Zur Eisenbetontheorie: Eine neue Berechnungsweise 9783486736946, 9783486736939

Table of contents :
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Vorbesprechung
Grundsätzliche Entwicklung des Verfahrens
1. Zahlenbeispiel
2. Zahlenbeispiel
3. Zahlenbeispiel
4. Zahlenbeispiel
5. Zahlenbeispiel
6. Zahlenbeispiel. (Eine Wohnhausdecke.)
7. Zahlenbeispiel
8. Zahlenbeispiel
9. Zahlenbeispiel
10. Zahlenbeispiel
11. Zahlenbeispiel
12. Zahlenbeispiel
13. Zahlenbeispiel
14. Zahlenbeispiel

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Zur Eisenbetontheorie

Eine neue Berechnungsweise von

W.L. A N D R É E

Mit 60 in den Text gedruckten Abbildungen

Mûnchen

und

Berlin

Druck und Verlag von R. Oldenbourg 1909

Vorwort. Man wird sich gegenüber den in diesem Buche dargelegten Auffassungen nicht verschließen können, daß sie innerhalb regulärer Spannungswerte im Beton annehmbar sind. Die vorausgesetzte Gleichheit und Proportionalität der Dehnungen des Beton bei Zug und Druck erscheint unmöglich, berechtigt aber doch, wenn man bedenkt, daß sie nur als Theorem für die Formelentwicklung eingeführt werden; der Spannungsgrenze, wo die Gesetzmäßigkeit aufhört, bewegen wir uns zwar zu, erreichen sie aber nicht, sofern die Eisenarmierung genügend stark ist. Selbstverständlich fallen die aufgestellten Formeln (wie überall) in sich zusammen, sobald durch Überbelastung eine Deformation des Baustoffes herbeigeführt wird; was hiernach eintritt, kann nur auf dem Wege der Versuchspraxis erwiesen werden. Jedenfalls dürfen wir von unserm Berechnungsverfahren sagen, daß es der Wirklichkeit näher kommt als die gebräuchlichen Näherungstheorien, weil es die natürlichen Funktionen der Formänderung der Baustoffe wenigstens einigermaßen aufgreift und verarbeitet. Dann auch haben die Formeln den Vorteil überaus g r o ß e r Einfachheit in der Anwendung, eine Eigenschaft, die dem Praktiker erwünscht ist, die er aber bei den üblichen Methoden nicht so recht findet. Es liegt auf der Hand, daß eine exakte Theorie sich nur innerhalb der Grenzen aufstellen läßt, wo der Baustoff noch keinen Bruchschaden erleidet. Darüber hinaus muß jede Theorie versagen; hier kann nur die Versuchspraxis Aufschluß geben. Die bestehenden Berechnungsweisen, die

IV

Vorwort.

versuchen, eine Mittellinie zwischen Theorie und Erfahrung herzustellen, sind schon jetzt recht kompliziert und werden es noch mehr, wenn man die Richtung fortsetzt. E s darf hier noch besonders auf die in dem Buche berührte Frage, betreffend die Möglichkeit einer vollständigen Aufhebung der Zugspannung im Beton, hingewiesen werden. Es kann dieser ideale Zustand herbeigeführt werden dadurch, daß man die Eiseneinlage vorher anspannt oder dehnt, sie dann einbetoniert und nach vollständigem Erhärten des Beton freiläßt. Diese Manipulation erscheint dem Leser logisch und durchführbar, nachdem ihm das Wesen der Haftspannung bekannt geworden ist. Zum Schluß wird noch erwähnt, daß in dem Buche einige weiterliegende Erscheinungen, wie z. B. die Scherbeanspruchung des Beton, ferner die Berücksichtigung des Biegungswiderstandes geeigneter Eiseneinlagen nicht erörtert sind, ein Umstand, der darauf hinweist, daß die vorliegende Arbeit zunächst nur als ein Entwurf zu einer nach Ansicht des Verfassers weitgreifenden Berechnungsweise anzusehen ist. D u i s b u r g im Oktober 1909.

W. L. Andree.

I nhalts Verzeichnis. Vorbesprechung Grundsätzliche Entwicklung des Verfahrens 1. Z a h l e n b e i s p i e l Der armierte Beton. Die Haftspannung. Längshaftung und konzentrierte Endbefestigung Entwicklung der Formeln Entwicklung der Formeln für einen einseitig eingespannten Balken Last am Ende. Eiseneinlage nur in der Zugzone . . . . 2. Z a h l e n b e i s p i e l Betrachtungen über die Festigkeit des Balkens. Vorherige Anspannung der Eiseneinlage Derselbe Balken, nur von mehreren Lasten angegriffen Die Belastung ist gleichmäßig verteilt Zwei Sätze Uber die Haftspannung bzw. Eisenspannkraft . Der einseitig eingespannte Balken mit doppelter Eiseneinlage in der Zugzone. Entwicklung der Formeln 3. Z a h l e n b e i s p i e l Eiseneinlage in der Zug- und Druckzone. Formeln

Seite

1 3 9

11 12 13 14 16 17 19 20 21 21 23

Entwicklung der

4. Z a h l e n b e i s p i e l Der Balken auf zwei Stützen. Last P in der Mitte. Eiseneinlage nur in der Zugzone Bemerkung über die Haftspannung Derselbe Träger, Eiseneinlage in der Zug- und Druckzone Doppelte Eiseneinlage in der Zugzone

24 26 26 28 28 29

VI

Inhaltsverzeichnis.

