Zur Axiomatik der Geometrie, 3: Über das Archimedische und das Cantorsche Axiom [Reprint 2019 ed.] 9783111561165, 9783111190389

Table of contents :
Über das Archimedische und das Cantorsche Axiom
I. Das Archimedische Axiom in der absoluten Geometrie
II. Das Cantorsche Axiom in den Archimedischen Geometrien

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Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften Stiftung Heinrich Lanz Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse *) Jahrgang 1921 erschien im Verlage von Carl Winters Universitätsbuchhandlung in Heidelberg. Im Verlag von Walter de Oruyter & Co. vormals G. J.Göschen'sehe Verlagshandlung •— J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer •— Karl J. Trübner — Veit & Comp., Berlin, erschienen:

Abteilung A. Mathematisch-physikalische Wissenschaften. J a h r g . 1 9 2 2 : 3 Hefte. — J a h r g . 1 9 2 3 : 5 Hefte. — J a h r g . 1 9 2 4 : 11 Heft.e

Abteilung B. Biologische Wissenschaften. J a h r g a n g 1 9 2 3 : 1 Heft. Von Jahrgang 1925 ab findet die Trennung in Abteilung A und B nicht mehr statt. J a h r g a n g 1925. 1. HEFFTKR, LOTHAB. Zur absoluten Geometrie I I . 2 . R O E S E R , E R N S T . Die komplementären Figuren der

Reichsmark 0 . 5 0 nichteuklidischen Ebene.

Reichsmark 0.50 KUNO. Neuer Beweis f. d. Zuordnung von rechtwinkligem Dreieck und Spitzeck in der hyperbolischen Elementargeometrie. Reichsmark 0.30 4 . SALOMON, W I L H E L M . Beobachtungen über Harnische. Reichsmark 0 . 7 0 5 . L O E W Y , A. Beiträge zur Algebra. 1—4. Reichsmark 1 . — 6. H E L L P A C H , W I L L Y . 2. Mitteilung zur Physiognomik der deutschen Yolksstämme. Reichsmark 0.30 7 . L O E W Y , A L F R E D . Neue elementare Begründung u. Erweiterung der Galoisschen Theorie. Reichsmark 2.— 8. C U R T I U S , T H E O D O R , U . B E R T H O , A L F R E D . Einwirkung von Stickstoffkohlenoxyd und von Stickstoffwasserstoffsäure unter Druck auf aromatische Kohlenwasserstoffe. Reichsmark 0.40 9 . R O E S E R , E R N S T . Die gnomonische Projektion in der hyperbolischen Geometrie. Reichsmark 0.70 1 0 . R A S C H , G. Über die Ausnützung der Gezeiten des Meeres zur Energiegewinnung. Reichsmark 0.80 1 1 . SALOMON, W I L H E L M . Magmatische Hebungen. Reichsmark 1 . 2 0 1 2 . P Ü T T E R , A.. Altersbestimmungen an Drachenbäumen von Tenerife. Reichsmark 0.90 13. VOLK, OTTO. Über geodätische rhombische Kurvennetze auf krummen Flächen, insbesondere auf Flächen konstanter Krümmung. Reichsmark 1.10 14. ROESER, ERNST. Die Fundamentalkonstruktion der hyperbolischen Geometrie. Reichsmark 1.40 15. R Ü G E R , L., u. R Ü G E R - H A A S , P. Palaeosemaeostoma geryonides v. Huene sp., eine sessile Meduse aus dem Dogger von Wehingen i. W., und Medusina liasica nov. sp., eine coronatenähnliche Meduse aus dem mittleren Lias von Hechingen i. Württemberg. Reichsmark 1.50 8.

FLADT,

J a h r g a n g 1926. Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen. Reichsmark 1.70 KLEBS, GEORG. Über periodisch wachsende tropische Baumarten. Reichsmark 1.20 MÜLLER, MAX. Über die Oberfläche von Flächenstücken. Reichsmark 1.20 E R N S T , M A X . Über Anlagen von Organen, die nicht zur Ausbildung gelangen. Reichsmark 0.50 ERNST, EMIL. Die optischen Eigenschaften des Andesins von Bodenmais. Reichsmark 1.10

1. KRULL, WOLFGANG. 2. 3. 4. 5.

(Fortsetzung

siehe 3. Umschlag Seite)

* ) Bestellungen auf solche Veröffentlichungen der math.-naturw. Klasse, welche früher im Verlag von Carl Winters Universitätsbuchhandlung in Heidelberg erschienen sind, nimmt auch der Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin, entgegen.

