Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin [1. Aufl.] 9783662612613, 9783662612620

Dieses Übungsbuch enthält zahlreiche Aufgaben zum Inhalt einer Einführungsvorlesung Physik. Mithilfe von ausführlichen L

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Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin [1. Aufl.]
 9783662612613, 9783662612620

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-XII
Mathematische Grundlagen (Gerhard Rufa)....Pages 1-20
Klassische Mechanik (Gerhard Rufa)....Pages 21-93
Zustandsformen der Materie (Gerhard Rufa)....Pages 95-113
Thermodynamik (Gerhard Rufa)....Pages 115-125
Schwingungen (Gerhard Rufa)....Pages 127-132
Wellen (Gerhard Rufa)....Pages 133-148
Optik (Gerhard Rufa)....Pages 149-158
Klassische Elektrodynamik (Gerhard Rufa)....Pages 159-195
Atom- und Quantenphysik (Gerhard Rufa)....Pages 197-214
Testserien Physik I (Gerhard Rufa)....Pages 215-306
Testserien Physik II (Gerhard Rufa)....Pages 307-380
Back Matter ....Pages 381-393

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Gerhard Rufa

Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin

Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin

Gerhard Rufa

Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin

Prof. Dr. Gerhard Rufa Fakultät für Biotechnologie Institut für Naturwissenschaftliche Grundlagen, Hochschule Mannheim Mannheim, Deutschland

ISBN 978-3-662-61261-3 ISBN 978-3-662-61262-0  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-61262-0 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Margit Maly Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany

„All knowledge and understanding is attained not by a dull and obstinate adhering to any one opinion or persuasion, but by advancing still farther and farther and renouncing those tenets, which it once thought infallible.“ Samuel Butler

Vorwort

Dieses Übungsbuch ergänzt die Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin, worin die unterschiedlichen Gebiete der Physik sowie die physikalischen Größen und Gesetzmäßigkeiten beschrieben werden. Das Ziel dieses Übungsbuches ist den Studierenden zu helfen, den Stoff zu erarbeiten und im Rahmen der Lösung einfacher physikalischer Probleme die Anwendung physikalischer Rechenmethoden und die hierfür erforderliche Mathematik zu lernen. Hierzu werden zu allen Aufgaben ausführliche Lösungen präsentiert. Das Übungsbuch ist damit insbesondere eine große Hilfe bei den Klausurvorbereitungen und bildet zusammen mit dem Physikbuch die Basis für weiterführende Vorlesungen. Im ersten Teil dieses Übungsbuches wird die Lösung physikalischer Aufgaben beispielhaft erlӓutert, die entsprechend den unterschiedlichen Gebieten der Physik in Übungsserien zu verschiedenen Themengebieten strukturiert sind (siehe Abb. 0.1). Die ersten Übungsserien umfassen den Stoff einer Physik I-Vorlesung mit den Gebieten Mathematische Grundlagen, klassische Mechanik, Zustandsformen der Materie und Thermodynamik, während die zweiten Übungsserien die Gebiete einer Physik II-Vorlesung Schwingungen, Wellen, Optik, klassische Elektrodynamik sowie die Atom- und Quantenphysik behandeln. Für ein tieferes Verstӓndnis vektorieller Größen ist die Vektorrechnung und der Begriff der Vektorfunktion sowie deren Ableitungen unerlӓsslich, womit sich die erste Übungsserie beschӓftigt. Sie bildet damit die mathematische Grundlage für alle weiteren Übungsserien. Insbesondere werden als einfache Bahnkurven die Gerade und der Kreis im Raum eingeführt. Die Mechanik umfasst Übungsserien zu einfachen Bewegungsformen, Kräften, Arbeit, Energie, Leistung, Drehbewegungen, Scheinkräften sowie zu Systemen von Massenpunkten. In den Übungsserien zu den Zustandsformen der Materie werden die mechanischen Eigenschaften von Festkörpern und Flüssigkeiten sowie Gasen behandelt. Diese Übungsserien sind grundlegend für die Verfahrens- und Bioreaktionstechnik. Dagegen beschӓftigt sich die Übungsserie zur Thermodynamik mit den thermischen Eigenschaften von Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen sowie den Hauptsätzen der Thermodynamik.

VII

VIII

Vorwort

Abb. 0.1   Zur Strukturierung der Übungsaufgaben

In der Übungsserie zu den Schwingungen betrachten wir Aufgaben zu ungedӓmpften und gedӓmpften harmonischen Schwingungen sowie der Überlagerung und Kopplung von Schwingungen. Die folgenden Übungsserien behandeln grundlegende Begriffe zu Wellen sowie Aufgaben zur Interferenz und zur Ausbreitung von Wellen, für deren Verstӓndnis das Huygens-Fresnel’sche Prinzip grundlegend ist. Gerade die Reflexion, Brechung und Beugung von (Licht-)Wellen sowie die Absorption und Streuung von Licht in Materie bilden die Basis der Spektroskopie. Wӓhrend die Wellenoptik in den Übungsserien zu den Wellen integriert ist, enthӓlt die Optik-Übungsserie Aufgaben zur geometrischen Optik und insbesondere zu optischen Abbildungen durch optische Geräte, womit diese Übungsserie grundlegend für die optische Messtechnik ist. Die Elektrodynamik umfasst Übungsserien zu elektrischen Ladungen und Strömen, elektrischen und magnetischen Feldern sowie einfachen elektrischen Schaltungen. In den abschließenden Übungsserien werden Aufgaben zur Quanten- und Elementarteilchenphysik sowie zur Atomphysik behandelt, die die Basis der Chemie sind und ein tieferes Verstӓndnis des Periodensystems der Elemente liefern. Jede Übungsserie besteht aus einem Verstӓndnisteil und einem Übungsteil, der durch anwendungsorientierte Aufgaben ergӓnzt wird. Der Verstӓndnisteil beginnt mit einer Liste von physikalischen Größen und Begriffen, die für die Lösung der Aufgaben in diesem Themenbereich wichtig sind und anhand des Physikbuches gelernt werden sollten. Ferner beinhaltet dieser Teil Verstӓndnisaufgaben, die den Studierenden helfen sollen, die physikalischen Begriffe und Gesetzmӓßigkeiten tiefer zu verstehen. Im anschließenden Übungsteil sollen die Studierenden dann lernen, wie man konkret

Vorwort

IX

physikalische Probleme löst. Schließlich wird anhand einer Vielzahl von anwendungsorientierten Aufgaben aus den Biowissenschaften und der Medizin die Anwendung dieses physikalischen und mathematischen Fachwissens erlӓutert. Das gelernte Fachwissen kann dann anhand des zweiten Teils überprüft werden, der aus verschiedenen Testserien besteht, die gemischte Aufgaben enthalten, wobei auch hier ausführliche Lösungen zu den Aufgaben bereitgestellt werden. Der erste Teil dieser Testserien bezieht sich auf Aufgaben einer Physik I-Vorlesung, während sich der zweite Teil mit Aufgaben einer Physik II-Vorlesung beschӓftigt. So hoffe ich, dass gerade dieses Übungsbuch eine wertvolle Hilfe ist, vorhandene physikalische und mathematische Wissenslücken zu schließen, und dass möglichst schnell das für weiterführende Lehrveranstaltungen notwendige Grundlagenwissen bereitgestellt wird. Meinen Kollegen Jürgen Backhaus, Winfried Storhas und Roger Sandhoff sowie Randolf Pohl von der Johannes Gutenberg-Universitӓt Mainz möchte ich an dieser Stelle für wertvolle Diskussionen und viele Anregungen danken. Ich bedanke mich herzlich bei Margit Maly, Carola Lerch, Sandrina Kastner, Simone Jordan und Omika Mohan vom Springer Verlag für die freundliche Unterstützung und hilfreiche Hinweise bei der Realisierung dieses Buches. Schließlich danke ich all meinen Studierenden für die vielen positiven Rückmeldungen und die Ermutigung, dieses Buch zu publizieren. Mainz den 4. Februar 2020

Gerhard Rufa

Inhaltsverzeichnis

1 Mathematische Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Übungsserie: Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Klassische Mechanik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1 Übungsserie: Kinematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Übungsserie: Kräfte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Übungsserie: Einfache Bewegungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4 Übungsserie: Arbeit, Energie und Leistung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5 Übungsserie: Drehbewegungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.6 Übungsserie: Scheinkräfte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.7 Übungsserie: Systeme von Massenpunkten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3 Zustandsformen der Materie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.1 Übungsserie: Festkörper und Flüssigkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.2 Übungsserie: Gase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4 Thermodynamik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.1 Übungsserie: Thermodynamik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5 Schwingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.1 Übungsserie: Schwingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6 Wellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.1 Übungsserie: Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.2 Übungsserie: Interferenz von Wellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7 Optik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 7.1 Übungsserie: Geometrische Optik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 8 Klassische Elektrodynamik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.1 Übungsserie: Elektrische Ladungen und Ströme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.2 Übungsserie: Elektrische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

XI

XII

Inhaltsverzeichnis

8.3 Übungsserie: Magnetische Felder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 8.4 Übungsserie: Elektrische Schaltungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 9 Atom- und Quantenphysik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 9.1 Übungsserie: Quanten- und Elementarteilchenphysik. . . . . . . . . . . . . . . . . 197 9.2 Übungsserie: Atomphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 10 Testserien Physik I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 10.1 Testserie 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 10.2 Testserie 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 10.3 Testserie 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 10.4 Testserie 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 10.5 Testserie 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 10.6 Testserie 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 10.7 Testserie 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 10.8 Testserie 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 10.9 Testserie 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 10.10 Testserie 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 11 Testserien Physik II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 11.1 Testserie 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 11.2 Testserie 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 11.3 Testserie 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 11.4 Testserie 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 11.5 Testserie 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 11.6 Testserie 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 11.7 Testserie 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 11.8 Testserie 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 11.9 Testserie 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 11.10 Testserie 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 Anhang A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 Anhang B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 Stichwortverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

1

Mathematische Grundlagen

1.1

Übungsserie: Vektorrechnung

A) Verständnisteil Begriffe: 1-, 2-, 3-dimensionaler Punktraum, kartesische Koordinaten, ebene Polarkoordinaten, sphärische Polarkoordinaten, Gradmaß und Bogenmaß eines Winkels, Skalar, Vektor, Gleichheit von Vektoren, Betrag und Richtungsvektor, parallele und antiparallele Vektoren, Translationsinvarianz, Ortsvektor, Addition und Skalarmultiplikation von Vektoren, Einheitsvektoren, skalare und vektorielle Komponenten, Skalarprodukt, Winkel zwischen Vektoren, Vektorprodukt, Geradengleichung, Kreisgleichung, Abbildungen, Vektorfunktionen, Bahnkurve im R3 , Differentiation von Vektorfunktionen

Aufgabe 1 Vektoren Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Jeder Vektor besitzt einen Betrag und eine Richtung. (b) Vektoren ungleich dem Nullvektor sind translationsinvariant, d. h., man kann einen Vektor parallel verschieben, wobei sich Betrag und Richtung nicht ändern. (c) Man kann Vektoren addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren, wobei die gleichen Gesetze gelten wie für reelle Zahlen. (d) Vektoren ungleich dem Nullvektor kann man als Pfeile im Raum darstellen, deren Länge dem Betrag des Vektors entspricht.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 G. Rufa, Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61262-0_1

1

2

1 Mathematische Grundlagen

Lösung (a) ist falsch, denn es gibt einen Vektor, nämlich den Nullvektor, der keine Richtung besitzt. „Jeder“ ist also falsch. (b) ist richtig. (c) ist falsch, denn man kann Vektoren nicht dividieren. Ferner gelten zwar für die Addition und damit auch die Subtraktion von Vektoren die gleichen Rechengesetze wie für die reellen Zahlen, nicht aber für das Skalarprodukt und das Vektorprodukt. (d) ist richtig.  Aufgabe 2 Addition, Subtraktion und Produkte von Vektoren (a) Betrachten Sie die Vektoren a und b wie im Folgenden gezeigt.

 a − b und 2 · a − 3 · b.  Konstruieren Sie a + b, (b) Die Vektoren a und b seien nun wie folgt gegeben:

Was können Sie allgemein über a · b und a × b aussagen? In welche Richtung zeigt  a × ( a × b)?

1.1

Übungsserie: Vektorrechnung

3

Lösung (a) Wir verschieben den Vektor b parallel, sodass sein Anfangspunkt auf dem Endpunkt des Vektors a zu liegen kommt. Verbinden wir dann den Anfangspunkt von a mit dem  so erhalten wir den Vektor a + b.  Die Subtraktion beider Vektoren ist Endpunkt von b, definiert durch die Addition des inversen Vektors von b zu a , den wir erhalten, indem wir den Vektor b einfach umklappen. Verbinden wir dann den Anfangspunkt des Vektors a  so erhalten wir den Vektor a − b.  Den Vektor 2 · a − 3 · b mit dem Endpunkt von − b, erhalten wir analog.

(b) Da im Fall (1) die Vektoren parallel sind, gilt a · b = a · b, worin a = | a |  da und b = | b | die Beträge dieser Vektoren bezeichnen. Ferner ist a × b = 0, | a × b | = a · b · sin 0 = 0 ist und nur der Nullvektor den Betrag 0 besitzt. Im Fall (2) gilt a · b = 0 und | a × b | = a·b·sin π2 = a·b, da beide Vektoren senkrecht  zueinander stehen. Ferner ist die Richtung von a × b senkrecht zu den Vektoren a und b. Im Fall (3) gilt a · b = a · b · cos π = − a · b, da beide Vektoren nun antiparallel sind.  da | a × b | = a · b · sin π = 0 ist. Ferner gilt wieder für das Vektorprodukt a × b = 0, Da auch im Fall (4) beide Vektoren senkrecht zueinander stehen, gilt a · b = 0 und | a × b | = a · b · sin π2 = a · b. Schließlich ist wieder a × b senkrecht zu den Vektoren a und b gerichtet. Ferner ist a × b in den Fällen (1) und (3) gleich dem Nullvektor, weshalb wir a ×  = a × 0 = 0 erhalten. In den Fällen (2) und (4) gilt dagegen für den Vektor ( a × b)  a × ( a × b):



4

1 Mathematische Grundlagen

Abb. 1.1 Ortsvektor

Aufgabe 3 Ortsvektor Tragen Sie den Punkt P = (5, −3, 4) ∈ R3 in ein kartesisches Koordinatensystem ein und zeichnen Sie den zugehörigen Ortsvektor r. Lösung Wir zeichnen eine Parallele zur y-Achse durch den Punkt x = 5 auf der x-Achse und eine Parallele zur x-Achse durch den Punkt y = −3 auf der y-Achse. Am Schnittpunkt beider Parallelen gehen wir 4 Einheiten senkrecht nach oben und erhalten so den Raumpunkt P = (5, −3, 4). Den zugehörigen Ortsvektor erhalten wir, indem wir den Ursprung mit diesem Punkt P verbinden (siehe Abb. 1.1).  Aufgabe 4 Skalare und vektorielle Komponenten ⎛ ⎞ 2 Gegeben sei der Vektor r := ⎝ −1 ⎠. Wie lauten seine skalaren Komponenten und seine 2 vektoriellen Komponenten in x-, y- und z-Richtung? Lösung

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 0 Mithilfe der Einheitsvektoren eˆ1 := ⎝ 0 ⎠, eˆ2 := ⎝ 1 ⎠ und eˆ3 := ⎝ 0 ⎠ können wir 0 0 1 den Vektor r schreiben als:

1.1

Übungsserie: Vektorrechnung

5

Abb. 1.2 Vektorielle Komponenten



⎞ 2 r = ⎝ −1 ⎠ = 2 · eˆ1 + (−1) · eˆ2 + 2 · eˆ3 = 2 · eˆ1 − eˆ2 + 2 · eˆ3 2

(1.1)

Die skalaren Komponenten von r lauten 2, −1 und 2. Die vektoriellen Komponenten von r in x-, y- und z-Richtung sind gegeben durch 2 eˆ1 , − eˆ2 und 2 eˆ3 (siehe Abb. 1.2).  Aufgabe 5 Die Uhr Welche Winkel überstreichen der Sekundenzeiger, der Minutenzeiger und der Stundenzeiger in einer Minute in Grad bzw. in Radiant? Lösung Der Sekundenzeiger führt innerhalb einer Minute genau einen Umlauf durch. Damit überstreicht er in einer Minute einen Winkel von 360◦ bzw. 2 π . Der Minutenzeiger benötigt für einen Umlauf, d. h. einen Winkel von 360◦ bzw. 2 π , ◦ 2π ◦ 60 min. Hieraus folgt, dass er in einer Minute einen Winkel von 360 60 = 6 bzw. 60 = 0,105 überstreicht. Der Stundenzeiger benötigt für einen Umlauf 12 h oder 720 min. In einer Minute über◦ 2π ◦ streicht er also einen Winkel von 360 720 = 0,5 bzw. 720 = 0,0087. 

6

1 Mathematische Grundlagen

B) Übungsteil Aufgabe 6 Betrag und Richtung von Vektoren ⎛ ⎞ 2 Gegeben sei der Ortsvektor r := ⎝ 1 ⎠. Berechnen Sie seinen Betrag, und geben Sie −2 seinen Richtungsvektor an. Lösung



⎞ 2 Der Betrag des Ortsvektors r := ⎝ 1 ⎠ ist gegeben durch −2 r = | r | =

 √ √ 22 + 12 + (−2)2 = 4 + 1 + 4 = 9 = 3,

(1.2)

und für seinen Richtungsvektor erhalten wir: ⎛

⎞ ⎛ 2 ⎞ 2 3 1 1 rˆ = · r = · ⎝ 1 ⎠ := ⎝ 13 ⎠ r 3 − 23 −2

(1.3)

Damit gilt insbesondere die Darstellung: ⎛ r = r · rˆ = 3 · ⎝

2 3 1 3



⎞ ⎠

(1.4)

2 3

 Aufgabe 7 Zum Rechnen mit Vektoren ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 (a) Gegeben seien die Vektoren a := ⎝ 2 ⎠ und b := ⎝ −1 ⎠. Berechnen Sie a + b und 2 0  3 · a − 2 · b. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 5 0  ⎝ ⎠ ⎝ (b) Gegeben seien die Vektoren a := 10 und b := 1 ⎠. Für welchen Vektor x gilt −5 3 die Vektorgleichung

 a + 3 · b + x = 4 · ( x − a ) + 3 · a + 2 · ( x − b)?

(1.5)

1.1

Übungsserie: Vektorrechnung

7

Lösung (a) Für die gegebenen Vektoren erhalten wir:

und

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 2 a + b = ⎝ 2 ⎠ + ⎝ −1 ⎠ = ⎝ 1 ⎠ 2 0 2

(1.6)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 3−2 1  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 a − 2 b = 3 · 2 − 2 · −1 = 6 + 2 = 8 ⎠ 2 0 6−0 6

(1.7)

(b) Da für die Vektoraddition dieselben Gesetze gelten wir für die Addition in R lösen wir die Vektorgleichung  a + 3 b + x = 4 ( x − a ) + 3 a + 2 ( x − b)

(1.8)

wie gewohnt nach x auf. Es folgt: a + 3 b + x = 4 x − 4 a + 3 a + 2 x − 2 b = 6 x − a − 2 b oder

5 x = 2 a + 5 b

(1.9)

(1.10)

Hieraus folgt:

2 a + b (1.11) 5 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 5 0  ⎝ ⎠ ⎝ Setzen wir nun die gegebenen Vektoren a := 10 und b := 1 ⎠ ein, so erhalten −5 3 wir für den gesuchten Vektor: x =



⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 5 0 2 0 2 2 x = · ⎝ 10 ⎠ + ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 4 ⎠ + ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 5 ⎠ 5 −5 3 −2 3 1

(1.12) 

Aufgabe 8 Skalar- und Vektorprodukt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 1 Gegeben seien die Vektoren a := ⎝ 2 ⎠, b := ⎝ −1 ⎠ und c := ⎝ 0 ⎠. 0 2 1   a · c, b · c, a × b und c · ( a × b). (a) Berechnen Sie a · b,  (b) Welchen Winkel schließen a und b ein?

8

1 Mathematische Grundlagen

Lösung (a) Für die gegebenen Vektoren gilt: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 a · b = ⎝ 2 ⎠ · ⎝ −1 ⎠ = 1 · 0 + 2 · (−1) + 0 · 2 = −2 0 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 a · c = ⎝ 2 ⎠ · ⎝ 0 ⎠ = 1 · 1 + 2 · 0 + 0 · 1 = 1 0 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 1 b · c = ⎝ −1 ⎠ · ⎝ 0 ⎠ = 0 · 1 + (−1) · 0 + 2 · 1 = 2 2 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 2 · 2 − 0 · (−1) 4 a × b = ⎝ 2 ⎠ × ⎝ −1 ⎠ = ⎝ 0 · 0 − 1 · 2 ⎠ = ⎝ −2 ⎠

(1.13)

0 2 1 · (−1) − 2 · 0 −1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 4  = ⎝ 0 ⎠ · ⎝ −2 ⎠ = 1 · 4 + 0 · (−2) + 1 · (−1) = 3 c · ( a × b) 1 −1 (b) Den Winkel β zwischen a und b erhalten wir aus der Beziehung a · b = a · b · cos β.

(1.14)

Mit den Beträgen der Vektoren

und

a = | a | =

√ √ 1+4+0 = 5

(1.15)

b = | b | =

√ √ 0+1+4 = 5

(1.16)

folgt cos β =

a · b 2 −2 = √ √ = − = −0,4, a·b 5 5· 5

(1.17)

1.1

Übungsserie: Vektorrechnung

d. h.

9

β = ar ccos (−0,4) = 113,6◦ ≡ 1,98

(1.18) 

Aufgabe 9 Parallelogramm Gegeben seien drei aufeinander folgende Eckpunkte eines Parallelogramms: A = (1, −2, 3),

B = (3, 2, 1) und C = (6, 4, 4)

(1.19)

Berechnen Sie die Koordinaten des vierten Eckpunktes D. Lösung Zu den Eckpunkten A = (1, −2, 3), B = (3, 2, 1) und C = (6, 4, 4) gehören die Ortsvektoren ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 3 6 rA = ⎝ 0 ⎠ , rB = ⎝ 2 ⎠ und rC = ⎝ 4 ⎠ . (1.20) 1 1 4 Zur Bestimmung der Koordinaten des vierten Eckpunktes D benötigen wir dessen Ortsvektor rD . Er ist gegeben durch (siehe Abb. 1.3): rD = rA + a

(1.21)

Den Vektor a wiederum erhalten wir aus der Beziehung rB + a = rC ,

Abb. 1.3 Parallelogramm

(1.22)

10

1 Mathematische Grundlagen

wobei a = rC − rB

(1.23)

gilt. Insgesamt folgt: ⎛

rD

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 6 3 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ = rA + a = rA + rC − rB = −2 + 4 − 2 = 0 ⎠ 3 4 1 6

(1.24)

Damit lauten die kartesischen Koordinaten des gesuchten Eckpunktes: D = (4, 0, 6)

(1.25) 

Aufgabe 10 Parallele Vektoren ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a 2 Die Vektoren x := ⎝ 21 ⎠ und y := ⎝ 4 ⎠ sollen parallel sein. Wie lauten die skalaren 1 b Komponenten a und b? Lösung Da die Vektoren x und y parallel sind, muss es eine reelle Zahl s > 0 geben derart, dass

d. h. explizit

y = s · x,

(1.26)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 a 2·s ⎝4⎠ = s ·⎝ 1 ⎠ = ⎝ 1 ·s⎠ 2 2 b 1 1·s

(1.27)

gilt. Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn ihre skalaren Komponenten gleich sind. Aus der Vektorgleichung erhalten wir dann die folgenden drei Komponentengleichungen: a = 2·s 1 4 = ·s 2 b = s

(1.28)

Aus der zweiten Gleichung folgt sofort s = 8, womit wir für die gesuchten skalaren Komponenten b = s = 8 und a = 2 · s = 16 (1.29) erhalten. 

1.1

Übungsserie: Vektorrechnung

11

Aufgabe 11 Geradengleichung Gegeben seien die Punkte A = (1, 2, 4) und B = (2, 0, 2). (a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch diese Punkte. (b) Liegen die Punkte P1 = (3, −2, 0) und P2 = (3, 1, 1) auf dieser Geraden? Lösung (a) Die Gerade durch die Punkte A und B, zu denen die Ortsvektoren ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 2  ⎝ ⎠ ⎝ a = 2 und b = 0 ⎠ 4 2

(1.30)

gehören, ist durch die Zwei-Punkte-Form r(t) = a + t · (b − a )

(1.31)

gegeben. Die Richtung der Geraden beschreiben wir durch den Vektor ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 2 u = b − a = ⎝ 0 ⎠ − ⎝ 2 ⎠ = ⎝ −2 ⎠ . −2 4 2

(1.32)

Damit können wir die Gerade beschreiben durch die Gleichung (siehe Abb. 1.4) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 r(t) = ⎝ 2 ⎠ + t · ⎝ −2 ⎠ . 4 −2

(1.33)

(b) Wenn der Punkt P1 = (3, −2, 0) auf der Geraden liegt, dann erfüllt sein Ortsvektor ⎛

⎞ 3 r1 = ⎝ −2 ⎠ 0

(1.34)

die Geradengleichung, d. h., es gibt dann einen Parameterwert t1 , sodass ⎛

⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ 3 1 1 r1 = ⎝ −2 ⎠ = ⎝ 2 ⎠ + t1 · ⎝ −2 ⎠ = a + t1 · u 0 −2 4

(1.35)

12

1 Mathematische Grundlagen

Abb. 1.4 Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung

gilt. Aus dieser Vektorgleichung erhalten wir die drei Komponentengleichungen: 3 = 1 + t1 −2 = 2 − 2 t1

(1.36)

0 = 4 − 2 t1 Aus der ersten Gleichung folgt t1 = 2. Da auch die beiden anderen Gleichungen für diesen Parameterwert erfüllt sind, liegt der Punkt P1 auf der Geraden. Analog erhalten wir für den Punkt P2 = (3, 1, 1), zu dem der Ortsvektor ⎛ ⎞ 3 r2 = ⎝ 1 ⎠ 1

(1.37)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 1 1 r2 = ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 2 ⎠ + t2 · ⎝ −2 ⎠ = a + t2 · u, 1 −2 4

(1.38)

gehört, die Vektorgleichung

aus der wir die drei Komponentengleichungen

1.1

Übungsserie: Vektorrechnung

13

3 = 1 + t2 1 = 2 − 2 t2

(1.39)

1 = 4 − 2 t2 erhalten. Aus der ersten Gleichung folgt t2 = 2, aus der zweiten t2 = 21 und aus der dritten t2 = 23 , sodass es keinen Parameterwert t2 gibt, für den alle drei Gleichungen erfüllt sind. Deshalb liegt der Punkt P2 nicht auf der Geraden.  Aufgabe 12 Bahnkurve Die Bahnkurve eines Massenpunktes werde beschrieben durch den Ortsvektor ⎛

⎞ ⎞ ⎛ x(t) 1−2t r(t) = ⎝ y(t) ⎠ = ⎝ t 2 ⎠ , t ∈ R. 2t z(t)

(1.40)

(a) An welchem Raumpunkt befindet sich der Massenpunkt zur Zeit t1 = 1 s? (b) Zu welchem Zeitpunkt t2 befindet sich der Massenpunkt am Raumpunkt P2 = (−3, 4, 4)? Lösung (a) Zur Zeit t = 1 s befindet sich der Massenpunkt am Raumpunkt P1 , zu dem der Ortsvektor ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ 1−2·1 −1 r1 = r(t1 ) = ⎝ 12 ⎠ = ⎝ 1 ⎠ (1.41) 2·1 2 gehört. Die kartesischen Koordinaten des Punktes P1 lauten damit P1 = (−1, 1, 2). (b) Zum Zeitpunkt t2 befindet sich der Massenpunkt am Raumpunkt P2 = (−3, 4, 4) mit dem Ortsvektor ⎛ ⎞ −3 r2 = ⎝ 4 ⎠ . (1.42) 4 Zu diesem Zeitpunkt gilt also r2 = r(t2 ),

(1.43)

⎞ ⎞ ⎛ −3 1 − 2 t2 ⎝ 4 ⎠ = ⎝ (t2 )2 ⎠ 2 t2 4

(1.44)

womit wir die Vektorgleichung ⎛

14

1 Mathematische Grundlagen

erhalten. Die zugehörigen Komponentengleichungen lauten 1 − 2 · t2 = −3 (t2 )2 = 4

(1.45)

2 · t2 = 4, die alle drei für den Parameterwert t2 = 2 erfüllt sind. Zum Zeitpunkt t2 = 2 s befindet sich der Massenpunkt also am Raumpunkt P2 = (−3, 4, 4).  Aufgabe 13 Zum Schnitt von Geraden Gegeben seien die Geraden G1 und G2 , die wir durch die Vektorfunktionen ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 r1 (t) = ⎝ 2 ⎠ + t · ⎝ 1 ⎠ = a + t · u , t ∈ R 5 0 und

⎛ ⎞ ⎞ 0 1 r2 (t) = ⎝ −2 ⎠ + t  · ⎝ 2 ⎠ = b + t  · v , t  ∈ R 4 1

(1.46)



(1.47)

beschreiben. (a) Zeigen Sie, dass sich die Geraden schneiden, und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes. (b) Unter welchem Winkel schneiden sich die Geraden? Lösung (a) Den Schnittpunkt S beschreiben wir durch den Ortsvektor rs (siehe Abb. 1.5). Wenn sich die Geraden schneiden, dann muss es Parameterwerte ts und ts geben, sodass der Schnittpunkt durch beide Geraden beschrieben werden kann, d. h., es gilt: rs = r1 (ts ) = a + ts · u bzw. rs = r2 (ts ) = b + ts · v

(1.48)

Damit erhalten wir die Vektorgleichung a + ts · u = b + ts · v, d. h. explizit

(1.49)

1.1

Übungsserie: Vektorrechnung

15

Abb. 1.5 Zum Schnitt von Geraden

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 1 1 0 ⎝ 2 ⎠ + ts · ⎝ 1 ⎠ = ⎝ −2 ⎠ + ts · ⎝ 2 ⎠ 0 1 5 4

(1.50)

⎞ ⎞ ⎛ ts 1 ⎝ 2 + ts ⎠ = ⎝ −2 + 2 ts ⎠ . 5 4 + ts

(1.51)

oder ⎛

Hieraus erhalten wir die Komponentengleichungen für die Parameter ts und ts : 1 = ts 2 + ts = −2 + 2 ts 5 = 4+

(1.52)

ts

Sie sind alle drei erfüllt für die Parameterwerte ts = −2 und ts = 1, weshalb sich die Geraden schneiden. Ferner folgt für den Ortsvektor des Schnittpunktes: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 1 rs = a + ts · u = ⎝ 2 ⎠ + (−2) · ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ 5 0 5

(1.53)

Die kartesischen Koordinaten des Schnittpunktes lauten also S = (1, 0, 5). (b) Der Schnittwinkel zwischen beiden Geraden ist gegeben durch: α = ar ccos

| u · v | u·v

(1.54)

16

1 Mathematische Grundlagen

Mit ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 1 u · v = ⎝ 1 ⎠ · ⎝ 2 ⎠ = 0 · 1 + 1 · 2 + 0 · 1 = 2 0 1 √ u = | u | = 0 + 1 + 0 = 1 √ √ v = | v | = 1 + 4 + 1 = 6

(1.55)

erhalten wir schließlich für den Schnittwinkel: 2 α = ar ccos √ = 35,3◦ 6

(1.56) 

Aufgabe 14 Der Kreis in der x, y-Ebene Wir definieren die Vektorfunktion r : [0 , 2π ] −→ V p durch: ⎛

⎞ ⎛ ⎞ x(t) r · cos t r(t) = ⎝ y(t) ⎠ = ⎝ r · sin t ⎠ , t ∈ [0 , 2π ] z(t) 0

(1.57)

(a) Wo liegen die Punkte P0 , P1 , P2 , P3 und P4 , zu denen die Ortsvektoren r(0), r( π2 ), 3 r(π ), r( 3π 2 ) und r(2π ) zeigen? Zeichnen Sie die zugehörige Bahnkurve im R . (b) Zeigen Sie, dass der Parameter r dem Betrag des Vektors r(t) entspricht und dass ⎛

⎞ cos t r(t) = r · rˆ (t) mit rˆ (t) = ⎝ sin t ⎠ 0

(1.58)

gilt. Berechnen Sie den Betrag des Vektors rˆ (t). Welche Richtung besitzt rˆ (t) für t = 0, t = π2 , t = π, t = 3π 2 und t = 2π ? (c) Bestimmen Sie die Ableitungen tungen zeigen diese Vektoren?

d r(t) dt

und

d 2 r(t) dt 2

der Vektorfunktion. In welche Rich-

Lösung (a) In ein kartesisches Koordinatensystem zeichnen wir die Ortsvektoren ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −r 0 r π r(0) = ⎝ 0 ⎠ , r( ) = ⎝ r ⎠ , r(π ) = ⎝ 0 ⎠ 2 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ r 0 3π r( ) = ⎝ −r ⎠ und r(2 π ) = r(0) = ⎝ 0 ⎠ , 2 0 0

(1.59)

1.1

Übungsserie: Vektorrechnung

17

die zu den Punkten P0 = (r , 0, 0), P1 = (0, r , 0), P2 = (−r , 0, 0), P3 = (0, −r , 0) und P4 = P0 = (r , 0, 0) zeigen (siehe Abb. 1.6). (b) Für den Betrag des Ortsvektors r(t) erhalten wir mit sin 2 t + cos 2 t = 1   | r(t) | = (r · cos t)2 + (r · sin t)2 = r 2 · (sin 2 t + cos 2 t) = r , (1.60) der also konstant ist. Die Bahnkurve ist damit ein Kreis in der x, y-Ebene, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Offenbar entspricht der Betrag des Ortsvektors dem Parameter r , d. h. geometrisch dem Radius des Kreises. Für den Einheitsvektor des Ortsvektors r(t) gilt ⎛ ⎞ cos t 1 rˆ (t) = · r(t) = ⎝ sin t ⎠ , r 0

(1.61)

r(t) = r · rˆ (t),

(1.62)

und damit folgt weshalb wir den Ortsvektor als „Betrag mal Richtungsvektor“ schreiben können. Für den Betrag des Richtungsvektors erhalten wir  √ (1.63) | rˆ (t) | = cos 2 t + sin 2 t = 1 = 1, und er ist stets radial nach außen gerichtet. Schließlich zeigt er für t t t t t

=0 = π2 =π = 32π = 2π

Abb. 1.6 Der Kreis in der x, y-Ebene

in x-Richtung in y-Richtung in negative x-Richtung in negative y-Richtung in x-Richtung.

18

1 Mathematische Grundlagen

Abb. 1.7 Ableitungen von Vektorfunktionen

(c) Für die Ableitungen der Vektorfunktion erhalten wir: ⎛ d r(t) ⎜ = ⎝ dt

d x(t) dt d y(t) dt d z(t) dt





⎞ ⎛ ⎞ −r sin t − sin t ⎟ ⎠ = ⎝ r cos t ⎠ = r · ⎝ cos t ⎠ 0 0

(1.64)

und ⎛ ⎜ d 2 r(t) ⎜ = ⎝ dt 2

d 2 x(t) dt 2 d 2 y(t) dt 2 d 2 z(t) dt 2



⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −r cos t cos t ⎟ ⎟ = ⎝ −r sin t ⎠ = −r · ⎝ sin t ⎠ = − r(t) ⎠ 0 0

Für jeden Parameterwert t ist die erste Ableitung die zweite Ableitung Abb. 1.7).

d 2 r(t) dt 2

d r(t) dt

(1.65)

tangential an den Kreis und

radial nach innen zum Kreismittelpunkt gerichtet (siehe

C) Knobelaufgabe Zum Winkel zwischen Vektoren ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 Gegeben seien die Vektoren a := ⎝ 2 ⎠ und b := ⎝ −1 ⎠. Berechnen Sie den Winkel 2 0 zwischen beiden Vektoren unter Verwendung der Beziehungen

1.1

Übungsserie: Vektorrechnung

cos β =

19

a · b 1 = − √ a·b 3 2

(1.66)

und

√ 17 | a × b | = √ . (1.67) a·b 3 2 Wie erklären Sie die Diskrepanz zwischen den Winkeln nach beiden Formeln, und welcher Wert ist richtig? Begründen Sie Ihre Antwort! sin β =

Lösung Aus der Beziehung (1.66) erhalten wir sofort: 1 β = ar ccos (− √ ) = 1,8 ≡ 103,63◦ 3 2 Unter Verwendung der Beziehung (1.67) müssen wir die Gleichung √ 17 sin β = √ = 0,972 3 2

(1.68)

(1.69)

nach β auflösen, d. h., wir müssen zum Funktionswert y = 0,972 denjenigen Winkel im Intervall [0 , π ] finden, für den diese Beziehung erfüllt ist (siehe Abb. 1.8). Wie man anhand des Graphen der Sinusfunktion erkennt, gibt es jedoch im betrachteten Intervall zwei Winkel, einen kleineren Winkel α = π − β und einen größeren Winkel β, für die die Gleichung sin β = sin (π − β) = 0,972

Abb. 1.8 Der Graph der Sinusfunktion

(1.70)

20

1 Mathematische Grundlagen

erfüllt ist (siehe Abb. 1.8). Wenden wir die Umkehrfunktion der Sinusfunktion, den ar csin, auf die Gleichung an, so liefert der Taschenrechner nur einen Winkel im Definitionsbereich (− π2 , π2 ) des Arcussinus, d. h. den kleineren Winkel α = π − β = 1,33. Wegen ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 a · b = ⎝ 2 ⎠ · ⎝ −1 ⎠ = 1 − 2 + 0 = −1 < 0 (1.71) 2 0 ist der Winkel zwischen den Vektoren a und b aber größer als 90◦ ! Deshalb ist der „richtige“ Winkel zwischen beiden Vektoren gegeben durch: β = π − α = π − 1,33 = 1,8 ≡ 103,63◦

(1.72) 

2

Klassische Mechanik

2.1

Übungsserie: Kinematik

A) Verständnisteil Begriffe: Physikalische Größen, SI-System, Einheit, Dimension, Translation, Eigendrehung, Eigenschwingung, Bezugssystem, Ortsvektor, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Bahnkurve, gleichförmig geradlinige Bewegung, Zustand der Ruhe, gleichförmige Kreisbewegung, Bahngeschwindigkeit, Umlaufdauer, Zentripetalbeschleunigung

Aufgabe 15 Kinematische Größen Welche der folgenden Aussagen über kinematische Größen ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist die Geschwindigkeit des Massenpunktes konstant. (b) Der Betrag der Geschwindigkeit beschreibt die Ortsänderung pro Zeiteinheit, d. h., welche Strecke ein Massenpunkt pro Zeiteinheit im Bereich des betrachteten Bahnpunktes zurücklegt. (c) Die Dimension der Beschleunigung ist m/s 2 . (d) Die gleichförmige Kreisbewegung ist eine nichtbeschleunigte Bewegung.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 G. Rufa, Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61262-0_2

21

22

2 Klassische Mechanik

Lösung (a) ist falsch, zwar ist der Betrag v =| v | der Geschwindigkeit bei der gleichförmigen Kreisbewegung zeitlich konstant, doch ändert sich ihre Richtung mit der Zeit, weshalb die Geschwindigkeit nicht konstant ist. (b) ist richtig. (c) ist falsch, denn die Dimension der Beschleunigung ist L ange/Z ¨ eit 2 . (d) ist falsch, denn die Geschwindigkeit ändert sich mit der Zeit, weshalb die gleichförmige Kreisbewegung eine beschleunigte Bewegung ist.  Aufgabe 16 Räumliche Dimension Machen Sie sich die Größenordnungen folgender Objekte klar! Drücken Sie die angegebenen Werte durch die Abkürzungen für Teile und Vielfache von Einheiten aus: Kernradius Atomradius Größe eines Virus Abmessung eines Salzkornes Länge eines Tisches Höhe eines Aussichtsturmes Radius der Erde Entfernung Erde−Mond Entfernung Erde−Sonne Bahnradius des Neptuns Entfernung zum nächsten Fixstern Radius der Milchstraße Radius des beobachtbaren Universums

10−15 m = 1 f m 10−10 m = 0,1 nm 0,7 · 10−6 m = 0,7 μm 10−4 m = 0,1 mm 1,2 m 120 m 6,371 · 106 m = 6 371 km 3,84 · 108 m = 384 Mm 1,49 · 1011 m = 149 Gm 4 504 000 000 km = 4,5 T m 1017 m 1021 m 1026 m 

Aufgabe 17 Bewegungsformen In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist die Überlagerung einer Translationsbewegung und einer Eigendrehung eines Vogels qualitativ korrekt dargestellt?

Begründen Sie Ihre Antwort!

2.1

Übungsserie: Kinematik

23

Lösung Im Fall von Abb. (a) bewegt sich der Vogel „als Ganzes“ fort, ohne die Orientierung im Raum zu ändern oder dass Teile des Vogels gegeneinander schwingen. Damit bewegen sich alle Punkte des Vogels auf kongruenten Bahnen, weshalb der Vogel eine reine Translationsbewegung durchführt. In Abb. (b) führt der Vogel ein Looping durch, d. h., er bewegt sich auf einer Kreisbahn, wobei er sich zusätzlich um eine Drehachse durch seinen Massenschwerpunkt dreht, d. h. auch eine Eigendrehung durchführt. Deshalb ist in Abb. (b) die Überlagerung einer Translationsbewegung und einer Eigendrehung des Vogels qualitativ korrekt dargestellt. In Abb. (c) dagegen führt der Vogel eine Translationsbewegung sowie eine Eigendrehung durch und, weil er auch noch mit den Flügeln schlägt, zusätzlich eine Eigenschwingung. In diesem Fall liegt also eine Überlagerung aller drei Bewegungsformen vor.  Aufgabe 18 Orts-Zeit-Diagramm In Abb. 2.1 ist das Orts-Zeit-Diagramm eines Massenpunktes dargestellt. (a) Zu welchem Zeitpunkt verschwindet seine Geschwindigkeit? (b) Mit welcher mittleren Geschwindigkeit bewegt sich der Massenpunkt im Zeitintervall von t1 = 1 s bis t2 = 2 s?

Lösung (a) Die Steigung der Ortsfunktion s an einer Stelle t ist per Definition gleich der Steigung der Tangenten an den Graphen von s an der betrachteten Stelle, die der Ableitung von s an der Stelle t entspricht. Aufgrund der Definition v(t) := d ds(t) t ist also die Geschwin-

Abb. 2.1 Orts-Zeit-Diagramm

24

2 Klassische Mechanik

digkeit mathematisch durch die Steigung der Ortsfunktion im Orts-Zeit-Diagramm gegeben. Wie man anhand von Abb. 2.1 erkennt, besitzt die Ortsfunktion s an der Stelle t = 1 s eine parallele Tangente zur x-Achse, d. h., zu diesem Zeitpunkt ist die Geschwindigkeit v = 0 m/s. (b) Die mittlere Geschwindigkeit vm im Zeitintervall  t = t2 − t1 ist definiert durch: vm :=

s(t2 ) − s(t1 ) t2 − t1

(2.1)

Damit folgt für die mittlere Geschwindigkeit im angegebenen Intervall: vm =

100 m − 50 m = 50 m/s 2s − 1s

(2.2) 

Aufgabe 19 Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm In Abb. 2.2 ist das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eines Massenpunktes dargestellt. (a) Zu welchen Zeitpunkten verschwindet seine Beschleunigung? (b) In welchen Zeitintervallen liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor?

Lösung (a) Die Steigung der Geschwindigkeitsfunktion v an einer Stelle t ist per Definition gleich der Steigung der Tangenten an den Graphen von v an der betrachteten Stelle, die der Ableitung von v an der Stelle t entspricht. Aufgrund der Definition a(t) := d dv(t) t ist also die Beschleunigung mathematisch durch die Steigung der Geschwindigkeitsfunktion im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm gegeben. Wie man anhand von Abb. 2.2 erkennt,

Abb. 2.2 Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm

2.1

Übungsserie: Kinematik

25

besitzt die Geschwindigkeitsfunktion v an den Stellen t2 und t3 eine parallele Tangente zur x-Achse, d. h., zu diesen Zeitpunkten ist die Beschleunigung a = 0 m/s 2 . (b) Wie man ferner anhand von Abb. 2.2 erkennt, ist in den Zeitintervallen [0 , t1 ] und [t4 , t5 ] die Steigung des Graphen der Geschwindigkeitsfunktion, d. h. a(t) := d dv(t) t = konstant, weshalb in diesen Zeitintervallen zusätzlich zur Richtung auch der Betrag der Beschleunigung des Massenpunktes konstant ist, weshalb der Massenpunkt in diesen Zeitintervallen eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung durchführt.  B) Übungsteil Aufgabe 20 Addition von Geschwindigkeiten Bestimmen Sie den Betrag der Geschwindigkeit eines Bootes in Bezug auf das Flussufer, wobei das Boot (a) mit der Strömung fährt, (b) gegen die Strömung fährt, (c) unter einem Winkel von π/2 zur Strömung fährt. Welchen Winkel schließt in diesem Fall die Bahnkurve des Bootes mit dem Flussufer ein? Der Betrag der Strömungsgeschwindigkeit des Flusses in Bezug auf das Flussufer sei 1 m/s, während der Betrag der Geschwindigkeit des Bootes in Bezug auf ein auf der Wasseroberfläche treibendes Floß gegeben ist durch 2 m/s.

Lösung (a) Die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses in Bezug auf das Flussufer v1 besitzt den Betrag | v1 |= v1 = 1 m/s. Ferner ist der Betrag der Geschwindigkeit des Bootes in Bezug auf ein auf der Wasseroberfläche treibendes Floß v2 gegeben durch | v2 |= v2 =

Abb. 2.3 Addition von Geschwindigkeiten

26

2 Klassische Mechanik

2 m/s. Die Geschwindigkeit v des Bootes bezogen auf das Flussufer ist dann gegeben durch die vektorielle Summe (2.3) v = v1 + v2 . Fährt das Boot in Strömungsrichtung (siehe Abb. 2.3(a)), so addieren sich die Beträge der Geschwindigkeiten, und es folgt: v = | v | = | v1 + v2 | = v1 + v2 = 1 m/s + 2 m/s = 3 m/s

(2.4)

(b) Fährt das Boot gegen die Strömung (siehe Abb. 2.3(b)), so subtrahieren sich die Beträge der Geschwindigkeiten, und wir erhalten: v = | v | = | v1 + v2 | = v2 − v1 = 2 m/s − 1 m/s = 1 m/s

(2.5)

(c) Fährt schließlich das Boot senkrecht zur Strömung (siehe Abb. 2.3(c)), so folgt, da die Geschwindigkeiten v1 und v2 senkrecht zueinander stehen:  v = | v | = | v1 + v2 | = (v1 )2 + (v2 )2  (2.6) = (1 m/s)2 + (2 m/s)2  2,24 m/s Für den Winkel ϕ zwischen der Geraden, entlang derer sich das Boot bewegt, und dem Flussufer (x-Achse) erhalten wir (siehe Abb. 2.3(c)) tan ϕ = d. h.

2 m/s v2 = = 2, v1 1 m/s

ϕ = ar ctan 2 = 63,4◦ .

(2.7)

(2.8)

Schließlich können wir die Geschwindigkeit v des Bootes in Bezug auf das Flussufer auch schreiben als: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ vx 1 0 1 v = ⎝ v y ⎠ = v1 + v2 = ⎝ 0 ⎠ m/s + ⎝ 2 ⎠ m/s = ⎝ 2 ⎠ m/s (2.9) vz 0 0 0 Alternativ zu (2.6) erhalten wir den Betrag der Geschwindigkeit des Bootes gemäß  √ (2.10) v = | v | = (1 m/s)2 + (2 m/s)2 = 5 m/s  2,24 m/s.  Aufgabe 21 Gleichförmig geradlinige Bewegung Zwei Autos fahren mit konstanten Geschwindigkeiten auf der Autobahn. Die Geschwindigkeit des auf der Überholspur fahrenden Autos besitzt den Betrag 150 km/h. Dieses hat zum

2.1

Übungsserie: Kinematik

27

Zeitpunkt t0 = 0 s von dem auf der rechten Spur mit einer Geschwindigkeit vom Betrag 100 km/h fahrenden Autos einen Abstand von 100 m. (a) Wann holt das schnellere das langsamere Auto ein? (b) Welche Strecken sind dann beide Autos gefahren?

Lösung (a) Da beide Autos mit konstanten Geschwindigkeiten fahren, führen beide eine gleichförmig geradlinige Bewegung durch. Die s-Achse legen wir längs der Geraden, entlang derer die Autos fahren. Den Nullpunkt legen wir so fest, dass zum Anfangszeitpunkt t0 = 0 s das schnellere Auto 1 im Koordinatenursprung ist (siehe Abb. 2.4). Den Ort beider Autos auf der s-Achse zu einem beliebigen Zeitpunkt t beschreiben wir dann bezüglich unseres Koordinatensystems durch die Ortskoordinaten: s1 (t) = s1 + v1 · t s2 (t) = s2 + v2 · t

(2.11)

Da sich das Auto 1 zum Anfangszeitpunkt t0 = 0 s im Koordinatenursprung befindet, gilt s1 (0) = s1 = 0 m, und weil zu Beginn der Abstand beider Autos 100 m beträgt, folgt s2 (0) = s2 = 100 m. Ferner sind die Geschwindigkeiten beider Autos gegeben durch: 150 · 1 000 m v1 = 150 km/h = = 41,67 m/s 3 600 s (2.12) 100 · 1 000 m v2 = 100 km/h = = 27,78 m/s 3 600 s Zum Zeitpunkt ts holt das Auto 1 das Auto 2 ein, sodass sich beide zu diesem Zeitpunkt am selben Ort auf der s-Achse befinden. Damit folgt für ts s1 (ts ) = s2 (ts ),

(2.13)

v1 · ts = s2 + v2 · ts

(2.14)

woraus wir die Gleichung

Abb. 2.4 Gleichförmig geradlinige Bewegung

28

2 Klassische Mechanik

erhalten. Zur Zeit ts =

s2 100 m = = 7,2 s v1 − v2 41,67 m/s − 27,78 m/s

(2.15)

holt also das schnellere Auto das langsamere ein. (b) Das schnellere Auto ist dann die Strecke s1 (ts ) = v1 · ts = 41,67 m/s · 7,2 s = 300 m

(2.16)

und das langsamere die Strecke  s = s2 (t2 ) − s2 (0) = 300 m − 100 m = 200 m

(2.17)

gefahren.  Aufgabe 22 Gleichförmige Kreisbewegung Wie viele Minuten und Sekunden nach 1 U hr überholt der Minutenzeiger den Stundenzeiger einer Uhr zum ersten Mal? Lösung Die Spitzen von Stunden- und Minutenzeiger führen eine gleichförmige Kreisbewegung durch, sodass die Winkel, die der Stundenzeiger ϕ S (t) und der Minutenzeiger ϕ M (t) zur Zeit t nach 1 U hr mit der x-Achse einschließen, gegeben sind durch (siehe Abb. 2.5): ϕ M (t) = ω M · t und ϕ S (t) = ω S · t +

Abb. 2.5 Gleichförmige Kreisbewegung

π 6

(2.18)

2.1

Übungsserie: Kinematik

29

Für die Winkelgeschwindigkeiten beider Zeiger erhalten wir: 2π 2π = = 2 π h −1 TM 1h 2π 2π π −1 ωS = = = h TS 12 h 6

ωM =

(2.19)

Zum Zeitpunkt ts stehen beide Zeiger übereinander, d. h., zu diesem Zeitpunkt gilt: ϕ M (ts ) = ϕ S (ts ) Mit (2.18) folgt hieraus ω M · ts = ω S · ts +

(2.20) π , 6

(2.21)

womit wir für die gesuchte Zeit ts =

π 6

ω M − ωS

=

π 6

2π −

π 6

h =

π 6·

11 π 6

h =

1 h = 0,0909 h 11

(2.22)

erhalten. Wegen 0,0909 h = 0,0909 · 60 min = 5 min 0,4540 · 60 s = 5 min 27 s

(2.23)

überholt also der Minutenzeiger den Stundenzeiger 5 min 27 s nach 1 U hr das erste Mal.  Aufgabe 23 Bahnkurve der Erde um die Sonne In guter Näherung kann man die Bahnkurve der Erde um die Sonne als Kreisbahn mit dem Radius R = 1,5 · 1011 m betrachten. Berechnen Sie (a) die Umlaufdauer T , (b) die Bahngeschwindigkeit v B sowie (c) die Zentripetalbeschleunigung az , und vergleichen Sie diese mit der Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s 2 . Lösung (a) Die Erde führt in guter Näherung eine gleichförmige Kreisbewegung um die Sonne durch. Für die Umlaufdauer gilt: T = 1 J ahr = 365 · 24 · 60 · 60 s = 3,15 · 107 s

(2.24)

(b) Der Betrag der Bahngeschwindigkeit ist gegeben durch v B = ω · R,

(2.25)

30

2 Klassische Mechanik

worin R den Radius und ω =

2π 2π = = 2 · 10−7 s −1 T 3,15 · 107 s

(2.26)

die Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung bezeichnen. Damit folgt: v B = 2 · 10−7 s −1 · 1,5 · 1011 m = 3 · 104 m/s

(2.27)

(c) Der Betrag der Zentripetalbeschleunigung ist schließlich gegeben durch: az = ω2 · R =

vB 2 {3 · 104 m/s}2 = = 6 · 10−3 m/s 2 R 1,5 · 1011 m

(2.28)

Für das Verhältnis von Zentripetalbeschleunigung und Erdbeschleunigung erhalten wir damit : az 6 · 10−3 m/s 2 = 6,12 · 10−4  0,06 % (2.29) = g 9,81 m/s 2 

2.2

Übungsserie: Kräfte

A) Verständnisteil Begriffe: Kraft, Masse, Trägheitsprinzip, Aktionsprinzip, Reaktionsprinzip, Schwerkraft, Federkraft, Coulomb-Reibung, Haftreibungskraft, Gleitreibungskraft, StokesReibung, Newton-Reibung, Zentripetalkraft, Gravitationskraft, Gravitationsfeld, Gravitationspotential, Kraftstoß

Aufgabe 24 Newton’sche Gesetze Welche der folgenden Aussagen über die Newton’schen Gesetze ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Durch das Aktionsprinzip wird in umkehrbar eindeutiger Weise eine (bewegende) Kraft mit einer Änderung des Bewegungszustandes, d. h. einer Beschleunigung, verknüpft. (b) In Fges = m · a beschreibt Fges die Summe der Beträge der Kräfte, die auf einen Körper wirken.

2.2

Übungsserie: Kräfte

31

(c) Unterschiedliche Körper werden durch gleiche Kräfte stets gleich beschleunigt. (d) Sind in F = m · a die Kraftkomponenten Fx , Fy und Fz unabhängig voneinander, dann sind es auch die Bewegungen in x-, y- und z-Richtung. Lösung (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn wirken auf einen Massenpunkt die Kräfte F1 , F2 , . . ., so gilt für den Betrag der Gesamtkraft Fges = | Fges | = | F1 + F2 + . . . |  = F1 + F2 + . . . ,

(2.30)

der also i. Allg. verschieden ist von der Summe der Beträge der einzelnen Kräfte. (c) ist falsch, denn verschiedene Körper haben i. Allg. unterschiedliche Massen m 1  = m 2 , womit wir F F = = a2 (2.31) a1 = m1 m2 erhalten. (d) ist richtig.  Aufgabe 25 Kräfte Welche der folgenden Aussagen über Kräfte ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Weil jeder Körper in der Nähe der Erdoberfläche betragsmäßig die gleiche Beschleunigung g = 9,81 m/s 2 erfährt, ist der Betrag der Schwerkraft auf alle Körper gleich. (b) Reibungskräfte wirken stets in Bewegungsrichtung. (c) Haftreibungs- und Gleitreibungskräfte sind unabhängig von der Größe der Berührungsfläche der Körper. (d) Nach dem Aktionsprinzip besitzt die Zentripetalkraft dieselbe Richtung wie die Zentripetalbeschleunigung, d. h., sie ist radial zum Kreismittelpunkt gerichtet. Lösung (a) ist falsch, denn die Schwerkraft ist proportional zur Masse eines Körpers. Besitzen also die Körper verschiedene Massen m 1  = m 2 , so folgt: G 1 = m 1 · g = m 2 · g = G 2

(2.32)

(b) ist falsch, denn sie wirken stets entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung. (c) ist richtig. (d) ist richtig. 

32

2 Klassische Mechanik

Aufgabe 26 Statisches Kräftegleichgewicht an einer Rolle An einer Rolle, die wir als „masselos“ betrachten, ist ein Körper mit der Masse m befestigt.

(a) Welche Kraft muss man am rechten Fadenende ausüben, damit die Masse in Ruhe bleibt? (b) Welche Kraft wirkt auf die Aufhängung A der Rolle? (c) Welche Kräfte wirken auf die Masse, wenn diese sich im Zustand der Ruhe befindet? (d) Wie groß ist die Belastung des Fadens? Lösung (a) Damit der Körper in Ruhe bleibt, muss man am rechten Ende des Fadens eine Kraft vom Betrag Fa = m · g = G senkrecht nach unten ausüben, wobei G das Gewicht des Körpers bezeichnet. (b) Auf die Aufhängung A der Rolle wirkt dann eine Gesamtkraft vom Betrag  + Fa | = G + Fa = 2 · G = 2 m g FA =| G

(2.33)

senkrecht nach unten, die von der Aufhängung kompensiert werden muss.  sowie die Fadenkraft FF . Befindet er sich in (c) Auf den Körper wirkt die Schwerkraft G Ruhe, so ist seine Beschleunigung a = 0 m/s 2 , weshalb die Gesamtkraft  + FF = 0 N Fges = G

(2.34)

 weshalb die Fadenkraft der inverse auf ihn verschwindet. Hieraus folgt FF = − G, Vektor des Gewichtes des Körpers ist. Deshalb sind beide betragsmäßig gleich, und es gilt: (2.35) FF = G = m · g (d) Die Belastung des Fadens ist per Definition gleich dem Betrag der Fadenkraft, d. h., sie ist gleich dem Gewicht des Körpers. 

2.2

Übungsserie: Kräfte

33

Aufgabe 27 Aktionsprinzip Wie ändert sich bei konstanter Kraft F die Beschleunigung a, wenn man die Masse verdoppelt? Lösung Ist die Kraft F auf einen Massenpunkt konstant, so erfährt er nach dem Aktionsprinzip F = m · a die Beschleunigung F (2.36) a = . m Verdoppelt man nun die Masse, d. h., gilt m  = 2 · m, dann folgt a =

F F 1 F 1 = = · = · a, m 2·m 2 m 2

(2.37)

d. h., die Beschleunigung halbiert sich.  Aufgabe 28 Flaschenzug In Abb. 2.6 ist ein Flaschenzug dargestellt. Auf den Körper mit der Masse m, den wir als Massenpunkt betrachten, wirke die Schwerkraft vom Betrag G = 8 N . Abb. 2.6 Zum Flaschenzug

34

2 Klassische Mechanik

(a) Mit welcher Kraft Fa muss man am rechten Ende ziehen, damit der Flaschenzug im Gleichgewicht ist? (b) Welche Kräfte wirken an den oberen Aufhängungen der Rollen? Lösung (a) Damit eine Rolle im Gleichgewicht ist, müssen die Beträge der Fadenkräfte an beiden Seiten der Rolle gleich sein. Ferner muss die Gesamtkraft auf jede Rolle verschwinden. Somit betragen die Fadenkräfte an beiden Seiten der ersten Rolle 4 N , an der zweiten Rolle 2 N sowie an der dritten und vierten Rolle jeweils 1 N . Damit also der Flaschenzug im Gleichgewicht ist, muss man am rechten Ende mit der Kraft Fa = 1 N senkrecht nach unten ziehen. (b) Die Kräfte auf die oberen Aufhängungen der Rollen sind durch die entsprechenden Fadenkräfte gegeben. Sie wirken senkrecht nach unten, und für ihre Beträge gilt: F1 = 4 N ,

F2 = 2 N ,

F3 = 1 N ,

F4 = 2 N

(2.38) 

B) Übungsteil Aufgabe 29 Belastung eines Fadens An einen Faden wird eine Last mit der Masse m = 1 kg gehängt. Berechnen Sie die Belastung des Fadens, wenn die Last (a) mit einer Beschleunigung von 3 m/s 2 angehoben wird, (b) mit der Beschleunigung 3 m/s 2 herabgelassen wird. Lösung Die s-Achse legen wir, wie in Abb. 2.7 dargestellt, fest. Auf die Last wirkt die Schwerkraft G = − m · g sowie die Fadenkraft FF . Da die Schwerkraft entgegengesetzt zur s-Achse gerichtet ist, versehen wir sie mit einem −-Zeichen, während die Fadenkraft in Richtung der s-Achse zeigt und deshalb ein +-Zeichen erhält. Damit ist die Belastung des Fadens durch FF gegeben.

2.2

Übungsserie: Kräfte

35

Abb. 2.7 Zur Belastung eines Fadens

Die Gesamtkraft auf die Last beträgt: Fges = FF + G = FF − m · g

(2.39)

Diese ruft nach dem Aktionsprinzip die Beschleunigung a der Last hervor: Fges = m · a = FF − m · g

(2.40)

Hieraus folgt für die Fadenkraft: FF = m · (g + a)

(2.41)

(a) Wird nun die Last mit der Beschleunigung 3 m/s 2 angehoben, so ist sie in Richtung der s-Achse gerichtet. Mit a = 3 m/s 2 folgt dann nach (2.41) für die Belastung des Fadens: (2.42) FF = 1 kg · (9,81 m/s 2 + 3 m/s 2 ) = 12,81 N (b) Wird dagegen die Last mit der Beschleunigung 3 m/s 2 herabgelassen, so zeigt sie entgegengesetzt zur s-Achse. Mit a = − 3 m/s 2 folgt dann analog für die Belastung des Fadens: (2.43) FF = 1 kg · (9,81 m/s 2 − 3 m/s 2 ) = 6,81 N 

36

2 Klassische Mechanik

Aufgabe 30 Haft- und Gleitreibungskraft Die Reibungskoeffizienten für Autoreifen auf der Straße betragen ungefähr μ H = 0,9 und μG = 0,5. Wir betrachten ein Auto mit der Masse m = 1 000 kg. (a) Welche Kraft muss man überwinden, um es mit blockierten Rädern auf ebener Straße von der Stelle zu schieben? (b) Welche Kraft ist erforderlich, um es mit konstanter Geschwindigkeit bei noch blockierten Rädern weiterzuschieben? (c) Wie ändern sich die Verhältnisse auf nasser μ H = 0,5 bzw. vereister μ H = 0,1 Straße? Lösung (a) Um das Auto mit blockierten Rädern in Bewegung zu versetzen, muss man die maximale Haftreibungskraft FHmax = μ H · FN überwinden. Die Normalkraft entspricht dem Gewicht FN = G = m · g des Autos. Damit folgt: FHmax = μ H · FN = μ H · m · g = 0,9 · 103 kg · 9,81 m/s 2 = 8,83 · 103 N (2.44) (b) Um das Auto dann mit konstanter Geschwindigkeit weiterzuschieben, muss die Gleitreibungskraft FG = μG · FN = μG · m · g = 0,5 · 103 kg · 9,81 m/s 2 = 4,91 · 103 N

(2.45)

kompensiert werden. (c) Mit dem Haftreibungskoeffizienten μ H = 0,5 beträgt die maximale Haftreibungskraft auf nasser Straße FHmax = 4,91·103 N , während sie auf vereister Straße mit μ H = 0,1 nur noch FHmax = 0,98 · 103 N beträgt, d. h. nur noch etwa ein Zehntel des Wertes auf trockener Straße.  Aufgabe 31 Gravitationskraft und Schwerkraft Zwei Personen mit jeweils einer Masse von 75 kg stehen sich im Abstand 1 m gegenüber. (a) Mit welcher Kraft ziehen sie einander an? (b) Wie groß ist das Verhältnis dieser Kraft zum Gewicht einer Person?

2.2

Übungsserie: Kräfte

37

Lösung (a) Beide Personen üben aufeinander die Gravitationskraft aus, deren Betrag mit m 1 = m 2 = 75 kg und r = 1 m gegeben ist durch: Fg = G ·

2 (0,75 kg)2 m1 · m2 −11 N m = 6,67 · 10 · = 3,75 · 10−7 N r2 kg 2 1 m2

(2.46)

(b) Für das Gewicht einer Person erhalten wir G = m · g = 75 kg · 9,81 m/s 2 = 735,75 N ,

(2.47)

womit wir für das Verhältnis von Gravitationskraft zur Schwerkraft Fg 3,75 · 10−7 N = = 5 · 10−10 G 735,75 N

(2.48)

erhalten. Weil dieses Verhältnis so klein ist, macht sich die Gravitationskraft zwischen irgendwelchen uns umgebenden Dingen des täglichen Lebens nicht bemerkbar.  Aufgabe 32 Erd- und Mondbeschleunigung Berechnen Sie (a) die Erdbeschleunigung im Abstand der Mondumlaufbahn rm = 0,384 · 109 m, (b) die Mondbeschleunigung auf der Mondoberfläche, sowie (c) das Verhältnis der Gewichte eines Körpers auf dem Mond und der Erde. Die Masse von Erde und Mond betragen M E = 5,97 · 1024 kg bzw. M M = 0,73 · 1023 kg, während der Mondradius gegeben ist durch R M = 1,74 · 106 m. Lösung (a) Die Erdbeschleunigung g E und die Mondbeschleunigung g M im Abstand r von ihrem jeweiligen Mittelpunkt sind gegeben durch g E (r ) =

G · ME r2

bzw. g M (r ) =

G · MM , r2

(2.49)

worin G = 6,67 · 10−11 N m 2 /kg 2 die universelle Graviationskonstante bezeichnet. Für die Erdbeschleunigung im Abstand der Mondumlaufbahn erhalten wir dann: 2

6,67 · 10−11 Nkgm2 · 5,97 · 1024 kg G · ME g E (rm ) = = = 2,7 · 10−3 m/s 2 (2.50) rm2 (0,384 · 109 m)2

38

2 Klassische Mechanik

(b) Für die Mondbeschleunigung auf der Mondoberfläche folgt analog: 2

6,67 · 10−11 Nkgm2 · 0,73 · 1023 kg G · MM = = 1,68 m/s 2 g M (Rm ) = (1,74 · 106 m)2 R 2M

(2.51)

(c) Das Gewicht eines Körpers der Masse m auf der Erde ist gegeben durch G E = m · g E und auf dem Mond durch G M = m · g M . Für das Verhältnis dieser Gewichte erhalten wir GE m · gE gE 9,81 m/s 2 = = = = 5,84, (2.52) GM m · gM gM 1,68 m/s 2 d. h., der Körper ist auf der Erde ca. 6-mal so schwer wie auf dem Mond.  Aufgabe 33 Kraftstoß Ein Pkw fährt mit einer Geschwindigkeit von 20 m/s gegen einen Baum. (a) Der Fahrer ist angeschnallt. Sein Körper der Masse 75 kg wird vom Sicherheitsgurt mit einer Auflagefläche von 0,08 m 2 abgefangen und kommt nach 0,6 s zur Ruhe. Berechnen Sie die mittlere Kraft pro m 2 auf den Fahrer. (b) Sein Beifahrer ist nicht angeschnallt. Er fliegt mit seinem Kopf, der eine Masse von 4,5 kg besitzt, gegen die Windschutzscheibe, wobei die Berührungsfläche 4 · 10−4 m 2 beträgt. Der Kopf wird in der Zeit von 0,03 s abgebremst. Berechnen Sie die mittlere Kraft pro m 2 , die hier wirksam ist. (c) Wie kann die Sicherheit erhöht werden? Lösung (a) Die mittlere Kraft Fm , die während eines Stoßvorganges wirkt, ist gegeben durch Fm =

m · v , t

(2.53)

worin  v die Geschwindigkeitsänderung während des Stoßvorganges und  t die Zeitspanne bezeichnen, in der der Stoßvorgang stattfindet. Fährt der Pkw mit einer Geschwindigkeit von v = 20 m/s gegen den Baum, so folgt für die mittlere Kraft, die auf den Fahrer wirkt: Fm =

75 kg · 20 m/s = 2 500 N 0,6 s

(2.54)

Für die Kraft pro m 2 erhalten wir dann mit einer Gurtfläche von A = 0,08 m 2 : 2 500 N Fm = 3,1 · 104 N /m 2 = A 0,08 m 2

(2.55)

2.3

Übungsserie: Einfache Bewegungen

39

(b) Da der Beifahrer nicht angeschnallt ist, wirkt auf seinen Kopf die mittlere Kraft Fm =

4,5 kg · 20 m/s = 3 000 N . 0,03 s

(2.56)

Mit der Berührungsfläche von Kopf und Windschutzscheibe von A = 4 · 10−4 m 2 folgt nun: 3 000 N Fm = 7,5 · 106 N /m 2 (2.57) = A 4 · 10−4 m 2 Die Kraft pro Fläche auf den Kopf des Beifahrers ist also ungefähr 200-mal größer als diejenige auf den angeschnallten Fahrer, weshalb der Beifahrer mit wesentlich schwerwiegenderen Schäden zu rechnen hat. (c) Man kann die Sicherheit durch einen Airbag verbessern, bei dem die Auflagefläche A vergrößert und die Stoßzeit verlängert wird oder indem man einfach die Geschwindigkeit reduziert! 

2.3

Übungsserie: Einfache Bewegungen

A) Verständnisteil Begriffe: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung, Anfangsbedingungen, schiefer Wurf, freier Fall ohne Reibung, Aufprallgeschwindigkeit, ungedämpfte harmonische Schwingung, Kreisfrequenz, Schwingungsdauer, Frequenz, Phasenwinkel, kinetische Energie, potentielle Energie und Gesamtenergie beim Federpendel, freier Fall unter Reibungseinfluss

Aufgabe 34 Einfache Bewegungen Welche der folgenden Aussagen über einfache Bewegungen ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung unter der Einwirkung einer konstanten Kraft ist die Bahnkurve i. Allg. eine Parabel, d. h., die Bewegung findet in einer Ebene statt. (b) Wird ein Stein in der Nähe der Erdoberfläche senkrecht nach oben geworfen, so verschwindet die Gesamtkraft auf den Stein, wenn er die maximale Flughöhe erreicht hat und hier seine Geschwindigkeit v = 0 m/s beträgt.

40

2 Klassische Mechanik

(c) Da die Gesamtenergie bei einem elastischen Federpendel unter Vernachlässigung von Reibungskräften konstant ist, sind auch die kinetische Energie und die potentielle Energie des an der Feder hängenden Körpers konstant. (d) Ist die Geschwindigkeit eines in einem Fluid frei fallenden Körpers konstant, dann ist der Betrag der auf den Körper wirkenden Reibungskraft 0 N . Lösung (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn auf den Stein wirkt an jedem Punkt seiner Bahnkurve die konstante Schwerkraft, die weder orts- noch geschwindigkeitsabhängig ist. Sie wirkt also auch, wenn er seine maximale Wurfhöhe erreicht hat und hier seine Geschwindigkeit v = 0 m/s beträgt. Da die Schwerkraft die einzige Kraft ist, die auf den Stein wirkt, verschwindet die Gesamtkraft Fges = G = m · g auf ihn also nicht! (c) ist falsch, zwar ist nach dem mechanischen Energieerhaltungssatz die Gesamtenergie E ges = E kin (t) + E pot (t) = 21 D x02 des Körpers an der Feder konstant, doch ändern sich wegen E kin (t) = 21 m v(t)2 und E pot (t) = 21 D x(t)2 seine kinetische und potentielle Energie mit der Zeit, weil sich seine Ortskoordinate x(t) und seine Geschwindigkeit v(t) zeitlich ändern. (d) ist falsch, denn ist der Betrag der Geschwindigkeit des im Fluid frei fallenden Körpers konstant, dann verschwindet seine Beschleunigung und damit die Gesamtkraft auf den Körper. Da die Gesamtkraft auf den Körper durch die vektorielle Summe aus der Schwerkraft und der entgegengesetzt gerichteten Reibungskraft gegeben ist, folgt, dass dann der Betrag der Reibungskraft gleich dem Betrag der Schwerkraft FR = G = m · g ist.  Aufgabe 35 Überlagerung von Bewegungsformen Zwei Kugeln mit den Massen m 1 und m 2 < m 1 befinden sich beide in der Höhe h über dem Erdboden. Zum Anfangszeitpunkt t = 0 s wird die erste Kugel losgelassen und fällt senkrecht nach unten. Der zweiten Kugel wird dagegen zum Zeitpunkt t = 0 s eine Anfangsgeschwindigkeit v0 in waagerechter Richtung mitgegeben. Reibungskräfte seien vernachlässigbar. (a) Wie lauten die Koordinatenfunktionen beider Kugeln? Welche Bewegungsformen führen sie durch? (b) Beschreiben Sie die Bahnkurven beider Kugeln. (c) Welche Kugel schlägt zuerst auf den Erdboden? (d) Bestimmen Sie die Aufprallgeschwindigkeiten beider Kugeln. Lösung (a) Das Bezugssystem legen wir für beide Kugeln, wie in Abb. 2.8 gezeigt, fest. Die erste Kugel führt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung unter Einwirkung der konstan-

2.3

Übungsserie: Einfache Bewegungen

41

Abb. 2.8 Zur Überlagerung von Bewegungsformen

ten Schwerkraft, d. h. einen freien Fall längs der z-Achse, durch. Aufgrund der Wahl des Bezugssystems folgt für ihre Koordinatenfunktionen: x(t) ≡ 0 m y(t) ≡ 0 m 1 z(t) = − g t 2 + h 2

(2.58)

Auch die zweite Kugel führt in z-Richtung eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung und zusätzlich in x-Richtung eine gleichförmig geradlinige Bewegung durch. Ihre Koordinatenfunktionen lauten damit: x(t) = v0 · t y(t) ≡ 0 m 1 z(t) = − g t 2 + h 2

(2.59)

(b) Die Bahnkurve der ersten Kugel ist eine Gerade. Für die z-Koordinate der zweiten Kugel folgt mit t = vx0 : z = −

1 2 1 gt + h = − g 2 2



x v0

2 +h = −

g · x2 + h 2 v02

(2.60)

Das ist die Gleichung einer Parabel mit dem Scheitelpunkt an der Stelle x = 0, die nach unten geöffnet ist. Die Bahnkurve der zweiten Kugel ist also eine Parabel in der x, y-Ebene (siehe Abb. 2.8). (c) Da die skalaren Komponenten der Schwerkraft unabhängig voneinander sind, sind es auch die Bewegungen der Kugeln in x-, y- und z-Richtung, die deshalb getrennt behandelt werden können. Beide Kugeln führen also in z-Richtung einen freien Fall

42

2 Klassische Mechanik

ohne Reibung durch mit der Beschleunigung a = −g. Da ferner beide aus derselben Höhe h fallen, beträgt für sie die gesamte Fallzeit

2h tg = , (2.61) g d. h., beide Kugeln treffen zur gleichen Zeit auf dem Erdboden auf. (d) Die Aufprallgeschwindigkeit ist für beide Kugeln gegeben durch:  va = | v(tg ) | = vx (tg )2 + v y (tg )2 + vz (tg )2

(2.62)

Für die erste Kugel sind vx = v y = 0 m/s und vz = − g t, womit wir für ihre Aufprallgeschwindigkeit

  2h va = (−g tg )2 = g 2 · (2.63) = 2gh g erhalten. Für die zweite Kugel betragen die Geschwindigkeitskomponenten jedoch vx = v0 , v y = 0 m/s und vz = −g t. Damit folgt für ihre Aufprallgeschwindigkeit  (2.64) va = v02 + 2 g h, die wegen der zusätzlichen gleichförmig geradlinigen Bewegung in x-Richtung größer ist als bei der ersten Kugel.  Aufgabe 36 Ungedämpfte harmonische Schwingung eines elastischen Federpendels Bei einem elastischen Federpendel wird die Masse des Körpers vervierfacht. (a) Wie ändern sich die Schwingungsdauer T und die Frequenz ν der harmonischen Schwingung? (b) Wenn beide Körper an den Pendeln aus ihrer Ruhelage um die gleiche Strecke x0 ausgelenkt und losgelassen werden, welche kinetische Energie, potentielle Energie und Gesamtenergie besitzen dann beide? (c) Was können Sie über die maximale Geschwindigkeit beider Körper aussagen? Lösung (a) Die Schwingungsdauer der ungedämpften harmonischen Schwingung ist gegeben durch: 2π m T = = 2π · (2.65) ω D

2.3

Übungsserie: Einfache Bewegungen

43

Wenn wir die Masse des Körpers an dem elastischen Federpendel vervierfachen, d. h., wenn m  = 4 m gilt, dann folgt für die Schwingungsdauer m 4m m  T = 2π · = 2π · = 2 ·2π = 2 · T, (2.66) D D D d. h., die Schwingungsdauer verdoppelt sich. Mit ν = T1 erhalten wir für die Änderung der Frequenz 1 1 1 1 1 ν =  = = · = · ν, (2.67) T 2T 2 T 2 weshalb sich die Frequenz halbiert. (b) Wenn der Körper mit der Masse m  aus seiner Ruhelage um die gleiche Strecke x0 ausgelenkt wird wie der Körper mit der Masse m (siehe Abb. 2.9) , so folgt für die maximale potentielle Energie beider Körper die Gleichung E  pot = max

1 D x02 = E max pot = E ges , 2

(2.68)

die für beide Körper gleich der Gesamtenergie ist. Schwingen dagegen beide Körper durch ihre Ruhelage x = 0 m, so sind ihre kinetischen Energien maximal und entsprechen nach dem mechanischen Energieerhaltungssatz in beiden Fällen ebenfalls der Gesamtenergie, d. h., es gilt: E  kin = max

1  2 1 2 max = E kin = E ges m v max = m vmax 2 2

Abb. 2.9 Zum elastischen Federpendel

(2.69)

44

2 Klassische Mechanik

(c) Aus (2.69) folgt für die maximalen Geschwindigkeiten beider Körper v  2max m m 1 =  = = 2 vmax m 4m 4

(2.70)

oder

1 (2.71) · vmax . 2 Die maximale Geschwindigkeit des schwereren Körpers mit der Masse m  ist also halb so groß wie die des Körpers mit der Masse m. v  max =

 Aufgabe 37 Orts-Zeit-Diagramme einfacher Bewegungen Um welche Bewegungsformen handelt es sich bei den in der folgenden Abbildung dargestellten Orts-Zeit-Diagrammen?

Lösung Im Fall (A) ist die Ortskoordinate als Funktion der Zeit konstant s(t) = s0 , weshalb sich der Massenpunkt im Zustand der Ruhe befindet. Im Fall (B) wird die Ortskoordinate durch eine lineare Funktion s(t) = v0 t + s0 beschrieben, weshalb die Geschwindigkeit konstant ist und es sich deshalb um eine gleichförmig geradlinige Bewegung handelt. Im Fall (C) dagegen ändert sich die Ortskoordinate quadratisch mit der Zeit s(t) = 21 a t 2 + v0 t + s0 , wobei die Beschleunigung a konstant ist, womit eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vorliegt. Im Fall (D) ist schließlich die Beschleunigung nicht konstant, sodass es sich um eine nicht gleichmäßig beschleunigte Bewegung des Massenpunktes handelt. 

2.3

Übungsserie: Einfache Bewegungen

45

Aufgabe 38 Geschwindigkeits-Zeit-Diagramme einfacher Bewegungen Um welche Bewegungsformen handelt es sich bei den in der folgenden Abbildung dargestellten Geschwindigkeits-Zeit-Diagrammen?

Lösung Im Fall (A) ist die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit konstant v(t) = v1 , sodass eine gleichförmig geradlinige Bewegung vorliegt. Im Fall (B) nimmt dagegen die Geschwindigkeit linear mit der Zeit zu v(t) = a t + v0 , weshalb die Beschleunigung konstant ist und es sich deshalb um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt. Im Fall (C) ist schließlich die Beschleunigung nicht konstant, sodass es sich um eine nicht gleichmäßig beschleunigte Bewegung des Massenpunktes handelt.  B) Übungsteil Aufgabe 39 Freier Fall ohne Reibung Zwei Körper fallen aus verschiedenen Höhen senkrecht nach unten und kommen zur selben Zeit auf dem Erdboden an. Die Fallzeit des ersten Körpers beträgt 2 s und die des zweiten Körpers 1 s. In welcher Höhe war der erste Körper, als der zweite zu fallen begann? Lösung Beide Körper führen eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung längs einer Geraden durch. Die s-Achse legen wir, wie in Abb. 2.10 dargestellt, fest. Damit entspricht die s-Koordinate der Höhe über dem Erdboden. Der erste Körper fällt zum Anfangszeitpunkt t = 0 s aus der Höhe h 1 mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 0 m/s, wobei seine Beschleunigung a = −g ist. Zur Zeit t ist seine Höhe über dem Erdboden also gegeben durch:

46

2 Klassische Mechanik

Abb. 2.10 Freier Fall ohne Reibung

s(t) =

1 2 1 a t + v0 t + s0 = − g t 2 + h 1 2 2

(2.72)

Nach der Fallzeit tg = 2 s schlägt er auf dem Erdboden auf, weshalb für die s-Koordinate s(tg ) = 0 m gilt. Damit erhalten wir die Gleichung: 1 0 = − g tg 2 + h 1 , 2

(2.73)

woraus wir für seine Anfangshöhe h1 =

1 1 g tg 2 = · 9,81 m/s 2 · (2 s)2 = 19,62 m 2 2

(2.74)

erhalten. Die Fallzeit des zweiten Körpers beträgt 1 s. Da beide Körper gleichzeitig am Erdboden auftreffen, beginnt der zweite Körper also zur Zeit t1 = 1 s zu fallen. Zu dieser Zeit befindet sich der erste Körper in der Höhe 1 1 h = s(t1 ) = − g t1 2 + h 1 = − · 9,81 m/s 2 · (1 s)2 + 19,62 m = 14,72 m. (2.75) 2 2  Aufgabe 40 Senkrechter Wurf nach oben Ein Stein wird mit der Anfangsgeschwindigkeit 40 m/s senkrecht nach oben geworfen. (a) Welche maximale Flughöhe erreicht er? (b) Mit welcher Aufprallgeschwindigkeit schlägt der Stein schließlich auf dem Erdboden auf?

2.3

Übungsserie: Einfache Bewegungen

47

Lösung (a) Der Stein führt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung längs einer Geraden durch. Die s-Achse legen wir, wie in Abb. 2.11 dargestellt, fest. Damit entspricht die sKoordinate der Höhe über dem Erdboden. Zur Anfangszeit t = 0 s wird der Massenpunkt „Stein“ vom Erdboden aus mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 40 m/s senkrecht nach oben geworfen, während seine Beschleunigung a = −g beträgt. Zur Zeit t ist seine Höhe über dem Erdboden gegeben durch die Ortskoordinate s(t) =

1 1 2 a t + v0 t + s0 = − g t 2 + v0 t, 2 2

(2.76)

und seine Geschwindigkeit beträgt: v(t) = a t + v0 = −g t + v0

(2.77)

Wenn der Stein zur Steigzeit ts seine maximale Höhe h max erreicht, dann verschwindet seine Geschwindigkeit. Damit erhalten wir die Gleichung: v(ts ) = −g ts + v0 = 0

(2.78)

woraus wir für die Steigzeit ts =

v0 40 m/s = 4,1 s = g 9,81 m/s 2

(2.79)

erhalten. Hieraus folgt für seine maximale Flughöhe: 1 h max = s(ts ) = − · 9,81 m/s 2 · (4,1 s)2 + 40 m/s · 4,1 s = 81,6 m 2

Abb. 2.11 Senkrechter Wurf nach oben

(2.80)

48

2 Klassische Mechanik

(b) Die gesamte Flugzeit tg des Steines ist festgelegt durch die Bedingung s(tg ) = 0 m. Mit (2.76) erhalten wir die Gleichung  1 1 2 (2.81) s(tg ) = − g tg + v0 tg = tg · − g tg + v0 = 0. 2 2 Die Lösung tg = 0 s entspricht dem Anfangszeitpunkt und scheidet aus. Damit folgt für die gesamte Flugzeit des Steines: tg =

2 v0 = 2 · ts = 8,2 s g

(2.82)

Für die Geschwindigkeit des Steines zur Zeit tg erhalten wir nach (2.77) v(tg ) = −g tg + v0 = −g ·

2 v0 + v0 = −v0 , g

(2.83)

sodass die Aufprallgeschwindigkeit des Steines gegeben ist durch: va = | v(tg ) | = | −40 m/s | = 40 m/s

(2.84) 

Aufgabe 41 Bremsvorgang beim Auto Ein Auto mit einem Gewicht von 10 791 N kommt durch die Einwirkung einer konstanten Bremskraft nach 5 s zum Stillstand. In dieser Zeit legt es eine Strecke von 25 m zurück. (a) Mit welcher Beschleunigung wird das Auto abgebremst? (b) Welche Geschwindigkeit hatte das Auto zu Beginn des Bremsvorganges? (c) Welchen Betrag besitzt die Bremskraft, und in welche Richtung zeigt sie? Lösung (a) Der Massenpunkt „Auto“ führt eine gleichmäßig verzögerte Bewegung mit einer konstanten Beschleunigung vom Betrag a durch. Die s-Achse legen wir so fest, dass sich das Auto zum Anfangszeitpunkt t = 0 s im Urspung befindet.

