Квантовая физика. Том 2 978-5-4437-0385-5

Citation preview

министерство образования и науки рф новосибирский государственный университет Физический факультет

В. Г. Зелевинский

Квантовая физика Том 2 Центральное поле. Атом во внешних полях Учебное пособие

Новосибирск 2015

УДК 539.1.01+539.182+539.18 ББК В318 З 48 Редактор перевода д-р физ.-мат. наук В. Ф. Дмитриев Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. В. Г. Сербо.

З 48

Зелевинский, В. Г. Квантовая физика: учеб. пособие/ В. Г. Зелевинский ; Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск : РИЦ НГУ, 2015: Т. 2. Центральное поле. Атом во внешних полях. — 434 с. ISBN 978-5-4437-0385-5 Учебное пособие содержит современное изложение основных фундаментальных положений квантовой физики с их применением в атомной и ядерной физике. Во втором томе курса подробно рассматривается строение атома на примере атома водорода, обсуждаются тонкие и сверхтонкие эффекты. Вводится спин, строится алгебра моментов и рассматриваются её приложения к движению в центральном поле. Строится стационарная теория возмущений и обсуждается влияние внешних электрических и магнитных полей на атомные спектры. Разделы глав, наряду с теорией, включают задачи и их решения в количестве, достаточном для полноценного усвоения материала. Издание предназначено для студентов физических и физико-технических факультетов. УДК 539.1.01+539.182+539.18 ББК В318 c Новосибирский государственный ○ университет, 2015 c В. Г. Зелевинский, 2015 ○ All Rights Reserved. Authorised translation from the English language edition by Wiley-VCH Verlag GmbH & KGaA. Responsibility for the accuracy of the translation rests solely with Licensee Nameand is not the responsibility of Wiley-VCH Verlag GmbH & KGaA. No part of this book may be reproduced in any form without the written permition of the original copyright holder, Wiley-VCH Verlag GmbH & KGaA. ISBN 978-5-4437-0385-5

c 2011 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Boschstr. 12, 69469 ○ Weinheim, Germany All rights reserved (including those of translations into other languages). No part of this book may be reproduced in any form – by photoprinting, microfilm, or any other means – nor transmitted or translated into a machine language without written permission from the publishers. Registered names, trademarks, etc. used in this book, even when not specifically marked as such, are not to be considered unprotected by law.

Оглавление Предисловие редактора перевода

10

Предисловие автора к русскому изданию

11

Предисловие

12

1 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11.

Момент импульса и сферические функции Угловой момент как генератор вращений . . . Спин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Мультиплеты углового момента . . . . . . . . . Матричные элементы момента импульса . . . . Реализация алгебры орбитального момента . . Построение множества сферических функций⋆ Простейшие свойства сферических функций⋆ . Скаляры и векторы⋆ . . . . . . . . . . . . . . . Тензоры второго ранга . . . . . . . . . . . . . . Сферические функции и полиномы Лежандра⋆ Угловой момент во внешнем поле . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

15 15 17 20 27 31 34 36 37 42 45 49

2 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9.

Движение в центральном поле Приведение к задаче одного тела . . . . . Отделение угловых переменных . . . . . . Радиальная часть уравнения Шрёдингера Свободное движение . . . . . . . . . . . . Плоские и сферические волны . . . . . . . Сферическая потенциальная яма . . . . . Короткодействующий потенциал . . . . . Добавление второго центра . . . . . . . . Трёхмерный гармонический осциллятор .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

55 55 59 62 66 72 74 78 80 83

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

6 3 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7.

Атом водорода Связанные состояния . . . . . . . . . . . . Основное состояние . . . . . . . . . . . . . Дискретный спектр . . . . . . . . . . . . . Операторное решение . . . . . . . . . . . . На пути к прецизионной спектроскопии . Решение в параболических координатах⋆ Состояния непрерывного спектра . . . . .

4 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7.

Стационарные возмущения Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Теория возмущений при отсутствии вырождения Сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Случай близких уровней . . . . . . . . . . . . . . Адиабатическое приближение . . . . . . . . . . . Молекулярный ион водорода . . . . . . . . . . . . Взаимодействие атомов на больших расстояниях

5 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7.

Спин 1/2 𝒮𝒰(2) группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Спин 1/2: алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Спиноры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Магнитный резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Преобразование обращения времени и теорема Крамерса Состояния, сопряженные по времени . . . . . . . . . . . . Спиноры как кубиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6.

Конечные вращения и тензорные операторы Матрицы конечных вращений . . . . . . . . . . . . Сферические функции как матричные элементы вращений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Теорема сложения⋆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Преобразование операторов . . . . . . . . . . . . . Введение в правила отбора . . . . . . . . . . . . . . Электромагнитные мультиполи . . . . . . . . . . .

7 7.1. 7.2. 7.3.

Сложение угловых моментов 185 Две подсистемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Разложение приводимых представлений . . . . . . . . . . . . . 188 Две частицы спина 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

89 89 92 95 105 108 109 112

. . . . . . .

117 117 119 124 127 128 134 138

. . . . . . .

143 143 145 150 155 159 160 162

167 . . . . . . . 167 конечных . . . . . . . 170 . . . . . . . 173 . . . . . . . 176 . . . . . . . 178 . . . . . . . 180

7 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9. 7.10.

Тензорные операторы и правила отбора . . . . . . . . . . Применение к электромагнитным мультиполям . . . . . . Векторное сложение угловых моментов . . . . . . . . . . Теорема Вигнера—Эккарта . . . . . . . . . . . . . . . . . . Векторная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Электрический дипольный момент и анапольный момент Ряд Клебша—Гордана⋆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

196 197 200 204 205 208 210

8 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7. 8.8.

Тонкая и сверхтонкая структура Спин-орбитальное взаимодействие . . . . . . . . . . . . Спин-орбитальное расщепление . . . . . . . . . . . . . . Тонкая структура атома водорода . . . . . . . . . . . . Тонкая структура в сложных атомах . . . . . . . . . . . Магнитный момент и спин-орбитальное взаимодействие Магнитная сверхтонкая структура . . . . . . . . . . . . Пример: один валентный электрон . . . . . . . . . . . . Квадрупольная сверхтонкая структура . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

213 213 215 220 223 225 230 232 235

. . . . . . . .

9 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5.

Атом в статическом поле Поляризуемость в постоянном электрическом поле . . . . . . . Эффект Штарка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Поляризуемость атома водорода . . . . . . . . . . . . . . . . . Эффект Штарка в атоме водорода . . . . . . . . . . . . . . . . Неоднородное электрическое поле и дополнительные комментарии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Классический эффект Зеемана . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7. Квантовая система в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . 9.8. Нормальный квантовый эффект Зеемана . . . . . . . . . . . . 9.9. Аномальный квантовый эффект Зеемана . . . . . . . . . . . . 9.10. Сильное магнитное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.11. Диамагнетизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.12. К действительно сильным магнитным полям . . . . . . . . . .

239 239 241 243 245

10 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5.

263 263 264 268 271 272

Нестационарные возмущения Вероятность перехода . . . . . . . . . Теория возмущений . . . . . . . . . . Формальное разложение в ряд . . . . Адиабатические возмущения . . . . . Адиабатическая теория возмущений

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

247 248 250 251 253 254 257 259

8 10.6. 10.7. 10.8. 10.9.

Неадиабатические переходы Геометрическая фаза . . . . Внезапные возмущения . . . Процессы встряхивания . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

275 278 283 287

11 11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. 11.7. 11.8. 11.9.

Периодические возмущения Золотое правило . . . . . . . . . . . . . . Выход за первый порядок . . . . . . . . Вырожденные состояния . . . . . . . . . Квазиэнергия . . . . . . . . . . . . . . . Конечные состояния в континууме . . . Приближение вращающегося поля . . . Взаимодействие с квантованным полем Одетые состояния . . . . . . . . . . . . . Сверхизлучение . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

291 291 294 296 297 299 306 310 314 315

12 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6. 12.7.

Рассеяние быстрых заряженных Сечение рассеяния . . . . . . . . . Резерфордовское рассеяние . . . Статический форм-фактор . . . . Экранировка . . . . . . . . . . . . Возбуждение и ионизация атомов Потери энергии . . . . . . . . . . Кулоновское возбуждение . . . .

частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

321 321 324 326 330 332 335 337

13 13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. 13.7. 13.8. 13.9.

Фотоны Введение: классическое и квантовое поле . . Гамильтоново описание поля излучения . . . Квантование поля излучения . . . . . . . . . Волновая функция фотона . . . . . . . . . . . Векторные сферические гармоники . . . . . . Эффект Казимира . . . . . . . . . . . . . . . Формула суммирования Эйлера—Маклорена Лэмбовский сдвиг . . . . . . . . . . . . . . . . Взаимодействие излучения с веществом . . .

. . . . . . . . .

343 343 344 348 354 356 359 361 364 367

14 14.1. 14.2. 14.3.

Излучение и поглощение фотонов 371 Коэффициенты Эйнштейна; мазеры и лазеры . . . . . . . . . . 371 Фотопоглощение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Длинноволновый предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

9 14.4. 14.5. 14.6. 14.7. 14.8.

Высшие мультипольные переходы . . . . . Индуцированное и спонтанное излучение Дипольное излучение . . . . . . . . . . . . Правила отбора и примеры . . . . . . . . Фотоэффект . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15.1. 15.2. 15.3. 15.4. 15.5. 15.6. 15.7. 15.8. 15.9. 15.10. 15.11. 15.12.

Дисперсия и рассеяние света Макроскопическое описание . . . Линейный отклик . . . . . . . . . Принцип причинности . . . . . . Диэлектрическая проницаемость Дисперсионные свойства . . . . . Квантовое затухание . . . . . . . Дисперсионные соотношения . . Описание рассеяния . . . . . . . . Сечение рассеяния . . . . . . . . . Когерентное рассеяние . . . . . . Резонансная флуоресценция . . . Рассеяние на многих центрах . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . .

381 383 385 387 391

. . . . . . . . . . . .

397 397 399 401 403 406 409 411 412 415 417 418 420

Литература

423

Предметный указатель

429

10

Предисловие редактора перевода Двухтомный курс квантовой физики известного теоретика, специалиста по квантовой теории многих тел, профессора Университета штата Мичиган Владимира Зелевинского, изданный в 2011 г., является уникальным по широте охвата материала. В курсе обсуждаются квантовые эффекты, начиная с субатомных и атомных масштабов и кончая масштабами макроскопических тел. Ещё одно достоинство пособия — многоуровневость изложения. Данным учебником может пользоваться как начинающий изучать квантовую механику, так и более продвинутый читатель, желающий углубить своё знание квантовой теории. Для удобства изучения курса издание на русском языке сделано в трёх томах, в соответствии с семестровыми программами курсов на физическом факультете НГУ. Перевод второго тома был выполнен: глава 1 — З. K. Силагадзе, главы 2–5 — А. В. Соколовым, главы 6–9 — В. М. Малышевым, главы 10–12 и 15 — В. Ф. Дмитриевым, главы 13–14 — В. Е. Шебалиным. Вёрстка тома — В. Ф. Дмитриев и М. Баженов. В. Ф. Дмитриев

11

Предисловие автора к русскому изданию Книга, которую читатель держит в руках, была издана три года назад (Wiley-VCH, 2 тома) на английском языке. Она «выросла» из лекций по квантовой механике, которые автор читал на физическом факультете Новосибирского университета, начиная с 1965 г. Однако эта книга заметно «повзрослела» и по стилю, и по содержанию (не говоря об объёме), благодаря новому опыту, приобретённому автором в Дании (Niels Bohr Institute) и США (Michigan State University). Кажется, и студенты сейчас другие... Я благодарен Новосибирскому университету и его ректору Михаилу Федоруку за помощь в издании. Большая работа группы переводчиков, руководимая и координируемая Владимиром Дмитриевым, сделала возможным издание в сравнительно короткий срок. Особой благодарности заслуживает Альфия Нестеренко, вложившая так много усилий в организацию издания. Остаётся надеяться, что и новому поколению студентов (как и преподавателей) книга будет полезной. г. Ист-Лансинг, Мичиган. Февраль 2014 г. Владимир Зелевинский

12

Предисловие Эта книга основана на лекциях, которые читались в течение многих лет в России (Новосибирский государственный университет), США (Университет штата Мичиган) и Дании (Институт Нильса Бора, Копенгаген). Российский опыт был вначале обобщён в двух небольших пособиях с рукописными формулами и много позже — в книге «Лекции по квантовой механике». Но в том виде книга абсолютно не годилась для аспирантского курса в американском университете. Нынешнее пособие является полностью новым, хотя и сохраняет дух оригинала. Два тома текста логически соответствуют двум семестрам курса. Как стало ясно после многих лет преподавания аспирантских курсов, необходимых для получения степени доктора философии, основной проблемой является то, что аспиранты, приходя в большой университет (такой как Университет штата Мичиган) с очень разным уровнем подготовки, должны в течение курса овладеть некоторым общим уровнем знаний, который позволил бы им продвигаться дальше к более сложным вопросам современной науки. Я пытался использовать различные популярные учебники, но каждый раз было необходимо дополнять их собственными заметками. В конце концов стало ясно, что легче и полезнее последовательно полагаться на свой собственный текст, который должен быть правильно упорядочен, снабжён задачами и дополнительным материалом, дающим возможность преподавателю отобрать его для более продвинутых студентов. Книга начинается с самых фундаментальных принципов квантовой теории и продолжается методом, который представляется мне наиболее логичным и наиболее подходящим для такой разноуровневой аудитории. Сначала в пособии рассматривается много задач, которые не требуют полного квантового формализма, но позволяют студентам приобрести некоторый опыт квантового мышления. Только после этого вводится фундаментальное уравнение Шрёдингера и мы переходим к более широкому кругу приложений во всех областях квантовой физики. Задачи даются внутри текста; их решение или хотя бы понимание абсолютно необходимо. Имеется много как тради-

13 ционных задач, так и новых задач, связанных с современным развитием физики. Текст написан так, что каждая тема содержит несколько уровней сложности, чтобы преподаватель мог самостоятельно выбирать глубину изложения предмета. При тщательном отборе этот материал может также использоваться и на младших курсах. Объём и границы этой книги поставили меня перед трудным выбором исключить некоторые важные и интересные вопросы. В пособии имеются темы, которые обычно не входят в общие курсы, но, по моему мнению, должны присутствовать в современных учебных планах — например, когерентные и сжатые состояния и их макроскопические аналоги, тензорные операторы и их приложения, некоторые вопросы релятивистской квантовой механики и теории рассеяния, свойства взаимодействующих многочастичных систем, квантовый хаос и запутанность. Дополнительный материал выходит далеко за пределы стандартных курсов и должен позволить лектору осуществить соответствующий отбор для конкретной аудитории. Параллельно можно работать со студентами более высокого уровня над современными проблемами, что я обычно и делал. По тексту разбросаны также несколько математических отступлений о методах, неизвестных в большинстве случаев студентам, например, таких, как комплексный анализ и элементы теории групп (эти разделы помечены звёздочкой). Поэтому текст является самодостаточным и не требует привлечения дополнительных источников. Тем не менее в конце каждой главы даётся список «Дополнительной литературы», включающий ссылки на текущие научные журналы. Я полагаю, очень важно продемонстрировать, что квантовая теория не содержит никаких магических трюков и что всё может быть выведено и объяснено на доске прямо на глазах у студентов. Этот подход был испытан в течение нескольких лет и оказался успешным, хотя в первоначальный период ошибки были неизбежны. Успех, конечно, в высшей степени зависит от усиленной работы студентов, которая, в свою очередь, инициируется их интересом к предмету. В течение этих лет я очень много полезного получил из дискуссий с замечательными учёными в разных странах. К сожалению, нет возможности перечислить вклад каждого из них. Но я хотел бы выразить особую признательность ушедшему от нас Карлу Гооде, который постоянно поддерживал и убеждал меня написать лекции в форме, пригодной для публикации. Я очень благодарен Роману Сенькову и Александру Воля за их полезное участие. Дружеское расположение и постоянная помощь издателей, в особенности Валери Мольер, Ани Щёртнер и Петры Мёвс, были неоценимы.

14 В таком внушительном тексте вряд ли возможно избежать недосказанностей и ошибок. Я был бы особенно благодарен читателям за любой конструктивный отклик. Наконец, в течение тех лет, когда мои вечера были посвящены написанию этого курса, я постоянно получал большую поддержку со стороны сына, дочери и их семей. Я в бесконечном долгу перед моей женой Верой, чьё чудесное терпение сделало возможным выполнение этой работы. г. Ист-Лансинг, Мичиган, июнь 2010 г.

Владимир Зелевинский

Природа — это бесконечная сфера, центр которой везде, а окружность — нигде. Б. Паскаль, «Мысли»

Глава 1 Момент импульса и сферические функции 1.1. Угловой момент как генератор вращений Мы уже встречались с оператором ℓ^ орбитального момента (I.4.34). Коммутационные соотношения между его компонентами были получены в задаче I.4.5. В разд. I.4.7 мы ввели преобразования поворота и интерпретировали оператор орбитального момента как генератор вращений. Позднее, в разд. I.7.10, мы кратко обсудили сохранение углового момента. Орбитальный момент относительно неподвижной оси появился снова в задаче двумерного осциллятора, разд. I.11.5, и мы ввели повышающие и понижающие компоненты 𝑉^± векторных операторов, уравнение (I.11.104), которые меняют проекцию орбитального момента ℓ𝑧 на ±1. Теперь нашей целью является отслеживание общих геометрических и алгебраических свойств углового момента в квантовой механике, чтобы связать их с интуитивной картиной вращения. В отсутствие внешних полей объект конечного размера в покое (в системе отсчёта, где полный импульс равен нулю, P = 0) можно характеризовать сохраняющимся вектором полного углового момента J; орбитальный момент ℓ частицы, уравнение (I.4.34), является частным случаем. ^ является генератором (см. разд. Оператор полного углового момента J I.6.10) бесконечно малых поворотов. Вращения в трёхмерном пространстве требуют трёх углов для их параметризации, например, полярный и азимутальный углы оси вращения по отношению к некоторой фиксированной системе координат, и угол поворота вокруг этой оси. Рассмотрим поворот на бесконечно малый угол 𝛿𝛼 вокруг оси, которая характеризуется единичным вектором n. При таком вращении волновая функция 𝜓 меняется на ^ n (𝛿𝛼), генерируетвеличину, пропорциональную 𝛿𝛼. Это преобразование, ℛ ся посредством действия оператора (J · n), который является проекцией

16

Глава 1 Момент импульса и сферические функции

углового момента на ось вращения, (︁ )︁ ^ · n)𝛿𝛼 𝜓; 𝜓 → 𝜓 ′ = 1 − 𝑖(J

(1.1)

здесь и всегда мы будем измерять все операторы углового момента в единицах ~. Уравнение (1.1) есть не что иное, как определение оператора углового момента для данной системы; мы должны найти преобразованную волновую функцию явным образом и сравнить результат с уравнением (1.1) ^ Хотя конкретная форма оператора для того, чтобы определить оператор J. углового момента различна для разных систем, его роль как генератора вращений в трёхмерном пространстве приводит к универсальной алгебре. Конечный поворот на угол 𝛼, сравните (I.4.49) и (I.4.52), может быть получен как предел большого числа, 𝑁 → ∞, последовательных малых поворотов на 𝛿𝛼 = 𝛼/𝑁 вокруг одной и той же оси. Оператор конечного поворота имеет вид (︁ (︁ )︁ 𝛼 )︁𝑁 ^ ^ ^ ℛn (𝛼) = lim𝑁 →∞ 1 − 𝑖(J · n) = exp −𝑖(J · n)𝛼 . 𝑁

(1.2)

Здесь мы воспользовались тем, что повороты на разные углы вокруг одной и той же оси коммутируют. Повороты сохраняют скалярные произведения между векторами состояний в гильбертовом пространстве: амплитуды не ^ всего пространства, меняются при любом вращении ℛ ^ 2 |ℛ𝜓 ^ 1 ⟩ ≡ ⟨𝜓2 |ℛ ^ † ℛ𝜓 ^ 1 ⟩ = ⟨𝜓2 |𝜓1 ⟩. ⟨𝜓2′ |𝜓1′ ⟩ ≡ ⟨ℛ𝜓

(1.3)

Поэтому оператор преобразования (1.2) должен быть унитарным, ^ †ℛ ^ =1 ℛ

⇒

^† = ℛ ^ −1 . ℛ

(1.4)

^ может быть выражен, уравнение (I.6.112), Любой унитарный оператор 𝑈 как ^ = 𝑒𝑖𝐺^ ≡ 𝑈

∞ ∑︁ ^ 𝑛 (𝑖𝐺) 𝑛=0

𝑛!

,

(1.5)

где экспонента является символическим представлением бесконечного ряда ^ в нашем случае, эрмитов. ^ унитарного преобразования, J и генератор 𝐺 ^ ⇒ ℓ^, удобно иметь В частном случае орбитального момента частицы, J дело непосредственно с координатным представлением 𝜓(r) волновой функции частицы. Результат преобразования 𝜓(r) при вращении известен: после

1.2. Спин

17

поворота, в точке r значение волновой функции будет таким же, каким ^ −1 r, где ℛ ^ −1 обозначает обратное оно было перед поворотом в точке ℛ вращение, ^ ^ −1 r). 𝜓 ′ (r) = ℛ𝜓(r) = 𝜓(ℛ

(1.6)

Как показано в разделе I.4.7, это определяет орбитальный момент стандартным в механике способом (I.4.34). Наше определение поворота (1.6) означает, что мы поворачиваем физический объект («активная» интерпретация). Вращение системы координат («пассивная» интерпретация) эквивалентно, с точки зрения преобразований, противоположному повороту системы. Соответствующие операторы конечного вращения были бы сопряжены к нашим операторам (1.2). Это различие подчеркивает причину появления обратного преобразования в уравнении (1.6). Координатная волновая функция 𝜓(r) есть, в обозначениях Дирака, проекция ⟨r|𝜓⟩ вектора состояния |𝜓⟩ на локализованное состояние ^ повёрнутого |r⟩. Нас интересует координатная волновая функция ⟨r|ℛ𝜓⟩ ^ ^ состояния ℛ|𝜓⟩. Но для унитарного преобразования ℛ имеем ^ = ⟨ℛ ^ † r|𝜓⟩ = ⟨ℛ ^ −1 r|𝜓⟩, ⟨r|ℛ𝜓⟩

(1.7)

^ поворачто как раз то, что нам нужно в свете уравнения (1.6). Здесь ℛ𝜓 −1 ^ r вращает точку наблюдения в чивает физическую систему, тогда как ℛ противоположном направлении; эти амплитуды совпадают.

1.2. Спин В общем случае результат вращения не может быть сведён к явному преобразованию координат (1.6). Волновая функция может состоять из нескольких компонент, которые подвергаются линейному преобразованию при вращении, в дополнение к преобразованию (1.6) их координатной зависимости. Такими компонентами могут описываться различные внутренние состояния объекта, и обычно эти компоненты называются спиновыми сте^ является векторным генератором (1.1) этого препенями свободы. Если S образования, суммарный эффект вращения на волновую функцию системы описывается полным угловым моментом, ^=L ^ + S, ^ J

(1.8)

18

Глава 1 Момент импульса и сферические функции

^ обобщает одночастичный орбитальный момент ℓ , уравнение (I.4.34), на где L произвольную систему. Для многочастичной системы глобальное вращение одинаково действует на все частицы, так что полный орбитальный момент является аддитивной комбинацией одночастичных моментов (полный угловой момент ^j = ℓ^ + ^s частицы состоит из её орбитального и спинового моментов) ∑︁ ∑︁ ∑︁ ^j𝑎 , L ^= ^= ^= ^s𝑎 ; ^j𝑎 = ℓ^𝑎 + ^s𝑎 . (1.9) J ℓ^𝑎 , S 𝑎

𝑎

𝑎

В качестве естественного примера рассмотрим векторную функцию V(r). В каждой точке r мы имеем три функции 𝑉𝑖 (r), но они являются компонентами одного и того же векторного объекта. При поворотах не только каждая из этих функций должна быть преобразована так, как отмечено раньше, но, кроме этого, компоненты 𝑉𝑖 преобразуются между собой так, как это происходило бы и для постоянного вектора V без координатной зависимости. Найдём явный вид этой комбинации преобразований. ^ имеем Для произвольного вращения ℛ ^ 𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑉𝑥′ (ℛ ^ −1 𝑥, ℛ ^ −1 𝑦, ℛ ^ −1 𝑧), ℛ𝑉

(1.10)

где V′ означает, что компоненты вектора также претерпевают преобразо^ 𝑧 (𝛿𝛼) вание. Как мы видели в (I.4.88), для бесконечно малого вращения ℛ на угол 𝛿𝛼 вокруг оси 𝑧 ^ −1 𝑥 = 𝑥 + 𝛿𝛼 𝑦, ℛ

^ −1 𝑦 = 𝑦 − 𝛿𝛼 𝑥, ℛ

^ −1 𝑧 = 𝑧. ℛ

(1.11)

Это показывает, какие аргументы должны иметь вектора как функции координат в правой части уравнения (1.10). С другой стороны, в дополнение к этому параллельному переносу, вектор V сам поворачивается вокруг оси 𝑧 на угол 𝛿𝛼 так, что его азимутальный угол 𝜙0 становится 𝜙0 + 𝛿𝛼 (углы с индексом 0 характеризуют направление вектора V, а не радиус-вектора точки r). Тогда 𝑉𝑥′ = |V| sin 𝜃0 cos(𝜙0 + 𝛿𝛼) ≈ 𝑉𝑥 − 𝛿𝛼𝑉𝑦 ,

(1.12)

и, аналогично, 𝑉𝑦′ ≈ 𝑉𝑦 + 𝛿𝛼𝑉𝑥 ,

𝑉𝑧′ = 𝑉𝑧 .

(1.13)

1.2. Спин

19

Результат преобразования компонент (заметим снова, что это преобразование имеет знак, соответствующий активной интерпретации вращения и противоположный тому, который имеет преобразование аргументов волновой функции) может быть выражен как действие 3 × 3 матрицы 𝑆^𝑧 на матрицу-столбец с элементами 𝑉𝑖 , ⎛ ⎞ 0 −𝑖 0 ^ 𝑧 (𝛿𝛼)V = (1 − 𝑖𝛿𝛼𝑆^𝑧 )V, 𝑆^𝑧 = ⎝ 𝑖 0 0 ⎠ . ℛ (1.14) 0 0 0

Задача 1.1 Построить матрицы 𝑆^𝑥 и 𝑆^𝑦 и показать, что все матричные элементы матриц 𝑆^𝑗 , 𝑗 = 𝑥, 𝑦, 𝑧, можно записать в виде (𝑆^𝑗 )𝑘𝑙 = −𝑖𝜀𝑗𝑘𝑙 .

(1.15)

Итоговое бесконечно малое преобразование нашей вектор-функции имеет вид ^ 𝑧 (𝛿𝛼)𝑉𝑥 (r) = 𝑉 ′ (𝑥 + 𝑦𝛿𝛼, 𝑦 − 𝑥𝛿𝛼, 𝑧) ℛ 𝑥 = 𝑉𝑥 (𝑥 + 𝑦𝛿𝛼, 𝑦 − 𝑥𝛿𝛼, 𝑧) − 𝛿𝛼𝑉𝑦 (𝑥 + 𝑦𝛿𝛼, 𝑦 − 𝑥𝛿𝛼, 𝑧),

(1.16)

или, собирая все члены первого порядка по 𝛿𝛼, (︂ )︂ 𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑉𝑥 ^ ℛ𝑧 (𝛿𝛼)𝑉𝑥 (r) = 𝑉𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝛿𝛼𝑉𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝛿𝛼 𝑥 −𝑦 . (1.17) 𝜕𝑦 𝜕𝑥 В операторной форме это означает, что для векторного поля ^ 𝑧 (𝛿𝛼) = 1 − 𝑖𝛿𝛼(𝑆^𝑧 + 𝐿 ^ 𝑧 ) = 1 − 𝑖𝛿𝛼𝐽^𝑧 , ℛ

(1.18)

^ как обычно, имеет вид −𝑖[r × ∇]. Конечные где орбитальный момент L, повороты требуют возведения в экспоненту полного оператора углового ^ и L ^ момента, как в (1.2). Мы должны подчеркнуть, что операторы S действуют на различные переменные, и поэтому они всегда коммутируют.

20

Глава 1 Момент импульса и сферические функции

1.3. Мультиплеты углового момента Используя только коммутационные соотношения, можно решить задачу классификации всех возможных собственных состояний углового момента. Эта процедура может служить прототипом для более сложных ситуаций. Как ясно из элементарных геометрических соображений, результат двух последовательных поворотов вокруг различных осей зависит от их порядка. Соответствующие операторы вращения не коммутируют, задача I.4.5. Коммутационные соотношения углового момента универсальны, независимо от специфики системы они отражают геометрию трёхмерных вращений. Задача 1.2 Докажите, что 3×3 спиновые матрицы 𝑆^𝑗 вращательного преобразования компонент вектора, уравнение (1.15), удовлетворяют коммутационным соотношениям [𝑆^𝑖 , 𝑆^𝑗 ] = 𝑖𝜀𝑖𝑗𝑘 𝑆^𝑘 ,

(1.19)

аналогичным коммутационным соотношениям для орбитального момента (I.4.37). Решение Прямой расчёт матричного элемента коммутатора матриц (1.15) с помощью уравнений (I.4.39) даёт [𝑆^𝑗 , 𝑆^𝑘 ]𝑙𝑚 = (𝑆𝑗 )𝑙𝑛 (𝑆𝑘 )𝑛𝑚 − (𝑆𝑘 )𝑙𝑛 (𝑆𝑗 )𝑛𝑚 = −𝜀𝑗𝑙𝑛 𝜀𝑘𝑛𝑚 + 𝜀𝑘𝑙𝑛 𝜀𝑗𝑛𝑚 = 𝛿𝑗𝑙 𝛿𝑘𝑚 − 𝛿𝑗𝑚 𝛿𝑘𝑙 = 𝜀𝑗𝑘𝑛 𝜀𝑙𝑚𝑛 = 𝑖𝜀𝑗𝑘𝑛 (𝑆𝑛 )𝑙𝑚 , (1.20) что эквивалентно (1.19). Так как коммутационные соотношения выявляют геометрическую связь между поворотами, они должны быть одинаковыми для любого оператора ^ спинового или орбитального, одночастичного или углового момента J, многочастичного, [𝐽^𝑖 , 𝐽^𝑗 ] = 𝑖𝜀𝑖𝑗𝑘 𝐽^𝑘 .

(1.21)

Иногда это символически записывается как ^ × J] ^ = 𝑖J. ^ [J

(1.22)

1.3. Мультиплеты углового момента

21

Компоненты импульса 𝑝^𝑗 коммутируют, так как эти операторы порождают сдвиги декартовых координат (I.4.52), и результат двух последовательных сдвигов не зависит от их порядка (сдвиги составляют абелеву группу в отличие от неабелевой группы вращений). Как следует из алгебры (1.21), ^ не могут иметь одновременно определённые различные компоненты J значения. Важнейшим новым элементом, который появляется в этой алгебре, является возможность построить оператор 𝐶^ — так называемый оператор Казимира, который коммутирует со всеми генераторами 𝐽^𝑘 . Конечно, любая функция от 𝐶^ также удовлетворяет этому условию, но более сложная алгебра может иметь несколько независимых операторов Казимира. Легко ^ 2 , играет видеть, что абсолютное значение квадрата момента импульса, J роль оператора Казимира, вспомним задачу I.4.5b, ^ 2 ] = [𝐽^𝑘 , 𝐽^2 + 𝐽^2 + 𝐽^2 ] = 0. [𝐽^𝑘 , J 𝑥 𝑦 𝑧

(1.23)

Одна из проекций углового момента, скажем 𝐽^𝑧 , и оператор Казимира ^ 2 могут иметь определённые значения одновременно. Как мы видели J на примере орбитального момента, такая маркировка векторов состояния связана с выбором оси квантования и поэтому с видимым нарушением вращательной симметрии. Симметрия восстанавливается потенциальной возможностью перехода к другой, повернутой системе координат. Вместо двух эрмитовых компонент углового момента в плоскости, поперечной к оси квантования, 𝐽^𝑥 и 𝐽^𝑦 , введём два новых оператора, эрмитово сопряжённых друг с другом, сравните с уравнением (I.11.104), 𝐽^± = 𝐽^𝑥 ± 𝑖𝐽^𝑦 ,

𝐽^+ = (𝐽^− )† .

(1.24)

Согласно (1.21), эти операторы удовлетворяют соотношениям [𝐽^∓ , 𝐽^𝑧 ] = ±𝐽^∓ ,

(1.25)

[𝐽^− , 𝐽^+ ] = −2𝐽^𝑧 .

(1.26)

Первое соотношение (1.25) имеет лестничный вид (I.11.105), и оно справедливо для ± компонент (I.11.104) любого векторного оператора. Начиная с состояния с определённым значением 𝑀 проекции 𝐽^𝑧 , оператор 𝐽^− уменьшает это собственное значение, 𝑀 → 𝑀 − 1, в то время как 𝐽^+ увеличивает его, 𝑀 → 𝑀 + 1. Пусть начальное состояние, помимо 𝑀 , также имеет ^ 2 . Оператор Казимира коммутирует с 𝐽^± , поэтоопределённое значение J

22

Глава 1 Момент импульса и сферические функции

му все состояния, которые составляют лестницу различных значений 𝑀 , ^ 2 . Геометрически это означает, что имеют одно и тот же значение 𝐶^ = J операторы 𝐽^± генерируют небольшие повороты вокруг перпендикулярных осей, которые изменяют ориентацию (проекцию 𝐽𝑧 = 𝑀 ) вектора углового момента относительно оси квантования, но не меняют его абсолютного значения, которое инвариантно относительно вращений и характеризует лестницу в целом. Рассмотрим лестничное семейство, или мультиплет, состояний с заданным значением J2 и различными значениями 𝑀 . Так как для любого состояния на лестнице ^ 2 ⟩ = ⟨𝐽^2 + 𝐽^2 + 𝐽^2 ⟩ > ⟨𝐽^2 ⟩ = 𝑀 2 . 𝐶 = ⟨J 𝑥 𝑦 𝑧 𝑧

(1.27)

Лестница не может быть бесконечной, она заканчивается (в обоих направлениях) при некоторых предельных значениях 𝑀max и 𝑀min . Эти значения определяются величиной 𝐶 оператора Казимира для рассматриваемого семейства. На верхней (нижней) границе мультиплета действие повышающего (понижающего) оператора должно дать нуль, подобно уравнению (I.11.112) для алгебры Гейзенберга—Вейля. Используя эквивалентные выражения для оператора Казимира, которые следуют из (1.23)— и (1.26), ^ 2 = 𝐽^2 + 1 (𝐽^+ 𝐽^− + 𝐽^− 𝐽^+ ) J 𝑧 2 ^ ^ = 𝐽+ 𝐽− + 𝐽^𝑧2 − 𝐽^𝑧 = 𝐽^− 𝐽^+ + 𝐽^𝑧2 + 𝐽^𝑧 ,

(1.28)

и имея в виду, что значение 𝐶 одно и то же для всей лестницы, после применения двух последних выражений (1.28) к состояниям с 𝑀min и 𝑀max соответственно, получаем 2 2 𝐶 = 𝑀min − 𝑀min = 𝑀max + 𝑀max .

(1.29)

Отсюда находим 𝑀min = −𝑀max . Максимально возможную проекцию 𝑀max будем обозначать через 𝐽. Обычно это число просто называется угловым моментом, и оператор Казимира через него выражается как 𝐶 = 𝐽(𝐽 + 1).

(1.30)

Как отмечалось в разделе I.5.11 в связи с соотношением неопределённо^ 2 в мультиплете |𝐽𝑀 ⟩ больше, чем стей, значение оператора Казимира J 2 квадрат максимальной проекции 𝑀max = 𝐽 2 . В состоянии с определёнными

1.3. Мультиплеты углового момента

23

^ 2 и 𝐽^𝑧 , не коммутирующие с 𝐽^𝑧 поперечные компоненты 𝐽^𝑥,𝑦 значениями J момента импульса не могут иметь определённые значения, что имело бы место в случае, если можно было бы направить вектор J точно по оси 2 . Различие связано с квантовыми флук𝑧 и получить J2 = 𝐽𝑧2 = 𝑀max 2 2 туациями 𝐽𝑥 + 𝐽𝑦 . Другими словами, невозможно построить состояние с определённым значением момента импульса и определённой ориентацией в пространстве, например, вдоль оси квантования (из классической механики мы помним, что компоненты момента импульса канонически сопряжены с угловыми координатами). Уравнения (1.21) или (1.26) приводят к соотношению неопределённостей (I.6.163), (Δ𝐽𝑥 )(Δ𝐽𝑦 ) > |⟨𝐽𝑧 ⟩|/2 . Начиная с низшего состояния 𝑀min = −𝑀max = −𝐽 и применяя повышающий оператор 𝐽^+ , можно построить всю лестницу. Число шагов 𝑘 от 𝑀 = −𝐽 до 𝑀 = +𝐽 всегда целое и составляет 2𝐽. Поэтому возможны только целые и полуцелые значения 𝐽. Соответственно, значения проекции 𝑀 на состояниях лестницы все целые или все полуцелые. Состояния в мультиплете могут быть помечены как |𝐽𝑀 ⟩, т. е. общим значением 𝐽 (имя мультиплета) и отдельным ярлыком 𝑀 (персональное имя члена семейства), где −𝐽 6 𝑀 6 +𝐽. Общее количество состояний в семействе (в мультиплете) |𝐽𝑀 ⟩ равно 𝑘 + 1 = 2𝐽 + 1. Задача 1.3 Найти явные выражения для собственных функций 𝜒𝜎 со спином 𝑆 = 1 и проекцией 𝑆^𝑧 = 𝜎. Решение Нормированные функции имеют вид ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 1 𝜒0 = ⎝ 0 ⎠ , 𝜒±1 = √ ⎝ ±𝑖 ⎠ . 2 0 1

(1.31)

Заметим, что эти трёх-компонентные функции (мы использовали здесь декартов базис) можно рассматривать как комплексные векторы 𝜒 с компонентами (𝑥, 𝑦, 𝑧), записанными вертикально. Если e𝑖 − ортонормированные векторы декартовой системы, решения (1.31) можно записать в виде 𝜒 0 = e𝑧 ,

1 𝜒 ± = √ (e𝑥 ± 𝑖e𝑦 ), 2

𝜒†𝜎 · 𝜒 𝜎′ ) = 𝛿𝜎𝜎′ . (𝜒

(1.32)

24

Глава 1 Момент импульса и сферические функции

Задача 1.4 Рассмотрим некоторое состояние |𝐽𝑀 ⟩ с квантовыми числами углового момента 𝐽 и 𝐽𝑧 = 𝑀 . Найти среднее значение и среднеквадратичное откло^ · e) на произвольный единичный нение для проекции углового момента (J вектор e.

Решение Пусть направление e характеризуется полярным углом 𝛽 и азимутальным углом 𝛼 в координатной системе с полярной осью вдоль первоначальной оси квантования 𝑧. Нас интересует оператор ^ · e) = 𝐽^𝑥 sin 𝛽 cos 𝛼 + 𝐽^𝑦 sin 𝛽 sin 𝛼 + 𝐽^𝑧 cos 𝛽. (J

(1.33)

Поскольку поперечные компоненты 𝐽^𝑥,𝑦 , будучи линейными комбинациями из 𝐽^± , имеют нулевые средние значения в состоянии |𝐽𝑀 ⟩, то ^ · e)⟩ = ⟨𝐽^𝑧 ⟩ cos 𝛽 = 𝑀 cos 𝛽. ⟨(J

(1.34)

Для нахождения среднеквадратичной флуктуации интересующего нас оператора мы должны знать средние значения квадратов и перекрёстных произведений его компонент (нужно следить за порядком операторов). Комбинации 𝐽^𝑥,𝑦 𝐽^𝑧 + 𝐽^𝑧 𝐽^𝑥,𝑦 имеют нулевые средние значения по той же 2 имеет причине, что и 𝐽^𝑥,𝑦 . Чтобы найти другие вклады, заметим, что 𝐽^+ ненулевые матричные элементы только с Δ𝑀 = 2. Таким образом, среднее значение этого оператора равно нулю, ⟨(𝐽^𝑥 + 𝑖𝐽^𝑦 )2 ⟩ = ⟨𝐽^𝑥2 − 𝐽^𝑦2 + 𝑖(𝐽^𝑥 𝐽^𝑦 + 𝐽^𝑦 𝐽^𝑥 )⟩ = 0.

(1.35)

Средние значения эрмитовых операторов являются вещественными числами, так что здесь действительная и мнимая части должны исчезать по отдельности, ⟨𝐽^𝑥2 ⟩ = ⟨𝐽^𝑦2 ⟩,

(1.36)

⟨𝐽^𝑥 𝐽^𝑦 ⟩ = −⟨𝐽^𝑦 𝐽^𝑥 ⟩.

(1.37)

1.3. Мультиплеты углового момента

25

Уравнение (1.36) вместе с (1.30) определяет среднее значение (I.5.91) поперечных флуктуаций в соответствии с указанной выше неопределённостью, 1 ⟨𝐽^𝑥2 ⟩ = ⟨𝐽^𝑦2 ⟩ = [𝐽(𝐽 + 1) − 𝑀 2 ]. 2

(1.38)

Коммутатор (1.21) определяет ⟨𝐽^𝑥 𝐽^𝑦 − 𝐽^𝑦 𝐽^𝑥 ⟩ = 𝑖𝑀

⟨𝐽^𝑥 𝐽^𝑦 ⟩ = −⟨𝐽^𝑦 𝐽^𝑥 ⟩ =

𝑖 𝑀. 2

(1.39)

^ · e)2 ⟩ исчезают, и Таким образом, все перекрёстные члены в ⟨(J ^ · e)2 ⟩ = ⟨𝐽^2 ⟩ sin2 𝛽 cos2 𝛼 + ⟨𝐽^2 ⟩ sin2 𝛽 sin2 𝛼 + ⟨𝐽^2 ⟩ cos2 𝛽 ⟨(J 𝑥 𝑦 𝑧 1 = [𝐽(𝐽 + 1) − 𝑀 2 ] sin2 𝛽 + 𝑀 2 cos2 𝛽. (1.40) 2 Как следствие азимутальной симметрии задачи, нет зависимости от азимутального угла 𝛼 после усреднения поперечных компонент к нулю. Из (1.34) и (1.40) получаем неопределённость (дисперсию) проекции (1.33): 1 (Δ(J · e))2 = [𝐽(𝐽 + 1) − 𝑀 2 ] sin2 𝛽. 2

(1.41)

Как и должно быть, эта флуктуация обращается в нуль при 𝛽 = 0 (оси 𝑧 и e совпадают), минимальная дисперсия соответствует состоянию с 𝑀 = 𝐽, которое максимально выстроено вдоль 𝑧.

Задача 1.5 Пучок частиц со спином 𝐽 = 1 приготовлен поляризатором в состоянии с 𝐽𝑧 = 𝑀 . Найти долю интенсивности пучка, прошедшего через анализатор, который пропускает частицы с проекцией 𝑀 ′ на ось e, направление которой характеризуется полярным углом 𝛽 и азимутальным углом 𝛼, рис. 1.1. Решение Классическая картина соответствует нахождению проекции различных направлений спина на конической поверхности вокруг оси e𝑧 на ось e. Коэффициенты прохождения 𝑇 (𝑀 ′ |𝑀 ) представляют собой вероятности нахождения частицы с проекцией (J · e) = 𝑀 ′ в состоянии с 𝐽𝑧 = 𝑀 . Здесь как 𝑀 , так и 𝑀 ′ могут принимать значения 0 и ±1. Коэффициенты

26

Глава 1 Момент импульса и сферические функции

eZ

J

e M'

Рис. 1.1. Установка для задачи 1.5

прохождения удовлетворяют очевидным уравнениям ∑︁

𝑇 (𝑀 ′ |𝑀 ) = 1,

𝑀′

∑︁

^ 𝑀 ′ 𝑇 (𝑀 ′ |𝑀 ) = ⟨(J·e)⟩,

𝑀′

∑︁

^ 2 ⟩. 𝑀 ′2 𝑇 (𝑀 ′ |𝑀 ) = ⟨(J·e)

𝑀′

(1.42) Средние значения здесь были найдены в (1.34) и (1.40). Два последних уравнения не содержат 𝑇 (0|𝑀 ), 𝑇 (1|𝑀 ) − 𝑇 (−1|𝑀 ) = 𝑀 cos 𝛽,

(1.43)

1 𝑇 (1|𝑀 ) + 𝑇 (−1|𝑀 ) = 𝑀 2 cos2 𝛽 + (2 − 𝑀 2 ) sin2 𝛽, 2

(1.44)

и определяют 1 𝑇 (±1|𝑀 ) = 2

{︂(︂ )︂ }︂ 𝑀2 2 2 2 1− sin 𝛽 + 𝑀 cos 𝛽 ± 𝑀 cos 𝛽 . 2

(1.45)

1.4. Матричные элементы момента импульса

27

Этот результат снова не зависит от 𝛼 и для 𝛽 → 0 сводится к 1 𝑇 (±1|𝑀 ) = (𝑀 2 ± 𝑀 ); 2

(1.46)

это выражение равно единице для 𝑀 = ±1 и исчезает при 𝑀 = ∓1 и 𝑀 = 0 из-за ортогональности соответствующих состояний. Из первого уравнения (1.42) и уравнения (1.44) находим 1 𝑇 (0|𝑀 ) = 1 − 𝑀 2 cos2 𝛽 − (2 − 𝑀 2 ) sin2 𝛽, 2

(1.47)

что при 𝛽 → 0 равно 1 для 𝑀 = 0 и 0 для 𝑀 = ±1.

1.4. Матричные элементы момента импульса Теперь мы можем найти матричные элементы генераторов внутри мультиплета |𝐽𝑀 ⟩. Будем действовать аналогично рассмотрению алгебры Гейзенберга—Вейля в разд. I.11.8. ^ 2 и 𝐽^𝑧 , состоБудучи собственными состояниями эрмитовых операторов J яния |𝐽𝑀 ⟩ взаимно ортогональны, и будем считать, что они нормированы, ⟨𝐽 ′ 𝑀 ′ |𝐽𝑀 ⟩ = 𝛿𝐽 ′ 𝐽 𝛿𝑀 ′ 𝑀 .

(1.48)

Операторы 𝐽^± связывают соседние состояния в мультиплете, 𝐽^± |𝐽𝑀 ⟩ = 𝜇± (𝐽𝑀 )|𝐽𝑀 ± 1⟩,

(1.49)

где в результате эрмитовой сопряжённости 𝐽^− и 𝐽^+ 𝜇− (𝐽𝑀 ) = 𝜇*+ (𝐽𝑀 − 1).

(1.50)

Вычисляя среднее значение оператора Казимира (1.28) в произвольном состоянии |𝐽𝑀 ⟩, находим абсолютные значения матричных элементов 𝜇± (𝐽𝑀 ). Их фазы остаются произвольными, и, как это делали раньше, см. уравнение (I.11.119), будем считать их действительными: √︀ 𝜇± (𝐽𝑀 ) = (𝐽 ∓ 𝑀 )(𝐽 ± 𝑀 + 1). (1.51) Таким образом, декартовы компоненты момента импульса имеют простые правила отбора по отношению к квантовым числам состояний в мульти-

28

Глава 1 Момент импульса и сферические функции

плете: )︁ 1 (︁ ⟨𝐽 ′ 𝑀 ′ |𝐽^𝑥 |𝐽𝑀 ⟩ = 𝜇+ (𝐽𝑀 )𝛿𝑀 ′ ,𝑀 +1 + 𝜇− (𝐽𝑀 )𝛿𝑀 ′ ,𝑀 −1 𝛿𝐽 ′ 𝐽 , 2

(1.52)

)︁ 1 (︁ 𝜇+ (𝐽𝑀 )𝛿𝑀 ′ ,𝑀 +1 − 𝜇− (𝐽𝑀 )𝛿𝑀 ′ ,𝑀 −1 𝛿𝐽 ′ 𝐽 , (1.53) ⟨𝐽 ′ 𝑀 ′ |𝐽^𝑦 |𝐽𝑀 ⟩ = 2𝑖

⟨𝐽 ′ 𝑀 ′ |𝐽^𝑧 |𝐽𝑀 ⟩ = 𝑀 𝛿𝑀 ′ 𝑀 𝛿𝐽 ′ 𝐽 .

(1.54)

Наконец, для всех состояний мультиплета, ^ 2 |𝐽𝑀 ⟩ = 𝐽(𝐽 + 1)𝛿𝑀 𝑀 ′ 𝛿𝐽𝐽 ′ . ⟨𝐽 ′ 𝑀 ′ |J

(1.55)

Все эти операторы действуют внутри мультиплета и не меняют ни величину 𝐽, ни любые другие (не вращательные) квантовые числа, которые могут присутствовать, но не указаны явно в бра- и кет-векторах. Классическая картина, рис. 5.13, соответствующая состоянию |𝐽𝑀 ⟩, представляет собой прецессию вектора углового момента вокруг оси квантования 𝑧: тогда J2 и 𝐽𝑧 фиксированы, средние значения ⟨𝐽^𝑥 ⟩ и ⟨𝐽^𝑦 ⟩ равны нулю, в то время как средние значения 𝐽^𝑥2 и 𝐽^𝑦2 положительны. Задача 1.6 ^ · e) проекций J ^ на произПокажите, что в мультиплете |𝐽𝑀 ⟩ матрица (J вольный единичный вектор e удовлетворяет полиномиальному матричному уравнению 𝐽 ∏︁

^ · e) − 𝑀 } = 0. {(J

(1.56)

𝑀 =−𝐽

Здесь 𝑀 следует понимать как умноженное на единичную матрицу.

Задача 1.7 ^ 𝑀 (e), который, действуя на проПостроить проекционный оператор Λ извольную суперпозицию состояний мультиплета, выделяет компоненту с проекцией (J · e) = 𝑀 .

1.4. Матричные элементы момента импульса

29

Решение ^ 𝑀 (e) = Λ

∏︁ (J ^ · e) − 𝑀 ′ . 𝑀 − 𝑀′ ′

(1.57)

𝑀 ̸=𝑀

Задача 1.8 Преобразование Холстейна—Примакова [9]. Докажите, что операторы, определённые как √︀ √︀ 𝐽^𝑧 = −𝐽 + 𝑎 ^† 𝑎 ^, 𝐽^− = 𝑎 ^ 2𝐽 + 1 − 𝑎 ^† 𝑎 ^, 𝐽^+ = 𝑎 ^† 2𝐽 − 𝑎 ^† 𝑎 ^, (1.58) где 𝑎 ^† и 𝑎 ^ являются стандартными операторами рождения и уничтожения алгебры Гейзенберга—Вейля, реализуют алгебру углового момента (1.25,1.26). Решение Внутри мультиплета с заданным 𝐽 квантовое число 𝑀 может быть замещено эквивалентным числом 𝑛 — количество шагов, необходимых для достижения состояния |𝐽𝑀 ⟩ начиная с низшего состояния |𝐽 − 𝐽⟩: 𝑀 = −𝐽 + 𝑛. С этой заменой матричные элементы (1.51) принимают вид √︀ √︀ 𝜇− (𝐽𝑀 ) = 𝑛(2𝐽 + 1 − 𝑛), 𝜇+ (𝐽𝑀 ) = (𝑛 + 1)(2𝐽 − 𝑛). (1.59) √ √ Коэффициенты 𝑛 и 𝑛 + 1 в уравнении (1.59) совпадают с матричными элементами (I.11.119) операторов 𝑎 ^и𝑎 ^† соответственно и имеют точно такой же смысл. Каждый повышающий шаг 𝐽^+ создает квант отклонения спина и постепенно меняет ориентацию вектора углового момента от 𝐽𝑧 = −𝐽 до 𝐽𝑧 = +𝐽 через все промежуточные состояния; второй сомножитель под квадратным корнем в формуле (1.59) завершает лестницу на требуемом ^ =𝑎 конце. Число шагов 𝑛 является собственным значением оператора 𝑁 ^† 𝑎 ^. Используя очевидные свойства этого оператора (докажите их!) ^ ) = 𝑓 (𝑁 ^ + 1)^ 𝑎 ^ 𝑓 (𝑁 𝑎,

^ + 1) = 𝑓 (𝑁 ^ )^ 𝑎 ^† 𝑓 (𝑁 𝑎† ,

можно записать уравнение (1.58) в другой форме: √︁ √︁ ^𝑎 ^𝑎 𝐽^− = 2𝐽 − 𝑁 ^, 𝐽^+ = 2𝐽 + 1 − 𝑁 ^† .

(1.60)

(1.61)

30

Глава 1 Момент импульса и сферические функции

Сравнение (1.61) с (1.58) показывает, что это представление сохраняет нетронутыми эрмитовы свойства операторов 𝐽^𝑧 и 𝐽^± и, следовательно, является унитарным. Картина спиновых отклонений очень полезна в теории макроскопического магнетизма [10]. Ферромагнетик при нулевой температуре находится в основном состоянии максимальной намагниченности с макроскопически большими значениями 𝐽 и магнитного момента (в наших обозначениях это было бы в направлении, противоположном оси 𝑧, 𝑀 = −𝐽). Тепловое движение вызывает колебания локальной намагниченности, которые распространяются в среде как кванты спиновых волн — магноны (разд. III.14.4). Преобразование Холстейна—Примакова хорошо подходит для описания этой ситуации. Вблизи основного состояния (низкая температура) 𝑛/(2𝐽 + 1) ≪ 1 и повышающий оператор 𝐽^+ ≈ 𝑎 ^† является оператором рождения магнонов. Когда 𝑛 возрастает, можно учесть поправки, возникающие из-за конечности доступного пространства внутри мультиплета (квадратный корень в (1.58)). С точки зрения алгебры Гейзенберга—Вейля всё пространство состояний |𝑛⟩ разлагается здесь на две части: на физическое пространство (0 6 𝑛 6 2𝐽) и нефизическое, для углового момента это пространство с 𝑛 > 2𝐽. Физическое пространство имеет конечную размерность 2𝐽 + 1 находясь в точном соответствии с вращательным мультиплетом |𝐽𝑀 ⟩. Только в этом подпространстве, где три оператора 𝐽^𝑘 связаны между собой физическим ^ 2 , можно выразить их в терминах двух операторов 𝑎 значением J ^ и 𝑎 ^† ; только здесь представление является унитарным. Попытка продолжить формулы преобразования за пределы мультиплета проваливается, потому что квадратные корни становятся мнимыми, 𝐽^± теряют свои свойства эрмитовости и ряды, которые могут быть получены формальным разложе^ /(2𝐽 + 1), расходятся на границе нием квадратного корня по степеням 𝑁 мультиплета. Задача 1.9 Представление Дайсона—Малеева. Показать, что алгебра углового момента реализуется следующим преобразованием операторов рождения и уничтожения: (︂ )︂ √ √ 𝑎 ^† 𝑎 ^ 𝐽^𝑧 = −𝐽 + 𝑎 ^† 𝑎 ^, 𝐽^− = 2𝐽 𝑎 ^, 𝐽^+ = 2𝐽 𝑎 ^† 1 − . (1.62) 2𝐽 Это представление является конечным (не содержит квадратных корней) и поэтому не требует никакого разложения на число квантов; оно также

1.5. Реализация алгебры орбитального момента

31

завершается в правильных местах на концах мультиплета. Однако оно не является унитарным, так как разрушается условие эрмитовой сопряжённости между 𝐽^− и 𝐽^+ .

1.5. Реализация алгебры орбитального момента Применим общую теорию к движению бесспиновой частицы. В этом случае имеем дело только с орбитальным вращением, и соответствующие генераторы — это компоненты орбитального момента ℓ^. Как обычно, выберем ось квантования, назовём её осью 𝑧 и перейдём от декартовых координат к сферическим координатам 𝑟, 𝜃, 𝜙, которые более подходят для описания вращений: 𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜙,

𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜙,

𝑧 = 𝑟 cos 𝜃.

(1.63)

Теперь нам нужно выразить динамические переменные в сферических координатах. Задача 1.10 2 Выразить декартовы компоненты ℓ^𝑖 орбитального момента (I.4.28) и ℓ^ в сферических координатах. Решение Компонент ℓ^𝑧 уже был найден в (I.4.68), 𝜕 ℓ^𝑧 = −𝑖 . 𝜕𝜙 Для поперечных к оси квантования компонент находим (︂ )︂ 𝜕 𝜕 ^ ℓ𝑥 = 𝑖 sin 𝜙 + cot 𝜃 cos 𝜙 , 𝜕𝜃 𝜕𝜙

(︂ )︂ 𝜕 𝜕 ^ ℓ𝑦 = 𝑖 − cos 𝜙 + cot 𝜃 sin 𝜙 . 𝜕𝜃 𝜕𝜙

(1.64)

(1.65)

(1.66)

В приложениях мы будем иметь дело с лестничными комбинациями, аналогичными (I.11.104) и (1.24), (︂ )︂ 𝜕 𝜕 ±𝑖𝜙 ^ ^ ^ ℓ± ≡ ℓ𝑥 ± 𝑖ℓ𝑦 = 𝑒 ± + 𝑖 cot 𝜃 . (1.67) 𝜕𝜃 𝜕𝜙

32

Глава 1 Момент импульса и сферические функции

Используя (1.64-1.66), получаем }︂ {︂ 2 𝜕2 1 𝜕 𝜕 1 ^ . ℓ =− sin 𝜃 + sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 sin2 𝜃 𝜕𝜙2

(1.68)

Оператор Лапласа в сферических координатах разлагается на радиальную и угловую части, причём последняя по существу и есть квадрат орбитального момента (1.68): ∇2 =

1 𝜕 2 𝜕 1 2 𝑟 − 2 ℓ^ . 2 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟

(1.69)

Задача 1.11 Доказать уравнение (1.69) прямым вычислением без использования сферических координат. Решение Используя формализм задачи I.4.5, имеем 2 ℓ^ = ℓ^𝑖 ℓ^𝑖 = −𝜀𝑖𝑗𝑘 𝜀𝑖𝑚𝑛 𝑥𝑗 ∇𝑘 𝑥𝑚 ∇𝑛 ,

(1.70)

и с помощью (I.4.33) 2 ℓ^ = −𝑥𝑗 ∇𝑘 𝑥𝑗 ∇𝑘 + 𝑥𝑗 ∇𝑘 𝑥𝑘 ∇𝑗 .

(1.71)

Коммутаторы 𝑥𝑗 и ∇𝑘 дают ∇𝑘 𝑥𝑗 = 𝛿𝑗𝑘 + 𝑥𝑗 ∇𝑘 ,

∇𝑘 𝑥𝑘 = 3 + 𝑥𝑘 ∇𝑘 ,

(1.72)

и мы получаем 2 ℓ^ = (r · ∇) + (r · ∇)2 − 𝑟2 ∇2 .

(1.73)

Так как (r · ∇) = 𝑟

𝜕 , 𝜕𝑟

(r · ∇)2 = 𝑟

𝜕 𝜕 𝜕 𝜕2 𝑟 =𝑟 + 𝑟2 2 , 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

(1.74)

находим 2 𝜕 𝜕2 𝜕 2𝜕 ℓ^ = −𝑟2 ∇2 + 2𝑟 + 𝑟2 2 = −𝑟2 ∇2 + 𝑟 , 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

(1.75)

1.5. Реализация алгебры орбитального момента

33

что эквивалентно (1.69).

Для приложений к проблеме движения частицы в центральном поле (гл. 2) нам нужно найти в явном виде координатные волновые функции, которые формируют вращательные мультиплеты. В сферических координатах они зависят от углов 𝜃 и 𝜙 (радиальная координата 𝑟 не меняется при поворотах). Мультиплет в целом, неприводимое представление трёхмерной группы вращений, характеризуется квантовым числом ℓ, соответствующим квадрату углового момента ℓ 2 = ℓ(ℓ + 1). Функции внутри мультиплета могут быть помечены квантовым числом 𝑚 проекции ℓ𝑧 на выбранную ось квантования. Соответствующие собственные функции являются сферическими функциями 𝑌ℓ𝑚 (𝜃, 𝜙). Их можно рассматривать в качестве полной системы функций на сфере единичного радиуса, и мы также будем использовать обозначение 𝑌ℓ𝑚 (n), где n — единичный вектор, направление которого определяется полярным углом 𝜃 и азимутальным углом 𝜙. Согласно (1.30), мы должны решить задачу на собственные значения 2 ℓ^ 𝑌 (𝜃, 𝜙) = ℓ(ℓ + 1)𝑌 (𝜃, 𝜙).

(1.76)

Сразу можно разделить угловые переменные, полагая 𝑌ℓ𝑚 (𝜃, 𝜙) = Θℓ𝑚 (𝜃)Φ𝑚 (𝜙).

(1.77)

Используя явный вид (1.68) угловой части оператора Лапласа, получаем sin 𝜃 𝑑 𝑑Θ 1 𝑑2 Φ sin 𝜃 + ℓ(ℓ + 1) sin2 𝜃 = − = 𝑚2 , Θ 𝑑𝜃 𝑑𝜃 Φ 𝑑𝜙2

(1.78)

где 𝑚2 является удобным обозначением для новой константы разделения переменных, и, следовательно, ещё одним квантовым числом. Пара обыкновенных дифференциальных уравнений для угловых функций имеет вид 𝑑2 Φ + 𝑚2 Φ = 0, 𝑑𝜙2

(1.79)

и показывает, что 𝑚2 является собственным значением ℓ^2𝑧 , и sin 𝜃

𝑑 𝑑Θ sin 𝜃 + [ℓ(ℓ + 1) sin2 𝜃 − 𝑚2 ]Θ = 0. 𝑑𝜃 𝑑𝜃

(1.80)

34

Глава 1 Момент импульса и сферические функции

Уравнение (1.79) мы обсудили для плоской задачи, раздел I.11.5, и нашли нормированные экспоненциальные решения (I.11.82) для целых значений 𝑚, выделяя периодические граничные условия для азимутального угла. Так как 𝑚 является целым числом, общая теория углового момента указывает, что значение ℓ тоже должно быть целым. Таким образом, орбитальный момент квантуется в целых числах, и только спиновый момент, не связанный с функциями пространственных координат, может привести к полуцелому квантованию. Функция Θ(𝜃) зависит от обоих квантовых чисел, 𝑚 и ℓ(ℓ+1). Как увидим ниже, для регулярных решений при целом ℓ возможные значения 𝑚 для данного ℓ ограничены неравенством |𝑚| 6 ℓ, как и должно быть для углового момента и его проекции.

1.6. Построение множества сферических функций⋆ Наиболее естественный подход к сферическим функциям, как собственным функциям угловой части оператора Лапласа, восходит к электростатике. Единичный точечный заряд, расположенный в начале координат (плотность заряда 𝜌ch = 𝛿(r)), создаёт сферически-симметричный электростатический потенциал 𝜙 = 1/𝑟, а соответствующее уравнение Пуассона имеет вид ∇2

1 = −4𝜋𝜌ch (r) = −4𝜋𝛿(r). 𝑟

(1.81)

Вне начала координат функция 1/𝑟 удовлетворяет уравнению Лапласа ∇2

1 = 0, 𝑟

𝑟 ̸= 0.

(1.82)

Исходя из этого фундаментального сферически симметричного решения, мы можем построить бесконечное множество зависящих от угла решений уравнения Лапласа, применяя координатные производные к 1/𝑟. Заметим, что 𝜕 1 1 𝑧 𝑧 cos 𝜃 =− 2 =− 3 =− 2 , 𝜕𝑧 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 (︂ )︂ 𝜕 𝜕 1 1 𝑥 ± 𝑖𝑦 sin 𝜃 𝑒±𝑖𝜙 ±𝑖 ≡ ∇± = − 3 = − . 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟2

(1.83) (1.84)

Последовательно беря производные, каждый раз добавляем функцию углов в числителе и увеличиваем степень 𝑟 в знаменателе. Производная по 𝑧

1.6. Построение множества сферических функций⋆

35

порождает только функции от cos 𝜃, в то время как операторы ∇± ≡ 𝜕/𝜕𝑥± 𝑖𝜕/𝜕𝑦, помимо функций от 𝜃, привносят также множитель 𝑒±𝑖𝜙 . Таким образом, для любого множества {e𝑘 } постоянных векторов e1 , e2 , . . . , eℓ , результат ℓ-кратного дифференцирования может быть записан в виде 𝐹ℓ (𝜃, 𝜙) 1 (e1 · ∇) · · · (eℓ · ∇) = 𝑟 𝑟ℓ+1

(1.85)

с угловыми функциями 𝐹ℓ в числителе, которые зависят от выбора векторов e𝑘 . Очевидно, что любая функция типа (1.85) является снова решением уравнения Лапласа, так что применяя оператор Лапласа к функции 𝐹ℓ /𝑟ℓ+1 , уравнение (1.85), мы должны получить нуль. С другой стороны, явно действуя на ту же функцию оператором (1.69), получаем 2 ℓ^ 𝐹ℓ (𝜃, 𝜙) = ℓ(ℓ + 1)𝐹ℓ (𝜃, 𝜙).

(1.86)

Это означает, что функции 𝐹ℓ (𝜃, 𝜙) на самом деле являются собственными функциями квадрата орбитального момента с собственными значениями ℓ(ℓ+1), где, по построению, ℓ = 0, 1, 2, . . . ; вспомним разд. I.5.11 и уравнение (I.5.90). Так как произведение ∇+ ∇− = ∇− ∇+ = ∇2 − ∇2𝑧 не создаёт новых функций от 𝜙, мы можем получить все типы возможной азимутальной зависимости функций 𝐹ℓ (𝜃, 𝜙), выбирая среди ℓ производных определённое число ∇+ или ∇− . Таким образом мы построим мультиплет из (2ℓ + 1) различных угловых функций 𝐹 (назовём их теперь 𝑌ℓ𝑚 ), которые являются сферическими гармониками ранга ℓ, ℓ−𝑚 1 𝑌ℓ ±𝑚 (𝜃, 𝜙) = const 𝑟ℓ+1 ∇𝑚 . ± ∇𝑧 𝑟

(1.87)

Здесь 𝑚 = 0, 1, . . . , +ℓ, и зависимость от 𝜙 очевидна из (1.84), 𝑌ℓ ±𝑚 ∝ exp(±𝑖𝑚𝜙), в согласии с уравнениями (1.77) и (I.11.82). В соответствии с общей теорией, мы будет маркировать все (2ℓ + 1) сферические функции для данного ℓ положительными и отрицательными числами 𝑚 = −ℓ, −ℓ + 1, . . ., −1, 0, 1, . . ., ℓ − 1, ℓ. Нормируя отдельно азимутальную часть, запишем сферические функции в виде 1 𝑌ℓ𝑚 (𝜃, 𝜙) = Θℓ𝑚 (𝜃) √ 𝑒𝑖𝑚𝜙 . 2𝜋

(1.88)

Члены мультиплета отличаются ориентацией в пространстве и, следовательно, могут быть преобразованы друг в друга путём вращений, порождённых

36

Глава 1 Момент импульса и сферические функции

орбитальным моментом (разд. I.4.7). Следствия мультиплетной структуры, наряду с другим способом построения сферических гармоник, будут рассмотрены позже.

1.7. Простейшие свойства сферических функций⋆ Сферические функции как функции от 𝜃 являются полиномами от sin 𝜃 и cos 𝜃, и поэтому они регулярны на концах интервала, 𝜃 = 0, 𝜋. Согласно общим свойствам эрмитовых операторов, сферические функции с различными квантовыми числами (ℓ, 𝑚) автоматически ортогональны, и полная нормировка (выбор константы в (1.87)) будет всегда определяться как ∫︁

𝑑𝑜 𝑌ℓ*′ 𝑚′ (n)𝑌ℓ𝑚 (n)

∫︁ ≡

2𝜋

∫︁ 𝑑𝜙

0

0

𝜋

sin 𝜃𝑑𝜃 𝑌ℓ*′ 𝑚′ (𝜃, 𝜙)𝑌ℓ𝑚 (𝜃, 𝜙) = 𝛿ℓ′ ℓ 𝛿𝑚′ 𝑚 . (1.89)

Здесь мы использовали обозначение 𝑑𝑜 для элемента телесного угла. Возможны ещё произвольные фазовые множители в определении 𝑌ℓ𝑚 . Будем предполагать, что мнимые части возникают только из явных азимутальных функций exp(𝑖𝑚𝜙), в то время как функции Θℓ𝑚 (𝜃) действительны. Тогда 𝑌ℓ𝑚 и 𝑌ℓ*−𝑚 пропорциональны друг другу. Общепринятый выбор даётся условием * 𝑌ℓ −𝑚 (𝜃, 𝜙) = (−)𝑚 𝑌ℓ𝑚 (𝜃, 𝜙).

(1.90)

Позже мы вернёмся к этому вопросу в связи с инвариантностью относительно обращения времени. Как множество собственных функций коммутирующих эрмитовых опе2 раторов ℓ^ и ℓ^𝑧 , множество сферических функций 𝑌ℓ𝑚 (𝜃, 𝜙) для всех ℓ и 𝑚 является полным, так что любая регулярная функция углов может быть разложена по сферическим функциям 𝑌ℓ𝑚 . Коэффициенты этого разложения могут быть легко найдены с помощью условия ортонормированности (1.89). Для произвольной функции углов 𝐹 (n) разложение имеет вид ∑︁ 𝐹 (n) = 𝐹ℓ𝑚 𝑌ℓ𝑚 (n). (1.91) ℓ𝑚

1.8. Скаляры и векторы⋆ Согласно (1.89), ∫︁ * 𝐹ℓ𝑚 = 𝑑𝑜 𝑌ℓ𝑚 (n)𝐹 (n).

37

(1.92)

Подставляя (1.92) обратно в разложении (1.91), получаем тождество ∫︁ ∑︁ * (n′ )𝑌ℓ𝑚 (n). (1.93) 𝐹 (n) = 𝑑𝑜′ 𝐹 (n′ ) 𝑌ℓ𝑚 ℓ𝑚

Поэтому условие полноты множества сферических гармоник можно записать в виде ∑︁ * 𝑌ℓ𝑚 (n′ )𝑌ℓ𝑚 (n) = 𝛿(n − n′ ). (1.94) ℓ𝑚

Как мы знаем из разд. I.8.3, помимо вращательной инвариантности система может иметь ещё одну важную пространственную симметрию, а именно инвариантность по отношению к инверсии координат, r → −r. В декартовых координатах преобразование инверсии означает, что (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (−𝑥, −𝑦, −𝑧), в то время как в сферических координатах (𝑟, 𝜃, 𝜙) → (𝑟, 𝜋 − 𝜃, 𝜙 + 𝜋),

(1.95)

так что sin 𝜃 не меняется, cos 𝜃 меняет знак и функция 𝑒−𝑖𝑚𝜙 приобретает множитель (−)𝑚 . Повороты коммутируют с инверсией; это легко можно понять из геометрических соображений, а также проверить формально. Это означает, что если состояние, принадлежащее вращательному мультиплету, имеет определённую чётность, то это квантовое число должно быть одинаковым для всех членов мультиплета. Поскольку каждый оператор градиента ∇𝑖 , также как любая компонента оператора импульса 𝑝𝑖 = −𝑖~𝜕𝑖 , меняет чётность функции, уравнение (1.87) показывает, что функции 𝑌ℓ𝑚 для всех разрешённых 𝑚 имеют чётность (−)ℓ , 𝒫^ 𝑌ℓ𝑚 (n) = 𝑌ℓ𝑚 (−n) = (−)ℓ 𝑌ℓ𝑚 (n).

(1.96)

1.8. Скаляры и векторы⋆ Любая функция координат может быть представлена в виде ряда сферических гармоник с коэффициентами, зависящими только от 𝑟. Рассмотрим первые члены разложения. Слагаемое с ℓ = 0, или 𝑠-волна, пропорциональ-

38

Глава 1 Момент импульса и сферические функции

но сферической функции √︂ 1 𝑌00 = const = 4𝜋

(1.97)

и не зависит от углов. Оно не меняется при вращениях, 𝑌00 является скаляром. Для ℓ = 1, 𝑝-волна, имеем три функции √︂ √︂ 3 3 cos 𝜃, 𝑌1±1 = ∓ sin 𝜃 𝑒±𝑖𝜙 . (1.98) 𝑌10 = 4𝜋 8𝜋 Для любого вектора V можно ввести вместо декартовых компонент 𝑉𝑖 = (𝑉𝑥 , 𝑉𝑦 , 𝑉𝑧 ) так называемые сферические компоненты 𝑉𝑚 , 𝑚 = 0, ±1: 𝑉0 = 𝑉𝑧 ,

1 𝑉±1 = ∓ √ (𝑉𝑥 ± 𝑖𝑉𝑦 ). 2

(1.99)

√ Сферические компоненты 𝑉±1 отличаются лишь множителем ∓1/ 2 от лестничных компонент 𝑉± , уравнение (I.11.104), также используемых для оператора градиента в разд. 1.6. Из (1.98) и (1.99) мы видим, что функции 𝑌1𝑚 (n) являются по существу сферическими компонентами вектора n, √︂ 3 𝑛𝑚 . (1.100) 𝑌1𝑚 (n) = 4𝜋 Используя «спиновые» комбинации единичных декартовых векторов (1.32), также можно выразить сферические компоненты векторов как скалярные произведения (с определением (I.6.32) для комплексных векторов 𝜒 , что здесь совпадает с (1.90)) † 𝜒−𝑚 · 𝑉 ) = (𝜒 𝜒𝑚 𝑉𝑚 = (−)𝑚 (𝜒 · V).

(1.101)

Задача 1.12 a) Показать, что любую угловую волновую функцию частицы с орбитальным моментом ℓ = 1 можно записать в виде 𝜓(n) = (a · n),

(1.102)

где a постоянный комплексный вектор, который не зависит от направления n = r/𝑟.

1.8. Скаляры и векторы⋆

39

b) Для волновой функции, записанной в виде (1.102), найти средние значения компонент орбитального момента ℓ^𝑘 . c) Для того же состояния можно ли найти направление e, для которого среднее значение оператора (^ℓ ·e) (проекция орбитального момента на направление, характеризуемое единичным вектором e) равно 1? Другими словами, является ли любое состояние частицы с ℓ = 1 поляризованным в некотором направлении?

Решение a) Чтобы представить функцию (1.102) в виде суперпозиции сферических функций 𝑌1𝑚 с произвольными коэффициентами 𝐶𝑚 и определить вектор a в терминах этих коэффициентов, возьмем вектор a со сферическими компонентами √︂ 3 𝑚 𝑎𝑚 = (−) 𝐶−𝑚 , (1.103) 4𝜋 или, в декартовом виде, √︂ 𝑎𝑧 =

3 𝐶0 , 4𝜋

√︂ 𝑎𝑥 =

3 (𝐶−1 − 𝐶+1 ), 8𝜋

√︂ 𝑎𝑦 = −𝑖

3 (𝐶+1 + 𝐶−1 ). 8𝜋 (1.104)

В общем случае эти декартовы компоненты 𝑎𝑘 должны быть комплексными. b) Поскольку функция 𝜓 не предполагалась нормированной, нужное среднее значение должно быть записано в виде отношения двух угловых интегралов (мы используем декартовы компоненты ℓ^𝑖 ), ∫︀ 𝑑𝑜 (a* · n) ℓ^𝑖 (a · n) ⟨ℓ^𝑖 ⟩ = ∫︀ . (1.105) 𝑑𝑜 (a* · n) (a · n) Здесь важно, что a в общем случае является комплексным вектором; оператор ℓ^ берётся в стандартном представлении как дифференциальный оператор (I.4.34), действующий на углы единичного вектора n. Начнём с нормировочного интеграла в знаменателе формулы (1.105): ∫︁ ∫︁ 𝑑𝑜 (a* · n)(a · n) = 𝑎*𝑖 𝑎𝑘 𝑑𝑜 𝑛𝑖 𝑛𝑘 , (1.106)

40

Глава 1 Момент импульса и сферические функции где подразумевается суммирование по дважды повторяющимся декартовым индексам. Здесь мы встречаем типичный интеграл ∫︁ 𝐼𝑖𝑘 = 𝑑𝑜 𝑛𝑖 𝑛𝑘 . (1.107) Тензор второго ранга 𝐼𝑖𝑘 должен быть диагональным, поскольку для 𝑖 ̸= 𝑘 интеграл (1.107) обращается в нуль (положительные и отрицательные вклады для каждой координаты компенсируют друг друга). Кроме того, при 𝑖 = 𝑘 интеграл будет одинаковым для любого 𝑖 (𝑥, 𝑦 или 𝑧), так что результат интегрирования должен быть пропорционален символу Кронекера 𝐼𝑖𝑘 = 𝐴𝛿𝑖𝑘 . Чтобы определить константу 𝐴, вычислим след матрицы 𝐼𝑖𝑘 : ∫︁ ∫︁ 2 Tr 𝐼 = 𝐼𝑘𝑘 = 3𝐴 = 𝑑𝑜 n = 𝑑𝑜 = 4𝜋.

(1.108)

(1.109)

Таким образом, 𝐴=

4𝜋 , 3

и нормировочный интеграл (1.106) оказывается равным ∫︁ 4𝜋 4𝜋 2 𝑑𝑜 (a* · n)(a · n) = 𝛿𝑖𝑘 𝑎*𝑖 𝑎𝑘 = |a| . 3 3

(1.110)

(1.111)

Теперь искомое среднее значение принимает вид ⟨ℓ^𝑖 ⟩ =

3 𝑎*𝑗 𝑎𝑘 𝐼𝑖;𝑗𝑘 , 4𝜋 |a|2

где ℓ^𝑖 = −𝑖𝜀𝑖𝑙𝑚 𝑥𝑙 ∇𝑚 , и возник другой интеграл того же типа, ∫︁ ∫︁ ^ 𝐼𝑖;𝑗𝑘 = 𝑑𝑜 𝑛𝑗 ℓ𝑖 𝑛𝑘 = −𝑖𝜀𝑖𝑙𝑚 𝑑𝑜 𝑛𝑗 𝑛𝑙 (𝛿𝑘𝑚 − 𝑛𝑘 𝑛𝑚 ).

(1.112)

(1.113)

1.8. Скаляры и векторы⋆

41

Так как 𝜀𝑖𝑙𝑚 𝑛𝑙 𝑛𝑚 = 0 (векторное произведение вектора n на самого себя), мы остались с выражением ∫︁ 4𝜋 𝐼𝑖;𝑗𝑘 = −𝑖𝜀𝑖𝑙𝑘 𝑑𝑜 𝑛𝑗 𝑛𝑙 = −𝑖𝜀𝑖𝑙𝑘 𝐼𝑗𝑙 = −𝑖 𝜀𝑖𝑗𝑘 , (1.114) 3 так что ⟨ℓ^𝑖 ⟩ = −𝑖

𝜀𝑖𝑗𝑘 𝑎*𝑗 𝑎𝑘 . |a|2

(1.115)

Конечный результат можно записать в векторной форме, [a* × a] ⟨ℓ^⟩ = −𝑖 . |a|2

(1.116)

Момент импульса − аксиальный вектор, a единственный аксиальный вектор, который может быть построен с помощью двух имеющихся векторов, a и a* , есть их векторное произведение. c) Ненулевое среднее значение орбитального момента возможно только если a комплексный вектор; векторное произведение в (1.116) является мнимым вектором, и среднее значение ^ℓ действительно, как и должно быть для эрмитового оператора. Если запишем комплексный вектор a в терминах двух вещественных векторов, b и c, a = b + 𝑖c,

(1.117)

наш ответ принимает вид 2[b × c] ⟨ℓ^⟩ = 2 . b + c2

(1.118)

Абсолютное значение этого среднего не может превышать 1 для любой пары вещественных векторов b и c, в согласии с тем, что собственные значения компонент ℓ равны 0 или ±1. Существуют два особых случая. Значение 1 появляется при |b| = |c|, если эти векторы перпендикулярны друг другу; это собственное состояние компоненты ℓ , нормальной к плоскости, образованной векторами b и c, с проекцией +1 на направление этой нормали, или -1 на противоположное направление. Такое описание аналогично поляризации фотонов; это особое состояние имеет круговую поляризацию (правую или левую). Случай параллельных векторов b и c соответствует состоянию с определённой (равной нулю) проекцией ℓ^ на

42

Глава 1 Момент импульса и сферические функции их общее направление. Такое состояние соответствовало бы продольной поляризации фотона (вдоль волнового вектора), которая запрещена для реальных фотонов. За исключением этих двух случаев для общего состояния с ℓ = 1 нет направления, на которое проекция углового момента имела бы определённое значение. Подобная же ситуация имеет место для любого значения углового момента 𝐽 > 1. Только состояния со спином 1/2 всегда поляризованы в некотором направлении, как мы увидим позже.

Все векторы ведут себя одинаково при поворотах. Поэтому мы заключаем, что любой векторный оператор преобразуется как сферическая функция ранга 1. Нормированный радиус-вектор n является примером полярного вектора (разд. I.8.4). Его компоненты, подобно сферическим функциям 𝑌1𝑚 , меняют знак при пространственной инверсии. Умножая функцию определённой чётности на 𝑌ℓ𝑚 , мы меняем её чётность на (−)ℓ . Аксиальные векторы, такие как ℓ, не меняют знак при инверсии, и их действие на функцию не изменяет её чётность в соответствии с тем фактом, что все члены мультиплета имеют одинаковую чётность.

1.9. Тензоры второго ранга Комбинируя несколько векторов, можно построить более сложные объекты, тензоры, которые при поворотах ведут себя как сферические функции. Скалярное произведение двух векторов (a · b) = 𝑎𝑥 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 𝑏𝑧 ≡ 𝑎𝑖 𝑏𝑖

(1.119)

может быть также выражено через сферические компоненты (1.98): ∑︁ (a · b) = (−)𝑚 𝑎𝑚 𝑏−𝑚 . (1.120) 𝑚=0,±1

Рассмотрим девять величин 𝑇𝑖𝑗 = 𝑎𝑖 𝑏𝑗 , построенных из декартовых компонент векторов a и b. Они приводимы относительно вращений и могут быть сгруппированы в меньшие неприводимые множества. Сначала выделим две части с различной симметрией (подматрицы, которые симметричны, 𝑆, или антисимметричны, 𝐴, при перестановке индексов матрицы), 1 1 𝑇𝑖𝑗 = 𝑆𝑖𝑗 + 𝐴𝑖𝑗 = (𝑎𝑖 𝑏𝑗 + 𝑎𝑗 𝑏𝑖 ) + (𝑎𝑖 𝑏𝑗 − 𝑎𝑗 𝑏𝑖 ). 2 2

(1.121)

1.9. Тензоры второго ранга

43

Задача 1.13 Показать, что повороты сохраняют перестановочную симметрию, так что 𝑆𝑖𝑗 и 𝐴𝑖𝑗 преобразуются независимо при поворотах.

Симметричная часть 𝑆𝑖𝑗 всё ещё приводима, так как след Tr 𝑆 = 𝑆𝑖𝑖 = (a · b) является скалярной величиной и вообще не меняется при поворотах. Мы можем вычесть инвариантный скаляр с таким коэффициентом, что остальная часть будет бесследовой, 1 𝑆𝑖𝑗 = (a · b)𝛿𝑖𝑗 + 𝑄𝑖𝑗 . 3

(1.122)

Симметричный тензор 𝑄𝑖𝑗 =

)︁ 1 (︁ 2 𝑎𝑖 𝑏𝑗 + 𝑎𝑗 𝑏𝑖 − (a · b)𝛿𝑖𝑗 2 3

(1.123)

является бесследовым, Tr 𝑄 = 𝑄𝑖𝑖 = 0, и неприводимым. Он имеет пять независимых компонент. Антисимметричная часть 1 1 𝐴𝑖𝑗 = (𝑎𝑖 𝑏𝑗 − 𝑎𝑗 𝑏𝑖 ) = 𝜀𝑖𝑗𝑘 [a × b]𝑘 2 2

(1.124)

имеет три независимые компоненты. Она эквивалентна (по отношению к вращениям) вектору [a × b]. Если оба вектора a и b полярные, компоненты их векторного произведения не меняют знак при инверсии пространственных координат. Такой вектор является аксиальным (разд. I.8.4). Подводя итоги, разложение приводимого тензора 𝑇𝑖𝑗 на неприводимые части 𝑆𝑖𝑗 , 𝐴𝑖𝑗 и 𝑄𝑖𝑗 может быть символически представлено в виде ⨂︁ 3 3 = 1 + 3 + 5, (1.125) где подчёркнутые числа обозначают размерности 2ℓ + 1 мультиплетов (неприводимых представлений группы вращений) ранга ℓ. Чтобы понять вращательные свойства симметричного тензора (1.123), мы должны сравнить его преобразования с преобразованиями сферических гармоник. Так как все векторы преобразуются одинаково, достаточно рассмотреть случай a = b = n(𝜃, 𝜙). Тогда можно установить взаимно однозначное соответствие между пятью нормированными сферическими функциями второго ранга 𝑌2𝑚 (n) и линейными комбинациями пяти компо-

44

Глава 1 Момент импульса и сферические функции

нент 𝑄𝑖𝑗 , √︂

√︂ 5 5 1 𝑌20 (n) = (2 cos2 𝜃 − sin2 𝜃) ⇒ (2𝑄𝑧𝑧 − 𝑄𝑥𝑥 − 𝑄𝑦𝑦 ), (1.126) 16𝜋 4𝜋 2 √︂ √︂ √︂ 15 5 3 ±𝑖𝜙 𝑌2±1 (n) = ∓ cos 𝜃 sin 𝜃 𝑒 ⇒ (𝑄𝑥𝑧 ± 𝑖𝑄𝑦𝑧 ), (1.127) 8𝜋 4𝜋 2 √︂ √︂ √︂ 15 5 3 2 ±2𝑖𝜙 sin 𝜃 𝑒 ⇒ (𝑄𝑥𝑥 ± 2𝑖𝑄𝑥𝑦 − 𝑄𝑦𝑦 ). (1.128) 𝑌2±2 (n) = 32𝜋 4𝜋 8 Обратно: компоненты 𝑄𝑖𝑗 являются линейными комбинациями 𝑌2𝑚 (n) и, следовательно, соответствуют тензорному оператору второго ранга, ℓ = 2. Пять комбинаций в правых частях уравнений (1.126 — 1.128) организованы таким образом, что они образуют сферический тензор √︂ 4𝜋 𝑄2𝑚 ∝ 𝑌2𝑚 (n). (1.129) 5 Важным примером является тензор электростатического квадрупольного момента системы зарядов 𝑒𝑎 [1, § 41], )︁ ∑︁ (︁ 𝑄𝑖𝑗 = 𝑒𝑎 3𝑥𝑖 (𝑎)𝑥𝑗 (𝑎) − 𝑟2 (𝑎)𝛿𝑖𝑗 . (1.130) 𝑎

Это симметричный бесследовый, 𝑄𝑖𝑖 = 0, тензор, который имеет пять независимых компонент и с точки зрения его вращательных свойств однозначно соответствует (1.129) мультиплету сферических гармоник 𝑌2𝑚 . Вывод таков, что любой набор девяти величин 𝑇𝑖𝑗 , которые преобразуются при поворотах как произведения компонент векторов, можно разложить на скаляр, вектор (антисимметричный тензор) и симметричный тензор второго ранга. Процедура может быть расширена на тензоры более высокого порядка 𝑇𝑖𝑗𝑘... ∼ 𝑎𝑖 𝑏𝑗 𝑐𝑘 . . . . Мы вернёмся к этой теме при обсуждении общих тензорных операторов.

Задача 1.14 Рассмотрим векторную функцию (︁ )︁ ^ 𝑙𝑚 (n) , n = r , Ψ (r) = V𝑌 𝑟

(1.131)

1.10. Сферические функции и полиномы Лежандра⋆

45

^ , ℓ^, действующих на где V является одним из трех векторных операторов r, p сферическую функцию. Доказать, что Ψ(r) является собственной функцией ^ с квантовыми числами 𝐽 = ℓ и 𝑀 = 𝑚. полного углового момента J Решение ^ = ℓ^ + S, ^ где оператор спина S ^ Определим полный угловой момент как J ^ ^ ^ действует на векторные компоненты как в уравнении (1.15), 𝑆𝑖 𝑉𝑘 = −𝑖𝜀𝑖𝑘𝑙 𝑉𝑙 . С другой стороны, для любого вектора [ℓ^𝑖 , 𝑉^𝑘 ] = 𝑖𝜀𝑖𝑘𝑙 𝑉^𝑙 . Так как 𝐽^𝑖 𝑉^𝑘 = (ℓ^𝑖 + 𝑆^𝑖 )𝑉^𝑘 = [ℓ^𝑖 , 𝑉^𝑘 ] + 𝑆^𝑖 𝑉^𝑘 + 𝑉^𝑘 ℓ^𝑖 ,

(1.132)

применяя 𝐽^𝑖 к функции (1.131) и используя (1.132), получаем ^ 𝑙𝑚 = V ^ ℓ^𝑖 𝑌ℓ𝑚 . 𝐽^𝑖 V𝑌

(1.133)

Поэтому действие полного углового момента на всю функцию (1.131) эквивалентно действию орбитального момента только на сферическую функцию, и вращательные квантовые числа в точности такие же, как для сферической функции 𝑌ℓ𝑚 . В частности, для ℓ = 0, операторы с градиентом, ^ =p ^ = ^ℓ, дают нуль, и оставшийся вектор r даёт скаляр. В самом ^ иV V деле, здесь это не координаты частицы, а радиальное поле, Ψ ∝ r («ёж»), которое обладает очевидной вращательной симметрией и не меняется при поворотах.

1.10. Сферические функции и полиномы Лежандра⋆ Сферические гармоники 𝑌ℓ𝑚 (n) являются общими собственными функциями коммутирующих операторов ℓ 2 и ℓ𝑧 . Поперечные компоненты орбитального момента ℓ^± , согласно лестничному соотношению (I.11.105), ^ в том числе и которое справедливо для любого векторного оператора V, ^ для самого ℓ , передвигают состояние вдоль лестницы, изменяя 𝑚 на ±1, но оставляя квантовое число ℓ без изменения. Как и должно быть, повышающие и понижающие операторы, явно заданные в уравнении (1.67), меняют 𝜙-зависимость функций, добавляя должным образом фактор exp(±𝑖𝜙). Используя эти алгебраические свойства, укажем способ построения сферических функций, альтернативный тому, что мы использовали в разд. 1.6. Так как по построению максимально возможное значение 𝑚 (𝑧-проекции) в мультиплете есть ℓ («длина» вектора орбитального момента, вспомните соотношение неопределённостей, уравнение (I.5.91)), верхнее состояние с

46

Глава 1 Момент импульса и сферические функции

𝑚 = ℓ не может двигаться дальше по лестнице и должно уничтожаться повышающим оператором. Поэтому ℓ^+ 𝑌ℓℓ = 0.

(1.134)

Это даёт простое уравнение первого порядка для функции Θℓℓ (𝜃), определённой формулой (1.67): 𝑑Θℓℓ = ℓ cot 𝜃 Θℓℓ . 𝑑𝜃

(1.135)

Решение (1.135), нормированное согласно (1.89), имеет вид √︂ (2ℓ + 1)! 1 Θℓℓ (𝜃) = sinℓ 𝜃. 2 2ℓ ℓ!

(1.136)

Чем больше ℓ, тем больше эта функция сосредоточенна вблизи экватора, 𝜃 = 𝜋/2, что характерно для квазиклассической орбиты в плоскости, перпендикулярной к направлению орбитального момента. Теперь мы можем действовать понижающим оператором ℓ^− , уравнение (1.67), и идти вниз по лестнице к нижележащим членам мультиплета. Таким образом получим 1 𝑌ℓ ℓ−1 = √ ℓ^− 𝑌ℓℓ , 2ℓ

[︂ ··· ,

𝑌ℓ𝑚 =

(ℓ + 𝑚)! (ℓ − 𝑚)!(2ℓ)!

]︂1/2

(ℓ^− )ℓ−𝑚 𝑌ℓℓ . (1.137)

Зная матричные элементы понижающего оператора, можно избежать громоздких повторений нормировки. Результат может быть выражен в терминах присоединённых полиномов Лежандра 𝑃ℓ𝑚 (𝑥) Θℓ𝑚 (𝜃) = (−)

𝑚

[︂

𝑃ℓ𝑚 (𝜃) = (−)ℓ−𝑚

2ℓ + 1 (ℓ − 𝑚)! 2 (ℓ + 𝑚)!

]︂1/2 𝑃ℓ𝑚 (𝜃),

(ℓ + 𝑚)! 1 1 𝑑ℓ−𝑚 sin2ℓ 𝜃. (ℓ − 𝑚)! 2ℓ ℓ! sin𝑚 𝜃 (𝑑 cos 𝜃)ℓ−𝑚

(1.138)

(1.139)

Обратите внимание, что определения различных авторов могут отличаться в соглашении о фазе. При 𝜃 → 0 регулярная функция углов, такой как 𝑌ℓ𝑚 , не может зависеть от 𝜙, так как азимутальный угол не определён при 𝜃 = 0. Поэтому все функции 𝑌ℓ𝑚 обращаются в нуль при 𝜃 = 0 за исключением 𝑌ℓ0 , которая не несёт никакой 𝜙-зависимости. При 𝑚 = 0 присоединённые полиномы

1.10. Сферические функции и полиномы Лежандра⋆

47

Лежандра (1.139) сводятся к обычным полиномам Лежандра: 𝑃ℓ (cos 𝜃) ≡ 𝑃ℓ0 (𝜃),

(1.140)

так что √︂ 𝑌ℓ0 (n) =

2ℓ + 1 𝑃ℓ (cos 𝜃). 4𝜋

(1.141)

Легко видеть из (1.139), что все полиномы Лежандра равны 1 в направлении вперёд: 𝑃ℓ (1) = 1.

(1.142)

Откуда для направления вдоль оси квантования √︂ 2ℓ + 1 𝑌ℓ𝑚 (𝜃 = 0) = 𝛿𝑚0 . 4𝜋

(1.143)

Полиномы Лежандра ортонормированы как функции 𝑥 = cos 𝜃 на отрезке от -1 до +1: ∫︁ 𝜋 ∫︁ 1 2 𝑑𝑥𝑃ℓ′ (𝑥)𝑃ℓ (𝑥) = 𝛿ℓ′ ℓ . (1.144) 𝑑𝜃 sin 𝜃 𝑃ℓ′ (cos 𝜃)𝑃ℓ (cos 𝜃) = 2ℓ + 1 −1 0 Первые четыре полинома имеют вид 𝑃0 (𝑥) = 1,

𝑃1 (𝑥) = 𝑥,

1 𝑃2 (𝑥) = (3𝑥2 −1), 2

1 𝑃3 (𝑥) = (5𝑥3 −3𝑥). (1.145) 2

Принимая n′ = e𝑧 , единичный вектор в направлении оси 𝑧, и применяя (1.93) и (1.141), получаем соотношение полноты ∑︁ (2ℓ + 1)𝑃ℓ (𝑥) = 4𝜋𝛿(𝑥 − 1), (1.146) ℓ

показывающее, что полиномы Лежандра компенсируют друг друга во всех направлениях, за исключением переднего. Из-за соотношения полноты функции, не зависящие от 𝜙, а только от cos 𝜃, можно разложить в ряд по полиномам Лежандра.

48

Глава 1 Момент импульса и сферические функции

Соотношение чётности (1.96) очевидно для 𝑃ℓ , которые являются полиномами порядка ℓ от cos 𝜃. В частности, для направления назад 𝑃ℓ (−1) = (−)ℓ ,

(1.147)

что приводит к аналогу уравнения (1.146), ∑︁ (2ℓ + 1)(−)ℓ 𝑃ℓ (𝑥) = 4𝜋𝛿(𝑥 + 1).

(1.148)

ℓ

Задача 1.15 Вывести общее выражение для полиномов Лежандра 𝑃ℓ (cos 𝜃) 𝑃𝑙 (𝑥) =

1 2ℓ ℓ!

𝑑ℓ 2 (𝑥 − 1)ℓ . 𝑑𝑥ℓ

(1.149)

Решение Функция (1.149) определяет регулярное решение дифференциального уравнения для полиномов Лежандра, что следует из (1.80) при 𝑚 = 0: (︂ )︂ 1 𝑑 𝑑𝑃ℓ sin 𝜃 + ℓ(ℓ + 1)𝑃ℓ = 0. (1.150) sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 Коэффициент перед (1.149) определяется условием (1.142). Задача 1.16 Доказать следующие полезные свойства полиномов Лежандра: a) рекуррентные соотношения (штрих означает производную 𝑑/𝑑𝑥) ′ 𝑃ℓ+1 (𝑥) − 𝑥𝑃ℓ′ (𝑥) = (ℓ + 1)𝑃ℓ (𝑥),

′ 𝑥𝑃ℓ′ (𝑥) − 𝑃ℓ−1 (𝑥) = ℓ𝑃ℓ (𝑥), (1.151)

где во втором уравнении для ℓ = 0 мы предполагаем, что 𝑃−1 (𝑥) = 0; b) при 𝑥 = 0 производные чётных полиномов имеют вид 𝑃ℓ′ even (𝑥 = 0) = 0;

(1.152)

c) при 𝑥 = 0 и для чётного ℓ 𝑃ℓ (𝑥 = 0) = (−)𝑙/2

(ℓ − 1)!! , 2ℓ ℓ!

′ 𝑃ℓ+1 (𝑥 = 0) = (−)𝑙/2

(ℓ + 1)!! . (1.153) 2ℓ ℓ!

1.11. Угловой момент во внешнем поле

49

Задача 1.17 Вывести квазиклассическую асимптотику для полиномов Лежандра. Решение В целях приведения уравнения (1.150) к форме уравнения Шрёдингера, введем новую функцию √ 𝐹ℓ (𝜃) = sin 𝜃 𝑃ℓ (cos 𝜃), (1.154) что удовлетворяет [︃(︂ ]︃ )︂ 𝑑2 𝐹ℓ 1 2 1 𝐹ℓ = 0. + ℓ+ + 𝑑𝜃2 2 4 sin2 𝜃 Тогда квазиклассическая асимптотика даётся выражением [︂(︂ )︂ ]︂ 1 𝜋 𝐹𝑙 (𝜃) ≈ 𝑓ℓ sin ℓ + 𝜃+ , 2 4

(1.155)

(1.156)

где постоянный множитель 𝑓ℓ не может быть найден из уравнения (1.155). Значения (1.153) определяют этот коэффициент для ℓ ≫ 1, когда можно использовать формулу Стирлинга (I.9.96) для факториалов, √︂ 2 𝑓ℓ ≈ . (1.157) 𝜋ℓ Квазиклассическая асимптотика справедлива при больших ℓ за исключением узкой области углов вблизи полярной оси, 𝜃 = 0 и 𝜃 = 𝜋.

1.11. Угловой момент во внешнем поле Скалярные операторы коммутируют с полным угловым моментом системы. Если система изотропна (нет внешних полей), гамильтониан не должен меняться при вращении системы как целого: он должен быть скалярным оператором, ^ 𝐻] ^ = 0. [J,

(1.158)

(В релятивистской теории это утверждение остаётся в силе в системе центра масс; оно также может быть обобщено для преобразований Лоренца.) ^ угловой момент J являТаким образом, для скалярного гамильтониана 𝐻

50

Глава 1 Момент импульса и сферические функции

ется интегралом движения. Мы должны подчеркнуть, что J представляет собой полный угловой момент системы, включая все орбитальные и спиновые степени свободы всех частиц: система инвариантна, только если мы повернем её как целое, избегая любых искажений внутренней структуры. Как отмечалось в разд. I.7.10, сохранение углового момента (так же как другие классические правила сохранения) является следствием симметрии системы, вращательной в данном случае. Повороты связывают разные состояния внутри мультиплета |𝐽𝑀 ⟩. Так как эти состояния отличаются только ориентацией, что в отсутствие внешних источников анизотропии не меняет внутреннюю структуру, все состояния |𝐽𝑀 ⟩ с одним и тем же 𝐽, но с различными 𝑀 являются вырожденными по энергии. Когда внешнее поле нарушает вращательную симметрию, угловой момент больше не сохраняется. Рассмотрим простейший пример статического однородного векторного поля ℬ , которое связано с моментом импульса взаимодействием ^ · ℬ ). ^ ′ = −𝑔~(J 𝐻

(1.159)

Можно считать ℬ магнитным полем. Тогда ^ ^ = 𝑔~J 𝜇

(1.160)

представляет собой оператор магнитного момента, и 𝑔 есть гиромагнитное отношение магнитного момента к механическому моменту ~J, вспомним разд. I.1.9. Гамильтониан (1.160) содержит только проекцию углового момента на направление поля; возьмём его в качестве оси 𝑧. Это единственное направление в пространстве, которое физически выделено. Вращения вокруг этой оси по-прежнему не меняют систему: осевая симметрия сохраняется, в то время как общая вращательная симметрия не имеет места. Полезно подчеркнуть, что мы всегда предполагаем вращение системы в фиксированном внешнем поле: если поле ℬ рассматривается как часть системы и тоже участвует во вращении, полная инвариантность восстанавливается. Генератор вращений в плоскости, перпендикулярной полю, является сохраняющейся величиной 𝐽𝑧 . ^ 2 тоже коммутирует с 𝐻 ^ (1.159). Поэтому мы всё Оператор Казимира J ещё можем маркировать стационарные состояния |𝐽𝑀 ⟩ теми же квантовыми числами, что и в случае полной вращательной симметрии. Но поле

1.11. Угловой момент во внешнем поле

51

расщепляет уровни энергии в мультиплете, и они теперь зависят от 𝑀 , 𝐸𝑀 = −𝑔~ℬ𝑀.

(1.161)

Это зеемановское расщепление линейно по величине поля и сохраняет центр тяжести мультиплета. При 𝑔 > 0 мы имеем ориентацию углового момента вдоль внешнего поля, самое низкое энергетическое состояние соответствует максимальному выстраиванию с 𝑀 = 𝐽. В задаче Ландау (разд. I.13.4) мы не учитывали спин электрона. Взаимодействие спина с магнитным полем характеризуется (разд. I.1.9) гиромагнитным отношением 𝑔𝑠 = 𝑒/𝑚𝑐 = 2𝑔ℓ . Соответствующий вклад имеет вид 𝐻𝑠 = −𝑔𝑠 ~(^s · ℬ ) = −

𝑒~ℬ 𝑠^𝑧 . 𝑚𝑐

(1.162)

Вводя циклотронную частоту (13.38) и добавляя спиновый вклад (1.162) к орбитальному квантованию (I.13.61), мы приходим к полному спектру энергии частицы со спином 1/2 (с проекцией спина 𝑠𝑧 = ±1/2 ) в статическом однородном магнитном поле (︂ )︂ 1 𝐸(𝑛, 𝑠𝑧 ) = ~𝜔𝑐 𝑛 + − (sign 𝑒)𝑠𝑧 . (1.163) 2 Спектр Ландау приобретает дополнительное вырождение. Для электрона, 𝑒 = −|𝑒|, состояния (𝑛, 𝑠𝑧 = 1/2) и 𝑛 + 1, 𝑠𝑧 = −1/2 вырождены по энергии, так что их вместимость (I.13.62) увеличивается в два раза. Исключением является основное состояние 𝑛 = 0, 𝑠𝑧 = −1/2. Существенное отличие уравнения (1.159) от случая сферической симметрии состоит в том, что теперь поперечные компоненты 𝐽^𝑥,𝑦 не коммутируют ^ Как мы знаем, они меняют 𝑀 на ±1 и, следовательно, с гамильтонианом 𝐻. меняют энергию (1.161). Операторы 𝐽^𝑥,𝑦 не сохраняются, вместо этого они создают возбуждения в системе. Магнитное поле вызывает вращающий момент, и уравнения движения для компонент углового момента, вспомним задачу I.7.12, имеют вид ^ ′ ] = −𝑔~ℬ𝑙 𝑖𝜀𝑘𝑙𝑛 𝐽^𝑛 , 𝑖~𝐽˙𝑘 = [𝐽^𝑘 , 𝐻

(1.164)

или, в векторных обозначениях, ^ Ω × J], J˙ = [Ω

ℬ. Ω = −𝑔ℬ

(1.165)

52

Глава 1 Момент импульса и сферические функции

B

Ω ds =[Ω·s] di s

Рис. 1.2. Прецессия углового момента во внешнем магнитном поле

Мы снова видим из (1.165), что 𝐽𝑧 сохраняется, тогда как поперечные компоненты вращаются с угловой скоростью Ω = Ω𝑧 : 𝐽˙𝑥 = −Ω𝐽^𝑦 ,

𝐽˙𝑦 = Ω𝐽^𝑥 .

(1.166)

Для обычного гиромагнитного отношения, 𝑔 = 𝑒/2𝑚𝑐, эта Ларморовская частота Ω в два раза меньше, чем циклотронная частота 𝜔𝑐 . Повышающие и понижающие комбинации (1.24) являются нормальными модами: 𝐽˙± = ±𝑖Ω𝐽± .

(1.167)

Их эволюция представляет собой чистое фазовое вращение 𝐽^± (𝑡) = 𝑒±𝑖Ω𝑡 𝐽^± ,

(1.168)

где шрёдингеровские операторы 𝐽^± не зависят от времени. Это может быть интерпретировано (рис. 1.2) как изображение классической прецессии вокруг направления поля с угловой скоростью Ω. Факт отсутствия диагональных матричных элементов 𝐽^± соответствует на классическом языке усреднению по времени поперечных компонент. Прецессия была уже упомянута ранее в связи со стационарным состоянием |𝐽𝑀 ⟩ просто чтобы визуализировать образ состояния с заданными 𝐽 и 𝑀 , но никакого физического вращения не предполагалось.

1.11. Угловой момент во внешнем поле

53

Гамильтониан (1.159) является подлинным скаляром, так как угловой момент, магнитный момент и магнитное поле — все аксиальные векторы, так что их произведение не только инвариантно относительно поворотов, которое подразумевалось в предыдущих рассуждениях, но оно инвариантно и при пространственной инверсии. Аналогичное гипотетическое взаимодействие момента импульса или магнитного момента с электрическим полем 𝜇 · ℰ ) было бы псевдоскаляром и привело бы к несохранению чётности. (𝜇 Кроме того, гамильтониан (1.159) инвариантен относительно обращения времени (𝒯 -инвариантность), так как J и магнитное поле меняют знак при обращении времени, в то время как взаимодействие электрического поля с магнитным моментом будет 𝒯 -неинвариантным. В противоположность этому, обычное взаимодействие (d · ℰ ) электрического дипольного момента с электрическим полем является как 𝒫-, так и 𝒯 -инвариантным. Такое взаимодействие также приведёт к расщеплению мультиплета |𝐽𝑀 ⟩ по проекциям 𝑀 на естественное направление квантования, определённое электрическим полем, но, в отличие от расщепления Зеемана (1.161), оно не может расщепить состояния ±𝑀 , являясь безразличным к направлению вращения, которое может быть изменено обращением времени. Дополнительная литература: [11], [12], [13]

Все шире и шире круги обезумевшей птицы, Сокольничий сокола не докричится; Всеобщий распад; притяжение центра слабеет; Над миром анархия черными крыльями веет...

