Cours de physique générale Tome 4 Partie 1 Optique

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AVANT-PROPOS
1. INTRODUCTION
§ 1. Objet de l'optique
§ 2. Optique géométrique
§ 3. Evolution des idées sur la nature de la lumière
§ 4. Incurvation des rayons lumineux dans les milieux non homogènes
§ 5. Ondes électromagnétiques planes
§ 6. Passage limite de Toptique ondulatoire à l’optique géométrique
§ 7. Le principe de Fermât
§ 8. Vitesse de groupe
2. THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DES IMAGES OPTIQUES
§ 9. La notion d’image optique
§ 10. Réfraction sur une surface sphérique. Miroirs sphériques et lentilles minces
§ 11. Propriétés générales des systèmes optiques centrés
§ 12. Association de systèmes centrés. Lentilles épaisses
§ 13. Limitation des faisceaux lumineux par des diaphragmes
§ 14. Astigmatisme. Surfaces caustiques
§ 15. Aberraitons géométriques dans les systèmes centrés
§ 16. Aberrations chromatiques
§ 17. Condition d’absence de distorsion
§ 18. Condition des sinus d’Abbe
§ 19. Théorème des cosinus. Images stigmatiques formées par des faisceaux de grande ouverture
§ 20. Notion d’instrument optique parfait
§ 21. OEil et vision
§ 22. Notions et unités de photométrie
§ 23. Luminance et éclairement des images optiques. Grossissement normal
§ 24. Instruments d'optique
§ 25. Lentilles électriques et magnétiques
3. INTERFÉRENCES DE LA LUMIÈRE
§ 26. Généralités sur les interférences
§ 27. Expériences d’interférences classiques
§ 28. Influence des dimensions de la source lumineuse. Cohérence spatiale
§ 29. Décomposition spectrale
§ 30. Interférences en lumière non monochromatique
§ 31. Corrélation et cohérence de la lumière
§ 32. Théorème de van Cittert-Zernike
§ 33. Interférences produites par les couches et les lames à faces parallèles
§ 34. Interféromètre de Jamin
§ 35. Interféromètre de Michelson
§ 36. Interféromètre à ondes multiples
§ 37. Ondes lumineuses stationnaires
§ 38. Rayonnement de Vavilov-Cerenkov
4. DIFFRACTION DE LA LUMIÈRE
§ 39. Principe d’Huygens-Fresnel. Zones de Fresnel
§ 40. Diffraction produite sur Taxe par un orifice circulaire et par un écran. Réseaux zonés
§ 41. Applications de la méthode de Fresnel à la résolution des problèmes de diffraction. Diffraction de Fraunhofer et de Fresnel
§ 42. Les zones de Schuster et la spirale de Cornu
§ 43. Principe d’Huygens dans l’énoncé de Kirchhoff
§ 44. Diffraction de Fraunhofer produite par une fente
§ 45. Diffraction de Fraunhofer produite par des orifices
§ 46. Réseaux de diffraction
§ 47. Utilisation du réseau de diffraction en qualité d9instrument spectral
§ 48. Le réseau échelon de Michelson et les appareils spectraux interférentiels
§ 49. Pouvoir de résolution du prisme
§ 50. Action qu’exerce un appareil spectral sur les impulsions lumineuses
§ 51. Réseau par réflexion concave
§ 52. La diffraction par les réseaux traitée comme un problème aux limites
§ 53. Exemples d'application de la méthode de Rayleigh
§ 54. L’holographie
§ 55. Champ lumineux à proximité d’un foyer
§ 56. Pouvoir de résolution du télescope et du microscope
§ 57. Théorie et expériences d’Abbe
§ 58. Télescopes sans objectifs. Formation des images à l’aide de petits orifices
§ 59. Contraste de phase
§ 60. Mesure des dimensions angulaires des étoiles
§ 61. Diffraction par les réseaux bi- et tridimensionnels. Diffraction des rayons X
INDEX DES NOMS
INDEX DES MATIERES
TABLE DES MATIERES

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COURS DE PHYSIQUE GÉNÉRALE Tome IV

OPTIQUE Première partie

ÉDITIONS MIR • MOSCOU

Traduit du russe par SERGUEÏ MEDVËDEV

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(£) Haa&TeJibCTBO « Hayxa >. TnaBHafl penamurir ^HanKO-MaTeMaTn^ecROû nBTepaTypu, 1980 © Traduction française Editions Mir, 1984

AVANT-PROPOS

Le quatrième tome (en deux parties) du Cours de physique généra­ le est consacré à l’Optique physique dont l’étude succède à celle de l’Electricité et du Magnétisme exposés dans le troisième tome. L’op­ tique physique est envisagée du point de vue ondulatoire (électro­ magnétique) mais l ’optique quantique n’y occupe qu'une place assez restreinte. On introduit la notion de photon et on interprète le proces­ sus de rayonnement comme résultant des transitions quantiques des systèmes atomiques entre des états énergétiques différents afin d’in­ troduire la notion de rayonnement induit et d’expliquer le principe de fonctionnement des lasers. Mais ce n’est que dans le cinquième tome consacré à la physique atomique qu’on donnera un exposé systématique des fondements de l’optique quantique et de différents phénomènes quantiques qui s’y rattachent (effet photoélectrique, effet Compton, lois spectrales, luminescence, effet Zeeman, effet Stark, etc.). L’optique géométrique est exposée dans les deux premiers chapi­ tres et sert de base à l’étude des phénomènes d’interférences, de dif­ fraction et des autres questions de l’optique physique. L'optique géométrique est présentée sous son aspect physique, i.e. comme un cas limite approché de l ’optique ondulatoire, afin de préciser ses limites de validité. Afin de simplifier l’étude de l’optique géométri­ que, on prend pour point de départ l’équation d’onde sous sa forme scalaire. Quoique cette équation ne soit pas vérifiée pour les milieux non homogènes, elle conduit même dans ce cas à des résultats corrects lorsqu’on passe à la limite de l’optique géométrique. Il est évident que l’équation scalaire ne permet pas d’expliquer la rotation du plan de polarisation des rayons lumineux dans un milieu non homogène puisqu’il faudrait utiliser alors les équations vectorielles de Maxwell. Or cela impliquerait des calculs assez laborieux, tandis que l'équation d’onde scalaire décrit correctement les principaux aspects de la pro­ pagation des ondes dans les milieux homogènes et non homogènes. L’optique géométrique découle de cette équation en envisageant des ondes de longueurs négligeables par rapport aux dimensions caracté­ ristiques déterminant la propagation de la lumière dans un milieu donné. D’ailleurs quelle que soit l’importance de la justification de l’optique géométrique le lecteur peut sans inconvénient n’aborder cette question qu’en seconde lecture.