Der Balken auf zwei Stützen mit wandernder Last. Das Verhalten der Haftspannung bzw. der Eisenspannkraft 5. Z a h l e n b e i s p i e l Die Belastung des Balkens ist gleichmäßig verteilt

. . .

6. Z a h l e n b e i s p i e l . (Eine Wohnhausdecke.) . . . . Der Balken auf zwei Stützen mit einer Gruppe von Einzellasten 7. Z a h l e n b e i s p i e l Ein an beiden Enden eingespannter Balken. Die Last P i n der Mitte. Eiseneinlage in der Zug- und Druckzone . 8. Z a h l e n b e i s p i e l Der Balken mit Kragarm. Eiseneinlage in der Zug- und Druckzone Derselbe Balken, Eiseneinlage nur in der Zugzone . . . Derselbe Balken, Belastung gleichmäßig verteilt . . . . Der Plattenbalken. Die Unsicherheit seiner Festigkeit . .

Seite

30 31 32 33 34 35 36 38 40 41 42 43

9. Z a h l e n b e i s p i e l Bemerkungen Uber das Verhalten der Plattenbalken . . . Die zentrisch belastete Säule. Ausnutzung der Eisenbewehrung durch Endbefestigung. Herleitung der Formeln .

44 45

10. Z a h l e n b e i s p i e l Die Unzweckmäßigkeit des gewöhnlich eingelegten Eisens Eine ähnliche unrationelle Bewehrung Die exzentrisch belastete Säule. Rationelle Eisenarmierung Herleitung der Formeln

47 48 49 50 50

11. Z a h l e n b e i s p i e l Dieselbe Säule, unzweckmäßige Einbringung der Eisenlage Die exzentrisch belastete Säule (weit ausladende Last) . Eiseneinlage nur in der Zugzone. Herleitung der Formeln

51 54 55 55

12. Z a h l e n b e i s p i e l Anwendung des Verfahrens auf ein eingespanntes Portal. Ermittlung der statisch unbestimmten Auflagergrößen. Einfluß der Bewehrung auf den Spannungszustand des Betonkörpers

57

13. Z a h l e n b e i s p i e l Die Durchbiegung eisenarmierter Betonbalken Ein Balken auf zwei Stützen. Last P in der Mitte. Eiseneinlage in der Zugzone. Entwicklung der Forrnel für die Durchbiegung

61 66

46

58

66

Inhaltsverzeichnis.

VII Seite

14. Z a h l e n b e i s p i e l Derselbe Balken, Eiseneinlage in der Zug- und Druckzone. Entwicklung der Formel für die Durchbiegung . . . Ein Balken auf zwei Stützen. Belastung gleichmäßig verteilt. Eiseneinlage in der Zugzone. Entwicklung der Biegungsformel Derselbe Balken, Eiseneinlage in der Zug- und Druckzone Derselbe Balken, doppelte Eiseneinlage in der Zugzone Einseitig eingespannter Balken. Last P am Ende. Eiseneinlage in der Zugzone. Herleitung der Formel für die Durchbiegung Derselbe Balken, Eiseneinlage in der Zug- und Druckzone Derselbe Balken, Belastung gleichmäßig verteilt. Eisen in der Zugzone Derselbe Balken, Bewehrung in der Zug- und Druckzone Verbiegung eines Auslegerständers. Eiseneinlage in der Zugzone. Herleitung der Formel für die Senkung des Auslegers Wagerechte Ausweichung einer zentrisch belasteten Säule mit einseitiger Eiseneinlage. Entwicklung der Formel

67 68

69 70 70

71 71 71 71

71 73

I Inséré Eisenbetontheorien stützen sich auf Annahmen, die ^ nicht der Wirklichkeit entsprechen, können daher keinen Anspruch auf Genauigkeit erheben. Die Vernachlässigung der Zugspannung im Beton ist z. B. ganz willkürlich; der Baustoff wird im Gegenteil an den ihm naturgemäß zugewiesenen Spannungseigenschaften festhalten, und diese bestehen nicht nur in Druck- sondern auch in Zugspannungen. Die folgenden Entwicklungen beruhen darauf, daß zwei zusammengelegte Stäbe (Fig. 1 u. 2), wenn sie von Kräften angegriffen werden, sich gegeneinander verschieben, und daß die Verschiebung aufgehoben werden kann durch Längsschubkräfte zwischen den Berührungsflächen. Die Schubkräfte bestehen als innere Spannungen in jeder Längsschicht eines Balkens, oder können bei zusammengelegten Stäben durch Adhäsion, Haftung oder sonst eine Verbindung erzeugt werden. Ein eisenarmierter Betonbalken ist ein Gefüge aus zwei Teilen. Wären die Festigkeits- und die elastischen Eigenschaften des Eisens wie die des Betons, dann hätten die in Frage stehenden Schubkräfte nur beschränktes Interesse, so aber beeinflußt das anders geartete Eisen in erheblichem Maße den Spannungszustand des Betonbalkens. Die Entwicklungen gehen ferner aus von den Elastizitätszahlen Eb des Betons und Ee des Eisens, und es wird vorausgesetzt, daß die Zahlen bei Druck und Zug dieselben sind. Dies trifft bei Eisen zu. Der Beton jedoch verhält sich weniger gesetzmäßig. Die Erfahrungen lehren, daß seine Änderungen bei Zug und Druck verschieden sind und daß die Unterschiede mit dem Alter und der Art des Betons Andrée. Eisenbetontheorïen. 1