В. Б. Йейтс «Второе пришествие»

Глава 2 Движение в центральном поле 2.1. Приведение к задаче одного тела В этом разделе мы рассмотрим частицу, движущуюся во внешнем потенциальном поле 𝑈 (r). Во многих случаях эта задача возникает в результате приведения задачи двух тел; мы уже использовали этот подход в задаче I.1.6, вводя поправку к спектру атома водорода, учитывающую отдачу тяжелого ядра. В общем случае это делается так же, как в классической механике [2]. ^ = 𝑈 (r1 − r2 ), Пусть две частицы взаимодействуют через потенциал 𝑈 зависящий только от их относительного расстояния. Волновая функция Ψ, зависящая от координат r1,2 обеих частиц, удовлетворяет уравнению Шредингера 𝑖~

𝜕Ψ(r1 , r2 , 𝑡) ^ +𝑈 ^ )Ψ(r1 , r2 , 𝑡), = (𝐾 𝜕𝑡

(2.1)

где кинетическая энергия определяется массами обеих частиц 𝑚1 и 𝑚2 : (︂ )︂ ^ 21 ^ 22 p p ~2 ∇21 ∇22 ^ + =− + . (2.2) 𝐾= 2𝑚1 2𝑚2 2 𝑚1 𝑚2 Координата центра масс R и относительная координата r определены как R=

𝑚1 r1 + 𝑚2 r2 , 𝑀

𝑀 = 𝑚1 + 𝑚2 ,

r = r1 − r2 .

(2.3)

56

Глава 2 Движение в центральном поле

m2

r1–r2 C

r2

m1

R r1

O Рис. 2.1. Координаты в задаче двух тел

Соответствующие операторы градиентов преобразуются в соответствии с ∇1 = ∇ +

𝑚1 ∇R , 𝑀

∇2 = −∇ +

𝑚2 ∇R , 𝑀

∇ ≡ ∇r ,

(2.4)

^ 1,2 = −𝑖~∇1,2 выражаются через относительный ими импульсы частиц p ^ = −𝑖~∇R : ^ = −𝑖~∇ и импульс центра масс P пульс p ^1 = p ^+ p

𝑚1 ^ P, 𝑀

^ 2 = −^ p p+

𝑚2 ^ P. 𝑀

(2.5)

Запишем также обратное преобразование координат (см. рис. 2.1): r1 = R +

𝑚2 r, 𝑀

r2 = R −

𝑚1 r; 𝑀

(2.6)

здесь мы ясно видим эффекты отдачи, упомянутые в задаче I.1.6. Для операторов импульса находим ^ =p ^1 + p ^ 2, P

^= p

𝑚2 𝑚1 ^1 − ^ 2. p p 𝑀 𝑀

(2.7)

Задача 2.1 Для системы двух частиц преобразуйте операторы орбитального момента, электрического дипольного момента и орбитального магнитного момента к переменным центра масс и относительным переменным.

2.1. Приведение к задаче одного тела

57

Решение Орбитальный момент раскладывается на орбитальные моменты центра масс и относительного движения: L = ℓ 1 + ℓ 2 = [r1 × p1 ] + [r2 × p2 ] = [R × P] + [r × p] ≡ Lc.m. + ℓ . (2.8) Электрический дипольный момент определяется как d = 𝑒1 r1 + 𝑒2 r2 = (𝑒1 + 𝑒2 )R +

𝑒1 𝑚2 − 𝑒2 𝑚1 r. 𝑀

(2.9)

В нейтральной системе, 𝑒1 + 𝑒2 = 0, дипольный момент не зависит от выбора центра масс. Внутренняя часть, не зависящая от движения центра масс, отсутствует для тождественных частиц, когда 𝑒1 = 𝑒2 и 𝑚1 = 𝑚2 . Фактически то же самое происходит в любой системе частиц с одинаковым отношением 𝑒/𝑚, так как в этом случае весь дипольный момент d=

∑︁

𝑒𝑎 r𝑎 =

𝑎

∑︁ 𝑒𝑎 ∑︁ 𝑒 ∑︁ 𝑒 𝑚𝑎 r𝑎 = 𝑚𝑎 r𝑎 = R 𝑚𝑎 , 𝑚𝑎 𝑚 𝑎 𝑚 𝑎 𝑎

(2.10)

пропорционален вектору центра масс R (см. также задачу I.7.10). Орбитальный магнитный момент частицы пропорционален ее орбитальному угловому моменту (см. разд. I.1.8): 𝜇 𝑙 = 𝑔𝑙ℓ .

(2.11)

Для системы из двух частиц с гиромагнитными отношениями 𝑔1 и 𝑔2 𝜇 = 𝑔1ℓ 1 + 𝑔2ℓ 2 ,

(2.12)

преобразования (2.5,2.6) дают 𝜇=

(︁ )︁ 𝑔1 𝑚2 + 𝑔2 𝑚1 𝑔1 𝑚1 + 𝑔2 𝑚2 𝑚1 𝑚2 Lc.m. + ℓ +(𝑔1 −𝑔2 ) [R×p]+ [r×P] . 𝑀 𝑀 𝑀2 (2.13)

Единственная часть этого оператора, которая зависит исключительно от относительного движения, 𝜇 rel = 𝑔relℓ , описывается гиромагнитным соотношением (︂ )︂ 𝑔1 𝑚2 + 𝑔2 𝑚1 1 𝑒1 𝑒2 = 𝑔rel = + 𝑚, (2.14) 𝑀 2𝑐 𝑚21 𝑚22

58

Глава 2 Движение в центральном поле

где мы предполагаем нормальные орбитальные гиромагнитные отношения частиц (I.1.65) и вводим приведённую массу 𝑚 как в задаче I.1.6: 1 1 1 = + , 𝑚 𝑚1 𝑚2

𝑚=

𝑚1 𝑚2 . 𝑀

(2.15)

Преобразование кинетической энергии (2.2) ^2 ^2 ^ = P + p 𝐾 2𝑀 2𝑚

(2.16)

вновь приводит к сумме двух независимых компонент для относительного движения и для движения центра масс. Если нет потенциала, действующего на центр масс, суммарный импульс P сохраняется, а движение в целом описывается плоской волной, отделенной от относительных переменных (нерелятивистская галилеевская инвариантность). Поэтому волновая функция, записанная в новых координатах Ψ(R, r, 𝑡), факторизована в тривиальную плоскую волну центра масс с соответствующей кинетической энергией и относительную волновую функцию Ψ(r1 , r2 , 𝑡) ⇒ Ψ(R, r, 𝑡) = 𝑒(𝑖/~)[(P·R)−(P

2 /2𝑀 )𝑡]

Ψ(r, 𝑡).

(2.17)

Здесь P — собственное значение полного импульса, в то время как функция Ψ(r, 𝑡), обозначаемая тем же символом Ψ, теперь описывает только внутреннее движение упрощенной задачи одного тела с приведенной массой (2.15): {︂ }︂ ~2 2 𝜕Ψ(r, 𝑡) = − ∇ + 𝑈 (r) Ψ(r, 𝑡). (2.18) 𝑖~ 𝜕𝑡 2𝑚 Потенциал может также зависеть от времени. Для постоянного потенциала мы можем искать стационарные решения Ψ(r, 𝑡) = 𝑒−(𝑖/~)𝐸𝑡 𝜓(r),

(2.19)

где стационарная волновая функция удовлетворяет уравнению (︁

)︁ ∇2 + 𝑘 2 (r) 𝜓(r) = 0,

𝑘 2 (r) =

2𝑚 [𝐸 − 𝑈 (r)]. ~2

(2.20)

2.2. Отделение угловых переменных

59

2.2. Отделение угловых переменных

Центральный потенциал зависит только от абсолютной величины 𝑟, но не от углов вектора r, 𝑈 (r) = 𝑈 (|r|) = 𝑈 (𝑟). Нецентральные взаимодействия, такие как тензорные силы в ядерной физике или силы между двумя магнитными моментами, появляются тогда, когда частицы имеют определенные направления, выделенные их внутренними степенями свободы. Для 𝑈 = 𝑈 (𝑟) уравнение Шрёдингера (2.20) не содержит функций углов, а гамильтониан инвариантен относительно вращений. Такая ситуация обсуждалась в разд. I.7.10. Орбитальный момент ℓ^ сохраняется (коммутирует с гамильтонианом). Однако только одна компонента ℓ^, например ℓ^𝑧 , может иметь в данном состоянии определенное значение 𝑚 (не путать с приведенной массой). Изменяя ориентацию системы, мы можем изменить эту проекцию, но не значение энергии, поскольку операторы вращений, разд. ^ Поэтому энергетический спектр в центральном I.4.7, коммутируют с 𝐻. поле всегда вырожден по отношению к проекции орбитального момента. Выбирая решение с определённым значением 𝑚, мы частично фиксируем ориентацию системы. Симметрия такого решения меньше, чем гамильтониана. Это простейшее проявление спонтанного нарушения симметрии. Симметрия восстанавливается существованием вырожденных состояний с различными значениями 𝑚. Полный набор таких состояний и возможность изменения ориентации и перехода от одного состояния к другому внутри этого набора показывают вращательную инвариантность системы. Мы уже встречали подобный пример в двумерной системе (разд. I.11.5), где симметрия позволяет отделить азимутальный угол и найти универсальные угловые функции (I.11.82). Теперь мы проведём аналогичную программу для трёх измерений. Чтобы разделить радиальные и угловые переменные, мы ищем решение уравнения Шрёдингера в виде произведения 𝜓(r) = 𝜓(𝑟, 𝜃, 𝜙) = 𝑅(𝑟)𝑌 (𝜃, 𝜙).

(2.21)

С такой подстановкой уравнение (2.20) разделяется на две части, зависящие от различных переменных; следовательно, каждая из них равна константе разделения 𝐶 (︂ )︂ 1 𝑑 1 2 2 𝑑𝑅 𝑟 + 𝑘 2 (𝑟)𝑟2 = ℓ^ 𝑌 = 𝐶, (2.22) 𝑅 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑌

60

Глава 2 Движение в центральном поле

где мы использовали оператор Лапласа в сферических координатах (1.69). Константа разделения должна быть определена из граничных условий для волновых функций. В этом месте возникает квантование — такие константы порождают квантовые числа (ср. раздел I.11.5). Угловое уравнение 2 ℓ^ 𝑌 (𝜃, 𝜙) = 𝐶𝑌 (𝜃, 𝜙)

(2.23)

2 является задачей на нахождение собственных значений оператора ℓ^ . Согласно алгебре углового момента, собственное значение 𝐶 может быть записано как ℓ(ℓ + 1), где ℓ — неотрицательное, полуцелое или целое число. Дальнейшее разделение переменных (1.77) дает нормированные экспоненциальные решения (I.11.82) с целыми значениями 𝑚, отобранными согласно периодическим граничным условиям для азимутального угла. Из этого следует, что ℓ также должно быть целым, так что решения являются сферическими функциями 𝑌ℓ𝑚 (𝜃, 𝜙). Важно, что угловые функции универсальны и не зависят от потенциала 𝑈 (𝑟). Таким образом, с полным набором сферических функций мы можем решить угловую задачу раз и навсегда. Специфика потенциала проявляется в радиальных уравнениях.

Задача 2.2 Показать, что гамильтониан частицы массы 𝑚 в сферически симметричном потенциале 𝑈 (𝑟) может быть представлен в форме 2

2 2^ ^ = 𝑝^𝑟 + ~ ℓ + 𝑈 (𝑟), 𝐻 2𝑚 2𝑚𝑟2

(2.24)

и радиальный импульс, определенный как 𝑝^𝑟 = −𝑖~

1 𝜕 𝑟, 𝑟 𝜕𝑟

(2.25)

канонически сопряжен к радиальной координате 𝑟^. Решение Оператор 𝑝^𝑟 отличается от наивного выражения −𝑖~(𝜕/𝜕𝑟): (︂ )︂ 𝜕 1 𝑝^𝑟 = −𝑖~ + . 𝜕𝑟 𝑟

(2.26)

2.2. Отделение угловых переменных

61

Различие связано с особой геометрической природой радиального движения в ограниченной области 𝑟 > 0. Квадрат оператора (2.26) равен (︂ 2 (︂ )︂ (︂ )︂ )︂ 𝜕 𝜕 𝜕 1 1 𝜕 1 1 𝜕 1 2 2 2 = −~ . (2.27) 𝑝^𝑟 = −~ + + + + + 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟2 𝜕𝑟 𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟2 Поскольку 𝜕 1 1 1 𝜕 =− 2 + , 𝜕𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝜕𝑟 мы приходим к выражению (︂ 2 )︂ 𝜕 2 𝜕 2 2 𝑝^𝑟 = −~ + , 𝜕𝑟2 𝑟 𝜕𝑟

(2.28)

(2.29)

которое является правильной формой радиального оператора кинетической энергии (радиальной частью оператора Лапласа). Коммутационное соотношение [^ 𝑝𝑟 , 𝑟^] = −𝑖~

(2.30)

следует из (2.26), поскольку дополнительный член 1/𝑟 коммутирует с 𝑟, если 𝑟 ̸= 0. Сингулярность при 𝑟 = 0 возникла от выбора системы координат, отвечающей симметрии потенциала. Поведение волновых функций вблизи этой точки будет рассмотрено отдельно. Задача 2.3 Вывести операторные уравнения движения для 𝑟^, 𝑝^𝑟 и 𝑟^𝑞 и доказать соотношение между средними значениями в стационарном состоянии ⟨𝑝𝑟 𝑟𝑞−1 ⟩ = −

𝑖~ (𝑞 − 1)⟨𝑟𝑞−2 ⟩. 2

(2.31)

Решение С помощью (2.29) получаем по аналогии с классической механикой 𝑑^ 𝑟 𝑝^𝑟 = , 𝑑𝑡 𝑚

(2.32)

2 𝑑^ 𝑝𝑟 ~2ℓ^ 𝑑𝑈 = − . 3 𝑑𝑡 𝑚^ 𝑟 𝑑^ 𝑟

(2.33)

62

Глава 2 Движение в центральном поле

Оператор 𝑟^𝑞 не коммутирует только с радиальной частью кинетической энергии [^ 𝑟𝑞 , 𝑝^2𝑟 ] = [^ 𝑟𝑞 , 𝑝^𝑟 ]^ 𝑝𝑟 + 𝑝^𝑟 [^ 𝑟𝑞 , 𝑝^𝑟 ] = 𝑖~𝑞(^ 𝑟𝑞−1 𝑝^𝑟 + 𝑝^𝑟 𝑟^𝑞−1 ).

(2.34)

Совместно с (2.32) это дает 𝑞 𝑞(𝑞 − 1) 𝑞−2 𝑑^ 𝑟𝑞 = 𝑝^𝑟 𝑟^𝑞−1 + 𝑖~ 𝑟^ . 𝑑𝑡 𝑚 2𝑚

(2.35)

Так как среднее значение производной оператора в стационарном состоянии дискретного спектра исчезает (см. разд. I.7.7) мы приходим к выражению (2.31).

2.3. Радиальная часть уравнения Шрёдингера При определённом значении константы разделения 𝐶 = ℓ(ℓ + 1) радиальная часть уравнения (2.22) (︂ )︂ ℓ(ℓ + 1) 1 𝑑 2 𝑑𝑅 𝑟 + 𝑘 2 (𝑟)𝑅 = 𝑅 (2.36) 𝑟2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑟2 должна определять для каждого значения орбитального момента ℓ решение 𝑅ℓ (𝑟) и спектр возможных энергий 𝐸, вырожденных по 𝑚 из-за вращательной инвариантности потенциала. Мы называем эти решения парциальными волнами и используем традиционную символику для различных значений ℓ: ℓ 0 1 2 3 4 ... символ 𝑠 𝑝 𝑑 𝑓 𝑔 ...

(2.37)

и далее в алфавитном порядке. Уравнение (2.36) может быть переписано с помощью эффективного потенциала, зависящего от ℓ: (︂ )︂ 1 𝑑 2 𝑑𝑅 𝑟 + 𝑘ℓ2 (𝑟)𝑅 = 0, (2.38) 𝑟2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑘ℓ2 (𝑟) =

2𝑚 [𝐸 − 𝑈ℓ (𝑟)], ~2

𝑈ℓ (𝑟) = 𝑈 (𝑟) +

~2 ℓ(ℓ + 1) . 2𝑚𝑟2

(2.39)

2.3. Радиальная часть уравнения Шрёдингера

63

Последний, центробежный, член в эффективном потенциале (2.39) известен из классической механики как представление вращательной части кинетической энергии с моментом инерции 𝑚𝑟2 . 𝑠-Волновое уравнение не содержит этот член.

Во многих случаях полезно упрощение, основанное на сохранении тока. В трехмерной геометрии с фиксированным началом координат поток волн из центра распространяется через поверхность с площадью, увеличивающейся ∝ 𝑟2 . Постоянный поток поэтому должен падать ∝ 1/𝑟2 . Так было бы в случае, если бы абсолютное значение волновой функции вело себя ∝ 1/𝑟 независимо от ℓ. Будем искать решение для радиальной части в виде 𝑅(𝑟) =

𝑢(𝑟) . 𝑟

(2.40)

Радиальная часть оператора Лапласа (кинетическая энергия радиального движения) становится (︂ )︂ 𝑢′′ 1 𝑑 2 𝑑𝑅 𝑟 = , (2.41) 2 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑟 где штрих обозначает радиальную производную, а уравнение для 𝑢(𝑟) приобретает одномерную форму с эффективным волновым вектором 𝑘ℓ (𝑟), см. уравнение (2.39): 𝑢′′ + 𝑘ℓ2 (𝑟)𝑢 = 0.

(2.42)

Некоторые свойства решений являются общими для широкого класса потенциалов. Найдём решения на больших расстояниях и в окрестности начала координат.

Будем считать, что потенциал имеет конечный радиус 𝑎 и при 𝑟 > 𝑎 мы можем пренебречь потенциальным членом 𝑈 (𝑟). Центробежный член также уменьшается и на достаточно больших расстояниях от центра ~2 ℓ(ℓ + 1)/(2𝑚𝑟2 ) ≪ 𝐸. На таких расстояниях можно рассматривать движение как свободное с волновым числом 𝑘, 𝑘 2 = 2𝑚𝐸, так что мы приходим к простейшей одномерной задаче 𝑢′′ + 𝑘 2 𝑢 = 0

(2.43)

64

Глава 2 Движение в центральном поле

с общим решением в виде произвольной суперпозиции волн, распространяющихся от центра (+) и к центру (−): 𝑢(𝑟) = 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑟 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑟 .

(2.44)

В терминах исходной функции (2.40) 𝑅(𝑟) = 𝐴

𝑒−𝑖𝑘𝑟 𝑒𝑖𝑘𝑟 +𝐵 𝑟 𝑟

(2.45)

мы получаем суперпозицию сферической расходящейся и сходящейся волн. Уравнение (2.45) подтверждает наши ожидания по части сохранения тока. Радиальный ток в сферической волне единичной амплитуды с угловыми квантовыми числами ℓ и 𝑚 для определённого направления в пространстве описывается выражением (︂ )︂ ~ 𝑑𝑅* ~𝑘 2 * 𝑑𝑅 𝑗𝑟 = |𝑌ℓ𝑚 | 𝑅 −𝑅 =± |𝑌ℓ𝑚 |2 , (2.46) 2𝑚𝑖 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑚𝑟2 так, что поток через элемент площади 𝑗𝑟 𝑑𝑆 = 𝑗𝑟 𝑟2 𝑑𝑜 = ±

~𝑘 |𝑌ℓ𝑚 |2 𝑑𝑜 𝑚

(2.47)

сохраняется как функция 𝑟. Здесь мы предположили 𝐸 > 0 и инфинитное движение с потенциалом 𝑈 → 0 на больших расстояниях. Для связанного состояния 𝐸 < 0 асимптотический волновой вектор является мнимым, 𝑘 = 𝑖𝜅, а функция 𝑢(𝑟) должна экспоненциально спадать √︂ 2𝑚|𝐸| −𝜅𝑟 . (2.48) 𝑢(𝑟) ∝ 𝑒 , 𝜅 = ~2 Отметим, что это асимптотическое решение неверно для кулоновского потенциала, который спадает слишком медленно, ∝ 1/𝑟. Как уже упоминалось, полярные координаты имеют геометрическую сингулярность при 𝑟 → 0, где углы не определены, а энергия вращения (для ℓ ̸= 0) стремится к бесконечности. Если потенциал 𝑈 (𝑟) конечен при 𝑟 → 0, нет никакой физической сингулярности, и волновая функция должна быть хорошо определена в нуле. В этом случае главные члены уравнения (2.42) дают вблизи начала координат 𝑢′′ −

ℓ(ℓ + 1) 𝑢 = 0. 𝑟2

(2.49)

2.3. Радиальная часть уравнения Шрёдингера

65

Это уравнение универсальное, не содержащее ни энергии, ни фактического потенциала. Уравнение эйлеровского типа имеет решение в виде степенной функции 𝑢 = 𝑟𝛾 ,

𝛾(𝛾 − 1) = ℓ(ℓ + 1)

(2.50)

с двумя возможностями: 𝛾 = ℓ + 1 или 𝛾 = −ℓ. Они определяют регулярное и нерегулярное решения: (reg)

𝑢ℓ

∝ 𝑟ℓ+1 ,

(irreg)

𝑢ℓ

∝

1 , 𝑟ℓ

𝑅ℓ ∝ 𝑟ℓ , 𝑅ℓ ∝

1 𝑟ℓ+1

(2.51) .

(2.52)

Задача 2.4 Предполагая, что центральный потенциал 𝑈 (𝑟) удовлетворяет условиям применимости квазиклассического приближения, измените одномерное решение, приведённое в гл. I.15, таким образом, чтобы включить трехмерный эффективный потенциал (2.39). Решение Разница по сравнению с одномерным случаем состоит в дополнительном граничном условии 𝑅(0) = 0. Сингулярность может быть устранена путем отображения полуоси 𝑟 > 0 на всю ось 𝑥 с помощью подстановки 𝑟 = 𝑒𝑥 ,

𝑟 = 0 ⇒ 𝑥 = −∞,

𝑟 = ∞ ⇒ 𝑥 = ∞.

С новой переменной уравнение Шрёдингера приобретает форму [︂ ]︂ 2𝑚 𝑑2 𝑢 𝑑𝑢 2𝑥 2 𝑥 −2𝑥 +𝑒 𝑘 − 2 𝑈 (𝑒 ) − ℓ(ℓ + 1)𝑒 − 𝑢 = 0. 𝑑𝑥2 𝑑𝑥 ~

(2.53)

(2.54)

Первая производная может быть устранена стандартным приёмом введения новой функции 𝐹 (𝑥): 𝑢 = 𝑒𝑥/2 𝐹 (𝑥). 𝐹 (𝑥) удовлетворяет [︃ ]︃ (︂ )︂ 𝑑2 𝐹 2𝑚 1 2 −2𝑥 2𝑥 2 𝑥 +𝑒 𝑘 − 2 𝑈 (𝑒 ) − ℓ + 𝑒 𝐹 (𝑥) = 0. 𝑑𝑥2 ~ 2

(2.55)

(2.56)

66

Глава 2 Движение в центральном поле

Это уравнение имеет обычный вид с граничными условиями, определёнными на 𝑥 = ±∞. Квазиклассическая фаза новой волновой функции равна √︃ (︂ )︂ ∫︁ 𝑥 1 2 −2𝑥 2𝑚 𝑥 𝑥 2 𝑒 , (2.57) 𝑆(𝑥) = 𝑑𝑥 𝑒 𝑘 − 2 𝑈 (𝑒 ) − ℓ + ~ 2 или, возвращаясь к исходной переменной 𝑟, уравнение (2.53), ∫︁ 𝑟 √︂ 2𝑚 (ℓ + 1/2)2 𝑆(𝑟) = 𝑑𝑟 𝑘 2 − 2 𝑈 (𝑟) − . ~ 𝑟2

(2.58)

Сравнение (2.58) с исходным уравнением показывает, что в радиальной задаче можно использовать квазиклассическое приближение с тем лишь отличием, что (︂ ℓ(ℓ + 1) ⇒

1 ℓ+ 2

)︂2 .

(2.59)

Требование регулярности вблизи начала координат выбирает решение (2.51). 𝑠-Волна не имеет центробежного барьера, в то время как все волны ℓ > 0 подавлены вблизи начала координат. Этот факт сильно влияет на свойства взаимодействия частиц на малых расстояниях. Это соображение справедливо даже для кулоновского взаимодействия ∼ 1/𝑟, более слабого вблизи начала координат, чем центробежная энергия. Если потенциал более сингулярен, чем 1/𝑟2 , мы сталкиваемся с аномальной ситуацией падения на центр так, что система может не иметь конечной энергии в основном состоянии. На самом деле другие физические факторы должны играть роль, изменяя потенциал на очень малых расстояниях.

2.4. Свободное движение При описании радиальной волновой функции мы начнем со случая свободного движения, 𝑈 = 0, когда решение имеет вид сферических волн, аналогично плоским волнам в декартовой геометрии. Поскольку они образуют альтернативный полный набор решений, то плоские и сферические волны могут быть представлены каждая в виде суперпозиции решений другого класса. Эта взаимодополняемость имеет важное практическое значение: детектор, улавливающий рассеянную сферическую волну в определенном направлении от рассеивателя, на самом деле проецирует эту

2.4. Свободное движение

67

волну на плоскую волну с определенным направлением импульса. Поэтому необходимо изучить эту взаимосвязь. Волновая функция 𝜓(r) свободного движения в определённой парциальной волне с орбитальным моментом ℓ 𝜓(r) =

𝑢(𝑟) 𝑌ℓ𝑚 (n), 𝑟

n=

r 𝑟

удовлетворяет радиальному уравнению [︂ ]︂ ℓ(ℓ + 1) ′′ 2 𝑢 + 𝑘 − 𝑢 = 0. 𝑟2

(2.60)

(2.61)

Два линейно независимых решения (2.51) и (2.52) уравнения (2.61) отличаются своим поведением в начале координат. Для свободного движения мы должны выбрать регулярное решение 𝑢(0) = 0. Но для движения в центральном поле свободное уравнение (2.61) справедливо только в асимптотической области вне зоны действия потенциала. Здесь общее решение будет суперпозицией регулярного и нерегулярного решений, которые должны быть гладко сшиты с регулярным решением в области взаимодействия. Поэтому мы должны знать свойства обоих решений. Вводя безразмерную переменную 𝜌 = 𝑘𝑟, перепишем уравнение (2.61) как [︂ ]︂ 𝑑2 𝑢 ℓ(ℓ + 1) + 1− 𝑢 = 0. (2.62) 𝑑𝜌2 𝜌2 Здесь энергетическая зависимость исчезла. Отсюда следует, что решения для всех энергий ведут себя одинаково, если расстояния измеряются в соответствующих длинах волн. Действительно, свободное движение не имеет никакого внешнего масштаба длины. При малых 𝜌, в соответствии с разд. 2.3, регулярное 𝑓ℓ и сингулярное 𝑔ℓ решения ведут себя как 𝑓ℓ ∼ 𝐶ℓ 𝜌ℓ+1 ,

𝑔ℓ ∼

𝐷ℓ , 𝜌ℓ

𝜌 → 0.

(2.63)

В асимптотике 𝜌 → ∞ оба решения являются суперпозициями расходящейся 𝑒𝑖𝜌 и сходящейся 𝑒−𝑖𝜌 волн. Отнормируем (путем выбора 𝐶ℓ ) регулярное решение таким образом, чтобы асимптотически 𝑓ℓ ≈ sin(𝜌 + 𝛽ℓ ),

𝜌 → ∞.

(2.64)

68

Глава 2 Движение в центральном поле

Фаза 𝛽𝑙 будет найдена ниже. Исследуя решения, мы применим метод факторизации [14]. Определим два набора дифференциальных операторов 𝑑 ℓ (±) 𝐴^ℓ = ± . 𝑑𝜌 𝜌

(2.65)

Тогда легко проверить, что уравнение (2.62) можно представить в двух эквивалентных формах: (+) (−) (−) (+) 𝐴^ℓ+1 𝐴^ℓ+1 𝑢ℓ = −𝑢ℓ = 𝐴^ℓ 𝐴^ℓ 𝑢ℓ .

(2.66)

С помощью регулярных решений 𝑓ℓ введем набор функций (+) 𝑤ℓ−1 = 𝐴^ℓ 𝑓ℓ ,

ℓ = 1, 2, ...

(2.67)

Теперь мы можем доказать, что функции 𝑤𝑙 пропорциональны 𝑓𝑙 , и найти коэффициенты пропорциональности. Из второго уравнения (2.66) мы найдем (−) (−) (+) 𝐴^ℓ 𝑤ℓ−1 = 𝐴^ℓ 𝐴^ℓ 𝑓ℓ = −𝑓ℓ .

(2.68)

Если здесь подставить ℓ → ℓ + 1, то мы придем к (−) 𝐴^ℓ+1 𝑤ℓ = −𝑓ℓ+1 ,

(2.69)

(+) или, действуя на обе части (2.69) оператором 𝐴^ℓ+1 , (+) (−) (+) 𝐴^ℓ+1 𝐴^ℓ+1 𝑤ℓ = −𝐴^ℓ+1 𝑓ℓ+1 = −𝑤ℓ

(2.70)

в соответствии с определением (2.67). Если сравнить результат (2.70) с первым из уравнений (2.66), мы увидим, что функции 𝑤ℓ и 𝑓ℓ удовлетворяют одному и тому же уравнению. Чтобы убедиться, что 𝑤ℓ регулярно в начале координат, мы используем уравнение (2.67) с (ℓ − 1) → ℓ и асимптотику (2.63) регулярного решения 𝑓ℓ+1 (+)

(+)

𝑤ℓ = 𝐴ℓ+1 𝑓ℓ+1 ∼ 𝐴ℓ+1 𝐶ℓ+1 𝜌ℓ+2 = (2ℓ + 3)𝐶ℓ+1 𝜌ℓ+1 .

(2.71)

Это означает, что 𝑤ℓ также принадлежит к классу регулярных решений. Но регулярное решение является с точностью до нормировки единственным,

2.4. Свободное движение

69

т. е. 𝑤ℓ и 𝑓ℓ просто пропорциональны, а их постоянное отношение может быть найдено из (2.63) и (2.71): 𝑤ℓ = (2ℓ + 3)

𝐶ℓ+1 𝑓ℓ . 𝐶ℓ

(2.72)

Таким образом, мы получаем рекуррентное соотношение 𝐶ℓ+1 ^(−) (−) 𝐴ℓ+1 𝑓ℓ , 𝑓ℓ+1 = −𝐴^ℓ+1 𝑤ℓ = −(2ℓ + 3) 𝐶ℓ

(2.73)

которое позволяет последовательно построить все регулярные функции 𝑓ℓ . Для 𝑠-волны, ℓ = 0, регулярным при 𝜌 = 0 решением уравнения (2.62) является 𝐶0 sin 𝜌. Для асимптотического выбора (2.64) 𝐶0 = 1, и мы получим 𝑓0 = sin 𝜌,

𝛽0 = 0.

(2.74)

При следующем шаге (𝑝-волна, ℓ = 1) в соответствии с уравнениями (2.73) и (2.74) )︂ (︂ 𝐶1 sin 𝜌 𝑓1 = −3 , (2.75) cos 𝜌 − 𝐶0 𝜌 и в асимптотике (𝜌 → ∞) 𝑓1 → −3

(︁ 𝐶1 𝐶1 𝜋 )︁ cos 𝜌 = 3 sin 𝜌 − . 𝐶0 𝐶0 2

(2.76)

Сравнение с требуемой асимптотикой (2.64) показывает, что 𝐶1 = (1/3)𝐶0 = 1/3 и 𝑓1 =

sin 𝜌 − cos 𝜌, 𝜌

𝜋 𝛽1 = − . 2

(2.77)

Нетрудно видеть, что общий результат есть 𝐶ℓ =

1 1 1 1 1 2ℓ ℓ! · ··· · = = 2ℓ + 1 2ℓ − 1 5 3 (2ℓ + 1)!! (2ℓ + 1)!

(2.78)

и 𝛽ℓ = −

ℓ𝜋 . 2

(2.79)

70

Глава 2 Движение в центральном поле

В итоге наше регулярное решение характеризуется асимптотиками {︂ ℓ [2 ℓ!/(2ℓ + 1)!]𝜌ℓ+1 , 𝜌 → 0, 𝑓ℓ ∼ (2.80) sin(𝜌 − ℓ𝜋/2), 𝜌 → ∞. В отличие от регулярного решения, основной член ряда, который представляет при малых 𝜌 нерегулярное решение 𝑔ℓ , не определяет однозначно функцию 𝑔ℓ . Действительно, при добавлении к 𝑔ℓ регулярной функции 𝑎𝑓ℓ с произвольным постоянным коэффициентом 𝑎 главный доминирующий сингулярный член при 𝜌 → 0 не изменяется. Однако это изменит асимптотику при 𝜌 → ∞. Для полного определения 𝑔ℓ мы наложим требование, чтобы на больших расстояниях 𝑔ℓ имели асимптотики, аналогичные (2.80): (︂ )︂ ℓ𝜋 𝑔ℓ ∼ cos 𝜌 − , 𝜌 → ∞. (2.81) 2 Такой выбор фазы означает определенное значение константы 𝑎. При условиях (2.63) и (2.81) решение 𝑔ℓ полностью определено. Обратите внимание, что старые рекуррентные соотношения имеют место и для функции 𝑔ℓ : (−) 𝐴^ℓ+1 𝑔ℓ = −𝑔ℓ+1 ,

(+) 𝐴^ℓ 𝑔ℓ = −𝑔ℓ−1 .

(2.82)

В последовательности парциальных волн операторы 𝐴^(−) и 𝐴^(+) , очевидно, играют роль операторов рождения и уничтожения соответственно. Задача 2.5 Определить величину константы 𝐷ℓ в уравнении (2.63). Решение Результат может быть найден многими способами. Например, рассмотрим вронскиан (9.24) 𝑊 [𝑓ℓ , 𝑔ℓ ] =

𝑑𝑓ℓ 𝑑𝑔ℓ 𝑔ℓ − 𝑓ℓ . 𝑑𝜌 𝑑𝜌

(2.83)

Как и в разд. I.9.3, нетрудно показать, что этот вронскиан не зависит от 𝜌, поскольку обе функции, 𝑓ℓ и 𝑔ℓ , подчиняются уравнению (2.61). Поэтому мы можем вычислить его значение в асимптотике на больших расстояниях (︂ )︂ (︂ )︂ ℓ𝜋 ℓ𝜋 2 2 𝑊 = cos 𝜌 − + sin 𝜌 − = 1. (2.84) 2 2

2.4. Свободное движение

71

С другой стороны, вычисляя 𝑊 при 𝜌 → 0, мы находим 𝑊 = 1 = (ℓ + 1)𝐶ℓ 𝜌ℓ 𝐷ℓ 𝜌−ℓ − 𝐶ℓ 𝜌ℓ+1 (−𝑙)𝜌−ℓ−1 𝐷ℓ = (2ℓ + 1)𝐷ℓ 𝐶ℓ , (2.85) откуда 𝐷ℓ =

1 . 𝐶ℓ (2ℓ + 1)

(2.86)

Задача 2.6 Докажите, что функции 𝑓ℓ и 𝑔ℓ связаны с функциями Бесселя полуцелого порядка (разд. I.9.7) √︂ √︂ 𝜋𝜌 𝜋𝜌 𝑓ℓ (𝜌) = 𝐽ℓ+1/2 (𝜌), 𝑔ℓ (𝜌) = 𝐽 (𝜌). (2.87) 2 2 −(ℓ+1/2)

Полные радиальные функции (2.40) выражаются через так называемые сферические функции Бесселя и сферические функции Неймана: 𝑗ℓ (𝜌) =

𝑓ℓ (𝜌) = 𝜌

√︂

𝜋 𝐽 (𝜌), 2𝜌 ℓ+1/2

𝑛ℓ (𝜌) = −

𝑔ℓ (𝜌) = (−)ℓ+1 𝜌

√︂

𝜋 𝐽 (𝜌). 2𝜌 −(ℓ+1/2) (2.88)

Суммируем их свойства (эти функции являются комбинациями элементарных тригонометрических функций со степенями координат в знаменателе). Низшие порядки дают 𝑗0 (𝜌) =

sin 𝜌 , 𝜌

𝑗1 (𝜌) =

sin 𝜌 cos 𝜌 − , 𝜌2 𝜌

𝑛0 (𝜌) = −

cos 𝜌 , 𝜌

𝑛1 (𝜌) = −

(2.89) cos 𝜌 sin 𝜌 − . 𝜌2 𝜌

(2.90)

Вблизи начала координат, 𝜌 → 0, 𝑗ℓ (𝜌) ≈

𝜌ℓ , (2ℓ + 1)!!

𝑛ℓ (𝜌) ≈ −

(2ℓ − 1)!! , 𝜌ℓ+1

(2.91)

72

Глава 2 Движение в центральном поле

в то время как в асимптотике, 𝜌 → ∞, 𝑗𝑙 (𝜌) ≈

sin(𝜌 − ℓ𝜋/2) , 𝜌

𝑛𝑙 (𝜌) ≈ −

cos(𝜌 − ℓ𝜋/2) . 𝜌

(2.92)

Любые линейные комбинации 𝑓ℓ и 𝑔ℓ удовлетворяют тому же свободному уравнению (2.61). В частности, комбинации, соответствующие сферическим функциям Ганкеля первого и второго рода, 𝑣ℓ = 𝑓ℓ + 𝑖𝑔ℓ ,

𝑣˜ℓ = 𝑓ℓ − 𝑖𝑔ℓ ,

(2.93)

в асимптотике имеют сходящуюся или расходящуюся сферическую волну, 𝑣ℓ ∼ 𝑖𝑒−𝑖(𝜌−ℓ𝜋/2) ,

𝑣˜𝑙 ∼ −𝑖𝑒𝑖(𝜌−ℓ𝜋/2) .

(2.94)

Сферические функции Ганкеля определяются как (1)

ℎℓ (𝜌) = 𝑗ℓ (𝜌) + 𝑖𝑛ℓ (𝜌),

(2)

ℎℓ (𝜌) = 𝑗ℓ (𝜌) − 𝑖𝑛ℓ (𝜌).

(2.95)

Их асимптотики даются выражениями 𝑖 (1) ℎℓ (𝜌) ∼ − 𝑒𝑖(𝜌−ℓ𝜋/2) , 𝜌

(︁ )︁* (2) (1) ℎℓ (𝜌) = ℎℓ (𝜌) .

(2.96)

2.5. Плоские и сферические волны Сферические волны 𝑓ℓ (𝜌) 𝑌ℓ𝑚 (n) = 𝑗ℓ (𝜌)𝑌ℓ𝑚 (n), 𝜌

𝜌 = 𝑘𝑟,

r n= , 𝑟

(2.97)

образуют полный набор регулярных в начале координат решений уравнения Шрёдингера для свободного движения частицы с энергией 𝐸 = ~2 𝑘 2 /2𝑚. Любое другое регулярное решение может быть разложено по этому полному набору. В частности, это может быть применено к плоской волне, которая заведомо не имеет особенности в начале координат: ∑︁ 𝑒𝑖(k·r) = 𝐶ℓ𝑚 (k)𝑌ℓ𝑚 (n)𝑗ℓ (𝜌). (2.98) ℓ𝑚

Чтобы найти амплитуды 𝐶ℓ𝑚 в разложении (2.98), мы используем свободу выбора оси квантования 𝑧 для сферических функций 𝑌ℓ𝑚 . Мы выберем ось

2.5. Плоские и сферические волны

73

𝑧 в направлении волнового вектора k так, что (𝜂 = cos 𝜃) (k · r) = 𝑘𝑧 = 𝑘𝑟 cos 𝜃 ≡ 𝜌𝜂.

𝑘 = 𝑘𝑧 ,

(2.99)

Плоская волна (2.98) имеет осевую симметрию вокруг оси 𝑧 и не зависит √︀ от полярного угла 𝜙. Поэтому разложение содержит только 𝑌ℓ0 = (2ℓ + 1)/4𝜋𝑃ℓ (𝜂), так что √︂ ∑︁ 2ℓ + 1 𝑖𝜌𝜂 𝑒 = 𝐶ℓ 𝑃ℓ (𝜂)𝑗ℓ (𝜌), 𝐶ℓ = 𝐶ℓ0 . (2.100) 4𝜋 ℓ

Из-за ортогональности (1.145) полиномов Лежандра ∫︁

1

𝑑𝜂 𝑒𝑖𝜌𝜂 𝑃ℓ (𝜂) =

−1

2 𝐶ℓ 𝑗ℓ (𝜌). 2ℓ + 1

(2.101)

Это соотношение справедливо для любого 𝜌, так что достаточно вычислить левую часть при некотором значении 𝜌. Интегрирование по частям дает ∫︁ ∫︁ 1 1 𝑖 1 𝑖𝜌𝜂 𝑑𝜂 𝑒𝑖𝜌𝜂 𝑃ℓ′ (𝜂) + [𝑒𝑖𝜌 − (−)ℓ 𝑒−𝑖𝜌 ], (2.102) 𝑑𝜂 𝑒 𝑃ℓ (𝜂) = 𝜌 −1 𝑖𝜌 −1 где для получения ответа необходимо вспомнить граничные значения полиномов Лежандра (1.147) и (1.148). Внеинтегральное слагаемое в правой части (2.102) равно (2/𝜌)𝑖ℓ sin(𝜌 − ℓ𝜋/2), но, как видно из дальнейшего интегрирования по частям, оставшийся интеграл имеет порядок величины 1/𝜌2 при больших 𝜌. Сравнивая асимптотику (2.80) с правой частью (2.101), мы приходим к 2 ℓ 2 sin(𝜌 − ℓ𝜋/2) 𝑖 sin(𝜌 − ℓ𝜋/2) = 𝐶ℓ 𝜌 2ℓ + 1 𝜌

𝐶ℓ = 𝑖ℓ (2ℓ + 1). (2.103)

Уравнения (2.101) и (2.103) дают полезное интегральное представление 𝑗𝑙 (𝜌) =

1 2𝑖𝑙

∫︁

1

𝑑𝜂 𝑒𝑖𝜌𝜂 𝑃𝑙 (𝜂).

(2.104)

−1

Таким образом, искомым разложением (2.98) плоской волны по сферическим волнам является 𝑖𝑘𝑧

𝑒

=𝑒

𝑖𝜌𝜂

=

∞ ∑︁ ℓ=0

𝑖ℓ (2ℓ + 1)𝑃ℓ (𝜂)𝑗ℓ (𝜌)

(2.105)

74

Глава 2 Движение в центральном поле

или, в произвольной системе координат, 𝑖(k·r)

𝑒

=

∞ ∑︁

𝑖ℓ (2ℓ + 1)𝑃ℓ (cos 𝜃(k,r) )𝑗ℓ (𝜌).

(2.106)

ℓ=0

Возвращаясь к уравнениям (2.103) и (2.104), мы можем записать асимптотическую форму разложения при 𝜌 → ∞: 𝑒𝑖(k·r) ⇒

1 ∑︁ (2ℓ + 1)𝑃ℓ (cos 𝜃(k,r) )[𝑒𝑖𝜌 − (−)ℓ 𝑒−𝑖𝜌 ] = 2𝑖𝜌 ℓ

=

∑︁

𝑖ℓ (2ℓ + 1)𝑃ℓ (cos 𝜃(k,r) )

ℓ

sin(𝜌 − ℓ𝜋/2) . 𝜌

(2.107)

Набор полиномов Лежандра является полным, как мы видели в уравнениях 1.147 и 1.149: ∑︁ (2ℓ+1)𝑃ℓ (n, n′ ) = 4𝜋𝛿(n−n′ ), ℓ

∑︁

(2ℓ+1)(−)ℓ 𝑃ℓ (n, n′ ) = 4𝜋𝛿(n+n′ ).

ℓ

(2.108) Это приводит к эквивалентному и геометрически прозрачному асимптотическому равенству: при 𝜌 → ∞ 𝑒𝑖(k·r) ⇒

]︁ 2𝜋 [︁ 𝑖𝑘𝑟 𝑒 𝛿(nk − n) − 𝑒−𝑖𝑘𝑟 𝛿(nk + n) . 𝑖𝑘𝑟

(2.109)

В асимптотике плоская волна выглядит как суперпозиция расходящейся сферической волны в направлении k и сходящейся волны вдоль −k.

2.6. Сферическая потенциальная яма Это самый простой, но очень важный пример — притягивающий потенциал глубиной 𝑈0 и радиусом 𝑎 (рис. I.3.8). Задача сводится к одномерному движению вдоль полуоси 𝑟 > 0. Для связанных состояний (𝐸 = −𝜀 < 0) волновой вектор внутри потенциальной ямы 0 6 𝑟 6 𝑎 равен 𝑘0 : 𝑘02 =

2𝑚(𝑈0 − 𝜀) . ~2

(2.110)

2.6. Сферическая потенциальная яма

75

С заменой (2.40) и безразмерной переменной длины, определенной здесь как 𝜌 = 𝑘0 𝑟, радиальное уравнение Шрёдингера (2.38) снова принимает вид (2.61) свободного движения. Выбирая регулярное решение внутри потенциальной ямы, получим 𝑅(𝑟) = 𝐴𝑗ℓ (𝑘0 𝑟),

0 6 𝑟 6 𝑎.

(2.111)

В континууме то же самое справедливо для инфинитного движения при 𝐸 > 0. Для ℓ = 0 нет центробежного барьера, и мы имеем стандартное одномерное уравнение для 𝑢(𝑟) с кинематическим условием 𝑢(0) = 0, что можно имитировать непроницаемой стенкой в начале координат и, следовательно, 𝑢0 (𝑟) = const · sin(𝑘0 𝑟).

(2.112)

Это равносильно сохранению только нечетных решений задачи для одномерной симметричной потенциальной ямы, простирающейся от −𝑎 до +𝑎. Во внешней области 𝑟 > 𝑎 уравнение для связанных состояний содержит мнимый волновой вектор √︂ 2𝑚𝜀 𝑘 = 𝑖𝜅, 𝜅 = , 𝜀 = −𝐸, (2.113) ~2 и уравнение снова приобретает ту же форму с мнимой безразмерной переменной 𝜌 = 𝑖𝜅𝑟. Чтобы получить экспоненциально затухающую функцию под барьером, мы должны взять комбинацию ℎℓ от мнимого аргумента (1)

𝑅ℓ (𝑟) = 𝐵ℎℓ (𝑖𝜅𝑟).

(2.114)

Низшие функции этого типа суть 1 −𝜅𝑟 𝑒 , 𝜅𝑟 (︂ )︂ 1 1 (1) ℎ1 (𝑖𝜅𝑟) = 𝑖 + 𝑒−𝜅𝑟 . 𝜅𝑟 𝜅2 𝑟2 (1)

ℎ0 (𝑖𝜅𝑟) = −

(2.115) (2.116)

Внутренние и внешние решения должны сшиваться на границе потенциальной ямы 𝑟 = 𝑎. Достаточно сшить функции 𝑢 = 𝑟𝑅 (доказать это!). Для ℓ = 0 необходимо сшить sin(𝑘0 𝑟) с exp(−𝜅𝑟). Как часто бывает в таких случаях, удобно исключить постоянные амплитуды, приравнивая логариф-

76

Глава 2 Движение в центральном поле η

0

π

2π

3π

4π

5π

ξ

Рис. 2.2. Графическая конструкция для сферической потенциальной ямы (в данном случае существуют четыре связанных 𝑠-уровня)

мические производные при 𝑟 = 𝑎, что даёт уравнение для энергии связи 𝜀 (ср. с (I.3.47)) tan(𝑘0 𝑎) = −

𝑘0 . 𝜅

(2.117)

Это уравнение может быть решено графически, но сразу видно, что связанное состояние появляется, только если глубина потенциальной ямы превышает критическое значение 𝑈 crit . Предполагая, например, положительный знак внутренней функции (2.112), мы имеем синус, растущий к границе. Если внутренняя функция достигает 𝑟 = 𝑎 с положительной производной, то невозможно сделать непрерывную сшивку со спадающей внешней экспонентой. Однако это становится возможным после того, как фаза синуса 𝑘0 𝑎 достигнет 𝜋/2. Таким образом, как мы уже обсуждали в (I.3.65), 𝑘0crit =

𝜋 , 2𝑎

𝑈 crit =

𝜋 2 ~2 . 8𝑚𝑎2

(2.118)

Дальнейшее углубление потенциальной ямы увеличивает энергию связи, и в какой-то момент внутренняя функция, приобретая узел внутри ямы, снова может быть сшита со спадающей внешней функцией, так что яма может содержать два связанных состояния. Каждый раз новый уровень появляется с нулевой энергией связи, а затем опускается вниз по мере углуб-

2.6. Сферическая потенциальная яма

77

ления потенциальной ямы. Момент появления уровня соответствует 𝜅 = 0. Удобно ввести безразмерные переменные, удовлетворяющие уравнению (2.117): 𝜉 = 𝑘0 𝑎,

𝜂=−

𝜂 = 𝜅𝑎,

𝜉 . tan 𝜉

(2.119)

Они взаимосвязаны уравнением окружности в плоскости (𝜂, 𝜉) (рис. 2.2): 𝜉2 + 𝜂2 =

2𝑚𝑈0 𝑎2 ≡ 𝜁 2. ~2

(2.120)

При 𝜅 → 0 переменная 𝜉 → 𝜁, это предел, который не зависит от 𝜀. Для ℓ = 0, как видно из уравнения (2.117), это происходит, когда обе части уравнения бесконечны, (︂ )︂ 1 𝜁𝑛 = 𝑛 + 𝜋, 𝑛 = 0, 1, ..., (2.121) 2 так что новые уровни появляются, когда 𝑈0 =

𝑈𝑛crit

~2 𝜋 2 = 2𝑚𝑎2

(︂

1 𝑛+ 2

)︂2 .

(2.122)

Задача 2.7 Найти последовательность критических значений переменных 𝑈𝑛 для появления связанных состояний с ℓ = 1 (𝑝-волна).

Решение Используя явную форму сферических функций Бесселя и Ганкеля для ℓ = 1, найдем решение {︂ 𝐴[sin(𝑘0 𝑟)/(𝑘0 𝑟) − cos(𝑘0 𝑟)], 𝑟 < 𝑎, 𝑢(𝑟) = (2.123) 𝐵[1 + 1/(𝜅𝑟)] exp(−𝜅𝑟), 𝑟 > 𝑎. Условие сшивки может быть записано как cot 𝜉 1 1 1 − 2 = + 2 𝜉 𝜉 𝜂 𝜂

(2.124)

78

Глава 2 Движение в центральном поле

в терминах переменных (2.119), связанных уравнением (2.120). Новые 𝑝-уровни появляются при cot 𝜉 → ∞, или 𝜁𝑛 = 𝑛𝜋, 𝑈𝑛crit =

~2 𝜋 2 2 𝑛 , 2𝑚𝑎2

𝑛 > 1.

(2.125)

Задача 2.8 Прямоугольная яма радиуса 𝑎 поддерживает только одно слабо связанное 𝑠-волновое состояние с энергией связи 𝜀. Найти глубину потенциальной ямы. Решение Глубина только слегка больше, чем критическая величина (2.118), 𝑈0 = crit 𝑈 + 𝛿𝑈 . Это означает, что 𝜉 слегка больше, чем 𝜋/2, и в первом порядке по 𝜂 мы находим √︂ 2~2 𝜀 . (2.126) 𝛿𝑈 = 𝑚𝑎2 Энергия связи растет пропорционально квадрату избытка глубины потенциала 𝜀=

𝑚𝑎2 𝜋 2 (𝛿𝑈 )2 2 (𝛿𝑈 ) = . 2~2 16 𝑈 crit

(2.127)

2.7. Короткодействующий потенциал Вновь рождённые состояния очень слабо связаны. Соответствующие внешние экспоненты имеют большую глубину проникновения ∼ 1/𝜅 и образуют гало (см. разд. I.3.5) волновой функции в классически запрещенной области. Решения в континууме могут быть найдены с использованием аналогичных граничных условий, но мы отложим их обсуждение до тех пор, пока не сформулируем задачу рассеяния. Во многих практических ситуациях нас интересует вопрос существования связанных состояний. Дальнодействующие потенциалы, как, например, кулоновский, могут иметь бесконечное количество связанных состояний, в том числе очень большого пространственного размера. В таких случаях у нас нет гало: волновая функция экспоненциально затухает ∼ exp(−𝜅𝑟), в то

2.7. Короткодействующий потенциал

79

время как потенциал спадает по степенному закону, например ∼ 1/𝑟, так что хвост слабосвязанной волновой функции все еще находится в классически разрешенной области. В случае короткодействующего потенциала, 1/𝜅 ≫ 𝑎, подавляющая часть волновой функции может быть в гало за пределами потенциала — вспомним, например, разд. I.3.5. Поскольку центробежный барьер для ℓ ̸= 0 подавляет вероятность нахождения частицы внутри притягивающего потенциала на расстояниях 𝑟 < ℓ/𝑘, как правило, только 𝑠-волновые связанные состояния имеют значительный шанс существовать в короткодействующем потенциале. Последовательность низших связанных состояний для каждого орбитального момента ℓ образует так называемые ираст-линии. В одночастичных задачах вдоль ираст-линий состояния упорядочены в точном соответствии с возрастанием ℓ. Задача 2.9 Докажите, что низшее связанное состояние с орбитальным моментом ℓ в центральном потенциале имеет энергию, которая ниже, чем низшее из связанных состояний с орбитальным моментом ℓ′ > ℓ. Решение Энергия 𝐸ℓ — среднее значение эффективного гамильтониана (2.39) для радиальной функции 𝑅ℓ (𝑟), ∫︁ (︁ )︁ ^ ^ + 𝑈ℓ (𝑟) 𝑅ℓ (𝑟). 𝐸ℓ = ⟨𝑅ℓ |𝐻ℓ |𝑅ℓ ⟩ = 𝑑𝑟 𝑟2 𝑅𝑙* (𝑟) 𝐾 (2.128) Для высших значений орбитального момента ℓ′ > ℓ ⃒ 2 ′ ′ ⃒ ⟩ ⃒ ~ [ℓ (ℓ + 1) − ℓ(ℓ + 1)] ⃒ ^ ℓ |𝑅ℓ′ ⟩ + 𝑅ℓ′ ⃒ ^ ℓ′ |𝑅ℓ′ ⟩ = ⟨𝑅ℓ′ |𝐻 ⃒ 𝑅ℓ′ . 𝐸ℓ′ = ⟨𝑅ℓ′ |𝐻 ⃒ ⃒ 2𝑚𝑟2 ⟨

(2.129) Второе слагаемое в (2.129), очевидно, положительно. Что касается первого слагаемого, то мы можем применить вариационный принцип. Гамильтониан 𝐻ℓ имеет минимальное среднее значение, равное 𝐸ℓ в своем собственном состоянии 𝑅ℓ ; поэтому в любых других состояниях, в том числе и в 𝑅ℓ′ ̸=ℓ , его среднее значение больше. В результате 𝐸ℓ′ > 𝐸ℓ . Что касается 𝑠-волны, из рассуждений предыдущего параграфа очевидно, что можно записать условие сшивки для логарифмических производных

80

Глава 2 Движение в центральном поле

любой собственной волновой функции 𝑅 = 𝑢/𝑟 как (︂ )︂ 1 𝑑𝑢 𝜆(𝜀) ≡ = −𝜅, 𝑢 𝑑𝑟 𝑟=𝑎

(2.130)

где 𝜅, см. уравнение (2.113), характеризует энергию связи 𝜀. Связанное состояние существует, если логарифмическая производная, взятая изнутри, отрицательна, 𝜆 < 0, и две части волновой функции могут быть непрерывно сшиты. Этот вывод справедлив для любого короткодействующего потенциала и любой границы 𝑟 = 𝑎, где движение уже свободно. Если ∫︀ 2 2 основная часть нормировочного интеграла 𝑑𝑟 𝑟 |𝑅| определяется внешней частью, где 𝑅 ∝ exp(−𝜅𝑟)/𝑟, то весь эффект потенциала в основном описывается одной величиной 𝜆, и результат не зависит от конкретного вида потенциала.

2.8. Добавление второго центра В случае когда логарифмическая производная 𝜆 > 0 и связанных состояний нет, присутствие еще одного центра притяжения не очень далеко от первого может породить связанное состояние. Предположим, что центры идентичны, и оценим, как близко второй центр должен быть для этого расположен. Если глубина проникновения 1/𝜅 велика по сравнению с радиусом 𝑟0 потенциала, внешняя функция в большой области 𝑟0 < 𝑟 < 1/𝜅 может быть представлена в виде 𝑢 = const 𝑒−𝜅𝑟 ≈ const(1 − 𝜅𝑟). Тогда полная 𝑠-волновая функция ведет себя в этом регионе как )︂ (︂ 1 𝜓(𝑟) ≈ const −𝜅 . 𝑟

(2.131)

(2.132)

Пусть теперь второй центр находится на расстоянии 𝑑 > 𝑟0 от первого. В точке r вне обеих короткодействующих ям волновая функция может быть записана в виде суперпозиции двух одинаковых экспоненциально спадающих 𝑠-волновых функций (можно положить постоянную амплитуду равной 1) 𝜓(r) =

𝑒−𝜅|r−r1 | 𝑒−𝜅|r−r2 | + , |r − r1 | |r − r2 |

(2.133)

2.8. Добавление второго центра

81

1 d

λ κ

Рис. 2.3. Графическое решение задачи двух центров, уравнение (2.135)

где r1 и r2 — позиции центров. В окрестности (но снаружи) первого центра, r около r1 , приближённо получаем 𝜅|r − r1 | ≪ 1, и |r − r2 | ≈ 𝑑, так что 𝜓≈

1 𝑒−𝜅𝑑 −𝜅+ . |r − r1 | 𝑑

(2.134)

Сравнение с уравнением (2.132) показывает, что теперь величина 𝜅 эффективно изменена присутствием другого выражения, зависящего от 𝑑. Для сшивки внешнего решения с внутренним внутри первой потенциальной ямы, характеризующимся логарифмической производной 𝜆, мы должны потребовать по аналогии с уравнением (2.130), чтобы 𝜆 = −𝜅 +

𝑒−𝜅𝑑 . 𝑑

(2.135)

Даже если 𝜆 > 0 и связанное состояние в отдельной потенциальной яме невозможно, здесь оно все же может существовать. Как видно на рис. 2.3, решение существует, если положительная логарифмическая производная не превышает 1/𝑑: 𝑑
0, главное квантовое число 𝑛 > ℓ + 1.

(3.18)

Собственные значения энергии (3.14) зависят только от 𝑛. Для заданных 𝑛 все состояния |𝑛ℓ𝑚⟩, где ℓ = 0, ..., 𝑛 − 1 и 𝑚 = −ℓ, ..., +ℓ, вырождены. Вырождение ведет к оболочечной структуре дискретного спектра. Основное состояние — это состояние с 𝑛 = 1 (K-оболочка). Здесь 𝑁 = 0, а единственно возможное значение орбитального момента равно ℓ = 0. В спектроскопических обозначениях 𝐾-оболочка — это 1s состояние, где перед символом орбитального момента мы ставим главное квантовое число. Угловые квантовые числа основного состояния — ℓ𝑚 = 00, и волновая функция, уравнение (3.5), описывается выражением 𝜓100 ∼

𝜌ℓ+1 −𝜌 𝑒 𝑣𝑁 =0 (𝜌) ∼ 𝑒−𝜌 ∼ 𝑒−𝑍𝑟/𝑎 , 𝜌

(3.19)

3.2. Основное состояние

93

так как 𝑣0 (𝜌) = 𝑐0 = const, 𝜅1 = 𝑍/𝑎. С полной нормировкой, волновая функция основного состояния (3.19) равна √︂ 𝑍 3 −𝑍𝑟/𝑎 𝜓100 (r) = 𝜓100 (𝑟) = 𝑒 . (3.20) 𝜋𝑎3 Вероятность достичь начала координат для частицы в этом состоянии конечна, |𝜓100 (0)|2 =

𝑍3 . 𝜋𝑎3

(3.21)

Для более высоких ℓ эта вероятность стремится к нулю как степень 𝑟, в то время как для 𝑛 > 1 и ℓ = 0 вероятность |𝜓𝑛00 (0)|2 меньше, чем (3.21), на величину 𝑛3 , как видно из (3.16). Задача 3.2 Для электрона в основном состоянии атома водорода найти вероятность локализации в классически запрещённой области. Решение Классическая точка поворота 𝑟 = 𝑅 определена условием −𝜀 = −𝑒2 /𝑅; для атома водорода оно дает 𝑅 = 2𝑎. Вероятность нахождения в классически запрещённой области равна ∫︁ ∫︁ ∞ 1 3 2 𝑃 = 𝑑 𝑟|𝜓| = 4𝜋 𝑑𝑟𝑟2 3 𝑒−2𝑟/𝑎 . (3.22) 𝜋𝑎 𝑟>𝑅 𝑅 Интегрирование даёт [︁(︁ 𝑅 )︁2 𝑅 1 ]︁ + + 𝑒−2𝑅/𝑎 . 𝑃 =2 𝑎 𝑎 2

(3.23)

Как и должно быть, 𝑃 → 1 при 𝑅 → 0 (нормировочный интеграл). Для 𝑅 = 2𝑎 уравнение (3.23) даёт 𝑃 = 13 exp(−4) = 0, 238. Задача 3.3 Для электрона в основном состоянии атома водорода найдите распределение вероятностей импульса и проверьте соотношение неопределённостей (Δ𝑥)(Δ𝑝𝑥 ). Решение Волновая функция в импульсном представлении получается Фурьепреобразованием координатной волновой функции, ∫︁ 𝜙(p) = 𝑑3 𝑟 𝜓(r) 𝑒−(𝑖/~)(p·r) . (3.24)

94

Глава 3 Атом водорода

Используя волновую функцию основного состояния 𝜓(r), находим импульсное распределение вероятностей, 𝑊 (p) =

)︁−4 |𝜙(p)|2 8𝑎3 (︁ 𝑝2 𝑎2 = + 1 , (2𝜋~)3 𝜋 2 ~3 ~2

где нормировка такова, что ∫︁ 𝑑3 𝑝 𝑊 (p) = 1. Среднее значение p2 может быть найдено путём интегрирования: ∫︁ ~2 2 ⟨p ⟩ = 𝑑3 𝑝 𝑊 (p)𝑝2 = 2 . 𝑎

(3.25)

(3.26)

(3.27)

Ещё проще воспользоваться теоремой вириала, которая даёт среднее значение кинетической энергии ⟨𝐾⟩ = 𝜀 или ⟨p2 ⟩ = 2𝑚𝜀 = ~2 /𝑎2 . Аналогичным образом координатная волновая функция используется для вычисления среднего значения ∫︁ ⟨r2 ⟩ = 𝑑3 𝑟|𝜓(r)|2 𝑟2 = 3𝑎2 . (3.28) Благодаря сферической симметрии основного состояния средние значения ⟨r⟩ и ⟨p⟩ равны нулю, а 1 ⟨𝑥2 ⟩ = ⟨r2 ⟩ = 𝑎2 , 3 1 ~2 ⟨𝑝2𝑥 ⟩ = ⟨p2 ⟩ = 2 . 3 3𝑎 Произведение неопределённостей равно [︁ ]︁1/2 ~ ~ Δ𝑥 · Δ𝑝𝑥 = ⟨𝑥2 ⟩⟨𝑝2𝑥 ⟩ =𝑎 √ = √ , 𝑎 3 3

(3.29) (3.30)

(3.31)

что превышает нижнюю границу, достигаемую для гауссова волнового пакета, ~/2. Так как радиусы орбит, см. уравнение (3.16), обратно пропорциональны приведённой массе, мюон (масса 𝜇 = 106 МэВ) в мезоатоме имеет самую низкую орбиту в 𝜇/𝑚𝑒 ≈ 200 раз ближе к ядру, чем электрон. В то время как ядро в атоме водорода или в водородоподобном ионе может рассмат-

3.3. Дискретный спектр

95

n=3

–1/12(C/27)

l = 0, 1, 2 (s) (p) (d)

j = 12

–1/4(C/27) – /4(C/27) 3

1 3 3 5 2 2 2 2

3d 5/2 3p 3/2 , 3d 3/2 3s 1/2 , 3p 1/2

n=2 l = 0, 1 (s) (p)

j=

–1/8(C/8)

–5/8(C/8)

ω~104 MHz

1 1 3 2 2 2

2p 3/2 2s 1/2 , 2p 1/2

n=1 l=0

(s)

j = 12

–1/4C

1s 1/2

Рис. 3.1. Более детальная картина энергетического спектра водородоподобной системы; ср. с рис. I.1.7. Тонкая структура объяснена в разд. 8.3

риваться как точечный положительный заряд, в мезоатомах, особенно тяжелых, с большими 𝑍, размер самой глубокой боровской орбиты становится сравнимым с размером ядра. Поэтому наши результаты, полученные для точечного ядра, становятся неверными, и необходимо принимать во внимание реалистическое распределение заряда внутри ядра. И наоборот, отклонения спектров мезоатомов от рассчитанных исходя из предположения о точечном ядре служат источником информации о фактическом распределении заряда в ядре.

3.3. Дискретный спектр Первое возбуждённое состояние водородоподобной системы, 𝑛 = 2, допускает ℓ = 0 (2𝑠 состояние с 𝑁 = 1, ℓ = 𝑚 = 0) и ℓ = 1 (три 2𝑝 состояния с ℓ = 1, 𝑚 = 0, ±1 и 𝑁 = 0). Все четыре состояния вырождены по энергии и формируют L-оболочку. Радиальное квантовое число 𝑁 показывает число радиальных узлов функции 𝑢(𝑟) при 𝑟 ̸= 0. Удобно использовать радиальные координаты в единицах боровского радиуса, 𝜁 = 𝑟/𝑎; тогда 𝜌 = 𝜅𝑟 = 𝜁/𝑛. Радиальными собственными функциями 𝑅𝑛ℓ (𝜁) ∝ 𝜁 ℓ 𝑒−𝜁/𝑛 𝑣(𝜁),

(3.32)

96

Глава 3 Атом водорода

нормированными в соответствии с ∫︁ ∞ 𝑑𝜁 𝜁 2 𝑅2 (𝜁) = 1,

(3.33)

0

являются 1𝑠(𝑛 = 1, ℓ = 0, 𝑁 = 1): 𝑅10 (𝜁) = 2𝑒−𝜁 ;

(3.34)

2𝑠(𝑛 = 2, ℓ = 0, 𝑁 = 1): 1 𝑅20 (𝜁) = √ 2

)︂ (︂ 𝜁 𝑒−𝜁/2 ; 1− 2

(3.35)

2𝑝(𝑛 = 2, ℓ = 1, 𝑁 = 0): 1 𝑅21 = √ 𝜁 𝑒−𝜁/2 . 2 6

(3.36)

M-оболочка, 𝑁 = 3, содержит одно 3𝑠-состояние, 𝑁 = 2, ℓ = 𝑚 = 0, три 3𝑝-состояния, 𝑁 = 1, ℓ = 1, 𝑚 = 0, ±1 и пять 3𝑑-состояний, 𝑁 = 0, ℓ = 2, 𝑚 = 0, ±1, ±2, всего девять вырожденных состояний. Структура спектра показана на рис. 3.1. Легко найти общую формулу для числа вырожденных орбитальных состояний в оболочке с заданным значением 𝑛 𝑛−1 ∑︁

ℓ ∑︁

ℓ=0 𝑚=−ℓ

1=

𝑛−1 ∑︁

(2ℓ + 1) = 𝑛2 .

(3.37)

ℓ=0

Как отмечалось ранее, вырождение по отношению к магнитному квантовому числу 𝑚 следует из инвариантности относительно вращений, в то время как кулоновское поле добавляет специфическое случайное вырождение по отношению к ℓ (или, что эквивалентно, к 𝑁 для данного 𝑛) — внутри оболочки энергия зависит только от 𝑛, но не зависит от ℓ, на классическом языке от эксцентриситета орбиты. Релятивистские эффекты, обсуждаемые в гл. 8, устраняют основную часть случайного вырождения и формируют тонкую структуру спектра, см. рис. 3.1 (масштабная константа 𝐶 = 𝛼2 𝑍 4 Ry, где 𝛼 ≈ 1/137 — это постоянная тонкой структуры (I.1.29)). Фактическая степень вырождения уровней атома водорода равна 2𝑛2 , поскольку электрон обладает спином 1/2, и мы должны учитывать две возможных проекции спина 𝑚𝑠 = ±1/2. В нашем нерелятивистском при-

3.3. Дискретный спектр

97

ближении энергия не зависит от спинового состояния электрона. Из-за принципа Паули, который появится в нашем курсе позже, одиночные электроны в сложном атоме заполняют последовательные оболочки. Это причина особой стабильности электронной структуры инертных газов: имеющееся число электронов, равное 𝑍 в нейтральном атоме, равно тому, что необходимо для полного заполнения определённого числа оболочек (гелий 𝑍 = 2, неон 𝑍 = 10 = 2 + 2 · 4, ...). Похожие оболочечные структуры, но не точно вырожденные, существуют в других системах, таких как квантовые точки — искусственные атомы, создаваемые движением электронов, связанных внешними полями внутри полупроводника [17], или атомные ядра; ядерные аналоги инертных газов называются магическими ядрами. В ядрах и тяжёлых атомах эффекты взаимодействия между частицами становятся достаточно сильными, и наша одночастичная картинка оказывается слишком грубой. Задача 3.4 Объясните качественно, почему в сложных атомах вырождение состояний с различным ℓ одной и той же оболочки (при данном 𝑛) исчезает, и орбиты с одними и теми же 𝑛, но большими ℓ имеют более низкую энергию связи (ядро экранировано другими электронами); вырождение по 𝑚 по-прежнему присутствует. Конечно, выражения «орбита», «оболочка» и т.д. не могут пониматься буквально. Как всегда в квантовой механике, в отличие от первоначальной модели Бора, у нас есть облако вероятности локализации электронов. Форма облака зависит от углов, что описывается сферической функцией 𝑌ℓ𝑚 (𝜃, 𝜙), а также от радиуса, с максимумами и узлами, определяемыми радиальной функцией 𝑅𝑛ℓ (𝑟). Задача 3.5 Для ℓ = 𝑛 − 1 (аналог круговой классической орбиты) убедитесь, что максимальная вероятность соответствует боровским радиусам (I.1.25). Решение С помощью (1.136) найдём волновую функцию для атома водорода с квантовыми числами 𝑛, ℓ = 𝑛 − 1, 𝑁 = 0, 𝑚 = ℓ, локализованную в экваториальной плоскости: 𝜓𝑛ℓℓ = const

(︁ 𝑟 )︁ℓ 𝑎

𝑒−𝑟/(𝑛𝑎) 𝑒𝑖ℓ𝜙 sinℓ 𝜃.

(3.38)

98

Глава 3 Атом водорода

Максимум радиальной вероятности 𝑟2 |𝜓|2 соответствует 𝑟max (𝑛) = 𝑛2 𝑎.

(3.39)

Задача 3.6 Для атома водорода в основном состоянии найти a) среднее значение электростатического потенциала ⟨𝜙(R)⟩ (объяснить ℰ (R)⟩; асимптотическое поведение, 𝑅 → ∞) и электрическое поле ⟨ℰ b) среднее значение произведения компонент ⟨ℰ𝑖 (R)ℰ𝑘 (R)⟩ в точке R вдали от ядра. Решение a) Средний потенциал определяется плотностью заряда атома, которая включает в себя точечное ядро и электронное облако: ⟨𝜌(R)⟩ = 𝑒𝛿(R) − 𝑒|𝜓100 (R)|2 = 𝑒𝛿(R) − Можно проверить нейтральность атома нения Пуассона ∇2 ⟨𝜙(R)⟩ = −4𝜋⟨𝜌(R)⟩

∫︀

𝑒 −2𝑅/𝑎 𝑒 . 𝜋𝑎3

(3.40)

𝑑3 𝑅 𝜌(R) = 0. Решение урав-

(3.41)

может быть легко найдено, поскольку оно сферически симметрично (︂ )︂ 1 1 −2𝑅/𝑎 ⟨𝜙(𝑅)⟩ = 𝑒 + 𝑒 . (3.42) 𝑅 𝑎 На малых расстояниях, 𝑅 ≪ 𝑎, этот потенциал сводится к потенциалу голого ядра, в то время как на больших расстояниях, 𝑅 ≫ 𝑎, он экспоненциально спадает из-за электронного экранирования. Среднее электрическое поле определяется градиентом среднего потенциала (3.42): (︂ )︂ 2 2 1 R ℰ ⟨ℰ (R)⟩ = −∇⟨𝜙(R)⟩ = 𝑒 + + 𝑒−2𝑅/𝑎 . (3.43) 𝑎2 𝑎𝑅 𝑅2 𝑅 Поле направлено по радиусу и на больших расстояниях экспоненциально убывает.

3.3. Дискретный спектр

99

b) Чтобы вычислить средний квадрат флуктуации электрического поля, нам нужно взять мгновенное поле ℰ (R), созданное протоном, находящимся в начале координат, и электроном, находящимся в произвольной точке r, построить произведение компонент этого поля и усреднить с вероятностью |𝜓100 (r)|2 для электрона находиться в точке r. Поле на больших расстояниях 𝑅 такое же, как у электрического диполя d = −𝑒r, ℰ (R) ≈

3n′ (d · n′ ) − d , 𝑅3

(3.44)

где n′ = R/𝑅 — единичный вектор в направлении точки наблюдения. Это поле диполя имеет нулевое среднее значение, потому что в сферически-симметричном основном состоянии атома направление d усредняется. Поэтому средний потенциал и электрическое поле, найденные ранее, соответствуют сферической симметрии. Тем не менее, билинейная корреляционная функция дипольного поля не обращается в нуль. Из уравнения (3.44) находим ∫︁ 1 ⟨ℰ𝑖 (R)ℰ𝑘 (R)⟩ = 6 𝑑3 𝑟|𝜓100 (r)|2 [3𝑛′𝑖 (d·n′ )−𝑑𝑖 ][3𝑛′𝑘 (d·n′ )−𝑑𝑘 ]. (3.45) 𝑅 В интеграле по 𝑑3 𝑟 пишем 𝑑𝑖 = −𝑒𝑟𝑛𝑖 , где мы вводим единичный вектор вдоль радиуса, n = r/𝑟. Интеграл затем разделяется на радиальную часть, которая содержит |𝜓|2 𝑟4 и может быть легко вычислена, и угловую часть с четырьмя интегралами типа (1.107). Собирая все части, получим ⟨ℰ𝑖 (R)ℰ𝑘 (R)⟩ =

𝑒2 𝑎2 (𝛿𝑖𝑘 + 3𝑛′𝑖 𝑛′𝑘 ). 𝑅6

(3.46)

Среднеквадратичная флуктуация дипольного электрического поля атома √ √︀ 6 𝑒𝑎 2 ℰ (R)⟩ = ⟨ℰ (3.47) 𝑅3 изотропна и убывает с расстоянием от атома медленнее, ∝ 𝑅−3 , чем среднее монопольное поле нейтрального атома. Задача 3.7 С помощью метода, используемого для гармонического осциллятора в гл. 2, получить рекуррентное соотношение для стационарного состояния в

100

Глава 3 Атом водорода

кулоновском потенциале с квантовыми числами 𝑛 и ℓ: 𝑞

2

2(𝑞+1)𝐸𝑛ℓ ⟨𝑟 ⟩𝑛ℓ +𝑍𝑒 (2𝑞+1)⟨𝑟

𝑞−1

[︂ ]︂ 𝑞~2 𝑞 2 − 1 ⟩𝑛ℓ + − ℓ(ℓ + 1) ⟨𝑟𝑞−2 ⟩𝑛ℓ = 0. 𝑚 4 (3.48)

Используя в (3.48) подходящие значения параметра 𝑞, проверить теорему вириала и вычислить средние значения ⟨1/𝑟⟩𝑛ℓ , ⟨𝑟⟩𝑛ℓ и ⟨𝑟2 ⟩𝑛ℓ ; выразить результат в атомных единицах , связанных с боровским радиусом, ~ = 𝑚 = 𝑒 = 1. Решение Рекуррентное соотношение для 𝑞 = 0 приводит к ⟨ ⟩ 2 1 2𝐸 = −𝑍𝑒 = ⟨𝑈 ⟩. 𝑟

(3.49)

Это теорема вириала ⟨𝐾⟩ = 𝐸 − ⟨𝑈 ⟩ = −𝐸.

(3.50)

Используя боровский радиус и энергетический спектр водорода, как атомные единицы 𝑎=

~2 = 1 a.u. (длина), 𝑚𝑒2

𝐸𝑛 = −

получим (опять же в атомных единицах) ⟨ ⟩ 𝑍 1 = 2. 𝑟 𝑛ℓ 𝑛 При 𝑞 = 1 то же соотношение ведет к ⟨ ⟩ ~2 1 2 4𝐸⟨𝑟⟩ + 3𝑍𝑒 − ℓ(ℓ + 1) = 0, 𝑚 𝑟

𝑚2 𝑍 2 𝑒4 𝑍2 = − a.u. (энергия), 2~2 𝑛2 2𝑛2 (3.51)

(3.52)

(3.53)

что эквивалентно (сравнить с (3.39)) ⟨𝑟⟩𝑛ℓ =

1 [3𝑛2 − ℓ(ℓ + 1)]. 2𝑍

(3.54)

3.3. Дискретный спектр

101

Наконец, для 𝑞 = 2 тем же самым способом получим [︂ ]︂ 2~2 3 2 2 6𝐸⟨𝑟 ⟩ + 5𝑍𝑒 ⟨𝑟⟩ + − ℓ(ℓ + 1) = 0 𝑚 4

(3.55)

или 𝑛2 [5𝑛2 + 1 − 3ℓ(ℓ + 1)]. 2𝑍 2

⟨𝑟2 ⟩𝑛𝑙 =

(3.56)

Те же результаты могут быть получены прямым интегрированием с точными волновыми функциями, но алгебраический способ более простой и элегантный. Задача 3.8 Обобщая правила сумм разд. I.7.9, вычислите ∑︁ 𝑆𝑛(𝑘) = (𝐸𝑗 − 𝐸𝑛 )𝑘 |(r)𝑗𝑛 |2 ,

(3.57)

𝑗

где 𝑘 = 2 и 3, для связанного состояния |𝑛00⟩ электрона в водородоподобном атоме. Решение Используя операторные уравнения движения (I.7.89), получаем 𝑆𝑛(2) = −

∑︁

^ ^r]𝑗𝑛 · [𝐻, ^ ^r]𝑛𝑗 = [𝐻,

𝑗

~2 ∑︁ ~2 (p𝑗𝑛 · p𝑛𝑗 ) = 2 (p2 )𝑛𝑛 . (3.58) 2 𝑚 𝑚 𝑗

Теорема вириала (3.50) даёт 𝑆𝑛(2) =

2~2 2~2 𝑚(𝑍𝑒2 )2 2~2 (𝑍𝑒2 )2 𝐾𝑛𝑛 = |𝐸𝑛 | = = . 𝑚 𝑚 𝑚 2~2 𝑛2 𝑛2

(3.59)

В отличие от правила сумм Tомаса— Райхе— Kуна (I.7.138), этот результат зависит от состояния |𝑛⟩. Аналогичным образом 𝑆𝑛(3) =

~2 ∑︁ (𝐸𝑗 − 𝐸𝑛 )(p𝑗𝑛 · p𝑛𝑗 ). 𝑚2

(3.60)

𝑗

Разность энергий может быть интерпретирована как следующий коммутатор с одним или другим оператором импульса. Взяв симметрично их

102

Глава 3 Атом водорода

полусумму и используя (I.7.90), находим 𝑆𝑛(3) = 𝑖

~3 ~4 [^ p , ∇𝑈 ] = (∇2 𝑈 )𝑛𝑛 . 𝑛𝑛 2𝑚2 2𝑚2

(3.61)

Это верно для любого потенциала 𝑈 (r). Для водородоподобного атома, ∇2 𝑈 = 4𝜋𝑍𝑒2 𝛿(r),

(3.62)

и уравнение (3.61) приводит к 𝑆𝑛(3) =

2𝜋𝑍𝑒2 ~4 2𝜋𝑍𝑒2 ~4 𝑍 3 2(𝑍𝑒2 )4 𝑚 2 |𝜓 (0)| = = . 𝑛00 𝑚2 𝑚2 𝜋𝑎3 𝑛3 ~2 𝑛3

(3.63)

Можно использовать эти два правила сумм для оценки энергии 𝐸dip возбуждённых промежуточных состояний, соответствующих максимуму дипольной силы. Для основного состояния 𝑛 = 1 𝐸dip ≈

𝑆 (3) 2(𝑍𝑒2 )2 𝑚 = = 4|𝐸𝑛=1 |. ~2 𝑆 (2)

(3.64)

Это означает, что такие возбуждённые состояния принадлежат главным образом континууму. Тот факт, что вероятность для 𝑠-волны имеет ненулевое значение в начале координат, уравнение (3.21), важен для многих физических процессов. Так, структура ядра может сделать процесс захвата электрона ядром энергетически разрешённым. Реакция 𝑝 + 𝑒− → 𝑛 + 𝜈𝑒 происходит с превращением протона в нейтрон и излучением электронного нейтрино. Этот процесс индуцируется слабым взаимодействием; в результате ядро с избытком протонов преобразуется в другое, энергетически более выгодное ядро, а высвобождающаяся энергия уносится нейтрино. Процесс происходит благодаря обмену 𝑊 - и 𝑍-бозонами. Из-за их большой массы, ∼ 100 ГэВ, радиус действия этого взаимодействия очень мал, ∼ 10−16 см, вспомним оценки из разд. I.5.10. Поэтому процесс может иметь заметную вероятность, только если у электрона есть шанс попасть внутрь ядра. Это происходит только для 𝑠-электронов; в зависимости от главного квантового числа это может быть 𝐾-захват, 𝐿-захват и так далее. Атомные 𝑠-оболочки играют преобладающую роль и в других процессах, таких как внутренняя конверсия, когда возбуждённое ядро передаёт энергию возбуждения без реального излучения фотонов непосредственно одному из атомных 𝑠-электронов, который покидает атом.

3.3. Дискретный спектр

103

Задача 3.9 Электрон находится в основном состоянии атома трития. Ядро трития 3 H (один протон + два нейтрона) внезапно претерпевает бета-распад 3

H → 3 He + 𝑒− + 𝜈¯𝑒 ,

(3.65)

превращаясь в ядро лёгкого изотопа гелия 3 He (два протона и один нейтрон); новый электрон и антинейтрино, образовавшиеся при бета-распаде, уносят электрический заряд и энергию. Найти вероятность для первоначального атомного электрона остаться в основном состоянии атома гелия. Решение После того как произошло внезапное изменение потенциала, начальная волновая функция не является больше стационарной собственной функцией нового потенциала. Она содержит амплитуды новых собственных функций различных возбуждённых (в том числе ионизованных) состояний. Амплитуда основного состояния равна √︂ √︂ ∫︁ ∫︁ ∞ 23 −2𝑟/𝑎 1 −𝑟/𝑎 3 (g.s.)* (g.s.) 2 𝐴𝑔.𝑠. = 𝑑 𝑟 𝜓new 𝜓old = 𝑑𝑟 4𝜋𝑟 𝑒 𝑒 = 3 𝜋𝑎 𝜋𝑎3 0 √ ∫︁ √ 4 8 ∞ 16 2 2 −3𝑟/𝑎 = 3 𝑑𝑟 𝑟 𝑒 = . (3.66) 𝑎 27 0 Соответствующая вероятность 𝐴2𝑔.𝑠. = (8/9)3 ≈ 70 %. Общее выражение для радиальных водородоподобных волновых функций (3.5) связанных состояний в притягивающем потенциале 𝑍𝑒2 /𝑟 есть (︂ 𝑢𝑛ℓ (𝑟) = 𝐶𝑛ℓ

2𝑍 𝑟 𝑛𝑎

)︂ℓ+1

(2ℓ+1) 𝐿𝑛−ℓ−1

(︂

2𝑍 𝑟 𝑛𝑎

)︂

𝑒−𝑟(𝑍/𝑛𝑎) ,

(3.67)

где полиномы Лагерра вводятся стандартным образом, 𝐿𝛼𝑛 (𝑥) = 𝑒𝑥

𝑥−𝛼 𝑑𝑛 −𝑥 𝑛+𝛼 (𝑒 𝑥 ). 𝑛! 𝑑𝑥𝑛

(3.68)

При обычном выборе фазы нормировочная константа в (3.67) равна √︃ 𝑍 (𝑛 − ℓ − 1)! 𝑛−ℓ−1 1 𝐶𝑛ℓ = (−) . (3.69) 𝑛 𝑎 (𝑛 + ℓ)!

104

Глава 3 Атом водорода

Иногда полиномы (3.68) называются обобщенными, в то время как термин полиномы Лагерра зарезервирован для особого случая 𝛼 = 0. Низшие полиномы записываются как 𝐿𝛼0 (𝑥) = 1,

𝐿𝛼1 (𝑥) = 1+𝛼−𝑥,

1 𝐿𝛼2 (𝑥) = [(1+𝛼)(2+𝛼)−2(2+𝛼)𝑥+𝑥2 ]. 2 (3.70)

Задача 3.10 Докажите алгебраические свойства полиномов Лагерра (3.68): явный вид полинома 𝐿𝛼𝑛 (𝑥) =

𝑛 ∑︁ Γ(𝑛 + 𝛼 + 1) 𝑘=0

(−𝑥)𝑘 ; Γ(𝑘 + 𝛼 + 1) 𝑘!(𝑛 − 𝑘)!

(3.71)

связь с полиномами Эрмита, ℋ2𝑛 (𝑥) = (−)𝑛 22𝑛 𝑛!𝐿−1/2 (𝑥2 ), 𝑛

2 ℋ2𝑛+1 (𝑥) = (−)𝑛 22𝑛+1 𝑛!𝑥𝐿1/2 𝑛 (𝑥 ); (3.72)

производящая функция, 𝐹 (𝑥, 𝑡) = (1 − 𝑡)−(𝛼+1) 𝑒−𝑥𝑡/(1−𝑡) =

∞ ∑︁

𝐿𝛼𝑛 (𝑥)𝑡𝑛 ,

(3.73)

𝑛=0

удовлетворяющая дифференциальным уравнениям (1 − 𝑡)2

𝜕𝐹 + [𝑥 − (1 − 𝑡)(1 + 𝛼)]𝐹 = 0, 𝜕𝑡

𝜕𝐹 + 𝑡𝐹 = 0, 𝜕𝑥

(1 − 𝑡)

(3.74) (3.75)

и (︂

𝜕𝐹 𝜕𝑥

)︂ = −𝑡𝐹 (𝑥, 𝑡)𝛼=1

(3.76)

𝛼

(разложение (3.73)) сходится при |𝑡| < 1); рекуррентные соотношения с фиксированной 𝛼, (𝑛 + 1)𝐿𝛼𝑛+1 (𝑥) + (𝑥 − 𝛼 − 2𝑛 − 1)𝐿𝛼𝑛 (𝑥) + (𝑛 + 𝛼)𝐿𝛼𝑛−1 (𝑥) = 0, (3.77)

3.4. Операторное решение 𝑑𝐿𝛼𝑛 (𝑥) = 𝑛𝐿𝛼𝑛 (𝑥) − (𝑛 + 𝛼)𝐿𝛼𝑛−1 (𝑥); 𝑑𝑥 рекуррентные соотношения для разных 𝑛,

105

𝑥

(3.78)

𝛼+1 𝐿𝛼𝑛 (𝑥) = 𝐿𝛼+1 𝑛 (𝑥) − 𝐿𝑛−1 (𝑥),

(3.79)

𝑑𝐿𝛼𝑛 (𝑥) = −𝐿𝛼+1 𝑛−1 (𝑥). 𝑑𝑥

(3.80)

и

3.4. Операторное решение Как уже кратко обсуждалось в разд. I.7.10, «случайное» вырождение можно отнести к скрытой симметрии. Эта симметрия приводит к появлению дополнительного интеграла движения в кулоновском поле, вектора Рунге— Ленца (︁ )︁ ^ = ^r − ~ [^ ^] . A p × ℓ^] − [ℓ^ × p 𝑟 2𝑚𝑔

(3.81)

Этот вектор лежит в плоскости классической орбиты кеплеровской задачи ^ = (A ^ · ^ℓ) = 0, (^ℓ · A)

(3.82)

в направлении из точки фокуса в перигелий. Постоянная Планка появилась в определении (3.81) из-за нашего условия измерять угловые моменты в единицах ~; классически ~ℓ^ = ℓ (cl) и два векторных произведения в (3.81) равны. В классической механике этот закон сохранения проявляется в наличии замкнутой периодической планетарной траектории, так как наличие постоянного вектора A фиксирует ориентацию орбиты в плоскости, перпендикулярной другому сохраняющемуся вектору ℓ . Отклонения от точного гравитационного (или кулоновского) потенциала ∼ 1/𝑟 приводят [2] к искажению орбиты, когда радиальные и угловые частоты слегка рассогласовываются и траектория становится розеткообразной вместо эллиптической (сдвиг перигелия в общей теории относительности). В квантовой механике ^ не коммутирует с угловым моментом. Как и для любого вектора, вектор A [ℓ^𝑖 , 𝐴^𝑗 ] = 𝑖𝜀𝑖𝑗𝑘 𝐴^𝑘 .

(3.83)

106

Глава 3 Атом водорода

Поэтому невозможно найти состояние, в котором оба вектора имеют определённые значения. Как мы знаем из обсуждения измеримости (разд. I.6.13) собственные состояния гамильтониана в таких случаях должны быть вырожденными — тогда можно построить два множества вырожденных собственных функций для того, чтобы диагонализовать один из этих интегралов движения одновременно с гамильтонианом. Мы вернёмся к этой теме, когда будем обсуждать эффект Штарка в гл. 9. Теперь мы в состоянии найти энергетический спектр атома водорода чисто алгебраическим способом. Задача 3.11 Докажите операторные соотношения: ^ 2 и гамильтонианом 𝐻 ^ a) связь между A 2 ^ 2 = 1 + 2~ 𝐻(1 ^ + ℓ^2 ); A 𝑚𝑔 2

(3.84)

классический предел этой величины есть квадрат эксцентриситета орбиты [2] √︃ 2𝐸(ℓ(cl) )2 ; (3.85) 𝑒= 1+ 𝑚𝑔 2 b) коммутаторы компонент 𝐴^𝑖 2~2 ^ ℓ^𝑘 . [𝐴^𝑖 , 𝐴^𝑗 ] = −𝑖 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝐻 𝑚𝑔 2

(3.86)

Рассмотрим вырожденный набор связанных кулоновских состояний с ^ действуют только ^ → 𝐸 = −𝜀. Оба вектора ℓ^ и A отрицательной энергией 𝐻 внутри этого семейства состояний. Если мы перенормируем вектор Рунге— Ленца в виде √︂ 2𝜀 ^ A= ~^ a, (3.87) 𝑚𝑔 2 мы получим из (3.84) 2 𝑚𝑔 2 ^2 + ℓ^ + 1 = 2 , a 2~ 𝜀

(3.88)

3.4. Операторное решение

107

в то время как коммутатор (3.86) теперь принимает вид, аналогичный коммутатору компонент углового момента [^ 𝑎𝑖 , 𝑎 ^𝑗 ] = [ℓ^𝑖 , ℓ^𝑗 ] = 𝑖𝜀𝑖𝑗𝑘 ℓ^𝑘

(3.89)

(коммутатор (3.83) не меняется). Два новых оператора, подобных угловому моменту, ^ (±) = 1 (ℓ^ ± a ^), J 2

(3.90)

^ и ℓ^ на две расцепляют связанные коммутационные соотношения между a отдельные группы: (±)

[𝐽^𝑖

(±) (±) , 𝐽^𝑗 ] = 𝑖𝜀𝑖𝑗𝑘 𝐽^𝑘 ,

(±)

[𝐽^𝑖

(∓) , 𝐽^𝑗 ] = 0.

(3.91)

Операторная алгебра задачи теперь сводится к двум 𝒮𝒰(2) алгебрам для ^ (±) . Мы ожидаем, что собсохраняющихся векторов угловых моментов J ственные состояния теперь нумеруются четырьмя квантовыми числами (±) (целыми или полуцелыми), две величины 𝐽 (±) и две проекции 𝐽𝑧 . Однако из-за ортогональности (3.82) их величины должны быть равны (︁

^ (±) J

)︁2

1 1 2 ^ 2 ⇒ 𝐽(𝐽 + 1). ^)2 = (ℓ^ + a ^2 ) ≡ J = (ℓ^ ± a 4 4

(3.92)

Поэтому каждое стационарное состояние характеризуется тремя дискрет(+) (−) ными квантовыми числами 𝐽 (+) = 𝐽 (−) = 𝐽, 𝐽𝑧 и 𝐽𝑧 , и энергия вырожденного набора состояний описывается, см. (3.88) и (3.92), формулой Бальмера 𝐸𝐽 = −𝜀𝐽 =

𝑚𝑔 2 𝑚𝑔 2 = , 2~2 [1 + 4𝐽(𝐽 + 1)] 2~2 𝑛2

(3.93)

где главное квантовое число проявляется как число состояний в 𝐽-мультиплете 𝑛 = 2𝐽 + 1.

(3.94)

Так как и целые и полуцелые значения 𝐽 разрешены, мы получаем 𝑛 = ^ (+) + J ^ (−) пробегает в этом наборе состо1, 2, .... Орбитальный момент ℓ^ = J яний все целые значения от 0 до 2𝐽 = 𝑛 − 1, в соответствии с результатом, полученным из прямого решения дифференциального уравнения. (Сложение угловых моментов будет обсуждаться гораздо более подробно в гл. 7).

108

Глава 3 Атом водорода

Степень вырождения, задаваемая полным количеством комбинаций проекций (2𝐽 + 1)2 , совпадает с той, которую дают уравнения (3.37). Интересной особенностью этого операторного подхода является очевидная симметрия между двумя сохраняющимися векторами. Задача 3.12 Рассмотрите двумерную кеплеровскую задачу ^ = 𝐻

𝑝^2𝑥 + 𝑝^2𝑦 𝑔 − , 2𝑚 𝑟^

𝑟^ =

√︀ 𝑥 ^2 + 𝑦^2 .

(3.95)

Сконструируйте алгебру углового момента, используя в качестве генераторов сохраняющиеся операторы 𝐴^𝑥 , 𝐴^𝑦 , и ^𝑙𝑧 , найдите связь между 𝐴^2𝑥 + 𝐴^2𝑦 и энергией и выведите двумерную формулу Бальмера (3.93) с главным квантовым числом 𝑛 = 𝐽 + 1/2, где 𝐽 должно быть целым числом. Покажите, что вырождение собственных значений энергии равно 2𝑛 = 2𝐽 + 1.

3.5. На пути к прецизионной спектроскопии В нашем рассмотрении атома водорода, аналитическом или алгебраическом, игнорирoвались многие физические факторы. Мы получили только грубый скелет спектральной структуры, знание которого необходимо, но далеко не достаточно для объяснения результатов наблюдений. Атомная спектроскопия — определённо наиболее точный раздел экспериментальной физики. Принятое в настоящее время значение постоянной тонкой структуры (I.1.29), являющееся усреднением результатов наиболее точных экспериментов различного типа, дано в [18]: 1 = 137, 035 999 084(±51), 𝛼

(3.96)

где величина ошибки относится к двум последним цифрам. Для такой точности атомная теория должна учитывать множество малых эффектов, которые отвечают за крошечные поправки к энергетическим уровням. Поправки становятся ещё более важными в тяжёлых атомах, где вдобавок необходимо учитывать взаимодействие между электронами. Вот некоторые эффекты, которые будут обсуждаться в последующих главах. 1. Спин электрона упоминался только в связи с вырождением атомных оболочек. Кроме этого, он играет важную роль в отклике атома на магнитное поле.

3.6. Решение в параболических координатах⋆

109

2. В нашем рассмотрении мы не касались каких-либо релятивистских эффектов. Поправки порядка (𝑣/𝑐)2 ∼ 𝛼2 определяют так называемую тонкую структуру спектра (отсюда возник термин для 𝛼). Они складываются из трех источников: следующие слагаемые после 𝑝2 /2𝑚 в разложении в ряд релятивистской кинетической энергии, спин-орбитальное взаимодействие, которое главным образом есть результат взаимодействия спинового магнитного момента электрона с магнитным полем, возникающим в результате движения электронов, а также специфическая делокализация электрона вследствие релятивистского соотношения неопределённости (разд. I.5.10). 3. Любые ядра, включая протон, имеют конечный размер, и поэтому в небольшой области вблизи центра потенциал отличен от потенциала точечного заряда. Этот эффект особенно виден в разнице спектров для разных изотопов (разные размеры ядер) и в мезоатомах, так как мезоны проникают глубже в объем ядра. 4. Многие ядра, включая протон, имеют ненулевой магнитный момент, который взаимодействует с магнитным моментом спина электрона, создавая сверхтонкую структуру спектра. 5. Некоторые ядра (исключая протон) могут иметь ненулевые высшие мультипольные моменты распределения заряда, начиная с квадрупольного момента; это изменяет сверхтонкую структуру. 6. Квантовая теория поля предсказывает радиационные поправки, связанные с виртуальным излучением и поглощением фотонов и изменяющие свойства вакуума (поляризация) из-за присутствия заряженных частиц. Эти поправки приводят к дополнительным смещениям уровней (лэмбовский сдвиг). Для того чтобы количественно оценить влияние таких эффектов, необходимо разработать регулярные методы оценки малых поправок к волновым функциям и собственным значениям. Такими методами являются различные формы теории возмущений (гл. 4).

3.6. Решение в параболических координатах⋆ Состояния с положительной энергией принадлежат непрерывному спектру. На самом деле они являются состояниями рассеяния. В типичном эксперименте внешний электронный пучок взаимодействует с протоном и

110

Глава 3 Атом водорода

рассеивается после этого под различными углами по отношению к исходному направлению, которое может быть выбрано в качестве оси 𝑧. Волновые функции этой задачи можно вычислить точно, аналитически решив уравнение Шрёдингера. Удобным способом решения является использование параболических координат [3, § 37], хорошо подходящих для геометрии задачи, которая очевидно нарушает сферическую симметрию, но сохраняет осевую симметрию, так что ℓ𝑧 по-прежнему хорошее квантовое число. Сначала покажем, что дискретный спектр также можно найти методом разделения переменных в параболических координатах. Когда ось 𝑧 определена, введём вместо 𝑟 и 𝑧 две новые положительно определённые переменные 𝜉 и 𝜂: 𝑟 = 𝜉 + 𝜂,

𝑧 = 𝜉 − 𝜂.

Вместе с азимутальным углом 𝜙 этот выбор определяет √︀ √︀ 𝑥 = 2 𝜉𝜂 cos 𝜙, 𝑦 = 2 𝜉𝜂 sin 𝜙.

(3.97)

(3.98)

Задача 3.13 Выведите уравнение Шрёдингера в параболических координатах для стационарного состояния с энергией 𝐸 = ~2 𝑘 2 /2𝑚 в кулоновском потенциале 𝑈 (𝑟) = −𝑍𝑒2 /𝑟 и покажите, что переменные разделяются. Решение После прямого преобразования оператора Лапласа получим }︂ {︂ 2𝑍 ^ ^ 𝜓(𝜉, 𝜂, 𝜙) = 0, 𝑂𝜉 + 𝑂𝜂 + 𝑎

(3.99)

^𝜉 и 𝑂 ^ 𝜂 , дейгде вводятся два идентичных дифференциальных оператора 𝑂 ствующих соответственно на переменные 𝜉 и 𝜂 2 ^ 𝜉 = 𝜕 𝜉 𝜕 + 1 𝜕 + 𝑘 2 𝜉. 𝑂 𝜕𝜉 𝜕𝜉 4𝜉 𝜕𝜙2

(3.100)

Теперь мы можем искать решение в сепарабельной форме 𝑋(𝜉) 𝑌 (𝜂) 𝑖𝑚𝜙 𝜓(𝜉, 𝜂, 𝜙) = √ , √ 𝑒 𝜂 𝜉

(3.101)

3.6. Решение в параболических координатах⋆ где 𝑋(𝜉) и 𝑌 (𝜂) удовлетворяют идентичным уравнениям {︂ 2 }︂ 𝐵𝜉 𝑑 𝑚2 − 1 2 − + + 𝑘 𝑋(𝜉) = 0, 𝑑𝜉 2 4𝜉 2 𝑎𝜉

111

(3.102)

и аналогично для 𝑌 (𝜂) с заменой 𝐵𝜉 ⇒ 𝐵𝜂 . Эти константы разделения связаны условием 𝐵𝜉 + 𝐵𝜂 = 2𝑍.

(3.103)

Уравнение (3.102) и его аналог для 𝑌 (𝜂) имеют тот же вид, что и уравнение (3.2) для радиальной функции 𝑢(𝑟) в сферических координатах, где спектр связанных состояний описывается уравнениями (3.13) и (3.14), 𝑘2 = −

𝑍 1 . 2 𝑎 (𝑁 + ℓ + 1)2

(3.104)

Чтобы установить явное соответствие, заметим, что числу ℓ(ℓ + 1) в сферических координатах соответствует (𝑚2 − 1)/4 в наших новых уравнениях, т. е. в решении (3.104) мы должны подставить ℓ = (|𝑚| − 1)/2. Это приводит к возникновению двух новых целых квантовых чисел, 𝑁𝜉 и 𝑁𝜂 , входящих в (3.102) и его 𝑌 -аналог, 𝑘2 = −

𝐵𝜉 𝐵𝜂 1 1 =− . 𝑎 𝑁𝜉 + (1/2)(|𝑚| + 1) 𝑎 𝑁𝜂 + (1/2)(|𝑚| + 1)

(3.105)

Условие (3.103) воспроизводит спектр (3.14) с главным квантовым числом 𝑛 = 𝑁 + ℓ + 1 = 𝑁𝜉 + 𝑁𝜂 + |𝑚| + 1.

(3.106)

Задача 3.14 Покажите, что общее количество вырожденных связанных состояний, помеченных параболическими квантовыми числами, совпадает с тем, что мы нашли в (3.37). Решение Число комбинаций 𝑁𝜉 и 𝑁𝜂 , разрешённых формулой (3.106) при заданных 𝑛, равно 𝑛 для 𝑚 = 0 и, как следует из (2.148), 𝑛(𝑛 − 1)/2 для каждого 𝑚 ̸= 0, которые могут быть положительными и отрицательными. Полная сумма равна 𝑛2 .

112

Глава 3 Атом водорода

Существование альтернативной системы координат, которая позволяет полное разделение переменных, связана с кулоновским вырождением. Вместо сферических гармоник с определенным значением орбитального момента, но с той же энергией в пределах данной основной оболочки, в параболических координатах мы берем их комбинации с некоторой выделенной осью. Это непосредственно связано с наличием дополнительного интеграла движения (3.81).

3.7. Состояния непрерывного спектра Общая задача рассеяния будет обсуждаться позже, но кулоновский потенциал дает редкий пример точно решаемой задачи. Параболические координаты (3.97) особенно удобны в этом случае, так как мы ожидаем, что в решении присутствуют падающая волна ∼ exp(𝑖𝑘𝑧) и расходящаяся сферическая волна ∼ exp(𝑖𝑘𝑟), и обе функции содержат множитель exp(𝑖𝑘𝜉). Поэтому, следуя Дж. Швингеру [19], мы можем искать решение уравнения (3.99) для рассеяния электрона ядром с зарядом 𝑍𝑒 в виде (ср. (3.101)) 𝑌 (𝜂) 𝜓(𝜉, 𝜂) = 𝑒𝑖𝑘𝜉 √ . 𝜂

(3.107)

Здесь нет никакой 𝜙-зависимости в силу осевой симметрии падающей волны относительно оси 𝑧; ℓ𝑧 = 𝑚 = 0 является константой движения. Подстановка (3.107) приводит к уравнению для функции 𝑌 (𝜂) (не путать со сферическими функциями 𝑌ℓ𝑚 ) {︂ 2 }︂ 𝑑 1 𝑖𝑘 + (2𝑍/𝑎) 2 + 𝑘 𝑌 (𝜂) = 0. (3.108) + + 𝑑𝜂 2 4𝜂 2 𝜂 Энергия 𝐸 = ~2 𝑘 2 /2𝑚 положительна. Задача 3.15 Сравните уравнение (3.108) с радиальным уравнением для дискретного спектра и докажите, что решение можно формально записать через полином Лагерра 𝐿𝛼=0 −𝑖𝜁 (𝑥) ≡ 𝐿−𝑖𝜁 (𝑥) 𝑌 (𝜂) =

√

𝜂𝐿−𝑖𝜁 (2𝑖𝑘𝜂)𝑒−𝑖𝑘𝜂 ,

(3.109)

3.7. Состояния непрерывного спектра Im z

113

Im z

x 0

(a)

Re z Re z

(b)

Рис. 3.2. Контуры интегрирования; a — контур интегрирования для уравнения (3.112); b — контур интегрирования для аналитического продолжения с комплексным индексом у полинома Лагерра

где 𝜁=

𝑍𝑒2 𝑍 = 𝑘𝑎 ~𝑣

(3.110)

параметр Зоммерфельда, и 𝑣 = ~𝑘/𝑚 — скорость на больших расстояниях. Особое внимание необходимо обратить на выбор знака комплексной переменной −𝑖𝜁 в индексе полинома Лагерра. Здесь мы имеем полином, аналитически продолженный на комплексные 𝜁. Для нулевого верхнего индекса 𝛼 = 0 полиномы Лагерра были определены, уравнение (3.68), как (︂ )︂ 𝑒𝑥 𝑑 𝑛 𝑛 −𝑥 𝐿𝑛 (𝑥) = (𝑥 𝑒 ). (3.111) 𝑛! 𝑑𝑥 С помощью теоремы Коши о вычетах это можно записать в виде контурного интеграла в комплексной плоскости переменной 𝑧 вдоль любой петли, включающей точку 𝑥, ∮︁ 𝑑𝑧 𝑒−𝑧 𝑧 𝑛 𝑥 𝐿𝑛 (𝑥) = 𝑒 . (3.112) 2𝜋𝑖 (𝑧 − 𝑥)𝑛+1 Теперь 𝑥 можно сдвинуть в любую комплексную точку внутри контура (рис. 3.2, a). В частности, в уравнении (3.109) мы должны передвинуть эту точку на мнимую ось 𝑥 = 2𝑖𝑘𝜂. Более аккуратно необходимо рассматривать комплексный индекс, 𝑛 ⇒ −𝑖𝜁. Мы сохраняем аналитическую форму (3.112), но теперь точка 𝑧 = 0 становится особой, и мы должны определить правильную фазу при переходе через разрез ветвления. Следуя как и выше [19], мы выбираем замкнутый контур (рис. 3.2, b) от 𝑧 = ∞ до 𝑧 = ∞ в направлении против часовой

114

Глава 3 Атом водорода

стрелки, содержащий две небольшие окружности вокруг 𝑧 = 0 и 𝑧 = 2𝑖𝑘𝜂 и две пары путей, параллельных вещественной оси. Интеграл принимает вид ∮︁ 𝑑𝑧 𝑒−𝑧 𝑧 −𝑖𝜁 2𝑖𝑘𝜂 𝐿−𝑖𝜁 (2𝑖𝑘𝜂) = 𝑒 . (3.113) 2𝜋𝑖 (𝑧 − 2𝑖𝑘𝜂)−𝑖𝜁+1 В верхней части интеграла имеем 𝑧 = 2𝑖𝑘𝜂 + 𝑥, так что ∫︁ (︁ )︁ 𝑑𝑥 𝑒−𝑥 (2𝑖𝑘𝜂 + 𝑥)−𝑖𝜁 . 𝐿−𝑖𝜁 (2𝑖𝑘𝜂) = 2𝜋𝑖 𝑥−𝑖𝜁+1 upper

(3.114)

Из-за экспоненциального множителя exp(−𝑥) под интегралом большие значения 𝑥 ≫ 1 не дают вклад в интеграл. Когда мы интересуемся асимптотикой волновой функции, 𝑥 ≫ 1, мы можем аппроксимировать (2𝑖𝑘𝜂 + 𝑥)−𝑖𝜁 ≈ (2𝑖𝑘𝜂)−𝑖𝜁 = 𝑒−𝑖𝜁 ln(2𝑖𝑘𝜂) = 𝑒𝜋𝜁/2 𝑒−𝑖𝜁 ln(2𝑘𝜂) .

