Complemente de algebră elementară

Citation preview

N. MIHAILEANU prof. univ.

: Complemente de algebra elementara

1-

EDITURA DIDACTICA $1 PEDAGOGICA - BUCURE$TI, 1968

PREFATA

Scopul acestei lucrari este sa completeze manualele de liceu în ceea ce prive§te tehnica rezolvdrii §Î propunerii proble­ melor de algebra elementara. Ea se adreseazd profesorilor, care prin natura profesiunii lor ΧΠpun merei, probleme speciale, §Î totodata # acelor elevi care vor sa cunoasca mai mult dec-ît proble­ mele din cartea lor. 1n prima parte extindem cadrul algebrei elementare, aderent programei §COlare. ln partea a doua insistam asupra unor metode mai des iltilizate, care genereaza marea vat'ietate de probleme de algebrii elementarà. ln a treia parte indicdm unele aplicafii în alle domenii de malematici elementare. Lucrarea se încheie cu un scurt istoric, cii aplicafie la dezvoltarea algebrei elementare î1i {ara 110astrii. Expimerea este cxemplificatd cu numeroase aplica/ii, recur­ gînd mai ales la problemele propuse in revistele române�ti de matc­ matici elementare, atragfnd atenfia asupra boga/iei con/intttuliti lor. Ca o prima treapta în depa§irea manualului de §coala, nu urmdrim probleme prea specializate. Am fost preocupafi sd pu11em la dispoû/ia profesorilor fi a elevilor interesa/i o lucrare accesi­ bi/a §Î atriigdtoare. Originalitalea acestei lucrari cons/a in modul de redactare a ienui material, tn general clasic, ctt exemplificdri autoldone. Lu­ crarea noastra nu este 11ici manual, 11ici culegere de probleme; este · o carte de metodicii, in sensu/ î1i care autorul considerii dl trebuie înfeleasa aceastii preocupare, fo spiritul tradi/iei §Colii noastre de matematici e/ementare. 1\fînuind metodele adecvate fi sesizînd

3

coordonarile 1iatitrale, rezolvam mai simplu numeroase probleme. Cliiar în problemele speciale de matematici superioare un rol impor­ tant fl joaca modiel în care am fost învif/a/i sfi, executam calcielele de algebra elementaYa. Calculeazd nmlt cine mi f;tie sa calculeze.

August, 1966

4

AUTORUL

CALCULUL ALGEBRIC

I.

GENERALITAîI t. Notatii. Nu exista reguli generale pentru utili­ zarea notatiilor în algebra. Totu�i, cei ce se îndeletnicesc eu aceasta disciplina au anumite preferinte. Astfel obi�nuim sa notam cantitatlle constante date prin litere mici, de la începutul alfabetului latin : a, b, ... ; indicii, prin literele i, j, ... ; can­ titatile care rezulta constante, de�i sînt alcatuite din parti variabile, prin k, l, ... ; coeficienpi nedeterminatï, prin m, n, ... ; cantitatile necunoscute, prin x, y ... Semnificatii universal admise au simbolurile i pentru reprezen­ tarea numerelor complexe �i e pentru baza logaritmilor natu­ rali. În afara alfabetului latin, avem uneori nevoie sa apelam lJÏ la alte simboluri. Utilizam mai ales literele alfabetului grec, care este format din numeroase semne noi.

2. Alfa be tul grec. Din cauza desei lor utilizari, redam literele alfabetului grec : mici 0t

� y

8

C

� 'r)

5

mari pronuntare mici 8 alfa A beta B X r gama À delta Il epsilon E µ zeta z V 0 H eta

mari pronuntare 0 teta I :ota K capa A lamda M miu N niu 0 omicron

it

p

a 't'

Il p

:E T

pi ro

u

sigma tau

y

ipsilon

-q,·

· hi psi omega

fi

Cl> X

(j)

X.

