Wellenbeschreibung elektrischer Netzwerke mit der Streumatrix 3658388749, 9783658388744, 9783658388751

Table of contents :
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Formelzeichen und Symbole
1 Quelle und Last
1.1 Vierpol, Spannung, Strom
1.2 Homogene Leitung, Welle
1.3 Quelle – Last, Normierung R0, G0
1.4 Quelle – Last, Normierung RQ, GQ
2 Die Streumatrix S
2.1 Geschichte der Streumatrix S
2.2 Definition der Streumatrix S
2.3 Umrechnungen der Streumatrix S, Normierung R0, G0
2.4 Umrechnungen der Streumatrix S, Normierung Ri, Gi
3 Berechnung der Elemente der Streumatrix
3.1 Konzentrierte Bauelemente, Zweitore
3.2 Symmetrische Mehrtore
3.3 Signalfluss-Graphen
3.4 Verbindungen von Wellenleitern
3.5 Wellenwiderstand
4 Eigenschaften der Streumatrix S
4.1 Symmetrien, Reziprozität
4.2 Leistungsbilanz
4.3 Eigenwerte, Eigenvektoren
4.4 Stabilität
4.5 Leistungsverstärkung
5 Torverbindungen
5.1 Kettenschaltung von Zweitoren
5.1.1 Periodische Strukturen
5.1.2 Kettenschaltung Mehrmoden
5.2 Verschaltung von Mehrtoren
5.3 Rückrechnung
5.4 Dreitor
6 Differenzielle Leitungen
6.1 Analyse Dreileitersystem
6.2 Struktur der modalen Streumatrix Sm, Beispiele
6.3 Symmetrierglied
6.4 Symmetrierglied, Beispiele
7 Netzwerkanalysator
7.1 Wellentrennung
7.1.1 Richtkoppler, Eintormessung
7.1.2 Allgemeines Viertor, Eintormessung
7.1.3 Brücke, Eintormessung
7.1.4 Zweitormessung
7.2 Kalibriernormale
7.2.1 Luftleitung
7.2.2 Kurzschluss
7.2.3 Leerlauf
7.2.4 Abschlusswiderstand
7.2.5 Spalt am Innenleiter
8 Netzwerkanalysator – Kalibrierung
8.1 Kalibrierung – Eintor
8.2 Kalibrierung – Zweitor
8.2.1 16-(15)-Term Fehlermodell
8.2.2 8-(7)-Term Fehlermodell
8.2.3 12-(10)-Term Fehlermodell
8.2.4 Verifikation der Kalibrierung
9 Rauschen
9.1 Rauschursachen
9.1.1 Thermisches Rauschen
9.1.2 Schrot-Rauschen
9.2 Definition der Rauschzahl
9.3 Rauschzahl des Zweitors
9.4 Korrelationsmatrizen, Mehrtore
9.5 Rauschwellen
9.5.1 Streumatrix S
9.5.2 Wellen-Kettenmatrix T
10 Anhang
10.1 MATLAB®-Programme, Torverbindungen
10.2 WEISSFLOCH-Methode
10.3 Bildimpedanzen/-admittanzen
10.4 Rauschzweitor
10.5 Streumatrizen n-Tore
Stichwortverzeichnis

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Siegfried Martius

Wellenbeschreibung elektrischer Netzwerke mit der Streumatrix

Wellenbeschreibung elektrischer Netzwerke mit der Streumatrix

Siegfried Martius

Wellenbeschreibung elektrischer Netzwerke mit der Streumatrix

Siegfried Martius Friedrich-Alexander-Universität Erlangen Erlangen, Deutschland

ISBN 978-3-658-38874-4 ISBN 978-3-658-38875-1  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-38875-1 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Reinhard Dapper Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

für Irmela

Vorwort

Das Buch über die Streumatrix S verdankt seine Entstehung meinem aktiven Umgang mit der Streumatrix während des ganzen Berufslebens. Diese Zeit korrelierte mit der umfassenden Anwendung der Streumatrix S für die Beschreibung des linearen Verhaltens von Netzwerken als auch mit der dazu gehörenden Messtechnik und deren Entwicklung von der koaxialen Messleitung bis hin zum rechnergesteuerten Mehrtor-Netzwerkanalysator im Hochfrequenzbereich. Warum sollte man heute so ein Buch schreiben, wo es die umfassenden Programme wie das ADS®, MWO®u. a. gibt? Die Erfahrung lehrt, dass der unbedarfte Umgang mit den Programmen und die Gutgläubigkeit an die Richtigkeit der Ergebnisse dieser Programme häufig für unliebsame Abweichungen bezüglich der Messwerte in der Praxis geführt hat. Es ist wichtig, dass der Anwender die Programme beherrscht und nicht umgekehrt. Dafür ist es notwendig, zu wissen, wie die Programme die Realität modellieren. Nur dann wird das Ergebnis gut mit der Praxis übereinstimmen. Dazu sind die elementaren Kenntnisse der Netzwerktheorie und der Modellierung von Grundschaltungen nötig. Dieser Wissensvorrat gleicht einem Betriebssystem in dem der Ingenieur jonglieren kann, um die Realität mit diesen Programmen abzubilden. Bis heute ist die Entstehung bzw. der Entwurf einer neuen Schaltung immer noch und wird es auch bleiben die kreative Leistung des Ingenieurs. So etwas können die Programme (noch?) nicht. Den in der Praxis tätigen Ingenieur möchte ich ein Buch zum Nachschlagen und zur Anregung in die Hand geben. Allen die sich für die Hochfrequenztechnik interessieren soll es die Welt der Beschreibung des linearen Verhaltens von Netzwerken mit dem Wellenformalismus und deren Möglichkeiten vorstellen. Im ersten Abschnitt wird die Entwicklung der Netzwerkbeschreibung mit den Strom-/Spannungsmatrizen nachgezeichnet. Insbesondere werden deren Unzulänglichkeit bezüglich des Betriebsverhaltens zwischen der realen Quelle und der Last genannt. Damit verbunden ist der für hohe Frequenzen (λ  0. In der rechten Spalte der Tab. 4.1 wird die Streumatrix S eines Bipolartransistors für einen bestimmten Arbeitspunkt und bei der Frequenz von f = 1 GHz angegeben. Diese Streumatrix ist nichtreziprok, s21  = s12 , was ja auch wünschenswert ist. Der Transistor soll nur in einer Richtung verstärken. Wir sehen, dass aus diesem Grund die λi sowohl negativ als auch positiv sind. Mit der Anregung a T = (1, 0) erreichen wir einen Leistungsgewinn und für die Anregung a T = (0, 1) absorbiert die Transistorschaltung Wirkleistung und die Leistungsverstärkung ist kleiner als Eins. Die mittlere Spalte zeigt ein Zweitor, das keinen Widerstand enthält und folglich keine elektrische Wirkleistung in Wärme umwandeln kann. Die Formmatrix P ist eine 0-Matrix und damit sind auch alle λi = 0. Folglich muss T

ST S = E oder S S = E oder S∗ S = E oder SS∗ = E sein.

(4.41)

Tab. 4.1 Streumatrix S, Formmatrix P und Eigenwertvektor λ von drei Zweitoren bei f = 1 GHz, Normierung R0 = 50 

4.2 Leistungsbilanz 123

124

4 Eigenschaften der Streumatrix S

Alle drei Zweitore haben rein imaginäre Eigenwerte der W -Matrix. Die Schaltung in der ersten Spalte enthält hauptsächlich Widerstände und nur eine Spule, die Energie speichern kann. Würde die Schaltung keinen Energiespeicher enthalten, wäre W eine 0-Matrix und deren Eigenwerte sind dann auch null. Rein resistive Netzwerke verhalten sich zu rein reaktiven Netzwerken bezüglich ihrer P- und W -Matrizen sowie deren Eigenwerte dual. Weiterhin gelten für die Eigenwerte λi der Matrix A (hier P oder W ) die Beziehungen mit der Spur (Symbol Sp) n n   λi = aii = Sp( A) (4.42) i=1

und mit der Determinante

i=1 n 

λi =  A

(4.43)

i=1

die wir in der Tab. 4.1 leicht nachvollziehen können. Erfüllt eine Matrix die Gl. (4.41), d. h. das Produkt der Matrix mit ihrer adjungierten Matrix ist gleich der Einheitsmatrix, dann bezeichnen wir diese Matrix als unitäre Matrix. Die Gl. (4.41) wird deshalb Unitaritätsbedingung genannt. In dem o. g. Fall ist auch der Betrag der Determinante von |S| = 1. Wir schreiben die Gl. (4.41) mit den Untermatrizen von S aus  ∗     S11 S∗21 S11 S12 E O = (4.44) O E S∗12 S∗22 S21 S22 und erhalten

S∗11 S11 + S∗21 S21 = E S∗11 S12 + S∗21 S22 = O (S∗11 S12 + S∗21 S22 )∗ = O

(4.45)

S∗12 S12 + S∗22 S22 = E Für ein verlustloses Zweitor folgt aus der Gl. (4.45) |s11 |2 + |s21 |2 = 1 ∗ ∗ s11 s12 + s21 s22 = 0

∗ s s21 22 s12 ∗ ∗ (s11 s12 + s21 s22 )∗ = 0 ∗ =− oder s11

(4.46)

|s12 |2 + |s22 |2 = 1 Die vierte Beziehung in der Gl. (4.46) ist die konjugiert komplexe der zweiten Zeile und ergibt keine neuen Erkenntnisse. Mit der zweiten Zeile können wir schreiben |s11 ||s12 |e j(ϕ12 −ϕ11 ) + |s21 ||s22 |e j(ϕ22 −ϕ21 ) = 0

(4.47)