AVANT-PROPOS

Après l'exposé des bases de l'optique géométrique on expose la théorie géométrique des images optiques en s'attachant surtout aux questions de principe. Le lecteur peut se contenter d'assimiler la théo­ rie de la formation des images optiques dans l'approximation des rayons paraxiaux et les notions de photométrieet ne revenir aux autres questions traitées ici que dans la mesure où il en sentira le besoin pour bien saisir l’optique physique. Pour l'essentiel ce volume est consacré à l’optique physique dont l’étude commence au chapitre III. On y trouve aussi un exposé de la théorie de la relativité, des principes de fonctionnement des lasers et quelques éléments d’optique non linéaire. Comme dans les tomes précédents, l’auteur s’est fixé pour tâche de mettre en évidence la signification physique des phénomènes optiques et leurs relations avec les principes physiques généraux. Les questions de l'histoire de l’Optique, de la justification expé­ rimentale de ses lois, de ses applications dans les techniques et les sciences ne sont abordées que lorsqu’elles aident à mieux comprendre les principaux phénomènes et principes de l’optique. Par manque de place, il y a dans ce tome moins de descriptions des expériences de démonstration que dans les tomes précédents. Nous devons noter que les expériences de démonstration qui accompagnent nos cours à l’Institut de Physique technique de Moscou et qui ont été conçues et réalisées par nos assistants E. Morozov, M. Maklakov, V. Moltchanov, V. Kouznetsova, ont joué un rôle positif dans la préparation de ce cours d’optique. Le manuscrit de ce volume a été revu par les professeurs S. Guerstein et I. Gorbagne et leurs collaborateurs de la Chaire de physique expérimentale de l’Université de Kiev, ainsi que par le docteur ès sciences physiques G. Péka. Nous avons tenu compte de leurs remar­ ques et nous les en remercions. D. Sivoukhine

CHAPITRE PREMIER

INTRODUCTION

§ 1. Objet de l'optique

L'optique ou plus exactement Yoptique physique est la partie de la physique qui traite des propriétés et de la nature physique de la lumière ainsi que de ses interactions avec la matière. On entend par lumière non seulement la lumière visible mais aussi les radiations électromagnétiques émises dans les régions étendues du spectre d’émission se trouvant de part et d’autre de la lumière visible : la région de Y infrarouge et la région de Vultraviolet. Les radiations électromagnétiques de ces différentes régions du spectre se distin­ guent les unes des autres par la longueur d'onde X et la fréquence v ; ces grandeurs caractérisent les propriétés ondulatoires et quantiques des radiations électromagnétiques. On divise généralement le spectre des radiations électromagnétiques en plusieurs régions, selon le procédé d'émission et de détection des différentes radiations. On distin­ gue ainsi les régions des ondes hertziennes (radioélectriques), de l’mfrarouge, de la lumière visible, de Y ultraviolet, des rayons X et des rayons gamma. Comme la nature physique de toutes ces radiations est la même, il n’existe pas de frontières nettes entre ces régions; les régions contiguës se recouvrent partiellement et les frontières les séparant sont toutes conventionnelles. On appelle ondes hertziennes ou ondes radioélectriques les rayon­ nements électromagnétiques dont les longueurs d’onde sont supé­ rieures à 0,1 mm environ. On les subdivise en : 1) ondes très longues dont la longueur d’onde X > 10 km (fréquence v < 30 kHz) ; 2) ondés longues (X = 10 à 1 km, v = 30 à 300 kHz) ; 3) ondes moyennes (X = 1 km à 100 m, v = 300 kHz à 3 MHz) ; 4) ondes courtes (X = = 100 à 10 m, v = 3 à 30 MHz) ; 5) ondes ultra-courtes (X < 10 m, v > 30 MHz). Les ondes ultra-courtes sont subdivisées en ondes métriques, décimétriques, millimétriques et submillimétriques ou mi­ crométriques. Les ondes dont la longueur d’onde X < 1 m (v > 300 MHz) sont appelées aussi micro-ondes ou ondes hyperfréquen­ ces (OHF). Du fait que les longueurs d’onde X sont grandes, on peut étudier la propagation des ondes radioélectriques de façon phénomé­ nologique sans tenir compte de la structure atomistique du milieu, à l’exception des ondes ultra-courtes adjacentes aux ondes de la région infrarouge. Les propriétés quantiques des radiations radioélec­ triques ne se manifestent pratiquement pas non plus.

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INTRODUCTION

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Les radiations infrarouges, visibles et ultraviolettes constituent la gamme des radiations optiques. La réunion de ces différentes régions du spectre en une seule région du rayonnement optique dans le sens large de ce terme est déterminée non seulement par ce que ces régions sont contiguës, mais aussi par ce que les méthodes et les instruments qu’on utilise pour leur étude sont similaires ; aussi bien les méthodes que les instruments d’étude furent élaborés au cours d’une longue période de développement de l’optique surtout pour l’étude de la lumière visible (lentilles et miroirs pour la focalisation de la lumière, prismes, réseaux de diffraction, instruments interférométriques pour l’étude de la composition spectrale des rayonnements, etc.). Le spectre optique s’étend entre la frontière conventionnelle des radiations infra­ rouges (k = 2 mm, v = l,5-10n Hz) jusqu’à la frontière convention­ nelle des ondes ultraviolettes courtes (k = 10“®cm = 10 nm, v = = 3-1016 Hz); son étendue est d’environ 18 octaves*). La région des radiations visibles s’étend sur une octave environ (k = 400 à 760 nm), celle de l’ultraviolet s'étend sur 5 octaves (?u = 10 à 400 nm) et celle de l’infrarouge sur H octaves (k = 760 nm à 2 mm). Dans la gamme optique les fréquences v ne sont plus petites devant les fréquences propres des atomes et des molécules et les longueurs d’ondes ne sont plus grandes devant les dimensions moléculaires et les distances intermoléculaires. Aussi doit-on tenir compte dans la gamme optique des phénomènes déterminés par l’atomistique des substances; pour cette même raison, à côté des propriétés ondula­ toires, se manifestent les propriétés quantiques de la lumière. L’éner­ gie d’un quantum de lumière est définie par l’expression g - Av, (1.1) où h = 6,63-10**27 erg-s est la constante de Planck. On notera que pour la longueur d’onde k = 1000 nm, l’énergie du quantum correspondant est £ = 1,23 eV, soit un électron-volt environ. Aux bords de la région visible (kT = 760 nm, Xv = 400 nm) cette formule donne les valeurs suivantes de l’énergie du quantum de lumière: « 1,6 eV, Et « 3 eV. Dans la gamme des rayons X et gamma ce sont les propriétés quantiques des radiations qui prédominent. Un rayonnement X s’ob­ tient par freinage des particules chargées rapides (électrons, protons, etc.) ou à la suite de processus se produisant dans les couches électro­ niques des atomes. Le rayonnement gamma résulte des processus se produisant dans les noyaux atomiques, des transmutations de parti­ cules élémentaires ou du freinage des particules chargées rapides. L’énergie des quanta gamma est égale à un ou plusieurs MeV. On ne peut définir que de façon assez imprécise la|frontière entre les régions *) On appelle octave l’intervalle de fréquence entre une fréquence .