Sitzungsberichte der H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e der W i s s e n s c h a f t e n Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse —

Jahrgang 1930.

5. Abhandlung.

—

Zur Axiomatik der Geometrie III Über das Archimedische und das Gantorsche Axiom Von

Richard ßaldus in Karlsruhe

Mit 4 Abbildungen im Text

Eingelaufen den 26. März 1930

B e r l i n und L e i p z i g 1 9 3 0

W a l t e r de G r u y t e r & Co. • o r m a l s G. J . G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g / J. G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g / G e o r g R e i m e r / K a r l J. T r ü b n e r / V e i t & Comp.

Über das Archimedische und das Cantorsche Axiom1). Die hier folgenden Ausführungen enthalten als Hauptergebnis den Nachweis zweier Tatsachen. Erstens: es genügt in der a b s o l u t e n G e o m e t r i e •— und damit auch in der Euklidischen wie der hyperbolischen —, im Archimedischen Axiom die Meßbarkeit einer einzigen Strecke durch jede ihrer Teilstrecken zu fordern; dann folgt daraus als Satz, daß der ganze Raum Archimedisch, d. h. jede Strecke durch jede kleinere meßbar ist. Zweitens: man kann in jeder A r c h i m e d i s c h e n G e o m e t r i e das CANTOKsche Axiom als reines Anordnungsaxiom aussprechen; damit gewinnt man eine nicht-metrische und besonders einfache Formulierung dieses Axioms. Dem verschiedenartigen Charakter dieser beiden Ergebnisse entsprechend zerfallen die Betrachtungen in zwei, im wesentlichen voneinander unabhängige Teile. I. Das Archimedische Axiom in der absoluten Geometrie. 1. Der absoluten Geometrie, dem gemeinsamen Bestandteile der Euklidischen und der hyperbolischen Geometrie, legen wir ein Axiomensystem zugrunde, das in möglichst engem Anschluß an D. H I L B E B T S Axiomensystem der Euklidischen Geometrie gewonnen ist 2 ), indem wir mit den drei H I L B E R T sehen Axiomgruppen der Verknüpfung, der Anordnung, der Kongruenz beginnen. Mit 1 ) Soweit im Folgenden Ergebnisse meiner beiden vorhergehenden Noten hereinspielen, werden sie ausdrücklich angeführt. Diese beiden Noten, deren Kenntnis demnach für das Verständnis der vorliegenden Note nicht notwendig ist, sind: „Zur Axiomatik der Geometrie I. Über HILBERTS Vollständigkeitsaxiom", Math. Ann. 100 (1928), 8. 321—333 (weiterhin zitiert als „G. I " ) und „Zur Axiomatik der Geometrie II. Vereinfachungen des Archimedischen und des Cantorschen Axioms", wird in den Berichten des Internationalen Mathematikerkongresses zu Bologna (1928) erscheinen (weiterhin zitiert als „G. II"). 2 ) Es ist wohl selbstverständlich, daß damit das Axiomensystem HILBERTS gemeint ist, das in der ursprünglichen Fassung der „Grundlagen" allein auftritt und das in den weiteren Auflagen als einziges im Hauptteil behandelt wird. Die in späteren Anhängen der „Grundlagen" betrachteten Axiomensysteme scheiden hier aus.

4

RICHARD BALDUS:

den Axiomen dieser drei Gruppen kann man, wie bekannt, unter anderem folgende Sätze beweisen1): a) Man kann jede Strecke eindeutig halbieren. b) Ist P ein Punkt, g eine ihn nicht enthaltende Gerade, dann gibt es genau eine Gerade, welche P mit einem Punkte von g verbindet und zu g senkrecht steht. c) Jede Gerade durch den Scheitel 0 eines Winkels POQ, welche einen Punkt des Winkelinneren enthält, trifft die Strecke PQ. d) Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist größer als jeder ihm nicht benachbarte Innenwinkel. e) Die Summe zweier Dreiecksseiten ist größer als die dritte Seite. f) Das Lot des Satzes b) ist die kürzeste Strecke zwischen P und g. g) Ist, Abb. 1, PL das Lot des Satzes b), ist L->B^*-C der eine Durchlaufungssinn von g und ist a • s oder nicht. Im zweiten Falle gäbe es ein AyBy < a • s und es wären entweder alle AvBy > (a—1) s oder nicht. So könnte man fortschließen und käme wegen (1) spätestens nach a—1 Schritten zu einer natürlichen Zahl m derart, daß es ein AnBn < (m + 1) s (2) alle AyBy > m •s (3)