4.2

Leistungsbilanz

125

Diese Gleichung wird erfüllt für |s11 ||s12 | = |s21 ||s22 |

(4.48)

ϕ11 − ϕ12 = ϕ21 − ϕ22 ± (2n − 1)π

(4.49)

und Wir setzen die erste und letzte Zeile der Gl. 4.46 in die quadrierte Gl. 4.48 ein |s11 |2 (1 − |s22 |2 ) = (1 − |s11 |2 )|s22 |2

(4.50)

mit dem Ergebnis der Beträge der Elemente der Streumatrix S für das verlustlose Zweitor |s22 | = |s11 |

und |s21 | = |s12 |

(4.51)

Für die Determinante S gilt mit der ersten und dritten Reihe der Gl. (4.46) S = s11 s22 − s12 s21 = oder

∗ s s |s11 |2 s22 − s11 s22 s12 12 21 = ∗ =− ∗ ∗ s11 s11 s21

S = e j(ϕ11 +ϕ22 ) = −e j(ϕ12 +ϕ21 )

(4.52)

(4.53)

und wie schon oben erwähnt ist |S| = 1. Für das reziproke Zweitor folgt |s11 | = |s22 |; s12 = s21 ; |s11 |2 + |s21 |2 = 1; ϕ11 + ϕ22 = 2ϕ21 ± (2n − 1)π

(4.54)

Praktische Bedeutung hat insbesondere die mittlere Beziehung in der Gl. (4.54) bei der Beurteilung und Messtechnik von Reaktanzfiltern. Diese Filter sind in der Praxis nicht vollkommen verlustfrei aber verlustarm und reziprok, so dass die hier vorgestellten Abhängigkeiten der Elemente der Streumatrix S verwendet werden können. Ist das Filter am Ausgang mit R0 abgeschlossen, das heißt a2 = 0, dann für gilt die eingespeiste Leistung Pin , die transmittierte Leistung Pt und die reflektierte Leistung Pr am Eingang die Leistungsbilanz Pt Pr + =1 Pin Pin

(4.55)

Mit anderen Worten, da im Filter keine Leistung verbraucht wird, erfolgt im Sperrbereich des Filters fast Totalreflexion. Für vorgeschaltete Oszillatoren ohne Pufferverstärker ist dieser Zustand oft unerwünscht. Wir bezeichnen     1 Pin aT = 10 log 10 = 20 log 10 (4.56) Pt |s21 |

126

4 Eigenschaften der Streumatrix S

25 10

1

15

aR/dB

aR/dB

20

10

100

10

-1

10

-2

5 0 10-2

10-1

100

101

0

5

10

15

aT/dB

20

25

aT/dB

a)

b)

Abb. 4.2 Verlustloses Zweitor, Darstellung Reflexionsdämpfung als Funktion der Transmissionsdämpfung. a) aT log-Skala. b) a R log-Skala

als Transmissionsdämpfung und  a R = 10 log 10

Pin Pr



 = 20 log 10

1 |s11 |

 (4.57)

als Reflexionsdämpfung. Beide Dämpfungen sind über die Gl. (4.55) miteinander verknüpft. Diese Abhängigkeit stellt die Abb. 4.2 dar. Kleine Änderungen von aT unterhalb von aT ≤ 1dB führen zu merkbaren Änderungen von a R im dB-Bereich. Die Dynamik kehrt sich um, wenn a R ≤ 1dB ist. Dieser Zusammenhang hat große praktische Bedeutung für den Abgleich verlustloser (verlustarmer) Filter. Die Abb. 4.3 zeigt als Beispiel das Transmissions- und Reflexionsverhalten eines Tschebyscheff-Bandpasses 5. Ordnung. Es ist wegen der o. g. Dynamik sinnvoll, den Bandpass im Durchlassbereich auf maximale Reflexionsdämpfung und im Sperrbereich auf maximale Transmissionsdämpfung abzugleichen. Gleichzeitig sollten wir im Durchlassbereich die Ortskurve von s11 betrachten. Diese hat Filterordnung-1 Rosettenflügel, deren Lage aus der Theorie bekannt ist und ein weiteres Kriterium für den Abgleich des Filters darstellt. Ohne diese Einsicht in die Zusammenhänge der Elemente der Streumatrix S bei verlustlosen (verlustarmen) Zweitoren wäre der Abgleich von Filtern der Ordnung größer 4 mit einer Welligkeit w ≤ 0,1dB sehr zeitaufwendig. Mit der P-Matrix können wir die Möglichkeit der praktischen Realisierung von Mehrtoren überprüfen. Das Beispiel des Bandpassfilters zeigt, dass ein reflexionssymmetrisches, reziprokes und verlustloses (in der Praxis verlustarmes) Zweitor beidseitig angepasst werden kann, sii → 0. Nehmen wir an, dass ein Dreitor mit den gleichen Eigenschaften angepasst sei. Dann hat es die Streumatrix ⎛ ⎞ 0 σ τ S = ⎝σ 0 κ ⎠ (4.58) τ κ 0

4.2

Leistungsbilanz

127

0

0

-10 -20

2 | /dB 11

-30 -40

|s

|s

2 | /dB 21

-20 -40

-60

-50 -80

-60 -70

0.6

0.8

1 Frequenz/GHz

1.2

1.4

1.6

-100

0.6

0.8

1 Frequenz/GHz

a)

1.2

1.4

1.6

b) j1 j0.5

j2

0

j0.2

|s

2 | /dB 21

-0.2

-0.4

0

j5

0.2

0.5

1

2

5

-0.6

-j0.2

-j5

-0.8

-1

0.6

0.8

1 Frequenz/GHz

c)

1.2

1.4

1.6

-j0.5

-j2 -j1

d)

Abb. 4.3 Tschebyscheff-Bandpass-5.Ordnung. a) s21 . b) s11 . c) s21 vergrößert. d) s11 SmithDiagramm

und die Formmatrix ⎛

⎞ 1 − |σ |2 − |τ |2 −τ κ ∗ −σ κ ∗ ⎠ P = E − SS∗ = ⎝ −τ ∗ κ 1 − |σ |2 − |κ|2 −σ τ ∗ ∗ ∗ 2 2 −σ κ −σ τ 1 − |τ | − |κ|

(4.59)

Für ein verlustloses Mehrtor ist die Formmatrix P gleich der Nullmatrix O (Tab. 4.1). Um dass zu erreichen, müssen mindestens zwei der Elemente aus σ, τ, κ = 0 sein. Dann sind zwar die Elemente außerhalb der Hauptdiagonale von P null aber die der Hauptdiagonale sind immer noch  = 0. Folglich kann ein solches reflexionssymmetrisches, reziprokes und verlustloses Dreitor nicht allseitig angepasst werden, R. H. Dicke [14]. Wollen wir allseitig anpassen, dann muss das Dreitor Verluste haben oder nichtreziprok sein bzw. im verlustlosen Fall ergibt sich ein Reflexionsfaktor ρ  = 0. Als Beispiel für ein verlustloses Dreitor dient die vollsymmetrische Parallelverzweigung der Abb. 4.4. Die Elemente ihrer S-Matrix können wir mit den Strom- Spannungsbeziehungen gemäß Abschn. 3.1 leicht berechnen. Wir wollen sie hier aber über die Eigenschaften der Formmatrix P nach P. Russer [21] bestimmen. Mit der Struktur der S-Matrix in der Abb. 4.4 erhalten wir die Formmatrix

128

4 Eigenschaften der Streumatrix S

Abb. 4.4 Vollsymmetrische Parallelverzweigung und deren Streumatrix bezogen auf den Verzweigungspunkt

⎛

⎞ p11 p12 p13 P = ⎝ p21 p22 p23 ⎠ p31 p32 p33

(4.60)

und die Werte der Elemente pii = 1 − |ρ|2 − 2|τ |2 (4.61)

und ∗

∗

pi j = p ji = −(|τ | + ρτ + ρ τ ) = −|τ |(|τ | + 2|ρ| cos(ϕ)) 2

Wegen der Verlustlosigkeit müssen alle Elemente null sein. Aus p ji = 0 folgt |τ | = −2|ρ| cos(ϕ) |τ |2 in pii eingesetzt ergibt |ρ|2 =

1 1 + 8 cos2 (ϕ)

(4.62)

(4.63)

Den minimalen Wert des Eigenreflexionsfaktors ρ erreichen wir mit cos2 (ϕ) = 1. Wegen der Gl. (4.61), (4.62) muss aber cos(ϕ) = −1 sein, damit p ji = 0 und |τ | > 0 sind. Der Phasenunterschied zwischen ρ und τ ist damit π . Wegen der Parallelverzweigung wird der Eingangswiderstand an jedem Tor immer kleiner als R0 sein und damit ρ = −|ρ| und τ = |τ |. Folglich erhalten wir als Streumatrix S für die vollsymmetrische Parallelverzweigung ⎞ −1 2 2 S = ⎝ 2 −1 2 ⎠ /3 2 2 −1 ⎛

(4.64)

Die Umkehrung der Vorzeichen ergibt die Streumatrix der vollsymmetrischen Serienverzweigung. Der ideale Zirkulator in der Abb. 4.5 erfüllt als nichtreziprokes, verlustloses Dreitor die Bedingung der allseitigen Anpassung.