(3.115)

В оставшемся интеграле (3.114) верхний берег дает ∫︁

0

𝑑𝑥 ∞

𝑒−𝑥 𝑥−𝑖𝜁+1

∫︁ =−

∞

𝑑𝑥 𝑥𝑖𝜁−1 𝑒−𝑥 = −Γ(𝑖𝜁),

(3.116)

0

гамма-функцию от мнимого аргумента, которая хорошо определена для положительной действительной части 𝜁. В интеграле по нижнему берегу верхнего контура нам нужно сделать замену 𝑥 → 𝑥 exp(2𝜋𝑖), которая не меняет числитель, но умножает знаменатель на (exp(2𝜋𝑖))−𝑖𝜁 = exp(2𝜋𝜁). В результате эта часть интеграла даёт exp(−2𝜋𝜁)Γ(𝑖𝜁). Наконец, сложив вклады двух берегов разреза и используя Γ(𝑖𝜁 + 1) = 𝑖𝜁Γ(𝑖𝜁), находим (︁

)︁ 𝐿−𝑖𝜁 (2𝑖𝑘𝜂)

upper

= 𝑒𝜋𝜁/2 𝑒−𝑖𝜁 ln(2𝑘𝜂) Γ(1 + 𝑖𝜁)

1 − exp(−2𝜋𝜁) . 2𝜋𝜁

(3.117)

Задача 3.16 Вычислите вклад нижней части интеграла (3.113). Решение В знаменателе интеграл содержит [exp(𝑖3𝜋/2)2𝑘𝜂]−𝑖𝜁+1 , и в результате (︁

)︁ 𝐿−𝑖𝜁 (2𝑖𝑘𝜂)

lower

= 𝑒−3𝜋𝜁/2 𝑒𝑖[2𝑘𝜂+𝜁 ln(2𝑘𝜂)]

𝑒2𝜋𝜁−1 Γ(1 − 𝑖𝜁). 4𝜋𝑘𝜂

(3.118)

3.7. Состояния непрерывного спектра

115

Комбинируя оба вклада, мы находим асимптотику 𝑘𝜂 ≫ 1 полинома Лагерра в виде }︂ {︂ 𝜁 𝑖[2𝑘𝜂+𝜁 ln(2𝑘𝜂)] Γ(1 − 𝑖𝜁) −𝑖𝜁 ln(2𝑘𝜂) , (3.119) 𝐿−𝑖𝜁 (2𝑖𝑘𝜂) ≈ 𝑓 (𝜁) 𝑒 + 𝑒 2𝑘𝜂 Γ(1 + 𝑖𝜁) где 𝑓 (𝜁) = 𝑒−3𝜋𝜁/2

𝑒2𝜋𝜁 − 1 Γ(1 + 𝑖𝜁) 2𝜋𝜁

(3.120)

не зависит от координат.

Теперь можно вспомнить о том, что первоначальная волновая функция имеет вид 𝜓(𝜉, 𝜂) = 𝑒𝑖𝑘𝜉 𝐿−𝑖𝜁 (2𝑖𝑘𝜂)𝑒−𝑖𝑘𝜂 .

(3.121)

Обычные координаты находятся из 𝜉=

1 (𝑟 + 𝑧), 2

𝜂=

1 (𝑟 − 𝑧). 2

(3.122)

Углом рассеяния 𝜃 является угол между падающим волновым вектором (ось 𝑧) и направлением r, в котором наблюдалась рассеянная частица. Тогда (︂ )︂ 𝜃 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃, 𝜂 = 𝑟 sin2 . (3.123) 2 В первом слагаемом асимптотического выражения (3.121) мы имеем exp[𝑖𝑘(𝜉− 𝜂)] = exp(𝑖𝑘𝑧), т.е. падающую волну, 𝜓inc = 𝑒𝑖𝑘𝑧 𝑒−𝑖𝜁 ln[2𝑘𝑟 sin

2 (𝜃/2)]

.

(3.124)

Второе слагаемое содержит exp[𝑖𝑘(𝜉 + 𝜂)] = exp(𝑖𝑘𝑟) и даёт расходящуюся сферическую волну. С помощью (3.123) находим 𝜓scatt =

2 𝑒𝑖𝑘𝑟 𝜁 𝑒𝑖{𝜁 ln[2𝑘𝑟 sin (𝜃/2)]−2𝑖 arg[Γ(𝑖𝜁+1)]} . 2 𝑟 2𝑘 sin (𝜃/2)

(3.125)

Таким образом, мы видим, что выбор знака в (3.109) правильно отражает граничные условия для физической задачи рассеяния. Рассеянная волна

116

Глава 3 Атом водорода

исчезает в пределе 𝑍 → 0, когда 𝜁 → 0. Величина (︂ )︂ 𝜃 𝑞 = 2𝑘 sin 2

(3.126)

имеет простой смысл. Это импульс (точнее, волновой вектор), передаваемый в процессе упругого рассеяния, 𝑞 = |k−k′ |, где k′ = (k·r/𝑟) — волновой вектор в направлении рассеянной волны. Теперь мы можем вычислить сечение рассеяния 𝑑𝜎, определяемое как отношение интенсивности, зарегистрированной удалённым детектором, который охватывает телесный угол 𝑑𝑜 на расстоянии 𝑟, к интенсивности падающего потока (более подробно мы обсудим это позже) 𝑑𝜎 =

|𝜓scatt |2 2 𝑟 𝑑𝑜. |𝜓inc |2

(3.127)

Наши асимптотические результаты (3.124) и (3.125) дают 𝑑𝜎 = 𝑑𝑜

(︂

𝜁 2𝑘 sin2 (𝜃/2)

)︂2

(︂ =

2𝑍 𝑎𝑞 2

)︂2 .

(3.128)

Это не что иное, как классическое резерфордовское сечение 𝑑𝜎 = 𝑑𝑜

(︂

𝑍𝑒2 4𝐸

)︂2

1 . sin (𝜃/2) 4

(3.129)

Хотя в итоге сечение совпадает с классическим результатом, волновые функции падающей и рассеянной волны содержат квантовые фазы, зависящие от угла рассеяния. Даже падающая волна (3.124) искажается кулоновским потенциалом, который имеет дальнодействующий характер. Тем не менее, этот эффект не виден в сечении и может наблюдаться только в виде интерференции с другим взаимодействием, например ядерным, которое может присутствовать наряду с кулоновским потенциалом. Дополнительная литература: [20], [21], [19].

Глава 4

Практически ни одну из физических систем нельзя изучать без использования подходящего приближённого метода. Искусство физика в большой степени состоит в умении определить относительную значимость различных факторов в данной физической системе и в выборе подходящего приближённого метода. Вообще говоря, для каждой задачи существует свой приближённый метод... А. Мессиа «Квантовая механика», Т. 2

Стационарные возмущения 4.1. Введение Существует очень мало задач квантовой физики, которые имеют точное аналитическое решение. В некоторых случаях можно решить проблему численно. А часто даже это не представляется возможным. Однако практически всегда рассматриваемые физические эффекты не являются равнозначными. Можно выделить наиболее значимые факторы в отличие от менее важных. Если можно решить проблему без учёта менее важных эффектов, то влияние проигнорированных при решении факторов можно приближённо учесть как возмущение. Этот термин пришёл из небесной механики, где гравитационное влияние планет мало по сравнению с влиянием Солнца. Обычно (не всегда) добавление поправок лишь слегка меняет волновые функции дискретного спектра и уровни энергии, сохраняя качественную картину спектра. Математически это может быть сформулировано как аналитичность физических характеристик, рассматриваемых как функции дополнительных параметров. В этом случае можно искать поправки к исходным, невозмущённым, решениям в виде регулярного ряда по степеням новых малых поправок. Однако есть ситуации, когда бесконечно слабое возмущение резко меняет невозмущённую картину. В классической механике в таких ситуациях говорят, что первоначальное состояние было неустойчивым. Часто малое изменение начальных условий через некоторое время полностью меняет траекторию движения (классический хаос [22]). В квантовой механике принцип неопределённости не позволяет описать начальные состояния в фазовом пространстве сколь угодно точно. Тем не менее, аналогичные хаотические явления существуют и в квантовой механи-

118

Глава 4 Стационарные возмущения

ке (гл. III.18). Особые проблемы возникают в случае вырожденных уровней, когда в отсутствие возмущений любые суперпозиции вырожденных состояний равнозначны, но даже слабое возмущение выбирает непертурбативным образом правильную комбинацию как соответствующее направление в подпространстве вырожденных состояний. Для того чтобы рассмотреть не зависящие от времени (стационарные) возмущения в дискретном спектре, мы предположим, что гамильтониан можно разделить на невозмущённую часть и возмущение: ^ =𝐻 ^ ∘ + 𝑔𝐻 ^ ′, 𝐻

(4.1)

где 𝑔 — это параметр, формально характеризующий величину возмущения. Предположим, что мы знаем стационарные состояния |𝑛⟩ и энергии 𝐸𝑛∘ для невозмущённой системы (𝑔 = 0): ^ ∘ |𝑛⟩ = 𝐸 ∘ |𝑛⟩. 𝐻 𝑛

(4.2)

Нам нужно найти стационарные состояния |Ψ⟩ и энергии 𝐸 для полного гамильтониана: ^ ∘ + 𝑔𝐻 ^ ′ )|Ψ⟩ = 𝐸|Ψ⟩. (𝐻

(4.3)

^ ′ не меняет граничные условия. Тогда Предположим, что возмущение 𝐻 функция |Ψ⟩ принадлежит тому же самому гильбертовому пространству и может быть разложена по полному набору невозмущённых функций: ∑︁ |Ψ⟩ = 𝑐𝑛 |𝑛⟩, (4.4) 𝑛

где сумма по 𝑛 включает в себя интеграл по непрерывному спектру, если он в задаче присутствует. Как и в случае стандартной задачи диагонализации (разд. I.6.8), мы можем использовать ортонормированность ⟨𝑛|𝑚⟩ = 𝛿𝑚𝑛 (или дельта-функцию Дирака в случае непрерывных квантовых чисел) и свести задачу к бесконечному множеству связанных линейных однородных уравнений для коэффициентов 𝑐𝑛 : ∑︁ ∘ ′ 𝑐𝑚 (𝐸 − 𝐸𝑚 )=𝑔 𝑐𝑛 𝐻𝑚𝑛 . (4.5) 𝑛 ′ ^ ′ |𝑛⟩ — матричные элементы возмущения в невозмущёнЗдесь 𝐻𝑚𝑛 = ⟨𝑚|𝐻 ном базисе (4.2). При формальном нахождении коэффициентов 𝑐𝑚 из систе-

4.2. Теория возмущений при отсутствии вырождения

119

мы уравнений (4.5) мы сталкиваемся с энергетическими знаменателями, характерными для этой формы теории возмущений. Система уравнений (4.5) эквивалентна оригинальному уравнению Шрёдингера и точного решения не имеет, хотя численные методы диагонализации разработаны для матриц достаточно больших размеров. В этом случае требуется основанное на физических соображениях обрезание гильбертова пространства, что сводит задачу к вариационному методу (разд. I.10.3). В настоящей главе мы вместо этого будем искать более простой метод регулярных приближений.

4.2. Теория возмущений при отсутствии вырождения Рассмотрим изменение невырожденного невозмущенного состояния |𝑘⟩ под влиянием возмущения. Наиболее практически удобным методом является теория возмущений Рэлея—Шрёдингера, где точное состояние |Ψ⟩ и точная энергия 𝐸 возникают из |𝑘⟩ и 𝐸𝑘∘ под действием возмущения. Без возмущения, 𝑔 → 0, мы имеем |Ψ⟩ = |𝑘⟩, т. е. 𝑐𝑛 = 𝛿𝑛𝑘 в выражении (4.4). При наличии возмущения в волновой функции (4.4) появляются примеси состояний 𝑛 = ̸ 𝑘. Предположение аналитичности позволяет разложить коэффициенты (4.6) по малому параметру силы возмущения: 2 (2) 𝑐𝑚 = 𝛿𝑚𝑘 + 𝑔𝑐(1) 𝑚 + 𝑔 𝑐𝑚 + ... .

(4.6)

Собственное значение энергии начинается с 𝐸𝑘∘ и гладко эволюционирует по мере включения возмущения: (1)

(2)

𝐸 = 𝐸𝑘∘ + 𝑔𝐸𝑘 + 𝑔 2 𝐸𝑘 + ... .

(4.7)

Вычислив энергетический терм 𝐸(𝑔) для конечного, но малого значения 𝑔, мы можем проследить его эволюцию назад вплоть до начального состояния в предположении однозначного «генетического» развития, рис. 4.1 (здесь мы видим часть реального спектра сложного ядра 24 Mg, рассчитанного с использованием оболочечной модели [23], где роль параметра 𝑔 играет сила межчастичного взаимодействия 𝜆). Это «генетическое» предположение основано на теореме о непересечении из разд. I.10.5. Используя лупу, можно убедиться, что на рис. 4.1 все пересечения уровней обходятся. Существует также вариант теории возмущения Бриллюэна—Вигнера, где собственное значение энергии не разлагается в ряд, в то время как волновая функция разлагается. На практике этот вариант менее удобен.

120

Глава 4 Стационарные возмущения 190

Number scale

180

170

160

150 –10 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Percent interaction strength

Рис. 4.1. Эволюция энергетических термов как функции силы возмущения

Подстановка (4.6) и (4.7) ведёт к системе уравнений для разных значений 𝑚: (︁ )︁(︁ )︁ (1) (2) ∘ 2 (2) 𝐸𝑘∘ − 𝐸𝑚 + 𝑔𝐸𝑘 + 𝑔 2 𝐸𝑘 + ... 𝛿𝑚𝑘 + 𝑔𝑐(1) + 𝑔 𝑐 + ... = (4.8) 𝑚 𝑚 (︁ )︁ ∑︁ ′ 2 (2) =𝑔 𝐻𝑚𝑛 𝛿𝑛𝑘 + 𝑔𝑐(1) 𝑛 + 𝑔 𝑐𝑛 + ... , 𝑛

где 𝑘 — фиксированный номер интересующего нас состояния, а 𝑚 пробегает по всему гильбертову пространству. (Следует аккуратно обращаться с многочисленными индексами.) Вначале берём выражение (4.8) c 𝑚 = 𝑘, тогда невозмущённые энергии и общий множитель 𝑔 сокращаются и мы получаем (︁

)︁(︁ )︁ ∑︁ (︁ )︁ (1) (2) (1) (2) ′ 2 (2) 𝐸𝑘 +𝑔𝐸𝑘 +... 1+𝑔𝑐𝑘 +𝑔 2 𝑐𝑘 +... = 𝐻𝑘𝑛 𝛿𝑛𝑘 +𝑔𝑐(1) +𝑔 𝑐 +... . 𝑛 𝑛 𝑛

(4.9)

4.2. Теория возмущений при отсутствии вырождения

121

Здесь мы выделяем в отдельные уравнения первый (1)

′ 𝐸𝑘 = 𝐻𝑘𝑘 ,

(4.10)

второй (2)

(1) (1)

𝐸𝑘 + 𝐸𝑘 𝑐𝑘 =

∑︁

′ (1) 𝑐𝑛 𝐻𝑘𝑛

(4.11)

𝑛

и все высшие порядки по степени 𝑔. Низший порядок поправки (4.10) к уровню энергии определяется средним значением возмущения по невозмущенному состоянию. Поэтому член с 𝑛 = 𝑘 из правой части выражения (4.11) сокращается со вторым слагаемым из левой части и остаётся выражение ∑︁ (2) ′ (1) 𝐸𝑘 = 𝐻𝑘𝑛 𝑐𝑛 , (4.12) 𝑛̸=𝑘 (1)

в котором не содержится коэффициента 𝑐𝑘 . Вычисляя выражение (4.8) с 𝑚 ̸= 𝑘, мы получаем: (︁ )︁(︁ )︁ (1) (2) ∘ (2) 𝐸𝑘∘ − 𝐸𝑚 + 𝑔𝐸𝑘 + 𝑔 2 𝐸𝑘 + ... 𝑐(1) + 𝑔𝑐 + ... = 𝑚 𝑚 (︁ )︁ ∑︁ ′ 2 (2) = 𝐻𝑚𝑛 𝛿𝑛𝑘 + 𝑔𝑐(1) 𝑛 + 𝑔 𝑐𝑛 + ... .

(4.13)

𝑛

Опять рассматриваем это выражение в каждом порядке теории возмущений: ∘ ′ (𝐸𝑘∘ − 𝐸𝑚 )𝑐(1) 𝑚 = 𝐻𝑚𝑘 , (1)

∘ ∘ (2) 𝐸𝑘 𝑐(1) 𝑚 + (𝐸𝑘 − 𝐸𝑚 )𝑐𝑚 =

(4.14) ∑︁

′ 𝐻𝑚𝑛 𝑐(1) 𝑛

(4.15)

𝑛

и так далее. В предположении, что состояние |𝑘⟩ не является вырожденным и мы не боимся делить на разность энергий, получаем: 𝑐(1) 𝑚 =

′ 𝐻𝑚𝑘 , ∘ − 𝐸𝑚

𝐸𝑘∘

𝑚 ̸= 𝑘.

(4.16)

Таким образом, собственный вектор, эволюционирующий из невозбуждённого состояния |𝑘⟩, в первом порядке теории возмущений выражается

122

Глава 4 Стационарные возмущения

уравнением |Ψ⟩ =

∑︁ ∑︁ (1) (𝛿𝑚𝑘 + 𝑔𝑐(1) )|𝑚⟩ = (1 + 𝑔𝑐 )|𝑘⟩ + 𝑔 𝑚 𝑘 𝑚

𝑚̸=𝑘

′ 𝐻𝑚𝑘 |𝑚⟩, (4.17) ∘ 𝐸𝑘∘ − 𝐸𝑚

(1)

где поправка 𝑐𝑘 пока ещё не найдена. Энергия (4.12) не зависит от этого коэффициента: ′ 𝐸 = 𝐸𝑘∘ + 𝑔𝐻𝑘𝑘 + 𝑔2

∑︁ |𝐻 ′ |2 𝑘𝑛 . 𝐸𝑘∘ − 𝐸𝑛∘

(4.18)

𝑛̸=𝑘

′ = (𝐻 ′ )* . Здесь учтено, что гамильтониан эрмитов 𝐻𝑛𝑘 𝑘𝑛

Наконец, потребуем, чтобы решение |Ψ⟩ (4.17) было нормировано: ⟨Ψ|Ψ⟩ = 1.

(4.19)

В этом равенстве члены первого порядка должны компенсироваться (1)

(1)*

𝑐𝑘 + 𝑐𝑘

= 0,

(4.20) (1)

т.е. неизвестный коэффициент должен быть мнимым, 𝑐𝑘 = 𝑖𝛼, и соответствующая поправка к волновой функции — это первый член разложения фазы 𝑒𝑖𝑔𝛼 . Постоянная общая фаза не имеет значения, и мы можем принять (1)

𝑐𝑘 = 𝑖𝛼 = 0.

(4.21)

Это определяет ответ для волновой функции в первом порядке |Ψ⟩ = |𝑘⟩ + 𝑔

∑︁ 𝑛̸=𝑘

′ 𝐻𝑛𝑘 |𝑛⟩. 𝐸𝑘∘ − 𝐸𝑛∘

(4.22)

Уравнения (4.18) и (4.22) решают задачу поиска возмущённой волновой функции и её новой энергии. Этот итерационный метод является регулярным, так что несложно явно вычислить поправки в любом (не слишком высоком) порядке. В конце мы можем избавиться от вспомогательного параметра 𝑔, полагая его равным 1, тем самым просто включив его в ^ ′ . Структура разложения в ряд (4.8) демонстрирует, что для оператор 𝐻 вычисления поправки к энергии порядка 𝑛 достаточно знать поправку к волновой функции порядка 𝑛 − 1. В первом порядке по возмущению состо-

4.2. Теория возмущений при отсутствии вырождения

123

яние |𝑘⟩ приобретает только примеси состояний |𝑛⟩, напрямую связанных с ′ . исходным состоянием ненулевыми элементами матрицы возмущения 𝐻𝑛𝑘 Задача 4.1 Найдите во втором порядке теории возмущений вектор состояния, полученный из невозмущённого состояния |𝑘⟩, и третий порядок теории возмущений для энергии. Решение Собирая члены следующего порядка, получаем: (2)

𝑐𝑘 = −

1 ∑︁ |𝐻𝑘𝑛 |2 ; 2 (𝐸𝑘∘ − 𝐸𝑛∘ )2

(4.23)

𝑛̸=𝑘

(2)

𝑐𝑚̸=𝑘 =

(3)

𝐸𝑘 =

𝐸𝑘∘

1 ∘ − 𝐸𝑚

⎧ ⎫ ⎨∑︁ 𝐻 ′ 𝐻 ′ ′ ′ 𝐻𝑘𝑘 𝐻𝑚𝑘 ⎬ 𝑚𝑛 𝑛𝑘 − ; ∘ ⎭ ⎩ 𝐸𝑘∘ − 𝐸𝑛∘ 𝐸𝑘∘ − 𝐸𝑚

′ 𝐻𝑘𝑚 ∘ 𝐸 ∘ − 𝐸𝑚 𝑚̸=𝑘 𝑘

∑︁

(4.24)

𝑛̸=𝑘

⎧ ⎫ ⎨∑︁ 𝐻 ′ 𝐻 ′ ′ ′ 𝐻𝑘𝑘 𝐻𝑚𝑘 ⎬ 𝑚𝑛 𝑛𝑘 − . ∘ ⎭ ⎩ 𝐸𝑘∘ − 𝐸𝑛∘ 𝐸𝑘∘ − 𝐸𝑚

(4.25)

𝑛̸=𝑘

В 𝑛-ом порядке теории возмущений входят примеси невозмущенных состояний, достигаемых из исходного состояния |𝑘⟩ за 𝑛 шагов с использо^ ′ . Этот процесс перебирает все возможные ванием матричных элементов 𝐻 пути, включающие (𝑛 − 1) промежуточное (виртуальное) состояние. Если ^ ∘ имеет наряду с дискретным спектром, где взято состогамильтониан 𝐻 яние |𝑘⟩, также и континуум, то в общем случае возмущённое состояние |Ψ⟩ может принадлежать и непрерывному спектру, так как соответству^ ′ . Это произойдёт, если ющие примеси могут порождаться с помощью 𝐻 возмущённая энергия перейдёт в непрерывную часть спектра. Состояния из непрерывного спектра также должны учитываться при переборе виртуальных состояний. Поправка первого порядка к энергии (4.10) известна без вычислений и может быть просто включена в невозмущенную энергию 𝐸𝑘∘ с самого начала, так что в последующих итерациях участвуют только недиагональные матричные элементы, которые и дают нетривиальный эффект. Обратите внимание, что поправки к энергии из-за недиагональных элементов всегда образуют циклы, 𝑘 → 𝑛 → 𝑚 → 𝑘 в выражении (4.25), а соответствующие поправки к волновой функции образуют дерево (хотя и включающее в себя циклы) с ветвями, доходящими до примешанных состояний. Поправка

124

Глава 4 Стационарные возмущения

второго порядка (4.18) к энергии основного состояния всегда отрицательна из-за знака в энергетическом знаменателе. Мы уже упоминали, что появление таких знаменателей является типичной особенностью этого варианта теории возмущений. Как мы помним из задачи с двумя уровнями (разд. I.10.5), смешивание состояний приводит к их расталкиванию. Основное состояние чувствует отталкивающее давление всех примесей сверху и перемещается вниз, в то время как для других состояний баланс сил, сдвигающих вверх и вниз, может оказаться любого знака. Таким образом, в этой формулировке теория возмущений содержит признаки вариационного подхода.

4.3. Сходимость Как видно из полученных результатов и задачи 4.1, каждый новый порядок теории возмущений добавляет недиагональный матричный эле′ , делённый на энергетический знаменатель 𝐸 ∘ − 𝐸 ∘ . мент возмущения 𝐻𝑚𝑘 𝑚 𝑘 Таким образом, очевидным условием применимости пертурбативного подхода Рэлея—Шрёдингера является малость недиагональных матричных элементов по сравнению с разностью значений энергий соответствующих невозмущённых уровней: ⃒ ⃒ ′ ⃒ 𝐻𝑚𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ (4.26) ⃒ 𝐸 ∘ − 𝐸 ∘ ⃒ ≪ 1. 𝑚 𝑘 Если это условие выполнено, то, в зависимости от требуемой точности, мы можем ограничиться несколькими низшими порядками теории возмущений. Также очевидно, что если для исходного состояния |𝑘⟩ существует состояние |𝑘 ′ ⟩, которое является вырожденным по отношению к начальному, 𝐸𝑘∘ = 𝐸𝑘∘′ , или имеет энергию близкую к энергии первого, |𝐸𝑘∘ − 𝐸𝑘∘′ | ≃ |𝐻𝑘′ 𝑘 |, то поправка к состоянию |𝑘⟩ становится большой и теория возмущений в этой форме перестаёт работать. В этом случае волновые функции |𝑘⟩ и ^ ′ способно |𝑘 ′ ⟩ являются нестабильными, и даже слабое возмущение 𝐻 существенно их перемешать. Тем не менее, если мы работаем в пространстве конечной размерности, то как всегда в задаче диагонализации (разд. I.10.3) для матриц конечного размера, выражение (4.5) сводится к алгебраическому уравнению, решение которого зависит алгебраически от параметра возмущения 𝑔, а все корни являются действительными, что исключает особенности типа квадратного корня, который может стать мнимым. В этом случае разложение в ряд

4.3. Сходимость

125

U(x)

x3 x2

x2

E1 x2

x1

x

x3

Рис. 4.2. Потенциальная энергия осциллятора с кубической ангармоничностью

теории возмущений в принципе сходится, хотя, может быть, слишком медленно, чтобы можно было оборвать ряд в каком-либо близком порядке теории возмущений. Ситуация становится более интересной в реалистических случаях бесконечномерного гильбертова пространства. Теория возмущений расходится, если возмущение, даже будучи слабым, меняет граничные условия или асимптотику первоначальной функции. Такая ситуация возникает, напри^ ∘ имеет только дискретный спектр, а возмущение мер, если гамильтониан 𝐻 трансформирует его в спектр непрерывный. Рассмотрим осциллятор с кубической ангармоничностью (рис. 4.2): 2 𝑥 ^3 ^ =𝐻 ^ ∘ + 𝑔𝐻 ^ ′ = 𝑝^ + 1 𝑚𝜔 2 𝑥 ^2 + 𝑔 . 𝐻 2𝑚 2 3

(4.27)

При малых 𝑔 мы можем решить задачу формально с помощью развитой выше теории возмущений. Мы получим новый набор стационарных состояний. Как видно из (I.11.109), энергии состояний изменяются во втором порядке, а к основному состоянию примешиваются одно- и трёхквантовые состояния. Однако эти формальные вычисления не демонстрируют, что реальные стационарные состояния гамильтониана (4.27), в отличие от состояний невозмущенного квадратичного гамильтониана, являются несвязанными из-за конечной проницаемости барьера (см. рис. 4.2). Состояния, найденные с помощью теории возмущений, являются квазистационарными (разд. I.5.8) и имеют конечное время жизни. Очевидно, что состояния, расположенные над барьером, абсолютно неустойчивы. Потенциальный барьер существует для всех состояний с энергией 𝐸 < 𝐸1 (см. рис. 4.2). Вершина барьера находится в 𝑥 = 𝑥1 = −𝑚𝜔 2 /𝑔,

126

Глава 4 Стационарные возмущения

где 𝑈 ′ (𝑥1 ) = 0 и 𝐸1 = 𝑈 (𝑥1 ) = (𝑚𝜔 2 )3 /6𝑔 2 . Левая граница барьера расположена в 𝑥 = 𝑥2 = −(3/2)𝑚𝜔 2 /𝑔 = (3/2)𝑥1 . Следовательно, при 𝑔 → 0 энергия 𝐸1 → ∞, точки 𝑥1,2 уходят на −∞, а барьер становится очень широким и высоким. В этом случае барьер удерживает множество невозмущённых состояний, но только в течение конечного времени. Задача 4.2 Покажите, что время жизни состояний с энергией 𝐸 ≪ 𝐸1 можно оценить как 3 𝜔 5 /~𝑔 2

𝜏 ∼ 𝑒const 𝑚

.

(4.28)

Для малого 𝑔 время жизни состояний, расположенных ниже верхушки барьера, велико, так что приближение стационарного состояния является достаточно хорошим. Вероятность распада 𝛾 ∼ 1/𝜏 мала и зависит от 𝑔 неаналитически. При малых 𝑔 в уравнении (4.28) возникает существенно особая точка. Поскольку поведение волновой функции в случае 𝑡 → ∞ сильно отличается от стационарного, то теория возмущений не в состоянии описать неаналитические эффекты. Задача 4.3 Рассмотрите ангармоническую поправку четвёртого порядка к осциллятору (𝑔 > 0): 2 𝑥 ^4 ^ = 𝑝^ + 1 𝑚𝜔 2 𝑥 𝐻 ^2 + 𝑔 . 2𝑚 2 4

(4.29)

Покажите, что разложение в ряд по теории возмущений расходится, и обсудите причины этого. Решение Рассмотрим матричные элементы возмущения четвёртого порядка между состояниями невозмущенного осциллятора. При больших 𝑛 они растут квадратично ∼ 𝑛2 , в то время как знаменатель увеличивается линейно ∼ 𝑛. Поэтому при учёте высоких порядков теории возмущений ряд расходится. Соответствующие примеси высоко возбужденных состояний описывают хвосты волновых функций, имеющих типичные для потенциала четвёртого порядка асимптотики, которые отличаются от асимптотик гармонического осциллятора. Можно ожидать расходимости: сходящаяся теория возмущений в виде разложения в степенной ряд должна иметь некоторый радиус

4.4. Случай близких уровней

127

сходимости в комплексной плоскости вокруг 𝑔 = 0. Но тогда теория будет сходиться внутри радиуса и при отрицательных 𝑔, что невозможно, поскольку для отрицательных 𝑔 система неустойчива точно по той же причине, по какой она была неустойчива при кубической ангармоничности. В случае (4.29) спектр остаётся дискретным. Решение, полученное с помощью теории возмущений, является хорошим приближением при малых 𝑔, но разложение в ряд по теории возмущений даёт асимптотическое приближение, аналогичное тому, которое обсуждалось в случае квазиклассики. Для любой наперёд заданной ошибки мы можем найти такое малое значение 𝑔, при котором результат теории возмущений будет близок к точному в пределах этой ошибки. Но для конкретного значения 𝑔, начиная с некоторого порядка теории возмущений (оцените этот порядок для ангармоничности четвёртого порядка! ), результаты вычислений будут всё больше и больше отклоняться от точного ответа.

4.4. Случай близких уровней Простые варианты теории возмущений не работают в случае близколежащих или вырожденных уровней. Возьмём для примера два невозмущённых состояния |1⟩ и |2⟩ с малой разницей энергий Δ. Опасные поправки в первом ′ /Δ и ведут порядке теории возмущений (4.16) возникают из отношения 𝐻12 к большому коэффициенту смешивания. Слишком малый знаменатель не появился бы в первом порядке теории возмущений, если бы матричный элемент 𝐻12 отсутствовал. Простым рецептом избавления от этого смешивания является диагонали^ в подпространстве этих двух состояний. В зация полного гамильтониана 𝐻 результате мы получаем два новых вектора, представляющих правильные линейные комбинации нулевого порядка (𝛼)

(𝛼)

|𝛼⟩ = 𝑐1 |1⟩ + 𝑐2 |2⟩,

𝛼 = 1, 2.

(4.30)

Для дальнейшего применения теории возмущений эти два состояния |𝛼⟩ ^ диагонализуется лишь в заменяют два старых. Конечно, гамильтониан 𝐻 небольшом подпространстве. Остальные элементы матрицы возмущения могут связать эту пару состояний с другими невозмущёнными состояниями, которые в рамках нашего предположения не находятся слишком близко по энергии. В высших порядках теории возмущений мы снова можем смешивать состояния (4.30), но это смешивание будет содержать по крайней мере

128

Глава 4 Стационарные возмущения

вторую степень малого параметра 𝑔 2 , а соответствующие энергетические знаменатели будут соответствовать разностям энергий наших состояний с уровнями, находящимися за пределами диагонализованного подпространства. Если эта поправка по-прежнему не мала, то следует расширить диагонализацию на другие состояния. Диагонализация опасно близких состояний на самом деле является вариационным приближением (разд. I.10.3). В примере (4.30) мы ищем лучшие линейные комбинации в усечённом до двумерности базисе. Задача с двумя уровнями была решена в разд. I.10.4. Теперь можно видеть, что наша теория возмущений действительно следует из тех результатов в соответствующем пределе |𝐻12 | ≪ Δ. Используя обозначения (I.10.26) и (I.10.27) и разлагая корень 𝑠 в выражении (I.10.33), мы приходим к пертурбативному решению с расталкиванием уровней (сравнить с (4.18) в случае 𝑔 = 1): 𝐸+ = 𝐻22 +

|𝐻12 |2 , Δ

𝐸− = 𝐻11 −

|𝐻12 |2 . Δ

(4.31)

Здесь верхнее состояние (+) соответствует состоянию |2⟩ с небольшой примесью |𝐻12 /Δ| состояния |1⟩, в то время как нижнее состояние (−) является состоянием |1⟩ с небольшой примесью |𝐻12 /Δ| состояния |2⟩. Если параметр смешивания |𝐻12 /Δ| не мал, то смешивание становится сильным, и результирующие комбинации будут близки к симметричным и антисимметричным состояниям (I.10.40); они в точности совпадают с ними в случае полного вырождения Δ = 0. Этот метод применим в общем случае 𝑑-кратного вырождения или в случае 𝑑 близколежащих уровней |1⟩,. . . ,|𝑑⟩. Предварительная диагонализация ^ в этом подпространстве даёт 𝑑 правильных линейполного гамильтонина 𝐻 ных комбинаций нулевого порядка, которые можно использовать в качестве отправной точки для примешивания удалённых состояний по теории возмущений. Эти комбинации взаимно ортогональны и стабильны с точки ^ ′ . Из-за расталкивания уровней изначальное вырождение исчезрения 𝐻 зает, а новые начальные уровни расщепляются как минимум частично. Часто нет необходимости выполнять предварительную диагонализацию, и правильные линейные комбинации подсказываются симметрией системы. Мы увидим примеры этому при обсуждении множества конкретных задач.

4.5. Адиабатическое приближение Если степени свободы системы можно разбить на две группы, медленные и быстрые, то можно применить специальную форму теории возмущений.

4.5. Адиабатическое приближение

129

Если система состоит из частиц с сильно различающимися массами, как, например, в молекулах или твёрдых телах, такое разбиение вполне естественно. Мы качественно обсуждали это в разд. I.5.7 и пришли к выводу, что в молекулах существует хорошая классификация возможных возбуждений (электронных, колебательных и вращательных), энергии которых √︀ уменьшаются пропорционально параметру 𝑚/𝑀 , где 𝑚 — масса электрона, а 𝑀 ≫ 𝑚 — масса ядра. Аналогичное разбиение на электронные и фононные возбуждения (колебания решетки, гл. IV.10) подходит для твёрдых тел. В приближении Борна—Оппенгеймера координаты ядра 𝑋 = {R𝐴 } сначала фиксируются и рассматриваются как параметры, а движение электронов (быстрые переменные 𝑥 = {r𝑎 }) рассматривается в поле неподвижных (вообще говоря, необязательно находящихся в положении равновесия) ядер. Электроны в молекулах и твёрдых телах движутся относительно быстро, и их волновые функции могут приспособиться к медленно меняющимся поло^ 𝑓 (𝑥; 𝑋) в первом приближении жениям ядер. «Быстрый» гамильтониан 𝐻 ^ включает в себя кинетическую энергию 𝐾𝑥 быстрых степеней свободы 𝑥 и ^ (𝑥, 𝑋) с медленными переменными 𝑋, которые входят их взаимодействие 𝑈 ^ в 𝐻𝑓 (𝑥; 𝑋) как параметры. Это приводит к адиабатическому уравнению Шрёдингера ^ 𝑓 (𝑥; 𝑋)𝜓𝛼 (𝑥; 𝑋) = 𝐸𝛼 (𝑋)𝜓𝛼 (𝑥; 𝑋) 𝐻

(4.32)

с собственными значениями, электронными термами 𝐸𝛼 (𝑋), определёнными для различных фиксированных значений медленных переменных (координат ядер в случае молекул или твёрдых тел). Собственные функции 𝜓𝛼 (𝑥; 𝑋) образуют полную ортонормированную систему для каждого значения 𝑋 (функции для различных 𝑋 в общем случае не ортогональны). Параметрическое уравнение (4.32) приводит к полезным точным соотношениям для матричных элементов ⃒ ⃒ ⟨ ⟩ ⃒ 𝜕 ⃒ ⃒ 𝛼; 𝑋 . 𝑀𝛽𝛼 (𝑋) ≡ 𝛽; 𝑋 ⃒⃒ (4.33) 𝜕𝑋 ⃒ ^ =𝐻 ^ 𝑓 (𝑥; 𝑋)) Беря производную (4.32) по 𝑋, мы получаем (𝐻 ^ 𝜕𝐻 ^ 𝜕 |𝛼; 𝑋⟩ = 𝜕𝐸𝛼 |𝛼; 𝑋⟩ + 𝐸𝛼 𝜕 |𝛼; 𝑋⟩, |𝛼; 𝑋⟩ + 𝐻 𝜕𝑋 𝜕𝑋 𝜕𝑋 𝜕𝑋

(4.34)

130

Глава 4 Стационарные возмущения

или, для матричного элемента (4.33), ⃒ ⃒ ⟩ ⟨ ⃒ ⃒ 𝜕𝐻 𝜕𝐸𝛼 ⃒ ^ ⃒ 𝛿𝛽𝛼 + 𝐸𝛼 𝑀𝛽𝛼 (𝑋). 𝛽; 𝑋 ⃒ ⃒ 𝛼; 𝑋 + 𝐸𝛽 𝑀𝛽𝛼 (𝑋) = ⃒ 𝜕𝑋 ⃒ 𝜕𝑋 Для 𝛽 ̸= 𝛼 и для невырожденных 𝐸𝛽 (𝑋) и 𝐸𝛼 (𝑋) мы находим ⃒ ⃒ ⟨ ⟩ ⃒ 𝜕 𝐻^ ⃒ 𝛽; 𝑋 ⃒ 𝜕𝑋 ⃒ 𝛼; 𝑋 𝑀𝛽𝛼 (𝑋) = , 𝐸𝛼 (𝑋) − 𝐸𝛽 (𝑋) а для 𝛽 = 𝛼 ⃒ ⃒ ⟨ ⟩ ⃒ 𝜕𝐻 ⃒ ^ 𝜕𝐸𝛼 ⃒ ⃒ 𝛼; 𝑋 ⃒ . ⃒ 𝛼; 𝑋 = ⃒ 𝜕𝑋 ⃒ 𝜕𝑋

(4.35)

(4.36)

(4.37)

Согласно последнему уравнению, производная собственного значения по параметру равна среднему значению производной гамильтониана (производные бра- и кет-векторов сокращаются) — теорема Паули, которую иногда приписывают Фейнману и Хеллману. Равенство (4.37) согласуется с поправкой первого порядка (4.10) при бесконечно малом изменении гамильтониана. Задача 4.4 Используя теорему Паули и предыдущие результаты (задачи 2.3, 2.15, 3.7), вычислите средние значения ⟨𝑟−2 ⟩ и ⟨𝑟−3 ⟩ для стационарного связанного состояния 𝜓𝑛𝑙 в кулоновском поле. Решение Из уравнения движения для радиального импульса 𝑝^𝑟 мы находим связь между двумя средними значениями (условие стационарности орбиты) ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ 1 ~2 ℓ(ℓ + 1) 1 2 𝑍𝑒 = , (4.38) 𝑟2 𝑚 𝑟3 динамическое равновесие кулоновской и центробежной сил. С другой стороны, мы можем применить теорему Паули к радиальному гамильтониану, записанному в виде, справедливом для состояний с заданным орбитальным моментом ℓ 2 ^ℓ = 𝐾 ^ 𝑟 + ~ ℓ(ℓ + 1) + 𝑈 (𝑟). 𝐻 2𝑚𝑟2

(4.39)

4.5. Адиабатическое приближение Рассматривая ℓ как параметр, получаем ⟨ ⟩ 𝜕𝐸 ~2 (2ℓ + 1) 1 = . 2 2𝑚 𝑟 𝜕ℓ

131

(4.40)

Для данного радиального квантового числа 𝑁 мы знаем уровни энергии водородоподобного атома 𝐸𝑛ℓ = −

𝑚(𝑍𝑒2 )2 𝑚(𝑍𝑒2 )2 = − , 2~2 𝑛2 2~2 (𝑁 + ℓ + 1)2

и (4.40) даёт ⟨ ⟩ 1 𝑍2 = , 𝑟2 𝑎2 𝑛3 (ℓ + 1/2) тогда как (4.38) определяет ⟨ ⟩ 𝑍3 1 = 3 3 . 3 𝑟 𝑎 𝑛 ℓ(ℓ + 1)(ℓ + 1/2)

(4.41)

(4.42)

(4.43)

^ 𝑠 (𝑋): Полный гамильтониан содержит также «медленную» часть 𝐻 ^ =𝐻 ^ 𝑓 (𝑥; 𝑋) + 𝐻𝑠 (𝑋). 𝐻

(4.44)

^ 𝑠 (𝑋) включает кинетическую энергию В молекулах или твёрдых телах 𝐻 ядер и межъядерные взаимодействия. Стационарное решение полного уравнения Шрёдингера ^ 𝐻Ψ(𝑥, 𝑋) = 𝐸Ψ(𝑥, 𝑋)

(4.45)

можно искать с помощью разложения по полному набору функций быстрых переменных, найденному в (4.32), с амплитудами, зависящими от 𝑋: ∑︁ Ψ(𝑥, 𝑋) = 𝜙𝛼 (𝑋)𝜓𝛼 (𝑥; 𝑋). (4.46) 𝛼

^ 𝑠 содержит производные по 𝑋 и, следовательно, дейМедленная часть 𝐻 ствует не только на 𝜙𝛼 (𝑋), но и на параметры 𝑋 в функциях 𝜓𝛼 . Теперь

132

Глава 4 Стационарные возмущения

(4.45) принимает форму (︁ )︁ )︁ ∑︁(︁ ∑︁ ^ 𝑠 · 𝜙𝛼 (𝑋)𝜓𝛼 (𝑥; 𝑋) . 𝐻 𝐸 − 𝐸𝛼 (𝑋) 𝜙𝛼 (𝑋)𝜓𝛼 (𝑥; 𝑋) = 𝛼

(4.47)

𝛼

Функции 𝜓𝛼 (𝑥; 𝑋) ортонормированы как функции от 𝑥 при любом 𝑋, так что проекция (4.47) на произвольную функцию 𝜓𝛽 (𝑥; 𝑋) даёт (︁ )︁ (︁ )︁ ∑︁ ∫︁ ^ 𝑠 · 𝜙𝛼 (𝑋)𝜓𝛼 (𝑥; 𝑋) . (4.48) 𝐸 − 𝐸𝛽 (𝑋) 𝜙𝛽 (𝑋) = 𝑑𝑥 𝜓𝛽* (𝑥; 𝑋)𝐻 𝛼

^ 𝑠 , который содержит энергию взаимодействия 𝑈𝑠 (𝑋) Член в операторе 𝐻 медленных переменных, даёт снова 𝛿𝛼𝛽 . Следовательно, 𝑈𝑠 (𝑋) вместе с энергией 𝐸𝛽 (𝑋) быстрых переменных для фиксированной конфигурации 𝛽 медленных переменных, определяет эффективную потенциальную энергию 𝑈𝛽 (𝑋) = 𝑈𝑠 (𝑋) + 𝐸𝛽 (𝑋).

(4.49)

^ 𝑋 медленных Этот потенциал можно объединить с кинетической энергией 𝐾 ^ 𝑋 дейпеременных (часть правой стороны равенства (4.48), где оператор 𝐾 ствует только на функцию 𝜙𝛼 (𝑋)), что даст эффективный гамильтониан медленных переменных, включающий в себя вклад быстрых переменных, усредненный по их движению: ^ eff = 𝐾 ^ 𝑋 + 𝑈𝛽 (𝑋). 𝐻 𝛽

(4.50)

Окончательно (всё ещё точная) система уравнений может быть записана в виде (︁ )︁ ∑︁ ^ eff 𝜙𝛽 (𝑋) = 𝐸−𝐻 𝐼𝛽𝛼 (𝑋)𝜙𝛼 (𝑋). (4.51) 𝛽 𝛼

Интегралы 𝐼𝛽𝛼 содержат только те части медленной кинетической энергии, которые один или два раза дифференцируют функции 𝜓𝛼 (𝑥; 𝑋) по параметрам 𝑋: ∫︁ 𝐼𝛽𝛼 (𝑋) =

{︁ (︁ )︁ (︁ )︁ }︁ ^ 𝑋 𝜙𝛼 (𝑋)𝜓𝛼 (𝑥; 𝑋) − 𝐾 ^ 𝑋 𝜙𝛼 (𝑋) 𝜓𝛼 (𝑥; 𝑋) . 𝑑𝑥 𝜓𝛽* (𝑥; 𝑋) 𝐾 (4.52)

4.5. Адиабатическое приближение

133

Интегралы 𝐼𝛽𝛼 с 𝛽 ̸= 𝛼 связывают различные уравнения набора (4.51). Без этой связи (первое адиабатическое приближение) каждый электронный терм даст набор независимых уравнений для медленных движений, возможных при данной электронной конфигурации. Тогда мы получили (𝑛) ^ eff бы стационарные состояния Ψ как собственные состояния 𝐻 𝛽

𝛽

^ eff Ψ(𝑛) (𝑋) = 𝐸 (𝑛) Ψ(𝑛) (𝑋). 𝐻 𝛽 𝛽 𝛽 𝛽

(4.53) (𝑛)

Как обычно в теории возмущений, поправки к Ψ𝛽 (𝑋) от 𝐼𝛽̸=𝛼 будут порядка отношения ⃒ ⃒ ⃒ (𝑛) (𝑛′ ) ⃒ ⃒ ⟨Ψ𝛽 |𝐼𝛽𝛼 |Ψ𝛼 ⟩ ⃒ ⃒. 𝜁 = ⃒⃒ (4.54) (𝑛) (𝑛′ ) ⃒ ⃒ 𝐸𝛽 − 𝐸𝛼 ⃒ Сделаем грубую оценку, чтобы показать, что в типичной адиабатической ситуации эти поправки могут быть действительно небольшими. В молекуле с характерным разделением частот 𝜀/~ быстрого (электронного) движения и 𝜔 медленных (ядерных) колебаний, разд. I.5.7, мы ожидаем 𝜁 ∼ ~𝜔/𝜀 ≪ 1. Главный член в 𝐼𝛽𝛼 соответствует действию одного градиен^ 𝑋 = −~2 ∇2 /2𝑀 на параметры та ∇𝑋 оператора кинетической энергии 𝐾 𝑋 в электронной функции 𝜓𝛼 (𝑥; 𝑋), в то время как второй ∇𝑋 действует (𝑛′ ) наружу на подмешанную колебательную функцию Ψ𝛼 (𝑋). Используя (4.36), мы перенесём градиент внутрь электронного матричного элемента на гамильтониан 𝐻𝑓 , так что ⃒ ⃒ ⃒ ^ 𝑓 )|𝛼⟩ ~2 ⃒⃒ ⟨𝛽|(∇𝑋 𝐻 ⃒ (4.55) |𝐼𝛽𝛼 (𝑋)| ∼ · ∇𝑋 ⃒ . ⃒ ⃒ 2𝑀 ⃒ 𝐸𝛼 (𝑋) − 𝐸𝛽 (𝑋) ^ 𝑓 описывает электрон—ядерное взаимодействие, первый градиент Так как 𝐻 даёт силу, действующую на ядро; для почти гармонических колебаний эта сила равна 𝐹 ∼ 𝑀 𝜔 2 𝑋, если координаты 𝑋 описывают отклонения ионов от положений равновесия. Внешний ~∇𝑋 можно оценить как импульс ядра 𝑃 . Знаменатель в (4.55) есть типичная энергия возбуждения электронов 𝜀, в то время как в (4.54) знаменатель > ~𝜔. Эта очень консервативная оценка даёт для основного или низколежащего состояния, когда ⟨𝑋𝑃 ⟩ ∼ ~, ⃒ ⃒ ⃒ 𝜔⟨𝑋𝑃 ⟩ ⃒ ~𝜔 ⃒∼ 𝜁 6 ⃒⃒ ≪ 1. (4.56) 𝜀 ⃒ 𝜀

134

Глава 4 Стационарные возмущения

p1

p2

R r1

r2 e

Рис. 4.3. Конфигурация молекулярного иона водорода

Таким образом, мы ожидаем, что приближение, когда для каждой электронной конфигурации у нас есть независимая полоса колебательных состояний, может служить хорошей отправной точкой, при этом небольшие эффекты смешивания электронных конфигураций рассматриваются как возмущение.

4.6. Молекулярный ион водорода Мы можем проиллюстрировать общие соображения предыдущих разделов приближённым рассмотрением иона H+ 2 , системы одного электрона в поле двух протонов, рис. 4.3. Для того чтобы связать протоны, электрон должен создать отрицательно заряженное облако, которое будет притягивать оба протона. Полный гамильтониан системы равен )︂ (︂ )︁ ~2 2 ~2 (︁ 2 1 1 1 2 2 ^ 𝐻=− ∇ − , (4.57) ∇1 + ∇2 − 𝑒 + − 2𝑚 2𝑀 𝑟1 𝑟2 𝑅 где 𝑚 и 𝑀 — массы электрона и протона соответственно; 𝑟1,2 = |r − R1,2 | — расстояние между электроном и протоном, в то время как 𝑅 — расстояние между протонами, то есть наш медленный параметр 𝑋; градиент ∇ действует на координаты электронов, а ∇1,2 действуют на координаты протонов. Хотя задача может быть решена точно с использованием эллиптических координат [21], мы скомбинируем вариационный подход и адиабатическое приближение. При фиксированном расстоянии 𝑅 быстрая часть гамильтониана равна (︂ )︂ ~2 2 1 1 2 ^ ^ 𝑓 + 𝑈1 + 𝑈2 . 𝐻𝑓 (r; R) = − ∇ −𝑒 + ≡𝐾 (4.58) 2𝑚 𝑟1 𝑟2

4.6. Молекулярный ион водорода

135

Как подсказывает наш опыт с задачей двух центров (разд. 2.8), разумный вариационный подход соответствует образу электрона, общего для обоих центров. Мы ищем решение уравнения (4.32) в виде суперпозиции двух 1𝑠-функций атома водорода, локализованных возле каждого центра: 𝜓(r) = 𝑐1 𝜓1 + 𝑐2 𝜓2 ,

𝜓1,2 = 𝜓1𝑠 (𝑟1,2 ).

(4.59)

Можно ожидать, что лучшее приближение получится с учётом возможной деформации каждой 1𝑠-орбиты в направлении к другому центру. Этого можно достичь путём включения 2𝑝- и высших водородоподобных орбиталей, имеющих преимущественные направления, или, что даже лучше, не фиксируя форму орбиталей, а рассматривая их как неизвестные пробные функции. Для иллюстрации мы ограничимся здесь простейшей версией (4.59) с 1𝑠-орбиталями. Функции 𝜓1,2 , локализованные вокруг разных центров, не ортогональны. Их перекрытие фактически есть основная сила, связывающая молекулу. Нам нужно сейчас решить задачу диагонализации с неортогональными пробными функциями, как в задаче I.10.7. В 2 × 2-мерном пространстве, натянутом на функции 𝜓1,2 , адиабатическое уравнение ^ 𝑓 𝜓 = 𝐸(𝑅)𝜓 𝐻

(4.60)

сводится к системе двух связанных уравнений для амплитуд 𝑐1,2 суперпозиции (4.59): (︁ )︁ (︁ )︁ 𝜀 + (𝑈2 )11 𝑐1 + (𝑈1 )12 + 𝜀𝑂12 𝑐2 = 0, (4.61) (︁

)︁ (︁ )︁ 𝜀 + (𝑈1 )22 𝑐2 + (𝑈2 )21 + 𝜀𝑂21 𝑐1 = 0.

(4.62)

Здесь 𝜀 = 𝐸1𝑠 − 𝐸 есть сдвиг энергии основного состояния молекулярного иона по сравнению с энергией отдельного атома водорода. Мы ввели обозначения для перекрытия ∫︁ 𝑂12 = 𝑂21 = 𝑑3 𝑟 𝜓1 (𝑟)𝜓2 (𝑟) ≡ 𝑂 (4.63) волновых функций, матричных элементов ∫︁ 𝑒2 (𝑈2 )11 = (𝑈1 )22 = 𝑑3 𝑟 𝜓12 ≡ 𝑉, 𝑟2

(4.64)

136

Глава 4 Стационарные возмущения

потенциальной энергии, создаваемой другим центром, и ∫︁ 𝑒2 (𝑈1 )12 = (𝑈2 )21 = 𝑑3 𝑟 𝜓1 𝜓2 ≡ 𝑉̃︀ 𝑟1

(4.65)

для амплитуды перескока от одного центра к другому, индуцированного потенциалом второго центра (в нашем случае все функции и матричные элементы действительны). Задача 4.5 Рассчитайте величины (4.63-4.65) с 1𝑠-волновыми функциями водорода. Удобно использовать безразмерные эллиптические координаты [21], 𝜉=

𝑟1 + 𝑟2 , 𝑅

𝜂=

𝑟1 − 𝑟2 , 𝑅

𝜙,

(4.66)

где азимутальный угол 𝜙 отсчитывается от оси, соединяющей центры. Эти координаты изменяются в пределах 1 6 𝜉 6 ∞,

−1 6 𝜂 6 +1,

0 6 𝜙 < 2𝜋,

(4.67)

и элемент объёма равен 1 𝑑3 𝑟 = 𝑅3 (𝜉 2 − 𝜂 2 ) 𝑑𝜉 𝑑𝜂 𝑑𝜙. 8

(4.68)

Решение Для интеграла перекрытия мы находим (𝑋 = 𝑅/𝑎, 𝑎 — боровский радиус) 𝑂=

1 𝜋𝑎3

∫︁

𝑑3 𝑟 𝑒−(𝑟1 +𝑟2 )/𝑎 =

или, после несложных расчётов, (︂ )︂ 𝑋2 𝑂 = 1+𝑋 + 𝑒−𝑋 . 3

𝑋3 8𝜋

∫︁ 1

∞

𝑑𝜉 𝑒−𝑋𝜉

∫︁

1

𝑑𝜂 (𝜉 2 − 𝜂 2 ) · 2𝜋, (4.69)

−1

(4.70)

Как и ожидалось, перекрытие уменьшается экспоненциально с увеличением расстояния между центрами. Аналогично находим 𝑒2 𝑉̃︀ = (1 + 𝑋)𝑒−𝑋 , 𝑎

(4.71)

4.6. Молекулярный ион водорода

137

)︁ 𝑒2 (︁ 1 − (1 + 𝑋)𝑒−2𝑋 . (4.72) 𝑎𝑋 Перекрёстный член (4.71) спадает так же, как и перекрытие, в то время как энергия взаимодействия электронного облака, локализованного на одном центре, со вторым ионом быстро переходит в классический предел точечного заряда 𝑒2 /𝑅. Благодаря симметрии уравнений (4.61, 4.62) мы можем сложить или вычесть эти уравнения и получить симметричное 𝑉 =

𝑐1 = 𝑐2 ,

𝜀=

𝑉 + 𝑉̃︀ 1+𝑂

(4.73)

и антисимметричное 𝑐1 = −𝑐2 ,

𝜀=

𝑉̃︀ − 𝑉 1−𝑂

(4.74)

решения. Во втором случае имеется узел посредине между центрами и, следовательно, малая вероятность для электронного облака, которое является единственным переносчиком притяжения между протонами. Основное состояние с максимальным притяжением соответствует симметричному решению. После нормировки правильная волновая функция есть 𝜓1 + 𝜓2 𝜓sym = √︀ , 2(1 + 𝑂)

(4.75)

и эффективный потенциал между протонами, с добавлением отталкивания 𝑒2 /𝑅, является притягивающим: 𝑈 eff (𝑅) = 𝐸1𝑠 + 𝑓 (𝑋)

𝑒2 , 𝑅

(4.76)

где, в соответствии с (4.71), (4.72) и (4.73), 𝑓 (𝑋) =

(1 − 2𝑋 2 /3)𝑒−𝑋 + (1 + 𝑋)𝑒−2𝑋 . 1 + (1 + 𝑋 + 𝑋 2 /3)𝑒−𝑋

(4.77)

При малых расстояниях между центрами 𝑋 ≪ 1 эта функция близка к потенциалу центра с зарядом 2, 𝑓 (𝑋) ≈ 2(1 − 𝑋); на очень больших расстояниях 𝑓 (𝑋) ≈ −(2/3)𝑋 2 𝑒−𝑋 и стремится к нулю снизу. Минимум эффективного потенциала при 𝑋 ≈ 2, 5 (рис. 4.4), соответствующий 𝑅 ≈ ˚ даёт равновесное расстояние между протонами (экспериментальное 1, 3 𝐴, ˚ и согласие может быть улучшено при помощи значение равно 1, 06 𝐴),

138

Глава 4 Стационарные возмущения

–0.8 –0.9

E(Ry)

–1.0 –1.1 –1.2

0

2

4

6

8

10

R/a Рис. 4.4. Эффективный потенциал как функция расстояние между центрами, в единицах 𝑒2 /𝑎

выбора более сложной пробной функции. Заметим, что для более тяжёлой частицы, такой как отрицательный мюон, 𝑚𝜇 = 206 𝑚𝑒 , вместо электрона (но всё ещё 𝑚𝜇 ≪ 𝑀 , чтобы сохранить адиабатическое приближение), размер молекулы будет меньше на два порядка. Это значительно увеличит вероятность термоядерной реакции между ядрами (мюонный катализ). Задача 4.6 Опишите приближённо эффективный потенциал вблизи положения равновесия потенциалом гармонического осциллятора, найдите частоту колебаний и подтвердите оценки разд. I.5.7 и справедливость адиабатического приближения.

4.7. Взаимодействие атомов на больших расстояниях Химическая связь объясняется в основном взаимодействием атомов на сравнительно коротких расстояниях, когда электронные облака взаимодействующих атомов значительно перекрываются. Такие силы спадают экспоненциально вместе с волновыми функциями электронов. Существуют слабые притягивающие силы Ван-дер-Ваальса (иногда называемые дисперсионными силами Лоренца), которые спадают по степенному закону

4.7. Взаимодействие атомов на больших расстояниях

139

и действуют поэтому на больших расстояниях. Будучи обусловленными взаимодействием флуктуирующих электрических диполей, они отвечают за связи в молекулярных кристаллах и отклонения уравнения состояния газов от простых законов идеальных газов. В задаче 3.6 мы видели, что атомные электроны создают флуктуирующее дипольное электрическое поле, которое, в отличие от поля средней электронной плотности, спадает ∼ 𝑅−3 на расстояниях 𝑅 больших, чем радиус атома. Взаимодействие двух диполей описывается гамильтонианом [1, ур. (42.7)]: [︁ ]︁ ^ ^1 · d ^ 2 ) − 3(d ^ 1 · n)(d ^ 2 · n) ≡ 𝑊 , ^ 𝑑𝑑 = 1 (d 𝐻 3 𝑅 𝑅3

(4.78)

где дипольные операторы двух нейтральных атомов с зарядами ядра 𝑍1 и 𝑍2 равны 𝑍1,2

^ 1,2 = 𝑒 d

∑︁

(^r𝑎 − R1,2 ),

R = R1 − R2 ,

(4.79)

𝑎=1

а n есть единичный вектор вдоль R. Координаты ядра фиксированы в адиабатическом приближении. Слабые диполь-дипольные силы можно рассматривать по теории возмущений. Для основных состояний двух атомов средние значения дипольных ^ операторов исчезают, разд. I.8.5. В первом порядке взаимодействие 𝑊 подмешивает к основному состоянию |01 02 ⟩ состояния |𝑛1 𝑛2 ⟩ с одним электроном в каждом атоме, возбуждённым на следующие доступные орбитали противоположной чётности. Поправка к энергии основного состояния всегда отрицательна (4.18): Δ𝐸𝑑𝑑 (𝑅) =

^ |𝑛1 𝑛2 ⟩|2 1 ∑︁ |⟨01 02 |𝑊 , 𝑅6 𝑛 𝑛 𝐸(0, 0) − 𝐸(𝑛1 , 𝑛2 )

(4.80)

1 2

где 𝐸(𝑛1 , 𝑛2 ) — невозмущённые уровни энергии изолированных атомов. Эта функция определяет притягивающий потенциал двух атомов на больших расстояниях: Δ𝐸𝑑𝑑 (𝑅) = −

𝐶 . 𝑅6

(4.81)

140

Глава 4 Стационарные возмущения

Задача 4.7 Оцените константу 𝐶 в уравнении (4.81) для двух атомов водорода в основном состоянии. Решение Ряды (4.80) можно просуммировать [24]. Мы ограничимся простой оценкой (приближение полноты). Если средняя энергия возбуждения в знаменателе (4.80) равна 𝜀, мы можем оценить результат с помощью суммирования по полному набору состояний |𝑛1 𝑛2 ⟩, 𝐶≈

2 1 ∑︁ ^ |𝑛1 𝑛2 ⟩|2 = ⟨01 02 |𝑊 |01 02 ⟩ . |⟨01 02 |𝑊 𝜀 𝑛𝑛 𝜀

(4.82)

1 2

Промежуточные энергии начинаются с 2𝑝-состояний, 𝐸(11 12 ) = −2 × (𝑒2 /2𝑎0 ) × (1/4), т.е. с энергии возбуждения (3/4)(𝑒2 /𝑎0 ). Средняя энергия возбуждения, по соображениям размерности, должна быть 𝜀 = 𝜉(𝑒2 /𝑎0 ) с численным множителем 𝜉 ∼ 1. При вычислении ⟨𝑊 2 ⟩ мы можем выбрать ось 𝑧 вдоль 𝑅, тогда 𝑊 2 = 𝑒4 (𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 − 2𝑧1 𝑧2 )2 ,

(4.83)

и среднее значение для основного состояния равно ⟨01 02 |𝑊 2 |01 02 ⟩ = 6𝑒4 𝑎40 .

(4.84)

В результате Δ𝐸𝑑𝑑 (𝑅) = −

6 𝑒2 (︁ 𝑎0 )︁6 . 𝜉 𝑎0 𝑅

(4.85)

Точный расчёт даёт 𝜉 = 0, 93. Это рассмотрение справедливо, если большое расстояние 𝑅 между атомами не превышает длину волны 𝜆0 ∼ ~𝑐/𝜀 типичных атомных переходов. При 𝑅 > 𝜆0 становятся важными эффекты запаздывания, и закон взаимодействия изменяется с(4.81) на ∼ 𝑅−7 [4, § 85]. Новые эффекты появляются для двух тождественных атомов, один из которых находится в возбуждённом состоянии |𝑛⟩ с чётностью, противоположной чётности основного состояния. Здесь мы должны использовать

4.7. Взаимодействие атомов на больших расстояниях

141

теорию возмущений для вырожденных состояний. Действительно, состояния |01 𝑛2 ⟩ и |𝑛1 02 ⟩ имеют одинаковую невозмущённую энергию. Дипольдипольное взаимодействие (4.78) имеет ненулевой матричный элемент для передачи возбуждения между вырожденными состояниями ^ 1 |01 ⟩·⟨02 |d ^ 2 |𝑛2 ⟩−3⟨𝑛1 |(d ^ 1 ·n)|01 ⟩⟨02 |(d ^ 2 ·n)|𝑛2 ⟩, ^ |01 𝑛2 ⟩ = ⟨𝑛1 |d 𝑊𝑛 ≡ ⟨𝑛1 02 |𝑊 (4.86) или, поскольку атомы тождественны, ^ 1 |01 ⟩|2 − 3|⟨𝑛1 |(d ^ 1 · n)|01 ⟩|2 . 𝑊𝑛 = |⟨𝑛1 |d

(4.87)

Правильные линейные комбинации нулевого порядка, как мы знаем из разд. I.10.4-I.10.6, равны )︁ 1 (︁ √ |±⟩ = |𝑛1 02 ⟩ ± |01 𝑛2 ⟩ . 2

(4.88)

Они расщепляются матричным элементом (4.87) 𝐸± = 𝐸0 + 𝐸𝑛 ±

𝑊𝑛 . 𝑅3

(4.89)

Если атомы медленно приближаются друг к другу в начальном состоянии |𝑛1 02 ⟩, в результате последующей эволюции, описываемой таким же образом, как и в разд. I.10.6, будет периодически возникать состояние |01 𝑛2 ⟩ с резонансной передачей возбуждения второму атому. Частота передачи определяется матричным элементом 𝑊𝑛 /𝑅3 и зависит от расстояния 𝑅. Так как расстояние меняется со временем, лучшим подходом будет включение в рассмотрение адиабатической фазы (см. разд. 10.5). Дополнительная литература: [21], [25], [26]

Электрон – это точка, ничто в нем не вращается. Спин – это такое же внутреннее свойство электрона как и масса. С. Газиорович «Квантовая физика»

Глава 5 Спин 1/2 5.1. 𝒮𝒰(2) группа Как отмечалось в гл. 3.5., существуют наблюдаемые спектроскопические эффекты, связанные с электронными и ядерными спинами; спиновые степени свободы играют все возрастающую роль в науке и технологических применениях. Наименьшее нетривиальное значение спина 1/2 и, используя частицы со спином 1/2 в качестве строительных блоков — электроны, кварки и нейтрино — природа конструирует практически всю материю (объединяя составные части со спином 1/2, можно получить произвольный угловой момент 𝐽). Поэтому спин 1/2 заслуживает особого внимания. Существует важная геометрическая разница между целым и полуцелым значениями углового момента. Орбитальный угловой момент ℓ^ генерирует мультиплеты с целым 𝐽 = ℓ. Спиновый угловой момент 𝑠 может принимать как целые, так и полуцелые значения. Мы можем понять физические причины этого различия. При вращении (1.2) вокруг оси квантования 𝑧 волновая функция состояния |𝐽𝑀 ⟩ с определенной проекцией 𝑀 на эту ось просто приобретает фазу ^ 𝑧 (𝛼)|𝐽𝑀 ⟩ = 𝑒−𝑖𝐽^𝑧 𝛼 |𝐽𝑀 ⟩ = 𝑒−𝑖𝑀 𝛼 |𝐽𝑀 ⟩. ℛ

(5.1)

Рассмотрим поворот на угол 𝛼 = 2𝜋. Состояния с целыми 𝐽 не изменяются, exp(−𝑖2𝜋𝑀 ) = 1, в то время как состояния с полуцелым 𝐽 получают множитель −1. Как мы видели в разд. 1.1, орбитальный момент преобразует явную координатную зависимость волновых функций. Так как направления, обозначаемые углами 0 и 2𝜋, физически совпадают, однозначная волновая функция должна быть периодической функцией углов с периодом 2𝜋, то есть она может иметь только целые значения 𝑀 и 𝐽. Другой аргумент происходит от эквивалентности (разд. 2.5) полных наборов плоских

144

Глава 5 Спин 1/2

волн и сферических функций только с целыми значениями ℓ. Спиновые волновые функции не являются явными функциями координат, и требование периодичности отсутствует. Поскольку физические предсказания даются в терминах амплитуд, которые билинейны по волновым функциям, то допустимо двузначное представление группы вращений, соответствующей полуцелому спину. С математической точки зрения общие коммутационные соотношения (1.21) определяют группу 𝒮𝒰(2), которая является так называемой накрывающей группой по отношению к трехмерной группе вращений ℛ(3). Специальные унитарные группы 𝒮𝒰(𝑛) — это группы унитарных 𝑛 × 𝑛 матриц с определителем, равным 1. Такие матрицы образуют группу, потому что результатом их перемножения является новая матрица того же класса. Количество различных генераторов равно 𝑛2 − 1 — числу независимых бесследовых матриц (единичная матрица дополняет этот набор линейно независимых матриц до общего числа 𝑛2 ). В случае 𝑛 = 2 число генераторов — три и алгебраическая структура одинакова для ℛ(3) и для 𝒮𝒰(2) групп. Однако это всего лишь локальная структура вблизи единичного оператора, см. уравнение (1.1). Различие в глобальных структурах (топологиях) проявляется в том, что две разные 𝒮𝒰(2) матрицы (они отличаются знаком для полуцелого спина) соответствуют одному и тому же вращению. Физически идентичные повороты, отличающиеся на 2𝜋, согласно (5.1), дают +1 и −1, соответственно. Невозможно избавиться от этой двузначности, просто выбрав ветвь +1, поскольку тогда представление терпит разрыв в точке 𝛼 = 0(= 2𝜋). Задача 5.1 Покажите, что генераторы 𝐽^𝑘 алгебры 𝒮𝒰(2) представлены бесследовыми матрицами. Решение Утверждение следует из коммутационных соотношений (1.21), так как в любом представлении конечной размерности след коммутатора исчезает в силу инвариантности следа относительно циклической перестановки: 𝑖 tr 𝐽^𝑛 = − 𝜀𝑗𝑘𝑛 tr [𝐽^𝑗 , 𝐽^𝑘 ] = 0. 2

(5.2)

Для данной системы все возможные состояния имеют либо только целые значения углового момента, либо только полуцелые. В противном случае можно было бы построить, согласно принципу квантовой суперпозиции,

5.2. Спин 1/2: алгебра

145

состояние линейной комбинации 𝜓 = 𝜓int + 𝜓half . Суперпозиция имеет фи^ изменяющий угловой зический смысл, только если существует оператор 𝑂, момент на полуцелую величину; его отсутствие означало бы, что целая и полуцелая подсистемы состояний никогда не интерферируют, и на самом деле нужно рассматривать их как различные системы (суперотбор). Поворот на 2𝜋 преобразует волновую функцию в 𝜓int − 𝜓half . После такого ^ давали бы результаты поворота физические измерения с переменной 𝑂 противоположного знака из-за интерференционного члена ⟨𝜓int |𝑂|𝜓half ⟩. Это несовместимо с идеей вращения системы как целого на угол 2𝜋 без изменения внутренней структуры.

5.2. Спин 1/2: алгебра Объекты со спином 1/2 реализуют низшее нетривиальное представление группы 𝒮𝒰(2) размерности 2𝑠 + 1 = 2. В общей 𝒮𝒰(𝑛) группе фундаментальные представления размерности 𝑛 описывают подобные базисные составляющие (простейший нетривиальный набор объектов, неприводимый при всех преобразованиях группы). Задача 5.2 Представление Швингера. Введите два типа операторов рождения и уничтожения 𝑎 ^† , 𝑎 ^ и ^𝑏† , ^𝑏, которые создают и уничтожают «частицы» со спином 𝑠 = 1/2 и проекцией 𝑠𝑧 = 1/2 и −1/2, для 𝑎-типа и 𝑏-типа соответственно. С помощью этих операторов постройте состояния с определенным полным моментом 𝐽 и его проекцией 𝑀 . Решение В представлении Холстейна—Примакова (задача 1.8) мы использовали операторы спиновых отклонений начиная с низшего состояния 𝐽𝑧 = −𝐽 мультиплета. Назовем 𝑛𝑎 числом шагов, необходимых для достижения проекции 𝑀 снизу. Таким же образом мы могли бы начать с высшего состояния и придти сверху к тому же значению 𝐽𝑧 = 𝑀 за 𝑛𝑏 шагов (рис.5.1). Поэтому мы определим 𝑀 = −𝐽 + 𝑛𝑎 = 𝐽 − 𝑛𝑏 .

(5.3)

Эти два числа, 𝑛𝑎 и 𝑛𝑏 , полностью определяют мультиплет 𝐽 (представление 𝒮𝒰(2) группы) и состояние внутри мультиплета: 1 𝑛 𝐽 = (𝑛𝑎 + 𝑛𝑏 ) ≡ , 2 2

1 𝑀 = (𝑛𝑎 − 𝑛𝑏 ). 2

(5.4)

146

Глава 5 Спин 1/2

–J

na

M

nb

+J

Рис. 5.1. Конструкция швингеровского представления

Если бы мы могли интерпретировать 𝑛𝑎 и 𝑛𝑏 как числа частиц типа 𝑎 и 𝑏 соответственно, выражение (5.4) для 𝑀 показало бы, что эти частицы несут проекции спина 1/2 и -1/2. Такая интерпретация действительно возможна. Матричные элементы (1.51) теперь выглядят следующим образом (сравните с уравнением (1.59)): √︀ √︀ 𝜇− (𝐽𝑀 ) = 𝑛𝑎 (𝑛𝑏 + 1), 𝜇+ (𝐽𝑀 ) = (𝑛𝑎 + 1)𝑛𝑏 . (5.5) Эти комбинации точно соответствуют матричным элементам Гейзенберга— Вейля (I.11.119) для операторов рождения и уничтожения частиц двух типов 𝑎 и 𝑏. В соответствии с формулой (5.5), мы отождествляем 𝐽^+ = 𝑎 ^†^𝑏,

𝐽^− = 𝑎 ^^𝑏† .

(5.6)

Если оператор ^𝑏 уничтожает частицы с 𝑠𝑧 = −1/2, в то время как 𝑎 ^† рождает частицы с 𝑠𝑧 = +1/2, их произведение увеличивает общую проекцию 𝐽𝑧 системы на 1, как и должно быть для 𝐽^+ . Числа шагов 𝑛𝑎,𝑏 являются ^𝑎,𝑏 для двух видов квантов, а их собственными значениями операторов 𝑁 разность дает оператор 𝐽^𝑧 , ^𝑎 = 𝑎 𝑁 ^† 𝑎 ^,

^𝑏 = ^𝑏†^𝑏, 𝑁

1 † 𝐽^𝑧 = (^ 𝑎𝑎 ^ − ^𝑏†^𝑏). 2

(5.7)

Новый аспект этого представления, который отсутствовал раньше — это то, что сейчас мы получили не только квадратичный оператор Казимира 𝐶^ = ^ 2 , но еще и оператор 𝐽^ максимальной проекции, «фамилии» мультиплета, J который равен половине от общего количества квантов ^ 1 † 1 ^ 𝑁 ^ 𝐽^ = (^ 𝑎𝑎 ^ + ^𝑏†^𝑏) = (𝑁 . 𝑎 + 𝑁𝑏 ) = 2 2 2

(5.8)

Легко показать прямым вычислением, что операторы 𝐽^± , уравнение (5.6), и 𝐽^𝑧 , уравнение (5.7), подчиняются нормальным коммутационным соот-

5.2. Спин 1/2: алгебра

147

^ /2)[(𝑁 ^ /2) + 1], ношениям (1.25, 1.26), а оператор Казимира 𝐶^ равен (𝑁 в согласии с (5.8). Состояния со всеми неотрицательными квантовыми числами 𝑛𝑎 и 𝑛𝑏 находятся в однозначном соответствии (5.4) с множеством всех разрешенных мультиплетов |𝐽𝑀 ⟩. Вакуумное состояние (I.11.112) по отношению к обоим типам квантов, 𝑛𝑎 = 𝑛𝑏 = 0, описывает скалярный мультиплет |𝐽 = 𝑀 = 0⟩ и удовлетворяет 𝑎 ^|00⟩ = ^𝑏|00⟩ = 0,

(5.9)

а произвольное состояние |𝑛𝑎 𝑛𝑏 ⟩ построено аналогично (I.11.121): |𝑛𝑎 𝑛𝑏 ⟩ =

(^ 𝑎† )𝑛𝑎 (^𝑏† )𝑛𝑏 √ |00⟩. 𝑛𝑎 !𝑛𝑏 !

(5.10)

Перевод на язык группы 𝒮𝒰(2) обеспечивает последовательное построение произвольных мультиплетов|𝐽𝑀 ⟩: (^ 𝑎† )𝐽+𝑀 (^𝑏† )𝐽−𝑀 |𝐽𝑀 ⟩ = √︀ |00⟩. (𝐽 + 𝑀 )!(𝐽 − 𝑀 )!

(5.11)

Согласно (5.8), четное число частиц приводит к целому 𝐽, в то время как нечетное 𝑛 соответствует полуцелым 𝐽. Таким образом, швингеровская конструкция обеспечивает построение всех унитарных неприводимых представлений группы 𝒮𝒰(2), используя спины 1/2 фундаментального представления как элементарные строительные блоки. Оператор 𝑎 ^† добавляет один спин вверх и увеличивает сумму 𝐽 + 𝑀 , оставляя разницу 𝐽 − 𝑀 нетронутой, то есть 𝐽 и 𝑀 увеличиваются на 1/2. Операторы 𝐽^± , уравнение (5.6), действуют внутри мультиплета, просто заменяя одну частицу другой — противоположного типа. Канонический базис для спина 1/2 𝜒𝑀 = |𝐽 = 1/2, 𝑀 ⟩ состоит из двух базисных векторов 𝑀 = ±1/2. Иногда удобно называть их «спин вверх», 𝜒1/2 ≡ 𝜒+ ≡ ↑, и «спин вниз», 𝜒−1/2 ≡ 𝜒− ≡ ↓. Все операторы в этом пространстве — матрицы 2×2. Алгебра (1.22) удовлетворяется при ^s = 𝜎 , где компоненты 𝜎 могут быть выбраны как матрицы Паули (1/2)𝜎 (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 0 1 0−𝑖 1 0 , 𝜎𝑦 = , 𝜎𝑧 = . (5.12) 𝜎𝑥 = 1 0 𝑖 0 0−1 Легко проверить коммутационные соотношения (1.21) и матричные элементы (1.50— 1.55); эти матрицы бесследовые в соответствии с общим

148

Глава 5 Спин 1/2

результатом задачи 5.1. Три матрицы имеют квадраты, равные единичной матрице, и каждая пара из них антикоммутирует, см. ниже (5.14). Задача 5.3 Покажите, что швингеровское представление может быть записано в виде ∑︁ ^= J 𝑎 ^†𝑚 s𝑚𝑚′ 𝑎 ^𝑚′ , (5.13) 𝑚,𝑚′ =±1/2

где мы переименовали 𝑎 ^→𝑎 ^1/2 , ^𝑏 → 𝑎 ^−1/2 , и s𝑚𝑚′ = ⟨𝜒𝑚 |^s|𝜒𝑚′ ⟩ стандартные матричные элементы углового момента для 𝐽 = 1/2. Это частный случай формы вторичного квантования, которая очень полезна в теории многих тел (см. гл. III.11). Вместе с единичной матрицей матрицы (5.12) образуют полный набор из четырех независимых матриц в пространстве 2×2. В частности, их произведения также являются матрицами того же набора. Это позволяет скомбинировать всю алгебру спина в тождестве 𝜎𝑘 𝜎𝑙 = 𝛿𝑘𝑙 + 𝑖𝜀𝑘𝑙𝑛 𝜎𝑛 .

(5.14)

Отсюда следует, что любая операторная функция матриц Паули 𝜎𝑘 может быть приведена к линейному выражению, частный случай задачи I.6.7. Первый член (5.14) эрмитов и симметричен относительно векторных индексов 𝑘, 𝑙, второй антиэрмитов и антисимметричен. Часто приходится иметь дело со скалярными произведениями (a · 𝜎 ) матриц Паули с не матричными векторами. Тогда (5.14) дает (a · 𝜎 )(b · 𝜎 ) = (a · b) + 𝑖[a × b] · 𝜎 .

(5.15)

В соответствии с уравнением (5.15) (n · 𝜎 )2 = n2 = 1

(5.16)

для любого единичного вектора n. Задача 5.4 Покажите, что оператор конечных вращений (1.2) для спина 1/2 может быть представлен в линейной форме ^ n (𝛼) = exp[−𝑖(^s ·n)𝛼] = exp[(−𝑖/2)(𝜎 𝜎 ·n)𝛼] = cos(𝛼/2)−𝑖(𝜎 𝜎 ·n) sin(𝛼/2). ℛ

5.2. Спин 1/2: алгебра

149 (5.17)

Решение Выполните суммирование четных и нечетных слагаемых ряда (1.5) по отдельности. Задача 5.5 Найдите коэффициенты 𝐴 (перед единичной матрицей) и B = {𝐵𝑘 } в разложении произвольной 2 × 2 матрицы ℳ на полный набор {𝜎𝑘 , 1} ℳ = 𝐴 + (B · 𝜎 ).

(5.18)

Решение Как следует из (5.14), tr(𝜎𝑘 𝜎𝑙 ) = 2𝛿𝑘𝑙 .

(5.19)

Поэтому 𝐴=

1 tr ℳ, 2

𝐵𝑘 =

1 tr(ℳ𝜎𝑘 ). 2

(5.20)

Отсюда легко получить разложение (5.18) любой (несингулярной) матричной функции 𝑓 (𝑎 + b · 𝜎 ). В этом случае 𝐴=

1 [𝑓 (𝑎 + 𝑏) + 𝑓 (𝑎 − 𝑏)], 2

B=

b [𝑓 (𝑎 + 𝑏) − 𝑓 (𝑎 − 𝑏)], 2𝑏

(5.21)

где 𝑏 — это длина вектора b. Задача 5.6 ^ = (𝜎 𝜎 · ℓ^), где ℓ^ — оператор Найдите собственные значения оператора 𝑂 орбитального момента. Решение ^ 2 и применим алгебру (5.15) Рассмотрим оператор 𝑂 ^ 2 = ℓ^𝑖 ℓ^𝑗 𝜎𝑖 𝜎𝑗 = ℓ^2 + 𝑖𝜀𝑖𝑗𝑘 ℓ^𝑖 ℓ^𝑗 𝜎𝑘 . 𝑂

(5.22)

150

Глава 5 Спин 1/2

Теперь мы должны принять во внимание, что компоненты ℓ^ не коммутируют. Из-за антисимметрии 𝜀𝑖𝑗𝑘 ^ 2 = ℓ^2 + 𝑖 𝜀𝑖𝑗𝑘 [ℓ^𝑖 , ℓ^𝑗 ]𝜎𝑘 = ℓ^2 + 𝑖 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝑖𝜀𝑖𝑗𝑛 ℓ^𝑛 𝜎𝑘 = ℓ^2 -(𝜎 𝜎 · ℓ^). 𝑂 2 2

(5.23)

2 ^ можно подставить Поскольку ℓ^ коммутирует со скалярным оператором 𝑂, его вместе с собственным значением и получить квадратное уравнение

^2 + 𝑂 ^ − ℓ(ℓ + 1) = 0 𝑂

(5.24)

^ при заданном ℓ) с корнями (собственные значения 𝑂 𝑂+ = ℓ,

𝑂− = −(ℓ + 1).

(5.25)

5.3. Спиноры В представлении (5.12) матрица 𝜎𝑧 = 2𝑠𝑧 диагональная. Принимая базисные состояния 𝜒± в качестве собственных состояний 𝜎𝑧 с собственными значениями ±1, получаем канонический базис углового момента с осью 𝑧 в качестве оси квантования. В представлении, соответствующем матрицам (5.12), базисные состояния |𝑠 = 1/2, 𝑠𝑧 = 𝑚 = ±(1/2)⟩ являются двухкомпонентными столбцами (︂ )︂ (︂ )︂ 1 0 𝜒+ = , 𝜒− = . (5.26) 0 1 В то время как преобразование поворота векторных компонент, соответствующих спину 𝑠 = 1, было дано в задаче 1.2 и разд. 1.8, состояния (5.26) преобразуются при вращениях оператором (5.17). Такие объекты, реализующие фундаментальное представление алгебры 𝒮𝒰(2), называются спинорами. Любое состояние со спином 1/2 может быть представлено в виде суперпозиции (︂ )︂ 𝑎+ 𝜒= = 𝑎+ 𝜒+ + 𝑎− 𝜒− (5.27) 𝑎− базовых спиноров (5.26) с верхней (нижней) компонентой 𝑎+ (𝑎− ), дающей амплитуду нахождения величины 𝑠𝑧 , равной 1/2 (− 1/2). Начиная с со-

5.3. Спиноры

151

стояния 𝜒+ (спин, поляризованный вдоль оси 𝑧) и применяя различные вращения (5.17), можно получить состояния с любой ориентацией спина. Задача 5.7 Построить состояние спина 1/2, поляризованное вдоль оси n, которая определяется полярным углом 𝜃 и азимутальным углом 𝜙. Решение Используя геометрическую картину вращений, применим последователь^ 𝑧 (𝜙)ℛ ^ 𝑦 (𝜃) к состоянию 𝜒+ . Мы ожидаем, что эта операция ные повороты ℛ изменит направление вектора спина от оси 𝑧 к оси n. С матрицами вращения (5.17) в явной форме получаем (︂ )︂ (︂ −𝑖𝜙/2 )︂ 1 𝑒 cos 𝜃/2 ^ ^ 𝜒n ≡ ℛ𝑧 (𝜙)ℛ𝑦 (𝜃) = . (5.28) 0 𝑒𝑖𝜙/2 sin 𝜃/2 Как легко проверить непосредственным вычислением, это действительно состояние со спином, ориентированным в направлении n(𝜃, 𝜙): 𝜎 · n)𝜒n = 𝜒n . (𝜎

(5.29)

Вместо вращения можно прямо решить задачу нахождения собственных значений (5.29). Любой нормированный спинор 𝜒 характеризуется двумя комплексными амплитудами 𝑎± с |𝑎+ |2 + |𝑎− |2 = 1, то есть тремя вещественными параметрами. Они всегда могут быть выбраны в терминах углов 𝜃 и 𝜙, так что спинор приобретает вид (5.28) и несущественную общую фазу. Иначе формулируя этот результат, мы приходим к важному выводу: для любого спинора существует направление n такое, что спинор удовлетворяет уравнению (5.29). Это означает, что частицы со спином 1/2 всегда полностью поляризованы в некотором направлении. (Такое утверждение неверно для высших спинов, вспомним задачу 1.12с.) Согласно (5.28), для состояния, поляризованного вдоль n, анализатор, ориентированный вдоль оси 𝑧, обнаружит интенсивность, которая составляет долю cos2 𝜃/2 от полной интенсивности. Задача 5.8 Используя общий результат задачи I.6.11, найти проекционные операторы ^ ± , которые проектируют любой спинор 𝜒 на компоненты с 𝜎 · n = ±1. Λ

152

Глава 5 Спин 1/2 n

Polarizer

n'

Analyzer

Рис. 5.2. Схема эксперимента для задачи 5.9

Решение ^ ± (n) = 1 (1 ± 𝜎 · n). Λ 2

(5.30)

Эти операторы удовлетворяют общим свойствам проекционных операторов (разд. I.6.11) ^2 = Λ ^ ±, Λ ±

^ +Λ ^− = Λ ^ −Λ ^+ = 0 Λ

(5.31)

и (︁ )︁ (︁ )︁ ^ ± (n)𝜒 = ± Λ ^ ± (n)𝜒 . 𝜎 ·n Λ

(5.32)

Задача 5.9 Пучок частиц со спином 1/2, поляризованный в направлении n(𝜃, 𝜙), проходит через анализатор, который пропускает только частицы, поляризованные вдоль направления n′ (𝜃′ , 𝜙′ ), рис.5.2. Найти коэффициент прохождения (долю передаваемой интенсивности). Решение Коэффициент прохождения определяется как ⃒ ⃒2 ⃒ ⃒ 𝑇n′ n = ⃒⟨𝜒n′ |𝜒n ⟩⃒ ,

(5.33)

где спиноры поляризованных частиц описываются уравнением (5.28). Прямое перемножение спиноров даёт 1 1 + (n′ · n) 𝑇n′ n = [1 + cos 𝜃 cos 𝜃′ + sin 𝜃 sin 𝜃′ cos(𝜙 − 𝜙′ )] ≡ . (5.34) 2 2

5.3. Спиноры

153

Конечно, прохождение не может измениться при вращении всего устройства поляризатор + анализатор как единого целого. Поэтому коэфффициент прохождения должен быть функцией только единственного имеющегося в задаче скаляра, а именно (n′ · n), зависящего от относительного угла между векторами n и n′ . Для совпадающих поляризаций, n′ = n, мы должны иметь 𝑇 = 1, в то время как прохождение исключается при n′ = −n, когда состояния поляризатора и анализатора ортогональны. Результат (5.34), зависящий только от угла 𝛾 между поляризатором и анализатором, можно записать в виде 𝑇n′ n = cos2

𝛾 . 2

(5.35)

Заметим, что для фотонов ответ на подобный вопрос был бы cos2 𝛾. Это отражает геометрическую разницу между частицами со спином 1/2 и спином 1 (фотоны). Только скалярные и векторные операторы могут иметь ненулевое среднее значение для состояний со спином 1/2 (см. гл. 7). Поэтому векторы n и n′ могут входить в ответ (5.34) только линейно. Результат (5.34) может быть угадан немедленно при сравнении со стандартным представлением (5.28), что дает вероятность cos2 (𝜃/2) для анализатора, ориентированного вдоль оси 𝑧; поскольку выбор квантования оси произволен, то результат (5.35) очевиден. Задача 5.10 ^ n (𝛼)|𝜒𝑚′ ⟩ оператора конечных поНайдите матричные элементы ⟨𝜒𝑚 |ℛ воротов (уравнение (5.17)) на угол 𝛼 вокруг оси n, характеризующейся полярным углом 𝜃 и азимутальным углом 𝜙. Решение 𝑚 и 𝑚′ принимают значения ±1/2, а соответствующие спиноры — столб𝜎 · n) в операторе цы (5.26). Удобно записать скалярное произведение (𝜎 поворота как 1 𝜎 · n) = 𝜎𝑧 𝑛𝑧 + (𝜎+ 𝑛− + 𝜎− 𝑛+ ), (𝜎 2

(5.36)

где 𝜎± = 𝜎𝑥 ± 𝑖𝜎𝑦 ,

𝑛± = 𝑛𝑥 ± 𝑖𝑛𝑦 = sin 𝜃 𝑒±𝑖𝜙 ,

𝑛𝑧 = cos 𝜃.

Диагональные матричные элементы равны ^ n (𝛼)|𝜒𝑚 ⟩ = cos(𝛼/2) − 𝑖𝑛𝑧 sin(𝛼/2)⟨𝜒𝑚 |𝜎𝑧 |𝜒𝑚 ⟩ ⟨𝜒𝑚 |ℛ

(5.37)

154

Глава 5 Спин 1/2

1 𝑚=± . (5.38) 2 Недиагональные матричные элементы содержат операторы 𝜎± = 2𝑠± ; = cos(𝛼/2) ∓ 𝑖 sin(𝛼/2) cos 𝜃,

^ n (𝛼)|𝜒− ⟩ = −𝑖 sin(𝛼/2) sin 𝜃 𝑒−𝑖𝜙 , ⟨𝜒+ |ℛ

(5.39)

^ n (𝛼)|𝜒+ ⟩ = −𝑖 sin(𝛼/2) sin 𝜃 𝑒𝑖𝜙 . ⟨𝜒− |ℛ

(5.40)

Матрица поворота задачи 5.10 отвечает на все возможные вопросы, связанные с геометрией спина 1/2. Так, для получения результата задачи 5.9 нам нужна амплитуда вероятности нахождения проекции 𝑚′ на ось n′ для состояния с проекцией 𝑚 на ось n. Предполагая, что плоскость, определяемая этими двумя направлениями, — это плоскость 𝑥𝑧, мы можем сделать поворот на угол 𝛾 вокруг оси 𝑦, совмещая направления поляризатора и анализатора. Используя в уравнениях (5.38)-(5.40) 𝜃 = 𝜋/2 and 𝜙 = 𝜋/2 как углы оси вращения и 𝛼 = 𝛾, мы приходим к вероятностям cos2 (𝛾/2), 𝑚 → 𝑚 и sin2 (𝛾/2), 𝑚 → −𝑚. Задача 5.11 В эксперименте Штерна—Герлаха анализируется пучок атомов со спином 𝐽 путем его разложения на (2𝐽 + 1) компонент с различными проекциями 𝑀 ′ на направление неоднородного магнитного поля (рис. 5.3). Первоначально все атомы были в состоянии с максимальной проекцией 𝑀 = 𝐽 на ось 𝑧. Каковы относительные интенсивности расщепленных пучков, если полярный угол направления магнитного поля 𝜃? Решение Как упоминалось ранее, любое состояние момента 𝐽 можно построить с помощью 2𝐽-частиц со спином 1/2. В исходном состоянии пучка все составляющие имеют проекции 𝑠𝑧 = 1/2, выстроенные вдоль оси 𝑧, так что 𝐽𝑧 = (2𝐽) × (1/2) = 𝐽. Для каждой из них вероятность иметь проекцию 𝑠𝑧 ′ = +1/2 на ось поля равна cos2 (𝜃/2), в то время как вероятность 𝑠𝑧 ′ = −1/2 равна sin2 (𝜃/2). Чтобы получить полную проекцию 𝑀 ′ , среди 2𝐽частиц (𝐽 + 𝑀 ′ ) из них должны иметь 𝑠𝑧 ′ = +1/2, а (𝐽 − 𝑀 ′ ) должны иметь 𝑠𝑧 ′ = −1/2. Чтобы получить общую вероятность определенного значения 𝑀 ′ , мы должны принять во внимание количество возможных способов для выбора (𝐽 + 𝑀 ′ ) или (𝐽 − 𝑀 ′ ) частиц из полного их числа (2𝐽). В

5.4. Магнитный резонанс

155

S

|J, M=J> N |J, M'>

Рис. 5.3. Эксперимент Штерна—Герлаха

результате находим интенсивность пучка с проекцией 𝑀 ′ : (2𝐽)! 𝑇 (𝑀 |𝑀 = 𝐽) = (𝐽 + 𝑀 ′ )!(𝐽 − 𝑀 ′ )! ′

(︂ )︂𝐽+𝑀 ′ (︂ )︂𝐽−𝑀 ′ 2 𝜃 2 𝜃 cos . (5.41) sin 2 2

Легко проверить, что эти интенсивности правильно нормированы 𝐽 ∑︁

𝑇 (𝑀 ′ |𝑀 = 𝐽) = 1,

(5.42)

𝑀 ′ =−𝐽

и наши предыдущие результаты для 𝐽 = 1/2 и для 𝐽 = 1 являются частными случаями этого более общего утверждения.

5.4. Магнитный резонанс Во внешнем магнитном поле спин ведет себя как любой другой вектор углового момента, несущий магнитный момент (разд. 1.11). Здесь мы рассмотрим более сложную конфигурацию зависящих от времени магнитных полей. Пусть частица со спином 1/2 помещена в статическое поле ℬ𝑧 и поле ℬ⊥ , вращающееся в поперечной плоскости (𝑥𝑦), рис. 5.4: ℬ𝑥 = 𝑏 cos(𝜔𝑡),

ℬ𝑦 = 𝑏 sin(𝜔𝑡).

(5.43)

156

Глава 5 Спин 1/2

B

μ

b Рис. 5.4. Магнитный резонанс — конфигурация поля

Частица взаимодействует с магнитным полем своим магнитным моментом ^ = 𝑔𝑠 ~^s = 𝜇

𝑔𝑠 𝜎 ≡ 𝜇𝜎 𝜎, ~𝜎 2

(5.44)

где гиромагнитное отношение 𝑔𝑠 , или эффективный магнитный момент 𝜇 = 𝑔𝑠 ~/2, является внутренним свойством частицы. Зависящий от времени гамильтониан (1.159), действующий на спиновые переменные, равен ^ 𝐻(𝑡) = −(^ 𝜇 · ℬ ) = −𝜇{𝜎𝑧 ℬ𝑧 + 𝜎𝑥 𝑏 cos(𝜔𝑡) + 𝜎𝑦 𝑏 sin(𝜔𝑡)}.

(5.45)

Волновая функция частицы в 𝑧-представлении есть спинор 𝜒(𝑡) с верхней компонентой 𝑎+ (𝑡) и нижней компонентой 𝑎− (𝑡), которые дают амплитуды вероятности нахождения в момент времени 𝑡 проекции спина 𝑠𝑧 = ±(1/2) на направление статического поля ℬ𝑧 . Простая картина прецессии теперь

5.4. Магнитный резонанс

157

неверна, поскольку проекция 𝑠𝑧 больше не сохраняется: поперечная составляющая магнитного поля может переворачивать спин между состояниями 𝜇 × ℬ ⊥ ]. 𝑠𝑧 = ±(1/2) в результате действия крутящего момента [𝜇 Уравнение Шредингера 𝑖~

𝑑 ^ 𝜒(𝑡) = 𝐻(𝑡)𝜒(𝑡) 𝑑𝑡

(5.46)

для компонент спинора 𝑎± (𝑡) после использования явного вид матриц Паули приводит к системе двух связанных линейных дифференциальных уравнений 𝑖~𝑎˙ + = −𝜇𝐵𝑧 𝑎+ − 𝜇𝑏𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑎− ,

𝑖~𝑎˙ − = 𝜇𝐵𝑧 𝑎− − 𝜇𝑏𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑎+ .

(5.47)

Задача 5.12 Решите уравнения (5.47) с начальным условием, что при 𝑡 = 0 мы начинаем со спина, ориентированного вверх, 𝑠𝑧 = 1/2. Решение Самый простой способ точного решения связан с заменой переменных, которая устраняет явную зависимость от времени коэффициентов в уравнении (5.46) 𝑎± (𝑡) = 𝑒∓(𝑖/2)𝜔𝑡 𝑐± (𝑡)

(5.48)

путем перехода к «вращающейся» системе координат, вспомните теорему Лармора классической электродинамики [1, § 45]. Это преобразование приводит к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами 𝑖𝑐˙+ = −𝜔 ′ 𝑐+ − 𝜔⊥ 𝑐− ,

𝑖𝑐˙− = 𝜔 ′ 𝑐− − 𝜔⊥ 𝑐+ ,

(5.49)

где мы используем обозначения для различных частот, частоты прецессии в статическом поле 𝜔𝑧 =

𝜇ℬ𝑧 , ~

(5.50)

характерной частоты прецессии вокруг поперечного поля 𝜔⊥ =

𝜇𝑏 , ~

(5.51)

158

Глава 5 Спин 1/2

и эффективной частоты во вращающейся системе координат 𝜔 ′ = 𝜔𝑧 +

𝜔 . 2

(5.52)

Теперь мы можем искать частное решение системы (5.49) как 𝑐+ (𝑡) = 𝑋𝑒−𝑖Ω𝑡 ,

𝑐− (𝑡) = 𝑌 𝑒−𝑖Ω𝑡

(5.53)

и найти две собственные частоты √︁ 2 ≡ ±Ω, Ω± = ± 𝜔 ′2 + 𝜔⊥

(5.54)

отношение амплитуд для этих двух мод (5.54) 𝑌± = −

𝜔⊥ 𝑋± . Ω± − 𝜔 ′

(5.55)

Фактическое решение представляет собой суперпозицию двух нормальных мод с амплитудами, удовлетворяющими начальным условиям. Если изначально 𝑎+ (0) = 1 и 𝑎− (0) = 0, то 𝑐+ (𝑡) =

Ω − 𝜔 ′ −𝑖Ω𝑡 Ω + 𝜔 ′ 𝑖Ω𝑡 𝑒 + 𝑒 , 2Ω 2Ω

𝑐− (𝑡) = 𝑖

𝜔⊥ sin(Ω𝑡). Ω

(5.56)

Вероятность нахождения спина с поляризацией, противоположной исходной, равна 𝑤− (𝑡) = |𝑎− (𝑡)|2 = |𝑐− (𝑡)|2 =

2 2 𝜔⊥ 𝜔⊥ 2 2 sin (Ω𝑡) = 2 sin (Ω𝑡). Ω2 𝜔 ′2 + 𝜔⊥

(5.57)

Эта вероятность меньше единицы, за исключением случая резонанса, 𝜔′ = 0

~𝜔 = −2~𝜔𝑧 = Δ𝐸,

(5.58)

когда частота переменного поля совпадает с частотой переходов между уровнями, расщепленными основным статическим полем ℬ𝑧 . Поглощение энергии поперечного поля в зависимости от его частоты 𝜔 имеет типичную форму резонанса шириной 𝜔⊥ . Резонанс очень узкий, когда 𝑏 ≪ ℬ𝑧 — типичная ситуация для электронного спинового резонанса и ядерного магнитного резонанса. Таким образом, центроид этой узкой кривой определяет магнитный момент системы 𝜇.

5.5. Преобразование обращения времени и теорема Крамерса

159

5.5. Преобразование обращения времени и теорема Крамерса Для частиц с внутренними степенями свободы, такими как спин, необхо^𝑇 , которая обеспечила бы правильдимо определить унитарную матрицу 𝑈 ное преобразование этих переменных при обращении времени (разд. I.8.2). Любой оператор углового момента J является 𝒯 -нечетным ^˜ = 𝒯^ J ^ 𝒯^ −1 = 𝑈 ^*𝑈 ^ ^𝑇 J ^ −1 = −J. J 𝑇

(5.59)

^, Для орбитального момента ℓ^ это следует из преобразования импульса p ^ уравнение (I.8.12). Но нам нужен дополнительный оператор 𝑈𝑇 , правильно преобразующий спиновую часть углового момента. В стандартном представлении матриц Паули (5.12) только одна из них 𝜎𝑦 — мнимая, в то время как 𝜎𝑥 и 𝜎𝑧 вещественны. Это соответствует обычному выбору фазы матричных элементов углового момента (1.52)(1.54), когда понижающая 𝐽^𝑥 − 𝑖𝐽^𝑦 и повышающая 𝐽^𝑥 + 𝑖𝐽^𝑦 комбинации имеют вещественные матричные элементы (16.51). В этом представлении можно взять ^ 𝑇 = 𝜂𝑇 𝜎𝑦 𝑈

(5.60)

с произвольным фазовым множителем 𝜂𝑇 , |𝜂𝑇 |2 = 1, в качестве унитарного оператора, совершающего обращение времени. Используя тождество (5.14), включающее всю алгебру матриц Паули, легко проверить, что ^𝑇 ^s* 𝑈 ^ −1 = −^s, ^˜s = 𝑈 𝑇

(5.61)

как должно быть при обращении времени (5.59). Рассмотрим систему 𝑁 частиц со спином 1/2. Естественным обобщением (5.60) должно быть ^𝑇 = (𝜂𝑇 )𝑁 𝜎𝑦 (1) · · · 𝜎𝑦 (𝑁 ), 𝑈

(5.62)

поскольку спиновые переменные всех частиц должны быть обращены. Принимая во внимание, что матрица 𝜎𝑦 мнимая и 𝜎𝑦2 = 1, найдем для этой системы ^𝑇 𝒦 ^𝑈 ^𝑇 𝒦 ^ = (−)𝑁 . 𝒯^ 2 = 𝑈

(5.63)

Пусть система с 𝒯 -инвариантным гамильтонианом находится в стационарном состоянии Ψ. Если это состояние не вырождено, оно может быть

160

Глава 5 Спин 1/2

изменено при обращении времени не более чем на фазовый множитель, 𝒯^ Ψ = exp(𝑖𝛼)Ψ. Но тогда 𝒯^ 2 Ψ = 𝒯^ (𝑒𝑖𝛼 Ψ) = 𝑒−𝑖𝛼 𝒯^ 𝜓 = 𝑒−𝑖𝛼 𝑒𝑖𝛼 Ψ = Ψ.

(5.64)

Следовательно, для невырожденных состояний 𝒯^ 2 = 1 независимо от числа частиц. Согласно (5.63), это означает, что система с нечетным числом частиц спина 1/2 не может иметь невырожденные стационарные состояния. Мы пришли к теореме Крамерса: стационарные состояния 𝒯 -инвариантной системы нечетного числа частиц со спином 1/2 являются вырожденными, по крайней мере двукратно. В простейшем случае одной частицы при отсутствии спинзависящих сил, это просто вырождение спиновых состояний 𝜒± . Крамерсовское вырождение может быть снято внешним полем, нарушающим инвариантность относительно обращения времени. Внешнее электрическое поле оставляет как минимум двукратное вырождение. Однако магнитное поле изменяет знак при обращении времени. Система во внешнем магнитном поле 𝐵 не инвариантна относительно обращения времени, и вырождение снимается. Если источник (ток), создающий магнитное поле 𝐵 , является частью рассматриваемой системы, так что полная операция 𝐵 , вся система снова становится обращения времени включает в себя 𝐵 → −𝐵 𝒯 -инвариантной. Тогда вырождение восстанавливается, потому что для ̃︀ −𝐵 𝐵 ⟩ такой же каждого состояния |Ψ; 𝐵 ⟩ есть сопряженное состояние |Ψ; энергии. Если система подвержена внешнему вращению, угловая скорость Ω также меняет знак при обращении времени, и ситуация такая же, как для магнитного поля.

