Введение в негладкий анализ [2изд.] 5-9669-0209-7, 266-266-266-2

Citation preview

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Лаборатория "Сверхмедленные процессы"

В.М. Миклюков

Введение в негладкий анализ Издание второе, переработанное

Волгоград 2008

ББК 22.161.558 M59 Данная работа является объектом авторского права и находится под охраной Закона РФ ’Об авторском праве и смежных правах’. Использование данной работы или любой ее части без ссылок на авторов запрещается. Нарушители авторских прав авторов настоящей работы могут быть подвергнуты административному или уголовному преследованию в порядке ст. 7.12 КоАП РФ (Нарушение авторских и смежных прав) или ст. 146 УК РФ (Нарушение авторских и смежных прав). Защита авторских прав осуществляется силами коллектива студентов юридического факультета Волгоградского государственного университета. Рецензенты: канд. физ.-мат. наук Е.Г. Григорьева доктор физ.-мат. наук А.А. Клячин Миклюков В.М. M59 Введение в негладкий анализ. Издание второе, переработанное. [Текст]: [монография]/ В.М. Миклюков; ВолГУ. — Волгоград: Изд-во ВолГУ. – 2008. — 424 стр. ISBN 5-9669-0209-7 Монография посвящена введению в негладкий анализ. Приводятся основные сведения о кусочно-гладких+ , липшицевых и ACLp -функциях и их использовании в анализе. В частности, обсуждается теорема об обратном отображении, приводится формула Кронрода – Федерера интегрирования по множествам уровня, обобщенная интегральная формула Гаусса – Грина. Доказывается теорема Каратеодори – Суворова о связи между сходимостью к ядру последовательности областей и сходимостью соответствующей последовательности отображений. Исследуется проблема продолжения функций с ограничениями на градиент, проблема триангуляции локально липшицевой поверхности, строение графиков решений нелинейных уравнений эллиптического типа в окрестности особенностей и др. Для студентов, аспирантов, инженеров и всех читателей, заинтересованных в работе с негладкими функциями. ББК 22.161.558 ISBN 5-9669-0209-7 c ○ Миклюков В.М., 2008

Светлой памяти моих учителей: Георгия Дмитриевича Суворова , Евстолии Николаевны Аравийской , Алексея Ивановича Бородина , Ивана Ильича Данилюка , Ярослава Борисовича Лопатинского

Друзьям и коллегам по ТГУ, ДонГУ и ИПММ НАН Украины .

Предисловие Монография посвящена введению в негладкий анализ. Первоначально планировалось оформить ее в виде подборки текстов для использования в спецкурсе, посвященном некоторым вопросам сверхмедленных процессов1 . Однако по мере подготовки материала становилось ясно, что имеет смысл расширить задачу. Пришло понимание, что негладкие функции — самодостаточный объект, заслуживающий отдельного специального разговора. Ниже приводятся основные сведения о негладких функциях и их применении в различных вопросах анализа. В первую очередь, мы акцентируем внимание на функциях класса Липшица, рассматривая теорию липшицевых функций как вводный раздел негладкого анализа и как начальную ступень в его освоении. В частности, приводится формула Кронрода – Федерера интегрирования по множествам уровня липшицевых функций, обобщенная интегральная формула Гаусса – Остроградского. Обсуждаются теорема об обратном отображении и негладкая версия теоремы о неявной функции. 1 См.: Записки семинара ”Сверхмедленные процессы”/ под ред. В.М. Миклюкова. Волгоград: Изд-во ВолГУ. - Вып. 1. 2006; вып. 2. 2007,

4

Исследуется проблема продолжения функций с ограничениями на градиент, проблема триангуляции локально липшицевой поверхности. При течениях жидкости или газа в канале зачастую возникают зоны стагнации — области, в которых потоки почти неподвижны. Иногда подобные зоны имеют значительные размеры. Так, если отношение длины прямоугольного канала к его ширине велико, то потенциальная функция идеального несжимаемого потока почти постоянна (и сам поток почти не меняется) на участках большой протяженности. Подобная ситуация возникает, к примеру, при стационарных течениях жидкости в длинных трубопроводах, микро- или наноканалах. В монографии приводятся некоторые оценки размеров зон стагнации решений в длинных и узких криволинейных полосах на локально липшицевых поверхностях. Изучается асимптотическое поведение локально липшицевых решений нелинейных уравнений эллиптического типа, строение графиков решений уравнений Лапласа – Бельтрами на многообразиях специального вида и др. Основная цель — дать представление читателю о наиболее распространенных приемах работы с обобщенными решениями. Во втором издании расширена глава, посвященная функциям с обобщенными производными: добавлены разделы о граничных свойствах функций и отображений класса ACLp ; добавлены главы, одна из которых описывает некоторые эффективные методы проверки взаимной однозначности кусочно-гладких отображений, другая — основы теории ACLn гомеоморфизмов. Исследования в этих направлениях были весьма продвинуты еще более 30 лет назад, однако лишь в настоящее время они начинают использоваться в приложениях, в частности в вопросах триангуляции криволинейных областей, построении сеток на поверхностях и др. Мы сочли целесообразным включить в книгу важнейшие из имеющихся здесь результатов. Более подробно с содержанием книги можно ознакомиться по оглавлению. Мы исходим здесь из желания дать представление читателю обо всех из числа наиболее важных, приложениях теории негладких функций, оставаясь при этом понятными не только профессиональным математикам, но и широкому кругу инженеров. Поэтому при определении, к примеру, обобщенного решения уравнения с частными производными мы отходим от традиционного использования в этом вопросе функций с обобщенными производными. Мы рассматриваем локально липшицевы обобщенные решения, ибо в определенной степени липшицевы функции проще и понятнее. Вместе с тем рассматриваемые в монографии классы уравнений вклю-

5

чают уравнения с сильными нелинейностями, такие, как уравнение минимальной поверхности, уравнения газовой динамики и др. В данном случае определение обобщенного решения, базирующееся на локально липшицевых функциях, является, на наш взгляд, вполне уместным. В других случаях заинтересованный читатель может расширить указанный класс обобщенных решений самостоятельно. Автор будет рад, если книга окажется полезной читателю. Владимир Михайлович Миклюков Лаборатория "Сверхмедленные процессы" Волгоградского государственного университета Университетский проспект 100 Волгоград 400062 РОССИЯ E-mail: [email protected]

Оглавление 1 Инструментарий 1.1 Покрытия в ℝn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Покрытия шарами . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Теоремы Безиковича и Витали . . . . . 1.1.3 Размерность по Минковскому . . . . . . 1.2 Мера и размерность по Хаусдорфу . . . . . . . 1.2.1 Определение и примеры . . . . . . . . . 1.2.2 Логарифмическая мера . . . . . . . . . 1.2.3 α-Мера Хаусдорфа . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Фракталы . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Измеримые множества и функции . . . . . . . 1.3.1 Измеримые множества . . . . . . . . . . 1.3.2 Счетно-аддитивные функции множеств 1.3.3 Измеримые функции . . . . . . . . . . . 1.3.4 Теоремы Егорова и Лузина . . . . . . . 1.3.5 Полунепрерывность и измеримость . . . 1.3.6 Категория, точки плотности . . . . . . 1.4 N -свойство Лузина . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Условия Гельдера и Липшица . . . . . . 1.4.2 N -свойство . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Повторное интегрирование . . . . . . . . . . . 1.5.1 Теорема Фубини . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Теорема Тонелли . . . . . . . . . . . . . 1.6 Спрямляемость и периметр . . . . . . . . . . . 1.6.1 Спрямляемые множества . . . . . . . . 1.6.2 Вполне m-неспрямляемые множества . 1.6.3 Периметр и аппроксимативная нормаль 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 12 12 17 18 18 19 19 20 21 21 21 22 26 26 27 28 29 29 30 32 32 33 34 34 35 35

ОГЛАВЛЕНИЕ

7

2 Липшицевы функции 37 2.1 Искажение меры и размерности . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Теорема Степанова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Производная Кларка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4.1 Норма и ко-норма матрицы . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4.2 Понятие производной Кларка . . . . . . . . . . . . . 46 2.4.3 Теорема о среднем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5 Формула Кронрода – Федерера . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5.1 Матрица Якоби (f ′ (a)) . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5.2 Замена переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6 Обобщенная формула Гаусса – Остроградского . . . . . . . 58 2.6.1 Формула Крофтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.6.2 Формула Гаусса – Остроградского для липшицевых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3 Функции с обобщенными производными 3.1 Функции класса ACLp . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Обобщенные производные . . . . . . . . . . . 3.1.2 Аппроксимация . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Цепное правило . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Принцип длины и площади . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Модульная версия принципа . . . . . . . . . 3.2.2 Оценка колебания на сфере . . . . . . . . . . 3.2.3 Монотонные функции . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Принцип длины и площади на поверхности . 3.3 Замечания о функциях класса ACLΦ . . . . . . . . . 3.4 Скорость стабилизации вблизи границы . . . . . . . 3.4.1 p-Емкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Допустимая скорость стабилизации . . . . . 3.4.3 Доказательство теоремы 3.4.1 . . . . . . . . . 3.5 Граничные свойства монотонных отображений . . . 3.5.1 Множество B 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Предельные множества вдоль конусов . . . . 3.5.3 Условие существования углового граничного значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Емкостная характеристика множества SV . . 3.5.5 Плоский случай . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

61 61 61 63 65 66 66 72 74 78 81 84 84 85 86 94 94 95

. . . . 98 . . . . 100 . . . . 103

8

4 Кусочно-гладкие отображения 4.1 Некоторые общие топологические факты . . 4.1.1 Теоремы Кудрявцева . . . . . . . . . . 4.1.2 Обобщения . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Теорема Чернавского . . . . . . . . . . 4.2 Кусочно-гладкие+ отображения . . . . . . . . 4.2.1 Определения . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Геометрический смысл J(a, f ± ) . . . . 4.2.3 Условие локальной гомеоморфности . 4.2.4 Проверка глобальной гомеоморфности 4.2.5 Сопутствующие результаты . . . . . .

ОГЛАВЛЕНИЕ

. . . . . . . . . .

5 Липшицевы отображения 5.1 Теорема об обратной функции . . . . . . . . . 5.1.1 Обратное отображение . . . . . . . . . . 5.1.2 Теорема об открытом отображении . . . 5.1.3 Локально липшицевы отображения . . 5.1.4 Теоремы Адамара и Ефимова . . . . . . 5.2 Искажение при билипшицевых отображениях . 5.2.1 К постановке проблемы . . . . . . . . . 5.2.2 Дилатация . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Изотермические координаты . . . . . . 5.2.4 Квазиизометрия . . . . . . . . . . . . . 5.2.5 Условие квазиизометричности . . . . . 5.2.6 Дисторсия и квазивыпуклость . . . . . 5.2.7 Дисторсия треугольников . . . . . . . . 5.2.8 Условие сохранения ориентации . . . . 5.3 Неявные функции . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Теорема о неявной функции . . . . . . . 5.3.2 Доказательство теоремы 5.3.1 . . . . . . 5.3.3 Кусочно-гладкая+ версия теоремы . . . 5.3.4 Доказательство теоремы 5.3.2 . . . . . . 5.3.5 Два примера к теореме 5.3.2 . . . . . . 5.4 Критические точки и критические значения . 5.4.1 Контингенция и ее свойства . . . . . . . 5.4.2 Теорема Морса – Сарда . . . . . . . . . 5.4.3 Негладкие отображения . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

104 104 104 106 107 111 111 112 114 114 116

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118 118 118 122 123 124 133 133 134 135 136 138 140 144 146 148 148 150 154 155 157 158 159 161 165

ОГЛАВЛЕНИЕ

6 Продолжение липшицевых функций 6.1 Теоремы Уитни и Кирсбрауна . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 C 1 -Продолжение . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Теорема об аппроксимации . . . . . . . . . . . 6.1.3 Lip-Продолжение . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Продолжение при ограничениях на градиент . . . . . 6.2.1 Вариационная проблема . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Задача о продолжении . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Функции в псевдометрических пространствах . 6.2.4 Финслерова метрика . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5 Сравнение границы ∂Ωρ с евклидовой . . . . . 6.2.6 Условие p-равномерности области . . . . . . .

9

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

7 ACLn -гомеоморфизмы 7.1 Поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Относительное расстояние I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Граничные элементы и простые концы области . . . . . . . 7.3.1 Граничные элементы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Простые концы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Области с компактным пополнением . . . . . . . . . 7.4 Оценка искажения относительного расстояния I . . . . . . 7.5 Примеры несуществования ACLn -гомеоморфизмов . . . . . 7.5.1 Области с некомпактным пополнением . . . . . . . 7.5.2 Области с недостижимыми простыми концами . . . 7.5.3 Классификация простых концов . . . . . . . . . . . 7.5.4 Области с простыми концами пятого типа . . . . . . 7.6 Семейства ACLn -гомеоморфизмов . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1 Характеристики квазиконформности . . . . . . . . . 7.6.2 Классы отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.3 Относительное расстояние II . . . . . . . . . . . . . 7.6.4 Двусторонняя оценка относительного расстояния II 7.6.5 Следствия: искажение евклидова расстояния . . . . 7.7 Теорема Каратеодори – Суворова о сходимости к ядру . . 7.7.1 Сходимость к ядру последовательности областей . . 7.7.2 Равностепенная непрерывность и равностепенная открытость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.3 Теорема Каратеодори – Суворова . . . . . . . . . . . 7.7.4 Другая нормировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8 Теорема Овчинникова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.1 Оценка снизу интеграла Дирихле . . . . . . . . . . .

167 167 167 168 169 170 170 172 173 183 191 199 203 204 206 209 209 210 211 212 216 216 217 221 222 225 226 229 231 235 248 251 251 253 254 258 260 260

10

ОГЛАВЛЕНИЕ

7.8.2

Два примера невозможности отображения . . . . . 264

8 Обобщенные решения 8.1 Классы нелинейных уравнений . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Решения и субрешения . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 p-Гармонические функции . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Уравнение минимальной поверхности . . . . . 8.1.4 Уравнение газовой динамики . . . . . . . . . . 8.2 Принцип максимума для разности решений . . . . . . 8.2.1 Формулировки основных результатов . . . . . 8.2.2 Доказательство теоремы 8.2.1 . . . . . . . . . . 8.3 Теорема о трех сферах для p-гармонических функций 8.3.1 Теорема Адамара . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Основные результаты . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Доказательство теоремы 8.3.2 . . . . . . . . . . 8.3.4 Доказательства следствий . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

9 Альтернативное определение обобщенного решения 9.1 Идеальные потоки в узких и длинных полосах . . . . . 9.1.1 Зоны стагнации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Размеры зон стагнации . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3 Уравнение Лапласа-Бельтрами . . . . . . . . . . 9.1.4 Примеры метрик . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.5 Оценки колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.6 Энергетические оценки . . . . . . . . . . . . . . 9.1.7 Доказательства теорем 9.1.1 и 9.1.2 . . . . . . . 9.2 Абсолютно непрозрачная граница . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Зоны стагнации вблизи непрозрачной границы . 9.2.2 Подготовительные результаты . . . . . . . . . . 9.2.3 Доказательство теоремы 9.2.1 . . . . . . . . . . . 9.2.4 Случай евклидовой метрики . . . . . . . . . . . 9.3 Условие нетривиальности решений в зонах стагнации . 9.3.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Класс уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3 F -Емкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.4 Основная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.5 Следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

266 266 266 268 275 277 278 278 280 286 286 287 288 296

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

298 298 298 299 302 304 308 313 322 324 325 328 339 341 346 346 346 348 349 355

ОГЛАВЛЕНИЕ

10 Решения на сферических конусах 10.1 n-Гармонические функции . . . . . . . . . . . 10.1.1 Основные результаты . . . . . . . . . 10.1.2 Липшицевы решения на многообразии 10.2 Свойства решений . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Поведение вблизи сингулярной точки 10.2.2 Теорема типа теоремы Лиувилля . . . 10.2.3 Метод Карлемана . . . . . . . . . . . 10.2.4 Неравенство Аримы . . . . . . . . . . 10.3 Доказательство теоремы Вимана . . . . . . . 10.4 Доказательство теоремы Аримы . . . . . . .

11

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

358 358 358 361 369 369 372 377 385 386 387

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 Именной указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .411 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

Глава 1

Инструментарий 1.1

Покрытия в ℝn

Для более полного знакомства с материалами данного раздела см. Сакс [Saks49], Гусман [Guz78], Эванс и Гариепи [EG92], Маттила [Mat95], Хейнонен [Hei01]. 1.1.1

Покрытия шарами

Сначала мы дадим краткое описание теорем покрытия Витали и Безиковича. Пусть M – метрическое пространство с метрикой ρ(x, y) и пусть Ξ – семейство множеств Δ ⊂ M . Пусть E – подмножество M . Семейство Ξ называется покрытием E, если E ⊂ ∪Δ∈Ξ Δ . Для произвольной точки x ∈ M полагаем , { 1, ∑ π(x; Ξ) = χΔ (x) , где χΔ (x) = 0, Δ∈Ξ есть характеристическая функция множества Δ. Число, возможно равное +∞, π(Ξ) = sup π(x, Ξ) x∈M

называется кратностью покрытия Ξ. 12

для x ∈ Δ для x ∈ M ∖ Δ

1.1. ПОКРЫТИЯ В ℝN

13

Пусть M – метрическое пространство с метрикой ρ и пусть B(x, r) = {y ∈ M : ρ(x, y) < r} – шар с центром в точке x ∈ M и радиусом r > 0. Вначале мы докажем одну полезную теорему о покрытиях множеств в ℝn шарами. Теорема 1.1.1 Пусть E – ограниченное подмножество ℝn . Предположим, что для всякой точки x ∈ E найдется шар B ∈ {B(x, r(x))}x∈E . Существуют постоянная N (n), зависящая только от n, и последовательность шаров {Bk }∞ k=1 , Bk ∈ {B(x, r(x))}x∈E , такие, что E ⊂ ∞ ∪k=1 Bk и π ({Bk }∞ k=1 ) ≤ N (n) . Доказательство. Положим a0 = supx∈E r(x). Если a0 = ∞, то мы можем покрыть E одним шаром. Таким образом, мы будем предполагать, что a0 < ∞. √ Зафиксируем постоянную q, 2/ 5 < q < 1. Выберем шар B1 = B(x1 , r(x1 )) с центром в точке x1 ∈ E так, чтобы r(x1 ) > q a0 . Положим a1 = supx∈E∖B1 r(x). Ясно, что a1 ≤ a0 . Выберем шар B2 = B(x2 , r(x2 )) со свойствами x2 ∈ E ∖ B1 и r(x2 ) > q a1 . Продолжим данный процесс неограниченно. Предположим, что точки x1 , x2 , . . . , xm уже выбраны. Если E ∖ ∪m k=1 Bk = ∅ , то мы останавливаем процесс. В противном случае пусть am =

sup

r(x)

x∈E∖∪m k=1 Bk

и мы выбираем xm+1 ∈ E ∖ ∪m k=1 Bk так, чтобы r(xm+1 ) > q am . Если процедура выбора заканчивается через конечное число шагов, то мы получаем конечную последовательность {Bk }, в противном случае

14

ГЛАВА 1. ИНСТРУМЕНТАРИЙ

последовательность {Bk } бесконечна. Опишем некоторые ее свойства, вытекающие из метода ее конструирования. Во-первых, мы заметим, что . . . ≤ am ≤ . . . ≤ a2 ≤ a1 ≤ a0 < ∞

(1.1.1)

и ............, qam < r(xm+1 ) ≤ am , ............,

(1.1.2)

qa1 < r(x2 ) ≤ a1 , qa0 < r(x1 ) ≤ a0 . Во-вторых, пусть Bp и Bs суть два различных шара семейства {Bk }. Имеет место следующая альтернатива (α) xp ∈ / Bs = B(xs , r(xs )) и xs ∈ / Bp = B(xp , r(xp )); (β) один из центров, например xp , принадлежит шару Bs , p < s. В случае (β) соотношения (1.1.1) и (1.1.2) влекут q≤

ap−1 q r(xp ) < < 1. as r(xs )

(1.1.3)

В-третьих, наряду с шарами Bk = √ B(xk , r(xk )) мы рассмотрим концентрические с ними шары bk = B(xk , 1 − q 2 r(xk )). Шары bk взаимно не пересекаются. Действительно, если bp ∩ bs ∕= ∅, то √ √ ∣xp − xs ∣ < 1 − q 2 r(xp ) + 1 − q 2 r(xs ) ≤ √ ≤ 2 1 − q 2 max{r(xp ), r(xs )}. Но в случае (α), ∣xp − xs ∣ ≥ max{r(xp ), r(xs )}

1.1. ПОКРЫТИЯ В ℝN

15

и в случае (β), в силу (1.1.3), мы получаем ∣xp − xs ∣ > min{r(xp ), r(xs )} = r(xp ) > > qr(xs ) = q max{r(xp ), r(xs )}. √ √ Так как q ∈ (2/ 5, 1), то 2 1 − q 2 < q и, следовательно, √ ∣xp − xs ∣ ≤ 2 1 − q 2 max{r(xp ), r(xs )} < < q max{r(xp ), r(xs )} . Тем самым, предположение bp ∩ bs = ∕ ∅ ведет к противоречию и шары bp , bs суть непересекающиеся. Покажем, что lim am = 0. (1.1.4) m→∞

Предположим, что это не выполнено, т.е. существует постоянная c > 0, для которой am → c. Соотношение (1.1.2) влечет тогда, что все am ≥ c. Таким образом, r(xm ) ≥ q c при всех m = 0, 1, 2, . . . и, следовательно, найдется бесконечная последовательность взаимно неналегающих друг на друга шаров {bk } с радиусами √ √ 2 r(xk ) 1 − q ≥ qc 1 − q 2 > 0 и центрами, лежащими в ограниченном множестве E. Поскольку радиусы этих малых шаров удовлетворяют условию √ √ r(xk ) 1 − q 2 ≤ a0 1 − q 2 , то шары bk лежат в шаре радиуса √ d = diam E + 2a0 1 − q 2 , т.е. имеется √бесконечная последовательность шаров с радиусами, не менее чем qc 1 − q 2 , лежащая внутри шара радиуса d < ∞. Ясно, что это невозможно и свойство (1.1.4) доказано. Далее мы покажем, что E ⊂ ∪∞ k=1 Bk . Если это не так, то найдется ∞ точка x̃ ∈ E ∖∪k=1 Bk . Согласно (1.1.4), для достаточно больших m имеем am =

sup x∈E∖∪m k=1 Bk

r(x) < r(̃ x) .

16

ГЛАВА 1. ИНСТРУМЕНТАРИЙ

Но x̃ ∈ E ∖ ∪∞ ̃ ∈ E ∖ ∪m x). Это k=1 Bk . Тем самым, x k=1 Bk , а потому am ≥ r(̃ не возможно. В заключение оценим кратность покрытия {Bk }∞ k=1 . Во-первых, заметим, что если точка y ∈ Bp ∩ Bs и имеет место случай α), то угол между →и− → больше, чем π . векторами − yx yx p s 3 Во-вторых, если имеет место случай (β), то для любого y ∈ / bp можно − → − → оценить угол между векторами yxp и yxs . Простые вычисления показывают, что справедлива оценка { } √ − → − → 1 2 angle (yxp , yxs ) ≥ min arccos 1 − q , arccos 2q = = arccos 2q1 ≡

π 3

−η

(с постоянной η, зависящей лишь от q). Теперь мы можем завершить доказательство теоремы 1.1.1. Предположим, что точка y ∈ ℝn принадлежит N шарам последовательности {Bk }, т.е., y ∈ ∩N (1.1.5) k=1 Bk . Оценим сверху число N . Если y принадлежит каждому из Bk , то мы пропускаем соответствующий шар в (1.1.5) и пишем, что −1 y ∈ ∩N k=1 Bk .

Для произвольной пары Bp и Bs данного семейства, воспользуемся оцен→и− →, полученной выше. Это величина больше, кой для угла между − yx yx p s π чем 3 − η. Однако число отрезков, выходящих из единственной точки y и имеющих между собой достаточно большой угол, зависит только от размерности ℝn и этого угла. Тем самым, N − 1 ≤ N (n, η) , где N (n, η) есть величина, зависящая исключительно от n и η. Таким образом, η зависит только от q, и мы приходим к нужному результату. Теорема 1.1.1 доказана. □ Для достаточно малых η выполнено N (2, η) = 6 и N (3, η) = 12. Это суть важные результаты теории упаковок. Другие точные оценки для величин N (n, η) не известны (см. комментарии в [CS88, §1 глава I]).

1.1. ПОКРЫТИЯ В ℝN

1.1.2

17

Теоремы Безиковича и Витали

Следующее утверждение представляет собой классическую теорему покрытия, принадлежащую Безиковичу. См. [EG92, раздел 1.5.2], [Guz78, глава 1, §1]. Теорема 1.1.2 Пусть E – множество в ℝn , и пусть Ξ – семейство n замкнутых шаров B n = B (x, r(x)) с центрами в x ∈ E и радиусами r(x), sup r(x) < ∞ . x∈E

Тогда найдутся семейства Ξ1 , Ξ2 , . . . , ΞN (n) ⊂ Ξ , каждое из которых является счетным объединением взаимно неналегающих шаров из Ξ и n

N (n)

E ⊂ ∪k=1 ∪B∈Ξk B (x, r(x)) . Здесь постоянная N (n) зависит только от n. Ясно, что при этом кратность полученного покрытия E не превосходит N (n). Следующее утверждение есть классическая теорема Витали. n

Теорема 1.1.3 Пусть Ξ = {B (x, r(x))} — семейство замкнутых nмерных шаров в ℝn , sup r(x) < ∞ . n

B (x,r(x))∈Ξ

Тогда в Ξ существует счетное подсемейство F взаимно неналегающих друг на друга шаров такое, что n

n

∪B(x,r(x))∈Ξ B (x, r(x)) ⊂ ∪B∈F B (x, 5 r(x)). Доказательство см., например, в разделе 1.5.1 [EG92] либо в главе 1, секции 2 [Mat95].

18

ГЛАВА 1. ИНСТРУМЕНТАРИЙ

1.1.3

Размерность по Минковскому

Пусть E ⊂ ℝn – непустое ограниченное множество. Зафиксируем 0 < ε < ∞ и обозначим через N (E, ε) наименьшее число шаров с радиусами r ≤ ε необходимых для покрытия E, то есть, n

N (E, ε) = min{k : E ⊂ ∪ki=1 B (xi , r(xi )), r(xi ) ≤ ε ,

xi ∈ ℝn }.

Верхняя и нижняя размерности Минковского множества E определяются следующим образом dimM (E) = inf{s : lim sup N (E, ε)εs = 0} ε→0

и dimM (E) = inf{s : lim inf N (E, ε)εs = 0} . ε→0

Ясно, что dimM (E) ≤ dimM (E) . Простой пример множества E ⊂ ℝn со свойством dimM (E) < dimM (E) см. в [Mat95, раздел 5]. Нетрудно доказать, что dimM (E) = lim sup ε→0

log N (E, ε) log (1/ε)

и log N (E, ε) . ε→0 log (1/ε)

dimM (E) = lim inf

1.2

Мера и размерность по Хаусдорфу

h-Меру Хаусдорфа и размерность по Хаусдорфу можно определить в произвольном метрическом пространстве.

1.2. МЕРА И РАЗМЕРНОСТЬ ПО ХАУСДОРФУ

1.2.1

19

Определение и примеры

Непрерывная неубывающая функция h(t) : (0, ∞) → (0, ∞) называется калибровочной. Пусть E – множество в метрическом пространстве M . Зафиксируем ε > 0. Положим ∞ ∑ h h(r(xk )) , H (E, ε) = inf Ξ

k=1

где точная нижняя грань берется по всем ε-покрытиям Ξ множества E n шарами B (xk , r(xk )), k = 1, 2, . . .. Ясно, что Hh (E, ε) не убывает при ε → 0. h-Мера E определяется как величина Hh (E) = lim Hh (E, ε). (1.2.6) ε→0

Будем говорить, что некоторое свойство выполнено Hh -почти всюду на E, если существует подмножество Q ⊂ E, для которого Hh (E ∖Q) = 0 и такое, что это свойство имеет место в каждой точке x ∈ Q. 1.2.2

Логарифмическая мера

Рассмотрим два примера. Пример 1.2.1 Калибровочная функция h(t) ≡ 1. Тогда мы имеем Hh (E) равна числу точек множества E . □ Пример 1.2.2 Калибровочная функция ⎧ −1 l при t < 1/e ⎨ (ln 1/t) h(t) = при t ≥ 1/e . l ⎩ 1 В данном случае Hh -мера называется логарифмической мерой Хаусдорфа. □

20

1.2.3

ГЛАВА 1. ИНСТРУМЕНТАРИЙ

α-Мера Хаусдорфа

В случае, когда калибровочная функция h(t) = c(α)tα , где α ≥ 0 – постоянная и ∫∞ π α/2 c(α) = α , Γ(s) = e−x xs−1 dx (0 < s < ∞), Γ( 2 + 1) 0

мы пишем

Hh (E) = Hα (E)

и говорим, что Hα (E) есть хаусдорфова α-мера множества E ⊂ M . Пусть E ⊂ M и Hs (E) < ∞, s ≥ 0. Фиксируем t, s < t < ∞ и q > 0. Существуют шары n Bk = B (xk , r(xk )) такие, что rk = r(xk ) < q, E ⊂ ∪∞ k=1 Bk и ∞ ∑ c(s)rks ≤ Hs (E) + 1 . k=1

Здесь мы имеем Ht (E) ≤

∞ ∑

c(t)rkt =

k=1 ∞

c(t) ∑ c(s)rks rkt−s ≤ = c(s) k=1

≤

c(t) t−s s q (H (E) + 1) . c(s)

Если q → 0, то мы получаем Ht (E) = 0. Таким образом, мы доказали утверждение. Теорема 1.2.1 Пусть E ⊂ M ⊂ ℝn – множество и 0 ≤ s < t < ∞. Если Hs (E) < ∞, то Ht (E) = 0.

1.3. ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ

21

Теорема 1.2.1 дает возможность определить хаусдорфову размерность dimH множества E ⊂ M следующим образом dimH (E) ≡ inf{0 ≤ α < ∞ : Hα (E) = 0}. Отметим, что dimH (E) = k для всякого ограниченного открытого подмножества E ⊂ S произвольной k-мерной гладкой поверхности S в ℝn , 1 ≤ k ≤ n. Нетрудно доказать следующее соотношение между размерностями Хаусдорфа и Минковского dimH (E) ≤ dimM (E) .

1.2.4

Фракталы

Вообще говоря, размерность dimH (E) не обязательно целая. Для всякого α, 0 ≤ α ≤ n, найдутся подмножества E пространства ℝn , для которых dimH (E) = α. К примеру, канторовы множества могут быть самоподобны в том смысле, что после преобразования подобия локально идентичны оригиналу. Мандельброт [Man77, §2.3], [Man83, §2.3] моделирует многие природные феномены 1 как множества и процессы, называемые фракталами. Другие приложения множеств с размерностью фракций dimH могут быть найдены, например, в [PT86]. ”Фрактальные” закономерности, базирующиеся на использовании рекуррентных способов задания, — по-видимому, одна из немногих возможностей, использование которой позволяет эффективно описывать множества сложного вида со сколь угодно высокой точностью. 1.3 1.3.1

Измеримые множества и функции Измеримые множества

Пусть E – подмножество метрического пространства M . Будем говорить, что E является h-измеримым, если для всякого открытого множества 1

Для примера, облака, горы и др.

22

ГЛАВА 1. ИНСТРУМЕНТАРИЙ

Q ⊂ M выполняется Hh (Q) = Hh (Q ∩ E) + Hh (Q ∖ E). Ясно, что если Hh (E) = 0, то E является h-измеримым, и E ⊂ M является h-измеримым тогда и только тогда, когда h-измеримо множество M ∖ E. Следующее утверждение см. в [Saks49, глава II, §4] или [EG92, раздел 1.1]. Теорема 1.3.1 Пусть {Ek }∞ k=1 – последовательность h-измеримых подмножеств метрического пространства M . ∞ (i) Множества ∪∞ k=1 Ek и ∩k=1 Ek являются h-измеримыми. (ii) Справедливо неравенство H

h

(∪∞ k=1 Ek )

≤

∞ ∑

Hh (Ek )

k=1

и, если множества Ek , k = 1, 2 . . . взаимно неналегающие, то2 H

h

(∪∞ k=1 Ek )

=

∞ ∑

Hh (Ek ) .

k=1

(iii) Если E1 ⊂ . . . Ek ⊂ Ek+1 ⊂ . . ., то lim Hh (Ek ) = Hh (∪∞ k=1 Ek ) .

k→∞

(iv) Если E1 ⊃ . . . Ek ⊃ Ek+1 ⊃ . . . и если Hh (E1 ) < ∞, то lim Hh (Ek ) = Hh (∩∞ k=1 Ek ) .

k→∞

1.3.2

Счетно-аддитивные функции множеств

Пусть h(r) – непрерывная функция, определенная для всех r ≥ 0, неубывающая и подчиненная условиям h(0) = 0 , 2

h(r) > 0 при r > 0 и h(+∞) > 1 .

Данное свойство называется счетной-аддитивностью h-меры.

1.3. ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ

23

Пусть mh (E) – функция, определенная для всех h-измеримых подмножеств E некоторого h-измеримого множества M ⊂ ℝn . Будем говорить, что mh (E) является счетно - аддитивной, если для произвольного счетного семейства попарно непересекающихся h-измеримых множеств {Ei }, Ei ⊂ M , i = 1, 2, . . . , ∞, выполнено mh (∪∞ i=1 Ei )

=

∞ ∑

mh (Ei ) .

i=1

Следующее утверждение часто называют леммой Картана – Альфорса. Относительно истории вопроса см. Лелон-Ферран [LF55, глава I раздел 11]. Теорема 1.3.1 Пусть mh (E) – счетно - аддитивная неотрицательная функция, определенная для всякого h-измеримого множества E, содержащегося в некотором измеримом множестве M ⊂ ℝn . Предположим, что mh (M ) = K < +∞ и обозначим μ(x, r) = mh (B(x, r) ∩ M ) . Пусть, наконец, A – какое-либо число, удовлетворяющее неравенству AK < 1. Тогда всюду на M за возможным исключением множества точек h-меры меньше C(n)AK выполнено h(r) , A где C(n) – некоторая постоянная, C(3) = 17. μ(x, r)
1 , A то точная верхняя грань r, удовлетворяющих неравенству λ1 (r) > h(r)/A, является конечным числом. Мы обозначим его через r1 . Функция λ1 (r) не убывает и потому существуют пределы λ1 (+∞) = K
λ1 (r1 ) − . 2 Рассмотрим замкнутый шар Br1 (x1 ) с центром в точке x1 и радиусом r1 . Пусть λ2 (r) есть точная верхняя грань функции μ(x, r) по всевозможным точкам x ∈ ℝn ∖ Br1 (x1 ) и пусть r2 есть точная верхняя грань множества значений r таких, что λ1 (r1 ± 0) = λ1 (r1 ) =

λ2 (r) >

h(r) . A

Так как λ2 (r) ≤ λ1 (r), то r2 ≤ r1 . Как и выше, устанавливается равенство λ2 (r2 ) = h(r2 )/A и находится точка x2 ∈ ℝn ∖ Br1 (x1 ), для которой μ(x2 , r2 ) > λ2 (r2 ) −

K . 4

Рассмотрим замкнутый шар Br2 (x2 ) с центром в x2 и радиусом r2 . Пусть λ3 (r) есть точная верхняя грань функции μ(x, r) по всевозможным точкам x ∈ ℝn ∖ (Br1 (x1 ) ∪ Br2 (x2 )) и т.д. Тем самым, найдется последовательность замкнутых шаров {Brk (xk )}, радиусы которых образуют невозрастающую последовательность, удовлетворяющую условиям λk (rk ) =

h(rk ) , A

μ(xk , rk ) > λk (rk ) −

K 2k

(1.3.8)

1.3. ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ

25

и такую, что неравенство r > rk имеет следствием неравенство μ(x, r)
3 рассуждения отличаются лишь незначительно. □ В качестве простого следствия теоремы 1.3.1 имеем: Следствие 1.3.1 Пусть μ – счетно - аддитивная неотрицательная функция, определенная для всякого Hn -измеримого множества E ⊂ ℝn и такая, что μ(ℝn ) < ∞. Пусть h(r), 0 ≤ r < ∞, – неубывающая функция, причем h(0) = 0 и h(r) → ∞ при r → ∞. Тогда всюду в ℝn за возможным исключением множества нулевой h-меры Хаусдорфа выполнено / lim μ(B(x, r)) h(r) = const , r→0

где постоянная зависит, вообще говоря, от точки x ∈ ℝn .

26

1.3.3

ГЛАВА 1. ИНСТРУМЕНТАРИЙ

Измеримые функции

Пусть U ⊂ M – открытое множество. Отображение f : U → M называется h-измеримым, если для всякого h-измеримого множества D ⊂ M прообраз f −1 (D) также h-измерим. Доказательство следующего утверждения заинтересованный читатель может провести самостоятельно. Теорема 1.3.2 Пусть f, g — h-измеримые функции. Тогда функции f ± g, ∣f ∣, min (f, g) и max (f, g) также h-измеримы. Если функции fk : U → ℝ, k = 1, 2, . . . , h-измеримы, то функции lim inf fk , k→∞

lim sup fk , k→∞

inf fk ,

k≥1

sup fk k≥1

также h-измеримы. 1.3.4

Теоремы Егорова и Лузина

Следующая теорема носит имя Егорова (1911). Теорема 1.3.3 Предположим, что отображения fk : M → ℝn , k = 1, 2, . . . являются h-измеримыми. Предположим также, что h-измеримо множество A ⊂ M , Hh (A) < ∞, и fk → g h-почти везде на A. Тогда для всякого ε > 0 найдется h-измеримое множество Q ⊂ A такое, что (i) Hh (A ∖ Q) < ε и (ii) fk → g равномерно на Q. Доказательство теоремы 1.3.2 см., например, в [Saks49, глава I, §8], [EG92, раздел 1.1] и теоремы 1.3.3 — в [Saks49, глава I, §9], [EG92, раздел 1.2]. □ Пусть E ⊂ ℝn . При α = n мера Hn (E) есть обычный n-мерный объем множества E. В случаях n = 1, c(1) = 2, и n = 2, c(2) = π, величины H1 (E) и H2 (E) суть длина и площадь множества E ⊂ ℝn , соответственно. Мера Hn (E) на ℝn называется мерой Лебега и обладает многими специальными свойствамти. Напомним теорему Лузина о непрерывности измеримой функции.

1.3. ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ

27

Теорема 1.3.4 Пусть f : ℝn → ℝ есть Hn -измеримая функция. Предположим, что множество A ⊂ ℝn является Hn -измеримым, причем Hn (A) < ∞. Фиксируем ε > 0. Тогда существует некоторое компактное множество K ⊂ A такое, что (i) Hn (A ∖ K) < ε и (ii) сужение f ∣K непрерывно. Доказательство см. в [Saks49, глава III, §7] или [EG92, раздел 1.2]. □ Простейшие примеры Hn -измеримых множеств в ℝn доставляют открытые и замкнутые множества. Пример Hn -неизмеримого множества можно найти, например, в [GO67, глава 8, n. 11]. Заметим, что все существующие примеры неизмеримых множеств и функций строятся с использованием аксиомы выбора. 1.3.5

Полунепрерывность и измеримость

Примеры Hn -измеримых функций доставляют непрерывные и полунепрерывные функции [Saks49, глава II, §3]. Напомним необходимые понятия. Пусть y = f (x) – функция, определенная на множестве A ⊂ ℝn и пусть a ∈ A. Для произвольного шара B(r) = B n (a, r) пусть mf (a, r) = inf f (x) , x∈B(r)

Mf (a, r) = sup f (x) . x∈B(r)

При r → 0 данные величины монотонно стремятся к некоторым величинам mf (a) и Mf (a) так, что mf (a) ≤ f (a) ≤ Mf (a) . Если mf (a) = f (a), то функция f называется полунепрерывной снизу на множестве A в точке a. В точности так же, если Mf (a) = f (a), то функция f называется полунепрерывной сверху на множестве A в точке a. Функции, полунепрерывные снизу (сверху) в каждой точке множества A, называются полунепрерывными снизу (сверху) на A. Нетрудно устанавливается следующее утверждение [Saks49, теорема 3.3 главы II].

28

ГЛАВА 1. ИНСТРУМЕНТАРИЙ

Теорема 1.3.2 Для того чтобы функция f была полунепрерывна сверху (снизу) на множестве A, необходимо и достаточно, чтобы для каждого τ ∈ ℝ множество {x ∈ A : f (x) ≥ τ }

(соответственно {x ∈ A : f (x) ≤ τ })

было замкнутым в A. Как элементарное следствие данного утверждения, получаем: Теорема 1.3.3 Каждая функция f : A ⊂ ℝn → ℝ, полунепрерывная на Hn -измеримом множестве A является Hn -измеримой на этом множестве.

1.3.6

Категория, точки плотности

Ниже мы следуем монографии [Saks49, глава II, §9]. Определение 1.3.1 Множество, являющееся суммой счетного числа замкнутых множеств, называется множеством типа Fσ ; множество, являющееся пересечением счетного числа открытых множеств, называется множеством типа Gδ . Нетрудно показать, что всякое открытое множество и, более обще, дополнение к множеству типа Gδ есть множество типа Fσ ; обратно, всякое замкнутое множество и, более обще, дополнение к множеству типа Fσ есть множество типа Gδ . Напомним некоторые понятия. Пусть A и B – множества в метрическом пространстве P. Множество A называется плотным в B, если его замыкание A содержится в B. Множество A ⊂ P называется нигде не плотным, если оно не плотно ни в одном шаре в P. Точка x0 ∈ A называется точкой плотности множества A, если Hn (B(x0 , ε) ∩ A) = 1. lim ε→0 Hn (B(x0 , ε)) Для всякого измеримого множества точки плотности образуют множество полной меры. Наконец, порцией множества A ⊂ P называется пересечение A с произвольным шаром B(a, r) ⊂ P.

1.4. N -СВОЙСТВО ЛУЗИНА

29

Определение 1.3.2 Пусть P – произвольное замкнутое подмножество метрического пространства P. Множество E ⊂ P имеет первую категорию на P , если оно может быть представлено в виде суммы счетного числа нигде не плотных на P множеств. Множество E ⊂ P называется множеством второй категории на P , если его дополнение P ∖ E есть множество первой категории на P . Справедлива следующее утверждение, называемое теоремой Бэра. Теорема 1.3.4 В полном метрическом пространстве P всякое непустое множество P типа Gδ (и, в частности, всякое замкнутое множество) является множеством второй категории на самом себе, т.е. ∞ ∑ если P – такое множество и P = Pn , то, по крайней мере, одно из n=1

множеств Pn всюду плотно на некоторой порции множества P .

1.4

N -свойство Лузина

Отметим здесь несколько полезных свойств непрерывных функций. 1.4.1

Условия Гельдера и Липшица

Для отображения f : M → N из метрического пространства M в метрическое пространство N определим условия Гельдера и Липшица. Пусть M и N – метрические пространства с метриками ρ и r, соответственно. Пусть E ⊂ M и пусть f : E → N – отображение. Определим модуль непрерывности отображениея f на E соотношением ω(t) = ω(f, t, E) = sup r (f (x), f (y)) ,

t > 0.

x,y∈E ρ(x,y)≤t

Данная функция неотрицательна и неубывает. Заметим, что она может обращаться в +∞. Если ω(t) ≤ C tα для некоторых постоянных C > 0, α > 0 и всех t > 0, то мы говорим, что f удовлетворяет на E условию Гельдера. Функции, удовлетворяющие условию Гельдера с α > 1 на открытом множестве в ℝn , являются тождественными постоянными. Ниже мы предполагаем, что 0 < α ≤ 1.

30

ГЛАВА 1. ИНСТРУМЕНТАРИЙ

Если f удовлетворяет условию Гельдера с α = 1 на E, то f называется липшицевой функцией. Наименьшая из постоянных C называется постоянной Липшица на E и обозначается символом Lip (f ) = Lip (f, E). Мы имеем Lip (f, E) ≡ sup {r (f (x), f (y))/ ρ(x, y) : x, y ∈ E, x ∕= y} . Отображение f : M → N называется билипшицевыи (или квазиизометрическим), если оно взаимно однозначно и f , f −1 удовлетворяют условию Липшица. Говорят, что отображение f : M → N удовлетворяет условию Липшица локально на M , если сужения f ∣A на компактные подмножества A ⊂ M удовлетворяют условию Липшица. Множество функций, удовлетворяющих условию Липшица в области D, далее обозначается через Lip (D), удовлетворяющих условию Липшица локально в D — символом Liploc (D). Для произвольной функции f : D → ℝ определим ее носитель supp f = {x ∈ D : f (x) ∕= 0}. Символом Lip 0 (D) мы обозначаем множество функций f класса Lip (D) с компактными носителями supp f ⋐ D .

1.4.2

N -свойство

Функция f называется абсолютно непрерывной на отрезке [a, b], если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всякой конечной системы взаимно неналегающих интервалов в [a, b] (a1 , b1 ), . . . , (ak , bk ) , выполнено

Σki=1 (bi − ai ) < δ ,

Σki=1 ∣f (bi ) − f (ai )∣ < ε. Ясно, что всякая локально липшицева функция является абсолютно непрерывной. Следующая теорема описывает важнейшие свойства абсолютно непрерывных функций.

1.4. N -СВОЙСТВО ЛУЗИНА

31

Теорема 1.4.1 Пусть f : [a, b] → ℝ есть абсолютно непрерывная функция. Тогда (i) почти всюду на [a, b] существует производная f ′ (x), причем f ′ ∈ L1 (a, b); (ii) если f ′ (x) = 0 почти всюду на [a, b], то f (x) ≡ const; (iii) имеет место формула Ньютона – Лейбница ∫b

f ′ (x) dx = f (b) − f (a).

a

Пусть U ⊂ ℝ – открытое множество. Функция f : U → ℝ называется абсолютно непрерывной в U , если f абсолютно непрерывна на любом отрезке [a, b] ⊂ U . Лузиным [Lus51, п. 47] было введено следующее понятие. Функция f (x), непрерывная на отрезке [a, b], обладает N -свойством, если для всякого множества E ⊂ [a, b] , H1 (E) = 0 выполняется H1 f (E) = 0. Введя это понятие, Лузин далее показал, что отрицание N -свой- ства у функции f ведет к существованию на отрезке [a, b] совершенного множества Π, H1 (Π) = 0, такого , что любая порция Π (т.е. замыкание пересечения Π с произвольным интервалом (α, β) ⊂ [a, b]) преобразуется в множество H1 (f (Π)) > 0. Отсюда, в частности, следует, что в определении N -свойства можно вместо произвольных множеств E, H1 (E) = 0, говорить лишь о совершенных множествах с указанным свойством. Упражнение 1.4.1 Привести пример функции f : ℝ1 → ℝ1 , удовлетворяющей условию Гельдера с показателем 0 < α < 1, но не обладающей N -свойством Лузина. Сформулируем в удобной форме теорему Меньшова о связи N -свойства со свойством функции быть абсолютно непрерывной [Men26]. Теорема 1.4.1 Непрерывная функция f (x) абсолютно непрерывна на [a, b] тогда и только тогда, когда она обладает N -свойством и имеет почти всюду на [a, b] производную f ′ (x) ∈ L1 ([a, b]).

32

ГЛАВА 1. ИНСТРУМЕНТАРИЙ

1.5

Повторное интегрирование

1.5.1

Теорема Фубини

Приводимые ниже результаты см. в [Saks49, глава III, §8]. Пусть даны два евклидовых пространства ℝm и ℝn и пусть x = (x1 , . . . , xm ) , y = (y1 , . . . , yn ) суть точки, расположенные соответственно в ℝm и ℝn . Положим (x, y) = (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ) ∈ ℝm+n . Теорема 1.5.1 Предположим, что функция f (x, y) суммируема на некотором множестве E ⊂ ℝm+n , ограниченным или нет. Тогда для почти всех y функция f (x, y) суммируема по x, интеграл ∫ f (x, y) dx1 · · · dxm суммируем по y, причем ∫∫ ∫ ∫ f (x, y) dy1 · · · dyn . f (x, y) dx1 · · · dxm dy1 · · · dyn = dx1 · · · dxm E

Таким образом, существование (m + n)-кратного интеграла ∫∫ f (x, y) dx1 · · · dxm dy1 · · · dyn E

влечет за собой существование повторных интегралов ∫ ∫ ∫ ∫ dx1 · · · dxm f (x, y) dy1 · · · dyn , dy1 · · · dyn f (x, y) dx1 · · · dxm и равенство между собой всех трех: ∫∫ ∫ ∫ f (x, y)dy1 · · · dyn = f (x, y)dx1 · · · dxm dy1 · · · dyn = dx1 · · · dxm E

∫ =

∫ dy1 · · · dyn

f (x, y) dx1 · · · dxm .

1.5. ПОВТОРНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

33

В частности, выбирая в качестве f (x, y) характеристическую функцию множества E, приходим к соотношению ∫ Hm+n (E) = Hm (E, y) dy1 . . . dyn = ∫ =

Hn (E, x) dx1 . . . dxm ,

где (E, x) и (E, y) суть сечения множества E ⊂ ℝm+n плоскостями x = const и y = const, соответственно. Следствие 1.5.1 Если Hm+n (E) = 0, то Hm (E, y) = 0 для почти всех y и Hn (E, x) = 0 для почти всех x . 1.5.2

Теорема Тонелли

Имеет место также следующее обращение теоремы Фубини [Saks49, глава III, §8], иногда называемое теоремой Тонелли. Теорема 1.5.2 Если функция f (x, y) ≥ 0 измерима на множестве E ⊂ ℝm+n , то из конечности одного из повторных интегралов от f (x, y) следует суммируемость f (x, y) по E, существование других повторных интегралов и их совпадение. Заметим, что без дополнительных ограничений на f (x, y) теорема, обратная к теореме Фубини, вообще говоря, неверна. Следствие 1.5.2 Если множество E ⊂ ℝm+n таково, что для почти всех x выполнено Hn (E, x) = 0, то, либо множество E измеримо и Hm+n (E) = 0, либо множество E неизмеримо. Последний случай действительно реализуем. В. Серпинскому [Sie20] принадлежит пример неизмеримого плоского множества, расположенного в квадрате, со сторонами, параллельными координатным осям, которое с каждым сечением квадрата прямой, параллельных любой из координатных осей, имеет ровно одну общую точку.

34

ГЛАВА 1. ИНСТРУМЕНТАРИЙ

1.6

Спрямляемость и периметр

Определяются спрямляемые множества и периметр множества. 1.6.1

Спрямляемые множества

Пусть E ⊂ ℝn и пусть m – целое, 1 ≤ m ≤ n. Будем следовать терминологии и обозначениям [Fed69, разделы 3.2.14, 3.2.15]. (i) множество E называется m-спрямляемым, если найдется липшицево отображение некоторого ограниченного множества из ℝm на E;3 (ii) множество E называется счетно m-спрямляемым, если E есть объединение счетного семейства m-спрямляемых множеств ; (iii) множество E называется счетно (Hk , m)-спрямляемым, если найдется счетно m-спрямляемое множество содержащее Hk -почти все точки E; (iv) множество E называется (Hk , m)-спрямляемым, если E является счетно (Hk , m)-спрямляемым и Hk (E) < ∞. Теорема 1.6.1 Если отображение f : ℝn → ℝm липшицево и m < n, то всякое множество f −1 (y) счетно (Hn−m , n − m)-спрямляемо для Hm -почти всех y. Поясним геометрический смысл m-спрямляемых множеств. Пусть μ ≥ 1 и k ≥ 1 – целые. Сначала мы напомним, что μ-мерное многообразие класса k в ℝn есть множество B ⊂ ℝn , удовлетворяющее условию: для всякой точки b ∈ B найдутся окрестность T в ℝn , диффеоморфизм класса C k σ : T → ℝn и μ-мерное векторное подпространство Z пространства ℝn такие, что σ(B ∩ T ) = Z ∩ σ(T ) . 3

В случае m = 0 множество E называется 0-спрямляемым, если E конечно.

1.6. СПРЯМЛЯЕМОСТЬ И ПЕРИМЕТР

35

Теорема 1.6.2 [Fed69, раздел 3.2.29] Множество W ⊂ ℝn является счетно (Hm , m)-спрямляемым, 1 ≤ m ≤ n, тогда и только тогда, когда Hm -почти все точки W содержатся в объединении счетного семейства m-мерных подмногообразий класса 1.

1.6.2

Вполне m-неспрямляемые множества

Множество F ⊂ ℝn называется вполне m-неспрямляемым, если Hm (E ∩ F ) = 0 для всякого m-спрямляемого множества E. Заметим, что m-спрямляемое множество не обязано иметь конечную m-мерную меру Хаусдорфа. Следующее утверждение есть теорема 15.6 из монографии Маттилы [Mat95]. Теорема 1.6.3 Если A ⊂ ℝn , Hm (A) < ∞, то существует m-спрямляемое борелевское множество B такое, что множество A ∖ B является m-неспрямляемым. Таким образом, A может быть представлено в виде m-спрямляемого и вполне m-неспрямляемого множеств E и F , A = E ∪ F,

E = A ∩ B,

F = A ∖ B.

Ясно, что вышеуказанное разложение является единственным с точностью до множеств нулевой Hm -меры. 1.6.3

Периметр и аппроксимативная нормаль

Говорят, что Hn -измеримые множества Aj ⊂ ℝn сходятся к A, если для всякого компактного множества Q ⊂ ℝn объем той части симметрической разности (A ∖ Aj ) ∪ (Aj ∖ A), которая попадает в Q, стремется к нулю, т.е. Hn (((A ∖ Aj ) ∪ (Aj ∖ A)) ∩ Q) → 0 Величина

при j → ∞.

P (A) = inf lim inf j→∞ Hn−1 (∂Dj ), где точная нижняя грань берется по всем множествам Dj ⊂ ℝn с полиэдральными (или гладкими) границами ∂Dj , сходящимися к A, называется

36

ГЛАВА 1. ИНСТРУМЕНТАРИЙ

периметром A. Множество A ⊂ ℝn имеет локально конечный периметр, если P (A ∩ B) < ∞ для всякого шара B = B(0, r) в ℝn . Чтобы выяснить геометрический смысл периметра P (A) введем следующее понятие. Пусть B n (x, ε) ⊂ ℝn – шар с центром в точке x ∈ A и радиусом ε > 0. Для произвольного единичного вектора ν полагаем Bν− (x, ε) = B n (x, ε) ∩ {y ∈ ℝn : ⟨ν, y − x⟩ < 0}, Bν+ (x, ε) = B n (x, ε) ∖ Bν− (x, ε) . Единичный вектор ν = ν(x) называется внешней аппроксимативной нормалью к A ⊂ ℝn в точке x ∈ A, если ( ) 1 ( ) lim ε−n Hn A ∩ Bν− (x, ε) = vn , lim ε−n Hn A ∩ Bν+ (x, ε) = 0 , ε→0 ε→0 2 где обозначено vn = Hn (B n (0, 1)). Если этот вектор не существует, то мы полагаем ν(x) = 0. Внешняя аппроксимативная нормаль единственна. Множество ∂ ∗ A = {x ∈ ℝn : ∣ν(x)∣ = 1} называется редуцированной границей A. Ясно, что ∂ ∗ A ⊂ ∂A. Теорема 1.6.4 Предположим, что множество A имеет локально конечный периметр в ℝn . Тогда ∂ ∗ A = ∪∞ k=1 Kk ∪ N , где

Hn−1 (N ) = 0 ,

Kk есть компактное подмножество некоторой C 1 -гиперповерхности Sk и аппроксимативная нормаль ν(x)∣Sk является нормалью к Sk (k = 1, 2 . . .). Доказательство см. в [EG92, разделе 5.7.3]. Следующее утвердение доказано в [Giorgi55] и [Fed58]. Теорема 1.6.5 Для произвольного множества A ⊂ ℝn выполняется P (A) = Hn−1 (∂ ∗ A) ≤ Hn−1 (∂A) .

□

Глава 2

Липшицевы функции Глава посвящена описанию свойств липшицевых и локально липшицевых функций.

2.1

Искажение меры и размерности

Пусть f : M → N – липшицево отображение. Если F есть образ шара B n (x, r(x)) и y = f (x), то F ⊂ B(y, r̃(x)), где r̃(x) = Lip (f ) r(x). Зафиксируем 0 ≤ s ≤ n. Пусть E ⊂ M – подмножество. Для произвольного покрытия {Bk }∞ k=1 множества E замкнутыми шарами Bk = n B (xk , r(xk )) имеем ∞ ∑ k=1

s

s

r̃ (yk ) ≤ Lip(f )

∞ ∑

rs (xk ),

yk = f (xk ).

k=1

Данное неравенство влечет оценки искажения меры Хаусдорфа и размерности Хаусдорфа. Теорема 2.1.1 Пусть f : M → N – липшицево отображение, 0 ≤ s < ∞, и E ⊂ M – некоторое подмножество. Тогда Hs (f (E)) ≤ Lip(f )s Hs (E). В частности, dimH (f (E)) ≤ dimH (E). 37

38

2.2

ГЛАВА 2. ЛИПШИЦЕВЫ ФУНКЦИИ

Дифференциал

Пусть D – область в ℝn и пусть f = (f1 , f2 , . . . , fm ) : D → ℝm ,

m ≥ 1,

– отображение. Предположим, что в точке a ∈ D существуют частные производные ∂fj , (i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m) . ∂xi Положим ⎞ ⎛ ∂f ∂f1 1 ∂x1 (a) . . . ∂xn (a) l l l l l ............... l ′ f (a) = l l. l l ⎝ ∂fm (a) . . . ∂fm (a) ⎠ ∂x1

∂xm

Символом f ′ (a) : (ℝn → ) ℝm будем обозначать линейное отображение с ∂fi матрицей f ′ (a) = ∂x (a) . j Отображение f называется дифференцируемым в точке a ∈ D, если f (x) − f (a) = f ′ (a)(x − a) + o(∣x − a∣) (x → a). Хорошо известно, что отображение f дифференцируемо в точке a, если f имеет частные производные в окрестности точки a, непрерывные в a. Если отображение f дифференцируемо в точке a ∈ D, то определена n ∑ величина df (a) = fx′ i (a) dxi , называемая его дифференциалом. i=1

2.3

Теорема Степанова

Приведем теорему Степанова [Ste23], [Ste25], часто используемую ниже. Теорема 2.3.1 Пусть E ⊂ ℝn – произвольное Hn -измеримое множество и пусть f : E → ℝ – некоторая Hn -измеримая функция. Для

2.3. ТЕОРЕМА СТЕПАНОВА

39

того, чтобы Hn -почти всюду на E функция f имела полный дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы Hn -почти всюду на E было выполнено ∣f (x) − f (a)∣ Λf (a) = lim sup < ∞. (2.3.1) ∣x − a∣ x→a Доказательство. Слегка упрощая рассуждения, мы докажем теорему в предположении, что функция f (x) определена и непрерывна в некоторой области D ⊂ ℝn , содержащей множество E. Мы будем следовать Волковыскому [Vol54, раздел 4.2]. Докажем необходимость. Пусть x0 = (x01 , . . . , x0n ) ∈ D – точка дифференцируемости функции f (x) и √ Δx = x − x0 = (h1 , . . . , hn ) , ∣Δx∣ = ρ = h21 + · · · + h2n . Тогда

| | | | | | f (x0 + Δx) − f (x0 ) | | ⟨∇f (x0 ), h⟩ |, |=| | + η(ρ) | | | | ∣Δx∣ ∣h∣ где η(ρ) → 0 при ρ → 0. Отсюда | | | ⟨∇f (x0 ), h⟩ | | = ∣∇f (x0 )∣ < ∞ . lim sup || | ∣h∣ h→0 Достаточность доказывается в два этапа. Сначала будет доказано существование почти всюду на E частных производных fxi (i = 1, . . . , n), затем будет доказано, что почти всюду на E функция f (x) обладает полным дифференциалом. Пусть E – произвольное измеримое подмножество области D и E1 ⊂ E – множество, на котором Λf (x) = ∞. Так как согласно условию теоремы, Hn (E1 ) = 0, то по теореме Фубини для почти всех x′ = (x2 , . . . , xn ) множества (E1 , x′ ), — так мы будем обозначать пересечение E1 с прямой x′ = const — имеют линейную меру нуль. Тогда, для почти всех x′ ∈ ℝn−1 выполнено H1 (E ∖ E1 , x′ ) = H1 (E, x′ ) и, поскольку Λf (x) < ∞ на (E ∖ E1 , x′ ), то, по теореме Данжуа [Saks49, глава VIII, §4], почти всюду на (E ∖ E1 , x′ ) существует производная fx1 . По теореме Тонелли 1.5.2 отсюда следует, что в случае измеримости, множество точек e ⊂ E, где fx1 не существует, имеет меру Hn (e) = 0.

40

ГЛАВА 2. ЛИПШИЦЕВЫ ФУНКЦИИ

Однако множество e измеримо вместе с множеством E ∖ e, на котором fx1 существует и, следовательно, где обращается в нуль разность 1 lim sup φn − lim inf φn , φn = (f (x1 + h, x2 , . . . , xn ) − f (x1 , x2 , . . . , xn )) . h→0 h h→0 Функции lim inf φn и lim sup φn измеримы [Saks49, глава IV, §4], откуда h→0

h→0

вытекает измеримость множества E ∖ e, а с ним и множества e. Тем самым, Hn (e) = 0 и производная fx1 существует почти всюду на E. Аналогично устанавливается существование производных fxi , i = 2, . . . , n . Отсюда ясно, что производные fx1 , . . . , fxn существуют одновременно на множестве P ⊂ E полной меры, Hn (P ) = Hn (E). Условие (2.3.1) удобно переписать в виде Λf (x) = lim Λf,r (x) < ∞ , r→0

∣f (x + Δx) − f (x)∣ . (2.3.2) ∣Δx∣ ∣Δx∣ 0. Выберем N (ε) и множество ε ε Q ⊂ P , Hn (Q) > Hn (P ) − > Hn (E) − , 2 2 на котором Λf (x) < N (ε). По теореме Д.Ф. Егорова найдется совершенное множество R ⊂ Q с мерой ε Hn (R) > Hn (Q) − > Hn (E) − ε 2 и такое, что при x ∈ R функции f (x1 , . . . , xi + hi , xi+1 , . . . , xn ) − f (x1 , . . . , xn ) Λf,r (x) , , i = 1, . . . , n , hi сходились равномерно соответственно к Λf (x) , fxi (x) , i = 1 , . . . , n . Производные fxi (x) (i = 1 , . . . , n) непрерывны на R и для любого α > 0 существует β = β(α) такое, что при x ∈ R, x+Δx ∈ D, ∣Δx∣ < β, ∣hi ∣ < β (i = 1, . . . , n) и x′ , x′′ ∈ R, ∣x′′ − x′ ∣ < β имеют место соотношения ∣f (x + Δx) − f (x)∣ < Λf (x) + α < 2N (ε) , ∣Δx∣

(2.3.3)

2.3. ТЕОРЕМА СТЕПАНОВА

41

| | | f (x1 , . . . , xi + hi , xi+1 , . . . , xn ) − f (x1 , . . . , xn ) | | | Hn (E) − ε и ε > 0 – произвольно малое число. Итак, зафиксируем произвольно большое число N > 2 и рассмотрим произвольную точку плотности x0 множества R. Найдется число ρN = ρN (x0 ) такое, что для любого шара B(x0 , ρ) = {x ∈ ℝn : ∣x − x0 ∣ < ρ} ,

ρ ≤ ρN ,

выполняется соотношение 1 Hn (B(x0 , ρ) ∩ R) > 1 − . Hn (B(0, ρ)) Nn Пусть x′ ∈ R – произвольная точка, для которой величина d = ∣x′ −x0 ∣ подчинена условию d
0 co {f ′ (x) : ∣x − x0 ∣ < δ, f ′ (x) существует,

x ∈ T}.

Ясно, что ∂ T f (x0 ) ⊂ ∂f (x0 ). Теорема 2.4.1 Пусть W – область в ℝn , и пусть T ⊂ W – множество, Hn (W ∖ T ) = 0. Пусть f, f1 , f2 – локально липшицевы отображения из W в ℝm , где 1 ≤ m < ∞. Тогда для всякого x ∈ W выполнено ∂ T f (x) = ∂f (x) .

(2.4.9)

∂(f1 + f2 )(x) ⊂ ∂f1 (x) + ∂f2 (x) .

(2.4.10)

и Доказательство (2.4.9) простое, но довольно громоздкое, см. [Clarke75] для m = 1 [Pou77], [War81] для m ∕= 1. Пусть E – множество точек, в каждой из которых хотя бы одна из функций f1 или f2 недифференцируема. Поскольку каждая из последовательностей вида (f1 + f2 )′ (xi ), где xi ∈ W ∖ E, имеет подпоследовательность в которой f1′ (xik ) и f2′ (xik ) существуют и сходятся, соотношение (2.4.10) следует из (2.4.9). □ Пример 2.4.2 Функция f (x) = x2 sin x1 дифференцируема в точке 0, однако, как нетрудно видеть, ∂f (0) содержит больше, чем одну точку f ′ (0) = 0. Действительно, ∂f (0) = [−1, 1]. Подставим f1 = f и f2 = −f в (2.4.10). Очевидно, что сказанное реализуется. □ Нам понадобится также следующее утверждение.

48

ГЛАВА 2. ЛИПШИЦЕВЫ ФУНКЦИИ

Теорема 2.4.2 Предположим, что h : W → ℝ – некоторая C 1 -функция, и f : W → ℝn – локально липшицево отображение. Тогда в каждой точке x ∈ W выполнено ∂(h ∘ f )(x) ⊂ ∇h(f (x)) ∂f (x) . Доказательство. Мы будем следовать [Clarke76]. Пользуясь теоремой 2.4.1 мы можем переписать обобщенный градиент h ∘ f в соответствии с определением 2.4.1 и, без нарушения общности, добавив условие, что точки xi лежат в дополнении T , T ⊂ W , где T , Hn (T ) = 0, есть произвольное множество. Предположим, что нами выбрано T , где f ′ существует. В каждой точке x ∈ T по цепному правилу мы можем записать ∇(h ∘ f )(x) = ∇h(f (x)) (f ′ (x)) . Таким образом, ∂(h ∘ f )(x0 ) есть выпуклая оболочка множества точек, каждая из которых имеет вид lim ∇h(f (xi )) (f ′ (xi )) ,

i→∞

где xi → x0 . Однако каждая такая точка принадлежит множеству ∇h(f (x0 )) ∂f (x0 ) . Нужное утверждение следует теперь из того факта, что последне множество выпукло. □ Упражнения и открытые вопросы 2.4.2 1) Доказать, что если c ∈ ℝ, то ∂(c f )(x) = c ∂f (x). 2) Пусть U ⊂ ℝn и V ⊂ ℝk – открытые множества, пусть f : U → ℝk – липшицево отображение, для которого f (U ) ⊂ V , и пусть g : V → ℝl – отображение класса C 1 . Доказать, что для каждого x ∈ U выполнено ∂(g ∘ f )(x) ⊂ g ′ (f (x)) ∘ ∂f (x) . 3) Пусть U ⊂ ℝn и V ⊂ ℝk – открытые множества, пусть f : U → V и пусть g : V → ℝl – липшицевы отображения. Доказать, что для всех h ∈ ℝn выполнено ∂(g ∘ f )(x) h ⊂ co {(∂g(f (x)) ∘ ∂f (x)) h} .

2.4. ПРОИЗВОДНАЯ КЛАРКА

49

4) Предположим, что U ⊂ ℝn – открытое множество и x ∈ U ; предположим, что V – также открытое множество в ℝn ; пусть f : U → V – липшицево отображение; пусть U1 ⊂ U открытое множество такое, что x ∈ U1 и сужение fU1 имеет липшицево обратное отображение (fU1 )−1 ; и пусть отображение g : V → ℝk – липшицево. Доказать цепное правило: ∂(g ∘ f )(x) ⊂ co {∂g(f (x)) ∘ ∂f (x)} . (См. [Pou77, предложения 4.8 - 4.10].)

2.4.3

Теорема о среднем

Докажем одну специальную версию хорошо известной ”теоремы о среднем”, принадлежащую Поршиу [Pou77]. См. также обзор Хайрайарт Уррути [HU80], посвященный ”теоремам о среднем” в негладком анализе. Зафиксируем точки a и b в ℝn . Обозначим через [a, b] сегмент {a + t (b − a) : t ∈ [0, 1]} . Теорема 2.4.3 Пусть U – выпуклая область в ℝn и пусть f : U → ℝk , 1 ≤ k < ∞, – локально липшицево отображение. Предположим, что a, b – точки в U . Тогда найдется A из семейства co ∪x∈[a,b] ∂f (x) , для которой выполнено f (b) − f (a) = A (b − a) .

(2.4.11)

Следствие 2.4.1 В предположениях теоремы 2.4.3, если точки a и b принадлежат выпуклому множеству U , то ∣f (b) − f (a)∣ ≤ ∣b − a∣ sup ∥∂f (x)∥ .

(2.4.12)

x∈U

Доказательство теоремы 2.4.3. Согласно теореме 2.3.1 функция f является Hn -почти всюду дифференцируемой. Пусть L(f ′ ) – множество точек, в которых f имеет полный дифференциал. На основании теоремы

50

ГЛАВА 2. ЛИПШИЦЕВЫ ФУНКЦИИ

Фубини это влечет существование последовательности {hi } в ℝn , сходящейся к 0 так, что для каждого натурального числа i отрезок [a+hi , b+hi ] лежит в U , а точки a + hi + t(b − a) — в L(f ′ ) при H1 -почти каждом t ∈ [0, 1]. Поскольку липшицевы функции абсолютно непрерывны на всяком линейном сегменте S = [a + hi , b + hi ], мы получаем ∫ f (b + hi ) − f (a + hi ) = f ′ (a + hi + t (b − a)) (b − a) dH1 (t) S

∫ =

f ′ (a + hi + t(b − a)) dH1 (t)(b − a) =

S

= Ai (b − a) , где

Ai ∈ co {f ′ (z) : z ∈ [a + hi , b + hi ] ∩ L(f ′ )} .

Переходя к подходящей подпоследовательности и перенумеровывая, если это необходимо, можем считать, что последовательность {Ai } сходится к некоторой матрице A ∈ Mk,n . Теперь мы имеем f (b) − f (a) = A (b − a) . Более того, если δ > 0, то найдется номер N , для которого при любом i ≥ N выполняется [a + hi , b + hi ] ⊂ ∪δ>0 Bδ ([a, b]) . Здесь мы заметим, что Bδ (T ) = ∪{B(z, δ) : z ∈ T } . Таким образом, находим A ∈ co {f ′ (x) : x ∈ ∪δ>0 Bδ ([a, b]) ∩ L(f ′ )} , ′

и матрица A обязана лежать в ∂ L(f ) f ([a, b]). Согласно (2.4.9) при любом ′ x мы имеем ∂ L(f ) f (x) = ∂f (x) и мы вправе заключить, что A ∈ ∂f ([a, b]). □

2.5. ФОРМУЛА КРОНРОДА – ФЕДЕРЕРА

2.5

51

Формула Кронрода – Федерера

В этом разделе мы приводим формулы для вычисления площади и коплощади при липшицевых отображениях. Более подробно см. Федерер [Fed69], Бураго и Залгаллер [BZ80], Цимер [Zie89], Эванс и Гариепи [EG92], Хайлаш [Haj00], Малый [Mal01]. 2.5.1

Матрица Якоби (f ′ (a))

Пусть f : D ⊂ ℝn → ℝm – локально липшицево отображение области D. По теореме 2.3.1 отображение f дифференцируемо почти всюду. Фиксируем точку a ∈ D, где производная f ′ (a) существует. Производная f ′ (a) есть линейное отображение f ′ (a) : ℝn → ℝm , матрица Якоби которого в стандартных базисах ℝn и ℝm имеет вид ⎛ ∂f ⎞ ∂f1 1 (a) . . . (a) ∂x ∂xn l 1 l l l l ... l ... l l. l l ⎝ ∂fm (a) . . . ∂fm (a) ⎠ ∂x1

∂xn

Случай m = n. Опишем геометрический смысл якобиана J(a, f ) = det(f ′ (a)) .

