Aufsätze aus dem Gebiete der höhern Mathematik [Reprint 2018 ed.] 9783111498836, 9783111132686

Table of contents :
VORWORT
Erklärung der Gebrauchten Zeichen
ERSTE Abtheilung. Ueber die Entwicklung der Potenzen von Sinus und Cosinus in Reihen, die nach Sinus und Cosinus der vielfachen Bogen fortgehen
ZWEITE Abtheilung. Ueber die allgemeine Entwicklung der Sinus und Cosinus der vielfachen Bogen, nach Potenzen von Sinus und Cosinus der einfachen
DRITTE Abtheilung. Summation, einiger allgemeinen Reihen
VIERTE Abtheilung. Noch eine Summation sowohl allgemeiner als auch numerischer Reihen

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aus dem

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Gebiete

d e r

h ö h e r n

M a t h e m a t i k

von

Dr.

M.

O hm,

Mitglied mehrer gelehrten

B e r l i n , G e d r u c k t

bei

1 8 2 5 .

u n d

G.

Gesellschaften.

v e r l e g t

R e i m e r .

V o r w o r t .

J ) e r Verfasser hait die liier aufgenommenen Gegenstände mit mehreren andern zugleich bereits im vorigen Jahre bearbeitet, um sie späterhin an ihrem Orte den folgenden Theilen seines: V e r s u c h e s eines v o l l k o m m e n consequenten Systems

d e r M a t h e m a t i k (wovon die beiden

ersten Bände, niedere« und einen Theil der höhern Analysis enthaltend, bereits zu Ostern ißa« erschienen sind) einzuverleiben.

Er glaubte in-

dessen dem Wunsche treugesinnter Freunde und seinem eigenen nachgeben, und einen -kleinen Theil dieser Arbeiten ^chon jetzt bekannt machen zu dürfen«

iv

Vorwort. Die Summation in der dritten

dieser Bogen hat

Abtheilung

der Verfasser bereits einigen

der hiesigen Mathematiker

gelegentlich

mitge-

theilt, noch ehe die, denselben Gegenstand bei treffende Abhandlung des Herrn T r a l l e s (unter denen der König]. Akademie d. W . zu Berlin für die Jahre 1820 —* 21.) erschienen war.

Er nimmt

daher um so weniger Anstand seine Arbeit hier einzurücken, da sie vor der des Herrn T r a l l e s nicht blofs wegen der weit gröfsern Einfachheit der angewandten Methode,

sondern vorzüglich

wegen der gröfsern Allgemeinheit der Resultate, nicht unwesentliche "Vorzüge z u haben scheint, Herr T r a l l e s gelangt nehmlich von einer dem Anschein nach zufällig sich ergebenden besondern Form, durch eine «fache Differentiation, und dann durch rcfaches Integriren z u einer etwas allgemeinern Form, die jedoch nur durch unvollkommene Induktion .gefunden, und vermöge der für Bolche Fälle unschicklichen M e t h o d e ,

nur für

ein g a n z e s n g ü l t i g i s t , -yrieHerr T r a l l e s

die-

Vonoort.

r

ses letztere selbst bemerkt.

Die hier einfach

summirte allgemeine Reihe nmfafst die allgemeinste Form des Herrn T r a l l e s und ist gültig für j e d e s n (ganz, gebrochen, reel oder imaginär). Die Entwickelungen und Bemerkungen in der i l e n und 2 ten Abtheilung dienen

vielleicht

nebenbei auch dazu, die Würdigung einiger andern der zuweilen sehr dunkel gehaltenen Arbeiten des Herrn T r a l l e s (in den Abhandlungen der genannten Akademie, besonders für die Jahre 1804. — 1811. und 1812 — 13.) zu erleichtern; weil wenigstens festzustehen scheint, dafs ein grofser Theil der dort gelieferten Resultate alf allgemein ungültig verworfen werden mufs.