�

Ca)

!,}

Acestea sînt literele de tipar; ele au 9i variante mai pu1:in utilizate; evident, evitam literele comune cu alfabetu.1 latin. În general, utilizam literele alfabetului grecesc pentru para­ metri (constante care iau valori dupa voie), alteori din ratiuni estetice, pentru a pune în paralelism mai mu.lte ;;iruri de varia­ bile. Unele litere grece9ti sînt simboluri universale, de exemplu, 1t; altele au în fiecare disciplina o semnificafie stabila. Astfel, în algebra utilizam simbolurile � �i II pentru sumele, respectiv produsele extinse. 3. Sume �i produse extinse. a) Daca într-o suma, care se refera la un numar dat de elemente, reprezentate prin litere, termenii difera prin schimbarea, dupa o ordine de obser­ vat, a acestor litere, scriem mai scurt un singur tennen, folo­ sind simbolu.1 1:. De exemplu: aa

+ b3 + c3 =

În expresia a3b2c

1:as .

+ b3c2a + c3a2b

trecem de la un termen la. altul, prin permutari circulare, ca în figura 1, adica schimbînd succesiv a � b, b � c, c � a. Scri­ em mai scurt 1:a3b2c = a3b2c

+ b3c2a + c3a2b.

Alteori trecem de la un termen la altul, dînd diverse valori unui indice variabil, de exemplu a+ a2

+ • ..

+ a1

7

= Eai . 1

Evident, cînd am precizat de la foceput marginile între care variaza indicele este inutil

Fig. 1

6

Astfel, relajia fiind valabila pentru n = 2, în baza justificarii precedente, este valabila pentru 3, 4 ..., deci pentru toate numerele n. naturale. Evident, putem sa spunem ca relajia este justa §Ï pentru n = 1, dar atunci enunjarea ei este banala. c) În mod analog, pentru relajia [ § 4, (4) ] 1 observam ca ea este adevarata pentru n = 2; apoi, presupunînd-o adevarata pentnt n, avem [1 + 2a + 3a2 + ... + 1tan- 1 + (n + l)a"J(l - a):s = = (1 2a + 3a2 + ... + nan- 1 )(1 - a)2 + (n + l)an(l - 2a + a2) = 1 - (n+ 1)an+nan+i + (n + 1)an - 2(n + l)a"+ 1 +

+

+

+

=

+ 2)a"+ 1 + (n +

l)an+ 2• 6. Relatil de recurenta. Numim astfel relajiile în care un element este exprimat printr-un §Ïr de elemente pre­ cedente. a) De exemplu, relajia

(n

1)a"+ 2

1 - (n

(1) valabila pentru valorile naturale ale lui m, ne permite sa objinem expresia lui am, plecînd de la o valoare inijiala a 1• În adevar, dînd indicelui m valorile 2, . . . , m, objinem a 2 = a1 a 3 =.a 2

+

+

1 1

am= am-1 + 1, §Î adunînd toate aceste relajii, reducem termenii a2 , a 3, §Ï objinem am

= a 1 + (m -

am

=

1).

• • •,

am -t

Daca a 1 = 1, objinem am= m, §Îrul numerelor naturale. b) Relajia m - 1 --am-2, m

1 NoUm astfel rela\ia (4) de la paragraful 4.

9

(2)

(3)

scrisa din aproape în aproape, devine m- 1 (m - 1) (m - 3) a,n_ 2 = -----a,n- 4 = a,,, = -)

m(m - 2 m (m - I)(m - 3) ... (m - 2k + 1) am-2k, =----------m(m - 2) ••• (m - 2k + 2)

-

de aici trebuie sa distingem doua cazuri: pentru m impar, adica m = 2n + 1 avem 2n(2n - 2) ... 2 (2n + 1) (2n - 1) ... 3

a2n+ 1=_____;.____ ai,

(4)

iar pentru m par, adica m= 2n, (2n - 1) (2n - 3) ... 3 a211 =--------a ... -

(S)

2n(2n - 2) . . . 4

7. lletoda eoefieientilor nedeterminati. In anu­ mite probleme putem sa determi�am o expresie a •direi forma o cunoa�tem �i care satisface unor conditii date, luînd pentru coeficienti ni9te parametri arbitrari, pe care îi determinam prin conditiile cousiderate. a) Astfel, putem sa reducem împarjirea a doua polinoame la o înmnljire �i o identificare de coeficienti. De exemplu, fie de efectuat împar/frea polinoamelor x5

+ 6x4 + 6x3

x2 , x2

+ 2x - 1.