2.3

Übungsserie: Einfache Bewegungen

49

Die Anfangsbedingungen lauten dann s(0) = s0 = 0 m v(0) = v0 ,

(2.85)

worin v0 die Geschwindigkeit des Autos zu Beginn des Bremsvorganges bezeichnet. Mit dem Gewicht des Autos G = m · g = 10 791 N erhalten wir für seine Masse: 10 791 N G = 1 100 kg = g 9,81 m/s 2

m =

(2.86)

Da die Beschleunigung entgegengesetzt zur s-Achse gerichtet ist, erhält sie ein −-Zeichen. Zu einem beliebigen Zeitpunkt t befindet sich das Auto am Ort 1 s(t) = − a t 2 + v0 · t 2

(2.87)

und besitzt die Geschwindigkeit v(t) = − a t + v0 .

(2.88)

Zur Zeit tg = 5 s kommt das Auto zum Stillstand, sodass zu dieser Zeit seine Geschwindigkeit verschwindet v(tg ) = 0 m/s. Damit erhalten wir die Gleichung − a tg + v0 = 0,

(2.89)

womit wir für die Anfangsgeschwindigkeit v0 = a t g

(2.90)

erhalten. Ferner befindet sich das Auto zur Zeit tg am Ort s(tg ) = −

1 a t g 2 + v0 t g . 2

(2.91)

Mit der Anfangsgeschwindigkeit (2.90) gilt s(tg ) = −

1 1 · a tg 2 + (a tg ) · tg = a · tg 2 , 2 2

(2.92)

woraus wir mit s(tg ) = 25 m für den Betrag der Beschleunigung a =

2 · s(tg ) 2 · 25 m = = 2 m/s 2 tg 2 25 s 2

(2.93)

erhalten. Damit folgt nach (2.90) für die Geschwindigkeit des Autos zu Beginn des Bremsvorganges: (2.94) v0 = 2 m/s 2 · 5 s = 10 m/s

50

2 Klassische Mechanik

(c) Der Betrag der Bremskraft ist schließlich nach dem Aktionsprinzip gegeben durch: FB = m · a = 1 100 kg · 2 m/s 2 = 2 200 N

(2.95)

Sie ist wie die Beschleunigung entgegengesetzt zur s-Achse gerichtet.  Aufgabe 42 Geschwindigkeit und Beschleunigung bei der harmonischen Schwingung Die maximale Auslenkung eines Körpers an einem elastischen Federpendel beträgt 5 cm und die Schwingungsdauer der ungedämpften harmonischen Schwingung 4 s. Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit und die maximale Beschleunigung des Körpers. Lösung Die Geschwindigkeit und die Beschleunigung eines Massenpunktes an einem elastischen Federpendel sind gegeben durch:

bzw.

v(t) = x0 · ω · cos (ω t + ϕ)

(2.96)

a(t) = − x0 · ω2 · sin (ω t + ϕ)

(2.97)

Hierin bezeichnet

2π (2.98) T die Kreisfrequenz. Mit der maximalen Auslenkung x0 = 5 cm des Massenpunktes aus seiner Ruhelage und mit der Schwingungsdauer T = 4 s erhalten wir für die maximale Geschwindigkeit ω =

vmax = x0 · ω =

2 π · x0 2 π · 0,05 m = = 0,08 m/s, T 4s

(2.99)

und für die maximale Beschleunigung des Massenpunktes folgt: amax = x0 · ω2 =

4 π 2 · x0 4 π 2 · 0,05 m = = 0,12 m/s 2 T2 16 s 2

(2.100) 

Aufgabe 43 Freier Fall unter Einfluss der Stokes-Reibung Eine Stahlkugel mit einem Radius von 0,5 mm sinkt in einem großen, mit Rizinusöl gefüllten Gefäß mit einer konstanten Geschwindigkeit von 0,185 cm/s. Die Dichte von Stahl beträgt 7 700 kg/m 3 .

2.3

Übungsserie: Einfache Bewegungen

51

(a) Welche Viskosität besitzt Rizinusöl? (b) Wenn die Stahlkugel aus dem Zustand der Ruhe zu sinken beginnt, nach welcher Zeit hat sie dann die Hälfte der Endgeschwindigkeit erreicht? (c) Welche Strecke hat die Stahlkugel bis zu dieser Zeit zurückgelegt? Lösung (a) Die konstante Sinkgeschwindigkeit der Kugel mit dem Radius r = 0,5 · 10−3 m ist gegeben durch: m·g v∞ = (2.101) 6π r · η Mit der Masse m = ρ · V = η =

4π 3

r 3 · ρ erhalten wir nach (2.101) für die Viskosität

2 ρ · r2 · g 4 π · r3 · ρ · g = , 3 · 6 π r · v∞ 9 · v∞

(2.102)

d. h. explizit η =

2 · 7 700 kg/m 3 · 0,25 · 10−6 m 2 · 9,81 m/s 2 = 2,27 N s/m 2 . 9 · 0,185 · 10−2 m/s

(b) Die Geschwindigkeit der Kugel ist gegeben durch:

t v(t) = v∞ · 1 − e− τ

(2.103)

(2.104)

Nach der Zeit t1/2 hat sie die Hälfte der Endgeschwindigkeit erreicht, d. h., es gilt für diese Zeit: v∞ v(t1/2 ) = (2.105) 2 Damit folgt:  t1/2 v∞ v(t1/2 ) = = v∞ · 1 − e − τ 2 t1/2 1 = 1 − e− τ 2 t1/2 1 e− τ = | ln 2 t1/2 1 = ln = − ln 2 − τ 2

oder t1/2 = τ · ln 2 Mit τ =

0,185 · 10−2 m/s v∞ = 1,9 · 10−4 s = g 9,81 m/s 2

(2.106) (2.107)

52

2 Klassische Mechanik

erhalten wir schließlich nach (2.106) insgesamt: t1/2 = 1,9 · 10−4 s · ln 2 = 1,3 · 10−4 s

(2.108)

(c) Für die in der Zeit t von der Kugel zurückgelegten Strecke gilt: t

s(t) = v∞ · (t − τ ) + v∞ · τ · e− τ

(2.109)

Damit folgt für die Strecke, die die Kugel in der Zeit t1/2 zurückgelegt: s(t1/2 ) = v∞ · (τ · ln 2 − τ ) + v∞ · τ · e− Mit e−

t1/2 τ

=

1 2

t1/2 τ

(2.110)

erhalten wir schließlich:

 1 s(t1/2 ) = v∞ · τ · ln 2 − 2  1 −2 −2 = 0,185 · 10 m/s · 1,9 · 10 s · ln 2 − = 6,8 · 10−8 m 2

(2.111)



2.4

Übungsserie: Arbeit, Energie und Leistung

A) Verständnisteil Begriffe: Arbeit, konservative Kraft, dissipative Kraft, Energieformen, potentielle Energie, Gravitationspotential, kinetische Energie, thermische Energie, mechanische Energie, Energieerhaltung, Leistung

Aufgabe 44 Energie Welche der folgenden Aussagen über Energie ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Energie kommt in verschiedenen Energieformen vor, wie kinetische Energie, potentielle Energie, thermische Energie, (chemische) Bindungsenergie, Strahlungsenergie, elektrische Energie, magnetische Energie oder Masse, wobei die Energie eines abgeschlossenen Systems, d. h., die Summe aller vorkommenden Energieformen, bei allen Vorgängen konstant ist. (b) Da man die potentielle Energie eines Körpers im Gravitationsfeld der Erde absolut bestimmen kann, ist die potentielle Energie eines Körpers, der sich in der Höhe h über dem Erdboden befindet, gegeben durch E pot = m · g · h.

2.4

Übungsserie: Arbeit, Energie und Leistung

53

(c) Hat ein in einem Fluid frei fallender Körper aufgrund der Reibung seine konstante Endgeschwindigkeit erreicht, so ist seine kinetische Energie konstant, und es findet keine Energieumwandlung mehr statt. (d) Jeder Körper der Masse m, der sich bezüglich eines Bezugssystems mit der Geschwindigkeit v bewegt, besitzt die kinetische Energie E kin = 21 · m · v 2 . Lösung (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn es gibt keine absolute potentielle Energie. Die potentielle Energie eines Massenpunktes ist stets bezogen auf einen beliebig wählbaren Nullpunkt. So ist z. B. die potentielle Energie eines Körpers im Gravitationsfeld der Erde in der Höhe h über dem Erdboden, bezogen auf den Nullpunkt Erdoberfläche, gegeben durch E pot = m · g · h. (c) ist falsch, zwar wird die beim Sinkvorgang frei werdende potentielle Energie nicht mehr in kinetische Energie umgewandelt, wenn der Körper seine konstante Sinkgeschwindigkeit erreicht hat, doch findet dann durch die Reibung eine vollständige Umwandlung der frei werdenden potentiellen Energie in thermische Energie statt. (d) ist richtig.  Aufgabe 45 Mechanischer Energieerhaltungssatz (a) Was verstehen wir unter der mechanischen Energie eines Massenpunktes, und unter welcher Voraussetzung ist sie erhalten? (b) Wie lautet der mechanische Energieerhaltungssatz für einen Körper an einer elastischen Feder, für einen Körper in der Nähe der Erdoberfläche bzw. für einen Körper im Gravitationsfeld der Erde? Lösung (a) Unter der mechanischen Energie eines Massenpunktes verstehen wir die Summe aus seiner kinetischen und potentiellen Energie. Sind alle Kräfte auf den Massenpunkt konservativ, so ist seine mechanische Energie konstant. (b) Für das elastische Federpendel lautet der Energieerhaltungssatz E ges =

1 1 · m · v(t)2 + · D · x(t)2 = konstant, 2 2

(2.112)

worin D die Federkonstante bezeichnet. Für einen Körper der Masse m in der Nähe der Erdoberfläche lautet er E ges =

1 · m · v(t)2 + m · g · h(t) = konstant, 2

(2.113)

54

2 Klassische Mechanik

worin h(t) seine Höhe zur Zeit t über dem Erdboden bezeichnet. Schließlich lautet der Energieerhaltungssatz für einen Körper der Masse m, der sich zur Zeit t im Abstand r (t) vom Erdmittelpunkt befindet: E ges =

1 m · ME · m · v(t)2 − G · = konstant 2 r (t)

(2.114) 

Aufgabe 46 Energieformen beim Radfahren Ein Radfahrer übt durch Betätigung seiner Muskeln eine konstante Kraft aus, die Rad und Fahrer vorwärts bewegt. Der zurückgelegte Weg besteht aus drei Teilstrecken (siehe Abb. 2.12). (a) Durch Ausübung der konstanten Kraft F1 bewegt er sich aus der Ruhe entlang der Strecke s1 reibungsfrei auf einer ebenen Straße. (b) Entlang der zweiten Strecke s2 fährt er mit konstanter Geschwindigkeit reibungsfrei eine Steigung hinauf, wobei er die konstante Kraft F2 anwendet. (c) Nach der Steigung fährt er die dritte Strecke mit der Länge s3 ebenfalls mit einer konstanten Geschwindigkeit weiter, wobei er nun über einen Sandweg fährt und jetzt gegen die Reibungskraft FR ankämpfen muss. Welche Arbeit verrichtet der Radfahrer auf den einzelnen Teilstrecken? Diskutieren Sie, welche Energieformen durch die jeweils verrichtete Arbeit geändert wird. Lösung (a) Auf der ersten Teilstrecke verrichtet er die Arbeit W1 = F1 · s1 , die zu einer Änderung der kinetischen Energie gemäß

Abb. 2.12 Energieformen beim Radfahren

(2.115)

2.4

Übungsserie: Arbeit, Energie und Leistung

55

W1 =  E kin = E kin (t1 ) − E kin (t0 ) =

1 m ve2 2

führt. Am Ende der Strecke s1 besitzt er dann die Geschwindigkeit 2 · W1 2 · F1 · s1 ve = = . m m

(2.116)

(2.117)

(b) Auf der zweiten Teilstrecke verrichtet er die Arbeit W2 = F2 · s2 ,

(2.118)

die nun zu einer alleinigen Änderung der potentiellen Energie W2 =  E pot = E pot (h) − E pot (0) = m · g · h

(2.119)

führt. Für die Kraft, die hierzu notwendig ist, gilt: F2 =

m·g·h s2

(2.120)

(c) Auf der letzten Teilstrecke verrichtet der Radfahrer die Arbeit W3 = F3 · s3 ,

(2.121)

wobei die von ihm ausgeübte Kraft betragsmäßig gleich der Reibungskraft FR ist. Da der Radfahrer mit konstanter Geschwindigkeit fährt, ändert sich seine kinetische Energie nicht. Weil ferner seine Höhe h konstant ist, ist auch seine potentielle Energie konstant. Die vom Radfahrer verrichtete Arbeit führt nun ausschließlich zu einer Erwärmung von Rad, Sand, Luft usw., d. h., zu einer Änderung der thermischen Energie von Rad und Umgebung: (2.122) W3 =  E th  Aufgabe 47 Arbeit und Leistung Welche Arbeit bzw. Leistung verrichtet ein Kofferträger, der einen Koffer mit einer Masse von 20 kg entlang einer Strecke von 50 m in 1 min mit konstanter Geschwindigkeit trägt? Lösung Da die vom Kofferträger ausgeübte Kraft Fa lediglich zur Kompensation der auf den Koffer wirkenden Schwerkraft dient (keine Beschleunigungsarbeit) und weil sie stets senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt, ist die vom Kofferträger verrichtete Arbeit W = 0 J .

56

2 Klassische Mechanik

Damit folgt sofort, dass er wegen P =

W 0J = = 0W t 1 min

(2.123)

auch keine Leistung verrichtet.  B) Übungsteil Aufgabe 48 Arbeit beim Beschleunigen Ein Pkw der Masse 1 000 kg soll von der Geschwindigkeit v1 = 36 km/h auf die doppelte Geschwindigkeit v2 = 72 km/h beschleunigt werden. Welche Arbeit ist hierzu erforderlich? Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der Arbeit, die verrichtet werden muss, um aus dem Stand die Anfangsgeschwindigkeit v1 zu erreichen. Lösung Die Arbeit, die verrichtet werden muss, um den Pkw von der Geschwindigkeit v1 auf die Geschwindigkeit v2 zu beschleunigen, ist gegeben durch: W =  E kin = Mit

1 1 m v2 2 − m v1 2 2 2

36 · 1 000 m = 10 m/s 3 600 s 72 · 1 000 m v2 = 72 km/h = = 20 m/s 3 600 s v1 = 36 km/h =

(2.124)

(2.125)

folgt: W =

1 1 m {v2 2 − v1 2 } = · 1 000 kg · {(20 m)2 − (10 m)2 } = 150 k J 2 2

(2.126)

Die Arbeit, die man verrichten muss, um aus dem Stand die Anfangsgeschwindigkeit zu erreichen, ist gegeben durch:

2.4

Übungsserie: Arbeit, Energie und Leistung

W =

57

1 1 m v1 2 = · 1 000 kg · (10 m)2 = 50 k J 2 2

(2.127)

Um also das Auto von der Geschwindigkeit 10 m/s auf die doppelte Geschwindigkeit 20 m/s zu beschleunigen, benötigt man dreimal so viel Energie wie die, die nötig ist, um aus dem Stand die Geschwindigkeit 10 m/s zu erreichen.  Aufgabe 49 Skilauf Ein Skiläufer mit einer Masse von 75 kg fährt eine 100 m lange Steilpiste hinab, die einen Höhenunterschied von 40 m besitzt, wobei der Luftwiderstand vernachlässigbar sei. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt μG = 0,213. (a) Welche Arbeit wird gegen die Gleitreibungskraft verrichtet? Um welchen Betrag nimmt die thermische Energie zu? (b) Welche Geschwindigkeit besitzt der Skifahrer am Ende der Piste? (c) Hat die Masse des Skifahrers einen Einfluss auf die Endgeschwindigkeit? Lösung (a) Die Schwerkraft G = m · g auf den Skifahrer können wir zerlegen in die parallele Komponente F p = m g · sin α und die Normalkompontente FN = m g · cos α zur schiefen Ebene (siehe Abb. 2.13). Die Gleitreibungskraft ist damit gegeben durch: FG = μG · FN = μG · m g · cos α Mit sin α = cos α =



h l

(2.128)

gilt:

1 − sin 2 α =

Abb. 2.13 Zum Skilauf

 2 h = 1− l

1−



40 m 100 m

2 = 0,917

(2.129)

58

2 Klassische Mechanik

Damit folgt für die Gleitreibungskraft: FG = μG · m g · cos α = 0,213 · 75 kg · 9,81 m/s 2 · 0,917 = 143,71 N

(2.130)

Die parallele Komponente der Schwerkraft hat während der Abfahrt neben der Beschleunigung des Skifahrers gegen die Gleitreibungskraft die Arbeit W = FG · l = 143,71 N · 100 m = 14 371 J

(2.131)

verrichtet, die zu einer Erhöhung der thermischen Energie um W =  E th = E th (te ) − E th (0) = 14 371 J

(2.132)

führt. (b) Zu Beginn der Abfahrt besitzt der Skiläufer die potentielle Energie E pot (0) = m · g · h = 75 kg · 9,81 m/s 2 · 40 m = 29 430 J ,

(2.133)

worin h = 40 m den Höhenunterschied der Piste bezeichnet (siehe Abb. 2.13). Da der Skifahrer zu Beginn ruht, gilt E kin (0) = 0 J , womit die Gesamtenergie zum Anfangszeitpunkt t = 0 s gegeben ist durch: E ges = E pot (0) + E kin (0) + E th (0) = m · g · h + E th (0)

(2.134)

Am Ende der Piste mit der Länge l = 100 m besitzt der Skifahrer die Endgeschwindigkeit ve und damit die kinetische Energie E kin (te ) =

1 · m · ve 2 , 2

(2.135)

wobei die potentielle Energie zu diesem Zeitpunkt te verschwindet E pot (te ) = 0 J . Zum Zeitpunkt te beträgt die Gesamtenergie: E ges = E pot (te ) + E kin (te ) + E th (te ) =

1 · m · ve 2 + E th (te ) 2

(2.136)

Die Energieerhaltung liefert dann: E ges = m · g · h + E th (0) =

1 · m · ve 2 + E th (te ) 2

(2.137)

Hieraus folgt m·g·h =

1 1 · m · ve 2 + {E th (te ) − E th (0)} = · m · ve 2 +  E th , 2 2

womit wir für die Endgeschwindigkeit

(2.138)

2.4

Übungsserie: Arbeit, Energie und Leistung

ve =

2 · (m g h −  E th ) = m

59



2 · (29 430 J − 14 371 J ) 75 kg

(2.139)

= 20 m/s = 72 km/h erhalten. (c) Mit den Beziehungen (2.130) − (2.132) gilt für die Änderung der thermischen Energie:  E th = μG · m g · l · cos α

(2.140)

Damit erhalten wir aus (2.138): m·g·h =

1 1 · m · ve 2 +  E th = · m · ve 2 + μG · m g · l · cos α 2 2

(2.141)

Hieraus folgt, dass die Endgeschwindigkeit unabhängig von der Masse des Skifahrers ist:  (2.142) ve = 2 · g · (h − μG · l · cos α)  Aufgabe 50 Beschleunigung beim Gewichtheben Beim Heben eines Körpers mit einem Gewicht von 19,62 N durch die konstante Kraft Fa in die Höhe 1 m wird eine Arbeit von 25,62 J verrichtet. (a) Berechnen Sie die Beschleunigung, die der Körper beim Heben erfährt. (b) Welche kinetische und potentielle Energie besitzt der Körper dann in der Höhe h? Lösung (a) Die Gesamtkraft auf den Körper ist gegeben durch (siehe Abb. 2.14):

Abb. 2.14 Gewichtheben

60

2 Klassische Mechanik

Fges = Fa + G = Fa − m · g

(2.143)

Nach dem Aktionsprinzip Fges = m · a

(2.144)

ruft sie die Beschleunigung a hervor. Beim Heben des Körpers in die Höhe h verrichtet die konstante Kraft Fa am Körper die Arbeit (2.145) W = Fa · h. Hieraus folgt für diese Kraft: Fa =

W 25,62 J = = 25,62 N h 1m

(2.146)

Aus dem Gewicht des Körpers G = 19,62 N erhalten wir für seine Masse: m =

G 19,62 N = 2 kg = g 9,81 m/s 2

(2.147)

Für die Beschleunigung erhalten wir dann aus (2.143) und (2.144): a =

25,62 N − 19,62 N Fa − m · g = = 3 m/s 2 m 2 kg

(2.148)

(b) Die von der Kraft Fa verrichtete Arbeit 25,62 J führt zu einer Änderung der kinetischen und potentiellen Energie des Körpers gemäß: W =  E pot +  E kin

(2.149)

In der Höhe h = 1 m besitzt der Körper die potentielle Energie E pot (h) = m · g · h = 2 kg · 9,81 m/s 2 · 1 m = 19,62 J .

(2.150)

Für die Änderung der potentiellen Energie folgt dann mit E pot (0) = 0 J :  E pot = E pot (h) − E pot (0) = 19,62 J

(2.151)

Nach (2.149) erhalten wir dann für die Änderung der kinetischen Energie:  E kin = W − E pot = 25,62 J − 19,62 J = 6 J

(2.152)

Wegen E kin (0) = 0 J folgt  E kin = E kin (h) − E kin (0) = E kin (h),

(2.153)

2.4

Übungsserie: Arbeit, Energie und Leistung

61

womit wir für die kinetische Energie in der Höhe h E kin (h) = 6 J

(2.154)

erhalten.  Aufgabe 51 Kinetische und potentielle Energie beim Steinwurf Von einem Turm mit einer Höhe von 25 m wird ein Stein mit der Geschwindigkeit v0 = 15 m/s horizontal geworfen. Berechnen Sie die kinetische und potentielle Energie des Steines nach einer Sekunde seit Beginn der Bewegung. Die Masse des Steines beträgt 0,2 kg. Der Luftwiderstand sei vernachlässigbar. Lösung Zum Anfangszeitpunkt t = 0 s besitzt der Stein die Geschwindigkeit v0 mit dem Betrag v0 = 15 m/s (siehe Abb. 2.15) und damit die kinetische Energie E kin (0) =

1 1 m v0 2 = · 0,2 kg · (15 m/s)2 = 22,50 J 2 2

(2.155)

sowie die potentielle Energie E pot (0) = m · g · h = 0,2 kg · 9,81 m/s 2 · 25 m = 49,05 J .

(2.156)

Damit beträgt seine Gesamtenergie: E ges = E kin (0) + E pot (0) = 22,50 J + 49,05 J = 71,55 J

Abb. 2.15 Horizontaler Wurf

(2.157)

62

2 Klassische Mechanik

Die Bewegungen des Steines in x- und z-Richtung sind unabhängig voneinander! In zRichtung liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor, die wir durch z(t) = −

1 2 gt + h 2

(2.158)

beschreiben. Nach der Zeit t1 = 1 s befindet sich der Stein in der Höhe h 1 = z(t1 ) = −

1 · 9,81 m/s 2 · 1 s 2 + 25 m = 20,10 m, 2

(2.159)

sodass wir für seine potentielle Energie zu dieser Zeit E pot (t1 ) = m · g · h 1 = 0,2 kg · 9,81 m/s 2 · 20,10 m = 39,43 J

(2.160)

erhalten. Aus dem Energieerhaltungssatz E ges = E kin (0) + E pot (0) = E kin (t1 ) + E pot (t1 )

(2.161)

folgt dann für die kinetische Energie zur Zeit t1 : E kin (t1 ) = E ges − E pot (t1 ) = 71,55 J − 39,43 J = 32,12 J

(2.162) 

Aufgabe 52 Leistung beim Beschleunigen Ein Auto mit einer Masse von 1 000 kg fahre mit der konstanten Beschleunigung 2 m/s 2 an. (a) Welchen Betrag besitzt die beschleunigende Kraft? (b) Welche Leistung wird vom Motor allein zur Beschleunigung aufgebracht beim Durchlaufen der Geschwindigkeiten 36 km/h und 72 km/h? Lösung (a) Der Betrag der beschleunigenden Kraft ist nach dem Aktionsprinzip gegeben durch: F = m · a = 1 000 kg · 2 m/s 2 = 2 000 N

(2.163)

(b) Da das Auto eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung durchführt, ist die Leistung gegeben durch P(t) = F · v(t), (2.164) worin v(t) = a · t die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t bezeichnet. Damit erhalten wir für die Leistung beim Durchlaufen der Geschwindigkeit v1 = 36 km/h = 10 m/s: P1 = F · v1 = 2 000 N · 10 m/s = 2 · 104 W

(2.165)

2.5

Übungsserie: Drehbewegungen

63

bzw. der Geschwindigkeit v2 = 72 km/h = 20 m/s: P2 = F · v2 = 2 000 N · 20 m/s = 4 · 104 W

(2.166) 

2.5

Übungsserie: Drehbewegungen

A) Verständnisteil Begriffe: Drehwinkel, Bahngeschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, Bahnbeschleunigung, Winkelbeschleunigung, gleichförmig beschleunigte Kreisbewegung, Drehmoment, Trägheitsmoment, Drehimpuls, Rotationsenergie

Aufgabe 53 Drehbewegungen Welche der folgenden Aussagen über Drehbewegungen ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Eine Drehbewegung wird durch eine Kraft hervorgerufen, wobei es egal ist, wie diese Kraft wirkt! (b) Für die Trägheit eines Massenpunktes bei Drehbewegungen ist nicht nur die Masse m, sondern auch der Abstand rm des Massenpunktes vom Drehpunkt wesentlich. (c) Verschwindet das Gesamtdrehmoment auf einen Massenpunkt, so ist sein Drehimpuls konstant. (d) Wenn man bei einer gleichförmigen Kreisbewegung eines Massenpunktes die Winkelgeschwindigkeit halbiert, so halbiert sich auch seine Rotationsenergie. Lösung (a) ist falsch, zwar ist eine Kraft notwendig, um eine Drehbewegung eines zu Beginn ruhenden Massenpunktes hervorzurufen, doch kommt es nicht nur darauf an, dass eine Kraft wirkt, sondern auch, wie sie wirkt. Genau das wird durch das Drehmoment N = r × F dieser Kraft ausgedrückt, worin r den Vektor vom Drehpunkt zum Angriffspunkt der Kraft bezeichnet. (b) ist richtig. (c) ist richtig. (d) ist falsch, denn die Rotationsenergie eines Massenpunktes, der bezüglich seiner gleichförmigen Kreisbewegung die Winkelgeschwindigkeit ω sowie das Trägheitsmoment J besitzt, ist gegeben durch Er ot = 21 J ω2 . Wenn man also ω halbiert, d. h., wenn

64

2 Klassische Mechanik

ω =

1 2

ω gilt, so erhalten wir

Er ot



1 1 2 = J ω = J 2 2



1 ω 2

2

1 = · 4



1 J ω2 2

=

1 · Er ot , 4

(2.167)

d. h., die Rotationsenergie nimmt auf ein Viertel des Anfangswertes ab.  Aufgabe 54 Bahnbeschleunigung und Zentripetalbeschleunigung (a) Aus welchen Komponenten setzt sich bei der gleichförmig beschleunigten Kreisbewegung die Beschleunigung des Massenpunktes zusammen? (b) Wie lautet die explizite Zeitabhängigkeit dieser Beschleunigungskomponenten? (c) Wie ändert sich die Bahngeschwindigkeit des Massenpunktes mit der Zeit?

Lösung (a) Bei der gleichförmig beschleunigten Kreisbewegung ist die Beschleunigung a des Massenpunktes gegeben durch die vektorielle Summe der tangentialen Bahnbeschleunigung a B und der radial nach innen gerichteten Zentripetalbeschleunigung az (siehe Abb. 2.16). Somit folgt: (2.168) a = a B + az

Abb. 2.16 Bahn- und Zentripetalbeschleunigung

2.5

Übungsserie: Drehbewegungen

65

(b) Für die Beträge gilt mit ω = α · t: a B = r · α = konstant az = ω2 · r = α 2 r · t 2

(2.169)

Die Zentripetalbeschleunigung nimmt also quadratisch mit der Zeit zu! (c) Für die Bahngeschwindigkeit des Massenpunktes gilt schließlich: vB = r · ω = α r · t = aB · t

(2.170) 

Aufgabe 55 Trägheitsmoment Ein Massenpunkt mit der Masse m 1 = 3 kg ist r1 = 1 m und ein zweiter Massenpunkt mit der Masse m 2 = 1 kg dagegen r2 = 2 m vom Drehpunkt entfernt. Welcher dieser Massenpunkte besitzt das größere Trägheitsmoment bezüglich des angegebenen Drehpunktes?

Lösung Die Massenpunkte besitzen bezüglich des gegebenen Drehpunktes die Trägheitsmomente J1 = m 1 · r1 2 = 3 kg · (1 m)2 = 3 kg m 2 (2.171) J2 = m 2 · r2 2 = 1 kg · (2 m)2 = 4 kg m 2 , weshalb der zweite Massenpunkt, obwohl er die kleinere Masse besitzt, wegen des größeren Abstandes vom Drehpunkt das größere Trägheitsmoment besitzt.  Aufgabe 56 Drehmoment Eine „masselose“ Stange sei an einem Ende drehbar gelagert, und am anderen Ende sei ein Körper der Masse m angebracht. Ferner wirken auf das System die Kräfte F1 , F2 , F3 und F4 .

66

2 Klassische Mechanik

Welche der angegebenen Kräfte übt betragsmäßig das größte Drehmoment aus? In welche Richtung zeigt jeweils das Drehmoment? Lösung Für die Beträge der durch die Kräfte ausgeübten Drehmomente gilt: N1 N2 N3 N4

= = = =

r1 · F1 = 1 m · 4 N = 4 N m r2 · F2 · sin π6 = 2 m · 5 N · 21 = 5 N m r3 · F3 = 6 m · 1 N = 6 N m r4 · F4 · sin π = 0 N m

(2.172)

Obwohl der Betrag der Kraft F3 am kleinsten ist, übt sie dennoch wegen des großen Abstandes ihres Angriffspunktes vom Drehpunkt das größte Drehmoment aus. Aufgrund der Definition N = r × F steht das Drehmoment für die Kräfte F1 , F2 und F3 senkrecht zu r und  während das Drehmoment N4 = 0 N m verschwindet. F,  B) Übungsteil Aufgabe 57 Gleichförmig beschleunigte Kreisbewegung Ein Massenpunkt mit einer Masse von 10 g bewegt sich auf einem Kreis mit dem Radius 20 cm und mit einer konstanten Bahnbeschleunigung von 5 cm/s 2 . Zum Anfangszeitpunkt t = 0 s möge er ruhen. (a) Nach welcher Zeit T2 hat er genau zwei Umdrehungen durchgeführt? (b) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit, die Bahngeschwindigkeit sowie die Zentripetalbeschleunigung zu diesem Zeitpunkt T2 . (c) Welchen Drehimpuls und welche Rotationsenergie besitzt der Massenpunkt zum Zeitpunkt T2 , und welche Arbeit wurde bis zu diesem Zeitpunkt am Massenpunkt verrichtet? Lösung (a) Da der Massenpunkt zum Anfangszeitpunk t = 0 s ruht, lauten die Anfangsbedingungen: ϕ(0) = 0 (2.173) ω(0) = 0 s −1 Damit erhalten wir für die kinematischen Variablen zu einer beliebigen Zeit t: ϕ(t) = 21 · α · t 2 ω(t) = α · t α(t) = α = konstant Für die konstante Winkelbeschleunigung folgt aus a B = r · α:

(2.174)

2.5

Übungsserie: Drehbewegungen

α =

67

aB 5 cm/s 2 = = 0,25 s −2 r 20 cm

(2.175)

Zur Zeit T2 hat er genau zwei Umläufe durchgeführt. Somit gilt: 1 · α · (T2 )2 2

(2.176)

8π = 10 s 0,25 s −2

(2.177)

ϕ(T2 ) = 4 π = Hieraus folgt:

T2 =

8π = α



(b) Zu diesem Zeitpunkt erhalten wir für die Winkelgeschwindigkeit des Massenpunktes: ω2 = ω(T2 ) = α · T2 = 0,25 s −2 · 10 s = 2,5 s −1

(2.178)

und damit für seine Bahngeschwindigkeit v2 = v(T2 ) = ω2 · r = 2,5 s −1 · 20 cm = 50 cm/s = 0,5 m/s

(2.179)

sowie für die Zentripetalbeschleunigung az = ω2 2 · r = 6,25 s −2 · 20 cm = 125 cm/s 2

(2.180)

(c) Für den Drehimpuls des Massenpunktes auf seiner Kreisbahn zur Zeit T2 erhalten wir mit dem Trägheitsmoment J = m · r 2 : L = J · ω2 = m r 2 · ω2 = 10−2 kg · (0,2 m)2 · 2,5 s −1 = 10−3 kgm/s

(2.181)

Die Rotationsenergie zur Zeit T2 ist gegeben durch: Er ot =

1 1 · J · (ω2 )2 = · 10−2 kg · (0,2 m)2 · (2,5 s −1 )2 = 1,26 · 10−3 J (2.182) 2 2

Für die Arbeit, die bis zu diesem Zeitpunkt am Massenpunkt verrichtet wurde, erhalten wir schließlich: W = Er ot = Er ot (T2 ) − Er ot (0) = 1,26 · 10−3 J

(2.183) 

Aufgabe 58 Gleichförmig verzögerte Drehbewegung Eine Welle rotiert mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit, wobei sie 186 Umdrehungen pro Minute durchführt. Vom Anfangszeitpunkt t = 0 s an wird die Welle abgebremst und rotiert von diesem Zeitpunkt an gleichförmig verzögert mit der Winkelbeschleunigung 3 s −2 .

68

2 Klassische Mechanik

(a) Nach welcher Zeit ist die Welle in Ruhe? (b) Wie viele Umdrehungen führt sie vom Anfangszeitpunkt bis zum Stillstand durch?

Lösung (a) Wir markieren einen beliebigen Punkt P auf der Welle und wählen unser Koordinatensystem so, dass zum Anfangszeitpunkt t = 0 s dieser Punkt auf der x-Achse liegt (siehe Abb. 2.17). Dann lauten die Anfangsbedingungen: ϕ(0) = 0 ω(0) = ω0

(2.184)

Mit der anfänglichen Drehfrequenz von ν0 = 186 U mdr ehungen/min folgt: ω0 = 2 π · ν0 =

2 π · 186 = 19,48 s −1 60 s

(2.185)

Bezeichnet α = 3 s −2 die konstante Winkelbeschleunigung, dann sind die Winkelgeschwindigkeit und der Drehwinkel zur Zeit t gegeben durch: ϕ(t) = − 21 α t 2 + ω0 t ω(t) = − α t + ω0

(2.186)

Für die Zeit tg , zu der die Welle zur Ruhe gekommen ist, folgt dann: ω(tg ) = 0 = − α tg + ω0 Hieraus folgt: tg =

Abb. 2.17 Gleichförmig verzögerte Drehbewegung

ω0 19,48 s −1 = 6,49 s = α 3 s −2

(2.187)

(2.188)

2.5

Übungsserie: Drehbewegungen

69

(b) Aus (2.187) folgt ω0 = α tg , sodass wir für den Drehwinkel, der bis zur Zeit tg überstrichen wurde, ϕ(tg ) = −

1 1 3 · 42,12 s 2 = 63,18(rad) α t g 2 + ω0 t g = α t g 2 = 2 2 2 s2

(2.189)

erhalten. Die Zahl n der Umdrehungen bis zum Stillstand der Welle ist dann gegeben durch: ϕ(tg ) 63,18 n = = = 10 (2.190) 2π 2π  Aufgabe 59 Bahnbeschleunigung bei der Kreisbewegung Ein Massenpunkt bewegt sich mit einer konstanten Bahnbeschleunigung a B auf einer Kreisbahn mit einem Radius von 10 cm. Am Ende der fünften Umdrehung seit Beginn der Bewegung beträgt die Geschwindigkeit des Massenpunktes 79,3 cm/s. Welche Bahnbeschleunigung besitzt der Massenpunkt? Lösung Der Massenpunkt führt eine gleichförmig beschleunigte Drehbewegung durch. Da er sich zum Anfangszeitpunkt t = 0 s in Ruhe befindet, lauten die Anfangsbedingungen: ϕ(0) = ϕ0 = 0

(2.191)

ω(0) = ω0 = 0 s −1 Damit folgt für die kinematischen Variablen zu einem Zeitpunkt t: ϕ(t) =

1 2

α t 2 + ω 0 t + ϕ0 =

1 2

α t2

ω(t) = α t + ω0 = α t

(2.192)

Mit der Bahnbeschleunigung a B = α · r erhalten wir dann für die vom Massenpunkt auf seiner Kreisbahn zurückgelegte Strecke sowie seine Bahngeschwindigkeit: s(t) = r · ϕ(t) =

1 2

α r t2 =

1 2

· aB · t 2

v(t) = r · ω(t) = α r t = a B · t

(2.193)

Bezeichnen wir die Zeit für fünf Umdrehungen mit t5 , so gilt: s(t5 ) = r · ϕ(t5 ) = r · 5 · 2π = 10 π r = =

1 (a B · t5 )2 1 v(t5 )2 = · · 2 aB 2 aB

1 · a B · (t5 )2 2

(2.194)

70

2 Klassische Mechanik

Mit der Geschwindigkeit nach fünf Umdrehungen v(t5 ) = 0,793 m/s erhalten wir dann für die Bahnbeschleunigung: aB =

v(t5 )2 (0,793 m/s)2 = = 0,1 m/s 2 2 · 10 π · r 2 · 10 π · 0,1 m

(2.195) 

2.6

Übungsserie: Scheinkräfte

A) Verständnisteil Begriffe: Reale Kräfte, Scheinkräfte, Inertialsysteme, Nichtinertialsysteme, Trägheitskraft, Zentrifugalkraft, Zentrifugalbeschleunigung, Coriolis-Kraft, CoriolisBeschleunigung

Aufgabe 60 Scheinkräfte Welche der folgenden Aussagen über Scheinkräfte ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) In jedem mit konstanter Beschleunigung a beschleunigten Bezugssystem erfährt jeder Körper der Masse m die Trägheitskraft, die stets in die gleiche Richtung wie die Beschleunigung des Bezugssystems zeigt. (b) In beschleunigten Bezugssystemen treten neben realen Kräften, wie z. B. der Federkraft, Gravitationskraft, Schwerkraft oder Reibungskräften, Scheinkräfte auf, die von der Beschleunigung des Bezugssystems herrühren. (c) Aufgrund der Scheinkräfte bewegen sich kräftefreie Körper in Nichtinertialsystemen nicht gleichförmig geradlinig. (d) Scheinkräfte unterscheiden sich von realen Kräften lediglich hinsichtlich ihrer Entstehung, nicht aber hinsichtlich ihrer Wirkung auf Körper! Lösung (a) ist falsch, denn die Trägheitskraft, die auf einen Körper in einem mit konstanter Beschleunigung a beschleunigten Bezugssystem wirkt, ist stets der Beschleunigung des Systems entgegengerichtet. (b) ist richtig. (c) ist richtig. (d) ist richtig. 

2.6

Übungsserie: Scheinkräfte

71

Aufgabe 61 Auto in der Kurve Ein Auto fährt mit der Geschwindigkeit v in eine Kurve mit dem Krümmungsradius r . Welche Kräfte wirken auf das Auto (a) in einem mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden System, bezüglich dessen das Auto ruht? (b) für einen Beobachter am Straßenrand? Wie lautet die Bedingung dafür, dass das Auto nicht aus der Kurve fliegt? Lösung (a) Im rotierenden System ist das Auto in Ruhe. In diesem System wirken auf das Auto die radial nach außen gerichtete Zentrifugalkraft FZ sowie die radial nach innen gerichtete Haftreibungskraft FH (siehe Abb. 2.18). Diese Haftreibungskraft kann im Bereich 0 ≤ FH ≤ FHmax = μ H · G

(2.196)

variieren, worin G = m·g das Gewicht des Autos bezeichnet. Solange sie die radial nach außen gerichtete Zentrifugalkraft kompensieren kann, bleibt das Auto auf der Straße!

Abb. 2.18 Ein Auto in der Kurve

72

2 Klassische Mechanik

Ist jedoch die Zentrifugalkraft betragsmäßig größer als die maximale Haftreibungskraft FHmax , so „fliegt das Auto aus der Kurve“. Die Bedingung dafür, dass das Auto nicht aus der Kurve fliegt, lautet also: FZ =

m · v2 ≤ μH · G r

(2.197)

(b) Ein Beobachter am Straßenrand, der sich im Intertialsystem befindet, sieht die gleichförmige Kreisbewegung des Autos. Die als Zentripetalkraft FZ wirkende Haftreibungskraft FH ist radial nach innen gerichtet. Wenn die Haftreibungskraft die für die Kreis2 bewegung erforderliche Zentripetalkraft vom Betrag FZ = mrv aufbringen kann, d. h., wenn m · v2 FZ = (2.198) ≤ μH · G r gilt, fliegt das Auto nicht aus der Kurve. Fährt dagegen das Auto mit überhöhter Geschwindigkeit in die Kurve, so rutscht das Auto auf einem Kreis mit größerem Krümmungsradius R, der durch die Geschwindigkeit v des Autos und die dann wirkende Gleitreibungskraft bestimmt ist: R =

m · v2 μG · G

(2.199) 

Aufgabe 62 Der freie Fall von einem Turm Wenn man einen Körper von einem Turm der Höhe h frei fallen lässt, so fällt er nicht „senkrecht nach unten“ zum Erdmittelpunkt, sondern er erfährt eine Abweichung s nach Osten, die in guter Näherung durch s =

1 · ω · g · T3 3

(2.200)

 gegeben ist. Hierin bezeichnet ω die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation und T = 2gh die Fallzeit des Körpers. Wie erklärt ein Beobachter auf der Erde diese Ostabweichung? Lösung Aufgrund der Erdrotation stellt die Erdoberfläche ein rotierendes Bezugssystem dar. Ein Körper, der in diesem Bezugssystem die Geschwindigkeit v besitzt, erfährt die CoriolisKraft  × v, (2.201) FC = − 2 m · ω worin ω  die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation bezeichnet. Die Geschwindigkeit v des Körpers zeigt zu Beginn des freien Falls radial zum Erdmittelpunkt (siehe Abb. 2.19).

2.6

Übungsserie: Scheinkräfte

73

Abb. 2.19 Zur Ostabweichung eines frei fallenden Körpers

Die Coriolis-Kraft auf den Körper ist dann nach Osten gerichtet und bewirkt die Ostabweichung des Körpers, die durch (2.200) gegeben ist. 

Aufgabe 63 Zum Wirken der Zentrifugal- und Coriolis-Kraft Wir betrachten eine mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω rotierende Kreisscheibe. Für einen Beobachter A außerhalb der Scheibe möge ein Körper der Masse m im Abstand r vom Drehzentrum der Scheibe ruhen. Reibungskräfte seien vernachlässigbar. Für einen Beobachter B auf der Scheibe ist der Körper nicht in Ruhe, sondern beschreibt eine Bahnkurve in seinem Bezugssystem. (a) Welche Bahnkurve sieht der Beobachter auf der Scheibe? (a) Durch das Wirken welcher Kräfte kommt für den Beobachter auf der Scheibe diese Bewegung des Körpers zustande? Welche Richtung und welche Beträge haben diese Kräfte? Lösung (a) Für den Beobachter B auf der Scheibe beschreibt der Körper einen Kreis mit dem Radius r (siehe Abb. 2.20). (b) Für B kommt diese Kreisbewegung durch das Wirken der Zentrifugalkraft FZ und der Coriolis-Kraft FC zustande. Die Zentrifugalkraft wirkt radial nach außen und besitzt den Betrag

74

2 Klassische Mechanik

Abb. 2.20 Zum Wirken der Zentrifugal- und Coriolis-Kraft

FZ = m · ω 2 · r .

(2.202)

Die Coriolis-Kraft ist ihr in diesem Beispiel entgegengesetzt und wirkt radial nach innen, da die Geschwindigkeit v tangential zur Bahnkurve „Kreis“ gerichtet ist. Da ω  senkrecht zu v steht, ist ihr Betrag gegeben durch:

Mit v = ω · r folgt:

FC = 2 m | ω × v | = 2 m ω v

(2.203)

FC = 2 m ω2 r

(2.204)

Die Coriolis-Kraft ist also betragsmäßig doppelt so groß wie die Zentrifugalkraft. Die Gesamtkraft auf den Körper, also die vektorielle Summe aus Coriolis- und Zentrifugalkraft, ergibt für B die auf den Körper wirkende Zentripetalkraft FZ , die die Kreisbewegung hervorruft. Sie ist wegen der betragsmäßig größeren Coriolis-Kraft nach innen gerichtet und besitzt den Betrag FZ = 2 m ω 2 r − m ω 2 r = m ω 2 r .

(2.205) 

B) Übungsteil Aufgabe 64 Die Ostabweichung Berechnen Sie die Ostabweichung für einen von einem Turm mit der Höhe 100 m frei fallenden Körper. Lösung Wenn ein Körper aus einer Höhe von h = 100 m frei nach unten fällt, so erfährt er eine Ostabweichung, deren Betrag nach (2.200) gegeben ist durch:

2.6

Übungsserie: Scheinkräfte

75

s = Für die Fallzeit T erhalten wir:

T =

2h == g

1 · ω · g · T3 3

2 · 100 m = 4,52 s 9,81 m/s 2

(2.206)

(2.207)

Für die Winkelgeschwindigkeit ω der Erdrotation folgt mit der Umlaufdauer 1 T ag = 24 · 60 · 60 s = 8,64 · 104 s: ω = 2π ·ν =

2π = 7,27 · 10−5 s −1 8,64 · 104 s

(2.208)

Damit erhalten wir für die Ostabweichung: s =

7,27 · 10−5 s −1 · 9,81 m/s 2 · (4,52 s)3  2 cm 3

(2.209) 

Aufgabe 65 Trägheitskraft Ein Auto fährt gleichmäßig beschleunigt mit einer Beschleunigung von 2 m/s 2 . Eine Person mit einer Masse von 75 kg ruht im Auto. (a) Welche Scheinkraft wirkt auf die Person? (b) Welchen Betrag und welche Richtung besitzt diese Scheinkraft? Lösung (a) In jedem mit konstanter Beschleunigung a beschleunigten Bezugssystem erfährt jeder Körper der Masse m die Trägheitskraft Ft = − m · a .

(2.210)

(b) Sie ist stets der Beschleunigung + a des Bezugssystems entgegengerichtet. Für den Betrag gilt: Ft = m · a = 75 kg · 2 m/s 2 = 150 N (2.211)  Aufgabe 66 Die Atwood’sche Fallmaschine Zwei Körper mit den Massen m 1 = 10 g und m 2 = 30 g sind durch eine Schnur miteinander verbunden, die reibungsfrei über eine „masselose“ Rolle verläuft. Mit welcher Kraft ist der Faden belastet, wenn man

76

2 Klassische Mechanik

(a) m 1 festhält, (b) m 2 festhält, (c) keine der Massen festhält?

Lösung (a) Damit das System im Gleichgewicht ist, muss man z. B. an der Masse m 1 mit der Kraft F1 nach unten ziehen (siehe Abb. 2.21(a)). Im Gleichgewicht gilt für die Beträge der Kräfte: (2.212) G 1 + F1 = FF = G 2 Hieraus folgt: F1 = G 2 − G 1 = (m 2 − m 1 ) · g = (30 g − 10 g) · 9,81 m/s 2 = 0,2 N (2.213) Die Belastung des Fadens, d. h. die Fadenkraft, ist in diesem Fall gegeben durch: FF = G 1 + F1 = G 2 = m 2 · g = 30 g · 9,81 m/s 2 = 0,3 N

(2.214)

(b) Das System ist auch im Gleichgewicht, wenn man mit der Kraft F2 an der Masse m 2 nach oben zieht (siehe Abb. 2.21(b)). Im Gleichgewicht gilt analog für die Beträge der Kräfte: (2.215) G 2 = F2 + FF = F2 + G 1 Hieraus folgt für die Kraft F2 : F2 = G 2 − G 1 = (m 2 − m 1 ) · g = (30 g − 10 g) · 9,81 m/s 2 = 0,2 N (2.216) In diesem Fall ist aber die Belastung des Fadens geringer

Abb. 2.21 Atwood’sche Fallmaschine

2.6

Übungsserie: Scheinkräfte

77

FF = G 2 − F2 = G 1 = m 1 · g = 10 g · 9,81 m/s 2 = 0,1 N .

(2.217)

(c) Wir halten nun keinen der Massenpunkte fest. Da die Masse m 2 größer ist als die Masse m 1 , wird die Masse m 2 nach unten und die Masse m 1 nach oben beschleunigt. Im Ruhesystem der Masse m 1 wirkt auf sie zusätzlich zu den realen Kräften Schwerkraft G 1 und Fadenkraft FF die nach unten gerichtete Trägheitskraft F1t (siehe Abb. 2.21(c)). In diesem System verschwindet die Gesamtkraft auf die Masse m 1 ges

F1

= G 1 + FF + F1t = 0 N ,

(2.218)

woraus wir mit G 1 = − m 1 g und F1t = − m 1 a für die Fadenkraft FF = − G 1 − F1t = m 1 g + m 1 a = m 1 · (g + a)

(2.219)

erhalten. Analog gilt im Ruhesystem der Masse m 2 : ges

F2

= G 2 + FF + F2t = 0 N

(2.220)

Mit G 2 = − m 2 g und der nach oben gerichteten Trägheitskraft (siehe Abb. 2.21(d)) F2t = + m 2 a auf die Masse m 2 folgt nun für die Fadenkraft: FF = − G 2 − F2t = m 2 g − m 2 a = m 2 · (g − a)

(2.221)

Die Beziehungen (2.219) und (2.221) liefern die Gleichung FF = m 2 · (g − a) = m 1 · (g + a),

(2.222)

woraus wir für den Betrag der Beschleunigung beider Massen a =

m2 − m1 20 g ·g = · 9,81 m/s 2 = 4,91 m/s 2 m2 + m1 40 g

(2.223)

erhalten. Für die Belastung des Fadens folgt in diesem Fall nach (2.219): FF = m 1 · (g + a) = 0,01 kg · (9,81 m/s 2 + 4,91 m/s 2 ) = 0,15 N

(2.224) 

Aufgabe 67 Das Kreispendel Eine Kugel mit der Masse m = 1 kg ist an einem Faden der Länge l = 2 m befestigt und möge auf einer Kreisbahn umlaufen.

78

2 Klassische Mechanik

(a) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit der Kugel, wenn der Bahnradius r = 50 cm beträgt. (b) Mit welcher Winkelgeschwindigkeit kreist die Kugel, und wie lange dauert ein Umlauf? (c) Welche zusätzliche Energie besitzt die Kugel im Vergleich zur Ruhelage?

Lösung (a) Im mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Ruhesystem der Kugel wirkt auf sie die Zentrifugalkraft (siehe Abb. 2.22) FZ = m ω 2 r =

m v2 . r

(2.225)

Hierin bezeichnet v = ω ·r die Bahngeschwindigkeit der Kugel im Inertialsystem. Ferner wirken auf die Kugel reale Kräfte, die Schwerkraft G = m · g sowie die Fadenkraft FF . Es gilt FZ m v2 v2 tan ϕ = = = , (2.226) G r ·mg r ·g woraus wir für die Geschwindigkeit v =

√ r · g · tan ϕ

(2.227)

erhalten. Für den Winkel ϕ gilt: sin ϕ =

r 0,5 m = = 0,25, l 2m

Abb. 2.22 Rotierendes Ruhesystem der Kugel

(2.228)

2.6

Übungsserie: Scheinkräfte

d. h.

79

ϕ = ar csin 0,25 = 14,48◦ .

(2.229)

Damit erhalten wir für die Bahngeschwindigkeit der Kugel im Inertialsystem:  (2.230) v = 0,5 m · 9,81 m/s 2 · tan 14,48◦ = 1,13 m/s (b) Für die Winkelgeschwindigkeit der Kugel erhalten wir: ω =

v 1,13 m/s = = 2,25 s −1 r 0,5 m

(2.231)

Die Umlaufdauer ist gegeben durch: T =

2π 2π = 2,8 s = ω 2,25 s −1

(2.232)

(c) Auf ihrer Kreisbahn besitzt die Kugel bezüglich ihrer Ruhelage die zusätzliche potentielle Energie (2.233) E pot = m · g · h. Die Höhe h erhalten wir aus cos ϕ =

l −h . l

(2.234)

Es gilt: h = l · (1 − cos ϕ) = 2 m · (1 − cos 14,48◦ ) = 0,0635 m

(2.235)

Damit ist die zusätzliche potentielle Energie der Kugel gegeben durch: E pot = m · g · h = 1 kg · 9,81 m/s 2 · 0,0635 m = 0,62 J

(2.236)

Für die kinetische Energie der Kugel auf der Kreisbahn gilt: E kin =

1 1 · m · v 2 = · 1 kg · (1,13 m/s)2 = 0,64 J 2 2

(2.237)

Damit besitzt die Kugel im Vergleich zu ihrer Ruhelage die zusätzliche Energie E ges = E kin + E pot = 1,26 J .

(2.238) 

80

2 Klassische Mechanik

Aufgabe 68 Ausschlag eines Pendels In einem ICE-Wagen ist eine Bleikugel an einem Seil aufgehängt. Der ICE beschleunige aus dem Stand gleichförmig geradlinig. Nach 2 km hat er eine Geschwindigkeit von 72 km/h erreicht. Welchen Winkel mit der Vertikalen schließt das Seil in der Gleichgewichtslage des Pendels ein? Lösung Im mit der konstanten Beschleunigung a beschleunigten Ruhesystem der Kugel wirkt auf sie die Trägheitskraft Ft = m · a, die Schwerkraft G = m · g sowie die Fadenkraft FF (siehe Abb. 2.23). In der Gleichgewichtslage des Pendels gilt: tan ϕ =

m·a a Ft = = G m·g g

(2.239)

Hieraus erhalten wir für den Winkel ϕ zur Vertikalen ϕ = ar ctan

a . g

(2.240)

Wenn der Zug aus dem Stand mit der konstanten Beschleunigung a anfährt, hat er in der Zeit t die Strecke 1 (2.241) s(t) = · a · t 2 2 zurückgelegt und besitzt zu diesem Zeitpunkt die Geschwindigkeit v(t) = a · t.

Abb. 2.23 Ausschlag eines Pendels

(2.242)

2.6

Übungsserie: Scheinkräfte

81

Zu einem Zeitpunkt t1 hat er die Strecke s1 = 2 km zurückgelegt und besitzt die Geschwindigkeit v1 = 72 km/h = 20 m/s. Damit gilt s1 = s(t1 ) =

v2 1 (a · t1 )2 · a · (t1 )2 = = 1, 2 2a 2a

(2.243)

woraus wir für die Beschleunigung a =

400 m 2 /s 2 v1 2 = = 0,1 m/s 2 2 s1 2 · 2 000 m

(2.244)

erhalten. Damit folgt schließlich für den Winkel ϕ: ϕ = ar ctan

0,1 m/s 2 a = 0,6◦ = ar ctan g 9,81 m/s 2

(2.245) 

Aufgabe 69 Die Spirale Eine reibungsfrei aus einer Höhe h rutschende und zu Beginn der Bewegung ruhende Kugel gelangt in eine Spirale und beschreibt dann eine Kreisbahn mit dem Radius r = 60 cm. (a) Welche Anfangshöhe h muss die Kugel besitzen, damit sie die Spirale gerade durchläuft? (b) Welchen Betrag hat die Geschwindigkeit v der Kugel nach dem Durchlaufen der Spirale? Lösung (a) Zu Beginn der Bewegung ist die Kugel in Ruhe sowie in der Anfangshöhe h. Damit besitzt sie die Gesamtenergie E ges = E pot (h) = m · g · h.

(2.246)

Wenn die Kugel die Spirale durchläuft, dann wirkt auf sie im rotierenden Koordinatensystem, in dem sie sich in Ruhe befindet, die Zentrifugalkraft FZ und die Schwerkraft G (siehe Abb. 2.24). Im obersten Punkt der Kreisbahn sind beide Kräfte entgegengerichtet. Wenn die Kugel die Spirale „gerade durchläuft“, sind beide Kräfte betragsmäßig gleich, d. h., es gilt: m · v2 FZ = = m·g = G (2.247) r Hieraus folgt für die Geschwindigkeit der Kugel in diesem Punkt: v =

√ r ·g

(2.248)

82

2 Klassische Mechanik

Abb. 2.24 Die Spirale

Im obersten Punkt der Kreisbahn erhalten wir damit für die kinetische Energie der Kugel: 1 1 E kin = m v 2 = m r g (2.249) 2 2 Ferner besitzt die Kugel in diesem Punkt in der Höhe 2 r über dem Erdboden die potentielle Energie (siehe Abb. 2.24) E pot (2 r ) = m g 2 r .

(2.250)

Damit beträgt die Gesamtenergie der Kugel im höchsten Punkt der Kreisbahn: E ges = E kin + E pot =

1 5 mr g + 2m gr = m gr 2 2

(2.251)

Damit die Kugel die Spirale gerade durchläuft, muss diese Gesamtenergie der Kugel im höchsten Punkt gleich der potentiellen Energie der Kugel in der Anfangshöhe h sein. Aus (2.251) und (2.246) erhalten wir mgh =

5 m g r, 2

(2.252)

woraus wir für die gesuchte Höhe h h =

5 5 · r = · 60 cm = 1,5 m 2 2

(2.253)

erhalten. (b) Die kinetische Energie der Kugel am Erdboden ist nach dem Energieerhaltungssatz gleich der potentiellen Energie in der Anfangshöhe. Damit folgt

2.7

Übungsserie: Systeme von Massenpunkten

1 · m · v 2 = m · g · h, 2 woraus wir für die Geschwindigkeit der Kugel am Erdboden   v = 2 g h = 2 · 9,81 m/s 2 · 1,5 m = 5,42 m/s

83

(2.254)

(2.255)

erhalten.

2.7



Übungsserie: Systeme von Massenpunkten

A) Verständnisteil Begriffe: System von Massenpunkten, innere und äußere Kräfte, Gesamtmasse, Gesamtimpuls, Gesamtkraft, kinetische Energie eines Systems von Massenpunkten, Massenschwerpunkt, Energie- und Impulserhaltung, Trägheitsmoment, Gesamtdrehimpuls, Gesamtdrehmoment, Drehimpulserhaltung, elastischer und unelastischer Stoß, starrer Körper, stabile, indifferente und labile Gleichgewichtslage, Rotationsenergie, Hauptträgheitsachsen, Präzession

Aufgabe 70 Systeme von Massenpunkten Welche der folgenden Aussagen über Systeme von Massenpunkten ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Innere Kräfte können nicht den Gesamtimpuls eines Systems von Massenpunkten ändern. (b) Verschwindet das äußere Gesamtdrehmoment auf einen Körper, so ist sein Gesamtdrehimpuls konstant, und wegen L = J · ω  ist dann auch die Winkelgeschwindigkeit stets konstant. (c) Ein starrer Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die äußere Gesamtkraft auf ihn verschwindet. (d) Die Schwerkraft auf einen starren Körper greift stets im Massenschwerpunkt an. Lösung (a) ist richtig. (b) ist falsch, zwar ist der Gesamtdrehimpuls konstant, wenn das äußere Gesamtdrehmoment auf einen Körper verschwindet, doch wenn ein Körper, wie z. B. der menschliche Körper, nicht „starr“ ist, dann kann sich in L = J ·ω = konstant die Winkelgeschwin-

84

2 Klassische Mechanik

digkeit ändern, wenn sich das Trägheitsmoment J des Körpers ändert. So kann z. B. ein Sportler durch die Änderung seiner Körperhaltung über das Trägheitsmoment seine Winkelgeschwindigkeit variieren. (c) ist falsch, denn ein starrer Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die äußere Gesamtkraft und das äußere Gesamtdrehmoment auf ihn verschwinden. (d) ist richtig.  Aufgabe 71 Massenschwerpunkt Ein System von drei Massenpunkten mit den Massen m 1 = 2 kg, m 2 = 1 kg und m 3 = 2 kg sei wie in der folgenden Abbildung angeordnet.

(a) Welche Gesamtmasse besitzt das System? (b) Wo liegt der Massenschwerpunkt? Lösung (a) Die Gesamtmasse des Systems von Massenpunkten beträgt: M = m 1 + m 2 + m 3 = 2 kg + 1 kg + 2 kg = 5 kg

(2.256)

(b) Der Ortsvektor des Massenschwerpunktes ist definiert durch: rs = Mit

1 · {m 1 · r1 + m 2 · r2 + m 3 · r3 } M

⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 1 −2 0 ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ r1 = 0 m, r2 = m, r3 = 0 ⎠ m 0 0 0 5

(2.257)

(2.258)

2.7

Übungsserie: Systeme von Massenpunkten

85

folgt für den Ortsvektor des Massenschwerpunktes: ⎧ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎫ 1 −2 0 ⎬ 1 ⎨ rs = · 2 kg · ⎝ 0 ⎠ m + 1 kg · ⎝ 0 ⎠ m + 2 kg · ⎝ 0 ⎠ m ⎭ 5 kg ⎩ 0 0 5 ⎧⎛ ⎞ (2.259) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎫ ⎛ ⎞ 2 −2 0 0 ⎬ 1 ⎨⎝ ⎠ 1 0 m + ⎝ 0 ⎠ m + ⎝ 0 ⎠ m = · ⎝ 0 ⎠ m = 2 m · zˆ = · ⎭ 5 ⎩ 0 5 0 10 10 Der Massenschwerpunkt liegt also auf der z-Achse und besitzt die z-Koordinate z = 2 m.

 Aufgabe 72 Standfestigkeit Was können Sie über die Standfestigkeit der folgenden Körper aussagen?

Lösung (a) Weil sich der Massenschwerpunkt nicht senkrecht über der Auflagefläche befindet, kippt die Blumenvase um die rechte Kante. (b) Da sich der Massenschwerpunkt senkrecht über der Auflagefläche befindet, kippt der schiefe Turm von Pisa nicht.  B) Übungsteil Aufgabe 73 Steiner’scher Satz Das Trägheitsmoment eines starren Körpers mit einer Gesamtmasse von M = 2 kg beträgt bezüglich einer S-Achse durch den Massenschwerpunkt JS = 5 kgm 2 . Welches Trägheitsmoment besitzt der Körper bezüglich einer A-Achse, die parallel zur S-Achse verläuft und von dieser den Abstand a = 1 m besitzt?

86

2 Klassische Mechanik

Lösung Da A und S parallele Drehachsen mit dem Abstand a = 1 m sind, und da die S-Achse durch den Massenschwerpunkt verläuft, folgt für das Trägheitsmoment des starren Körpers bezüglich der A-Achse nach dem Steiner’schen Satz: J A = JS + M · a 2 = 5 kgm 2 + 2 kg · (1 m)2 = 7 kgm 2

(2.260) 

Aufgabe 74 Zentraler Stoß Ein Körper mit der Masse m 1 stößt auf einen ruhenden Körper der Masse m 2 . m1 der Massen sein, damit sich bei einem zentralen elas(a) Wie groß muss das Verhältnis m 2 tischen Stoß die Geschwindigkeit des ersten Körpers auf 2/3 der Anfangsgeschwindigkeit verringert? (b) Mit welcher kinetischen Energie bewegt sich dann der zweite Körper, wenn die kinetische Energie des ersten Körpers vor dem Stoß 1 k J beträgt?

Lösung (a) Da der zweite Körper zu Beginn ruht, lautet der Impulserhaltungssatz p 1 = p 1  + p2  ,

(2.261)

worin p1 = m 1 ·v1 den Impuls des Körpers 1 vor dem Stoß und p1  = m 1 ·v1 und p2  = m 2 · v2 die Impulse der Körper nach dem Stoß bezeichnen. Für den Impulsübertrag beim zentralen elastischen Stoß gilt:  p = p 1 − p1  = p 2  =

2 m2 · p1 m1 + m2

(2.262)

Aus p 1  = p 1 − p2  = p 1 −

2 m2 m1 − m2 · p1 = · p1 m1 + m2 m1 + m2

(2.263)

erhalten wir für die Geschwindigkeit des ersten Körpers nach dem Stoß v1  =

m1 − m2 x −1 · v1 = · v1 , m1 + m2 x +1

worin x =

m1 m2

(2.264)

(2.265)

2.7

Übungsserie: Systeme von Massenpunkten

87

das Verhältnis der Körpermassen bezeichnet. Wenn sich beim Stoß die Geschwindigkeit des ersten Körpers auf zwei Drittel der Anfangsgeschwindigkeit verringert, dann erhalten wir mit v1  = 23 v1 : v1  2 x −1 = = v1 3 x +1

(2.266)

Hieraus folgt 2 · (x + 1) = 3 · (x − 1), womit wir für das gesuchte Massenverhältnis x =

m1 = 5 m2

(2.267)

erhalten. (b) Der Energieübertrag beim zentralen elastischen Stoß ist gegeben durch:  E = E2  =

4 m1 m2 4 m1 4x · E1 = · E 1 (2.268) m1 2 · E1 = (m 2 + m 1 )2 m 2 · (1 + m ) (1 + x)2 2

Mit x = 5 und E 1 = 1 k J erhalten wir schließlich für die kinetische Energie des zweiten Körpers nach dem Stoß: E2  =

4·5 · 1 k J = 0,56 k J (1 + 5)2

(2.269) 

Aufgabe 75 Elastischer Stoß Ein Körper der Masse 2 kg bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s auf einen ruhenden Körper mit der Masse 4 kg zu. Nach einem elastischen Stoß bewegt sich der zweite Körper unter dem Streuwinkel θ = 30◦ zur Einfallsrichtung des ersten Körpers. (a) Berechnen Sie den Impulsübertrag vom Körper 1 auf den Körper 2 beim Stoßvorgang. (b) Welche kinetischen Energien besitzen beide Körper nach dem Stoß? Lösung (a) Der Impulsübertrag vom Körper 1 auf den Körper 2 ist gegeben durch:  p = p2  = =

2 m1 m2 · v1 · cos θ m1 + m2

2 · 2 kg · 4 kg · 10 m/s · cos 30 ◦ = 23 kgm/s 2 kg + 4 kg

(2.270)

(b) Die kinetische Energie des Körpers 1 vor dem Stoß beträgt: 1 = E kin

1 1 · m 1 · v12 = · 2 kg · (10 m/s)2 = 100 J 2 2

Die kinetische Energie des zweiten Körpers nach dem Stoß ist gegeben durch:

(2.271)

88

2 Klassische Mechanik 

2 E kin =

=

4 m1 m2 1 · cos 2 θ · E kin (m 2 + m 1 )2

4 · 2 kg · 4 kg · 100 J · cos 2 30◦ = 66,7 J (2 kg + 4 kg)2

(2.272)

Nach dem Energieerhaltungssatz folgt dann für die kinetische Energie der Kugel 1 nach dem Stoß: 1  1 2  E kin = E kin − E kin = 100 J − 66,7 J = 33,3 J (2.273)  Aufgabe 76 Unelastischer Stoß Zwei Schlittschuhfahrer mit den Massen m 1 = 40 kg und m 2 = 60 kg fahren unter einem Winkel von 90◦ mit den Geschwindigkeitsbeträgen v1 = 2,5 m/s und v2 = 1,5 m/s aufeinander zu. Sie stoßen zusammen und halten einander fest. (a) Unter welchem Winkel und mit welcher Geschwindigkeit bewegen sie sich nach dem Stoß weiter? (b) Um welchen Betrag hat sich ihre kinetische Energie beim Zusammenstoß verringert? Lösung (a) Indem sich die Schlittschuhfahrer festhalten, bewegen sie sich nach dem Stoß mit der gleichen Geschwindigkeit v unter einem Winkel ϕ zur x-Richtung fort (siehe Abb. 2.25). Für die gemeinsame Geschwindigkeit v nach dem Stoß gilt m2 m1 · v1 + · v2 , m1 + m2 m1 + m2

(2.274)

⎛ ⎞ 1 v1 = 2,5 m/s · eˆx = 2,5 · ⎝ 0 ⎠ m/s, 0 ⎛ ⎞ 0 v2 = 1,5 m/s · eˆ y = 1,5 · ⎝ 1 ⎠ m/s 0

(2.275)

v = und mit

erhalten wir: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 40 kg 60 kg · 2,5 · ⎝ 0 ⎠ m/s + · 1,5 · ⎝ 1 ⎠ m/s v = 40 kg + 60 kg 40 kg + 60 kg 0 0 (2.276) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 1 = 1 · ⎝ 0 ⎠ m/s + 0,9 · ⎝ 1 ⎠ m/s = ⎝ 0,9 ⎠ m/s 0 0 0

2.7

Übungsserie: Systeme von Massenpunkten

89

Abb. 2.25 Unelastischer Stoß

Für den Betrag der gemeinsamen Geschwindigkeit folgt:  v = 12 + (0,9)2 m/s = 1,35 m/s

(2.277)

Dagegen ist der Winkel ϕ zur x-Richtung gegeben durch die Beziehung (siehe Abb. 2.25): v · eˆx = v · cos ϕ (2.278) Hieraus folgt: und damit

cos ϕ =

1 m/s v · eˆx = = 0,74 v 1,35 m/s

ϕ = ar ccos 0,74 = 42◦

(2.279) (2.280)

(b) Für den Verlust an kinetischer Energie folgt nach dem Energiesatz: E =

1 1 1 1 m 1 (v1 )2 + m 2 (v2 )2 − {m 1 + m 2 } v 2 = · 40 kg · (2,5 m/s)2 2 2 2 2 +

1 1 · 60 kg · (1,5 m/s)2 − · 100 kg · (1,35 m/s)2 = 101,4 J 2 2

(2.281) 

Aufgabe 77 Impulserhaltung Das Biomolekül Palmitinsäure bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von v = 10 m/s und wird im Flug durch Elektronenbeschuss in zwei Teilmoleküle gespalten. Das größere Teilmolekül, das eine Masse von m 1 = 182 u besitzt, fliegt in die gleiche Richtung wie das Palmitinsäuremolekül weiter, jedoch mit einer größeren Geschwindigkeit von v1 = 40 m/s. Welchen Betrag besitzt die Geschwindigkeit des kleineren Teilmoleküls, das eine Masse von m 2 = 74 u besitzt, und in welche Richtung fliegt es?

90

2 Klassische Mechanik

Abb. 2.26 Impulserhaltung

Lösung Die Masse des Palmitinsäuremoleküls ist gegeben durch: m = m 1 + m 2 = 182 u + 74 u = 256 u

(2.282)

Wir legen die s-Achse wie in Abb. 2.26 gezeigt fest. Der Impulserhaltungssatz liefert: p1 = p1  + p2 

(2.283)

Da das größere Teilmolekül in dieselbe Richtung wie das Palmitinsäuremolekül fliegt, besitzen beide den Richtungsvektor sˆ , und es folgt aus (2.283) p2  = p1 − p1  = p1 · sˆ − p1  · sˆ = { p1 − p1  } · sˆ = p2  · sˆ ,

(2.284)

weshalb der Impuls p2  des kleineren Teilmoleküls ebenfalls den Richtungsvektor sˆ besitzt. Aus (2.284) folgt (2.285) p2  = p 1 − p 1  , worin p1 = m · v1 den Betrag des Impulses des Palmitinsäuremoleküls vor der Spaltung und p1  = m 1 · v1 und p2  = m 2 · v2 die Beträge der Impulse der Teilmoleküle nach dem Zerfall bezeichnen. Damit erhalten wir m 2 · v2  = m · v1 − m 1 · v1  ,

(2.286)

womit wir für die Geschwindigkeit des kleineren Teilmoleküls v2  =

m · v 1 − m 1 · v1  256 u · 10 m/s − 74 u · 40 m/s = = −2,20 m/s m2 182 u

(2.287)

erhalten. Das kleinere Teilmolekül fliegt also entgegengesetzt zur Richtung des größeren Teilmoleküls, d. h. in negative s-Richtung (siehe Abb. 2.26).  Aufgabe 78 Schwungrad Ein Schwungrad, dessen Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse durch den Massenschwerpunkt Js = 63,7 kgm 2 beträgt, dreht sich zum Zeitpunkt t = 0 s mit einer Winkelgeschwindigkeit von 31,4 s −1 . Berechnen Sie das konstante, bremsende Drehmoment, unter dessen Wirkung das Schwungrad nach 20 s zum Stillstand kommt.

2.7

Übungsserie: Systeme von Massenpunkten

91

Lösung Wir markieren einen Punkt P auf dem Schwungrad und legen das Koordinatensystem so, dass der Punkt zum Anfangszeitpunkt t = 0 s auf der x-Achse liegt (siehe Abb. 2.27). Die Anfangsbedingungen der gleichförmig verzögerten Drehbewegung lauten dann: ϕ(0) = ϕ0 = 0 ω(0) = ω0 = 31,4 s −1

(2.288)

Unter der Einwirkung eines konstanten bremsenden Drehmoments kommt das Schwungrad nach ts = 20 s zum Stillstand. Der Betrag des bremsenden Drehmoments ist gegeben durch die Bewegungsgleichung der Drehbewegung (2.289) N = Js · α, worin α die konstante Winkelbeschleunigung bezeichnet. Zum Zeitpunkt t ist die Winkelgeschwindigkeit gegeben durch: (2.290) ω(t) = − α · t + ω0 Zur Zeit ts = 20 s ist das Schwungrad zur Ruhe gekommen, womit wir ω(ts ) = 0 = − α · ts + ω0

(2.291)

erhalten. Hieraus folgt für die Winkelbeschleunigung: α =

31,4 s −1 ω0 = = 1,57 s −2 ts 20 s

(2.292)

Damit erhalten wir für das bremsende Drehmoment: N = Js · α = 63,7 kgm 2 · 1,57 s −2 = 100 N m

(2.293) 

Abb. 2.27 Schwungrad

92

2 Klassische Mechanik

Aufgabe 79 Trommel Auf eine Trommel mit der Masse 9 kg, die wir als einen homogenen Zylinder auffassen, ist eine Schnur aufgewickelt, an deren Ende eine Last mit der Masse 2 kg hängt. Berechnen Sie die Beschleunigung der Last, nachdem sie losgelassen worden ist. Die Reibung ist vernachlässigbar. Lösung Die Bewegungsgleichung der Last  mit dem Betrag G = m g sowie Auf die Last wirkt die nach unten gerichtete Schwerkraft G  die nach oben gerichtete Fadenkraft FF (siehe Abb. 2.28). Die Gesamtkraft auf die Last ist betragsmäßig gegeben durch Fges = G − FF = m · g − FF ,

(2.294)

worin FF den Betrag der Fadenkraft bezeichnet. Diese Gesamtkraft ruft die nach unten gerichtete Beschleunigung a der Last hervor, d. h., es gilt: Fges = m · a

Abb. 2.28 Beschleunigung der Last

(2.295)

2.7

Übungsserie: Systeme von Massenpunkten

93

Mit (2.294) erhalten wir damit für die Fadenkraft: FF = G − Fges = m · g − m · a = m · (g − a)

(2.296)

Das Drehmoment auf die Trommel Die Fadenkraft übt das Drehmoment N auf die Trommel aus, dessen Betrag gegeben ist durch: (2.297) N = R · FF = R m g − R m a Die Bewegungsgleichung der Trommel Dieses Drehmoment ruft die Winkelbeschleunigung α der Trommel hervor, die durch die Bewegungsgleichung der Trommel gegeben ist N = Js · α,

(2.298)

worin Js = 21 M R 2 das Trägheitsmoment der homogenen Trommel bezüglich der Drehachse durch den Massenschwerpunkt bezeichnet. Da die Beschleunigung a der Last gleich der Bahnbeschleunigung a B eines Punktes auf der Trommel ist, folgt a = a B = R · α,

(2.299)

womit wir andererseits für das Drehmoment auf die Trommel N = Js · α =

1 a 1 M R2 · = M R·a 2 R 2

(2.300)

erhalten. Die Beschleunigung der Last Aus (2.297) und (2.300) erhalten wir: N = R m · (g − a) =

1 M R·a 2

(2.301)

Hieraus folgt 2 m g − 2 m a = M a,

(2.302)

womit wir schließlich für die Beschleunigung der Last a = erhalten.

2 · 2 kg · 9,81 m/s 2 2m g = = 3 m/s 2 2m + M 2 · 2 kg + 9 kg

(2.303) 

3

Zustandsformen der Materie

3.1

Übungsserie: Festkörper und Flüssigkeiten

A) Verständnisteil Begriffe: Zwischenatomare und -molekulare Kräfte, Bindungsenergie, thermische Energie, Zustandsformen der Materie, Dehnung, Querkontraktion, Biegung, Scherung, Verdrillung, Kompression, Elastizitätsmodul, Hooke’sches Gesetz, Querkontraktionszahl, neutrale Faser, Torsionsmodul, Richtgröße, Kompressionsmodul, hydrostatischer Druck, Auftrieb, Kohäsion, Adhäsion, Oberflächenspannung, Kapillarität, stationäre Strömung, Volumenstärke, Geschwindigkeitsprofil, Kontinuitätsgleichung, Bernoulli-Gleichung, Staudruck, Stromlinie, laminare und turbulente Strömung

Aufgabe 80 Zustandsformen der Materie Welche der folgenden Aussagen über Zustandsformen der Materie ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Das Verhältnis zwischen thermischer Energie und Bindungsenergie der Teilchen einer Substanz (Atome, Moleküle) ist entscheidend dafür, in welcher Zustandsform bzw. welchem Aggregatzustand die Substanz vorliegt. (b) Unter einem Gas verstehen wir eine Zustandsform der Materie, in der die Teilchen aufgrund der Bindungskräfte nicht frei sind, weshalb der Abstand zwischen den Gasteilchen klein ist im Vergleich zu ihrer Größe.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 G. Rufa, Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61262-0_3

95

96

3 Zustandsformen der Materie

(c) In einem Festkörper ordnen sich die Teilchen aufgrund der Bindungskräfte in regelmäßiger Weise an, und diese Anordnung der Teilchen heißt Kristallgitter. (d) Flüssigkeiten haben ein bestimmtes Volumen und eine bestimmte Form, sie sind schwer deformierbar, aber leicht komprimierbar. Lösung (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn bei einem Gas ist die thermische Energie der Teilchen viel größer als ihre Bindungsenergie, weshalb die Bindungskräfte der Teilchen untereinander vernachlässigbar sind. Ein Gas nimmt damit stets den ihm zur Verfügung stehenden Raum ein, sodass der Abstand zwischen den Gasteilchen groß ist im Vergleich zu ihrer Größe. (c) ist richtig. (d) ist falsch, zwar haben Flüssigkeiten ein definiertes Volumen, doch haben sie keine bestimmte Form, sie sind leicht deformierbar, aber schwer komprimierbar.  Aufgabe 81 Mechanische Eigenschaften von Festkörpern und Flüssigkeiten Welche der folgenden Aussagen über mechanische Eigenschaften von Festkörpern und Flüssigkeiten ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Eine Biegung eines Festkörpers liegt vor, wenn die Kraft so wirkt, dass ein Teil des Festkörpers gedehnt und ein anderer Teil gestaucht wird. (b) Bei nicht zu großer Belastung eines Drahtes ist die Längenänderung aufgrund der Zugkraft F proportional zum Elastizitätsmodel des Materials. (c) Der Kolbendruck breitet sich in einer Flüssigkeit aufgrund der Kräfte zwischen den Flüssigkeitsteilchen allseitig und gleichmäßig aus und ist sowohl überall im Innern als auch an der Grenzfläche der Flüssigkeit gleich. (d) Je größer der Strömungswiderstand ist, desto größer ist die pro Zeiteinheit fließende Flüssigkeitsmenge. Lösung (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn das Hooke’sche Gesetz besagt, dass die Längenänderung  l eines Drahtes umgekehrt proportional zum Elastizitätsmodel E ist. (c) ist richtig. (d) ist falsch, denn je größer der Strömungswiderstand ist, desto geringer ist die pro Zeiteinheit fließende Flüssigkeitsmenge. 

3.1

Übungsserie: Festkörper und Flüssigkeiten

97

Aufgabe 82 Schweredruck Für die in der folgenden Abbildung skizzierten und mit Wasser gefüllten Vasen sind jeweils die Bodenfläche und die Füllhöhe angegeben.

In welchem Verhältnis zueinander stehen die Schweredrücke auf die Bodenflächen der drei Vasen zueinander? Lösung Der Schweredruck PS auf den Boden der Vasen ist gegeben durch PS = ρ f l · g · h,

(3.1)

worin h die Tiefe des Bodens unter der Wasseroberfläche bezeichnet. Der Schweredruck hängt ferner von der Dichte der Flüssigkeit ab, nicht aber von der Form des Gefäßes! Damit gilt für den Schweredruck auf den Boden bei den drei Vasen P1 = ρ f l · g · 8 cm, P2 = ρ f l · g · 10 cm, P3 = ρ f l · g · 12 cm,

(3.2)

womit wir für das Verhältnis dieser Drücke P1 : P2 : P3 = 4 : 5 : 6 erhalten. Aufgabe 83 Wasserläufer und Enten (a) Warum kann ein Wasserläufer (Gerris lacustris) auf dem Wasser stehen? (b) Warum fetten Enten ihre Federn ein?

(3.3) 

98

3 Zustandsformen der Materie

Abb. 3.1 Gerris lacustris auf dem Wasser

(c) Warum ärgert man Wasserläufer und Enten, wenn man Waschpulver in den Teich schüttet? Lösung (a) Die Beine des Wasserläufers sind nicht benetzbar. Wenn seine Beine in die Wasseroberfläche eintauchen, so vergrößert sich die Wasseroberfläche (siehe Abb. 3.1). Dieser Vergrößerung wirkt die Oberflächenspannung entgegen. Weil also die Beine eines Wasserläufers nicht benetzbar sind, wird er durch eine nach oben gerichtete Kraft infolge der Oberflächenspannung „getragen“. (b) Enten fetten ihre Federn ein, weshalb sie ebenfalls nicht benetzbar sind. Enten erfahren dann wie Wasserläufer durch die Oberflächenspannung eine nach oben gerichtete Kraft, die sie trägt. (c) Schüttet man Waschpulver in den Teich, so senkt es die Oberflächenspannung. Wasserläufer und Enten tauchen dann tiefer ins Wasser ein!  Aufgabe 84 Blutzirkulation Blut strömt normalerweise laminar durch die Adern. Wie ändert sich die Volumenstärke des Blutes bei gleichbleibender Herztätigkeit, wenn sich infolge der Ablagerungen von Teer, bedingt durch Rauchen, und anderer Substanzen in den Adern der Radius der Adern halbiert? Lösung Für die Volumenstärke des Blutes, das laminar durch die Adern fließt, gilt das HagenPoiseuille’sche Gesetz π r 4 P · · . (3.4) I = 8 η l Wenn sich der Radius halbiert, d. h., wenn r  =

1 2

r gilt, so folgt für die Volumenstärke:

3.1

Übungsserie: Festkörper und Flüssigkeiten

I =

99

π r 4 P π ( 1 r )4 P 1 π r 4 P 1 · · = · 2 · = · · · = ·I 8 η l 8 η l 16 8 η l 16

(3.5)

Die Volumenstärke fällt also auf ein Sechzehntel des ursprünglichen Wertes ab, d. h., es fließt pro Sekunde nur noch ein Sechzehntel der ursprünglichen Blutmenge durch die Adern!  Aufgabe 85 Strömungsauftrieb an einer Tragfläche Warum erfährt ein Flugzeug durch die besondere Form der Flügel eine Auftriebskraft? Lösung Durch die besondere Form der Tragfläche, wie in der folgenden Abbildung dargestellt, wird erreicht, dass die Luft oberhalb des Flügels schneller strömt als unterhalb, sobald sich das Flugzeug relativ zur Luft bewegt.