Nach der Ueberzeugung des Verfassers ist das Inconséquente und Unwissenschaftliche, wenn es in der Mathematik gefunden wird, (nicht blofs zugleich das Verworrene und Dunkle, sondern) auch allemal das Unpraktische, folgerechtes Denken,

Es ist daher ein

eine genauere Kenntnifs

Varwarh

der Mittel, deren man sich im Kalkal bedifenen darf, und einige Sicherheit in ihrer Anwendung wichtiger, als ein mechanisches und gesetzloses; Wühlen im ICalkuI, welches nur eine vermeint« liehe Allgemeinheit, häufig aber Unrichtigkeit der Resultate geben kann. —

Alles dieses scheint

sich abermals zu bestätigen, wenn man aus der 4 ten Abtheilung) welche die Summation von numerischen, unendlichen Reihen enthält, diejenigen Reihen, heraushebt» welche auch Herr T r a l l e s in, den genannten Abhandlungen, im. Allgemeinen betrachtet hat,, und seine Resultate mit den hier aufgestellten vergleicht. "Weil, aber ein Streben verfehlt zu nennen ist, welches dem Wissenschafts « Forscher blofs Beispiele eines inconsequentenDenkens,*) und dem

*), W i r vollen nurein einiges anführen. Es ist begannt, daCs man dieDuplicität der Zeichen z . B . in + f ( n ) , wenn solche von den, W e r t h e n von, n, afyh^ngt.vn de? Form ader: 4/' + 2» darstellen ktnti, sowohl durch ( V ^ i ) ' » . f ( n ) , als auch durch Cos. —

f(n).

fceit; nimmt m

W e n n aber Herr T r a l l e s daher Gelegenin den genannten Abhandlungen mebrinal

Vorwort.

vn

praktischen Rechner, der sich auf solche vermeintlich allgemeingültige Resultate

verlassen

•will, eine unendliche Quelle von Irrthümern aufschliefst ; so mag man es verzeihlich finden, wenn der Verf. es für seine Pflicht hält, einer zwar bequemen aber verderblichen mystischen Willkühr auch dadurch entgegen zu würken, dafs er hier durch Hinweisung auf solche Arbeiten eine Vergleichung sowohl der Resultate, als insbesondere auch der Methoden möglich macht. Wenn aber manche der hier aufgestellten Resultate von denen eines Eulfer und L a g r a n g e abweichen, und der Verf. sich deshalb genöthigt gesehen hat, aufaer den Gründen für die Richtigkeit seiner Bewickelungen auch noch a posteriori oder a priori nachzuweisen, d a f s oder w o jene Männer sich geirrt haben dürften (dies wiederholten Behauptung, (S; diejenigen für. die- Jahre1820—ai.) d a f s i m A U g e m e i n e n . ( y ^ ) i l * l s e i n e r l e i g e n o m m e n w e r d e n k ö n n e m i t Coj. n . — , solches nur gerechtes Staunen erregen.

so kann

rm

Vorivort.

mufste z . B . in Bezug auf die ganze n t e Vorlesung der Leçons sur le Calcul des fonctions, geschehen, in so ferne alle daselbst aufgestellten Resultate dem Verf. als allgemein ungültig erscheinen) , so glaubt er dies doch mit derjenige^ Bescheidenheit

gethan

zu haben,

welche

die

Achtung gegen so ausgezeichnete Männer, deren Ruhm ohnedies unantastbar ist, ihm einflöfsen mufste. Ferner glaubt der Verf. noch bemerken z u müssen, dafs er die Principien des hier angewandten etwas genauem Kalküls aus den bereits erschienenen Theilen seines im Eingange schon erwähnten Lehrbuchs der Analysis

entnommen

hat; dafs mithin, h i n s i c h t l i c h d e r dung

dieser Principien,

daselbst

Begrün-

nachzusehen

seyn dürfte. Auch in der Mathematik sind Form und Materie innigst mit einander verbunden, und die Förderung dieser Wissenschaft von ihrer materiellen Seite ist von einer gründlichen Behand-

Vorwort,

ix

lung ihres formellen Theils (die für einen glücklichen Erfolg des Unterrichts ohnediefs unentbehrlich ist) nicht wenig abhängig.

