Analytische Geometrie [Reprint 2018 ed.] 9783110842029, 9783110029345

Table of contents :
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Erstes Kapitel. Punkte in der Ebene
Zweites Kapitel. Die gerade Linie
Drittes Kapitel. Der Kreis
Viertes Kapitel. Kegelschnitte
Fünftes Kapitel. Punkte im Raum
Sechstes Kapitel. Gerade und Ebene im Raum
Siebentes Kapitel. Flächen zweiter Ordnung
Achtes Kapitel. Vektoren
Neuntes Kapitel. Verallgemeinerung des Koordinatenbegriffs
Register

Citation preview

Analytische Geometrie Von

Dr. Gerhard Engel

Mit 125 T e x t f i g u r e n

Walter

de

G r u y t e r

&

Co.

vormals G. J . Goschen'sche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp.

Berlin

1950

Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Verlagshandlung vorbehalten

(1) Paul D ü n n h a u p t , Buchdruckerei, Kothen A 521

Archiv-Nr. 121450

Vorwort Der vorliegende Band soll eine Lücke schließen zwischen der schulmäßigen Darstellung der analytischen Geometrie und ihrer Behandlung auf der Hochschule bzw. den entsprechenden Lehrbüchern. Er führt von den Grundformeln der analytischen Geometrie der Ebene und des Raumes bis zu den Kurven und Flächen 2. Ordnung, uneigentlichen und imaginären Elementen in allgemeinen Koordinaten und zum Gruppenbegriff als dem ordnenden Prinzip in der Geometrie. Vorausgesetzt werden nur die einfachsten elementargeometrischen, algebraischen und trigonometrischen Kenntnisse, so wie sie etwa auf der Mittelstufe der höheren Schulen gelehrt werden. Ich bin dabei nicht vom Vektor- und Matrizenkalkül ausgegangen, welche dem Anfänger erfahrungsgemäß erhebliche Schwierigkeiten bereiten, sondern habe diese Dinge erst am Schluß erklärt und angedeutet, wieviel eleganter und einfacher sich das ganze Gebiet damit behandeln läßt. Um dem Leser, der den theoretischen Entwicklungen zu anfangs vielleicht abstrakt erscheinenden Ergebnissen folgt, das Gefühl des festen Bodens unter den Füßen zu geben, sind zahlreiche Beispiele in die Darstellung eingebaut und weitgehendst durchgerechnet. Wegen seiner Wichtigkeit für Theorie und Praxis ist der Abschnitt über Kegelschnitte besonders ausführlich behandelt, wobei gelegentlich die analytische Beweismethode zugunsten einer kürzeren andersartigen Darstellung zurücktreten mußte. Das Buch wendet sich demnach an alle, die ihre Schulkenntnisse vertiefen wollen, an die Teilnehmer an Volkshochschulkursen, an, Techniker, die analytisch-geometrische Methoden zur Lösung praktischer Aufgaben verwenden, insbesondere aber an die jüngeren Semester der Hoch- und Fachschulen, welche gerade heute vielfach ohne die soliden Vorkenntnisse aus einer geregelten Schulausbildung ein mathematisches, naturwissenschaftliches oder technisches Studium beginnen. Berl i n , im J u l i 1 948 G. Engel

Inhaltsverzeichnis I. Kapitel: Funkte in der Ebene § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Cartesische und Polarkoordinaten Koordinatentransformationen Entfernung zweier Punkte Teilung einer Strecke Determinanten Inhalt von Polygonen

Seite 1 3 5 6 7 11

II. Kapitel: Die gerade Linie § § § § § § § § §

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Die Gleichung der geraden Linie Besondere Formen der Geradengleichung Schnitt zweier Geraden Lagebeziehungen verschiedener Geraden Die H e s s e s c h e Normalform Geradenbüschel Merkwürdige Punkte des Dreiecks Die Sätze von M e n e l a o s und C e v a Das vollständige Viereck

13 15 18 20 21 24 27 30 32

III. Kapitel: Der Kreis § 16. § 17. § 18. § 19. §20. §21. § 22.

Die Mittelpunktsgleichung des Kreises Weitere Formen der Kreisgleichüng Die TangentialbedingUng Gleichung der Tangente Pol und Polare Chordalen Kreisbüschel

36 38 41 43 44 47 49

IV. Kapitel: Kegelschnitte § 23. § 24. § 25. § 26. §27. § 28. § 29. § 30. § 31.

Affine Abbildungen Mittelpunktsgleichung der Ellipse Die Schnitte des geraden Kreiskegels Scheitelgleichungen der Kegelschnitte Konstruktionen der Kegelschnitte Mittelpunkts- und Polargleichungen Kegelschnitt Und Gerade Konjugierte Durchmesser Tangente und Normale

56 58 61 68 71 72 78 86 92

VI

Inhaltsverzeichnis Seite

§ 32. § 33. § 34. § 35. § 36. § 37. § 38. §39.

Kegelschnittgleichungen in schiefwinkligen Koordinaten Asymptoten der Hyperbel Pol und Polare Brennpunkte, Leitlinien und Leitkreise Umhüllungskonstruktionen der Kegelschnitte Die allgemeine Gleichung 2. Grades in der Ebene Perspektive Abbildungen Die Satze von P a s c a l und B r i a n c h o n

100 104 109 113 118 118 129 131

§ 40. § 41. § 42. § 43. § 44. § 45.

V. Kapitel: Punkte im Baum Räumliche Koordinatensysteme Lange und Teilung von Strecken Projektionen von Strecken und Flächen Volumen des Tetraeders Parallelogramm und Parallelepiped Koordinatentransformationen

133 136 137 139 141 142

§ 46. § 47. § 48. § 49. § 50. § 51.

VI. Kapitel: Gerade und Ebene im Baum Gleichungsformen der Ebene Lagebeziehungen zwischen Ebenen Ebenenbüschel und Ebenenbündel Gleichungsformen der Geraden Lagebeziehungen zwischen Geraden Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

145 149 152 155 157 160

§ 52. § 53. § 54. §55. §56. § 57. § 58. § 59. § 60. § 61. § 62. § 63.

VII. Kapitel: Flächen zweiter Ordnung Flächen und Kurven im Raum Die Gleichung der Kugel Die allgemeine Gleichung 2. Grades im Raum Kegel Zylinderflächen Das Ellipsoid Das einschalige Hyperboloid Das zweischalige Hyperboloid Das elliptische Paraboloid Das hyperbolische Paraboloid Pol und Polarebene Tangentialebene und Normale

165 167 170 175 179 181 183 189 192 193 196 199

§ 64. § 65. § 66. § 67. § 68. § 69.

VIII. Kapitel: Vektoren Begriff und Darstellung des Vektors Summe und Differenz von Vektoren Das innere Produkt von Vektoren Das äußere Produkt von Vektoren Die gerade Linie in vektorieller Darstellung Die Ebene in vektorieller Darstellung

203 204 205 206 208 208

Inhaltsverzeichnis

VII Seite

§ § § § § §

70. 71. 72. 73. 74. 75.

§ 76. § 77. § 78. § 79. § 80. §81. § 82.

IX. Kapitel: Verallgemeinerung des Koordinatenbegriffs Homogene cartesisohe Koordinaten Linienkoordinaten Ebenenkoordinaten Das Dualitätsprinzip K u r v e n und Flächen 2. Klasse .Imaginäre Elemente

209 211 212 213 215 217

X. Kapitel: Einteilung Metrische Abbildungen Äquiforme Abbildungen Affine Abbildungen Projektive Abbildungen Projektive Klassifikation Affine Klassifikation der Äquiforme Klassifikation Register

220 223 225 228 229 234 236 238

der Geometrie nach dem Gruppenprinzip •

der Kurven und Flächen 2. Ordnung . . . . K u r v e n und Flachen 2. Ordnung der K u r v e n und Flächen 2. O r d n u n g . . . .

Erstes Kapitel

Punkte in der Ebene § 1. Cartesische und Polarkoordinaten (1) Rechtwinklige Koordinaten. Gegeben sind zwei aufeinander senkrechte Geraden, die sich im Punkt 0 schneiden, die horizontale a:-Achse und die vertikale y -Achse. Beide sind gerichtet und mit einer Maßeinteilung versehen, vom Koordinatenanfangspunkt 0 aus nach rechts bzw. nach oben. Die durch jeden beliebigen Punkt P der Ebene zu den Achsen gezogenen Parallelen schneiden auf den Achsen zwei Strecken ab, deren Maßzahlen x und y die Koordinaten des Punktes P heißen. Beide sind durch P eindeutig festgelegt, umgekehrt ist auch durch zwei Zahlen x und y der Punkt P eindeutig festgelegt, x heißt die Abszisse, y die Ordinate von P. Man schreibt abgekürzt P: x, y. B e i s p i e l 1: In Fig. 1 sind die Punkte P1: 6, 4; P 2 : — 3, 2; P 3 : — 4 , — 3; Pi : 4, — 2; P5 : — 2, 0 und P6 : 0, — 4 eingezeichnet.

y

Fig. 1

Fig. 2

(2) Schiefwinklige Koordinaten. Bilden die beiden gegebenen Geraden durch 0 den Winkel m miteinander, so schneiden die Parallelen dazu durch jeden Punkt P der Ebene darauf zwei Strecken ab, deren Maßzahlen E und t) die schiefwinkligen Koordinaten von P heißen, co wird der Achsenwinkel genannt. B e i s p i e l 2: In Fig. 2 sind die Punkte Pt: 2, 5; P2 : — 3, 4; P3 : — 4, — 2; P ^ 6 , — 3 in schiefwinkligen Koordinaten mit dem Achsenwinkel eo = 60° eingetragen. Engel,

Analytische Geometrie.

2

E i s t c s Kapitel. Punkte in der Ebtne

(3) Beziehungen zwischen rechtwinkligen und schiefwinkligen Koordinaten. j - und t)-Achse eines schiefwinkligen Koordinatensystems bilden mit der x-Achse die Winkel a und ß . Aus Fig. 3 folgt

P

x=OF = OA + AF = OA +G B, y = F P=FB+ BP = AG+ BP, d. h. es bestehen die Transformationsgleichungen x = j • cos« -f- t) " c o s ß

y—j

• sin t + 1 + 8 = 8,54. B e i s p i e l 3: Die Entfernung der Punkte P1: Polarkoordinaten beträgt

4, y und P2: 5, ™ in

d = j / 1 6 + '/5 + 20 • |/3° = 8,70. Das Ergebnis erscheint in allen Beispielen in der Maßeinheit, in der die Koordinaten der Punkte gegeben' sind. § 4. Teilung einer Strecke (1) Koordinaten des Mittelpunktes einer Strecke. Gegeben sind die rechtwinkligen oder schiefwinkligen Koordinaten zweier Punkte P t : J i . t ^ und P2: £ 2 , t)2, gesucht sind die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke P1 P2. ft Nach dem Strahlensatz ist (vgl. Fig. 11) Si - £2 ,

QM = >52.+

—^. 1)1-1)2

Fig. 11

(2) Teilverhältnis. Unter dem Teilverhältnis der 3 Punkte T, A,

B

(T\ A, B) = Ä versteht man den Quotienten aus den Maßzahlen der Strecken A T und T B unter Berücksichtigung der Orientierung. X =

AT TB

Der Punkt T teilt die Strecke AB im Verhältnis r , i : n , und es ist — = ?.. n

M -1

O

B t OO

-1

Fig. 12 Durchläuft T die Gerade AB, so nimmt das Teilverhältnis alle positiven und negativen Werte an, die Zuordnung zeigt Fig. 12.

§ 5

7

Determinanten

(3) Koordinaten des Teilpunktes einer Strecke. Gesucht sind die Koordinaten des Punktes T, der mit den gegebenen Punkten P1 und P2 ein gegebenes Teilverhältnis bildet, d. h. der die Strecke P1 P2 im Verhältnis m : n = X teilt. Nach dem Strahlensatz ist (vgl. Fig. 13) _

1\Q Ii

m

QT

-Ei

m +

Ii-

= ri + =

rr

m m + nt m

+

« i i + wja =

__

m

1)2— l)l

m + n nyy+mr)^ m + n

' (£-2

Ei)>

(t)2 — h 1

+ +*

t), + At)2

Fig. 13

1 + X

B e i s p i e l : Die Koordinaten des Schwerpunktes S des Dreiecks A sind zu bestimmen. 8 teilt die Strecke zwischen A und dem Mittelpunkt der Seite BC ira Verhältnis 2 : 1 . Es ist x

2 + 2-— 1 5 t m = "2 ' 2/m = —.¿> also xs = —3 =1,

ys=

5 — 2.— 2 — = 0 .

§ 5 . Determinanten (1) Permutationen. Unter einer Permutation der n Elemente a 1 ; a2, . . . an versteht man eine beliebige Anördnung dieser Elemente. Darin bilden zwei Elemente eine Inversion, wenn sie in umgekehrter Reihenfolge als in der ursprünglichen Anordnung stehen. Die Permutation heißt gerade oder ungerade, je nachdem die Anzahl der Inversionen darin gerade oder ungerade ist. Bei Vertauschung zweier benachbarter Elemente in einer Permutation ändert sich die Anzahl ihrer Inversionen um 1, denn die Stellung dieser beiden Elemente zu den übrigen ändert sieh dadurch nicht, die beiden Elemente selbst bildeten aber entweder vorher keine und nachher eine Inversion oder umgekehrt. Bei Vertauschung zweier beliebiger Elemente ändert sich die Anzahl der Inversionen um eine ungerade Zahl. Stehen die beiden Elemente nämlich um p Stellen voneinander entfernt, so wird das erste von ihnen zunächst durch p Nachbarvertauschungen hinter das zweite gebracht, sodann dieses durch p — 1 Nachbarvertauschungen an die freie Stelle des ersten Elementes. Insgesamt ist somit die Inversionenzahl (2p— l)mal um 1 geändert worden.

8

Erstes Kapitel. Punkte in der Ebene

(2) Definition der Determinante.

D„

=

a n a12

®1 n

®21 a22

a2

n

Die w-reihige Determinante

=

H

±

a2ß

a3;

a

a„, a „ , . . . . a _

ist gleich der Summe aller Produkte i a l e c . . . anv, in denen a ß y . . .v alle Permutationen der Zahlen 1 2 3 . . . n durchlaufen. J e nachdem die Permutation gerade oder ungerade ist, gilt das positive oder negative Vorzeichen. Die Zahlen alk heißen Elemente, die Horizontalreihen Zeilen, die Vertikalreihen Spalten der Determinante. (3) Die 2-reihige Determinante. a

D*

ll

a

E s ist

12 * 1 2 ®21

=

Die von links oben nach rechts unten verlaufende Diagonale heißt in jeder Determinante die Hauptdiagonale, die von rechts oben nach links unten verlaufende Nebendiagonale. Der Wert einer 2-reihigen Determinante ist also gleich dem Produkt der Elemente in der Hauptdiagonalen vermindert um das Produkt der Elemente in der Nebendiagonalen. (4) Die 3-reihige Determinante. a

l l al2

°13

¿>3 = ®21 ®22 ®23 ®31 a32

—

a

u

«22 ®33 "t" a12

öj^ «23 ®32

12

a33

a2S

®13 a21

a31

a32

13 #9. 229 "31 •

21 '

Zu ihrer Berechnung wendet man zweckmäßig die Sarrussche Regel an: Schreibt man die beiden ersten Spalten noch einmal hinter die dritte, so ergeben die Produkte aus den Elementen der Hauptdiagonale und ihrer Parallelen die positiven Glieder, die der Nebendiagonale und ihrer Parallelen die negativen Glieder. a ii\

\\

¡>3

=

a21

31

®12X

a22

*32

a 13

a

n

^

a12

X

\ «23

a

33

\+

2i

31

\ +

a,

22

\+

9

§ 5. D e t e r m i n a n t e n

(6) Eigenschaften der Determinanten. Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn die Zeilen mit den Spalten vertauscht werden, da «1« «2,3 • • • an,

««1 aß2

=

• • • «,»•

Werden zwei Zeilen oder zwei Spalten miteinander vertauscht, so multipliziert sich der Wert der Determinante mit — 1, denn es ist ±

«i* • • • akx

• • • at> . .. . an„ = — £

±

alx

a2ß

. . . alx

. . .au

. .

