Fundamentos de Matemática Elementar volume 8 [8]

Table of contents :
Capa......Page 1
Título......Page 3
Apresentação......Page 6
Sumário......Page 9
!. A noção de função......Page 11
II. Principais funções elementares......Page 15
EXERCÍCIOS......Page 19
III. Composição de funções......Page 20
IV. Funções inversíveis......Page 23
EXERCÍCIOS......Page 28
V. Operações com funções......Page 29
I. Noção intuitiva de limite......Page 30
II. Definição de Limite......Page 33
III. Unicidade do Limite......Page 35
EXERCÍCIOS......Page 36
IV. Propriedades do limite de uma função......Page 40
V. Limite de uma função polinomial......Page 47
EXERCÍCIOS......Page 48
VI. Limites laterais......Page 56
EXERCÍCIOS......Page 58
LEITURA: Arquimedes, o Grande Precursor do Cáclulo Integral......Page 61
I. Limites infinitos......Page 64
EXERCÍCIOS......Page 70
II. Propriedades dos limites infinitos......Page 73
III. Limites no infinito......Page 80
EXERCÍCIOS......Page 87
IV. Propriedades dos limites no infinito......Page 91
I. Teoremas adicionais sobre limites......Page 97
II. Limites trigonométricos......Page 101
EXERCÍCIOS......Page 103
III. Limites da função exponencial......Page 105
EXERCÍCIOS......Page 109
IV. Limites da função logarítmica......Page 110
EXERCÍCIOS......Page 113
V. Limite da função exponencial......Page 114
EXERCÍCIOS......Page 120
Leitura: Newton e o método dos Fluxos......Page 123
I. Noção de continuidade......Page 125
EXERCÍCIOS......Page 128
II. Propriedades das funções contínuas......Page 131
Limte de sqrt[n]{f(x)}......Page 133
I. Derivada no ponto x_0......Page 137
II. Interpretação geométrica......Page 139
EXERCÍCIOS......Page 141
III. Interpretação cinemática......Page 143
EXERCÍCIOS......Page 144
IV. Função derivada......Page 145
V. Derivadas das funções elementares......Page 146
EXERCÍCIOS......Page 148
VI. Derivada e continuidade......Page 150
LEITURA: Leibniz e as Diferenciais......Page 152
I. Derivada da soma......Page 154
II. Derivada do produto......Page 155
EXERCÍCIOS......Page 157
III. Derivada do quociente......Page 158
EXRCÍCIOS......Page 161
IV. Derivada de uma função composta( Regra da cadeia )......Page 162
EXERCÍCIOS......Page 164
V. Derivada da função inversa......Page 165
EXERCÍCIOS......Page 168
VI. Derivadas sucessivas......Page 171
EXERCÍCIOS......Page 172
I. Máximos e Mínimos......Page 173
II. Derivada - crescimento - decréscimo......Page 177
EXERCÍCIOS......Page 180
EXERCÍCIOS......Page 186
III. Determinação dos extremantes......Page 189
EXERCÍCIOS......Page 193
EXERCÍCIOS......Page 202
IV. Concavidade......Page 205
V. Ponto de Inflexão......Page 207
EXERCÍCIOS......Page 210
VI. Variação das funções......Page 211
EXERCÍCIOS......Page 214
LEITURA: Cacuchy e Weierstrass: o Rigor Chega ao Cálculo......Page 215
I. Introdução - Área......Page 218
EXERCÍCIOS......Page 221
II. A integral definida......Page 222
EXERCÍCIOS......Page 223
III. O cálculo da integral......Page 226
EXERCÍCIOS......Page 230
IV. Algumas técnicas de integração......Page 236
EXERCÍCIOS......Page 237
EXERCÍCIO......Page 240
V. Uma aplicação geométrica: cálculo de volumes......Page 241
EXERCÍCIOS......Page 242
Capítulo I......Page 243
Capítulo II......Page 245
Capítulo IV......Page 246
Capítulo VII......Page 247
Capítulo VIII......Page 250
Capítulo IX......Page 254
Limites......Page 257
Derivadas......Page 261
Variação de funções......Page 266
Respostas dos testes......Page 269
Significado das siglas dos vestibulares......Page 271

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.5011

n 1133 g eoçl'gwºww pund

GELSON IEZZI CARLOS MURAKAMI NILSON JOSÉ MACHADO

FUNDAMENTOS DE

MATEMÁTICA ELEMENTAR 8

LIMIÍES

DERIVADAS NOÇOES DE INTEGRAL

EDITORA

GELSON IEZZI CAMOS MUBAKAMI NILSON JOSE MACHADO

FUNDAMENTOS DE

MATEMÁTICA ELEMENTAR 8 DERIVADAS LIMIT—ES NOÇOES DE INTEGRAL 62 exercícios resolvidos 264 exercícios propostos com resposta 7 1 testes de vestibulares com resposta 6ª: edi (;ão 7ª: reimpressão

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EDITORA

© Gelson Iezzi Carlos Muraknrni

à3"?:. ; ª &,ª5

Nilson José Machado (“;))/right des-zu edição.-

SARAIVA A. Livreiros Editores, São Paulo, 201 I Rua Henrique Schuun'lâllln, 270 Pin'hcircxs

,

——

bão Paulo SP Fone: (Oxxl l ) 361373000 ["-fix: (OXXl 1) 361 1—3308 (()xx] Vendas; ]) 361 173268 Fax www.cdicon Sku'ªiV 01111):Todos Os direitos reserw/zldos

054 ]3—()l ()

7

Dados [rule-“nacionais de (Íamlognçâo na Publ' ação (CIP) (Cãnlara Brasileira do Ilivro, SP. Brasil)

Iezzi, Gelsorn l9397 Fundarnentos de matemática ulcuuontan S : linwitest derivadast noções de integral : 62 exercício:—; resolvidosv 264x;xc“.ícios plc-postos con] resposta. 7 1 teste:—' de vestibular com1 resposta / Gelson lezzi. Carlos Murakarrli, Nilson José Machado, 6.cd.— São Paulo :Atual. 2005.