Eine erhöhte Strömungsgeschwindigkeit auf der Oberseite des Flügels erzeugt nach der Bernoulli-Gleichung einen Unterdruck gegenüber dem bei geringerer Strömungsgeschwindigkeit auf die Unterseite einwirkenden hydrostatischen Drucks. Dieses Druckgefälle führt zu einer nach oben gerichteten Kraft, die den Flügel und damit das Flugzeug trägt.  B) Übungsteil Aufgabe 86 Dehnung und Querkontraktion Ein Stahlseil besitzt eine Länge von 20 m und einen Durchmesser von d = 2mm. An diesen Draht wird eine Kugel mit der Masse m = 2kg gehängt. (a) Berechnen Sie die Längenänderung des Drahtes. (b) Um wie viel nimmt der Durchmesser des Drahtes ab? Für Stahl ist der Elastizitätsmodul gegeben durch E = 20 · 1010 N /m 2 , während der Schubmodul G = 8,4 · 1010 N /m 2 beträgt. Lösung (a) Die Längenänderung des Drahtes folgt aus dem Hooke’schen Gesetz l =

1 F ·l · . E A

(3.6)

100

3 Zustandsformen der Materie

Als Zugkraft wirkt die Schwerkraft F = G = m · g = 2 kg · 9,81 m/s 2 = 19,62 N .

(3.7)

Für die Querschnittsfläche des Drahtes gilt: A = r 2 · π = (1 mm)2 · π = 3,14 · 10−6 m 2

(3.8)

Damit folgt für die Längenänderung des Drahtes: l =

19,62 N · 20 m = 0,62 mm 20 · 1010 N /m 2 · 3,14 · 10−6 m 2

(3.9)

b) Zusätzlich zur Vergrößerung der Länge des Drahtes findet eine Verkleinerung seines Durchmessers statt, die wir Querkontraktion nennen und durch die Querkontraktionszahl μ beschreiben: l · d d l : =− >0 (3.10) μ=− d l d · l Aus der Beziehung E 1+μ= (3.11) 2G erhalten wir für die Querkontraktionszahl: μ=

E 20 · 1010 N /m 2 − 1 = 0,19 −1= 2G 2 · 8,4 · 1010 N /m 2

(3.12)

Nach (3.10) folgt dann für die Verkleinerung des Durchmessers: | d |=

0,19 · 0,62 mm · 2 mm μ · l · d = = 1,2 · 10−5 mm l 20 · 103 mm

(3.13) 

Aufgabe 87 Hydrostatischer Druck Ein zylinderförmiges, aufrecht stehendes Rohr sei bis zu einer Höhe von 2 m mit Wasser gefüllt. Auf die Flüssigkeitsoberfläche werde über einen Kolben ein zusätzlicher Druck von 3 · 104 Pa ausgeübt. Welcher Druck wirkt auf ein schmales Fenster, das in Bodennähe senkrecht in der Rohrwand angebracht ist? Die Dichte von Wasser beträgt ρ H2 O = 1 g/cm 3 .

3.1

Übungsserie: Festkörper und Flüssigkeiten

101

Lösung Der Schweredruck des Wassers in Bodennähe ist gegeben durch: PS = ρ H2 O · g · h = 103 kg/m 3 · 9,81 m/s 2 · 2 m = 2 · 104 Pa

(3.14)

Zusätzlich kommt noch der Kolbendruck PK = 3 · 104 Pa

(3.15)

hinzu, sodass wir für den hydrostatischen Druck in der Bodennähe P = PK + PS = 5 · 104 Pa

(3.16)

erhalten. Da dieser Druck allseitig wirkt, entspricht er auch dem Druck auf das Fenster.  Aufgabe 88 Tröpfchengröße Aus einer Pipette, die wir als Glasröhrchen mit einem Radius von r = 3 mm betrachten, fallen Wassertropfen. (a) Unter welcher Bedingung „reißen“ die Wassertropfen ab? (b) Welches Volumen besitzen die Tropfen? Die Dichte von Wasser ist gegeben durch ρ H2 O = 1 g/cm 3 , während bei 20 ◦ C die Oberflächenspannung σ = 7,28 · 10−2 N /m beträgt. Lösung (a) Hängt ein Wassertropfen an einer Pipette, so ist seine Oberfläche im Vergleich zum Wasser in der Pipette vergrößert (siehe Abb. 3.2). Dieser Oberflächenvergrößerung wirkt die Oberflächenspannung σ entgegen. Sie ist gegeben durch die Kraft Ft entlang der Pipettenwand pro Längeneinheit. Da diese Kraft entlang des Umfangs l = U = 2πr der Pipette wirkt, folgt: Ft Ft σ = = (3.17) l 2π r oder (3.18) Ft = 2 π r · σ Dieser nach oben gerichteten Kraft wirkt die Schwerkraft G = m · g = ρ H2 O · V · g

(3.19)

102

3 Zustandsformen der Materie

Abb. 3.2 Tröpfchengröße

auf den Tropfen entgegen, worin m die Masse und V das Volumen des Tropfens bezeichnen. Der Trophen reißt ab, falls G > Ft ist, d. h. ρ H2 O · V · g > 2 π r · σ.

(3.20)

(b) Aus (3.20) folgt für das Volumen des Tropfens:

V =

2π ·r ·σ 2 π · 0,003 m · 7,28 · 10−2 N /m = ρ H2 O · g 103 kg/m 3 · 9,81 m/s 2

(3.21)

= 1,4 · 10−7 m 3 = 0,14 cm 3 Je größer der Radius der Pipette ist, desto größer ist das Volumen des Wassertropfens.  Aufgabe 89 Strömungsgeschwindigkeit In einem horizontalen Rohr fließt eine Flüssigkeit, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

3.1 Übungsserie: Festkörper und Flüssigkeiten

103

Der Höhenunterschied der Flüssigkeitssäulen in den beiden Röhren A und B beträgt  h = 20 cm, wobei beide Röhren den gleichen Durchmesser haben. Berechnen Sie den Betrag v =| v | der Strömungsgeschwindigkeit der durch das horizontale Rohr fließenden Flüssigkeit. Lösung Wir betrachten die hydrostatischen Drücke P1 und P2 der Flüssigkeit in den Punkten 1 und 2. Aus der Bernoulli-Gleichung folgt: P1 + ρ Fl · g · y +

1 1 · ρ Fl · v1 2 = P2 + ρ Fl · g · y + · ρ Fl · v2 2 2 2

(3.22)

Da sich ferner beide Punkte auf der gleichen Höhe y befinden und weil die Strömungsgeschwindigkeit vor der Röhre B verschwindet v2 = 0 m/s, erhalten wir die Beziehung: P1 +

1 · ρ Fl · v1 2 = P2 2

(3.23)

Die hydrostatischen Drücke an den Punkten 1 und 2 unterscheiden sich andererseits um den Schweredruck PS = ρ Fl · g ·  h = P2 − P1 der Flüssigkeit, woraus wir P2 = P1 + ρ Fl · g ·  h

(3.24)

erhalten. Damit folgt mit (3.23): P1 +

1 · ρ Fl · v1 2 = P1 + ρ Fl · g ·  h 2

(3.25)

Da die Strömungsgeschwindigkeit im horizontalen Rohr der Strömungsgeschwindigkeit v1 der Flüssigkeit vor der Röhre A entspricht, erhalten wir:   (3.26) v = v1 = 2 · g ·  h = 2 · 9,81 m/s 2 · 0,2 m = 1,98 m/s 

104

3 Zustandsformen der Materie

3.2

Übungsserie: Gase

A) Verständnisteil Begriffe: Ideales und reales Gas, Stoffmenge, Mol, Avogadro-Konstante, Molmasse, atomare Masseneinheit, relative Atom- und Molekülmasse, Isotope, thermische Energie, mittlere freie Weglänge, Maxwell-Boltzmann-Verteilung, häufigste und mittlere Teilchengeschwindigkeit, thermodynamische Temperatur, Kelvin, BoltzmannKonstante, Äquipartitionstheorem, Nullpunkt der thermodynamischen Temperatur, Gasthermometer, Zustandsgrößen, kinetische Gastheorie, universelle Gaskonstante, Avogadro’sches Gesetz, Molvolumen, Normalbedingungen, Zustandsgleichung idealer Gase und von Gasgemischen, Partialdruck, Dalton’sches Gesetz, Molsumme, isotherme, isochore, isobare und adiabatische Zustandsänderungen, Adiabatengleichung, van der Waals-Gleichung, kritischer Punkt

Aufgabe 90 Gase Welche der folgenden Aussagen über Gase ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Unter einem idealen Gas verstehen wir ein Modell eines Gases, bei dem die Gasteilchen (Atome, Moleküle) außer beim Zusammenstoß keine Kräfte aufeinander ausüben und der Durchmesser der Teilchen klein ist gegenüber dem mittleren Abstand zu den Nachbarteilchen. (b) Ideale Gase sind verflüssigbar. (c) Die Zahl der Freiheitsgrade eines Gasteilchens kann man über die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen bzw. Druck messen. (d) Bei realen Gasen führt der Binnendruck zu einer Reduzierung des Gasdruckes und das Kovolumen zu einer Vergrößerung des Gasvolumens. Lösung (a) (b) (c) (d)

ist richtig. ist falsch, denn nur reale Gase sind verflüssigbar. ist richtig. ist falsch, die Gasteilchen am Rand des Gases erfahren aufgrund der zwischenatomaren und molekularen Kräfte eine nach innen gerichtete Kraft, die den Binnendruck hervorruft, der zum äußeren Druck hinzukommt. Ferner beschreibt das Kovolumen denjenigen Raumbereich, der aufgrund des Eigenvolumens der freien Bewegung der Gasteilchen nicht zur Verfügung steht und das Gasvolumen verringert. 

3.2

Übungsserie: Gase

105

Aufgabe 91 Temperatur (a) Die Temperaturdifferenz zweier Körper betrage 253 ◦ C. Bestimmen Sie die Differenz der thermodynamischen Temperaturen beider Körper. (b) Die Temperatur eines Körpers betrage 260 K . Welche Temperatur ϑ besitzt er dann in ◦ C? Lösung (a) Für den Zusammenhang zwischen der thermodynamischen Temperatur T und der Temperatur ϑ in ◦ C gilt (3.27) T /K = 273,15 + ϑ/◦ C Dann folgt für die Temperaturdifferenzen in beiden Einheiten:  T /K =  ϑ/◦ C

(3.28)

Die Differenz der absoluten Temperaturen beider Körper ist dann nach (3.28) gegeben durch:  T = 253 K (3.29) (b) Beträgt die Temperatur eines Körpers 260 K , so folgt für seine Temperatur ϑ in ◦ C nach (3.27): (3.30) ϑ = (260 − 273,15) ◦ C = −13,15 ◦ C  Aufgabe 92 Isochore Zustandsänderung Wie ändert sich der Druck eines idealen Gases, wenn man die Temperatur bei konstantem Volumen von 0 ◦ C auf 110 ◦ C erhöht? Lösung Die Temperatur ϑ1 = 0 ◦ C entspricht der thermodynamischen Temperatur T1 = 273,15 K und die Temperatur ϑ2 = 110 ◦ C einer thermodynamischen Temperatur von T2 = 383,15 K . Aus dem idealen Gasgesetz folgt für die Gasdrücke: P1 · V = n · R · T1 P2 · V = n · R · T2

(3.31)

Bilden wir das Verhältnis, so gilt: P2 T2 = P1 T1

(3.32)

106

3 Zustandsformen der Materie

Hieraus folgt: P2 =

T2 · P1 T1

(3.33)

Damit erhalten wir für die Druckänderung  P = P2 − P1 =

T2 T2 − T1 110 K · P1 − P1 = · P1 = · P1 = 0,4 · P1 , T1 T1 273,15 K

(3.34)

d. h., die Druckänderung des idealen Gases beträgt das 0,4-fache des Druckes bei der Anfangstemperatur ϑ1 = 0 ◦ C  Aufgabe 93 Avogadro’sches Gesetz Warum enthalten gleiche Volumina verschiedener Gase bei gleichem Druck und gleicher Temperatur die gleiche Anzahl von Teilchen? Lösung Wir betrachten zwei verschiedene Gase bei gleichem Druck P und gleicher Temperatur T . Für beide Gase gilt das ideale Gasgesetz N1 · R · T, NA N2 · R · T, P · V2 = n 2 · R · T = NA P · V1 = n 1 · R · T =

(3.35)

worin n i = NNAi die Stoffmenge der in den Gasvolumina Vi , i = 1, 2 enthaltenen Gase und N A die Avogadro-Konstante (siehe Anhang B) bezeichnen. Bilden wir das Verhältnis, so folgt: N1 V1 = (3.36) N2 V2 Sind also bei gleichem Druck und Temperatur die Gasvolumina V1 = V2 gleich, so enthalten sie die gleiche Teilchenzahl (3.37) N1 = N2 .  Aufgabe 94 Isotherme Expansion Bei einem idealen Gas werde eine isotherme Expansion durchgeführt. Wie ändert sich das Volumen, wenn der Druck dabei halbiert wird? Lösung Für eine isotherme Expansion folgt aus dem idealen Gasgesetz: P · V = n · R · T = cis = konstant

(3.38)

3.2

Übungsserie: Gase

107

Bezeichnen wir den Druck und das Volumen vor der Expansion mit P1 und V1 bzw. nach der Expansion mit P2 und V2 , so folgt P1 · V1 = P2 · V2 , woraus wir V2 =

P1 · V1 P2

erhalten. Wenn wir den Druck halbieren, d. h., wenn P2 = V2 =

P1 1 2

P1

(3.39)

(3.40) 1 2

P1 gilt, so folgt

· V1 = 2 · V1 ,

(3.41)

weshalb sich das Volumen verdoppelt.  B) Übungsteil Aufgabe 95 Fluoroxid Gegeben sei eine Substanzprobe von 10 g Fluoroxid (F2 O). (a) (b) (c) (d)

Bestimmen Sie die Masse von einem F2 O-Molekül. Berechnen Sie die Stoffmenge. Wie viele Moleküle enthält die Substanzprobe? Welche Massenanteile von Fluor und Sauerstoff sind in der Substanzprobe enthalten?

Lösung (a) Mit den relativen Atommassen von Sauerstoff Mr (O) = 15,999 und Fluor Mr (F) = 18,998 (siehe Anhang A) erhalten wir für die relative Molekülmasse von Fluoroxid: Mr (F2 O) = 2 · 18,998 + 15,999 = 54

(3.42)

Damit folgt für die Masse eines Moleküls Fluoroxid: m F2 O = Mr u = 54 u = 54 · 1,66 · 10−24 g = 8,96 · 10−23 g,

(3.43)

worin 1 u = 1,66 · 10−24 g die atomare Masseneinheit bezeichnet (siehe Anhang B). (b) Die Molmasse von F2 O beträgt dann M F2 O = 54 g/mol, womit wir für die Stoffmenge

(3.44)

108

3 Zustandsformen der Materie

n=

m 10 g = = 0,185 mol M F2 O 54 g/mol

(3.45)

erhalten. (c) Aus n = NNA und mit der Avogadro-Konstanten N A = 6,022 · 1023 mol −1 erhalten wir schließlich für die Zahl der Moleküle in 10 g F2 O: N = n · N A = 0,185 mol · 6,022 · 1023 mol −1 = 1,1 · 1023

(3.46)

(d) Die Massenanteile von Fluor und Sauerstoff in Fluoroxid F2 O sind gegeben durch: 2 · Mr (F) 38 = = 0,704 Mr (F2 O) 54 Mr (O) 16 = = = 0,296 Mr (F2 O) 54

xF = xO

(3.47)

In 10 g der Substanzprobe Fluoroxid sind also 7,04 g Fluor und 2,96 g Sauerstoff enthalten.  Aufgabe 96 Thermische Energie von Luft Luft besteht ungefähr zu 80 % aus Stickstoff (N2 ) und zu 20 % aus Sauerstoff (O2 ). Die übrigen vorhandenen Gase seien vernachlässigt! (a) Welche mittlere kinetische Energie besitzen die Luftmoleküle bei einer Temperatur von 30 ◦ C, und welche thermische Energie steckt dann in einem Mol Luft? (b) Welche mittleren Geschwindigkeiten besitzen bei dieser Temperatur ein Sauerstoffmolekül bzw. ein Stickstoffmolekül? Lösung (a) Die mittlere kinetische Energie der Luftmoleküle ist gegeben durch < E kin >=

f · k · T, 2

(3.48)

worin k = 1,38 · 10−23 J /K die Bolzmann-Konstante bezeichnet (siehe Anhang B). Diese mittlere kinetische Energie hängt nur von der thermodynamischen Temperatur ab und ist damit für die Sauerstoff- und Stickstoffmoleküle gleich! Da Sauerstoff- und Stickstoffmoleküle 2-atomige Moleküle sind, ist die Zahl der Freiheitsgrade f = 5. Weiter entspricht die Temperatur ϑ = 30 ◦ C einer thermodynamischen Temperatur von T = 303,15 K . Damit erhalten wir für die mittlere kinetische Energie der Luftmoleküle nach (3.48): < E kin >=

5 · 1,38 · 10−23 J /K · 303,15 K = 1,05 · 10−20 J 2

(3.49)

3.2

Übungsserie: Gase

109

Ein Mol Luft besitzt dann eine thermische Energie von: E th =

NA  i=1

E ikin = N A · < E kin >

(3.50)

= 6,022 · 1023 · 1,05 · 10−20 J = 6,32 · 103 J /mol (b) Die mittlere Teilchengeschwindigkeit ist gegeben durch:  8k T < v >= πm

(3.51)

Mit den Molekülmassen m N 2 = 28 u und m O 2 = 32 u folgt für das Verhältnis der mittleren Geschwindigkeiten von Sauerstoff- und Stickstoffmolekülen:    < vO 2 > mN2 28 u = (3.52) = = 0,875 = 0,935 < vN 2 > mO2 32 u Für die mittlere Geschwindigkeit der Stickstoffmoleküle erhalten wir nach (3.51) bei der Temperatur T = 303,15 K :  8 · 1,38 · 10−23 J /K · 303,15 K = 478,75 m/s (3.53) < v N 2 >= π · 28 · 1,66 · 10−27 kg Damit folgt nach (3.52) für die mittlere Geschwindigkeit der Sauerstoffmoleküle: < v O 2 >= 0,935 · < v N 2 >= 0,935 · 478,75 m/s = 447,63 m/s

(3.54)

Im Gasgemisch „Luft“ fliegen also die massiveren Sauerstoffmoleküle langsamer als die Stickstoffmoleküle.  Aufgabe 97 Normalbedingungen Eine Gasprobe nimmt bei einer Temperatur von 30 ◦ C und dem Druck 1,5 bar ein Volumen von 300 ml ein. Welches Volumen besitzt die Probe unter Normalbedingungen? Lösung Bei einer Temperatur von ϑ1 = 30 ◦ C, d. h. T1 = 303,15 K , und einem Druck von P1 = 1,5 bar nimmt die Gasprobe ein Volumen von V1 = 300 ml = 3 · 10−4 m 3 ein. Nach dem idealen Gasgesetz gilt: (3.55) P1 · V1 = n · R · T1 Das Volumen unter Normalbedingungen sei V0 . Für dieses Volumen gilt P0 · V0 = n · R · T0 ,

(3.56)

110

3 Zustandsformen der Materie

worin P0 = 1,013 bar und T0 = 273,15 K den Normaldruck und die Normaltemperatur bezeichnen. Aus (3.55) und (3.56) folgt P0 · V0 P1 · V1 =n·R= , T1 T0

(3.57)

womit wir für V0 V0 =

T0 · P1 273,15 K · 1,5 bar · V1 = · 3 · 10−4 m 3 T1 · P0 303,15 K · 1,013 bar =

4 · 10−4 m 3

(3.58)

= 400 ml

erhalten.  Aufgabe 98 Dichte und Teilchenabstand (a) Berechnen Sie die Dichte von Stickstoffgas (N2 ) unter Normalbedingungen. (b) Welchen mittleren Abstand besitzen unter diesen Bedingungen die Stickstoffmoleküle? Lösung (a) Die Dichte von Stickstoffgas ist gegeben durch: ρ=

M N2 Vmol

(3.59)

Für die Molmasse von Stickstoff gilt: M N2 = 2 · 14 g/mol = 28 g/mol

(3.60)

Unter Normalbedingungen besitzt 1 mol Stickstoff ein Volumen von 22,4 l. Damit beträgt die Dichte von Stickstoffgas: ρ=

28 g/mol = 1,25 g/l = 1,25 · 10−3 g/cm 3 22,4 l/mol

(3.61)

(b) Für die Teilchendichte ν, d. h. die Zahl der Teilchen pro Volumeneinheit, erhalten wir: ν=

6,022 · 1023 mol −1 NA = = 2,69 · 1025 m −3 Vmol 22,4 · 10−3 m 3 /mol

(3.62)

Die Zahl der Stickstoffmoleküle in einem Würfel Stickstoffgas mit der Kantenlänge 1 m und dem Volumen V = 1 m 3 beträgt damit N = ν · V = 2,69 · 1025 . Die mittlere Teilchenzahl entlang einer Würfelkante ist dann gegeben durch:  √ 3 3 N1 = N = 2,69 · 1025 = 3 · 108 m −1 (3.63)

3.2

Übungsserie: Gase

111

Nehmen wir an, dass die Stickstoffmoleküle einen mittleren Abstand < d > voneinander haben, so erhalten wir aus N1 · < d >= 1 m für den mittleren Teilchenabstand: < d >=

1m = 3,3 · 10−9 m N1

(3.64)

Der Durchmesser der Stickstoffmoleküle beträgt etwa d = 2,8 · 10−10 m. Das bedeutet, dass der mittlere Abstand zweier Stickstoffmoleküle bei Normaldruck mehr als das 10fache ihres Durchmessers beträgt.  Aufgabe 99 Gasdichte Berechnen Sie die Dichte von P H3 -Gas bei einer Temperatur von 20 ◦ C und einem Druck von 0,9 bar . Lösung Die Molmasse von P H3 -Gas ist gegeben durch: M P H3 = {Mr (P) + 3 · Mr (H )} g/mol

(3.65)

= {30,974 + 3 · 1,008} g/mol = 33,998 g/mol Die Zustandsgleichung für das P H3 -Gas lautet für n = 1 mol: P · Vmol = R · T =

R·T · M P H3 M P H3

(3.66)

Hieraus folgt für die Dichte des P H3 -Gases: ρ=

P · M P H3 M P H3 = Vmol R·T

(3.67)

Mit P = 0,9 bar und T = 293,15 K erhalten wir schließlich ρ=

0,9 · 105 Pa · 33,998 · 10−3 8,31

J K mol

· 293,15 K

kg mol

= 1,33 kg/m 3 = 1,26 · 10−3

g , cm 3

(3.68)

wobei für die Einheiten mit 1 bar = 105 Pa = 105 N /m 2 und kg/m 3 = 10−3 g/cm 3 insgesamt Pa kg/J = 10−3 cmg 3 gilt.  Aufgabe 100 Molare Masse Ein Gas besitzt bei einer Temperatur von 30 ◦ C und einem Druck von 0,86 bar eine Dichte von 2,04 · 10−3 cmg 3 . Berechnen Sie die molare Masse des Gases.

112

3 Zustandsformen der Materie

Lösung Die Zustandsgleichung des unbekannten Gases beträgt für n = 1 mol, P · Vmol = R · T Hieraus folgt Vmol =

R·T P

(3.69)

. Damit erhalten wir für die Molmasse:

Mmol = Vmol ·

Mmol R · T Mmol R·T = = · ·ρ Vmol P Vmol P

(3.70)

Mit der Dichte ρ = 2,04 · 10−3 cmg 3 , dem Druck P = 0,86 bar und der thermodynamischen Temperatur T = 303,15 K erhalten wir für die Molmasse des unbekannten Gases: Mmol =

8,31

J K mol

· 305,15 K · 2,04 kg/m 3 = 6 · 10−2 kg/mol 0,86 · 105 Pa

(3.71) 

Aufgabe 101 Partialdrücke Ein Gemisch aus 8 g C O-Gas und 8 g C O2 -Gas übt einen Druck von 0,8 bar aus. Berechnen Sie die Partialdrücke, die die beiden Gase ausüben. Lösung Den Partialdruck von C O-Gas bezeichnen wir mit P1 und von C O2 -Gas mit P2 . Für diese Partialdrücke gilt ni · Pges , (3.72) Pi = n1 + n2 worin Pges = 0,8 bar den Gesamtdruck des Gasgemisches und n i die Stoffmengen von C O- bzw. C O2 -Gas im Gasgemisch bezeichnen. Für die Molmasse von C O erhalten wir: MC O = {Mr (C) + Mr (O)} g/mol = {12,011) + 15,999} g/mol = 28,01 g/mol (3.73) Eine Masse von m C O = 8 g C O-Gas entspricht dann einer Stoffmenge von n1 =

mC O 8g = = 0,286 mol. MC O 28,01 g/mol

(3.74)

Analog erhalten wir für die Molmasse von C O2 MC O2 = {Mr (C) + 2 · Mr (O)} g/mol = 44,009 g/mol,

(3.75)

sodass einer Masse von m C O2 = 8 g C O2 -Gas eine Stoffmenge von n2 =

m C O2 8g = = 0,182 mol MC O 2 44,009 g/mol

(3.76)

3.2

Übungsserie: Gase

113

entspricht. Damit folgt für die Partialdrücke: P1 =

n1 0,286 mol · Pges = · 0,8 bar = 0,49 bar n1 + n2 0,468 mol

(3.77)

P2 =

n2 0,182 mol · Pges = · 0,8 bar = 0,31 bar n1 + n2 0,468 mol

(3.78)

und

 Aufgabe 102 Reale Gase Berechnen Sie den Druck, der bei 10 ◦ C von 1 mol C O2 -Gas in einem Volumen von 1 l ausgeübt wird (a) nach dem idealen Gasgesetz, (b) anhand der van der Waals-Gleichung, wobei für C O2 die van der Waals-Konstanten gegeben sind durch a = 3,637 l 2 bar /mol 2 und b = 0,0427 l/mol. Lösung (a) Nach dem idealen Gasgesetz ist der Gasdruck von einem Mol C O2 bei einer Temperatur von T = 283,15 K und einem Volumen von V = 1 l gegeben durch: P=

1 mol · 8,31 J /K mol · 283,15 K nRT = 23,5 · 105 Pa = 23,5 bar (3.79) = V 10−3 m 3

(b) Für reale Gase gilt die van der Waals-Gleichung (P +

n2 · a ) · (V − n · b) = n · R · T . V2

(3.80)

Für den Druck erhalten wir damit P= =

n·R·T n2 · a − V −n·b V2

1 mol · 8,31 J /K mol · 283,15 K (1 mol)2 · 3,637 l 2 bar /mol 2 − 1 l − 1 mol · 0,0427 l/mol (1 l)2

(3.81)

= 24,58 bar − 3,64 bar = 20,94 bar , wobei für die Einheiten 1 l = 10−3 m 3 , J /m 3 = Pa und 105 Pa = 1 bar gilt.



4

Thermodynamik

4.1

Übungsserie: Thermodynamik

A) Verständnisteil Begriffe: Phase, homogenes und heterogenes System, Phasenübergang und Phasengleichgewicht, Phasendiagramm, Schmelzpunkts-, Sublimations- und Dampfdruckkurve, Tripelpunkt, kritischer Punkt, Wärmeenergie, linearer und kubischer Ausdehnungskoeffizient, Anomalie des Wassers, Wärmeleitung, Wärmestrahlung, spezifische und molare Wärmekapazität, Kalorimetrie, Umwandlungswärme, Schmelz- und Siedetemperatur, innere Energie, Entropie, Druckarbeit, thermodynamisches System, Umgebung, abgeschlossenes System, Gleichgewichtszustand, reversible und irreversible Prozesse, 1. und 2. Hauptsatz der Thermodynamik, Kreisprozess, Wärmekraftmaschine, Wirkungsgrad, Carnot’scher Kreisprozess

Aufgabe 103 Dampfdruckkurve In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist die Temperaturabhängigkeit des Sättigungsdampfdruckes PD bei Wasser qualitativ richtig wiedergegeben?

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 G. Rufa, Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61262-0_4

115

116

4 Thermodynamik

Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung Die Dampfdruckkurve von Wasser beginnt am Tripelpunkt und endet am kritischen Punkt, weshalb Abb. (a) falsch ist. Ferner trennt die Dampfdruckkurve die flüssige und die gasförmige Phase, weshalb auch Abb. (b) nicht richtig ist. Schließlich ist die Dampfdruckkurve vom Tripelpunkt zum kritischen Punkt streng monoton wachsend, weshalb nur Abb. (c) richtig ist.  Aufgabe 104 Phasenübergänge Welche der folgenden Aussagen über Phasenübergänge ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Wir sprechen von der Verdampfung einer Flüssigkeit, wenn Flüssigkeitsmoleküle an der Flüssigkeitsoberfläche eine genügend große kinetische Energie besitzen, um die zwischenmolekularen Anziehungskräfte überwinden und in die Gasphase wechseln zu können. (b) Ein Phasenübergang von der festen in die flüssige Phase ist bei konstanter Temperatur nicht möglich. (c) Zum Schmelzen einer Substanz ist stets Energie erforderlich. (d) Der Übergang von der gasförmigen Phase in die feste Phase heißt gefrieren. Lösung (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn die Schmelzpunktskurve von z. B. Wasser besitzt eine negative Steigung, weshalb Eis bei konstanter Temperatur durch Druckerhöhung geschmolzen werden kann und in die flüssige Phase übergeht. (c) ist richtig. (d) ist falsch, denn wenn eine Substanz von der gasförmigen in die flüssige Phase übergeht, so sprechen wir von Kondensation. 

4.1

Übungsserie: Thermodynamik

117

Aufgabe 105 Siedetemperatur Warum nimmt die Siedetemperatur einer Flüssigkeit in einem offenen Gefäß mit wachsender Höhe ab? Lösung Die Flüssigkeit im offenen Gefäß siedet, wenn ihr Sättigungsdampfdruck mit dem äußeren Luftdruck übereinstimmt, was bei der Siedetemperatur der Fall ist. Dann kann sich Dampf auch in Form von Dampfblasen im Inneren der Flüssigkeit bilden. Da der äußere Luftdruck mit der Höhe abnimmt, nimmt also auch die Siedetemperatur mit wachsender Höhe ab.  Aufgabe 106 Expansion eines idealen Gases Bei einem idealen Gas werde eine isobare Zustandsänderung mit P = konstant von einem Anfangszustand 1 in einen Endzustand 2 durchgeführt. (a) Welche Arbeit verrichtet das Gas bei der Expansion? (b) Bestimmen Sie die Temperaturänderung des Gases, wenn die Expansion adiabatisch durchgeführt wird. (c) Welche Wärmeenergie nimmt das Gas aus der Umgebung bei einer isothermen Expansion auf? Lösung (a) Bei der Expansion verrichtet das Gas die Arbeit W = − P ·  V = − P · (V2 − V1 ).

(4.1)

(b) Findet die Expansion adiabatisch statt, so wird keine Wärmeenergie mit der Umgebung ausgetauscht, sodass Q = 0 J gilt. Dann nimmt aber die innere Energie nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik um  U = W = −P ·  V

(4.2)

ab. Damit ist eine Temperaturänderung des Gases um  T verbunden. Mit U =

f · n · R ·  T = Cmol,V · n ·  T = − P ·  V 2

(4.3)

erhalten wir: T = −

P ·V Cmol,V · n

(4.4)

(c) Findet dagegen die Expansion isotherm statt, so bleiben die Temperatur T und die innere Energie U konstant, sodass wegen

118

4 Thermodynamik

U = Q + W = 0 J

(4.5)

das Gas aus der Umgebung die Wärmeenergie Q = − W = +P ·  V > 0 J

(4.6)

aufnimmt.  Aufgabe 107 Kompression eines idealen Gases Ein ideales Gas werde so komprimiert, dass die verrichtete Kompressionsarbeit vollständig als Wärmeenergie nach außen an das Kühlwasser abgegeben wird. (a) Wie ändert sich die innere Energie des Gases? (b) Um welche Zustandsänderung handelt es sich? Lösung (a) Nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik gilt: U = Q + W

(4.7)

Da die bei der Kompression am Gas verrichtete Arbeit W > 0 J vollständig als Wärmeenergie nach außen an das Kühlwasser abgegeben wird, folgt: Q = −W < 0 J

(4.8)

U = 0 J,

(4.9)

Nach (4.7) erhalten wir dann

d. h., die innere Energie bleibt konstant. (b) Die innere Energie hängt über die thermische Energie von der thermodynamischen Temperatur T ab, wobei f · n · R · T 2 gilt. Für die betrachtete Zustandsänderung folgt also mit (4.9) U =

f · n · R · T = 0 J , 2 d. h., für die Temperaturänderung erhalten wir: U =

T = 0K

(4.10)

(4.11)

(4.12)

4.1

Übungsserie: Thermodynamik

119

Damit bleibt auch die Temperatur konstant, womit es sich um eine isotherme Zustandsänderung handelt.  B) Übungsteil Aufgabe 108 Verdampfungswärme und Verdampfungsentropie Eine Stoffmenge von 3 mol Benzol werde bei der normalen Siedetemperatur von ϑsi = 80,1◦ C verdampft. Die molare Verdampfungswärme von Benzol beträgt bei der normalen Siedetemperatur Q v = 30,77 k J /mol. (a) Welche Wärmeenergie ist hierzu erforderlich? (b) Berechnen Sie die Entropieänderung von Benzol, wobei wir annehmen, dass der Phasenübergang nahezu reversibel verläuft. Lösung (a) Die molare Verdampfungswärme entspricht derjenigen Wärmeenergie, die notwendig ist, um ein Mol der betrachteten Substanz zu verdampfen. Um 3 mol Benzol bei der normalen Siedetemperatur zu verdampfen, benötigen wir also eine Wärmeenergie von Q = n · Q v = 3 mol · 30,77 k J /mol = 92,31 k J .

(4.13)

(b) Die Verdampfung von Benzol bei der Siedetemperatur Tsi = (273,15 + 80,1) K = 353,25 K verlaufe nahezu reversibel. Dann erhalten wir für die Entropieänderung von Benzol S =

Q 92,31 k J Q r ev  = = 261,32 J /K , Tsi Tsi 353,25 K

(4.14)

d. h., die Entropie von Benzol nimmt beim Phasenübergang pro Mol um  S  87,1 J /K mol zu. Der Übergang flüssig − gasförmig bedeutet eine Zunahme der molekularen Unordnung, weshalb die Entropie zunimmt! Diese Zunahme der Entropie ist für alle unpolaren Flüssigkeiten nahezu gleich und beträgt bei der jeweiligen normalen Siedetemperatur  S  88 J /K mol,

(4.15)

was man als Trouton-Regel bezeichnet.  Aufgabe 109 Spezifische und molare Wärmekapazität Für ein ideales zweiatomiges Gas beträgt die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck 1,47 · 104 J /kg K . Berechnen Sie die Molmasse dieses Gases.

120

4 Thermodynamik

Lösung Für den Zusammenhang zwischen der molaren und der spezifischen Wärmekapazität gilt Cmol = M · c,

(4.16)

worin M die Molmasse des Gases bezeichnet. Damit folgt für seine Molmasse M=

Cmol,P Cmol , = c cP

(4.17)

worin Cmol,P und c P = 1,47 · 104 J /kg K die molare bzw. spezifische Wärmekapazität des Gases bei konstantem Druck bezeichnen. Für ein ideales zweiatomiges Gas, das f = 5 Freiheitsgrade besitzt, gilt: f +2 7 · R = · 8,31 J /K mol = 29,09 J /K mol 2 2 Damit erhalten wir für die Molmasse des Gases: Cmol,P =

M=

29,09 J /K mol = 2 g/mol 1,47 · 104 J /kg K

(4.18)

(4.19) 

Aufgabe 110 Zahl der Freiheitsgrade Um die Temperatur eines bestimmten idealen Gases um 75 K bei konstantem Druck zu erhöhen, muss man eine Wärmeenergie von 798 J zuführen. Wenn man das gleiche Gas bei konstantem Volumen um 150 K abkühlt, wird eine Wärmeenergie von 1200 J abgegeben. (a) Berechnen Sie den Adiabatenexponenten des Gases. (b) Bestimmen Sie die Zahl der Freiheitsgrade der Gasmoleküle. Lösung (a) Um die Temperatur des idealen Gases bei konstantem Druck um  T1 = 75 K zu erhöhen, benötigt man eine Wärmeenergie von Q 1 = 798 J . Für diese Wärmeenergie gilt die Beziehung Q 1 = n · Cmol,P ·  T1 .

(4.20)

Wenn man dagegen dieses Gas bei konstantem Volumen um  T2 = 150 K abkühlt, wird die Wärmeenergie Q 2 = 1200 J abgegeben, d. h., es gilt analog: Q 2 = n · Cmol,V ·  T2 Für das Verhältnis dieser Wärmeenergien erhalten wir:

(4.21)

4.1

Übungsserie: Thermodynamik

121

Q1 n · Cmol,P ·  T1 Cmol,P ·  T1 = = Q2 n · Cmol,V ·  T2 Cmol,V ·  T2

(4.22)

Damit folgt für den Adiabatenexponenten des Gases: κ=

Cmol,P  T2 Q 1 150 K 798 J = · = · = 1,33 Cmol,V  T1 Q 2 75 K 1200 J

(4.23)

f +2 = 1,33 f

(4.24)

(b) Mit κ=

erhalten wir schließlich für die Zahl der Freiheitsgrade der Gasteilchen: f =

2 2 = =6 κ −1 1,33 − 1

(4.25) 

Aufgabe 111 Isobare Expansion von Kohlendioxidgas Bei konstantem Druck wird 1 kmol Kohlendioxidgas um 100 K erwärmt. Die Zahl der Freiheitsgrade der C O2 -Moleküle beträgt f = 6. Berechnen Sie die Arbeit, die das Gas bei seiner Expansion verrichtet. Lösung Nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik gilt: U = Q + W

(4.26)

Die Änderung der inneren Energie ist gegeben durch:

U =

6 f · n · R · T = · 1 kmol · 8,31 J /K mol · 100 K = 2 493 J 2 2

(4.27)

Ferner erhalten wir für die dem Gas bei konstantem Druck zugeführte Wärmeenergie Q = n · Cmol,P ·  T = n ·

f +2 · R · T 2

6+2 = 1 kmol · · 8,31 J /K mol · 100 K = 3 324 J . 2

(4.28)

Damit folgt nach (4.26) für die vom Gas bei seiner Expansion gegen die Umgebung verrichtete Arbeit:

122

4 Thermodynamik

W =  U − Q = 2 493 J − 3 324 J = − 831 J

(4.29) 

Aufgabe 112 Adiabatische Expansion von Stickstoffgas Eine Stoffmenge von n = 1 kmol Stickstoff besitze im Anfangszustand 1 das Volumen V1 und die Temperatur T1 = 283,15 K . Es dehnt sich dann adiabatisch auf das vierfache Volumen aus. (a) Berechnen Sie die Änderung der inneren Energie des Stickstoffgases bei seiner Expansion. (b) Welche Arbeit verrichtet das Gas bei seiner Expansion? Lösung (a) Die Änderung der inneren Energie ist gegeben durch: f · n · R · T (4.30) 2 Die Zahl der Freiheitsgrade der Stickstoffmoleküle N2 beträgt f = 5, da es sich um ein zweiatomiges Gas handelt. Da die Expansion adiabatisch erfolgt, gilt für den Druck und die Temperatur des Gases im Anfangszustand 1 und im Endzustand 2 aufgrund der Adiabatengleichung die Beziehung U =

P1 · V1 κ = P2 · V2 κ = konstant.

(4.31)

(P1 · V1 ) · V1 κ − 1 = (P2 · V2 ) · V2 κ−1

(4.32)

Hieraus folgt:

Nach dem idealen Gasgesetz gilt P1 · V1 = n · R · T1 P2 · V2 = n · R · T2 ,

(4.33)

womit wir aus (4.32) n · R · T1 · V1 κ − 1 = n · R · T2 · V2 κ−1

(4.34)

erhalten. Hieraus folgt für die Temperatur T2 des Endzustandes:  T2 =

V1 V2

κ−1

· T1

(4.35)

4.1

Übungsserie: Thermodynamik

123

Für den Adiabatenexponenten gilt κ = wir schließlich:  T2 =

V1 4 · V1

2

5

f +2 f

=

5+2 5

= 1,4, und mit V2 = 4· V1 erhalten

1 · T1 = √ · 283,15 K = 162,63 K 5 16

(4.36)

Die Änderung der inneren Energie ist dann nach (4.30) gegeben durch:

U =

5 · 1 kmol · 8,31k J /kmol K · (162,63 − 283,15) K = −2 504 k J 2

(4.37)

(b) Nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik gilt: U = Q + W

(4.38)

Da bei der adiabatischen Expansion des Stickstoffgases kein Austausch von Wärmeenergie mit der Umgebung stattfindet, d. h. Q = 0 J gilt, folgt für die vom Gas bei der Expansion gegen die Umgebung verrichtete Arbeit: W =  U = − 2 504 k J

(4.39) 

Aufgabe 113 Entropieänderung Berechnen Sie die Entropieänderung von 10 g Sauerstoff bei einer reversiblen Expansion vom Anfangszustand 1 mit dem Volumen V1 = 2 ·10−2 m 3 und der Temperatur T1 = 250 K in den Endzustand 2 mit dem Volumen V2 = 4 · 10−2 m 3 und der Temperatur T2 = 500 K . Lösung Die Entropieänderung bei der Expansion des Sauerstoffgases ist gegeben durch: 

2 d S :=

S = S(2) − S(1) = 

1

1 d Q r ev T

(4.40)

Zur Berechnung des Integrals (4.40) führen wir eine Variablensubstitution wie folgt durch: Nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik gilt für die Änderung der inneren Energie U = Q r ev + Wr ev , worin Q r ev die bei der reversiblen Zustandsänderung zugeführte Wärmeenergie und Wr ev die hierbei vom Gas verrichtete Arbeit bezeichnen. Für das totale Differential erhalten wir:

124

4 Thermodynamik

dU =

∂U ∂U d Q r ev + dWr ev = d Q r ev + dWr ev ∂ Q r ev ∂ Wr ev

(4.41)

Hieraus folgt: d Q r ev = dU − dWr ev

(4.42)

Da wir eine reversible Zustandsänderung betrachten, ist der Gasdruck gleich dem äußeren Druck P = Pa , der konstant ist. Die gegen den äußeren Druck verrichtete Arbeit ist gegeben durch Wr ev = − Pa · V . Nach dem idealen Gasgesetz gilt für den Gasdruck P · V = n R T , womit wir Pa = P = n RV T erhalten. Damit folgt für das totale Differential: dWr ev nRT d V = − Pa d V = − dV (4.43) dV V Ferner gilt für die innere Energie als Funktion der thermodynamischen Temperatur dWr ev =

f · n · R · T, 2 womit das totale Differential gegeben ist durch: U=

(4.44)

f dU dT = n R dT dT 2 Damit folgt für die Entropieänderung des Sauerstoffgases nach (4.40): dU =

2 S = 1

1 d Q r ev = T

f = nR· 2

T2

2 1

1 dU − T

1 dT + n R T

T1

V2 V1

2 1

(4.45)

1 dWr ev T

1 f d V = n R · ln V 2



T2 T1



 + n R · ln

V2 V1



(4.46)

Mit der Molmasse M = 2·15,999 g/mol = 32 g/mol folgt für die Stoffmenge von m = 10 g Sauerstoffgas: n=

m 10 g = = 0,31 mol M 32 g/mol

(4.47)

Die Zahl der Freiheitsgrade der O2 -Moleküle beträgt f = 5. Damit erhalten wir schließlich für die Entropieänderung des Sauerstoffgases bei der Expansion:

4.1

Übungsserie: Thermodynamik

125

  J 500 K 5 · ln S = · 0,31 mol · 8,31 2 mol K 250 K   −2 3 J 4 · 10 m . . . + 0,31 mol · 8,31 = 6,25 J /K · ln mol K 2 · 10−2 m 3

(4.48) 

Aufgabe 114 Wärmekraftmaschine Eine nach dem Carnot’schen Kreisprozess arbeitende ideale Wärmekraftmaschine verrichtet bei einem Zyklus eine Arbeit von W = −8 · 104 J . Das erste Wärmereservoir besitzt eine Temperatur von T1 = 150 ◦ C und das zweite Reservoir eine Temperatur von T2 = 0 ◦ C. (a) Berechnen Sie den Wirkungsgrad der Maschine. (b) Welche Wärmeenergie Q 1 nimmt die Maschine pro Zyklus vom Wärmereservoir 1 auf, und welche Wärmeenergie Q 2 gibt die Maschine pro Zyklus an das Reservoir 2 ab? Lösung (a) Der Wirkungsgrad der Wärmekraftmaschine ist gegeben durch: η=

T1 − T2 150 K = = 0,354 = 35,4 % T1 423,15 K

(4.49)

(b) Bezeichnet W die von der Maschine verrichtete Arbeit, so gilt für den Wirkungsgrad: η=

|W | Q1

(4.50)

Für die aus dem Reservoir 1 aufgenommene Wärmeenergie erhalten wir: Q1 =

|W | 8 · 104 J = = 226 k J η 0,354

(4.51)

Weiter folgt aus η=

Q1 − Q2 Q1

(4.52)

für die an das Reservoir 2 abgegebene Wärmeenergie: Q 2 = Q 1 − η · Q 1 = Q 1 · (1 − η) = 146 k J

(4.53) 

5

Schwingungen

5.1

Übungsserie: Schwingungen

A) Verständnisteil Begriffe: Periodischer Vorgang, ungedämpfte harmonische Schwingung, Amplitude, Phase, Schwingungsgröße, nichtharmonische Schwingung, gedämpfte Schwingung, Schwingfall, aperiodischer Grenzfall, Kriechfall, Halbwertszeit, Abklingzeit, erzwungene Schwingung, Resonanz, Einschwing- und Abklingvorgang, Überlagerung von Schwingungen, Schwebung, Theorem von Fourier, Spektrum, gekoppelte Schwingung, Fundamentalschwingung, Fundamentalfrequenz

Aufgabe 115 Schwingungen Welche der folgenden Aussagen über Schwingungen ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Eine Schwingung ist ein periodischer Vorgang, der sich in festen zeitlichen Abständen wiederholt und mit dem eine periodische Umwandlung zweier Energieformen verbunden ist. (b) Eine Schwebung entsteht bei der Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher Schwingungsrichtung und Frequenz, die sich jedoch geringfügig in der Amplitude unterscheiden. (c) Wirkt eine äußere harmonische Kraft über eine mehr oder weniger starke Verbindung auf einen gedämpften Oszillator ein, so führt der Oszillator eine erzwungene Schwingung durch, d. h., eine harmonische Schwingung mit der Eigenfrequenz ωe des Oszillators. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 G. Rufa, Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61262-0_5

127

128

5 Schwingungen

(d) Der Inhalt des Theorems von Fourier ist, dass man jede periodische Bewegung als eine Überlagerung von i. Allg. unendlich vielen harmonischen Schwingungen darstellen kann, die wir Grundschwingung und Oberschwingungen nennen. Lösung (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn eine Schwebung entsteht bei einer Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen mit gleicher Schwingungsrichtung und Amplitude, die sich jedoch geringfügig in der Frequenz unterscheiden. (c) ist falsch, denn die erzwungene Schwingung, die der Oszillator aufgrund der Einwirkung der äußeren harmonischen Kraft durchführt, ist eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz ω der äußeren Kraft. (d) ist richtig.  Aufgabe 116 Schwingungsformen In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist die Schwingungsgröße einer gedämpften harmonischen Schwingung qualitativ korrekt dargestellt?

Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung In Abb. (a) ändert sich die Schwingungsgröße nicht sinusförmig mit der Zeit, weshalb es sich um eine nichtharmonische Schwingung handelt. In Abb. (b) liegt eine sich sinusförmig ändernde Schwingungsgröße vor, wobei die Amplitude mit der Zeit exponentiell abnimmt, weshalb diese Abbildung eine gedämpfte harmonische Schwingung darstellt. In Abb. (c) ist die Schwingungsgröße zwar ebenfalls sinusförmig, doch nimmt die Amplitude mit der Zeit zu, weshalb es sich um einen Einschwingvorgang handelt.  Aufgabe 117 Spektrum einer ungedämpften harmonischen Schwingung In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist das Spektrum einer ungedämpften harmonischen Schwingung qualitativ korrekt dargestellt?

5.1

Übungsserie: Schwingungen

129

Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung In Abb. (a) ist die Amplitude als Funktion der Zeit aufgetragen, weshalb es sich nicht um ein Spektrum handeln kann. Trägt man die Amplituden An der harmonischen Teilschwingungen der Fourier-Reihe einer periodischen Bewegung gegen die Frequenz ν auf, so erhält man das Spektrum der periodischen Bewegung. Eine ungedämpfte harmonische Schwingung ist eine periodische Bewegung, wobei ihre Fourier-Reihe nur aus einer Teilschwingung x(t) = A · sin(ω1 · t + ϕ), der Grundschwingung, besteht mit der Amplitude A und der Frequenz ν1 = 2ωπ1 = T1 , sodass das Spektrum aus einer einzigen Linie an der Stelle ν1 besteht. Somit ist Abb. (b) richtig. In Abb. (c) ist das Spektrum einer nichtharmonischen periodischen Bewegung dargestellt, das aus einer Anzahl diskreter Linien an den Stellen ν1 , ν2 = 2 ν1 , ν3 = 3 ν1 , . . . besteht, weshalb es sich nicht um das Spektrum einer ungedämpften harmonischen Schwingung handelt.  B) Übungsteil Aufgabe 118 Oszillogramm einer ungedämpften harmonischen Schwingung Die Amplitude einer ungedämpften harmonischen Schwingung beträgt 4 cm, die Schwingungsdauer 4 s und der Phasenwinkel π/4. (a) Geben Sie die Schwingungsgröße x(t) als Funktion der Zeit t an und zeichnen Sie das Oszillogramm dieser Schwingung. (b) Welche Anfangsbedingungen erfüllt diese Schwingung, d. h., welche Werte besitzen die Schwingungsgröße x(t) und die Geschwindigkeit v(t) des Massenpunktes zur Anfangszeit t = 0 s? Lösung (a) Die Schwingungsgröße einer ungedämpften harmonischen Schwingung ist gegeben durch x(t) = x0 · sin(ω0 · t + ϕ),

(5.1)

130

5 Schwingungen

Abb. 5.1 Oszillogramm der ungedämpften harmonischen Schwingung

worin x0 = 4 cm die Amplitude und ϕ = π/4 den Phasenwinkel bezeichnen. Mit der 2π π −1 Schwingungsdauer T = 4 s folgt für die Kreisfrequenz ω0 = 2π T = 4s = 2 s . Damit erhalten wir explizit: π π ·t + ) (5.2) 2s 4 Sei t0 eine Nullstelle, für die also sin( 2πs · t0 + π4 ) = 0 gilt. Aus sin 0 = 0 folgt π π 2 s · t0 + 4 = 0, d. h., eine Nullstelle liegt an der Stelle (siehe Abb. 5.1) x(t) = 4 cm · sin(

π ·2 1 s=− s 4·π 2 und alle anderen jeweils im Abstand T /2 = 2 s. (b) Für die Anfangsbedingungen gelten: t0 = −

x(0) = x0 · sin ϕ = 4 cm · sin v(0) = x0 · ω0 · cos ϕ = 4 cm ·

π 4

(5.3)

= 4 cm · 0,707 = 2,8 cm

π 2s

(5.4) · 0,707 = 4,4 cm/s 

Aufgabe 119 Gedämpfte harmonische Schwingung Die Amplitude der Schwingung eines gedämpften mathematischen Pendels mit einer Länge von 1 m reduziert sich in 30 s auf die Hälfte. Um wie viel reduziert sich die Amplitude während der ersten Schwingung? Lösung Die Amplitude einer gedämpften harmonischen Schwingung ist gegeben durch: x0 (t) = x0 · e−δ t

(5.5)

5.1

Übungsserie: Schwingungen

131

Zur Zeit t1 = 30 s hat sich die Amplitude auf die Hälfte verringert, d. h., es gilt: x0 (t1 ) =

x0 = x0 · e−δ t1 2

(5.6)

Hieraus folgt 1 = e−δ t1 | ln 2 1 − ln 2 = ln( ) = ln(e−δ t1 ) = −δ t1 , 2 womit wir für die Dämpfungskonstante δ=

ln 2 = 0, 0231 s −1 t1

(5.7)

(5.8)

erhalten. Die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels ist gegeben durch:  T = 2π ·

 l = 2π · g

1m = 2s 9,81 m/s 2

(5.9)

Für das Verhältnis der Amplituden zur Zeit t = T und t = 0 s erhalten wir x(T ) x0 · e−δ T = e−0,0231·2 = 0,955, = x(0) x0

(5.10)

d. h., die Amplitude nimmt während der ersten Schwingung auf das 0,955-fache der Anfangsamplitude ab.  Aufgabe 120 Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen Gegeben sind zwei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz und gleicher Schwingungsrichtung, die sich jedoch in der Amplitude und im Phasenwinkel unterscheiden. Ihre Schwingungsgrößen sind gegeben durch x1 (t) = A1 · sin (ω t + ϕ1 ) (5.11) x2 (t) = A2 · sin (ω t + ϕ2 ) mit den Amplituden A1 = 4 cm und A2 = 3 cm sowie den Phasenwinkeln ϕ1 = π4 und ϕ2 = 34π . Berechnen Sie die Amplitude und den Phasenwinkel der durch Überlagerung dieser Schwingungen entstehenden harmonischen Schwingung. Lösung Das Ergebnis der Überlagerung beider Schwingungen, d. h. die Summe beider Schwingungsgrößen, ist wieder eine harmonische Schwingung mit derselben Frequenz, deren Amplitude

132

5 Schwingungen

und Phase jedoch von den Amplituden und Phasen beider Einzelschwingungen abhängen. Es gilt: (5.12) x(t) = x1 (t) + x2 (t) = A · sin(ω t + ϕ) Für die Amplitude erhalten wir mit cos(ϕ2 − ϕ1 ) = cos( 34π − π4 ) = cos  A = A1 2 + A2 2 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) =



π 2

= 0:

(5.13) (4 cm)2

+

(3 cm)2

+ 2 · 4 cm · 3 cm · 0 = 5 cm

Der Phasenwinkel ist schließlich gegeben durch:  ϕ = ar ctan

A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2



 = ar ctan

4 cm sin π4 + 3 cm sin 34π



4 cm cos π4 + 3 cm cos 34π

(5.14)

 √  √ 4 2/2 + 3 2/2 = ar ctan = ar ctan 7 = 1,43 √ √ 4 2/2 − 3 2/2

 Aufgabe 121 Schwebung Gegeben sind zwei durch eine weiche Feder gekoppelte Fadenpendel mit jeweils einer Masse von m = 0,2 kg und einer Pendellänge von l = 0,5 m. Die Federkonstante beträgt D = 0,4 N /m. Berechnen Sie die Frequenzen der beiden Fundamentalschwingungen sowie die Schwebungsfrequenz. Lösung Die erste Fundamentalfrequenz ν1 entspricht der Eigenfrequenz ν0 = 21π · Fadenpendel. Somit gilt:  g 9,81 m/s 2 ω1 1 1 = · = · = 0,70 s −1 ν1 = 2π 2π l 2π 0,5 m Mit ω0 2 =

g l



g l

der beiden

(5.15)

erhalten wir für die zweite Fundamentalfrequenz: g ω2 D 1 1 D 2 = · ω0 + 2 · = · +2· ν2 = 2π 2π m 2π l m  9,81 m/s 2 1 0,4 N /m = · +2· = 0,77 s −1 2π 0,5 m 0,2 kg

(5.16)

Insgesamt erhalten wir damit für die Schwebungsfrequenz: νs = ν2 − ν1 = 0, 07 s −1

(5.17) 

6

Wellen

6.1

Übungsserie: Wellen

A) Verständnisteil Begriffe: Welle, Wellenlänge, Phasengeschwindigkeit, Dispersion, Wellenfront, Strahlen, ebene (harmonische) Welle, Kugelwelle, transversale und longitudinale Wellen, Wellenzahl, Gangunterschied, Energiedichte und Intensität einer Welle

Aufgabe 122 Wellen Welche der folgenden Aussagen über Wellen ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Unter einer Welle verstehen wir einen periodischen Vorgang, bei dem sich eine physikalische Größe u( x , t) als Funktion des Ortes und der Zeit periodisch ändert. (b) Da elektromagnetische Wellen sich ausschließlich in einer Ebene ausbreiten, handelt es sich um zweidimensionale Wellen. (c) Zwischen der Phasengeschwindigkeit c, der Frequenz ν und der Wellenlänge λ gilt der Zusammenhang ν = c · λ. (d) An einem beliebigen festen Ort x0 , durch den eine Welle läuft, schwingt die Größe u( x0 , t) mit der gleichen Frequenz ν = T1 , mit der auch der erregende Oszillator schwingt.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 G. Rufa, Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61262-0_6

133

134

6 Wellen

Lösung (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn elektromagnetische Wellen können sich auch unabhängig von einem Medium im Raum (Vakuum) ausbreiten, weshalb sie dreidimensionale Wellen sind. (c) ist falsch, denn zwischen der Phasengeschwindigkeit, der Frequenz und der Wellenlänge einer Welle gilt der Zusammenhang c = ν · λ. (d) ist richtig.  Aufgabe 123 Polarisation Welche der folgenden Aussagen zur Polarisation von Wellen ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Longitudinale Wellen sind polarisierbar. (b) Ist die Schwingungsrichtung einer transversalen Welle zeitlich konstant, so heißt die Welle linear polarisiert. (c) Seilwellen, Wasserwellen und elektromagnetische Wellen sind transversal. (d) Ist die Schwingungsrichtung einer Welle stets senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, so sprechen wir von einer longitudinalen Welle. Lösung (a) ist falsch, denn longitudinale Wellen sind im Gegensatz zu transversalen Wellen nicht polarisierbar. (b) ist richtig. (c) ist richtig. (d) ist falsch, denn ist die Schwingungsrichtung stets senkrecht zur Ausbreitungsrichtung einer Welle, so heißt die Welle transversal. Zeigt dagegen die Schwingungsrichtung stets in Ausbreitungsrichtung, so heißt die Welle longitudinal.  Aufgabe 124 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit Welche der folgenden Aussagen über Phasen- und Gruppengeschwindigkeit ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Hängt die Phasengeschwindigkeit einer Welle von der Frequenz ab, so liegt Dispersion vor. (b) Die Phasengeschwindigkeit von Licht in Glas ist frequenzunabhängig. (c) Die Gruppengeschwindigkeit einer Wellengruppe ist stets größer als die Phasengeschwindigkeit. (d) Liegt keine Dispersion vor, so sind Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit einer Wellengruppe gleich.

6.1

Übungsserie: Wellen

135

Lösung (a) ist richtig. (b) ist falsch, die Phasengeschwindigkeit von Licht in Glas ist frequenzabhängig und nimmt i. Allg. mit wachsender Frequenz von Rot nach Blau ab. (c) ist falsch, denn allgemein gilt für den Zusammenhang zwischen der Gruppengeschwinc(k) . digkeit cgr und der Phasengeschwindigkeit c einer Wellengruppe cgr = c + k · d dk d c(k) Da die Ableitung dk positiv, null oder negativ sein kann, kann auch die Gruppengeschwindigkeit größer, gleich oder kleiner als die Phasengeschwindigkeit sein. (d) ist richtig.  Aufgabe 125 Harmonische Wellen Welche der folgenden Aussagen über harmonische Wellen ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Zwei harmonische Wellen mit gleicher Frequenz und Wellenlänge, die sich im Phasenwinkel unterscheiden und die eine Phasendifferenz von ϕ = ϕ2 − ϕ1 besitzen, haben λ · ϕ. einen Gangunterschied von x = 2π (b) Durch den Ausdruck u(x, t) = u 0 · sin(ω · t + k · x + ϕ)

(6.1)

wird eine in positiver x-Richtung laufende harmonische Welle beschrieben. (c) Für eine harmonische Welle sind sowohl die Schwingungen der Größe u(x, t) an einem festen Ort als auch das räumliche Wellenprofil zu einer festen Zeit sinusförmig. (d) Die Intensität einer ungedämpften harmonischen Welle nimmt als Funktion des Abstandes r vom Oszillator mit 1/r ab. Lösung (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn durch den Ausdruck wird eine in negativer x-Richtung laufende harmonische Welle beschrieben. Eine in positiver x-Richtung laufende Welle beschreiben wir dagegen durch: u(x, t) = u 0 · sin(ω · t − k · x + ϕ)

(6.2)

(c) ist richtig. (d) ist falsch, denn bei einer ungedämpften harmonischen Welle ist die Intensität als Funktion des Abstandes r vom Oszillator konstant. 

136

6 Wellen

B) Übungsteil Aufgabe 126 Phasengeschwindigkeit Eine harmonische Welle werde beschrieben durch: u(x, t) = 5 cm · sin(6,284 s −1 · t − 1,255 cm −1 · x + π )

(6.3)

(a) Berechnen Sie die Phasengeschwindigkeit der harmonischen Welle. (b) In welche Richtung läuft die Welle? Lösung (a) Die Phasengeschwindigkeit einer harmonischen Welle ist gegeben durch: ω (6.4) k Vegleichen wir (6.3) mit der allgemeinen Form (6.2), so erhalten wir für die Kreisfrequenz ω = 6,284 s −1 und die Wellenzahl k = 1,255 cm −1 . Damit folgt: c=

c=

6,284 cm = 5 cm/s 1,255 s

(6.5)

(b) Da schließlich der x-Term negativ ist, wird durch (6.3) eine in positiver x-Richtung laufende harmonische Welle beschrieben.  Aufgabe 127 Wellenlänge Ein Delphin stößt unter Wasser einen Ton mit einer Frequenz von 986 H z aus. Welche Wellenlänge besitzt dieser Ton in Wasser, wenn die Schallgeschwindigkeit in Wasser 1 480 m/s beträgt? Lösung Mit der Frequenz ν = 986 H z und mit der Schallgeschwindigkeit c = 1 480 m/s in Wasser erhalten wir für die Wellenlänge des Tones: λ=

1 480 m/s c = 1,5 m = ν 986 s −1

(6.6) 

Aufgabe 128 Phasendifferenz Für eine in positiver x-Richung laufende harmonische Welle sind die Phasengeschwindigkeit 400 m/s und die Schwingungsdauer 0,03 s gegeben. Welchen Phasenunterschied haben die harmonischen Schwingungen der Größe u(x, t) an zwei Raumpunkten, deren Abstand vom punktförmigen Oszillator x1 = 12 m bzw. x2 = 18 m beträgt?

6.1

Übungsserie: Wellen

137

Lösung Die harmonische Welle beschreiben wir durch: u(x, t) = u 0 · sin(ω · t − k · x + ϕ) = u 0 · sin(

2π 2π ·t − · x + ϕ) T λ

(6.7)

Für die Wellenlänge gilt: c = c · T, (6.8) ν worin T = 0,03 s die Schwingungsdauer und c = 400 m/s die Phasengeschwindigkeit der harmonischen Welle bezeichnen. An den Raumpunkten x1 = 12 m und x2 = 18 m führt die Größe u(x, t) Schwingungen durch, die wir wie folgt beschreiben können (siehe Abb. 6.1): λ=

u(x1 , t) = u 0 · sin(ω · t − k · x1 + ϕ) = u 0 · sin(ω · t + α1 ), u(x2 , t) = u 0 · sin(ω · t − k · x2 + ϕ) = u 0 · sin(ω · t + α2 ),

(6.9)

worin α1 = −k · x1 + ϕ α2 = −k · x2 + ϕ

(6.10)

die Phasenwinkel der beiden Schwingungen bezeichnen. Die Phasendifferenz zwischen den Schwingungen an den Orten x1 und x2 ist gegeben durch: α = α1 − α2 = (−k x1 + ϕ) − (−k x2 + ϕ) = k · (x2 − x1 ) =

Abb. 6.1 Phasendifferenz

2π · (x2 − x1 ) λ

(6.11)

138

6 Wellen

Mit (6.8) erhalten wir schließlich: α =

2 π · (18 m − 12 m) 2π 2π ·6 · (x2 − x1 ) = = =π c·T 400 m/s · 0,03 s 12

Die Größe u(x, t) schwingt also an den betrachteten Punkten gegenphasig.

(6.12) 

Aufgabe 129 Harmonische Wasserwelle Eine harmonische Wasserwelle werde beschrieben durch π ), (6.13) 2 wobei die Frequenz der Welle ν = 1/4 H z, die Wellenlänge λ = 4 cm und die Amplitude u 0 = 4 cm betragen. Welche Auslenkung besitzt die Wasserwelle am Ort x  = 8 cm zur Zeit t  = 12 s? u(x, t) = u 0 · sin(ω · t − k · x +

Lösung Die Auslenkung der Wasseroberfläche aus der Ruhelage am Ort x  = 8 cm zur Zeit t  = 12 s ist mit sin(2π + x) = sin(x) gegeben durch: 2π π · x + ) λ 2 2π π 2π · 12 s − · 8 cm + ) = 4 cm · sin( 4s 4 cm 2 π π = 4 cm · sin(6 π − 4 π + ) = 4 cm · sin( ) = 4 cm 2 2

u(x  , t  ) = u 0 · sin(2 π ν · t  −

(6.14)

 Aufgabe 130 Schallgeschwindigkeit in Stahl Die Phasengeschwindigkeit von longitudinalen Schallwellen in einem Festkörper wird beschrieben durch die Gleichung  c=

E , ρ

(6.15)

worin E den Elastizitätsmodul und ρ die Dichte des Mediums bezeichnen. Berechnen Sie die Schallgeschwindigkeit in Stahl, wenn der Elastizitätsmodul E = 21,6 · 1010 N /m 2 und die Dichte von Stahl ρ = 7 700 kg/m 3 betragen.

6.1

Übungsserie: Wellen

139

Lösung Für die Phasengeschwindigkeit von Schallwellen in Stahl erhalten wir:  c=

21,6 · 1010 N /m 2 = 5,3 · 103 m/s 7 700 kg/m 3

(6.16) 

Aufgabe 131 Schallstärke eines Lautsprechers Ein Lautsprecher erzeugt eine konstante akustische Leistung von 10 W . In welcher Entfernung ist die Schallintensität, die man auch Schallstärke nennt, auf 0,1 W /m 2 abgefallen, wenn man annimmt, dass die gesamte Leistung isotrop, d. h. richtungsunabhängig, in eine Halbkugel abgestrahlt wird? Lösung Die vom Lautsprecher abgestrahlte Leistung wird isotrop in eine Halbkugel abgestrahlt (siehe Abb. 6.2). Die Oberfläche der Halbkugel vom Radius r ist gegeben durch A = 2 π r 2 . Für die Intensität der Schallwelle folgt dann I =

P P E = = A·t A 2 π r2

(6.17)

worin

E = 10 W (6.18) t die konstante abgestrahlte Leistung in die Halbkugel bezeichnet. Für den gesuchten Radius erhalten wir dann: P=

 r1 =

Abb. 6.2 Schallstärke

 P = 2π I

10 W = 4m 2 π · 0,1 W /m 2

(6.19) 

140

6.2

6 Wellen

Übungsserie: Interferenz von Wellen

A) Verständnisteil Begriffe: Interferenz, Wellengruppe/Wellenpaket, Gruppengeschwindigkeit, stehende Wellen, Wellenknoten, Wellenbäuche, stehende Seilwellen, Grundschwingung, Oberschwingungen, stationäres Interferenzmuster, Monochromasie, Kohärenz von Wellen, inkohärente Wellen, Huygens-Fresnel’sches Prinzip, Elementarwelle, Streuwelle, Reflexion, Brechung, Beugung, Beugung am Spalt/Gitter, Intensitätsmaxima und Intensitätsminima, (optisches und spektrales) Auflösungsvermögen, Röntgenbeugung an Kristallen, Bragg-Bedingung, Absorption, Streuung, Extinktion, Extinktionskoeffizient, Absorptionskoeffizient, Lambert-Beer’sches Gesetz, Doppler-Effekt

Aufgabe 132 Interferenz Welche der folgenden Aussagen zur Interferenz von Wellen ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Nur ebene Wellen mit gleicher Frequenz und Wellenlänge sowie einer festen Phasenbeziehung können interferieren. (b) Stationäre Interferenzmuster ergeben sich nur bei der Überlagerung von monochromatischen Wellen, zwischen denen eine konstante Phasendifferenz besteht. (c) Zwei harmonische Lichtwellen mit gleicher Frequenz, Wellenlänge und Amplitude, die sich in die gleiche Richtung ausbreiten und die eine Phasendifferenz von ϕ = π besitzen, löschen sich bei ihrer Interferenz aus. (d) Da für eine stehende Welle die Phasengeschwindigkeit 0 m/s ist, verschwindet auch die Frequenz der stehenden Welle. Lösung (a) ist falsch, denn unter Interferenz verstehen wir allgemein die ungestörte Überlagerung gleichartiger Wellen. So können z. B. auch Kugelwellen interferieren. Auch müssen für die Überlagerung Frequenz und Wellenlänge der interferierenden Wellen nicht gleich sein oder eine feste Phasendifferenz zwischen ihnen bestehen. (b) ist richtig. (c) ist richtig, denn der Gangunterschied beider Wellen beträgt x = 2λπ · ϕ = 2λπ · π = λ 2 , sodass sie sich bei ihrer Überlagerung schwächen. Da außerdem die Amplituden gleich sind, löschen sie sich aus.

6.2

Übungsserie: Interferenz von Wellen

141

(d) ist falsch, zwar ist die Phasengeschwindigkeit für eine stehende Welle 0 m/s, weil sich ein Schwingungszustand nicht ausbreitet, doch entspricht die Frequenz ν der stehenden Welle der Frequenz der beiden interferierenden Wellen und verschwindet damit nicht! Die Beziehung c = ν · λ gilt nicht für stehende Wellen!  Aufgabe 133 Beugung Welche der folgenden Aussagen zur Beugung von Wellen ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Wir sprechen von der Beugung einer Welle, wenn in einem unveränderlichen Medium eine Abweichung von der geradlinigen Ausbreitungsrichtung auftritt. (b) Beugung ist ein Interferenzphänomen. (c) Beugungseffekte spielen immer dann eine Rolle, wenn Wellen durch Blenden begrenzt werden oder auf Hindernisse treffen, deren Ausdehnung d sehr viel größer ist als die Wellenlänge λ der Wellen. (d) Beugungseffekte begrenzen das Auflösungsvermögen optischer Geräte. Lösung (a) ist richtig. (b) ist richtig, denn die Abweichung von der geradlinigen Ausbreitungsrichtung kommt zustande durch die Interferenz von i. Allg. unendlich vielen Elementarwellen. (c) ist falsch, denn Beugungseffekte treten immer dann auf, wenn Wellen durch Blenden begrenzt werden oder auf Hindernisse treffen, deren Ausdehnung d  λ ungefähr gleich der Wellenlänge der Welle ist. (d) ist richtig.  Aufgabe 134 Huygens-Fresnel’sches Prinzip Welche der folgenden Aussagen zum Huygens-Fresnel’schen Prinzip ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt einer Elementarwelle, deren Einhüllende die neue Wellenfront zu einem späteren Zeitpunkt ergibt. (b) Das Huygens-Fresnel’sche Prinzip kann nicht die Ausbreitung von Wellen beschreiben, wenn Hindernisse die Ausbreitung der Wellen stören. (c) Das Huygens-Fresnel’sche Prinzip besagt, dass nur transversale Wellen polarisiert werden können. (d) An jedem Punkt einer Wellenfront entstehen Elementarwellen, durch deren Interferenz eine neue Wellenfront entsteht.

142

6 Wellen

Lösung (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn der Wert des Huygens-Fresnel’schen Prinzips liegt gerade darin, dass es auch dann die Ausbreitung von Wellen beschreibt, wenn diese sich nicht ungestört ausbreiten können. (c) ist falsch, denn das Huygens-Fresnel’sche Prinzip macht keine Aussage über die Polarisierbarkeit von Wellen. (d) ist richtig.  Aufgabe 135 Brechung von Wellen Eine Welle, die im Medium 1 die Phasengeschwindigkeit c1 besitzt, trifft auf ein Medium 2, in dem ihre Phasengeschwindigkeit c2 < c1 betrage. Was können Sie über die Wellenlänge λ2 , die Frequenz ν2 und die Schwingungsdauer T2 der Welle im Medium 2 im Vergleich zu den entsprechenden Größen im Medium 1 aussagen? Lösung Sowohl die Frequenz als auch die Schwingungsdauer der Größe u( x , t) an einem Raumpunkt P, den wir durch den Ortsvektor x beschreiben, sind durch die Frequenz ν und die Schwingungsdauer T des Oszillators vorgegeben. Da sich die Frequenz der Welle beim Übergang vom Medium 1 ins Medium 2 nicht ändert, gilt für die Frequenz ν2 = ν1 = ν

(6.20)

und damit für die Schwingungsdauer T2 =

1 1 = = T1 = T . ν2 ν1

(6.21)

Dann ändert sich aber die Wellenlänge der Welle beim Übergang vom Medium 1 ins Medium 2 wegen c2 < c1 gemäß: λ2 =

c2 c2 c1 c1 = = λ1 < = ν2 ν ν ν1

(6.22) 

Aufgabe 136 Absorptionsspektrum In der folgenden Abbildung ist das Absorpionsspektrum von Chlorophyll a dargestellt. Was können Sie anhand dieses Spektrums über die Farbe von Blättern aussagen?

6.2

Übungsserie: Interferenz von Wellen

143

Lösung Die Wellenlänge von grünem Licht liegt im Bereich λgr un ¨ ∼ 500 − 570 nm. Wie man am Absorptionsspektrum erkennt, ist der Absorptionskoeffizient für Chlorophyll im Bereich 520 − 600 nm sehr klein, sodass Licht dieser Wellenlänge praktisch nicht absorbiert wird und nahezu ungehindert durch Chlorophyll hindurchtritt, während Licht anderer Wellenlängen stark absorbiert wird. Deshalb erscheinen Blätter grün. Wie man an diesem Beispiel erkennt, sind Absorpionsspektren α(ν) spezifisch für chemische Substanzen. Warum allerdings Absorptionsspektren so sind, wie sie sind, ist in der Regel nicht bekannt. So ist das Absorptionsspektrum von Chlorophyll nur zum Teil verstanden.  Aufgabe 137 Überlagerung zweier harmonischer Wellen Was ergibt die Überlagerung zweier harmonischer Wellen mit gleicher Frequenz, Wellenlänge und Ausbreitungsrichtung, die sich in der Amplitude und im Phasenwinkel unterscheiden können und die wir im eindimensionalen Fall durch u 1 (x, t) = A1 · sin(ω · t − k · x + ϕ1 ) u 2 (x, t) = A2 · sin(ω · t − k · x + ϕ2 )

(6.23)

beschreiben? Lösung Das Ergebnis der Überlagerung ist wieder eine harmonische Welle mit derselben Frequenz ν und Wellenlänge λ, die mit der gleichen Phasengeschwindigkeit in die gleiche Richtung

144

6 Wellen

läuft wie die beiden interferierenden Wellen. Die Amplitude und der Phasenwinkel hängen jedoch von den Amplituden und Phasenwinkeln beider Teilwellen ab. Ist die Phasendifferenz beider Wellen ϕ = n · 2π, n = 0, 1, 2, . . ., so beträgt der Gangunterschied x = n · λ, und die Amplituden beider Wellen addieren sich. Ist dagegen die Phasendifferenz ϕ = (n + 1/2) · 2π, n = 0, 1, 2, . . ., so beträgt der Gangunterschied x = (n + 1/2) · λ, und die Amplituden subtrahieren sich. Wellen können sich bei ihrer Überlagerung also auch schwächen! Sind zusätzlich beide Amplituden gleich, so erfolgt eine völlige Auslöschung beider Wellen.  B) Übungsteil Aufgabe 138 Schallausbreitung Ein unter Wasser schwimmender Delphin stößt einen Ultraschallton aus und empfängt nach 8,11 ms ein von einem Hindernis reflektiertes Signal. Wie weit ist dieses Hindernis entfernt? Die Schallgeschwindigkeit in Wasser beträgt 1 480 m/s. Weiter ist die Bewegung des Delphins im Vergleich zur Schallgeschwindigkeit langsam, sodass er in guter Näherung als ruhend angenommen werden kann. Lösung Die von der Ultraschallwelle zurückgelegte Strecke ist gegeben durch s = 2 · d,

(6.24)

worin d den Abstand des Hindernisses vom Delphin bezeichnet. Für die von der Schallwelle in der Zeit t zurückgelegte Strecke gilt andererseits mit der Schallgeschwindigkeit c = 1 480 m/s: s =c·t

(6.25)

Aus (6.24) und (6.25) folgt dann für den Abstand des Hindernisses: d=

1 1 c · t = · 1 480 m/s · 8,11 · 10−3 s = 6 m 2 2

(6.26) 

Aufgabe 139 Stehende Schallwelle Eine Röhre ist zum Teil mit Wasser gefüllt, wobei L die Länge der Luftsäule im Rohr bezeichnet.

6.2

Übungsserie: Interferenz von Wellen

145

(a) Welche Länge L muss die Luftsäule haben, damit eine Stimmgabel, die Schwingungen des Kammertons a mit der Frequenz ν = 440 H z erzeugt, die Grundschwingung anregt? (b) Berechnen Sie die Frequenz der zweiten Oberschwingung bei dieser Länge. Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt c = 344 m/s. Ferner ist die Beziehung zwischen der Länge L der Luftsäule und den Wellenlängen der sich ausbildenden stehenden Wellen die gleiche wie für Seilwellen mit einem festen und einem losen Ende. Lösung (a) Da ein festes und ein offenes Ende vorliegt, gilt die Beziehung 1 λ L = (n − ) · . (6.27) 2 2 Für die Grundschwingung mit n = 1 erhalten wir für die Länge der Luftsäule mit λ = νc : 1 λ 1 c 344 m/s = 19,5 cm · = · = 2 2 4 ν 4 · 440 s −1 (b) Für die zweite Oberschwingung ist n = 3. Aus (6.27) folgt L=

(6.28)

1 λ2 5 L = (3 − ) · (6.29) = · λ2 , 2 2 4 womit wir für die Wellenlänge des Kammertones bei dieser Länge der Luftsäule 4 ·L (6.30) 5 erhalten. Damit folgt mit c = ν · λ für die Frequenz der zweiten Oberschwingung: λ2 =

146

6 Wellen

ν2 =

c 5 c 5 344 m/s = · = · = 2 205 H z λ2 4 L 4 19,5 · 10−2 m

(6.31) 

Aufgabe 140 Beugung am Gitter Ein ebenes Strichgitter mit 10 000 Spalten pro cm erzeugt das Spektrum einer Gasentladung. Welche Wellenlänge hat das Licht einer blauen Linie, die in der 2. Ordnung den Winkel 58◦ gegen die Richtung der 0. Ordnung besitzt? Lösung Die Gitterkonstante g entspricht dem Abstand zweier benachbarter Spalte. Da das Gitter pro cm 10 000 Spalte besitzt, erhalten wir für die Gitterkonstante: 1 cm = 10−6 m (6.32) 104 Für den Winkel βn , unter dem wir das Intensitätsmaximum n-ter Ordnung finden, gilt: g=

sin βn =

n·λ g

(6.33)

Mit dem Winkel β2 = 58◦ in n = 2-ter Ordnung erhalten wir für die Wellenlänge der blauen Linie: λ=

g · sin β2 10−6 m · sin 58◦ = = 424 nm 2 2

(6.34) 

Aufgabe 141 Röntgenbeugung an einem Kristall Bei der Beugung von Röntgenstrahlen der Wellenlänge 75 pm an einem Kristall tritt eine Reflexion 1. Ordnung bei einem Winkel von 12,9◦ auf. Berechnen Sie den Abstand der Netzebenen. Lösung Bei der Röntgenbeugung an Kristallen entsteht eine Streuwelle nur für solche Winkel θn , die der Bragg-Bedingung 2 · d · sin θn = n · λ , n = 1, 2, 3, . . .

(6.35)

genügen. Für eine Reflexion n = 1-ter Ordnung wird die Welle unter einem Winkel von θ1 = 12,9◦ gestreut. Für den Abstand der Netzebenen erhalten wir dann mit der Wellenlänge λ = 75 pm:

6.2

Übungsserie: Interferenz von Wellen

d=

1·λ 75 pm = = 168 pm 2 · sin θ1 2 · sin 12,9◦

147

(6.36) 

Aufgabe 142 Lambert-Beer’sches Gesetz Elektromagnetische Strahlung der Wellenlänge 259 nm tritt durch eine verdünnte Benzollösung (C6 H6 ) hindurch. Die Schichtdicke der Probe beträgt 1 mm. Die Intensität der Strahlung fällt beim Durchgang durch die Probe auf 18% des anfänglichen Wertes ab. Berechnen Sie die Konzentration der Benzollösung, wenn der spezifische Extinktionskoeffizient der Probe 150 l/mol cm beträgt. Lösung Das Lambert-Beer’sche Gesetz für verdünnte Lösungen lautet E = · c · x,

(6.37)

worin x = 1 mm = 0,1 cm die Schichtdicke und = 150 l/mol cm den spezifischen Extinktionskoeffizienten der Probe bezeichnen. Da die Intensität der Strahlung nach dem Durchgang durch die Lösung nur noch 18% des anfänglichen Wertes beträgt, folgt für die Extinktion:     I0 1 I0 = log = log = 0,745 (6.38) E = log I 0,18 · I0 0,18 Damit erhalten wir für die Konzentration der Lösung: c=

E 0,745 = = 0,05 mol/l ·x 150 l/mol cm · 0,1 cm

(6.39) 

Aufgabe 143 Doppler-Effekt (a) Ein Auto nähert sich mit einer konstanten Geschwindigkeit von 100 km/h hupend einem ruhenden Beobachter. Der Hupton hat eine Frequenz von 2 000 H z. Welche Frequenz nimmt der Beobachter vor und nach dem Vorbeifahren wahr? (b) Welche Frequenz hört dagegen der Beobachter, wenn er sich selbst in seinem Auto dem ruhenden und hupenden Auto mit konstanter Geschwindigkeit von 100 km/h nähert bzw. sich mit dieser Geschwindigkeit von ihm entfernt? Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt c = 344 m/s.

148

6 Wellen

Lösung (a) Der Hupton besitzt eine Frequenz von ν0 = 2 000 H z. Bewegt sich der Oszillator der Schallwelle mit einer Geschwindigkeit von v = 100 km/h = 27,8 m/s auf den ruhenden Beobachter zu, so misst dieser die höhere Frequenz ν1 = ν0 ·

1 1−

v c

=

2 000 H z 1−

27,8 m/s 344 m/s

= 2 176 H z.

(6.40)

Bewegt sich dagegen der Oszillator vom Beobachter fort, so nimmt er eine niedrigere Frequenz von ν2 = ν0 ·

1 1+

v c

=

2 000 H z 1+

27,8 m/s 344 m/s

= 1 850 H z

(6.41)

wahr. (b) Bewegt sich nun der Beobachter auf den ruhenden Oszillator zu, so misst er die Frequenz ν3 = ν0 · (1 +

v 27,8 m/s ) = 2 000 H z · (1 + ) = 2 162 H z. c 344 m/s

(6.42)

Bewegt er sich dagegen vom Oszillator fort, so reduziert sich für ihn die Frequenz auf ν4 = ν0 · (1 −

v 27,8 m/s ) = 2 000 H z · (1 − ) = 1 838 H z. c 344 m/s

(6.43)

Die Frequenz, die der Beobachter misst, hängt also davon ab, wer sich tatsächlich relativ zum Medium Luft bewegt! 

