Baudynamik for Beginners 9783658335830, 3658335831

Table of contents :
Vorwort
Danksagung
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung und Begriffe
1.1 Ausgangslage und Zweck
1.2 Begriffe
1.3 Beispiele baudynamischer Konsequenzen
1.4 Dynamische Einwirkungen
1.5 Aufbau des Buches
1.6 Anwendungsbeispiele
1.6.1 Beispiel 1
1.6.2 Beispiel 2
1.6.3 Beispiel 3
1.6.4 Beispiel 4
1.6.5 Beispiel 5
1.6.6 Beispiel 6
1.7 Testfragen
Literatur
2 Kinematik
2.1 Einleitung
2.2 Bewegung einer Punktmasse
2.3 Bewegungsformen
2.3.1 Ruhe (Statik)
2.3.2 Gleichförmige Bewegung
2.3.3 Gleichmässig beschleunigte Bewegung
2.3.4 Ungleichmässig beschleunigte Bewegung
2.3.5 Periodische Schwingungen
2.4 Harmonische Schwingungen
2.4.1 Einleitung
2.4.2 Summen von harmonischen Schwingungen
2.4.3 Lissajous-Figuren
2.4.4 Transformation von harmonischen Schwingungen
2.4.5 Weisses Rauschen
2.5 Anwendungsbeispiele
2.5.1 Beispiel 1
2.5.2 Beispiel 2
2.5.3 Beispiel 3
2.5.4 Beispiel 4
2.5.5 Beispiel 5
2.5.6 Beispiel 6
2.6 Testfragen
Literatur
3 Einmassenschwinger
3.1 Einführung
3.2 Differentialgleichung der Bewegung
3.2.1 Herleitung der Differentialgleichung
3.2.2 Herleitung der Kraft
3.3 Mathematische Verfahren zur Lösung
3.3.1 Einführung
3.3.2 Euleransatz
3.3.3 Laplace-Transformation
3.3.3.1 Einführung
3.3.3.2 Laplace-Transformierte
3.3.3.3 Theoretischer Hintergrund
3.3.3.4 Beispiele
Einfache Beispiele
Inhomogene lineare Differentialgleichung
Partialbruchzerlegung
Verbundenes Pendel
Generalisierte Differentialgleichung des Einmassenschwingers mit harmonischer Anregung
3.3.4 Linearisierung
3.4 Freie ungedämpfte Schwingung
3.5 Freie gedämpfte Schwingung
3.6 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen
3.7 Erzwungene gedämpfte Schwingung
3.8 Anwendungsbeispiele
3.8.1 Vorbetrachtungen
3.8.2 Beispiel 1
3.8.3 Beispiel 2
3.8.4 Beispiel 3
3.8.5 Beispiel 4
3.8.6 Beispiel 5
3.9 Testfragen
Literatur
4 Mehrmassenschwinger
4.1 Einleitung
4.2 Eigenwertgleichungen
4.3 Freie ungedämpfte Schwingung
4.4 Freie gedämpfte Schwingung
4.5 Rayleigh-Verfahren für diskrete Systeme
4.6 Anwendungsbeispiele
4.6.1 Beispiel 1
4.6.2 Beispiel 2
4.6.3 Beispiel 3
4.6.4 Beispiel 4
4.7 Testfragen
Literatur
5 Verteilte Massen
5.1 Einleitung
5.2 Balken
5.2.1 Herleitung
5.2.2 Anwendungstabellen
5.3 Rechteckplatten
5.3.1 Herleitung
5.3.2 Anwendungstabellen
5.4 Kreisplatten
5.4.1 Herleitung
5.4.2 Anwendungstabellen
5.5 Eigenfrequenzen im Hochbau
5.6 Eigenfrequenzen im Brückenbau
5.7 Ingenieurmässige Bestimmung der Eigenfrequenzen
5.8 Dunkerley Methode
5.9 Rayleigh-Quotient
5.9.1 Einleitung
5.9.2 Herleitung der kinetischen Energie
5.9.3 Herleitung Rayleigh-Quotient
5.10 Nichtlineares Materialverhalten
5.11 Anwendungsbeispiele
5.11.1 Beispiel 1
5.11.2 Beispiel 2
5.11.3 Beispiel 3
5.11.4 Beispiel 4
5.11.5 Beispiel 5
5.11.6 Beispiel 6
5.11.7 Beispiel 7
5.11.8 Beispiel 8
5.11.9 Beispiel 9
5.12 Testfragen
Literatur
6 Dämmung, Dämpfung und Tilger
6.1 Einleitung
6.2 Massen
6.3 Steifigkeiten
6.4 Dämpfung
6.5 Dämmung
6.6 Tilger
6.7 Schwingungsisolation
6.8 Anwendungsbeispiele
6.8.1 Beispiel 1
6.8.2 Beispiel 2
6.8.3 Beispiel 3
6.8.4 Beispiel 4
6.8.5 Beispiel 5
6.9 Testfragen
Literatur
7 Numerische Lösungs- und Näherungsverfahren
7.1 Einleitung
7.2 Fourieranalyse
7.3 Näherungsverfahren
7.3.1 Einleitung
7.3.2 Differenzenverfahren
7.3.3 Finite Elemente
7.3.4 Newmark Verfahren
7.3.5 Explizite Verfahren
7.4 Lösungen für Eigenwertprobleme
7.4.1 Einleitung
7.4.2 Vektoriterationsverfahren nach v. Mises
7.4.3 Simultane Vektoriteration
7.5 Modalanalyse
7.5.1 Freie ungedämpfte Schwingung
7.5.2 Freie gedämpfte Schwingung
7.5.3 Modale Reduktion
7.5.4 Vergleich der Methoden
7.6 Antwortspektrenverfahren
7.6.1 Theoretisches Konzept
7.6.2 Normative Umsetzung
7.7 Anwendungsbeispiele
7.7.1 Beispiel 1
7.7.2 Beispiel 2
7.7.3 Beispiel 3
7.7.4 Beispiel 4
7.7.5 Beispiel 5
7.7.6 Beispiel 6
7.8 Testfragen
Literatur
8 Aussergewöhnliche dynamische Einwirkungen
8.1 Einleitung
8.2 Anpralle
8.2.1 Erläuterungen und Hintergründe
8.2.2 Technische Anpralle
8.2.3 Beispiel 1
8.2.4 Beispiel 2
8.2.5 Beispiel 3
8.2.6 Natürliche Anpralle
8.3 Explosionen
8.3.1 Erläuterungen und Hintergründe
8.3.2 Berechnungen im Bauwesen
8.3.3 Beispiel 1
8.3.4 Beispiel 2
8.3.5 Beispiel 3
8.4 Testfragen
Literatur
9 Windeinwirkungen
9.1 Erläuterungen und Hintergründe
9.2 Beispiel
9.3 Testfragen
Literatur
10 Erschütterungen
10.1 Erläuterungen und Hintergründe
10.2 Testfragen
Literatur
11 Erdbeben
11.1 Erläuterungen und Hintergründe
11.2 Anwendungsbeispiele
11.2.1 Beispiel 1
11.2.2 Beispiel 2
11.2.3 Beispiel 3
11.3 Ausblick
11.4 Testfragen
Literatur
12 Ausblick
Stichwortverzeichnis

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Dirk Proske

Baudynamik for Beginners

Baudynamik for Beginners

Dirk Proske

Baudynamik for Beginners mit 76 Tabellen, 174 Bildern und 1113 Gleichungen

Dirk Proske Architektur, Bau und Holz Berner Fachhochschule Burgdorf, Schweiz

ISBN 978-3-658-33583-0 ISBN 978-3-658-33584-7  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-33584-7 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2021 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung der Verlage. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Lektorat: Dipl.-Ing. Ralf Harms Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

Vorwort

Während meines Studiums des Bauingenieurwesens an der Technischen Universität Dresden von 1990 bis 1996 kam ich in Kontakt mit Prof. Dr.-Ing. habil. Peter Ruge, der damals die Vorlesung Baudynamik hielt. Ich bat ihn um die Anerkennung des Abschlusses in Baudynamik aus meinem Masterstudium der City University London, welches ich 1993 und 1994 besuchte. Er schaute sich die Unterlagen an und meinte, dass die verwendeten Verfahren etwas alt seien, aber durchaus ausreichend. Und er bot mir die Stelle eines Hilfsassistenten an. Eine meiner Aufgaben war die Unterstützung der Vorlesungen 1994 und 1995 durch die Erstellung von Beispielaufgaben. Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich damals viele Dinge nicht verstanden habe, aber es war ein Einstieg in das Thema. Ausserdem erkannte ich, dass es keinen besseren Job als Hilfsassistent gibt: man bekommt das Lernen bezahlt und ausserdem einen kurzen Weg zum Professor. Mit Abschluss meines Studiums 1996 begann meine Zeit als wissenschaftlicher Assistent bei Prof. Dr.-Ing. Manfred Curbach am Institut für Stahlbetonbau. Eine meiner Aufgaben war die Untersuchung der Mainbrücke Lohr auf Schiffsanprall. Diese Untersuchung beschäftige mich viele Jahre. Und dort konnte ich mein theoretisches Wissen der Baudynamik in der Praxis anwenden. Seit dieser Zeit haben mich die Fragen der Baudynamik nicht mehr losgelassen; egal ob das genannte Thema Schiffsanprall an der Technischen Universität Dresden, das Thema Anprall von Muren (Schlammlawinen) gegen Brückenbauwerke an der Universität für Bodenkultur in Wien 2005 bis 2009, der Nachweis eines Containments unter Wasserstoffdeflagration, Erdbebennachweise von Bauwerken, meine Mitarbeit an der Schweizer PEGASOS Refinement Erdbebengefährdungsstudie oder Sprödbruchnachweise von Druckbehältern während meiner Zeit beim Schweizer Stromerzeuger AXPO 2009 bis 2018. Immer spielten dynamische Effekte eine substanzielle Rolle. Mit Aufnahme meiner Tätigkeit an der Fachhochschule Bern Ende 2018 erhielt ich auch die Verantwortung für das Fach Baudynamik. Ich war gezwungen, meine Unterlagen und Mitschriften all dieser Projekte zu strukturieren. Nachdem ich den Kurs jetzt dreimal gegeben haben, schält sich eine bleibende Struktur heraus.

V

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Vorwort

Das vorliegende Buch ist das Ergebnis dieser Strukturierungsarbeit. Es ist auf der einen Seite nicht vollständig. Das machen andere Bücher der Baudynamik, wie z. B. der berühmte „Petersen“ mit seinen über tausend Seiten viel besser. Es ist auf der anderen Seite auch keine theoretische Abhandlung über die Baudynamik. Auch das können anderen Bücher besser. Das Buch ist vielmehr ein Einstieg in die Baudynamik, welcher sowohl schnell anwendbares Wissen beinhaltet als auch einen breiten Überblick gibt. Die Idee solcher Bücher kam mir, als ich über viele Jahre an der Technischen Universität Dresden den Kurs „Stahlbeton für Wasserwirtschaftler“ mit meiner Kollegin Dr.-Ing. Silke Scheerer gab. Wir gaben gemeinsam das Buch „Stahlbeton for Beginners“ heraus. Das jetzt hier vorliegende Buch „Baudynamik for Beginners“ stellt praktisch eine Anwendung dieser Prinzipien auf das Thema Baudynamik dar. Das Buch „Stahlbeton for Beginners“ wurde ein grosser Erfolg. Wir wurden regelmässig auf das Buch angesprochen und erhielten sogar Anrufe, wenn Leser mit unseren Ausführungen nicht oder besonders zufrieden waren. Bisher ist es uns noch nicht gelungen, das Buch auf die aktuellen Normen anzupassen. Das wird sicherlich noch geschehen. Jetzt liegt aber die Aufgabe der Fortsetzung der Reihe erst einmal bei diesem Buch. Weitere Fortsetzungen, wie z. B. „Baustatistik für Beginners“ sind geplant und in Arbeit. Das vorliegende Buch basiert auf den folgenden pädagogischen Konzepten: • Jedes Thema baut auf einem vorangegangenen Thema auf. Bei thematischen Sprüngen wird auf das Kapitel verwiesen, in dem sich die Vorüberlegungen finden. • Das Buch besitzt einen roten Faden und zwar vom Einfachen zum Komplizierten. • Zu jedem Thema gibt es ein oder mehrere Beispiele. Meine Erfahrung als Student und als Lehrender zeigt, dass man häufig am schnellsten mit Zahlenbeispielen lernt. • Es werden auch Hintergründe zu mathematischen Verfahren gegeben, die eigentlich Grundlage sein sollten, wie z. B. die Partialbruchzerlegung, Ableitungen etc. • Das Buch soll für sich stehen. Es soll nicht so sein, dass man noch ein Mathematikbuch neben dieses Buch legen muss, um dieses Buch zu verstehen. • Das Buch ist sehr tabellenorientiert. So gibt es z. B. Tabellen für Laplace-Transformation, Tabellen für die Bestimmung der Eigenfrequenzen von Stäben und Platten. Die Anwendung der Tabellen wird an Beispielen gezeigt. • Das Buch ist bildgetrieben. Wo immer möglich, werden die Zusammenhänge in Skizzen und Grafiken gezeigt. Die Skizze ist das Werkzeug des Ingenieurs. So lässt sich z. B. die Überführung aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich sehr schön bildlich darstellen. • Im Buch finden sich verschiedene Beispiele aus der Praxis, wie z. B. die Berechnung von Bremskräften auf einer Brücke. Leider sind viele meiner Berechnungen vertraulich, sodass die Beispiele abgewandelt werden mussten. Darüber hinaus lehnen sich

Vorwort

VII

viele Beispiele an Beispiele in anderen Skripten und Veröffentlichungen an. Hier verstehen sich die Ausführungen im Buch als Einstieg in die Themen. • Das Buch ist keine wissenschaftliche Studie. Es geht nicht darum, den aktuellen Stand der Wissenschaft und Technik im Bereich Baudynamik darzustellen oder weiterzuentwicklen, sondern das Buch ist ein Lehrbuch. • Das Hauptmoto des Buches lautet „Die Laplace-Transformation eines Differentialgleichungssystems ist nichts Schlimmes. Diese Aussage gilt für den gesamten Bereich der Baudynamik.“ Dieses Moto kann natürlich nicht ohne Widerspruch bleiben: viele Einstürze von Brückenbauwerken stehen in Verbindung mit unberücksichtigten dynamischen Einwirkungen und so ein Moto mag den Nutzer in der falschen Sicherheit wiegen, alles über die Baudynamik zu wissen. Ich glaube aber fest an die Intelligenz der Leser, dass sie mit wachsendem Verständnis des Themas auch die Grenzen ihres Wissens immer deutlicher sehen und sich entweder Hilfe holen oder weiterführende Literatur verwenden. Neben den bereits genannten Büchern zur Baudynamik gibt es sehr, sehr viele und teilweise sehr, sehr gute Vorlesungsskripte zum Thema Baudynamik im Internet. In vielen Fällen habe ich Ideen oder Beispiele als Grundlage für das Buch verwendet. Ich habe immer versucht, die Quellen der Ideen kenntlich zu machen. Sollte mir das einmal nicht gelungen sein, bin ich gern bereit, das Buch anzupassen. Ansonsten verbleibt mir nur noch eine Herzensangelegenheit: den Lesern und Leserinnen viel Erfolg beim Studium der Baudynamik und viel Erfolg bei der Anwendung dieses Wissens in der Praxis zu wünschen. Das Thema Baudynamik bietet immer noch eine hervorragende Möglichkeit, in der Praxis spannende und knifflige Aufgaben zu gewinnen und zu lösen. Würenlingen 2021

Dirk Proske

Danksagung

Ich möchte mich recht herzlich bei Wilhelm Proske bedanken, der einen grossen Teil des Satzes der Formeln übernommen hat. Meine liebe Frau hat im Urlaub einen grossen Teil des Buches gegengelesen. Auch dafür danke ich ihr. Und ich möchte mich bei Davide Kurmann bedanken, mit dem ich zusammen bei AXPO einen Grossteil der dynamischen Fragestellungen und Projekte bearbeiten durfte. Ich habe dabei sehr viel von ihm profitieren können. Natürlich bedanke ich mich bei der Vielzahl von Autoren, deren Bücher, Beiträge und Vorlesungsunterlagen Grundlage für zahlreiche Beispiele in diesem Buch sind, insbesondere bei Prof. Dr. Martin Schollmayer und Prof. Dr. Steffen Franke.  Ausserdem bedanke ich mich bei meinen Baudynamik-Studenten, die mir immer wieder Hinweise zur Verständlichkeit und zu den Beispielen gegeben haben und die natürlich auch den Bedarf nach einem guten Lehrmittel vorgebracht haben. Namentlich möchte ich hier Herrn Roman Schwizer und Frau Astrid Meier nennen. Ausserdem bedanke ich mich bei Herrn Jan Maurer und bei Frau Vivian Leuenberger. Beide haben die Beispielaufgaben durchgerechnet und mir kritisches Feedback gegeben. Die Verantwortung für alle Fehler liegt selbstverständlich bei mir und ich bin dankbar für allfällige Hinweise.

IX

Inhaltsverzeichnis

1

Einführung und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Ausgangslage und Zweck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Beispiele baudynamischer Konsequenzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Dynamische Einwirkungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Aufbau des Buches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6.1 Beispiel 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6.2 Beispiel 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6.3 Beispiel 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6.4 Beispiel 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6.5 Beispiel 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6.6 Beispiel 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.7 Testfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1 Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Bewegung einer Punktmasse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Bewegungsformen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 Ruhe (Statik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2 Gleichförmige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.3 Gleichmässig beschleunigte Bewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.4 Ungleichmässig beschleunigte Bewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.5 Periodische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Harmonische Schwingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.1 Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.2 Summen von harmonischen Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.3 Lissajous-Figuren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.4 Transformation von harmonischen Schwingungen. . . . . . . . . . 35 XI

XII

Inhaltsverzeichnis

2.4.5 Weisses Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5.1 Beispiel 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5.2 Beispiel 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5.3 Beispiel 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5.4 Beispiel 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5.5 Beispiel 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5.6 Beispiel 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6 Testfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3 Einmassenschwinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.1 Einführung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Differentialgleichung der Bewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.1 Herleitung der Differentialgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.2 Herleitung der Kraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 Mathematische Verfahren zur Lösung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.1 Einführung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.2 Euleransatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.3 Laplace-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3.3.1 Einführung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3.3.2 Laplace-Transformierte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.3.3.3 Theoretischer Hintergrund. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.3.3.4 Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.3.4 Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.4 Freie ungedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.5 Freie gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.6 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.7 Erzwungene gedämpfte Schwingung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.8 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.8.1 Vorbetrachtungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.8.2 Beispiel 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.8.3 Beispiel 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.8.4 Beispiel 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.8.5 Beispiel 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.8.6 Beispiel 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.9 Testfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4 Mehrmassenschwinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.1 Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.2 Eigenwertgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.3 Freie ungedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Inhaltsverzeichnis

XIII

4.4 Freie gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.5 Rayleigh-Verfahren für diskrete Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.6 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.6.1 Beispiel 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.6.2 Beispiel 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.6.3 Beispiel 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.6.4 Beispiel 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.7 Testfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5

Verteilte Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.1 Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.2 Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.2.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.2.2 Anwendungstabellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.3 Rechteckplatten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.3.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.3.2 Anwendungstabellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.4 Kreisplatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.4.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.4.2 Anwendungstabellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.5 Eigenfrequenzen im Hochbau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.6 Eigenfrequenzen im Brückenbau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.7 Ingenieurmässige Bestimmung der Eigenfrequenzen. . . . . . . . . . . . . . . 136 5.8 Dunkerley Methode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.9 Rayleigh-Quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.9.1 Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.9.2 Herleitung der kinetischen Energie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.9.3 Herleitung Rayleigh-Quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.10 Nichtlineares Materialverhalten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.11 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.11.1 Beispiel 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.11.2 Beispiel 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.11.3 Beispiel 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.11.4 Beispiel 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.11.5 Beispiel 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.11.6 Beispiel 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.11.7 Beispiel 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.11.8 Beispiel 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.11.9 Beispiel 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.12 Testfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

XIV

Inhaltsverzeichnis

6

Dämmung, Dämpfung und Tilger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.1 Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.2 Massen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.3 Steifigkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.4 Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.5 Dämmung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.6 Tilger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.7 Schwingungsisolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.8 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.8.1 Beispiel 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.8.2 Beispiel 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.8.3 Beispiel 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.8.4 Beispiel 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.8.5 Beispiel 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.9 Testfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

7

Numerische Lösungs- und Näherungsverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 7.1 Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 7.2 Fourieranalyse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 7.3 Näherungsverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 7.3.1 Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 7.3.2 Differenzenverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 7.3.3 Finite Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.3.4 Newmark Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 7.3.5 Explizite Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.4 Lösungen für Eigenwertprobleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7.4.1 Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7.4.2 Vektoriterationsverfahren nach v. Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7.4.3 Simultane Vektoriteration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.5 Modalanalyse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.5.1 Freie ungedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.5.2 Freie gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.5.3 Modale Reduktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.5.4 Vergleich der Methoden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.6 Antwortspektrenverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.6.1 Theoretisches Konzept. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.6.2 Normative Umsetzung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 7.7 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 7.7.1 Beispiel 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 7.7.2 Beispiel 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Inhaltsverzeichnis

XV

7.7.3 Beispiel 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 7.7.4 Beispiel 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 7.7.5 Beispiel 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 7.7.6 Beispiel 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 7.8 Testfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 8

Aussergewöhnliche dynamische Einwirkungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 8.1 Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 8.2 Anpralle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 8.2.1 Erläuterungen und Hintergründe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 8.2.2 Technische Anpralle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 8.2.3 Beispiel 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 8.2.4 Beispiel 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 8.2.5 Beispiel 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 8.2.6 Natürliche Anpralle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 8.3 Explosionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 8.3.1 Erläuterungen und Hintergründe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 8.3.2 Berechnungen im Bauwesen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 8.3.3 Beispiel 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 8.3.4 Beispiel 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 8.3.5 Beispiel 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 8.4 Testfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

9 Windeinwirkungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 9.1 Erläuterungen und Hintergründe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 9.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 9.3 Testfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 10 Erschütterungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 10.1 Erläuterungen und Hintergründe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 10.2 Testfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 11 Erdbeben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 11.1 Erläuterungen und Hintergründe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 11.2 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 11.2.1 Beispiel 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 11.2.2 Beispiel 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 11.2.3 Beispiel 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

XVI

Inhaltsverzeichnis

11.3 Ausblick. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 11.4 Testfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 12 Ausblick. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 Stichwortverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

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Einführung und Begriffe

1.1 Ausgangslage und Zweck Zunächst einige allgemeine Überlegungen am Anfang: Alle Erscheinungsformen der uns bekannten Materie sind geprägt durch Veränderung. Wenn wir aus dem Fenster blicken, sehen wir Wolken, die in wenigen Minuten am Himmel vorüberziehen. Wenn wir nach vielen Jahren wieder in eine Stadt kommen, finden wir diese mit einem veränderten Gesicht vor, mit neuen oder gealterten Bauwerken, neuen Läden und neuen Strassen. Geologen berichten davon, dass Gebirge über Jahrmillionen wuchsen und abgetragen wurden und Meere an Plätzen existiert haben, wo heute Wälder oder Wüsten zu finden sind. Astrophysiker erklären uns, dass eines Tages die Sonne aufhören wird zu scheinen und dass unsere Milchstrasse mit dem Andromedanebel kollidieren wird. Die Physiker weisen uns darauf hin, dass freie Protonen nach einer unglaublich langen Zeit zerfallen können und das Schwarze Löcher verdampfen. Von den kleinsten Elementarteilchen bis zu den grössten Galaxien kann man ein Entstehen und Vergehen beobachten und diese Regel schliesst auch die lebende Materie mit ein. Wir sehen Bäume wachsen oder das Getreide auf den Feldern reifen und auch wir Menschen unterliegen diesem Gesetz der Veränderung. Basierend auf diesen Beobachtungen können wir festhalten: Die Welt wird beherrscht durch Veränderung. Nicht umsonst gibt es den Spruch: „Die einzige Konstante im Leben ist die Veränderung“. Diese Veränderung koppelt praktisch alle Vorgänge, Prozesse oder Entwicklungen, je nachdem, welchen Begriff man wählen möchte, an die Zeit. Oder um es andersherum zu betrachten und mit den Worten von Ernst Mach (Neundorf 2006) zu formulieren: „In unserer Zeitvorstellung drückt sich der tiefgreifendste und allgemeinste Zusammenhang der Dinge aus“. Wenn wir uns allerdings eine statische Berechnung eines Bauwerkes anschauen, so gibt es dort in der Regel keinen Einfluss der Zeit, sie ist sozusagen zeitlos. ­Verkehrslasten © Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2021 D. Proske, Baudynamik for Beginners, https://doi.org/10.1007/978-3-658-33584-7_1

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1  Einführung und Begriffe

werden als über bestimmte Flächen konstante statische Flächen- oder Achslasten angenommen, Windlasten werden als statische Flächenlasten angenommen etc. Diese vereinfachten Ansätze mögen für viele baupraktische Fragestellungen ausreichend sein, manche Effekte können wir damit jedoch nicht beschreiben und erfassen. Die Baustatik kann diese Effekte praktisch nicht sehen. Diese Effekte werden in der Baudynamik behandelt. Sie ist also letztendlich nichts anderes, als die explizite Berücksichtigung der Zeit in den „baustatischen“ Berechnungen. In diesem Buch wird allerdings nur eine kurze Zeitspanne, also Sekunden und vielleicht Minuten, in den dynamischen Berechnungen berücksichtigt. Ermüdungserscheinungen, die nach vielen Jahren auftreten können oder Degradationserscheinungen nach Jahrzehnten sind nicht Bestandteil dieses Buches. Zur Berücksichtigung der zeitabhängigen Effekte müssen die „baustatischen“ Formeln erweitert werden. Zurück zu den allgemeinen Betrachtungen: Wenn wir die Zeit als Mass im Sinne von Ernst Mach verwenden sollen, dann darf und muss sie die einzige Verbindung zwischen den Dingen und Prozessen sein. Das kann man sich am besten verdeutlichen, wenn man überlegt, wie die Zeit bestimmt wird. Die Zeit selbst kann man, genau wie den Raum, nur über relative Bezüge messen. Wählt man eine universelle mathematische Formulierung der Abhängigkeit eines Prozesses, so ist dieser Prozess eine Funktion einer Ausgangssituation x0, einer Funktionsform mit F und dem besonderen Parameter Zeit t. Es sei an dieser Stelle auf den sogenannten Laplaceschen Dämon hingewiesen. Dieser hypothetische Dämon kann bei vollständigem Wissen über die Ausgangssituation x0 des gesamten Universums und einer deterministischen Funktionsschar F, den Entwicklungsverlauf des gesamten Universums vorhersagen. Leider sind viele Prozesse nicht allein deterministisch, sondern zu wesentlichen Teilen auch probabilistisch. Dies gilt im Übrigen auch für die Baudynamik, man denke nur an Wellen, Erdbeben oder den Wind. Stochastische Formulierungen innerhalb der Baudynamik sind allerdings nicht Gegenstand dieses Buches. Kommen wir zurück zur Bestimmung der Zeit: Der Parameter Zeit wird allein über Referenzprozesse gemessen. Das bedeutet, dass man neben dem einen Prozess, den man untersuchen möchte, einen zweiten, unabhängigen Referenzprozess benötigt. Solch ein Prozess kann z. B. das Ticken einer Uhr oder der Umlauf der Erde um die Sonne sein. Nimmt man nun an, die Änderung der Zeit sei in beiden Systemen identisch, so kann man die Gleichung des Referenzprozesses nach der Zeit umformen und in die Gleichung des ersten Prozesses einsetzen. Die Grundlage dafür ist genau die Form der Kopplung, wie sie oben Ernst Mach beschrieben hat. Denn während der Referenzprozess eigentlich völlig unabhängig von dem ersten Prozess ablaufen muss, sonst wäre er Bestandteil des Funktionsschar F, so scheint es doch die Kopplung der Prozesse über die Zeit t zu geben. Diese ausschliessliche Kopplung wäre z. B. nicht gegeben, wenn die Uhrzeit in einem Raum davon abhängig wäre, wie viele Menschen in dem Raum sind oder ob es regnet.

1.1  Ausgangslage und Zweck

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Allerdings wissen wir, dass die Zeit durchaus von Eigenschaften des Raumes abhängt, z. B. von relativistischen Geschwindigkeiten. Vernachlässigen wir diese Erkenntnis, verbleibt also eine Unterscheidung zwischen normalen Wechselwirkungen, wie der Gravitation, der starken und der schwachen Wechselwirkung, und der Zeit, eine übergreifende und universelle Kopplung. Die oben genannten Referenzprozesse nutzen in der Regel Beobachtungen von räumlichen wiederkehrenden Bewegungen. So kennen wir die Zeitlänge eines Tages oder eines Jahres, die an die astronomischen Bewegungen der Erde gebunden sind. Diese anderen Wechselwirkungen, wie die starke und die schwache Wechselwirkung, beziehen sich in der Regel auf Kräfte. Die Gravitation bezieht sich auf den Raum. Motor für diese Wechselwirkungen ist in der Regel die Energie. Und trotz dieser ungeheuren Bedeutung für unseren Verständnis der Welt entzieht sich die Zeit selbst dem Verständnis des Menschen. Im Allgemeinen glaubt man, dass die Zeit selbst zeitlos sei und dass es die Zeit schon immer gegeben hat. Aber bereits die alten griechischen Philosophen vermuteten: „Die Zeit wurde mit der Welt, die Welt nicht in der Zeit geschaffen.“ Wäre dies tatsächlich wahr, könnte man keine Kausalbeziehungen für die Zeit vor der Entstehung der Zeit formulieren. Stephen Hawking hat die Frage nach dem Beginn der Zeit daher durch die Einführung einer imaginären Zeit beantwortet. Damit wird ein Beginn der Zeit nicht mehr notwendig (Seemann 1997). Wie bereits erwähnt, bilden dynamische, periodische Veränderungen unserer Umwelt die Grundlage für die Strukturierung unserer Tages- und Jahresabläufe, wie Tage und Nächte, Wochen, Jahreszeiten, etc. Manche der Veränderungen sind also periodisch, manche Veränderungen sind einmalig. In einem Science-Fiction-Buch lebt die Bevölkerung eines Planeten in Höhlen und ist blind. Sie kennt das Konzept des Tages nicht, da sie die periodischen Änderungen des Lichtzustandes auf der Planetenoberfläche nicht kennt. Die Entwicklung der Zeiterfassung wäre in einem solchen Fall ausgesprochen schwierig. Fassen wir die bisherigen Überlegungen zusammen: Die Zeit bzw. deren Parameter spielen eine fundamentale Rolle in der Beschreibung und dem Verständnis der uns umgebenden Welt. Die Berücksichtigung der Zeitabhängigkeit des Verhaltens und der Eigenschaften von Objekten erfolgt in der Dynamik. Die Dynamik spielt also in praktisch allen Bereichen eine wesentliche Rolle, nicht nur im Bauwesen. Abb. 1.1 zeigt beispielhaft eine Warnung vor Küstendynamik, so wie es im ersten Absatz dieses Abschnittes beschrieben wurde, aber wir kennen natürlich auch die Fluiddynamik, die Aerodynamik, die Hydrodynamik, die Thermodynamik, die Elektrodynamik oder die Magnetohydrodynamik in der Physik, die Psychodynamik und Toxikodynamik in der Medizin, die Homöodynamik in den Sozialwissenschaften oder die Beitragsdynamik in der Versicherungswirtschaft. Dieses Buch behandelt allein Themen der Baudynamik. Es werden also zeitabhängige Zustandsparameter von Bauwerken bewertet. Während die Baudynamik zu wesentlichen

4

1  Einführung und Begriffe

Abb. 1.1   Warnung vor den Folgen der Küstendynamik. (Foto: D. Proske)

Teilen auf der Differentialgleichung des Einmassenschwingers basiert, gilt in der Fluiddynamik die Navier-Stokes-Differentialgleichung als Fundament.

1.2 Begriffe In diesem Abschnitt erfolgt die Einordnung von Themen der Dynamik. Dazu werden Taxonomien benötigt. Taxonomien sind Klassifizierungen von Entitäten hinsichtlich verschiedener Eigenschaften. Solche Klassifizierungen gibt es in vielen Naturwissenschaften, z. B. in der Biologie bei der Einführung von Arten und Ordnungen. Im Folgenden soll die Dynamik in die Taxonomie der Wissenschaften eingeordnet werden. Die Dynamik gehört zum Teilgebiet der Mechanik innerhalb der Physik. Die Mechanik befasst sich mit Beschreibung der Bewegungen von Körpern und von Kräften, die Bewegungen bedingen. Abb. 1.2 zeigt die Einordnung der Mechanik innerhalb der Physik. Je nach Alter des Physikbuches finden sich unterschiedliche Einteilungen. So verwenden ältere Bücher die Begriffe Wärmelehre und Elektrizitätslehre, während neuere Bücher die Begriffe Thermo- und Elektrodynamik verwenden. Auch findet sich in älteren Büchern noch die Akustik und die Optik als Hauptthemen der Physik. Diese Unterschiede haben aber keine Auswirkungen auf unser Verständnis der Dynamik.

1.2 Begriffe

5

Abb. 1.2   Einteilung der Physik und der Mechanik

Die Mechanik innerhalb der Physik kann unterschieden werden in die analytische bzw. rationale Mechanik, die sich mit prinzipiellen Zusammenhängen und Gesetzen der Mechanik befasst, und in die Technische Mechanik (siehe Abb. 1.3). In Letzterem erfolgt die Aufbereitung der Mechanik für die Anwendung auf Ingenieurprobleme. Die Festigkeitslehre ist eine Unterklasse der Technischen Mechanik und berücksichtigt die Eigenschaften der Baustoffe. Wie wir in den Abb. 1.2 und 1.3 sehen können, ist die Zuordnung der Kinematik nicht immer einheitlich. Wichtig im Rahmen der Baudynamik sind die Unterschiede und Einteilungen der folgenden vier Bereiche: • Die Kinematik als Unterklasse der Mechanik beschreibt Bewegungen, nicht aber die Kräfte. • Die Dynamik als Unterklasse der Mechanik beschreibt die Kräfte, die Bewegungen bedingen. • Die Statik als Unterklasse der Dynamik beschreibt den Zustand der Ruhe. • Die Kinetik als Unterklasse der Dynamik beschreibt den Zustand der Bewegung. Die Statik ist also ein ausserordentlich bedeutender Sonderfall der Dynamik. Normalerweise versuchen die Bauingenieure im Bereich der Statik zu verbleiben und die explizite Berücksichtigung dynamischer Effekte zu vermeiden. So werden Bürolasten in Gebäuden als statistische Einwirkungen abgebildet (SIA 261 2020). Das erscheint sinnvoll, da Möbel oft viele Jahre in Gebäuden stehen. Etwas schwieriger wird es bei Windlasten. Windlasten, die sich aus den Windgeschwindigkeiten ergeben und die stark veränderlich sind, werden trotzdem vereinfacht statisch beschrieben und so in statischen Berechnungen berücksichtigt (SIA 261 2020). Bei Verkehrslasten wird es noch Abb 1.3   Einteilung der Technischen Mechanik

6

1  Einführung und Begriffe

schwieriger: Hier werden dynamische Effekte teilweise schon über dynamische Lasterhöhungsfaktoren bzw. Schwingfaktoren berücksichtigt, z. B. bei Eisenbahnlasten. Der dynamische Lasterhöhungsfaktor ist im Bauwesen das am meisten verwendete Verfahren zur Berücksichtigung dynamischer Effekte. Der Lasterhöhungsfaktor ist bei Brücken z. B. von der Fahrzeuggeschwindigkeit abhängig. Aus diesem Grund kann man einen bisher nicht erfüllten statischen Tragfähigkeitsnachweis von Strassen- und Verkehrsbrücken trotzdem noch durch folgende drei Massnahmen erreichen: • Gewichtsbeschränkung von Fahrzeugen (statischer Effekt), • Begrenzung der Spuren bzw. Sperrung von Spuren (statischer Effekt) und • Geschwindigkeitsbeschränkung (Berücksichtigung dynamischer Effekte und damit einhergehend eine Verringerung des Lasterhöhungsfaktors). Es gibt aber auch Fälle, wo die explizite Berücksichtigung der dynamischen Effekte wirtschaftlicher ist als die Anwendung eines Lasterhöhungsfaktors. Stellt man sich z. B. vor, man würde einen Lasterhöhungsfaktor für die Verformungen der TacomaBrücke direkt vor ihrem Einsturz berücksichtigen müssen. Der Faktor wäre enorm und die Brücke wäre nicht mehr wirtschaftlich darstellbar. In solchen Fällen ist es effektiver und effizienter, die dynamischen Effekte direkt in der Berechnung zu berücksichtigen, denn die Dynamik kann Effekte sehen, die für die Statik unsichtbar sind. Um diese für die Statik unsichtbaren Effekte zu erfassen, benötigt die Dynamik mehr Informationen über ein Bauwerk, die in zusätzliche Berechnungsparameter einfliessen. Die Diskussion der Parameter stellt einen Kern des Buches dar. Darüber hinaus benötigt die Baudynamik auch deutlich mehr mathematische Werkzeuge als die Statik. Transformationen von Gleichungen, wie z. B. die Laplace-Transformation und die Fourier-Transformation, aber auch die Matrizenrechnung, komplexe Zahlen oder Eigenwertprobleme sind in der Dynamik „Tagesgeschäft“. Bei welchen Konstruktionen ist nun die Berücksichtigung dynamischer Effekte notwendig oder sinnvoll? Dabei handelt es sich im Wesentlichen um: • leichte Konstruktionen bzw. Konstruktionen mit geringer Steifigkeit (Seilstrukturen, temporäre Strukturen), • schwingungsanfällige Konstruktionen (stimmt praktisch mit dem ersten Punkt überein), • Konstruktionen unter dauerhaften regelmässigen oder unregelmässigen Schwingungen (Kirchtürme, Fussballstadien, Maschinenlasten, Ölplattformen etc.) und • Konstruktionen unter Verkehrslasten (Impulsförmig bzw. regelmässige Schwingungen). In Tab. 1.1 sind einige Konstruktionen aufgeführt, für die in der Regel baudynamische Betrachtungen erforderlich werden.

1.2 Begriffe

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Tab. 1.1  Auswahl von Tragwerken mit der Berücksichtigung dynamischer Effekte Nutzungsdauer

Einwirkungen

Eigenlastanteil

Eisenbahnbrücken

Lang

Periodisch ­(Verkehrslasten)

Mittel bis Hoch

Strassenbrücken (zunehmend)

Lang

Periodisch ­(Verkehrslasten)

Mittel bis Hoch

Kranbrücken

Mittel

Gering

Hängebrücken

Mittel bis lang

Gering

Seilverspannte Konstruktionen

Mittel

Gering

Fussgängerbrücken

Mittel bis lang

Gering

Förderanlagen

Mittel (teilweise ­beweglich)

Gering

Seilbahnen

Mittel

Gering

Fliegende Bauten

Kurz

Glockentürme

Lang

Periodische

Hoch

Gering

Schornsteine, Masten, ­Turmtragwerke

Mittel

Periodisch (Wind)

Mittel

Windkraftanlagen

Mittel

Periodisch (Wind)

Gering bis Mittel

Wehrkörper und ­Wehrverschlüsse

Lang

Hoch

Rohrleitungen (Dampfstösse) Kurz bis mittel

Gering

Tragwerke in bewegter See (Ölplattformen)

Mittel

Periodisch (Wellen)

Mittel

Anprallkonstruktionen

Mittel bis lang

Impulseinwirkung

Hoch

Schutzräume (Bunker)

Lang bis sehr lang

Impulseinwirkung

Hoch

Kerntechnische Anlagen

Mittel bis lang

Tragwerke in Erdbebenzonen Mittel bis lang

Hoch Mittel bis Hoch

Stadien

Mittel

Mittel

Ultraleichte Konstruktionen

Kurz

Sehr Gering

Man kann die Berücksichtigung dynamischer Berechnungen aber auch von den Einwirkungen abhängig machen. Es müssen baudynamische Untersuchungen erfolgen, wenn folgende Einwirkungen berücksichtigt werden müssen: • • • •

Böen- und Windlasten (Impulsförmig bzw. regelmässige Schwingungen) Wellen und Wasserlasten (Impulswellen) Erdbebenlasten (Impulsförmig bzw. regelmässige Schwingungen) Anpralle (Impulsförmig)

8

1  Einführung und Begriffe

• Explosionen, Deflagrationen (Impulsförmig) • Hüpfen und Springen (regelmässige Schwingungen) • Maschinenlasten (regelmässige Schwingungen) Für die weitere Einteilung der dynamischen Einwirkungen benötigt man einige zusätzliche Begriffe. Diese werden im Folgenden kurz aufgeführt: • Bei einem im Verhältnis zur Eigenschwingungdauer kleinen Lasteinwirkungszeit spricht man von einer Stoss- oder Impulsbelastung. Anprall wird in den Baunormen oft anders definiert. • Ein Poisson-Prozess ist ein stochastischer Impulsprozess, dessen Einwirkungsdauer vernachlässigbar in Bezug auf die Lebens- bzw. Nutzungsdauer einer Konstruktion ist. Diese Annahme gilt für viele dynamische Einwirkungen, wie z.B. Erdbeben, die nur wenige Sekunden andauern. Die planmässige Lebenszeit der Bauwerke beträgt dagegen 50 oder 100 Jahre. • Bei einem weichen Stoss, also wenn sich ein am Stossprozess beteiligter Körper deutlich mehr verformt als der oder die anderen beteiligten Körper, so darf der Anprall als Kraft-Zeit-Funktion modelliert werden. Gilt dies nicht, so müssen die Rechnungen unter Berücksichtigung der Energie-, Masse- und Impulserhaltung erfolgen. Das kann sehr aufwendig werden. • Eine statische Ersatzkraft ist diejenige Kraft, die die gleiche Verformung in der Tragstruktur wie die dynamische Einwirkung hervorruft. Der Faktor zur Berechnung der statischen Ersatzlast zur Berücksichtigung der dynamischen Einwirkungen heisst Dynamischer Lasterhöhungsfaktor (DLF) oder Schwingfaktor. Allgemein gilt: dynamische Effekte müssen immer dann berücksichtigt werden, wenn das Verhältnis der dynamischen Einwirkung zur statischen Einwirkung sehr gross ist. Da dieses Verhältnis wesentlich von der Spannweite geprägt wird, sind dynamische Effekte in der Regel bei weitgespannten Konstruktionen zu erwarten. Warum ist dieses Verhältnis von der Spannweite abhängig? Weitgespannte Konstruktionen müssen über ein geringes Verhältnis von Eigen- zu Nutzlast verfügen, sonst würde die Eigenlast die Tragfähigkeit der Konstruktion praktisch „auffressen“. Eine Spannbetonbrücke mit einer Spannweite in der Region von Hängebrücken bzw. Schrägkabelbrücken würde, lassen wir die Baubarkeit einmal aussen vor, praktisch nur noch sich selbst tragen können. Man spricht auch von der Selbstauslastung einer Tragstruktur. Diese ist definiert als Verhältnis der Eigenlast zur Summe aus Eigenlast und Verkehrslast. Im Folgenden sind einige Bilder dargestellt, die Konstruktionen zeigen, bei denen dynamische Effekte berücksichtigt werden sollten. So sehen wir in Abb. 1.4 eine Schrägkabelbrücke in Manaus in Brasilien. Auf die dynamischen Effekte an solchen seilgestützten Konstruktionen wird später, z. B. in Abb. 1.9, noch einmal eingegangen. Abb. 1.5 zeigt eine Erdölplattform. Auch hier spielen dynamische Effekte aus Wind und Wellen eine grosse Rolle. Abb. 1.6 zeigt eine Abraumförderbrücke in einem Braun-

1.3  Beispiele baudynamischer Konsequenzen

9

Abb. 1.4   Schrägkabelbrücke in Brasilien. (Foto: D. Proske)

kohle-Tagebau. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts, als die ersten dieser weitgespannten und trotzdem leichten Abraumförderbrücken errichtet wurden, gab es Einstürze durch Windeinwirkungen. Abb. 1.7 zeigt die Aussenseite eines Fussballstadiums. Auch dort spielen baudynamische Effekte eine grosse Rolle. Auch wenn im dargestellten Fall die Tribüne aus massiven Stahlbetonfertigteilen besteht, so ist der Lastfall Hüpfen und Springen in Stadien ein Standardlastfall. Dieser Lastfall ist auch für die abgespannte Konstruktion in Abb. 1.8 untersucht worden. Auch hier besteht die Möglichkeit, dass die Menschen sich im gleichen Rhythmus bewegen und da die Konstruktion relativ leicht ist, muss dieser Lastfall untersucht werden.