.am,

da sich bei Vertauschung zweier Elemente einer Permutation ihr Vorzeichen umkehrt. Eine Determinante hat den Wert Null, wenn zwei Zeilen oder zwei Spalten einander gleich sind, denn bei Vertauschung dieser beiden Reihen muß die Determinante ihr Vorzeichen ändern, es entsteht dabei aber wieder die ursprüngliche Determinante, also gilt — D = D, woraus D = 0 folgt. Multipliziert man eine Zeile oder Spalte mit einer Zahl, so multipliziert sich der Wert der Determinante mit diesem Faktor, denn es ist ±

«i« a2(5.

. .p akx

. . . anv

= p • J? ±

a

u

a2ß

. .akx

. . . a

m

.

Eine Determinante hat den Wert Null, wenn zwei Zeilen oder zwei Spalten proportional sind, denn sie ist dann gleich dem Produkt aus dem Proportionalitätsfaktor und einer Determinante mit zwei gleichen Zeilen oder Spalten. Eine Determinante, in der die Elemente einer Zeile oder Spalte Summen sind, ist gleich der Summe der Determinanten, die in dieser Zeile bzw. Spalte die einzelnen Summanden enthalten, sonst aber mit der ursprünglichen Determinante übereinstimmen. Es ist nämlich X

± ala

a2ß

. . (akx

+ bkx)

..an„

= H ± «la • • akx • • a„v + H ± «1« • • bkx • • anv Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn man zu einer Zeile oder Spalte beliebige Vielfache anderer Zeilen bzw. Spalten addiert. Die neue Determinante kann nämlich als Summe aus der ursprünglichen und lauter verschwindenden Determinanten dargestellt werden. (6) Unterdeterminanten. Die Unterdeterminante Alk der «-reihigen Determinante Dn ist die mit (— l ) l + k multiplizierte Determinante, die aus Dn durch 1 Streichung der i. Zeile und der k. Spalte entsteht. «11 • •

«1 k—1 «1 fc+1

«i-11

•

•

a

m

• •

a

i - m

• «t + 1 n

«>+11

1-H

a

nk-l

a

nk+1

• ••ann

10

Erstes Kapitel. Punkte in der Ebene

(7) Entwicklung der Determinante nach einer Reihe. E s gilt •O« = « 1 1 ^ 1 1 + « 1 2 ^ 1 2 -1 weil 12. n 2 3 » - E J : «i« • • • = « n JE ± a2ß

a .. v

ß ...v

H

h am

i" «1 n A ln> 13.

. . . a +a

12 . n—1

ß .»

nv

±a2ß..

12

n

j;

ß.. ,r

± a2ß

...a

.a„,

ist. Diese Summen sind aber gleich den Unterdeterminanten An, A12, . . . Aln, wobei die Vorzeichenänderung jeder zweiten daher rührt, daß z. B. eine Permutation 2ß . . .v eine Inversion mehr hat als die Permutation ß . . . v, während eine Permutation 3ß . . . v zwei Inversionen mehr hat als ß . . v. Wegen der Vertauschungsmöglichkeit der Zeilen untereinander sowie der Zeilen und Spalten ergibt sich allgemein der Satz, daß eine Determinante gleich der Summe aus den Produkten der Elemente einer Zeile oder Spalte mit den zugehörigen Unterdeterminanten ist.

Dn = Jtak , Ak , = i>;

kAlk

Diese Darstellung der Determinante heißt ihre Entwicklung nach den Elementen einer Zeile oder Spalte. Ersetzt man in einer Determinante Dn eine Zeile oder Spalte, z. B . die i. Zeile, durch eine andere aus derselben Determinante, z. B. die k. Zeile, und entwickelt nach deren Elementen, so erhält man die Summe aklAn + ak2AlSj + • • • + aknAln, die den Wert Null haben muß, da in der entstandenen Determinante zwei Zeilen gleich sind. Allgemein gilt also

= /=i 2a?icAu

/=i

=

0

für

(8) Cramersche Regel. Ein System von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten

an x1 + a12x2-] + a22 X2 +

a 21 X\

""'

«»1 xi + an2x24

+ aln xn = b1 + a2n Xn = ^2

1- annxn = bn

läßt sich unter Verwendung der Determinanten einfach auflösen. man nämlich a«11 . a«1» n .•. • ln |

Setzt

= D, •ann multipliziert die Gleichungen mit den Unterdeterminanten der ersten Spalte von D und addiert, so erhält man

D•

= b,An + b2A21 + • • • +

bnAnl.

tv

§ 6. Inhalt von Polygonen

11

Entsprechend ergibt sich mit den Unterdeterminaten der anderen Spalten D • x2 = b}A12 + b.2A22 + • • • +

briAn2,

Die rcchten Seiten können auch als Determinanten geschrieben werden, und zwar stellen sie diejenigen Determinanten dar, die aus D dadurch entstehen, daß die Spalten der Reihe nach durch die absoluten Glieder bx, b2, . . . bn ersetzt werden. So gilt z. B. «11 «12 bl «14 • • • «i „ ! x

a — l> a

nla„%bnan\"-a„n\

• Man erkennt, daß die Möglichkeit zur Auflösung des Gleichungssystems an die Bedingung D 4= 0 geknüpft ist. § 6. Inhalt von Polygonen (1) Dreiecksinhalt im rechtwinkligen Koordinatensystem. Gesucht ist der Inhalt A des Dreiecks, dessen Eckpunkte Plt P2, P3 durch ihre rechtwinkligen Koordinaten gegeben sind. Die Dreiecksfläche setzt sich nach Fig. 14 folgendermaßen aus Trapezen zusammen A = P1Pi Q2 Ql + P3 P1 Qj Qa — Pä P2 Q2 Q3. Nach der Trapez-Inhaltsformel ist dann x

z)

= — • [»1 • (2/2— Xj

+ Vi-ry» (*3 — *l) +

X

2'

•t3

2/i 2/2 V z

1 1 1

Vertauscht man zwei Punkte, so ändert die rechte Seite ihr Vorzeichen, d. h. man erhält nur dann für den Dreiecksinhalt A einen positiven Wert, wenn das Dreieck in der Reihenfolge Plt P2, P3 der Ecken im positiven Sinne umlaufen wird.

Vi) +

y> + y 3 , • *

X

3 • (Vi

3

)

12

Erstes Kapitel. Punkte in der Ebene

B e i s p i e l 1: Der Inhalt des Dreiecks A ist 2—3 4 5—4—1 1 1 1

= 24.

(2) Dreiecksinhalt im schiefwinkligen Koordinatensystem. Sind die Ecken des Dreiecks in schiefwinkligen Koordinaten gegeben, so sind die Höhen der Trapeze in Fig. 15 (r* — • sin ' P 7 : 2 , - 2 ist 7 7 = y - [ 3 - 7 + 2-3—2-(— 4)—4-(— 8) — 3 • (— 4 ) + 0 + 2 • 4] = 43,5.

Zweites K a p i t e l

Die gerade Linie § 7. Die Gleichung der geraden Linie (1) Grundgleichung der Geraden. Gegeben ist ein rechtwinkliges Koordinatensystem und eine Gerade g. Zwischen den Koordinaten x und y jedes beliebigen Punktes P auf g besteht die Beziehung y — b

t g * = v unabhängig von der Lage von P und der Richtung von g, denn sind nicht beide Koordinaten von P positiv, so gilt eine der folgenden Beziehungen (siehe Fig. 18 und 19) — gy

t og « = -

+ -V

b

y —

= ^

nr

b

,'

t g « = - tg (180° - «) = t g Ä = — tg(180° — oc) =

X

=

- y + b

X y - b

14

Zweites Kapitel. Die gerade Linie

Ausgenommen s ; nd zunächst noch Parallele zur «/-Achse. Darin bedeutet (x den Winkel, den die Gerade g mit der positiven z-Achse bildet, und 6

4

\ —) *

-X

^ vV « (

y *

\ -y X

p

\

Fig. 19

Fig. 18

den Abschnitt der Geraden auf der y -Achse.

G2:

b

+

y =

m2x

+

b2,

gesucht sind die Koordinaten ihres Schnittpunktes S. Da S auf dei Geraden G1 liegt, erfüllen seine Koordinaten die Gleichung von G 1 , d. h. y

s

=

m

1

x

8

+

b1.

Da S auch auf G,2 liegt, erfüllen seine Koordinaten die Gleichung von G2, y

s

=

m

2

x

s

+

b2.

Das sind zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten xs und y s , aus ihnen ergibt sich b2 — b1 Xu = —,

°

m1 b2 — m2 bl

y a =

mi — m2

m,1 — m2

•

Dasselbe gilt übrigens auch für schiefwinklige Koordinaten. B e i s p i e l 1: Gegeben sind die drei Geraden a: y = 2a; + 5,

b:i/ = — 3 x + 7 ,

c:

Gesucht sind die Koordinaten der Ecken des dadurch bestimmten Dreiecks. (t>= C)'- VA = — y

A

= X

A

3X

A +

± - x _

—

A

2

+ 8

Y >

55

7

(c> ®): VB = 4" XZ + y

B

=

2

X

~

B

x

B

6

'

n

+

(a'b):2/c=

8

5

y

c

2x

c

+

5

= — 3 z

c

+ 7

_

2

^C — "G" •

29

§ 9

19

Schnitt zweier Geraden

(2) Winkel zweier Geraden. Gegeben sind zwei Geraden g':y

= m1x

+ b1,

g":y

= m2x

+

b2,

gesucht ist ihr Schnittwinkel ~ AC-DB~ AC-BD~~ AC-BD ~ tAnrns (ADCB)

AC-DB_

=

6

1

ö

1 ._ ^ ö

.

(2) Doppelverhältnis von vier Geraden. Unter dem Doppelverhältnis (ab cd) der 4 Geraden a,b,c,d eines Büschels versteht man den Quotienten aus den Abstandsverhältnissen (a c d) und (bcd). D a nach Fig. 31 das Abstandsverhältnis gleich dem Quotienten der Sinus der Zwischenwinkel ist, gilt . ,

v(ab

,. (acd) sm (c, a) : sin (a, d) cd) = -T r = p-rf ~ ^ (bcd) sm (c, b): sin (b, a) sin (a,c) • sin (b, d) = sin (a,d) • sin (6, cj '

Flg' 31

Dabei muß der Drehungssinn berücksichtigt werden. Das Doppelverhältnis ist positiv, wenn c und d in demselben Winkelraum von a und b liegen, dann haben nach § 12 (4) nämlich die Abstandsverhältnisse gleiches Vorzeichen. Das Doppelverhältnis ist negativ, wenn c und d durch a und b getrennt werden. Das Doppelverhältnis der 4 Geraden Gx = 0, G2 — 0, Gx + 1G2 = 0 und Gl + ¡xGi = 0 ist gleich />.///, denn wählt man G^ und (?2 als Achsen eines beliebigen cartesischen Koordinatensystems, so werden die Gleichungen 0 genau einen Kreis dar, und umgekehrt läßt sich jede Gleichung eines Kreises in dieser Form darstellen. B e i s p i e l 1: Die Gleichung x2 + y2— 6x + by— 8 = 0 stellt einen K r e i s mit den Mittelpunktskoordinaten xM = 3, yM =—| und dem Radius r 93 dar. B e i s p i e l 2: Die Gleichung für den Umkreis des Dreiecks A ist aufzustellen, sein Radius r zu berechnen. Nach § 10, Beispiel sind die Koordinaten des Umkreiszentrums =— Vu i- Da z. B . A auf dem Kreis liegt, muß gelten

xv

*2A + y \ + l * A - ^ y A + c = o, d . h . Die Gleichurg des Umkreises lautet also 12a;2 + 12 y2 + 21a;— 17 y— 305 = 0 , sein Radius ist l n / 4 9 , 289 , 305

1

K1

= 2 l / i 6 + l i 4 + — = 2il/l5370 = 5,1.

r

(3) Kreis durch drei Punkte. Gegeben ist ein Kreis durch 3 Punkte in rechtwinkligen Koordinaten P1\ x1} P2 : x2, y2; Pz : x3, y3. Es müssen also die 3 Gleichurgen K(Pr)~x;

+ y*+Axv

+ Byv+C

= 0

für

r = 1, 2, 3

erfüllt sein. Daraus berechnen sich die Unbekannten A, B,C - (a? + VT) Vi 1| — («2 + ®s) 2/2 1 • (»1 + 2/3) 2/3 l| A = ,B 2/x 1

«2 % 1 Z32/31

x1-(x2

=

nach § 5 (8)

+ yl) 1

«2— («2 + y%)1

«2 2/a— (*2 + fa)

x3—

«3 % —

(xl +

y\)1

Xl 2/i 1

c =

2/i 1 «2 2/2 ! »3 2/3 !

2/a 1 *3

2/3

+ 2/3)

1

Die Determinante im Nenner verschwindet nur dann, wenn Plt P a , P 3 in einer Geraden liegen, andernfalls erhält man 3 bestimmte endliche Werte für A, B,C und die Gleichung des Kreises lautet 2/11

(x2+y2)

x2y21

x\ + y\ 2 / 1 1 + 2/? 1 — X 4 + y\ 2 / 2 1 +2/ + 2/1 «2 1 — 4 + y\ 2 / 3 1 ®8 + 2/5 1

+

2/i

2/i

= 0,

«2 + y% «2 y% 4 + y\ 2/3

40

Drittes Kapitel. Der Kreis

oder nach § 5 (6)

x2 + y2

x

y

l

z

+ y\ i Vi i

+ y\ »2 % ! y31

A + y\

B e i s p i e l 3: Die Gleichung des F e u e r b a c h - K r e i s e s des Dreiecks A ist als Kreis durch die 3 Seitenmitten aufzustellen. Es ist zu zeigen, daß sein Radius gleich der Hälfte des Umkreisradiue ist, daß sein Mittelpunkt F auf der E u l e r sehen Geraden liegt, sowie (F; H, U) = 1 ist, und daß er durch die Höhenfußpunkte und die Mitten der oberen Höhenabschnitte hindurchgeht. Die Koordinaten der Seitenmitten sind M

° •2 '

M b : 3, 2;

2 '

M M

— 1 2

i

' 2

der Kreis hierdurch hat die Gleichung x2 + y2 x

!ä 2 13

i

i

~ i

y

- I

- 0,

i

93

+

x

93 24

17

67

= 0,

67 ' 24 '

oder in der allgemeinen Mittelpunktsfoim / 93\2 , / , 17\2 ["-TS) 48/ hieraus wird abgelesen 93

31

l7

1

r

u

wobei t j j den in Beispiel 2 berechneten Umkreisradius bedeutet. Nach § 10, Beispiel erfüllen F, H, U die Bedingung 31 19-7 10 4 - 1 7 - 1 7 17 48 12 24 1

'31 70 — 14 17 J_ — 1 — 4 = 0, 48 ' 16 1 1

d . h . sie liegen auf einer Geraden. Der Mittelpunkt von HU hat die 31 17 Koordinaten j g , — ^g, er ist also gleich F, eder auch (F; H, U) = 1.