Suplen1enntado pelo

[natural do professor.

ISBN 97878573577054778 ]. MaleIIIátiCa (Ensino rne'dío) 2. Muternãticn (Ensino médio) Problculas e exercícios etc, 3.Maten—1ática (Vestibular) Testes [. Murakami. Carlos II, Machado, Nilson José ITT, Título. IV, Título: Lixrlites, derivadas, noções de integraL 7

CDD—510.7

04—7290

Índices para catálogo , temático: ] . Matenlática : Ensino [Ildi-lik) 510.7 Fundamentos de Matemática Elementar vol. 8 (;t'rzfnfc' editorial: Wilson Roberto Gurnbcla Ezlilurus: Bárbara Fel eira Arena Teresa Christina W. P. de Mello Dias Editor lle Cain/Jo: Valdir Monfanari ('(nur/criadora editorial.- Sandra Lucia Abramo

_

Asftstcnrz's editoria : Móni Ç'hfjfz-

(Jepreparação

T'cre

&

Rodrigues (le llinla

.;Cristina

de texto a rcvísão: Nuc

Duarte

Crlurclerluçr7c) (Ie !"eviSrTrJ:Pedro Cunha J

Riba

.

Kobayashi Magna Rcirnhcrg Teobaldo Vera Lúcia Pereira Della RustCalnila Rodriguus Santana Edilene Martins dos Santos

I(fvisorcs:Alice

Gerente da: arte: Nair de Medeiros Barbosa Sli])(ªl'l'f'_9()l' de (!l'rr': José Maria de Oliveira C/zqfe de arte: Zilda Braz Cuor(lenrl(10fu (I:) (Jr“): 'rhnísde B. F. Motta A.C.i'istcnrcsf dc- arte.- Lu Bevilacqua Ghiun [lic- |'(luY:)l'iu

Rosi Mei 'eMartins Ortega Gerente dr: produção: Anlo no ( Íuhcllo (2.1—“ilho A .ssístf'tzí?de produ;— ío. Grace Alves Diagranraçcío: Setup Bureau Editor-lg «: Hiuu-onica ( (l(>l(f('l|(lg(l():lennnn'a. Silvia Regina E. Almeida Produção gráfica.- josé Rogerio L. (lc Simonu

Maurício "l". de IVIoraes Colaboradores [Ecw-is.70 técnica.- hunt: anruno Filisetti Pro-juz!) gruf/ico (”no/(I): Thaís de 13. F. tuoua (capa):ELLurc Bottini hnugzun da («pa; Hilton Ribeiro Iªra-1)arczção dos testes de vestibular Margarida Aparecida de Sichuan (jqnuvêu CTO/ruinsiçzío (“ (fI'ÍLJTÍÍITrIÍ.' [Junte Ed. ::Corn]. de Livros" Ltda. Fotolito: BinhoS/STAP

Visite nosso size: www-.aLu-dlcdiluru.com“.hr (Oxxl I ) 361373030

(“culral dc zllcndilncnlo ao professor:

Apresentação Elenstentar é uma coleção elaborada corn () objetiVisão estudante urna global da Matemática, no ensino médio. De— oferecer ao '.c'nvulvendo Os programmes ern geral adotados—nas escolas, a coleção dirige—se aos x'tªsliláulandºS. aos universitários que necessitarn rever a Matemática elementar e tauri— lu'lll, corno é óbvio, àqueles alunos de ensino médio cujo interesse focaliza—se ern acl— quirir urna f(3rrnação rnais consistente na área de Matemática. No desenvolvimento dos capítulos dos livros de Fundarnenros procuraxnos seguir unnn orden-1 lógica na apresentação de conceitos e propriedades. Salvo algurnas exce— çnt—s beífl conhecidas da Matemáticª elementar, as proposições e os teorcrnas estão =.t—1nprc aceinpanhados das respectivas deinonstrações. N'a estruturação das séries de exercícios, buscarmos seinpre uma ordenação crescen— It“ (lo dificuldade. Piu-tintos de problernas sinaples &: tentarmos chegar a questões que en— &'nlvcnl outros assuntos já vistos, levando o estudante a uma revisão. A sequência do tex— lu sugere uma dosagem para teoria e exercícios.) Os exercícios resolvidos, apresentados rm nieio aos propostos, pretendem senipre dar explicação sobre algurna novidade que up:-rece. No final de cada. volurne, o aluno pode encontrar as respostas para os problemas propostos e assiill ter seu reforço positivo ou laartír à procura do erro cornotido. A últirna parte de cada voiulaie é constituída por testes de vestibulares, selecionados dos Inclhores vestibulares do país e corn respostas. Esses testes podem ser usados para unia u-visão da rnatéªría estudada. Aproveitamos a oportunidade para agradecer 'ao professor dr. Hygino 1—1. Ihcuningues, autor dos textos de história da Mateinátieã que contribuem] muiito para o ruriquccirnento da obra. Neste volume fazemos urna revisão do estudo das funções elei'nentares, estuda— nun—; conceitos de ]iinite e continuidade e noção de derivada, associando derivada à va— unção da função, Finalizamos corn noções introdutórias de integral definida., Esse últi— ?llIJítLllO ultrapassa. una pouco as fronteiras do eu ino niédio. Finalmente, ccuno há setnpre un'la certa distância entre o anseio dos autores e o vulur de sua obra, gostaríamos de receber dos colegas professores urna apreciação so— P-rc este trabalho, notadaruente os comentários críticos, os qtlais agradoceihos. ['undamentas de Matemxífica

vn (lc

|||"

( )S autores

ª O texto deste volun1e,(8) não sofreu inuitas alterações. A teoria foi totalnnente revista e., onde foi necessário, fizeram—se pequenas ficações. Reduzimos ao número mínimo os exercícios de cálcuãos de 11— mites peta definição- As respostas dos exercícios forarn cuidadosarnente conferidas. No nlanual do professor estão resolvidos os exercícios mais

modi—

complicados.