(2.5.13)

Фиксируем шар B ⊂ ℝn с центром в точке a. Образ f ′ (a) (B) есть некоторый эллипсоид, возможно вырожденный, и ∣J(a, f )∣ равен отношению объемов Hn (f ′ (a) (B)) . (2.5.14) ∣J(a, f )∣ = Hn (B) Случай n < m. Если шар B ⊂ ℝn как выше, то его образ f ′ (a)(B) является n-мерным эллипсоидом, возможно вырожденным, в m-мерном пространстве. Мы определим ∣J(a, f )∣ по той же формуле (2.5.14). Имеем √ ∣J(a, f )∣ = det (f ′ (a))T f ′ (a) ,

52

ГЛАВА 2. ЛИПШИЦЕВЫ ФУНКЦИИ

где (aij )T = (aji ) – транспонированная матрица. В развернутом виде ⎛ | ∂fi |⎞ ⎞1/2 ⎛ | 1 (a) . . . ∂fi1 (a) | 2 | ∂x1 | l ∂xn l | |l l l ∑ l | |l l l l | ... l |l l ... l (2.5.15) ∣J(a, f )∣ = l |l l . ldet | | |l l li1 t}. Действительно, функция f есть функция ограниченной вариации BV (G) (см. замечание 5.1.2 [Zie89]). По теореме 5.4.4 [Zie89] мы можем записать ∫ ∫ ∣∇f (x)∣ dx1 . . . dxn = P (Ut , G) dt, ℝ1

G

где P (Ut , G) – периметр множества Ut в G, конечный для почти всех t ∈ ℝ1 . Согласно теореме 5.8.1 [Zie89] находим P (Ut , G) = Hn−1 (∂ ∗ Ut ∩ G), что влечет (2.5.21). Напомним, что функция ϕ : S ⊂ ℝn → ℝ называется простой, если множество значений ϕ конечно. Если v1 , v2 , . . . , vN суть различные значения простой функции ϕ : S → ℝ, то ϕ может быть записана в виде ϕ(x) =

N ∑

vl χSl (x) ,

l=1

где S = ∪N Si ∩ Sj = ∅ при i ∕= j l=1 Sl , и { 1, если x ∈ U χU (x) = 0, если x ∈ ℝn ∖ U – характеристическая функция U . Предположим, что g(x) есть простая функция, другими словами, существует k измеримых множеств M1 , ..., Mk , Mj ∩ Ml = ∅, j ∕= l, и чисел α1 , α2 , ..., αk так, что g(x) =

k ∑

αi χMi (x) .

i=1

Тогда имеем ∫ g(x)∣∇f ∣ dx1 . . . dxn = E

k ∑ i=1

∫ αi Mi

∣∇f ∣ dx1 . . . dxn .

2.5. ФОРМУЛА КРОНРОДА – ФЕДЕРЕРА

55

Пусть G ⊂ D – открытое множество. В силу (2.5.21) находим ∫ ∫ χG (x)∣∇f (x)∣ dx1 . . . dxn = ∣∇f (x)∣ dx1 . . . dxn G ∫+∞

D

Hn−1 (∂ ∗ Ut ∩ G) dt

=

−∞ ∫+∞

( ∫

=

χG (x) dH

n−1

)

dt.

−∞ ∂ ∗ Ut ∩G

Если теперь M ⊂ D измеримо, то существует последовательность открытых подмножеств G1 ⊃ G2 ⊃ . . . множества D такая, что χGj → χM почти всюду. Тем самым, предыдущее соотношение имеет место и для M. Тем самым, для простой функции g(x) имеем ∫

∫+∞ dt g(x) dx1 . . . dxn = −∞

E

∫

g(x) dHn−1 .

∂ ∗ Ut ∩E

Рассмотрим теперь случай, в котором g(x) : E → ℝ является произвольной неотрицательной измеримой функцией. Существует неубывающая последовательность {gk }k=1,2,... неотрицательных простых функций, сходящаяся к g(x) на E (см. [Halm53] с. 88). Воспользуемся известной теоремой Леви об интегрировании неубывающей последовательности функций [Halm53, §27]. Теорема 2.5.2 Пусть {ϕk (x)} – последовательность неотрицательных измеримых на множестве S ⊂ ℝn функций такая, что ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x) ≤ ϕ3 (x) ≤ . . . . Тогда

∫

∫ lim ϕk (x) dx = lim

k→∞ S

ϕk (x) dx.

k→∞ S

56

ГЛАВА 2. ЛИПШИЦЕВЫ ФУНКЦИИ

В соответствии с теоремой 2.5.2 имеем ∫ ∫ g ∣∇f ∣ dx1 . . . dxn = lim gk ∣∇f ∣ dx1 . . . dxn k

E

E

∫+∞ ∫ = lim dt k

−∞

gk dHn−1 .

∂ ∗ Ut ∩E

При всяком t функции ∫ Fk (t) =

gk dHn−1

∂ ∗ Ut ∩B

образуют неубывающую последовательность и, пользуясь еще раз теоремой Леви, завершаем доказательство формулы (2.5.20). □ Пример 2.5.1 (Цилиндрические координаты) Найдем элемент объема в цилиндрических координатах. Пусть S k−1 (0, r) – (k − 1)-мерная сфера радиуса r > 0 k

{x = (x1 , . . . , xk ) ∈ ℝ :

k ∑

x2i = r2 } (1 ≤ k ≤ n),

i=1

пусть θ ∈ S k−1 = S k−1 (0, 1) – точка и пусть B k (0, r) ⊂ ℝk – шар, для которого ∂B k (0, r) = S k−1 (0, r). Цилиндрические координаты в ℝn определяются как числовые наборы (r, θ, xk , xk+1 . . . , xn ) , где 0 ≤ r < ∞, θ ∈ S k−1 , (xk+1 , . . . , xn ) ∈ ℝn−k . При k = n мы имеем сферические координаты (r, θ). Выберем f : ℝn → ℝ в виде )1/2 ( k ∑ x2i . f (x) = i=1

2.5. ФОРМУЛА КРОНРОДА – ФЕДЕРЕРА

57

На основании (2.5.16) имеем ∣J(x, f )∣ = ∣∇f (x)∣ = 1 всюду вне плоскости {(x1 , . . . , xk , xk+1 , . . . , xn ) ∈ ℝn : x1 = . . . = xk = 0} . В точках плоскости величина ∇f (x) не существует. Пусть −∞ ≤ ai < bi ≤ ∞, k + 1 ≤ i ≤ n и Qn−k = {(xk+1 , . . . , xn ) ∈ ℝn−k : ak+1 < xk+1 < bk+1 , . . . , an < xn < bn } – некоторый (n − k)-мерный параллелепипед. Рассмотрим цилиндр A = B k (0, R) × Qn−k , 0 < R < ∞. Если g : A → ℝ есть неотрицательная измеримая функция, то пользуясь формулой (2.5.18), получаем ∫ g(x) dx1 · · · dxn = A ∫

=

g(x) ∣∇f (x)∣ dx1 · · · dxn = ∣∇f (x)∣

A ∫

g(x) ∣∇f (x)∣ dx1 · · · dxn =

= A ∫R

=

r

k−1

0

∫ g(r, θ, xk+1 , . . . , xn )dθ dxk+1 · · · dxn ,

dr Ar

) ( где Ar = A ∩ S k−1 (0, r) × Qn−k . Поскольку ∫ g(r, θ, xk+1 , . . . , xn ) dθ dxk+1 · · · dxn = Ar

∫

=

∫ dθ

S k−1 (0,r)

Qn−k

g(r, θ, xk+1 , . . . , xn ) dxk+1 · · · dxn ,

58

ГЛАВА 2. ЛИПШИЦЕВЫ ФУНКЦИИ

то ∫ g(x) dx1 · · · dxn = A ∫R

=

rk−1 dr

0

∫

(2.5.22)

∫ dθ

S k−1 (0,r)

g(r, θ, xk+1 , . . . , xn ) dxk+1 · · · dxn .

Qn−k

При k = n хорошо известна формула интегрирования в сферических координатах (r, θ) для функций g, определенных в шаре B n (0, R), ∫R

∫ g(x) dx1 · · · dxn =

r 0

B n (0,R)

n−1

∫ dr

g(r, θ) dθ ,

S n−1 (0,r)

легко вытекающая из (2.5.22). □

2.6

Обобщенная формула Гаусса – Остроградского

Главная цель данного раздела — доказательство теоремы Гаусса – Остроградского для липшицевых функций. Мы получим такую теорему как следствие одного фундаментального результата Федерера [Fed69, теорема 4.5.6]. 2.6.1

Формула Крофтона

Нам потребуется некоторая интегрально – геометрическая мера J1m (часто называемая мерой Фавара). В данном разделе мы следуем [Haj00]. Пусть E ⊂ ℝn – борелевское множество и 1 ≤ m < n – целое. Мы полагаем ∫ ∫ 1 ∗ Np (y, E) dHm (y) dθn,m (p) . (2.6.23) J1m (E) = β(n, m) p∈O∗ (n,m) y∈Im p

2.6. ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА ГАУССА – ОСТРОГРАДСКОГО

59

Здесь символ O∗ (n, m) означает пространство ортогональных проекций p пространства ℝn на m-мерные линейные подпространства; символом ∗ Im p — образ при проектировании p и θn,m — мера на O∗ (n, m) инвариантная при действиях O(n), нормированная так, чтобы общая масса была 1. Через Np (y, E) мы обозначаем индикатрису Банаха1 . Грубо говоря, величина J1m определена следующим образом. Зафиксируем m-мерное линейное подпространство пространства ℝn и обозначим через p ортогональную проекцию ℝn на это подпространство. Вычислим меру образа проекции множества E, принимая во внимание кратность функции Np и усредняя результирующий интеграл по всем m-мерным линейным подпространствам ℝn . Нам необходимо определить также коэффициент β(n, m). Если E = n−1 Q есть m-мерный куб в ℝn , то двойной интеграл, стоящий в правой части (2.6.23) конечен и положителен. Коэффициент β(n, m) определяется как J1m (Qm ) = Hm (Qm ). Расширим определение J m на произвольные множества A ⊂ ℝn по формуле J1m (A) = inf {J1m : A ⊂ E, E − борелево множество } . Из определения легко следует, что J1m совпадает с Hm на полиэдральных множествах. Следующая теорема гласит, что обе меры совпадают на всех регулярных множествах. Это есть теорема Крофтона ([Fed47, теорема 5.14], [Ivan75, теорема 3 главы III] или [Haj00, теорема 7]). Теорема 2.6.1 Если множество A ⊂ ℝn счетно Hm -спрямляемо, m < n, то J1m (A) = Hm (A) . (2.6.24)

2.6.2

Формула Гаусса – Остроградского для липшицевых функций

Приведенные выше рассмотрения ведут к некоторой версии теоремы Гаусса на множествах D ⊂ ℝn , имеющих (Hn−1 , n − 1)-спрямляемую границу. 1

Индикатриса Банаха определяется как число точек множества p−1 (y) ∩ E.

60

ГЛАВА 2. ЛИПШИЦЕВЫ ФУНКЦИИ

Теорема 2.6.2 Пусть D ⊂ ℝn – ограниченная область с (Hn−1 , n − 1)спрямляемой границей ∂D. Для произвольного липшицева отображения ξ : D → ℝn выполнено ∫ ∫ div ξ dx1 · · · dxn = ⟨ξ, ν⟩ dHn−1 . (2.6.25) D

∂∗D

Доказательство. Утверждение есть специальное следствие теоремы 4.5.6 [Fed69]. Условие (Hn−1 , n−1)-спрямляемости ∂D влечет, что граница ∂D счетно Hn−1 -спрямляема. По теореме 2.6.1 можем заключить, что интегрально – геометрическая мера J1n−1 (∂D) равна хаусдорфовой мере Hn−1 (∂D) и (Hn−1 , n − 1)спрямляемость ∂D влечет, что J1n−1 (∂D) < ∞. Теперь достаточно воспользоваться первым из замечаний раздела 4.5.12 и фундаментальной теоремой 4.5.6 из [Fed69]. □

Глава 3

Функции с обобщенными производными Приведем основные сведения о функциях с обобщенными в смысле Соболева частными производными.

3.1

Функции класса ACLp

Опишем сначала класс функций, абсолютно напрерывных на линиях. 3.1.1

Обобщенные производные

Пусть D ⊂ ℝn – открытое множество. Зафиксируем i, 1 ≤ i ≤ n и обозначим через Di∗ ортогональную проекцию D на гиперплоскость xi = 0. Для произвольной функции f ∈ L1loc (D) полагаем fi∗ (x′i , t, x′′i ) ≡ f (x1 , . . . , xi−1 , t, xi+1 , . . . , xn ) , x′i = (x1 , . . . , xi−1 ),

x′′i = (xi+1 , . . . , xn ) .

Далее, пусть Di (x′i , x′′i ) ≡ {(x′i , t, x′′i ) ∈ ℝn : (x′i , 0, x′′i ) ∈ Di∗ } . Непрерывная функция f : D → ℝ называется абсолютно непрерывной на линиях (или кратко, ACL), если для любого i = 1, . . . , n сужения 61

62

ГЛАВА 3. ФУНКЦИИ С ОБОБЩЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

fi∗ (x′i , t, x′′i ) суть абсолютно непрерывны (по переменной t) внутри совокупности линейных интервалов D ∩Di (x′i , x′′i ) для Hn−1 -почти всех точек (x′i , 0, x′′i ) ∈ Di∗ . По теореме 1.4.1 всякая ACL-функция f : D → ℝ имеет производные ∂f (x) (i = 1, . . . , n) ∂xi почти всюду в D. Уточним обозначения. Мы пишем ∂f ≡ gi (i = 1, . . . , n) ∂xi и определяем формальный градиент ) ( ∂f ∂f ,..., , ∇f ≡ ∂x1 ∂xn в точках, где существуют производные ∂f ∂f ,..., . ∂x1 ∂xn Пусть, как и выше, D есть открытое подмножество ℝn . Для произвольного p, 0 < p < ∞, обозначаем, как обычно, через Lp (D) множество всех Hn -измеримых функций f в D таких, что ∫ ∣f ∣p dx1 . . . dxn < ∞. D

Вектор - функция

f = (f1 , . . . , fm ) : D → ℝm принадлежит Lp (D), если fi ∈ Lp (D) для любого i = 1, . . . , m. Символ Lploc (D) означает множество всевозможных функций f , локально Lp -интегрируемых в D. Пусть f ∈ C(D) и p ≥ 1. Будем говорить, что f ∈ ACLp (D), если f есть ACL в D и ее формальный градиент ∇f ∈ Lp (D). Функция f ∈ C(D) принадлежит классу ACLploc (D), если f ∈ ACLp (Δ) на всяком подмножестве Δ ⋐ D.

3.1. ФУНКЦИИ КЛАССА ACLP

63

Другой подход к определению функций с обобщенными производными принадлежит Соболеву [Соб50]. Предположим, что f ∈ C(D) и зафиксируем i, 1 ≤ i ≤ n. Говорят, что gi ∈ Lploc (D), p ≥ 1, есть обобщенная в смысле Соболева частная производная функции f по переменной xi в D, если для всякой функции ϕ ∈ C01 (D) выполняется ∫ ∫ ∂ϕ f dx1 . . . dxn = − gi ϕ dx1 . . . dxn . (3.1.1) ∂xi D

D

Ясно, что обобщенная производная по переменной xi , если она существует, определена с точность до Hn -мерной меры нуль. Следующее утверждение (см., например, [EG92, раздел 4.9]) гарантирует совпадение классов ACLploc (D) и функций с обобщенными в смысле Соболева производными. Теорема 3.1.1 Функция f ∈ C(D), D ⊂ ℝn , имеет обобщенные в смысле Соболева частные производные ∂f /∂xi , i = 1, . . . , n, класса Lploc (D) тогда и только тогда, когда f есть ACLploc (D). 3.1.2

Аппроксимация

Напомним некоторые результаты об аппроксимации функций с обобщенными производными гладкими функциями [GR89, раздел 4.5], [EG92, раздел 4.2]. Определим C ∞ -ядро K : ℝn → ℝ соотношением ( ) ⎧ ⎨ cn exp ∣x∣21−1 при ∣x∣ < 1 K(x) ≡ ⎩ 0 при ∣x∣ ≥ 1 где постоянная cn > 0 выбрана так, чтобы ∫ K(x) dx1 . . . dxn = 1. Rn

Для произвольного ε > 0 полагаем x 1 Kε (x) ≡ n K( ), ε ε

x ∈ ℝn .

64

ГЛАВА 3. ФУНКЦИИ С ОБОБЩЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Пусть U ⊂ ℝn – ограниченное открытое множество и пусть Uε ≡ {x ∈ U : dist (x, ∂U ) > ε}. Для f ∈ L1loc (U ) пусть

f ε ≡ Kε ∗ f,

то есть, f ε (x) =

∫ Kε (x − y) f (y) dy1 . . . dyn ,

x ∈ Uε .

U

Опишем некоторые фундаментальные свойства ACLp -функций. Теорема 3.1.2 Имеют место следующие высказывания: (i) для всякого ε > 0, f ε ∈ C ∞ (Uε ) ; (ii) если f ∈ C(U ), то f ε → f , ε → 0, равномерно на компактных подмножеств U ; (iii) если f ∈ Lploc (U ) при некотором 1 ≤ p < ∞, то ∫ lim ∣f ε − f ∣p dx1 . . . dxn = 0 при любом δ > 0; ε→0

Uδ

и, в частности, f εk → f почти всюду в U для некоторой последовательности εk → 0 (k → ∞) ; (iv) если f ∈ ACLploc (U ) при некотором 1 ≤ p < ∞, то ∂f ε ∂f = Kε ∗ ∂xi ∂xi

(i = 1, . . . , n)

в Uε ; (v) если f ∈ ACLploc (U ) при некотором 1 ≤ p < ∞, то ∫ lim ∣∇f ε − ∇f ∣p dx1 . . . dxn = 0 при всех δ > 0; ε→0

Uδ

3.1. ФУНКЦИИ КЛАССА ACLP

65

(vi) если f ∈ ACLp (U ) при некотором 1 ≤ p < ∞, то существует последовательность p ∞ {fk }∞ k=1 ⊂ ACL (U ) ∩ C (U )

такая, что ∫ limk→∞

∣∇fk − ∇f ∣p dx1 . . . dxn = 0,

U

∫ limk→∞

∣fk − f ∣p dx1 . . . dxn = 0 ;

U

(vii) если fk ∈ ACLp (U ) при k = 1, 2, . . ., ∫ sup ∣∇fk ∣p dx1 . . . dxn ≤ q, q = const < ∞, k≥1 U

и fk → f локально равномерно в U , то f ∈ ACLp (U ) и ∫ ∣∇f ∣p dv ≤ q. U

3.1.3

Цепное правило

Пусть U, V – подобласть ℝn . Следующая теорема представляет собой некоторое обобщение цепного правила на случай функций класса ACLp . Теорема 3.1.3 Пусть U и V – подобласти ℝn и пусть ϕ : U → V – билипшицево отображение. Если f ∈ ACLp (V ) и p ≥ 1, то f ∗ = f ∘ ϕ принадлежит ACLp (U ). Более того, почти всюду в U выполнено n

∑ ∂f ∂ϕk ∂(f ∘ ϕ) (x) = (ϕ(x)) (x) (i = 1, 2, . . . , n) . ∂xi ∂yk ∂xi k=1

(3.1.2)

66

ГЛАВА 3. ФУНКЦИИ С ОБОБЩЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Данное утверждение есть специальный случай теорем 4.4’ и 4.6 монографии Гольдштейна и Решетняка [GR89, глава 5] (см. также Малый [Mal01]). 3.2

Принцип длины и площади

Доказывается многомерная версия классического принципа длины и площади. В двумерном случае различные формулировки этого принципа, а также его приложения в теории отображений см. у Лелон-Ферран [LF55] и Суворова [Suv65], [Suv85], Миклюков [Mik08e]. Ниже мы следуем работе [MMV01]. 3.2.1

Модульная версия принципа

Пусть D – подобласть ℝn и пусть h : D → ℝ – липшицева функция. Обозначим через Σh (t) множество уровня функции h: Σh (t) = {x ∈ D : h(x) = t}. По теореме 1.6.1 для почти всех t ∈ ℝ множества уровня Σh (t) счетно (Hn−1 , n − 1)-спрямляемы. Зафиксируем p ≥ 1, счетно (Hn−1 , n − 1)-спрямляемое множество U ⊂ D и неотрицательную измеримую функцию β в U . Пусть Û – компонента связности U. Для произвольной пары точек a1 , a2 ∈ Û , пусть Γ = Γ(a1 , a2 ) означает семейство всевозможных локально спрямляемых дуг γ ⊂ Û , соединяющих точки a1 и a2 . Определим весовой модуль ∫ β ρp dHn−1 ̂

mod(p, β, Γ) = inf ⎛U ρ

⎞p , ∫

⎝ inf

γ∈Γ

(3.2.3)

ρ dH1 ⎠

γ

где точная нижняя грань берется по всем неотрицательным, измеримым по Борелю функциям ρ в Û . Если Γ(a1 , a2 ) = ∅, то мы полагаем mod(p, β, Γ) = ∞.

3.2. ПРИНЦИП ДЛИНЫ И ПЛОЩАДИ

67

Далее, пусть κp (β, U ) = inf inf mod(p, β, Γ),

(3.2.4)

̂ a1 ,a2 ∈U ̂ U

где первая из точных нижних граней берется по всем компонентам связности Û множества U . В одномерном случае величина mod(p, β, Γ) легко вычисляема. Пусть C – спрямляемая дуга в ℝn и пусть β – неотрицательная измеримая функция, заданная вдоль C. На основании неравенства Гельдера имеем ∫ ∫ 1 1/p dH 1 ρ dH = ρβ ≤ β 1/p C

C

⎞(p−1)/p

⎞1/p ⎛

⎛ ∫ ≤⎝

β ρp dH1 ⎠

∫ ⎝ C

C

и

∫ ⎞1−p

⎛ ∫ ⎝ C

/ dH1 β p−1 ⎠

dH1 ⎠ β p−1

β ρp dH1

⎞p . ≤ ⎛C ∫ ⎝ ρ dH1 ⎠

(3.2.5)

C

Поскольку плотность ρ ≥ 0 произвольна, то отсюда получаем Лемма 3.2.1 Если C ⊂ ℝn есть одномерная кривая и β есть неотрицательная измеримая функция, заданная вдоль C, то ⎛ ⎞1−p ∫ 1 ⎝ dH ⎠ ≤ mod(p, β, C). (3.2.6) β p−1 C

При p = 2 и ρ = 1/β неравенство (3.2.5) является точным. Тем самым, соотношение (3.2.6) при p = 2 обращается в равенство. Мы дадим другие оценки mod(p, β, Γ) несколько позже.

68

ГЛАВА 3. ФУНКЦИИ С ОБОБЩЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Рассмотрим локально липшицеву функцию h : D → ℝ, для которой 0 < ess inf ∣∇h(x)∣ ≤ ess sup ∣∇h(x)∣ < ∞ (3.2.7) x∈Δ

x∈Δ

на всяком подмножестве Δ ⋐ D. Положим κp (t) = κp (∣∇h∣−1 , Σh (t)). Докажем следующую многомерную версию принципа длины и площади. Теорема 3.2.1 Пусть D – подобласть ℝn и пусть f : D → ℝm – вектор-функция класса ACLp (D). Тогда при любых t′ , t′′ ∈ h(D), t′ < t′′ , мы имеем ∫t′′ ∫ p Ω (f, Σh (t)) κp (t) dt ≤ λp (x, f ) dx1 . . . dxn , (3.2.8) t′

D(t′ ,t′′ )

где λ(x, f ) =

(∑m

2 i=1 ∣∇fi (x)∣

)1/2

,

f = (f1 , . . . , fm ) ,

D(t′ , t′′ ) = {x ∈ D : t′ < h(x) < t′′ }, Ω (f, Σh (t)) = sup osc (f, Σ) Σ

и точная верхняя грань берется по всем компонентам связности Σ множества Σh (t). Доказательство. В соответствии с теоремой 3.1.2 найдется последовательность вектор-функций {fk = (f1k , . . . , fmk )}∞ k=1 , обладающая свойp ∞ ствами: fk ∈ ACL (D) ∩ C (D) и ∫ ∣∇fik − ∇f ∣p dx1 . . . dxn = 0, (i = 1, . . . , m) limk→∞ D(t′ ,t′′ )

∫ limk→∞ D(t′ ,t′′ )

(3.2.9) p

∣fk − f ∣ dx1 . . . dxn = 0.

3.2. ПРИНЦИП ДЛИНЫ И ПЛОЩАДИ

69

Предположим сперва, что 0 < ess inf ∣∇h(x)∣ ≤ ess sup ∣∇h(x)∣ < ∞. x∈D

(3.2.10)

x∈D

Пользуясь формулой Кронрода – Федерера (2.5.20) и условием (3.2.10), при любом k = 1, 2, . . . имеем ∫ ∫ dx1 . . . dxn p λ (x, fk ) dx1 . . . dxn = λp (x, fk ) ∣∇h∣ = ∣∇h∣ D(t′ ,t′′ )

D(t′ ,t′′ )

∫t′′ =

∫ dt

t′

dHn−1 . λp (x, fk ) ∣∇h∣

(3.2.11)

Σh (t)

Зафиксируем t ∈ (t′ , t′′ ) так, чтобы множество Σh (t) являлось счетно (Hn−1 , n − 1) – спрямляемым. Пусть Σ – компонента связности Σh (t). Пусть a1 , a2 ∈ Σ – произвольная пара точек и пусть Γ – семейство спрямляемых дуг γ ⊂ Σ, соединяющих a1 и a2 . Выбирая в (3.2.3) функцию ρ(x) = λ(x, fk ), получаем ⎞p /⎛ ∫ ∫ n−1 dH ⎝ inf λ(x, fk ) dH1 ⎠ . mod (p, ∣∇h∣−1 , Γ) ≤ λp (x, fk ) γ∈Γ ∣∇h∣ γ

Σ

Так как вектор-функция fk ∈ C 1 и дуга γ спрямляема, мы можем написать ∫ osc (fk , γ) ≤ λ(x, fk ) dH1 . γ

Таким образом, p

∫

−1

osc (fk , Σ) inf a1 ,a2 ∈Σ mod(p, ∣∇h∣ , Γ) ≤

dHn−1 λ (x, fk ) ∣∇h∣ p

Σ

∫ ≤ Σh (t)

dHn−1 λ (x, fk ) , ∣∇h∣ p

70

ГЛАВА 3. ФУНКЦИИ С ОБОБЩЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

и поскольку компонента связности Σ произвольна, получаем ∫ dHn−1 p −1 p Ω (fk , Σh (t)) κp (∣∇h∣ , Σh (t)) ≤ λ (x, fk ) . ∣∇h∣ Σh (t)

Подставляя данное неравенство в (3.2.11) приходим к соотношению ∫t′′

Ωp (fk , Σh (t)) κp (t) dt ≤

t′

∫

λp (x, fk ) dx1 . . . dxn .

(3.2.12)

D(t′ ,t′′ )

Пусть ε > 0 произвольно. Первое из равенств (3.2.9) влечет, что для достаточно больших k выполнено ∫ ∫ p λ (x, fk ) dx1 . . . dxn ≤ ε + λp (x, f ) dx1 . . . dxn ≡ q(ε), D(t′ ,t′′ )

D(t′ ,t′′ )

и, далее, ∫t′′

Ωp (fk , Σh (t)) κp (t) dt ≤ q(ε).

t′

Применяя формулу Кронрода – Федерера ко второму из пределов (3.2.9), находим ∫t′′ lim

∫ dt

k→∞ t′

dHn−1 ∣fk − f ∣ = 0. ∣∇h∣ p

Σh (t)

Отсюда вытекает, что для некоторой подпоследовательности {fkl }, l → ∞ и почти всех t ∈ (t′ , t′′ ). выполнено ∫ dHn−1 ∣fkl − f ∣p lim = 0. k→∞ ∣∇h∣ Σh (t)

Легко показать, следующее простое утверждение: если последовательность непрерывных функций ϕk сходится в среднем к непрерывной функции ϕ на связном измеримом множестве E, то osc (ϕ, E) ≤ lim inf osc (ϕk , E). (3.2.13) k→∞

3.2. ПРИНЦИП ДЛИНЫ И ПЛОЩАДИ

71

Соотношение (3.2.13) влечет, что почти всюду на (t′ , t′′ ) выполнено Ω (f, Σh (t)) ≤ lim inf Ω (fk , Σh (t)). k→∞

Однако, в соответствии с леммой Фату, если ϕk (t) измеримы на (t′ , t′′ ) , то ∫t′′ ∫t′′ ϕk (t) dt. (3.2.14) lim inf ϕk (t) dt ≤ lim inf k→∞

k→∞

t′

t′

Пользуясь (3.2.14), имеем ∫t′′

Ωp (f, Σh (t)) κp (t) dt ≤ lim inf

∫t′′

k→∞

t′

Ωp (fk , Σh (t)) κp (t) dt,

t′

и, таким образом, на основании (3.2.12) получаем ∫t′′

Ωp (f, Σh (t)) κp (t) dt ≤ q(ε).

t′

Полагая ε → 0, приходим к (3.2.8). Теорема 3.2.1 доказана в предположении (3.2.10). Это означает, что неравенство (3.2.8) имеет место для всякой подобласти Δ ⋐ D. Аппроксимируя область D посредством последовательности {Δk }∞ k=1 , Δk ⋐ Δk+1 , ∪∞ k=1 Δk = D, для любого k = 1, 2, . . . имеем ∫t′′

∫

Ωp (f ∣Δk , Σh (t)) κp (t) dt ≤

t′

λp (x, f ) dx1 . . . dxn

D(t′ ,t′′ )∩Δk

∫ ≤

λp (x, f ) dx1 . . . dxn .

D(t′ ,t′′ )

Как и выше, в силу леммы Фату, приходим к (3.2.8) для D.

□

72

ГЛАВА 3. ФУНКЦИИ С ОБОБЩЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

3.2.2

Оценка колебания на сфере

Пусть D ⊂ ℝn – область и a ∈ D. Выберем { log ∣x − a∣ при p = n h(x) = ∣p − n∣−1 ∣x − a∣n−p при p ∕= n. Тогда ∣∇h(x)∣ = ∣x − a∣n−p−1 и

Σh (t) = S n−1 (a, r) ∩ D

при {

et

при p = n (3.2.15)

r= 1/(n−p)

(∣p − n∣ t) Предположим дополнительно, что

при p ∕= n.

r < dist (a, ∂D). Тогда Σh (t) = S n−1 (a, r). Оценим κp (t). Не умаляя общности, можем считать, что точка a = 0. Зафиксируем точки a1 , a2 ∈ S n−1 (0, r) и обозначим через a ̃1 , a ̃2 ∈ n−1 n n S (0, 1) их образы при отображении y = x/ r : ℝ → ℝ . Пусть Γ ̃ – – множество дуг γ ⊂ S n−1 (0, r), соединяющих a1 и a2 . Пусть γ̃ и Γ образы дуг γ ⊂ S n−1 (0, r) и семейства Γ = {γ}, соответственно. Мы имеем ∫ ∫ β ρp dHn−1 β̃ ρ̃p dHn−1 S n−1 (0,r)

mod (p, β, Γ) = inf ⎛ ρ

∫ ⎝ inf

γ∈Γ

S n−1 (0,1)

⎞p = rn−p−1 inf ⎛ ρ̃

ρ dH1 ⎠

∫ l ⎝ inf

̃ γ̃ ∈Γ

γ

γ̃

где β(x) = ∣∇h∣−1 (x) и β̃ = β(r y),

ρ̃ = ρ(r y),

y ∈ S n−1 (0, 1).

⎞p , l ρ̃ dH1 ⎠

3.2. ПРИНЦИП ДЛИНЫ И ПЛОЩАДИ

Так как

73

β(x) = ∣∇h∣−1 (x) = r−n+p+1 ,

то мы находим ∫

ρ̃p dHn−1

S n−1 (0,1)

̃ . ⎞p = mod (p, 1, Γ)

mod (p, β, Γ) = inf ⎛ ρ̃

∫ l ⎝ inf

̃ γ̃ ∈Γ

l ρ̃ dH1 ⎠

γ̃

Тем самым, на основании (3.2.4), получаем κp (∣∇h∣−1 , Σh (t)) = κp (1, S n−1 (0, 1)). (3.2.16) Пусть теперь f есть произвольная вектор-функция класса ACLp (D). Неравенство (3.2.8) переписывается в виде κp (1, S

n−1

∫t′′

p

osc (f, S

(0, 1))

n−1

∫ (r)) dt ≤

t′

λp (x, f ) dx1 . . . dxn ,

t′ n − 1 выполнено κp (1, S n−1 (0, 1)) > 0. Для доказательства заметим сначала, что класс функций ACLp содержится в пространстве Wp1 функций с обобщенными в смысле Соболева частными производными, суммируемыми со степенью p > 1. Нужное утверждение есть следствие теоремы вложения Кондрашова [Соб50, с. 91] пространства Wp1 в пространство C при p > n − 1 на сфере S n−1 (0, 1). □ Нетривиальные оценки снизу для величины κp (1, S n−1 (0, 1)) можно найти в [OS65], [Suv85, глава IV, неравенство (20)], [V̈ai71, теорема 10.9] и [MMV98]. 3.2.3

Монотонные функции

Пусть D – область в ℝn . Напомним, что непрерывная вектор – функция f : D → ℝm называется монотонной в смысле Лебега, если для всякой подобласти Δ ⋐ D выполнено osc (f, Δ) ≤ osc (f, ∂Δ), где обозначено osc (f, Δ) = sup ∣f (b) − f (a)∣. a,b∈Δ

(3.2.20)

3.2. ПРИНЦИП ДЛИНЫ И ПЛОЩАДИ

75

С геометрической точки зрения монотонные функции xn+1 = f (x1 , . . . , xn ) : D → ℝ суть функции, с графиков которых нельзя срезать компактной ”шапочки” никакой гиперплоскостью xn+1 ≡ const. Важный класс монотонных отображений f : D ⊂ ℝn → ℝn составляют гомеоморфизмы. Докажем следующее утверждение о дифференцируемости монотонных функций класса ACLp (см., например, Жуков [Zhuk66]). Теорема 3.2.3 Пусть D – подобласть ℝn . Пусть f – функция класса ACLploc (D) с p > n − 1 при n ≥ 3 и p = 1 при n = 2. Если f монотонна в смысле Лебега, то f имеет полный дифференциал Hn -почти всюду в D. Доказательство. Пусть Δ ⋐ D – подобласть. Зафиксируем точку x0 ∈ Δ. По теореме 3.2.2 для произвольного r > 0 такого, что r ∈ (0, dist (x0 , ∂D)) , выполнено ∫2r oscp (f, S n−1 (x0 , τ ))

∫

dτ τ p−n+1

∣∇f ∣p dx1 . . . dxn .

≤ c(p, n)

r

B(x0 ,2r)

Тем самым, p

inf osc (f, S

n−1

τ ∈(r,2r)

∫2r (x0 , τ ))

dτ τ p−n+1

∫

∣∇f ∣p dx1 . . . dxn

≤ c(p, n)

r

B(x0 ,2r)

и, следовательно, p

inf osc (f, S

n−1

τ ∈(r,2r)

(x0 , τ )) ≤ c1 (p, n) r

p−n

∫

∣∇f ∣p dx1 . . . dxn ,

B(x0 ,2r)

где { c1 (p, n) =

c(p, n)/ log 2

при p = n

c(p, n) ∣p − n∣/∣2n−p − 1∣

при p ∕= n.

76

ГЛАВА 3. ФУНКЦИИ С ОБОБЩЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Воспользуемся условием (3.2.20). Мы имеем )p ( ∫ 1 osc (f, B n−1 (x0 , r)) inf ≤ c(n) τ (2r)n τ ∈(r,2r)

∣∇f ∣p dx1 . . . dxn ,

B(x0 ,2r)

(3.2.21) где

c(n) = 2n c2 (p, n) .

В частности, ⎞1/p

⎛ ∣f (x) − f (x0 )∣ l 1 ≤ c3 (p, n) lim ⎝ r→0 ∣x − x0 ∣ (2r)n x→x0

∫

lim sup

l ∣∇f ∣p dx1 . . . dxn ⎠

.

B(x0 ,2r)

По теореме Лебега для Hn -почти всех точек в Δ имеем ∫ 1 ∣∇f ∣p dx1 . . . dxn < ∞ lim sup n r→0 r B(x0 ,r)

и, тем самым, почти всюду в Δ выполнено ∣f (x) − f (x0 )∣ < ∞. ∣x − x0 ∣ x→x0

lim sup

По теореме Степанова почти всюду в Δ и, следовательно, почти всюду в области D функция f имеет полный дифференциал. □ Замечание 3.2.1 При p > n условие монотонности вектор-функции f излишне. Необходимая в доказательстве оценка (3.2.21) вытекает из из теоремы Кондрашова [Соб50, с. 91] о вложении пространства Wp1 в пространство C. □ Приведем теперь оценку модуля непрерывности монотонных функций класса ACLn . При p > n подобное свойство вытекает из теоремы Кондрашова, при p < n подобной оценки не существует. Дополнительное предположение о монотонности функции f при p = n необходимо1 . 1 Построение контрпримера мы оставляем в качестве упражнения заинтересованному читателю.

3.2. ПРИНЦИП ДЛИНЫ И ПЛОЩАДИ

77

Теорема 3.2.4 Пусть D ⊂ ℝn – область и пусть Δ ⋐ D – подобласть. Если f есть монотонная функция класса ACLnloc (D), то для произвольной пары точек a1 , a2 ∈ Δ, для которой d1/2 ≡ ∣a1 − a2 ∣1/2 < min{1, dist (Δ, ∂D)} ,

(3.2.22)

выполнено неравенство ∣f (a1 ) − f (a2 )∣ ≤ c4 (n) I 1/n (d1/2 ) log−1/n

1 ∣a1 − a2 ∣1/2

(3.2.23)

−1/n

(1, S n−1 (0, 1)) и ⎧ l ∫ ⎨ ∫ I(t) = min ∣∇f ∣n dx1 . . . dxn , l ⎩

где c4 (n) = κn

B(a1 ,t)

∣∇f ∣n dx1 . . . dxn

⎫ l ⎬

.

l ⎭

B(a2 ,t)

Доказательство. Фиксируем пару точек a1 , a2 ∈ Δ, удовлетворяющих условию (3.2.22). В силу (3.2.22) имеем d < d1/2 . Пользуясь (3.2.19) с r′ = d и r′′ = d1/2 , находим ∫d1/2 dr ≤ c(n, n) oscn (f, S n−1 (a1 , r)) r d

∫

∣∇f ∣n dx1 . . . dxn .

B n (a1 ,d1/2 )

Отсюда, inf

r∈(d,d1/2 )

1 osc (f, S n−1 (a1 , r)) log1/n d1/2 ≤

⎞1/n

⎛ ∫ l ≤ c4 (n) ⎝

l ∣∇f ∣n dx1 . . . dxn ⎠

B n (a1 ,d1/2 )

Так как функция f монотонна, то osc (f, B n (a1 , d)) ≤

inf

r∈(d,d1/2 )

osc (f, S n−1 (a1 , r))

.

78

ГЛАВА 3. ФУНКЦИИ С ОБОБЩЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

и мы получаем ⎞1/n

⎛ ∣f (a1 ) − f (a2 )∣ ≤ c4 (n) log−1/n

1 l ⎝

∫

d1/2

l ∣∇f ∣n dx1 . . . dxn ⎠

.

B n (a1 ,d1/2 )

Аналогично, ⎞1/n

⎛ ∣f (a1 ) − f (a2 )∣ ≤ c4 (n) log

−1/n

1 l ⎝ d1/2

∫

l ∣∇f ∣n dx1 . . . dxn ⎠

.

B n (a2 ,d1/2 )

Найденные соотношения ведут к (3.2.23). 3.2.4

□

Принцип длины и площади на поверхности

В двумерном случае может быть дана другая форма принципа длины и площади. Пусть D – подобласть ℝ2 и пусть gij (x), i, j = 1, 2, – непрерывные функции, определенные в D и удовлетворяющие условию gij = gji ,

i, j = 1, 2, . . . , n.

(3.2.24)

Рассмотрим абстрактную риманову поверхность F = (D, ds2F ), заданную над D посредством линейного элемента ds2F

=

2 ∑

gij (x) dxi dxj .

i,j=1 2 Мы предполагаем, что g = g11 g22 − g12 > 0. Положим √ 2 dσF = g dx1 dx2 , g = g11 g22 − g12 ,

и EF (ξ) =

2 ∑

g ij (x) ξi ξj ,

i,j=1

где (g ij ) суть коэффициенты обратной матрицы (gij )−1 .

(3.2.25)

3.2. ПРИНЦИП ДЛИНЫ И ПЛОЩАДИ

79

Пусть A, B – непересекающиеся компактные подмножества D. Тройка (A, B; D) образует конденсатор на поверхности F = (D, ds2F ). Емкость конденсатора (A, B; D) в метрике (3.2.25) определяется как ∫ capF (A, B; D) = inf EF (∇ϕ) dσF , (3.2.26) ϕ

D

где точная нижняя грань берется по всевозможным функциям ϕ таким, что ϕ ∈ Lip (D ∪ A ∪ B), ϕ∣A = 0, ϕ∣B = 1. Для произвольного s ∈ (0, 1) и произвольной допустимой функции в вариационной проблеме (3.2.26) функции ϕ пусть γ(s) есть поддуга множества уровня {x ∈ D : ϕ(x) = s}, разделяющая A и B в D. Теорема 3.2.5 Пусть F = (D, ds2F ) – абстрактная поверхность, заданная над односвязной областью D ⊂ ℝ2 , и пусть ϕ – допустимая в вариационной проблеме (3.2.26) функция, такая что для любой подобласти Δ ⋐ D выполнено 0 < ess inf EF (∇ϕ(x)) ≤ ess sup EF (∇ϕ(x)) < ∞ . x∈Δ

(3.2.27)

x∈Δ

Тогда, для всякой функции f ∈ ACL2 (D) и для всякого конденсатора (A, B; D) имеет место неравенство ∫1

Ω2 (f, γ(s)) ∫ EF (∇ϕ) g

0

1/2

∫ ds ≤

∣dx∣/ ∣∇ϕ∣

EF (∇f ) dσF ,

(3.2.28)

D

γ(s)

где Ω (f, γ(s)) = sup osc (f, Σ) Σ

и Σ есть произвольная компонента связности множества γ(s). Более того, ∫ 2 (3.2.29) inf inf Ω (f, γ(s)) ≤ capF (A, B; D) EF (∇f ) dσF . ϕ 0≤s≤1

D

80

ГЛАВА 3. ФУНКЦИИ С ОБОБЩЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Доказательство см. в [Suv85, с. 252-256].

□

В случае, когда метрика (3.2.25) евклидова, т.е. ds2 = dx21 + dx22 , величина EF (∇f ) = ∣∇f ∣2 и неравенство (3.2.28) принимает вид ∫1 0

∫ Ω2 (f, γ(s)) ∫ ds ≤ ∣∇f ∣2 dx1 dx2 . ∣∇ϕ∣ ∣dx∣ D γ(s)

Если при этом D – круговое кольцо {x ∈ ℝ2 : 0 < r < ∣x − a∣ < R < ∞} и A, B – граничные окружности, то ϕ=

log(∣x − a∣/r) . log(R/r)

Множества уровня γ(s) суть окружности. Здесь имеем 1 ∣∇ϕ(x)∣ = ∣x − a∣ log(R/r) и неравенство (3.2.28) записывается в виде ∫R r

dτ Ω (f, S (a, τ )) ≤ 2π τ 2

1

∫ D

∣∇f ∣2 dx1 dx2 .

3.3. ЗАМЕЧАНИЯ О ФУНКЦИЯХ КЛАССА ACLΦ

3.3

81

Замечания о функциях класса ACLΦ

Имеются задачи, в которых шкалы Lp , 1 ≤ p < ∞, недостаточно. Ниже мы определяем классы функций с обобщенными соболевскими производными, принадлежащими в областях ℝn некоторым классам Орлича ( см. [Mik68], [KrM73], [AIKM00], [IM01, раздел 3.12], и др.). Напомним необходимые свойства выпуклых фунуций [KR58, глава I]. Функция Φ : ℝ → ℝ называется выпуклой, если для любых τ1 , τ2 ∈ ℝ и α ∈ [0, 1] имеет место неравенство Φ(α τ1 + (1 − α) τ2 ) ≤ α Φ(τ1 ) + (1 − α) Φ(τ2 ).

(3.3.30)

Функция Φ(τ ) называется N -функцией, если она имеет представление ∫∣τ ∣ p(t) dt,

Φ(τ ) = 0

где p(t) – положительная функция, определенная при t ≥ 0, полунепрерывная справа, неубывающая и такая, что p(+0) = 0,

p(∞) = lim p(t) = ∞. t→∞

(3.3.31)

Каждая N -функция выпукла. Первое из условий (3.3.31) влечет, что Φ(τ ) = 0. τ →0 τ lim

(3.3.32)

Второе из условий (3.3.31) гарантирует выполнение свойства Φ(τ ) = ∞. τ →∞ τ lim

(3.3.33)

Для всякой полунепрерывной справа, неубывающей функции p(t), удовлетворяющей (3.3.31), определим функцию q(s), s ≥ 0, так чтобы q(s) = sup t. p(t)≤s

Легко видеть, что q(s) также обладает свойствами (3.3.31).

82

ГЛАВА 3. ФУНКЦИИ С ОБОБЩЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

N -Функции ∫∣τ ∣ Φ(τ ) =

∫∣τ ∣ p(t) dt и Ψ(τ ) =

0

q(s) ds 0

называются взаимно дополнительными. Определим классы Орлича. Пусть A ⊂ ℝn есть Hn -измеримое подмножество. Зафиксируем N -функцию Φ(τ ) и рассмотрим множество всевозможных Hn -измеримых функция u(x) на A, для которых ∫ I(u, A; Φ) ≡ Φ[u(x)] dx1 . . . dxn < ∞. A

Данное семейство функций u образует класс Орлича LΦ (A). В качестве примера рассмотрим функции вида Φ(τ ) = τ n logα (e + τ ). Функции класса LΦ (A) образуют в данном случае классы Зигмунда. Пусть Φ(τ ) и Ψ(τ ) – взаимно дополнительные N -функции. Символом Φ ̃ (A) обозначается множество всех функций u(x), подчиненных требоL ванию | | |∫ | | | | u(x) v(x) dx1 . . . dxn | < ∞ при любых v(x) ∈ LΨ (A). | | | | A

Далее полагаем ∥u∥Φ,A

| | |∫ | | | ≡ sup || u(x) v(x) dx1 . . . dxn || . I(v,A;Ψ)≤1 | |

(3.3.34)

A

̃ Φ (A) обращается в линейное норПосле введения нормы ∥u∥Φ,A класс L мированное пространство (см. [KR58, глава II]). Именно, из определения нормы (3.3.34) следует, что

3.3. ЗАМЕЧАНИЯ О ФУНКЦИЯХ КЛАССА ACLΦ

83

1) ∣∣u∣∣Φ = 0 тогда и только тогда, когда u(x) = 0 почти всюду в A; 2) ∣∣α u∣∣Φ = ∣α∣ ∣∣u∣∣Φ ; 3) ∣∣u1 + u2 ∣∣Φ ≤ ∣∣u1 ∣∣Φ + ∣∣u2 ∣∣Φ . Необходимо отметить также следующее утверждение. Лемма 3.3.1 (i) Для всякой u ∈ LΦ (A) выполнено ∫ ∣∣u∣∣Φ ≤ Φ(u) dx1 . . . dxn + 1 .

(3.3.35)

A

̃ Φ (A) ; В частности, LΦ (A) ⊂ L (ii) Если ∣∣u∣∣Φ ≤ 1, то u ∈ LΦ (A) и ∫ Φ(u) dx1 . . . dxn ≤ ∣∣u∣∣Φ .

(3.3.36)

A

В частности, ∫

[

] u(x) Φ dx1 . . . dxn ≤ 1 . ∣∣u∣∣Φ

A

̃ Φ (A) и v ∈ L ̃ Ψ (A) имеет место (iii) Для всякой пары функций u ∈ L неравенство | | |∫ | | | | u(x) v(x) dx1 . . . dxn | ≤ ∣∣u∣∣Φ ∣∣v∣∣Ψ . (3.3.37) | | | | A

Доказательство. Утверждения (i), (ii) и (iii) доказаны в [KR58]. Именно, (i) есть неравенство (9.12) из [KR58], (ii) есть лемма 9.2 и (iii) есть теорема 9.3. □ Пусть D ⊂ ℝn – открытое множество. Говорят, что функция f : D → ℝm

84

ГЛАВА 3. ФУНКЦИИ С ОБОБЩЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

принадлежит классу ACLΦ (D), если f есть ACL и ее частные производные ∂f , j = 1, . . . , n ∂xj удовлетворяют условию || || || | | ∂f || < ∞ . ∣∣f ′ ∣∣Φ ≡ Σj |||| ∂xj ||Φ При Φ = t2 класс ACLΦ совпадает с классом, введенным Беппо Леви [Levi06] в 1906 (см. также Никодим [Nik33]) и обозначаемым в [Suv65], [Suv85] символом BL.

3.4

Скорость стабилизации вблизи границы

Ниже доказывается теорема о допустимой скорости стабилизации на границе функций класса ACLp (см. Миклюков, Вуоринен [MV98]). Другие источники: Бьерлинг [Beur40], Карлесон [Carles52], Дженкинс [Jen92], Коскела [Kos95], Мизута [Miz98], Тцуи [Tsu50]. 3.4.1

p-Емкость

Пусть B – область в ℝn и пусть P, Q ⊂ B – замкнутые относительно B множества, P ∩ Q = ∅. p-Емкость конденсатора (P, Q; B) определяется как ∫ capp (P, Q; B) = inf ∣∇v∣p dx1 · · · dHn , p > 1, (3.4.38) v∈W

B

где точная нижняя грань берется по всевозможным функциям v класса W (P, Q; B) = {v ∈ ACLp (B) : v∣P = 0, v∣Q = 1}. Пусть E ⊂ ∂B – непустое множество и D, D ⊂ B, – ограниченная область. Рассмотрим открытое множество O ⊂ B, O ∩ D = ∅, и предположим, что для всякой дуги γ ⊂ B, соединяющей область D с множеством E, выполнено γ ∩ O ∕= ∅.

3.4. СКОРОСТЬ СТАБИЛИЗАЦИИ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ

85

Будем говорить, что capp E > 0, если inf capp (O, D; B) > 0,

(3.4.39)

где точная нижняя грань берется по всевозможным множествам O, определенным выше. В противном случае говорим, что capp E = 0. Известно, что свойство (3.4.39) не зависит от выбора области D (см., наример, [Vuo88, раздел 6]). Множества нулевой h-меры Хаусдорфа и множества нулевой α-емкости связаны между собой следующим образом. Лемма 3.4.1 Пусть A ⊂ ℝn – множество нулевой α-емкости и α ≤ n. Тогда для всякой неубывающей функции h(r), 0 ≤ r < ∞, обладающей свойством ∫ [h(r)]1/α dr < ∞ , rn/α 0

h-мера Хаусдорфа множества A равна нулю. Обратно, пусть h(r) = rn−α при α < n и h(r) = (ln(1/r))1−n при 0 < r ≤ 1/2 в случае α = n. Если h-мера Хаусдорфа множества A равна нулю, то его α-емкость равна нулю. Доказательство см., например, [Re69]. 3.4.2

□

Допустимая скорость стабилизации

Пусть B ⊂ ℝn – ограниченная область и u – (непрерывная) функция класса ACLp (B), p > 1. Зафиксируем ε > 0 и обозначим ∫ I(ε) = ∣∇u∣p dx1 . . . dxn , Bε = {x ∈ B : ∣u(x)∣ < ε}. Bε

Докажем следующее утверждение. Теорема 3.4.1 Пусть u ∈ ACLp (B), p > 1, – непрерывная функция, стремящаяся к нулю при x ∈ E, где E ⊂ ∂B – множество положительной p-емкости. Предположим, что интеграл I(ε) удовлетворяет

86

ГЛАВА 3. ФУНКЦИИ С ОБОБЩЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

одному из условий: ∫ (

1 1/(p−1) ) dε = ∞ , I ′ (ε)

(3.4.40)

ε 1/(p−1) ) dε = ∞ , I(ε)

(3.4.41)

0

или

∫ ( 0

или существует неотрицательная функция f (ε) такая, что I(ε) ≤ εp (f (ε))p−1 и

при любых ε ∈ (0, 1/2),

∞ ∑ k=0

1 = ∞, f (2−k )

(3.4.42)

(3.4.43)

или

I(ε) < ∞. ε→0 εp Тогда u есть тождественный нуль. lim inf

3.4.3

(3.4.44)

Доказательство теоремы 3.4.1

Доказательство теоремы проводится в четыре этапа: A. (3.4.40) ⇒ утверждение, B. (3.4.41) ⇒ (3.4.40), C. (3.4.42) & (3.4.43) ⇒ (3.4.41), D. (3.4.44) ⇒ (3.4.41). Этап A. (3.4.40) ⇒ утверждение. Предположим, что u есть нетождественный нуль и зафиксируем пару множеств Bε , Bδ , 0 < ε < δ, где δ < supx∈B ∣u(x)∣. Последнее условие влечет, что Bδ ∕= ∅. Россмотрим конденсатор (B ε , F ; B), где F = B ∖ Bδ. Предполагалось, что множество E ⊂ ∂B имеет положительную pемкость. Тем самым, lim inf capp (B ε , F ; B) > 0. ε→0

Пусть h : (0, ∞) → ℝ – липшицева функция, для которой h(t)∣t≤ε = 0,

h(t)∣t≥δ = h(δ).

(3.4.45)

3.4. СКОРОСТЬ СТАБИЛИЗАЦИИ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ

87

Тогда функция v = h(∣u(x)∣)/h(δ), где x ∈ B, принадлежит классу W (B ε , F ; B) и ∫ hp (δ) capp (B ε , F ; B) ≤ ∣∇v(x)∣p dx1 . . . dxn B

∫ =

∣h′ (u(x))∣p ∣∇u(x)∣p dx1 . . . dxn .

(3.4.46)

ε n − p, видим, что всюду в ℝn за исключением, быть может, множества нулевой α-меры Хаусдорфа выполняется соотношение α

lim r− p ∥f ∗ ∥1,p,B(x,r) = 0 .

r→0

Поскольку данное свойство имеет место, в частности, и почти всюду (в □ смысле α-меры Хаусдорфа) на B, лемма доказана. 3.5.2

Предельные множества вдоль конусов

Пусть V x – невырождающийся в полупространство круговой конус с вершиной в точке x ∈ S, S = ∂B, B = B n (0, 1), и осью вращения, совпадающей с внутренней нормалью n к поверхности S. Для произвольного отображения f : B ⊂ ℝn → ℝm , m ≥ 1, n ≥ 2, полагаем: i) SV V – множество точек x0 ∈ S таких, что для любых двух конусов и V2x0 предельные множества отображения f вдоль конусов V1x0 и совпадают;

V1x0 V2x0

96

ГЛАВА 3. ФУНКЦИИ С ОБОБЩЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

ii) если x0 ∈ SV V и предельное множество вдоль конусов состоит из единственной точки y0 ∈ ℝm ∪ {∞}, то говорят о существовании в x0 углового граничного значения y0 ; iii) Sv – множество точек на S, в которых существуют конечные угловые граничные значения; iv) SγV – множество точек x0 ∈ S, в каждой из которых существование предела y0 ∈ ℝm ∪{∞} отображения f вдоль некоторого пути γ ⊂ B, идущего в x0 , влечет за собой существование в этой точке углового граничного значения, равного y0 . Как показано Плеснером [Ple27], для всякой голоморфной в круге B : ∣z∣ < 1 функции f (z) линейная мера множества S ∖ SV V равна нулю. В работе Долженко [Dol67] это утверждение распространяется на произвольные отображения в ℝn . Формулируемая ниже теорема уточняет сказанное в случае монотонных отображений класса ACLp (B), где p ∈ (n − 1, n]. Теорема 3.5.1 Пусть f : B ⊂ ℝn → ℝm – монотонное отображение класса ACLp (B) и n − 1 < p ≤ n. Тогда справедливы следующие соотношения: i) S ∖ SV V = ∅ при p = n; ii) Hα (S ∖ SV V ) = 0 при n − 1 < p < n и любом α > n − p. Доказательство. Пусть x0 – произвольная точка множества S0 = S ∩ B 0 . При p = n множество S ∖ S0 пусто. При p ∕= n на основании леммы 3.5.1 можно утверждать, что множество S ∖ S0 имеет нулевую α-меру Хаусдорфа для всякого α > n − p. Тем самым, нам достаточно показать, что x0 есть точка множества SV V . Пусть Γx0 ⊂ B – радиус, идущий в точку x0 , и пусть V x0 – произвольный конус с вершиной в x0 и осью вращения Γx0 . Покажем, что предельные множества отображения f вдоль конуса V x0 и вдоль радиуса Γx0 совпадают. Обозначим через β, 0 < β < π/2, – плоский угол между образующей конуса V x0 и радиусом Γx0 . Для текущей точки x ∈ Γx0 пусть Bx = B(x, sin β∣x − x0 ∣) – шар с центром в точке x, вписанный в конус V x0 . Рассмотрим семейство концентрических сфер {S(x, r)}k,Rx , где k = sin β

3.5. ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

97

и Rx = ∣x−x0 ∣. Нетрудно видеть, что при любом r ∈ [kRx , Rx ] шар B(x, r) содержит внутри себя шар Bx = B(x, kRx ). В силу (3.5.52) существует сфера S(x, r), r ∈ [kRx , Rx ], для которой p−n p

osc{f, S(x, r)} ≤ C Rx ∥f ∗ ∥1,p,B(x,Rx ) . Так как B(x, Rx ) ⊂ B(x0 , 2Rx ), то osc{f, S(x, r)} ≤ C1 (2Rx )

p−n p

∥f ∗ ∥1,p,B(x0 ,2Rx ) .

В силу выбора точки x0 ∈ S0 = S ∩ B ) , имеем lim osc{f, S(x, r)} = 0 .

Rx →0

Из монотонности отображения f вытекает, что osc{f, Bx } ≤ osc{f, B(x, r)} ≤ osc{f, S(x, r)} и, следовательно, можно заключить, что lim osc{f, Bx } = 0 .

x→x0

(3.5.53)

Пусть теперь {xk } (k = 1, 2, . . .) – произвольная последовательность точек со свойствами: xk ∈ V x0 ,

lim xk = x0 ,

k→∞

lim f (xk ) = y0 .

k→∞

Поскольку шары Bx при любом x ∈ Γx0 вписаны в конус V x0 , найдется последовательность точек {x′k }, x′k ∈ Γx0 , k = 1, 2, . . ., для которой при любом k = 1, 2, . . . имеет место включение xk ∈ Bx′k . Принимая во внимание соотношение (3.5.53), получаем lim ∣f (x′k ) − y0 ∣ ≤ lim ∣f (x′k ) − f (xk )∣+

k→∞

k→∞

+ lim ∣f (xk ) − y0 ∣ ≤ lim osc{f, Bx′k } = 0 . ′ xk →x0

k→∞

Поэтому lim f (x′k ) = y0 .

k→∞

98

ГЛАВА 3. ФУНКЦИИ С ОБОБЩЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Это означает, что любая точка y0 , принадлежащая предельному множеству отображения f вдоль конуса V x0 , принадлежит также и предельному множеству отображения f вдоль радиуса Γx0 . Поскольку обратное включение очевидно, мы можем утверждать о совпадении этих предельных множеств. □ Замечание 3.5.1 Следует отметить, что при p > n в доказанной выше теореме предположение о монотонности f излишне, поскольку каждое отображение класса ACLp (B), p > n, продолжимо по непрерывности на границу шара B. Это следует из теоремы вложения Кондрашова (см. также замечание 3.2.1).

3.5.3

Условие существования углового граничного значения

Следующее утверждение дает признак существования углового граничного значения. Теорема 3.5.2 Пусть f : B ⊂ ℝn → ℝm – монотонное отображение класса ACLp (B), где n − 1 < p ≤ n. Тогда справедливы высказывания: i) S ∖ SγV = ∅ при p = n; ii) Hα (S ∖ SγV ) = 0 при n − 1 < p < n и любом α > n − p. Доказательство. Зафиксируем точку x0 ∈ S0 = S ∩B 0 и предположим, что существует путь γx0 ⊂ B, ведущий в x0 , вдоль которого отображение f имеет пределом точку y0 ∈ ℝm ∪ {∞}. В силу леммы 3.5.1 для доказательства теоремы достаточно установить принадлежность точки x0 множеству SγV . Пусть V x0 – произвольный конус с вершиной в точке x0 и осью вращения, совпадающей с радиусом Γx0 ⊂ B, ведущим в x0 . Обозначим через β, 0 < β < π/2, – плоский угол между образующей конуса V x0 и радиусом Γx0 . Для текущей точки x ∈ Γx0 пусть Bx = B(x, sin β ∣x−x0 ∣) – шар, вписанный в конус V x0 . Повторяя рассуждения, приведенные в доказательстве теоремы 3.5.1, устанавливаем, что для шаров Bx выполняется соотношение (3.5.53).

3.5. ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

99

Рассмотрим семейство концентрических сфер {S(x0 , r)}k,R̃x с центром ̃x, R ̃ x ], где в точке x0 и радиусами r ∈ [k R 1 − sin β , 1 + sin β

k=

̃ x = (1 + sin β)∣x − x0 ∣ . R

Каждая сфера S(x0 , r) этого семейства пересекает одновременно шар B x и путь γx0 . Из соотношения (3.5.52) и принадлежности точки x0 множеству S0 = S ∩ B 0 вытекает существование при любом ̃ x = (1 + sin β)∣x − x0 ∣ , R

x ∈ Γx0 ,

̃x, R ̃ x ], для которых сфер S(x0 , rx ), rx ∈ [k R lim osc{f, S(x0 , rx ) ∩ B} = 0 .

x→x0

Пусть ax и bx – произвольные точки множеств S(x0 , rx ) и S(x0 , rx )∩γx0 соответственно. Как нетрудно заметить, выполнено lim ax = lim bx = x0 ,

x→x0

x→x0

lim f (bx ) = y0 .

x→x0

Отсюда получаем lim ∣f (ax ) − y0 ∣ ≤ lim ∣f (ax ) − f (bx )∣+

x→x0

x→x0

+ lim ∣f (bx ) − y0 ∣ ≤ lim osc{f, S(x0 , rx ∩ B)} = 0 x→x0

x→x0

и, принимая во внимание (3.5.53), будем иметь lim d(f (Bx ), y0 ) ≤ lim d(f (Bx ), f (ax ))+

x→x0

x→x0

+ lim ∣f (ax ) − y0 ∣ ≤ lim osc{f, Bx } = 0 . x→x0

x→x0

Здесь мы воспользовались обозначением d(A, B) для расстояния между множествами A и B в ℝm . Так как шары Bx вписаны в конус V x0 при любом x ∈ Γx0 , то мы вправе заключить о совпадении предельного множества отображения f вдоль конуса V x0 с единственной точкой {y0 }. В силу произвола в выборе конуса V x0 , убеждается в справедливости теоремы. □

100

3.5.4

ГЛАВА 3. ФУНКЦИИ С ОБОБЩЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Емкостная характеристика множества SV

Пусть f : D ⊂ ℝn → ℝm есть вектор-функция, локально суммируемая в области D. Фиксируем произвольно точку x0 ∈ D. Точка M0 ∈ ℝm называется естественным значением вектор-функции f в точке x0 , если ∫ 1 lim ∣f (x) − M0 ∣ dHxn = 0 . (3.5.54) r→0 r n B(x0 ,r)∩D

Обозначим через Lp1 (ℝn ) множество функций u(x), представимых в виде бесселева потенциала ∫ 1 u(x) = G1 (∣x − y∣)v(y) dHyn , n/2 (2π) ℝn

где G1 (t) – бесселево ядро порядка 1 (см., например, [Nik69, глава 9]). Лемма 3.5.2 Пусть φ(x) ∈ ACLp (ℝn ). Тогда существует функция φ∗ (x) ∈ Lp1 (ℝn ) такая, что φ∗ (x) = φ(x) почти всюду в ℝn . Доказательство может быть найдено, например, в [Re69].

□

Лемма 3.5.3 Пусть f : ℝn → ℝm – вектор-функция класса Lp1 (ℝn ). Тогда всюду в ℝn за исключением, быть может, множества нулевой p-емкости вектор-функция f имеет естественные значения. Доказательство см. в [Re69]. □ Всякая непрерывная в области D ⊂ ℝn вектор-функция имеет естественные значения в каждой точке области D. Нам потребуется Лемма 3.5.4 Пусть f : B ⊂ ℝn → ℝm – вектор-функция класса ACLp (B). Тогда всюду на границе S = ∂B за исключением, быть может, множества нулевой p-емкости вектор-функция f имеет естественные значения. Доказательство. В силу известных результатов (см. [GR89, глава 6]), найдется отображение f ∗ : ℝn → ℝm класса ACLp (ℝn ) такое, что f ∗ ∣B =

3.5. ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

101

f . По лемме 3.5.2 существует вектор-функция φ ∈ Lp1 (ℝn ) такая, что для почти всех точек x ∈ ℝn выполнено φ(x) = f ∗ (x). Так как условие (3.5.54) носит интегральный характер, то всякое естественное значение M вектор-функции φ(x) является одновременно и естественным значением функции f ∗ . Поэтому, на основании леммы 3.5.3, заключаем, что всюду в ℝn за возможным исключением множества pемкости нуль вектор-функция f ∗ имеет естественные значения. Аналогичное свойство имеет место, очевидно, и для вектор-функции f = f ∗ ∣B . Лемма доказана. □ Формулируемая ниже теорема 3.5.3 была доказана впервые Бейрлингом [Beur40] для голоморфных функций с ограниченным интегралом Дирихле. На случай двумерных квазиконформных вектор-функций с ограниченным интегралом Дирихле она была перенесена в работах [Jen56], [Mori57], на случай многомерных однолистных квазиконформных отображений — в [Zor67] и многомерных отображений с ограниченным искажением — в [Mik70]. Теорема 3.5.3 Пусть f : B ⊂ ℝn → ℝm – монотонное отображение класса ACLp (B) и n − 1 < p ≤ n. Тогда выполнено capα (S ∖ SV ) = 0 , где α = n при p = n и α < p любое при n − 1 < p < n. Доказательство. Обозначим через B 1 множество точек x ∈ B, в каждой из которых вектор-функция f имеет естественные значения, через B 2 — множество B 0 ∩ B 1 . Мы имеем B ∖ B 2 = B ∖ (B 0 ∩ B 1 ) = (B ∖ B 0 ) ∪ (B ∖ B 1 ) .

(3.5.55)

Множество B ∖ B 0 обладает свойствами, описанным в лемме 3.5.1. Поэтому, на основании леммы 3.4.1, имеем capα (B ∖ B 0 ) = 0 . Аналогичное равенство имеет место, в силу леммы 3.5.4, и для множества B ∖ B 1 . Принимая во внимание соотношение (3.5.55), убеждаемся, что capα (B ∖ B 2 ) = 0 .

102

ГЛАВА 3. ФУНКЦИИ С ОБОБЩЕННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Пусть S ∗ = S ∩ B 2 . Так как (S ∖ S ∗ ) ⊂ (B ∖ B 2 ), то capα (S ∖ S ∗ ) = 0 и для доказательства теоремы нам достаточно установить включение S ∗ ⊂ SV . Фиксируем точку x0 ∈ S ∗ и, таким образом, точку M0 ∈ ℝm , являющуюся естественным значением вектор-функции f в x0 . Естественное значение существует, ибо из принадлежности точки x0 множеству S ∗ вытекает принадлежность этой точки множеству B 1 . Рассмотрим круговой конус V x0 с вершиной в точке x0 и осью вращения, совпадающей с радиусом Γx0 ⊂ B, ведущим в x0 . Обозначим через β плоский угол между образующей конуса V x0 и радиусом Γx0 . Для произвольной точки x ∈ Γx0 пусть Bx = B(x, sin β∣x − x0 ∣) – шар, вписанный в конус V x0 . Так как x0 ∈ B 0 , то в силу рассуждений, проведенных в доказательстве теоремы 3.5.1, имеем (3.5.53). Легко проверяется включение Bx ⊂ (Bx0 ∩ B), где Bx0 = B(x0 , (1 + sin β)∣x − x0 ∣) . Поэтому ∫

∣f (P ) − M0 ∣dHPn ≤

∫

∣f (P ) − M0 ∣dHPn .

Bx0 ∩B

Bx

Так как Hn (Bx ) = C ∣x − x0 ∣n , где C – постоянная, зависящая лишь от n и β, то на основании (3.5.54), будем иметь lim ∣f (x) − M0 ∣ = 0 .

x→x0

Учитывая (3.5.53), получаем lim d(f (Bx ), M0 ) ≤ lim d(f (Bx ), x)+

x→x0

x→x0

+ lim ∣f (x) − M0 ∣ ≤ lim osc{f, Bx } = 0 . x→x0

x→x0

Поскольку шары Bx вписаны в конус V x0 при любом x ∈ Γx0 , можно утверждать, что точка M0 является пределом отображения f вдоль конуса V x0 . В силу произвола в выборе конуса V x0 , точка M0 есть угловое граничное значение отображения f в x0 и, следовательно, множество S ∗

3.5. ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

103

является подмножеством множества SV , т.е. S ∗ ⊂ SV . Теорема доказана. □ Пользуясь леммой 3.4.1, получаем Следствие 3.5.1 Пусть f : B ⊂ ℝn → ℝm – монотонное отображение класса ACLp (B) и n − 1 < p ≤ n. Тогда выполнено H1 (S ∖ SV ) = 0 .