2 sich ändern. Dann auch halten die Änderungen nicht gleichen Schritt mit den A n s p a n n u n g e n des Stoffes. Zugleich haben aber die Versuche der Materialprüfungsanstalten gezeigt, dafr diese Erscheinungen erst wesentlich sind bei höheren Ina n s p r u c h n a h m e n des Betons, und daß die Unterschiede d e r F o r m ä n d e r u n g und die Proportionsfehler innerhalb derjenigen

Fig. 1.

Spannungsintervalle, die als äußerste Beanspruchungen zugelassen werden, eine größere Bedeutung nicht haben. Diese wenn auch nicht ganz sicheren Erfahrungen dürfen wir als Tatsache betrachten und sie einer Rechnung, die a n

Fig. 2.

und für sich einwandfrei ist, weil sie die natürlichen Funktionen der Materialien aufgreift, ohne Bedenken unterlegen. Die Ergebnisse mögen dann infolge der vorausgesetzten nicht 'ganz zuverlässigen Annahmen eine Verschiebung erfahren, liefern aber eine Annäherung, wie sie von anderen Formeln nicht erreicht werden kann. In Wirklichkeit ist die Dehnung des Betons bei Zuginanspruchnahme größer als die ZusammendrUckung bei Druckinanspruchnahme. Dadurch erfährt der Wendepunkt der inneren Spannungen des Balkens (neutrale Faser) bei Biegung eine Verschiebung nach der Seite der Druckzone hin. Die Dichtigkeit der Druckspannungen ist deshalb g r ö ß e r als die Dichtigkeit der Zugspannungen. Unsere in Aussicht g e n o m m e n e n Entwicklungen sind nun derart, daß es d a s

—

3

—

richtigste ist, diesem Umstände durch Vergrößerung des Elastizitätsverhältnisses vom Beton zum Eisen bei allen auf Biegung beanspruchten Balken Rechnung zu tragen. Wir wählen statt

Eb _ 1 Ee ~ 15 bei unseren Formeln das Verhältnis ¿Ts 86000 Ee ~ 2 150000

—

1 25'

(Es ist Aufgabe der Versuchspraxis, dieses vielleicht etwas zu hoch gegriffene Verhältnis zu präzisieren.) Wir schreiben dadurch der Eiseneinlage eine g r ö ß e r e A n s p a n n u n g zu, als tatsächlich besteht. Mit der A n s p a n n u n g des Eisens aber

T

Fig. 3.

hält gleichen Schritt die Haftspannung des Eisens im Beton, und wenn letztere sich als sehr gering ergibt, haben wir eine Garantie für die Tragfähigkeit der berechneten Konstruktion. An dieser Stelle sei bemerkt, daß nach unserer Ansicht hinsichtlich der Haftspannung gemeinhin nicht zutreffende Vorstellungen b e s t e h e n ; die Haftspannung zeigt sich in Wahrheit so niedrig, daß ihr Nachweis nur in seltenen Fällen notwendig erscheint.

Um den Grundgedanken unserer Entwicklungen möglichst ausführlich darzulegen, behandeln wir zunächst einen einseitig eingespannten Balken unveränderlichen Querschnittes mit der Last P am Ende (Fig. 3). 1*

—

4

—

Wie bekannt, ist die Biegungslinie eines Trägers in der Schweriinie = Null, und man nennt diese Schicht die neutrale Faser. Durchschneidet man den Balken irgendwo parallel zur Schwerachse, dann entstehen zwei getrennte Träger, deren Widerstand gegen die Belastung P bedeutend herabschnellt. Die Folge ist eine erhebliche Senkung des Trägers, und es tritt, wie Fig. 4 erkennen läßt, eine wagerechte Verschiebung des oberen &egen den unteren Stab ein. Um den Balken wieder in seinen anfänglichen Zustand zu versetzen, das heißt, die beiden Teile wieder zu einem einzigen zu vereinigen, müssen bestimmte wagerechte Kräfte in der Schnittschicht wirksam sein. Diese Kräfte bestanden ursprünglich in den inneren Schubspannungen, müssen aber jetzt in irgend

Fig. 4.

einer Weise (wie schon eingangs gesagt) durch Adhäsion, durch Haftung oder sonstwie aufgebracht werden. Die Bezeichnungen zu dem in Fig. 3 u. 4 dargestellten Fall sind folgende: Balken 1. s0 = Abstand der Schwerlinie von der Berührungskante. Balken II. su = Abstand der Schwerlinie von der Berührungskante Balken I. J0 = Trägheitsmoment, F0 = Querschnitt. Balken II. Ju = Trägheitsmoment, Fu = Querschnitt. Die in Frage stehende unbekannte Schubkraft zwischen den Berührungsflächen ist für jede Längeneinheit dieselbe. Wir verfolgen die Wirkung der Einheitsspannungen, die mit X y bezeichnet sein mögen, vom Balkenende an.