§ 18. Die Tangentialbedingung 27

Der Mittelpunkt von AH der Kreisgleichung

41 43

hat die Koordinaten -g-, g j , sie genügen

/27 _

31\2

/43

17\a

V8

16/

\24

48/

15370 48 2 '

Für den Höhenfußp Höhenfußpunkt Q der Höhe HB ist nach § 8, Beispiel 2 und § 10, Beispiel =— 3

VQ

3 Y Q + 12 =

11

X0-\-

+ 3 ,

XQ

seine Koordinaten sind dcmriach X

Q -

21 B '

- _ VQ

—

-

8 ß '

sie erfüllen ebenfalls die Kreisgleichung 15370 \ 5

16/

\

5

48/

(4) Kreisgleichung in schiefwinkligen Koordinaten. Die Mittelpunktsgleichung X2 + Y2 = R2 des Kreises lautet in bezug auf schiefwinklige Koordinaten nach den in § 1, Beispiel 4 entwickelten Transformationsgleichungen (E + t) cos CD)2 + (t) sin co)2 = R2 E2 + t)2 + 2 j t) cos o) = r 2 . § 18. Die Tangentialbedingung (1) Tangentialbedingung für die Grundgleichung der Geraden. Für die Schnittpunkte S der Geraden Y = MX + B mit dem Kreis X2 + Y2 = r 2 gelten die Gleichungen

Daraus folgt

VS

=

4

+

M X

S

V L = R

a;| + M

2

-

+ 2B M XS + B2 = r 2 ,

2

2

B

+

26 w + l + m2

_ r2 — 62 1 + m2'

_ — 6m ± V62to2 + (r2 — 62) (1 +"to2) __ — 6to + 1/r2 (1 + m2) — 62 '

1 +

TRI2

_

'

1 +

TO2

Kreis und Gerade haben a k o nur gemeinsame Punkte, wenn R2 • (1 -f- M2) — B2 ^ 0 ist. Insbesondere ist die Bedingung dafür, daß die Gerade Tangente an den Kreis ist, R2 • (1

+

M

2

) =

B2.

42

Drittes Kapitel. Der Kreis

B e i s p i e l 1: Die Schnittpunkte des Kreises (x— 3)2 + (y + l) 2 = 20 mit der Geraden x— by = 2 sind zu bestimmen. (bys-

lf + (ys + l ) 2 = 2 0 , 9

2 ± 11 13 tt 9 ys =— 13' tt 19 xs = 13' Vs =

13 II 3

• 9 Vs— 13

t

ys = 1, r

7.

xs

B e i s p i e l 2: Die Gleichungen der Tangenten an den Kreis x 2 + y2 — 16 sind zu bestimmen, die mit der x-Achse den Winkel « = 60° bilden. Es ist m = tg 60° = also lautet die Tangentialbedingung 16 • (1 + 3) = b2, daraHs folgt b = + 8, und die Gleichungen der Tangenten sind y = y~?>x + 8,

y = \1>x— 8.

B e i s p i e l 3: Die Gleichungen der Tangenten an den Kreis x2 + y2 —20 durch den Punkt P 0 : 7,— 4 sind zu bestimmen. Da die Tangenten durch P 0 gehen, haben sie die Gleichungen y+ 4 _ rj = m, oder als Grundgleichung y =mx—

7m— 4.

Die Tangentialbedingung liefert nun 20 • (1 + m2) = (— 7m— 4)2, 29m2 + 56m— 4 = 0 ,

o m2=—2.

2

mi

=29»

Somit lauten die Gleichungen der Tangenten 2

»=29

o , » = - 2 « + 10.

130

59'

(2) Tangentialbedingung für die Abschnittsgleichung der Geraden. Ist die Gerade durch ihre Abschnittsgleichung a

b

gegeben, so ist die Bedingung dafür, daß sie mit dem Kreis xz + y2 — r2 2 oder 1 Punkt gemeinsam hat, 12 ^ n

2 «2 +

62

J.2

Die Tangentialbedingung lautet dann also

2^

' 62

1

^

1

, 1

§ 19. Gleichung der Tangente

43

Beispiel 4: Die Gleichung des Kreises um den Nullpunkt ist zu bestimmen, der die Gerade + = 1 Auf Grund der Tangentialbedingung ist

berührt.

JL — — _ r2 — 9 + 25 ~ 225' und die Kreisgleichung x2 + y2 = 6,62.

r

15 |/34'

§ 19. Gleichung der Tangente (1) Gleichung der Tangente an den Kulipunktsbreis. Gegeben ist ein Punkt : x1, y1 auf dem Kreise x2 + y2 —r2, gesucht die Gleichung der Tangente an den Kreis im Punkte P x . Die Gleichung einer Geraden durch P1 ist V — Vi x

_ x = m oder y =mx +

yx—mx1.

Diese Gerade ist Tangente, r2 (1 wenn -f- m2) — (yx— m xy)2 ist, hieraus ist m zu bestimmen. Da P1 auf dem Kreis liegt, gilt x2

i

und für m die Gleichung

i +

2

Vi

r

=

(x\ + y\) (1 + m2) = y\-

2

2m x, yx + m2 x\,

¡4 +™2yi (x1 + my1)2 = 0,

m ==— — .

Vi Diese Beziehung hätte auch unmittelbar aus der Tatsache gewonnen werden können, daß die Tangente senkrecht auf dem Durchmesser durch P mit dem Richtungsfaktor mD — y1: x1 steht. Demnach lautet die Gleichung der Tangente •£5$

yyi + x

i

x

+ Vi

xx

i = +

x

l>

y=r2.

Beispiel 1: An den Kreis x2 + y2 = 49 sind in den auf seiner Peripherie liegenden Punkten P1 2 mit der Abszisse— 4 die Tangenten gelegt. Ihre Gleichungen sind zu bestimmen. Für die Ordinaten der Punkte P1 2 gilt 16 + ^ = 4 9 ,

^=±1/33,

also sind die Gleichungen der Tangenten — 4a;±|/33 y = 4 9 .

44

Drittes Kapitel. Der Kreis

(2) Gleichung der Tangente an einen beliebigen Kreis. Gegeben ist der Kreis (x— xM)2 + (y— Vm)2 = r 2 u n ( i darauf ein Punkt P x : xx, y1. Gesucht ist die Gleichung der Tangente im Punkte P^. In bezug auf ein zu (x, y) paralleles Koordinatensystem (x', y') durch den Mittelpunkt des Kreises M: xM, yM lautet die Kreisgleichung x'2 + y'2 = r2 und die der Tangente in Px f f i ' / [-T^rj

+ (y 0 + A

2/)2

=

r2

(1 + /)2

(ar0 - X xf + (y0 — X yf = r2 (1 —A)2 Durch Subtraktion beider Gleichungen ergibt sich für die Koordinaten x, y der Punkte Q die Beziehung 4X (x0x + yQy— r2) = 0, und da im allgemeinen X =j= 0 ist, xox

Fig. 36

+ VoV — r2>

D a dies die Gleichung einer Geraden ist, ist der gesuchte Ort für die Punkte Q eine Gerade, die die Polare des Punktes P 0 in bezug auf den gegebenen Kreis heißt. P 0 heißt der Pol der Geraden in bezug auf den Kreis. Liegt P 0 innerhalb des Kreises, so schneidet die Polare den Kreis nicht, liegt P 0 außerhalb, so schneidet sie den Kreis in zwei Punkten. Liegt P 0 auf dem Kreis, so wird die Polare von P0 zur Tangente im Punkte P0. (2) Polare als Berührungssehne. Die Polare eines außerhalb des Kreises liegenden Punktes ist mit der Berührungssehne identisch, d . h . sie geht durch die Berührungspunkte der von dem Punkt aus an den Kreis gezogenen Tangenten. Von P0 : x0, y0 außerhalb des Kreises x2 + y2 = r2 werden die Tangenten an den Kreis gelegt (Fig. 36). Sind P1: xlt y1 und P2: x2, deren Berührungspunkte, so lauten die Gleichungen der Tangenten xi

% + VxV =r2,

+ViV

=r2-

Da diese durch P 0 gehen, gelten die Beziehungen «i

Vi Vo =

r2>

xi xo

+ Vi Vo =

r2>

welche aber aussagen, daß P1 und P 2 auf der Polaren xox

+ VoV = '"2

von P 0 liegen. Da eine Gerade durch 2 Punkte bestimmt ist, sind Polare und Berührungssehne identisch. B e i s p i e l 1: Die Gleichungen der Tangenten vom Punkt P 0 : 5 , — 3 an den Kreis x2 + y2 = 16 sind anzugeben.

46

Drittes Kapitel. Der K r e i s

Die Gleichung der Polare von P0 ist bx— 3 y = 1 6 , die Berührungspunkte der gesuchten Tangenten erfüllen also die Gleichungen l,2~

5X

y

= -

y-

Somit gelten für die Koordinaten von Original- und Bildpunkt die Transformationsgleichungen x — x

— heißt a

/

,

das

®

t y .

Affinitätsver-

hältnis. (2) Schräge Parallelprojektion geneigter Ebenen. Die senkrechte Parallelprcjektion ist nur ein Spezialfall einer allgemeinen affinen Abbildung. Bei einer solchen stehen die Projektionsstrahlcn nicht senkrecht auf der Bild- oder der Originalebene, sondern sind beliebig dazu geneigt, sie brauchen nicht einmal mehr senkrecht auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen zu stehen. Allerdirgs sind diejenigen Abbildungen ausgeschlossen, bei denen die Piojiktionsstrahlen einer Ebene S oder (£' parallel sind.

58

Viertes Kapitel. Kegelschnitte.

Aus der Fig. 47 kann man folgende Tatsachen entnehmen: Jede Gerade g in der Originalebene © geht wieder in eine Gerade g' in über, denn g und die Projektionsstrahlen bestimmen eine Ebene, die GE' in einer Geraden schneiden muß. Die Schnittgerade der beiden Ebenen bleibt auch hierbei als Affinitätsachire erhalten. Eine auf ihr senkrechte Gerade in der Originalebene wird jedoch auf eine Gerade abgebildet, die nicht mehr senkrecht auf ihr steht. Überhaupt bilden 2 Bildgeraden im allgemeinen einen anderen Winkel miteinander als ihre Originalgeraden. Da die Projektionsstrahlen parallel sind, werden parallele Geraden wieder in parallele Geraden übergeführt. Der Strahlensatz liefert ferner wegen der Parallelität der Projektionsstrahlen, daß das Teilverhältnis dreier Bildpunkte gleich dem ihrer Originalpunkte ist, wohingegen aber die Entfernung Fig. 47 zweier Punkte bei affiner Abbildung nicht gleich bleibt. Der Flächeninhalt einer Figur verändert ebenfalls bei affiner Abbildung seinen Wert. Zusammengefaßt läßt sich das folgendermaßen ausdrücken: Geradlinigkeit, Parallelität und Teilverhältnis sind invariant gegenüber affinen Abbildungen, Länge, Orthogonalität, Winkel und Flächeninhalt nicht. Die Aufsuchung solcher Invarianten gegenüber irgendwelchen Abbildungen ist Aufgabe der Geometrie. Die Abbildungen selbst liefern ein Einteilungsprinzip der Geometrie, insofern, als ein Satz z. B. in die affine Geometrie gehört, wenn er bei affiner Abbildung der Figur für diese gültig bleibt, d. h. wenn er nur Aussagen über affine Invarianten enthält. § 24. Mittelpunktsgleichung der Ellipse (1) Die Ellipse als affines Bild des Kreises. Durch senkrechte Parallelprojektion eines Kreises entsteht eine Ellipse (Fig. 48). Dabei bedeutet es keine Einschränkung der Allgemeinheit, wenn man den Kreis in der Originalebene parallel verschiebt, so daß seinMittelpunkt auf die Affinitätsachse zu liegen kommt. Das rechtwinklige Koordinatensystem wird nun so gelegt, daß sein Anfangspunkt der Kreismittelpunkt und seine a;-Achse die Affinitätsachse ist.

§ 24. Mittelpunktsgleichung der Ellipse

59

Die Gleichung des Kreises lautet dann x2 + y2 = a2, wenn der Radius in diesem Falle mit a bezeichnet wird. Ist das Affinitätsverhältnis gleich b : a , so gilt für die Koordinaten der Ellipsenpunkte auf Grund der Transformationsgleichungen des § 23 (1) „2 ~'2 j/2 oder =

Fig. 48. d. h. die Mittelpunktsgleichung der Ellipse lautet

Der Mittelpunkt des Kreises bleibt Mittelpunkt der Ellipse, jede Gerade durch ihn heißt ein Durchmesser. Der längste Durchmesser liegt in der Affinitätsachse, er hat die Länge 2a und bildet die große Achse der Ellipse, seine Endpunkte sind die Hauptscheitel. Senkrecht auf ihm im Mittelpunkt steht der kürzeste Durchmesser von der Länge 2 b, die kleine Achse der Ellipse, dessen Endpunkte die Nebenscheitel sind. Die Ellipse ist das affine Bild ihres Umkreises in bezug auf die große Achse als Affinitätsachse, das Affinitätsverhältnis ist b : a. Die Ellipse und ihr Inkreis sind in bezug auf die kleine Achse zueinander affin, das Affinitätsverhältnis ist dabei a : b. Zu diesem Ergebnis gelangt man dadurch, daß man einen Kreis vom Radius b durch Strahlen projiziert, die auf der Originalebene senkrecht stehen. (2) Konstruktion der Ellipse aus ihren Halbachsen. Zur Konstruktion der Ellipse aus a und b zeichnet man um den Schnittpunkt 0 zweier

60

Viertes Kapitel.

Kegelschnitte.

Senkrechten die Kreise mit den Radien a und b, die ein beliebiger von 0 aus in A und B schneidet (Fig. 49). Die Parallele durch kleinen Achse und die durch B zur großen Achse schneiden sich in Punkt P der Ellipse, denn F P:

y

FA

= G B: =

Strahl A zur einem wegen

FA

0 B-.OA

=

b:a

ist P das affine Bild des Punktes A mit dem Affinitätsverhältnis b : a . Auf diese Weie kann also die Ellipse Punkt für Punkt konstruiert , werden. (3) Exzentrische Anomalie. Aus der Mittelpunktsgleichung der Ellipce

ist zu erkennen,' daß —und?-als cos a b und sin eines Winkels v zwischen 0° und 360° gedeutet werden können. Die Gleichungen

F i g . 49

x —a

•

cos v

y —b

•

sin v

sind also der Ellipsengleichurg äquivalent. Durch die Koordinaten x, y jedes Punktes der Ellipse ist der Winkel v eindeutig bestimmt, ebenso sind umgekehrt x und y durch einen bestimmten Winkel v eindeutig festgelegt. Die beiden Gleichungen sind also eine Parameterdarstellung der Ellipse, worin v den Parameter bedeutet. Aus Fig. 49 ist zu ersehen, daß v der Winkel des Strahls OBA mit der Abszissenachse ist, er heißt die exzentrische Anomalie des Punktes P . Die exzentrische Anomalie eines Ellipsenpunktes ist die Amplitude des affinen Punktes auf dem Um- oder Inkreis. B e i s p i e l 1: Die x2

y2

exzentrische

Anomalie

Ellipse 25 + "4" = 1 ist wegen cos v =

3

des

Punktes

—8 3,-g der

4

und sin v = — -r

v = 306,9°. B e i s p i e l 2: Die Koordinaten des Punktes mit der exzentrischen Anomalie v = 45°

der Ellipse fr + TT = 1 s i n ( i

§ 25. Die Schnitte des geraden Kreiskegels

61

§ 25. Die Schnitte des geraden Kreiskegels (1) Ellipse. Die Ellipse entsteht auch durch ebenen Schnitt eines geraden Kreiskegels mit dem öffnungswirkel 2a>, solange der spitze Winkel den Kegel in je einem Kreis und

S

berühren, legt man ferner die Ebenen Gj und G2 durch diese beiden Kreise, so schneidet © diese Ebenen in zwei Geraden und l 2 . ©x und ©2 sind parallel und senkrecht auf der Kegelmittellinie. Der Schnitt der Ebene © mit dem Kegel ist eine Ellipse; daß diese geschlossene Kurve mit der in § 24 definierten übereinstimmt, wird später durch Ableitung ihrer Gleichung gezeigt. Zieht man durch einen beliebigen ihrer Punkte P die Mantellinie durch die Kegelspitze 8 , die die Kreise S?! und Si2 in K^ und K% schneidet, und die Verbindungslinien von P mit

62

Viertes Kapitel. Kegelschnitte.

den Berührungspunkten!^ und F2, so gilt, da alle Tangenten an eine Kugel von einem Punkte außerhalb derselben gleich lang sind, P F

1

= P K

P F

1

2

= P K

2

,

daraus folgt PF1

+

P F

t

= K

1

K

t

.