Der Verf.

würde sich freuen, wenn die in der 4 len Abtheilung

hingestellten

neuen Resultate

beitragen

könnten, diese, wie es scheint noch zu wenig beherzigte Wahrheit, mehr an das Licht treten zu lassen. Berlin an der Königl. Universität im August 1823.

Dr. M. Ohm.

NB. Weil e c k i g e Klammem nicht in hinlänglicher Menge vorräthig waren, so mußten von S. ßi. ab die allgemeinen Glieder der Reihen, der angenommenen Bezeichnung entgegen, in r u n d e Klammern eingeschlossen werden. In so ferne das jedesmal vorstehende S die Reihe anzeigt, wird jedoch dieses, hier bemerkt, dem Leser keine Unbequemlichkeit verursachen.

Erklärung der gebrauchten Zeichen. I.

D a s Produkt a ( a + r ) ( a + s r ) ( a - j - 3 r ) . . . . [a•+• (m — i ) r ]

ist durchgehends durch das K r a m p ' sehe Fakulamlr

tätenzeichen

und unter den Lehrsätzen

vorgestellt, der Fakultäten

sind

hier vorzüglich diese vier gebraucht: 1 ) a® 111-

=

[a -j* ( m — i ) r ] m I _ r

) am^n,r

=

«T^ am—nlr

—

a r a I r . (a -{- m r ) n I r a mlr

2

ß

°

[a+^m —n)r]nIr

4) h m . a m I r =

( v ha) ,uIllr

und noch der b i n o m i s c h e L e h r s a t z ' f ü r Fakultäten ; alle jedoch nur unter der Voraussetzung, dafs die Exponenten ganze positive Zahlen oder Null sind. II. Das Produkt 1 . 2 . 3 . 4 tiger die Fakultät i m l 1 immer Zeichen

bezeichnet

m

>

0(

^ e r rich-

oder m m I —>, w i r d

durch

die

hier

Kramp'schen

m' oder m !

SÖ dafs o ' = = i ' = i ;

2 ' = 2;

u. s. w . f.

=

4 / = 24;

4

Erhlaruiig III. Die Binormal-Koefficienten der m t e n Po-

tenz (z.B. von a - j - b ) werden bezeichnet durch mOJ

nii , m 2 ,

so dafs m n =

m3 , m4 . . . .

m nl—i

n

=

m n , u. s. w. f.,

m(m-i)(m-2)...[m-(n-i)] 1 . 2 . 3

...

n

IV. Die Reihen (endliche und unendliche) sind hier meist nur durch ihr allgemeines Glied vorgestellt» so dafs dem allgemeinen Gliede noch das Summenzeichen S vorgesetzt 'wird. Der gröfsern Deutlichkeit und der leichtern. Uebersicht wegen, ist der Zeiger im allgemeinen Gliede immer durch einen Buchstaben des d e u t s c h e n Alphabets ausgedrückt, so clafs man ihn daran sogleich erkennen kann. — Auf diese Weise drücken wir z. B. den binomischen Lehrsatz SQ aus: J) ( a + b ) m = S . [ m ß . a m - « . b « ] , wo m willkührlich, oder auch so: 2) (a -f-b) m = S. f m t . a [Cos. ( ± 2 n M JT) —Cos. ( + üvmT) + (Sin.(+ 2nmzr) — Sin. (+ 2vin;r))], wo (2 Cos.x) m einen beliebigen ihrer Werthe repräsentirt. Mit Notwendigkeit kann man also- auf diesem Wege sich nicht überzeugen, dafs Y = o seyn müsse, den Fall ausgenommen, in welchem m eine ganze Zahl wird, und Y zugleich einen endlichen Werth haben mufs. §- 18. Eben so finden wir die Entwicklung in (§. 10.) ganz strenge, bis dahin, wo 2 X = (e s V-> - f + ( e - x V = I + e*V"-=i)® gefunden ist, wofür man aber rechts nicht unbedingt 2 ( e * V — e - * " ^ ^ ) " 1 setzen darf, wie dort geschehen (S. §• 14.. IV. VI.). Die Gleichung wird vielmehr, wenn man 2 Cos.x statt e x V-'-f-e—^V^ setzt, a X = ( 2 Cos.x) m (i m -f* x m )

J. Abtheilung,

§. lg.