Es leuchtet

ein, daß die S p a n n u n g e n nach rechts X zu sich addieren und daß an der Einspannstelle insgesamt • 1 = X wirksam sind.

D i e s e S c h u b k r ä f t e g e b e n die T r ä g e r s e l b s t infolge der Verb i n d u n g g e g e n e i n a n d e r ab. Sie f ü h r e n z u g l e i c h die wager e c h t e g e g e n s e i t i g e V e r s c h i e b u n g d e r b e i d e n Balken auf Null z u r ü c k , u n d d i e s e r Umstand liefert d e n A u s g a n g s p u n k t z u r A u f s u c h u n g d e r U n b e k a n n t e n X. Die B e d i n g u n g s g l e i c h u n g , n a c h alle s p ä t e r e n A u f g a b e n lösen, lautet CMX

dMx

) j E

. d

b X

x

.

C N

+ )FE

der

bN b X '

wir

diese

sowie

, d x

=

°

• • • ( ' )

E s wird damit a u s g e d r ü c k t , d a ß die S u m m e aller an d e m Balken geleisteten F o r m ä n d e r u n g s a r b e i t Null sein m u ß . D a s erste Glied bezieht sich auf die A r b e i t a u s der Biegung, d a s zweite Glied auf die Arbeit a u s d e r N o r m a l k r a f t . Wir e r k e n n e n , d a ß die Last P in zwei b e s t i m m t e Teile zerfällt und z w a r P0 auf den o b e r e n u n d Pu auf d e n u n t e r e n Balken. In

Z

f

iFig. 5.

B e t r a c h t u n g d e s B a l k e n s 1 (Fig. 5). wagerechten Bewegung. Mx

:

— Po • x — X • £ • So

CMX

M f x

) j E

bX

3 JoE

X - l

+

x N =

• So

X-

b N _

/

-So2

3 JoE x

b X ~ l i

\FE

x

dx

Po - P - So

CN

Arbeit bei d e r

bN b X '

a x

_ _ L f y

£: H -

~

i '

F o f l

ÄLl IFoE

—

6

—

B e t r a c h t u n g d e s B a l k e n s II ( F i g . 6). Arbeit bei der wagerechten Bewegung.

Wie vorher ergibt sich

Pu * ' Su | iV • / * S~u iJuE 3 JaE

und

XI 3F„E E s muß sein — Formänderungsarbeit =

0

Also

Po •¿'•So P„l2-Su , XI-So- , X-lsJ , XL XjJ. = 3J„E iJ„E 7>]UE SF0ET 3>F„E ~ 3joE oder

Po l So ^Pu-l Su Jo Ju I R-IC

i/5°"_[_Sa2_[_ 1 _)_— \Jo Ju Fo FIi}

(l)

y JC

\ i

y

0

v

' - — - *

j

F i g . 6.

Die Gleichung enthält außer X noch die beiden U n b e kannten P0 und Pu. Die nötigen weiteren Bedingungsgleichungen lassen sich aufstellen mit

P0 + P„ = P

(2)

und mit Hilfe des S a t z e s , daß auch die S u m m e der Arbeiten auf dem W e g e der senkrechten Bewegung des Balkens gleich Null sein muß. B e t r a c h t u n g d e s B a l k e n s I (Fig. 7). Senkung.

Mx

—Po- x + X• ^ - So

CMxbM, 3 je • vp0 •dx

I fj

Arbeit bei der

bM z

bPo

jfl 1 p0. P =joE\\p°x-~xrs)dx=zTo

XPso SJoE

—

7

—

B e t r a c h t u n g d e s B a l k e n s II (Fig. 8). Arbeit bei der Senkung. Wie vorher, jedoch mit entgegengesetzten Vorzeichen : Pa- P . X-P • sa

n«. 7. Es muß wieder sein — Formänderungsarbeit = 0

oder

Pul3 iJuE

Pp-P SJoE

X-P-Sp XP-Su 3JaE + 3JuE

Po" l Pul Jo ~ Ju ~

- 0

/ So Su \Jo Ju

(3)

Ho » / **' i

IT l Fig. 8.

Wir schreiben die drei Gleichungen noch einmal untereinander : Po J ^ S o j ^ P u - l - S u _ J__|_ i \ 1

Jo

Ju

\jo

Ju

/>„ + />„ = />

(2)

V-V

Mx

x

=

_ J-2

. „ JT2 J

.

o P-P s , X l s2 2>Jb Eb 3 Jb Eb Fe

F i g . 15.