3.5.5

Плоский случай

Сделаем некоторые замечания, касающиеся двумерного случая. Прежде всего отметим, что основным средством при получении теорем 3.5.1 и 3.5.2 является неравенство 3.5.52, остающееся верным в плоском случае для p = 1. Поэтому теоремы 3.5.1 и 3.5.2 формулируются без изменений и для монотонных отображений класса ACL1 (B) круга B ⊂ ℝ2 . Теорема 3.5.3 в двумерном случае может быть дополнена следующим утверждением, которое можно рассматривать (до определенной степени) как аналог теоремы Фату об угловых граничных значениях голоморфных функций. Отметим, что классическая теорема Фату для отображений с ограниченным искажением не имеет места [Jen57]. Теорема 3.5.4 Пусть f : B ⊂ ℝ2 → ℝm – монотонное отображение класса ACL1 (B). Тогда H1 (S ∖ SV ) = 0 . Доказательство. В силу теоремы 3.5.2, справедливой и в данном случае, нам достаточно показать, что почти всюду на окружности S векторфункция f имеет конечный предел хотя бы вдоль одного жорданового пути. Это свойство является простым следствием суммируемости по B обобщенных производных ∂f /∂xi , i = 1, 2. □

Глава 4

Кусочно-гладкие отображения Излагаемые ниже результаты связаны с важным подклассом класса негладких отображений — кусочно-гладкими отображениями. Рассматривается задача, возникающая как важнейшая составная часть общей проблемы поиска эффективных методов триангуляции областей в пространстве ℝn , n ≥ 2 (см., например, статьи Бобылева, Иваненко, Исмаилова [BII], Бобылева, Иваненко, Казунина [BIK] и Прохоровой [Pr07], где исследуются близкие вопросы с точки зрения применений в вычислительных алгоритмах). Описываются основные связи данной проблемы с кусочно-гладкими отображениями, приводятся некоторые эффективные методы проверки взаимной однозначности отображения "в целом" и формулируются возникающие при этом вопросы. При изложении проблемы мы следуем [Mik07d].

4.1

Некоторые общие топологические факты

Мы начнем с изложения теорем Кудрявцева [Kud69]. 4.1.1

Теоремы Кудрявцева

Пусть D ⊂ ℝn – область. Следуя [A47], будем говорить, что D регулярна порядка r ≥ 1, если она ограничена и ее граница состоит из r попарно непересекающихся замкнутых топологических (n − 1)-мерных псевдомногообразий. Пусть f : D → ℝn – непрерывно дифференцируемое отображение области D ⊂ ℝn . Обозначим через J(x, f ) – якобиан f в точке x ∈ D, 104

4.1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ФАКТЫ

105

через D0f – множество точек x ∈ D, в которых J(x, f ) = 0. Отображение f : D → ℝn называется ориентированным, если оно сохраняет ориентацию каждого (n − 1)-мерного цикла в D. Ясно, что всякое C 1 отображение с неотрицательным якобианом является ориентированным. Следующее утверждение в случае n = 2 было получено Сцилардом [Szi35] и в общем случае — Кудрявцевым [Kud69]). Теорема 4.1.1 Пусть y = f (x) : D → ℝn – ориентированное отображение класса C 1 регулярной области D порядка r, непрерывное на D и такое, что множество нулей якобиана D0f является изолированным в D. Предположим, что отображение f взаимно однозначно отображает границу ∂D на границу некоторой регулярной области D′ порядка r. Тогда отображение f есть взаимно однозначное отображение D на D′. Нашей ближайшей целью является получение аналогов данного утверждения для кусочно-гладких отображений. В точках нарушения гладкости отображения якобиан J(x, f ) не существует. На линиях склейки f мы заменяем условие положительности якобиана проверкой выполнения некоторых специальных требований. Предлагаемый прием оказывается достаточно эффективным и в близких вопросах дифференциальной топологии. Мы будем использовать его также при получении аналогов формулируемых ниже теорем 4.1.2 и 4.1.3 из работы [Kud69]. Теорема 4.1.2 Пусть y = f (x) : D → ℝn – ориентированное отображение класса C 1 области D ⊂ ℝn и множество нулей его якобиана D0f является изолированным в D. Тогда для всякой подобласти U ⊂ D ее образ f (U ) также есть область. Пусть D ⊂ ℝn – регулярная область порядка r и ∂i D – компоненты связности ее границы, i = 1, 2 . . . , r. Пусть, далее, ∂1 D – такое псевдомногообразие, что вся область D расположена в конечной области, ограничиваемой ∂1 D (такое псевдомногообразие среди ∂i D единственно). Предположим, наконец, что zjn−1 суть образующие элементы целочисленных (n − 1)-мерных групп Δ-циклов псевдомногообразий ∂j D, причем ориентация z1n−1 выбрана соответственно, а ориентации zjn−2 , j = 2, 3, . . . , r, – противоположно ориентации всего пространства ℝn .

106

ГЛАВА 4. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

∑ В этом случае целочисленный цикл z n−1 = rj=1 zjn−1 (соответственно цикл −z n−1 ) будем называть положительной (соответственно отрицательной) ориентацией границы области D [A47]. Обозначим через μ(z, y) коэффициент зацепления цикла z с точкой y ∈ ℝn . Имеет место следующее утверждение. Теорема 4.1.3 Пусть y = f (x) : D → ℝn – ориентированное отображение класса C 1 регулярной области D ⊂ ℝn порядка r, непрерывное в D. Предположим, что множество нулей якобиана D0f не имеет внутренних точек. Пусть, далее, O = {y = 0} – начало координат пространства ℝn , ∂D – граница области D, z n−1 – какая-либо ориентация ∂D и μ[f (z n−1 , O)] = 0. Тогда для любого x ∈ D выполнено ∣f (x)∣ ≥ min ∣f (x′ )∣ . ′ x ∈∂D

Отметим, что в случае плоской области D, ограниченной простой замкнутой линией, условие μ[f (z n−1 , O)] = 0 равносильно равенству нулю интеграла Стильтьеса ∫ d Arg f (x) , ∂D

где Arg f (x) – произвольная непрерывная ветвь изменения аргумента вектора с концом в точке f (x). 4.1.2

Обобщения

Как отмечено в [Kud69], теоремы 4.1.1, 4.1.2 и 4.1.3 остаются справедливыми для более широкого класса отображений, чем дифференцируемые. Пусть y = f (x) – непрерывное отображение области D ⊂ ℝn и пусть γ f (x) – степень отображения f в точке x ∈ D, D0f = {x ∈ D : γ f (x) = 0} (детали см. ниже). Если в условиях теоремы 4.1.3 требование дифференцируемости отображения y = f (x) заменить требованиями γ f (x) ≥ 0 и пустоты множества внутренних точек D0f и f (D0f ), то утверждение сохраняет свою силу.

4.1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ФАКТЫ

107

Аналогично обстоит дело и с теоремами 4.1.1 и 4.1.2. Более того, требование пустоты множеств внутренних точек у D0f и f (D0f ) для них излишне, ибо в предположениях теорем D0f есть счетное множество. 4.1.3

Теорема Чернавского

К числу наиболее завершенных форм теоремы 4.1.1 относится теорема Чернавского [Che64], [Che65]. Мы приведем ее здесь, предварительно уточнив используемую терминологию. Именно, замкнутой областью U ⊂ ℝn называется замкнутое множество, имеющее связную внутренность int U и совпадающее с замыканием своей внутренности U = int U . Отображение f : D → ℝn называется открытым, если оно переводит открытые множества в открытые. Всякое открытое отображение монотонно. Компактная область есть ограниченная замкнутая область. Отображение f : D → ℝn нульмерно (изолировано), если множество f −1 [f (x)] нульмерно в D для каждой точки x ∈ D. Если f : D → ℝn нульмерно, то всякая точка x ∈ D имеет фундаментальную систему окрестностей {Gk } такую, что каждая из Gk есть компактная область, граница которой ∂Gk не задевает полного прообраза точки f (x), т.е. ∂Gk ∩ f −1 [f (x)] = ∅ (или f (x) ∩ f [∂Gk ] = ∅) и Gk+1 ⊂ int Gk . Ряд полезных для дальнейшего свойств нульмерных отображений можно найти у Трохимчука [Tro69], Вяйсяля [V̈ai66] и Хейнонена, Кильпелайнена, Мартио [HKM93, раздел 14.4]. Говоря далее о фундаментальных системах компактных окрестностей точки x ∈ D, мы будем понимать окрестности, обладающие перечисленными свойствами. Область D мы считаем ориентированной, ее компактные подобласти также ориентированы, и на ∂D рассматривается индуцированная ориентация. Пусть x ∈ D – фиксированная точка. Рассмотрим всевозможные компактные области G, границы которых не задевают множество f −1 [f (x)]. Отображение f : D → ℝn называется положительно ориентированным в точке x ∈ D, если для всех таких областей коэффициенты зацепления μ(f (x), f [∂G]) ≥ 0. Отображение f положительно ориентировано в D, если оно положительно ориентировано в каждой точке области D.

108

ГЛАВА 4. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Пусть f : D → ℝn – непрерывное нульмерное отображение области D ⊂ ℝn и пусть {Gαk }α∈I – семейство фундаментальных систем компактных окрестностей точки x ∈ D таких, что ∂Gαk ∩ f −1 [f (x)] = ∅ при всяком α ∈ I и k = 1, 2, . . .. Если для всякой такой системы окрестностей {Gαk }, k = 1, 2, . . ., коэффициент зацепления μ(f (x), f (∂Gαk )) ≡ γ f (x) лишь k ≥ k(α) , то целочисленная функция x → γ f (x) называется локальной степенью (топологическим индексом) отображения f . Детали см., например, в [KPP63, с. 50-60], [Re82a, с. 40-46]. Из нульмерности и положительной ориентированности отображения f : D → ℝn нетрудно заключить, что локальная степень γ f (x) определена всюду в D, причем γ f (x) ≥ 0. Напомним теперь, что множество A ⊂ D называется граничным, если int A = ∅. Теорема 4.1.4 Пусть f : D → ℝn – нульмерное отображение. Тогда множество A ⊂ D точек x ∈ D, в которых локальная степень γ f (x) определена и обращается в нуль, есть граничное множество. Доказательство см. в [TB69]. □ Следующие два утверждения, принадлежащие Мельниченко (см., например, [Zap07, стр. 123-135]), мы формулируем в качестве упражнений для заинтересованного читателя. Упражнение 4.1.1 Доказать, что для нульмерного положительно ориентированного отображения f : D → ℝn локальная степень γ f (x) определена всюду в области D, причем γ f (x) ≥ 1 всюду в D. Упражнение 4.1.2 Доказать равносильность высказываний: i) отображение f открыто и изолировано; ii) f – нульмерно и положительно (отрицательно) ориентировано; iii) локальная степень γ f (x) отображения f : D → ℝn определена всюду в D и всюду положительна (отрицательна).

4.1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ФАКТЫ

109

В работе [Che65] было показано, что множество точек локального гомеоморфизма у открытого изолированного отображения f : D → ℝn открыто и всюду плотно в D ⊂ ℝn , а его дополнение в D, часто обозначаемое символом Bf и называемое множеством точек ветвления f , имеет размерность не выше n − 2. Таким образом, множество Bf не разделяет D и, значит, D ∖ Bf есть область. Из определения γ f (x) непосредственно вытекает, что в каждой точке локального гомеоморфизма f : D → ℝn выполнено γ f (x) = 1 либо γ f (x) = −1. Следующая теорема принадлежит Чернавскому [Che65]. Теорема 4.1.5 Пусть f : D → ℝn – отображение компактной области D ⊂ ℝn . Предположим, что i) γ f (x) > 0 всюду в D, ii) f (∂D) ∩ f (int D) = ∅, iii) f (Γ) ∩ f (D ∖ Γ) = ∅, где Γ – открытая порция границы, причем iv) f ∣Γ – гомеоморфизм. Тогда f ∣int D есть гомеоморфное отображение. Как отмечено также в [Kud69], в теоремах 4.1.1, 4.1.2 и 4.1.3 можно отказаться от требования ограниченности областей. Для того, чтобы получить соответствующие утверждения в случае неограниченных областей, можно дополнить пространство ℝn бесконечно удаленной точкой до n пространства ℝ , для которого и провести необходимые рассмотрения. При этом условие непрерывности отображения f в D можно заменить более слабым требованием от f быть собственным. Именно, если X и Y – локально компактные хаусдорфовы топологические пространства, то непрерывное отображение f : X → Y называется собственным, если прообраз произвольного компактного множества, принадлежащего Y , есть компакт в X. Ряд необходимых для дальнейшего свойств собственных отображений многообразий можно найти в работах Зелинского [Zel73] и Бахтина, Бахтиной, Зелинского [BBZ08]. Отметим следующее полезное утверждение [Re82a, глава II, §6]. Теорема 4.1.6 Пусть D есть открытое множество в ℝn , f : D → ℝn 1,n – непрерывное отображение класса Wloc такое, что для почти всех x ∈

110

ГЛАВА 4. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

D якобиан J(x, f ) ≥ 0. Тогда для всякой компактной подобласти U ⊂ D для любой точки y ∈ / f (∂U ) топологический индекс отображения n f : U → ℝ в точке y неотрицателен. В наших построениях удобно предполагать, что отображение y = f (x) локально липшицево, а требование на степень отображения заменить условием локальной однолистности f . Таким образом, имеют место: Теорема 4.1.7 Пусть D ⊂ ℝn – регулярная область порядка r и E ⊂ D – изолированное в D множество. Пусть y = f (x) : D → ℝn – ориентированное собственное отображение класса Liploc (D), локально однолистное в D∖E. Предположим, что отображение f взаимно однозначно отображает границу ∂D на границу некоторой регулярной области D′ порядка r. Тогда отображение f есть взаимно однозначное отображение D на D′ .

Теорема 4.1.8 Пусть D ⊂ ℝn – регулярная область порядка r и E ⊂ D – изолированное в D множество. Пусть y = f (x) : D → ℝn – ориентированное отображение класса Liploc (D), локально однолистное в D ∖ E. Тогда для всякой подобласти U ⊂ D ее образ f (U ) также есть область.

Теорема 4.1.9 Пусть D ⊂ ℝn – регулярная область порядка r и множество E ⊂ D не имеет внутренних точек. Пусть y = f (x) – ориентированное собственное отображение класса Liploc (D), локально однолистное в D ∖ E. Пусть, далее, O = {y = 0} – начало координат пространства ℝn , ∂D – граница области D, z n−1 – какая-либо ориентация ∂D и μ[f (z n−1 , O)] = 0. Тогда для любого x ∈ D выполнено ∣f (x)∣ ≥ min ∣f (x′ )∣ . ′ x ∈∂D

4.2. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ+ ОТОБРАЖЕНИЯ

4.2

111

Кусочно-гладкие+ отображения

Рассматриваемая здесь задача возникает как важнейшая часть проблемы триангуляции областей в ℝn . Ниже мы описываем основные связи данной проблемы с кусочно-гладкими отображениями и формулируем возникающие при этом вопросы. 4.2.1

Определения

Область D ⊂ ℝn однозначно определена, если задана ее граница ∂D и хотя бы одна ее внутренняя точка. Среди возможных способов задания поверхности ∂D можно различить геометрический и аналитический способы. Геометрический способ задания состоит, как правило, в задании чертежей ее проекций на координатные плоскости. Аналитический способ задания предполагает задание в явном либо неявном виде параметрического представления (n − 1)-мерной поверхности ∂D. В случае односвязной области D это параметрическое представление может осуществляться, например, посредством отображения φ : S → ∂D, где S – граница n-мерного шара либо n-мерного куба в ℝn . Заметим, что если известно гомеоморфное отображение куба на область, то устраивая сколь угодно мелкие разбиения куба, мы автоматически получаем и соответствующие разбиения области. Опишем требования к кусочно-гладкому отображению . Ниже мы предполагаем, что одномерная кусочно-гладкая дуга l в ℝn может быть задана в параметрическом виде посредством отображения y = f (x) : [0, 1] → ℝn ,

n ≥ 1,

принадлежащего классу C 1 всюду на отрезке [0, 1] за исключением некоторого конечного числа особых точек 0 < a1 < a2 < . . . < aN < 1 . Точки дуги, не являющиеся особыми, мы будем называть регулярными. В каждой из особых точек ai , i = 1, 2, . . . , N области, предполагается существование (вообще говоря, не равных друг другу) конечных односторонних пределов df lim (x) . x→ai ±0 dx

112

ГЛАВА 4. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Пусть D ⊂ ℝ2 – область, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких дуг. Кусочно-гладкое+ отображение f : D → ℝn , n ≥ 1, мы определяем следующим образом. Предполагается, что область D разбита на конечное число односвязных (открытых) областей Ds , s = 1, . . . , N , системой кусочно-гладких жордановых дуг l1 , . . . , lM . В каждой из Dk отображение f принадлежит классу C 1 и продолжимо по непрерывности на замыкания Dk так, что f ∈ C 1 всюду в замкнутых областях за исключением особых точек на граничных дугах l1 , . . . , lM . Сужения f ∣li , i = 1, . . . , M , суть непрерывные отображения. Кусочно-гладкие+ отображения f : D ⊂ ℝp → ℝn , где p ≥ 3 и n ≥ 1, определяются аналогично. 4.2.2

Геометрический смысл J(a, f ± )

Остановимся сначала подробно на двумерном случае. Пусть f : D → ℝ2 – непрерывное отображение, принадлежащее классу C 1 на каждой из подобластей Ds , s = 1, . . . , N . Пусть li – дуга, лежащая одновременно на границах подобластей Ds′ , Ds′′ (1 ≤ s′ , s′′ ≤ N ). Для краткости мы будем обозначать эти подобласти через D− и D+ соответственно. Пусть a ∈ li – регулярная точка. Предположим, что каждое из C 1 -сужений f ∣D± в точке a может быть продолжено гладким образом на подходящую окрестность Ua± ⊂ D этой точки до C 1 -отображения f ± : Ua± → ℝ2 . Пусть J(a, f ± ) – их якобианы. Нашей ближайшей целью является исследование вопроса: можно ли с помощью величин J(a, f ± ) указать признак локальной гомеоморфности (основного) кусочно-гладкого+ отображения f : D ⊂ ℝ2 → ℝ2 ? Мы имеем ∫ 1 lim 2 J(x, f ± ) dx1 dx2 = J(a, f ± ) . r→0 πr B(a,r)

Здесь B(x, r) означает круг радиуса r > 0 с центром в точке x ∈ ℝ2 . Отсюда, обозначая через ∣E∣ площадь множества E ⊂ ℝ2 , находим ∣f ± (B(a, r))∣ lim = J(a, f ± ) . 2 r→0 πr

4.2. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ+ ОТОБРАЖЕНИЯ

113

Так как a ∈ li есть регулярная точка, то дуга li имеет в ней касательную, а потому ∣B(a, r) ∩ Ua± ∣ 1 lim = . r→0 πr2 2 ± Функции f (x) имеют в точке a полные дифференциалы, т.е. f ± (x) = f ± (a) + (f ± )′ (a)(x − a) + ε(x)∣x − a∣ ,

(2.1)

где ε(x) → 0 при x → a. Так как

det (f ± )′ (a) = J(a, f ± ) , то, как нетрудно видеть, ∣f ± (B(a, r) ∩ Ua± ) ∣ 1 = J(a, f ± ) . lim 2 r→0 πr 2

(2.2)

Мы имеем f (B(a, r)) = f (B(a, r) ∩ (Ua+ ∪ Ua− )) = = f (B(a, r) ∩ Ua+ ) ∪ f (B(a, r) ∩ Ua− ) = = f + (B(a, r) ∩ Ua+ ) ∪ f − (B(a, r) ∩ Ua− ) . Тем самым, в силу (2.2) приходим к соотношению ∣f (B(a, r))∣ 1 1 + = J(a, f ) + J(a, f − ) . 2 r→0 πr 2 2 lim

(2.3)

В многомерном случае li суть кусочно-гладкие гиперповерхности, рассуждения практически не меняются и мы имеем: Теорема 4.2.1 Пусть f : D ⊂ ℝn → ℝn – кусочно-гладкое+ отображение, a ∈ li – регулярная точка. Если f является C 1 -продолжимым на полуокрестности Ua± так, что J(x, f ± ) > 0 в Ua± , то 1 ∣f (B n (a, r))∣ 1 = J(a, f + ) + J(a, f − ) , lim n n r→0 r ∣B (0, 1)∣ 2 2 где B n (x, r) – n-мерный шар радиуса r > 0 с центром в x.

(2.4)

114

4.2.3

ГЛАВА 4. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Условие локальной гомеоморфности

Докажем, что в указанных предположениях условие J(a, f ± ) > 0

(2.5)

влечет локальную гомеоморфность кусочно-гладкого+ отображения f : D ⊂ ℝ2 → ℝ2 в регулярной точке a ∈ li . Так как отображения f ± совпадают вдоль li в окрестности точки a, то из (2.1) вытекает существование постоянных θ ∈ [0, π], p± ≥ 1 такие, что в областях Ua± отображения могут быть записаны в виде y1 = x1 cos θ + x2 sin θ + ε± 1 (x) ∣x − a∣ , y2 = p± (−x1 sin θ + x2 cos θ) + ε± 2 (x) ∣x − a∣ ,

(2.6)

где ε± i (x) → 0, i = 1, 2, при x → a. Если окрестность Ua точки a достаточно мала и каждое из C 1 -отображений ± f имеет ненулевой якобиан в a, то можно считать, что сужения f ± на Ua± гомеоморфны. Это означает, что любая достаточно близкая к f (a), точка y ∈ f (Ua ) может иметь не более одного прообраза в каждой из полуокрестностей Ua± . С другой стороны, в силу представлений (2.6) прообразы такой точки не могут лежать в разных Ua± . Отсюда вытекает, что f взаимно однозначно в окрестности точки a ∈ li . Заметим, что в описываемом случае f имеет в точке a в качестве дифференциала df (a) непрерывное кусочно-линейное отображение. Рассуждения в случае n > 2 аналогичны и, тем самым, имеет место утверждение. Теорема 4.2.2 Пусть f : D → ℝn – кусочно-гладкое+ отображение, a ∈ li – регулярная точка. Если f является C 1 -продолжимым на полуокрестности Ua± так, что J(x, f ± ) > 0 в Ua± , то f гомеоморфно в окрестности точки a. 4.2.4

Проверка глобальной гомеоморфности

Опишем алгоритм проверки глобальной гомеоморфности кусочно-гладкого+ отображения f : D → ℝn . Алгоритм базируется на следующей теореме, вытекающей из теорем 4.1.6, 4.1.7 и 4.2.1.

4.2. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ+ ОТОБРАЖЕНИЯ

115

Теорема 4.2.3 Пусть D ⊂ ℝn – регулярная область порядка r. Пусть y = f (x) : D → ℝn – кусочно-гладкое+ отображение, имеющее конечное число особых точек1 и положительный якобиан в каждой точке гладкости. Предположим, что f продолжимо до C 1 -отображений f ± : Ua± → ℝn на полуокрестности Ua± регулярных точек a так, что J(x, f ± ) > 0 в Ua± . Предположим, что отображение f взаимно однозначно отображает границу ∂D на границу некоторой регулярной области D′ порядка r. Тогда отображение f есть взаимно однозначное отображение D на D′ . Предлагаемый алгоритм проверки однолистности "в целом" отображения f включает следующие этапы: ∙ нахождение точек гладкости, в которых якобиан J(x, f ) = 0; ∙ определение поверхностей li , i = 1, . . . , M , вдоль которых векторфункция f : D → ℝn терпит разрыв производных; ∙ нахождение точек негладкости поверхностей li ; ∙ нахождение точек гладкости поверхностей li , в которых J(x, f ± ) = 0; ∙ проверка условия конечности особых точек; ∙ проверка гомеоморфности отображения f на границе ∂D (данное требование трудно проверяемо и потому лучше всего его удовлетворить a priori в процессе описания отображения f ). Заметим, что условие C 1 -продолжимости f локально через поверхности li , i = 1, . . . , M , как правило, выполняется на практике автоматически. Отображения, не обладающие такими свойствами, вообще говоря, являются математическими абстракциями и встречаются исключительно редко. Таким образом, алгоритм проверки взаимной однозначности кусочногладкого+ отображения (за исключением проверки гомеоморфности отображения f на границе ∂D) содержит лишь шаги, сводящиеся к вычислению якобиана в области D и на поверхностях li , что свидетельствует о его эффективности. Вместе с тем, по-видимому, наиболее сильный результат в данном направлении получается с использованием теоремы Чернавского 4.1.5. 1

На граничных дугах l1 , . . . , lM ю

116

ГЛАВА 4. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Теорема 4.2.4 Пусть f : D → ℝn – кусочно-гладкое+ отображение компактной области D ⊂ ℝn , имеющее конечное число особых точек и положительный якобиан в каждой точке гладкости. Предположим, что f продолжимо до C 1 -отображений f ± : Ua± → ℝn на полуокрестности Ua± регулярных точек2 a ∈ D так, что J(x, f ± ) > 0 в Ua± . Если при этом выполнено: α) f (∂D) ∩ f (int D) = ∅, β) f (Γ) ∩ f (D ∖ Γ) = ∅, где Γ – некоторая открытая порция границы, причем γ) f ∣Γ – гомеоморфизм, то f является глобальным гомеоморфизмом. Условиям α), β), γ) можно удовлетворять по построению. Условие C 1 продолжимости допускает возможность эффективной проверки. 4.2.5

Сопутствующие результаты

Далее приводятся утверждения, получаемые в качестве следствий описанного подхода и сформулированных выше теорем Кудрявцева. Приводимое ниже утверждение вытекает из теоремы 4.1.2. Следствие 4.2.1 Пусть y = f (x) : D → ℝn – кусочно-гладкое+ отображение с положительным якобианом в точках гладкости и имеющее конечное число особых точек. Предположим, что f продолжимо до C 1 отображений f ± : Ua± → ℝn на полуокрестности Ua± регулярных точек a так, что J(x, f ± ) > 0 в Ua± . Тогда для всякой подобласти U ⊂ D ее образ f (U ) также есть область. Отметим следствие теоремы 4.1.3. Следствие 4.2.2 Пусть y = f (x) : D → ℝn – кусочно-гладкое+ отображение с положительным якобианом в точках гладкости, непрерывное в D и имеющее конечное число особых точек. Предположим, что f продолжимо до C 1 -отображений f ± : Ua± → ℝn на полуокрестности Ua± регулярных точек a так, что J(x, f ± ) > 0 в Ua± . 2

На граничных дугах l1 , . . . , lM .

4.2. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ+ ОТОБРАЖЕНИЯ

117

Пусть, далее, O = {y = 0} – начало координат пространства ℝn , ∂D – граница области D, z n−1 – какая-либо ориентация ∂D и μ[f (z n−1 , O)] = 0. Тогда для любого x ∈ D выполнено ∣f (x)∣ ≥ min ∣f (x′ )∣ . ′ x ∈∂D

Кажется полезным для применений также следующее высказывание, которое мы предлагаем читателю в качестве упражнения. Теорема 4.2.5 Пусть y = f (x) : D → ℝn – кусочно-гладкое+ отображение, не имеющее особых точек. Предположим, что якобиан положителен в точках гладкости f , и f продолжимо до C 1 -отображений f ± : Ua± → ℝn на полуокрестности Ua± регулярных точек a так, что J(x, f ± ) > 0 в Ua± . Тогда, если отображение собственно, то существует целое N , 0 < N ≤ ∞, такое, что для всякой точки y ∈ f (D) множество f −1 (y) имеет ровно N прообразов3 в D.

3

Предполагается, что при N = ∞ множество f −1 (y) счетно

Глава 5

Липшицевы отображения 5.1

Теорема об обратной функции

Ниже для локально липшицевых функций предлагаются некоторые версии хорошо известных в гладком случае теорем об обратном отображении и неявных функциях. 5.1.1

Обратное отображение

Классическая теорема об обратном отображении доказывается в предположении, что локально отображение принадлежит классу C 1 . Далее, следуя Кларку [Clarke76], [Cla88, §7.1] мы доказываем соответствующее утверждение для локально липшицевых (и не обязательно дифференцируемых всюду) отображений. Близкое утверждение было доказано также Поршиу [Pou77]. Другие источники: Авхадиев [Avh96, раздел 2.3], Картан [Car67, глава 1], Шварц [Sch72, теорема 25 главы III], Кристя [Cris81], [Cris92], [Cris99b], Джон [Joh68], Мартио, Рикман и Вяйсяля [MRV71] Ф. Неванлинна [NevF57], Р. Неванлинна [NevR55], [NevR60], Журавлев [Zhur04] и др. Теорема 5.1.1 Пусть W ⊂ ℝn – область и пусть f : W → ℝn – локально липшицево отображение. Если производная ∂f (x0 ) имеет максимальный ранг, то найдутся окрестности U и V точек x0 и f (x0 ), соответственно, такие, что сужение f ∣U есть гомеоморфизм на V и g = (f ∣U )−1 – липшицево отображение. Более того, для Hn -почти всех x ∈ U выполнено g ′ [f (x)] ∘ f ′ (x) = I , 118

5.1. ТЕОРЕМА ОБ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

119

где I – единичная матрица. Если f принадлежит классу C 1 , то обобщенный якобиан ∂f (x0 ) редуцируется к обычному якобиану J(x0 , f ), и отображение g необходимо C 1 . Классическая теорема об обратном отображении есть специальный случай данного утверждения. Замечание 5.1.1 Как показывает функция ∣x∣ (n = 1), в теореме 5.1.1 недостаточно предполагать, что производная f ′ есть максимального ранга в точках существования. С другой стороны, отображение f = (u(x, y), v(x, y)) в примере 2.4.1 является локально липшицевым и удовлетворяет предположениям теоремы 5.1.1 в окрестности (0, 0). □ Мы предварим доказательство серией подготовительных лемм. Следующее утверждение является прямым следствием определения 2.4.1. Лемма 5.1.1 Пусть ε > 0. Для всех x, достаточно близких к x0 , выполнено ∂f (x) ⊂ ∂f (x0 ) + ε Mn (0, 1) , где Mn (0, 1) есть единичный шар в Mn . Доказательство. Достаточно заметить, что определение 2.4.1 эквивалентно следующему: ∂f есть наименьшее выпукло-значное полунепрерывное сверху множественно-значное отображение, содержащее якобиан J(x, f ), там где он существует. □ n n Пусть B = B (0, 1) и S = S (0, 1). Лемма 5.1.2 Существуют положительные числа r и δ, обладающие следующими свойствами: по произвольному единичному вектору v ∈ ℝn найдется единичный вектор w ∈ ℝn такой, что w · (K v) ≥ δ как только x лежит в x0 + r B и K ∈ ∂f (x).

(5.1.1)

120

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

Доказательство. Подмножество ∂f (x0 ) S пространства ℝn компактно. Так как ∂f (x0 ) имеет максимальный ранг, то 0 ∕∈ ∂f (x0 ) S. Тем самым, расстояние 2δ от точки 0 до ∂f (x0 ) S положительно. Пусть G = ∂f (x0 )+ε Mn (0, 1). Для достаточно малых ε > 0, G S имеет по крайней мере расстояние δ от 0. Пользуясь леммой 5.1.1, видим, что для некоторого r > 0 выполняется x ∈ x0 + r B

влечет ∂f (x) ⊂ G .

(5.1.2)

Мы вправе допустить, что r выбрано так, чтобы отображение f подчинялась неравенству ∣f (x) − f (y)∣ ≤ C ∣x − y∣ на x0 + r B с некоторой постоянной C > 0. Пусть теперь v – единичный вектор. Из предыдущего следует, что выпуклое множество G v имеет как минимум расстояние δ от 0. По теореме о разделении выпуклых множеств (см., для примера, [Roc73, теорема 11.1]), найдется единичный вектор w такой, что для всякой матрицы K ∈ G выполняется w · (K v) ≥ δ . Таким образом, (5.1.1) следует из (5.1.2). Пусть r и δ выбраны как в лемме 5.1.2.

□

Лемма 5.1.3 Если x и y лежат в x0 + r B, то ∣f (x) − f (y)∣ ≥ δ ∣x − y∣ . Доказательство. Так как отображение f непрерывно, мы вправе допустить, что x ∕= y и x, y ∈ x0 + r B. Положим v = (y − x)/∣y − x∣ , λ = ∣y − x∣ , так что y = x + λ v. Рассмотрим гиперплоскость Π, проходящую черех точку x перпендикулярно v. Множество P точек x′ в x0 + r B, где f ′ не существует, имеет меру 0. Следовательно, по теореме Фубини для почти всех x′ ∈ Π луч x′ + t v ,

t ≥ 0,

5.1. ТЕОРЕМА ОБ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

121

пересекает P на множестве нулевой H1 -меры. Выберем произвольно x′ с вышеописанными свойствами и достаточно близко к x так, чтобы точка x′ + t v лежала в x0 + r B для всех t ∈ [0, λ]. Функция t → f (x′ + t v) является липшицевой при t ∈ [0, λ] и имеет почти всюду на этом отрезке производную f ′ (x′ + t v) v. Таким образом, f (x′ + λ v) − f (x′ ) =

∫λ

f ′ (x′ + t v) v dH1 (t) .

0

Пусть w соответствует v как в лемме 5.1.2. Мы находим w · (f (x′ + λ v) − f (x′ )) =

∫λ

w · (f ′ (x′ + t v) v) dt ≥

0

∫λ ≥

δ dt = δλ . 0

По определению λ получаем ∣f (x′ + λ v) − f (x′ )∣ ≥ δ ∣y − x∣ . Теперь точка x′ может быть выбрана произвольно близко к x. Поскольку отображение f непрерывно, то лемма доказана. □ Лемма 5.1.4 Множество f (x0 + r B) содержит f (x0 ) + (rδ/2) B. Доказательство. Зафиксируем точку y в f (x0 ) + (rδ/2) B. Предположим, что минимум величины ∣y − f ( · )∣2 на x0 + r B достигается в точке x. Мы можем требовать, чтобы точка x принадлежала x0 +r B. Действительно, в противном случае по лемме 5.1.3 и неравенству треугольника

122

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

мы имеем rδ/2 > ∣y − f (x0 )∣ ≥ ∣f (x) − f (x0 )∣ − ∣y − f (x)∣ ≥ δ ∣x − x0 ∣ − ∣y − f (x)∣ ≥ δ r − ∣y − f (x0 )∣ (вследствие оптимальностиx) > > δ r − δ r/2 = r δ/2 , что влечет противоречие. Таким образом, точка x доставляет локальный минимум функции ∣y − f ( · )∣2 и, тем самым, 0 ∈ ∂∣y − f (x)∣2 . Пользуясь теоремой 2.4.2, заключаем, что точка 0 принадлежит множеству 2 (y − f (x))∂f (x) . С другой стороны, лемма 5.1.2 утверждает, что каждая из матриц в ∂f (x) обратима. Сказанное выше возможно только при f (x) = y. □ Доказательство теоремы 5.1.1. Положим теперь V = f (x0 ) + (r δ/2) B и определим g на V следующим образом: g(v) есть единственное x в x0 + r B такое, что f (x) = v. Выбираем окрестность U точки x0 так, чтобы f (U ) ⊂ V . Лемма 5.1.3 гарантирует тогда, что g липшицево с постоянной 1/δ. Теорема теперь очевидна. □ 5.1.2

Теорема об открытом отображении

Пусть L(ℝn , ℝk ) – множество линейных отображений из ℝn на ℝk . Будем называть подмножество Δ множества L(ℝn , ℝk ) сюръекцией если каждое из A ∈ Δ сюръективно. Следующее утверждение имеет многочисленные приложения. Теорема 5.1.2 Пусть U ⊂ ℝn – открытое множество, пусть a ∈ U и пусть f : U → ℝk – липшицево отображение с сюръективной

5.1. ТЕОРЕМА ОБ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

123

производной Кларка ∂f (a). Тогда f (a) есть внутренняя точка f (U ), т.е. f (a) ∈ int f (U ) . См. доказательство в оригинальной статье Поршиу [Pou77]. □ В частности, из теоремы 5.1.2 следует, что липшицево отображение f с сюръктивной производной Кларка в каждой точке есть открытое отображение, т.е. f отображает открытые множества на открытые. 5.1.3

Локально липшицевы отображения

В теоремах 4.1.1, 4.1.2 и 4.1.3 можно отказаться от требования гладкости отображения y = f (x), а требование на степень отображения заменить условием локальной однолистности f . Нетрудно доказать, что имеют место: Теорема 5.1.1 Пусть D ⊂ ℝn – регулярная область порядка r и E ⊂ D – изолированное в D множество. Пусть y = f (x) : D → ℝn – ориентированное собственное отображение класса Liploc (D), локально однолистное в D∖E. Предположим, что отображение f взаимно однозначно отображает границу ∂D на границу некоторой регулярной области D′ порядка r. Тогда отображение f есть взаимно однозначное отображение D на D′ . Теорема 5.1.2 Пусть D ⊂ ℝn – регулярная область порядка r и E ⊂ D – изолированное в D множество. Пусть y = f (x) : D → ℝn – ориентированное отображение класса Liploc (D), локально однолистное в D ∖ E. Тогда для всякой подобласти U ⊂ D ее образ f (U ) также есть область. Теорема 5.1.3 Пусть D ⊂ ℝn – регулярная область порядка r и множество E ⊂ D не имеет внутренних точек. Пусть y = f (x) – ориентированное собственное отображение класса Liploc (D), локально однолистное в D ∖ E. Пусть, далее, O = {y = 0} – начало координат пространства ℝn , ∂D – граница области D, z n−1 – какая-либо ориентация ∂D и μ[f (z n−1 , O)] = 0.

124

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

Тогда для любого x ∈ D выполнено ∣f (x)∣ ≥ min ∣f (x′ )∣ . ′ x ∈∂D

5.1.4

Теоремы Адамара и Ефимова

Здесь мы прикоснемся к двум знаменитым теоремам о глобальной обратимости отображений – теореме Адамара [Had06] и теореме Ефимова [Efim68]. Мы сформулируем также некоторые открытые вопросы. Сначала докажем следующее обобщение теоремы Адамара. Теорема 5.1.3 Предположим, что f : ℝn → ℝn локально липшицево отображение, обобщенная матрица Якоби ∂f (x) которого имеет максимальный ранг в каждой точке x. Пусть m(t) = inf ∣x∣≤t //∂f (x)//. Тогда если ∫ ∞ m(t) dH1 (t) = ∞ , (5.1.3) то f отображает ℝn гомеоморфно на ℝn . Мы будем следовать статье Поршиу [Pou88]. Предположим, что f : ℝ → ℝn – локальный гомеоморфизм. Не уменьшая общности мы вправе предполагать, что f (0) = 0. Тогда найдутся шар B = B(0, ε) и непрерывное локальное обращение g : B → ℝn , g(0) = 0. Определим естественную ко-область D отображения f следующим образом: D есть множество всевозможных точек y в ℝn таких, что существует непрерывное обращение g отображения f , определенное на прямолинейных сегментах [0, y] и удовлетворяющих условию g(0) = 0. Ясно, что значение g(y) зависит единственным образом от f и y. Определим отображение f −1 на D по правилу f −1 (y) = g(y). n

Упражнения и открытые вопросы 5.1.1 1) Доказать, что D есть открытое множество и что отображение f −1 непрерывно на D. 2) Предположим, что {yj } – последовательность в D, лежащая на фисированном луче, исходящим из 0 и ведущем к некоторой точке y ∕∈ D. Доказать, что последовательность точек {f −1 (yj )} не ограничена. (Некоторые намеки можно найти у Джона [Joh68, теорема II].)

5.1. ТЕОРЕМА ОБ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

125

Доказательство теоремы 5.1.3. Согласно теореме 5.1.1 отображение f является локально гомеоморфным. Пусть D – естественная ко-область f . Для доказательства теоремы достаточно установить, что D = ℝn . Предположим, что это не выполнено. Тогда граница ∂D содержит некоторую точку y. Так как D открыто, то y ∕∈ D. Пусть f −1 – обратное отображение, определенное на D, и для y ∈ [0, y) определим n(y) = sup ∣f −1 (w)∣ . w∈[0,y]

Если y → y вдоль отрезка [0, y), то f −1 (y) неограниченно удаляется (пример 2). Мы заключаем, что непрерывная функция n : [0, y) → ℝ принимает все неотрицательные числа. Это влечет, что для всякого разбиения 0 = t0 < t1 < · · · < tJ < ∞ на полуинтервале [0, ∞) существуют точки y0 , y1 , . . . , yJ на отрезке [0, y) такие, что n(yj ) = tj и yJ есть точка ближайшая к y, для которой достигается равенство. Отсюда, J−1 ∑ j=0

m(tj+1 ) (tj+1 − tj ) =

J−1 ∑

m (n(yj+1 )) (n(yj+1 ) − n(yj )) .

(5.1.4)

j=0

Мы будем оценивать теперь каждую из разностей, входящих во вторую сумму. Зафиксируем y ∈ [0, y) и x = f −1 (y). По лемме 2.4.1 и теореме 2.4.1 имеем 1 1 ∥∂f −1 (y)∥ ≤ ≤ . //∂f (x)// m (n(y)) Однако применяя (2.4.12) на выпуклом множестве [0, y), мы видим, что ∣f −1 (yj+1 ) − f −1 (yj )∣ ≤

∣yj+1 − yj ∣ . m (n(yj+1 ))

Данное соотношение влечет, что n(yj+1 ) − n(yj ) ≤

∣yj+1 − yj ∣ . m (n(yj+1 ))

126

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

Возвращаясь обратно к (5.1.4), находим ∑J−1 ∑J−1 m(t ) (t − t ) = j+1 j+1 j j=0 j=0 m (n(yj+1 )) (n(yj+1 ) − n(yj )) ≤

∑J−1 j=0

∣yj+1 − yj ∣ = ∣yJ ∣ < ∣y∣ .

Найденное противоречит предположению, что (5.1.3) действительно имеет место. Тем самым, множество D обязано быть всем ℝn и теорема доказана. □ Следствие 5.1.1 Предположим, что ∂f (x) имеет максимальный ранг при каждом x. Если существует постоянная ε > 0 такая, что //∂f (x)// ≥ ε при всех x ∈ ℝn , то f отображает ℝn гомеоморфно на ℝn . При проверке гомеоморфности сужения F ∣∂D отображения на границу области в теоремах предыдущей главы может быть полезной также следующая теорема, восходящая к Адамару (см., например, [KP02, раздел 6.2]). Теорема 5.1.4 Пусть M1 и M2 суть гладкие связные n-мерные многообразия и пусть F : M1 → M2 – отображение класса C 1 . Тогда если (i) отображение F собственно , (ii) якобиан F не обращается в нуль , и (iii) многообразие M2 односвязно , то F гомеоморфно. Заметим, что теорема 4.1.1 представляет собой некоторое усиление теоремы 5.1.4 в случае, когда M1 и M2 являются областями в ℝn . Может быть получен также и кусочно-гладкий+ аналог теоремы Адамара. Далее, пусть для C 1 -отображения f = (f1 , f2 ) : ℝ2 → ℝ2 величина rot f (x) определяет, как обычно, ротор f , то есть, rot f = ∂f2 /∂x1 − ∂f1 /∂x2 . Следующий результат принадлежит Ефимову [Efim68].

5.1. ТЕОРЕМА ОБ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

127

Теорема 5.1.4 Пусть f : ℝ2 → ℝ2 – отображение класса C 1 с отрицательным якобианом J(x, f ) < 0, x ∈ ℝ2 , и пусть определены функция a = a(x) > 0 и неотрицательные постоянные α, β, удовлетворяющие неравенству ∣1/a(x) − 1/a(y)∣ ≤ α ∣x − y∣ + β (5.1.5) при всех x, y ∈ ℝ2 . Если при всех x ∈ ℝ2 выполняется ∣det f ′ (x)∣ ≥ a(x) ∣rot f (x)∣ + a2 (x) ,

(5.1.6)

то f (ℝ2 ) есть выпуклая область и f отображает ℝ2 в ℝ2 гомеоморфно. Более того, если (5.1.6) выполнено с некоторой постоянной a > 0, в частности, если ∣det f ′ (x)∣ ≥ const > 0 и ∣rot f (x)∣ ≤ const , то f (ℝ2 ) является либо всей плоскостью, либо полуплоскостью, либо бесконечной полосой между параллельными прямыми. Доказательство теоремы 5.1.4 весьма не просто. Анализ теоремы Ефимова был дан Кантором [Kan70] и Гейсбергом [Gei70]. В частности, изучался следующий вопрос: какие из возможностей, указанные во второй части теоремы 5.1.4, действительно реализуются? Для линейного отображения f1 (x1 , x2 ) = x2 , f2 (x1 , x2 ) = x1 область f (ℝ2 ) является целой плоскостью. Кантор [Kan70] доказал, что условия det f ′ (x) ≡ const < 0 rot f (x) ≡ 0 , влекут, что f (ℝ2 ) не может быть полосой. Им построен также пример отображения, в котором f (ℝ2 ) есть полуплоскость. Гейсберг [Gei70] приводит некоторые обобщения результатов Кантора, показывающие, что f (ℝ2 ) не может быть полосой, если (a) rot f (x) ≡ 0, det f ′ (x) ≡ −g 2 (x), где g выпукла и не обращается в нуль; или (b) rot f (x) ≡ 0 и det f ′ (x) полиномиален и принимает только отрицательные значения. См. также обзоры Клотц – Милнор [KM72], Розендорна [Ros89] и разделы 31.1 - 31.5 монографии Бакельмана, Вернера, Кантора [BVK], где рассматриваются близкие вопросы.

128

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

Ниже мы следуем статье Александрова [Alex91]. Формулируемая далее теорема Александрова устанавливает, что f (ℝ2 ) = ℝ2 и что f является диффеоморфизмом при выполнениии условия, подобного условию в теоремах Ефимова, Кантора и Гейсберга. Теорема 5.1.5 Пусть f : ℝ2 → ℝ2 – отображение класса C 1 . Предположим, что для некоторой монотонной функции L : [0, ∞) → (0, ∞), обладающей свойством ∫ ∞ L(t) dt = ∞ , (5.1.7) при всяком x ∈ ℝn имеют место неравенства ∣det f ′ (x)∣ ≥ L(∣x∣) ∣rot f (x)∣ + L2 (∣x∣) , ∣tr f ′ (x)∣ ≤ L(∣x∣) . Тогда f есть диффеоморфизм ℝ2 на себя.

(5.1.8) (5.1.9)

Подчеркнем, что в отличие от теоремы 5.1.4 в теореме Александрова допускается случай, в котором det f ′ (x) > 0. Если отображение f удовлетворяет (5.1.5) и (5.1.6), то найдется функция L со свойствами (5.1.7), (5.1.8). Можно выбрать L в виде L(t) = (C1 t + C2 + 1/a(0))−1 . Неравенство (5.1.9) является дополнительным по сравнению с предположениями теоремы 5.1.5. Пусть теперь J : ℝ2 → ℝ2 – линейное отображение с матрицей ( ) 0 1 J= −1 0 в каноническом базисе ℝ2 . Обозначим через ((f ∘ J)′ (x))−1 линейное отображение, обратное к (f ∘ J)′ (x). Доказательство теоремы базируется на следующих аргументах Александрова, опирающегося на лемму. Лемма 5.1.5 В условиях теоремы 5.1.5 для любого x ∈ ℝ2 имеет место неравенство √ 5 −1 −1 ∥ ((f ∘ J)′ (x)) ∥ = sup ∣ ((f ∘ J)′ (x)) y∣ ≤ . L(∣x∣) ∣y∣=1

5.1. ТЕОРЕМА ОБ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

129

Доказательство. Зафиксируем x ∈ ℝ2 . Пусть F = f ∘ J и L = L(∣x∣). Тогда (5.1.8) принимает вид ∣det F ′ (x)∣ ≥ L ∣tr F ′ (x)∣ + L2 .

(5.1.10)

Действительно, пусть f = (f1 , f2 ). Мы имеем F = (−f2 , f1 ) и ⎞ ⎛ ′ ′ f −f2x 1x1 1 l l ′ F = ⎝ −f ′ ⎠. ′ f 2x2 1x2 Тем самым, находим ′ ′ det F ′ (x) = −f2x f ′ + f2x f ′ = det f ′ (x) , 1 1x2 2 1x1 ′ ′ tr F ′ (x) = f1x − f2x = −rot f ′ 2 1

и (5.1.10) доказано. Обозначим через λ1 , λ2 собственные числа линейного отображения F ′ (x). Пусть ∣λ1 ∣ ≤ ∣λ2 ∣. Тогда мы можем переписать (5.1.10) в виде ∣λ1 λ2 ∣ ≥ L ∣λ1 + λ2 ∣ + L2 .

(5.1.11)

Легко видеть, что ∣λ1 ∣ ≥ L. Действительно, если ∣λ1 ∣ < L, то (5.1.11) влечет, что L ∣λ2 ∣ > L ∣λ1 + λ2 ∣ + L2 ≥ ≥ −L ∣λ1 ∣ + L ∣λ2 ∣ + L2 , то есть, L ∣λ1 ∣ > L2 . Таким образом, мы получаем ∣λ1 ∣ > L. Это противоречит предполжению, что ∣λ1 ∣ < L. Сказанное означает, что спектральный радиус { } 1 1 ′ −1 ρ(F (x) ) = max , ∣λ1 ∣ ∣λ2 ∣ не превышает 1/∣λ1 ∣ ≤ 1/L (см., например, [HJ86, 1.1.4]). Мы имеем ⎛ ′ ⎞ ′ f1x2 −f1x 1 1 l l ′ −1 (F ) = ⎝ f′ ′ ′ −f2x1 ⎠ . det f 2x2

130

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

Далее находим 1 √ ′2 ′2 + f ′2 + f ′2 = f1x2 + f1x ∥ (F ) ∥ ≤ 2x2 2x1 1 ′ ∣det f ∣ √ ( )2 ( ′ ′ ) 1 ′ + f ′ )2 + f ′ − f ′ ′ f′ = (f − 2 f f − f 1x1 2x2 1x2 2x1 1x1 2x2 1x2 2x1 = ∣det f ′ ∣ ′ −1

=

1 √ (tr f ′ )2 + (rot f )2 − 2 det f ′ . ∣det f ′ ∣

Пользуясь (5.1.9) и (5.1.8), мы можем заметить, что (tr f ′ )2 + (rot f )2 − 2 det f ′ ≤ L2 +

∣det f ′ ∣2 + 2 ∣det f ′ ∣ . 2 L

Таким образом, получаем √ L2 1 2 ′ −1 ∥ (F ) ∥ ≤ + + ∣det f ′ ∣2 L2 ∣det f ′ ∣ √ =

2

L 1 2 + 2+ ≤ 2 2 ∣λ1 ∣ ∣λ2 ∣ L ∣λ1 λ2 ∣

√

1 1 2 + 2+ 2. 2 L L L

Тем самым, ∥F ′ (x)−1 ∥ ≤

2 L

и лемма доказана. □ Доказательство теоремы 5.1.5. Не трудно видеть, что F = f ∘ J принадлежит классу C 1 в ℝ2 . Предположение (5.1.8) влечет, что якобиан det F ′ (x) не меняет знака в ℝ2 и, следовательно, F есть максимального ранга в каждой точке x ∈ ℝ2 . Так как //F ′ (x)// =

1 , ∥F ′ (x)−1 ∥

5.1. ТЕОРЕМА ОБ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

131

то на основании леммы 5.1.5 мы можем записать L(x) //F ′ (x)// ≥ √ . 5 Определим функцию m(t) равенством L(t) m(t) = √ (0 < t < ∞) . 5 Условие (5.1.7) обеспечивает (5.1.3). Пользуясь теоремой 5.1.3, заключаем, что F = f ∘ J является гомеоморфизмом. Таким образом, f есть гомеоморфизм ℝ2 на ℝ2 . □ Упражнения и открытые вопросы 5.1.2 1. Пусть yi = φi (x1 , . . . , xn ) : D → ℝ1 (i = 1, . . . , n)

(5.1.12)

– система C 1 -функций, определенных в выпуклой области D ⊂ ℝn . Пусть S – область в ℝn . Рассмотрим матрицу ∥ ( )∥ ∥ 1 ∂ϕi ∂ϕj ∥ ∥ M =∥ ∥ 2 ∂xj + ∂xi ∥ и обозначим через E множество точек, в которых M не является положительно определенной. Предположим, что( )

∂ϕi a) Якобиан J = det ∂x ∕= 0 всюду в S, j b) матрица M не является отрицательно определенной всюду в D, c) пересечение S ∩ E ни где не плотно. Показать, что в описанных условиях отображение y = ϕ(x) взаимно однозначно в S (см. Фомин [Fom49]). 2. Показать, что предположение выпуклости D является необходимым (см. Фет [Fet50]). 3. Дать геометрическую интерпретацию предположению b) (см. Мышкис и Бунт [MB55]). 4. Пусть D – выпуклая область в ℝn и пусть f : D → ℝn – локально гомеоморфное отображение класса C 2 . Предположим, что | | 2 n ∑ | π + 1/4 | ∂ f (x) ν |≤ | . sup ∥(f ′ )−1 (x)∥ | | ∂x ∂x diamD x∈D j k ν,j,k=1

132

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

Показать, что отображение f инъективно (см. Авхадиев [Avh96, следствие 2.3.7]). 5. Пусть D = {x = (x1 , . . . , xn ) ∈ ℝn : ai < xi < bi } – параллелепипед. Здесь ai , bi – вещественные числа, из которых некоторые или все могут обращаться в −∞ или +∞. Предположим, что отображение (5.1.12) дифференцируемо в D и каждый из главных миноров матрицы Якоби ) ( ∂ϕ i ϕ′ (x) = ∂xj положителен. Доказать, что отображение φ : D → ℝn инъективно. Данное утверждение известно как теорема о глобальной однолистности Гейле - Никаидо - Инеда [GN65], [Par83, глава III], [Cris99a]. 6. Для каких областей теорема Гейле - Никадо - Инеда имеет место? Эта проблема весьма не простая, поскольку известно следующее утверждение. Для всякого целого n ≥ 2 найдутся эллипсоид Δ ⊂ ℝn и C ∞ отображение y = φ(x) : Δ → ℝn такие, что каждый из главных миноров матрицы Якоби φ′ (x) положителен, однако отображение φ не инъективно. См., например, Александров [Ale94]. 7. Найти формулировки теоремы Ефимова для кусочно-гладких+ и липшицевых отображений. 8. Найти многомерный аналог теоремы Ефимова. Следующая гипотеза принадлежит Александрову [Alex91]. Пусть n ≥ 2 и пусть f : ℝn → ℝn – непрерывно дифференцируемое отображение. Обозначим через λ1 = λ1 (x), λ2 = λ2 (x), . . . , λn = λn (x) собственные значения линейного отображения f ′ (x) упорядоченные по абсолютным величинам ∣λ1 ∣ ≤ ∣λ2 ∣ ≤ . . . ∣λn ∣. Если найдется постоянная c > 0 такая, что при всех x ∈ ℝn выполнены неравенства 1 ≤ ∣λ1 (x)∣ ≤ ∣λn (x)∣ ≤ c , c то f (ℝn ) является выпуклой областью и отображение f инъективно.

5.2. ИСКАЖЕНИЕ ПРИ БИЛИПШИЦЕВЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ

5.2

133

Искажение при билипшицевых отображениях

Приведем некоторые результаты относительно искажения при билипшицевых (квазиизометрических) отображениях подобластей ℝn с заданными римановыми метриками. В настоящем разделе мы следуем работе Лыгина и Миклюкова [LM05]. 5.2.1

К постановке проблемы

Ниже мы рассматриваем проблему, восходящую к хорошо известному методу Годунова построения двумерных сеток (см. Годунов, Прокопов [GP67], Годунов, Роменский, Чумаков [GRC90]). Именно, мы разбиваем стандартную область в w-плоскости с римановой метрикой и формируем сетку в некоторой подобласти z-плоскости посредством подходящего квазиконформного отображения z = φ(w) (см. также Гордиенко [Gor92], Чумаков [Chum92], Иваненко [Ivan04, глава 3], Гаранжа [Gar05]). Существование и качество сетки связано с искажением углов при квазиконформных отображениях φ и, в частности, с сохранением ориентации троек точек. Одной из важнейших качественных характеристик является наименьший угол, образуемой треугольниками сети. Ясно, что слишком острые углы могут препятствовать организации вычислительного процесса для решения с достаточно высокой точностью, и важной задачей является оценка искажения углов при отображениях. Следующее утверждение содержится в [Ahl66, раздел D, глава III]: Пусть φ — K-квазиконформное отображение плоскости ℝ2 на себя с √ коэффециентом K < 3. Тогда вершины любого равностороннего треугольника переходят в вершины некоторого треугольника той же самой ориентации. Наибольшая трудность при проверке этих условия состоит в предположении, что отображение φ должно быть отображением ℝ2 на ℝ2√ . Проблема существования K-квазиконформного продолжения с K < 3 имеет весьма высокую сложность. Мы даем прямую оценку угла треугольника при отображении φ. Однако, при этом мы существенно ограничиваем класс отображений φ. Именно, мы изучаем искажение углов при билипшицевых (квазиизометрических) отображениях квазивыпуклых подобластей ℝ2 . В частности, мы даем оценки углов треугольников, доказываем некоторые признаки сохранения ориентации треугольников, приводим усло-

134

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

вия для отображения поверхности в ℝm быть квазиизометрией.

5.2.2

Дилатация

Начнем с терминологии. Следуя Громову [Gro99], мы будем пользоваться следующими понятиями. Дилатацией отображения f метрического пространства X в метрическое пространство Y называется величина r(f (x), f (x′ )) dil (f ) = sup , r(x, x′ ) x,x′ ∈X x∕=x′

где символом ‐r‐ обозначены расстояния distX в X и distY в Y . Отображение f является липшицевым, если dil (f ) < ∞. Если каждая точка x ∈ X обладает окрестностью U такой, что сужение f ∗ = f ∣U удовлетворяет условию dil (f ∗ ) < ∞, то f является локально липшицевым. Пусть D ⊂ ℝn – область и пусть Ω – поверхность в ℝm , m > n, задаваемая локально липшицевой вектор-функцией x = f (u) = (f1 (u), . . . , fm (u)) : D → ℝm+n , x = (x1 , . . . , xm ) ,

(5.2.13)

u = (u1 , . . . , n) . В общем случае поверхность Ω может иметь самопересечения. Говорят, что поверхность Ω является вложенной в ℝm , если вектор-функция f осуществляет гомеоморфное отображение области D на пножество f (D), наделенное метрикой (и, следовательно, топологией !), индуцированной из объемлющего пространства ℝm . Поверхность Ω является погруженной в ℝm , если вектор-функция f описанным свойством локально в D. Так как вектор-функция f локально липшицева, то по теореме 2.3.1 почти всюду в D существует полный дифференциал df (u, v).

5.2. ИСКАЖЕНИЕ ПРИ БИЛИПШИЦЕВЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ

135

Пусть (u, v) ∈ D – точка, в которой f дифференцируема. Символом ⎛ ⎞ ′ ′ ′ f1u f . . . f mun 1 2u1 l l l l ′ ′ ′ l f1u2 f2u2 . . . fmun l l l l f′ = l l l ... l l l l ⎝ f′ f′ . . . f′ ⎠ 1un

2un

mun

обозначается производная f в точке u ∈ D. 5.2.3

Изотермические координаты

Остановимся на двумерном случае. Пользуясь стандартными обозначениями | | | | ⟨ ⟩ | ∂f |2 | ∂f |2 ∂f ∂f | , g12 = g21 = | , , , g22 = || g11 = || ∂u1 | ∂u1 ∂u2 ∂u2 | определим первую основную квадратичную форму поверхности Ω в области D как ds2Ω = g11 du21 + 2g12 du1 du2 + g22 du22 . Наиболее простой вид первая квадратичная форма поверхности Ω имеет в изотермических координатах. Однако, вопрос – что такое изотермические координаты на негладкой поверхности – не имеет сегодня достаточно хорошего ответа. Мы будем здесь пользоваться следующим определением. Пусть Ω – поверхность, заданная над областью D ⊂ ℝ2 посредством локально липшицевой вектор-функции (5.2.13). Переменные (u1 , u2 ) назовем изотермическими координатами на поверхности Ω , если g11 (u1 , u2 ) = g22 (u1 , u2 ) ,

g12 (u1 , u2 ) = 0 п.в. в D .

(5.2.14)

Вообще, если (u1 , u2 ) суть изотермические координаты на поверхности Ω, то ds2Ω = λ(u1 , u2 ) (du21 + du22 )

136

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

для почти всех точек (u1 , u2 ) области D. Здесь, λ = g11 = g22 . Первое из условий (5.2.14) означает, что растяжения f вдоль линий u1 , u2 = const совпадают в точках, где дифференциал df существует. Второе условие влечет взаимную ортогональность образов этих линий в соответствующих точках x = f (u1 , u2 ) на поверхности. Таким образом, в точках (u1 , u2 ) ∈ D, в которых полный дифференциал df существует и выполняются соотношения (5.2.14), отображение f : D → Ω конформно в традиционном смысле, то есть, сохраняет углы между кривыми. Относительно проблемы существования изотермических координат на негладкой поверхности см. Миклюков [Mik05a, глава 3].

5.2.4

Квазиизометрия

Пусть D ⊂ ℝn – область и m ≥ n. Гомеоморфизм f : D → ℝm называется (q, Q)-квазиизометрией ((q, Q)-билипшицевым отображением), если dil (f ) ≤ Q ,

dil (f −1 ) ≤ 1/q ,

или, что равносильно, для произвольной пары точек w и w′ в D выполнено 0 < q ∣w − w′ ∣ ≤ ∣f (w) − f (w′ )∣ ≤ Q ∣w − w′ ∣ < ∞ (w ∕= w′ ) . (5.2.15) Здесь, как обычно, величина ∣f (w) − f (w′ )∣ означает евклидово расстояние между точками f (w), f (w′ ) ∈ ℝm . Приведем два простых примера областей в ℝ3 , квазиизометрически эквивалентных шару. Их описание нами заимствовано у И.С. Овчинникова [Ovch72]. Пример 5.2.1 Рассмотрим куб Δ = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ ℝ3 : ∣xi ∣ < 1 (i = 1, 2, 3)} √ и описанный около него шар B радиуса R = 3. Пусть Δ1 = {x ∈ ℝ3 : ∣xi ∣ < 1 (i = 2, 3)}. Отобразим Δ на Δ1 производя деформацию области вдоль прямых, параллельных оси 0x1 так, что плоскость x1 = 0 остается неподвижной, на каждой из указанных прямых деформация равномерна вдоль такой

5.2. ИСКАЖЕНИЕ ПРИ БИЛИПШИЦЕВЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ

137

прямой, и грани куба x1 = ±1 переходят в сферу ∣x∣ = R. Обозначим это отображение через y = f (x) и запишем в виде f1 (x) = x1 (R2 − x22 − x23 )1/2 , f2 (x) = x2 , f3 (x) = x3 .

(5.2.16)

Отображение (5.2.16) является гомеоморфизмом с ограниченной производной, ибо поскольку R2 − x22 − x23 ≥ const > 0 при x ∈ Δ , √∑ 3 ′ 2 то норма ∥fx ∥ ≡ i=1 ∣∇fi ∣ ограничена в Δ. Далее рассмотрим отображение области Δ1 на область Δ2 = {x ∈ B : ∣x3 ∣ < 1} , задавая его посредством вектор-функции z = g(y), где gi (y) = yi (i = 1, 3) ,

g2 (y) =

⎧ 2 2 2 l ⎨ y2 (R − y1 − y3 )

при R2 − y12 − y32 ≥ 1 ,

l ⎩ y2

при R2 − y12 − y32 < 1 .

Наконец, рассмотрим отображение w = φ(z) области Δ2 на шар B так, что φi (z) = zi (i = 1, 2) , ⎧ 2 2 2 при R2 − z12 − z22 ≥ 1 , l ⎨ z3 (R − z1 − z2 ) φ3 (z) = при R2 − z12 − z22 < 1 . l ⎩ z3 Отображения y = f (x), z = g(y) и w = φ(z) суть квазиизометрии. Суперпозиция этих отображений явяется квазиизометрией куба на шар. □ Пример 5.2.2 Пусть Δ – цилиндр Δ = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ ℝ3 : x21 + x22 < 1 , ∣x3 ∣ < 1} .

138

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

Рассмотрим вписанный в него параллелепипед Δ1 = {x ∈ Δ : ∣xi ∣ < ai (i = 1, 2, 3)} . Производя деформацию цилиндра Δ1 вдоль прямых, параллельных оси 0x1 , а затем вдоль прямых, параллельных оси 0x2 , получаем, как и в предыдущем примере, квазиизометрическое отображение цилиндра на параллелепипед. Используя это отображение и квазиизометрию куба на шар, легко получаем квазиизометрическое отображение цилиндра на шар. □ 5.2.5

Условие квазиизометричности

Важной задачей является нахождение дифференциальных признаков для отображения f быть квазиизометричным. Мы укажем здесь один такой признак. Рассмотрим линейное пространство Mn,m матриц размера n × m с вещественными коэффициентами. Пусть f (u) – локально липшицева вектор-функция, определенная в области D ⊂ ℝn , и пусть u – точка дифференцируемости f . Для произвольной матрицы C ∈ Mn,m полагаем ∣C∣ = max ∣h C∣ , ∣h∣=1

h = (h1 , . . . , hn ) .

В частности, легко видеть, что для производной f ′ вектор-функции f : D → ℝm выполнено √ ∣f ′ ∣ = m max ∣∇fi ∣ , i=1,2,...,m

′ ′ где символ ∇fi означает формальный градиент (fiu , . . . , fiu ). 1 n n Если C(u) : D ⊂ ℝ → M2,m – матриц-функция, то пусть

∥C∥D = ess supu∈D ∣C(u)∣ . Следующее условие может быть полезным при проверке предположения (5.2.15) (см. также [Mikl05], [Mik06c]). Теорема 5.2.1 Пусть D ⊂ ℝn – выпуклая область и пусть f : D → ℝm – локально липшицево отображение, m ≥ n. Предположим, что существует (q, Q)–квазиизометрия h : U → ℝm такая, что ∥f ′ − h′ ∥D ≤ A < ∞ .

(5.2.17)

5.2. ИСКАЖЕНИЕ ПРИ БИЛИПШИЦЕВЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ

139

Тогда для произвольной пары точек w′ , w′′ ∈ D выполняется ∣(f (w′′ ) − h(w′′ )) − (f (w′ ) − h(w′ ))∣ ≤ (Q + A) ∣w′′ − w′ ∣ .

(5.2.18)

Более того, если A < q, то f гомеоморфно в D, причем (q − A) ∣w′′ − w′ ∣ ≤ ∣f (w′′ ) − f (w′ )∣ ≤ (Q + A) ∣w′′ − w′ ∣.

(5.2.19)

Доказательство. Мы будем следовать [ZIM03]. Обозначим через P множество точек w ∈ D, в которых вектор-функция f − h недифференцируема. По теореме 2.3.1 мера Hn (P ) = 0. Соотношение (5.2.17) влечет оценку ∣f ′ (w) − h′ (w)∣ ≤ A ,

(5.2.20)

выполняющуюся почти всюду в D. Зафиксируем точки w′ , w′′ ∈ D и обозначим через l(w′ , w′′ ) прямолинейный отрезок, соединяющий точки w′ и w′′ . Так как область D выпукла, то отрезок l(w′ , w′′ ) лежит в D. Пусть l(w̃ ′ , w̃ ′′ ) – прямолинейный отрезок с концевыми точками w̃ ′ и w̃ ′′ , полученный параллельным сдвигом отрезка l(w′ , w′′ ). Для почти каждого такого отрезка, достаточно близкого к l(w′ , w′′ ), имеем H1 (l(w̃ ′ , w̃ ′′ ) ∩ P ) = 0.

(5.2.21)

Пусть l(w̃k′ , w̃k′′ ) — последовательность отрезков, удовлетворяющих (5.2.21) и таких, что w̃k′ → w′ , w̃k′′ → w′′ . Поскольку f и h локально липшицевы, то вектор-функция f − h абсолютно непрерывна вдоль l(w̃k′ , w̃k′′ ) и почти всюду на l(w̃k′ , w̃k′′ ) существует производная f ′ − h′ . Интегрируя, находим ∣(f (wk′′ ) − h(wk′′ )) − (f (wk′ ) − h(wk′ ))∣ = |∫ 1 | | | = || (wk′′ − wk′ ) (f ′ (wk′ + t(wk′′ − wk′ )) − h′ (wk′ + t(wk′′ − wk′ ))) dt|| ≤ 0

∫ ≤ 0

1

∣f ′ (wk′ + t(wk′′ − h′ (wk′ + t(wk′′ − zk′ ))))∣ ∣wk′′ − wk′ ∣ dt.

140

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

На основании (5.2.20) получаем ∣(f (wk′′ ) − h(wk′′ )) − (f (wk′ ) − h(wk′ ))∣ ≤ A ∣wk′′ − wk′ ∣ . Полагая теперь k → ∞, приходим к оценке ∣(f (w′′ )−h(w′′ ))−(f (w′ )−h(w′ ))∣ ≤ A ∣w′′ −w′ ∣

(w′ , w′′ ∈ D). (5.2.22)

Пусть ψ(w) = f (w) − h(w). Для произвольной пары точек w′ , w′′ ∈ D имеем f (w′′ ) − f (w′ ) = (ψ(w′′ ) − ψ(w′ )) + (h(w′′ ) − h(w′ )) . Таким образом, ∣f (z ′′ ) − f (z ′ )∣ ≤ ∣ψ(w′′ ) − ψ(w′ )∣ + ∣h(w′′ ) − h(w′ )∣ . Пользуясь (5.2.22) и (q, Q)-квазиизометричностью h, получаем ∣f (w′′ ) − f (w′ )∣ ≤ (Q + A) ∣w′′ − w′ ∣ . Аналогично, ∣f (w′′ ) − f (w′ )∣ ≥ ∣h(w′′ ) − h(w′ )∣ − ∣ψ(w′′ ) − ψ(w′ )∣ и, далее,

∣f (w′′ ) − f (w′ )∣ ≥ (q − A) ∣w′′ − w′ ∣ . Тем самым, оценки (5.2.18), (5.2.19) доказаны.

5.2.6

□

Дисторсия и квазивыпуклость

Пусть D – подобласть ℝn , m ≥ n и Ω ⊂ ℝm – локально липшицева поверхность, задаваемая вектор-функцией (5.2.13), реализующей вложение. Определим внутреннее расстояние rΩ (x′ , x′′ ) между точками x′ и x′′ на поверхности Ω. Так как поверхность Ω вложена в ℝm , то в области D единственным образом определяются точки w′ и w′′ , для которых x′ = f (w′ ) и x′′ = f (w′′ ). Положим ∫ ′ ′′ rΩ (x , x ) = inf dsΩ , γ

γ

5.2. ИСКАЖЕНИЕ ПРИ БИЛИПШИЦЕВЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ

141

где точная нижняя грань берется по всевозможным спрямляемым дугам γ ⊂ D, соединяющим точки w′ и w′′ в области D. Поскольку поверхность Ω локально липшицева, то расстояние rΩ (x′ , x′′ ) < ∞ для любых x′ , x′′ ∈ Ω. Дисторсией [Gro99, раздел 1.14] поверхности Ω ⊂ ℝm называется величина rΩ (x′′ , x′ ) distort (Ω) = sup . ′′ ′ x′ ,x′′ ∈Ω ∣x − x ∣ x′ ∕=x′′

Если поверхность Ω есть область D ⊂ ℝn с евклидовой метрикой ∣dw∣, то величина rD (w′ , w′′ ) представляет собой хорошо известное расстояние Мазуркевича между точками w′ и w′′ в D. Предположение distort (Ω) < ∞ влечет, что rD (w′′ , w′ ) ≤ C ∣w′′ − w′ ∣ ,

C = distort (Ω) .