OPTIQUE GEOMETRIQUE

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des radiations X et gamma. Pour fixer les idées on posera que l’éner­ gie des quanta X est comprise entre 20 eV et 1 MeV (X = 50 à 10~3 nm) et celle des quanta gamma est supérieure à 0,1 MeV (X < 10~2 nm). On notera que les lois caractérisant les propriétés ondulatoires et quantiques sont les mêmes dans tout le spectre du rayonnement électromagnétique, quoique suivant la longueur d’onde des phénomè­ nes différents prédominent et qu’on doive de ce fait utiliser des méthodes d’étude différentes; les applications pratiques des diffé­ rentes radiations dépendent aussi de la longueur d'onde. On ne peut donc considérer l’optique comme une discipline scientifique fermée ne traitant que d’une seule région du spectre qui serait séparée des autres régions par des frontières nettes. Les lois et les résultats se rapportant aux autres régions s’appliquent à la gamme optique et réciproquement. L’importance pratique de la gamme optique du spectre ainsi que son influence sur les autres branches scientifiques sont extrê­ mement grandes. L’invention du télescope et du spectroscope a fait connaître à l’homme une multitude de phénomènes nouveaux. La découverte du microscope détermina une véritable révolution en biologie. La photographie devint une auxiliaire précieuse dans pres­ que tous les domaines scientifiques. Un des principaux composants des appareils scientifiques est la lentille; c’est elle qui permet de réaliser le microscope, le télescope, le spectroscope, les appareils photographiques, le cinéma, la télévision, etc. ; sans lunettes de nombreuses personnes aimaient été dans l'impossibilité de lire et d’effectuer de nombreux travaux impliquant la vue. L’optique physique étudie de nombreux phénomènes qui sont intimement liés aux phénomènes appartenant à d’autres parties de la physique ; les méthodes d’étude optiques sont parmi les plus préci­ ses et les plus fines et sont largement utilisées. C’est pour cela que l’optique joua pendant longtemps un rôle de premier plan en recherche fondamentale et contribua largement au développement des concep­ tions physiques. Indiquons simplement que les deux théories physi­ ques fondamentales élaborées au XXe siècle — la théorie de la rela­ tivité et la théorie quantique, ont pris naissance et se sont dévelop­ pées sur la base de recherches optiques. L’invention des lasers ouvre d’énormes perspectives aussi bien pour l’optique que pour les applica­ tions pratiques. § 2. Optique géométrique

1. Les phénomènes optiques simples tels que la formation d’om­ bres et d’images dans les dispositifs optiques se laissent expliquer dans le cadre de Yoptique dite géométrique. L’optique géométrique se fonde sur quatre lois expérimentales: 1) la loi de la propagation rectiligne de la lumière ; 2) la loi de la propagation indépendantéldes

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INTRODUCTION

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faisceaux lumineux ; 3) les lois de la réflexion ; 4) les lois de la réfraction. Pour comprendre les phénomènes plus compliqués on doit recourir à Yoptique physique qui fait intervenir la nature physique de la lumière. L’optique physique permet non seulement d’établir toutes les lois de l’optique géométrique, mais aussi d’en fixer les limites de validité. L’application formelle des lois de l’optique géométrique qui négli­ gerait les limites de leur validité peut conduire à des résultats en contradiction avec l’expérience. On ne peut donc se contenter de B

C Fig. 1

Fig. 2

construire l’optique géométrique d’une façon purement formelle et on doit la considérer comme une partie de Voptique physique. La justi­ fication des lois de l’optique géométrique sera présentée graduelle­ ment tout au long de notre cours d’optique et pour l’instant nous commencerons par énoncer les quatre lois expérimentales que nous venons de mentionner. 2. Selon la loi de la propagation rectiligne, la lumière se propage suivant des droites dans un milieu homogène transparent. Cette loi est démontrée expérimentalement par l’existence d’ombres projetées par les corps opaques éclairés par une source lumineuse ponctuelle, i.e. par une source dont les dimensions sont très petites devant celles de l’objet éclairé et la distance de la source à l’objet. L’objet opaque AB placé sur le trajet du faisceau lumineux émis par la source ponc­ tuelle S (fig. 1) ne laisse pas passer la lumière dans la région de l’es­ pace se trouvant derrière l’objet et délimité par la surface latérale du cône SCD s’appuyant sur les bords de l’objet AB . La présence de l’objet opaque AB n’exerce cependant aucune influence sur la répartition de la lumière en dehors de l’espace délimité par le cône SCD. Or cela implique que la propagation de la lumière est rectiligne *). Une autre preuve de la propagation rectiligne de la lumière est fournie par la production d’images d’objets lumineux à l’aide de la chambre noire (fig. 2). *) Une source étendue se comporte comme un ensemble de sources ponctuel­ les, à chacune de celles-ci correspond une répartition propre du champ lumi­ neux sur Técran. La superposition de ces images conduit à la formation d’om­ bres et de zones demi-obscures, i.e. des zones où se produit la transition entre la région éclairée et les régions partiellement et totalement obscurcies.

OPTIQUE GEOMETRIQUE

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r ~#

On constate des écarts à la loi de la propagation rectiligne de la lumière. Examinons, par exemple, l’ombre projetée par le bord d’un objet opaque. Si la source lumineuse est ponctuelle, la loi de la propagation rectiligne implique que l’on devrait-obtenir sur l’écran une frontière nette entre la zone obscure et la région éclairée. En réalité il existe une zone de transition où l’éclairement varie de façon continue mais non monotone : on y observe des « franges de diffraction ». Une situation analogue se retrouve dans le cas d’une chambre noire à petite ouverture. Si l’ouverture n’est pas suffisam­ ment petite, l'image est floue: l’image de la source ponctuelle est une tache lumineuse. On pourrait s’attendre a ce qu’une diminution de l’ouverture entraîne une diminution de la tache qui deviendrait plus nette quoique moins lumineuse. En réalité il existe une limite de réduction de l’ouverture au-delà de laquelle la netteté de l’image diminue de plus en plus. Lorsque le diamètre de l’ouverture^ lO^mm on observe avec une source lumineuse ponctuelle un éclairement de l’écran pratiquement uniforme. Ces exemples montrent que la lumière, tout comme le son, peut contourner les obstacles se trouvant sur son trajet. C’est le phénomène de diffraction. Si le milieu de propagation est trouble, comme l ’est le brouil­ lard, du fait de la diffraction la propagation rectiligne de la lumière s’accompagne de sa dispersion. 3. La loi de la propagation indépendante des faisceaux lumineux affirme que tout faisceau lumineux se propage dans un milieu donné indépendamment de la présence de tout autre faisceau lumineux. Un faisceau lumineux ayant traversé une certaine région de l’espace en sort dans le même état, que cette région soit remplie ou non de lu­ mière. L’image qui se forme sur la rétine de l’œil n’est pas modifiée si la lumière formant cette image coupe des faisceaux transversaux ne parvenant pas à l’œil. Les limites de validité de cette loi seront précisées dans le cadre de la théorie de la lumière (cf. §§ 3, 5 et ch. XI). La loi de l’indépendance des faisceaux lumineux doit être com­ plétée par la proposition relative à l ’action simultanée de faisceaux lumineux superposés. Selon cette proposition Véclairement d'un écran produit par plusieurs faisceaux lumineux est égal à la somme des éclairement s dus à chacun des faisceaux pris individuellement. Cette proposi­ tion est infirmée dans les phénomènes d'interférences de la lumière. 4. Les lois de la propagation rectiligne et de l’indépendance des faisceaux lumineux ont conduit au concept de rayon lumineux. Dans le sens mathématique du terme un rayon est la droite suivant laquelle se propage la lumière. C’est donc une abstraction mathématique et on ne peut parler de rayons lumineux que parce que tout faisceau lumi­ neux comporte un nombre infini de rayons lumineux. Les rayons mathématiques et les pinceaux lumineux infiniment étroits sont