Aus der Normalkraft N = X--^ wie oben X I 3Eb Eb Es muß sein ^ Formänderungsarbeit = 0 also P-P-s X-l-sP X I X-l 3 Jb 'Eb ' 3 Jb Eb 3 Fb Eb +3 Ee ~Ee Hieraus , s , =P I W (8) Jb . Jb • cEb s- Fb Fe Ee Hiernach ist das wirkliche Biegungsmoment des Betonbalkens für eine beliebige Stelle im Abstände x vom Ende sehr einfach X=P

l

MX = P- x—X-tund an der Einspannstelle M° = P l — X-s = Mmax(\

s — 3i • s)

—

16

—

Die Normalkraft auf einen beliebigen Querschnitt beträgt

N =

X~

An der Einspannstelle N = X E s darf betont werden, daß g e g e n ü b e r den üblichen verwickelten Berechnungsmethoden unser Verfahren ein überaus einfaches und klares ist.

2. Z a h l e n b e i s p i e l . Fig. 16 zeigt den Querschnitt des Balkens. Die Zahlen sind: P = 1000 kg / - 200 cm Jh = 97200 cm 1 Wb = 5400 cm 3 Fb = 900 cm 2 Fe = 20 cm 2 s = 15 cm

\J)=2Scpj^ Fig. 16.

D a s Elastizitätsverhältnis von Beton zu Eisen sei dem früher dargelegten Grunde mit Eb 86000 1 n -2150000 25 angenommen.

Fig. 16a.

X = P I W =

1000-200

X = 5680 kg

15 . 97200 , 97200- 1 * ohi i ^ + 2 0 - 2 5 900

aus

—

17

—

Die Beanspruchung der oberen Faser an der Einspannstelle berechnet sich zu Mo X Pl — X s X 1000 200 — 5680 15 n0 = W Fb ~ Wb Fb 5400 h 5680

900

= 21,2 — 6,3 = 14,90 kg/cm 2 Zug.

Die der unteren Faser au =

= 21,2 + 6,3 = 27,5 kg/cm 2 Druck.

Der größte Zug der Eiseneinlage an der Einspannstelle

Die Haftspannung bzw. die Einheit derselben wird am größten für die Strecke zwischen der Last P" und der Ein-

—

20

—

Spannung des Balkens. Schreiben wir die Wirkung der Einzellasten getrennt, dann folgt als Einheit der größten Haftspannung für diese Strecke rmax = J

+ j!, = (P + P" + F") • *

oder allgemein für eine Lastenreihe Tmax =

P'

IP"

—P-tyl

(11)

\P

frrii

...VI., i' Fig. 17.

Schließlich kann die Belastung des Balkens eine gleichmäßige sein; sie sei p pro Längeneinheit. Die gesamten an der Einspannung gehäuften Haftkräfte (Zug im Eisen) ergeben sich zu

frrfl JC

Fig. 18.

Die Beanspruchungen des Betonbalkens sind wie oben

r

=

nach

Eiseneinlage

—

30

—

Es entsteht die Frage, wie verhält sich der Eisenzug bzw. die Haftspannung, wenn die Last P wandert. Die Antwort geben die allgemeinen Gleichungen 12 und 13. und

t = Q• Für eine beliebige Stelle der Last im Abstände x vom Auflager A (Fig. 26) beträgt das Moment .. P(l-x)x Mx= } Infolgedessen berechnet sich die unter der Lastangriffsstelle bestehende Anhäufung der Einheiten der Haftspannung zu (21)

Diese Anhäufung summiert sich aus den Einheiten der Haftspannung vom linken Auflager bis zur Last. Dasselbe

\ i

— — l

i i

Fig. 26.

gilt für die rechte Balkenseite. Die Anhäufung (Spannkraft des Eisens) nimmt ab, je näher die Last dem Auflager kommt. Steht sie über dem Auflager, dann wird X = 0 Die Einheit der Haftspannung war allgemein r = QW Für den Balkenteil vom linken Auflager bis zur Last ist P(l-x) la — - ^— VI (22) Für den Balkenteil rechts P x -91 Tb = - T

.

(23)

Hieraus folgt, daß die größte Einheit der Haftspannung am Trägerende besteht, wenn die Last gerade über das Auflager tritt. rmax = P W (24)

— 5. Z a h l e n b e i s p i e l .

31

—

Siehe Fig. 27.

P = 2500 kg Jb =

Fe = 38

r •-jjh

i

/ = 400cm

Wb — 5334 cm 3

106667 cm 4

cm'2

s =

Eb_

1

Ee~

25

Fb = 800 cm 2

18 cm

r

^Xkl..^

£

Waru

U

n-

1—--4 ZOrrrr

Fig. 27.