.

Finahnente, corno há sempre uma. enorme distância entre 0 an» seio dos autores e o valor (êle illa obra, gostaáríarnos de receber dos gas professores urna apreciaçao sobre este tiabalho, notadan'lente os e()— rnentáries críticos, os quais agradecemos.

ÉOÉC-

:

_

Os Autºles' '

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*AlȒ'rULo 1

__

.............................................. ......................................................................

FUNÇÓES ................:

I. A noção de função

«

elementares..

II. Principais funções lIE. Cornposição de funções IV. Funções inversíveis ....... V. Operações com funções ('APÍ'l“[1l'-() [ ]

—--— 1,4íh'll'lªE

............................................................

I. Noção intuitiva de liinite II. Definição de limite ......... III. _ .. IV. Propriedades do lirnite de urna funçao V. Lirnite de unia função polinomiaã .........

,

Vl Leitura: Aiquinfiedes, o grande precursor do cálculo integral (“AI'ÍTIÃIJO ill

H.,...

-— () INFINIrlíªl'VC) .................................... ,.............

I.

_______________

[I. III,

Lilnites no infinito IV. Propriedades dos iiinites no infinito ....................

('./X l»'Í'I'1.Í1..(,)

IX" —-————

ÇÍ(,)MPIÁEMEN'F()S S()I$RE

LIMI'I'ES

I. Teoremas adicionais sobre !irnitcs II. [_,iulites trigononlétricos ...... ... . III. Limites da função exponenc1a1 .IV. Liinites da função logaritimiea ., V. Limite exponencial fundamental . .. I_-eíLLlra:

Newton e

( ',»Xl'Í'lªlTIJO

V

—-—

()

método dos fluxos

CON'J”INI]II)AÍ)ÍC

[. Noção de continuidade ...................... II. Propriedades das funções ceiltínuas I'll, Limite da fifj'Cx)

........................................................................

CAPÍTULO VI, É '

('

_: *

_ DERIVADAS

...,.i..---_,_-._..._....-,.,-,._;....,.—-,._._._-_.“..-

..........................

I. Derivadas no ponto x,; II. Interpretação geométrica .... Iii. Interpretação cinemática-» IV. _ v. _ ' ' VI. ” ideitara: Leibniz e as diferenciais -.. ª

e......“nu.....vnuu.......,....,i..

.......

.

'

. .

_

.

..

..

.

.. ..

......................... ..... ..... ........ CAPÍTULO VII REGRAS DE DERIVAÇÃO .......................... —— I. Derivada da setima. ........................ Ii. Derivadas do ºprodutb ª“..;

“a;

.!

......

'lII. Derivada do quociente . IV. Derivada de uma função composta. (Regra da cadeia) .. V. Derivªadà da função Inversa ............................... Vl- Derivadas sucessivas "-t.“...uuuei-.. ...,.--.i-,......-......

_

CAPÍTULO VIII

__

ESTUDO DA XARIAÇÃO DAS FUNÇõES

.....

I. Máxinios e mínimos .................................................................. II. Derivada —« crescimento deeréscinio ..,. III. Determinação dos extremantes .... IV. Concavidade ......................

_

———«—

VN; ªâât; geº ãggíâíâõgs e Weçierstrass: º rigor chega ao cálculo LeituraÇçaucl'iy

——

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N()Ç()ES DE CÁIÁCUIJO INTEGRAL ........ IX I. Introdução —— Área ..... » ...... II. A íntegra], definida _,... .. III. () cálculo da integral ...................... IV. Algunias táonicas de integração ........................... V. Uma aplicação georne'trica:cá1eulo devolumes -......... (ÉAI'ÍTULO

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RBZSP()S'TAS D()S 4

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.........................................

4_________________.,

EX.ÉRCÍCIOS ..) ................................. ; ............... ,,

TILSTES DE VI1“STIBITI'ARES RESPOSTAS l)OS 'TES'I'IÇS

—

"""""""""""""""""""""""""

......................

"..,.-........_ O)

[ºLJNgXÚI-ZH

2ª?) [*": IR

IR tal que —x, se x < 0

%

0, se O É x < 1 1 x, se x uma função definida por três sentenças: 7x quando x E ] —oc>, 0]: u 0 quando ;( € [O, 1[ u)( quando x 6 [l, +ºº[ __

f(x) = é

y

y y “rala“

>

As funções definidas por várias sentenças têm uma importância especial liVI'O.

[Domínio

e imagem

don'zúíio da função _]? A ———3— B o conjunto A . Notação: D(_f). (Tharna—se írnagem da função j': A —> E o conjunto constituído pelos n'ln'lllttlllOS y & B para os quais existe algum x 6 A tal que (x,y) 6 _f. No— (Íharna—se

Ím(f).

l.u;:u):

contradomínio da função _f: A ——+ B o conjunto 3. Nota— CD(f)[*or exemplo, se A = 50, 1, 2, 3], B :EO, ], 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 93 e B e' definida pela sentença y : x2, temos: 3 A D“) [(O) O), 1)(1, 2, 1), 33 (2, 4), (3, º)]

(“.harna—se

*"

'

A

A

nnu') :[O, 1, 4,

CD(f)

:

93

que, para todo f,

B.