7

Optik

7.1

Übungsserie: Geometrische Optik

A) Verständnisteil Begriffe: Geometrische Optik, Lichtbündel, Strahlenbündel, Brechzahl, normale und anomale Dispersion, optisch dichter, optisch dünner, Reflexionsgrad, Transmissionsgrad, Grenzwinkel der Totalreflexion, Gegenstandspunkt, Bildpunkt, optische Abbildung, reelles Bild, virtuelles Bild, Spiegel, Sammellinse, Zerstreuungslinse, Brennpunkt, Brennweite, Brechkraft, Abbildungsgleichung, Abbildungsmaßstab, Parallelstrahl, Mittelpunktstrahl, Brennstrahl, Abbildungsfehler

Aufgabe 144 Brechungsindex Welche der folgenden Aussagen über den Brechungsindex ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Der Brechungsindex eines durchsichtigen Mediums ist definiert als das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit c0 im Vakuum zur Lichtgeschwindigkeit cm im betrachteten Medium. (b) Da die Lichtgeschwindigkeit c0 im Vakuum von der Frequenz abhängt, ist auch der Brechungsindex n m frequenzabhängig.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 G. Rufa, Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61262-0_7

149

150

7 Optik

(c) Normale Dispersion liegt vor, wenn der Brechungsindex mit wachsender (Vakuum-)Wellenlänge zunimmt, und anomale Dispersion, wenn der Brechungsindex mit wachsender Wellenlänge abnimmt. (d) Ein Medium 1 mit einer Brechzahl n 1 heißt optisch dünner als ein Medium 2 mit der Brechzahl n 2 , wenn n 1 < n 2 gilt. Lösung (a) ist richtig. (b) ist falsch, zwar ist der Brechungsindex n m = ccm0 frequenzabhängig, aber nicht weil c0 frequenzabhängig ist, sondern weil die Lichtgeschwindigkeit cm im Medium von der Frequenz abhängt. (c) ist falsch, denn normale Dispersion liegt vor, wenn der Brechungsindex mit wachsender (Vakuum-)Wellenlänge abnimmt, und anomale Dispersion, wenn der Brechungsindex mit wachsender Wellenlänge zunimmt. (d) ist richtig.  Aufgabe 145 Reflexionsgesetz Welche der folgenden Aussagen zum Reflexionsgesetz ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Einfallswinkel und Reflexionswinkel sind gleich. (b) Einfallender Strahl und reflektierter Strahl stehen immer senkrecht aufeinander. (c) Die Normale zur Grenzfläche ist stets die Winkelhalbierende zwischen einfallendem und reflektiertem Strahl. (d) Ein entlang der Normale einfallender Lichtstrahl wird zum Teil in sich zurück reflektiert. Lösung (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn das Reflexionsgesetz sagt lediglich aus, dass Einfallswinkel und Reflexionswinkel gleich sind. Das bedeutet, dass einfallender und reflektierter Strahl senkrecht zueinander stehen können, aber nicht müssen. (c) ist richtig. (d) ist richtig, da der Einfallswinkel auch null sein kann.  Aufgabe 146 Optische Abbildungen Welche der folgenden Aussagen über optische Abbildungen ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort!

7.1

Übungsserie: Geometrische Optik

151

(a) Die Erzeugung eines Bildes von einem Gegenstand heißt optische Abbildung. (b) Reelle Bilder unterscheiden sich dadurch von virtuellen Bildern, dass sich die von einem Gegenstandspunkt ausgehenden Lichtstrahlen tatsächlich im Bildpunkt schneiden, was bei virtuellen Bildern nicht der Fall ist. (c) Ein ebener Spiegel entwirft von einem Gegenstand ein reelles, gleich großes und aufrecht stehendes Bild. (d) Eine Sammellinse erzeugt unabhängig von Gegenstandsweite und Brennweite immer ein reelles, vergrößertes und aufrecht stehendes Bild von einem Gegenstand. Lösung (a) ist richtig. (b) ist richtig. (c) ist falsch, denn ein ebener Spiegel entwirft von einem im Abstand l vor dem Spiegel befindlichen Gegenstand ein virtuelles, gleich großes und aufrecht stehendes Bild, das sich scheinbar im Abstand l hinter dem Spiegel befindet. (d) ist falsch, denn die Bildeigenschaften einer Sammellinse hängen von der Beziehung zwischen der Gegenstandsweite g und der Brennweite f ab. So können sowohl reelle (g > f ) und virtuelle (g < f ), verkleinerte, gleich große und vergrößerte als auch umgekehrte und aufrecht stehende Bilder erzeugt werden.  Aufgabe 147 Die Bachforelle Im Prinzip kann man eine im Wasser „stehende“ Bachforelle mit der Hand fangen. Versucht man es schräg vom Ufer aus, so greift man in der Regel daneben. Wieso? Man sage nicht einfach, es läge nur daran, dass die Forelle schneller ist! Wie kann man es besser machen?

Lösung Da die von der Bachforelle ausgehenden Lichtstrahlen vom optisch dichteren Medium „Wasser“ ins optisch dünnere Medium „Luft“ übergehen, werden sie beim Durchgang durch die Wasseroberfläche von der Normalen weggebrochen (siehe Abb. 7.1). Weil das Gehirn bei

Abb. 7.1 Die Bachforelle

152

7 Optik

der Verarbeitung der optischen Information voraussetzt, dass Lichtstrahlen geradlinig verlaufen, erscheint für einen Beobachter die Forelle an einem Ort näher zur Wasseroberfläche als dies tatsächlich der Fall ist! Dieser Effekt wird um so größer, je schräger der Beobachter ins Wasser schaut. Deshalb sollte man sich am besten so weit vorbeugen, dass man sich senkrecht über der Forelle befindet.  Aufgabe 148 Linse in einer Flüssigkeit Eine Linse aus Kunststoff mit der Brechzahl n 2 befindet sich in einer Flüssigkeit, die optisch dichter ist als der Kunststoff, d. h. für die die Brechzahl n 1 > n 2 größer ist als von Kunststoff. In welcher/welchen der dargestellten Abbildungen ist der Strahlenverlauf qualitativ korrekt dargestellt?

Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung Ein längs der optischen Achse einfallender Lichtstrahl wird nicht gebrochen, weshalb Abb. (a) falsch ist. Da die Brechzahl der umgebenden Flüssigkeit größer ist als die des Linsenmaterials, wird ein Lichtstrahl, der nicht senkrecht auf das Linsenmaterial fällt, beim Eintritt in die Linse von der Normalen weg gebrochen. Tritt der Lichtstrahl dagegen aus der Linse wieder aus, wird er nun zur Normalen hin gebrochen. Insgesamt wird der Lichtstrahl beim Durchgang durch die Linse also von der optischen Achse weg gebrochen, weshalb auch Abb. (b) falsch ist. Befindet sich eine Bikonvexlinse in einem optisch dichteren umgebenden Medium, so wirkt sie als eine Zerstreuungslinse, weshalb Abb. (c) den Strahlenverlauf qualitativ richtig wiedergibt. 

7.1

Übungsserie: Geometrische Optik

153

Aufgabe 149 Sphärische Aberration In welcher/welchen der folgenden Abbildungen wird die Auswirkung der sphärischen Aberration bei einer in Luft befindlichen Bikonvexlinse auf die Brechung eines achsenparallelen Strahlenbündels qualitativ richtig dargestellt?

Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung Sphärische Abberation tritt auf, wenn auch achsenferne Strahlen, die durch die äußeren Zonen der Linse verlaufen, zur Abbildung beitragen. Für achsenferne Strahlen ist die Brennweite kleiner als für achsennahe Strahlen, weshalb Abb. (a) richtig ist. In Abb. (b) ist die Brennweite für achsenferne Strahlen größer als für achsennahe Strahlen, weshalb Abb. (b) falsch ist. In Abb. (c) ist schließlich die Brennweite für achsenferne Strahlen und achsennahe Strahlen gleich, weshalb auch Abb. (c) falsch ist.  B) Übungsteil Aufgabe 150 Grünes Licht in Glas Grünes Licht mit der Vakuumwellenlänge λ0 = 540 nm dringt aus dem Vakuum mit der Brechzahl n 0 = 1 in eine Glasplatte mit einem Brechungsindex von n 1 = 1,5 ein. Berechnen Sie die Wellenlänge λ1 , die Phasengeschwindigkeit c1 und die Frequenz ν1 des Lichtes im Glas. Die Phasengeschwindigkeit von Licht im Vakuum beträgt c0 = 3 · 108 m/s. Lösung Für den Zusammenhang zwischen den Wellenlängen und Brechzahlen im Vakuum und im Glas gilt: n0 λ1 = λ0 n1

(7.1)

Mit der Vakuumwellenlänge λ0 = 540 nm folgt für die Wellenlänge des Lichtes im Glas:

154

7 Optik

λ1 =

n0 1 · λ0 = · 540 nm = 360 nm n1 1,5

(7.2)

Die Phasengeschwindigkeit des Lichtes im Glas ist gegeben durch: c0 3 · 108 m/s = = 2 · 108 m/s n1 1, 5

c1 =

(7.3)

Die Frequenz des Lichtes bleibt beim Übergang ins Glas konstant. Damit erhalten wir schließlich für die Frequenz des Lichtes ν0 = ν1 =

c1 2 · 108 m/s = = 5,6 · 1014 H z. λ1 360 · 10−9 m

(7.4) 

Aufgabe 151 Snellius’sches Brechungsgesetz Ein Lichtstrahl fällt im Medium Luft unter einem Einfallswinkel von α = 40◦ auf die Grenzfläche zu einem durchsichtigen Medium und wird unter einem Winkel von β = 15,5◦ gebrochen. Berechnen Sie die Brechzahl dieses durchsichtigen Mediums sowie die Phasengeschwindigkeit des Lichtes in diesem Medium. Um welches Medium handelt es sich? Die Brechzahl von Luft beträgt ungefähr n 1  1. Lösung Das Snellius’sche Brechungsgesetz lautet: n2 sin α = sin β n1

(7.5)

Mit n 1 = 1 erhalten wir für die gesuchte Brechzahl des durchsichtigen Mediums n2 =

sin α sin 40◦ = 2,4, = sin β sin 15,5◦

(7.6)

weshalb es sich bei dem durchsichtigen Medium um Diamant handelt. Die Phasengeschwindigkeit des Lichtes im Medium Diamant ist schließlich gegeben durch: c2 =

c0 3 · 108 m/s = = 1,25 · 108 m/s n2 2,4

(7.7) 

Aufgabe 152 Sonnenuntergang im Wasser Unter welchem Winkel zur Wasseroberfläche sieht ein im Wasser untergetauchter Schwimmer die untergehende Sonne?

7.1

Übungsserie: Geometrische Optik

155

Abb. 7.2 Sonnenuntergang im Wasser

Lösung Das Licht der untergehenden Sonne bildet mit der Normalen zur Wasseroberfläche einen Winkel von β = 90◦ (siehe Abb. 7.2). Dreht man den Strahlenverlauf um, so ist der Winkel, unter dem der Schwimmer die untergehende Sonne in Bezug auf die Wasseroberfläche sieht, gegeben durch γ = 90◦ − αT , worin αT der Grenzwinkel der Totalreflexion ist. Nach dem Brechungsgesetz ist er gegeben durch: n2 sin αT sin αT = = ◦ sin β sin 90 n1

(7.8)

Mit den Brechzahlen von Luft n 2 = 1 und Wasser n 1 = 1,33 folgt: sin αT =

1 1 = = 0,75 n1 1,33

(7.9)

Damit sieht der Taucher die untergehende Sonne bezogen auf die Wasseroberfläche mit dem Grenzwinkel der Totalreflexion in Wasser αT = 48,75◦ unter einem Winkel von γ = 90◦ − 48,75◦ = 41,25◦ .

(7.10) 

Aufgabe 153 Brennweite und Brechkraft Die Krümmungsradien einer Bikonvexlinse betragen r1 = 12 cm und r2 = −25 cm. Die Brechzahl des Linsenmaterials sei 1,4. Berechnen Sie die Brechkraft und die Brennweite der Linse in der umgebenden Luft. Lösung Mit den Brechzahlen n 1  1 der Luft und n 2 = 1,4 des Linsenmaterials ist die Brechkraft der Linse gegeben durch

156

7 Optik

D=

    1,4 − 1 n2 − n1 1 1 1 1 = 4,9 d pt, = · − · + n1 r1 r2 1 0,12 m 0,25 m

(7.11)

wobei die Einheit der Brechkaft in Dioptrie d pt = 1/m angegeben wird. Für die Brennweite der Linse erhalten wir dann: f =

1 1 = 20 cm = D 4,9 m −1

(7.12) 

Aufgabe 154 Sammellinse Eine dünne Sammellinse mit der Brennweite f = 10 cm erzeugt ein Bild von einem 60 cm entfernten Gegenstand, der die Größe 6 cm besitzt. (a) Berechnen Sie die Bildweite und die Bildgröße. (b) Ist dieses Bild reell oder virtuell? (c) Bestimmen Sie den Abbildungsmaßstab der Sammellinse. Lösung (a) Aus der Abbildungsgleichung für dünne Linsen

erhalten wir:

1 1 1 + = g b f

(7.13)

1 1 g− f 1 = − = b f g g· f

(7.14)

Mit der Gegenstandsweite g = 60 cm folgt für die Bildweite: b=

60 cm · 10 cm g· f = = 12 cm g− f 60 cm − 10 cm

(7.15)

Damit erhalten wir mit der Gegenstandsgröße G = 6 cm für die Bildgröße: B=G·

12 cm b = 6 cm · = 1,2 cm g 60 cm

(7.16)

(b) Das Bild ist reell, weil g > f bzw. die Bildweite positiv ist. (c) Der Abbildungsmaßstab der Linse ist schließlich gegeben durch: V =

b B = = 0,2 G g

(7.17) 

7.1

Übungsserie: Geometrische Optik

157

Aufgabe 155 Bildkonstruktion In einer Entfernung von g = 30 cm von der Hauptebene einer Sammellinse bzw. einer Zerstreuungslinse befindet sich ein Gegenstand der Größe G = 15 cm. (a) Zeichnen Sie den Parallelstrahl, den Mittelpunktstrahl und den Brennstrahl für den Fall der Sammellinse mit der Brennweite f = 20 cm. Bestimmen Sie die Bildweite b, die Bildgröße B und den Abbildungsmaßstab V . (b) Zeichnen Sie nun den Parallelstrahl, den Mittelpunktstrahl und den Brennstrahl für die Zerstreuungslinse mit der Brennweite f = −20 cm. Wie groß sind jetzt die Bildweite b, die Bildgröße B und der Abbildungsmaßstab V ? Lösung Für die Zeichnung verwenden wir einen Maßstab von 10 : 1. In der Entfernung 3 cm von der Hauptebene zeichnen wir den Gegenstand mit einer Höhe von 1,5 cm. Der gegenstandsseitige Brennpunkt F und der bildseitige Brennpunkt F  haben von der Hauptebene den Abstand 2 cm. Wir zeichnen nun den Parallelstrahl, den Mittelpunktstrahl und den Brennstrahl wie in Abb. 7.3(a) bzw. (b) dargestellt. (a) Im Falle der Sammellinse ist das Bild 6 cm von der Hauptebene entfernt, womit wir für die Bildweite b = 60 cm erhalten. Analog folgt für die Bildgröße B = 30 cm. Damit ist der Abbildungsmaßstab im Falle der Sammellinse gegeben durch: V =

Abb. 7.3 Bildkonstruktion

b 60 cm B = = =2 G g 30 cm

(7.18)

158

7 Optik

(b) Im Falle der Zerstreuungslinse ist das Bild 1,2 cm von der Hauptebene entfernt, womit wir für die Bildweite b = −12 cm erhalten. Da es sich um ein virtuelles Bild handelt, ist sie negativ! Für die Höhe des Bildes lesen wir etwa 0,6 cm ab, sodass wir analog für die Bildgröße B = 6 cm erhalten. Der Abbildungsmaßstab im Falle der Zerstreuungslinse ist dann gegeben durch: V =

|b| 12 cm B = = = 0,4 G g 30 cm

(7.19) 

8

Klassische Elektrodynamik

8.1

Übungsserie: Elektrische Ladungen und Ströme

A) Verständnisteil Begriffe: Elektrische Ladung, Ladungsträger, elektrisch neutral, elektrisch geladen, Coulomb-Kraft, Quantisierung der elektrischen Ladung, Ladungserhaltung, Ionisierung, Ionisierungsenergie, Bindungsenergie, Dissoziation, Dissoziationsenergie, positive und negative Ionen, elektrischer Strom, Leiter, Isolator, Metall, Elektrolyt, Plasma, elektrische Feldkonstante, Punktladung, Superpositionsprinzip, (homogenes und inhomogenes) elektrisches Feld, elektrische Feldlinien, Ladungsverteilung, Ladungsdichte

Aufgabe 156 Elektrische Ladungen und Ströme Welche der folgenden Aussagen über elektrische Ladungen und Ströme ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Die elektrische Ladung ist in einem abgeschlossenen System deshalb konstant, weil die Anzahl an positiven und negativen Ladungen stets gleich bleibt. (b) Quantisierung der elektrischen Ladung bedeutet, dass die Gesamtladung eines Ladungsträgers stets ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung ist. (c) Man kann z. B. Ladung dadurch erzeugen, dass man durch Zuführung der entsprechenden Ionisierungsenergie E I ein neutrales Atom ionisiert, wodurch ein freies Elektron, d. h. eine Elementarladung, entsteht.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 G. Rufa, Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61262-0_8

159

160

8 Klassische Elektrodynamik

(d) Elektrischer Strom bedeutet in Metallen „Fluss von freien Elektronen“ und in Elektrolyten „Fluss von positiven und negativen Flüssigkeitsionen“. Lösung (a) ist falsch, denn die Ladungserhaltung besagt, dass in einem abgeschlossenen System die Summe aller positiven und negativen Ladungen, d. h. die Gesamtladung, konstant ist und nicht die Anzahl an positiven und negativen Ladungen. So können z. B. Elementarteilchen und damit Ladungen erzeugt und vernichtet werden, womit sich die Anzahl an positiven und negativen Ladungen ändert! (b) ist richtig. (c) ist falsch, denn durch die Ionisierung eines Atoms wird kein Elektron „erzeugt“, sondern es findet eine Ladungstrennung statt, wobei wir ein positives Ion und ein freies Elektron erhalten. (d) ist richtig.  Aufgabe 157 Coulomb’sches Gesetz Welche der folgenden Aussagen zum Coulomb’schen Gesetz ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Befinden sich zwei punktförmige Ladungsträger mit den Ladungen q und Q im Abstand r voneinander, so ist die einzige wirkende Kraft die Coulomb-Kraft FqC , die die Punktladung Q auf die Punktladung q ausübt. (b) Verdoppelt man den Abstand zwischen zwei Punktladungen, so halbiert sich der Betrag der Coulomb-Kraft, die sie aufeinander ausüben. (c) Die Coulomb-Kräfte zweier Punktladungen aufeinander sind stets entlang der direkten Verbindungslinie zwischen beiden Punktladungen gerichtet und sind repulsiv für gleichartige Ladungen und attraktiv, wenn die Ladungen ungleichartig sind. (d) Das Coulomb’sche Gesetz gilt nur für ruhende Punktladungen. Lösung (a) ist falsch, denn befinden sich zwei punktförmige Ladungsträger mit den Ladungen q und Q im Abstand r voneinander, so übt die Punktladung Q auf die Punktladung q die Kraft FqC und gleichzeitig die Punktladung q auf die Punktladung Q die Kraft FQC aus, die betragsmäßig gleich, aber entgegengesetzt gerichtet sind. (b) ist falsch, denn verdoppelt man den Abstand, d. h. gilt r  = 2 r , so folgt 1 q·Q 1 q·Q 1 · = · = · FqC , (8.1) 4 π 0 r  2 4 π 0 4 r 2 4 d. h., der Betrag der Coulomb-Kraft nimmt auf ein Viertel des ursprünglichen Wertes ab. F q = C

8.1

Übungsserie: Elektrische Ladungen und Ströme

161

(c) ist richtig. (d) ist falsch, denn das Coulomb’sche Gesetz gilt sowohl für ruhende als auch für bewegte Punktladungen. Der Abstand zwischen den Punktladungen kann sich durchaus mit der Zeit ändern.  Aufgabe 158 Superpositionsprinzip Gegeben sei die in der Abb. 8.1 dargestellte diskrete Ladungsverteilung. (a) Was können Sie über die Vorzeichen der Ladungen Q i aussagen, wenn die Ladung q positiv ist? (b) Zeichnen Sie qualitativ den Vektor der Coulomb-Kraft FqC auf die Ladung q ein.

Lösung (a) Da sich gleichartige Ladungen abstoßen und weil q positiv ist, müssen auch Q 1 und Q 2 positiv sein. Ungleichartige Ladungen ziehen sich hingegen an, weshalb Q 3 negativ ist. (b) Üben die Punktladungen Q 1 , Q 2 , Q 3 die Coulomb-Kräfte F1C , F2C und F3C auf die Punktladung q aus, so ist nach dem Superpositionsprinzip die Gesamtkraft auf die Punktladung q gegeben durch die vektorielle Summe dieser Kräfte (siehe Abb. 8.1): FqC = F1C + F2C + F3C

(8.2) 

Abb. 8.1 Zum Superpositionsprinzip

162

8 Klassische Elektrodynamik

Abb. 8.2 Ladung im elektrischen Feld

Aufgabe 159 Ladung im elektrischen Feld Ein elektrisches Feld werde durch das in der Abb. 8.2 dargestellte Feldlinienbild beschrieben. (a) Handelt es sich um ein homogenes oder ein inhomogenes elektrisches Feld? (b) Bringt man eine positive Punktladung q in dieses elektrische Feld, so wirkt auf sie die Coulomb-Kraft. In welche Richtung zeigt sie? Welcher Zusammenhang besteht zwischen dieser Coulomb-Kraft und dem elektrischen Feld am Ort der Punktladung q?

Lösung (a) Da die Feldlinien nicht parallel verlaufen, handelt es sich um ein inhomogenes Feld. (b) Die Coulomb-Kraft auf eine positive Punktladung q in diesem Feld ist tangential zur Feldlinie durch den Raumpunkt P gerichtet, an dem sich die Punktladung befindet, und zeigt in Richtung der Feldlinie (siehe Abb. 8.2). Genauer gilt der folgende Zusammenhang  r ), FqC = q · E(

(8.3)

 r ) das elektrische Feld an diesem worin r den Ortsvektor des Raumpunktes P und E( Raumpunkt bezeichnen.  Aufgabe 160 Feldlinienbild zweier positiver Punktladungen Zwei positive Punktladungen mit gleicher Ladung Q 1 = Q 2 = Q mögen sich im Abstand 4 cm voneinander befinden. Zeichnen Sie qualitativ das Feldlinienbild sowie an einem beliebigen Punkt P den Vektor des elektrischen Feldes, das diese diskrete Ladungsverteilung hervorruft.

8.1

Übungsserie: Elektrische Ladungen und Ströme

163

Abb. 8.3 Elektrisches Feld zweier positiver Punktladungen

Lösung Das elektrische Feld der beiden positiven Punktladungen ist in Abb. 8.3 qualitativ dargestellt. An einem beliebigen Raumpunkt P zeichnen wir die Vektoren E1 und E2 beider Punktladungen, die radial von den Ladungen weggerichtet sind, da sie positiv sind. Ihre vektorielle Summe ergibt den Vektor E = E1 + E2 des elektrischen Feldes am betrachteten Raumpunkt, der tangential an die Feldlinie durch diesen Punkt ist.  B) Übungsteil Aufgabe 161 Coulomb-Kraft im Wasserstoffatom Das Proton, der Atomkern, und das Elektron im Wasserstoffatom ziehen sich aufgrund der Coulomb-Kraft an. Berechnen Sie den Betrag dieser Kraft unter der Annahme, dass sich Elektron und Proton im Abstand a0 = 0,529 · 10−10 m voneinander befinden, den man Bohr’schen Radius des Wasserstoffatoms nennt (siehe Anhang B). Lösung Der Betrag der Coulomb-Kraft, die das Elektron und das Proton im Abstand des Bohr’schen Radius aufeinander ausüben, ist gegeben durch: FC =

| Qe | · Q p 1 · 4 π 0 a0 2

(8.4)

Da die Ladungen von Elektron und Proton betragsmäßig gleich sind und der Elementarladung | Q e |= Q p = e = 1,602 · 10−19 C entsprechen (siehe Anhang B), folgt:

164

8 Klassische Elektrodynamik

FC =

(1,602 · 10−19 C)2 = 8,24 · 10−8 N 4 π · 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 · (0,529 · 10−10 m)2

(8.5) 

Aufgabe 162 Kräfte auf geladene Kugeln Zwei Metallkugeln mit gleichem Radius und gleichem Gewicht sind an Fäden so aufgehängt, dass sich ihre Oberflächen berühren. Der Abstand vom Aufhängepunkt zum Kugelmittelpunkt beträgt jeweils 30 cm. Bringt man nun die Ladung 8 · 10−7 C auf beide Kugeln, so stoßen sich die Kugeln aufgrund der Coulomb-Kraft ab derart, dass beide Fäden einen Winkel von 30◦ zur Senkrechten einschließen. Berechnen Sie das Gewicht der Kugeln. Lösung Bringt man auf beide Kugeln die Ladung 8 · 10−7 C, so verteilt sie sich auf beide gleichmäßig. Die Ladung einer Kugel beträgt dann Q = 4 · 10−7 C. Da die Ladungsverteilung beider Kugeln kugelsymmetrisch ist, können die geladenen Kugeln, von außen betrachtet, als Punktladungen aufgefasst werden. Beide Kugeln üben dann eine abstoßende CoulombKraft aufeinander aus, deren Betrag gegeben ist durch: FC =

1 Q2 · 4 π 0 (2 r )2

Für die Hälfte r des Abstandes beider Kugeln folgt mit sin α = r = l · sin α,

Abb. 8.4 Kräfte auf geladene Kugeln

(8.6) r l

(siehe Abb. 8.4) (8.7)

8.1

Übungsserie: Elektrische Ladungen und Ströme

165

wobei die Länge eines Aufhängefadens l = 30 cm = 0,3 m und α = 30◦ beträgt. Das Gewicht einer Kugel ist dann gegeben durch: G = =



FC Q2 1 · = 2 tan α 4 π 0 4 · l · sin 2 α · tan α 16 · 10−14 C 2 m 2 · 4 · 0,09 m 2 · sin 2 30◦ · tan 30◦

(8.8)

· 8,854 · 10−12 C 2 /N

= 2,7 · 10−2 N  Aufgabe 163 Diskrete Ladungsverteilung Zwei ruhende Punktladungen Q 1 = 6,5 · 10−9 C und Q 2 = −13,5 · 10−9 C haben einen Abstand von 5 cm. Berechnen Sie den Betrag des elektrischen Feldes an einem Raumpunkt P, der 3 cm von Q 1 und 4 cm von Q 2 entfernt ist. Lösung Wegen (3 cm)2 + (4 cm)2 = (5 cm)2 bilden die beiden Ladungen und der Raumpunkt P ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten r1 = 3 cm und r2 = 4 cm sowie der Hypotenuse r = 5 cm (siehe Abb. 8.5). Die elektrischen Felder der Punktladungen Q 1 und Q 2 im Raumpunkt P sind gegeben durch: E1 =

1 Q1 · · rˆ1 4 π 0 (r1 )2

(8.9)

E2 =

1 Q2 · · rˆ2 4 π 0 (r2 )2

(8.10)

und

Abb. 8.5 Elektrisches Feld zweier Punktladungen

166

8 Klassische Elektrodynamik

 das die diskrete Ladungsverteilung im Raumpunkt P erzeugt, Das elektrische Feld E, ist dann gegeben durch: E = E1 + E2

(8.11)

Da die beiden Vektoren E1 und E2 senkrecht aufeinander stehen, folgt für den Betrag der elektrischen Feldstärke im Raumpunkt P: E=

 (E 1 )2 + (E 2 )2

(8.12)

Für die elektrischen Feldstärken der beiden Punktladungen in P erhalten wir mit N /C = V /m:

E1 =

V 1 Q1 6,5 · 10−9 C · = = 6,5·104 (8.13) 2 −12 2 2 −2 2 4π 0 (r1 ) 4 π · 8,854 · 10 C /N m · (3 · 10 m) m

und

E2 =

1 | Q2 | 13,5 · 10−9 C V · = = 7,6 · 104 (8.14) 2 −12 2 2 −2 2 4 π 0 (r2 ) 4π · 8,854 · 10 C /N m · (4 · 10 m) m

Nach (8.12) gilt dann insgesamt für den Betrag der elektrischen Feldstärke im Raumpunkt P: E=



(6,5 · 104 V /m)2 + (7,6 · 104 V /m)2 = 1 · 105 V /m

(8.15) 

Aufgabe 164 Elektrische Feldstärke eines Ions Berechnen Sie die elektrische Feldstärke eines zweifach positiv geladenen Ions an einem Raumpunkt, der den Abstand 4 · 10−10 m vom Ion besitzt. Betrachten Sie das Ion der Einfachheit halber als Punktladung. Lösung Die elektrische Feldstärke des Ions im Abstand r ist gegeben durch: E=

Q 1 · 4π 0 r 2

(8.16)

Da es zweifach positiv geladen ist, folgt für seine Ladung Q = 2 · e = 2 · 1,6 · 10−19 C = 3, 2·10−19 C. Im Abstand r = 4·10−10 m vom Ion erhalten wir für die elektrische Feldstärke: E=

3, 2 · 10−19 C = 1,8 · 1010 V /m 4 π · 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 · 16 · 10−20 m 2

(8.17)

8.1

Übungsserie: Elektrische Ladungen und Ströme

167

Da Atom- und Ionenradien im Bereich 0, 2 . . . 2,5·10−10 m liegen, führt man in der Atomphysik zweckmäßigerweise die atomare Längeneinheit 1 Å = 10−10 m ein. Mit r = 4 Å ist man also sehr nahe am Ion, weshalb man es streng genommen nicht als eine Punktladung auffassen kann.  Aufgabe 165 Schwebendes Quecksilbertröpfchen Ein Quecksilbertröpfchen mit der Gesamtladung q = 2 · 10−19 C befindet sich in einem horizontal angeordneten Plattenkondensator im „Schwebezustand“. Die elektrische Feldstärke im Kondensator beträgt 2,5 · 105 V /m. Berechnen Sie den Radius des kugelförmigen Tröpfchens. Die Dichte von Quecksilber beträgt ρ = 13,6 · 103 kg/m 3 . Lösung Im homogenen elektrischen Feld des Plattenkondensators erfährt das Quecksilbertröpfchen die nach oben gerichtete Coulomb-Kraft mit dem Betrag FqC = q · E = 2 · 10−19 C · 2,5 · 105 N /C = 5 · 10−14 N .

(8.18)

Im Schwebezustand ist diese Coulomb-Kraft betragsmäßig gleich der entgegengesetzt gerichteten Schwerkraft G = m · g auf das Tröpfchen (siehe Abb. 8.6). Mit dem Volumen V = 43π · R 3 einer Kugel mit dem Radius R erhalten wir für die Masse des Quecksilbertröpfchens 4π m =ρ·V =ρ· (8.19) · R3 3 sowie für den Betrag der Schwerkraft auf das Tröpfchen G =ρ·V ·g=ρ·

4π · R 3 · g. 3

(8.20)

Aus FqC = G erhalten wir die Gleichung FqC = ρ ·

Abb. 8.6 Schwebendes Quecksilbertröpfchen

4π · R 3 · g, 3

(8.21)

168

8 Klassische Elektrodynamik

woraus wir für den Radius   3 · FqC 3 · 5 · 10−14 N 3 3 R= = = 4,5 · 10−7 m ρ · g · 4π 13,6 · 103 kg/m 3 · 9,81 m/s 2 · 4 π

(8.22)

erhalten.

8.2



Übungsserie: Elektrische Felder

A) Verständnisteil Begriffe: elektrischer Dipol, elektrisches Dipolmoment, Plattenkondensator, potentielle Energie, elektrisches Potential, Spannung, Elektronenvolt, Äquipotentialfläche, Kondensator, Kapazität, Influenz, Influenzladungen, Faraday-Käfig, Verschiebungspolarisation, Orientierungspolarisation, Dielektrikum, Dielektrizitätszahl, Energiedichte

Aufgabe 166 Elektrisches Feld eines Plattenkondensators Welche der folgenden Aussagen über das elektrische Feld im Inneren eines Plattenkondensators ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Besteht zwischen den planparallelen Metallplatten des Kondensators mit einem Abstand d die Spannung U , so ist die elektrische Feldstärke im Inneren des Kondensators gegeben durch E = Ud . (b) Füllt man den Raum zwischen den Metallplatten ganz mit einem Dielektrikum aus, wobei die Spannung zwischen den Platten konstant gehalten wird, so sinkt die Feldstärke im Inneren des Kondensators. (c) Im Inneren des Plattenkondensators ist das elektrische Feld homogen, besitzt also einen konstanten Betrag und eine konstante Richtung. (d) Zieht man die Platten eines Kondensators auseinander, welche die konstante Ladung ± Q tragen, so nimmt die Feldstärke zwischen den Platten ab. Lösung (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn füllt man den Raum zwischen den Metallplatten ganz mit einem Dielektrikum aus, wobei die Spannung zwischen den Platten konstant bleibt, so ändert sich wegen

8.2

Übungsserie: Elektrische Felder

169

U (8.23) d die elektrische Feldstärke im Inneren des Kondensators nicht! Das liegt daran, dass in diesem Fall zusätzlich von der Spannungsquelle Ladungen auf die Platten „gepumpt“ werden und dadurch die Ladung der Platten gemäß Q =  · Q 0 erhöht wird, bis das elektrische Feld im Inneren des Kondensators den gleichen Betrag besitzt wie im Fall ohne Dielektrikum. (c) ist richtig. (d) ist falsch, denn die elektrische Feldstärke im Inneren des Kondensators ist gegeben durch Q σ = , (8.24) E= 0 0 · A E=

worin A die Plattenfläche bezeichnet. Da die elektrische Feldstärke nicht vom Plattenabstand d abhängt, bleibt sie konstant, wenn man d bei konstanter Ladung verändert.  Aufgabe 167 Arbeit im homogenen elektrischen Feld In einem homogenen elektrischen Feld mit der Feldstärke E = 8 · 105 V /m wird eine Punktladung q = 5 · 10−5 C zunächst 0,5 m entgegengesetzt zu den Feldlinien und dann 0,4 m senkrecht zu diesen verschoben. Berechnen Sie die Arbeit, die hierbei gegen die Coulomb-Kraft verrichtet wird.

Lösung Wir verschieben zunächst die positive Punktladung q = 5 · 10−5 C die Strecke s1 = 0,5 m in Richtung der festgelegten s-Achse entgegengesetzt zu den elektrischen Feldlinien (siehe Abb. 8.7). Hierbei verrichtet die ausgeübte Kraft Fa gegen die konstante Coulomb-Kraft FqC = −q · E an der Punktladung die Arbeit W . Mit Fa = −FqC = q · E folgt:

Abb. 8.7 Arbeit im elektrischen Feld

170

8 Klassische Elektrodynamik

W = Fa · s1 = q · E · s1 = 5 · 10−5 C · 8 · 105 N /C · 0,5 m = 20 J

(8.25)

Bewegen wir die Ladung schließlich senkrecht zu den Feldlinien die Strecke s2 = 0,4 m (siehe Abb. 8.7), so bewegen wir sie längs einer Äquipotentialfläche, wobei wir am Ladungsträger keine Arbeit verrichten. Längs des gesamten Weges verrichten wir also eine Arbeit von W = 20 J .  Aufgabe 168 Plattenkondensator Ein Plattenkondensator wird mit einer Spannungsquelle geladen und danach von der Spannungsquelle getrennt. Wie ändert sich (a) die Spannung U zwischen den Platten, (b) die elektrische Feldstärke im Inneren des Kondensators sowie (c) die Ladung Q auf den Platten, wenn der Plattenabstand verdoppelt wird? Lösung (a) Wird ein Plattenkondensator durch eine Spannungsquelle mit der Spannung U geladen und bezeichnet C die Kapazität des Kondensators, dann trägt er schließlich die Ladung Q = C · U.

(8.26)

Wird nun die Spannungsquelle entfernt, dann bleibt die Ladung konstant, wenn man den Plattenabstand verdoppelt. (b) Ferner ist das elektrische Feld im Inneren des Kondensators gegeben durch E=

Q , 0 · A

(8.27)

und wegen Q = konstant ist dann auch die elektrische Feldstärke konstant, wenn der Abstand der Platten verdoppelt wird. (c) Wegen U = E ·d

(8.28)

8.2

Übungsserie: Elektrische Felder

171

ändert sich dann aber die Spannung! Wird der Abstand verdoppelt, d. h. gilt d  = 2 · d, so verdoppelt sich wegen U  = E · d = E · 2 d = 2 · E · d = 2 U auch die Spannung.

(8.29) 

Aufgabe 169 Influenz In das homogene Feld eines Plattenkondensators werden zwei ungeladene Metallplatten I und I I gebracht, die sich zunächst berühren (siehe Abb. 8.8). Sie werden dann im elektrischen Feld getrennt sowie einzeln und isoliert aus dem Feld herausgezogen. Was können Sie über die Ladungen Q I und Q I I der Platten aussagen? Hängt die Ladung der Platten davon ab, wo im elektrischen Feld sie getrennt werden? Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung Bringt man in das homogene elektrische Feld eines Plattenkondensators zwei ungeladene Metallplatten, sodass sich beide berühren, dann bilden sich auf den Metalloberflächen, die sich gegenüber den Kondensatorplatten befinden, Influenzladungen aus. Dabei wandern Elektronen zur Platte I , die sich gegenüber der positiven Kondensatorplatte befindet (siehe Abb. 8.8), während sich wegen des Elektronenabzugs auf der Platte I I eine positive Oberflächenladungsdichte ausbildet. Trennt man nun im Kondensator die beiden Metallplatten, so ändert sich an deren Ladung nichts. Zieht man nun die Platten isoliert aus dem Kondensator heraus, so können die auf der Platte I befindlichen Überschusselektronen nicht mehr zur Platte I I zurückwandern, sodass die Platte I negativ und die Platte I I positiv geladen ist. Da ferner das elektrische Feld im Kondensator homogen ist, spielt es für die Ladung der Platten keine Rolle, wo im Inneren des Kondensators sie getrennt werden. 

Abb. 8.8 Zur Influenz

172

8 Klassische Elektrodynamik

Aufgabe 170 Elektrisches Dipolmoment Zwei Punktladungen mit den Ladungen +2 · 10−9 C und −2 · 10−9 C befinden sich in einem Abstand von 3 cm voneinander. Berechnen Sie den Betrag des elektrischen Dipolmoments. In welche Richtung zeigt es? Lösung Da beide Punktladungen betragsmäßig dieselbe Ladung Q = 2 · 10−9 C besitzen, bilden sie einen elektrischen Dipol. Sein elektrisches Feld wird durch das elektrische Dipolmoment p beschrieben. Mit dem Abstand der Punktladungen l = 3 · 10−2 m ist sein Betrag gegeben durch: p = Q · l = 2 · 10−9 C · 3 · 10−2 m = 6 · 10−11 Cm Seine Richtung verläuft von der negativen zur positiven Punktladung.

(8.30) 

B) Übungsteil Aufgabe 171 Arbeit im elektrischen Feld einer Punktladung Zwei Punktladungen mit den Ladungen 6,3·10−9 C und 12,4·10−9 C besitzen einen Abstand von 50 cm. Berechnen Sie die Arbeit, die man verrichten muss, um diesen zu halbieren. Lösung Die Arbeit, die wir verrichten müssen, um den Abstand der Punktladung q = +6,3 · 10−9 C von der Punktladung Q = +12,4 · 10−9 C von r1 = 50 cm auf r2 = 25 cm zu verringern, ist gegeben durch: W =  E pot =  E pot (r2 ) − E pot (r1 )

(8.31)

Für die potentielle Energie der Punktladung q im elektrischen Feld der Punktladung Q im Abstand r gilt: E pot (r ) =

1 q·Q · 4 π 0 r

(8.32)

Damit erhalten wir für die Arbeit:   1 1 q·Q · − W = 4 π 0 r2 r1   −9 −9 6,3 · 10 C · 12,4 · 10 C 1 1 = 1,4 · 10−6 J = · − 4 π · 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 0.25 m 0,50 m

(8.33)



8.2

Übungsserie: Elektrische Felder

173

Aufgabe 172 Potentielle Energie im elektrischen Feld einer Metallkugel Eine geladene Metallkugel besitzt einen Radius von 2 cm sowie eine Flächenladungsdichte von σ = 10−5 C/m 2 . (a) Berechnen Sie die Gesamtladung der Kugel. (b) Welche potentielle Energie besitzt die Punktladung q = 3·10−8 C an einem Raumpunkt P, der von der Kugeloberfläche einen Abstand von 1 cm besitzt? (c) Bestimmen Sie die Arbeit, die man verrichten muss, um die Punktladung q aus dem Unendlichen an diesen Raumpunkt zu bringen. Lösung (a) Die Oberfläche einer Kugel ist gegeben durch A = 4 π · R 2 . Mit dem Radius R = 2 cm erhalten wir für die Gesamtladung der Kugel: Q = σ · A = σ · 4 π R 2 = 10−5 C/m 2 · 4 π · (2 · 10−2 m)2 = 5 · 10−8 C

(8.34)

(b) Diese Ladung verteilt sich gleichmäßig auf der Kugeloberfläche, weshalb die Metallkugel eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung besitzt. Deshalb erzeugt die Kugel im Außenraum ein elektrisches Feld, das dem einer Punktladung mit der Ladung Q im Kugelmittelpunkt entspricht. Damit erhalten wir für die potentielle Energie der Punktladung q = 3 · 10−8 C im Abstand 1 cm von der Kugeloberfläche, d. h. im Abstand r = 3 cm von der gedachten Punktladung im Kugelmittelpunkt: E pot (r ) = =

1 q·Q · 4 π 0 r

3 · 10−8 C · 5 · 10−8 C 1 · = 4,5 · 10−4 J −12 2 2 4 π · 8,854 · 10 C /N m 0,03 cm

(8.35)

(c) Aufgrund der Wahl des Nullpunktes „unendlich“ gilt für die potentielle Energie E pot (∞) = 0 J . Damit folgt für die Arbeit, die wir verrichten müssen, um die Punktladung q vom „Unendlichen“ an den Raumpunkt P zu bringen: W =  E pot = E pot (r ) − E pot (∞) = 4,5 · 10−4 J

(8.36) 

Aufgabe 173 Elektron und Proton im Kondensator Der Plattenabstand eines ebenen Plattenkondensators beträgt 5 cm. Ein Elektron befindet sich an der negativen und ein Proton an der positiven Platte. Zum Anfangszeitpunkt t0 = 0 s bewegen sich beide aus dem Ruhezustand aufeinander zu. In welcher Entfernung von der

174

8 Klassische Elektrodynamik

positiven Platte begegnen sie sich? Das Verhältnis von Proton- zur Elektronmasse beträgt m p /m e = 1 836 (siehe Anhang B). Lösung Da das Elektron und das Proton betragsmäßig dieselbe Ladung | Q e |= Q p = e besitzen, wirkt auf beide im homogenen elektrischen Feld des Plattenkondensators die Coulomb-Kraft vom Betrag (siehe Abb. 8.9) F C = e · E.

(8.37)

Diese ruft nach dem Aktionsprinzip Fges = m · a die Beschleunigung von Elektron und Proton hervor. Für die Beschleunigung des Elektrons gilt ae =

FC e·E = , me me

(8.38)

während wir für die Beschleunigung des Protons analog ap =

FC e·E = mp mp

(8.39)

erhalten. Nach der Zeit tg treffen sie sich im Punkt P innerhalb des Kondensators (siehe Abb. 8.9). Beide bewegen sich gleichmäßig beschleunigt und legen in der Zeit tg die Strecken se =

1 1 e·E 2 · tg · ae · tg2 = · 2 2 me

1 1 e·E 2 s p = · a p · tg2 = · · tg 2 2 mp

(8.40)

zurück. Da die Summe der zurückgelegten Strecken den Plattenabstand ergibt, erhalten wir die Beziehung

Abb. 8.9 Elektron und Proton im Kondensator

8.2

Übungsserie: Elektrische Felder

175

se + s p = d.

(8.41)

Andererseits folgt aus (8.40) durch Eliminierung von tg mp me = 2 sp · e·E e·E und damit für die zurückgelegten Strecken die zusätzliche Beziehung tg2 = 2 se ·

m p · s p = m e · se .

(8.42)

(8.43)

Aus (8.41) folgt se = d − s p und damit: m p · s p = m e · (d − s p ) = m e · d − m e · s p (m p + m e ) · s p = m e · d Für den Abstand des Punktes P von der positiven Platte erhalten wir schließlich:

sp =

me 1 1 ·d = · 5 · 10−2 m = 2,7 · 10−5 m m ·d = me + m p 1 + 1 836 1 + m ep

(8.44)

Kurz nachdem sich das Proton auf den Weg gemacht hat, ist das Elektron schon da. Das liegt an der größeren Masse, d. h. Trägheit, des Protons.  Aufgabe 174 Kondensator ohne Dielektrikum Die Fläche der beiden Platten eines Kondensators beträgt 0,8 m 2 und der Plattenabstand 1,6 mm. Im Zwischenraum der Platten befindet sich Luft mit der Dielektrizitätszahl   1. (a) Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators. (b) Der Kondensator werde mit einer Spannung von 250 V geladen. Welche Flächenladungsdichte besitzen dann die Platten? Lösung (a) Die Kapazität des Plattenkondensators ist gegeben durch: C0 =

0 · A 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 · 0,8 m 2 = = 4,43 n F d 1,6 · 10−3 m

(8.45)

(b) Wird der Kondensator mit einer Spannung von 250 V geladen, dann trägt er die Ladung Q = C0 · U = 4.43 · 10−9 F · 250 V = 1,11 · 10−6 C.

(8.46)

176

8 Klassische Elektrodynamik

Beide Platten besitzen dann die Flächenladungsdichten ± σ mit σ =

Q 1,11 · 10−6 C = 1,39 · 10−6 C/m 2 . = A 0,8 m 2

(8.47) 

Aufgabe 175 Kondensator mit Dielektrikum Die Fläche der Platten eines Plattenkondensators beträgt 800 cm 2 und der Plattenabstand 4 cm. Ohne Dielektrikum wird der Kondensator mit einer Spannung von 200 V geladen. Nach dem Entfernen der Spannungsquelle wird der Raum zwischen den Platten mit Hartgummi gefüllt. Die Dielektrizitätszahl von Hartgummi beträgt  = 2,6. Berechnen Sie (a) die Kapazität des Kondensators, (b) den Potentialunterschied zwischen den Platten sowie (c) die Flächenladungsdichte der Platten nach dem Einbringen des Hartgummis. Lösung (a) Die Kapazität des Kondensators ohne Dielektrikum beträgt:

C0 =

0 · A 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 · 8 · 10−2 m 2 = = 1,77 · 10−11 F d 4 · 10−2 m

(8.48)

Wird er mit einer Spannung von U = 200 V geladen, dann trägt er die Ladung Q 0 = C0 · U = 1,77 · 10−11 F · 200 V = 3,54 · 10−9 C.

(8.49)

Entfernt man nun die Spannungsquelle, so bleibt die Ladung des Kondensators konstant! Bringt man den Hartgummi zwischen die Kondensatorplatten, dann erhöht sich die Kapazität des Kondensators: C =  · C0 = 2,6 · 1,77 · 10−11 F = 4,60 · 10−11 F

(8.50)

(b) Ferner ändert sich die Spannung, d. h. die Potentialdifferenz, zwischen den Kondensatorplatten beim Einbringen des Hartgummis gemäß: U=

1 200 V · U0 = = 76,92 V  2,6

(8.51)

8.2

Übungsserie: Elektrische Felder

177

(b) Da schließlich die Ladung auf den Platten konstant bleibt, ist die Ladungsdichte der Platten vor und nach dem Einbringen des Hartgummis gleich und beträgt: σ = σ0 =

Q0 3,54 · 10−9 C = 4,43 · 10−8 C/m 2 = A 8 · 10−2 m 2

(8.52) 

Aufgabe 176 Elektrische Energie und Energiedichte Ein Kondensator mit einer Kapazität von 50 μF wird mit einer Spannung von 200 V geladen. Der Abstand der Platten betrage 0,5 cm. (a) Welche Energie ist dann im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert? (b) Berechnen Sie die Energiedichte des elektrischen Feldes im Innenraum des Kondensators. Lösung (a) Für die im elektrischen Feld des Kondensators gespeicherte Energie folgt E el =

1 1 · C · U 2 = · 50 · 10−6 F · (200 V )2 = 1 J , 2 2

(8.53)

wobei für die Einheiten F V 2 = (C/V ) V 2 = C V = J gilt. (b) Die Energiedichte des elektrischen Feldes innerhalb des Plattenkondensators ist gegeben durch: 1 · 0 · E 2 2 Für die elektrische Feldstärke im Kondensator erhalten wir el =

(8.54)

200 V U = = 4 · 104 V /m, d 5 · 10−3 m womit wir schließlich für die Energiedichte E=

el =

(8.55)

8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 · 16 · 108 V 2 /m 2 = 7 · 10−3 J /m 3 2

erhalten. Für die Einheiten gilt

C2 N m2

V 2 (m ) =

C2 N m2

( CN )2 =

N m2

=

Nm m3

(8.56)

= J /m 3 . 

178

8.3

8 Klassische Elektrodynamik

Übungsserie: Magnetische Felder

A) Verständnisteil Begriffe: Ampere’sches Gesetz, Lorentz-Kraft, magnetisches Feld, magnetische Feldkonstante, Biot-Savart’sches Gesetz, magnetische Feldlinien, magnetischer Dipol, magnetisches Dipolmoment, Spule, Magnetisierung, Permeabilität, Diamagnetismus, Paramagnetismus, Ferromagnetismus, induziertes und permanentes Dipolmoment, elektromagnetisches Feld, elektromagnetische Induktion, Induktionsspannung, magnetischer Fluss, Faraday’sches Induktionsgesetz, Lenz’sche Regel, Selbstinduktion

Aufgabe 177 Ampere’sches Gesetz Welche der folgenden Aussagen zum Ampere’schen Gesetz ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Das Ampere’sche Gesetz macht eine Aussage über die elektromagnetische Kraft zweier ruhender Punktladungen aufeinander. (b) Zwei parallele Metalldrähte der Länge l, die sich im Abstand r voneinander befinden und durch die die Ströme I1 und I2 fließen, üben aufeinander die Lorentz-Kraft F L aus. (c) Der Betrag der Lorentz-Kraft ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der Metalldrähte. (d) Die Lorentz-Kraft der Metalldrähte aufeinander ist abstoßend, wenn die Ströme gleich gerichtet sind, und anziehend, wenn sie entgegengesetzt gerichtet sind. Lösung (a) ist falsch, denn das Ampere’sche Gesetz macht eine Aussage über die Lorentz-Kraft zweier stromdurchflossener Leiter aufeinander. (b) ist richtig. (c) ist falsch, denn die Lorentz-Kraft ist umgekehrt proportional zum Abstand r der Metalldrähte. (d) ist falsch, denn die Lorentz-Kraft der Metalldrähte aufeinander ist anziehend, wenn die Ströme gleich gerichtet sind, und abstoßend, wenn sie entgegengesetzt gerichtet sind. 

8.3

Übungsserie: Magnetische Felder

179

Aufgabe 178 Lorentz-Kraft Zwei positive Punktladungen fliegen mit konstanter Geschwindigkeit v parallel zueinander im Abstand r . (a) Welchen Betrag und welche Richtung besitzt das magnetische Feld der Ladung q1 am Ort der Ladung q2 ? (b) Bestimmen Sie den Betrag und die Richtung der Lorentz-Kraft der Ladung q1 auf die Ladung q2 . Lösung (a) Das magnetische Feld der Punktladung q1 am Ort der Punktladung q2 , den wir durch den Ortsvektor r beschreiben, ist gegeben durch:  r ) = μ0 · q1 · v × r , r =| r | (8.57) B( 4π r3 Dieser Vektor steht senkrecht zu v und r, wie in Abb. 8.10 dargestellt. Da die Vektoren v und r senkrecht zueinander stehen, folgt für seinen Betrag: v ·r μ0 v μ0 · q1 · 3 = · q1 · 2 4π r 4π r (b) Die Lorentz-Kraft der Ladung q1 auf die Ladung q2 ist wegen B(r ) =

F L = q2 · v × B

(8.58)

(8.59)

entlang der direkten Verbindungslinie von q1 nach q2 gerichtet (siehe Abb. 8.10). Da die Vektoren v und B senkrecht zueinander stehen, erhalten wir mit (8.58) für den Betrag der Lorentz-Kraft: F L = q2 · v · B(r ) =

μ0 q 1 · q 2 · v 2 · 4π r2

(8.60) 

Abb. 8.10 Lorentz-Kraft

180

8 Klassische Elektrodynamik

Aufgabe 179 Magnetische Felder Welche der folgenden Aussagen über magnetische Felder ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Elektrische Ströme, d. h. bewegte Ladungen, erzeugen ein magnetisches Feld. (b) Der Betrag des magnetischen Feldes eines stromdurchflossenen, geraden elektrischen Leiters ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes r vom Leiter. (c) Bewegt sich eine Punktladung q mit der Geschwindigkeit v in einem magnetischen  so erfährt sie die Lorentz-Kraft, die stets senkrecht zu v und B gerichtet ist. Feld B, (d) Magnetische Feldlinien beginnen an positiven und enden an negativen bewegten Ladungen. Lösung (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn nach dem Biot-Savart’schen Gesetz ist der Betrag des magnetischen Feldes eines vom Strom I durchflossenen, geraden Leiters gegeben durch μ0 I · , (8.61) 2π r d. h., er ist umgekehrt proportional zum Abstand r vom Leiter. (c) ist richtig. (b) ist falsch, denn magnetische Feldlinien sind stets in sich geschlossen und umschlingen den Strom, der das magnetische Feld erzeugt.  B=

Aufgabe 180 Magnetische Feldlinien In den folgenden Abbildungen ist ein stromdurchflossener, gerader Draht im Querschnitt (schraffierter Kreis) dargestellt. In welcher/welchen dieser Abbildungen ist der Verlauf der magnetischen Feldlinien qualitativ richtig dargestellt?

Begründen Sie Ihre Antwort!

8.3

Übungsserie: Magnetische Felder

181

Lösung Magnetische Feldlinien sind stets geschlossen und umschlingen den Strom, der das magnetische Feld erzeugt. Deshalb ist Abb. (a) falsch. Ferner sind die magnetischen Feldlinien eines geraden stromdurchflossenen Leiters konzentrische Kreise, weshalb auch Abb. (c) falsch ist. Schließlich verlaufen die magnetischen Feldlinien eines geraden, stromdurchflossenen Leiters in einer Ebene senkrecht zum Leiter, weshalb nur Abb. (b) richtig ist.  Aufgabe 181 Magnetischer Fluss In einem homogenen magnetischen Feld B befinden sich (a) eine ebene kreisförmige Leiterschleife mit dem Radius r derart, dass die magnetischen Feldlinien senkrecht zur Leiterschleife verlaufen, sowie (b) ein ebener rechteckiger Leiterrahmen mit den Seitenlängen a und b, sodass die Feldlinien parallel zu der Seite a des Leiterrahmens gerichtet sind.

Bestimmen Sie den magnetischen Fluss durch beide Leiterschleifen. Lösung (a) Im ersten Fall ist die Leiterschleife senkrecht zum homogenen magnetischen Feld, weshalb der magnetische Fluss durch die Leiterschleife mit der Kreisfläche A = r 2 π gegeben ist durch φ = B · A = B · r 2 π, worin B die magnetische Feldstärke durch die Leiterschleife bezeichnet.

(8.62)

182

8 Klassische Elektrodynamik

(b) Im zweiten Fall ist die Leiterschleife dagegen parallel zu den magnetischen Feldlinien, sodass der magnetische Fluss durch die Leiterschleife verschwindet.  Aufgabe 182 Faraday’sches Induktionsgesetz Welche der folgenden Aussagen zum Faraday’schen Induktionsgesetz ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Im zeitlich unveränderlichen Feld eines Permanentmagneten kann keine elektrische Spannung induziert werden. (b) Die Stromstärke des in einer geschlossenen Leiterschleife induzierten Stromes ist allein durch die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch die Leiterschleife bestimmt. (c) Die in einer geschlossenen Leiterschleife induzierte elektrische Spannung ist betragsmäßig gleich der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Schleife. (d) Die Induktionsspannung sowie der bei geschlossener Schleife fließende Induktionsstrom sind stets so gerichtet, dass sie der Ursache ihrer Entstehung entgegenwirken. Lösung (a) ist falsch, denn eine Induktionsspannung entsteht immer dann an den Enden einer Leiterschleife, wenn sich der magnetische Fluss durch diese Leiterschleife zeitlich ändert, und das kann im zeitlich konstanten Feld eines Permanentmagneten z. B. durch eine Drehung der Leiterschleife im magnetischen Feld erfolgen. (b) ist falsch, zwar ist die bei einer geschlossenen Leiterschleife induzierte Spannung nach dem Induktionsgesetz betragsmäßig gleich der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Schleife, doch die Stromstärke des durch die Induktionsspannung hervorgerufenen Induktionsstromes hängt insbesondere auch vom elektrischen Widerstand der Leiterschleife, d. h. vom Leitermaterial, dem Leiterquerschnitt bzw. der Temperatur ab. (c) ist richtig. (d) ist richtig.  Aufgabe 183 Induktionsspannung In der folgenden Abbildung ist der magnetische Fluss φ durch eine Leiterschleife als Funktion der Zeit aufgetragen.

8.3

Übungsserie: Magnetische Felder

183

In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist der zeitliche Verlauf der an den Enden der Leiterschleife induzierten Spannung Uind qualitativ richtig dargestellt?

Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung Für eine Leiterschleife lautet das Faraday’sche Induktionsgesetz: d φ(t) (8.63) dt An der Stelle tm besitzt die Funktion φ ein lokales Minimum, weshalb an dieser Stelle die Steigung und damit die Induktionsspannung Uind = 0 V ist. Somit ist Abb. (b) falsch. Ferner ist der Graph von φ im Intervall 0 < t < t1 sowie für t > t2 konstant, weshalb die Steigung von φ und damit die Induktionsspannung in diesen Bereichen ebenfalls verschwinden. Damit ist auch Abb. (a) falsch. Schließlich ist zwischen t1 und tm die Steigung von φ negativ und damit Uind positiv, an der Stelle tm ist sie null, und zwischen tm und t2 ist die Steigung positiv und somit Uind negativ. Deshalb ist nur Abb. (c) richtig. Uind = −



184

8 Klassische Elektrodynamik

B) Übungsteil Aufgabe 184 Magnetische Feldstärke einer Spule Eine Spule hat 800 Windungen und eine Länge von 40 cm. Durch die Spule fließt ein elektrischer Strom mit der Stromstärke 3 A. (a) Berechnen Sie den Betrag des magnetischen Feldes im Inneren der Spule. (b) Wie ändert sich die magnetische Feldstärke, wenn wir in die Spule einen Eisenkern mit der Permeabilität μ = 900 schieben? Lösung (a) Der Betrag des magnetischen Feldes im Inneren der Spule ohne Materie ist gegeben durch B0 = μ0 ·

Vs N 800 · I = 1,256 · 10−6 · · 3 A = 7,54 · 10−3 T , l A m 0,4 m

(8.64)

Vs Nm 1 N wobei wir mit J = AV s = N m für die Einheiten m 2 = A m 2 = A m = T erhalten. (b) Schieben wir nun in dieses magnetische Feld einen Eisenkern mit der Permeabilität μ = 900, so erhalten wir für die magnetische Feldstärke:

B M = μ · B0 = 900 · 7,54 · 10−3 T = 6,79 T

(8.65) 

Aufgabe 185 Lorentz-Kraft auf ein Elektron Ein Elektron fliegt senkrecht zu den Feldlinien und mit konstanter Geschwindigkeit in ein homogenes magnetisches Feld, das die Feldstärke 0,2 · 10−3 T besitzt. Der Betrag der Geschwindigkeit des Elektrons ist 8 · 107 m/s. Das Verhältnis von Elementarladung zur Masse des Elektrons beträgt e/m e = 1,76 · 1011 C/kg. (a) Welche Kraft wirkt auf das Elektron, und in welche Richtung zeigt sie? (b) Berechnen Sie den Betrag der Beschleunigung des Elektrons, die diese Kraft hervorruft. Wie ist diese gerichtet? Lösung (a) Auf das Elektron wirkt die Lorentz-Kraft F L = −e · v × B (siehe Abb. 8.11). Sie ist radial nach innen zum Kreismittelpunkt gerichtet und besitzt, da die Geschwindigkeit senkrecht zum magnetischen Feld B steht, den Betrag F L = e · v · B.

(8.66)

8.3

Übungsserie: Magnetische Felder

185

Abb. 8.11 Lorentz-Kraft auf ein Elektron

(b) Die Lorentz-Kraft wirkt als Zentripetalkraft FZ = F L und ruft die gleichförmige Kreisbewegung des Elektrons hervor. Die diesbezügliche Zentripetalbeschleunigung a Z ist ebenfalls radial nach innen gerichtet und besitzt den Betrag aZ =

FZ FL e·v· B e = = = ·v· B me me me me

(8.67)

= 1,76 · 1011 C/kg · 8 · 107 m/s · 0,2 · 10−3 T = 2,82 · 1015 m/s 2 . Dabei gilt für die Einheiten

CmT kg s

=

CmN kg s A m

=

CN kg s A

=

A s kg m kg s A s 2

= m/s 2 . 

Aufgabe 186 Induktionsspannung an einer Spule Eine Spule mit einem Durchmesser von 20 cm und 1 000 Windungen wird von einem homogenen magnetischen Feld durchsetzt derart, dass die Längsachse der Spule parallel zu den Feldlinien verläuft. Berechnen Sie die Spannung, die zwischen den Enden der Spule induziert wird, wenn die zeitliche Änderung des magnetischen Feldes durch die Spule 12 T /s beträgt. Lösung Nach dem Faraday’schen Induktionsgesetz ist die induzierte Spannung zwischen den Enden der Spule gegeben durch: Uind = − N ·

d φ(t) dt

(8.68)

186

8 Klassische Elektrodynamik

Der magnetische Fluss des magnetischen Feldes durch die Spule mit der Kreisfläche A = π r 2 beträgt (8.69) φ(t) = B(t) · A = B(t) · π r 2 , womit wir für die induzierte Spannung Uind = − N · π r 2 ·

d B(t) dt

(8.70)

erhalten. Mit der zeitlichen Änderung des magnetischen Feldes d dB(t) t = 12 T /s und mit dem Radius r = 10 cm = 0,1 m der Spule erhalten wir schließlich: Uind = −1 000 · π · (0,1 m)2 · 12 T /s = −377 V Für die Einheiten gilt hierbei

T m2 s

=

N m2 Ams

=

J As

=

V As As

= V.

(8.71) 

Aufgabe 187 Induktivität einer Spule Eine Spule besitzt 800 Windungen, eine Länge von 8 cm und eine Querschnittsfläche von 10 cm 2 . (a) Welche Induktivität besitzt die Spule ohne Materie? (b) Berechnen Sie die Induktivität der Spule, wenn in das Innere ein Eisenkern mit der Permeabilität 600 geschoben wird. Lösung (a) Für die Induktivität der Spule ohne Materie erhalten wir: L 0 = μ0 ·

V s 8002 · 0,001 m 2 N2 · A = 1,256 · 10−6 · = 10 m H l Am 0,08 m

(8.72)

(b) Schieben wir in die Spule einen Eisenkern mit der Permeabilität μ = 600, so erhöht sich die Induktivität der Spule auf L M = μ · L 0 = 600 · 10 m H = 6 H .

(8.73) 

Aufgabe 188 Magnetischer Fluss durch eine Spule Eine Spule besitzt eine Länge von 40 cm, einen Durchmesser von 4 cm sowie 800 Windungen. Ferner fließt durch die Spule ein Strom der Stärke 1 A. Berechnen Sie den magnetischen Fluss durch die Spule. Lösung Der Strom, der durch die Spule fließt, erzeugt ein magnetisches Feld, dessen Feldstärke im Inneren der Spule gegeben ist durch:

8.4

Übungsserie: Elektrische Schaltungen

B = μ0 ·

187

Vs N 800 · I = 1,256 · 10−6 · · 1 A = 2,5 · 10−3 T l A m 0,4 m

(8.74)

Für die Einheiten gilt AA Vm 2s = ANmm2 = ANm = T . Dann folgt für den magnetischen Fluss durch die Spule mit der Kreisfläche A = π r 2 und dem Radius r = 4 cm/2 = 0,02 m: φ = B · A = 2,5 · 10−3 T · π · (0,02 m)2 = 3,14 · 10−6 W b

(8.75) 

Aufgabe 189 Energiedichte des magnetischen Feldes Eine Spule mit einer Induktivität von 6 · 10−7 H besitzt eine Länge von 30 cm und eine Querschnittsfläche von 2 cm 2 . Durch die Spule fließt ein Strom der Stärke 2 A. Berechnen Sie die Energiedichte des magnetischen Feldes im Inneren der Spule. Lösung Die Energiedichte des magnetischen Feldes ist gegeben durch: E magn V

magn =

(8.76)

Für die Energie, die im magnetischen Feld innerhalb der Spule gespeichert ist, gilt: E magn =

1 · L · I2 2

(8.77)

Mit dem Volumen der Spule V = l · A erhalten wir insgesamt: magn =

L · I2 6 · 10−7 H · (2 A)2 = 2 · 10−2 J /m 3 = 2·l · A 2 · 0,3 m · 2 · 10−4 m 2

Mit H = V s/A gilt für die Einheiten

8.4

H A2 m3

=

V s A2 A m3

=

(8.78)

J . m3

Übungsserie: Elektrische Schaltungen

A) Verständnisteil Begriffe: Spannungsquelle, elektrischer Strom, Stromrichtung, Gleichstrom, Wechselstrom, elektrische Bauteile, elektrischer Widerstand, spezifischer Widerstand, Temperaturabhängigkeit des Widerstandes, Ohm’sches Gesetz, Strom-Spannungs-Kennlinie, Leistung des elektrischen Stromes, Joule’sches Gesetz, einfache elektrische Schaltungen, Knoten- und Maschenregel, Widerstandsschaltungen, kapazitiver Widerstand, induktiver Widerstand, elektrischer Schwingkreis



188

8 Klassische Elektrodynamik

Aufgabe 190 Elektrischer Widerstand Welche der folgenden Aussagen zum elektrischen Widerstand ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Legt man an einen elektrischen Widerstand R die Spannung U , so fließt durch den Widerstand ein elektrischer Strom mit der Stromstärke I = U /R. (b) Der elektrische Widerstand hängt von der geometrischen Form eines Leiters ab. (c) Der elektrische Widerstand von Metallen nimmt linear mit der Temperatur zu. (d) Nach dem Ohm’schen Gesetz verdoppelt sich der Widerstand, wenn man die doppelte Spannung anlegt. Lösung (a) (b) (c) (d)

ist richtig. ist richtig. ist richtig. ist falsch, denn der Inhalt des Ohm’schen Gesetzes ist, dass der elektrische Widerstand als Funktion von Stromstärke und Spannung konstant ist, d. h., es gilt: R=

U = konstant I

(8.79) 

Aufgabe 191 Knotenregel Welche der im Folgenden gezeichneten Stromstärkeverteilungen in der Umgebung eines Leiterknotens ist im stationären Fall möglich?

Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung Nach der Knotenregel ist in einem Knotenpunkt einer elektrischen Schaltung die Summe aller zufließenden Ströme gleich der Summe aller abfließenden Ströme. In Abb. (a) ist die

8.4

Übungsserie: Elektrische Schaltungen

189

Summe der zufließenden Ströme 9 A, während die Summe aller abfließenden Ströme 11 A beträgt. Damit ist Abb. (a) falsch. Abb. (b) ist ebenfalls nicht richtig, da die Summe der zufließenden Ströme 9 A und die Summe der abließenden Ströme 5 A ergibt. In Abb. (c) dagegen ist die Summe der zufließenden und der abfließenden Ströme gleich 9 A, weshalb nur Abb. (c) richtig ist.  Aufgabe 192 Maschenregel Betrachten Sie die in Abb. 8.12 dargestellte elektrische Schaltung. Die Spannungen der Spannungsquellen betragen U1 = U2 = U3 = 6 V und U4 = 8 V . Berechnen Sie die Spannungsabfälle U5 und U6 an den beiden elektrischen Widerständen.

Lösung Wir legen die Maschenrichtung, wie in Abb. 8.12 dargestellt, fest. Nach der Maschenregel ist die Summe aller Spannungen der in einer Masche vorhandenen Spannungsquellen gleich der Summe aller Spannungsabfälle an den enthaltenen elektrischen Bauteilen, wobei die Vorzeichen in Bezug auf die festgelegte Maschenrichtung zu beachten sind. Da die Spannungsquelle U4 entgegen der Maschenrichtung wirkt, erhält die Spannung ein Minuszeichen! Somit gilt: U1 + U2 + U3 − U4 = 6 V + 6 V + 6 V − 8 V = 10 V = U5 + U6

(8.80)

Da beide Widerstände gleich sind und weil durch beide der gleiche Strom fließt, gilt: U5 = U6 = R · I = U

(8.81)

U5 + U6 = 2 · U = 10 V ,

(8.82)

Damit folgt

Abb. 8.12 Zur Maschenregel

190

8 Klassische Elektrodynamik

d. h., der Spannungsabfall an beiden Widerständen beträgt: U=

10 V = 5V 2

(8.83) 

Aufgabe 193 Kapazitiver Widerstand In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist für einen Kondensator die Abhängigkeit des kapazitiven Widerstandes von der Frequenz ν qualitativ richtig dargestellt?

Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung Der kapazitive Widerstand eines Kondensators in einem Wechselstromkreis ist mit ω = 2 π · ν gegeben durch 1 1 1 = · , (8.84) ω·C 2π C ν worin C die Kapazität des Kondensators bezeichnet. Damit ist er frequenzabhängig, weshalb Abb. (a) falsch ist. Ferner nimmt er umgekehrt proportional zur Frequenz ν ab, sodass auch Abb. (b) falsch und nur Abb. (c) richtig ist.  RC =

Aufgabe 194 Elektrischer Schwingkreis Wie ändert sich die Eigenfrequenz eines elektrischen Schwingkreises, wenn die Induktivität vervierfacht wird? Lösung Die Eigenfrequenz ν0 eines elektrischen Schwingkreises ist gegeben durch: ν0 =

1 1 ·√ 2π LC

(8.85)

8.4

Übungsserie: Elektrische Schaltungen

191

Wird die Induktivität vervierfacht, d. h. gilt L  = 4 · L, so folgt ν0  =

1 1 1 1 1 1 1 1 = = · = · ν0 , ·√ ·√ ·√  2π 2 π 2 2 π 2 4·LC LC L C

d. h., die Eigenfrequenz halbiert sich.

(8.86) 

B) Übungsteil Aufgabe 195 Parallel- und Reihenschaltung von Widerständen Gegeben sei eine Widerstandsschaltung mit einer Spannungsquelle von U = 60 V sowie den Widerständen R1 = 18 , R2 = 20 und R3 = 30 (siehe Abb. 8.13). (a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der elektrischen Schaltung. (b) Berechnen Sie die Stromstärke I des durch die Schaltung fließenden elektrischen Stromes. Lösung (a) Die beiden parallelen Widerstände R2 und R3 denken wir uns durch einen Ersatzwiderstand R  ersetzt, der gegeben ist durch: 1 1 R2 + R3 1 = + =  R R2 R3 R2 · R3

(8.87)

Mit den Werten R2 = 20 und R3 = 30 erhalten wir: R =

R2 · R3 20 · 30 600 = = = 12 R2 + R3 20 + 30 50

Abb. 8.13 Parallel- und Reihenschaltung von Widerständen

(8.88)

192

8 Klassische Elektrodynamik

Da nun R  und R1 in Reihe sind, erhalten wir schließlich für den Gesamtwiderstand R der elektrischen Schaltung: R = R1 + R  = 18 + 12 = 30

(8.89)

(b) Mit der Spannung U = 60 V folgt dann für die Stromstärke des durch die Schaltung fließenden elektrischen Stromes: I =

60 V U = =2A R 30

(8.90) 

Aufgabe 196 Widerstandsschaltung Die folgende Widerstandsschaltung enthält vier Spannungsquellen mit den Spannungen U1 = 40 V , U2 = 40 V , U3 = 16 V und U4 = 10 V sowie die Widerstände R1 = 40 , R2 = 60 und R3 = 50 . Welche Stromstärken besitzen die durch die Leitungen fließenden Ströme?

Lösung Wir legen die Strom- und Maschenrichtungen, wie in Abb. 8.14 gezeigt, fest. Nach der Knotenregel gilt: I1 = I2 + I3

(8.91)

U1 + U2 − U4 = R 1 · I 1 + R 3 · I 3 ,

(8.92)

Die 1. Masche liefert

Abb. 8.14 Widerstandsschaltung

8.4

Übungsserie: Elektrische Schaltungen

193

und aus der 2. Masche folgt: U3 − U4 = −R2 · I2 + R3 · I3

(8.93)

Mit (8.91) erhalten wir aus (8.92): U1 + U2 − U4 = R1 · (I2 + I3 ) + R3 · I3 = R1 · I2 + (R1 + R3 ) · I3

(8.94)

Setzen wir die Werte ein, so erhalten wir die Gleichungen (der Einfachheit halber lassen wir die Einheiten weg und fügen sie erst zum Schluss wieder ein): 70 = 40 · I2 + 90 · I3

(8.95)

6 = − 60 · I2 + 50 · I3 Multiplizieren wir die 1. Gleichung mit 3 und die 2. Gleichung mit 2, so folgt: 210 = 120 · I2 + 270 · I3

(8.96)

12 = −120 · I2 + 100 · I3 Addieren wir nun diese Gleichungen, so erhalten wir 222 V = 370 · I3 ,

(8.97)

I3 = 0,6 A

(8.98)

und damit: Aus (8.95) folgt dann für I2 : I2 =

50 · I3 − 6 50 · 0,6 A − 6 V = = 0,4 A 60 60

(8.99)

Die Knotenregel (8.91) liefert schließlich: I1 = 0,4 A + 0,6 A = 1 A

(8.100) 

Aufgabe 197 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes Der Widerstand eines Wolframdrahtes beträgt 37,3 bei 30 ◦ C. Welche Temperatur besitzt der Draht, wenn bei 220 V durch den Draht ein Strom von 0,5 A fließt? Der Temperaturkoeffizient von Wolfram beträgt α = 0,0046 ◦ C −1 . Lösung Die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes wird beschrieben durch: R(ϑ) = R0 · (1 + α · ϑ)

(8.101)

194

8 Klassische Elektrodynamik

Für den Widerstand bei ϑ = 0 ◦ C erhalten wir nach (8.101): R0 =

R(30 ◦ C) 37,3 = = 32,8 ◦ ◦ ◦ 1 + α · 30 C 1 + 0,0046 C −1 · 30 C

(8.102)

Fließt bei einer Spannung von U = 220 V ein Strom der Stärke I = 0,5 A durch den Draht, so erhalten wir für den elektrischen Widerstand des Wolframdrahtes R=

220 V U = = 440 , I 0,5 A

(8.103)

und für die Temperatur des Drahtes folgt dann nach (8.101): ϑ=

1 440 1 R(ϑ) − 1} = ·{ − 1} = 2 699 ◦ C ◦ −1 · { α R0 0,0046 C 32,8

(8.104) 

Aufgabe 198 RC-Schaltung Ein Kondensator werde durch eine Gleichspannungsquelle über einen ohmschen Widerstand von 30 geladen. Zum Zeitpunkt 3,65 · 10−4 s beträgt der Ladestrom 2/3 des Anfangswertes. Ferner beträgt zu diesem Zeitpunkt die Ladung des Kondensators 9 · 10−4 C. (a) Welche Zeitkonstante besitzt die elektrische Schaltung? (b) Berechnen Sie die maximale Ladung des Kondensators, die er nach dem Ladevorgang besitzt. (c) Mit welcher Spannung wird der Kondensator geladen? Lösung (a) Zum Zeitpunkt t ist der Ladestrom gegeben durch: t

I (t) = I0 · e− τ

(8.105)

Zum Zeitpunkt t1 = 3,65 · 10−4 s beträgt der Ladestrom 2/3 des Anfangswertes, d. h., es gilt: I (t1 ) =

2 · I0 3

(8.106)

Damit erhalten wir die Gleichung t1

I (t1 ) = I0 · e− τ =

2 · I0 . 3

(8.107)

8.4

Übungsserie: Elektrische Schaltungen

195

Hieraus folgt t1

e− τ =

2 3

|

(8.108)

ln,

d. h. −

t1 2 = ln , τ 3

(8.109)

womit wir für die Zeitkonstante τ =−

t1 ln

2 3

=−

3,65 · 10−4 s ln

2 3

= 9 · 10−4 s

(8.110)

erhalten. (b) Die Ladung des Kondensators ist zu einem Zeitpunkt t gegeben durch: t

Q(t) = Q ∞ · {1 − e− τ } Zum Zeitpunkt t1 gilt nach (8.108) e−

t1 τ

(8.111)

= 23 , und damit folgt

1 · Q∞, 3 woraus wir für die maximale Ladung des Kondensators t1

Q(t1 ) = Q ∞ · {1 − e− τ } =

Q ∞ = 3 · Q(t1 ) = 3 · 9 · 10−4 C = 2,7 · 10−3 C

(8.112)

(8.113)

erhalten. (c) Für die Spannung U0 , mit der der Kondensator geladen wird, gilt schließlich mit (8.110): U0 =

Q∞ Q∞ · R Q∞ · R 2, 7 · 10−3 C · 30 = = = = 90 V C C·R τ 9 · 10−4 s

(8.114) 

9

Atom- und Quantenphysik

9.1

Übungsserie: Quanten- und Elementarteilchenphysik

A) Verständnisteil Begriffe: Teilchen- und Wellennatur der Materie, Atom, Atomkern, Atomhülle, Nukleonen, Protonen, Neutronen, Elektronen, up-Quarks, down-Quarks, Spin von Elementarteilchen, Spinquantenzahl, magnetische Spinquantenzahl, Nuklide, Isotope, Isobare, Isotone, relative Atommasse, Massendefekt, Isotopenmischungen, Wellenlängen von Elementarteilchen, Planck’sches Wirkungsquantum, Ruheenergie des Elektrons, Teilchen- und Wellennatur der Strahlung, Energie und Impuls von Photonen, Photoeffekt und Bremsstrahlung, Compton-Effekt, Compton-Wellenlänge, Feynman-Diagramm, Paarerzeugung und Paarvernichtung, Standardmodell der Elementarteilchenphysik, Leptonen, Quarks, Bosonen, Wechselwirkung von Elementarteilchen, Radioaktivität, α-, β- und γ -Strahlung, Zerfallsgesetz, Aktivität, Zerfallskonstante, Halbwertszeit, mittlere Lebensdauer, Quanten, Gesetzmäßigkeiten der Quantenphysik, Wahrscheinlichkeitsaussagen, Heisenberg’sche Unschärferelationen

Aufgabe 199 Quanten Welche der folgenden Aussagen über Quanten ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Elektronen, Photonen, Quarks usw. sind klassische Massenpunkte und unterliegen den Gesetzmäßigkeiten der klassischen Mechanik. (b) Für ein einzelnes Quant kann man lediglich eine Wahrscheinlichkeit dafür angeben, mit der es sich zu einer bestimmten Zeit in einem bestimmten Raumbereich befindet oder dass sein Impuls in einem bestimmten Intervall liegt. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 G. Rufa, Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61262-0_9

197

198

9 Atom- und Quantenphysik

(c) Photonen der Röntgenstrahlung können an freien Elektronen gestreut werden, wobei das Photon einen Teil seiner Energie an das Elektron abgibt. (d) Die Heisenberg’schen Unschärferelationen besagen, dass wir für ein Quant den Ort und den Impuls oder die Energie und die Zeit gleichzeitig exakt bestimmen können. Lösung (a) ist falsch, denn Elektronen, Photonen, die Quarks usw. sind Quantenteilchen oder kurz Quanten, die den Gesetzmäßigkeiten der Quantenphysik unterliegen. (b) ist richtig. (c) ist richtig. (d) ist falsch, denn die Heisenberg’schen Unschärferelationen besagen, dass wir nicht alle physikalischen Größen an einem Quant gleichzeitig exakt bestimmen können, wie z. B. den Ort und den Impuls oder die Energie und die Zeit, was klassisch durchaus möglich wäre.  Aufgabe 200 Radioaktivität Welche der folgenden Aussagen über Radioaktivität ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) β-Strahlung besteht aus Elektronen, die beim β-Zerfall eines radioaktiven Nuklids ausgesendet werden. (b) Beim α- und β-Zerfall eines instabilen Atomkernes nimmt die Ordnungszahl um 1 zu, d. h., bei beiden Zerfallsarten entstehen neue Elemente. (c) Bei der γ -Strahlung handelt es sich um hochenergetische elektromagnetische Strahlung, die entsteht, wenn ein Atom von einem angeregten Zustand durch Emission eines Photons der Energie E γ > 100 keV in den Grundzustand übergeht. (d) Ein α-Strahler wie Uran sendet beim Zerfall einen Heliumkern (42 H e)2+ aus, wobei zusätzlich der Energiebetrag E frei wird. Lösung (a) ist richtig. (b) ist falsch, zwar ändert sich beim α- und β-Zerfall die Ordnungszahl Z , weshalb bei beiden Zerfallsarten neue Elemente entstehen, doch nimmt beim α-Zerfall die Ordnungszahl um 2 ab, während sie beim β-Zerfall um 1 zunimmt. (c) ist falsch, denn γ -Strahlung entsteht im Atomkern, wenn sich nach einem α- oder β-Zerfall der Tochterkern in einem angeregten Zustand befindet, der dann durch spontante Emission eines Photons mit einer Energie von E γ > 100 keV in einen Zustand niedrigerer Energie oder den Grundzustand übergeht. (d) ist richtig. 

9.1

Übungsserie: Quanten- und Elementarteilchenphysik

199

Aufgabe 201 Zum Spin von Elektronen In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist der Spin eines Elektrons qualitativ richtig dargestellt?

Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung

 √ 3 1 Der Betrag des Spins ist gegeben durch |s | = s(s + 1) ·  = 4 · , worin s = 2 die Spinquantenzahl ist, weshalb Abb. (a) falsch ist. Bezeichnet m s die magnetische Spinquantenzahl, so kann die z-Komponente des Spins nur die folgenden zwei Werte annehmen sz = m s ·  = ± 21 · . Wegen sz < |s | kann der Spin nicht in z-Richtung zeigen, weshalb auch Abb. (c) falsch ist. Schließlich kann man die x- und y-Komponenten des Spins nicht weiter bestimmen, sie sind damit vollkommen unbekannt. Das bedeutet, dass der Spin s irgendwie um die z-Achse präzessiert derart, dass sein Betrag und seine z-Komponente konstant sind, wobei nur zwei Spinstellungen möglich sind. Deshalb ist nur Abb. (b) richtig.  Aufgabe 202 Betazerfall Beschreiben Sie den Betazerfall des Goldisotops 198 79 Au 119 . Lösung Beim Betazerfall wandelt sich ein Neutron des Kerns in ein Proton um, wobei ein Elektron und ein Antielektronneutrino entstehen. Dadurch geht das Goldatom in das im Periodensystem benachbarte Element Quecksilber mit der Ordnungszahl Z = 80 über, dessen Kern nun 80 Protonen und 118 Neutronen besitzt. Die Nukleonenzahl bleibt hierbei unverändert! Somit gilt: 198 79 Au 119

−→

198 80 H g118

+ e− + ν¯ e

(9.1)

200

9 Atom- und Quantenphysik

Da Elektronen und Neutrinos Leptonen sind, unterliegen sie nicht der starken Wechselwirkung, weshalb sie den Quecksilberkern verlassen.  B) Übungsteil Aufgabe 203 Bahndrehimpuls und magnetisches Moment des (2 p)-Elektrons (a) Bestimmen Sie den Betrag und die z-Komponente des Bahndrehimpulses l eines (2 p)Elektrons. (b) Was können Sie über die Stellung des Bahndrehimpulses bezüglich einer vorgegebenen z-Achse sowie über seine x- und y-Komponenten aussagen? (b) Welchen Betrag besitzt das magnetische Moment, das mit diesem Bahndrehimpuls verknüpft ist? Lösung (a) Das (2 p)-Elektron besitzt die Bahndrehimpulsquantenzahl l = 1. Damit erhalten wir für den Betrag seines Bahndrehimpulses:  = |l|

  √ l(l + 1) ·  = 1(1 + 1) ·  = 2 ·   1,41 

(9.2)

Die z-Komponente des Bahndrehimpulses ist gegeben durch l z = m l · ,

(9.3)

worin die magnetische Quantenzahl die Werte m l = 1, 0, −1 annehmen kann. Damit folgt: l z = 1 , 0 , −1 

(9.4)

(b) Die Beziehungen (9.2) und (9.4) bedeuten, dass der Bahndrehimpuls l nicht genau in Richtung der z-Achse zeigen kann. Wie beim Spin kann man ferner nur eine Komponente des Bahndrehimpulses genau messen, wobei man üblicherweise die zKomponente wählt. Nach den Heisenberg’schen Unschärferelationen sind dann die xund die y-Komponenten unbekannt. Damit präzessiert der Bahndrehimpuls irgendwie um die z-Achse derart, dass sein Betrag und seine z-Komponente konstant sind, wobei beim (2 p)-Elektron nur drei Stellungen möglich sind. (c) Mit dem Bahndrehimpuls l ist das magnetische Dipolmoment μ  l = − gl ·

e e · l = − · l 2 me 2 me

(9.5)

verknüpft, worin die Konstante gl = 1 g-Faktor heißt. Für den Betrag des magnetischen Moments folgt dann:

9.1

Übungsserie: Quanten- und Elementarteilchenphysik

μl =

201

  l(l + 1) μ B = 1(1 + 1) μ B = 1,41 μ B

(9.6) 

Aufgabe 204 Ruheenergie der Nukleonen Welche Ruheenergie haben das Proton und das Neutron allein aufgrund ihrer Masse? Lösung Für die Energie, die ein Proton aufgrund seiner Masse von m p = 1,672 621 · 10−27 kg besitzt, erhalten wir mit der Lichtgeschwindigkeit c = 2,997 925 · 108 m/s (siehe Anhang B) E p = m p · c2 = 1,672 621 · 10−27 kg · (2,997 925 · 108 m/s)2 = 1,503 277 · 10−10 J , (9.7) und mit 1 J = 6,241 509 · 1018 eV folgt: E p = 1,503 277 · 10−10 J = 938,272 MeV

(9.8)

Analog erhalten wir mit der Masse des Neutrons m n = 1,674 927 · 10−27 kg für dessen Ruheenergie: E n = m n · c2 = 1,505 349 · 10−10 J = 939,565 MeV

(9.9) 

Aufgabe 205 Energie und Impuls von Photonen Berechnen Sie die Energie und den Impuls eines Photons der Röntgenstrahlung, das die Frequenz 2 · 1018 H z besitzt. Lösung Die Energie, die das Photon mit der Frequenz ν = 2 · 1018 H z besitzt, ist gegeben durch: E = h · ν = 6,626 · 10−34 J s · 2 · 1018 H z = 1,325 · 10−15 J

(9.10)

Ferner folgt mit c = ν · λ für den Impuls des Photons: p=

h·ν E 1,325 · 10−15 J h = = = = 0,442 · 10−7 kg m/s λ c c 2,998 · 108 m/s

(9.11) 

202

9 Atom- und Quantenphysik

Aufgabe 206 Heisenberg’sche Unschärferelationen Die Geschwindigkeit eines Elektrons ist mit einer Genauigkeit von  v = 1,9 · 10−2 m/s bekannt. (a) Bestimmen Sie die Impulsunschärfe des Elektrons. (b) Was können Sie über seine Ortsunschärfe aussagen? Berechnen Sie die minimale Ortsunschärfe des Elektrons. Lösung (a) Die Masse des Elektons ist gegeben durch m e = 9,109 · 10−31 kg. Für seine Impulsunschärfe erhalten wir dann:  p = m e ·  v = 9,109 · 10−31 kg · 1,9 · 10−2 m/s = 1,731 · 10−32 kg m/s (9.12) (b) Die Ortsunschärfe  x und die Impulsunschärfe  p des Elektrons sind durch die Heisenberg’sche Unschärferelation miteinander verknüpft, d. h., es gilt: x · p ≥ Hieraus folgt mit  = x ≥

h 2π

 2

(9.13)

= 1,055 · 10−34 J s:

 1,055 · 10−34 J s = = 3 · 10−3 m 2 · p 2 · 1,731 · 10−32 kg m/s

(9.14)

Die minimale Ortsunschärfe des Elektrons beträgt also 3·10−3 m, d. h., genauer können wir den Ort des Elektrons prinzipiell nicht bestimmen!  Aufgabe 207 Protonstreuung Ein Proton mit der Ladung Q p = + e und einer Masse von m p = 1,67 · 10−27 kg (siehe Anhang B) bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 8,1 · 106 m/s direkt auf einen Sauerstoffkern mit der Ladung Q O = + 8 e zu. (a) Berechnen Sie den kleinsten Abstand, bis zu dem sich das Proton an den Sauerstoffkern annähern kann. Betrachten Sie hierbei den Sauerstoffkern als eine Punktladung. (b) Durch solche Streuexperimente mit Protonen, Elektronen und √ Neutronen haben wir folgende empirische Formel für den Kernradius r K = 1,4 · 3 A f m erhalten, worin A die Nukleonenzahl des Kernes bezeichnet. Vergleichen Sie den in (a) ermittelten minimalen Abstand mit dem Radius des Sauerstoffkerns 16 8 O8 .

9.1

Übungsserie: Quanten- und Elementarteilchenphysik

203

Lösung (a) Ist das Proton sehr weit vom Kern entfernt, so gilt für seine potentielle Energie im elektrischen Feld des Sauerstoffkerns E 1pot = 0 J , und seine Gesamtenergie entspricht dann der kinetischen Energie: 1 1 E ges = E 1pot + E kin = E kin =

1 2 m p v∞ 2

(9.15)

2 = 0 J , und seine Am Umkehrpunkt verschwindet dagegen die kinetische Energie E kin Gesamtenergie ist nun gleich der potentiellen Energie 2 = E 2pot = E ges = E 2pot + E kin

1 (8 e) · e · , 4 π 0 rm

(9.16)

worin rm den minimalen Abstand des Protons vom Sauerstoffkern am Umkehrpunkt bezeichnet. Die Energieerhaltung liefert dann E ges =

1 1 8 e2 2 = · , m p v∞ 2 4 π 0 r m

(9.17)

woraus wir schließlich rm = =

4 · e2 2 π · 0 · m p · v∞

4 · (1,6 · 10−19 C)2 = 3,4 · 10−14 m −12 2 π · 8,854 · 10 C /N m 2 · 1,67 · 10−27 kg · (8,1 · 106 m/s)2

(9.18)

erhalten. √ (b) Der Kernradius des Sauerstoffisotops ist gegeben durch r K = 1,4 · 3 16 f m = 3,5 · 10−15 m. Damit beträgt der minimale Abstand des Protons etwa das 10-fache des Kernradius des Sauerstoffisotops. 

Aufgabe 208 Massendefekt und Bindungsenergie (a) Bestimmen Sie den Massendefekt bei der Bildung des Sauerstoffisotops 16 8 O8 . Kann hierbei die Bindungsenergie der Elektronen vernachlässigt werden? (b) Berechnen Sie die Bindungsenergie, die bei der Bildung dieses Sauerstoffisotops frei wird, sowie die Bindungsenergie pro Nukleon. Die Atommasse des Sauerstoffisotops beträgt m 16 O = 15,994 914 62 u. 8

8

204

9 Atom- und Quantenphysik

Lösung (a) Der Massendefekt  m ist gegeben durch die Differenz der Summe der Massen der freien Protonen und Neutronen, die das Sauerstoffisotop bilden, und der Masse m K des Kerns, d. h., es folgt:  m = 8 · m p + 8 · m n − m K (O)

(9.19)

Ziehen wir von der Atommasse des Sauerstoffisotops die Masse der 8 Elektronen ab, wobei m e = 5,485 799 09 · 10−4 u die Masse eines Elektrons bezeichnet, so erhalten wir die Kernmasse m K des Sauerstoffisotops: m K (O) = 15,994 914 62 u − 8 · 5,485 799 09 · 10−4 u = 15,990 525 98 u

(9.20)

Da die Bindungsenergie der Elektronen im Atom einige eV beträgt, ist diese gegenüber der Energie m e · c2 = 0,511 MeV , die der Masse eines Elektrons entspricht, vernachlässigbar. Mit den Nukleonenmassen m p = 1,007 276 47 u und m n = 1,008 664 92 u erhalten wir für den Massendefekt:  m = 8 · 1,007 276 47 u + 8 · 1,008 664 92 u − 15,990 525 98 u = 0,137 005 14 u

(9.21)

(b) Einem Unit entspricht eine Energie von 1 u · c2 = 931,494 102 42 MeV . Damit äußert sich dieser Massendefekt in der Bindungsenergie der Nukleonen E B =  m · c2 = 0,137 005 14 · 931,494 102 42 MeV = 127,619 MeV ,

(9.22)

die bei der Bildung des Sauerstoffisotops frei wird. Für die Bindungsenergie pro Nukleon erhalten wir: E B /A =

127,619 MeV = 7,976 MeV 16

(9.23) 

Aufgabe 209 Alphazerfall (a) Beschreiben Sie den α-Zerfall des Isotops 210 84 Po126 . (b) Welcher Energiebetrag wird bei diesem Zerfall frei? 206 4 Die Kernmassen von Polonium 210 84 Po126 , Blei 82 Pb116 und Helium 2 H e2 sind gegeben durch m K (Po) = 209,936 792 u, m K (Pb) = 205,929 482 u und m K (H e) = 4,001 506 u.

9.1

Übungsserie: Quanten- und Elementarteilchenphysik

205

Lösung (a) Beim α-Zerfall des Poloniumisotops wird ein Heliumkern ausgesendet: 210 84 Po126

−→

206 82 Pb124

+42 H e2 +  E

(9.24)

Da sich die Zahl der Protonen und die Zahl der Neutronen um 2 verringern, wandelt sich das Poloniumatom in ein Bleiatom mit der Ordnungszahl Z = 82 und der Nukleonenzahl A = 206 um. Der freiwerdende Energiebetrag  E resultiert aus der Änderung der Bindungsenergie der Nukleonen. (b) Für die Massenänderung erhalten wir:  m = m K (Po) − m K (Pb) − m K (H e) = 209,936 792 u − 205,929 482 u − 4,001 506 u

(9.25)

= 0,005 804 u Mit der Beziehung 1 u · c2 = 931,494 102 MeV erhalten wir für den freiwerdenden Energiebetrag:  E =  m · c2 = 0,005 804 · 931,494 102 MeV = 5,406 MeV

(9.26) 

Aufgabe 210 Photoeffekt Für Lithium beträgt die Grenzwellenlänge der Strahlung λ0 = 5,65·10−7 m, bei der der Photoeffekt gerade noch beobachtet wird, und für die die kinetische Energie der herausgelösten Elektronen E kin = 0 J ist. (a) Bestimmen Sie die Austrittsarbeit für Lithium. (b) Berechnen Sie die kinetische Energie der herausgelösten Elektronen, wenn die absorbierte Strahlung eine Frequenz von ν = 13 · 1014 H z besitzt. Lösung (a) Bestrahlt man Lithium mit UV-Strahlung, so werden aus dem Metall Elektronen herausgelöst, die sich dann außerhalb des Metalls mit der kinetischen Energie E kin = h · ν − E a

(9.27)

bewegen. Hierin bezeichnet E a die Austrittsarbeit, die der Bindungsenergie eines Leitungselektrons im Metall entspricht, d. i. diejenige Energie, die man aufbringen muss, um das Elektron aus dem Metallverband herauszulösen. Für Photonen mit der Wellenlänge λ0 = 5,65 · 10−7 m beträgt die Frequenz:

206

9 Atom- und Quantenphysik

ν0 =

c 3 · 108 m/s = = 5,31 · 1014 H z λ0 5,65 · 10−7 m

(9.28)

Da für diese Grenzfrequenz die kinetische Energie der herausgelösten Elektronen verschwindet, ist die Austrittsarbeit für Lithium nach (9.27) mit 1 eV = 1,60 · 10−19 J gegeben durch: E a = h · ν0 = 6,626 · 10−34 J s · 5,31 · 1014 H z = 3,52 · 10−19 J = 2,2 eV

(9.29)

(b) Beträgt dagegen die Frequenz der absorbierten Photonen ν = 13 · 1014 H z, so erhalten wir nach (9.27) für die kinetische Energie der herausgelösten Elektronen: E kin = 6,626 · 10−34 J s · 13 · 1014 H z − 3,52 · 10−19 J = 5,1 · 10−19 J

(9.30) 

Aufgabe 211 Compton-Effekt Ein Photon der Röntgenstrahlung, das eine Wellenlänge von λ = 2 · 10−11 m besitzt, wird an einem freien Elektron unter einem Winkel von 60◦ gestreut. (a) Berechnen Sie die Änderung der Wellenlänge des Photons. Hängt diese Wellenlängenänderung von der Wellenlänge der gestreuten Strahlung ab? (b) Welche Energie wird bei der Compton-Streuung vom Photon auf das Elektron übertragen? Lösung (a) Streut man Röntgenstrahlung an freien Elektronen, so findet man, dass die Wellenlänge λ der gestreuten Strahlung größer ist als die Wellenlänge λ der einfallenden Strahlung. Die Differenz λ = λ − λ hängt mit dem Streuwinkel θ zwischen der einfallenden und der gestreuten Strahlung gemäß  λ = λc · (1 − cos θ )

(9.31)

zusammmen. Mit der Compton-Wellenlänge λc = mhe c = 0,024 26 · 10−10 m und dem Streuwinkel θ = 60◦ erhalten wir für die Wellenlängenänderung:  λ = 0,024 26 · 10−10 m · (1 − cos 60 ◦ ) = 1,21 · 10−12 m

(9.32)

Diese Wellenlängenänderung ist unabhängig von der Wellenlänge der einfallenden Strahlung.

9.1

Übungsserie: Quanten- und Elementarteilchenphysik

207

(b) Das Photon der einfallenden Röntgenstrahlung besitzt eine Energie von: h·c 6,626 · 10−34 J s · 3 · 108 m/s = = 9,94 · 10−15 J λ 2 · 10−11 m Die Wellenlänge der gestreuten Strahlung ist gegeben durch: E =h·ν =

λ = λ + λ = 1,21 · 10−12 m + 2 · 10−11 m = 21,21 · 10−12 m

(9.33)

(9.34)

Damit besitzt das Photon der gestreuten Röntgenstrahlung eine Energie von:

E = h · ν =

h·c 6,626 · 10−34 J s · 3 · 108 m/s = = 9,37 · 10−15 J

λ 21,21 · 10−12 m

(9.35)

Bei der Compton-Streuung wird dann eine Energie von  E = h · ν − h · ν = 9,94 · 10−15 J − 9,37 · 10−15 J = 0,57 · 10−15 J

(9.36)

vom Photon auf das Elektron übertragen.  Aufgabe 212 Zerfallsgesetz −6 s −1 . Eine Probe Das Radonisotop 222 86 Rn 136 besitzt eine Zerfallskonstante von 2,098 · 10 10 mit einer Anfangsaktivität von 1,48 · 10 Bq wird in ein strahlensicheres Gefäß eingeschlossen. (a) Berechnen Sie die Zeit, zu der das Radon noch eine Aktivität von 2,22 · 109 Bq besitzt. (b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit von Radon. (c) Wie viele Radonnuklide waren zu Beginn vorhanden? Lösung (a) Die Zahl N (t) der zur Zeit t vorhandenen radioaktiven Nuklide in einer Substanzprobe ist durch das Zerfallsgesetz N (t) = N0 · e−λ·t

(9.37)

gegeben, worin λ = 2,098 · 10−6 s −1 die Zerfallskonstante und N0 die Zahl der zu Beginn vorhandenen radioaktiven Nuklide bezeichnen. Für die Aktivität zur Zeit t erhalten wir dann: A(t) = λ · N (t) = λ · N0 · e−λ·t

(9.38)

208

9 Atom- und Quantenphysik

Zur Anfangszeit t0 = 0 s beträgt die Aktivität A0 = λ · N0 = 1,48 · 1010 Bq, während sie zur gesuchten Zeit t1 A1 = λ · N0 · e−λ·t1 = 2,22 · 109 Bq

(9.39)

beträgt. Hieraus folgt: e−λ·t1 =

A1 , A0

(9.40)

d. h. t1 = −

1 1 2,22 · 109 Bq A1 =− · ln · ln λ A0 2,098 · 10−6 s −1 1,48 · 1010 Bq

(9.41)

= 0,904 · 106 s = 10,5 T g. (b) Die Halbwertszeit ist gegeben durch: t1/2 =

ln 2 ln 2 = 3,3 · 105 s = λ 2,098 · 10−6 s −1

(9.42)

(c) Schließlich folgt für die Zahl der zu Beginn vorhandenen radioaktiven Nuklide: N0 =

A0 1,48 · 1010 Bq = 7 · 1015 = λ 2,098 · 10−6 s −1

(9.43) 

9.2

Übungsserie: Atomphysik

A) Verständnisteil Begriffe: Optische Spektren, Absorptions- und Emissionsspektren, Linien- und kon-

tinuierliche Spektren, Fraunhofer-Linien, Atomzustände, Bahndrehimpuls, Spin und Gesamtdrehimpuls von Atomen, Termschema, Feinstruktur von Spektrallinien, Quantisierung des Bahndrehimpulses, Spin-Bahn-Wechselwirkung, Russell-SaundersKopplung, j j-Kopplung, Serien des Wasserstoffatoms, Quantenzahlen, optische Übergänge, Auswahlregeln, Feinstrukturenergie, Elektronenkonfiguration, Röntgenspektren, Schalen und Teilschalen, Orbitale, Edelgaskonfigurationen, Pauli-Prinzip, Hund’sche Regel, Mehrelektronenatome, Multiplizität, Grundzustand von Atomen, Periodensystem der Elemente, Hyperfeinstruktur, Kernspin, Kernspinquantenzahl, gFaktor

9.2

Übungsserie: Atomphysik

209

Aufgabe 213 Atomspektren Welche der folgenden Aussagen über Atomspektren ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Unter einem Spektrum verstehen wir die in einer elektromagnetischen Strahlung enthaltenen Frequenz- bzw. Wellenlängenanteile. (b) Linienspektren werden von leuchtenden Festkörpern oder Gasen hoher Dichte ausgestrahlt. (c) Die Fraunhofer-Linien im kontinuierlichen Spektrum des Sonnenlichtes kommen daher, dass Licht der den Linien entsprechenden Wellenlängen von der Sonne nicht emittiert wird. (d) Die Emissionspektren von Atomen entstehen dadurch, dass ein Atom in einem angeregten Zustand ein Photon emittiert und damit in einen Zustand niedrigerer Energie oder den Grundzustand übergeht. Lösung (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn Linienspektren sind typisch für Atome und bestehen aus einzelnen Linien, die zu charakteristischen Serien zusammengefasst werden. (c) ist falsch, denn die Fraunhofer-Linien im kontinuierlichen Spektrum des Sonnenlichtes kommen daher, dass Atome kühlerer Gase in den äußeren Sonnenschichten Licht der den Linien entsprechenden Wellenlängen absorbieren, die damit im Spektrum nicht enthalten sind. (d) ist richtig.  Aufgabe 214 Elektronenkonfigurationen von Atomen Welche der folgenden Aussagen über Elektronenkonfigurationen von Atomen ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Atomelektronen sind in sogenannten Schalen und Teilschalen angeordnet, wobei eine bestimmte Belegung oder Besetzung der Atomzustände mit Elektronen Elektronenkonfiguration des Atoms heißt. (b) Eine Schale ist durch die Hauptquantenzahl n = 1, 2, . . ., eine Teilschale durch die Quantenzahlen (nl) mit l = 0, 1, . . . n-1 und ein Orbital durch die Quantenzahlen (nlm l ) charakterisiert, wobei die magnetische Quantenzahl die Werte m l = −l, . . . + l annehmen kann. (c) Wie viele Elektronen sich in einer Teilschale befinden, geben wir durch eine hochgestellte Zahl an, wobei die Maximalzahl der Elektronen in der Teilschale (nl) 2 l + 1 beträgt. (d) Die Elektronenkonfiguration von Argon lautet (1s)2 (2s)2 (2 p)6 (3s)2 (3 p)4 .

210

9 Atom- und Quantenphysik

Lösung (a) ist richtig. (b) ist richtig. (c) ist falsch, denn die Maximalzahl der Elektronen in der Teilschale (nl) ist gegeben durch 2 (2 l + 1). (d) ist falsch, denn beim Edelgas Argon sind alle Teilschalen voll besetzt. Da in der (3 p)Teilschale mit l = 1 insgesamt 2 · (2 l + 1) = 6 Elektronen Platz haben und weil Argon die Ordnungszahl Z = 18 und damit 18 Elektronen besitzt, lautet die Elektronenkonfiguration von Argon (1 s)2 (2 s)2 (2 p)6 (3 s)2 (3 p)6 .  Aufgabe 215 Auswahlregeln In welcher/welchen der folgenden Abbildungen sind die optischen Übergänge im Termschema des Natriumatoms richtig dargestellt?

Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung Da sich bei einem optischen Übergang die Gesamtbahndrehimpulsquantenzahl des Natriumatoms um  L = ±1 ändern muss, ist der Übergang 4 2 S1/2 nach 3 2 S1/2 wegen  L = 0 nicht möglich, weshalb Abb. (a) falsch ist. Ferner ändert sich die Gesamtdrehimpulsquantenzahl bei einem optischen Übergang nur um  J = 0, ±1, weshalb der Übergang 3 2 D5/2 nach 3 2 P1/2 wegen  J = 2 nicht erlaubt ist und daher auch Abb. (b) falsch ist. In Abb. (c) sind dagegen die beschriebenen Auswahlregeln erfüllt, weshalb diese Abbildung richtig ist.  Aufgabe 216 Spin-Bahn-Wechselwirkung Welche der folgenden Aussagen zur Spin-Bahn-Wechselwirkung ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort!

9.2

Übungsserie: Atomphysik

211

(a) Die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen den magnetischen Momenten von Bahndrehimpuls und Spin führt zu einer Aufspaltung von Atomzuständen, wobei die entsprechende Feinstrukturenergie z. B. bei den Alkaliatomen in der Größenordnung von 10 eV liegt. (b) Die Spin-Bahn-Wechselwirkung führt zu einem weiteren Energieterm E L S , der zur Coulomb-Energie E C hinzukommt und sich auch in einer Verschiebung von Spektrallinien äußert. (c) Die Russel-Saunders-Kopplung liegt vor, wenn die Spin-Bahn-Wechselwirkung der einzelnen Elektronen kleiner ist als die gegenseitige Kopplung der Bahnmomente und der Spinmomente untereinander, sodass für die einzelnen Elektronen die Bahndrehimpulse li zum Gesamtbahndrehimpuls L = l1 + l2 +. . . und die Spins si zum Gesamtspin S = s1 + s2 + . . . koppeln und diese sich wiederum vektoriell zum Gesamtdrehimpuls J = L + S der Elektronenhülle addieren. (d) Bei massereicheren Atomen wie den Actiniden liegt die jj-Kopplung vor, d. h., die Spin-Bahn-Wechselwirkung für die einzelnen Elektronen ist größer als die gegenseitige Kopplung der Bahnmomente und der Spinmomente untereinander, sodass der Bahndrehimpuls und der Spin zum Gesamtdrehimpuls ji = li + si eines Elektrons koppeln und diese sich dann vektoriell zum Gesamtdrehimpuls J = j1 + j2 +. . . der Elektronenhülle addieren. Lösung (a) ist falsch, denn die der Aufspaltung von Atomzuständen entsprechende Feinstrukturenergie liegt bei den Alkaliatomen in der Größenordnung von 10−3 − 10−4 eV . (b) ist richtig. (c) ist richtig. (d) ist richtig.  Aufgabe 217 Addition von Drehimpulsen Das Wasserstoffatom befinde sich im 3P-Zustand. (a) Bestimmen Sie den Gesamtdrehimpuls der Elektronenhülle. In welche Zustände spaltet der 3P-Zustand auf? (b) Welche Multiplizität besitzen die Terme des Wasserstoffatoms? Lösung (a) Das Elektron besitzt den Spin s = 1/2 und damit die Elektronenhülle des H -Atoms den Gesamtspin S = s = 1/2. Befindet sich das H -Atom im 3P-Zustand, so ist die Gesamtbahndrehimpulsquantenzahl gegeben durch die Bahndrehimpulsquantenzahl des Elektrons L = l = 1. Der Gesamtbahndrehimpuls und der Gesamtspin addieren sich dann zum Gesamtdrehimpuls J = L + S der Elektronenhülle. Sein Betrag ist √ gegeben durch | J |= J (J + 1) , wobei die Gesamtdrehimpulsquantenzahl gege-

212

9 Atom- und Quantenphysik

ben ist durch J = L + S = 1 + 1/2 = 3/2 und J = |L − S| = 1 − 1/2 = 1/2. √ Der Gesamtdrehimpuls kann also die Beträge | J |= 3/2 (3/2 + 1)  = 1,94  und √ | J |= 1/2 (1/2 + 1)  = 0,87  annehmen. Damit spaltet der 3P-Zustand in die

beiden Atomzustände 3 2 P3/2 und 3 2 P1/2 auf. (b) Die Multiplizität der Terme des Wasserstoffatoms beträgt 2 · S + 1 = 2 · 21 + 1 = 2. Für die Gesamtbahndrehimpulsquantenzahl L = 0 gilt jedoch J = L + S = S = 1/2, weshalb die n 2 S1/2 -Zustände „einfach“ sind.  B) Übungsteil Aufgabe 218 Schalen und Teilschalen (a) Berechnen Sie die Maximalzahl der Elektronen in den Teilschalen (3 p) und (4d). (a) Wie viele Elektronen in einem Atom können die Hauptquantenzahl n = 3 besitzen? Lösung

(a) In der Teilschale (nl) haben 2 (2l + 1) Elektronen Platz. In der Teilschale (3 p) mit l = 1 haben also 6 und in der Teilschale (4d) mit l = 2 insgesamt 10 Elektronen Platz. (b) Die Zahl der Elektronen in der Schale mit der Hauptquantenzahl n beträgt 2 n 2 . Die maximale Anzahl an Elektronen in einem Atom mit der Quantenzahl n = 3, die sich also in der M-Schale befinden, beträgt also 2 · 32 = 18.  Aufgabe 219 Termschema des Wasserstoffatoms Ein Elektron stößt mit einem Wasserstoffatom zusammen. (a) Berechnen Sie die Energie, die das Elektron mindestens besitzen muss, damit das Wasserstoffatom in einen angeregten Zustand übergeht, der dann durch Aussendung von drei Photonen in den Grundzustand wechselt. (a) Bestimmen Sie die Energie dieser Photonen. Die Spin-Bahn-Wechselwirkung ist hierbei zu vernachlässigen. Lösung (a) Damit das Wasserstoffatom durch drei Photonen in den Grundzustand wechselt, muss es durch den Stoß mindestens in den Zustand mit der Hauptquantenzahl n = 4 angeregt werden. Dieser Zustand besitzt mit der Rydbergkonstanten R∞ = 13,606 eV die Energie E 4 = −13,606 eV ·

1 = −0,850 eV , 42

(9.44)

9.2

Übungsserie: Atomphysik

213

weshalb das Elektron mindestens eine Energie von E = E 4 − E 1 = −0, 850 eV + 13,606 eV = 12,756 eV besitzen muss. (b) Beim Übergang vom Zustand mit der Hauptquantenzahl n = 4 in den Zustand mit der Hauptquantenzahl n = 3 wird ein Photon mit der Energie E γ = h · ν1 = E 4 − E 3 = −13,606 eV · (

1 1 − 2) 42 3

(9.45)

= 13,606 eV · 0,0486 = 0,661 eV ausgesendet. Beim Übergang vom Zustand mit der Hauptquantenzahl n = 3 in den Zustand mit der Hauptquantenzahl n = 2 wird dagegen ein Photon mit der Energie E γ = h · ν2 = E 3 − E 2 = − 13,606 eV · (

1 1 − 2) 32 2

(9.46)

= 13,606 eV · 0,139 = 1,891 eV emittiert. Schließlich wird beim Übergang in den Grundzustand ein drittes Photon mit der Energie E γ = h · ν3 = E 2 − E 1 = −13,606eV · (

1 − 1) 22

(9.47)

= 13,606 eV · 0,75 = 10,205 eV ausgesendet.  Aufgabe 220 Ionisierungsenergie von Lithium Wenn ein Photon der ultravioletten Strahlung mit einer Wellenlänge von 58,34 nm vom Valenzelektron eines Lithiumatoms absorbiert wird, so wird dieses herausgelöst und besitzt eine Geschwindigkeit von 2,362 · 106 m/s. Berechnen Sie die Ionisierungsenergie von Lithium. Lösung Das Photon der UV-Strahlung besitzt eine Energie von:

Eγ = h · ν =

h·c 6,626 · 10−34 J s · 2,998 · 108 m/s = = 3,405 · 10−18 J λ 58,34 · 10−9 m

(9.48)

Für die kinetische Energie des herausgelösten Elektrons erhalten wir:

E kin =

1 1 m e v 2 = · 9,109 · 10−31 kg · (2,362 · 106 m/s)2 = 2,541 · 10−18 J 2 2

(9.49)

214

9 Atom- und Quantenphysik

Aus der Beziehung E γ = E kin + E I

(9.50)

erhalten wir schließlich für die Ionisierungsenergie von Lithium mit 1 J = 0,624 · 1019 eV : E I = 3,405 · 10−18 J − 2,541 · 10−18 J = 0,864 · 10−18 J = 5,391 eV

(9.51) 

Aufgabe 221 Grundzustand von Atomen Bestimmen Sie den Grundzustand von Titan 46 22 T i 24 . Lösung Im Grundzustand besitzt Titan die Elektronenkonfiguration (1 s)2 (2 s)2 (2 p)6 (3 s)2 (3 p)6 (4 s)2 (3d)2 . Da die vollen Teilschalen (1s), (2s), (2 p), (3s), (3 p) und (4s) keinen Beitrag liefern, sind nur die beiden Elektronen in der angebrochenen (3d)-Teilschale zu berücksichtigen, die mit maximal 10 Elektronen aufgefüllt werden kann. Nach der Hund’schen Regel werden Elektronen mit gleicher Bahndrehimpulsquantenzahl l so auf die Teilschale verteilt, dass der resultierende Gesamtspin maximal wird, weshalb wir beiden Elektronen der (3d)Teilschale die magnetische Spinquantenzahl m s = +1/2 zuordnen. Damit sich ferner bei der Addition der m l -Werte ein Maximum ergibt, ordnen wir unter Berücksichtigung des Pauli-Prinzips dem ersten Elektron die magnetische Quantenzahl m l = 2 und dem zweiten m l = 1 zu (siehe Tab. 9.1). Addieren wir nun die m l -Werte und die m s -Werte, so erhalten wir die Gesamtbahndrehimpulsquantenzahl L = 3 und die Gesamtspinquantenzahl S = 1. Da schließlich die (3d)-Teilschale nicht mehr als zur Hälfte besetzt ist, folgt für die Gesamtdrehimpulsquantenzahl J =| L − S |=| 3 − 1 |= 2. Der Grundzustand von Titan wird also beschrieben durch 3 3 F2 .  Tab. 9.1 Die Quantenzahlen der Elektronen in der (3d)-Teilschale n

l

ml

ms

3

2

2

1/2

3

2

1

1/2

10

Testserien Physik I

10.1

Testserie 1

10.1.1 Aufgaben Aufgabe 1 Wie lautet das Trägheitsprinzip? Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen zur Arbeit einer Kraft ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Wird ein Massenpunkt durch die Ausübung der Kraft Fa vom Raumpunkt P1 entlang der Bahnkurve  zum Punkt P2 bewegt, so verrichtet die Kraft am Massenpunkt die Arbeit  W := (10.1) Fa · d r. 

(b) Für eine konservative Kraft Fa hängt die Arbeit W vom Weg ab. (c) Bei der gleichförmigen Kreisbewegung verrichtet die Zentripetalkraft keine Arbeit, da sie stets senkrecht zur Bewegungsrichtung zeigt. (d) Wird ein Massenpunkt durch die Einwirkung einer konstanten Kraft vom Betrag Fa = 2N in Richtung der Bewegung längs einer Geraden eine Strecke von 2m bewegt, so verrichtet die Kraft am Massenpunkt die Arbeit W = 2J .

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 G. Rufa, Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61262-0_10

215

216

10 Testserien Physik I

Aufgabe 3 Ein Stein mit der Masse m werde vom Erdboden mit einem Geschwindigkeitsbetrag v0 unter einem Winkel ϕ0  = 0◦ zur Erdoberfläche geworfen. In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist die Schwerkraft auf den Stein qualitativ richtig dargestellt?

Begründen Sie Ihre Antwort! Aufgabe 4 Eine Flüssigkeit mit der Viskosität η fließt infolge der Druckdifferenz  P laminar durch ein Rohr mit dem Radius r und der Länge l. Wie ändert sich die Volumenstärke, wenn man den Rohrradius verdoppelt? Aufgabe 5 Auf einer Kreisbahn mit dem Radius 2 m bewegt sich ein Massenpunkt mit der Masse 0,5 kg und der konstanten Winkelgeschwindigkeit 2 s −1 . (a) Welche Rotationsenergie besitzt er? (b) Berechnen Sie die Arbeit, die man verrichten muss, um seine Winkelgeschwindigkeit auf 6 s −1 zu erhöhen. Aufgabe 6 Ein Massenpunkt bewegt sich gleichförmig geradlinig längs der Geraden G , die durch ⎛

⎞ ⎛ ⎞ 1 −1 r(t) = ⎝ −2 ⎠ + t · ⎝ 1 ⎠ , t ∈ R 0 2 beschrieben wird. Liegt der Punkt P1 = (−2, 1, 6) auf der Geraden?

(10.2)

10.1 Testserie 1

217

Aufgabe 7 Eine an einer elastischen Feder hängende Kugel mit einer Masse von 10 g führt eine ungedämpfte harmonische Schwingung durch mit einer Gesamtenergie von 7,9 · 10−5 J und einer Schwingungsdauer von 1,5 s. Berechnen Sie die Amplitude der Schwingung. Aufgabe 8 Ein Gasgemisch aus 30 g Sauerstoff O2 , 70 g Stickstoff N2 und 50 g Kohlendioxid C O2 besitzt einen Gesamtdruck von Pges = 2 bar . (a) Bestimmen Sie die Molsumme. (b) Berechnen Sie die Partialdrücke, die die drei Gase ausüben. Aufgabe 9 Ein Körper wird aus einer Höhe h mit der Anfangsgeschwindigkeit 7,36 m/s senkrecht nach oben geworfen. Nach einem Viertel der gesamten Flugzeit hat er den höchsten Punkt der Flugbahn erreicht. Aus welcher Anfangshöhe h wird der Körper geworfen? Der Luftwiderstand sei vernachlässigbar. Aufgabe 10 Um eine homogene Trommel mit einer Masse von 8 kg und einem Radius von 2,1 m ist eine Schnur aufgewickelt, an deren Ende eine Last mit einer Masse von 3 kg hängt und die zu Beginn in Ruhe ist. Lässt man diese Last los, so führt die Trommel eine gleichförmig beschleunigte Drehbewegung durch, wobei ihre Drehachse durch den Massenschwerpunkt verläuft. Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung der Trommel.

10.1.2 Lösungen Aufgabe 1 Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Bewegungszustand zu ändern: (10.3) Fges = 0 ⇒ v(t) = v0 = konstant  Aufgabe 2 (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn für eine konservative Kraft Fa hängt die Arbeit nicht vom Weg, sondern nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bahnkurve ab.

218

10 Testserien Physik I

(c) ist richtig. (d) ist falsch, denn die von der Kraft Fa = 2 N am Massenpunkt verrichtete Arbeit ist gegeben durch W = Fa · s = 2 N · 2 m = 4 J .  Aufgabe 3  die auf den Stein in der Nähe der Erdoberfläche wirkt, ist ortsunabhängig. Die Schwerkraft G, Ihr Betrag ist also konstant G = m · g, und sie ist radial zum Erdmittelpunkt gerichtet, weshalb Abb. (a) richtig ist. In Abb. (b) stimmt zwar die Richtung, doch ist der Betrag von  nicht konstant, sodass Abb. (b) falsch ist. In Abb. (c) ist die Schwerkraft tangential zur G Bahnkurve gerichtet, weshalb auch Abb. (c) falsch ist.  Aufgabe 4 Für die Volumenstärke gilt das Hagen-Poisseuille’sche Gesetz I =

π r4  P · · . 8 η l

(10.4)

Wenn man den Radius verdoppelt, d. h., wenn r  = 2 r gilt, so folgt I =

π r 4  P π 16 r 4  P · · = · · = 16 · I , 8 η l 8 η l

(10.5)

d. h., die Volumenstärke nimmt auf das 16-fache des ursprünglichen Wertes zu.  Aufgabe 5 (a) Der Massenpunkt führt eine gleichförmige Kreisbewegung durch. Sein Trägheitsmoment bezüglich des Kreismittelpunktes beträgt: J = m · r 2 = 0,5 kg · (2 m)2 = 2 kgm 2

(10.6)

Mit der Winkelgeschwindigkeit ω = 2 s −1 erhalten wir für seine Rotationsenergie: Er ot =

1 1 kgm 2 J ω2 = · 2 kgm 2 · (2 s −1 )2 = 4 2 = 4 J 2 2 s

(10.7)

(b) Wird die Winkelgeschwindigkeit auf ω = 6 s −1 erhöht, so folgt für die Rotationsenergie: 1 1 2 Er ot = J ω = · 2 kgm 2 · (6 s −1 )2 = 36 J (10.8) 2 2

10.1 Testserie 1

219

Für die Arbeit, die hierbei verrichtet werden muss, erhalten wir schließlich: W = Er ot = Er ot − Er ot = 36 J − 4 J = 32 J

(10.9) 

Aufgabe 6 Wenn der Punkt P1 = (−2, 1, 6), zu dem der Ortsvektor ⎛

⎞ −2 r1 = ⎝ 1 ⎠ 6

(10.10)

gehört, auf der Geraden G liegt, dann muss es einen Parameterwert t1 geben, sodass ⎛

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −2 1 −1 r1 = ⎝ 1 ⎠ = ⎝ −2 ⎠ + t1 · ⎝ 1 ⎠ = r(t1 ) 6 0 2

(10.11)

gilt. Aus dieser Vektorgleichung erhalten wir die drei Komponentengleichungen für den Parameter t1 : 1 − t1 = −2 −2 + t1 = 1

(10.12)

2 · t1 = 6 Aus der dritten Gleichung folgt t1 = 3. Da auch die beiden anderen Gleichungen für diesen Parameterwert erfüllt sind, liegt der Punkt P1 = (−2, 1, 6) auf der Geraden.  Aufgabe 7 Die Gesamtenergie der ungedämpften harmonischen Schwingung ist gegeben durch: E ges =

1 · D · x02 2

Mit

(10.13)

ω02 =

D m

(10.14)

ω0 =

2π T

(10.15)

und

220

10 Testserien Physik I

folgt für die Federkonstante: D = m · ω02 =

m · (2 π )2 m · 4 π2 = T2 T2

Damit erhalten wir aus (10.13) für die Amplitude    2 E ges 2 · E ges · T 2 2 E ges T x0 = = = · D m · 4 π2 2π m  2 · 7,9 10−5 J 1,5 s · = 0,03 m = 3 cm, = 2π 0,01 kg wobei für die Einheit s



J kg

=s



kg m 2 s 2 kg

(10.16)

(10.17)

= m gilt. 

Aufgabe 8 (a) Ein Gasgemisch aus 30 g Sauerstoff O2 , 70 g Stickstoff N2 und 50 g Kohlendioxid C O2 besitzt einen Gesamtdruck von Pges = 2 bar . Die Molmasse von Sauerstoff beträgt M O2 = 32 g/mol. Damit entsprechen m O2 = 30 g Sauerstoff einer Stoffmenge von m O2 30 g = = 0,94 mol. (10.18) n1 = M O2 32 g/mol Analog entsprechen 70 g Stickstoff mit der Molmasse M N2 = 28 g/mol einer Stoffmenge von m N2 70 g n2 = = = 2,50 mol. (10.19) M N2 28 g/mol Die Molmasse von Kohlendioxid beträgt MC O2 = 12,01 + 2 · 16 = 44,01 g/mol, sodass m C O2 = 50 g einer Stoffmenge von n3 =

m C O2 50 g = = 1,14 mol MC O 2 44,01 g/mol

(10.20)

entspricht. Die Molsumme ist damit gegeben durch: n ges = n 1 + n 2 + n 3 = 4,58 mol

(10.21)

(b) Für den Partialdruck des Sauerstoffs erhalten wir dann: P1 =

n1 0,94 mol · Pges = · 2 bar = 0,41 bar n ges 4,58 mol

(10.22)

Der Partialdruck des Stickstoffs ist gegeben durch P2 =

n2 2,50 mol · Pges = · 2 bar = 1,09 bar , n ges 4,58 mol

(10.23)

10.1 Testserie 1

221

während wir für den Partialdruck des Kohlendioxids P3 =

n3 1,14 mol · Pges = · 2 bar = 0,50 bar n ges 4,58 mol

(10.24)

erhalten. 

Aufgabe 9 Der Körper führt im Schwerefeld der Erde eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung längs einer Geraden durch. Seine Höhe über dem Erdboden, die aufgrund der Wahl der Koordinatenachse (siehe Abb. 10.1) der Ortskoordinate s(t) entspricht, und seine Geschwindigkeit v(t) sind gegeben durch s(t) = − 21 g t 2 + v0 t + h (10.25) v(t) = − g t + v0 , worin v0 die nach oben gerichtete Anfangsgeschwindigkeit des Körpers ist. Bezeichnet tg die gesamte Flugzeit, so hat er zur Zeit ts = 41 tg den höchsten Punkt seiner Flugbahn erreicht. Dort gilt:

1 v(ts ) = 0 = − g · (10.26) t g + v0 4 Hieraus folgt für die gesamte Flugzeit: tg =

4 · v0 4 · 7,36 m/s = 3s = g 9,81 m/s 2

Abb. 10.1 Senkrechter Wurf nach oben

(10.27)

222

10 Testserien Physik I

Nach dieser Zeit ist er am Erdboden, womit wir die Beziehung s(tg ) = 0 = −

1 g t g 2 + v0 t g + h 2

(10.28)

erhalten. Hieraus folgt für die Anfangshöhe:

1 1 4 v0 h = g t g 2 − v0 t g = t g · g· − v0 = tg · v0 = 3 s · 7,36 m/s = 22,1 m (10.29) 2 2 g 

Aufgabe 10  mit dem Betrag G = m g sowie Auf die Last wirkt die nach unten gerichtete Schwerkraft G  die nach oben gerichtete Fadenkraft FF (siehe Abb. 10.2). Die Gesamtkraft auf die Last ist betragsmäßig gegeben durch Fges = G − FF = m · g − FF ,

(10.30)

worin FF den Betrag der Fadenkraft bezeichnet. Diese Gesamtkraft ruft die nach unten gerichtete Beschleunigung a der Last hervor, d. h., es gilt: Fges = m · a

Abb. 10.2 Winkelbeschleunigung einer Trommel

(10.31)

10.2 Testserie 2

223

Mit (10.30) erhalten wir damit für die Fadenkraft: FF = G − Fges = m · g − m · a = m · (g − a)

(10.32)

Diese ruft das Drehmoment N auf die Trommel hervor, dessen Betrag gegeben ist durch: N = R · FF = R m g − R m a

(10.33)

Da die Beschleunigung a der Last gleich der Bahnbeschleunigung a B eines Punktes auf der Trommel ist, folgt (10.34) a = a B = R · α, womit wir für das Drehmoment auf die Trommel N = R m g − R2 m α

(10.35)

erhalten. Die Winkelbeschleunigung α der Trommel ist durch die Bewegungsgleichung N = JS · α

(10.36)

gegeben, worin JS = 21 M R 2 das Trägheitsmoment der homogenen Trommel bezüglich der Drehachse durch den Massenschwerpunkt bezeichnet. Damit folgt andererseits für das Drehmoment: 1 (10.37) N = M R2 · α 2 Für die Winkelbeschleunigung α erhalten wir mit (10.35) und (10.37) die Gleichung: 1 2

M R2 · α = R m · g − R2 m · α

| : R (10.38)

1 2

M R·α+ Rm ·α =m ·g

Hieraus folgt schließlich: α=

mg ( 21 M + m) · R

=

3 kg · 9,81 m/s 2 ( 21 · 8 kg + 3 kg) · 2,1 m

= 2 s −2

(10.39) 

10.2

Testserie 2

10.2.1 Aufgaben Aufgabe 1 Wie lautet das Newton’sche Gravitationsgesetz?

224

10 Testserien Physik I

Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen über Systeme von Massenpunkten ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! ext auf ein System von Massenpunkten, so ist (a) Verschwindet die äußere Gesamtkraft Fges der Gesamtimpuls Pges des Systems konstant. (b) Die Schwerkraft auf einen starren Körper greift im Massenschwerpunkt an. (c) Genau dann befindet sich ein starrer Körper im Gleichgewicht, wenn das äußere Gesamtdrehmoment auf ihn verschwindet. (d) Ein System von Massenpunkten kann nur eine Translationsbewegung durchführen.

Aufgabe 3 In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist die isotherme Zustandsänderung eines idealen Gases im P V -Diagramm qualitativ richtig dargestellt?

Begründen Sie Ihre Antwort! Aufgabe 4 Wie lautet der mechanische Energieerhaltungssatz für ein System von Massenpunkten? Aufgabe 5 Der Luftdruck auf die Meeresoberfläche betrage 1,02 bar . Berechnen Sie den hydrostatischen Druck auf einen Delphin, der sich 10 m unter der Wasseroberfläche befindet. Die Dichte von Wasser beträgt ρ H2 O = 1 g/cm 3 .

10.2 Testserie 2

225

Aufgabe 6 Ein Federpendel mit der Federkonstanten 8 N /m führt eine ungedämpfte harmonische Schwingung mit der Amplitude 0,5 m durch. (a) Welche potentielle Energie besitzt das Federpendel, wenn es maximal ausgelenkt ist? (b) Berechnen Sie die Arbeit, die am Federpendel verrichtet werden muss, um die Amplitude zu verdoppeln? Aufgabe 7 Im Rahmen einer Flugschau führt ein mit einer Geschwindigkeit von 900 km/h fliegendes Flugzeug ein Looping durch. (a) Wie groß muss der Radius der vertikalen Kreisbahn sein, damit die maximale Kraft, die den Kunstflieger in seinen Sitz drückt, dem Fünffachen seines Gewichtes entspricht? (b) Mit welcher Kraft wird der Kunstflieger im obersten Punkt seiner Kreisbahn in den Sitz gedrückt? Aufgabe 8 Gegeben sei eine Probe von 2 Mol Sauerstoffgas (O2 ) mit einem Volumen von 32 l. (a) Bestimmen Sie die Gesamtmasse der Sauerstoffprobe. (a) Welche Dichte besitzt das Sauerstoffgas? (b) Berechnen Sie den mittleren Abstand der Sauerstoffmoleküle. Aufgabe 9 Ein Auto mit einer Masse von 2,5 · 103 kg fährt aus dem Stand entlang einer geraden Straße mit einer konstanten Beschleunigung. Zum Zeitpunkt t1 hat es eine Strecke von 100 m zurückgelegt und besitzt zu diesem Zeitpunkt eine Geschwindigkeit von 20 m/s. (a) Berechnen Sie die Beschleunigung des Autos. (b) Bestimmen Sie den Betrag der beschleunigenden Kraft. Aufgabe 10 Um die Temperatur eines idealen Gases um 80 K bei konstantem Druck zu erhöhen, muss man eine Wärmeenergie von 840 J zuführen. Wenn man das gleiche Gas bei konstantem Volumen um 160 K abkühlt, wird eine Wärmeenergie von 1200 J abgegeben. Ferner beträgt für dieses Gas die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck 1,009 · 103 J /kg K . (a) Bestimmen Sie die Zahl der Freiheitsgrade der Gasmoleküle. (b) Berechnen Sie die Molmasse dieses Gases.

226

10 Testserien Physik I

Abb. 10.3 Zur Gravitationskraft

10.2.2 Lösungen Aufgabe 1 Zwei Massenpunkte mit den Massen m 1 und m 2 , die sich im Abstand r voneinander befinden, üben aufeinander die Gravitationskraft Fg aus. Ihr Betrag ist gegeben durch Fg = G ·

m1 · m2 , r2

worin G = 6,674 30 · 10−11

N m2 kg 2

(10.40)

(10.41)

die universelle Gravitationskonstante1 bezeichnet. Die Gravitationskraft ist stets attraktiv. Entsprechend dem Reaktionsprinzip sind die Kräfte F12 von m 1 auf m 2 sowie F21 von m 2 auf m 1 betragsmäßig gleich und von entgegengesetzter Richtung (siehe Abb. 10.3). 

Aufgabe 2 (a) ist richtig. (b) ist richtig. (c) ist falsch, denn ein starrer Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die äußere Gesamtkraft und das äußere Gesamtdrehmoment auf ihn verschwinden.

1 CODATA Internationally recommended 2018 Values of the Fundamental Physical Constants.

10.2 Testserie 2

227

(d) ist falsch, denn ein System von Massenpunkten kann i. Allg. eine Translationsbewegung, eine Eigendrehung sowie eine Eigenschwingung durchführen, die sich dann überlagern und die Gesamtbewegung ergeben.  Aufgabe 3 Bei einer isothermen Zustandsänderung ändert sich der Gasdruck nach dem idealen Gasgesetz gemäß P = f (V ) = cVis . Der Graph dieser Funktion ist eine Hyperbel, weshalb Abb. (b) richtig ist. Ferner ist bei einer isothermen Zustandsänderung die Temperatur konstant und nicht der Gasdruck, weshalb Abb. (a) falsch ist. In Abb. (c) ist schließlich das Volumen konstant, weshalb es sich um eine isochore Zustandsänderung handelt und damit auch diese falsch ist.  Aufgabe 4 In einem abgeschlossenen, konservativen System ist die Summe aus kinetischer und potentieller Energie des Gesamtsystems, d. h. die mechanische Energie, konstant: pot

kin (t) + E ges (t) = konstant E ges = E ges

(10.42) 

Aufgabe 5 Mit der Dichte von Wasser 1 g/cm 3 = 103 kg/m 3 wirkt auf den Delphin in einer Tiefe von h = 10 m unter der Meeresoberfläche der Schweredruck PS = ρ H2 O ·g ·h = 103 kg/m 3 ·9,81 m/s 2 ·10 m = 9,81·104 N /m 2 = 0,98 bar , (10.43) wobei für die Einheit 1 bar = 105 N /m 2 = 105 Pa gilt. Der Luftdruck auf die Meeresoberfläche wirkt als Kolbendruck PK = 1,02 bar . Für den hydrostatischen Druck auf den Delphin erhalten wir damit: P = PK + PS = 1, 02 bar + 0,98 bar = 2 bar = 2 · 105 Pa

(10.44)

Dieser Druck wirkt allseitig auf den Delphin.  Aufgabe 6 (a) Wenn das elastische Federpendel maximal ausgelenkt ist, so entspricht seine potentielle Energie der Gesamtenergie: E ges = E pot (x0 ) =

1 1 D x02 = · 8 N /m · (0,5 m)2 = 1 J 2 2

(10.45)

228

10 Testserien Physik I

(b) Führt das Federpendel eine harmonische Schwingung mit doppelter Amplitude durch, d. h. gilt x0 = 1 m, so beträgt seine Gesamtenergie:  = E ges

1 1 2 D x0 = · 8 N /m · (1 m)2 = 4 J 2 2

(10.46)

Um die Amplitude zu verdoppeln, ist die Arbeit  W =  E ges = E ges − E ges = 4 J − 1 J = 3 J

(10.47)

erforderlich. 

Aufgabe 7 (a) Auf seiner vertikalen Kreisbahn wirkt auf den Kunstflieger die Schwerkraft und die Zentrifugalkraft. Die Gesamtkraft auf den Kunstflieger ist gegeben durch:  + FZ Fges = G

(10.48)

Im untersten Punkt der Flugbahn sind die Schwerkraft und die Zentrifugalkraft parallel, und beide zeigen radial vom Kreismittelpunkt fort, weshalb in diesem Punkt die Gesamtkraft auf den Kunstflieger maximal ist (siehe Abb. 10.4). Für den Betrag gilt in diesem Fall: Fges = G + FZ (10.49)

Abb. 10.4 Zum Wirken der Zentrifugalkraft

10.2 Testserie 2

229

Da die maximale Kraft auf den Piloten dem Fünffachen seines Gewichtes entsprechen 2 soll, gilt Fges = 5 G. Mit dem Betrag der Zentrifugalkraft FZ = mrv auf den Kunstflieger, der die Masse m besitzt, erhalten wir: 5 · G = G + FZ = G +

m · v2 r

(10.50)

Hieraus folgt:

m · v2 (10.51) r Da die Geschwindigkeit des Flugzeuges v = 900 km/h = 250 m/s beträgt, ist der Radius der Flugbahn gegeben durch: 4·G =4·m·g =

r=

(250 m/s)2 v2 = 1 593 m = 4·g 4 · 9,81 m/s 2

(10.52)

(b) Im obersten Punkt der vertikalen Kreisbahn ist die Schwerkraft entgegengesetzt zur Zentrifugalkraft gerichtet (siehe Abb. 10.4), weshalb für den Betrag der Gesamtkraft auf den Kunstflieger (10.53) Fges = FZ − G gilt. Aus (10.50) folgt für den Betrag der Zentrifugalkraft FZ = 4 · G, weshalb im obersten Punkt der Kunstflieger wegen Fges = 4 · G − G = 3 · G

(10.54)

mit dem dreifachen Körpergewicht in den Sitz gedrückt wird.  Aufgabe 8 (a) Mit der Molmasse von Sauerstoff M O2 = 2 · 16 g/mol = 32 g/mol erhalten wir für die Masse der Sauerstoffprobe mit der Stoffmenge n = 2 mol: M = n · M O2 = 2 mol · 32 g/mol = 64 g

(10.55)

(b) Die Dichte des Sauerstoffgases ist gegeben durch: ρ=

M V

(10.56)

Bei einem Volumen von V = 32 l folgt für die Dichte des Sauerstoffgases: ρ=

64 g = 2 g/l = 2 · 10−3 g/cm 3 32 l

(10.57)

230

10 Testserien Physik I

(c) Die Zahl der Teilchen pro Volumeneinheit, d. h. die Teilchendichte ν, ist gegeben durch: n · NA 2 mol · 6,022 · 1023 mol −1 = 3,76 · 1025 m −3 (10.58) = V 32 · 10−3 m 3 Die Zahl der Sauerstoffmoleküle in einem Würfel Sauerstoffgas mit der Kantenlänge 1 m und dem Volumen V = 1 m 3 beträgt damit N = ν · V = 3,76 · 1025 . Für die mittlere Teilchenzahl entlang einer Würfelkante folgt:  √ 3 3 N1 = N = 3,76 · 1025 = 3,35 · 108 (10.59) ν=

Nehmen wir an, dass die Sauerstoffmoleküle einen mittleren Abstand < d > voneinander haben, so erhalten wir aus N1 · < d > = 1 m für den mittleren Teilchenabstand: < d >=

1m 1m = = 3 · 10−9 m N1 3,35 · 108

(10.60) 

Aufgabe 9 (a) Das Auto führt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung durch, für die die kinematischen Variablen gegeben sind durch s(t) =

1 2 a t + v0 t + s0 2

(10.61)

und v(t) = a t + v0 ,

(10.62)

worin a die konstante Beschleunigung des Autos bezeichnet. Die s-Achse legen wir so fest, dass sich das Auto zur Anfangszeit t = 0 s im Nullpunkt befindet.

Da das Auto zu Beginn in Ruhe ist, lauten die Anfangsbedingungen: s(0) = 0 m (10.63) v(0) = 0 m/s 2

10.2 Testserie 2

231

Damit folgt für den Ort und die Geschwindigkeit des Massenpunktes „Auto“ zur Zeit t: 1 (10.64) s(t) = · a · t 2 2 sowie v(t) = a · t (10.65) Zum Zeitpunkt t1 gilt:

s(t1 ) =

1 2

· a · (t1 )2 = s1 (10.66)

v(t1 ) = a · t1 = v1 Die zweite Gleichung liefert t1 = s(t1 ) =

v1 a ,

womit aus der ersten Gleichung die Beziehung

1 1 (v1 )2 (v1 )2 · a · (t1 )2 = · a · 2 = = s1 2 2 a 2·a

(10.67)

folgt. Mit s1 = 100 m und v1 = 20 m/s erhalten wir schließlich für die gesuchte Beschleunigung: (v1 )2 (20 m/s)2 a= = (10.68) = 2 m/s 2 2 · s1 2 · 100 m (b) Nach dem Aktionsprinzip ist der Betrag der beschleunigenden Kraft gegeben durch: F = m · a = 2,5 · 103 kg · 2 m/s 2 = 5 · 103 N

(10.69) 

Aufgabe 10 (a) Um die Temperatur des idealen Gases bei konstantem Druck um  T1 = 80 K zu erhöhen, benötigt man eine Wärmeenergie von Q 1 = 840 J . Für diese Wärmeenergie gilt die Beziehung (10.70) Q 1 = n · Cmol,P ·  T1 . Wenn man dagegen dieses Gas bei konstantem Volumen um  T2 = 160 K abkühlt, wird die Wärmeenergie Q 2 = 1200 J abgegeben, d. h., es gilt analog: Q 2 = n · Cmol,V ·  T2

(10.71)

Für das Verhältnis dieser Wärmeenergien erhalten wir: Q1 n · Cmol,P ·  T1 Cmol,P ·  T1 = = Q2 n · Cmol,V ·  T2 Cmol,V ·  T2

(10.72)

232

10 Testserien Physik I

Damit folgt für den Adiabatenexponenten des Gases: κ=

 T2 Q 1 160 K 840 J Cmol,P = · = · = 1,4 Cmol,V  T1 Q 2 80 K 1200 J

(10.73)

f +2 = 1,4 f

(10.74)

Mit κ=

erhalten wir schließlich für die Zahl der Freiheitsgrade der Gasteilchen: f =

2 2 = =5 κ −1 1,4 − 1

(10.75)

(b) Für den Zusammenhang zwischen der molaren und der spezifischen Wärmekapazität gilt (10.76) Cmol = M · c, worin M die Molmasse des Gases bezeichnet. Damit folgt für seine Molmasse M=

Cmol,P Cmol , = c cP

(10.77)

worin Cmol,P und c P = 1,009·103 J /kg K die molare bzw. spezifische Wärmekapazität des Gases bei konstantem Druck bezeichnen. Für das ideale Gas ist nach (10.75) die Zahl der Freiheitsgrade f = 5, weshalb es sich um ein zweiatomiges Gas handelt. Damit gilt Cmol,P =

f +2 7 · R = · 8,31 J /K mol = 29,09 J /K mol, 2 2

(10.78)

womit wir schließlich für die Molmasse des Gases M=

29,09 J /K mol = 28,83 g/mol 1,009 · 103 J /kg K

(10.79)

erhalten. 

10.3

Testserie 3

10.3.1 Aufgaben Aufgabe 1 Wie lautet der 1. Hauptsatz der Thermodynamik?

10.3 Testserie 3

233

Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen über kinematische Größen ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Die Dimension der Beschleunigung ist m/s 2 . (b) Der Betrag der Geschwindigkeit beschreibt die Ortsänderung pro Zeit, d. h., welche Strecke ein Massenpunkt pro Zeiteinheit in der Nähe eines betrachteten Raumpunktes zurücklegt. (c) Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist die Winkelgeschwindigkeit konstant und proportional zur Umlaufdauer T. (d) Die Geschwindigkeit v eines Massenpunktes ist stets tangential zu seiner Bahnkurve. Aufgabe 3 In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist die potentielle Energie eines Körpers der Masse m im Gravitationsfeld der Erde als Funktion seines Abstandes r bezogen auf den Nullpunkt „unendlich“ qualitativ richtig dargestellt?

Begründen Sie Ihre Antwort! Aufgabe 4



⎞ 1 Gegeben sei der Vektor a = ⎝ −2 ⎠. Wie lauten seine skalaren und vektoriellen Kompo3 nenten in x-, y- und z-Richtung? Begründen Sie Ihre Aussage! Aufgabe 5 An einer elastischen Feder hängt ein Körper der Masse 400 g. In der Gleichgewichtslage beträgt die Auslenkung der Feder aus ihrer Ruhelage 56 cm. Lenkt man den Körper aus seiner Gleichgewichtslage aus und lässt ihn los, so führt er eine ungedämpfte harmonische Schwingung durch.

234

10 Testserien Physik I

(a) Berechnen Sie die Federkonstante. (b) Mit welcher Frequenz schwingt der Massenpunkt um seine Gleichgewichtslage? (c) Bestimmen Sie die Schwingungsdauer. Aufgabe 6 Ein Massenpunkt mit der Masse 10 g bewegt sich auf einem Kreis mit dem Radius 10 cm und einer konstanten Bahnbeschleunigung von 31,7 cm/s 2 . Zu Beginn seiner Bewegung möge er ruhen. (a) Mit welcher Winkelbeschleunigung bewegt sich der Massenpunkt auf seiner Kreisbahn? (b) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit und die Rotationsenergie, die der Massenpunkt nach 2 Sekunden besitzt. Aufgabe 7 Ein Gasgemisch besteht zu 60 % aus Stickstoff (N2 ) und zu 40 % aus Wasserstoff (H2 ). (a) Bestimmen Sie die mittlere kinetische Energie der Gasmoleküle bei einer Temperatur von 20 ◦ C. (b) Welche thermische Energie besitzt ein Mol dieses Gasgemisches bei dieser Temperatur? (c) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit eines Stickstoffmoleküls bzw. eines Wasserstoffmoleküls bei dieser Temperatur. Welche Moleküle bewegen sich im Mittel schneller? Aufgabe 8 Eine Stahlkugel sinkt in einem mit Rizinusöl gefüllten Gefäß. Zum Anfangszeitpunkt t = 0 s sei die Kugel in Ruhe. Nach der Zeit 4 · 10−3 s ist die Beschleunigung auf ein Viertel der Anfangsbeschleunigung abgefallen. (a) Bestimmen Sie die konstante Endgeschwindigkeit, mit der die Kugel für große Zeiten sinkt. (b) Berechnen Sie die Strecke, die die Kugel in der Zeit 4 · 10−3 s bzw. 4 s zurücklegt. Aufgabe 9 Ein Stein wird aus einer Anfangshöhe von 2,45 m senkrecht nach oben geworfen. Seine Aufprallgeschwindigkeit beträgt das Doppelte seiner Anfangsgeschwindigkeit. Berechnen Sie die Anfangsgeschwindigkeit. Der Luftwiderstand sei vernachlässigbar. Aufgabe 10 Berechnen Sie die Entropieänderung von 14 g Stickstoffgas bei einer isothermen Expansion von einem Anfangsvolumen V1 = 100 ml in den Endzustand mit dem Volumen V2 = 200 ml.

10.3 Testserie 3

235

10.3.2 Lösungen Aufgabe 1 Die Änderung der inneren Energie U eines thermodynamischen Systems ist gleich der Summe aus der dem System zu- oder abgeführten Wärmeenergie Q und der am oder vom System verrichteten Arbeit W , d. h., es gilt: U = Q + W

(10.80) 

Aufgabe 2 (a) ist falsch, denn die Dimension der Beschleunigung ist [a] = L ange/Z ¨ eit 2 . (b) ist richtig. (c) ist falsch, zwar ist die Winkelgeschwindigkeit ω bei der gleichförmigen Kreisbewegung konstant, doch gilt ω = 2Tπ , weshalb sie umgekehrt proportional zur Umlaufdauer ist. (d) ist richtig.  Aufgabe 3 Ein Körper mit der Masse m befinde sich im Abstand r vom Erdmittelpunkt. Seine potentielle Energie im Gravitationsfeld der Erde mit der Masse M, bezogen auf den Nullpunkt „unendlich“, ist gegeben durch: E pot (r ) = − G ·

mM r

(10.81)

Der Abstand r > 0 vom Erdmittelpunkt ist stets positiv, weshalb Abb. (a) falsch ist. Ferner strebt die potentielle Energie für r −→ 0 gegen − ∞, weshalb auch Abb. (c) falsch ist. In Abb. (b) ist die potentielle Energie proportional zu − 1/r , weshalb nur diese richtig ist.  Aufgabe 4 Unter Verwendung der Einheitsvektoren eˆ1 , eˆ2 und eˆ3 in x-, y- und z-Richtung können wir ⎛ ⎞ 1 den Vektor a = ⎝ −2 ⎠ schreiben als 3 ⎞ ⎛ ⎞ 1 a1 a = ⎝ a2 ⎠ = ⎝ −2 ⎠ = 1 · eˆ1 + (−2) · eˆ2 + 3 · eˆ3 . a3 3 ⎛

(10.82)

Damit lauten die skalaren Komponenten des Vektors a a1 = 1, a2 = −2, a3 = 3,

(10.83)

236

10 Testserien Physik I

während seine vektoriellen Komponenten gegeben sind durch: 1 · eˆ1 , −2 · eˆ2 , 3 · eˆ3

(10.84) 

Aufgabe 5 (a) Die Federkonstante ist gegeben durch D=

m·g , s0

(10.85)

worin m = 400 g = 0,4 kg die Masse und s0 = 56 cm = 0,56 m die Auslenkung der Feder in der Gleichgewichtslage des Körpers an der Feder bezeichnen. Damit folgt: D=

0,4 kg · 9,81 m/s 2 = 7 N /m 0.56 m

(10.86)

(b) Mit der Federkonstanten erhalten wir für die Frequenz der ungedämpften harmonischen Schwingung:   D 7 N /m 1 1 ν= · = · = 0,67 H z (10.87) 2π m 2π 0,4 kg (c) Damit folgt für die Schwingungsdauer: T =

1 1 = 1,50 s = ν 0,67 s −1

(10.88) 

Aufgabe 6 (a) Der Massenpunkt führt eine gleichförmig beschleunigte Drehbewegung durch. Mit der Bahnbeschleunigung a B = 31,7 cm/s 2 und dem Radius r = 10 cm der Kreisbahn erhalten wir für seine Winkelbeschleunigung: α=

aB 31,7 cm/s 2 = = 3,17 s −2 r 10 cm

(10.89)

(b) Da sich der Massenpunkt zu Beginn in Ruhe befindet, gilt für seine anfängliche Winkelgeschwindigkeit ω(0) = ω0 = 0 s −1 . Für die Winkelgeschwindigkeit zur Zeit t folgt dann (10.90) ω(t) = α · t + ω0 = α · t womit wir für die Winkelgeschwindigkeit zur Zeit t2 = 2 s ω2 = ω(2) = α · t2 = 3,17 s −2 · 2 s = 6,34 s −1

(10.91)

10.3 Testserie 3

237

erhalten. Seine Rotationsenergie beträgt schließlich zu diesem Zeitpunkt mit dem Trägheitsmoment J = m · r 2 des Massenpunktes bezüglich des Kreismittelpunktes: Er ot =

1 1 J (ω2 )2 = m r 2 (ω2 )2 2 2

1 = · 10−2 kg · (0,1 m)2 · (6,34 s −1 )2 = 2 · 10−3 J 2

(10.92)

 Aufgabe 7 (a) Die mittlere kinetische Energie der Gasmoleküle ist gegeben durch < E kin >=

f · k · T, 2

(10.93)

worin k = 1,38 · 10−23 J /K die Boltzmann-Konstante bezeichnet (siehe Anhang B). Diese mittlere kinetische Energie hängt nur von der thermodynamischen Temperatur ab und ist damit für die Wasserstoff- und Stickstoffmoleküle gleich! Da Wasserstoff- und Stickstoffmoleküle 2-atomige Moleküle sind, ist die Zahl der Freiheitsgrade f = 5. Weiter entspricht die Temperatur ϑ = 20 ◦ C einer thermodynamischen Temperatur von T = 293,15 K . Damit erhalten wir für die mittlere kinetische Energie der Gasmoleküle nach (10.93): < E kin >=

5 · 1,38 · 10−23 J /K · 293,15 K = 1,01 · 10−20 J 2

(10.94)

(b) Ein Mol des Gasgemisches besitzt dann eine thermische Energie von E th = N A · < E kin > = 6,022 · 1023 · 1,01 · 10−20 J = 6,09 · 103 J /mol. (c) Die mittlere Teilchengeschwindigkeit ist gegeben durch:  8k T < v >= πm

(10.95)

(10.96)

Bei der Temperatur T = 293,15 K und mit den Molekülmassen m N 2 = 28,014 u bzw. m H 2 = 2,016 u folgt für die mittlere Geschwindigkeit der Stickstoffmoleküle  8 · 1, 38 · 10−23 J /K · 293,15 K = 470,67 m/s (10.97) < v N 2 >= π · 28,014 · 1,66 · 10−27 kg sowie der Wasserstoffmoleküle  8 · 1,38 · 10−23 J /K · 293,15 K < v H 2 >= = 1 754,51 m/s. π · 2,016 · 1,66 · 10−27 kg

(10.98)

238

10 Testserien Physik I

Die Geschwindigkeit der Wasserstoffmoleküle beträgt im Mittel wegen ihrer geringeren Masse etwa das Vierfache der Geschwindigkeit der Stickstoffmoleküle.  Aufgabe 8 (a) Die Kugel führt einen freien Fall unter Reibungseinfluss durch. Zur Zeit t gilt für die zurückgelegte Strecke t

s(t) = v∞ · ( t − τ ) + v∞ · τ · e− τ und für die Beschleunigung

t

a(t) = g · e− τ .

(10.99)

(10.100)

Zur Zeit t1/4 = 4 · 10−3 s ist die Beschleunigung auf ein Viertel der Anfangsbeschleunigung a(0) = g abgefallen, d. h., zu diesem Zeitpunkt gilt: a(t1/4 ) =

t1/4 1 · g = g · e− τ 4

Hieraus folgt e− d. h.

t1/4 τ

=

1 4

|

ln,

(10.101)

(10.102)

t1/4 1 = ln = − ln 4, τ 4

(10.103)

t1/4 4 · 10−3 s = = 2,89 · 10−3 s ln 4 ln 4

(10.104)

− womit τ gegeben ist durch: τ=

Für die konstante Endgeschwindigkeit der Kugel erhalten wir schließlich: v∞ = g · τ = 9,81 m/s 2 · 2,89 · 10−3 s = 28,35 · 10−3 m/s = 2,8 cm/s

(10.105)

(b) Ferner folgt mit (10.99) und (10.102) für die in der Zeit t1/4 = 4 · 10−3 s zurückgelegte Strecke t1/4

s(t1/4 ) = v∞ · ( t1/4 − τ ) + v∞ · τ · e− τ 1 3 = v∞ · ( t1/4 − τ + τ ) = v∞ · ( t1/4 − τ ) (10.106) 4 4 3 = 28,35 · 10−3 m/s · ( 4 · 10−3 s − · 2,89 · 10−3 s) = 5,2 · 10−2 mm, 4

10.3 Testserie 3

239

während für die Zeit t4 = 4 s die Näherungsformel für große Zeiten s(t4 ) = v∞ · t4 = 28,35 · 10−3 m/s · 4 s = 11,3 cm

(10.107) 

gilt.

Aufgabe 9 Der Stein führt im Schwerefeld der Erde eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung längs einer Geraden durch. Die Koordinatenachse führen wir, wie in Abb. 10.5 dargestellt, ein. Zur Anfangszeit t = 0 s befindet sich der Stein in der Höhe s(0) = h = 2,45 m. Seine Höhe s(t) über dem Erdboden und seine Geschwindigkeit v(t) zur Zeit t sind gegeben durch s(t) = − 21 g t 2 + v0 t + h

(10.108)

v(t) = − g t + v0 , worin v0 die nach oben gerichtete Anfangsgeschwindigkeit bezeichnet. Zur Zeit tg schlägt der Stein auf dem Boden auf. Dabei beträgt seine Aufprallgeschwindigkeit va = | v(tg ) | das Doppelte seiner Anfangsgeschwindigkeit. Da v(tg ) < 0 negativ ist, gilt va =| v(tg ) |= − v(tg ) = g tg − v0 = 2 · v0 ,

(10.109)

woraus wir für die Anfangsgeschwindigkeit v0 =

1 · g · tg 3

erhalten. Ferner gilt zur Zeit tg :

Abb. 10.5 Zur Anfangsgeschwindigkeit beim senkrechten Wurf

(10.110)

240

10 Testserien Physik I

s(tg ) = −

1 g (tg )2 + v0 tg + h = 0 2

(10.111)

Mit (10.110) erhalten wir die Gleichung −

1 1 1 g (tg )2 + g tg · tg + h = − g (tg )2 + h = 0, 2 3 6

womit für die gesamte Fallzeit

 tg =

6·h g

gilt. Damit folgt schließlich nach (10.110) für die Anfangsgeschwindigkeit:    6·h 2·h·g 2 · 2,45 m · 9,81 m/s 2 1 v0 = · g · = = = 4 m/s 3 g 3 3

(10.112)

(10.113)

(10.114) 

Aufgabe 10 Bei einer isothermen Expansion eines Gases ändert sich seine Entropie. Da die Entropie eine Zustandsgröße ist, ist diese Entropieänderung unabhängig von der Prozessführung! Da wir aber die Entropieänderung S im Falle einer reversiblen Prozessführung berechnen können, betrachten wir die reversible Zustandsänderung. Für die Entropieänderung gilt bei einer isothermen Expansion:   Q r ev 1 dS = d Q r ev = (10.115) S = T T 



Das Gas verrichtet bei seiner Expansion gegen den konstanten äußeren Druck Pa die Arbeit Wr ev . Reversible Prozessführung bedeutet, dass der Gasdruck P gleich dem äußeren Luftdruck Pa ist. Für den Gasdruck gilt das ideale Gasgesetz P · V = n · R · T.

(10.116)

Die Arbeit Wr ev ist dann gegeben durch: V2 Wr ev = −

V2 Pa d V = − n R T

V1

V1

1 V2 < 0 d V = − n R T ln V V1

(10.117)

Da die Expansion isotherm erfolgt, nimmt das Gas während der Expansion den dieser Arbeit entsprechenden Energiebetrag V2 > 0 (10.118) Q r ev = − Wr ev = n R T ln V1

10.4 Testserie 4

241

aus seiner Umgebung auf. Damit ist die Entropieänderung nach (10.115) gegeben durch:   V2 n R T ln V1 Q r ev V2 > 0 (10.119) S = = = n R ln T T V1 Mit der Molmasse M = 2 · 14,007 g/mol = 28 g/mol folgt für die Stoffmenge von m = 14 g Stickstoffgas: m 14 g n= = = 0,5 mol (10.120) M 28 g/mol Damit erhalten wir schließlich für die Entropieänderung des Stickstoffgases bei der isothermen Expansion :

200 ml J = 2,88 J /K (10.121) · ln S = 0,5 mol · 8,31 mol K 100 ml 

10.4

Testserie 4

10.4.1 Aufgaben Aufgabe 1 Beschreiben Sie den Inhalt der Kontinuitätsgleichung. Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen über Energie ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Energie kommt in verschiedenen Energieformen vor, wie kinetische Energie, potentielle Energie, Wärmeenergie, (chemische) Bindungsenergie, Strahlungsenergie, elektrische Energie, magnetische Energie oder Masse, wobei die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems, d. i. die Summe aller vorkommenden Energieformen, bei allen Vorgängen konstant ist. (b) Hat ein in einem Fluid frei fallender Körper aufgrund der Reibung seine konstante Endgeschwindigkeit erreicht, so wird die frei werdende potentielle Energie vollständig in kinetische Energie umgewandelt. (c) Ein Körper der Masse 2 kg, der sich in einem Bezugssystem mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1 m/s bewegt, besitzt die kinetische Energie 2 J . (d) Nur für konservative Kräfte wie die Federkraft, Schwerkraft oder die Gravitationskraft gibt es eine potentielle Energie.

242

10 Testserien Physik I

Aufgabe 3 In welcher/welchen der folgenden Abbildungen sind die kinematischen Variablen der gleichförmigen Kreisbewegung eines Massenpunktes qualitativ richtig dargestellt?

Begründen Sie Ihre Antwort! Aufgabe 4 Ein Auto fährt gleichmäßig beschleunigt mit einer Beschleunigung von 2 m/s 2 . Eine Person mit einer Masse von 75 kg ruht im Auto. (a) Welche Scheinkraft wirkt auf die Person? (b) Welchen Betrag und welche Richtung besitzt diese Scheinkraft? Aufgabe 5 Zwei Massenpunkte bewegen sich gleichförmig geradlinig entlang der Geraden G1 und G2 , die wir durch die Ortsvektoren ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 r1 (t) = a + t · u = ⎝ 2 ⎠ + t · ⎝ 1 ⎠ , t ∈ R (10.122) −1 0 bzw.

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 4 1   ⎝ ⎠  ⎝ ⎠ r2 (t) = b + t · v = 4 + t · 0 , t  ∈ R 0 1

(10.123)

beschreiben und die den Schnittpunkt S besitzen. Unter welchem Winkel schneiden sich die Geraden? Aufgabe 6 Wie ändert sich das Volumen eines idealen Gases, wenn man die Temperatur bei konstantem Druck von 0 ◦ C auf 82 ◦ C erhöht?

10.4 Testserie 4

243

Aufgabe 7 Eine homogene Kreisscheibe besitzt einen Radius von 10 cm und eine Masse von 3 kg. Zu Beginn führt sie eine gleichförmige Drehbewegung durch und besitzt dabei eine Rotationsenergie von 3 J bzgl. der S-Achse durch den Massenschwerpunkt. (a) Mit welcher anfänglichen Winkelgeschwindigkeit dreht sich die Scheibe? (b) Berechnen Sie die Arbeit, die verrichtet werden muss, um diese Winkelgeschwindigkeit zu verdreifachen. Aufgabe 8 Ein Massenpunkt führt eine ungedämpfte harmonische Schwingung durch. Zum Anfangszeitpunkt t = 0 s befindet er sich in der Gleichgewichtslage. Nach einer Zeit von 1/6 s hat er zum ersten Mal seit Beginn seiner Bewegung die Hälfte der maximalen Auslenkung erreicht. Berechnen Sie die Schwingungsdauer. Aufgabe 9 Wie viele Minuten und Sekunden nach 2 U hr schließen der Minutenzeiger und der Stundenzeiger einer Uhr zum ersten Mal einen rechten Winkel ein? Aufgabe 10 Ein Körper mit einer Masse von 70 kg rutscht eine schiefe Ebene mit einer Länge von 10 m herunter, die einen Höhenunterschied von 4 m besitzt. Zu Beginn möge er sich in Ruhe befinden. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt μG = 0,2, und der Luftwiderstand sei vernachlässigbar. (a) Berechnen Sie die Änderung der thermischen Energie des Körpers und seiner Umgebung. (b) Welche Geschwindigkeit besitzt der Körper am Ende der schiefen Ebene?

10.4.2 Lösungen Aufgabe 1 Für eine stationär fließende, ideale Flüssigkeit ist die Volumenstärke zeitlich und räumlich konstant, wenn längs des Rohres weder Flüssigkeit hinzukommt noch verlorengeht. Strömt eine ideale Flüssigkeit durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt (siehe Abb. 10.6), so folgt aus der Konstanz der Volumenstärke, dass die Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit nicht konstant sein kann.

244

10 Testserien Physik I

Abb. 10.6 Zur Kontinuitätsgleichung

Der Inhalt der Kontinuitätsgleichung ist, dass das Produkt aus Querschnittsfläche und Strömungsgeschwindigkeit konstant ist, d. h., es gilt: A 1 · v 1 = A 2 · v2

=⇒

v1 A2 = v2 A1

(10.124)

Das Verhältnis der Strömungsgeschwindigkeiten ist also umgekehrt wie für die Rohrquerschnitte. 

Aufgabe 2 (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn wenn ein in einem Fluid frei fallender Körper aufgrund der Reibungskräfte seine konstante Endgeschwindigkeit erreicht hat, so ist seine kinetische Energie konstant, und die frei werdende potentielle Energie wird aufgrund der Reibung vollständig in thermische Energie umgewandelt. (c) ist falsch, denn die kinetische Energie des Körpers ist gegeben durch: E kin =

1 1 m v 2 = · 2 kg · (1 m/s)2 = 1 J 2 2

(10.125)

(d) ist richtig.  Aufgabe 3 Abb. (c) ist falsch, da die Geschwindigkeit v eines Massenpunktes stets tangential an die Bahnkurve gerichtet ist. Für eine Drehbewegung ist die Beschleunigung eines Massenpunktes gegeben durch: (10.126) a = a B + a Z

10.4 Testserie 4

245

Für die gleichförmige Kreisbewegung verschwindet jedoch die tangential zur Bahnkurve gerichtete Bahnbeschleunigung a B , sodass die Beschleunigung a der Zentripetalbeschleunigung a Z entspricht, die radial zum Kreismittelpunkt gerichtet ist. Somit ist auch Abb. (a) falsch und nur Abb. (b) richtig.  Aufgabe 4 (a) In jedem mit konstanter Beschleunigung a beschleunigten Bezugssystem erfährt jeder Körper der Masse m die Trägheitskraft Ft = − m · a .