4.2

Leistungsbilanz

129 2

1

3

Abb. 4.5 Idealer Zirkulator 4

2

1

3

Abb. 4.6 Vollsymmetrischer Leitungskoppler

Die Struktur des vollsymmetrischen Leitungskopplers der Abb. 4.6 dient als Beispiel für ein reflexionssymmetrisches, reziprokes und verlustloses Viertor. Soll das Viertor allseitig angepasst sein, muss es diese S-Matrix haben ⎛

0 ⎜σ S=⎜ ⎝τ κ

σ 0 κ τ

τ κ 0 σ

⎞ κ τ⎟ ⎟ σ⎠

(4.65)

0

und die Formmatrix ⎛

⎞ 1 − (|σ |2 | + |τ |2 + |κ|2 ) −(τ κ ∗ + τ ∗ κ) −(σ κ ∗ + σ ∗ κ) −(σ τ ∗ + σ ∗ τ ) ⎜ ⎟ −(τ κ ∗ + τ ∗ κ) 1 − (|σ |2 + |τ |2 + |κ|2 ) −(σ τ ∗ + σ ∗ τ ) −(σ κ ∗ + σ ∗ κ) ⎟ P =⎜ ⎝ ⎠ −(σ κ ∗ + σ ∗ κ) −(σ τ ∗ + σ ∗ τ ) 1 − (|σ |2 + |τ |2 + |κ|2 ) −(τ κ ∗ + τ ∗ κ) −(σ τ ∗ + σ ∗ τ ) −(σ κ ∗ + σ ∗ κ) −(τ κ ∗ + τ ∗ κ) 1 − (|σ |2 + |τ |2 + |κ|2 )

(4.66) die wieder eine O-Matrix sein muss. Bei einer moderaten Kopplung zwischen beiden Leitungen wird τ = 0 sein. Die Physik des Leitungskopplers lehrt, dass die Kopplung primär zwischen den Toren 1 und 4 erfolgt. Aus diesem Grund setzen wir σ = 0. Damit sind die Tore 1 und 2 entkoppelt. Es verbleiben die von null verschiedenen Elemente pii und p43 = p12 . Das Element p12 entspricht dem doppelten Realteil des Produktes τ κ ∗ . Der Realteil ist null, wenn beide Größen einen Phasenunterschied von ±(2n − 1)π/2 haben. Wegen der endlichen Länge der Leitung zwischen den Toren 1 und 3 ist derAnsatz τ = − j|τ | sinnvoll. Die Forderung der Null für die Elemente pii bedeutet |τ | = 1 − |κ|2 |, und wir erhalten

130

4 Eigenschaften der Streumatrix S

 ⎞ 0 0 − j 1 − |κ|2 κ  ⎜ ⎟ 0 0 κ − j 1 − |κ|2 ⎟ ⎜ S=⎜  ⎟ ⎝− j 1 − |κ|2 ⎠ 0 0 κ 2 0 0 κ − j 1 − |κ| ⎛

(4.67)

√ Diese Darstellung entspricht dem λ/4 Feldkoppler mit R0e R0o = R0 (Gl. (3.50) und L ges = λ Lm /4. Entsprechend andere Zuordnung des Differenzwinkels zu κ und τ führt auf die Gl. (3.57) bzw. (3.71) der Verzweigungskoppler. Ein reflexionssymmetrisches, reziprokes, verlustloses und allseitig angepasstes Viertor hat immer zwei entkoppelte Tore.

4.3

Eigenwerte, Eigenvektoren

Wir wollen für die Streumatrix S einen solchen Anregungsvektor ai finden, dass gilt b = λi ai = Sai

oder λi V i = SV i

(4.68)

λi ist ein skalarer Faktor und wird für die o. g. Bedingung als Eigenwert der Matrix S bezeichnet. Der Vektor ai für diese spezielle Anregung heißt Eigenvektor V i . Damit die Gl. (4.68) eine Lösung für V i  = O hat, muss für die Determinante gelten (S − λi E) = 0

(4.69)

Das ist die charakteristische Gleichung der Eigenwertaufgabe. Die Anregung der Streumatrix S mit einem Eigenvektor V i hat zu Folge, dass V i in sich selbst gestreckt oder gestaucht abgebildet wird je nach dem Wert von λi . Eigenvektoren und Eigenwerte als Kenngrößen von Matrizen spielen eine große Rolle bei der Lösung naturwissenschaftlicher Probleme (z. B. Berechnung der Eigenschwingung von Systemen, mechanisch oder elektrisch) sowie in der numerischen Mathematik. Auch in den Gl. (4.32)–(4.35) und in der Tab. 4.1 kennzeichnen die Eigenwerte der Formmatrix P den Charakter eines Zwei- bzw. Mehrtors. Viele Bauteile, Baugruppen oder Probleme in der Schaltungstechnik können wir mit symmetrischen (z. B. Richtkoppler, Abschn. 3.1 und 3.2) oder wie die Formmatrix P mit hermiteschen Matrizen beschreiben. Die Lösung der charakteristischen Gl. (4.69) führt auf die Nullstellensuche eines Polynoms von λ mit der Ordnung der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten der quadratischen Streumatrix S. Nullstellen von Polynomen bis zum Grad drei oder vier lassen sich noch analytisch finden. Darüber ist das nur noch numerisch möglich. Als Beispiel für das Eigenwertproblem wollen wir die symmetrische Matrix aus der Gl. (3.1) benutzen und in die Gl. (4.69) einsetzen. Die Determinante ergibt das Polynom 2. Grades   ρ−λ τ  = 0 → λ2 − 2ρλ + ρ 2 − τ 2 = 0 (4.70) τ ρ−λ

4.3

Eigenwerte, Eigenvektoren

131

mit den Eigenwerten(Nullstellen) λ1 = ρ + τ

und λ2 = ρ − τ

(4.71)

Wir berechnen zuerst den Eigenvektor V 1 = (x1 y1 )T für λ1 . Dazu setzen wir λ1 in die Gl. (4.68) ein      −τ x1 + τ y1 = 0 ρ τ x1 x = (ρ + τ ) 1 → (4.72) τ ρ y1 y1 τ x1 − τ y1 = 0 und erhalten das nebenstehende homogene Gleichungssystem, dessen Koeffizientendeterminante gleich null ist. Das System ist deshalb lösbar, und wir wählen eine Komponente von V1 als freien Parameter t. Mit x1 = t ist der erste Eigenvektor V 1   1 V1 = t (4.73) 1 Es ist üblich, für die Länge der Eigenvektoren |V i |2 den Wert Eins zu wählen. Das entspricht der 2-Norm.     1 t 2 V 1T V 1 = t 2 1 1 =1 (4.74) 1 oder

1 (4.75) 2 Mit diesem Ergebnis und der analogen Rechnung für λ2 sind die beiden Eigenvektoren √   √   2 1 2 1 V1 = und V 2 = (4.76) 2 1 2 −1 t2 =

Die Eigenvektoren V i sind keine Funktionen von ρ und τ und stehen senkrecht aufeinander ≡ sind orthogonal zueinander (V 1T V 2 = 0), da S eine symmetrische Matrix ist ST = S. Speisen wir das Zweitor mit dem Eigenvektor a = V 1 (Abb. 4.7a), erhalten wir √   √      2 ρ+τ 2 1 ρ τ b1 = = (4.77) τ ρ 2 1 b2 2 τ +ρ

a)

b)

Abb. 4.7 Zweitor-Anregung. a) mit Eigenvektor V 1 . b) mit Eigenvektor V 2

132

4 Eigenschaften der Streumatrix S

und mit a2 = a1 =

√

2/2

1i =

b1 = ρ + τ = λ1 a1

2i =

b2 = ρ + τ = λ1 a2

Die Anregung mit dem Eigenvektor a = V 2 (Abb. 4.7b) ergibt √   √      2 1 2 ρ−τ ρ τ b1 = = τ ρ 2 −1 b2 2 τ −ρ

(4.78)

(4.79)

√ und mit a2 = −a1 = − 2/2 1i =

b1 = ρ − τ = λ2 a1

2i =

b2 = ρ − τ = λ2 a2

(4.80)

In die Gl. (4.68) setzen wir die beiden Eigenvektoren und Eigenwerte wie folgt ein (SV 1 SV 2 ) = (λ1 V 1 λ2 V 2 ) oder



λ 0 S (V 1 V 2 ) = (V 1 V 2 ) 1 0 λ2

bzw.

(4.81) 

  λ1 0 SV = V = V 0 λ2

(4.82)

(4.83)

mit der Diagonalmatrix (Eigenwertmatrix) , deren Hauptdiagonale die Eigenwerte λi bilden. Damit ist folgende Darstellung für die Streumatrix S möglich S = V V −1

(4.84)

Die Kombination der normierten Eigenvektoren V i zur Eigenvektormatrix V führt in unserem Beispiel zur Struktur √   2 1 1 V = (4.85) 2 1 −1 und damit ist  −1    1 λ1 + λ2 λ1 − λ2 1 1 1 1 λ1 0 = S= 1 −1 0 λ2 1 −1 2 λ1 − λ2 λ1 + λ2   ρ τ = τ ρ 

(4.86)

An dieser Gleichung sind gleichfalls die in den Gl. (4.42), (4.43) genannten Zusammenhänge sichtbar (4.87) λ1 + λ2 = ρ + ρ = 2ρ

4.3

Eigenwerte, Eigenvektoren

133

und λ1 λ2 = (ρ + τ )(ρ − τ ) = ρ 2 − τ 2

(4.88)

sowie der interessante Zusammenhang für die Inverse der normierten Eigenvektormatrix (Eigenschaft V T = V , symmetrisch) V

−1

√  −1   2 1 2 1 1 −1 −1 = =√ 2 1 −1 2 (−2) −1 1 √   2 1 1 = = VT 2 1 −1

(4.89)

mit dem auch diese Darstellung möglich ist S = V V T

(4.90)