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INTRODUCTION

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des abstractions et n’existent réellement que les pinceaux lumineux de section finie, découpés par exemple par des diaphragmes. Aussi dans le sens physique du terme on entendra par rayon lumineux un pinceau lumineux étroit mais de section finie, pouvant exister indépen­ damment de tout autre pinceau lumineux. Le rayon physique découpé par un diaphragme ne peut être de longueur infinie, car du fait de la diffraction sa propagation s’accompagne d’un accroissement

de ses dimensions transversales, donc de son étalement. Plus la longueur d’un rayon est grande, plus il diverge. On ne peut parler de rayon lumineux que tant que son élargissement est petit devant ses dimensions transversales, ce qui implique que sa longueur doit être inférieure à une certaine limite qui est d’autant plus grande que le pinceau est plus large (cf. § 6, formule (6.17)). r s. Lorsqu’un rayon lumineux rencontre la surface de séparation de deux milieux transparents, il est en partie renvoyé dans le pre­ mier milieu (le rayon est réfléchi) et en partie il pénètre dans le second milieu (le rayon est réfracté). La loi de la réflexion de la lumière, qui était déjà connue en Grèce dès l’Antiquité, s’énonce comme suit: le rayon incident, le rayon réfléchi et la normale à la surface réfléchis­ sante au point d'incidence sont contenus dans un même plan dit plan d'incidence, l'angle d'incidence

= (*A).

(*A) = -

De même en multipliant scalairement la deuxième équation par N 3 on trou­ ve

(NM = (NM = (NMEn additionnant membre à membre les trois équations on obtient, compte tenu des relations obtenues, «3

“ «o =

-2

LO ' *

*

r 't* C 6 *t **0

( N M N x - 2 ( N M ^ 2 - 2 ( N M ^ 3 = - 2 » 0,

d’où s 3 = —*0. Ce résultat est utilisé dans la construction du réflecteur à coins servant à inverser le sens de propagation de la lumière. On peut fabriquer un réflecteur à coins par le procède suivant. On prend un cube en verre à faces argentées et on découpe un an^le trièdre suivant un plan normal à la diagonale spatiale du cube. Tout rayon pénétrant par la base à l’intérieur de la pyramide ainsi obtenue, après avoir subi trois réflexions successives sur ses faces latérales, en sort par la même base avec un sens de propagation inversé. La réfraction que subit le rayon incident sur la base de la pyramide était exactement compensée par la réfraction qu’y subit le rayon émergent, n ’affecte pas la direction des rayons. 3. Un rayon lumineux passe par une suite de milieux homogènes séparés par des plans parallèles. Montrer que le sens du rayon dans le dernier milieu (si le rayon peut y pénétrer) ne dépend que de l ’angle d’incidence et des indices de réfraction du premier et du dernier milieu. Dans le cas particulier où ces milieux auraient le même indice de réfraction, le rayon pénétrera dans le dernier milieu suivant une direction parallèle à celle qu’il avait dans le premier milieu. 4. Soit un prisme réfringent tel que C = D, A = a, B = 2a (fig. 7). Un rayon lumineux y pénètre par la face BD en restant dans le plan de section prin­ cipale (i.e. dans le plan perpendiculaire aux arêtes réfringentes du prisme), puis il se réfléchit successivement sur les faces AC et AD et émerge par la face BC. Montrer que l’angle de déviation 6 du rayon émergent par rapport à la direction incidente ne dépend pas de l ’angle d’incidence. Calculer l’angle 6. R é p o n s e . ô = 2a. 5. Etudier la réfraction d’un rayon lumineux dans la section principale d’un prisme trièdre. Calculer l’angle de déviation ô du rayon lumineux par rap­ port a sa direction initiale ainsi que sa valeur minimale ômin. S o l u t i o n . En construisant le triangle CDE (fig. 8) on trouve

fi = (q>i —9i) + (92 —^2)-

INTRODUCTION

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D'autre part, pour le quadrilatère A CFD dont les angles C et D sont droits, on a A + F = ji et pour le triangle CDF on a (ifc + ifo) + F = ji, de sorte que ipi + ‘♦ î = -d = const, où A est l'angle de réfraction du prisme. Par conséquent à = 9i + 92 - A . (2.7) Pour trouver l'angle de déviation ô minimal on prendra pour variable indépen­ dante l'angle de réfraction ce qui simplifie le problème en le rendant symé­

trique. La première dérivée est dÔ _ cfqpx

dipx

d 0 et la courbe ô = ô (^x) est partout conca­ ve vers le haut. On en déduit que 6 sera minimal pour q>x = )2 = n2-f -jp - >

(6.6)

a AO + 2 grad a grad 0 = 0.

(6.7)

Supposons maintenant que la longueur d’onde soit petite et que la variation spatiale de l’amplitude a soit suffisamment lente pour vé­ rifier l’inégalité Aa Aa | _ X2 (6 . 8 ) k\a | 4ji2 a < 7 l2. Cette inégalité est vérifiée si da ’ I\ 1^1 da uu (6.9) | ^ dx2 I^ I a»dx dx ^ quelle que soit la direction de l’axe X . Dans ce cas on a en effet résultat conforme à (6.8) puisque | Aa | — | 32a/3x2 |. En négligeant le dernier terme de (6.6) on trouve (grad O)2 = zi2. (6.10) Les équations (6.10) et (6.7) constituent le système d'équations de l'optique géométrique. Les conditions qu’elles impliquent montrent que l'optique géométrique s'applique lorsque les variations de l'ampli­ tude de l'onde et de ses dérivées spatiales premières sont petites sur Vétendue d'une longueur d'onde. Dans le cas où il n’en serait pas ainsi on observera des écarts notables aux lois de l’optique géométrique. C’est ce qui se produit dans les circonstances suivantes : 1) à la fron-

PASSAGE LIM ITE A L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE

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(6.12), la dérivation par rapport à s peut être assimilée à une déri­ vation le long du rayon s. En intégrant l ’équation (6.14) le long du rayon on trouve la relation a = a0exp ( —