Der größte Zug im Eisen findet statt, wenn die wandernde Last in der Mitte des Trägers steht. X=MmM*-M Der Bruchfaktor war nach Gleichung 8 s

91 =

c2 4 _ ^ 4 J ± J k Fb'T Fe-Ee Die Zahlenwerte liefern S

18

-"' i , 8 ~ + ~800

i 106667-1 + 38 - 2 5 "

18

18 —

324 -(- 133,34

Sodann ist

P I -J -

Mmax

112,569,64

0,0316

2500 400 , - - 250000 cmkg 4

Es ergibt sich X Nun beträgt der Mitte

= 250000 0,0316

7900 kg

das Maximalmoment M°niax

P l ••• - 4

X

des Betonbalkens in

s

= 250000 — 7900 18 - 250000 — 142200 = = 107800 cmkg

—

32

—

Die Materialbeanspruchungen sind f o l g e n d e : Untere F a s e r M° y max ^ a = ° ~Wb~Fb 107800 7900 = " 5 3 3 4 " — 8ÖÖ = 2 0 , 2 5 ~~ 9 , 9 = , 0 ' 3 5 k 8 / c m 2 O b e r e M° Faser V au = + =

20

'25 +

9

'9 =

30

'15

k

g/cm2

D r

Z u

S

"ck

Die Inanspruchnahme d e s E i s e n s ist X 7900 -]i-Eb 2 • Ji • Eb 2 Jn-Eb i

p-r, M i lb J 2 Eb 2-Ji-Eb

h h i 2 J-Ji-Eb

—

61

(nach

+

—

M)

M-h

Ml H hl P-P HJC= 0 2 • Jn • Eb 2 • J-i - Eb 16 - J i • Eb Jl • Eb 2h-Et oder H - h2 , H h l M-h M l P-P 2 h 3 J, + 2 h 16 J 2 2 Ji H-h-l M-h Ml P-P Hh2

2 TT S e t z t man

h

2 -j2

"Ji

i6 y.

n, dann folgt

Ji

P-P 8 •n

H.h(h

\

+ -)—At(2-h+ nj \

n

P-P 8 • //

Die Gleichungen liefern

H = und

3 • P-P 8 • h (A • n + 2 /)

M=--H13. Z a h l e n b e i s p i e l

(39)

h 3

(40)

'

(Fig. 49).

P = 2,0 ton Ständer. ; = 4m h—3m J x = 45000 cm 4 ^ Sj = 13 cm Balken. y 2 = 106667 cm 4

= 3000 cm"

= 5 3 3 4 cm»

= 600 cm-

F 2 = 800 cm 2

s2 = 18 cm J 2 _ 106667 = 2,37 4500Ö Nach Gleichung 39 b e r e c h n e t sich 3 P-P H 8 h\h « 4 - 2 • /)

and

3-2-4" 8 - 3 ( 3 - 2 , 3 7 -| 2 A/=//-4 = 3

4)

0,265-4 3

96 = 0,265 ton 362,64 0,265 mt

—

62

—

Der Rahmen wird somit von folgenden Momenten angegriffen : Am Fuße Mf = di = + 0 . 2 6 5 mt In d e r E c k e

oben

M e = M — H h = 0,265 — 0,265 • 3 = — 0,530 mt Inder

Balkenmitte Mm = M+-i -

= 0,265 •

— H

4

2 4

h

0 , 2 6 5 - 3 = 1,47 mt

20cm

Die Eintragung der geradlinigen Momentenflächen ergibt auch die Nullpunkte (Fig. 50). Hier bestehen die Wendepunkte der elastischen Linie des Rahmens. Ermittlung des E i n f l u s s e s der 1. D e r S t ä n d e r . Die Armierung sei doppelt. a) A u s

dem senkrechten

Armierung.

Auflagerdruck Eb Ee

Wegen der Normalkraft ist zu wählen - = - = 6

p —.

I --

15

Die Eisenstäbe m ü s s e n am Kopf und Fuß konzentriert befestigt werden. Druck Xn im Eisen unveränderlich.

—

63

—

Nach Gleichung 31 ist

P

Xn

:

=

2

1 Fb • Et Fe-Ee

100024

1 600 • I 13

1000 2+

= 3,08

197 kg Druck

15

b ) A u s d e n M o m e n t e n (Fig. 5 2 ) .

Eb

I

~E~2b

Die Anhäufung der Einheiten der Haftspannungen figuriert nach den Momenten. Der Bruchfaktor 9? bei doppelter E i s e n einlage war nach Gleichung 15

S

- l

'

l

k

t

u..

Sperrt, r

Fig. 50.

i

Fig. 51.

Die Zahlen liefern 13 13 91 = = 0,0273 45000 1 338+138,5 2 - 13 2 + 13 25 Die größte Anhäufung der Einheiten der Haftspannung b e s t e h t in der E c k e oben mit Xm = Me • = 53000 0,0273 = 1447 kg Zug und Druck

—

64

—

Am Fuße finden wir Xm = M/-M = 26500 • 0,0273 = 724 kg Zug und Druck Nunmehr lassen sich die Beanspruchungen des Betonquerschnittes bestimmen. In d e r E c k e o b e n . a) A u s d e r N o r m a l k r a f t .