1.3 Beispiele baudynamischer Konsequenzen Vielen Lesern dürfte der Einsturz der Tacoma-Brücke im November 1940 durch windinduzierte Biegetorsionsschwingungen bekannt sein. Schauen sie sich unbedingt das Video, z. B. auf Youtube, an. Das Ereignis ist insbesondere aufgrund der hervorragenden Dokumentation durch Filmaufnahmen so berühmt geworden, denn diesem Einsturz waren bereits ähnliche Ereignisse vorausgegangen: So zeigte die 1920 bis 1926 erbaute

10

1  Einführung und Begriffe

Abb. 1.5   Erdölplattform in Brasilien. (Foto: D. Proske)

Hängebrücke über die Menai-Strasse 1936 Biegetorsionsschwingungen unter Wind mit Amplituden bis zu 4,8 m. Im gleichen Jahr (1936) erfolgte der Einsturz der BrightonBrücke aus dem Jahre 1826 durch Biegetorsionsschwingungen (Herzog 1982; Mehlhorn und Hoshino 2007). Aufgrund des Einsturzes der Tacoma-Brücke 1940 wurde eine Vielzahl von bestehenden Brückenbauwerken in den nächsten Jahren und Jahrzehnten verstärkt. In Mehlhorn und Hoshino (2007) werden solche Brückenverstärkungen aufgelistet. Mehdorn und Hoshino (2007) weisen darauf hin, dass es bereits Anfang des 19. Jahrhunderts einen Boom des Kabelbrückenbaus in Frankreich gab. So sollen zwischen 1830 und 1850 über 200 Kabelbrücken gebaut worden sein. Dieser Boom endete wahrscheinlich mit dem Einsturz der Basse-Chaine-Brücke bei Angers im Jahre 1850 mit über 200 Todesopfern. Ein weiterer sehr bekannter baudynamischer Effekt waren die Fussgänger-induzierten Querschwingungen auf der Milleniumsbrücke in London im Jahre 2000. Auch diese Schwingungen sind auf Youtube per Video dokumentiert. Bachmann und Ammann (1987) und Fukino et al. (1993) hatten bereits viele Jahre davor auf diese Problematik hingewiesen. Ein Jahr vor den Problemen der Milleniumsbrücke waren Probleme am Fussgängerübergang Solferino (heute Passerelle Léopold Sédar Senghor) in Paris aufgetreten. Diese Brücke wurde nachträglich mit Tilgern ausgerüstet.

1.3  Beispiele baudynamischer Konsequenzen

11

Abb. 1.6   Abraumförderbrücke. (Foto: D. Proske)

Heute existieren Schrägkabelbrücken mit einer Hauptspannweite von über 1000 m (Ge 2018). Ge (2018) berichtet über den aktuellen Stand des Schrägkabelbrückenbaus in China. Er sieht eine Spannweitengrenze bei 1500 m und verweist insbesondere auf die notwendige sorgfältige Berücksichtigung der aerodynamischen Instabilität (Flattern) und der aerostatischen Torsionsdivergenz bei den immer grösser werdenden Spannweiten. Abb. 1.9 zeigt verschiedene dynamische Effekte an Schrägkabelbrücken in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit. Links unten sind die Karmanschen Wirbelstrassen, die zum Einsturz der Tacoma-Brücke geführt haben, erkennbar. Interessent sind in diesem Zusammenhang auch die Regen-Wind-induzierten Schwingungen (siehe auch kleines Bild rechts). Dabei verändern sich die dynamischen Eigenschaften der Konstruktion durch am Seil ablaufende Regenwasserströme. In Mehdorn und Hoshino (2007) werden die längsten Hängebrücken der Welt aufgelistet. Meier (2009, 1987) nennt in seinen Veröffentlichungen eine maximale Spannweite von 4000 m für Hängebrücken aus Kohlenstoffmaterial. Je weiter die Konstrukteure die Spannweiten wählen, umso bedeutender werden die baudynamischen Effekte für die Planung und Errichtung der Brücken sein. Für Deutschland ist der Einsturz der Brücke Eschede 1998 unter Zuganprall als Konsequenz baudynamischer Einwirkungen zu nennen. Einstürze unter Anprall besitzen auch heute noch einen grossen Anteil an allen Einsturzursachen und sind häufig mit grossen Opferzahlen verbunden, wie Brückeneinstürze durch Schiffsanprall (Proske 2004)

12

1  Einführung und Begriffe

Abb. 1.7    Fussballstadium. (Foto: D. Proske)

oder Murenanprall zeigen. Abb. 1.10 zeigt ein Schiff an der Albertbrücke in Dresden nach einem Anprall. Das Schiff hat sich aufgrund der Strömung vor die Pfeiler der Brücke gelegt. Abb. 1.11 zeigt symbolisch die Durchführung von verkleinerten Schiffsanprallversuchen durch Woisin von 1967 bis 1976 an der GKSS in Geesthacht. Abb. 1.12 zeigt die Anprallspuren eines Fahrzeuganpralles an einer Steinbogenbrücke. Abb. 1.13 zeigt Fotos von miniaturisierten Murenanprallversuchen an der Universität für Bodenkultur in Wien. Dabei wurde ein Skalierungsfaktor von ca. 30 verwendet. Auch wenn das Thema Ermüdung in diesem Buch nicht weiter behandelt wird, so spielen Ermüdungserscheinungen und –effekte eine erhebliche Rolle beim Versagen technischer Systeme. So bildeten Ermüdungs- und Bruchmechanische Effekte die Ursache für das Auseinanderbrechen mehrerer Liberty-Schiffe während und nach dem zweiten Weltkrieg. Diese Schiffe konnten zwar sehr schnell gebaut werden, zeigten aber auch eine sehr grosse Versagenshäufigkeit, die in Verbindung mit Ermüdungserscheinungen stand (Richard und Sander 2009). Auch die Absturzserie des Flugzeugtyps De Havilland DH.106 Comet Anfang der 1950er Jahre ist im Zusammenhang mit Ermüdungs- und Bruchmechanischen Effekten, die man zum Zeitpunkt der Entwicklung noch nicht kannte, zu sehen (Richard und Sander 2009).

1.3  Beispiele baudynamischer Konsequenzen

13

Abb. 1.8   Cafe in Dresden. (Foto: D. Proske)

Abb. 1.9   Dynamische Effekte an Schrägkabelbrücken (Nahrath 2004)

Abb. 1.14 zeigt das „Blaue Wunder“ in Dresden. Aufgrund von Ermüdungsproblemen musste der Strassenbahnverkehr auf der Brücke eingestellt werden. Es gibt dazu zahlreiche Arbeiten, z. B. von Prof. Dr. Karsten Geissler (Geissler und Quoos 1999).

14

1  Einführung und Begriffe

Abb. 1.10   Schiffsanprall an die Albertbrücke in Dresden. (Foto: D. Proske) Abb. 1.11   Vereinfachte Darstellung der Schiffsanprallversuche durch Woisin von 1967 bis 1976 an der GKSS in Geesthacht. (Grafik D. Proske)

Ermüdungsprobleme treten nicht nur bei Brücken mit Lastwechselzahlen von N = 107 auf, sondern auch bei Flugzeugen mit N = 5 × 107, Helikoptern N = 108 und Windenergieanlagen mit N = 5 × 108 … 1 × 109 Last (Gasch und Jochen 2015; Schaffarczyk 2016).

1.4 Dynamische Einwirkungen Die Frequenz von Einwirkungen spielt eine wesentliche Rolle bei der Entscheidung, ob baudynamische Bewertungen durchgeführt werden müssen. Tab. 1.2 nennt den Frequenzbereich in Herz für verschiedene dynamische Einwirkungen.

1.4  Dynamische Einwirkungen

15

Abb. 1.12   Fahrzeuganprallspuren an einer Bogenbrücke. (Foto: D. Proske)

Abb. 1.13    Miniaturisierte Murenanprallversuche. (Foto: Chr. Scheidl)

Den meisten Lesern wird der Begriff der Dehnung aus der Statik bekannt sein, also die Längenänderung eines Bauteiles unter Last. In der Statik wird dieser Wert immer als instantan verstanden, also eine Last wird aufgebracht und die Dehnung stellt sich

16

1  Einführung und Begriffe

Abb. 1.14   „Blaues Wunder“ in Dresden. (Foto: D. Proske)

praktisch sofort ein. Tatsächlich wird die Last aber aufgebracht und die Struktur wird nicht sofort ein Gleichgewicht finden, sondern zunächst einmal schwingen. Diese Schwingungen können wir im üblichen Hochbau in der Regel vernachlässigen (ausser den oben genannten Konstruktionen und Einwirkungen). Wenn die Dehnung aber sehr schnell aufgebracht wird, kann das zu Änderungen des Materialverhaltens führen. Baustoffe, wie z. B. Beton, zeigen unter hohen Dehnraten bzw. Dehngeschwindigkeiten eine erhöhte Festigkeit (siehe Abb. 1.15). Daher ist der Begriff der Änderung der Dehnung über die Zeit notwendig (Abb. 1.16). Die Änderung des Ortes über die Zeit wird als Geschwindigkeit bezeichnet, daher verwendet man den Begriff der Dehngeschwindigkeit:

ε˙ =

dε dt

(1.1)

Tab. 1.3 nennt die üblichen Dehngeschwindigkeiten für verschiedene dynamische Einwirkungen. Die Unterscheidung zwischen schwingungsanfälligen und nicht schwingungsanfälligen Bauwerken ist genau wie bei der Berücksichtigung der Effekte aus Theorie II. Ordnung eine Vergrösserung der Verformung um 10 %. In anderen Worten, wenn z. B.

1.4  Dynamische Einwirkungen

17

Tab. 1.2  Relevante Frequenzbereiche für typische dynamische Einwirkungen nach Gerold und Stempniewski (2004) Dynamische Einwirkung

Frequenzbereich in Hz

Sprengung

1–300

Rammen von Bohrpfählen

1–100

Maschinen ausserhalb von Bauwerken

1–300

Maschinen innerhalb von Bauwerken

1–1000

Stösse infolge Bauwerksnutzung Druckstoss (Explosion)

0,1–100 1–40

Abb. 1.15   Verhältnis der statischen zur dynamischen Betonzugfestigkeit in Abhängigkeit von der Dehngeschwindigkeit nach Ortlepp (2006)

Abb. 1.16   Definition der Dehngeschwindigkeit nach Ortlepp (2006)

durch die Berücksichtigung von Böen eine 10 % grössere Verformung als ohne Berücksichtigung der Böen auftritt, so sind diese dynamisch, z. B. durch einen Böenfaktor, zu berücksichtigen. Da es in der Praxis schwierig ist, diesen 10 % Wert vor der Berechnung zu kennen, gibt es Empfehlungen, die auf Geometriewerten der Gebäude und auf konstruktiven Regelungen basieren. So gelten übliche Wohn-, Büro- und Industriegebäude

18

1  Einführung und Begriffe

Tab. 1.3  Dehnungsgeschwindigkeiten nach Ortlepp (2006) Dynamische Einwirkung

Dehnungsgeschwindigkeit in 1/s

Simulation für statische Belastung

10−6 … 3 × 10−5

Fahrzeug- bzw. Schiffsanprall

10−6 … 10−4

Gasexplosion

5 × 10−5 … 5 × 10−4

Erdbeben

10−2 … 5 × 100

Pfahlrammen

10−2 … 100

Flugzeuganprall

5 × 10−2 … 5 × 100

Harter Stoss

100 … 5 × 101

Hochgeschwindigkeitsanprall

102 … 106

mit einer Höhe bis 25 m als nicht schwingungsanfällig. Diese Regelung darf auch auf andere Gebäudenutzungen angewendet werden, wenn Form und Konstruktion vergleichbar sind mit den zuerst genannten Gebäudearten. Ausserdem dürfen Gebäude als nichtschwingungsanfällig angesehen werden, wenn sie folgendes Kriterium erfüllen:

xs ≤  h href h

δ ·

h+b b

+ 0,125 ·



h href

2

(1.2)

mit xs als Kopfpunktverschiebung in m unter Eigenlast angesetzt in die Windrichtung (dies wäre z. B. bei einem Kragarm die maximale Verformung am Kragarmende), δ als logarithmische Dekrement, h als Gebäudehöhe in m, href als Referenzhöhe von 25 m und b als Gebäudebreite senkrecht zur Windrichtung in m. Näherungswerte für das logarithmische Dekrement finden sich in Tab. 1.4. Die Bedeutung des logarithmischen Dekrements wird in Kap. 3 behandelt. Wie bereits erwähnt, wird bei Stössen zwischen harten (vollständig elastisch), weichen (teilplastisch) und vollplastischen Stössen unterschieden. Dies hat Auswirkungen auf die Modellierung des Stossprozesse. Die Stossziffer ist die Wurzel aus der Fallhöhe h zur Rückspringhöhe H und kann für verschiedene Materialien angegeben werden. Sie kann zur Modellierung von teilplastischen Stössen verwendet werden. In Tab. 1.5 finden sich einige Beispiele.

Tab. 1.4  Näherungswerte für das logarithmische Dekrement in Abhängigkeit von Bauweisen Bauweise

Logarithmisches Dekrement

Massivbau

0,10

Stahlbau

0,05

Mischbauweise (Stahl- und Beton)

0,08

1.5  Aufbau des Buches Tab. 1.5  Stossziffern nach Ortlepp (2006), siehe auch Kuchling (1980)

19 Material

Stossziffer

Elfenbein

8/9

Stahl

5/6

Kork

5/9

Glas

15/16

Holz

1/2

Ideal plastisch

0

Ideal elastisch

1

Neben den bisher genannten Konstruktionsarten, für die baudynamische Berechnungen üblich werden, wurden in diesem Kapitel verschiedene weitere Kriterien für die Notwendigkeit von baudynamischen Berechnungen angegeben. Das waren • • • •

der Frequenzbereich der Einwirkung die Dehngeschwindigkeit die Schwingungsanfälligkeit und die Stossziffer.

1.5 Aufbau des Buches Nach den allgemeinen Ausführungen zu den Begriffen der Dynamik, zu den Konsequenzen dynamischer Einwirkungen und zur Auswahl von Konstruktionen, bei denen baudynamische Untersuchungen empfohlen werden, soll in diesem Abschnitt der generelle Aufbau des Buches erläutert werden. Das Buch gliedert sich wie folgt. Im Kap. 2 wird die Kinematik behandelt, also die Beschreibung von Bewegungsprozessen ohne Berücksichtigung von Kräften. Dabei handelt es sich im Wesentlichen um eine Wiederholung der Physikvorlesungen. Im Anschluss daran werden im Kap. 3 zahlreiche Modelle und Effekte dynamischer Bewegungen am Einmassenschwinger hergeleitet bzw. vorgestellt. Auch wenn der Einmassenschwinger ein sehr einfaches Modell ist, so bildet er eine wesentliche Grundlage für das Verständnis des dynamischen Verhaltens von Bauwerken. Die Erweiterung des Einmassenschwingers sind diskrete Mehrmassenschwinger. Diese werden im Kap. 4 behandelt. Nach der Diskussion der diskreten Massen im Kap. 3 und 4 werden im Kap. 5 Bauelemente und Bauwerke mit verteilten Massen behandelt. Im Kap. 6 werden mögliche Massnahmen zum Umgang mit dynamischen Einwirkungen besprochen: Dämmung, Dämpfung und Tilger. Im Anschluss daran werden verschiedene mathematische Verfahren, wie die Fourier-Analyse vorgestellt. In den weiteren Kapiteln schliessen sich die Modalanalyse und das Antwortspektrenverfahren an. Die verbleibenden Kapitel befassen sich konkret mit verschiedenen dynamischen Einwirkungen, wie z. B. Anpralle, Erschütterungen und Erdbeben.

20

1  Einführung und Begriffe

Jedes Kapitel umfasst ein Unterkapitel mit Rechenbeispielen und potenziellen Prüfungsfragen. Im Folgenden finden sich die ersten einfachen Rechenbeispiele.

1.6 Anwendungsbeispiele 1.6.1 Beispiel 1 Es ist zu überprüfen, ob ein Massivgebäude schwingungsanfällig ist. Angenommen wird nach Schmidt (2014) ein Gebäude mit einem Grundriss von 10 m × 40 m und einer Höhe von 28 m. Die Eigenlast beträgt 3,3 MN pro Geschoss. Das Gebäude hat 8 Geschosse. Das Trägheitsmoment beträgt Iy = 6,21  m4 und der E-Modul beträgt 29.000 MN/m2 bzw. MPa. Die Auslenkung ergibt sich wie folgt:

xs =

3,3 · 8/28 m · (28 m)4 1 q · l4 · = 0,125 · = 0,402 8 E·I 29 000 MPa · 6,21 m4

(1.3)

Damit ergibt sich:

0,402 xs = = 0,014 ≤  h 28 m 25 m 28 m

0,1 ·

28 m+10 m 10 m

+ 0,125 ·



28 m 25 m

2 = 0,0257

(1.4)

Das Kriterium schwingungsanfälliger Bauwerke wird nicht verletzt. Damit ist die Konstruktion nicht als schwingungsanfällig zu betrachten. Böen müssen nicht explizit berücksichtigt werden.

1.6.2 Beispiel 2 Ein Zugstab mit einer Länge von 1 m verlängert sich durch den Eintrag einer Kraft innerhalb von 0,2 s um 3 cm. Wie gross ist die Dehngeschwindigkeit? Die Dehnung berechnet sich aus:

ε=

0,03 m �l = = 0,03 l 1m

(1.5)

und die Dehngeschwindigkeit beträgt:

ε˙ =

0,03 1 �ε = = 0,15 �t 0,2 s

(1.6)

Gemäss Tab. 1.3 handelt es sich um eine relativ hohe Dehngeschwindigkeit. Die Verformung könnte durch ein Erdbeben, eine Pfahlrammung oder durch einen schnellen Anprall ausgelöst worden sein.

1.6 Anwendungsbeispiele

21

1.6.3 Beispiel 3 Bei einer Explosion wird eine Dehngeschwindigkeit von 10–3 1/s im Beton erreicht. Wie hoch ist die Betonzugfestigkeit im Vergleich zu einer statischen Belastung? Gemäss Abb. 1.17 wird ein Erhöhungsfaktor von ca. 1,35 erreicht. Da die Kurve in Abb. 1.17 ein Mittelwert verschiedener Versuche repräsentiert, die um die Kurve schwanken, sind hier auch Abweichungen möglich. Eine Erhöhung um ca. 35 % kann bei den absolut geringen Betonzugfestigkeiten und möglicherweise grossen Querschnitten durchaus von Bedeutung sein.

1.6.4 Beispiel 4 Ein Balken erreicht unter statischer Einwirkung eine Verformung von 1 cm. Erfolgt die gleiche Einwirkung dynamisch, so wird durch die Resonanz eine Verformung von 3 cm erreicht. Wie gross wäre der dynamische Lasterhöhungsfaktor (DLF), um die dynamischen Effekte im statischen Lastmodell zu berücksichtigen?

DLF =

3 cm =3 1 cm

(1.7)

Der dynamische Lasterhöhungsfaktor, der auch als Schwingfaktor bezeichnet wird, beträgt 3. Natürlich liegt in der Praxis der Aufwand in der Berechnung der Verformung. Die ist hier der Einfachheit halber schon gegeben. Abb. 1.18 zeigt übliche Bereiche für Lasterhöhungsfaktoren im Strassenverkehr. Wie man erkennen kann, hängt der Faktor vom Zustand der Strasse, aber auch von der Beladung ab. Fahrzeuge können tatsächlich als typische dynamische Modelle mit Masse, Steifigkeit und Dämpfung betrachtet werden. Abb. 1.19 zeigt ein solches Modell zur Bestimmung der dynamischen Einwirkungen auf Brücken. Abb. 1.17   Verhältnis der statischen zur dynamischen Betonzugfestigkeit in Abhängigkeit von der Dehngeschwindigkeit nach Ortlepp (2006)

22

1  Einführung und Begriffe

Abb. 1.18   Dynamische Lasterhöhungsfaktoren für Strassenverkehrslasten nach Merzenich und Sedlacek (1995). Ein Faktor 1 entspricht der statischen Last

Abb. 1.19   Dynamisches Modell eines Strassenfahrzeuges auf einer Brücke nach Merzenich und Sedlacek (1995)

1.6.5 Beispiel 5 Der dynamische Lasterhöhungsfaktor soll für eine Impulsbelastung ermittelt werden. Impulsbelastungen sind definiert als sehr kurze Einwirkungszeiten bezogen auf die Periodendauer der Eigenfrequenz (siehe Abb. 1.20). In solchen Fällen darf das DuhamelIntegral, das Integral über die Impulseinwirkungsdauer, verwendet werden. Man kann dieses Integral auch nutzen, wenn die Kraft erhalten bleibt. Dann erhält man die sogenannte Sprungantwort des Systems. Die Lösung für die zeitabhängige Verformung x(t) lautet dann:

x(t) =

F0 (1 − cos(ω · t)) m · ω2

(1.8)

wobei F0 die Amplitude der Impulslast (siehe Abb. 1.20), m die Masse des beaufschlagten Körpers, ω die Eigenkreisfrequenz des beaufschlagten Körpers und t die Zeit ist. Abb. 1.20   Kraft-ZeitDiagramm für eine Impulsbelastung

1.7 Testfragen

23

Abb. 1.21   Vereinfachte Darstellung der Belastung bei Zugvorbeifahrt an einer Lärmschutzwand nach Reiterer et al. (2020)

Gemäss der Formel kann die Verformung maximal das Doppelte der Amplitude, also der statischen Kraft werden, da gilt

max(1 − cos(ω · t)) = (1 − (−1)) = 2

(1.9)

1.6.6 Beispiel 6 Lärmschutzwände an Autobahnen und Gleisen sind erheblichen dynamischen Einwirkungen ausgesetzt. Dabei spielen neben Ermüdungsbelastungen auch dynamische Lasterhöhungsfaktoren eine Rolle. Abb. 1.21 zeigt den Druckverlauf an einer Lärmschutzwand bei einer Zugvorbeifahrt. Gesucht ist in diesem Zusammenhang der dynamische Lasterhöhungsfaktor. Basierend auf Literaturangaben (Reiterer et al. 2020) wird eine Lasterhöhungsfaktor von ca. 3,3 angesetzt.

1.7 Testfragen In jedem Kapitel findet sich ein Abschnitt mit Testfragen. Hier können Sie prüfen, ob Sie den Ausführungen und Erläuterungen folgen konnten. 1. Nennen Sie drei dynamische Einwirkungen auf Bauwerke, die üblicherweise mit statischen Ersatzlasten rechnerisch untersucht werden? 2. Bewegt sich eine Tonne Stahl bei gleicher Fallhöhe im Gravitationsfeld der Erde unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes gleich schnell, schneller oder langsamer als ein Kilogramm Stahl? 3. Ist die Statik ein Sonderfall der Dynamik oder ist die Dynamik ein Sonderfall der Statik? 4. Untersucht die Kinematik die Bewegungen und sagt etwas über die Kräfte aus oder werden nur Bewegungen untersucht ohne Aussage zu Kräften? 5. Wie werden vertikale dynamische Strassen- und Eisenbahnverkehrslasten in der Statik berücksichtigt? 6. Was ist ein Dynamischer Lasterhöhungs- bzw. Schwingfaktor und wie hoch ist er ca. bei Strassen- und Eisenbahnbrücken maximal?

24

1  Einführung und Begriffe

7. Ist der Schwingfaktor von der Geschwindigkeit abhängig? 8. Nennen Sie drei Massnahmen, durch die man die dynamische Verkehrslasteinwirkung auf Strassen- und Eisenbahnbrücken verringern kann? 9. Was wird in der Dynamik als Stossvorgang bezeichnet? Ist diese Definition mit den dynamischen Stosslasten in den Baunormen kompatibel? 10. Was ist der Unterschied zwischen der Definition eines dynamischen Stosses und eines Poisson-Prozess? 11. Was bezeichnet man in der Dynamik als weichen Stoss? 12. Welche Vorteile bringt die Anwendung des weichen Stosses für die dynamische Modellierung? 13. Geben Sie ein Beispiel für die Verbesserung von Materialeigenschaften durch dynamische Einwirkungen. 14. Geben Sie ein Beispiel für die Verschlechterung von Materialeigenschaften durch dynamische Einwirkungen. 15. Was ist ein Lasterhöhungsfaktor? 16. Wie wird der Lasterhöhungsfaktor bestimmt? 17. Was ist eine Dehnrate oder Dehngeschwindigkeit? 18. Bei welcher Dehnrate sprechen wir von einer quasi-statischen Einwirkung? 19. Warum verwendet man in der Statik meistens statische Ersatzkräfte anstelle von dynamischen Kraft-Zeit-Funktionen? 20. Nach welchem Kriterium werden statische Ersatzkräfte für dynamische Ein wirkungen bestimmt?

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Literatur

25

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2

Kinematik

2.1 Einleitung Die Kinematik ist eine Untergruppe der Mechanik. Im Gegensatz zum Hauptthema des Buches, der Dynamik, befasst sich die Kinematik nicht mit Kräften, Massen, Impulsen oder Energie, sondern kennt allein die physikalischen Grössen Zeit, Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Dabei stehen die Grössen miteinander in Verbindung, sodass sich aus der Information über die Änderung des Ortes Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zurückrechnen lassen. Genauso kann man auch aus der Beschleunigung und der Geschwindigkeit den Ort berechnen. Die folgenden Überlegungen basieren auf einer Vielzahl von Büchern zur Dynamik und Kinematik, wie z. B. Hering et al. (2016), Meschede (2015), Popov (2009), Petersen und Werkle (2017), Schollmayer (2018) und Heinemann et al. (1990).

2.2 Bewegung einer Punktmasse Betrachten wir die Bewegung einer Punktmasse im eindimensionalen Fall (nur die Länge). Dies ist in Abb. 2.1 dargestellt. Beginnt man mit einem bekannten Ort, so können Geschwindigkeit und die Beschleunigung wie folgt bestimmt werden. Der Ort ist eine Funktion der Zeit (Orts-Zeit-Funktion)

Abb. 2.1   Systemdarstellung der Bewegung einer Punktmasse © Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2021 D. Proske, Baudynamik for Beginners, https://doi.org/10.1007/978-3-658-33584-7_2

27

28

2 Kinematik

x = x(t)

(2.1)

Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortes nach der Zeit, also die Änderung des Ortes über die Zeit:

vx =

dx = x˙ , dt

(2.2)

wobei der Punkt die Ableitung nach der Zeit darstellt. Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit bzw. die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:

ax =

d2x dvx = 2 = x¨ dt dt

(2.3)

Da die inverse mathematischen Funktion der Ableitung bekannt ist, nämlich die Integration, können Ort und Geschwindigkeit auch aus der Beschleunigung zurückgerechnet werden:

ax = ax (t)

(2.4)

ˆ

(2.5)

vx =

x=

ˆ ˆ

ax dt

ax dt

(2.6)

Man kann auch mit der Geschwindigkeit starten und dann die Beschleunigung und die Orts-Zeit-Funktion bestimmen. Für exakte numerische Berechnungen sind oft noch Startwerte notwendig, die sich bei der Integration auch klar als Integrationskonstanten zeigen. Solche Startwerte können eine Initialgeschwindigkeit oder eine örtliche Verschiebung des Startpunktes sein.

2.3 Bewegungsformen Die im vorangegangenen Abschnitt genannten Zusammenhänge zwischen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung können für jeden funktionalen Zusammenhang bestimmt werden. Es gibt allerdings verschiedene Sonderfälle, die mehr oder weniger häufig auftreten oder die vereinfachend in baustatischen Berechnungen verwendet werden. Einige dieser Fälle werden im Folgenden kurz behandelt.

2.3.1 Ruhe (Statik) Wie bereits im Kap. 1 gezeigt, ist die Statik eine Sonderform der Dynamik. Das Wesen der Statik ist das Gleichgewicht der Kräfte und damit der Ruhezustand. Bauteile sollen

2.3 Bewegungsformen

29

sich im Normalfall eben nicht bewegen. In mathematische Sinne ist der Ort damit konstant und nicht mehr von der Zeit abhängig. In Abb. 2.2 sind trotzdem die Orts-Zeit-, Geschwindigkeits-Zeit- und die Beschleunigungs-Zeit-Funktion dargestellt.

2.3.2 Gleichförmige Bewegung Die nächsthöhere Bewegungsform ist die gleichförmige Bewegung. Diese Bewegung ist dadurch gekennzeichnet, dass keine Geschwindigkeitsänderung auftritt. In Abb. 2.3 sind die Orts-Zeit-, Geschwindigkeits-Zeit- und die Beschleunigungs-Zeit-Funktion dargestellt. Wie man im Vergleich zu Abb. 2.2 sehen kann, ist der Ort jetzt zeitveränderlich.

2.3.3 Gleichmässig beschleunigte Bewegung Die nächsthöhere Bewegungsform ist die gleichmässig beschleunigte Bewegung. Diese Bewegung ist dadurch gekennzeichnet, dass keine Beschleunigungsänderung auftritt. In Abb. 2.4 sind die Orts-Zeit-, Geschwindigkeits-Zeit- und die Beschleunigungs-ZeitFunktion dargestellt. Wie man im Vergleich zu Abb. 2.2 und 2.3 sehen kann, sind sowohl Ort als auch Geschwindigkeit jetzt zeitveränderlich. Die Zahl mit dem Ausrufezeichen im Diagramm zeigt die Ordnung des Polynoms an, falls die Funktion einem solchen folgt.

2.3.4 Ungleichmässig beschleunigte Bewegung Bei den drei bisher genannten Fällen handelt es sich natürlich um Sonderfälle, die in der Baudynamik keine oder nur eine sehr unbedeutende Rolle spielen. Viel mehr von Abb. 2.2   Orts-Zeit-, GeschwindigkeitsZeit- und Beschleunigungs-Zeit-Funktion der Ruhe

x x0 0

Abb. 2.3   Orts-Zeit-, GeschwindigkeitsZeit- und Beschleunigungs-Zeit-Funktion der gleichförmigen Bewegung

x x0 0

Abb. 2.4   Orts-Zeit-, GeschwindigkeitsZeit- und Beschleunigungs-Zeit-Funktion der gleichmässig beschleunigten Bewegung

x x0 0

ax

vx t

0

vx0 = 0

t

0

t

vx vx0 0

2!

ax0 = 0

t

ax

vx vx0 t

0

t

0

ax0 = 0

t

ax ax0

1!

t

0

t

30

2 Kinematik

Bedeutung sind ungleichmässig beschleunigte Bewegungen. Solche ungleichmässig beschleunigten Bewegungen betreffen praktisch alle dynamischen Einwirkungen, seien es Erdbeben, Windlasten, Lasten aus Wellen, Gehbewegungen in Gebäuden, Fahrzeuge auf Strassen und so weiter. Abb. 2.5 zeigt den Beschleunigungs-Zeit-Verlauf beim El Centro Erdbeben 1940 in Kalifornien für die Erdoberfläche. Wie man deutlich erkennen kann, bildet die Beschleunigungs-Zeit-Funktion weder eine gerade Linie noch eine anderweitig erkennbare regelmässige Funktion. Die Beschleunigung ist definitiv nicht gleichmässig. Allerdings können Beschleunigungen ungleichmässig sein, aber trotzdem Muster zeigen. Eine solche Form sind die periodischen Beschleunigungen und die sich daraus ergebenden Schwingungen.

2.3.5 Periodische Schwingungen Wie eben ausgeführt, existieren innerhalb der ungleichmässig beschleunigten Bewegungen wiederum Sonderfälle. Eigentlich müssten diese Sonderfälle in der Hierarchie des Dokumentenaufbaus unterhalb der ungleichmässig beschleunigten Bewegungen stehen. Allerdings spielen diese Bewegungen eine so grosse Rolle, dass sie in diesem Abschnitt gleichrangig zum Abschnitt der ungleichmässig beschleunigten Bewegung behandelt werden und im nächsten Abschnitt wird sogar eine Sonderform der periodischen Schwingungen, die harmonische Schwingung, gleichwertig zu allen Bewegungsformen überhaupt gesetzt. Warum das so ist, wird im Buch ausführlich erläutert. Um die Spannung aber nicht zu gross werden zu lassen: mit der Summe harmonischer Schwingungen lassen sich fast alle ungleichmässig beschleunigten Bewegungen abbilden.

Abb. 2.5   Boden-Beschleunigungs-Zeit-Verlauf beim El Centro Erdbeben 1940 in Kalifornien

2.3 Bewegungsformen

31

Zunächst zeichnet sich in der Überschrift aber der Übergang von der Bewegung zur Schwingung ab. Eine Schwingung ist eine zeitlich wiederholte Abweichung einer Zustandsgrösse von einem Grund- oder Ruhewert. Eine solche Zustandsgrösse kann der Ort, die Geschwindigkeit, die Beschleunigung, aber z. B. auch eine Stromstärke sein. Die Abweichung mag zwar wiederholend sein, aber sie muss nicht zwangsläufig periodisch sein. Eine Schwingung x(t) heisst periodisch, wenn zu einem beliebigen Zeitpunkt t und einem t + nT (n = 1, 2,…) die Bedingung x(t) = x(t + nT) für n = 1, 2… erfüllt ist, wobei die Zeit T als die Periode der Schwingung bezeichnet wird. Abb. 2.6 zeigt Beispiele von periodischen Schwingungen. Eine harmonische Schwingung ist eine reine Sinus- bzw. Cosinus-Schwingung. Diese periodische Bewegung kann als Projektion einer Kreisbewegung interpretiert werden. Abb. 2.7 und 2.8 versuchen, diese Überlegung zu visualisieren. Abb. 2.6   Orts-Zeit-Funktion verschiedener periodischer Bewegungen nach Blacknik und Laubersheimer (2008)

Abb. 2.7   Herleitung der harmonischen Schwingung für ein Federpendel über eine Drehbewegung nach Nagel und Rennhofer (2018)

32

2 Kinematik

Abb. 2.8   Harmonische Schwingungen im Zeigerdiagramm nach Kolling und Steinhilber (2013)

2.4 Harmonische Schwingungen 2.4.1 Einleitung Eine Untergruppe der ungleichmässig beschleunigten Bewegungen sind die harmonischen Schwingungen. Die harmonischen Schwingungen folgen ausschliesslich einer Sinus- oder Kosinusfunktion. Die Orts-Zeit-, Geschwindigkeits-Zeit- und Beschleunigungs-Zeitfunktionen bei einer harmonischen Schwingung unter Verwendung einer Kosinusfunktion für die Orts-Zeit-Funktion lautet dann:

x = xm · cos(ω · t)

(2.7)

vx = −xm · ω · sin(ω · t) = −vxm · sin(ω · t)

(2.8)

ax = −xm · ω2 · cos(ω · t) = −axm · cos(ω · t)

(2.9)

wobei xm die Amplitude und ω die Frequenz ist. Warum verwenden wir in der Schreibung vx? Weil hier nur eine geometrische Dimension verwendet wird, nämlich x. Für die Umwandlung der Funktionen gelten:

vx =

dx dt

(2.10)

ax =

dvx dt

(2.11)

Aus mathematischer Sicht werden die in Tab. 2.1 genannten Ableitungen benötigt. Ausserdem wird die Kettenregel angewendet (die Ableitung der Gesamtfunktion ist die Ableitung der inneren Funktion mal die Ableitung der äusseren Funktion):

f (x) = g(h(x)) → f ′ (x) = g′ (h(x)) · h′ (x)

(2.12)

Die Produktregel wird ebenfalls angewendet:

y(x) = u(x) · v(x) → y′ (x) = u′ (x) · v(x) + v′ (x) · u(x)

(2.13)

2.4  Harmonische Schwingungen Tab. 2.1  Ableitungen harmonischer Funktionen

33

Funktion

Ableitung

sin x

cos x

cos x

−sin x

1/(cos x)2

tan x

1/(sin x)2

cot x

2.4.2 Summen von harmonischen Schwingungen Interessant ist die Frage, ob die Summe von harmonischen Schwingungen wieder periodisch ist. Betrachtet man zwei harmonische Schwingungen der Form:

x1 (t) = a1 · cos(ω1 · t + α1 )

(2.14)

x2 (t) = a2 · cos(ω2 · t + α2 )

(2.15)

dann ist die Summe wieder periodisch, falls gilt:

p1 ω1 = ω2 p2

(2.16)

p1 , p2 ∈ N

(2.17)

und

teilerfremd sind. Zwei Zahlen heissen teilerfremd, wenn nur die Zahl 1 beide Zahlen teilt. Teilerfremde Zahlen haben keine gemeinsamen Primfaktoren, z. B. 5 und 7:

T = p 1 · T1 = p 2 · T2

(2.18)

Eine Schwebung entsteht, wenn ω1 und ω2 relativ dicht beieinander liegen. Es gibt keine exakte Definition, aber man kann es relativ einfach, z. B. in der Software Excel, ausprobieren. Die Abb. 2.9, 2.10 und 2.11 zeigen drei Beispiele. Die Eingangsgrössen sind in der Bildunterschrift mit angegeben. Sehr schön sieht man im Abb. 2.9 die Schwebung.

2.4.3 Lissajous-Figuren Trägt man eine harmonische Schwingung in x-Richtung und eine weitere harmonische Schwingung in y-Richtung in ein zweidimensionales Diagramm, so erhält man die sogenannten Lissajous-Figuren. Auch diese kann man sehr einfach selbst in der Software Excel oder einem anderen Berechnungsprogramm erstellen. In Abb. 2.12 sind drei Beispiele für Lissajous-Figuren dargestellt.

34

Abb. 2.9   Beispiel einer Schwebung (x0,1 = 1, ω1 = 3,3, x0,2 = 0,4, ω2 = 3)

Abb. 2.10   Beispiel einer Überlagerung (x0,1 = 1, ω1 = 1, x0,2 = 1, ω2 = 1,7)

2 Kinematik

2.4  Harmonische Schwingungen

35

Abb. 2.11   Beispiel einer Überlagerung (x0,1 = 1, ω1 = 1, x0,2 = 1, ω2 = 2)

Abb. 2.12    Beispiele von Lissajous-Figuren, die Zahlenwerte geben das Verhältnis der Frequenzen der harmonischen Schwingungen an

2.4.4 Transformation von harmonischen Schwingungen Wenn man den Funktionstyp, Sinus oder Kosinus, festlegt hat, so benötigt man für die Beschreibung der harmonischen Schwingung nur noch wenige Informationen. Das sind • die Amplitude • die Frequenz und • der Phasenwinkel.