Das Ergebnis in der Gl. (4.86) vergleichen wir mit den Rechnungen zum symmetrischen Dämpfungsglied in der Abb. 3.3. Dort wählten wir aus der Anschauung heraus die Methode der Gleich- und Gegentaktanregung zur Berechnung der Elemente der Streumatrix S. Das Zweitorproblem lässt sich bei wechselseitiger Anregung durch die Auswertung der Reaktion an einem Tor lösen. Der Eigenwert λ1 =  L L entspricht der Gleichtaktanregung, beide Komponenten von V 1 sind gleichphasig. Die Gegentaktanregung wird durch V 2 dargestellt und der zugehörende Eigenwert ist λ2 =  K S . Damit rechtfertigen die Eigenwerte mit den Eigenvektoren die im Abschn. 3.1 gewählte Methode der Anregung reflexionssymmetrischer, reziproker Zweitore. Die Berechnung der Eigenwerte der Streumatrix S der fehlangepassten Leitung nach der Gl. (3.39) ergibt folgende äquivalente Darstellung ⎛ ⎞ −γ L   W + e   0 ⎟ 1 −1 −1 1 −1 ⎜ ⎜ 1 + W e−γ L ⎟ S= (4.91) W − e−γ L ⎠ 1 1 1 1 ⎝ 0 1 − W e−γ L mit der Diagonalmatrix der Eigenwerte. Diese sind äquivalent dem Leerlaufreflexionsfaktor  L L Gl. (3.36) und dem Kurzschlussreflexionsfaktor  K S Gl. (3.38) in der Symmetrieebene der Leitung. Die Multiplikation der drei Matrizen der Gl. (4.91) führt auf die Darstellung in der Gl. (3.39) und entspricht der Struktur der Gl. (4.86). Für W = 0 steht in der Mitte der Gl. (4.91) die Eigenwertmatrix  der angepassten Leitung. In vielen Anwendungen wird statt der S- die Wellen-Kettenmatrix T verwendet, insbesondere entsprechend ihres Namens bei Kettenschaltungen. Mit der Gl. (3.41) können wir auch diese Matrix durch das Produkt Eigenvektor-Matrix – Eigenwert-Matrix – inverse Eigenvektor-Matrix darstellen. Die T -Matrix ist unsymmetrisch. Ihre Eigenwert-Matrix ist

134

4 Eigenschaften der Streumatrix S

 T =

λ1 0 0 λ2

 =

 −γ L  e 0 0 eγ L

(4.92)

und mit Eigenvektoren folgt 

1/ W W T= 1 1

   −γ L −1 1/ W W 0 e 0 eγ L 1 1

(4.93)

Wegen der Unsymmetrie der T -Matrix stehen die Eigenvektoren nicht senkrecht aufeinander V 1 V 2 = 0. In der Gl. (4.93) ist der Grenzübergang für die angepasste Leitung mit  → 0 nur für das gesamte Produkt, aber nicht für die Eigenvektoren allein möglich. Die angepasste Leitung hat die Darstellung  T=

1 0 0 1

 −1  −γ L    −γ L 1 0 0 0 e e = 0 1 0 eγ L 0 eγ L

(4.94)

Die Eigenwerte von Diagonalmatrizen sind die Elemente der Diagonale selbst (s. a. Gl. (3.43)). Auch für andere Zweitore können wir eine äquivalente T -Darstellung angeben. Der Vorteil der Formulierung gemäß Gl. (4.93) besteht darin, dass wir für die Gesamtschaltung einer Kette von N gleichen Zweitoren mit dieser Gleichung und den Vorschriften der Multiplikation von Matrizen, insbesondere Diagonalmatrizen, hier am Beispiel einer Leitung, schreiben können T N = V DV −1 V DV −1 . . . V DV −1 = V D N V −1    −γ N L −1  1/ W W 0 e 1/ W W = 0 eγ N L 1 1 1 1

(4.95)

Diese Formulierung der Kettenschaltung vermeidet die N -fache Multiplikation gleicher T Matrizen. Wir müssen nur die Eigenwerte in der T -Matrix N -fach potenzieren, davor mit der Eigenvektor- und danach mit der inversen Eigenvektor-Matrix multiplizieren. Damit beschreibt diese Gleichung die gesamte Kette als eine fehlangepasste Leitung mit dem Reflexionsfaktor W am Ein- und Ausgang. 1948 führte B. D. H. Tellegen [24] den Gyrator als sogenanntes fünftes Netzwerkelement ein. Der ideale Gyrator wird durch die Streumatrix S   ρ −τ S= (4.96) τ ρ beschrieben. Das ist ein nichtreziprokes Zweitor. Insbesondere bei der Beschreibung von Ferritbauelementen im Mikrowellenbereich hat der Gyrator praktische Bedeutung erlangt J. Helszajn [9, 10]. Berechnen wir nach dem vorgestellten Verfahren Eigenwerte und Eigenvektoren erhalten wir [9]

4.3

Eigenwerte, Eigenvektoren

135

Abb. 4.8 YIG-Kugel als Koppelelement zwischen zwei orthogonalen Schleifen im magnetischen Gleichfeld H 0 , Zweitor-Anordnung



ρ + jτ 0 = 0 ρ − jτ



√   2 1 1 V = 2 −j j

Analog zur Gl. (4.89) gilt für die komplexe normierte Eigenvektormatrix V √   √   2 j −1 2 1 j −1 V = = = V∗ j2 j 1 2 1 −j und damit ist S = V V ∗ =

  1 j(λ1 − λ2 ) λ1 + λ2 2 − j(λ1 − λ2 ) λ1 + λ2

(4.97)

(4.98)

(4.99)

Beim Gyrator sind die Eigenwerte und Eigenvektoren komplex. Wieder können wir mit der durch die Eigenvektoren vorgegebenen Anregung und den Eigenwerten die Elemente der Streumatrix S bestimmen. Die Abb. 4.8 zeigt zwei einseitig geerdete orthogonale Schleifen, die mittels einer YIG2 Kugel verkoppelt sind. Ohne Kugel und außerhalb der ferrimagnetischen Resonanz sind beide Schleifen im Idealfall entkoppelt. Wählen wir bei der Betriebsfrequenz f 0 die Stärke des magnetischen Gleichfeldes H 0 so, dass in der Kugel die ferrimagnetische Resonanz angeregt wird, erfolgt eine maximale richtungsabhängige Verkopplung der beiden Schleifen. In der Abb. 4.9 sind die Elemente der Streumatrix S für die Anordnung der Abb. 4.8 dargestellt. Die Schleifen mit der YIG-Kugel sind ein passives Zweitor. Wir sehen, dass, wie beim Gyrator angenommen, das Zweitor reflexions- aber nicht übertragungssymmetrisch ist. Die Phasen von s12 und s21 unterscheiden sich um π bzw. 180◦ , die Beträge sind aber einander gleich. Die unvermeidbare Induktivität der Schleifen dreht die Ortskurven um einen der normierten Reaktanz ω0 L s /R0 entsprechenden Winkel im Uhrzeigersinn. Diese Anordnung ist die Realisierung eines passiven Gyrators in der Praxis. Für reziproke Viertore, wie den Feldkoppler oder das π /2-Hybrid mit doppelter Symmetrie und der Streumatrix S nach der Gl. 3.44, erhalten wir die reellen Eigenwerte und -vektoren

2 Yttrium-Iron-Garnet (Einkristall).

136

4 Eigenschaften der Streumatrix S 90

90

1

120 f

60 0.8

0 0.8 0.6

0.6

150

150

30

30

0.4

0.4 0.2

0.2

s 11 s

180

21 s 12

f f

0

0

330

210 f

1

120

60

s 11 s 21 s12

0L

180

f

0

0L

f 0L

210

330

0 300

240

240

270

300 270

a)

b)

Abb. 4.9 Ortskurven der Streumatrixelemente von der Abb. 4.8 f 0 = 8,0 GHz, f 0L = 8,006 GHz,  f = 42 MHz. a) ohne Schleifeninduktivität L s . b) mit Schleifeninduktivität L s

⎞ λ! 0 0 0 ⎜ 0 λ2 0 0 ⎟ ⎟ =⎜ ⎝ 0 0 λ3 0 ⎠ 0 0 0 λ4 ⎛ ⎞ 1 1 1 1 1 ⎜1 −1 −1 1 ⎟ ⎟ V = ⎜ 2 ⎝1 −1 1 −1⎠ 1 1 −1 −1 ⎛

und

ρ = (λ1 + λ2 + λ3 + λ4 )/4

σ = (λ1 − λ2 − λ3 + λ4 )/4

τ = (λ1 − λ2 + λ3 − λ4 )/4

κ = (λ1 + λ2 − λ3 − λ4 )/4

(4.100)

(4.101)

entsprechend der Gl. (3.49) mit der dort erfolgten Aufteilung der Anregung zur Berechnung der Abhängigkeit der Streumatrixelemente von der Geometrie der Koppler mittels Eintorreaktionen. Die zugehörenden Ortskurven zeigt die Abb. 3.22. Die Viertor-Koppelanordnung mit einer YIG-Kugel in der Abb. 4.10 dient als Beispiel für ein nichtreziprokes Viertor [9]. Diese Anordnung entspricht der in Abb. 4.8, aber mit zwei zusätzlichen Toren statt der dort vorhandenen Verbindungen zur Masse. Die ViertorStreumatrix in Gl. 4.102 ist jetzt teilsymmetrisch.