,

(6.15)

0 où a0 est l’amplitude au « point initial » du rayon à partir duquel on mesure sa longueur s. La formule (6.15) montre que pour calculer le champ de l’onde en tout point du rayon il suffit de connaître sa

valeur en un point quelconque du même rayon. Les équations de l’op­ tique géométrique ne permettent pas de calculer la variation de l’am­ plitude du champ lorsqu’on passe d’un rayon à un autre, car ces équations admettent dans ce cas n’importe quelles variations d’am­ plitude. Ces variations doivent être lentes afin que l’onde qui vé­ rifie formellement les équations de l’optique géométrique puisse exis­ ter réellement. Ainsi dans l'approximation de l'optique géométrique le champ lumineux (Tun rayon donné est parfaitement indépendant des champs d'autres rayons. De ces considérations découle la principale conception de l’opti­ que géométrique selon laquelle Y énergie lumineuse se propage le long des rayons lumineux, plus précisément le long de « tubes » formés par des rayons. Une autre conclusion consiste à affirmer que dans la cons­ truction d’Huygens le front d’onde est limité par l’enveloppe des ondes sphériques secondaires d’Huygens. L’hypothèse d’Huygens concernant l’enveloppe des ondes secondaires se trouve ainsi pleine­ ment justifiée; cette hypothèse n’est valable que dans l’approxi­ mation de l ’optique géométrique. On peut arriver à l’idée de la propagation rectiligne par une voie différente. Multiplions par a l’équation (6.7) et en remarquant que AO = div grad O = div (ns) mettons-la sous la forme a2 div (tis) + 2a grad a (ns) = 0,

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INTRODUCTION

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div (inars) = 0.

(6.16)

OU

Cette relation se présente sous une forme identique à celle de l’équa­ tion de continuité div y = 0 de l’écoulement permanent d’un fluide incompressible. Les lignes de courant sont remplacées ici par les rayons lumineux et la densité du flux de fluide par le vecteur j = na2s qui est proportionnel à la densité du flux de l’énergie lumineuse. La lumière s’écoule pour ainsi dire le long de « tubes lumineux a étroits dont les parois latérales sont constituées par des rayons lu­ mineux et aucune lumière ne peut en sortir. En notant a la section droite du « tube », la quantité naro reste constante le long du tube conformément à (6.16). On peut délimiter un pinceau lumineux isolé qui constitue le rayon lumineux physiquement réalisable en plaçant un diaphragme étroit sur le trajet d’une onde lumineuse (6.5). Le diaphragme ne doit pas être trop étroit et le pinceau ne doit pas être trop long, et ce pour les raisons suivantes. Sur les bords du diaphragme et à proximité des surfaces latérales du pinceau l’amplitude du champ varie fortement, ce qui signifie que les conditions d’application de l’optique géomé­ trique n’y sont pas vérifiées. Il s’y produit une diffraction de la lumière qui élargit le pinceau lumineux. Ces effets sont petits si le diaphragme n’est pas trop étroit et si le pinceau est d’une longueur modérée. A grande distance du diaphragme les effets de la diffrac­ tion se manifestent toujours. Nous démontrerons en théorie de la diffraction que l’existence d’un rayon lumineux physiquement réa­ lisable exige que soit vérifiée l’inégalité l < DVX,

(6.17)

où D est la plus petite dimension linéaire du diaphragme et l la dis­ tance au diaphragme mesurée le long du rayon physique. Dans un milieu homogène on appelle longueur optique le produit de la longueur géométrique l du trajet par l’indice de réfraction n du milieu. Si le milieu n’est pas homogène, la longueur optique est égale à l’intégrale j n dl prise le long du trajet. En notant ABC la longueur géométrique du trajet, la longueur optique correspondante est notée (ABC), i.e. longueur géométrique entre parenthèses. Il résulte de la construction d’Huygens que les longueurs optiques de tous les rayons compris entre deux surfaces d’onde sont égales. 5. En se fondant sur les conceptions ondulatoires on établit facilement l’expression de la courbure d’un rayon se propageant dans un milieu homogène. Faisons passer un plan oscillateur à un segment infinitésimal du rayon AC (fig. 20). Ce plan coupe les surfaces d’onde passant par les extrémités de ce seg­ ment le long des courbes AB et CD. Soit BD un rayon infiniment proche conte­ nu dans le même plan. Comme les rayons sont perpendiculaires aux surfaces d’onde, tous les angles du quadrilatère curviligne infiniment petit ABDC sont

LE PRIN CIPE DE FERMAT

47

des angles droits. Comme les longueurs optiques de tous les rayons compris entre deux positions données de la surface d’onde sont égales, on a ni = (n + + dn ) (l + dl), où Z et l + dl désignent les longueurs des segments AC et DD et n et n + dn désignent les indices de réfraction correspondants. On en tire, aux infiniment petits d’ordres supérieurs près, / dn + n dl = 0. Par définition du rayon de courbure l = Dtp, cp étant l’angle en­ tre les tangentes au rayon AC aux points A et C; cet angle est égal à l ’angle formé par les tangentes aux segments A B et CD aux mêmes points. Il est évident que dl = —a O, (C) —0 2 (C). ACB

AC

CB

AC

BC

Si on déplace le point C en un point C' infiniment proche de la sur­ face de séparation des milieux, la variation de l'intégrale \ n ds A

sera égale à 6 j n ds = C(Pj — ô®2. En notant ôr s CC' le vecteur de ce déplacement, on a = = (grad ®x ôr) = n± (sx ôr) ; de même ô®2 = n2 (s2àr). Ainsi ô j n ds = (rtjSj —«2^2) ®r En vertu de la loi de la réfraction de Snellius le vecteur (7^$! —* n«s2) est perpendiculaire à la surface de séparation des milieux au point d'incidence des rayons; il est aussi normal au déplacement infinité­ simal ôr le long de cette surface. Au premier ordre en ôr les variations de la longueur optique ACB du rayon sont donc égales à zéro. Nous avons admis ci-dessus que le chemin optique virtuel se composait des segments AC' et C'B des rayons. Nous parvenons au même ré­ sultat en remplaçant ces segments par des lignes infiniment voisi­ nes reliant les mêmes points A et C \ C' et 5 . Puisque AC' et C'B sont les rayons réels dans le premier et dans le second milieu, leurs chemins optiques sont de longueurs minimales, comme nous l'avons démontré ci-dessus. Ainsi le remplacement des rayons réels AC' et C'B par des lignes infiniment voisines reliant les mêmes points ex­ trêmes ne modifie pas au premier ordre de petitesse les longueurs du