Wegen der Parallelität von und @ 2 ist diese Strecke KiK2 für alle Punkte P konstant, sie wird gleich 2a gesetzt. Somit ergibt sich für die Ellipse folgende Definition: Die Ellipse ist der geometrische Ort für alle Punkte, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten konstant ist. PF1

+ PF2

=2«.

Zieht man durch P die Parallele zur Kegelmittellinie, die und ©2 in Q1 und Q2 schneidet, sowie die Senkrechten auf die Geraden l1 und l2 bis zu den Punkten Lx und L2, so folgt aus den rechtwinkligen Dreiecken PQJ^K-L und P in denen die Winkel bei P gleich co und rx sind, PQ1=PK1-cos

P ö i = P Lx • cos «

tu

und wegen P Kx = P Fx PFX _ cos cx P L1 cos «> '

d. h. das Verhältnis P F X : P L X ist für alle Punkte P der Ellipse konstant und wird gleich e gesetzt. Da oc > co vorausgesetzt wurde, gilt für die Ellipse stets

Für PF2: PL2 ergibt sich derselbe Wert. Eine weitere Definition der Ellipse ist also folgende: Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, für die das Verhältnis der Abstände von einem festen Punkt und einer festen Geraden konstant, und zwar kleiner als 1 ist. PF1-.PL1

=

P F

2

: P L

2

= e < l .

Die festen Punkte und F2 heißen die Brennpunkte der Ellipse, ihre Entfernung wird gleich 2e gesetzt und e heißt die lineare Exzentrizität (weil für den Kreis Fx und F2 in den Mittelpunkt zusammenfallen). Aus der Definition ergibt sich, daß die Brennpunkte auf der großen Achse und zur kleinen Achse symmetrisch liegen. Aus dem Dreieck O ß j i ^ in Fig. 51 entnimmt man die Beziehung

63

§ 25. Die Schnitte des geraden Kreiskegels

Die Länge der zur kleinen Achse parallelen Sehne durch jeden der Brennpunkte wird gleich 2p gesetzt. 2p heißt der Parameter der Ellipse. Aus dem Dreieck P1F1F2 g ergibt sich ^ z 2 (2a— pf = 4e + p , a2— e2 = ap, V — — a •

Aus der symmetrischen Lage der Brennpunkte zum Mittelpunkt folgt A1A2=2a.

Die Geraden und l 2 heißen die Leitlinien der Ellipse. e heißt die numerische Exzentrizität (weil für den Kreis wegen « = 90° s = 0 ist). Die geometrische Bedeutung von e erhält man, wenn man die große Achse auf die zugehörige Mantellinie des Kegels projiziert. Es ist (Fig. 52)A1Az=2a

u n d AXQ = 2 e wegen A1K1

=A1F1

u n d A2K'2

—

A2F2.

Demnach liefert der Sinussatz, auf das Dreieck A1A2Q angewendet, A, Q _ 2 e _ 2h 'A1A2 s

=

sin (90° — 0, d.h. m 2 < ^ . Die Gerade ist einem Hauptdurchmesser parallel. Da dann erst recht b — a m + q > 0 ist, existieren zwei verschiedene Schnittpunkte, die sogar auf verschiedenen Hyperbelästen liegen, 2

2

2

2

§ 29.

83

Kegelschnitt und Gerade

denn das Produkt der Wurzeln xSi • xs¡¡ ist nach algebraischen Sätzen aJ? gleich dem absoluten Glied ? , ° 0 — ÜR VÑR also negativ, d. h. xSi und Xg2 haben entgegengesetzte Vorzeichen.

62

2. Fall: b2— a2m2 < 0 , d. h. w2 > —: . Die Gerade ist einem Nebendurchmesser parallel. J e nachdem dann b2— a2m2 ¡~ q2 0 ist, existieren zwei verschiedene Schnittpunkte, die auf demselben Hyperbelast liegen, da xSl • xs¡ hier positiv ist, zwei zusammenfallende Schnittpunkte, d. h. ein Berührungspunkt, oder keine Schnittpunkte. . Die Gerade ist einer Asymptote 3. Fall: b2— a?m2 = 0, d. h. m2 = parallel. Die Wurzeln der quadratischen Gleichung Ax2-\-ZBx-{-C—0 lassen sich auf folgende Form bringen '

XL 2

_—B±]/~B2—AC

_

~~

~

~~ -

¿

c

B-F

]/ B*—AC

(—B

±

—

(— -B

K BP —

AC)

A ( - B T V B * - A C ) '

Q Für A = 0 wird xx = — ^-g, x2 — oo; für A — B=

0 wird xx = oo, x2 = oo.

Diese Betrachtungen führen, auf die quadratische Gleichung für angewendet, zu folgendem Ergebnis: Jede zu einer Asymptote parallele Gerade schneidet die Hyperbel in einem endlichen und in ihrem unendlich fernen Punkt. Die Asymptoten selbst haben mit der Hyperbel zwei zusammenfallende, unendlich ferne Punkte gemeinsam, d. h. sie sind als Tangenten an die Hyperbel in ihren unendlich fernen Punkten aufzufassen. Demnach müssen die im 1. und 3., sowie die im 2. und 4. Quadranten liegenden Hyperbeläste als im Unendlichen zusammenhängend betrachtet werden. Die Tangentialbedingung der Hyperbel lautet somit H

a?m2— b2 = q2.

B e i s p i e l 2: Es sind die Gleichungen der Tangenten an die Hyperbel 14

5

zu bestimmen, die mit der x-Achse den Winkel « = 45° bilden, m = tg 45° = 1, 1 4 - 1 — 5 = q2, q = ± 3. y = x + 3, y= x 3. (9) Eine Gerade schneidet die Hyperbel, berührt sie oder hat mit ihr keine gemeinsamen Punkte, je nachdem der Fußpunkt des von einem Brennpunkt auf die Gerade gefällten totes außerhalb, auf der Peripherie oder innerhalb des Scheitelkreises liegt. 6*

84

Viertes Kapitel. Kegelschnitte.

Beweis: Die Gleichungen der Senkrechten auf der Geraden y =mx -f q durch die Brennpunkte sind V JL. »i« m Das Abstandsquadrat der Fußpunkte vom Nullpunkt ergibt sich wie in (7) ZU 2 2 _ g2 4 - e _ g2 + q2 + 62 *0 fQ m2 + 1 m2 + 1 ' Die Punkte 2 liegen also außerhalb, auf der Peripherie oder innerhalb des Kreises, der die Hyperbel in ihren Scheiteln berührt, je nachdem 2

q2 + b2 = a2m2

oder

ö2— a2m + q2^

0 ist, und das ist die Bedingung dafür, daß die Gerade die Hyperbel schneidet, berührt oder nicht trifft. (10) Tangentialbedingung der Parabel. Geraden

mit der Parabel

„

y ==mx

Für die Schnittpunkte der

q

y2 = 2 p x 2

2

2

V

V

für m 4= 0 existieren also 2 Schnittpunkte, 1 Berührungspunkt oder kein gemeinsamer Punkt, je nachdem j>— 2 m g | 0 ist. Insbesondere lautet die Tangentialbedingung P Beispiel 3:

i=»ff.

Die Scheitelgleichung der Parabel,

die die Gerade

y =— x + 5 berührt, ist wegen der Tangentialbedingung -f-="j'5'

V2 = 5a\

(11) Eine Gerade schneidet die Parabel, berührt sie oder liegt außerhalb, je nachdem der Fußpunkt des Tom Brennpunkt auf die Gerade gefällten iLotes vom Brennpunkt aus gesehen vor, auf oder hinter der Scheiteltangente liegt. Beweis: Die Gleichung der Senkrechten auf der Geraden y =mx + q durch den Brennpunkt ist y

p

=

_ J L . m

85

§ 29. Kegelschnitt und Gerade

Die Abszisse des Fußpunktes Q wird 'wegen X Q i P > mx0 v +i' q* m + 77— 2 to

X

Q~

m2 +

I

Sie ist positiv, gleich Null oder negativ, je nachdem

rp

^

—mq=0

(

ist,

das ist aber die Bedingung dafür, daß die Gerade mit der Parabel 2, 1 oder keinen Punkt gemeinsam hat. (12) Konstruktion der Tangenten an einen Kegelschnitt von einem Punkt außerhalb der Kurve. Die Konstruktion beruht auf den Sätzen (7), (9) und (11). Gegeben ist ein Kegelschnitt mit seinen Brennpunkten und ein Punkt P außerhalb desselben. Der Halbkreis über der Verbindungsstrecke von P mit einem Brennpunkt schneidet den Umkreis der Ellipse bzw. die Scheiteltangente der Fig. 64 Parabel bzw. den Scheitelkreis der Hyperbel in Q1 und Q2. PQX und PQ2 sind die gesuchten Tangenten (Kg. 64). (13) Konstruktion der Schnittpunkte Ellipse-Gerade. Die Konstruktion beruht auf der Überlegung, daß g> eine Gerade und ein von ihr geschnittener Kreis bei affiner Abbildung in eine Gerade und eine von ihr geschnittene Ellipse übergehen. Gegeben ist eine Ellipse durch ihre Halbachsen a, b und eine Gerade g. Da die Ellipse das affine Bild ihres Umkreises in bezug auf die große Achse mit dem Affinitätsverhältnis b : a ist, zeichnet man die Achsen der Ellipse und das affine Bild von g mit dem Affinitätsverhältnis a: b. Dessen Schnittpunkte mit dem Umkreis der Fig. 65 Ellipse sind P ' u n d Q'. Ihre affinen Bilder sind die gesuchten Punkte P und Q auf der Geraden g (Fig. 65).

86

Viertes Kapitel. Kegelschnitte

§ 30. Konjugierte Durchmesser (1) Konjugierte Durchmesser der Ellipse. Unter zwei konjugierten Durchmessern der Ellipse verstellt man die Bilder zweier aufeinander senkrechter Durchmesser des Kreises., aus dem die Ellipse durch affine Abbildung entsteht. Die beiden Kreisdurchmesser stehen auch in der Beziehung zueinander, daß der eine der Ort für die Mittelpunkte der zum anderen parallelen Sehnen ist. Bei affiner Abbildung gehen Kreissehnen in Sehnen der Ellipse über. Da Parallelität und Teilverhältnis gegenüber affiner Abbildung invariant sind, ist jeder zweier konjugierter Durchmesser der Ellipse der Ort für die Mittelpunkte aller Sehnen, die dem anderen parallel sind. Die Richtungen zweier konjugierter Durchmesser heißen konjugierte Richtungen. (2) Konjugierte Durchmesser der Hyperbel. Die Mittelpunkte paralleler Sehnen einer Hyperbel liegen auf einem Durchmesser, dieser heißt konjugiert zu dem der Sehnenschar parallelen Durchmesser. Bew.: Die Schnittpunkte einer Geraden y = m x + q mit der Hyperbel l! — 1

a2

b2

erfüllen nach § 29 (8) die quadratische Gleichung a;| (6 2 —

a2

m 2 ) — 2a 2

a 2 6 2 — a2^2

mqxs—

= 0 .

Die Abszisse des Mittelpunktes M der Sehne Sx S2 ist ; si

XM

+

_

a2mq b2 — a2m?

'

da die Summe der Wurzeln einer quadratischen Gleichung gleich dem negativen Koeffizienten des linearen Gliedes ist, die Ordinate ist a2 m2 g ~

ö2

— a2

b2 q — a2 m2 q

m2

b2

— a2 m2

b2 q =

62 — a2

m2 '

Hieraus folgt durch Division _

b2

Diese von q unabhängige Gleichung gilt für die Mittelpunkte aller Sehnen der Hyperbel, die den gleichen Richtungsfaktor m haben. Der Ort für die Mittelpunkte aller parallelen Sehnen wird also durch die Gleichung 62 y =

~2—

x

dargestellt, und das bedeutet einen Durchmesser der Hyperbel.

§ 30. Konjugierte Durchmesser

87

(3) Richtungsfaktoren konjugierter Durchmesser. Sind m und m' die Richtungsfaktoren zweier konjugierter Durchmesser der Ellipse, so sind die Richtungsfaktoren der Kreisdurchmesser, aus denen diese entstanden sind, nach § 23 (1) -y m und -y m'. Da die Kreisdurchmesser aber aufeinander senkrecht stehen, ist a b

, ,

b am

— m=

d.h.

m-m

,

=

62 a2

Für die konjugierten Durchmesser der Hyperbel gilt nach (2) b2 m = - 5£— . am

Bei der Ellipse und Hyperbel ist also das Produkt der Richtungsfaktoren zweier konjugierter Durchmesser konstant. E

H

m-m

,

b2

(4) Lage der konjugierten Durchmesser. Aus der Gleichung b2

mm' =

o;2

< 0

für die konjugierten Durchmesser der Ellipse folgt, daß der eine der beiden Durchmesser einen spitzen, der andere einen stumpfen Winkel mit der positiven x-Achse bildet. Konjugierte Durchmesser der Ellipse werden also durch die Achsen getrennt. Ist m > 0, so muß m' < 0 sein, und für den Winkel co der beiden konjugierten Durchmesser gilt ,

m' — m

tg CO = — 0

1 + mm

7 =

m' — m T

b2

_ .

r

< 0,

ä* d. h. a> ist ein stumpfer Winkel. Die kleine Achse der Ellipse liegt im Innern des stumpfen Winkels der konjugierten Durchmesser. Bei der Hyperbel ist

m m

, '

=

b2 _ > 0 ,

d. h. die beiden konjugierten Durchmesser bilden entweder beide spitze oder beide stumpfe Winkel mit der positiven «-Achse. Konjugierte Durchmesser der Hyperbel liegen also stets in denselben Quadranten. Ist m
py1

(»yi-?) m

2

+

p2

= 0 ,

=o,

v -

=

2/i Die Gleichung der Tangente lautet also y - y i

b* X1

X

¿'Vi

X,

—

HlÄ — tä — 62 b

4. f l a2 """ a 2 '

2

und da a2

P

1

: x

y-j/i _ a; — Xj

i

,

yx

Vi y

«i

y - y i

y\

62

62

Vi

«i

:

ein Punkt auf dem Kegelschnitt ist, H f

o2

a2

i

—

1

b2

P 2/i2/ =Z>

B e i s p i e l : Die Gleichungen der Tangenten an die Parabel y2

+ =6z

2

in den Parabelpunkten mit der Abszisse -g- sind zu bestimmen. 2 Die Ordinaten der Punkte Pj ( 2 sind wegen «/f>2 = 6 • -g , y1>2 folglich die Tangentengleichungen V= 2

X +

1

'

± 2y = 3 ^a; + y

=

-

-

X

-

=±2,

oder 1.