36

2 Kinematik

Verzichtet man auf den Phasenwinkel, verbleiben noch zwei Grössen: Amplitude und Frequenz. Diese beiden Werte kann man in ein Amplituden-Frequenz-Spektrum übertragen. Dies ist in Abb. 2.13 gezeigt. Auf der linken Seite des Bildes sieht man zwei harmonische Schwingungen. Da beide zum Zeitpunkt t = 0 bei der maximalen Amplitude starten, muss es sich um Kosinus-Funktionen handeln. Es sind die Frequenz f und die Amplitude xm bekannt. Auf der rechten Seite sind die Frequenz und die Amplitude eingetragen. Die horizontalen und vertikalen Linien in den Diagrammen auf der rechten Seite sind reine Hilfslinien: Das Ziel ist nur der Punkt (jeweils blau und orange). Den Übergang von links nach rechts nennt man den Übergang aus dem Zeit- in den Frequenzbereich. In Abb. 2.14 werden die Hilfslinien beim Übergang vom oberen Bild zum mittleren Bild weggelassen. Hat man nicht nur zwei harmonische Schwingungen, sondern eine Vielzahl, so kann man in dem rechten Diagramm auch mehr Punkte eintragen. Diese Punkte kann man durch Linien verbinden und, wenn man nicht für alle Frequenzen harmonische Schwingungen als Ausgangswerte hat, glätten. So entstehen die geglätteten Auslegungsspektren in den verschiedenen Baunormen.

Abb. 2.13   Überführung einer harmonischen Schwingung aus dem Zeit- (links) in den Frequenzbereich (rechts)

Abb. 2.14   Erstellung eines Spektrums

2.4  Harmonische Schwingungen

37

Insbesondere im Bereich des Erdbebeningenieurwesens spielen diese Spektren eine fundamentale Rolle. So zeigt Abb. 2.15 ein Bemessungserdbebenspektrum für horizontale Beschleunigungen auf Oberfläche Boden mit einer Wiederkehrperiode von 10−4 Jahren. Solche Spektren gibt es aber nicht nur für Erdbeben, sondern auch für Windeinwirkungen. Abb. 2.16 zeigt ein Windspektrum über einen Frequenzbereich von wenigen Sekunden bis zu einem Jahr. Als Amplitudenspektrum wird das hier vorgestellte punktweise AmplitudenFrequenz-Diagramm bezeichnet. Als Powerspektrum bezeichnet man Diagramme, in denen die Amplituden zum Quadrat über die Frequenz aufgetragen werden.

Abb. 2.15    Beispiel eines Erdbeben-Bodenantwortspektrums (Oberfläche) für vertikale Beschleunigungen mit Angaben zur Dämpfung und zur Überschreitenswahrscheinlichkeit pro Jahr

Abb 2.16   Windspektrum nach van der Hoven (1957)

38

2 Kinematik

Im Beispiel wurde einfach davon ausgegangen, dass nur für bestimmte Punkte die Amplituden-Frequenz-Werte vorliegen. Man kann aber im Rahmen eines FourierIntegrales für praktisch unendlich viele Stützstellen die Werte ermitteln und erhält dann ein durchgängiges kontinuierliches Spektrum. Die Fourier-Transformation und FourierIntegrale werden im Kap. 7 behandelt.

2.4.5 Weisses Rauschen Basierend auf dem eben eingeführten Spektrum erkennt man ein Weisses Rauschen an einem konstanten Spektrum mindestens über gewisse Frequenzbereiche. Eine Sonderform des Weisses Rauschen ist das Rosa Rauschen. Das Rosa Rauschen umfasst alle Frequenzen im hörbaren Bereich. Das Weisse Rauschen hat sowohl in den Ingenieurwissenschaften eine grosse Bedeutung für zufällig streuende Eigenschaften als auch in der Medizin. Weisses bzw. Rosa Rauschen wird als wohltuend empfunden, weil es akustisch an Wasserfälle oder das Rauschen von Bächen erinnert. Da alle Frequenzen gleich intensiv auftreten, kann das menschliche Gehirn die Geräusche nicht differenzieren. Deshalb wird das Weisse Rauschen dann nicht mehr bewusst wahrgenommen.

2.5 Anwendungsbeispiele 2.5.1 Beispiel 1 Gegeben ist ein LKW mit einer Masse von 80 t und einer Geschwindigkeit von 80 km/h. Der Bremsweg sei gemäss ADAC 36 m. Die Brücke ist länger als 36 m. Wie gross ist die Beschleunigung bzw. die negative Beschleunigung des LKWs. Wie hoch ist die Bremskraft auf das Bauwerk? Lösung: Unter der Annahme einer gleichmässig beschleunigten Bewegung, können Beschleunigung, Geschwindigkeit und Weg wie folgt berechnet werden.

ax = const

(2.19)

vx = ax · t + c1

(2.20)

sx =

ax 2 · t + c1 · t + c2 2

(2.21)

Mit den konkreten Zahlen ergibt sich:

vx = 80 km/h =

80 km/h = 22,2 m/s 3,6

(2.22)

2.5 Anwendungsbeispiele

39

Da die Endgeschwindigkeit Null ist, erhält man die Integrationskonstante c1:

vx2 = 0 → c1 = 0

(2.23)

v = ax · t

(2.24)

und damit

Durch Umformen der letzten Gleichung ergibt sich:

ax =

v t

(2.25)

Mit den Angaben zum Weg erhält man:

sx2 → c2 = 0

(2.26)

und damit:

ax 2 ·t 2

(2.27)

sx1 = 36 m

(2.28)

sx = Der gesamte Weg ist bekannt:

Setzt man die folgende Gleichung

v t

(2.29)

ax 2 ·t 2

(2.30)

v v · t2 = · t 2·t 2

(2.31)

ax = in

sx = so erhält man:

sx1 = Mit Zahlenwerten ergibt sich:

36 m =

t=

22,2 m/s ·t 2

36 m · 2 = 3,24 s 22,2 m/s

(2.32)

(2.33)

Mit

vx = ax · t

(2.34)

40

2 Kinematik

und Umformung erhält man:

ax =

22,2 m/s vx = = 6,94 m/s2 t 3,2 s

(2.35)

Bezieht man die Beschleunigung auf die Erdbeschleunigung, so ergibt sich:

ax =

6,94 m/s2 = 0,71 g 9,81 m/s2

(2.36)

Mit der ermittelten Beschleunigung und der Bremszeit kann man die Geschwindigkeit und den Weg prüfen:

vx = ax · t = 6,94 m/s2 · 3,2 s = 22,2 m/s sx =

(2.37)

6,94 m/s · (3,2 s)2 ax · t 2 = = 35,5 m 2 2

(2.38)

Man hätte das auch viel einfacher prüfen können, indem man den Mittelwert der Geschwindigkeit verwendet:

t=

36 m s = 3,2 s = vMittel 11,1 m/s

(2.39)

Die Bremskraft ergibt sich zu:

F =m·a

(2.40)

F = 80.000 kg · 6,94 m/s2 = 555.200 N = 555 kN

(2.41)

Mit konkreten Zahlen erhält man

Als Einheit ergibt sich Newton gemäss folgender Gleichung. Die Tab. 2.2 zeigt den Zusammenhang zwischen Masse und Gewichtskraft.   kg · m = N s2 Abb. 2.17 zeigt die Bremskräfte für Strassenbrücken gemäss Eurocode. Die ermittelten 555 kN liegen durchaus im Bereich der von der Norm festgelegten Kräfte.

Tab. 2.2  Beziehung von Masse und Gewichtskraft

Masse

Gewichtskraft

100 kg

1 kN

1 Tonne

10 kN

10 t

100 kN

100 t

1 MN

41

2.5 Rechenbeispiele

Abb. 2.17   Beispiele für Bremskräfte auf Strassenbrücken nach Merzenich und Sedlacek (1995)

2.5.2 Beispiel 2 Gegeben sind der Querschnitt und die Länge eines Murenüberleitungsbauwerkes über eine Eisenbahnstrecke (Abb. 2.18 und 2.19). Berechnen Sie die Bremskräfte auf die Brücke. Gemäss Abb. 2.19 ergibt sich ein maximales Murenvolumen von

V = l · b · h = 50 m · 11 m · 3,5 m = 1925 m3

(2.42)

Abb. 2.18   Längsschnitt eines Überführungsbauwerkes mit eingezeichneten Streckenprofilen nach Proske (2009)

42

2 Kinematik

Abb. 2.19   Querschnitt des Überführungsbauwerkes nach Proske (2009)

Die Dichte einer Mure kann mit 2000 kg/m3 angenommen werden (Proske et al. 2011). Damit ergibt sich die Masse zu:

M = V · ρ = 1925 m3 · 2000 kg/m3 = 3.850.000 kg = 3850 Tonnen

(2.43)

Wählt man eine konservative Bremsbeschleunigung von 0,3 g, so erhält man:

F = M · a = 3.850.000 kg · 0,3 · 9,81 m/s2 = 11.330.550 N = 11,3 MN (2.44) Wählt man eine maximale Murengeschwindigkeit von 10 m/s und eine Bremsstrecke von 30 m, so erhält man eine mittlere Murengeschwindigkeit von 5 m/s. Die Bremszeit ist dann:

v=

s 30 m s →t= =6s = t vMittel 5 m/s

(2.45)

10 m/s v = = 1,6 m/s2 t 6s

(2.46)

a=

Bezieht man die Beschleunigung wieder auf die Erdbeschleunigung, so erhält man

a=

1,6 m/s2 = 0,16 g 9,81 m/s2

(2.47)

2.5 Rechenbeispiele

43

Damit erhält man nur die Hälfte der Bremskraft

F = M · a = 3.850.000 kg · 0,16 · 9,81 m/s2 = 6 MN

(2.48)

Im nächsten Schritt könnte man prüfen, ob tatsächlich das maximale Volumen verwendet werden muss, denn eine Bremskraft von 6 MN ist schon erheblich und erfordert gewaltige konstruktive Aufwendungen. Abb. 2.20 zeigt einen Längsschnitt durch eine Mure. Die maximale Abflusshöhe ohne Verlandungen wird am Murenkopf erreicht. Man kann also vermuten, dass nicht die gesamte Höhe des Murenüberführungsbauwerkes mit Murenmaterial aufgefüllt wird. Da die Masse linear in die Berechnung der Kraft eingeht, würde also eine Verringerung der Murenmasse um 2/3 auch einer Verringerung der Bremskraft um 2/3 entsprechen.

2.5.3 Beispiel 3 Ein Felsblock mit einer Masse von 2 t fällt senkrecht von einer Felswand, die 500 m hoch ist. Wie hoch ist die Endgeschwindigkeit? Wie hoch ist seine kinetische Energie? Wie kann man Bauwerke und Menschen vor solch einem Ereignis schützen? Lösung: Unter der Annahme einer gleichmässig beschleunigten Bewegung können Beschleunigung, Geschwindigkeit und Weg wie folgt berechnet werden.

ax = const, ax = g = 9,81

m s2

vx = ax · t + c1 , c1 = v0 = 0 m/s

(2.49) (2.50)

mit c1 als Startgeschwindigkeit

sx =

Abb. 2.20   Längsschnitt durch eine Mure nach Rickenmann (2006), Pierson (1986)

ax 2 · t + c1 · t + c2 , c2 = s0 = 0 m 2

(2.51)

44

2 Kinematik

Mit den gegebenen Zahlen ergibt sich:

s = 500 m =

t=



9,81 m/s2 2 ·t +0+0 2

2 · 500 m = 10,1 s 9,81 m/s2

(2.52)

(2.53)

Für die Einheiten gilt:



√ m = s2 = s m/s2

Mit den Zahlen ergibt sich:

v = 9,81 m/s2 · 10,1 s = 99,0 m/s = 356,4 km/h

(2.54)

Die kinetische Energie berechnet sich zu

Ekin =

m 2 2000 kg ·v = · (99 m/s)2 = 9.801.000 kg · m2 /s2 = 9,80 MNm (2.55) 2 2

Für die Einheiten gilt

kg · m · m = Nm = Joule s2 Die Endgeschwindigkeit des Fels betrug 99 m/s. Die zugehörige kinetische Energie betrug 9,80 MNm. In Abb. 2.21 sind verschiede technische Schutzmassnahmen gegen Steinschlag in Abhängigkeit von der kinetischen Energie des Steinschlages aufgeführt. 9,80 MNm entsprechen ca. 10 MJ und 10.000 kJ. Gemäss Abb. 2.21 verbleiben also eigentlich nur noch verstärkte Dämme als technischer Schutz. In der Realität sind die Fallprofile bzw. Bahnen der Steinblöcke und Felsen komplizierter. Hier kann man heute mit gängiger Software die Bodenprofile eingeben und auch eine horizontale Startgeschwindigkeit berücksichtigen. Da die genauen Startwerte oft nicht bekannt sind, werden Streuungen angenommen. Abb. 2.22 zeigt solche streuenden Fallbahnen und ausserdem die kinetische Energie und die Fall- bzw. Sprunghöhe. Es handelt sich bei dem Bild um einen Screenshot der Software Rockfall. Bei Aufschlag auf dem Boden hängt der Rückprall von der Energie und der Bodenart ab. Abb. 2.23 zeigt das Verhältnis der Geschwindigkeit vor und dem nach dem Anprall. Dieses Verhältnis wird auch als Stosszahl bezeichnet. Abb. 2.24 zeigt beispielhaft ein Steinschlagschutznetz. Sehr schön sieht man in dem Bild die Ringe, die sich bei einem Steinschlagereignis plastisch verformen und so die Anprallenergie in plastische Arbeit und damit überwiegend Wärme umwandeln.

45

2.5 Rechenbeispiele

Abb. 2.21   Energie und Fallgeschwindigkeit nach ASTRA (2003)

2.5.4 Beispiel 4 Gesucht ist die relevante Anprallkraft bei einem Schiffsanprall in Abhängigkeit von der plastischen Verformung des Schiffes. Es wird ein Schubverband (Binnenschiff) mit 185 m Länge und 11,45 m Breite unterstellt. Seine Masse betrage 5000 t. Die Geschwindigkeit des Schubverbandes beträgt v = 14 km/h bzw. 3,89 m/s. Die Anprallkraft errechnet sich gemäss 1055-9 (Kunz 2006) bei ausreichend grossen plastischen Verformungen ld des Schiffes

ld > 0,1 m aus der Anprallenergie, die hier als Deformationsenergie interpretiert wird, mit

Ekin = Ed =

c·m 2 meff 2 ·v = ·v 2 2

(2.56)

zu

 F = 10,95 · Ed  Ed > 0,21 MNm F = 5 · 1 + 0,13 · Ed Ed ≤ 0,21 MNm

(2.57)

46

2 Kinematik

Abb. 2.22    Screenshot der Software Rockfall Abb. 2.23   Energie und Fallgeschwindigkeit nach Bozzolo (1987)

c ist ein Faktor zur Berücksichtigung der hydromechanisch aktiven Masse. Dieser wird in der Rechnung mit 1 angesetzt. Es ergibt sich

Ed =

5.000.000 kg · (3,89 m/s)2 = 37,8 MNm 2

(2.58)

2.5 Rechenbeispiele

47

Abb. 2.24   Bild eines Steinschlagschutznetzes in Österreich. (Foto: D. Proske)

und eine Spitzenanprallkraft von  F = 5,0 · 1 + 0,128 · 37,8 MNm = 12,1 MN

(2.59)

2.5.5 Beispiel 5 Es soll die Bemessung einer Aufschüttung um einen Flusspfeiler zur Vermeidung von Schiffsanprall an den Pfeiler durchgeführt werden. Eine solche Aufschüttung führt bei einem Schiffsanprall zu einem Auffahren des Schiffes auf die Aufschüttung (Abb. 2.25). Dabei treten folgende Energieumformungen auf: • • • •

Änderung der potenziellen Energie des Schiffes durch Anhebung des Schwerpunktes Verformungsenergie im Bugbereich des Schiffes Erzeugung von Wellen und Turbulenzen Elastische und plastische Verformungen in der Aufschüttung durch Verschiebung, Verdichtung und Zerstörung des Aufschüttmateriales • Reibung zwischen Schiff und Aufschüttung

48

2 Kinematik

Es sind folgende Werte gegeben: Anhebung des Schiffes um 0,05 m, Masse des Schiffes mit 1000 t, Reibungsbeiwert zwischen Stahl und feuchtem Sand der Aufschüttung ca. 0,4 und der Reibungsweg von ca. 4 m. Als Normalkraft für die Reibungsarbeit wird 1/10 der Masse des Schiffes angenommen. Damit ergibt sich, wenn nur die Änderung der potenziellen Energie und die Reibung berücksichtigt wird

E = Epot + ER = m · g · h + F · µ · s E = 1.000.000 kg · 9,81 m/s2 · 0,05 m + 100.000 kg · 9,81 m/s2 · 0,4 · 4 m = 2,06 MNm (2.60) Die aufnehmbare Energie sei 2,06 MNm. Die vorhandene Energie ist bei einem Schiff mit einer Geschwindigkeit von 4 m/s (Abb. 2.25):

E=

1.000.000 kg m 2 ·v = · (4 m/s)2 = 8 MNm 2 2

(2.61)

2.5.6 Beispiel 6 Ein Körper der Masse m durchfällt die Höhe h und trifft zum Zeitpunkt t = 0 am Ort z0 auf eine Feder mit der Federkonstante k. Nach dem Auftreffen bleibt der Körper mit der Feder verbunden. Es entsteht eine dynamische Schwingung. Der Koordinatenursprung z = 0 soll in der Ruhlage der Schwingung liegen. Die Masse der Feder bleibt unberücksichtigt. Gesucht sind a) der Anfangsort z0 und die Anfangsgeschwindigkeit vzo der harmonischen Schwingung, b) die Orts-Zeit-Funktion z(t) der harmonischen Schwingung und c) die maximale Geschwindigkeit vzm der harmonische Schwingung.

Abb. 2.25   Vereinfachtes Modell für das Auffahren des Schiffes auf eine Aufschüttung

2.5 Rechenbeispiele

49

Das Beispiel basiert zu Teilen auf Heinemann et al. (1990). Bei dem Körper im Beispiel soll es sich um eine fallende Masse von einem Portalkran handeln (Abb. 2.26). Die Masse sei 50 t. Die Fallhöhe sei 1 m. Die Federsteifigkeit sei die Wand, auf die die Masse fällt, also z. B. 1 m Wandlänge × 0,2  m Wandbreite und 10 m Wandhöhe innerhalb eines Gebäudes. Die Wand besteht aus Stahlbeton. Es wird ein E-Modul von 35.000 MPa = 35.000 MN/m2 = 35.000 × 106 N/m2 angenommen. Interessant könnte die Fragestellung sein, um zu prüfen, ob der Portalkran durch die Federreaktion der Wand (Abb. 2.27) aus seiner ungesicherten Schiene springen kann. Solche Schäden treten gelegentlich bei Erdbeben auf. Die Kräne springen aus den Schienen und können unter Umständen auf nicht-tragfähige Decken rutschen, diese durchstanzen und auf andere Gebäude fallen. Dies kann zu erheblichen Sachschäden führen. Aufgabe a) Bei z0 ist die Feder entspannt. Für die Federkraft gilt eine Abstandsproportionale Kraft:

F = k · s und damit Fz = −k(z − z0 ) Abb. 2.26   Schnitt eines Gebäudeaufbaus mit Portalkran

Abb. 2.27   Systemskizze

(2.62)

50

2 Kinematik

Die Ruhelage z = 0 stellt sich bei einem Gleichgewicht von Gewichtskraft FG des Körpers und Federkraft Fz ein:

Fz − FG = 0

(2.63)

Fz (0) = k · z0

(2.64)

FG = m · g

(2.65)

k · z0 = m · g

(2.66)

und

Daraus ergibt sich:

und umgestellt (MPa =

z0 = z0 = k=

MN/m2):

m·g m·g = E·b·d k h 50.000 kg · 9,81 m/s2 35.000 MPa·0,2 m·1 m 10 m

=

50.000 kg · 9,81 m/s2 35.000·106 N/m2 ·0,2 m·1 m 10 m

= 0,7 mm

(2.67)

N 35.000 MPa · 0,2 m · 1 m = 7 · 108 10 m m

Die Anfangsgeschwindigkeit vzo der Schwingung ergibt sich aus der Energieerhaltung:

Epot = Ekin m·g·h=

m 2 ·v 2

(2.68) (2.69)

 v = vz0 = − 2 · g · h

(2.70)

 vz0 = − 2 · 9,81 m/s2 · 1 m = −4,43 m/s = −15,9 km/h

(2.71)

Das Minus kommt aus der Richtungsdefinition

Für Aufgabe b) muss die Orts-Zeit-Funktion aufgestellt werden. Es handelt sich um eine harmonische Schwingung

z(t) = zm · cos(ω · z + α)

(2.72)

wobei

ω=



k m

(2.73)

2.5 Rechenbeispiele

51

die Eigenkreisfrequenz ist. Da m und k bekannt sind, kann die Eigenkreisfrequenz direkt berechnet werden. Um die Orts-Zeit-Funktion zu erstellen, müssen die Amplitude zm und der Nullphasenwinkel α bestimmt werden. Da es sich um zwei Unbekannte handelt, müssen zwei Gleichungen aufgestellt werden. Die erste Gleichung bezieht sich auf die Geschwindigkeit:

vz =

dz = −zm · ω · sin(ω · t + α) dt

(2.74)

Zum Zeitpunkt t = 0 trifft der Körper die Feder bei z0.

z0 (t) = zm · cos(ω · t + α) z0 (t = 0) = zm · cos(ω · 0 + α)

(2.75)

z0 (t = 0) = zm · cos(α) Aus der Energieerhaltung folgt:



vz0 (t = 0) = −

2 · g · h = −zm · ω · sin(ω · t + α)

Zuerst wird zm ermittelt. Dazu quadriert man:  − 2 · g · h = −zm · ω · sin(ω · t + α)

(2.76)

(2.77)

Dann erhält man:

2 · g · h = zm2 · ω2 · sin2 α sin2 α =

2·g·h 2·g·h·m 2·g·h  2 = 2 k = zm2 · k zm · m k zm2 · m

2·g·h = zm2 · ω2

(2.78)

(2.79)

Aus

z0 = zm · cos(α)

(2.80)

ergibt sich quadriert

cos2 (α) =

z02 zm2

(2.81)

Ersetzt man

ω=



k m

(2.82)

und setzt die beiden Terme gemäss

sin2 α + cos2 α = 1

(2.83)

52

2 Kinematik

ein, so erhält man (Gl. 2.79 links, 2.81 und rechts 2.67)

2·g·m·h + zm2 · k



m·g k · zm

2

=1

(2.84)

Umgeformt nach zm ergibt sich:  g·m 2·h·k · 1+ zm = k g·m

zm =

9,81 m/s2 · 50.000 kg 35.000 MPa·0,2 m·1 m 10 m

·



1+

2·1·

35.000 MPa·0,2 m·1 m 10 m 2

(2.85)

9,81 m/s · 50.000 kg

zm = 0,037 m Um α zu bestimmen, kann man zm eliminieren:

tan α =

sin α cos α

(2.86)

und (Gl. 2.49, 2.81 und 2.67)

√ sin α 2 · g · h · k · zm  = cos α zm · mk · m · g sin α = cos α

√ 2 · h · km √ m·g

√ sin α 2·h·k = √ tan α = cos α m·g

(2.87)

(2.88)

(2.89)

�√

� 2·h·k α = arctan √ m·g  � m·1 m 2 · 10 · 35.000 MPa·0,2 10 m  α = arctan  � 9,81 m/s2 · 50.000 kg α =1,56 rad

α =1,56 rad ·

180 = 89,7 ◦ π

Als Teilaufgabe c war die Geschwindigkeitsamplitude gesucht. Diese ergib sich zu

(2.90)

2.6 Testfragen

53

v0 (t) = − vzm · sin(ω · t + α)

(2.91)

v0 (t) = − zm · ω · sin(ω · t + α)

vzm k=

g·m · = zm · ω = k



2·h·k · 1+ g·m



k m

35.000 MPa · 0,2 m · 1 m 10 m 2

vzm =

9,81 m/s · 50.000 kg 35.000 MPa·0,2 m·1 m 10 m

·

(2.92)



1+

2·1·k · 9,81 m/s2 · 50.000 kg



k 50.000 kg

vzm = 4,43 m/s Die maximale Amplitude beträgt fast 4 cm (3,7 cm). Ein Schienenkopf hat eine Höhe von ca. 3 cm (3,1 cm). Damit ist die Schwingung grösser als der Schienenkopf. Das ist noch kein Beweis, dass der Kran aus dem Gleis springt, weil der Kran sich vom Gleis und Gebäude lösen müsste, aber die Amplitude von 4 cm ist schon beachtlich.

2.6 Testfragen In jedem Kapitel findet sich ein Abschnitt mit Testfragen. Hier können Sie prüfen, ob Sie den Ausführungen und Erläuterungen folgen konnten. 1. Zeichnen Sie die Orts-Zeit-, die Orts-Geschwindigkeits- und die Orts-BeschleunigungsFunktionen der gleichförmige Bewegung auf. 2. Zeichnen Sie die Orts-Zeit-, die Orts-Geschwindigkeits- und die Orts-BeschleunigungsFunktionen der gleichmässig beschleunigte Bewegung auf. 3. Wie hoch ist die Bremskraft eines LKW mit 80 t, der in 3,3 s von 60 km/h auf Null stoppt? 4. Was bedeutet die Überführung einer harmonischen Schwingung aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich? Erläutern Sie es an zwei Diagrammen. 5. Was sind periodische Schwingungen? 6. Was sind harmonische Schwingungen? 7. Welche Eigenschaft kann die Summe zweier harmonischen Schwingungen bei ähnlicher Eigenfrequenz zeigen. 8. Leiten Sie die Differentialgleichung der harmonischen Schwingungen her. 9. Was sind Bremskräfte und nennen Sie zwei Beispiele, in denen Bremskräfte auftreten? 10. Welche Grössenordnungen können Bremskräfte auf Eisenbahn- oder Strassenbrücken erreichen (wenige kN, MN etc.)? 11. Was unterscheidet periodische und harmonische Schwingungen? Zeichnen Sie bitte zwei Zeit-Funktionen auf.

54

2 Kinematik

12. In welchem mathematischen Zusammenhang steht die Beschleunigungs-Zeit Funktion mit der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion? 13. In welchem mathematischen Zusammenhang steht die Beschleunigungs-Zeit Funktion mit der Orts-Zeit-Funktion? 14. In welchem mathematischen Zusammenhang steht die Orts-Zeit-Funktion mit der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion? 15. Wenn die Beschleunigung eines Massepunktes a beträgt, wie hoch ist die Geschwindigkeit v zum Zeitpunkt t? 16. Der Journalist und Moderator Jeremy Clarkson hat einmal gesagt: „Geschwindigkeit tötet niemanden im Strassenverkehr. Plötzlich stillstehen, das ist es, was einen erwischt.“ Interpretieren Sie diese Aussage in Bezug auf Kräfte und Energien.

Literatur ASTRA (2003) Steinschlag: Naturgefahr für die Nationalstrassen, Bundesamt für Strassen, Schlussbericht der ASTRA-Expertengruppe, 48 Seiten mit Anhängen Blacknik A, Laubersheimer J (2008) Schwingungen, Ruprecht-Kalrs-Universität Heidelberg, Proseminar Analysis, Heidelberg Bozzolo D (1987) Ein Mathematisches Modell zur Beschreibung der Dynamik von Steinschlag, Dissertation, ETH Zürich, Zürich Heinemann H, Henning M, Krämer H, Müller P, Zimmer H (1990) Physik – Verstehen durch Üben, VEB Fachbuchverlag, Leipzig Hering E, Martin, R, Stohrer M (2016) Physik für Ingenieure, 12. Auflage, Springer Vieweg, Berlin Kolling S, Steinhilber H (2013) Technische Schwingungslehre, Technische Hochschule Mittelhessen, Campus Giessen, Maschinenbau und Energietechnik, 2. Auflage Kunz C (2006) DIN 1055, Teil 9 – Aussergewöhnliche Einwirkungen und probabilistische Verfahren, Der Prüfingenieur, Oktober 2006, Seite 53–63 Merzenich G, Sedlacek G (1995) Hintergrundbericht zum Eurocode 1 - Teil 3.2: Verkehrslasten auf Strassenbrücken. Forschung Strassenbau und Strassenverkehrstechnik. Bundesministerium für Verkehr, Heft 711 Meschede D (2015) Gerthsen Physik, 25. Auflage, Springer Spektrum, Heidelberg Nagel C, Rennhofer M (2018) Schwingungen und Wellen, Universität Wien, Wien Petersen C, Werkle H (2017) Dynamik der Baukonstruktionen, 2., überarbeitete und aktualisierte Auflage, Springer Vieweg, Wiesbaden Pierson TC (1986) Flow behavior of channelized debris flows, Mount St. Helens, Washington. In Abrahams AD (Ed) Hillslope Processes. Allen and Unwin, Boston, Seite 269–296 Popov V (2009) Kinematik und Dynamik, Vorlesungsnotizen 2009, Technische Universität Berlin, Fakultät Verkehrs- und Maschinensysteme, Institut für Mechanik Proske D (2009) Brücken unter Alpinen Stosseinwirkungen. Tagungsband des 19. Dresdner Brückenbausymposiums, TU Dresden, Dresden, Seite 243–257 Proske D, Hübl J, Suda J (2011) Debris flow impact estimation for breakers. Georisk: Assessment and Management of Risk for Engineered Systems and Geohazards Special Issue: Probabilistic Technique Applications, Volume 5, Issue 2, Seite 143–155

Literatur

55

Rickenmann D (2006) Naturgefahren: Vorlesungsunterlagen SS 2006, BOKU Wien, Institut für alpine Naturgefahren, Wien Schollmayer M (2018) Baudynamik – Einführung in die Grundlagen der Dynamik und deren Anwendungen im Bauwesen, Berner Fachhochschule, Architektur, Holz und Bau, 21. Februar 2018 Van der Hoven I (1957) Power Spectrum of Horizontal Wind speed in the Frequency Range from 0.0007 to 900 Cycles per Hour. Journal of Meteorology, Vol. 14, Seite 160–164

3

Einmassenschwinger

3.1 Einführung Immer wieder wird von Studenten der Baudynamik die Kritik vorgebracht, dass das Verständnis des Einmassenschwingers keine baupraktisch-relevante Fragestellung sei und dass die Behandlung dieses Themas daher einen mangelnden Praxisbezug darstelle. Ich verweise in den Vorlesungen gern auf die relevanten Normen, die die Anwendung eines äquivalenten bzw. repräsentativen Einmassenschwingers vorschlagen, wie z. B. die SIA 269-8. Trotzdem sind die Studenten damit nicht zu überzeugen. Die Berechnung von Eigenfrequenzen eines statischen Modells mit moderner Baustatiksoftware erscheint viel einfacher. Auf der anderen Seite hat mir meine Arbeitserfahrung gezeigt, dass ein gutes Verständnis der theoretischen Zusammenhänge bei vielen unerwarteten Problemen Lösungen aufzeigt, die sich allein aus der Anwendung von Software nicht gezeigt hätten und, was noch schlimmer wäre, die durch blinde Anwendung der Software erst nach Erstellung des Bauwerkes wahrgenommen worden wären. Aus diesem Grund halte ich es für ausserordentlich wichtig, sich mit den theoretischen Grundlagen zu befassen, und das gilt auch für die Baudynamik. Abb. 3.1 zeigt vereinfacht den Aufbau dieses Kapitels. Im oberen Bereich findet sich die Differentialgleichung des Einmassenschwingers für beliebige externe Kräfte. Bevor wir jedoch die Gleichung in voller Blüte untersuchen, werden wir uns von der freien ungedämpften zur erzwungenen gedämpften Schwingung vorarbeiten. Die verteilten Massen werden dann im übernächsten Kapitel besprochen. Es existiert umfangreiche Literatur zu dem Thema, z. B. Blachnik und Laubersheimer (2008), Franke (2018), Gerold und Stempniewski (2004), Heinemann et al. (1990), Hering et al. (2016), Jia (2014), Kolling und Steinhilber (2013), Kraft (2005), Meschede (2015), Petersen und Werkle (2017), Popov (2009), Rothe (2019), Ruge (1999), © Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2021 D. Proske, Baudynamik for Beginners, https://doi.org/10.1007/978-3-658-33584-7_3

57

58

3 Einmassenschwinger

Abb. 3.1   Aufbau des Kapitels. Das Thema verteilte Massen wird im Kap. 5 behandelt

Schollmayer (2018), Slavik (2018) und Uhlmann (2019). Ausserdem gibt es auf Youtube verschiedene Lehrvideos.

3.2 Differentialgleichung der Bewegung 3.2.1 Herleitung der Differentialgleichung Im vorangegangenen Kapitel wurden die verschiedenen Bewegungsformen in Abhängigkeit von der Beschleunigung betrachtet:

ax = ax (t)

(3.1)

ˆ

(3.2)

vx =

ax dt

3.2  Differentialgleichung der Bewegung

x=

59

ˆ ˆ

ax dt

(3.3)

Eine Untergruppe der ungleichmässigen Beschleunigungen waren die harmonischen Schwingungen. Die harmonischen Schwingungen folgen einer Sinus- oder Kosinusfunktion. Die Orts-Zeit-, Geschwindigkeits-Zeit- und Beschleunigungs-Zeit-Funktionen bei einer harmonischen Schwingung unter Verwendung einer Kosinusfunktion für die Zeit-Orts-Funktion lautet dann:

x = xm · cos (ω · t)

(3.4)

vx = −xm · ω · sin (ω · t) = −vxm · sin(ω · t)

(3.5)

ax = −xm · ω2 · cos (ω · t) = −axm · cos(ω · t)

(3.6)

wobei xm die Amplitude und ω die Eigenfrequenz ist.

ax = x¨ = − · ω2 · x(t)

(3.7)

Damit ergibt sich die Differentialgleichung der harmonischen Schwingung

x¨ + ω02 · x = 0

(3.8)

Die Differentialgleichung der harmonischen Schwindung findet nicht nur bei der Translation Anwendung, sondern z. B. auch bei Drehschwingungen oder elektromagnetischen Schwingungen. In Abhängigkeit von der Anwendung werden die Parameter der Differentialgleichung gefüllt.

Fx = m · ax = −m · ω02 · x

(3.9)

Im Folgenden soll die Anwendung für die Translation eines Einmassenschwingers gezeigt werden. Es wird angenommen, dass eine abstandsproportionale rücktreibende Kraft vorhanden ist, wie in Abb. 3.2 gezeigt. Diese wird als Rückstellkraft bezeichnet. Unter der Definition der Kraft F = m × a, erhält man:

max = −kx

(3.10)

Ersetzt man die Beschleunigung durch die zweite Ableitung des Weges und formt die Gleichung um, so erhält man Abb. 3.2   Systemskizze des Einmassenschwingers

60

3 Einmassenschwinger

x¨ +

k ·x =0 m

(3.11)

Die Lösung dieser Differentialgleichung ist die harmonische Schwingung gemäss Gl. 3.4. Erinnern wir uns an die Differentialgleichung der harmonischen Schwingung, Gl. 3.8, können wir den Parameter ersetzen:

x¨ + ω02 · x = 0

(3.12)

zu

ω02

k → ω0 = = m



k m

(3.13)

Dieser Parameter wird als Eigenkreisfrequenz bezeichnet. Wird eine harmonische Schwingung mit dieser Frequenz in den Einmassenschwinger eingetragen, so ist der Schwinger energieerhaltend; er versucht, die Energie jeder Schwingung zu speichern. Dass das für Bauwerke keine gute Idee ist, zeigen Einstürze von Bauwerken unter Resonanz, wie z. B. der Einsturz der Tacoma-Brücke. Neben der Eigenkreisfrequenz gibt es noch die Eigenfrequenz:

f =

ω0 2π

(3.14)

Leider gelingt es nicht immer, beide, Eigenkreisfrequenz und Eigenfrequenz sprachlich auseinander zuhalten. Hier ist also Vorsicht geboten. Die Eigenkreisfrequenz wird oft in der Einheit 1/s und die Eigenfrequenz in Hz angegeben. Das ist aber nicht zwingend. Ausserdem können wir noch die Periodendauer einführen  m 2π T= = 2π (3.15) ω0 k Im nächsten Beispiel wird die Anwendung für eine Rotation gezeigt. Anstelle veränderlicher Ortskoordinaten tritt ein veränderlicher Winkel. Ein schwingungsfähiges Drehkörpersystem mit Trägheitsmoment JA mit der festen Achse A, der mit einer Spiralfeder (Richtmoment D) verbunden ist, bildet die Bewegungsgleichung der Rotation. Abb. 3.3 zeigt das System. Das Beispiel stammt aus Heinemann et al. (1990).

Abb. 3.3    Systemskizze des Rotationsschwingers

3.2  Differentialgleichung der Bewegung

61

Es gilt:

JA · φ¨ = MA

(3.16)

MA = −Dφ

(3.17)

Damit wird die Differentialgleichung zu:

JA · φ¨ = −Dφ → φ¨ +

D ·φ =0 JA

(3.18)

Für die Eigenkreisfrequenz ergibt sich jetzt:

ω0 =



D JA

(3.19)



(3.20)

und

T = 2π ·

JA D

Die Lösung der Differentialgleichung ist jetzt keine Orts-Zeit-Funktion, wie in Gl. 3.4, sondern eine Winkel-Zeit-Funktion:

φ = φm · cos(ω0 · t + α)

(3.21)

3.2.2 Herleitung der Kraft In Gl. 3.9 und 3.10 und in Abb. 3.2 wurde ohne nähere Erläuterung die Formel für die Kraft eingeführt. Newtons Ansatz basiert jedoch zunächst auf dem Impuls, nicht auf der Kraft, denn sein Axiom lautet: Die zeitliche Änderung der Bewegungsgrösse eines Körpers ist der einwirkenden Kraft proportional und ihr gleichgerichtet. Basierend auf diesen Überlegungen soll die Formel für die Kraft aus der Änderung des Impulses hergeleitet werden (Kolling und Steinhilber 2013). Gegeben ist die Definition des Impulses:

p=m·v

(3.22)

mit m als Masse und v als Geschwindigkeit. Impuls und Geschwindigkeit sind Vektoren. Gemäss Newtons gilt

dp =F dt

(3.23)

Setzt man die Gl. 3.22 für den Impuls in Gl. 3.23 ein, so erhält man:

dv dm ·v+m· =F dt dt

(3.24)

62

3 Einmassenschwinger

Wendet man im nächsten Schritt die Produktregel für Ableitungen an:

y =u·v

(3.25)

y ′ = u′ · v + v ′ · u

(3.26)

dm dv d(m · v) = ·v+ ·m dt dt dt

(3.27)

dv dm ·v+m· =F dt dt

(3.28)

so erhält man:

und

Der linke Term bildet die Grundlage für die Raketentechnik. Er berücksichtigt eine zeitlich veränderliche Masse, wie sie bei der Verbrennung von Treibstoff in Raketen vorkommt. Für das Bauwesen ist dieser Term jedoch nicht von Bedeutung, sodass nur der rechte Term verbleibt. Damit erhält man:

m·

dv =F dt

(3.29)

und ersetzt man die Ableitung der Geschwindigkeit mit der Beschleunigung:

m·a=F

(3.30)

Damit erhält man das 2. Newtonsche Axiom.

3.3 Mathematische Verfahren zur Lösung 3.3.1 Einführung Bei den oben eingeführten Gl 3.8, 3.12 und 3.18 handelt es sich um Differentialgleichungen. Das sind Gleichungen, die eine Funktion und ihre Ableitungen beinhalten. Die verschiedenen Arten von Differentialgleichungen werden im Folgenden noch einmal kurz genannt. Man unterscheidet • gewöhnliche und partielle, • homogene und inhomogene und • lineare und nicht-lineare Differentialgleichungen. Im Abb. 3.4 werden einige Beispiele gezeigt. Ausserdem nennt man noch die Ordnung einer Differentialgleichung. Sie entspricht der höchsten Ableitung in der Gleichung. Die folgende Gleichung ist eine inhomogene lineare Gleichung n-ter Ordnung. Sie ist inhomogen, weil sich auf der rechten Seite

3.3  Mathematische Verfahren zur Lösung

63

Abb. 3.4   Beispiele für verschiedene Arten von Differentialgleichungen

ein Störterm befindet. Sie ist linear, weil die Funktion und ihre Ableitung immer allein stehen. Darüber hinaus verfügt sie auch noch über konstante Koeffizienten a.

x (n) + an−1 · x (n−1) + ... + a1 x + a0 x = b

(3.31)

Die Begriffe homogen und inhomogen und konstante und veränderliche Koeffizienten gelten streng genommen nur für lineare Differentialgleichungen. Bei der Differentialgleichung der harmonischen Schwingung und des Einmassenschwingers handelt es sich um eine gewöhnliche homogene lineare Gleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, da k und m nicht von x abhängig sind.

m · x¨ + k · x = 0

(3.32)

Bei einer nicht-linearen Rechnung, bei der k von x abhängig ist, würde sich das ändern. Im Augenblick wollen wir keinen Störterm berücksichtigen, so das die folgende Gleichung gelten soll:

x (n) + an−1 · x (n−1) + ... + a1 · x + a0 · x = 0

(3.33)

Diese Gleichung ist eine homogene, lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Solche Gleichungen sind allgemein lösbar. Wenn x1(t),…, xk(t) eine spezielle Lösung der Differentialgleichung ist, dann ist jede Linearkombination

64

3 Einmassenschwinger

x(t) = α1 · x1 (t) + ... + αk · xk (t)

(3.34)

ebenfalls eine Lösung (Superpositionsprinzip).