4.3

Eigenwerte, Eigenvektoren

137

Abb. 4.10 YIG-Kugel als Koppelelement zwischen zwei orthogonalen Schleifen im magnetischen Gleichfeld H 0 , Viertor-Anordnung

⎛

ρ ⎜κ S=⎜ ⎝τ σ

σ ρ κ τ

τ σ ρ κ

⎞ κ τ⎟ ⎟ σ⎠

(4.102)

ρ

Damit ergeben sich die Eigenwerte und-vektoren ⎛ ρ+σ +τ +κ ⎜ 0 =⎜ ⎝ 0 0 ⎛ 1 1 1 1⎜ 1 − j j V = ⎜ 2 ⎝1 −1 −1 1 j −j

0 0 ρ − jσ − τ + jκ 0 0 ρ + jσ − τ − jκ 0 0 ρ−σ ⎞ 1 −1⎟ ⎟ −1⎠ −1

⎞ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎠ 0 +τ −κ

(4.103) Wie im Fall des Gyrators führt die nichtreziproke Übertragung der verkoppelten Schleifen zu komplexen Eigenwerte und -vektoren. Mit S = V V −1 bekommen wir die Beziehungen für die Elemente der Streumatrix S als Funktion der Eigenwerte. ρ = (λ1 + λ2 + λ3 + λ4 )/4

σ = (λ1 + jλ2 − jλ3 − λ4 )/4

τ = (λ1 − λ2 − λ3 + λ4 )/4

κ = (λ1 − jλ2 + jλ3 − λ4 )/4

(4.104)

Anregungen mit den Eigenvektoren nach der Gl. 4.103 erlauben die Darstellung der Elemente der Streumatrix S des Viertores durch die Modifikationen der Zweitorelemente einer Koppelschleife [9]. Die Anordnung der Ortskurven der Streumatrixelemente in der Abb. 4.11 zeigt eindrucksvoll nach Betrag und Phase das elektrische Verhalten des YIG-gekoppelten Viertors in der Abb. 4.10. Werden die Tore 3 und 4 in der Anordnung nach Abb. 4.10 direkt mit der Masse verbunden, entsteht die Schaltung nach Abb. 4.8. Mathematisch ist dieser Betriebszustand mit der Matrixalgebra leicht berechenbar. Die Umkehrung ist aber nicht möglich.

138

4 Eigenschaften der Streumatrix S 90

90

1

120

1

120

60 0.8 0.6

0.6 30

150

30

150

0.4

180

0.4

f0 0.2

s11 s12 s13 s

f0

14

f0

0

s11 s12 s13 s

180

14

f0

210

330

240

60

0.8

0.2

f 0L f 0L

0

f 0L

f 0L

210

330

300

240

270

300 270

a)

b)

Abb. 4.11 Ortskurven der Streumatrixelemente von Abb. 4.10 f 0 = 8,008 GHz, f 0L = 8,0105 GHz,  f = 40 MHz. a) ohne Schleifeninduktivität L s . b) mit Schleifeninduktivität L s

4.4

Stabilität

Im Abschn. 3.3 haben wir in Verbindung mit den Signalflußgraphen drei Definitionen der Leistungsverstärkung eines Zweitores kennengelernt. In der Praxis sind insbesondere die Leistungsverstärkungen G T und G av von Bedeutung. Die Aufgabe des Ingenieurs besteht darin, bei einem gegebenen Zweitor mit seiner Streumatrix S für die Leistungsverstärkungen einen bestimmten Wert (oft das Maximum) zu erreichen. Da die Streumatrix S vorgegeben ist, können wir den Wert der Leistungsverstärkung nach den Gl. (3.95) und (3.97) nur durch die Variation der Reflexionsfaktoren  Q und  L verändern bzw. optimieren. Dabei müssen wir die Gl. (3.104) beachten, die die Transformation der Reflexionsfaktoren in die jeweils andere Ebene beschreiben, wie das die Abb. 4.12 zeigt. s22 − S Q s11 − S L 1i = und 2i = (4.105) 1 − s22  L 1 − s11  Q

1

2

Abb. 4.12 Zweitor mit der Streumatrix S und den Reflexionsfaktoren 2i , 1i als Funktion der Reflexionsfaktoren  Q ,  L

4.4

Stabilität

139

Das sind lineare, gebrochene, komplexe Funktionen, die den Bedingungen der konformen Abbildung genügen. Die Abbildung ist im kleinsten Maßstab treu und Kreise werden als Kreise abgebildet. Der verfügbare Wertevorrat für die Reflexionsfaktoren  Q und  L ist das Innere des Einheitskreises 0 ≤ | Q |, | L | ≤ 1 (passive Bauelemente R, G ≥ 0, −∞ < X , B < +∞) einschließlich des Kreises selbst mit | Q |, | L | = 1 (rein reaktive Bauelemente R, G = 0, −∞ < X , B < +∞). In der Abb. 4.13a wird die gesamte  Q -Ebene einschließlich des Einheitsreises abgetastet. Diese Kreisfläche transformiere sich z. B. in der Abb. 4.13b so, dass für alle nach der Gl. (4.105) entstehenden Reflexionsfaktoren gilt |2i | < 1. Bei der Abb. 4.13c führt die Transformation auf Reflexionsfaktoren |2i | > 1. Das bedeutet Wirkkomponenten R, G < 0. Bei unglücklichen Zusammenschaltungen mit anderen Baugruppen könnte damit die Gesamtschaltung entdämpft werden und so oszillieren. Dieser Zustand ist aber a priori unerwünscht. Um den Fall |2i | > 1 zu vermeiden, dürfen wir die dazu gehörenden Werte  Q nicht wählen. Da im Normalfall beim Zweitor das Produkt s12 s21 = 0 ist, entsteht nach den Gl. (4.105) sowohl bei der Kombination  Q , 2i als auch bei  L , 1i diese wechselseitige Abhängigkeit. Nur für den Fall s12 s21 = 0 folgt mit den Gl. (4.105) 1i = s11 und 2i = s22 (4.106) unabhängig von den Werten  Q ,  L , d. h., Eingang und Ausgang des Zweitors sind entkoppelt. An dieser Stelle wollen wir bemerken, dass natürlich für s12 = 0 unabhängig vom Wert s21 gilt s12 s21 = 0. Bei einem endlichen und selbst kleinem Wert von s12 hängt die Rückwirkung aber immer vom Produkt s12 s21 ab. Dieser Zusammenhang ist bei hoch verstärkenden Zweitoren mit s21 >> besonders zu beachten.

a)

b)

c)

Abb. 4.13 a) Variation von  Q innerhalb des gesamten Einheitskreises der  Q -Ebene. b) möglicher Bildkreis in der 2i -Ebene mit |2i | immer < 1. c) möglicher Bildkreis in der 2i -Ebene mit |2i | teils > 1

140

4 Eigenschaften der Streumatrix S

b)

a)

Abb. 4.14 a) Variation von  L innerhalb des gesamten Einheitskreises der  L -Ebene. b) möglicher Bildkreis in der 1i -Ebene mit |1i | < 1, Mittelpunktvektor Ct,L und Radiusvektor Rt,L , s11 ( L = 0)

Wir möchten jetzt versuchen, Vorschriften für die Werte der Elemente der Streumatrix S zu finden, damit unabhängig von den Werten  Q ,  L immer gilt |2i | ≤ 1 als auch |1i | ≤ 1. Dafür betrachten wir die Abbildung des Einheitskreises der  L -Ebene in die 1i Ebene, wie das in der Abb. 4.14 dargestellt ist. s11 in der Abb. 4.14b entspricht der Abbildung des Mittelpunktes  L = 0 (Anpassung) der  L -Ebene. Im Allgemeinen ist Ct,L = s11 . Um die Werte für den Mittelpunkt Ct,L und den Radius Rt,L des transformierten Einheitskreises der  L -Ebene zu finden, stellen wir die linke Gl. (4.105) nach  L um 1i =

s11 − S L 1 − s22  L

→

L =

s11 − 1i S − s22 1i

Für den Einheitskreis der  L -Ebene gilt    s11 − 1i     S − s   = | L | = 1 22 1i

(4.107)

(4.108)

Zur Darstellung der Kreisgleichung in der 1i -Ebene bilden wir von der umgestellten Gl. (4.108) das Betragsquadrat

oder

|s11 − 1i |2 = |S − s22 1i |2

(4.109)

∗ ∗ ∗ ∗ (s11 − 1i )(s11 − 1i ) = (S − s22 1i )(S∗ − s22 1i )

(4.110)

Multipliziert und entsprechend geordnet ergibt das |1i |2 − 1i

∗ − s S∗ ∗ s11 |S|2 − |s11 |2 22 ∗ s11 − s22 S −  = 1i 1 − |s22 |2 1 − |s22 |2 1 − |s22 |2

(4.111)

4.4

Stabilität

141

und mit der entsprechenden quadratischen Ergänzung folgt für die Kreisgleichung in der 1i -Ebene  2 ∗ ∗ 2 2 2 2   1i − s11 − s22 S  = |S| − |s11 | + |s11 − s22 S| = |s12 s21 |   2 2 2 2 1 − |s22 | 1 − |s22 | (1 − |s22 | ) (1 − |s22 |2 )2

(4.112)

Der Mittelpunkt Ct,L und der Radius Rt,L sind Ct,L =

∗ S s11 − s22 C1 = 2 1 − |s22 | 1 − |s22 |2

und

Rt,L =

|s12 s21 | 1 − |s22 |2

(4.113)

mit der in der Literatur üblichen Abkürzung C1 für den Zähler beim Mittelpunkt Ct,L . In analoger Weise erhalten wir für die Abbildung des Einheitskreises der  Q -Ebene in die 2i -Ebene den Mittelpunkt Ct,Q und den Radius Rt,Q Ct,Q =

∗ S s22 − s11 C2 = 1 − |s11 |2 1 − |s11 |2

und

Rt,Q =

|s12 s21 | 1 − |s11 |2

(4.114)

In den Gl. (4.113) und (4.114) ist enthalten s12 = 0 → Rt,L = Rt,Q = 0 und Ct L = s11 , Ct Q = s22