(10.127)

(b) Sie ist stets der Beschleunigung a des Bezugssystems entgegengerichtet. Für den Betrag gilt: Ft = m · a = 75 kg · 2 m/s 2 = 150 N (10.128)  Aufgabe 5 Der Schnittwinkel α zwischen beiden Geraden ist gegeben durch: α = ar ccos

| u · v | u·v

(10.129)

Für das Skalarprodukt der Vektoren u und v gilt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 u · v = ⎝ 1 ⎠ · ⎝ 0 ⎠ = 1 · 1 + 1 · 0 + 0 · 1 = 1, 0 1 und die Beträge der Richtungsvektoren sind gegeben durch: √ √ u =| u |= 1 + 1 + 0 = 2 √ √ v =| v |= 1 + 0 + 1 = 2

(10.130)

(10.131)

Damit erhalten wir für den Schnittwinkel: α = ar ccos

1 = 60◦ 2

(10.132) 

Aufgabe 6 Die Temperatur ϑ1 = 0 ◦ C entspricht der thermodynamischen Temperatur T1 = 273,15 K und die Temperatur ϑ2 = 82 ◦ C einer thermodynamischen Temperatur von T2 = 355,15 K . Aus dem idealen Gasgesetz folgt mit konstantem Gasdruck:

246

10 Testserien Physik I

P · V1 = n · R · T1 P · V2 = n · R · T2

(10.133)

Bilden wir das Verhältnis, so gilt: V2 T2 = V1 T1

(10.134)

Hieraus folgt: V2 =

T2 · V1 T1

(10.135)

Damit erhalten wir für die Volumenänderung  V = V2 − V1 =

T2 T2 − T1 82 K · V1 − V1 = · V1 = · V1 = 0,3 · V1 , (10.136) T1 T1 273,15 K

d. h., die Volumenänderung des idealen Gases beträgt das 0,3-fache des Volumens bei der Anfangstemperatur ϑ1 = 0 ◦ C.  Aufgabe 7 (a) Bezeichnet ω0 die anfängliche Winkelgeschwindigkeit der Scheibe, so ist die Rotationsenergie gegeben durch: 1 Er1ot = JS ω0 2 (10.137) 2 Das Trägheitsmoment der homogenen Scheibe bezüglich der S-Achse durch den Massenschwerpunkt beträgt: JS =

1 1 M R 2 = · 3 kg · (0, 1 m)2 = 0,015 kgm 2 2 2

Damit erhalten wir für die Winkelgeschwindigkeit zum Anfangszeitpunkt:   2 · Er1ot 2·3J ω0 = = = 20 s −1 JS 0,015 kgm 2

(10.138)

(10.139)

(b) Für die Rotationsenergie bei der dreifachen Winkelgeschwindigkeit ω2 = 3 · ω0 = 3 · 20 s −1 = 60 s −1

(10.140)

1 1 JS ω2 2 = · 0,015 kgm 2 · (60 s −1 )2 = 27 J 2 2

(10.141)

erhalten wir: Er2ot =

10.4 Testserie 4

247

Die Arbeit, die notwendig ist, um die Winkelgeschwindigkeit zu verdreifachen, ist schließlich gegeben durch: W =  Er ot = Er2ot − Er1ot = 27 J − 3 J = 24 J

(10.142) 

Aufgabe 8 Bei einer ungedämpften harmonischen Schwingung ist die Auslenkung des Massenpunktes aus seiner Gleichgewichtslage zur Zeit t gegeben durch: x(t) = x0 · sin (ω t + ϕ)

(10.143)

Da sich der Massenpunkt zum Anfangszeitpunkt t = 0 s in der Gleichgewichtslage befindet, ist der Phasenwinkel ϕ = 0, womit wir x(t) = x0 · sin (ω t)

(10.144)

erhalten. Zum Zeitpunkt t1/2 = 1/6 s hat er zum ersten Mal seit Beginn seiner Bewegung die Hälfte der maximalen Auslenkung x0 erreicht, d. h., zu diesem Zeitpunkt gilt: x(t1/2 ) =

x0 = x0 · sin (ω t1/2 ) 2

Hieraus folgt: sin (ω t1/2 ) =

1 2

d. h. ω · t1/2 = ar csin Mit ω =

2π T

| ar csin, 1 π = . 2 6

(10.145)

(10.146) (10.147)

folgt

2π π · t1/2 = , T 6 woraus wir für die Schwingungsdauer T = 12 · t1/2 = 12 · 1/6 s = 2 s

(10.148)

(10.149)

erhalten. 

248

10 Testserien Physik I

Aufgabe 9 Die Winkel, die der Stundenzeiger ϕ S (t) und der Minutenzeiger ϕ M (t) zur Zeit t nach 2 U hr mit der x-Achse einschließen, sind gegeben durch (siehe Abb. 10.7): ϕ M (t) = ω M · t

ϕ S (t) = ω S · t +

und

π 3

(10.150)

Für die Winkelgeschwindigkeiten beider Zeiger erhalten wir: 2π 2π = = 2 π h −1 TM 1h 2π 2π π ωS = = = h −1 TS 12 h 6

ωM =

(10.151)

Zum Zeitpunkt ts schließen beide Zeiger einen rechten Winkel ein, d. h., zu diesem Zeitpunkt gilt: π ϕ M (ts ) = ϕ S (ts ) + (10.152) 2 Mit (10.150) folgt hieraus ω M · ts = ω S · t s +

π 5π π + = ω S · ts + , 3 2 6

(10.153)

womit wir für die gesuchte Zeit ts =

5π 6

ω M − ωS

=

5π 6

2π −

π 6

h=

5π 6·

11 π 6

h=

5 h = 0,4545 h 11

(10.154)

erhalten. Wegen 0,4545 h = 0,4545 · 60 min = 27 min 0,2727 · 60 s = 27 min 16 s Abb. 10.7 Zur Uhrenaufgabe

(10.155)

10.4 Testserie 4

249

stehen also der Minutenzeiger und der Stundenzeiger 27 min 16 s nach 2 U hr das erste Mal rechtwinklig zueinander. 

Aufgabe 10 (a) Die Schwerkraft G = m · g auf den Körper können wir zerlegen in die parallele Komponente F p = m g · sin α und die Normalkompontente FN = m g · cos α zur schiefen Ebene (siehe Abb. 10.8). Die Gleitreibungskraft ist damit gegeben durch: FG = μG · FN = μG · m g · cos α Mit sin α =

h l

(10.156)

gilt:

 cos α = 1 − sin 2 α =



 h 1 − ( )2 = l

1−



4m 10 m

2 = 0,917

(10.157)

Damit folgt für die Gleitreibungskraft: FG = μG · m g · cos α = 0,2 · 70 kg · 9,81 m/s 2 · 0,917 = 125,94 N

(10.158)

Die parallele Komponente der Schwerkraft hat während des Rutschvorgangs neben der Beschleunigung des Körpers gegen die Gleitreibungskraft die Arbeit W = FG · l = 125,94 N · 10 m = 1 259 J

(10.159)

verrichtet, die zu einer Erhöhung der thermischen Energie des Körpers und seiner Umgebung um  E th = W = 1 259 J (10.160)

Abb. 10.8 Zur Arbeit gegen Reibungskräfte

250

10 Testserien Physik I

führt. (b) Zu Beginn des Rutschvorgangs besitzt der Körper die potentielle Energie E pot (0) = m · g · h = 70 kg · 9,81 m/s 2 · 4 m = 2 747 J ,

(10.161)

worin h = 4 m den Höhenunterschied der schiefen Ebene bezeichnet (siehe Abb. 10.8). Da der Körper zu Beginn ruht, gilt E kin (0) = 0 J , womit die Gesamtenergie zum Anfangszeitpunkt t = 0 s gegeben ist durch: E ges = E pot (0) + E kin (0) + E th (0) = m · g · h + E th (0)

(10.162)

Am Ende der schiefen Ebene mit der Länge l = 10 m besitzt der Körper die Endgeschwindigkeit ve und damit die kinetische Energie E kin (te ) =

1 · m · ve 2 , 2

(10.163)

wobei die potentielle Energie E pot (te ) = 0 J zu diesem Zeitpunkt te verschwindet. Zum Zeitpunkt te ist die Gesamtenergie gegeben durch: E ges = E pot (te ) + E kin (te ) + E th (te ) =

1 · m · ve 2 + E th (te ) 2

(10.164)

Die Energieerhaltung liefert dann: E ges = m · g · h + E th (0) =

1 · m · ve 2 + E th (te ) 2

(10.165)

Hieraus folgt mit  E th = E th (te ) − E th (0) m·g·h =

1 1 · m · ve 2 + {E th (te ) − E th (0)} = · m · ve 2 +  E th , 2 2

womit wir für die Endgeschwindigkeit   2 · (m g h −  E th ) 2 · (2 747 J − 1 259 J ) ve = = = 6,52 m/s m 70 kg

(10.166)

(10.167)

erhalten. 

10.5 Testserie 5

10.5

251

Testserie 5

10.5.1 Aufgaben Aufgabe 1 Wie lautet das Aktionsprinzip? Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen über Zustandsformen der Materie ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Bei einer Flüssigkeit ist die thermische Energie der Teilchen vergleichbar mit der Bindungsenergie, sodass die Teilchen trotz der Bindungskräfte untereinander eine ungeordnete Bewegung durchführen können, aufgrund derer Flüssigkeiten kein definiertes Volumen und keine bestimmte Form haben. (b) Unter der Oberflächenspannung σ verstehen wir die auf die Flächeneinheit bezogene tangentiale Kraft an die Oberfläche. (c) Der Gesamtdruck Pges eines Gasgemisches ist gegeben durch die Summe der Partialdrücke der einzelnen Gase, d. h., es gilt: Pges =

N 

Pi = P1 + P2 + . . . + PN

(10.168)

i=1

(d) Bei realen Gasen ist das Eigenvolumen und die gegenseitige Wechselwirkung der Gasteilchen nicht vernachlässigbar, was in der van der Waals-Gleichung durch den 2 Binnendruck nV ·a 2 und das Kovolumen n · b berücksichtigt wird. Aufgabe 3 In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist das Drehmoment N einer Kraft F bezüglich des Drehpunktes O qualitativ richtig dargestellt?

Begründen Sie Ihre Antwort!

252

10 Testserien Physik I

Aufgabe 4 Was können Sie allgemein über Reibungskräfte aussagen? Aufgabe 5 Auf einer Kreisbahn besitzt ein Massenpunkt die konstante Winkelgeschwindigkeit 2 s −1 sowie eine Rotationsenergie von 3,6 J bezüglich des Kreismittelpunktes. (a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Massenpunktes. (b) Bestimmen Sie den Betrag des Bahndrehimpulses des Massenpunktes in Bezug auf den Kreismittelpunkt. Aufgabe 6 Ein Massenpunkt bewegt sich gleichförmig geradlinig längs der Geraden G . Zum Zeitpunkt t0 befindet er sich am Raumpunkt P0 = (−1, 0, 4) und zum Zeitpunkt t1 am Raumpunkt P1 = (0, −1, 2). (a) Bestimmen Sie die Gleichung dieser Geraden. (b) An welchem Raumpunkt befindet er sich zum Zeitpunkt t2 = 2 s? Aufgabe 7 Die Schwingungsdauer eines elastischen Federpendels beträgt 18 s. Zum Anfangszeitpunkt t = 0 s sei der Massenpunkt an der Feder maximal ausgelenkt und in Ruhe. Zu welchem Zeitpunkt hat er zum ersten Mal die Hälfte der maximalen Auslenkung erreicht? Aufgabe 8 Ein Molekül mit der Masse m 1 stößt mit einem nahezu ruhenden zweiten Molekül mit der m1 der Molekülmassen sein, damit Masse m 2 zusammen. Wie groß muss das Verhältnis m 2 sich bei einem zentralen elastischen Stoß die Geschwindigkeit des ersten Moleküls auf ein Drittel seiner Anfangsgeschwindigkeit verringert? Aufgabe 9 Für einen aus der Ruhe frei fallenden Körper beträgt die Geschwindigkeit nach einer Sekunde Fallzeit betragsmäßig ein Drittel seiner Aufprallgeschwindigkeit. (a) Berechnen Sie seine Aufprallgeschwindigkeit. (b) Aus welcher Höhe fällt der Körper und wie lange? Aufgabe 10 Sauerstoffgas (O2 ) mit einer Masse von 64 g besitze im Anfangszustand 1 das Volumen V1 und die Temperatur T1 = 283,15 K . Es dehnt sich dann adiabatisch auf das doppelte Volumen aus.

10.5 Testserie 5

253

(a) Welche Temperatur besitzt das Gas im Endzustand 2? (b) Berechnen Sie die Änderung der inneren Energie des Gases bei seiner Expansion.

10.5.2 Lösungen Aufgabe 1 Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht in der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt, d. h., es gilt: F = m · a (10.169) oder komponentenweise Fx = m · ax Fy = m · a y Fz = m · az

(10.170) 

Aufgabe 2 (a) ist falsch, zwar ist bei einer Flüssigkeit die thermische Energie der Teilchen vergleichbar mit der Bindungsenergie, doch können die Teilchen trotz der Bindungskräfte eine ungeordnete Bewegung durchführen, weshalb sie leicht gegeneinander verschiebbar sind und deshalb ein definiertes Volumen, aber keine bestimmte Form besitzen. (b) ist falsch, denn unter der Oberflächenspannung σ verstehen wir die auf die Längeneinheit bezogene tangentiale Kraft an die Flüssigkeitsoberfläche: σ =

Ft , l

(10.171)

worin l die Länge des Randes der Flüssigkeitsoberfläche bezeichnet, entlang dessen die Kraft Ft wirkt. (c) ist richtig. (d) ist richtig.  Aufgabe 3  bezogen auf den Drehpunkt O, ist definiert durch Das Drehmoment der Kraft F,  N = r × F,

(10.172)

worin r den Vektor vom Drehpunkt zum Angriffspunkt der Kraft bezeichnet. Damit steht  weshalb Abb. (a) falsch ist. Ferner ist das das Drehmoment stets senkrecht zu r und F,

254

10 Testserien Physik I

Drehmoment nach der „3-Finger-Regel der rechten Hand“ senkrecht nach oben gerichtet, weshalb auch Abb. (b) falsch und nur Abb. (c) richtig ist.  Aufgabe 4 Reibungskräfte treten überall dort auf, wo miteinander in Berührung stehende materielle Dinge gegeneinander bewegt werden. Sie beruhen letztlich auf der elektromagnetischen Wechselwirkung zwischen den Atomen der beteiligten Materie. Reibungskräfte sind stets der Bewegungsrichtung entgegengesetzt, sie „hemmen“ die Bewegung. Schließlich gehören Reibungskräfte zu den dissipativen Kräften, für die die Arbeit vom Weg abhängt.  Aufgabe 5 (a) Die Rotationsenergie eines Massenpunktes ist gegeben durch: Er ot =

1 J ω2 2

(10.173)

Hieraus folgt für sein Trägheitsmoment: J=

2 · 3,6 J 2 · Er ot = = 1,8 kgm 2 ω2 (2 s −1 )2

(10.174)

(b) Für den Betrag des Bahndrehimpulses folgt damit in Bezug auf den Kreismittelpunkt: L = J · ω = 1,8 kgm 2 · 2 s −1 = 3,6 kgm/s

(10.175) 

Aufgabe 6 (a) Die Gerade durch die Punkte P0 = (−1, 0, 4) und P1 = (0, −1, 2), zu denen die Ortsvektoren ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ −1 0 r0 = ⎝ 0 ⎠ und r1 = ⎝ −1 ⎠ (10.176) 4 2 gehören, ist durch die Zwei-Punkte-Form r1 − r0 ), t ∈ R r(t) = r0 + t · (

(10.177)

gegeben. Die Richtung der Geraden beschreiben wir durch den Vektor ⎛

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 −1 1 u = r1 − r0 = ⎝ −1 ⎠ − ⎝ 0 ⎠ = ⎝ −1 ⎠ . 2 4 −2

(10.178)

10.5 Testserie 5

255

Damit lautet die Geradengleichung: ⎛

⎞ ⎛ ⎞ −1 1 r(t) = ⎝ 0 ⎠ + t · ⎝ −1 ⎠ , t ∈ R 4 −2

(10.179)

(b) Zum Zeitpunkt t2 = 2 s zeigt der Ortsvektor zum Raumpunkt P2 , dessen Ortsvektor gegeben ist durch: ⎛

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −1 1 1 r2 = r(t2 ) = ⎝ 0 ⎠ + 2 · ⎝ −1 ⎠ = ⎝ −2 ⎠ 4 −2 0

(10.180)

Die kartesischen Koordinaten des Punktes lauten also P2 = (1, −2, 0).  Aufgabe 7 Das Federpendel führt eine ungedämpfte harmonische Schwingung durch. Da es zum Anfangszeitpunkt t = 0 s maximal ausgelenkt und in Ruhe ist, folgt für den Phasenwinkel ϕ = π2 , womit wir für die Auslenkung des Massenpunktes zur Zeit t x(t) = x0 · sin(ω t +

π ) = x0 · cos(ω t) 2

(10.181)

erhalten. Hierin bezeichnet x0 die Amplitude, d. h., die maximale Auslenkung des Massenpunktes aus seiner Ruhelage, und 2π ω= (10.182) T die Kreisfrequenz, wobei die Schwingungsdauer gegeben ist durch T = 18 s. Zum Zeitpunkt t1 hat das Federpendel zum ersten Mal die Hälfte der maximalen Auslenkung erreicht. Zu diesem Zeitpunkt gilt also: x0 (10.183) x(t1 ) = = x0 · cos(ω t1 ) 2 Hieraus folgt cos(ω t1 ) =

1 2

ω t1 = ar ccos d. h., nach

1 π = , 2 3

π π ·T T 18 s = = = = 3s (10.184) 3·ω 3·2π 6 6 hat das Federpendel zum ersten Mal die Hälfte der maximalen Auslenkung erreicht.  t1 =

256

10 Testserien Physik I

Aufgabe 8 Da das zweite Molekül zu Beginn nahezu in Ruhe ist, lautet der Impulserhaltungssatz p 1 = p1  + p 2  ,

(10.185)

worin p1 = m 1 · v1 den Impuls des ersten Moleküls vor dem Stoß und p1  = m 1 · v1 und p2  = m 2 · v2 die Impulse der Moleküle nach dem Stoß bezeichnen. Für den Impulsübertrag beim zentralen elastischen Stoß gilt:  p = p1 − p1  = p2  = Aus p 1  = p1 − p 2  = p1 −

2 m2 · p1 m1 + m2

2 m2 m1 − m2 · p1 = · p1 m1 + m2 m1 + m2

(10.186)

(10.187)

erhalten wir für die Geschwindigkeit des ersten Moleküls nach dem Stoß v1  =

m1 − m2 x −1 · v1 = · v1 , m1 + m2 x +1

worin x=

m1 m2

(10.188)

(10.189)

das Verhältnis der Molekülmassen bezeichnet. Wenn sich beim Stoß die Geschwindigkeit des ersten Moleküls auf ein Drittel seiner Anfangsgeschwindigkeit verringert, dann erhalten wir aus (10.188) mit v1  = 13 v1 : v1  1 x −1 = = v1 3 x +1

(10.190)

(x + 1) = 3 · (x − 1),

(10.191)

Hieraus folgt womit wir für das gesuchte Massenverhältnis x=

m1 =2 m2

(10.192)

erhalten. 

Aufgabe 9 (a) Der Körper führt einen freien Fall ohne Reibung durch. Die Koordinatenachse führen wir, wie in Abb. 10.9 dargestellt, ein. Da sich der Körper zum Anfangszeitpunkt t = 0 s in der Höhe h in Ruhe befindet, lauten die Anfangsbedingungen:

10.5 Testserie 5

257

Abb. 10.9 Zur Aufprallgeschwindigkeit beim freien Fall

s(0) = s0 = h (10.193) v(0) = v0 = 0 m/s Seine Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t ist dann gegeben durch: v(t) = a · t + v0 = −g · t

(10.194)

Zur Zeit t1 = 1 s beträgt seine Geschwindigkeit betragsmäßig ein Drittel seiner Aufprallgeschwindigkeit va > 0 m/s, d. h., es gilt: | v(t1 ) |=

1 · va 3

Mit (10.194) gilt | v(t1 ) |= g · t1 =

1 · va , 3

(10.195)

(10.196)

woraus wir für die Aufprallgeschwindigkeit va = 3 g t1 = 3 · 9,81 m/s 2 · 1 s = 29,43 m/s erhalten. (b) Aus der Beziehung va =

 2gh

(10.197)

(10.198)

folgt für die Höhe h, aus der der Körper fällt: h=

(29,43 m/s)2 (va )2 = 44,15 m = 2·g 2 · 9,81 m/s 2

(10.199)

258

10 Testserien Physik I

Die gesamte Fallzeit ist schließlich gegeben durch:   2h 2 · 44,15 m tg = = 3s = g 9,81 m/s 2

(10.200) 

Aufgabe 10 (a) Da die Expansion des Sauerstoffgases adiabatisch erfolgt, gilt für den Druck und die Temperatur des Gases im Anfangszustand 1 und im Endzustand 2 aufgrund der Adiabatengleichung die Beziehung

Hieraus folgt:

P1 · V1 κ = P2 · V2 κ = konstant.

(10.201)

(P1 · V1 ) · V1 κ − 1 = (P2 · V2 ) · V2 κ−1

(10.202)

Nach dem idealen Gasgesetz gilt P1 · V1 = n · R · T1 (10.203) P2 · V2 = n · R · T2 , womit wir

n · R · T1 · V1 κ−1 = n · R · T2 · V2 κ−1

(10.204)

erhalten. Hieraus folgt für die Temperatur T2 des Endzustandes:

T2 =

V1 V2

κ−1

· T1

(10.205)

Da es sich bei Sauerstoffgas (O2 ) um ein zweiatomiges Gas handelt, ist die Zahl der Freiheitsgrade gegeben durch f = 5, womit für den Adiabatenexponenten κ = f +2 f = 5+2 5

= 1,4 folgt. Mit V2 = 2 · V1 erhalten wir schließlich:

T2 =

V1 2 · V1

2

5

1 · T1 = √ · 283,15 K = 214,59 K 5 4

(10.206)

(b) Die Änderung der inneren Energie bei der Expansion des Gases ist gegeben durch: U =

f · n · R · T 2

(10.207)

Mit der Molmasse M = 2 · 15,999 g/mol = 32 g/mol folgt für die Stoffmenge von m = 64 g Sauerstoffgas

10.6 Testserie 6

259

n=

m 64 g = = 2 mol, M 32 g/mol

(10.208)

womit wir mit der Zahl der Freiheitsgrade f = 5 U =

5 · 2 mol · 8, 31k J /kmol K · (214,59 − 283,15) K = − 2,85 k J 2

(10.209)

erhalten. 

10.6

Testserie 6

10.6.1 Aufgaben Aufgabe 1 Wie lautet der 2. Hauptsatz der Thermodynamik? Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen über Scheinkräfte ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) In jedem mit konstanter Beschleunigung a beschleunigten Bezugssystem erfährt jeder Körper der Masse m die Trägheitskraft, deren Betrag proportional zur Geschwindigkeit des Körpers im beschleunigten System ist. (b) In jedem mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ω  rotierenden Bezugssystem erfährt jeder Körper der Masse m, der sich in diesem System mit der Geschwindigkeit  × v. v bewegt, die Coriolis-Kraft FC = − 2 m ω (c) Neben realen Kräften können auch Scheinkräfte in Inertialsystemen auftreten. (d) Scheinkräfte rühren von der Beschleunigung des Bezugssystems her. Aufgabe 3 In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung eines Massenpunktes qualitativ richtig dargestellt?

260

10 Testserien Physik I

Begründen Sie Ihre Antwort! Aufgabe 4 Wodurch ist der Aggregatzustand gasförmig ausgezeichnet? Aufgabe 5 Ein Körper der Masse 3 kg bewegt sich gleichförmig geradlinig mit einer Geschwindigkeit von 4 m/s. Welche Arbeit muss man am Körper verrichten, um seine Geschwindigkeit zu halbieren? Aufgabe 6 Eine Saugpumpe mit einer genügend hohen Saugkraft saugt Quecksilber mit einer Dichte von ρ H g = 13,6 g/cm 3 aus einem offenen Gefäß über ein Rohr an. Welche maximale Steighöhe im Rohr kann das Quecksilber erreichen, wenn der äußere Luftdruck 1 bar beträgt? Aufgabe 7 Zwei Massenpunkte bewegen sich gleichförmig geradlinig entlang der Geraden G1 und G2 , die wir durch die Vektorfunktionen ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −2 2 r1 (t) = a + t · u = ⎝ −1 ⎠ + t · ⎝ 1 ⎠ , t ∈ R (10.210) 3 −1 und



⎛ ⎞ ⎞ 0 2 r2 (t  ) = b + t  · v = ⎝ 4 ⎠ + t  · ⎝ −1 ⎠ , t ∈ R −6 3

(10.211)

beschreiben. Zeigen Sie, dass sich ihre Bahnkurven schneiden, und bestimmen Sie ihren Schnittpunkt S.

10.6 Testserie 6

261

Aufgabe 8 Aus einer Tropfpipette, die wir als Glasröhrchen betrachten, fallen Wassertropfen. Wie groß muss der Radius der Pipette sein, damit die Tropfen ein Volumen von 0,1 ml besitzen? Die Dichte von Wasser ist gegeben durch ρ H2 O = 1 g/cm 3 , während bei 20◦ C die Oberflächenspannung σ = 7,28 · 10−2 N /m beträgt. Aufgabe 9 Ein Körper führt an einer elastischen Feder eine ungedämpfte harmonische Schwingung durch. Zum Anfangszeitpunkt sei er in seiner Gleichgewichtslage, und seine Geschwindigkeit sei maximal. Zu welcher Zeit hat er zum ersten Mal die Hälfte seiner maximalen Auslenkung erreicht, wenn seine maximale Geschwindigkeit 6,28 cm/s und seine maximale Beschleunigung 19,72 cm/s 2 betragen? Aufgabe 10 Ein aus der Ruhe frei fallender Körper legt in der letzten Sekunde seiner Bewegung die Hälfte der gesamten Wegstrecke zurück. Die Reibung sei vernachlässigbar. (a) Berechnen Sie die Fallzeit. (b) In welcher Höhe befindet sich der Körper nach einer Sekunde?

10.6.2 Lösungen Aufgabe 1 Befindet sich ein thermodynamisches System, das mit seiner Umgebung vom Rest des Universums isoliert ist, nicht im thermodynamischen Gleichgewicht, so verlaufen alle irreversiblen Zustandsänderungen in einer bestimmten Richtung ab, die dadurch ausgezeichnet ist, dass hierbei die Entropie des Systems und seiner Umgebung zunimmt. Ist der thermodynamische Gleichgewichtszustand erreicht, dann bleibt die Entropie konstant, und die Entropie des Systems besitzt in jedem Gleichgewichtszustand einen eindeutig bestimmten Wert. Zustandsänderungen eines thermodynamischen Systems, das mit seiner Umgebung von dem Rest des Universums isoliert ist, können nicht von selbst ablaufen, wenn dabei die Entropie des Systems und seiner Umgebung abnimmt: S > 0 f¨ur einen irreversiblen Prozess S = 0 im thermodynamischen Gleichgewicht S < 0 ist f¨ur ein System, das mit seiner Umgebung vom Rest des Universums isoliert ist, nicht m¨oglich

(10.212)



262

10 Testserien Physik I

Aufgabe 2 (a) ist falsch, zwar erfährt jeder Körper mit der Masse m in einem mit konstanter Beschleunigung a beschleunigten Bezugssystem die Trägheitskraft Ft = − m a , doch hängt diese nicht von der Geschwindigkeit des Körpers im beschleunigten System, sondern von der Beschleunigung a des Systems ab. (b) ist richtig. (c) ist falsch, denn Scheinkräfte treten nur in beschleunigten Bezugssystemen, d. h. in Nichtinertialsystemen, auf. (d) ist richtig.  Aufgabe 3 Die Beschleunigung ist bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung eines Massenpunktes konstant a(t) = a = konstant, sodass seine Geschwindigkeit v(t) = a · t + v0 linear mit der Zeit zunimmt, weshalb Abb. (a) richtig ist. Wegen a(t) = d dv(t) t entspricht die Beschleunigung der Steigung des Graphen der Geschwindigkeit, die in Abb. (b) nicht konstant ist, weshalb Abb. (b) falsch ist. Ferner ist in Abb. (c) die Geschwindigkeit konstant, sodass die Beschleunigung verschwindet und auch Abb. (c) falsch ist.  Aufgabe 4 Ist die thermische Energie der Teilchen viel größer als ihre Bindungsenergie, so sind die Bindungskräfte der Teilchen untereinander vernachlässigbar, und die Teilchen können sich nahezu „frei“ bewegen. Unter einem Gas verstehen wir also eine Zustandsform der Materie, in der die Teilchen frei sind und die deshalb eine ungeordnete Bewegung ausführen können. Demzufolge ist ein Gas leicht deformierbar und komprimierbar. Es besitzt weder eine bestimmte Form noch ein bestimmtes Volumen, d. h., es nimmt stets den ihm zur Verfügung stehenden Raum ein. Deshalb ist im Mittel der Abstand zwischen den Gasteilchen groß im Vergleich zu ihrer Größe.  Aufgabe 5 Bei einer Geschwindigkeit von v1 = 4 m/s besitzt der Körper eine kinetische Energie von E kin (t1 ) =

1 1 m v12 = · 3 kg · (4 m/s)2 = 24 J . 2 2

(10.213)

Halbiert man seine Geschwindigkeit auf v2 = 2 m/s, so beträgt seine kinetische Energie: E kin (t2 ) =

1 1 m v22 = · 3 kg · (2 m/s)2 = 6 J 2 2

(10.214)

10.6 Testserie 6

263

Die Arbeit, die man hierbei verrichtet, ist dann gegeben durch: W =  E kin = E kin (t2 ) − E kin (t1 ) = 6 J − 24 J = −18 J

(10.215)

Sie ist negativ, da die abbremsende Kraft der Geschwindigkeit entgegengerichtet ist. 

Aufgabe 6 Die Pumpe kann bestenfalls über dem Quecksilber im Rohr Vakuum schaffen, sodass für den Kolbendruck oberhalb der Quecksilbersäule PK = 0 bar

(10.216)

gilt (siehe Abb. 10.10). Der Schweredruck der Quecksilbersäule im Punkt P2 des Rohres ist gegeben durch: (10.217) PS = ρ H g · g · h Damit beträgt der hydrostatische Druck im Punkt P2 : P = PK + PS = ρ H g · g · h

(10.218)

Andererseits ist dieser hydrostatische Druck gleich dem Luftdruck auf die Quecksilberoberfläche im Punkt P1 , der als Kolbendruck wirkt: P = PL = 1 bar = 105 Pa

Abb. 10.10 Steighöhe von Quecksilber

(10.219)

264

10 Testserien Physik I

Für die maximale Steighöhe der Quecksilbersäule im Rohr folgt damit: h=

P ρH g · g

=

105 Pa = 0,75 m 13,6 kg/m 3 · 9,81 m/s 2

(10.220) 

Aufgabe 7 Den Schnittpunkt S beschreiben wir durch den Ortsvektor rs . Wenn sich die Geraden schneiden, dann muss es Parameterwerte ts und ts geben, sodass der Schnittpunkt durch beide Geraden beschrieben werden kann, d. h., es gilt: rs = r1 (ts ) = a + ts · u bzw. rs = r2 (ts ) = b + ts · v

(10.221)

Damit erhalten wir die Vektorgleichung

d. h. explizit

oder

a + ts · u = b + ts · v,

(10.222)

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎞ 2 2 −2 0 ⎝ −1 ⎠ + ts · ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 4 ⎠ + ts · ⎝ −1 ⎠ −1 3 3 −6

(10.223)

⎞ ⎛ ⎞ −2 + 2 ts 2 ts ⎝ −1 + ts ⎠ = ⎝ 4 − ts ⎠ 3 − ts −6 + 3 ts

(10.224)





Hieraus erhalten wir die Komponentengleichungen für die Parameter ts und ts : −2 + 2 ts = 2 ts −1 + ts = 4 − ts 3 − ts =

(10.225)

−6 + 3 ts

Addieren wir die zweite und dritte Gleichung, so erhalten wir 2 = −2 + 2 ts ,

(10.226)

woraus ts = 2 folgt. Damit erhalten wir aus der ersten Gleichung − 2 + 2 ts = 2 ts = 2 · 2 = 4,

(10.227)

womit der andere Parameterwert gegeben ist durch ts = 3. Da alle drei Komponentengleichungen für diese Parameterwerte erfüllt sind, schneiden sich die Geraden. Der Ortsvektor des Schnittpunktes ist schließlich gegeben durch

10.6 Testserie 6

265



⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −2 2 4 rs = a + ts · u = ⎝ −1 ⎠ + 3 · ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 2 ⎠ , 3 −1 0

(10.228)

sodass die kartesischen Koordinaten des Schnittpunktes S = (4, 2, 0) lauten.  Aufgabe 8 Die Oberfläche des Tropfens an der Pipette ist im Vergleich zur Oberfläche des Wassers in der Pipette vergrößert. Dieser Oberflächenvergrößerung wirkt die Oberflächenspannung σ entgegen. Sie ist gegeben durch die Kraft Ft entlang der Pipettenwand pro Längeneinheit. Da diese Kraft entlang des Umfangs l = U = 2πr der Pipette wirkt, folgt: σ =

Ft Ft = l 2π r

(10.229)

oder Ft = 2 π r · σ

(10.230)

Dieser nach oben gerichteten Kraft wirkt die Schwerkraft auf den Wassertropfen G = m · g = ρ H2 O · V · g

(10.231)

entgegen, worin m die Masse und V = 0,1 ml das Volumen des Tropfens bezeichnen. Wenn der Tropfen abreißt, gilt G = Ft , d. h.: ρ H2 O · V · g = 2 π r · σ

(10.232)

Hieraus folgt für den Radius der Pipette: r=

ρ H2 O · V · g 1 g/cm 3 · 0,1 cm 3 · 9,81 m/s 2 = = 0,002 m = 2 mm 2π ·σ 2 π · 7,28 · 10−2 N /m

(10.233) 

Aufgabe 9 Der Massenpunkt führt eine ungedämpfte harmonische Schwingung durch. Für die kinematischen Variablen gilt x(t) = x0 · sin(ω t + ϕ) v(t) = x0 · ω · cos (ω t + ϕ)

(10.234)

a(t) = − x0 · ω2 · sin (ω t + ϕ), worin x0 die Amplitude bezeichnet. Zum Anfangszeitpunkt t = 0 s befindet er sich in seiner Gleichgewichtslage, und seine Geschwindigkeit ist maximal. Die Anfangsbedingungen lauten also:

266

10 Testserien Physik I

x(0) = 0 m (10.235) v(0) = vmax = x0 · ω Hieraus folgt für den Phasenwinkel ϕ = 0. Für die maximale Beschleunigung des Massenpunktes gilt (10.236) amax = x0 · ω2 , womit wir amax = (x0 · ω) · ω = vmax · ω

(10.237)

erhalten. Die Kreisfrequenz der harmonischen Schwingung ist damit gegeben durch: ω=

19,72 cm/s 2 amax = = 3,14 s −1 vmax 6,28 cm/s

(10.238)

Insgesamt folgt für die Auslenkung des Massenpunktes zur Zeit t: x(t) = x0 · sin(ω t)

(10.239)

Zum Zeitpunkt t1 hat der Massenpunkt zum ersten Mal die Hälfte der maximalen Auslenkung erreicht. Zu diesem Zeitpunkt gilt also: x(t1 ) =

x0 = x0 · sin(ω t1 ) 2

(10.240)

Hieraus folgt 1 2 1 π ω t1 = ar csin = , 2 6 sin(ω t1 ) =

d. h., nach t1 =

π 3,14 1 = s= s 6·ω 6 · 3,14 6

(10.241)

hat der Massenpunkt zum ersten Mal die Hälfte der maximalen Auslenkung erreicht. 

Aufgabe 10 (a) Der Körper führt einen freien Fall ohne Reibung durch (siehe Abb. 10.11). Zur Zeit t = 0 s befindet sich der Körper in der Höhe h und in Ruhe. Die Anfangsbedingungen lauten also: s(0) = s0 = h (10.242) v(0) = v0 = 0 m/s

10.6 Testserie 6

267

Abb. 10.11 Freier Fall ohne Reibung

Mit der Beschleunigung a = − g gilt dann für die s-Koordinate zur Zeit t: s(t) =

1 1 2 a t + v0 t + s0 = − g t 2 + h 2 2

Die Fallzeit des Körpers ist gegeben durch:  tg =

2h g

(10.243)

(10.244)

Zur Zeit t = tg − 1 hat der Körper die Hälfte seiner Fallstrecke zurückgelegt, d. h., zu dieser Zeit gilt: h s(tg − 1) = (10.245) 2 Damit erhalten wir die Gleichung s(tg − 1) = −

1 h g (tg − 1)2 + h = . 2 2

(10.246)

Hieraus folgt: (tg − 1)2 =

h g

(10.247)

Mit (10.244) erhalten wir die Gleichung tg2 = 2 · oder

h = 2 · (tg − 1)2 = 2 tg2 − 4 tg + 2 g tg2 − 4 tg + 2 = 0

(10.248)

(10.249)

268

10 Testserien Physik I

mit den Lösungen

√ √ (10.250) (tg )1,2 = 2 ± 4 − 2 = 2 ± 2. √ Die Lösung (tg )2 = (2 − 2) s = 0,58 s scheidet aus, da die Fallzeit größer √ als 1 s betragen muss. Die Fallzeit des Körpers ist also gegeben durch tg = (2 + 2) s = 3, 41 s. (b) Für die Fallhöhe erhalten wir aus (10.243) mit s(tg ) = 0 m h=

1 1 2 g t = · 9,81 m/s 2 · (3,41 s)2 = 57,18 m, 2 g 2

(10.251)

womit wir schließlich für die Höhe des Körpers zur Zeit t = 1 s h 1 = s(1) = −

1 · 9,81 m/s 2 · (1 s)2 + 57,18 m = 52,28 m 2

(10.252)

erhalten. 

10.7

Testserie 7

10.7.1 Aufgaben Aufgabe 1 Wie lautet die Bernoulli-Gleichung? Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen zum Trägheitsmoment eines Massenpunktes ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Das Trägheitsmoment ist ein Maß für die Trägheit eines Massenpunktes bei Drehbewegungen. 2. (b) Die Dimension des Trägheitsmoments ist MasseL ange ¨ (c) Verdoppelt man den Abstand des Massenpunktes vom Drehpunkt, so verdoppelt sich sein Trägheitsmoment. (d) Die Trägheit eines Massenpunktes bei Drehbewegungen ist ausschließlich durch seine Masse bestimmt.

10.7 Testserie 7

269

Aufgabe 3 In welcher/welchen der folgenden Abbildungen sind der Ortsvektor r(t) und die Geschwindigkeit v(t) eines Massenpunktes am Raumpunkt P qualitativ richtig dargestellt?

Begründen Sie Ihre Antwort! Aufgabe 4 Was verstehen wir unter der thermischen Energie, und wie kann man sie ändern? Aufgabe 5



⎞ ⎛ ⎞ 1 0 Gegeben seien die Vektoren a = ⎝ −1 ⎠ und b = ⎝ 1 ⎠ . 0 1  (a) Berechnen Sie a + b und 2 a − 3 b.   (b) Berechnen Sie a · b und a × b. Was können Sie über den Winkel zwischen beiden Vektoren aussagen? Aufgabe 6 Ein Massenpunkt mit einer Masse von 500 g hängt an einer elastischen Feder mit der Federkonstanten 0,1 N /cm und führt eine ungedämpfte harmonische Schwingung durch. Wenn er 0,5 m aus seiner Gleichgewichtslage ausgelenkt ist, besitzt er eine Geschwindigkeit von 2 m/s. (a) Berechnen Sie die kinetische und potentielle Energie des Massenpunktes in dieser Auslenkung. (b) Welche Gesamtenergie besitzt der Massenpunkt? (c) Bestimmen Sie die maximale Geschwindigkeit, die der Massenpunkt erreichen kann.

270

10 Testserien Physik I

Aufgabe 7 Eine Kugel mit der Masse 0,1 g und einem Radius von 4 mm sinkt in einer zähen Flüssigkeit. Zu Beginn ist die Kugel in Ruhe und erreicht letztlich die konstante Endgeschwindigkeit von 0,5 cm/s. (a) Berechnen Sie die Viskosität der Flüssigkeit. (b) Welche Geschwindigkeit besitzt die Kugel nach 1 ms? Aufgabe 8 Eine Gasprobe nimmt bei einer Temperatur von 30 ◦ C und einem Druck von 1,5 bar ein Volumen von 300 ml ein. (a) Welches Volumen besitzt die Probe bei einer Temperatur von 100 ◦ C und einem Druck von 3 bar ? (b) Berechnen Sie die Stoffmenge des Gases. Aufgabe 9 Ein homogener Zylinder mit einer Masse von 25 kg und einem Radius von 0,2 m führt zu Beginn eine gleichförmige Drehbewegung durch und besitzt dabei eine Rotationsenergie von 81 J . Vom Anfangszeitpunkt t = 0 s an wird er durch ein konstantes Drehmoment mit einem Betrag von 1,5 N m abgebremst. (a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Zylinders bezüglich seiner Drehachse durch den Massenschwerpunkt. (b) Bestimmen Sie die anfängliche Winkelgeschwindigkeit der Drehbewegung des Zylinders. (c) Nach welcher Zeit kommt der Zylinder zur Ruhe? Aufgabe 10 Ein Stein wird von einem Turm mit der Höhe 10 m unter einem Winkel von 45◦ zur Erdoberfläche geworfen. Nach einem Viertel der gesamten Flugzeit hat er den höchsten Punkt seiner Flugbahn erreicht. (a) Wie lange fliegt der Stein? (b) Berechnen Sie die Wurfweite.

10.7.2 Lösungen Aufgabe 1 Wie in einer ruhenden Flüssigkeit herrscht auch in strömenden Flüssigkeiten an jedem Punkt ein bestimmter hydrostatischer Druck P, der sich insbesondere auch als Druck auf

10.7 Testserie 7

271

Abb. 10.12 Zur Bernoulli-Gleichung

die Rohrwand bemerkbar macht. Für eine stationär strömende, ideale Flüssigkeit ist dieser Druck an einem beliebigen Punkt der Flüssigkeit durch die Bernoulli-Gleichung gegeben (siehe Abb. 10.12): 1 (10.253) P + ρ Fl · g · y + · ρ Fl · v 2 = konstant 2 Hierin bezeichnen ρ Fl die Dichte der Flüssigkeit, v die Strömungsgeschwindigkeit am betrachteten Punkt und y die Höhe dieses Punktes über dem Nullpunkt der potentiellen Energie (im Schwerefeld der Erde). Die Bernoulli-Gleichung besagt also, dass der hydrostatische Druck in einer strömenden Flüssigkeit abnimmt, wenn sie schneller und/oder aufwärts strömt und umgekehrt. 

Aufgabe 2 (a) ist richtig. (b) ist richtig. (c) ist falsch, denn das Trägheitsmoment ist gegeben durch J = m · rm2 . Verdoppelt man also den Abstand des Massenpunktes rm = 2 rm , so folgt 2

J  = m · rm = m · (2 rm )2 = 4 · m · rm2 = 4 · J ,

(10.254)

d. h., das Trägheitsmoment vervierfacht sich. (d) ist falsch, denn das Trägheitsmoment eines Massenpunktes hängt nicht nur von seiner Masse ab, sondern auch von seinem Abstand rm vom Drehpunkt. 

272

10 Testserien Physik I

Aufgabe 3 Der Ortsvektor r(t) des Massenpunktes zeigt vom Koordinatenursprung zum Raumpunkt P, an dem er sich zum Zeitpunkt t befindet, während die Geschwindigkeit v(t) zu jedem Zeitpunkt tangential an die Bahnkurve gerichtet ist, weshalb Abb. (a) richtig ist. In Abb. (b) ist zwar die Geschwindigkeit tangential an die Bahnkurve, doch zeigt der Ortsvektor vom Raumpunkt P zum Koordinatenursprung, weshalb Abb. (b) falsch ist. Schließlich ist auch Abb. (c) falsch, da die Geschwindigkeit nicht tangential an die Bahnkurve gerichtet ist.  Aufgabe 4 Unter der thermischen Energie E th eines Körpers oder eines Fluids verstehen wir „klassisch“ die Summe der kinetischen Energien aller Teilchen (Atome oder Moleküle), die in der „ungeordneten Bewegung“ der Teilchen steckt: Je wärmer ein Körper oder ein Fluid ist, desto heftiger bewegen sich die Teilchen! Jedem Körper, jedem Fluid oder allgemeiner jedem System ordnen wir also neben kinetischer und potentieller Energie eine thermische Energie E th zu. Die thermische Energie eines Körpers, eines Fluids oder allgemeiner eines Systems ist ein Teil der inneren Energie des Systems. Wir können sie ändern, indem wir am System die Arbeit W verrichten oder dem System die Wärmeenergie Q zuführen.  Aufgabe 5 (a) Es folgt:



⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 1 a + b = ⎝ −1 ⎠ + ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ 0 1 1

(10.255)

und ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 0 1 0 2 2 · a − 3 · a = 2 · ⎝ −1 ⎠ − 3 · ⎝ 1 ⎠ = ⎝ −2 ⎠ − ⎝ 3 ⎠ = ⎝ −5 ⎠ 3 −3 0 0 1 ⎛

(10.256)

(b) Ferner gilt für das Skalarprodukt ⎛

⎞ ⎛ ⎞ 1 0  ⎝ ⎠ ⎝ a · b = −1 · 1 ⎠ = 1 · 0 + (−1) · 1 + 0 · 1 = −1, 0 1

(10.257)

und für das Vektorprodukt erhalten wir: ⎛

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 (−1) · 1 − 0 · 1 −1 a × b = ⎝ −1 ⎠ × ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 0 · 0 − 1 · 1 ⎠ = ⎝ −1 ⎠ 0 1 1 · 1 − (−1) · 0 1

(10.258)

10.7 Testserie 7

273

Da das Skalarprodukt negativ ist, liegt der Winkel zwischen beiden Vektoren im Bereich 90◦ bis 180◦ .  Aufgabe 6 (a) Für die potentielle Energie des Massenpunktes in der Auslenkung x = 0,5 m erhalten wir mit der Federkonstanten D = 0,1 N /cm = 10 N /m: E pot =

1 1 D x 2 = · 10 N /m · (0,5 m)2 = 1,25 J 2 2

(10.259)

Da der Massenpunkt in dieser Auslenkung eine Geschwindigkeit von v = 2 m/s besitzt, folgt für seine kinetische Energie: E kin =

1 1 m v 2 = · 0,5 kg · (2 m/s)2 = 1 J 2 2

(10.260)

(b) Damit ist die Gesamtenergie des Massenpunktes gegeben durch: E ges = E kin + E pot = 1,25 J + 1 J = 2,25 J

(10.261)

(c) Wenn der Massenpunkt durch seine Gleichgewichtslage schwingt, verschwindet seine potentielle Energie, und die kinetische Energie entspricht der Gesamtenergie. Dann ist mit der kinetischen Energie auch seine Geschwindigkeit maximal. Aus max = E ges = E kin

1 m vmax 2 2

erhalten wir für die maximale Geschwindigkeit des Massenpunktes:   2 · E ges 2 · 2,25 J vmax = = = 3 m/s m 0,5 kg

(10.262)

(10.263) 

Aufgabe 7 (a) Für die konstante Endgeschwindigkeit der sinkenden Kugel gilt mit β = 6 π r · η: v∞ =

mg m·g = β 6π r · η

(10.264)

Hieraus folgt für die Viskosität: η=

0,1 g · 9,81 m/s 2 m·g = = 26 g/cms = 26 kg/ms 6 π r · v∞ 6 π · 0,004 m · 0,5 cm/s

(10.265)

274

10 Testserien Physik I

(b) Die Kugel führt einen freien Fall unter Reibungseinfluss durch. Ihre Geschwindigkeit zur Zeit t ist gegeben durch: t

Mit τ=

v(t) = v∞ · ( 1 − e− τ )

(10.266)

v∞ 0,5 cm/s = 5 · 10−4 s = g 9,81 m/s 2

(10.267)

erhalten wir für die Geschwindigkeit der sinkenden Kugel zur Zeit t1 = 1 ms = 10−3 s: v(t1 ) = 0,5 cm/s · ( 1 − e



10−3 s 5·10−4 s

) = 0,43 cm/s

(10.268) 

Aufgabe 8 (a) Bei einer Temperatur von ϑ1 = 30◦ C, d. h. T1 = 303,15 K , und einem Volumen von V1 = 300 ml = 3 · 10−4 m 3 besitzt die Gasprobe einen Druck von P1 = 1,5 bar . Nach dem idealen Gasgesetz gilt: (10.269) P1 · V1 = n · R · T1 Bei einer Temperatur von ϑ2 = 100◦ C, d. h. T2 = 373,15 K , und einem Volumen von V2 = 185 ml besitzt die Gasprobe den Druck P2 . Für diesen Druck gilt: P2 · V2 = n · R · T2

(10.270)

P2 · V2 T2 = , P1 · V1 T1

(10.271)

Aus (10.269) und (10.270) folgt

womit wir für den gesuchten Gasdruck P2 =

P1 · T2 1,5 bar · 373,15 K · · V1 = · 300 ml = 3 bar T1 · V2 303,15 K · 185 ml

erhalten. (b) Mit der universellen Gaskonstanten R = 8,314 J /K mol schließlich für die Stoffmenge der Gasprobe: n=

2

(10.272)

und 1 bar = 105 Pa folgt

1,5 · 105 Pa · 3 · 10−4 m 3 P1 · V1 = = 0,02 mol R · T1 8,314 J /K mol · 303,15 K

(10.273)

2 CODATA Internationally recommended 2018 Values of the Fundamental Physical Constants.

10.7 Testserie 7

275

Mit Pa = N /m 2 und J = N m gilt für die Einheiten

Pa m 3 J

mol =

Nm J

mol = mol. 

Aufgabe 9 (a) Das Trägheitsmoment des Zylinders bezüglich der S-Achse durch den Massenschwerpunkt ist gegeben durch: JS =

1 1 M R 2 = · 25 kg · (0,2 m)2 = 0,5 kgm 2 2 2

(10.274)

(b) Für die Rotationsenergie bezüglich der S-Achse gilt Er ot =

1 JS ω02 , 2

(10.275)

worin ω0 die anfängliche Winkelgeschwindigkeit bezeichnet. Hieraus folgt   2 · Er ot 2 · 81 J ω0 = = = 18 s −1 , (10.276) JS 0,5 kgm 2 2

2

kgm /s J Nm wobei für die Einheiten kgm = s −2 gilt. 2 = kgm 2 = kgm 2 (c) Aufgrund des konstanten Drehmoments führt der Zylinder eine gleichförmig beschleunigte Drehbewegung durch. Da das Drehmoment der Drehbewegung entgegenwirkt, ist die Winkelgeschwindigkeit zur Zeit t gegeben durch:

ω(t) = − α · t + ω0

(10.277)

Für den Betrag der konstanten Winkelbeschleunigung erhalten wir aus der Bewegungsgleichung N = JS · α: N 1,5 N m α= = = 3 s −2 (10.278) JS 0,5 kgm 2 Zur Zeit tg ist der Zylinder zur Ruhe gekommen, d. h., zu dieser Zeit gilt: ω(tg ) = 0 = − α · tg + ω0

(10.279)

Hieraus folgt schließlich für die gesuchte Zeit: tg =

ω0 18 s −1 = 6s = α 3 s −2

(10.280) 

276

10 Testserien Physik I

Aufgabe 10 (a) Das Koordinatensystem legen wir, wie in Abb. 10.13 dargestellt, fest. Die Anfangsbedingung für die z-Koordinate lautet also: z(0) = r3 = h

(10.281)

Ferner führt der Stein in z-Richtung eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung durch, weshalb die z-Koordinate zur Zeit t mit der Beschleunigung az = − g gegeben ist durch: 1 z(t) = az t 2 + v3 t + r3 2 (10.282) 1 = − · g · t 2 + v3 t + h 2 Für die Geschwindigkeit in z-Richtung gilt vz (t) = a t + v3 = − g · t + v3 ,

(10.283)

worin v3 = v0 · sin ϕ die Anfangsgeschwindigkeit in z-Richtung bezeichnet. Nach einem Viertel der gesamten Flugzeit tg hat der Stein seine maximale Flughöhe erreicht. Bezeichnen wir diese Zeit mit t1/4 , so gilt zu diesem Zeitpunkt: vz (t1/4 ) = − g · t1/4 + v3 = 0 Mit t1/4 =

1 4

(10.284)

· tg erhalten wir t1/4 =

v3 1 = · tg , g 4

(10.285)

d. h., die gesamte Fallzeit ist gegeben durch: tg = 4 ·

Abb. 10.13 Zum schiefen Wurf von einem Turm

v3 g

(10.286)

10.7 Testserie 7

277

Ferner schlägt der Stein zur Zeit tg auf dem Boden auf, weshalb zu diesem Zeitpunkt für die z-Koordinate 1 (10.287) z(tg ) = − g tg2 + v3 tg + h = 0 2 gilt. Mit (10.286) folgt −

v3 v3 (v3 )2 1 · g · (4 )2 + v3 · 4 · + h = −4 · + h = 0, 2 g g g

woraus wir für die Anfangsgeschwindigkeit in z-Richtung   g·h 9,81 m/s 2 · 10 m = = 4,95 m/s v3 = 4 4

(10.288)

(10.289)

erhalten. Damit folgt nach (10.286) schließlich für die gesamte Fallzeit: tg = 4 ·

4,95 m/s = 2s 9,81 m/s 2

(10.290)

(b) In x-Richtung führt der Stein eine gleichförmig geradlinige Bewegung durch, wobei die Anfangsbedingung für die x-Koordinate x(0) = r1 = 0 m lautet (siehe Abb. 10.13). Für die x-Koordinate gilt dann mit ax = 0 m/s 2 zur Zeit t x(t) =

1 ax t 2 + v1 t + r1 = v1 t, 2

(10.291)

worin v1 = v0 ·cos ϕ die Anfangsgeschwindigkeit des Steines in x-Richtung bezeichnet. Mit (10.289) gilt für die Anfangsgeschwindigkeit in z-Richtung v3 = v0 · sin ϕ = 4,95 m/s,

(10.292)

woraus wir für den Betrag der Anfangsgeschwindigkeit, mit welcher der Stein in Richtung ϕ = 45◦ geworfen wird, v0 =

v3 4,95 m/s = 7 m/s = sin ϕ sin 45◦

(10.293)

erhalten. Damit folgt nach (10.291) die Wurfweite s des Steines: s = x(tg ) = v1 tg = v0 · sin ϕ · tg = 7 m/s · sin 45◦ · 2 s = 9,9 m

(10.294) 

278

10.8

10 Testserien Physik I

Testserie 8

10.8.1 Aufgaben Aufgabe 1 Wie lautet das ideale Gasgesetz? Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen über Reibungskräfte ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Reibungskräfte treten überall dort auf, wo miteinander in Berührung stehende materielle Dinge gegeneinander bewegt werden. (b) Mit der Haftreibung verbinden wir eine Kraft, die überwunden werden muss, um eine Bewegung zwischen vorher ruhenden Körpern hervorzurufen. (c) Die Haftreibungskraft ist betragsmäßig stets kleiner als die Gleitreibungskraft. (d) Ein nicht zu großer Körper, der sich nicht zu schnell durch ein Fluid bewegt, erfährt die bremsende Stoke’sche Reibungskraft, die proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit des Körpers ist. Aufgabe 3 In welcher/welchen der folgenden Abbildungen sind das Drehmoment N , die Schwerkraft  und der Drehimpuls L bei der Präzessionsbewegung eines Rades qualitativ richtig darG gestellt?

Begründen Sie Ihre Antwort! Aufgabe 4 Wie lautet der Drehimpulserhaltungssatz für einen Massenpunkt?

10.8 Testserie 8

279

Aufgabe 5 Ein Stein werde von der Erdoberfläche aus mit einer Geschwindigkeit vom Betrag 10 m/s unter einem Winkel von 30◦ zur Erdoberfläche geworfen. (a) Wie lange fliegt der Stein? (b) Berechnen Sie die Wurfweite. (c) Welche maximale Flughöhe erreicht der Stein? Die Reibung sei vernachlässigbar. Aufgabe 6 Ein Flugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von 720 km/h parallel zum 50. Breitengrad nach Osten. Die Masse des Flugzeugs beträgt 1,04 · 105 kg. (a) Berechnen Sie den Betrag der auf das Flugzeug wirkenden Coriolis-Kraft im rotierenden Ruhesystem der Erde. (b) In welche Richtung zeigt sie? Welche weitere Scheinkraft wirkt auf das Flugzeug? Aufgabe 7 Ein Massenpunkt mit der Masse m führt an einer elastischen Feder eine ungedämpfte harmonische Schwingung durch. Seine Gesamtenergie ist 0,02 J , während seine Amplitude 0,1 m und seine maximale Geschwindigkeit 0,4 m/s betragen. (a) Berechnen Sie die Federkonstante und die Masse. (b) Bestimmen Sie die Frequenz und die Schwingungsdauer der harmonischen Schwingung. Aufgabe 8 Ein Stahlseil besitzt eine Länge von 10 m und einen Durchmesser von d = 2mm. An diesen Draht wird ein Körper mit der Masse m = 3kg gehängt, wobei sich die Länge des Drahtes um 0,47 mm ändert. Berechnen Sie den Elastizitätsmodul und die Querkontraktionszahl. Der Schubmodul beträgt für Stahl G = 8,4 · 1010 N /m 2 . Aufgabe 9 Ein Körper mit einer Masse von 2 kg wird vom Erdboden unter dem Einfluss einer konstanten Kraft mit dem Betrag 25,62 N reibungsfrei senkrecht nach oben gezogen. Welche Geschwindigkeit besitzt der anfänglich ruhende Körper in der Höhe 6 m?

280

10 Testserien Physik I

Aufgabe 10 Ein Gas hat bei der Temperatur ϑ1 = 80 ◦ C ein Volumen von V1 = 100 ml. (a) Berechnen Sie das Volumen V2 des Gases, wenn bei konstantem Druck seine Temperatur auf ϑ2 = 20 ◦ C reduziert wird. (b) Anschließend wird das Gas isochor erwärmt, bis der Gasdruck auf das 1,5-fache angewachsen ist. Welche Temperatur ϑ3 besitzt das Gas in diesem Endzustand?

10.8.2 Lösungen Aufgabe 1 Der Zustand eines idealen Gases ist in eindeutiger Weise durch die drei Zustandsgrößen Druck P, Volumen V und die thermodynamische Temperatur T bestimmt. Diese drei Größen sind jedoch nicht unabhängig voneinander, sondern durch die Zustandsgleichung idealer Gase miteinander verknüpft. Sie lautet P · V = n · R · T,

(10.295)

J worin R = 8,314 462 618 K mol die universelle Gaskonstante 3 bezeichnet. Deshalb ist der Zustand eines idealen Gases bereits durch zwei der drei Größen P, V und T eindeutig bestimmt. 

Aufgabe 2 (a) ist richtig. (b) ist richtig. (c) ist falsch, denn die Haftreibungskraft ist betragsmäßig stets größer als die Gleitreibungskraft, d. h., für die Reibungskoeffizienten gilt μ H > μG . (d) ist falsch, zwar erfahren nicht zu große Körper, die sich nicht zu schnell durch ein Fluid bewegen, die Stoke’sche Reibungskraft, doch gilt FR = 6πr · η · v(t),

(10.296)

d. h., sie ist proportional zur Geschwindigkeit des Körpers.  Aufgabe 3 Der Drehimpuls des Rades besitzt dieselbe Richtung wie der Ortsvektor r, weshalb Abb.  im Massenschwerpunkt des Rades an und (a) falsch ist. Ferner greift die Schwerkraft G 3 CODATA Internationally recommended 2018 Values of the Fundamental Physical Constants.

10.8 Testserie 8

281

ist senkrecht nach unten gerichtet, weshalb auch Abb. (c) falsch ist. Schließlich ist das  senkrecht zu r und G  gerichtet und steht bei der Drehmoment der Schwerkraft N = r × G Präzessionsbewegung stets senkrecht zum Bahndrehimpuls, weshalb nur Abb. (b) richtig ist.  Aufgabe 4 Verschwindet das Gesamtdrehmoment N ges auf einen Massenpunkt, so ist sein Drehimpuls L konstant:  = konstant (10.297) N ges = 0 ⇒ L = J · ω  Aufgabe 5 (a) Da es sich um einen schiefen Wurf im Schwerefeld der Erde handelt, ist die Flugzeit des Steines gegeben durch: tg =

2 · v0 · sinϕ 2 · 10 m/s · sin 30◦ = 1,02 s = g 9,81 m/s 2

(10.298)

(b) Für die Wurfweite erhalten wir: s=

v0 2 · sin(2ϕ) (10 m/s)2 · sin 60◦ = 8,83 m = g 9,81 m/s 2

(10.299)

(c) Die maximale Flughöhe ist schließlich gegeben durch: h=

1 v0 2 · sin 2 ϕ 1 (10 m/s)2 · (sin 30◦ )2 = 1,27 m · = · 2 g 2 9,81 m/s 2

(10.300) 

Aufgabe 6 (a) Die auf das Flugzeug wirkende Coriolis-Kraft ist gegeben durch (siehe Abb. 10.14):  × v FC = − 2 m ω

(10.301)

Für den Betrag der Coriolis-Kraft gilt FC = 2 m ω v

(10.302)

Die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation ist gegeben durch: ω=

2π 2π = = 7,27 · 10−5 s −1 T 24 · 60 · 60 s

(10.303)

282

10 Testserien Physik I

Abb. 10.14 Zur Coriolis-Kraft

Mit der Geschwindigkeit des Flugzeuges v = 720 km/h = 200 m/s erhalten wir schließlich: FC = 2 · 1, 04 · 105 kg · 7,27 · 10−5 s −1 · 200 m/s = 3 · 103 N

(10.304)

(b) Aufgrund des Vektorproduktes ist die Coriolis-Kraft nach (10.301) senkrecht zu ω,  d. h. zur Drehachse, und senkrecht zur Bahngeschwindigkeit v, d. h. radial zur Kreisbahn, nach außen gerichtet (siehe Abb. 10.14). Ferner wirkt auf das Flugzeug im rotierenden Ruhesystem der Erde die ebenfalls radial nach außen gerichtete Zentrifugalkraft. 

Aufgabe 7 (a) Für die maximale potentielle Energie des Massenpunktes gilt: E max pot =

1 D x02 = E ges 2

(10.305)

Mit der maximalen Auslenkung x0 = 0,1 m und der Gesamtenergie E ges = 0,02 J folgt für die Federkonstante: D=

2 E ges 2 · 0,02 J = = 4 N /m x0 2 (0,1 m)2

(10.306)

10.8 Testserie 8

283

Die maximale kinetische Energie des Massenpunktes ist gegeben durch max = E kin

1 m v12 = E ges , 2

(10.307)

und mit der maximalen Geschwindigkeit v1 = 0,4 m/s erhalten wir für die Masse: m=

2 E ges 2 · 0,02 J = = 0,25 kg v1 2 (0,4 m/s)2

(10.308)

(b) Die Frequenz der ungedämpften harmonischen Schwingung ist gegeben durch   1 D 4 N /m 1 ν= (10.309) · = · = 0,64 s −1 , 2π m 2π 0,25 kg womit wir für die Schwingungsdauer T =

1 = 1,57 s ν

(10.310)

erhalten.  Aufgabe 8 Die Längenänderung des Drahtes folgt aus dem Hooke’schen Gesetz l =

1 F ·l · . E A

(10.311)

Als Zugkraft wirkt die Schwerkraft: F = G = m · g = 3 kg · 9,81 m/s 2 = 29,43 N

(10.312)

Für die Querschnittsfläche des Drahtes gilt: A = r 2 · π = (1 mm)2 · π = 3,14 · 10−6 m 2

(10.313)

Mit der Längenänderung des Drahtes l = 0,47 mm folgt für den Elastizitätsmodul: 29,43 N · 10 m 0,47 · 10−3 m · 3,14 · 10−6 m 2 = 20 · 1010 N /m 2

E=

(10.314)

b) Zusätzlich zur Vergrößerung der Länge des Drahtes findet eine Verkleinerung seines Durchmessers statt, die wir Querkontraktion nennen, und die wir durch die Querkontraktionszahl μ beschreiben: μ=−

l · d d l : =− > 0 d l d · l

(10.315)

284

10 Testserien Physik I

Aus der Beziehung 1+μ=

E 2G

(10.316)

erhalten wir mit dem Schubmodul für Stahl G = 8,4 · 1010 N /m 2 für die Querkontraktionszahl: 20 · 1010 N /m 2 E − 1 = 0,19 (10.317) −1= μ= 2G 2 · 8, 4 · 1010 N /m 2 

Aufgabe 9 Der Körper führt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung längs einer Geraden durch. Die s-Achse legen wir, wie in der Abb. 10.15 dargestellt, fest. Da er sich zum Anfangszeitpunkt t = 0 s auf dem Erdboden in Ruhe befindet, lauten die Anfangsbedingungen: s(0) = s0 = 0 m (10.318) v(0) = v0 = 0 m/s Damit folgt für die Geschwindigkeit zur Zeit t: v(t) = a · t + v0 = a · t

(10.319)

Auf den Körper wirken die Zugkraft Fa und die Schwerkraft G = − m · g, sodass die Gesamtkraft auf ihn gegeben ist durch: Fges = Fa + G = Fa − m g

(10.320)

Diese ruft die Beschleunigung a des Körpers hervor. Nach dem Aktionsprinzip gilt

Abb. 10.15 Geschwindigkeit beim Gewichtheben

10.8 Testserie 8

285

Fges = m · a = Fa − m g,

(10.321)

woraus wir für die Beschleunigung a=

Fa − m g 25,62 N − 2 kg · 9,81 m/s 2 = = 3 m/s 2 m 2 kg

(10.322)

erhalten. Die Höhe des Körpers über dem Erdboden ist aufgrund unserer Wahl der Koordinatenachse gegeben durch die Ortskoordinate, für die wir mit den Anfangsbedingungen (10.318) 1 1 (10.323) s(t) = a t 2 + v0 t + s0 = a t 2 2 2 erhalten. Da sich der Körper in der Zeit t3 in der Höhe h 3 = s(t3 ) = 6 m befindet, erhalten wir die Gleichung 1 h 3 = a (t3 )2 , (10.324) 2 woraus für diese Zeit   2 · h3 2 · 6m = 2s (10.325) = t3 = a 3 m/s 2 folgt. Damit erhalten wir schließlich nach (10.319) für die Geschwindigkeit des Körpers in der Höhe 6 m: (10.326) v3 = v(t3 ) = a · t3 = 3 m/s 2 · 2 s = 6 m/s  Aufgabe 10 (a) Bei einer isobaren Temperaturänderung eines Gases gilt für die Abhängigkeit des Volumens von der Temperatur ϑ in ◦ C V (ϑ) = V0 · (1 + γ · ϑ),

(10.327)

1 worin V0 das Volumen bei der Temperatur ϑ = 0 ◦ C und γ = 273,15 ◦ C den kubischen Ausdehnungskoeffizienten bezeichnen. Hat das Gas bei der Temperatur ϑ1 = 80 ◦ C und dem Druck P ein Volumen von V1 = 100 ml, so folgt aus (10.327) bei der isobaren Zustandsänderung auf die Temperatur ϑ2 = 20 ◦ C für das Volumen V2 bei dieser Temperatur V2 1 + γ · ϑ2 = , (10.328) V1 1 + γ · ϑ1

d. h.

1+ 1 + γ · ϑ2 · V1 = V2 = 1 + γ · ϑ1 1+

20 ◦ C ◦ 273,15 C ◦ 80 C ◦ 273,15 C

· 100 ml = 83 ml

(10.329)

286

10 Testserien Physik I

(b) Die Abhängigkeit der Druckes von der Temperatur ϑ in ◦ C bei einer isochoren Zustandsänderung ist gegeben durch: P(ϑ) = P0 · (1 + γ · ϑ)

(10.330)

Für die Temperatur ϑ2 beträgt dann der Gasdruck: P(ϑ2 ) = P0 · (1 + γ · ϑ2 ) = P

(10.331)

Wenn wir nun das Gas isochor auf die Temperatur ϑ3 erwärmen, bis der Gasdruck auf das 1,5-fache angewachsen ist, d. h. P(ϑ3 ) = 1,5 · P gilt, so folgt für den Gasdruck: P(ϑ3 ) = P0 · (1 + γ · ϑ3 ) = 1,5 · P

(10.332)

und damit für das Verhältnis: P(ϑ3 ) 1 + γ · ϑ3 = 1,5 = P(ϑ2 ) 1 + γ · ϑ2

(10.333)

Hieraus erhalten wir schließlich für die Temperatur des Endzustandes: ◦

0,5 + 1,5 · γ · ϑ2 1,5 · 20 C ϑ3 = = (0,5 + ) · 273,15 ◦ C = 166,58 ◦ C ◦ γ 273,15 C

(10.334) 

10.9

Testserie 9

10.9.1 Aufgaben Aufgabe 1 Beschreiben Sie das Hagen-Poiseuille’sche Gesetz. Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen zum Trägheitsmoment eines starren Körpers ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Das Trägheitsmoment eines starren Körpers ist ein Maß für dessen Trägheit, die der Änderung einer Drehbewegung entgegenwirkt. (b) Je weiter die Massenverteilung eines starren Körpers von der Drehachse entfernt ist, desto kleiner ist das Trägheitsmoment. (c) Sind A und S parallele Drehachsen mit einem Abstand a und verläuft die S-Achse durch den Massenschwerpunkt, so folgt für die Trägheitsmomente des starren Körpers

10.9 Testserie 9

287

der Masse M bzgl. dieser Achsen: J A = JS + M · a 2

(10.335)

(d) Für einen homogenen Zylinder ist das Trägheitsmoment bzgl. seiner Längsachse proportional zum Radius des Zylinders. Aufgabe 3 In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist das Oszillogramm der ungedämpften harmonischen Schwingung eines elastischen Federpendels qualitativ richtig dargestellt?

Begründen Sie Ihre Antwort! Aufgabe 4 (a) Für welche Kräfte gibt es eine potentielle Energie? (b) Wie können wir ausschließlich die potentielle Energie eines Massenpunktes ändern? Aufgabe 5 Gegeben sei eine Substanzprobe von 20 g Stickstoffdioxid (N O2 ). (a) Welche Masse besitzt ein N O2 -Molekül? (b) Berechnen Sie die Stoffmenge. (c) Wie viele Moleküle sind in der Substanzprobe enthalten? Aufgabe 6



⎞ ⎛ ⎞ x 3 Die Vektoren a = ⎝ 2 ⎠ und b = ⎝ 6 ⎠ sollen parallel sein. Wie lauten die fehlenden −4 y Komponenten x und y? Begründen Sie Ihre Antwort!

288

10 Testserien Physik I

Aufgabe 7 Auf einer Kreisbahn mit dem Radius 2 m bewegt sich ein Massenpunkt mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag. Seine Rotationsenergie und sein Bahndrehimpuls betragen hierbei 6 J bzw. 4 kgm 2 /s. (a) Welche Winkelgeschwindigkeit besitzt der Massenpunkt? (b) Berechnen Sie die Umlaufdauer und den Betrag der Bahngeschwindigkeit des Massenpunktes. Aufgabe 8 Ein Körper mit der Masse 2 kg wird von der Erdoberfläche unter dem Einfluss einer konstanten Kraft mit dem Betrag 24,95 N reibungsfrei senkrecht nach oben gezogen. (a) Welche Arbeit hat die Kraft verrichtet, wenn sich der Körper 3 m über dem Erdboden befindet? (b) Berechnen Sie die kinetische und die potentielle Energie des Körpers in dieser Höhe. (c) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, die der anfänglich ruhende Körper in der Höhe 3 m besitzt. Aufgabe 9 Eine Stahlkugel sinkt in einem großen, mit Rizinusöl gefüllten Gefäß mit einer konstanten Geschwindigkeit von 7,26 cm/s. Zu Beginn der Bewegung ist die Stahlkugel in Ruhe. (a) Nach welcher Zeit hat sie ein Drittel ihrer Endgeschwindigkeit erreicht? (b) Berechnen Sie den Betrag der Beschleunigung der Kugel zu dieser Zeit. Aufgabe 10 Eine homogene Kugel mit dem Radius R und der Masse M rollt reibungsfrei eine schiefe Ebene hinab. Zum Anfangszeitpunkt t = 0 s befindet sie sich in Ruhe. Die schiefe Ebene besitze den Neigungswinkel ϕ = 10◦ , und die Länge betrage L = 50 cm. Berechnen Sie die Zeit, in der die Kugel die schiefe Ebene hinabrollt.

10.9.2 Lösungen Aufgabe 1 Fließt eine Flüssigkeit laminar durch ein Rohr, so ist die Flüssigkeitsschicht direkt an der Wand stets in Ruhe. Zur Rohrmitte hin gleiten zylinderförmige, konzentrische Flüssigkeitsschichten mit steigender Geschwindigkeit ineinander. Das Geschwindigkeitsprofil einer laminaren Strömung durch ein Rohr ist ein Rotationsparaboloid (siehe Abb. 10.16).

10.9 Testserie 9

289

Abb. 10.16 Das Geschwindigkeitsprofil einer laminaren Strömung durch ein Rohr

Die Volumenstärke einer Flüssigkeit der Viskosität η, die aufgrund der Druckdifferenz P = P2 − P1 durch ein Rohr der Länge l und mit einem Radius r laminar strömt, ist durch das Hagen-Poiseuille’sche Gesetz gegeben: I =

π r 4 P V = · · t 8 η l

(10.336) 

Aufgabe 2 (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn je weiter die Massenverteilung von der Drehachse entfernt ist, desto größer ist das Trägheitsmoment. (c) ist richtig. (d) ist falsch, denn das Trägheitsmoment eines homogenen Zylinders bzgl. seiner Längsachse ist gegeben durch J = 21 M R 2 , d. h., es ist proportional zum Quadrat des Radius.  Aufgabe 3 Bei einer ungedämpften harmonischen Schwingung ist die Amplitude zeitlich konstant, während sich die Schwingungsgröße mit der Zeit sinusförmig ändert, weshalb Abb. (b) richtig ist. In Abb. (a) ist zwar die Amplitude konstant, doch ist der Graph der Schwingungsgröße nicht sinusförmig, weshalb Abb. (a) falsch ist. Dagegen ist in Abb. (c) die Schwingungsgröße sinusförmig, doch ist die Amplitude der Schwingung nicht konstant, sodass auch diese Abbildung falsch ist. 

290

10 Testserien Physik I

Aufgabe 4 (a) Nur für konservative Kräfte gibt es eine potentielle Energie. (b) Indem wir durch Ausübung der Kraft Fa gegen konservative Kräfte an einem Massenpunkt die Arbeit W verrichten und wenn dabei lediglich eine Ortsänderung des Massenpunktes vom Raumpunkt P1 , den wir durch den Ortsvektor r1 beschreiben, zum Raumpunkt P2 , zu dem der Ortsvektor r2 gehört, und keine Geschwindigkeitsänderung stattfindet, dann führt die am Massenpunkt verrichtete Arbeit ausschließlich zu einer Erhöhung der potentiellen Energie E pot des Massenpunktes gemäß: W = E pot = E pot ( r2 ) − E pot ( r1 )

(10.337) 

Aufgabe 5 (a) Mit den relativen Atommassen von Sauerstoff Mr (O) = 15,999 und Stickstoff Mr (N ) = 14,007 (siehe Anhang A) erhalten wir für die relative Molekülmasse von Stickstoffdioxid: (10.338) Mr (N O2 ) = 2 · 15,999 + 14,007 = 46 Damit folgt für die Masse eines Moleküls N O2 m N O2 = Mr u = 46 u = 46 · 1,66 · 10−24 g = 7,64 · 10−23 g,

(10.339)

worin 1 u = 1,66 · 10−24 g die atomare Masseneinheit bezeichnet (siehe Anhang B). (b) Die Molmasse von N O2 beträgt dann M N O2 = 46 g/mol,

(10.340)

womit wir für die Stoffmenge n=

20 g m = = 0,43 mol M N O2 46 g/mol

(10.341)

erhalten. (c) Aus n = NNA und mit der Avogadro-Konstanten N A = 6,022 · 1023 mol −1 erhalten wir schließlich für die Zahl der N O2 -Moleküle in 20 g Stickstoffdioxid: N = n · N A = 0,43 mol · 6,02 · 1023 mol −1 = 2,59 · 1023

(10.342) 

10.9 Testserie 9

Aufgabe 6

291

⎛ ⎞ ⎞ 3 x Da die Vektoren a = ⎝ 2 ⎠ und b = ⎝ 6 ⎠ parallel sind, muss es eine reelle Zahl s > 0 y −4 geben derart, dass b = s · a , (10.343) d. h. explizit



⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 x s·x ⎝6⎠ = s ·⎝ 2 ⎠ = ⎝ s ·2 ⎠ y −4 s · (−4)

(10.344)

gilt. Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn ihre skalaren Komponenten gleich sind. Aus der Vektorgleichung (10.344) erhalten wir dann die folgenden drei Komponentengleichungen: 3=s·x 6=s·2

(10.345)

y = s · (−4) Aus der zweiten Gleichung folgt sofort s = 3, womit wir für die gesuchten skalaren Komponenten x = 1 und y = (−4) · 3 = −12 (10.346) erhalten.  Aufgabe 7 (a) Der Massenpunkt führt eine gleichförmige Kreisbewegung durch. Für seine Rotationsenergie gilt 1 (10.347) Er ot = · J · ω2 , 2 und der Betrag seines Bahndrehimpulses ist gegeben durch: L = J ·ω

(10.348)

Hieraus folgt für sein Trägheitsmoment J=

L , ω

(10.349)

womit seine Rotationsenergie gegeben ist durch: Er ot =

1 L 1 · · ω2 = · L · ω 2 ω 2

(10.350)

292

10 Testserien Physik I

Damit erhalten wir für die Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung: ω=

2 · Er ot 2·6J = = 3 s −1 L 4 kgm 2 /s

(10.351)

(b) Die Umlaufdauer ist schließlich gegeben durch T =

2π 2π = s = 2,09 s, ω 3

(10.352)

und für den Betrag der Bahngeschwindigkeit erhalten wir: v = ω · r = 3 s −1 · 2 m = 6 m/s

(10.353) 

Aufgabe 8 (a) Wenn sich der Körper in der Höhe h = 3 m über dem Erdboden befindet, hat die konstante Kraft mit dem Betrag Fa = 24,95 N die Arbeit W = Fa · h = 24,95 N · 3 m = 74,85 J

(10.354)

verrichtet. (b) Diese Arbeit führt zu einer Änderung der kinetischen Energie und der potentiellen Energie des Körpers gemäß: W =  E pot +  E kin

(10.355)

Da der Körper zu Beginn auf der Erdoberfläche ruhte, folgt für die Änderung der potentiellen Energie mit E pot (0) = 0 J  E pot = E pot (h) − E pot (0) = E pot (h)

(10.356)

und analog mit E kin (0) = 0 J für die Änderung der kinetischen Energie:  E kin = E kin (h) − E kin (0) = E kin (h)

(10.357)

W = E pot (h) + E kin (h)

(10.358)

Somit gilt: Für die potentielle Energie in der Höhe h = 3 m erhalten wir: E pot (h) = m g h = 2 kg · 9,81 m/s 2 · 3 m = 58,86 J

(10.359)

10.9 Testserie 9

293

Nach (10.358) folgt dann für die kinetische Energie in dieser Höhe: E kin (h) = W − E pot (h) = 74,85 J − 58,86 J = 16 J

(10.360)

(c) Aus

1 (10.361) m v1 2 2 erhalten wir schließlich für die Geschwindigkeit des Körpers in der Höhe h = 3 m   2 · E kin (h) 2 · 16 J v1 = = = 4 m/s, (10.362) m 2 kg E kin (h) =

wobei für die Einheiten J /kg = N m/kg =

kg m 2 /s 2 kg

= m 2 /s 2 gilt. 

Aufgabe 9 (a) Die Stahlkugel führt einen freien Fall unter Reibungseinfluss durch. Ihre Geschwindigkeit zur Zeit t ist gegeben durch: t

v(t) = v∞ · ( 1 − e− τ )

(10.363)

Zur Zeit t1/3 hat sie ein Drittel ihrer Endgeschwindigkeit v∞ erreicht, d. h., zu dieser Zeit gilt: t1/3 1 v(t1/3 ) = · v∞ = v∞ · ( 1 − e− τ ) (10.364) 3 Hieraus folgt t1/3 1 = 1 − e− τ 3 t 1 2 − 1/3 e τ =1− = 3 3 t1/3 2 − = ln , τ 3

womit wir

|

ln

2 3 erhalten wir schließlich für die gesuchte Zeit: t1/3 = − τ · ln

erhalten. Mit τ = t1/3 = −

v∞ g

v∞ · ln g

2 3

=−

7,26 · 10−2 m/s · ln 9,81 m/s 2

2 3

= 3 · 10−3 s

(10.365)

(10.366)

294

10 Testserien Physik I

(b) Die Beschleunigung der Kugel zur Zeit t ist gegeben durch: t

a(t) = g · e− τ Mit e−

t1/3 τ

=

2 3

(10.367)

folgt: a(t1/3 ) = g · e−

t1/3 τ

=

2 ·g 3

(10.368)

Zur Zeit t1/3 = 3 · 10−3 s ist also die Beschleunigung betragsmäßig auf zwei Drittel der Erdbeschleunigung gefallen. 

Aufgabe 10 Zur Bestimmung der Zeit tg , in der die Kugel die schiefe Ebene hinabrollt, benötigen wir das Drehmoment auf die Kugel, das die im Massenschwerpunkt S angreifende Schwerkraft  hervorruft (siehe Abb. 10.17). Für den Betrag gilt mit sin(π − ϕ) = sinϕ: G N ext = R G sin(π − ϕ) = R · G · sin ϕ

(10.369)

Entsprechend der Bewegungsgleichung N ext = J A · α A ruft dieses Drehmoment eine konstante Winkelbeschleunigung α A der Kugel bezüglich der A-Achse hervor. Nach dem Steiner’schen Satz gilt für das Trägheitsmoment der Kugel J A = M · R 2 + JS = M · R 2 +

2 7 M R2 = M R2, 5 5

(10.370)

worin JS = 25 M R 2 das Trägheitsmoment der homogenen Kugel bezüglich der S-Achse durch den Massenschwerpunkt bezeichnet. Damit erhalten wir für die Winkelbeschleunigung:

Abb. 10.17 Zum Drehmoment auf die Kugel

10.10 Testserie 10

295

αA =

N ext R M g sinϕ 5 g = 7 = · · sinϕ 2 JA 7 R 5 M R

(10.371)

Da die Beschleunigung des Massenschwerpunktes gleich der Bahnbeschleunigung eines Punktes auf der Kugel ist, erhalten wir mit α S = α A : as = a B = R · α S = R · α A =

5 · g · sinϕ = konstant 7

(10.372)

Für die Strecke xs (t), die der Massenschwerpunkt in der Zeit t zurücklegt, folgt mit den Anfangsbedingungen v(0) = v0 = 0 m/s und s(0) = s0 = 0 m: xs (t) =

1 1 as t 2 + v0 t + s0 = as t 2 2 2

(10.373)

Schließlich ist die Zeit tg , in der die Kugel die schiefe Ebene hinabrollt, festgelegt durch die Beziehung 1 xs (tg ) = L = as tg 2 . (10.374) 2 Hieraus folgt:    2·L 14 · L 14 · 0,5 m = = 0,9 s (10.375) tg = = as 5 · g · sinϕ 5 · 9,81 m/s 2 · sin 10◦ 

10.10 Testserie 10 10.10.1 Aufgaben Aufgabe 1 Wie lautet das Reaktionsprinzip? Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen zum Drehimpuls eines Massenpunktes ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Verschwindet das Gesamtdrehmoment auf einen Massenpunkt, so ist sein Drehimpuls konstant. (b) Der Drehimpuls eines Massenpunktes, der bezüglich seiner gleichförmigen Kreisbewegung die Winkelgeschwindigkeit 2 s −1 und das Trägheitsmoment 3 kgm 2 besitzt, ist konstant und hat den Betrag 4 kgm 2 /s.

296

10 Testserien Physik I

(c) Für einen Massenpunkt steht der Drehimpuls stets senkrecht auf dem Orts- und dem Impulsvektor des Massenpunktes. (d) Die Dimension des Drehimpulses ist Masse Z eit. Aufgabe 3 In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist das Phasendiagramm von Wasser qualitativ richtig dargestellt?

Begründen Sie Ihre Antwort! Aufgabe 4 Was verstehen wir unter einem Stoßvorgang, und wie können wir Stoßvorgänge klassifizieren? Aufgabe 5 Ein homogener Zylinder besitzt eine Masse von 3 kg und einen Radius von 4 cm. (a) Welches Trägheitsmoment besitzt er bezüglich seiner Längsachse S durch den Massenschwerpunkt? (b) Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Zylinders bezüglich einer Achse A, die parallel zur Achse durch den Massenschwerpunkt S verläuft und von dieser den Abstand 2 cm besitzt. Aufgabe 6 Die Bahnkurve eines Massenpunktes werde beschrieben durch den Ortsvektor ⎞ ⎛ ⎞ x(t) 1 − 3t r(t) = ⎝ y(t) ⎠ = ⎝ 2 ⎠ , t ∈ R. z(t) 4t ⎛

(10.376)

10.10 Testserie 10

297

(a) Längs welcher Bahnkurve bewegt sich der Massenpunkt? (b) Bestimmen Sie den Raumpunkt, an dem sich der Massenpunkt zum Anfangszeitpunkt t0 = 0 s befindet, sowie dessen Geschwindigkeit. Welche Bewegungsform führt der Massenpunkt durch? (b) Berechnen Sie die Strecke, die der Massenpunkt bis zum Zeitpunkt t1 = 2 s zurückgelegt hat.