Области D ⊂ ℝn с указанным свойством называются C− квазивыпуклыми (см. [Gro99, стр. 393 ]). Нетрудно видеть, что всякая выпуклая область 1-квазивыпукла. Теорема 5.2.2 Если область D ⊂ ℝn выпукла и отображение φ : D → ℝn обладает свойством ∥φ′ − I∥ = A < 1, где I ∈ Mn,n есть единичная матрица, то множество D′ = φ(D) является квазивыпуклым с постоянной C = (1 + A)/(1 − A). Доказательство.

Действительно, рассмотрим пару отображений

x = φ(w) : D → ℝn и тождественное отображение x = w . Так как тождественное отображения является (1, 1)-квазиизометрией и его производная I отличается от φ′ не более чем на 0 < A < 1, то по теореме 5.2.1 заключаем, что φ есть гомеоморфизм и D′ = φ(D) есть область. Пусть x′ , x′′ – произвольная пара точек в области D′ и пусть w′ , w′′ – пара их прообразов. В соответствии с теоремой 5.2.1 мы вправе написать ∣x′′ − x′ ∣ = ∣f (w′′ ) − f (w′ )∣ ≤ (1 + A) ∣w′′ − w′ ∣ .

142

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

Пусть l(w′ , w′′ ) – прямолинейный отрезок, соединяющий точки w′ и w′′ . Область D выпукла, а потому l(w′ , w′′ ) ⊂ D. Предположим, что точки w′ , w1 , w2 , . . . , wk , w′′ следуют одна за другой вдоль сегмента l(w′ , w′′ ). Тогда ∣φ(w′ ) − φ(w1 )∣ + . . . + ∣φ(wk ) − φ(w′′ )∣ ≤ ≤ (1 + A) ∣w′ − w1 ∣ + . . . + (1 + A) ∣wk − w′′ ∣ = (1 + A) ∣w′ − w′′ ∣ . Выбирая разбиение w′ , w1 , w2 , . . . , wk , w′′ сегмента l(w′ , w′′ ) произвольно мелким и замечая, что левая сторона данного соотношения может быть сколь угодно близка к length f (l(w′ , w′′ )), получаем length f (l(w′ , w′′ )) ≤ (1 + A) ∣w′ − w′′ ∣ . Таким образом,

rD′ (x′ , x′′ ) ≤ (1 + A) ∣w′ − w′′ ∣ . Однако в соответствии с соотношением (5.2.19) мы имеем (1 − A) ∣w′ − w′′ ∣ ≤ ∣x′ − x′′ ∣ , и, тем самым, 1+A ′ ∣x − x′′ ∣ . 1−A Это означает квазивыпуклость D′ и теорема доказана. Следующее утверждение также полезно для применений. rD′ (x′ , x′′ ) ≤

□

Теорема 5.2.3 Предположим, что область D ⊂ ℝn является C-квазивыпуклой. Если отображение f : D → ℝm есть (q, Q)-квазиизометрия, то поверхность Ω = f (D) имеет конечную дисторсию, причем distort (Ω) ≤ C

Q . q

(5.2.23)

В частности, мы имеем : i) если поверхность Ω задана в изотермических координатах так, чтобы выполнялись соотношения (5.2.14) и, сверх того, 0 < λ′ = ess inf u∈D λ(u) ≤ ess supu∈D λ(u) = λ′′ < ∞ ,

5.2. ИСКАЖЕНИЕ ПРИ БИЛИПШИЦЕВЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ

то

λ′′ distort (Ω) ≤ C ′ ; λ

143

(5.2.24)

ii) если область D выпукла и существует (q, Q)-квазиизометрия h : D → ℝm , для которой предположение (5.2.17) выполнено с постоянной 0 < A < q, то Q+A distort (Ω) ≤ C . (5.2.25) q−A Доказательство. Согласно предположения о липшицевости f с постоянной Q для произвольной пары точек x′ , x′′ ∈ Ω, мы вправе записать rΩ (x′ , x′′ ) ≤ Q rD (w′ , w′′ ) , где w′ = f −1 (x′ ), w′′ = f −1 (x′ ). Действительно, пусть γ ⊂ D – произвольная спрямляемая дуга, соединяющая точки w′ , w′′ ∈ D. Зафиксируем ε > 0 и выберем ломаную линию w′ w1 . . . wk w′′ , лежащую в D и такую, что ∣length (w′ w1 . . . wk w′′ ) − rD (w′ , w′′ )∣ < ε . Тогда ∣f (w′ ) − f (w1 )∣ + ∣f (w1 ) − f (w2 )∣ + . . . + ∣f (wk ) − f (w′′ )∣ ≤ ≤ Q length (w′ w1 . . . wk w′′ ) . Аппроксимируя γ такими ломаными, легко выводим необходимое утверждение. Воспользуемся теперь свойствами отображения f −1 быть 1q -липшице= вым и C-квазивыпуклостью области D. Мы имеем ∣x′ − x′′ ∣ = ∣f (w′ ) − f (w′′ )∣ ≥ q ∣w′ − w′′ ∣ ≥ ≥

q C

rD (w′ , w′′ ) ≥

q ′ ′′ C Q rΩ (x , x ) .

Данное неравенство влечет (5.2.23). Случай i). Если поверхность Ω задана в изотермических координатах посредством вектор-функции f : D → ℝm , то для всякой дуги γ ⊂ D

144

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

выполнено λ′ length (γ) ≤

∫

dsΩ ≤ λ′′ length (γ) .

γ

Таким образом, для произвольной пары точек w′ , w′′ ∈ D получаем λ′ rD (w′ , w′′ ) ≤ rΩ (f (w′ ), f (w′′ )) ≤ λ′′ rD (w′ , w′′ ) . Оценка (5.2.24) следует теперь из соотношения (5.2.23), доказанного выше. Случай ii). Для доказательства (5.2.25) достаточно объединить высказывания (5.2.23) и (5.2.19). □ 5.2.7

Дисторсия треугольников

Пусть Δ – произвольный треугольник в области U евклидовой плоскости ℝ2 с координатами ζ = (ξ, η). Пусть Δ′ ⊂ D – треугольник в w = (u, v)плоскости с метрикой dsΩ , вершинами которого являются прообразы вершин треугольника Δ при отображении φ : U → D. Теорема 5.2.4 Предположим, что отображение φ : U → D является (q, Q)-квазиизометрией. Пусть D = φ(U ) является квазивыпуклой и пусть α - минимальный угол треугольника Δ ⊂ U , а α′ - соответствующий ему угол треугольника Δ′ . Положим q p p = , r1 = , R1 = p−1 , r2 = p sin α . Q 2 cos α Тогда справедливы утверждения: i) Если r1 + r2 > 1 и R1 − r2 < 1, то {√ } √ 2 2 2 2 2 2 2 2 4r1 − (r1 − r2 + 1) 4R1 − (R1 − r2 + 1) tan α′ ≥ min , . (5.2.26) r12 − r22 + 1 R12 − r22 + 1 ii) Если r1 + r2 ≤ 1 или R1 − r2 ≥ 1, то величина α′ может стать равной 0. iii) Для любого другого угла β треугольника Δ справедливо: sin β ′ q sin α′ ≥ . sin β Q sin α

(5.2.27)

5.2. ИСКАЖЕНИЕ ПРИ БИЛИПШИЦЕВЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ

145

Доказательство. Мы имеем q ∣ζ1 − ζ2 ∣ ≤ ∣φ(ζ1 ) − φ(ζ2 )∣ ≤ Q ∣ζ1 − ζ2 ∣ .

(5.2.28)

Обозначим длину наибольшей стороны треугольника Δ через E. После отображения длину соответствующей стороны треугольника Δ′ обозначим через E ′ . Расположим треугольник Δ так, чтобы угол α находился в начале координат, а сторона длины E лежала на оси 0ξ. Тогда, учитывая тот факт, что угол α является минимальным, и, следовательно, сторона, противолежащая ему, является минимальной, мы можем определить множество, в которое попадет третья вершина треугольника (мы обозначим ее A). Это будет отрезок прямой η = ξ tan α в промежутке ξ ∈ [E/2, E cos α]. Расстояние от точки (0, 0) до вершины A будет находиться в пределах от (E/2) cos α до E (это не самая точная оценка, но она достаточна для наших целей), а расстояние от точки (E, 0) – в пределах от E sin α до E. Расположим треугольник Δ′ в евклидовой плоскости так, чтобы угол ′ α находился в начале координат, а сторона длины E ′ лежала на оси 0ξ. Тогда, в силу (5.2.28), расстояние от точки (0, 0) до точки A′ = φ(A) будет находиться в пределах от r1′ ≡ q(E/2) cos α до R1′ ≡ QE, а расстояние от точки (E ′ , 0) – в пределах от r2′ ≡ qE sin α до R2′ = R1′ . η

η 6

φ

A

-

@ 

  α

0

@ @ -

E ξ

6

A′   T  T  ′ Tα ′ ξ 0 E

В итоге получаем систему неравенств, описывающих множество, в которое попадает точка A′ : ⎧ l ξ 2 + η 2 ≥ r1′ l l 2 2 l R1′ l ⎨ ξ +η ′≤ (ξ − E )2 + η 2 ≥ r2′ l (ξ − E ′ )2 + η 2 ≤ R2′ l l l 0 l ⎩ ηξ ≥ ≥ 0.

(5.2.29)

146

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

Так как преобразования подобия не меняют величины углов, то уменьшим треугольник Δ′ в E ′ раз. Тогда получим r1 =

r1′ qE q R1′ QE Q = ≥ , R = = ≤ , 1 E′ 2E ′ cos α 2Q cos α E′ E′ q

r2′ qE sin α q sin α R2′ QE Q = ≥ , R = = ≤ . 2 E′ E Q E′ E′ q Тогда из системы (5.2.29) вытекает система ⎧ l ξ 2 + η 2 ≥ r1 l l 2 2 l l ⎨ ξ + η 2≤ R12 (ξ − 1) + η ≥ r2 l (ξ − 1)2 + η 2 ≤ R2 l l l 0 l ⎩ ξη ≥ ≥ 0. r2 =

(5.2.30)

При сделанных предположениях минимум величины α′ может достигаться только в двух точках - точке пересечения окружности Rr1 (0, 0) и окружности Rr2 (1, 0) или в точке пересечения окружностей RR1 (0, 0) и Rr2 (1, 0). Этим точкам соответствуют значения √ 4r12 − (r12 − r22 + 1)2 tan α′ = r12 − r22 + 1 и √ 4R12 − (R12 − r22 + 1)2 tan α′ = R12 − r22 + 1 соответственно. Если же эти окружности не пересекаются (а это происходит в случае, когда r1 + r2 ≤ 1 или R1 − r2 ≥ 1), то точка A′ может попасть на ось Oξ, и тогда угол α′ станет равным 0. Утверждение iii) сразу следует из теоремы синусов и (5.2.28). □ 5.2.8

Условие сохранения ориентации

Пусть, как и в предыдущем разделе, U – область в ζ-плоскости и w = φ(ζ) – гомеоморфное отображение области U на область D. Условие

5.2. ИСКАЖЕНИЕ ПРИ БИЛИПШИЦЕВЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ

147

квазиизометричности φ не дает гарантии, что ориентация тройки точек не изменится после отображения. Для определения условия сохранения ориентации не достаточно знать, как далеко друг от друга будут располагаться образы точек, необходимо знать, как далеко они будут располагаться от своих прообразов. Теорема 5.2.5 Предположим, что существует константа P > 0, такая, что для любой точки ζ ∈ U выполнено: P , (5.2.31) T где T - длина большей стороны треугольника Δ ⊂ U . Тогда, если углы Δ не меньше величины α, причем ∣φ(ζ) − ζ∣
arctan

Доказательство. Обозначим через Δ′ треугольник с вершинами в образах вершин Δ. Если расположить треугольник Δ в w-плоскости так, как показано на рисунке, то можно выделить множество M , в которое попадает третья вершина треугольника (вершина C). v

M ' $ 6 @ @ @ α

A

C @ α@ -

B u

148

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

Для сохранения ориентации треугольника при отображении достаточно, чтобы точка C после отображения лежала выше основания треугольника. Исходя из этого, наихудшим представляется случай, когда вершины A и B смещаются вверх на расстояние P/T , а вершина C находится в нижней части множества E и при отображении смещается вниз на расстояние P/T . Для избежания пересечения точкой C нижнего основания, необходимо, чтобы расстояние от оси 0u до множества E было больше 2P/T , что возможно только при выполнении условия (5.2.32). Вторая часть теоремы вытекает из ее первой части и доказанной ранее теоремы 5.2.1 Здесь достаточно заметить, что предположения (5.2.33) и φ(0) = 0 влекут: ∥φ(ζ) − ζ∥ < (1 + A) T всюду в Δ′ .

□

Задача 5.2.1 Распространить на n-мерный случай теоремы 5.2.4 и 5.2.5 о дисторсии треугольников и сохранении ориентации при билипшицевых отображениях. Отметим, что наибольшую трудность здесь доставляет получение максимально хороших постоянных, участвующих в формулировках результатов.

5.3

Неявные функции

Ниже приводися один вариант теоремы о неявной функции, принадлежащий Журавлеву, Игумнову и Миклюкову [ZIM03]. 5.3.1

Теорема о неявной функции

Пусть m, n ≥ 1 – целые. Обозначим через Mn линейное пространство n× n матриц с вещественными элементами, через In – единичную матрицу из Mn . Пусть B n (x, r) – шар в ℝn с центром в точке x и радиусом r > 0. Если F (x, y) – локально липшицева вектор-функция переменных x ∈ n ℝ , y ∈ ℝm и (x, y) есть точка дифференцируемости F , то пусть F ′ (x, y) означает матрицу Якоби, Fx′ (x, y) – матрицу Якоби относительно переменной x при фиксированном y и через Fy′ (x, y) – матрицу Якоби относительно переменной y при фиксированном x.

5.3. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ

149

Для произвольной матрицы C ∈ Mn полагаем ∣C∣ = max ∣Ch∣. ∣h∣=1

Если C(x) : D ⊂ ℝm → Mn есть матриц-функция, то пусть ∥C∥D = ess supx∈D ∣C(x)∣. Для P ⊂ ℝm пусть K : P ⊂ ℝm → Mn – произвольная матриц-функция. Положим osc(K, P ) = ess supx,y∈P ∣K(x) − K(y)∣. Мы докажем следующую негладкую версию хорошо известной теоремы о неявной функции. Теорема 5.3.1 Пусть x0 ∈ ℝn , y0 ∈ ℝm . Пусть D = B n (x0 , r′ ) × B m (y0 , r′′ ) – область и F : D → ℝm – локально липшицево отображение. Предположим, что μ ≡ ∥Fy′ − Im ∥D + osc (Fx′ , D) (1 + ∥F ′ ∥D ) < 1.

(5.3.34)

Тогда существуют ρ = ρ(μ, r′ , r′′ ) > 0 и (единственное) липшицево отображение G(x) : B n (x0 , ρ) → ℝm ,

G(x0 ) = y0 ,

такие, что F (x, G(x)) = F (x0 , y0 ) при всех x ∈ B n (x0 , ρ). Более того, можно положить r∗ ρ = , r∗ = min{r′ , r′′ }, L = (1 + ∥Fx′ ∥D )/ (1 − μ), L и G удовлетворяет условию Липшица с постоянной √ n Lip (G, B (x0 , ρ)) ≤ L2 − 1. Другие негладкие варианты теоремы о неявной функции (без указания границ для радиуса ρ и постоянной Lip (G, B n (x0 , ρ))) см. у Поршиу [Pou77], Варги [War81], Кристи [Cris92], Журавлева и Игумнова [ZI02], Миклюкова [Mik07b, раздел 8.4]. Историю вопроса см. в монографии Кранца и Паркса [KP02].

150

5.3.2

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

Доказательство теоремы 5.3.1

Рассмотрим отображение Φ : D → ℝn × ℝm , определяемое равенством Φ

(x, y) → (X, Y ) = (x1 , . . . , xn , F1 (x, y), . . . , Fm (x, y)). Нам нужно доказать, что Φ(x, y) удовлетворяет предположениям теоремы 5.2.1. Матрица Якоби отображения Φ имеет вид ( ) n In Zm ′ Φ (x, y) = F ′ (x, y) F ′ (x, y) , x

y

n где Zm есть нулевая n × m матрица. Рассмотрим (n + m) × (n + m) матрицу ) ( n In Zm . Q(x, y) = −F ′ (x, y) I m x

Для почти всех (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ D имеем ∣Q(x1 , y1 ) − Q(x2 , y2 )∣ ≤ ∣Fx′ (x1 , y1 ) − Fx′ (x2 , y2 )∣ ≤ osc (Fx′ , D) . Заметим теперь, что Q(x, y)Φ′ (x, y) − Im+n =

(

( =

n In Zm ′ m Zn Fy (x, y)

) − In+m

n Zm Znn ′ m Zn Fy (x, y) − Im

) .

Тем самым, ∥Q Φ′ − In+m ∥D = ∥Fy′ − Im ∥D .

(5.3.35)

Для произвольной фиксированной точки (x∗ , y ∗ ) ∈ D определим отображение Ψ(x, y) = Q(x∗ , y ∗ )Φ(x, y) : D → ℝn × ℝm . (5.3.36)

5.3. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ

151

Пользуясь (5.3.35), находим ∣∣Ψ′ − In+m ∣∣D = ∥Q(x∗ , y ∗ )Φ′ − In+m ∥D = ∥Q Φ′ − In+m + (Q(x∗ , y ∗ ) − Q) Φ′ ∥D ≤ ∥Q Φ′ − In+m ∥D + ∥Q(x∗ , y ∗ ) − Q∥D ∥Φ′ ∥D ≤ ∥Fy′ − Im ∥D + osc (Fx′ , D) ∥Φ′ ∥D . Принимая во внимание, что { } ∣∣Φ′ ∣∣D = esssup(x,y)∈D max∣h∣=1 ∣Φ′ (x, y) · h∣ )} { ( ≤ esssup(x,y)∈D max∣h∣=1 ∣h∣ + ∣(Fx′ (x, y) + Fy′ (x, y)) · h∣ ≤ 1 + ∥F ′ ∥D , получаем ∥Ψ′ − In+m ∥D ≤ ∥Fy′ − Im ∥D + osc (Fx′ , D) (1 + ∥F ′ ∥D ) . Таким образом, в силу (5.3.34) для каждой фиксированной точки (x∗ , y ∗ ) имеем ∣∣Ψ′ − Im+n ∣∣D ≤ μ < 1 . (5.3.37) Область D = B n (x0 , r′ ) × B m (y0 , r′′ ) выпукла и мы вправе воспользоваться теоремы 5.2.1. В силу неравенства (5.3.37) заключаем, что отображение Ψ(x, y) = Q(x∗ , y ∗ )Φ(x, y) является гомеоморфным. На основании следствия 5.6.16 монографии [HJ86] оценка (5.3.37) влечет невырожденность матрицы Ψ′ (x, y). Отсюда вытекает, что обе матрицы Φ′ (x, y) и Q∗ ≡ Q(x∗ , y ∗ ) невырожденны. Таким образом, отображение Φ = Q∗ −1 Ψ : D → ℝn+m также является гомеоморфизмом. Для вычисления величины ρ = ρ(μ, r′ , r′′ ) мы воспользуемся некоторой специальной информацией относительно матрицы Ψ. В силу (5.3.37)

152

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

и (5.2.19) находим (1 − μ) ∣(x − x0 , y − y0 )∣ ≤ ∣Ψ(x, y) − Ψ(x0 , y0 )∣ ≤ (1 + μ) ∣(x − x0 , y − y0 )∣ . Тем самым на основании равенства Ψ = Q∗ Φ можем записать 1−μ ∣(x − x0 , y − y0 )∣ ≤ ∣Φ(x, y) − Φ(x0 , y0 )∣ ∣Q∗ ∣ (5.3.38) ∗ −1

≤ (1 + μ) ∣Q Однако, (

n In Zm −Fx′ (x∗0 , y0∗ ) Im

) =

(

n In Zm m Zn Im

)

∣ ∣(x − x0 , y − y0 )∣ .

( +

n Zm Znn m −Fx′ (x∗0 , y0∗ ) Zm

)

и потому ∣Q∗ ∣ ≤ 1 + ∥Fx′ ∥D . Пусть a = (x0 , y0 ). Так как шар B n+m (a, r∗ ) содержится в области D, то в силу (5.3.38) находим B ′ ≡ B n+m (Φ(a), r∗ (1 − μ)/∣Q∗ ∣) ⊂ Φ(B n+m (a, r∗ )) .

(5.3.39)

B ′′ ≡ B n+m (Φ(a), r∗ (1 − μ)/(1 + ∥Fx′ ∥D )) ⊂ B ′ ⊂ Φ (D) .

(5.3.40)

Далее, Пользуясь (5.2.19), заключаем, что отображение Ψ−1 удовлетворяет условию Липшица в Ψ(D) с постоянной ( ) 1 Lip Ψ−1 , Ψ(D) ≤ . 1−μ Отображение Φ(x, y) определялось так, что обратное к нему отображение имеет вид x = X, y = Θ(X, Y ) . (5.3.41) Более того, Φ−1 = Ψ−1 Q∗ где Q∗ – обратимое линейное преобразование и отображение Ψ−1 – липшицево. Тем самым, отображение Φ−1 удовлетворяет условию Липшица в Φ(D) с постоянной ( ) ( ) Lip Φ−1 , Φ(D) ≤ ∣Q∗ ∣ Lip Ψ−1 , Ψ(D) ≤ L . (5.3.42)

5.3. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ

153

Заметим теперь, что (X, Y ) = Φ(Φ−1 (X, Y )) = (X, F (X, Θ(X, Y ))) . Из данного соотношения следует, что F (X, Θ(X, Y )) = Y .

(5.3.43)

На основании (5.3.39) заключаем, что шар B ′ лежит в Φ(D). Пересечение Π шара B ′ с плоскостью Y1 = F1 (x0 , y0 ), . . . , Ym = Fm (x0 , y0 ) является связным множеством ко-размерности m, содержащим точку (X0 , Y0 ) = (x0 , F (a)). Обозначим через j ортогональную проекцию пространства ℝn × ℝm на ℝn . Для произвольного множества A ⊂ ℝn × ℝm имеем j(A) = ∪y∈ℝm {x ∈ ℝn : (x, y) ∈ A} . Согласно определения Φ мы вправе записать j(Φ(A′ ))

= Φ(j(A′ )) ∀ A′ ⊂ D,

j(Φ−1 (A′′ )) = Φ−1 (j(A′′ )) ∀ A′′ ⊂ Φ(D) .

(5.3.44)

Уравнение связного куска поверхности Φ−1 (Π), содержащего точку a = (x0 , y0 ), может быть переписано в непараметрическом виде. Именно, пусть (X, Y ) = (x, Θ(x, Y0 )) , x ∈ Φ−1 (j(B ′ )) . Положим G(x) = Θ(x, Y0 ). В силу (5.3.43) теперь находим F (x, G(x)) = Y0 = F (x0 , y0 ) , где G(x0 ) = Θ(x0 , Y0 ) = Θ(X0 , Y0 ) = y0 . Единственность отображения G следует из биективности Φ(x, y). Действительно, если (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ D и F (x, y1 ) = F (x, y2 ) , то Φ(x, y1 ) = Φ(x, y2 ). Таким образом, y1 = y2 .

154

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

Соотношение (5.3.40) утверждает, что шар B ′′ содержится в B ′ и гарантирует (вместе с (5.3.44)), что шар B n (x0 , ρ) лежит в Φ−1 (j(B ′ )). Это влечет необходимую оценку для ρ. Остановимся теперь на оценке постоянной Липшица для функции Θ. Для произвольных (X ′ , Y ′ ), (X ′′ , Y ′′ ) ∈ B n+m (a, ρ) на основании (5.3.42) находим | −1 ′ ′ | |Φ (X , Y ) − Φ−1 (X ′′ , Y ′′ )| ≤ L ∣(X ′′ − X ′ , Y ′′ − Y ′ )∣ . В силу соотношений (5.3.41) для Φ−1 , мы вправе переписать это неравенство в виде ∣(X ′′ − X ′ , Θ (X ′′ , Y ′′ ) − Θ (X ′ , Y ′ ))∣ ≤ L ∣(X ′′ − X ′ , Y ′′ − Y ′ )∣ . Далее находим 2

2

2

2

∣X ′′ − X ′ ∣ + ∣Θ (X ′′ , Y ′′ ) − Θ (X ′ , Y ′ )∣ ≤ L2 ∣X ′′ − X ′ ∣ + L2 ∣Y ′′ − Y ′ ∣ , и ( ) 2 2 2 ∣Θ (X ′′ , Y ′′ ) − Θ (X ′ , Y ′ )∣ ≤ L2 − 1 · ∣X ′′ − X ′ ∣ + L2 ∣Y ′′ − Y ′ ∣ . Пользуясь определением G, мы можем выбрать Y ′′ = Y ′ = Y0 и положить X = x. Тогда имеем ( ) 2 2 ∣G(x′′ ) − G(x′ )∣ ≤ L2 − 1 ∣x′′ − x′ ∣ . То есть, n

Lip (G, B (x0 , ρ)) ≤ Теорема полностью доказана. 5.3.3

√

L2 − 1 . □

Кусочно-гладкая+ версия теоремы

Пусть m, n ≥ 1 – целые и U ⊂ ℝn , V ⊂ ℝm – ограниченные области. Пусть F (x, y) – произвольная кусочно-гладкая+ функция в D = U × V . Если (x, y) – точка, в которой существуют частные производные ∂F/∂xi ,

∂F/∂yj

(i = 1, . . . , n ; j = 1, . . . , m) ,

5.3. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ

155

то пусть, как и выше, F ′ (x, y) – ее матрица Якоби, Fx′ (x, y) – матрица Якоби по переменным x = (x1 , . . . , xn ) при фиксированных y = (y1 , . . . , ym ) и Fy′ (x, y) – матрица Якоби относительно переменных y при фиксированных x. Рассмотрим отображение Φ : D → ℝn+m , определяемое как Φ

(x, y) → (X, Y ) = (x1 , . . . , xn , F1 (x, y), . . . , Fm (x, y)) .

(5.3.45)

Теорема 4.2.4 о глобальном гомеоморфизме влечет следующую версию теоремы о неявной функции [Mik08d]. Теорема 5.3.2 Пусть F (x, y) – произвольная кусочно-гладкая+ в области D = U × V и непрерывная в D функция, имеющая конечное число особых точек. Предположим, что определитель det Fx′ (x, y) положителен в точках гладкости F , и F продолжима до C 1 -вектор-функции F ± : Ua± → ℝn на полуокрестности Ua± регулярных точек a ∈ U так, что det Fx′ (a, y) > 0 в Ua± при любом y ∈ V . Предположим, что вектор-функция Φ, определенная равенством (5.3.45), удовлетворяет условиям α), β), γ) теоремы 4.2.4. Тогда вектор-функция Φ : D → ℝn+m осуществляет глобальный гомеоморфизм и для каждой точки (x0 , y0 ) ∈ U × V найдется подобласть U ′ ⊂ U и единственное кусочно-гладкое+ отображение G(x) : U ′ ⊂ U → V ,

G(x0 ) = y0 ,

такое, что F (x, G(x)) = F (x0 , y0 ) при всех x ∈ U ′ .

5.3.4

Доказательство теоремы 5.3.2

Заметим прежде всего, что точки гладкости F суть точки гладкости Φ, а точки регулярности F суть точки регулярности Φ. При этом матрица Якоби отображения Φ имеет вид ( ) n In Zm ′ Φ (x, y) = F ′ (x, y) F ′ (x, y) , x

y

n где In – единичная n × n-матрица и Zm есть нулевая n × m-матрица.

156

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

В каждой точке гладкости (x, y) ∈ D имеем det Φ′ (x, y) = det Fy′ (x, y) .

(5.3.46)

Вектор-функция Φ удовлетворяет условиям α), β) и γ) теоремы 4.2.4 и в соответствии с этой теоремой она осуществляет глобально гомеоморфное отображение. Поскольку отображение Φ является кусочно-гладким+ и имеет положительный якобиан всюду за исключением особых точек, то обратное отображение Φ−1 также является кусочно-гладким+ . Доказательство этого практически совпадает с доказательством соответствующего утверждения в случае вектор-функций класса C 1 (см., например, [Car67, теорема 4.7.1]). Отображение Φ было определено таким образом, что обратное к нему отображением Φ−1 имеет вид x=X

и y = Θ(X, Y ) .

Мы имеем (X, Y ) = Φ ∘ Φ−1 (X, Y ) = (X, F (X, Θ(X, Y ))) и выполнено (5.3.43). Пересечение Π области Φ(D) с плоскостью Y1 = F1 (x0 , y0 ) , . . . , Ym = Fm (x0 , y0 ) имеет коразмерность m и содержит точку (X0 , Y0 ) = (x0 , F (x0 , y0 )). Обозначим через j ортогональную проекцию пространства ℝn × ℝm на ℝn . Для всякого множества A ⊂ ℝn × ℝm имеем j(A) = ∪y∈ℝm {x ∈ ℝn : (x, y) ∈ A} . В силу определения вектор-функции Φ мы можем записать j(Φ(A′ ))

= Φ(j(A′ )) ∀ A′ ⊂ D,

j(Φ−1 (A′′ )) = Φ−1 (j(A′′ )) ∀ A′′ ⊂ Φ(D) . Уравнение компоненты связности поверхности Φ−1 (Π), содержащей точку (x0 , y0 ), может быть переписано в непараметрическом виде. Именно, пусть (X, Y ) = (x, Θ(x, Y0 )) , x ∈ Φ−1 (j(B ′ )) .

5.3. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ

157

Введем обозначение G(x) = Θ(x, Y0 ). Пользуясь соотношением (5.3.43), находим F (x, G(x)) = Y0 = F (x0 , y0 ) и G(x0 ) = Θ(x0 , Y0 ) = Θ(X0 , Y0 ) = y0 . Единственность отображения G вытекает из взаимной однозначности отображения (5.3.45). Действительно, предположим, что (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ D и F (x, y1 ) = F (x, y2 ) . Тогда Φ(x, y1 ) = Φ(x, y2 ). Таким образом, y1 = y2 . 5.3.5

□

Два примера к теореме 5.3.2

Приведем два примера, поясняющих возможности для отображений вида (5.3.45) удовлетворять условиям α), β) и γ). Пример 5.3.1 Пусть U = (a′ , a′′ ) ⊂ ℝ1 , V = (b′ , b′′ ) ⊂ ℝ1 и пусть F (x, y) – произвольная кусочно-гладкая+ в прямоугольнике D = U × V и непрерывная в D функция, имеющая конечное число особых точек. Предположим, что производная Fx′ (x, y) положительна в точках гладкости F , и F продолжима до C 1 -функции F ± : Ua± → ℝ1 на полуокрестности Ua± регулярных точек a ∈ U так, что Fx′ (a, y) > 0 в Ua± при любом y ∈ V . Предположим, что F (a′ , y1 ) ∕= F (a′ , y2 ) при всех y1 ∕= y2

(5.3.47)

и при всех x ∈ (a′ , a′′ ), y ∈ (b′ , b′′ ) выполнено min{F (x, b′ ), F (x, b′′ )} < F (x, y) < < max{F (x, b′ ), F (x, b′′ )} .

(5.3.48)

Обозначим через Γ отрезок [b′ , b′′ ] на стороне x = a′ прямоугольника D. В силу (5.3.47) отображение Φ удовлетворяет условию γ). Требование β) на отображение Φ выполняется автоматически в силу специального его вида: Φ = (x, F (x, y)).

158

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

В силу (5.3.46) и следствия 4.2.1 отображение Φ обладает свойствами, описываемыми принципом сохранения области. Тем самым, для выполнения условия α) достаточно выполнения (5.3.48). □ Пример 5.3.2 Пусть U ⊂ ℝn и V ⊂ ℝm – ограниченные области и пусть F (x, y) – произвольная кусочно-гладкая+ в области D = U × V и непрерывная в D функция, имеющая конечное число особых точек. Предположим, что определитель det Fx′ (x, y) положителен в точках гладкости F , и F продолжима до C 1 -вектор-функции F ± : Ua± → ℝn на полуокрестности Ua± регулярных точек a ∈ U так, что det Fx′ (a, y) > 0 в Ua± при любом y ∈ V . Выберем в качестве Γ область V в плоскости x1 = . . . = xn = 0 . Предположим, что F (0, y ′ ) ∕= F (0, y ′′ ) при y ′ ∕= y ′′ и при любом x ∈ U отображение F (x, y) : V → ℝm преобразует границу ∂V в границу ∂F (x, V ). Данные требования влекут выполнение α) и γ). Условие β) выполняется автоматически ввиду специального вида вектор-функции Φ. □

5.4

Критические точки и критические значения

Пусть D – область в ℝn и пусть f : D → ℝm – дифференцируемое отображение. Для многих задач дифференциальной топологии, теории динамических систем и др. важно знать меру множества критических значений f . Фундаментальный результат для гладких отображений был получен Морсом [Mors39] и Сардом [Sar42]. Ниже мы обсуждаем одну теорему такого вида и ее обобщения на случай негладких отображений.

5.4. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ И КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ

5.4.1

159

Контингенция и ее свойства

Пусть a, b ∈ ℝn , b ∕= a. Положим θ = (b − a)/∣b − a∣. Определим луч Ra (θ), выходящий из a, как R(a, b) = Ra (θ) = {a + tθ : t ≥ 0} . Заметим, что θ ∈ S n−1 (0, 1). Пусть Ra (θk ), k = 1, 2, . . ., – последовательность лучей, начинающихся в точке a. Будем говорить, что Ra (θk ) → Ra (θ), если θk → θ. Если bk , k = 1, 2, . . ., – последовательность точек в ℝn такая, что bk ∕= a при каждом k, то R(a, bk ) → Ra (θ) как только Ra (θk ) → Ra (θ), где θk = (bk − a)/∣bk − a∣. Если E ⊂ ℝn и a ∈ E, то луч Ra (θ) называется полукасательной к E в a, если существует последовательность точек bk ∈ E, k = 1, 2, . . ., такая, что bk ∈ E, bk ∕= a, и R(a, bk ) → Ra (θ). Множество contE a полукасательных лучей к E в точке a называется контингенцией множества E в a. Если a ∈ E – изолированная точка, то contE a = ∅. Контингенция contE a = ℝn тогда и только тогда, когда contE a содержит все лучи, выходящие из точки a. Теорема 5.4.1 Пусть E ⊂ ℝn – произвольное множество и пусть A = {x ∈ E : contE x ∕= ℝn } . Тогда Hn (A) = 0. Для доказательства нам потребуются две подготовительные леммы. Лемма 5.4.1 Пусть H ⊂ ℝn−1 – множество и пусть xn = f (x), x = (x1 , . . . , xn−1 ), – липшицева функция, заданная на H. Если S ⊂ ℝn есть график функции f , то Hn (S) = 0. Доказательство. Зафиксируем произвольно шар B ⊂ ℝn−1 радиуса R > 0. Покажем, что любая n-мерная мера порции S, лежащей в B, равна нулю. Ясно, что этого достаточно для доказательства леммы. Обозначим через V величину (n − 1)-мерного объема S. Тогда для всякого ε > 0 найдется покрытие S (n − 1)-шарами Bk = B(ak , rk ), k = 1, 2, . . ., для которого ∞ ∑ n−1 ak ∈ ℝ , rk < ε, rkn−1 ≤ c V , k=1

160

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

где c – некоторая постоянная. Найдется постоянная 0 < C < ∞ такая, что ∣f (x′′ )−f (x′ )∣ ≤ C ∣x′′ −x′ ∣ при x′ , x′′ ∈ H. Отсюда следует, что порция S в B может быть покрыта ̃k в ℝn с центрами в (ak , f (ak )) и радиусами шарами B √ √ rk2 + C 2 rk2 = rk 1 + C 2 . Таким образом, n-мерная мера порции S в B не превосходит величины )n ∑∞ ( √ ∑ n 2 r 1 + C = (1 + C 2 )n/2 ∞ k k=1 k=1 rk ≤ ∑ n−1 ≤ ε c V (1 + C 2 )n/2 . ≤ ε (1 + C 2 )n/2 ∞ k=1 rk Полагая ε → 0, получаем необходимое.

□

Лемма 5.4.2 Пусть E – множество в ℝn и пусть θ – фиксированное направление. Пусть A – множество точек x ∈ E, в которых contE x не содержит θ. Тогда Hn (A) = 0. Доказательство. Без ограничения общности мы вправе предполагать, что θ есть положительное направление на xn -оси. Если контингенция E в x = (x1 , x2 , . . . , xn ) выпускает направление, то она выпускает и некоторую окрестность этого направления. В нашем случае это означает, что для любого x ∈ A найдется окрестность Ox точки x такая, что x′n − xn sup ( )1/2 < ∞ . x′ ∈A∩Ox ∑n−1 ′ 2 i=1 ∣xi − xi ∣ Обозначим через Ak множество всех x ∈ A таких, что при любых x′ ∈ E, ∣x′i − xi ∣ ≤ 1/k (i = 1, 2, . . . , n) выполняется )1/2 ( n−1 ∑ ∣x′i − xi ∣2 . (5.4.49) x′n − xn ≤ k i=1

Ясно, что каждая из точек x ∈ A удовлетворяет данному условию для достаточно больших k = 1, 2, . . . и, следовательно, A = ∪∞ k=1 Ak .

5.4. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ И КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ

161

Разобъем ℝn на счетное число замкнутых кубов {Qs } с диаметрами diam Qs ≤ 1/k так, чтобы ℝn = ∪∞ s=1 Qs . Это может быть делано многими способами. Пусть Aks = Ak ∩ Qs . Ясно, что Ak = ∪∞ s=1 Aks . Пусть x′ = (x′1 , . . . , x′n ) и x′′ = (x′′1 , . . . , x′′n ) – произвольная пара точек из Aks . Так как x′ ∈ E, x′′ ∈ A и ∣x′i − x′′i ∣ ≤ 1/k (i = 1, 2, . . . , n), то согласно (5.4.49) имеем n−1 ∑ ′ ′′ xn − xn ≤ k ∣x′i − x′′i ∣. i=1

Аналогично, x′′n

−

x′n

≤k

n−1 ∑

∣x′i − x′′i ∣.

i=1 ′

′′

Тогда для x , x ∈ Aks находим ∣x′′n

−

x′n ∣

≤k

n−1 ∑

∣x′i − x′′i ∣.

(5.4.50)

i=1

Рассмотрим проекцию Pks множества Aks на гиперплоскость xn = 0. Согласно (5.4.50), ровно одна точка из Aks лежит над каждой точкой Pks . Таким образом, функция xn = f (x1 , . . . , xn ) определена над Pks и удовлетворяет условию Липшица с постоянной Липшица K. График этой функции совпадает с Aks . По лемме 5.4.1 n-мерная мера Aks равна нулю. Таким образом, Hn Ak = 0 при k = 1, 2, . . . и Hn A = 0. □ ∞ Доказательство теоремы 5.4.1. Пусть {θl }l=1 – всюду плотное множество направлений в ℝn . Для произвольного фиксированного l пусть Ãl – множество всех точек E, в которых контингенция E не содержит n ̃ ̃ θl . Тогда A = ∪∞ l=1 Al . По лемме 5.4.2 имеем H (Al ) = 0. Тем самым, Hn (A) = 0. □ 5.4.2

Теорема Морса – Сарда

Ниже обсуждается классическая теорема Морса – Сарда. Эта теорема, часто называемая просто "теоремой Сарда", была доказана Морсом

162

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

[Mors39] в 1939 в вещественнозначном случае; Сард [Sar42] обобщил этот результат на векторнозначный случай. Чтобы сформулировать теорему условимся в терминологии. Пусть D ⊂ n ℝ – область и пусть f : D → ℝm – дифференцируемое отображение. Точка x ∈ D называется критической, если линейное отображение f ′ (x) : ℝn → ℝm не сюръекьтивно, т.е. rank f ′ (x) < m. Критическое значение есть образ при отображении f критической точки. Множество всех критических значений есть подмножество пространства ℝm . Теорема 5.4.2 Пусть f : D ⊂ ℝn → ℝm – отображение класса C k . Если k − 1 ≥ max(n − m, 0) , то множество критических значений отображения f имеет Hm -меру нуль. Еще до работы Морса, в своей знаменитой статье [Whi35] Уитни указал некоторые дифференциальные требования, необходимые при конструировании примера C 1 -функции f : ℝ2 → ℝ, отличной от тождественной постоянной на связном множестве критических точек, и имеющей нетривиальный интервал критических значений. Этот пример показывает, что предположение о гладкости в теореме Морса – Сарда является точным в том смысле, что не может быть заменено меньшим целым числом n − m. Проиллюстрируем идею доказательства на примере, в котором n = 2 и D есть единичный квадрат. Предварительное замечание. Пусть n = 2 и пусть f : D ⊂ ℝ2 → Rm be a C k – отображения. Если m > 2, то rank df ≤ 2 < m и все точки x ∈ D критические. В этом случае образ множества критических точек совпадает с f (D). Так как при f ∈ C 1 выполнено Hm (f (D)) = 0, то легко видеть, что в этом случае теорема 5.4.2 тривиальна. Ниже мы предполагаем, что 1 ≤ m ≤ 2. Для доказательства достаточно рассмотреть следующие два случая: (i) область D ⊂ ℝ2 есть единичный квадрат и f : D → ℝ2 есть C 1 отображение; (ii) область D ⊂ ℝ2 есть единичный квадрат и f : D → ℝ1 есть C 2 функция. Случай i). Пусть Q – множество критических точек отображения f : D → ℝ2 и пусть x0 ∈ Q – произвольная точка. Так как rank f < 2, это

5.4. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ И КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ

163

влечет, что якобиан f в x0 обращается в нуль, т.е. ∥ ∥ ∥ ∂fi ∥ ∥ J(x0 , f ) = det ∥ ∥ ∂xj ∥ (x0 ) = 0 . Предположение f ∈ C 1 обеспечивает непрерывность J(x, f ) и мы получаем J(x, f ) → J(x0 , f ) при x → x0 . По теореме 2.5.1 мы вправе записать при B(x0 , r) ⊂ D, что ∫ 2 H (f (B(x0 , r))) ≤ ∣J(x, f )∣ dx1 dx2 , B(x0 ,r)

и тем самым, H2 (f (B(x0 , r))) 1 lim inf ≤ lim inf r→0 H2 (B(x0 , r)) r→0 πr 2

∫ ∣J(x, r)∣dx1 dx2 = 0 . B(x0 ,r)

Таким образом, для всякого x0 ∈ Q найдется последовательность концентрических кругов B(x0 , rk ) такая, что 1 2 H (f (B(x0 , rk ))) → 0 (rk → 0) . (5.4.51) rk2 Нам необходимо доказать, что H2 (f (Q)) = 0. Зафиксируем ε > 0. Согласно (5.4.51) для всякой точки x ∈ Q найдется круг B(x, r(x)) ⊂ D, в котором H2 (f (B(x, r(x)))) ≤ ε r2 (x) . (5.4.52) Пользуясь теоремой 1.1.1, находим последовательность {B(xk , r(xk ))}∞ k=1 такую, что 1) Q ⊂ ∪∞ k=1 B(xk , r(xk )); 2) кратность пркрытия {B(xk , r(xk ))} не превосходит N (2) = 6. Отсюда получаем 2 ∞ H2 (f (Q)) ≤ H2 (f (∪∞ k=1 B(xk , r(xk )))) ≤ H (∪k=1 f (B(xk , r(xk )))) ≤ ∑ ∑∞ 2 2 ≤ ∞ H (f (B(x , r(x )))) ≤ πε k k k=1 k=1 r (xk ) ≤

≤ 6πε H2 (D) = 6πε .

164

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

Поскольку ε > 0 произвольно, то H2 (f (Q)) = 0 и первая часть утверждения доказана. Случай ii). Пусть Q – множество критических точек C 2 -функции f : D → ℝ1 . Зафиксируем произвольно точку x0 = (x01 , x02 ) ∈ Q. Так как rank df (x0 ) = 0, то fx1 (x0 ) = fx2 (x0 ) = 0.

(5.4.53)

По теореме 5.4.1 мы вправе записать Q = A ∪ (Q ∖ A), где A = {x ∈ Q : contQ x ∕= ℝ2 },

H2 (A) = 0.

Мы имеем H1 (f (Q)) = H1 (f (A) ∪ f (Q ∖ A)) ≤ H1 (f (A)) + H1 (f (Q ∖ A)). Достаточно доказать, что H1 f (A) = 0 и H1 f (Q ∖ A) = 0. Так как f ∈ C 2 , то в силу (5.4.53) и формулы Тейлора имеем ( f (x) − f (x0 ) = 21 fx1 x1 (x0 )(x1 − x01 )2 + +2fx1 x2 (x0 )(x1 − x01 )(x2 − x02 ) + ) +fx2 x2 (x0 )(x2 − x02 )2 + o(∣x − x0 ∣2 ) (x → x0 ) .

(5.4.54)

Пусть A1 ⊂ A, A1 ⋐ D, – произвольное подмножество. Из (5.4.54) следует, что существует постоянная C(A1 ) такая, что при x0 ∈ A1 выполнено ∣f (x) − f (x0 )∣ lim sup ≤ C(A1 ) < ∞ . (5.4.55) ∣x − x0 ∣2 x→x0 Покажем теперь, что H1 (f (A1 )) = 0. Отсюда, очевидно, следует, что H1 (f (A)) = 0. Поскольку H2 (A1 ) = 0 при произвольном фиксированном ε > 0, найдется покрытие A1 замкнутыми кругами {B(xk , rk )}, xk ∈ A1 , для которого ∑ rk2 < ε. k

5.4. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ И КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ

165

Теперь из (5.4.55) находим H1 (f (A1 )) ≤

H1 (f (B(xk , rk ))) ≤ ∑ ≤ C(A1 ) k rk2 < C(A1 ) ε , ∑

k

то есть, H1 (f (A1 )) = 0 и H1 (f (A)) = 0. Покажем, что H1 (f (Q ∖ A)) = 0. Пусть x0 ∈ Q ∖ A – произвольная точка. Так как contx0 Q = ℝ2 , то мы можем двигать x0 вдоль Q из любого направления. Но по (5.4.53) в каждой точке Q производные fx1 , fx2 нулевые. Тем самым, в точке x0 ∈ Q ∖ A имеем fxi xj (x0 ) = 0 для

i, j = 1, 2.

Отсюда и из (5.4.54) следует, что в точке x0 ∈ Q ∖ A выполняется f (x) − f (x0 ) = o(∣x − x0 ∣2 ) (x → x0 ). Тем самым, существует последовательность {B(x0 , rk )}, rk → 0, вдоль которой 1 diam f (B(x0 , rk )) → 0. rk2 Дальнейшие аргументы в точности как в случае i). □ Упражнение 5.4.1 Восстановить доказательство теоремы 5.4.2 для n > 2. Вы можете найти его, в частности, в [Stern70, §3 главы II]. □ Отметим также следующий результат Дубовицкого [Dub53]. Теорема 5.4.3 Пусть D – область в ℝn . Если f : D → ℝm является (n − m + 1) раз дифференцируема, то множество ее критических значений имеет Hm -меру нуль. 5.4.3

Негладкие отображения

Приведем теорему Морса-Сарда для негладких отображений. Мы будем следовать Бейтсу [Bat93] и Нортону [Nor94]. Пусть D – область в ℝn . Говорят, что f : D → ℝm принадлежит классу C k,1 , если k-е производные локально липшицевы.

166

ГЛАВА 5. ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

Теорема 5.4.4 [Bat93] Пусть n, m целые, положительные и n > m, пусть k = n−m+1 и пусть f : D → ℝm является C k−1,1 -отображением. Тогда множество критических значений f имеет Hm -меру нуль. Таким образом, предположение о дифференцируемости в классической теореме Морса – Сарда может быть ослаблено с C k до C k−1,1 . Более широким, чем класс Липшица, является, так называемый, класс Зигмунда, определяемый следующим образом. Будем говорить,что отображение f : D ⊂ ℝn → ℝm принадлежит классу Зигмунда, если оно непрерывно и для всякого компактного множества U ⊂ D найдется постоянная C такая, что при x, x + h и x − h, принадлежащих U , выполняется ∣f (x + h) + f (x − h) − 2f (x)∣ ≤ C ∣h∣. Говорят, что f ∈ C k,Z , если f есть C k и все k-е частные производные f принадлежат классу Зигмунда. Описание основных свойств отображений класса Зигмунда можно найти у Крантца [Kra83] и Стейна [Stein73]. Теорема 5.4.5 [Nor94] Пусть n, m – целые, положительные и n > m. Если f : D → ℝm есть C n−m,Z -отображение, то множество критических значений f имеет Hm -меру нуль. Данное утверждение содержит теоремы Морса – Сарда – Бейтса. Относительно других обобщений Морса – Сарда – Бейтса теоремы, см. Паскале [Pas01] и Боярский – Хайлаш – Стрежелецкий [BHS05] (для непрерывных по Гельдеру функций и функций с обобщенными производными) и Мартио, Миклюков, Вуоринен [MMV99] (для обобщенных решений нелинейных эллиптических уравнений).

Глава 6

Продолжение липшицевых функций Рассматривается проблема описания следа липшицевой функции на границе области и проблема продолжения функции с границы на всю область. При изложении материала мы следуем Федереру [Fed69] и Клячину и Миклюкову [KaM92].

6.1

Теоремы Уитни и Кирсбрауна

Начнем с хорошо известной теоремы Уитни о продолжении. 6.1.1

C 1 -Продолжение

Пусть F ⊂ ℝn – замкнутое множество и f : F → ℝ – непрерывная функция и ε : F → ℝ : n – непрерывная вектор-функция. Положим R(y, x) ≡

f (y) − f (x) − ⟨ε(x), y − x⟩ ∣y − x∣

(x, y ∈ F, x ∕= y) ,

и для произвольного компактного подмножества Q ⊂ F пусть ρQ (δ) ≡

sup

∣R(x, y)∣ .

x,y∈Q, 0 0, то существует C 1 -отображение f̃ : ℝn → ℝ такое, что ( ) n ̃ ̃ H {x : f (x) ∕= f (x) либо ∇f (x) ∕= ∇f (x)} < ε . Доказательство следует [Fed69, раздел 3.1.16] и [EG92, раздел 6.6]. Пусть A ⊂ ℝn – множество точек, в которых f имеет полный дифференциал. Согласно теореме Радемахера имеем Hn (ℝn ∖ A) = 0. Пользуясь теоремой Лузина, заключаем о существовании замкнутого множества B ⊂ A такого, что вектор-функция ∇f (x) непрерывна на B и Hn (ℝn ∖ B) < s/2. Положим ε(x) ≡ ∇f (x) и

f (y) − f (x) − ⟨ε(x), y − x⟩ ∣y − x∣ Введем обозначение R(y, x) ≡

ηk (x) =

sup

(x, y ∈ F, x ∕= y) .

∣R(y, x)∣ .

y∈B:0 0 такие, что при всех x ∈ U (x0 ) множества Ξ(x, t) содержатся в n-мерном шаре B(0, R) ⊂ ℝn . Зафиксируем произвольно распределение множеств Ξ(x, t) над областью D ⊂ ℝn . Пусть ϕ(x) : ∂D → ℝ – граничная функция. Требуется указать условия существования функций f (x) ∈ Liploc со свойствами: f (x)∣∂D = ϕ(x) и вектор ( ∂f ) ∂f ∇f (x) = (x), . . . , (x) ∈ Ξ(x, f (x)) для почти всех x ∈ D. ∂x1 ∂xn (6.2.3) Случай, в котором множества Ξ ≡ Ξ(x) являются равномерно ограниченными, открытыми, выпуклыми множествами, содержащими начало координат в ℝn и симметричными относительно начала координат был изучен в [KaM92]. В этой работе по наперед заданному, непрерывному распределению выпуклых множеств Ξ(x) строилась некоторая финслерова метрика ρ(x, y) и в терминах этой метрики указывался критерий существования продолжения функции ϕ : ∂D → ℝ до локально липшицевой функции f (x) : D → ℝ, определенной в области D и обладающей свойством (6.2.3). Получить критерий продолжимости в случаях, когда множества Ξ = Ξ(t, x) зависят от времени, либо когда множества Ξ = Ξ(x) не являются выпуклыми, пока нам не удается. При этом вторая задача представляется особо трудной. Данная проблема является ключевой при описании пространств допустимых функций для функционалов площади пространственно и времени подобных поверхностей в пространстве Минковского и в искривленных лоренцевых произведениях. Частичное решение проблемы в работе [KaM92] привело к весьма общим теоремам существования и единственности решений задачи Дирихле с особенностями для уравнения максимальных поверхностей в пространстве Минковского [KaM93].

6.2. ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ГРАДИЕНТ

6.2.3

173

Функции в псевдометрических пространствах

Общая проблема продолжения функций с ограничениями на градиент может быть сведена к задаче липшицевого продолжения функций в некоторых специальных псевдометрических пространствах. Ниже исследуется эта задача. Пусть X – произвольное непустое множество и пусть p : X × X → R – функция, обладающая следующими свойствами: α) p(x, x) = 0 и p(x, y) ≥ 0 при всех x, y ∈ X ; β) p(x, y) ≤ p(x, z) + p(z, y) при всех x, y, z ∈ X . Пара (X , p) называется псевдометрическим пространством, а функция p – псевдометрикой. Подчеркнем, что здесь мы не предполагаем симметричности псевдометрики p. На множестве X можно ввести топологию, согласованную с псевдометрикой p, как топологию, задаваемую системой окрестностей Uε (x) = {y ∈ X : p(x, y) < ε}. Тем самым, стандартным образом в псевдометрическом пространстве вводятся понятия предела функции f : X → ℝ в точке и непрерывности, равномерной непрерывности и т.п. Пусть S – подмножество X . Функция ϕ : S → ℝ называется p-липшицевой, если существует постоянная L < +∞ такая, что −L p(y, x) ≤ ϕ(x) − ϕ(y) ≤ L p(x, y),

∀x, y ∈ S.

Наименьшую из постоянных L будем называть постоянной Липшица и обозначать через Lip(ϕ, S). В дальнейшем мы будем ограничиваться функциями, для которых Lip(ϕ, S) ≤ 1. Другие обозначения. Для произвольной тройки точек x, y, z ∈ X полагаем p(x, y) Λ(x, y, z) = . p(x, z) + p(z, y) Так как p – псевдометрика, то всегда Λ(x, y, z) ≤ 1. Условие Λ(x, y, z) = 1 означает, что точки x, y и z расположены на "геодезической" относительно псевдометрики p. Псевдорасстоянием от множества P до множества S будем называть величину p(P, S) = inf{p(x, y) : x ∈ P, y ∈ S}.

174

ГЛАВА 6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛИПШИЦЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Расстоянием между множествами P, S ⊂ X будем называть величину dist(P, S) = max{p(P, S), p(S, P)}. Множество U ∈ X назовем компактным, если из любой последовательности {xm } точек данного множества можно выделить сходящуюся к некоторой точке x0 ∈ U подпоследовательность. Лемма 6.2.1 Пусть S ⊂ X – произвольное множество и ϕ : S → ℝ – функция, обладающая свойством −p(y, x) ≤ ϕ(x) − ϕ(y) ≤ p(x, y) ∀x, y ∈ S. Тогда существует функция f : X → ℝ, f ∣S = ϕ такая, что −p(y, x) ≤ f (x) − f (y) ≤ p(x, y) ∀x, y ∈ X . Данное утверждение элементарно. Для доказательства достаточно положить f (x) = inf {ϕ(y) + p(y, x)}. y∈S

□ Нашей основной задачей в данном параграфе является задача о продолжении функций с границы внутрь области с постоянной Липшица, строго отделенной от 1 на всяком компактном подмножестве области. Формулируемая ниже лемма является ключевой в алгоритме построения такого p-липшицевого продолжения. Зафиксируем множество S ⊂ X . Пусть ϕ – p-липшицева функция с Lip(ϕ, S) ≤ 1. Для произвольных δ > 0 и μ, 0 < μ < 1, полагаем Aμδ (ϕ, S) = {(x, y) ∈ S×S : p(x, y) ≥ δ

и ϕ(x)−ϕ(y) ≥ (1−μ) p(x, y)}.

Заметим, что при Lip (ϕ, S) < 1 для μ, достаточно близких к 0, выполнено Aμδ (ϕ, S) = ⊘. Лемма 6.2.2 Пусть P, Q, S ⊂ X – попарно непересекающиеся множества и p(P, S) > 0. Пусть ϕ : S → ℝ – p-липшицева функция, обладающая свойством ∀ δ > 0 ∃ μ ∈ (0, 1) : sup{Λ(x, y, ζ) : (x, y) ∈ Aμδ , ζ ∈ P} < 1.

(6.2.4)

6.2. ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ГРАДИЕНТ

175

Пусть функция g : Q → ℝ такова, что для некоторого L < 1 выполнено −L p(η, ξ) ≤ g(ξ) − g(η) ≤ L p(ξ, η),

∀ ξ, η ∈ Q,

(6.2.5)

−L p(x, ξ) ≤ g(ξ) − ϕ(x) ≤ L p(ξ, x), ∀ξ ∈ Q, ∀x ∈ S. (6.2.6) Тогда существуют функция f : P → ℝ и постоянная L0 < 1 такие, что −L0 p(η, ξ) ≤ f (ξ) − f (η) ≤ L0 p(ξ, η),

∀ξ, η ∈ P,

(6.2.7)

−L0 p(ζ, ξ) ≤ f (ξ) − g(ζ) ≤ L0 p(ξ, ζ) ∀ξ ∈ P, ∀ζ ∈ Q, −L0 p(x, ξ) ≤ f (ξ) − ϕ(x) ≤ L0 p(ξ, x) ∀ξ ∈ P, ∀x ∈ S.

(6.2.8) (6.2.9)

Доказательство. Положим Δ = p(P, S). В силу условия (6.2.4), по δ = 12 Δ найдется μ ∈ (0, 1), для которого sup{Λ(x, y, ζ) : (x, y) ∈ Aμδ , ζ ∈ P} = L1 < 1.

(6.2.10)

Положим

1 L0 = max{L1 , L, 1 − μ, } 2 и рассмотрим функцию f (ξ) = inf {ψ(x) + L0 p(ξ, x)}, x∈S∪Q

где { ψ(x) =

ϕ(x), x ∈ S g(x), x ∈ Q.

Зафиксируем произвольно ξ, η ∈ P. Для заданного ε > 0 найдутся точки xε , yε ∈ Q ∪ S такие, что f (ξ) ≥ ψ(xε ) + L0 p(ξ, xε ) − ε, f (η) ≥ ψ(yε ) + L0 p(η, yε ) − ε. Следовательно, (

) f (ξ) − f (η) ≤ L0 p(ξ, yε ) − p(η, yε ) + ε ≤ L0 p(ξ, η) + ε, ( ) f (ξ) − f (η) ≥ L0 p(ξ, xε ) − p(η, xε ) − ε ≥ −L0 p(η, ξ) − ε,

176

ГЛАВА 6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛИПШИЦЕВЫХ ФУНКЦИЙ

и, в произвола в выборе ε > 0, приходим к (6.2.7). Неравенства (6.2.8), (6.2.9) будем доказывать одновременно. Пусть ξ ∈ P и x ∈ S ∪ Q. Тогда f (ξ) − ψ(x) ≤ L0 p(ξ, x), что означает справедливость неравенств в правых частях (6.2.8), (6.2.9). Покажем, что f (ξ) − ψ(x) ≥ −L0 p(x, ξ). Мы имеем ∀ε > 0 ∃xε ∈ S ∪ Q

такое, что f (ξ) ≥ ψ(xε ) + L0 p(ξ, xε ) − ε.

Дальнейшие рассуждения проведем раздельно в зависимости от расположения точек x, xε на множествах Q и S. α). Пусть x, xε ∈ Q. Тогда в силу (6.2.5), выполнено f (ξ) − ψ(x) ≥ ψ(xε ) − ψ(x) + L0 p(ξ, xε ) − ε = = g(xε ) − g(x) + L0 p(ξ, xε ) − ε ≥ −L0 p(x, xε ) + L0 p(ξ, xε ) − ε ≥ ≥ −L0 p(x, ξ) − ε. β). Пусть x ∈ S, xε ∈ Q или x ∈ Q, xε ∈ S. Тогда, как и выше, в силу (6.2.6), имеем f (ξ) − ψ(x) ≥ −L0 p(x, ξ) − ε. γ). Пусть x, xε ∈ S и пусть p(x, xε ) ≤ δ = 12 Δ. Тогда f (ξ) − ψ(x) ≥ ϕ(xε ) − ϕ(x) + L0 p(ξ, xε ) − ε ≥ Δ + L0 Δ − ε ≥ −ε ≥ −L0 p(x, ξ) − ε. 2 δ). Пусть (x, xε ) ∈ Aμδ . Тогда из (6.2.10) следует

≥ −p(x, xε ) + L0 p(ξ, xε ) − ε ≥ −

p(x, xε ) ≤ L1 ≤ L0 ∀ζ ∈ P. p(x, ζ) + p(ζ, xε ) Тем самым, мы имеем f (ξ) − ψ(x) ≥ ϕ(xε ) − ϕ(x) + L0 p(ξ, xε ) − ε ≥ ≥ −p(x, xε ) + L0 p(ξ, xε ) − ε ≥

6.2. ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ГРАДИЕНТ

177

(

) ≥ −L0 p(x, ξ) + p(ξ, xε ) + L0 p(ξ, xε ) − ε = = −L0 p(x, ξ) − ε. ε). Пусть,наконец, точка (x, xε ) не принадлежит множеству Aμδ , однако p(x, xε ) > δ. Тогда по определению множества Aμδ здесь имеем ϕ(xε ) − ϕ(x) ≥ −(1 − μ) p(x, xε ). Откуда получаем f (ξ) − ψ(x) ≥ ϕ(xε ) − ϕ(x) + L0 p(ξ, xε ) − ε ≥ ≥ −(1 − μ) p(x, xε ) + L0 p(ξ, xε ) − ε ≥ −L0 p(x, ξ) − ε. Объединяя α) – ε) и полагая ε → 0, получаем f (ξ) − ψ(x) ≥ −L0 p(x, ξ) ∀ξ ∈ P, ∀x ∈ S ∪ Q, что означает справедливость левых неравенств в соотношениях (6.2.8), (6.2.9) и лемма доказана. Предположим, что псевдометрическое пространство (X , p) является линейно связным и псевдометрика p совпадает с псевдовнутренним расстоянием. Поясним используемую терминологию. Под линейно связными пространствами (X , p) мы понимаем пространства со свойством: ∀x, y ∈ X найдется непрерывное отображение γ : [0, 1] → (X , p) такое, что γ(0) = x, γ(1) = y. Мы также говорим, что p совпадает с псевдовнутренним расстоянием в X , если p(x, y) = inf ∣γ∣p , γ

где точная нижняя грань берется по всевозможным путям γ, соединяющим точки x и y. При этом n ( ) ∑ ∣γ∣p = sup p γ(ti ), γ(ti+1 ) i=1

и sup вычисляется по всевозможным разбиениям отрезка [0, 1]:0 = t1 ≤ t2 ≤ . . . ≤ tn+1 . Следующее утверждение доставляет основной результат данного раздела.

178

ГЛАВА 6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛИПШИЦЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Лемма 6.2.3 Пусть (X , p) – псевдометрическое пространство с описанными свойствами. Пусть S ⊂ X – произвольное подмножество и пусть ϕ : S → ℝ – p-липшицева функция. Для того, чтобы функция ϕ была следом некоторой функции f : X → ℝ, удовлетворяющей условию для любого U ⊂ X , dist (U, S) > 0, существует постоянная LU < 1 такая, что для всякого x ∈ U выполнено f (x) − f (y)∣ ≤ LU , p(x, y) y→x

lim sup

(6.2.11)

f (x) − f (y) ≥ −LU , (6.2.12) y→x p(y, x) достаточно, чтобы для любого компакта U ⊂ X , dist(U, S) > 0, и для любого δ > 0 существует μ ∈ (0, 1) такое, что lim inf

sup{Λ(x, y, z) : (x, y) ∈ Aμδ , z ∈ U } < 1.

(6.2.13)

В случае, когда либо функция ϕ либо множество S ограничены, условие (6.2.13) является также и необходимым. Доказательство начнем с доказательства достаточности. Для произвольного k = 1, 2, . . . полагаем 1 Ωk = {x ∈ X : dist(x, S) > }, k 1 Sk = {x ∈ X : dist(x, S) = }, Ωk = Sk ∪ Ωk . k Отметим, что Si ∩ Sj = ⊘ и dist(Si , Sj ) > 0 для произвольных i ∕= j. Не трудно видеть, что множества Ωk представляют собой замыкания множеств Ωk в топологии, определяемой псевдометрикой p. Используя свойство (6.2.13) и лемму 2 для P = Ω1 и Q = ⊘, найдем постоянную L1 < 1 и функцию u1 : Ω1 → ℝ такие, что −L1 p(η, ξ) ≤ u1 (ξ) − u1 (η) ≤ L1 p(ξ, η) ∀ξ, η ∈ Ω1 , −L1 p(x, ξ) ≤ u1 (ξ) − ϕ(x) ≤ L1 p(ξ, x) ∀ξ ∈ Ω1 , ∀x ∈ S. Далее, используя (6.2.13) и лемму 6.2.2 для P = Ω2 ∖ Ω1 и Q = Ω1 , найдем L2 < 1 и функцию u2 : Ω2 ∖ Ω1 → ℝ такие, что −L2 p(η, ξ) ≤ u2 (ξ) − u2 (η) ≤ L2 p(ξ, η) ∀ ξ, η ∈ Ω2 ∖ Ω1 ,

6.2. ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ГРАДИЕНТ

179

−L2 p(ζ1 , ξ) ≤ u2 (ξ) − u1 (ζ1 ) ≤ L2 p(ξ, ζ1 ) ∀ ξ ∈ Ω2 ∖ Ω1 , ∀ ζ1 ∈ Ω1 , −L2 p(x, ξ) ≤ u2 (ξ) − ϕ(x) ≤ L2 p(ξ, x) ∀ ξ ∈ Ω2 ∖ Ω1 , ∀ x ∈ S. Продолжая этот процесс для произвольного k > 1 найдем постоянную Lk < 1 и функцию uk : Ωk ∖ Ωk−1 → ℝ, при которых −Lk p(η, ξ) ≤ uk (ξ) − uk (η) ≤ Lk p(ξ, η) ∀ ξ, η ∈ Ωk ∖ Ωk−1 , −Lk p(ζi , ξ) ≤ uk (ξ) − ui (ζi ) ≤ Lk p(ξ, ζi ) ∀ ξ ∈ Ωk ∖ Ωk−1 , ∀ ζi ∈ Ωi , i = 1, . . . , k − 1, −Lk p(x, ξ) ≤ uk (ξ) − ϕ(x) ≤ Lk p(ξ, x) ∀ ξ ∈ Ωk ∖ Ωk−1 , ∀ x ∈ S. ⋃ ̃ Тем самым, на множестве ∞ k=1 Ωk определена функция f , равная uk на Ωk . По построению, f̃ обладает свойствами (6.2.11), (6.2.12). ⋃ ′ Положим S ′ = {x ∈ X : dist(x, S) = 0}. Понятно, что ∞ k=1 Ωk ∪ S = X. Пусть x ∈ S ′ . Найдется последовательность точек {yk }∞ k=1 ⊂ S, для которой при k → ∞ выполнено p(x, yk ) → 0. Положим f0 (x) = lim ϕ(yk ) . k→∞

Покажем, что предел существует и не зависит от выбора последовательности. Так как ϕ(yk ) − ϕ(yk+l ) ≤ p(yk , yk+l ) ≤ p(yk , x) + p(x, yk+l ) → 0, ( ) ϕ(yk ) − ϕ(yk+l ) ≥ −p(yk+l , yk ) ≥ − p(yk+l , x) + p(x, yk ) → 0, то последовательность ϕ(yk ) фундаментальна в R и существует ее предел. Аналогично устанавливается независимость этого предела от последовательности {yk }. Нам осталось показать, что функция { ̃(x), x ∈ ⋃∞ Ωk f k=1 f (x) = f0 (x), x ∈ S ′ совпадает с ϕ на S. ⋃ Пусть x ∈ S и y ∈ X . Если y ∈ ∞ k=1 Ωk , то f (y) − ϕ(x) = f̃(y) − ϕ(x) < p(y, x) и

180

ГЛАВА 6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛИПШИЦЕВЫХ ФУНКЦИЙ

f (y) − ϕ(x) = f̃(y) − ϕ(x) > −p(x, y). Если y ∈ S ′ ∖ S, то найдется последовательность yk ∈ S, для которой f (y) = f0 (y) = limk→∞ ϕ(yk ). Следовательно, f (y) − ϕ(x) = lim ϕ(yk ) − ϕ(x) ≤ lim p(yk , x) ≤ k→∞ k→∞ ( ) ≤ lim p(yk , y) + p(y, x) = p(y, x). k→∞

Аналогично, f (y) − ϕ(x) = f0 (y) − ϕ(x) ≥ −p(x, y). Отсюда заключаем, что f ∣S = ϕ. Перейдем к доказательству необходимости. Предположим, что функция ϕ : S → R является следом на множестве S ⊂ X некоторой функции f : X → ℝ, удовлетворяющей условию (6.2.11). Тогда ∀ U, dist(U, S) > 0 существуют ε > 0 и постоянная постоянная L < 1 такие, что для любого ξ ∈ U при всяком η ∈ {x ∈ X : p(ξ, x) = ε} = Cε выполнено −L p(η, ξ) ≤ f (ξ) − f (η) ≤ L p(ξ, η). a). Рассмотрим сначала случай, в котором множество S ограничено, т.е. sup p(x, y) = M < +∞. x,y∈S

Пусть γ – путь, ведущий из x в ξ и такой, что p(ξ, x) > ∣γ∣p − δ, δ > 0 и η ∈ γ ∩ Cε . Тогда f (ξ) − ϕ(x) = f (ξ) − f (η) + f (η) − ϕ(x) ≤ ( ) L p(ξ, η) + p(η, x) ≤ ≤ L p(ξ, η) + p(η, x) = p(ξ, η) + p(η, x) p(ξ, η) + p(η, x) ( ) L p(ξ, η) + p(η, x) ( ) L + 1 p(η, x) ε ≤ p(ξ, x) + δ = p(ξ, x) + δ . 1 p(ξ, η) + p(η, x) 1 + ε p(η, x) И в силу произвольности δ > 0, получаем f (ξ) − ϕ(x) ≤

L + M/ε p(ξ, x) 1 + M/ε

(6.2.14)

6.2. ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ГРАДИЕНТ

181

Предположим, что свойство (6.2.13) не имеет места. Тогда существует последовательность точек xm , ym , zm со свойствами: xm , ym ∈ S, zm таковы, что inf m dist (zm , S) = ε > 0 и существует δ1 > 0 такое, что при всех 1 m = 1, 2, . . . точки (xm , ym ) ∈ Aδm1 и p(xm , ym ) →1 p(xm , zm ) + p(zm , ym )

при m → ∞.

1

Из условия (xm , ym ) ∈ Aδm1 имеем 1 ) p(xm , ym ). m С другой стороны, из (6.2.14) следует, что ϕ(xm ) − ϕ(ym ) ≥ (1 −

(6.2.15)

ϕ(xm ) − ϕ(ym ) = ϕ(xm ) − f (zm ) + f (zm ) − ϕ(ym ) ≤ p(xm , zm ) + p(zm , ym ) L + Mε ≤ p(xm , ym ). p(xm , ym ) 1 + Mε Это противоречит (6.2.15) при больших m. b). Предположим, что ограничена функция ϕ. При выполнении этого условия функция f является ограниченной . Пусть M0 = sup ∣ϕ(x)∣ = sup ∣f (x)∣. x∈S

x∈X

Если x ∈ S, то пусть γ – путь, соединяющий точки x и ξ так, что p(ξ, x) > ∣γ∣p − δ,

δ > 0.