[.crnbremos ainda que,

i.“;lt)

f

9!

iº, 1, 2, 3, 4, 5, 6, '7, 8,

Irã evidente

Íl'l(4/.) C

"ª“

.]", lemos:

feita a representação cartesiana (gráfico) da fun—

[) Domínio D(f) é o conjunto das abscissas dos pontos do gráfico, isto

.-, o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais por eles con—

duzidas interceptam () gráfico. ll) Itnagem Im(f) é o conjunto das ordenadas dos pontos do gráfico, lhll) &, o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais por vlcs conduzidas interceptam o gráfico. 3

FUNÇõEs

libre/"10105

D(f) : IFR!“ Im(f) : IRÍ

D(f) :[—2, 1] Irn(f) :[O, 4]

Uma função está bem definida quando são conhecidos D(ji), CD(f) e a lei de correspondência y = f(x)- E cornum, entretanto, darmos apenas a sentença aberta y = f(x) para0 nos referirnlos a urna função f. Neste caso, que D(_f) e' conjunto formado pelos números reais cujas _Flca imagens sao reais, isto é: x & D(f) = y : f(x) G IR '

subentendido

5-

Funções iguais

Duas funções _f: A = E e g: C = D são iguais se, e somente se, A = C, B = D e _f(x) = g(x) para todo )( E AEA'GFP'Ip[os g: A

1?) Se A = [—I, O, 1] e B = [O, 1, 2, 4], as funções _fZ-A = E e f(x) = x2 e g(x) = x4 são iguais, pois:

= B dadas por

f(—1) :(—1)2 :(“I)4 :g(—1) f(O) = 02 = 04 : g(O) f(l) = 12 — 14 = g(l)

2?)SeA=IR*eB=IR, asfunções f'A=Beg.-A=B

dadas por f(x) = x—2 e g(x) = )(

G

IFP“, temos: f(x):x _ _

X

2

_

_x—2'x: são iguais pois, para todo

x _2 2:T-(x—2)=X—X—X=g(x) _

2

l-'l1N 0, a (—decrescente0). Z Sua IFL ,

função afim

e crescente e, se

< 0, ela é

a

imagem é

V

a


O

V

0

(0. b)

(0, b)

(_ ª, o) a X

|

(_ A, o) a >
0, 2a 4a 2a a parábola tem eoncavidade voltada para cima e, se a < 0, para baixo- Con— forme A = bº -— 4ac seja positivo, nulo ou negativo, a interseção da pará— bola com o eixo dos x é formada por 2, I ou nenhum ponto, respectivamenteAssim, são os seguintes seis tipos de gráficos que podem ser obtidos para (23

=

funções quadráticas. VII

ª>º

vn

X

A>O

X

e

!,

XW :

y]?

a>O

e A=

.: :

I I

l

f

I

|

x

: I

|

V

v;

I

/

/

v:

V

' :

:

x

l

'

l

l

|

|

,

I

ª

aO

.

_lV

, : a— IR definida pela lei f(x) = aº“. 8

lr't lN(_'(“)l

.— .

In.-stacamos as seguintes propriedades das funções exponenciais: I 1') sua imagem [RT, isto é, aº“ > O para todo xEIR; .ª. '.' ) SC 0 O0 se x
—

IR dada pela lei:

cos x, para x S O 2“, para x > O

III- Composição de funções 9,

Definição Dadas as funções ji" A

posta de g

comfa

=—

função F: A

B e g: B

C, chama—se função com—

—=— C definida pela lei

A

F(x) — g(f(x)).

C

B

Isso quer dizer que a função Fleva cada x 6 A no elemento F(x) ob— tido da seguinte Forma: sobre x G A aplica—se f, obtendo o elemento _f(x) G B, esobre f(x) aplica—se g, obtendo—se o elemento g(f(x)) G C, tam— bém chamado F(x). 10

l-"l IN(_“.(—)l já

A função F, composta de g e_f', também pode ser indicada com o símbolo círculo f” ')-

f (liªr—sc: “ªg

!:”xemplos It') Consideremos os conjuntos A )!. 3, 5, 7, 93- Consideremos també .Vº e g: B —>— C tal que g(x) |— IFR+ dada por y = «lx- Seus gráficos, anne! ricos em relação à bissetriz do ]? quadrante, são os seguintes: lnvc

FLINÇÓÉS

f(x)

2

] b) Função logaritmica: y = logax (0

< (1

=

1)

=

A função ,f: IR = IRÍ dada pela lei y = ax, 0 < a !, chama— exponencial da , (% inversível. Sua inversa é fl: IRÍ = IR dada por y = logax, chamada logarl'tmica- Dependendo do valor de a, os gráficos da Iogarítmica e da exponencial tornam um dos aspectos seguintes: a>1

0
12x2=x=l

(x=1-2 g3x =P 2)

ªlí—"x

+

(x—1)(2x+1) =

íª '

+2 ';)É_ 2x+l “ ";

__

__35

37- Calcule os Iinlites:

_ 3x + 2 +X3 x4 — 4x + 3

3) lim1 x»

+ 4 x 3 + x2 12x 12 2x3 + 7x2 + 4x — 4 x4 _ x 3 x 2 + 5x + 4 xª + 4x2 + 5x + 2 x4 + 2x3 5x2 12x 4 2x4 + 7x3 + 2x2 12x 8

b 1. x4 ) xlín—z º)

1"

=

=

=

xlín—u

cl) lim

=

X==2

=

=

=

=

38. Calcular os limites: 2 _ 2 & X_ a l'm =X a) x1_a b 1"

a2

7

yin] . e)í13'à . f)>l

=

3)

0, multiplicamos ()

numerador e () denominador pelo “conjugado” do numerador e também pe—

LIMITE

lo “conjugado-” d-o denominador. J3x 2 2, _ (J3x 2 2) - (J3x +

+

+

+

Jabá +" 1 3 (J4x + *1 2) (+./“41x + 1 + 3) _ 3(x= 4(x+2)(J3x+2+2) +

,

(J4x' + 1 + 3) - (Jsx + 1 + 3“) . __ 35/54): 4(J3x+2+2)

+

,

2 + 2) - (J4x + 1 + 3)

+

3)

+

«

,,

2 + 2)

,

e então:

_

333312

Jªil-+» "à

2 (4x +. l, _. 3 _

_

+

333312

3(.f47x—'Í+—l + 3)

4(,)3X __ 2 +

9 8 _

2)

'

43« Calcule os limites: _,

-

4) lim

X=4

V

+ l_3 =2X Jx—z—Jz

5x —

b)

— 1

: :

«ixº + x= 2=qixzâ

d) x_z lim

— _ Mª l =

,

J3x 1x + 1 JX _1

x_.o

44- Calcule os limites: í——z ª) hm —

3x2

.