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51

chemin optique. Il s’ensuit que la variation de la longueur optique ACB du rayon lumineux reste nulle quel que soit le chemin optique virtuel choisi. Or c’est ce qu’affirme le principe de Fermât dans le cas considéré. 4. Dans les applications il est souvent commode d'utiliser le théo­ rème suivant qui est une conséquence du principe de Fermât. Soient A et B deux points quelconques du rayon ACB (fig. 25). Menons par le point B une surface lisse arbitraire B E , orthogonale au rayon ACB au point B . Soit BD un déplacement infinitésimal le long de cette sur­ face. Relions les points initial A et final D par une ligne arbitraire AHD dont la direction est infiniment proche de celle du rayon AC B. Dans ces conditions la variation de la longueur optique sera nulle lorsqu'on remplacera le chemin optique réel ACB par le chemin optique virtuel AHD. Pour en faire la démonstration considérons un pinceau de rayons lumineux issus du point A. Tous ces rayons sont orthogonaux au front d’onde B F et leurs longueurs optiques du point A au front d’onde sont égales. En particulier, (ACB) = (AMK). En vertu du principe de Fermât (AMK) = (AHK) à des infiniment petits d’ordre supé­ rieur près. D’autre part, comme les surfaces BDE et B KF se touchent au point 2?, la longueur KD du rayon sera une quantité infiniment petite d’ordre supérieur par rapport à la longueur.BD. Il s’ensuit que la longueur optique AHD ne différera de la longueur optique ACB que d’une quantité qui est un infiniment petit d’ordre supérieur de­ vant le déplacement latéral BD , ce qu’il fallait démontrer. 5. Si la lumière se propage dans des milieux homogènes contigus, dans chacun de ces milieux la propagation de la lumière sera rectili­ gne. Dans ce cas il n’y a qu’à déterminer les points de la surface de séparation où la lumière se réfléchit et se réfracte. Il est donc super­ flu de considérer des chemins virtuels curvilignes et il suffit d’en­ visager des chemins optiques virtuels en forme de lignes brisées com­ posées de segments de droites qui se coupent sur la surface de sépa­ ration des milieux. Même dans ce cas fortement restrictif le chemin optique réel peut être minimal, maximal ou stationnaire. Pour en donner la preuve dans le cas de la réflexion utilisons un miroir ellipsoïdal formé par la rotation d’une ellipse autour de son grand axe F ^ o (fig. 26). Notons F1 et F2 les foyers de l’ellipsoïde. Si A est un point de sa surface, on a F^A + F*A = 2a, où 2a est la longueur du grand axe de l’ellipsoïde. La surface du miroir divise tout l ’espace en deux ré­ gions : une région intérieure où la somme des distances d’un point aux deux foyers Fx et Fz est inférieure à 2a et une région extérieure où cette somme est plus grande que 2a. Si le rayon lumineux sort du foyer F1 et se réfléchit au point A du miroir ellipsoïdal, il devra pas­ ser par le deuxième foyer F 2, puisque, en vertu des propriétés de l’ellipse, les droites FjA et F+A forment avec la normale à la surface 4*

52

INTRODUCTION

[CH. I

du miroir des angles égaux. Lorsqu’on se déplace le long de la surface du miroir la somme FXA + F2A et le temps de propagation de la lumière de Fx en F2 restent constants. Pour un tel déplacement les variations du temps de propagation de la lumière sont nulles, mais ce temps n’est ni minimal, ni maximal, il est constant. C’est pour cette raison que tout rayon issu de Fx passera nécessairement par F2, quel

que soit le point du miroir où il se sera réfléchi. On le démontre à l ’aide des mêmes raisonnements que ceux invoqués au point 3. Considérons maintenant un miroir S ayant en A un point de contact avec l’ellipsoïde, de même concavité que ce dernier mais de plus grande courbure. Après réflexion dans ce âliroir le rayon lumi­ neux FXA revient au point F2. Lorsqu’on déplace le point A sur la surface du miroir S la longueur de la ligne brisée FXA F 2 diminue. Il s’ensuit que le temps de propagation de la lumière de F1 en F2 le long du chemin réel est maximal. Mais si la courbure du miroir S ' est plus petite que celle de l’ellipsoïde ou qu’il est convexe au lieu d’être concave, le temps de propagation de la lumière le long du chemin optique réel sera minimal. Dans le cas particulier de la ré­ flexion dans un miroir plan ce temps est minimal. Considérons encore le cas où le miroir SA S' présente un point d'inflexion au point A . En déplaçant le point d’incidence du rayon sur la surface de ce miroir, le temps de propagation peut augmenter, diminuer ou rester inva­ riable selon le sens du déplacement. 6. Pour pouvoir examiner le cas de la réfraction nous introduisons la notion de surface non aberrante. Soient un point P pris dans un mi­ lieu homogène d’indice de réfraction n et un point P ' pris dans un autre milieu homogène d’indice de réfraction n' (fig. 27). La surface de séparation A A ' de ces deux milieux est dite non aberrante si tout point A de cette surface satisfait à la condition n-PA + n'-AP* = C = const. Pour le cas de la réfraction les surfaces non aberrantes ont la forme d’un ovale de Descartes (voir problème 2 au § 9) dont la face

LE PRIN CIPE DE FERMAT

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concave est tournée vers le milieu le plus réfringent (ri > n). Une surface non aberrante divise l’espace en deux régions jouissant de la propriété suivante. Pour un point M situé dans le milieu le moins réfringent, la somme n-PM + ri -MP' est supérieure à C ; si le point M se trouve dans le milieu le plus réfringent, cette somme est infé­ rieure à C. Démontrons le théorème suivant. Un rayon lumineux issu du point P, après réfraction par une surface non aberrante, passera nécessairement par le point P*. Notons PA le rayon incident, 8 le vecteur unitaire dirigé suivant le rayon ; relions les points A et P ' et notons a' le vecteur unitaire suivant la droite A P ' . Par définition des surfaces non aberrantes la variation du chemin optique le long de la li­ gne brisée P A P ' est nulle lorsque le point A se déplace sur une sur­ face non aberrante. En reprenant les raisonnements du point 2 on trouve que le vecteur ns — ris' est orthogonal à une surface non aberrante au point A . On en déduit que A P ' représente la direc­ tion du rayon réfracté. Ce théorème peut s’énoncer comme suit-: si A A ' désigne une surface non aberrante pour un couple de points P et P ', chacun de ces points sera image de Vautre pour les rayons réfractés par cette surface, l’ouver­ ture angulaire du faisceau lumineux étant quelconque. Revenons à l’étude de la nature de l’extrémura de la longueur opti­ que d’un rayon réfracté. Les raisonnements qui suivent ne diffèrent en rien de ceux que nous avons-Utilisés ci-dessus pour l’étude d’un miroir ellipsoïdal. Supposons, par exemple, que les milieux ont pour frontière une surface S qui a un point de contact avec une surface non aberrante au point A (cf. fig. 27). Dans ce cas un rayon incident réfracté en A passera par le point P '. Considérons le cas où la con­ cavité de la surface S est tournée dans le même sens que celle de la surface non aberrante. Si la surface S présente au point de contact A une courbure plus grande, tout déplacement du point d’incidence du rayon lumineux le long de S le fait passer dans un milieu moins ré­ fringent et par suite le chemin optique du rayon déplacé sera plus court que le chemin optique réel, et le temps de propagation le long de ce dernier est donc maximal. Par contre si au point de contact A la courbure de la surface S est plus petite que celle de la surface non aberrante, ou bien si la surface S est concave, le temps de propagation de la lumière le long du chemin optique réel sera minimal. Il est minimal si la surface de réfraction est plane.