Предположим, что p(ξ, x) ≥ 4M0 . Мы имеем f (ξ) − ϕ(x) ≤ 2M0 ≤

1 p(ξ, x). 2

Если же p(ξ, x) < 4M0 , то ( ) L p(ξ, η) + p(η, x) f (ξ) − ϕ(x) ≤ p(ξ, η) + p(η, x) ≤ p(ξ, η) + p(η, x) ( ) p(ξ, x) + δ − (1 − L)ε . ≤ p(ξ, x) + δ p(ξ, x)

182

ГЛАВА 6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛИПШИЦЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Полагая δ → 0, получаем f (ξ) − ϕ(x) ≤ p(ξ, x)

p(ξ, x) − (1 − L)ε ≤ p(ξ, x)

4M0 − (1 − L)ε . 4M0 Следовательно, найдется постоянная L1 < 1 такая, что при всех x ∈ S выполнено f (ξ) − ϕ(x) ≤ L1 p(ξ, x). Повторяя рассуждения раздела a), приходим к (6.2.13). Лемма доказана полностью. □ ≤ p(ξ, x)

В ряде случаев требуется строить продолжение p-липшицевых функций для псевдометрик p, принимающих значения в расширенной прямой R = R ∪ {−∞} ∪ {+∞}. Опишем следующую конструкцию. Пусть p : X × X → R – функция, обладающая свойствами α), β) псевдометрики, описанными ⋃ в разделе 2.1. Представим пространство X в качестве объединения a∈A Xa подмножеств Xa ⊂ X таких, что при всех a ∈ A и всех x, y ∈ Xa значения p(x, y) и p(y, x) конечны. Тем самым, на каждом из множеств Xa функция p индуцирует псевдометрику. Будем говорить, что пространство (X , p) линейно связно, если любое псевдометрическое пространство (Xa , p) является линейно связным. В случае, когда при всяком a ∈ A в пространстве (Xa , p) псевдометрика p является внутренним расстоянием будем говорить, что функция p есть внутреннее расстояние в X . Из леммы 6.2.3 непосредственно вытекает утверждение. Лемма 6.2.4 Пусть (X , p) – линейно связно и p является внутренним расстоянием на X . Пусть S ⊂ X – произвольное множество и ϕ : S → ℝ – функция, удовлетворяющая условию −p(y, x) ≤ ϕ(x) − ϕ(y) ≤ p(x, y) ∀x, y ∈ S. Для того, чтобы функция ϕ была следом функции f : X → ℝ, удовлетворяющей условиям (6.2.11), (6.2.12), достаточно, чтобы ϕ обладала свойством (6.2.13) на всяком подмножестве S ∩ Xa , a ∈ A. В случае, когда на каждом Xa либо функция ϕ, либо множество S ∩ Xa ограничены, условие (6.2.13) является и необходимым.

6.2. ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ГРАДИЕНТ

6.2.4

183

Финслерова метрика

Проблема продолжения функций с ограничениями на градиент может быть редуцирована к задаче о липшицевых продолжениях в пространствах Финслера. Опираясь на результаты предыдущего параграфа, мы получаем весьма общие теоремы, дающие ответ на поставленную проблему. Пусть Ω ⊂ ℝn – область и пусть Φ(x, ξ) – функция, заданная в Ω × ℝn , принимающая значения в ℝ и такая, что a) Φ(x, ξ) ≥ 0; b) в каждой точке Φ(x, λξ) = λΦ(x, ξ), ∀λ ≥ 0; c) множества Ξ(x) = {ξ ∈ ℝn : Φ(x, ξ) < 1} выпуклы при всяком x ∈ Ω. Определим сопряженную (двойственную) функцию H(x, η) = sup ⟨η, ξ⟩ Φ(x,ξ)=1

(см. [Roc73], §15). Далее полагаем h(x) = sup sup ⟨η, ξ⟩. ∣η∣=1 Φ(x,ξ)=1

Ясно, что функция H(x, ξ) обладает свойствами a), b), c). Определим множество C(x) = {η ∈ ℝn : H(x, η) < 1}. Отметим также следующее соотношение Φ(x, ξ) =

⟨ξ, η⟩ . H(x,η)∕=0 H(x, η) sup

(6.2.16)

В общем случае функция H(x, η) принимает на Ω × ℝn значения в ℝ. Бесконечные значения H(x, η) возникают в случаях, когда выпуклое множество Ξ(x) неограничено. С другой стороны, несложно видеть, что множество Ξ(x) ограничено тогда и только тогда, когда h(x) < +∞. Полезно рассмотреть пример. Пусть (e1 , e2 , . . . , en ) – ортонормированный базис в ℝn и пусть Φ(x, ξ) = ∣⟨e1 , ξ⟩∣. Тогда множество Ξ(x) = {ξ : ∣⟨e1 , ξ⟩∣ < 1} = {ξ ∈ ℝn : ∣ξ1 ∣ < 1}.

184

ГЛАВА 6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛИПШИЦЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Здесь двойственная функция имеет вид ⎧ если ηi = 0, i = 2, 3, . . . , n l ⎨ ∣η1 ∣, H(x, η) = если ∃i ≥ 2 : ηi ∕= 0 l ⎩ +∞, и принимает бесконечные значения. Множество C(x) есть открытый интервал (−1, +1), расположенный на оси Oη1 . Функция h(x) ≡ +∞. Для произвольных точек x, y ∈ Ω полагаем ∫1 ρ(x, y) = inf H(γ(t), γ(t)) ̇ dt, γ

0

где точная нижняя грань берется по всем локально липшицевым путям γ : [0, 1] → Ω, таким, что γ(0) = x, γ(1) = y. Ясно, что в общем случае величины ρ(x, y), ρ(y, x) не совпадают. Лемма 6.2.5 Функция ρ обладает свойствами α), β) псевдометрики. Доказательство. Выполнение условия α) очевидно. Покажем справедливость β). Пусть x, y, z ∈ Ω. Предположим, что ρ(x, z), ρ(z, y) < ∞. Для всякого ε > 0 найдутся пути γi (t) : [0, 1] → ℝ, i = 1, 2, такие, что ∫1 γ1 (0) = x,

γ1 (1) = z,

ε H(γ1 (t), γ̇ 1 (t)) dt < ρ(x, z) + , 2

0

∫1 γ2 (0) = z,

γ2 (1) = y,

ε H(γ2 (t), γ̇ 2 (t)) dt < ρ(z, y) + . 2

0

Положим

{ γ3 (t) =

γ1 (2t) при t ∈ [0, 21 ) γ2 (1 − 2t) при t ∈ [ 12 , 1].

Тогда ∫1 ρ(x, y) ≤

H(γ3 (t), γ̇ 3 (t)) dt = 0

6.2. ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ГРАДИЕНТ

∫1 =

185

∫1 H(γ2 (t), γ̇ 2 (t)) dt ≤

H(γ1 (t), γ̇ 1 (t)) dt + 0

0

≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) + ε. В силу произвола в выборе ε > 0, убеждаемся в справедливости аксиомы треугольника. В случае обращения в +∞ хотя бы одной из величин ρ(x, z), ρ(z, y) неравенство α) очевидно. □ Рассмотрим случай, в котором распределение Ξ(x) выпуклых множеств является локально равномерно ограниченным. Пусть Ω – область в ℝn и ρ(x1 , x2 ) – финслерова псевдометрика. Будем предполагать, что функция h(x) локально ограничена в Ω. Зафиксируем подобласть Ω′ ⋐ Ω. Положим h′ = supx∈Ω′ h(x). Для произ→ ′ вольной пары точек x1 , x2 ∈ Ω′ , такой, что отрезок − x− 1 x2 ⊂ Ω , имеем ∫1 ρ(x1 , x2 ) ≤ H(x1 + te, e) dt ≤ h′ ∣x2 − x1 ∣, 0

где

− → x− 1 x2 e= . ∣x2 − x1 ∣ Тем самым, всякая ρ-липшицева в Ω функция f (x) является локально липшицевой в евклидовой метрике. По теореме 2.3.1 почти всюду в Ω функция f (x) имеет полный дифференциал и, в частности, почти всюду в Ω определен вектор (fx1 , fx2 , . . . , fxn ) = ∇f (x). Пусть Ωρ – пополнение области Ω по псевдометрике ρ и пусть ∂Ωρ = Ωρ ∖ Ω. Предположим, что пополнение Ωρ не пусто. Следующая теорема относится к числу центральных результатов настоящей главы. Теорема 6.2.1 Для того, чтобы функция φ : ∂Ωρ → R была следом на ∂Ωρ функции f : Ω → R, удовлетворяющей условию ess sup Φ(x, ∇f (x)) < 1 для любого компакта U ⊂ Ω

(6.2.17)

U

достаточно, чтобы ϕ была ρ-липшицевой и на всяком подмножестве U ⋐ Ω обладала свойством ∀ δ > 0 sup{L(x, y, z) : (x, y) ∈ Aδ , z ∈ U } < 1. (6.2.18)

186

ГЛАВА 6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛИПШИЦЕВЫХ ФУНКЦИЙ

В случае, когда граница ∂Ωρ либо граничная функция ϕ ограничены, условие (6.2.18) является и необходимым. Доказательство. В силу леммы 6.2.3, в условиях теоремы нам необходимо установить эквивалентность ограничений (6.2.17) и (6.2.18). Предположим, что выполнено (6.2.17). Фиксируем множество U ⋐ Ω и подобласть Ω1 ⊃ U, Ω1 ⊂ Ω. Пусть x1 , x2 ∈ Ω1 – произвольны. Выберем локально липшицев путь γ(t) : [0, 1] → Ω такой, что γ(0) = x1 , γ(1) = x2 . Мы имеем ∫1 f (x2 ) − f (x1 ) = ⟨∇f (γ(t)), γ(t) ̇ > dt. 0

Предположим, что точки x1 , x2 ∈ Ω1 достаточно близки в следующем смысле: для всякого ε > 0 найдется путь γ(t) : [0, 1] → Ω1 , γ(0) = x1 , γ(1) = x2 , для которого ∫1 H(γ(t), γ(t)) ̇ dt < ρ(x2 , x1 ) + ε. 0

Если почти всюду на γ(t) существует ∇f (γ(t)), то ∫1 f (x2 ) − f (x1 ) =

⟨∇f (γ(t)), γ(t)⟩ ̇ dt ≤ 0

∫1 ≤

( ) Φ γ(t), ∇f (γ(t)) H(γ(t), γ(t)) ̇ dt ≤

0

∫1 ≤ ess sup Φ(x, ∇f (x)) Ω1

H(γ(t), γ(t)) ̇ dt ≤ 0

( ≤ ess sup Φ(x, ∇f (x)) ρ(x2 , x1 ) + ε).

(6.2.19)

Ω1

Пусть γ(t) не обладает описанным свойством. Не ограничивая общности можем считать, что путь γ(t) кусочно линеен. Выберем единичный

6.2. ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ГРАДИЕНТ

187

вектор θ такой, что при достаточно малых δ > 0 параллельные сдвиги γδ (t) пути γ(t) на вектор δ θ не имеют пересечений друг с другом. Пользуясь теоремой 2.3.1 о дифференцируемости почти всюду липшицевых функций, несложно заключить, что на почти всех γδ (t) функция f (x) имеет полный дифференциал почти в каждой точке x ∈ γδ (t). Пусть γδm (t), δm → 0 – последовательность путей с таким свойством, x2,m , x1,m – их концевые точки. Рассуждая, как и при доказательстве (6.2.19), находим ( ) f (x2,m ) − f (x1,m ) ≤ ess sup Φ(x, ∇f (x)) ρ(x2,m , x1,m ) + ε . Ω1

Переходя к пределу при m → ∞ и ε → 0, получаем f (x2 ) − f (x1 ) ≤ ess sup Φ(x, ∇f (x)) ρ(x2 , x1 ).

(6.2.20)

Ω1

Аналогичным образом выводим неравенство f (x2 ) − f (x1 ) ≥ −ess sup Φ(x, ∇f (x)) ρ(x1 , x2 ).

(6.2.21)

Ω1

Соотношения (6.2.20) и (6.2.21) влекут (6.2.18). Предположим, что выполнено (6.2.18). Пусть U ⊂ Ω1 ⊂⊂ Ω и пусть h < 1 – постоянная, для которой f (x) − f (y) ≤h ρ(x, y) y→x

lim sup

(6.2.22)

и

f (x) − f (y) ≥ −h (6.2.23) y→x ρ(y, x) для всех x ∈ Ω1 . Пусть l ⊂ Ω1 – произвольный отрезок и θ – единичный направляющий вектор отрезка l такой, что lim inf

l = {y : y = x + tθ, 0 ≤ t ≤ 1}. В силу ρ – липшицевости функции f (x), почти всюду на l существует ∂f производная ∂f ∂θ . В каждой точке t0 , где ∂θ (x + t0 θ) > 0, имеем ∂f f (x + tθ) − f (x + t0 θ) (x + t0 θ) = lim ≤ t→t0 +0 ∂θ t − t0

188

ГЛАВА 6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛИПШИЦЕВЫХ ФУНКЦИЙ

ρ(x + tθ, x + t0 θ) f (x + tθ) − f (x + t0 θ) lim inf ≤ t→t0 +0 ρ(x + tθ, x + t0 θ) t − t0 t→t0 +0

≤ lim sup

1 ≤ h lim t→t0 +0 t − t0

∫t H(x + sθ, θ) ds. t0

Если в точке t0 производная ∂f ∂θ (x + t0 θ) ≤ 0, то данное неравенство очевидно. Тем самым, для почти всех t ∈ [0, 1] выполнено ∂f 1 (x + tθ) ≤ h lim inf t→t0 +0 t − t0 ∂θ

∫t H(x + sθ, θ) ds ≤ h H(x + tθ, θ). t0

В силу произвола в выборе отрезка l ⊂ Ω1 , имеем ∂f (x) ≤ h H(x, θ), ∂θ

∀θ.

почти всюду в Ω1 . Поскольку почти всюду

∂f ∂θ (x)

Φ(x, ∇f (x)) = sup θ∕=0

= ⟨∇f (x), θ⟩, имеем

⟨∇f (x), θ⟩ ≤ h, H(x, θ)

и теорема доказана.

□ − → Рассмотрим следующий пример. Пусть Ω ⊂ ℝn – область и пусть θ (x) – векторное поле в Ω. Зададим распределение отрезков → − l(x) = {y : y = x + t θ , ∣t∣ < 1}. Положим ∣ξ∣ Φ(x, ξ) ≡ Φθ (x, ξ) = → − ∣ θ (x)∣

→ − при ξ = λ θ (x)

и обращающуюся в +∞ в остальных случаях. Легко вычисляется сопряженная функция → − H(x, η) ≡ Hθ (x, η) = ∣⟨ θ (x), η⟩∣.

6.2. ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ГРАДИЕНТ

189

Для произвольной пары точек x1 , x2 ∈ Ω определяется внутренняя метрика ∫1 ρθ (x1 , x2 ) = inf γ

→ − ∣⟨ θ (γ(t)), γ(t) ̇ > ∣ dt,

γ(0) = x1 , γ(1) = x2 , γ ⊂ Ω.

0

→ − Предположим, что функция ∣ θ (x)∣ локально ограничена в Ω. → (x, ∇f (x)) < 1, Условие ∇f (x) ∈ l(x) эквивалентно требованию Φ− θ что в свою очередь равносильно условию: существует функция λ(x), ∣λ(x)∣ < 1 такая, что почти всюду выполнено → − ∇f (x) = λ(x) θ (x). Из теоремы 6.2.1 получаем Следствие 6.2.1 Пусть Ω – ограниченная область в ℝn . Функция ϕ : ∂Ω → ℝ является следом функции f : Ω → ℝ такой, что → − ∇f (x) = λ(x) θ (x), ∣λ(x)∣ < 1, почти всюду в Ω → -липшицевой и для нее вытогда и только тогда, когда ϕ является ρ− θ полняется (6.2.18).

Множество K в псевдометрическом пространстве (Ωρ , ρ) будем называть компактным, если для любой последовательности точек {xm }+∞ m=1 найдется подпоследовательность {xmk }+∞ такая, что для некоторой точk=1 ки x ∈ K выполнено ρ(xmk , x) + ρ(x, xmk ) → 0

при k → +∞.

Для произвольной пары точек x1 , x2 ∈ Ωρ полагаем Γ(x1 , x2 ) = {x ∈ Ωρ : ρ(x1 , x2 ) = ρ(x1 , x) + ρ(x, x2 )}. Заметим, что множество Γ(x1 , x2 ) не пусто, поскольку по крайней мере точки x1 , x2 ∈ Γ(x1 , x2 ). Однако, в отличие от метрик, для псевдометрик ρ равенство Γ(x, x) = x может быть нарушено. В случае, когда продолжение функций ϕ происходит с компактного множества, условия продолжимости можно существенно упростить.

190

ГЛАВА 6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛИПШИЦЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Теорема 6.2.2 Пусть K ⊂ ∂Ωρ – компактное множество. Функция ϕ : K → ℝ является следом на K функции f : Ω → ℝ, удовлетворяющей условию ess sup Φ(x, ∇f (x)) < 1 для любого множества U ⋐ Ω тогда и только тогда, когда ϕ удовлетворяет условиям −ρ(x2 , x1 ) ≤ ϕ(x1 ) − ϕ(x2 ) ≤ ρ(x1 , x2 ) ∀ x1 , x2 ∈ K

(6.2.24)

и −ρ(x2 , x1 ) < ϕ(x1 ) − ϕ(x2 ) < ρ(x1 , x2 ),

(6.2.25)

если ρ(x1 , x2 ) > 0, Γ(x1 , x2 ) ∩ Ω ∕= ∅. Доказательство. Условие (6.2.24) означает ρ-липшицевость ϕ на K. Поэтому для доказательства теоремы нам достаточно установить, что требования (6.2.25) и (6.2.18) эквивалентны. Действительно, предположим, что выполнено (6.2.25). Покажем, что для произвольного множества U ⋐ Ω при всяком δ > 0 найдется номер m0 , для которого 0 sup{L(x, y, z) : (x, y) ∈ Am δ , z ∈ U } < 1.

Предположим противное, то есть найдутся δ > 0, точки xm , ym ∈ K и zm ∈ U такие, что ρ(xm , ym ) ≥ δ и ρ(xm , ym ) → 1 при m → +∞. ρ(xm , zm ) + ρ(zm , ym )

(6.2.26)

В силу предположений относительно множеств K и U , найдутся точки x0 , y0 ∈ K, z0 ∈ U , для которых при m → +∞ выполнено ρ(xm , x0 )+ρ(x0 , xm ) → 0, ρ(ym , y0 )+ρ(y0 , ym ) → 0, ρ(zm , z0 )+ρ(z0 , zm ) → 0. Отсюда, в силу (6.2.26) получаем ρ(x0 , y0 ) = ρ(x0 , z0 ) + ρ(z0 , y0 ), что означает z0 ∈ Γ(x0 , y0 ). С другой стороны, поскольку (xm , ym ) ∈ Am δ , то ϕ(xm ) − ϕ(ym ) ≥ (1 −

1 )ρ(xm , ym ). m

6.2. ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ГРАДИЕНТ

191

Переходя к пределу, получаем ϕ(x0 ) − ϕ(y0 ) ≥ ρ(x0 , y0 ) ≥ δ. Тем самым, в силу ρ-липшицевости ϕ, имеем равенство ϕ(x0 ) − ϕ(y0 ) = ρ(x0 , y0 ) и z0 ∈ Γ(x0 , y0 ) ∩ Ω, что противоречит (6.2.25). Следовательно, условие (6.2.18) действительно имеет место. Обратно, предположим, что выполнено (6.2.18). Покажем, что отсюда вытекает (6.2.25). Предположим противное. Найдутся точки x0 , y0 ∈ K и z0 ∈ Γ(x0 , y0 ) ∩ Ω, для которых ϕ(x0 ) − ϕ(y0 ) = ρ(x0 , y0 ) > 0. Положим U = {z0 }. Из (6.2.18) при δ = ρ(x0 , y0 ) следует L(x0 , y0 , z0 ) < 1. Тем самым, Γ(x0 , y0 ) ∕∈ z0 и мы имеем противоречие. Теорема доказана. □ Упражнение 6.2.1 Указать следствия теоремы 6.2.2 в терминах производной Кларка.

6.2.5

Сравнение границы ∂Ωρ с евклидовой

Граничные значения ϕ на ∂Ωρ функции f (x), заданной в области Ω ⊂ Rn , выше понимались как пределы f (x) относительно псевдометрики ρ. В рассмотренном общем случае каких-либо связей между предельными значениями f ∣∂Ω и f ∣∂Ωρ не существует. Поэтому весьма важной задачей является поиск условий на распределение выпуклых множеств Ξ(x), при выполнении которых границы ∂Ω и ∂Ωρ можно сравнивать. В данном параграфе мы приводим некоторые результаты, полученные в этом направлении. Рассмотрим внутреннюю метрику на Ω ∫1 ∣γ(t)∣ ̇ dt,

dΩ (x, y) = inf 0

192

ГЛАВА 6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛИПШИЦЕВЫХ ФУНКЦИЙ

где точная нижняя грань берется по всевозможным спрямляемым путям γ : [0, 1] → Ω, γ(0) = x, γ(1) = y. Пусть Ωd – пополнение области Ω по метрике dΩ и пусть ∂Ωd = Ωd ∖ Ω. Нашей целью является описание взаимосвязей между границами ∂Ωd и ∂Ωρ . Далее будем говорить, что псевдометрика ρ(x, y) равномерно непрерывна относительно dΩ (x, y), именно, для всякого ε > 0 существует δ > 0 такое, что при любых x, y ∈ Ω, dΩ (x, y) < δ, выполнено ρ(x, y) + ρ(y, x) < ε. Внутренняя метрика dΩ (x, y) равномерно непрерывна относительно псевдометрики ρ, если равномерная малость величины ρ(x, y) + ρ(y, x) влечет равномерную малость dΩ . Построим отображение j : ∂Ωd → ∂Ωρ следующим образом. Пусть x̃ ∈ ∂Ωd – произвольная точка и пусть {xm }+∞ m=1 – d-фундаментальная последовательность точек xm ∈ Ω, сходящаяся к x̃. Тогда dΩ (xm , xn ) → 0 при m, n → +∞ и, в силу предположения о равномерной непрерывности, данная последовательность является ρ-фундаментальной. Тем самым, эта последовательность определяет некоторую точку x ∈ ∂Ωρ . Положим j(̃ x) = x. Ясно, что отображение j : ∂Ωd → ∂Ωρ однозначно. Аналогичным образом можно определить однозначное отображение ̂j : ∂Ωρ → ∂Ωd , ставящее в соответствие точке x ∈ ∂Ωρ точку x̃ ∈ ∂Ωd . Отметим следующее простое утверждение. Лемма 6.2.6 Пусть f : Ω → ℝ – ρ-липшицева функция. Пусть ϕ : ∂Ωρ → ℝ такова, что f ∣∂Ωρ = ϕ в смысле псевдометрики ρ. Тогда f ∣∂Ωd = ϕ ∘ j в смысле внутренней метрики. Обратно, если f : Ω → ℝ – d - липшицева функция и для функции ϕ : ∂Ωd → R выполнено f ∣∂Ωd = ϕ, тогда f ∣∂Ωρ = ϕ ∘ ̂j в смысле псевдометрики ρ(x, y).

6.2. ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ГРАДИЕНТ

193

Для доказательства достаточно ограничиться следующими пояснениями. Предположим, что заданы точка x̃ ∈ ∂Ωd и последовательность {xm } со свойством: dΩ (xm , x̃) → 0 при m → +∞. Равномерная непрерывность ρ(x, y) влечет ρ-фундаментальность последовательности {xm }. Поэтому j(̃ x) = x и ρ(xm , x) → 0 при m → +∞. С другой стороны, так как функция f (x) является ρ-липшицевой, то f (xm ) − ϕ(j(̃ x)) ≤ ρ(xm , x) → 0, f (xm ) − ϕ(j(̃ x)) ≥ −ρ(x, xm ) → 0, что и требуется. Обратно, если заданы точка x ~ ∈ ∂Ωρ и последовательность {xm }, для которых ρ(xm , x ~) + ρ(~ x, xm ) → 0 тогда последовательность {xm } d- фундаментальна. Поэтому ̂j(~ x) = x , d(xm , x) → 0. Так как функция f является d - липшицевой, то ∣f (xm ) − ϕ(̂j(~ x))∣ ≤ d(xm , x) → 0, что и требовалось. □ Ясно, что аналогичное утверждение справедливо для псевдометрик ρ, равномерно непрерывных в евклидовой метрике. Приведем простой признак равномерной непрерывности псевдометрики ρ в метрике dΩ . С этой целью определим величину Φ(x) = min Φ(x, ξ). ∣ξ∣=1

Имеет место. Лемма 6.2.7 Если существует постоянная c > 0 такая, что Φ(x) ≥ c при всех x ∈ Ω, то ρ(x, y) + ρ(y, x) ≤

2 dΩ (x, y) при всех x, y ∈ Ω. c

(6.2.27) (6.2.28)

194

ГЛАВА 6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛИПШИЦЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Обратно, если существует постоянная c > 0 такая, что max Φ(x, ξ) = Φ(x) ≤ c, ∣ξ∣=1

то

c dΩ (x, y) ≤ (ρ(x, y) + ρ(y, x)) ∀x, y ∈ Ω 2

Доказательство. Прежде всего заметим, что условие (6.2.27) влечет ∣⟨η, ξ⟩∣ ≤ Φ(x,ξ)∕=0 ∣Φ(x, ξ)∣

∣H(x, η)∣ = sup

∣ξ∣ ∣η∣ 1 = ∣η∣. c ∣ξ∣ c Φ(x,ξ)∕=0

≤ sup

Зафиксируем точки x, y ∈ Ω и локально липшицев путь γ(t) : [0, 1] → Ω, γ(0) = x, γ(1) = y. Мы имеем ∫1 ρ(x, y) + ρ(y, x) ≤ 2

∣H(γ(t), γ(t))∣ ̇ dt ≤ 0

≤

2 c

∫ ∣γ(t)∣ ̇ dt =

2 lengthγ. c

γ

Переходя к точной нижней грани по путям γ, приходим к (6.2.28). Обратно, имеем для любого вектора η ∈ ℝn ∣η∣ ∣η∣ 1 ⟨η, ξ⟩ ≥ = ≥ ∣η∣ max Φ(x, η) Φ(x) c Φ(x,ξ)∕=0 Φ(x, ξ)

H(x, η) = sup

∣η∣=1

Зафиксируем точки x, y ∈ Ω. По определению внутреннего расстояния dΩ (x, y) ∫ ∫ dΩ (x, y) = inf ∣γ∣dt ̇ ≤ ∣γ∣dt ̇ ≤ γ

γ

γ0

6.2. ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ГРАДИЕНТ

195

∫ ≤c

c H(γ, γ)dt ̇ ≤ (ρ(x, y) + ρ(y, x) − ε), 2 γ0

∀ε > 0

где γ0 (t) : [0, 1] → Ω, γ0 (0) = x, γ0 (1) = y– локально липшицев путь, для которого ∫ ε H(γ, γ)dt ̇ < ρ(y, x) − ; 2 γ0 ∫ ε H(γ, γ)dt ̇ < ρ(x, y) − 2 γ0

В силу произвола в выборе ε получаем нужное. □ Для эффективного описания взаимосвязей между границей области Ω в ρ-метрике ∂Ωρ и евклидовой границей ∂Ω нам потребуется понятие p-модуля семейства кривых, вводимого в общем случае формулой (3.2.3). Пусть Γ = {γ} – некоторое семейство локально спрямляемых дуг γ, расположенных в области Ω ⊂ ℝn . Пусть p > 1 – некоторое число. pМодулем семейства Γ является величина ∫ ϱp dx modp Γ = inf (

Ω

∫ inf

γ∈Γ

)p , ϱ∣dx∣

(6.2.29)

γ

где точная нижняя грань берется по всем неотрицательным борелевским функциям ϱ(x). Для произвольной пары точек x, y ∈ Ω определим семейство G(x, y) = {γ} как семейство спрямляемых дуг γ ⊂ Ω, соединяющих точки x и y. Если p > n и y → x, то modp G(x, y) → +∞ (см.[GR89, §6.2] ). Однако, при x, y → z ∈ ∂Ω p-модуль семейства дуг G(x, y) может быть как ограниченным, так и неограниченным. Это связано со строением границы ∂Ω в окрестности точки z ∈ ∂Ω, а именно, с наличием у области Ω сколь угодно "узких" мест в окрестности z. Будем говорить, что область Ω p-равномерна, если для всякого, достаточно большого, ε > 0 найдется δ > 0 такое, что при всех x, y ∈ Ω,

dΩ (x, y) < δ

196

ГЛАВА 6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛИПШИЦЕВЫХ ФУНКЦИЙ

выполнено modp G(x, y) > ε. Формулируемое далее утверждение устанавливает признак равномерной непрерывности псевдометрики ρ(x, y) и, как следствие, существование и непрерывности граничного отображения j : ∂Ωd → ∂Ωρ . Теорема 6.2.3 Если область Ω p-равномерна, а функция Φ(x) удовлетворяет условию ∫ dx < ∞, (6.2.30) Φp (x) Ω

то псевдометрика ρ(x, y) равномерно непрерывна относительно внутренней метрики dΩ (x, y). Доказательство. Выберем в (6.2.29) в качестве метрики ϱ(x) функцию Φ−1 (x). Для любых x, y ∈ Ω имеем ∫ Φ−p (x) dx Ω

modp G(x, y) ≤ ⎛

∫ ⎝inf γ

⎞p . Φ−1 (x) ∣dx∣⎠

γ

Так как при всяком η ∈ ℝn выполнено 1 ≥ H(x, η), Φ(x) то ∫

∫

−1

Φ (x) ∣dx∣ ≥ inf

inf γ

∣H(γ(t), γ(t))∣ ̇ dt ≥ max{ρ(x, y), ρ(y, x)}.

γ

γ

γ

Поэтому мы получаем 2 ρ (x, y) + ρ (y, x) ≤ modp G(x, y) p

p

∫ Ω

Φ−p (x) dx.

6.2. ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ГРАДИЕНТ

197

Условие (6.2.30) влечет (ρ(x, y) + ρ(y, x))p ≤

const , modp G(x, y)

что в силу требования p-равномерности области Ω, позволяет сделать нужное заключение. □ Введем понятие p - модуля семейства кривых {γ} в финслеровом пространстве (см. также [Mik05a, раздел 1.5]). Пусть {γ} – семейство локально спрямляемых дуг γ ⊂ Ω и p > 1 – число. p - модулем этого семейства назовем величину ∫ p ρ dx ~ p {γ} = inf ∫Ω mod , ρ≥0 (inf ρ H(x, dx))p γ γ

где ρ(x) – измеримая функция Обозначим G(x, y) = {γ} – семейство дуг γ ⊂ Ω, соединяющих точки x, y. Будем говорить, что область Ω p-равномерна относительно псевдометрики ρ(x, y), если ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x, y ∈ Ω из условия ρ(x, y) + ρ(y, x) < δ следует,что ~ p G(x, y) > ε mod Справедлива теорема. Теорема 6.2.4 Если область Ω p - равномерна относительно псевдометрики ρ(x, y), а функция H(x) = min H(x, η) ∣η∣=1

обладает свойством, что ∫

1 dx < ∞, H p (x)

Ω

то метрика dΩ (x, y) равномерно непрерывна относительно псевдометрики ρ(x, y).

198

ГЛАВА 6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛИПШИЦЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Доказательство. Для любых точек x, y ∈ Ω рассмотрим кривую γ, соединяющую эти точки и лежащую целиком в области Ω. Возьмем в качестве допустимой функции ρ(x) функцию H(x)−1 . Тогда имеем ∫ H −p (x)dx Ω

~ p G(x, y) ≤ ⎛ mod

⎞p ∫

⎝inf γ

H −1 (x)H(x, dx)⎠

γ

Поскольку для любого вектора η ∈ Rn выполнено 1 ∣η∣ ≥ , H(x) H(x, η) мы получаем ∫

H −p (x)dx

∫ 1 ~ p G(x, y) ≤ ⎛ ⎞p ≤ p mod H −p (x)dx . ∫ dΩ (x, y) Ω ⎝inf ∣dx∣⎠ Ω

γ

γ

Следовательно, dpΩ (x, y) ≤

1 ~ p G(x, y) mod

∫

H −p (x)dx

Ω

что в силу предположения о p - равномерности области Ω приводит к равномерной непрерывности метрики dΩ (x, y) относительно псевдометрики ρ(x, y). □ Будем говорить, что область Ω ⊂ ℝn удовлетворяет условию h - сферы, если каждой граничной точки области можно коснуться сферой радиуса h, целиком лежащей внутри области.

6.2. ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ГРАДИЕНТ

6.2.6

199

Условие p-равномерности области

Теорема 6.2.5 Если область Ω ⊂ ℝn удовлетворяет условию h-сферы, то она p-равномерна при всяком p > n. Доказательство. Предположим противное, т.е. ∃ε0 > 0 ∀δn =

1 n

d(xn , yn ) < δn

modp {γ} ≤ ε0 В силу компактности Ω мы можем считать, что последовательности точек {xn }, {yn } сходятся, причем по условию a = lim yn = lim xn , n→∞

n→∞

a∈Ω

Для точки a имеется две возможности расположения: либо a ∈ Ω, либо a ∈ ∂Ω. Рассмотрим сначала случай, когда a – граничная точка области Ω. Построим касающиеся границы h - сферы B, B1n , B2n так, чтобы B ∩ ∂Ω = {a},

B1n ∩ ∂Ω ∕= ∅,

xn ∈ B1n ,

B2n ∩ ∂Ω ∕= ∅,

yn ∈ B2n .

Ясно, что начиная с некоторого номера n0 выполнено B ∩ B1n ∕= ∅;

B ∩ B2n ∕= ∅.

Обозначим через bn и an – точки из пересечений B ∩ B1n и B ∩ B2n соответственно ближайшие к точке a. Пусть теперь γn – произвольная кривая в области Ω соединяющая точки xn и yn , а δn – ломаная, проходящая через точки {xn , an , bn , yn }. Тогда по свойствам модуля modp {γn } ≥ modp {δn } Оценим величину modp {δn }. Для удобства будем обозначать, например, δn (xn , bn )– часть ломаной δn с концами xn и bn . Для любой допустимой функции ρ(x) ≥ 0 имеем )p ( ∫ )p (∫ ∫ ∫ ρds = ρds + ρds + ρds ≤ δn

δn (xn ,bn )

δn (bn ,an )

δn (an ,yn )

200

ГЛАВА 6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛИПШИЦЕВЫХ ФУНКЦИЙ

≤ 3p

)p

[(∫ ρds

)p

(∫ +

ρds

δn (xn ,bn )

)p ]

(∫ +

δn (bn ,an )

ρds δn (an ,yn )

Теперь для одной из частей ломаной, для примера, δn (xn , bn ) проведем следующее рассуждение, опуская индекс n. Для простоты будем рассматривать случай n = 3. Введем в ℝ3 цилиндрические координаты (t, z, θ), где t направлена вдоль прямой, проходящей через точки x, b. Поскольку для допустимой функции ρ(x) выполнено ∫∫∫ ρp (x)dx < ∞ Ω

то по теореме о среднем найдется θ0 такое, что ∫∫ ρp dtdz < ∞, Ω∩Π(θ0 )

где Π(θ0 ) – гиперплоскость, соответствующая углу θ0 . Пусть (r, φ) – полярные координаты в Ω ∩ Π(θ0 ) с центром в точке x. В силу неравенства Гельдера имеем (∫ ) p (∫ ) (∫ )p−1 p 2 −2/(p−1) ρdr ≤ ρ r dr · r dr ≤ r(φ)

r(φ)

( ≤

p−1 p−3

)p−1

r(φ)

rp−3 ∣r(φ) ·

∫

ρp r2 dr ≤

r(φ)

)p−1 ) ( p−1 p 2 ρ r dr · · dp−3 (x, b) p−3 r(φ)

(∫ ≤

По теореме о среднем существует φ ~ ∈ (0, φ0 ): )p (∫ )p (∫ ∫ π/4 ρdr · (1 − cos φ0 ) sinφ ρdr dφ = 0

r(φ)

r(φ) ~

Интегрируя по переменной θ от 0 до 2π, получаем (∫ )p ∫ 2π ∫ φ0 ∫ p−3 2π(1 − cos φ0 ) ρdr ≤ Cd (x, b) r(φ)

0

0

r(φ)

ρp r2 sin φdrdφ

6.2. ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ГРАДИЕНТ

201

где ( C=

p−1 p−3

)p−1 .

~ Рассуждая аналогично для точки b, находим угол ψ: ⎛ ⎞p (∫ 2π ∫ φ0 ∫ ) ∫ l l 2π(1−cos φ0 ) ⎝ ρdr⎠ ≤ C·dp−3 (x, b)· ρp r2 sin φdφdrdθ 0

0

r(φ)

~ r(ψ)

Обьединяя эти два неравенства, находим ломаную δ(x, b), для которой ⎛ ⎞p ∫ ∫ C l l · dp−3 (x, b) ρp dx. ρdr⎠ ≤ ⎝ 2π(1 − cos φ0 ) Ω

δ(x,b)

Проводя аналогичные рассуждения для пар точек b, a и a, y, получим ⎛ ⎞p ∫ ∫ C l l · dp−3 (x, b) ρp dx. ρdr⎠ ≤ ⎝ 2π(1 − cos φ0 ) Ω

δ(a,b)

и

⎞p

⎛ ∫ l ⎝

l ρdr⎠ ≤

C · dp−3 (x, b) 2π(1 − cos φ0 )

δ(a,y)

∫

ρp dx.

Ω

Складывая полученные неравенства, имеем ⎛ ⎞p ∫ ⎝ ρds⎠ ≤ δn

3p C ≤ (dp−3 (xn , bn ) + dp−3 (an , bn ) + dp−3 (an , yn )) 2π(1 − cos φ0 )

∫ Ω

ρp dx .

202

ГЛАВА 6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛИПШИЦЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Замечая, что dp−3 (xn , bn ) + dp−3 (an , bn ) + dp−3 (an , yn ) ≤ ≤ (d(xn , bn ) + d(an , bn ) + d(an , yn ))p−3 и переходя к точной нижней грани по всем функциям ρ(x) в предпоследнем неравенстве, находим modp {δn } ≥

C1 . [d(xn , bn ) + d(an , bn ) + d(an , yn )]p−3

Переходя к пределу в неравенстве при n → ∞, получаем,что lim modp {δn } → ∞ (n → ∞) .

n→∞

Мы воспользовались тем, что при n → ∞ [d(xn , bn ) + d(an , bn ) + d(an , yn )]p−3 → 0 . Так как по условию modp {δn } ≤ ε , то lim modp {δn } ≤ ε0 .

n→∞

Противоречие. В случае, когда точка a является внутренней точкой области Ω поступаем так же, только сферы выбираем не обязательно касающиеся границы ∂Ω. О возможности перехода к пределу см., например, [GR89, c. 193]. □

Глава 7

ACLn-гомеоморфизмы Ниже рассматриваются вопросы, связанные с изучением гомеоморфных отображений f : D → Δ класса ACLn областей пространства ℝn . В значительной мере теория таких отображений была построена Лелон - Ферран [LF55], Суворовым [Suv65], [Suv85], [Suv86], их учениками и последователями. Наше возвращение к этой тематике мотивируется новейшими приложениями теории в вопросах триангуляции поверхностей и построения сеток в областях ℝn (см., например, [Iva03], [EKG06], [Prokop06], [Skv02], [SM06], [Ush07], [Aza07] и др.). Отбор и описание результатов теории ниже осуществляется с точки зрения их важности для применений, как мы понимаем это сегодня. Ключем к применениям развиваемой теории в вопросах построения сеток служит теорема типа теоремы Каратеодори [Car12], [Car13] о связях между сходимостью к ядру последовательности областей и сходимостью внутри ядра соответствующей последовательности конформных отображений. Далеко идущее обобщение теоремы Каратеодори на случай гомеоморфных отображений метрических пространств, а также теория простых концов последовательности областей, сходящейся к ядру, принадлежат Суворову [Suv86]. Дальнейшее развитие отдельных аспектов теории Каратеодори – Суворова см. у Куфарева [Kuf69] – [KS64], Овчинникова [Ovch65] – [Ovch72], Луференко [Luf75], Кругликова [Kru81] – [KP87], Насырова [Nas92], [Nas94], Рязанова [Ryaz98], Кармазина [Kar03].

203

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

204

7.1

Поверхности

Пусть X и Y – метрические пространства с метриками d и δ соответственно. Отображение f : X → Y является C-квазиизометрическим(Cбилипшицевым), если существует постоянная C, 0 < C < ∞, такая что 0 < C −1 δ(x′ , x′′ ) ≤ d(f (x′ ), f (x′′ )) ≤ C δ(x′ , x′′ ) при любых x′ , x′′ ∈ X. Отображение f : X → Y является квазиизометрическим (билипшицевым), если оно C-квазиизометрично для некоторого C < ∞. Отображение f : X → Y локально квазиизометрично (локально билипшицево), если указанное свойство имеет место для любого компактного подмножества U ⊂ X с некоторой постоянной C = C(U ). Рассмотрим поверхность Ω ⊂ ℝm , заданную над областью G ⊂ ℝn локально билипшицевой вектор-функцией f = (f1 (x), . . . , fm (x)) : G → ℝm , x = (x1 , . . . , xn ) ,

1 ≤ n < m.

Всюду ниже, если не оговорено противное, мы предполагаем, что отображение f : G → f (G) гомеоморфно. Для произвольного множества E ⊂ Ω символом [E]Ω будем обозначать замыкание множества E относительно Ω, т.е. множество точек E ∩ Ω. Множество K ⊂ Ω называется относительным континуумом, если K связно и замкнуто относительно Ω. Символом d(K) мы обозначаем диаметр относительного континуума K. Если вектор-функция f локально билипшицева, то она абсолютно непрерывна вдоль любой локально спрямляемой дуги γ ⊂ G, описываемой уравнением x = x(s) : [0, length γ] → G . Согласно теореме Радемахера (см. следствие 2.3.1) вектор – функция f (x) имеет полный дифференциал почти всюду в области G и почти всюду в G определены измеримые по Лебегу коэффициенты первой квадратичной формы поверхности Ω ⟨ ⟩ ∂f ∂f , , i, j = 1, 2, . . . , n. gij (x) = ∂xi ∂xj ℝn Положим g(x) = det (gij (x)) ,

dHΩn =

√

g(x) dx1 ∧ . . . ∧ dxn ,

7.1. ПОВЕРХНОСТИ

205

g ij (x) = (gij (x))−1 , i, j = 1, . . . , n , Пусть Ω ⊂ ℝm — произвольная локально билипшицева поверхность. Так как метрика на f (G) индуцирована из ℝm , то на Ω определена nмерная мера Хаусдорфа HΩn (E), E ⊂ f (G). Пусть Ω1 и Ω2 суть n-мерные поверхности и h : Ω1 → Ω2 — гомеоморфизм. Говорят, что отображение h обладает N -свойством Лузина, если для всякого множества E ⊂ Ω1 , HΩn 1 (E) = 0, выполнено HΩn 2 (h(E)) = 0. Предположим, что вектор-функция f ∈ ACLnloc (G). Поскольку отображение f : G → f (G) гомеоморфно, то для произвольного множества E ⊂ G выполнено ∫ √ n HΩ1 (f (E)) = g dx1 . . . dxn (7.1.1) E

(см., например, Хайлаш [Haj00, теорема 12]). В частности, формула (7.1.1) верна и для вектор-функций, осуществляющих билипшицевы отображения. Из локальной билипшицевости f и (7.1.1) следует, что HΩn 1 (f (E)) = 0

⇐⇒

Hn (E) = 0

(7.1.2)

и отображения f, f −1 обладают N -свойством Лузина. Так как f имеет почти всюду полный дифференциал, то в силу (7.1.2), почти всюду на Ω существует касательная плоскость Ty (Ω). Таким образом, почти всюду на Ω определен градиент (связность) ∇Ω . Действительно, пусть φ : Ω → ℝ1 — функция и y ∈ Ω – фиксированная точка, в которой касательная плоскость Ty существует. Следуя стандартной схеме введения связности на поверхности, продолжим φ в некоторую окрестность точки y в ℝm . Символом φ̃ обозначим новую функцию. По определению полагаем ( )T ∇Ω φ(y) = ∇φ(y) ̃ . Здесь ∇ = ∇ℝm есть стандартное дифференцирование в ℝm и символ uT означает ортогональную проекцию вектора u на касательную плоскость Ty (Ω). Для произвольных касательных векторов ξ, η ∈ Ty (Ω) мы полагаем n ∑ √ ∣ξ∣Ω = ⟨ξ, ξ⟩Ω , ⟨ξ, η⟩Ω = gij ξi ηj . i,j=1

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

206

В тех случаях, когда это ясно из контекста, индекс Ω может быть опущен и используются сокращенные обозначения: ∣ξ∣ = ∣ξ∣Ω ,

⟨ξ, η⟩ = ⟨ξ, η⟩Ω .

Пусть ϕ : Ω → ℝ1 – непрерывная функция, а поверхность Ω ⊂ ℝm задана посредством локально билипшицевой вектор-функции f : G ⊂ ℝn → ℝm . Будем говорить, что функция ϕ принадлежит классу ACLp (Ω), если функция ϕ∗ = ϕ ∘ f принадлежит классу ACL1loc (G) и ]p/2 ∫ ∫ [∑ n √ g dx1 . . . dxn < ∞ . ∣∇Ω ϕ∣p dHΩn ≡ g ij ϕ∗xi ϕ∗xj Ω

G

i,j=1

Вектор-функция ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕl ) : Ω → ℝl ,

1 < l < ∞,

принадлежит классу ACLp (Ω), если каждая из функций ϕi (i = 1, 2, . . . , l) принадлежит данному классу. Замечание 7.1.1 Пусть Ω1 ⊂ ℝm1 и Ω2 ⊂ ℝm2 – поверхности и T : Ω1 → Ω2 – C-квазиизометрическое отображение Ω1 на Ω2 . Пользуясь соотношением (5.2.15), нетрудно показать, что для всякой функции ϕ ∈ ACLp (Ω2 ) выполнено ∫ ∫ ∫ p p −p ∗ p p p C ∣∇Ω1 ϕ ∣ dHΩ1 ≤ ∣∇Ω2 ϕ∣ dHΩ2 ≤ C ∣∇Ω1 ϕ∗ ∣p dHΩp 1 , Ω1

Ω2

Ω1

где ϕ = T ∘ ϕ∗ . (Мы оставляем проверку данного соотношения заинтересованному читателю в качестве упражнения.) □ 7.2

Относительное расстояние I

Пусть D – область на поверхности Ω ⊂ ℝm , гомеоморфная шару B n (0, 1) в ℝn . Такие области будем называть в дальнейшем односвязными.

7.2. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАССТОЯНИЕ I

207

Предположим, что граница ∂Ω D = [D]Ω ∖D не пуста и имеет ненулевой диаметр. Фиксируем точку O ∈ D. Относительным расстоянием в области D∖O между точками y ′ , y ′′ ∈ D ∖ O называется величина ρ(y ′ , y ′′ ; D ∖ O) = inf d(K) ,

(7.2.3)

где точная нижняя грань берется по всем относительным (относительно D ∖ O) континуумам K ⊂ D∖O,

O∈ / K,

dimM K ≤ n − 1 ,

со свойствами: i) либо y ′ , y ′′ ∈ K, ii) либо K ∩ ∂Ω D не пусто и точка O принадлежит той компоненте сязности множества D ∖ K, которая не содержит точек y ′ , y ′′ . Континуумы со свойствами i), ii) будем называть допустимыми для точек y ′ и y ′′ . В случае односвязных областей на двумерных поверхностях в ℝn близкое определение можно найти в [Mik05a, раздел 4.1]. Здесь и ниже мы следуем схеме, использованной Овчинниковым и Суворовым в [OS65], [Suv85, глава V] при введении относительного расстояния в областях ℝn . Лемма 7.2.1 Множество D ∖ O, оснащенное относительным расстоянием (7.2.3), является метрическим пространством. Доказательство. Аксиомы тождества и симметрии выполняются с очевидностью. Проверим выполнение неравенства треугольника. Пусть y ′ , y ′′ и y ′′′ — точки в D ∖ O. Зафиксируем ε > 0 и найдем континуумы K1 , K2 , допустимые для пар y ′ , y ′′ и y ′′ , y ′′′ соответственно, для которых ε ε d(K1 ) ≤ ρ(y ′ , y ′′ ; D ∖ O) + , d(K2 ) ≤ ρ(y ′′ , y ′′′ ; D ∖ O) + . (7.2.4) 2 2 Предположим, что K1 ∩ K2 ∕= ∅ и y ′ , y ′′ , y ′′′ ∈ K1 ∪ K2 .

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

208

Множество K1 ∪K2 является континуумом, его размерность Минковского не превосходит n − 1. Ясно, что оно допустимо для пары y ′ , y ′′′ . Если одна их трех точек не принадлежит K1 ∪ K2 , то K1 ∪ K2 ∩ ∂D ∕= ∅ , и компонента связности множества D ∖ (K1 ∪ K2 ), содержащая точку O, не содержит ни одной из трех точек. Это означает, что континуум K1 ∪ K2 , опять же, допустим для пары y ′ , y ′′′ . Предположим, что K1 ∩ K2 = ∅. Обозначим через Di компоненты связности множеств D ∖ Ki (i = 1, 2), содержащие точку O. Нетрудно видеть, что y ′ , y ′′ ∈ Di . При этом относительные границы (в D) областей D1 , D2 не пересекаются, однако пересечение D1 ∩D2 не пусто и содержит точку O. Отсюда вытекает, что D1 ⊂ D2 либо D2 ⊂ D1 . Если D1 ⊂ D2 , то y ′′′ ∈ / D1 . В силу связности K1 , имеем K1 ∪ D1 ⊂ D2 . Тем самым, K1 не может содержать одновременно обе точки y ′ , y ′′ , поскольку это противоречило бы определению D2 . Но в таком случае K 1 ∩ ∂D ∕= ∅ и континуум K1 является допустимым для пары y ′ , y ′′′ . Если D2 ⊂ D1 , то y ′ ∈ / D2 , K2 ∪ D2 ⊂ D1 . Это означает, что континуум K2 не может содержать одновременно обеих точек y ′′ , y ′′′ . Тем самым, K 2 ∩ ∂D ∕= ∅ и K2 допустим для пары y ′ , y ′′′ . Итак, во всех описанных случаях один из континуумов K1 , K2 , K1 ∪K2 является допустимым для пары y ′ , y ′′′ . Обозначая такой континуум через K, в силу неравенства d(K) ≤ d(K1 ) + d(K2 ) и соотношения (7.2.4), получаем ρ(y ′ , y ′′′ ) ≤ d(K) ≤ ρ(y ′ , y ′′ ; D ∖ O) + ρ(y ′′ , y ′′′ ; D ∖ O) + ε . Произвол в выборе ε > 0 ведет к неравенству треугольника для точек y ′ , y ′′ , y ′′′ и метрики ρ. □ Замечание 7.2.1 Расстояние ρ(y ′ , y ′′ ; D ∖ O) не определено, когда одна из точек y ′ , y ′′ , например, y ′′ совпадает с ранее выделенной точкой O. Однако, выбирая последовательность yk′′ , yk′′ → O (в метрике ℝn ), можно положить по определению ρ(y ′ , O; D ∖ O) = lim ρ(y ′ , yk′′ ; D ∖ O) . k→∞

Нетрудно видеть, что данный предел существует и не зависит от выбора последовательности yk′′ , yk′′ → O. Тем самым, определено метрическое

7.3. ГРАНИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ПРОСТЫЕ КОНЦЫ ОБЛАСТИ

209

пространство (D, ρ) с метрикой ρ = ρ(y ′ , y ′′ ; D). В тех случаях, когда требуется особо подчеркнуть роль точки O ∈ D в определении относительного расстояния, мы обозначаем ρ = ρ(y ′ , y ′′ ; D, O). □ 7.3

Граничные элементы и простые концы области

Рассмотрим метрическое пространство (D, ρ) и проведем его пополнение по метрике ρ. При этом к области D ⊂ Ω присоединяются некоторые граничные элементы области D, которые суть классы эквивалентных фундаментальных последовательностей в метрическом пространстве (D, ρ). 7.3.1

Граничные элементы

̃ – множество граничных элементов области D. Положим D ̃= Пусть ∂D ̃ . Определим расстояние между граничными элементами e′ , e′′ ∈ D ∪ ∂D ̃ ∂D ρ(e′ , e′′ ; D) = lim ρ(yk′ , yl′′ ; D) , k,l→∞

где {yk′ } и {yl′′ } – последовательности внутренних точек области D, принадлежащие классам эквивалентности e′ и e′′ соответственно. Таким об̃ превращается в метрическое пространство. разом, множество D Отметим следующее полезное наблюдение [Suv85, глава V, §2]. Лемма 7.3.1 Пусть D – шар B n (0, 1) в ℝn и точка O = (0, . . . , 0). Тогда ⎧ ′ ′′ при ∣y ′ − y ′′ ∣ ≤ 1; l ⎨ ∣y − y ∣ ρ(y ′ , y ′′ ; D) = при ∣y ′ − y ′′ ∣ > 1 l ⎩1 ̃ гомеоморфно замкнутому шару B n (0, 1). и пространство D Отметим одно важное следствие леммы 7.3.1:

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

210

Следствие 7.3.1 Пусть D ⊂ Ω – область на поверхности, квазиизо̃ гомеоморфно замкнуметричная шару B n (0, 1). Тогда пространство D тому шару B n (0, 1). Для доказательства достаточно заметить, что пространства (B n (0, 1), ∣y ′ − y ′′ ∣) и (D, ρ(y ′ , y ′′ ; D ∖ T (O))) , где T – квазиизометрия D на B n (0, 1), являются квазиизометричными. □ Замечание 7.3.1 Нетрудно видеть, что вместо условия квазиизометричности можно потребовать конформную (квазиконформную) эквивалентность D шару B n (0, 1). В двумерном случае это условие выполнено, к примеру, если область D ⊂ ℝ2 односвязна и отлична от ℝ2 . □ 7.3.2

Простые концы

Лемма 7.3.1 дает геометрическую интерпретацию граничных элементов шара в ℝn , утверждая об их совпадении с точками граничной сферы. Геометрическую интерпретацию граничных элементов областей общего вида на поверхности в ℝm доставляет теория простых концов Каратеодори – Суворова. Пусть Ω – n-мерная локально билипшицева поверхность в ℝm . Сечением P области D ⊂ Ω мы будем называть произвольное связное, относительно замкнутое подмножество D, размерности dimM P = n − 1, разбивающее D на две подобласти так, что если множество P ∖ P ∕= ∅ (P – замыкание P в ℝm ), то (P ∖ P ) ⊂ ∂D. Последовательность {Δk }∞ k=1 называется цепью подобластей области D, если относительная граница в D каждой области Δk есть сечение Pk области D, множества (P k ∖ Pk ) ∩ ∂D либо не пусты при любом k, либо при любом k пусты. При этом последовательность сечений {Pk }∞ k=1 называется цепью сечений области D. Говорим, что цепь {Δk } подобластей D входит в область H ⊂ Ω, если существует номер K такой, что при всех k ≥ K выполнено Δk ⊂ H. Если цепь {Δk } подобластей из D входит в каждую область Gl (l = 1, 2, . . .) некоторой цепи {Gl }∞ l=1 , то говорим, что цепь {Δk } входит в цепь {Gl }.

7.3. ГРАНИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ПРОСТЫЕ КОНЦЫ ОБЛАСТИ

211

Цепи {Δk } и {Gl } эквивалентны, если каждая из них входит в другую. Все цепи подобластей области D разбиваются на классы эквивалентности. Класс эквивалентности цепей называется концом области D. Конец e области D входит в область G, если хотя бы одна из цепей, принадлежащих классу эквивалентности e, входит в область G. Конец e1 делит конец e2 , если e1 входит в каждую из областей некоторой цепи из e2 . Определение 7.3.1 Конец области D ⊂ Ω, не имеющий других, отличных от себя, делителей, называется простым концом. Определение 7.3.2 Телом конца e в ℝm области D ⊂ Ω, определенного цепью подобластей {Δk }∞ k=1 , называется множество ∣e∣ = ∩∞ k=1 Δk . Здесь замыкания Δk берутся в ℝm . Альтернативное определение простого конца односвязной области в ℝ принадлежит К̈ебе [Koe18] (см. также Маркушевич [Mar50, глава V, §3]). 2

7.3.3

Области с компактным пополнением

Следуя Суворову [Suv85, §1 глава VII], введем следующее понятие. Пусть Ω – n-мерная локально липшицева поверхность в ℝm , n < m и D ⊂ Ω – область. Будем говорить, что D принадлежит классу A0 (S), если для всякой (m − 1)-мерной сферы S в ℝm , для которой множество D ∩ S ∕= ∅, каждая компонента связности этого множества разбивает D на две подобласти. Нетрудно видеть, что всякая область в ℝn , гомеоморфная шару, принадлежит классу A0 (S). Некоторые примеры областей в ℝn , не принадлежащих классу A0 (S), можно найти в [Suv85, §1 глава VII]. Будем говорить, что последовательность точек {yk } области D входит в область H, если H содержит все точки yk за исключением, быть может, конечного их числа. Последовательность {yk } называется сходящейся к концу e области D, если эта последовательность входит в каждую из областей Δk некоторой цепи подобластей {Δk }, определяющей конец e.

212

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

Теорема 7.3.1 Пусть D ⊂ Ω – ограниченная область класса A0 (S), компактная по относительному расстоянию ρ(y ′ , y ′′ ; D, O). Тогда из всякой последовательности точек {yk }, yk ∈ D, можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к внутренней точке либо простому концу. При этом всякий простой конец области может быть определен с помощью цепи сечений, лежащих на последовательности концентрических сфер, стягивающихся к точке. Определение 7.3.3 Если сечения Pk , k = 1, 2, . . ., лежат на последовательности концентрических сфер, стягиваются к точке и образуют цепь сечений, то такая цепь сечений и соответствующая ей цепь подобластей называются каноническими. Теорема 7.3.2 Пусть D ⊂ Ω – ограниченная область класса A0 (S), компактная по относительному расстоянию ρ(y ′ , y ′′ ; D, O). Тогда последовательность точек {yk }∞ k=1 , yk ∈ D, не имеющая точек сгущения внутри области D, сходится к простому концу тогда и только тогда, когда эта последовательность фундаментальна по относительному расстоянию. Доказательства теорем 7.3.1 и 7.3.2 в случае областей ℝn содержится в [Suv85, §2 глава VII]. В рассматриваемом здесь случае они практически не меняются. □ 7.4

Оценка искажения относительного расстояния I

Рассмотрим шар B = B n (0, R) с центром в точке 0 = (0, . . . , 0) и радиусом R > 0. Пусть D – область в ℝn , содержащая точку O и оснащенная относительным расстоянием ρ(y ′ , y ′′ ; D, O). Теорема 7.4.1 Если гомеоморфное отображение y = T (x) шара B на область D, T (0) = O, принадлежит классу ACLn (B), то для любой пары точек x′ , x′′ шара B, удовлетворяющей условию { 4 } R 1 0 < ∣x′ − x′′ ∣ < min , , (7.4.5) 2 2

7.4. ОЦЕНКА ИСКАЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАССТОЯНИЯ I

213

имеет место оценка ρ(T (x′ ), T (x′′ ); D, T (O)) ≤ C(n) [I(T )]1/n ln−1/n

1 , 2∣x′ − x′′ ∣

(7.4.6)

где C(n) – некоторая постоянная, зависящая только от n, и ]n/2 ∫ [∑ n I(T ) = ∣∇fi ∣2 dHn . B

i=1

Следствие 7.4.1 Пусть D1 и D2 – n-мерные области на локально билипшицевых поверхностях Ω1 ⊂ ℝm1 и Ω2 ⊂ ℝm2 соответственно. Предположим, что область D1 квазиизометрична шару B n (0, 1), а область D2 квазиизометрична некоторой области в ℝn . Тогда если отображение T области D1 на область D2 принадлежит классу ACLn (D1 ), то отображение T : D1 → D2 можно доопределить в точках ∂D1 до непрерывного (в смысле относительной метрики) отображения T̃ : D1 → D̃2 ,

T̃∣D1 = T ,

так, что каждой точке x ∈ ∂D1 при отображении T̃ соответствует простой конец области D2 . Доказательство. Соотношение (7.4.6) утверждает, что всякая фундаментальная последовательность точек в B ∖ {0} переходит в фундаментальную последовательность в D ∖ O. Это означает, что отображение T : (B ∖ {0}) → (D ∖ O) в теореме 7.4.1 можно доопределить до непре̃ При этом граничный элемент — точка рывного отображения T̃ : B → D. пополненного шара B переходит в граничный элемент пополненной области D. В условиях следствия 7.4.1 приведенные рассуждения нуждаются в следующем уточнении. Обозначим через h1 : D1 → B n (0, 1), h2 : D2 → D2′ ⊂ ℝn квазиизометрические отображения. Отображение n ′ h2 ∘ T ∘ h−1 1 : B (0, 1) → D2

принадлежит классу ACLn (B) (см. замечание 7.1.1), что гарантирует справедливость необходимого утверждения. □

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

214

Замечание 7.4.1 В случае, когда обе области D1 и D2 квазиизометричны шару в ℝn и отображение T области D1 на D2 принадлежит классу ACLn (D1 ), отображение T можно доопределить в граничных точках до непрерывного (в евклидовой метрике) отображения T̃ : D1 → D2 ,

T̃∣D1 = T .

□ Доказательство теоремы 7.4.1. Зафиксируем точки x′ , x′′ области B ∖ {0} так, чтобы выполнялось (7.4.5). Рассмотрим сферу S радиуса )1/2 ( 1 ′ ∣x − x′′ ∣ 2 с центром в точке (x′ + x′′ )/2. Предположим сперва, что S ∩ ∂B ∕= ∅. Фиксируем произвольно точку x0 ∈ (S ∩ ∂B) и семейство сфер {Sr } с центром в x0 , √ √ r1 = 2∣x′ − x′′ ∣ ≤ r ≤ r1 = r2 . Точки x′ , x′′ лежат внутри, а точка {0} – вне Sr при всяком r ∈ (r1 , r2 ). Положим Sr′ = Sr ∩ B. Данное множество связно, а функция d[Sr′ ] = osc(Sr′ , T ) измерима по Лебегу, как функция переменной r. Чтобы убедиться в сказанном, рассмотрим шар Bt = B n (0, t) радиуса t < R и заметим, что функция ωt (r) ≡ d[Sr ∩Bt ] непрерывна по r, причем d[T (Sr′ )] = lim ωt (r) . t→R

Теорема 1.3.2 влечет измеримость d[Sr′ ]. Положим Ω(r) = d[T (Sr′ )]. Если обозначить T = (f1 , . . . , fn ), то Ω(r) ≤

n ∑

osc (fi , Sr′ ) .

i=1

На основании теоремы 3.2.2 имеем ∫r2 r1

dr oscn (fi , Sr′ ) ≤ c(n) r

∫

A(r1 ,r2 )

∣∇fi ∣n dHn ,

i = 1, . . . , n .

7.4. ОЦЕНКА ИСКАЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАССТОЯНИЯ I

215

Здесь c(n) – постоянная из неравенства (3.2.19) и A(r1 , r2 ) = {x ∈ B n (0, R) : r1 < ∣x − x0 ∣ < r2 }. Данные соотношения влекут ∫r2

oscn (T, Sr′ )

dr ≤ c1 (n) r

r1

∫

A(r1 ,r2 )

[

n ∑

]n/2 ∣∇fi ∣2

dHn .

i=1

Зададим произвольно ε > 0. Найдется r ∈ [r1 , r2 ], для которого r2 Ω(r) = osc (T, Sr′ ) ≤ (c2 (n) + ε) I 1/n (T ) ln−1/n , r1 где ]n/2 ∫ [∑ n ∣∇fi ∣2 I(T ) = dHn . A(r1 ,r2 )

(7.4.7)

i=1

Поскольку Sr′ отделяет точки x′ , x′′ от начала координат {0} в шаре B, то и поверхность T (Sr′ ) отделяет точки T (x′ ), T (x′′ ) от точки O в области D. Поэтому ρ(T (x′ ), T (x′′ ); D, O) ≤ Ω(r) .

(7.4.8)

Из соотношений (7.4.7), (7.4.8) вытекает, что ρ(T (x′ ), T (x′′ ); D, O) ≤ c3 (n, ε) I 1/n (T ) ln−1/n

1 . 2∣x′ − x′′ ∣

(7.4.9)

Предположим теперь, что S ∩ ∂D = ∅. Пусть √ 1 r1 = ∣x′ − x′′ ∣, r2 = r1 . 2 В силу предположения (7.4.5), величина r1 < 1 и потому r1 < r2 . Рассмотрим семейство {Sr } сфер с центром в 12 (x′ + x′′ ) при 0 < r1 ≤ r ≤ r2 . Фиксируем ε > 0. Как и выше, на основании теоремы 3.2.2 имеем Ω(r) = osc (T, Sr ) ≤ c4 (n, ε)I 1/n (T ) ln−1/n

2 , ∣x′ − x′′ ∣

(7.4.10)

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

216

где r ∈ [r1 , r2 ] – некоторое число. Обозначим через Qr внутренность Sr . Если начало координат {0} ∈ Qr , то полагаем K = Sr . Если же {0} ∈ / Qr , то находим еще шар Q0 с центром в {0} и радиусом r0 , столь малым, что x′ , x′′ ∈ / Q0 . Здесь полагаем K = Sr ∪ Sr0 ∪ Γ, где Γ – отрезок радиуса, заключенный между r и r0 . В обоих случаях, мы имеем dimM K = n − 1. Тем самым, очевидно, T (K) является континуумом, допустимым для T (x′ ), T (x′′ ) в D ∖ O. Очевидно также, что ρ(T (x′ ), T (x′′ ); D, O) ≤ d(T (K)) ≤ osc(Sr , T ) . Отсюда, на основании (7.4.10) находим ρ(T (x′ ), T (x′′ ); D, O) ≤ c4 (n, ε)I 1/n (T ) ln−1/n

2 . ∣x′ − x′′ ∣

(7.4.11)

Учитывая произвол в выборе ε > 0, в силу (7.4.9) и (7.4.11) приходим к (7.4.6). □ 7.5

Примеры несуществования ACLn -гомеоморфизмов

В двумерном случае любые две односвязные, отличные от ℝ2 области являются конформно эквивалентными. В случае n > 2 имеется теорема Лиувилля, согласно которой класс конформных отображений в ℝn исчерпывается преобразованиями подобия и инверсиями относительно сфер (см., например, [Re82b, глава II §2]). Класс ACLn -гомеоморфизмов существенно шире класса конформных, тем не менее и здесь имеются области не отображаемые друг на друга. Описание подобных пар областей, в частности, важно для понимания пределов применимости теории ACLn -отображений при построении сеток. 7.5.1

Области с некомпактным пополнением

В соответствии со следствием 7.4.1 всякий гомеоморфизм T класса ACLn области D ⊂ ℝn , квазиизометричной шару B n (0, 1), продолжим по непрерывности (в относительной метрике) на замыкание D. Это означает, что ̃ области D ̃ при таком отображении является компактная (по образ T (D) относительной метрике) область. Таким образом, имеет место

7.5. ПРИМЕРЫ НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМОВ

217

Теорема 7.5.1 Если область D ⊂ ℝn имеет некомпактное пополнение ̃ в относительной метрике, то никакая область Δ ⊂ ℝn , лежащая D на поверхности Ω ⊂ ℝm и квазиизометричная шару B n (0, 1), не может быть отображена на D посредством ACLn -гомеоморфизма. Следующий пример заимствован из [Suv85, глава V, §2]. Пример 7.5.1 Пусть D – внутренность единичного куба в ℝ3 , построенного над квадратом с вершинами в точках (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 0), из которого удалены все точки (y1 , y2 , y3 ), координаты которых удовлетворяют условиям: 1 1 (n = 1, 2, . . .), 0 < y ≤ . 3 2n 2 Фиксируем произвольно внутреннюю точку O ∈ D и рассмотрим относительное расстояние ρ(y ′ , y ′′ ; D, O). Тогда любая последовательность точек D, сходящаяся к точке y = (y1 , y2 , y3 ) границы ∂D с координатами 0 < y1 < 1,

y2 =

(y1 , 0, y3 ),

0 < y1 < 1,

0 < y3
0 множество Лемма 7.5.1 Для всякой точки e ∈ D ̃ < ε} O(e, ε) = {x ∈ D : ρ(x, e; D) связно.

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

218

Доказательство. Предположим, что точки x′ , x′′ ∈ O(e, ε). Положим δ = min{ε − ρ(x′ , e; D, O), ε − ρ(x′′ , e; D, O)} . Пусть x ∈ O(e, δ/3) – произвольная точка. Покажем, что существуют континуумы K ′ и K ′′ ,

dimM K ′ ≤ n − 1, dimM K ′′ ≤ n − 1 ,

соединяющие x′ , x′′ с точкой x и полностью содержащиеся в O(e, ε). Ясно, что это достаточно показать хотя бы для одной из точек, например, для x′ . Так как ̃ < ρ(x′ , e; D) ̃ +δ, ρ(x′ , x; D) 3 ′ то найдется континуум K, допустимый для x , x, диаметр которого ̃ +δ. d(K) < ρ(x′ , e; D) (7.5.12) 3 Пусть x ∈ K. Легко видеть, что K допустим и для пары x, x. В соответствии с выбором x, имеем ̃ + ρ(x, e; D) ̃ < d(K) + δ . ρ(x, x; D) 3 Отсюда, учитывая (7.5.12), находим ̃ ≤ ρ(x, x; D) ̃ + ρ(x, e; D) ̃ < ρ(x, e; D) ) 2 2( ′ ′ ′ ̃ ̃ ̃ < ρ(x , e; D) + δ ≤ ρ(x , e; D) + ε − ρ(x , e; D) < ε . 3 3 Это доказывает включение K ⊂ O(e, ε). Относительно континуума K возможна альтернатива: i) точки x′ , x принадлежат K, и в этом случае в качестве континуума K ′ можно взять K; ii) K ∩ ∂D ∕= ∅ и O принадлежит той компоненте D ∖ K (обозначим ее через D1 ), которая не содержит точек x′ , x. Пусть γ ′ , γ – жордановы дуги, соединяющие x′ , x с точкой O и принадлежащие области D. Обозначим через γ∗′ и γ ∗ те части этих дуг, которые содержатся в множестве D ∖ D1 . Покажем, что (γ∗′ ∪ γ ∗ ) ⊂ O(e, ε).