C) lim _ + 4— +4

,,

4— «110 + x b ) x_õ lim= 2_ %

X=2

_

“

Jx

J

2

_2

'

º

— M

nm x———1

.ix2 +

.

3x + 6 _ 2

lim &. 45- Calcule x+2

343x

.

+

5— 1

+

Solução

Notemos

lírnz (x= 2) = 0 e x= linª (3xj3x= 5

=

Jur——

Lembrando da identidade aª

=

bª

= (a

=

1) = 0.

b) (a2

+ ab

_

+ bº),

.

vamos mui—'

' 2 3( _ 3; . tlphear º numerador e o denominador 2por [(3);3x 5 + 3x 5 + I:" 2) X 2 l] (X _ = [(34 3x _ 5 + 3x! _ 5 + _ 343); — 5 — 1 (ªx/sx — 5 1) [e X=a+

=

lim f(x) e forem ambos iguais a L-

x=a—

Demonstração

Notando que O1+ x — 1

I)efínição

cha I um intervalo aberto que

a e sejafurna função definida iai. Dizemos que, quando x se «|o|. vxinla de a por valores maiores que u. /( x) cresce ilimitadamente, e es— uni—“>|“ In |

! lrvi'llll)S

lini-__

f(x) =

+00

> 0, & > Otal que seo < x—a < 5

nv, qualquer que seja o número M

rul'dll

oªul IIC)

_/'(x)

> M.

O INFINI'I'O

Em símbolos:

lirn+ 513;

f(x)=+ºº

= (VM>O, 36>0|0

Vc "u_u-.

%%;— > 0

quando x está próximo de a, então

0 quando x está próximo de a-

Pela definição de L

iii/rg

g(x) = 0, temos:

> O, 352 > 0 | 0
O, então existem x=a Ix= al < 6, então g(x) > czSe lim g(x) = b

Se

5213 f(x) = + ºº,

!x

a |


o;

>

0 e 5, >

&> 0

e

()

tais que se

52 > 0 tais

=X!—

que se

Considerando & = min Xô,, 62], decorre que, para todo M > O, existe M () tal que se 0 < Ix=al < 6 então (f-g)(x) =f(x) -g(x) > ———a - a =M. 3.0- Teorema Se

gil); f(x)

=

=ºº

e

l)seb>0, então lI)seb

=

11333

333.13

=

f2(x) _

.

33.93

1

x4

7

+

lirrà g1(x) = lirrà x“ = O e lini], g2(x) = ling xª = O

lNZas-

( 12 — x4) = lim X2 = O e = lim = lim + ºº 1 x4 — xz) Xz —

lim (fl ' g1)(x) = xªo lim

x=0

lim (fz ' gz)(X)

x=º

58_

Xá

X»

Xª

ººº

xªo

)(

x=!)

x—pl')

Teorema Se

ªim f(x) = xa

Demonstração

Se

. f(x) _— £lm _.a

+ ao e lim g(x) x_ta

_

=

+ ao,

então x=” lim (f- g)(x) = + oo-

. + ºº, entao exxstern

JM > 0 e se £ILTÃ g(x)

. que, e õ, > O tens se

= + ºº, então existem 0 < Ix — al < B,, então f(x) > «IM; JM > 0 e 62 > 0 tais que, se 0 < Ix —— al < (52, então g(x) > JM. Considerando & = min [ôh 62], temos para todo M > 0, existe 6 > O tal que se 0 < lx— al < 5 então f(x) g(x) > «IM- «IM = M.

-

59- Teorema

—“

—ºº. lim g(x) = —ºº, então x=»a lim Se x——a lim f(x) = + ºº e x=a g)(x) = A demonstração deste teorema é feita de modo análogo à do teorema an— terior; portanto, ficará como exercício.

66

O [NFÍN ['I—O

'Feorema Se lim f(x) = =ºº e

9173 g(x)

= —oc>, então

(1173 (f- g)(x)

= +ºº—

IDemonstrar este teorema a título de excrc1c1o-

hl. Observação

Se

341113 f(x)

=

+ ºº

Inuit—unos estabelecer uma

(ou —º) e lim g(x) = x——a '

-

lei geral para

f

il —2x7: (_g— .

+ ºº (x).

Por exemplo, consideremos as funções f(x) =

1 definidas em IFP“. x2 Observemos que :

lim f(x)

x———()

=

(ou —ºº), então não

1

O INFINITO

62- Teorema

+ = O-

+ ºº, entao llrn ——a f(x)

Se lirn f(x) ,V——n

Demonstração

ªin t/2 1

f(x) = + ºº, então existcn1 M > 0 e 5 > O tais que, s Se 0 < Ix— al < 6, então f(x) > M.

Mas: f (X)

>

M

Tomando

>0

=

—

AIJ”..

(

___

l f(x)

If (X) I > M

temos para todo

1 0 < lx— al < 5, entao f(x)

0
O, existe 5 > O tal que, se

1 . + [.um e e, portanto, No” = 0.

100

63- Teorema

_

,

[zm f(x) = —ºº, entao Se x=a

. (zm

x=.”

1 _ f(x)

= O.

A demonstração ficará a. cargo do leitor.

64- Teorema

1 _ x=a . j(x) . - = 0, entao lzfn hm Se Jc=>a f(x)

+

— +00.