(4.115)

analog der Gl. (4.106). Bei s12 = 0 ist der Wert des Radius der transformierten Kreise proportional |s12 s21 |, das heißt, dem Produkt von s12 s21 ! Gleichfalls werden für |sii | → 1 die Radien der transformierten Kreis groß. Damit wächst die Gefahr, dass der transformierte Kreis über den Einheitskreis in den 1i - und 2i -Ebenen ragt und |1i |, |2i | > 1 werden. Ein Beispiel dafür ist |s11 | ≈ 1 für f < 100 MHz bei HEM3 -Transistoren und die damit verbundene Schwingneigung der Verstärkerschaltung. Unter absoluter Stabilität wollen wir den Zustand definieren, dass für alle Werte  Q ,  L mit | Q | ≤ 1, | L | ≤ 1 auch |2i | ≤ 1 und 1i ≤ 1 sind. Der Wert der reflektierten Leistung bei allen passiven Belastungen am Ein- und Ausgang des Zweitors ist immer kleiner gleich dem Wert der zulaufenden Leistung, entsprechend |b1 |2 ≤ |a1 |2

und |b2 |2 ≤ |a2 |2

(4.116)

Diese Bedingung verlangt unabhängig davon, ob beim Zweitor Ein- und Ausgang entkoppelt sind (s12 = 0) oder nicht (s12  = 0), dass gilt |s11 |2 ≤ 1

und

|s22 |2 ≤ 1

Beim entkoppelten Zweitor sind die Werte von s11 , s22 unabhängig von  L ,  Q .

3 High-Electron-Mobility.

(4.117)

142

4 Eigenschaften der Streumatrix S

Ist beim Zweitor s12  = 0 und damit auch s12 s21 = 0 dürfen die Werte von  L ,  Q nicht dazu führen, dass für |1i | > 1, |2i | > 1 allein oder für beide zusammen gilt. Diese Bedingung führt zu der Forderung, dass die Betragssumme aus Mittelpunkts- und Radiusvektor immer kleiner gleich eins sein muss. Nach der Abb. 4.14 muss erfüllt werden |Ct,L | + Rt,L ≤ 1

und

|Ct,Q | + Rt,Q ≤ 1

(4.118)

oder (C1 , C2 ausgeschrieben) |C1 |

|C2 |

      ∗ ∗ |s11 − s22 S| +|s12 s21 | ≤ 1−|s22 |2 und |s22 − s11 S| +|s12 s21 | ≤ 1−|s11 |2 (4.119) Auch diese Zuordnungen verlangen die Bedingungen in Gl. (4.117), da die linken Seiten einen positiven Wert haben. Entsprechend umgestellt erhalten wir μ2 =

1 − |s22 |2 1 − |s11 |2 ≥ 1 und μ1 = ∗ ∗ S| + |s s | ≥ 1 (4.120) |s11 − s22 S| + |s12 s21 | |s22 − s11 12 21

mit den Stabilitätsparametern μ1,2 von M. L. Edwards und J. H. Sinsky [4]. Werden die Bedingungen in den Gl. (4.120) durch die Elemente der Streumatrix S erfüllt, ist das Zweitor absolut stabil. Bei beliebiger Änderung von  L oder/und  Q besteht niemals die Gefahr, dass |1i | > 1 oder/und 2i > 1 werden. Wir wollen die Stabilitätsparameter μ1,2 näher untersuchen. Dazu schreiben wir die Gl. (4.119) wie folgt |C1 | ≤ p − |s12 s21 | und |C2 | ≤ q − |s12 s21 | (4.121) mit den Abkürzungen p = 1 − |s22 |2

und q = 1 − |s11 |2

(4.122)

Wir quadrieren beide Gleichungen in (4.121). Die linken Seiten lassen sich wie folgt darstellen |C1 |2 = |s12 s21 |2 + p(|s11 |2 −|S|2 ) und |C2 |2 = |s12 s21 |2 +q(|s22 |2 −|S|2 ) (4.123) und damit folgt für |C1 |2 |s12 s21 |2 + p(|s11 |2 − |S|2 ) ≤ p2 − 2 p|s12 s21 | + |s12 s21 |2

(4.124)

oder 2|s12 s21 | ≤ 1 − |s11 |2 − |s22 |2 + |S|2

(4.125)

Analog ergibt die Rechnung bei |C2 |2 2|s12 s21 | ≤ 1 − |s11 |2 − |s22 |2 + |S|2

(4.126)

4.4

Stabilität

143

Die Gl. (4.125) und (4.126) sind identisch und bedeuten, dass wenn μ1 ≥ 1 ist, dann ist auch μ2 ≥ 1 und umgekehrt. Zur Beurteilung der Stabilität eines Zweitores genügt ein Parameter, entweder μ1 oder μ2 . Die Bedingungen der Gl. (4.117) sind darin auch enthalten. Außerdem führen uns die Gl. (4.125) und (4.126) direkt zum Stabilitätsfaktor von J. M. Rollett [20] (Admittanzdarstellung) und dessen Darstellung mit Hilfe der Parameter der S-Matrix durch J. Lange [12] K =

1 − |s11 |2 − |s22 |2 | + |S|2 ≥1 2|s12 s21 |

(4.127)

Dieser Gleichung ist die Forderung |sii |2 ≤ 1 nicht unmittelbar anzusehen. Wir müssen noch eine Vorgabe für |S|2 festlegen. Wegen der positiven Werte von |C1,2 | in der Gl. 4.119 muss sein 1 − |s22 |2 − |s12 s21 | > 0 → |s22 |2 + |s12 s21 | < 1 (4.128) und 1 − |s11 |2 − |s12 s21 | > 0

→

|s11 |2 + |s12 s21 | < 1

(4.129)

Beide rechte Gleichungen addiert |s11 |2 + |s22 |2 + 2|s12 s21 | < 2

(4.130)

und mit der umgestellten Gleichung für den K -Faktor (4.127) |s11 |2 + |s22 |2 + 2|s12 s21 | < 1 + |S|2

(4.131)

sehen wir, dass der Wert vom Betragsquadrat der Determinante der Streumatrix die Bedingung |S|2 < 1 (4.132) erfüllen muss. Wir fassen zusammen. Die absolute Stabilität eines Zweitor können wir mit den Parametern der Streumatrix S überprüfen: entweder mit μ1 ≥ 1 oder μ2 ≥ 1 (4.133) oder mit |sii |2 ≤ 1 und K ≥ 1 sowie |S|2 ≤ 1

(4.134)

Als Beispiel sind in der Abb. 4.15 die S-Parameter eines HEM-Transistors und in der Abb. 4.16 die zugehörenden Kennwerte zur Beurteilung der Stabilität dargestellt. Wir erkennen, dass der Transistor erst oberhalb der Frequenz f stab = 10,553 GHz absolut stabil ist. Beliebige Variationen von  L ,  Q innerhalb und auf dem Rand des Einheitskreises führen dann niemals zu |1i | > 1 oder/und |2i | > 1.

144

4 Eigenschaften der Streumatrix S j1

90 j0.5

j2

1

120

60 0.8 0.6

j0.2

150

j5

30

0.4 |s 12 |=0.065 0.2 arg(s 12 )=30.3

0

0.2

0.5

1

2

5

°

180

-j0.2

0

-j5

arg(s 11 )=-92.3

330

210

|s 11 |=0.809 °

-j0.5

-j2

240 270

a)

b) -j1

90 120

300

-j1

5

|s |=3.487 21

-j2

60

-j0.5

4

arg(s 21 )=90.4°

3 150

30

2

-j5

-j0.2

1 180

0

5

2

1

0.5

0.2

j5

j0.2

330

210

0

|s |=0.541 22

arg(s )=-69.2 ° 22

300

240

j2

j0.5

270

j1

c)

d)

Abb.4.15 Elemente der Streumatrix S des HEM-Transistors FHX04LG U DC = 2 V, I DC = 10 mA, 1 GHz ≤ f ≤ 18 GHz Marken bei f = 5 GHz, Messumgebung R0 = 50  a) s11 , b) s12 , c) s21 , d) s22

Für Frequenzen f < f stab werden diese Bedingungen nicht immer erfüllt, und wir müssen für  L ,  Q die Werte finden, bei denen an der entsprechenden anderen Seite keine |1i | > oder/und |2i | > 1 entstehen. Diese finden wir, wenn wir in der  L -Ebene die Transformation der Einheitskreises |1i | = 1 darstellen. Mit der Gl. (4.107)

4.4

Stabilität

145

1.2

1.2

1 0.8

0.8

1 2

|s12 s21 |

2

0.6 0.4

K | S| 2

0.6 0.4

1

,

f stab /GHz=10.553 K=1

=1

K,| S|2

1,2

,|s 12s 21|

1

f stab /GHz=10.553

0.2

0.2

0

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

2

4

6

8

10

Frequenz/GHz

Frequenz/GHz

a)

b)

12

14

16

18

Abb. 4.16 Kennwerte mit den Streuparametern aus der Abb. 4.15 zur Bewertung der Stabilität 1 GHz ≤ f ≤ 18 GHz. a μ1 , μ2 , |s12 s21 |. b K , |S|2

   s11 − S L   oder wie bei Gl. (4.109) |1−s22  L |2 = |s11 −S L |2 (4.135) |1i | =  1 − s22  L  ergibt die analoge Rechnung zur Stabilitätsuntersuchung den Mittelpunkt und den Radius des Kreises |1i | = 1 in der  L -Ebene   ∗ − s S∗   s22 C2∗ s12 s21 11   Ct,1i = = und Rt,1i =  (4.136) 2 2 2 2 2 2 |s22 | − |S| |s22 | − |S| |s22 | − |S|  und gleichfalls für den Mittelpunkt und den Radius des Kreises |2i | = 1 in der  Q -Ebene   ∗ − s S∗   s11 C1∗ s12 s21 22   Ct,2i = = und Rt,2i =  (4.137) 2 2 2 2 2 2 |s11 | − |S| |s11 | − |S| |s11 | − |S|  Die Gl. (4.136) und (4.137) definieren die Stabilitätskreise. Diese sind in der Abb. 4.17 für eine Frequenz beispielhaft dargestellt.