Aufgabe 7 Eine Flüssigkeit fließt mit der Strömungsgeschwindigkeit v = 2,43 m/s durch ein horizontales Rohr (siehe Abb. 10.18). Berechnen Sie den Höhenunterschied der Flüssigkeitssäulen in den Röhren A und B, die beide den gleichen Durchmesser haben. Aufgabe 8 In einem mit konstanter Beschleunigung a beschleunigten Bezugssystem schließt eine an einem Faden hängende Kugel mit der Masse 1,5 kg im Ruhezustand einen Winkel von 11,5◦ mit der Vertikalen ein. (a) Welche Kräfte wirken auf die Kugel im beschleunigten System? (b) Berechnen Sie den Betrag der Beschleunigung des Systems. (c) Bestimmen Sie die Belastung des Fadens. Aufgabe 9 In einem Zylinder befinde sich ein ideales zweiatomiges Gas mit dem Druck P1 = 0,3 bar und dem Volumen V1 = 100 ml. Durch Einwirkung einer äußeren Kraft vom Betrag F, die senkrecht auf den Kolben wirkt, wird das Gas adiabatisch auf das Volumen V2 = 50 ml komprimiert und besitzt dann den Druck P2 = 3 bar .

Abb. 10.18 Höhenunterschied von Flüssigkeitssäulen

298

10 Testserien Physik I

(a) Berechnen Sie die am Gas verrichtete Arbeit der Kraft F. (b) Welche Energieform wird dabei verändert? Aufgabe 10 Zwei Körper mit den Massen m 1 = 0,1 kg und m 2 = 0,2 kg sind durch einen Faden miteinander verbunden, der über eine homogene Kreisscheibe mit einer Masse von M = 0,05 kg verläuft. Lässt man die Kreisscheibe los, so führt sie eine gleichförmig beschleunigte Drehbewegung um ihre Drehachse durch den Massenschwerpunkt durch. Berechnen Sie den Betrag der Beschleunigung der Massen m 1 und m 2 .

10.10.2 Lösungen Aufgabe 1 Die Kraftwirkungen zweier Körper aufeinander sind stets betragsmäßig gleich und von entgegengesetzter Richtung. Das bedeutet: Bezeichnet F12 die Kraft von Körper 1 auf Körper 2 und F21 die Kraft von Körper 2 auf Körper 1, so gilt: F12 = − F21

(10.377) 

Aufgabe 2 (a) ist richtig. (b) ist falsch, zwar ist der Drehimpuls des Massenpunktes bei seiner gleichförmigen Kreisbewegung konstant, doch ist sein Betrag gegeben durch L = J ω = 3 kgm 2 · 2 s −1 = 6 kgm 2 /s. (c) ist richtig. 2 /Z eit. (d) ist falsch, denn die Dimension des Drehimpulses ist [L] = Masse L ange ¨  Aufgabe 3 Die Dampfdruckkurve beginnt am Tripelpunkt und endet am kritischen Punkt, weshalb Abb. (a) falsch ist. Ferner ist die Steigung der Schmelzpunktskurve von Wasser negativ, weshalb

10.10 Testserie 10

299

auch Abb. (b) falsch ist. In der Abb. (c) sind die Sublimationskurve, die Schmelzpunktskurve und die Dampfdruckkurve sowie die Bereiche der festen, flüssigen und gasförmigen Phase für Wasser qualitativ korrekt dargestellt, weshalb nur Abb. (c) richtig ist.  Aufgabe 4 Ein Stoß ist eine kurzzeitige Wechselwirkung. Vor und nach dem Stoß bewegen sich die Stoßpartner kräftefrei, d. h. mit konstanten Geschwindigkeiten und damit mit konstanten Impulsen und kinetischen Energien. Wenn beim Stoßvorgang keine kinetische Energie in andere Energieformen wie Wärme- oder Deformationsenergie umgewandelt wird, so ist die Summe der kinetischen Energien der Stoßpartner vor und nach dem Stoß gleich. Ein solcher Stoß heißt elastisch. Wird jedoch während des Stoßvorganges Bewegungsenergie in Wärmeoder Deformationsenergie umgewandelt, so heißt der Stoß unelastisch.  Aufgabe 5 (a) Das Trägheitsmoment des homogenen Zylinders mit der Masse M = 3 kg und dem Radius R = 4 cm = 4 · 10−2 m ist bezüglich der Längsachse durch den Massenschwerpunkt gegeben durch: JS =

1 1 · M · R 2 = · 3 kg · (4 · 10−2 m)2 = 2,4 · 10−3 kgm 2 2 2

(10.378)

(b) Nach dem Steiner’schen Satz ist das Trägheitsmoment des Zylinders bezüglich der zur Längsachse parallelen A-Achse im Abstand a = 2 cm = 2 · 10−2 m gegeben durch: J A = JS + M · a 2 = 2,4 · 10−3 kgm 2 + 3 kg · 4 · 10−4 m 2 = 3,6 · 10−3 kgm 2 (10.379)  Aufgabe 6 (a) Für den Ortsvektor (in der Einheit m) gilt: ⎛

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x(t) 1 − 3t 1 −3 r(t) = ⎝ y(t) ⎠ = ⎝ 2 ⎠ = ⎝ 2 ⎠ + t · ⎝ 0 ⎠ , t ∈ R z(t) 4t 0 4

(10.380)

Die zugehörige Bahnkurve ist also eine Gerade im Raum, entlang derer sich der Massenpunkt bewegt. (b) Zum Anfangszeitpunkt t0 = 0 s folgt für den Ortsvektor ⎛ ⎞ 1 r0 = r(0) = ⎝ 2 ⎠ , 0

(10.381)

300

10 Testserien Physik I

sodass sich der Massenpunkt zum Anfangszeitpunkt am Raumpunkt P0 = (1, 2, 0) befindet. Seine Geschwindigkeit (in m/s) ist gegeben durch ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 − 3t −3 d r(t) d ⎝ v(t) = = 2 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ = v = konstant, dt dt 4t 4

(10.382)

die dem Richtungsvektor der Geraden entspricht. Da die Geschwindigkeit konstant ist, führt der Massenpunkt  eine gleichförmig geradlinige Bewegung mit dem Geschwindigkeitsbetrag v = (−3)2 + 42 m/s = 5 m/s durch. (c) Zum Zeitpunkt t1 = 2 s erhalten wir für den Ortsvektor ⎛

⎞ ⎛ ⎞ 1−3·2 −5 ⎠ = ⎝ 2 ⎠, r1 = r(2) = ⎝ 2 4·2 8

(10.383)

weshalb sich der Massenpunkt zu dieser Zeit am Raumpunkt P1 = (−5, 2, 8) befindet (siehe Abb. 10.19). Die Strecke, die der Massenpunkt in dieser Zeitspanne zurückgelegt hat, ist gegeben durch: ⎛

⎞ ⎛ ⎞ −5 1  d =| r1 − r0 |=| ⎝ 2 ⎠ − ⎝ 2 ⎠ | m = (−6)2 + 82 m = 10 m 8 0

(10.384) 

Abb. 10.19 Geradengleichung

10.10 Testserie 10

301

Aufgabe 7 Wir betrachten die hydrostatischen Drücke P1 und P2 der Flüssigkeit in den Punkten 1 und 2. Aus der Bernoulli-Gleichung folgt: P1 + ρ Fl · g · y +

1 1 · ρ Fl · v1 2 = P2 + ρ Fl · g · y + · ρ Fl · v2 2 2 2

(10.385)

Da sich ferner beide Punkte auf der gleichen Höhe y befinden und weil die Strömungsgeschwindigkeit vor der Röhre B verschwindet v2 = 0 m/s, folgt: P1 +

1 · ρ Fl · v1 2 = P2 2

(10.386)

Die hydrostatischen Drücke an den Punkten 1 und 2 unterscheiden sich andererseits um den Schweredruck PS = ρ Fl · g ·  h = P2 − P1 der Flüssigkeit, woraus wir P2 = P1 + ρ Fl · g ·  h

(10.387)

erhalten. Damit folgt mit (10.386): P1 +

1 · ρ Fl · v1 2 = P1 + ρ Fl · g ·  h 2

(10.388)

Da die Strömungsgeschwindigkeit v1 vor der Röhre A der Strömungsgeschwindigkeit v der Flüssigkeit im horizontalen Rohr entspricht, erhalten wir für den Höhenunterschied der Flüssigkeitssäulen in beiden Röhren: h =

(2,43 m/s)2 v2 = = 0,3 m 2·g 2 · 9,81 m/s

(10.389) 

Aufgabe 8 (a) Im beschleunigten Ruhesystem der Kugel wirken auf sie die Schwerkraft G = m · g, die Fadenkraft FF sowie die Trägheitskraft Ft = m · a (siehe Abb. 10.20). (b) Für den Winkel ϕ zur Vertikalen gilt: tan ϕ =

m·a a Ft = = G m·g g

(10.390)

Hieraus folgt für die Beschleunigung des Systems: a = g · tan ϕ = 9,81 m/s 2 · tan 11,5 ◦ = 2 m/s 2

(10.391)

(c) Die Belastung des Fadens entspricht dem Betrag der Fadenkraft FF , die gleich dem  + Ft ist. Aus Betrag der Kraft F1 = G

302

10 Testserien Physik I

Abb. 10.20 Kräfte im Ruhesystem der Kugel

cos ϕ =

G F1

(10.392)

erhalten wir schließlich für die Belastung des Fadens: FF = F1 =

G m·g 1,5 kg · 9,81 m/s 2 = 15 N = = cos ϕ cos ϕ cos 11,5 ◦

(10.393) 

Abb. 10.21 Zur Arbeit bei der adiabatischen Kompression eines Gases

10.10 Testserie 10

303

Aufgabe 9 (a) Die senkrecht auf den Kolben mit der Fläche A wirkende Kraft vom Betrag F übt auf das Gas im Zylinder den Kolbendruck PK = FA aus (siehe Abb. 10.21). Diesem Kolbendruck PK wirkt der Gasdruck P entgegen, wobei sich stets dasjenige Volumen V einstellt, bei dem P = PK gilt. Die Arbeit W , die wir verrichten müssen, um das Gas auf das Volumen V2 zu komprimieren, ist gegeben durch: V2 W =−

V2 PK d V = −

V1

P dV

(10.394)

V1

Wegen V2 < V1 ist die am Gas verrichtete Arbeit positiv. Da die Kompression adiabatisch erfolgt, gilt für den Zusammenhang zwischen dem Druck P und dem Volumen V die Adiabatengleichung (10.395) P · V κ = cad = konstant. Damit erhalten wir für die am Gas bei der adiabatischen Kompression verrichteten Arbeit: V2

V2 P d V = − cad

W =− V1

V1

oder W =

 1 1 − κ+1 V2 d V = − c · · V  ad V1 Vκ −κ + 1

1 cad 1 − · κ −1 V2 κ−1 V1 κ−1

(10.396)

(10.397)

Aufgrund der Adiabatengleichung (10.395) gilt P1 · V1 κ = cad = P2 · V2 κ , womit die Arbeit gegeben ist durch:

1 cad P1 · V1 κ cad P2 · V2 κ 1 = (10.398) − − · · W = κ −1 κ −1 V2 κ−1 V1 κ−1 V2 κ−1 V1 κ−1 Da es sich um ein zweiatomiges Gas handelt, gilt für den Adiabatenexponenten κ = 1, 4, womit schließlich die am Gas verrichtete Arbeit mit P1 = 0,3 bar = 0,3 · 105 Pa und V1 = 100 ml = 100 · 10−6 m 3 sowie P2 = 3 bar = 3 · 105 Pa und V2 = 50 ml = 50 · 10−6 m 3 gegeben ist durch W = =

1 · (P2 · V2 − P1 · V1 ) κ −1

1 · (3 · 105 Pa · 50 · 10−6 m 3 − 0, 3 · 105 Pa · 100 · 10−6 m 3 ) = 30 J , 1, 4 − 1

wobei für die Einheiten Pa m 3 =

N m3 m2

= N m = J gilt.

(10.399)

304

10 Testserien Physik I

(b) Da die Zustandsänderung adiabatisch erfolgt, führt diese am Gas verrichtete Arbeit nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik ausschließlich zu einer Erhöhung der inneren Energie gemäß U = W = 30 J (10.400) und damit zu einer Erhöhung der thermischen Energie des Gases. 

Aufgabe 10 Die s-Achse legen wir, wie in der Abb. 10.22 gezeigt, fest. Auf den Körper 1 wirkt die nach unten gerichtete Schwerkraft G 1 = − m 1 g sowie die nach oben gerichtete Fadenkraft F1 mit dem Betrag | F1 |= F1 (siehe Abb. 10.22). Die nach oben gerichtete Gesamtkraft auf den Körper 1 ist gegeben durch: 1 Fges = F1 + G 1 = F1 − m 1 · g

(10.401)

Diese Gesamtkraft ruft die ebenfalls nach oben gerichtete Beschleunigung des Körpers 1 hervor, d. h., es gilt 1 Fges = m 1 · a, (10.402)

Abb. 10.22 Die Atwood’sche Fallmaschine

10.10 Testserie 10

305

worin a den Betrag der Beschleunigung des Körpers 1 bezeichnet. Mit (10.401) folgt: 1 Fges = F1 − m 1 · g = m 1 · a

(10.403)

Hieraus erhalten wir für den Betrag der Fadenkraft F1 : F1 = m 1 · g + m 1 · a = m 1 · (g + a)

(10.404)

Analog wirkt auf den Körper 2 die nach unten gerichtete Schwerkraft G 2 = − m 2 g sowie die nach oben gerichtete Fadenkraft F2 mit dem Betrag | F2 |= F2 (siehe Abb. 10.22). Wegen G 2 > F2 ist die Gesamtkraft auf den Körper 2 2 Fges = F2 + G 2 = F2 − m 2 · g

(10.405)

nach unten gerichtet. Diese Gesamtkraft ruft die ebenfalls nach unten gerichtete Beschleunigung des Körpers 2 hervor, d. h., es gilt 2 Fges = − m 2 · a,

(10.406)

worin a den Betrag der Beschleunigung des Körpers 2 bezeichnet. Mit (10.405) folgt: 2 Fges = F2 − m 2 · g = − m 2 · a

(10.407)

Hieraus erhalten wir für den Betrag der Fadenkraft F2 : F2 = m 2 · g − m 2 · a = m 2 · (g − a)

(10.408)

Beide Fadenkräfte rufen die Drehmomente N1 bzw. N2 hervor, die jedoch entgegengesetzt gerichtet sind (siehe Abb. 10.22). Für den Betrag des Gesamtdrehmoments auf die homogene Scheibe folgt dann wegen N2 > N1 : N = | N1 + N2 | = N2 − N1 = R · F2 − R · F1

(10.409)

Mit (10.408) und (10.404) gilt explizit: N = R · (m 2 · g − m 2 · a) − R · (m 1 · g + m 1 · a) (10.410) = (m 2 − m 1 ) · g · R − (m 2 + m 1 ) · a · R Dieses Drehmoment ruft die gleichförmig beschleunigte Drehbewegung der Scheibe mit der Winkelbeschleunigung α hervor, die durch die Bewegungsgleichung N = JS · α

(10.411)

gegeben ist, worin JS = 21 M R 2 das Trägheitsmoment der homogenen Scheibe bezüglich der Drehachse durch den Massenschwerpunkt bezeichnet. Da der Betrag der Beschleunigung

306

10 Testserien Physik I

a beider Körper gleich der Bahnbeschleunigung a B eines Punktes auf der Scheibe ist, folgt a = a B = R · α, womit wir für die Winkelbeschleunigung α=

a R

(10.412)

erhalten. Damit ist das Drehmoment auf die Scheibe andererseits gegeben durch: N = JS · α =

1 a 1 M R2 · = · M · R · a 2 R 2

(10.413)

Mit (10.410) erhalten wir hiermit die Gleichung 1 · M · R · a = R · {(m 2 − m 1 ) · g − (m 2 + m 1 ) · a} . 2

(10.414)

M · a = 2 (m 2 − m 1 ) · g − 2 (m 2 + m 1 ) · a,

(10.415)

Hieraus folgt woraus wir für den Betrag der Beschleunigung beider Körper a=

2 · (m 2 − m 1 ) ·g M + 2 (m 2 + m 1 )

2 · (0,2 kg − 0, 1 kg) · 9,81 m/s 2 = 3 m/s 2 = 0,05 kg + 2 (0,2 kg + 0,1 kg)

(10.416)

erhalten. 

Testserien Physik II

11.1

11

Testserie 11

11.1.1 Aufgaben Aufgabe 1 Wie lautet das Coulomb’sche Gesetz? Beschreiben Sie seinen physikalischen Inhalt! Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen über magnetische Felder ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort!  r ) eines vom Strom I durchflossenen geraden Leiters im (a) Das magnetische Feld B( Abstand r =| r | vom Leiter ist ein Vektor, dessen Richtung senkrecht zur Stromrichtung und tangential an einen Kreis um den Leiter mit dem Radius r gerichtet ist. (b) Da bewegte Ladungen ein magnetisches Feld erzeugen, beginnen magnetische Feldlinien an positiven und enden an negativen bewegten Ladungen. (c) Der Betrag des magnetischen Feldes im Inneren einer vom Strom I durchflossenen Spule mit N Windungen ist umgekehrt proportional zum Durchmesser der Spule. (d) Ein Elektron, das in einem homogenen magnetischen Feld auf einer Kreisbahn umläuft, erzeugt ein magnetisches Dipolfeld. Aufgabe 3 Ein Lichtstrahl trifft mit einem von null verschiedenen Einfallswinkel α von einem Medium 1 auf die Grenzfläche zu einem Medium 2. In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist der Strahlenverlauf des reflektierten Strahls qualitativ richtig wiedergegeben?

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 G. Rufa, Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61262-0_11

307

308

11 Testserien Physik II

Begründen Sie Ihre Aussage! Aufgabe 4 Wie kommen die Absorptions- und Emissionsspektren von Atomen zustande? Aufgabe 5 Ein Gegenstand befindet sich im Abstand 50 cm vor einer dünnen Linse, die ein reelles Bild entwirft. Der Abbildungsmaßstab beträgt 1 : 4. (a) Berechnen Sie die Bildweite. (b) Welche Brechkraft und Brennweite besitzt die Linse. Aufgabe 6 Durch eine Spule mit 2 655 Windungen, einer Länge von 5 cm und mit einer Querschnittsfläche von 4 cm 2 fließt ein elektrischer Strom mit der Stromstärke 3 A. Berechnen Sie den magnetischen Fluss des durch den Strom erzeugten magnetischen Feldes durch die Spule. Die magnetische Feldkonstante beträgt μ0 = 1,256 6 · 10−6 V s/Am. Aufgabe 7 Bei der Beugung von Röntgenstrahlen der Wellenlänge 150 pm an einem Bariumkristall tritt eine Reflexion 2. Ordnung unter einem Winkel von 27◦ 8 auf. Welche Wellenlänge besitzen Röntgenstrahlen, die am selben Kristall eine Reflexion 3. Ordnung unter dem gleichen Winkel zeigen? Aufgabe 8 Im elektrischen Feld eines Plattenkondensators wird ein freies Elektron durch die CoulombKraft von einem Anfangspunkt zu einem Endpunkt beschleunigt. Während das Elektron zu Beginn der Bewegung in Ruhe ist, beträgt seine Endgeschwindigkeit 1,32 · 107 m/s. Welche Potentialdifferenz besteht zwischen dem Anfangs- und dem Endpunkt? Die spezifische Ladung des Elektrons beträgt e/m = 1,76 · 1011 C/kg.

11.1 Testserie 11

309

Aufgabe 9 5 Die mittlere Lebensdauer eines Radonisotops 222 86 Rn 136 beträgt 4,766 4 · 10 s. Zu welcher Zeit sind noch ein Viertel der ursprünglich vorhandenen Radonnuklide einer Probe vorhanden? Aufgabe 10 (a) Bestimmen Sie den Massendefekt bei der Bildung des Stickstoffisotops 14 7 N7 . (b) Berechnen Sie die Bindungsenergie, die bei der Bildung dieses Isotops frei wird. (b) Welche Ruheenergie besitzt das Stickstoffisotop allein aufgrund seiner Masse? Die Atommasse des Stickstoffisotops beträgt m 14 N = 14,003 073 99 u. 7

7

11.1.2 Lösungen Aufgabe 1 Befinden sich zwei „punktförmige“ Ladungsträger mit den Ladungen q und Q im Abstand r voneinander, so üben sie aufeinander die Coulomb-Kraft F C aus, deren Betrag gegeben ist durch: 1 q·Q · 2 (11.1) FC = 4π 0 r Die Coulomb-Kräfte, die die Punktladungen aufeinander ausüben, sind entlang der direkten Verbindungslinie zwischen beiden Punktladungen gerichtet (siehe Abb. 11.1). Für gleichartige Ladungen ist die Coulomb-Kraft repulsiv, für ungleichartige Ladungen ist sie attraktiv.  Abb. 11.1 Zum Coulomb’schen Gesetz

310

11 Testserien Physik II

Aufgabe 2 (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn magnetische Feldlinien sind stets geschlossen und umschlingen den Strom, der das Feld erzeugt. (c) ist falsch, denn der Betrag des magnetischen Feldes im Inneren einer Spule ist umgekehrt proportional zur Länge l der Spule und hängt nicht vom Durchmesser der Spule ab. (d) ist richtig.  Aufgabe 3 Wird ein Lichtstrahl an einer Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen Medien reflektiert, so ist der Reflexionswinkel α  gleich dem Einfallswinkel α, die beide gegen die Normale gemessen werden. Deshalb ist Abb. (b) richtig. Zwar kann die Summe aus Einfalls- und Reflexionswinkel 90◦ ergeben, doch ist in Abb. (a) α   = α, weshalb diese Abbildung falsch ist. Schließlich verläuft der reflektierte Strahl wie der einlaufende Strahl im Medium 1, weshalb auch Abb. (c) falsch ist.  Aufgabe 4 Jedes Atom besitzt einen Zustand niedrigster Energie E 1 , den wir Grundzustand nennen. Indem wir auf irgendeine Weise dem Atom eine passende Energie zuführen, wechselt es in einen angeregten Zustand, der die Energie E i , i = 2, 3, 4, . . . besitzt, und wir sprechen dann von einer Anregung des Atoms. Die Absorptionsspektren kommen dadurch zustande, dass ein Atomelektron ein Photon der passenden Energie E γ absorbiert, wobei es in einen höheren angeregten Zustand wechselt. So kann z. B. ein Atom im Grundzustand, wir nennen ihn den Anfangszustand E a , ein Photon absorbieren, dessen Energie gerade der Energiedifferenz zwischen einem der angeregten Zustände, wir nennen ihn den Endzustand E e , und dem Grundzustand entspricht: Eγ = h · ν = Ee − Ea = Ei − E1

(11.2)

Das Atom wechselt dann vom Grundzustand in diesen angeregten Zustand. In einem solchen angeregten Zustand verweilt ein Atom in der Regel ca. 10−8 s, um dann unter Aussendung eines Photons wieder in einen Zustand niedrigerer Energie, d. h. einen weiteren angeregten Zustand oder den Grundzustand selbst, zu wechseln. Die Energie des Photons entspricht dabei wieder genau der Energiedifferenz zwischen dem Anfangs- und dem Endzustand. Auf diese Weise entstehen die Emissionsspektren von Atomen.  Aufgabe 5 (a) Für den Abbildungsmaßstab gilt: V =

1 |b| = g 4

(11.3)

11.1 Testserie 11

311

Da es sich um ein reelles Bild handelt, ist die Bildweite positiv b > 0, und es folgt: b=

1 1 · g = · 50 cm = 12,5 cm 4 4

(11.4)

(b) Die Brechkraft der Linse ist gegeben durch: D=

1 f

(11.5)

Mit der Abbildungsgleichung 1 1 b+g 1 = + = f g b g·b

(11.6)

und der Gegenstandsweite g = 50 cm erhalten wir für die Brechkraft der Linse: D=

12,5 cm + 50 cm = 0,1 cm −1 = 10 d pt 12,5 cm · 50 cm

(11.7)

Damit folgt für die Brennweite der Linse: f =

1 1 = cm = 10 cm D 0,1

(11.8) 

Aufgabe 6 Der durch die Spule fließende elektrische Strom mit der Stromstärke I = 3 A erzeugt das magnetische Feld N B = μ0 · · I, (11.9) l worin N = 2 655 die Zahl der Windungen und l = 5 · 10−2 m die Länge der Spule bezeichnen. Der magnetische Fluss dieses Feldes durch die Spule mit der Querschnittsfläche A = 4 · 10−4 m 2 ist gegeben durch: φ = B · A = μ0 ·

N ·I·A l

(11.10)

Insgesamt erhalten wir: φ = 1,256 6 · 10−6 V s/Am ·

2 655 · 3 A · 4 · 10−4 m 2 = 8 · 10−5 W b 5 · 10−2 m

(11.11) 

Aufgabe 7 Die Bragg-Reflexionen n-ter Ordnung werden durch die Bragg-Bedingung

312

11 Testserien Physik II

2 · d · sin θn = n · λ, n = 1, 2, 3, . . .

(11.12)

beschrieben, worin d den Abstand der Netzebenen bezeichnet. Für Röntgenstrahlen mit der Wellenlänge λ1 = 150 pm gilt in 2. Ordnung: 2 · d · sin θ2 = 2 · λ1

(11.13)

Analog erhalten wir für die Wellenlänge λ2 der Röntgenstrahlen in 3. Ordnung die Beziehung 2 · d · sin θ3 = 3 · λ2 .

(11.14)

Wegen θ3 = θ2 = θ = 27◦ 8 erhalten wir die Gleichung 2 · d · sin θ = 3 · λ2 = 2 · λ1 ,

(11.15)

woraus wir für die gesuchte Wellenlänge λ2 =

2 2 · λ1 = · 150 pm = 100 pm 3 3

erhalten.

(11.16) 

Aufgabe 8 Durchläuft das Elektron, das betragsmäßig die Ladung q = e besitzt, die Potentialdifferenz U = φ zwischen dem Anfangs- und dem Endpunkt, so ändert sich hierbei seine potentielle Energie gemäß (11.17)

E pot = e · φ, worin e die Elementarladung (siehe Anhang B) bezeichnet. Da es sich um ein freies Elektron handelt, ist diese Änderung der potentiellen Energie nach dem Energieerhaltungssatz gleich der Änderung seiner kinetischen Energie:

E kin = E pot = e · φ

(11.18)

Da die Anfangsgeschwindigkeit des Elektrons verschwindet, folgt

E kin =

1 · m · v2 , 2

(11.19)

worin v = 1,32 · 107 m/s seine Endgeschwindigkeit bezeichnet. Damit gilt e · φ =

1 · m · v2 , 2

(11.20)

woraus wir mit der spezifischen Ladung e/m = 1,76 · 1011 C/kg des Elektrons für die Potentialdifferenz zwischen dem Anfangs- und dem Endpunkt

11.1 Testserie 11

φ =

313

1 m 2 v2 (1,32 · 107 m/s)2 · ·v = = = 495 V e 2 e 2 · (m ) 2 · 1,76 · 1011 C/kg

erhalten. Für die Einheiten gilt hierbei

m 2 kg s2 C

=

Nm C

=

V As As

= V.

(11.21)



Aufgabe 9 Die Zahl der zu einer beliebigen Zeit t noch vorhandenen radioaktiven Radonnuklide der Probe ist gegeben durch (11.22) N (t) = N0 · e− λ · t , worin N0 die Zahl der ursprünglich vorhandenen radioaktiven Nuklide und λ die Zerfallskonstante bezeichnen. Zur Zeit t1 ist die Zahl der radioaktiven Nuklide auf ein Viertel des Anfangswertes abgefallen, d. h., zur Zeit t1 gilt: N (t1 ) = N0 · e− λ · t1 = Hieraus folgt e − λ · t1 =

1 4

|

1 · N0 4

ln,

(11.23)

(11.24)

d. h. − λ · t1 = −ln 4.

(11.25)

Ferner gilt für die mittlere Lebensdauer der Radonnuklide τ=

1 = 4,766 4 · 105 s, λ

(11.26)

womit die Zerfallskonstante gegeben ist durch: λ=

1 = 2,098 · 10−6 s −1 τ

(11.27)

Damit erhalten wir aus (11.25) für die gesuchte Zeit: t1 =

ln 4 ln 4 = 6,6 · 105 s = 7,6 T g = λ 2,098 · 10−6 s −1

(11.28) 

Aufgabe 10 (a) Der Massendefekt m ist gegeben durch die Differenz der Summe der Massen der freien Protonen und Neutronen, die das Stickstoffisotop bilden, und der Masse m K des Kerns, d. h., es folgt: (11.29)

m = 7 · m p + 7 · m n − m K (N )

314

11 Testserien Physik II

Ziehen wir von der Atommasse des Stickstoffisotops die Masse der 7 Elektronen ab, wobei m e = 5,485 799 09 · 10−4 u die Masse eines Elektrons bezeichnet, so erhalten wir die Kernmasse m K des Stickstoffisotops: m K (N ) = 14,003 073 99 u − 7 · 5,485 799 09 · 10−4 u = 13,999 233 93 u

(11.30)

Da die Bindungsenergie der Elektronen im Atom einige eV beträgt, ist diese gegenüber der Energie m e · c2 = 0,511 MeV , die der Masse eines Elektrons entspricht, vernachlässigbar. Mit den Nukleonenmassen m p = 1,007 276 47 u und m n = 1,008 664 92 u erhalten wir für den Massendefekt:

m = 7 · 1,007 276 47 u + 7 · 1,008 664 92 u − 13,999 233 93 u = 0,112 355 8 u

(11.31)

(b) Einem Unit entspricht eine Energie von 1 u · c2 = 931,494 102 42 MeV . Damit äußert sich dieser Massendefekt in der Bindungsenergie der Nukleonen E B = m · c2 = 0,112 355 8 · 931,494 102 42MeV = 104,659 MeV ,

(11.32)

die bei der Bildung des Stickstoffisotops frei wird. (c) Mit 1 u = 1,660 539 067 · 10−27 kg erhalten wir für die Masse des Stickstoffisotops: m = 14,003 074 u = 2,325 265 · 10−26 kg

(11.33)

Die Energie, die das Stickstoffisotop allein aufgrund seiner Masse besitzt, ist schließlich mit der Lichtgeschwindigkeit c = 2,997 925·108 m/s (siehe Anhang B) gegeben durch E = m·c2 = 2,325 265·10−26 kg·(2,997 925·108 m/s)2 = 2,089 844·10−9 J , (11.34) und mit 1 J = 6,241 509 · 1018 eV folgt: E = 13,04 GeV

(11.35) 

11.2

Testserie 12

11.2.1 Aufgaben Aufgabe 1 Beschreiben Sie das Reflexions- und Brechungsgesetz für Wellen.

11.2 Testserie 12

315

Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen über optische Abbildungen ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Die Erzeugung eines Bildes von einem Gegenstand heißt optische Abbildung. (b) Bei einem virtuellen Bild schneiden sich die von einem Gegenstandspunkt ausgehenden Strahlen tatsächlich in dem Bildpunkt, den wir sehen. (c) Eine Zerstreuungslinse kann nur virtuelle Bilder, eine Sammellinse dagegen reelle und virtuelle Bilder erzeugen. (d) Die Brennweite f einer dünnen Linse kann unter Verwendung der Abbildungsgleichung durch die Gegenstandsweite g und die Bildweite b ausgedrückt werden, wobei gilt: f = g+b

(11.36)

Aufgabe 3 In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist der zeitliche Verlauf eines zeitabhängigen Gleichstromes qualitativ korrekt dargestellt?

Begründen Sie Ihre Aussage! Aufgabe 4 Ein Kondensator mit der Kapazität C werde durch eine Gleichspannungsquelle mit der Spannung U geladen. Wie ändert sich die Energie des Kondensators, wenn man die Spannung verdoppelt? Aufgabe 5 Eine Spule besitzt 100 Windungen, eine Querschnittsfläche von 2 cm 2 und eine Länge von 5 cm. (a) Berechnen Sie die Induktivität der Spule. (b) Auf welchen Wert ändert sich die Induktivität, wenn man einen Eisenkern mit der Permeabilität 400 vollständig in die Spule schiebt?

316

Die magnetische Feldkonstante beträgt μ0 = 1,256 6 · 10−6

11 Testserien Physik II Vs Am .

Aufgabe 6 Ein punktförmiger Ladungsträger besitzt eine Ladung von 5,6 · 10−9 C. (a) Berechnen Sie den Betrag des elektrischen Feldes an einem Raumpunkt P, der den Abstand 5 cm von dieser Punktladung besitzt. In welche Richtung zeigt der Vektor des elektrischen Feldes an diesem Punkt? (b) Bringt man einen punktförmigen Ladungsträger mit der Ladung −4 · 10−9 C an diesen Raumpunkt P, welchen Betrag besitzt dann die Kraft auf diese Punktladung, und wie ist sie gerichtet? Die elektrische Feldkonstante beträgt 0 = 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 . Aufgabe 7 Eine mit der Phasengeschwindigkeit 2 cm/s in positive x-Richtung laufende harmonische Welle werde beschrieben durch:   π 4π (11.37) ·t −k·x + u(x, t) = 4 cm · sin s 6 (a) Welchen maximalen Wert kann die Größe u(x, t) annehmen? (b) Berechnen Sie die Größe u(x, t) am Ort x0 = 2 cm zur Zeit t0 = 2 s. Aufgabe 8 Ein Kondensator werde über einen ohmschen Widerstand von 50 k entladen. Zum Zeitpunkt t1 = 40,55 ms beträgt seine Ladung noch zwei Drittel der Anfangsladung. Welche Kapazität besitzt der Kondensator? Aufgabe 9 Zwei Metallkugeln mit gleichem Radius und gleichen Massen sind an Fäden aufgehängt derart, dass sich ihre Oberflächen berühren. Die Länge der Aufhängefäden beträgt 30 cm. Bringt man nun die Ladung 8 · 10−7 C auf beide Kugeln, so stoßen sich die Kugeln aufgrund der Coulomb-Kraft ab, die betragsmäßig halb so groß ist wie die Schwerkraft auf beide Kugeln. Berechnen Sie den Betrag der Coulomb-Kraft, die die Kugeln aufeinander ausüben. Aufgabe 10 Ein Photon der Röntgenstrahlung mit einer Energie von 3,313·10−15 J wird an einem freien Elektron gestreut. Die Änderung der Wellenlänge des Photons beträgt 8,68 · 10−13 m. (a) Unter welchem Winkel wird das Photon am Elektron gestreut? (b) Berechnen Sie die Frequenz und die Energie des gestreuten Photons.

11.2 Testserie 12

317

11.2.2 Lösungen Aufgabe 1 Wird eine ebene Welle an einer Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen Medien reflektiert, so ist der Reflexionswinkel α  gleich dem Einfallswinkel α (siehe Abb. 11.2). α = α

(11.38)

Wird dagegen die ebene Welle an einer Grenzfläche gebrochen und tritt die Welle vom Medium 1 mit der Phasengeschwindigkeit c1 in das Medium 2 mit der Phasengeschwindigkeit c2 über, dann gilt zwischen dem Einfallswinkel α und dem Brechungswinkel β c1 sin α = , sin β c2

(11.39)

wobei alle Winkel gegen die Normale zur Grenzfläche gemessen werden (siehe Abb. 11.2). 

Abb. 11.2 Reflexion und Brechung

318

11 Testserien Physik II

Aufgabe 2 (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn bei einem virtuellen Bild schneiden sich die von einem Gegenstandspunkt ausgehenden Strahlen nicht wirklich in dem Bildpunkt, den wir sehen. (c) ist richtig. (d) ist falsch, denn aus der Abbildungsgleichung 1 1 b+g 1 = + = f g b g·b

(11.40)

folgt für die Brennweite als Funktion der Gegenstands- und Bildweite: f =

g·b b+g

(11.41) 

Aufgabe 3 In Abb. (a) fließt zwar der elektrische Strom stets in die gleiche Richtung, doch ist die elektrische Stromstärke konstant, weshalb es sich nicht um einen zeitabhängigen Gleichstrom handelt. Auch im Fall von Abb. (b) ist die Stromrichtung zeitlich konstant, wobei sich jedoch die Stromstärke mit der Zeit ändert, weshalb in dieser Abbildung ein zeitabhängiger Gleichstrom dargestellt ist. In Abb. (c) ändert sich schließlich die elektrische Stromstärke regelmäßig in festen zeitlichen Abständen, wobei es sich um einen sinusförmigen Wechselstrom handelt und damit auch diese Abbildung falsch ist.  Aufgabe 4 Wird ein Kondensator der Kapazität C durch eine Spannungsquelle mit der Spannung U geladen, so besitzt er die elektrische Energie E el =

1 · C · U 2. 2

(11.42)

Verdoppelt man die Spannung am Kondensator, d. h., gilt U  = 2 U , dann ändert sich die Energie des Kondensators gemäß E  el =

1 1 1 2 · C · U  = · C · (2 U )2 = 4 · C U 2 = 4 · E el , 2 2 2

d. h., sie vervierfacht sich.

Aufgabe 5 (a) Die Induktivität der Spule ohne Materie ist gegeben durch:

(11.43) 

11.2 Testserie 12

L 0 = μ0 ·

319 Vs 1,256 6 · 10−6 Am · 1002 · 2 · 10−4 m 2 N2 A = = 0,05 m H . l 5 · 10−2 m

(11.44)

(b) Schiebt man nun einen Eisenkern vollständig in die Spule, so erhöht sich die Induktivität auf den Wert (11.45) L M = μ · L 0 = 400 · 0,05 m H = 20 m H .  Aufgabe 6 (a) Der Betrag des elektrischen Feldes, das die Punktladung Q = 5,6 · 10−9 C am Raumpunkt P erzeugt, der den Abstand r = 5 · 10−2 m von dieser Punktladung besitzt, ist gegeben durch E=

Q 1 5,6 · 10−9 C 1 · 2 = · −12 2 2 4 π 0 r 4 π · 8,854 · 10 C /N m (5 · 10−2 m)2 =

2,1 · 104

(11.46)

V /m,

wobei für die Einheit aus J = N m = V C die Beziehung N /C = V /m folgt. Der Vektor des elektrischen Feldes am Raumpunkt P ist entlang der direkten Verbindungslinie von Q nach P radial nach außen gerichtet, da die Punktladung Q positiv ist. (b) Bringen wir nun die negative Punktladung mit q = −4 · 10−9 C an den Raumpunkt P, so wirkt auf diese die Coulomb-Kraft. Für den Betrag folgt: FqC = q · E = 4 · 10−9 C · 2,1 · 104 N /C = 8,4 · 10−5 N

(11.47)

Die Coulomb-Kraft ist entgegengesetzt zum Vektor des elektrischen Feldes am Raumpunkt P gerichtet, weil die Punktladung q negativ ist.  Aufgabe 7 (a) Eine in positiver x-Richtung laufende harmonische Welle wird beschrieben durch: u(x, t) = u 0 · sin(ω t − k x + ϕ)

(11.48)

Den maximalen Wert, den die Größe u(x, t) annehmen kann, entspricht der Amplitude u 0 . Durch Vergleich mit (11.37) erhalten wir den Wert u 0 = 4 cm.

(11.49)

(b) Für die Phasengeschwindigkeit der harmonischen Welle gilt: c=

ω = 2 cm/s k

(11.50)

320

11 Testserien Physik II

Mit ω = 4 π/s folgt hieraus für die Wellenzahl: k=

4 π /s ω = = 2 π /cm c 2 cm/s

(11.51)

Damit erhalten wir nach (11.37) für den Wert der Größe u(x, t) am Ort x0 = 2 cm zur Zeit t0 = 2 s mit sin (4 π + π6 ) = sin π6 = 21 : 

4π 2π π ·2s − · 2 cm + u(x0 , t0 ) = 4 cm · sin s cm 6   π = 4 cm · sin 4 π + = 2 cm 6

 (11.52)

 Aufgabe 8 Beim Entladevorgang ist die Ladung des Kondensators zu einem beliebigen Zeitpunkt t gegeben durch t (11.53) Q(t) = Q 0 · e− τ , worin τ = R · C die Zeitkonstante der RC-Schaltung bezeichnet. Zur Zeit t1 = 40,55 ms beträgt die Ladung des Kondensators noch zwei Drittel der Anfangsladung Q 0 , d. h., es gilt: Q(t1 ) = Q 0 · e− Hieraus folgt e− −

t1 τ

=

t1 τ

2 3

=

|

2 · Q0 3

(11.54)

ln

t1 2 = ln , τ 3

(11.55)

woraus wir für die Zeitkonstante τ =−

40,55 · 10−3 s t1 = 0,1 s 2 = − − 0,4055 ln 3

(11.56)

erhalten. Mit R = 50 · 103 erhalten wir dann für die Kapazität des Kondensators C= wobei für die Einheiten

s

τ 0, 1 s = = 2 · 10−6 F = 2 μF, R 50 · 103

=

As A

=

C V

= F gilt.

(11.57) 

Aufgabe 9 Bringt man auf beide Kugeln die Ladung 8 · 10−7 C, so verteilt sie sich auf beide gleichmäßig. Die Ladung einer Kugel beträgt dann Q = 4 · 10−7 C. Da die Ladungsverteilung

11.2 Testserie 12

321

beider Kugeln kugelsymmetrisch ist, können die geladenen Kugeln, von außen betrachtet, als Punktladungen aufgefasst werden. Beide Kugeln üben dann eine abstoßende Coulomb-Kraft aufeinander aus (siehe Abb. 11.3), deren Betrag gegeben ist durch: FC =

1 Q2 · 4 π 0 (2 r )2

Für die Hälfte r des Abstandes beider Kugeln folgt mit sin α =

(11.58) r l

r = l · sin α,

(11.59)

wobei die Länge eines Aufhängefadens l = 30 cm = 0,3 m beträgt. Da die Coulomb-Kraft betragsmäßig halb so groß ist wie die Schwerkraft auf eine Kugel, gilt (siehe Abb. 11.3): G=

FC = 2 · FC tan α

(11.60)

Hieraus folgt tan α = 0,5, womit wir für den Winkel, den die Aufhängefäden mit der Senkrechten einschließen, (11.61) α = ar ctan 0,5 = 26,57◦ erhalten. Damit folgt nach (11.59): r = 0,3 m · sin 26,57◦ = 0,13 m

(11.62)

Schließlich erhalten wir für den Betrag der Coulomb-Kraft, die beide Kugeln aufeinander ausüben: FC =

(4 · 10−7 C)2 = 0,02 N 4π · 8, 854 · 10−12 C 2 /N m 2 · (2 · 0,13 m)2

(11.63) 

Abb. 11.3 Zur Coulomb-Kraft beider Kugeln aufeinander

322

11 Testserien Physik II

Aufgabe 10 (a) Streut man Röntgenstrahlung an freien Elektronen, so findet man, dass die Wellenlänge λ der gestreuten Strahlung größer ist als die Wellenlänge λ der einfallenden Strahlung. Die Differenz λ = λ − λ hängt mit dem Streuwinkel θ zwischen der einfallenden und der gestreuten Strahlung gemäß

λ = λc · (1 − cos θ )

(11.64)

zusammmen. Mit der Compton-Wellenlänge λc = mhe c = 2,426 31 · 10−12 m und der Änderung der Wellenlänge des Photons λ = 8,68 · 10−13 m erhalten wir für den Streuwinkel:     8,68 · 10−13 m

λ = 50◦ = ar cos 1 − (11.65) θ = ar cos 1 − λc 2,426 31 · 10−12 m (b) Für die Energie des einfallenden Photons der Röntgenstrahlung gilt: E =h·ν =

h·c = 3,313 · 10−15 J λ

(11.66)

Hieraus erhalten wir mit dem Planck’schen Wirkungsquantum h = 6,626 · 10−34 J s für die Wellenlänge dieses Photons: λ=

6,626 · 10−34 J s · 3 · 108 m/s h·c = 6 · 10−11 m = E 3,313 · 10−15 J

(11.67)

Die Wellenlänge der gestreuten Röntgenstrahlung ist gegeben durch: λ = λ + λ = 8,68 · 10−13 m + 6 · 10−11 m = 6,087 · 10−11 m

(11.68)

Damit besitzt das Photon der gestreuten Röntgenstrahlung eine Energie von E  = h · ν =

h·c 6,626 · 10−34 J s · 3 · 108 m/s = = 3,266 · 10−15 J  λ 6,087 · 10−11 m

(11.69)

sowie die Frequenz ν =

E 3,266 · 10−15 J = = 4,93 · 1018 H z. h 6,626 · 10−34 J s

(11.70) 

11.3 Testserie 13

11.3

323

Testserie 13

11.3.1 Aufgaben Aufgabe 1 Wie lautet das Ohm’sche Gesetz? Beschreiben Sie seinen physikalischen Inhalt. Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen zur Polarisation von Wellen ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Die Schwingungsrichtung einer Welle ist stets senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle, weshalb jede Welle polarisierbar ist. (b) Transversale Wellen, wie z. B. elektromagnetische Wellen, sind polarisierbar. (c) Eine Welle heißt linear polarisiert, wenn die Schwingungsrichtung stets parallel zur Ausbreitungsrichtung ist. (d) Schallwellen in Luft sind nicht polarisierbar. Aufgabe 3 Eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung besitzt eine positive Gesamtladung Q > 0. In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist der Vektor des elektrischen Feldes am Raumpunkt P qualitativ richtig wiedergegeben?

Begründen Sie Ihre Aussage! Aufgabe 4 Was verstehen wir unter Totalreflexion? Aufgabe 5 Bei der Röntgenbeugung an einem Kristall beobachtet man eine Reflexion 2. Ordnung unter einem Reflexionswinkel von 48,6◦ , wobei die Wellenlänge der Röntgenstrahlung 135 pm beträgt. Berechnen Sie den Abstand der parallelen Netzebenen.

324

11 Testserien Physik II

Aufgabe 6 Der Ort eines Elektrons ist mit einer Genauigkeit von x = 3 · 10−3 m bekannt. (a) Was können Sie über seine Impulsunschärfe aussagen? (b) Berechnen Sie die minimale Impulsunschärfe. Wie genau kann man den Geschwindigkeitsbetrag des Elektrons höchstens bestimmen? Aufgabe 7 Die Krümmungsradien einer Bikonvexlinse betragen r1 = 10 cm und r2 = −30 cm. Die Brechzahl des Linsenmaterials ist 1,15. (a) Welche Brennweite und welche Brechkraft besitzt die Linse in Luft? Verwenden Sie für Luft die Brechzahl 1. (b) Wirkt sie als Sammellinse oder als Zerstreuungslinse? Aufgabe 8 Die Punktladung q = 2 · 10−9 C, die sich im elektrischen Feld der Punktladung Q = −4 · 10−9 C im Abstand r befindet, besitzt die potentielle Energie −18 · 10−8 J . (a) Bestimmen Sie ihren Abstand r . (b) Berechnen Sie die Arbeit, die man verrichten muss, um diesen Abstand zu verdoppeln. Die elektrische Feldkonstante beträgt 0 = 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 . Aufgabe 9 Durch eine Spule mit 100 Windungen und der Induktivität 4 m H fließt ein konstanter elektrischer Strom der Stärke 2 A. Berechnen Sie den magnetischen Fluss des von diesem Strom erzeugten magnetischen Feldes durch die Spule. Aufgabe 10 Ein Kondensator werde über einen ohmschen Widerstand mit 20 k geladen. Zum Zeitpunkt t1 = 17,26 ms beträgt die Spannung am Widerstand das Dreifache der Spannung am Kondensator. Welche Kapazität besitzt der Kondensator?

11.3.2 Lösungen Aufgabe 1 Wird die Temperatur eines Leiters konstant gehalten, dann ist für viele Leiter die elektrische Stromstärke proportional zur angelegten Spannung, und der elektrische Widerstand ist dann unabhängig von der Stromstärke konstant. Für solche Leiter gilt das Ohm’sche Gesetz

11.3 Testserie 13

325

R=

U = konstant. I

(11.71)

Allgemein heißen Leiter, die dieses Gesetz erfüllen, ohmsche Leiter. Zu ihnen gehören die Metalle und die Elektrolyten, Ausnahmen bilden Gasentladungen in Bogenlampen oder Leuchtstoffröhren. Man beachte ferner, dass dieses Gesetz nur bei konstanter Temperatur gilt. In jedem Leiter entsteht durch den Stromfluss Wärme. Nur solange diese vernachlässigbar klein ist oder geeignet abgeführt wird, kann man eine Proportionalität zwischen U und I erwarten.  Aufgabe 2 (a) ist falsch, zwar ist jede transversale Welle, bei der die Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ist, polarisierbar, doch gibt es auch longitudinale Wellen, deren Schwingungsrichtung parallel zur Ausbreitungsrichtung verläuft und die nicht polarisierbar sind. (b) ist richtig. (c) ist falsch, denn eine Welle heißt linear polarisiert, wenn die Schwingungsrichtung stets senkrecht zur Ausbreitungsrichtung und zudem zeitlich konstant ist. (d) ist richtig.  Aufgabe 3 Eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung mit der Gesamtladung Q erzeugt außerhalb der Ladungsdichte ein elektrisches Feld, das dem einer Punktladung Q im Ursprung O entspricht. Deshalb ist der Vektor des elektrischen Feldes am Raumpunkt P entlang der direkten Verbindungslinie O P gerichtet, sodass Abb. (a) falsch ist. Ferner zeigt der Vektor  r ) des elektrischen Feldes am Raumpunkt P, zu dem der Ortsvektor r gehört, im Falle E( einer positiven Ladungsverteilung mit Q > 0 radial nach außen, weshalb Abb. (b) richtig ist. Im Falle von Abb. (c) ist der Vektor des elektrischen Feldes radial nach innen gerichtet, was für eine negative Ladungsverteilung gilt und womit auch diese Abbildung falsch ist.  Aufgabe 4 Tritt Licht von einem optisch dichteren Medium in ein optisch dünneres Medium über, so gibt es einen Einfallswinkel αT , für den der Brechungswinkel 90◦ ist, und der Grenzwinkel der Totalreflexion heißt. Überschreitet der Einfallswinkel α des Lichtstrahls diesen Grenzwinkel der Totalreflexion α > αT , so wird der Lichtstrahl an der Grenzfläche vollständig reflektiert, und man sagt, es findet Totalreflexion statt.  Aufgabe 5 Bei der Röntgenbeugung an Kristallen beobachtet man Reflexionen n-ter Ordnung unter Streuwinkeln θn , die der Bragg-Bedingung

326

11 Testserien Physik II

2 · d · sin θn = n · λ, n = 1, 2, 3, . . .

(11.72)

genügen. Für den Abstand d der parallelen Netzebenen erhalten wir dann mit der Wellenlänge λ = 135 pm: n·λ 2 · 135 pm d= = = 180 pm (11.73) 2 · sin θn 2 · sin 48,6 ◦  Aufgabe 6 (a) Die Ortsunschärfe x und die Impulsunschärfe p des Elektrons sind durch die Heisenberg’sche Unschärferelation miteinander verknüpft, d. h., es gilt:

x · p ≥ Hieraus folgt mit  =

p ≥

h 2π

 2

(11.74)

= 1,055 · 10−34 J s für die Impulsunschärfe:

 1,055 · 10−34 J s = = 1,758 · 10−32 kgm/s 2 · x 2 · 3 · 10−3 m

(11.75)

(b) Die minimale Impulsunschärfe beträgt also p = 1,758 · 10−32 kgm/s, d. h., genauer können wir den Impuls des Elektrons prinzipiell nicht bestimmen! Mit

p = me · v

(11.76)

und der Masse des Elektons m e = 9, 109 · 10−31 kg folgt, dass wir auch die Geschwindigkeit des Elektrons dann nicht genauer als

v =

1,758 · 10−32 kgm/s

p = = 0,019 m/s me 9,109 · 10−31 kg

bestimmen können.

(11.77) 

Aufgabe 7 (a) Für die Brechkraft der Linse gilt D=

  1 1 n2 − n1 , · − n1 r1 r2

(11.78)

worin n 2 = 1, 15 die Brechzahl des Linsenmaterials und n 1 = 1 die Brechzahl von Luft bezeichnen. Damit folgt:   1 1 1, 15 − 1 = 2 m −1 = 2 d pt (11.79) · − D= 1 0,1 m (− 0,3 m) Für die Brennweite erhalten wir damit:

11.3 Testserie 13

327

f =

1 1 = m = 50 cm D 2

(11.80)

(b) Da die Brennweite positiv ist, wirkt die Linse als Sammellinse.  Aufgabe 8 (a) Die potentielle Energie der Punktladung q = 2 · 10−9 C im elektrischen Feld der Punktladung Q = −4 · 10−9 C ist gegeben durch: E pot (r ) =

1 q · Q · 4 π 0 r

(11.81)

Mit E pot (r ) = −18 · 10−8 J folgt hieraus für den gegenseitigen Abstand der Punktladungen: r=

2 · 10−9 C · (−4) · 10−9 C = 0,4 m 4 π · 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 · (−18 · 10−8 J )

(11.82)

(b) Im doppelten Abstand r  = 2 r = 0,8 m beträgt die potentielle Energie: E pot (r  ) =

1 q · Q 1 q · Q 1 · = · = · E pot (r ) = −9 · 10−8 J  4 π 0 r 4 π 0 2r 2

(11.83)

Damit folgt für die Arbeit W , die man verrichten muss, um den Abstand der Punktladungen zu verdoppeln: W = E pot = E pot (r  ) − E pot (r ) = 9 · 10−8 J

(11.84) 

Aufgabe 9 Der Betrag des magnetischen Feldes im Inneren der Spule mit N = 100 Windungen, durch die ein konstanter Strom der Stärke I = 2 A fließt, ist gegeben durch: B = μ0 ·

N ·I l

(11.85)

Der magnetische Fluss dieses Feldes durch die Spule beträgt dann: φ = B · A = μ0 ·

N ·I·A l

(11.86)

328

11 Testserien Physik II

Ferner ist die Induktivität der Spule gegeben durch: L = μ0 ·

N2 ·A l

(11.87)

Hieraus erhalten wir die Beziehung A L . = l μ0 · N 2

(11.88)

Damit folgt nach (11.86) für den magnetischen Fluss: φ = μ0 · N · I ·

L L·I 4 · 10−3 H · 2 A = = = 8 · 10−5 W b μ0 · N 2 N 100

Für die Einheiten gilt H A =

Vs A A

= W b.

(11.89)



Aufgabe 10 Der Spannungsabfall am Widerstand zur Zeit t ist gegeben durch t

U R (t) = U0 · e− τ ,

(11.90)

worin U0 die Spannung der Gleichspannungsquelle und τ = R·C die Zeitkonstante bezeichnen. Für den Spannungsabfall am Kondensator gilt dagegen:   t UC (t) = U0 · 1 − e− τ (11.91) Zum Zeitpunkt t1 = 17,26 · 10−3 s beträgt der Spannungsabfall am Widerstand das Dreifache des Spannungsabfalls am Kondensator, d. h., zu diesem Zeitpunkt gilt: U R (t1 ) = 3 · UC (t1 )

(11.92)

 t1 t1  U0 · e − τ = 3 · U0 · 1 − e − τ .

(11.93)

 t1 t1  e− τ = 3 · 1 − e− τ ,

(11.94)

Damit erhalten wir die Gleichung

Hieraus folgt: d. h.

4 · e−

t1 τ

=3 3 e− = 4 t1 3 − = ln , τ 4 t1 τ

(11.95)

11.4 Testserie 14

329

woraus wir für die Zeitkonstante τ =−

t1 3 4

ln

=−

17,26 · 10−3 s = 0,06 s −0,2877

(11.96)

erhalten. Damit folgt für die Kapazität des Kondensators C= wobei für die Einheiten

11.4

s

=

As A

0,06 s τ = = 3 μF, R 20 · 103

=

C V

= F gilt.

(11.97)



Testserie 14

11.4.1 Aufgaben Aufgabe 1 Beschreiben Sie das Huygens-Fresnel’sche Prinzip. Worin liegt seine Bedeutung? Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen über elektrische Felder ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Eine Punktladung Q oder allgemeiner eine diskrete oder kontinuierliche Ladungsverteilung ist die Quelle eines elektrischen Feldes. (b) In einem elektrischen Feld E erfährt eine ruhende Punktladung q die Lorentz-Kraft. (c) Im Inneren eines Plattenkondensators ist das elektrische Feld homogen, besitzt also einen konstanten Betrag und eine konstante Richtung. (d) Zieht man die Platten eines Kondensators auseinander, welche eine konstante Ladung tragen, so nimmt die elektrische Feldstärke zwischen den Platten ab. Aufgabe 3 In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist das magnetische Dipolmoment μ  m einer ebenen Leiterschleife qualitativ korrekt dargestellt?

330

11 Testserien Physik II

Begründen Sie Ihre Aussage! Aufgabe 4 Was verstehen wir unter einem Nuklid, und welche Typen gibt es? Aufgabe 5 Elektromagnetische Strahlung dringt durch eine verdünnte Benzollösung (C6 H6 ). Dabei sinkt die Intensität der Strahlung beim Durchgang durch die Probe auf 1 % des anfänglichen Wertes. Ferner beträgt die Schichtdicke 2 mm und die Konzentration der Benzollösung 0,05 mol/l. Berechnen Sie den spezifischen Extinktionskoeffizienten der Probe. Aufgabe 6 Zwei harmonische Wellen besitzen beide eine Frequenz von 8 000 H z, einen Gangunterschied von 2 cm und bewegen sich mit einer Phasengeschwindigkeit von 320 m/s in die gleiche Richtung. Ihre Amplituden sind jedoch verschieden und betragen 4 cm bzw. 3 cm. (a) Welche Phasendifferenz besitzen die Wellen? (b) Berechnen Sie die Amplitude der durch Interferenz dieser Wellen entstehenden harmonischen Welle. Aufgabe 7 Ein Plattenkondensator besitzt zwei Platten mit den Flächen 100 cm 2 , deren Abstand 1 mm beträgt. Er wird mit einer Spannung von 1 000 V geladen. (a) Welche Energiedichte besitzt das elektrische Feld im Inneren des Kondensators? (b) Welche Energie ist im Kondensator gespeichert? Die elektrische Feldkonstante beträgt 0 = 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 .

11.4 Testserie 14

331

Aufgabe 8 Im Inneren einer Spule mit der Induktivität 70 μH , durch die ein Strom von 3 A fließt, beträgt die magnetische Feldstärke 2 mT . Welches Volumen besitzt die Spule? Die magnetische Feldkonstante beträgt μ0 = 1,256 6 · 10−6 V s/Am. Aufgabe 9 Ein Lichtstrahl fällt im Medium Luft unter einem Einfallswinkel α auf die Grenzfläche eines durchsichtigen Mediums mit der Brechzahl 1,5 und wird sowohl gebrochen als auch reflektiert. Berechnen Sie den Einfalls- und den Brechungswinkel, wenn der reflektierte Strahl und der gebrochene Strahl einen rechten Winkel einschließen. Verwenden Sie für Luft die Brechzahl 1. Aufgabe 10 (a) Beschreiben Sie den α-Zerfall des Isotops 222 86 Rn 136 . (b) Welcher Energiebetrag wird bei diesem Zerfall frei? 218 4 Die Kernmassen von Radon 222 86 Rn 136 , Polonium 84 Po134 und Helium 2 H e2 sind gegeben durch m K (Rn) = 221,970 399 91 u, m K (Po) = 217,962 891 97 u und m K (H e) = 4,001 506 08 u.

11.4.2 Lösungen Aufgabe 1 Das Huygens-Fresnel’sche Prinzip dient dazu, die Ausbreitung von Wellen in einem elastischen Medium, wie z. B. einer Wasseroberfläche, in einfacher Weise vorherzusagen. Die grundlegende Idee ist, Wellenfronten, die wir zur Beschreibung der Ausbreitung von Wellen benutzen, in einfacher Weise zu konstruieren. Es besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront Ausgangspunkt einer Elementarwelle, d. h. Kugelwelle, ist. Die äußere Einhüllende dieser Elementarwellen ergibt die Wellenfront zu einem späteren Zeitpunkt. Beobachtet wird stets nur die durch Interferenz aller Elementarwellen entstehende Welle. Insbesondere beschreibt das Huygens-Fresnel’sche Prinzip auch dann die Ausbreitung von Wellen, wenn diese sich aufgrund von Hindernissen nicht ungestört ausbreiten können.  Aufgabe 2 (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn in einem elektrischen Feld E erfährt eine ruhende Punktladung q die  Coulomb-Kraft FqC = q · E. (c) ist richtig. (d) ist falsch, denn die elektrische Feldstärke im Inneren eines Plattenkondensators hängt von der Ladung Q und dem Querschnitt A der Platten gemäß

332

11 Testserien Physik II

E=

Q 0 · A

(11.98)

ab und nicht vom Plattenabstand, sodass die elektrische Feldstärke konstant bleibt, wenn man den Plattenabstand verändert.  Aufgabe 3 Eine vom elektrischen Strom I durchflossene ebene Leiterschleife erzeugt das Feld eines magnetischen Dipols. Dieses Feld beschreiben wir durch das magnetische Dipolmoment μ  m , das senkrecht zur Leiterschleife gerichtet ist, weshalb Abb. (c) falsch ist. Ferner stimmt die Richtung des Vektors μ  m mit der Richtung der magnetischen Feldlinien im Inneren der Schleife überein, weshalb auch Abb. (a) falsch und nur Abb. (b) richtig ist.  Aufgabe 4 Chemische Elemente kommen in verschiedenen „Atomsorten“ vor, die die gleiche Protonenzahl Z besitzen, die sich jedoch in der Zahl der Neutronen N und damit in der Zahl der Nukleonen A unterscheiden, die durch A=Z+N

(11.99)

definiert ist. Die verschiedenen Atomsorten heißen Nuklide, und wir beschreiben sie durch Symbole der Form A (11.100) Z XN, worin X das Elementsymbol bezeichnet. Die verschiedenen Nuklide eines chemischen Elementes, für die also Z konstant ist, heißen Isotope. Ferner heißen Nuklide mit gleicher Nukleonenzahl A Isobare und Nuklide mit gleicher Neutronenzahl N Isotone.  Aufgabe 5 Das Lambert-Beer’sche Gesetz für verdünnte Lösungen lautet E =  · c · x,

(11.101)

worin x = 2 mm = 0,2 cm die Schichtdicke bezeichnet. Da die Intensität der Strahlung nach dem Durchgang durch die Lösung nur noch 1% des anfänglichen Wertes beträgt, folgt für die Extinktion:     I0 1 I0 = log = log E = log =2 (11.102) I 0,01 · I0 0,01 Mit der Konzentration c = 0,05 mol/l erhalten wir für den spezifischen Extinktionskoeffizienten der Probe:

11.4 Testserie 14

333

=

E 2 = = 200 l/mol cm c·x 0,05 mol/l · 0,2 cm

(11.103) 

Aufgabe 6 (a) Die Phasengeschwindigkeit beider Wellen ist gegeben durch c = ν · λ,

(11.104)

woraus wir für ihre Wellenlänge λ=

c 320 m/s = = 0,04 m = 4 cm ν 8 000 H z

(11.105)

erhalten. Für den Gangunterschied der Wellen gilt:

x =

λ · ϕ = 2 cm 2π

(11.106)

Hieraus folgt für ihre Phasendifferenz:

ϕ =

2 π · 2 cm 2 π · x = =π λ 4 cm

(11.107)

(b) Die Amplitude der durch Interferenz dieser Wellen entstehenden harmonischen Welle ist gegeben durch:  A=

A1 2 + A2 2 + 2 A1 A2 · cos ϕ

(11.108)

Mit den Amplituden A1 = 4 cm und A2 = 3 cm der beiden interferierenden Wellen und mit cosπ = −1 erhalten wir schließlich: A = (4 cm)2 + (3 cm)2 + 2 · 4 cm · 3 cm · cos π = 1 cm (11.109)  Aufgabe 7 (a) Die Energiedichte des elektrischen Feldes im Inneren des Kondenstors ist gegeben durch: 1 (11.110) el = · 0 · E 2 2 Aus U = E · d folgt für die elektrische Feldstärke im Inneren des Kondensators: E=

U d

Damit erhalten wir für die Energiedichte des elektrischen Feldes

(11.111)

334

11 Testserien Physik II

el =

1 U2 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 · 10 6 V 2 = 4,4 J /m 3 , · 0 · 2 = 2 d 2 · 10−6 m 2 2

2

2 2

2

(11.112)

2

wobei mit J = N m = AV s für die Einheiten CN mV4 = AN ms mV3 = JJm 3 = (b) Für die im Kondensator gespeicherte Energie erhalten wir schließlich:

J m3

E el = el · V = el · A · d = 4,4 J /m 3 · 10−2 m 2 · 10−3 m = 4,4 · 10−5 J

folgt.

(11.113) 

Aufgabe 8 Für die im magnetischen Feld der Spule gespeicherte Energie gelten die Beziehungen E magn =

1 1 · B2 · V = · L · I 2. 2 μ0 2

(11.114)

Hieraus folgt sofort für das Volumen der Spule: V =

1,256 6 · 10−6 V s/Am · 70 · 10−6 H · 9 A2 μ0 · L · I 2 = = 198 cm 3 2 B 4 · 10−6 T 2

Mit H = (N m)2 m N2

=

Vs A , m3.

T =

N Am

und N m = V s A gilt für die Einheiten

Aufgabe 9 Nach dem Reflexionsgesetz gilt:

Vs A H T2 m

=

(11.115)

(V s)2 A2 m N2

= 

α = α

Da der reflektierte und der gebrochene Strahl einen rechten Winkel einschließen,

(11.116)

11.4 Testserie 14

335

folgt

α  + β + 90◦ = α + β + 90◦ = 180◦ ,

(11.117)

α + β = 90 ◦

(11.118)

womit wir die Beziehung

erhalten. Ferner liefert das Snellius’sche Brechungsgesetz die Gleichung sin α n2 = 1,5, = sin β n1

(11.119)

worin n 2 = 1,5 und n 1 = 1 die Brechzahlen des Mediums und der Luft bezeichnen. Mit (11.118) gilt sin β = sin (90 ◦ − α) = cos α. Damit erhalten wir nach (11.119) sin α = 1,5 · sin β = 1,5 · cos α

(11.120)

sin α = tan α = 1,5, cos α

(11.121)

α = ar ctan 1,5 = 56,3◦

(11.122)

und damit woraus wir für den Einfallswinkel

erhalten. Für den Brechungswinkel folgt schließlich: β = 90 ◦ − α = 90 ◦ − 56,3 ◦ = 33,7 ◦

(11.123) 

Aufgabe 10 (a) Beim α-Zerfall des Radonisotops wird ein Heliumkern ausgesendet: 222 86 Rn 136

−→

218 84 Po134

+42 H e2 + E

(11.124)

Da sich die Zahl der Protonen und die Zahl der Neutronen um 2 verringern, wandelt sich das Radonatom in ein Poloniumatom mit der Ordnungszahl Z = 84 und der Nukleonenzahl A = 218 um. Der freiwerdende Energiebetrag E resultiert aus der Änderung der Bindungsenergie der Nukleonen. (b) Für die Massenänderung erhalten wir:

m = m K (Rn) − m K (Po) − m K (H e) = 221,970 400 u − 217,962 892 u − 4,001 506 u = 0,006 002 u

(11.125)

336

11 Testserien Physik II

Mit der Beziehung 1 u · c2 = 931,494 102 MeV erhalten wir für den freiwerdenden Energiebetrag:

E = m · c2 = 0,006 002 · 931,494 102 MeV = 5,591 MeV

(11.126) 

11.5

Testserie 15

11.5.1 Aufgaben Aufgabe 1 Wie lautet das Faraday’sche Induktionsgesetz? Beschreiben Sie seinen physikalischen Inhalt! Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen zur Interferenz von Wellen ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Nur Kugelwellen mit gleicher Frequenz und Wellenlänge sowie einer festen Phasendifferenz können interferieren. (b) Zur Ausbildung stationärer Interferenzmuster ist es lediglich erforderlich, dass die interferierenden Wellen monochromatisch sind. (c) Die Überlagerung zweier harmonischer Wellen mit gleicher Ausbreitungsrichtung und Amplitude, die sich jedoch geringfügig in der Frequenz und damit der Wellenlänge unterscheiden, ergibt eine Wellengruppe. (d) Aufgrund des Phasenunterschiedes ϕ besitzen zwei harmonische Wellen mit gleicher λ · ϕ, Frequenz, Wellenlänge und Ausbreitungsrichtung den Gangunterschied x = 2π der für das Ergebnis ihrer Überlagerung wichtig ist. Aufgabe 3 Ein Kondensator werde durch eine Gleichspannungsquelle über einen ohmschen Widerstand geladen. In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist der zeitliche Verlauf der Ladung Q(t) des Kondensators qualitativ korrekt dargestellt?

11.5 Testserie 15

337

Begründen Sie Ihre Aussage! Aufgabe 4 Welche Prozesse der Ladungstrennung gibt es? Beschreiben Sie diese. Aufgabe 5 Ein ebenes Strichgitter mit einer Gitterkonstanten von 10−4 cm erzeugt das Spektrum einer Gasentladung. Welche Wellenlänge hat das Licht einer blauen Linie, die in der 2. Ordnung einen Winkel von 53,14◦ gegenüber der Richtung der 0. Ordnung besitzt? Aufgabe 6 Zwei durch eine weiche Feder gekoppelte Fadenpendel mit jeweils einer Masse von m = 0,3 kg und einer Pendellänge von l = 0,4 m führen eine Schwebung durch. Die Federkonstante beträgt D = 0,6 N /m. Berechnen Sie die Schwebungsdauer. Aufgabe 7 Eine Spule hat ein Volumen von 375 cm 3 und besitzt eine Induktivität von 0,3 m H . Ferner fließt durch die Spule ein Strom der Stärke 2 A. (a) Welche Energie steckt im magnetischen Feld der Spule? (b) Berechnen Sie den Betrag des magnetischen Feldes im Inneren der Spule. Auf welchen Wert ändert sich dieser, wenn ein Eisenkern mit der Permeabilität 700 vollständig in die Spule geschoben wird? Die magnetische Feldkonstante beträgt μ0 = 1,256 6 · 10−6 V s/Am. Aufgabe 8 Tritt ein Elektron mit der Geschwindigkeit v senkrecht in ein homogenes magnetisches Feld B ein, so bewegt es sich gleichförmig auf einer Kreisbahn mit dem Radius 5 cm. Die magnetische Feldstärke beträgt 5,69 · 10−3 T . (a) Welche Kraft wirkt auf das Elektron, und wie ist sie gerichtet? (b) Berechnen Sie den Betrag dieser Kraft.

338

11 Testserien Physik II

Die spezifische Ladung des Elektrons beträgt e/m = 1,76 · 1011 C/kg. Aufgabe 9 Das Volumen zwischen den Platten eines Kondensators beträgt 226 cm 3 . Lädt man diesen Kondensator mit einer Spannung von 100 V , so beträgt die elektrische Feldstärke im Inneren des Kondensators 104 V /m. Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators. Die elektrische Feldkonstante beträgt 0 = 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 . Aufgabe 10 Eine Widerstandsschaltung enthält vier Spannungsquellen mit den Spannungen U1 = 40 V , U2 = 26 V , U3 = 46 V und U4 = 20 V sowie vier Widerstände R1 = 80 , R2 = 60 , R3 = 20 und R4 = 10 (siehe Abb. 11.4). Berechnen Sie die Stromstärken der durch die Widerstände fließenden elektrischen Ströme.

11.5.2 Lösungen Aufgabe 1 Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses φ durch eine Leiterschleife oder allgemeiner eine Spule, d. h. N parallele Schleifen, erzeugt an den Enden der Schleife bzw. der Spule die Induktionsspannung dφ Uind = −N · . (11.127) dt Diese Induktionsspannung und der bei geschlossener Schleife fließende Induktionsstrom sind so gerichtet, dass sie der Ursache ihrer Entstehung entgegenwirken, was wir Lenz’sche Regel nennen. 

Abb.11.4 Widerstandsschaltung

11.5 Testserie 15

339

Aufgabe 2 (a) ist falsch, denn unter Interferenz verstehen wir allgemein die ungestörte Überlagerung gleichartiger Wellen. So können nicht nur Kugelwellen, sondern auch ebene Wellen interferieren, und sie müssen auch nicht die gleiche Frequenz oder Phasendifferenz besitzen. (b) ist falsch, denn für die Ausbildung stationärer Interferenzmuster ist es erforderlich, dass die Wellen monochromatisch sind und zwischen ihnen eine feste Phasendifferenz besteht. (c) ist richtig. (d) ist richtig.  Aufgabe 3 Die Ladung des Kondensators ist als Funktion der Zeit gegeben durch t

Q(t) = Q ∞ · {1 − e− τ }, t ≥ 0,

(11.128)

worin τ die Zeitkonstante und Q ∞ die maximale Ladung des Kondensators bezeichnen. Wegen der e-Funktion ist die Ladung Q(t) zeitabhängig, weshalb Abb. (c) falsch ist. Ferner folgt aus (11.128) für die Anfangsladung mit e0 = 1 Q(0) = Q ∞ · {1 − e0 } = 0 C,

(11.129)

t

sodass auch Abb. (b) falsch ist. Schließlich gilt e− τ → 0 für t → ∞, weshalb die Ladung Q(t) mit wachsendem t exponentiell gegen Q ∞ konvergiert, weshalb nur Abb. (a) richtig ist.  Aufgabe 4 Wir sprechen von Ionisierung, wenn durch Energiezufuhr aus einem neutralen Atom oder Molekül ein oder mehrere Elektronen herausgelöst werden: A + E I −→ A+ + e− „Ionisierung“

(11.130)

Auf diese Weise zerlegen wir ein neutrales Atom bzw. Molekül (A) in ein positiv geladenes Ion bzw. Molekülion (A+ ) und ein freies Elektron. Diejenige Energie, die notwendig ist, um ein oder mehrere Elektronen herauszulösen, heißt Ionisierungsenergie E I . Eine weitere Form der Ladungstrennung ist die Dissoziation von Molekülen. Führt man einem elektrisch neutralen Molekül Energie zu, so kann es in zwei unterschiedlich geladene Ionen aufspalten, man sagt dissoziieren. Diejenige Energie, die hierzu notwendig ist, heißt Dissoziationsenergie E D : (11.131) (AB) + E D −→ A+ + B − „Dissoziation“ 

340

11 Testserien Physik II

Aufgabe 5 Bei der Beugung am Gitter finden wir das Intensitäsmaximum n-ter Ordnung unter einem Winkel βn zur Richtung des zentralen Intensitätsmaximums, der gegeben ist durch: sin βn =

n·λ , n = 1, 2, . . . g

(11.132)

Mit der Gitterkonstanten g = 10−4 cm und dem Winkel β2 = 53,14◦ , unter dem die n = 2te Ordnung beobachtet wird, erhalten wir für die gesuchte Wellenlänge des blauen Lichtes: λ=

10−4 cm · sin 53,14◦ g sin β2 = = 0,4 · 10−4 cm = 400 nm 2 2

(11.133) 

Aufgabe 6 Die erste Fundamentalfrequenz ν1 entspricht der Eigenfrequenz ν0 = Fadenpendel. Somit gilt:

g 9,81 m/s 2 ω1 1 1 = · = · = 0,79 s −1 ν1 = 2π 2π l 2π 0,4 m Mit ω0 2 =

g l

1 2π

·



g l

der beiden

(11.134)

erhalten wir für die zweite Fundamentalfrequenz:



g ω2 D 1 1 D 2 = · ω0 + 2 · = · +2· ν2 = 2π 2π m 2π l m 2 9,81 m/s 1 0,6 N /m = · +2· = 0,85 s −1 2π 0,4 m 0,3 kg

(11.135)

Damit folgt für die Schwebungsfrequenz: νs = ν2 − ν1 = 0,85 s −1 − 0,79 s −1 = 0,06 s −1

(11.136)

Die Schwebungsdauer ist schließlich gegeben durch: Ts =

1 1 = = 16,67 s νs 0,06 s −1

(11.137) 

Aufgabe 7 (a) Die magnetische Energie im Feld der Spule ist gegeben durch: E magn =

1 1 · L · I 2 = · 0,3 · 10−3 H · (2 A)2 = 0,6 m J 2 2

(11.138)

11.5 Testserie 15

341

(b) Ferner gilt für die magnetische Energie: E magn =

1 · B02 · V 2 μ0

Hieraus folgt für den Betrag des magnetischen Feldes ohne Materie:

2 · μ0 · E magn B0 = V Mit dem Volumen V = 3,75 · 10−4 m 3 der Spule erhalten wir: 2 · 1,256 6 · 10−6 V s/Am · 6 · 10−4 J = 2 mT B0 = 3,75 · 10−4 m 3 2

(11.139)

(11.140)

(11.141)

2

Vs J N 2 2 Für die Einheiten gilt Am = AA2 mV 2s mJ 2 = A2N,m m 2 ,m 2 = ( Am ) = T . Schieben wir nun m3 einen Eisenkern mit der Permeabilität μ = 700 vollständig in die Spule, so erhöht sich die magnetische Feldstärke gemäß:

B M = μ · B0 = 700 · 2 · 10−3 T = 1,4 T

(11.142) 

Aufgabe 8 (a) Tritt das Elektron mit der Geschwindigkeit v senkrecht in das homogene magnetische Feld B ein, so wirkt auf das Elektron an jedem Bahnpunkt die Lorentz-Kraft F L , die gegeben ist durch  (11.143) F L = qe · v × B = −e · v × B, worin e = 1,602 · 10−19 C die Elementarladung bezeichnet. Die Lorentz-Kraft steht damit senkrecht zu v und B und ist radial nach innen zum Kreismittelpunkt gerichtet. (b) Der Betrag der Lorentz-Kraft ist gegeben ist durch: F L =| qe | · v · B = e · v · B

(11.144)

Die Lorentz-Kraft auf das Elektron wirkt als Zentripetalkraft FZ , deren Betrag gegeben 2 ist durch FZ = mrv worin m die Masse des Elektrons bezeichnet. Damit gilt für die Beträge beider Kräfte: m v2 =e·v· B (11.145) r Hieraus folgt für den Betrag der Geschwindigkeit, mit der das Elektron auf seiner Kreisbahn umläuft: e ·r · B (11.146) v= m

342

11 Testserien Physik II

Mit der spezifischen Elektronladung e/m = 1,76 · 1011 C/kg erhalten wir schließlich: v = 1,76 · 1011 C/kg · 0,05 m · 5,69 · 10−3 T = 5 · 107 m/s

(11.147)

und damit für den Betrag der Lorentz-Kraft: F L = e·v · B = 1,60·10−19 C ·0,5·108 m/s ·5,69·10−3 T = 4,55·10−14 N (11.148) Für die Einheiten gilt

CmT s

=

As m N s Am

= N.



Aufgabe 9 Die Kapazität des Kondensators ist gegeben durch: C=

Q U

(11.149)

Ferner gilt für die elektrische Feldstärke im Inneren des Kondensators: E=

Q 0 · A

(11.150)

Hieraus folgt Q = 0 · A · E, womit wir für die Kapazität C=

0 · A · E U

(11.151)

erhalten. Mit dem Kondensatorvolumen V = A · d gilt ferner: C=

0 · E · A · d 0 · E · V = U ·d U ·d

Aus U = E · d folgt für den Plattenabstand d = Kondensators schließlich C=

U E,

(11.152)

womit wir für die Kapazität des

0 · E 2 · V U2

8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 · (104 V /m)2 · 226 · 10−6 m 3 = = 20 p F (100 V )2 erhalten. Mit N m = V C und F = C/V gilt für die Einheiten

C2 Nm

=

C2 VC

= F.

(11.153)



Aufgabe 10 Wir legen die Strom- und Maschenrichtungen, wie in Abb. 11.4 gezeigt, fest. Nach der Knotenregel gilt: (11.154) I1 + I2 = I3

11.6 Testserie 16

343

Die 1. Masche liefert U3 + U2 − U1 = R1 · I1 + R3 · I3 + R2 · I3 = R1 · I1 + (R2 + R3 ) · I3 ,

(11.155)

und aus der 2. Masche folgt: U3 − U4 = R3 · I3 + R2 · I3 + R4 · I2 = (R2 + R3 ) · I3 + R4 · I2

(11.156)

Mit I1 = I3 − I2 erhalten wir für (11.155): U3 + U2 − U1 = −R1 · I2 + (R1 + R2 + R3 ) · I3

(11.157)

Setzen wir die Werte ein, so erhalten wir die Gleichungen (der Einfachheit halber lassen wir die Einheiten weg und fügen sie erst zum Schluss wieder ein): 32 = −80 · I2 + 160 · I3 26 = 80 · I3 + 10 · I2

| : 8

(11.158)

Teilen wir die 1. Gleichung durch 8, so folgt: 4 = −10 · I2 + 20 · I3 26 = 80 · I3 + 10 · I2

(11.159)

Addieren wir nun beide Gleichungen, so erhalten wir 30 V = 100 · I3

(11.160)

I3 = 0,3 A.

(11.161)

und damit Für I2 folgt dann aus (11.159): I2 =

26 − 80 · I3 26 V − 80 · 0,3 A = = 0,2 A 10 10

(11.162)

Die Knotenregel (11.154) liefert schließlich: I1 = I3 − I2 = 0,3 A − 0,2 A = 0,1 A

(11.163) 

11.6

Testserie 16

11.6.1 Aufgaben Aufgabe 1 Wie lautet das Biot-Savart’sche Gesetz für einen geraden, stromdurchflossenen Leiter?

344

11 Testserien Physik II

Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen über elektrische Ladung ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Ladungserhaltung bedeutet, dass in einem abgeschlossenen System die Anzahl an positiven und negativen Ladungen stets gleich ist. (b) Die elektrische Ladung ist quantisiert, d. h., elektrische Ladung kommt stets nur als ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e vor. (c) Da nur in Metallen frei bewegliche Ladungsträger vorhanden sind, kann eine Stromleitung auch nur in Metallen erfolgen. (d) Elektrische Ladungen können zwar einzeln nicht erzeugt oder vernichtet werden, wir können sie aber trennen, was durch Energiezufuhr bei einem Atom oder Molekül erfolgen kann. Aufgabe 3 In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist die Lorentz-Kraft auf eine negative Punktladung q < 0, die sich mit der Geschwindigkeit v in einem homogenen magnetischen Feld B bewegt, qualitativ richtig dargestellt?

Begründen Sie Ihre Aussage! Aufgabe 4 Was verstehen wir unter der Beugung einer Welle? Wie kommt sie zustande? Aufgabe 5 Berechnen Sie die Frequenz und den Impuls eines Photons der Röntgenstrahlung, das die Energie 1,988 · 10−15 J besitzt. Das Planck’sche Wirkungsquantum beträgt h = 6,626 · 10−34 J s (siehe Anhang B). Aufgabe 6 −6 s −1 . Eine Probe Das Radonisotop 222 86 Rn 136 besitzt eine Zerfallskonstante von 2,098 · 10 wird in ein strahlensicheres Gefäß eingeschlossen und besitzt nach einer Zeit von 0,904 · 106 s = 10,5 T g noch eine Aktivität von 2,22 · 109 Bq.

11.6 Testserie 16

345

(a) Berechnen Sie die Anfangsaktivität der Probe. (b) Wie viele Radonnuklide waren zu Beginn und wie viele sind noch nach 10,5 Tagen vorhanden? Aufgabe 7 Ein Plattenkondensator, dessen Platten eine Fläche von 10 cm 2 besitzen, ist vollständig mit einem Dielektrikum gefüllt, das die Dielektrizitätszahl  = 3 besitzt. Wird der Kondensator mit einer Spannungsquelle verbunden, so trägt er schließlich die Ladung Q = 2,66·10−8 C. (a) Berechnen Sie die elektrische Feldstärke im Inneren des Kondensators. (b) Wie ändert sich diese, wenn nach dem Laden des Kondensators die Spannungsquelle entfernt und dann das Dielektrikum aus dem Kondensator gezogen wird? Die elektrische Feldkonstante beträgt 0 = 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 . Aufgabe 8 Ein Lichtstrahl, der im Medium Luft auf die Grenzfläche eines durchsichtigen Mediums trifft, wird reflektiert und gebrochen. Der Brechungswinkel beträgt 12◦ und der Winkel zwischen einfallendem und reflektiertem Strahl 60◦ . Welche Brechzahl besitzt das durchsichtige Medium? Verwenden Sie für die Brechzahl von Luft den Wert 1. Aufgabe 9 Gegeben sind zwei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz und gleicher Schwingungsrichtung, die sich jedoch in der Amplitude und im Phasenwinkel unterscheiden. Ihre Schwingungsgrößen sind gegeben durch x1 (t) = A1 · sin (ω t + ϕ1 ) x2 (t) = A2 · sin (ω t + ϕ2 )

(11.164)

mit den Amplituden A1 = 4 cm und A2 = 3 cm sowie den Phasenwinkeln ϕ1 = ϕ2 = π .