Dem onstração Se

ªgf—(x) = O,

então lf(x)|


0 e 5 > O tais que, se 0 < Ix=al < 5,

E.

Mas:

> =1= [=[ f(x) Tomando M %, temos para todo M > 0, existe > O, tal que, se l 0 < rx— al < 6, entao _ + oo. > M e, portanto, ]=l f(x) ITX) If(x)!
0, EINO,

3N>oix>N

> f(x)>M)

(:oloquemos com símbolos as definições de: lim f(x) = _00 lim f(x) = + ao e lim f(x) = “_“—ºº x , “***” " ºº

—

f(x)=e—Oº(vMOIX>N===

f(x), “1x2 —

C

& IFP“

3x + 5

.

5x2 —

.

— 1 3x2 + 5x — 2

3x

4x

4x + 3 + 2.

+

5x — 4)

)

O INFINITO

Solução 3) x=+ª= lim

lim —3—Xl—2— Sx—l = x=+ºº

b) lim

ã——_4+X3 = lim

“_

):

Xªá

C) ª)

.

galegº-.. =-

2);

x—_

5x2

—— 4x+ 2.+ 3

_,._.._..._.__.__

illª—oo .

ªº

lim i = =3— 3x = x=+ºº S SX 5 (—2) lim lªlª-— = = —2

3X

1 3x:-4x'— + sX—z

= .

”a'—ºª

Sx2 = __ 3x

.

5x = 3

,

3213311» 4x . _BXz = ªr?-w =£1Lª= oa

ªi,—131+

ao

4 3x

=

+ ºº

º

80- Encontre:

1-

3 _ 2x 5x + 1 4x — 3 . 1 b) XII:—Lºº 3x + 2 ª 4 1 X— C) Xl—IEl—Feo )( + 1 &)

+

XLI—H+ ªº

g)

+

-

_

.

xª—l 2— X + 1

Cl) llm

===

e)

111.11

x= + ªº 3):

X;;

»=>—º=— f) lim

3

h)

xª + x + l __ (x + 1)3 — x3 ªfin—= (2x 3)3 . _ .

Ilíria:

. . ªfin—oo . hm J) x=+= 1)

xº — 3x + 4 2 + 5x _ 6x + 2. +4

—

k)

. llm

n—

x(x

+

l)(X

+ 2)

(3x + 2)3

2x(3x

+

1)(4x

1)

_

2x=333x—2)2

xª

;x + 2)“ (2x

X—ªªºº

+

(x

—

+ 3)3

m

—— 8x3 — 1

81- Encontre:

_ m

Wax

+ 2 &) X——+ºº hm = x + l

b) x———ºº hm

+

)(

+

º.,

(K+ ])= +00

]

Solução Observemos Aque: âigmªm-qlx2+2x +-2= ªin't“, lim

x=—==-

78

(x

«ixº—2x+2=

+ºº,

ªim+

.

:: & + 1) = _ºº e não têm significado os símbolos ªff—: ºo —— lim+ ºc.

(Jxº + 3x + 2 — x).

Solução

Observemos que lim 4x2 + 3x7+ u“—-—+ºº

2 =

+00

lim e Xª+m

cado o símbolo (+ ºº) — (+ ºº).

mas carece de signifi—

O INFINITO

Para obtermos o limite procurado, multiplicamos e dividimos

+ 3x + 2 -——x)

(4x2

+ 2 —— x

xfxº + 3x _

Jxº

+ 3x + 2 + x). Assim, temos: («ixº + 3x + 2—x)w(Jx2 + 3x + 2 + x)

por (qlxz

3x + 2. + 3x + 2. + x

Notemos que

_

Jxº + 3x + 2. + x

ªin-facº (3x + 2) = + 00, £im+=o («)xª' + 3x + 2 + x) =

+ ºº

+ ºº não , e o Simbolo tem significado- Fazemos então: WX

3x + 2 3

2

JX

+

X

+2+x

(3 + a)

3 + _2_

x

=

:

1+

x

—3— + xº2 + )(

'

'

I +i+ 2 + 1

1

xº

x

.

e portanto:

(sz + 2x + 3 —

lim x—>+uº

x)

:=

J-,

lim X__..+oo

_,A,._.,,_.,,..,,_,,.

7—2,“

1

84— Encontre : a) 13)

lim+m (Jxº + 3x + 4 — x)

e) )lCÍrn

“In.“. (xixª

f)

£i_1_n+w (Jxª—4x + 5 — Jx2—3X +

JX — 2)

g)

lim+

1 — x)

h)

£í21+m(JSgº'1 ax

x_.

+ 3x + 4 — ,

c)

Plcim+

d)

iiín+m(afxª — x +

_”

x)

(fx + 4 —

m

+

(»./xª + 1 —

4x2

+

i)

,?

_:

(x —

sz + 4) +b

—

x)

85- Encontre: . a) hm x—>

'» 80

" ºº

x + ã/xº' — 5x2 —— 2 _ 3ij3 + ].

«];—m

Eira - Jm—JT+_3 =»

2x +

_

c) hm Xá,

+

m

X2

4—x

_X+l

.,

INFINITC )

.:.

IinconLre: ªª)

l1£n+m

J+= + +

+

-

C '

-

x

cm

JX

) lim

JX)

x x + x + F

h) lim x_.

JX

( x

3Jx + 'ã/x J4x—4—l +

=

>O,3N>O|X>N=(f+g)(X)>M .