gäbe und daß wären. Dann wäre in

Abb. 4 wegen (2) die Strecke PBn < s, ebenso wäre AnQ < s und wegen (3) müßten alle Strecken AVBV mit v > n ihren linken Endpunkt in der Strecke ^ " ' AnQ, ihren rechten in PBn haben, somit Abb. 4. würde die Strecke PQ innerhalb aller Strecken AVBV liegen, im Widerspruch mit der vorausgesetzten Eigenschaft ß). Zu einer beliebig klein vorgegebenen Strecke s gibt es demnach in der monoton abnehmenden Streckenfolge AyBy eine kleinere, d. h. B. In j e d e r A r c h i m e d i s c h e n G e o m e t r i e s i n d die F o r d e r u n g e n a) u n d ß) ä q u i v a l e n t .

12

R i c h a r d B a l d u s : Zur Axiomatik der Geometrie III.

11. Satz B sagt aus, daß man in jeder Archimedischen Geometrie das CANTORsche Axiom als reines Anordnungsaxiom aussprechen kann, etwa in folgender Form1): Cantorsches Axiom in Archimedischen Geometrien. L i e g t i n e i n e r G e r a d e n e i n e u n e n d l i c h e F o l g e v o n S t r e c k e n AVBV d e r a r t , daß jede dieser Strecken ihre E n d p u n k t e innerh a l b d e r v o r h e r g e h e n d e n h a t u n d d a ß es k e i n e S t r e c k e auf d e r G e r a d e n g i b t , die i n n e r h a l b a l l e r S t r e c k e n AVBV l i e g t , d a n n g i b t es e i n e n P u n k t , d e r i n n e r h a l b a l l e r S t r e c k e n AVBV l i e g t . Das CANTORsche Axiom in der üblichen Form ist zwar nach Nr. 8 in gewisser Beziehung einfacher als das D s D E K i N D s c h e , gehört aber trotzdem in der Hierarchie der Axiome zu einer komplizierteren Gruppe als das D E D E K i N D s c h e , da es den Kongruenzbegriff voraussetzt. In der neuen Fassung als reines Anordnungsaxiom ist es wesentlich und über das Ü E D E K i N D s c h e hinaus vereinfacht 2 ). Jetzt enthält von den beiden Stetigkeitsaxiomen jeder Archimedischen Geometrie das eine, nämlich das modifizierte CANTORsche, eine reine Anordnungsaussage, das andere, nämlich das Archimedische, hat metrischen Charakter. Die Reihenfolge der beiden Axiome ist dabei gleichgültig, man kann z. B. in der absoluten Geometrie das modifizierte CANTORsche Axiom schon bei den Anordnungsaxiomen einführen und dann das Axiomensystem damit abschließen, daß man durch das Archimedische Axiom (in der verschärften Form von Nr. 7) die Endlichkeit aller Streckenlängen garantiert. K a r l s r u h e , im März 1930. *) Diese Formulierung ist sprachlich einfacher als die mit ihr sachlich zusammenfallende in N. G., S. 44. Dort fehlt der hier gelieferte Nachweis der Übereinstimmung mit der üblichen Form des Axioms. Man kann natürlich auch die soeben gegebene Formulierung des CANTOBschen Axioms auf eine einzige Gerade beschränken, wenn die im gleichen Axiomensystem auftretenden Kongruenzaxiome die Übertragung auf beliebige Gerade ermöglichen. 2 ) Daß die neue Form des C a n t o r sehen Axioms weniger fordert als die übliche, ergibt sich daraus, daß nach Nr. 9 zwar ß) aus a) folgt, aber nicht umgekehrt a) aus ß), d. h. es gibt Streckenfolgen — z. B. in der Deutung V e r o n e s e s —, welche der neuen Form des Axioms genügen, aber nicht der alten. Erst vermöge des Archimedischen Axioms tragen beide Formen gleich weit.

6. LIEPMANN, WILHELM. 7 . K L E B S , G E O R G . Über

Leichengeburt bei Ichthyosauriern. die Längenperiode der Internodien.

8. JOST, L . , U. V. UBISCH, G.

Zur W i n d e f r a g e .

Reichsmark Reichsmark

0.90 2.40

R e i c h s m a r k 0,80

Gibt es Gesteine, die für bestimmte Erdperioden charakteristisch sind? Reichsmark 0.30 1 0 . R O E S E R , E R N S T . Der reelle Übergang zwischen den beiden nichteuklidischen Geometrien und ihrem Parallelenbegriff. Reichsmark 1.20 11. SALOMON, W I L H E L M . Kugelförmige Absonderung. Reichsmark 0 . 8 0 12. SALOMON. Felsenmeere und Blockstreuungen. Reichsmark 0 . 8 0 18. S A L O M O N . Die Gruppendefinitionen in der Paläontologie. Reichsmark 0.90 9 . SALOMON, V ILHELM.