=

=

~ 2 —

2•X

"

1000 - 2- 197 wo

=

b) A u s d e m M o m e n t . Das wirkliche Moment des Betonquerschnitts ist M° = Me— 2 Xm s = 5 3 0 0 0 - 2 - 1447- 13 = 53000 — 37596 = 15404 cmkg

F i g . 52. 9

Die sich zu

Beanspruchung ,5404 Mo

der

äußersten

Fasern

berechnet

" = Wi = 30ÖÖ = 5 , 1 4 k g / c m ' - Z u 8 u n d Druck. Die Eisenbeanspruchung ist ebenfalls sehr gering. 2. D e r B a l k e n . Es wird eine einseitige doppelte Bewehrung in der unteren Seite gewählt. Wegen des konstanten Momentes M ist die Eisenlage am Ende konzentriert zu befestigen. Das Eb 1 Verhältnis ist mit ^ einzuführen (Fig. 53).

— Zur

Ermittlung der

65

—

größten

Anhäufung

der

Einheiten

der Haftspannung (Spannkraft des Eisens) benutzen wir die Gleichungen 14 und 14a. Xl

Sie lauteten

('512 +

Fb+

(*22 +

Jb , Jb- Eb Fe" • Ee) + Fb

i -Uuu 1 Tnrrf—T

4

+ ^

£— 1

Xx

*

+ T ) =

lSl "

Jb + Fb) =

* * Mm

u j,k i i~' T r r "51

15cm T~ I s, = 73 cm,

4 - -

Fe=9,5qrnt

' 54

Fe"= 13qcm?

0,537ni

F i g . 53.

Wir setzen die Zahlenwerte ein: 106667 . 106667

800 v

13 25

j+

^ ( ,

/ .„ . 106667 , I06667X .

8

/

.

5

1

1C

+ 1

^ 7 U l 4 7 0 0 0 . 1 8 8 0 0 /"

, 106667\

1B

Xx (324 +

133 + 328) + X2 (270 - f 133) = 2646000

X2 (225 +

133 + 449) + Xx (270 +

133) = 2205000

Xj • 785 + X2 • 403 = 2646000 Xx • 403 4 - X 2 • 807 =

2205000

Xx • 1572 + X2 • 807 = 5298615 Xx • 403 + X 2 • 807 = 2205000 durch Subtraktion und Andrée,

Eisenbetontheorien.

Xi

=

x2

=

3093615

2647 k g

1169 1138259 807

=

1411 kg 5

—

66

—

Nunmehr läßt sich das wahre Moment in der Mitte des Balkens berechnen. Es beträgt M°

=

Mm

—

X i • Si

—

X

• «2

2

= 147000 — 2647 18—1411 15 = 147000 — 47646 — 21165 = 78189 cmkg Die Normalkraft ist N = X + X2 = 2 6 4 7 + 1411 = 4 0 5 8 kg Danach bestehen folgende Beanspruchungen x

N

78189 , 4058 , „^ , = 5334 + 8 0 0 = 14,7 + 5,1 = 19,8 kg/ cm 2 Druck M°

N

o u = W 2 ~ f ~ 2 = 14,7—5,1 = 9 , 6 kg/cm 2 Zug Im Falle einer gleichmäßig verteilten Belastung G des Balkens betragen die eingangs ermittelten Auflagergrößen des Portals H = undytf=// | 3 8 +

Von Wichtigkeit ist ferner die Kenntnis der Durchbiegung eines eisenarmierten Balkens und soll versucht werden, sie an einigen Fällen nachzuweisen. 1. E i n T r ä g e r a u f z w e i S t ü t z e n , mit der Last P in der Mitte. Die Eisenarmierung liege nur in der Zugzone. Denkt man sich die Armierung fort, dann erleidet der Balken in der Mitte bekanntlich die Durchsenkung f

P

48

P

J

b

- E

b

Durch die Anspannung der Eisenlage wird jedoch der Balken wieder g e h o b e n ; es wirkt auf jeden Querschnitt das Moment aus der Anhäufung der Einheiten der Haftspannung, und zwar mit M

x

= X '

s =

2

X

x

- s

Setzen wir für X den allgemeinen Wert X = M-3i (Gleichung 8)

— ein, dann folgt ju u «> * Mx=2.M.*--rs=

67

2

c

—

P

l

^

W * s j— = -

P-M-x-s ^

Der Weg, den die Last P unter dem Einfluß von zurücklegt, ist )JE Nach o b e n ist

bP W^x-s 2" IP

bM x bP

!

L

Mx

r

J

*

€C

——M

i

%

&

U1

ji

X Fig. 54. Somit 2

CP^ ^

-

2

dx

Jb • Eb, V P-^ls1 2 Jb Eb

P • • s- r „ dx 2 jb E b y "

P • 9{2 s 2 • l3 48 Jb -Eb

P 24

Die tatsächliche S e n k u n g der Balkenmitte ist somit f-fb-fe

P-P 48 Jb-Eb p 13 r

i

48 Jb 14. Z a h l e n b e i s p i e l . P = 2000 kg Jb = 67400 c m ' Fe = 40 cm 2 Eb _ I Ee 25

Eb

P-W'-Ps* 48 Jb-Eb - 2 (1 — W-S 2 ) .