Temos, por hipótese

linª“)

f(x) =

M

+ ºº, isto e', se tomamos 2 >

0, vem:

O INFINITO

v%>o, 3N1>le>Nl=f(x)>%/I— e

Em

.»

g(x) =

+ ºº, isto

> 0, temos:

é, se tomamos

V—LZA—>O,3N2>OIX>N2=g(x)->%— então, considerando N = max [Np

N23=

decorre:

VM>O,3N>O|X>N=f(x)+g(x)>%+%=MA Faremos a apresentação dos enunciados dos demais teoremas e deixar mos a cargo do aluno as demonstrações-

80- Teorema Se

e

íªn+=g(x)

=

f(x) = +00,

ginª“ g(x)

= +00,

ªmwf(x)

: —c>o

—00, então

gm” (f+ g)

= _._

Observação

Se

e

ªin-n*

+

)1(irn+ºº

ªirn+w h(x) = ——ºº

i(x) = —ºº, não podemos estabelecer uma lei geral para os seguint—

limites

iisaw

(f— g),

Jarra.» (h _ D(x)

e

lisa“. (f + h>

Por exemplo, consideremos as funções f(x) = 3x — 2 eg(x) = 3x definidas para todo x real. Observemos que (3x—2) = +00 e )lKÍínFm (3x + S) = +ºº

+ J'

Piªu.»

e calculemos:

ªªa (f _ g)(X) yªng“, [f(X) _ g(x)] = = ªirrLºº [(3x — 2) — (3x + S)] = ªªn++(—7) = —'7 :

Se considerarmos as funções f(x) = 3x2— 7x + I e g(x) = 2x2 + 2x— defínidas para todo x real, teremos: (3x2—7x + 1) = +00 e ªgªrrªm (2x2 + 2x—3) = +00 mas gigª“, (f — g) (x) = giga”, [f(x) — g(x)] =

ªlinhª

=)l(i_1>nr+ 82

[(3x2—7x

+ 1)—(2.x2 +

2x—3)] =

ªmºo (x2—9x + 4) =

+ºº

O INFINITO

Teorema Se Í)

.???» f(x)

=

+ ºº e figº: g(x) = b

= 0, então:

lim (f - g)(X) = + ºº se b > O então x=+u=

lim (f - g)(X) = =ºº< 0 então x=+ºº

II) se b

Teorema Se (fm f(x) m

>O II) se b < 0 I) se b

Observação

.“"I, |||

Se

_Çii't'ímf(x)

= +00 (ou —ºº) e

gin/im

g(x) = O,

que g não é a. função nula, então não podemos formular uma lei geral para

(f— g)(x)-

Por exemplo, consideremos as funções f(x) = 2x + 1 e h(x) =x2—4 .Iu-Iinidas em IR e a função g(x) = +] definida em IR — [1]. x_ Observemos que f(x) = ªgiriª (2x + 1) = +00

liªm

um

hºº) =

ligam

g(x) : lim x=+ao

(f

(h

-

(xº—4): +00

+ X

o

=

g)(x) =

ligia“

[f(x) g(x)]

g) (X) =

ªgi

[h(X) g(x)]

*

ao

-

-

'Feorema

ªº 031 mf“)

=

:

+00_

83

O INFINI'I'O

84- 1 eorema

—

——

(j' - g) (x) =

+

lim (f - g) (x) lim f(x) = + ºº e x=4= lim g(x) = — ºº, então X=+eº Se x=+=

85- ? eorema Se

ªtivª ººJªçx) = — ºº e £Í_l:rl+ ªº g(x) = — ºº, então íífí

.=

---*

,

-'-

Observação

'

+

-

f

.

im ?

demos estabelecer uma lei geral para

_,

(x).

consideremos

Por exemplo, as funções f(x) = 2x _ 3ª g(x) : 3x —' e h(x) = xº — 4x + 3 definidas em IR. Notamos que =. (2x ªº f(x) = _ 3) = + ºº

ªcirrª

lira.”

g(x) =

PEL» h(x)

(—f)

lim x=+m

g

ªti— tr i

giga“,

=)1Lrn+m

(3x

—

4) =

+ ºº

+

3) =

(x2 — 4x

+ oo

3 = —2 = x=— (X) = x——+ Iirn = _f(x) im+cº +2X g(x) 3x _ 3 — 4

h(X) x2 — 4x + 3 . . =—g(x) —í131m—_3X_4 garra.» ? (X)—lima,

h

.

86- Teorema _ Se

5273

eº

f(x)

4

7

_ _

Dº ,

=

+

, entao

87- Teorema .

[zm x Sº x=+ººf()

_

1.231 .

1

m

—f(x)

,

=

0-

I

= — ºº, entao «== 11rr1 f(x) = O. +

88- Teorema Se 84

«

ía

m

f(x)

=

=

— PEL x f(x)

0, entao

w

_ + oº.

,

_ +ºº —

O INFINITO

Observação

Se existir N > O tal que para todo x f(x) l 1 :1. Eri

>N

tenhamos f(x) > 0,

(,,

=

um se existir N

14

.rªr-IF N').

eo

ªllí-IF =

f(x)

> O tal que para todo x > N tenhamos f(x) < 0,

_ lim 1 = x——+ºº f(x) _ f(x)

Resumo

[faremos agora um resumo dOS teoremas apresentados, lembrando que na proposições continuam verdadeiras se trocarmos () símbolo ““x —> + 'I!!! .-)( —> _ ºº”,.

ºº”

L,

" ª

'

'.

.

:Conclusão

ªgi—nª., = g(x)

gigª“, (f +

Plªzª. g(x) —

x==ªº

lim

(f

ll|_n_

lim ºº g(x)

lim

(f g) (x)

I“,".

lim

III.".

y.

Dâáoá

Pt".

r,. ille".ª.".

(.

w

I",". ..

.=

=

::=— + ºº

g)(X) = +ºº

+ g)(X) = =ºº + ºº

-

_ºº

-

g(x) —

(f g) O tal que, para. todo x pertencente a B, ternos ll(s*)| < M, isto e', —M < f(x) < M. l)izernos que uma

lh

llll'l

[ªim

símbolos:

félimitadaem B

A

/

(3M>OIXGB

==—

If(x)!