J a h r g a n g 1927. Neue elementare Begründung und Erweiterung der Galoisschen Theorie. Reichsmark 1.60 2 . L I E B M A N N , H E I N R I C H . Rhomüische Geradennetze im Raum. Reichsmark 1.—• 3 . V O L K , O T T O . Über geodätische Dreiecknetze auf Flächen konstanten Krümmungsmaßes. Reichsmark 1.80 4 . P Ü T T E R , A. Chemische Reizwirkung und Giftwirkung. Mit einem mathematischen Anhang: Ein Diffusionsproblem von E. T R E F F T Z . Reichsmark 2 . 4 0 5. REMBS, EDUARD. Die Verbiegung des verlängerten Rotationsellipsoids. Reichsmark 1.60 6. MAYER, ADOLF. Naturwissenschaftliche Ästhetik. Reichsmark 0 . 9 0 7 . M A Y E R , A D O L F . Naturwissenschaftliche Volkswirtschaftslehre. Reichsrtl. 0 . 8 0 8 . B A E R , R., K A P F E R E R , H., K R U L L , W., S C H M I D T , F. K. Beiträge zur Algebra. Nr. 5—10. Reichsmark 6.20 9. MÜLLER, MAX. Über die Eindeutigkeit der Integrale eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen und die Konvergenz einer Gattung von Verfahren zur Approximation dieser Integrale. Reichsmark 2.50 1 0 . F R E U D E N B E R G , K A R L . Intramolekulare Umlagerung optisch-aktiver Systeme. Reichsmark 1.— 11. ROESER, ERNST. Abbildung der hyperbolischen Ebene auf die Kugel mittels der Beziehung zwischen Lot und Parallelwinkel. Reichsmark 1.— 12. R Ü G E R , L. Die direkte gebirgsgetreue Übertragung der auf dem Universaldrehtisch gewonnenen Messungsergebnisse gebirgsorientierter Schliffe in das , Diagramm. Reichsmark 1.20 1 3 . J O S T , L . Elektrische Potentialdifferenzen an der Einzelzelle. Reichsmark 1 . 9 0 1. LOBWY, ALFRED.

J a h r g a n g 1928. L. Einiga Bemerkungen zur Darstellung tektonischer Elemente, insbesondere von Kluften und Harnischen. Reichsmark 1.20 HERBST, CURT. Untersuchungen zur Bestimmung des Geschlechts. Ein neuer Weg zur Lösimg des Geschlechtsbestimmungsproblems bei Bonellia viridis. Reichsmark/ 1.50 MERTON, HUGO. "Untersuchungen über die Entstehung amöbenähnlicher Zeilen aus absterbenden Infusorien. Reichsmark 2.20 BAER, REINHOLD. Zur Einordnung der Theorie der Mischgruppen in die Gruppentheorie. Reichsmark 2.20 B A E R , R E I N H O L D . Über die Zerlegungen einer Mischgruppe nach einer Untermischgruppe. Reichsmark 1.50 ROESER, ERNST. Komplementäre Körper der beiden nichteuklidischen Geometrien. Reichsmark 1.— K R U L L , W O L F G A N G . Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen. Reichsmark 1.10 SALOMON, W I L H E L M . Geologische Beobachtungen des Leonardo da Vinci. Reichsmark 0.90 LIEBMANN, HEINRICH. Die Sätze von Lie und Gambier über Kurven eines Linienkomplexes. Reichsmark 0.90 M E R Z , K. W. Über den Wirkungsantagonismus von Blutkörperchen und Serum bei chemisch faßbaren biologischen Vorgängen. Reichsmark 1.20 M Ü H L B A C H , R. Über Raumkurven in der Möbius sehen Geometrie. Reichsmark 1.20 ERNST, PAUL. Wurzeln der Medizin. Reichsmark 1 . 5 0 M A Y E R , A D O L F . Naturwissenschaftliche Apologetik des Christentums. Reichsmark 1.60

1. RÜGER, 2.

3. 4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11. 12. 13.

14.

BAER, REINHOLD. Beiträge zur Galois sehen Theorie. 1 5 . SALOMON, W I L H E L M . Neue geologische Beobachtungen

16.

Adamello.