(2) Tangenten in den Endpunkten eines Durchmessers. Die Tangenten in den Endpunkten eines Durchmessers sind der Sehnenschar parallel, der der Durchmesser konjugiert ist.

94

Viertes Kapitel.

Kegelschnitte

Beweis: Ist Pt: x1,y1 der Endpunkt eines Durchmessers, so ist dessen Richtungsfaktor bei Ellipse und Hyperbel = r•n »

mJ>

dessen Gleichung bei der Parabel y =

y i-

Der Richtungsfaktor der Tangente im Punkte Px ist nach (1) rrim —

-1

bzw. m T = — .

a2Vi

1

Also ist für die Ellipse mT

Vi

1

62

• mjy

=—~2,

für die Hyperbel

62

und für die Parabel ist mT

y

identisch mit y =y1, d.h. Tangentenrichtung und Durchmesserrichtun;j sind konjugiert. (3) Die Schnittpunkte der Tangenten in den Endpunkten konjugierter Durchmesser der Ellipse bilden eine der gegebenen Ellipse ähnliche.

Beweis: Mit Hilfe der exzentrischen Anomalie lassen sich die Endpunkte zweier konjugierter Durchmesser in der Form P x : a • cos v, b • sin v und P 2 :— a • sin v,b • cos v, die Gleichungen der Tangenten in diesen Punkten in der Form x • cos v a

, y • sin v 1

b

x • sin v

1 = 1

'

"

ä

, y • cos v 1

b

1 —

1

schreiben. Für die Koordinaten des Schnittpunktes 8 gilt somit 2 cos2 v

, „

*a-&-+**aVa

sin v • cos v ab

.

n sin2 v

,

+»|-gr- = l

und 2 sin2 v „ sin v • cos v V a - j T - Z ' a y a — ^

2

cos2 v

Daraus folgt durch Addition xs

I Vs

+

F

^

+ ite-gr" = 1-

o —

d. h. die Punkte S erfüllen die Ellipsengleichung

§ 31. Tangente und Normale

£5

(4) Die Schnittpunkte der Tangenten in den Endpunkten konjugierter Durchmesser der Hyperbel und ihrer komplementären Hyperbel bilden das Asymptotenpaar. Beweis: Ist P1: y1 der Endpunkt eines Hauptdurchmessers der Hyperbel ^ y2 ö2"-b2" co ist nach § 30 (10)

der Endpunkt des konjugierten Durchmessers P2 •—6 Vi >— xi • a

Die Gleichung der Tangente in P1 an die Hyperbel ist somit x

a2

Vi2y _ 6

1

die der Tangente in P 2 an die komplementäre Hyperbel ist Vi x y_ _ j ab ab Für die Koordinaten des Schnittpunktes S beider Tangenten gelten also die quadratischen Gleichungen „.2 ..2 x\x% o x\. .Vi. .xs. .Vs , y\ y% 1 2 2 ¥ a* " a 6 und „2 o x„i y\ „. x«s 3h , n.%xlyl 2 2 1 2 2 = 1 . a b a ö " a2 b2 Daraus folgt durch Subtraktion il ( * y k a*Va2 6 2 / 62 w und da P1 ein Punkt der Hyperbel ist,

i2/

—n

'

i 2! _ i i 2 _ n o 6 ' d. h. die Koordinaten der Punkte 8 erfüllen die Gleichung

Diese Gleichung kann nur bestehen, wenn entweder -a + -b£ = 0

oder — a br- = 0

ist, das sind aber die Gleichungen der Asymptoten. (5) Die Tangenten in den Endpunkten konjugierter Durchmesser an die Ellipse bilden ein Parallelogramm von konstantem Inhalt. Die Tangenten in den Endpunkten eines Hauptdurchmessers der Hyperbel und in den Endpunkten des konjugierten Durchmessers an die komplementäre Hyperbel bilden ein Parallelogramm von konstantem Inhalt.

96

Viertes Kapitel. Kegelschnitte

Beweis: Nach § 30 (12) ist der Inhalt des Dreiecks 0 P1P2 (Fig. 69a und 69b) A=~2abDa die Tangenten den konjugierten Durchmessern parallel sind, ergibt sich daraus für den Inhalt des Parallelogramms 77 = 4a b.

(6) Der Ort für die Schnittpunkte aufeinander senkrechter Tangenten der Ellipse, Hyperbel oder Parabel ist der Kreis um den Mittelpunkt mit dem Radius]/«2 -f- b2 bzw.j/a2 — b2 bzw. die Leitlinie. Beweis: Ist PQ: x0, y0 der Schnittpunkt zweier senkrechter Tangenten, so sind deren Gleichungen y—y0 wobei die Richtungsfaktoren der Bedingung m1m2 =— 1 und der Tangentialbedingung genügen müssen: E m2 • (a2— x%) + 2m x0y0 + b2- y% = 0, H m2 • (a2— 0:5) + 2m x0y0 — b2— yl=0, P m?x0— my0 + = 0.

§ 31.

97

Tangente und Normale

Das Produkt der Wurzeln ist gleich dem absoluten Glied, also v + yì •vi P E H =-1, Li TT=Xn 2 2 62 2 b — yl •=— a + »o> + vi = « — Vo

=

«

2

+

V

2 4 + / o =«2" & ,

&2,

d. h. die Koordinaten der Punkte P0 erfüllen die Gleichungen der Kreise x2 + V2 =a2 ± b2 bzw. der Leitlinie x =— -g-. (7) Normalengleichungen. Unter der Normale versteht man die Senkrechte auf der Tangente im Berührungspunkt. Unter Berücksichtigung der Richtungsfaktoren der Tangenten ergeben sich für die Normalen der Kegelschnitte die Gleichungen E o22 Vi v, /, yt i, O x P y - y 1 = - f { x - x 1 ) , g y Vi (*-*,), x t —Vl

.Zìi _ vXix-r

y —

—P-v +

v-x—x

b2 >

«2 -T- 62 ! -3— — V = 1e z Zj s -F e Vi

* +

y = p +Bini (8) Die Ellipsennormale halbiert den Winkel zwischen den Brennstrahlen. Beweis: Die Abszisse des Normalenschnittpunktes N mit der großen Achse ergibt sich aus der Normalengleichung als eä « ^ —"772" 1

Daraus folgt (Fig. 70) F1N = e

= e a + e 2 x 1 = e ( a +£#!),

F2N = e — - - = 6 « — e^X!1 * a' = e (a — sXj). Für die Länge der Brennstrahlen gilt fl=(e + x,f + y\

* *

und also fl— tl = 4e »i und wegen A + /i=2a, E n g e l , Analytische Geometrie.

h - k

4e i ,

2a

= 2e a;x.

98

Viertes Kapitel. Kegelschnitte

Die beiden letzten Gleichungen liefern Hieraus ergibt sich

/i =

a

+ £ xi u n ( l /2 —~ a — p ^ j,

8 x

i•

d. h. P^N ist Winkelhalbierende des Winkels F1 P1F2. (9) Die Hyperbeltangente'halbiert den Winkel zwischen den Brennstrahlen. Beweis: Die Abszisse des Tangentenschnittpunktes T mit der Hauptachse ergibt sich aus der Tangentengleichung als x a2 —1 XT — 11, xT~ — . Daraus folgt (Fig. 71) W1XT =e + x! - = x-(-x\ 1a+a)1 x1t + a), ) = x-(e ' x x 2 a a/ e \ a . . F2T=e-= -(~x1-a) = -(sx1-a).

-M

Fig. 72

Fig. 71

Für die Länge der Brennstrahlen zu einem Punkt des rechten Hyperbelastes gilt wie bei der Ellipse fi— / ! = 4 e x 1 ,

/i—/a=2a, f1=ex1+a,

und hieraus ergibt sich

iz—z xL— a, y

y

d.h. PXT ist Winkelhalbierende des Winkels F1 P1F2.

§ 31. Tangente und Normale

99

(10) Die Parabelnormale halbiert den Winkel zwischen dem Brennstrahl und dem Durchmesser des Berührungspunktes. Beweis: Die Abszisse des Normalenschnittpunktes N mit der Achse ist xs

daraus folgt (Fig. 72)

=2> + «i»

Für die Länge des Brennstrahles gilt f)2 + 1 + ? + a* • Hieraus ergibt sich FN = /, d.h. F N P1 ist ein gleichschenkliges Dreieck und Px N halbiert den Winkel zwischen P1F und dem Durchmesser. /2

(11) Konstruktion der Tangente in einem Punkt des Kegelschnitts. Nach den Sätzen (8), (9), (10) erhält man die Tangente bzw. Normale in einem Punkt des Kegelschnitts als Winkelhalbierende der beiden Brennstrahlen bzw. bei der Parabel als Winkelhalbierende zwischen Brennstrahl und Durchmesser. (12) Subtangente und Subnormale der Parabel. Subtangente und Subnormale sind die Projektionen der Abschnitte vom Berührungspunkt bis zum Schnittpunkt mit der »-Achse auf diese. Bei der Parabel ist die Subtangente gleich 2x x , die Subnormale gleich p. Die Abszisse des Tangentenschnittpunktes T mit der Achse ist nämlich (Fig. 73) y xT =— xx,

also

TQX

=2xl.

Die Abszisse des Normalenschnittpunktes N mit der Achse ist XN

=

XL

+ P>

also

QlN —V-

Hieraus ergeben sich zwei weitere Konstruktionen der Parabeltangente bei gegebenem Berührungspunkt :

Fig. 73

Man fällt das Lot P1Q1 vom Berührungspunkt auf die Achse und verlängert die Strecke vom Fußpunkt zum Scheitel um sich selbst bis zum Punkt T, dann ist PXT die Tangente. Man fällt das Lot P1Q1 und trägt auf der Achse von Qx aus den Halbparameter p der Parabel bis zum Punkte N ab, dann ist PXN die Normale und die Senkrechte darauf in die Tangente.

100

Viertes Kapitel. Kegelschnitte

§ 32. Kegelschnittgleichungen in schiefwinkligen Koordinaten (1) Gleichung von Ellipse und Hyperbel in bezug auf zwei konjugierte Durchmesser. Werden zwei konjugierte Durchmesser, die mit der «-Achse die Winkel tx und ß bilden, und deren Längen 2a! und 2V sind (bei der Hyperbel ist die Länge des Nebendurchmessers gleich der des Hauptdurchmessers der komplementären Hyperbel zu nehmen), als Koordinatenachsen (jF, 9) gewählt, so transformieren sich nach § 1 (3) die Mittelpunktsgleichungen von Ellipse und Hyperbel in ~ (i 2 cos2 tx + 2 X t) cos tx • cos ß + \f cos2 ß) ± -i (X2 sin 2 tx. + 2jr t> sin « • sin ß + p2 sin 2 ß) = 1 oder 2

(cos2 tx . sin2 a\

*

±

+

0

9

cos atx •cos cosßß . sin

(5) Die Tangenten in den Endpunkten einer Kegelschnittsehne schneiden sich auf dem Durchmesser, der diese Sehne halbiert. Beweis: Macht man den zur Sehnenrichtung parallelen Durchmesser bzw. bei der Parabel die dazu parallele Tangente zur t)-Achse, den dazu konjugierten Durchmesser zur x-Achse eines schiefwinkligen Koordinatensystems, so haben die Endpunkte der Sehne die Koordinaten jfj, und — t^. Der konjugierte Durchmesser halbiert nämlich diese Sehne. Die Gleichung der Tangente im ersten Punkt ist dann

und die der Tangente im zweiten Punkt =

P-9i9=2>'C X + C 9== C' V+c)\P~ c j = Durch die Transformation A , D , f = * + -q> 9 = die eine Parallelverschiebung des Koordinatensystems in den Punkt —

bedeutet, geht sie über in . , BC-AD * 9 = öi—•

Das ist die Asymptotengleichung der Hyperbel mit der linearen Exzentrizität 2 / ; e =jj}/BC - AD . Ist BC—AD < 0, so liegt die Hyperbel im zweiten und vierten Quadranten und es ist 2 / AD — BG . Ist BG— AD = 0, so werden nur die beiden Geraden D , A X — 0 rj und 9 = TT 0 dargestellt. Beispiel 4: Mittelpunkt und lineare Exzentrizität der durch 6z — 7 dargestellten gleichseitigen Hyperbel sind 5 M: y> 3 und e

=4.

§ 34. Pol und Polare (1) Gleichung der Polare. Entsprechend der Definition der Kreispolaren versteht man unter der Polare eines Punktes P0 in bezug auf einen Kegelschnitt den geometrischen Ort der vierten harmonischen Punkte zu den Schnittpunkten aller Geraden durch P0 mit dem Kegelschnitt und dem Punkt P0. Sind K: xK, yK und L\ xL,yL die Schnittpunkte einer Geraden durch P0: a;0, y0 mit dem Kegelschnitt, und ist Q: x,y der vierte harmonische Punkt zu K,L,P0, so kann (K; P0,Q) = A und (L; P0,Q) —— X gesetzt werden, und es ist x0 + Xx y0 + X y x9 — Xx yn~ly Xx-~T+T' X*=~Trr-

110

Viertes Kapitel. Kegelschnitte

Da die Punkte K und L auf dem Kegelschnitt liegen, muß gelten 1 (x0 + Xxy JL_ ( y 0 + Xy\2_ 1 /x0 + Xx\*_ ( y 0 + Xy\*_ fl!U + i i + i ! U + i i r a2 \ 1 + A / 6 2 V l + Ay 2 x (Va + ly\ _ 9 _ ( + V1+AJ~ V\1+A; 1 , l/'yo-AyV_i l/^-Aa\» l/yo-Ay\2_1 + «n tt2\ 1 •— A / 62Vl-A/

Hieraus folgt durch Subtraktion ^ ik x0 x + - i 4A 2/0 «/ = 4A f

4A z 0 x— - i 4A % y = 4A

4 A y 0 j / = 2 p ( 2 A a ; + 2Aa; 0 ). -p

. yoy _ -i

jj

xox

y»y „ j

P

+ *(>)•

Der gesuchte Ort für die Punkte Q ist also für alle 3 Kegelschnitte eine Gerade, die Polare des Punktes P 0 in bezug auf den Kegelschnitt. Der Punkt P 0 heißt der Pol dieser Geraden in bezug auf denKegelschnitt. Die Übereinstimmung der Polarengleichung mit der Tangentengleichung zeigt, daß die Polare eines Punktes auf dem Kegelschnitt gleich der Tangente an den Kegelschnitt in diesem Punkt ist. (2) Die Polaren der Punkte einer Geraden bilden ein GeradenbüscheJ und umgekehrt liegen die Pole eines Geradenbüschels auf einer Geraden. Beweis: Liegt der Punkt Q : XQ,VQ auf der Polaren des Punktes P„: x0, y0 in bezug auf einen Kegelschnitt, so besteht die Gleichung ^±2/0^ = 1

W

y0yQ==p(xQ

+

X 0 ),

welche aber besagt, daß P0 auf der Polaren des Punktes Q in bezug auf den Kegelschnitt liegt. Die Polaren aller Punkte Q der Geraden gehen also durch P0. Umgekehrt liegen die Pole aller Geraden durch P0 auf der Polare des Punktes P0. (3) Polare als Berührungssehne. Die Polare eines außerhalb des Kegelschnitts gelegenen Punktes ist gleich der Berührungssehne. Das Äußere eines Kegelschnitts ist dabei der Teil der Ebene, der die Brennpunkte nicht enthält. / Beweis: Ist P 0 ein Punkt außerhalb des Kegelschnitts, so schneidet die Polare von P 0 den Kegelschnitt in zwei Punkten P1 und P 2 . Nach (2) gehen die Polaren dieser Punkte P1 und P 2 , die aber Tangenten an den Kegelschnitt sind, durch P 0 . Also ist P1Pt die Berührungssehne des Punktes P 0 in bezug auf den Kegelschnitt.