5.6. Состояния, сопряженные по времени Как мы видели в предыдущем разделе, поведение волновой функции при обращении времени зависит от спина состояния и от представления. Мы будем использовать представление, где спиноры преобразуются согласно ^𝑇 уравнения (5.60) с фазовым множителем 𝜂𝑇 = −𝑖. Для частиц матрице 𝑈 со спином 1/2 оператор поворота на угол 𝛼 вокруг оси n был найден в (5.17). Таким образом, при нашем выборе 𝜂𝑇 оператор обращения времени совпадает с поворотом вокруг оси 𝑦 на угол 180∘ ^𝑇 = ℛ ^ 𝑦 (𝜋). 𝑈

(5.65)

5.6. Состояния, сопряженные по времени

161

^𝑇 изменяет 𝑚 → −𝑚, Действуя на спинор 𝜒𝑚 с 𝑠𝑧 = 𝑚 = ±(1/2), оператор 𝑈 а фазовый множитель дает ^𝑇 𝜒+ = 𝜒− , 𝑈

^𝑇 𝜒− = −𝜒+ , 𝑈

(5.66)

что может быть выражено как ^𝑇 𝜒𝑚 = (−)1/2−𝑚 𝜒−𝑚 . 𝑈

(5.67)

Мы знаем, что по отношению к вращениям систему с угловым моментом 𝐽 можно представить как составленную из 2𝐽 спинов 1/2. Изучая поведение при обращении времени, мы должны, как и при доказательстве теоремы Крамерса, выполнить преобразование (5.67) для каждого спина. В результате состояние ∑︀|𝐽𝑀 ⟩ изменяет знак 𝑀 и приобретает фазовый множитель с показателем (1/2 − 𝑚) = 𝐽 − 𝑀 . Таким образом, сопряженное по времени состояние в соответствии с (5.67) определяется как ̃︂ ⟩ = 𝑈𝑇 |𝐽𝑀 ⟩ = (−)𝐽−𝑀 |𝐽 − 𝑀 ⟩. |𝐽𝑀

(5.68)

Заметим, что вторичное обращение времени восстановило бы первоначальное состояние |𝐽𝑀 ⟩ с фазовым множителем (−)2𝐽 , равным 1 для целого 𝐽 и −1 для полуцелого 𝐽, в согласии с теоремой Крамерса (5.63). Это может быть записано в виде 𝒯 2 = (−)2𝐽 .

(5.69)

Мы увидим появление фазы (5.68) в векторном сложении угловых моментов, где это связано с обращением движения, J → −J. Определение (5.68) согласуется с выбором фазы матричных элементов углового момента и коэффициентов векторного сложения (разд. 7.5). К сожалению, традиционное определение сферических функций 𝑌ℓ𝑚 отличается от предлагаемого формулой (5.68). Поскольку 𝑌ℓ𝑚 функции координат, они подвергаются комплексному сопряжению при обращении времени, и соответствующий фазовый фактор равен (−)𝑚 : * 𝑌ℓ𝑚 (n) ⇒ 𝑌ℓ𝑚 (n) = (−)𝑚 𝑌ℓ−𝑚 (n),

(5.70)

вместо (−)ℓ−𝑚 , как это было бы по правилу (5.68). Это было причиной для изменения определения сферических гармоник, используемых многими авторами, например, в [3], где дополнительный фактор 𝑖ℓ добавлен к обычному выражению 𝑌ℓ𝑚 . Тогда комплексное сопряжение согласуется с

162

Глава 5 Спин 1/2

уравнением (5.68), так как (𝑖ℓ )* = (−)ℓ 𝑖ℓ . Необходимо быть осторожным в использовании фазовых соглашений различных авторов.

5.7. Спиноры как кубиты Квантовая информатика и квантовые системы связи формируют одну из наиболее быстро развивающихся областей применения квантовой физики. Бинарная система, построенная из чисел 0 и 1, используется для классических вычислений. Мы можем установить соответствие между этими двумя числами и двумя возможными состояниями 𝜒± спина 1/2, определенными в некотором представлении, характеризующемся выбором оси квантования. Выбранное представление обычно называется вычислительным базисом. Физическая реализация спиноров не ограничена частицами со спином 1/2. Элементарная бинарная система может быть реализована очень разными физическими системами, которые имеют два квантовых состояния, достаточно изолированных от других состояний; алгебра Паули универсальна. Произвольное состояние спинора представляет собой суперпозицию (5.27) и, следовательно, содержит одновременно обе возможности, 0 и 1, с различными вероятностями, которые могут быть выявлены при проведении измерений. До того как измерение сделано, мы можем манипулировать со спинорами различными внешними полями, сохранив оба возможных результата. Расширяя эту идею на множество 𝑁 связанных спиноров, где в общей сложности 2𝑁 состояний возможны, мы бы манипулировали ими всеми одновременно, необычайно сильно увеличивая вычислительную мощь. Индивидуальный спинор играет роль элементарного вычислительного блока, квантового бита (кубита). Эволюция спинора(-ов) осуществляется применением унитарных операторов; как мы знаем из предыдущих разделов, все они могут быть сведены к комбинации матриц Паули, и достаточно рассмотреть их действие в вычислительном базисе. В унитарной эволюции норма волновой функции сохраняется — это именно то, что мы хотели бы для управления всеми квантовыми вероятностями одновременно. Язык квантовых вычислений был создан под сильным влиянием математической информатики, хорошо развитой для классических компьютеров. Унитарные операторы, изменяющие состояния кубита, называются логическими элементами. Простейший классический элемент — NOT − изменяeт значение кубита на противоположное, 0 ⇔ 1. Для спиноров, используемых в вычислительном базисе, аналогичная операция выполняется матрицей

5.7. Спиноры как кубиты

163

Паули 𝜎𝑥 : )︀ )︀ (︀ (︀ 𝜎𝑥 𝑎+ 𝑎− = 𝑎− 𝑎+ .

(5.71)

В частности, базисные состояния преобразуются как 𝜒± ↔ 𝜒∓ , как в классическом компьютере. В компьютерной науке вместо 𝜎𝑥,𝑦,𝑧 , используются обозначения 𝑋, 𝑌, 𝑍, но здесь нам не нужно отказываться от нашей старой системы обозначений. Таким образом, 𝜎𝑥 может быть названа квантовым NOT -элементом. Поскольку квантовое состояние любого спинора описывается соответствующим вектором поляризации n(𝜃, 𝜙), иногда полезно использовать эти углы, описывая квантовую эволюцию как движение этого вектора Блоха по сфере единичного радиуса. Операция 𝜎𝑥 изменяет 𝜃 → 𝜋 − 𝜃, 𝜙 → 2𝜋 − 𝜙. Еще один широко используемый элемент Адамара описывается матрицей )︂ (︂ 1 1 1 1 = √ (𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 ). (5.72) ℋ= √ 1 −1 2 2 Так как 𝜎𝑧 и 𝜎𝑥 антикоммутируют, ℋ2 = 1. Легко видеть, что оператор ℋ преобразует произвольные спиноры 𝑎+ 𝜒+ + 𝑎− 𝜒− , где использован вычислительный базис с осью квантования 𝑧, в такую же суперпозицию 𝑎+ 𝜒x +𝑎− 𝜒−x состояний, поляризованных вдоль оси 𝑥 и в противоположном направлении. Задача 5.13 Опишите действие элемента Адамара на состояние 𝜒x в терминах вектора Блоха на единичной сфере. Идея возможных операций для системы нескольких кубитов может быть проиллюстрирована примером двух спиноров. У нас есть четыре возможных комбинированных состояния, которые могут быть помечены в вычислительном базисе как | + +⟩,

| + −⟩,

| − +⟩,

| − −⟩.

(5.73)

Общая волновая функция этой системы в виде линейной комбинации состояний (5.73) не может быть выражена как произведение |𝜒1 ⟩ · |𝜒2 ⟩ двух независимых волновых функций: подсистемы запутаны (подробнее о запутанности будет сказано в третьем томе, разд. III.9.1). Теперь мы можем построить оператор, называемый контролируемый NOT -элемент, или, короче, CNOT (иногда также называется контролируемый-X ), действующий

164

Глава 5 Спин 1/2

в четырехмерном пространстве (5.73): ⎛ 1 0 0 )︂ (︂ ⎜ 0 1 0 ^ 1 0 ^CNOT = ≡⎜ 𝑈 ⎝ 0 0 0 0 𝜎𝑥 0 0 1

⎞ 0 0 ⎟ ⎟. 1 ⎠ 0

(5.74)

В этой матрице базисные состояния упорядочены в соответствии с линией (5.73), а оператор не может быть представлен как произведение операторов, действующих независимо на первый и второй кубит. Назовем, с помощью обычного языка, первый кубит «управление», а ^CNOT действует: второй «мишень». Теперь мы можем видеть, как оператор 𝑈 если управляющий кубит находится в состоянии 1, что означает |+⟩1 , спин ^CNOT не изменит состояние кубита-мишени, так что вверх, то 𝑈 | + +⟩ ⇒ | + +⟩,

| + −⟩ ⇒ | + −⟩.

(5.75)

Действительно, ^CNOT | + +⟩ = 𝑈 ^CNOT 𝑈

(︀

1000

)︀

=

(︀

1000

)︀

= | + +⟩

(5.76)

^CNOT | + −⟩ = 𝑈 ^CNOT 𝑈

(︀

0100

)︀

=

(︀

0100

)︀

= | + −⟩.

(5.77)

и

В противоположность этому, если спин управляющего кубита направлен ^CNOT переворачивает состояние кубита-мишени: вниз |−⟩1 , действие 𝑈 ^CNOT | − +⟩ = | − −⟩, 𝑈

^CNOT | − −⟩ = | − +⟩. 𝑈

(5.78)

Используя один кубит контроля и несколько кубитов-мишеней, можно генерировать произвольную эволюцию состояний кубитов. Для этой цели в принципе достаточно использовать CNOT -элемент и элементы, действующие на отдельные кубиты. По аналогии с CNOT можно сконструировать ^ -операцию для произвольного унитарного оператора контролируемую 𝑈 ^ 𝑈 таким образом, что для состояния вверх кубита управления ничего не изменится в кубитах мишеней, в то время как для состояния вниз кубита ^ будет воздействовать на мишени. управления операция 𝑈

5.7. Спиноры как кубиты

165

Задача 5.14 Покажите, что оператор ⎛ 1 0 0 0 ⎜ 0 0 1 0 ^SWAP = ⎜ 𝑈 ⎝ 0 1 0 0 0 0 0 1

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(5.79)

обменивает состояния двух кубитов: в том же базисе (5.73) ^SWAP |++⟩ = |++⟩, 𝑈

^SWAP |−−⟩ = |−−⟩, 𝑈

^SWAP |±∓⟩ = |∓±⟩. (5.80) 𝑈

Поскольку квантовая информатика стала почти отдельной, сложной и быстро развивающейся ветвью квантовой науки, мы не можем углубляться здесь в подробности, отсылая для продолжения к Дополнительной литературе. Тем не менее имеет смысл упомянуть, что есть не только преимущества квантовых вычислений, но и серьезные (не только технические) проблемы. Один из примеров может быть дан с помощью так называемой теоремы о невозможности клонирования квантового состояния [27]. В то время как возможно сделать практически полную копию классического объекта («распечатать новую копию» любой, изначально подготовленной книги на том же принтере), в квантовой механике это не всегда разрешено. Простое доказательство состоит в следующем. Попробуем сделать вторую копию квантового состояния |𝜓1 ⟩. Мы имеем систему мишеней в произвольном начальном (нормированном) состоянии |𝜓0 ⟩𝑡 , и наша задача заключается ^ , чтобы получить в качестве выв использовании унитарной эволюции 𝑈 ходного преобразования |𝜓0 ⟩𝑡 ⇒ |𝜓1 ⟩𝑡 . Тогда состояние двух наших систем развивается как ^ |𝜓1 ⟩ · |𝜓0 ⟩𝑡 = |𝜓1 ⟩ · |𝜓1 ⟩𝑡 . 𝑈

(5.81)

Предположим, что нам нужно скопировать другое состояние |𝜓2 ⟩ тем же ^: копировальным аппаратом 𝑈 ^ |𝜓2 ⟩ · |𝜓0 ⟩𝑡 = |𝜓2 ⟩ · |𝜓2 ⟩𝑡 . 𝑈

(5.82)

166

Глава 5 Спин 1/2

^ †𝑈 ^ = 1, и норма перекрытия сохраняется, Поскольку эволюция унитарна, 𝑈 ^ †𝑈 ^ |𝜓2 ⟩ · |𝜓0 ⟩𝑡 = 𝑡 ⟨𝜓0 | · ⟨𝜓1 |𝜓2 ⟩ · |𝜓0 ⟩𝑡 = ⟨𝜓1 |𝜓2 ⟩. (5.83) 𝒩 ≡ 𝑡 ⟨𝜓0 | · ⟨𝜓1 |𝑈 С другой стороны, мы знаем результаты эволюции (5.81, 5.82), так что ^ 𝜓0 | · ⟨𝜓1 𝑈 ^ 𝜓2 ⟩|𝜓0 ⟩𝑡 = 𝑡 ⟨𝜓1 |𝜓2 ⟩𝑡 ⟨𝜓1 𝜓2 ⟩ = 𝒩 2 . 𝒩 = 𝑡 ⟨𝑈

(5.84)

Поэтому мы должны иметь 𝒩 = 1 или 0, а это возможно только для клонирования точно ортогональных состояний. Другими словами, если процедура клонирования работает для двух различных состояний базиса |𝜓1 ⟩ и |𝜓2 ⟩, она не будет работать для их произвольной суперпозиции, |𝛼𝜓1 + 𝛽𝜓2 ⟩. Точное клонирование не представляется возможным даже для смешанных состояний, описываемых матрицей плотности (гл. III.8), а не чистой волновой функцией. Только после полной потери когерентности, которая эквивалентна возврату в мир без когерентной суперпозиции состояний, мы вновь приобретем точное классическое копирование. Еще один аспект может быть здесь упомянут. Физики работают в поисках масштабируемых кубитовых систем с большим количеством составляющих, что в принципе позволило бы использовать на практике все теоретические преимущества квантовых вычислений. Для того чтобы передавать и обрабатывать информацию, т.е. выполнять сложную работу, входящие в состав системы кубиты должны взаимодействовать. Однако взаимодействие в системе многих тел с высокой плотностью уровней быстро приводит к квантовому хаосу многих тел (разд. III.8), когда уже нет смысла говорить о квантовых состояниях отдельных кубитов. Вместо этого мы можем прийти к чрезвычайно сложным многочастичным волновым функциям, которые сделают проблему извлечения необходимой информации неразрешимой. Это означает, что должны быть разработаны специальные сложные схемы для изоляции кубитов и включения их взаимодействия только на короткие временные интервалы, когда это необходимо для вычислений. Дополнительная литература: [28], [29], [30], [27]

Теория углового момента по существу очень формальна. Её основными составляющими являются некоторые разделы теории групп и тензорной алгебры. На этих страницах, однако, изложение гораздо менее абстрактно, чем подразумевают эти грозные термины. M.E. Роуз «Элементарная теория углового момента»

Глава 6 Конечные вращения и тензорные операторы 6.1. Матрицы конечных вращений Любое вращение может быть представлено как экспоненциальная функ^ Ни один из них ция (1.2) генераторов, компонент углового момента J. не может изменить величину 𝐽. Совершая различные повороты состояния |𝐽𝑀 ⟩, мы всегда остаемся внутри семейства состояний с разными 𝑀 (различные ориентации конуса прецессии), но тем же самым 𝐽. Любое ^ в суперпозицию состояний, состояние |𝐽𝑀 ⟩ преобразуется при вращении ℛ принадлежащих тому же мультиплету |𝐽𝑀 ⟩. Математически это может быть записано как ∑︁ 𝐽 ′ ^ ℛ|𝐽𝑀 ⟩= 𝐷𝑀 (6.1) ′ 𝑀 (ℛ)|𝐽𝑀 ⟩, 𝑀′

где 𝐽 ′ ^ 𝐷𝑀 — ′ 𝑀 (ℛ) = ⟨𝐽𝑀 |ℛ|𝐽𝑀 ⟩

(6.2)

^ в данном представлении. это матричные элементы конечных вращений ℛ Здесь мы учли, что состояния |𝐽𝑀 ⟩ с разными значениями 𝑀 ортогональны, и считали, что они нормированы (1.48). Унитарность вращений (1.4) влечет унитарность матриц (6.1) 𝐷𝐽 (𝐷𝐽 )† = (𝐷𝐽 )† 𝐷𝐽 = 1,

(6.3)

168

Глава 6 Конечные вращения и тензорные операторы z

z'

J J

γ 0

Рис. 6.1. Иллюстрация к задаче 6.1

или, в явном виде для матричных элементов, ∑︁ ∑︁ 𝐽 𝐽* 𝐽* 𝐽 𝐷𝐾𝑀 (ℛ)𝐷𝐾 𝐷𝐾𝑀 ′ 𝑀 (ℛ) = 𝛿𝐾𝐾 ′ , ′ (ℛ)𝐷𝐾𝑀 (ℛ) = 𝛿𝑀 ′ 𝑀 . (6.4) 𝑀

𝐾

В задачах 5.9, 5.10 мы вычислили эти матричные элементы для спина 1/2; 1/2 они образуют матрицу 𝐷𝑚𝑚′ . Задача 6.1 Для системы с угловым моментом 𝐽 найти перекрытие ⟨𝜓|𝜓 ′ ⟩ волновых функций |𝜓⟩ и |𝜓 ′ ⟩ с максимальными проекциями 𝐽𝑧 = 𝐽𝑧 ′ = 𝐽, если угол между осями 𝑧 и 𝑧 ′ равен 𝛾 (рис. 6.1). Рассмотреть предел очень больших 𝐽. Решение ^ 𝑦 (𝛾) на угол 𝛾 вокруг Рассматриваемые функции связаны вращением ℛ ′ оси 𝑦, перпендикулярной к плоскости (𝑧𝑧 ). Соответствующая 𝐷-матрица обычно обозначается как 𝑑𝐽 (𝛾). Для нашей задачи ⟨𝜓𝑀 |𝜓𝑀 ′ ⟩ = 𝑑𝐽𝑀 𝑀 ′ (𝛾).

(6.5)

Используя представление Швингера, мы видим, что для 𝑀 = 𝑀 ′ = 𝐽 все 2𝑗 составляющих спинов ориентированы одинаково, так что нам нужно

6.1. Матрицы конечных вращений

169

повернуть их все: [︁ (︁ 𝛾 )︁]︁2𝐽 . 𝑑𝐽𝐽𝐽 (𝛾) = cos 2

(6.6)

В пределе 𝐽 ≫ 1 это выражение становится очень малым (произведение очень большого числа перекрытий отдельных спинов). Перекрытие может √ стать заметным только для очень близких направлений, 𝛾 𝐽 ≪ 1, как и ожидается при переходе к классическому случаю. На алгебраическом языке матрицы (6.2) дают унитарное представление группы вращений размерности (2𝐽 + 1). Это означает, что для враще^ =ℛ ^ 2ℛ ^ 1 , соответствующая матрица ния, выполняемого в два приема, ℛ 𝐽 (6.2), 𝐷 (ℛ) есть произведение матриц, представляющих индивидуальные вращения, взятые в той же последовательности, 𝐷𝐽 (ℛ) = 𝐷𝐽 (ℛ2 )𝐷𝐽 (ℛ1 ).

(6.7)

Все геометрические свойства вращений однозначно отражены в соотношениях между соответствующими матрицами. Так, единичная матрица соответствует вращению на нулевой угол, а для обратного вращения 𝐷𝐽 (ℛ−1 ) = (𝐷𝐽 (ℛ))−1 . Матричные элементы удовлетворяет соотношению 𝐽 −1 𝐽* 𝐷𝑀 ) = (𝐷𝐽 (ℛ))†𝑀 ′ 𝑀 = 𝐷𝑀 ′ 𝑀 (ℛ 𝑀 ′ (ℛ).

(6.8)

Представление 𝐷𝐽 неприводимо: мультиплет |𝐽𝑀 ⟩ размерности 2𝐽 + 1 не содержит никакого подмножества состояний, которое преобразуется внутри себя при всех вращениях. То обстоятельство, что унитарные представления являются многомерными, за исключением случая скаляра 𝐽 = 0, есть следствие некоммутативности генераторов (группа 𝒮𝒰(2) неабелева). Как мы помним, унитарные представления абелевых групп, например группы трансляций, одномерны. Конечные вращения могут быть параметризованы различными способами как непрерывные функции углов. Две часто используемые параметризации — 1) в терминах оси поворота n(𝜃, 𝜙) и угла поворота вокруг этой оси 𝛼 и 2) при помощи углов Эйлера [11]. В последнем случае 𝐷-матрицы называются функциями Вигнера. В любом случае вращения трехмерного пространства требуют для своего описания трёх независимых углов (в 𝑑-мерном пространстве число независимых плоскостей вращения равно 𝑑(𝑑 − 1)/2, числу генераторов 𝐽^𝑘 группы вращения 𝒮𝒪(𝑑)). Ниже мы уви-

170

Глава 6 Конечные вращения и тензорные операторы

z R

n

Рис. 6.2. Вращение, определяющее сферическую функцию

дим, что сферические функции 𝑌ℓ𝑚 можно рассматривать как частный случай матриц конечных вращений.

6.2. Сферические функции как матричные элементы конечных вращений Сферические гармоники 𝑌ℓ𝑚 (n) определяют волновые функции состояний |ℓ𝑚⟩ в координатном представлении (описываемых в системе координат с фиксированной осью квантования) 𝑌ℓ𝑚 (n) ≡ ⟨n|ℓ𝑚⟩.

(6.9)

^ есть вращение (рис. 6.2), которое переводит единичный вектор Пусть ℛ e𝑧 вдоль оси квантования в новое направление n: ^ 𝑧 = n(𝜃, 𝜙). ℛe

(6.10)

^ −1 , обратное к (6.10), действуя на состояние |ℓ𝑚⟩, переводит его Вращение ℛ в суперпозицию состояний мультиплета в соответствии с общим правилом (6.1): ∑︁ ℓ −1 ^ −1 |ℓ𝑚⟩ = ℛ 𝐷𝑚 )|ℓ𝑚′ ⟩. (6.11) ′ 𝑚 (ℛ 𝑚′

6.2. Сферические функции как матричные элементы конечных вращений 171 Координатное представление этого равенства получается проектированием на вектор n0 локализованного состояния ∑︁ ∑︁ ℓ −1 ℓ −1 ^ −1 |ℓ𝑚⟩ = ⟨n0 |ℛ 𝐷𝑚 )⟨n0 |ℓ𝑚′ ⟩ = 𝐷𝑚 )𝑌ℓ𝑚′ (n0 ). (6.12) ′ 𝑚 (ℛ ′ 𝑚 (ℛ 𝑚′

𝑚′

Используя унитарность вращений, запишем левую часть этого равенства как ^ −1 |ℓ𝑚⟩ = ⟨ℛn ^ 0 |ℓ𝑚⟩ = 𝑌ℓ𝑚 (ℛn0 ). ⟨n0 |ℛ

(6.13)

Направление n0 произвольно. Выбирая его в направлении полярной оси, n0 → e𝑧 , мы приходим к 𝑌ℓ𝑚 (ℛe𝑧 ), т. е. к сферической функции исходных углов 𝜃, 𝜙, (6.10). В правой части равенства (6.12) мы можем использовать результат (1.143) для 𝑌ℓ𝑚′ (e𝑧 ). Это приводит к искомому соотношению √︂ √︂ 2ℓ + 1 ℓ 2ℓ + 1 ℓ* 𝑌ℓ𝑚 (n) = 𝐷0𝑚 (ℛ−1 ) = 𝐷𝑚0 (ℛ), (6.14) 4𝜋 4𝜋 где 𝐷(ℛ−1 ) есть матричный элемент вращения, который, в противоположность (6.10), приводит вектор n в направление полярной оси, а второе равенство использует связь между 𝐷(ℛ) и 𝐷(ℛ−1 ) = 𝐷† (ℛ), см. (6.8). Полиномы Лежандра (1.141) вещественны и равны ℓ ℓ 𝑃ℓ (cos 𝜃) = 𝐷00 (ℛ−1 ) = 𝐷00 (ℛ).

(6.15)

Как уже упоминалось, общее трёхмерное вращение задается тремя углами. Сферические функции связаны с особым типом вращений (6.14) и зависят от двух углов; полиномы Лежандра зависят только от одного угла. Это можно понять, пользуясь физической интерпретацией сферических функций как описывающих угловую часть одночастичных волновых функций 𝜓(r) = 𝜓(𝑟, n). В соответствии с нашим выводом сферическая функция связана с амплитудой вращения, которое совмещает направление r с осью квантования. Можно сказать, что вектор r является единственным направлением в пространстве, которое выделено наличием частицы. Следовательно, естественно выбрать это направление в качестве оси квантования. Для того чтобы сделать это, нужно, в противоположность рис. 6.2, сначала повернуть вектор r на угол −𝜙 вокруг лабораторной (произвольной) 𝑧-оси в 𝑥𝑧-плоскость, а затем на угол −𝜃 вокруг оси 𝑦, совмещая его с полярной ^ −1 в равенствах (6.14) и осью. Эти два вращения отвечают оператору ℛ (6.15). Третий угол, отсутствующий в этом преобразовании, описывает

172

Глава 6 Конечные вращения и тензорные операторы

вращение вокруг оси r, которое не меняет никакие физические амплитуды, и, следовательно, оказывается избыточным. Ситуация меняется в многочастичном случае, когда возможно связать три оси с переменными системы и определить таким образом внутреннюю, связанную с телом, систему координат, в отличие от внешней, связанной с пространством, системы. Преобразование между этими системами играет важную роль в молекулярной и ядерной физике, когда приходится иметь дело с несферическими объектами [21, 31]. Задача 6.2 Выберем в многочастичной системе три ортогональных вектора e(𝑘) , 𝑘 = 1, 2, 3, которые являются функциями переменных частиц и образуют правую тройку [e(𝑗) × e(𝑘) ] = 𝜀𝑗𝑘𝑙 e(𝑙) (например, но необязательно, они могут быть естественным образом связаны с главными осями распределения плотности). Введем три скалярных произведения, ^ · e(𝑘) ), 𝐼^𝑘 = (J

(6.16)

проекции полного углового момента вдоль внутренних осей. ∑︀ Докажите, что 𝐼^𝑘 коммутирует со всеми компонентами 𝐽^𝑖 , и найдите 𝑘 (𝐼^𝑘 )2 и коммутаторы [𝐼^𝑗 , 𝐼^𝑘 ]. Решение Компоненты 𝐼^𝑘 являются скалярами, поскольку векторы e(𝑘) вращаются вместе с системой. Сумма квадратов этих величин равна квадрату углового момента, ∑︁ ^ 2 = 𝐽(𝐽 + 1), (𝐼^𝑘 )2 = J (6.17) 𝑘

где последнее равенство есть среднее значение по собственному состоянию ^ 2 . Коммутатор выражается соотношением оператора J [𝐼^𝑗 , 𝐼^𝑘 ] = −𝑖𝜀𝑗𝑘𝑙 𝐼^𝑙 ,

(6.18)

с обратным знаком по сравнению с обычными компонентами 𝐽^𝑘 углового момента в лабораторной системе координат. 𝐷-функция в (6.14) несет квантовые числа 𝑚 и 0, что соответствует преобразованию между лабораторной системой (проекция орбитального момента 𝑚) и внутренней системой, в которой проекция орбитального момента на новую полярную ось в направлении r исчезает. Действительно,

6.3. Теорема сложения⋆

173

имеем тождественно (l · r) = (r · l) = 0.

(6.19)

Это кинематическое ограничение запрещает вращение вокруг r, оставляя только два угла динамическими переменными. Конечно, точно такую же ситуацию имеем и в импульсном представлении, (l · p) = (p · l) = 0.

(6.20)

Задача 6.3 Установите ортогональность матричных элементов конечных вращений, рассматриваемых как функции углов поворота, ∫︁ 8𝜋 2 𝐽* 𝐽′ 𝑑ℛ 𝐷𝐾𝑀 (ℛ)𝐷𝐾 . (6.21) ′ 𝑀 ′ (ℛ) = 𝛿𝐽𝐽 ′ 𝛿𝐾𝐾 ′ 𝛿𝑀 𝑀 ′ 2𝐽 + 1 Здесь интегрирование производится по всем возможным вращениям, описываемым тремя углами. Это дает множитель 8𝜋 2 («объем» группы вращений), например, 4𝜋 для различных вариантов выбора направления оси вращения и 2𝜋 для возможных поворотов вокруг этой оси; тот же объем возникает при параметризации с помощью углов Эйлера. Решение Повторим вывод раздела I.8.12, используя интегрирование по углам вместо суммирования по элементам группы; размерность представления 𝐷𝐽 есть 𝑛 = 2𝐽 + 1. Как частный случай, отсюда следует ортогональность сферических функций 𝑌ℓ𝑚 и полиномов Лежандра (а также полнота 𝐷-функций как функций параметров группы).

6.3. Теорема сложения⋆ Часто приходится иметь дело со скалярной функцией от угла 𝛾 между двумя направлениями, n(𝜃, 𝜙) и n′ (𝜃′ , 𝜙′ ). Будучи скаляром, такая функция зависит только от скалярного произведения (n·n′ ) и может быть разложена по полиномам Лежандра 𝑃ℓ (cos 𝛾), где cos 𝛾 = (n · n′ ) = sin 𝜃 sin 𝜃′ cos(𝜙 − 𝜙′ ) + cos 𝜃 cos 𝜃′ .

(6.22)

174

Глава 6 Конечные вращения и тензорные операторы

В то же время, рассматривая 𝑃ℓ (cos 𝛾) как функцию отдельно углов n или n′ , мы можем выразить её в виде ряда по 𝑌ℓ′ 𝑚′ (n) или 𝑌ℓ′ 𝑚′ (n′ ). Однако функция в целом, а также скалярное произведение (n·n′ ), инвариантны при одновременных поворотах n и n′ . Беря вращение, которое совмещает вектор n′ с направлением 𝑧, мы можем представить 𝑃ℓ (n · n′ ) как сферическую функцию 𝑌ℓ0 (n). Это означает, что как функция n, исходная функция двух единичных векторов преобразуется по представлению с орбитальным моментом ℓ. Поэтому ряд для 𝑃ℓ (cos 𝛾) может содержать только функции 𝑌ℓ′ 𝑚′ с ℓ′ = ℓ. Ситуация симметрична для n и n′ , так что разложение должно иметь вид ∑︁ 𝑃ℓ (n · n′ ) = 𝐴ℓ𝑚𝑚′ 𝑌ℓ𝑚 (n)𝑌ℓ𝑚′ (n′ ). (6.23) 𝑚𝑚′

При общем вращении n и n′ на угол 𝛽 вокруг полярной оси функция (6.23) не меняется, но каждое слагаемое приобретает фазу exp[−𝑖(𝑚 + 𝑚′ )𝛽]. Следовательно, фактически имеются только члены с 𝑚′ = −𝑚, как это можно видеть также из (6.22), так как функция зависит от разности 𝜙 − 𝜙′ , а не от углов 𝜙 и 𝜙′ по отдельности. Используя (1.90), мы получаем ∑︁ ℓ * 𝑃ℓ (n · n′ ) = 𝐵𝑚 𝑌ℓ𝑚 (n)𝑌ℓ𝑚 (n′ ) (6.24) 𝑚 ℓ = (−)𝑚 𝐴ℓ с новыми коэффициентами 𝐵𝑚 𝑚−𝑚 . Мы всё ещё использовали не все следствия инвариантности (n · n′ ) отно^ −1 одновременно сительно вращения. Применим произвольное вращение ℛ ′ −1 † ^ ^ к n и n . Принимая во внимание унитарность ℛ = ℛ и правило преобразования (6.11), мы имеем ∑︁ ℓ ^ −1 n|ℓ𝑚⟩ = ⟨n|ℛ|ℓ𝑚⟩ ^ 𝑌ℓ𝑚 (ℛ−1 n) = ⟨ℛ = 𝐷𝜇𝑚 (ℛ)𝑌ℓ𝜇 (n). (6.25) 𝜇

Произведя те же самые преобразования для сопряжённой функции в (6.24), мы получаем ∑︁ ℓ ℓ * ′ 𝑃ℓ (n · n′ ) = 𝐵𝑚 𝐷𝜇𝑚 (𝑅)𝐷𝜇ℓ*′ 𝑚 (ℛ)𝑌ℓ𝜇 (n)𝑌ℓ𝜇 (6.26) ′ (n ). 𝑚𝜇𝜇′

Теперь сравним этот результат с выражением (6.24) для той же функции до вращения. Сферические функции линейно независимы. Переобозначая в (6.24) 𝑚 → 𝜇 и сравнивая выражения, получаем соотношение для

6.3. Теорема сложения⋆

175

коэффициентов ∑︁ ℓ ℓ 𝐵𝑚 𝐷𝜇𝑚 (ℛ)𝐷𝜇ℓ*′ 𝑚 (ℛ) = 𝐵𝜇ℓ 𝛿𝜇𝜇′ ,

(6.27)

𝑚 ℓ = 𝐵 ℓ и не где ℛ всё ещё произвольно. Очевидно, что решение есть 𝐵𝑚 зависит от 𝑚, потому что (6.27) тогда совпадает с соотношением унитарности (6.4). Это решение единственно, так как (6.27) может быть записано в матричной форме 𝐷(ℛ)𝐵𝐷† (ℛ) = 𝐵, где 𝐵 есть диагональная ℓ . Благодаря унитарности (в 𝑚-представлении) матрица с элементами 𝐵𝑚 𝐷† (ℛ) = 𝐷−1 (ℛ), это означает, что матрица 𝐵 коммутирует со всеми матрицами 𝐷(ℛ) неприводимого представления, 𝐷(ℛ)𝐵 = 𝐵𝐷(ℛ). Такая матрица должна быть пропорциональна единичной матрице (так называеℓ с данным ℓ мая лемма Шура, раздел 8.12), т. е. матричные элементы 𝐵𝑚 ℓ все равны между собой. Постоянная 𝐵 может быть найдена, например, если выбрать n′ вдоль оси 𝑧. Тогда обе части (6.15) должны дать 𝑃ℓ (cos 𝜃). Используя (1.141) и (1.143), мы видим, что 𝐵 ℓ = (2ℓ + 1)/4𝜋. В конечном итоге, мы получили теорему сложения для сферических гармоник,

𝑃ℓ (n · n′ ) =

4𝜋 ∑︁ * (n′ ). 𝑌ℓ𝑚 (n)𝑌ℓ𝑚 2ℓ + 1 𝑚

(6.28)

В частности, для совпадающих n и n′ , ∑︁

|𝑌ℓ𝑚 (n)|2 =

𝑚

2ℓ + 1 . 4𝜋

(6.29)

Заметим также, что для единичных векторов равенство (6.22) есть просто частный случай теоремы сложения (6.28) для ℓ = 1. Мы провели вывод во всех деталях для того, чтобы показать силу соображений симметрии, которые позволили нам избежать явных вычислений. Теорема сложения (6.28) позволяет нам переписать разложение плоской волны (17.106) в форме(17.98), симметричной по k и r, * 𝐶ℓ𝑚 (k) = 4𝜋 𝑖ℓ 𝑌ℓ𝑚 (nk ),

𝑒𝑖(k·r) = 4𝜋

∑︁ ℓ𝑚

nk =

k , 𝑘

* 𝑖𝑙 𝑌ℓ𝑚 (nk )𝑌ℓ𝑚 (n)𝑗ℓ (𝑘𝑟).

(6.30) (6.31)

176

Глава 6 Конечные вращения и тензорные операторы

6.4. Преобразование операторов Напомним (раздел. I.6.9), что если векторы состояний |𝜓⟩ преобразуются ^ в |𝜓 ′ ⟩ = 𝑈 ^ |𝜓⟩ и операторы 𝑂 ^ при помощи унитарного преобразования 𝑈 преобразуются по правилу ^⇒𝑂 ^′ = 𝑈 ^𝑂 ^𝑈 ^ −1 , 𝑂

(6.32)

то все физические амплитуды не меняются, ^ ′ |𝜓 ′ ⟩ = ⟨𝜓2 |𝑈 ^ −1 𝑈 ^𝑂 ^𝑈 ^ −1 𝑈 ^ |𝜓1 ⟩ = ⟨𝜓2 |𝑂|𝜓 ^ 1 ⟩. ⟨𝜓2′ |𝑂 1

(6.33)

^ ′ действуют после преобразования Это означает, что новые операторы 𝑂 ^ до преобразования. Другими слоточно так же, как старые операторы 𝑂 ^ ^ операторы повернулись вместе с вами, в применении к вращению 𝑈 = ℛ, системой, так что физические измерения с помощью повёрнутых приборов дают те же результаты. Операторы можно классифицировать по их поведению при вращениях точно так же, как векторы состояний были разбиты на мультиплеты в соответствии с их трансформационными свойствами. Про набор 2𝐽 + 1 операторов 𝑇^𝐽𝑀 , где 𝐽 есть целое или полуцелое и 𝑀 = −𝐽, −𝐽 + 1, . . . , 𝐽, говорят, что они образуют тензорный оператор ранга 𝐽, если операторы набора преобразуются при вращениях по таким же правилам (6.1), как и векторы состояний |𝐽𝑀 ⟩, ∑︁ 𝐽 ^ 𝑇^𝐽𝑀 ℛ ^ −1 = ^ ℛ 𝐷𝑀 (6.34) ′ 𝑀 (ℛ)𝑇𝐽𝑀 ′ . 𝑀′

Для целого 𝐽 = ℓ тензорные операторы 𝑇^ℓ𝑚 должны преобразовываться как сферические функции 𝑌ℓ𝑚 . В случае бесспиновой частицы тензорные операторы 𝑇^ℓ𝑚 (r), которые являются функциями координат, должны иметь такую же угловую зависимость, как 𝑌ℓ𝑚 (n), 𝑇^ℓ𝑚 (r) = 𝑡ℓ (𝑟)𝑌ℓ𝑚 (n),

(6.35)

где радиальный множитель 𝑡ℓ (𝑟) одинаков для всех 𝑚. В этом случае легко проверить непосредственно, что правило преобразования (6.34) сохраняет амплитуды, равенство (6.33). Действительно, как мы знаем из (4.65), преобразование (6.34) для функции от координат (6.35) должно давать 𝑇ℓ𝑚 (ℛ−1 n). (Напомним, что здесь мы преобразуем оператор; первый мно^ в левой стороне равенства (6.34) преобразует только 𝑇^𝐽𝑀 и житель ℛ

6.4. Преобразование операторов

177

^ −1 , так что все функции после 𝑇^𝐽𝑀 не затрагиваются.) сокращается с ℛ Преобразованный матричный элемент будет отличаться от оригинала про^ −1 n под знаком интеграла, что не сто заменой угловых переменных n → ℛ может изменить интеграл. То же справедливо и для функций импульса, которые будут пропорциональны 𝑌ℓ𝑚 (np ), где np = p/|p|. Задача 6.4 Покажите, что для любой пары 𝐴ℓ𝑚 и 𝐵ℓ𝑚 тензорных операторов одинакового ранга ℓ свёртка, образованная по такому же правилу суммирования как (1.120), ∑︁ 𝑆= (−)𝑚 𝐴ℓ𝑚 𝐵ℓ −𝑚 , (6.36) 𝑚

есть скаляр (инвариант вращений). В соответствии с разделом 1.8., любой векторный оператор есть тензор ранга 1. Далее векторы подразделяются по поведению при пространственной инверсии. Вектор координаты n есть пример полярного вектора. Его компоненты, как и сферические функции 𝑌1𝑚 , меняют знак при простран^ ведёт себя как ственной инверсии. Любой оператор углового момента J вектор при вращении, но как псевдовектор при инверсии (аксиальный вектор). Задача 6.5 Докажите, что спиновый угловой момент ведёт себя точно так же (псевдовектор), как орбитальный момент: его компоненты преобразуются как у вектора при вращении, сохраняя тот же знак при пространственной инверсии. Решение Пространственная инверсия не действует на спиновые операторы. По отношению к вращениям, в соответствии с общим законом преобразования, преобразованный вектор спина есть 1 ^ ^ −1 𝜎ℛ . ^s′ = ℛ𝜎 2

(6.37)

^ n (𝛼) из (20.17), получаем Подставляя оператор спинового вращения ℛ 1 𝜎 · n) sin(𝛼/2)]𝜎 𝜎 [cos(𝛼/2) + 𝑖(𝜎 𝜎 · n) sin(𝛼/2)]. (6.38) ^s′ = [cos(𝛼/2) − 𝑖(𝜎 2

178

Глава 6 Конечные вращения и тензорные операторы

Как и ожидалось, проекция спина на ось вращения n не меняется, ^ n (𝛼)ℛ ^ −1 (n · ^s′ ) = (n · ^s)ℛ s). n (𝛼) = (n · ^

(6.39)

Чтобы упростить выражение (6.38), используем алгебру матриц Паули (5.14). Например, для произведения трёх 𝜎-матриц имеем 𝜎𝑗 𝜎𝑖 𝜎𝑘 = 𝛿𝑖𝑗 𝜎𝑘 + 𝛿𝑖𝑘 𝜎𝑗 − 𝛿𝑗𝑘 𝜎𝑖 + 𝑖𝜀𝑗𝑖𝑘 .

(6.40)

Конечный результат есть 1 𝑠^′𝑖 = {𝜎𝑖 cos 𝛼 − [n × 𝜎 ]𝑖 sin 𝛼 + 2𝑛𝑖 (n · 𝜎 ) sin2 (𝛼/2)}, 2

(6.41)

или, в векторной форме ^s′ = ^s cos 𝛼 − [n × ^s] sin 𝛼 + n(n · 𝜎 )2 sin2

𝛼 . 2

(6.42)

Это правильное преобразование вектора при конечном вращении; возьмите предел малых 𝛼, получите для n = e𝑧 𝑠^′𝑥 = 𝑠^𝑥 + 𝛼^ 𝑠𝑦 ,

𝑠^′𝑦 = 𝑠^𝑦 − 𝛼^ 𝑠𝑥 ,

𝑠^′𝑧 = 𝑠^𝑧

(6.43)

и сравните это с преобразованием координат (разд. 1.1). Если наш векторный оператор преобразуется так же, как в (6.43), он будет соответствовать измерению такой же величины после вращения, в соответствии с определением (6.33) преобразования операторов. Это преобразование является обратным к преобразованию вектора в (1.16).

6.5. Введение в правила отбора Тензорные свойства операторов играют важную роль в расчётах физических амплитуд, пропорциональных матричным элементам ⟨𝜓𝐽′ 2 𝑀2 |𝑇^𝐽𝑀 |𝜓𝐽1 𝑀1 ⟩. Для заданных начальных и конечных мультиплетов состояний мы имеем здесь (2𝐽2 + 1)(2𝐽 + 1)(2𝐽1 + 1) различных матричных элементов. Однако, как мы увидим позже, только одно число характеризует физику; остальные не зависят от природы системы и полностью определяются геометрическими соображениями. Некоторые матричные элементы исчезают благодаря свойствам вращательной симметрии состояний и операторов, другие оказываются тесно взаимосвязаны.

6.5. Введение в правила отбора

179

Простейшие правила отбора могут быть установлены непосредственно из определения тензорных операторов (6.34). Рассмотрим бесконечно малый ^ = поворот на угол 𝛿𝛼 вокруг оси n. Соответствующий оператор есть ℛ ^ 1 − 𝑖(J · n)𝛿𝛼, (1.1). Удерживая лишь линейные члены в 𝛿𝛼, выразим левую часть(6.34) через коммутатор тензора 𝑇^𝐽𝑀 с угловым моментом ^ · n), 𝑇^𝐽𝑀 ]. ^ 𝑇^𝐽𝑀 ℛ ^ −1 = 𝑇^𝐽𝑀 − 𝑖𝛿𝛼[(J ℛ

(6.44)

Выпишем матричные элементы этого вращения в данном представлении 𝐽 ′ ^ 𝐷𝑀 ′ 𝑀 (ℛ) = 𝛿𝑀 ′ 𝑀 − 𝑖𝛿𝛼⟨𝐽𝑀 |(J · n)|𝐽𝑀 ⟩.

(6.45)

Так как направление оси n произвольно, формулы (6.44) и (6.45) приводят к соотношению коммутации, справедливому для любого тензорного оператора: ∑︁ [𝐽^𝑚 , 𝑇^𝐽𝑀 ] = (6.46) ⟨𝐽𝑀 ′ |𝐽^𝑚 |𝐽𝑀 ⟩𝑇^𝐽𝑀 ′ , 𝑀′

где 𝐽^𝑚 может быть и декартовой, и сферической компонентой. Для 𝐽^𝑧 = 𝐽^0 компоненты в (6.46) имеем [𝐽^𝑧 , 𝑇^𝐽𝑀 ] = 𝑀 𝑇^𝐽𝑀 .

(6.47)

Это типичное лестничное соотношение, см. раздел I.11.6. Мы заключаем, что, действуя на состояние с определенной 𝑧-проекцией полного углового момента системы, тензорный оператор 𝑇^𝐽𝑀 увеличивает эту проекцию на 𝑀 . Мы получили простое правило отбора: в переходах ⟨𝑎2 𝐽2 𝑀2 |𝑇^𝐽𝑀 |𝑎1 𝐽1 𝑀1 ⟩, где 𝑎1 и 𝑎2 обозначают все дополнительные (не относящиеся к вращениям) квантовые числа, единственными отличными от нуля амплитудами будут те, для которых Δ𝐽𝑧 ≡ 𝑀2 − 𝑀1 = 𝑀 , 𝑇^𝐽𝑀 :

Δ𝐽𝑧 = 𝑀.

(6.48)

Наши обозначения в уравнениях (1.99) для сферических компонент векторов согласуются с этим общим правилом. Результат не зависит от конкретных величин 𝐽1 , 𝐽2 и дополнительных квантовых чисел 𝑎1 , 𝑎2 . Повышающая, 𝑚 = +1, компонента соотношения (6.46) содержит в правой части только член 𝑀 ′ = 𝑀 + 1. Мы видим, что произведение оператора 𝐽^+1 , имеющего правило отбора Δ𝐽𝑧 = +1, и 𝑇^𝐽𝑀 , создаёт новый оператор с Δ𝐽𝑧 = 𝑀 + 1. Для понижающей компоненты в (6.46) 𝑚 = −1 и

180

Глава 6 Конечные вращения и тензорные операторы

e5 e4

r–ra

ea

ra=rana αa

r=rn e1

e3

e2

Рис. 6.3. Электростатический потенциал за пределами системы зарядов

Δ𝐽𝑧 = 𝑀 − 1. В произведении операторов правила отбора для проекции 𝐽𝑧 просто складываются алгебраически. Позже мы увидим, что для абсолютной величины углового момента ситуация более сложна. В применении к векторному оператору, 𝑇^1𝑀 → 𝑉^𝑀 , общее соотношение (6.47) даёт [𝐽^𝑧 , 𝑉^±1 ] = ±𝑉^±1 . Очевидно, что вращение вокруг оси 𝑧 не меняет 𝑧-компоненту вектора, [𝐽^𝑧 , 𝑉^𝑧 ] = 0. В декартовых координатах такие соотношения эквивалентны коммутаторам, сравните с задачей I.4.5: [𝐽^𝑘 , 𝑉^𝑙 ] = 𝑖𝜀𝑘𝑙𝑛 𝑉^𝑛 ,

(6.49)

что обобщает алгебру углового момента (1.21) на произвольный вектор. Все эти правила коммутации имеют чисто геометрическое происхождение и, следовательно, универсальны, будучи справедливыми независимо от природы или поведения при инверсии тензорного оператора. Они могут быть получены с помощью простых наглядных образов вращающихся векторов, хотя данная выше формулировка является более общей. В частности, соотношение (6.49) эквивалентно соотношениям (6.41) и (6.42), взятым в пределе малых углов, где спин ^s должен быть заменен произвольным ^ вектором V.

6.6. Электромагнитные мультиполи Электромагнитные мультиполи дают один из наиболее важных примеров тензорных операторов. Они возникают в электродинамике в результате мультипольного разложения полей, создаваемых ограниченной системой зарядов и токов. Рассмотрим систему точечных классических частиц с электрическими зарядами 𝑒𝑎 , находящимися в точках r𝑎 , рис. 6.3. Электростатический потенциал этой системы, измеряемый в точке r, определяется законом

6.6. Электромагнитные мультиполи

181

Кулона: 𝜙(r) =

∑︁ 𝑎

𝑒𝑎 . |r − r𝑎 |

(6.50)

Функция 1 1 = √︀ 2 ′2 |r − r′ | 𝑟 + 𝑟 − 2𝑟𝑟′ cos 𝛾

(6.51)

зависит от длин 𝑟, 𝑟′ двух векторов и угла 𝛾 между ними, а не от углов векторов r и r′ по отдельности. Если r ̸= r′ , эта функция не имеет особенностей и может быть выражена с помощью бесконечного разложения в ряд по полиномам Лежандра, с коэффициентами, зависящими от 𝑟 и 𝑟′ , ∞

∑︁ 1 = 𝑃ℓ (cos 𝛾)𝑓ℓ (𝑟, 𝑟′ ). |r − r′ |

(6.52)

ℓ=0

Электростатический потенциал (6.52) как функция от r удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, за исключением особой точки r = r′ . Как следует из (2.51,2.52), существуют два линейно независимых решения уравнения Лапласа для угловой симметрии, задаваемой сферической функцией 𝑌ℓ𝑚 , а именно 𝑟ℓ 𝑌ℓ𝑚 и 𝑟−(ℓ+1) 𝑌ℓ𝑚 . Теорема сложения (6.28) показывает, что полином Лежандра в (6.52) есть суперпозиция сферических функций 𝑌ℓ𝑚 (nr ). Следовательно, 𝑓ℓ может зависеть от 𝑟 как 𝑟ℓ либо как 𝑟−(ℓ+1) , и мы можем переписать (6.52) как }︁ {︁ ∑︁ 1 1 ′ ℓ ′ = 𝑃 (cos 𝛾) 𝑟 𝑔 (𝑟 ) + ℎ (𝑟 ) . ℓ ℓ ℓ |r − r′ | 𝑟ℓ+1

(6.53)

ℓ

Функции 𝑔ℓ и ℎℓ определяются, с точностью до постоянных множителей, размерностью общего выражения 1/[длина], так что (︁ ∑︁ 1 𝑟ℓ 𝑟′ℓ )︁ = 𝑃 (cos 𝛾) 𝑔 + ℎ ℓ ℓ ′ℓ+1 ℓ ℓ+1 . |r − r′ | 𝑟 𝑟

(6.54)

ℓ

Рассматривая (6.52) для частного значения 𝛾, а именно для параллельных векторов, cos 𝛾 = 1, когда все 𝑃ℓ = 1, мы получаем ∑︁(︁ 1 𝑟ℓ 𝑟′ℓ )︁ = 𝑔 + ℎ ℓ ′ℓ+1 ℓ ℓ+1 . |𝑟 − 𝑟′ | 𝑟 𝑟 ℓ

(6.55)

182

Глава 6 Конечные вращения и тензорные операторы

Из-за особенности при 𝑟 = 𝑟′ нам нужно рассмотреть две области. Если 𝑟 > 𝑟′ , то ∑︁ 𝑟′ℓ 1 1 1 = . = = |𝑟 − 𝑟′ | 𝑟 − 𝑟′ 𝑟(1 − 𝑟′ /𝑟) 𝑟ℓ+1

(6.56)

ℓ

Это значит, что в области 𝑟 > 𝑟′ мы имеем ℎℓ = 1 и 𝑔ℓ = 0. Этот результат вполне естественен, потому что мы можем положить 𝑟′ → 0 и получить нефизическую особенность в сумме, содержащей 𝑔𝑙 в (6.55). Аналогично, мы должны положить ℎℓ = 0 и 𝑔ℓ = 1 для 𝑟 < 𝑟′ . С естественными обозначениями 𝑟< и 𝑟> для меньшего и большего из этих двух радиусов, соотношение (6.54) принимает форму ∑︁ 𝑟ℓ 1 < = 𝑃 (cos 𝛾). ℓ+1 ℓ |r − r′ | 𝑟>

(6.57)

ℓ

В приложениях мультипольного разложения обычно рассматривают потенциал (6.50) вне системы, т.е. в точке r с 𝑟 > 𝑟𝑎 . В этом случае мы можем использовать разложение (6.57) и теорему сложения (6.28), и получить 𝜙(r) =

∑︁ ℓ𝑚

1 4𝜋 * (n)ℳ(𝐸ℓ, 𝑚). 𝑌ℓ𝑚 ℓ+1 2ℓ + 1 𝑟

(6.58)

Здесь электрический мультипольный момент ранга ℓ = 0, 1, ... определён для системы точечных зарядов 𝑎 = 1, 2, ..., 𝐴 как набор (2ℓ + 1) величин ℳ(𝐸ℓ, 𝑚) =

𝐴 ∑︁

𝑒𝑎 𝑟𝑎ℓ 𝑌ℓ𝑚 (n𝑎 ),

𝑚 = −ℓ, −ℓ + 1, ..., +ℓ,

(6.59)

𝑎=1

где сумма берётся по всем зарядам 𝑒𝑎 , расположенным в точках r𝑎 = (𝑟𝑎 , 𝜃𝑎 , 𝜙𝑎 ) ≡ (𝑟𝑎 , n𝑎 ). Точно таким же образом можно определить вместо моментов для распределения зарядов мультипольные моменты для любой аддитивной характеристики частиц, например, для распределения массы 𝑒𝑎 ⇒ 𝑚𝑎 . В квантовой теории мультипольные моменты следует рассматривать ^ как операторы, действующие на переменные частиц. Оператор ℳ(𝐸ℓ, 𝑚), содержащий явно сферические функции, обладает свойствами тензорного

6.6. Электромагнитные мультиполи оператора ранга ℓ. Вводя оператор плотности заряда ∑︁ 𝑒𝑎 𝛿(r − ^r𝑎 ), 𝜌^(r) =

183

(6.60)

𝑎

мы приходим к более общему выражению для мультипольного момента, ∫︁ r ^ ℳ(𝐸ℓ, 𝑚) = 𝑑3 𝑟 𝜌^(r)𝑟ℓ 𝑌ℓ𝑚 (n), n = . (6.61) 𝑟 При записи в таком виде нет даже необходимости делать предположение о существовании точечных частиц в системе; например, в ядре заряженные пионы и другие переносчики ядерных сил включаются здесь вместе с нуклонами, если 𝜌^(r) есть полный оператор плотности электрического заряда. Как и ожидалось, мы можем разделить геометрию мультипольных операторов и их динамическую природу. Из любого распределения 𝜌^(r), оператор (6.61) извлекает неприводимый тензор ранга ℓ, т.е. выделяет часть с определёнными свойствами относительно вращений. Наименьший мультипольный момент ℓ = 0 есть монополь. Он определяет скалярную часть, полный электрический заряд 𝑍𝑒, ∫︁ 1 ∑︁ 1 1 ^ ℳ(𝐸0, 0) = √ 𝑒𝑎 = √ 𝑑3 𝑟 𝜌^(r) = √ 𝑍𝑒. (6.62) 4𝜋 𝑎 4𝜋 4𝜋 Следующий член, ℓ = 1, определяет вектор дипольного момента ∫︁ ∑︁ ^ (6.63) d= 𝑒𝑎 ^r𝑎 = 𝑑3 𝑟 𝜌^(r)r. 𝑎

Принимая во внимание соотношение (1.100) между векторами и сферическими функциями ранга ℓ = 1, мы получаем √︂ √︂ ∑︁ 3 3 ^ ^ ℳ(𝐸1, 𝑚) = 𝑒𝑎 𝑟^𝑎 (𝑛𝑎 )𝑚 = 𝑑𝑚 . (6.64) 4𝜋 𝑎 4𝜋 Следующие члены мультипольного разложения определяют квадруполь (ℓ = 2), октуполь (ℓ = 3), гексадекаполь (ℓ = 4) и высшие моменты. Физические свойства квадрупольного тензора (1.129) играют важную роль в молекулярной и ядерной структуре. Аналогичным образом можно определить магнитные мультиполи ^ ℳ(𝑀 ℓ, 𝑚), связанные с распределением токов. Конвекционный ток, свя-

184

Глава 6 Конечные вращения и тензорные операторы

занный с орбитальным движением, и ток намагниченности, генерируемый спиновыми магнитными моментами, определяют соответствующие вклады в магнитный мультипольный момент ранга ℓ [31], ^ ℳ(𝑀 ℓ, 𝑚) =

∑︁(︁ 𝑎

𝑔𝑎𝑠 ^s𝑎

(︁ )︁ 2 ℓ ^ )︁ ℓ ℓ 𝑔 𝑎 · ∇ 𝑟𝑎 𝑌ℓ𝑚 (n𝑎 ) . + ℓ+1 𝑎

(6.65)

Здесь ^s𝑎 и ℓ^𝑎 означают спин и орбитальный момент частицы 𝑎, соответственно; 𝑔𝑎𝑠 и 𝑔𝑎ℓ это соответствующие гиромагнитные отношения. (Мы измеряем угловые моменты в единицах ~, а гиромагнитные отношения 𝑔𝑎 в магнетонах 𝑒~/(2𝑚𝑎 𝑐).) Выражение (6.65) равно нулю при ℓ = 0, показывая отсутствие магнитных монополей. При ℓ = 1 мы приходим к сферическим ^, компонентам 𝜇 ^𝑚 магнитного момента 𝜇 √︂ 3 ^ ℳ(𝑀 1, 𝑚) = 𝜇 ^𝑚 , (6.66) 4𝜋 ∑︁ 𝜇 ^= (𝑔𝑎𝑠 ^s𝑎 + 𝑔𝑎ℓ ^ℓ𝑎 ). (6.67) 𝑎

Члены высшего порядка определяют магнитный квадруполь, ℓ = 2, магнитный октуполь ℓ = 3, и так далее. Дополнительная литература: [11], [13], [12]

Когда я считаю, нас двое, ты да я вместе. Т.С. Элиот «Бесплодная земля» (пер. Я. Пробштейна)

Глава 7 Сложение угловых моментов 7.1. Две подсистемы При вычислениях часто приходится иметь дело с угловым моментом, распределённым в нескольких составных частях или подсистемах одной системы. Прототипом этого является задача двух тел. Рассмотрим две подсистемы с угловыми моментами 𝑗1 и 𝑗2 . Общее квантовое пространство содержит 𝑑 = (2𝑗1 + 1)(2𝑗2 + 1) состояний, полученных путем комбинаций различных членов мультиплетов |𝑗1 𝑚1 ⟩ и |𝑗2 𝑚2 ⟩ с проекциями 𝑚1 = −𝑗1 , . . . , 𝑗1 и 𝑚2 = −𝑗2 , . . . , 𝑗2 , соответственно. Эти базисные состояния можно обозначить |𝑗1 𝑚1 ; 𝑗2 𝑚2 ⟩.

(7.1)

Если подсистемы не взаимодействуют, все четыре квантовых числа 𝑗1 , 𝑗2 , 𝑚1 , 𝑚2 сохраняются (мы предполагаем инвариантность относительно вращений всей системы). Тогда удобно использовать базисные состояния независимых подсистем. Каждая система может быть повёрнута по отдельности при помощи операторов угловых моментов ^j1 и ^j2 , генерирующих соответствующие преобразования. Можно вообразить картину отдельной прецессии составляющих угловых моментов вокруг общей оси квантования (несвязанная схема, рис. 6.1, 𝑎). Мы можем описывать систему по-другому, изучая её поведение при общем вращении, когда подсистемы вращаются вместе. Генератором таких вращений служит полный угловой момент ^ = ^j1 + ^j2 . J

(7.2)

186

Глава 7 Сложение угловых моментов

j1

(a)

j1

j2

j2 J

(b)

Рис. 7.1. Две схемы векторного сложения: a — несвязанная; b — связанная

^ не имеет опредеВ предыдущей картине раздельных прецессий оператор J лённого значения, так как результат сложения векторов (7.2) зависит от мгновенной взаимной ориентации j1 и j2 . Состояния (7.1) — это суперпозиции состояний с различными значениями J2 . В случае взаимодействующих подсистем отдельные вращения, вообще говоря, нарушают структуру системы, что делает состояния (7.1) нестационарными, в то время как общие вращения сохраняют внутреннюю структуру. Поэтому здесь более удобно описывать состояния квантовыми числами 𝐽 и 𝑀 , относящимися к генератору (7.2) общих вращений (связанная схема, рис. 7.1, 𝑏), хотя оба описания используют полный набор состояний, будучи, следовательно, математически эквивалентными. По отношению к общим вращениям, когда относительная ориентация подсистем сохраняется и они вращаются как целое, полный набор состояний (7.1) приводим. Любая возможная относительная ориентация будет порождать мультиплет |𝐽𝑀 ⟩ состояний, преобразующихся только через самих себя при произвольном вращении. Это показано на рис. 7.1, 𝑏: сначала мы определяем относительную ориентацию и соответствующий полный угловой момент J (угловые моменты подсистем прецессируют вокруг J), а затем разрешаем всей конструкции вращаться вокруг фиксированной в пространстве оси квантования, что определяет общую проекцию 𝑀 . 𝑧-Проекции 𝑚1 и 𝑚2 перестают сохраняться (но абсолютные значения 𝑗1 и 𝑗2 всё ещё сохраняются, потому что мы не меняем внутреннюю структуру подсистем), так что мы получаем новый набор состояний |𝑗1 𝑗2 ; 𝐽𝑀 ⟩,

(7.3)

которые образуют мультиплеты, неприводимые при произвольных вращениях. Для отдельных угловых моментов подсистем эффективной осью квантования становится теперь ось полного вектора J. Действительно, как

7.1. Две подсистемы

187

видно из квадрата равенства (7.2), состояние (7.3) имеет определённые проекции ^ = 𝐽(𝐽 + 1) + 𝑗1 (𝑗1 + 1) − 𝑗2 (𝑗2 + 1) , (^j1 · J) 2

(7.4)

и аналогично для (j2 · J). Относительные ориентации, допускаемые в квантовой механике, квантованы в пространстве. Следовательно, возможный полный момент импульса 𝐽 (7.2) может принимать лишь конечное дискретное множество (положительных) значений. В любом случае, набор новых состояний (7.3), где каждый мультиплет содержит 2𝐽 +1 членов, должен быть таким же полным, как и прежний набор (7.1), так что их размерности должны совпадать: ∑︁ 𝑑= (2𝐽 + 1) = 𝑑1 𝑑2 = (2𝑗1 + 1)(2𝑗2 + 1). (7.5) 𝐽

Задача 7.1 Частица со спином 𝑠 = 1/2 и орбитальным угловым моментом ℓ может быть описана в связанной схеме полным угловым моментом ^j = ℓ^ + ^s.

(7.6)

Найти возможные значения полного углового момента 𝑗. Решение Возводя в квадрат определение (7.6), получаем, что 3 𝑗(𝑗 + 1) = ℓ(ℓ + 1) + 𝑠(𝑠 + 1) + 2(ℓ^ · ^s) = ℓ(ℓ + 1) + + (ℓ^ · 𝜎 ). 4

(7.7)

Используя результат задачи 5.6, мы имеем две возможности, обычно называемые параллельной и антипараллельной ориентацией спина относительно орбитального момента. Соответственно, равенство (7.7) определяет два возможных значения полного углового момента, 𝑗(𝑗 + 1) = ℓ2 + 2ℓ +

3 4

𝑗 =ℓ+

1 2

(7.8)

и 𝑗(𝑗 + 1) = ℓ2 −

1 4

1 𝑗 =ℓ− . 2

(7.9)

188

Глава 7 Сложение угловых моментов 2j1+1

j1–2 j1–1 j1 j2 j2–1

2j2+1

j2–2 –j2+1 –j2 –j1 –j1+1

2(j1–j2)+1

Рис. 7.2. Гильбертово пространство двух связанных мультиплетов

Полнота (7.5) выполняется: (︂ )︂ (︂ )︂ 1 1 𝑑=2 ℓ+ +1+2 ℓ− + 1 = 4ℓ + 2 = 2(2ℓ + 1). 2 2

(7.10)

7.2. Разложение приводимых представлений Для общего случая двух произвольных подсистем мы должны найти все неприводимые представления, которые, взятые вместе в схеме связи, покрывают всё пространство (7.1). Это может быть сделано с помощью простой конструкции, которая эквивалентна стандартной процедуре нахождения характеров представлений в теории групп (следов матриц 𝐷𝐽 ). Расположим все базисные состояния несвязанной схемы (7.1) в 𝑑1 × 𝑑2 таблице рис. 7.2, которая имеет 𝑑1 столбцов, пронумерованных числом 𝑚1 , −𝑗1 6 𝑚1 6 𝑗1 , и 𝑑2 строк, пронумерованных 𝑚2 , −𝑗2 6 𝑚2 6 𝑗2 . Для определённости будем считать, что 𝑗1 > 𝑗2 . Каждое состояние (клетка таблицы) имеет определённое значение 𝑀 = 𝑚1 + 𝑚2

(7.11)

полной проекции 𝐽^𝑧 = ^𝑗1𝑧 + ^𝑗2𝑧 , равенство (7.2). Любое состояние |𝐽𝑀 ⟩ набора (7.3) будет суперпозицией состояний, лежащих на диагональной линии, соответствующей данному значению 𝑀 (7.11). Число клеток на этой линии равно числу мультиплетов (7.3), которые могут иметь это значение проекции, т. е. с угловым моментом 𝐽 > 𝑀 .

7.2. Разложение приводимых представлений

189

Начнём с верхнего правого угла, 𝑀 = 𝑗1 + 𝑗2 . Это максимально возможная полная проекция. Она строится однозначно (параллельная ориентация составляющих моментов). Существует только один мультиплет, где присутствует это максимальное значение 𝑀 , так что это состояние имеет наибольшее возможное значение момента 𝐽max = 𝑀max = 𝑗1 + 𝑗2 . Этот наивысший мультиплет должен также содержать все другие проекции, 𝑀 = 𝐽 − 1, 𝐽 − 2, · · · , −𝐽 = −(𝑗1 + 𝑗2 ). Перейдем к следующей диагональной линии 𝑀 = 𝐽max − 1. Имеются два таких состояния. Они могут образовать две линейно независимых комбинации. Одна из них принадлежит наивысшему мультиплету, как было упомянуто в предыдущем абзаце. Эта комбинация |𝐽max 𝑀 = 𝐽max − 1⟩ может быть получена действием понижающего оператора 𝐽^− = ^𝑗1− + ^𝑗2−

(7.12)

^ на максимально выстроенное состояние (напомним, что компоненты J действуют только внутри мультиплета). В соответствии с (1.49) и (1.51), результат может быть записан в виде симметричной комбинации √︀ √︀ 2𝑗1 |𝑗1 𝑗1 − 1; 𝑗2 𝑗2 ⟩ + 2𝑗2 |𝑗1 𝑗1 ; 𝑗2 𝑗2 − 1⟩. (7.13) С другой стороны, это должно быть равнозначно действию полного оператора 𝐽^− , √︀ 𝐽^− |𝐽 = 𝑗1 +𝑗2 𝑀 = 𝑗1 +𝑗2 ⟩ = 2(𝑗1 + 𝑗2 ) |𝐽 = 𝑗1 +𝑗2 𝑀 = 𝑗1 +𝑗2 −1⟩. (7.14) Сравнение двух последних выражений даёт √︃ |𝐽 = 𝑗1 +𝑗2 𝑀 = 𝑗1 +𝑗2 −1⟩ =

√︃ 𝑗1 𝑗2 |𝑗1 𝑗1 −1; 𝑗2 𝑗2 ⟩+ |𝑗1 𝑗1 ; 𝑗2 𝑗2 −1⟩. 𝑗1 + 𝑗2 𝑗1 + 𝑗2 (7.15)

Вторая возможная комбинация вдоль той же короткой диагонали с 𝑀 = 𝑗1 + 𝑗2 − 1 является наивысшей для второго мультиплета. Поэтому мы начинаем новый мультиплет, то есть значение полного углового момента 𝐽 = 𝑗1 + 𝑗2 − 1 также возможно. Это состояние с другим 𝐽 должно быть ортогональным к состоянию (7.14), хотя они имеют одно и то же значение 𝑀 . Используя ортогональность, мы находим |𝐽 = 𝑗1 + 𝑗2 − 1 𝑀 = 𝑗1 + 𝑗2 − 1⟩ =

190

Глава 7 Сложение угловых моментов √︃ =

𝑗2 |𝑗1 𝑗1 − 1; 𝑗2 𝑗2 ⟩ − 𝑗1 + 𝑗2

√︃

𝑗1 |𝑗1 𝑗1 ; 𝑗2 𝑗2 − 1⟩. 𝑗1 + 𝑗2

(7.16)

Здесь мы можем добавить дополнительную произвольную фазу, например, изменить общий знак, это вопрос соглашения. Следующий шаг на пути вниз обнаруживает три состояния с 𝑀 = 𝑗1 + 𝑗2 − 2. Две из трёх комбинаций принадлежат предыдущим мультиплетам, а третья начинает новый мультиплет с 𝐽 = 𝑗1 + 𝑗2 − 2. Эта процедура является очевидной и регулярной. Каждый шаг к более низкой диагональной линии добавляет новый мультиплет с постоянно уменьшающимся угловым моментом. В последний раз это произойдет, когда мы достигнем диагонали, соответствующей 𝑀 = 𝑗1 − 𝑗2 . На этом шаге мы открываем мультиплет с наименьшим возможным угловым моментом 𝐽min = 𝑗1 − 𝑗2 . После этого количество возможных проекций 𝑀 не увеличивается. Это значит, что мы не встречаемся с новыми мультиплетами, а просто заполняем имеющиеся. Низший мультиплет будет заполнен на линии, проходящей через левый верхний угол таблицы. Позже на каждом следующем шаге мы заканчиваем один из мультиплетов, пока не придём к левому нижнему углу с только одним состоянием 𝑀 = −𝑀max = −𝑗1 − 𝑗2 , которое завершает наибольший мультиплет 𝐽 = 𝑗1 + 𝑗2 . Мы можем подвести итог этого упражнения, сказав, что возможные значения полного углового момента 𝐽 при векторном сложении моментов подсистем 𝑗1 и 𝑗2 лежат в интервале |𝑗1 − 𝑗2 | 6 𝐽 6 𝑗1 + 𝑗2 .

(7.17)

Каждое значение 𝐽 появляется только один раз, и легко проверить выполнение (7.5): мы использовали все клетки нашей таблицы при перегруппировке приводимого пространства несвязанной схемы (7.1) в неприводимые мультиплеты в связанной схеме (7.3). В то время как проекции (7.11) складываются алгебраически, величины угловых моментов складываются векторно; неравенства (7.17) дают точно такие же ограничения, которые справедливы при сложении двух евклидовых векторов (условия треугольника). Однако квантовая механика накладывает дополнительное ограничение пространственного квантования для полного углового момента, допустимые значения (7.17) которого, в соответствии с общими правилами для группы 𝒮𝒰(2), являются целыми или полуцелыми, в зависимости от значений 𝑗1 и 𝑗2 . Результаты явного вычисления в задаче 7.1 находятся в согласии с этими общими рассуждениями.

7.3. Две частицы спина 1/2

191

Рис. 7.3. Состояния системы двух спинов

7.3. Две частицы спина 1/2 Здесь мы рассмотрим более подробно простой пример двух частиц со спином 1/2, 𝑠1 = 𝑠2 = 1/2. Одночастичные спиноры 𝜒𝑚 , 𝑚 = ±1/2, рассматривались в разд. 5.3. Два состояния каждой частицы порождают четыре состояния 𝜒𝑚 (1)𝜒𝑚′ (2) несвязанного представления (7.1), как мы помним по системе двух кубитов. Теперь мы можем следовать схеме, намеченной в предыдущем пункте (рис. 7.3). Согласно нашим правилам, векторное сложение двух спинов определяет два мультиплета, триплет и синглет, с величинами полного спина ^ = ^s1 + ^s2 S

(7.18)

равными 𝑆 = 1 (три состояния, 𝑆𝑧 ≡ 𝑀 = ±1, 0) и 𝑆 = 0 (одно состояние 𝑀 = 0), соответственно. Наивысшее, 𝑀 = 1, и низшее, 𝑀 = −1, состояния, принадлежащие триплету, строятся однозначно по углам диаграммы, |1/2, 1/2; 11⟩ =↑↑= 𝜒+ (1)𝜒+ (2),

|1/2, 1/2; 1−1⟩ =↓↓= 𝜒− (1)𝜒− (2). (7.19)

Два состояния с 𝑀 = 0 должны быть объединены в правильные линейные комбинации с 𝑆 = 1 и 𝑆 = 0. Повторяя вычисления предыдущего параграфа для 𝑗1 = 𝑗2 = 1/2 и 𝐽 = 𝑆 = 1, мы приходим к аналогу соотношения (7.15),

192

Глава 7 Сложение угловых моментов

триплетной комбинации с 𝑀 = 0 )︁ )︁ 1 (︁ 1 (︁ |10⟩ = √ ↑↓ + ↓↑ = √ 𝜒+ (1)𝜒− (2) + 𝜒− (1)𝜒+ (2) . 2 2

(7.20)

Ортогональная комбинация с 𝑀 = 0 (7.16) )︁ )︁ 1 (︁ 1 (︁ |00⟩ = √ ↑↓ − ↓↑ = √ 𝜒+ (1)𝜒− (2) − 𝜒− (1)𝜒+ (2) 2 2

(7.21)

принадлежит синглету 𝑆 = 0. Легко видеть, что попытка понизить проекцию 𝑆𝑧 последующим действием оператора 𝑆^− даёт состояние |1 − 1⟩, (7.19), для триплета (7.20), в то время как попытка сделать то же самое для синглета (7.21) даёт нуль. Задача 7.2 Для системы из двух частиц со спином 1/2 найти общие собственные векторы операторов 𝑆𝑥2 , 𝑆𝑦2 и 𝑆𝑧2 . Решение Используя (7.18) и алгебру матриц Паули, докажите, что эти три оператора коммутируют, их собственные значения равны 0 или 1, поскольку возможны только проекции 0 и ±1. Один общий собственный вектор очевиден, синглетное состояние |00⟩, (7.21). Также очевидно, что состояние |10⟩, (7.20) соответствует определённым значениям 𝑆𝑧2 = 0, 𝑆𝑥2 = 𝑆𝑦2 = 1. Две другие комбинации могут быть получены перестановкой осей; в базисе |𝑆𝑆𝑧 ⟩ это )︁ 1 (︁ √ |11⟩ + |1 − 1⟩ , 2

𝑆𝑥2 = 𝑆𝑧2 = 1, 𝑆𝑦2 = 0,

(7.22)

)︁ 1 (︁ √ |11⟩ − |1 − 1⟩ , 2

𝑆𝑦2 = 𝑆𝑧2 = 1, 𝑆𝑥2 = 0.

(7.23)

и

Отметим, что все три триплетных состояния, (7.19) и (7.20), симметричны по отношению к перестановке спинов 1 ↔ 2, тогда как синглетное состояние (7.21) антисимметрично. Мы уже упоминали, рассматривая чётность и разложение тензора второго ранга, что внутренняя симметрия, соответствующая преобразованию, коммутирующему с вращением, должна быть одинаковой для всех членов мультиплета. Оператор спинового

7.3. Две частицы спина 1/2

193

обмена 𝒫^ 𝜎 переставляет спиновые переменные пары. Тогда он может быть выражен через полный спин 𝑆 пары 𝒫 𝜎 = (−)𝑆+1 .

(7.24)

Другое выражение можно получить с помощью матриц Паули. Используя 𝜎 1 · 𝜎 2 ) = 4 (s1 · s2 ) = 4 (𝜎

S2 − s21 − s22 2

(7.25)

и заменяя квадраты угловых моментов их собственными значениями, мы получаем {︂ −3 (𝑆 = 0, синглет) 𝜎 1 · 𝜎 2 ) = 2𝑆(𝑆 + 1) − 3 = (𝜎 (7.26) +1 (𝑆 = 1, триплет). Следовательно, оператор обмена (7.24) может быть записан в виде 𝜎1 · 𝜎 2) 1 + (𝜎 𝒫^ 𝜎 = . 2

(7.27)

Задача 7.3 В некоторых твёрдых магнетиках взаимодействие соседних спинов 1/2, 𝜎 1 и 𝜎 2 , описывается формулой (︁ )︁ 𝜎 1 · 𝜎 2 ) + B · [𝜎 𝜎1 × 𝜎 2] , 𝐻 = 𝐴(𝜎 (7.28) где скаляр 𝐴 и вектор B определяются структурой материала (взаимодействие Дзялошинского—Мория). Найти стационарные состояния системы двух взаимодействующих спинов и их энергии. Решение Удобно выбрать направление вектора B в качестве оси 𝑧. Триплетные состояния 𝜓1 ±1 = 𝜓(𝑆 = 1, 𝑆𝑧 = ±1) с полной проекцией спина 𝑆𝑧 = ±1 стационарны и вырождены, второй член в (7.28) не даёт вклада в их энергию (он исчезает для параллельных спинов), 𝜓11 = 𝜒+ (1)𝜒+ (2),

𝜓1 −1 = 𝜒− (1)𝜒− (2),

𝐸11 = 𝐸1 −1 = 𝐴.

(7.29)

Триплетное и синглетное состояния с 𝑆𝑍 = 0 смешаны, (±)

𝜓0

)︁ 1 (︁ = √ 𝜒+ (1)𝜒− (2) ± 𝑒−𝑖𝛼 𝜒− (1)𝜒+ (2) , 2

(7.30)

194

Глава 7 Сложение угловых моментов

где фаза смешивания определяется из соотношения tg𝛼 = 𝐵/𝐴, и соответствующие уровни энергии расщепляются: √︀ 𝐸 (±) = −𝐴 ± 2 𝐴2 + 𝐵 2 . (7.31) Можно проверить правильность в пределе 𝐵 = 0: состояние 𝜓 (−) становится синглетом, 𝐸 = −3𝐴, а три оставшихся состояния образуют вырожденный триплет, 𝐸 = 𝐴. Задача 7.4 Обобщите свойство симметрии (7.23) для системы двух частиц с произвольными равными угловыми моментами 𝑗1 = 𝑗2 ≡ 𝑗. Найдите общее число симметричных 𝑁+ и антисимметричных 𝑁− состояний. Решение Наивысшее состояние (с полным угловым моментом 𝐽 = 𝐽max = 2𝑗 и 𝑀max = 2𝑗) является уникальным и, очевидно, симметричным. Поскольку понижающий оператор 𝐽− = 𝑗1− + 𝑗2− также симметричен, все состояния одного и того же мультиплета имеют одинаковую симметрию, как и должно быть, так как обмен частиц является внутренней операцией, коммутирующей с вращениями системы как целого. Из двух состояний с 𝑀 = 𝑀max − 1 одно, симметричное, принадлежит к тому же наивысшему мультиплету, а другое имеет 𝐽 = 2𝑗 − 1 и, с учётом ортогональности к первому, антисимметрично, соотношение (7.16). Поэтому все состояния в мультиплете 𝐽 = 2𝑗 − 1 антисимметричны. Рассматривая далее триплет состояний 𝑀 = 2𝑗 − 2 и отделяя одно симметричное и одно антисимметричное состояние, принадлежащие предыдущим мультиплетам, мы находим, что третье состояние, которое открывает мультиплет 𝐽 = 2𝑗 − 2, опять симметрично. Таким образом, мы находим, что симметрия чередуется: симметричны : 𝐽 = 2𝑗, 2𝑗 −2, ...;

антисимметричны : 𝐽 = 2𝑗 −1, 2𝑗 −3, ... (7.32)

Следовательно, все состояния |𝐽𝑀 ⟩ обладают определённой обменной симметрией (−)2𝑗+𝐽 , которая определяется значением полного углового момента 𝐽. Этот результат справедлив для всех значений 𝑗, целых и полуцелых. Общее число состояний каждой симметрии может быть вычислено из размерности (2𝐽 + 1) мультиплетов (7.32), но проще заметить, что все 𝑛 = 2𝑗 + 1 состояний на диагонали 𝑚1 = 𝑚2 таблицы, квадратной в случае

7.3. Две частицы спина 1/2

195

𝑗1 = 𝑗2 , симметричны, а остальные 𝑛2 − 𝑛 недиагональные состояния могут быть сгруппированы в симметричные и антисимметричные комбинации. В результате 𝑁+ = 𝑛+

𝑛(𝑛 − 1) 𝑛(𝑛 + 1) = = (𝑗+1)(2𝑗+1), 2 2

𝑁− =

𝑛(𝑛 − 1) = 𝑗(2𝑗+1). 2 (7.33)

Задача 7.5 Покажите, что нормированная волновая функция системы двух частиц с 𝑗1 = 𝑗2 и 𝐽 = 0 может быть записана в виде |00⟩ = √

∑︁ 1 (−)𝑗−𝑚 |𝑗𝑚; 𝑗 − 𝑚⟩. 2𝑗 + 1 𝑚

(7.34)

Решение Состояние |00⟩ инвариантно относительно вращений (скаляр). Мы уже указывали (задача 6.4) правило построения скаляра с помощью свёртки двух тензорных операторов одинакового ранга. В данном случае мы имеем, по сути, такую же задачу (обобщённую для полуцелых спинов подсистем). Так как 𝐽 = 0 влечёт также 𝑀 = 0, требуемая комбинация с необходимостью имеет вид ∑︁ ∑︁ 𝑋𝑚 |𝑗𝑚; 𝑗 − 𝑚⟩, |𝑋𝑚 |2 = 1. (7.35) |00⟩ = 𝑚

𝑚

Если это связанное состояние имеет 𝐽 = 0, оно должно уничтожаться при действии 𝐽^+ или 𝐽^− . Действуя как в (7.12), мы видим, что это выполняется, если 𝑋𝑚+1 = −𝑋𝑚 . Это означает, что все коэффициенты 𝑋𝑚 имеют одинаковую абсолютную величину и знакопеременны, так что решение, учитывая нормировку (7.35), может быть записано в виде 𝑋𝑚 = 𝑒𝑖𝛼 (−)𝑗−𝑚 √

1 . 2𝑗 + 1

(7.36)

Удобно выбрать коэффициенты вещественными, 𝛼 = 0. Как и в декартовом скалярном произведении, все проекции 𝑚1 = −𝑚2 = 𝑚 входят в произведение (7.34) с одинаковым весом.

196

Глава 7 Сложение угловых моментов

Задача 7.6 Для двух частиц со спинами 𝑠1 = 𝑠2 = 1 постройте оператор 𝒫^ спинового обмена (1 ↔ 2). Решение В соответствии с задачей 7.4, этот оператор коммутирует с полным ^ = ^s1 + ^s2 и имеет в мультиплете со спином 𝑆 = 0, 1, 2 величину спином S 𝑆 (−) . С тремя возможными значениями спина легко построить многочлен второго порядка по (^s1 · ^s2 ): 𝒫^ = (^s1 · ^s2 )2 + (^s1 · ^s2 ) − 1.

(7.37)

7.4. Тензорные операторы и правила отбора Электрические и магнитные мультиполи являются типичными примерами операторов, образующих наборы (2𝜆 + 1) величин 𝑇𝜆𝜇 , замкнутых по отношению к группе вращений. При поворотах 𝑇𝜆𝜇 преобразуются в линейные комбинации величин, принадлежащих тому же набору, и правило преобразования для целых 𝜆 в точности такое же, как для сферических функций 𝑌𝜆𝜇 . Такой набор операторов, реализующих неприводимые представления группы вращений, как было сказано, образует тензорный оператор ранга 𝜆. Физические следствия, которые вытекают из геометрических соображений, одинаковы для всех тензорных операторов одного ранга, независимо от их физической природы. В случае оператора, пропорционального сферической функции 𝑌𝜆𝜇 , его действие на состояние |𝐽1 𝑀1 ⟩ может рассматриваться как векторное сложение угловых моментов двух «подсистем», J1 состояния и 𝜆 оператора. В соответствии с правилами группы вращений, результирующий угловой момент J2 = J1 + 𝜆

(7.38)

может принимать все значения 𝐽2 с шагом единица в пределах, установленных условием треугольника (7.17), |𝐽1 − 𝜆| 6 𝐽2 6 𝐽1 + 𝜆.

(7.39)

7.5. Применение к электромагнитным мультиполям

197

Проекции угловых моментов суммируются алгебраически (7.11): 𝑀2 = 𝑀1 + 𝜇.

(7.40)

Фактически условия треугольника (7.39) симметричны по отношению ко всем трём угловым моментам 𝐽1 , 𝐽2 и 𝜆. Соотношения (7.39) и (7.40) определяют правила отбора (разд. 6.5), которые одинаковы для любого тензорного оператора 𝑇𝜆𝜇 : матричные элементы тензорного оператора ⟨𝑎2 𝐽2 𝑀2 |𝑇𝜆𝜇 |𝑎1 𝐽1 𝑀1 ⟩ для любых состояний с определёнными квантовыми числами углового момента (и произвольными дополнительными квантовыми числами 𝑎1 , 𝑎2 ) могут быть отличны от нуля в том и только том случае, если выполняются условия (7.39) и (7.40). Например, мультипольные переходы мультипольности 𝜆 строго запрещены, если Δ𝐽 = |𝐽2 − 𝐽1 | > 𝜆 или 𝜆 > 𝐽1 + 𝐽2 . В частности, правила отбора для углового момента накладывают ограничение на мультипольные моменты, которые могли бы иметь ненулевые средние значения в состоянии с угловым моментом 𝐽. Здесь нас интересуют диагональные элементы, 𝐽1 = 𝐽2 = 𝐽. Правило (7.39) показывает, что ранг 𝜆 разрешённых мультиполей удовлетворяет условию 0 6 𝜆 6 2𝐽.

(7.41)

Как следует из (7.41), система с угловым моментом 𝐽 = 0 имеет только 𝜆 = 0, и, следовательно, может обладать ненулевым зарядом (6.62), но ни одним из высших мультиполей. Грубо говоря, равномерное распределение всех пространственных направлений, специфичное для 𝐽 = 0, усредняет все возможные внутренние асимметрии. Система со спином 1/2, например нуклон или электрон, может иметь 𝜆 = 0 или 1, т. е. заряд и дипольный момент, электрический (6.61) или магнитный (6.65). Ненулевой квадрупольный момент 𝜆 = 2 появляется только для систем с 𝐽 > 1. Тензорные операторы могут быть определены также для полуцелого ранга 𝜆, и правила отбора (7.40) и (7.41) в точности те же самые. Однако они вообще не имеют диагональных матричных элементов. На практике такие случаи возникают при создании или уничтожении частиц с полуцелым спином.

7.5. Применение к электромагнитным мультиполям Сочетая свойства тензорных операторов относительно вращений и их поведение при пространственном отражении, мы можем прийти к важным

198

Глава 7 Сложение угловых моментов

выводам в отношении мультипольных моментов как физических наблюдаемых. Электрический заряд (6.62) является скаляром инвариантным относительно инверсии. Электрический диполь (6.63) меняет знак, как и радиусвектор, или любой «нормальный» (полярный) вектор. Импульс p также является полярным вектором, в то время как орбитальный момент (I.4.34) есть аксиальный вектор, его компоненты не меняют знак при инверсии. Как видно из геометрических соображений (вращение не меняет смысла в инвертированной системе координат), любой угловой момент, включая спин, должен быть аксиальным вектором. Скалярное произведение аксиального вектора и полярного вектора есть псевдоскаляр. Подобно скалярам, псевдоскаляры инвариантны относительно вращений, но меняют знак при инверсии. Важным примером псевдоскаляра является спиральность частицы (︂ )︂ p ℎ= s· , (7.42) |p| то есть проекция спина на направление движения. Таким образом, в дополнение к тензорным свойствам относительно вра^ по их поведению при щений мы можем классифицировать операторы 𝑂 ^ пространственной инверсии 𝒫, т. е. по их чётности Π(𝑂), определяемой ^ ′ = 𝒫^ 𝑂 ^ 𝒫^ = ±𝑂 ^ Действуя между ^ = Π(𝑂)𝑂. оператором преобразования 𝑂 состояниями |𝑖⟩ и |𝑓 ⟩ с определённой чётностью, Π𝑖 и Π𝑓 соответственно, ^ имеет дополнительное правило отбора оператор 𝑂 Π𝑓 = Π(𝑂)Π𝑖 ,

или ΔΠ = Π(𝑂).

(7.43)

Легко видеть, что правила отбора по чётности для электрических и магнитных мультиполей дополнительны (иногда говорится, что электрические мультиполи имеют естественную чётность): E𝜆 :

ΔΠ = (−)𝜆 ,

M𝜆 :

ΔΠ = (−)𝜆+1 .

(7.44)

Таким образом, средние значения (диагональные матричные элементы, 𝑓 = 𝑖) равны нулю для нечётных электрических и чётных магнитных мультиполей, если состояние имеет определённую чётность. В частности, любая система в состоянии с определённой чётностью не может иметь ненулевой электрический дипольный момент.

7.5. Применение к электромагнитным мультиполям

199

Таблица 7.1. Электромагнитные мультиполи и законы сохранения

Spin 0 1/2 1 3/2

E0 + + + +

M0 − − − −

E1 − (−) (−) (−)

M1 − + + +

E2 − − + +

M2 − − (−) (−)

E3 − − − (−)

M3 − − − +

В табл. 7.1 приведены разрешённые электромагнитные мультиполи для квантовых систем с различными значениями момента (спина). Величины в скобках допускаются симметрией относительно вращений, но подавлены по чётности. Существование гипотетического магнитного монополя, M0 оператора, строго запрещено, если чётность точно сохраняется. Нуклоны со спином 1/2 могут иметь электрический заряд и магнитный момент; электрический дипольный момент может возникнуть, если чётность не сохраняется, и стационарные состояния не имеют определённой чётности. Высшие мультиполи для нуклонов строго запрещены симметрией относительно вращений. Сохранение чётности в сильных и электромагнитных взаимодействиях означает, что соответствующий гамильтониан инвариантен относительно инверсии (истинный скаляр). Тогда его собственные состояния всегда могут быть выбраны таким образом, чтобы они имели определённую чётность. Однако этот выбор не является обязательным. Если некоторые состояния с противоположными чётностями имеют одинаковую энергию (вырождены), любая их линейная комбинация также будет стационарна, но не будет иметь определённой чётности. Например, круговая поляризация фотона есть его спиральность (7.42). Циркулярно поляризованный фотон не имеет определённой чётности. При инверсии такое состояние превращается в состояние с противоположной круговой поляризацией и той же энергией. Если излучение неполяризованной системы содержит лево- и правополяризованные фотоны с различными вероятностями, это означает, что чётность в переходе не сохраняется. Аналогичные выводы можно сделать из экспериментов с продольно (вдоль импульса) поляризованными массивными частицами.

200

Глава 7 Сложение угловых моментов

7.6. Векторное сложение угловых моментов Мы нашли, что две подсистемы с вращательными квантовыми числами 𝑗1 , 𝑚1 и 𝑗2 , 𝑚2 , будучи соединены вместе, могут образовывать системы с различными квантовыми числами 𝑗3 , 𝑚3 по отношению к их вращению как целого. Амплитуды вероятности для различных возможных значений 𝑗3 , 𝑚3 при векторном сложении даются коэффициентами Клебша—Гордана, которые часто обозначаются как ⟨𝑗3 𝑚3 |𝑗1 𝑚1 ; 𝑗2 𝑚2 ⟩: ∑︁ |𝑗1 𝑚1 ; 𝑗2 𝑚2 ⟩ = ⟨𝑗3 𝑚3 |𝑗1 𝑚1 ; 𝑗2 𝑚2 ⟩|(𝑗1 𝑗2 )𝑗3 𝑚3 ⟩, (7.45) 𝑗3 𝑚3

где скобки в последнем обозначении для связанного состояния напоминают нам о величинах угловых моментов (𝑗1 , 𝑗2 ) составных частей. Разрешённые значения 𝑗3 , 𝑚3 в (7.45) даются правилами отбора (7.39) и (7.40). Коэффициенты Клебша— Гордана описывают преобразование между двумя возможными наборами базисных состояний (две несвязанные подсистемы и объединённая система). Оба набора являются полными, ортонормированными и одинаково хорошими, хотя могут подходить лучше или хуже для данной физической ситуации. Переход от одного набора к другому является унитарным, так что коэффициенты ⟨𝑗1 𝑚1 ; 𝑗2 𝑚2 |𝑗3 𝑚3 ⟩, которые выполняют обратное преобразование, ∑︁ |(𝑗1 𝑗2 )𝑗3 𝑚3 ⟩ = ⟨𝑗1 𝑚1 ; 𝑗2 𝑚2 |𝑗3 𝑚3 ⟩|𝑗1 𝑚1 ; 𝑗2 𝑚2 ⟩, (7.46) 𝑚1 𝑚2

комплексно сопряжены коэффициентам в (7.45). При стандартном выборе фаз для матричных элементов углового момента, коэффициенты Клебша— Гордана вещественны, и мы будем использовать для них старомодное обозначение 𝑚3 𝐶𝑗𝑗13𝑚 = ⟨𝑗1 𝑚1 ; 𝑗2 𝑚2 |𝑗3 𝑚3 ⟩ = ⟨𝑗3 𝑚3 |𝑗1 𝑚1 ; 𝑗2 𝑚2 ⟩. 1 𝑗2 𝑚 2

(7.47)

Условия нормировки для обоих наборов состояний дают ∑︁ 𝑗 𝑚 𝑗 ′ 𝑚′ 𝐶𝑗13𝑚13𝑗2 𝑚2 𝐶𝑗13𝑚13 𝑗2 𝑚2 = 𝛿𝑗3 𝑗3′ 𝛿𝑚3 𝑚′3

(7.48)

𝑚1 𝑚2

и ∑︁ 𝑗3 𝑚3

𝑚3 𝐶𝑗𝑗13𝑚 𝐶 𝑗3 𝑚′3 ′ = 𝛿𝑚1 𝑚′1 𝛿𝑚2 𝑚′2 . 1 𝑗2 𝑚2 𝑗1 𝑚 𝑗2 𝑚 1

2

(7.49)

7.6. Векторное сложение угловых моментов

201

Задача 7.7 Установите рекуррентные соотношения для коэффициентов Клебша— Гордана, 𝑚3 +1 𝑚3 𝑚3 = 𝜇− (𝑗1 𝑚1 )𝐶𝑗𝑗13𝑚 +𝜇− (𝑗2 𝑚2 )𝐶𝑗𝑗13𝑚 ; (7.50) 𝜇+ (𝑗3 𝑚3 )𝐶𝑗𝑗13𝑚 1 𝑗2 𝑚2 1 −1 𝑗2 𝑚2 1 𝑗2 𝑚2 −1 𝑚3 −1 𝑚3 𝑚3 𝜇− (𝑗3 𝑚3 )𝐶𝑗𝑗13𝑚 = 𝜇+ (𝑗1 𝑚1 )𝐶𝑗𝑗13𝑚 +𝜇+ (𝑗2 𝑚2 )𝐶𝑗𝑗13𝑚 , (7.51) 1 𝑗2 𝑚2 1 +1 𝑗2 𝑚2 1 𝑗2 𝑚2 +1

где 𝜇± (𝑗𝑚) — матричные элементы для повышающей и понижающей компонент углового момента (1.51). Решение Подействуем операторами 𝑗3± = 𝑗1± + 𝑗2± на обе части разложения (7.46) связанной системы |𝑗3 𝑚3 ⟩, разложим результирующее состояние |𝑗3 𝑚3 ± 1⟩ снова по коэффициентам Клебша— Гордана и сравним с выражением в правой стороне равенства. Задача 7.8 Покажите, что 𝑗3 𝐶𝑗𝑗13𝑚 1 −1 𝑗2 𝑚2 𝑗3 𝐶𝑗𝑗13𝑚 1 𝑗2 𝑚2 −1

=−

𝜇− (𝑗2 𝑚2 ) . 𝜇− (𝑗1 𝑚1 )

(7.52)

Решение Рассмотрите соотношение (7.46) на верхней ступени лестницы, 𝑚3 = 𝑗3 . Эти соотношения, вместе с условиями нормировки (7.50) и (7.51), полезны для последовательного вычисления коэффициентов Клебша— Гордана. Фазы, которые не определяются в процессе, могут быть фиксированы, например, при помощи соглашений Кондона—Шортли [32]. Выбор фаз для коэффициентов Клебша— Гордана 𝑚3 𝑗1 +𝑗2 −𝑗3 𝑗3 𝑚3 3 𝐶𝑗𝑗13𝑚 = (−)𝑗1 +𝑗2 −𝑗3 𝐶𝑗𝑗13 −𝑚 𝐶𝑗2 𝑚2 𝑗1 𝑚1 −𝑚1 𝑗2 −𝑚2 = (−) 1 𝑗2 𝑚 2

(7.53)

связан с операцией обращения времени: когда мы меняем знаки всех проекций, это эквивалентно обратному направлению обхода вокруг треугольника. Фазовые соглашения для обращённых во времени состояний обсуждались в разд. 5.6. Другое свойство, связанное с симметрией, выясняется, когда мы заменяем исходное условие треугольника, j1 + j2 = j3 ,

(7.54)

202

Глава 7 Сложение угловых моментов

на, казалось бы, эквивалентное −j3 + j2 = −j1 .

(7.55)

Этот переход есть обращение во времени j2 , которое включает соответствующую фазу. Кроме того, нормировка коэффициентов Клебша— Гордана (7.48) была определена по отношению к суммированию по нижним индексам и теперь должна быть изменена. Поскольку геометрический смысл (7.54) и (7.55) одинаков, зависимость от магнитных квантовых чисел (ориентация системы) не может измениться. Поэтому коэффициенты Клебша— Гордана для этих двух представлений должны быть просто пропорциональны, 𝑚3 −𝑚1 = 𝑥𝐶𝑗𝑗31−𝑚 , 𝐶𝑗𝑗13𝑚 1 𝑗2 𝑚 2 3 𝑗2 𝑚2

(7.56)

где 𝑥2 не зависит от проекций. Возводя в квадрат обе части (7.56), выполняя суммирование по всем проекциям и используя нормировку (7.48), мы получаем 𝑥2 =

2𝑗3 + 1 . 2𝑗1 + 1

(7.57)

С фазовыми множителями, снова определёнными по операции обращения времени, мы можем записать налагаемые симметрией связи между (7.54, 7.55), и аналогичное соотношение при замене j3 ⇒ −j1 как √︃ 𝑚3 𝐶𝑗𝑗13𝑚 = (−)𝑗2 +𝑚2 1 𝑗2 𝑚2

2𝑗3 + 1 𝑗1 −𝑚1 𝐶 = (−)𝑗1 −𝑚1 2𝑗1 + 1 𝑗3 −𝑚3 𝑗2 𝑚2

√︃

2𝑗3 + 1 𝑗2 −𝑚2 𝐶 . 2𝑗2 + 1 𝑗1 𝑚1 𝑗3 −𝑚3 (7.58)

Коэффициенты Клебша— Гордана определены для заданного упорядочения связанных моментов (рис. 7.4). Но геометрически условие треугольника симметрично по отношению ко всем трём моментам. Вместо коэффициентов Клебша— Гордана можно определить эквивалентные 3𝑗-символы Вигнера, (︂ )︂ (−)𝑗1 −𝑗2 −𝑚3 𝑗3 −𝑚3 𝑗1 𝑗2 𝑗3 (7.59) = √ 𝐶𝑗1 𝑚1 𝑗2 𝑚2 . 𝑚1 𝑚2 𝑚3 2𝑗3 + 1 Как видно из коэффициентов Клебша— Гордана в правой части (7.59), здесь мы имеем 𝑚1 + 𝑚2 = −𝑚3 . Определение Вигнера соответствует условию

7.6. Векторное сложение угловых моментов

j3

j2

j3 j2

j3 j1 (a)

203

j1

j1 (b)

j2

(c)

Рис. 7.4. Сложение угловых моментов: 1 + 2 = 3 , a; 1 + 2 + 3 = 0, b и c

треугольника в симметричной форме j1 + j2 + j3 = 0.

(7.60)

3𝑗-символ имеет более простые свойства: при перестановке двух столбцов он приобретает симметричную фазу (−)𝑗1 +𝑗2 +𝑗3 . Условия ортогональности (7.48) и (7.49) принимают для 3𝑗-символов (7.59) вид ∑︁ (︂ 𝑗1 𝑗2 𝑗3 )︂ (︂ 𝑗1 𝑗2 𝑗 ′ )︂ 1 3 ′ , (7.61) 𝛿 ′𝛿 = 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑚1 𝑚2 𝑚′3 2𝑗3 + 1 𝑗3 𝑗3 𝑚3 𝑚3 𝑚 𝑚 1

∑︁ 𝑗3 𝑚3

2

(︂ (2𝑗3 + 1)

𝑗1 𝑗2 𝑗3 𝑚1 𝑚2 𝑚3

)︂ (︂

𝑗1 𝑗2 𝑗3 𝑚′1 𝑚′2 𝑚3

)︂ = 𝛿𝑚1 𝑚′1 𝛿𝑚2 𝑚′2 . (7.62)

Переход от несимметричного соотношения (7.53) к симметричному (7.61) можно опять рассматривать (рис. 7.4, b) как изменение углового момента j3 при обращении времени. Естественное изменение 𝑚3 → −𝑚3 сопровождается обычным изменением фазы при обращении времени: (−)𝑗3 −𝑚3 . Можно сообразить, что изменение всех трёх проекций эквивалентно общему обращению времени и, поскольку в 3𝑗-символе 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 = 0, (︂ )︂ (︂ )︂ 𝑗1 𝑗2 𝑗3 𝑗1 𝑗2 𝑗3 𝑗1 +𝑗2 +𝑗3 = (−) . (7.63) −𝑚1 −𝑚2 −𝑚3 𝑚1 𝑚2 𝑚3 Фаза в (7.63) такая же, как при обмене столбцов (см. выше), потому что, как легко видеть, этот обмен эквивалентен обратному движению вокруг треугольника.

204

Глава 7 Сложение угловых моментов

7.7. Теорема Вигнера—Эккарта Мы вывели правила отбора для тензорных операторов 𝑇^𝜆𝜇 , связанные с инвариантностью относительно вращений. Для угловых моментов 𝐽2 , 𝐽1 и 𝜆, удовлетворяющих (7.39) и (7.41), в общем случае имеется много ненулевых матричных элементов (мы явно указываем другие квантовые числа состояний, которые фиксированы для данного набора матричных элементов) ⟨𝑎2 𝐽2 𝑀2 |𝑇^𝜆𝜇 |𝑎1 𝐽1 𝑀1 ⟩.

(7.64)

Все матричные элементы с различными комбинациями проекций отражают одну и ту же физику, различаясь взаимной ориентацией состояний |𝑎1 𝐽1 𝑀1 ⟩ и |𝑎2 𝐽2 𝑀2 ⟩, и оператора 𝑇^𝜆𝜇 . Поэтому, например, в таблицах физических величин можно найти только одно число для магнитного момента частицы или ядра вместо множества чисел, соответствующих различным матричным элементам ⟨𝐽𝑀 ′ |^ 𝜇𝜇 |𝐽𝑀 ⟩. Оказывается возможным отделить универсальную геометрическую информацию от специфических внутренних характеристик изучаемой системы. Рассмотрим действие тензорного оператора 𝑇^𝜆𝜇 на начальное состояние |𝑎1 𝐽1 𝑀1 ⟩. В результате векторного сложения (7.38) можно получить для промежуточного состояния единственную проекцию углового момента, 𝑀 ′ = 𝑀1 + 𝜇, и множество значений углового момента 𝐽 ′ , разрешённых условием треугольника J′ = J+𝜆. Относительные амплитуды возможных промежуточных состояний |𝐽 ′ 𝑀 ′ ⟩ даются коэффициентами Клебша— Гордана, как в (7.46), ∑︁ 𝐽 ′𝑀 ′ 𝑇^𝜆𝜇 |𝑎1 𝐽1 𝑀1 ⟩ = 𝐶𝜆𝜇𝐽 |𝑎1 (𝑇𝜆 𝐽1 )𝐽 ′ 𝑀 ′ ⟩, (7.65) 1 𝑀1 𝐽 ′𝑀 ′

где сумма по 𝑀 ′ содержит фактически только один член. Теперь мы должны спроектировать состояние |𝐽 ′ 𝑀 ′ ⟩ на конечное состояние |𝑎2 𝐽2 𝑀2 ⟩. Из-за ортогональности собственных функций, соответствующих различным собственным значениям эрмитовых операторов, в сумме (7.65) выживает только член 𝐽 ′ = 𝐽2 , 𝑀 ′ = 𝑀2 . Кроме того, матричный элемент (7.64) не может измениться, если начальное состояние, конечное состояние и оператор подвергаются общему вращению. Поэтому результат проектирования ⟨𝑎2 𝐽2 𝑀2 |𝐽 ′ 𝑀 ′ ⟩ не зависит от конкретного значения 𝑀2 = 𝑀 ′ = 𝑀1 + 𝜇. Мы пришли к важному выводу: в любом матричном элементе (7.64) тензорного оператора между состояниями с определёнными угловым моментом и его проекцией вся зависимость от магнитных квантовых чисел

7.8. Векторная модель

205

𝑀1 , 𝜇 и 𝑀2 входит только через коэффициенты Клебша— Гордана. Остающийся множитель не имеет 𝑀 -зависимости и даёт физическую амплитуду процесса, не связанную с ориентацией системы. Все правила отбора по отношению к вращениям уже включены в коэффициент Клебша— Гордана. Это суть теоремы Вигнера—Эккарта. Используя 3𝑗-символ вместо коэффициентов Клебша— Гордана, запишем результат в виде ⟨𝑎2 𝐽2 𝑀2 |𝑇^𝜆𝜇 |𝑎1 𝐽1 𝑀1 ⟩ = (−)𝐽2 −𝑀2

(︂

𝐽2 𝜆 𝐽1 −𝑀2 𝜇 𝑀1

)︂ ⟨𝑎2 𝐽2 ‖𝑇𝜆 ‖𝑎1 𝐽1 ⟩. (7.66)

Здесь не зависящий от 𝑀 множитель вводится как заключённый в двойные скобки (приведённый) матричный элемент. Фазовый множитель для конечного состояния в (7.66) согласуется с изменением при отражении времени: конечное состояние (𝑀2 = 𝜇 + 𝑀1 ) должно быть обращено, чтобы сделать ситуацию симметричной. Мы видим, что геометрическая часть информации отделяется в 3𝑗-символ, тогда как внутренняя, не зависящая от ориентации, физика сосредоточена в приведённом матричном элементе. Как указывалось ранее, достаточно одного числа, чтобы описать весь набор матричных элементов (7.64), если вращательные квантовые числа состояний и операторов известны. В физических таблицах значения для средних значений мультипольных операторов в состоянии с угловым моментом 𝐽 в соответствии с соглашением приводятся для состояния с максимальной проекцией 𝑀 = 𝐽. Тогда 𝜇 = 0, и табличное значение есть 𝑇𝜆 (𝑎, 𝐽) ≡ ⟨𝑎𝐽𝐽|𝑇^𝜆0 |𝑎𝐽𝐽⟩.