3.3.2 Euleransatz Der Euleransatz zur Lösung der gewöhnlichen homogenen linearen Differentialgleichung basiert auf der Tatsache, dass die natürliche Exponentialfunktion ihre eigene Ableitung ist:

dex = ex dx

(3.35)

Wählt man als potenzielle Lösungsfunktion

x(t) = exp ( · t)

(3.36)

so wird die Differentialgleichung Gl. 3.33

x (n) + an−1 · x (n−1) + ... + a1 x + a0 x = 0

(3.37)

zu einer algebraischen Polynomgleichung:

n + an−1 · n−1 + ... + a1 ·  + a0 = 0

(3.38)

Wenden wir dieses Verfahren für die Differentialgleichung der freien ungedämpften Schwingung an:

x¨ + ω2 · x = 0

(3.39)

Das ist eine lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung, also ist der Euleransatz möglich. Mit

x(t) = exp( · t)

(3.40)

2 + ω 2 = 0

(3.41)

wird die Differentialgleichung zu:

Lösungen für Polynomgleichungen zweiten Grades sind praktisch Allgemeinbildung. Als Lösung erhält man:

1 = ω

(3.42)

1 = −ω

(3.43)

x(t) = α1 · exp(ω · t) + α2 · exp(−ω · t)

(3.44)

Damit wird die allgemeine Lösung zu

Die Koeffizienten α dienen zur Anpassung der Gleichung an die Ausgangsbedingungen wie z. B. die Startverschiebung oder eine mögliche Anfangsgeschwindigkeit.

3.3  Mathematische Verfahren zur Lösung

65

Allerdings hatten wir bisher immer harmonische Funktionen als Lösung (im Folgenden mit Phasenwinkel), nicht Exponentialfunktionen:

x(t) = xm · cos(ω · t + α)

(3.45)

Hier hilft uns die Eulersche Formel weiter:

eix = cos(x) + i · sin(x)

(3.46)

Denn leider muss die Lösung der Gl. 3.41 nicht zwangsläufig so einfach sein, wie die Gl. 3.42 und 3.43 nahe legen: Die Lösungen können auch komplex werden. Dann gilt

2 + ω 2 = 0

(3.47)

1 = i · ω

(3.48)

2 = −i · ω

(3.49)

x(t) = α1 · exp (i · ω · t) + α2 · exp (−i · ω · t)

(3.50)

x1 (t) = x2 (t)

(3.51)

Die allgemeine Lösung wird dann:

mit

Verwendet man die entsprechenden Anteile

Re(x1 ) =

1 (x1 (t) + x2 (t)) = cos ω · t 2

(3.52)

Im(x2 ) =

1 (x1 (t) − x2 (t)) = sin ω · t 2

(3.53)

so erhält man als Lösung:

x(t) = α1 · cos (ω · t) + α2 · sin (ω · t).

(3.54)

Damit haben wir wieder als Lösung harmonische Schwingungen. Das Eulerverfahren ist also sehr gut geeignet, die Differentialgleichung der freien Schwingungen zu lösen. Die offenen Parameter der Lösungsfunktionen müssen dann durch die jeweiligen Randbedingungen gefüllt werden.

3.3.3 Laplace-Transformation 3.3.3.1 Einführung Neben dem Euleransatz gibt es natürlich weitere Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen. In diesem Abschnitt soll ein Verfahren vorgestellt werden, was insbesondere in der Baudynamik relativ weit verbreitet ist, weil die Darstellung von Sprungfunktionen

66

3 Einmassenschwinger

elegant gelingt. Es handelt sich um die Laplace-Transformation. Man spricht gelegentlich auch von der Überführung in den Bildraum. Prinzipiell besteht die Lösung von Differentialgleichungen mittels Laplace-Transformation aus drei Schritten: • Transformation aus dem Normalraum f(x) in den Bildraum F(s) • Umformung und Isolation der Funktion F(s) • Rücktransformation in den Normalraum f(x) Die Anwendung soll zunächst an einem Beispiel gezeigt werden. Es sei die Lösung der Differentialgleichung des Einmassenschwingers gesucht:

x¨ + ω2 · x = 0

(3.55)

Im ersten Schritt erfolgt die Transformation in den Bildraum. Da die Laplace-Transformation eine lineare Transformation ist, bleiben Additionsterme erhalten. Man kann also die Terme mit x einzeln umwandeln. Im Folgenden ist die Umwandlung dargestellt:

x¨ =

d 2 x(t) → s2 F(s) − s · x(0) − x˙ (0) dt 2 x(t) → F(s)

(3.56) (3.57)

Faktoren werden bei der Transformation übernommen, dass heisst, es gilt:

ω2 → ω2

(3.58)

Damit lautet die Gleichung nach der Transformation:

s2 F(s) − s · x(0) − x˙ (0) + ω2 · F(s) = 0

(3.59)

Im zweiten Schritt erfolgt die Auflösung nach F(s). Die Erfahrung in der Lehre zeigt, dass Studenten nicht so sehr Probleme mit der Transformation und Rücktransformation, sondern eher mit der Umformung und Isolation von F(s) haben. Dies ist im Folgenden für das Beispiel dargestellt:

F(s) · (s2 + ω2 ) − s · x(0) − x˙ (0) = 0

(3.60)

F(s) · (s2 + ω2 ) = s · x(0) + x˙ (0)

(3.61)

F(s) =

x˙ (0) s · x(0) + 2 2 2 (s + ω ) (s + ω2 )

(3.62)

Im letzten Schritt erfolgt die Rücktransformation in den Normalraum. Genau wie bei der Hintransformation dürfen die einzelnen Terme separat transformiert werden:

s2

s → cos (α · t) + a2

(3.63)

3.3  Mathematische Verfahren zur Lösung

67

Für den zweiten Term müssen wir eine kleine Umformung durchführen. Wir erweitern den Bruch und dadurch wird die Rücktransformation möglich:

s2

1 sin (α · t) α 1 · → → 2 2 2 +α (s + α ) α α

(3.64)

Damit ergibt sich als Lösung

x(t) = x0 · cos (ω · t) +

x˙ 0 · sin (ω · t) ω

(3.65)

3.3.3.2 Laplace-Transformierte Im obigen Beispiel wurde einfach vorausgesetzt, dass die Laplace-Transformierte der Terme bekannt sind. Das ist natürlich nicht immer so. Zum einen stehen heute aber Formelsammlungen für Laplace-Transformierte zur Verfügung, genau wie Tafeln mit Integralen und Ableitungen, und zum zweiten kann heute freie Mathematiksoftware dafür verwendet werden, wie z. B. in Abb. 3.5 gezeigt. Tab. 3.1 listet einige LaplaceTransformierte wichtiger Funktionen auf. 3.3.3.3 Theoretischer Hintergrund Die Laplace-Transformation ist eine Integraltransformation F(s) =

ˆ∞

e−sx f (x)dx

(3.66)

0

ist ein linearer Operator zur Übertragung einer reellen Funktion im Zeitbereich in eine komplexe winkelabhängige Frequenz, denn für s gilt

s = σ + i · ω.

(3.67)

Es stellt sich die Frage, ob die Laplace-Transformation immer durchgeführt werden kann. Leider ist dies nicht immer so. Es gibt Integrale, die nicht transformiert werden können, z. B. wenn die Integrale nicht konvergieren. Allerdings sind die Integrale im allgemeinen mindestens stückweise kontinuierlich und können transformiert werden. Und hier liegt der grosse Vorteil der Transformation: Funktionen müssen nicht kontinuierlich mit kontinuierlichen Ableitungen sein. Das ist gerade bei Transienten, wie sie in der Dynamik auftreten, häufig der Fall. Ein weiterer Vorteil der Laplace-Transformation ist die Linearität: Rechenoperationen von Integralen und Ableitungen bleiben im Bereich der Transformation gleich: Die Summe von Termen bleibt eine Summe, das Produkt einer Konstanten mit einer Funktion bleibt das Produkt einer Konstanten mit einer Funktion im transformierten Bereich. Das Hauptproblem in der Praxis ist in der Tat nicht die Durchführung der Transformation, sondern die Umformung in den transformierten Bereich. Die Vorteile der Laplace-Transformation sind im Folgenden noch einmal zusammengefasst:

68

3 Einmassenschwinger

Abb. 3.5    Mathematische Software zur Durchführung einer Laplace-Transformation

• sehr gut geeignet für Sprungfunktionen (Diskontinuitäten, Impulse etc.) • Initialwerte können früh in der Rechnung berücksichtig werden, da bei der LaplaceTransformierten von Ableitungen Startwerte explizit auftauchen. • Umwandlung von Differentialgleichungssystemen in algebraische Gleichungssysteme • Umwandlung von Partiellen Differentialgleichungssystemen in Gewöhnliche Differentialgleichungssysteme. Die Laplace-Transformation hat z. B. eine weite Verbreitung im Bereich der Baustatik, der Baudynamik, bei der Anwendung der Wellengleichungen, der Elektronik und der drahtlosen Kommunikation gefunden.

3.3  Mathematische Verfahren zur Lösung

69

Tab. 3.1  Laplace-Transformierte verschiedener üblicher Funktionen f(x)

F(s)

1

1 s

eax n

x , n = 1, 2, 3 x p , p > −1 √ x

1 s−a n! sn+1 Ŵ(p+1) sp+1 √ π 3

2s 2

x

n− 21

, n >= 1, 2, 3

sin (a · x) cos (a · x) x · sin (a · x) x · cos (a · x) sin (a · x) − a · x · cos (a · x) sin (a · x) + a · x · cos (a · x)

√ 1·3·5...(2n−2) π 1

2n sn+ 2 a s2 +a2 s s2 +a2 2a

(s2 +a2 )2 s2 −a2

(s2 +a2 )2 2a3

(s2 +a2 )2 2as2

(s2 +a2 )2

cos (a · x) − a · x · sin (a · x)

s·(s2 −a2 )

cos (a · x) + a · x · sin (a · x)

s·(s2 −3a2 )

sin (a · x + b)

sinh (a · x)

s·sin (b)+a·cos (b) s2 +a2 s·cos (b)−a·sin (b) s2 +a2 a s2 −a2

cosh (a · x)

s s2 −a2

ea·x sin (b · x)

b (s−a)2 +b2 s−a (s−a)2 +b2

cos (a · x + b)

ea·x cos (b · x)

(s2 +a2 )2 (s2 +a2 )2

ea·x sinh (b · x)

b (s−a)2 −b2

ea·x cosh (b · x)

b (s−a)2 −b2

x n ea·x , n = 1, 2, 3...

n! (s−a)n+1

f (c · x)

1 F cs c

uc (x) = u(x − c)

e−es s −cs

 

δ(x − c)

e

uc (x) · f · (x − c)

e−cs F(s)

ecx · f (x)

F(s − c)

(Fortsetzung)

70

3 Einmassenschwinger

Tab. 3.1   (Fortsetzung) f(x)

F(s)

x n f (x), n = 1, 2, 3...

(−1)n F (n) (s) ´∞ s F(s − c)

1 2

· f (x) ´x 0 f (v)dv ´t 0 f (x − τ ) · g · (τ )dτ

F(s) s

F(s)G(s)

f (x + T ) = f (x)

´T

f ′ (x)

sF(s) − f (0)

f ′′ (x)

s2 F(s) − sf (0) − f ′ (0)

f

(n)

0

e−s·x f (x)·d·x 1−e−sT

sn F(s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′ (0)... − sf (n−2) (0) − f (n−1) (0)

(x)

3.3.3.4 Beispiele Einfache Beispiele Viele Studenten erschrecken, wenn sie in der Vorlesung hören, dass die Laplace-Transformation behandelt wird. Oft wird die Laplace-Transformation durchgeführt, ohne ihren Namen zu nennen und tut dies erst, nachdem die Terme erfolgreich aus den Tafeln entnommen wurden. Im Folgenden werden ein paar einfache Beispiele aufgelistet, die die einfache Anwendung zeigen sollen. Die Formeln können in Tab. 3.1 nachgeschlagen werden, die Transformation der Ableitungen wurde noch einmal ausgeführt, weil sie so bedeutend ist:

2 s3

(3.68)

1 s+ω

(3.69)

s s(s + ω)

(3.70)

x(t) = t 2 → F(s) =

x(t) = e−ωt → F(s) =

x(t) = 1 − e−ωt → F(s) =

x(t) =

x˙ → sF(s) − x(0)

(3.71)

x¨ → s2 F(s) − s · x(0) − x˙ (0)

(3.72)

1 1 − 3t 1 e 2 → F(s) = · 2 2 s+

3 2

Diracs Delta δ(t) → 1

=

1 2s + 3

(3.73) (3.74)

3.3  Mathematische Verfahren zur Lösung

71

3 2 2 −3t 3 +2t 5 5 + → F(s) = x(t) = · e + e 5 5 s+3 s−2

(3.75)

Inhomogene lineare Differentialgleichung Im Folgenden soll eine inhomogene lineare Differentialgleichung gelöst werden:

x¨ + x = 1

(3.76)

x(0) = x˙ (0) = 0

(3.77)

mit den Ausgangsbedingungen

Die Laplace-Transformation der einzelnen Terme ergibt

x¨ → s2 F(s) − s · x(0) − x˙ (0)

(3.78)

x → F(s)

(3.79)

1→

1 s

(3.80)

Führt man die Terme zusammen, so erhält man

s2 F(s) − s · x(0) + x˙ (0) + F(s) =

1 s

(3.81)

Im nächsten Schritt wird nach F(s) isoliert. Dabei dürfen die Ausgangsbedingungen berücksichtigt werden:

x(0) = x˙ (0) = 0

(3.82)

Gl. 3.81 vereinfacht sich zu:

1 s

(3.83)

  1 F(s) · s2 + 1 = s

(3.84)

s2 F(s) + F(s) = Klammert man F(s) aus, so erhält man:

Anschliessend wird F(s) isoliert:

1  F(s) =  2 s +1 ·s

Mittels Partialbruchzerlegung wird der rechte Term weiter zerlegt zu: 2  s +1 s2 + 1 − s2 s2 1 s 1   =      = = = − 2 2 2 2 2 s s +1 s +1 s s +1 ·s s +1 ·s s +1 ·s

(3.85)

(3.86)

72

3 Einmassenschwinger

und Gl. 3.85 wird zu:

F(s) =

s 1 − 2 s s +1

(3.87)

Die Rücktransformation der Terme ergibt:

1 →1 s

(3.88)

s = cos (t) s2 + 1

(3.89)

Die Lösung der Differentialgleichung wird dann:

x(t) = 1 − cos (t)

(3.90)

Man kann die Aufgabe als eine einfache Differentialgleichung einer erzwungenen Schwingung mit einer Eigenkreisfrequenz von eins ansehen. Was wäre mit der Eigenkreisfrequenz passiert, wenn diese nicht eins gewesen wäre? Da die Laplace-Transformation eine lineare Transformation ist, hätte sich ergeben:

ω2 x → ω2 F(s)

(3.91)

Partialbruchzerlegung Wie bereits erwähnt, stellt die Umformung im transformierten Raum häufig ein Problem dar. Für konkrete Zahlen gibt es heute im Internet kostenlose Software zur Partialbruchzerlegung. Diese soll hier noch einmal an einem Beispiel dargestellt werden. Gegeben ist die folgende Funktion:

F(s) =

1+s (s + 3) · (s − 2)

(3.92)

Gesucht ist die Partialbruchzerlegung gemäss:

1+s A B = + (s + 3) · (s − 2) (s + 3) (s − 2)

(3.93)

Multipliziert man die Gleichung mit (s + 3) × (s – 2), so erhält man:

1 + s = A(s − 2) + B(s + 3)

(3.94)

Wähle s so, dass die Teilfaktoren bei A oder B Null werden:

(s − 2) = 0 → s = 2

(3.95)

1 + 2 = A · (2 − 2) + B · (2 + 3)

(3.96)

Damit wird Gl. 3.94 zu

3.3  Mathematische Verfahren zur Lösung

73

Der Term bei A wird Null und man erhält: (3.97)

3=0+B·5 B=

3 5

(3.98)

Im zweiten Schritt wird der Term bei B zu Null gesetzt:

(s + 3) = 0 → s = −3

(3.99)

1 − 3 = A · (−3 − 2) + B · (−3 + 3)

(3.100)

Damit wird Gl. 3.94 zu

Der Term bei B wird Null und man erhält:

−2 = A · (−5) + 0 A=

2 5

(3.101) (3.102)

Damit erhält man die isolierte und aufbereitete Funktion für F(s):

F(s) =

2 5

s+3

+

3 5

s−2

(3.103)

Die Rücktransformation der einzelnen Terme ergibt:

F(s)

1 → x(t) = e−at s+a

x(t) =

2 −3t 3 +2t e + e 5 5

(3.104)

(3.105)

Eine Partialbruchzerlegung kann man auch für mehrere Terme durchführen. Die folgenden Gleichungen zeigen ein sehr einfaches Beispiel für drei Terme:

1 A B C = + + (x + a) · (x + b) · (x + c) (x + a) (x + b) (x + c)

(3.106)

A=

1 (b − a) · (c − a)

(3.107)

B=

1 (a − b) · (c − b)

(3.108)

C=

1 (a − c) · (b − c)

(3.109)

74

3 Einmassenschwinger

und für vier Terme:

A B C D 1 = + + + (x + a) · (x + b) · (x + c) · (x + d) (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) (3.110)

A=

1 (b − a) · (c − a) · (d − a)

(3.111)

B=

1 (a − b) · (c − b) · (d − b)

(3.112)

C=

1 (a − c) · (b − c) · (d − c)

(3.113)

D=

1 (a − d) · (b − d) · (b − d)

(3.114)

Weitere Informationen zur Partialbruchzerlegung findet man z. B. bei Brünner (2012), Hemmerich (2020) oder Wendland und Steinbach (2005). Verbundenes Pendel Wie bei den Vorteilen beschrieben, kann die Laplace-Transformation auch Differentialgleichungssysteme in algebraische Gleichungssysteme umwandeln. Dies soll im folgenden Beispiel gezeigt werden. Bei dem Beispiel handelt es sich um zwei durch eine Feder verbundene Pendel. Abb. 3.6 zeigt ein Systembild und Abb. 3.7 zwei über ein Seil verbundene Schaukeln, die vereinfacht durch ein solches verbundenes Pendel dargestellt werden sollen. Das Beispiel ist auch dahingehend von Bedeutung, weil es neben der Einführung eines Zweikörpersystems auch die Problematik der Linearisierung von Differentialgleichungen beinhaltet. Dies wird noch einmal im Abschnitt 3.3.4. Linearisierung behandelt. Das System der Differentialgleichungen besteht dann aus den folgenden beiden Gleichungen:

m · L · φ¨ 1 = −m · g · φ1 + f · L · (φ2 − φ1 )

(3.115)

m · L · φ¨ 1 = −m · g · φ2 − f · L · (φ2 − φ1 )

(3.116)

Abb. 3.6   Systemskizze des verbundenen Pendels

75

3.3  Mathematische Verfahren zur Lösung

Abb. 3.7   Verbundene Schaukel (Cimetta im Tessin) (Foto: D. Proske)

Es werden die folgenden Hilfsparameter eingeführt:  g ω= L

α=



f m

(3.117)

(3.118)

Bitte beachten: im Abschn. 3.3.4 ist m bei ½ l.

13 · m · l2 m · l2 + m · l2 = ≈ m · l2 12 12

(3.119)

Damit wird das Differentialgleichungssystem zu:

φ¨1 + ω2 φ1 + α 2 (φ1 − φ2 ) = 0

(3.120)

φ¨2 + ω2 φ2 − α 2 (φ1 − φ2 ) = 0

(3.121)

76

3 Einmassenschwinger

Die Anfangsbedingungen seien

φ1 (0) = A

(3.122)

φ2 (0) = 0

(3.123)

φ˙ 1 (0) = φ˙ 2 (0) = 0

(3.124)

Die Laplace-Transformation unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen ergibt

φ1 (t) → F1 (s)

(3.125)

φ˙ 1 (t) → sF1 (s) − φ1 (0)

(3.126)

φ¨1 (t) → s2 F1 (s) − φ1 (0)

(3.127)

φ2 (t) → F2 (s)

(3.128)

φ˙ 2 (t) → sF2 (s)

(3.129)

φ¨ 2 (t) → s2 F2 (s)

(3.130)

und

Damit ergibt sich ein lineares Gleichungssystem

s2 F1 (s) − s · A + ω2 F1 (s) + α 2 (F1 (s) − F2 (s)) = 0

(3.131)

s2 F1 (s) + ω2 F2 (s) − α 2 (F1 (s) − F2 (s)) = 0

(3.132)

Nach Auflösung und Umformung des Gleichungssystems erhält man:   s s A F1 (s) = · 2 2 + 2 2 2 s ω s ω + 2α 2

A F2 (s) = · 2



s s + 2 2 2 2 s ω s ω + 2α 2



(3.133)

(3.134)

Führt man die folgende Hilfsvariable ein:

ω′ =

 ω2 + 2α 2

(3.135)

und invertiert, so erhält man die folgenden Gleichungen. Abb. 3.8. zeigt den Zeitverlauf dieser Funktionen:

φ1 (t) =

  A cos (ω · t) + cos ω′ t 2

(3.136)

φ2 (t) =

  A cos (ω · t) − cos ω′ t 2

(3.137)

77

3.3  Mathematische Verfahren zur Lösung

Abb. 3.8   Darstellung der Lösung des verbundenen Pendels

Generalisierte Differentialgleichung des Einmassenschwingers mit harmonischer Anregung Im folgenden Beispiel soll die Fähigkeit der Laplace-Transformation an der allgemeinen bzw. generalisierten Differentialgleichung des Einmassenschwingers mit harmonischer Anregung gezeigt werden.

m · x¨ + d x˙ + k · x = K cos (ω · t)(t ≥ 0)

(3.138)

Die Laplace-Transformation der Terme ergibt:

K cos (ω · t) →

K ·s + ω2

s2

(3.139)

x(t) → F(s)

(3.140)

x˙ (t) → sF(s) − x0

(3.141)

x¨ (t) → s2 F(s) − s · x0 − x˙ 0

(3.142)

Die Gleichung schreibt sich nach der Transformation:

  K cos (ω · t) m · s2 F(s) − s · x0 − x˙ 0 + d · (sF(s) − x0 ) + k · F(s) = (3.143) s2 + ω 2 Klammert man F(s) aus, so erhält man   F(s) · m · s2 + ds + k − m · s · x0 − m · x˙ 0 − d · x0 = ...

(3.144)

und

  F(s) · m · s2 + ds + k =

K ·s + (m · s + d) · x0 + m · x˙ 0 + ω2

s2

(3.145)

78

3 Einmassenschwinger

Im Folgenden sollen zwei Spezialfälle unterschieden werden. Zunächst einmal sollen die Variablen K = d = 0 gesetzt werden. Teilt man Gl. 3.145 durch m, so erhält man:   k 2 = s · x0 + x˙0 F(s) s + (3.146) m Führt man die Eigenkreisfrequenz ein:

ω0 =



k k → ω02 = m m

(3.147)

so ergibt sich:

  F(s) s2 + ω02 = s · x0 + x˙0

(3.148)

Diese Gleichung wurde bereits im Abschn. 3.3.3.1 behandelt und die Lösung war:

x(t) = x0 · cos (ω0 · t) +

x˙ 0 · sin (ω0 · t) ω0

(3.149)

Im zweiten Beispiel gilt:

K = 0, x0 = 0, x˙ 0 = 0, d = 0

(3.150)

K ·s s2 + ω 2

(3.151)

  F(s) · m · s2 + k = F(s) =

s K   · m s2 + ω02 s2 + ω2

(3.152)

Im Gegensatz zu den bisherigen Gleichungen gibt es jetzt zwei Frequenzen, einmal die Eigenkreisfrequenz des Einmassenschwingers mittels k/m und einmal die Anregungsfrequenz der harmonischen Kraft K cos (ω · t). Diese müssen nicht gleich sein. Man benötigt  daher zwei verschiedene Variablen. Mittels Partalbruchzerlegung

erhält man:



s2

+

ω02

s 

s2

+

ω2

As + B Cs + D = +  2 2 s + ω0 s2 + ω 2

(3.153)



(3.154)

1 K · 2 (cos (ω0 · t) − cos (ω · t)) m ω − ω02

(3.155)

1 K F(s) = · 2 m ω − ω02



s s − 2 2 2 s + ω2 s + ω0

Die Lösung dafür ist:

x(t) =

79

3.3  Mathematische Verfahren zur Lösung

Dies ist eine sehr unangenehme Gleichung, weil unter dem Bruchstrich die Differenz der beiden Frequenzen steht. Sollten die Frequenzen gleich sein bzw. sich sehr nahe kommen, dass werden die Verschiebungen beliebig gross. Dieser Fall wird häufig umgangssprachlich als Resonanzkatastrophe bezeichnet und wird uns in einem folgenden Abschnitt noch beschäftigen.

3.3.4 Linearisierung Grundlage für die Anwendung des Euler-Ansatzes ist eine lineare Differentialgleichung. Tatsächlich liegen aber nicht immer lineare Differentialgleichungen vor. Man kann aber mit einigen im Ingenieurwesen üblichen Vereinfachungen eine Linearisierung der Differentialgleichung erreichen. Diese soll im Folgenden für das Pendel gezeigt werden. Eine dünne Stange der Länge l und Masse m kann sich um die durch ihren oberen Endpunkt A gehende horizontale Achse drehen. Sie wird um den Winkel φ0 aus der Vertikalen ausgelenkt und zum Zeitpunkt t0 freigelassen (Abb. 3.9). Gesucht ist die Winkel-Zeit-Funktion φ = φ(t) für die Bewegung der Stange. Gegeben sind l = 60 cm, φ0 = 0, 01 rad und t0 = 0. Zunächst soll die Differentialgleichung aufgestellt werden. Auf die Stange wirkt die Gewichtskraft als Drehmoment

MA = −m · g · s · sin φ

(3.156)

Dieses Moment verursacht gemäss Bewegungsgleichung

MA = JA · φ¨

(3.157)

die Winkelbeschleunigung φ¨ zur Ruhelage der Stange. Die Bewegungsgleichung soll so umgeformt werden, dass die Differentialgleichung der harmonischen Schwingung erkennbar wird. Da der Schwerpunkt nicht im Drehpunkt liegt, muss das Trägheitsmoment mit dem Satz von Steiner ermittelt werden:

JA = Js + m · s2

(3.158)

mit

Js = Abb. 3.9   Systemskizze des Pendels

m · l2 12

(3.159)

80

3 Einmassenschwinger

Das ergibt

JA =

l2 4 · m · l2 m · l2 m · l2 +m· 2 = = 12 2 12 3

(3.160)

Die Bewegungsgleichung lautet damit:

−m · g · s · sin φ =

m · l2 · φ¨ 3

(3.161)

Nehmen wir an, dass vereinfacht gilt sin φ ≈ φ. Damit wird

−m · g ·

m · l2 l ·φ = · φ¨ 2 3

(3.162)

und

3g · l ·φ =0 φ¨ + 2l

(3.163)

φ¨ + ω02 · φ = 0

(3.164)

Damit haben wir

Dies ist die bekannte Differentialgleichung. Die Lösungsfunktion kennen wir:

φ(t) = φm · cos (ω0 t + α)

(3.165)

und für die Eigenkreisfrequenz ergibt sich:

ω02 =

3g 2l

(3.166)

Die Konstanten φm und α ergeben sich aus den Randbedingungen:

φ(t0 ) = φ0

(3.167)

t0 = 0

(3.168)

φ0 ist die maximale Auslenkung. Damit muss der Cosinus zu diesem Zeitpunkt maximal, also 1 werden. Damit wird der Phasenwinkel null: α=0

(3.169)

φ(t) = φ0 · cos ·ω0 t

(3.170)

und wir erhalten:

mit

ω0 =



3g 2l

(3.171)

81

3.4  Freie ungedämpfte Schwingung

Abb. 3.10   Kleinwinkelnäherung

Die Periodendauer ergibt sich zu:

T = 2π ·



2l = 1, 27 s 3g

(3.172)

Die Annahme, dass der Winkel in Radiant näherungsweise gleich dem Sinus eines Winkels ist, wird als Kleinwinkelnäherung bezeichnet. Abb. 3.10 zeigt den Unterschied zwischen der Annahme und dem Sinus des Winkels. Die Kleinwinkelnäherung hat grosse Bedeutung im Ingenieurswesen für die Berechnung von Strukturen mit kleinen Verformungen. Die jeweiligen Annahmen für die verschiedenen Theorien zur Schnittgrössenberechnung sind in Tab. 3.2 aufgelistet. 

3.4 Freie ungedämpfte Schwingung Die Diskussion der freien ungedämpften Schwingung und die Herleitung der zugehörigen Differentialgleichung erfolgte bereits im Abschn. 3.2. Diese Herleitung bildet die Grundlage für alle weiteren Ausführungen und Überlegungen zur freien und erzwungenen Schwingung. Die im Abschn. 3.2 verwendete Gl. (3.10)

max = −kx

(3.173)

82

3 Einmassenschwinger

Tab. 3.2  Verschiedene Theorien zur Schnittgrössenberechnung (Zhang 2018) Theorie

1. Ordnung

2. Ordnung

3. Ordnung

Formulierung des Gleichgewichtes am

unverformten System

verformten System

verformten System

Verformungen im Verhältnis zu den Systemabmessungen sind

vernachlässigbar klein ( 1

Tab. 3.4 fasst die relevanten Gleichungen zusammen. Das ungedämpfte System wurde im vorangegangenen Abschnitt behandelt. Die kritisch gedämpften und überdämpften Systeme sind im Bauwesen eher unüblich, im Bauwesen liegen eher unterkritisch gedämpfte Systeme vor. Die Abb. 3.11 und 3.12 zeigen zwei Beispiele des Verschiebungsverhaltens zweier Einmassenschwinger. Im Folgenden soll noch kurz auf die Lösungen der Differentialgleichung für die vier Fälle eingegangen werden. Der Fall 1 des ungedämpften Systems wurde bereits im vorangegangenen Abschnitt behandelt. Für das unterdämpfte System mit

0 2 −1 η −1

(6.5)

Der Maximalwert des Isoliergrades i ist 1 bzw. 100 %. Der Begriff der Isolierung ist den Bauingenieuren neben dem baudynamischen Fall noch aus der Bauphysik, hier aus dem Wärmeschutz und aus dem Schallschutz, bekannt. Deshalb verwendet kann man auch die Körperschalldämmung als charakteristische Grösse: −2  V (η) ζ = 10 · log (6.6) V (η = 0) Der aktuelle Funktionswert V (η) bezieht sich auf V (η = 0) = 1. Damit ergibt sich

ζ = −10 · log (1 − i)2

(6.7)

Um z. B. einen Isoliergrad von 70 % und damit i = 0,7 zu erzielen, muss das Frequenzverhältnis η

1 −1

(6.8)

13 = 2,082 3

(6.9)

0,7 = 1 −

η2

nach Umformung erfüllen:

η=



Das Frequenzverhältnis zwischen Erreger- und Eigenfrequenz muss also grösser als zwei sein. Für die Körperschalldämmung ergibt sich damit:

ζ = −10 · log (1 − 0,7)2 = 10,4 dB

(6.10)

6.6 Tilger

171

Man kann nun die Dämmung zur Erschütterungsabschirmung verwenden. Als Beispiel wird ein Fundamentblock, der harmonisch erregt wird, betrachtet. Die Anregung sei: (6.11)

F(t) = A · sin (� · t).

Die Einleitung dynamische Kräfte in den Untergrund soll durch die Wahl einer elastischen Lagerung bzw. Bettung verringert werden. Zunächst wird dazu wieder das Frequenzverhältnis maximiert:

η=

� fErregung = fEigen ω

(6.12)

Die zu wählende elastische Lagerung muss natürlich auch bei dieser Frequenz funktionstüchtig bleiben. Die Eigenfrequenz ist:

fEigen =

ω 2π

(6.13)

und speziell für die elastische Lagerung:

fEigen

1 = 2π



g uˆ

(6.14)

Der Bezug zur statistischen Lagerpressung lautet:

1 uˆ σ = E · ε = E · → fEigen = d 2π



g·E σ ·d

(6.15)

Leider ist der E-Modul häufig selbst frequenzabhängig. Daher geben die Hersteller solcher Lagerungen Datenblätter mit den notwendigen Informationen heraus. In Abb. 6.6 findet sich solch ein Blatt mit Informationen über die Eigenfrequenz des Lagerungsmaterials in Abhängigkeit von der beaufschlagten Normalspannung. Die Anwendung wird in den Beispielen 1 und 2 gezeigt.

6.6 Tilger Die Dämmung war insofern in diesem Kapitel ein Spezialfall, weil sie eben nicht von einer Übereinstimmung von Erreger- und Eigenfrequenz ausging. Neben den bisher genannten Möglichkeiten, diese Übereinstimmung zu vermeiden, wie z. B. die Veränderung der Masse und Steifigkeit oder die Dämpfung, gibt es noch die Möglichkeit des Anbaus bzw. Hinzufügen einer zweiten Masse. Natürlich soll und darf diese zweite Masse nicht überproportional schwer sein, sonst wird die gesamte Konstruktion

172

6  Dämmung, Dämpfung und Tilger

Abb. 6.6   Auszug aus dem Werkstoffblatt von Cisador von Calenberg Ingenieure (2020)

u­ nwirtschaftlich. In der Regel soll sie nur einen Bruchteil der ursprünglichen Bauwerksmasse ausmachen, z. B. wenige Prozent. Betrachtet man die Differentialgleichung der harmonisch erzwungenen ungedämpften Schwingung eines Zwei-Massensystems in Matrizenschreibweise, so erhält man:           m1 0 x¨ k + k2 −k2 x F0 · cos t · 1 + 1 · 1 = (6.16) x¨ 2 −k2 k2 x2 0 m2 0 Wir betrachten nur den eingeschwungenen Zustand und machen dazu einen partikularen Ansatz:         u1P X1 u¨ 1P X1 = · cos t → = · cos t (6.17) u2P X2 u¨ 2P X2 Einsetzen

−m1 · 2 0 0 −m2 · 2   F0 = · cos t 0



       X1 k1 + k2 −k2 X1 · · cos t + · · cos t X2 −k2 k2 X2

(6.18)

und erhält:



k1 + k2 − m1 · 2 −k2 −k2 k2 − m2 · 2

     X1 F0 · = X2 0

(6.19)

6.6 Tilger

173

Weitere wichtige Parameter sind, wobei im Folgenden der Index T für den Tilger verwendet wird:

Masseverh¨altnis: µ =

Frequenzverh¨altnis:

η2 =

�2 , ω2

D¨ampfung:

Weitere Parameter :

ηT2 =

D=

�2 , ωT2

mT m ω2 =

(6.20)

k , m

ωT2 =

kT mT

dT 2 · mT · ω

ωT2 ωT mT · ωT2 kT = µ · = µ · α2 , α = = , (6.21) 2 2 k m·ω ω ω

(6.21)

(6.22)

(6.23)

Man kann das bisher eingeführte Beispiel verallgemeinern:

M · x¨ + D · x˙ + k · x = f cos(� · t) 

(6.24)

          m 0 x¨ (t) 1 −1 x˙ (t) k + kT −kT x(t) f · + · + · =· cos(�·t) −kT kT 0 mT x¨ T (t) −1 1 x˙ T (t) xT (t) 0 (6.25)

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist       x(t) c s = cos(� · t) + sin(� · t) xT (t) cT sT Mit den oben genannten Umformungen, die im Beispiel zu       X1 F0 k1 + k2 − m1 · 2 −k2 · = X2 0 −k2 k2 − m2 · 2

(6.26)

(6.27)

führten, erhält man:

x 2 = c 2 + s2

(6.28)

 2 4 · D2 · η2 + (η2 − α 2 )2 f x = k N

(6.29)

2

N = 4 · D2 · η2 · [1 − η2 · (1 + µ)]2 + [µ · η2 · α 2 − (η2 − 1) · (η2 − α 2 )]2 (6.30) Damit kann man die Verschiebung der Originalmasse ermitteln. Je nach Auswahl der Parameter stellen sich verschiedene Verformungsgrössen bzw. Vergrösserungswerte in Abhängigkeit vom Frequenzverhältnis ein. Abb. 6.7 zeigt verschiedene Kombinationen,

174

6  Dämmung, Dämpfung und Tilger

wobei auch die unendlich steife Verbindung der beiden Massen (Originalmasse und Tilgermasse) mit integriert ist. Dann verhält sich das System wieder wie ein Einmassenschwinger unter Berücksichtigung verschiedene Dämpfungswerte. Werden die beiden Massen dagegen elastisch gekoppelt, so hängt das Ergebnis von dem jeweiligen Dämpfungsgrad ab. Liegt keine Dämpfung vor, so gibt es dann zwei Resonanzspitzen. Je nach Kopplungseigenschaften können diese abgemindert werden. Ziel wäre es, die beiden Spitzen abzuflachen und ein Plateau zu erhalten, dass heisst, ein unauffälliges Verhalten über ein relativ breites Frequenzband. Das Verhalten des Systems wird immer weniger abhängig von der Erregerfrequenz. Abb. 6.8 und 6.9 zeigen Brücken, bei denen man nachträglich Tilger eingebaut hat. Auf der einen Seite sind die Lösungen der Gleichungen möglich, auf der anderen Seite stellt sich die Frage, wie die Parameter des Tilgers geschickt gewählt werden können. Zunächst einmal soll die Masse des Tilgers nicht zu gross werden. Ausserdem soll eine gewisse Dämpfung vorhanden sein, um die unendlich bzw. sehr grossen Verformungen bei der Übereinstimmung der Frequenzen zu verhindern. Die Arbeitsschritte zur Wahl eines optimalen Dämpfers können wie folgt aussehen (Ruge 1999; Schollmayer 2018): 1. Wahl des Masseverhältnisses von Tilger und Bauteilmasse. In der Regel liegt der Wert zwischen 1 % und 5 %.

mT = µ · m

(6.31)

Abb. 6.7   Skizze zur Darstellung des Einflusses der Kopplung und Dämpfung der Tilgermasse (in Anlehnung an Haag und Stempniewski (2010)

6.6 Tilger

175

Abb. 6.8   Milleniumsbridge in London. (Foto: D. Proske)

2. Berechnung eines Hilfswertes:

α=

1 1+µ

(6.32)

3. Berechnung der Steifigkeit des Tilgers:

kT = α 2 · µ · k =

µ ·k (1 + µ)2

(6.33)

4. Berechnung des optimalen Dämpfungsgrades: 2 Dopt =

3·µ 8 · (1 + µ)3

(6.34)

5. Damit ergibt sich die Dämpfungskonstante:

dopt = 2 · Dopt

µ · · mT · ω = 1+µ



3·µ ·k·m 2·1+µ

(6.35)

176

6  Dämmung, Dämpfung und Tilger

Abb. 6.9   Passerelle Solferino Brücke in Paris. (Foto: D. Proske)

Die Anwendung sei an einem Beispiel gezeigt:

mT = 0,05 · m, kT =

1 ·k (1 + 0,05)2

(6.37)

1 1 + 0,05

(6.38)

3 · 0,05 8 · (1 + 0,05)3

(6.39)

α=

Dopt =

(6.36)



fT ,opt =

fH 1 + mmHT

(6.40)

Die Lage des Tilgers am Bauwerk hängt von den Eigenformen ab. Das soll im Folgenden für einen kontinuierlich massebelegten Einfeldträger gezeigt werden. Für diesen sind die ∞ Schwingungsformen:  x  · k · π = wk (x) w(x) = ak sin l k=1 (6.41)

177

6.6 Tilger

Abb. 6.10   Schwingungsisolation eines Notstrom-Dieselmotors. (Foto: D. Proske)

Das führt zu der in Kap. 5 erläuterten Gleichung  π 4 EI wk2 = k 4 l ρA

(6.42)

Gesucht ist ein Tilger für die erste Eigenform (k = 1) bei unbekannter Koordinate xR:

Ekin =

ˆl

ρ · A · w12 (x) dx = mR [w1 (x = xR )]2

(6.43)

ˆl 

(6.44)

0

Ekin = ρ · A ·

a12

·

0

sin

2  x 2 x R · π dx = mR · a12 · sin ·π l l

Mit

ˆl  2 l x sin · π dx = l 2 0

(6.45)

178

6  Dämmung, Dämpfung und Tilger

ergibt sich:

mR = ρ · A ·

1 l ·  x R 2 sin · π 2 l

(6.46)

Damit kann die Wirksamkeit des Tilgers in Abhängigkeit vom Ort in Form der erforderlichen Masse berechnet werden. So ergibt sich

l l : mR = ρ · A · = 0,5 · mB 2 2

(6.47)

l 4 l : mR = ρ · A · · = 0,67 · mB 3 2 3

(6.48)

l l : mR = ρ · A · · 2 = 1,0 · mB 4 2

(6.49)

xR =

xR =

xR =

Je weiter der Tilger vom Bereich der maximalen Verformung der ersten Eigenform platziert wird, desto grösser muss seine Masse sein, um den gewünschten Effekt zu erbringen.

6.7 Schwingungsisolation Im Bereich der Seismik haben Schwingungsisolationen eine breite Anwendung erfahren (Skinner et al. 1993, Christopoulos und Filiatrau 2006). So werden z. B. Dieselaggregate als Notstromsysteme seismisch isoliert (Abb. 6.10). Dies betrifft in der Regel natürlich nicht nur das Aggregat selbst, sondern auch die Zuleitungen. Es gibt sogar Pläne, ganze Kraftwerke seismisch zu isolieren. Prinzipiell sollen seismische Isolationen folgende Eigenschaften aufweisen: • Geringe Masse • Hohe Zuverlässigkeit • Kontrollierte Kraftübertragung Beispiele für Isolationssysteme sind FPS (Friction pendulum system), Gummilager mit hoher und niedriger Dämpfung (HDRB/LDRB: High and low damping rubber bearing) und Bleigummilager (LRB). Die Vor- und Nachteile der betrachteten Isolatorsysteme sind aus Tab. 6.1 ersichtlich.