111

§ 34. Pol und Polare

(4) Die Polaren der Funkte eines Durchmessers sind der dazu konjugierten Richtung parallel. Beweis: Werden in den Endpunkten einer Schar paralleler Sehnen des Kegelschnitts die Tangenten gezeichnet, so schneiden sich nach § 32 (5) je zwei auf dem konjugierten Durchmesser. Die Polaren der Punkte dieses Durchmessers sind also als deren Berührungssehnen sämtlich parallel zur konjugierten Richtung. (5) Die Polaren der Punkte einer Asymptote der Hyperbel sind dieser parallel. Beweis folgt aus Satz (4), da die Asymptoten der Hyperbel Durchmesser sind, die mit ihrem konjugierten Durchmesser zusammenfallen. B e i s p i e l 1: Die Polare des Punktes P0: 8, 6, der auf der Asymptote y =

x der Hyperbel ~ — ~ 8%

6y

1 6 — 9 ~

* =

= 1 liegt, hat die Gleichung , oder

3

3

T * - y >

y =

d. h. sie hat denselben Richtungsfaktor wie die Asymptote. (6) Der Pol eines Kegelscimittdurchmessers ist der unendlich lerne Punkt der konjugierten Richtung. Beweis: Der Pol eines Durchmessers ist der Schnittpunkt der Polaren aller seiner Punkte. Diese sind aber nach Satz (4) parallel der konjugierten Richtung. Der Schnittpunkt zweier paralleler Geraden ist der unendlich ferne Punkt auf jeder dieser Geraden. Da aber zwei Geraden nur einen Schnittpunkt haben können, ist der unendlich ferne Punkt aller parallelen Geraden derselbe Punkt, der unendlich ferne Punkt ihrer Richtung. (7) Die Polare des Mittelpunktes eines Kegelschnittes ist die unendlich ferne Gerade. Beweis: Der Mittelpunkt ist bestimmt durch das Geradenbüschel, das aus allen Durchmessern besteht. Da der Pol jedes Durchmessers ein unendlich ferner Punkt ist, ist die Polare des Mittelpunktes die Gesamtheit aller unendlich fernen Punkte der Ebene, und das ist die unendlich ferne Gerade. (8) In jedem einem Kegelschnitt einbeschriebenen vollständigen Viereck sind die Diagonalen die Polaren der Diagonalpunkte in bezug auf den Kegelschnitt. Beweis: Nach dem Satz vom vollständigen Viereck in § 15 (7) bilden die Seiten GA, O B und die Diagonalen G E,GF ein harmonisches Büschel (Fig. 80). Irfilgedeseen ist und

(ABEP)=—

1

(CDEQ)=-

1,

112

Viertes Kapitel. Kegelschnitte

d. h. die Gerade P Q oder auch 0 F ist die Polare des Punktes E in bezug auf den Kegelschnitt.

(9) Koordinaten des Pols. Die Koordinaten des Pols der Geraden Ax -j- By + G = 0 in bezug auf den Kegelschnitt — 4a? >— b*=

sind

1

— ^

=

£

H c ° —A

p Bew.: Die Gerade Ax von Pa •*-()•'• i y 02y

ni "T a' • bht wenn ~x0 = a? Vo — Wegen

i

±

—

ß

x x

» „2

By

C = 0 ist identisch mit der Polaren

VoV_ 1 _ ¿2 —

n

¡LA

kxA,

1=^0. i = — (T

B,

xa B =—AP

Vo

Z

j/2 = 2p x

1

VO

—

— 1 =

kI. D

2

»

k2C.

k2 — — — c

— px + y0y—px

0=0,

—P =

M.

y0 =

KB>

'—px0=k3C. «jfc3-- — A^

folgen hieraus die oben angegebenen Gleichungen. B e i s p i e l 2: Die Koordinaten der Berührungspunkte der beiden Tangenten sind zu bestimmen, die vom Punkt P0:— 5, 3 an die Parabel y* —8x gelegt werden können.

§ 35.

Brennpunkte, Leitlinien und Leitkreise

113

Die Berührungspunkte sind die Schnittpunkte der Parabel y2 — 8x mit der Polaren des Punktes P0: 3y = 4 (x— 5), für sie gilt also ^(xs

z|-|z

— b)' = Sx8,

s

+

_ 2 5 XS1 — "9 »

XS2

ySl = 10.

yS2 = — 4.

25=0.

_ o

—6 >

§ 35. Brennpunkte, Leitlinien und Leitkreise (1) Das Produkt der Brennstrahlen eines Punktes der Ellipse und Hyperbel ist gleich dem Quadrat des zu dem Punkt gehörigen konjugierten Halbmessers. Beweis: Aus den in § 31 (8) und (9) ermittelten Formeln für die Längen der Brennstrahlen folgt kh

= ± («2 -

= ± («2- J

*?) = ± « 2 T ^

a?

62

= ± a 2 =f a- + — l • Da P j ein Punkt des Kegelschnitts ist, gilt wegen der Mittelpunktsgleichung =a«.(l-g)=±o« , 1 _a2y\ , Jih— h i "T"

62 "•

Nach § 30 (10) folgt aber hieraus fik

=

A+ y\>

wobei P a der Endpunkt des zu 0P1 = a! konjugierten Halbmessers b' ist. Also gilt /i/ 2 =&' 2 (2) Das Produkt der beiden Brennpunktsabstände von einer Tangente der Ellipse oder Hyperbel ist konstant. Beweis: Sind t± und t2 die Längen der von den Brennpunkten auf eine Tangente gefällten Lote, so sind aus Symmetriegründen die Abstände der parallelen Tangente von Fj_ und F2 gleich t2 und t1. Nach den Sätzen § 29 (7) und (9) liegen nun die Fußpunkte dieser Lote auf dem Kreis mit dem Radius a um den Mittelpunkt. Das Produkt t x t 2 ist also gleich der Potenz eines der Brennpunkte in bezug auf diesen Kreis, und deswegen Engel,

Analytische Geometrie.

g

114

Viertes Kapitel. Kegelschnitte

vom Vorzeichen abgesehen für die Ellipse ¿ 1 i 2 ={a

demnach für beide Kurven

-f c) ( o — e) =a2—

e2,

Ma = 6 2 -

(3) Der Schnittpunkt einer Parabeltangente mit der Achse hat denselben Abstand vom Brennpunkt wie der Berührungspunkt. Beweis: E s ist

und wegen auch FT=x,+ (4) Tangente und Normale eines Kegelschnitts bilden mit den beiden Brennstrahlen des Berührungspunktes ein harmonisches Büschel, dabei wird bei der Parabel der zweite Brennstrahl durch den Durchmesser ersetzt. Beweis folgt unmittelbar aus den in § 31 (8), (9), (10) bewiesenen Sätzen, daß die Tangente bzw. Normale den Winkel zwischen den Brennstrahlen halbiert, und dem in § 15 (3) hergeleiteten Satz, daß ein Geradenpaar mit seinen Winkelhalbierenden ein harmonisches Büschel bildet. (5) Die Leitlinien der Kegelschnitte sind die Polaren der entsprechenden Brennpunkte. Beweis: Nach der Definition der Leitlinie ist für jeden Punkt P1 des Kegelschnitts (Fig. 81a, b, c) PJF13 Pl -^1,2 und unter Berücksichtigung der Brennstrahllängen E

P1LU2=^{a±ex1),

H P

PlL

=

P1 X 1>2 xl+%.

Die Gleichungen der Leitlinien sind demnach

(ex, ±

a),

115

§ 35. Brennpunkte, Leitlinien und Leitkreise

Andererseits ergeben sich als Gleichungen für die Polaren der Brennpunkte F1:— e, 0 und F2 : e, 0 bzw. F: 0 ex -, . a— - - = 1 , d . h . x=— —, E, H 'x , , . i P 0 = p ( * + £ ) 7, d . h . -i- = 1, d. h. x = —,

Fig. 81b

f.

Fig. 81 o

(6) Die Yerbindungslinie eines Brennpunktes mit dem Pol einer beliebigen Sehne des Kegelschnitts durch den Brennpunkt steht senkrecht auf dieser Sehne. Beweis: Nach (5) liegen die Pole aller durch einen Brennpunkt gehenden Sehnen auf der dazugehörigen Leitlinie. Die Polaren der Punkte auf der Leitlinie

z

f~,y

0

bzw. —"§"> % haben die Gleichungen 11

und die Richtungsfaktoren 62 m P - ±. — , r e 2/o

^

e

x

b*

mP ==F

>

62

ey«

p

y0y = p(x—

Wlp = 8*

y)

116

Viertes Kapitel.

Kegelschnitte

Die Verbindungslinie des zugehörigen Brennpunktes mit dem Punkt auf der Leitlinie hat den Richtungsfaktor yo

tJä — -n r 52

m •

Vo O-

,

—

±

'

m

Vo JL 2

Vo P

Damit ist die Orthogonalität der Geraden gezeigt. (7) Leitkreise. Für Ellipse und Hyperbel liegt der Spiegelpunkt eines Brennpunktes an einer Tangente mit deren Berührungspunkt und dem anderen Brennpunkt auf einer Geraden, da die Tangente den Winkel der beiden Brennstrahlen oder dessen Nebenwinkel halbiert (Fig. 82a, b). Wegen P F2 = P F'2 ist dann F1F'2=F1P±PF'2=2a,

d. h. der geometrische Ort für die Spiegelpunkte eines Brennpunktes an allen Tangenten ist der Kreis um den anderen Brennpunkt mit der großen Achse als Radius. Dieser Kreis heißt der zu dem ersten Brenrpurkt gehörige Leitkreis.

Für die Parabel liegt der Spiegelpünkt des Brennpunktes an einer Tangente auf dem Durchmesser durch deren Berührungspunkt (Fig. 82c) und wegen P F = P F ' auf der Leitlinie. Der geometrische Ort für die Spiegelpunkte des Brennpunktes an allen Tangenten ist also die Leitlinie. Für Ellipse und Hyperbel ergeben sich mit Hilfe des Leitkreises folgende weitere Definitionen: Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, die von einem festen Kreis und einem festen Punkt in dessen Inneren gleichen Abstand haben.

117

§ 35. Brennpunkte, Leitlinien und Leitkreise

Die Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte, die von einem festen Kreis und einem festen Punkt außerhalb desselben gleichen Abstand haben. B e i s p i e l : Die Gleichungen der Leitkreise der Ellipse g + £ = 1 sind (x ± 4)2 + y* = 100, die der Hyperbel sind

( « ± 5 ) 2 + 2/2=64.

(8) Die Projektion der Normale auf einen zugehörigen Brennstrahl eines Kegelschnitts ist konstant gleich dem Halbparameter p. Beweis: Die Länge der Normale wird vom Berührungspunkt bis zum Schnittpunkt mit der Hauptachse gerechnet. Für Ellipse und Hyperbel liefert der Strahlensatz (Fig. 83a, b) _h_ 2ij

^

2a '

=_A

2i2

üa '

Hieraus folgt durch Multiplikation ].

119

§ 37. Die allgemeine Gleichung 2. Grades in der Ebene

Es ist nun umgekehrt zu untersuchen, unter welchen Bedingungen die allgemeine Gleichung 2. Grades in rechtwinkligen Koordinaten «ii z 2 + 2 a12 xy + a22y2 + 2 a13 x + 2 a23 y + a 33 = 0 einen Kegelschnitt darstellt, und die Art dieses Kegelschnitts festzustellen. Die Determinante «11 «12 «13 a D = Z2 «23 «13 «23 «33 die in bezug auf die Hauptdiagonale symmetrisch ist, heißt die Determinante der quadratischen Form. Hierbei sind nun verschiedene Fälle zu unterscheiden: I. au 4= 0, a12 4= 0, a22 =(= 0. Durch Drehung der Ordinatenachse läßt sich die Gleichung in eine Form ohne gemischtquadratisches Glied xy transformieren. Werden die Funktionen des Winkels co, den die neuen Achsen miteinander bilden, mit cos co = c und sin eo = s abgekürzt, so gelten nach § 1 (3) die Transformationsgleichungen x = x + cr), y = st). Die Gleichung nimmt dann folgende Form an: «uX2 + 2 (c a u + s a12) Jt) + (c2 an + 2cs aiz + s 2 a22) f + 2a 13 x + 2 (c a13 + s a2a) t) + «33 = Wird der Winkel co so gewählt, daß c a

ist, so lautet die Gleichung

n "H

5a

i2

=

0

«n *2 + « ( c «12 + s «22) 92 + 2 «i3 * + 2 ( c «13 + 8 «23) 9 + «33 = 1. c a12 + s a 22 = 0, d. h. C dnn 1 C Oin —= und wegen — = —• — 6 s a12 s au ,2

oder «11 «22 = «12 ^33 = 02 /_ , £ls\ | 2 Cn13+^a23 0 _ «"_ _ "33

V

«11

^

a) c a 13 -f- s a 23 = 0, d.h. — — — — , daraus folgt aber ^ = ^ S «13 «11 «12 Ist umgekehrt D = 0, so folgt aus «11 = — -7 «12

und

«11

«13

«11 '

oder Z> == 0.

«22 = — y «12

a

•D = Oll «22 «33 "i" 2 x2 «13 «23— «13 «22 «12 «33 «11 «23 2 19 i c 2 2 2 «13 «23 "T" a12 a13 «12 «33 I y «12 «23 '— a12 «33 ~T = 77 (c2 0?3 + 2c S a13«23 + s 2 «13) = 77 ( c «13 +

s

«23)2

Viertes Kapitel. Kegelschnitte

und c a13 + s a2S = 0. Die Bedingung c a 1 3 + s ct23 = 0 ist in diesem Falle also gleichbedeutend mit D

=0.

Die Gleichung lautet dann 0,13 (r r JY — g"g33~a" V +«ni _ * a) Ist nun a n a 33 — — A22 > 0, so stellt die Gleichung

keine reellen P u n k t e Da «22 =

7 an —

dar.

a

ii

unc

^ «23 = — 7 ai3

Au = Ü22 a33~~ a23 ~^~(alla33

a

lS)

80

auch

t=

^2"-^22'>

und die Bedingung läßt sich in der Form A i + ^22 > 0 schreiben. ß) A22 = 0, d . h . ^11+^22=0Die Gleichung stellt eine G e r a d e dar. y) < 0, d . h .

An +

A22 «11 a

:

/

33

,c \2 ®2 •(— «13 +«23 )

_

M

121

«12)

U

a

' (c «12 + « «22) = «2 • (— ¿T «12 + «22) = ~ («11 «22— alz) a)D=0. Die Gleichung lautet

0, dann haben a u u n d — ^433 gleiches Vorzeichen, a n d. h. die Gleichung hat die Form 2 k 2 • (j — w) + l 2 • (p — v) 2 = 0 und stellt einen P u n k t dar. dann hat die Gleichung die Form ß) ^33 < k 2-(x— w)2— l 2 ( p — v ) 2 = 0 oder [k (x— u) + l (p— »)] • [k Qr— u)— l (p— «)] = 0 und stellt ein G e r a d e n p a a r dar. b) B 4=0. Die Gleichung heißt „2 A 11

«)

(t

I

M 2 «11/

I

? 2A 2

C

'tt I «13 + S«23 V+s(ca13 + s a J

n

—.