(7.67)

Например, компонента вектора (𝜆 = 1) в (7.67) есть 𝑉0 = 𝑉𝑧 , см. (6.48). Табличное значение магнитного момента есть, следовательно, среднее значение его проекции на ось квантования 𝑧 в состоянии с максимальной выстроенностью системы вдоль 𝑧-оси.

7.8. Векторная модель Теорема Вигнера—Эккарта даёт нам обоснование простой процедуры, которую использовали на заре атомной физики для расчётов средних

206

Глава 7 Сложение угловых моментов z

J

J

M

V

V

(a)

J·V J 2 J

(b)

Рис. 7.5. Иллюстрация к векторной модели (a); смысл выражения (7.70) (b)

значений, как, например, ^ ⟨𝑎𝐽𝑀 ′ |V|𝑎𝐽𝑀 ⟩,

(7.68)

где начальное и конечное состояния принадлежат одному и тому же муль^ есть произтиплету, но могут отличаться проекцией углового момента, а V вольный векторный оператор. Наивный, хотя и правильный, способ рассуждения состоит в следующем. Квазиклассический образ (рис. 7.5, √︀a) состояния |𝐽𝑀 ⟩ есть прецессия. Вектор углового момента J длины 𝐽(𝐽 + 1) имеет проекцию 𝑀 на ось квантования, он прецессирует вокруг √︀этой оси, образуя конус с фиксированным полярным углом 𝜃, cos 𝜃 = 𝑀/ 𝐽(𝐽 + 1). Поперечные компоненты 𝐽𝑥,𝑦 усредняются и имеют нулевые средние ⟨𝐽𝑥 ⟩ и ⟨𝐽𝑦 ⟩, но ненулевые средние квадраты величин ⟨𝐽𝑥2 ⟩ и ⟨𝐽𝑦2 ⟩. Сумма ⟨𝐽𝑥2 + 𝐽𝑦2 ⟩ дополняет 𝑀 2 до полной величины 𝐽(𝐽 + 1) квадрата углового момента, задача 1.4. В этой ситуации любой вектор V, относящийся к системе, может быть в среднем направлен только вдоль единственно выделенного направления, а именно, углового момента J. Эта пропорциональность двух векторов может быть записана как векторная модель ^ = 𝑣(𝑎, 𝐽)J, ^ V

(7.69)

где коэффициент пропорциональности есть скаляр 𝑣(𝑎, 𝐽), который может зависеть от величины углового момента и других характеристик состояния (𝑎), а равенство следует понимать как эквивалентность двух операторов для любого матричного элемента внутри мультиплета. Мы находим этот множитель, беря проекцию на J в обеих частях (7.69), рис. 7.5, b: 𝑣(𝑎, 𝐽) =

⟨(V · J)⟩ ⟨(V · J)⟩ = . 2 J 𝐽(𝐽 + 1)

(7.70)

7.8. Векторная модель

207

Вместо этого нестрогого вывода мы можем использовать теорему Вигнера— Эккарта (7.66). Вспоминая, что любой вектор является тензорным оператором ранга 1 и вводя его сферические компоненты 𝑉𝜇 согласно (16.99), мы можем написать матричный элемент (7.67) между состояниями одного мультиплета как )︂ (︂ 𝐽 1 𝐽 ′ ^ 𝐽−𝑀 ′ ⟨𝑎𝐽𝑀 |𝑉𝜇 |𝑎𝐽𝑀 ⟩ = (−) ⟨𝑎𝐽‖𝑉 ‖𝑎𝐽⟩. (7.71) −𝑀 ′ 𝜇 𝑀 Точно таким же способом мы находим для углового момента )︂ (︂ 𝐽 1 𝐽 ′ ^ 𝐽−𝑀 ′ ⟨𝑎𝐽𝑀 |𝐽𝜇 |𝑎𝐽𝑀 ⟩ = (−) ⟨𝑎𝐽‖𝐽‖𝑎𝐽⟩. −𝑀 ′ 𝜇 𝑀

(7.72)

Отделяя 3𝑗-символ, мы находим, что матричные элементы любого вектора ^ и углового момента J ^ пропорциональны как в векторной модели (7.69) с V коэффициентом 𝑣(𝑎, 𝐽) =

⟨𝑎𝐽‖𝑉 ‖𝑎𝐽⟩ . ⟨𝑎𝐽‖𝐽‖𝑎𝐽⟩

(7.73)

Стоит ещё раз подчеркнуть, что вся процедура имеет смысл только для ^ действует только переходов внутри мультиплета |𝑎𝐽𝑀 ⟩. В то время как J ^ может иметь внутри мультиплета, произвольный векторный оператор V также недиагональные по 𝐽 и 𝑎 матричные элементы (7.67), которые не ^ связаны с матричными элементами J. Для установления окончательного соответствия уравнений (7.70) и (7.73), ^ · V). ^ Расчёт прост: ^ 2 и (J вычислим средние значения скалярных величин J запишем скалярное произведение в сферических компонентах (1.120); выразим искомый матричный элемент в виде произведения матричных элементов отдельных векторов с суммированием по промежуточным проекциям ^ все промежуточные (поскольку по крайней мере один из векторов есть J, состояния имеют одинаковые квантовые числа 𝑎𝐽); применим теорему Вигнера— Эккарта (7.66) к каждому множителю и суммируем по промежуточным проекциям с помощью (7.61). В результате получается ⟨𝑎𝐽𝑀 ′ |(J · V)|𝑎𝐽𝑀 ⟩ =

𝛿𝑀 ′ 𝑀 ⟨𝑎𝐽‖𝐽‖𝑎𝐽⟩⟨𝑎𝐽‖𝑉 ‖𝑎𝐽⟩. 2𝐽 + 1

(7.74)

^ есть произвольный векторный оператор. Как и должно быть, Здесь V матричные элементы скалярной величины не зависят от ориентации (𝑀 =

208

Глава 7 Сложение угловых моментов

^ ⇒ J левая сторона (7.74) равна 𝛿𝑀 ′ 𝑀 𝐽(𝐽 + 𝑀 ′ ). В частном случае V 1). Отсюда определяется редуцированный матричный элемент углового момента ⟨𝑎𝐽‖𝐽‖𝑎𝐽⟩2 = 𝐽(𝐽 + 1)(2𝐽 + 1).

(7.75)

В конечном итоге, объединяя эти результаты, получаем ⟨𝑎𝐽𝑀 ′ |𝑉𝜇 |𝑎𝐽𝑀 ⟩ =

⟨𝑎𝐽|(J · V)|𝑎𝐽⟩ ⟨𝑎𝐽𝑀 ′ |𝐽𝜇 |𝑎𝐽𝑀 ⟩, 𝐽(𝐽 + 1)

(7.76)

что есть не что иное, как векторная модель (7.69,7.70). Матричный элемент ^ · V) ^ в (7.76) не зависит от 𝑀 . скаляра (J

7.9. Электрический дипольный момент и анапольный момент Зная, что сохранение чётности не есть универсальное правило природы, а также используя векторную модель, мы можем вернуться к вопросу о разрешённых и запрещённых мультиполях. Как видно в табл. 7.1, существование электрического дипольного момента в системе со спином > 1/2 допускается, если снять ограничения, связанные с сохранением чётности. Конечно, мы по-прежнему сохраняем ограничения, налагаемые инвариантностью относительно вращений. На самом деле проблема более сложна. Дипольный оператор d есть полярный вектор. Его среднее значение может быть вычислено с помощью векторной модели. Это даёт эффективный дипольный оператор для частицы со спином 1/2: ^ ^ = ⟨(d · ^s)⟩ ^s = 4 ⟨(d · s)⟩ ^s. d ^s2 3

(7.77)

Результат определяется средним значением псевдоскалярной величины (d · s). Поскольку в результате слабых взаимодействий стационарные состояния не имеют определённой чётности, это среднее значение может отличаться от нуля. Однако ненулевое значение этой величины противоречило бы инвариантности относительно обращения времени. Действительно, спиноры |1/2, 𝑚⟩ с проекцией спина 𝑚 преобразуются в ^ как соответствии с (5.67) при обращении времени. Дипольный момент d, и вектор координаты ^r, инвариантен относительно 𝒯 -преобразования (𝒯 чётен), тогда как вектор спина ^s, как и любой угловой момент, 𝒯 -нечетен.

7.9. Электрический дипольный момент и анапольный момент

209

^ · ^s) является 𝒯 -нечётным. Если 𝒯 Поэтому скалярное произведение (d инвариантность имеет место, среднее значение обращённого во времени оператора в обращённом во времени состоянии должно быть таким же, как и до 𝒯 -преобразования, ^ s)|1/2, 𝑚⟩ = ⟨1/2, −𝑚|−(d·^ ^ s)|1/2, −𝑚⟩* = −⟨1/2, −𝑚|(d·^ ^ s)|1/2, −𝑚⟩ ⟨1/2, 𝑚|(d·^ (7.78) (средние значения любого эрмитового оператора вещественны). В то же ^ · ^s) является скаляром относительно вращения, и её время величина (d среднее значение одинаково во всех состояниях мультиплета. Значит, оно равно нулю. Этот вывод справедлив для состояния с любым угловым моментом 𝐽 (не обязательно спин 1/2). Ненулевая спиральность ∝ (^ p · ^s), в противоположность (7.78), может существовать, будучи произведением двух 𝒯 -нечётных векторов. 𝒯 -инвариантность также не противоречит существованию 𝒯 -нечётных векторов, таких как магнитный момент 𝜇 . Мы показали, что ненулевой электрический дипольный момент частицы в стационарном состоянии был бы свидетельством комбинации несохранения чётности и нарушения инвариантности относительно обращения времени [33]. Интенсивный экспериментальный поиск дипольного момента частиц пока не дал результата. Последние данные дают только верхний предел на уровне 10−23 𝑒·см для протона, 10−25 𝑒·см для нейтрона и 10−28 𝑒·см для электрона. Положительный результат имел бы большое влияние на выбор теории за пределами общепринятой в настоящее время Стандартной модели элементарных частиц. Предсказанный давно (Зельдович, 1958 ) анапольный момент был открыт экспериментально [34] в ядре 133 Cs. Это величина, подобная току в тороидальной катушке; основной вклад в анапольный момент связан с оператором ^ = [^r × ^s]. a

(7.79)

^ есть полярный 𝒯 -нечётный вектор, который может сущеМы видим, что a ствовать в квантовых состояниях с ненулевым спином 𝐽, соответствующий эффективный оператор равен ^= a

⟨(a · J)⟩ ^ J. 𝐽(𝐽 + 1)

(7.80)

210

Глава 7 Сложение угловых моментов

^ есть 𝒯 -чётный псевдоскаляр и требует только несохранеa · J) Величина (^ ния чётности, но не нарушения 𝒯 - инвариантности. Анапольный момент был обнаружен с помощью наблюдения нарушения чётности в атомных радиационных переходах, индуцированных слабыми взаимодействиями между атомными электронами и ядром.

7.10. Ряд Клебша—Гордана⋆ Важные практические применения основаны на рассмотрении вращения связанной системы. ^ действует в соответствии с Пусть произвольный оператор вращения ℛ (6.1) на систему в квантовом состоянии |𝐽𝑀 ⟩. Если система состоит из двух связанных подсистем с моментами 𝐽1 и 𝐽2 , ∑︁ |(𝐽1 𝐽2 )𝐽𝑀 ⟩ = 𝐶𝐽𝐽𝑀 |𝐽1 𝑀1 ; 𝐽2 𝑀2 ⟩, (7.81) 1 𝑀1 𝐽2 𝑀2 𝑀1 𝑀2

мы можем применить такое же вращение к правой стороне равенства, действуя на обе части по отдельности: ∑︁ 𝐽1 𝐽2 ′ ′ ^ 1 𝑀1 ; 𝐽2 𝑀2 ⟩ = ℛ|𝐽 𝐷𝑀 (7.82) ′ 𝑀 (ℛ)𝐷𝑀 ′ 𝑀 (ℛ)|𝐽1 𝑀1 ; 𝐽2 𝑀2 ⟩. 1 2 𝑀1′ 𝑀2′

1

2

Тогда ∑︁

^ 1 𝐽2 )𝐽𝑀 ⟩ = ℛ|(𝐽

𝑀1 𝑀2 𝑀1′ 𝑀2′

𝐽1 𝐽2 ′ ′ 𝐷𝑀 𝐶𝐽𝐽𝑀 ′ 𝑀 (ℛ)𝐷𝑀 ′ 𝑀 (ℛ)|𝐽1 𝑀1 ; 𝐽2 𝑀2 ⟩. 1 𝑀 1 𝐽2 𝑀 2 1 2 1

2

(7.83) С другой стороны, результат (21.1) эквивалентен ∑︁ 𝐽 ′ ^ 1 𝐽2 )𝐽𝑀 ⟩ = ℛ|(𝐽 𝐷𝑀 ′ 𝑀 (ℛ)|(𝐽1 𝐽2 )𝐽𝑀 ⟩ 𝑀′

=

∑︁ 𝑀 ′ 𝑀1′ 𝑀2′

′

𝐽 ′ ′ 𝐶𝐽𝐽𝑀 ′ ′ 𝐷𝑀 ′ 𝑀 (ℛ)|𝐽1 𝑀1 ; 𝐽2 𝑀2 ⟩. 1 𝑀 𝐽2 𝑀 1

2

(7.84)

7.10. Ряд Клебша—Гордана⋆

211

Поскольку несвязанные состояния ортонормированы, мы можем сравнить коэффициенты перед ними в (7.83) и (7.84), что даёт ∑︁ ∑︁ 𝐽1 𝐽2 𝐽𝑀 𝐽 𝐽𝑀 ′ 𝐷𝑀 𝐷𝑀 ′ 𝑀 (ℛ)𝐶𝐽 𝑀 ′ 𝐽 𝑀 ′ . (7.85) ′ 𝑀 (ℛ)𝐷𝑀 ′ 𝑀 (ℛ)𝐶𝐽1 𝑀1 𝐽2 𝑀2 = 1 2 1 2 𝑀1 𝑀2

1

2

𝑀′

1

2

Если мы умножим обе части на 𝐶𝐽𝐽𝑀 и просуммируем по 𝐽 и 𝑀 , 1 𝐾1 𝐽2 𝐾2 свойство ортогональности (7.49) приводит к важному результату: ∑︁ ′ 𝐽1 𝐽2 𝐽 𝐷𝑀 (ℛ)𝐷 (ℛ) = 𝐶𝐽𝐽𝑀 𝐶 𝐽𝑀 𝐷𝑀 (7.86) ′ 𝑀 (ℛ), 𝐾 𝑀 𝐾 1 𝑀1 𝐽2 𝑀2 𝐽1 𝐾1 𝐽2 𝐾2 1 1 2 2 𝐽𝑀 𝑀 ′

где мы переименовали 𝑀1′ , 𝑀2′ → 𝑀1 , 𝑀2 . Ряд Клебша—Гордана (7.86) позволяет разложить произведение 𝐷-функций в сумму 𝐷-функций того же аргумента, подтверждая полноту матричных элементов конечных вращений как функций на группе. Как частный случай, с помощью (6.14) получаем аналог этого соотношения для сферических функций, 𝑌 (n) 𝑌ℓ2 𝑚2 (n) 𝑌ℓ𝑚 (n) 1 ∑︁ ℓ𝑚 √ℓ1 𝑚1 √ =√ 𝐶ℓ1 𝑚1 ℓ2 𝑚2 𝐶ℓℓ01 0 ℓ2 0 √ , 2ℓ1 + 1 2ℓ2 + 1 2ℓ + 1 4𝜋 ℓ𝑚

(7.87)

где все сферические функции относятся к тем же углам n = (𝜃, 𝜙). Конечно, суммирование по 𝑚 в правой части (7.87) (а также соответствующее суммирование в (7.86)) является избыточным, поскольку выживает только один член 𝑚 = 𝑚1 + 𝑚2 , но эта форма является более симметричной. Наконец, для полиномов Лежандра 𝑃ℓ (cos 𝜃) = 𝑃ℓ (𝑥) мы получаем 𝑃ℓ1 (𝑥)𝑃ℓ2 (𝑥) =

]︁2 ∑︁[︁ 𝐶ℓℓ01 0 ℓ2 0 𝑃ℓ (𝑥).

(7.88)

ℓ

В уравнениях (7.87) и (7.88), где все угловые моменты ℓ, ℓ1 , ℓ2 являются целыми, мы видим, что левая сторона имеет чётность (−)ℓ1 +ℓ2 , тогда как чётность ℓ члена в правой стороне равна (−)ℓ . Это соотношение может иметь место, только если члены с неправильной чётностью исчезают, 𝐶ℓℓ01 0 ℓ2 0 = 0 для ℓ1 + ℓ2 + ℓ = нечётное число.

(7.89)

Тот же результат следует и из инвариантности относительно обращения времени, см. первое равенство в (7.53).

212

Глава 7 Сложение угловых моментов

Вместе с условием ортогональности (21.21) разложение Клебша—Гордана определяет интеграл от трёх 𝐷-функций ∫︁

𝐽1 𝐽2 𝐽* 𝑑ℛ 𝐷𝑀 (ℛ)𝐷𝑀 ′ 𝑀 (ℛ)𝐷 ′ 𝑀 (ℛ) = 𝑀 ′ 𝑀1 2 1

2

8𝜋 2 ′ 𝐶𝐽𝐽𝑀 𝐶𝐽𝐽𝑀 ′ ′. 1 𝑀 1 𝐽2 𝑀 2 1 𝑀 1 𝐽2 𝑀 2 2𝐽 + 1 (7.90)

Для сферических функций мы получаем отсюда ∫︁

√︃ * (n)𝑌ℓ1 𝑚1 (n)𝑌ℓ2 𝑚2 (n) = 𝑑n 𝑌ℓ𝑚

(2ℓ1 + 1)(2ℓ2 + 1) ℓ𝑚 𝐶ℓ1 𝑚1 ℓ2 𝑚2 𝐶ℓℓ01 0 ℓ2 0 , 4𝜋(2ℓ + 1) (7.91)

и для полиномов Лежандра ∫︁ 1 𝑑𝑥 𝑃ℓ (𝑥)𝑃ℓ1 (𝑥)𝑃ℓ2 (𝑥) = −1

]︁2 2 [︁ ℓ0 𝐶ℓ1 0 ℓ2 0 . 2ℓ + 1

(7.92)

Соотношения (7.91) и (7.92) определяют угловую часть матричных элементов одночастичных тензорных операторов для движения в центральном поле. Дополнительная литература: [11], [35], [36], [34], [37], [38]

Понадобится сотня лет развития физических и химических наук, чтобы люди узнали, что такое атом. П.Э.М. Бертeло (цит. по: Р. Эспер «Из жизни ученых»)

Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структура 8.1. Спин-орбитальное взаимодействие В разд. 3.5 мы перечислили физические эффекты, которыми мы пренебрегли при пeрвом рассмотрении атома водорода. Эти эффекты, будучи явно малыми по сравнению с основным кулоновским полем ядра, важны сами по себе и ведут к интересным наблюдаемым явлениям, особенно в связи с впечатляющими достижениями современной экспериментальной спектроскопии. Теория возмущений (гл. 4), а также развитая алгебра углового момента, включающая спиновые эффекты (гл. 5-7), дают нам возможность рассмотреть квантовую механику этих эффектов. Тонкая структура спектра атома водорода возникает в результате снятия «случайного» кулоновского вырождения релятивистскими поправками к гамильтониану порядка (𝑣/𝑐)2 . Точный расчёт этих поправок будет сделан на основе уравнения Дирака позже (гл. III.7). Здесь мы рассмотрим спин-орбитальное взаимодействие качественно. Соответствующий член гамильтониана частицы должен иметь вид ^ ℓ𝑠 = 𝑊 (𝑟)(ℓ^ · ^s). 𝐻

(8.1)

Действительно, спин электрона может входить только линейно (высшие тензорные конструкции сводятся к линейным выражениям); полный гамильтониан является скаляром, так что ^s должен входить в виде скалярного произведения с другим вектором, и второй вектор должен быть аксиальным, если чётность сохраняется. Из пространственных переменных частицы можно сконструировать только один аксиальный вектор, вектор орбитального момента ^ℓ. Наличие спин-орбитального взаимодействия (8.1) показывает, что орбитальное движение создает момент сил, действующий на спин частицы.

214

Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структура

Если бы частица двигалась в однородной среде, то не было бы никакой причины для этого закручивания. Поэтому мы ожидаем, что 𝑊 (𝑟) связан с пространственным изменением потенциала, действующего на частицу, кулоновского для атома водорода. Сила создаёт выделенное направление — радиальное для градиента изотропного потенциала. Механизм возникновения спин-орбитального взаимодействия является общим для любой заряженной частицы со спином 𝑠 ̸= 0, движущейся в электрическом поле, которое даётся градиентом электростатического потенциала, ℰ = −∇𝜙. Проведём классическую оценку этого эффекта. В системе отсчёта, связанной с частицей, ядро движется со скоростью −v, и его электрическое поле индуцирует магнитное поле 1 1 ℬ = − [v × ℰ ] = − [p × ℰ ]. 𝑐 𝑚𝑐

(8.2)

Поле ℬ взаимодействует со спиновым магнитным моментом частицы, 𝜇 𝑠 = 𝑔𝑠 ~s. Соответствующий член в гамильтониане равен 𝜇 · ℬ) = 𝐻ℓ𝑠 = −(𝜇

𝑔𝑠 ~ s · [∇𝜙 × p]. 𝑚𝑐

(8.3)

Для центрального потенциала, 𝑈 (𝑟) = 𝑒𝜙(𝑟), ∇𝑈 =

r 𝜕𝑈 , 𝑟 𝜕𝑟

(8.4)

гамильтониан (8.3) принимает форму (8.1), 𝐻ℓ𝑠 =

𝑔𝑠 ~ 1 𝜕𝑈 𝑔𝑠 ~2 1 𝜕𝑈 s · [r × p] = (s · ℓ), 𝑒𝑚𝑐 𝑟 𝜕𝑟 𝑒𝑚𝑐 𝑟 𝜕𝑟

(8.5)

где, как обычно, угловые моменты записаны в единицах ~. Эта классическая оценка предсказывает радиальную функцию 𝑊 (𝑟) =

𝑔𝑠 ~2 1 𝜕𝑈 , 𝑒𝑚𝑐 𝑟 𝜕𝑟

(8.6)

действительно пропорциональную градиенту исходного потенциала. Для электрона 𝑔𝑠 = 𝑒/𝑚𝑐 в водородоподобном атоме 𝑈 = −𝑍𝑒2 /𝑟 наша оценка даёт 𝑊 (𝑟) =

𝑍𝑒2 ~2 . 𝑚2 𝑐2 𝑟3

(8.7)

8.2. Спин-орбитальное расщепление

215

Как будет показано в гл. 37, релятивистская квантовая механика предсказывает очень похожее спин-орбитальное взаимодействие с дополнительным коэффициентом 1/2, так называемой Томасовской половинкой, которая возникает при аккуратном рассмотрении преобразования к неинерциальной сопутствующей системе отсчета [39]. Спин-орбитальное взаимодействие (8.7) слабо, так как его среднее значение мало, ∼ (𝑣/𝑐)2 , по сравнению с энергией связи электрона 𝜀 ∼ 𝑚𝑍 2 𝑒4 /~2 ∼ 𝑍 2 𝑒2 /𝑎, ⟨𝑊 ⟩ ∼

𝑍𝑒2 ~2 𝑍 2 ~2 𝑒4 𝑍 2 ∼ 𝜀 ∼ 𝜀 ∼ 𝜀(𝑍𝛼)2 ≪ 𝜀. 𝑚2 𝑐2 (𝑎/𝑍)3 𝑚2 𝑐2 𝑎2 ~2 𝑐2

(8.8)

Мы использовали здесь боровский радиус 𝑎 и постоянную тонкой структуры 𝛼, считая, что 𝑍𝛼 = 𝑍/137 ≪ 1 (это условие нарушается для тяжёлых атомов, где релятивистские эффекты велики). Спин-орбитальное взаимодействие, подобное (8.1), также имеет место для нуклонов в атомном ядре, но в этом случае оно является гораздо более существенным, так как связано с сильными, а не с электромагнитными взаимодействиями.

8.2. Спин-орбитальное расщепление Следствия спин-орбитального взаимодействия (8.1) можно рассмотреть в общем виде. Это типичная проблема преобразования от несвязанной схемы двух отдельных подсистем (спин и орбитальный момент) к связанной схеме с полным угловым моментом частицы, ^j = ℓ^ + ^s.

(8.9)

Энергия теперь зависит от взаимной ориентации двух векторов, s и ℓ . Поэтому любое отдельное вращение одной из этих подсистем не сохраняет энергию, и соответствующие генераторы не сохраняются ^ ℓ𝑠 ] ̸= 0, [ℓ^, 𝐻

^ ℓ𝑠 ] ̸= 0. [^s, 𝐻

(8.10)

Тем не менее, совместное вращение орбитальных и спиновых переменных, генерируемое полным вектором (8.9), не изменяет их взаимной ориентации и сохраняет энергию ^ = 0. [^j, 𝐻]

(8.11)

В отсутствие спин-орбитального взаимодействия мы имеем 𝑛2 -кратное вырождение уровней водорода, так что энергия 𝐸𝑛 не зависит от квантовых

216

Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структура

чисел ℓ, 𝑚ℓ и 𝑚𝑠 . Как мы знаем из раздела 4.4., теория возмущений должна применяться к правильным линейным комбинациям невозмущённых функций. Эти комбинации должны быть диагональны по отношению к ^ ℓ𝑠 в данном случае. полному гамильтониану, включающему возмущение, 𝐻 Вследствие инвариантности относительно вращений и сохранения j, эти комбинации очевидны без обращения к секулярному уравнению: это связанные состояния спина и орбитального момента с определёнными значениями 𝑗 и полной проекции 𝑚𝑗 . «Длины» ℓ и 𝑠 = 1/2 также всё ещё сохраняются, вместе с чётностью (−)ℓ . Построение связанного спин-орбитального состояния |(ℓ1/2); 𝑗𝑚𝑗 ⟩ из несвязанных состояний |ℓ𝑚ℓ ; 1/2 𝑚𝑠 ⟩ есть стандартная задача векторного сложения угловых моментов, задача 7.1. Допустимые значения полного углового момента 𝑗 =ℓ±

1 2

(8.12)

соответствуют параллельной и антипараллельной ориентациям ℓ и s. Спинорбитальное взаимодействие расщепляет соответствующие состояния. Для каждого из двух значений 𝑗 при данном ℓ имеется мультиплет 2𝑗 + 1 состояний с различными проекциями 𝑚𝑗 , которые всё ещё вырождены — из-за инвариантности относительно вращений энергия не зависит от ориентации системы как целого. Соответствующие двухкомпонентные функции связанных угловых и спиновых переменных называются сферическими спинорами: ∑︁ 𝑗𝑚 Ωℓ𝑗𝑚 (n) = 𝐶ℓ𝑚ℓ 1/2𝑚𝑠 𝑌ℓ𝑚ℓ (n)𝜒𝑚𝑠 . (8.13) 𝑚ℓ 𝑚𝑠

Эти функции характеризуются определёнными значениями орбитального момента ℓ, чётности (−)ℓ , полного углового момента 𝑗 и его проекции 𝑗𝑧 = 𝑚. Задача 8.1 Найдите явный вид сферических спиноров (8.13). Для этих волновых функций найдите вероятности двух значений проекций спина 𝑠𝑧 и средние значения 𝑠𝑧 . Решение При заданных 𝑗 и 𝑚 возможны две комбинации, ℓ𝑧 = 𝑚+1/2 и 𝑠𝑧 = −1/2, или ℓ𝑧 = 𝑚 − 1/2 и 𝑠𝑧 = +1/2, Ω𝑙𝑗𝑚 = 𝑎𝑌ℓ𝑚+1/2 𝜒− + 𝑏𝑌ℓ𝑚−1/2 𝜒+ ,

(8.14)

8.2. Спин-орбитальное расщепление

217

где 𝑎 и 𝑏 — коэффициенты Клебша—Гордана, 𝑎 = 𝐶ℓ𝑗𝑚 𝑚+1/2 1/2 −1/2 ,

𝑏 = 𝐶ℓ𝑗𝑚 𝑚−1/2 1/2 1/2 .

(8.15)

Их значения могут быть найдены, например, с помощью собственных функций оператора 1 (ℓ^ · ^s) = ℓ^𝑧 𝑠^𝑧 + (ℓ^+ 𝑠^− + ℓ^− 𝑠^+ ). 2

(8.16)

Этот оператор имеет собственные значения, задача 5.6, (ℓℓ · s) =

]︁ 1 [︁ 𝑗(𝑗 + 1) − ℓ(ℓ + 1) − 𝑠(𝑠 + 1) , 2

(8.17)

что даёт ℓ/2 и −(ℓ + 1)/2 для 𝑗 = ℓ + 1/2 и 𝑗 = ℓ − 1/2 соответственно. Система уравнений для собственных функций (ℓℓ · s) в виде (8.14) есть ]︁ 𝑏 √︀ [︁ 1 (ℓ + 1/2)2 − 𝑚2 = 0, (8.18) 𝑎 (ℓℓ · s) + (𝑚 + 1/2) − 2 2 [︁ ]︁ 𝑎 √︀ 1 𝑏 (ℓℓ · s) − (𝑚 − 1/2) − (ℓ + 1/2)2 − 𝑚2 = 0. (8.19) 2 2 Детерминант этой системы определяет те же собственные значения (8.17) для (ℓℓ · s). Нормированные (𝑎2 + 𝑏2 = 1) решения для линейной комбинации (8.14) записываются как √︂ √︂ 1 ℓ − 𝑚 + 1/2 ℓ + 𝑚 + 1/2 𝑗 =ℓ+ , 𝑎= , 𝑏= ; (8.20) 2 2𝑙 + 1 2𝑙 + 1 √︂ √︂ ℓ + 𝑚 + 1/2 ℓ − 𝑚 + 1/2 1 𝑗 =ℓ− , 𝑎=− . 𝑏= . (8.21) 2 2𝑙 + 1 2𝑙 + 1 Вероятности 𝑤± и средние значения ⟨𝑠𝑧 ⟩ = (1/2)(𝑤+ − 𝑤− ) равны 1 𝑗 =ℓ+ , 2

1 𝑗 =ℓ− , 2

𝑤+ =

𝑤+ =

ℓ + 𝑚 + 1/2 , 2ℓ + 1

ℓ − 𝑚 + 1/2 , 2ℓ + 1

𝑤− =

𝑤+ =

ℓ − 𝑚 + 1/2 , 2ℓ + 1

ℓ + 𝑚 + 1/2 , 2ℓ + 1

⟨𝑠𝑧 ⟩ =

𝑚 ; 2ℓ + 1 (8.22)

⟨𝑠𝑧 ⟩ = −

𝑚 . 2ℓ + 1

218

Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структура (8.23)

Вычисляя аналогичным способом ⟨ℓ𝑧 ⟩, легко проверить, что ⟨𝑠𝑧 + ℓ𝑧 ⟩ = 𝑚. Задача 8.2 Для волновых функций задачи 8.1 найти направление поляризации спина для заданного углового аргумента n(𝜃, 𝜙) сферических функций. Решение Для любого спинора типа (8.14) локальное направление поляризации даётся полярным углом 𝛽 и азимутальным углом 𝛼, которые определены таким образом, что 𝑒−𝑖𝛼/2 cos(𝛽/2) = const · 𝑏𝑌ℓ𝑚−1/2 (𝜃, 𝜙),

(8.24)

𝑒𝑖𝛼/2 sin(𝛽/2) = const · 𝑎𝑌ℓ𝑚+1/2 (𝜃, 𝜙).

(8.25)

Беря отношение, получаем 𝑒𝑖𝛼 tan(𝛽/2) =

(︁ 𝑎 )︁ 𝑌 ℓ𝑚+1/2 (𝜃, 𝜙) , 𝑏 𝑗 𝑌ℓ𝑚−1/2 (𝜃, 𝜙)

(8.26)

где отношение (𝑎/𝑏)𝑗 нужно взять из (8.20) и (8.21) для двух возможных значений 𝑗. Сферические функции 𝑌ℓ𝑚±1/2 имеют азимутальные фазы (𝑚± 1/2)𝜙. Поэтому 𝛼 = 𝜙, т.е. спин в данной точке поляризован в плоскости, проходящей через полярную ось 𝑧 и эту точку. Запишем теперь сферические функции в виде 𝑌ℓℓ𝑧 = exp(𝑖ℓ𝑧 𝜙)Θℓℓ𝑧 (𝜃). Полярный угол 𝛽 определяется из соотношения tan(𝛽/2) =

(︁ 𝑎 )︁ Θ ℓ𝑚+1/2 (𝜃) . 𝑏 𝑗 Θℓ𝑚−1/2 (𝜃)

(8.27)

√︀ Например,√︀для ℓ = 1, 𝑗 = 𝑚 = 1/2 = ℓ − 1/2, используя Θ11 = − 3/8𝜋 sin 𝜃 и Θ10 = 3/4𝜋 cos 𝜃, вместе с отношением 𝑎/𝑏 из (8.21), мы получаем 𝛽 = 2𝜃.

Задача 8.3 Рассчитайте ̃︀ ℓ𝑗𝑚 (n) = (𝜎 𝜎 · n)Ωℓ𝑗𝑚 (n), Ω

(8.28)

8.2. Спин-орбитальное расщепление

219

записав результат снова с помощью сферических спиноров. Решение 𝜎 · n) есть скаляр. Поэтому он не может изменить квантовые Оператор (𝜎 числа 𝑗𝑚 полного углового момента. Однако он меняет чётность и, следовательно, значение ℓ на 1. Для данного 𝑗 имеется только одно допустимое значение ℓ′ , ℓ=𝑗±

1 1 ⇒ ℓ′ = 𝑗 ∓ . 2 2

(8.29)

Отсюда следует, что 𝜎 · n)Ωℓ𝑗𝑚 (n) = 𝜁Ωℓ′ 𝑗𝑚 (n), (𝜎

𝜁 = 1,

(8.30)

где постоянный множитель 𝜁 может быть найден прямым сравнением решений в задаче 8.1 для n, направленного вдоль оси 𝑧, когда сферические функции задаются соотношением (1.143). С правильно определёнными линейными комбинациями мы можем применить стандартную теорию возмущений, не опасаясь вырождения. Переходы внутри вырожденного мультиплета требуют изменения 𝑚𝑗 , что невозможно для скалярного оператора 𝐻ℓ𝑠 . Поправка первого порядка (просто среднее значение спин-орбитального потенциала в состояниях, описываемых сферическими спинорами) приводит к разным смещениям параллельных и антипараллельных состояний: Δ𝐸𝑛ℓ𝑗 = ⟨𝑛ℓ𝑗|𝑊 (𝑟)(ℓ^ · ^s)|𝑛ℓ𝑗⟩.

(8.31)

Это вычисление производится элементарно с использованием (8.16). Сдвиг энергии равен [︂ ]︂ 1 3 Δ𝐸𝑛ℓ𝑗 = 𝑗(𝑗 + 1) − ℓ(ℓ + 1) − ⟨𝑊 (𝑟)⟩𝑛ℓ . (8.32) 2 4 В этом приближении радиальные функции не зависят от 𝑗. В соответствии с результатами задачи 7.1 мы получаем спин-орбитальный дублет: {︂ 1 ℓ, 𝑗 = ℓ + 1/2, Δ𝐸𝑛ℓ𝑗 = ⟨𝑊 (𝑟)⟩𝑛𝑙 · (8.33) −(ℓ + 1), 𝑗 = ℓ − 1/2. 2

220

Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структура

Для положительного ⟨𝑊 (𝑟)⟩𝑛ℓ , как для электрона в атоме водорода, член дублета с меньшим 𝑗 имеет более низкую энергию. Для нуклонов в ядрах знак спин-орбитального взаимодействия противоположен, и член дублета с большим 𝑗 смещается вниз. Полная величина расщепления в дублете выражается соотношением 1 Δ𝐸𝑛 ℓ ℓ+1/2 − Δ𝐸𝑛 ℓ ℓ−1/2 = ⟨𝑊 (𝑟)⟩𝑛ℓ (2ℓ + 1). 2

(8.34)

8.3. Тонкая структура атома водорода Расщепление (8.33) можно непосредственно наблюдать в ядрах, где мы можем использовать феноменологический спин-орбитальный гамильтониан (8.1), и член 𝐻ℓ𝑠 не мал. В атомах, однако, необходимо учесть другие релятивистские эффекты того же порядка. Как мы покажем в гл. III.7, полный гамильтониан частицы массы 𝑚 и спина 1/2 в статическом потенциальном поле 𝑈 (r), включая все члены второго порядка по 𝑣/𝑐, есть )︁ ^2 ^4 p ~ (︁ ~2 ^ = p ^ 𝐻 − + 𝑈 (r) + 𝜎 · [∇𝑈 × p ] + ∇2 𝑈. (8.35) 2𝑚 8𝑚3 𝑐2 4𝑚2 𝑐2 8𝑚2 𝑐2 Здесь мы имеем три поправки второго порядка к нерелятивистскому гамильтониану. Второе слагаемое в правой части (8.35) происходит от разложения релятивистской энергии свободной частицы, √︀ p4 p2 − + ... 𝑚2 𝑐4 + 𝑐2 p2 ≈ 𝑚𝑐2 + 2𝑚 8𝑚3 𝑐2

(8.36)

Четвёртое слагаемое в (8.35) есть спин-орбитальное взаимодействие и совпадает, с точностью до коэффициента 1/2, с тем, что мы получили ранее из полуклассических соображений. Последний член в (8.35) для кулоновского потенциала не равен нулю только в начале координат ∇2 𝑈 = −𝑍𝑒2 ∇2

1 = 4𝜋𝑍𝑒2 𝛿(r). 𝑟

(8.37)

В то время как 𝐻ℓ𝑠 работает только для состояний с ненулевым орбитальным моментом, поправка (8.37), так называемый дарвиновский член, смещает только 𝑠-состояния, где 𝜓(0) ̸= 0. Дарвиновский член можно приближённо интерпретировать как возникающий вследствие квантовых флуктуаций, приводящих к созданию вир-

8.3. Тонкая структура атома водорода

221

e–

e+

annihilation e–

pair creation

Рис. 8.1. Квантовая флуктуация с рождением электрон— позитронной пары

туальных электрон-позитронных пар. Первоначальный электрон аннигилирует с позитроном пары (рис. 8.1). В течение времени жизни виртуальной пары, которое оценивается из соотношения неопределенностей как Δ𝑡 ∼ ~/Δ𝐸 ∼ ~/𝑚𝑐2 , компоненты пары могут сдвигаться на расстояние порядка комптоновской длины волны электрона, 𝜉 ∼ 𝑐Δ𝑡 ∼ ~/𝑚𝑐 = 𝜆𝐶 . После аннигиляции начального электрона остающийся электрон смещается от исходного положения на ∼ 𝜆𝐶 . Это означает, что нерелятивистское потенциальное поле 𝑈 не может быть точно локализовано и должно быть усреднено по объему ∼ 𝜆3𝐶 квантовых флуктуаций. Вследствие флуктуаций положения электрона, r → r + 𝜉 , эффективный потенциал, действующий на электрон, размазан по небольшому объёму, 1 𝜕 𝜕 𝑈 (r) ⇒ 𝑈 (r + 𝜉 ) ≈ 𝑈 (r) + 𝜉 · ∇𝑈 (r) + 𝜉𝑖 𝜉𝑗 𝑈 (r). 2 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗

(8.38)

Усредняя этот потенциал по флуктуациям (это усреднение обозначим чертой сверху) и принимая во внимание, что смещения вдоль разных направлений не коррелированы, 1 𝜉𝑖 𝜉𝑗 = 𝜉 2 𝛿𝑖𝑗 , 3

𝜉 = 0,

(8.39)

мы получаем 𝑈 (r + 𝜉 ) = 𝑈 (r) +

1 2 2 𝜉 ∇ 𝑈 (r). 6

(8.40)

Результат усреднения можно рассматривать как небольшое статическое возмущение, 𝛿𝑈 ∼

1 2 2 1 ~2 𝜉 ∇ 𝑈 (r) ∼ 𝜆2𝐶 ∇2 𝑈 = ∇2 𝑈, 6 6 6𝑚2 𝑐2

(8.41)

222

Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структура

что лишь незначительно отличается от точного результата второго порядка в (8.35). Полный вклад второго порядка малости сохраняет 𝑗 как хорошее квантовое число. Сдвиг нерелятивистского уровня энергии в водородоподобном атоме с зарядом ядра 𝑍 есть, в ридбергах, (︂ )︂ 𝛼2 𝑍 4 1 3 Δ𝐸𝑛𝑗 = − 3 − Ry. (8.42) 𝑛 𝑗 + 1/2 4𝑛 Хотя порядок величины такой же, как в (8.34), здесь сдвиг уровней определяется только полным угловым моментом 𝑗. Кроме вырождения по 𝑚𝑗 , всё ещё остаётся кулоновское случайное вырождение: здесь мы имеем лишь двукратное слияние, два уровня противоположной чётности с одинаковыми 𝑛 и 𝑗, но ℓ = 𝑗 ± 1/2 вырождены, как и раньше. Это вырождение отсутствует только для наибольшего орбитального момента в оболочке, ℓ = ℓmax (𝑛) = 𝑛 − 1; значит, во всех оболочках существует невырожденный наивысший уровень 𝑗 = ℓmax + 1/2. Задача 8.4 Получите результат (8.42). Итоговая картина тонкой структуры в спектре водородоподобного атома показана на рис. 3.1. Мы использовали спектроскопические обозначения, |𝑛ℓ𝑗⟩ → 𝑛(ℓ)𝑗 , где (ℓ) обозначает символ (𝑠, 𝑝, 𝑑, ...) орбитального момента. Пунктирные линии отвечают невозмущённым вырожденным боровским оболочкам, в то время как уровни с релятивистскими поправками показаны сплошными линиями (без соблюдения масштаба). Энергетические сдвиги измеряются в единицах 𝐶=

𝛼2 𝑍 4 𝑚𝑒4 = 𝛼2 𝑍 4 Ry. 2 ~2

Полное расщепление дублета равно (︂ )︂ 𝐶 1 1 𝐶 − = 3 𝑛3 ℓ ℓ + 1 𝑛 ℓ(ℓ + 1)

(8.43)

(8.44)

и быстро падает с ростом 𝑛 и ℓ, так как для сильно возбуждённых состояний поле слабо, наряду со спин-орбитальным взаимодействием и другими релятивистскими эффектами, обусловленными ядром. Простая оценка 𝑊 (𝑟) показывает, что излучение, соответствующее переходам в одной расщеплённой оболочке, принадлежит сантиметровому диапазону.

8.4. Тонкая структура в сложных атомах

223

6 !ω0 even

5 !ω0 odd

4 !ω0 even

3 !ω0 odd 2 !ω0 even 1 !ω0 odd 0

Рис. 8.2. Нуклонный спектр в ядре, имеющем вид сферического потенциального ящика с сильным спин-орбитальным взаимодействием

В ядрах спин-орбитальное взаимодействие настолько сильное, что большое расщепление дублета может сдвинуть партнеры дублета в разные главные оболочки (рис. 8.2), например 𝑔9/2 и 𝑔7/2 . Благодаря обратному знаку взаимодействия уровень с 𝑗 = ℓ + 1/2 опускается вниз по энергии и становится интрудером, когда вторгается в предыдущую оболочку осциллятора, имея противоположную чётность по сравнению с местными уровнями (напомним, что для случая гармонического осциллятора, в отличие от кулоновского поля, каждая главная оболочка содержит одночастичные уровни только одинаковой чётности; сферический ящик не имеет вырождения, но характер спектра, тем не менее, близок). Этот сдвиг очень важен, потому что он изменяет количество нуклонов, соответствующих полному заполнению оболочки, так называемое магическое число.

8.4. Тонкая структура в сложных атомах В многоэлектронных атомах нет случайного вырождения, типичного для водородоподобных систем. За исключением тяжёлых атомов, реля-

224

Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структура

тивистские эффекты всё ещё слабы, 𝑍𝛼 ≪ 1, и орбитальный момент и спин сохраняются по отдельности. В этом случае нужно говорить о полном орбитальном моменте L и полном спине S всех электронов, ∑︁ ∑︁ ^= ^= ^s𝑎 . L ℓ^𝑎 , S (8.45) 𝑎

𝑎

Состояние сложного атома в главном приближении можно описать, фиксируя электронную конфигурацию (список одночастичных состояний, орбиталей, занимаемых электронами) и квантовые числа 𝐿 и 𝑆, характеризующие ^2 и S ^ 2 . Состояния с разными значениями 𝐿 и/или 𝑆 имеют разные энерL гии из-за кулоновского взаимодействия между электронами, чего нет в водородоподобных системах. Это электростатическое расщепление значительно больше, чем релятивистское спин-орбитальное расщепление, а все (2𝐿 + 1)(2𝑆 + 1) состояний с различными проекциями 𝐿𝑧 = 𝑀𝐿 и 𝑆𝑧 = 𝑀𝑆 вырождены в нулевом приближении. Теперь мы снова должны найти правильные линейные комбинации, учитывая спин-орбитальное взаимодействие. Аналогично одночастичному случаю, расщепление всех уровней, возможных для данных значений 𝐿 и 𝑆, может быть описано с помощью эффективного спин-орбитального гамильтониана ^ · S). ^ ^ 𝐿𝑆 = 𝑊𝐿𝑆 (L 𝐻

(8.46)

Сила взаимодействия характеризуется константой 𝑊𝐿𝑆 , которая в принципе может быть найдена из среднего значения микроскопического электронного спин-орбитального гамильтониана в состоянии |𝐿𝑆⟩ данной конфигурации. Её можно найти также феноменологически по спектроскопическим данным. Эффективный оператор (8.46) действует в пространстве (первоначально вырожденных) состояний, которые отличаются только по вращательным квантовым числам 𝑀𝐿 и 𝑀𝑆 , аналогично ⟨𝑊 (𝑟)⟩ в (8.31). После диагона^ 𝐿𝑆 мы получим мультиплет тонкой структуры. Гамильтониан лизации 𝐻 (8.46) зависит только от относительной ориентации векторов L и S, будучи инвариантным относительно вращений, генерируемых полным угловым моментом ^=L ^ + S. ^ J

(8.47)

Мы снова имеем типичную задачу векторного сложения. Правильными линейными комбинациями служат состояния связанной схемы |𝐽𝑀 ⟩, где

8.5. Магнитный момент и спин-орбитальное взаимодействие

225

𝑀 = 𝑀𝐿 + 𝑀𝑆 , а возможные значения 𝐽 определяются условиями треугольника (𝐽𝐿𝑆). Аналогично (8.32), члены мультиплета (𝐿, 𝑆) смещаются на 𝛿𝐽 (𝐿, 𝑆) =

𝑊𝐿𝑆 [𝐽(𝐽 + 1) − 𝐿(𝐿 + 1) − 𝑆(𝑆 + 1)]. 2

(8.48)

Число 𝐽-компонент равно (2𝐿< + 1), где 𝐿< есть наименьшее из 𝐿 и 𝑆, и каждая компонента по-прежнему вырождена по 𝑀 . Расстояние между соседними компонентами даётся правилом Ланде, 𝐸𝐽 (𝐿, 𝑆) − 𝐸𝐽−1 (𝐿, 𝑆) = 𝑊𝐿𝑆 𝐽.

(8.49)

Этот вывод справедлив, если интервалы Ланде (8.49) малы по сравнению с электростатическим смещением мультиплетов, соответствующих разным значениям 𝐿 и 𝑆 в одной и той же электронной конфигурации. Только в этом случае 𝐿 и 𝑆 — всё ещё хорошие квантовые числа (𝐿𝑆-связь, или случай Рассела—Саундерса). В тяжёлых атомах релятивистские члены более важны, и постепенно ситуация становится такой, что в основном определяется релятивистскими, а не электростатическими взаимодействиями. В противоположном предельном случае спин-орбитальное взаимодействие является сильным. Сначала оно связывает орбитальный и спиновый момент отдельного электрона в его полный угловой момент j = ℓ + s, как мы рассматривали для водородоподобного атома. После этого моменты отдельных электронов складываются в полный электронный угловой момент ∑︁ ^j𝑎 . ^= J (8.50) 𝑎

Этот случай соответствует 𝑗𝑗-связи, что больше подходит для тяжёлых атомов. В ядре из-за сильного спин-орбитального взаимодействия нуклоны, как правило, связаны по 𝑗𝑗-типу.

8.5. Магнитный момент и спин-орбитальное взаимодействие Оператор магнитного момента частицы в центральном поле равен (в единицах соответствующего магнетона, так как теперь мы будем включать постоянную Планка в определение гиромагнитных отношений 𝑔𝑙 и 𝑔𝑠 ) 𝜇 = 𝑔𝑠 s + 𝑔ℓ ℓ .

(8.51)

226

Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структура

Для того чтобы найти эффективный оператор магнитного момента внутри 𝑗-мультиплета, мы используем векторную модель (разд. 7.8) 𝜇 = 𝑔𝑗 (ℓ, 𝑠) j,

(8.52)

где эффективное гиромагнитное отношение есть 𝑔𝑗 (ℓ, 𝑠) =

𝜇 · j)⟩ ⟨(𝜇 𝑔𝑠 ⟨(s · j)⟩ + 𝑔ℓ ⟨(ℓℓ · j)⟩ = . 𝑗(𝑗 + 1) 𝑗(𝑗 + 1)

(8.53)

Далее, нам нужно знать скалярные величины (7.74). Соотношение (8.9) позволяет нам найти средние взаимные ориентации (j·ℓℓ) =

𝑗(𝑗 + 1) + ℓ(ℓ + 1) − 𝑠(𝑠 + 1) , 2

(j·s) =

𝑗(𝑗 + 1) + 𝑠(𝑠 + 1) − ℓ(ℓ + 1) . 2 (8.54)

Конечно, эти величины одинаковы для всех состояний |(ℓ𝑠)𝑗𝑚⟩ с различными 𝑚. Наконец, эффективное гиромагнитное отношение (фактор Ланде) равно 𝑔𝑗 (ℓ, 𝑠) =

{︁ }︁ 1 (𝑔ℓ + 𝑔𝑠 )𝑗(𝑗 + 1) + (𝑔ℓ − 𝑔𝑠 )[ℓ(ℓ + 1) − 𝑠(𝑠 + 1)] . (8.55) 2𝑗(𝑗 + 1)

Как упоминалось в разд. 7.7, табличная величина соответствует состоянию с 𝑗𝑧 = 𝑗, когда магнитный момент равен 𝜇 = 𝑔𝑗 𝑗. Для электрона мы можем положить 𝑔ℓ = 1, 𝑔𝑠 = 2 в единицах магнетона Бора 𝜇𝐵 , и получим 𝜇=

3𝑗(𝑗 + 1) − ℓ(ℓ + 1) + 𝑠(𝑠 + 1) 𝜇𝐵 , 2(𝑗 + 1)

что сводится к {︂ 𝜇 ℓ + 1, 𝑗 = ℓ + 1/2, = ℓ, 𝑗 = ℓ − 1/2. 𝜇𝐵

(8.56)

(8.57)

Для нуклонов спиновые гиромагнитные отношения определяются эмпирическими магнитными моментами 𝜇𝑝 и 𝜇𝑛 𝑔𝑠(𝑝) = 2𝜇𝑝 = 5, 58,

𝑔𝑠(𝑛) = 2𝜇𝑛 = −3, 82

(8.58)

(в ядерных магнетонах, см. (I.1.71)). Для частицы со спином 1/2 и зарядом 𝑒, не имеющей внутренней структуры, спиновое гиромагнитное отноше-

8.5. Магнитный момент и спин-орбитальное взаимодействие

227

ние предсказывается релятивистским уравнением Дирака и равно 𝑔𝑠 = 2 (в единицах соответствующего магнетона). Это привело бы к спиновому магнитному моменту для свободной частицы, в точности равному одному магнетону. Это так для электрона (или позитрона), с небольшими поправками порядка 10−3 из-за поляризации вакуума виртуальными электронпозитронными парами в квантовой электродинамике (КЭД). Для нуклонов мы видим большую разницу между фактическими (8.58) и дираковскими (𝑝) (𝑛) значениями, 𝑔𝑠 = 2, 𝑔𝑠 = 0. Эта разница (аномальные магнитные моменты) порождается сильными взаимодействиями квантовой хромодинамики (КХД), ответственными за внутреннюю структуру нуклона. Задача 8.5 Найдите магнитные моменты для протона и нейтрона в одночастичном состоянии с квантовыми числами ℓ и 𝑗. Поскольку нейтрон не несет электрического заряда, считайте, что орбитальные гиромагнитные отношения для нуклонов равны (в единицах ядерных магнетонов) (𝑝)

𝑔ℓ

= 1,

(𝑛)

𝑔ℓ

= 0.

(8.59)

Решение Для 𝑗 = ℓ ± 1/2 находим одночастичные магнитные моменты 𝜇𝑝 (𝑗) = 𝑗 −

1 + 𝜇𝑝 , 2

𝜇𝑛 (𝑗) = 𝜇𝑛 ,

1 𝑗 =ℓ+ , 2

(8.60)

где 𝜇𝑝 и 𝜇𝑛 - величины (8.58), и 𝜇𝑝 (𝑗) =

(2𝑗 + 3)𝑗 − 2𝑗𝜇𝑝 , 2(𝑗 + 1)

𝜇𝑛 (𝑗) = −

𝑗 𝜇𝑛 , 𝑗+1

1 𝑗 =ℓ− . 2

(8.61)

Зависимость магнитных моментов от 𝑗, описываемую (8.60) и (8.61), так называемые линии Шмидта, 1937 г., для протонов и нейтронов можно сравнить с экспериментальными данными для различных ядер, которые имеют нечётное число протонов или нейтронов [31] . Для прямого сравнения мы должны предположить, что весь магнитный момент ядра связан с последней нечётной («непарной») частицей, и экспериментально измеренный полный угловой момент 𝐽 ядра равен угловому моменту 𝑗 этого последнего нуклона. В квазиклассическом пределе больших 𝑗 ≈ ℓ ≫ 𝑠 магнитный момент нейтрона, имеющий, в силу (8.59), только спиновую часть, равен ±𝜇𝑛 для всех 𝑗, в зависимости от параллельной или антипараллельной взаимной ориентации s и j; протонный магнитный момент линейно возрастает

228

Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структура

как 𝑗 ± 𝜇𝑝 из-за орбитальной части. Следует отметить, что линии Шмидта универсальны и не несут информации о характеристиках центрального поля. В действительности одночастичные линии Шмидта дают лишь очень приблизительное представление о фактических магнитных моментах ядер, которые заметно меняются из-за многочастичных эффектов. Экспериментальные значения лежат в основном между линиями, и только если такое значение действительно близко к одной из линий 𝑗 = 𝑙 ± 1/2, мы можем попытаться определить орбитальный момент 𝑙 последнего нуклона. Задача 8.6 Уравнение Паули. Покажите, что гамильтониан Паули

^ = 𝐻

(︁ )︁2 𝜎 · (^ p − (𝑒/𝑐)A) 2𝑚

(8.62)

правильно описывает поведение электрона в магнитном поле ℬ = curl A и предсказывает спиновое гиромагнитное отношение 𝑔𝑠 = 2 в классических единицах (𝑒/2𝑚𝑐). Этот гамильтониан возникает в нерелятивистском пределе гамильтониана Дирака (разд. III.7.5). Решение Используя алгебру спиновых матриц (разд. 5.2), мы получаем из (8.62) (︁ )︁ (︁ )︁ ^ = (𝛿𝑖𝑗 + 𝑖𝜀𝑖𝑗𝑘 𝜎𝑘 ) 1 𝑝^𝑖 − 𝑒 𝐴𝑖 𝑝^𝑗 − 𝑒 𝐴𝑗 . 𝐻 2𝑚 𝑐 𝑐

(8.63)

Диагональный член (𝛿𝑖𝑗 ) не содержит операторов спина и совпадает с выражением для орбитального магнетизма, которое используется в нерелятивистской квантовой механике, (︁ 𝑒 )︁2 ^ orb = 1 p ^− A . 𝐻 2𝑚 𝑐

(8.64)

^ =p ^ 2 /2𝑚, диамагЭтот член содержит обычную кинетическую энергию 𝐾 нитный член второго порядка (2)

𝐻orb =

𝑒2 A2 , 2𝑚𝑐2

(8.65)

и член первого порядка, отвечающий за орбитальный парамагнетизм, ^ (1) = − 𝑒 (^ ^ ), 𝐻 p·A+A·p orb 2𝑚𝑐

(8.66)

8.5. Магнитный момент и спин-орбитальное взаимодействие

229

что в удобной симметричной калибровке для однородного статического магнитного поля 1 ℬ × r], A = [ℬ 2

[∇ × A] = ℬ ,

∇·A=0

(8.67)

^ )) приводит к (в этой калибровке (^ p · A) = (A · p (1)

𝐻orb = −

𝑒 𝑒 𝑒~ ^ 𝑒 ℬ ×r]·^ ℬ ). (8.68) (A·^ [ℬ p=− ℬ ·[r×^ p] = − (ℓ ·ℬ p) = − 𝑚𝑐 2𝑚𝑐 2𝑚𝑐 2𝑚𝑐

Результат (8.68) означает, что орбитальный магнитный момент, определённый согласно ^ (1) = −(^ 𝐻 𝜇 ℓ · ℬ ), orb

(8.69)

равен 𝜇 ^=

𝑒~ ^ ℓ 2𝑚𝑐

𝑔𝑙 =

𝑒 , 2𝑚𝑐

(8.70)

т. е. одному магнетону (при заданных значениях заряда и массы частицы). (Вспомните простой квазиклассический вывод этого результата, раздел I.1.8). Оставшийся в уравнении (8.63) спиновый член антисимметричен и, следовательно, содержит только перекрёстные слагаемые: ^ (1) = − 𝑖𝑒 𝜀𝑖𝑗𝑘 (^ 𝑝𝑖 𝐴𝑗 + 𝐴𝑖 𝑝^𝑗 )𝜎𝑘 . 𝐻 spin 2𝑚𝑐

(8.71)

Выражение в скобках в уравнении (8.71) можно переписать в виде 𝑝^𝑖 𝐴𝑗 + 𝐴𝑖 𝑝^𝑗 = [^ 𝑝𝑖 , 𝐴𝑗 ] + 𝐴𝑗 𝑝^𝑖 + 𝐴𝑖 𝑝^𝑗 .

(8.72)

Последние два слагаемых симметричны относительно перестановки индексов 𝑖 ↔ 𝑗 и дают нуль при свёртке с антисимметричным тензором 𝜀𝑖𝑗𝑘 , в то время как коммутатор даёт ^ (1) = − 𝑖𝑒 𝜀𝑖𝑗𝑘 (−𝑖~) 𝜕𝐴𝑗 𝜎𝑘 = − 𝑒~ [∇ × A] · 𝜎 , 𝐻 spin 2𝑚𝑐 𝜕𝑥𝑖 2𝑚𝑐

(8.73)

или, поскольку ^s = 𝜎 /2, ^ (1) = −(^ 𝐻 𝜇 𝑠 · ℬ ), spin

^ 𝑠 = 𝑔𝑠 ~^s, 𝜇

𝑔𝑠 =

𝑒 = 2𝑔𝑙 . 𝑚𝑐

(8.74)

230

Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структура

Таким образом, уравнение Паули предсказывает, что спиновый магнитный момент частицы спина 1/2 в состоянии покоя равен (1/2)~𝑔𝑠 , т.е. опять одному магнетону.

8.6. Магнитная сверхтонкая структура До сих пор при рассмотрении электронных атомных состояний было принято во внимание только кулоновское поле ядра. Однако, как мы знаем из разд. 7.5, ядра с ненулевым спином могут иметь также высшие мультипольные моменты внутреннего распределения заряда. Магнитные моменты упоминались в предыдущем пункте, они имеют величину порядка ядерных магнетонов. Многие ядра со спином 𝐼 > 1/2 обладают несферическим распределением заряда, которое характеризуется электрическим квадрупольным моментом. Высшие мультипольные моменты также изменяют поле, действующее на электроны, что приводит к появлению дополнительных членов в атомном гамильтониане. Соответствующие изменения атомных спектров наблюдаются как их сверхтонкая структура. Начнём с эффектов для ядерных магнитных моментов. Магнитное дипольное взаимодействие ядерного магнитного момента 𝜇 с магнитным моментом электрона 𝜇 𝑒 можно оценить по порядку величины как [1], S 44 𝛿𝐸𝜇 ∼

𝜇𝑒 · 𝜇 ) (𝜇 . 𝑟3

(8.75)

Ядерный магнетон меньше магнетона Бора в отношении 𝑚/𝑀 массы электрона к массе протона, и среднее расстояние валентного электрона от ядра имеет порядок боровского радиуса 𝑎, так что 𝜇2 𝑚 𝛿𝐸𝜇 ∼ 𝐵 ∼ 𝑎3 𝑀

(︂

𝑒~ 𝑚𝑐

)︂2

1 𝑚 . 𝑎3 𝑀

(8.76)

Сравнивая с расщеплением тонкой структуры (8.7), мы находим 𝛿𝐸𝜇 ∼ 𝛿𝐸ℓ𝑠

𝑚 ≃ 10−3 𝛿𝐸ℓ𝑠 ∼ 10−7 𝐸𝑏 , 𝑀

(8.77)

где 𝐸𝑏 есть типичная энергия связи электрона. Малость эффекта оправдывает название сверхтонкая структура. Геометрия магнитной сверхтонкой структуры определяется эффективным гамильтонианом, который можно записать как взаимодействие ядерного магнитного момента 𝜇 с магнитным полем ℬ (0), создаваемым элек-

8.6. Магнитная сверхтонкая структура

231

троном(ами) на ядре, расположенном в начале координат; ядро считается точечным в этом приближении (︁ )︁ ′ ^ ^ 𝜇 ^ ℬ 𝐻𝜇 = − · (0) . (8.78) Из-за слабости магнитного взаимодействия мы можем ограничиться приближением теории возмущений, беря среднее значение возмущения (8.78) в невозмущенном состоянии ядра и электронов. Ядерный магнитный дипольный оператор, в соответствии с векторной моделью, должен быть пропорционален ядерному спину (полному угловому моменту ядра) I: ^ = 𝑔𝐼 ~^I. 𝜇

(8.79)

Гиромагнитное отношение 𝑔𝐼 было найдено в задаче 8.5 в одночастичном приближении; точное многочастичное значение можно взять из эксперимента. Поле ℬ (0) должно быть усреднено по данной электронной конфигурации, что даёт аксиальный вектор, направленный, в соответствии с векторной моделью, вдоль единственного вектора, характеризующего электроны как целое — их полного углового момента J ^ (0) = 𝛾 J. ^ ℬ

(8.80)

Здесь коэффициент 𝛾 зависит от конфигурации и должен вычисляться в рамках атомной физики. Мы видим, что эффективный гамильтониан сверхтонкой магнитной структуры должен иметь форму ^ · ^I) ≡ 𝐴(J ^ · ^I). ^ 𝜇′ = −~𝑔𝐼 𝛾(J 𝐻

(8.81)

Этот гамильтониан можно рассматривать совершенно аналогично гамильтониану тонкой структуры (8.46). Соответствие между ними очевидно, Тонкая структура Сверхтонкая структура S I L J J=L+S F = I + J.

(8.82)

Повторяя те же рассуждения, что и в случае тонкой структуры, мы констатируем, что невозмущенные атомно-ядерные уровни с данными 𝐽 и 𝐼, но с разным полным угловым моментом 𝐹 атома образуют мультиплет сверхтонкой структуры (2𝐼 + 1) уровней, если 𝐼 6 𝐽, и (2𝐽 + 1) уровней,

232

Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структура

если 𝐽 6 𝐼. Каждый 𝐹 -уровень вырожден по общей проекции 𝐹𝑧 = 𝑀𝐹 . Сдвиг энергии за счёт взаимодействия (8.81) выражается как в (8.49), 𝛿𝐸𝐹 (𝐽, 𝐼) =

𝐴𝑋𝐹 (𝐼, 𝐽) 𝐴 [𝐹 (𝐹 + 1) − 𝐽(𝐽 + 1) − 𝐼(𝐼 + 1)] ≡ . 2 2

(8.83)

Снова выполняется правило интервалов (8.49), 𝐸𝐹 (𝐽, 𝐼) − 𝐸𝐹 −1 (𝐽, 𝐼) = 𝐴𝐹.

(8.84)

Таким образом, измерение сверхтонкого расщепления позволяет сделать заключение о постоянной 𝐴 и, следовательно, о магнитном моменте и спине ядра. Атомная постоянная 𝛾 должна рассчитываться независимо по волновой функции атома.

8.7. Пример: один валентный электрон В качестве иллюстрации мы рассмотрим простейший случай, когда магнитное поле на ядре создаётся одним валентным электроном на орбите |𝑛ℓ𝑗𝑚⟩; полностью заполненные оболочки имеют нулевой угловой момент, так что их общее магнитное поле исчезает. В случае одного электрона вектор J сводится к j = ℓ + s. Соответственно, магнитное поле имеет два источника. Поле орбитального момента можно найти по закону Био—Савара [1, §43]. Классический заряд 𝑒, движущийся со скоростью v, создаёт на расстоянии r магнитное поле ℬ ℓ (0) =

𝑒 [r × v]. 𝑐𝑟3

(8.85)

Соответствующий квантовый оператор направлен вдоль орбитального момента ℓ ^ ^ ^ ℓ = 𝑒~ ℓ = −2𝜇𝐵 ℓ . ℬ 3 𝑚𝑐 𝑟 𝑟3

(8.86)

Спиновый магнитный момент 𝜇 𝑠 = 𝑔𝑠 ~s создаёт другую часть магнитного поля [1, §44] ^𝑠 𝜇 𝑠 · n) − 𝜇 3n(^s · n) − ^s ^ 𝑠 (0) = 3n(^ ℬ = −2𝜇𝐵 , 3 𝑟 𝑟3

(8.87)

8.7. Пример: один валентный электрон

233

где n = r/𝑟, единичный вектор в направлении электрона. Таким образом, (︁ )︁ ^ (0) = − 2𝜇𝐵 ℓ^ − ^s + 3n(^s · n) . ℬ 𝑟3

(8.88)

Этот оператор должен быть усреднён по всем квантовым числам, за исключением проекции 𝑚 полного углового момента j, что приводит к эффективному оператору векторной модели, пропорциональному ^j. Задача 8.7 Покажите, что эффективный оператор векторной модели для величины в скобках в равенстве (8.88) определяется соотношением ℓ(ℓ + 1) ^ ⟨ℓ^ − ^s + 3n(^s · n)⟩ = ⟨j⟩. 𝑗(𝑗 + 1)

(8.89)

Выражение (8.89) обращается в нуль для 𝑠-электронов (ℓ = 0). Однако в 𝑠-состояниях волновая функция 𝜓𝑠 (0) электрона отличается от нуля в начале координат, и среднее значение 1/𝑟3 расходится, так что результат оказывается конечным и правильным также и для ℓ = 0. Для любого значения ℓ получаем, используя решение задачи 4.4, ^ (0) = −2𝜇𝐵 ℬ

𝑍3 ^j. 𝑎3 𝑛3 (ℓ + 1/2)𝑗(𝑗 + 1)

(8.90)

Это выражение определяет константу 𝛾𝑛ℓ из уравнения (8.80). Оно справедливо с точностью до релятивистских поправок и поправок, учитывающих конечный размер ядра. Коэффициент 𝐴 (8.81), который определяет наблюдаемое сверхтонкое расщепление, выражается соотношением 𝐴 = 2𝜇𝐵

𝑍3 ~𝑔𝐼 . 𝑎3 𝑛3 (ℓ + 1/2)𝑗(𝑗 + 1)

(8.91)

Для основного состояния атома водорода, 𝑛 = 1, ℓ = 0, 𝑗 = 1/2, заряд протона 𝑍 = 1, спин 𝐼𝑝 = 1/2, и магнитный момент протона 𝜇𝑝 = 2, 79 𝜇𝑁 = 2, 79(𝑚/𝑀𝑝 )𝜇𝐵 . Значит, 𝐴𝐻 = 2 · 5.58

𝑚 2 8 𝜇 . 𝑀𝑝 𝐵 3𝑎3

(8.92)

По сравнению с нашей грубой первоначальной оценкой (8.75), мы имеем дополнительный числовой множитель, близкий к 30. Сверхтонкая структу-

234

Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структура

F=2

J=3/2 n=2, l=1

n=1, l=0

F=1 F=1

J=1/2

F=0 F=1

J=1/2

F=0

Рис. 8.3. Сверхтонкая структура основного состояния 𝑛 = 1, 2 𝑠1/2 и первых 𝑝-состояний 𝑛 = 2, 2 𝑝1/2,3/2 атома водорода mF=+1

μe parallel to field

0 F=1

F=0

–1

μe antiparallel to field

0

Рис. 8.4. Расщепление Штерна—Герлаха сверхтонкой структуры атома водорода

ра основного состояния атома водорода (рис. 8.3) состоит из двух уровней, синглета 𝐹 = 0 и триплета 𝐹 = 1. Интервал по энергии между ними, согласно (8.84), равен константе 𝐴. Соответствующая частота перехода 𝜈(𝐹 = 1 → 𝐹 = 0) =

𝐴 = 1423 МГц. 2𝜋~

(8.93)

Это знаменитая спектральная линия излучения межзвездного водорода с длиной волны 𝜆 = 21 см. Являясь особенной линией самого легкого химического элемента, она предлагалась для поиска сигналов от внеземных цивилизаций. Значение частоты (8.93) отличается от очень точных экспериментальных измерений на 0, 2 %. Это отклонение объясняется в квантовой электродинамике (наиболее точном разделе теоретической физики) поправкой (I.1.73) к магнитному моменту электрона. Рассчитаны даже поправки более высокого порядка (по степеням 𝛼), и результаты полностью согласуются с экспериментами. И наоборот, последние измерения электронного магнитного момента дают точное значение для постоянной тонкой структуры (3.96).

8.8. Квадрупольная сверхтонкая структура

235

В качестве примера применения отметим квантовый стандарт времени, использующий радиочастотное излучение атомарного водорода. Между расщеплёнными состояниями сверхтонкой структуры 𝐹 = 0 и 𝐹 = 1 возможен радиационный M1 (обозначения разд. 6.6) переход с переворотом спина; он наблюдается также в спектре межзвездного водорода. Инверсную заселённость уровней сверхтонкой структуры, см. раздел 14.1., можно создать с помощью установки Штерна—Герлаха (рис. 8.4), используя большую разницу магнитных моментов электрона и протона. Мы можем отделить две верхние компоненты с магнитным моментом электрона вдоль магнитного поля, а именно 𝑀𝐹 = 1, которая идет от чистого 𝐹 = 1 состояния, и 𝑀𝐹 = 0, которая является суперпозицией 𝐹 = 1 и 𝐹 = 0 с равными весами. Заселённость верхнего 𝑀𝐹 = 1, следовательно, выше, как и необходимо для инверсии. Если разделённый пучок попадает в радиочастотный резонатор (𝜆 ∼ 21 см), слабое спонтанное излучение будет вызывать самовозбуждение и генерацию.

8.8. Квадрупольная сверхтонкая структура Электрический квадрупольный момент ядра может иметь одночастичную или коллективную природу. В первом случае он создаётся валентным протоном, будучи порядка 𝑒𝑅2 , где 𝑅 есть радиус ядра. Это возможно, если валентный протон находится на орбите с полным угловым моментом 𝑗 > 1/2. Коллективный квадрупольный момент зависит от степени деформации, которую можно охарактеризовать параметром 𝛽, определяемым как отношение разности радиусов ядра вдоль двух осей симметрии к среднему радиусу ядра. В типичных деформированных ядрах деформация основного состояния имеет порядок 𝛽 ≈ 0, 3, хотя в возбужденных состояниях некоторые ядра становятся супердеформированными с 𝛽 ≈ 0, 6, что соответствует отношению осей, близкому к 2:1. Коллективный квадрупольный момент (компонента вдоль оси симметрии, если ядро аксиально-симметрично) можно оценить как 𝑄 ∼ 𝛽𝑍𝑒𝑅2 , где 𝑍𝑒 — заряд ядра. Коллективный эффект может быть на один-два порядка больше по величине, чем одночастичный. Взаимодействие квадрупольного момента ядра с электроном приводит к сдвигу энергии, который можно оценить в одночастичном случае как 𝑒𝑄 𝑒2 𝑅2 𝑒2 𝛿𝐸𝑄 ∼ 3 ∼ 3 ∼ 𝑟 𝑎 𝑎

(︂ )︂2 (︂ )︂2 𝑅 𝑅 ∼ 𝐸𝑏 . 𝑎 𝑎

(8.94)

236

Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структура

Для тяжёлых ядер 𝑅 ∼ 10−12 см, и 𝛿𝐸𝑄 ∼ 10−8 𝐸𝑏 , сравните с оценкой (8.77) для магнитного случая. Когда имеется коллективный квадрупольный момент, квадрупольная сверхтонкая структура может быть важнее, чем магнитная. Согласно электродинамике [1, §42], ядерный квадрупольный тензор 𝑄𝑖𝑗 взаимодействует с электростатическим потенциалом 𝜙, создаваемым атомными электронами на ядре, через гамильтониан (︂ 2 )︂ 1 𝜕 𝜙 ′ 𝐻𝑄 = 𝑄𝑖𝑗 , (8.95) 6 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 0 где производные потенциала (компоненты градиента электрического поля) берутся в центре ядра. Здесь в свёртке двух симметричных тензоров подразумевается суммирование по повторяющимся декартовым индексам 𝑖, 𝑗. Квадрупольный тензор 𝑄𝑖𝑗 является бесследным, (1.130). Если I есть ^ 𝑖𝑗 , усреднённый по всем ядерный угловой момент, эффективный оператор 𝑄 квантовым числам состояния ядра, за исключением проекции 𝐽𝑧 , должен быть выражен как симметричный бесследный тензор через компоненты ^I. С необходимостью этот эффективный тензор имеет вид (с некоторым постоянным множителем 𝑞) (︂ )︂ 2 ^2 ^ ^ ^ ^ ^ 𝑄𝑖𝑗 = 𝑞 𝐼𝑖 𝐼𝑗 + 𝐼𝑗 𝐼𝑖 − I 𝛿𝑖𝑗 . (8.96) 3 Задача 8.8 В соответствии с соглашением, в таблицах квадрупольных моментов ^ 𝑧𝑧 в состоянии приводится величина 𝑄, которая есть среднее значение 𝑄 |𝐼, 𝐼𝑧 = 𝐼⟩ с максимальной возможной проекцией 𝐼𝑧 на ось квантования (𝑧). Найдите связь между 𝑄 и коэффициентом 𝑞 в определении (8.96). Решение 𝑞=

3𝑄 . 2𝐼(2𝐼 − 1)

(8.97)

Нуль в знаменателе (8.97) при 𝐼 = 0 и 𝐼 = 1/2 не означает, что 𝑞 → ∞, поскольку при таких значениях 𝐼 квадрупольный момент отсутствует (разд. 7.5). Задача 8.9 Вычислить квадрупольный момент 𝑄 для одной частицы с зарядом 𝑒 на орбите с квантовыми числами 𝑛, ℓ, 𝑗.

8.8. Квадрупольная сверхтонкая структура

237

Решение 𝑄 = 𝑒⟨3𝑧 2 − 𝑟2 ⟩𝑛ℓ𝑗𝑗 = −

2𝑗 − 1 2 ⟨𝑟 ⟩𝑛ℓ . 2𝑗 + 2

(8.98)

Результат зануляется при 𝑗 = 1/2, как это и должно быть. Здесь отрицательный знак отражает тот факт, что частица с максимальной проекцией углового момента на ось 𝑧 имеет волновую функцию, в основном сосредоточенную в перпендикулярной (экваториальной) плоскости, вспомните (1.136); её облако сплюснуто и ⟨𝑧 2 ⟩
𝑡2 . Два оператора 𝐻 чены: оператор с более поздним временем стоит слева. Вводя символ ϒ хронологического произведения операторов, можно представить результат как (︂ )︂ {︂∫︁ 𝑡 ∫︁ 𝑡 (︁ )︁ }︂ 1 1 2 (2) ′ ′ ˘ ˘ 𝑎𝑓 (𝑡) = ϒ 𝑑𝑡1 𝑑𝑡2 𝐻 (𝑡1 )𝐻 (𝑡2 ) . (10.28) 2 𝑖~ 𝑓𝑖 −∞ −∞

Итерации могут быть продолжены тем же путём. Результат записывается в виде бесконечного ряда ∫︁ 𝑡𝑛−1 (︁ )︁ ∑︁ (︂ 1 )︂𝑛 ∫︁ 𝑡 ˘ ′ (𝑡1 ) . . . 𝐻 ˘ ′ (𝑡𝑛 ) . (10.29) 𝑎𝑓 (𝑡) = 𝑑𝑡1 . . . 𝑑𝑡𝑛 𝐻 𝑖~ 𝑓𝑖 −∞ −∞ 𝑛=1

В 𝑛-м члене ряда переход происходит через 𝑛−1 промежуточных состояний, ^ ′ берётся в представлении взаимодействия. Операторы и каждый оператор 𝐻 ′ ^ 𝐻 (𝑡), взятые в разные моменты времени, в общем случае не коммутируют, и их порядок в ряде (10.29) фиксирован хронологическим упорядочиванием — время возрастает справа налево. Можно использовать все 𝑛! перестановок времён интегрирования и, после переобозначений, привести каждый член ряда к виду, аналогичному 𝑎(2) , сохраняя при этом везде хронологический порядок. Можно также распостранить результат на 𝑓 = 𝑖, добавляя член нулевого порядка 1𝑓 𝑖 = 𝛿𝑓 𝑖 . Получившийся ряд напоминает разложение

10.4. Адиабатические возмущения

271

экспоненты, но с временным упорядочиванием в каждом члене: ∫︁ 𝑡 (︁ )︁ }︂ ∑︁ 1 (︂ 1 )︂𝑛 {︂∫︁ 𝑡 ′ ′ ˘ ˘ . 𝑑𝑡𝑛 𝐻 (𝑡1 ) . . . 𝐻 (𝑡𝑛 ) 𝑎𝑓 (𝑡) = 𝛿𝑓 𝑖 + ϒ 𝑑𝑡1 . . . 𝑛! 𝑖~ 𝑓𝑖 −∞ −∞ 𝑛=1

(10.30) Обычно его записывают в виде ϒ-экспоненты: ]︂}︂ {︂ [︂ ∫︁ 𝑡 ′ ˘′ ′ . 𝑎𝑓 (𝑡) = ϒ exp −(𝑖/~) 𝑑𝑡 𝐻 (𝑡 ) −∞

(10.31)

𝑓𝑖

Это символическое выражение может быть полезно при выводе общих формул, но оно обычно не помогает в конкретных расчётах, когда ряд должен вычисляться приближённо и обрываться на каком-то шаге.

10.4. Адиабатические возмущения ^ ′ (𝑡) является плавной функцией времени, например, Если возмущение 𝐻 меняясь заметно только в течение большого интервала времени ∼ 𝜏 , его фурье-разложение может иметь заметные компоненты только для малых частот 𝜔 6 𝜔0 = 1/𝜏 . Тогда переходы с большими частотами 𝜔𝑓 𝑖 > 𝜔0 подавлены. Мы уже видели это в задаче 10.1 в пределе 𝜔𝜏 > 1. Такие медленно меняющиеся возмущения называются адиабатическими. Более точно, для адиабатического возмущения по отношению к переходу 𝑖 → 𝑓 изменение энергии за период 𝛿𝑡 ∼ 1/𝜔𝑓 𝑖 должно быть мало по сравнению с энергией перехода 𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 = ~𝜔𝑓 𝑖 : 𝑑𝐻𝑓′ 𝑖 1 𝛿𝐻 ′ 𝛿𝐻 ∼ 𝛿𝑡 ∼ ≪ ~𝜔𝑓 𝑖 . 𝛿𝑡 𝑑𝑡 𝜔𝑓 𝑖

(10.32)

Уже простая оценка показывает, что при выполнении условия (10.32) ^ ′ плавно вклювероятность перехода мала. Пусть, например, возмущение 𝐻 чается в момент времени 𝑡 = 0 и выключается при 𝑡 = 𝑡¯. При 𝑡 > 𝑡¯ переходы уже закончились, и полная вероятность перехода есть ⃒∫︁ ⃒2 ¯ ⃒ 1 ⃒⃒ 𝑡 ′ 𝑖𝜔𝑓 𝑖 𝑡 ⃒ 𝑤𝑓 𝑖 = 2 ⃒ 𝑑𝑡 𝐻𝑓 𝑖 (𝑡)𝑒 (10.33) ⃒ . ⃒ ~ ⃒ 0

272

Глава 10 Нестационарные возмущения

Интегрируя это выражение по частям, мы можем преобразовать его как 𝑤𝑓 𝑖

1 = 2 ~

⃒[︂ ⃒2 ]︂𝑡¯ ∫︁ 𝑡¯ ⃒ 𝑒𝑖𝜔𝑓 𝑖 𝑡 𝑑𝐻𝑓′ 𝑖 (𝑡) ⃒⃒ 1 ⃒ 𝑖𝜔𝑓 𝑖 𝑡 ′ 𝑑𝑡 𝑒 𝐻 (𝑡) − ⃒ ⃒ , ⃒ 𝑖𝜔𝑓 𝑖 𝑓 𝑖 𝑖𝜔𝑓 𝑖 0 𝑑𝑡 ⃒ 0

^ ′, или, учитывая граничные условия для 𝐻 ⃒ ⃒∫︁ ¯ ′ (𝑡) ⃒2 𝑑𝐻 1 ⃒⃒ 𝑡 ⃒ 𝑓𝑖 𝑤𝑓 𝑖 = 2 2 ⃒ 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜔𝑓 𝑖 𝑡 ⃒ . 𝑑𝑡 ⃒ ~ 𝜔𝑓 𝑖 ⃒ 0

(10.34)

(10.35)

Предполагая плавное поведение производной 𝐻˙ 𝑓′ 𝑖 , вынесем из-под интеграла квадрат её максимального абсолютного значения и вычислим оставшийся интеграл 𝑤𝑓 𝑖

⃒ ⃒ ′ 2 4 sin2 (𝜔𝑓 𝑖 𝑡/2) ⃒⃒ 𝑑𝐻𝑓 𝑖 ⃒⃒ 6 ⃒ ⃒ . ⃒ 𝑑𝑡 ⃒ ~2 𝜔𝑓4𝑖

(10.36)

Верхний предел вероятности перехода пропорционален квадрату малого параметра адиабатичности |𝐻˙ 𝑓′ 𝑖 |2 /(~𝜔𝑓 𝑖 )2 , что находится в согласии с оценкой (10.32). Мы видим, что в случае, когда возмущение включается и выключается адиабатически, реальные переходы слабы. Внутри интервала 0 < 𝑡 < 𝑡¯ вероятность перехода может быть заметной благодаря вкладу верхнего предела в проинтегрированном члене (10.34). Это значит, что вектор состояния |Ψ(𝑡)⟩ отличается от начального вектора |𝑖⟩ внутри этого интервала. Если бы мы мгновенно выключили возмущение в некоторый момент внутри интервала и разложили |Ψ(𝑡)⟩ по стационарным состояниям |𝑓 ⟩, мы нашли бы заметные вероятности переходов 𝑖 → 𝑓 . Эти вероятности обязаны, главным образом, резкому выключению возмущения. В адиабатическом режиме вектор состояния |Ψ(𝑡)⟩ плавно меняется, подстраиваясь к медленно меняющемуся возмущению. В длительном процессе волновая функция может значительно меняться. Однако при 𝑡 > 𝑡¯ система с большой вероятностью вернётся к исходному состоянию.

10.5. Адиабатическая теория возмущений В нашей оценке (10.36) мы видели, что, хотя мы начинали со стандартной теории возмущений, действительная малость была обусловлена не

10.5. Адиабатическая теория возмущений

273

малостью возмущения, а, скорее, медленностью его изменения. В этом случае можно развить специальный вариант теории возмущений, где не ^ ′ (𝑡). Вместо этого малым параметром требуется малости возмущения 𝐻 будет скорость изменения возмущения в смысле неравенства (10.32). За большой временной интервал медленный дрейф вектора состояния может привести в конце к значительному его изменению. В адиабатической теории возмущений нет смысла разбивать гамильтониан на невозмущённую часть и возмущение, как это сделано в (10.6). Вместо этого мы предположим, что гамильтониан зависит от некоторых параметров ^ ^ 𝑋𝑖 (𝑡), которые являются плавными функциями времени, 𝐻(𝑡) = 𝐻(𝑋(𝑡)). Мы знаем уже, что вектор состояния будет меняться, приспосабливаясь к эволюции 𝑋(𝑡). При этом плавном изменении эволюционирующее основное состояние будет оставаться основным, первое возбуждённое останется первым возбуждённым и т.д. Адиабатическая динамика уровней напоминает ламинарный поток в отсутствие турбулентности (например, реалистический спектр ядерных уровней при сильном смешивании, т. 1, рис. 19.1). ˙ тем более ламинарным будет характер потока. Чем меньше 𝑑𝑋/𝑑𝑡 ≡ 𝑋, При фиксированном значении 𝑋 найдем набор стационарных состояний ^ |𝑛; 𝑋⟩ гамильтониана 𝐻(𝑋): ^ 𝐻(𝑋)|𝑛; 𝑋⟩ = 𝐸𝑛 (𝑋)|𝑛; 𝑋⟩.

(10.37)

Набор мгновенных состояний |𝑛; 𝑋⟩ может использоваться в качестве подвижного адиабатического базиса вместо фиксированного базиса, использовавшегося в (10.8). Обычная фаза −𝐸𝑛 𝑡/~ должна быть заменена на полную динамическую фазу, набегающую в течение процесса: ∫︁ 1 𝑡 𝜙𝑛 (𝑡) = − 𝑑𝑡′ 𝐸𝑛 (𝑋(𝑡′ )). (10.38) ~ −∞ ∫︀ Она подобна пространственной фазе 𝑘𝑑𝑥 квазиклассической волновой функции в плавно меняющемся потенциале. В каждый момент времени плавающий базис (10.37) является полным и мы можем искать решение уравнения Шрёдингера 𝑖~

𝜕 ^ |Ψ(𝑡)⟩ = 𝐻(𝑋(𝑡))|Ψ(𝑡)⟩ 𝜕𝑡

(10.39)

274

Глава 10 Нестационарные возмущения

в форме разложения по мгновенным функциям |𝑛; 𝑋(𝑡)⟩, ∑︁ 𝑎𝑛 (𝑡)𝑒𝑖𝜙𝑛 (𝑡) |𝑛; 𝑋(𝑡)⟩. |Ψ(𝑡)⟩ =

(10.40)

𝑛

В крайнем адиабатическом пределе волновая функция будет просто следовать за изменением 𝑋(𝑡) вдоль определенного энергетического терма в пространстве параметров. В реальности из-за конечной скорости движения 𝑋˙ в этом пространстве между адиабатическими термами ещё возможны переходы, которые описываются остаточной временной зависимостью амплитуд 𝑎𝑛 (𝑡) в (10.40). Временная производная функции (10.40) равна [︂ ]︂ ∑︁ 𝜕 𝑖 𝜕 𝑖𝜙𝑛 (𝑡) ˙ |Ψ⟩ = 𝑒 𝑎˙ 𝑛 − 𝐸𝑛 (𝑋(𝑡))𝑎𝑛 + 𝑎𝑛 𝑋 |𝑛; 𝑋(𝑡)⟩, (10.41) 𝜕𝑡 ~ 𝜕𝑋 𝑛 где учтено, что ^ 𝐻(𝑡)|Ψ⟩ =

∑︁

𝑒𝑖𝜙𝑛 (𝑡) 𝑎𝑛 𝐸𝑛 (𝑋(𝑡))|𝑛; 𝑋(𝑡)⟩.

(10.42)

𝑛

При фиксированном 𝑡 и 𝑋 = 𝑋(𝑡) состояния |𝑛; 𝑋(𝑡)⟩ ортонормированы. Поэтому проекция на ⟨𝑚; 𝑋(𝑡)| даёт для каждого 𝑚 ∑︁ 𝑎˙ 𝑚 + 𝑋˙ 𝐵𝑚𝑛 (𝑡)𝑎𝑛 𝑒𝑖[𝜙𝑛 (𝑡)−𝜙𝑚 (𝑡)] = 0, (10.43) 𝑛

где роль возмущения, индуцирующего переходы, играют матричные элементы градиента волновой функции по параметрам ⃒ ⃒ ⟩ ⟨ ⃒ 𝜕 ⃒ ⃒ ⃒ 𝐵𝑚𝑛 (𝑡) = 𝑚; 𝑋(𝑡) ⃒ 𝑛; 𝑋(𝑡) . (10.44) 𝜕𝑋 ⃒

Система уравнений (10.43) всё ещё точная. Амплитуды 𝑎𝑛 в подвижном базисе меняются со временем только из-за наличия 𝑋˙ — изменения параметров. Если мы имели в далёком прошлом, 𝑡 → −∞, набор коэффициентов 𝑎0𝑛 ≡ 𝑎𝑛 (−∞) и эволюция является адиабатической, то можно ожидать, что амплитуды 𝑎𝑚 будут почти постоянными, хотя сами базисные состояния могут значительно измениться. Адиабатическая теория возмущений ˙ использует разложение по 𝑋, 𝑎𝑚 = 𝑎∘𝑚 + 𝑎(1) 𝑚 (𝑡) + ...

(10.45)

10.6. Неадиабатические переходы В первом порядке мы получаем из (10.43) ∑︁ ˙ 𝐵𝑚𝑛 (𝑡)𝑎∘𝑛 𝑒𝑖[𝜙𝑛 (𝑡)−𝜙𝑚 (𝑡)] . 𝑎˙ (1) = − 𝑋 𝑚

275

(10.46)

𝑛

Решение в первом порядке выражается интегралом по времени ∫︁ 𝑡 ∑︁ (1) ˙ ′ )𝑒𝑖[𝜙𝑛 (𝑡′ )−𝜙𝑚 (𝑡′ )] 𝑎∘𝑛 . 𝑎𝑚 (𝑡) = − 𝑑𝑡′ 𝐵𝑚𝑛 (𝑡′ )𝑋(𝑡 −∞

(10.47)

𝑛

Для вычисления вероятности переходов рассмотрим определённое начальное состояние 𝑎0𝑛 = 𝛿𝑛𝑖 . С помощью уравнения (4.36) получаем из (10.47) для конечного состояния 𝑓 ̸= 𝑖: ⃒ ⃒ ⟨ ⟩ ⃒ 𝜕 𝐻^ ⃒ ∫︁ 𝑡 𝑓 ; 𝑋(𝑡′ ) ⃒ 𝜕𝑋 𝑖; 𝑋(𝑡′ ) ⃒ (1) ˙ ′ )𝑒𝑖[𝜙𝑖 (𝑡′ )−𝜙𝑓 (𝑡′ )] . (10.48) 𝑎𝑓 (𝑡) = − 𝑑𝑡′ 𝑋(𝑡 ′ ′ 𝐸𝑖 (𝑋(𝑡 )) − 𝐸𝑓 (𝑋(𝑡 )) −∞ Этот результат напоминает обычную теорию возмущений. Обобщение на вычисление высших порядков адиабатического приближения представляется очевидным.

10.6. Неадиабатические переходы Адиабатическое приближение в форме (10.48) нарушается вблизи точек пересечения уровней. Сильное сближение различных адиабатических термов 𝐸(𝑡) приводит к росту амплитуды перехода. Тогда, аналогично стандартной теории возмущений для близких уровней, низшее приближение становится недостаточным, и необходимо диагонализовать гамильтониан внутри этой подсистемы уровней и найти правильные линейные комбинации. Характерный результат может быть виден уже в случае двух близких уровней. Рассмотрим типичную ситуацию, когда два адиабатических энергетических терма системы |𝑘, 𝑡⟩ и 𝑘 ′ , 𝑡⟩ пересекают друг друга в момент времени, который мы примем за 𝑡 = 0 (рис.10.2). В отсутствие взаимодействия, способного смешивать эти состояния (или в случае различной симметрии термов, что запрещает их смешивание), мы бы имели диабатические термы 𝜀𝑘 (𝑡) и 𝜀𝑘′ (𝑡), показанные на рис. 10.2 пунктирными линиями. Если имеется матричный элемент смешивания 𝐻𝑘′ 𝑘 ≡ 𝑉 , то адиабатические уровни 1 и 2 отталкиваются друг от друга, и вместо диабатического пересечения мы имеем адиабатическое псевдопересечение, показанное сплошными лини-

276

Глава 10 Нестационарные возмущения

Рис. 10.2. Диабатические и адиабатические термы

ями на рис. 10.2. При этом матричный элемент смешивания определяет мгновенное расстояние между уровнями (см. т. 1, уравнение 10.39). Начнём с нижнего состояния 𝜀𝑘 (𝑡) в далёком прошлом, 𝑡 → −∞. При медленном изменении уровней 𝜀(𝑡) и слабом взаимодействии 𝑉 (𝑡) адиабатическая эволюция будет идти вдоль терма 1. При этом волновая функция плавно трансформируется из |𝑘, −∞⟩ в |𝑘 ′ , ∞⟩. Система всегда будет оставаться в нижнем энергетическом состоянии, в то время как верхний терм будет оставаться пустым. В противоположность этому, в диабатическом режиме быстрого прохождения система будет двигаться вдоль невозмущённого терма |𝑘, 𝑡⟩. В общем случае процесс характеризуется вероятностью перехода 𝑃 из 1 в 2, которая фактически есть вероятность остаться в состоянии |𝑘⟩. Эта вероятность стремится к нулю в адиабатическом пределе и к 1 в противоположном случае быстрого прохождения. Двухуровневая система описывается зависящим от времени гамильтонианом (︂ )︂ 𝜀𝑘 (𝑡) 𝑉 * (𝑡) ^ 𝐻(𝑡) = . (10.49) 𝑉 (𝑡) 𝜀𝑘′ (𝑡) В предположении слабого взаимодействия, заметная вероятность перехода существует только вблизи точки пересечения 𝑡 = 0. Главная зависимость

10.6. Неадиабатические переходы

277

от времени здесь может быть записана как 𝜀𝑘,𝑘′ (𝑡) ≈ 𝑢𝑘,𝑘′ 𝑡,

𝑉 (𝑡) ≈ 𝑉 (0) ≡ 𝑉

(10.50)

(линейное поведение термов, приближающихся к точке пересечения, 𝑢𝑘 > 𝑢𝑘′ ). В точке пересечения теория возмущений не работает. Однако, как в квазиклассическом приближении, можно попытаться «обойти» опасную точку для нахождения вероятности перехода (прыжка) через энергетическую щель между термами 1 и 2, подобно тому, как сшивались два квазиклассических решения по разные стороны от точки поворота в координатном пространстве. При больших |𝑡|, когда расстояние между уровнями |(𝑢𝑘 −𝑢𝑘′ )𝑡| велико по сравнению с матричным элементом смешивания |𝑉 |, можно использовать обычную стационарную теорию возмущений. Тогда адиабатические термы ведут себя как 𝐸𝑘 (𝑡) = 𝑢𝑘 𝑡 +

|𝑉 |2 + ..., (𝑢𝑘 − 𝑢𝑘′ )𝑡

(10.51)

где опущенные члены имеют энергетические знаменатели с более высокими степенями 𝑡. Разложение (10.51) определяет адиабатическую фазу (10.38): 𝜙𝑘 (𝑡) = −

𝑢𝑘 𝑡2 |𝑉 |2 − ln 𝑡 + ... 2~ ~(𝑢𝑘 − 𝑢𝑘′ )

(10.52)

Не выписанные явно члены не растут при больших 𝑡. Далее мы действуем как в квазиклассике (см. т. 1, разд. 15.9-15.12), продолжая решение на комплексные значения 𝑡. Мы предполагаем, что можно в комплексной плоскости 𝑡 обойти точку пересечения 𝑡 = 0 вдоль дуги радиуса 𝑇 , который достаточно велик, чтобы можно было пренебречь опущенными в (10.51) членами, но достаточно мал, чтобы приближение (10.50) было справедливо. По большой дуге 𝑡 = 𝑇 exp(𝚤𝛼) мы должны связать отдалённое будущее, 𝛼 = 0, с отдалённым прошлым, 𝛼 = ±𝜋, где знак зависит от направления обхода по контуру. При больших 𝑇 главный член, ∝ 𝑇 2 , в фазе (10.52) ведёт себя как 𝑖𝜙𝑘 ⇒

𝑢𝑘 𝑇 2 𝑢𝑘 𝑇 2 (−𝑖)𝑒2𝑖𝛼 = [−𝑖 cos(2𝛼) + sin(2𝛼)]. 2~ 2~

(10.53)

Когда мы приближаемся к действительной оси при 𝛼 → ±𝜋, вещественная часть в (10.53) даёт экспоненциально большой фактор, когда sin(2𝛼) > 0;

278

Глава 10 Нестационарные возмущения

это фиксирует направление обхода по верхней дуге. В конечной точке мы имеем 𝑡 = 𝑇 exp(𝚤𝜋) и логарифмическая часть фазы (10.52) даёт ln(𝑡) = 𝑙𝑛(𝑇 ) + 𝚤𝜋. В результате амплитуда приобретает вещественный экспоненциальный множитель 𝐴 = 𝑒(𝑖𝜋)(−𝑖/~)|𝑉 |

2 /(𝑢 −𝑢 ) 𝑘 𝑘′

= 𝑒𝜋|𝑉 |

2 /[~(𝑢 −𝑢 )] 𝑘 𝑘′

.

(10.54)

Амплитуда волны нижнего состояния |𝑘⟩ при больших отрицательных 𝑡 больше, чем амплитуда того же состояния при больших положительных 𝑡 на фактор 𝐴 (поскольку 𝑢𝑘 > 𝑢𝑘′ ). Таким образом, вероятность диабатического перехода через энергетическую щель между двумя адиабатическими уровнями находится как 𝑃 =

1 2 = 𝑒−2𝜋|𝑉 | /[~(𝑢𝑘 −𝑢𝑘′ )] . 𝐴2

(10.55)

Вероятность остаться на адиабатической траектории есть 1 − 𝑃 . Здесь мы следовали подходу [48] для вывода вероятности перехода Ландау—Зенера [49], [50]. При очень малых скоростях, ~Δ𝑢 ≪ |𝑣|2 , мы возвращаемся к экстремально адиабатическому режиму, 𝑃 → 0. Однако такая маленькая вероятность не может быть получена в рамках обычной теории возмущений — результат имеет неаналитическую зависимость от (𝑢𝑘 − 𝑢𝑘′ ). При быстром проходе, ~Δ𝑢 ≫ |𝑣|2 , вероятность перехода близка к единице. Этот результат имеет широкую область применимости, от столкновений молекул с электронными переходами между различными энергетическими термами до ядерных реакций. Он может также быть обобщён на случай множественных пересечений [51], [48], аппроксимированных последовательностью парных переходов.

10.7. Геометрическая фаза Предположим, что внешние параметры 𝑋 ≡ 𝑋𝑖 (𝑡) меняются со временем крайне медленно и, описав замкнутую траекторию в пространстве параметров, возвращаются к своим первоначальным значениям. В таком адиабатическом процессе реальными переходами в другие состояния можно пренебречь, поэтому волновая функция |Ψ⟩ возвращается в своё начальное состояние. При этом волновая функция из-за квантовой динамики может приобрести геометрическую фазу (M. Berry [25]), которую не следует путать с обычной динамической фазой (10.38).

10.7. Геометрическая фаза

279

Если стартовать при 𝑡 = 0 со стационарного состояния |𝑛; 𝑋(0)⟩, то решение уравнения Шрёдингера (10.39) при дальнейшей адиабатической эволюции может быть представлено в форме единственного члена |𝑛; 𝑋(𝑡)⟩ в суперпозиции (10.40), но с неизвестной дополнительной фазой 𝛽𝑛 (𝑡)): |Ψ(𝑡)⟩ = 𝑒𝑖𝜙𝑛 (𝑡) 𝑒𝑖𝛽𝑛 (𝑡) |𝑛; X(𝑡)⟩.

(10.56)

Как и при выводе (10.43), проектируя на компоненту мгновенного вектора состояния |𝑛; 𝑋(𝑡)⟩, мы приходим к уравнению для новой фазы: ⃒ ⃒ ⟩ ∑︁ ⟨ ⃒ 𝜕 ⃒ ˙ ⃒ ⃒ −𝑖𝛽𝑛 (𝑡) = 𝑛; X(𝑡) 𝑋˙ 𝑖 (𝑡), (10.57) 𝑛; X(𝑡) ⃒ 𝜕𝑋𝑖 ⃒ 𝑖

или, вводя формальный вектор градиента в пространстве параметров ∇𝑋 , ˙ −𝑖𝛽˙ 𝑛 (𝑡) = ⟨𝑛; X(𝑡)|∇X |𝑛; X(𝑡)⟩ · X(𝑡).

(10.58)

После очень медленного и длинного обхода мы замыкаем контур 𝐶 и возвращаемся в начальную точку в пространстве параметров. Полная приобретённая фаза 𝛽𝑛 выражается тогда интегралом по замкнутому контуру: ∮︁ ∮︁ ˙ 𝛽𝑛 = 𝑖 𝑑𝑡 ⟨𝑛; X(𝑡)|∇X |𝑛; X(𝑡)⟩ · X(𝑡) = 𝑖 𝑑X · ⟨𝑛; X|∇X |𝑛; X⟩. (10.59) 𝒞

Здесь временные характеристики произвольного медленного процесса исчезли и окончательное выражение имеет геометрический смысл с величиной фазы, зависящей в общем случае от контура 𝐶. Поскольку состояния |𝑛; 𝑋⟩ предполагаются нормированными при всех значениях параметров, ⟨𝑛; X|𝑛; X⟩ = 1,

(10.60)

мы видим, что ⟨∇X (𝑛; X)|𝑛; X⟩ ≡ ⟨𝑛; X|∇X |(𝑛; X)⟩* = −⟨𝑛; X|∇X |𝑛; X⟩.

(10.61)

Следовательно, подынтегральное выражение в (10.59) является мнимым, а фаза 𝛽𝑛 действительна, ∮︁ 𝛽𝑛 (𝒞) = − Im 𝑑X · ⟨𝑛; X|∇X |𝑛; X⟩. (10.62) 𝒞

280

Глава 10 Нестационарные возмущения

Задача 10.2 Показать, что фаза 𝛽𝑛 инвариантна по отношению к выбору внутренней фазы 𝛼(𝑋) векторов состояния |𝑛; 𝑋⟩, которые предполагаются однозначными функциями параметров, |𝑛; 𝑋⟩ ⇒ exp(𝚤𝛼(𝑋))|𝑛; 𝑋⟩ — аналог градиентного преобразования. Решение Использовать условие нормировки (10.60) и тот факт, что интеграл по замкнутому контуру от градиента однозначной функции равен нулю. В одномерном пространстве параметров замкнутый контур содержит проход вперёд и назад по одному и тому же пути, поэтому геометрическая фаза равна нулю. Следуя [25], рассмотрим случай трёхмерного пространства параметров, где формулы векторного анализа помогут в получении результата. Интеграл (10.62) по замкнутому контуру есть циркуляция вектора ⟨𝑛|∇|𝑛⟩, где мы опустили аргумент 𝑋. Циркуляция может быть преобразована в интеграл от плотности потока ротора этого вектора через поверхность 𝑆, натянутую на контур 𝒞 в пространстве параметров, ∫︁ ∫︁ 𝒮 · curl ⟨𝑛|∇ ∇|𝑛⟩ = − Im 𝑑𝒮𝑖 𝜀𝑖𝑗𝑘 ∇𝑗 ⟨𝑛|∇𝑘 |𝑛⟩. (10.63) 𝛽𝑛 (𝒞) = − Im 𝑑𝒮 𝒮

Симметричный по производным член ∼ ∇𝑗 ∇𝑘 |𝑛⟩ исчезает, так что ∫︁ ∫︁ 𝒮 · ⟨∇ ∇𝑛| × |∇ ∇𝑛⟩. (10.64) 𝛽𝑛 (𝒞) = − Im 𝑑𝒮𝑖 𝜀𝑖𝑗𝑘 ⟨∇𝑗 𝑛|∇𝑘 𝑛⟩ ≡ −Im 𝑑𝒮 Другая форма этого результата получается при использовании тождества (см. т. 1, формула 19.36) для недиагональных матричных элементов параметрического градиента. Если вставить полный набор состояний |𝑛′ ; 𝑋⟩ между градиентами в (10.64), то диагональный вклад с 𝑛′ = 𝑛 исчезает из-за (10.61) и мы получаем геометрическую фазу как поток: ∫︁ 𝒮 · V𝑛 (X), 𝛽𝑛 (𝒞) = − 𝑑𝒮 (10.65)

10.7. Геометрическая фаза

281

вектора Берри, V𝑛 (X) = Im

∑︁ ⟨𝑛 : X|∇X 𝐻|𝑛 ^ ′ ; X⟩ × ⟨𝑛′ ; X|∇X 𝐻|𝑛; ^ X⟩ . 2 [𝐸𝑛′ (X) − 𝐸𝑛 (X)] ′

(10.66)

𝑛 ̸=𝑛

Снова следуя [25], мы можем рассмотреть пример частицы со спином s в статическом магнитном поле ℬ . Частица описывается стандартным гамильтонианом ^ ℬ ) = −𝑔~(^s · ℬ ). 𝐻(ℬ

(10.67)

Компоненты ℬ являются нашими параметрами 𝑋, в то время как текущее состояние |𝑛⟩ будет обозначено |𝑚⟩ и характеризоваться проекцией спина 𝑠𝑧 = 𝑚 на медленно меняющееся направление поля, описываемое ˜ единичным вектором b = ℬ/|ℬ| и энергией 𝐸𝑚 = −𝑔~𝑚𝐵.

Задача 10.3 Найти вектор Берри 𝑉𝑚 (b) для этого примера.