6.8 Anwendungsbeispiele

179

Tab. 6.1  Eigenschaften verschiedener Isolationssysteme (Kurmann et al. 2015) System

Eigenschaften

Bewertung

FPS

Masseunabhängig Reibung an der Gleitfläche Abweichungen des Reibungsbeiwertes von den theoretisch erwarteten Werten

Geringe Masse Für hohe Normallasten ausgelegt Vertikale Steifigkeit zu beachten

HDRB LDRB

Geringe Steifigkeit und variable Dämpfung linear-elastisch Versagen durch maximale Dehnung des Gummis oder Instabilität

Linear-elastisch bis zum Bruch Effektiv nur für geringe Steifigkeitsbereiche Temperaturabhängige Eigenschaften bei zyklischen Einwirkungen Altersabhängige Eigenschaften

LRB

Elasto-plastisches System grosse hysteretische Dämpfung

Elasto-plastisches Verhalten,durch die Wahl einer Fliessgrenze wird eine Kraftbegrenzung erreicht.relativ zuverlässiges System selbst bei Auslegungsüberschreitenden Einwirkungen

6.8 Anwendungsbeispiele 6.8.1 Beispiel 1 Es wird eine Abschirmung eines Fundaments gegen Erschütterungen durch einen Prüfstand mit einer Erregerfrequenz von fEr = 50 Hz gesucht. Das Fundament hat eine Fläche

Abb. 6.11   Auszug aus dem Werkstoffblatt von Cisador von Calenberg Ingenieure (2020)

180

6  Dämmung, Dämpfung und Tilger

A von 3,0 m × 4,5  m = 13,5  m2. Die Höhe h des Fundamentes beträgt 1,5 m. Die Masse des Betonfundamentes ergibt sich zu:

m = 13,5 m2 · 1,5 m · 2500 kg = 50,625 · 103 kg

(6.50)

Es wird das Isolationsmaterial Cisador Typ B mit (siehe Abb. 6.11)

σopt = 0,33 MN/m2 mit f = 10 Hz

(6.51)

gewählt. Das Verhältnis der Frequenzen beträgt:

50 Hz fEr = =5 f 10 Hz

(6.52)

23 η2 − 2 = = 0,958 2 η −1 24

(6.53)

η= Der Isolationsgrad wird zu:

i=

und die Körperschalldämpfung beträgt

ζ = −10 log (1 − i)2 = −10 · 2 · log (1 − 0,958) = 27,5 dB.

(6.54)

Diese Rechnung ist natürlich vereinfacht, weil der Fundamentkörper neben der Translation auch noch eine Rotation besitzt. Diese wäre bei einer vollständigen Abschirmungsrechnung zu berücksichtigen.

Abb. 6.12   Auszug aus dem Werkstoffblatt von Cisador von Calenberg Ingenieure (2020)

6.8 Anwendungsbeispiele

181

6.8.2 Beispiel 2 Es wird eine Abschirmung gegen Erschütterung der Bahn geplant. Die Erregerfrequenz beträgt fEr = 40 Hz. Die Abschirmung soll in die Fuge zwischen Kellerwand und Kellerdecke (EG) eingebaut werden. Die Breite der Fuge ist 17,5 cm. Es gibt eine vertikale Linienlast von q = 50 kN/m. Als Lösung wird ein Fugenmaterial Cisador Typ C (Calenberg) mit einer Breite b = 11,5 cm und einer Dicke d = 3,0 cm gewählt. Die planmässige Pressung bzw. Spannung in der Lagerfuge ergibt sich zu:

σ =

50.000 N/m q = = 0,435 MN/m2 < σzul = 0,6 MN/m2 b 0,115 m

(6.55)

0,6 MN/m2 ist die maximale zulässige Spannung und darf nicht überschritten werden, damit die Abschirmung funktionstüchtig bleibt. Aus dem Diagramm mit der Funktion der Eigenfrequenz in Abhängigkeit von der Druckspannung erhält man (Abb. 6.12):

f = 10,7 Hz.

(6.56)

Das Verhältnis der Frequenzen wird zu:

40 = 3,74. 10,7

(6.57)

11,975 η2 − 2 = = 0,92. η2 − 1 12,975

(6.58)

η= Daraus ergibt sich der Isoliergrad zu:

i=

und die Körperschalldämmung (Dämmwirkung) zu:

ζ = −10 · (−2,226) = 22,26 dB.

(6.59)

6.8.3 Beispiel 3 Gegeben ist ein Einfeldträger mit einer Gesamtlänge von 10 m. An dem Träger sind Schwingungsprobleme aufgetreten, sodass ein Tilger geplant wird. Die Masse des Trägers wird vereinfacht als Einzelmasse mB in Trägermitte modelliert. E-Modul und Trägheitsmoment sind gegeben (Abb. 6.13). Eigenschaften des Tilgers und der Erregerfunktion sind ebenfalls in Abb. 6.13 dargestellt. Gesucht sind die maximale Verformung und Beschleunigung für das System ohne und mit Tilger (Schollmayer 2018). Zur Berechnung der Eigenfrequenz wird die Steifigkeit des Trägers benötigt. Diese ergibt sich zu: 48 · 200.000 N/mm2 · 2 × 108 mm4 48EI kB = 3 = l (10.000 mm)3 (6.60)

182

6  Dämmung, Dämpfung und Tilger

Abb. 6.13   Systemskizze und Eingangsgrössen

und bei der Umformung in Meter:

kB =

48 · 2 × 1011 N/m2 · 2 × 10−4 m4 = 1.920.000 N/m = 1920 kN/m (6.61) (10 m)3

Die Eigenfrequenz wird

ω=



kB = mB



1.920.000 N/m = 30,984 s−1 2000 kg

(6.62)

Das Verhältnis aus Erregerfrequenz zu Eigenfrequenz ist:

η=

12,6 s−1 � = = 0,41 ω 30,984 s−1

(6.63)

und der Vergrösserungswert beträgt:

V=

1 = 1,20 1 − η2

(6.64)

Die statische Verformung unter der maximalem Amplitudenkraft ist:

wstat =

800 N F0 = 0,00042 m = 0,42 mm = kB 1.920.000 N/m

(6.65)

und die dynamische Verformung unter Berücksichtigung des Vergrösserungswertes wird zu:

wdyn = wstat · V = 0,42 mm · 1,20 = 0,5 mm

(6.66)

Die Beschleunigung ergibt sich durch zweimalige Ableitung als Produkt aus der Verschiebung und dem Quadrat der Eigenfrequenz:

w ¨ dyn = −wstat · V · 2 = 0,08 m/s2

(6.67)

Sind die Verformungen oder die Beschleunigungen zu gross, so kann ein Tilger eingebaut werden, um beides zu begrenzen. Allerdings wird dann aus dem bisher untersuchten Einmassenschwinger ein Zweimassenschwinger. Die Massematrix ergibt sich zu:       m1 0 mB 0 2000 kg 0 M= = = (6.68) 0 m2 0 mT 0 150 kg

6.8 Anwendungsbeispiele

183

und die Steifigkeitsmatrix ergibt sich zu:       k11 k12 kB − kT −kT 1920 kN/m + 10 kN/m −10 kN/m K= = = (6.69) k21 k22 −kT kT −10 kN/m 10 kN/m Die Lösung des Eigenwertproblems:  2  −ω M + K · x = 0

(6.70)

für ein Zweimassensystem ergab:

µ2 + µ ·

k11 · k22 − k12 · k21 −k11 · m2 − k22 · m1 + =0 m1 · m2 m1 · m2

(6.71)

und damit erhält man die Eigenkreisfrequenzen

µ1 = ω12 = 8,1422 s−1

(6.72)

µ1 = ω22 = 31,0704 s−1

(6.73)

Mit den Eigenkreisfrequenzen ergeben sich die Eigenvektoren zu:

ω2 m1 − k11 x2 = x1 k12 ϕ1 =



(6.74)

   1 1 ; ϕ2 = 179,74 −0,0742

(6.75)

Transformiert man die Massen gemäss Abschn. 4.9, so erhält man für die generalisierte Masse 1

m∗1 =

2 

2 mi ϕi1 = 2000 kg · 12 + 150 kg · 179,742 = 4,848 × 106 kg

(6.76)

i=1

und für die generalisierte Steifigkeit

 2 k1∗ = ω12 · m1∗ = 8,1422 s−1 · 4, 848 × 106 kg = 3,214 × 108 N/m

(6.77)

und für die generalisierte Last:

F1∗

=

ϕ1T F0



800 N 0



= 800 N

(6.78)

800 N F1∗ = 2,489 × 10−6 ∗ = k1 3,214 × 108 N/m

(6.79)

= (1 179,74) ·

Damit ergibt sich eine neue Verschiebung:

w1,0 =

184

6  Dämmung, Dämpfung und Tilger

Der erste Vergrösserungswert beträgt:

          1   1   V1 =   = 0,717 2 2  =  −1 �1 12,6 s  )   1 − ω2   1 − (  2 1 (8,1422 s−1 )

(6.80)

und damit ergibt sich für die erste dynamische Verformung:

w1,dyn = V1 · w1,0 = 0,717 · 2,489 × 10−6 m = 1,784 × 10−6 m

(6.81)

Generalisierte Masse 2

m2∗ =

2 

2 mi ϕi2 = 2000 kg · 12 + 150 kg · (−0,0742)2 = 2,00 × 103 kg

(6.82)

i=1

Generalisierte Steifigkeit

 2 k2∗ = ω22 · m2∗ = 31,0704 s−1 · 2,00 × 103 kg = 1,930 × 106 N/m

(6.83)

Generalisierte Last

F2∗ = ϕ2T F0 = (1 − 0,0742) ·



800 N 0



= 800 N

(6.84)

800 N F2∗ = 4,145 × 10−4 m ∗ = k2 1,930 × 106 N/m

(6.85)

und die zugehörige Verformung

w2,0 =

Der zweite Vergrösserungswert beträgt:

          1   1   = V2 =    = 1,197 −1 2 �2′2  12,6 s   ) (  1 − ω2   1 − 2  2 (31,0704 s−1 )

(6.86)

Die sich daraus ergebende dynamische Verformung beträgt:

w2,dyn = V2 · w2,0 = 1,197 · 4,145 × 10−4 m = 4,962 × 10−4 m

(6.87)

Die Gesamtverformung ist dann:   2  2 2 2 1,784 · 10−6 + 4,962 · 10−4 = 4,962 × 10−4 m wmax = w1,dyn + w2,dyn = (6.88)

6.8 Anwendungsbeispiele

185

Abb. 6.14   Systemskizze des Rahmens ohne Tilger

Abb. 6.15   Systemskizze des Rahmens mit Tilger

6.8.4 Beispiel 4 Ein Rahmentragwerk mit einer Höhe l1 und mit einer harmonischer Kraft beaufschlagt soll sowohl mit als auch ohne Tilger untersucht werden (Schollmayer 2018). Die Tragwerksparameter sind in den Abb. 6.14 und 6.15 dargestellt. Die Tragwerksmasse wird als Einzelmasse auf dem unendlich steifen Riegel angesetzt. Wie bereits beim Rechenbeispiel für den Rahmen in den Abschnitten 3.8.1 und 3.8.2 gezeigt, ergibt sich für die Steifigkeit:

k=

3EIs 15EIs 15 · 2 × 105 MN/m2 · 2 × 10−4 m4 12EIs + 3 = 3 = 3 l1 l1 l1 (4 m)3

(6.89)

k = 7.500.000 N/m + 1.875.000 N/m = 9.375.000 N/m

(6.90)

186

6  Dämmung, Dämpfung und Tilger

Die Eigenfrequenz ergibt sich aus der Steifigkeit und Masse:

ω=



k = m



9.375.000 N/m = 25 s−1 15.000 kg

(6.91)

Das Verhältnis von Erregerfrequenz und Eigenkreisfrequenz ist:

η=

4 · 2π � = = 1,005 ω 25

Damit ergibt sich der Vergrösserungsfaktor:       1   1   = 93,9   = V =  2 2 1−η 1 − 1,005 

(6.92)

(6.93)

Die statische Verschiebung infolge der maximalen Amplitudenkraft F0 ist:

ustat =

100.000 N F0 = = 0,0107 m = 10,7 mm k 9.375.000 N/m

(6.94)

Die dynamische Verschiebung ergibt sich aus der statischen Verschiebung und dem Vergrösserungsfaktor:

udyn = V · ustat = 93,9 · 10,7 mm = 1 m

(6.95)

Die Stützkräfte für die verschiedenen Auflager lassen sich aus den Steifigkeitsverhältnissen bestimmen. Die horizontale Stützkraft im rechten Auflager ergibt sich zu:

Hrechts = udyn ·

3EIs = 1 m · 1875 kN/m = 1875 kN l 21

(6.96)

Das maximale Moment in der rechten Stütze ist dann:

M = Hrechts · l1 = 1875 kN · 4 m = 7500 kNm

(6.97)

Die maximale Spannung ist dann:

σmax =

7500 kNm M = = 5000 N/mm2 Ws 1,5 × 10−3 m3

(6.98)

Bereits die Verschiebungen waren extrem gross. Beim Spannungsnachweis zeigt sich, dass die erforderlichen Spannungen die zulässigen Spannungen, in diesem Fall von Stahl, weit übersteigen. Aus diesem Grund soll ein Tilger installiert werden, um die Verformungen und Kräfte zu verringern. Im zweiten Teil soll daher die Konstruktion mit einem Tilger untersucht werden. Zunächst werden zur Bestimmung der Eigenkreisfrequenzen die Massen und Steifigkeiten benötigt. Da es sich jetzt um ein Zweimassensystem handelt, erfolgt der Übergang zur Matrizenschreibweise.   m1 0 M= (6.99) 0 m2

6.8 Anwendungsbeispiele

187

Die Steifigkeit des Rahmen wurde bereits verwendet.

k=

12EIs 3EIs 15EIs + 3 = 3 = 9,375 · 106 N/m l13 l1 l1

(6.100)

Die Steifigkeit des Tilgers ist:

k2 =

3EIt = 1,244 · 106 N/m l23

(6.101)

Die Steifigkeitsmatrix des Systems ergibt sich zu:     k1 + k2 −k2 9,375 × 106 N/m + 1,244 × 106 N/m −1,244 × 106 N/m K= = −k2 k2 1,244 × 106 N/m −1,244 × 106 N/m (6.102) Die Lösung der Eigenwertaufgabe

  det K + ω2 M = 0

ergibt die Eigenkreisfrequenzen:

(6.103)

ω12 = 433,82 → ω1 = 20,83 s−1 ω22 = 896,12 → ω2 = 29,94 s−1

(6.104)

mit den Eigenvektoren

ϕ1 =



   1 1 ; ϕ2 = 3,30 −2,27

(6.105)

Für die Berechnung der Verformung der ersten Eigenform werden die generalisierten Massen, Steifigkeiten und Lasten berechnet. Die generalisierte Masse ergibt sich zu:

m1∗ =

2 

2 mi ϕi2 = m1 · 12 + m2 · 3,32

(6.106)

i=1

m1∗ = 15.000 kg + 2000 kg · 3,32 = 36.780 kg

(6.107)

Die generalisierte Steifigkeit ergibt sich zu:

k1∗ = ω12 · m1∗

(6.108)

 2 k1∗ = 20,83s−1 · 36.780 kg = 1,5958 × 107 N/m

(6.109)

Die generalisierte Last ergibt sich zu:

F1∗

=

ϕ1T F0



100.000 N = [13,3] · 0



= 100 kN

(6.110)

188

6  Dämmung, Dämpfung und Tilger

Über die generalisierte Steifigkeit und die generalisierte Last kann die statistische Auslenkung berechnet werden:

u1,stat =

100.000 N F1∗ = 0,0063 m = 6,3 mm ∗ = k1 1,5958 × 107 N/m

(6.111)

Das Verhältnis von Erreger- und Eigenkreisfrequenz ist:

η1 =

4 · 2π = 1,21 20,83

(6.112)

und der Vergrösserungsfaktor wird:       1   1  = 2,15    V1 =  = 2 2 1 − 1,21  1 − η1

(6.113)

Damit ergibt sich die dynamische Verformung zu:

u1,dyn = u1,stat · V1 = 6,3 mm · 2,15 = 13,55 mm

(6.114)

Für die Berechnung der Verformung der zweiten Eigenform werden ebenfalls wieder die generalisierten Massen, Steifigkeiten und Lasten berechnet. Die generalisierte Masse ergibt sich zu:

m2∗ =

2 

2 mi ϕi1 = m1 · 12 + m2 · (−2,27)2

(6.115)

i=1

m2∗ = 15.000 kg + 2000 kg · (−2,27)2 = 25.306 kg

(6.116)

Die generalisierte Steifigkeit ergibt sich zu:

k2∗ = ω22 · m2∗

(6.117)

 2 k2∗ = 29,94s−1 · 25.306 kg = 2,2684 × 107 N/m

(6.118)

Die generalisierte Last ergibt sich zu:

F2∗ = ϕ2T F0 = [1 − 2,27] ·



100 000 N 0



= 100 kN

(6.119)

Über die generalisierte Steifigkeit und die generalisierte Last kann die statistische Auslenkung berechnet werden:

u2,stat =

100.000 N F1∗ = = 0,0044 m = 4,4 mm k1∗ 2,2684 × 107 N/m

(6.120)

Das Verhältnis von Erreger- und Eigenkreisfrequenz ist:

η2 =

4 · 2π = 0,84 29,94

(6.121)

6.8 Anwendungsbeispiele

189

und der Vergrösserungsfaktor wird:

V2 =

1 1 = 3,39 = 1 − 0,842 1 − η12

(6.122)

Damit ergibt sich die dynamische Verformung zu:

u2,dyn = u2,stat · V2 = 4,4 mm · 3,39 = 14,9 mm

(6.123)

Für die maximale Verformung werden beide dynamische Verformungen überlagert:   2 2 = (13,55 mm)2 + (14,9 mm)2 = 20,14 mm (6.124) + u2,dyn umax = u1,dyn Damit ergibt sich die horizontale Stützkraft am rechten Auflager:

Hrechts = umax ·

3EIs = 0,02014 m · 1.875.000 N/m = 37,76 kN l13

(6.125)

Das maximale Moment im rechten Stiel wird zu:

M = Hrechts · l1 = 37,760 kN · 4 m = 150,92 kNm

(6.126)

und daraus ergibt sich die maximale Spannung mit

σmax =

150,92 kNm M = = 100,61 N/mm2 Ws 1,5 × 10−3 m3

(6.127)

Die maximale Spannung konnte also deutlich verringert werden.

6.8.5 Beispiel 5 Dieses Beispiel einer Tilgerbemessung stammt aus Haag und Stempniewski (2010). Es handelt sich um einen Stahlträger mit einer angehängten Masse. Die genauen Zahlen finden sich in Haag und Stempniewski (2010). Hier wird nur ein Teil der Berechnung wiedergegeben. Das Differentialgleichungssystem für das Zweimassenschwinger-System ist:

m · x¨ (t) + (k + kT ) · x(t) − kT · xT (t) = F0 · cos (� · t)

(6.128)

mT · x¨ (t) + −kT · x(t) + kT · xT (t) = 0

(6.129)

Die Steifigkeit, mit der die Tilgermasse an den ursprünglichen Einfeldträger aus Stahl angeschlossen ist, beträgt 82 kN/m. Die Steifigkeit des Einfeldträgers beträgt 2542 kN/m. Die Steifigkeitsmatrix wird:   2542 −82 K= (6.130) −82 82

190

6  Dämmung, Dämpfung und Tilger

Die Masse des Tilgers beträgt 10 kg, die Masse des Balkens beträgt 300 kg. Die Massematrix wird zu:   0,30 0 M= (6.131) 0 0,01 Die Eigenfrequenzen ergeben sich zu:      2542 − ω2 · 0,30 −82 det = 2542 − ω2 · 0,30 · 82 − ω2 · 0,01 −822 = 0 2 −82 82 − ω · 0,01 (6.132) Damit erhält man die Eigenfrequenzen:

ω1 = 82,66 s−1 → f1 = 13,16 Hz

(6.133)

ω2 = 99,20 s−1 → f2 = 15,79 Hz

(6.134)

Die Eigenformen ergeben sich zu:        1 2542 − 82,662 · 0,30 −82 1,0 0 · = → A21 = −6,0 → A1 = 6 −82 82 − 82,662 · 0,01 A21 0 (6.135) 

       1 2542 − 99,202 · 0,30 −82 1,00 0 · = → A22 = −5,0 → A2 = −5 −82 82 − 99,202 · 0,01 A22 0

(6.136) In der ersten Eigenform haben beide Massen die gleiche Richtung (beide Werte sind positiv), in der zweiten Eigenform bewegen sich die beiden Massen in unterschiedliche Richtungen. Mittels modaler Analyse kann das Gleichungssystem in einzelne Gleichungen zerlegt werden. Die Modaltransformation ergibt:         1 6 0,30 0 1 1 0,66 0 ∗ T M =  M = · · = (6.137) 1 −5 0 0,01 6 −5 0 0,55 ∗

T

K =  K =

F ∗ = �T F =





       1 6 2542 −82 1 1 4510 0 · · = (6.138) 1 −5 6 −5 0 5412 −82 82

     1 6 20 · cos(90,55t) 20 · cos(90,55 · t) · = (6.139) 1 −5 0 20 · cos(90,55 · t)

Die Bewegungsgleichungen der entkoppelten fiktiven Einmassenschwinger lauten dann:

0,66 · y¨ 1 (t) + 4510 · y1 (t) = 20 · cos(90,55 · t)

(6.140)

0,55 · y¨ 2 (t) + 5412 · y2 (t) = 20 · cos(90,55 · t)

(6.141)

6.8 Anwendungsbeispiele

191

Die Steifigkeiten sind k1∗ = 4510 kN/m bzw. k2∗ = 5412 kN/m. Die Amplitude der Einwirkung ist F0∗ = 20 kN. Die Angaben zu den Eigenformen finden sich in Tab. 6.2. Nach der Rücktransformation erhält man:       x(t) 1 1 = · 22,2 · cos(90,55 · t − π) + · 22,2 · cos(90,55 · t) (6.142) xT (t) 6 −5 Da gilt: (6.143)

cos(x) = − cos(x − π)

und da die Eigenform für den Balken in beiden Fällen 1 ist, verbleibt die Balkenmasse praktisch in Ruhe. Die gesamte eingetragene Energie wird durch den Tilger aufgenommen. Der Tilger muss allerdings auch die Bewegungen umsetzen können. Haag und Stempniewski (2010) weisen auf den Tilgereffekt hin: Gilt



kT = 2π · fT mT

(6.144)

82 = 90,55 s−1 0,01

(6.145)

�= und im vorliegenden Beispiel



so bleibt die Balkenmasse in Ruhe. Haag und Stempniewski (2010) weisen allerdings darauf hin, dass bei der Wahl eines leichten und weichen Zusatzschwingers die Verformungen des Tilgers sehr gross werden können und dass die Eigenfrequenzen des Zweimassensystems sehr nahe beieinander liegen können. Eine ausreichende Tilgermasse ist deshalb unabdingbar. Zusätzlich kann noch eine Dämpfung eingebaut werden. Dadurch wird eine breitbandigere Wirkung als bei einer reinen Feder-Masse-Lösung erreicht. Wird allerdings die Dämpfung zu gross, so verhält sich der Zweimassenschwinger eher wieder wie ein Einmassenschwinger. Haag und Stempniewski (2010) weissen ausserdem noch darauf hin, dass sich aufgrund von Veränderungen oder Modellungenauigkeiten in der Praxis andere Eigenfrequenzen und Steifigkeiten ergeben können. Aus diesem Grund erscheint es sinnvoll, Tilgermassen nachzujustieren.

Tab. 6.2  Schwingungsamplituden und Phasenverschiebungen der fiktiven Einmassenschwinger nach Haag & Stempniewski (2010) i

ω in 1/s

η

F0/k in mm

V1(ξ = 0)

ymax in mm

ϕ in °

1

82,66

1,095

4,43

5,00

22,2

180

2

99,20

0,913

3,70

6,00

22,2

0

192

6  Dämmung, Dämpfung und Tilger

6.9 Testfragen In jedem Kapitel findet sich ein Abschnitt mit Testfragen. Hier können Sie prüfen, ob Sie den Ausführungen und Erläuterungen folgen konnten. 1. Was unterscheidet Dämpfung, Dämmung und Tilger? 2. Zeichnen Sie ein Vergrösserungsfaktor-Frequenzverhältnis-Diagramm für einen Einmassenschwinger und einen Zweimassenschwinger (Tilger). 3. Ist es möglich, dass ein Tilger die vollständige Energie der harmonischen Lasteinwirkung aufnimmt? Was passiert dann mit der primären Masse bzw. dem primären Bauteil? 4. Welche Nachteile hat ein sehr leichter und weicher Tilger? 5. Muss man bei der Auslegung der Schwingungsabkopplung mittels Dämmung eine mögliche Abhängigkeit des E-Moduls von der Frequenz beachten? Wenn ja, wie?

Literatur Calenberg Ingenieure (2020) Cisador, Salzhemmendorf, https://www.calenberg-ingenieure.de Christopoulos C, Filiatrau A (2006) Principles of Supplemental Damping and Seismic Isolation, IUSS Press, University of Pavia, Italy Haag B, Stempniewski L (2010) Grundlagen der Tragwerksdynamik, Beuth-Verlag, Berlin Kurmann D, Attanasi G, Proske D (2015) A Base-Isolated System for Severe Accident Management at Beznau NPP, Transactions, SMiRT-23, Manchester, U.K., August 10–14, 2015, Division VI, 11 pages Ruge P (1999) Baudynamik: Umdruck zur Vorlesung von P. Ruge 1999, Technische Universität Dresden, Dresden Schollmayer M (2018) Baudynamik – Einführung in die Grundlagen der Dynamik und deren Anwendungen im Bauwesen, Berner Fachhochschule, Architektur, Holz und Bau, 21. Februar 2018 Skinner RL, Robinson WH, McVerry GH (1993) An Introduction to Seismic Isolation, John Wiley & Sons, New York, USA

7

Numerische Lösungs- und Näherungsverfahren

7.1 Einleitung In diesem Kapitel werden die Lösungs- und Näherungsverfahren für dynamische Untersuchungen vorgestellt. Einige der Verfahren, wie z. B. die Laplace-Transformation als mathematisches Lösungswerkzeug für Differentialgleichungen wurden schon erläutert. Die Vielfalt und Mächtigkeit der mathematischen Werkzeuge ist ausserordentlich: Sie reicht von der Fourieranalyse bis zum Differenzenverfahren. Tatsächlich bietet die Baudynamik eine grosse Vielfalt an Verfahren, sodass in vielen Büchern nur ein Überblick oder ein kurzer Einblick erfolgen kann. Dieser Idee folgt auch das vorliegende Buch. Ein Gesamtüberblick über praktisch alle Verfahren der Baudynamik findet sich im „Petersen“ (Petersen und Werkle 2017).

7.2 Fourieranalyse Die Näherung periodischer Funktionen kann durch die Summe harmonischer Funktionen erfolgen. Diese Näherung nennt man Fourieranalyse bzw. Fourierintegral. Sie ist von grosser Bedeutung in der Baudynamik, weil die Fourieranalyse die relevanten Eigenfrequenzen sichtbar macht. Sie sind in den Amplituden-Frequenzdiagrammen klar zu erkennen. Abb. 7.1 zeigt Screenshots einer App mit einer Fourieranalyse. Im Bild rechts oben sieht man den Beschleunigungs-Zeit-Verlauf und unten sieht man das AmplitudenFrequenz-Diagramm mit der Spitze der Amplitude in z-Richtung. Man erkennt noch einen zweiten Hügel in der roten Kurve, also ein Indiz für eine zweite Frequenz bzw. Eigenfrequenz. Mathematisch kann die Näherung der Funktion wie folgt beschrieben werden:

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2021 D. Proske, Baudynamik for Beginners, https://doi.org/10.1007/978-3-658-33584-7_7

193

194

7  Numerische Lösungs- und Näherungsverfahren

Abb. 7.1   Screenshots der App iDynamics der Universität Kaiserslautern

x(t) = c0 + x(t) = c0 +

∞

n=1

∞

n=1

[cn cos (n · ω · t) + sn · sin (n · ω · t)]

(7.1)

cn · cos (n · ω · t − an )

Kriterium für die Berechnung der Konstanten ist ein Minimum des quadratischen Differenzintegrals über die Zeit, also ein Minimum der Summe des Fehlerterms. Basierend auf diesem Kriterium und der Orthogonalitätsrelation der Sinus- und Kosinusfunktion können die Parameter wie folgt berechnet werden:

1 c0 = T

ˆT 0

x(t)dt

(7.2)

7.2 Fourieranalyse

195

2 cn = T

ˆT

x(t) · cos (n · ω · t)dt

(7.3)

x(t) · sin (n · ω · t)dt

(7.4)

0

2 sn = T

ˆT 0

tan an =

sn cn

(7.5)

Bisher wurde nur die Summe von zwei harmonischen Schwingungen betrachtet. Bildet man jetzt die Summe einer sehr grossen Anzahl harmonischer Schwingungen, kann man damit praktisch jede Schwingung darstellen. Da die Summe harmonischer Schwingungen nicht periodisch sein muss, können also auch nicht periodische Schwingungen abgebildet werden. n ist die Vielfachheit der Grundfrequenz. Die Amplituden kann man wie folgt berechnen:

an =

 cn2 + sn2

(7.6)

n·ω 2π

(7.7)

und die zugehörigen Frequenzen sind:

fn =

Man kann die Frequenz und die Amplitude über ein Diagramm auftragen. Dies wurde bereits im Kap. 3 diskutiert. Dort waren allerdings die Kennwerte der einzelnen harmonischen Schwingungen bekannt (Abb. 7.2 oben). Jetzt ist im Gegensatz dazu eine beliebige Schwingung bekannt und man möchte die Kennwerte der einzelnen harmonischen Schwingungen zurückrechnen. Es existiert wieder der in Kap. 2 einführte Übergang vom Zeitbereich in den Frequenzbereich. Berechnet man die Kennwerte der harmonischen Schwingungen nicht mehr nur für eine beliebige Anzahl Stützpunkte (natürliche Zahlen), sondern für eine unendlich grosse Anzahl Stützstellen (reelle Zahlen), dann wird aus der Summenreihe ein Integral. Man spricht auch vom Fourierintegral.

x(t) =

1 2π

ˆ∞

[c(ω) · cos (ω · t) + s(ω · t)]dω

(7.8)

0

mit den Koeffizienten

c(ω) = 2

ˆ∞

−∞

x(t) · cos (ω · t)dt

(7.9)

196

7  Numerische Lösungs- und Näherungsverfahren

Abb. 7.2   Amplitudenspekturm und Amplitudendichtespektrum (unten)

s(ω) = 2

ˆ∞

x(t) · sin (ω · t)dt

(7.10)

−∞

Das kontinuierliche Spektrum erhält man über

 a(ω) = c(ω)2 + s(ω)2

(7.11)

Nicht immer einheitlich spricht man vom Amplitudenspektrum bei einer begrenzten Anzahl Stützstellen und von einem Amplitudendichtespektrum bei unendlich vielen Stützstellen (Abb. 7.2). Beim Powerspektrum werden nicht die Amplituden, sondern die Energieanteile der einzelnen Frequenzen angegeben. Zu Beginn dieses Abschnittes wurde salopp auf die Näherung der periodischen Funktionen oder Schwingungen durch die Summe harmonischer Schwingungen hingewiesen. Zum einen gibt es eine ganze Reihe Sonderfälle von periodischen Schwingungen, zum anderen sind nicht alle Schwingungen periodisch. Tab. 7.1 nennt die Fourierkoeffizienten, die bei bestimmten Funktionstypen zu Null werden. Die anderen Fourierkoeffizienten müssen berechnet werden. Viele Einwirkungen sind allerdings nicht periodisch. So wurde im Kap. 2 ein Erdbeben-Beschleunigungs-Zeitverlauf gezeigt. Auch Anpralle sind nicht periodisch. Trotzdem kann die Fouriertransformation in den meisten Fällen angewendet werden. Die Fouriertransformation kann sogar verwendet werden, wenn die ursprüngliche Funktion Sprünge aufweist. In diesen Fällen verwendet die Fouriertransformation den Mittelwert des letztes Wertes vor dem Sprung und des ersten Wertes nach dem Funktionssprung. Sehr schön kann man die Wirksamkeit der Fouriertransformation im Internet ausprobieren. So gibt es eine sehr gelungene Internetseite von Swanson (2020). Dort kann man sogar eigene kleine Funktionen oder Bilder erstellen, für die die Fouriertransformation gezeigt wird – nicht in Werten, aber als einzelne harmonische Funktionen. Abb. 7.3 zeigt die perfekte Annäherung einer Ausgangsfunktion durch die Summe

7.2 Fourieranalyse Tab. 7.1  Sonderfälle von Funktionen und ihre Fourierkoeffizienten (Ruge 1999)

197 Funktionstyp

Koeffizienten c0 = 0

Ungerade f (t) = −f (−t)

cn = 0

Gerade f (t) = f (−t)

sn = 0

Wechselsymmetrisch f t + 

T 2



= f (t)

c0 = 0 c2n = 0 s2n = 0

Ungerade wechselsymmetrisch

c0 = 0

Gerade wechselsymmetrisch

cn = 0 c0 = 0 sn = 0

Abb. 7.3   Zerlegung einer Ausgangsfunktion (links) in die Summe harmonischer Schwingungen (rechts)

harmonischer Funktionen. Abb. 7.4 zeigt die Abweichungen, wenn die Anzahl der harmonischen Terme begrenzt wird. In Abb. 7.5 wird in einer dreidimensionalen Darstellung den Übergang vom Zeit- in den Frequenzbereich dargestellt. Man kann die Fourieranalyse auch mit Standardsoftware durchführen, z. B. mit der bekannten Tabellenkalkulation Excel. Dort muss bei den Add-Ins „Analyse-Funktionen“ aktiviert werden. Diese Aktivierung befindet sich je nach Excelversion in verschiedenen Menüpunkten. Nach Aktivierung zeigt sich im Menü „Daten“ unter „AnalyseFunktionen“ das Feld „Fourieranalyse“. Leider ist die Anwendung in Excel nicht ganz so einfach, wie in anderen Softwarepaketen. Die Daten müssen noch umgerechnet werden. Diese Umrechnung wird z. B. von Balzer (2013) gezeigt. Für die Anwendung der Fouriertransformation für verschiedene bekannte Einwirkungen liegen bereits die Koeffizienten vor. So finden sich die Koeffizienten für die folgenden Gleichung für die Lastfälle Gehen, Laufen und Hüpfen in der Tab. 7.2.

198

7  Numerische Lösungs- und Näherungsverfahren

Abb. 7.4   Abweichungen von der Funktion bei einer begrenzten Anzahl Terme

Abb. 7.5   Übergang vom Zeitbereich in den Frequenzbereich (Bildidee von Balzer 2013)

Tab. 7.2  Fourierkoeffizienten für verschiedene Anregungszustände bei den Lastfällen Gehen, Laufen und Hüpfen (Sadegh-Azar und Wörndle 2012) Aktivität

Frequenz in Hz

α1

α2

α3

Schunkeln

0,5 – 1,5

0,25

0,05

-

Vertikale Aktivität von sitzenden Personen

1,5 – 3,0

0,5

0,25

0,15

Koordiniertes Hüpfen

1,5 – 3,5

2,1 – 0,15 × f

1,9 – 0,17 × (2 × f) 1,25 – 0,11 × (3 × f)

Gehen vertikal

1,2 – 2,4

0,37 × (f – 1,0) 0,1

0,06

Gehen horizontal

1,2 – 2,4

0,1

-

-

Laufen vertikal

2,0 – 4,0

1,4

0,4

0,1

Laufen horizontal

2,0 – 4,0

0,2

-

-

Treppensteigen vertikal 1,2 – 4,5

1,1

0,22

-

7.3 Näherungsverfahren

199

Fv (t) = Q +

n 

Q · αi · sin(2 · π · i · f · t)

(7.12)

i=1

Fh (t) =

n 

Q · αi · sin(2 · π · i · f · t)

(7.13)

i=1

Q ist die Eigenlast einer durchschnittlichen Person, in der Regel werden hierfür 80 kg bzw. 0,8 kN verwendet. Zur Erinnerung, die häufig auf Dächern anzusetzende Mannlast von 1 kN entspricht also 100 kg. Neben der direkten Anregung des Bauteiles gibt es auch Fusspunktanregungen oder Unwuchtanregungen.

7.3 Näherungsverfahren 7.3.1 Einleitung Eine gelungene Zusammenfassung über die Bewertung der Näherungsverfahren liefert Ruge (1999). Er unterscheidet Näherungsverfahren für Ingenieursprobleme für den Raum und für die Zeit. Lösungen im Raum werden durch Randbedingungen geprägt. Randbedingungen entstehen durch die Festlegung einer Einspannung oder einer gelenkigen Lagerung. Die Lösungen sind daher immer auf endliche Werte beschränkt. Lösungen in der Zeit werden dagegen durch Anfangsbedingungen bestimmt. Nach den Anfangsbedingungen gibt es keine Festpunkte mehr, weder für den untersuchten Zeitbereich noch danach. Aus diesem Grund gibt es keine Prüfungsmöglichkeit mehr für die Abweichung des Näherungsverfahrens von der genauen Lösung. Daher  unterscheidet man die Näherungsverfahren auch hinsichtlich dieses Abweichungsverhaltens. So gibt es Näherungsverfahren, die unabhängig von der gewählten Zeitschrittweite stabil sind, während die numerische Stabilität bei anderen Verfahren von der Zeitschrittweite abhängig ist. Erstere nennt man absolut stabile Näherungsverfahren, letztere nennt man bedingt stabile Verfahren. Zu den letzteren Verfahren zählt das Finite Differenzen Verfahren.

7.3.2 Differenzenverfahren Um die Differentialgleichung des Einmassenschwingers oder des Mehrmassenschwingers numerisch lösen zu können, kann man für die Geschwindigkeiten bzw. die erste Ableitung und für die Beschleunigung bzw. die zweite Ableitung nach der Zei folgende Näherungen verwenden:

200

7  Numerische Lösungs- und Näherungsverfahren

v = x˙ ≈

xi+1 − xi x = t ti+1 − ti

(7.14)

˙x x˙ i+1 − x˙ i = t ti+1 − ti

(7.15)

und ..

a=x≈

Meistens wird mit einer konstanten Zeitschrittweite gearbeitet, sodass man für die Zeitdifferenz eine Konstante einführen kann, z. B. h. Der Fusszeiger i gibt die Zeitschrittnummer an. Dann lauten die Formeln wie folgt:

v = x˙ ≈

xi+1 − xi x = t h

(7.16)

˙x x˙ i+1 − x˙ i = t h

(7.17)

und ..

a=x≈

Die Differenz bezieht sich in der Regel auf einen gewissen Zeitabschnitt. Man spricht gelegentlich auch von einem Doppelband, weil das Differenzenverfahren die Lösung für einen bestimmten Zeitpunkt innerhalb eines Bandes liefert. Als Startpunkt wurde hier immer die Koordinate gegeben. Ist dagegen einmal die Beschleunigungen gegeben, so kann man über numerische Integrationsverfahren von der Beschleunigung zur Verschiebung bzw. zur Ortkoordinate rechnen. Dies ist nicht eigentlicher Bestandteil des Differenzenverfahrens, kann aber unter Umständen nützlich sein. Eine sehr einfache numerische Integrationsnäherung wäre z. B.: ˆ ai+1 + ai · (ti+1 − ti ) + vn v = a dx ≈ (7.18) 2 und

x=

ˆ

v dx ≈

vi+1 + vi · (ti+1 − ti ) + xn 2

(7.19)

Der Fusszeiger i gibt die Zeitschrittnummer an. Der Fusszeiger n steht für den Startwert, also die Integrationskonstante. Die Lösung der Differentialgleichung mit äusserer Anregung F lautet bei: ..

M · x +D · x˙ + K · x = F

(7.20)

1 1 M · (xi − 2xj + xk ) + D · (−xi + xk ) + K · xj = Fj 2 h 2h

(7.21)

7.3 Näherungsverfahren

201

mit h als Schrittweite und die Fusszeiger i, j, k für den betrachteten Zeitstreifen. Das Verfahren ist allerdings nur solange numerisch stabil, solange die Zeitschrittweite nicht den folgenden Wert überschreitet:

h≤

T π

(7.22)

mit T als Periode bzw. Eigenschwingdauer

T = 2π



m k

(7.23)

Bei dem Verfahren der Finiten Elemente entstehen oft Systeme mit Hunderten oder Tausenden räumlichen Freiheitsgraden. Das ergibt wiederum eine sehr grosse Anzahl Eigenfrequenzen und Eigenschwingdauern. Je mehr räumliche Freiheitsgrade existieren, umso kleiner wird die kleinste Eigenfrequenz der vielen Freiheitsgrade werden. Dass heisst, je mehr räumliche Freiheitsgrade existieren, umso kleiner muss auch die Zeitschrittweite werden.

7.3.3 Finite Elemente Um kontinuierliche Bereiche abzubilden, kann man das Verfahren der Finiten Elemente verwenden. Hierbei werden diese Bereiche über Ansatzfunktionen diskretisiert. Das Verfahren wird neben der Statik auch in der Dynamik verwendet. Für solche transienten Rechnungen sind verschiedene Effekte zu beachten, wie z. B. dass das Eigengewicht nicht im Rahmen der dynamischen Rechnung aufgeschaltet wird, sonst wird das Finite Elemente Modell eine Einschwingung in den Ruhezustand neben dem Schwingverhalten durch die dynamische Einwirkung abbilden. Darüber hinaus müssen die Zeitschrittweiten und die Elementgrössen passend für die dynamische Rechnung gewählt werden. Auf die Zeitschrittlänge wird z. B. im folgenden Abschnitt eingegangen. Basierend auf Gerold und Stempniewski (2004) werden folgende maximalen Elementlängen für Finite Elemente gegeben (Tab. 7.3). Die notwendigen Längswellen und Scherwellenwerte berechnen sich zu:

Tab. 7.3  Finite Elemente Grössen für dynamische Rechnungen nach Gerold und Stempniewski (2004)

Elementtyp

Elementgrösse

Balken

Ln,B ≤

1 10

·

cL fn

Scheibe

Ln,Si ≤

1 22

·

cL fn

Platte

Ln,P ≤

1 14

·

cL,S fn

Schale

Ln,Sa ≤

1 8

·

cL,S fn

202

7  Numerische Lösungs- und Näherungsverfahren

cL2 = ·

(1 − ν) ·E ρ · (1 + ν) · (1 − 2 · ν)

(7.24)

1 ·E 2 · ρ · (1 + ν)

(7.25)

cS2 = ·

Da es sich hier mehr um die Nennung des Verfahrens als um die ausführliche Beschreibung handelt, sei noch einmal auf die Verifikationsrechnungen, z. B. in ANSYS hingewiesen. Dieses grosse Finite Elemente Programm stellt eine Vielzahl von Beispielrechnungen zur Verfügung, die die Anwendung der Software auch für sehr anspruchvolle Aufgaben zeigt.