> 0 , dann sind a^A33 und s 2A 2g positiv. Ist noch a i r D > 0, so hat die Gleichung die Form (S-tt) 2 . ( T)-v ) 2 t b* ~ a2 und stellt k e i n e r e e l l e n P u n k t e dar. Ist dagegen a i r D < 0, so hat die Gleichung die Form

a2 62 und stellt eine E l l i p s e dar. ß) A33 < 0, dann hat die Gleichung die Form (E - «)2 (i) - v)a =± 1 a2 ö2 und stellt eine H y p e r b e l dar.

122

Viertes Kapitel. Kegelschnitte

I I . an = 0, a12 =j= 0, o22 =t= I n diesem Falle ist =

a

-^33 — «12 > ^

D = 2a12a13a23— «13 «22— °i2«33

un

d

stets

so

A33 — «) = 0 und stellt ein G e r a d e n p a a r dar. b) B + 0 . Die Gleichungsform ist {V—u) (t)— v) =±h und stellt eine H y p e r b e l dar, nämlich als Asymptotengleichung.

I I I . an 4= 0, a12 4= 0, a22 = 0. Dieser Fall entspricht vollkommen dem Fall I I . IV. an 4= 0, a12 = 0, a 2 2 4= 0. Es ist jetzt D = ana22 a33— a\3 a22— an a\3 und A33 = an a22 4=0. Die Gleichung lautet „ f~
' —T 0 > cos Ä = T ö• ' 1+ 7 Die Transformationsgleichungen für die Drehung lauten demnach

tg 2 x = rr~s" ~ T '

4t

3

"

3 f. , 4

Die Kegelschnittsgleichung wird dann » i i - ^ - l Q f - 12^ + 19 = 0 , 5/t,

38 t 361\ 15, 2 , 16 T 1 +-2Ö)-T V f + T l (S-TV-

FO

3

. 64\ , 25/

+

2

J )

1

~'

in

361 , 48 _ 1(7 ~5~ =

.

d.h. die Gleichung stellt eine Hyperbel m i t « = ]/3, b = j/Ü, e = j/H dar, deren Hauptachse um etwa 37° gegen die «-Achse geneigt ist. Ihr Mittelpunkt hat die Koordinaten f I9 SM =-5->

8

lM= —1

J oder

Zjf = 4, 2 / ^ = 1 .

(3) Kegelschnitt durch 5 Punkte. Die einen Kegelschnitt darstellende allgemeine Gleichung 2. Grades nimmt nach Division durch einen von Null verschiedenen Koeffizienten, z. B. a 33 die Form «33

+ 2—xy

«33

+a-^y2

«33

+ 2 — x + 2^-8v + 1 = 0

"33

«33^^

"

an. Sind 5 Punkte des Kegelschnitts gegeben, so lassen sich also 5 Gleichungen für die 5 Unbekannten— aufstellen, d. h. der Kegelschnitt ist

127

§ 37. Die allgemeine Gleichung 2. Grades in der Ebene

dadurch vollständig bestimmt. Seine Gleichung lautet wegen 33

i

V ifV

°33 2xx 2 x2 2X3 2a;4 2a;s

vi vi vi y\

— 1 2 xzy2 — 1 2 x3y3 — I2xiyl

— 1 2 * 5 % vi 2*i*/i -

33

3

i 2x1

33

2 yL 2 2/2 2 % x2 + 2 • 22/4 2%

x\ —1

22/I

a;2

—1

2y1

x\ 2x1 yx y2

2xx

2yt

+

y\ 2x1

2

xy

y2+2

x\ 2x1y1

y\ 2x1

—1

+ 2-

= 0,

y +

oder nach § 5 (7) z

2

2xy

y2 2 x

22/

1

2*I2/I

2/i

22/X

1

2a;x

2/ 2

2/2

2a;a 22/2

1

2 * 3 2/3

2/|

2a;3

22/3

1

2 * 4 2/4

2^

2a;4

22/4

1

2a;5 22/5

1

2

2 * s 2/5 ^

=

0.

B e i s p i e l 3: Der Kegelschnitt durch die 5 Punkte P x : 2, 5; P 2 P 3 : — 1, — 1; P 4 : 1 , — 3; P 5 : 4, 0 ist zu bestimmen. Die Gleichung des Kegelschnitts lautet a;2 2 xy 2/a 2a; 2y 1 4 20 25 4 10 1 0 4 4 1 0 0 1 2 1 — 2 — 2 1 1 — 6 9 2 — 6 1 16 0 8 0 0 1 79z 2 — 75a; y + 38y 2 — 254a; + 4 8 y — 248 = 0.

:

2;

128

Viertes Kapitel. Kegelschnitte

Für den Winkel P'% und einen weiteren Punkt P'a gegeben

(Fig. 87). Der Schnittpunkt der beiden Tangenten ist S', der Schnittpunkt von P[ P'z mit P'z S' ist T', Es wird nun durch P[ und P'2 ein beliebiger Kreis K in einer beliebigen Ebene © gelegt und dessen Tangenten in P j und P'z gezeichnet, diese schneiden sich in 8 . Wird ein Schnittpunkt von ST' mit dem Kreis K als P3 und der Schnittpunkt von 8 8' mit P 3 Pg als Z bezeichnet, so ist Z das Projektionszentrum einer Perspektiven Abbildung, die den Kreis K in eine Kurve durch die Punkte P j , P'2t P j mit den Tangenten t'lt t'%, d . h . in den gegebenen Kegelschnitt überführt, Die Projektionsstrahlen dieser Abbildung, die durch Kreis und Kegelschnitt' gehen, können als Mantellinien eines schiefen Kreiskegels aufgefaßt werden. Demnach können Ellipse, Hyperbel und Parabel auch als ebene

131

§ 39. Die Sätze von Pascal und Brianchon

Schnitte eines schiefen Kreiskegels erzeugt werden, womit der Name Kegelschnitte für diese Kurven erst vollständig gerechtfertigt ist. Da die Polare eines Punktes in bezug auf Kreis und Kegelschnitte der Ort der zu ihm konjugierten Punkte auf den Sekanten durch ihn ist, und das Doppelverhältnis perspektiv invariant ist, werden Pol und Polare eines Kreises auf Pol und Polare des Bildkegelschnittes perspektiv abgebildet. Speziell folgt daraus, daß die Eigenschaft einer Geraden, Tangente zu sein, bei perspektiver Abbildung erhalten bleibt. Die für den Kreis abgeleiteten Sätze über Pol und Polare können hiernach ohne besonderen Beweis auf die Kegelschnitte übertragen werden.

§ 39. Die Sätze von Pascal und Brianchon (1) Satz von Pascal. J e zwei Gegenseiten eines einem Kegelschnitt einbeschriebenen Sechsecks schneiden sich in drei Punkten auf einer Geraden. Der Satz wird zu\ ^ nächst für den Kreis bewiesen (Fig. 88): Das Sehnensechseck des Kreises hat die Ecken P„ (v = 1, . . . 6). Die Seiten P1P2, P 3 P 4 , P 5 P 6 bilden ein Dreieck mit den Eckpunkten X, Y, Z, für das die übrigen drei Sechsecksseiten Transversalen sind. Werden die Schnittpunkte je zweier Gegenseiten P 1 P 2 Kg. 88 und P 4 P 5 , P 2 P 3 und P 5 P 6 ) P 3 P 4 und P 6 P1 mit Q, B y S bezeichnet, so gilt nach dem Satz des M e n e l a o s in § 14 (1) (R YZ) {P2ZX) (P3XY) =— 1, (PBYZ)(QZX)(P4XY) =— 1, (P 6 YZ) (PxZX) (SX Y) =— 1. Hieraus folgt durch Multiplikation ZP2 = - 1 , und da nach § 21 (1) als Potenzen von X , XP3 X P 4 = P 2 J ^ y P6 = P4 r ZP, ZP, — P6Z • ist, (B YZ) • (QZX) • (SX

Y, Z in bezug auf den Kreis PiX, PSY, Y)

1. 9»

132

Viertes Kapitel. Kegelschnitte

Das bedeutet aber nach der Umkehrung des Satzes von Menelaos in § 14 (2), daß die Punkte Q, B und S auf einer Geraden liegen. Hierbei ist es übrigens gleichgültig, ob das Sehnensechseck überschlagen ist oder parallele Seiten hat. Der Beweis für einen beliebigen Kegelschnitt folgt daraus ohne weiteres, denn der Kegelschnitt ist nach § 38 (3) das perspektive Bild eines Kreises und bei dieser Abbildung bleiben Geradlinigkeit und Inzidenz erhalten. (2) Kegelschnittkonstruktion aus 5 Punkten. Um die Punkte des Kegelschnitts durch fünf gegebene Punkte P x , . . . P 5 zu konstruieren, zeichnet man den Schnittpunkt Q der Geraden P x P 2 und P 4 P 5 . Eine beliebige Gerade g durch P 6 schneidet P2 P 3 in B. Die Gerade Q B ist die P a s c a l sche Gerade. Verbindet man also ihren Schnittpunkt S mit P3 Pi mit dem Punkt P 1 ; so schneidet diese Verbindungslinie die Gerade g in einem weiteren Punkt P 6 des Kegelschnittes. Durch Richtungsveränderung der Gieraden g erhält man so beliebig viele Punkte des Kegelschnitts. (3) Satz von Brianchon. Die drei Verbindungslinien je zweier Gegenecken eines einem Kegelschnitt umbeschriebenen Sechsecks schneiden sich

Beweis (Fig. 89): Sind P x , . . . P 6 die Berührungspunkte mit dem Kegelschnitt, T12, . . . T61 die Ecken des umbeschriebenen Sechsecks, so ist z. B. P1 P 3 Polare des Punktes 7 1 2 , P 4 P 5 Polare des Punktes T ^ , ihr Schnittpunkt Q also der Pol der Verbindungslinie T12TI5. Nach P a s c a l hegen nun die Punkte Q, B und S auf einer Geraden, also gehen ihre Polaren in bezug auf den Kegelschnitt, und das sind die Verbindungslinien TN T^, TW TK, TÄI TTL, durch einen Punkt.

133

§ 40. Räumliche Koordinatensysteme

(4) Kegelschnittkonstruktion aus 5 Tangenten. Um den Kegelschnitt, von dem 5 Tangenten t1} ... t5 gegeben sind, durch Umhüllung zu konstruieren, verbindet man die Schnittpunkte Tn und Tih von t± mit t2 bzw, ß2, ya und die neue Z-Achse die Winkel

§ 45.

14$

Koordinatentransformationen

«g, ß3, y3 bildet, so hat ein beliebiger Punkt P in bezug auf das alte System die Koordinaten x , y , z , in bezug auf das neue System die Koordinaten X , Y , Z (Fig. 98). Die Projektionen von P auf die neuen Achsen sind in bezug auf das. neue Koordinatensystem I I \ X , Q , 0; / / 2 : 0, Y , 0; 773 : 0, 0, Z , folglich nach § 42 (1) in bezug auf das alte Koordinatensystem x

I J

: X

1

J J

2

I J

3

cos , • cos a 2 , • cos a 3 ,

•

: Y : Z

X

cos X • cos y , • cos ß 2 , F • cos y • cos ß , Z • cos y

• Y

Z

1

3

,

2

,

3

Nach § 44 (2) hat dann P als Gegenecke des Anfangspunktes in dem durch Onx, On2, On3 aufgespannten Parallelepiped die alten Koordinaten X

y= z

=

COS (Xjl + y cos oc2 + X COS ß! + r cos ß + x cos y + y cos y + 2

2

x

z cos z cos Z cos

2/>

z

1 ^ =

2

1/3

\

2

r ^ Y J 2

1 y

~

—

3 |/~2~ y 1 / 6

4

g

1 „

^ t J ^ T ^ I ^

4

- 6 + V* T y-—g— z -

__ |/~2~ . i — ~2~ \ x 2 ~r z2l •

1/3" _

z

]/(>

x

2

cos 1 2 0 ° = — y j : j/~3 „

T

:

_ 2/i—2/a>

3. Drehung (sin 120°

1 , |/T ~2 y i + " V z i*

2; =

2. Drehung (sin 45° = cos 45° = _V2 —

:

2

Jl

Z

>

7

2 ' V±jzV±y 8

Y —^

r

z7 ,

2+g s y j y

VT 7 X + — />m

Aus diesen Transformationsgleichungen folgt für die Winkel cos x 1 = — 0,354, cos « 2 = — 0,612, cos a 3 = — 0,707, cos ßt = 0,927, cos ß2= — 0,127, cos ß3 = — 0,354, cos y^ = 0,127, cos y2 = — 0,780, cosy3= 0,612, cos ß • cos y 2

± y^ (cos

A

=

l

Als Gleichung der gesuchten Ebene ergibt sich somit oder E n g e l , Analytische Geometrie.

13a;—

— 7z + 15 = 0.

D

'

162

Sechstes Kapitel. Gerade und Ebene im Raum

(4) Orthogonalität. Die Bedingung dafür, d a ß eine Gerade und eine Ebene aufeinander senkrecht stehen, ist wegen der Bedeutung der Richtungskosinus [§ 40 (2) und § 46 (5)] cos (x0 = cos (xE,

oder

cos ßG — cos ßE,

cos y0 = cos yE

cos « ö : cos ßa : cos yQ = A : B : C. B e i s p i e l 4: Die

zur

Ebene

E = ^ — - - f z—1 = 0

senkrechto

Gerade durch P1: — 2, — 5, 3 ist zu bestimmen. Bringt man E = 0 auf die H e s s e s c h e Normalform 12E = —iy + 12z — 1 2 = 0 , „ 3 4 , 12 12 . 13 X i3^ l3 2 IB = S ° Mgt 3 , 4 12 cos«£ = jg, eosßE=~ Jg, cosy£ = jg, und die Geradengleichung lautet x + 2_ y + 5_ 3 ~ -4 —

2-3 12 -

(5) Gerade in der Ebene. Ist die Gerade als Schnitt zweier Ebenen E1 = 0, E2 = 0 gegeben, so liegt sie dann und nur dann in der Ebene E = 0, wenn E dem durch E1 und- E2 bestimmten Büschel angehört, d. h. nach § 48 (2), wenn kE = E1 + XEz ist oder A=XA1+/j,A^

B = XBl + /iBz,

C = ZC^/xCg,

D =

+

juDz>

wobei X und ¡i beliebige Zahlen sind. Ist die Gerade in der Parameterdareteilung gegeben, so liegt sie dann und nur dann in der Ebene E = 0, wenn zwei ihrer P u n k t e in der Ebene liegen, d. h. wenn für zwei beliebige Parameterwerte t' und t" A K t' +a2)

und

+ B (6, f

+ b2) + C (cL f

+ c2) + D = 0

A («! t" + a 2 ) + B (bt t" + bt) + C (cx t" + c ) + D = 0

ist. Ist die Gerade durch ihre 'Richtungskosinus und einen Punkt gegeben, so liegt sie dann und nur dann in der Ebene E = 0, Wenn sie parallel zur Ebene verläuft und der P u n k t in der Ebene liegt, d. h. wenn A • cos = 0

ist. (6) Ebene durch 2 Gerade. U m die Gleichung der Ebene durch zwei sich schneidende oder parallele Geraden zu bestimmen, legt man 3 P u n k t e auf den Geraden fest (durch willkürliche Annahme einer der Koordinaten) und stellt die Gleichung der Ebene durch diese 3 Punkte nach § 46 (1) auf. n

163

§ 51. Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

B e i s p i e l 5: Die Gleichung der Ebene durch die beiden Geraden E1 = E2 =

3x + 4y + 2 — 2 = 0

3z = 0

bx

x— 2y + 4z + 5 = 0

E3 = UD

4y — z + 6 = 0

Ix—

ist zu bestimmen. Die beiden Geraden haben nach § 50 (1) einen gemeinsamen Punkt, da 4 1—2 3 4 1 5 0—3 4 = —5 — 2 1—2 4 — 4 —1 7 —4 —1

4—2 3 5 + 3 1—2 7—4 6

= - 5 . 7 2 + 3-120 = 0

ist.