Решение Вектор Берри даётся уравнением ⃗ = Im V𝑚 (ℬ)

∑︁ ⟨𝑚|s|𝑚′ ⟩ × ⟨𝑚′ |s|𝑚⟩ , ℬ 2 (𝑚′ − 𝑚)2 ′

(10.68)

𝑚 ̸=𝑚

где текущее состояние |𝑚⟩, так же как и промежуточные состояния |𝑚′ ⟩ ⃗ Выбирая направление поля за берутся при текущем значении поля ℬ. ось 𝑧 при вычислении (10.68) и используя матричные элементы углового момента, находим, что вектор Берри направлен вдоль той же оси 𝑧, что естественно, так как направление поля — единственное выделенное направление в данном примере. Действительно, поперечные компоненты 𝑉𝑥,𝑦 обращаются в ноль, поскольку для них требуется, чтобы один из матричных элементов в числителе был бы матричным элементом 𝑠𝑧 , который не имеет недиагональных матричных элементов. Для 𝑧-компоненты имеем 𝑉𝑧 = Im

∑︁ (𝑠𝑥 )𝑚𝑚′ (𝑠𝑦 )𝑚′ 𝑚 − (𝑠𝑦 )𝑚𝑚′ (𝑠𝑥 )𝑚′ 𝑚 𝑚′

ℬ 2 (𝑚 − 𝑚′ )2

,

(10.69)

282

Глава 10 Нестационарные возмущения

и так как здесь 𝑚 − 𝑚′ = ±1, можно воспользоваться полнотой промежуточных состояний и получить 𝑉𝑧 =

∑︁ 1 1 𝑚 Im [(𝑠𝑥 )𝑚𝑚′ (𝑠𝑦 )𝑚′ 𝑚 −(𝑠𝑦 )𝑚𝑚′ (𝑠𝑥 )𝑚′ 𝑚 ] = 2 Im [^ 𝑠𝑥 , 𝑠^𝑦 ]𝑚𝑚 = 2 . 2 ℬ ℬ ℬ ′ 𝑚

(10.70) Таким образом, ℬ) = V𝑚 (ℬ

𝑚 1 𝑚 b = 3 ℬ = −𝑚∇ℬ . 2 ℬ ℬ ℬ

(10.71)

Результат (10.71) показывает, что поле вектора Берри в этом случае есть поле «заряда» 𝑚, помещённого в начало координат пространства магнитных параметров. Другими словами, это поле монополя, порождённого точкой вырождения уровней энергии. Фаза Берри (10.65) в этом случае вычисляется по теореме Гаусса и равна 𝛽𝑚 (𝒞) = −𝑚Ω(𝒞),

(10.72)

где Ω(𝒞) есть видимый из начала координат телесный угол поверхности, натянутой на контур 𝒞. Этот результат справедлив как для целого, так и для полуцелого спина 𝑠. Для спина 1/2 полный поворот в плоскости на угол 2𝜋 порождает телесный угол Ω = 2𝜋. При этом спинорная волновая функция приобретает множитель exp(𝚤𝛽±1/2 ) = −1 в согласии со свойствами группы 𝑆𝑈 (2), см. разд. 5.1. Результат последнего примера не зависит от величины спина и, следовательно, от степени вырождения состояний в отсутствие магнитного поля. В общем случае сингулярности, связанные с пересечением уровней при некоторых значениях параметров (особые точки), являются источниками геометрической фазы. Это можно увидеть на примере пересечения двух уровней. Эффективный гамильтониан этой пары уровней (сравните с (10.49)) всегда может быть записан через матрицы Паули как пропор𝜎 · X), где коэффициенты X являются соответствующими циональный (𝜎 параметрами (единичная матрица не даёт смешивания). Тогда мы возвращаемся к примеру с магнитным полем и спином 𝑠 = 1/2, где вектор Берри (10.71) равен 𝑉±1/2 = ∓

1 X . 2 |X|3

(10.73)

10.8. Внезапные возмущения

283

Геометрическая фаза здесь по-прежнему описывается телесным углом (10.72).

10.8. Внезапные возмущения Этот случай является противоположным по отношению к адиабатическому. Здесь возмущение меняется настолько быстро, что его характерное время 𝜏 оказывается малым по сравнению с периодом, определяемым обратной частотой перехода 𝜏 ≪ 1/𝜔𝑓 𝑖 . Ранее мы уже обсуждали случай мгновенного изменения потенциала, 𝜏 → 0, см. т. 1, задача 3.3. В этом случае много фурье-компонент доступно для переходов. ^ ′ (𝑡) внезапно включается при 𝑡 = 0 и адиабатически Пусть возмущение 𝐻 затухает при 𝑡 → ∞. Если возмущение слабое, то можно воспользоваться общим результатом (10.14) и, действуя подобно (10.35), выразить вероятность перехода как ⃒∫︁ ⃒2 𝑑𝐻𝑓′ 𝑖 (𝑡) ⃒⃒ 1 ⃒⃒ ∞ 𝑖𝜔𝑓 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 𝑒 (10.74) 𝑤𝑓 𝑖 = 2 2 ⃒ ⃒ . 𝑑𝑡 ⃒ ~ 𝜔𝑓 𝑖 ⃒ −∞ В этом случае временная производная от 𝐻𝑓′ 𝑖 (𝑡) не мала только в течение короткого промежутка времени 𝜏 вблизи 𝑡 = 0. Поскольку exp(𝚤𝜔𝑓 𝑖 𝑡) почти не меняется внутри этого интервала, мы можем положить экспоненту равной единице. Остающийся интеграл даёт полный скачок матричного элемента, равный 𝐻𝑓′ 𝑖 (𝑡) (возмущение отсутствовало при 𝑡 < 0), и, следовательно, 𝑤𝑓 𝑖 =

1 ~2 𝜔𝑓2𝑖

|𝐻𝑓′ 𝑖 |2 .

(10.75)

Этот результат напоминает стационарную теорию возмущений, см. (4.16); действительно, после момента 𝑡 = 0 слабое возмущение практически не индуцирует переходы. В более общем случае, когда нет ограничения на силу возмущения и единственное приближение связано с быстротой включения возмущения (малое 𝜏 ), можно развить специфическую теорию внезапных возмущений. ^ до 𝐻 ^ 1 в коротком интервале времён Пусть гамильтониан меняется от 𝐻 от 𝑡 = 0 до 𝑡 = 𝜏 , оставаясь независящим от времени вне этого интервала. Удобно использовать в качестве рабочего базиса полную систему |𝑛⟩

284

Глава 10 Нестационарные возмущения

стационарных состояний нового гамильтониана: ^ 1 |𝑛⟩ = 𝐸𝑛 |𝑛⟩. 𝐻

(10.76)

Ищем решение при 𝑡 > 0 как суперпозицию (10.8) состояний (10.76). Учи^ 1, тывая, что в интервале 0 < 𝑡 < 𝜏 полный гамильтониан отличается от 𝐻 ^ ′ как можно определить возмущение 𝐻 ^ = 𝐻^ ′ + 𝐻 ^ 1. 𝐻

(10.77)

Интегрируя по времени уравнения (10.9), получаем для амплитуд перехода систему уравнений, аналогичную (10.10): ∫︁ 𝑖 ∑︁ 𝜏 ′ ′ ′ 𝑎𝑚 (𝑡) = 𝑎𝑚 (0) − 𝑑𝑡 𝐻𝑚𝑛 (𝑡′ )𝑒𝑖𝜔𝑚𝑛 𝑡 𝑎𝑛 (𝑡′ ). (10.78) ~ 𝑛 0 Поскольку exp(𝚤𝜔𝑚𝑛 𝑡′ ) ≈ 1 для 0 < 𝑡′ < 𝜏 , то ∫︁ 𝑖 ∑︁ 𝜏 ′ ′ 𝑑𝑡 𝐻𝑚𝑛 (𝑡′ )𝑎𝑛 (𝑡′ ). 𝑎𝑚𝑛 (𝑡) ≈ 𝑎𝑚 (0) − ~ 𝑛 0

(10.79)

Результат (10.79) ещё более упрощается, если кроме условия 𝜔𝑚𝑛 𝜏 ≪ 1 выполняется и неравенство ′ 𝜏 𝐻𝑚𝑛 ≪1 ~

(10.80)

′ (для слабых возмущений 𝐻𝑚𝑛 ≪ ~𝜔𝑚𝑛 это выполняется автоматически в силу первого условия). В этом случае интегральный член мал и можно пользоваться итерациями. В нулевом порядке

𝑎∘𝑚 (𝑡) = 𝑎𝑚 (0).

(10.81)

Это выражение совпадает с тем, которое получилось в «наивном» подходе, использованном в задаче 3.3 в первом томе: начальный вектор состояния есть суперпозиция новых стационарных состояний, ∑︁ |Ψ(0)⟩ = 𝑎𝑚 (0)|𝑚⟩, 𝑎𝑚 (0) = ⟨𝑚|Ψ(0)⟩, (10.82) 𝑚

10.8. Внезапные возмущения

285

и вероятность перехода |Ψ(0)⟩ → |𝑓 ⟩ равна 𝑤𝑓 0 = |⟨𝑓 |Ψ(0)⟩|2 .

(10.83)

При мгновенном включении возмущения вектор состояния |Ψ(0)⟩ не успевает измениться и служит начальным волновым пакетом для дальнейшей ^ 1 . Для нахождения вероятностей эволюции под действием гамильтониана 𝐻 перехода достаточно знать веса различных новых стационарных состояний в начальной суперпозиции, т. е. разложить |Ψ(0)⟩ по собственным ^ 1 . После 𝑡 = 𝜏 эти компоненты эволюционируют независимо, функциям 𝐻 приобретая соответствующие фазы. Задача 10.4 Для слабого возмущения получить результат (10.75), пользуясь стандартной теорией возмущений, зависящих от времени. Итерируя начальное решение (10.81) в интегральном члене (10.78), находим поправку первого порядка, обусловленную конечным временем включения возмущения: ∫︁ 𝑡 𝑖 ∑︁ (1) ′ 𝑎𝑚 (𝑡) = 𝑎𝑚 (0) − 𝑎𝑛 (0) 𝑑𝑡′ 𝐻𝑚𝑛 (𝑡′ ). (10.84) ~ 𝑛 0 Используя значение (10.82) амплитуд 𝑎𝑛 (0) и полноту системы (10.76), мы приходим к ∫︁ 𝑖 ∑︁ 𝑡 ′ ′ (1) 𝑎𝑚 (𝑡) = ⟨𝑚|Ψ(0)⟩ − 𝑑𝑡 𝐻𝑚𝑛 (𝑡′ )⟨𝑛|Ψ(0)⟩ ~ 𝑛 0 𝑖 = ⟨𝑚|Ψ(0)⟩ − ~

∫︁

𝑡

^ ′ (𝑡′ )|Ψ(0)⟩. 𝑑𝑡′ ⟨𝑚|𝐻

(10.85)

0

Вероятность перехода в этом приближении есть ⃒ ⃒2 ∫︁ 𝜏 ⃒ ⃒ 𝑖 (1) ′ ′ ′ ^ (𝑡 )|Ψ(0)⟩⃒ . 𝑤𝑓,0 = ⃒⃒⟨𝑓 |Ψ(0)⟩ − 𝑑𝑡 ⟨𝑓 |𝐻 ⃒ ~ 0

(10.86)

Задача 10.5 Слабое внешнее поле, приложенное к системе, находящейся в исходном состоянии |𝑖⟩, зависит от времени как ^ ′ (𝑡) = 𝑔(𝑡)𝐴, ^ 𝐻

𝑔(𝑡) =

1 . 1 + 𝑒𝑡/𝜏

(10.87)

286

Глава 10 Нестационарные возмущения

Найти вероятности перехода в конечное состояние |𝑓 ⟩ и рассмотреть пределы внезапных и адиабатических возмущений. Решение В рамках теории возмущений вероятность перехода выражается как ⃒∫︁ ⃒2 ⃒ |𝐴𝑓 𝑖 |2 ⃒⃒ ∞ 𝑖𝜔𝑓 𝑖 𝑡 ⃒ . 𝑤𝑓 𝑖 = 𝑑𝑡 𝑒 𝑔(𝑡) (10.88) ⃒ ~2 ⃒ −∞ Для вычисления фурье-компонент мы можем замкнуть контур дугой большого радиуса в верхней части комплексной плоскости, 𝐼𝑚(𝑡) > 0; вклад дуги равен нулю (мы предполагаем 𝜔𝑓 𝑖 > 0). Полюса 𝑔(𝑡) внутри контура расположены вдоль положительной части мнимой оси, 𝑡𝑛 = 𝚤𝜋(2𝑛 + 1), где 𝑛 = 0, 1, .... Знаменатель вблизи этих точек равен −(𝑡 − 𝑡𝑛 )/𝜏 , а соответствующие вычеты равны exp(−𝜔𝑓 𝑖 𝜋𝜏 (2𝑛 + 1)). Их сумма есть геометрическая прогрессия, которая может быть выражена через гиперболический синус, ⃒ ⃒2 ⃒ |𝐴𝑓 𝑖 |2 ⃒⃒ 𝜋𝜏 ⃒ . 𝑤𝑓 𝑖 = (10.89) ⃒ ~2 sinh(𝜋𝜔𝑓 𝑖 𝜏 ) ⃒ Возмущение 𝑔(𝑡) изменяется от единицы в прошлом, 𝑡 → −∞, до нуля в будущем, 𝑡 → ∞ (сглаженная ступенька). Для очень плавного изменения, которое длится много периодов, результат экспоненциально мал: 𝑤𝑓 𝑖 ≈

|𝐴𝑓 𝑖 |2 2 2 −2𝜋𝜔𝑓 𝑖 𝜏 4𝜋 𝜏 𝑒 , ~2

𝜔𝑓 𝑖 𝜏 ≫ 1,

(10.90)

это типичный адиабатический результат. Для очень резких изменений получаем результат, не зависящий от точного значения малой величины 𝜏 : 𝑤𝑓 𝑖 ≈

|𝐴𝑓 𝑖 |2 , ~2 𝜔𝑓2𝑖

𝜔𝑓 𝑖 𝜏 ≪ 1,

(10.91)

в согласии с приближением внезапного возмущения (10.75). Глядя на далёкие фурье-компоненты (большие частоты перехода), можно увидеть общее математическое свойство: когда подынтегральное выражение не имеет особенностей на вещественной оси, этот предельно далёкий хвост экспоненциально мал (10.90). При 𝜏 → 0 особенности накапливаются вблизи вещественной оси, и асимптотика имеет только степенное спадание (10.91). Можно также отметить, что функция 𝑔(𝑡) описывает распределение частиц по уровням энергии в ферми-газе, при этом 𝑡 соответствует энергии,

10.9. Процессы встряхивания

287

отсчитанной от поверхности Ферми, а 𝜏 температуре 𝑇 . Положения полюсов на мнимой оси соответствуют так называемым частотам Maцубары 𝜔𝑛 = 𝜋𝑇 (2𝑛 + 1), которые играют важную роль в статистической физике ферми-систем.

10.9. Процессы встряхивания Типичная ситуация, когда можно говорить о внезапном возмущении атома, возникает в случае резкого воздействия внешнего агента на атомное ядро. Это может быть, например, 𝛽-распад с внезапным изменением ядерного состава (нейтрон↔протон) и эмиссией позитрона (или электрона) и нейтрино (или антинейтрино). Аналогичный процесс происходит, когда система претерпевает быстрый толчок от энергичной внешней частицы или электромагнитного поля, а время взаимодействия так мало, что можно считать, что гамильтониан составляющих, электронов в атоме или нуклонов в ядре, внезапно изменяется. Для нового гамильтониана прежнее состояние становится нестационарным, включая, в принципе, компоненты (10.76), соответствующие континууму. Это означает, что резкое воздействие на ядро может привести к ионизации атома: грубо говоря, ядро получает толчок, в то время как электроны (или слабо связанные нуклоны) не улавливают его. В таких случаях мы говорим о процессах встряхивания. Пусть ядро внезапно получает импульс Q, так что его волновая функция Ψ𝑁 (R) умножается на фактор exp [(𝚤/~)(Q · 𝑅)]. Это следует из рассмотре^ ния оператора сдвига в импульсном пространстве 𝐾(𝑄). В полной аналогии ^ с оператором сдвига 𝐷(𝑎) в координатном пространстве (см. т. 1, разд. 4.5) ^ оператор 𝐾(𝑄) должен действовать в импульсном пространстве как ^ 𝐾(Q)Φ(p) = Φ(p − Q).

(10.92)

Таким оператором является ^ ^ 𝐾(Q) = 𝑒(𝑖/~)(Q·R) ,

(10.93)

а в координатном представлении волновая функция ядра Ψ𝑁 (R) просто умножается на exp[(𝚤/~)(Q · R)]. Стационарными волновыми функциями электронов в новой ситуации были бы их нормальные атомные функции, движущиеся вместе с ядром. Если приобретённая скорость ядра массы 𝑀 есть V = Q/𝑀 , то электрон с массой 𝑚 получит такую же скорость v = V,

288

Глава 10 Нестационарные возмущения

если его приобретённый импульс будет равен q = 𝑚V = (𝑚/𝑀 )Q. Это отвечает новым стационарным функциям Ψ𝑛 ({r𝑎 }) → Ψ𝑛 ({r𝑎 })𝑒(𝑖/~)q·

∑︀

𝑎 r𝑎

.

(10.94)

Вместо этого на данный момент у нас еще есть старая волновая функция электрона, скажем 𝛹0 для основного состояния, у которой не было времени измениться за время толчка. Вероятность для электронов оказаться в возбужденном состоянии |𝑓 ⟩ после этого воздействия определяется перекрытием (10.83) модифицированной функции Ψ𝑓 (10.82) с первоначальной волновой функцией основного состояния, ⃒ ⃒2 ⃒ ⃒2 ∑︀ ∑︀ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑤𝑓 0 = ⃒⟨𝑒(𝑖/~)q· 𝑎 r𝑎 Ψ𝑓 |Ψ0 ⟩⃒ = ⃒⟨Ψ𝑓 |𝑒−(𝑖/~)q· 𝑎 r𝑎 |Ψ0 ⟩⃒ . (10.95) В частности, вероятность выживания основного состояния атома есть ⃒ ⃒2 ∑︀ ⃒ ⃒ 𝑤00 = ⃒⟨Ψ0 |𝑒−(𝑖/~)q· 𝑎 r𝑎 |Ψ0 ⟩⃒ . (10.96) Полная вероятность всех остальных процессов (возбуждения различных связанных состояний и ионизации) составляет 1 − 𝑤00 . Всё рассмотрение справедливо, если время импульса 𝜏 ≪ 𝑅𝑎𝑡 /𝑉 , то есть расстояние 𝑉 𝜏 , пройденное ядром за время действия возмущения, мало по сравнению с размером атома 𝑅𝑎𝑡 . Величина (10.96) представляет собой так называемый атомный форм-фактор, он вновь появится в разд. 12.3. Задача 10.6 Найдите среднюю энергию, передаваемую электронам в процессе, когда ядро приобрело скорость 𝑉 . Решение Очевидный ответ дается энергетически взвешенным правилом сумм (см. т. 1, уравнение 7.146), ¯= 𝐸

∑︁

(𝐸𝑓 − 𝐸0 )𝑤𝑓 0 =

𝑓

𝑞2𝑁 𝑚𝑉 2 = 𝑁, 2𝑚 2

(10.97)

где 𝑁 есть число электронов. Задача 10.7 Найти полную вероятность возбуждения и ионизации атома водорода (первоначально в основном состоянии) в процессе, когда протон приобретает скорость V в результате очень короткого импульса.

10.9. Процессы встряхивания

289

Решение Уравнение (10.96) дает для основного состояния атома водорода 𝑤exc = 1 − 𝑤00 = 1 −

1 . [1 + (~𝑉 /2𝑒2 )2 ]4

(10.98)

В этом случае скорость 𝑉 = 𝑄/𝑀 входит в отношении к типичной атомной скорости (см. т. 1, уравнение 1.30). При 𝑉 ≪ 𝑣𝑎𝑡 атом остается в основном состоянии, если 𝑉 ≫ 𝑣𝑎𝑡 , вероятность возбуждения близка к единице. Дополнительная литература: [52], [25], [53], [48], [54], [55]

Превращение частиц в свет, а света в частицы очень приятно для хода событий в природе, которая как будто в восторге от таких транcмутаций. Исаак Ньютон «Оптика»

Глава 11 Периодические возмущения 11.1. Золотое правило Здесь мы будем обсуждать часто встречающийся класс задач, которые включают возмущения с периодической зависимостью от времени. Эти проблемы имеют основополагающее значение для понимания современной лазерной физики. Из-за требования эрмитовости запишем гамильтониан монохроматического возмущения как ^ ′ (𝑡) = 𝐻 ^ ′ 𝑒−𝑖𝜔𝑡 + 𝐻 ^ ′† 𝑒𝑖𝜔𝑡 . 𝐻

(11.1)

Детали рассмотрения могут зависеть от способа включения и выключения возмущения. В принципе, даже стационарное возмущение является частным случаем (11.1). Однако здесь нас больше интересует развитие вектора состояния во времени, а не сдвиги энергии, как в стационарной теории возмущений (см. гл. 4). Мы начинаем с формального вывода знаменитого золотого правила. Предположим, что возмущение (11.1) было включено в далеком прошлом, 𝑡 = −𝑇 /2, 𝑇 → ∞, и мы ищем вероятность перехода при 𝑡 = +𝑇 /2. Стандартный результат для амплитуды перехода в этом длительном процессе (см. уравнение 10.12) 𝑖 𝑎𝑓 = − ~

∫︁

𝑇 /2

−𝑇 /2

(︁ )︁ 𝑑𝑡 𝐻𝑓′ 𝑖 𝑒−𝑖𝜔𝑡 + (𝐻 ′† )𝑓 𝑖 𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑒𝑖𝜔𝑓 𝑖 𝑡

(11.2)

292

Глава 11 Периодические возмущения

ведёт к появлению 𝛿-функций в пределе 𝑇 → ∞ (𝑎𝑓 )𝑇 →∞ = −

)︁ 2𝜋𝑖 (︁ ′ 𝐻𝑓 𝑖 𝛿(𝜔 − 𝜔𝑓 𝑖 ) + (𝐻 ′† )𝑓 𝑖 𝛿(𝜔 + 𝜔𝑓 𝑖 ) . ~

(11.3)

𝛿-Функции выражают сохранение энергии в процессе бесконечной длительности. Если 𝜔 > 0, то первое слагаемое описывает поглощение кванта внешнего поля, 𝐸𝑓 = 𝐸𝑖 + 𝜔, а второй член описывает излучение кванта 𝐸𝑓 = 𝐸𝑖 − 𝜔. Только эти процессы выживают при 𝑇 → ∞; принято говорить, что они идут на массовой поверхности, в отличие от виртуальных внемассовых процессов конечной длительности. Осциллирующие нерезонансные члены с 𝜔 ̸= ±𝜔𝑓 𝑖 усредняются до нуля во время длительного процесса. Для 𝜔𝑓 𝑖 ̸= 0 только одна из 𝛿-функций работает. Формальное вычисление вероятности перехода (см. уравнение 10.14) обнаруживает неопределенность, связанную с квадратом 𝛿-функции. Чтобы понять физический смысл этой неопределенности, представим одну из 𝛿функций с фактором 2𝜋 как интеграл по времени в виде (11.2). Тогда первое слагаемое определяет вероятность как 𝑤𝑓 𝑖 = |𝑎𝑓 |2 =

2𝜋 |𝐻 ′ |2 𝛿(𝜔 − 𝜔𝑓 𝑖 ) lim 𝑇 →∞ ~2 𝑓 𝑖

∫︁

𝑇 /2

𝑑𝑡 𝑒𝑖(𝜔−𝜔𝑓 𝑖 )𝑡 .

(11.4)

−𝑇 /2

Из-за присутствия первой 𝛿-функции экспонента под интегралом может быть положена равной единице, и интеграл дает длительность 𝑇 процесса, так что в этом пределе вероятность перехода пропорциональна полному интервалу времени 𝑇 : 𝑤𝑓 𝑖 =

2𝜋 |𝐻𝑓′ 𝑖 |2 𝛿(𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 − ~𝜔) 𝑇. ~

(11.5)

Это и есть золотое правило Ферми для вероятности перехода в единицу времени (интенсивность переходов) 𝑤˙ 𝑓 𝑖 ≡ 𝑤𝑓 𝑖 /𝑇 : 𝑤˙ 𝑓 𝑖 =

2𝜋 |𝐻𝑓′ 𝑖 |2 𝛿(𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 − ~𝜔). ~

(11.6)

Для квантового ансамбля 𝑁 идентичных систем вероятность перехода (11.6), умноженная на 𝑁 , дает число переходов в ансамбле в единицу времени. Предел 𝑇 → ∞ в (11.5) нарушает справедливость теории возмущений изза неограниченного роста вероятности. Однако в действительности энергия уже практически сохраняется после нескольких периодов частоты 𝜔, так что

11.1. Золотое правило

293

Рис. 11.1. Резонансная часть вероятности перехода за конечное время как функция энергии конечного состояния

можно использовать золотое правило сравнительно благополучно. Для того чтобы увидеть, как возникает сохранение энергии, рассмотрим вывод (11.6) более подробно. Возьмем теперь за начальный момент 𝑡 = 0 и включим периодическое возмущение (11.1). Интегрируя по 𝑡′ , как в уравнении 10.12, но от нуля до 𝑡, находим 𝑎𝑓 (𝑡) = 𝐻𝑓′ 𝑖

1 − 𝑒𝑖(𝜔𝑓 𝑖 −𝜔)𝑡 1 − 𝑒𝑖(𝜔𝑓 𝑖 +𝜔)𝑡 + (𝐻 ′† )𝑓 𝑖 . ~(𝜔𝑓 𝑖 − 𝜔) ~(𝜔𝑓 𝑖 + 𝜔)

(11.7)

Для слабого возмущения эта амплитуда мала, если частота внешнего поля 𝜔 существенно отличается от ±𝜔𝑓 𝑖 . Вероятность перехода становится значительной только близко к резонансу, когда 𝜔 ≈ ±𝜔𝑓 𝑖 . Пусть частота близка к резонансу в одном из знаменателей, например, 𝜔 ≈ 𝜔𝑓 𝑖 . Тогда только первый член в (11.7) удовлетворяет резонансному условию, и основной вклад в вероятность перехода будет 2

|𝑎𝑓 (𝑡)| ≈

|𝐻𝑓′ 𝑖 |2 (𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 − ~𝜔)2

2

4 sin

(︂

)︂ 𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 − ~𝜔 𝑡 . 2~

(11.8)

Эта вероятность показана на рис. 11.1 в зависимости от конечной энергии 𝐸𝑓 . Максимум соответствует точному резонансу, 𝐸𝑓 = 𝐸𝑖 + ~𝜔, а значение в максимуме возрастает ∝ 𝑡2 . В согласии с соотношением неопределённостей, вероятность имеет заметную величину только в пределах интервала ∝ ~/𝑡 вблизи резонанса. Таким образом, при достаточно больших 𝑡 (заметно

294

Глава 11 Периодические возмущения

больше, чем типичные периоды ~/𝜔𝑓 𝑖 ), функция (11.8) имеет свойства 𝛿-функции. Для того чтобы найти коэффициент пропорциональности между функцией (11.8) и 𝛿-функцией, вычислим площадь под резонансной кривой на рис. 11.1: (︂ )︂ ∫︁ ∫︁ 𝑑𝐸𝑓 2 2 2 𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 − ~𝜔 𝑑𝐸𝑓 |𝑎𝑓 (𝑡)| = 4|𝐻𝑓 𝑖 | sin 𝑡 , (11.9) (𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 − ~𝜔)2 2~ где предполагается, что матричный элемент |𝐻𝑓′ 𝑖 |2 является гладкой функцией энергии 𝐸𝑓 (по сравнению с функциями, быстро меняющимися с 𝐸𝑓 , особенно при больших 𝑡) и мало меняется внутри основного максимума резонансной кривой. Теперь из-за резкого максимума подынтегральной функции интегрирование может быть распространено до бесконечности. Вводя аргумент синуса в качестве новой переменной 𝑥 с началом в точке резонанса, получаем ∫︁ ∞ ∫︁ sin2 𝑥 2 2 𝑡 𝑑𝑥 . (11.10) 𝑑𝐸𝑓 |𝑎𝑓 (𝑡)| = 4|𝐻𝑓 𝑖 | 2~ −∞ 𝑥2 Так как оставшийся интеграл равен 𝜋, ∫︁ 2𝜋 |𝐻𝑓 𝑖 |2 𝑡. 𝑑𝐸𝑓 |𝑎𝑓 (𝑡)|2 = ~

(11.11)

Это дает правильную нормировку 𝛿-функции и приводит снова к золотому правилу (11.5) |𝑎𝑓 (𝑡)|2 =

2𝜋 𝑡 |𝐻𝑓′ 𝑖 |2 𝛿(𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 − ~𝜔), ~

(11.12)

где 𝑡 является длительностью процесса; а при больших 𝑡 не имеет значения, как была выбрана начальная точка.

11.2. Выход за первый порядок Предположим, что частота поля недостаточна для достижения конечного состояния |𝑓 ⟩ из данного начального состояния |𝑖⟩. В этом случае нам нужны следующие члены хронологически упорядоченного ряда теории

11.2. Выход за первый порядок

295

возмущений. Согласно уравнению (10.24), во втором порядке имеем ∫︁

𝑡

𝐼𝑓 𝑖 (𝑡) =

𝑑𝑡 0

′

∫︁

𝑡′

𝑑𝑡′′

∑︁

0

′

′′

′ 𝐻𝑓′ 𝑛 (𝑡′ )𝐻𝑛𝑖 (𝑡′′ )𝑒𝑖𝜔𝑓 𝑛 𝑡 +𝑖𝜔𝑛𝑖 𝑡 .

(11.13)

𝑛

Для оценки этого вклада воспользуемся теми же приближениями, что и раньше. Члены второго порядка описывают передачу двух квантов внешнего поля системе. Теперь мы находимся в резонансе с конечными состояниями, которые отличаются по энергии от начального состояния на 2~𝜔. Во внешнем поле 𝐻 ′ мы удерживаем только члены, которые приведут к резонансу при 𝜔 = 𝜔𝑓 𝑖 /2: 𝐼𝑓 𝑖 (𝑡) =

∑︁ 𝑛

′ 𝐻𝑓′ 𝑛 𝐻𝑛𝑖

∫︁

𝑡

′ 𝑖(𝜔𝑓 𝑛 −𝜔)𝑡′

∫︁

𝑑𝑡 𝑒 0

𝑡′

′′

𝑑𝑡′′ 𝑒𝑖(𝜔𝑛𝑖 −𝜔)𝑡 .

(11.14)

0

Интегрирование по 𝑡′′ даёт (опять же, оставляя только наиболее важный член) 𝐼𝑓 𝑖 (𝑡) =

∫︁ ′ ∑︁ 𝐻𝑓′ 𝑛 𝐻𝑛𝑖 𝑛

𝑖(𝜔𝑛𝑖 − 𝜔)

𝑡

[︁ ]︁ 𝑑𝑡′ 𝑒𝑖(𝜔𝑓 𝑖 −2𝜔)𝑡 − 1 .

(11.15)

0

Используя этот результат в 𝑎𝑓 (𝑡), переходя к пределу 𝑡 → ∞ и вводя подходящую 𝛿-функцию, мы приходим к золотому правилу (11.6) с эффективным матричным элементом второго порядка 𝑤˙ 𝑓 𝑖 =

2𝜋 (2) |𝐻𝑓 𝑖 |2 𝛿(𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 − 2~𝜔), ~

(2)

𝐻𝑓 𝑖 =

∑︁

′ 𝐻𝑓′ 𝑛 𝐻𝑛𝑖

𝑛

𝐸𝑛 − 𝐸𝑖 − ~𝜔

. (11.16)

Такие эффекты работают в лазерных приложениях, когда, например, энергия ~𝜔 одного кванта ниже порога ионизации, а путем добавления нескольких квантов мы можем получить необходимое количество энергии для ионизации. Первый шаг двухступенчатого процесса является виртуальным (внемассовым, нерезонансным). Таким путём можно описать многоквантовые процессы. В частности, в третьем порядке вместе с резонансом на частоте перехода 3𝜔 появляется ′† ′ новый тип вклада 𝐻𝑓′ 𝑛 𝐻𝑛𝑙 𝐻𝑙𝑖 (плюс все перестановки хронологического упорядочивания). Эти члены дают снова резонанс в простейшем переходе 𝑖 → 𝑓 с 𝜔𝑓 𝑖 = 𝜔. Для слабого поля это просто малая поправка к первому порядку, хотя она становится заметной для сильных полей.

296

Глава 11 Периодические возмущения

11.3. Вырожденные состояния Решением для системы вырожденных состояний являются периодически (но не гармонически) меняющиеся волновые функции. Задача 11.1 ^ ′ cos(𝜔𝑡) имеет Рассмотреть систему, где периодическое возмущение 𝐻 большой матричный элемент между двумя вырожденными состояниями |1⟩ и |2⟩. Найти эволюцию волновой функции во времени, если в начальный момент система находилась в состоянии |1⟩. Решение В общей системе зависящих от времени уравнений (см. уравнение 10.9) удерживаем только уравнения, связывающие два вырожденных уровня, 𝜔12 = 0: ′ 𝑖~𝑎˙ 1 = 𝐻12 cos(𝜔𝑡) 𝑎2 ,

′ 𝑖~𝑎˙ 2 = 𝐻12 cos(𝜔𝑡) 𝑎1 .

(11.17)

Точное решение этой системы уравнений легко найти, если мы примем, что в согласии с нормировкой |𝑎1 (𝑡)|2 + |𝑎2 (𝑡)|2 = 1 и начальным условием 𝑎1 (0) = 1 𝑎1 (𝑡) = cos 𝛾(𝑡),

𝑎2 (𝑡) = −𝑖 sin 𝛾(𝑡),

𝛾(0) = 0.

(11.18)

Тогда два уравнения (11.17) сводятся к одному уравнению для 𝛾(𝑡): ′ ~𝛾˙ = 𝐻12 cos(𝜔𝑡).

(11.19)

Интегрируя это уравнение с данным начальным условием, получаем (︁ 𝐻 ′ )︁ 12 𝑎1 (𝑡) = cos sin(𝜔𝑡) , ~𝜔

(︁ 𝐻 ′ )︁ 12 𝑎2 (𝑡) = −𝑖 sin sin(𝜔𝑡) . ~𝜔

(11.20)

Система осциллирует между двумя состояниями с максимальной заселён′ /~𝜔). Это решение также легко ностью второго уровня, равной sin2 (𝐻12 найти, используя матрицы Паули в двумерном пространстве. Такая ситуация имеет место в атоме водорода, где состояния 2𝑠1/2 и 2𝑝1/2 являются вырожденными (см. разд. 9.2), если пренебречь лэмбовским сдвигом. Эти состояния могут быть сильно смешаны в постоянном электрическом поле, давая новые стационарные суперпозиции. Здесь мы видим, что периодическое поле создает периодические изменения во времени комбинаций первоначально вырожденных стационарных состояний.

11.4. Квазиэнергия

297

Число линейно независимых комбинаций равно степени вырождения. Второе решение для задачи 11.1 будет соответствовать начальному условию 𝑎2 (0) = 1. Более общее начальное условие будет генерировать определенную линейную комбинацию cos 𝛾(𝑡) и sin 𝛾(𝑡). Схема решения для 𝑛 вырожденных состояний является прямым обобщением двухуровневой задачи: мы ищем частное решение в виде 𝑎𝑗 = 𝐴𝑗 𝑒−𝑖𝛾(𝑡)

(11.21)

и получаем систему уравнений ∑︁ 𝐴𝑗 ′ 𝐻𝑗𝑗 ′ ; ~𝐴𝑗 𝛾˙ = cos(𝜔𝑡)

(11.22)

𝑗′

временная зависимость удовлетворяется подстановкой 𝛾(𝑡) =

Λ sin(𝜔𝑡); ~𝜔

(11.23)

и мы приходим к статической проблеме собственных значений для Λ, ∑︁ Λ𝐴𝑗 = 𝐻𝑗𝑗 ′ 𝐴𝑗 ′ , (11.24) 𝑗′

что даёт 𝑛 собственных значений Λ и, следовательно, 𝑛 функций 𝛾(𝑡). Правильная комбинация частных решений (11.21) должна находиться из начальных условий. При решении этой задачи мы пренебрегаем присутствием всех других состояний в системе. Они могут быть учтены как возмущение к указанному выше решению.

11.4. Квазиэнергия Можно провести аналогию между поведением квантовой системы в периодической пространственной решетке (см. т. 1, разд. 8.7) и в поле с периодической зависимостью от времени. В первом случае импульс частицы не мог сохраняться из-за многократного рассеяния в периодическом потенциале. Вместо него волновая функция могла быть охарактеризована квазиимпульсом, который определен с точностью до вектора обратной решетки. Во многих случаях полезно использовать аналогичную идею для возмущения, периодического во времени.

298

Глава 11 Периодические возмущения

^ Рассмотрим общий гамильтониан 𝐻(𝑡), периодически меняющийся во времени с периодом 𝑇 : ^ + 𝑇 ) = 𝐻(𝑡). ^ 𝐻(𝑡

(11.25)

Решение уравнения Шрёдингера 𝑖~

𝜕Ψ(𝑡) ^ = 𝐻(𝑡)Ψ(𝑡) 𝜕𝑡

(11.26)

может быть представлено как унитарная (поскольку гамильтониан эрмитов) эволюция произвольного начального состояния ^ (𝑡)Ψ(0), Ψ(𝑡) = 𝑈

^ † (𝑡) = 𝑈 ^ −1 (𝑡), 𝑈

(11.27)

^ (0) = ^1. Поскольку гамильтониан, определяющий оператор эволюции, где 𝑈 является периодическим, можно также утверждать, что ^ (𝑡)Ψ(𝑇 ). Ψ(𝑡 + 𝑇 ) = 𝑈

(11.28)

Это эквивалентно равенству ^ (𝑡)𝑈 ^ (𝑇 )Ψ(0), Ψ(𝑡 + 𝑇 ) = 𝑈

(11.29)

и, следовательно, ^ (𝑡 + 𝑇 ) = 𝑈 ^ (𝑡)𝑈 ^ (𝑇 ). 𝑈

(11.30)

^ (𝑇 ) может быть диагонаУнитарный оператор эволюции за период 𝑈 лизован, его собственными значениями являются (см. т. 1, разд. 6.10) комплексные числа exp(𝑖𝛼𝑘 ) на единичной окружности. Пусть 𝜓𝑘 есть ^ (𝑇 ), так что набор собственных векторов 𝑈 ^ (𝑇 )𝜓𝑘 = 𝑒𝑖𝛼𝑘 𝜓𝑘 . 𝑈

(11.31)

Действуя обеими частями (11.30) на функцию 𝜓𝑘 , мы получаем ^ (𝑡 + 𝑇 )𝜓𝑘 = 𝑒𝑖𝛼𝑘 𝑈 ^ (𝑡)𝜓𝑘 . 𝑈

(11.32)

Волновая функция, которая стартует при 𝑡 = 0 с одной из функций 𝜓𝑘 , ^ (𝑡)𝜓𝑘 , Ψ𝑘 (𝑡) = 𝑈

(11.33)

11.5. Конечные состояния в континууме

299

эволюционирует особенно просто, Ψ𝑘 (𝑡 + 𝑇 ) = 𝑒𝑖𝛼𝑘 Ψ𝑘 (𝑡),

(11.34)

приобретая только фазу 𝛼𝑘 после каждого периода 𝑇 гамильтониана. Если бы мы имели независящий от времени гамильтониан, эволюция стационарного состояния Ψ𝐸 с энергией 𝐸 за интервал времени 𝑇 была бы Ψ𝐸 (𝑡 + 𝑇 ) = 𝑒−(𝑖/~)𝐸𝑇 Ψ𝐸 (𝑡).

(11.35)

В присутствии нестационарного возмущения энергия не сохраняется. Однако эволюция за период состояния (11.34) такая же, как для стационарного состояния с энергией ̃︀ = − ~𝛼𝑘 = − ~𝜔 𝛼𝑘 , 𝐸 𝑇 2𝜋

(11.36)

̃︀ называется квазиэнергией состояния Ψ𝑘 . Сущегде 𝜔 = 2𝜋/𝑇 . Величина 𝐸 ствование состояний с определённой квазиэнергией есть математическое следствие теории Флоке, 1883 г., дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами [56]. Пример из задачи 11.1 определяет перио̃︀ = 0. Согласно (11.34), дическую функцию, отвечающую квазиэнергии 𝐸 квазиэнергии определены по модулю 2𝜋~/𝑇 = ~𝜔 подобно квазиимпульсу в решётке.

11.5. Конечные состояния в континууме Для перехода 𝑖 → 𝑓 , когда |𝑓 ⟩ принадлежит непрерывному спектру, мы не можем точно зафиксировать отдельное конечное состояние. Имеет смысл только вероятность перехода в спектральный интервал конечных состояний с энергиями от 𝐸𝑓 до 𝐸𝑓 + 𝑑𝐸𝑓 , a также в интервал других непрерывно меняющихся квантовых чисел. Символически мы обозначаем этот интервал как 𝑑𝜈𝑓 = 𝑑𝜌𝑓 𝑑𝐸𝑓 ,

(11.37)

где 𝑑𝜌𝑓 имеет смысл плотности конечных состояний на единичный интервал энергии. Золотое правило (11.6) будет давать теперь скорость перехода

300

Глава 11 Периодические возмущения

в группу близколежащих конечных состояний, 𝑑𝑤˙ 𝑓 𝑖 =

2𝜋 |𝐻𝑓′ 𝑖 |2 𝛿(𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 − ~𝜔) 𝑑𝜈𝑓 . ~

(11.38)

Если конечное состояние полностью характеризуется своей энергией, то полная скорость перехода выражается интегралом по энергии ∫︁ 2𝜋 2𝜋 (11.39) 𝑤˙ 𝑓 𝑖 = |𝐻𝑓′ 𝑖 |2 , 𝑑𝐸𝑓 |𝐻𝑓′ 𝑖 |2 𝛿(𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 − ~𝜔) = ~ ~ где матричный элемент берётся на энергетической поверхности. В реальности состояния в континууме обычно вырождены, например, по направлению конечного импульса p𝑓 . Тогда в (11.39) мы должны добавить плотность конечных состояний 𝑑𝑤˙ 𝑓 𝑖 =

2𝜋 ′ 2 |𝐻𝑓 𝑖 | 𝑑𝜌𝑓 . ~

(11.40)

Это стандартная форма золотого правила для переходов в сплошной спектр.

Явное выражение для 𝑑𝜌𝑓 зависит от нормировки состояний в континууме; они должны быть нормированы на 𝛿-функцию от тех непрерывных переменных, произведение которых было определено как 𝑑𝜈𝑓 в (11.37). Часто бывает удобно использовать нормировку в прямоугольной яме большого размера, которая обсуждалась в начале курса (см. т. 1, разд. 3.7 и 3.8). Волновая функция свободной частицы с периодическими граничными условиями имеет вид 1 ⟨r|k⟩ = 𝜓k (r) = √ 𝑒𝑖(k·r) . 𝑉

(11.41)

Нормировочный объём 𝑉 — вспомогательная величина, обеспечивающая правильный подсчёт квантовых состояний в континууме; физические наблюдаемые не содержат его при правильных вычислениях. Функции (11.41) нормированы так же, кaк и в дискретном спектре, ∫︁ ′ ⟨k |k⟩ = 𝑑3 𝑟 𝜓k* ′ (r)𝜓k (r) = 𝛿k′ k . (11.42) В этом случае, как мы знаем, плотность конечных состояний в интервале 𝑑3 𝑘 = 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦 𝑑𝑘𝑧 = 𝑘 2 𝑑𝑘 𝑑𝑜 с правильно квантованными компонентами

11.5. Конечные состояния в континууме

301

волновых векторов в элементе телесного угла 𝑑𝑜 определяется как 𝑑𝜈𝑓 =

𝑉 𝑉 𝑑3 𝑘𝑓 = 𝑘 2 𝑑𝑘𝑓 𝑑𝑜. 3 (2𝜋) (2𝜋)3 𝑓

(11.43)

Поскольку для свободного движения 𝐸 = ~2 𝑘 2 /2𝑚, 𝑑𝐸 = (~2 𝑘/𝑚)𝑑𝑘, 𝑑𝜈𝑓 =

𝑉 𝑚𝑘𝑓 𝑑𝑜 𝑑𝐸𝑓 (2𝜋)3 ~2

(11.44)

𝑑𝜌𝑓 =

𝑑𝜈𝑓 𝑉 𝑚𝑘𝑓 𝑉 = 𝑑𝑜 = 𝑚𝑝𝑓 𝑑𝑜. 𝑑𝐸𝑓 (2𝜋)3 ~2 (2𝜋~)3

(11.45)

и

Если имеется несколько частиц в конечном состоянии, то в плотность нужно включать число ячеек в фазовом пространстве, 𝑉 𝑑3 𝑝/(2𝜋~)3 , для каждой из частиц и правильно учесть кинематические связи между ними. Результат будет зависеть от системы отсчёта, используемой в описании процесса (например, лабораторной или системы центра масс). Если частицы имеют дополнительные квантовые характеристики, такие как спин или поляризация, а матричный элемент процесса не зависит от них, то плотность состояний просто умножается на их число — (2s+1) для частицы со спином 𝑠 или 2 для двух поляризаций фотона. Умножение означает, что нет интерференции и для некогерентных процессов, в которых конечные состояния имеют различные значения этих дискретных квантовых чисел, мы складываем вероятности, а не амплитуды. Различные возможные ситуации иллюстрируются ниже примерами и соответствующими диаграммами на рис. 11.2—11.6. Задача 11.2 Найти плотность конечных состояний для следующих примеров: 1) 2) 3) 4)

релятивистская частица в конечном состоянии; эффект Комптона (см. т. 1, разд. 1.3) — рис. 11.2; электрон-электронное рассеяние — рис. 11.3; тормозное излучение заряженной частицей в присутствии тяжёлого ядра (свободная частица не может излучать, так как невозможно удовлетворить законам сохранения энергии и импульса) — рис. 11.4; 5) рождение электрон-позитронной пары фотоном в поле ядра — рис. 11.5; 6) аннигиляция электрон-позитронной пары в два фотона — рис. 11.6.

302

Глава 11 Периодические возмущения

Решение 1. Для релятивистской частицы 𝐸 2 = 𝑚2 𝑐4 + 𝑝2 𝑐2 ,

𝑝 𝑑𝑝 =

𝑝 𝐸 𝑑𝐸 = 𝑑𝐸, 2 𝑐 𝑣

(11.46)

где v=p

𝑐2 𝐸

(11.47)

— скорость частицы. Отсюда 𝑝2𝑓 𝑑𝑝𝑓 𝑑𝑜 𝑝2𝑓 𝑉 𝑉 = 𝑑𝑜. 𝑑𝜌𝑓 = (2𝜋~)3 𝑑𝐸𝑓 (2𝜋~)3 𝑣𝑓

(11.48)

Рис. 11.2. Диаграмма для эффекта Комптона

Рис. 11.3. Рассеяние электрона на электроне

Рис. 11.4. Тормозное излучение на ядре

11.5. Конечные состояния в континууме

303

Рис. 11.5. Рождение электрон-позитронной пары фотоном в поле ядра

Рис. 11.6. Двухфотонная аннигиляция электронпозитронной пары

При 𝑣 ≪ 𝑐 это выражение совпадает с нерелятивистским результатом (11.45), а для 𝑚 = 0, 𝑣 = 𝑐, 𝐸 = ~𝜔 = ~𝑐𝑘 мы получаем плотность конечных состояний для фотона 𝑑𝜌𝑓 =

𝑉 𝜔2 𝑑𝑜. (2𝜋)3 ~𝑐3

(11.49)

2. В системе отсчёта, где фотон с начальной частотой 𝜔 рассеивается на покоящейся частице массы 𝑚 (электрон), частота фотона, рассеянного на угол 𝜃 в элемент телесного угла 𝑑𝑜, равна (см. т. 1, разд. 1.3) 𝜔𝑓 =

𝜔 . 1 + (~𝜔/𝑚𝑐2 )(1 − cos 𝜃)

(11.50)

Конечный электрон получает энергию отдачи 𝜀𝑓 и импульс 𝑝𝑓 √︁ 𝐸𝑓 = ~𝜔𝑓 + 𝜀𝑓 = ~𝜔𝑓 + 𝑝2𝑓 𝑐2 + 𝑚2 𝑐4 . (11.51) Вследствие сохранения импульса импульс начального фотона ~k удовлетворяет условию ~k = ~k𝑓 + p𝑓 . Тогда √︁ (11.52) 𝐸𝑓 = ~𝜔 + 𝑚2 𝑐4 + ~2 𝑐2 (𝑘 2 + 𝑘𝑓2 − 2𝑘𝑘𝑓 cos 𝜃) ,

304

Глава 11 Периодические возмущения )︂ (︂ 𝑑𝐸𝑓 ~(𝜔𝑓 − 𝜔 cos 𝜃) , = ~𝑐 1 + 𝑑𝑘𝑓 𝜀𝑓 или, вспоминая о сохранении энергии, 𝑑𝐸𝑓 𝜔𝑓 𝑚𝑐2 ~𝜔(1 − cos 𝜃) + 𝑚𝑐2 = ~𝑐 = ~𝑐 . 𝑑𝑘𝑓 𝜀𝑓 𝜔 𝜀𝑓

(11.53)

(11.54)

Окончательно, 2 𝑉 𝜔𝑓 𝜀𝑓 𝑉 𝑘𝑓 𝑑𝑘𝑓 𝑑𝑜 = 𝑑𝑜. 𝑑𝜌𝑓 = 3 (2𝜋) 𝑑𝐸𝑓 (2𝜋)3 𝜔 𝑚𝑐2

(11.55)

Здесь 𝜀𝑓 = ~(𝜔 − 𝜔𝑓 ) + 𝑚𝑐2 и 𝑑𝑜 — элемент телесного угла в направлении рассеянного фотона; направление p𝑓 электрона однозначно определяется законами сохранения. 3. В упругом рассеянии, в системе центра масс имеем p1 = −p2 ≡ p, p′1 = −p′2 ≡ p′ , и |p| = |p′ | ≡ 𝑝; тогда 𝐸1 = 𝐸2 = 𝐸1′ = 𝐸2′ ≡ 𝐸, и достаточно следить только за одним электроном в конечном состоянии. Поскольку 𝐸𝑓 = 2𝐸, то 𝑑𝜌𝑓 =

𝑝𝐸 𝑉 𝑑𝑜. 3 (2𝜋~) 2𝑐2

(11.56)

4. Если считать ядро бесконечно тяжёлым (пренебрегая энергией отдачи ядра 𝑃 2 /2𝑀 ), то импульс электрона не сохраняется, и нужно рассматривать по отдельности импульсы испущенного фотона (частоты 𝜔) и рассеянного электрона. Сохранение энергии даёт 𝐸𝑓 = 𝐸 + ~𝜔 = 𝐸0 , так что для фиксированной 𝜔, 𝑑𝐸𝑓 = 𝑑𝐸, и 𝑑𝜌𝑓 =

𝑉 𝑝𝐸 𝑉 𝑘 2 𝑑𝑘 𝑑𝑜 𝑑𝑜𝛾 . 𝑒 (2𝜋~)3 𝑐2 (2𝜋)3

(11.57)

5. Так же как и в случае тормозного излучения, ядро принимает на себя излишний импульс. Разница по сравнению со случаем (4) в том, что фотон теперь в начальном, а не в конечном состоянии. А вместо начального электрона мы имеем дело с конечным позитроном. Пренебрегая опять энергией отдачи ядра, имеем при фиксированной энергии позитрона 𝐸+ , 𝑑𝐸𝑓 = 𝑑𝐸− , и 𝑑𝜌𝑓 = 𝑑𝜌+ 𝑑𝜌−

𝑑𝐸+ 𝑑𝐸− = 𝑑𝜌+ 𝑑𝜌− 𝑑𝐸+ ; 𝑑𝐸𝑓

(11.58)

11.5. Конечные состояния в континууме

305

используя (11.48), мы получаем 𝑑𝜌𝑓 =

𝑝+ 𝐸+ 𝑝− 𝐸− 𝑉 𝑑𝑜+ 𝑉 𝑑𝑜− 𝑑𝐸+ . 𝑐2 𝑐2 (2𝜋~)3 (2𝜋~)3

(11.59)

6. В системе центра масс p+ + p− = 0, 𝐸+ = 𝐸− = 𝐸. Оба фотона приобретают одинаковую энергию 𝐸1 = 𝐸2 , которая также равна 𝐸. Для фотонов k1 + k2 = 0, |k1 | = |k2 | ≡ 𝑘, 𝐸𝑓 = 2~𝑐𝑘. Это даёт 𝑑𝜌𝑓 =

𝑉 𝑘2 𝑑𝑜1 . (2𝜋)3 2~𝑐

(11.60)

Задача 11.3 В процессе 𝛽-распада, индуцированного слабыми взаимодействиями, выделяется кинетическая энергия 𝐸 и начальное ядро (𝐴, 𝑍) с 𝑍 протонами и 𝐴 − 𝑍 нейтронами превращается либо в ядро 𝐴, 𝑍 + 1 с испусканием электрона и электронного антинейтрино, либо в ядро 𝐴, 𝑍 − 1 с испусканием позитрона и электронного нейтрино. В пренебрежении кинетической энергией отдачи остаточного ядра и эффектами кулоновского поля ядра, энергетический спектр испущенных электронов (или позитронов) может быть представлен как 2 𝑑𝑁 = const |𝐻𝑓weak 𝑖 | 𝑔(𝐸, 𝐸𝑒 ) 𝑑𝐸𝑒 .

(11.61)

Найти функцию 𝑔(𝐸, 𝐸𝑒 ) 1) для безмассового нейтрино; 2) для нейтрино конечной массы 𝑚. 3) Было установлено, что электронное нейтрино 𝜈𝑒 , или антинейтрино 𝜈¯𝑒 , рождённые в процессе 𝛽-распада, не имеют определённой массы, будучи линейными комбинациями как минимум двух стационарных типов нейтрино с массами 𝑚1 и 𝑚2 , |𝜈𝑒 ⟩ = cos 𝜗 |𝜈1 ⟩ + sin 𝜗 |𝜈2 ⟩;

(11.62)

определённо известно, что эти массы не могут превышать 1 эВ, хотя их точные значения пока неизвестны. Эти нейтринные осцилляции будут обсуждаться позднее. Как будет выглядеть результат в этом случае? Решение 1. В этом случае мы имеем 𝐸𝜈 = 𝑐𝑝𝜈 = 𝐸 − 𝐸𝑒 : √︀ 𝑔(𝐸, 𝐸𝑒 ) = (𝐸 − 𝐸𝑒 )2 𝐸𝑒 𝐸𝑒2 − 𝑚2𝑒 𝑐4 .

(11.63)

306

Глава 11 Периодические возмущения

2. Модификация для конечной массы нейтрино одного сорта: √︀ 𝑔(𝐸, 𝐸𝑒 ; 𝑚) = (𝐸 − 𝐸𝑒 )𝐸𝑒 [(𝐸 − 𝐸𝑒 )2 − 𝑚2 𝑐4 ](𝐸𝑒2 − 𝑚2𝑒 𝑐4 ). (11.64) 3. Для случая нейтринных осцилляций 𝑔(𝐸, 𝐸𝑒 ) = 𝑔(𝐸, 𝐸𝑒 ; 𝑚1 ) cos2 𝜗 + 𝑔(𝐸, 𝐸𝑒 ; 𝑚2 ) sin2 𝜗.

(11.65)

Из-за малости масс 𝑚1 и 𝑚2 модификации могут быть заметны только в самом конце электронного спектра. Например, даже для самого обещающего случая 𝛽-распада трития, 3 H→3 He + электрон + электронное антинейтрино, где полная энергия, выделяемая при распаде, составляет 18,6 кэВ (обычно она много больше, на уровне нескольких МэВ), эта энергия всё равно много больше ожидаемых значений масс нейтрино (или антинейтрино). Такие эксперименты идут уже много лет, но окончательный результат ещё не достигнут [57].

11.6. Приближение вращающегося поля Вернёмся к взаимодействию атомных состояний с периодическим электромагнитным полем — главной проблеме квантовой оптики. В предыдущих разделах мы видели решающую роль условия резонанса. Фактически мы уже обсуждали это в связи с магнитным резонансом (см. разд. 5.4) и в разд. 11.3, где речь шла о вырожденных состояниях; здесь мы рассмотрим резонансное приближение, которое полезно во многих практических приложениях. В простейшей ситуации мы имеем двухуровневую систему, атом в монохроматическом поле. Атомные состояния мы будем называть |𝑔⟩ («основное» состояние) с невозмущённой энергией 𝐸𝑔 и |𝑒⟩ («возбуждённое» состояние) с энергией 𝐸𝑒 = 𝐸𝑔 + ~𝜔0 . Внешнее поле ^ ′ (𝑡) = 𝑉^ cos(𝜔𝑡 + 𝛼) 𝐻

(11.66)

характеризуется своей частотой 𝜔, которая, вообще говоря, отличается от 𝜔0 , так что имеется расстройка Δ = 𝜔0 − 𝜔 =

𝐸𝑒 − 𝐸𝑔 − ~𝜔 . ~

(11.67)

11.6. Приближение вращающегося поля

307

Эрмитовское возмущение (11.66) индуцирует переходы как между состояниями |𝑔⟩ и |𝑒⟩, так и в другие атомные состояния. Мы будем предполагать, что оператор 𝑉^ = 𝑉^ † имеет большие матричные элементы 𝑉 ≡ ⟨𝑔|𝑉^ |𝑒⟩ = ⟨𝑒|𝑉^ |𝑔⟩* для переходов 𝑔 ↔ 𝑒. В квантовой оптике наиболее сильными являются дипольные переходы между состояниями противоположной чётности. В этом случае ^ ℰ · d), 𝑉^ = −(ℰ

(11.68)

где ℰ — электрическое поле внешней электромагнитной волны. Далее мы ограничимся только двумя уровнями, пренебрегая переходами в другие состояния. Это приближение связано с резонансом, который отвечает условию Δ = 0. Таким образом, мы приходим к двухуровневой динамике, в которой волновая функция есть линейная комбинация состояний |𝑔⟩ и |𝑒⟩, |Ψ(𝑡)⟩ = 𝑎𝑔 (𝑡)|𝑔⟩ + 𝑎𝑒 (𝑡)|𝑒⟩,

(11.69)

и амплитуды 𝑎𝑔 (𝑡) и 𝑎𝑒 (𝑡) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 𝑖~𝑎˙ 𝑔 = 𝐸𝑔 𝑎𝑔 + 𝑉 (𝑡)𝑎𝑒 ,

𝑖~𝑎˙ 𝑒 = 𝐸𝑒 𝑎𝑒 + 𝑉 * (𝑡)𝑎𝑔 .

(11.70)

Здесь мы используем произвольную зависимость от времени 𝑉 (𝑡), описывающую форму импульса поля. Во многих проблемах взаимодействия излучения с материей, когда рассматривается только пара атомных состояний, связанных сильными радиационными переходами, то удобно отобразить эти состояния на систему спина 1/2 (на современном языке это кубит — элементарная ячейка будущих квантовых компьютеров), см. разд. 5.7. Состояние с ориентацией спина вверх или вниз отвечает соответственно большей или меньшей энергии, так что гамильтониан свободного атома есть (︂ )︂ 𝐸𝑔 + 𝐸𝑒 ^ ~𝜔0 𝐸 0 𝑒 ∘ ^ = 𝐻 = 1+ 𝜎𝑧 . (11.71) at 0 𝐸𝑔 2 2 Повышающий оператор 𝑠+ = (1/2)(𝜎𝑥 + 𝑖𝜎𝑦 ) описывает поглощение резонансного кванта, в то время как понижающий оператор 𝑠− = (1/2)(𝜎𝑥 − 𝑖𝜎𝑦 )

308

Глава 11 Периодические возмущения

описывает излучение. Волновая функция изображается спинором (︂ )︂ 𝑎𝑒 |𝑒⟩ |Ψ⟩ = , (11.72) 𝑎𝑔 |𝑔⟩ а полный гамильтониан даётся матрицей 2 × 2, ^ = 𝐻

(︂

𝐸𝑒 𝑉 * (𝑡) 𝑉 (𝑡) 𝐸𝑔

)︂ =

𝐸𝑔 + 𝐸𝑒 ^ ~𝜔0 𝜎𝑧 + Re(𝑉 (𝑡))𝜎𝑥 + Im(𝑉 (𝑡))𝜎𝑦 . 1+ 2 2 (11.73)

Выделяя невозмущённую зависимость от времени, мы приходим к представлению взаимодействия для новых амплитуд 𝑎𝑔 (𝑡) = 𝑒−(𝑖/~)𝐸𝑔 𝑡 𝑏𝑔 (𝑡),

𝑎𝑒 (𝑡) = 𝑒−(𝑖/~)𝐸𝑒 𝑡 𝑏𝑒 (𝑡),

(11.74)

которые удовлетворяют системе уравнений 𝑖~𝑏˙ 𝑔 = 𝑉 (𝑡)𝑒−𝑖𝜔0 𝑡 𝑏𝑒 (𝑡),

𝑖~𝑏˙ 𝑒 = 𝑉 * (𝑡)𝑒𝑖𝜔0 𝑡 𝑏𝑔 (𝑡).

(11.75)

Во многих случаях проблему можно заметно упростить, используя резонанс, так называемое приближение вращающегося поля. Монохроматическое поле (11.68) может быть представлено как ^ ′ (𝑡) = 1 𝑉^ [𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝛼) + 𝑒−𝑖(𝜔𝑡+𝛼) ], 𝐻 2

(11.76)

где 𝑉 полагается действительным, а его фаза включена в 𝛼. Если расстройка мала, Δ ≪ 𝜔0 , в первом уравнении (11.75) первая экспонента из (11.76) почти сокращает исходную временную зависимость exp(−𝑖𝜔0 𝑡), оставляя только медленную зависимость от времени. В теории возмущений этот член будет порождать малый энергетический знаменатель и, следовательно, большую вероятность перехода, как в случае резонансного члена в (11.7). Вторая экспонента быстро осциллирует и даёт нерезонансный вклад. В приближении вращающегося поля такими членами пренебрегают. Таким образом, мы оставляем только первую экспоненту из (11.76) в первом уравнении (11.75) и вторую экспоненту во втором уравнении. Система связанных уравнений в приближении вращающегося поля принимает вид 𝑖~𝑏˙ 𝑔 =

1 𝑉 𝑒−𝑖(Δ𝑡+𝛼) 𝑏𝑒 (𝑡), 2

1 𝑖~𝑏˙ 𝑒 = 𝑉 𝑒𝑖(Δ𝑡+𝛼) 𝑏𝑔 (𝑡). 2

(11.77)

11.6. Приближение вращающегося поля

309

Это приближение справедливо, если решение действительно содержит только плавную зависимость от времени. Задача 11.4 Найти общее решение двухуровневой задачи в приближении вращающегося поля. Решение В действительности, эквивалентную проблему мы уже решали для магнитного резонанса (см. разд. 5.4). Имеются два независимых решения: ⎛ ⎞ (︂ )︂ −𝑒𝑖𝛼 𝐴− 𝑒𝑖(Ω+Δ/2)𝑡 𝑏𝑒 (𝑡) ⎠ Ψ− (𝑡) = =⎝ (11.78) 𝑏𝑔 (𝑡) + 𝑖(Ω−Δ/2)𝑡 𝐴+ 𝑒 и (︂ Ψ+ (𝑡) =

𝑏𝑒 (𝑡) 𝑏𝑔 (𝑡)

)︂

⎛ =⎝

−

𝐴+ 𝑒𝑖(−Ω+Δ/2)𝑡 𝑒−𝑖𝛼 𝐴

−

𝑒−𝑖(Ω+Δ/2)𝑡

⎞ ⎠.

Здесь мы положили Δ > 0 и ввели частоту Раби √︂ 1 𝑉2 Ω= Δ2 + 2 , 2 ~

(11.79)

(11.80)

в которую входит расстройка внешнего поля и расщепление 𝑉 2 , как это всегда имеет место в двухуровневой проблеме. Оба члена в уравнении для Ω должны быть много меньше 𝜔0 , чтобы резонансное приближение было справедливо. Это значит, что поле волны, которое входит в 𝑉 , должно быть много слабее электрического поля в атоме. При этом соотношение между Δ и 𝑉 может быть произвольным. Амплитуды 𝐴± равны √︂ √ Δ 2𝐴± = 1 ± . (11.81) 2Ω В действительности, система уравнений даёт только линейную связь между 𝐴+ и 𝐴− ; в (11.78) и (11.79) они выбраны так, чтобы для не связанных с полем состояний (𝑉 → 0, Ω = Δ/2) (︂ )︂ (︂ )︂ 1 0 Ψ− → Ψ𝑒 = , Ψ+ → Ψ𝑔 = . (11.82) 0 1

310

Глава 11 Периодические возмущения

Общее решение с произвольными начальными условиями описывается суперпозицией Ψ = 𝐶− Ψ− + 𝐶+ Ψ+ .

(11.83)

Не следует забывать, что это получено в представлении взаимодействия и что полная зависимость от времени получается возвращением к амплитудам 𝑎𝑒 (𝑡) и 𝑎𝑔 (𝑡) согласно (11.74). Выделяя полную зависимость от времени в амплитудах 𝑎(𝑡), мы видим, что имеются четыре квазиэнергии, которые в порядке возрастания равны (︁ )︁ ̃︀𝑔(−) = 𝐸𝑔 + ~ Δ − Ω , 𝐸 (︁ 2 )︁ (+) ̃︀ 𝐸𝑔 = 𝐸𝑔 + ~ Δ + Ω , (︁ 2 )︁ (11.84) ̃︀𝑒(−) = 𝐸𝑒 − ~ Δ + Ω , 𝐸 )︁ (︁ 2 (+) ̃︀ − Ω . 𝐸𝑒 = 𝐸𝑒 − ~ Δ 2 Здесь имеется попарное соответствие: ̃︀ (+) − 𝐸 ̃︀ (+) = 𝐸 ̃︀ (−) − 𝐸 ̃︀ (−) = ~(𝜔0 − Δ) = ~𝜔. 𝐸 𝑒 𝑔 𝑒 𝑔

(11.85)

Верхнее состояние в каждой паре можно интерпретировать как нижнее состояние плюс квант внешнего поля.

11.7. Взаимодействие с квантованным полем Рассмотрим теперь модель Джейнса—Каммингса [58, 59], где внешнее монохроматическое поле представлено квантовым гармоническим осциллятором. Квантование поля детально будет обсуждаться в гл. 13. Здесь мы нуждаемся только в идее фотонов как квантов с энергией ~𝜔, которые могут испускаться или поглощаться системами атомов. Моделируя поле гармоническими квантами с возможными 𝑛-квантовыми состояниями |𝑛⟩, мы сможем перейти к рассмотрению многофотонных процессов. В рамках двухуровневой системы во внешнем поле с малой расстройкой Δ мы имеем такие резонансные процессы: поглощение кванта, когда поле теряет один квант, |𝑛⟩ → |𝑛 − 1⟩, в то время как атом возбуждается, |𝑔⟩ → |𝑒⟩, и индуцированное излучение, которое отвечает переходам |𝑛⟩ → |𝑛 + 1⟩, |𝑒⟩ → |𝑔⟩. Индуцированные процессы генерируют фотон с теми же квантовыми числами, что и квант поля, до тех пор пока мы игнори-

11.7. Взаимодействие с квантованным полем

311

руем некогерентное спонтанное излучение. Гамильтониан даётся спинорной моделью (11.73), в которой внешнее поле представлено гармоническим осциллятором: )︂ (︂ 𝐸𝑔 + 𝐸𝑒 ^ ~𝜔0 1 † ^ + 𝐻 ′. (11.86) 𝐻= 1+ 𝜎𝑧 + ~𝜔 𝑎 ^ 𝑎+ 2 2 2 Резонансная часть гамильтониана взаимодействия может быть записана как ^ ′ = 𝑉 𝜎+ 𝑎 𝐻 ^ + 𝑉 * 𝜎− 𝑎 ^† ,

(11.87)

где повышающие и понижающие спиновые операторы 𝜎± = 𝜎𝑥 ± 𝑖𝜎𝑦 имеют матричные элементы ⟨𝑒|𝜎+ |𝑔⟩ = ⟨𝑔|𝜎− |𝑒⟩ = 1.

(11.88)

Заметим, что здесь нет никакой явной зависимости от времени, поскольку квантованное электромагнитное поле не есть внешний объект с заданной временной зависимостью; теперь оно включено в степени свободы всей системы. Полное гильбертово пространство генерируется базисными состояниями |𝑔; 𝑛⟩ и |𝑒; 𝑛⟩, которые характеризуются атомным уровнем и целым числом 𝑛 = 𝑎 ^† 𝑎 ^ квантов. Кроме полной энергии, имеется другой очевидный интеграл движения — полное число квантов, если приписать системе в возбуждённом состоянии один квант. По этой причине только два состояния для каждого 𝑛 > 0 связаны резонансным гамильтонианом: |𝑔; 𝑛⟩ и |𝑒; 𝑛 − 1⟩. Основное состояние |𝑔; 0⟩ (отсутствие квантов поля) является стабильным. Но, начиная с |𝑔; 𝑛 > 0⟩, мы получаем двухуровневую динамику с волновой функцией (︃ )︃ (𝑛) 𝑎 (𝑡) |𝑒; 𝑛 − 1⟩ 𝑒 |Ψ(𝑛) ⟩ = . (11.89) (𝑛) 𝑎𝑔 (𝑡) |𝑔; 𝑛⟩ Задача 11.5 Предполагая, что начальное состояние было суперпозицией многофотонных состояний с атомом в основном состоянии (︂ )︂ 0 |Ψ(0)⟩ = ∑︀ , (11.90) 𝑛 𝜉𝑛 |𝑔; 𝑛⟩

312

Глава 11 Периодические возмущения

найти динамику волновой функции при 𝑡 > 0. Решение В каждом двумерном секторе (11.89) удобно использовать представление взаимодействия, выделяя тривиальную невозмущённую динамику −(𝑖/~)[(𝐸𝑔 +𝐸𝑒 )/2+~𝜔𝑛]𝑡 (𝑛) 𝑎(𝑛) 𝑏𝑒,𝑔 (𝑡). 𝑒,𝑔 (𝑡) = 𝑒

(11.91)

(𝑛)

Новые амплитуды 𝑏𝑒,𝑔 (𝑡) удовлетворяют уравнению 𝑖𝑏˙ (𝑛) 𝑒 =

Δ (𝑛) 𝑏 + 𝜆𝑛 𝑏(𝑛) 𝑔 , 2 𝑒

𝑖𝑏˙ (𝑛) 𝑔 =−

Δ (𝑛) 𝑏 + 𝜆*𝑛 𝑏𝑒(𝑛) , 2 𝑔

(11.92)

где мы учли матричные элементы гармонического осциллятора (см. т. 1, уравнение 11.119) и ввели расстройку Δ и зависящий от 𝑛 параметр связи √ 𝜆𝑛 = (2𝑉 /~) 𝑛. Эта система уравнений может выть решена так же, как и раньше, и для начального условия (11.90) мы получаем {︂ (︁ (︁ Ω 𝑡 )︁}︂ Ω𝑛 𝑡 )︁ Δ 𝑛 (𝑛) 𝑏𝑔 (𝑡) = 𝜉𝑛 cos +𝑖 sin , (11.93) 2 Ω𝑛 2 𝑏(𝑛) 𝑒 (𝑡) = −𝜉𝑛

(︁ Ω 𝑡 )︁ 𝜆𝑛 𝑛 sin , Ω𝑛 2

(11.94)

где частота Раби Ω𝑛 зависит теперь не от амплитуды электрического поля, как в (11.80), или от магнитного поля, как в уравнении 5.54, а от 𝑛 (интенсивность квантованного поля): √︀ (11.95) Ω𝑛 = Δ2 + |𝜆𝑛 |2 .

Осциллирующая зависимость амплитуд волновой функции от времени порождает явление воскрешения первоначального многофотонного волнового пакета (рис. 11.7), характеризуемого коэффициентами 𝜉𝑛 суперпозиции (11.90). Предположим, например, что мы работаем точно в резонансе, Δ = 0. Зависящая от времени вероятность найти атом в основном состоянии описывается выражением 𝑃𝑔 (𝑡) =

∑︁ 𝑛

2 |𝑏(𝑛) 𝑔 (𝑡)| =

∑︁ 𝑛

|𝜉𝑛 |2 cos2

|𝜆𝑛 |𝑡 , 2

(11.96)

11.7. Взаимодействие с квантованным полем

313

Рис. 11.7. Эволюция начального когерентного состояния в модели Джейнса— Каммингса [60]; вертикальная ось показывает инверсную заселённость атома как функцию безразмерного времени 𝑇 = 𝑉 𝑡

∑︀ или, используя нормировку в (11.90), 𝑛 |𝜉𝑛 |2 = 1, (︂ √ )︂ 2|𝑉 | 𝑛 𝑡 1 1 ∑︁ 2 |𝜉𝑛 | cos . 𝑃𝑔 (𝑡) = + 2 2 𝑛 ~

(11.97)

После старта фотонный пакет проходит быструю стадию декогерентности («коллапс»). Можно оценить время возрождения пакета. Если фотонный волновой пакет имеет максимум при среднем числе фотонов 𝑛 ¯ и с типичной шириной (Δ𝑛) ≪ 𝑛 ¯ , то можно ожидать, что максимум ряда Фурье (11.97) будет достигаться при 𝑡 = 𝑇 , когда компоненты, соседние с центром пакета, будут находиться в фазе: (︂ )︂ √ 2|𝑉 | 𝑛 𝑇 |𝑉 |𝑇 𝑑 = √ = 2𝜋. (11.98) 𝑑𝑛 ~ ~ 𝑛 ¯ 𝑛=¯ 𝑛 Это определяет время возрождения 𝑇 = 2𝜋

4𝜋¯ 𝑛 ~ √ 𝑛 ¯= . |𝑉 | Ω𝑛¯

(11.99)

Задача 11.6 Предполагая многофотонный√пакет гауссовым с большим средним числом фотонов 𝑛 ¯ ≫ 1 и (Δ𝑛) = 𝑛 ¯ , найти эволюцию волнового пакета на

314

Глава 11 Периодические возмущения

малых временах (до начала возрождения). Эти начальные условия соответствуют квазиклассическому когерентному состоянию (см. т. 1, разд. 12.6), рассматриваемому вблизи максимума волнового пакета. Решение В этом случае |𝜉𝑛 |2 = √

1 2 𝑒−(𝑛−¯𝑛) /2¯𝑛 . 2𝜋¯ 𝑛

(11.100)

∑︀ Подставив это в (11.97) и заменив суммирование по 𝑛, 𝑛 , интегрированием ∫︀ 𝑑𝑛, а также распространив интегрирование до −∞, получаем, вычислив гауссов интеграл, √ )︂ (︂ 1 1 2|𝑉 | 𝑛 ¯ 𝑡 −|𝑉 |2 𝑡2 /2 𝑃𝑔 (𝑡) = + cos 𝑒 . (11.101) 2 2 ~ Это уравнение описывает стадию начального коллапса (быстрое разрушение когерентности). Это приближение не описывает воскрешение пакета.

11.8. Одетые состояния Когда мы включаем, как в (11.86), источник электромагнитного поля в нашу систему, полный гамильтониан не зависит от времени. Поэтому можно говорить о стационарных состояниях системы в целом, атом + поле. Такие одетые состояния возникают в сильных полях, когда теория возмущений неприменима. Мы рассмотрим только простейший случай двухуровневого атома и частоты поля, близкой к резонансу. Сильное поле может рассматриваться классически, так что в приближении вращающегося поля гамильтониан в представлении взаимодействия может быть опять записан с помощью матриц Паули для атомных состояний как (︁ )︁ ^ = ~Δ 𝜎𝑧 − 1 𝑉 𝜎+ + 𝑉 * 𝜎− . 𝐻 2 2

(11.102)

Это стандартная двухуровневая задача, с которой мы встречались много раз. Решениями эффективного двумерного уравнения Шрёдингера ^ 𝐻|±⟩ = 𝐸± |±⟩

(11.103)

11.9. Сверхизлучение

315

являются два стационарных состояния |±⟩ с новыми энергиями 𝐸± . Задача 11.7 Найти энергии 𝐸± и соответствующие стационарные состояния |±⟩. Решение Стационарные энергии прямо связаны с частотой Раби 𝐸± = ±

1 √︀ 2 2 ~ Ω≡± ~ Δ + |𝑉 |2 , 2 2

(11.104)

так что состояния раздвинуты по энергии на частоту Раби. Волновые функции равны √ √ )︂ )︂ (︂ (︂ 1 1 Ω√− Δ 𝑉√ / Ω−Δ , |−⟩ = √ . (11.105) |+⟩ = √ * Ω−Δ 2Ω −𝑉 / Ω − Δ 2Ω Если два атомных уровня, связанные сильным лазерным полем, могут испускать фотоэлектроны, то в спектре электронов будет наблюдаться удвоение резонансов с расстоянием ~Ω между пиками. Подобная пара когерентно связанных состояний появляется и в квантовом рассмотрении полей. В модели Джейнса—Каммингса мы будем иметь полностью аналогичную пару одетых состояний для каждого числа фотонов 𝑛 > 1 с расщеплением, √ растущим как 𝑛 (рис. 11.8).

11.9. Сверхизлучение Как пример физического явления, возможного при взаимодействии интенсивной электромагнитной волны с веществом, мы обсудим явление сверхизлучения или, если говорить точно, когерентное спонтанное излучение, предсказанное Р. Дикке [61]. Это предсказание нетривиально, поскольку из элементарной теории излучения известно, что спонтанное излучение − некогерентный процесс. Однако могут существовать возбуждённые состояния системы 𝑁 атомов, в которых интенсивность излучения в 𝑁 2 раз больше, чем у индивидуального атома. Ниже мы дадим упрощённое объяснение этого эффекта. Возвращаясь к спинорному описанию двухуровнего атома, обозначим энергии возбуждённого и основного состояния как ±𝐸/2, так что гамильтониан (11.71) свободного атома есть ∘ ^ at 𝐻 = 𝐸^ 𝑠𝑧 .

(11.106)

316

Глава 11 Периодические возмущения

Рис. 11.8. Схема расщепления одетых состояний при взаимодействии двухуровневой системы с квантовым гармоническим осциллятором

Амплитуды 𝐴* и 𝐴 поглощения и излучения резонансного фотона комплексно сопряжены и 𝐼0 = |𝐴|2 есть мера интенсивности спонтанного излучения одиночного атома при его переходе вниз. Поместим 𝑁 тождественных атомов в объём, стенки которого прозрачны для излучения резонансной частоты. Размер объёма выберем так, чтобы он был много меньше длины волны 𝜆 обсуждаемого перехода, 𝑘𝑟𝑎 ≪ 1, и поэтому пренебрежём всеми разностями фаз, возникающих из-за различия расстояний, проходимых волнами от разных излучателей. Будем также пренебрегать прямыми взаимодействиями между атомами и перекрытием пространственных волновых функций различных атомов. Если все атомы возбуждены и излучают независимо, то полная интенсивность 𝐼 ∼ 𝑁 𝐼0 . Тем не менее, даже в отсутствие прямой связи между атомами возможно когерентное излучение с 𝐼 ∼ 𝑁 2 𝐼0 . Если векторный оператор спина-кубита s(𝑎) действует в двухуровневом пространстве атома 𝑎, можно определить полный «спин», или квазиспин системы как ^= S

𝑁 ∑︁ 𝑎=1

^s(𝑎).

(11.107)

11.9. Сверхизлучение

317

Базис невзаимодействующих спинов состоит из 2𝑁 конфигураций с различным распределением возбуждённых спинов. Обозначим заселённости двух атомных уровней 𝑁± = (𝑁/2) + 𝑀 , где 𝑁 = 𝑁+ + 𝑁− — полное число атомов, а 𝑀 = 𝑆𝑧 = (𝑁+ − 𝑁− )/2 — проекция полного спина (сравните со швингеровским представлением углового момента, гл. 7). Базис независимых спинов не слишком удобен для описания процессов излучения, которые фактически дают связь с континуумом. Эта связь описывается оператором ∑︁ ∑︁ ^ ′ = 𝐴* 𝐻 𝑠^+ (𝑎) + 𝐴 𝑠^− (𝑎) ≡ 𝐴* 𝑆^+ + 𝐴𝑆^− , (11.108) 𝑎

𝑎

где все амплитуды 𝐴𝑎 одинаковы в нашем длинноволновом пределе, так ^ ∘ = 𝐸 𝑆^𝑧 , что в (11.108), как и в структуру внутреннего гамильтониана 𝐻 входят компоненты полного спина. Квазиспин S в классическом пределе называется вектором Блоха; в приближении (11.108) его величина 𝑆 сохраняется. Таким образом, вся динамика вектора Блоха разворачивается на поверхности сферы. Полный гамильтониан, включающий связь с континуумом (11.108), диагонализуется в базисе полного спина 𝑆 и проекции 𝑀. Задача 11.8 Вычислить число состояний 𝑔(𝑀 ) с заданной степенью возбуждения, даваемой полной проекцией 𝑀 , и число 𝒩 (𝑆) мультиплетов со спином 𝑆. Решение 𝑔(𝑀 ) =

𝑁! , (𝑁/2 + 𝑀 )!(𝑁/2 − 𝑀 )!

𝒩 (𝑆) = 𝑔(𝑀 = 𝑆) − 𝑔(𝑀 = 𝑆 + 1).

(11.109) (11.110)

При 𝑀 = 𝑁/2 все атомы возбуждены, состояние единственное (максимальная проекция вектора Блоха на ось 𝑧), 𝑔(𝑁/2) = 1, что возможно только для 𝑆 = 𝑁/2. Следующая проекция, 𝑀 = 𝑁/2 − 1, может быть построена 𝑔(𝑁/2 − 1) = 𝑁 способами переворотом одного из спинов. Одна комбинация из этих 𝑁 состояний принадлежит тому же максимальному спину 𝑆 = 𝑁/2. Это симметричная линейная комбинация с одинаковыми амплитудами переворота для всех спинов, которая может быть получена действием коллективного понижающего оператора 𝑆− ; другие 𝑁 − 1

318

Глава 11 Периодические возмущения

комбинаций состояний с одним перевёрнутым спином принадлежат новым мультиплетам с полным спином 𝑆 = 𝑁/2 − 1. В процессе однофотонного излучения: описываемого гамильтонианом (11.108), сохраняется длина 𝑆 вектора Блоха, но меняется его ориентация, |𝑆𝑀 ⟩ → |𝑆𝑀 − 1⟩. В этом случае излучение не может быть отнесено к отдельному атому, мы имеем коллективный процесс излучения всей запутанной системой. Амплитуда излучения пропорциональна √︀ 𝐴⟨𝑆 𝑀 − 1|𝑆− |𝑆 𝑀 ⟩ = 𝐴 (𝑆 + 𝑀 )(𝑆 − 𝑀 + 1). (11.111) Для одного атома, 𝑆 = 1/2, 𝑀 = 1/2, этот матричный элемент равен 𝐴; для многих тождественных атомов интенсивность излучения (11.111) равна 𝐼 = 𝐼0 (𝑆 + 𝑀 )(𝑆 − 𝑀 + 1),

(11.112)

Если мы начинаем с выстроенного состояния 𝑆 = 𝑀 = 𝑁/2, то мы можем иметь только некогерентное излучение 𝐼 = 𝐼0 𝑁 . Для состояний с одним перевёрнутым спином 𝑀 = 𝑁/2 − 1 когерентная часть даёт 𝐼 = 2(𝑁 − 1)𝐼0 , в то время как остающиеся некогерентные комбинации дают 𝐼 = (𝑁 − 2)𝐼0 . Ясно, что по мере убывания 𝑀 при перевороте большего числа спинов интенсивность излучения, испускаемого коллективной суперпозицией с максимальным спином 𝑆 = 𝑁/2, возрастает. Механизм усиления объясняется связью индивидуальных спинов через континуум. Виртуальное излучение спином 𝑎 и поглощение его спином 𝑏 создаёт когерентное суперизлучающее состояние. При этом не требуется прямого спин-спинового взаимодействия. В состоянии с максимально ориентированным спином вдоль оси 𝑧 возможно только некогерентное излучение. Связь через виртуальный континуум максимальна в ситуации, когда половина спинов смотрит вверх, а половина вниз. Это происходит (для чётных 𝑁 ) при поперечной ориентации векторa Блоха, 𝑆 = 𝑁/2, 𝑀 = 0, тогда (︂ )︂ 𝑁 𝑁 𝐼0 2 𝐼 = 𝐼0 +1 ≈ 𝑁 , (11.113) 2 2 4 интенсивность при больших 𝑁 пропорциональна 𝑁 2 . Состояния с 𝑀 < 0 опять менее выгодны для излучения. Задача 11.9 Классическая аналогия с вращающимся дипольным излучателем здесь вполне уместна. Если мы начинаем с вектора Блоха S, ориентированного вдоль оси 𝑧, то эта ситуация подобна неустойчивому равновесию маятника,

11.9. Сверхизлучение

319

Рис. 11.9. Развитие во времени суперизлучательного импульса в переходе между вращательными уровнями 𝐽 = 3 → 𝐽 = 2 молекулы HF [62], длина волны 84 𝜇m

смотрящего вертикально вверх, 𝑀 = 𝑆. Начинающееся спонтанное излучение заставляет маятник двигаться вниз, уменьшая 𝑀 = 𝑆 cos 𝜃. Используя баланс внутренней энергии и интенсивности излучения, запишите классическое уравнение движения для вектора Блоха как функции времени и решите это уравнение. Решение Зависящая от времени интенсивность излучения (11.112) диполя 𝐼 ≈ 𝐼0 (𝑆 2 − 𝑀 2 ) = 𝐼0 𝑆 2 sin2 𝜃

(11.114)

достигает максимума при поперечной ориентации, 𝜃 = 𝜋/2. Интенсивность равна скорости потери внутренней энергии 𝐻 ∘ = 𝐸𝑀 , ˙ 𝐼 = −𝐻˙ ∘ = −𝐸 𝑀˙ = 𝐸𝑆 sin 𝜃 · 𝜃.

(11.115)

Поэтому уравнение движения для вектора Блоха имеет вид 𝐼0 𝑆 𝜃˙ = sin 𝜃; 𝐸

(11.116)

интенсивность (11.115) достигает максимума при 𝜃 = 𝜋/2. Угол меняется как tan

𝜃 𝜃0 = 𝑒(𝐼0 𝑆/𝐸)(𝑡−𝑡0 ) tan . 2 2

(11.117)

320

Глава 11 Периодические возмущения

Многочисленные эксперименты в квантовой оптике подтвердили механизм суперизлучения Дикке. Понятно, что полная теория эффекта гораздо сложнее, поскольку должны быть учтены эффекты плотности, а также другие многочисленные факторы, порождающие некогерентные эффекты. В качестве примера мы показываем на рис. 2.9 одно из первых исследований [62] эффекта в оптически накачанном газе HF. «Запаздывающая» стадия некогерентного излучения завершается суперизлучающим пиком. Дополнительная литература: [56], [63], [61], [64], [65], [66], [59], [57]

Теряется то, что передаётся другим. Плиний Старший «Естественная история»

Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частиц 12.1. Сечение рассеяния В этом разделе результаты нестационарной теории возмущений будут применены к важной проблеме взаимодействия пучка быстрых частиц с системой конечного объёма (атом, молекула, ядро). Падающий волновой пакет отклоняется от первоначального направления в результате рассеяния. Система (рассеиватель, мишень) после взаимодействия может остаться в своём первоначальном состоянии (упругое рассеяние). В этом случае в системе центра масс процесс сводится к повороту относительного импульса мишени и налетающей частицы; кинетическая энергия относительного движения сохраняется, хотя некоторые внутренние квантовые числа взаимодействующих систем, например ориентация спина, могут измениться, если эти состояния вырождены. В процессе неупругого рассеяния внутренние состояния меняются вместе с кинетической энергией относительного движения. Если падающая частица и мишень были в своих основных состояниях до рассеяния, то они могут возбуждаться. Энергия возбуждения берётся из относительного движения, кинетическая энергия которого уменьшается. Рассмотрим упрощённую нерелятивистскую задачу, где налетающая точечная частица (координата r)) взаимодействует с системой частиц (координаты r𝑎 ) через потенциал, так что возмущение имеет вид ∑︁ ^′ = 𝐻 𝑈𝑎 (r − r𝑎 ). (12.1) 𝑎

Интуитивно мы ожидаем, что для достаточно быстрых частиц (со скоростью больше, чем характерные скорости частиц в мишени) эффективное

322

Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частиц

Рис. 12.1. Диаграмма рассеяния

время взаимодействия будет малым, многократные процессы маловероятны и полная вероятность рассеяния будет невелика. В этой ситуации мы будем использовать золотое правило теории возмущений в виде, приведённом в разд. 11.1. Зависящая от времени сила, действующая со стороны системы на налетающую частицу, может быть разложена, как функция времени, в ряд Фурье. Каждая фурье-компонента частоты 𝜔 порождает соответствующий обмен энергией ~𝜔 между мишенью и налетающей частицей. В пределе большого 𝑡 энергия сохраняется: если 𝜀𝑖 и 𝜀𝑓 энергии, соответственно, начального и конечного состояний падающей частицы, а 𝐸𝑖 и 𝐸𝑓 энергии мишени, то сохранение энергии даёт 𝜀𝑓 − 𝜀𝑖 = ~𝜔 = −(𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 ).

(12.2)

Пусть мишень первоначально находится в состоянии |𝑖⟩, а падающая частица имеет импульс p (процесс рассматривается в системе центра масс, поэтому все импульсы описывают относительное движение). Нас интересует вероятность 𝑑𝑤𝑓 𝑖 найти рассеянный волновой пакет с импульсом p′ в элементе телесного угла 𝑑𝑜, а систему в конечном состоянии |𝑓 ⟩. Если состояние |𝑓 ⟩ принадлежит дискретному спектру, то плотность конечных состояний определяется правилами разд. 11.5 для налетающей частицы. Согласно золотому правилу, вероятность перехода в единицу времени под

12.1. Сечение рассеяния

323

действием стационарно приходящего пучка есть 𝑑𝑤˙ 𝑓 𝑖 =

2𝜋 ′ 2 𝑉 𝑑3 𝑝′ |𝐻𝑓 𝑖 | 𝛿(𝜀𝑖 + 𝐸𝑖 − 𝜀𝑓 − 𝐸𝑓 ) . ~ (2𝜋~)3

(12.3)

Для нерелятивистской налетающей частицы, вводя плотность конечных состояний и интегрируя по 𝜀𝑓 , получаем для вероятности перехода в единицу времени 𝑑𝑤˙ 𝑓 𝑖 (𝑚 — приведённая масса) 𝑑𝑤˙ 𝑓 𝑖 =

𝑉 𝑝′ 𝑚 |𝐻 ′ |2 𝑑𝑜. 4𝜋 2 ~4 𝑓 𝑖

(12.4)

Сама по себе вероятность перехода в единицу времени не годится для сравнения с экспериментом — она зависит от нормировки в непрерывном спектре. Наблюдаемой величиной является эффективное дифференциальное сечение рассеяния — отношение числа частиц, попадающих в единицу времени в расположенный под определённым углом детектор, к плотности падающего потока. Если падающий пучок приносит 𝑁 частиц в секунду, то скорость счёта детектора будет 𝑁 𝑑𝑤˙ 𝑓 𝑖 . Плотность падающего потока равна произведению плотности пучка на относительную скорость, 𝑗 = (𝑁/𝑉 )𝑣 = (𝑁/𝑉 )𝑝/𝑚. Поэтому дифференциальное сечение равно 𝑑𝜎𝑓 𝑖 =

𝑁 𝑑𝑤˙ 𝑓 𝑖 𝑚 = 𝑉 𝑑𝑤˙ 𝑓 𝑖 , (𝑁/𝑉 )(𝑝/𝑚) 𝑝

(12.5)

и, согласно (12.4), 𝑑𝜎𝑓 𝑖 = 𝑉 2

𝑝′ 𝑚2 |𝐻 ′ |2 𝑑𝑜. 𝑝 4𝜋 2 ~4 𝑓 𝑖

(12.6)

Фактор 𝑉 2 в действительности сокращается в сечении (12.6), так как волновые функции падающей частицы в континууме нормированы на тот же объём. Матричный элемент амплитуды перехода зависит от переменных как мишени, так и падающей частицы: ^ ′ |𝑖; p⟩. 𝐻𝑓′ 𝑖 = ⟨𝑓 ; p′ |𝐻

(12.7)

Используя для падающей частицы плоские волны 𝜓p (r), нормированные на объём, находим 𝐻𝑓′ 𝑖 =

∫︁

^ ′ (r)|𝑖⟩𝜓p (r) = 𝑑3 𝑟 𝜓p* ′ (r)⟨𝑓 |𝐻

1 𝑉

∫︁

′

^ ′ (r)|𝑖⟩, 𝑑3 𝑟 𝑒(𝑖/~)(p−p )·r ⟨𝑓 |𝐻

324

Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частиц (12.8)

^ ′ (r)|𝑖⟩ — матричный элемент взаимодействия (27.1) по состояниям где ⟨𝑓 |𝐻 мишени, который всё ещё зависит от координаты r налетающей частицы. Сечение характеризует элементарный акт взаимодействия независимо от интенсивности пучка или нормировки на бесконечности. Полное сечение ∫︁ 𝑑𝜎𝑓 𝑖 (12.9) 𝜎𝑓 𝑖 = 𝑑𝑜 𝑑𝑜 получается интегрированием по всем углам рассеяния. Вектор q=

p′ − p = k′ − k ~

(12.10)

определяет передаваемый импульс от системы к налетающей частице. Матричный элемент (12.8) есть фурье-компонента амплитуды перехода ^ ′ (r)|𝑖⟩ с соответствующим волновым вектором q, ⟨𝑓 |𝐻 ∫︁ 1 ^ ′ (r)|𝑖⟩, (𝐻𝑓′ 𝑖 )q = 𝑑3 𝑟 𝑒−𝑖(q·r) ⟨𝑓 |𝐻 (12.11) 𝑉 и окончательное выражение для сечения (12.6) имеет вид 𝑑𝜎𝑓 𝑖

⃒∫︁ ⃒2 ⃒ 𝑝′ (︁ 𝑚 )︁2 ⃒⃒ 3 −𝑖(q·r) ′ ^ = 𝑑 𝑟𝑒 ⟨𝑓 |𝐻 (r)|𝑖⟩⃒⃒ 𝑑𝑜, ⃒ 2 𝑝 2𝜋~

(12.12)

где зависимость от нормировочного объёма 𝑉 уже отсутствует.

12.2. Резерфордовское рассеяние В случае потенциального взаимодействия (12.1), матричный элемент в (12.12) может быть записан как ∫︁ ∑︁ ^ ′ (r)|𝑖⟩ = 𝑑3 𝑟 𝑒−𝑖(q·r) ⟨𝑓 |𝐻 ⟨𝑓 |𝑒−𝑖(q·r𝑎 ) (𝑈𝑎 )q |𝑖⟩, (12.13) 𝑎

где введены фурье-компоненты потенциалов взаимодействия (мы используем переменную x = r − r𝑎 ), ∫︁ (𝑈𝑎 )q = 𝑑3 𝑥 𝑒−𝑖(q·x) 𝑈𝑎 (x). (12.14)

12.2. Резерфордовское рассеяние

325

Для кулоновского взаимодействия между нерелятивистской падающей частицей (заряд 𝑒0 ) и частицей 𝑎 в системе (заряд 𝑒𝑎 ), 𝑈𝑎 (r − r𝑎 ) = 𝑒0 𝜙𝑎 (r − r𝑎 ) =

𝑒0 𝑒𝑎 , |r − r𝑎 |

(12.15)

фурье-образ легко вычисляется, используя уравнение Пуассона, связывающее электростатический потенциал с плотностью заряда 𝜌ch , создающего этот потенциал, ∇2 𝜙(x) = −4𝜋𝜌ch (x).

(12.16)

Переходя к фурье-компонентам, находим 𝜙q =

4𝜋 ch 𝜌 . 𝑞2 q

(12.17)

В случае точечного заряда 𝑒𝑎 𝜌ch (r) = 𝑒𝑎 𝛿(r − r𝑎 ))

−𝑖(q·r𝑎 ) 𝜌ch , q = 𝑒𝑎 𝑒

(12.18)

и матричный элемент (12.13) становится ∑︁ 4𝜋𝑒0 4𝜋𝑍𝑒0 𝑒 ⟨𝑓 | 𝐹𝑓 𝑖 (q), 𝑒𝑎 𝑒−𝑖(q·r𝑎 ) |𝑖⟩ ≡ 2 𝑞 𝑞2 𝑎 где 𝑍𝑒 - полный заряд мишени, ∫︁ ∑︁ 𝑍𝑒 = 𝑑3 𝑟 𝜌ch (r) = 𝜌ch 𝑒𝑎 , q=0 =

(12.19)

(12.20)

𝑎

и введён зарядовый форм-фактор 𝐹𝑓 𝑖 (q) =

∑︁ 1 1 ⟨𝑓 |𝜌ch |𝑖⟩ = ⟨𝑓 | 𝑒𝑎 𝑒−𝑖(q·r𝑎 ) |𝑖⟩. q 𝑍𝑒 𝑍𝑒 𝑎

(12.21)

Собирая все уравнения, мы приходим к дифференциальному сечению для мишени, испытывающей переход 𝑖 → 𝑓 , и частицы, попадающей в телесный угол 𝑑𝑜 в результате кулоновского взаимодействия 𝑑𝜎𝑓 𝑖

𝑝′ = 𝑝

(︂

2𝑚𝑍𝑒0 𝑒 ~2 𝑞 2

)︂2

|𝐹𝑓 𝑖 (q)|2 𝑑𝑜.

(12.22)

326

Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частиц

Рис. 12.2. Форм-фактор и интерференция волн, рассеянных разными элементами объёма

Рассмотрим сначала упругое рассеяние, 𝑝′ = 𝑝, 𝑓 = 𝑖, 𝐹𝑓 𝑖 ≡ 𝐹 . В этом случае квадрат переданного импульса равен 𝜃 q2 = (k′ − k)2 = 2𝑘 2 (1 − cos 𝜃) = 4𝑘 2 sin2 , 2

(12.23)

где 𝜃 - угол рассеяния между начальным и конечным относительными импульсами. В кулоновском случае результат равен (︂ )︂ (︂ )︂ 𝑑𝜎 𝑑𝜎 = |𝐹 (q)|2 . (12.24) 𝑑𝑜 el 𝑑𝑜 Ruth Классическое сечение Резерфорда для частицы с энергией 𝜀 = 𝑝2 /2𝑚, рассеянной на точечном заряде 𝑍𝑒 (см. т.1, уравнение (1.129)), (︂

𝑑𝜎 𝑑𝑜

)︂

(︂ = Ruth

2𝑚𝑍𝑒0 𝑒 ~2 𝑞 2

)︂2

(︂ =

𝑚𝑍𝑒0 𝑒 2 2~ 𝑘 2 sin2 (𝜃/2)

)︂2

(︂ =

𝑍𝑒0 𝑒 4𝜀

модифицировано статическим зарядовым форм-фактором ∫︁ 1 1 𝐹 (q) = ⟨𝜌q ⟩ = 𝑑3 𝑟 𝑒−𝑖(q·r) ⟨𝜌ch (r)⟩, 𝑍𝑒 𝑍𝑒

)︂2

1 , sin (𝜃/2) (12.25) 4

(12.26)

который есть нормированный фурье-образ статической плотности заряда.

12.3. Статический форм-фактор Смысл статического форм-фактора становится ясным из рис. 12.2. Рассмотрим

12.3. Статический форм-фактор

327

интерференцию волн, рассеянных элементом объёма в начале координат (опорная волна) и произвольным элементом объёма 𝑑3 𝑟 в точке r. Как видно на рис. 12.2, эти волны идут под определённым углом к детектору с разностью фаз (k′ ·r)−(k·r) = (q·r). Форм-фактор 𝐹 (q) есть суперпозиция всех волн, рассеянных различными элементами объёма на данный угол, корректно учитывающая их относительные фазы. При этом нужно помнить, что в рассматриваемом приближении подразумевается, что только однократное рассеяние имеет заметную вероятность. Форм-фактор (12.26) удобно нормирован так, что 𝐹 (0) = 1.

(12.27)

Для точечной мишени ⟨𝜌ch (r)⟩ = 𝑍𝑒𝛿(r)

(12.28)

форм-фактор 𝐹 (q) ≡ 1 и сечение (12.24) возвращается к формуле Резерфорда. В этом пределе вся система зарядов действует как единое целое. В реальной ситуации распределение зарядов в конечном объёме с неизбежностью порождает интерференцию, |𝐹 (q)| < 1, и упругое сечение уменьшается по сравнению с резерфордовским. Если сделать обратное фурье-преобразование форм-фактора, извлечённого из экспериментального сечения, то можно получить информацию о распределении плотности заряда внутри мишени. Для этой цели важно измерять сечение до максимально возможных передач импульса. На практике это трудно выполнимо, поскольку абсолютная величина сечения (12.24) определяется сечением Резерфорда, которое очень быстро падает с ростом 𝑞. Тем не менее, такие эксперименты были проведены с электронами, рассеивавшимися на атомных и ядерных мишенях. Предел 𝑞 → 0, когда справедливо уравнение (12.27), отвечает малым углам рассеяния 𝜃. В терминах классической механики такое слабое рассеяние имеет место при больших прицельных параметрах, когда налетающая частица не проникает внутрь мишени и чувствует только полный заряд 𝑍𝑒. В этом случае справедлива формула Резерфорда. Малая передача импульса означает, что 𝑞𝑅 ≪ 1,

(12.29)

где 𝑅 — характерный размер системы. В этом случае разности фаз между волнами, взаимодействующими с разными частями системы, пренебрежимо

328

Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частиц

малы; налетающая частица неспособна разрешить пространственную структуру мишени. Неравенство (12.29) всегда справедливо в пределе низких энергий, когда длина волны падающей частицы велика по сравнению с размером системы, 𝑘𝑅 ≪ 1. Однако даже при высоких энергиях, когда 𝑘𝑅 > 1, имеется область очень малых углов рассеяния (или далеко лежащих «траекторий») 𝜃 6 1/𝑘𝑅, когда условие (12.29) всё ещё выполняется. Следующие члены разложения форм-фактора по степеням 𝑞 дают уже больше информации о распределении заряда. В случае сферически симметричного распределения ⟨𝜌ch (r)⟩ = 𝜌ch (𝑟) интегрирование по углам приводит к выражению ((𝜂 = cos 𝜃)) 1 𝐹 (q) = 𝑍𝑒

∫︁

2

∫︁

1

𝑟 𝑑𝑟 2𝜋

𝑖𝑞𝑟𝜂

𝑑𝜂 𝑒 −1

4𝜋 = 𝑍𝑒

∫︁

𝑑𝑟 𝑟2 𝜌ch (𝑟)

sin(𝑞𝑟) . 𝑞𝑟

(12.30)

В этом случае форм-фактор зависит только от модуля 𝑞, и первые члены разложения его по степеням 𝑞𝑅 < 1 равны (︂ )︂ ∫︁ 4𝜋 1 2 2 1 2 ch 𝐹 (𝑞) ≈ 𝑑𝑟 𝑟 𝜌 (𝑟) 1 − 𝑞 𝑟 = 1 − 𝑞 2 ⟨𝑟2 ⟩, (12.31) 𝑍𝑒 6 6 где мы определили среднеквадратичный радиус ∫︁ 1 2 𝑑3 𝑟 𝜌ch (𝑟)𝑟2 . ⟨𝑟 ⟩ = 𝑍𝑒

(12.32)

Эта величина может быть экспериментально определена по наклону формфактора как функции 𝑞 2 в пределе (12.29). Противоположный к (12.29) предел 𝑞𝑅 ≫ 1

(12.33)

достигается только при высоких энергиях или малых длинах волн, 𝑘𝑅 ≫ 1, и не при слишком малых углах рассеяния. В этом случае экспонента 𝑒𝑖(q·r) быстро осциллирует на размере системы и для любого гладкого распределения зарядов вклады от разных областей сильно сокращаются, так что форм-фактор 𝐹 (q) → 0. При больших 𝑞 только мельчайшие структуры с размером меньше длины волны 1/𝑞 дают конструктивную интерференцию в форм-фактор. Нo для гладкого распределения заряда только пренебрежимо малая доля заряда находится в таком малом элементе объёма, что влечёт 𝐹 (q) → 0 вместе с сечением. Toлько если распределение заряда концентрируется в малых областях, например, при наличии сингулярностей

12.3. Статический форм-фактор

329

типа внутренних точечных зарядов, форм-фактор будет выявлять их при передачах импульса, сравнимых с обратным размером этих составляющих. Мы видели, что для идеализированного точечного заряда форм-фактор 𝐹 (𝑞) = 1 для всех 𝑞. Приведённые аргументы фактически повторяют объяснение соотношения неопределённости в приложении к разрешающей способности микроскопа. Для того чтобы хорошо различать детали размера ∼ 𝑎, необходим микроскоп с длиной волны света 6 𝑎. Исторически именно рассеяние электронов на нуклонах при больших передачах импульса (уже в релятивистской области) выявило существование точечных составляющих — партонов (предположительно кварков и глюонов) внутри нуклонов [7]. Если распределение заряда не имеет сферической симметрии, фурьекомпоненты 𝜌q , а вместе с ними и форм-фактор 𝐹 (q), зависят от направления передаваемого импульса q. В этом случае удобно использовать разложение плоской волны по сферическим функциям (см. уравнение 6.31) и представить фурье-компоненты плотности как ∫︁ ∑︁ * 𝜌q = 𝑑3 𝑟 𝑒−𝑖(q·r) 𝜌(r) = 4𝜋 (−𝑖)𝐿 𝑌𝐿𝑀 (nq )𝜌𝐿𝑀 (𝑞), (12.34) 𝐿𝑀

где мультипольные компоненты плотности равны (n = r/𝑟) ∫︁ 𝜌𝐿𝑀 (𝑞) = 𝑑3 𝑟 𝑗𝐿 (𝑞𝑟)𝑌𝐿𝑀 (n)𝜌(r).

(12.35)

В длинноволновом пределе, 𝑞𝑅 ≪ 1, сферические функции Бесселя могут быть взяты в соответствующей асимптотике (см. уравнение 2.91), (𝜌𝐿𝑀 )𝑞𝑅≪1

𝑞𝐿 = (2𝐿 + 1)!!

∫︁

𝑑3 𝑟 𝑟𝐿 𝑌𝐿𝑀 (n)𝜌(r).

(12.36)

Этот интеграл есть не что иное, как мультипольный момент системы (см. уравнение 6.61), (𝜌𝐿𝑀 )𝑞𝑅≪1 =

𝑞𝐿 ℳ𝐿𝑀 . (2𝐿 + 1)!!