54

INTRODUCTION

[CH. I

PROBLÈME

En se fondant sur le principe de Fermât démontrer le théorème de M alus: si les rayons lumineux sont orthogonaux à une surface quelconque ils restent ortho­ gonaux à une certaine surface après un nombre quelconque de réflexions et de réfrac­ tions. S o l u t i o n . Posons que tous les rayons sont orthogonaux à la surface F (fig. 28). Menons un rayon par chaque point de cette surface et portons sur ces rayons un segment arbitraire L, le même pour tous, de chemin optique. Le lieu géométrique des extrémités de ces segments sera une certaine surface F'. Nous allons démontrer que tous les rayons du système sont orthogonaux a la surface F' quelle que soit la longueur L. Deux petits segments AC et C A ' de l ’un des rayons peuvent être considérés com­ me rectilignes. Considérons un rayon infi­ niment proche du précédent et tel que les distances AB et A'B* soient infiniment pe­ tites devant AC et C'A'. Réunissons les points B et C et les points C et B ' par des segments de droite. En vertu du principe de Fermât, à des infiniment petits d’ordres supérieurs près, on doit avoir (BEB') = = (BCC'B') et par construction (BEB*) = (ACC'A'). Il s'ensuit que (BCC'B') = (ACCA'). En soustrayant le segment commun (CC) on trouve (AC) + (C'A') = (BC) + (C'B'). Comme par hypothèse le segment AC est perpendiculaire à AB, à une quantité de second ordre de petitesse près AC — BC et par suite (AC) = (BC). A cette même approximation (C'A') = = (C'B') ou C'A' = C'B' ; il en résufte que C'A ' J_ A*B'. Du point de vue de la théorie ondulatoire le théorème de Malus est presque une évidence. En effet, pour un faisceau orthogonal la surface F est l'une des surfaces équiphases (Iront d'onde). Lorsque cette surface se propage selon les lois de l'optique géométrique, elle reste une surface équiphase orthogonale aux rayons du système. Le système de rayons peut ne pas être orthogonal ; par exem­ ple, si le principe de superposition est vérifié, les ondes de la forme (6.5) se propagent indépendamment les unes des autres. A chacune de ces ondes corres­ pond un système orthogonal de rayons, mais l'ensemble des rayons de toutes les ondes ne constituent pas en général un système orthogonal.

§ 8. Vitesse de groupe 1. Jusqu’à présent chaque fois qu’il était question de la vitesse de propagation des ondes, nous admettions que le principe de super­ position était vérifié et qu’il n’y avait pas de dispersion de lumière. Si ce principe n’est pas vérifié et s’il se produit une dispersion de la lumière, la question de la vitesse de propagation des ondes devient extrêmement compliquée. Dans ce qui suit nous admettrons que le principe de superposition est respecté, mais qu'il y a dispersion. Con­ sidérons d’abord des ondes planes se propageant dans une seule direc­ tion que nous confondrons avec l’axe X. Représentons l’onde monochromatique plane progressive par l’équation E = E 0 cos (cûJ — kx -f- 6), (8.1)

9 8]

VITESSE DE GROUPE

55

où E 0 et ô sont des constantes. Pour les ondes de ce type la disper­ sion ne se manifeste pas puisque la fréquence co est fixe. Pour pré­ ciser la signification de la vitesse de propagation discutons l’équa­ tion (ùt — kx + 6 = const. (8.2) C’est l’équation d’un plan perpendiculaire à l’axe X . Comme sur ce plan la phase de l’onde a une valeur constante, la différentiation de (8.2) donne: co dt — k dx = 0, d’où dx

___ co

(8.3) ir~ ~ Ainsi o)/k est la vitesse de propagation de la surface de même phase que nous avons dénotée plus haut par v. On l ’appelle vitesse de phase de Vonde. Une onde sinusoïdale de la forme (8.1) se propage avec cette vitesse en restant identique à elle-même à toute distance de la source. Si le milieu n’est pas dispersif, il serait superflu d’introduire d’autres vitesses de propagation de l’onde. En effet, en vertu du théo­ rème de Fourier, toute perturbation plane se propageant le long de l’axe X peut être représentée par une superposition d’ondes mono­ chromatiques de la forme (8.1). S’il n’y avait pas de dispersion, toutes ces ondes auraient la même vitesse de phase et la perturbation aurait conservé sa forme initiale. La perturbation se propage alors sans altération de forme avec une vitesse égale à la vitesse de phase. La situation est toute autre en cas de dispersion, puisque les ondes mono­ chromatiques de fréquences différentes avancent avec des vitesses dif­ férentes ; dans ce cas la fornje-de la perturbation doit changer conti­ nuellement (à l’exclusion des ondes monochromatiques qui se propa­ gent sans changer de forme). La notion de vitesse de propagation devient alors confuse. Mais dans certaines conditions on peut main­ tenir la notion de vitesse de propagation d’ondes non monochroma­ tiques même dans des milieux dispersifs. On utilise alors surtout la notion de vitesse de groupe. 2. Imaginons d’abord un milieu hypothétique non absorbant dans lequel la vitesse de phase v serait une fonction linéaire de la lon­ gueur d’onde X: v = a + Mt, (8.4) la fréquence co est donc une fonction linéaire du nombre d’onde k: co = ak + 2ji b.

(8.5)

Décomposons une perturbation arbitraire plane se propageant dans le milieu en ondes monochromatiques. En général il y aura un nombre infini d’ondes monochromatiques, mais on peut envisager le cas où il n’y aurait que trois ondes monochromatiques. Les dévelop­ pements qui suivent montrent que la généralité des résultats obtenus n’en est pas affectée pour autant. La figure 29 représente les posi-

INTRODUCTION

56

[CH. I

tions dejces trois ondes sinusoïdales à un instant donné. La forme de la perturbation résultante dépend des positions relatives de ces sinusoïdes. Sans porter préjudice à la généralité des développements on peut poser qu’à l’instant considéré les maximums A, B, C des sinusoïdes occupent la même position spatiale. Supposons, pour fixer les idées, que la vitesse de phase v aug­ mente avec la longueur d’onde X (le résultat final sera le même si on postulait une relation inverse). Donc si Xj > X2 > X3 et si i\.