7.3.4 Newmark Verfahren Das Integrationsverfahren von Newmark ist ein numerisches Lösungsverfahren für die klassische Differentialgleichung der Baudynamik. Sie wird häufig in Finite-ElementeVerfahren verwendet. Ein Grund ist nicht nur die räumliche und zeitliche Diskretisierung für die Berechnungen, sondern z. B. auch der Eintrag von bestimmten äusseren Kräften, die nicht analytisch geschlossen dargestellt werden können, z. B. Erdbebenbeschleunigungszeitverläufe. Die Gleichung ..

M · x +D · x˙ + K · x = F

(7.26)

wird genau wie beim Differenzenverfahren in eine inkrementelle Form übertragen: .. t+t

M·x

+ D · x˙ t+t + K · xt+t = Ft+t

(7.27)

Zunächst sind die Inkremente noch unbekannt. Wenn man aber eine bestimmte Annahme über den Verlauf des Ortes, der Geschwindigkeit oder der Beschleunigung trifft, kann man die anderen Werte daraus zurückrechnen. Häufig verwendet man als Annahme für den Verlauf der Beschleunigung eine mittlere konstante Beschleunigung über die Zeitschrittweite. Als Formel sieht das wie folgt aus: ..

x(τ ) =

1 .. t .. t+�t (x + x ) 2

(7.28)

Es gilt weiterhin:

t ≤ τ < t + �t = t + h

(7.29)

Die Änderung der Geschwindigkeit und des Ortes über die Integration wurden bereits bei der Einleitung genannt. Wie bereits erwähnt, ist das Newmark-Verfahren bedingt stabil. Die übliche Zeitschrittweite bei Berechnungen des Erdbebeningenieurwesens liegt bei 0,001 bis 0,02 s (Dazio 2009).

7.3 Näherungsverfahren

203

Die erforderliche Zeitschrittweite kann relativ genau angegeben werden. Dazu kann man die Lösung des Newmark-Verfahren umschreiben: .. t

.. t+�t

x t+�t = x t + �t · x˙ t + �t 2 [(1/2 − β) · x + β · x

]

(7.30)

bzw. .. t

.. t+�t

x˙ t+�t = x˙ t + [(1 − γ ) · x + γ · x

] · �t

(7.31)

Δt ist die Differenz zwischen tt+1 und tt (zwischen den Zeitschritten). Zum Zeitpunkt tt müssten der Verschiebungs-, der Geschwindigkeits- und der Beschleunigungsvektor bekannt sein. Unbekannt sind diese drei Vektoren für den Zeitpunkt tt+1. In der Gleichung finden sich jetzt die drei Parameter β und γ ab. Je nach Wahl dieser Parameter gilt (Barakat 1995):

 • Bei β = 1/6 und γ = 1 2 wird das Verfahren zur linearen Beschleunigungsmethode (bedingt stabil)  • Bei β = ¼ und γ = 1 2 wird das Verfahren zur konstanten Beschleunigungsmethode bzw. zur Trapezregel. Dieses Verfahren ist unbedingt stabil bei linearen Untersuchungen. • Bei β = 1/12 und γ = 1 2 wird das Verfahren zum Fox-Goodwin-Verfahren. Wie bereits erwähnt: Ein Zeitintegrationsverfahren ist unbedingt stabil, wenn jeder beliebige Zeitschritt genutzt werden kann. Ein bedingt stabiles Zeitschrittverfahren erfordert die Unterschreitung einer sogenannten kritischen Zeitschrittlänge. Der kritische Zeitschritt hängt von den Newmark-Parametern und der Eigenfrequenz ab. Eine  1 Dämpfung kann hinzugefügt werden, wenn γ >  2 gewählt wird.

7.3.5 Explizite Verfahren Das Newmark-Verfahren ist ein implizites Verfahren. Implizite Verfahren lösen die Bewegungsgleichung zum Zeitpunkt t + Δt .. t+t

M·x

. t+t

+D·x

+ K · xt+t = Ft+t

(7.32)

Im Gegensatz dazu lösen explizite Verfahren die Gleichung zum bekannten Zeitpunkt t .. t

.t

M · x + D · x + K · x t = Ft

(7.33)

Nach Meinung des Autors werden in Zukunft explizite Verfahren an Bedeutung gewinnen, und zwar nicht nur für dynamische Berechnungen, da sie eine hohe Akzeptanz gegenüber Nichtlinearitäten besitzen. Nichtlinearitäten sind für die realitätsnahe Beschreibung der Tragfähigkeit der Baustoffe Natursteinmauerwerk und Stahlbeton unabdingbar und werden in zunehmendem Masse eingesetzt. Implizite Verfahren verbrauchen bei hochgradig nichtlinearem Materialverhalten, was bei beiden Baustoffen

204

7  Numerische Lösungs- und Näherungsverfahren

vorkommen kann, den sonst vorhandenen zeitlichen Vorteil. Schon heute wird bei Anprallberechnungen im Kraftfahrzeugbereich fast ausschliesslich mit expliziten Verfahren gearbeitet. Auch bei Schiffsanpralluntersuchungen sind dem Verfasser Beispielberechnungen mit expliziten Verfahren bekannt. Darüber hinaus werden bei hochgradig nichtlinearen dynamischen Verfahren die drei Erhaltungssätze verwendet: • Energierhaltung, • Masseerhaltung und • Impulserhaltung.

7.4 Lösungen für Eigenwertprobleme 7.4.1 Einleitung Zur Lösung des allgemeinen Eigenwertproblems

A·x =·B·x

(7.34)

stehen verschiedene numerische Verfahren zur Verfügung. Diese Verfahren lassen sich in drei Gruppen einteilen (Ruge 1995): • Vektoriterationsverfahren, • Transformationsverfahren und • Determinantenalgorithmen.

7.4.2 Vektoriterationsverfahren nach v. Mises Das Verfahren von v. Mises zählt zu den Vektoriterationsverfahren zur Lösung des Eigenwertproblems. Die Erläuterungen basieren auf Ruge (1999). Das Verfahren beginnt mit einem beliebigen Startvektor, aus dem sich weitere iterative Vektoren ergeben. Die Berechnung sieht allgemein wie folgt aus:

Av1 = Bv0 → v1 Av2 = Bv1 → v2 ...

(7.35)

Avk+1 = Bvk vk+1 → x1 Die Iteration soll zum Eigenvektor x1 mit dem kleinsten Eigenwert konvergieren. Grundlage dafür ist der Satz, dass jeder beliebige Vektor in der Basis der Eigenvektoren darstellbar ist. Mit diesem Satz können die Vektoren als Potenzen der Eigenwerte dargestellt werden:

7.4  Lösungen für Eigenwertprobleme

vk =

205 n 

cj ·

j=1



1 j

k

xj

(7.36)

mit λ als Eigenwerte. Wird der kleinste Eigenwert vor die Summe gezogen, so kann man schreiben

vk =



1 1

k 

c1 · x1 + c2 ·



1 2

k

x2 + . . . + c n ·



1 n

k  xn

(7.37)

Die potenzierten Quotienten der Eigenwerte gehen mit wachsendem k gegen Null, so dass nur der erste Summand verbleibt. Dieses Vorgehen funktioniert nur, wenn es keine doppelten Eigenwerte gibt. Aus Gründen der Rechenvereinfachung wird häufig eine Normierung des Vektors vorgenommen. Der Ablauf der v. Mises Iteration lässt sich wie folgt zusammenfassen: Gegeben ist ein Matrizenpaar A und B. Gesucht ist der kleinste Eigenwerte λ mit x1 für das Eigenwertproblem

Ax = Bx

(7.38)

v0 = 0 mit Z = v0T Av0

(7.39)

Die Berechnung beginnt mit:

mit Z als Zähler des Rayleighquotienten.

  v0T = 1 1 . . . 1

(7.40)

h = Bvk−1 ; N = hT vk−1

(7.41)

Hier beginnt die allgemeine Iteration, die Vektoren a und b werden dabei überschrieben, der Zähler der Iteration ist k. h ist ein Hilfsvektor und N der Nenner des aktuellen Rayleighquotienten:

Der aktuelle Rayleighquotient lautet:

R=

Z N

(7.42)

und die Durchführung einer Normierung des Vektors:

vk−1 :=

vk−1 T vk−1 Bvk−1

vk−1 = √ N

(7.43)

Die Überschreibung von h lautet:

1 h := √ h N

(7.44)

206

7  Numerische Lösungs- und Näherungsverfahren

Berechnung des neuen iterativen Vektors,

Avk = Bvk−1 = h

(7.45)

vk = A−1 h

(7.46)

A = C diag{dj } CT

(7.47)

Cy = h

(7.48)

 1 y → vk C vk = diag dj

(7.49)

Die erfolgt formal über

praktisch über die Choleskyzerlegung:

mit der Zwischenlösung y

und



T

Der Zähler des neuen Rayleighquotienten lautet dann:

Z = vkT Avk = vkT h

(7.50)

Damit ist der erste Iterationsschritt fertig und der nächste Iterationsschritt kann beginnen:

k := k + 1 Die Iteration kann abgebrochen werden, falls gilt:   Rk − Rk−1 30  m

400…800  >50

1,20 0,15

0,5

2,0

C

Normal konsolidierter Kies und Sand oder Moränenschicht mit einer Mächtigkeit >30  m

300…500 15…50 70…250 1,15 0,20

0,6

2,0

D

Nicht konsolidierter Feinsand, Silt und Ton mit einer Mächtigkeit >30  m

150…300   uel und [u − upl ] · u˙ ≥ 0}  � �   −R wenn {[u − u ] < −u und u − u · u˙ ≥ 0} E,el

2.4 Verformung 2.5 Wiederhole Schritt 2.1 bis 2.4

ui+1 =

�t 2 ME

pl

el

· [FE (ti ) − RE (ui )] − ui+1 + 2 · ui

pl

7.7 Anwendungsbeispiele

233

�t < �tkrit = 2 ·



ME KE

(7.213)

festgelegt. Diese Vorgehensweise kann auch für Zwei-Massenschwinger verwendet werden. Im Folgenden ist RE2 die Kontaktkraft, z. B. bei einem Anprall zwischen Fahrzeug (ME1) und Bauwerk (ME2) und RE1 die Federkraft des Bauwerkes unter der Belastung. Für den Zweimassenschwinger kann man wieder das dynamische Gleichgewicht aufstellen: ..

M E · u +RE (u1 , u2 ) = F E = t

(7.214)

mit

ME =



u¨ =

RE =



ME1 0 0 ME2 

u¨ 1 u¨ 2



(7.215)



RE1 (u1 ) − RE2 (u2 − u2 ) RE2 (u2 − u2 )

(7.216)



  0 FE = 0

(7.217)

(7.218)

Die Reaktionskräfte RE1(u1) und RE2(u2-u1) können für den nichtlinearen Fall mit den bekannten folgenden Gleichungen berechnet werden:   KE · [u − upl ] wenn {−uel ≤ [u − upl ] ≤ uel oder [u − upl ] · u˙ < 0} RE (u) = RE,el wenn {[u − upl ] > uel und [u �− upl ] · �u˙ ≥ 0}  −RE,el wenn {[u − upl ] < −uel und u − upl · u˙ ≥ 0 (7.219)

u˙ pl =



u˙ wenn {[u − upl ] · u˙ ≥ 0 und {[u − upl ] > upl oder [u − upl ] < −uel }} .. 0 alle anderen Falle (7.220)

Die Ausgangsbedingungen für die Berechnung lauten:     0 0 u0 = u˙ 0 = 0 u˙ 2 Dabei ist u˙ 2 die Anprallgeschwindigkeit des Fahrzeuges gegen das Bauwerk.

(7.221)

234

7  Numerische Lösungs- und Näherungsverfahren

In Gündel et al. (2010) befindet sich ein FORTRAN-Listing für die nichtlineare Berechnung.

7.7.6 Beispiel 6 In Slavik (2018) finden sich eine Vielzahl von Mathematica-Skripten für die Durchführung dynamischer Berechnungen. Deshalb nennt Slavik seine Arbeit auch: „Eine Einführung in die Baudynamik mit Mathematica“. In dieser Arbeit finden sich für Studierende eine Vielzahl von Beispielen. Weitere Beispiele zur Fourieranalyse finden sich bei Franke (2018).

7.8 Testfragen In jedem Kapitel findet sich ein Abschnitt mit Testfragen. Hier können Sie prüfen, ob Sie den Ausführungen und Erläuterungen folgen konnten. 1. Wodurch unterscheiden sich bedingt stabile Näherungsverfahren von absolut stabilen Verfahren? 2. Wann spricht man von Randbedingungen und wann von Anfangsbedingungen? 3. Erklären Sie die Umwandlung eines Zeitverlaufs in ein Spektrum (Überführung aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich. 4. Was ist der Unterschied zwischen einem Amplitudenspektrum, einem Amplitudendichtespektrum und einem Powerspektrum? 5. Was ist eine Fourier-Transformation? 6. Erklären Sie Abb. 7.5. 7. Erklären Sie das Differenzenverfahren. Was ist der Unterschied zum Verfahren der Finiten Elemente? 8. Was macht das Newmark-Verfahren? 9. Was sind explizite Verfahren? Welche Erhaltungsgesetze gelten dort? 10. Welche Verfahren zur Lösung des Eigenwertproblems kennen Sie? 11. Wann muss man die simultane Vektoriteration verwenden? 12. Was ist eine Modalanalyse? 13. Erläutern Sie das Antwortspektrenverfahren.

Literatur Bachmann H (2002) Erdbebensicherung von Bauwerken, Birkhäuser VerlagBasel Balzer P (2013) FFT mit Excel, 12. August 2013, https://www.cbcity.de/fft-mit-excel-dftantialiasing-tutorial-amplitudenspektrum

Literatur

235

Barakat S (1995) Untersuchung zu Stahlbetonrahmentragwerken mit Mauerwerksausfachung unter Erdbebeneinwirkung. Dissertation, Dresden Brunner R, Jung P, Steiger R, Wenk T, Wirz N (2010) Erdbebengerechte mehrgeschossige Holzbauten, Lignum, Zürich Dazio A (2009) Tragwerksdynamik und Schwingungsprobleme, HS 2009, ETH Zürich Dazio A (2004) Antwortspektrenverfahren, In: Erdbebenbemessung mit den neuen SIA-Tragwerksnormen, SGEB-Fortbildungskurs, 7.10.2004, Zürich, Seite 7–16 Franke S (2018) Baudynamik – Vorlesungsskript, Berner Fachhochschule, Architektur, Holz und Bau, Version 2018/19 Gerold M, Stempniewski L (2004) Baudynamik in der Alltagspraxis, Grundlagen der Baudynamik, Beispiele für Einwirkungen, Bauausführung, 12. Massivbauseminar 2004, Bauakademie Biberach, 68 Seiten Gündel M, Hoffmeister B.; Bangert F (2010) Bemessung von Baustrukturen in Stahl- und Verbundbauweise für Anprall- und Explosionslasten, Nr. B 502, bauforum stahl e. V., Düsseldorf Haag B, Stempniewski L (2010) Grundlagen der Tragwerksdynamik, Beuth-Verlag, Berlin Hempel (2017) Mathematisch Grundlagen - Fourier-Reihen, Universität Köln Kokavecz J (2009) Modalanalyse, Messtechnik der Akustik, Seite 499-535, Springer Petersen C, Werkle H (2017) Dynamik der Baukonstruktionen, 2., überarbeitete und aktualisierte Auflage, Springer Vieweg, Wiesbaden RF-DYNAM Pro (2018) Handbuch Tiefenbach: Dlubal Software, Oktober 2018. Rothe D (2019) Baudynamik, Hochschule Darmstadt, Fachbereich Bauingenieurwesen Ruge P (1999) Baudynamik: Umdruck zur Vorlesung von P. Ruge 1999, Technische Universität Dresden, Dresden Sadegh-Azar H, Wörndle P (2012) Menscheninduzierte Schwingungen: Methoden, Ansätze und Beispiele zur Bewertung der Gebrauchstauglichkeit von Bauwerken, Bautechnik, 89, Heft 7, Seite 451–462 Schollmayer M (2018) Baudynamik – Einführung in die Grundlagen der Dynamik und deren Anwendungen im Bauwesen, Berner Fachhochschule, Architektur, Holz und Bau, 21. Februar 2018 SIA 261 (2003) Einwirkungen auf Tragund Architekten-Verein, Zürich Slavik M (2018) Vorlesungen zur Baudynamik, Hochschule für Technik und Wissenschaft Dresden, Fakultät Bauingenieurwesen, Version 2018 Swanson J (2020) An Interactive Introduction to Fourier Transform, https://www.jezzamon.com/ fourier/index.html Villamil PD (2014) Baudynamik (Master) – SS 2014, Universität Siegen, Lehrstuhl für Baustatik Wandinger J (2013) Elastodynamik, https://wandinger.userweb.mwn.de/LA_Elastodynamik/index. html

8

Aussergewöhnliche dynamische Einwirkungen

8.1 Einleitung Wie bereits im Kap. 1 besprochen, können dynamische Einwirkungen bezogen auf die Lebens- und Nutzungsdauer eines Bauwerkes entweder regelmässig oder nur sehr kurzzeitig, dafür aber mit einer sehr hohen Intensität, auftreten. Diese nur kurzzeitig auftretenden Einwirkungen, die meistens auch noch mit einer geringen Eintrittswahrscheinlichkeit verbunden sind, werden dann nicht mehr über die ständige und vorübergehende Einwirkungskombination im Grenzzustand der Tragfähigkeit nachgewiesen, sondern mit der Kombination für aussergewöhnliche Einwirkungen. Dazu zählen eigentlich auch die Erdbeben. Aber aufgrund ihrer grossen Bedeutung wurde für sie eine eigene Einwirkungskombinationen in den Normen definiert. Aussergewöhnliche Einwirkungen werden in verschiedenen Normen behandelt, wie z. B. ISO 10252 (2020), DIN 1055-9 (2000), Eurocode 1 (1998) und SIA 261/1 (2003). Eine der bedeutendsten aussergewöhnlichen Einwirkungen sind Anpralle gegen Baukonstruktionen.

8.2 Anpralle 8.2.1 Erläuterungen und Hintergründe Das theoretische Konzept zur Modellierung von Stössen und Anprallen gehört zu den Grundlagen der Physik. Neben dem bereits eingeführten Grundsatz der Energieerhaltung und damit Umwandlung von einer Energieform in die andere, gibt es in der Physik auch den Grundsatz der Impulserhaltung. Der dritte Grundsatz, der bei dynamischen Berechnungen noch eine wesentliche Rolle spielt, ist der Grundsatz der Masseerhaltung. © Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2021 D. Proske, Baudynamik for Beginners, https://doi.org/10.1007/978-3-658-33584-7_8

237

238

8  Aussergewöhnliche dynamische Einwirkungen

Der Grundsatz der Impulserhaltung fordert, genau wie der Grundsatz der Energieerhaltung, dass die Summe der Impulse vor und nach einem Ereignis identisch ist. Der Erhaltungssatz der mechanischen Energie gilt allerdings nur, wenn die kinetische Energie nicht in Verformungsarbeit und damit in Wärme und Schall umgewandelt wird. Prinzipiell unterscheidet man als  Grenzwerte den elastischen Stoss und den plastischen Stoss. Beim elastischen Stoss bleiben die kinetische Energie und der Impuls vollständig erhalten. Im Gegensatz dazu wird beim plastischen Stoss kinetische Energie in Verformungsarbeit umgewandelt. Elastische Stösse, die ein schadensfreies Verhalten der Konstruktion nahelegen, weil die Konstruktion im elastischen Bereich verbleibt, scheinen auf den ersten Blick die bessere Lösung bzw. Anprallsituation zu sein. Leider können aber bei elastischen Stössen sehr grosse Kräfte auftreten, weil es kein die Kraft begrenzendes Kriterium gibt. Tatsächlich treten in der Realität überwiegende elasto-plastische Stösse auf. Dann tritt bei einem bestimmten Kraftniveau eine plastische Verformung ein, die eine weitere Erhöhung des Kraftniveaus begrenzt. Beim elastischen Stoss gilt die Erhaltung der kinetischen Energie und die Impulserhaltung:



Ekin davor =



∗ Ekin danach und



pdavor =



p∗danach

(8.1)

Für zwei Massen m1 und m2 mit den Geschwindigkeiten v1 und v2, sieht das wie folgt aus, wobei * die Zustände nach dem Stoss angibt:

 m2  2  m1  2 · v1 − v1∗2 = · v2 − v2∗2 2 2

(8.2)

Beim plastischen Stoss gelten dagegen:



Ekin davor =



∗ Ekin danach + U und



pdavor =



p∗danach

(8.3)

Für zwei Massen ergibt sich dann:

m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2 ) · v∗

(8.4)

Beim realen Stoss gilt:

v1∗ =

m1 · v1 + m2 · v2 − m2 · (v1 − v2 ) · k m1 + m2

(8.5)

v2∗ =

m1 · v1 + m2 · v2 − m1 · (v2 − v1 ) · k m1 + m2

(8.6)

mit k als Stosszahl

k=



h∗ h

(8.7)

239

8.2 Anpralle Tab. 8.1  Stossziffern aus Ortlepp (2006)

Material

Stossziffer

Elfenbein

8/9

Stahl

5/6

Kork

5/9

Glas

15/16

Holz

1/2

Ideal plastisch

0

Ideal elastisch

1

und h als Fallhöhe und h* als Rücksprunghöhe. Angaben zum k-Wert finden sich sowohl im Beispiel Steinschlag als auch im Kap. 1 mit Tab. 8.1. Über die Änderung des Impulses kann die Kraft zurückgerechnet werden. Für kurze Stösse gibt es das Duhamels Integral, welches für nichtperiodische äussere Anregungen angewendet werden kann. Ausserdem kann der Energieverlust für die Bemessung von Schutzeinrichtungen, z. B. Brückenfender, verwendet werden. Eine einfache Berechnung der Anprallkraft gibt die folgende Gleichung wieder (ISO 10252 2020): √ (8.8) F =v· k·m mit v als Geschwindigkeit des stossenden Körpers und k als Steifigkeit des stossenden Körpers. Der getroffene Körper ist unverschieblich und unendlich steif.

8.2.2 Technische Anpralle Unter technischen Anprallen werden Anpralle technischer Verkehrsträger verstanden, also Anpralle von Strassenfahrzeugen und Gabelstaplern, schienengebundenen Fahrzeugen, Wasserfahrzeugen, Flugzeugen und Hubschraubern. Basierend auf den jeweiligen Eigenschaften der Verkehrsmittel, wie z. B. ihrer Geschwindigkeit, ihrer Masse, ihres Aufbaus und ihrer Steifigkeitsverteilung können die Anpralle als Stösse modelliert werden und unterschiedliche Kraft-Zeit-Verläufe zur Verfügung gestellt werden (Abb. 8.1). Weitere Ausführungen finden sich z. B. bei Kunz (2006).

8.2.3 Beispiel 1 Im Folgenden soll kurz die Untersuchung von Brücken auf Schiffsanprall vorgestellt werden. Dabei wurden zwei historische Brücken untersucht, die aufgrund der Zunahme

240

8  Aussergewöhnliche dynamische Einwirkungen

Abb. 8.1   Kraft-Zeit-Funktionen für verschiedene Anpralle (Proske 2009)

der Masse und der Anzahl der Schiffe auf den Binnenschifffahrtstrassen geprüft werden mussten. Abb. 8.2 zeigt eine vereinfachte Ansicht der beiden Brücken. Es handelt sich um eine Mauerwerks- bzw. Stahlbetonbogenbrücke und um eine Stahlfachwerkbrücke. Das Problem bei der dynamischen Modellierung ist nicht so sehr die Bereitstellung der Werkzeuge, diese wurden relativ ausführlich im Buch behandelt, sondern die Bereitstellung der Informationen für die dynamische Modellierung. So muss eine realistische Steifigkeits- und Massemodellierung der Bauwerke sehr genau die spezifischen Bedingungen der Bauwerke widerspiegeln. Aufgrund des Alters der Bauwerke und ihrer Bauwerksgeschichte sind die Bauwerke oft alles andere als homogen. So wurden die Bauwerke zu verschiedenen Zeiten mit verschiedenen Baustoffen und auf verschiedene Art und Weise saniert und verstärkt. Viele Brückenbauwerke erfuhren in den Kriegszeiten Schäden. Abb. 8.3 zeigt in einer Explosionsdarstellung den Aufbau der Brücke 1. Man sieht die verschiedenen Elemente des Überbaus (Beton, Mauerwerk, Spargewölbe) und den doch recht komplizierten Aufbau der Fundamente durch den nachträglichen Einbau von Spundwänden. Die verschiedenen Bauteile und Elemente besitzen unterschiedliche Steifigkeiten und Massen. Deshalb wurde für das Bauwerk ein recht kompliziertes Finite Elemente Modell

Abb. 8.2   Ansicht zweier Brücken, die auf Schiffsanprall untersucht wurden (Proske 2003)

8.2 Anpralle

241

Abb. 8.3   Explosionsdarstellung des Aufbaus der Brücke 1 (Proske 2003)

entwickelt, welches als Volumen- und Flächemodell ohne Vernetzung in Abb. 8.4 dargestellt ist. Abb. 8.5 zeigt dann ein Ergebnis der dynamischen Finite Elemente Rechnung in Form von Hauptspannungen durch einen gestossenen Pfeiler. Man erkennt sehr gut die Ausprägung einer schrägen Druckstrebe zum Abtrag der Anprallkraft. Da es sich um eine dynamische Einwirkung handelt, wäre es interessant, den Zeitverlauf dafür zu sehen. Zwar ist in Abb. 8.6 nicht der Zeitverlauf der Hauptspannungen dargestellt, aber der Verschiebungs-Zeit-Verlauf verschiedener Knoten im Bereich des Pfeilers. Dort erkennt man neben dem doch recht dominanten Anteil der statischen Ver-

Abb. 8.4   Volumenmodell und Flächenmodell für die Finite Elemente Rechnungen (Proske 2003)

242

8  Aussergewöhnliche dynamische Einwirkungen

Abb. 8.5   Finite Elemente Spannungsbild in einem Brückenpfeiler bei einem Schiffsanprall (Proske 2003)

schiebungen (auf Grund der langen Einwirkungszeit von über einer Sekunde) auch eine Schwingung. Diese Schwingung ist eine systemspezifische Antwort der Konstruktion und sollte der horizontalen Eigenfrequenz der Brücke entsprechen. Gemäss Abb. 8.6 kann man eine Eigenfrequenz von ungefähr 2 Hz schätzen. In der Literatur (z. B. Bayraktar et al. 2015) finden sich Angaben zur Eigenfrequenz von historischen Mauerwerksbrücken von 4 bis 8 Hz, überwiegend 6 Hz. Hier müsste man im Detail prüfen, warum es eine Abweichung gibt. Auf Grund der Heterogenität des Bauwerkes und der unterschiedlichen Richtung, horizontaler Anprall und vertikale Eigenfrequenz, erscheint die Abweichung nicht unplausibel.

Abb. 8.6   Verschiebungs-Zeit-Verlauf für verschiedene Knoten (Proske 2003)

8.2 Anpralle

243

Die dynamische Rechnung zeigt allerdings, dass der statische Anteil dominiert und die dynamischen Effekte überschaubar bleiben. Abb. 8.7 zeigt noch einmal die Spannungen im Fussbereich des gestossenen Pfeilers der Brücke 2. Hier sieht man die Dominanz dieser Einwirkung im Vergleich zu allen anderen Einwirkungen. Dieses Bild basiert auf einer statischen Berechnung. Natürlich möchte man nicht nur wissen, wie sich die Brücken im Originalzustand verhalten, sondern man ist auch daran interessiert, die Konsequenzen von baulichen Massnahmen zu bewerten. Abb. 8.8 zeigt die verschiedenen konstruktiven Lösungen, die ebenfalls dynamisch untersucht wurden. Interessant ist hier die Lösung eines Fendersystems für den Pfeiler der Brücke 2. In diesem Fall ändert sich der Berechnungsalgorithmus, weil das Fendersystem auf Grund des plastischen Arbeitsvermögens einen Teil der Anprallenergie in Wärme umwandelt. Diese Energie steht dann nicht mehr für den Aufbau der Anprallkraft zur Verfügung. In diesem Fall ändert sich also der Betrag und der Zeitverlauf der dynamischen Schiffsanprallkraft. Die Bemessung des Fendersystems kann neben der Berücksichtigung der räumlichen und architektonischen Bedingungen auch die erforderliche Energieaufnahme berücksichtigen, so ähnlich wie die Knautschzone eines Kraftfahrzeuges. Weitere Ausführungen zum Thema Schiffsanprall finden sich z.B. bei Knott und Pruce (2000).

8.2.4 Beispiel 2 In einem zweiten Beispiel soll geprüft werden, ob sich bei einer massiven Stahlbetondecke ein durchgehender Riss einstellt, wenn diese Decke durch einen Körper bei einem

Abb. 8.7   Spannungsverteilung im Fusspunkt eines Pfeilers der Brücke 2 (Proske 2003)

244

8  Aussergewöhnliche dynamische Einwirkungen

Abb. 8.8    Untersuchung verschiedener Verstärkungsmöglichkeiten an zwei Brücken gegen Schiffsanprall (Proske 2003)

Anprall getroffen wird. Zum Nachweis wird eine Formel des CEB Heftes 187 (1988) verwendet. Gemäss dem Heft kann ein durchgehender Riss einer Stahlbetonplatte ausgeschlossen werden, wenn die Variable Nscab den Betrag 50 unterschreitet. Der auftreffende Körper, z. B. ein Kran oder ein darüber liegendes Bauteil hat eine Masse m = 150 Tonnen und eine Geschwindigkeit v = 13,6 m/s. Der auftreffende Körper hat vereinfacht einen Durchmesser d0 von 0,5 m. Die getroffene Stahlbetondecke hat eine Dicke e von 1,8 m. Der E-Modul und die Zugfestigkeit werden Abb. 8.9 entnommen. Für den Beton wurde eine Zylinderdruckfestigkeit von 41,1 MPa gegeben. Gemäss dem Bild ergibt sich ein Wert von ca. 0,05 für das Verhältnis Wurzel E-Modul zu Betonzugfestigkeit. Der Wert Nscab berechnet sich gemäss:

Nscab Nscab

√ m0,5 · v · de0,5 Ec · = d0 · e · (1 + e/d0 ) ft 150.0000,5 · 13,6 · 0,50,5 = · 0,05 = 44,9 < 50 0,5 · 1,8 · (1 + 1,8/0,5)

Damit ergibt sich kein durchgehender Riss.

(8.9)

8.2 Anpralle

245

Abb. 8.9   Zusammenhang von E-Modul, Zylinderdruckfestigkeit und Betonzugfestigkeit (CEB 1988)

8.2.5 Beispiel 3 Eine Massivbauwand mit einer Dicke von 10 cm soll bei einem Turbinenzerknall nicht durch Teile der Turbine durchdrungen werden. Ein Turbinenzerknall ereignet sich, wenn sich Teile einer Turbine bei voller oder grosser Drehzahl von der Turbine lösen und davon geschleudert werden. Auf Grund der grossen Drehzahl können hierbei sehr grosse Geschwindigkeiten erreicht werden. Im vorliegenden Fall wird angenommen, dass sich ein 50 kg Projektil löst und mit einer Geschwindigkeit von 100 m/s davon geschleudert wird. Gemäss Abb. 8.10 werden je nach Veröffentlichung Eindringtiefen von 70 bis 150 mm erreicht. Damit kann nicht sichergestellt werden, dass die Massivbauwand nicht durchdrungen wird. Es wären weitere Schutzmassnahmen auszuführen. Abb. 8.10   Zusammenhang von Eindringtiefe, Geschwindigkeit und Projektilmasse für Massivbauwände nach verschiedenen Veröffentlichungen

246

8  Aussergewöhnliche dynamische Einwirkungen

8.2.6 Natürliche Anpralle Neben den technischen Anprallen gibt es eine Vielzahl natürlicher Anpralle. Natürliche Anpralle beziehen sich auf Bewegungen von Körpern der unbehandelten Natur, wie z. B. Steinschläge, Felsstürze, Muren, Blitzfluten und Impulswellen, Todholz oder Lawinen. Eine Vielzahl dieser Einwirkungen zählen zu den gravitativen Naturgefahren und treten in Bereichen hoher Reliefenergie auf, also in den Gebirgen.  Auch für einige dieser Anpralle können Kraft-Zeit-Funktionen entwickelt werden (Abb. 8.11). Für die Berechnung des Spitzendruckes bei Murenanprall gegen Bauwerke stehen verschiedene theoretische Ansätze zur Verfügung. Diese Ansätze werden im Folgenden kurz genannt, ohne auf die Details der Berechnungen einzugehen. Ausserdem beinhalten diese Modelle erhebliche Vereinfachungen. Abb. 8.12 zeigt den Modellübergang von detaillierten Murenabflussmodellen zu vereinfachten Anprallmodellen. Der erste Ansatz wird als hydro-statischer Ansatz bezeichnet. Dabei wird der statische Wasserdruck mit einem empirischen Erhöhungsfaktor k belegt. Dieser Faktor berücksichtigt die Eigenschaften der Mure, wie z. B. die Dichte der Mure ρmu oder die Abflusshöhe hmu. Er entspricht einem dynamischen Erhöhungsfaktor. Die Gleichung lautet (Lichtenhahn 1973; Armanini 1997):

pmax = k · ρmu · g · hmu

(8.10)

Abb. 8.11   Kraft-ZeitFunktionen für granulare und viskose Muren (Proske 2009)

Abb. 8.12   Detaillierte und vereinfachte Abflussmodelle von Muren (Rickenmann 2006; Pierson 1986)

8.2 Anpralle

247

Beim hydro-dynamischen Ansatz wird der dynamische Wasserdruck mit einem empirischen Faktor α (Watanabe und Ikeya 1981; Zhang 1993) bzw. A (Hungr et al. 1984; Deng 1997) belegt. Man bezeichnet die Modelle auch als hydro-dynamische Modelle Typ I und Typ II. Die Gleichungen unterscheiden sich hinsichtlich der Einheiten:

pmax = α · ρmu · v2 und pmax = A · ρmu · v2

(8.11)

Darüber hinaus gibt es besondere bzw. verschmierte hydro-dynamische Modelle. Die folgende Gleichung zeigt ein solches verschmiertes hydro-dynamisches Modell (Hübl und Holzinger 2003):

pmax = 5 · ρmu · v0,8 · (g · hmu )

(8.12)

Es gibt noch weitere hydro-dynamische Modelle, z. B. von Arattano und Franzi (2003) oder Kherkheulidze (1967). Basierend auf den Stossmodellen von festen Körpern gibt es ebenfalls Anprallmodelle für Muren (He et al. 2007; VanDine 1996). Diese Steinblockmodelle sehen z. B. wie die folgende Gleichung aus:

pmax = b · v1,2 · R2,0

(8.13)

mit R als Radius und b einer empirischen Konstante. Diese Modelle können kombiniert werden (siehe Abb. 8.12). Ausserdem muss für die Modelle ein Höhenverlauf entwickelt werden (Abb. 8.13). Allerdings treten bei solchen Anprallen nicht nur direkte horizontale Anprallkräfte auf, sondern es können relativ komplexe Kraftbilder entstehen. So können bei Anprallen gegen Brücken Uplift-Kräfte, aber auch Reibung und Sog beobachtet werden (siehe Abb. 8.14). Genauso, wie man beim Schiffsanprall durch Fendersysteme versucht, die Anprallenergie in plastisches Arbeitsvermögen eines Opferbauteiles umzuwandeln, so kann man auch bei natürlichen Anprallen andere Strategien verwenden, um Bauwerke auf einen Murenanprall oder einen anderen natürlichen Anprall auszulegen.

Abb. 8.13   Visualisierung der hydro-statischen, hydro-dynamischen und Steinblockmodelle (vereinfacht)

248

8  Aussergewöhnliche dynamische Einwirkungen

Abb. 8.14   Belastungseffekte an einer Bogenbrücke durch Murengang und Murenanprall

Abb. 8.15 zeigt eine Brücke, die für den Fall eines Murereignisses bzw. einer Stürzflut mit Verklausung horizontal verschieblich ist. Dadurch kann sich die Brücke der Einwirkung entziehen und das Gerinneprofil wird grösser. Abb. 8.16 zeigt ein Schutzbauwerk einer Seilbahnstütze in den Alpen. Durch das Schutzbauwerk werden gravitative Ereignisse, wie z. B. Lawinen abgelenkt. Dadurch muss das Bauwerk selbst nicht für die Anprallkraft ausgelegt werden.

Abb. 8.15   Horizontal verschiebliche Brücke (Foto: M. Chiari)

8.3 Explosionen

249

Abb. 8.16   Schutzbauwerk für eine Seilbahnstütze (Foto: D. Proske)

8.3 Explosionen 8.3.1 Erläuterungen und Hintergründe Explosionen können als Folge natürlicher Ereignisse, wie z. B. die Explosion von Vulkanen, als Folge menschliche Aktivitäten ungewollt, wie z. B. Explosionen in der chemischen Industrie oder gewollt, z. B. durch den Einsatz von Waffen, erfolgen. Die Berücksichtigung gezielter Angriffe auf die kritische Infrastruktur und bauliche Anlagen erfolgt heute nicht in dem normativen Umfang, wie sie z. B. bei den Einwirkungen Wind, Brand oder Hochwasser erfolgt. Darüber hinaus unterliegen verschiedene Normen auch noch der Vertraulichkeit. Allerdings wurden aufgrund von Ereignissen, bei denen durch terroristische Anschläge schwere Explosionen ausgelöst wurden, verschiedene Untersuchungen und Empfehlungen ausgesprochen, die sich meistens auf den klassischen Objektschutz, aber nicht auf die baulichen Untersuchungen richten. Die Auslegungs- und Bauvorschriften im heutigen Hochbau umfassen praktisch keine Berücksichtigung von Penetrationsversuchen durch konventionelle Sprengstoffe, durch Beschuss oder sonstige unkonventionelle Spreng- und Brandvorrichtungen. Darüber hinaus können solche Ereignisse neben den direkten Schäden auch Sekundärschäden verursachen, die ebenfalls zur berücksichtigen wären.

250

8  Aussergewöhnliche dynamische Einwirkungen

Grundlage für die Bemessung bilden üblicherweise die Normen mit Informationen zu den Einwirkungen, wie z. B. die SIA 261 oder in Deutschland die DIN 1055Reihe. In der DIN 1055-9 fanden sich Angaben zu Explosionslasten. Darüber hinaus gibt es spezielle Regelungen, z. B. für Kernkraftwerke, die durch die jeweiligen Aufsichtsbehörden erlassen werden, in der Schweiz z. B. durch das ENSI. Genauere bzw. detaillierte Informationen gibt es zu den Anforderungen und dem Umgang mit Türen bzw. anderen Bauwerksausrüstungen hinsichtlich der Sprengwirkhemmung oder der Durchschusshemmung. Diese dort zu findende höhere Regelungsdichte ergibt sich auf Grund der Tatsache, dass diese Elemente oft das schwächste Glied im Gebäudeschutz sind und damit als Erste Schäden bei Explosionen erleiden. Auf europäischer Ebene gibt es verschiedene Normen zum Umgang mit Sprengwirkungen, wie z. B. die DIN EN 13541, DIN 52290 Teil 5, DIN EN 13123-1/DIN 13124-1, DIN EN 13123-2/DIN EN 13124-2 Freiland, ISO/DIS 16933, ISO/DIS 16934 und GSA-TS01-2003 Richtlinie. Die GSA-Richtlinie beinhaltet z. B. die Bewertung der Sprengwirkungshemmung von Fenstern. Die Normen befassen sich unter anderem mit allgemeinen Anforderungen, mit Klassifizierungen, mit Prüfverfahren, mit der Ausführung von Freiland- bzw. Stossrohrversuchen, mit genaueren Druck-Impuls-Werten, Ladungsmengen und Abständen (z. B. ISO/DIS 16933 und ISO/DIS 16934). Freilandnormversuche beziehen sich auf kleine Ladungsmengen (ab 3 kg TNT) und Autobomben (ca. 100 kg TNT), während sich Stossrohrversuche auf Ladungsmengen ab 30 kg beziehen. Die individuellen Sicherheitsbedürfnisse eines Bauwerkes, eines Kraftwerkes oder Dammes werden in der Regel in den jeweiligen Normen bzw. den Anforderungsdokumenten der Aufsichtsbehörde definiert. Manche Normen sind daher allgemeiner, wie z. B. die ISO-Normen, andere sind sehr spezifisch für bestimmte Objekttypen. Wenn die Normen die Anpassung von Spitzendruck, Impuls und Druckdauer erlauben, können eine Vielzahl von Explosionsszenarien abgedeckt werden, wie z. B. Nah- und Fernfelddetonationen oder Mischungen. Spezifische Regeln für Bauwerke sind eher die Ausnahme. Verschiedene Fachbeiträge auf Symposien, wie z. B. die „Bauprotect“ der Universität der Bundeswehr in München oder verschiedene FEMA (2005) Dokumente befassen sich damit. Für die Auslegung von Gebäuden auf Splitter und Beschuss liegen folgende Normen vor: DIN EN 1063, UL 752-1991, STANAG 4569 Level 1 bis 5 und NIJ 0108.01 Level 1 bis 4 des National Institute of Justice. Die Wirkung von Penetratoren, z. B. aus einer Maschinenkanone, auf Gebäude ist in der Regel nicht Gegenstand von Bemessungen. Erst mit neuen Normen, z. B. der STANAG 2280 wurde die Einwirkung, z. B. von Katjuscha-Raketen auf Bauwerke betrachtet. Für die Simulation der Auswirkungen von Explosionen unter Berücksichtigung des Druckverlaufes und der Splitterwirkungen auf Gebäude gibt es verschiedene SoftwareWerkzeuge, wie z. B. BlastX, Shock, Saflex oder Nonline. Die Gebäudepenetration wird entweder durch iMEA (Integrated Munition Effectivness Analyse) oder durch Finite Elemente Verfahren rechnerisch untersucht. Die Algorithmen sind z. B. in der TM 5-1300 niedergelegt. Die einfachsten Modelle basieren wieder auf einer repräsentativen

8.3 Explosionen

251

Einzelmasse. In der TM 5-1300 findet sich auch die Darstellung eines Ein- und ZweiKörper-Systems (siehe Abb. 8.17). Eine zweite militärische Norm ist die TM 5-855-1. In Deutschland existiert das „Handbuch zur Bemessung schutzwürdiger Infrastrukturen“ und der „Leitfaden für den baulichen Schutz bei Unterbringung im Einsatz“. Diese werden durch die Universität der Bundeswehr in München und durch die Wehrtechnische Dienststelle für Schutz- und Sondertechnik erstellt und gepflegt. Diese Dokumente sind aber nicht für die Anwendung im zivilen Bauwesen vorgesehen. Neben den bisher genannten Verfahren gibt es noch Simulationsmethoden, die aus dem Bereich der Hydrodynamik stammen. Diese Simulationssoftware wird als Hydrocode bezeichnet. Diese Algorithmen wurden zur Simulation von Nuklearwaffen entwickelt und können für die Berechnung schneller transienter Vorgänge mit expliziter Zeitintegration verwendet werden. Weiterführende Informationen finden sich z. B. bei Ngo et al. (2007) oder Fischer et al. (2014). Prinzipiell handelt es sich bei all den genannten Untersuchungen um Einzelfallbetrachtungen. So besitzen z. B. Detonationen im Wasser eine deutlich grössere Reichweite als in Luft, da Wasser nicht komprimierbar ist und sich der Detonationsdruck sehr schnell ausdehnt (Franklin et al. 1993). Aus diesem Grund können hierbei auch Risikobewertungen und Effizienzbewertungen angewendet werden.