7.5. ПРИМЕРЫ НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМОВ

219

Пусть x ∈ (γ∗′ ∪ γ ∗ ) – произвольная точка. Нетрудно видеть, что континуум K является допустимым для x, x, а потому ̃ ≤ ρ(x, x; D) ̃ + ρ(x, e; D) ̃ < d(K) + δ . ρ(x, e; D) 3 Учитывая (7.5.12), находим ̃ < ρ(x′ , e; D) ̃ + 2δ < ε . ρ(x, e; D) 3 Тем самым, в случае ii) в качестве K ′ можно взять множество K ∪ (γ∗′ ∪ γ ∗ ), которое полностью лежит в O(e, ε). □ Лемма 7.5.2 Пусть y = T (x) – топологическое отображение области D на область Δ и e – простой конец области Δ. Тогда полный прообраз e является континуумом либо точкой. Доказательство. Положим ̃ < ε} . O(e, ε) = {y ∈ Δ : ρ(y, e; Δ) При любых 0 < ε1 < ε2 < ∞ имеем O(e, ε1 ) ⊂ O(e, ε2 ) .

(7.5.13)

В соответствии с леммой 7.5.1 множества O(e, ε) связны, а в силу гомеоморфности T связны и их прообразы. На основании теоремы Цоретти (см., например, [Haus37, §30]), пользуясь (7.5.13), заключаем о связности прообраза e. □ Определение 7.5.1 Будем говорить, что точка x0 ∈ ∂D является ̃ если существует жордостижимой точкой простого конца e ∈ ∂ D, данова дуга γ ⊂ D, оканчивающаяся в x0 и такая, что ̃ → 0 при x → x0 , x ∈ γ . ρ(x, e; D) Лемма 7.5.3 Пусть T – топологическое отображение класса ACLn (B) шара B = B n (0, 1) на область D ⊂ ℝn . Тогда всякому простому концу ̃ не имеющему достижимых точек, соответствует на ∂B e ∈ ∂ D, единственная точка.

220

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

Доказательство. В соответствии с леммой 7.5.2 полный прообраз T̃−1 (e) простого конца e на сфере ∂B является континуумом либо точкой. Поскольку e не имеет достижимых точек, то на континууме T̃−1 (e) отображение T не может иметь предела ни по одному пути. Согласно следствию 3.5.1 этот континуум должен вырождаться в точку. □ ̃ разОпределение 7.5.2 Будем говорить, что простой конец e ∈ ∂ D ̃ если множество ∂ D ̃ ∖ e не связно. бивает пространство ∂ D, Имеет место следующая теорема о несуществовании ACLn -отображений. Теорема 7.5.2 Предположим, что область Δ ⊂ ℝn имеет простой ̃ и не имеющий достижимых точек. Тогда конец e, разбивающий ∂ Δ никакая область D, лежащая на поверхности Ω ⊂ ℝm и квазиизометричная шару B n (0, 1), не может быть отображена на Δ посредством гомеоморфизма класса ACLn (D). Доказательство. Достаточно рассмотреть случай шара B = B n (0, 1). Предположим, что существует гомеоморфизм T : B → Δ класса ACLn (B). Тогда по лемме 7.5.3 полным прообразом простого конца e будет единственная точка на границе ∂B. По теореме 7.4.1 можно считать, что T продолжимо по непрерывно̃ → Δ. ̃ Тем самым, прообраз сти до непрерывного отображения T̃ : B ̃ ∖ {e} есть также открытое множество на ∂B, открытого множества Δ состоящее из нескольких компонент связности. Границы этих компонент ̃ в простые концы области D и, переходят при отображении ∂B на ∂ D как указано выше, состоят из единственной точки. Таким образом, на сфере ∂B нашлись по крайней мере два открытых непересекающихся множества, общей границей которых является единственная точка, что невозможно. □ Пример 7.5.2 Укажем пример ограниченной области в ℝn , n ≥ 3, гомеоморфной шару и имеющей простой конец, разбивающий границу области и состоящий из недостижимых точек. Рассмотрим область D, заключенную между двумя шарами B1 и B2 , B2 ⊂ B1 . Если шар B2 касается границы шара B1 в точке x0 , то область D = B1 ∖B 2 принадлежит классу A0 (S). Пользуясь теоремой 7.3.1,

7.5. ПРИМЕРЫ НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМОВ

221

несложно заключить, что точка касания x0 шаров определяет при n ≥ 3 ̃ простой конец, разбивающий пространство ∂ D. Устраивая (n−1)-мерные перегородки в области D в окрестности точки x0 , либо деформируя D в этой окрестности, можно добиться того, чтобы точка x0 была недостижимой изнутри D посредством дуг γ ⊂ D, ведущих в x0 и имеющих конечную длину. □

7.5.3

Классификация простых концов

Ниже рассматриваются ограниченные области D на поверхностях Ω в ℝm , гомеоморфные шару B n (0, 1) и компактные по относительному расстоянию. Определение 7.5.3 Точка y тела ∣e∣ простого конца e области D называется главной точкой простого конца, если найдется цепь сечений, определяющая e и сходящаяся к этой точке. Если точка y ∈ ∣e∣ не является главной, то ее называют смежной точкой простого конца e. Опишем следующую классификацию простых концов. Данная классификация приведена в [Suv85, глава VII §3] для областей в ℝn . Мы считаем ее вполне пригодной и в случае областей на поверхностях евклидова пространства. I. Простой конец содержит единственную точку (и эта точка всегда главная). II. Простой конец содержит одну главную точку и бесконечное множество смежных точек. III. Простой конец содержит континуум главных точек и не содержит смежных точек. IV . Простой конец содержит континуум главных точек и бесконечное множество смежных точек. V. Простой конец содержит несвязное замкнутое множество главных точек и бесконечное множество смежных точек. В двумерном случае данная классификация (классификация Каратеодори [Car13]) содержит лишь первые четыре типа концов. Простые концы пятого типа при n = 2 отсутствуют. Следует отметить также, что существует и альтернативная классификация простых концов двумерных областей [CP59], [CP61].

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

222

7.5.4

Области с простыми концами пятого типа

Формулируемая далее теорема [Ovch69] представляет собой аналог классической теоремы Линделефа. Теорема 7.5.3 Если вектор-функция y = T (x) осуществляет гомеоморфное отображение класса ACLn шара B ⊂ ℝn на ограниченную область D, то для всякой некасательной дуги γ, ведущей в точку x0 ∈ ∂B, предельное множество T вдоль γ совпадает с множеством главных точек простого конца e = T̃(x0 ). Доказательство. Обозначим через ∣e∣1 – множество главных точек простого конца, через CB (T, γ, x0 ) – предельное множество отображения T вдоль γ в точке x0 . Нам необходимо доказать, что CB (T, γ, x0 ) = ∣e1 ∣ .

(7.5.14)

Пусть a ∈ ∣e∣1 – произвольная точка. Найдется цепь сечений {Pk }, определяющая e и сходящаяся к a. Начиная с некоторого номера, множества T (γ) ∩ Pk будут не пустыми. Пусть ak ∈ T (γ) ∩ Pk – произвольно выбранные точки при таких номерах k. Последовательность {bk }, bk = T −1 (ak ), сходится к x0 . Поскольку lim T (bk ) = lim ak = a ,

k→∞

k→∞

то точка a ∈ CB (T, γ, x0 ) и ∣e∣1 ⊂ CB (T, γ, x0 ) .

(7.5.15)

Докажем теперь обратное включение CB (T, γ, x0 ) ⊂ ∣e∣1 .

(7.5.16)

Пусть Γx0 ⊂ B – отрезок радиуса, ведущего в точку x0 . Как было показано в процессе доказательства теоремы 3.5.1, предельное множество CB (T, Γx0 , x0 ) совпадает с предельным множеством отображения T вдоль произвольного конуса в B с вершиной в точке x0 . Отсюда, очевидно, следует, что CB (T, γ, x0 ) ⊂ CB (T, Γx0 , x0 ) . Тем самым, для доказательства (7.5.16) достаточно показать, что CB (T, Γx0 , x0 ) ⊂ ∣e∣1 .

(7.5.17)

7.5. ПРИМЕРЫ НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМОВ

223

Предположим, что точка a ∈ CB (T, Γx0 , x0 ). Это означает, что существует последовательность точек {ak }, ak ∈ Γx0 при k = 1, 2, . . ., для которой lim ak = x0 , lim T (ak ) = a . k→∞

k→∞

Зафиксируем номер k и рассмотрим два семейства концентрических сфер: первое – семейство Sk (r) с центром в точке am и радиусами r, r1 ≤ r ≤ r2 , где 1 r1 = ∣ak − x0 ∣ , r2 = ∣ak − x0 ∣ , 2 второе – семейство Fk (r) с центром в точке x0 и радиусами r, r3 ≤ r ≤ r4 , где 3 1 r3 = ∣ak − x0 ∣ , r4 = ∣ak − x0 ∣ . 2 4 Зададим произвольно ε > 0. В силу принципа длины и площади (теорема 3.2.2) найдется rk′ ∈ (r1 , r2 ) такое, что ( ) ′ 1/n (c(n, n) + ε) I k d[T (Sk (rk′ ))] ≤ , (7.5.18) ln 2 где ∫ Ik′ = ∣∇f ∣n dHn , A′ (r1 , r2 ) = {x ∈ ℝn : r1 < ∣x − x0 ∣ < r2 }. A′ (r1 ,r2 )

В точности так же найдется rk′ ∈ (r3 , r4 ), для которого ) ( ′′ 1/n (c(n, n) + ε) I k , (7.5.19) d[T (Fk′ (rk′′ ))] ≤ ln 3 где ∫ Ik′′ = ∣∇f ∣n dHn , A′′ (r3 , r4 ) = {x ∈ B : r3 < ∣x − x0 ∣ < r4 } , A′′ (r3 ,r4 )

и

Fk′ (r) = Fk (r) ∩ B .

224

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

Интегралы Ik′ , Ik′′ стремятся к нулю при k → ∞. Положим bk = Fk (rk′′ ) ∩ Γx0 . Точка bk вместе с точкой ak лежат внутри сферы Sk (rk′ ), поскольку 1 1 ∣ak − ck ∣ < (r4 − r3 ) = ∣ak − x0 ∣ = r1 < rk′ . 2 2 Так как

∣T (ak ) − T (ck )∣ < d[T (Sk (rk′ ))] ,

то из (7.5.18) следует, что ∣T (ak ) − T (ck )∣ → 0 при k → ∞. Поэтому T (ck ) → a при k → ∞ и, в силу (7.5.19), гиперповерхности T (Fk′ (rk′′ )) сходятся к точке a. Это означает, что точка a является главной точкой простого конца e. Значит, имеет место (7.5.17) и, следовательно, (7.5.16). Соотношения (7.5.15), (7.5.16) обеспечивают справедливость (7.5.14). □ Следствие 7.5.1 Не существует гомеоморфных отображений класса ACLn шара на ограниченную область, имеющую простые концы с несвязным множеством главных точек. Доказательство. Предположим противное. Пусть y = T (x) – гомеоморфное отображение класса ACLn шара B на область D и пусть простой конец e области D имеет несвязное множество главных точек. В соответствии с теоремой 7.4.1 найдется точка x0 ∈ ∂B такая, что T̃(x0 ) = e. Рассмотрим радиус r0 шара B, ведущий в точку x0 . Ясно, что предельное множество отображения T вдоль r0 в x0 является континуумом либо точкой, а по теореме 7.5.3 это множество совпадает с множеством главных точек простого конца e и, тем самым, несвязно. Полученное противоречие доказывает справедливость нашего утверждения. □ Упражнение 7.5.1 Сформулировать аналог данного утверждения для ACLn -гомеоморфизмов областей на поверхностях. □ Относительно обобщений на случай ACL -гомеоморфизмов поверхностей см. Миклюков [Mik08b]. Следующий пример показывает, что при n ≥ 3 все пять типов простых концов действительно реализуются в рассматриваемом классе областей [Ovch69]. n

7.6. СЕМЕЙСТВА ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМОВ

225

Пример 7.5.3 Рассмотрим в ℝ3 куб Q = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ ℝ3 : 0 < xi < 1,

i = 1, 2, 3}

и множества Tmp = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ Q : x1 = 2−m 3−p } (m, p = 1, 2, . . .) . Пусть F – произвольное замкнутое множество на грани T0 = {x ∈ Q : x1 = 0} куба Q. Построим область D, имеющей простой конец e, телом которого будет множество T0 , а множество главных точек простого конца e будет совпадать с множеством F . Мы предполагаем, что F – бесконечное множество. В случае конечного множества F построения аналогичны. Пусть {ak } (k = 1, 2, . . .) – счетное всюду плотное на F множество точек такое, что ни одна из точек ak не лежит на ребрах куба Q. Положим Gmp = {x ∈ Tmp : ∣bmp − x∣ < rmp } , где bmp = amp + cmp ,

( ) cmp = 2−m 3−p , 0, 0 ,

rmp = min{2−m 3−p , dist(am , ∂T0 )} и ∂T0 – граница грани T0 , рассматриваемая как плоское множество (в плоскости x1 = 0). Множество [ ] D = Q ∖ ∪∞ (T ∖ G ) mp m,p=1 mp есть ограниченная область, гомеоморфная шару и компактная по относительному расстоянию. Рассмотрим последовательность сечений {Pm } (m = 1, 2, . . .), множество которых совпадает с множеством кругов Gmp (m, p = 1, 2, . . .), расположенных в порядке приближения к грани T0 куба Q. Эта последовательность сечений определяет простой конец e области D с телом ∣e∣ = T0 и множеством главных точек e, совпадающим с F . В частности, множество F может быть и несвязным. □

7.6

Семейства ACLn -гомеоморфизмов

Рассматриваются гомеоморфизмы с ограниченными интегралами Дирихле прямого и обратного отображений. Вводится альтернативное относительное расстояние и указываются его двусторонние оценки. В качестве

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

226

приложения дается обобщение классической теоремы Каратеодори о сходимости к ядру конформных отображений. 7.6.1

Характеристики квазиконформности

Пусть y = T (x) : D → ℝn – гомеоморфное отображение класса ACLnloc . Так как отображение T монотонно, то по теореме 3.2.3 почти всюду в D существует полный дифференциал dT (x). Если в такой точке якобиан J(x, T ) отображения T = (T1 , . . . , Tn ) не обращается в нуль, то линейное отображение ⎧ ∑ 1 l dy1 = ni=1 ∂T dxi , l ∂xi (x) l l l ⎨ ............... (7.6.20) l ∑ l l n l dy = ni=1 ∂T l ∂xi (x) dxi , ⎩ n в ней не вырождено и переводит некоторый эллипсоид ET (x) с центром в точке x ∈ D в шар. Обозначим через pT (x), θT1 (x), . . . , θTn−1 (x) характеристики эллипсоида ET (x) — отношение наибольшей оси к наименьшей pT (x) и углы 0 ≤ θTi (x) < π (i = 1, . . . , n −1), образуемые осями эллипсоида с направлениями осей координат Oxi (i = 1, . . . , n − 1). В двумерном случае данные характеристики были введены Лаврентьевым [Lav35] и играют важную роль при описании систем уравнений, описывающих квазиконформные отображения [Vol54, §3], [Lav62, глава IV]. В многомерном случае характеристика pT удобна при описании отображений, квазиконформных "в среднем", и используется ниже. Наряду с pT (x) удобно использовать характеристику λn (x, T ) QT (x) = n/2 , n ∣J(x, T )∣ где [ λ(x, T ) = ∥dT (x)∥ =

n ∑ i=1

]1/2 ∣∇Ti (x)∣2

.

7.6. СЕМЕЙСТВА ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМОВ

227

Эта величина была использована впервые, по-видимому, Крейнесом [Kre41] в связи с оценкой модуля непрерывности квазиконформных отображений в пространстве. Лемма 7.6.1 Имеет место оценка QT (x) ≥ 1 .

(7.6.21)

Доказательство. Действительно, в силу неравенства Адамара для определителей (см., например, [BB65, глава II §11]), ∣J(x, T )∣ ≤

n ∏

∣∇Ti (x)∣ .

i=1

Пользуясь неравенством между геометрическим и квадратическим средними [BB65, глава I §16], имеем ( n )1/n ( n )1/2 ∏ 1∑ ∣∇Ti (x)∣ ≤ ∣∇Ti (x)∣2 , n i=1 i=1 что непосредственно влечет (7.6.21). Лемма 7.6.2 Имеют место оценки [ ]1/2 2/n nQT (x) − 1 2n/2 ≤ pT (x) ≤ n/2 QT (x) (n ≥ 2) n−1 n

□

(7.6.22)

и, в частности, 1/n

QT (x) ≤ pT (x) ≤ QT (x) .

(7.6.23)

Доказательство опирается на следующую лемму, представляющую собой специальный случай соответствующего утверждения из [Re82a, глава I, раздел 2.1]. Лемма 7.6.3 Пусть dy = A(dx) : ℝn → ℝn – линейное отображение, не равное тождественно нулю. Тогда существуют ортонормальные системы векторов u1 , . . . , un и v1 , . . . , vn в пространствах переменных dx = (dx1 , . . . , dxn ) и dy = (dy1 , . . . , dyn ) соответственно, а также положительные числа λ1 , . . . , λn такие, что A(ui ) = λvi при i = 1, . . . , n.

228

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

Числа λi для отображения dT , определенного равенством (7.6.20), суть главные растяжения, векторы u1 , . . . , un и v1 , . . . , vn – главные векторы dT . При этом vi – главные векторы в пространстве образов, ui – в пространстве прообразов. Зададим единичную сферу S1 в пространстве образов. Выберем в этом пространстве декартову ортогональную систему координат с базисом v1 , . . . , vn . В этой системе координат множество (dT (x))−1 (S1 ) = ET (x) описывается уравнением dx21 dx2n + ... + 2 = 1, λ21 λn где λi (i = 1, . . . , n) суть полуоси эллипсоида ET (x). Мы имеем J(x, T ) = λ1 . . . λn . Занумеруем главные растяжения λ1 , . . . , λn в порядке возрастания: 0 < λ 1 ≤ . . . ≤ λn . Мы имеем √ λ2n λ22 . . . λ2n λn λ n λ2 . . . λn pT (x) = = = ≤ λ1 λ1 . . . λn λ1 . . . λn ( 2 )n/2 ( 2 )n/2 λn + λ22 + . . . + λ2n 2(λ1 + λ22 + . . . + λ2n ) 2n/2 ≤ ≤ = n/2 QT (x) . nn/2 λ1 . . . λn nn/2 λ1 . . . λn n Далее, ( n )n/2 ∑n 2 n/2 2 2 2 n/2 ∑ ( i=1 λi ) λi (λ + . . . + λn ) −n/2 QT (x) = 1 n/2 ≤ n−n/2 = n ≤ 2 λm λ n λ1 . . . λn 1 1 i=1 ( )n/2 ≤ n−n/2 1 + (n − 1)p2T (x) , откуда находим 2/n nQT (x) ≤ 1 + (n − 1)p2T (x) , что вместе с доказанным выше ведет непосредственно к (7.6.22). Правое из соотношений (7.6.23) следует из (7.6.22) очевидным образом. Для доказательства левого неравенства достаточно заметить, что [ ]1/2 [ ]1/2 2/n 2/n 2/n (n − 1)QT (x) + QT − 1 nQT (x) − 1 = , n−1 n−1

7.6. СЕМЕЙСТВА ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМОВ

229

и воспользоваться оценкой (7.6.21).

□

Лемма 7.6.4 В каждой точке x ∈ D, где характеристика pT (x) определена и x = T −1 (y), выполнено pT (x) = pT −1 (T (x)) .

(7.6.24)

Доказательство. Воспользуемся обозначениями, введенными в процессе доказательства предыдущей леммы. Тогда, очевидно, для собственных значений 0 < μ1 ≤ . . . ≤ μn отображения, обратного к (7.6.20), имеем 0 < μ1 =

1 1 ≤ . . . ≤ μn = . λn λ1

Отсюда, pT −1 (T (x)) =

λn μn = = pT (x) . μ1 λ1 □

7.6.2

Классы отображений

Ниже рассматриваются гомеоморфизмы y = T (x) : D → ℝn подобластей D ⊂ ℝn , Δ = T (D) со свойствами: T −1 ∈ ACLn (Δ)

T ∈ ACLn (D) ,

(7.6.25)

и ∫ I(T ; D, Δ) ≡

n

n

λ (x, T ) dH +

2n

2

/2

∫

n(n2 −n)/2

D

QnT (x) dHn < ∞ .

(7.6.26)

D

В соответствии с леммой 7.6.2 имеем ∫ ∫ 2 2n /2 n n QT (x) dH ≥ pnT (x) dHn 2 /2 n n D

D

и потому ∫ I(T ; D, Δ) ≥

n

n

λ (x, T ) dH + n D

n/2

∫ D

pnT (x) dHn .

(7.6.27)

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

230

Если отображение T −1 принадлежит классу ACLn (Δ), то можно воспользоваться формулой (2.5.19) замены переменных (для отображений класса ACLnloc см., например, [GR89, глава 5, раздел 2.3]; в общем случае oтносительно регулярности гомеоморфизмов классов Соболева см. [HK06], [HKM06], [Vod08] и ссылки). Здесь имеем ∫ ∫ n n pT (x) dH = pnT (T −1 (y))J(y, T −1 ) dHn . Δ

D

Так как по лемме 7.6.4 pT (T −1 (y)) = pT −1 (y) , то

∫

pnT (x) dHn

D

∫ =

pnT −1 (y) J(y, T −1 ) dHn .

Δ

Но, в силу неравенства (7.6.23), почти всюду в Δ выполнено pnT −1 (y) ≥ QT −1 (y) , а потому ∫

pnT −1 (y) J(y, T −1 ) dHn ≥

Δ

∫

QT −1 (y) J(y, T −1 ) dHn =

Δ

=n

−n/2

∫

λn (y, T −1 ) dHn .

Δ

Тем самым, пользуясь неравенством (7.6.27), приходим к утверждению: Лемма 7.6.5 Если гомеоморфизм T : D → Δ удовлетворяет условиям (7.6.25), (7.6.26), то ∫ ∫ n n λ (x, T ) dH + λn (y, T −1 ) dHn ≤ I(T ; D, Δ) . (7.6.28) D

Δ

7.6. СЕМЕЙСТВА ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМОВ

231

Упражнение 7.6.1 Пусть Ω1 ⊂ ℝm1 и Ω2 ⊂ ℝm2 – n-мерные локально билипшицевы поверхности. Рассмотрим гомеоморфное отображение y = g(x) поверхности Ω1 на поверхность Ω2 со свойствами: g −1 ∈ ACLn (Ω2 ) .

g ∈ ACLn (Ω1 ) ,

(7.6.29)

Для всякой точки x ∈ Ω1 , где существуют касательная плоскость Tx (Ω1 ) и дифференциал dg(x) : Tx (Ω1 ) → Ty (Ω2 ), полагаем λ(x, g) = ∥dg(x)∥

I(x, g) = det (dg(x)) , и далее,

λn (x, g) Qg (x) = n/2 . n ∣I(x, g)∣

Пусть ∫ I(g; Ω1 , Ω2 ) ≡

λn (x, g) dHΩn 1 +

2n

2

/2

∫

n(n2 −2)/2

Qng (x) dHΩn 1 < ∞ . (7.6.30)

Ω1

Ω1

Доказать, что предположения (7.6.29) и (7.6.30) влекут ∫ ∫ λn (x, g) dHΩn 1 + λn (y, g −1 ) dHΩn 2 ≤ I(g; Ω1 , Ω2 ) . Ω1

(7.6.31)

Ω2

□ 7.6.3

Относительное расстояние II

Пусть D – область на поверхности Ω ⊂ ℝm , гомеоморфная шару B n (0, 1). Предположим, что граница ∂Ω D = [D]Ω ∖ D не пуста и имеет ненулевой диаметр (здесь [D]Ω – замыкание D относительно Ω). Для произвольного множества M ⊂ D полагаем d0 (M, D) = sup ∣y ′ − y ′′ ∣ , где точная верхняя грань берется по произвольным парам точек y ′ ∈ M , y ′′ ∈ ∂Ω D. Для произвольной пары точек y ′ , y ′′ ∈ D пусть δ(y ′ , y ′′ ) = inf sup ∣y ′ − y ′′ ∣ , L y ′ ,y ′′ ∈L

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

232

где точная нижняя грань берется по всевозможным дугам L ⊂ D, соединяющим точки y ′ , y ′′ . Фиксируем точку O ∈ D. Связное, замкнутое относительно D множество F ⊂ D, dimM (F ) = n − 1, называется допустимым для пары точек y ′ , y ′′ ∈ D, если оно отделяет y ′ и y ′′ от точки O, либо, если F ∩ ∂Ω D = ∅, отделяет y ′ ,y ′′ и от O и от ∂Ω D. Определение 7.6.1 Относительным расстоянием σ между точками y ′ , y ′′ области D ∖ {O} называется величина σ(y ′ , y ′′ ; D, O) = min{σ1 (y ′ , y ′′ ), σ2 (y ′ , y ′′ )} . Здесь и

σ1 (y ′ , y ′′ ) = δ(y ′ , y ′′ ) , σ2 (y ′ , y ′′ ) = inf d0 (F, D) , F

где точная нижняя грань берется по всем допустимым для y ′ и y ′′ континуумам F . Лемма 7.6.6 Область D ∖ {O}, наделенная относительным расстоянием σ, является метрическим пространством. Доказательство. Выполнение аксиомы симметрии для σ очевидно. Проверим аксиому тождества. Пусть y ′ , y ′′ ∈ D и y ′ ∕= y ′′ . Тогда σ1 (y ′ , y ′′ ) = δ(y ′ , y ′′ ) ∕= 0 . Покажем, что и σ2 (y ′ , y ′′ ) ∕= 0. Соединим точку O с точками y ′ , y ′′ непрерывными дугами l′ и l′′ в D. Евклидово расстояние h0 между l′ ∪ l′′ и границей ∂D положительно. Каждый из континуумов F , отделяющих y ′ ∪ y ′′ от O, содержит точки из l′ ∪ l′′ , поэтому для всякого такого континуума F выполнено d0 (F, D) ≥ h0 . Это означает, что σ2 (y ′ , y ′′ ) ≥ h0 и σ(y ′ , y ′′ ) > 0. С другой стороны, для любого y ∈ D имеем 0 ≤ σ(y, y) ≤ δ(y, y) = 0 и σ(y, y) = 0.

7.6. СЕМЕЙСТВА ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМОВ

233

Покажем, что расстояние σ удовлетворяет аксиоме треугольника. Зададим произвольно ε > 0. Рассуждения распадаются на три случая. (a) Предположим, что σ(y ′ , y ′′ ) = σ1 (y ′ , y ′′ ) и σ(y ′′ , y ′′′ ) = σ1 (y ′′ , y ′′′ ) . Здесь имеем σ(y ′ , y ′′′ ) ≤ δ(y ′ , y ′′′ ) ≤ δ(y ′ , y ′′ ) + δ(y ′′ , y ′′′ ) = = σ(y ′ , y ′′ ) + σ(y ′′ , y ′′′ ) . (b) Предположим, что σ(y ′ , y ′′ ) = σ2 (y ′ , y ′′ ) и σ(y ′′ , y ′′′ ) = σ2 (y ′′ , y ′′′ ) . Найдем допустимые множества F1 и F2 , отделяющие соответственно y ′ ∪ y ′′ и y ′′ ∪ y ′′′ от O так, что ε ε d0 (F1 , D) ≤ σ2 (y ′ , y ′′ ) + , d0 (F2 , D) ≤ σ2 (y ′′ , y ′′′ ) + . 2 2 Множество F = F1 ∪ F2 отделяет y ′ ∪ y ′′′ от точки O. Если F связно, то оно является допустимым для пары точек y ′ ∪ y ′′′ . Поэтому σ(y ′ , y ′′′ ) ≤ σ2 (y ′ , y ′′′ ) ≤ d0 (F, D) = max{d0 (F1 , D), d0 (F2 , D)} ≤ ≤ σ2 (y ′ , y ′′ ) + σ2 (y ′′ , y ′′′ ) + ε = σ(y ′ , y ′′ ) + σ(y ′′ , y ′′′ ) + ε . В силу произвола в выборе ε > 0 приходим к неравенству треугольника. Если множество F не связно, то либо F1 либо F2 отделяют y ′ ∪ y ′′′ от точки O. Дальнейшие рассуждения практически не отличаются от предыдущего случая. (c) Предположим, что σ(y ′ , y ′′ ) = σ1 (y ′ , y ′′ ), σ(y ′′ , y ′′′ ) = σ2 (y ′′ , y ′′′ ) и σ1 (y ′ , y ′′ ) < σ2 (y ′ , y ′′ ) . Найдем допустимый континуум F2 , отделяющий y ′′ ∪ y ′′′ от O и такой, что ε d0 (F2 , D) ≤ σ2 (y ′′ , y ′′′ ) + . 2

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

234

Может оказаться, что F2 отделяет y ′ от O. Тогда ε σ(y ′ , y ′′′ ) ≤ d0 (F2 , D) ≤ σ2 (y ′′ , y ′′′ )+ < σ(y ′ , y ′′ )+σ(y ′′ , y ′′′ )+ε . (7.6.32) 2 Предположим, что F2 не отделяет y ′ от O. Тогда F2 отделяет y ′ от y ′′ . Соединим точки y ′ и y ′′ дугой L ⊂ D так, чтобы ε 0 ≤ sup ∣y1 − y2 ∣ − σ1 (y ′ , y ′′ ) ≤ . 2 y1 ,y2 ∈L Континуум F = L ∪ F2 отделяет y ′ ∪ y ′′ от O и является допустимым для этой пары точек. Так как F2 разделяет y ′ и y ′′ , то найдется точка a ∈ (L ∪ F2 ) и мы имеем d(y ′ , ∂D) ≤ d(y ′ , a) + d(a, ∂D) ≤ ≤ d(y ′ , y ′′ ) + d0 (F2 , D) ≤ σ(y ′ , y ′′ ) + σ(y ′′ , y ′′′ ) + ε , откуда σ(y ′ , y ′′′ ) ≤ σ2 (y ′ , y ′′′ ) ≤ d0 (F, D) = = max{d(y ′ , ∂D), d0 (F2 , D)} ≤ σ(y ′ , y ′′ ) + σ(y ′′ , y ′′′ ) + ε .

(7.6.33)

В силу соотношений (7.6.32), (7.6.33) и произвола в выборе ε, приходим к неравенству треугольника и в этом случае. □ Как и выше (см. замечание 7.2.1), вводим расстояние от точки O до произвольной точки x ∈ D ∖ {O} и, тем самым, определяем метрическое пространство (D, σ). Метрическое пространство (D, σ) является неполным. Если последовательность точек D сходится в евклидовой метрике к точке на границе области D, то она фундаментальна по метрике σ, но предела в метрическом пространстве (D, σ) она не имеет. ~ σ есть пополнение D по метрике σ. Как утверждает следуюПусть D щая лемма, в результате такого пополнения присоединяется всего лишь одна точка. ~σ = D ~ σ ∖ D является единственной точкой. Лемма 7.6.7 Граница ∂ D

7.6. СЕМЕЙСТВА ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМОВ

235

Доказательство. Прежде всего заметим, что сходимости к внутренней точке области D в евклидовой и относительной метриках эквивалентны, поскольку в достаточно малой окрестности такой точки метрики совпадают. Рассмотрим множество Gϵ = {x ∈ D : d(x, ∂D) > ϵ} ∩ D при 0 < ϵ < d(0, ∂D). Пусть G0ϵ – та из компонент связности Gϵ , которая содержит точку O. Если y ∈ ∂G0ϵ , то d(x, ∂D) = ϵ. Пусть a ∈ ∂G0ϵ , b ∈ ∂D и d(a, b) = ϵ. Соединим точки a и b дугой 0 L ⊂ D так, чтобы все точки L за исключением концов лежали в D ∖ Gϵ . 0 Пусть Mϵ = (∂G0ϵ ∪ L) ∩ D. Если точки y ′ , y ′′ ∈ D ∖ Gϵ , то континуум Mϵ отделяет точки y ′ , y ′′ от точки O, является допустимым для пары y ′ ∪ y ′′ и d0 (Mϵ , D) = ϵ. Тем самым, σ(y ′ , y ′′ ) ≤ ϵ. Если последовательность точек D фундаментальна в метрике σ и не сходится ни к какой внутренней точке D, то начиная с некоторого но0 мера все члены последовательности лежат в D ∖ Gϵ . Поскольку ϵ можно 0 выбрать произвольно малым, то D ∖ Gϵ является произвольно малой окрестностью границы ∂D в метрике σ, и все это множество в метрике σ является одной точкой. □ 7.6.4

Двусторонняя оценка относительного расстояния II

Пусть T : D → Δ – гомеоморфное отображение, удовлетворяющее предположениям (7.6.25) и (7.6.26). Нашей ближайшей целью будет получение оценок искажения относительного расстояния σ при отображении T . В отличие от рассмотренного ранее случая оценок расстояния ρ, здесь область D достаточно произвольна и не предполагается условия ее квазиизометричности шару. Идея получения таких оценок принадлежит Овчинникову [Ovch65]. Специальная версия принципа длины и площади

Введем некоторые величины. Как и выше, в разделе 3.2, пусть h : D → ℝ – липшицева функция и Σh (t) – ее множество уровня Σh (t) = {x ∈ D : h(x) = t} . Для почти всех t ∈ ℝ множества уровня Σh (t) счетно (Hn−1 , n − 1)спрямляемы.

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

236

Фиксируем p ≥ 1, счетно (Hn−1 , n − 1)-спрямляемое множество U ⊂ D и измеримую функцию β в U . Пусть Û – компонента связности U. Для произвольной точки a ∈ Û , пусть Γ(a) означает семейство всех локально спрямляемых дуг γ ⊂ Û , соединяющих точку a с границей ∂D. Определим весовой модуль ∫ β ρp dHn−1 mod(p, β, Γ(a)) = inf ⎛

̂ U

ρ

⎞p , ∫

⎝ inf

γ∈Γ(a)

(7.6.34)

ρ dH1 ⎠

γ

где точная нижняя грань берется по всем неотрицательным, измеримым по Борелю функциям ρ в Û . В случае, когда множество Γ(a) пусто, по определению полагаем mod(p, β, Γ(a)) = ∞ . Далее, пусть χp (β, U ) = inf inf mod(p, β, Γ(a)), (7.6.35) ̂ a∈U ̂ U

где первая из точных нижних граней берется по всем компонентам связности Û множества U . Рассмотрим локально липшицеву функцию h : D → ℝ со свойствами (3.2.7). Положим χp (t) = χp (∣∇h∣−1 , Σh (t)) . Далее, для произвольной вектор-функции f : D → ℝm пусть η(a, f, Σ) = inf osc(f, γ) , γ

γ ∈ Γ(a) ,

a ∈ Σ,

η(f, Σh (t)) = sup sup η(a, f, Σ) Σ

a∈Σ

и точная верхняя грань берется по всем компонентам связности Σ множества Σh (t). В точности так же, как и теорема 3.2.1, устанавливаем:

7.6. СЕМЕЙСТВА ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМОВ

237

Теорема 7.6.1 Пусть D – область в ℝn и f : D → ℝm – векторфункция класса ACLp (D). Тогда при любых t′ , t′′ ∈ h(D), t′ < t′′ , выполнено ∫ ∫t′′ p λp (x, f ) dHn , (7.6.36) η (f, Σh (t)) χp (t) dt ≤ t′

где

D(t′ ,t′′ )

D(t′ , t′′ ) = {x ∈ D : t′ < h(x) < t′′ } .

Оценка величины χp (t)

Будем рассуждать, как и выше, в разделе 3.2.2. Пусть D ⊂ ℝn – область и x0 ∈ D. Выберем { log ∣x − x0 ∣ при p = n h(x) = ∣p − n∣−1 ∣x − x0 ∣n−p при p ∕= n. Тогда ∣∇h(x)∣ = ∣x − x0 ∣n−p−1 и

Σh (t) = S n−1 (x0 , r) ∩ D

при r, выражаемых через t по формулам (3.2.15). Перейдем непосредственно к оценке χp (t). Положим U = Σh (t) – сфера радиуса t > 0 с центром в x0 и Û = Σ – компонента связности множества Σh (t) ∩ D. Пусть a ∈ Σ – произвольная точка. Предположим, что множество Σ ∕= Σh (t). Выберем точку o ∈ Σh (t) ∖ Σ и отобразим Σh (t) ∖ {o} посредством стереографической проекции τ с полюсом в точке o на ℝn−1 . Пусть V ⊂ ℝn−1 – образ области Σ при отображении τ и пусть b = τ (a). Выберем в ℝn−1 ортонормальную систему координат ξ = (ξ1 , . . . , ξn−1 ) так, чтобы точка b = (0, . . . , 0). Сферическая метрика dst в ℝn−1 имеет вид ∣dξ∣ dst = 1 + ∣ξ∣2 /(2t)2

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

238

и элемент объема — dvt =

dξ1 · · · dξn−1 . (1 + ∣ξ∣2 /(2t)2 )n−1

Модуль (7.6.34) вычисляется по формуле ∫ β ρp dvt mod(p, β, Γ(b)) = inf ⎛

V

⎞p ,

ρ

β = ∣∇h∣−1 = t−n+p+1 ,

∫ ⎝ inf

ρ dst ⎠

γ∈Γ(b) γ

где Γ(b) – семейство дуг γ, лежащих в области V и соединяющих точку b с границей ∂V . Полагая / ∫ ρ ∣dξ∣ ρ inf , ρ̃ = 1 + ∣ξ∣2 /(2t)2 1 + ∣ξ∣2 /(2t)2 γ∈Γ(b) γ

имеем ∫ mod(p, β, Γ(b)) = β(t) inf ρ̃

ρ̃p dHn−1 , (1 + ∣ξ∣2 /(2t)2 )n−p−1

(7.6.37)

V

где точная нижняя грань берется по всем ρ̃ таким, что ∫ ∫ ρ ∣dξ∣ ρ̃ ∣dξ∣ = ≥ 1 при всех γ ∈ Γ(b) . 1 + ∣ξ∣2 /(2t)2 γ

(7.6.38)

γ

Переходя к сферическим координатам (r, θ),

r ≥ 0,

θ ∈ S n−2 (b, 1),

в ℝn−1 с полюсом в точке b = (0, . . . , 0), находим ∫ ∫ ∫ ρ̃p dHn−1 ρ̃p rn−2 dr n−2 = dHθ , (1 + ∣ξ∣2 /(2t)2 )n−p−1 (1 + r2 /(2t)2 )n−p−1 V

S n−2 (b,1)

γ(θ)

7.6. СЕМЕЙСТВА ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМОВ

239

где γ(θ) = {ξ = (r, θ) ∈ V : θ ∈ S n−2 (b, 1)} . Тем самым, из (7.6.37) находим ∫ ∫ ρ̃p rn−2 dr −n+p+1 n−2 mod(p, β, Γ(b)) = t inf dHθ . ρ̃ (1 + r2 /(2t)2 )n−p−1 S n−2 (b,1)

γ(θ)

(7.6.39) Условие (7.6.38) на функцию ρ̃ влечет ⎛ ⎞p ∫ ∫ ρ̃p rn−2 dr l l 1 ≤ ⎝ ρ̃ dr⎠ ≤ × (1 + r2 /(2t)2 )n−p−1 γ(θ)

γ(θ)

⎛ ∫ ( l ×⎝

⎞p−1 ) (n−p−1)/(p−1) 1 + r2 /(2t)2 dr l , ⎠ r(n−2)/(p−1)

γ(θ)

или ⎛ ∫ ( l ⎝

⎞1−p ) ∫ (n−p−1)/(p−1) 1 + r2 /(2t)2 dr l ρ̃p rn−2 dr . ≤ ⎠ r(n−2)/(p−1) (1 + r2 /(2t)2 )n−p−1

γ(θ)

γ(θ)

Заметим, что )(n−p−1)/(p−1) )(n−p−1)/(p−1) ∫ ( ∫∞ ( 1 + r2 /(2t)2 dr 1 + r2 /(2t)2 dr ≤ = r(n−2)/(p−1) r(n−2)/(p−1) 0

γ(θ)

= где c(p, n) = 2(−n+p+1)/(p−1)

∫∞ ( 0

c(p, n) t(n−p−1)/(p−1)

,

)(n−p−1)/(p−1) 1 + τ2 dτ τ (n−2)/(p−1)

(7.6.40)

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

240

– постоянная, конечная при всех p > n − 1. Отсюда, на основании соотношения (7.6.39) находим mod(p, β, Γ(b)) ≥ c1 (p, n) = ωn−2 c1−p (p, n) ,

( ) ωn−2 = Hn−2 S n−2 (0, 1)

и, вспоминая (7.6.35), приходим к утверждению: Лемма 7.6.8 В описанных обозначениях при всяком p > n − 1 и для любого t ∈ h(D) выполнено χp (t) ≥ c1 (p, n) > 0 .

(7.6.41)

Теорема 7.6.1 может быть переформулирована теперь следующим образом. Теорема 7.6.2 Пусть D – подобласть ℝn и пусть f : D → ℝm – вектор-функция класса ACLp (D). Тогда для произвольной точки a ∈ D и любых r′ , r′′ , 0 < r′ < r′′ < supx∈D ∣x − a∣, выполнено ∫r′′ r′

где

η p (f, S n−1 (a, r))

dr rp−n+1

≤ c1−1 (p, n)

∫

λp (x, f ) dx1 . . . dxn , (7.6.42)

A(r′ ,r′′ )

A(r′ , r′′ ) = {x ∈ ℝn : r′ < ∣x − a∣ < r′′ }.

Доказательство . Достаточно воспользоваться (7.6.41) и перейти к соотношениям (3.2.17), (3.2.18) для t′ , t′′ как функций r′ , r′′ соответственно. □ Относительно обобщений на случай отображений локально липшицевых поверхностей см. Миклюков [Mik08f]. Теорема 7.6.2, в частности, влечет следующую оценку искажения евклидова расстояния внутри области. Следствие 7.6.1 Пусть D – подобласть ℝn и пусть f : D → ℝm – вектор-функция класса ACLn (D), монотонная в смысле Лебега. Если ∣x′ − x′′ ∣ < 2 и замкнутый шар Qr0 радиуса 1 r0 = ∣x′ − x′′ ∣ 2

7.6. СЕМЕЙСТВА ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМОВ

241

с центром в точке x0 = (x′ + x′′ )/2 содержится в D, то ∣f (x′ ) − f (x′′ )∣ < (C(n)I(T ; D))1/n ln−1/n

2 , ∣x′ − x′′ ∣

(7.6.43)

где C(n) = 1/c1 (n, n) и ∫ I(f ; D) =

λn (x, f ) dx1 . . . dxn .

D

Для доказательства рассмотрим семейство сфер {Sr } с центром в x0 и радиусами r ∈ [r02 , r0 ]. В силу неравенства (7.6.42) для любого ε > 0 найдется r ∈ [r02 , r0 ] такое, что osc (Sr , f ) ≤ (C(n)I(f ; D) + ε)1/n ln−1/n

2 . ∣x′ − x′′ ∣

(7.6.44)

Так как вектор-функция f монотонна, то osc (Qr , f ) = osc (Sr , f ) и поскольку x′ , x′′ ∈ Qr , то ∣f (x′ ) − f (x′′ )∣ ≤ osc (Sr , f ) . Пользуясь оценкой (7.6.44) и учитывая произвол в выборе ε > 0, приходим к (7.6.43). □ Основная теорема

Предположим, что граница ∂D не пуста и имеет ненулевой диаметр. Теорема 7.6.1 Пусть D ⊂ ℝn – область, отличная от ℝn , гомеоморфная шару B n (0, 1) и содержащая шар ∣x∣ ≤ δ0 . Пусть y = T (x), T (0) = 0, – гомеоморфное отображение области D на область Δ, содержащую шар ∣y∣ ≤ δ1 . Предположим, что отображение T удовлетворя̃ σ, ет условиям (7.6.25), (7.6.26). Тогда для любой пары точек x′ , x′′ ∈ D для которых ̃ σ ) < min{a1 , a2 } , σ(x′ , x′′ ; D (7.6.45)

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

242

где } δ02 β 2 a1 = min , ,γ , 5 4 { 2 δ a3 = min 1 , 5 β и β1 – диаметры областей стороннее неравенство {

{ } a2 = exp −4C(n)a−n I(T ; D, Δ) , 3 } √ β12 , γ , γ = 2(3 − 2 2), 4 D и Δ соответственно, выполнено дву-

̃ σ )} ≤ σ(T (x′ ), T (x′′ ); Δ ̃ σ) ≤ exp{−C(n)I(T ; D, Δ)σ −n (x′ , x′′ ; D (7.6.46) 1 . ≤ (C(n)I(T ; D, Δ))1/n ln−1/n ̃ σ) σ(x′ , x′′ ; D Здесь C(n) – некоторая постоянная и можно положить C(n) = 1/c1 (n, n) , где c1 (p, n) – постоянная, определяемая соотношением (7.6.40). Для доказательства нам потребуются некоторые вспомогательные утверждения. Лемма 7.6.9 Пусть y = T (x) – гомеоморфное отображение области D ⊂ ℝn на область Δ ⊂ ℝn и пусть {Sr } – семейство концентрических сфер с радиусами 0 ≤ r1 ≤ r ≤ r2 . Предположим, что пересечения Sr′ = Sr ∩ ∂D ∕= ∅ при любом r ∈ [r1 , r2 ]. Тогда функция φ(r) ≡ d0 (T (Sr′ ), Δ) является H1 -измеримой на [r1 , r2 ]. Для доказательства достаточно установить полунепрерывность снизу φ на [r1 , r2 ] (см. теорему 1.3.3). Зафиксируем r0 , r1 ≤ r0 ≤ r2 , и ε > 0. Выберем x′ ∈ Sr′ 0 так, чтобы ε d0 (T (x′ ), ∂Δ) > φ(r0 ) − . 2 Существует δ > 0 такое, что при ∣r − r0 ∣ < δ найдется xr ∈ Sr′ , для которого ε ∣T (x′ ) − T (xr )∣ < . 2

7.6. СЕМЕЙСТВА ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМОВ

243

Мы имеем φ(r0 ) −

ε < d0 (T (x′ ), ∂Δ) ≤ ∣T (x′ ) − T (xr )∣+ 2

ε . 2 Тем самым, φ(r0 ) ≤ φ(r) + ε и φ(r0 ) ≤ lim inf r→r0 φ(r) + ε, что в силу произвола в выборе ε > 0 означает полунепрерывность снизу φ. □ +d0 (T (xr ), ∂Δ) +

Лемма 7.6.10 Пусть y = T (x) – гомеоморфное отображение области D ⊂ ℝn на область Δ ⊂ ℝn , удовлетворяющее условиям (7.6.25), (7.6.26). Пусть r1 < r2 таковы, что пересечение Sr′ = Sr ∩ ∂D ∕= ∅ при любом r ∈ [r1 , r2 ]. Тогда существует r ∈ [r1 , r2 ], для которого r2 d0 (T (Sr′ ), Δ) < (C(n) I(T ; D, Δ))1/n ln−1/n , (7.6.47) r1 где C(n) = 1/c1 (n, n) . Доказательство. Воспользуемся оценкой (7.6.42). При и p = n имеем ∫r′′

dr ≤ C(n) η n (T, S n−1 (a, r)) r

r′

∫

λn (x, T ) dHn .

A(r′ ,r′′ )

Нетрудно видеть, что d0 (T (Sr′ ), Δ) ≤ η(T, S n−1 (a, r)) . Поэтому, в силу леммы 7.6.9, можно записать ∫r′′

dr dn0 (T (Sr′ ), Δ) ≤ C(n) r

r′

∫

λn (x, T ) dHn .

A(r′ ,r′′ )

Так как отображение T гомеоморфно, то ни одно из слагаемых в правой части (7.6.26) не обращается в нуль, а потому ∫ λn (x, T ) dHn < I(T ; D, Δ) . A(r′ ,r′′ )

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

244

Тем самым, ∫r′′

dn0 (T (Sr′ ), Δ)

dr < C(n) I(T ; D, Δ) r

r′

и

)1/n C(n) inf d0 (T (Sr′ ), Δ) < I(T ; D, Δ) . ln r′′ /r′ r∈[r′ ,r′′ ] Данное неравенство строгое и мы вправе заключить о существовании r ∈ [r′ , r′′ ], для которого )1/n ( C(n) ′ I(T ; D, Δ) , d0 (T (Sr ), Δ) < ln r′′ /r′ (

и мы убеждаемся в справедливости (7.6.47).

□

Лемма 7.6.11 Пусть y = T (x) – гомеоморфное отображение области D ⊂ ℝn на область Δ ⊂ ℝn , удовлетворяющее условиям (7.6.25), (7.6.26). Предположим, что область D содержит целиком шар радиуса δ0 > 0 с центром в начале координат и T (0) = 0. Тогда для любой пары точек x′ , x′′ ∈ D, удовлетворяющей условию { 2 2 } δ β ′ ′′ (7.6.48) σ2 (x , x ; D) < min 0 , , 1 , 5 4 где β > 0 – диаметр D, выполнено σ2 (T (x′ ), T (x′′ ); Δ) ≤ (C(n) I(T ; D, Δ))1/n ln−1/n

1 . (7.6.49) σ2 (x′ , x′′ ; D)

Доказательство. Пусть x′ , x′′ – произвольная пара точек, удовлетворяющая (7.6.48) и ε > 0, { 2 } δ0 β2 ′ ′′ ′ ′′ ε < min , 1 − σ2 (x , x ), − σ2 (x , x ) . 5 4 Выберем континуум F , отделяющий точки x′ , x′′ от точки O = {x = 0}, допустимый в смысле раздела 7.6.3 и подчиненный условию ε d0 (F ) ≤ σ2 (x′ , x′′ ; D) + . 2

7.6. СЕМЕЙСТВА ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМОВ

Пусть r1 = d0 (F ) +

ε , 2

245

r2 =

√

r1 .

Заметим, что r1 = d0 (F ) +

ε ≤ σ2 (x′ , x′′ ; D) + ε < 1 , 2

и, тем самым, r1 < r2 . Опишем сферы Sr (x) с центрами в точках x ∈ F и радиусами r ∈ [r1 , r2 ]. При любых x ∈ F и r ∈ [r1 , r2 ] имеем Sr′ (x) = Sr (x) ∩ ∂D ∕= ∅, поскольку, во-первых, внутри каждой из сфер Sr (x) имеются точки границы ∂D и, во-вторых, Sr (x) не может содержать внутри себя целиком границу ∂D в силу соотношения √ 2r ≤ 2r2 ≤ 2 σ2 (x′ , x′′ ; D) + ε < β. Точка O лежит вне сферы Sr (x). Действительно, предполагая противное, имеем √ δ0 ≤ min ∣x∣ ≤ 2r ≤ 2 r1 ≤ x∈∂D

√ √ 1 2 ≤ 2 σ2 (x′ , x′′ ; D) + ε < 2 δ + ε. 5 0 Отсюда, δ02 /5 < ε, что противоречит выбору ε. Фиксируем x ∈ F и семейство сфер {Sr (x)}, r ∈ [r1 , r2 ]. В соответствии с леммой 7.6.10 существует r(x) ∈ [r1 , r2 ], для которого r2 d0 (T (Sr′ ), Δ) < (C(n) I(T ; D, Δ))1/n ln−1/n . r1 Рассмотрим множества M=

∑

′ Sr(x) (x),

F1 = M ∩ D .

x∈F

Нетрудно видеть, что ) ∑ ( ′ T (M ) = T Sr(x) (x) , x∈F

T (F1 ) = T (M ) ∩ Δ .

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

246

Отсюда, d0 (T (F1 )) = d0 (T (M )) = sup d0

(

x∈F1

)

′ T (Sr(x) (x)), Δ

и

r2 . r1 Континуум T (F1 ) отделяет точки T (x′ ), T (x′′ ) от точки T (O) = {0} в Δ и является допустимым в вышеуказанном смысле. Поэтому d0 (T (F1 )) ≤ (C(n) I(T ; D, Δ))1/n ln−1/n

σ2 (T (x′ ), T (x′′ ); Δ) ≤ d0 (T (F1 )) . Учитывая, что r2 =

√

r1 ,

r1 ≤ σ2 (x′ , x′′ ; D) + ε ,

убеждаемся в справедливости оценки (7.6.49). □ Доказательство теоремы 7.6.1. Предположим сначала, что x′ , x′′ суть точки области D, для которых σ(x′ , x′′ ; D) < a1 .

(7.6.50)

Покажем, что σ (T (x′ ), T (x′′ ); Δ) ≤ (C(n)I(T ; D, Δ))1/n ln−1/n

1 . σ(x′ , x′′ ; D)

(7.6.51)

Рассмотрим два случая. (a) Пусть σ(x′ , x′′ ; D) = σ2 (x′ , x′′ ; D). Воспользуемся леммой 7.6.11. Так как σ (T (x′ ), T (x′′ ); Δ) ≤ σ2 (T (x′ ), T (x′′ ); Δ) , то предположение (7.6.50) влечет выполнение (7.6.51). (b) Пусть σ(x′ , x′′ ; D) = σ1 (x′ , x′′ ; D). Если σ 1/2 (x′ , x′′ ; D) < σ2 (x′ , x′′ ; D) , то в соответствии с леммой 7.6.11 предположение (7.6.50) влечет (7.6.51). Если 1/2 σ1 (x′ , x′′ ; D) < σ2 (x′ , x′′ ; D) , то σ(x′ , x′′ ; D) = σ1 (x′ , x′′ ; D) < γ

7.6. СЕМЕЙСТВА ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМОВ

247

и шар Qr2 радиуса ]1/2 1 ′′ r2 = ∣x − x′ ∣ 2 с центром в точке (x′ +x′′ )/2 содержится в каждом из двух шаров радиуса [

1/2

r = σ1 (x′ , x′′ ; D) с центрами в точках x′ и x′′ соответственно. Легко видеть, что в этом случае Qr2 ⊂ D и, пользуясь (7.6.50), на основании следствия 7.6.1 приходим к (7.6.51). Таким образом, всегда при выполнении (7.6.50) имеет место (7.6.51). Применим сказанное к обратному отображению T −1 . При σ(T (x′ ), T (x′′ ); Δ) < a3

(7.6.52)

имеем ( )1/n −1/n σ(x′ , x′′ ; D) ≤ C(n)I(T −1 ; D, Δ) ln

1 . (7.6.53) σ(T (x′ ), T (x′′ ); Δ)

Неравенство (7.6.52) выполнено, если выполнено (7.6.50) (и значит, (7.6.51) и если ( )1/n −1/n 1 C(n)I(T −1 ; D, Δ) ln < a3 . (7.6.54) σ(x′ , x′′ ; D) В свою очередь соотношение (7.6.54) эквивалентно неравенству σ(x′ , x′′ ; D) < exp {−C(n) a−n 3 I(T ; D, Δ)} = a2 .

(7.6.55)

Тем самым, при x′ , x′′ ∈ D и выполнении (7.6.45) имеет место неравенство (7.6.53), эквивлентное левому из неравенств (7.6.46). Соотношения (7.6.51) и (7.6.53) ведут к двойному неравенству (7.6.46). Так как x′ , x′′ суть произвольные точки области D, удовлетворяющие (7.6.45), то (7.6.46) выполнено для произвольной пары точек x′ , x′′ мет̃ σ , подчиненной условию (7.6.45). рического пространства D □ Замечание 7.6.1 Двойное неравенство (7.6.46) гарантирует, что в условиях теоремы 7.6.1 отображения T и T −1 продолжимы до гомеоморфиз̃σ и Δ ̃ σ . За продолженным ма между метрическими пространствами D отображением мы будем сохранять обозначения T и T −1 .

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

248

□ 7.6.5

Следствия: искажение евклидова расстояния

Ведем обозначения 1 = ϕI2 (τ ) , τ где I > 0 – постоянная. Легко видеть, что ϕ−1 I2 (τ ) = ϕI1 (τ ). Предположим, что область D ограничена и содержит точку O. Следуя [Suv85, глава VI, §1], вводим обозначения exp {C(n)I τ −n } = ϕI1 (τ ) ,

Gα (D) = {x ∈ D : d(x, ∂D) > α} ,

(C(n) I)1/n ln−1/n

Fα (D) = {x ∈ D : d(x, ∂D) ≥ α} ,

(здесь, 0 < α < d(O, ∂D) и, как и выше, d – евклидово расстояние). Символами G0α (D), Fα0 (D) обозначаем компоненты связности множеств Gα (D), Fα (D), содержащие точку O. Далее полагаем Sα0 (D) = Fα0 (D) ∖ Gα (D) , ̃ σ ∖ D) > α} , Gα (D, σ) = {x ∈ D : σ(x, D ̃ σ ∖ D) ≥ α} , Fα (D, σ) = {x ∈ D : σ(x, D и G0α (D, σ), Fα0 (D, σ) – компоненты связности множеств Gα (D, σ), Fα (D, σ), содержащие точку O; Sα0 (D, α) = Fα0 (D, σ)Gα (D, σ) . Нетрудно проверить следующие свойства введенных множеств: Предложение 7.6.1 Если область D ограничена и содержит точку O, то i) Gα (σ) = G0α (σ) = G0α (D, σ); ii) Sα0 (σ) = Fα (σ) ∖ Gα (σ) = Fα0 ∖ G0α , Sα0 (D, σ) ⊂ Sα0 (σ); iii) Fα (σ) = Fα0 (σ) = Fα0 (D, σ); 0 iv) Fα0 (D, σ) = ∪0 0 такое, что σ(x, D ∖ D) < α − δ. Тем самым, по теореме 7.6.1 выполнено ( ) ̃ σ ∖ Δ ≤ ϕI2 (α − δ) < ϕI2 (α) . σ y, Δ Это означает, что y ∈ / FϕI2 (α) (Δ, σ) и мы имеем противоречие с первоначальным предположением, т.е. FϕI2 (α) (Δ, σ) ⊂ T (Fα (D, σ)) . Чтобы убедиться в справедливости другого включения, заметим сперва, что из предположения x ∈ Sα (D, σ) по теореме 7.6.1 имеем ( ) σ ̃ ϕI1 (α) ≤ σ y, Δ ∖ Δ ≤ ϕI2 (α) , y = T (x) . Тем самым, y ∈ FϕI1 (α) (Δ, σ) = Fϕ0I1 (α) и, значит, T (Sα (D, σ)) ⊂ Fϕ0I1 (α) .

(7.6.56)

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

250

Теперь несложно убедиться, что T (G0α ) ⊂ Fϕ0I1 (α) . Действительно, предполагая противное, найдем y0 ∈ T (G0α ), для которой d(y0 , ∂Δ) < ϕI1 (α) . Пусть точка y1 ∈ ∂Δ такова, что d(y0 , y1 ) = d(y0 , ∂Δ) . На отрезке y0 y1 найдется точка y2 ∈ T (G0α ), для которой d(y2 , ∂Δ) < d(y0 , ∂Δ) < ϕI1 (α) , что противоречит (7.6.56).

□

В силу теоремы 7.6.1 и предложений 7.6.1, 7.6.2 имеем следующее утверждение. Следствие 7.6.3 Если в условиях теоремы 7.6.1 области D и Δ ограничены, то ( ) Fϕ0I2 (α) (Δ) ⊂ T Fα0 (D) ⊂ Fϕ0I1 (α) (Δ) , и если x ∈ Sα0 (D), то ϕI1 (α) ≤ d (T (x), ∂Δ) ≤ ϕI2 (α) . Важными следствиями теоремы 7.6.1 являются двусторонние оценки евклидова расстояния внутри области. Именно, мы имеем Следствие 7.6.4 Если в условиях теоремы 7.6.1 области D и Δ ограничены, то для произвольной пары точек x′ , x′′ ∈ Fα0 (D), α < d(O, ∂D), и ∣x′ − x′′ ∣ < min{a1 , ϕI1 (a2 ), α, ϕI1 (ϕI1 (α))} , (7.6.57) выполнены оценки ϕI1 (∣x′ − x′′ ∣) ≤ ∣T (x′ ) − T (x′′ )∣ ≤ ϕI2 (∣x′ − x′′ ∣) .

(7.6.58)

7.7. ТЕОРЕМА КАРАТЕОДОРИ – СУВОРОВА О СХОДИМОСТИ К ЯДРУ

Доказательство. В силу следствия 7.6.4, ( ) T Fα0 (D) ⊂ Fϕ0I1 (α) (Δ) .

251

(7.6.59)

Так как точки x′ , x′′ ∈ Fα0 (D) и ∣x′ − x′′ ∣ < α, то на основании предложения 7.6.2 заключаем σ(x′ , x′′ ; D) = ∣x′ − x′′ ∣ .

(7.6.60)

σ (T (x′ ), T (x′′ ); Δ) ≤ ϕI1 (α) .

(7.6.61)

Предположим, что

В силу теоремы 7.6.1 данное соотношение выполнено, если σ(x′ , x′′ ; D) < min{a1 , ϕI1 (a2 )} ,

ϕI2 (σ(x′ , x′′ ; D)) ≤ ϕI1 (α) .

(7.6.62)

Последнее неравенство эквивалентно условию σ(x′ , x′′ ; D) ≤ ϕ−1 I2 (ϕI1 (α)) = ϕI1 (ϕI1 (α)) .

(7.6.63)

Выполнение (7.6.57) влечет справедливость (7.6.62) и (7.6.63) и, значит, выполнение (7.6.61). На основании (7.6.59) и (7.6.61) заключаем, что σ (T (x′ ), T (x′′ ); Δ) = ∣T (x′ ) − T (x′′ )∣ .

(7.6.64)

Пользуясь теоремой 7.6.1 и соотношениями (7.6.60), (7.6.64), приходим к (7.6.58). □ 7.7

Теорема Каратеодори – Суворова о сходимости к ядру

Ниже мы следуем Суворову [Suv65, часть I, глава VII] и [Suv86, глава I, §3]. В случае конформных отображений двумерных областей с переменными границами см. также [Mar50, глава V, §2], [IAl76, §7],. 7.7.1

Сходимость к ядру последовательности областей

Напомним необходимые понятия. Рассмотрим последовательность {Dm } (m = 1, 2, . . .) областей евклидова пространства ℝn , содержащих некоторый шар Qr0 радиуса r0 > 0 с центром в точке O.

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

252

Определение 7.7.1 Ядром1 последовательности {Dm }∞ m=1 относительно O называется область D0 , O ∈ D0 , являющаяся объединением всех областей D0′ , O ∈ D0′ , обладающих свойством: каждая точка x ∈ D0′ ′ вместе с некоторой своей окрестностью в ℝn принадлежит всем Dm при достаточно больших m = m(x). Последовательность {Dm } сходится к ядру D0 относительно точки O, если всякая ее подпоследовательность {Dml } (l = 1, 2, . . .) имеет своим ядром область D0 . Замечание 7.7.1 Нетрудно усмотреть, что ядро D0 есть содержащая точку O компонента связности множества ∞ ∪∞ l=1 (int ∩m=l Dm )

и что Qr0 ⊂ D0 . □ Имеет место Лемма 7.7.1 Если последовательность {Dm } имеет (невырожденное) ядро относительно точки O, то существует подпоследовательность {Dml }, сходящаяся к некоторому (невырожденному) ядру D0 относительно точки O. Доказательство. Обозначим через D01 ядро последовательности {Dm } относительно точки O. Если {Dm } не сходится к D01 как к ядру, то найдется подпоследовательность {Dml }, имеющая ядром некоторую область D02 ∕= D01 , содержащую точку O. Нетрудно видеть, что D01 ⊂ D02 . Если же {Dml } не сходится к области D02 как к ядру, то существует подпоследовательность {Dmls } такая, что ее ядро D03 ∕= D02 , O ∈ D03 , D02 ⊂ D03 , и т.д. Тем самым, имеется последовательность областей D01 ⊂ D02 ⊂ D03 ⊂ . . . . Если диагональная последовательность {Dmω } сходится к своему ядру D0ω = ∪∞ i=1 D0i , то лемма доказана. В противном случае существует подпоследовательность {Dmω1 } последовательности D0ω , имеющая ядром некоторую область D0ω1 ∕= D0ω . 1

Или невырожденным ядром.

7.7. ТЕОРЕМА КАРАТЕОДОРИ – СУВОРОВА О СХОДИМОСТИ К ЯДРУ

253

Пространство ℝn имеет счетную базу. В силу теоремы Бэра - Хаусдорфа [A77, стр. 16] процесс образования новых ядер должен оборваться не далее чем на порядковом числе второго класса. Это завершает доказательство леммы. □ 7.7.2

Равностепенная непрерывность и равностепенная открытость

Рассмотрим семейство гомеоморфизмов {T : DT → ℝn }, определенных в областях DT ⊂ ℝn , содержащих точку O. Определение 7.7.2 Семейство {T } называется равностепенно непрерывным внутри областей определения {DT } относительно точки O, если для всякого ε > 0 и любого η > 0 найдется δ = δ(ε, η) такое, ′ что при произвольном выборе семейства континуумов {DT′ }, DT ⊂ DT , O ∈ DT′ , так, что d(DT′ , ∂DT ) ≥ η, из условий x′ , x′′ ∈ DT′ , d(x′ , x′′ ) < δ следует ∣T (x′ ) − T (x′′ )∣ < ε. Определение 7.7.3 Семейство {T } называется равностепенно открытым внутри областей определения {DT } относительно точки O, если для любого достаточно малого η > 0 и любого ε > 0, 0 < ε ≤ ε0 (η), найдется δ(ε, η) такое, что при произвольном выборе семейства кон′ тинуумов {DT′ }, DT ⊂ DT , O ∈ DT′ , так, что d(DT′ , ∂DT ) ≤ η, образ ε-окрестности точки x ∈ DT′ покрывает δ-окрестность точки T (x), причем δ не зависит ни от точки x ∈ DT′ , ни от отображения T ∈ {T }. Лемма 7.7.2 Пусть {T : DT → ΔT } – семейство гомеоморфных отображений ограниченных областей DT ⊂ ℝn на ограниченные области ΔT ⊂ ℝn . Предположим, что каждая из областей {DT } гомеоморфна n-мерному шару, содержит шар радиуса δ0 > 0 с центром в точке O, каждая из областей {ΔT } – шар радиуса δ1 > 0 с центром в точке O′ , а отображения T ∈ {T } удовлетворяют условиям: T (O) = O′ и I(T ; DT , ΔT ) ≤ k < ∞,

k = const < ∞,

∀ T ∈ {T } .

Тогда семейство {T } обладает свойствами равностепенной непрерывности и равностепенной открытости относительно точки O внутри областей {DT }.

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

254

Доказательство. Утверждение о равностепенной непрерывности семейства {T } относительно точки O вытекает непосредственно из следствия 7.6.4. Установим равностепенную открытость семейства отображений. Рассмотрим множества Fα0 (DT ) и Fβ0 (DT ), β = α/2. Очевидно, что Fα0 (DT ) ⊂ Fβ0 (DT ), а если точка a ∈ ∂Fβ0 (DT ), то ( ) d a, ∂Fβ0 (DT ) ≥ d(a, ∂DT ) − d(∂DT , ∂Fβ0 (DT )) = β . (7.7.65) Пусть x ∈ Fα0 (DT ) – произвольная точка. Зафиксируем ε > 0 так, чтобы ε ≤ min{a1 , ϕk1 (a2 ), β, ϕk1 (ϕk1 (β))} и возьмем шар Qε (x) радиуса ε > 0 с центром в точке x. В соответствии с выбором ε и на основании (7.7.65) имеем Qε (x) ⊂ Fβ0 (DT ). Полагая x′ = x, x′′ ∈ ∂Qε (x), находим ϕk1 (ε) ≤ d (T (x), T (∂Qε (x))) . Тем самым, T (Qε (x)) содержит шар радиуса ϕk1 (ε) с центром в точке T (x), и утверждение доказано. □ 7.7.3

Теорема Каратеодори – Суворова

Сформулируем основной результат раздела. Теорема 7.7.1 Пусть {Dm } (m = 1, 2, . . .) – бесконечная последовательность областей из ℝn , каждая из которых гомеоморфна шару, содержится в фиксированном шаре с центром в точке O и содержит внутри фиксированный шар с центром в той же точке; {Δm } – последовательность областей с аналогичными свойствами относительно некоторой фиксированной точки O′ . Пусть {Tm }, Tm (O) = O′ , – последовательность гомеоморфных отображений первой последовательности на вторую, Tm (Dm ) = Δm и I(Tm ; Dm , Δm ) ≤ k < ∞,

k = const < ∞,

∀ m = 1, 2, . . . .

Тогда из {Tm : Dn → Δm } можно выбрать такую подпоследовательность {Tml : Dml → Δml } (l = 1, 2, . . .), что

7.7. ТЕОРЕМА КАРАТЕОДОРИ – СУВОРОВА О СХОДИМОСТИ К ЯДРУ

255

i) последовательности {Dml } и {Δml } сходятся к ядрам D0 и Δ0 относительно точек O и O′ соответственно; ii) последовательности {Tml } и {Tm−1l } сходятся равномерно внутри D0 и Δ0 соответственно к гомеоморфным отображениям T0 : D0 → Δ0 и T0−1 : Δ0 → D0 ; iii) отображения T0 , T0−1 принадлежат классу ACLn в областях D0 и Δ0 соответственно. Доказательство. В соответствии с леммой 7.7.1 найдется последовательность ml такая, что {Dml } и {Δml } сходятся, как к ядру, к областям D0 и Δ0 соответственно. Таким образом, утверждение i) очевидно. Построим исчерпание D0 последовательностью континуумов Fl (l = 1, 2, . . .) так, чтобы F1 ⊂ F2 ⊂ . . . ,

Fl ⊂ D0 ,

∪∞ l=1 Fl = D0 .

Аналогично, построим исчерпание Δ0 континуумами Ki (i = 1, 2, . . .) так, чтобы K1 ⊂ K2 ⊂ . . . ,

Ki ⊂ Δ0 ,

∪∞ i=1 Ki = Δ0 .

Рассмотрим последовательности {Tml } и {Tm−1l }. Эти последовательности равностепенно непрерывны внутри D0 и Δ0 соответственно и, очевидно, равномерно ограничены в областях D0 и Δ0 . Удалим из {Tl } те отображения, которые не определены на F1 , и те, для которых Tm−1l не определены на K1 . Из оставшихся, используя теорему Арцела о последовательности непрерывных отображений компактов, выберем подпоследовательность Tml1 , равномерно сходящуюся на F1 и такую, что Tm−1l1 равномерно сходится на K1 . Затем из Tml1 выберем подпоследовательность Tml2 равномерно сходящуюся на F2 такую, что Tm−1l1 равномерно сходится на K2 и т.д. Пусть {Ts } – диагональная последовательность для построенного таким образом счетного множества {Tmli } (i = 1, 2, . . .) подпоследовательностей. В силу леммы 7.7.2 семейство отображений {Ts } равностепенно открыто, а потому {Ts } равномерно сходится внутри D0 к некоторому топологическому отображению T , а {Ts−1 } равномерно сходится внутри Δ0 к топологическому отображению τ .

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

256

Докажем, что T (D0 ) = Δ0 и τ = T −1 в Δ0 . Этим будет обосновано утверждение ii). Обозначим через A множество T (D0 ). Зафиксируем произвольно точку y ∗ ∈ A и положим x∗ = T −1 (y ∗ ), т.е. T (x∗ ) = y ∗ . Выберем ε-окрестность U (x∗ , ε) точки x∗ так, чтобы U (x∗ , ε) ⊂ D0 . Начиная с некоторого номера s, на U (x∗ , ε) определены отображения Ts , причем образы этой окрестности при отображениях Ts содержат некоторые δ0 -окрестности U (ys , δ0 ) точек ys = Ts (x∗ ). Пусть N = N (x∗ ) > 0 достаточно велико. Покажем, что при n > N все U (ym , δ0 ) содержат окрестность U (y ∗ , δ20 ). Предполагая противное, найдем последовательность точек ỹs , ỹs ∈ U (y ∗ , δ20 ) такую, что ∣ys − ỹs ∣ ≥ Мы имеем

δ0 2

при всех s .