(1) Cîtul este un polinom de gradul al treilea, 9i restul, de gradul întîi. Scriem x5 + 6x-1 + 6x3 - x�=(x2 + 2x - l)(x3 + ixx2 + �x + y) + + nix + n (2) -

�i identificam coeficientii acelora�i puteri ale lui x, deoarece relajia are loc oricare ar fi x. Objinem cinci ecuatii lineare eu cinci necunoscute : 11., �. y, m �i n, anume ix

� + 2 b,

c > b, se redue toate la b > a.

c"

>

b

Relatia c' > c este echivalenta pentru a> 0 eu (a - b) 2 > 0, deci valabila oricare ·ar fi relatia de ma.rime dintre a �i b. Relatia c" > c' sau b2

ab

b(a - b) O -->-,---> 2a - b a a(2a - b) 2

este valabila în numere pozitive pentru b De exemplu, avem progresiile

4, 6, 8;

4, 6, 9;

< 2a.

4, 6 , 12,

respectiv aritmetica, geometrica, armonidi. 55. �iruri întregi. Plecînd de la formulele care dau suma termenilor unei progresii aritmetice sau geometrice, putem sa obtinem suma altor �iruri. a) De exemplu, sa calculam suma terment'.lor $irului S = 1 + 2x + 3x2 + ... + nxn -t. (1) Avem S = 1 + x + x2 + ... + xn -t + + x + x2 + ... + x"- 1 +

+ x + . . . + x -t + 2

n

.......... +

care au sumele respeetive .xn _ .xn-1 +--= 1 1 = -- [nxn - (1 + X + x2 + ... + xn- 1)] = x-1 1 (nxn --x"-t)· =-, .xn _ 1

.xn _ ,t'

.xn _ _x2

--+--+--+ .x-1 .x-1 x-1

.x-1

102

x-1

¾ -

Adunînd (7) eu (9), scrisa pentru n ➔ 1t + 1, a vem 2x3 + 2 x 3 x 4 + ... + n (n + l)(n + 2) = n(n + l}(n + 2)(n + 3) •

+5X4

X 2

(10)

putem sa calculam

h) Cu ajutorul sumelor S1 , S 2, S 3, numeroase sume de �iruri numerice. De exemplu , sa calci,lant suma S=4 X 3 X l

=

+ ... + n(n - l)(n - 3).

Avem n

:Bn(n - I)(n - 3) = 1

= n (n + 1)

1

1

_

4

= n(n 12+ 1) (3n(n + deci

n

E (n

3

1

-

2 n(n +

l) _ S(2n

+

4n2

1)(2n

3

l)

+ 3n) = S +

l)

3 -

4S 2

+ 3S1 =

+ 3 n(n 2+ 1) =

+ lS] = n(n + 1)(3n 12- 13n + 10), l

,,

+ )n(n - 1)(3n - 10) + 2 S = 2 + ,B n(n - l)(n - 3) = (n l 12 1

(11)

57. �iruri ratïonale. a) Numim astfel �irurile al caror termen general este o functie rationala de rangul n. �iruri obi�nuite de acest fel sînt Si S:.

=

1

1

1 • 2

2• 3

= -+- +

1 1 ---+-1 · 2 • 3

2 • 3 • 4

l

... +-n{11 + 1)

l + ... + ----1i(n + l){ti + 2)

(1) (2)

etc., pe care le însumam prin descompunere în fractii simple: 1 1 1 --=----

1i(n

109

+ 1)

n

n+1

(�)

deci si

1 1 =L1 n(n +1 l) =E(_!_--} = 1-- -, 1 n +l n -1- 1 n

r.

(4)

,i

ceilalji termeni re