir­ cuit du problème précédent. En supposant que la tension à l’entrée du circuit reste inchangée et égale à 41 V, chercher la valeur maximale de Ri pour laquelle la stabilisation du courant dans le circuit continuera à être assurée. S o 1 u t i o n. Si Ri = 0 et U = 41 V, le régime de fonctionnement est caractérisé par la position du point b (fig. 56). Lorsque la résistance Ri augmente, le point de fonctionnement sur la caractéristique se déplace vers le point a. Pour le régime aux limites, au point a, R imax + Ri — — tg a 2 = 81Q. Par conséquent, R \max = 80—20 = 60Q. § 40. Stabilisateur de tension. On appelle stabilisateur de tension un dispositif dont la tension de sortie fjc est maintenue constante ou pratiquement constante, lorsque la résistance de charge R c ou la valeur de la tension Ut à l’entrée /,M du dispositif varient. Le stabilisateur de ten­ sion le plussimpleestréalisé suivant le schéma de la fig. 57. Dans ce schéma on utilise ---------------1 a RN\ U'\ I a-L --------- :♦---- j t Fig. 57

Fig. 58

un stabilovolt comme résistance non linéaire; R b est une résistance ballast. La fig. 58 représente la caractéristique courant-tension du stabilovolt 150C5-30. 60

L’analyse du fonctionnement d’un stabilisateur comprend le calcul ■des limites admissibles des variations de Ut pour R c = const, ainsi que l’étude du fonctionnement du stabilisateur en cas de variations simul­ tanées de U\ et R c. Pour caractériser les performances d’un stabilisateur, on fait appel parfois à la notion du facteur de stabilisation. On appelle facteur de stabilisation la relation de l’accroissement relatif de la tension à l’en­ trée du stabilisateur ( - 1) à l’accroissement relatif de la tension â la sortie de ce dernier

• Examinons deux exemples numéri­

ques. E x e m p l e 22. Dans le schéma de la fig. 57 R0 = 5 kQ; Rb = 2 feQ. La caractéristique du stabilovolt est représentée sur la fig. 58. Chercher les limites admissibles de variations de L/t pour que le stabilisateur donne à sa sortie une tension stabilisée de 150 VL S o l u t i o n . Utilisons la méthode de court-circuit (cc) et de marche à vide (mv). Coupons la branche comportant le stabilovolt, et trouvons la tension mv: ^ , = ^ ^ - ^ - = 0,713^. Calculons la résistance d’entrée de la partie linéaire du circuit (fig. 57) par rapport aux bornes ab

Traçons sur la fig. 58 deux droites (en traits pleins) passant par les points m et n de la caractéristique du stabilovolt, de manière que la tangente de l’angle, formé par ces droites avec la verticale, soit numé­ riquement égale à Rent = 1427Q. Les tronçons limités par ces droites en abscisses sont égaux à Umv. Nous pouvons lire sur le schéma que 0,713 U i min = 157 V . Par consé­ quent, U i m i n = 220 V . De même 0,713 U i max 192 V , d’où U i max = — 269 V . Ainsi la tension U 1 peut varier entre 220 et 269 V . E x e m p l e 23. Calculer pour le schéma de la fig. 57 pour R = = 2 kQ, caractéristique du stabilovolt représentée sur la fig. 58 et Ut = = 250 V, les limites entre lesquelles on peut faire varier la résistance de la charge Rc afin que le stabilisateur puisse remplir ses fonctions et stabiliser la tension de sortie. S o l u t i o n . Utilisons la méthode de mv et cc. Calculons Umv = Ui

Rc Rc~\~Rb

= 250- /?c+R c2000 *

Trouvons Rent= tg a =

R cRb

Rc + Rb

2000^c 2000+ #e ’ 01

Le problème se réduit au calcul des valeurs de Rc pour lesquelles les droites caractérisant Reni passent par les points m et n de la caractéris­ tique du stabilovolt. Dans l’exemple considéré nous ne connaissons ni les tangentes des angles a, ni les points initiaux en abscisses à partir desquels on doit tracer les droites en question et, par conséquent, le problème doit être résolu par la méthode des constructions d’essai. À cette fin prenons diverses valeurs arbitraires de R c et calculons les valeurs Um„ et R ent qui en découlent RckQ

U'mv, V Rent » Œ

3

4

5

6

7

8

150

167

178

187

194

200

1200

1330

1425

1500

1555

1600

En partant des données de ce tableau, traçons plusieurs rayons. Nous pouvons voir sur le schéma que les droites tracées (voir les droites en pointillé de la fig. 58) passent par les points m et n respecti­ vement pour Rc min — 3,3 kQ et Rc max — 8 kQ.