45

oder 2X=(2Cos.x) m [Cos. (+änm7r)-fCos.(+avmT) + (Sin. (± 2nm;r) + Sin. (+2Vmr))], m wo (2 Cos. x) einen beliebigen - ihrer Werthe vorstellt. Es ist demnach auf diesem Wege nur dann mit Sicherheit X = ( s C o s . x) m , wenn m' eine ganze Zahl ist und X wirklich einen Werth hat. §. 19. Was endlich den Beweis (§. 1-1.) betrifft, so ist leicht einzusehen, wenn man die vorstehenden Principien in Anwendung bringen will, dafs, weil sich die dortigen Schlüsse auf W e r t h e gründen, sie nur so lange gelten, als die dortigen Reihen wirklich Werthe haben, also nur in so ferne sie convergent sind. Unter diesen Voraussetzungen bleiben die dortigen Gleichungen (g. und 4.) noch streng richtig, nur mit der Einschränkung, dafs sie nicht als a l l g e m e i n e identische Gleichungen, sondern nur als W e r t h Identitäten statt finden. Dies ändert die dann folgenden Schlüsse dahin ab, dafs zwischen den Werthen von X und Y (für verschiedene Werthe von x) und zwischen den Werthen von n und v eine durch die Gleichungen (3. und 4.) selbst bedingte Abhängigkeit statt finden mufs; dafs aber die Abhängigkeit von n und v nicht nothwendig von. dem Werthe von x unabhängig ist, sondern im Gegentheil für andere Werthe von x auch allemal eine andere werden kann. Der übrige Theil

4.6

I. Abiheilung.

so* si«

des dortigen Beweises (§. 11.) gilt also nichtmehr, und daher hat das dortige Endresultat keine gröfsere Gültigkeit, als vorher auch. *) §. so. Es gelten also die Entwicklungen von (a Cos.x) m des E u l e r , L a g r a n g e , und die übrigen, unsre eigenen (§. 8. 9. 10. und 11.) mit eingeschlossen, nur für den Fall nothwendig, dafs m eine ganze positive Zahl ist; und wenn m eine ganze negative Zahl wäre, nur dann, wenn zugleich X u n d Y wirklich einen Werth haben sollten. Eine allgemein gültige Entwicklung mag nun versucht werden. §. 21. Die einfachste und direkteste scheint folgende zu seyn, Man hat nehmlich 2 Cos.x — e*V—»+ e— folglich, nach dem binomischen Lehrsatz (2 Cos.x)®— S .[m a . oder (aCos.x)m = S.[m f t . Nun ist aber

exVK=r' = Cos.x-J- /"tri. Sin. x, und daher Cos. (m-2Ä)x4-/ , ZT. Sin.(m-2«)x, oder, wenn man rechts alle Werthe haben will, *) W e n n man z.B. aus den Gleichungen (J. 11. n. 3 u. 4.) für' Xt=o gefunden hat, so ergiebt sich im Gegenlheil fd? x=zjt, die Abhängigkeit v = n + 1 1 aus denselben Gleichungen. — Darüber giebt besonders der letzte Theil dieser Bogen noch mehr Aufschlufs.

J. Abtheilung. (exV"=I)m-.2* _

Cos.

20.

(m — 2 «) (± 2 n ff - f X)

+ /"ZI. Sin.(m—2 «) (+2n7T-f-x) = Cos. [ + 2 m n f f - f ( m — 2a) x] + y f ü i . Sin.[+2mn;r 4. (m~ 2