Reichsmark 0.90

Reichsmark 1.80 im Baitonegebiet des

E R D M A N N S D Ö R F F E R , O. H. ÜberDisthen-Andalusitparagenesen. Reichsm. 17. SCHNEIDT, MAX. Kurvennetze ohne Umwege. Reichsmark 1 . 3 0

1.20

18. BOPP, K. J. H. Lamberts und A. G. Kaestners Briefe, aus den Gothaer Manuskripten herausgegeben. Reichsmark 2.20 19. F R E U D E N B E R G , K. Zur Kenntnis des Fichtenholz-Lignins. Reichsmark 1.10 J a h r g a n g 1929. 1 . V O L K , O T T O . Über Flächen mit geodätischen Dreiecksnetzen. Reichsm. 2 . 5 0 ¡2 ' S C H M I D T , F. K . , K R U L L , W., B R E U E R , S. Beiträge zur Algebra. Nr. 11—18.

Reichsmark 1.80 Zur Kenntnis der chemischen Reaktionen des Eisencarbonyls. Reichsmark 0.90 SALOMON, W I L H E L M . Gletscherbeobachtungen am Vadret Lischanna (Unterengadin). Reichsmark 1.—• S A L O M O N , W I L H E L M . Arktische Bodenformen in den Alpen. Reichsmark 2 . § 0 MÜLLER, MAX. Über die Green sehe Funktion des Laplace sehen Differentialausdruckes. Reichsmark 1.50 RÜGER, LI Machairodus latidens Owen aus den altdiluvialen Sanden von Mauer a. d. Eisenz. Reichsmark 0.90 L E N A R D , P. Uber Energie und Gravitation. Reichsmark 1.90 D E E C K E , W. Zur Entstehung der Kare. Reichsmark 0.80 R O E S E R , E. Neue Sätze über sphärische und hyperbolische Fünfecke. Reichsmark 1.— B A L D U S , R. Über Eulers Dreieckssatz in der absoluten Geometrie. Reichsmark 1.— T R A U T Z , M. Die Reibung, Wärmeleitung und Diffusion in Gasmischungen. II. Reichsmark 2.80 S A N D E R , B., u. F E L K E L , E. Zur tektonischen Analyse von Schmelztektoniten. Reichsmark 2.50 SCHOLZ, A R N O L D . Beiträge zur Algebra. Nr. 1 4 . Reichsmark 1 . 2 0 BAER, REINHOLD. Beziehungen zwischen den Grundbegriffen der Topologie. Reichsmark 1.60 H E R B S T , C U R T . Untersuchungen zur Bestimmung des Geschlechts. Weitere Experimente über die Vermännlichung indifferenter Bonellia-Larven durch künstliche Mittel. Reichsmark 8.—E R D M A N N S D Ö R F F E R , O. H. Über Alkalihornblenden aus dem Radautal. Reichsmark 0.80 G R U B E R , F R I E D R I C H . Neuer Beweis des Transversalensatzes in der absoluten Geometrie. Reichsmark 0.80 R O S E N T H A L , A. Über die Existenz der Lösungen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen. Reichsmark 1.20

3. H I E B E R , W . , 4. 5.

6.

7.

8. 9. 10. 11.

12. 13. 14.

15. 16.

17. 18.

19.

J a h r g a n g 1930. Über kontaktmetamorphe Gesteine des Baitonegebietes in der Adameilogruppe (Italien). Reichsmark 1.— 2. R Ü G E R , L. Über einen Granulit mit ,,Sekundärschieferung" von Auerswalde i. S. Reichsmark 1.50 3. Beiträge zur Algebra Nr. 15—17: a) K A P F E R E B , H E I N R . Über Schnittpunktsysteme mit vorgeschriebenen Multiplizitätszahlen. b) K A F F E B E R , H E I N R . Eine idealtheoretische Lösung des Cramer sehen Paradoxons, die jeden singularen Fall umfaßt, c) S C H O L Z , A R N O L D . Über das Verhältnis von Idealklassen und Einheitengruppen in Abel sehen Körpern von PrimzaKlpotenzgrad. Reichsmark 3.20 4. KINZL, HANS. Flußgeschichtliche und geomorphologische Untersuchungen über die Feldaistsenke im oberösterreichischen Mühlviertel und die angrenzenden Teile Südböhmens. Reichsmark 3.20 5. B A L D U S , R I C H A R D . Zur Axiomatik der Geometrie III. Über das Archimedische und das Cantorsche Axiom. Reichsmark 0.80 1.

GOTTFRIED, C.

Druck von B.Wagner

Sohn in

Weimar.