Abb. 4.17 Stabilitätskreise für den Transistor nach Abb. 4.15 bei f = 5 GHz, 1i -Ebene und 2i Ebene

146

4 Eigenschaften der Streumatrix S

Reflexionsfaktoren  Q im schattierten Kreis der 1i -Ebene ergeben Reflexionsfaktoren |2i | > 1 ( Q → 2i ( Q )) und entsprechend |1i | > 1 ( L → 1i ( L )). Die Kreise sind die Grenze zwischen dem jeweils stabilen (|1,2i | < 1) und dem instabilen (|1,2i | > 1) Bereich für die Wahl von  Q ,  L . Die Entscheidung, ob der stabile Bereich für  Q ,  L im Innern der Stabilitätskreise oder außerhalb liegt, können wir mit Hilfe der Parameter s11 und s22 fällen. Bei s11 , s22 sind jeweils  L = 0 und  Q = 0. Ist |s11 | < 1 bzw. |s22 | < 1, dann gehört der jeweilige Nullpunkt der  L -,  Q -Ebene zum stabilen Bereich. In unserem Beispiel gehören deshalb alle Reflexionsfaktoren außerhalb der schattierten Stabilitätskreise zum stabilen Bereich. Zweitore, bei denen es stabile und instabile Bereiche für die Wahl der Reflexionsfaktoren gibt, nennen wir bedingt stabil. Eine beliebige Variation der Reflexionsfaktoren  Q ,  L ist deshalb nicht erlaubt. Um ein bedingt stabiles Zweitor in ein absolut stabiles zu verwandeln, wollen wir im Folgenden eine Möglichkeit vorstellen. Dem bedingt stabilen Zweitor wird in der Abb. 4.18 ein Netzwerk in Kette nachgeschaltet. Der Reflexionsfaktor 1i ist der Lastreflexionsfaktor  L des zu stabilisierenden Zweitors. Die Impedanz Z bzw. Admittanz Y mit dem schrägen Pfeil soll die volle Variation von  L2 im und auf dem Einheitskreis der  L2 -Ebene darstellen. Für eine erste Beschreibung der Schaltung sollen L g = Cr = 0 sein. Das Netzwerk ist dann rein reell mit dem auf R0 normierten Widerstand r und Leitwert g . Mit Hilfe der Grenzbetrachtungen Z L = 0 bzw. Y L = 0 erhalten wir für den Mittelpunkt Ct,L2 und den Radius Rt,L2 des transformierten Einheitskreises Ct,L2 =

g(r 2 − 1) + r g(1 + r )2 + r + 1

und

Rt,L2 =

1 g(1 + r )2 + r + 1

(4.138)

Durch die Wahl der Werte von r , g werden der Durchmesser und die Lage des transformierten Kreises auf der reellen Achse eingestellt. In der 1i -Ebene lassen sich so Reflexionsfaktoren in der Nähe des Randes vermeiden. Damit wird verhindert, dass diese im

Abb. 4.18 Transformation des Einheitskreise der  L -Ebene in einen Kreis in der 1i -Ebene beim Stabilisierungsnetzwerk, L g = Cr = 0

4.5

Leistungsverstärkung

147

instabilen Gebiet der Stabilitätskreise liegen. Die Schaltung in der Abb. 4.18 können wir als -Dämpfungsglied bezeichnen. Durch die Kettenschaltung des Zweitores in Abb. 4.18 zum eigentlichen Zweitor ändern sich alle S-Parameter. Insbesondere wird s21 verringert und damit die Gesamtverstärkung der Schaltung. Gelingt es, eine Spule mit der Induktivität L g und einen Kondensator mit der Kapazität Cr breitbandig zu realisieren, dann können wir mit deren Werten den Frequenzgang der Verstärkung unseren Wünschen anpassen. Wir können z. B. L g und Cr so wählen, dass r , g nur bei tiefen Frequenzen wirken. Dort ist die Stabilisierung notwendig, wie das in Abb. 4.16 zu sehen ist. Bei höheren Frequenzen ist der Transistor absolut stabil. Das Stabilisierungsnetzwerk wird selten auf der Eingangsseite eines Transistors eingesetzt, da sich durch die Wirkanteile r , g die Rauschzahl des Verstärkers erhöht.

4.5

Leistungsverstärkung

Im Abschn. 3.3 haben wir die zwei wesentlichen Definitionen G T und G av für die Leistungsverstärkung angegeben. Im Fall eines absolut stabilen Zweitors können wir durch die geeignete Wahl von  Q und  L den Wert der Leistungsverstärkung optimieren. Zuerst schreiben wir die Gl. (3.95) für die Betriebsleistungsverstärkung G T wie folgt auf GT =

(1 − | Q |2 )|s21 |2 (1 − | L |2 ) |(1 − s11  Q )(1 − s22  L ) − s12 s21  Q  L |2

(4.139)

Für den unilateralen Fall mit |s12 s21 | = 0 (beide Tor sind entkoppelt) und bei |s11 | < 1 sowie |s22 | < 1 ist das Zweitor absolut stabil. Aus der Gl. (4.139) wird GTU =

2 1 − | Q |2 2 1 − | L | |s | = M Q |s21 |2 M L 21 |1 − s11  Q |2 |1 − s22  L |2

(4.140)

Die Gl. (4.140) besteht aus drei Faktoren. M Q , M L sind ein Maß für die Fehlanpassung gegenüber dem Optimum am Ein- und Ausgang. 1i = s11 und keine Funktion von  L sowie 2i = s22 und keine Funktion von  Q . Der Wert der Betriebsleistungsverstärkung G T ist ∗ und maximal, wenn am Ein- und Ausgang Leistungsanpassung herrscht. Das ist für  Q = s11 ∗  L = s22 der Fall. Daraus folgt für die maximale unilaterale Betriebsleistungsverstärkung G T U ,max =

1 1 |s21 |2 2 1 − |s11 | 1 − |s22 |2

(4.141)

Wir bemerken, dass für den Wert der Betriebsleistungsverstärkung nicht allein |s21 |2 verantwortlich ist, sondern die Elemente s11 und s22 wesentlich dazu beitragen. Wenn beim Zweitor |s12 s21 | 1. Der Betrieb des Transistors ist mit dieser Anpassung ∗ auf der von  Q deshalb nicht zu empfehlen. Dagegen verursacht die Anpassung mit s22 Ausgangsseite des Transistors wegen der Lage im stabilen Bereich keinen Reflexionsfaktor |1i | ≥ 1.

0.5 0

j2

j1

j5

j0.5 j0.2 0 00

0.2 -j0.2

1

0.5

2

5

-j5 -j2

-j1

-j0.5 Q

a)

-Ebene

1

s =0.6/-95° 22

0.5 0

j2

j1

j5

j0.5 j0.2 0

0.2 -j0.2

1

0.5

5

2

-j5 -j2

-j1

-j0.5 L

-Ebene

b)

−1 Abb. 4.19 Faktoren für die Fehlanpassung am Ein- und Ausgang. a) M Q . b) M L−1

4.5

Leistungsverstärkung

149

∗ , s∗ Abb. 4.20 Stabilitätskreise für den Transistor nach Abb. 4.15 bei f = 2 GHz, Lage von s11 22 sowie deren Transformation in die jeweils andere Ebene

Im bilateralen Fall mit |s12 s21 |  = 0 müssen wir beim absolut stabilen Zweitor für maximale Verstärkung gleichfalls Leistungsanpassung am Ein- und Ausgang fordern. Es muss gelten ∗  Q,opt = 1i =

∗ − S∗  ∗ s11 L,opt ∗ ∗ 1 − s22 L,opt

∗ und  L,opt = 2i =

∗ − S∗  ∗ s22 Q,opt ∗ ∗ 1 − s11 Q,opt

(4.144)

Das sind zwei Gleichungen zur Bestimmung der zwei Reflexionsfaktoren  Q,opt und  L,opt . Diese Aufgabe entspricht der in der Gl. (1.56) Wechselseitiges Einsetzen führt zu dem Ergebnis für die Werte der optimalen Reflexionsfaktoren  Q,opt =  L,opt =

B1 ± B2 ±

 

2C1∗ B12 − 4|C1 |2 2C2∗

(4.145)

B22 − 4|C2 |2

und den zusätzlichen Abkürzungen B1 = 1 + |s11 |2 − |s22 |2 − |S|2 B2 = 1 − |s11 |2 + |s22 |2 − |S|2

(4.146)

Mit der Elementen der S-Matrix der fehlangepassten Leitung (Gl. (3.39)) erhalten wir ein adäquates Ergebnis für die optimale Leistungsübertragung der Leitung in Form von Reflexionsfaktoren (s. a. Kap. 1, Gl. (1.56)).