(7.7.66)

∣ys − ỹs ∣ ≤ ∣ys − y ∗ ∣ + ∣y ∗ − ỹs ∣ .

Однако, ∣ys − y ∗ ∣ → 0 и ∣y ∗ − ỹs ∣
0 и граничные точки Oim ∈ ∂Dm и ′ ′ ′ ∣ ≥ ε при i ∕= j, − Ojm ∈ ∂Δm такие, что ∣Oim − Ojm ∣ ≥ ε, ∣Oim Oim ′ (i, j = 1, 2, 3; m = 1, 2, . . .) и Tm (Oim ) = Oim при всех i = 1, 2, 3 и всех m = 1, 2, . . . ; b) отображения Tm , Tm−1 принадлежат классу Wn1 в областях Dm и Δm соответственно, причем для всех m = 1, 2, . . . выполнено I(Tm ; Dm , Δm ) ≤ k, k ≡ const < ∞ . Тогда существует подпоследовательность {Tms (x) : Dms → Δms } (s = 1, 2, . . .) , со свойствами i), ii) и iii), указанными в теореме 7.7.1. Доказательство. Каждое из отображений Tm : Dm → Δm может быть записано в виде Tm = Gm ∘ hm ∘ Fm , где y = Fm (x) : Dm → B есть некоторое C-квазиизометричное отображение области Dm на единичный шар B в ℝn , z = hm (y) – отображение шара B на себя и t = Gm (z) : B → Δm – отображение B на Δm . Так как отображения Fm и Gm являются C-квазиизометричными, то все Dm и все Δm содержатся в фиксированных шарах с центрами в x = 0 и y = 0 соответственно и содержат строго внутренние шары BrD и BrΔ . Более того нетрудно видеть, что отображения Fm и Gm удовлетворяют условию b) теоремы 7.7.1.

7.7. ТЕОРЕМА КАРАТЕОДОРИ – СУВОРОВА О СХОДИМОСТИ К ЯДРУ

259

Согласно теореме 7.7.1 найдется подпоследовательность {Fms } такая, что области Dms сходятся к некоторому ядру D0 , а Fms → F0 , где F0 есть C-квазиизометрия D0 на B. Поскольку Fm и Gm суть C-квазиизометрири, то ⎫ ⎧ ∫ ⎬ ⎨∫ n −1 n n n ≤ k1 (C) max λ (y, hm ) dH , λ (z, hm ) dH ⎭ ⎩ B

B

при m = 1, 2, . . .. При всяких i ∕= j, (i, j = 1, 2, 3; m = 1, 2, . . .) имеем ∣oim − ojm ∣ ≥ ε1 (C) ,

oim = Fm (Oim ) ,

∣o′im − o′jm ∣ ≥ ε1 (C) ,

o′im = hm (oim ) .

В силу теоремы 7.4.1 отображения hm продолжимы до гомеоморфизма B на себя (см. замечание 7.4.1). Пользуясь оценкой (7.4.6) и соответствующей оценкой для обратного отображения h−1 m ), заключаем о выполнении условия b) теоремы 7.7.1 и существовании подпоследовательности {h∗s′l } = {hs′l ∘ Fs′l },

s′l = msl ,

l = 1, 2, . . . ,

такой, что h∗s′ и (h∗s′ )−1 сходятся равномерно внутри ядра D0 и шара B l l соответственно к предельным отображениям классов Wn1 (D0 ) и Wn1 (B). Рассмотрим теперь последовательность {Ts′l } = {Gs′l ∘ h∗s′l },

l = 1, 2, . . . .

Как и выше, находим подпоследовательность {Ts′l′ } со свойствами i), ii) и iii) теоремы 7.7.1 (здесь {l′ } – некоторая подпоследовательность числовой последовательности {l}). Теорема 7.7.2 доказана. □ Замечание 7.7.2 Величина I(T ; D, Δ) содержит два интегральных слагаемых. Нетрудно привести примеры, показывающие, что отсутствие какоголибо из них не позволяет сделать вывод ни о гомеоморфности предельного отображения y = T (x), ни о справедливости соотношении T (D) = Δ. В частности, предельное отображение T может отображать область D на часть Δ, либо быть отображением части D на всю область Δ. □

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

260

7.8

Теорема Овчинникова

Ниже приводится, принадлежащая Овчинникову [Ovch72], оценка снизу для величины I(T ; B, Δ) отображений, удовлетворяющих условиям (7.6.25), (7.6.26). В качестве следствия, указываются некоторые признаки невозможности отображения шара B = B(0, 1) ⊂ ℝn на область Δ. 7.8.1

Оценка снизу интеграла Дирихле

Пусть Δ – область в ℝn , n ≥ 3, для которой O ∈ Δ и расстояние d(O, ∂Δ) = 1. Пусть G0α (Δ) – содержащая точку y = 0 компонента связности множества Gα (Δ) = {y ∈ Δ : d(y, ∂Δ) > α} ,

0 < α < 1.

Для произвольной точки a ∈ Δ ∖ G0α (Δ) полагаем η(α; a) = inf d(K) , где точная нижняя грань берется по всевозможным относительным континуумам K ⊂ Δ, разделяющим точки a и y = 0 в Δ и таким, что множества K ∩ G0α (Δ) и K ∩ ∂Δ непусты. Пусть μ(α; Δ) = sup η(α; a) , где точная верхняя грань берется по всем точкам a ∈ Δ ∖ G0α (Δ). Теорема 7.8.1 Пусть y = T (x) – гомеоморфное отображение шара B на область Δ такое, что T, T −1 ∈ ACLn

и I(T ; B, Δ) < ∞ .

(7.8.68)

Тогда [ ] } 1 1 μn (α; Δ) 1 1 ln + ln ln , ln ≤ sup min nC(n) + μn (α; Δ) C(n) α C(n) α α {

≤ I(T ; B, Δ) , где C(n) – постоянная из неравенства (7.6.43).

(7.8.69)

7.8. ТЕОРЕМА ОВЧИННИКОВА

261

Доказательство. Положим для краткости ∂G0α (Δ) = Sα0 . Пусть b ∈ ( ) T −1 Sα0 точка, в которой d(b, ∂B) = sup d(x, ∂B) ( ) и точная верхняя грань берется по всем точкам x ∈ T −1 Sα0 (Δ) . Обозначим c = T (b) и возьмем точку d ∈ ∂Δ такую, что ∣c − d∣ = d(c, ∂Δ) . Рассмотрим семейство концентрических сфер {Sr } с центром в точке d и радиусами r ∈ [α, 1]. Точка y = 0 лежит вне сфер Sr , за исключением сферы S1 , причем внутри каждой из сфер Sr имеются точки области Δ. В силу связности области Δ пересечения Sr ∩ Δ не пусты при всех r ∈ [α, 1]. Ясно, что множества Sr ∩ ∂Δ также не пусты при r ∈ [α, 1]. Действительно, легко видеть, что поскольку область Δ гомеоморфна шару, то n n замыкание в расширенном пространстве ℝ множества ∂Δ связно в ℝ . По той же причине область Δ не содержит внешности никакого шара в ℝn . Рассмотрим произвольную из сфер Sr . Внутри нее лежит точка d ∈ ∂Δ. Если бы пересечение Sr ∩ ∂Δ было пустым, то тогда либо множество лежало бы внутри сферы Sr , и тогда Δ содержала бы внешность некоторого шара, либо вне сферы Sr имелись бы точки ∂Δ, и тогда множество ∂Δ было бы несвязным. Так как ни то, ни другое невозможно, то Sr ∩ ∂Δ ∕= ∅. Заметим также, что при α < r < 1 не пусты пересечения Sr ∩ G0α (Δ). Действительно, внутри каждой из сфер Sr имеются точки множества G0α (Δ), поскольку внутри Sr имеется точка c = T (b), лежащая на Sα0 (Δ)∩ Sr . Вне сферы Sr также имеются точки из G0α (Δ) (например, точка y = 0 при α < r < 1). В силу связности G0α (Δ) множество Sr ∩ G0α (Δ) ∕= ∅. Пусть теперь ar ∈ T −1 (Sr∗ ), где Sr∗ есть компонента связности множества Sr ∩ Δ, отделяющая точку b от y = 0 в Δ, и ar есть такая точка, для которой d(ar , ∂B) = sup d(x, ∂B) . x∈T −1 (Sr∗ )

Обозначим через br = T (ar ). Пусть cr – такая точка множества ∂Sr∗ – границы открытого множества Sr∗ на сфере Sr , что dr (br , cr ) = dr (cr , ∂Sr∗ ) ,

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

262

где через dr обозначено геодезическое расстояние на сфере Sr . Пусть γr – кратчайшая дуга на Sr , соединяющая точки br , cr , а точка dr ∈ γr есть середина дуги γr . Символом Kr обозначим (n − 1)-мерный открытый сферический шар на Sr сферического радиуса dr (br , cr )/2 с центром в точке dr . Легко видеть, что Kr ⊂ Sr∗ и что 1 πr dr (br , cr ) ≤ . 2 2 Оценим величину d(b, ∂B). Так как точка c = T (b) отделяется гиперповерхностью Sr∗ от точки y = 0 в Δ при r ∈ (α, 1), то и точка b отделяется от T −1 (Sr∗ ) от x = 0 в B. Поэтому d(b, ∂B)
0 найдется r ∈ (α, 1) такое, что d(b, ∂B) ≤ [(C(n) + ε) I(T ; B, Δ)]1/n ln−1/n

1 , α

откуда, в силу произвола в выборе ε > 0, получаем d(b, ∂B) ≤ (C(n)I(T ; B, Δ))1/n ln−1/n

1 . α

(7.8.70)

По определению функции μ(α; Δ) для любого ε > 0 найдется точка a ∈ Δ ∖ G0α (Δ), для которой μ(α; Δ) ≤ η(α; a) + ε .

(7.8.71)

Положим t = T −1 (a). Пусть e – точка пересечения со сферой ∂B луча, исходящего из начала координат x = 0 и проходящего через точку t.

7.8. ТЕОРЕМА ОВЧИННИКОВА

263

Рассмотрим семейство концентрических сфер {Fr } с центром в точке e и радиусами r ∈ [r′ , 1], где r′ = (C(n)I(T ; B, Δ))1/n ln−1/n

1 . α

Здесь предполагается, что r′ < 1, что равносильно выполнению неравенства 1 (C(n)I(T ; B, Δ))1/n ln−1/n < 1 α или α < exp {−C(n) I(T ; B, Δ)} . (7.8.72) Функция d (T (Fr′ )), Fr′ = Fr ∩ D, очевидно, измерима в смысле Лебега, как функция переменного r. По теореме 7.6.2 найдется r ∈ (r′ , 1) такое, что 1/n 1/α 1/n −1/n ln ′ , (7.8.73) d (T (Fr )) ≤ [(C(n) + ε) I] ln (C(n) I)1/n где I = I(T ; B, Δ) . Неравенство (7.8.70) влечет, что d(t, ∂B) ≤ (C(n)I)1/n ln−1/n

1 . α

Поэтому каждая из сфер Fr содержит точку t внутри себя, а множество Fr′ отделяет точку t от точки x = 0 в шаре B. Тем самым, и относительный континуум T (Fr′ ) отделяет точку a от точки y = 0 в области Δ. В силу (7.8.70) пересечения Fr′ ∩ T −1 (G0α (Δ)) не пусты при r ∈ (r′ , 1), а также не пусты множества Fr′ ∩∂B. Поэтому не пусты множества T (Fr′ )∩G0α (Δ) и T (Fr′ ) ∩ ∂Δ, а это показывает, что η(α; a) ≤ d(T (Fr′ )) .

(7.8.74)

В силу (7.8.71), (7.8.73) и (7.8.74) получаем 1/n

μ(α; Δ) − ε ≤ [(C(n) + ε) I]

−1/n

ln

ln1/n 1/α (C(n) I)1/n

,

ГЛАВА 7. ACLN -ГОМЕОМОРФИЗМЫ

264

откуда на основании произвола в выборе ε > 0 имеем 1/n

μ(α; Δ) ≤ [(C(n) I]

−1/n

ln

ln1/n 1/α

(C(n) I)1/n и [ ] 1 1 n C(n) I ≥ μn (α; Δ) ln ln + ln − ln I . (7.8.75) α C(n) Учитывая, что − ln I > −I, из (7.8.75) приходим к неравенству ( ) μn (α; Δ) 1 1 I≥ ln ln + ln . (7.8.76) nC(n) + μn (α; Δ) α C(n) Таким образом, если выполнено (7.8.72), то имеет место и неравенство (7.8.75). Если же (7.8.72) не выполнено, т.е. α ≥ exp (−C(n) I) ,

(7.8.77)

то из (7.8.77) следует 1 1 ln . (7.8.78) C(n) α Объединяя неравенства (7.8.72), (7.8.76), (7.8.77) и (7.8.78), получаем ( ) μn (α; Δ) 1 1 1 1 I ≥ min{ ln ln + ln , ln } , (7.8.79) n nC(n) + μ (α; Δ) α C(n) C(n) α I≥

если 0 < α < 1. Соотношение (7.8.79) влечет (7.8.69), и теорема доказана. □ 7.8.2

Два примера невозможности отображения

Неравенство (7.8.69) влечет справедливость следующего утверждения: Теорема 7.8.2 Если область Δ такова, что ( )1/n 1 lim sup μ(α; Δ) ln ln = ∞, α α→0

(7.8.80)

то не существует гомеоморфного отображения y = T (x) шара B на область Δ, удовлетворяющего условиям (7.8.68).

7.8. ТЕОРЕМА ОВЧИННИКОВА

265

Для доказательства достаточно заметить, что в случае существования такого отображения T шара B на область Δ соотношения (7.8.69), (7.8.80) влекут: I(T ; B, Δ) = ∞. Тем самым имеем противоречие с (7.8.68). □ Данная теорема позволяет строить различные области Δ ⊂ ℝn , n ≥ 3, гомеоморфные шару, на которые невозможно отобразить шар посредством гомеоморфизма, удовлетворяющего условиям (7.8.68). Укажем два примера таких областей. Примеры заимствованы из статьи Овчинникова [Ovch72]. Пример 7.8.1 Рассмотрим куб Q = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ ℝ3 : ∣xi ∣ < 1 (i = 1, 2, 3)}. Пусть {ak } – последовательность положительных чисел 0 < ak < 1/3 (k = 1, 2, . . .), монотонно сходящаяся к 0. Положим Bk = {x ∈ ℝ3 : ∣x1 ∣ < bk , a2k−1 < x2 < a2k , 1 ≤ x3 < bk }, где bk = {ln [− ln(a2k ) − a2k−1 ]}−1/6 . Множество Δ, Δ = Q ∪ (∪∞ k=1 Bk ) есть замкнутая область, гомеоморфная замкнутому шару, причем для Δ выполнено соотношение (7.8.80) и, значит, не существует отображения со свойствами (7.8.68) шара на эту область. □ Пример 7.8.2 Рассмотрим область, имеющую вид клина с нулевым углом Δ = {x ∈ ℝ3 : ∣x1 ∣ < 1, ∣x2 ∣ < 1, ∣x3 ∣ < φ(x2 )} , где φ(x2 ) = exp{−exp(x2 + 1)−6 } . Легко проверяется, что эта область удовлетворяет соотношению (7.8.80). Отображение со свойствами (7.8.68) шара на область такого вида невозможно и в том случае, если в качестве φ(x2 ) взять функцию, имеющую более высокий порядок касания с осью 0x2 , чем функция, выбранная в данном примере. □

Глава 8

Обобщенные решения Ниже изучаются обобщенные (липшицевы) решения нелинейных уравнений с частными производными эллиптического типа. Основные результаты связаны с проблемой единственности решения краевой задачи — доказывается принцип максимума для разности решений, теорема типа Фрагмена – Линделефа для разности решений и др. 8.1

Классы нелинейных уравнений

Опишем рассматриваемые классы нелинейных уравнений. 8.1.1

Решения и субрешения

Пусть D ⊂ ℝn – область и Ξ ⊂ ℝn – некоторое непустое множество. Пусть μ(x, ξ, η) : D × Ξ × Ξ → ℝ – измеримая по Лебегу функция такая, что для всякой подобласти D′ ⋐ D и фиксированных ξ, η ∈ Ξ выполнено 0 < ess inf ′ μ(x, ξ, η) ≤ ess sup μ(x, ξ, η) < ∞ . x∈D

(8.1.1)

x∈D′

Пусть A : D × Ξ → ℝn – отображение, удовлетворяющее следующим предположениям: (i) для почти всех x ∈ D отображение ξ ∈ Ξ → A(x, ξ) определено и непрерывно; (ii) отображение x ∈ D → A(x, ξ) измеримо; (iii) для почти всех x ∈ D и всех ξ, η ∈ Ξ имеет место неравенство ∣A(x, ξ) − A(x, η)∣2 ≤ μ(x, ξ, η) ⟨ξ − η, A(x, ξ) − A(x, η)⟩ , 266

(8.1.2)

8.1. КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

267

В отдельных случаях мы будем требовать дополнительно, чтобы символ A(x, ξ) был подчинен условию A(x, ξ) = A(x, η) тогда и только тогда, когда ξ = η .

(8.1.3)

Предположения (i) и (ii) гарантируют измеримость отображения x ∈ D → A(x, g(x)) для произвольного измеримого на D векторного поля g. Обозначим через A дифференциальное выражение, определяемое соотношением n ∑ d A[f ] = Ai (x, ∇f ) . dx i i=1 Определение 8.1.1 Будем говорить, что функция f (x) класса Liploc D является обобщенным субрешением (суперрешением) уравнения A[f ] = 0, если для любой неотрицательной функции φ(x) ∈ Lip0 D выполнено ∫ ∑ n φxi Ai (x, ∇f ) dx1 dx2 · · · dxn ≤ 0 (≥ 0). (8.1.4) D

i=1

Функция f (x) является обобщенным решением уравнения A[f ] = 0, если она одновременно суб - и суперрешение этого уравнения. Данный подход к введению понятия обобщенного решения восходит к Соболеву и описан в его монографии [Соб50]. Определение 8.1.2 Будем говорить, что пара функций f1 (x), f2 (x) класса Liploc D является обобщенным решением неравенства (f1 (x) − f2 (x)) (A[f1 ] − A[f2 ]) ≥ 0 ,

(8.1.5)

если для произвольной неотрицательной функции φ(x) ∈ Lip0 D выполнено ∫ (f1 (x) − f2 (x))⟨∇φ, A(x, ∇f1 ) − A(x, ∇f2 )⟩ dx ≤ 0 . (8.1.6) D

Условие (8.1.6) выполняется, например, в случае, если f1 (x) есть обобщенное субрешение уравнения A[f ] = 0, f2 (x) – суперрешение и f1 (x) − f2 (x) ≥ 0.

268

ГЛАВА 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

Лемма 8.1.1 Предположим, что всюду в области D наряду с точкой ξ ∈ Ξ, точка (−ξ) ∈ Ξ, и всюду в D выполнено A(x, −ξ) = −A(x, ξ). Функция f является слабым решением уравнения A [f ] = 0 тогда и только тогда, когда −f является слабым решением этого уравнения. Доказательство непосредственно вытекает из предположений, накладываемых на дифференциальное выражение A, и определения обобщенного решения. □

8.1.2

p-Гармонические функции

Рассмотрим уравнение, описывающее p-гармонические функции n ∑ ) ∂ ( ∣∇f ∣p−2 fxi = 0 , ∂xi i=1

p > 1.

(8.1.7)

При p = 2 получаем хорошо известное уравнение Лапласа для гармонических функций. Покажем, что вектор-функция A(x, ξ) = ∣ξ∣p−2 ξ удовлетворяет предположениям (8.1.2), (8.1.3). Теорема 8.1.1 Уравнение (8.1.7) удовлетворяет условию (8.1.2) с μ(x, ξ, η) = ∣ξ∣p−2 + ∣η∣p−2 при p ≥ 2, μ(x, ξ, η) = (∣ξ∣2−p + ∣η∣2−p )−1 при 1 < p < 2. Более того, при всяком p > 1 выполнено (8.1.3). Доказательство. Мы воспользуемся рассуждениями из доказательства теоремы 1.1 работы [MV00]. Для произвольного λ ∈ [0, 1] и ξ, η ∈ ℝn полагаем Φ(λ) = ∣λξ + (1 − λ)η∣p−2 (λξ + (1 − λ)η) . Заметим, что Φ(0) = ∣η∣p−2 η и Φ(1) = ∣ξ∣p−2 ξ .

8.1. КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

269

Поэтому мы можем записать

∣ξ∣p−2 ξ − ∣η∣p−2 η = Φ(1) − Φ(0) =

∫1

Φ′ (λ) dλ =

0

∫1 =

[ (ξ − η) ∣λξ + (1 − λ)η∣p−2 + (p − 2)(λξ + (1 − λ)η) ×

0

] × ∣λξ + (1 − λ)η∣p−4 ⟨ξ − η, (λξ + (1 − λ)η)⟩ dλ . (8.1.8)

Тогда имеем

⟨ξ − η, ∣ξ∣p−2 ξ − ∣η∣p−2 η⟩ = ∣ξ − η∣2

∫1

∣λξ + (1 − λ)η∣p−2 dλ+

0

∫1 + (p − 2)

∣λξ + (1 − λ)η∣p−4 ⟨ξ − η, λξ + (1 − λ)η⟩2 dλ. (8.1.9)

0

Если p ≥ 2, то

⟨ξ − η, ∣ξ∣p−2 ξ − ∣η∣p−2 η⟩ ≥ ≥ ∣ξ − η∣2

∫1 0

∣λξ + (1 − λ)η∣p−2 dλ . (8.1.10)

270

ГЛАВА 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

Если p < 2, то легко видеть, что ∣ξ − η∣2

∫1

∣λξ + (1 − λ)η∣p−2 dλ+

0

∫1 + (p − 2)

∣λξ + (1 − λ)η∣p−4 ⟨ξ − η, λξ + (1 − λ)η⟩2 dλ ≥

0

≥ (p − 1) ∣ξ − η∣2

∫1

∣λξ + (1 − λ)η∣p−2 dλ,

0

и, в силу (8.1.9), получаем ⟨ξ − η, ∣ξ∣p−2 ξ − ∣η∣p−2 η⟩ ≥ ∫1 ≥ (p − 1) ∣ξ − η∣2 ∣λξ + (1 − λ)η∣p−2 dλ,

1 < p ≤ 2. (8.1.11)

0

В точности так же на основании (8.1.8) для произвольного p > 1 находим ∣∣ξ∣p−2 ξ − ∣η∣p−2 η∣ ≤ C1 ∣ξ − η∣

∫1

∣λξ + (1 − λ)η∣p−2 dλ ,

0

где C1 = 1 + ∣p − 2∣. Оценим теперь величину ∫1 I(p) =

∣λξ + (1 − λ)η∣p−2 dλ .

0

Заметим сначала, что ∣λξ + (1 − λ)η∣2 = λ2 ∣ξ∣2 + 2λ(1 − λ)⟨ξ, η⟩ + (1 − λ)2 ∣η∣2 ,

(8.1.12)

8.1. КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

271

и таким образом, при всяком λ ∈ [0, 1]: | | |λ∣ξ∣ − (1 − λ) ∣η∣| ≤ ∣λξ + (1 − λ)η∣ ≤ λ∣ξ∣ + (1 − λ)∣η∣ .

(8.1.13)

Пусть p ≥ 2. Не ограничивая общности можно предполагать, что ∣ξ∣ > ∣η∣. Тогда на основании (8.1.13) имеем ∫1 I(p) ≤

(λ(∣ξ∣ − ∣η∣) + ∣η∣)p−2

1 dλ = ∣ξ∣ − ∣η∣

0

∫∣ξ∣

τ p−2 dτ =

∣η∣

=

1 ∣ξ∣p−1 − ∣η∣p−1 . (8.1.14) p − 1 ∣ξ∣ − ∣η∣

Далее, в силу неравенства (8.1.13), находим ∫1 I(p) ≥

| | |λ∣ξ∣ − (1 − λ) ∣η∣|p−2 dλ =

0

∫1

| | |λ(∣ξ∣ + ∣η∣) − ∣η∣|p−2 dλ =

0

∫1 =

(λ(∣ξ∣ + ∣η∣) − ∣η∣)p−2 dλ +

s

∫s

(∣η∣ − λ(∣ξ∣ + ∣η∣))p−2 dλ,

0

где s=

∣η∣ . ∣ξ∣ + ∣η∣

(8.1.15)

Объединяя оценки для двух последних интеграла, приходим к соотношению 1 ∣ξ∣p−1 + ∣η∣p−1 I(p) ≥ . p − 1 ∣ξ∣ + ∣η∣

(8.1.16)

Пусть 1 < p < 2. Как и выше, предполагаем, что ∣ξ∣ > ∣η∣. Тогда в

272

ГЛАВА 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

силу (8.1.13), имеем ∫1 I(p) ≤

| | |λ∣ξ∣ − (1 − λ) ∣η∣|2−p dλ =

∫1

| | |λ(∣ξ∣ + ∣η∣) − ∣η∣|2−p dλ =

0

0

∫s =

(

)2−p ∣η∣ − λ(∣ξ∣ + ∣η∣) dλ +

∫1

(

)2−p λ(∣ξ∣ + ∣η∣) − ∣η∣ dλ,

s

0

где постоянная s была определена в (8.1.15), и потому 1 ∣ξ∣p−1 + ∣η∣p−1 I(p) ≤ . p − 1 ∣ξ∣ + ∣η∣

(8.1.17)

В силу (8.1.14), находим 1 ∣ξ∣p−1 − ∣η∣p−1 I(p) ≥ . p − 1 ∣ξ∣ − ∣η∣

(8.1.18)

Лемма 8.1.2 Имеют место соотношения: C2 (p)

∣ξ∣p−1 − ∣η∣p−1 ∣ξ∣p−1 + ∣η∣p−1 ∣ξ∣p−1 − ∣η∣p−1 ≤ ≤ C3 (p) , ∣ξ∣ − ∣η∣ ∣ξ∣ + ∣η∣ ∣ξ∣ − ∣η∣

p > 1, (8.1.19)

C4 (p) (∣ξ∣p−2 + ∣η∣p−2 ) ≤

∣ξ∣p−1 − ∣η∣p−1 ≤ C5 (p) (∣ξ∣p−2 + ∣η∣p−2 ) , ∣ξ∣ − ∣η∣

p ≥ 2, (8.1.20)

C4 (p) ∣ξ∣p−1 − ∣η∣p−1 C5 (p) ≤ ≤ , ∣ξ∣2−p + ∣η∣2−p ∣ξ∣ − ∣η∣ ∣ξ∣2−p + ∣η∣2−p

1 < p < 2 , (8.1.21)

где C2 (p) = inf λ1 (x) , 1 3.

⎧ ( ) ⎨ λ2 (x) ∈ (p − 1)/2, 1 λ2 (x) = 1 ⎩ λ (x) ∈ (1, (p − 1)/2) 2

при p ∈ (1, 3), при p = 3, при p > 3.

Для доказательства (8.1.21) изучим поведение функции λ3 (x). Здесь limx→1 λ3 (x) = 2(p − 1) и limx→∞ λ3 (x) = 1. Снова мы имеем { (−2p + 3)(x − 1) + (xp−1 − x2−p ) < 0 при p ∈ (1, 3/2), (−2p + 3)(x − 1) + (xp−1 − x2−p ) = 0 при p = 3/2, (−2p + 3)(x − 1) + (xp−1 − x2−p ) > 0 при p > 3/2, и {

xp−1 − x2−p < 0 xp−1 − x2−p = 0 xp−1 − x2−p > 0

при p ∈ (1, 3/2), при p = 3/2, при p > 3/2 .

8.1. КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

275

Таким образом, ⎧ ( ) ⎨ λ3 (x) ∈ 2(p − 1), 1 λ3 (x) = 1 ⎩ λ (x) ∈ (1, 2(p − 1)) 3

при p ∈ (1, 3/2), при p = 3/2, при p > 3/2 ,

и нужное доказано.

□

Упражнение 8.1.1 Выяснить насколько точны оценки постоянных C2 (p) – C5 (p), данные в процессе доказательства леммы 8.1.2. 8.1.3

Уравнение минимальной поверхности

При A(ξ) = ξ

/√

1 + ∣ξ∣2 мы имеем уравнение минимальной поверхности ( ) ∇f div √ = 0. (8.1.24) 1 + ∣∇f ∣2

Следующее утверждение было получено ранее в [Mik79], [Hwa88], [Hwa96], [CK91] и [PRS02]. Теорема 8.1.2 Уравнение (8.1.24) удовлетворяет условию (8.1.2) с весом μ(x, ξ, η) ≡ 1. Более того, для уравнения выполнено (8.1.3). Доказательство. Положим ξ

p1 = √

1 + ∣ξ∣2

и w1 =

√

,

1 − ∣p1 ∣2 ,

η

p2 = √

1 + ∣η∣2

w2 =

√

1 − ∣p2 ∣2 .

Мы имеем

p1 p2 , η= . w1 w2 Нам достаточно доказать неравенство ⟨ ⟩ p p 2 1 − . ∣p1 − p2 ∣2 ≤ p1 − p2 , w1 w2 ξ=

(8.1.25)

276

ГЛАВА 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

Введем обозначения √ p = p2 + t (p1 − p2 ) , w = 1 − ∣p∣2 , t ∈ [0, 1] . Рассмотрим вспомогательную функцию ⟨ p⟩ δ(t) = p1 − p2 , . w Поскольку ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ p2 p1 δ(0) = p1 − p2 , , δ(1) = p1 − p2 , , w2 w1 то ⟩ ∫1 ⟨ p2 p1 − = δ ′ (t) dt = p1 − p2 , w1 w2 0

=

[ ∫1 ∑ n 0

=

(p1k − p2k )2 (1 − ∣p∣2 ) +

n ∑

pk pj (p1j − p2j )(p1k − p2k )

j=1

k=1

∫1 {∑ n

2

2

(p1k − p2k ) (1 − ∣p∣ ) +

n ∑

dt = w3

pk pj (p1j − p2j )(p1k − p2k )+

j=1

k=1

0

]

)2 } dt + pj (p1j − p2j ) . w3 i=1 (

n ∑

Отсюда имеем n ∑ k=1

(

p1k p2k − (p1k − p2k ) w1 w2

) ≥

n ∑ k=1

(p1k − p2k )2

∫1

dt w

0

и, замечая, что w < 1, приходим к (8.1.25). Проверка выполнения свойства (8.1.3) затруднений не вызывает. □

8.1. КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

8.1.4

277

Уравнение газовой динамики

В качестве следующего примера рассмотрим одно уравнение газовой динамики Aγ [f ] = div (σ(∣ ▽ f ∣) ▽ f (x)) = 0 , (8.1.26) где ( ) 1 γ − 1 2 γ−1 t σ(t) = 1 − 2 и γ — постоянная, −∞ < γ < +∞, характеризующая поток субстанции. Для различных значений γ это может быть поток газа, жидкости, пластика, электрического или химического полей в различных средах и т.п. (см, например, [LSh, §15 главы IV]). Для предельного случая γ = 1 ± 0 мы полагаем ( { } ) 1 2 div exp − ∣∇f ∣ ∇f = 0. 2 В случае γ = −1 уравнение (8.1.26) есть уравнение минимальной поверхности (8.1.24) (газ Чаплыгина). В предельном случае γ = −∞ уравнение (8.1.26) превращается в уравнение Лапласа. В общем случае, когда σ — функция переменных (x1 , x2 ), решения уравнения (8.1.26) называются σ-гармоническими функциями. Подобные функции изучались во многих работах (см., например, [AN1], [Far]). Положим Ωγ = ℝ2 при γ ≤ 1 и √ { } 2 Ωγ = ξ ∈ ℝ2 : ∣ξ∣ < γ ∗ , γ ∗ = при γ > 1. γ−1 Введем в рассмотрение неравенство 2 ∑

2

(σ(∣ξ∣)ξi − σ(∣η∣)ηi ) ≤ ε

i=1

2 ∑

(σ(∣ξ∣)ξi − σ(∣η∣)ηi ) (ξi − ηi ),

i=1

где ξ, η ∈ Ωγ ,

ξ = (ξ1 , ξ2 ) ,

η = (η1 , η2 )

и ε > 0 — постоянная, не зависящая от ξ и η.

(8.1.27)

278

ГЛАВА 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

Неравенство (8.1.27) есть специальный случай неравенства (8.1.2) при μ(x, ξ, η) ≡ ε. Имеет смысл подчеркнуть, что свойство (8.1.3) выполняется здесь не при всех значениях параметра γ. Обозначим через Bγ (ε) множество точек {(ξ, η) : ξ, η ∈ Ωγ }, удовлетворяющих (8.1.27). В работе [KKM04] установлено, что Bγ (ε) = ℝ2 для всех γ ≤ −1, ε ≥ 1, а также указаны двусторонние оценки множества Bγ (ε) для γ > −1.

8.2

Принцип максимума для разности решений

В данном разделе мы доказываем принцип максимума для разности решений нелинейных уравнений, удовлетворяющих условию (8.1.2). 8.2.1

Формулировки основных результатов

Пусть D – область в ℝn , гомеоморфная шару B(0, 1) и пусть g : D → B(0, 1) – некоторый гомеоморфизм D на шар. Зафиксируем некоторое множество P ⊂ ∂B(0, 1) и обозначим через P множество всевозможных последовательностей {xk }, лежащих в D и таких, что g(xk ) → P . Пусть h(x) : D → (0, +∞) – локально липшицева функция, обладающая свойством: lim h(xk ) = +∞ ,

{xk }∈P

(8.2.28)

и такая, что для всякой подобласти D′ ⋐ D выполнено 0 < ess inf′ ∣∇h(x)∣ < ess sup ∣∇h(x)∣ < ∞ . D

(8.2.29)

D′

Всякую функцию h со свойствами (8.2.28), (8.2.29) будем называть функцией исчерпания области D с направлением P и обозначать символом hP . Ниже мы будем использовать обозначения: Σh (t) = {x ∈ D : hP (x) = t} ,

Bh (t) = {x ∈ D : hP (x) < t} .

В описанных предположениях имеет место следующее утверждение.

8.2. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ РАЗНОСТИ РЕШЕНИЙ

279

Теорема 8.2.1 Пусть A – дифференциальный оператор со свойством (8.1.2). Пусть f1 , f2 – функции класса Liploc (D), удовлетворяющие условию (8.1.5), ∇f1 (x), ∇f2 (x) ∈ Ξ п.в. в D, и такие, что вдоль любой последовательности {xk }, не имеющей точек накопления в D и не принадлежащей семейству P, выполнено lim(f1 (xk ) − f2 (xk )) = 0 . Предположим, что ⎛ ⎞−1 ∫+∞ ∫ l l dτ ⎝ μ2 (x, ∇f1 , ∇f2 )M 2 (x) ∣∇h(x)∣ dHn−1 ⎠ = ∞,

(8.2.30)

(8.2.31)

Σ(τ )

где обозначено M (x) = max{0, f1 (x) − f2 (x)} . Тогда A(x, ∇f1 ) = A(x, ∇f2 ) всюду в D. Если, кроме того, оператор A обладает свойством (8.1.3) и множество P ∕= ∂B(0, 1), то f1 ≡ f2 . Заметим, что в случае P = ∂B(0, 1) предположение (8.2.30) излишне и данное утверждение представляет собой некоторую версию теоремы Лиувилля для разности решений. Мы не будем здесь приводить специальные случаи данной теоремы для p-гармонических функций и минимальных поверхностей — они очевидны. Случай решений уравнения газовой динамики см. в [KM06]. Ограничимся лишь следующим высказыванием, отвечающим случаю, в котором P = ∅. Здесь излишне требование (8.2.31). Следствие 8.2.1 Пусть A – дифференциальный оператор со свойством (8.1.2). Пусть f1 , f2 – функции класса Liploc (D), удовлетворяющие условию (8.1.5), ∇f1 (x), ∇f2 (x) ∈ Ξ п.в. в D, и такие, что вдоль любой последовательности {xk }, не имеющей точек накопления в D, выполнено lim(f1 (xk ) − f2 (xk )) = 0 . Тогда A(x, ∇f1 ) = A(x, ∇f2 ) всюду в D. Если, кроме того, оператор A обладает свойством (8.1.3), то f1 ≡ f2 .

280

8.2.2

ГЛАВА 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

Доказательство теоремы 8.2.1

Предположим, что разность f1 (x) − f2 (x) не обращается тождественно в нуль в D. Выберем δ > 0 так, чтобы f1 (a) > f2 (a) + δ в некоторой точке a ∈ D. Рассмотрим множество {x ∈ D : f1 (x) − f2 (x) > δ} . Данное множество не пусто. Обозначим через Uδ произвольную его компоненту связности. В силу (8.2.30) множество Uδ не содержит последовательностей семейства P. Предположим сначала, что Uδ ⋐ D. Функция ⎧ при x ∈ Uδ , l ⎨ f1 (x) − f2 (x) − δ φ(x) = при x ∈ D ∖ Uδ l ⎩ 0 имеет компактный носитель, содержащийся в D, неотрицательна и принадлежит классу Lip (D). На основании (8.1.6) можем записать ∫ ∑ n φxi (Ai (x, ∇f1 ) − Ai (x, ∇f2 )) dx ≤ 0 , D

i=1

где dx = dx1 . . . dxn . Отсюда находим ∫ ∑ n (f1xi − f2xi ) (Ai (x, ∇f1 ) − Ai (x, ∇f2 )) dx ≤ 0 . Uδ

(8.2.32)

i=1

В силу неравенства (8.1.2) заключаем, что почти всюду на множестве Uδ выполнено μ(x, ∇f1 , ∇f2 )

n ∑

(f1xi − f2xi ) (Ai (x, ∇f1 ) − Ai (x, ∇f2 )) ≥

i=1

≥ ∣A(x, ∇f1 ) − A(x, ∇f2 ∣2 .

8.2. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ РАЗНОСТИ РЕШЕНИЙ

281

Таким образом, соотношение (8.2.32) влечет, что почти всюду на Uδ справедливо равенство n ∑

(Ai (x, ∇f1 ) − Ai (x, ∇f2 ))2 = 0

(8.2.33)

i=1

и, следовательно, A(x, ∇f1 ) = A(x, ∇f2 ) почти всюду в Uδ . Рассмотрим оставшийся случай, в котором подобласть Uδ ⊂ D содержит последовательности семейства P. Пусть функция φ определена, как и выше. Положим h0 = inf h(x) . x∈Uδ

Зафиксируем h1 и h′1 так, чтобы h0 < h1 < h′1 < ∞. Введем в рассмотрение липшицеву функцию

ψ(τ ) =

⎧ ′ l ⎨ 0 при τ ≥ h1 , l ⎩ 1 при τ ≤ h1 .

Функция ψ 2 (h(x)) φ(x) принадлежит классу Lip D, неотрицательна в D и имеет компактный носитель, содержащийся в D. На основании (8.1.6) имеем ∫ ∑ n ( D

) ψ 2 (h(x))φ(x) xi (Ai (x, ∇f1 ) − Ai (x, ∇f2 )) dx ≤ 0 .

i=1

Пользуясь сокращенными обозначениями ψ = ψ(h(x)), ψ ′ = ψ ′ (h(x)),

282

ГЛАВА 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

можем написать ∫ n ∑ 2 ψ (h(x)) (f1xi − f2xi ) (Ai (x, ∇f1 ) − Ai (x, ∇f2 )) dx ≤ i=1

Uδ

∫ ≤ −2

ψ (f1 − f2 − δ)ψ

′

n ∑ i=1

Uδ

∫

h′xi (Ai (x, ∇f1 ) − Ai (x, ∇f2 )) dx ≤

ψ ∣f1 − f2 ∣∣ψ ′ ∣ ∣∇h∣ ∣A(x, ∇f1 ) − A(x, ∇f2 )∣ dx ≤

≤2 Uδ

⎞1/2

⎛ ∫ ≤ 2⎝

μ(x, ∇f1 , ∇f2 )∣f1 − f2 ∣2 ∣ψ ′ ∣2 ∣∇h∣2 dx⎠

×

Uδ

⎞1/2

⎛ ∫ ×⎝

1 2 ψ (h(x)) ∣A(x, ∇f1 ) − A(x, ∇f2 )∣2 dx⎠ μ(x)

.

Uδ

В силу соотношения (8.1.2), как и выше, находим ∫ n ∑ 1 2 ψ (h(x)) (Ai (x, ∇f1 ) − Ai (x, ∇f2 ))2 dx1 dx2 ≤ μ(x) i=1 Uδ

∫ ≤4

μ(x)∣f1 − f2 ∣2 ∣ψ ′ (h(x))∣2 ∣∇h∣2 dx1 dx2 .

Uδ

Обозначим через D(t) множество всех x ∈ Bh (t), через D(t1 , t2 ), 0 < t1 < t2 < ∞, – множество D(t2 ) ∖ D(t1 ). Далее полагаем Uδ (t) = Uδ ∩ D(t) ,

Uδ (t1 , t2 ) = Uδ ∩ D(t1 , t2 ) .

8.2. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ РАЗНОСТИ РЕШЕНИЙ

283

Предыдущее соотношение влечет

n

∫ Uδ (h0 ,h1 )

1 ∑ (Ai (x, ∇f1 ) − Ai (x, ∇f2 ))2 dx ≤ μ(x) i=1 ∫

μ(x)∣f1 − f2 ∣2 ∣ψ ′ (h(x))∣2 ∣∇h∣2 dx .

≤4 Uδ (h1 ,h′1 )

Если воспользоваться формулой Кронрода-Федерера (2.5.20), то мы получаем

n

∫ Uδ (h0 ,h1 )

∫h1 ≤4 h1

1 ∑ (Ai (x, ∇f1 ) − Ai (x, ∇f2 ))2 dx ≤ μ(x) i=1 (8.2.34) ∣ψ ′ (t)∣2 dt

∫

μ(x)∣f1 (x) − f2 (x)∣2 ∣∇h(x)∣ dHn−1 .

Et

Стандартными приемами находим минимум правой части (8.2.34) по всем функциям ψ указанного вида. Поскольку ψ обращается в нуль и единицу на концах отрезка [h1 , h′1 ], то пользуясь интегральным неравен-

284

ГЛАВА 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

ством Коши, будем иметь ⎛ ′ ⎞2 h 1 ∫ l l 1 ≤ ⎝ ∣ψ ′ ∣ dt⎠ ≤ h1 ′

∫h1 ≤

∫

′ 2

∣ψ ∣ dt

μ(x, ∇f1 , ∇f2 )∣f1 (x) − f2 (x)∣2 ∣∇h∣ dHn−1 ×

Et

h1 ′

∫h1 ×

⎞−1

⎛ ∫

μ(x, ∇f1 , ∇f2 )∣f1 (x) − f2 (x)∣2 ∣∇h(x)∣ dHn−1 ⎠

dt ⎝

.

Et

h1

Отсюда следует, что ⎛ ′ ⎛ ⎞−1 ⎞−1 ∫ ∫h1 l l 2 n−1 ⎝ dt ⎝ μ(x, ∇f1 , ∇f2 )∣f1 (x) − f2 (x)∣ ∣∇h(x)∣ dH ⎠ ⎠ ≤ Et

h1 ′

∫h1 ≤

∣ψ ′ (t)∣2 dt

∫

μ(x, ∇f1 , ∇f2 )∣f1 (x) − f2 (x)∣2 ∣∇h(x)∣ dHn−1 .

Et

h1

Данное неравенство имеет место для любой липшицевой функции ψ вышеуказанного вида. Полагая здесь ψ(t) = 1 при t ≤ h1 , ⎛ ⎞−1 ∫ ∫t dt ⎝ μ(x, ∇f1 , ∇f2 )∣f1 (x) − f2 (x)∣2 ∣∇h(x)∣ dHn−1 ⎠ ψ(t) =

h1 h′1

Et

⎛

∫

∫ dt ⎝

h1

Et

⎞−1 . μ(x, ∇f1 , ∇f2 )∣f1 (x) − f2 (x)∣2 ∣∇h(x)∣ dHn−1 ⎠

8.2. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ РАЗНОСТИ РЕШЕНИЙ

285

при h1 < t ≤ h′1 и ψ(t) = 0 при t > h′1 , легко убеждаемся, что ′

∫h1

′

∫

2

∣ψ (t)∣ dt

inf ψ

μ(x, ∇f1 , ∇f2 )∣f1 (x) − f2 (x)∣2 ∣∇h(x)∣ dHn−1 =

Et

h1

⎛ ′ ⎛ ⎞−1 ⎞−1 h 1 ∫ ∫ l l = ⎝ dt ⎝ μ(x, ∇f1 , ∇f2 )∣f1 (x) − f2 (x)∣2 ∣∇h(x)∣ dHn−1 ⎠ ⎠ . Et

h1

Таким образом, из (8.2.34) вытекает, что ∫ n ∑ 1 (Ai (x, ∇f1 ) − Ai (x, ∇f2 ))2 dx ≤ μ(x, ∇f1 , ∇f2 ) i=1

Uδ (h0 ,h1 )

⎛

′

∫h1

l ≤4⎝ h1

⎛ ∫ dt ⎝

⎞−1 ⎞−1 l μ(x, ∇f1 , ∇f2 )∣f1 (x) − f2 (x)∣2 ∣∇h(x)∣ dHn−1 ⎠ ⎠ .

Et

Если теперь интеграл в (8.2.31) расходится, то полагая в найденном неравенстве h′1 → +∞, находим ∫ n ∑ 1 (Ai (x, ∇f1 ) − Ai (x, ∇f2 ))2 dx = 0 , μ(x, ∇f1 , ∇f2 ) i=1 Uδ

и потому A(x, ∇f1 ) = A(x, ∇f2 ) почти всюду в Uδ . Если теперь предположить выполненным требование (8.1.3), то ∇(f1 (x) − f2 (x)) = 0 почти всюду в D. Граничное условие (8.2.30) в предположении, что множество P ∕= ∂B(0, 1), влечет тогда: f1 (x) ≡ f2 (x) в D. Таким образом, теорема полностью доказана. □

286

8.3

ГЛАВА 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

Теорема о трех сферах для p-гармонических функций

Доказывается теорема о трех сферах для p-гармонических функций, определенных на k-шарах в n-мерном евклидовом пространстве. Ниже мы следуем работе [MRV06]. 8.3.1

Теорема Адамара

Сформулируем сначала классическую теорему Адамара о трех окружностях. Теорема 8.3.1 Пусть 0 ≤ R1 < r1 < r2 < r3 < R2 ≤ ∞ и пусть f – голоморфная функция, заданная в круговом кольце {z : R1 < ∣z∣ < R2 }. Обозначим через M (r) максимум ∣f (z)∣ на окружности ∣z∣ = r. Тогда M (r2 )ln(r3 /r1 ) ≤ M (r1 )ln(r3 /r2 ) M (r3 )ln(r2 /r1 ) . Данное утверждение было сформулировано без доказательства Адамаром [Ha896] в 1896 году. Относительно истории проблемы см., например, [Rob44] или [MaS98, стр. 323–325]. Относительно обобщений теоремы Адамара на случай субгармонических функций в ℝn , n ≥ 2, см. [PW84, стр. 128–131]. Ниже приводится обобщение теоремы о трех окружностях на случай p-гармонических функций v : Ω → ℝ1 , заданных в k-шарах в ℝn , определяемых следующим образом. Зафиксируем целое k, 1 ≤ k ≤ n и вещественное число t ≥ 0. Множества n

Bk (t) = {x ∈ ℝ : dk (x) < t} и Σk (t) = ∂Bk (t), где dk (x) =

k (∑

x2i

)1/2

,

i=1

мы будем называть соответственно k-шаром и k-сферой в ℝn . При k = n k-шар Bk (t) совпадает со стандартным евклидовым шаром B n (0, t) и kсфера Σk (t) есть евклидова сфера S n−1 (0, t). В частности, символ Σk (0) определяет k-сферу радиуса 0, т.е. Σk (0) = {x = (x1 , . . . , xk , . . . , xn ) : x1 = . . . = xk = 0} . Пусть 0 < α < β < ∞ – фиксированные числа и пусть Dα,β = {x ∈ ℝn : α < dk (x) < β}.

8.3. ТЕОРЕМА О ТРЕХ СФЕРАХ ДЛЯ P -ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

287

При k = 1 множество Dα,β есть слой, расположенный между двумя параллельными гиперплоскостями. При 1 < k < n граница области Dα,β состоит из двух цилиндрических поверхностей. Пусть v ∈ C 0 (Dr,R ), и пусть M (r) = lim supx→Σk (r) v(x). Рассмотрим функцию v(x) − M (r) , r < R. vr,R (x) = M (R) − M (r) Ясно, что lim supz→Σk (r) vr,R (z) ≤ 0 и lim supx→Σk (R) vr,R (x) ≤ 1. Положим ∫ t ξ(r, t) ξ(r, t) = s(1−k)/(n−1) ds, и uk,p (t) = . 0 ξ(r, R) r ( ) Пусть u(x) = uk,p d (x) при x ∈ Dr,R . Мы имеем k 0 u(x)∣Σk (r) ≡ 0, u(x)∣Σk (R) ≡ 1 и u(x) ≥ vr,R (x), если x ∈ Σk (r) или x ∈ Σk (R).

8.3.2

(8.3.35)

Основные результаты

Мы доказываем следующую теорему типа теоремы Адамара. Теорема 8.3.2 Пусть 1 < p < ∞, R > r > 0 и пусть v(x) ∈ Liploc (Dr,∞ ) – обобщенное решение уравнения (8.1.7) такое, что )−1 ∫ ∞ (∫ ( ) dt ∣vr,R − u∣2 ∣∇vr,R ∣∣p−2∣ + ∣∇u∣∣p−2∣ dHn−1 = ∞ . (8.3.36) r

Σk (t)

Тогда при всех t ∈ (r, R) выполнено ( ) M (t) ≤ M (R) − M (r) uk,p 0 (t) + M (r).

(8.3.37)

288

ГЛАВА 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

Следствие 8.3.1 Пусть 1 < p < ∞, r > 0 и пусть v(x) ∈ Liploc (Dr,∞ ) – обобщенное решение уравнения (8.1.7), для которого ∫ ( ) 1 lim 2 ∣vr,R − u∣2 ∣∇vr,R ∣∣p−2∣ + ∣∇u∣∣p−2∣ dHn = 0. (8.3.38) R→∞ R Dr,R Тогда для любого t ∈ (r, ∞) выполнено неравенство (8.3.37). Следствие 8.3.2 Пусть 1 < p < ∞, R > r > 0 и пусть v(x) ∈ Liploc (Dr,∞ ) – обобщенное решение уравнения (8.1.7), для которого ∫ ( ) ∣vr,R − u∣2 ∣∇vr,R ∣∣p−2∣ + ∣∇u∣∣p−2∣ dHn ≤ M < ∞. Dr,∞

Тогда для любого t ∈ (r, R) имеет место неравенство (8.3.37). В случае k = n см. также Гранлунд [Gra82]. 8.3.3

Доказательство теоремы 8.3.2

Предположим противное, т.е. существует x0 ∈ Dr,R такое, что ( ) v(x0 ) > M (R) − M (r) u(x0 ) + M (r), или vr,R (x0 ) > u(x0 ). Зафиксируем произвольно ε0 > 0, для которого vr,R (x0 ) − u(x0 ) > ε0 . Рассмотрим множество U = {x ∈ Dr,R : vr,R (x) − u(x) > ε0 } .

(8.3.39)

Данное множество непусто. Выберем компоненту связности O множества U , содержащую точку x0 . ( ) Ясно, что O ∩ ∂Dr,R = ∅ и vr,R (x) − u(x) ∣∂O = ε0 . Зафиксируем ε2 > ε1 > 0 и шары O1 = Bk (x0 , ε1 ), O2 = Bk (x0 , ε2 ). Пусть φ(x) = η(dk (x)) – локально липшицева функция со свойствами: { φ ≡ 1 при всех x ∈ O1 , (8.3.40) φ ≡ 0 при всех x ∈ D ∖ O . r,R

2

8.3. ТЕОРЕМА О ТРЕХ СФЕРАХ ДЛЯ P -ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

289

( ) Функция ψ = vr,R (x) − u(x) φ2 имеет носитель supp ψ ⊂ O2 . Так как vr,R и u суть обобщенные решения уравнения (8.1.7), то ∫ ⟨∇ψ, ∣∇vr,R ∣p−2 ∇vr,R − ∣∇u∣p−2 ∇u⟩ dHn = suppψ ∫ ∫ p−2 n = ⟨∇ψ, ∣∇vr,R ∣ ∇vr,R ⟩ dH − ⟨∇ψ, ∣∇u∣p−2 ∇u⟩ dHn = 0. suppψ

suppψ

Мы имеем

∇ψ = φ2 (∇vr,R − ∇u) + 2φ(vr,R − u)∇φ. Таким образом, мы можем записать ∫ 0 = ⟨∇ψ, ∣∇vr,R ∣p−2 ∇vr,R − ∣∇u∣p−2 ∇u⟩ dHn = ∫suppψ = ⟨∇ψ, ∣∇vr,R ∣p−2 ∇vr,R − ∣∇u∣p−2 ∇u⟩ dHn = ∫O∩O2 = φ2 ⟨∇vr,R − ∇u, ∣∇vr,R ∣p−2 ∇vr,R − ∣∇u∣p−2 ∇u⟩ dHn + O∩O2 ∫ +2 φ(vr,R − u)⟨∇φ, ∣∇vr,R ∣p−2 ∇vr,R − ∣∇u∣p−2 ∇u⟩ dHn , O∩O2

или ∫

φ2 ⟨∇vr,R − ∇u, ∣∇vr,R ∣p−2 ∇vr,R − ∣∇u∣p−2 ∇u⟩ dHn = O∩O2 ∫ = −2 φ(vr,R − u)⟨∇φ, ∣∇vr,R ∣p−2 ∇vr,R − ∣∇u∣p−2 ∇u⟩ dHn , O∩O2

или |∫ | | |

| | φ ⟨∇vr,R − ∇u, ∣∇vr,R ∣ ∇vr,R − ∣∇u∣ ∇u⟩ dH | ≤ O∩O2 ∫ | | ≤2 ∣φ∣∣vr,R − u∣∣∇φ∣|∣∇vr,R ∣p−2 ∇vr,R − ∣∇u∣p−2 ∇u|dHn . (8.3.41) 2

p−2

p−2

n|

O∩O2

Пусть Φ(λ) = ∣∇(λvr,R + (1 − λ)u)∣p−2 ∇(λvr,R + (1 − λ)u) ,

λ ∈ [0, 1] .

290

ГЛАВА 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

Заметим, что Φ(0) = ∣∇u∣p−2 ∇u и Φ(1) = ∣∇vr,R ∣p−2 ∇vr,R . Мы имеем ∣∇vr,R ∣p−2 ∇vr,R − ∣∇u∣p−2 ∇u = Φ(1) − Φ(0) =

∫1

Φ′ (λ) dλ =

(8.3.42)

0

∫1 =

[ (∇vr,R − ∇u) ∣∇(λvr,R + (1 − λ)u)∣p−2 + (p − 2)∇(λvr,R + (1 − λ)u) ×

0

] ×∣∇(λvr,R + (1 − λ)u)∣p−4 ⟨∇vr,R − ∇u, ∇(λvr,R + (1 − λ)u)⟩ dλ . Отсюда получаем ⟨∇vr,R − ∇u, ∣∇vr,R ∣p−2 ∇vr,R − ∣∇u∣p−2 ∇u⟩ =

= ∣∇vr,R − ∇u∣2

∫1

∣∇(λvr,R + (1 − λ)u)∣p−2 dλ+

(8.3.43)

0

∫1 +(p − 2)

∣∇(λvr,R + (1 − λ)u)∣p−4 ⟨∇vr,R − ∇u, ∇(λvr,R + (1 − λ)u)⟩2 dλ.

0

Если p ≥ 2, то ⟨∇vr,R − ∇u, ∣∇vr,R ∣p−2 ∇vr,R − ∣∇u∣p−2 ∇u⟩ ≥ ∫ 1 | ( )| |∇ λvr,R + (1 − λ)u |p−2 dλ. (8.3.44) ≥ ∣∇vr,R − ∇u∣2 0

8.3. ТЕОРЕМА О ТРЕХ СФЕРАХ ДЛЯ P -ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

291

Если же p < 2, то мы имеем ∫ 1 | ( )| 2 |∇ λvr,R + (1 − λ)u |p−2 dλ+ ∣∇vr,R − ∇u∣ 0 ∫ 1 | ( )| ( ) |∇ λvr,R +(1−λ)u |p−4 ⟨∇vr,R −∇u, ∇ λvr,R +(1−λ)u ⟩2 dλ ≥ +(p−2) 0 ∫ 1 | ( )| |∇ λvr,R + (1 − λ)u |p−2 dλ. ≥ (p − 1)∣∇vr,R − ∇u∣2 0

Это вместе с (8.3.43) влечет ⟨∇vr,R − ∇u, ∣∇vr,R ∣p−2 ∇vr,R − ∣∇u∣p−2 ∇u⟩ ≥ ≥ (p − 1)∣∇vr,R − ∇u∣

2

∫

(8.3.45)

1|

( )| |∇ λvr,R + (1 − λ)u |p−2 dλ, 1 < p ≤ 2.

0

Из (8.3.42) следует, что для каждого p > 1 выполнено | | |∣∇vr,R ∣p−2 ∇vr,R − ∣∇u∣p−2 ∇u| ≤ ∫ 1 | ( )|p−2 | ≤ C1 ∣∇vr,R − ∇u∣ ∇ λvr,R + (1 − λ)u | dλ,

(8.3.46)

0

в каждой точке, где vr,R дифференцируема. Здесь C1 = 1 + ∣p − 2∣. Полагая ∫ 1 | | |∇(λvr,R + (1 − λ)u|p−2 dλ I(p) = 0

и пользуясь (8.3.41), (8.3.44), (8.3.45), (8.3.46), получаем ∫ φ2 I(p)∣∇vr,R − ∇u∣2 dHn ≤ O∩O2

∫ ≤ C2

I(p)∣φ∣∣vr,R − u∣∣∇φ∣∣∇vr,R − ∇u∣dHn ,

O∩O2

где C2 = 2C1 / min{1, p − 1}. Заметим, что ∣∇(λvr,R + (1 − λ)u)∣2 =

(8.3.47)

292

ГЛАВА 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

= λ2 ∣∇vr,R ∣2 + 2λ(1 − λ)⟨∇vr,R , ∇u⟩ + (1 − λ)2 ∣∇u∣2 , и, следовательно, для всякого λ ∈ [0, 1] выполняется | | |λ∣∇vr,R ∣ − (1 − λ) ∣∇u∣| ≤

(8.3.48)

≤ ∣∇(λvr,R + (1 − λ)u)∣ ≤ λ∣∇vr,R ∣ + (1 − λ)∣∇u∣ . Пусть p ≥ 2. Предположим, что ∣∇vr,R ∣ > ∣∇u∣. Тогда в силу (8.3.48) имеем ∫1 I(p) ≤ (λ(∣∇vr,R ∣ − ∣∇u∣) + ∣∇u∣)p−2 dλ = (8.3.49) 0

=

1 ∣∇vr,R ∣ − ∣∇u∣

∣∇v ∫ r,R ∣

sp−2 ds =

1 ∣∇vr,R ∣p−1 − ∣∇u∣p−1 . p − 1 ∣∇vr,R ∣ − ∣∇u∣

∣∇u∣

Далее, согласно (8.3.48) получаем ∫1 I(p) ≥

| | |λ∣∇vr,R ∣ − (1 − λ) ∣∇u∣|p−2 dλ =

0

∫1 =

| | |λ(∣∇vr,R ∣ + ∣∇u∣) − ∣∇u∣|p−2 dλ =

0

∫1 =

(λ(∣∇vr,R ∣ + ∣∇u∣) − ∣∇u∣)p−2 dλ+

s

∫s +

(∣∇u∣ − λ(∣∇vr,R ∣ + ∣∇u∣))p−2 dλ,

0

где s=

∣∇u∣ . ∣∇vr,R ∣ + ∣∇u∣

(8.3.50)

8.3. ТЕОРЕМА О ТРЕХ СФЕРАХ ДЛЯ P -ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

293

Вычисляя два последних интеграла, находим 1 ∣∇vr,R ∣p−1 + ∣∇u∣p−1 I(p) ≥ . p − 1 ∣∇vr,R ∣ + ∣∇u∣

(8.3.51)

Пусть 1 < p < 2. Как и выше, будем предполагать, что ∣∇vr,R ∣ > ∣∇u∣. Тогда в силу (8.3.48) приходим к соотношениям ∫1 I(p) ≤

| | |λ∣∇vr,R ∣ − (1 − λ) ∣∇u∣|2−p dλ =

0

∫1 =

| | |λ(∣∇vr,R ∣ + ∣∇u∣) − ∣∇u∣|2−p dλ =

0

∫s =

(

)2−p ∣∇u∣ − λ(∣∇vr,R ∣ + ∣∇u∣) dλ+

0

∫1 +

(

λ(∣∇vr,R ∣ + ∣∇u∣) − ∣∇u∣

)2−p

dλ,

s

где s определена в (8.3.50), и тем самым, 1 ∣∇vr,R ∣p−1 + ∣∇u∣p−1 I(p) ≤ . p − 1 ∣∇vr,R ∣ + ∣∇u∣

(8.3.52)

Пользуясь (8.3.49), имеем 1 ∣∇vr,R ∣p−1 − ∣∇u∣p−1 . I(p) ≥ p − 1 ∣∇vr,R ∣ − ∣∇u∣

(8.3.53)

Подставляя a = ∣∇vr,R ∣ и b = ∣∇u∣ в (8.1.19), (8.1.20) и (8.1.21), согласно (8.3.49), (8.3.51), (8.3.52) и (8.3.53), мы приходим при p ≥ 2 к соотношению ( ) ( ) C3 ∣∇vr,R ∣p−2 + ∣∇u∣p−2 ≤ I(p) ≤ C4 ∣∇vr,R ∣p−2 + ∣∇u∣p−2 (8.3.54)

294

ГЛАВА 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

или при 1 < p ≤ 2 — к соотношению ( )−1 ( )−1 C3 ∣∇vr,R ∣2−p + ∣∇u∣2−p ≤ I(p) ≤ C4 ∣∇vr,R ∣2−p + ∣∇u∣2−p , (8.3.55) где C3 , C4 > 0 – некоторые постоянные. Случай ∣∇vr,R ∣ < ∣∇u∣ рассматривается аналогично. Таким образом, мы можем записать, что ( ) ( ) C5 ∣∇vr,R ∣∣p−2∣ + ∣∇u∣∣p−2∣ ≤ I(p) ≤ C6 ∣∇vr,R ∣∣p−2∣ + ∣∇u∣∣p−2∣ , (8.3.56) где C5 = min{C3 , 1/C4 } и C6 = max{1/C3 , C4 }. Пользуясь (8.3.47), (8.3.56), находим ∫ ( ) φ2 ∣∇vr,R − ∇u∣2 ∣∇vr,R ∣∣p−2∣ + ∣∇u∣∣p−2∣ dHn ≤ O∩O2

∫

( ) ∣φ∣∣vr,R − u∣∣∇φ∣∣∇vr,R − ∇u∣ ∣∇vr,R ∣∣p−2∣ + ∣∇u∣∣p−2∣ dHn ≤

≤ C7 O∩O2

(∫

2

≤ C7

2

∣p−2∣

(

∣∇φ∣ ∣vr,R − u∣ ∣∇vr,R ∣

+ ∣∇u∣

∣p−2∣

)

dH

n

)1/2 ×

O∩O2

(∫

2

×

2

(

∣p−2∣

φ ∣∇vr,R − ∇u∣ ∣∇vr,R ∣

+ ∣∇u∣

∣p−2∣

)

dH

n

)1/2

O∩O2

и ∫

( ) φ2 ∣∇vr,R − ∇u∣2 ∣∇vr,R ∣∣p−2∣ + ∣∇u∣∣p−2∣ dHn ≤

O∩O2

≤ C72

∫ O∩O2

( ) ∣∇φ∣2 ∣vr,R − u∣2 ∣∇vr,R ∣∣p−2∣ + ∣∇u∣∣p−2∣ dHn .

(8.3.57)

8.3. ТЕОРЕМА О ТРЕХ СФЕРАХ ДЛЯ P -ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

295

Вспоминая (8.3.40), имеем ∫ ( ) ∣∇vr,R − ∇u∣2 ∣∇vr,R ∣∣p−2∣ + ∣∇u∣∣p−2∣ dHn ≤ O∩O1

≤

∫

C72

( ) ∣∇φ∣2 ∣vr,R − u∣2 ∣∇vr,R ∣∣p−2∣ + ∣∇u∣∣p−2∣ dHn .

Dr,R ∩(O2 ∖O1 )

Поскольку φ постоянна на Σk (t) и ∣∇dk ∣ ≡ 1, по формуле Кронрода – Федерера для ко-площади находим ∫ ( ) ∣∇φ∣2 ∣vr,R − u∣2 ∣∇vr,R ∣∣p−2∣ + ∣∇u∣∣p−2∣ dHn ≤ Dr,R ∩(O2 ∖O1 )

∫

( ) ∣∇φ∣2 ∣vr,R − u∣2 ∣∇vr,R ∣∣p−2∣ + ∣∇u∣∣p−2∣ dHn =

≤ {x:ε1 0 каждая точка области D имеет окрестность, являющуюся s−зоной. Нас будут интересовать только s−зоны достаточно больших размеров. Такие s−зоны могут служить препятствиями в вычислениях с ошибкой порядка s (к примеру, если этот порядок сравним с компьютерным нулем). Так, при вычислении с точностью до s = 10−15 гармонической функции в прямоугольнике D с нулевыми граничными данными на длинных сторонах и 0 , 1 — на коротких, достаточно большие s-зоны начинают возникать уже при характерном размере l2 /l1 ≥ 53 (метод разделения переменных), l2 /l1 ≥ 47 (попеременно-треугольный метод), l2 /l1 ≥ 51 (метод прогонки) и l2 /l1 ≥ 47 для точности s = 10−10 в случае метода матричной прогонки. Здесь l1 – ширина и l2 – длина прямоугольника D. Надлежащие вычисления были проделаны по просьбе автора Лыгиным. При этом во все вышеперечисленные методы вносились некоторые изменения, связанные с конкретикой задачи и способствовавшие получению более высокой скорости сходимости. Априорная информация относительно размеров и местоположения s−зон способствует более оптимальной организации вычислительного процесса за счет замены f соответствующими постоянными в s−зонах. 9.1.2

Размеры зон стагнации

Перейдем к точным формулировкам [Mik02], [MCS04], [Mikl07], [Mik08a]. Относительно обобщений на случай A-гармонических функций в ℝn см. [MRV08] . Пусть D ⊂ ℝ2 – область и пусть θ(x, y) – локально липшицева в D функция такая, что ess inf′ ∣∇θ(x, y)∣ > 0 на всякой подобласти D′ , D′ ⋐ D. D

(9.1.1)

300

ГЛАВА 9. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

Мы предполагаем, что D есть криволинейная полоса, всюду в D выполнено 0 < θ(x, y) < 1, и что при всяком τ, −∞ < τ < +∞, множество {(x, y) ∈ D : y = τ } не пусто. Символом γ(τ ) будем обозначать компоненту связности этого множества, разделяющую в D точки −∞ и +∞. Мы будем предполагать также связной каждую из кривых Γs вида Γs = {(x, y) ∈ D : θ(x, y) = s},

0 ≤ s ≤ 1.

Для произвольного t > 0 через D(t) обозначим подобласть области D, лежащую между γ(−t) и γ(t). Пусть Γs (t) = Γs ∩ D(t), 0 ≤ s ≤ 1. Зададим абстрактную поверхность (D, ds2 ), определяемую над D линейным элементом ds2D = A2 (x, y) dx2 + B 2 (x, y) dy 2 ,

(x, y) ∈ D,

(9.1.2)

где A, B > 0 – непрерывные в D функции. Элемент площади поверхности D = (D, ds2 ) подсчитывается по формуле dσD = A(x, y)B(x, y) dx dy. (9.1.3) Предположим, что ν(x, y) = A(x, y)/B(x, y) – непрерывная, положительная в D функция. Рассмотрим уравнение ( ) ( ) ∂ 1 ∂f ∂ ∂f + ν = 0. (9.1.4) ∂x ν ∂x ∂y ∂y Уравнение (9.1.4) есть уравнение Лапласа - Бельтрами на поверхности с линейным элементом (9.1.2) и описывает гармонические в метрике (9.1.2) функции. Точные определения приводятся ниже в разделе 9.1.3. Зафиксируем произвольно β > 0. Далее предполагаем, что решение f = f (x, y) уравнения (9.1.4) на D(β) удовлетворяет одному из следующих граничных условий: | ν −1 fx′ cos α + ν fy′ sin α|Γ (β) = 0 (i = 0, 1) , (9.1.5) i

или f ∣Γ0 (β) = 0,

| ν −1 fx′ cos α + ν fy′ sin α|Γ

1 (β)

= 0,

(9.1.6)

9.1. ИДЕАЛЬНЫЕ ПОТОКИ В УЗКИХ И ДЛИННЫХ ПОЛОСАХ

301

или f ∣Γi (β) = 0 (i = 0, 1) .

(9.1.7)

→ Здесь α – угол между единичной нормалью к ∂D и осью − ox. Вдоль γ(−β) ∪ γ(β) решение f произвольно. Для произвольного t, 0 < t − 1 < β − 1, полагаем ∫ ( −1 ′2 ) e(t) = ν θx + ν θy′2 dx dy, D(t)

μ(t) = max

⎧ ⎨∫

∫ ν dx dy

ν dx dy,

⎩

,

⎭

D∗∗

D∗

⎫ ⎬

где D∗ = D ∩ {−t < y < −t + 1} и D∗∗ = D ∩ {t < y < t + 1}, ⎧ ⎫ l l l l l l l l β −t l l ∫ ∫ ⎨ dy dy ⎬ ∫ ∫ . I(t) = min , l l l l l ν dx t ν dx l −β l l l l ⎩ ⎭ γ(y)

γ(y)

Следующие теоремы показывают, что если полоса D(β) длинная, то решение f уравнения (9.1.4) с граничными условиями (9.1.5), (9.1.6) или (9.1.7) на Γi (β) (i = 0, 1) имеет большие s−зоны. Теорема 9.1.1 Пусть f – произвольное решение уравнения (9.1.4) в D(β) с одним из граничных условий (9.1.5), (9.1.6) или (9.1.7). Если для заданного s > 0 существует t, 0 < t − 1 < β − 1, такое, что 3 Ω2 (e(t) + μ(t)) ≤ s2 , 2 I(t)

Ω = oscγ(−β)∪γ(β) f (x, y),

(9.1.8)

то область D(t − 1) является s−зоной решения f . Введем обозначения ∫ κ(t) = max {L(−t), L(t)} ,

ν(x, t) dx.

L(t) = γ(t)

(9.1.9)

302

ГЛАВА 9. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

Положим

∫ E(t) =

(

) ν −1 fx′2 + νfy′2 dx dy.