(41)

/ = 400 cm /="ft = 9 0 0 c m 2 s = 12 cm Eb = 86000 kg/cm 2 5*

—

68

—

E s b e r e c h n e t sich der Bruchfaktor 12 9? = . 67400 . 6 7 4 0 0 900

+

nach G l e i c h u n g 8 zu 12 277

40-25

S o d a n n folgt nach Gleichung 41 2000 - 400

/ = 4 8 • 67400 • 86000 = 0,46 (1 —

= 0 , 4 6 • 0,73 = 0 , 3 3 6 cm IS

30\cnv 1

i

§

i

•>

—

Wart? F i g . 56.

F i g . 55.

2. D e r s e l b e T r ä g e r , nur mit doppelter E i s e n e i n l a g e . Die Durchbiegung ohne B e r ü c k s i c h t i g u n g d e r Bewehrung ist wieder

fb

48

p.p. Jb-Eb

Die B e w e h r u n g erzeugt für j e d e n Balkenquerschnitt das Moment

Mx=2X's=4X^-s Für X den allgemeinen Wert ergibt

Gleichung 15

eingesetzt,

Mx=-P-fi-x-s

Wie vorher ist

Wir erhalten

/e

Mx t>M. dx )J E bP bMx = W • JT • S DP

(V • ")i- xn- • dx s- • jt-E„:

P-W-P-s2 12 Jb-Eb

—

69

—

Als wirkliche Durchbiegung verbleibt daher , , , f = fb —fe =

P-P PW2Ps* 48 J b - E b 12 J b - E b P-P - 4 • «K • s 2 ) 48 Jb-Eb (I

3. E i n T r ä g e r a u f mäßig verteilten Belastung Es ist eine einseitige gesehen. Die Durchbiegung bei beträgt f — Ib

(42)

z w e i S t ü t z e n mit der gleichp pro Längeneinheit. P = p-1 Armierung in der Zugzone vorAußerachtlassung der Bewehrung WA Jb -Eh T*

-

-

U

£ Fig. 57.

Das Moment aus dem Zug der Eiseneinlage für jeden Querschnitt des Balkens ist Mx = X'-s Wie unser Satz 2 sagt, figurieren die Werte X' nach einer Parabel: X' = | • j- (/ — x) • Infolgedessen schreiben wir Mx = \

-x(l-

x) •

•s

Um die D u r c h b i e g u n g in der Mitte des Balkens aus der Wirkung von Mx zu finden, bringen wir daselbst die senkrechte provisorische Last Pn an. Dann ist M x bM x dx fc J E bPn

i

—

a

—

Das Moment des Eisenzuges, entstanden aus der Last hat für jeden Balkenquerschnitt den Wert (vergleiche

Pn, F

70

"

„

0

Pn

Mx =

*

£

X

S

Das gesamte Moment des Eisenzuges besteht daher in UM M x =

P 2

// (/ —

x

\ \I x ) • N

ÒMX

, • s H

ï

l

x

P n - W - X - S 2 s

ÒPn Mx f ' —

j 'Jy .-

Jb

òMx Ef

'

ÒP„

'

2 (V ^TTb J \2

d x

^

„

m

. P n

J") • 9f • s +

W

x

s \ W

-2

x

) —

s

dx

Wegen Pn = o folgt 2 9i jr t P i , ^ «> 0 — x ) • 9Î • s • — s / • " ^ T S j l - ' C - ' ) - » - * x

s

w

dx

o l

o

oder

_ }

e

~ 2

p

. g p . 52 5 ./4 _ - J

b

- E b '

192

5 •P 3 8 4

-Jb

fi • Eb

'

2 S

Wir ermitteln somit schließlich als tatsächliche Durchbiegung des Balkens in der Mitte t _ f _ , 5j P - _ P _ _ S P P . , Jc ~ 384 Jb • E 384 Jb E ' ' " b

5 / > / 3 8 4

'

J b - E b

b

S

(1—

(43)

4. D e r s e l b e T r ä g e r , nur mit doppelter Eisenlage. Auf demselben Wege wie oben ergibt sich ' = 3 ^ 7 r ; < , - 4 - 9 p - * ) • • • • (44) 5. D i e E i s e n a r m i e r u n g s e i d o p p e l t , aber nur in der Zugzone. Man kann, ohne einen nennenswerten Fehler zu begehen, den Gesamtquerschnitt Fe

=

Fe1

+

Fe"

—

71

—

einführen, mit dem mittleren Abstand s von der Schwerachse des Balkens. Dann gelangen wir zu der Durchbiegung des 1. und 3. Falles.

Fe-F^F," F i g . 58.

6. E i n e i n s e i t i g e i n g e s p a n n t e r B a l k e n mit der Last P am Ende. Die Eisenarmierung befinde sich nur in der Zugzone. Aus den vorstehenden Herleitungen können wir den Schluß ziehen, daß die Durchbiegung am Ende folgenden Wert hat P-P PP f = fh - f e = 3 Jb E ~ 3 Jb £b • . = 3 T ^

1

- *

2

(45)

- ^

7. Bei doppelter Eisenlage oben und unten schreiben wir ' = 3 7 ^