(12.37)

Таким образом, угловая зависимость форм-факторов позволяет получить ценную информацию о высших мультипольных моментах системы; их вклад в сечение возрастает с увеличением передаваемого импульса 𝑞. Это справедливо как для операторов плотности и мультипольных моментов, так и

330

Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частиц

для их средних значений. Мы также не уточняли, что речь идёт именно о плотности заряда, так как подобным же образом можно определить плотности, форм-факторы и мультипольные моменты для любой аддитивной величины. Заметим, однако, что ненулевое среднее значение мультипольных моментов ранга 𝐿 может существовать только если полный момент системы удовлетворяет условию треугольника 𝐿 6 2𝐽 (см. уравнение 7.41).

12.4. Экранировка Предыдущие результаты не могут быть непосредственно использованы для рассеяния на нейтральной системе 𝑍 = 0. В этом случае кулоновское поле исчезает на больших расстояниях. Но, если положительные и отрицательные компоненты зарядового распределения имеют различную пространственную структуру, то электрическое поле существует в окрестности системы (см. задачу 3.6) и вызывает рассеяние заряженных частиц. Рассмотрим рассеяние заряженной частицы на нейтральном атоме, который содержит ядро с зарядом 𝑍𝑒 и 𝑍 атомных электронов. Плотность заряда 𝜌ch (r) = 𝜌nucl (r) + 𝜌𝑒 (r)

(12.38)

равна нулю на достаточно больших расстояниях (𝑟 ≫ 𝑅at ). При нерелятивистских энергиях электрона (мы ограничимся только этим случаем) длина волны электрона всегда много больше размеров ядра 𝑞𝑅nucl ≪ 1. Поэтому ядро может рассматриваться как точечный заряд 𝐹nucl (q) = 1. Полный атомный зарядовый форм-фактор в этом приближении равен 𝐹at (q) = 1 − 𝐹𝑒 (q). Сечение рассеяния электрона атомом приобретает вид (︂ )︂ (︂ )︂ 𝑑𝜎 𝑑𝜎 = |1 − 𝐹𝑒 (q)|2 . 𝑑𝑜 el 𝑑𝑜 Ruth

(12.39)

(12.40)

Электронный форм-фактор 𝐹𝑒 (q) стремится к нулю при 𝑞𝑅at ≫ 1. Это отвечает близким траекториям и большим (в атомном масштабе) передачам импульса. Тогда падающая частица может находиться в области атома ближе к ядру, чем низшая электронная орбита, и законы электростатики говорят нам, что электрическое поле создаётся в этой области почти полностью ядром. Уравнение (12.40) показывает, что в этом случае мы имеем

12.4. Экранировка

331

резерфордовское рассеяние на ядре. В противоположном пределе, при малых передачах импульса, 𝑞𝑅at ≪ 1, электронный форм-фактор 𝐹𝑒 (q) → 1, и упругое рассеяние исчезает. Здесь мы имеем большие прицельные параметры и далёкие траектории, где поле ядра полностью экранируется электронами. Таким образом, экранировка электронами работает при 𝑞𝑅at = 𝑘𝑅at sin

𝜃 6 1. 2

(12.41)

Следует, однако, помнить, что наш подход основан на теории возмущений и относится к однократному рассеянию. Это может быть справедливо только для быстрых (хотя всё ещё нерелятивистских) электронов со скоростью 𝑣 = ~𝑘/𝑚 больше, чем скорости атомных электронов 𝑣at ∼ 𝑝at /𝑚 ∼ ~/𝑚𝑅at , то есть при 𝑘𝑅at > 1. Поэтому область (12.41), где существенна экранировка, относится к малым углам, 𝜃 6 1/(𝑘𝑅at ). В результате рассеяние на малые углы имеет конечное сечение, в то время как чисто резерфордовское сечение расходится ∝ 1/𝜃4 . Задача 12.1 Вычислить форм-фактор для основного состояния атома водорода 1) для точечного протона; 2) для протона конечного размера, считая, что заряд протона равномерно распределён в сферическом объёме радиуса 𝑅𝑝 = 0, 8 ф. Решение Вклад электрона в атомный форм-фактор равен ∫︁ 𝑒 𝑒 𝐹𝑒 (q) = − 3 𝑑3 𝑟 𝑒𝑖(q·r)−2𝑟/𝑎 = − . 𝜋𝑎 [1 + (𝑞𝑎/2)2 ]2

(12.42)

Здесь форм-фактор нормирован на 𝐹𝑒 (0) = −𝑒, полный заряд электронного облака. Когда длина волны падающей частицы становится много меньше размера атома, 𝑞𝑎 ≫ 1, форм-фактор стремится к нулю ∼ (𝑞𝑎)−4 , что свидетельствует об отсутствии всяких сингулярностей или скопления заряда на малых масштабах: нет более мелких структур. 1. В противоположность этому точечный протон имеет заряд, сконцентрированный в исчезюще малом объёме, так что его форм-фактор вообще не зависит от 𝑞: 𝜌𝑝 (r) = 𝑒𝛿(r)

𝐹𝑝 (r) = 𝑒.

(12.43)

332

Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частиц

В этом приближении длина волны падающей частицы ∼ 1/𝑞 всегда больше, чем размер протона, поэтому протон выглядит как точка. Полный атомный форм-фактор равен }︂ {︂ 1 . (12.44) 𝐹𝐻 (𝑞) = 𝑒 1 − [1 + (𝑞𝑎/2)2 ]2 При длинах волн больших, чем боровский радиус, электронное облако экранирует протон, атом выглядит как нейтральный объект и формфактор стремится к нулю. По мере уменьшения длины волны формфактор растёт как ∼ 𝑒(𝑞𝑎/2)2 . А когда 𝑞𝑎 ≫ 1, электронный вклад исчезает и виден только заряд точечного протона (на очень малых расстояниях находится пренебрежимо малая часть электронного заряда). 2. Для протона, рассматриваемого как малая сфера радиуса 𝑅𝑝 , зарядовый форм-фактор вместо (12.43) равен ∫︁ 𝑒 3𝑒 𝐹𝑝 (𝑞) = 𝑑3 𝑟 𝑒𝑖(q·r) = 3 (sin 𝑥−𝑥 cos 𝑥), 𝑥 = 𝑞𝑅𝑝 . (12.45) 3 (4𝜋/3)𝑅𝑝 𝑟6𝑟𝑝 𝑥 Параметр 𝑥 даёт сравнение длины волны ∼ 1/𝑞 с размером протона 𝑅𝑝 . Для больших длин волн, 𝑥 ≪ 1, мы возвращаемся к пределу точечного заряда (12.43), так как sin 𝑥 ≈ 𝑥 − 𝑥3 /6 и cos 𝑥 ∼ 1 − 𝑥2 /2. Для малых длин волн, 𝑥 ≫ 1, форм-фактор (12.45), осциллируя, стремится к нулю как cos 𝑥/𝑥−2 (опять нет более мелких структур внутри протона в этом приближении). Передаваемый импульс для эксперимента, предназначенного для определения размера протона, должен соответствовать длине волны порядка этого размера, 𝑥 > 1, то есть как минимум 𝑞∼

1 , 𝑅𝑝

~𝑞 ∼

~ = 250 MeV/𝑐. 𝑅𝑝

(12.46)

12.5. Возбуждение и ионизация атомов При неупругом рассеянии быстрых частиц на атоме, когда атом возбуждается 𝑖 → 𝑓 , сечение описывается уравнением (12.22), где фигурирует неупругий форм-фактор 𝐹𝑓 𝑖 (q) =

1 (nucl) (𝑒) ⟨𝑓 |𝜌q − 𝜌q |𝑖⟩. 𝑍𝑒

(12.47)

12.5. Возбуждение и ионизация атомов

333

Для нерелятивистской налетающей частицы ядро может рассматривать(nucl) ся как точечное, 𝜌q = 𝑍𝑒, и эта константа не может вызывать никаких (nucl) атомных переходов. Ясно, что оператор 𝜌^q действует только на внутренние переменные ядра и может вызывать возбуждение лишь ядерных внутренних степеней свободы. Но нерелятивистская частица не имеет для этого достаточной энергии, и единственная возможность для неё — возбуждение атомных электронных оболочек. В этом случае неупругое сечение равно 𝑑𝜎𝑓 𝑖 = 𝑑𝑜

(︂

2𝑚𝑒0 𝑒 ~2 𝑞 2

)︂2

𝑝′ 𝑝

⃒⟨ ⃒ ⃒ ⟩⃒2 𝑍 ⃒ ⃒∑︁ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑒−𝑖(q·^r𝑎 ) ⃒ 𝑖 ⃒ . ⃒ 𝑓⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒

(12.48)

𝑎=1

Оператор 𝜌^q =

𝑍 ∑︁

𝑒−𝑖(q·^r𝑎 )

(12.49)

𝑎=1

есть фурье-компонента полной электронной плотности (заряд 𝑒𝑎 ≡ 𝑒 убран из плотности заряда (12.48)). Это одночастичный оператор в том смысле, что он состоит из 𝑍 членов, каждый из которых действует на переменные одного электрона и может изменить только ту часть волновой функции, которая зависит от этих переменных. Состояние |𝑓 ⟩ поэтому имеет в каждой из своих компонент один электрон, перемещённый на другую орбиту, и дырку в прежде занятом состоянии. Это возбуждение мы называем одночастичным или возбуждением типа частица — дырка. Комбинации одночастичных переходов могут быть когерентными (синхронное движение частиц и дырок) и соответствовать коллективным возбуждениям (см. т. 1, разд. 10.8). Передаваемый импульс для неупругого рассеяния записывается, в отличие от (12.23), как 𝑞 2 = 𝑘 2 + 𝑘 ′2 − 2𝑘𝑘 ′ cos 𝜃.

(12.50)

Минимальный переданный импульс при данной энергии возбуждения достигается при рассеянии вперёд: 𝑞min ≈ 𝑘 − 𝑘 ′ =

𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 Δ𝑝 Δ𝜀 ∼ = . ~ ~𝑣 ~𝑣

(12.51)

334

Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частиц

Его величина удовлетворяет условию 𝑞min 𝑅at ≪ 1. Действительно, простые оценки из соотношения неопределённостей и справедливости теории возмущений показывают, что 𝑞min ∼

2 𝑚𝑣at 𝑣at 𝑝at 𝑣at 1 1 ∼ ∼ ≪ . ~𝑣 𝑣 ~ 𝑣 𝑅at 𝑅at

(12.52)

С другой стороны, для быстрых частиц 𝑞max = 𝑘 + 𝑘 ′ ≈ 2𝑘 >

1 . 𝑅at

(12.53)

Это значит, что параметр 𝑞𝑅at меняется в широких пределах. При малых 𝑞𝑅at можно разложить экспоненту (27.48) 𝑑𝜎𝑓 𝑖 = 𝑑𝑜

(︂

2𝑚𝑒0 𝑒 ~2 𝑞 2

)︂2

⃒(︃ )︃ ⃒⃒2 ⃒ ∑︁ ⃒ ⃒ ⃒ q· ⃒ . r𝑎 ⃒ ⃒ 𝑝 ⃒ 𝑎 𝑓 𝑖⃒

𝑝′

(12.54)

Вводя оператор дипольного момента (см. уравнение (6.63)), мы получаем 𝑑𝜎𝑓 𝑖 = 𝑑𝑜

(︂

2𝑚𝑒0 ~2 𝑞 2

)︂2

𝑝′ |q · d𝑓 𝑖 |2 . 𝑝

(12.55)

т. е. дипольные переходы являются наиболее вероятными. Ниже мы увидим, что дипольные переходы являются также и наиболее интенсивными в оптическом диапазоне излучения и поглощения атомами. При больших 𝑞 роль высших мультипольных переходов возрастает.

Когда величина 𝑞𝑅at становится больше единицы, экспонента в матричном элементе начинает быстро осциллировать в области интегрирования. Сечение может иметь заметную величину только если волновая функция одного из электронов в конечном состоянии сокращает эту экспоненту. Это возможно, если один из электронов описывается плоской волной с импульсом близким к −q. В этом случае импульс приближённо сохраняется так, что налетающая частица передаёт почти весь импульс −q электрону, который переходит в непрерывный спектр и атом ионизуется. Этот случай напоминает классическое столкновение частицы массы 𝑚0 со свободным электроном; импульс отдачи ядра здесь мал. Максимальный передаваемый

12.6. Потери энергии

335

импульс при таком столкновении равен {︂ 2𝑚0 𝑚𝑒 2𝑚𝑒 𝑣, 𝑚0 ≫ 𝑚𝑒 , 𝑣= ~𝑞max = 2𝑚𝑣 = 𝑚𝑒 𝑣, 𝑚0 = 𝑚𝑒 . 𝑚0 + 𝑚𝑒

(12.56)

12.6. Потери энергии Быстрая заряженная частица теряет в веществе свою энергию путём возбуждения и ионизации атомов. Пусть вещество содержит 𝑛 атомов в единице объёма. На длине 𝑑𝑥 падающая частица будет в среднем иметь число столкновений, сопровождаемых переходами 𝑖 → 𝑓 , равное 𝑛𝜎𝑓 𝑖 𝑑𝑥, где𝜎𝑓 𝑖 есть проинтегрированное по углам сечение для данного перехода. В каждом акте такого столкновения частица передаёт атому энергию 𝜀 − 𝜀′ = 𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 . Полная потеря энергии на единицу длины выражается суммой всех возможных переходов 𝑖 → 𝑓 : ∑︁ 𝑑𝜀 = −𝑛 𝜎𝑓 𝑖 (𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 ). 𝑑𝑥

(12.57)

𝑓

В случае дифференциального сечения (12.48), вычисленного по теории возмущений, для потерь энергии получаем ∑︁ 𝑑𝜀 = −𝑛 (𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 ) 𝑑𝑥

(︂

∫︁ 𝑑𝑜

𝑓

2𝑚𝑒0 𝑒 ~2 𝑞 2

)︂2

𝑘′ |(𝜌q )𝑓 𝑖 |2 , 𝑘

где, как и раньше, ⃒ ⟩ ⟨ ⃒ ⃒ ⃒∑︁ ⃒ −𝑖(q·r𝑎 ) ⃒ 𝑒 (𝜌q )𝑓 𝑖 = 𝑓 ⃒ ⃒𝑖 . ⃒ 𝑎 ⃒

(12.58)

(12.59)

Для анализа этого выражения удобно перейти от интегрирования по углу рассеяния 𝜃 к интегрированию по передаваемому импульсу 𝑞. Из (12.50) мы находим 𝑞𝑑𝑞 = 𝑘𝑘 ′ sin 𝜃 𝑑𝜃,

𝑘′ 𝑘′ 2𝜋𝑞 𝑑𝑜 → 2𝜋 sin 𝜃 𝑑𝜃 = 2 𝑑𝑞. 𝑘 𝑘 𝑘

(12.60)

336

Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частиц

С этой заменой переменных и используя 𝑣 = ~𝑘/𝑚, мы получаем из (12.58) 𝑑𝜀 = 2𝜋𝑛 − 𝑑𝑥

(︂

2𝑒0 𝑒 ~𝑣

)︂2 ∑︁ ∫︁ (𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 )

𝑞max

𝑞min

𝑓

𝑑𝑞 |(𝜌q )𝑓 𝑖 |2 . 𝑞3

(12.61)

Вычисление суммы по конечным состояниям в (12.61) является сложной задачей, так как в согласии с законами сохранения пределы интегрирования 𝑞min и 𝑞max различны для разных конечных состояний. Хорошую оценку суммы можно получить, если заменить точные пределы интегрирования их некоторыми средними значениями 𝑞¯min и 𝑞¯max . В этом случае мы можем поменять порядок суммирования по конечным состояниям и интегрирования: 𝑑𝜀 ≈ 2𝜋𝑛 − 𝑑𝑥

(︂

2𝑒0 𝑒 ~𝑣

)︂2 ∫︁

𝑞¯max

𝑞¯min

𝑑𝑞 ∑︁ (𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 )|(𝜌q )𝑓 𝑖 |2 . 𝑞3

(12.62)

𝑓

Сумма в (12.62) вычисляется точно с помощью правила сумм (см. т. 1, уравнение (7.146)): ∑︁ ~2 𝑞 2 (𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 )|(𝜌q )𝑓 𝑖 |2 = 𝑍, 2𝑚𝑒

(12.63)

𝑓

где 𝑍 — число электронов в атоме (атомный номер элемента). Теперь можно провести интегрирование в (12.62) и получить −

𝑑𝜀 𝑒2 𝑒2 𝑞¯max ≈ 4𝜋𝑛𝑍 0 2 ln . 𝑑𝑥 𝑚𝑒 𝑣 𝑞¯min

(12.64)

Результат (12.64) оправдывает приближение, сделанное в (12.62). Зависимость от пределов интегрирования достаточно слабая (логарифмическая). Более того, этот результат не содержит постоянной Планка и поэтому является существенно классическим; как таковой, он может быть получен в классической электродинамике [67]. Тем не менее, квантовые аргументы важны при выборе пределов 𝑞¯. Согласно оценкам (12.53) и (12.56), для существенных переходов ~¯ 𝑞max ∼ 𝑚𝑒 𝑣. Максимальный передаваемый импульс отвечает минимальному прицельному параметру 𝑏min ∼ (¯ 𝑞max )−1 ∼ ~/(𝑚𝑒 𝑣) порядка длины волны электрона в системе, связанной с налетающей частицей. Классический результат (12.64) справедлив только для таких столкновений. Что каса-

12.7. Кулоновское возбуждение

337

ется нижнего предела передаваемого импульса, то, как видно из (12.51), ¯ ¯ — некоторая средняя энергия порядка энергии связи ~¯ 𝑞min ∼ 𝐸/𝑣, где 𝐸 электронов в атоме. Эта оценка минимального передаваемого импульса отвечает максимальному прицельному параметру 𝑏max ∼ (¯ 𝑞min )−1 ∼ (¯ 𝜔 /𝑣)−1 , где 𝜔 ¯ — характерная атомная частота. При еще б¨ольших прицельных параметрах, 𝑏 > 𝑣/¯ 𝜔 , мы приходим к столкновениям с эффективным временем взаимодействия 𝜏 ∼ 𝑏/𝑣, большим по сравнению с атомными периодами 1/¯ 𝜔. В этом случае налетающая частица действует на систему адиабатически (см. разд. 10.4), и вероятность возбуждения становится малой. На основании этих соображений мы приходим к формуле Бете: −

𝑑𝜀 𝑒2 𝑒2 𝑚𝑒 𝑣 2 ≈ 4𝜋𝑛𝑍 0 2 ln ¯ . 𝑑𝑥 𝑚𝑒 𝑣 𝐸

(12.65)

Как видно из этой формулы, потери энергии зависят только от скорости частицы и не зависят от её массы. Масса будет определять только средний угол многократного рассеяния заряженной частицы в веществе. Этот угол возрастает с уменьшением массы частицы. В практических применениях необходимо будет учитывать релятивистские эффекты, поляризацию среды налетающей частицей и (для электронов) обменные эффекты с электронами в среде (обмен для тождественных частиц будет обсуждаться позже). Кроме того, роль других механизмов потери энергии, таких как тормозное излучение в поле ядра, возрастает с энергией падающей частицы. Методы квантовой электродинамики дают оценку [8] для отношения ионизационных потерь (обсуждаемых выше) и потерь на тормозное излучение: 𝑍𝜀(MeV) (𝑑𝜀/𝑑𝑥)rad ≈ . (𝑑𝜀/𝑑𝑥)ion 600

(12.66)

В дополнение к этому для частиц с энергией несколько десятков МэВ процессы возбуждения и развала ядер вещества также становятся заметными.

12.7. Кулоновское возбуждение Подобный подход, использующий теорию возмущений, работает в задаче о движении быстрой заряженной частицы по заданной квазиклассической траектории R(𝑡) в кулоновском поле мишени (рис. 12.3). Это типичная ситуация в ядерных экспериментах, где мы интересуемся слабыми возбуждениями, а траектория отбирается прицельными параметрами таким

338

Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частиц

Рис. 12.3. Кинематика экспериментов по кулоновскому возбуждению

образом, чтобы ядро налетающей частицы и ядро мишени не перекрывались и эффекты сильного, но короткодействующего ядерного взаимодействия были бы практически исключены. Такие эксперименты, в частности, дают возможность обнаружения низколежащих возбуждённых состояний коротко живущих ядер используя их как налетающие частицы в последующих столкновениях (обратная кинематика). В системе координат мишени частица с зарядом 𝑒0 , движущаяся по траектории R(𝑡), создает кулоновское поле, действующее на 𝑍 частиц мишени с координатами r𝑎 и зарядами 𝑒𝑎 : ^ ′ = 𝑒0 𝐻

𝑍 ∑︁ 𝑎=1

𝑒𝑎 . |r𝑎 − R(𝑡)|

(12.67)

Предполагая, что траектория R(𝑡) лежит вне мишени, мы используем разложение (см. уравнение 6.57) по полиномам Лежандра, ^ ′ = 𝑒0 𝐻

∞ ∑︁ ∑︁ 𝑒𝑎 𝑟𝑎ℓ 𝑃 (cos 𝜃𝑎 (𝑡)), ℓ+1 (𝑡) ℓ 𝑅 𝑎

(12.68)

ℓ=0

где 𝜃𝑎 (𝑡) — зависящий от времени угол между r𝑎 и R(𝑡). Первый порядок теории возмущений, зависящих от времени (см. уравнение 1.12), даёт для

12.7. Кулоновское возбуждение

339

амплитуды перехода 𝑖 → 𝑓 ∫︁ 𝑒𝑖𝜔𝑓 𝑖 𝑡 𝑖𝑒0 ∑︁ ∞ 𝑎𝑓 = − 𝑑𝑡 ℓ+1 ~ 𝑅 (𝑡) −∞ ℓ

⃒ ⟩ ⟨ ⃒ ⃒∑︁ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑓⃒ 𝑒𝑎 𝑟𝑎ℓ 𝑃ℓ (cos 𝜃𝑎 (𝑡))⃒ 𝑖 . ⃒ 𝑎 ⃒

(12.69)

Если траектория 𝑅(𝑡) достаточно далека от мишени, мультипольное разложение (12.69) быстро сходится и мы можем ограничиться нижними мультипольностями 𝑙. Монопольный член ℓ = 0 не даёт вклада в неупругое рассеяние в силу ортогональности состояний |𝑖⟩ и |𝑓 ⟩. В атомной физике главный член соответствует дипольным переходам ℓ = 1. В ядерной физике сильнейшие низколежащие переходы имеют в большинстве случаев квадрупольный характер ℓ = 2. Рассмотрим дипольный случай более детально, ⟨ ⃒ )︂⃒ ⟩ ∫︁ ⃒∑︁ (︂ 𝑒𝑖𝜔𝑓 𝑖 𝑡 R(𝑡) ⃒⃒ 𝑖𝑒0 ∞ ⃒ 𝑑𝑡 𝑓⃒ 𝑒𝑎 r𝑎 · 𝑎𝑓 = − ⃒𝑖 . ⃒ ~ −∞ 𝑅2 (𝑡) 𝑅(𝑡) ⃒

(12.70)

𝑎

Если координатные оси направлены как на рис. 12.3, оператор в (12.70) может быть записан как (︂ )︂ R(𝑡) r𝑎 · = 𝑥𝑎 sin 𝜃(𝑡) + 𝑧𝑎 cos 𝜃(𝑡), (12.71) 𝑅(𝑡) где все углы 𝜃𝑎 для далёких траекторий приближённо совпадают с 𝜃(𝑡). Если мишень в начальном состоянии имеет сферически симметричное распределение заряда, то орбитальный момент налетающей частицы сохраняется вдоль траектории: 𝐿 = 𝑚𝑏𝑣 = 𝑚𝑅2 𝜃˙

𝑑𝑡 𝑑𝜃 , = 2 𝑅 𝑏𝑣

(12.72)

где b — прицельный параметр (рис. 12.3). Вводя оператор дипольного момента и переходя от времени вдоль траектории к углу 𝜃(𝑡), мы приходим к амплитуде 𝑎𝑓 (𝑏) = −

𝑖𝑒0 ~𝑏𝑣

∫︁

𝜃(𝑏)

𝑑𝜃 𝑒𝑖𝜔𝑓 𝑖 𝑡(𝜃) [(𝑑𝑥 )𝑓 𝑖 sin 𝜃 + (𝑑𝑧 )𝑓 𝑖 cos 𝜃],

(12.73)

−𝜋

где 𝜃(𝑏) — классический угол рассеяния при 𝑡 → ∞ для траектории падающей частицы вдоль оси 𝑧 и прицельного параметра 𝑏.

340

Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частиц

Часть траектории, отвечающая наименьшему расстоянию 𝑅 ∼ 𝑏, даёт основной вклад в вероятность возбуждения. Если положить 𝑡 = 0 в момент √ наибольшего сближения, то 𝑅(𝑡) ≈ 𝑏2 + 𝑣 2 𝑡2 для далёких траекторий с малым углом рассеяния. Поэтому эффективное время взаимодействия будет порядка 𝜏 = 𝑏/𝑣. Если это время слишком велико, 𝜏 ≫ 𝜔𝑓−1 𝑖 , то возмущение меняется слишком медленно, и мы приходим к адиабатическому режиму с малой вероятностью возбуждения. Для 𝜏 < 𝜔𝑓−1 𝑖 мы можем пренебречь экспонентой в подынтегральном выражении в (12.73) и в результате интегрирования получаем 𝑎𝑓 (𝑏) = −

)︁ 𝑖𝑒0 (︁ −(𝑑𝑥 )𝑓 𝑖 [1 + cos 𝜃(𝑏)] + (𝑑𝑧 )𝑓 𝑖 sin 𝜃(𝑏) . ~𝑏𝑣

(12.74)

Поскольку угол рассеяния 𝜃(𝑏) предполагается малым, то главный вклад в (12.74) идёт от компоненты дипольного момента, перпендикулярной по отношению к направлению падающего пучка, 𝑎𝑓 (𝑏) ≈

2𝑖𝑒0 (𝑑𝑥 )𝑓 𝑖 . ~𝑏𝑣

(12.75)

Задача 12.2 Используя дипольное правило сумм (см. т. 1, уравнение (7.138)), показать, что (12.75) даёт тот же результат (12.65) для потерь энергии. Решение Средние потери энергии в столкновении с прицельным параметром 𝑏 описываются в приближении (12.75) выражением (︂ )︂ ∑︁ 𝑑𝜀 4𝑒2 𝑛 ∑︁ − =𝑛 |𝑎𝑓 (𝑏)|2 (𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 ) = 2 02 2 |(𝑑𝑧 )𝑓 𝑖 |2 (𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 ). (12.76) 𝑑𝑥 𝑏 ~ 𝑣 𝑏 𝑓

Используя дипольное правило сумм получаем (︂ )︂ 2𝑍𝑒20 𝑒2 𝑛 1 𝑑𝜀 − = , 𝑑𝑥 𝑏 𝑚𝑣 2 𝑏2

𝑓

(12.77)

где 𝑚 — масса составляющих мишени. Наконец, интегрирование по прицельным параметрам (︂ )︂ ∫︁ 𝑑𝜀 𝑑𝜀 − = 2𝜋𝑏 𝑑𝑏 (12.78) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑏

12.7. Кулоновское возбуждение

341

воспроизводит результат (12.65), если в качестве пределов интегрирования выбрать значения, обсуждавшиеся выше.

В квантовой теории все физические сущности имеют свойства как полей, так и частиц и поэтому квантовая теория, несмотря на свою сложность, демонстрирует глубокую гармонию природы. С.Н. Гупта «Квантовая электродинамика»

Глава 13 Фотоны 13.1. Введение: классическое и квантовое поле В нашем обсуждении когерентных состояний (см. т. 1, разд. 12.6) мы касались вопроса о связи между классическим и квантовым описанием фазы и интенсивности волны (измеряемой числом квантов) в одномодовой системе. Классический предел получается, когда многоквантовая функция, такая как, например, описывающая когерентное состояние, имеет определённую фазу и малые относительные флуктуации числа квантов Δ𝑁/𝑁 ≪ 1. Это выполняется в пределе 𝑁 ≫ 1, когда интенсивность настолько велика, что дискретность числа квантов становится физически несущественной. Противоположный предел малых 𝑁 требует полного квантового описания. Нам нужно развить описание электромагнитного поля и, в общем случае, любого волнового поля в квантовом пределе. В наших предыдущих подходах предполагалось, что движение частиц определяется заданными внешними полями потенциальной или магнитной природы, стационарными или зависящими от времени. Такое описание заведомо имеет ограниченную область применимости. В приближении фиксированного поля пренебрегается обратным влиянием частиц на поле. Квантовые системы излучают и поглощают фотоны и поэтому меняют внешнее поле. Этим можно пренебречь только для классических интенсивных полей. В противоположной ситуации квантовая природа поля и его взаимодействия с веществом становится решающей. В общем случае поле само должно рассматриваться как специфическая квантовая система, взаимодействующая с другими квантовыми системами (твёрдыми телами, молекулами, атомами, ядрами, частицами). Новое свойство поля, по сравнению с нашим предыдущим опытом, заключается в том, что поле имеет бесконечное число степеней свободы — его «координатами» являются

344

Глава 13 Фотоны

амплитуды поля в каждой точке пространства. Поле (например, электрическое поле ℰ ) может иметь классический смысл только после усреднения по некоторому пространственному объёму Δ𝑉 и промежутку времени Δ𝑡. Такое усреднение связано с неопределённостью в энергии Δ𝐸 ∼ ~/Δ𝑡. В классическом случае эта неопределённость должна быть меньше, чем полная энергия поля в этом объёме 𝐸 ∼ ℰ 2 Δ𝑉 ≫ ~/Δ𝑡. Если нас интересует компонента поля с частотой 𝜔 или периодом 𝑇 ∼ 1/𝜔, то временной интервал усреднения должен быть много меньше 𝑇 , иначе поле усреднится до нуля. Это значит, что Δ𝑡 ≪ 1/𝜔, и поэтому ~/Δ𝑡 ≫ ~𝜔. Отсюда следует, что средняя энергия классического поля должна удовлетворять условию 𝐸 ≫ ~𝜔, и среднее число квантов в классическом пределе велико, 𝑁 ∼ 𝐸/~𝜔 ≫ 1. Это условие необходимо для того, чтобы можно было игнорировать влияние процессов излучения и поглощения на поле (Δ𝑁 ≪ 𝑁 ). Квантование классического поля, как и любой переход к более общей теории, требует некоторых постулатов. Мы рассмотрим эту процедуру для электромагнитного поля в упрощённом виде; полную теорию можно найти в книгах по квантовой электродинамике [8]. Мы рассмотрим только поля излучения в пустом пространстве и покажем, как можно перейти от непрерывно меняющихся волновых полей ℰ и ℬ к фотонам (вспомните т. 1, гл. 1), число которых, их энергия и импульс могут меняться дискретно в процессах излучения и поглощения квантов веществом.

13.2. Гамильтоново описание поля излучения Наша стратегия будет заключаться в следующем. Энергию классического электромагнитного поля мы представим как сумму энергий бесконечно большого числа гармонических осцилляторов с различными волновыми векторами, поляризациями и частотами. Затем мы постулируем, что эти осцилляторы могут быть проквантованы стандартным образом. Поле излучения, распространяющееся в свободном пространстве, может описываться в различных калибровках. Пользуясь этой свободой, мы всегда можем работать только с векторным потенциалом A(r, 𝑡), полагая, что скалярный потенциал отсутствует 𝜙 = 0 (радиационная калибровка). Дополнительно в свободном пространстве div ℰ = 0, что будет выполняться, если div A = 0.

(13.1)

13.2. Гамильтоново описание поля излучения

345

Радиационная калибровка очень удобна для наших целей. Чтобы избежать вопросов, связанных с поведением полей на бесконечности, мы используем периодические граничные условия во вспомогательном объёме 𝑉 = 𝐿3 ; реальный резонатор может описываться подобным же образом. В этом случае все волновые вектора дискретны (см. т. 1, разд. 3.8). Мы начнём с пространственного фурье-разложения классического векторного потенциала. Векторный потенциал — действительная величина, а наши базисные функции — комплексные плоские волны. Из-за этого наше разложение должно состоять из двух комплексно сопряжённых слагаемых, )︁ ∑︁(︁ A(r, 𝑡) = bk (𝑡)𝑒𝑖(k·r) + b*k (𝑡)𝑒−𝑖(k·r) . (13.2) k

Из-за условия калибровки (13.1) комплексные вектора bk (𝑡) должны быть ортогональны своим волновым векторам: (k · bk ) = 0.

(13.3)

Таким образом, при условии (13.1), поперечный характер поля излучения учитывается автоматически с самого начала. Временная зависимость амплитуд bk (𝑡) определяется динамикой классических полей. В пространстве, свободном от зарядов и токов, векторный потенциал подчиняется волновому уравнению (︂ )︂ 1 𝜕2 2 A(r, 𝑡) ≡ − ∇ A(r, 𝑡) = 0. (13.4) 𝑐2 𝜕𝑡2 Поскольку различные компоненты разложения (13.2) линейно независимы, то каждая из них должна удовлетворять волновому уравнению. Это даёт bk (𝑡) = bk 𝑒−𝑖𝜔𝑘 𝑡 ,

𝜔𝑘 = 𝑐𝑘.

(13.5)

Здесь мы полагаем 𝜔𝑘 > 0, а решения с 𝜔𝑘 < 0 содержатся во втором члене суммы (13.2); в обеих частях мы суммируем по всем квантованным векторам k. Векторный потенциал определяет электрическое и магнитное поля: ℰ =−

)︁ 1 𝜕A 𝑖 ∑︁ (︁ = 𝜔𝑘 bk (𝑡)𝑒𝑖(k·r) − b*k (𝑡)𝑒−𝑖(k·r) , 𝑐 𝜕𝑡 𝑐 k

(13.6)

346

Глава 13 Фотоны ℬ = curl A = 𝑖

∑︁

(︁ )︁ k × bk (𝑡)𝑒𝑖(k·r) − b*k (𝑡)𝑒−𝑖(k·r) .

(13.7)

k

С этими выражениями мы можем сосчитать энергию поля излучения, ∫︁ ℰ 2 + ℬ2 𝑑3 𝑟 𝐸 = 𝐸el + 𝐸magn = . (13.8) 8𝜋 𝑉 Энергия свободного поля должна сохраняться. Однако прямая подстановка разложений (13.6) и (13.7) в (13.8) даёт, на первый взгляд, зависящие от времени члены. Проследим теперь, как неправильные члены сокращаются.

Интеграл по объёму от произведения двух экспонент, которые входят в выражение для квадрата поля, даёт символ Кронекера ∫︁ ′ 𝑑3 𝑟 𝑒𝑖(k±k )·r = 𝑉 𝛿k′ ,∓k . (13.9) Коль скоро два вектора в каждом сомножителе имеют одну и ту же величину k′ = ±k, то соответствующие частоты равны 𝜔𝑘′ = 𝜔𝑘 . Электрическая часть энергии приводится к 𝐸el =

)︁ (︁ )︁}︁ 𝑉 ∑︁ 2 {︁(︁ (bk · b*k ) + (c.c.) − (bk · b−k )𝑒−2𝑖𝜔𝑘 𝑡 + (c.c.) . (13.10) 𝑘 8𝜋 k

Тем же путём мы для магнитной энергии получаем 𝐸magn =

)︁ (︁ )︁}︁ 𝑉 ∑︁{︁(︁ [k×bk ]·[k×b*k ]+(c.c.) + [k×bk ]·[k×b−k ]𝑒−2𝑖𝜔𝑘 𝑡 +(c.c.) . 8𝜋 k

(13.11) В обоих выражениях (с.с.) означает комплексно сопряжённый член. Легко увидеть, что из-за поперечного характера поля (13.3) не зависящие от времени члены в электрическом и магнитном вкладах равны и складываются, в то время как зависящие от времени вклады сокращаются. Например, первый член в магнитной энергии содержит [k×bk ]·[k×b*k ] = 𝜀𝑖𝑗𝑙 𝜀𝑖𝑚𝑛 𝑘𝑗 (𝑏k )𝑙 𝑘𝑚 (𝑏*k )𝑛 = (𝛿𝑗𝑚 𝛿𝑙𝑛 −𝛿𝑗𝑛 𝛿𝑙𝑚 )𝑘𝑗 (𝑏k )𝑙 𝑘𝑚 (𝑏*k )𝑛 = 𝑘 2 (bk · b*k ) − (k · bk )(k · b*k ) = 𝑘 2 (bk · b*k ).

(13.12)

13.2. Гамильтоново описание поля излучения

347

Поэтому члены, не сохраняющие энергию, исчезают и 𝐸=

)︁ 𝑉 ∑︁ 2 (︁ 𝑘 (bk · b*k ) + (c.c.) . 4𝜋

(13.13)

k

До квантования величина (bk · b*k ) действительна и можно просто удвоить этот член. Однако впоследствии амплитуды bk станут операторами и их порядок действия в этих членах будет важен.

Поперечная плоская волна может иметь две поляризации в плоскости, перпендикулярной k. Их можно описать с помощью двух ортогональных, действительных единичных векторов e𝜆k , 𝜆 = 1, 2, расположенных в этой плоскости: (e1k · e2k ) = (e1k · k) = (e2k · k) = 0.

(13.14)

Три единичных вектора e1k , e2k и e0k = k/𝑘 образуют правую декартову тройку и описывают две возможные линейные поляризации волны с данным k. Другой удобный выбор базисных векторов — два комплексных вектора в этой плоскости 1 e± k = ∓ √ (e1k ± 𝑖e2k ). 2

(13.15)

Скалярное произведение этих векторов должно быть определено с дополнительным комплексным сопряжением левого вектора ± (e±* k · ek ) = 1,

∓ (e±* k · ek ) = 0.

(13.16)

Этот выбор, совпадающий с собственными векторами спина 1 для проекций ±1 (уравнение 1.32), отвечает циркулярной (левой или правой) поляризации. В любом случае поперечная амплитуда может быть представлена как суперпозиция двух независимых поляризаций ∑︁ bk = e𝜆k 𝑏𝜆k , (13.17) 𝜆̸=0

где векторы e𝜆k и амплитуды 𝑏𝜆k в общем случае комплексные. Теперь каждая степень свободы поля в объёме 𝑉 (нормальная мода) характеризуется волновым вектором и поляризацией и все моды дают независимые

348

Глава 13 Фотоны

вклады в энергию 𝐸=

∑︁

𝐸𝜆k ,

k𝜆

𝐸𝜆k =

𝑉 𝑘2 𝑏𝜆k 𝑏*𝜆k . 2𝜋

Координаты и импульсы нормальных мод определяются как √︂ √︂ 𝑉 𝑉 * (𝑏𝜆k + 𝑏𝜆k ), 𝑃𝜆k = −𝑖𝜔𝑘 (𝑏𝜆k − 𝑏*𝜆k ). 𝑄𝜆k = 2 4𝜋𝑐 4𝜋𝑐2

(13.18)

(13.19)

Уравнение (13.5) показывает, что эти переменные удовлетворяют стандартным уравнениям движения для гармонических осцилляторов 𝑄˙ 𝜆k = 𝑃𝜆k ,

¨ 𝜆k = −𝜔 2 𝑄𝜆k . 𝑃˙𝜆k = 𝑄 𝑘

(13.20)

Энергия поля (13.18), выраженная в терминах координат и сопряжённых им импульсов, есть классическая функция Гамильтона 𝐻=

∑︁ 𝜆k

𝐻𝜆k ,

1 2 + 𝜔𝑘2 𝑄2𝜆k ). 𝐻𝜆k = (𝑃𝜆k 2

(13.21)

Классические уравнения Гамильтона, найденные с использованием (13.21), совпадают, конечно, с (13.20). Таким образом, классическое электромагнитное поле излучения представлено набором независимых гармонических осцилляторов.

13.3. Квантование поля излучения Мы постулируем, что квантованное поле должно иметь стандартный вид набора осцилляторных нормальных мод, в которых классические пе^ 𝜆k и 𝑃^𝜆k с ременные 𝑄𝜆k и 𝑃𝜆k заменены эрмитовскими операторами 𝑄 каноническими коммутационными соотношениями: ^ 𝜆k , 𝑄 ^ 𝜆′ k′ ] = [𝑃^𝜆k , 𝑃^𝜆′ k′ ] = 0, [𝑄

^ 𝜆k , 𝑃^𝜆′ k′ ] = 𝑖~𝛿𝜆𝜆′ 𝛿k,k′ . [𝑄

(13.22)

Амплитуды 𝑏𝜆k и 𝑏*𝜆k становятся операторами ^𝑏𝜆k и ^𝑏†𝜆k , которые взаимно эрмитовски сопряжены. Уравнения (13.19) определяют √︂ √︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 2 2 ^𝑏𝜆k = 𝜋𝑐 𝑄 ^ 𝜆k + 𝑖 𝑃^𝜆k , ^𝑏† = 𝜋𝑐 𝑄 ^ 𝜆k − 𝑖 𝑃^𝜆k . (13.23) 𝜆k 𝑉 𝜔𝑘 𝑉 𝜔𝑘

13.3. Квантование поля излучения

349

Коммутационные соотношения этих операторов: [^𝑏𝜆k , ^𝑏𝜆′ k′ ] = [^𝑏†𝜆k , ^𝑏†𝜆′ k′ ] = 0,

2𝜋~𝑐2 [^𝑏𝜆k , ^𝑏†𝜆′ k′ ] = 𝛿𝜆𝜆′ 𝛿kk′ . 𝑉 𝜔𝑘

(13.24)

Сравнивая эти результаты с разделом 11.8 первого тома, видим, что можно ввести стандартные операторы рождения и уничтожения квантов √︂ √︂ 𝜔𝑘 𝑉 ^ 𝜔𝑘 𝑉 ^† † 𝑎 ^𝜆k = 𝑏𝜆k , 𝑎 ^𝜆k = 𝑏 , (13.25) 2 2𝜋~𝑐 2𝜋~𝑐2 𝜆k с нормированными коммутаторами [^ 𝑎𝜆k , 𝑎 ^†𝜆′ k′ ] = 𝛿𝜆𝜆′ 𝛿kk′ .

(13.26)

Наша цепочка преобразований заканчивается записыванием квантового гамильтониана в виде ^ = 𝐻

∑︁

^ 𝜆k , 𝐻

𝜆k

2 ^ 𝜆k = 𝑉 𝜔𝑘 (^𝑏† ^𝑏𝜆k + ^𝑏𝜆k^𝑏† ) = ~𝜔𝑘 (^ 𝐻 ^𝜆k + 𝑎 ^𝜆k 𝑎 ^†𝜆k ), 𝑎†𝜆k 𝑎 𝜆k 4𝜋𝑐2 𝜆k 2

(13.27) или, используя коммутаторы (13.26), (︂ )︂ (︂ )︂ 1 1 † ^ 𝐻𝜆k = ~𝜔𝑘 𝑎 ^𝜆k 𝑎 ^𝜆k + = ~𝜔𝑘 𝑛 ^ 𝜆k + . 2 2

(13.28)

Теперь поле характеризуется операторами 𝑛 ^ 𝜆k чисeл квантов, фотонов типа (𝜆k). Эти операторы имеют в качестве собственных значений любые неотрицательное целые числа. Окончательное выражение для векторного потенциала (13.2) в терминах квантованных операторов рождения и уничтожения фотонов имеет вид √︃ )︁ ∑︁ 2𝜋~𝑐2 (︁ ^ 𝑡) = A(r, e𝜆k 𝑒𝑖(k·r) 𝑎 ^𝜆k (𝑡) + e*𝜆k 𝑒−𝑖(k·r) 𝑎 ^†𝜆k (𝑡) . (13.29) 𝑉 𝜔𝑘 𝜆k

Зависимость от времени операторов уничтожения даётся уравнением (13.5), а у операторов рождения она комплексно сопряжена, как это и должно быть у гейзенберговских операторов для гармонических осцилляторов (см. т. 1, уравнение 12.60). Соответственно, операторы квантованных полей

350

Глава 13 Фотоны

равны √︂ ℰ^ (r, 𝑡) = −𝑖

∑︁ 𝜆k

)︁ 2𝜋~𝜔𝑘 (︁ e𝜆k 𝑒𝑖(k·r) 𝑎 ^𝜆k (𝑡) − e*𝜆k 𝑒−𝑖(k·r) 𝑎 ^†𝜆k (𝑡) 𝑉

(13.30)

и √︃ ^ (r, 𝑡) = 𝑖 ℬ

∑︁ 𝜆k

)︁]︁ (︁ 2𝜋~𝑐2 [︁ ^†𝜆k (𝑡) . (13.31) k × e𝜆k 𝑒𝑖(k·r) 𝑎 ^𝜆k (𝑡) − e*𝜆k 𝑒−𝑖(k·r) 𝑎 𝑉 𝜔𝑘

Как для любого гармонического осциллятора, имеется вклад нулевых колебаний: полная энергия основного состояния, которое определяется как вакуумное состояние, в котором отсутствуют кванты, все 𝑛𝜆k = 0, бесконечна: ∑︁ 1 ~𝜔𝑘 . (13.32) 𝐸0 = 2 𝜆k

Расходимость возникает просто из-за бесконечного числа степеней свободы. Для свободного электромагнитного поля эта расходимость несущественна, так как 𝐸0 может быть взята за начало отсчёта энергии. Но в этом содержится зародыш серьёзных расходимостей, возникающих в квантовой электродинамике и в общей квантовой теории поля. В то же время изменение этой величины при взаимодействии полей с веществом является наблюдаемым эффектом. Задача 13.1 ^ для свободного электромагнитного поля. Построить оператор импульса P Решение Поток энергии классического поля даётся вектором Пойнтинга: S=

𝑐 ℰ × ℬ ]. [ℰ 4𝜋

(13.33)

Полный импульс поля пропорционален интегралу по объёму от вектора Пойнтинга [1, § 32]: ∫︁ ∫︁ 1 1 ℰ × ℬ ]. 𝑑3 𝑟 [ℰ (13.34) P = 2 𝑑3 𝑟 S = 𝑐 4𝜋𝑐

13.3. Квантование поля излучения

351

Подставим локальные поля из (13.30) и (13.31) и проинтегрируем по объёму, как в (13.9). Вспоминая, что 𝜔𝑘 = 𝑐𝑘, получаем )︂ ∑︁ ∑︁ (︂ 1 ^ =1 ^ 𝜆k k = P 𝐻 . (13.35) ~k 𝑛 ^ 𝜆k + 𝑐 𝑘 2 𝜆k

𝜆k

Этот результат показывает, что импульс свободного поля сохраняется. Представления (13.28) и (13.35) находятся в полном согласии с идеей (см. т. 1, разд. 1.3) фотонов как квантов электромагнитного поля — частиц, имеющих нулевую массу покоя и характеризующихся квантовыми числами — волновым вектором и поперечной поляризацией. Энергия и импульс фотона равны 𝐸𝜆k = ~𝜔𝑘 = ~𝑐𝑘,

p𝜆k = ~k.

(13.36)

Полный импульс поля (13.35) также содержит вклад нулевых колебаний, который исчезает в силу изотропии вакуумного состояния. В базисе состояний |{𝑛𝜆k }⟩ с определённым числом фотонов операторы векторного потенциала (13.29), электрического поля (13.30) и магнитного поля (13.31) имеют ненулевые матричные элементы только при изменении числа фотонов на Δ𝑛 = ±1. Диагональные матричные элементы, а следовательно, средние значения по состояниям с определённым числом фотонов, равны нулю. Грубо говоря, такие состояния имеют большую неопределённость в фазе поля (см. обсуждение в т. 1, разд. 12.6) и усреднение по фазе даёт нулевое среднее значение. Для перехода к классическому полю можно построить когерентные состояния (см. т. 1, разд. 12.4). Задача 13.2 Построить когерентное состояние для фотонной моды (𝜆k) и найти среднеквадратичную флуктуацию линейно поляризованного электрического поля в этом состоянии. Решение Когерентное состояние |𝛼⟩ есть собственное состояние оператора уничтожения, 𝑎 ^𝜆k |𝛼⟩ = 𝛼|𝛼⟩.

(13.37)

352

Глава 13 Фотоны

Среднее значение электрического вектора поля (13.30) в этом состоянии равно √︂ )︁ 2𝜋~𝜔𝑘 (︁ 𝑖[(k·r)−𝜔𝑘 𝑡] ^ ⟨𝛼|ℰ (r, 𝑡)|𝛼⟩ = −𝑖e𝜆k 𝛼𝑒 − (c.c.) . (13.38) 𝑉 С 𝛼 = |𝛼| exp(𝑖𝜙), √︂ ⟨𝛼|ℰ^ (r, 𝑡)|𝛼⟩ = −2e𝜆k

(︁ )︁ 2𝜋~𝜔𝑘 |𝛼| sin (k · r) − 𝜔𝑘 𝑡 + 𝜙 . 𝑉

(13.39)

Таким же способом находим (︁ )︁}︁ 2 2𝜋~𝜔𝑘 {︁ 1 + 4|𝛼|2 sin2 (k · r) − 𝜔𝑘 𝑡 + 𝜙 . ⟨𝛼|ℰ^ (r, 𝑡)|𝛼⟩ = 𝑉

(13.40)

Среднеквадратичная флуктуация не зависит ни от координат и времени, ни от амплитуды 𝛼, фазы и поляризации: √︂ √︀ 2𝜋~𝜔𝑘 (Δℰ 2 ) = . (13.41) 𝑉 Относительная флуктуация (Δℰ)2 /⟨ℰ 2 ⟩ мала для большого числа фотонов |𝛼|2 . Следует также отметить, что операторы полей в разных точках пространства-времени в общем случае не коммутируют. Поэтому они не могут одновременно иметь определённые значения. Как показали Н. Бор и Л. Розенфельд, 1933, любые две компоненты ℰ и ℬ , усреднённые по одному и тому же пространственно-временному объёму, всегда измеримы. Для разных областей, которые могут быть связаны световым сигналом, измерение в одной области меняет состояние поля во второй области; тогда и возникает соотношение неопределённостей, которое исчезает в классическом пределе 𝑛 ≫ 1, или формально ~ → 0. Задача 13.3 Показать, что операторы поля в двух пространственно-временных точках (r, 𝑡) и (r′ , 𝑡′ ) не коммутируют только, если эти точки могут быть связаны световым сигналом: |r − r′ | = 𝑐(𝑡 − 𝑡′ ).

(13.42)

13.3. Квантование поля излучения

353

Решение Коммутатор двух декартовых компонент (13.30) электрического поля вычисляется с использованием основных коммутаторов (13.26) 4𝜋𝑖~ ∑︁ 𝑖 𝑗 [ℰ^𝑖 (r, 𝑡), ℰ^𝑗 (r′ , 𝑡′ )] = 𝑒𝜆k 𝑒𝜆k sin(k · R − 𝜔𝑘 𝑇 ), 𝑉

(13.43)

𝜆k

где, в силу трансляционной инвариантности в пространстве и времени, результат зависит только от разностей R = r − r′ и 𝑇 = 𝑡 − 𝑡′ . Сумма по поляризациям при данном k не есть условие полноты, так как продольный вектор k/𝑘 в сумме отсутствует. Поэтому ∑︁ 𝜆

𝑒𝑖𝜆k 𝑒𝑗𝜆k = 𝛿𝑖𝑗 −

𝑘𝑖 𝑘𝑗 . 𝑘2

(13.44)

С помощью дифференциального оператора ^𝑖𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 1 𝜕 𝜕 − 𝜕 𝜕 𝒪 𝑐2 𝜕𝑡 𝜕𝑡′ 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥′𝑗

(13.45)

коммутатор (13.43) после перехода к непрерывному пределу ∫︀ → 𝑉 𝑑3 𝑘/(2𝜋)3 может быть представлен как ^𝑖𝑗 Δ(R, 𝑇 ), [ℰ^𝑖 (r, 𝑡), ℰ^𝑗 (r′ , 𝑡′ )] = −4𝜋𝑖~𝑐2 𝒪

∑︀

k

→

(13.46)

где введена универсальная функция распространения (пропагатор) ∫︁ sin(k · R − 𝜔𝑘 𝑇 ) . (13.47) Δ(R, 𝑇 ) = 𝑑3 𝑘 𝜔𝑘 Таким же путём можно найти, что коммутатор компонент магнитного поля совпадает с (13.46), в то время как [ℰ^𝑖 (r, 𝑡), ℬ^𝑗 (r′ , 𝑡′ )] = −4𝜋𝑖~𝑐 𝜀𝑖𝑗𝑙

𝜕 𝜕 Δ(R, 𝑇 ). 𝜕𝑡′ 𝜕𝑥𝑙

(13.48)

Переходя∫︀к сферическим∫︀координатам, интегрируя по углам k, записывая ∞ ∞ интеграл 0 𝑑𝑘 как (1/2) −∞ 𝑑𝑘, так как подынтегральная функция чётная,

354

Глава 13 Фотоны

и используя стандартное определение 𝛿-функции, мы получаем Δ(𝑅, 𝑇 ) =

1 [𝛿(𝑅 − 𝑐𝑇 ) − 𝛿(𝑅 + 𝑐𝑇 )]. 4𝜋𝑐𝑅

(13.49)

Это означает, что поля некоммутативны только в точках на световом конусе, поскольку их измерения не являются независимыми.

13.4. Волновая функция фотона Наиболее общее однофотонное состояние может быть представлено как произвольная суперпозиция операторов рождения, действующих на вакуум, ∑︁ |Φ⟩ = Φ𝜆k 𝑎 ^†𝜆k |0⟩. (13.50) 𝜆k

Набор коэффициентов Φ𝜆k может быть интерпретирован как волновая функция ∑︀ фотонного волнового пакета. Состояние может быть нормировано согласно 𝜆k |Φ𝜆k |2 = 1. Электромагнитные поля, ассоциированные с таким состоянием фотона, определены как ℰ (r, 𝑡) = ⟨0|ℰ^ (r, 𝑡)|Φ⟩,

^ (r, 𝑡)|Φ⟩. ℬ (r, 𝑡) = ⟨0|ℬ

(13.51)

Эти матричные элементы вычисляются с помощью квантованных полей (13.30), (13.31): √︂ ℰ (r, 𝑡) = 𝑖

∑︁ 𝜆k

∑︁ 2𝜋~𝜔𝑘 Φ𝜆k e𝜆k 𝑒𝑖(k·r)−𝑖𝜔𝑘 𝑡 ≡ 𝑖 𝑉

√︂

k

2𝜋~𝜔𝑘 Φ (k)𝑒𝑖(k·r)−𝑖𝜔𝑘 𝑡 𝑉 (13.52)

и √︃ ℬ (r, 𝑡) = 𝑖

∑︁ 𝜆k

√︃ ≡𝑖

∑︁ k

2𝜋~𝑐2 Φ𝜆k [k × e𝜆k ]𝑒𝑖(k·r)−𝑖𝜔𝑘 𝑡 ≡ 𝜔𝑘 𝑉

2𝜋~𝑐2 [k × Φ(k)]ei(k·r)−i𝜔k t , 𝜔𝑘 𝑉

(13.53)

13.4. Волновая функция фотона где введена векторная волновая функция ∑︁ e𝜆k Φ𝜆k Φ (k) =

355

(13.54)

𝜆

с очевидным свойством поперечности (k · Φ (k)) = 0.

(13.55)

Вектор поляризации e𝜆k указывает, как это стандартно принято, на направление электрического поля (13.52) в каждой монохроматической компоненте волны. Задача 13.4 Показать,что вычисленная классически энергия поля, определённого в (13.52) и (13.53), равна ∫︁ (︁ )︁ 𝑑3 𝑘 * 𝐸= ~𝜔 Φ (k) · Φ (k) . (13.56) 𝑘 (2𝜋)3

Векторная волновая функция фотона Φ (k) должна преобразовываться при поворотах как любая векторная функция (см. разд. 1.2 и 1.3). Здесь мы работаем в импульсном представлении, так что преобразование поворота, действующее на явную зависимость от переменных, k в нашем случае, генерируется оператором орбитального момента, взятым также в импульсном представлении ^ = −𝑖[k × ∇k ]. L

(13.57)

Собственными функциями оператора орбитального момента с определён^ 2 = 𝐿(𝐿 + 1) и 𝐿 ^ 𝑧 = 𝑚 (проекция на ось 𝑧, произвольными значениями L но фиксированную в пространстве), являются стандартные сферические функции 𝑌𝐿𝑚 (k), зависящие только от углов k. Кроме этого, векторные компоненты Φ также преобразуются между собой. Генератором этого преобразования является спин фотона, определённый в точности так же, как и выше (см. разд. 1.2). Это определение отвечает спину 𝑆 = 1, так что оператор полного углового момента равен ^=L ^ + S, ^ J

(13.58)

и возможные значения 𝐽 — неотрицательные целые числа 𝐽 = 𝐿, 𝐿 ± 1.

356

Глава 13 Фотоны

Задача 13.5 Показать, что состояние 𝐽 = 0 запрещено поперечным характером поля. Решение Состояние с 𝐽 = 0 — скаляр относительно вращений. Единственная возможность для векторного поля Φ (k) быть инвариантным относительно поворотов — это иметь продольный (радиальный) характер, Φ (k) = k𝜙(𝑘). Но такое поле не удовлетворяет условию (13.55); вспомним также задачу 1.14. Поскольку фотон не имеет системы покоя, невозможно физически разделить орбитальную и спиновую части 𝐽, они всегда связаны. Очевидное равенство (см. уравнение 6.14), ^ · k) = 0, (L

(13.59)

показывает, что спиральность ℎ фотона, проекция полного углового мо^ · k)/𝑘. Формально, как обычно мента на направление движения, равна (S для спина 𝑆 = 1, этот оператор может иметь собственные значения 0 и ±1, но спиральность 0 запрещена условием поперечности. Действительно, роль спина играют векторы поляризации e𝜆k , которые перпендикулярны k; их сферические компоненты (13.15) аналогичны повышающим и понижающим компонентам спина, а продольная компонента отсутствует. В квантовой теории поля доказывается, что любая безмассовая частица со спином 𝑆 может иметь только два значения спиральности ℎ = ±𝑆 [68]. В самом деле, только углы 0 и 𝜋 инвариантны относительно преобразований Лоренца.

13.5. Векторные сферические гармоники Векторные сферические гармоники являются собственными функциями полного углового момента 𝐽. Они отвечают определённым значениям 𝐽, 𝐿 и 𝐽𝑧 = 𝑀 (спин 𝑆 = 1). По этой причине для них используется обозначение 𝑌𝐽𝐿𝑀 (n), где векторное сложение организовано обычным образом (см. раздел 7.6.), 𝑌𝐽𝐿𝑀 (n) =

∑︁ 𝑚𝜎

𝐽𝑀 𝐶𝐿𝑚 1𝜎 𝑌𝐿𝑚 (n)𝜒𝜎 ,

n=

k . 𝑘

(13.60)

Здесь 𝜒𝜎 — собственные функции спина 1 с проекциями 𝑆𝑧 = 𝜎 = 0, ±1 на ось квантования. Можно использовать явную форму матриц спина 𝑆 = 1 (уравнение 1.15), действующих на состояния, представленные трёх-

13.5. Векторные сферические гармоники

357

компонентными столбцами ( уравнение 1.31) или векторами (уравнение 1.32), которые совпадают с векторами поляризации e𝜎 , 𝜎 = 0, ±1. Обычно принято работать со сферическими векторами ∑︁ 𝐽𝑀 Y𝐽𝐿𝑀 (n) = 𝐶𝐿𝑚 (13.61) 1𝜎 𝑌𝐿𝑚 (n)e𝜎 . 𝑚𝜎

Для данной величины полного момента 𝐽 существуют три линейно независимых векторных функции с 𝐿 = 𝐽, 𝐽 ± 1. Исключение составляет случай 𝐽 = 0, где возможна только одна комбинация ∑︁ 00 Y010 (n) = 𝐶1𝑚 (13.62) 1𝜎 𝑌1𝑚 (n)e𝜎 . 𝑚𝜎

С коэффициентами Клебша—Гордана из задачи 7.5 и сферическими функциями ранга 1, (уравнение 1.98), получаем 1 ∑︁ 1 ∑︁ (−)𝜎 𝑌1𝜎 (n)e−𝜎 = √ (−)𝜎 𝑛𝜎 e−𝜎 . Y010 (n) = √ 3 𝜎 4𝜋 𝜎

(13.63)

В естественной системе координат с полярной осью вдоль k остаётся только продольная компонента 𝜎 = 0, 𝑛𝜎 = 𝛿𝜎0 , 1 1 Y010 (n) = √ e0 = √ n. 4𝜋 4𝜋

(13.64)

Это формальное доказательство утверждения задачи 13.5. Чётность векторных гармоник определяется чётностью (−)𝐿 сферических функций, благодаря их k-зависимости, умноженной ещё на одну минус единицу, как характерно для векторного состояния Π = (−)𝐿+1 . Поэтому для 𝐽 = 𝐿 ± 1 чётность равна (−)𝐽 , в то время как для 𝐿 = 𝐽 чётность равна (−)𝐽+1 . Продольные состояния принадлежат к первому типу. Соответствующая волновая функция имеет вид Y(k) = kΦ(k). Так как радиальное поле k инвариантно относительно вращений, то угловой момент этой функции 𝐽 = 𝑙 совпадает с Φ(k). Полный орбитальный момент из-за присутствия вектора k равен 𝐿 = 𝑙 ± 1. Пространственная инверсия даёт −Y(−k) = −(−kΦ(−k)) = k(−)𝑙 Φ(k), то есть чётность равна (−)𝑙 = (−)𝐿+1 = (−)𝐽 (первый тип). Но продольное состояние не соответствует реальному фотону. В результате для каждого 𝐽 ̸= 0 имеются два поперечных состояния с противоположной чётностью (для 𝐽 = 0 нет состояний вообще). В принятой терминологии излучённый фотон с угловым

358

Глава 13 Фотоны

моментом 𝐽 и чётностью (−)𝐽 называется электрическим мультиполем с мультипольностью 2𝐿 , в то время как дополнительный тип с тем же моментом 𝐽 и чётностью (−)𝐽+1 называется магнитным мультиполем. Можно напомнить из т. 1, разд. 7.5, что электрические мультипольные операторы ℳ(E𝐽) системы зарядов имеют правила отбора по чётности (−)𝐽 . А для магнитных мультипольных операторов, ℳ(M𝐽), правило отбора по чётности есть (−)𝐽+1 , что находится в согласии с вышеприведённой классификацией. Задача 13.6 Используя результаты задачи 1.14, доказать, что векторы, определённые как (long)

Y𝐽𝑀

= n 𝑌𝐽𝑀 ,

(13.65)

∇n (el) 𝑌𝐽𝑀 , Y𝐽𝑀 = √︀ 𝐽(𝐽 + 1)

(13.66)

где ∇n есть угловая часть градиента ∇k , умноженная на 𝑘, и (magn)

Y𝐽𝑀

(el)

= [n × Y𝐽𝑀 ],

(13.67)

дают общую форму для продольных, электрических и магнитных сферических векторов. Показать, что они ортогональны и нормированы на сфере единичного радиуса ∫︁ (𝜇′ )* (𝜇) 𝑑𝑜 Y𝐽 ′ 𝑀 ′ · Y𝐽𝑀 = 𝛿𝐽 ′ 𝐽 𝛿𝑀 ′ 𝑀 𝛿𝜇′ 𝜇 , (13.68) где 𝜇 обозначает тип вектора. Решение Правильные квантовые числа 𝐽𝑀 следуют из задачи 1.14. Идентификация типа поперечного оператора следует из чётности, (−)𝐽 для электрического типа (13.66) и (−)𝐽+1 для магнитного типа (13.67). Ортонормированность проверяется непосредственно, используя интегрирование по частям там, где встречается градиент. При этом возникает |∇n |2 — угловая часть оператора Лапласа, умноженная на 𝑘 2 . Действуя на 𝑌𝐽𝑀 , она даёт 𝐽(𝐽 + 1)𝑌𝐽𝑀 . Можно также определять сферические волны фотона, разлагая экспоненту в выражении для векторного потенциала по сферическим функциям

13.6. Эффект Казимира

359

Бесселя. Подробности можно найти в литературе по квантовой электродинамике [8].

13.6. Эффект Казимира Теперь мы рассмотрим два знаменитых эффекта, где квантование электромагнитного поля и наличие вакуумной энергии приводят к важным экспериментальным следствиям. Энергия нулевых колебаний (13.32), будучи формально бесконечной, зависит от спектра собственных частот электромагнитного поля. Этот спектр, в свою очередь, определяется граничными условиями. До сих пор мы рассматривали свободное электромагнитное поле в большом вспомогательном объёме 𝑉 . Но ничто не мешает испльзовать этот подход в реальном объёме с физическими границами. Мы всё равно должны найти нормальные моды поля излучения, представить произвольную конфигурацию поля как суперпозицию нормальных мод и объявить коэффициенты суперпозиции операторами рождения и уничтожения. Изменение граничных условий влияет на спектр и, следовательно, на энергию нулевых колебаний. Изменение энергии нулевых колебаний оказывается конечным и может быть измерено экспериментально [69]. Это так называемый эффект Казимира [70]. Рассмотрим простейшую геометрию, в которой реальные граничные условия накладываются на двух параллельных пластинах, расположенных при 𝑥 = 0 и 𝑥 = 𝑋 < 0. В такой постановке были проведены успешные измерения [71]. Изменение положения 𝑋, как мы увидим, меняет энергию нулевых колебаний. Это значит, что существует реальная физическая сила, сила Казимира, действующая между двумя пластинами и зависящая от расстояния между ними. Для простоты мы предполагаем, что пластины сделаны из идеального металла с нулевыми граничными условиями для электрического поля. Нормальными модами являются плоские волны с волновым вектором q вдоль 𝑦𝑧-плоскости и стоячие волны ∝ sin(𝑘𝑥) между пластинами, где волновое число 𝑘 квантовано: 𝑘 ⇒ 𝑘𝑛 =

𝜋 𝑛, 𝑋

𝑛 = 1, 2, ...

(13.69)

Волновое уравнение (13.4) определяет спектр частот, зависящих от расстояния 𝑋: √︀ 𝜔𝑛 (q) = 𝑐 q2 + (𝜋𝑛/𝑋)2 . (13.70)

360

Глава 13 Фотоны

Предполагая, что внутри резонатора имеется вакуумное состояние поля (нет реальных квантов, температура 𝑇 = 0), мы находим силу, действующую между пластинами, как градиент энергии нулевых колебаний: 𝐹 =−

𝜕𝐸0 ~ ∑︁ 𝜕𝜔 =− . 𝜕𝑋 2 𝜕𝑋

(13.71)

В этом выражении сумма идёт по всем квантовым числам мод, включая поляризацию 𝜆 (фактор 2 ниже), двумерный вектор q и квантовое число 𝑛 волнового вектора (13.69). Для вектора q мы предполагаем стандартные искусственные условия на границах большой площади пластин ∑︀ граничные 2 𝑆, так что q → 𝑆 𝑑 𝑞/(2𝜋)2 . Наблюдаемой величиной является давление, сила на единицу площади пластин ∫︁ ∫︁ 𝐹 ~ 𝑑2 𝑞 ∑︁ 𝜕𝜔𝑛 (q) ~𝑐2 ∑︁ 2 𝑑2 𝑞 𝑃 = = −2 = 𝑛 . (13.72) 𝑆 2 (2𝜋)2 𝑛 𝜕𝑋 4𝑋 3 𝑛 𝜔𝑛 (q) Используя 𝑑2 𝑞 = 2𝜋𝑞 𝑑𝑞 =

2𝜋𝜔 𝑑𝜔, 𝑐2

(13.73)

мы приходим к ∫︁ 𝜋~ ∑︁ 2 ∞ 𝑛 𝑑𝜔, 𝑃 = (min) 2𝑋 3 𝜔𝑛 𝑛=1

𝜔𝑛(min) =

𝜋𝑐𝑛 . 𝑋

(13.74)

Сумма по нормальным модам в (13.74) расходится. Но в реальности при очень высоких частотах металл становится прозрачным и волны распостраняются как в вакууме, не замечая стенок, так что нормальные моды перестают зависеть от 𝑋. Конечный ответ для давления получится, если сравнить наш случай со случаем отсутствия пластин (𝑋 → ∞). В этом случае нет условия квантования (13.69), и переменная 𝑛 становится непрерывной, так что при 𝑋 → ∞ ∫︁ ∞ ∫︁ ∞ 𝜋~ 2 𝑑𝑛 𝑛 𝑑𝜔. (13.75) 𝑃0 = (min) 2𝑋 3 0 𝜔𝑛

Задача 13.7 Показать, что вакуумное давление (13.75) может быть интерпретировано как результат отражения свободных фотонов от пластины с изменением

13.7. Формула суммирования Эйлера—Маклорена знака импульса фотонов. ∑︁ ∫︁ 𝑑3 𝑘 𝑃0 = 𝑛𝜆k 𝑣𝑥 2~𝑘𝑥 , (2𝜋)3

361

(13.76)

𝜆

где 𝑛k — плотность фотонов (= 1/2 для всех мод в нашем случае) и 𝑣𝑥 = 𝑐2 𝑘𝑥 /𝜔𝑘 . Наблюдаемой величиной является дополнительное притяжение на единицу площади [︃ ∫︁ ∞ ]︃ ∫︁ ∞ 𝜋~ ∑︁ 𝑑𝜔. (13.77) 𝑑𝑛 𝑛2 𝑃0 − 𝑃 = − − (min) 2𝑋 3 𝜔𝑛 0 𝑛=1

Дополнительная сила возникает от низких частот, когда длина волны поперечных волн порядка расстояния между пластинами. Вклады высоких частот сокращаются, так как проводник и вакуум одинаково прозрачны для этих частот. Чтобы вычислить разность (13.77), мы воспользуемся формулой суммирования Эйлера—Маклорена для плавной функции 𝑓 (𝑛), вывод которой приведён ниже: ∞ ∑︁

∫︁ 𝑓 (𝑛) −

𝑛=1

0

∞

1 1 ′ 1 ′′′ 𝑑𝑛 𝑓 (𝑛) = − 𝑓 (0) − 𝑓 (0) + 𝑓 (0) . . . 2 12 720

(13.78)

В нашем случае (13.77) члены 𝑓 (0) и 𝑓 ′ (0) исчезают и ненулевой вклад идёт от 𝑓 ′′′ (0) = −6𝑐𝜋/𝑋 (не забудьте продифференцировать нижний предел интеграла). Это даёт окончательный результат для сил Казимира на больших расстояниях 𝑃0 − 𝑃 =

𝜋 2 ~𝑐 . 240𝑋 4

(13.79)

Теория и экспериментальные подробности эффекта Казимира обсуждаются в [72].

13.7. Формула суммирования Эйлера—Маклорена Мы следуем процедуре, ∫︀ 𝑏 которая может быть полезной в численном вычислении интегралов 𝑎 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 для гладких функций 𝑓 (𝑥). В качестве опорного базиса мы введем набор полиномов специального вида (связанных

362

Глава 13 Фотоны

с полиномами Бернулли ) 𝐹𝑛 (𝑋), которые определяются рекуррентным соотношением 𝑑𝐹𝑛 (𝑥) = 𝐹𝑛−1 (𝑥) 𝑑𝑥

(13.80)

вместе с дополнительным условием, которое фиксирует произвольную постоянную, допускаемую в 𝐹𝑛 в соответствии с (13.80): мы предполагаем, что функции 𝐹𝑛 , 𝑛 > 0, имеют нулевое среднее значение на интервале (𝑎, 𝑏) нашего интегрирования ∫︁

𝑏

𝑑𝑥 𝐹𝑛 (𝑥) = 0,

𝑛 > 0.

(13.81)

𝑎

Начиная с 𝐹0 = 1, мы находим 𝐹1 (𝑥) = 𝑥 − 𝐹2 (𝑥) =

𝐹3 (𝑥) =

𝐹4 (𝑥) =

𝑎+𝑏 , 2

(13.82)

1 2 𝑎+𝑏 𝑎2 + 𝑏2 + 4𝑎𝑏 𝑥 − 𝑥+ , 2 2 12

(13.83)

(︂ )︂ 1 3 𝑎 + 𝑏 2 𝑎2 + 𝑏2 + 4𝑎𝑏 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) 1 𝑎+𝑏 𝑥 − 𝑥 + 𝑥− = (𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏) 𝑥 − , 6 4 12 12 6 2 (13.84) 1 4 𝑎 + 𝑏 3 𝑎2 + 𝑏2 + 4𝑎𝑏 2 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) (𝑎 − 𝑏)4 − 30𝑎2 𝑏2 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥− , ... 24 12 24 12 720 (13.85)

Значения этих функций на концах интервала равны: 𝐹1 (𝑎) = −𝐹1 (𝑏) = −

𝑎−𝑏 , 2

𝐹2 (𝑎) = 𝐹2 (𝑏) =

(𝑎 − 𝑏)2 , 12

(𝑎 − 𝑏)4 ; 720 в силу условия нормировки (13.81), 𝐹𝑛 (𝑎) = 𝐹𝑛 (𝑏) для 𝑛 > 1. 𝐹3 (𝑎) = 𝐹3 (𝑏) = 0,

𝐹4 (𝑎) = 𝐹4 (𝑏) = −

(13.86)

13.7. Формула суммирования Эйлера—Маклорена

363

Используя интегрирование по частям, мы можем записать ∫︁

𝑏

𝑏

∫︁ 𝑑𝑥 𝑓 (𝑥) ≡

𝑎

∫︁

𝑏

𝑑𝑥 𝐹0 𝑓 = 𝑎

[︁ ]︁𝑏 ∫︁ 𝑏 𝑑𝑥 𝐹1′ 𝑓 = 𝐹1 𝑓 − 𝑑𝑥 𝐹1 𝑓 ′ . 𝑎

𝑎

(13.87)

𝑎

Этот процесс можно продолжать, вовлекая новые функции (13.80): ∫︁

𝑏

[︁

′

′′

𝑑𝑥 𝑓 = 𝐹1 𝑓 − 𝐹2 𝑓 + 𝐹3 𝑓 − 𝐹4 𝑓 𝑎

′′′

]︁𝑏 𝑎

∫︁ +

𝑏

𝑑𝑥 𝐹4 𝑓 ′′′′

(13.88)

𝑎

и так далее. Рассмотрим интервал 𝑎 = 0 и 𝑏 = 1. Тогда первый вклад даёт [︁ ]︁1 1 𝐹1 𝑓 = [𝑓 (1) + 𝑓 (0)], 2 0

(13.89)

так что 1

∫︁ 0

∫︁ 𝑏 1 1 1 ′′′ 𝑑𝑥 𝑓 (𝑥) = [𝑓 (1)+𝑓 (0)]− [𝑓 ′ (1)−𝑓 ′ (0)]+ [𝑓 (1)−𝑓 ′′′ (0)]+ 𝑑𝑥 𝐹4 𝑓 ′′′′ . 2 12 720 𝑎 (13.90)

Если интервал интегрирования разделён на малые равные части, что обычно делается в процессе численного интегрирования, операцию (13.87) можно проделать для каждой части, а затем сложить результаты. В членах с производными 𝑓 (𝑥) все вклады в промежуточных точках сокращаются, потому что краевые значения опорных функций одинаковы для всех интервалов. Если 𝑏 → ∞ и 𝑓 (𝑥) пренебрежимо мала при больших 𝑥, как это имеет место в случае (13.77), мы идем через целые точки и получаем ∫︁ 0

∞

∞

∑︁ 1 1 1 ′′′ 𝑑𝑥 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (0)+ 𝑓 (𝑛)+ 𝑓 ′ (0)− 𝑓 (0)+ 2 12 720 𝑛=1

∫︁

∞

𝑑𝑥 𝐹4 𝑓 ′′′′ , (13.91)

0

или, если мы хотим приближённо заменить сумму интегралом, ∞ ∑︁ 𝑛=1

∫︁

∞

𝑑𝑥 𝑓 (𝑥) −

𝑓 (𝑛) = 0

1 1 ′ 1 ′′′ 𝑓 (0) − 𝑓 (0) + 𝑓 (0) . . . 2 12 720

(13.92)

Если остаточный интегральный член в (13.91) пренебрежимо мал, мы приходим к формуле Эйлера—Маклорена (13.78). Дальнейшее разложение пойдет по нечетным производным, и следующий член равен −𝑓 ′′′′′ (0)/30240.

364

Глава 13 Фотоны

13.8. Лэмбовский сдвиг Атом водорода является единственной системой, для которой имеется точное решение нерелятивистского уравнения Шредингера, а также релятивистского уравнения Дирака (для точечного протона). Здесь нельзя списать расхождение между теорией и экспериментом на приближенный характер вычислений. Надежно установленное расхождение свидетельствует о наличии новых физических явлений. Как мы знаем из разд. 8.3, электронные уровни 2𝑠1/2 и 2𝑝1/2 в атоме водорода остаются вырожденными даже с учетом тонкой структуры. В некоторых экспериментах, проведенных в 1930-х годах, были обнаружены указания, что уровень 2𝑠1/2 находится выше 2𝑝1/2 примерно на 0,03 см−1 . Однако соответствующий переход находится в радиочастотном диапазоне. В то время точные измерения в этом диапазоне были недоступны. Только в 1947 году, после успехов в развитии техники радаров, точные радиоспектроскопические измерения Лэмба и Ризерфорда [73] установили существование сдвига: 𝛿𝐸2 ≡ 𝐸(2𝑠1/2 ) − 𝐸(2𝑝1/2 ) = 0, 034 см−1 = 1057, 8 МГц.

(13.93)

Этот сдвиг, равный примерно 0,1 от тонкого расщепления между 2𝑝3/2 и 2𝑝1/2 уровнями, называется Лэмбовским, или радиационным сдвигом. Он растет ∝ 𝑍 4 в более тяжелых водородоподобных ионах. Открытие лэмбовского сдвига сыграло исторически важную роль, являясь по сути первым указанием на нетривиальный характер физического вакуума как фактического основного состояния поля излучения. В соответствии с объяснением, данным Г. Бете, лэмбовский сдвиг обусловлен нулевыми колебаниями электромагнитного поля, которые создают, в дополнение к кулоновскому полю ядра, флуктуирующее поле, влияющее на атомный электрон. Физический вакуум (состояние без реальных квантов) имеет определенные наблюдаемые свойства, как мы уже видели, хотя и при наличии материи, в эффекте Казимира. Открытие и теория лэмбовского сдвига дали мощный импульс для развития квантовой электродинамики, наиболее точной ветви современной физики. Не вдаваясь в формализм квантовой электродинамики, мы приводим ниже полукачественную оценку лэмбовского сдвига, непосредственно основанную на действии флуктуирующего электрического поля ℰ 𝜔 на электрон. Для легких атомов 𝑍𝛼 ≪ 1 и поэтому для нерелятивистских электронов 𝑣/𝑐 ∼ 𝑍𝛼 и можно пренебречь магнитным полем ℬ 𝜔 . Квантованное элек-

13.8. Лэмбовский сдвиг

365

трическое поле создает и уничтожает виртуальные фотоны и приводит к дополнительному смещению электронов. Среднее значение электрического поля в вакуумном состоянии исчезает, но его средний квадрат, в соответствии с (13.30), равен 2𝜋~𝜔 , 𝑉

ℰ 2𝜔 ⟩ = ⟨ℰ

(13.94)

ℰ 2𝜔 ⟩(𝑉 /8𝜋) = что соответствует половине нулевой энергии данной моды ⟨ℰ ~𝜔/4. Флуктуационное смещение 𝜉 электрона подчиняется уравнению движения ℰ. 𝑚𝜉¨ = 𝑒ℰ

(13.95)

Только моды с длиной волны больше, чем типичное смещение 𝜉, 𝑘𝜉 ≪ 1,

(13.96)

могут дать существенный вклад. В противном случае эффект от различных областей флуктуационного поля компенсируется. Поэтому поле ℰ в уравнении (13.95) можно считать однородным, и для временной компоненты Фурье получаем ℰ 𝜔. −𝑚𝜔 2𝜉 𝜔 = 𝑒ℰ

(13.97)

Среднее значение смещения ⟨𝜉𝜉 𝜔 ⟩ исчезает, и мы находим для среднего квадрата флуктуации ⟨𝜉𝜉 2𝜔 ⟩ =

𝑒2 2𝜋~𝑒2 2 ℰ ⟨ℰ ⟩ = . 𝜔 𝑚2 𝜔 4 𝑉 𝑚2 𝜔 3

(13.98)

Вклады различных мод поля некогерентны, так что полный средний квадрат смещения определяется суммой по модам с плотностью состояний 𝜌(𝜔), найденной в т. 1, уравнение (3.92), ∫︁ ∫︁ ∫︁ 2 2~𝑒2 𝑑𝜔 2 2 2 𝑉 𝜔 𝑑𝜔 ⟨𝜉𝜉 ⟩ = 𝑑𝜔 𝜌(𝜔)⟨𝜉𝜉 𝜔 ⟩ = ⟨𝜉𝜉 𝜔 ⟩ = . (13.99) 2 3 2 3 𝜋 𝑐 𝜋𝑚 𝑐 𝜔 Хотя результат формально расходится, нет реальной физической расходимости, так как есть факторы, обеспечивающие фактическое обрезание. Большие частоты не дают вклада из-за релятивистского роста инерции электронов. Частоты, малые по сравнению с энергией первого возбужде-

366

Глава 13 Фотоны

ния (которая того же порядка величины, что и энергия связи 𝐸𝑏 ), дают малый вклад в теории возмущений. Поэтому мы можем оценить пределы в интеграле (13.99) как ~𝜔max ∼ 𝑚𝑐2 ,

~𝜔min ∼ 𝐸𝑏 ∼ (𝑍𝛼)2 𝑚𝑐2 .

(13.100)

Во всяком случае, интеграл (13.98) только сравнительно слабо, логарифмически, зависит от этих пределов. Таким образом, 𝜔max 𝑏 2~𝑒2 2~𝑒2 ln ln , = 2 3 2 3 𝜋𝑚 𝑐 𝜔min 𝜋𝑚 𝑐 (𝑍𝛼)2

⟨𝜉𝜉 2 ⟩ =

(13.101)

где 𝑏 — число порядка единицы. Основной фактор в полученной амплитуде дрожания электрона мал по сравнению с размером орбиты 𝑎 и даже по сравнению с комптоновской длиной волны 𝜆𝐶 𝑒2 ~𝑒2 ⟨𝜉𝜉 ⟩ ∼ 2 3 ∼ 𝑚 𝑐 ~𝑐 2

(︂

~ 𝑚𝑐

)︂2

= 𝛼𝜆2𝐶 ∼ 𝛼3 𝑎2 ∼ 10−6 𝑎2 .

(13.102)

В соответствии с оценкой в 𝜔max , только поля осцилляторов с ~𝑘 < 𝑚𝑐 или с длиной волны 𝜆 ∼ 1/𝑘 > ~/𝑚𝑐 = 𝜆𝐶 являются эффективными. Это показывает, что предполагаемое неравенство (13.96) выполняется: 𝑘𝜉 ∼ 𝑘𝑎𝛼3/2
, числу атомов в верхнем состоянии, и

374

Глава 14 Излучение и поглощение фотонов

интенсивность уменьшается пропорционально 𝑁< , числу атомов в нижнем состоянии, способных поглощать кванты. Соотношения Эйнштейна позволяют записать баланс простым образом: 𝑑𝐼 = const · 𝐼(𝑁> − 𝑁< ). 𝑑𝑥

(14.13)

Проходящая волна может быть усилена средой, если 𝑁> > 𝑁< . Нормально равновесные заселённости уровней падают с энергией уровня, см. (14.7). Например, для видимого света при комнатной температуре (~𝜔/𝑇 ) ≈ 102 и 𝑁> ≪ 𝑁< . Поэтому необходимо создавать инверсную заселённость. Квантовые приборы, создающие инверсную заселенность энергетических уровней, позволяют получить генерацию и усиление электромагнитных волн с уникальным сочетанием высокой мощности, монохроматичности, когерентности и малого углового разброса. В зависимости от диапазона частот эти устройства называются мазеры или лазеры, от сокращений Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation или Light Amplification ..., cоответственно. В формальном смысле можно сказать, что среда с инверсной заселённостью имеет отрицательную температуру относительно излучения данной частоты. Обсуждение современных устройств квантовой оптики находится за пределами рамок нашей лекции. Приведем только несколько простых примеров. Оригинальный способ генерации отрицательных температур был использован в молекулярном генераторе на молекулах аммиака. Специальное устройство отклоняло от молекулярного пучка молекулы на более низком уровне. В оставшемся пучке тогда мы имеем 𝑁> > 𝑁< . Конечно, время жизни верхнего уровня относительно спонтанного излучения должно быть достаточно большим. Приготовленный пучок с инверсной заселённостью доходит до резонаторной полости с собственной частотой резонанса 𝜔0 = (𝐸> − 𝐸< )/~. Тепловое излучение с той же частотой, что всегда присутствует в полости, индуцирует излучение фотонов молекулами пучка, которые, в свою очередь, усиливают собственную моду резонатора. Часть энергии может быть использована, в то время как оставшаяся часть действует на новые входящие молекулы, стимулируя новое излучение, что обеспечивает высокую стабильность генерируемых частот. В лазерах нет такого сортирующего устройства. Хорошо известной схемой работы является схема на основе трех уровней, рис. 14.1. В равновесии наибольшее число атомов находится в состоянии 1. Внешнее поле с частотой 𝜔31 оптической накачки возбуждает атомы до уровня 3. Если скорость перехода 𝑤˙ 23 перехода 3 → 2 высока по сравнению с 𝑤˙ 13 , по истечении вре-

14.1. Коэффициенты Эйнштейна; мазеры и лазеры

375

Рис. 14.1. Трёхуровневая лазерная система

−1 мени 𝜏3 ∼ 𝑤˙ 23 атомы будут испытывать переход на уровень 2. Состояние 2 −1 должно быть метастабильным (долгоживущим , 𝜏2 ∼ 𝑤˙ 12 ≫ 𝜏3 ) . Таким образом, мы накапливаем атомы в состоянии 2. При высокой мощности накачки можно получить долгоживущую инверсную заселённость для пары уровней 1 и 2, 𝑁2 > 𝑁1 . Типичные значения могут быть 𝜏3 ∼ 10−(7÷8) ; хорошо иметь широкий уровень 3, который помогает получить интенсивную накачку 1 → 3. Спонтанное излучение 2 → 1 порождает волну требуемой частоты 𝜔12 . Распространяясь вдоль среды, эта волна стимулирует излучение других атомов в состоянии 2. Множественные отражения от зеркал, заменяющих резонаторную полость для оптических частот 𝜆 ∼ 5 · 10−5 см, усиливают волну из-за индуцированного излучения. Если усиление превосходит потери на отражение, интенсивность растет как лавина. Одно из зеркал является полупрозрачным для излучения, выходящего наружу. Волны, распространяющиеся не точно по оси, испытывают меньшее число отражений и имеют меньше времени для усиления, что приводит к малому угловому разбросу основного излучения. Таким образом, лазеры преобразуют энергию накачки с относительно широким разбросом частот в монохроматическое излучение частоты 𝜔21 . Трехуровневая схема используется, например, в широко известном рубиновом лазере, где переходы примесных атомов хрома дают красную линию 694,3 нм.

Новые эффекты появляются при высокой плотности фотонов в лазерном пучке. Например, вполне вероятно иметь одновременное взаимодействие двух фотонов с тем же атомом. Если их суммарная энергия удовлетворяет условию резонанса 𝜔1 + 𝜔2 = 𝜔𝑓 𝑖 ,

(14.14)

376

Глава 14 Излучение и поглощение фотонов

возможно поглощение с двухфотонным переходом 𝑖 → 𝑓 . Здесь мы выходим за рамки первого порядка теории возмущений и должны принимать во внимание нелинейные (многофотонные) процессы. Они формально появляются в высших порядках по отношению к полю A, а соответствующие амплитуды содержат больше операторов рождения и уничтожения, см. разд. 11.2. В частности, возможна многофотонная ионизация атома, когда энергия одного фотона ниже порога ионизации.

14.2. Фотопоглощение Теперь мы рассмотрим квантовую механику излучения и поглощения света более детально. Элементарный акт поглощения фотона (𝜆k) квантовой системой, испытывающей переход 𝑖 → 𝑓 , описывается золотым правилом (11.6) с матричным элементом (13.112) 𝑤˙ 𝑓 𝑖

⃒⟨ ⃒ ⃒ ⟩⃒2 ⃒ ⃒∑︁ 𝑒 ⃒ ⃒ 2𝜋 2𝜋~ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 𝑖(k·r𝑎 ) ⃒ = 𝑛𝜆k ⃒ 𝑓 ⃒ (^ p𝑎 · e𝜆k )𝑒 ⃒ 𝑖 ⃒ 𝛿(𝐸𝑓 −𝐸𝑖 −~𝜔). (14.15) ⃒ ⃒ 𝑎 𝑚𝑎 ⃒ ⃒ ~ 𝜔𝑉

В каждом акте энергия системы возрастает на ~𝜔 = 𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 , и средняя скорость поглощения энергии находится из ⃒⟨ ⃒ ⃒ ⟩⃒2 ⃒∑︁ 𝑒 ⃒ ⃒ 4𝜋 2 𝑛 ¯ 𝜆k ⃒⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 ~𝜔 𝑤˙ 𝑓 𝑖 = (^ p𝑎 · e𝜆k )𝑒𝑖(k·r𝑎 ) ⃒ 𝑖 ⃒ 𝛿(𝜔 − 𝜔𝑓 𝑖 ), (14.16) ⃒ 𝑓⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑉 𝑚𝑎 𝑎 где мы использовали правило (I.3.26), переходя к 𝛿-функции от частот, и ввели среднюю заселённость фотонов 𝑛 ¯ 𝜆k . Поток энергии фотонов, падающий на атом в секунду, равен (density) × (velocity) × (energy) =

𝑛 ¯ 𝜆k 𝑐 ~𝜔. 𝑉

(14.17)

Отношение поглощённой энергии к падающему потоку даёт сечение поглощения, сравните с сечением рассеяния (разд. 12.1), для данной частоты 𝜔 и конкретного перехода 𝑖 → 𝑓 в системе ⃒⟨ ⃒ ⃒ ⟩⃒2 ⃒∑︁ 𝑒 ⃒ ⃒ 4𝜋 2 ⃒⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 𝑖(k·r𝑎 ) ^ 𝜎𝑓 𝑖 (𝜔) = 𝑓 𝑒 (e · p ) (14.18) ⃒ ⃒ 𝑎 ⃒ 𝑖 ⃒ 𝛿(𝜔 − 𝜔𝑓 𝑖 ), 𝜆k ⃒ ⃒ ⃒ ~𝑐𝜔 ⃒ 𝑚𝑎 𝑎

14.3. Длинноволновый предел

377

или, для системы частиц с тем же отношением 𝑒/𝑚 4𝜋 2 𝛼 𝜎𝑓 𝑖 (𝜔) = 2 𝑚 𝜔

⃒ ⟩⃒2 ⃒⟨ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒∑︁ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑖(k·r𝑎 ) ^ 𝑒 (e · p ) 𝑓 ⃒ ⃒ 𝑎 ⃒ 𝑖 ⃒ 𝛿(𝜔 − 𝜔𝑓 𝑖 ), 𝜆k ⃒ ⃒ ⃒ ⃒

(14.19)

𝑎

где 𝛼 = 𝑒2 /~𝑐. Для частиц со спином нужно таким же образом включить взаимодействие (13.115) с магнитным полем волны. Эти результаты отвечают бесконечно узкой линии поглощения. Но мы знаем, что в действительности возбуждённое состояние |𝑓 ⟩ только квазистационарно (см. разд. I.9.12); оно имеет конечное время жизни и, следовательно, неопределённость энергии — конечную ширину Γ. Если падающая волна имеет энергетический разброс Δ𝐸 > Γ, она может возбудить все монохроматические компоненты состояния |𝑓 ⟩ с сохранением энергии внутри неопределённости. В стандартном приближении экспоненциального распада (см. разд. I.5.8) мы должны заменить 𝛿(𝜔 − 𝜔𝑓 𝑖 ) на резонансную кривую Лорентца 𝛿(𝜔 − 𝜔𝑓 𝑖 ) ⇒

𝛾 1 , 2𝜋 (𝜔 − 𝜔𝑓 𝑖 )2 + 𝛾 2 /4

𝛾=

Γ𝑓 + Γ𝑖 . ~

(14.20)

Здесь мы учли также возможную конечную ширину Γ𝑖 начального состояния. При 𝛾 → 0 мы приходим обратно к 𝛿(𝜔 − 𝜔𝑓 𝑖 ). Таким образом, мы имеем естественную форму линии поглощения 4𝜋 2 𝜎𝑓 𝑖 (𝜔) = ~𝑐𝜔

⃒⟨ ⃒ ⃒ ⟩⃒2 ⃒ ⃒∑︁ 𝑒 ⃒ ⃒ 𝛾 1 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 𝑖(k·r𝑎 ) ^ 𝑎 )⃒ 𝑖 ⃒ 𝑒 (e𝜆k · p . ⃒ 𝑓⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 𝑚𝑎 ⃒ ⃒ 2𝜋 (𝜔 − 𝜔𝑓 𝑖 )2 + 𝛾 2 /4 (14.21)

Если, как это часто случается, матричный элемент в (14.21) есть плавная функция частоты 𝜔, т. е. приближённо константа внутри ширины линии 𝛾, мы можем найти интегральное сечение ⃒⟨ ⃒ ⃒ ⟩⃒2 ∫︁ ⃒∑︁ 𝑒 ⃒ ⃒ 4𝜋 2 ⃒⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 𝑖(k·r𝑎 ) ^ 𝑎 )⃒ 𝑖 ⃒ . (14.22) 𝑑𝜔 𝜎𝑓 𝑖 (𝜔) = 𝑒 (e𝜆k · p ⃒ 𝑓⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ~𝑐𝜔𝑓 𝑖 ⃒ 𝑚𝑎 𝑎

14.3. Длинноволновый предел Для нерелятивистской системы частиц в связанном состоянии разности фаз для разных частиц в экспоненте матричного элемента, как правило,

378

Глава 14 Излучение и поглощение фотонов

небольшие. Это следует из простой цепи приближённых оценок, где 𝑅 есть размер системы: (k · r𝑎 ) ∼ 𝑘𝑅 =

𝜔 𝐸𝑅 𝑝2 ~ 𝑣 𝑅∼ ∼ ∼ . 𝑐 ~𝑐 𝑚~𝑐 𝑝 𝑐

(14.23)

Поэтому для нерелятивистских систем, 𝑘𝑅 ≪ 1, размер, как правило, мал по сравнению с длиной волны излучения. В атомах, за исключением самых тяжёлых, 𝑘𝑅 ∼ 𝑣/𝑐 ∼ 𝑍𝛼 ≪ 1. Неравенство 𝑘𝑅 ≪ 1 также справедливо для большинства возбужденных ядерных уровней. Пользуясь тем, что exp(𝑖(k · r𝑎 )) ≈ 1, мы упрощаем интегральное сечение (14.22) до ∫︁

4𝜋 2 𝑑𝜔 𝜎𝑓 𝑖 (𝜔) = ~𝑐𝜔𝑓 𝑖

⃒⟨ ⃒ ⃒ ⟩⃒2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ∑︁ 𝑒𝑎 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ^ 𝑎 )⃒ 𝑖 ⃒ . p ⃒ 𝑓 ⃒(e𝜆k · ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑚𝑎

(14.24)

𝑎

В этом приближении вклады всех частиц когерентны, они излучают и поглощают свет как целое. Если силы внутри системы зависят только от координат частиц, ^r𝑎 не коммутируют только с оператором кинетической энергии, и уравнение движения (I.7.89) устанавливает связь между недиагональными матричными элементами, (^ p𝑎 )𝑓 𝑖 = 𝑖𝑚𝑎 𝜔𝑓 𝑖 (^r𝑎 )𝑓 𝑖 .

(14.25)

Тогда сечение (14.24) определяется матричным элементом электрического дипольного момента (6.63), ∫︁ 𝑑𝜔 𝜎𝑓 𝑖

4𝜋 2 = ~𝑐𝜔𝑓 𝑖

⃒ ⟩⃒2 ⃒⟨ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ∑︁ 4𝜋 2 𝜔𝑓 𝑖 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜔𝑓 𝑖 𝑒𝑎 r𝑎 ⃒ 𝑖 ⃒ = |(e𝜆k ·d𝑓 𝑖 )|2 . (14.26) ⃒ 𝑓 ⃒e𝜆k · ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ~𝑐 𝑎

Задача 14.1 Показать, что результат (14.26) может быть получен из гамильтониана ^ ′ ^ · ⃗ℰ) 𝐻dip = −(d

(14.27)

для взаимодействия дипольного момента системы с электрическим полем волны (13.30), которое подразумевается однородным на размере системы.

14.3. Длинноволновый предел

379

Задача 14.2 Вычислить интегральное сечение поглощения света линейным гармоническим осциллятором (с зарядом 𝑒) в 𝑛-том стационарном состоянии, если волна линейно поляризована под углом 𝜃 по отношению к оси колебаний. Решение ∫︁ 𝑒2 𝑑𝜔 𝜎𝑛,𝑛+1 = 2𝜋 2 cos2 𝜃 (𝑛 + 1). 𝑚𝑐

(14.28)

Для 𝑛 = 0 мы получаем классический результат [1]. Переходы, генерируемые электрическим диполем, классифицируются как E1-переходы в терминологии разд. 6.6. Интенсивность дипольного перехода часто выражается в терминах сил осцилляторов, определяемых для каждого перехода как ⃒ ⃒2 ⃒ 2𝑚(𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 ) ⃒⃒∑︁ ⃒ 𝐹𝑓 𝑖 = (𝑥 ) (14.29) ⃒ ⃒ , 𝑎 𝑓 𝑖 2 ⃒ ⃒ ~ 𝑎

где предполагается, что все частицы, обычно электроны в атоме или в молекуле, имеют одинаковый заряд. Для системы, находящейся первоначально в основном состоянии, все силы осцилляторов положительны. Согласно правилу сумм ТРК (I.7.138), в отсутствие зависящих от скорости сил, ∑︁ 𝐹𝑓 𝑖 = 𝑍, (14.30) 𝑓

числу электронов в атоме. Отсюда мы находим полное интегральное сечение поглощения (сумма по всем возможным переходам 0 → 𝑓 ) ∫︁ ∑︁ ∫︁ 2𝜋 2 𝑒2 𝑑𝜔 𝜎 = 𝑑𝜔 𝜎𝑓 0 = 𝑍. (14.31) 𝑚𝑐 𝑓

Этот результат совпадает с классическим пределом [1], будучи независящим от типа потенциальных взаимодействий внутри системы. Выражение (14.31) справедливо также для нейтральных атомов, если мы ограничим сверху частоты света, чтобы избежать ядерных возбуждений и рождения новых частиц. Если система не является электрически нейтральной, она будет двигаться в поле волны как целое, что соответствует классическому томсоновскому рассеянию [1, § 78]. Если мы интересуем-

380

Глава 14 Излучение и поглощение фотонов

ся только внутренними возбуждениями, мы должны отделить движение центра масс. Это было сделано в задаче I.7.10 для атомного ядра, где в результате появились эффективные заряды (I.7.141) для протонов и нейтронов. Задача 14.3 Полагая справедливым правило сумм ТРК, найти полное интегральное сечение дипольного фотопоглощения ядром с 𝑍 протонами и 𝑁 нейтронами; разностью масс протона и нейтрона пренебречь, 𝑚𝑝 ≈ 𝑚𝑛 ≡ 𝑚. Решение Используя эффективные заряды (I.7.141), мы находим часть ядерного сечения поглощения, обязанную внутренним возбуждениям: ∫︁ 𝑑𝐸𝛾 𝜎exc =

)︁ 2𝜋 2 𝑒2 ~ 𝑁 𝑍 𝑁𝑍 2𝜋 2 ~ (︁ eff 2 2 (𝑒𝑝 ) 𝑍+(𝑒eff ) 𝑁 = = 0.06 MeV·барн, 𝑛 𝑚𝑐 𝑚𝑐 𝐴 𝐴 (14.32)

где 1 барн=10−24 см2 — единица площади, принятая в ядерной физике. Таким образом, эффективная сила осциллятора для дипольных ядерных переходов равна 𝑁 𝑍/𝐴. Движение ядра как целого (массы 𝑚(𝑍 +𝑁 ) ≡ 𝑚𝐴) определяется вкладом центра масс, 𝑒𝑍R, в дипольный момент, который давал бы силу осциллятора (𝑍/𝐴)2 · 𝐴 = 𝑍 2 /𝐴. С этой добавкой полная сила осциллятора восстанавливается в согласии с (14.30) 𝑁𝑍 𝑍2 + = 𝑍. 𝐴 𝐴

(14.33)

В действительности нельзя считать реалистические ядерные взаимодействия не зависящими от скорости, как это предполагается в правиле сумм ТРК. Задача 14.4 Предположим, что в дополнение к обычным силам, зависящим от координат, имеются обменные силы типа ^exch = −𝑈 (|r𝑝 − r𝑛 |)𝒫^𝑛𝑝 , 𝑈

(14.34)

где 𝒫^𝑛𝑝 — оператор, превращающий протон в нейтрон и наоборот без изменения пространственных и спиновых характеристик частиц (рис. 14.2). Показать, что этот вклад увеличивает (для сил отталкивания 𝑈 (𝑟𝑛𝑝 ) > 0)

14.4. Высшие мультипольные переходы

381

Рис. 14.2. Пионный механизм возможного обменного взаимодействия

правило сумм (14.30), которое для сферически симметричного состояния |𝑖⟩ становится ⃒ ⟩}︁ {︁ ∑︁ 𝑚 ⟨ ⃒⃒∑︁ 2 ⃒ 𝐹𝑓 𝑖 = 𝑍 1 + 2 𝑖 ⃒ 𝑟𝑛𝑝 𝑈 (𝑟𝑛𝑝 )𝒫^𝑛𝑝 ⃒ 𝑖 . (14.35) 3~ 𝑓

Здесь сумма идёт по всем нейтрон-протонным парам.

14.4. Высшие мультипольные переходы Несмотря на то что дипольное приближение предыдущего раздела справедливо в длинноволновом пределе, 𝜆 ≫ 𝑅, для полного сечения фотопоглощения нерелятивистской системой, может оказаться, что для данного перехода 𝑖 → 𝑓 дипольный матричный элемент d𝑓 𝑖 мал или равен нулю из-за правил отбора по угловому моменту и чётности, см. разд. 7.5. Дипольный оператор не может вызвать переход между состояниями одинаковой чётности или с изменением углового момента Δ𝐽 > 1. В этих случаях необходимо рассмотреть следующие члены разложения exp[𝑖(k · r𝑎 )] в (14.22) по степеням 𝑘𝑅. Линейные по 𝑘𝑅 члены в матричном элементе могут быть переписаны как 𝑖

𝑒 𝑖𝑒 ^ )(k · r) = (e · p (𝑀+ + 𝑀− ), 𝑚 2𝑚

(14.36)

382

Глава 14 Излучение и поглощение фотонов

где ^ )(k · r) ± (e · r)(k · p ^ ). 𝑀± = (e · p

(14.37)

Используя уравнение движения (I.7.89), мы получаем 𝑀+ = 𝑚(e · r˙ )(k · r) + (e · r)𝑚(k · r˙ ) = 𝑚

)︁ 𝑑 (︁ (e · r)(k · r) . 𝑑𝑡

(14.38)

Так как (e · k) = 0, 𝑀+ = 𝑚𝑒𝑖 𝑘𝑗

)︁ 𝑚 𝑑 𝑑 (︁ 1 (𝑥𝑖 𝑥𝑗 ) = 𝑚𝑒𝑖 𝑘𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 − 𝛿𝑖𝑗 𝑟2 = 𝑒𝑖 𝑘𝑗 𝑄˙ 𝑖𝑗 , (14.39) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 3 3𝑒

где 𝑄𝑖𝑗 — тензор электрического квадрупольного момента (1.130) данной частицы; суммируя по всем частицам, мы получаем полный квадрупольный момент системы. С использованием гейзенберговских уравнений движения ^ 𝑖𝑗 соответствующий матричный элемент может быть представлен в для 𝑄 виде 𝑖𝑒 𝑖 1 ^ 𝑖𝑗 , 𝐻 ∘ ])𝑓 𝑖 = − 1 𝜔𝑓 𝑖 𝑒𝑖 𝑘𝑗 (𝑄𝑖𝑗 )𝑓 𝑖 . (𝑀+ )𝑓 𝑖 = 𝑒𝑖 𝑘𝑗 (𝑄˙ 𝑖𝑗 )𝑓 𝑖 = 𝑒𝑖 𝑘𝑗 ([𝑄 2𝑚 6 6~ 6 (14.40) Этот член ответственен за квадрупольные переходы. Задача 14.5 Показать, что этот результат может быть выведен из взаимодействия ^ ′ (9.32) квадрупольного момента системы с градиентами электрического 𝐻 𝑄 поля волны. Оператор 𝑀− в уравнении (14.36) равен (︁ )︁ (︁ )︁ ^ ] = ~ [k × e] · ℓ^ . 𝑀− = [k × e] · [r × p

(14.41)

Вектор [k × e], согласно (13.31), определяет направление b магнитного поля падающей волны. Таким образом, 𝑀− отвечает за взаимодействие орбитального магнитного момента с магнитным полем 𝑖𝑒 𝑒~ ^ 𝑀− = (ℓ · b)𝜔 = ~𝑔 ℓ (ℓ^ · b)𝜔. 2𝑚 2𝑚𝑐

(14.42)

14.5. Индуцированное и спонтанное излучение

383

Задача 14.6 ′ Показать, что вместе со спиновым членом 𝐻spin (13.110) результат (14.42) может быть выведен из взаимодействия ′ ^ 𝐻magn = −( ^𝜇 · ℬ),

^ = ~(𝑔 𝑠^s + 𝑔 ℓ ^ℓ), 𝜇

(14.43)

полного магнитного момента частицы с магнитным полем волны (13.31) в предположении однородности поля на размере атома. Мы получили в одном приближении по отношению к параметру (𝑘𝑅) ∼ 𝑣/𝑐, квадрупольные (E2) и магнитные дипольные (M1) переходы. Эти переходы имеют вероятности в среднем на фактор (𝑘𝑅)2 ∼ (𝑣/𝑐)2 меньше, чем дипольные (E1) переходы. В общем случае высшие мультипольные (E𝐿) переходы и магнитные (M𝐿 − 1) переходы имеют одинаковый порядок величины: 𝑤(E𝐿) ∼ 𝑤(M𝐿 − 1) ∝ (𝑘𝑅)2(𝐿−1) 𝑤(E1).