v2y v3 dénotent les vitesses de phase correspondantes, on doit avoir vi > v 2 > v3. Dans le cas où les ondes se propagent de gauche à droi­ te, par exemple, les ondes plus longues avancent plus vite que les ondes plus courtes, ce qui entraîne une altération continue de la forme de la perturbation résultante. Les maximums A y B y C s’éloi­ gnent les uns des autres, les maximums A ly B ly CYs’écartent les uns des autres davantage, tandis que les maximums À 2, B 2, C2 se rappro­ chent les uns des autres. Si on place l’origine des coordonnées au point où se trouvaient à l’instant initial les maximums A y B, C, à un instant quelconque t les coordonnées des maximums A2, Z?2, C2 seront données par les expressions *a 2 (t) = vit — Xiy xBz (t) = v2t —X2, xCt (t) = vzt —X3 A l’instant t défini par i\x — Xx = v2t — X2 = v3x — X3, i.e. par X | ~ * X j _ _ X j — X3

X | — X3

dX ^

ux —

Vi — u3

dv

r2

u2—

V3

1 b’

les positions spatiales des maximums A 2j B 2, C2 sont alors confon­ dues, de sorte que l’on retrouve la disposition relative initiale des sinusoïdes et la forme initiale de la perturbation résultante, à cela près qu’à la place des maximums A, J5, C on trouve les maximums A 2, B 2y C2. Il est évident que la forme de la perturbation résultante ne peut en être affectée. Dans le cas de la loi de dispersion linéaire (8.4) le résultat obtenu ci-dessus est de validité générale, i.e. s’ap-

57

VITESSE DE GROUPE

plique à un nombre quelconque d’ondes sinusoïdales, quelles que soient leurs positions relatives. Ainsi au bout d'un temps t = dX/dv appelé temps de rétablissement, la forme de la perturbation se rétablit périodiquement. Par exemple, dans le cas de trois ondes sinusoïdales de l’exemple donné ci-dessus, le maximum de la perturbation se trou­ vait à l ’instant initial à l ’origine des coordonnées où les maximums A , B, C se superposaient. Un maximum identique apparaît au bout du temps x dans une autre position spatiale où se superpo­ sent les maximums A 2, B 2, C2. La per­ turbation se déplace pour ainsi dire par sauts, les sauts successifs se produisant au bout du temps x. Il est tout indiqué de définir la vitesse de propagation de Fig. 30 la perturbation comme le rapport entre la distance parcourue par la perturbation au cours d’un saut et le temps qui s’écoule entre deux sauts successifs. La quantité ainsi définie est appelée vitesse de groupe de la perturbation. Dans l’exem­ ple que nous venons de considérer c’est le rapport de la distance entre les positions successives du maximum de la perturbation au temps de rétablissement x. A l’instant t = 0 la coordonnée du maxi­ mum armax (0) = 0, et à l’instant x cette coordonnée est *max (T) y -v i* — K = v2x — X2 = — i;3x — X3 = vr — X. Au bout du temps x le maximum est transporté à la distance *max (T) — *max (0) = VT — X. Il s’ensuit que la vitesse de groupe est u = v — X/x ou ,8-6> Cette formule fut établie par Rayleigh (1842-1919) et porte son nom. La figure 30 en donne l’interprétation graphique due à Ehrenfest (1880-1933). En coordonnées X et v, la formule se traduit par la droite AB (8.4). Comme u = v — X dv/dX = a, cette droite inter­ cepte sur l ’axe des ordonnées un segment B O dont la longueur est égale à la vitesse de groupe u. On peut mettre la formule (8.6) sous la forme l

dv

u — v-\ X d (MX)

d d (1/X)

ou d(ù

u= W dkm

(8.7)

58

INTRODUCTION

[CH. I

On peut aussi mettre (8.6) sous la forme “- i t 1+ 4 5 - ) 3. Ces différents résultats ne sont rigoureusement exacts que si la loi de dispersion est linéaire (formules (8.4) et (8.5)). Néanmoins si la perturbation ne couvre qu’une petite région du spectre, ces ré­ sultats restent approximativement valables dans des milieux dispersifs non absorbants. Les perturbations de ce type sont désignées sous le nom de train d'ondes. Plus précisément on appelle train d'ondes un ensemble d'ondes occupant une bande spectrale tellement étroite quà l'intérieur de cette bande l'accroissement de la vitesse de phase v peut être posé proportionnel à Vaccroissement de la longueur d'onde k; il s'ensuit que l'accroissement de la fréquence co est proportionnel à l'accroissement correspondant du nombre d'onde k. Cela implique que dans les limites de la bande spectrale concernée les deux relations v = v (X) et co = (û (k) se laissent exprimer en approximation par des fonctions linéaires de k et de k telles que

■’ “ •’ < * • > + < * - * • > •

— f z f i

--------

fl

En éliminant les coordonnées intermédiaires xlt ylt x2, y2, on obtient M l _ ... _ Uft „ ( 12. 1) / i/î-A -x x, M i-A -x Ce sont les formules de correspondance colinéaire ayant pour coef­ ficients a — f t f i 6 = 0, c — — A, d = f tf i e — /,/2. A l’aide des formules (11.6) et (11.9) on trouve les coordonnées des foyers et les distances focales du système complet : xF = i ^ - ,

(12.2)

f = f ' Les coordonnées des points principaux sont données par x H — x F+

f = fl ^

,

(12.4) x i P = x ' r + f ' = f't J i = £ - .

On en déduit xh _ fl (12.5) XH' fi Si l’intervalle optique A s’annule, les distances focales / et /' de­ viennent infinies, ce qui correspond à un système télescopique (cette situation est réalisée dans la lunette d’observation). Dans ce cas les équations (12.1) se réduisent aux formules (11.23) avec A = ML B= M fl ' M l ’ Le grossissement angulaire du système composé est

2L = A . = J±. a

A

12 ’

( 12. 6)

§ 12]

ASSOCIATION DE SYSTÈMES CENTRÉS

87

Dans le cas particulier où n = n II (12.7) /* ’ résultat qui coïncide avec celui établi pour la lunette de Kepler. Dans le cas ou les deux systèmes qu'on associe sont télescopiques, le système composé le sera aussi et son grossissement angulaire sera égal au produit des grossissements angulaires des systèmes simples. Si on associe un système télescopique à un système de distances focales finies, on obtient un système composé de distances focales finies, quel que soit l'ordre dans lequel on associe les deux systèmes simples. 2. On appelle puissance optique ou convergence d'un système l’in­ verse de la distance focale /' de l’espace image changée de signe: —1//'. La puissance optique est mesurée en dioptries. Un système présente une puissance de une dioptrie si sa distance focale | /' | est égale à un mètre. La puissance des lentilles convergentes minces est positive et celle des lentilles divergentes est négative. Calculons la puissance d’un système composé connaissant les puissances des systèmes simples et leur disposition mutuelle. On supposera que tous les espaces objet et image ont le même indice de réfraction. Notons Z12 la distance H[H2 entre le plan principal objet H* du second système et le plan principal image H[ du premier système. L’intervalle optique entre les systèmes est alors égal à A = F f r = F[H[ + H[H2+ H2F2= /; + li2 - f 2= f[ + li2 4En portant cette expression dans (12.3) on trouve T - T + T T + * (,Z 8 ) Dans le cas particulier où le plan principal image du premier systè­ me est confondu avec le plan principal objet du second système on a f - T + T