D(t)

Теорема 9.1.2 Пусть f – произвольное решение уравнения (9.1.4) в D(β) и пусть s > 0 – произвольное число. Область D(t − 1) является s−зоной решения, если f удовлетворяет (9.1.6) и существует t, 0 < t − 1 < β − 1, ∫β 3 (e(t) + μ(t)) E(β) exp{−π

dτ } ≤ s2 κ(τ )

(9.1.10)

t

или, если f удовлетворяет (9.1.7) и существует t, 0 < t − 1 < β − 1, ∫β 3 (e(t) + μ(t))E(β) exp{−2π

dτ } ≤ s2 . κ(τ )

(9.1.11)

t

9.1.3

Уравнение Лапласа-Бельтрами

Скалярный квадрат градиента функции f в метрике ds2D имеет вид 1 1 ∣∇D f ∣2 = 2 fx′2 + 2 fy′2 . A B Положим A E(∇f ) = ν −1 fx′2 + ν fy′2 , ν = . (9.1.12) B С использованием (9.1.3) и (9.1.12) базовая вариационная проблема ∫ ∣∇D f ∣2 dσD ↦→ min (9.1.13) f

D

может быть переписана в виде ∫ E(∇f ) dx dy ↦→ min . f

D

9.1. ИДЕАЛЬНЫЕ ПОТОКИ В УЗКИХ И ДЛИННЫХ ПОЛОСАХ

303

Уравнение (9.1.4) описывает экстремальные функции в задаче (9.1.13) и называется уравнением Лапласа–Бельтрами в метрике (9.1.2). Для произвольной локально липшицевой функции f : D → ℝ, мы обозначаем через Db (f ) множество всех точек a ∈ D, в которых f не имеет полного дифференциала. В соответствии с теоремой Степанова Hn (Db (f )) = 0. Удобно пользоваться следующим определением обобщенного решения уравнения (9.1.4). Определение 9.1.2 Локально липшицева в D(β) функция f называется обобщенным решением уравнения (9.1.4) с граничными условиями (9.1.5), (9.1.6) или (9.1.7), если для произвольной ограниченной подобласти Δ ⊂ D(β) со спрямляемой границей ∂ ′ Δ , mes1 (∂ ′ Δ ∩ Db (f )) = 0 , ( ) и для произвольной функции ϕ ∈ Lip Δ, mes1 ∂ ′ Δ ∩ Δb (ϕ) = 0, выполнено ∫ ∫ ( ′ −1 ′ ) ( ) ϕx ν fx + ϕ′y ν fy′ dx dy = ϕ −ν fy′ dx + ν −1 fx′ dy . (9.1.14) ∂′Δ

Δ

Здесь ∂ ′ Δ = ∂Δ ∖ (Γ0 (β) ∪ Γ1 (β)). В случае достаточной гладкости решения f на границе, (9.1.14) влечет выполнение (9.1.5) в стандартном смысле. Предположим, что A, B – функции класса C 1 (D(β)) и f ∈ C 2 (D(β)) – решение уравнения (9.1.4) на D(β). На основании формулы Грина для произвольной области Δ ⊂ D(β)( со спрямляемой границей и произвольной функции ϕ ∈ Lip Δ, ) mes1 ∂Δ ∩ Δb (ϕ) = 0, имеем ∫ −ϕνfy′ dx + ϕν −1 fx′ dy = ∂′Δ

∫ =

ϕ Δ

((

)′ ν −1 fx′ x

+

(

)′ νfy′ y

)

∫ dx dy +

(

) ϕ′x ν −1 fx′ + ϕ′y νfy′ dx dy.

Δ

Отсюда ясно, что (9.1.14) эквивалентно (9.1.4).

304

ГЛАВА 9. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

Лемма 9.1.1 Если f – обобщенное решение уравнения (9.1.4) в D(β) с граничными условиями (9.1.5), (9.1.6) или (9.1.7), то для любого t, 0 ≤ t ≤ β, имеет место соотношение max f (x, y) = D(t)

max f (x, y). γ(−t)∪γ(t)

Доказательство. Предположим, что существует точка (x0 , y0 ) ∈ D(t), в которой f (x0 , y0 ) > max f (x, y) = M. γ(−t)∪γ(t)

Выберем ε так, чтобы f (x0 , y0 ) > ε > M . Фиксируем компоненту связности Δ множества {(x, y) ∈ D(t) : f (x, y) > ε} . Пользуясь (9.1.14) с функцией ϕ = f (x, y) − ε, можно записать ∫ ∫ ( −1 ′2 ) ( ) ν fx + νfy′2 dx dy = (f − ε) −νfy′ dx + ν −1 fx′ dy = 0. ∂′Δ

Δ

Поскольку ν ∕= 0 на Δ, выводим ∇f (x, y) = 0 всюду на Δ, и f ≡ const на Δ. Противоречие с определением области Δ. 9.1.4

□

Примеры метрик

Фиксируем β > 0. Пусть D(β) – поверхность, заданная над D(β) линейным элементом (9.1.2), где A, B – измеримые в смысле Лебега в области D функции, подчиненные условию ( ) ess sup ν + ν −1 < ∞ , D

ν=

A . B

(9.1.15)

Специальный вид метрики (9.1.2) означает, что координатные линии x = const и y = const на поверхности D взаимно ортогональны. Укажем несколько простых примеров таких метрик, иллюстрирующих широту рассматриваемого класса нерегулярных поверхностей.

9.1. ИДЕАЛЬНЫЕ ПОТОКИ В УЗКИХ И ДЛИННЫХ ПОЛОСАХ

305

Пример 9.1.1 Пусть D = (D, ds2 ) — поверхность, полученная вращением графика функции u = μ(w) вокруг w−оси в евклидовом (u, v, w)– пространстве. Предположим, что μ(w) определена на отрезке 0 ≤ w ≤ μ0 , неотрицательна и удовлетворяет условию Липшица на этом отрезке. Обозначим через y = ξ(w) длину дуги ∫w √ y = ξ(w) = 1 + μ′2 (τ ) dτ . 0

Пусть w = ξ −1 (y) = η(y) – обратная к ней функция. Легко видеть, что η также удовлетворяет условию Липшица. Введем специальные координаты (x, y) точки (u, v, w) на D полагая v x = arctg , y = ξ(w) . u Если мы обозначим через r(y) = μ ∘ η(y), то функция r > 0 и липшицева. Приэтом, как легко видеть, u = r(y) cos x ,

v = r(y) sin x ,

w = η(y) .

Ясно, что линии x = const и y = const на D ортогональны. Таким образом, для элемента длины dsD имеем ds2D = r2 (y) dx2 + dy 2 . □ Пример 9.1.2 Пусть z = ϕ(x) – липшицева функция и D – ее график в евклидовом (x, y, z)-пространстве. Индуцированная из ℝ3 метрика на D имеет вид ds2D = (1 + ϕ′2 (x)) dx2 + dy 2 . Если ψ(y) – другая липшицева функция, то график функции z = max{ϕ(x), ψ(y)} имеет метрику вида (9.1.2) с измеримыми коэффициентами, удовлетворяющими (9.1.15). □

306

ГЛАВА 9. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

Пример 9.1.3 Метриками вида (9.1.2) обладают все конфокальные поверхности второго порядка [Kli78, раздел 3.7.3]. Так, например, линейный элемент сферы в ℝ3 радиуса a > 0 имеет вид /( ) 2 2 2 ( ) x + y 1+ ds2D = dx2 + dy 2 . 4a2 Условия представимости √ метрик, конформно эквивалентных эвклидо2 2 вой, в форме dsD = λ ( x2 + y 2 ) (dx2 + dy 2 ) изучались в статье И.Х. Сабитова [Sab00]. □ Вместе с тем, метрики, конформно эквивалентные евклидовой, могут быть введены на нерегулярных поверхностях весьма широкого класса. Рассмотрим следующий пример. Пример 9.1.4 Пусть D – график локально липшицевой функции z = f (x, y), заданной над односвязной областью D ⊂ ℝ2 . Cуществует гомеоморфизм T = (ξ(x, y), η(x, y)) : D → U со свойствами: T ∈ ACL2loc (D),

T −1 ∈ ACL2loc (U )

(9.1.16)

и такой, что в координатах (ξ, η) метрика поверхности D имеет вид ds2D = λ2 (ξ, η)(dξ 2 + dη 2 ) .

(9.1.17)

Здесь символом ACL2loc (A) обозначено множество функций ϕ, имеющих обобщенные в смысле Соболева частные производные ϕξ , ϕη , локально суммируемые с квадратом в области A ⊂ ℝ2 ; λ – некоторая измеримая функция такая, что 0 < ess inf λ(ξ, η) ≤ ess sup λ(ξ, η) < ∞ для любых Δ ⋐ U . Δ

Δ

В случае функций класса Lip(D) данное утверждение может быть получено как следствие общих результатов о существовании решений комплексного уравнения Бельтрами, подчиненного условию равномерной эллиптичности (см., например, главу 2 монографии [Vek59]). В случае локально липшицевых функций необходимы небольшие дополнительные рассуждения.

9.1. ИДЕАЛЬНЫЕ ПОТОКИ В УЗКИХ И ДЛИННЫХ ПОЛОСАХ

307

Пусть D – график локально липшицевой в области D ⊂ ℝ2 функции z = f (x, y) и пусть ds2D = dx2 + dy 2 + dz 2 = = (1 + fx′2 ) dx2 + 2fx′ fy′ dx dy + (1 + fy′2 ) dy 2

(9.1.18)

— индуцированная из ℝ3 метрика на D. Выберем произвольно точку a ∈ D, где f имеет полный дифференциал. Функция f локально липшицева, а потому по теореме 2.3.1 имеет полный дифференциал почти всюду в D. Квадратичная форма ds2D положительно определена, и бесконечно малая окружность в метрике ds2D с центром в точке a есть бесконечно малый эллипс в евклидовой метрике. Пусть θ(a), 0 ≤ θ < π, и p(a), p ≥ 1, — характеристики этого эллипса, т.е. угол между его наибольшей осью и осью 0x и отношение его большей оси к меньшей, соответственно. Не трудно видеть, что √ fy′ (a) π θ(a) = + arctg ′ , p(a) = 1 + ∣∇f (a)∣2 . 2 fx (a) Рассмотрим квазиконформное отображение T = (ξ(x, y), η(x, y)) области D в плоскость переменных (ξ, η) с характеристиками, почти всюду в D совпадающими с θ(x, y) и p(x, y). Поскольку ess supD′ p(x, y) < ∞ для произвольной подобласти D′ ⋐ D, такое отображение существует и определено с точностью до конформного отображения в (ξ, η)-плоскости (см. [Bel74, теорема 9]). Известны следующие свойства квазиконформного отображения T : D → ℝ2 : i) Отображение T (x, y) имеет полный дифференциал почти всюду в D и в каждой точке дифференцируемости преобразует бесконечно малый эллипс с характеристиками θ(x), p(x) в бесконечно малые круги (см. [Bel74, §1]). ii) Отображение T ∈ ACL2loc (D) (см. [Bel74, §4]). Рассмотрим образ U = T (D) области D при отображении T и обратное отображение T −1 (ξ, η) = (x(ξ, η), y(ξ, η)). Характеристика p(ξ, η) обрат-

308

ГЛАВА 9. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

ного отображения T −1 : U → D локально ограничена в области U (см. [Bel74, §1]) и, в силу свойства ii), отображение T −1 также принадлежит классу ACL2loc (U ). Так что (9.1.16) действительно справедливо. Положим z(ξ, η) = f (x(ξ, η), y(ξ, η)). Так как функция f локально липшицева в D, то, в силу сказанного, функция z(ξ, η) ∈ ACL2loc (U ). Из ii) вытекает, что вектор-функция χ(ξ, η) = (x(ξ, η), y(ξ, η), z(ξ, η)) : U → ℝ3 также принадлежит классу ACL2loc (U ). Ясно, что χ(ξ, η) имеет дифференциал почти всюду. Вектор-функция χ : U → D осуществляет взаимно-однозначное отображение области U = T (D) на поверхность D. Пусть a ∈ U – точка дифференцируемости χ. Обозначим через j : D → D проекцию поверхности D на область D. Отображение χ : U → D является композицией отображений j −1 и T −1 , а потому преобразует бесконечно малый круг с центром в точке a сначала в бесконечно малый эллипс в (x, y)-плоскости (по свойству i))) и, далее, в бесконечно малый круг на поверхности D (по определению характеристики p(x, y)). Тем самым, χ : U → D конформно почти всюду и почти всюду на U обладает следующими свойствами: | | | | ⟨ ⟩ | ∂χ | | ∂χ | ∂χ ∂χ | | = | |, , = 0. (9.1.19) | ∂ξ | | ∂η | ∂ξ ∂η Здесь символ ⟨., .⟩ означает скалярное произведение в ℝ3 . Легко видеть что, переменные (ξ, η) являются изотермическими координатами на D, а метрика (9.1.18) переписывается в виде (9.1.17). □ 9.1.5

Оценки колебания

Имеет место Лемма 9.1.2 Пусть t – фиксированное число, 0 < t ≤ β, и пусть f – решение уравнения (9.1.4) в D(β) с граничными условиями (9.1.5), (9.1.6) или (9.1.7). Тогда ∫ ∫ 2 inf oscΓs (t) f ≤ E(∇θ) dx dy E(∇f ) dx dy. (9.1.20) 0≤s≤1

D(t)

D(t)

9.1. ИДЕАЛЬНЫЕ ПОТОКИ В УЗКИХ И ДЛИННЫХ ПОЛОСАХ

309

Доказательство. По теорема 2.3.1 функции f и θ имеют полный дифференциал почти всюду в D(β). Фиксируем числа s, 0 < s < 1 ,

t, 0 < t < β ,

и произвольную такую точку (x0 , y0 ) ∈ Γs (t). Вектор ( ) θy′ θx′ τ= − , ∣∇θ∣ ∣∇θ∣ является единичным касательным к Γs (t) вектором в этой точке, и величина ∂f = ⟨∇f, τ ⟩ ∂τ есть производная по направлению τ . Так как функция f локально липшицева, то согласно теореме 1.6.1 почти все линии уровня Γs (t), 0 < s < 1, липшицевой функции θ спрямляемы и функция f абсолютно непрерывна вдоль каждой такой Γs (t). Легко видеть, что в точке (x0 , y0 ) выполняется неравенство | |2 | ∂f | | | ≤ 1 E(∇f ) E(∇θ). (9.1.21) | ∂τ | ∣∇θ∣2 Действительно, мы имеем | |2 | ∂f | | | = 1 (fy′2 θx′2 − 2fx′ fy′ θx θy′ + fx′2 θy′2 ). | ∂τ | ∣∇θ∣2 Рассмотрим пучок квадратичных форм (fy′2 ξ 2 − 2fx′ fy′ ξη + fx′2 η 2 ) − λ (A−2 ξ 2 + B −2 η 2 ). Найдем наибольшее собственное значение λmax этого пучка. Величина λmax является наибольшим корнем уравнения | | | fy′2 − λA−2 −fx′ fy′ | | | | | | ′ ′ ′2 −2 | = 0. fx − λB | | −fx fy | | Находим

λ2 (A−2 B −2 ) − λ(fx′2 A−2 + fy′2 B −2 ) = 0

310

ГЛАВА 9. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

и λmax = B 2 fx′2 + A2 fy′2 . Отсюда, | |2 | ∂f | | | ≤ 1 (B 2 fx′2 + A2 fy′2 )(A−2 θx′2 + B −2 θy′2 ) = | ∂τ | ∣∇θ∣2 =

1 E(∇f ) E(∇θ). ∣∇θ∣2

Тем самым, (9.1.21) действительно выполняется. Далее заметим, что ∫ | |√ | ∂f | | | dx2 + dy 2 ≤ oscΓs (t) f ≤ | ∂τ | Γs (t)

√

∫ ≤

E

1/2

(∇f ) E

1/2

(∇θ)

dx2 + dy 2 . ∣∇θ∣

Γs (t)

Пользуясь неравенством Коши, получаем √ √ ∫ ∫ 2 2 dx + dy dx2 + dy 2 E(∇θ) . osc2Γs (t) f ≤ E(∇f ) ∣∇θ∣ ∣∇θ∣ Γs (t)

Γs (t)

Данное неравенство влечет ∫1 0

√ ∫1 ∫ osc2Γs (t) f dx2 + dy 2 √ ds ≤ ds E(∇f ) . ∫ ∣∇θ∣ dx2 + dy 2 0 E(∇θ) Γs (t) ∣∇θ∣ Γs (t)

9.1. ИДЕАЛЬНЫЕ ПОТОКИ В УЗКИХ И ДЛИННЫХ ПОЛОСАХ

311

Предположение (9.1.1) делает возможным использовать формулу Кронрода – Федерера. Имеем ∫1

√

∫ E(∇f )

ds 0

dx2 + dy 2 = ∣∇θ∣

Γs (t)

∫ E(∇f ) dx dy. D(t)

Тем самым, приходим к соотношению inf osc2Γs (t) f ·

∫1

ds √

∫

0≤s≤1

E(∇θ)

0

∫ dx2 + dy 2 ∣∇θ∣

≤

E(∇f ) dx dy.

(9.1.22)

D(t)

Γs (t)

На основании неравенства Коши легко видим, что ∫1 ∫ E(∇θ)

0

∫1

ds √

dx2

+ ∣∇θ∣

dy 2

∫ ds

0

√ dx2 + dy 2 E(∇f ) ≥ 1. ∣∇θ∣

Γs (t)

Γs (t)

Пользуясь еще раз формулой Кронрода-Федерера, находим 1 ∫ ≤ E(∇f ) dx dy D(t)

∫1 ∫ 0

ds √ . dx2 + dy 2 E(∇θ) ∣∇θ∣

Γs (t)

Отсюда, с использованием (9.1.22), убеждаемся в справедливости (9.1.20).

Лемма 9.1.3 Пусть f – решение уравнения (9.1.4) с граничными условиями (9.1.5), (9.1.6) или (9.1.7) на D(β) и пусть τ, t, 0 < τ < t < β, –

312

ГЛАВА 9. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

произвольные числа. Тогда inf osc2γ(y) f +

y∈(τ,t)

≤

1 (t−τ )2

max

inf y∈(−t,−τ )

⎧ l ⎨∫ l ⎩

D

osc2γ(y) f ≤ ∫

νdx dy,

′

νdx dy D

′

′′

⎫ l ⎬

∫

l ⎭

D(t)∖D(τ )

E(∇f ) dx dy,

(9.1.23)

′′

где D = D ∩ {−t < y < −τ } и D = D ∩ {τ < y < t}, Доказательство. Мы получим лемму 9.1.3 как следствие из леммы 9.1.2. Выбирая θ0 = (y − τ ) /(t − τ ) в (9.1.20), находим ∫ ∫ inf osc2γ(y) f ≤ E(∇θ0 ) dx dy E(∇f ) dx dy. y∈(τ,t)

D′′

D′′

Заметим теперь, что ∇θ0 = (0, 1 /(t − τ )) , а потому ∫

1 E(∇θ0 ) dx dy = (t − τ )2

∫ νdx dy. D′′

D′′

Отсюда, inf y∈(τ,t)

osc2γ(y) f

1 ≤ (t − τ )2

∫

∫ E(∇f ) dx dy.

νdx dy D′′

D′′

Аналогично, inf y∈(−t,−τ )

osc2γ(y) f

1 ≤ (t − τ )2

∫

∫ E(∇f ) dx dy.

νdx dy D′

D′

9.1. ИДЕАЛЬНЫЕ ПОТОКИ В УЗКИХ И ДЛИННЫХ ПОЛОСАХ

Наконец, inf osc2γ(y) f + y∈(τ,t)

inf y∈(−t,−τ )

⎧ l ⎨∫

1 ≤ max l (t − τ )2 ⎩

osc2γ(y) f ≤ ∫

νdx dy,

D′

νdx dy D′′

⎫ l ⎬ ∫

E(∇f ) dx dy,

l ⎭

D′ ∪D′′

что влечет (9.1.23). 9.1.6

313

□

Энергетические оценки

Ниже нам потребуется Лемма 9.1.4 Пусть f – обобщенное решение уравнения (9.1.4) в D(β) с граничными условиями (9.1.5), (9.1.6) или (9.1.7). Тогда для произвольного t ∈ (0, β) выполнено неравенство /∫β /∫−t dy dy ∫ ∫ +1 . E(t) ≤ 1 2 2 f (x, y) ν(x, y) dx f (x, y) ν(x, y) dx t −β γ(y)

γ(y)

(9.1.24) Доказательство. Зафиксируем липшицеву функцию ⎧ 0, β ε}. Так как f – локально липшицева, то для почти всех ε > 0 граница ∂U будет спрямляема, причем mes1 (∂U ∩ Db (f )) = 0. Пользуясь (9.1.14) с функцией ϕ = f (x, y) − ε, можно записать ∫ ∫ ( −1 ′2 ) ( ) ′2 ν fx + νfy dx dy = (f − ε) −νfy′ dx + ν −1 fx′ dy = 0 . U

∂′U

Поскольку ν, ν −1 > 0 почти всюду на D, выводим ∇f (x, y) = 0 почти всюду на U,

9.2. АБСОЛЮТНО НЕПРОЗРАЧНАЯ ГРАНИЦА

329

и, тем самым, f ≡ const на U . Это противоречит определению подобласти U , и соотношение (9.2.51) доказано. Поскольку функция (−f ) также является обобщенным решением (9.1.4), то из (9.2.51) следует inf f (x, y) = inf f (x, y) . ′ Δ

∂Δ

(9.2.52)

Соотношения (9.2.51) и (9.2.52) влекут надлежащее свойство для колебания решения f на Δ. □ Докажем следующее, необходимое далее, утверждение, представляющее собой одну из возможных версий известного принципа Сен-Венана. Для решений эллиптических уравнений в евклидовом пространстве см., например, [OR74], [OI77] и для гармонических функций на гладких многообразиях — [MT96]. Главная особенность формулируемой ниже леммы состоит в специальном выборе функции исчерпания h. Лемма 9.2.2 Если f – решение уравнения (9.1.4) с граничным условием (9.2.47), то для произвольных 0 < u < v ≤ 1, выполнено ⎧ ⎫ ∫v ⎨ dt ⎬ I(u) ≤ I(v) exp −2π . (9.2.53) ⎩ Q(t) ⎭ u

Доказательство. Так как функция h локально липшицева, то для почти всех t, 0 < t < 1, ее множества уровня E(t) локально спрямляемы. Кроме того, поскольку mes2 (Db (h)) = mes2 (Db (f )) = 0 , для почти всех t, 0 < t < 1, справедливо соотношение mes1 (E(t) ∩ [Db (f ) ∪ Db (h)]) = 0 .

(9.2.54)

Тем самым, мы вправе фиксировать t ∈ (0, 1) так, чтобы множество уровня E(t) функции h было локально спрямляемо и удовлетворяло условию (9.2.54). Выберем постоянную c, исходя из условия ∫ (f − c) ∣∇D h∣ dsD = 0 . (9.2.55) E(t)

330

ГЛАВА 9. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

Пусть ϕ = f − c. В силу (9.1.14), имеем ∫ I(t) = ∣∇D f ∣2 dσD = Δ(t)

∫

(

=

) ν −1 fx′2 + ν fy′2 dx dy =

Δ(t)

∫

( ) (f − c) −ν fy′ dx + ν −1 fx′ dy =

= E(t)

∫

→ (f − c) ⟨∇D f, − n D ⟩ dsD .

= E(t)

→ Здесь ∇D и − n D суть градиент и единичная нормаль к E(t) в метрике (9.1.2). Пользуясь интегральным неравенством Коши, находим ⎞1/2

⎞1/2 ⎛

⎛ ∫ l I(t) ≤ ⎝

∫

l (f − c)2 ∣∇D h∣ dsD ⎠

l ⎝

E(t)

→ ⟨∇D f, − n D ⟩2

dsD l ⎠ ∣∇D h∣

.

E(t)

(9.2.56) − → Обозначим через τ D единичный в метрике (9.1.2) касательный к E(t) вектор. Положим ∫ → ⟨∇D η, − τ D ⟩2 dsD / ∣∇D h∣ μ(t) = inf η

E(t)

∫

, 2

η ∣∇D h∣ dsD E(t)

(9.2.57)

9.2. АБСОЛЮТНО НЕПРОЗРАЧНАЯ ГРАНИЦА

331

где точная нижняя грань берется по всем локально липшицевым функциям η : E(t) → ℝ таким, что ∫ η ∣∇D h∣ dsD = 0 . (9.2.58) E(t)

Выберем η = f − c. Условие (9.2.55) на постоянную c влечет выполнение (9.2.58) для функции η, а потому ∫ dsD → ⟨∇D f, − τ D ⟩2 ∣∇D h∣ E(t) . μ(t) ≤ ∫ 2 (f − c) ∣∇D h∣ dsD E(t)

Неравенство (9.2.56) влечет ⎞1/2 ⎛ ⎞1/2 ⎛ ∫ ∫ dsD l l l → 2 dsD l − → μ1/2 (t) I(t) ≤ ⎝ ⟨∇D f, − τ D ⟩2 ⎠ ⎝ ⟨∇D f, n D ⟩ ⎠ ∣∇D h∣ ∣∇D h∣ E(t)

E(t)

и, далее, на основании неравенства 2 ab ≤ a2 + b2 получаем 1/2

2μ

∫ (t) I(t) ≤

dsD − + ⟨∇D f, → τ D ⟩2 ∣∇D h∣

≤

→ ⟨∇D f, − n D ⟩2

dsD ≤ ∣∇D h∣

E(t)

E(t)

∫

∫

∣∇D f ∣2

dsD . ∣∇D h∣

E(t)

(9.2.59)

332

ГЛАВА 9. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

По формуле для коплощади [BZ80, следствие 6, раздел 2.4] с учетом условия (9.2.46) можем записать ∫ ∫t ∫ dsD , ∣∇D f ∣2 dσD = dt ∣∇D f ∣2 ∣∇D h∣ 0

Δ(t)∖Δ

E(t)

откуда для почти всех t ∈ (0, 1), ∫ d dsD I(t) = ∣∇D f ∣2 . dt ∣∇D h∣ E(t)

Тем самым, неравенство (9.2.59) принимает вид 1 I(t) ≤ I ′ (t). 1/2 2 μ (t) Найдем подходящую оценку для μ(t). Заметим, что ∫ √ ∫ L(t) = A2 dx2 + B 2 dy 2 = dsD E(t)

(9.2.60)

E(t)

– длина дуги E(t) в метрике dsD . Пусть s, 0 < s < L(t), – длина дуги (в данной метрике), отсчитываемая от одного из концов E(t) и пусть x = x(s), y = y(s)) – параметрические уравнения дуги E(t). Тогда | | | dη | → ∣⟨∇D η, − τ D ⟩∣ = || || . ds Введем новую переменную ∫ξ l(ξ) = ∣∇D h(x(s), y(s))∣ ds, 0 ≤ ξ ≤ L(t) . 0 ∗

Полагая η = η(x(s(l)), y(s(l))), s(l) = l−1 (s), находим | ∗| | dη | | = ∣ηs′ ∣ 1 = | | dl | l′ (s) → = ∣⟨∇D η, − τ D ⟩∣/ ∣∇D h∣ .

9.2. АБСОЛЮТНО НЕПРОЗРАЧНАЯ ГРАНИЦА

333

Отсюда, ∫ E(t)

→ ⟨∇D η, − τ D ⟩2 ∣∇D h∣ dsD = ∣∇D h∣2

∫

dsD − ⟨∇D η, → τ D ⟩2 = ∣∇D h∣

E(t) Q(t)| | ∫ | dη ∗ |2 | | = | dl | dl 0

и ∫

Q(t) ∫ η 2 ∣∇D h∣ dsD = (η ∗ )2 dl . 0

E(t)

Условие (9.2.58) переписывается теперь следующим образом ∫ η ∗ dl = 0, (9.2.61) E(t)

а величина μ(t) имеет вид Q(t) ∫ (η ∗ )′2 dl

μ(t) = inf∗ η

0 Q(t) ∫

,

(η ∗ )2 dl

0

где η ∗ подчинена (9.2.61). Чтобы завершить доказательство леммы, воспользуемся неравенстом (9.1.35). Продолжим функцию η ∗ сначала по симметрии относительно точки τ = 0 до функции, заданной на [−Q(t), Q(t)], и, далее, по периодичности до функции η ∗∗ : ℝ → ℝ. Введем вспомогательную функцию u(τ ) = η ∗∗ (

Q(t) τ ). π

334

ГЛАВА 9. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

Данная функция 2π-периодична. Соотношение (9.2.61) влечет (9.1.36) и ∫π π2 −π μ(t) = 2 inf ∫π Q (t) u

u′2 (τ ) dτ , u2 (τ ) dτ

−π

откуда π2 μ(t) = 2 . Q (t) Таким образом, из (9.2.60) выводим дифференциальное неравенство Q(t) ′ I (t). 2π Неравенство (9.2.53) следует отсюда его интегрированием. I(t) ≤

□

Следующее утверждение в гладком случае близко неравенству (11) [Suv65, §2, глава XIV]. Лемма 9.2.3 Пусть h – функция, описываемая соотношениями (9.2.45), и (9.2.46), f – произвольная локально в D(β) липшицева функция. Тогда для любых 0 < u < v < 1 выполнено inf osc2 (f, E(t)) ≤

(9.2.62)

u 0 и предположим, что для некоторого τ > k > 0 выполнено ⎫ ⎧ ∫ ∫1 ⎨ 2 τ du ⎬ E(∇f ) dx dy exp −2π ≤ s2 , (9.2.72) ⎩ ⎭ Ihk (k, τ ) Qk (u) D(β)

τ

9.2. АБСОЛЮТНО НЕПРОЗРАЧНАЯ ГРАНИЦА

345

или существуют 0 < k < τ < t < 1, для которых справедливо ⎧ ⎫ ∫t ⎨ Ihk (k, 1) du ⎬ Ω exp −π ≤ s. (9.2.73) ⎩ τ (1 − τ ) Qk (u) ⎭ τ

Тогда область R(k) является s-зоной решения f . Приведем иллюстрирующий пример. Пример 9.2.1 Выберем λ(x) = x. Тогда, используя (9.2.70) и (9.2.71), для произвольных 0 ≤ k ≤ τ < t ≤ 1 находим ∫t β (1 − k)t + k du = log (9.2.74) Qk (u) 2(β 2 + 1) (1 − k)τ + k τ

и

(β 2 + 1)(t − τ ) Ihk (τ, t) = ((1 − k)(t + τ ) + 2k) . β(1 − k) В частности, при t = 1 и τ = 0 имеем ( ) ∫ 1 1+k E(∇hk ) dx dy = β + . β 1−k

(9.2.75)

(9.2.76)

Δ(β)

Таким образом, объединяя (9.2.72) и (9.2.73) с (9.2.74), (9.2.75) и (9.2.76), приходим к следующему высказыванию. Предположим, что для некоторого 0 < k < τ < 1 выполнено ∫ βπ 1−k ((1 − k)τ + k) β2 +1 E(∇f ) dx dy ≤ s2 , (9.2.77) 2 βτ D(β)

или существуют 0 < k < τ < t < 1, для которых справедливо ( ) βπ (β 2 + 1)(1 + k) (1 − k)τ + k 2(β2 +1) ≤ s. (9.2.78) Ω βτ (1 − τ )(1 − k) (1 − k)t + k Тогда область R(k) является s-зоной гармонической в D(β) функции f с граничным условием ∂∂f− = 0 на Γ0 (β). → n □

346

9.3

ГЛАВА 9. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

Условие нетривиальности решений в зонах стагнации

Ниже изучается поведение решений эллиптических уравнений в зонах стагнации. Устанавливается оценка снизу для колебания решения, что гарантирует его нетривиальность. Ниже мы следуем [Mik08a]. 9.3.1

Постановка задачи

В разделе изучаются зоны стагнации сверхмедленных процессов. При этом под "сверхмедленными" ниже понимаются процессы, текущие величины в которых меняются столь незначительно, что зафиксировать эти изменения весьма трудно (или даже совсем невозможно) ввиду их малости по сравнению с погрешностью измерений. Изменения величин становятся заметными лишь по прошествию достаточно длительного времени [Zap06], [Zap07]. Напомним, что подобласть U ⊂ ℝn области D называется s-зоной (зоной стагнации) функции h : D → ℝ1 , если существует постоянная C такая, что данная функция отличается (в каком-либо смысле) от C в U не более, чем на s. Если s-зона U определена для некоторой величины s > 0, не превосходящей ошибки измерения функции f , то ключевой проблемой становится поиск косвенных методов получения информации об изменении f в U — методов, не использующих прямых измерений. Ниже мы приводим один из подходов к изучению поведения решений в зонах стагнации — мы указываем оценки снизу колебания решения f на подобластях U . Данные оценки позволяют, в частности, делать заключения о нетривиальности решений в s-зонах. 9.3.2

Класс уравнений

Пусть D – область в ℝn и пусть A : D × ℝn → ℝn – вектор-функция класса C 1 такая, что для любой постоянной λ ∈ ℝ1 выполнено: A(x, λ ξ) = λ ∣λ∣p−2 A(x, ξ),

p ≥ 1.

(9.3.79)

Предположим, что существует функция F (x, ξ) : D × ℝn → ℝ1 со свойствами: (i) F (x, ·) строго выпукла и дифференцируема при каждом x ∈ D,

9.3. УСЛОВИЕ НЕТРИВИАЛЬНОСТИ РЕШЕНИЙ В ЗОНАХ СТАГНАЦИИ

347

(ii) для всех x ∈ D и всех ξ ∈ ℝn выполнено ∂F (x, ξ) = Ai (x, ξ) (i = 1, 2, . . . , n) , ∂ξi

(9.3.80)

(iii) существует постоянная β > 0 такая, что F (x, ξ) ≥ β

n ∑

ξi Fξ′i (x, ξ)

(9.3.81)

i=1

для всех x ∈ D и всех ξ ∈ ℝn , (iv) существуют постоянные μ1 , μ2 > 0 такие, что при всех x ∈ D и всех ξ ∈ ℝn выполнено μ1 ∣ξ∣p ≤ F (x, ξ) ≤ μ2 ∣ξ∣p .

(9.3.82)

Ряд весьма тонких связей между F (x, ξ) и A(x, ξ), вытекающих из соотношений (9.3.80) – (9.3.82), указывается в [MZ97, раздел 2.3.2]. В частности, нам потребуется свойство ⟨A(x, ξ) − A(x, η), ξ − η⟩ > 0 ,

(9.3.83)

имеющее место при всех x ∈ D и любых ξ, η ∈ ℝn , ξ ∕= η (см. [MZ97, неравенство 2.74]). Ниже рассматриваются уравнения вида div A(x, ∇h) = 0 .

(9.3.84)

Под решениями этих уравнений в области D ⊂ ℝn в данном разделе понимаются решения класса C 2 (D). Пример 9.3.1 Пусть aij (x) (i, j = 1, . . . , n) – ограниченные измеримые функции в области D ⊂ ℝn . Предположим, что матрица (ai,j )ni,j=1 , симметрична и удовлетворяет неравенству 2

λ ∣ξ∣ ≤

n ∑ i,j=1

aij (x)ξi ξj ≤ Λ ∣ξ∣2 ,

ξ ∈ ℝn ,

348

ГЛАВА 9. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

где 0 < λ ≤ Λ < ∞ – постоянные, не зависящие от x ∈ D. Следуя [MZ97, стр. 115], полагаем ( )(p−2)/2 n ∑ ∑ Ai (x, ξ) = aij (x)ξi ξj aij (x)ξj , i = 1, . . . , n , i,j

j=1

и ( )p/2 ∑ 1 aij (x)ξi ξj F (x, ξ) = , p i,j

p > 1.

Несложно видеть, что все предположения (i) – (iv) здесь действительно выполняются, причем (9.3.81) имеет место с β = p. Здесь уравнение (9.3.84) имеет вид ⌊( ⌋ )(p−2)/2 n n n ∑ ∑ d ∑ ⌈ aij (x)h′xi h′xj aij (x) h′xj ⌉ = 0 . (9.3.85) dx i i,j=1 i=1 j=1 В случае Ai (x, ξ) = ∣ξ∣p−2 ξi (i = 1, . . . , n) уравнение (9.3.85) принимает вид уравнения (8.1.7), описывающего pгармонические функции. □ 9.3.3

F -Емкость

Пусть D ⊂ ℝn – область и задана пара непустых, непересекающихся, замкнутых относительно D множеств P, Q ⊂ D. Тройка множеств (P, Q; D) образует конденсатор в ℝn . Нам потребуется понятие F -емкости конденсатора. Рассмотрим конденсатор (P, Q; D) и обозначим через F – множество локально липшицевых функций ϕ(x) : D → (0, +∞), обладающих свойствами: ϕ∣P = 0 ,

ϕ∣Q = 1 .

(9.3.86)

9.3. УСЛОВИЕ НЕТРИВИАЛЬНОСТИ РЕШЕНИЙ В ЗОНАХ СТАГНАЦИИ

349

Определим F -емкость конденсатора (P, Q; D), обобщающую p-емкость, введенную выше в разделе 3.4.1. Положим ∫ capF (P, Q; D) = inf F (x, ∇ϕ) dHn , (9.3.87) ϕ∈F

D

где точная нижняя грань берется по всевозможным функциям ϕ ∈ F и dHn – элемент n-мерного объема. В частном случае A(x, ξ) = ∣ξ∣p−2 ξ и p > 1 можно положить 1 F (x, ξ) = ∣ξ∣p . p Нетрудно показать (мы оставляем это заинтересованному читателю), что при p = 2 мы имеем здесь обычную гармоническую емкость конденсатора, а при p = n – конформную емкость [Sych83, глава III], [HKM93, глава 2], определяемых на базе ACLp – функций. Если же определять емкость, как и выше, равенством (3.4.38), то в силу структурных ограничений (9.3.82) на F (x, ξ), имеем μ1 capp (P, Q; D) ≤ capF (P, Q; D) ≤ μ2 capp (P, Q; D) .

9.3.4

Основная теорема

Пусть D ⊂ ℝn – область и пусть ∂D – ее граница. Если множество ∂D является счетно (Hn−1 , n − 1) – спрямляемым, то оно имеет локально конечный периметр в смысле Де-Джорджи и Hn−1 – почти всюду на ∂D существует единичный вектор нормали n (см. раздел 1.6.3). Пусть D ⊂ ℝn – область со счетно (Hn−1 , n−1)-спрямляемой границей и (P, Q; D) – конденсатор. Пусть h – решение уравнения (9.3.84) в D. Для произвольной счетно (Hn−1 , n−1)-спрямляемой поверхности Σ, лежащей в D и разделяющей P, Q, полагаем ∫ I(Σ) = ⟨A(x, ∇h), n⟩ dHn−1 . Σ

Если h : D → ℝ – локально липшицева функция и Σt – поверхность t-уровня {x ∈ D : h(x) = t}, то почти всюду на Σt имеем n = ∇h/∣∇h∣

350

ГЛАВА 9. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

и, тем самым, ∫ ⟨A(x, ∇h), ∇h⟩

I(Σt ) =

dHn−1 . ∣∇h∣

(9.3.88)

Σt

Сформулируем основной результат раздела. В случае конденсаторов на поверхностях и при иных структурных ограничениях на рассматриваемый класс уравнений близкие утверждения приводятся в [Mik07c] и [Mikl07]. Теорема 9.3.1 Пусть D ⊂ ℝn – область со счетно (Hn−1 , n−1)-спрямляемой границей и (P, Q; D) – конденсатор, capF (P, Q; D) < ∞. Пусть h – решение уравнения (9.3.84), где вектор-функция A(x, ξ) подчинена (i) – (iv). Предположим, что h ∈ C 2 (D) удовлетворяет граничному условию ⟨A(x, ∇h), n⟩∣∂D∖(P∪Q) = 0

(9.3.89)

Hn−1 -почти всюду на ∂D ∖ (P ∪ Q). Тогда для произвольной пары непересекающихся счетно (Hn−1 , n−1)спрямляемых поверхностей Σ1 и Σ2 , лежащих в D и разделяющих P, Q, выполнено )1/p ( I ≤ sup{x′ ∈ Σ1 , x′′ ∈ Σ2 : ∣h(x′ ) − h(x′′ )∣} . capF (Σ1 , Σ2 ; U ) (9.3.90) Здесь I = I(Σ) – величина, не зависящая от Σ, и U – подобласть D, заключенная между сечениями Σ1 , Σ2 . При этом, если I = 0, то h(x) ≡ const в D. Доказательство. Так как capF (P, Q; D) < ∞, то не ограничивая общности мы можем предполагать, что существует непрерывная функция f ∈ W 1,p (D), равная 0 на P и обращающаяся в 1 на Q. Рассмотрим множество функций u ∈ W01,p (D), равных 0 на P ∪ Q и имеющих сужения u∣D∖(P∪Q) , принадлежащие классу W 1,p (D). Рассмотрим вариационную задачу на минимум интеграла ∫ F (x, ∇(f + u)) dHn → min , u ∈ W01,p (D) . (9.3.91) u

D∖(P∪Q)

9.3. УСЛОВИЕ НЕТРИВИАЛЬНОСТИ РЕШЕНИЙ В ЗОНАХ СТАГНАЦИИ

351

Существует единственная функция h, u = (h − f ) ∈ W01,p (D), для которой ∫ ∫ n F (x, ∇(h + u)) dHn . F (x, ∇h) dH = inf 1,p u∈W0 (D) D∖(P∪Q)

D∖(P∪Q)

В [GR89, глава 4, раздел 1.2] это доказано для F (x, ξ) = ∣ξ∣p , а в [MZ97, раздел 2.3.2] – для F (x, ξ) общего вида, но функций f , получаемых в результате замыкания класса функций W 1,p (D) с компактными носителями в D. В рассматриваемом здесь случае рассуждения весьма похожи и мы их опускаем. Экстремали вариационной задачи (9.3.91) являются решениями (в слабом смысле) уравнения (9.3.84) (см. [MZ97, теорема 2.100]). Стандартными методами (см., например, [CH33, §5, глава IV] или [Cou50, глава V, §3]) устанавливается, что вдоль участка границы ∂D ∖ (P ∪ Q) экстремальная функция h удовлетворяет ”естественному” условию (9.3.89) в некотором обобщенном смысле. Действительно, если h – экстремальная функция в задаче (9.3.91), то для любого ε ∕= 0 выполнено ∫ ∫ n 0≤ F (x, ∇(h + ε u)) dH − F (x, ∇h) dHn = D∖(P∪Q)

D∖(P∪Q)

∫

[F (x, ∇(h + ε u)) − F (x, ∇h)] dHn =

= D∖(P∪Q)

∫ =ε D∖(P∪Q)

n ∑

Fξ′i (x, ∇h) u′xi dHn + o(ε) ,

i=1

Таким образом, ∫ D∖(P∪Q)

n ∑ i=1

Fξ′i (x, ∇h) u′xi dHn = 0

ε → 0.

352

ГЛАВА 9. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

и для всякой функции u ∈ W01,p (D) имеем ∫ ∫ n ∑ Ai (x, ∇h) u′xi dHn = ⟨A(x, ∇h), ∇u⟩ dHn = 0 . D∖(P∪Q)

i=1

D∖(P∪Q)

(9.3.92) Данное условие заменяет (9.3.89) в нерегулярном случае. Перейдем непосредственно к доказательству оценки (9.3.90). На первом шаге будем предполагать, что гиперповерхности Σ1 и Σ2 являются счетно (Hn−1 , n − 1)-спрямляемыми. Пользуясь (9.3.84) и учитывая граничное условие (9.3.89), находим1 ∫ ∫ n−1 ⟨A(x, ∇h), n⟩ dH − ⟨A(x, ∇h), n⟩ dHn−1 = Σ1

Σ2

∫ =

div A(x, ∇h) dHn = 0 .

U

Таким образом, I(Σ1 ) = I(Σ2 ) и величина I действительно определена. Если для некоторой (Hn−1 , n − 1)-спрямляемой поверхности Σ выполнено I(Σ) = 0, то для почти всех поверхностей t-уровня I(Σt ) = 0 и потому при t1 < t2 ∫ ∫ dHn−1 dHn−1 0 = t1 ⟨A(x, ∇h), ∇h⟩ − t2 ⟨A(x, ∇h), ∇h⟩ = ∣∇h∣ ∣∇h∣ Σt1

∫ h(x)⟨A(x, ∇h), n⟩ dH

= Σt1

Σt2 n−1

∫ −

h(x)⟨A(x, ∇h), n⟩ dHn−1 =

Σt2

∫ =

⟨A(x, ∇h), ∇h⟩ dHn ,

Ut1 ,t2

В случае областей с (Hn−1 , n − 1)-спрямляемыми границами данное соотношение непосредственно следует из формулы Гаусса – Остроградского для липшицевых функций. В случае областей со счетно (Hn−1 , n − 1)-спрямляемыми границами необходимо перейти к рассмотрению соответствующих интегралов как несобственных. В каждом из имеющихся ниже случаев такой переход не вызывает затруднений. 1

9.3. УСЛОВИЕ НЕТРИВИАЛЬНОСТИ РЕШЕНИЙ В ЗОНАХ СТАГНАЦИИ

353

где Ut1 ,t2 – подобласть D, заключенная между Σt1 и Σt2 . Тем самым, на основании (9.3.83) заключаем, что ∇h ≡ 0 в Ut1 ,t2 и что h ≡ const в D при I = 0. Это доказывает последнее высказывание в теореме 9.3.1. Положим ν = sup{a ∈ Σ1 , b ∈ Σ2 : ∣h(a) − h(b)∣} . Предположим, что h(x)∣Σ1 ≡ M ,

h(x)∣Σ2 ≡ m и M − m = ν .

В силу условия (9.3.80) функция h(x) удовлетворяет уравнению Эйлера - Лагранжа в задаче на минимум функционала (9.3.87). Функция h(x) − m ν допустима при вычислении емкости конденсатора (Σ1 , Σ2 ; U ). При этом, выполнение условия инвариантности (9.3.79) для функции F (x, ξ) гарантирует инвариантность уравнения (9.3.84) и инвариантность краевого условия (9.3.89). Тем самым, h∗ (x) также является решением уравнения (9.3.84), удовлетворяет условию (9.3.89) на ∂D ∖ (P ∪ Q) и является экстремальной при вычислении емкости конденсатора. В силу принципа сравнения для решений, указанная экстремаль является единственной. Предположим, что h – экстремаль в вариационной задаче (9.3.91). Покажем, что h∗ ≡ h. Поскольку u = h∗ − h – функция класса W01,p (D), то пользуясь (9.3.92), имеем ∫ ∫ ∗ n 0= ⟨A(x, ∇h ), ∇u⟩ dH − ⟨A(x, ∇h), ∇u⟩ dHn = h∗ (x) =

D∖(P∪Q)

D∖(P∪Q)

∫

⟨A(x, ∇h∗ ) − A(x, ∇h), ∇u⟩ dHn =

= D∖(P∪Q)

∫ =

⟨A(x, ∇h∗ ) − A(x, ∇h), ∇h∗ − ∇h⟩ dHn .

D

Предположение (9.3.83) относительно вектор-функции A(x, ξ) влечет, что h∗ ≡ h.

354

ГЛАВА 9. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

Таким образом, функция h∗ доставляет минимум в вариационной задаче при вычислении емкости. Поэтому ∫ capF (Σ1 , Σ2 ; U ) = F (x, ∇h∗ ) dHn U

и

1 capF (Σ1 , Σ2 ; U ) = p ν

∫

F (x, ∇h) dHn ≥

U

≥

β νp

∫

⟨A(x, ∇h), ∇h⟩ dHn .

U

Отсюда, пользуясь формулой Кронрода - Федерера для ко-площади, находим ∫1

β capF (Σ1 , Σ2 ; U ) ≥ p ν

dt 0

β = p ν

∫1

∫ dt

0

∫ ⟨A(x, ∇h),

∇h ⟩ dHn−1 = ∣∇h∣

Σ(t)

⟨A(x, ∇h), n⟩ dHn−1

β = p ν

∫1 I(Σt ) dt , 0

Σ(t)

где Σt = {y : h(x) = t}. Учитывая теперь (9.3.88), получаем capF (Σ1 , Σ2 ; U ) ≥

βI ≥ 0. νp

(9.3.93)

Рассмотрим общий случай. Так как функция h локально липшицева, то почти все ее поверхности уровня {y : h(x) = t} являются счетно (Hn−1 , n − 1)-спрямляемыми. Тем самым, не умаляя общности можно предполагать таковыми поверхности уровня Σ′1 ⊂ {y : h(x) = M } и Σ′2 ⊂ {y : h(x) = m}, разделяющими P и Q в D. Пусть U ′ – подобласть D, заключенная между найденными поверхностями. Тогда capF (Σ′1 , Σ′2 ; U ′ ) ≤ capF (Σ1 , Σ2 ; U )

9.3. УСЛОВИЕ НЕТРИВИАЛЬНОСТИ РЕШЕНИЙ В ЗОНАХ СТАГНАЦИИ

355

и, в силу соотношения (9.3.93) для конденсатора (Σ′1 , Σ′2 ; U ′ ), имеем capF (Σ1 , Σ2 ; U ) ≥

βI , ∣M − m∣p

что непосредственно ведет к неравенству (9.3.90).

9.3.5

□

Следствия

Ниже мы приводим некоторые следствия теоремы 9.3.1. Рассмотрим конденсатор (P, Q; D). Пусть ρ : D → ℝ – локально липшицева функция, удовлетворяющая условию (9.3.86) и такая, что для всякой подобласти D′ ⋐ D выполнено (8.2.29). Пусть Σ1 , Σ2 – пара непересекающихся гиперповерхностей в D, разделяющая P и Q так, что при движении от P к Q вдоль жордановой дуги, мы будем встречать первой поверхность Σ1 . Положим ρ1 = sup ρ(y) ,

ρ2 = inf ρ(y) . y∈Σ2

y∈Σ1

Пусть U подобласть D, расположенная между Σ1 и Σ2 . Следствие 9.3.1 Пусть (P, Q; D) – конденсатор в ℝn . Если h – решение (9.3.84) класса C 2 (D) с граничным условием (9.3.89) на ∂D ∖(P ∪Q), то для произвольной пары непересекающихся поверхностей Σ1 и Σ2 , лежащих в D, разделяющих P, Q и таких, что ρ2 > ρ1 , имеет место следующая оценка ⎛ ⎞1/p l l l l I l ∫ (ρ2 − ρ1 ) l l l ⎝ F (x, ∇ρ) dHn ⎠

≤

U

≤ sup{x ∈ Σ1 , y ∈ Σ2 : ∣h(x) − h(y)∣} .

(9.3.94)

356

ГЛАВА 9. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

Для доказательства достаточно заметить, что функция ⎧ 0 при x ∈ P , l l l l ⎨ ρ(x)/(ρ2 − ρ1 ) при x ∈ U , φ(x) = l l l l ⎩ 1 при x ∈ Q допустима при вычислении емкости конденсатора (P, Q; D). Отсюда находим ∫ 1 capF (P, Q; D) ≤ F (x, ∇ρ) dHn p (ρ2 − ρ1 ) U

и соотношение (9.3.94) непосредственно следует из (9.3.90).

□

Рассмотрим другой специальный случай. Пусть Δ – область в ℝn−1 и пусть D = Δ × ℝ1 – цилиндрическая область в ℝn . Предположим, что система координат x = (x′ , xn ), x′ = (x1 , . . . , xn−1 ), в ℝn введена так, что область Δ лежит в плоскости xn = 0 переменных x′ = (x1 , . . . , xn−1 ). Пусть −∞ < M1 < M2 < +∞ – постоянные, P = {(x′ , xn ) ∈ D : x′ ∈ Δ, xn < M1 } , Q = {(x′ , xn ) ∈ D : x′ ∈ Δ, xn > M2 } и U = D ∖ (P ∪ Q) . Положим

ρ(x) =

⎧ l l l l ⎨ l l l l ⎩

0 при x ∈ P , (xn − M1 )/(M2 − M1 ) при x ∈ U , 1 при x ∈ Q .

Данная функция удовлетворяет условиям (9.3.86), (8.2.29). Мы имеем ∫ ∫ 1 n F (x, ∇ρ) dH = F (x, 1n ) dHn , p (M2 − M1 ) U

U

9.3. УСЛОВИЕ НЕТРИВИАЛЬНОСТИ РЕШЕНИЙ В ЗОНАХ СТАГНАЦИИ

357

где 1n = (0, . . . , 0, 1). ◟ ◝◜ ◞ n−1

В соответствии со следствием 9.3.1 приходим к утверждению: Следствие 9.3.2 Пусть D ⊂ ℝn – цилиндрическая область описанного вида. Если h есть C 2 -решение (9.3.84) с граничным условием (9.3.89) на ∂D∖(P∪Q), то для произвольной пары непересекающихся поверхностей Σ1 и Σ2 , лежащих в D и разделяющих P, Q имеет место оценка ⎞1/p ⎛ / ∫ ( ) (9.3.95) F x, 1n ) dHn ⎠ ≤ (M2 − M1 ) ⎝I U

≤ sup{x ∈ Σ1 , y ∈ Σ2 : ∣h(x) − h(y)∣} .

Глава 10

Решения на сферических конусах Для локально липшицевых решений n-гармонического уравнения на сферическом конусе доказываются аналоги известных в теории функций комплексного переменного теорем Вимана и Аримы. В основе подхода — метод Карлемана [Carlem33], базирующийся на энергетических оценках. Как и в предыдущей главе, здесь удобно пользоваться альтернативным определением обобщенного решения. 10.1 10.1.1

n-Гармонические функции Основные результаты

Следующие теоремы хорошо известны: Теорема 10.1.1 (Виман [W1905]) Если целая голоморфная функция f имеет порядок ρ < 12 , то lim sup min ∣f (z)∣ = ∞. r→∞ ∣z∣=r

Теорема 10.1.2 (Арима [A1952]) Пусть f (z) – целая голоморфная функция порядка ρ > 0 и пусть l – число, удовлетворяющее условию π 0 < l ≤ 2π, l < . ρ Тогда найдется последовательность дуг {∣z∣ = rk , θk ≤ arg z ≤ θk + l}, 358

rk → ∞,

0 ≤ θk < 2π,

10.1. N -ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

359

вдоль которой ∣f (z)∣ стремится к ∞ равномерно относительно arg z. Ниже эти результаты будут распространены на случай n−субгармонических функций на n-мерных сферических конусах. Рассмотрим класс многообразий, называемых сферическими конусами. Пусть (r, θ), где r ≥ 0, θ ∈ S n−1 (1), – сферические координаты в ℝn . Пусть D = ℝn ∖ {0} = {(r, θ) ∈ ℝn : 0 < r < ∞, θ ∈ S n−1 (1)} – область в ℝn , снабженная метрикой ds2M = α2 dr2 + r2 dlθ2 ,

(10.1.1)

где α > 0 – постоянная и dlθ – элемент длины на единичной сфере S n−1 (1). Если α > 1, то M изометрично сферическому конусу в ℝn+1 . Если α = 1, то M ≡ ℝn . При 0 < α < 1 получаем абстрактную коническую поверхность, которая не реализуема в виде поверхности вращения в ℝn+1 . Мы будем изучать субрешения n−мерного уравнения Лапласа – Бельтрами на многообразии M: Δn, M [f ] ≡ divM (∣∇M f ∣n−2 ∇M f ) = 0 ,

(10.1.2)

где divM и ∇M означают дивергенцию и градиент, соответственно, в метрике (10.1.1). Уравнение (10.1.2) описывает n−гармонические функции на M. При n = 2 данное уравнение сводится к обычному уравнению Лапласа - Бельтрами ΔM [f ] = 0 и уравнению Лапласа Δ[f ] = 0 для M = ℝ2 . Решения дифференциального неравенства Δn, M [f ] ≥ 0 называются n-субгармоническими функциями, а решения неравенства Δn, M [f ] ≤ 0 – n−супергармоническими. Определим порядок ρ функции f на конусе M соотношением { } Mf (r, D) ρ = sup s : lim inf >0 , r→∞ rs где Mf (r, U ) = sup max{f (x), 0} , U ⊂ D . ∣x∣=r x∈U

360

ГЛАВА 10. РЕШЕНИЯ НА СФЕРИЧЕСКИХ КОНУСАХ

Следующие две теоремы являются аналогами, соответственно, теорем Вимана и Аримы. Теорема 10.1.3 [MMV03] Пусть M = (D, ds2M ) – n−мерный сферический конус над областью D = {x ∈ ℝn : 0 < ∣x∣ < ∞} определяемый метрикой (10.1.1). Пусть f – n−субгармоническая функция на M. Предположим, что порядок ρ функции f удовлетворяет неравенству ( ) α n−1 ̇ ρ< λn S (1) , n−1 ( ) n−1 ̇ где λn S (1) есть основная частота проколотой сферы Ṡ n−1 (1). Если lim sup f (x) < lim sup f (x), (10.1.3) x→∞

x→0

то lim sup

min f (x) = ∞.

r→∞ x∈S n−1 (r)

(10.1.4)

Для метрик вида (10.1.1) при α ∕= 1 на многообразиях M, как правило, имеется особая точка x = 0 и, следовательно, условие (10.1.3) необходимо. Если M = ℝn , то предположение (10.1.3) избыточно. В данном случае при n = 2 утверждение совпадает с теоремой Вимана. Пусть Δ∗ ⊂ S n−1 (1) – образ области Δ ⊂ S n−1 (r) при отображении x x ∈ S n−1 (r) → ∈ S n−1 (1) . r Теорема 10.1.4 [MMV03] Пусть M = (D, ds2M ) – n−мерный сферический конус. Пусть f – n−субгармоническая функция на M, подчиненная условию (10.1.3). Если f имеет порядок ρ, то для всякого s > ρ найдется последовательность {Δk } подобластей Δk ⊂ S n−1 (rk ), rk → ∞, вдоль которой lim min f (x) = ∞

k→∞ x∈Δk

(10.1.5)

и для любого k = 1, 2, . . . , выполнено λn (Δ∗k ) ≤

(n − 1)s . α

(10.1.6)

10.1. N -ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

361

В случае M = ℝn и n = 2 данное утверждение совпадает с теоремой Аримы. Некоторые оценки для основной частоты областей типа сферических шапочек ниже. Мы рассматриваем здесь сферические конусы, поскольку именно они доставляют хорошие примеры многообразий с сингулярностями, и для которых основные характеристики n-гармонических функций вычисляются в точном виде. Мы рассматриваем локально липшицевы суб- и суперрешения уравнения (10.1.2). Здесь ключевую роль играют (Hn−1 , n − 1)-спрямляемые множества (см. раздел 1.6). 10.1.2

Липшицевы решения на многообразии

Пусть D = ℝn ∖ {0} – пространство с выколотым началом координат и пусть U ⊂ D – область. Напомним, что символом Liploc (U ) здесь и ниже обозначается множество всевозможных функций f : U → ℝ таких, что f ∈ Lip (A) для любого компактного множества A ⊂ U . Согласно теореме 2.3.1 всякая локально липшицева функция f : D → ℝ дифференцируема почти всюду. Положим Db (f ) = {x ∈ D : функция f не дифференцируема в x} . Элемент объема в метрике dsM задается выражением dvM = α rn−1 dr dS n−1 (1) .

(10.1.7)

Если ϕ(r, θ) ∈ Liploc (D) и если ϕ дифференцируема в точке (r, θ) ∈ D, то мы полагаем 1 1 ∇M ϕ(r, θ) = ( ϕ′r , ∇θ ϕ) . (10.1.8) α r Здесь ∇θ ϕ означает градиент в метрике единичной сферы S n−1 (1). n-Мерный интеграл Дирихле имеет вид )n/2 ∫ ( ∫ 1 1 ∣∇M ϕ∣n dvM = (ϕ′r )2 + 2 ∣∇θ ϕ∣2 dvM , 2 α r M

D

и экстремали данного интеграла удовлетворяют уравнению Эйлера – Лагранжа (10.1.2).

362

ГЛАВА 10. РЕШЕНИЯ НА СФЕРИЧЕСКИХ КОНУСАХ

Определение 10.1.1 Функция f ∈ Liploc (U ) называется n−субгармонической в области U ⊂ D, если для каждой подобласти V ⊂⊂ U со счетно (Hn−1 , n − 1)−спрямляемой границей ∂V , Hn−1 (∂V ∩ Ub (f )) = 0, и для каждой неотрицательной, липшицевой функции ϕ : V → ℝ выполнено ∫ ∣∇M f ∣n−2 ⟨∇M f, ∇M ϕ⟩ dvM ≤ V

∫ ≤

(10.1.9) n−1 ϕ ∣∇M f ∣n−2 ⟨∇M f, nM ⟩ dHM .

∂∗V

Здесь nM есть внутренняя аппроксимативная нормаль к ∂V единичной n−1 длины в метрике (10.1.1), а dHM – (n − 1)−мерный элемент площади ∗ редуцированной границы ∂ V . По теореме 1.6.4, данный вектор существует Hn−1 – почти всюду на ∂ ∗V . Функция f ∈ Liploc (U ) называется n−супергармонической функцией на U , если −f является n−субгармоничной. Технически более удобно рассматривать неравенство f Δn, M [f ] ≥ 0 .

(10.1.10)

Это означает, что на множестве, где f ≥ 0, функция f является n−субгармоничной, а на множестве, где f ≤ 0, — n−супергармоничной. Определение 10.1.2 Функция f ∈ Liploc (U ) является обобщенным решением неравенства (10.1.10) в области U ⊂ D, если для всякой подобласти V ⊂⊂ U со счетно (Hn−1 , n − 1)−спрямляемой границей ∂V , Hn−1 (∂V ∩ Ub (f )) = 0, и всякой неотрицательной липшицевой функции ϕ : V → ℝ, выполнено ∫ ∫ ϕ ∣∇M f ∣n dvM + f ∣∇M f ∣n−2 ⟨∇M f, ∇M ϕ⟩ dvM ≤ V

V

∫ ≤

(10.1.11) n−2

ϕ f ∣∇M f ∣ ∂∗V

n−1 ⟨∇M f, nM ⟩ dHM .

10.1. N -ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

363

Если f ∈ C 2 (U ) есть решение (10.1.10), то (10.1.11) влечет неравенство f Δn, M [f ] ≥ 0, понимаемое в обычном смысле. Действительно, пусть f ∈ C 2 (U ) – обобщенное решение (10.1.10) в U . Для произвольной подобласти V ⊂⊂ U со счетно (Hn−1 , n−1)−спрямляемой границей и произвольной неотрицательной липшицевой функции ϕ : V → ℝ, по теореме 2.6.2, мы вправе написать ∫ ∫ ϕ f Δn, M (f ) dvM + ϕ ∣∇M f ∣n dvM + V

V

∫ +

f ∣∇M f ∣n−2 ⟨∇M f, ∇M ϕ⟩ dvM =

V

∫ =

n−1 ϕ f ∣∇M f ∣n−2 ⟨∇M f, nM ⟩ dHM .

∂∗V

Условие (10.1.11) влечет ∫ ϕf Δn, M [f ] dvM ≥ 0 . V

Это дает f Δn, M [f ] ≥ 0 всюду на V . Здесь необходимо также заметить, что если f ∈ C 2 (U ) – решение (10.1.10), то f удовлетворяет (10.1.11). Следующее утверждение важно для применений. Теорема 10.1.1 Если f есть обобщенное, локально липшицево решение (10.1.10) в области U ⊂ D, то u = max{f, 0} и v = min{f, 0}, соответственно, суб- и суперрешения. Доказательство. Пусть Et – множество уровня {x ∈ U : u(x) = t}. Рассмотрим два множества A = {x ∈ U : f (x) > 0} и B = {x ∈ U : f (x) < 0} Предположим вначале, что множество уровня E0 является (Hn−1 , n − 1)-спрямляемым. Для всякой подобласти V ⊂⊂ U со счетно (Hn−1 , n−1)спрямляемой границей ∂V и такой, что Hn−1 (∂V ∩ Ub (f )) = 0, пусть V1 = V ∩ A, V2 = V ∩ B.

364

ГЛАВА 10. РЕШЕНИЯ НА СФЕРИЧЕСКИХ КОНУСАХ

Функции f ∗ = f ∣V 1 и g ≡ 0 суть обобщенные решения (10.1.10) на V1 и V2 , соответственно. Таким образом, в силу (10.1.11) для всякой неотрицательной функции ϕ выполнено ∫ ∫ ϕ ∣∇M f ∗ ∣n dvM + f ∗ ∣∇M f ∗ ∣n−2 ⟨∇M f ∗ , ∇M ϕ⟩ dvM ≤ V1

V1

∫

n−1 ϕ f ∗ ∣∇M f ∗ ∣n−2 ⟨∇M f ∗ , nM ⟩ dHM

≤ ∂ ∗ V1

и поскольку f ∗ = 0 на ∂V1 ∖ (∂V1 ∩ A), ∫ ∫ ϕ ∣∇M f ∗ ∣n dvM + f ∗ ∣∇M f ∗ ∣n−2 ⟨∇M f ∗ , ∇M ϕ⟩ dvM ≤ V1

V1

∫

n−1 ϕ f ∗ ∣∇M f ∗ ∣n−2 ⟨∇M f ∗ , nM ⟩ dHM .

≤ ∂ ∗ V1 ∩A

Очевидно, ∫

ϕ ∣∇M g∣n dvM +

V2

∫

g ∣∇M g∣n−2 ⟨∇M g, ∇M ϕ⟩ dvM ≤

V2

∫ ≤

n−1 ϕ g ∣∇M g∣n−2 ⟨∇M g, nM ⟩ dHM .

∂ ∗ V2 ∩B

Заметим, что V ⊂ (V1 ∪ V2 ∪ E0 ) , Hn (∂A) = Hn (∂B) = Hn (E0 ) = 0 , и

f ∗ = g = 0 для всех x ∈ ∂V ∖ [(∂V1 ∩ A) ∪ (∂V2 ∩ B)].

10.1. N -ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

365

Суммируя оба неравенства, мы видим, что ∫ ∫ n ϕ ∣∇M u∣ dvM + u ∣∇M u∣n−2 ⟨∇M u, ∇M ϕ⟩ dvM ≤ V

V

(10.1.12)

∫ ≤

ϕ u ∣∇M u∣

n−2

n−1 ⟨∇M u, nM ⟩ dHM .

∂∗V

Неравенство (10.1.12) влечет, что u удовлетворяет (10.1.10) в обобщенном смысле. Предположим, что граничное множество E0 не является (Hn−1 , n − 1)спрямляемым. Пользуясь теоремой 1.6.1, заключаем, что для почти всех t границы множеств Et суть счетно (Hn−1 , n − 1)-спрямляемы. С другой стороны, пусть V ⊂⊂ D – подобласть. В силу 2.5.18, ∫ ∫ ∫ n−1 dt dH (x) = ∣∇f (x)∣ dx < ∞ , ℝ

Et ∩V

V

и для почти всех t ∈ ℝ множества Et ∩V имеют конечную (n−1)-мерную меру Хаусдорфа. Более того, (2.5.18) дает ∫ ∫ dt dHn−1 (x) = 0 , (10.1.13) ℝ

Et ∩Ub (f )

и, следовательно, Hn−1 (∂V ∩ Ub (f )) = 0 для почти всех t ∈ ℝ. Таким образом, для почти всех t множества Et ∩ V суть (Hn−1 , n − 1)спрямляемы и такие, что Hn−1 (∂V ∩ Ub (f )) = 0. Для каждого t пусть At = {x ∈ U : f (x) > t} и Bt = {x ∈ U : f (x) < t}. Зафиксируем произвольно подобласть V ⊂⊂ U со (Hn−1 , n−1)-спрямляемой границей, Hn−1 (∂V ∩ Ub (f )) = 0. Для каждого ε > 0 такого, что множество Eε ∩ V является (Hn−1 , n − 1)-спрямляемым, полагаем V1 ε = V ∩ Aε ,

V2 ε = V ∩ Bε .

366

ГЛАВА 10. РЕШЕНИЯ НА СФЕРИЧЕСКИХ КОНУСАХ

В силу (10.1.11), для всякой неотрицательной функции ϕ ∈ Lip V мы можем записать ∫ ∫ ∗ n ϕ ∣∇M f ∣ dvM + f ∗ ∣∇M f ∗ ∣n−2 ⟨∇M f ∗ , ∇M ϕ⟩ dvM ≤ V1ε

V1ε

∫

n−1 ϕ f ∗ ∣∇M f ∗ ∣n−2 ⟨∇M f ∗ , nM ⟩ dHM =

≤ ∂ ∗ V1ε

∫

n−1 ϕ f ∗ ∣∇M f ∗ ∣n−2 ⟨∇M f ∗ , nM ⟩ dHM +

= ∂ ∗ V1ε ∩Aε

| | |∫ | | | | ∗ n−2 ∗ n−1 | +ε | ϕ ∣∇M f ∣ ⟨∇M f , nM ⟩ dHM | | | |γε∗ |

(10.1.14)

где γε = ∂V1ε ∖ (∂V1ε ∩ Aε ) и γε∗ есть подмножество γε , на котором γε имеет аппроксимативную нормаль. Оценим последний интеграл. Мы имеем | | |∫ | ∫ | | | ∗ n−2 ∗ n−1 | n−1 ∣Iε ∣ ≡ | ϕ ∣∇M f ∣ ⟨∇M f , nM ⟩ dHM | ≤ max ∣ϕ∣ ∣∇f ∣n−1 dHM . | | V1 |γε∗ | γε∗ Пусть ∫ Δε = {x ∈ V : 0 < f (x) < ε} and J(ε) =

∣∇M f ∣n dvM .

Δε

Пользуясь формулой Кронрода – Федерера, находим ∫ε J(ε) =

∫ dt

0

γt∗

n−1 ∣∇M f ∣n−1 dHM .

10.1. N -ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

367

На основании данного соотношения заключаем о существовании последовательности {γεk }, εk → 0, вдоль которой ∫ 2 n−1 ∣∇M f ∣n−1 dHM ≤ J(εk ) . εk γε∗k

таким образом, находим ∣Iεk ∣ ≤

2 max ∣ϕ∣ J(εk ) . εk V 1

Однако, поскольку V1ε′ ⊂ V1ε′′ for ε′ > ε′′ and ∪ε>0 V1ε = V1 , то ∫ ∫ ∗ n ϕ∣∇M f ∣ dvM → ϕ∣∇M f ∗ ∣n dvM . V1ε

(10.1.15)

(10.1.16)

V1

Ясно также, что | | | ∫ | | | | | ∗ ∗ n−2 ∗ f ∣∇M f ∣ ⟨∇M f , ∇ϕM ⟩ dvM | ≤ | | | |V1 ∖V1ε | ∫ ≤ max ∣f ∣ ∣∇M f ∣n−1 ∣∇M ϕ∣ dvM ≤ V1 ∖V1ε

V1 ∖V1ε

∫

∣∇M f ∣n−1 ∣∇M ϕ∣ dvM ≤ const ε.

≤ε

(10.1.17)

V1 ∖V1ε

Наконец, для первого из интегралов в правой части (10.1.14) мы можем записать ∫ n−1 ϕ f ∗ ∣∇M f ∗ ∣n−2 ⟨∇M f ∗ , nM ⟩ dHM = ∂ ∗ V1ε ∩Aε

∫ = ∂ ∗ V1 ∩Aε

n−1 ϕ f ∗ ∣∇M f ∗ ∣n−2 ⟨∇M f ∗ , nM ⟩ dHM +

368

ГЛАВА 10. РЕШЕНИЯ НА СФЕРИЧЕСКИХ КОНУСАХ

∫

n−1 ϕ f ∗ ∣∇M f ∗ ∣n−2 ⟨∇M f ∗ , nM ⟩ dHM .

+

(10.1.18)

∂ ∗ V1 ∩{0