< M)

AA VV ÍM

l)ccorre da definição que, sefé limitada em B, então existem a' e b reais lulu que, para todo x E B, vale a < f(x) < 19.

87

COMPLEMENTOS SOBRE LIMITES

Exemplº-S f(x) = _rrntada1?)emA função 13015 —1

x 6 IR.

COS-X'

é li-

< cos x < 1,

IFR,

2?) A função f(x) : X'? + 7 não e' limitada em IR mas é limitada no 1], pois intervalo paratodo _ngj +[—1, 1 |f(x)' É

Ӽ' + 1

If(x) _ bl < pondo M=1bl+1, temos: 3M>O, 36>0|O0, existem ' '

.

0 tais que: () sen x > sen tgxx senx

0)

se_;1x_ > cos x

ª... > X

< 0)

COS X

Temos, portanto: '

luna

'—

% < < +; = x

e x

+86? < 1 iii—x e h(x) = I

O: cos x
==0 -“

X

-

pelo teorema do confronto, resulta:

, EXERCICIOS .

lâncontre:

2x .-1) lim _sen x=0

X

Solução

x “mM—:lim(2._s_ªªí_>=2_1 x=o

2x

x=o

lim = x——'Or lim x=o % sen 5x

lim l—cos

x=0

xº

):

= lim (l—cos )( 1 + cos x x=0 ' xª (1 + cos x)

-

enotando que

COMPLEMENTOS SOBRE LIMITES

90. Encontre: f) lim tg ax

a) lim sen 3x

_

2x sen 2x

alex—IR)

sen

::=!)

b) e)

d)

_

1 _ cos x

ªcl_—12% 1 _ sec x h) 3323, _X2 g)

X

_ —bx sen ax 3:33, sen ax . sen bx

.

3332,

1)

e) lim &

x—.o

bx

x——0

)(

.

1133)

tg x + sem x x

j) lim “& x——O x - sen x

3x

_

[im 91- Encontre x=a M. x— a

Solução

Da Trigonometria, temos:

sen :(

—— sen a = 2 sen % - cos %

Então:

. sen x _ sen a ªiª lgg—x_a sen = lim

):

x=a

2 sen

X

7ª;_ª - cos && 2 —2 a

;a

'

cos

):

x_a

= 1

;

a

=

- cos a' = cos &

92- Encontre: . 20,132;

cos xx_a — cos a

=

ª

b) lim _tg x tg x=a x_ —a C) lim x——a

94

sec x —- sec a x—a

.

| d ),꒼w

x — cos x senl—tgx

=

“

e) lim ———tg x se“ x_.o

f) lim x——0

_ senªx

sen 3x — sen 2x

senx

COMPLEMENTOS SOBRE LlMlT'l-ZS

cos 2x — cos 3x

l — cosªx

X2

sen(x

senºx

+ a) —

sem a

)(

cosgx +

a)

sen ax

— cos a

X

1_

XZ

COS

'n'x

2

1 —x

Jl +senx—Jl—senx x Encontre: &) lim x x—>0

-

(1

_ X) _

cotg 2x

b) lim

x——+ºº

tg

_ZfL

2

- cotg

(% x)

lll- Limites da função exponencial 'J'l

Teorema lim ax = ].

Se aGIFI

X+>0

Dem onstração Para dcmonstrarmos que

lin/oz ax = 1,

x=.

Ve>0, Elõ>0|0 Ia=f(x)—1l lim

ªªª—'”

Xi'b

Para demonstrarmos que [Em [afvº ac] = o.

——

Jur—.!)

Jªl—- 1:13

= c, isto é,

—

f(x )

a

'

= a c, provemos que

,

,

XE

a““)—C lim [af—(x *º — 1] = aº- [lim = aº x—>b x——b

=aº-(l—1)=aº-O=O 98

[f(x) — c] = 0.

a_n—(ªº)“ = ].

. Então:[a“x) — aº] = 11111“; aº - [amº—º — 1] = linª

xª

lin;

X;»

—

1] = ª

COMPLEMENTOS SOBRE LIMITES

,

EXERCICIOS Conlplete: &) b)

lirrl2

3)(

º)


x= 2

.,,.». Complete.a)

lim+ºo2x

b) lim & 2x c)

=

C!) lim

=

e) lim

931+m(%=):

=>=

(x=;

x=+ººe

Complete: ª)

53; — 22x2=3X+1

:

) lim e xao

(:

2

b) lim

3,“

:

*ª)“

ª2 =

(1)

" 1- Complete:

2

a) lim 3& =

һ

x=2 |

b) lim x=

:

(1)

ª)

— xº

x— 1

xª—sx + 2

_ 33212

f)

:

10—37

:

_31 x= 1

2

ZÉ =

llín—z

x_l

xª—6x2+ llx=6 x2= 3x + 2

=

COMPLEMENTOS SOBRE LIMITES

IV- Limites da função Iogarítmica 105- Teorema Se a & IR e 0 < a

= 1, então lin; (logªx) = 0. xo

Dem onstração

lin?

Para demonstrarmos que

(logªx) = 0, devemos provar:

xo

Ve>0, Elô>0|0 tal que 0 < x < 6

logax

_

108- Teorema ,,

lim

x=o+

Se a & IR e 0 < a < ], entao (logax) = + ºº.

O, existe 62 > O, tal que 0 < Ix _ bl < 62 = if(x) — ll < 1 _ 362 = a_62 _ 1 < < f(x)—1 < I_af'ªz = a-fz O e ez > ,0, temos 0 < a_ªz < 1 < aº Entao, para todo e > 0, ex1ste & = mzn fã,, 62] tal que O< Ix—bl a“ª O e n > M L 6 < f(nl) < f(n) < L < L + & (5, Pªrª tºdº E > 0, existe M > O tªl que:

__

n > M

.

If(n)

_ Ll