Der Punkt S auf der ersten Geraden, für den xs = 0 angenommen wird, hat zs = 0, ys — -g- , für den Punkt T auf derselben Geraden, für den 5 2 xT — 1 angenommen wird, ist zT = -r-, yT=—tt . Für den Punkt U mit O

ö

Xjj= 0 auf der zweiten Geraden folgt aus - 2 y

u

+

— tyu

4zu+b=0

+

—

6=0

29

"q •

zu — 2/17 = 1 8 ' Also hat die gesuchte Ebene die Gleichung

x

0 1

V

2

0 1 1 z

4

. 4

1 2 3 5 3 1

0 29 18 4 = 9 1

10

2

d.n.

o,

"9" - 3 * + 9 y 12z — 4y — 10z + 2 = 0.

(7) Abstand zweier Geraden. Der kürzeste Abstand zweier windschiefer Geraden im Raum ist der Abstand der einen Geraden von der zu ihr parallelen Ebene durch die andere Gerade. Sind die beiden Geraden durch ihre Richtungskosinus und je einen Punkt gegeben, d. h. durch x — x1 _ cos . 2«

=

A

y

>7ä

2

1

«J cos ßx cos a , cos ß COS

2

X ,

mit

cos

1

2

cos ßx cos ß

cos

cos ß cos ß

2

1

Nach Multiplikation m i t — j j wird die Gleichung der Ebene also cos ß cos cos ß cos 1

2

y

cos oc cos cos « 2 cos

1

1

x — y

2

y

x

y

2

. cos«, cosß, cosy, cos cos p, ' z—cos a„cos p, cos /y29 = 0. 2 cos« 2 cos/9 2

w4y

y.

Hieraus ergibt sich die Hessesche Normalform durch Division durch die Wurzel aus der Quadratsumme der zweireihigen Determinanten. Der gesuchte Abstand d des Punktes P1 von der Ebene ist somit 1 d

2

V\

cos ß cos cos ß cos

y

1

y

2

1

—

V i

cos cos cos 0i cos

y y

2

2

x

i

+ l T + l la

i

C O S 0t]

2

cos 22r2 = — 2634^ oder —^—| = 2Z. 34 — -M

hlt

1. Haben die beiden Quotienten-r^ und ~ gleiches Vorzeichen, so nimmt die Gleichung eine der Formen

an, welche durch Umkehrung der Z-Achse ineinander übergeführt werden können. Die dargestellte Fläche heißt elliptisches Paraboloid. 2j Haben die beiden Quotienten verschiedene Vorzeichen, so hat die Gleichung eine der Formen r* Y2 welche wiederum durch Umkehrung der Z- Achse auseinander hervorgehen und ein hyperbolisches Paraboloid darstellen. . D = 0. Uneigentliche Flächen 2. Ordnung. a ) Bu =1= 0, dann läßt sich die Gleichung wie in Ia) durch Parallelverschiebimg überführen in ¿> n x 2 + & 22 r 2 + 6 3 3 ^ = 0.

173

§ 54. Die allgemeine Gleichung 2. Grades im Raum

1. Haben alle drei Koeffizienten 6 U , bW) so hat die Gleichung die Form T2 V! — + — 4- — = 0 a2 62 c2

gleiche Vorzeichen,

und stellt einen Punkt, nämlich den Anfangspunkt des Koordinatensystems (X, Y,Z) dar. 2. Haben nicht alle drei Koeffizienten dasselbe Vorzeichen, so hat die Gleichung eine der 3 Formen 6a

ca

—

'

a2

6 2 ""

e

2

—

'

a2

62

+

c2

—

'

die durch Koordinatenvertauschung in Übereinstimmung gebracht werden können und einen Kegel darstellen. £44=0. 1. Es ist einer der Koeffizienten £>u, ¿>22 >^33 gleich Null, z.B. = 0. Wegen D = — i»u ¿>22 ¿>j4 = 0 folgt hieraus auch 634 = 0, und die Gleichung der Fläche lautet f>n £2 + &22 + 26u I + 26M »j 4- 644 = 0. Sie läßt sich in der Form jß schreiben, in der das absolute Glied den Wert , ? hat. "11 ®22 Durch die Translation °n verwandelt sie sich in

22

V11 »82 a) Für £33 ={= 0 lautet die Gleichung X2 ra _ 4" D — ' Vi, b. 11 v22

"11 u22

Sind nun die Quotienten -¡p- und -r32 beide negativ, so °U °22 hat die Gleichung die Form X2 r2 —2 4- —2 = 1 a 6 Die durch sie dargestellte Fläche heißt elliptischer Zylinder. Haben die beiden Quotienten verschiedene Vorzeichen, so hat die Gleichung eine der Formen F2 X2 Y2

174

Siebentes Kapitel. Flächen zweiter Ordnung die bis auf eine Koordinatenvertauschung äquivalent sind und einen hyperbolischen Zylinder darstellen, Sind beide Quotienten positiv, so hat die Gleichung die Form y2 v2 —2 4- —2 = — 1 a 6 und wird von den Koordinaten keines reellen Punktes erfüllt. ß) Für B33 = 0 lautet die Gleichung 6 u X 2 + 6 2 2 F 2 = 0. Haben bn und &22 gleiches Vorzeichen, so wird die Gleichung X2 F2 — + —2 = V0 a? 6 von allen Punkten mit X = 0, F = 0, d. h. der Z-Achse erfüllt, sie stellt also eine Gerade dar. Haben bn und b22 verschiedene Vorzeichen, so hat die Gleichung die Form

und stellt ein Ebenenpaar dar. 2. Zwei der Koeffizienten ö n , ¿>22, 6 33 verschwinden, z.B. = ¿>33 = 0, dann lautet die Gleichung *>ii

oder V

(* +

&22

+ 26 14 I + 26 24 rj + 2 6 34 £ + 6 44 = 0 ffi

+

fr, +

fc

-

i

)

+ 26 34 C = 0 .

Durch die Parallelverschiebung f? ^ i ? + ' j — ^ fi ' geht sie über in

'

=

4. A l ' ' 2h

n

2h h

1

= £

+ 2 6 2 4 V + 2Ö34 f = 0. Wird nun das Koordinatensystem ( f , f ) um die £'-Achse um den Winkei oc gedreht, daß es in das (X, Y,Z)- System übergeht, so bestehen gemäß § 2 (2) die Transformationsgleichungen =X,

?/ = F - c o s a — Z-sin«,

== F • sin « + Z • cos

welche die Gleichung überführen in ÖJJZ2

+ 2(624003« + 6 3 4 sip«)F-(- 2 ( — 6 2 4 sina + 634cos tx)Z— 0 .

Der Winkel x wird so gewählt; daß t g « = £«

IIb

§ 55. Kegel

ist, d a n n verschwindet der Koeffizient von Z u n d die Gleichung bekommt die Form X2 — 2p T = 0. oc) p =f= 0. Die dargestellte Fläche heißt parabolischer Zylinder. ß) p = 0. Die Gleichung X2 = 0 stellt die Y, Z- Ebene zweimal, d. h. eine Doppelebene dar. Hierbei wurde vorausgesetzt, daß ¿>24 4= 0 , 634 4= 0 ist. Ist jedoch einer dieser Koeffizienten, z. B. = 0, soerhält man bereits durch die Parallelversphiebung eine Gleichung der Form p rf = 0. I m Falle 624 = ¿>34 = 0 läßt sich die Gleichung f 2 + 26 14 I + b44 = 0. durch Parallelverschiebung auf eine der Formen X2 = k2, X2 = — k2, X2 = 0 bringen. Sie stellt danu ein Paar paralleler Ebenen, keine reellen Punkte oder eine Doppelebene dar. 3. Sind alle drei Koeffizienten bn = 6 22 = 6 33 = 0, so lautet die Gleichung 2& M f + 2624

+ 26 34 £ + 6 M = 0

und stellt nach § 46 (4) eine Ebene dar. (3) Bestimmung der F'äche durch 9 Punkte. Die allgemeine Gleichung 2. Grades enthält 10 Koeffizienten. Dividiert man durch einen von Null verschiedenen, so bleiben 9 Koeffizienten, die die Fläche 2. Ordnung bestimmen. Sind diese unbekannt, so sind 9 Gleichungen nötig, um sie festzulegen. Wenn also 9 P u n k t e im R a u m gegeben sind, so lassen sich ,. . . aufstellen, aus c enen sich 9 Gleichungen für die Koeffizienten — a a letztere berechnen lassen. Es kann also genau eine Fläche 2. Ordnung angegeben werden, die durch die gegebenen 9 P u n k t e geht. § 5 5 . Kegel (1) Elliptischer Kegel. Die Fläche, die durch die Gleichung —2 -4- V-2 — - 2 = n a b c dargestellt wird, ist symmetrisch zu den 3 Koordinatenebenen, denn zu jedem gegebenen Wertepaar zweier'• Koordinaten gehören Ä Werte der dritten Koordinate, die sich nur durch das Vorzeichen - unterscheiden.

176

Siebentes Kapitel. Flächen zweiter Ordnung

Sie geht durch den Koordinatenanfangspunkt 0 und wird von jeder Ebene, die der x, y-Ebene parallel ist, in einer Ellipse geschnitten. Die Gleichung .einer solchen Ebene ist nämlich z — m. Eliminiert man aus beiden Gleichungen die Koordinate z, so erhält man die Gleichung der Projektion der Schnittlinie auf die x, y-Ebene 0< 2 = 1, a2 + Ti &2 = ~cr2 ier -=—. ha2 +fco-fr das ist eine Ellipse. Sie ist in diesem Fall sogar der Schnittlinie selbst feon\ \ A J(' / f gruent. Aus der Gleichung erkennt man j\W weiter, daß alle diese Schnittellipsen Mr ) * untereinander ähnlich sind und mit yylI y\ wachsendem m größer werden. Die Halb/ / ' achsen der Schnittellipsen m ^ undm ~ /• f ! \ sind dem Wert von m proportional. Diea / • ^ " - f ' i _~~ wird noch bestätigt, wenn man die \) Schnitte der Fläche mit einer behebigen, r f ' / | . durch die z-Achse gehenden Ebene be^ ' stimmt. Die Gleichung der Ebene ist Kg. 102. dann nach § 46 (3) A x + B y = 0. Elimination ergibt als Gleichung der Projektion der Schnittlinie auf die x, z-Ebene x2 A2 x2 z2 _ n , s2 z2 _ ft ß2 + ° a2b2B2 ~ c2 ~ a2 A2 + b2B2 -welche ein Geradenpaar darstellt, also ist nach § 52 (5) auch die Schnittlinie selbst ein Geradenpaar. Die Fläche ist demnach ein gerader elliptischer Doppelkegel, dessen .Spitze im Koordinatenanfangspunkt hegt, und dessen Achse die z-Achse ist (Fig. 102). Ein im Abstand c von der Spitze geführter Querschnitt schneidet den Kegel in der Ellipse mit den Halbachsen a und 6.

(2) Mantellinien. Aus der Kegelgleichung, geschrieben in der Form _i_ 1\. (1 .vi \o "T" c) c) 62 folgt, daß die Koordinaten aller Punkte, die die beiden Gleichungen £ , i._ _ i . 1 a c b' a c X b gleichzeitig erfüllen, auch der Kegelgleichung genügen. Dabei ist A eine beliebige Zahl. Für jeden festen Wert von f stellen die beiden lineare« Gleichungen aber eine Gerade dar.

§ 55. Kegel

177

Läßt man A alle möglichen Werte von — oo bis + 0 0 durchlaufen, 80 erhält man eine Schar von geraden Linien, die sämtlich und vollständig auf dem Kegel verlaufen. Sie gehen alle durch die Spitze des Kegels und sind seine Mantellinien. B e i s p i e l : Die Gleichung der Mantellinie des Kegels 25

16

49

durch den Punkt P t : 2, 3, zx > 0 ist zu bestimmen. I. P1 erfüllt die Gleichung einer Geraden der Mantellinienschar 2_ , 6

3. 4'

7

i _ £ l 5 7

1 1 A' 4 '

Daraus berechnet sich A wie folgt: 4

1\

T=

3

,

1

—xj* 4 '

T

=

A - Al

~

16

16

12

15' A

A 2

2

3 '

~

5

-15*-

1

rt

1 =

0

'

5 '

In die erste Gleichung eingesetzt, liefert der Wert von Aj zx > 0, der Wert von A2 z1 0, so ergeben sich zwei verschiedene Werte Xx und X2, die Ebene ist also zwei Mantellinien parallel. Ist a2A2 + b2 B2 — c2 C2 = 0, so gibt es nur einen Wert für X, d. h. die Ebene ist nur einer Mantellinie parallel. Ist a2A2 + b2 B2 — c2 C2 < 0, so ergibt sich kein reeller Wert für X, die Ebene ist also keiner Mantellinie des Kegels parallel. Bei der Bestimmung der Schnittlinie des Kegels mit einer nicht durch die Spitze gehenden Ebene sind 2 Fälle zu unterscheiden: I. Die Ebene ist der z-Achse nicht parallel, d. h. ihre Gleichung ist Ax + B y + Cz + D = 0 mit

C =# 0 und D 4= 0.

Die Gleichung der Projektion der Schnittlinie auf die x, «/-Ebene ergibt sich dann durch Elimination der Koordinate z

5 + i - ^c*{Ä2 x2 + yi+D2 +2A B x y+2ADx+2B =0 • Ihre Determinante ist 1 a2

A =

A2

AB

c2C2

c2 C 2

AB c2

C2

1 6-

D

Cl BD -BD -AD AD c2 C2 62 c2 C 2 + c2G2 a2 c2 C2 -D2 a2 62 c3 C2 + 0, c2

—

¿Z) c2 C

B2 c2

C2

BD c2 C 2

££

D2

c2 C 2

c2C2

D2 1 c2 O2 ^a2 62

62

c2

C2

a2

B2 c2

C21

deren Unterdeterminante A,33

'

1

a2

b2

A2 62

c2 C2

a2 c2 C 2

-1 a 2 62 c2 C 2

(aM2 + b2 B2 — c2 C2),

§ 56. Zylinderflächen

179

d.. h. nach § 37 (1), die Projektion der Schnittlinie und wegen § 52 (5) auch die Schnittlinie selbst ist a) eine Hyperbel, wenn A33 < 0 ist, und das ist der Fall, wenn a2A2 + b2 B2 — c 2 C 2 > 0, die Ebene also zwei Mantellinien parallel ist; b) eine Parabel, wenn AS3 = 0, somit a2A2 -f- b2 B2 — c2 C 2 = 0 pder die Ebene einer Mantellinie parallel ist; c) eine Ellipse, wenn A33 > 0, oder die Ebene keiner Mantellinie parallel ist, hierbei zählt stets der Kreis als eine spezielle Ellipse, In diesem Fall ist nämlich a2A2 + b2 E1— c 2 C2 < 0, also erst recht a2A2 — c2 C2 < 0, d. h. =

und

an-A