(14.44)

Магнитные мультиполи, по природе магнитного взаимодействия, содержат дополнительную степень 𝑣/𝑐 ∼ 𝑘𝑅 по сравнению с электрическими мультиполями. В ядрах специфические особенности структуры ведут к большому усилению Е2-переходов. Мы не будем здесь углубляться в детали мультипольного разложения, которое требует разложения фотонного поля по сферическим волнам [8].

14.5. Индуцированное и спонтанное излучение Матричный элемент излучения фотона отвечает уменьшению энергии атома на 𝜔 = 𝜔𝑓 𝑖 и увеличению фотонных чисел заполнения, 𝑛𝜆k → 𝑛𝜆k + 1. Соответствующий матричный элемент оператора рождения фотона √ 𝑛𝜆k + 1 порождает индуцированное (∝ 𝑛𝜆k ) и спонтанное (не зависящее от числа имеющихся до акта излучения фотонов) излучения. Золотое правило определяет дифференциальную вероятность излучения в единицу времени, которая включает умножение на плотность состояний 𝑑𝜌𝑓 излучённого фотона (3.92) в элемент телесного угла 𝑑𝑜 𝑑𝑤˙ 𝑓 𝑖

2𝜋 = 2 2 ~ 𝑐

⃒⟨ ⃒ ⃒ ⟩⃒2 ⃒ ⃒ 2𝜋~2 ⃒ ⃒∑︁ 𝑒 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 −𝑖(k·r𝑎 ) * ^ 𝑓 𝑒 (e · p ) (𝑛𝜆k + 1)𝑑𝜌𝑓 = ⃒ ⃒ 𝑎 ⃒𝑖 ⃒ 𝜆k ⃒ ⃒ ⃒ 𝜔𝑉 ⃒ 𝑚 𝑎 𝑎

384

Глава 14 Излучение и поглощение фотонов

𝜔 = 2𝜋~𝑐3

⃒⟨ ⃒ ⃒ ⟩⃒2 ⃒ ⃒∑︁ 𝑒 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 −𝑖(k·r𝑎 ) * ^ 𝑎 )⃒ 𝑖 ⃒ (𝑛𝜆k + 1)𝑑𝑜. 𝑒 (e𝜆k · p ⃒ 𝑓⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 𝑚𝑎 ⃒ ⃒

(14.45)

Как и должно быть, нормировочный объём 𝑉 исчез из ответа. Интенсивность излучения (энергия в данной моде (𝜆k), излучённая в единицу времени в угол 𝑑𝑜), описывается выражением

𝑑𝐼𝜆k = ~𝜔 𝑑𝑤˙ 𝑓 𝑖

𝜔2 = 2𝜋𝑐3

⃒⟨ ⃒ ⃒ ⟩⃒2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒∑︁ 𝑒 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 −𝑖(k·r𝑎 ) * ^ 𝑎 )⃒ 𝑖 ⃒ (𝑛𝜆k + 1)𝑑𝑜. 𝑒 (e𝜆k · p ⃒ 𝑓⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑚𝑎 𝑎

(14.46) Если состояние поля не имеет определённого числа фотонов, то 𝑛𝜆k должно быть заменено на среднее значение 𝑛 ¯ 𝜆k , как, например, в случае теплового равновесия (14.10). Задача 14.7 Мы знаем (см. задачу 13.5), что фотон не может находиться в состоянии с полным угловым моментом 𝐽 = 0. Поэтому сохранение углового момента запрещает излучение одиночного фотона из 𝐽𝑖 = 𝐽𝑓 = 0. Показать, что это следует также из вида матричного элемента в (14.46). Решение При выборе k вдоль оси квантования показатель экспоненты exp[𝑖(k · r)] не зависит от азимутального угла и поэтому не изменяет проекцию 𝑀𝑖 ^ ) содержит только поперечные равную нулю для 𝐽𝑖 = 0. Но оператор (e* · p компоненты импульса, 𝑝^𝑥,𝑦 , которые меняют |𝑀 | на 1 и ведут к 𝑀𝑓 = ±1, что невозможно для 𝐽𝑓 = 0. Весь оператор в (14.46) не действует на спиновые переменные, поэтому аргументы задачи 14.7 могут быть использованы для 𝐿𝑖 = 0 → 𝐿𝑓 = 0 перехода, который также оказывается запрещён для любых значений 𝑆𝑖 , 𝑆𝑓 , 𝐽𝑖 , 𝐽𝑓 . Такие переходы, однако, могут быть индуцированы спиновым магнитным взаимодействием 𝐻𝑠′ , в то время как однофотонные 𝐽𝑖 = 0 → 𝐽𝑓 = 0 переходы запрещены абсолютно. Вместо этого возможно излучение двух фотонов во втором порядке теории возмущений или благодаря квадратичному члену ∼ A2 . В ядрах возможен альтернативный процесс внутренней конверсии, когда излучаемая энергия передаётся атомному электрону или тратится на рождение электрон-позитронной пары. Легко видеть, что коэффициенты Эйнштейна удовлетворяют соотношениям, установленным в разд. 14.1. Если монохроматическая электромагнитная

14.6. Дипольное излучение

385

волна частоты 𝜔 распространяется в среде, в которой атомы могут испытывать резонансный переход с той же частотой, то элементарные акты поглощения и излучения будут происходить с вероятностями, установленными выше. Решающим отличием индуцированного и спонтанного излучения является то, что акты индуцированного излучения увеличивают интенсивность волны, поскольку испускаемые фотоны имеют те же квантовые числа (𝜔𝜆k). При спонтанном излучении фотоны излучаются некогерентно по всем направлениям k. В общем случае направление k не совпадает с направлением падающей волны. Для волны с 𝑛 ¯ 𝜆k ≫ 1 спонтанное излучение не влияет на интенсивность.

14.6. Дипольное излучение Рассмотрим сначала спонтанное излучение. В дипольном приближении, 𝑘𝑅 ≪ 1, ⃒ ⟩⃒2 ⃒⟨ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒∑︁ 𝑒 𝜔 2 ⃒⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 * ^ · p ) (14.47) 𝑓 (e 𝑑𝐼𝜆k = ⃒ 𝑖 ⃒ 𝑑𝑜. ⃒ ⃒ 𝑎 𝜆k 3 ⃒ ⃒ ⃒ 2𝜋𝑐 ⃒ 𝑚𝑎 𝑎 Для системы с потенциальным взаимодействием, используя опять (14.25), находим 𝑑𝐼𝜆k =

𝜔4 |(e*𝜆k · d𝑓 𝑖 )|2 𝑑𝑜. 2𝜋𝑐3

(14.48)

Этот результат для интенсивности дипольного излучения очень похож на классическую формулу [1, § 67]. Для того чтобы проинтегрировать по углам и просуммировать по поляризациям излучённого фотона, выберем действительные векторы поляризации e1k и e2k в поперечной плоскости так, чтобы один из этих векторов был перпендикулярен к вектору d𝑓 𝑖 , например (e2k · d𝑓 𝑖 ) = 0. Если угол между векторами k и d𝑓 𝑖 равен 𝜃, вектор d𝑓 𝑖 имеет компоненты вдоль k (∝ cos 𝜃) и вдоль e1k (∝ sin 𝜃). Тогда |(e*𝜆k · d𝑓 𝑖 )|2 = |d𝑓 𝑖 |2 sin2 𝜃.

(14.49)

Угловая зависимость излучения, ∝ sin2 𝜃, по отношению к волновому вектору k такая же, как в классической электродинамике. Полная интенсивность

386

Глава 14 Излучение и поглощение фотонов

во все направления даётся ∫︁ 𝜔4 4𝜔 4 2 2 𝐼𝜔 = |d | 𝑑𝑜 sin 𝜃 = |d𝑓 𝑖 |2 . 𝑓𝑖 2𝜋𝑐3 3𝑐3

(14.50)

Мы получили классическую формулу 𝐼𝜔 =

2𝜔 4 |d(𝑡)|2 3𝑐3

(14.51)

для излучения осциллятора со средним квадратом дипольного момента |d(𝑡)|2 . Так это и должно быть согласно принципу соответствия между классической и квантовой теориями. Классический осциллятор может быть представлен разложением в ряд Фурье, ∞ ∑︁

d(𝑡) =

d𝑛 𝑒−𝑖𝑛𝜔𝑡 ,

d−𝑛 = d*𝑛 ,

(14.52)

𝑛=−∞

где последнее равенство следует из того факта, что d(𝑡) есть действительная функция. Поэтому зависящие от времени компоненты дают d(𝑡) =

∞ ∑︁

{d𝑛 𝑒

−𝑖𝑛𝜔𝑡

𝑛=1

+d*𝑛 𝑒𝑖𝑛𝜔𝑡 }

=

∞ ∑︁

{2 cos(𝑛𝜔𝑡)·Re d𝑛 −2 sin(𝑛𝜔𝑡)·Im d𝑛 }.

𝑛=1

(14.53) При усреднении по времени cos(𝑛𝜔𝑡) cos(𝑛′ 𝜔𝑡) = (1/2)𝛿𝑛𝑛′ и т. д., мы получаем |d(𝑡)|2 = 4

∞ {︁ }︁ ∑︁ (Re d𝑛 )2 cos2 (𝑛𝜔𝑡) + (Im d𝑛 )2 sin2 (𝑛𝜔𝑡) 𝑛=1

∞ ∞ ∑︁ ∑︁ {︀ }︀ 2 2 =2 (Re d𝑛 ) + (Im d𝑛 ) = 2 |d𝑛 |2 . 𝑛=1

(14.54)

𝑛=1

В классическом пределе матричные элементы d𝑓 𝑖 переходят в фурьекомпоненты (I.15.80) d𝑛 классической функции d(𝑡), и мы приходим к результату (14.50) — только одна гармоника из суммы (14.54) даёт вклад в данный переход. Величина, обратная вероятности перехода в единицу времени, определяет время жизни возбуждённого состояния по отношению к спонтанному

14.7. Правила отбора и примеры

387

дипольному переходу 𝑖 → 𝑓 : 𝜏𝑓 𝑖 = (𝑤˙ 𝑓 𝑖 )−1 =

1 3~𝑐3 |d𝑓 𝑖 |−2 . = 𝐼𝜔 /(~𝜔) 4𝜔 3

(14.55)

Для оптических переходов в атомах, 𝑘𝑅 ∼ 𝜔𝑅/𝑐 ∼ 𝛼, и с оценкой матричных элементов |d|2 ∼ 𝑒2 𝑅2 мы получаем 𝑤˙ ∼

𝜔3 |d|2 ∼ 𝛼(𝑘𝑅)2 𝜔 ∼ 𝛼3 𝜔, ~𝑐3

𝜏∼

1 . 𝜔𝛼3

(14.56)

Используя 𝜔 ∼ 1015 s−1 , мы находим 𝑤˙ ∼ 10(9÷8) с−1 и 𝜏 ∼ 10−(8÷9) с. Для низколежащих ядерных возбуждений 𝐸 ∼ 1 MэВ, 𝜔 ∼ 1021 с−1 , 𝑤˙ ∼ 1015 с−1 , 𝜏 ∼ 10−15 с. Задача 14.8 Вычислить интенсивность спонтанного электрического квадрупольного (E2) и магнитно-дипольного (M1) излучения и сравнить с классическими результатами [1, § 71].

14.7. Правила отбора и примеры Оптические спектры атомов создаются переходами внешних электронов. Для них 𝑘𝑅 ∼ 𝛼 ≪ 1 и наиболее вероятны дипольные переходы с изменением чётности (правило Лапорта). В лёгких атомах спин-орбитальная связь слаба, и спектры можно классифицировать по 𝐿𝑆-связи (разд. 8.4), когда 𝐿 и 𝑆 являются хорошими квантовыми числами стационарных состояний. Дипольный оператор, как и любой электрический мультиполь, не действует на спиновые переменные, что даёт правило отбора Δ𝑆 = 0. Мы можем теперь сформулировать правила отбора для E𝐿-переходов, которые справедливы, если возможно пренебречь спин-орбитальной связью Π𝑖 Π𝑓 = (−)𝐿 ,

Δ𝑆 = 0,

|𝐽𝑖 −𝐽𝑓 | 6 𝐿 6 𝐽𝑖 +𝐽𝑓 ,

|𝐿𝑖 −𝐿𝑓 | 6 𝐿 6 𝐿𝑖 +𝐿𝑓 . (14.57)

Существование тонкой структуры проявляется в расщеплении спектральных линий. В водородоподобных атомах, в пренебрежении сверхтонкой структурой, полный угловой момент обеспечивается электронами, J = j = ⃗ℓ + s. Поэтому для дипольных («разрешённых ») переходов, Δ𝑗 = 0, ±1 и Δℓ = ±1; здесь чётность Π = (−)ℓ изменяется, Π𝑖 Π𝑓 = −1, и

388

Глава 14 Излучение и поглощение фотонов

Рис. 14.3. Разрешённые и запрещённые дипольные переходы 𝑛𝑑 → 𝑛′ 𝑝

переходы с Δℓ = 0 невозможны; рис. 14.3 показывает разрешённые переходы 𝑛𝑑 → 𝑛′ 𝑝. Для серии Лаймана, 𝑛 → 𝑛′ = 1, разрешены два перехода, 𝑛𝑝1/2 → 1𝑠1/2 , и 𝑛𝑝3/2 → 1𝑠1/2 . Поэтому все линии серии Лаймана — дублеты. Расстояние между компонентами дублета определяется расщеплением верхнего 𝑛𝑝-уровня, которое быстро падает с ростом 𝑛 (см. разд. 8.3). Наибольшее расстояние имеет место для 𝑛 = 2 (лаймановская 𝛼-линия в ультрафиолете). Для серии Бальмера, 𝑛 → 𝑛′ = 2, конечными состояниями могут быть 2𝑠1/2 , 2𝑝1/2 и 2𝑝3/2 . Разрешены семь дипольных переходов: 𝑛𝑠1/2 → 2𝑝1/2,3/2 ; 𝑛𝑝1/2 → 2𝑠1/2 ; 𝑛𝑝3/2 → 2𝑠1/2 ; 𝑛𝑑3/2 → 2𝑝1/2,3/2 ; 𝑛𝑑5/2 → 2𝑝3/2 . На практике наиболее важной является так называемая 𝐻𝛼 -линия, 𝑛 = 3 → 𝑛′ = 2. Игнорируя лэмбовский сдвиг, мы имеем пять различных спектральных линий (рис. 14.4). Расщепление между верхними уровнями мало, и мы получаем две группы близких линий на расстоянии 𝐸(2𝑝3/2 ) − 𝐸(2𝑝1/2 ) ≈ 0, 36 cм−1 . Этот бальмеровский дублет с почти одинаковым расщеплением для всех начальных 𝑛 был открыт Майкельсоном в 1887 г. Тонкая структура спектров сложных атомов генерирует мультиплеты спектральных линий 𝑛𝑖 𝐿𝑖 𝑆𝑖 𝐽𝑖 → 𝑛𝑓 𝐿𝑓 𝑆𝑓 𝐽𝑓 . Более детальный анализ, основанный на величинах коэффициентов Клебша—Гордана, показывает, что наиболее интенсивными являются главные линии с Δ𝐽 = Δ𝐿; остальные линии называются сателлитами. Из-за сверхтонкой структуры (см. разд.

14.7. Правила отбора и примеры

389

Рис. 14.4. Разрешённые дипольные переходы для 𝑛 = 3 → 𝑛′ = 2

8.6) единственным точным правилом отбора остаётся правило отбора по полному моменту атома F = J + I: |𝐹𝑖 − 𝐹𝑓 | 6 𝐿 6 𝐹𝑖 + 𝐹𝑓 .

(14.58)

Тем не менее, в силу слабости сверхтонкого взаимодействия, чисто электронные правила отбора выполняются с высокой точностью. Дипольные переходы между уровнями тонкой или сверхтонкой структуры одного электронного терма запрещены, так как все эти уровни имеют одинаковую чётность. Для атомных переходов между далеко раздвинутыми уровнями (разность энергий Δ𝐸 порядка энергии связи 𝐸𝑏 ), вероятности E2- и M1-переходов оказываются одного порядка величины. Для меньших частот, Δ𝐸 ≪ 𝐸𝑏 , параметр 𝑘𝑅 уменьшается, в то время как 𝑣/𝑐 остаётся того же порядка; тогда M1-переходы становятся более вероятными, чем E2, например, между компонентами тонкой структуры данного электронного терма. С оператором магнитного момента атомных электронов ^ + 2S) ^ = 𝜇𝐵 (J ^ + S), ^ 𝜇 = 𝜇𝐵 (L

(14.59)

390

Глава 14 Излучение и поглощение фотонов

^ поскольку J ^ сохраняется, коM1-переходы индуцируются оператором S, гда не учитывается сверхтонкое взаимодействие. В 𝐿𝑆-схеме состояния характеризуются квантовыми числами 𝑛, 𝐿 и 𝑆, которые не меняются под действием оператора 𝑆. Только 𝐽 может измениться, и мы получаем правило отбора для M1-переходов: 𝑛𝑓 = 𝑛𝑖 ,

Δ𝑆 = Δ𝐿 = ΔΠ = 0,

𝐽𝑓 = 𝐽𝑖 , 𝐽𝑖 ± 1.

(14.60)

M1-переходы возможны также между компонентами тонкой структуры данного терма, в то время как E2-переходы здесь практически невероятны из-за очень низкой частоты, см. (14.42). Здесь излучение идёт в микроволновом диапазоне. Задача 14.9 В результате лэмбовского сдвига (см. раздел 13.8.) электронный 2𝑠уровень в атоме водорода лежит выше, чем 2𝑝1/2 -уровень. Оценить вероятность перехода 2𝑠 → 2𝑝1/2 . Решение Из-за малой выделяемой энергии вероятность спонтанного 2𝑠 → 2𝑝1/2 дипольного излучения очень мала; она соответствует времени жизни приблизительно 20 лет. Время жизни метастабильного 2𝑠1/2 -состояния в атоме водорода действительно аномально велико [20]. Переход 2𝑠1/2 → 1𝑠1/2 в основное состояние не может быть E1-, E2-, или M1-типа. E1-переход запрещён по чётности; E2 невозможен, потому что ℓ𝑖 = ℓ𝑓 = 0. M1-переход запрещён в нерелятивистском приближении, потому что M1-оператор (14.43) не может менять радиальную функцию 2𝑠 → 1𝑠. Этот переход становится разрешённым благодаря малым релятивистским компонентам волновых функций (см. гл. III.8). Но такие примеси действительно очень малы для водорода и соответствующее время жизни было бы около двух дней. В действительности время жизни 2𝑠1/2 -уровня ∼ (1/7) с определяется двухфотонным излучением. В присутствии слабого магнитного поля появляются E1-переходы между зеемановскими компонентами различных термов с Δ𝑀 = 0, ±1 и противоположной чётностью, см. (9.44). Зеемановские подуровни одного терма имеют одинаковую чётность и могут быть связаны M1-переходами между соседними компонентами с Δ𝑀 = ±1. Эти переходы, используемые в электронном парамагнитном резонансе, принадлежат обычно сантиметровому диапазону. Строго говоря, полный момент J, в противоположность его про-

14.8. Фотоэффект

391

Рис. 14.5. Сечение атомного фотоэффекта как функция частоты света

екции 𝑀 на направление поля, не сохраняется в магнитном поле. В высоких порядках возникают примеси с 𝐽 ′ ̸= 𝐽, и некоторые ранее запрещённые переходы становятся разрешёнными, хотя в слабом поле их вероятности ещё малы. В молекулах из-за адиабатичности медленного движения тяжелых ионов (см. разд. 1.5) оператор дипольного момента электронов может быть определен при фиксированных значениях R ионных координат d → d(R). Если ионы находятся в возбуждённом вибрационном состоянии вблизи точки равновесия R0 , мы приближённо имеем (︁ )︁ d(R) ≈ d(R0 ) + (R − R0 ) · ∇ d. (14.61) Второе слагаемое в (14.61) является векторным оператором по отношению к ионным переменным. Молекулярные колебания вокруг равновесной точки описываются стандартными функциями осциллятора. Оператор, линейный по смещениям ядер, приводит к переходам между соседними колебательными состояниями с изменением числа колебательных квантов на ±1. Ангармонические эффекты могут нарушать это правило отбора.

14.8. Фотоэффект Фотопоглощение света системой, испытывающей переходы в дискретном спектре, демонстрирует резонансный характер. Для переходов в непрерывный спектр, как правило, сечение есть гладкая функция от частоты света. Выбивание электрона из атома в континуум становится возможным, когда частота падающего света превышает порог ионизации. Мы помним, что объяснение Эйнштейном этого закона фотоэффекта (см. разд. I.1.3) было одним из важных указаний на квантовую природу света.

392

Глава 14 Излучение и поглощение фотонов

Когда фотон взаимодействует со свободным электроном, поглощения не происходит, так как законы сохранения энергии и импульса не могут быть одновременно выполнены. Поглощение возможно только для связанного электрона, когда избыток импульса может быть принят ядром или кристаллической решеткой. Отсюда качественно понятно, что вероятность фотопоглощения увеличивается для сильно связанных электронов (конечно, только если ~𝜔 превышает энергию ионизации). Экспериментальное сечение фотоэффекта (рис. 14.5) резко возрастает, когда энергия достигает порога ионизации следующей атомной оболочки (𝑀, 𝐿, 𝐾), но уменьшается с дальнейшим ростом частоты, так как относительная степень связанности электрона уменьшается. Небольшие пики на схеме возникают из тонкой структуры атомных спектров. Энергия ионизации 𝐼𝐾 основного состояния атома определяет границу, после которой сечение монотонно уменьшается, ∝ 𝑍 5 𝜔 −7/2 в нерелятивистской области ~𝜔 ≪ 𝑚𝑐2 . Сильная зависимость от заряда ядра, ∝ 𝑍 5 , которая существует и дальше в релятивистской области, — это просто следствие усиления связанности. Расчеты сечения фотоэффекта достаточно просты для диапазона частот 𝐸𝑏 ≪ ~𝜔 ≪ 𝑚𝑐2 .

(14.62)

Здесь электрон в континууме всё ещё может рассматриваться как нерелятивистский, 𝑝 ≪ 𝑚𝑐, в то время как его скорость велика по сравнению с типичными атомными скоростями 𝑣at на внутренних оболочках, поскольку 𝑚𝑣 2 𝑍 2 𝑒2 𝑍 2 𝑒2 ≈ ~𝜔 ≫ 𝐸𝑏 ∼ = 2 , 2 2𝑎 2~ /(𝑚𝑒2 )

(14.63)

что означает малость параметра Зоммерфельда (I.2.66): 𝜂≡

𝑍𝑒2 ≪ 1. ~𝑣

(14.64)

В этих условиях импульс фотона много меньше импульса фотоэлектрона ~𝑘 ~𝜔 𝑝2 𝑣 = ≈ = ≪ 1. 𝑝 𝑐𝑝 2𝑚𝑐𝑝 2𝑐

(14.65)

При выполнении условия 𝑣 ≫ 𝑣at искажение состояния выбитого электрона атомным полем невелико, и мы можем использовать теорию возмущений, полагая волновую функцию конечного электрона плоской волной с импульсом p. Общее выражение (14.19) для сечения фотопоглощения нужно

14.8. Фотоэффект

393

проинтегрировать по энергии электрона с помощью 𝛿-функции и умножить на плотность конечных состояний 𝑑𝜌𝑓 =

𝑉 𝑚𝑝 𝑑𝑜 (2𝜋~)3

(14.66)

электрона, летящего в телесный угол 𝑑𝑜 𝑑𝜎(𝜔) =

4𝜋 2 𝛼~ ^ )|𝑖⟩|2 𝑑𝜌𝑓 . |⟨𝑓 |𝑒𝑖(k·r) (e𝜆k · p 𝑚2 𝜔

(14.67)

Здесь (𝜔𝜆k) являются характеристиками падающего фотона, и мы предполагаем для простоты чисто одночастичный переход (забывая о других электронах в атоме). Порядок экспоненты и оператора импульса в матричном элементе является произвольным, поскольку они содержат коммутирующие компоненты. Будем проводить расчет для начального состояния электрона в 𝐾оболочке, где его волновая функция водородоподобна (3.20): √︂ 1 𝑍 3 −𝑍𝑟/𝑎 𝑒 , ⟨r|𝑓 ⟩ = √ 𝑒(𝑖/~)(p·r) . ⟨r|𝑖⟩ = (14.68) 3 𝜋𝑎 𝑉 Матричный элемент √︂ 𝑀𝑓 𝑖 = ⟨𝑓 |𝑒

𝑖(k·r)

^ )|𝑖⟩ = (e𝜆k · p

𝑍3 e𝜆k · 𝜋𝑎3

∫︁

𝑑3 𝑟 𝑒−(𝑖/~)(p−~k)·r (−𝑖~∇)𝑒−𝑍𝑟/𝑎 (14.69)

может быть легко вычислен с помощью интегрирования по частям. Так как (e𝜆k · k) = 0, мы получаем импульс p конечного электрона √︂ ∫︁ 𝑍3 𝑀𝑓 𝑖 = (p · e𝜆k ) 𝑑3 𝑟 𝑒𝑖(q·r)−𝑍𝑟/𝑎 , (14.70) 𝜋𝑎3 𝑉 где определён передаваемый ядру импульс ~q = ~k − p. Окончательное интегрирование даёт матричный элемент √︂ 64𝜋𝑍 5 (p · e𝜆k ) 𝑀𝑓 𝑖 = 5 𝑎 𝑉 [(𝑍/𝑎)2 + 𝑞 2 ]2

(14.71)

(14.72)

394

Глава 14 Излучение и поглощение фотонов

и дифференциальное сечение 𝑑𝜎 32𝛼 = 𝑑𝑜 𝑚𝜔~2

(︂ )︂5 𝑍 𝑝(p · e𝜆k )2 . 𝑎 [(𝑍/𝑎)2 + 𝑞 2 ]4

(14.73)

Результат (14.73) может быть упрощён с помощью условий, ограничивающих область применимости нашего подхода. Выберем ось квантования вдоль импульса фотона k и ось 𝑥 вдоль вектора поляризации e𝜆k . Тогда (p · e𝜆k ) = 𝑝 sin 𝜃 cos 𝜙, и (︂ )︂ (︂ )︂ (︁ )︁ 𝑣 ~𝑘 ~𝑘 2 2 2 ~ 𝑞 = 𝑝 1 − 2 cos 𝜃 + ~ 𝑘 ≈ 𝑝 1 − 2 cos 𝜃 ≈ 𝑝2 1 − cos 𝜃 . 𝑝 𝑝 𝑐 (14.74) 2 2

2

Также 𝑝 𝑎 𝑚𝑣 ~2 ~𝑣 1 = = = ≫ 1. 2 2 ~𝑍 ~ 𝑚𝑍𝑒 𝑍𝑒 𝜂

(14.75)

Таким образом, в наших приближениях, 𝑑𝜎 32𝛼 = 𝑑𝑜 𝑚𝜔~2

(︂ )︂5 𝑍 𝑝3 sin2 𝜃 cos2 𝜙 32𝛼~ 5 sin2 𝜃 cos2 𝜙 = 𝜂 . 𝑎 (𝑝/~)8 [1 − (𝑣/𝑐) cos 𝜃]4 𝑚𝜔 [1 − (𝑣/𝑐) cos 𝜃]4 (14.76)

Как отмечалось в начале этого раздела, главная зависимость от энергии

Рис. 14.6. Угловое распределение фотоэлектронов

при 𝑣/𝑐 ≪ 1 выражается фактором 𝜂5 ∝ 𝑍 5 𝜔 −7/2 . 𝜔

(14.77)

14.8. Фотоэффект

395

Угловое распределение фотоэлектронов показано на рис. 14.6, a. Ось 𝑥 соответствует электрическому полю и линейной поляризации световой волны; магнитное поле волны направлено вдоль оси 𝑦, в то время как вектор распространения волны 𝑘 = 𝑘𝑧 . При 𝑣 ≪ 𝑐 большинство электронов выбиваются в направлении электрического поля фотона, тогда как сечение в направлении k исчезает. С ростом 𝑘 и, следовательно, скорости 𝑣, роль знаменателя (14.76) увеличивается, и лепестки углового распределения наклоняются вперед (рис. 14.6, b). Угловое интегрирование в (14.76) дает полное сечение фотоэффекта из 𝐾-оболочки, которое может быть представлено как 2

−16

𝜎𝐾 (см ) ≈ 10

𝑍

5

(︂

13.6 ~𝜔(eV)

)︂7/2 ,

𝐸𝑏 ≪ ~𝜔 ≪ 𝑚𝑐2 .

Дополнительная литература: [20], [75], [76], [77], [31], [78]

(14.78)

Наука есть организованная попытка человечества понять природу причинно-следственных связей К. Х. Ваддингтон «Научный подход »

Глава 15 Дисперсия и рассеяние света 15.1. Макроскопическое описание В главе 14 мы рассматривали взаимодействие электромагнитной волны с системой заряженных частиц, которое приводит к переходам между состояниями системы и изменению волны (поглощение и вынужденное излучение). В этой главе мы обсудим поляризацию среды вследствие распространения в ней электромагнитной волны. Здесь, в отличие от статического случая (гл. 8), мы будем, главным образом, интересоваться зависимостью возникающих явлений от частоты. По сути дела, это будет частными случаем общей теории линейного отклика квантовой системы на внешнее зависящее от времени возмущение. Чтобы упростить задачу, представим среду, в которой распространяется электромагнитная волна, в виде набора слабо взаимодействующих атомов. В данной модели мы ограничимся случаем длинных волн, когда поле волны можно считать однородным на размерах атома. В классическом пределе для немагнитной среды рассмотрим электрическое поле монохроматической волны ℰ (𝑡) = e ℰ cos(𝜔𝑡) = e

ℰ −𝑖𝜔𝑡 (𝑒 + 𝑒𝑖𝜔𝑡 ), 2

(15.1)

где e — вектор поляризации. В классической электронной теории заряды, удерживаемые атомами с определенными собственными частотами, под воздействием волны совершают вынужденные колебания с вынуждающей частотой 𝜔. Когда 𝜔 приближается к одной из собственных частот атомного осциллятора, возникает резонанс, амплитуды колебаний зарядов и, следовательно, средний дипольный момент среды возрастает — происходит динамическая поляризация среды.

398

Глава 15 Дисперсия и рассеяние света

Когда волна распространяется в резонансной среде, ее энергия расходуется на возбуждение атомных осцилляторов. Вынужденные колебания атомов в свою очередь излучают вторичные волны той же частоты. Полная интенсивность результирующего поля определяется интерференцией падающей и вторичной (рассеянной) волн. В макроскопическом описании используется диэлектрическая проницаемость 𝜀(𝜔) [5, § 58] или показатель преломления 𝑛(𝜔) 𝜀(𝜔) = 𝑛2 (𝜔).

(15.2)

Это один из примеров обобщённой восприимчивости в теории линейного отклика.

В результате взаимодействия волны с веществом закон дисперсии в среде отличен от закона дисперсии в вакууме: 𝑘=

𝜔 𝜔 ⇒ 𝑘 = 𝑛(𝜔). 𝑐 𝑐

(15.3)

Фазовая скорость волны зависит от частоты 𝑣ph (𝜔) =

𝜔 𝑐 = , 𝑘 𝑛(𝜔)

(15.4)

и отличается от групповой скорости (I.5.22) 𝑣g (𝜔) =

𝑐 𝑐𝑘 𝑑𝑛 𝜔 𝑑𝑛 𝑑𝜔 = − 2 = 𝑣ph − . 𝑑𝑘 𝑛 𝑛 𝑑𝜔 𝑛 𝑑𝜔

(15.5)

Это приводит к дисперсии света аналогично расплыванию квантового волнового пакета (I.5.5). В зависимости от знака величины 𝑑𝑛/𝑑𝜔, говорят о положительной (𝑑𝑛/𝑑𝜔 < 0, 𝑣g > 𝑣ph ) или отрицательной (𝑑𝑛/𝑑𝜔 > 0, 𝑣g < 𝑣ph ) дисперсии. В общем случае восприимчивость является комплексной величиной. Мнимая часть 𝑛(𝜔) отвечает за затухание волны в среде: 𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) ⇒ 𝑒𝑖𝜔[(𝑛/𝑐)𝑥−𝑡] = 𝑒𝑖(𝜔/𝑐)𝑥 Re 𝑛−𝑖𝜔𝑡−(𝜔/𝑐)𝑥 Im 𝑛 .

(15.6)

Нашей задачей является квантовое описание этой физики, которое позволит вычислять характеристики среды, такие как 𝜀(𝜔) и 𝑛(𝜔), в терминах атомных и молекулярных свойств.

15.2. Линейный отклик

399

15.2. Линейный отклик

В длинноволновом приближении гамильтониан возмущения может быть записан (задача 14.1) в виде (︁ )︁ ^ , ^ ′ = − ℰ (𝑡) · d 𝐻 (15.7) ^ — оператор дипольного момента атома, а ℰ (𝑡) — классическое внешнее где d поле (15.1). Теория линейного отклика может быть развита для любого ^ где 𝐹 (𝑡) — слабое внешнее поле (в теории возмувозмущения в виде 𝐹 (𝑡)𝑂, щений все фурье-компоненты независимы, и, таким образом, достаточно ^ — некоторый оператор системы рассмотреть монохроматическое поле) и 𝑂 (не являющийся интегралом движения). Удобно модифицировать монохроматическую временную зависимость (15.1) в предположении, что поле медленно (адиабатически) включалось в удаленном прошлом, при 𝑡 → −∞. Это допущение позволит нам избежать рассмотрения реальных переходов, связанных с резким возникновением поля в начальный момент времени, и позволит изучить стационарный случай. Для этого добавим множитель адиабатической эволюции ^′ ⇒ 𝐻 ^ ′ 𝑒𝜂𝑡 , 𝐻

𝑡 → −∞,

𝜂 → +0,

(15.8)

где 𝜂 — инфинитезимальная положительная величина, которую следует положить равной нулю после всех вычислений наблюдаемых величин. Когда возможно, мы будем просто писать +0 вместо 𝜂. Теперь используем обычную нестационарную теорию возмущений, описанную в разд. 10.2, для вектора состояния в присутствии поля (15.7), записывая вектор состояния в виде разложения по стационарным состояниям |𝑛⟩ невозмущенной системы с энергиями 𝐸𝑛 ∑︁ |Ψ(𝑡)⟩ = 𝑎𝑛 (𝑡)𝑒−(𝑖/~)𝐸𝑛 𝑡 . (15.9) 𝑛

Найдем коэффициенты 𝑎𝑛 для начального условия, отвечающего системе в основном состоянии |0⟩ при 𝑡 → −∞: 𝑖 𝑎𝑛 (𝑡) = − ~

∫︁

𝑡

−∞

′

𝑑𝑡′ 𝐻𝑛0 (𝑡′ )𝑒𝑖𝜔𝑛0 𝑡

400

Глава 15 Дисперсия и рассеяние света ]︃ [︃ ℰ 𝑒𝑖(𝜔+𝜔𝑛0 )𝑡 𝑒−𝑖(𝜔−𝜔𝑛0 )𝑡 = 𝑒𝜂𝑡 . (e · d𝑛0 ) − 2~ 𝜔 + 𝜔𝑛0 − 𝑖0 𝜔 − 𝜔𝑛0 + 𝑖0

(15.10)

Зависящая от времени поляризация системы описывается средним зна^ в нестационарном состоянии (15.9). В линейном причением оператора d ближении по полю ℰ получим ^ ⟨d(𝑡)⟩ ≡ ⟨Ψ(𝑡)|d|Ψ(𝑡)⟩ = d00 +

∑︁ {︀

}︀ 𝑎*𝑛 (𝑡)𝑒𝑖𝜔𝑛0 𝑡 d𝑛0 + 𝑎𝑛 (𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑛0 𝑡 d0𝑛 .

𝑛̸=0

(15.11) Подставляя коэффициенты 𝑎𝑛 из (15.10), получим ⟨d(𝑡)⟩ = d00 −

ℰ 𝜂𝑡 ∑︁ 𝑒 2~

𝑛̸=0

{︂[︂

]︂ }︂ 𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝑒𝑖𝜔𝑡 − d*𝑛0 (e · d𝑛0 ) + c.c. . 𝜔 − 𝜔𝑛0 + 𝑖0 𝜔 + 𝜔𝑛0 − 𝑖0 (15.12)

Члены, пропорциональные ℰ, представляют собой квантовый аналог классических вынужденных колебаний с частотой возмущения 𝜔. По аналогии со статическим случаем (I.24.8) введем тензор динамической поляризуемости, как зависящий от времени коэффициент пропорциональности между фурье-гармониками дипольного момента и электрическим полем (15.1) ⟨𝑑𝑖𝜔 ⟩ = 𝛼𝑖𝑗 (𝜔) ℰ𝜔𝑗 . Отбирая члены ∝ 𝑒−𝑖𝜔𝑡+𝜂𝑡 в (15.12), получим }︂ {︂ ℰ ∑︁ d*𝑛0 (e · d𝑛0 ) d𝑛0 (e · d*𝑛0 ) ⟨d𝜔 ⟩ = − − ~ 𝜔 − 𝜔𝑛0 + 𝑖0 𝜔 + 𝜔𝑛0 + 𝑖0

(15.13)

(15.14)

𝑛̸=0

и тензор поляризуемости {︃ }︃ 𝑖 )* 𝑑𝑗 𝑖 (𝑑𝑗 )* ∑︁ 𝑑 1 (𝑑 𝑛0 𝑛0 𝑛0 𝑛0 − . 𝛼𝑖𝑗 (𝜔) = − ~ 𝜔 − 𝜔𝑛0 + 𝑖0 𝜔 + 𝜔𝑛0 + 𝑖0

(15.15)

𝑛̸=0

Отметим свойства симметрии этого тензора (сравните с (9.8)): (︁ )︁* 𝛼𝑖𝑗 (𝜔) = 𝛼𝑖𝑗 (−𝜔) .

(15.16)

15.3. Принцип причинности

401

Такое же выражение с соответствующими заменами матричных элементов может быть получено для поляризуемости системы в начальном состоянии |𝑖⟩, отличном от основного. Естественным обобщением является поляризуемость системы, находящейся в тепловом равновесии, когда необходимо добавить суммирование по начальным состояниям |𝑖⟩ c больцмановскими весами (1/𝑍)𝑒−𝐸𝑖 /𝑇 (разд. 5.1).

15.3. Принцип причинности Если частота 𝜔 не находится в резонансе с частотами переходов 𝜔𝑛0 , можно пренебречь бесконечно малой добавкой 𝑖0 в знаменателях. Однако необходимо сохранять эту добавку в случае близости к резонансу. Это связано с физическим принципом причинности отклика. Пусть 𝛼 ̃︀𝑖𝑗 (𝜏 ) — зависящая от времени функция, для которой 𝛼𝑖𝑗 (𝜔) является фурье-образом, ∫︁ 𝑑𝜔 𝑖𝑗 𝑖𝑗 𝛼 ̃︀ (𝜏 ) = 𝛼 (𝜔)𝑒−𝑖𝜔𝜏 . (15.17) 2𝜋 Произведение (15.13) фурье-компонент в пространстве частот соответствует свертке функций во временной области ∫︁ ∞ 𝑖 ⟨𝑑 (𝑡)⟩ = 𝑑𝑡′ 𝛼 ̃︀𝑖𝑗 (𝑡 − 𝑡′ )ℰ 𝑗 (𝑡′ ). (15.18) −∞

В соответствии с (15.18), ядро 𝛼(𝑡 ̃︀ − 𝑡′ ) определяет влияние поля, прило′ женного в момент времени 𝑡 , на отклик поляризации в момент времени 𝑡. Как видно из (15.15), отклик системы состоит в виртуальном возбуждении 0 → 𝑛 и обратном переходе 𝑛 → 0, как и для переизлучения волны классической антенной. При виртуальных переходах (см. разд. I.5.10) энергия не сохраняется , Δ𝐸 = 𝜔 − |𝜔𝑛0 | = ̸ 0 на коротком временном интервале ∼ ~/Δ𝐸. Для частот 𝜔 вблизи резонанса с частотой перехода 𝜔𝑛0 энергия практически сохраняется, что соответствует почти реальному переходу на массовой поверхности в долгоживущее промежуточное состояние. Это проявляется в резонансном росте поляризуемости. Без мнимой добавки 𝑖0 подынтегральное выражение в (15.17) не определено из-за сингулярностей в точках резонанса. Добавление 𝑖𝜂 однозначно определяет значение интеграла посредством задания контура интегрирования в комплексной

402

Глава 15 Дисперсия и рассеяние света

Рис. 15.1. Контуры интегрирования для 𝜏 < 0, сплошная дуга, и для 𝜏 > 0 — тонкая линия, для причинной восприимчивости

плоскости. Для 𝜂 ̸= 0 сингулярности в точках 𝜔 = ± 𝜔𝑛0 − 𝑖𝜂

(15.19)

сдвигаются в нижнюю полуплоскость комплексной переменной 𝜔. В верхней полуплоскости функция 𝛼(𝜔) аналитична. При 𝜏 < 0 контур интегрирования в (15.17) может быть замкнут большой дугой в верхней полуплоскости, поскольку подынтегральное выражение содержит 𝑒−𝑖(Re 𝜔+𝑖Im 𝜔)𝜏 ∝ 𝑒−Im 𝜔|𝜏 | ,

𝜏 = −|𝜏 | < 0,

(15.20)

которое экспоненциально падает на большой полуокружности с Im 𝜔 > 0. Вследствие аналитичности 𝛼(𝜔) имеем 𝛼(𝜏 ̃︀ ) = 0,

𝜏 < 0.

(15.21)

Таким образом, в выражении (15.18) интегрирование производится только в области 𝑡 > 𝑡′ . Это означает, что поле ℰ(𝑡′ ) способно вызвать отклик среды только для более поздних моментов времени, 𝑡 > 𝑡′ . Добавка +𝑖0, опреде-

15.4. Диэлектрическая проницаемость

403

ляющая правила обхода контура, отражает, следовательно, причинность отклика. Как объяснялось в разделе (I.15.12), сингулярные знаменатели типа (15.15) должны пониматься как 1 1 = P.𝑣. ∓ 𝑖𝜋𝛿(𝑥), 𝑥 ± 𝑖𝜂 𝑥

𝜂 → +0.

(15.22)

Разложение (15.22) разделяет виртуальные процессы вне массовой поверхности от реальных процессов на массовой поверхности, которые требуют сохранения энергии, выражаемого 𝛿-функцией.

15.4. Диэлектрическая проницаемость Используя правило (15.22), мы можем найти действительную и мнимую части поляризуемости (15.15). Предположим для простоты, что основное состояние изотропно: 𝛼𝑖𝑗 (𝜔) = 𝛿𝑖𝑗 𝛼(𝜔);

(15.23)

в более общем случае мы должны были бы построить тензорное разложение, подобно тому как мы делали это в (9.12.). (Добавочный вклад может быть антисимметричен по индексам 𝑖, 𝑗, что приведёт к аксиальному вектору, как в разд. 1.9; подобные среды называют гиротропными.) В изотропном случае (15.23) (︂ )︂ 1 ∑︁ 𝑧 2 1 1 𝛼(𝜔) = − |𝑑𝑛0 | − . (15.24) ~ 𝜔 − 𝜔𝑛0 + 𝑖0 𝜔 + 𝜔𝑛0 + 𝑖0 𝑛̸=0

Разложение (15.22) дает Re 𝛼(𝜔) = −

1 ∑︁ 𝑧 2 2𝜔𝑛0 |𝑑𝑛0 | P.v. 2 2 , ~ 𝜔 − 𝜔𝑛0

(15.25)

𝑛̸=0

Im 𝛼(𝜔) =

𝜋 ∑︁ 𝑧 2 |𝑑𝑛0 | 𝛿(𝜔 − 𝜔𝑛0 ). ~

(15.26)

𝑛̸=0

Здесь мы приняли 𝜔 > 0 и предположили, что основное состояние не вырождено, т. е. 𝜔𝑛0 > 0 и 𝛿(𝜔 + 𝜔𝑛0 ) обращается в нуль при 𝑛 ̸= 0. При ненулевой температуре оба слагаемых в уравнении (15.24) будут давать ненулевой вклад, поскольку будут возможны также и переходы на более

404

Глава 15 Дисперсия и рассеяние света

низкие энергетические уровни вследствие тепловой заселённости возбужденных состояний. Каждый член в мнимой части (15.26) имеет простой смысл, будучи пропорционален выражаемой «золотым правилом» вероятности перехода в единицу времени для реального дипольного возбуждения 0 → 𝑛 вследствие возмущения (15.7). Диэлектрическая проницаемость может быть определена как 𝜀(𝜔) = 1 + 4𝜋𝑁 𝛼(𝜔),

(15.27)

где 𝑁 — количество атомов в единице объема. Легко увидеть, что это совпадает со стандартным макроскопическим определением [5, § 77] связи 𝒫 = 𝜀ℰ ℰ 𝒟 = ℰ + 4𝜋𝒫

(15.28)

между напряженностью электрического поля ℰ , электрической индукцией 𝒟 и поляризацией единицы объема 𝒫 в среде слабо взаимодействующих атомов (например, газ). Поскольку мы не определили, что является источником электрического поля в гамильтониане возмущения (15.7), предположим, что ℰ — это результирующее электрическое поле, действующее в системе, и отождествим его с макроскопическим полем в (15.28). Как следует из (15.26), Im 𝛼 > 0. Следовательно, Im 𝜀 тоже положительно и, учитывая определение (15.2), Im 𝑛 > 0. Таким образом, в соответствии с (15.6), волна, распространяющаяся в среде, постепенно затухает. Квантовое рассмотрение показывает, что причиной затухания волны являются потери энергии на резонансное возбуждение атомов. Можно переписать действительную часть (15.25) в терминах сил осцилляторов 𝐹𝑛0 (14.29): Re 𝛼(𝜔) = −

𝑒2 ∑︁ 𝐹𝑛0 2 , 𝑚 𝜔 2 − 𝜔𝑛0

(15.29)

𝑛̸=0

где мы полагаем, что дипольные моменты создаются электронами (массы 𝑚) и сингулярности следует рассматривать в смысле главного значения. Это выражение в точности совпадает по форме с поляризуемостью в классической электронной теории, где 𝜔𝑛0 — собственные частоты атомных осцилляторов, а 𝐹𝑛0 — их эмпирические «силы» (отсюда происхождение этого термина). В пределе частот, много больших атомных, применяя

15.4. Диэлектрическая проницаемость

405

правило сумм ТРК (14.29), получаем: Re 𝛼(𝜔) → −

𝑒2 ∑︁ 𝑍𝑒2 𝐹 = − , 𝑛0 𝑚𝜔 2 𝑚𝜔 2

(15.30)

𝑛̸=0

где 𝑍 — число электронов на один атом. В этом пределе справедливо классическое решение для свободных зарядов, как и должно быть для электронов при таких больших частотах, когда можно пренебречь связью электронов в атоме. Для диэлектрической проницаемости (15.27) получаем из (15.29): Re 𝜀(𝜔) = 1 + 4𝜋𝑁 Re 𝛼(𝜔) = 1 −

4𝜋𝑁 𝑒2 ∑︁ 𝐹𝑛0 2 , 2 𝑚 𝜔 − 𝜔𝑛0

(15.31)

𝑛̸=0

что в пределе больших частот (15.30) дает Re 𝜀(𝜔) → 1 −

𝜔02 4𝜋𝑁 𝑍𝑒2 ≡ 1 − . 𝑚𝜔 2 𝜔2

(15.32)

Мы пришли к классическому выражению для диэлектрической проницаемости электронного газа, где 𝜔02 =

4𝜋𝑛𝑒2 𝑚

(15.33)

— плазменная частота, 𝑛 = 𝑁 𝑍 — полная плотность электронов. Здесь неявно предполагается присутствие компенсирующего ионного фона, который обеспечивает электростатическую стабильность всей системы. В действительности полученные выражения (15.30) и (15.32) справедливы для любых систем в приближении 𝜔 → ∞ [5], § 59 (все еще предполагается, что частоты нерелятивистские). √︀ Для больших 𝜔 показатель преломления √ среды 𝑛 = 𝜀 ведет себя как 1 − 𝜔02 /𝜔 2 . Мнимое выражение при 𝜔 < 𝜔0 соответствует полному отражению света средой. При 𝜔 > 𝜔0 коэффициент преломления действителен, что согласуется с ультрафиолетовой прозрачностью металлов, для которой модель свободных электронов может быть качественно применима. Обратный предельный случай может быть получен из (15.15) и (15.24) при 𝜔 → 0. Результат для статического случая (𝜔 = 0) естественным образом совпадает с полученным в разд. 9.1. В этом случае диэлектрическая

406

Глава 15 Дисперсия и рассеяние света

проницаемость равна 𝜀(0) = 1 +

4𝜋𝑁 𝑒2 ∑︁ 𝐹𝑛0 2 . 𝑚 𝜔𝑛0

(15.34)

𝑛̸=0

Среда, состоящая из слабо взаимодействующих атомов, приобретает свойства диэлектрика 𝜀(0) > 0. Для плотных сред рассмотрение, основанное на (15.27), уже неприменимо, поскольку нельзя просто складывать поляризуемости отдельных атомов. Локальное поле в среде отличается от макроскопического вследствие наличия поля поляризованных атомов. Подобные коллективные эффекты могут также приводить к пространственной неоднородности системы. Например, свободно перемещающиеся заряды могут экранировать внешний источник поля, как в задаче I.1.8. Во многих подобных случаях, кроме зависимости 𝜀(𝜔), необходимо также учитывать зависимость 𝜀(k) — пространственную дисперсию диэлектрической проницаемости [5, § 103].

15.5. Дисперсионные свойства Вернемся к рассмотрению системы слабо взаимодействующих атомов и более внимательно исследуем зависимость 𝜀 от частоты. Типичное поведение вещественной части (15.31) показано сплошными линиями на рис. 15.2. Вблизи каждой резонансной частоты 𝜔𝑛0 , где функция 𝜀(𝜔) сингулярна, имеется область аномальной дисперсии. Среда прозрачна вплоть до частоты 𝜔 = 𝜔𝑛0 . При 𝜔 > 𝜔𝑛0 вещественная часть Re 𝜀(𝜔) отрицательна — среда становится непроницаемой (полное отражение). На рис. 15.2 дисперсия всегда положительна, 𝑑𝑛/𝑑𝜔 > 0. Отрицательная дисперсия могла бы быть возможна, если бы атомы были в возбужденных состояниях, к примеру в тепловом равновесии. В таком случае сила осциллятора (14.27) для перехода в основное состояние отрицательна. Подобная картина неверна в непосредственной близости к резонансу. Здесь неизбежно присутствует затухание волны вследствие реальных переходов (15.26). В действительности для поглощения точное равенство 𝜔 = 𝜔𝑛0 не является необходимым. Как обсуждалось в разд. 14.2, возбуждённые состояния |𝑛⟩ обладают |𝑛⟩ естественной шириной Γ𝑛 = ~𝛾𝑛 . Принимая это во внимание, мы должны произвести замену 𝜔𝑛0 → 𝜔𝑛0 − (𝑖/2)𝛾𝑛 . Для конечных 𝛾𝑛 мы можем игнорировать 𝜂 → +0, и 𝛾𝑛 > 0 обеспечит

15.5. Дисперсионные свойства

407

Рис. 15.2. Вещественная часть диэлектрической функции в резонансной области

соблюдение причинности. Вместо (15.29) получим 𝛼(𝜔) =

𝑒2 ∑︁ 𝐹𝑛0 . 𝑚 [𝜔𝑛0 − (𝑖/2)𝛾𝑛 ]2 − 𝜔 2

(15.35)

𝑛̸=0

Если ширина мала, мы можем произвести дальнейшее разложение, сохраняя в знаменателе только линейные по 𝛾𝑛 члены: 𝛼(𝜔) ≈

𝑒2 ∑︁ 𝐹𝑛0 . 2 𝑚 𝜔𝑛0 − 𝜔 2 − 𝑖𝜔𝑛0 𝛾𝑛

(15.36)

𝑛̸=0

В таком случае вещественная часть (15.31) диэлектрической функции примет вид: Re 𝜀 = 1 +

2 − 𝜔 2 )𝐹 4𝜋𝑁 𝑒2 ∑︁ (𝜔𝑛0 𝑛0 2 − 𝜔 2 )2 + 𝜔 2 𝛾 2 . 𝑚 (𝜔𝑛0 𝑛0 𝑛

(15.37)

𝑛̸=0

В отличие от (15.31), Re 𝜀 не обращается в бесконечность, хотя имеет пик ширины ∼ 𝛾𝑛 вблизи резонансной области (см. рис. 15.3).

408

Глава 15 Дисперсия и рассеяние света

Рис. 15.3. Диэлектрическая проницаемость в резонансной области с учетом ширины

Заметное поглощение имеется в области ширины ∼ 𝛾𝑛 Im 𝜀 = 4𝜋𝑁 Im 𝛼 =

4𝜋𝑁 𝑒2 ∑︁ 𝜔𝑛0 𝛾𝑛 𝐹𝑛0 2 2 𝛾2 . 𝑚 (𝜔𝑛0 − 𝜔 2 )2 + 𝜔𝑛0 𝑛

(15.38)

𝑛̸=0

В пределе исчезающе малых ширин 𝛾𝑛 , в силу (15.22) данное выражение предсказывает набор бесконечно узких линий поглощения, соответствующих резонансным частотам. В непосредственной близости к резонансу преобладает один член суммы (15.38): Im 𝛼(𝜔 → 𝜔𝑛0 ) ≈

𝑒2 𝐹𝑛0 𝜔𝑛0 𝛾𝑛 2 [(𝜔 − 𝜔 )2 + 𝛾 2 /4] , 𝑚 4𝜔𝑛0 𝑛0 𝑛

(15.39)

или, с учетом явной формы силы осциллятора (14.27), Im 𝛼(𝜔 → 𝜔𝑛0 ) ≈

|𝑑𝑥𝑛0 |2 𝛾𝑛 . 2~2 [(𝜔 − 𝜔𝑛0 )2 + 𝛾𝑛2 /4]

(15.40)

Сравнивая данное выражение с сечением (14.19), полученным в дипольном приближении, мы видим, что сечение фотопоглощения системой атомов определяется мнимой частью поляризуемости (например, для света, поля-

15.6. Квантовое затухание

409

ризованного вдоль оси 𝑥): 𝜎abs (0 → 𝑛) =

𝛾𝑛 4𝜋 2 |𝑑𝑥𝑛0 |2 4𝜋𝜔 = Im 𝛼(𝜔 → 𝜔𝑛0 ). (15.41) 2 2 𝑐 2𝜋 (𝜔 − 𝜔𝑛0 ) + 𝛾𝑛 /4 𝑐

Данное выражение является одной из форм оптической теоремы, описанной в разд. 8.8. Задача 15.1 Установите классический смысл оптической теоремы (сохранение светового потока).

15.6. Квантовое затухание Более точный вывод появления ширин в теории линейного отклика можно провести, вернувшись к общему подходу (1.9) для описания нестационарных возмущений (теория квантового затухания, В. Вайскопф, Е. Вигнер, 1930 ). Проиллюстрируем данный подход в простейшем случае, справедливом вблизи узкого резонанса. Амплитуда 𝑎𝑛 (𝑡) обнаружения системы в нестабильном возбужденном состоянии |𝑛⟩ уменьшается со временем как 𝑎𝑛 (𝑡) = 𝑎𝑛 (0)𝑒−(1/2)𝛾𝑛 𝑡

(15.42)

(за исключением короткого начального интервала, разд. I.7.8). Тогда амплитуда 𝑎0 (𝑡) основного состояния (или другого состояния, связанного с состоянием |𝑛⟩ через излучение фотона) определяется выражением (1.9). Так как энергия основного состояния + фотон равна 𝐸0 + ~𝜔, по теории возмущений получим ^ ′ |𝑛⟩𝑒(𝑖/~)(𝐸0 +~𝜔−𝐸𝑛 ) 𝑎𝑛 (𝑡) = ⟨0|𝐻 ^ ′ |𝑛⟩𝑒𝑖(𝜔−𝜔𝑛0 +𝑖𝛾𝑛 /2)𝑡 𝑎𝑛 (0). (15.43) 𝑖~𝑎˙0 = ⟨0|𝐻 Учитывая начальные условия 𝑎𝑛 (0) = 1 и 𝑎0 (0) = 0, ^ ′ |𝑛⟩ 𝑎0 (𝑡) = ⟨0|𝐻

1 − 𝑒𝑖(𝜔−𝜔𝑛0 )𝑡−𝛾𝑛 𝑡/2 . ~(𝜔 − 𝜔𝑛0 + 𝑖𝛾𝑛 /2)

(15.44)

410

Глава 15 Дисперсия и рассеяние света

Вероятность излучения в интервале 𝑑𝜔 на больших временах 𝑡 (б´ольших чем время жизни 1/𝛾𝑛 ) описывается выражением 𝑑𝑤0𝑛 =

^ ′ |𝑛⟩|2 |⟨0|𝐻 𝑑𝜔. ~2 [(𝜔 − 𝜔𝑛0 )2 + 𝛾𝑛2 /4]

(15.45)

При суммировании по поляризациям фотона и интегрировании по плотно∫︀ сти конечных состояний (помеченных ниже как ) мы можем использовать стандартное золотое правило для скорости перехода (2.6), которое определяет ширину 𝛾𝑛 как полную вероятность распада в единицу времени: ∫︁ 2𝜋 ^ ′ |𝑛⟩|2 . 𝛾𝑛 = 2 |⟨0|𝐻 (15.46) ~ В конечном итоге получим вероятность (15.45) в виде 𝑑𝑤0𝑛 =

𝛾𝑛 1 𝑑𝜔, 2𝜋 (𝜔 − 𝜔𝑛0 )2 + 𝛾𝑛2 /4

(15.47)

где 𝛿-функция сохранения энергии заменена функцией Лорентца. Если у состояния |𝑛⟩ есть другие каналы распада, то знаменатель в (15.47) должен содержать полную ширину, тогда как числитель представляет собой парциальную ширину 𝛾𝑛→0 , соответствующую излучению |𝑛⟩ → |0⟩. Задача 15.2 Покажите, что для перехода между состояниями |𝑛′ ⟩ и |𝑛⟩, имеющими ширины 𝛾𝑛′ и 𝛾𝑛 соответственно, в том же приближении теории затухания форма спектральной линии для перехода 𝑛′ → 𝑛 дается выражением (15.47) с заменой 𝛾𝑛 → 𝛾𝑛 + 𝛾𝑛′ , как это предполагалось в (14.20). Решение Пусть ширина 𝛾𝑛 обусловлена резонансным переходом в основное состояние |0⟩ с частотой 𝜔 ′ ≈ 𝜔𝑛0 . Тогда, по теории возмущений, аналогично (15.47), для двойного перехода 𝑛′ → 𝑛 → 0 получим 𝑑𝜔 =

1 𝛾𝑛′ 𝛾𝑛 𝑑𝜔𝑑𝜔 ′ . (15.48) 2 4 ′ 2 2 (2𝜋) ~ [(𝜔 − 𝜔𝑛0 ) + 𝛾𝑛 /4][(𝜔 + 𝜔 ′ − 𝜔𝑛′ 0 )2 + 𝛾𝑛2′ /4]

Теперь проинтегрируем по 𝜔 ′ , например, замыкая контур в верхней полуплоскости комплексной переменной 𝜔 ′ и суммируя вычеты при 𝜔 ′ = 𝜔𝑛0 + 𝑖𝛾𝑛 /2 и 𝜔 ′ = 𝜔𝑛′ 0 − 𝜔 + 𝑖𝛾𝑛′ /2. Результатом свертки двух функций

15.7. Дисперсионные соотношения

411

Лорентца будет функция Лорентца с суммарной шириной 𝑑𝑤 =

𝛾𝑛 + 𝛾𝑛′ 1 𝑑𝜔. 2𝜋 (𝜔 − 𝜔𝑛′ 𝑛 )2 + (𝛾𝑛′ + 𝛾𝑛 )2 /4

(15.49)

15.7. Дисперсионные соотношения Принцип причинности математически основывается на аналитичности восприимчивостей, таких как динамическая поляризуемость 𝛼(𝜔), в верхней полуплоскости комплексной частоты. Из этого свойства вытекают важные соотношения между вещественной и мнимой частями функции отклика. Применяя тождество (15.22) к поляризуемости, получим ∫︁ ∞ ∫︁ ∞ 𝛼(𝜔 ′ ) 𝛼(𝜔 ′ ) ′ 𝑑𝜔 ′ = P.v. 𝑑𝜔 ′ ′ − 𝑖𝜋𝛼(𝜔). (15.50) 𝜔 − 𝜔 + 𝑖0 𝜔 −𝜔 −∞ −∞ С другой стороны, интеграл (15.50) равен нулю. Действительно, мы можем замкнуть контур интегрирования большой дугой в верхней полуплоскости, так как вдоль этой дуги вклад в интеграл обращается в нуль вследствие быстрого уменьшения поляризуемости (15.30) на больших частотах. Внутри полученного таким образом контура подынтегральное выражение не имеет сингулярностей – в соответствии с (15.24) полюсы поляризуемости расположены в нижней полуплоскости. Здесь мы видим важность причинного адиабатического включения поля. Таким образом, выражение (15.50) показывает, что ∫︁ 𝑖 ∞ 𝛼(𝜔 ′ ) 𝛼(𝜔) = − P.v. 𝑑𝜔 ′ ′ . (15.51) 𝜋 −∞ 𝜔 −𝜔 Разделяя вещественную и мнимую части, мы приходим к дисперсионным соотношениям Крамерса—Кронига: ∫︁ 1 ∞ Im 𝛼(𝜔 ′ ) Re 𝛼(𝜔) = P.v. 𝑑𝜔 ′ ′ , (15.52) 𝜋 −∞ 𝜔 −𝜔 ∫︁ 1 ∞ Re 𝛼(𝜔 ′ ) Im 𝛼(𝜔) = −P.v. 𝑑𝜔 ′ ′ . (15.53) 𝜋 −∞ 𝜔 −𝜔 Несложно явным образом убедиться, что функция (15.24) удовлетворяет дисперсионным соотношениям.

412

Глава 15 Дисперсия и рассеяние света

Задача 15.3 Соотношения (15.52) и (15.53) совместимы, только если ∫︁ ∞ 𝑑𝜔 ′ P.v. = 𝜋 2 𝛿(𝜔 − 𝜔 ′′ ). ′ ′ ′′ −∞ (𝜔 − 𝜔)(𝜔 − 𝜔 )

(15.54)

Докажите это утверждение. Поскольку принцип причинности имеет очень общий характер, любая функция отклика должна удовлетворять дисперсионным соотношениям. Тем не менее их конкретный вид может изменяться в зависимости от асимптотического поведения восприимчивости при 𝜔 → ∞, как мы видели в доказательстве, рассмотренном выше. Задача 15.4 Получите дисперсионные соотношения для диэлектрической функции и докажите, что ∫︁ ∞ 𝜋 𝑑𝜔 𝜔 Im 𝜀(𝜔) = 𝜔02 , (15.55) 2 0 где 𝜔0 — плазменная частота (15.33).

15.8. Описание рассеяния Рассеяние света квантовой системой тесно связано с явлением дисперсии, рассмотренным выше. Можно интерпретировать рассеяние в терминах виртуального поглощения и излучения фотонов. В данном разделе нас больше интересует рассеянная волна, нежели свойства отклика среды. Рассеянная (вторичная, переизлученная) волна в общем случае имеет параметры (частота, направление распространения, поляризация), отличные от первичной волны. Рассеяние возможно также на свободной частице, когда реальное поглощение запрещено законами сохранения. Процесс рассеяния включает как минимум два элементарных действия: поглощение первичного фотона (k, 𝜔 = 𝑐𝑘, 𝜆) и излучение вторичного (k′ , 𝜔 ′ = 𝑐𝑘 ′ , 𝜆′ ). Соответствующий матричный элемент содержит оператор 𝑎 ^𝜆k , уничтожающий начальный фотон, и оператор рождения конечного фотона 𝑎 ^†𝜆′ k′ . Рассмотрение взаимодействия волны с атомами в рамках ^ ′ ( см. теории возмущений требует второй порядок по гамильтониану 𝐻 1 ′ ^ 𝑠 в (13.115). Матричный элемент второго порядка (13.113) и (13.114)) или 𝐻

15.8. Описание рассеяния

413

Рис. 15.4. Диаграммы второго порядка для процесса рассеяния

для перехода 𝑖 → 𝑓 , в соответствии с (11.16), включает прохождение через промежуточное виртуальное состояние 𝑛 (2) 𝑀𝑓 𝑖

=

′ ∑︁ 𝐻𝑓′ 𝑛 𝐻𝑛𝑖 𝑛

𝑊𝑖 − 𝑊𝑛

,

(15.56)

Здесь 𝑊𝑖 = 𝐸𝑖 + ~𝜔 – начальная энергия, а 𝑊𝑛 – полная энергия промежуточного состояния (система + фотоны). Начальное состояние содержит атом |𝑖⟩ и налетающий квант (𝜆k); конечное состояние содержит атом |𝑓 ⟩ и квант (𝜆′ k′ ). Дважды действуя ^ ′ , мы видим, что существуют два пути от начального к кооператором 𝐻 1 нечному состоянию (рис. 15.4). Процесс a идет как поглощение начального фотона с последующим излучением конечного фотона. Здесь промежуточное состояние не содержит фотонов, тогда как атом находится в состоянии (𝑎) |𝑛⟩, так что 𝑊𝑛 = 𝐸𝑛 . Могут присутствовать фотоны – спектаторы, которые не меняют своего состояния и, таким образом, не меняют знаменатель (15.56). Во вкладе b атом сначала излучает конечный фотон, а затем поглощает начальный. Здесь промежуточное состояние содержит атом |𝑛⟩ и (𝑏) два фотона, 𝑊𝑛 = 𝐸𝑛 + ~𝜔 + ~𝜔 ′ . Теперь мы можем записать матричные √ (𝑎,𝑏) элементы как 𝑀𝑓 𝑖 = (2𝜋~𝑐2 )/[𝑉 𝜔𝜔 ′ ]𝑋𝑎,𝑏 , где ∑︀ ′ ∑︁ ⟨𝑓 | ∑︀ (𝑒𝑎 /𝑚𝑎 𝑐)(e′* · p ^ 𝑏 )𝑒𝑖(k·r𝑏 ) |𝑖⟩ ^ 𝑎 )𝑒−𝑖(k ·r𝑎 ) |𝑛⟩⟨𝑛| 𝑏 (𝑒𝑏 /𝑚𝑏 𝑐)(e · p 𝑎 𝑋𝑎 = 𝐸𝑖 + ~𝜔 − 𝐸𝑛 𝑛 (15.57) и ∑︀ ′ ′ ∑︁ ⟨𝑓 | ∑︀ (𝑒𝑎 /𝑚𝑎 𝑐)(e · p ^ 𝑏 )𝑒−𝑖(k ·r𝑏 ) |𝑖⟩ ^ 𝑎 )𝑒𝑖(k ·r𝑎 ) |𝑛⟩⟨𝑛| 𝑏 (𝑒𝑏 /𝑚𝑏 𝑐)(e′* · p 𝑎 𝑋𝑏 = . ′) 𝐸 + ~𝜔 − (𝐸 + ~𝜔 + ~𝜔 𝑖 𝑛 𝑛

414

Глава 15 Дисперсия и рассеяние света (15.58)

Сумма этих вкладов описывается выражением (1)

(𝑎)

(𝑏)

𝑀𝑓 𝑖 = 𝑀𝑓 𝑖 + 𝑀 𝑓 𝑖 = (︁ 𝐴𝑓 𝑛𝑖 =

2𝜋 ∑︁ 𝑒𝑎 𝑒𝑏 ∑︁ √ (𝐴𝑓 𝑛𝑖 + 𝐵𝑓 𝑛𝑖 ), 𝑉 𝜔𝜔 ′ 𝑎𝑏 𝑚𝑎 𝑚𝑏 𝑛

)︁ (︁ )︁ ′ 𝑒−𝑖(k ·r𝑎 ) (^ p𝑎 · e′* ) 𝑒𝑖(k·r𝑏 ) (^ p𝑏 · e) 𝑓𝑛

𝑛𝑖

𝜔 − 𝜔𝑛𝑖 (︁ )︁ (︁ )︁ ′ 𝑒𝑖(k·r𝑎 ) (^ p𝑎 · e) 𝑒−𝑖(k ·r𝑏 ) (^ p𝑏 · e′* ) 𝑓𝑛

𝐵𝑓 𝑛𝑖 =

𝜔 ′ + 𝜔𝑛𝑖

𝑛𝑖

(15.59)

,

(15.60)

.

(15.61)

Теперь мы должны вспомнить, что гамильтониан взаимодействия фотонов с веществом содержит также квадратичный по A член (13.114). Так как линейный по A член учтен во втором порядке, в таком же приближении мы должны включить вклад первого порядка от квадратичного члена. Соответствующий матричный элемент (см. рис. 13.2, c) равен ⃒ ⟩ ⟨ ⃒ ⃒∑︁ (︂ 𝑒 )︂2 ⃒ 2𝜋~ ′ ⃒ ⃒ (2) 𝑎 (e · e′* ) 𝑓 ⃒ (15.62) 𝑀𝑓 𝑖 = √ 𝑒𝑖(k−k )·r𝑎 ⃒ 𝑖 . ′ ⃒ ⃒ 𝑚𝑎 𝑉 𝜔𝜔 𝑎

Полная амплитуда дается суммой (15.59) и (15.62). Здесь мы ограничимся приближением больших длин волн (дипольное приближение) (в противном ^ 𝑠′ , случае следует также включить зависящий от спина магнитный член 𝐻 уравнение (13.115)). В дипольном приближении мы пренебрегаем неоднородностью поля волны на атомных размерах и берем все экспоненты в точке R центра атома. Вклад (15.62) тогда существует лишь для процесса когерентного рассеяния без изменений в системе, 𝑖 = 𝑓 . Следовательно, в дипольном приближении мы получаем амплитуду рассеяния в виде (1)

(2)

𝑀𝑓 𝑖 = 𝑀 𝑓 𝑖 + 𝑀 𝑓 𝑖 =

×

∑︁ 𝑒𝑎 𝑒𝑏 2𝜋 ′ √ 𝑒𝑖(k−k )·R × 𝑚𝑎 𝑚𝑏 𝑉 𝜔𝜔 ′ 𝑎𝑏

{︃ ∑︁ [︂ (^ p𝑎 · e′ * )𝑓 𝑛 (^ p𝑏 · e)𝑛𝑖 𝑛

𝜔 − 𝜔𝑛𝑖

}︃ ]︂ (^ p𝑎 · e)𝑓 𝑛 (^ p𝑏 · e′* )𝑛𝑖 − + ~(e · e′* )𝛿𝑓 𝑖 𝛿𝑎𝑏 . 𝜔 ′ + 𝜔𝑛𝑖 (15.63)

15.9. Сечение рассеяния

415

Вероятность рассеяния определяется золотым правилом 𝑑𝑤˙ 𝑓 𝑖 =

2𝜋 |𝑀𝑓 𝑖 |2 𝛿(𝐸𝑖 + ~𝜔 − 𝐸𝑓 − ~𝜔 ′ )𝑑𝜌𝑓 ~ 𝑑𝜔 ′ ~

(15.64)

с плотностью конечных состояний фотонов (11.49).

15.9. Сечение рассеяния Дифференциальное сечение рассеяния в единичном телесном угле может быть получено из (15.64) интегрированием по энергиям конечных фотонов и делением на плотность потока налетающих фотонов 𝑐/𝑉 (один фотон на объем 𝑉 ): 𝑑𝜎𝑓 𝑖 2𝜋 𝑉 𝜔 ′2 𝑉 𝑉 2 𝜔 ′2 = |𝑀𝑓 𝑖 |2 3 3 = 2 2 4 |𝑀𝑓 𝑖 |2 . 𝑑𝑜 ~ 8𝜋 ~𝑐 𝑐 4𝜋 ~ 𝑐

(15.65)

Преобразуем это выражение к общепринятой форме с помощью коммутатора [(^ p𝑎 · e′* ), (^r𝑏 · e)] = 𝑒′* 𝑝𝑖𝑎 , 𝑟^𝑗𝑏 ] = −𝑖~𝛿𝑎𝑏 (e · e′* ). 𝑖 𝑒𝑗 [^

(15.66)

(2)

Используя (15.66), вклад в амплитуду (15.63) от 𝑀𝑓 𝑖 может быть представлен в виде суммы по промежуточным состояниям )︁ ∑︁(︁ ~𝛿𝑓 𝑖 𝛿𝑎𝑏 (e · e′* ) = 𝑖 (p𝑎 · e′* )𝑓 𝑛 (r𝑏 · e)𝑛𝑖 − (r𝑏 · e)𝑓 𝑛 (p𝑎 · e′* )𝑛𝑖 . (15.67) 𝑛

Если мы подставим данное выражение вместо последнего члена в уравнение (15.63) и, предполагая отсутствие сил, зависящих от скорости, введем с ∑︀ помощью (14.25) матричные элементы дипольного момента d = 𝑎 𝑒𝑎 r𝑎 , то амплитуду можно преобразовать к виду 𝑀𝑓 𝑖 =

)︁ ∑︁(︁ 2𝜋 ′ √ 𝑒𝑖(k−k )·R 𝐶𝑓 𝑛𝑖 + 𝐷𝑓 𝑛𝑖 , 𝑉 𝜔𝜔 ′ 𝑛

)︂ 𝜔𝑛𝑖 𝐶𝑓 𝑛𝑖 = (d𝑓 𝑛 · e )(d𝑛𝑖 · e) 𝜔𝑓 𝑛 −1 − , 𝜔 − 𝜔𝑛𝑖 (︂ )︂ 𝜔𝑓 𝑛 ′* 𝐷𝑓 𝑛𝑖 = (d𝑓 𝑛 · e)(d𝑛𝑖 · e ) 𝜔𝑛𝑖 +1 . 𝜔 ′ + 𝜔𝑛𝑖 ′*

(15.68)

(︂

(15.69) (15.70)

416

Глава 15 Дисперсия и рассеяние света

Можно добиться дальнейшего упрощения, используя сохранение энергии (имея в виду, что матричный элемент будет умножаться на 𝛿-функцию от энергии): 𝜔𝑓 𝑖 = 𝜔 − 𝜔 ′ . Применяя (15.71), находим )︂ (︂ 𝜔 𝜔𝑛𝑖 = −𝜔𝑓 𝑛 = 𝜔𝑓 𝑛 −1 − 𝜔 − 𝜔𝑛𝑖 𝜔 − 𝜔𝑛𝑖 )︂ (︂ )︂ (︂ 𝜔𝑓 𝑖 − 𝜔 𝜔′ −1 = −𝜔 1 + =𝜔 𝜔 − 𝜔𝑛𝑖 𝜔 − 𝜔𝑛𝑖 и (︂ )︂ 𝜔𝑓 𝑛 𝜔𝑓 𝑖 + 𝜔 ′ 𝜔𝑛𝑖 1 + ′ = 𝜔𝑛𝑖 ′ = 𝜔 + 𝜔𝑛𝑖 𝜔 + 𝜔𝑛𝑖 )︂ (︂ )︂ (︂ 𝜔′ 𝜔′ ′ =𝜔 − ′ +1 . = (𝜔𝑓 𝑖 + 𝜔 ) 1 − ′ 𝜔 + 𝜔𝑛𝑖 𝜔 + 𝜔𝑛𝑖

(15.71)

(15.72)

(15.73)

Следовательно, выражения (15.69) и (15.70) преобразуются к виду [︂ ]︂ ′* (d𝑓 𝑛 · e)(d𝑛𝑖 · e′* ) ′ (d𝑓 𝑛 · e )(d𝑛𝑖 · e) 𝐶𝑓 𝑛𝑖 = 𝜔𝜔 − , (15.74) 𝜔 − 𝜔𝑛𝑖 𝜔 ′ + 𝜔𝑛𝑖 [︀ ]︀ 𝐷𝑓 𝑛𝑖 = −𝜔 (d𝑓 𝑛 · e′* )(d𝑛𝑖 · e) − (d𝑓 𝑛 · e)(d𝑛𝑖 · e′* ) . (15.75) Но вклад от (15.75) исчезает, поскольку сводится к коммутатору: ∑︁ [︀ ]︀ ^ · e′* ), (d · e)]|𝑖⟩ = 0. (d𝑓 𝑛 · e′* )(d𝑛𝑖 · e) − (d𝑓 𝑛 · e)(d𝑛𝑖 · e′* ) = ⟨𝑓 |[(d 𝑛

(15.76) В конечном итоге на энергетической поверхности (15.71) 𝑀𝑓 𝑖

[︂ ]︂ 2𝜋 √ ′ 𝑖(k−k′ )·R ∑︁ (d𝑓 𝑛 · e′* )(d𝑛𝑖 · e) (d𝑓 𝑛 · e)(d𝑛𝑖 · e′* ) 𝜔𝜔 𝑒 − . = 𝑉 𝜔 − 𝜔𝑛𝑖 𝜔 ′ + 𝜔𝑛𝑖 𝑛 (15.77)

15.10. Когерентное рассеяние

417

Задача 15.5 Получите такой же результат (15.77), с самого начала используя дипольный гамильтониан (14.27). Теперь сечение (15.65) дается дисперсионной формулой Крамерса—Гейзенберга, 1925, ⃒ ]︂⃒2 [︂ 𝑑𝜎𝑓 𝑖 𝜔𝜔 ′3 ⃒⃒∑︁ (d𝑓 𝑛 · e′* )(d𝑛𝑖 · e) (d𝑓 𝑛 · e)(d𝑛𝑖 · e′* ) ⃒⃒ = 2 4⃒ − ⃒ . (15.78) ⃒ 𝑑𝑜 ~ 𝑐 ⃒ 𝑛 𝜔 − 𝜔𝑛𝑖 𝜔 ′ + 𝜔𝑛𝑖 Этот результат справедлив для рассеяния в оптическом и ультрафиолетовом диапазонах и для мягких рентгеновских лучей, когда ~𝜔 < 𝑚𝑐2 и можно пренебречь релятивистскими эффектами, а длина волны начального и конечного фотонов больше атомных размеров. Как известно из теории дисперсии, подход теории возмущений в подобном виде справедлив только для частот, далеких от резонанса; иначе необходимо учитывать естественную ширину квазистационарных состояний.

15.10. Когерентное рассеяние В случае когерентного (упругого, несмещенного) рассеяния атомы остаются в начальном состоянии 𝑓 = 𝑖 и частота фотона не изменяется, 𝜔 ′ = 𝜔. Дисперсионная формула дает ⃒ [︂ ]︂⃒2 𝜔 4 ⃒⃒∑︁ (d𝑖𝑛 · e′* )(d𝑛𝑖 · e) (d𝑖𝑛 · e)((d𝑛𝑖 · e′* ) ⃒⃒ 𝑑𝜎𝑖 (15.79) = 2 4⃒ − ⃒ . ⃒ 𝑑𝑜 ~ 𝑐 ⃒ 𝑛 𝜔 − 𝜔𝑛𝑖 𝜔 ′ + 𝜔𝑛𝑖 Сравнение с выражением (15.15) показывает, что сечение когерентного рассеяния полностью определяется тензором поляризуемости в данном состоянии |𝑖⟩: 𝑑𝜎𝑖 𝜔4 𝑖𝑗 2 = 4 |𝑒𝑖 𝑒′* 𝑗 𝛼 (𝜔)| , 𝑑𝑜 𝑐

(15.80)

или, для изотропного состояния |𝑖⟩, в соответствии с (15.23), 𝑑𝜎𝑖 𝜔4 = 4 |𝛼(𝜔)|2 (e · e′* )2 . 𝑑𝑜 𝑐

(15.81)

Этот результат имеет классический вид: наведенный дипольный момент ра¨ 2 ∝ 𝜔 4 |𝛼|2 . Квантовые свойства ⃗ а сечение пропорционально |d| вен d = 𝛼ℰ,

418

Глава 15 Дисперсия и рассеяние света

сконцентрированы в поляризуемости, определяемой квантовой структурой атомов. Если частота 𝜔 велика по сравнению с атомными частотами (но длина волны все еще больше размеров атома), то рассеяние происходит таким же образом, как на свободных зарядах. Используя асимптотическое значение поляризуемости (15.30), мы приходим к результату классической электронной теории [1, § 78], томсоновскому рассеянию, (︂

𝑑𝜎 𝑑𝑜

)︂ 𝜔→∞

𝜔4 → 4 𝑐

(︂

𝑍𝑒2 𝑚𝜔 2

)︂2

(e · e′* )2 = 𝑍 2 𝑟02 (e · e′* )2 ,

(15.82)

где введен классический радиус частицы (I.1.40). Возвращаясь к начальному матричному элементу (15.63), видим, что рассеяние на свободных ^ ′ , поскольку зарядах полностью определяется квадратичным членом 𝐻 2 выражение в квадратных скобках в (15.63) обращается в нуль в пределе 𝜔 → ∞. Для описания упругого рассеяния можно ввести амплитуду рассеяния 𝑓 , которая зависит от угла рассеяния и поляризации начального и рассеянного фотонов. Амплитуда рассеяния имеет размерность длины и нормирована таким образом, что дифференциальное сечение упругого рассеяния равно 𝑑𝜎 = |𝑓 |2 . 𝑑𝑜

(15.83)

Уравнение (15.81) показывает, что для изотропной системы 𝑓=

𝜔2 𝛼(𝜔)(e · e′* ). 𝑐2

(15.84)

15.11. Резонансная флуоресценция При приближении к резонансу, 𝜔 → 𝜔𝑛𝑖 , сечение (15.78) неограниченно растет. Как и при рассмотрении эффектов дисперсии, неограниченный рост происходит из-за того, что мы пренебрегли затуханием возбужденных атомных состояний. Вблизи резонанса необходимо учесть естественную ширину линии. Этого можно достичь заменой 𝐸𝑛 → 𝐸𝑛 − (𝑖~/2)𝛾𝑛 . Основной (резонансный) член

15.11. Резонансная флуоресценция в дисперсионной формуле принимает тогда вид ⃒ ⃒2 (︂ )︂ ⃒ 𝑑𝜎𝑓 𝑖 𝜔𝜔 ′3 ⃒⃒∑︁ 1 ⃒ = 2 4 ⃒ (d𝑓 𝑛 · e′* )(d𝑛𝑖 · e)⃒ , ⃒ (𝜔 − 𝜔𝑛𝑖 )2 + 𝛾𝑛2 /4 𝑑𝑜 res ~ 𝑐 ⃒

419

(15.85)

𝜈𝑛

∑︀ где 𝜈𝑛 означает суммирование по всем состояниям с энергией резонанса 𝐸𝑛 , например по проекциям полного углового момента, если 𝐽𝑛 = ̸ 0. Форма линии, предсказанная в (15.85), совпадает с формой в процессе спонтанного излучения фотона энергии 𝜔𝑛𝑖 возбужденным атомом в состоянии |𝑛⟩, если возможно пренебречь шириной состояния |𝑖⟩. Результат (15.85) применим в случае широкого разброса по частоте падающей волны, который должен превысить ширину 𝛾𝑛 . Для падающей волны с очень узким разбросом частот линия рассеяния будет более узкой, чем естественная ширина, если вспомнить наши качественные рассуждения в разд. I.5.8 и I.5.9. Там же мы обсуждали возможность резонансной флуоресценции атомов и ядер в связи с эффектом Мёссбауэра. Наглядное представление процесса (см. рис. 15.4) изображает резонансное возбуждение промежуточного состояния |𝑛⟩ и спонтанное снятие возбуждения. Полностью когерентный процесс резонансной флуоресценции, когда 𝑓 = 𝑖, 𝜔 ′ = 𝜔 и e′ = e, может быть связан с интенсивностью 𝐼𝜔 спонтанного излучения (14.48) или с естественной шириной промежуточного состояния 𝛾𝑛 и его средним временем жизни 𝜏𝑛 : 𝛾𝑛 =

𝐼𝜔 1 4𝜔 3 = |d𝑛𝑖 |2 . = 𝜏𝑛 ~𝜔 3~𝑐3

(15.86)

В эксперименте без регистрации поляризации света и проекций углового момента атомов среды наблюдаемое сечение должно быть усреднено по этим параметрам начального состояния электромагнитного поля и атомов, а так же просуммировано по конечным параметрам. Задача 15.6 Покажите, что сечение резонансной флуоресценции, определенное описанным способом и проинтегрированное по направлениям k′ конечного фотона, равно 𝜎res = где 𝑘 = 𝜔/𝑐.

2𝐽𝑛 + 1 𝜋 𝛾𝑛2 , 2(2𝐽𝑖 + 1) 𝑘 2 (𝜔 − 𝜔𝑛𝑖 )2 + 𝛾𝑛2 /4

(15.87)

420

Глава 15 Дисперсия и рассеяние света

В соответствии с (15.87), сечение непосредственно в резонансе 𝜎res =

2𝐽𝑛 + 1 4𝜋 2(2𝐽𝑖 + 1) 𝑘 2

(15.88)

по порядку величины равно квадрату длины волны фотона и не зависит от особенностей системы. Как мы увидим в гл. III.4, это максимально возможное квантовое сечение рассеяния. Взаимосвязь (15.81) между сечением рассеяния и поляризуемостью 𝛼(𝜔) верна так же и в присутствии резонансов. Однако поляризуемость, наряду с амплитудой 𝑓 (15.84), становится тогда комплексной. В то же время мнимая часть 𝛼(𝜔) определяет реальное поглощение света системой. Сравнение (15.84) и (15.41) демонстрирует примечательную связь между поглощением фотонов, которое дается полным сечением 𝜎 всех процессов ослабления падающего пучка, и мнимой частью упругой амплитуды для излучения вперед без изменения характеристик фотона, e′ = e, 𝜎=

4𝜋 Im 𝑓. 𝑘

(15.89)

Мы вернёмся к этой оптической теореме в общем рассмотрении (гл. III.4) задачи рассеяния с точки зрения квантовой унитарности.

15.12. Рассеяние на многих центрах Состояние с определенным числом фотонов, такое как наш одиночный рассеянный фотон, не отвечает колебаниям с определенной фазой. Состоянием с определённой фазой является когерентное состояние (гл. I.12.4), которое не обладает фиксированным числом квантов. Тем не менее, в присутствии нескольких центров рассеяния разность фаз волн, рассеянных на разных центрах, может принимать определенные значения. При когерентном рассеянии атомы остаются в начальных состояниях. Таким образом, процессы когерентного рассеяния на различных атомах физически неразличимы и необходимо складывать амплитуды, а не сечения рассеяния на разных центрах. Пусть два идентичных атома в одинаковых квантовых состояниях расположены в точках с координатами их центров R1 и R2 . Как видно из матричного элемента (15.77), полная амплитуда пропорциональна ′

′

𝑀 ∝ 𝑒𝑖(k−k )·R1 + 𝑒𝑖(k−k )·R2 .

(15.90)

15.12. Рассеяние на многих центрах

421

Рис. 15.5. Когерентное рассеяние на двух центрах

Полная вероятность в этом случае определяется результатом интерференции ⃒ ⃒2 ′ ⃒ ⃒ |𝑀 |2 ∝ ⃒1 + 𝑒𝑖(k−k )·(R1 −R2 ) ⃒ = 2{1 + cos[(k − k′ ) · (R1 − R2 )]}, (15.91) которая зависит от разности хода двух рассеянных волн (рис. 15.5); сравните с обсуждением форм-фактора рассеяния заряженных частиц, разд. 12.3. Таким образом, такое рассеяние является когерентным. Несложно отсюда перейти к рассеянию на упорядоченном наборе атомов, таком как идеальный кристалл. Допустим, идентичные атомы расположены в узлах кристаллической решетки {R𝑗 }. Полная амплитуда рассеяния определяется интерференцией волн, рассеянных на различных центрах, ∑︁ 𝑀∝ 𝑒𝑖(q·R𝑗 ) , q = k − k′ . (15.92) 𝑗

Таким образом, рассеяние исследует систему на длине волны, соответствующей передаче импульса q. В большом кристалле сумма (15.92) обращается в нуль для всех векторов q, кроме векторов K (I.8.51) обратной решетки, для которых 𝑒𝑖(K·R𝑗 ) = 1,

(K · R𝑗 ) = 2𝜋𝑛,

(15.93)

где R𝑗 – любой вектор исходной решетки, а 𝑛 – целое. При когерентном рассеянии на решетке, 𝑘 ′ = 𝑘 и передача импульса равна (12.23) 𝑞 = 2𝑘 sin 𝜃/2, где 𝜃 – угол рассеяния. Условие q = K, отвечающее конструктивной интерференции волн, рассеянных на различных плоскостях кристаллической решетки, может быть выполнено только при 2𝑘 > 𝐾min .

422

Глава 15 Дисперсия и рассеяние света

Рассматривая для простоты кубическую решетку с периодом 𝑎, 𝐾=

2𝜋 𝑛, 𝑎

𝐾min =

2𝜋 , 𝑎

(15.94)

видим, что когерентное рассеяние возможно только при 𝑘 > 𝜋/𝑎, т. е. или для рентгеновских лучей, или еще более малых длин волн. Хотя при произвольной ориентации монокристаллического образца по отношению к падающей монохроматической волне условие q = K не удовлетворяется для произвольных углов рассеяния, выполнение этого условия и наблюдение дифракции рентгеновских лучей могут быть достигнуты вращением образца либо использованием поликристаллического образца. Условие Брэгга для когерентного рассеяния может быть записано как 2𝑘 sin

2𝜋 𝜃 = 𝑛 2 𝑎

⇒

𝜃 𝑛𝜆 = 2𝑎 sin . 2

(15.95)

Результат может зависеть от формы кристалла, если сечение рассеяния сравнимо с его геометрической площадью. Аналогичная физика для рассеяния нейтронов с подходящей длиной волны будет обсуждаться позже. Рассеяние с изменением состояния атома 𝑖 = ̸ 𝑓 называют рамановским рассеянием (некогерентным, смещенным). Впервые оно почти одновременно наблюдалось Г. С. Ландсбергом и Л.И. Мандельштамом в кристаллах и Ч. В. Раманом в жидкостях в 1928 г. Поскольку в принципе можно определить, какой именно атом был возбужден в процессе рассеяния, здесь следует складывать сечения, а не амплитуды, соответствующие различным рассеивателям. Если 𝑁 атомов расположены в объеме небольших размеров в сравнении с длиной волны излучения, 𝑅 ≪ 𝜆, когерентное сечение будет больше атомного в ∼ 𝑁 2 раз, тогда как некогерентное рассеяние будет больше всего лишь в ∼ 𝑁 раз. Дополнительная литература: [4], [5], [79], [80], [81]

Литература 1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. 8-е изд. М. : Физматлит, 2012. Т. 2. 2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. 5-е изд. М. : Физматлит, 2012. Т. 1. 3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). 6-е изд. М. : Физматлит, 2004. Т. 3. 4. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. 4-е изд. М. : Физматлит, 2002. Т. 4. Курс ЛандауЛифшица. 5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред. 4-е изд. М. : Физматлит, 2001. Т. 8. 6. Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. 2-е изд. М. : Наука, 1971. 7. Фейнман Р. Взаимодействие фотонов с адронами. M. : Мир, 1975. 8. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. M. : Наука, 1981. 9. Holstein T., Primakoff H. Phys. Rev. –– 1940. –– Vol. 58. –– P. 1098. 10. Dyson F. Phys. Rev. –– 1956. –– Vol. 102. –– P. 1217. 11. Edmonds A. Angular Momentum in Quantum Mechanics. –– Princeton University Press, 1974.

424

Литература

12. Biedenharn L., Louck J. Angular Momentum in Quantum Physics. –– Reading : Addison-Wesley, 1981. –– Vol. 8 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 13. Rose M. Elementary Theory of Angular Momentum. –– Mineola : Dover, 1995. 14. Infeld L., Hull T. // Rev. Mod. Phys. –– 1951. –– Vol. 23. –– P. 21. 15. Moshinsky M., Smirnov Y. The Harmonic Oscillator in Modern Physics. –– Amsterdam : Harwood Academic Publishers, 1996. –– Vol. 9 of Contemporary Concepts in Physics. 16. Meijer P., Bauer E. Group Theory: The Applications to Quantum Mechanics. –– Mineola : Dover Publications, 2004. 17. Reimann S., Manninen M. Rev. Mod. Phys. –– 2002. –– Vol. 74. –– P. 1283. 18. Hanneke D., Fogwell S., Gabrielse G. Phys. Rev. Lett. –– 2008. –– Vol. 100. –– P. 120801. 19. Schwinger J. Quantum Mechanics: Symbolism of Atomic Measurements. –– Springer, 2001. 20. Bethe H., Salpeter E. Quantum Mechanics of One- and Two-Electron Atoms. –– Berlin : Springer, 1957. 21. Judd B. Angular momentum Theory for Diatomic Molecules. –– N.Y. : Academic Press, 1975. 22. Gutzwiller M. Chaos in Classical and Quantum Mechanics. –– N.Y. : Springer, 1990. 23. V. Zelevinsky, B.A. Brown, N. Frazier, M. Horoi Phys. Rep. –– 1996. –– Vol. 276. –– P. 85. 24. Eisenschitz E., London F. Z. Phys. –– 1930. –– Vol. 60. –– P. 491. 25. Berry M. Proc. R. Soc. Lond. A. –– 1984. –– Vol. 45. –– P. 392. 26. Dzyaloshinskii I., Lifshitz E., Pitaevskii L. Usp. Fiz. Nauk. –– 1961. –– Vol. 73. –– P. 381. 27. Nielsen M., Chuang I. Quantum Computation and Quantum Information. –– Cambridge University Press, 2000.

Литература

425

28. Colella R., Overhauser A., Werner S. Phys. Rev. Lett. –– 1975. –– Vol. 34. –– P. 1472. 29. Feynman R. Feynman Lectures on Computation. –– Reading : Perseus Books, 1996. 30. Williams C., Clearwater S. Explorations in quantum computing. –– 1998. 31. Bohr A., Mottelson B. Nuclear Structure. –– Singapore : World Scientific, 1998. –– Vol. 1 and 2. 32. Condon E., Shortley G. Theory of Atomic Spectra. –– London, 1935. 33. Purcell E., Ramsey N. Phys. Rev. –– 1950. –– Vol. 78. –– P. 807. 34. Bennett S., Roberts J., Wieman C. E. Science. –– 1997. –– Vol. 275. –– P. 1759. 35. Holstein B. Weak Interactions in Nuclei. –– Princeton University Press, 1989. 36. I.Khriplovich, Lamoreaux S. CP Violation without Strangeness. –– N.Y. : Springer, 1997. 37. Auerbach N., Zelevinsky V. J. Phys. G. –– 2008. –– Vol. 35. –– P. 093101. 38. Baron J., et al. Science. –– 2014. –– Vol. 343. –– P. 269. 39. Itzykson C., Zuber J.-B. Quantum Field Theory. –– N.Y. : McGraw-Hill, 1980. 40. Pohl R., et al. Nature. –– 2010. –– Vol. 466. –– P. 213. 41. Rohlf J. Modern Physics from a to 𝑍0 . –– Wiley, 1994. 42. Friedrich H., Wintgen D. Phys. Rep. –– 1989. –– Vol. 183. –– P. 39. 43. Garston W., Tomkins F. Astrophys. J. –– 1969. –– Vol. 158. –– P. 839. 44. Khriplovich I., Ruban G. Laser Physics. –– 2004. –– Vol. 14. –– P. 426. 45. Silverman M. Phys. Rev. A. –– 1981. –– Vol. 24. –– P. 339, 342. 46. Lai D. Rev. Mod. Phys. –– 2001. –– Vol. 73. –– P. 629.

426

Литература

47. Yakovlev D., Pethick C. Ann. Rev. Astron. Astrophys. –– 2004. –– Vol. 42. –– P. 169. 48. Shytov A. Phys. Rev. A. –– 2004. –– Vol. 70. –– P. 05278. 49. Landau L. Phys. Z. Sowjetunion. –– 1932. –– Vol. 2. –– P. 46. 50. Zener C. Proc. Roy. Soc. –– 1932. –– Vol. A137. –– P. 696. 51. Demkov Y., Ostrovsky V. Phys. Rev. A. –– 2000. –– Vol. 61. –– P. 032705. 52. Presnyakov L., Urnov A. J. Phys. B. –– 1970. –– Vol. 3. –– P. 1267. 53. Shapere A., Wilczek F. Geometric Phases in Physics. –– World Scientific, Singapore, 1989. –– Vol. 5 of Advanced Series in Mathematical Physics. 54. Peres A. Phys. Rev. A. –– 1984. –– Vol. 30. –– P. 1610. 55. Amusia M. Y., Drukarev E. G., Mandelzweig V. B. Phys. Scr. –– 2005. –– Vol. 72. –– P. C22. 56. Chicone C. Ordinary Differential Equations with Applications. –– Springer, N.Y., 1999. 57. Otten E., Weinheimer C. Reports on Progress in Physics. –– 2008. –– Vol. 71. –– P. 086201. 58. Jaynes E., Cummings F. Proc. IEEE. –– 1963. –– Vol. 51. –– P. 89. 59. Shore B., Knight P. J. Mod. Opt. –– 1993. –– Vol. 40. –– P. 1195. 60. Buˇzek V., Jex I. J. Mod. Opt. –– 1989. –– Vol. 36. –– P. 1427. 61. Dicke R. Phys. Rev. –– 1954. –– Vol. 93. –– P. 99. 62. N. Skribanowitz, I. P. Herman, J. C. MacGillivray, M. S. Feld Phys. Rev. Lett. –– 1973. –– Vol. 30. –– P. 309. 63. Dirac P. The Principles of Quantum Mechanics. –– 4 edition. –– Oxford University Press, 1968. 64. Loudon R. The Quantum Theory of Light. –– 2 edition. –– Oxford, N.Y., 1983. 65. Silverman M., Haroche S., Gross M. Phys. Rev. A. –– 1978. –– Vol. 18. –– P. 1507, 1517.

Литература

427

66. Yoo H.-I., Eberly J. Phys. Rep. –– 1985. –– Vol. 118. –– P. 239. 67. Fermi E. Nuclear Physics. –– Chicago, 1950. 68. Weinberg S. Quantum Field Theory. –– Cambridge University Press, 1995. –– Vol. 1. 69. Lamoreaux S. Phys. Rev. Lett. –– 1997. –– Vol. 78. –– P. 5. 70. Casimir H., Polder D. Phys. Rev. –– 1948. –– Vol. 73. –– P. 360. 71. Breuer H.-P., Petruccione F. The Theory of Open Quantum Systems. –– Oxford University Press, 2002. 72. Bordag M., Mohideen U., Mostepanenko M. Phys. Rep. –– 2001. –– Vol. 353. –– P. 1. 73. Lamb W., Retherford R. Phys. Rev. –– 1947. –– Vol. 72. –– P. 241. 74. Hecht K. Quantum Mechanics. –– Springer, New York, 2000. 75. Softley T. Atomic Spectra. –– Oxford University Press, 1994. 76. Scully M., Zubairy M. Quantum Optics. –– Cambridge University Press, 1997. 77. Eisenberg J., Geiner W. Nuclear Theory, Vol. 2, Excitation Mechanisms of the Nucleus. –– North Holland, Amsterdam, 1970. 78. Amusia M. Y. Atjmic Photoeffect. –– Plenum Press, N.Y., 1990. 79. Kerker M. The Scattering of Light and Other Electromagnetic Radiation. –– Academic Press, N.Y., 1969. 80. Ashcroft N., Mermin N. Solid State Physics. –– Harcourt, Orlando, 1976. 81. Chu B. Laser Light Scattering: Basic Principles and Practice. –– Academic Press, N.Y., 1992.

429

Предметный указатель А Адамара элемент, 163 аксиальный вектор, 41–43, 177 амплитуда перехода, 266 анапольный момент, 209 атом водорода, 89 двумерная задача, 108 магнитное расщепление, 256 операторное решение, 105 основное состояние, 92 параболические координаты, 110 сверхтонкая структура, 234 связанные состояния, 89 состояния непрерывного спектра, 112 тонкая структура, 220 Штарка эффект линейный, 245 электрическое поле, 99 атом водорода -форм-фактор, 331 атомные единицы, 100 атомные спектры сверхтонкая структура, 388 тонкая структура, 388 атомный форм-фактор, 330 атомный фотоэффект, 391

Б Берри вектор, 281 бета-распад, 305 Био–Савара закон, 232 Блоха вектор, 317 брэгговское рассеяние, 422 В Ван-дер-Ваальса силы, 138 векторная модель, 205, 231 векторные сферические гармоники, 356 вероятность перехода, 264, 266 Ландау–Зенера формула, 278 Вигнера 3𝑗-символ, 202 Вигнера–Эккарта теорема, 204 внутренняя конверсия, 102 возмущение адиабатическое, 267, 273 внезапное, 283 зависящее от времени, 263 периодическое, 291 волновая функция асимптотика, 67 волновые функции фотона, 354 вращательный мультиплет, 22 вращение, 15

430 вронскиан, 70 вторичное квантование, 148 вырожденные состояния, 50, 59, 95, 111, 246 Г Ганкеля функции, 72 гармонический осциллятор SU(3)-симметрия, 84 трёхмерный, 83 генератор, 15 геометрическая фаза, 278 группа 𝒮𝒰(2), 143 𝒮𝒰(𝑛), 144 группы абелевы, 21 неабелевы, 21 Д Дайсона–Малеева представление, 30 дарвиновский член, 220 Джейнса–Каммингса модель, 310 Дзялошинского–Мория взаимодействие, 193 диабатические термы, 275 диамагнетизм, 257 диполь-дипольное взаимодействие, 139 дипольный момент, 57, 198, 208, 239 дисперсия света, 398 диэлектрическая проницаемость, 403 З запутанность, 163 зарядовый форм-фактор, 325 захват электрона, 102

Предметный указатель Зеемана эффект, 51, 248, 390 золотое правило, 291 Зоммерфельда параметр, 113 И изомерный сдвиг, 238 изотопический сдвиг, 238 инвариантность по отношению к обращению времени, 53, 208 инверсная заселённость, 374 ираст-линии, 79 К Казимира оператор, 21 Казимира сила, 359 квадрупольная сверхтонкая структура, 235 квадрупольный момент, 44, 247 квазиклассическое квантование, 92 квази-Ландау резонанс, 260 квазиэнергия, 297 квантовое состояние квазистационарное, 125, 248, 377 метастабильное, 375 одетое, 314 квантовые точки, 97 квантовый хаос, 166 квнтовое состояние поляризованное, 42 Клебша–Гордана коэффициенты, 200, 217 Клебша–Гордана ряд, 210 Кондона–Шортли соглашения, 201 Крамерса теорема, 160 кубит, 162, 307 кулоновское возбуждение, 337 Л Лагерра полиномы, 91, 104, 112

Предметный указатель обобщённые, 104 Лапласа уравнение, 34, 61, 181 Лапорта правило, 387 Лармора частота, 52 ларморовская частота, 248 Лежандра полиномы, 47, 173, 181, 212 присоединённые, 46 лестничная конструкция, 21 линейный отклик, 399 Лорентца триплет, 249 лэмбовский сдвиг, 109, 296, 364 М магические числа, 223 магнитная сверхтонкая структура, 230 магнитное поле, 50, 51, 214, 250 магнитный момент спин, 51 магнитный резонанс, 155 магнон, 30 матрицы конечных вращений, 211 матричный элемент, 205 мезоатом, 89, 94 Мейснера эффект, 259 метод факторизации, 68 молекулярный ион водорода, 134 мультипольное разложение, 180 мультипольные моменты, 329 мультипольные переходы, 197 Н Неймана функции, 71 нейтрино, 305 неприводимое представление, 169 несохранение чётности, 53, 209 О оболочечная структура, 83, 92

431 обратная кинематика, 338 оператор псевдоскаляр, 198 спинового обмена, 193 тензор, 176 операторы повышающие и понижающие, 21 орбитальный момент собственные функции, 33 сферические координаты, 31 П Паули матрицы, 147 Паули принцип исключения, 97 Пашена–Бака эффект, 255 передаваемый импульс, 324 пересечение уровней, 275 перестановка спинов, 192 плоская волна, 72 плотность заряда, 183 плотность состояний, 300 поглощение света, 376 полярный вектор, 42 постоянная тонкой структуры, 215 потенциал ангармоничность четвёртой степени, 126 кубическая ангармоничность, 125 кулоновский, 89, 181 сферическая яма, 74 центрально-симметричный, 65 эффективный центробежный, 63 правила отбора, 27, 179, 197 правила сумм, 101, 379 приближение вращающегося поля, 306

432 приведённая масса, 58 приведённый матричный элемент, 205 причинность, 401 процесс встряхивания, 287 Пуассона уравнение, 34 Р Раби частота, 309 радиальный импульс, 60 разделение переменных, 59 рассеяние быстрых частиц, 321 неупругое, 332 резерфордовское, 324 упругое, 326 рассеяние света, 412 резерфордовское сечение, 116 резонансная передача возбуждения, 141 релятивистская поправка, 213, 220 Рунге–Ленца вектор, 105 С сверхизлучение, 315 сверхсильное магнитное поле, 261 сечение рассеяния дифференциальное, 323 сила осциллятора, 379 силы осцилляторов, 243 симметрия спонтанное нарушение, 59 слабое взаимодействие, 102 случайное вырождение, 213, 222, 245 соотношение неопределённостей, 93, 221 спин генератор поворотов, 17 спин 1/2, 191

Предметный указатель спинор, 150 спин-орбитальная связь, 187 спин-орбитальное взаимодействие, 213 спин-орбитальное расщепление, 215 статическая поляризуемость, 240 сферическая волна, 64 сферические функции, 33, 34, 170, 173, 212 Т тензор, 42 тензор поляризации, 403 теорема о непересечении, 119 теория возмущений адиабатическая, 128 близкие уровни, 127 линейный отклик, 241 Рэлея–Шрёдингера теория, 119 стационарная, 117 сходимость, 124 томасовская половинка, 215 тонкая структура в атомах, 223 У угловой момент компоненты на внутренние оси, 172 матричные элементы, 27 общая теория, 31 орбитальный, 15 полный, 17, 50 сложение, 185 Швингера представление, 317 Х химический сдвиг, 238 Холстейна–Примакова преобразование, 29, 145 хронологическое упорядочение, 270

Предметный указатель Ч чётность, 198 Ш Штерна–Герлаха эксперимент, 154, 235 Э Эйлера уравнение, 65 Эйлера–Маклорена формула, 361 Эйнштейна коэффициенты, 371 экранировка, 97, 98, 330 электрическое поле, 214, 239, 245 электромагнитное поле взаимодействие с веществом, 368 градиентная инвариантность, 344 излучение, 369 измеримость, 352 квантование, 348 когерентные состояния, 351 мультипольность, 358, 383 Пойнтинга вектор, 350 поперечность, 345 энергия нулевых колебаний, 350 электромагнитные мультиполи, 180 эллиптичиские координаты, 134

433