§ 41. Amplificateur de tension continue. On appelle amplificateur de tension continue un dispositif dans lequel la valeur de l’accrois­ sement de tension à sa sortie est supérieure à la valeur de l’accroissement de la tension à son entrée. Les amplificateurs de tension continue sont habi­ tuellement exécutés à l’aide de résistances non linéaires contrô­ Fig. 59 lables: de triodes ou de triodes à cristaux. La fig. 59 représente les caractéristiques de plaques, qui sont en fait des caractéristiques couranttension d’une triode type 6C2C. Ces caractéristiques donnent le courant anodique /„ du tube en fonction de la tension anodique Va, pour une tension grille Ug, prise comme paramètre. Le schéma d’un amplificateur à courant continu est représenté sur la fig. 60. La tension d’entrée (à amplifier) est appliquée à la grille du tube. La charge Rc est branchée à la sortie de l’amplificateur (entre les bornes a et b). La grille de la triode est située plus près de la cathode que l’anode. L’influence du champ de la grille sur le flux électronique, s’écoulant de la cathode vers l’anode, est nettement plus grande que l’influence du champ de l’anode. Par conséquent, les variations même très faibles de la tension appliquée à la grille entraînent une variation brusque du 62

courant anodique et de la tension à la sortie de l’amplificateur. Pour le circuit plaque E = Ua + I aRc- La tension de sortie (IaRc = E — Ua) est représentée sous forme d’une famille de courbes en fonction de la tension d’entrée Ug sur la fig. 59. E x e m p l e 24. Construire la fonction Usor—f (Ug) pour le schéma de la fig. 60, étant donné que R c = 12 kQ et E = 240 V. La triode utili­ sée est une 6C2C. ta(mA. lfc(y)

O io 20 Fig. 61

S o l u t i o n . Traçons à partir du point I a = 0 Ua — E une droite sous un angle a par rapport à la verticale (tg a = 12 £Q). Les points d’intersection de cette droite avec les caractéristiques plaques donnent les valeurs de I a et Ug, liées entre elles. La fonction Usor = f (Ug) diffère de la fonction I a = f (Ug) de la fig. 61 uniquement par son échelle (Uc = I aRc, Rc = const).

C H A P I T R E

III

CIRCUITS MAGNÉTIQUES § 42. Division de toutes les substances en deux groupes: substances ferromagnétiques et non ferromagnétiques. Il a été indiqué au cours de physique que toutes les substances sont réparties en trois groupes d’a­ près leurs propriétés magnétiques : substances diamagnétiques, para­ magnétiques et ferromagnétiques. Pour les substances diamagnétiques la perméabilité relative est légèrement inférieure à l’unité; pour le bismuth, par exemple, elle est égale à 0,99983. Pour les substances para­ magnétiques la perméabilité relative pr est légèrement supérieure à l’unité, étant égale à 1,0036 pour le platine, par exemple. Pour les subs­ tances ferromagnétiques (fer, nickel, cobalt et leurs alliages, ferrites, etc.) est nettement plus grande que l’unité (elle atteint 104 par exem­ ple, ou même 1O0, pour certains matériaux). Les électriciens ont recours habituellement à une division bien plus grossière, en répartissant toutes les substances ferromagnétiques et non ferromagnétiques. Pour les substances ferromagnétiques (nr est nette­ ment supérieure à l’unité et pour les substances non ferromagnétiques elle est pratiquement égale à l’unité. § 43. Grandeurs essentielles caractérisant un champ magnétique. Rappelons que les grandeurs essentielles caractérisant un champ magné> tique sont l’induction magnétique B, et l’aimantation J *. L’induction magnétique est une grandeur vectorielle, déterminée d’après l’effort exercé par un champ magnétique sur un courant. L’ai­ mantation est le moment magnétique de l’unité de volume de la subs­ tance. Le champ magnétique est encore caractérisé par une troisième gran­ deur, à savoir le champ magnétique H. Les trois grandeurs B, J, H sont liées entre elles par l’expression suivante : —

B = \i0( fï + «/).

(3.1)

Dans le système SI, l’induction est mesurée en teslas (T): 1T = IV-sIm2^ 1 Wblm*. L’induction peut être également mesurée en unités multiples de teslas, à savoir Wblcm