π 2

und

(a) Was ergibt die Überlagerung dieser beiden Schwingungen? (b) Berechnen Sie die Amplitude und den Phasenwinkel der Schwingungsgröße der sich ergebenden Schwingung. Aufgabe 10 Für eine in positiver x-Richung laufende harmonische Welle beträgt die Phasengeschwindigkeit 2 000 m/s. Die harmonischen Schwingungen der Größe u(x, t) an zwei Raumpunkten, deren Abstand vom punktförmigen Oszillator x1 = 10 m bzw. x2 = 15 m beträgt, haben einen Phasenunterschied von π/2. Berechnen Sie die Frequenz der Welle.

346

11 Testserien Physik II

11.6.2 Lösungen Aufgabe 1 Das Biot-Savart’sche Gesetz für einen geraden, vom Strom I durchflossenen Leiter  r ) am Raumpunkt P, den wir durch den Ortsvektor beschreibt das magnetische Feld B( r beschreiben, und der den Abstand r vom Leiter besitzt (siehe Abb. 11.5). Sein Betrag ist gegeben durch: μ0 I B(r ) = · (11.165) 2π r Seine Richtung ist senkrecht zur Stromrichtung und tangential an einen Kreis um den Leiter mit dem Radius r =| r |.  Aufgabe 2 (a) ist falsch, denn Elementarteilchen können erzeugt und vernichtet werden, und damit werden auch Ladungen erzeugt und vernichtet; jedoch geschieht das nur in der Weise, dass die Summe aus allen positiven und negativen Ladungen konstant ist und nicht unbedingt ihre Anzahl. (b) ist richtig. (c) ist falsch, denn auch in Flüssigkeiten treten Ionen und in Gasen Ionen und Elektronen als frei bewegliche Ladungsträger auf, sodass außer in Metallen auch in Flüssigkeiten und Gasen eine Stromleitung erfolgen kann. (d) ist richtig. 

Abb. 11.5 Zum Biot-Savart’schen Gesetz

11.6 Testserie 16

347

Aufgabe 3 Die Lorentz-Kraft auf eine Ladung q, die sich in einem homogenen magnetischen Feld B mit der Geschwindigkeit v bewegt, ist gegeben durch F L = q · v × B

(11.166)

 In Abb. (b) ist die Lorentz-Kraft parallel zum magneund steht damit senkrecht zu v und B. tischen Feld gerichtet, weshalb diese Abbildung falsch ist. Für eine negative Punktladung q  weshalb Abb. (a) richtig ist die Lorentz-Kraft entgegengesetzt gerichtet zum Vektor v × B, ist. Dagegen ist in Abb. (c) die Lorentz-Kraft auf eine positive Ladung gezeigt, weshalb auch diese Abbildung falsch ist.  Aufgabe 4 Wir sprechen von der Beugung einer Welle, wenn in einem unveränderlichen Medium eine Abweichung von der geradlinigen Ausbreitungsrichtung auftritt. Diese Änderung der Ausbreitungsrichtung kommt zustande durch die Interferenz von unendlich vielen Elementarwellen, weshalb es sich bei der Beugung um ein Interferenzphänomen handelt.  Aufgabe 5 Die Energie des Photons ist gegeben durch: E = h · ν = 1,988 · 10−15 J

(11.167)

Hieraus folgt sofort für seine Frequenz: ν=

E 1,988 · 10−15 J = = 3 · 1018 H z h 6,626 · 10−34 J s

(11.168)

Ferner erhalten wir den Impuls des Photons mit der Lichtgeschwindigkeit c = ν · λ = 2,998 · 108 m/s (siehe Anhang B) gemäß: p=

h h·ν E 1,988 · 10−15 J = = = = 6,6 · 10−24 kg m/s λ λ·ν c 2,998 · 108 m/s

(11.169) 

Aufgabe 6 (a) Für die Aktivität zur Zeit t gilt A(t) = A0 · e−λ·t ,

(11.170)

worin λ = 2,098 · 10−6 s −1 die Zerfallskonstante und A0 = λ · N0 die Anfangsaktivität bezeichnen. Nach t1 = 0,904 · 106 s = 10,5 T g beträgt die Aktivität noch A(t1 ) = 2,22 · 109 Bq. Nach (11.170) erhalten wir dann für die Anfangsaktivität:

348

11 Testserien Physik II

A0 = A(t1 )·eλ·t1 = 2,22·109 Bq ·e2,098·10

−6 s −1 ·0,904·106 s

= 1,479·1010 Bq (11.171)

(b) Für die Zahl der zu Beginn vorhandenen radioaktiven Nuklide folgt mit der Anfangsaktivität: A0 1,479 · 1010 Bq = 7 · 1015 (11.172) N0 = = λ 2,098 · 10−6 s −1 Die Zahl N (t) der zur Zeit t vorhandenen radioaktiven Nuklide in einer Substanzprobe ist durch das Zerfallsgesetz gegeben: N (t) = N0 · e−λ·t

(11.173)

Damit ist die Zahl der zur Zeit t1 = 0,904 · 106 s = 10,5 T g noch vorhandenen radioaktiven Nuklide gegeben durch: N (t1 ) = N0 · e−λ·t1 = 7 · 1015 · e− 2,098·10

−6 s −1 ·0,904·106 s

= 1 · 1015

(11.174) 

Aufgabe 7 (a) Die elektrische Feldstärke im Inneren des mit dem Dielektrikum gefüllten Kondensators ist gegeben durch: Q E= (11.175)  0 A Mit der Dielektrizitätszahl  = 3 sowie der Ladung Q = 2,66 · 10−8 C und der Fläche A = 10−3 m 2 der Kondensatorplatten erhalten wir E=

2,66 · 10−8 C = 106 V /m, 3 · 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 · 10−3 m 2

(11.176)

wobei für die Einheit aus J = N m = V C die Beziehung N /C = V /m folgt. (b) Wenn schließlich die Spannungsquelle entfernt wird, so bleibt die Ladung auf den Kondensatorplatten konstant. Wenn man dann das Dielektrikum aus dem Kondensator zieht, so erhöht sich die elektrische Feldstärke im Inneren des Kondensators ohne Dielektrikum gemäß: (11.177) E 0 =  · E = 3 · 106 V /m  Aufgabe 8 Nach dem Reflexionsgesetz gilt für den Reflexionswinkel: α = α

(11.178)

11.6 Testserie 16

349

Da der Winkel zwischen dem einfallenden und dem reflektierten Strahl, die beide gegen die Normale zur Grenzfläche gemessen werden, 60◦ beträgt, folgt α + α  = 2 · α = 60◦ ,

(11.179)

womit wir für den Einfallswinkel

60◦ (11.180) = 30◦ 2 erhalten. Ferner gilt nach dem Snellius’schen Brechungsgesetz für den Einfallswinkel und den Brechungswinkel sin α n2 (11.181) = , sin β n1 α=

worin n 1 = 1 die Brechzahl von Luft bezeichnet. Hieraus folgt für die Brechzahl des durchsichtigen Mediums: n2 = n1 ·

sin α sin 30 ◦ = 2,4 =1· sin β sin 12 ◦

(11.182) 

Aufgabe 9 (a) Das Ergebnis der Überlagerung beider Schwingungen, d. h. die Summe beider Schwingungsgrößen, ist wieder eine harmonische Schwingung mit derselben Frequenz, deren Amplitude und Phase jedoch von den Amplituden und Phasen beider Einzelschwingungen abhängen. (b) Die Schwingungsgröße der sich ergebenden harmonischen Schwingung ist gegeben durch: (11.183) x(t) = x1 (t) + x2 (t) = A · sin(ω t + ϕ) Für die Amplitude erhalten wir mit cos(ϕ2 − ϕ1 ) = cos(π − π2 ) = cos  A=

π 2

A1 2 + A2 2 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 )

= 0:

(11.184)

= (4 cm)2 + (3 cm)2 = 5 cm Der Phasenwinkel ist schließlich gegeben durch: ϕ = ar ctan

A1 sin ϕ1 + A1 cos ϕ1 +

A2 sin ϕ2 A2 cos ϕ2



= ar ctan

4 cm sin 4 cm cos

 = ar ctan

4 − 3

π + 3 cm sin π 2 π + 3 cm cos π 2





(11.185)

= − 0,93



350

11 Testserien Physik II

Aufgabe 10 Die harmonische Welle beschreiben wir durch:   2π u(x, t) = u 0 · sin 2 π ν · t − ·x +ϕ λ

(11.186)

Die Wellenlänge ist gegeben durch

c , (11.187) ν worin c = 2 000 m/s die Phasengeschwindigkeit der harmonischen Welle bezeichnet. An den Raumpunkten x1 = 10 m und x2 = 15 m führt die Größe u(x, t) Schwingungen durch, die wir wie folgt beschreiben können (siehe Abb. 11.6): λ=

u(x1 , t) = u 0 · sin(ω · t − k · x1 + ϕ) = u 0 · sin(ω · t + α1 ) u(x2 , t) = u 0 · sin(ω · t − k · x2 + ϕ) = u 0 · sin(ω · t + α2 ), worin

α1 = −k · x1 + ϕ α2 = −k · x2 + ϕ

(11.188)

(11.189)

die Phasenwinkel der beiden Schwingungen bezeichnen. Die Phasendifferenz zwischen den Schwingungen an den Orten x1 und x2 ist mit k = 2λπ = 2 πc ν gegeben durch:

α = α1 − α2 = (−k x1 + ϕ) − (−k x2 + ϕ) = k · (x2 − x1 ) =

2π ν π · (x2 − x1 ) = c 2

(11.190)

Hieraus erhalten wir für die Frequenz der Welle: ν=

2 000 m/s · π c · α = = 100 H z 2 π · (x2 − x1 ) 2 · 2π · 5m

(11.191) 

Abb. 11.6 Schwingungen der Welle an verschiedenen Orten

11.7 Testserie 17

11.7

351

Testserie 17

11.7.1 Aufgaben Aufgabe 1 Beschreiben Sie die Gesetze der geometrischen Optik. Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen über die elektromagnetische Kraft ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen zwei Ladungsträgern äußert sich in einer elektromagnetischen Kraft F em zwischen ihnen, die wie die Gravitationskraft stets attraktiv ist. (b) Die elektromagnetische Kraft zwischen zwei Ladungsträgern ist gegeben durch die vektorielle Summe von Coulomb-Kraft und Lorentz-Kraft. (c) Die Coulomb-Kraft F C hängt nur vom Relativabstand zwischen den Ladungsträgern ab und nicht direkt von ihrem Bewegungszustand. (d) Die Lorentz-Kraft F L hängt von der Geschwindigkeit der Ladungsträger ab und ist betragsmäßig maximal, wenn die Ladungsträger in Ruhe sind. Aufgabe 3 In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist das elektrische Potential φ einer positiven Punktladung Q > 0 C als Funktion des Abstandes r von der Punktladung qualitativ richtig dargestellt?

Begründen Sie Ihre Aussage! Aufgabe 4 Beschreiben Sie den Mechanismus des Ladungstransportes, d. h. der Stromleitung, in einem metallischen Leiter.

352

11 Testserien Physik II

Aufgabe 5 Eine eindimensionale harmonische Welle werde beschrieben durch:   8π 4π π u(x, t) = 2 cm · sin ·t + ·x+ s cm 2

(11.192)

(a) In welche Richtung läuft die Welle, und welche Phasengeschwindigkeit besitzt sie? (b) Berechnen Sie die Frequenz und die Wellenlänge der Welle. Aufgabe 6 Das Elektron des Wasserstoffatoms besitze die Quantenzahlen n = 3 und l = 2. (a) In welchem Zustand befindet sich dann das H -Atom? (b) Welchen Gesamtspin besitzt die Elektronenhülle des H -Atoms, und welche Multiplizität besitzen die Terme des Wasserstoffatoms? (c) Bestimmen Sie den Gesamtdrehimpuls der Elektronenhülle. In welche Zustände spaltet der 3D-Zustand auf? Aufgabe 7 Eine Spule mit 500 Windungen besitzt eine Länge von 18 cm. Die Energiedichte des magnetischen Feldes im Inneren der Spule beträgt 4,9 J /m 3 . Berechnen Sie die Stromstärke des durch die Spule fließenden Stromes. Die magnetische Feldkonstante beträgt μ0 = 1,256 6 · 10−6 V s/Am. Aufgabe 8 Ein Massenpunkt führt an einem Federpendel eine gedämpfte harmonische Schwingung durch mit einer Schwingungsdauer von 0,8 s. Zum Anfangszeitpunkt t = 0 s besitzt er eine Amplitude von 10 cm und eine Schwingungsenergie von 0,08 J . Diese Energie nimmt infolge von Reibungseffekten in der Zeit 9,5 s auf die Hälfte ab. (a) Berechnen Sie die Amplitude und die Schwingungsenergie nach 10 Schwingungen. (b) Welche Energie hat der Massenpunkt in dieser Zeit an die Umgebung abgegeben? Aufgabe 9 Zwei Punktladungen q1 = 8,4 · 10−9 C und q2 = −4,2 · 10−9 C besitzen einen Abstand von 10 cm. (a) In welche Richtung zeigt der Vektor des elektrischen Feldes in der Mitte der direkten Verbindungslinie zwischen beiden Ladungen? (b) Berechnen Sie den Betrag des elektrischen Feldes in diesem Punkt. Die elektrische Feldkonstante beträgt 0 = 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 .

11.7 Testserie 17

353

Aufgabe 10 Ein Kondensator wird durch eine Gleichspannungsquelle mit der Spannung U0 über einen ohmschen Widerstand geladen. Zum Zeitpunkt t1 = 40,5 ms beträgt die Spannung am Widerstand zwei Drittel der Anfangsspannung U0 . Ferner beträgt die maximale Ladung, die der Kondensator schließlich trägt, 0,3 C. (a) Welche Zeitkonstante τ besitzt die RC-Schaltung? (b) Berechnen Sie die Anfangsstromstärke durch den Widerstand.

11.7.2 Lösungen Aufgabe 1 (a) Lichtstrahlen breiten sich in einem homogenen Medium geradlinig aus. (b) Wird ein Lichtstrahl an einer ebenen Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen Medien reflektiert, so ist der Reflexionswinkel α  gleich dem Einfallswinkel α (siehe Abb. 11.7), die beide gegen die Normale zur Grenzfläche gemessen werden. Einfallender Strahl, reflektierter Strahl und die Normale liegen in einer Ebene. (c) Wird ein Lichtstrahl von einem Medium 1 mit der Brechzahl n 1 in ein Medium 2 mit der Brechzahl n 2 gebrochen, dann gilt für den Zusammenhang zwischen dem Einfallswinkel α und dem Brechungswinkel β: n2 c1 sin α = = sin β c2 n1

Abb. 11.7 Zum Reflexions- und Brechungsgesetz

(11.193)

354

11 Testserien Physik II

Verläuft der Lichtstrahl vom optisch dünneren ins optisch dichtere Medium, dann wird er zum Einfallslot hin gebrochen (siehe Abb. 11.7).  Aufgabe 2 (a) ist falsch, denn die elektromagnetische Kraft zwischen zwei Ladungsträgern kann, im Gegensatz zur Gravitationskraft, sowohl attraktiv als auch repulsiv sein. (b) ist richtig. (c) ist richtig. (d) ist falsch, zwar hängt die Lorentz-Kraft von der Geschwindigkeit der Ladungsträger ab, doch verschwindet sie, wenn sich die Ladungsträger in Ruhe befinden.  Aufgabe 3 Das elektrische Potential φ einer positiven Punktladung Q > 0 C im Abstand r von der Punktladung ist gegeben durch Q 1 · , φ(r ) = (11.194) 4 π 0 r sodass der Graph im Wesentlichen den positiven Ast einer Hyperbel darstellt. Für r → ∞ strebt also das Potential φ(r ) → 0 gegen null, weshalb Abb. (c) falsch ist. Für r → 0 dagegen wächst das Potential stetig an φ(r ) → ∞, sodass Abb. (a) richtig ist. In Abb. (b) gilt schließlich φ(0) = 0 V , weshalb auch diese Abbildung falsch ist.  Aufgabe 4 Metalle sind Festkörper, in denen Elektronen „ihr“ Atom verlassen und sich praktisch frei im gesamten Festkörper bewegen können. Diese Elektronen heißen Leitungselektronen. Strom bedeutet also hier Fluss von Elektronen durch das Metall.  Aufgabe 5 (a) Die harmonische Welle läuft in negative x-Richtung, deren allgemeine Form gegeben ist durch: (11.195) u(x, t) = u 0 · sin (ω · t + k · x + ϕ) Vergleichen wir (11.192) mit (11.195), so finden wir die Kreisfrequnz ω = 8 π/s sowie die Wellenzahl k = 4 π/cm. Damit folgt für die Phasengeschwindigkeit der harmonischen Welle: 8 π/s ω = 2 cm/s (11.196) c= = k 4 π/cm

11.7 Testserie 17

355

(b) Ferner gilt für die Kreisfrequenz ω = 2 π · ν = 8 π/s,

(11.197)

woraus wir für die Frequenz der Welle ν=

8 π/s = 4 Hz 2π

(11.198)

erhalten. Analog folgt aus

2π = 4 π/cm λ für die Wellenlänge der harmonischen Welle: k=

λ=

2π = 0,5 cm 4 π/cm

(11.199)

(11.200) 

Aufgabe 6 (a) Besitzt das Elektron des H -Atoms die Quantenzahlen n = 3 und l = 2, so nennen wir es ein (3d)-Elektron, und das Wasserstoffatom befindet sich dann im 3D-Zustand. (b) Ferner besitzt das Elektron den Spin s = 1/2 und damit die Elektronenhülle des H Atoms den Gesamtspin S = s = 1/2. Die Multiplizität der Terme des Wasserstoffatoms beträgt also 2 · S + 1 = 2. (c) Da sich das H -Atom im 3D-Zustand befindet, folgt für die Gesamtbahndrehimpulsquantenzahl L = l = 2. Der Gesamtbahndrehimpuls und der Gesamtspin addieren sich dann zum Gesamtdrehimpuls J = L + S der Elektronenhülle. Sein Betrag ist √ gegeben durch | J |= J (J + 1) , wobei die Gesamtdrehimpulsquantenzahl gegeben ist durch J = L + S = 2 + 1/2 = 5/2 und J = |L − S| = 2 − 1/2 = 3/2. √ Der Gesamtdrehimpuls kann also die Beträge | J |= 5/2 (5/2 + 1)  = 2,96  und √ | J |= 3/2 (3/2 + 1)  = 1,94  annehmen. Damit spaltet der 3D−Zustand in die beiden Atomzustände 3 2 D5/2 und 3 2 D3/2 auf.  Aufgabe 7 Der Betrag des magnetischen Feldes im Inneren der Spule, durch die ein elektrischer Strom mit der Stromstärke I fließt, ist gegeben durch: B = μ0 ·

N ·I l

(11.201)

Die Energiedichte dieses Feldes im Inneren der Spule beträgt: magn =

1 · B2 2 μ0

(11.202)

356

11 Testserien Physik II

Hieraus folgt: B=

2 · μ0 · magn

(11.203)

Aus (11.201) und (11.203) erhalten wir schließlich für die gesuchte Stromstärke: 2 · magn 0,18 m 2 · 4,9 J /m 3 l l·B = = · · = 1 A (11.204) I = μ0 · N N μ0 500 1,256 6 · 10−6 V s/Am  Aufgabe 8 (a) Die Energie des Massenpunktes nimmt infolge von Reibungseffekten in der Zeit 9, 5 s auf die Hälfte ab. Damit folgt für die Halbwertszeit der Energie t1/2 =

ln2 = 9,5 s, 2δ

(11.205)

woraus wir für die Dämpfungskonstante der gedämpften harmonischen Schwingung δ=

ln2 ln2 = = 0,036 s −1 2 · t1/2 19 s

(11.206)

erhalten. Die Schwingungsdauer beträgt T = 0,8 s. Mit der Anfangsamplitude x0 = 10 cm folgt dann für die Amplitude nach 10 Schwingungen, d. h. zur Zeit t1 = 8 s: x0 (t1 ) = x0 · e−δ·t1 = 10 cm · e− 0,036 s

−1 · 8 s

= 7,5 cm

(11.207)

Mit der Anfangsenergie E 0 = 0,08 J erhalten wir ferner für die Energie des Massenpunktes zur dieser Zeit: E(t1 ) = E 0 · e−2 δ t1 = 0,08 J · e−2 · 0,036 s

−1 · 8 s

= 0,04 J

(11.208)

E = E 0 − E(t1 ) = 0,08 J − 0,04 J = 0,04 J

(11.209)

Der Energieverlust nach 10 Schwingungen beträgt also:

 Aufgabe 9 (a) Das elektrische Feld E im Punkt P in der Mitte zwischen beiden Punktladungen ist nach dem Superpositionsprinzip gegeben durch die vektorielle Summe der elektrischen Felder beider Ladungen: (11.210) E = E1 + E2 Da q1 = 8,4 · 10−9 C positiv ist, zeigt der Vektor E1 radial von q1 fort. Die Ladung q2 = −4,2 · 10−9 C ist dagegen negativ, weshalb der Vektor E2 in Richtung q2 zeigt.

11.7 Testserie 17

357

Weil also E1 und E2 die gleiche Richtung besitzen, zeigt der Vektor E entlang der direkten Verbindungslinie von q1 nach q2 . (b) Ferner addieren sich in diesem Spezialfall die Beträge der Vektoren E1 und E2 zum Betrag des Vektors des elektrischen Feldes im Punkt P: E =| E |=| E1 + E2 |= E 1 + E 2

(11.211)

Mit r1 = r2 = 5 · 10−2 m gilt für beide Beträge: E1 =

1 q1 · 4π 0 r12

8,4 · 10−9 C = = 3,0 · 104 V /m −12 4π · 8,854 · 10 C 2 /N m 2 · (5 · 10−2 m)2

(11.212)

und E2 =

1 | q2 | · 2 4π 0 r2

4, 2 · 10−9 C = = 1,5 · 104 V /m 4π · 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 · (5 · 10−2 m)2

(11.213)

Insgesamt folgt für den Betrag des elektrischen Feldes in der Mitte zwischen beiden Punktladungen: E = 3,0 · 104 V /m + 1,5 · 104 V /m = 4,5 · 104 V /m

(11.214) 

Aufgabe 10 (a) Der Spannungsabfall am Widerstand ist zu einem beliebigen Zeitpunkt t gegeben durch t

U R (t) = U0 · e− τ ,

(11.215)

worin τ die Zeitkonstante bezeichnet. Zum Zeitpunkt t1 = 40,5 ms beträgt die Spannung am Widerstand noch zwei Drittel des Anfangwertes U0 , d. h., zu diesem Zeitpunkt gilt: t1 2 U R (t1 ) = U0 · e− τ = · U0 (11.216) 3

358

11 Testserien Physik II

Hieraus folgt e−

2 3

t1 τ

=



t1 2 = ln , τ 3

d. h.

|

(11.217)

ln,

(11.218)

woraus wir für die Zeitkonstante τ =−

t1 ln

2 3

=−

40,5 · 10−3 s ln

2 3

= 0,1 s

(11.219)

erhalten. (b) Für die maximale Ladung des Kondensators gilt: Q ∞ = C · U0 = 0,3 C

(11.220)

Mit der Zeitkonstanten τ = C · R und mit U0 = R · I0 erhalten wir die Beziehung Q ∞ = C · U0 = C R ·

U0 = τ · I0 , R

(11.221)

woraus wir für die Anfangsstromstärke I0 =

Q∞ 0,3 C = =3A τ 0,1 s

erhalten.

11.8

(11.222) 

Testserie 18

11.8.1 Aufgaben Aufgabe 1 Beschreiben Sie die Kirchhoff’schen Regeln sowie ihren physikalischen Inhalt. Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen über Materie im magnetischen Feld ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! (a) Bringt man eine Substanz in ein magnetisches Feld, so ist die Reaktion der betrachteten Substanz eine Magnetisierung, d. h., die Substanz wird als Ganzes zu einem magnetischen Dipol.

11.8 Testserie 18

359

(b) Die Reaktion einer Substanz auf ein äußeres magnetisches Feld beschreiben wir durch die Permeabilität μ, die als das Verhältnis des magnetischen Feldes B0 ohne Materie zum magnetischen Feld B M mit Materie definiert ist. (c) Eine Substanz heißt diamagnetisch, wenn μ etwas kleiner als 1 ist und vom äußeren magnetischen Feld abhängt. (d) Paramagnetismus tritt auf, wenn die Atome einer Substanz ein permanentes Dipolmoment besitzen. Aufgabe 3 In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist der Bahndrehimpuls eines 2 p-Elektrons in einem Atom qualitativ richtig dargestellt?

Begründen Sie Ihre Antwort! Aufgabe 4 Was verstehen wir unter einer Schwingung? Aufgabe 5 Zwei punktförmige Ladungsträger mit den Ladungen q = 2·10−9 C und Q = −4,1·10−9 C besitzen einen Abstand von 40 cm voneinander. (a) Berechnen Sie den Betrag der Coulomb-Kraft, die die Ladung Q auf q ausübt. In welche Richtung zeigt sie? (b) In welchem Abstand beträgt der Betrag der Coulomb-Kraft nur noch ein Viertel dieses Wertes? Die elektrische Feldkonstante beträgt 0 = 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 .

360

11 Testserien Physik II

Aufgabe 6 Ein relativ zu einem Medium ruhender Oszillator erzeugt eine Welle mit einer Frequenz von 700 H z und der Wellenlänge 2 m. (a) Welche Frequenz misst ein Beobachter, der sich mit der Geschwindigkeit 14 m/s auf den Oszillator zubewegt? (b) Welche Frequenz misst der Beobachter, wenn er sich mit der gleichen Geschwindigkeit vom Oszillator fortbewegt? (c) Welche Frequenzänderung stellt der Beobachter beim Vorbeifahren fest? Aufgabe 7 Für eine Bikonkavlinse mit den Krümmungsradien r1 = −20 cm und r2 = 40 cm beträgt die Brennweite −0,4 m. Die Brechzahl des Linsenmaterials ist 2. (a) Berechnen Sie die Brechkraft der Linse. (b) Welche Brechzahl besitzt das umgebende Medium? Aufgabe 8 Eine Widerstandsschaltung enthalte zwei ohmsche Widerstände R1 = 60 und R2 = 40 sowie eine Gleichspannungsquelle mit 120 V . Berechnen Sie die Stromstärke des durch die Schaltung fließenden elektrischen Stromes, wenn die Widerstände (a) hintereinander, (b) parallel geschaltet sind. Aufgabe 9 Das Volumen zwischen den Platten eines Kondensators sei 226 cm 3 . Lädt man diesen Kondensator mit einer Spannung von 100 V , so beträgt die elektrische Feldstärke im Inneren des Kondensators 104 V /m. Welche Kapazität besitzt der Kondensator? Die elektrische Feldkonstante beträgt 0 = 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 . Aufgabe 10 Ein Photon der ultravioletten Strahlung wird vom Valenzelektron eines Lithiumatoms absorbiert und dadurch herausgelöst. Außerhalb des Lithiumatoms besitzt es eine Geschwindigkeit von 3 · 106 m/s. Die Ionisierungsenergie von Lithium beträgt 5,391 eV . Berechnen Sie die Energie, die Frequenz und die Wellenlänge des Photons.

11.8 Testserie 18

361

11.8.2 Lösungen Aufgabe 1 (a) Die Kirchhoff’schen Regeln beschreiben, wie sich der elektrische Strom in einer elektrischen Schaltung auf die Leiter und die Bauteile verteilt. Die Knotenregel besagt, dass in einem Knotenpunkt einer elektrischen Schaltung die Summe aller zufließenden Ströme gleich der Summe aller abfließenden Ströme ist. Nach der Maschenregel hingegen ist in einem geschlossenen Stromkreis, d. h. einer Masche, die Summe aller Spannungen der enthaltenen Spannungsquellen gleich der Summe aller Spannungsabfälle an den elektrischen Bauteilen. (b) Die Knotenregel ist eine Folge der Ladungserhaltung! An einem Knotenpunkt können Ladungen weder entstehen noch verschwinden. Die Maschenregel dagegen ist eine Folge der Energieerhaltung! Die fließenden Ladungsträger können in den elektrischen Bauteilen nicht mehr Energie abgeben, als sie durch die Spannungsquelle mitbekommen haben.  Aufgabe 2 (a) ist richtig. (b) ist falsch, zwar beschreiben wir die Reaktion einer Substanz auf ein äußeres magnetisches Feld durch die Permeabilität, doch ist sie definiert durch: μ=

BM B0

(11.223)

(c) ist falsch, zwar heißt eine Substanz diamagnetisch, wenn μ etwas kleiner als 1 ist, doch hängt bei diamagnetischen Substanzen die Permeabilität nicht vom äußeren Feld ab. (d) ist richtig.  Aufgabe 3 Für ein 2 p-Elektron beträgt die Bahndrehimpulsquantenzahl l = 1. Damit nimmt die magnetische Quantenzahl m l die Werte 1, 0, −1 an, weshalb die z-Kompontente des Bahndrehimpulses drei diskrete Werte l z = 1, 0, −1 besitzt und der Bahndrehimpuls drei Stellungen einnehmen kann, weshalb Abb. (a) falsch√ist. Ferner ist der Betrag des Bahndrehimpulses √  kann der Bahndrehim = l(l + 1) ·  = 2 · . Wegen l z < |l| gegeben durch |l| puls nicht geanau in z-Richtung zeigen, weshalb auch Abb. (c) falsch ist. Schließlich kann man die x- und y-Komponenten des Bahndrehimpules nicht weiter bestimmen, sodass der Bahndrehimpuls l irgendwie um die z-Achse präzessiert derart, dass sein Betrag und seine z-Komponente konstant sind, wobei genau drei Stellungen möglich sind. Deshalb ist nur Abb. (b) richtig. 

362

11 Testserien Physik II

Aufgabe 4 Ein Vorgang, der sich in festen zeitlichen Abständen wiederholt, heißt periodisch. Eine Schwingung ist ein periodischer Vorgang, mit dem eine sich periodisch wiederholende Umwandlung von Energieformen verknüpft ist, wie z. B. eine Umwandlung von kinetischer und potentieller Energie oder von elektrischer und magnetischer Energie. Ein System, das Schwingungen durchführen kann, heißt Oszillator.  Aufgabe 5 (a) Für den Betrag der Coulomb-Kraft, die der Ladungsträger mit der Ladung Q = −4,1 · 10−9 C auf den anderen Ladungsträger mit der Ladung q = 2 · 10−9 C im Abstand r = 0,4 m ausübt, erhalten wir nach dem Coulomb’schen Gesetz: FqC =

1 q·| Q | · 4π 0 r2

2 · 10−9 C · 4,1 · 10−9 C = = 4,6 · 10−7 N 4π · 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 · (0,4 m)2

(11.224)

Sie ist entlang der direkten Verbindungslinie zwischen beiden Punktladungen gerichtet und zeigt, da beide Ladungen ein unterschiedliches Vorzeichen haben, von q nach Q. (b) Im Abstand r  ist der Betrag der Coulomb-Kraft nur noch ein Viertel des Wertes im Abstand r = 40 cm, d. h., es gilt: FqC (r  ) = Hieraus folgt:

d. h.

1 · F C (r ) 4 q

(11.225)

1 q·| Q | 1 q·| Q | 1 · = · · , 4π 0 r 2 4 4π 0 r2

(11.226)

r  2 = 4 · r 2,

(11.227)

womit wir für den gesuchten Abstand r  = 2 · r = 80 cm erhalten.

(11.228) 

Aufgabe 6 (a) Die Phasengeschwindigkeit der Welle im Medium ist gegeben durch: c = ν0 · λ = 700 H z · 2 m = 1 400 m/s

(11.229)

11.8 Testserie 18

363

Bewegt sich der Beobachter mit der Geschwindigkeit v = 14 m/s auf den ruhenden Oszillator zu, so misst der Beobachter die Frequenz    14 m/s v = 700 H z · 1 + = 707 H z. (11.230) ν1 = ν0 · 1 + c 1 400 m/s (b) Bewegt er sich dagegen mit der gleichen Geschwindigkeit v = 14 m/s vom Oszillator fort, so misst der Beobachter die Frequenz    14 m/s v ν1 = ν0 · 1 − = 700 H z · 1 − = 693 H z. (11.231) c 1 400 m/s (c) Beim Vorbeifahren stellt der Beobachter also die Frequenzänderung

ν = ν1 − ν2 = 707 H z − 693 H z = 14 H z fest.

(11.232) 

Aufgabe 7 (a) Für die Brechkraft der Linse erhalten wir: D=

1 1 = = −2,5 d pt f −0,4 m

(11.233)

(b) Ferner gilt für die Brechkraft der Linse D=

  1 1 n2 − n1 1 , · − = f n1 r1 r2

(11.234)

worin n 2 = 2 die Brechzahl des Linsenmaterials ist. Setzen wir die Werte ein, so erhalten wir:   2 − n1 1 1 2 − n1 · − · (−7,5 m −1 ) (11.235) − 2,5 m −1 = − = n1 0,2 m 0,4 m n1 Hieraus folgt

2,5 1 2 − n1 = = 7,5 3 n1

(11.236)

n 1 = 3 · (2 − n 1 ) = 6 − 3 · n 1 ,

(11.237)

oder woraus wir für die Brechzahl des umgebenden Mediums n1 = erhalten.

6 = 1,5 4

(11.238) 

364

11 Testserien Physik II

Aufgabe 8 (a) Die Stromstärke des durch die Schaltung fließenden elektrischen Stromes ist gegeben durch U (11.239) I = , R worin U = 120 V die angelegte Spannung bezeichnet. Bei einer Reihenschaltung der Widerstände R1 = 60 und R2 = 40 addieren sich diese zum Gesamtwiderstand R = R1 + R2 = 60 + 40 = 100 .

(11.240)

Damit erhalten wir für die Stromstärke: I =

120 V = 1,2 A 100

(11.241)

(b) Bei einer Parallelschaltung der beiden Widerstände addieren sich ihre Kehrwerte zum Kehrwert des Gesamtwiderstandes: 1 1 1 + = R R1 R2

(11.242)

Damit folgt für den Gesamtwiderstand der Schaltung: R=

60 · 40 R1 · R2 = = 24 R1 + R2 60 + 40

(11.243)

Für die Stromstärke erhalten wir in diesem Fall: I =

120 V =5A 24

(11.244) 

Aufgabe 9 Die Kapazität des Kondensators ist gegeben durch: C=

0 · A d

(11.245)

Bezeichnet V = A · d das Kondensatorvolumen, so folgt für die Kapazität: C=

0 · V d2

(11.246)

Mit der Spannung U = E · d zwischen den Kondensatorplatten ist der Plattenabstand gegeben durch: U d= (11.247) E Insgesamt erhalten wir für die Kapazität des Kondensators:

11.9 Testserie 19

365

C=

0 V E 2 U2

8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 · 226 · 10−6 m 3 · (104 V /m)2 = = 20 p F (102 V )2 Mit J = N m = V C gilt für die Einheiten

C2 Nm

=

C2 VC

=

C V

= F.

(11.248)



Aufgabe 10 Die kinetische Energie des herausgelösten Elektrons ist gegeben durch: E kin =

1 1 m e v 2 = · 9,109 · 10−31 kg · (3 · 106 m/s)2 = 4,099 · 10−18 J 2 2

(11.249)

Mit 1 eV = 1,602 · 10−19 J erhalten wir für die Ionisierungsenergie von Lithium: E I = 5,391 eV = 5,391 · 1,602 · 10−19 J = 0,864 · 10−18 J

(11.250)

Für die Energie des Photons der UV-Strahlung folgt damit: E γ = E kin + E I = 4,099 · 10−18 J + 0,864 · 10−18 J = 4,963 · 10−18 J

(11.251)

Aus E γ = h · ν erhalten wir dann für die Frequenz des Photons ν=

Eγ 4,963 · 10−18 J = = 0,75 · 1016 H z, h 6,626 · 10−34 J s

(11.252)

und mit c = ν · λ folgt für die Wellenlänge: λ=

3 · 108 m/s c = = 4 · 10−8 m ν 0,75 · 1016 H z

(11.253) 

11.9

Testserie 19

11.9.1 Aufgaben Aufgabe 1 Wie lauten die Heisenberg’schen Unschärferelationen für den Ort und den Impuls bzw. für die Energie und die Zeit für ein Quantenteilchen. Was ist ihre physikalische Konsequenz? Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen über stehende Wellen ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort!

366

11 Testserien Physik II

(a) Eine stehende Welle entsteht bei der Überlagerung zweier harmonischer Wellen mit gleicher Amplitude und Frequenz, die sich zudem in die gleiche Richtung ausbreiten. (b) Der Abstand zweier benachbarter Knoten beträgt λ, sodass für den Abstand zwischen zwei beliebigen Knoten n · λ folgt. (c) In der Mitte zwischen zwei benachbarten Knoten schwingt die Größe u(x, t) mit maximaler Amplitude, weshalb dort Bäuche der stehenden Welle vorliegen. (d) Mit einer stehenden Welle wird keine Energie transportiert. Aufgabe 3 Eine ebene Leiterschleife werde vom Strom I durchflossen. In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist das magnetische Feldlinienbild qualitativ richtig wiedergegeben?

Begründen Sie Ihre Aussage! Aufgabe 4 Was verstehen wir unter Dispersion, und wie äußert sie sich? Aufgabe 5 Ein Wasserstoffatom befindet sich im angeregten Zustand mit der Hauptquantenzahl n = 3. Durch Aussenden wie vieler Photonen kann es in den Grundzustand wechseln? Berechnen Sie die Energie dieser Photonen. Zu welchen Serien gehören die entsprechenden Spektrallinien? Vernachlässigen Sie die Spin-Bahn-Wechselwirkung. Aufgabe 6 Ein Kondensator mit der Kapazität 6,67 · 10−7 F wird über einen ohmschen Widerstand von 30 durch eine Gleichspannungsquelle mit einer Spannung von 60 V geladen. Berechnen Sie die Stromstärke des Ladestroms (a) zu Beginn des Ladevorgangs, (b) nach einer Zeit von 1,4 · 10−5 s.

11.9 Testserie 19

367

Aufgabe 7 Grünes Licht mit einer Vakuumwellenlänge von λ0 = 450 nm dringt aus dem Vakuum in eine Glasplatte mit dem Brechungsindex 1,5 ein. Welche Frequenz und Wellenlänge besitzt das Licht in der Glasplatte? Die Vakuumlichtgeschwindigkeit beträgt c0 = 3·108 m/s (siehe Anhang B). Aufgabe 8 Ein punktförmiger Ladungsträger mit der Ladung q = 2 · 10−9 C, der sich im elektrischen Feld der Punktladung Q = −4 · 10−9 C im Abstand r befindet, besitzt eine potentielle Energie von E pot = −18 · 10−8 J . (a) Berechnen Sie den Betrag der Coulomb-Kraft, die Q auf q ausübt. (b) In welche Richtung zeigt sie? Die elektrische Feldkonstante beträgt 0 = 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 . Aufgabe 9 Durch eine Spule mit 100 Windungen und einer Induktivität von 2 m H fließt ein konstanter Strom. Der magnetische Fluss des von diesem Strom erzeugten magnetischen Feldes durch die Spule beträgt 4 · 10−5 W b. Welche Energie steckt im magnetischen Feld im Inneren der Spule? Aufgabe 10 Die Halbwertszeit einer gedämpften harmonischen Schwingung beträgt 1,8928 s. Nach welcher Zeit ist die Amplitude auf ein Drittel des Anfangswertes x0 abgefallen?

11.9.2 Lösungen Aufgabe 1 Für den Ort x und den Impuls p eines Quantenteilchens oder die Energie E und die Zeit t lauten die Heisenberg’schen Unschärferelationen

x · p ≥

  bzw. E · t ≥ , 2 2

(11.254)

worin x, p, E und t die Ungenauigkeit des Ortes, des Impulses, der Energie und der Zeit bezeichnen. Die Beziehung (11.254) besagt offenbar, dass z. B. p umso größer wird, je kleiner wir x machen. Das bedeutet: Je genauer wir z. B. wissen wollen, wo ein solches Quant sich befindet, desto ungenauer wissen wir, wohin es fliegt und sich in der Zukunft befinden wird, bzw. je genauer wir wissen wollen, was passiert, desto ungenauer wissen wir, wann es passiert. Wir können also für ein Quantenteilchen den Ort und den Impuls

368

11 Testserien Physik II

oder die Energie und die Zeit nicht gleichzeitig exakt bestimmen. Allgemeiner folgt aus den Heisenberg’schen Unschärferelationen, dass wir nicht beliebig viele physikalische Größen gleichzeitig exakt bestimmen können, was klassisch durchaus möglich ist!  Aufgabe 2 (a) ist falsch, denn eine stehende Welle entsteht bei der Überlagerung zweier harmonischer Wellen mit gleicher Amplitude und Frequenz, die sich aber in entgegengesetzter Richtung ausbreiten. (b) ist falsch, denn der Abstand zweier benachbarter Knoten beträgt λ2 , sodass wir für den Abstand zweier beliebiger Knoten n · λ2 erhalten. (c) ist richtig. (d) ist richtig.  Aufgabe 3 Eine von einem elektrischen Strom mit der Stromstärke I durchflossene ebene Leiterschleife erzeugt das Feld eines magnetischen Dipols, das inhomogen ist. Da in Abb. (b) die Feldlinien parallel verlaufen, handelt es sich um ein homogenes Feld, sodass diese Abbildung falsch ist. Ferner umschlingen die Feldlinien den Strom, der das Feld erzeugt, was in Abb. (c) nicht der Fall ist, und die damit auch falsch ist. Zudem sind die magnetischen Feldlinien in sich geschlossen, weshalb nur Abb. (a) richtig ist.  Aufgabe 4 Die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit von der Frequenz heißt Dispersion. Liegt in einem Medium Dispersion vor, so sind die Gruppen- und Phasengeschwindigkeiten einer Wellengruppe verschieden, und das Wellenpaket läuft auseinander, man sagt, es „zerfließt“ mit der Zeit. Tritt ferner in einem Medium Dispersion auf, so hängt bei gleichem Einfallswinkel α der Brechungswinkel β von der Frequenz der auf die Grenzfläche zu diesem Medium auftreffenden Welle ab. Dadurch ist die Möglichkeit gegeben, eine durch Überlagerung von Wellen mit verschiedenen Frequenzen entstandene Welle in einzelne monochromatische Anteile mit gleicher Frequenz bzw. Wellenlänge zu zerlegen. Da schließlich die Phasengeschwindigkeit von Licht in einem Medium von der Frequenz abhängt, ist eine weitere Konsequenz der Dispersion, dass der Brechungsindex des Mediums von der Frequenz bzw. der Vakuumwellenlänge abhängt.  Aufgabe 5 Ohne Berücksichtigung der Spin-Bahn-Wechselwirkung werden die diskreten Energien der Atomzustände beschrieben durch: E n = −R∞ ·

1 n2

(11.255)

11.9 Testserie 19

369

Das Wasserstoffatom kann durch Aussendung nur eines Photons vom angeregten Zustand mit der Hauptquantenzahl n = 3 in den Grundzustand mit der Hauptquantenzahl n = 1 wechseln. Mit der Rydbergkonstanten R∞ = −13,606 eV ist die Energie dieses Photons gegeben durch:   1 1 = 12,094 eV (11.256) − E γ = h · ν1 = E 3 − E 1 = −13,606 eV · 32 12 Die entsprechende Spektrallinie gehört zur Lyman-Serie, die im UV-Bereich liegt. Ferner kann das Wasserstoffatom auch durch Aussendung von zwei Photonen in den Grundzustand wechseln. Das erste Photon wird beim Übergang vom angeregten Zustand mit n = 3 in den angeregten Zustand mit der Hauptquantenzahl n = 2 ausgesendet. Die Energie dieses Photons beträgt:   1 1 (11.257) − 2 = 1,890 eV E γ = h · ν2 = E 3 − E 2 = −13,606 eV · 32 2 Die entsprechende Spektrallinie Hα gehört zur Balmer-Serie und liegt im sichtbaren Bereich des Spektrums. Beim anschließenden Übergang in den Grundzustand wird dann das zweite Photon ausgesendet, wobei die zugehörige Spektrallinie wieder zur Lyman-Serie gehört. Die Energie dieses Photons ist gegeben durch:   1 1 = 10,205 eV (11.258) E γ = h · ν3 = E 2 − E 1 = −13,606 eV · − 22 12  Aufgabe 6 (a) Der Ladestrom zur Zeit t ist gegeben durch die Beziehung t

I (t) = I0 · e− τ .

(11.259)

Für die Anfangsstromstärke erhalten wir mit der Spannung U0 = 60 V und dem elektrischen Widerstand R = 30 : I0 =

U0 60 V = =2A R 30

(11.260)

(b) Mit der Kapazität C = 6,67 · 10−7 F folgt für die Zeitkonstante τ = R · C = 30 · 6,67 · 10−7 F = 2 · 10−5 s,

(11.261)

wobei für die Einheiten F = C/V = C/A = A s/A = s gilt. Damit erhalten wir nach (11.259) für die Stromstärke zur Zeit t1 = 1, 4 · 10−5 s: I (t1 ) = I0 · e−

t1 τ

=2A·e



1,4·10−5 s 2·10−5 s

=1A

(11.262) 

370

11 Testserien Physik II

Aufgabe 7 Für die Frequenz, Wellenlänge und Phasengeschwindigkeit von Licht gilt der Zusammenhang c = ν · λ. (11.263) Für die Frequenz des Lichtes im Vakuum gilt dann: ν0 =

c0 3 · 108 m/s = = 6,7 · 1014 H z λ0 450 · 10−9 m

(11.264)

Da sich die Frequenz des Lichtes beim Übergang ins Glas nicht ändert, erhalten wir für die Frequenz des Lichtes in der Glasplatte: ν = ν0 = 6,7 · 1014 H z

(11.265)

Ferner folgt aus der Konstanz der Frequenz die Beziehung ν=

c0 c = , λ0 λ

(11.266)

woraus wir für das Verhältnis der Wellenlänge des Lichtes in der Glasplatte zur Vakuumwellenlänge c λ = (11.267) λ0 c0 erhalten. Die Brechzahl des Mediums Glas ist gegeben durch: n=

c0 = 1,5 c

(11.268)

Damit folgt für die Wellenlänge des Lichtes im Glas: λ = λ0 ·

c 1 450 nm = λ0 · = = 300 nm c0 n 1,5

(11.269) 

Aufgabe 8 (a) Die potentielle Energie der Punktladung q = 2 · 10−9 C, die sich im elektrischen Feld der Punktladung Q = −4 · 10−9 C im Abstand r befindet, ist gegeben durch: E pot (r ) =

1 q·Q · = −18 · 10−8 J 4π 0 r

Hieraus folgt für ihren gegenseitigen Abstand:

(11.270)

11.9 Testserie 19

371

r=

q·Q 4π 0 · E pot (r )

2 · 10−9 C · (−4) · 10−9 C = = 0,4 m 4π · 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 · (−18) · 10−8 J

(11.271)

Damit erhalten wir für den Betrag der Coulomb-Kraft, die die Punktladung Q in diesem Abstand auf die Punktladung q ausübt: FqC (r ) =

| E pot (r ) | 1 q·| Q | 18 · 10−8 J · = = = 4,5 · 10−7 N 4π 0 r2 r 0,4 m

(11.272)

(b) Da die Vorzeichen beider Ladungen unterschiedlich sind, ist die Coulomb-Kraft FqC von der Punktladung q entlang der direkten Verbindungslinie nach Q gerichtet.  Aufgabe 9 Die Energie des magnetischen Feldes im Inneren der Spule ist gegeben durch E magn =

1 · L · I 2, 2

(11.273)

worin L = 2 · 10−3 H die Induktivität der Spule und I die Stromstärke des durch die Spule fließenden konstanten Stromes bezeichnen. Der magnetische Fluss des durch den Strom erzeugten magnetischen Feldes durch die Spule mit der magnetischen Feldstärke B = μ0 · Nl · I ist dann gegeben durch: φ = B · A = μ0 · Mit der Induktivität L = μ0 ·

N2 l

φ=

N ·I·A l

(11.274)

· A erhalten wir nach (11.274):

  1 N2 L·I · μ0 · ·A ·I = N l N

(11.275)

Hieraus folgt für die Stromstärke des durch die Spule fließenden Stromes: I =

4 · 10−5 W b · 100 φ·N = =2A L 2 · 10−3 H

(11.276)

Damit erhalten wir schließlich nach (11.273) für die magnetische Energie: E magn = Für die Einheiten gilt H A2 =

Vs A

1 · 2 · 10−3 H · (2 A)2 = 4 m J 2 A2 = V s A = J .

(11.277) 

372

11 Testserien Physik II

Aufgabe 10 Die Amplitude einer gedämpften harmonischen Schwingung ist zu einer beliebigen Zeit t gegeben durch (11.278) x0 (t) = x0 · e− δ·t , worin x0 die Anfangsamplitude und δ die Dämpfungskonstante bezeichnen. Zur Zeit t1 ist die Amplitude auf ein Drittel des Anfangswertes abgefallen, d. h., zur Zeit t1 gilt: x0 (t1 ) = x0 · e− δ·t1 = Hieraus folgt e− δ·t1 =

1 3

|

1 · x0 3

ln,

(11.279)

(11.280)

d. h. − δ · t1 = −ln 3.

(11.281)

Ferner gilt für die Halbwertszeit t1/2 =

ln 2 = 1,8928 s, δ

(11.282)

womit für die Dämpfungskonstante δ=

ln 2 ln 2 = = 0,3662 s −1 t1/2 1,8928 s

(11.283)

folgt. Insgesamt erhalten wir dann aus (11.281) für die gesuchte Zeit: t1 =

ln 3 ln 3 = 3s = δ 0,3662 s −1

(11.284) 

11.10 Testserie 20 11.10.1 Aufgaben Aufgabe 1 Wie lautet das Ampere’sche Gesetz? Beschreiben Sie seinen physikalischen Inhalt! Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen zum Doppler-Effekt ist/sind falsch? Begründen Sie Ihre Antwort!

11.10 Testserie 20

373

(a) Bewegen sich der Oszillator und ein Beobachter einer Welle relativ zueinander, so stellt der Beobachter eine Frequenzverschiebung fest, was wir Dopplereffekt nennen. (b) Bei mechanischen Wellen in einem elastischen Medium ist die Frequenzänderung unabhängig davon, ob sich der Oszillator oder der Beobachter relativ zum Medium bewegt. (c) Bewegt sich der Beobachter auf einen ruhenden Oszillator zu, der mit der Frequenz ν0 schwingt, so misst der Beobachter eine Frequenz ν, die kleiner als ν0 ist. (d) Die Frequenzänderung hängt vom Verhältnis vc ab, worin v die Relativgeschwindigkeit von Beobachter oder Quelle zum Medium und c die Phasengeschwindigkeit der Welle bezeichnen. Aufgabe 3 In welcher/welchen der folgenden Abbildungen ist der Photoeffekt qualitativ richtig dargestellt?

Begründen Sie Ihre Aussage! Aufgabe 4 Unter welcher Voraussetzung erhalten wir bei der Überlagerung von Wellen ein stationäres Interferenzmuster? Aufgabe 5 Die Punktladung q = 2 · 10−9 C befindet sich im elektrischen Feld der Punktladung Q = 4 · 10−9 C. (a) Berechnen Sie die potentielle Energie der Punktadung q im gegenseitigen Abstand 30 cm der beiden Ladungsträger. (b) Um welchen Betrag ändert sich die potentielle Energie, wenn man ihren gegenseitigen Abstand auf 20 cm verringert? Die elektrische Feldkonstante beträgt 0 = 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 .

374

11 Testserien Physik II

Aufgabe 6 Ein Lichtstrahl fällt in Luft unter einem Winkel von 30◦ auf die Grenzfläche zu einem Medium mit der Brechzahl 2,4. (a) Unter welchem Winkel wird der Lichtstrahl an der Grenzfläche reflektiert bzw. in das Medium gebrochen? (b) Berechnen Sie für einen senkrecht auf die Grenzfläche fallenden Lichtstrahl den Reflexions- und Transmissionsgrad. Verwenden Sie für Luft die Brechzahl 1. Aufgabe 7 Eine Spule besitzt eine Länge von 5 cm, eine Querschnittsfläche von 5 cm 2 sowie 1 000 Windungen. Ferner fließt durch diese Spule ein konstanter elektrischer Strom der Stärke 2 A. (a) Berechnen Sie die Energiedichte des magnetischen Feldes im Inneren der Spule. (b) Bestimmen Sie den magnetischen Fluss durch die Spule. (c) Welche Induktionsspannung wird an den Enden der Spule induziert? Die magnetische Feldkonstante beträgt μ0 = 1,256 6 · 10−6 V s/Am. Aufgabe 8 Ein Plattenkondensator trägt die Flächenladungsdichte σ = 1,775 · 10−8 C/m 2 . Ein punktförmiger Ladungsträger mit der Ladung q = 5 · 10−9 C wird im elektrischen Feld dieses Plattenkondensators von einem Raumpunkt P1 , der 2 cm von der negativen Platte entfernt ist, zu einem Raumpunkt P2 bewegt, der einen Abstand von 5 cm von der negativen Platte besitzt, wobei der Ladungsträger an beiden Punkten in Ruhe ist. (a) Berechnen Sie die Coulomb-Kraft auf die Punktladung q. (b) Welche Arbeit muss man gegen diese Coulomb-Kraft verrichten, um die Ladung von P1 nach P2 zu bringen? Die elektrische Feldkonstante beträgt 0 = 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 . Aufgabe 9 Ein Proton mit der Ladung Q p = +e und einer Masse von m p = 1,67 · 10−27 kg (siehe Anhang B) bewegt sich direkt auf einen Stickstoffkern mit der Ladung Q N = +7 e zu. Berechnen Sie die Anfangsgeschwindigkeit des Protons, wenn der minimale Abstand zwischen Proton und Stickstoffkern 1,7 · 10−14 m beträgt. Betrachten Sie hierbei den Stickstoffkern als eine Punktladung.

11.10 Testserie 20

375

Aufgabe 10 57 Fe im Grundzustand und bestimBeschreiben sie die Elektronenkonfiguration von Eisen 26 31 men Sie diesen.

11.10.2 Lösungen Aufgabe 1 Zwei parallele Metalldrähte der Länge l, die sich im Abstand r voneinander befinden und durch die die Ströme I1 und I2 fließen, üben aufeinander die Lorentz-Kraft F L aus, deren Betrag gegeben ist durch: μ0 I 1 · I 2 FL = · ·l (11.285) 2π r Die Lorentz-Kraft der Metalldrähte aufeinander ist anziehend, wenn die Ströme gleichgerichtet sind (siehe Abb. 11.8(a)), und abstoßend, wenn sie entgegengesetzt gerichtet sind (siehe Abb. 11.8(b)).  Aufgabe 2 (a) ist richtig. (b) ist falsch, denn bei mechanischen Wellen in einem elastischen Medium, wie z. B. Schallwellen in Luft, hängt die Frequenzänderung davon ab, ob sich der Beobachter oder der Oszillator relativ zum Medium bewegt. (c) ist falsch, denn bewegt sich der Beobachter mit der Geschwindigkeit v auf einen ruhenden Oszillator zu, so ist die Frequenz gegeben durch  v , (11.286) ν = ν0 · 1 + c

Abb. 11.8 Zum Ampere’schen Gesetz

376

11 Testserien Physik II

weshalb der Beobachter eine Frequenz ν misst, die größer als die Frequenz ν0 des Oszillators ist. (d) ist richtig.  Aufgabe 3 Beim Photoeffekt absorbiert ein Leitungselektron ein Photon der Energie E = h · ν, wobei diese Strahlungsenergie in kinetische Energie des Elektrons umgewandelt wird. Dies ist in Abb. (a) korrekt dargestellt. In Abb. (b) hingegen emittiert ein Elektron ein Photon (wenn es z. B. im Coulomb-Feld eines Kernes abgebremst wird), weshalb es sich hier um die Bremsstrahlung handelt und damit falsch ist. Abb. (c) hingegen beschreibt die Streuung eines Photons mit einem Elektron, wobei Energie vom Photon auf das Elektron übertragen wird, weshalb es sich hier um den Compton-Effekt handelt und somit auch diese Abbildung falsch ist.  Aufgabe 4 Stationäre Interferenzmuster entstehen nur, wenn die interferierenden Wellen monochromatisch sind, d. h., eine gleiche Frequenz sowie eine gleiche Wellenlänge besitzen, und wenn zwischen diesen Wellen eine konstante Phasendifferenz besteht. Solche Wellen heißen kohärent. Sind diese Bedingungen zwischen den interferierenden Wellen nicht erfüllt, so bezeichnet man die Wellen als inkohärent.  Aufgabe 5 (a) Für die potentielle Energie der Punktladung q = 2 · 10−9 C im elektrischen Feld der Punktladung Q = 4 · 10−9 C im Abstand r = 0,3 m erhalten wir: E pot (r ) =

1 q·| Q | · 4π 0 r

2 · 10−9 C · 4 · 10−9 C = = 2,4 · 10−7 J 4π · 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 · 0,3 m

(11.287)

(b) Wenn wir den gegenseitigen Abstand der Punktladungen auf r  = 0,2 m verringern, so nimmt die potentielle Energie auf den Wert E pot (r  ) =

1 q·| Q | · 4π 0 r

2 · 10−9 C · 4 · 10−9 C = = 3,6 · 10−7 J 4π · 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 · 0,2 m zu. Damit ändert sich die potentielle Energie der Ladung q um

(11.288)

11.10 Testserie 20

377

E pot = E pot (r  ) − E pot (r ) = 3,6 · 10−7 J − 2,4 · 10−7 J = 1,2 · 10−7 J . (11.289)  Aufgabe 6 (a) Nach dem Reflexionsgesetz ist der Reflexionswinkel α  gleich dem Einfallswinkel α α  = α = 30◦

(11.290)

die beide gegen die Normale zur Grenzfläche gemessen werden. Nach dem Snellius’schen Brechungsgesetz gilt für den Brechungswinkel β sin α n2 = , sin β n1

(11.291)

worin n 1 = 1 die Brechzahl von Luft und n 2 = 2,4 die Brechzahl des Mediums bezeichnen. Es folgt sin β =

1 n1 · sin α = · sin 30◦ = 0,208, n2 2,4

(11.292)

womit wir für den Brechungswinkel β = ar csin 0,208 = 12◦

(11.293)

erhalten. (b) Fällt der einfallende Lichtstrahl senkrecht auf die Grenzfläche, so folgt für den Reflexionsgrad (n 2 − n 1 )2 (2,4 − 1)2 R= = = 0,17, (11.294) 2 (n 1 + n 2 ) (1 + 2,4)2 während der Transmissionsgrad gegeben ist durch: T =

4 · 1 · 2,4 4 n1 n2 = = 0,83 (n 1 + n 2 )2 (1 + 2,4)2

(11.295) 

Aufgabe 7 (a) Die Energiedichte des magnetischen Feldes im Inneren der Spule ist gegeben durch: magn =

1 · B2 2 μ0

(11.296)

Für die magnetische Feldstärke im Inneren der Spule, die eine Länge von l = 0,05 m sowie N = 1 000 Windungen besitzt und durch die ein elektrischer Strom der Stärke I = 2 A fließt, erhalten wir:

378

11 Testserien Physik II

B = μ0 ·

N 1 000 · I = 1,256 6 · 10−6 V s/Am · · 2 A = 5 · 10−2 T l 0,05 m

Mit N m = AV s gilt für die Einheiten die Energiedichte: magn = 2

Vs m2

=

AV s Am 2

=

=

Nm Am 2

= T . Damit folgt für

N Am

(5 · 10−2 T )2 = 995 J /m 3 2 · 1,256 6 · 10−6 V s/Am 2

2

2

(11.297)

(11.298)

2

(N m) N Am N m J J Für die Einheiten gilt T VAm s = A2 m 2 V s = Am 2 V s = AV sm 3 = J m 3 = m 3 . (b) Für den magnetischen Fluss durch die Spule mit der Querschnittsfläche A = 5·10−4 m 2 erhalten wir:

φ = B · A = 5 · 10−2 T · 5 · 10−4 m 2 = 25 · 10−6 W b

(11.299)

(c) Da schließlich der magnetische Fluss durch die Spule zeitlich konstant ist, gilt 0 W b/s, womit wir für die an den Enden der Spule induzierte Spannung Uind = −N ·

dφ = 0V dt

erhalten.

dφ dt

=

(11.300) 

Aufgabe 8 (a) Im Inneren des Kondensators ist das elektrische Feld homogen und besitzt den Betrag E=

1,775 · 10−8 C/m 2 σ = = 2 · 103 N /C, 0 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2

(11.301)

worin σ = 1,775 · 10−8 C/m 2 die Flächenladungsdichte bezeichnet. Für den Betrag der Coulomb-Kraft auf den Ladungsträger mit der Ladung q = 5 · 10−9 C erhalten wir dann: (11.302) FqC = q · E = 5 · 10−9 C · 2 · 103 N /C = 1 · 10−5 N (b) Da die Coulomb-Kraft konservativ ist, hängt die Arbeit nicht vom Weg ab und ist gegeben durch (11.303) W = E pot = E pot (x2 ) − E pot (x1 ), worin x1 = 2 cm den Abstand des Punktes P1 und x2 = 5 cm den Abstand des Punktes P2 von der negativen Platte bezeichnen. Mit der potentiellen Energie E pot = q · E · x

(11.304)

11.10 Testserie 20

379

der Punktladung q im Abstand x von der negativen Platte erhalten wir für die Arbeit: W = q · E · (x2 − x1 ) = 5 · 10−9 C · 2 · 103 N /C · 3 · 10−2 m = 3 · 10−7 J (11.305)  Aufgabe 9 Ist das Proton sehr weit vom Kern entfernt, so gilt für seine potentielle Energie im elektrischen Feld des Stickstoffkerns E 1pot = 0 J . Mit der Anfangsgeschwindigkeit v∞ des Elek1 = 1 m v 2 , die dann der Gesamttrons ist seine kinetische Energie gegeben durch E kin 2 p ∞ energie entspricht: 1 1 1 2 E ges = E 1pot + E kin = E kin = m p v∞ (11.306) 2 2 = 0 J des Elektrons, Am Umkehrpunkt verschwindet dagegen die kinetische Energie E kin und seine Gesamtenergie ist nun gleich der potentiellen Energie 2 E ges = E 2pot + E kin = E 2pot =

1 (7 e) · e · , 4 π 0 rm

(11.307)

worin rm = 1,7 · 10−14 m den minimalen Abstand des Protons vom Stickstoffkern am Umkehrpunkt bezeichnet. Die Energieerhaltung liefert dann E ges =

1 1 7 e2 2 = · , m p v∞ 2 4 π 0 r m

(11.308)

woraus wir schließlich für die Anfangsgeschwindigkeit des Protons v∞ = =

7 e2 2 π · 0 · m p · rm

7 · (1,6 · 10−19 C)2 2 π · 8,854 · 10−12 C 2 /N m 2 · 1,67 · 10−27 kg · 1,7 · 10−14 m

(11.309) = 1 · 107 m/s

erhalten.  Aufgabe 10 Im Grundzustand besitzt Eisen die Elektronenkonfiguration (1s)2 (2s)2 (2 p)6 (3s)2 (3 p)6 (4s)2 (3d)6 . Da die vollen Teilschalen (1s), (2s), (2 p), (3s), (3 p) und (4s) keinen Beitrag liefern, sind nur die Elektronen in der angebrochenen (3d)-Teilschale zu berücksichtigen, die mit maximal 10 Elektronen aufgefüllt werden kann. Die Elektronen werden nun so in diese Teilschale eingebaut, dass Spinabsättigung erst ab dem 6. eingebauten Elektron erfolgt. Damit sich bei

380

11 Testserien Physik II

Tab. 11.1 Die Quantenzahlen der Elektronen in der (3d)-Teilschale n

l

ml

ms

3

2

2

1/2

3

2

1

1/2

3

2

0

1/2

3

2

−1

1/2

3

2

−2

1/2

3

2

2

−1/2

der Addition der m l -Werte ein Maximum ergibt, ordnen wir dem ersten Elektron die magnetische Quantenzahl m l = 2, dem zweiten m l = 1 usw. zu (siehe Tab. 11.1). Addieren wir nun die m l -Werte und die m s -Werte, so erhalten wir die Gesamtbahndrehimpulsquantenzahl L = 2 und die Gesamtspinquantenzahl S = 2. Da schließlich die (3d)-Teilschale mehr als zur Hälfte besetzt ist, folgt für die Gesamtdrehimpulsquantenzahl J = L + S = 2 + 2 = 4. Der Grundzustand von Eisen wird also beschrieben durch 3 5 D4 . 

Anhang A

Das Periodensystem

Abb. A.1 Das Periodensystem der Elemente (Periodic Table: Atomic Properties of the Elements (Version 13), NIST SP 966, 2018) © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 G. Rufa, Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61262-0

381

Anhang B

Naturkonstanten Naturkonstanten kommen in unseren physikalischen Gesetzmäßigkeiten vor, ohne dass unsere physikalischen Theorien ihre Werte vorhersagen könnten. Sie müssen also gemessen werden bis auf die Naturkonstanten, über die wir heute die SI-Einheiten festlegen und die per Definition exakt sind. Die folgende Tabelle enthält die wichtigsten Naturkonstanten, die in diesem Buch vorkommen, mit der zurzeit gültigen Genauigkeit1 . Tab. B.1 Naturkonstanten Vakuumlichtgeschwindigkeit

c = 299 792 458 m/s (exakt)

Gravitationskonstante

G = 6,674 30 · 10−11 N m 2 /kg 2

Atomare Masseneinheit

u = 1,660 539 066 60 · 10−27 kg

Avogadro-Konstante

N A = 6,022 140 76 · 1023 1/mol (exakt)

Boltzmann-Konstante

k = 1,380 649 · 10−23 J /K (exakt)

Universelle Gaskonstante

R = 8,314 462 618 . . . J /K mol (exakt)

Elementarladung

e = 1,602 176 634 · 10−19 C (exakt)

Magnetische Feldkonstante

μ0 = 1,256 637 062 12 · 10−6 N /A2

Ruhemasse des Elektrons

m e = 9,109 383 701 5 · 10−31 kg

Ruhemasse des Protons

m p = 1,672 621 923 69 · 10−27 kg

Ruhemasse des Neutrons

m n = 1,674 927 498 04 · 10−27 kg

Planck’sches Wirkungsquantum

h = 6,626 070 15 · 10−34 J s (exakt)

Compton-Wellenlänge

λc = 2,426 310 238 67 · 10−12 m

Rydberg-Konstante

R∞ = 13,605 693 122 994 eV

Bohr’scher Radius

a0 = 0,529 177 210 903 · 10−10 m

Bohr’sches Magneton

μ B = 9,274 010 078 3 · 10−24 Am 2

Kernmagneton

μk = 5, 050 783 746 1 · 10−27 Am 2

g-Faktor des Elektrons

ge = 2,002 319 304 362 56

g-Faktor des Protons

g p = 5,585 694 689 3

1 CODATA Internationally recommended 2018 Values of the Fundamental Physical Constants.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 G. Rufa, Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61262-0

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Literatur

Rufa, G.: Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin. Springer, Berlin (2020) Wolkenstein, W.S.: Aufgaben zur Physik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt (1990) Barth, A., Ziegengeist, K.-D.: Physik–Originalfragen und Kurzlehrbuch. Jungjohann Verlagsgesellschaft, Stuttgart (1992) Bethge, K., Schröder, U.F.: Elementarteilchen und ihre Wechselwirkungen. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt (1986) Patrignani, C., et al.: (Particle Data Group), Review of Particle Physics. Chin. Phys. C 40, 100001 (2016) Physikalisch Technische Bundesanstalt: Die SI-Basiseinheiten–Definition. Entwicklung, Realisierung (1994) Physikalisch Technische Bundesanstalt: Leitfaden für den Gebrauch des Internationalen Einheitensystems (1996) International Council of Scientific Unions (ICSU): Internationally recommended 2018 Values of the Fundamental Physical Constants (2018) Physikalisch Technische Bundesanstalt: Die gesetzlichen Einheiten in Deutschland (2012) Kramida, A., Olsen, K., Ralchenko, Y.: Periodic Table: Atomic Properties of the Elements (Version 13), NIST SP 966 (2018) Bourne, D.E., Kendall, P.C.: Vektoranalysis. Teubner Studienbücher, Stuttgart (1967) Luh, W.: Mathematik für Naturwissenschaftler II. Studientext, AULA-Verlag, Wiesbaden (1982) Gerthsen, C., Kneser, H.O., Vogel, H.: Physik. Springer, Berlin (1989) Seibt, W.: Physik für Mediziner. Georg Thieme, Leipzig (1986) Kittel, J.C., Knight, W., Ruderman, M.A.: Berkeley Physik Kurs 1, Mechanik. Vieweg, Berlin (1975) Purcell, E.M.: Berkeley Physik Kurs 2, Elektrizität und Magnetismus. Vieweg, Berlin (1976) Crawford, F.S.: Berkeley Physik Kurs 3, Schwingungen und Wellen. Vieweg, Berlin (1974) Wichmann, E.H.: Berkeley Physik Kurs 4, Quantenphysik. Vieweg, Berlin (1974) Feynman, R.P., Leighton, R.B., Sands, M.: Vorlesungen über Physik. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig (1980) Scheck, F.: Theoretische Physik 1, Mechanik. Springer, Berlin (2003) Scheck, F.: Theoretische Physik 3, Klassische Feldtheorie. Springer, Berlin (2004) Scheck, F.: Theoretische Physik 2, Nichtrelativistische Quantenmechanik. Springer, Berlin (2006) © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 G. Rufa, Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61262-0

385

386

Literatur

Grawert, Gerald: Quantenmechanik. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig (1977) Jackson, J.D.: Classical Electrodynamics. Wiley, Hoboken (1962) Haken, W.: Atom- und Quantenphysik. Springer, Berlin (1996) Finkelnburg, W.: Einführung in die Atomphysik. Springer, Berlin (1976) Finkelnburg, W.: Einführung in die Atomphysik. Springer, Berlin (1976) Christen, H.R.: Grundlagen der allgemeinen und anorganischen Chemie. Verlag Sauerländer, Aarau (1973)

Stichwortverzeichnis

A Abbildung, optische, 150, 315 Abbildungsgleichung, 311 Abbildungsmaßstab, 156, 310 Aberration, sphärische, 153 Absorptionsspektrum, 142, 308 Adiabatenexponent, 120, 232 Aktivität, 347 α−Zerfall, 335 Alphazerfall, 204 Ampere’sches Gesetz, 178, 372 Amplitude, 333 Arbeit, 52, 56, 169, 173, 225, 292 Atomspektrum, 209 Atomzustand, 355 Atwood’sche Fallmaschine, 75, 304 Aufprallgeschwindigkeit, 252 Austrittsarbeit, 205 Auswahlregel, 210 Avogadro’sches Gesetz, 106

B Bahnbeschleunigung, 69 Bahndrehimpuls, 291, 359 Bahngeschwindigkeit, 78 Balmer-Serie, 369 Bernoulli-Gleichung, 268, 301 Beschleunigung, 50, 59 Betazerfall, 199 Beugung am Gitter, 146, 340

von Wellen, 141, 344 Bewegung gleichförmig geradlinige, 26 gleichmäßig beschleunigte, 24, 221, 230, 284 Bewegungsformen, 22 Bild reelles, 156 virtuelles, 156 Bildgröße, 156 Bildweite, 156 Bindungsenergie, 203, 314 Biot-Savart’sches Gesetz, 180, 343 Bohr’scher Radius, 163 Bragg-Bedingung, 146, 311 Brechkraft, 311, 326, 363 Brechung von Wellen, 142 Brechungsgesetz, 314 Brechungsindex, 149 Brechungswinkel, 317 Brennstrahl, 157 Brennweite, 311, 326

C Carnot’scher Kreispozess, 125 Compton-Effekt, 206, 322 Compton-Wellenlänge, 322 Coriolis-Kraft, 72, 73, 281 Coulomb’sches Gesetz, 160, 307 Coulomb-Kraft, 163, 309, 319, 321, 362, 371

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 G. Rufa, Übungsbuch Physik für Studierende der Biowissenschaften, Chemie und Medizin, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61262-0

387

388 D Dampfdruckkurve, 115 Dämpfungskonstante, 131 Dehnung, 99 Dielektrikum, 175, 348 Dioptrie, 156 Dipolmoment elektrischer, 172 magnetisches, 329 Dispersion, 368 Dissoziation, 339 Dissoziationsenergie, 339 Doppler-Effekt, 147, 363, 372 Drehbewegung, 63 gleichförmig beschleunigte, 66, 91, 236 Drehimpuls eines Massenpunktes, 295 eines starren Körpers, 83 Drehimpulserhaltungssatz für einen Massenpunkt, 278 Drehmoment, 65, 253 Druck, hydrostatischer, 100, 227, 263

E Einfallswinkel, 317 Einhüllende, äußere, 331 Elastizitätsmodul, 283 Elektronenkonfiguration, 209 Elementarwelle, 331 Emissionsspektrum, 209, 308 Energie, 52, 241 eines Photons, 322, 347 elektrische, 177, 334 innere, 121, 124, 235, 252, 258 kinetische, 59, 82, 262 magnetische, 187, 334, 340, 371 potentielle, 59, 82 thermische, 108, 234, 269 Energie, potentielle bei der ungedämpften harmonischen Schwingung, 225 einer Punktladung, 172 im elektrischen Feld einer Punktladung, 327 im Gravitationsfeld der Erde, 233 im homogenen elektrischen Feld, 312 Energiedichte des elektrischen Feldes, 177, 333 des magnetischen Feldes, 187, 355, 377

Stichwortverzeichnis Energieerhaltungssatz, mechanischer für ein System von Massenpunkten, 224 für einen Massenpunkt, 53 Entropie, 119, 123, 234 Erdbeschleunigung, 30 Expansion adiabatische, 122, 258 isobare, 121 isotherme, 106, 240

F Fall, freier ohne Reibung, 45, 266 unter Reibungseinfluss, 50, 234, 273, 293 Fallzeit, 258 Faraday’sches Induktionsgesetz, 182, 336 Federkonstante, 234 Feld, elektrisches einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung, 323 einer Punktladung, 172, 319 homogenes, 162, 169 inhomogenes, 162 Feld, magnetisches, 180, 307 Feldlinie, magnetische, 180 Feldlinienbild elektrisches, 162 magnetisches, 366 Feldstärke elektrische, 166, 333 magnetische einer Spule, 184, 186, 311, 377 Flächenladungsdichte, 175 Flughöhe, maximale, 281 Fluss, magnetischer, 181, 182, 186, 327, 378 Fraunhofer-Linien, 209 Frequenz, 234 Fundamentalfrequenz, 132 erste, 340 zweite, 340

G g-Faktor, 200 Gangunterschied, 333 Gas, 260 ideales, 104, 117 reales, 104, 113 Gasgesetz, ideales, 113, 122, 258, 278

Stichwortverzeichnis Geradengleichung, 11, 14, 219, 252 Gesamtbahndrehimpuls, 211, 355 Gesamtdrehimpuls, 355 Gesamtspin, 211, 355 Gesamtwiderstand, 191 Geschwindigkeit, 23, 25, 50, 269 mittlere, 24 Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm, 45, 259 Gleichstrom, zeitabhängiger, 315 Gleitreibungskoeffizient, 36, 57 Gleitreibungskraft, 36, 57 Gravitationskraft, 36 Grenzwinkel der Totalreflexion, 155 Größ, kinematische, 233 Grundschwingung, 145 Grundzustand von Atomen, 214, 310, 379 Gruppengeschwindigkeit, 134

H Haftreibungskoeffizient, 36 Haftreibungskraft, 36 Hagen-Poiseuille’sches Gesetz, 98, 218, 289 Halbwertszeit, 207 Haupsatz der Thermodynamik erster, 118, 121, 232 zweiter, 259 Hauptquantenzahl, 209, 369 Heisenberg’sche Unschärferelationen, 202, 326, 365 Hooke’sches Gesetz, 96, 99, 283 Hund’sche Regel, 214 Huygens-Fresnel’sches Prinzip, 141, 329

I Impuls eines Photons, 347 Impulserhaltungssatz, 86, 89, 256 Induktionsspannung, 182, 185 Induktivität einer Spule mit Materie, 186, 319 ohne Materie, 186, 318 Influenz, 171 inkohärent, 376 Interferenz von Wellen, 140, 336 Interferenzmuster, stationäres, 376 Ion, 339 Ionisierung, 339 Ionisierungsenergie, 213, 339

389 Isobare, 332 Isotone, 332 Isotope, 332

J jj-Kopplung, 211

K Kapazität, 175, 320, 329 Kernradius, 202 Kinematik, 21 Kirchhoff’sche Regeln, 358 Knotenregel, 188, 342 kohärent, 376 Kolbendruck, 101, 227, 263 Komponente skalare, 4, 235 vektorielle, 4, 236 Kondensator, 173, 175, 318, 348 Kontinuitätsgleichung, 241 Kovolumen, 251 Kraft, elektromagnetische, 351 Kraftstoß, 38 Kreis, 16 gleichförmige, 28, 29, 67, 218, 242

L Ladung eines Kondensators, 358 elektrische, 159, 344 Ladungsverteilung, elektrische diskrete, 161, 165 kontinuierliche, 168 Lambert-Beer’sches Gesetz, 147, 332 Lebensdauer, mittlere, 313 Leistung, 52, 55, 62 Leiter, ohmscher, 325 Lenz’sche Regel, 338 Linienspektrum, 209 Linse Brechkraft, 155 Brennweite, 155 Lorentz-Kraft, 179, 184, 341, 344 Lyman-Serie, 369

390 M Maschenregel, 189, 343 Massendefekt, 203, 309, 313 Massenschwerpunkt, 84 Materie im magnetischen Feld, 358 Metall, 354 Mittelpunktstrahl, 157 Molekülion, 339 Molmasse, 107, 110–112, 225 Molsumme, 217 Moment, magnetisches eines Elektrons, 200 monochromatisch, 376 Multiplizität, 211, 355

N Netzebene, 146, 326 Newton’sche Gesetze, 30 Newton’sches Gravitationsgesetz, 223 Normalbedingungen, 109 Nuklide, 332 Nullvektor, 2

O Oberflächenspannung, 98, 101, 251, 265 Oberschwingung, 145 Ohm’sches Gesetz, 188, 323 Optik, geometrische, 149, 351 Orbital, 209 Orts-Zeit-Diagramm, 23, 44 Ortsvektor, 4, 6, 13, 16 Oszillator, 362 Oszillogramm, 129, 287

P Parallelschaltung, 191 Parallelstrahl, 157 Partialdruck, 112, 217 Pauli-Prinzip, 214 Phasendiagramm, 296 Phasendifferenz, 136, 333 Phasengeschwindigkeit, 134, 136, 153, 319, 333, 362 Phasenübergang, 116 Photoeffekt, 205, 365, 373 Photon, 201 Planck’sches Wirkungsquantum, 322, 344

Stichwortverzeichnis Plattenkondensator, 168, 170 Polarisation, 134 von Wellen, 323 Potential, elektrisches, 351 Potentialdifferenz, 312 Präzessionsbewegung, 278 Protonstreuung, 202, 379

Q Quanten, 197 Quantenzahl, 355 magnetische, 200 Quantisierung der elektrischen Ladung, 159 der Energie, 368 Querkontraktion, 99, 283 Querkontraktionszahl, 100

R Radioaktivität, 198 RC-Schaltung, 194 Reaktionsprinzip, 295 Reflexion, 310 Reflexionsgesetz, 150, 314, 334, 348 Reflexionsgrad, 377 Reflexionswinkel, 317 Reibungskraft, 252, 278 Reihenschaltung, 191 Richtungsvektor, 6 Röntgenbeugung, 146, 325 Rotationsenergie, 218, 234, 291 Ruheenergie des Neutrons, 201 des Protons, 201 Russel-Saunders-Kopplung, 211

S Sammellinse, 156, 157 Schalen, 212 Schallgeschwindigkeit, 138 Scheinkräfte, 70, 259 Schnittpunkt von Geraden, 264 Schubmodul, 284 Schwebung, 132 Schwebungsdauer, 340 Schwebungsfrequenz, 132, 340

Stichwortverzeichnis Schweredruck, 97, 101, 263 Schwerkraft, 36, 216 Schwingkreis, elektrischer, 190 Schwingung, 127, 362 gedämpfte harmonische, 130, 356, 372 ungedämpfte harmonische, 42, 50, 225, 255, 265 Schwingungsdauer, 131, 234, 236 Siedetemperatur, 117, 119 Skalarmultiplikation, 2 Skalarprodukt, 2, 7 Snellius’sches Brechungsgesetz, 154, 335 Spin eines Elektrons, 199 Spin-Bahn-Wechselwirkung, 210 Steiner’scher Satz, 85, 294, 299 Stoffmenge, 107, 112, 274 Stoke’sche Reibungskraft, 278 Stoß elastischer, 87, 252, 256 unelastischer, 88 zentraler, 86 Strom, elektrischer, 159 Stromstärke, elektrische, 184, 191, 364 Strömungsgeschwindigkeit, 102 Superpositionsprinzip, 161, 356 System von Massenpunkten, 83, 224

T Teilchenabstand, 110 Teilchendichte, 230 Teilchengeschwindigkeit, mittlere, 237 Teilschalen, 212 Temperatur, 252 thermodynamische, 105 Termschema des Natriumatoms, 210 des Wasserstoffatoms, 212 Totalreflexion, 325 Trägheitskraft, 75, 80 Trägheitsmoment eines Massenpunktes, 65, 252, 268 eines starren Körpers, 286 eines Zylinders, 275, 299 Trägheitsprinzip, 215 Transmissionsgrad, 377 Trouton-Regel, 119

391 U Überlagerung von harmonischen Schwingungen, 131 von harmonischen Wellen, 143 von Schwingungen, 349

V van der Waals-Gleichung, 113 Vektor, 1, 10 Betrag, 6 Richtung, 6 Vektorfunktion, 16 Vektorprodukt, 2, 7 Verdampfungsentropie, 119 Verdampfungswärme, 119 Viskosität, 273 Volumenstärke, 218 Vorgang, periodischer, 362

W Wärmeenergie, 119 Wärmekapazität molare, 119, 232 spezifische, 119, 232 Wärmekraftmaschine, 125 Welle, 133 harmonische, 135, 319, 350, 354 stehende, 144, 365 Wellenfront, 141 Wellenlänge, 136, 312, 333, 370 eines Photons, 322 Wellenzahl, 320 Widerstand elektrischer, 188 kapazitiver, 190 Widerstandsschaltung, 192, 364 Winkelbeschleunigung, 234 Winkelgeschwindigkeit, 78, 234 Wirkungsgrad, 125 Wurf, schiefer, 276, 281 Wurfweite, 281

Z Zahl der Freiheitsgrade, 120, 225 der Neutronen, 332

392 der Nukleonen, 332 der Protonen, 332 Zeitkonstante, 194, 320 Zentrifugalkraft, 72, 81, 228 Zentripetalbeschleunigung, 30, 64, 67 Zerfallsgesetz, 207, 313, 348 Zerfallskonstante, 313 Zerstreuungslinse, 158

Stichwortverzeichnis Zustand, angeregter, 310 Zustandsänderung adiabatische, 304 isobare, 285 isochore, 105, 286 isotherme, 224 reversible, 124