8.3.2 Berechnungen im Bauwesen Die folgenden Ausführungen basieren auf Gebbeken und Döge (2006) und Gündel et al. (2010). Heute verwendet man in vielen Staaten den Begriff der kritischen Infrastruktur. Dazu zählen z. B. das Energieversorgungssystem, das Gesundheitssystem oder das Finanzsystem. Diese Systeme sind für die Funktionstüchtigkeit moderner Gesellschaften unabdingbar. Solche Funktionselemente kann man auch für einzelne Gebäude festlegen, wie z. B. Tab. 8.2 zeigt. Darin zeigt sich sehr eindrücklich, dass die Aufrechterhaltung des Tragwerkes zwingend für die Funktionstüchtigkeit aller im Gebäude befindlichen Systeme ist. Deshalb hat das Tragsysteme auch einen sehr hohen Schutzgutwert. Vergleichbar dazu werden die Gefährdungen festgelegt. Im Gegensatz zu natürlichen Gefährdungen, wie z. B. Erdbeben, oder technischen Gefährdungen, wie z. B. Kernkraftwerke, kann man bei terroristischen Anschlägen gegen Bauwerke nur sehr schwierig oder gar keine Wiederkehrperioden bestimmen, weil das Gefährdungsmedium, also der Täter, intelligent ist und die Strategie ändern kann. Abb. 8.17   Darstellung eines Zwei-Körper-Systems aus der TM 5-1300 (dort Abb. 3.48)

252

8  Aussergewöhnliche dynamische Einwirkungen

Tab. 8.2  Beispiel für die Schutzgutbewertung eines Bankgebäudes (Gündel et al. 2010) Infrastruktureinrichtung

Betroffene Schützgüter

Schutzgutwert S

Tragwerk

Mitarbeiter, Gebäudewert, Sensible Informationen

5

Gebäudehülle

Mitarbeiter, Gebäudewert

4

Gebäudeeinrichtung

Gebäudewert

1

IT – Einrichtung

Sensible Informationen

3

Sicherheitssystem

Mitarbeiter, sensible Informationen

5

Versorgungsleitungen

Mitarbeiter

4

Aus diesem Grund verwendet man Bewertungen, die auf der Prüfung von Faktoren basieren, wie z. B.: existieren Personen mit feindlicher Gesinnung (Existenz), verfügen Angreifer über die entsprechenden Waffen (Fähigkeit), gab es in der Vergangenheit terroristische Gruppen oder Angriffe (Historie), was sind die Ziele terroristischer Angriffe auf das Gebäude (Intention) und ist das Gebäude bzw. der Betreiber aktuell im Fokus von potenziellen Angreifern (Bedrohung). Daraus kann man vereinfacht eine Gefährdung bestimmen. Dies ist in Tab. 8.3 dargestellt. Die Verwundbarkeit von Gebäuden für solche Gefährdungen ergibt sich aus drei Faktoren: Bekanntheitsgrad, Zugänglichkeit und Schadensausmass. Tab. 8.4 fasst die Ermittlung der Verwundbarkeit basierend auf diesen Faktoren zusammen. Konkret berechnet werden kann die Verwundbarkeit über: √ V = 3 x1 · x2 · x3 (8.14) mit x1 als Bekanntheitsgrad, x2 als Zugänglichkeit und x3 als Schadensausmass. Das Risiko wird berechnet mittels: √ 3 (8.15) R= S·G·V mit S als Schutzgutwert, G als Gefährdungswert und V als Verwundbarkeit. Die Einteilung der Risikostufen ist in Tab. 8.5 dargestellt. Die Risiken können einzeln für verschiedene Szenarien berechnet werden. Dies ist in Tab. 8.6 für ein Bankgebäude durchgeführt. Tab. 8.3  Einstufung von Gefährdungen „G“ nach FEMA 426 (×: Faktor ist zwingend vorhanden, ?: Faktor ist unter Umständen vorhanden) (Gündel et al. 2010) Gefährdungswert G Sehr hoch (5) Hoch (4) Moderat (3) Gering (2) Sehr gering (1)

Existenz ×

×

×

×

×

Fähigkeit ×

×

×

×

?

Historie ×

×

×

?

Intention ×

×

?

Bedrohung ×

?

253

8.3 Explosionen

Tab. 8.4   Einstufung der Faktoren Bekanntheitsgrad, Zugänglichkeit und Schadensausmass (Gündel et al. 2010) Werte für x1, x2 oder x3 Verwundbarkeitsfaktoren Allgemeingültig Bekanntheitsgrad x1

Zugänglichkeit x2

Sehr hoch (5)

Prominentes Gebäude, Wahrzeichen

Offener Zugang, Sehr hoch Unbeschränktes Parken

Hoch (4)

Bekanntes Gebäude

Offener Zugang, beschränktes Parken

Hoch

Moderat (3)

Gebäude wahrscheinlicht bekannt

Zugangkontrollen, geschützter Eingang

Moderat

Gering (2)

Gebäude wahrscheinlich Eingezäunt, bewacht, nicht bekannt Zugangkontrollen

Sehr gering (1)

Sperrgebiet

Tab. 8.5  Zuordnung von Risikostufen (Gündel et al. 2010)

Spezifisch Schadensausmass x3

Gering

Geschützte Umfassung, Sehr gering bewaffnete Wachen, strenge Zugangkontrollen

Risiko

Risiko R

Sehr hoch

5

Hoch

4

Moderat

3

Gering

2

Sehr gering

1

Bereits bei den technischen Anprallen war auf die Möglichkeit des Anpralles von Kraftfahrzeugen, Schiffen, Zügen und Flugzeugen hingewiesen worden. Für terroristische Anschläge wurden bisher Kraftfahrzeuge und Flugzeuge verwendet. Die Bemessung von Bauwerken, z. B. Brücken oder Pfeilern in Parkhäusern, ist Bestandteil der normalen Auslegung. Daher existieren dafür auch umfassende und detaillierte Modelle und Angaben, z. B. auch in Normen. Tab. 8.7 gibt typische Werte für Kraftfahrzeuge und Tab. 8.8 für Flugzeuge an. Für die Fahrzeuge kann unter Berücksichtigung der Geschwindigkeit v0, mit der das Fahrzeug den Fahrweg verlassen hat, dem Abstand d zwischen Fahrweg und Anprallpunkt und unter der Annahme, dass das Fahrzeug aktiv gebremst wird, eine Anprallgeschwindigkeit ermittelt werden:  vr = v0 1 − d/db (8.16) Der Wert db ist in Tab. 8.8 aufgelistet. Wie gesagt, dabei wird allerdings ein aktives Bremsverhalten unterstellt, was bei einem terroristischen Anschlag vermutlich nicht vorhanden ist.

254

8  Aussergewöhnliche dynamische Einwirkungen

Tab. 8.6  Risikobewertung einzelner Szenarien (Gündel et al. 2010) Infrastruktur-einrichtung

Gefährdungsszenario Autobombe Kofferbombe Bewaffneter Überfall

Spionage MörserBeschuss

1. Tragwerk

5

2

2

2

3

Wichtigkeit

5

5

5

5

5

Gefährdung

5

3

2

3

2

Verwundbarkeit

4

1

1

1

4

2. Gebäudehülle

5

3

3

2

3

Wichtigkeit

4

4

4

4

4

Gefährdung

5

3

2

3

2

Verwundbarkeit

5

3

2

1

5

3. Gebäude-einrichtung

2

2

1

1

2

Wichtigkeit

1

1

1

1

1

Gefährdung

5

3

2

3

2

Verwundbarkeit

3

2

1

1

3

4. IT – Einrichtungen

5

3

2

4

3

Wichtigkeit

3

3

3

3

3

Gefährdung

5

3

2

3

2

Verwundbarkeit

3

2

1

5

3

Tab. 8.7  Steifigkeit und Masse von Fahrzeugklassen (Gündel et al. 2010)

Fahrzeugtyp

m in Tonnen

k in kN/m

Fpl in kN

PKW

1,5

1100

400

Kleintransporter

3,5

2300

550

LKW

30

2300

550

Tab. 8.8  Bemessungswerte zur Bestimmung der Anprallgeschwindigkeit bei abirrenden Fahrzeugen (Gündel et al. 2010) Strassentyp

Geschwindigkeit v0 in km/h

Abstand db in mb

Autobahn – LKW

90

20

Stadtstrasse – LKWa

50

10

Einfahrt – PKW

20

2

Einfahrt – LKW

15

2

Parkhaus – PKW

10

1

a: b:

Strassenbereich mit Geschwindigkeitsbeschränkung auf 50 km/h Der Wert ist bei Böschungen mit 0,6 und bei Abhängen mit 1,6 zu multiplizieren.

255

8.3 Explosionen Tab. 8.9  Masse und Geschwindigkeit verschiedener Flugzeugtypen (Gündel et al. 2010) Flugzeugtyp

Triebwerk

Gesamtes Flugzeug Unfall Mittlere AbsturzMasse m geschwindigin Tonnen keit v0 in m/s

Vorsatz Maximale MaximalMasse AnprallMasse mmax geschwindigkeit M in geschwindigin Tonnen v0,max in m/s Tonnen keit v0 in m/s

Cessna 210 A

1,7

85

1,8

90

0,4

~90

Lear Jet 23 A

5,5

100

5,7

239

0,2

~180

F-4 F Phantom

20

215

28

407

1,7

~100

Boeing 707- 90 320

100

142

249

2,3

~190

Boeing 747- 250 400

100

397

254

4,3

~190

Neben der Möglichkeit des aktiven Anpralles bzw. Stosses gibt es natürlich die Explosion, wie der Titel des Kapitels bereits feststellt. Diese kann geplant oder ungeplant sein. Unabhängig davon werden die Explosionskenngrössen auf die Entfernung skaliert. Dieser Abstands-Skalierungsparameter z wird wie folgt berechnet:

z=

R 1/3

meff

(8.17)

mit R als Abstand zum Explosionsherd in m und meff als effektive Masse des Sprengstoffs in TNT kg gemäss der folgenden Gleichung:

meff = m · k

(8.18)

mit k = 1,0 für Ausbreitung einer Druckwelle im Freifeld und k = 1,8 bei der Ausbreitung einer Druckwelle auf dem Boden. Basierend auf semi-empirischen Modellen kann man den Spitzenüberdruck Pso in kPa berechnen:

  808 · 1 + (z/4,5)2   Pso = P0  1 + (z/0,048)2 · 1 + (z/0,32)2 · 1 + (z/1,35)2

(8.19)

die Dauer td der Überdruckphase

td =

  980 · 1 + (z/0,54)10   1 + (z/0,02)3 · 1 + (z/0,74)6 · 1 + (z/6,9)2

1/3 meff 

(8.20)

256

8  Aussergewöhnliche dynamische Einwirkungen

den Überdruckzeitverlauf P0(t)

  t · e−α·t/td P0 (t) = Pso 1 − td

(8.21)

und den flächenbezogenen Impuls is der Überdruckphase   1 − e−α 1 − is = Pso · td α α2

(8.22)

P0 als Umgebungsluftdruck in kPa, üblicherweise 101,3 kPa auf Meereshöhe und 15 °C Lufttemperatur, z als Skalierungsparameter, meff als effektive Sprengstoffmasse in kg und α als Völligkeitsbeiwert gemäss Tab. 8.10. Beim senkrechten Auftreffen auf eine Gebäude ergibt sich für das ideale Gas folgender Reflexions-Spitzenüberdruck Pro   7P0 + 4P0 Pro = 2 · Pso (8.23) 7P0 + P0 mit P0 als Umgebungsluftdruck in kPa, üblicherweise 101,3 kPa auf Meereshöhe und 15 °C Lufttemperatur und Pso einfallender Spitzenüberdruck in kPa. Für vereinfachte dynamische Rechnungen wird der Druck-Zeitverlauf in einen dreieckförmigen Druck-Zeitverlauf mit gleichem Impuls umgewandelt:

td∗ =

2 · ir Pro

(8.24)

Bei sehr hohen Dehngeschwindigkeiten (siehe Kap. 1) zeigen Baustoffe und Bauteile eine grössere Festigkeit im Vergleich zu statischen Einwirkungen. Für die Streckgrenze des Baustahls gilt z. B.

Tab. 8.10  Völligkeitsbeiwert (Gündel et al. 2010)

Abstandsparameter z

Völligkeitsparameter α

1,0

3,17

1,5

2,05

2,0

1,34

3,0

0,79

4,0

0,60

5,0

0,50

10,0

0,34

20,0

0,25

30,0

0,22

40,0

0,20

50,0

0,18

8.3 Explosionen

257



4

fy,dyn (˙ε, T ) = fy + 960 · 1 − 1,0767 · 10 · T · ln



108 ε˙



(8.25)

mit fy als Streckgrenze des Baustahls in MPa bei Raumtemperatur und quasi-statischen Dehnraten, T als Temperatur in Kelvin, ε˙ als Dehnrate pro Sekunde und m als materialabhängiger Exponent:

m = 2,8 f¨ur S 235 und S 275

(8.26)

m = 3,27 f¨ur S 355 und S 460

(8.27)

Für Beton gibt es ebenfalls Formeln zur Berücksichtigung der Festigkeitssteigerung bei hohen Dehnraten:

fc,dyn (˙ε) = fcmm ·



ε˙ ε˙ c0

1,026

fc,dyn (˙ε) = fcm ·



ε˙ ε˙ c0

1/3

, |˙ε | ≤ 30 s−1

, |˙ε | > 30 s−1

(8.28)

(8.29)

mit fcm als mittlerer Beton-Zylinderdruckfestigkeit in MPa bei quasi-statischer Dehnrate, ε˙ als Dehnrate pro Sekunde, ε˙ c0 als Referenzdehnrate 30 × 10−6 pro Sekunde, αs und γs als materialabhängige Faktoren:

αs =

1 1+9·

fcm 10

log γs = 6,156 · αs − 2

(8.30) (8.31)

Die Abschätzung von Dehnraten für reale Anprall- und Explosionsszenarien ist mit erheblichen Unsicherheiten verbunden. Allerdings gibt es durchaus Werte in der Literatur, siehe z. B. Gündel et al. (2010). Alternativ bietet es sich an, den oberen Grenzwert der Traglast einer Struktur bei einer solchen Einwirkung zu bestimmen. Dies kann z. B. durch die Begrenzung von Verformungen erfolgen. Im Folgenden werden diese Nachweise für Stahl- und Stahlverbundstützen ohne axiale Verformungsbehinderung vorgestellt. Die Grenzverformung wcr eines Druckflansches kann wie folgt bestimmt werden:   3,5 · fy κ · L 2 wcr = dc · (8.32) c1 · β 3 dc mit dc als Abmessung, bei symmetrischen Profilen die Profilhöhe h, fy als Streckgrenze des Baustahls in MPa, c1 als Faktor für die Berücksichtigung der Auflagerbedingungen: beidseitig eingespannt c1 = 2, beidseitig gelenkig c1 = 1, κ als Abstand vom Anprallpunkt zum Auflager mit k × L ≤ 0,5 × L und β als Beulfaktor.

258

8  Aussergewöhnliche dynamische Einwirkungen

Der Beulfaktor kann für einen Flansch der Querschnittsklasse 1 unter Druckkräften wie folgt berechnet werden: bf t

β = 2,5  f

(8.33)

235 fy

mit bf als Flanschbreite, tf als Flanschdicke und fy als Streckgrenze des Baustahls in MPa. Für die Querschnittsklasse 2 und 3 darf 3,0 anstelle der 2,5 verwendet werden. Der Beulfaktor kann für einen Steg der Querschnittsklasse 1 unter Druckkräften wie folgt berechnet werden: hw t

β = 0,7  w

(8.34)

235 fy

mit hw als Steghöhe, tw als Stegdicke und fy als Streckgrenze des Baustahls in MPa. Für die Querschnittsklasse 2 und 3 darf 0,8 anstelle der 0,7 verwendet werden. Neben der Begrenzung der Verformung durch Beulen muss auch die Begrenzung der Verformung durch Versagen in der Zugzone nachgewiesen werden. Die Grenzverformung ist: (8.35)

wer = dc · cw · εer

mit dc als Abmessung, bei symmetrischen Profilen die Profilhöhe h, cw als Faktor für die Verformung und εcr als Kriechdehnung nach Tab. 8.11. Der Faktor für die Verformung wird wie folgt berechnet:

cw =

       2 1 Wel εy κL 1 · clp · 1 − clp + 4 · 1 − · · c1 3 Wpl εer dc

Der Faktor für die Länge der plastischen Zone clp ergibt sich zu:       εcr Wel H ctp = εcr Wel εy Wpl H +1 εy Wpl

(8.36)

(8.37)

mit dc als Abmessung, bei symmetrischen Profilen die Profilhöhe h, c1 als Faktor für die Berücksichtigung der Auflagerbedingungen: beidseitig eingespannt c1 = 2, beidseitig gelenkig c1 = 1, κ als Abstand vom Anprallpunkt zum Auflager mit k × L ≤ 0,5 × L und Tab. 8.11  Hilfswerte εcr und H nach Gündel et al. (2010)

Stahlgüte

εcr (%)

H

S 235

20

0,0022

S 355

15

0,0034

S 460

10

0,0034

8.3 Explosionen

259

εcr als Kriechdehnung nach Tab. 8.11, εy als Fliessdehnung und H als Hilfsgrösse nach Tab. 8.11. Wie z. B. bei Erdbebennachweisen kann auch hier ein vereinfachter Nachweis über die Duktilitätskapazität geführt werden. Tab. 8.12 gibt Duktilitätsverhältnisse für Stahlstützen und die jeweiligen statischen Systeme an. Bei solchen aussergewöhnlichen Einwirkungen können neben den Festigkeitserhöhungen aufgrund von grossen Dehnraten auch Veränderungen der Schnittkraftabbildung für den Tragfähigkeitsnachweis hilfreich sein. Dies kann die Aktivierung von Membrankräften sein. Von Gl. 8.32 bis 8.37 wurden Nachweise für Stahl- und Stahlverbundstützen ohne axiale Verformungsbehinderung vorgestellt. Für die Nachweise für Stahl- und Stahlverbundstützen mit axialer Verformungsbehinderung werden z. B. Diagramme verwendet, siehe Gündel et al. (2010). Wie bereits in Kap. 1 beschrieben, kann die Einteilung dynamischer Einwirkungen über das Verhältnis der Überdruckphase bzw. Einwirkungsdauer zur Eigenperiode des Bauteils erfolgen. Hierbei kennt man: • Impulsartige Belastung: td/T 11.532a

Yogyakarata (Java, Indonesien)

26.5.2006

6,3

5749

Südliches Qinghai (China)

13.4.2010

7,0

2698

Boumerdes (Algerien)

21.5.2003

6,8

2266

Nias (Indonesien)

28.3.2005

8,6

1313

Padang (Südliches Sumatra, Indonesien)

30.9.2009

7,5

1117

aDie Anzahl Todesopfer umfasst nicht die Anzahl der vermissten Personen, die über 16.400 liegt. Weitere Informationen zu Schäden und Opfern finden sich in Kazama und Noda (2012).

Bisher wurde im Text pauschal der Begriff der Schwere des Erdbebens verwendet, ohne diesen genau zu spezifizieren. Darüber hinaus finden sich in den Tab. 11.1 und 11.2 Angaben zur Magnitude des Erdbebens, als ein Mass der Stärke des Erdbebens. Die Stärke eines Erdbebens wird auf verschiedene Arten beschrieben. Sie hängt nicht nur von der freigesetzten Energie des Erdbebens ab, sondern auch von der Entfernung zum Epizentrum und anderen Faktoren. Abb. 11.2 zeigt vereinfacht den Zusammenhang zwischen Magnitude, freigesetzter Energie, der Bodenbeschleunigung und Bewegung und der Intensität als Beschreibung der Auswirkungen auf Gebäude. Die Parameter können in drei Gruppen eingeteilt werden: Parameter der Erdbebenstärke, wie die Erdbebenklasse, die Magnitude und die freigesetzte Energie, Parameter für die Bemessung der Bauwerke, wie die Bodenbeschleunigung, aber auch die Geschwindigkeit und die Bodenbewegung und die Auswirkungen auf Bauwerke, wie die Intensität. Darüber hinaus kann man auch noch versuchen, eine Verbindung zwischen der Erdbebenstärke, z. B. der Magnitude, und der Opferzahl her zustellen. Diese zeigt Abb. 11.3. Tatsächlich sind die Auswirkungen auf Gebäude nicht zwangsläufig identisch. So beschreibt Tab. 11.3 die Konsequenzen zweier Erdbeben, die hinsichtlich der Anzahl der exponierten Personen und Gebäude, der Magnitude und sonstiger Parameter vergleichbar sind, deren Baustrukturen und Baunormen aber grosse Unterschiede aufweisen. Damit verbleibt der Unterschied der Baunormen als einziges Kriterium. So tragisch die grossen Schäden und Opfer des Spitak-Erdbebens sind – im Vergleich zum Loma-PrietaErdbeben zeigen sich ganz klar die Vorteile moderner Bauvorschriften und Regelungen bei der Bemessung und Konstruktion von Bauwerken in Erdbebenregionen.

304

11 Erdbeben

Tab. 11.2  Opferangaben und Sachschäden für starke Erdbeben (weltweit) (kursiv: Ereignisse der letzten 20 Jahre) (teilweise aus Bachmann 1997) Datum

Ereignis

1556

Erdbeben

27/28.7.1976 Erdbeben

Mag

7,8

Region, Ort

Anzahl Sachschaden Todesopfer in Millionen

China, Shensi

>800.000

China, Tangshan

>240.000

5600

16.12.1920

Erdbeben, 8,5 Hangrutschungen

China, Gansu

>240.000

25

26.12.2004

Erdbeben, Tsunami

Südostasien

220.000

10.000

12.1.2010

Erdbeben

7,0

Haiti

>150.000

8000

1.9.1923

Erdbeben

7,8

Japan, Tokyo

143.000

2800

8.10.2005

Erdbeben

Pakistan, Indien

88.000

5200

28.12.1908

Erdbeben

7,2

Italien, Messina

85.900

116

25.12.1932

Erdbeben

7,6

China, Kansu

77.000

31.5.1970

Erdbeben, 7,9 Hangrutschungen

Peru, Chimbote

67.000

28.12.1908

Erdbeben

7,1

Italien, Str. von Messina

>60.000

30.5.1935

Erdbeben

7,5

Pakistan, Quetta

50.000

25

20/21.6.1990 Erdbeben

7,4

Iran, Gilan

40.000

7100

23.5.1927

Erdbeben

8,0

China, Gansu

40.000

25

26.12.1939

Erdbeben

7,9

Türkei, Erzincan

32.900

20

13.1.1915

Erdbeben

7,5

Italien, Avezzano

32.600

25

25.1.1939

Erdbeben

8,3

Chile, Concepción

28.000

100

26.12.2003

Erdbeben

6,6

Iran, Bam

26.200

500

7.12.1988

Erdbeben

6,7

Armenien, Spitak

25.000

14.000

4.2.1976

Erdbeben

7,5

Guatemala

23.000

1100

550

Abb. 11.4 bestätigt diese Aussage nicht für zwei Regionen, sondern für zwei Normengenerationen. Dazu zeigt das Bild den Schadensumfang an Brücken nach dem Northridge Erdbeben 1994 in Abhängigkeit von der bei der Bemessung verwendeten Normengeneration. Zeitgemässes Erdbebengerechtes Entwerfen und Konstruieren für Holzkonstruktionen wird z. B. in Brunner et al. (2010) vorgestellt. Eine umfassende Zusammenstellung der Schadenbilder von Brücken nach Erdbeben findet sich in Wenk (2012). Dort wird die Vulnerabilität der Bauwerke hinsichtlich Erdbeben qualitativ bewertet: Von Tunneln mit der geringsten Erdbebenverletzbarkeit steigt diese über im Boden verlegte Leitungen, Stützmauern und Brücken und erreicht bei Hochbauten die höchste Verletzbarkeit. Allerdings sind die Grenzzustandsziele für die Bauwerkstypen unterschiedlich: So steht bei Hochbauten der Schutz von Leib und Leben

11.1  Erläuterungen und Hintergründe

305

Abb. 11.1   Vereinfachte Darstellung der geografischen Lage der tektonischen Platten (Diercke 2002)

Abb. 11.2   Zusammenhang zwischen Magnitude, Intensität und Bodenbewegungen bei einer Herdtiefe 10 bis 15 km nach Smit (2004)

306

11 Erdbeben

Abb. 11.3   MagnitudeOpferzahlen für verschiedene Erdbeben nach Bilham (2010)

Tab. 11.3  Opfer- und Schadensdaten zweier von der Stärke vergleichbarer Erdbeben (Bachmann 1997) Spitak-Erdbeben

Loma-Prieta-Erdbeben

Datum

7.12.1988

17.10.1989

Betroffenes Gebiet

Armenien

Nordkalifornien

Tote

>25.000

67

Verletzte

31.000

2435

Obdachlose

514.000

7362

Sachschaden

Unbekannt

~7,8 Mrd. US$

Abb. 11.4   Erdbebeninduzierte Schäden an Brücken im Raum Los Angelos verursacht durch Northridge Erdbeben 1994 in Abhängigkeit von der zur Bemessung verwendeten Normengeneration (Wenk 2005)

11.1  Erläuterungen und Hintergründe

307

bzw. die Evakuierbarkeit im Vordergrund, während bei Brücken bzw. allen Infrastrukturbauten die Aufrechterhaltung der Funktion als Ziel besteht. Zwei weitere Beispiele für die nahezu unüberschaubare Anzahl an Veröffentlichungen zum Thema Erdbebeninduzierte Schäden an Brücken sind Wei et al. (2008) und Kiremidjian und Basöz (1997). Für die Beurteilung von bestehenden Brücken und Bauwerken stehen verschiedene Verfahren zur Verfügung. Als Beispiel seien wiederum genannt: Wenk (2005), Renault (2007), Kölz und Duvernay (2005). Das Verfahren von Kölz und Duvernay (2005) unter Verwendung von Einsturzwahrscheinlichkeiten sei kurz vorstellt: Das zu erfassende Schadenausmass entspricht den Schäden, die durch einen auf Erdbeben zurückzuführenden völligen Bauwerkseinsturz oder ein völliges Funktionsversagen hervorgerufen würden. Dass dieses vollständige Versagen von der Erdbebenstärke und den vielfältigen Eigenschaften des Baugrunds und des Tragwerks abhängig ist, wird bei der Ermittlung der Kennzahl für die Einsturzwahrscheinlichkeit berücksichtigt. Unter der Einsturzwahrscheinlichkeit wird hier die Wahrscheinlichkeit verstanden, mit der ein Gebäude durch ein Erdbeben einen völligen Bauwerkseinsturz oder ein völliges Funktionsversagen erfährt. Als Eckwerte gelten die folgenden Vorstellungen: • Die Einsturzwahrscheinlichkeit eines in der Erdbebenzone 1 stehenden bestimmten Gebäudes ist 10 mal geringer als diejenige eines Gebäudes in der Erdbebenzone 3b. • Die Einsturzwahrscheinlichkeit ein- und desselben Gebäudes ist auf gutem Baugrund 50 % geringer, auf schlechtem Baugrund doppelt so gross wie auf durchschnittlichem Baugrund. • Die Einsturzwahrscheinlichkeit eines bestimmten nach der Norm SIA 160 (1989) auf Erdbeben bemessenen Gebäudes ist in allen Erdbebenzonen gleich gross. • Die Einsturzwahrscheinlichkeit ein- und desselben, vor 1970 geplanten Gebäudes ist in der Erdbebenzone 1 dreimal grösser als diejenige eines analogen, nach 1989 gemäss SIA 160 auf Erdbeben bemessenen und erstellten Gebäudes. Für die Zone 3b gilt hier der Faktor 15. • Die Einsturzwahrscheinlichkeit eines in jeder Hinsicht günstig gestalteten und auf Erdbeben bemessenen Gebäudes ist etwa 20 mal kleiner als diejenige eines in fast jeder Hinsicht schlecht gestalteten Bauwerks. Die Kennzahl für die Einsturzwahrscheinlichkeit WZ berechnet sich wie folgt:

WZ = WEP × WB × (1 + WG + WA + WW + WK + WD + WF)

(11.1)

mit den Variablen WF als Faktor für die Fundamentart, WD als Faktor für den Baustoff/Duktilität, WK als Faktor für die Aussteifung/Wände, WW als Faktor für die Aussteifungsweise, WA als Faktor für die Aussteifung im Aufriss, WG als Faktor für die Aussteifung im Grundriss, WB als Faktor für den Baugund, WEP als Faktor für die Erdbebenzone und das Baujahr.

308

11 Erdbeben

Da ältere bzw. historische Bauwerke oft entweder gar nicht oder aus heutiger Sicht unzureichend für Erdbeben bemessen wurden, müssen diese Bauwerke oft nachträglich ertüchtigt werden. Zahlreiche Beispiele für Erdbebenertüchtigungen finden sich bei Wenk (2008). Im Abb. 11.5 ist auf der linken Seite der Burj Khalifa mit einer Höhe von 829,8 m und rechts der Tokyo Skytree mit einer Höhe von 634 m dargestellt. Der Tokyo Skytree ist das zweithöchste Gebäude der Welt und steht in einer seismisch sehr aktiven Region Es handelt sich allerdings um einen Fernsehturm (Bock et al. 2012). Neben den Verbesserungen der Baunormen und der Weiterentwicklung und Verbreitung der Nachweisverfahren führte die Identifikation und Benennung von Unsicherheiten bei der Ermittlung der Erdbebengefährdung in den vergangenen Jahren zu deutlich detaillierteren und qualitativ besseren Angaben der Erdbebeneinwirkungen. Nicht umsonst hat man in verschiedenen Ländern weltweit die seismischen Gefährdungen und Einwirkungen neu bestimmt, wie z. B. in den PEGASOS-, CEUSSSC-, SIGMA-, EMME- oder SHARE-Studien (Abrahamson et al. 2004; Stirewalt et al. 2012; SIGMA 2015; EMME 2015; Giardini et al. 2013). Diese neuen Studien spiegeln den erheblichen wissenschaftlichen Fortschritt in diesem Fachgebiet wider. Um nun rechnerische Reserven unter seismischen Einwirkungen für den grossen Bauwerksbestand in den industrialisierten Ländern zu erschliessen, wurden in den vergangenen Jahren verschiedene Entwicklungen vorangetrieben. Diese Entwicklungen greifen an verschiedenen Stellen in den Nachweisprozess ein. So hat sich

Abb. 11.5   Hochhaus in einem Gebiet mit geringer Erdbebengefährdung (links) und in einem Gebiet mit hoher Erdbebengefährdung (rechts). (Fotos: D. Proske)

11.2 Anwendungsbeispiele

309

die Anwendung von Pushover-Analysen (verformungsbasierte Analysen) in Verbindung mit inkrementellen dynamischen Analysen (IDA) etabliert. Das Verfahren wurde unter anderem in Lin und Baker (2013) vorgestellt. Ein weiterer Ansatz ist die Umstellung von eindimensionalen Intensitätsparametern, z.  B. Spitzenbeschleunigungen oder Spektralbeschleunigungen auf vektorbasierte Intensitätsparameter. Dazu zählt die kumulierte absolute Geschwindigkeit (Cumulative Absolute Velocity CAV) (Campbell und Bozorgnia 2012). Dieser Ansatz wird im Folgenden kurz erläutert. Die beiden bedeutendsten Stärkemasse von Erdbeben sind Magnitude und Moment. Die Berücksichtigung der Effekte auf Bauwerke erfolgt in sogenannten makroseismischen Intensitätsskalen (Meskouris et al. 2007). Diese können empirisch in Ankerpunkte von Spektralbeschleunigungen umgerechnet werden, z. B. in die Spitzenbodenbeschleunigung (PGA). Für Kalifornien haben Gutenberg und Richter (Renault 2007) folgenden empirischen Zusammenhang vorgestellt:

log aPGA =

IMM − 2,5 in m/s2 3

(11.2)

mit aPGA als PGA-Spektralbeschleunigung und IMM als Momenten-Magnitude-Intensität. Die Spektralbeschleunigungen sind Bestandteil der Spektren, die zum Entwurf der Bauwerke verwendet werden. Das Bodenantwortspektrum mit einer spezifizierten jährlichen Überschreitungswahrscheinlichkeit wird auch als Gefährdungsspektrum oder Uniform Hazard Spectrum bezeichnet. Es ist allerdings bekannt, dass die Anwendung der Spektralbeschleunigungen konservativ ist, da der PGA-Wert eine Vielzahl von seismischen Parametern, die für die Bestimmung des Bauwerkswiderstandes unter einem Erdbeben notwendig sind, vernachlässigt. Die Cumulative Absolute Velocity wird nun bestimmt, indem der Beschleunigungs-ZeitVerlauf über die Starkbebendauer integriert wird. Dabei werden die Dauer, die Frequenz, die Amplitude und die Anzahl der Schwingungen der Zeitverläufe berücksichtigt, das heisst es werden deutlich mehr für das Bauwerk relevante Informationen berücksichtigt. Eine Einteilung und Anwendung der dynamischen Berechnungsverfahren finden sich in Sadegh-Azar und Hartmann (2011), Brunner et al. (2010), InfoGraph (2019).

11.2 Anwendungsbeispiele 11.2.1 Beispiel 1 Im Folgenden soll exemplarisch der nachträgliche Erdbebennachweis für ein bestehendes Stahlbetongebäude vereinfacht aufgezeigt werden. Der Nachweis erfolgt über die Erstellung eines repräsentativen Einmassenschwingers, wie es z. B. in der SIA 269-8 erlaubt ist. Das Beispiel basiert auf Kurmann et al. (2013) und Proske et al. (2013). Wesentliche Grundlagen werden in Kurmann (2009) diskutiert.

310

11 Erdbeben

Bei dem zu untersuchenden Objekt handelt es sich um ein Stahlbetonbauwerk in Ortbeton, das Ende der 1960er Jahre erstellt wurde. Das statisch nicht-lineare Kraft-Verformungs-Verhalten des Tragwerks wird anhand einer Pushover-Analyse bewertet. Eine Pushover-Kurve ist eine Kraft-Verformungs-Funktion eines Bauwerkes unter einer einseitig eingetragenen horizontalen Last (FEMA 2000; Meskouris et al. 2007). Mit einer solchen strukturmechanischen Analyse werden das gesamte Kraft-Verformungsvermögen und das Energiedissipationsvermögen des Tragwerks ermittelt. Das globale Tragwerksverhalten wird durch das nicht-lineare Bauteilverhalten der einzelnen Elemente bestimmt. Auf diese Weise können die Auswirkungen von lokalen Schwachstellen, z. B. von Stützen, auf das globale Verhalten beurteilt werden. Im Gegensatz zu einer dynamischen Tragwerksanalyse werden bei der Belastungsverteilung der statischen nicht-linearen Analyse vereinfachte Annahmen getroffen. Die Belastungsverteilung (Load Shape) kann in hohem Masse die Ergebnisse einer PushoverAnalyse bestimmen. Deswegen ist deren Wahl besondere Beachtung zu schenken. Im vorliegenden Fall wurden zur Bestimmung der Belastungsverteilung die Ergebnisse von Boden-Bauwerks-Interaktionsberechnungen berücksichtigt. Das strukturmechanische Modell bei einer statisch nicht-linearen Analyse umfasst typischerweise die qualitativ hochwertige Nachbildung des Bruch- und Nachbruchverhaltens der einzelnen Bauteile. Demgegenüber werden bei nicht-linearen dynamischen Analysen Modellvereinfachungen der Struktur notwendig, um die Berechnungszeit zu begrenzen und um die Berechnungsmodelle verifizieren zu können. Die verwendete Lösung ist ein Kompromiss zwischen einer Kombination aus hochwertigem statischen Modell und einem vereinfachten dynamischen Modell einerseits und einer äusserst komplizierten dynamischen Modellierung der Gesamtstruktur andererseits. Für die Analyse des hochgradig nicht-linearen Tragverhaltens des Bauwerkes unter grossen Horizontallasten wurde im vorliegenden Fall das Programm ATENA verwendet. ATENA ist in der Lage, alle wesentlichen Versagensarten des Stahlbetons realistisch abzubilden: Rissbildung, Betondruckversagen, Fliessen der Bewehrung und Bewehrungsbruch (Červenka und Pappanikolaou 2008; Červenka et al. 2020). Das Finite-ElementeModell berücksichtigt vier Etagen oberhalb einer sehr massiven Fundamentplatte. Es beinhaltet die Bauteile Stützen, Wände, Unterzüge und Decken (siehe Abb. 11.6). Für das dreidimensionale Finite-Elemente-Modell wurden über 3300 dreidimensionale Higher-Order-Volumen-Elemente genutzt. Die Bewehrung wurde in den Stützen direkt als Bewehrungsstäbe modelliert (Abb. 11.6 rechts), während im Rest der Konstruktion das Verfahren der verschmierten Bewehrung genutzt wurde. Die Rechenzeit für eine vollständige Pushover-Kurve betrug bis zu 24  Stunden. Sowohl Elementtypen als auch Elementgrössen wurden im Rahmen einer Sensitivitätsstudie an einer Stütze des Bauwerkes untersucht. Die Sensitivitätsrechnungen zeigen, dass selbst in diesem aufwendigen Finite-Elemente-Modell noch rechnerische Reserven existieren, wenn man die Rechenergebnisse mit Versuchen vergleicht. Abb. 11.7 zeigt ein Verformungsbild des Bauwerkes unter einer Horizontalbelastung im Rahmen der Bestimmung der Pushover-Kurven. Abb. 11.8 zeigt eine ermittelte

11.2 Anwendungsbeispiele

311

Abb. 11.6    Vernetzungsbild des Finite-Elemente-Modells (links) und Darstellung Bewehrungsstäbe in den Stützen (rechts) (Kurmann et al. 2013, Proske et al. 2013)

der

Abb. 11.7   Verformungsbild während der PushoverAnalyse (Kurmann et al. 2013, Proske et al. 2013)

Pushover-Kurve. Deutlich erkennbar ist die Ausprägung einer beachtlichen Strukturduktilität. Auch sind Unterschiede für eine Tragwerksbelastung in der positiven und negativen Richtung erkennbar. Diese Unterschiede sind auf ein unsymmetrisches Tragwerk zurückzuführen. Die Pushover-Kurven wurden mit den Mittelwerten (Abb. 11.8) und mit den charakteristischen Materialwerten bestimmt. Dadurch wird die Unsicherheit der Materialeigenschaften berücksichtigt. Man erhält zwei Stützstellen, die man für die Erstellung der Fragility-Kurve benötigt. In Abhängigkeit von der Verwendung von Mittelwerten und charakteristischen Materialwerten unterscheiden sich die Maximalkraft und die maximale Duktilität um ca. 10 %. Die Pushover-Kurven sind ein wesentlicher Bestandteil des Berechnungsablaufes zur Ermittlung der seismischen Tragfähigkeit. Sie stellen jedoch nur einen Berechnungsschritt dar, der unabhängig von den folgenden dynamischen Berechnungen erfolgt. Von Vorteil ist dabei, dass die Ergebnisse der statischen nicht-linearen Analysen (Pushover) selbst bei einer Veränderung der seismischen Eigenschaften ihre Gültigkeit behalten.

312

11 Erdbeben

Abb. 11.8   Pushover-Kurve mit Mittelwerten der Baustoffeigenschaften (Kurmann et al. 2013, Proske et al. 2013)

Demgegenüber sind die nachfolgenden Bearbeitungsschritte zur Ermittlung der Tragfähigkeit von der jeweiligen spezifischen seismischen Gefährdung abhängig. Die seismische Gefährdung wird in der Regel durch Bodenantwortspektren der spektralen Beschleunigung für eine bestimmte Bodentiefe bzw. die Oberfläche und für eine Wiederkehrperiode definiert (Abb. 11.9, oben). Die vertikale Beschleunigung wird dabei aus dem horizontalen Spektrum über einen Proportionalitätsfaktor bestimmt. Solche Bodenantwortspektren für eine definierte Wiederkehrperiode können auch als Gefährdungskurven für eine Stützfrequenz dargestellt werden (Abb. 11.9, unten). Während das elastische Bodenantwortspektrum die spektrale Beschleunigung über den Frequenzbereich angibt, der für eine bestimmte Wiederkehrperiode gilt, gibt die Gefährdungskurve die spektrale Beschleunigung über die Wiederkehrperiode für eine bestimmte Frequenz an. In Abb. 11.9 unten wurde als bestimmte Frequenz der PGA-Wert (Peak Ground Acceleration) gewählt. Abb. 11.9 zeigt, wie beide, das elastisches Antwortspektrum und die Gefährdungskurve, zusammenhängen. Dazu verbindet die Linie in Abb. 11.9 den gleichen Punkt in beiden Diagrammen. Der PGA-Wert entspricht der Starrkörperbeschleunigung im Bodenantwortspektrum (Sadegh-Azar und Hartmann 2011). Das elastische Antwortspektrum und die Gefährdungskurven werden entweder den jeweiligen Bauvorschriften entnommen oder durch Experten bauwerksspezifisch festgelegt. Bei Bauwerken mit einem grossen Gefährdungspotential kann sich die Bestimmung der standortspezifischen Gefährdung über viele Jahre erstrecken und mit erheblichen Kosten verbunden sein. Auf der Basis von Antwortspektrum-kompatiblen Erdbebenzeitverläufen werden zunächst dynamische Boden-Bauwerks-Interaktionsberechnungen durchgeführt, um die Steifigkeits- und Dämpfungseigenschaften des gekoppelten Systems (BodenBauwerk) zu bestimmen. Eine Einführung in die Erstellung von Boden-BauwerksInteraktionsberechnungen findet sich bei Sadegh-Azar und Hartmann (2011). Die

11.2 Anwendungsbeispiele

313

Abb. 11.9   Elastisches Antwortspektrum für eine bestimmte Wiederkehrperiode (oben) und Gefährdungskurve für eine bestimmte Ankerfrequenz, hier die PGA (PGA: Peak Ground Acceleration) (unten) (Kurmann et al. 2013, Proske et al. 2013)

Boden-Bauwerks-Interaktionsberechnung erfolgte hier mit dem Programm SASSI. Eine solche Berechnung liefert in Verbindung mit dem Bauwerksmodell auch Etagenantwortspektren, die für lokale Nachweise innerhalb des Bauwerkes verwendet werden können. In Abb. 11.10 sind Etagenantwortspektren jeweils für die drei Richtungen und für zwei verschiedene Antwortspektren (previous und new) dargestellt. Im vorliegenden Fall aber wurde mit der Boden-Bauwerks-Interaktionsberechnung die Grundfrequenz des Tragwerkes und die damit assoziierten modalen Parameter wie Masse und Dämpfung für das eingebettete Bauwerk festgelegt (Sadegh-Azar und Hartmann 2011). Die reine Pushover-Kurve basierte dagegen auf einer starren Einspannung. Die zu ermittelnde elastische Systemdämpfung setzt sich aus der Materialdämpfung der Stahlbetonstruktur, der Materialdämpfung des Bodens (dehnungsabhängige Dämpfung) und der Abstrahlungsdämpfung des Bodens (Fundamentsohle und leichte Einbettung) zusammen. Zur Berücksichtigung der grossen Unsicherheiten der Abstrahlungs-, Baugrund- und Strukturdämpfung wurden diese in der durchgeführten Rechnung mit Streuungen belegt. Weiterhin wurden aus der Boden-Bauwerks-Interaktionsberechnung die effektive Höhe und die Partizipationsfaktoren entnommen. Letztere dienen der Umrechnung der Horizontalverformungen vom Kopf des Gebäudes, die mit dem Programm ATENA während der Erstellung der Pushover-Kurven gewonnen wurden. Die effektive Höhe beschreibt die Höhe des Einmassenschwingers über der Einspannung.

314

11 Erdbeben

Abb. 11.10   Etagenantwortspektrum innerhalb eines Gebäude (Kurmann et al. 2013, Proske et al. 2013)

Mit diesen Angaben ist es jetzt möglich, einen äquivalenten Einmassenschwinger zu erstellen, der die dynamischen Eigenschaften des gesamten Tragwerks erfasst. Allerdings ist für eine nicht-lineare, dynamische Zeitverlaufsanalyse zusätzlich zum monotonen noch das zyklische Tragwerksverhalten nachzubilden. Ein solches Verhalten wird anhand einer Hysterese definiert. Deshalb muss das Modell des Einmassenschwingers dahingehend erweitert werden. Für die vorliegende Stahlbetonstruktur wurde das zyklische Tragwerksverhalten für den Erstbelastungs-, Entlastungs- und Wiederbelastungszyklus mit einer Linearkombination aus dem Modified-Takeda- und Origin-Centered-Modell beschrieben (siehe Abb. 11.11). Dank dieser Linearkombination kann man die Hysterese-Energiedissipation des Systems gegenüber einer reinen Modified Takeda Hysterese abmindern (Bimschas und Dazio 2008). Obwohl experimentelle Ergebnisse von quasi-statischen Versuchen an Stahlbetonwände bereits mit einem Verhältnis von 85 % Modified Takeda und 15 % Origin-Centered erfolgreich nachgebildet werden konnten (Carr 2004), wurde im vorliegenden Fall ein Anteil von 55 % Modified Takeda und 45 % Origin-Centered gewählt. Das entspricht der bewussten Reduzierung der rechnerischen Duktilität im Vergleich zu Versuchen. Nach Erreichen der Maximalduktilität im Plateaubereich wurde ebenfalls der duktilitätsabhängige Kraftabfall nachgebildet (Abb. 11.12). Die zyklische Belastung des Einmassenschwingers für monoton steigenden Duktilitätsbedarf ist in Abb. 11.13 zu sehen. Die zugehörige hysteretische Dämpfung aus der quasi-statischen Belastung ist in Abb. 11.14 angegeben. Mit diesem Modell kann jetzt die Duktilität des Bauwerkes bei einem vorgegebenen Beschleunigungs-Zeitverlauf berechnet werden. Durch die Verwendung mehrerer, im vorliegenden Fall von 30 Erdbeben, können auch Streuungen abgeschätzt werden.

11.2 Anwendungsbeispiele

315

Abb. 11.11   Hysterese-Regeln für dynamische Analysen (Kurmann et al. 2013, Proske et al. 2013)

Abb. 11.12   Hysterese-Regeln für dynamische Analysen (Kurmann et al. 2013, Proske et al. 2013)

Abb. 11.13   Hysterese des Gebäudes in X-Richtung bei Verwendung der 5 % Fraktilwerte der Materialeigenschaften (EMS: Einmassenschwinger) (Kurmann et al. 2013, Proske et al. 2013)

316

11 Erdbeben

Abb. 11.14   Hysterese des Gebäudes in X-Richtung bei Verwendung der 5 % Fraktilwerte der Materialeigenschaften (Kurmann et al. 2013, Proske et al. 2013)

Diese 30 Kurven (Abb. 11.15) wurden so ausgewählt und modifiziert, dass sie dem vorgegebenen mittleren Gefährdungsspektrum über einen grossen Frequenzbereich entsprechen. Grundlage für die Spektren sind reale Erdbeben aus dem Europäischen Starkbebenkatalog (EMEC). Dabei wurden nur Erdbeben mit einer Magnitude zwischen 5,0 und 7,8 mit einer Entfernung des Epizentrums von 0 bis 200 km berücksichtigt. Die Erdbebendauer betrug ca. 20 s (APA Consult 2011).

Abb. 11.15   Spektren der verwendeten Beschleunigungs-Zeit-Verläufe (Kurmann et al. 2013, Proske et al. 2013)

11.2 Anwendungsbeispiele

317

Da sich die 30 Erdbeben-Zeitverläufe aber nur auf einen PGA-Wert beziehen, müssen die Zeitverläufe auch für andere Erdbebenintensitäten angepasst werden. Im vorliegenden Fall wurden die Zeitverläufe hochskaliert und die dynamischen Berechnungen am Einmassenschwinger wiederholt (Abb. 11.14). Als tiefste Erdbebenanregung wurde ein PGA Wert von 0,05 g gewählt. Anschliessend erfolgte inkrementell eine Erhöhung des PGA Wertes um jeweils 0,2 g. Die Berechnung wird deshalb auch als inkrementelle dynamische Analyse (IDA) bezeichnet. Mit dieser Analyse kann der Duktilitätsbedarf des Bauwerkes für die verschiedenen Intensitäten der Erdbebeneinwirkung bestimmt werden. Das Tragwerksversagen wird dann als maximale akzeptierbare Duktilität bzw. Verschiebung festgelegt. Die maximale Duktilität wird angegeben als Vielfaches der Duktilität, bei der Fliessen einsetzt. Die maximale Duktilität wird erreicht, wenn wie im Abb. 11.13 erkennbar, die maximale Kraft abfällt. Da die Rechnungen sowohl für mittlere und für charakteristische Materialfestigkeitswerte, als auch unter Berücksichtigung der Streuungen der Erdbebenlasten durch die Verwendung der 30 Zeitverläufe durchgeführt wurden, können Unsicherheitsbeiwerte bestimmt werden. Die Streuungen der Duktilität sind ebenfalls in Abb. 11.16 dargestellt. Abschliessend sei erwähnt, dass die Gleichzeitigkeit der seismischen Einwirkungen in den drei orthogonalen Hauptrichtungen X, Y und Z in der vorliegenden Studie anhand der 100-40-40 Regel berücksichtigt wurde. Dabei wird angenommen, dass die Erdbebeneinwirkung in einer Hauptrichtung 100 % und in den übrigen Richtungen 40 % beträgt.

Abb. 11.16   Inkrementelle dynamische Analyse für den charakteristischen Einmassenschwinger mit charakteristischen Materialwerten (Kurmann et al. 2013, Proske et al. 2013)

318

11 Erdbeben

Die einzelnen Schritte zum Ermittlung der seismischen Tragfähigkeit sind nochmals im Abb. 11.17 zusammengestellt. Zunächst wird eine nichtlineare Berechnung zur Erfassung des realen Tragverhaltens der Stahlbetonstruktur durchgeführt. Anschliessend wird ein repräsentativer Einmassenschwinger gewählt, der sowohl Informationen aus der statischen Tragwerksberechnung, als auch aus der Boden-Bauwerks-Interaktionsberechnung beinhaltet. Abschliessend werden mit dem Einmassenschwinger und Beschleunigungs-Zeit-Verläufen dynamische Berechnungen durchgeführt. Für diese Berechnungen werden sowohl zur Berücksichtigung der Unsicherheiten als auch zur Berücksichtigung der Erdbebenintensitäten die Beschleunigungs-Zeit-Verläufe variiert. Die durchgeführten Berechnungen zeigen, dass für das vorliegende Beispiel die seismische Tragfähigkeit für beide horizontale Hauptrichtungen nahezu gleich ist.

Abb. 11.17   Berechnungsablauf (Kurmann et al. 2013, Proske et al. 2013)

11.2 Anwendungsbeispiele

319

Leichte Unterschiede sind auf das stärkere Torsionsverhalten der Struktur in eine Hauptrichtung zurückzuführen. Der relevante Fraktilwert der maximalen Duktilität wird etwa beim doppelten Fraktilwert des Fliesszustandes erreicht und liegt bei 0,82 g PGA, einem beachtlichen Wert für die seismische Tragfähigkeit. Die im Rahmen dieser Rechnung erlaubten grossen Verformungen können natürlich auch zu neuen Schadensformen führen. So besteht die Möglichkeit eines Zusammenstosses des Bauwerkes mit umliegenden Bauwerken. Im vorliegenden Fall liegt die seismische Tragfähigkeit unter Berücksichtigung des Anschlagens des Gebäudes an umliegende Gebäude etwas über der Tragfähigkeit für den Fliesszustand, aber deutlich unter der seismischen Tragfähigkeit für die maximale Duktilität. Der Wert des Zusammenstossens mit anderen Gebäuden bezieht sich allerdings auf eine lokale Schädigung und nicht auf ein Versagen der Gesamtstruktur. Hier muss entschieden werden, welcher Schädigungsgrad für den Bauwerkeigentümer akzeptabel ist.

11.2.2 Beispiel 2 Für ein Gebäude in der Schweizer Erdbebenzone Z1, mit der Baugrundklasse C, Bauwerksklasse BWK I, einer Gesamtgebäudehöhe von 10 m, einer Geschosshöhe von 2,5 m und einer Geschossmasse von 250 Tonnen soll die Erdbebenbemessung mit dem Ersatzkraftverfahren durchgeführt werden. Das Beispiel basiert auf Schollmayer (2018). Abb. 11.18 zeigt eine Systemskizze. Die Eigenschwingzeit der ersten Eigenfrequenz kann mit der vereinfachten Formel nach SIA berechnet werden:

T1 = Ct · h0,75 = 0,05 · 100,75 = 0,28 s

(11.3)

Gemäss SIA 261 ergeben sich verschiedene Hilfsgrössen, wie dem Bedeutungsfaktor mit γf = 1,0 (keine grösseren Menschenansammlungen), dem Parameter S mit S = 1,15 für die Baugrundklasse C (Tab. 7.6), dem Bemessungswert der horizontalen Bodenbeschleunigung agd = 0,6 m/s2 für die Erdbebenzone Z1 (Tab. 7.5) und dem Verhaltensbeiwert mit q = 1,5. Abb. 11.18   Systembild

320

11 Erdbeben

Die massgebliche Einwirkungskombination für die i-Etage lautet:    Gk + ψ2 Qk = mi · g = 250 Tonnen · 10 m/s2 = 2500 kN i

(11.4)

Mittels Bemessungsspektrum (Abb. 11.19) gemäss SIA kann die Antwortbeschleunigung bestimmt werden (siehe Gl. 7.158):

Sd (0,28 s) = 2,5 · γf ·

0,6 1,15 agd S · = 2,5 · 1,0 · · = 0,115 g q 10 1,5

(11.5)

Die horizontale Ersatzkraft wird mit der massgebenden Einwirkungskombination berechnet:    Fd = Sd (T1 ) · Gk + ψ2 Qk = 0,115 · 4 · 2500 kN = 1150 kN (11.6) j

Die horizontale Ersatzkräfte pro Geschoss berechnen sich wie folgt:

   zi Gk + ψ2 Qk i  · Fd  Fdi =   ψ2 Qk j j zj Gk + Fdi =

zi · 250 to zi · Fd = · 1150 kN 25 m (2,5 m + 5 m + 7,5 m + 10 m) · 250 to

(11.7)

(11.8)

Das ergibt für die einzelnen Etagen:

F4 =

10 m · Fd = 0,4 · 1150 kN = 460 kN 25 m

(11.9)

F3 =

7,5 m · Fd = 0,3 · 1150 kN = 345 kN 25 m

(11.10)

Abb. 11.19   Bemessungsspektrum (informativ)

11.2 Anwendungsbeispiele

321

F2 =

5m · Fd = 0,2 · 1150 kN = 230 kN 25 m

(11.11)

F1 =

2,5 m · Fd = 0,1 · 1150 kN = 115 kN 25 m

(11.12)

Die Ergebnisse der Berechnung sind in Tab. 11.4 zusammengefasst.

11.2.3 Beispiel 3 Es sollen die Einwirkungsgrössen für den Erdbebennachweis eines Rahmensystems ermittelt werden (Abb. 11.20). Das Beispiel basiert auf Schollmayer (2018). Das Gebäude liegt in Erdbebenzone Z1, Baugrundklasse C und Bauwerksklasse 1. Grundlage ist die SIA 261, aus der die zugehörigen Zahlenwerte entnommen werden. Zunächst soll das Ersatzkraftverfahren verwendet werden. Für die z-Werte gilt: z1 = 3,2  m und z2 =  6,4  m. Für die Massewerte gilt m1 = 40  Tonnen und m2 = 20 Tonnen. Der Verhaltensbeiwert sei q = 3. Die Eigenformen und die Eigenschwingzeiten seien bekannt. Damit gilt Gl. 7.157:

T1 = 0,19 Sekunden < 0,2 Sekunden

(11.13)

    2,5 T1 agd · S · 0,67 + − 0,67 Sd (T1 ) = γf · g q TB     0,6 2,5 0,19 Sd (T1 ) = 1,0 · · 1,15 · 0,67 + − 0,67 = 0,058 9,81 3 0,2

(11.14)

Fd = Sd (T1 ) · g · m = 0,058 · 9,81 m/s2 · 60 Tonnen = 34,2 kN

(11.15)

Tab. 11.4  Schnittgrössen

Etage

Querkraft in MN

Moment in MNm

4

0,46

1,15 (0,460 × 2,5  m)

3

0,805 (0,46 + 0,345)

3,16

2

1,035

5,75

1

1,150

8,63

Abb. 11.20   Systemskizze (Schollmayer 2018)

322

11 Erdbeben

Die Belastung der Riegel ergibt sich zu: z1 · m1 Fd1 = · Fd z1 · m1 + z2 · m2 3,2 m · 40 t · Fd = 0,5 · 34,2 kN = 17,1 kN = 3,2 m · 40 t + 6,4 m · 20 t z2 · m2 Fd2 = · Fd z1 · m1 + z2 · m2 6,4 m · 20 t · Fd = 0,5 · 34,2 kN = 17,1 kN = 3,2 m · 40 t + 6,4 m · 20 t

(11.16)

(11.17)

Beide Riegel erhalten jeweils die gleiche Horizontalkraft. Im zweiten Schritt soll der Rahmen mit den Antwortspektrenverfahren berechnet werden. Für die erste und zweite Eigenschwingung sind gegeben (Abb. 11.21):

ω1 = 33,14 T1 = 0,19   1 ϕ1 = 2 Ŵ1 = 11·40+2·20 2 ·40+22 ·20 = 0,667

ω2 = 66,29 T2 = 0,095   1 ϕ2 = −1 1·40−1·20 Ŵ2 = 12 ·40+(−1) 2 ·20 = 0,333

   2,5 m − 0,67 · 1,15 · 0,67 + · s2 3    2,5 m − 0,67 · Sd (T2 ) = 1,0 · 0,6 2 · 1,15 · 0,67 + s 3 Sd (T1 ) = 1,0 · 0,6

 0,19 s m = 0,57 2 0,2 s s  (11.19) 0,095 s m = 0,52 2 0,2 s s

m = 15,2 kN s2 m = Ŵ1 · m2 · ϕ12 · Sd (T1 ) = 0,667 · 2 · 20 Tonnen · 0,57 2 = 15,2 kN s (11.20) m = Ŵ2 · m1 · ϕ21 · Sd (T2 ) = 0,333 · 1 · 40 Tonnen · 0,52 2 = 6,9 kN s m = Ŵ2 · m2 · ϕ22 · Sd (T2 ) = 0,333 · (−1) · 20 Tonnen · 0,52 2 = −3,5 kN s

F11 = Ŵ1 · m1 · ϕ11 · Sd (T1 ) = 0,667 · 1 · 40 Tonnen · 0,57 F12 F21 F22

(11.18)

Abb. 11.21   Bemessungsspektrum

11.3 Ausblick

  2 2 F1,Ers = ± F11 + F21 = ± (15,2)2 + (6,9)2 = ±16,7 kN   2 2 + F22 = ± (15,2)2 + (−3,5)2 = ±15,6 kN F2,Ers = ± F12

323

(11.21)

Die Lasten aus Erdbeben für die Riegel unterscheiden sich in diesem Fall nur unwesentlich nach Ersatzkraftverfahren und Antwortspektrenverfahren.

11.3 Ausblick In den letzten Jahrzehnten wurde ein weiteres Verfahren für seismische Nachweise entwickelt. Dies hat bereits in die ersten Normen Eingang gefunden. Es soll in diesem Abschnitt kurz vorgestellt werden soll. Dabei handelt sich um das Verfahren der Szenariospektren. Im englischen Sprachgebrauch verwendet man die Bezeichnungen Conditional Spectrum (CS) bzw. Conditional Mean Spectrum (CMS). Die Ausführungen in diesem Abschnitt basieren zu wesentlichen Teilen auf Proske (2016). Das Conditional-Mean-Spectrum- und das Conditional-Spectrum-Verfahren sind ein formaler Prozess, um Zeitverläufe zu definieren, die der vorgegebenen Gefährdung eines Uniform-Hazard-Spektrums entsprechen. Die Szenariospektren besitzen allerdings einen theoretischen Vorteil, der kurz erläutert werden soll. Die in einem Spektrum angegebenen Spektralbeschleunigungen können über Beschleunigungs-Zeit-Verläufe realisiert werden, mit denen das Bauwerk rechnerisch beaufschlagt wird (siehe Beispiel 1 in diesem Kapitel). Grundlage für die Auswahl der kompatiblen Beschleunigungs-Zeit-Verläufe sind vorgegebene Bodenantwortspektren nach verschiedenen Normen, die häufig sehr breitbandig sind. Diese normativen Bodenantwortspektren bzw. Uniform-Hazard-Spektren geben für jede Frequenz die maximal mögliche Spektralbeschleunigung an, die sich aus der Gefährdung ergibt. In anderen Worten, das vorgegebene Spektrum ist ein abdeckendes Spektrum aller möglichen Erdbeben über alle Frequenzen. Für die konformen Beschleunigungs-Zeit-Verläufe wird damit unterstellt, dass sich bei einem einzigen Erdbeben die maximalen Spektralbeschleunigungen über alle Frequenzen ergeben. Das ist für die meisten Standorte eine sehr konservative Annahme, da Erdbeben von verschiedenen Quellen mit verschiedenen Zeitverläufen auftreten können und in der Gefährdung zusammengeführt wurden. Tatsächlich erzeugen Erdbeben von verschiedenen Erdbebenquellen und aus verschiedenen Entfernungen verschiedene Beschleunigungs-Zeit-Verläufe am Standort und damit verschiedene Spektren. Das heisst, ein nahes schwaches Erdbeben wird über einen anderen Frequenzbereich eine maximale Spektralbeschleunigung verursachen als ein fernes starkes Erdbeben. Abb. 11.22 versucht diesen Zusammenhang darzustellen. Im Bild ist zunächst ein Bodenantwortspektrum (Uniform Hazard Spectrum) dargestellt. Zusätzlich wird dieses Spektrum in zwei Unterspektren (Conditional Mean Spectrum) unterteilt, die wiederum

324

11 Erdbeben

an bestimmten Ankerpunkten dem vorgegeben Bodenantwortspektrum bzw. UniformHazard-Spektrum entsprechen. Deutlich erkennt man, dass jedes der beiden Spektren nicht mehr überall die Spektralbeschleunigung des Uniform-Hazard-Spektrums erreicht. Die Anzahl der zu ermittelnden Spektren hängt vom verwendeten Verfahren ab (Conditional Mean Spectrum, Conditional Spectrum). Abb. 11.23 zeigt ein Beispiel, in dem für einen Standort 74 individuelle Szenario-Spektren ermittelt wurden, um das Uniform-Hazard-Spektrum abzudecken. Um diese Spektren, die einer Vielzahl verschiedener Erdbeben entsprechen, ermitteln zu können, muss man die Gefährdungskurve zerlegen. Dieser Prozess wird als Deaggregation bezeichnet. In Abb. 11.24 ist eine Deaggregation für einen Standort im

Abb. 11.22   Bodenantwortspektrum (orange) mit Conditional Mean Spectrum an zwei Ankerpunkten (blau) (Proske 2016)

Abb. 11.23   Vergleich von 74 standortspezifischen Szenario-Spektren mit einem standortspezifischem Uniform-Hazard-Spektrum. (Diagramm erstellt von P. Renault, angepasst durch den Autor) (Proske 2016)

11.3 Ausblick

325

Abb. 11.24   Beispiel einer Deaggregation (Proske 2016)

mittleren Westen der USA dargestellt. Für die Deaggregation steht für das Gebiet der USA heute freie Software zur Verfügung. Der Nutzen durch die Anwendung des Conditional Spectrum bzw. Conditional Mean Spectrum hängt sowohl von den dynamischen Eigenschaften des Bauwerkes als auch von der Erdbebengefährdung am Standort ab. Für einen elastischen Einmassenschwinger bringt das Verfahren keine Vorteile, aber für Strukturen, deren Gesamtverhalten auch von höheren Eigenformen abhängt, ergeben sich geringere Kräfte und Momente. Auf der Einwirkungsseite hängt der Nutzen vom Verhältnis der Eintrittswahrscheinlichkeit eines Erdbebens zur Eintrittswahrscheinlichkeit der Bodenbeschleunigung für den Ankerpunkt ab. Wenn z. B. die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Erdbebens gleich der Eintrittswahrscheinlichkeit der Spektralbeschleunigung für die erste Eigenfrequenz ist, dann ist die Einsparung durch die Conditional Mean Spectra vernachlässigbar. Ist jedoch die Wahrscheinlichkeit für das Erreichen dieser spektralen Beschleunigung geringer als die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Erdbebens, so ergibt sich ein Nutzen aus der Anwendung der Conditional Spectra. Üblicherweise ist dies der Fall in Regionen mit höherer seismischer Aktivität, weil dort verschiedene Erdbeben auf die Strukturen einwirken können. Inwieweit sich eine Einsparung für Regionen mit geringer seismischer Aktivität ergibt, ist in der Fachliteratur noch strittig. Abb. 11.25 zeigt Mittelwerte eines Etagenantwortspektrums für eine bestimmte Überschreitungswahrscheinlichkeit nach Uniform-Hazard-Spektrum (UHS) und Conditional

326

11 Erdbeben

Abb. 11.25   Vergleich zweier Etagenantwortspektren basierend auf UHS- und CS-kompatiblen Zeitverläufen. (Diagramm basierend auf D. Kurmann, angepasst durch den Autor) (Proske 2016)

Spectrum (CS) für eine Region mit mittlerer seismischer Aktivität. Man sieht deutlich, dass im Grossteil des Frequenzbandes die Spektralbeschleunigung basierend auf Szenario-Spektren deutlich unterhalb der Spektralbeschleunigung basierend auf dem Uniform-Hazard-Spektrum liegt. Allerdings gilt das nicht für den gesamten Frequenzbereich. Es gibt durchaus Bereiche (im Bild bei 10 Hz), in denen Szenario-Spektren und Uniform-Hazard-Spektrum zur gleichen Spektralbeschleunigung führen. Weitere Informationen zu diesem Verfahren finden sich z. B. Bei Baker und Cornell (2006a, b) oder Renault und Kurmann (2013).

11.4 Testfragen In jedem Kapitel findet sich ein Abschnitt mit Testfragen. Hier können Sie prüfen, ob Sie den Ausführungen und Erläuterungen folgen konnten. 1. Was ist eine Deaggregation bei Erdbebengefährdungen? 2. Was ist in Uniform Hazard Spektrum bei Erdbeben? 3. Was ist eine Peak Ground Acceleration (PGA) in einem Bodenantwortspektrum bei Erdbeben? 4. Wie viele Menschen sterben im Durchschnitt pro Jahr weltweit durch Erdbeben? 5. Erwarten Sie starke Erdbebeneinwirkungen im Moskau? Begründen Sie Ihre Antwort?

Literatur

327

6. Was ist der Unterschied zwischen seismischen Bodenbewegungen und Intensitätsmassen? 7. Um welchen Faktor unterscheidet sich die Einsturzwahrscheinlichkeit durch Erdbeben des gleichen Gebäudes auf sehr gutem und sehr schlechtem Baugrund? 8. Was ist die PEGASOS-Studie? 9. Was ist eine Pushover Berechnung? 10. Zeichnen Sie beispielhaft ein Bodenantwortspektrum. 11. Zeichnen Sie eine Erdbebengefährdungskurve für einen spezifischen Spektralwert des Erdbebenspektrums. 12. Zeichnen Sie eine Hysterese-Regel für Stahlbeton. 13. Was ist die maximale Verformung in Abb. 11.13 für ein übliches Stahlbetongebäude bei Erdbeben? 14. Was sehen Sie in Abb. 11.14 und wie kann dieses Bild für Berechnungen verwendet werden? 15. Wieso zeigt die Kurve in Abb. 11.16 eine Krümmung nach oben? Was bedeutet das für die Bauwerksverformung in Abhängigkeit von der seismischen Einwirkung? 16. In Abb.  11.17 wird das Gebäude durch einen Einmassenschwinger repräsentiert. Überlegen Sie sich ein Gebäude, welches nicht als Einmassenschwinger dargestellt werden kann und sollte.

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11 Erdbeben

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Ausblick

12

Bisher wurde in diesem Buch ein kleiner Einstieg in und Überblick über die Methoden und Berechnungsverfahren der Baudynamik gegeben. Solche Berechnungen sind aber oft eingebunden in übergreifende ganzheitliche dynamische Untersuchungen. Dies soll an einem Beispiel erläutert werden. Möchte man die Auswirkungen eines Flugzeugabsturzes auf ein Kernkraftwerk bewerten, so beginnt man mit der probabilistischen Berechnung der Absturzhäufigkeit von Flugzeugen im Transitflug bzw. in der Start- und Landephase in der Nähe des Flughafens. Für die Trefferwahrscheinlichkeit erfolgt die Berechnung einer Projektionsfläche der Gebäude. Unterstellt man im nächsten Schritt, dass das Reaktorgebäude getroffen wird, so wird eine aufwendige dynamische Berechnung des Flugzeuganpralles gegen das Gebäude durchgeführt, z. B. mit der Software LS-DYNA. Dabei kann heute schon die Ausbreitung des Treibstoffs während des Anpralles und die anschliessende Zündung des Treibstoffes berechnet und berücksichtigt werden. Unterstellt man im nächsten Schritt eine Penetration der äusseren und inneren Schale eines Containments, so kann man die Ausbreitung der Trümmer im Inneren des Containments berechnen. Die in der Öffentlichkeit häufig geäusserte Befürchtung, dass ein Reaktorbehälter direkt von einem Flugzeug getroffen wird, kann man praktisch ausschliessen, weil bei den meisten Kernkraftwerkstypen der Reaktor grösstenteils unterhalb der Geländeoberfläche liegt, weil das Reaktorgebäude in der Regel von anderen Gebäuden umgeben ist und weil der Reaktor durch ein biologisches Schild geschützt wird, welches in der Regel aus einem ca. 2 m starken Betonzylinder besteht. Ein Flugzeug müsste also entweder sehr steil abstürzen, um das Containment von oben zu penetrieren. Solch ein Absturz würde aber unter Umständen das Flugzeug zerreissen oder das Flugzeug wäre nicht mehr steuerbar. Oder das Flugzeug müsste mehrere Gebäude, die Containmentwand, die unter Umständen zweischalig ist, den biologischen Schild und dann die Reaktorwand, in der Regel eine mindestens 20 cm starke Stahlwand, durchdringen. Unterstellt © Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2021 D. Proske, Baudynamik for Beginners, https://doi.org/10.1007/978-3-658-33584-7_12

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12 Ausblick

man trotzdem eine Schädigung der Kühlsysteme durch die Trümmer des Flugzeuges, seien das Schäden an den Rohrleitungen oder der Stromversorgung, oder durch Brand, so kann man den dynamischen Unfallverlauf mittels Software wie z. B. MELCOR oder ATHLET berechnen. Diese dynamischen Berechnungen umfassen nicht nur neutronenkinetische, chemische und thermofluid-dynamische Berechnungen, sondern auch die Abbildung der Schalt- und Steuerungsvorgänge. Bei diesen Berechnungen werden auch die Zirkoniumoxidation und die Freisetzung von Wasserstoff im Gebäude berechnet. Für die dynamische Berechnung der Ausbreitung des Wasserstoffes und die örtliche und zeitliche Entwicklung der Konzentration gibt es ebenfalls Software, wie z. B. GASFLOW und COM3D. Damit kann die Entstehung einer Deflagrationsfront berechnet werden und daraus wiederum die Druckentwicklung. Aus dem örtlichen und zeitlichen Verlauf der Druckentwicklung kann die baudynamische Berechnung des Verhaltens des verbliebenen Containments erfolgen. Unterstellt man weiterhin die Entstehung eines schweren Störfalls mit einer Freisetzung von radioaktivem Material, so kann eine dynamische Ausbreitungsberechnung unter Berücksichtigung der spezifischen Wetterbedingungen erfolgen. Der gesamte Berechnungsablauf beruht auf dynamischen Berechnungen. In der Nukleartechnik spricht man auch von Transienten, also dem Einschwingen nach einem Sprung- oder Impulsereignis. Ähnliche Berechnungsabläufe sind für Erdbeben, Überflutungen oder andere Explosionen möglich. Unter Berücksichtigung der oben genannten umfangreichen Erdbebengefährdungsstudien können solche Analysen Jahre andauern, können Berechnungen beinhalten, die auf Servern Monate laufen und können tausende Seiten Dokumentation und Berechnungsergebnisse umfassen. Aufgrund dieser praktisch nicht mehr oder nur noch mit einem extremen Aufwand prüfbaren Berechnungen ist die Fähigkeit des Ingenieurs, hochkomplexe Aufgaben durch geschickte Vereinfachungen in leicht prüfbare Modelle, die trotzdem die relevanten Eigenschaften der realen Systeme ausreichend genau widerspiegeln, zu überführen, von essentieller Bedeutung. Und diese Fähigkeit ist letztendlich an ein tiefes Verständnis der einfachen Systeme und Modelle gebunden. Insofern legt das Buch „Baudynamik for Beginners“ einen Grundstein für die Behandlung der oben geschilderten komplexen Berechnungsabläufe.

Stichwortverzeichnis

A Abraumförderbrücke, 11 Aerodynamik, 3 Analyse Fourier, 193, 222, 225–227 Anprall, 12, 237 Kraftfahrzeug, 15 natürlicher, 246 Schiff, 14, 45, 239 technischer, 239 Anprallgeschwindigkeit, 254 Antwortspektrenverfahren, 216 Auswirkungen, 142 Autobombe, 268

B Balken, 125 Beaufort- Skala, 284 Bekanntheitsgrad, 253 Betonzugfestigkeit, 17, 21 Bewegung gleichförmige, 29 gleichmässig beschleunigte, 29 Punktmasse, 27 ungleichmässig beschleunigte, 29 Biegebalken, 97, 125 Euler-Bernoulli, 126, 131 Timoshenko-Ehrenfest, 126, 131 Bleigummilager, 178 Bodenbewegung, 305 Bremskraft LKW, 38 Mure, 41

Bruchvorgang, 302 Brücke Erdbebenschaden, 306 Hängebrücke, 11 Milleniumsbrücke, 10 Tacoma, 10

C Conditional Mean Spectrum, 323 Conditional Spectrum, 323 Containment, 275

D Dämmung, 165, 169 Dämon Laplace, 2 Dämpfung, 165, 166, 169, 314 kritische, 85, 89 Lehrsche, 89 Parameter, 89 Rayleigh, 89 Dämpfungselemente, 289 Dämpfungsparameter, 89 Deflagration, 275 Dehnungsgeschwindigkeit, 17, 18, 21 Dekrement logarithmisches, 18, 88, 90 Differentialgleichung Biegebalken, 97, 125 Einmassenschwinger, 58 Euleransatz, 64 gewöhnliche, 62

© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2021 D. Proske, Baudynamik for Beginners, https://doi.org/10.1007/978-3-658-33584-7

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334 Herleitung, 58 homogene, 62 inhomogene, 62 Laplace, 65 lineare, 62 Linearisierung, 79 Lösung, 62 nicht-lineare, 62 partielle, 62 Zweimassenschwinger, 117 Druckstoss, 17 Druckwelle, 255 Dunkerley-Methode, 137 Dynamik Definition, 5

E Eigenfrequenz, 60 Eigenkreisfrequenz, 60, 100 Eigenwert, 204 Eigenwertgleichung, 112 Eigenwertproblem, 204 Einmassenschwinger, 57, 101 Differentialgleichung, 58 Einschwingvorgang, 92 Einsturzwahrscheinlichkeit, 307 Einwirkung aussergewöhnlich, 237 Frequenzbereich, 17 Wind, 283 Elektrodynamik, 3 Erdbeben, 301 Erdölplattform, 10 Ermüdung, 12 Ersatzkraft, 8 Ersatzsteifigkeit, 98 Erschütterung, 179, 293 Euler-Bernoulli-Balken, 126, 130 Euleransatz, 64 Explosion, 249 Explosionsherd, 255

F Fachwerk, 103, 104 Figuren Lissajous, 33

Stichwortverzeichnis Fluiddynamik, 3 Fourieranalyse, 193, 222, 225–227 Fragility, 311 Frequenzbereich, 17 Frequenzverhältnis, 93–95 Fühlschwelle, 294 Fujita-Skala, 284, 285 Fundament, 179 Fussballstadium, 12 Fussgängerbrücke, 106

G Gebäude schwingungsanfälliges, 18 Gefährdung, 252 Gefährdungskurve, 312 Geschwindigkeit Dehnung, 17, 18, 21 Geschwindigkeitsbeschränkung, 6 Gewichtsbeschränkung, 6 Gummilager, 178

H Hängebrücke, 11 Hardening Effekt, 143 Homöodynamik, 3 Hydrodynamik, 3

I Impulsbelastung, 8 Intensität, 305 Isoliergrad, 170

K Karmansche Wirbelstrasse, 288 Kinematik, 5, 27 Kinetik, 5 Kirchhoff-Platte, 130 Körperschalldämmung, 170 Kraft Herleitung, 61 Krümmung Biegestab, 97 Küstendynamik, 4

Stichwortverzeichnis L Lagerung elastische, 171 Laplace-Dämon, 2 Laplace-Transformation, 65 Lasterhöhungsfaktor dynamischer, 6, 8, 21–23 Lehrsches Dämpfungsmass, 89 Linearisierung Differentialgleichung, 79 Lissajous-Figuren, 33 Luftdruck regionaler, 283

M Magnetohydrodynamik, 3 Magnitude, 305, 306 Maschinenfundament, 167 Masse konzentrierte, 112 verteilte, 125 Materialverhalten lineares, 142 nichtlineares, 142 Matrizen definite, 116 indefinite, 116 symmetrische, 116 Mehrmassenschwinger, 111 Milleniumsbrücke, 10 Modalanalyse, 208 Mure, 41, 246 Anprall, 12

N Näherungsverfahren, 193 Navier-Stokes-Differentialgleichung, 4 Newark-Verfahren, 202

P PEGASOS, 308 Periodendauer, 60 PGA-Wert, 312 Platte Kirchoff, 130

335 tektonische, 302 Poisson-Prozess, 8 Psychodynamik, 3 Punktmasse Bewegung, 27 Pushover-Analyse, 310 Pushover-Kurve, 310

Q Qutient Rayleigh, 138

R Rahmen, 120, 122 Rauschen weisses, 38 Rayleigh-Dämpfung, 88 Rayleigh-Quotient, 138 Rayleigh-Verfahren, 116, 138 Reduktion modale, 215 Region Luftdruck, 283 Risikostufe, 253 Rotationsschwinger, 60

S Saffir-Simpson-Skala, 284, 285 Schadensausmass, 253 Schiffsanprall, 45, 239 Schrägkabelbrücke, 9, 11 Schutzgutbewertung, 252 Schutznetz Steinschlag, 45 Schwingbeschleunigung, 294 Schwingstärke, 294 Schwingung erzwungene, 91, 93 erzwungene gedämpfte, 93 erzwungene ungedämpfte, 91 freie, 81, 82, 114, 115, 208, 213 freie gedämpfte, 82, 115, 213 freie ungedämpfte, 81, 114, 208 gedämpfte, 82, 93, 115, 213 harmonische, 32, 33

336 periodische, 30 Transformation, 35 ungedämpfte, 81, 91, 114, 208 schwingungsanfälliges Gebäude, 18, 20 Schwingungsisolation, 178 Skalierungsparameter, 255 Softening, 142 Spektralbeschleunigung, 309 Sprengwirkung, 250 Statik, 5, 28 Steifigkeit, 167 Steinschlag, 43, 46 Schutznetz, 45 Stoss, 8 elastischer, 238 harter, 18 plastischer, 238 weicher, 8 Stosszahl, 238 Stossziffer, 19, 239 Sturm, 283 subjektive Wahrnehmung, 294 System kritisch gedämpftes, 86 überdämpftes, 86 ungedämpftes, 86 unterdämpftes, 86 Szenariospektrum, 323

T Tacoma-Brücke, 10 Thermodynamik, 3 Tilger, 166, 171 Timoshenko-Ehrenfest-Balken, 126, 130 TORRO-Skala, 284 Turbinenzerknall, 245

Stichwortverzeichnis U Überdruckphase, 255 Überdruckzeitverlauf, 256

V v. Mises-Vektoriterationsverfahren, 204 Vektoriteration simultane, 208 v. Mises, 204 Verfahren explizites, 203 implizites, 203 Newark, 202 Rayleigh, 116, 138 Verformung Biegebalken, 98 Vergrösserungsfunktion, 93–95, 166, 169 Verwundbarkeit, 252 Vulnerabilität, 304

W Wahrnehmung subjektive, 294 Wasserstoff, 274, 275 Weckschwelle, 294 Wind, 283 Windböenspitze, 285 Windeinwirkung, 283 Windgefährdungskurve, 286 Wirbelstrasse, 288

Z Zeit, 2 Definition, 2 Zugänglichkeit, 253 Zugstab, 20, 96