150

4 Eigenschaften der Streumatrix S 1.2

1

f stab /GHz=10.553 B /(2|C |)=1

Bi/(2|Ci|)

i

i

0.8 B1/(2|C1|)

0.6

B2/(2|C2|)

0.4

0.2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Frequenz/GHz

Abb. 4.21 Frequenzabhängigkeit der Größen B1,2 /(2|C1,2 |)

Abb. 4.22 Frequenzabhängigkeit der optimalen Reflexionsfaktoren  Q,opt ,  L,opt , zum Vergleich ∗ , s ∗ , HEM-Transistors FHX04LG U jeweils s11 DC = 2 V, I DC = 10 mA, f stab ≤ f ≤ 18 GHz 22

In der Abb. 4.21 sehen wir die Frequenzabhängigkeit der Quotienten B1,2 /(2|C1,2 |). Diese Quotienten sind im Allgemeinen positive reelle Zahlen und größer als eins für Frequenzen f ≥ f stab , analog dem Stabilitätsfaktor K (Gl. (4.127)). Damit der Betrag von | Q,opt |, | L,opt | ≤ 1 ist, gilt bei der Wurzel (Gl. (4.145)) das negative Vorzeichen. Die jeweils zweite Gleichung zeigt den Zusammenhang mit dem Stabilitätsfaktor K . Im Grenzfall bei f = f stab sind B1,2 /(2|C1,2 |) = 1 sowie K = 1 und damit werden | Q,opt | = | L,opt | = 1, d. h. die Reflexionsfaktoren liegen auf dem Rand des Einheitskreises. Für den Beispieltransistor mit den Streumatrixparametern im gewählten Arbeitspunkt nach der Abb. 4.15 ergeben sich die in der Abb. 4.22 dargestellten optimalen Reflexionsfaktoren  Q,opt ,  L,opt . Zum Vergleich

4.5

Leistungsverstärkung

151

30 GT,max GTU,max(s*11,s*22)

(GT,max,GTU,max)/dB

25

20 f stab /GHz=10.553 G T,max/dB=15.0098

15

10

5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Frequenz/GHz

Abb. 4.23 Maximale Leistungsverstärkungen G T ,max , G T U ,max , HEM-Transistors FHX04LG U DC = 2 V, I DC = 10 mA, 1 GHz ≤ f ≤ 18 GHz ∗ , s ∗ eingetragen, die wir für maximale unilaterale Leissind auch die Reflexionsfaktoren s11 22 tungsverstärkung G T U ,max wählen würden. Die Drehrichtung der Kurven (entgegen dem Uhrzeigersinn) von  Q,L,opt und sii∗ ist entgegengesetzt zu denen von s11 , s22 in der Abb. 4.15 (im Uhrzeigersinn) 4 . Die Werte von  Q,opt ,  L,opt nach den Gl. (4.145) setzen wir in die Beziehung (4.139) und erhalten nach einer etwas aufwendigen Rechnung

G T ,max = |s21 |2

1 − | Q,max |2 |1 − s11  Q,max |2 − |s22 − S Q,max |2

(4.147)

G T ,max = |s21 |2

1 − | L,max |2 |1 − s22  L,max |2 − |s11 − S L,max |2

(4.148)

bzw.

oder nach [1, 5] G T ,max

    s21  =   (K − K 2 − 1) s12

(4.149)

|s21 /s12 | ist der Grenzwert der maximalen stabilen Leistungsverstärkung (K = 1), der in der Praxis nie erreicht werden kann, denn dafür müssen | Q,opt | = | L,opt | = 1 sein (Gl. (4.145), Abb. 4.22). Die Betriebsleistungverstärkung G T U ,max in der Abb. 4.23 ist im

4 diese Richtung entspricht insbesondere rein reaktiven Schaltungen in Anlehnung an das Theorem

von R. M. Foster, aber auch viele andere Schaltungen zeigen dieses Verhalten des Drehsinns; ermöglicht schnelle Plausibilitätsprüfung der Messergebnisse von Ortskurven.

152

4 Eigenschaften der Streumatrix S

Frequenzbereich f < f stab nicht definiert wegen der eventuellen Lage von sii∗ im instabilen Bereich (Abb. 4.20). Bei der Optimierung der Leistungsverstärkung müssen wir die Netzwerke für die Leistungsanpassung so entwerfen, dass sowohl im gewünschten Frequenzbereich (Durchlassbereich) die Verstärkung maximal und im Sperrbereich die Verstärkerschaltung gleichfalls absolut stabil ist (μ1,2 > 1)! Die Elemente der Streumatrix S in der Abb. 4.15 werden immer mit der Normierung R0 = 50  gemessen (vorhandene Messgeräte, breitbandiger, reeller Abschluss). Wir wollen jetzt untersuchen, wie sich die Werte verändern, wenn wir diese z. B. auf 1 =  Q,opt und 2 =  L,opt normieren. Für die neue Normierung benutzen wir die Gl. (2.51) und (2.52). Die Diagonalelemente der Matrix M S sind dann  1 − i∗ Z 2i + 50  zi + 1 zi + 1 = (4.150) M S,ii = √ = √ =  2 ri (1 + i )(1 − |i |2 ) 2 R2i 50  2 (z i + z i∗ )/2 mit der Normierung auf R0 = 50  und der Umrechnung in den Reflexionsfaktor i zi =

Z 2i 50 

und

zi =

1 + i 1 − i

(4.151)

Für die Diagonalelemente der Matrix M D gilt  1 − i∗ = i M S,ii M D,ii = i (1 + i )(1 − |i |2 ) oder

 MD = MS

mit  =

1 0 0 2

(4.152)

 (4.153)

Aus der Gl. (2.52) wird

bzw.

S = (M S − S M S )−1 (SM S −  M S )

(4.154)

−1 S = M −1 S (E − S) (S − )M S

(4.155)

S ist die umnormierte Streumatrix und S die auf R0 = 50  normierte (gemessene) Streumatrix. Die Gl. (4.155) besteht "nur"aus 2 × 2 Matrizen. Nach einer elementaren etwas aufwendigen Rechnung erhalten wir für die Elemente der Streumatrix S [1]

4.5

Leistungsverstärkung s11

s12

s21 s22

153



  1 − 1  ∗ = s11 − 1 (1 − s22 2 ) − S2 /N 1 − 1∗ ⎛ ⎞     1 − 2  1 − 1  1 − |1 |2 2   ⎠ /N = ⎝s12 1 − |2 | 1 − 1∗  1 − 2  1 − |2 |2 ⎛ ⎞   2     1 − 1  1 − 2  1 − |2 | ⎠ = ⎝s21 1 − |1 |2 /N 1 − 2∗  1 − 1  1 − |1 |2    1 − 2  ∗ = s22 − 2 (1 − s11 1 ) − S1 /N 1 − 2∗

(4.156)

Der Nenner N ist N = 1 − s11 1 − s22 2 + S1 2

(4.157)

das Betragsquadrat Wir bilden vom Element s21 2 | = |s21

(1 − |1 |2 )(1 − |2 |2 ) |1 − s11 1 − s22 2 + S1 2 |2

(4.158)

und erhalten die gleiche Beziehung wie in den Gl. (3.95) und (4.139), wenn wir für 1 =  Q und 2 =  L einsetzen. |s21 |2 ist auch bei komplexer Normierung immer der Betrag der Betriebsleistungsübertragung entsprechend der Definition in der Gl. (3.94), wenn das Zwei/Mehrtor mit den Normierungsimpedanzen/-admittanzen bzw. Reflexionsfaktoren abgeschlossen wird. Insofern bedeutet der Begriff der Anpassung in dem Satz über |s21 |2 im Abschn. 2.2 nicht nur reelle Abschlussimpedanzen/-admittanzen. Für eine andere reelle Normierung, z. B. für die Umrechnung von S in der 50 Umgebung gemessen auf die Streumatrix S normiert auf 75  an allen Toren, vereinfachen sich die Gleichungen unter (4.156) beträchtlich. Für 1 = 2 =  = (75/50−1)/(75/50+ 1) = 0,2 und damit reell folgt s11 − (1 + S − s22 ) 1 − (s11 + s22 − S) s12 (1 −  2 ) = 1 − (s11 + s22 − S) s21 (1 −  2 ) = 1 − (s11 + s22 − S) s22 − (1 + S − s11 ) = 1 − (s11 + s22 − S)

= s11 s12 s21 s22

(4.159)

154

4 Eigenschaften der Streumatrix S

Sind 1 = 2 =  und komplex (auch hier si j normiert auf 50 ) wird aus den Gl. (4.156)    1−  ∗ s11 = −  (1 − s ) − S /N s 11 22 1 − ∗     1− /N s12 = s12 1 − ||2 1 − ∗   (4.160)   1− s21 /N = s21 1 − ||2 1 − ∗    1−  ∗ s22 = −  (1 − s ) − S /N s 22 11 1 − ∗ mit N = 1 − (s11 + s22 − S)

(4.161)

Neben der wichtigen Kenngröße Betriebsleistungsverstärkung G T ist die verfügbare Leistungsverstärkung G av nach der Gl. (3.97) von großer praktischer Bedeutung, insbesondere bei der Analyse der Rauscheigenschaften von Verstärkern. Diese Verstärkungsdefinition ist ∗ ( ) (Abb. 4.12, Gl. (4.105)) gleichbedeutend mit der von G T , wenn bei G T  L = 2i Q gewählt wird. In der Abb. 4.24a ist dieser Zusammenhang für die Quellenreflexionsfaktoren ∗ dargestellt.  Q =  Q,opt (Gl. (4.145)), s11 Die verfügbare Leistungsverstärkung G av ist eine Funktion aller S-Parameter und von  Q aber nicht von  L . Für die bildliche Darstellung ihres Verhaltens über der  Q -Ebene verwenden wir die inverse Form von G av nach E. Strid [23]. Wir schreiben mit der Gl. (3.97) −1 G av =

| Q −  Q,opt |2 |1 − s11  Q |2 − |s22 − S Q |2 −1 + C = G G av,max |s21 |2 (1 − | Q |2 ) 1 − | Q |2

16 G T,max/dB=15.0098

Gav,max

0.11

14

GT (s*11) Gav(s*11)

13

GTU,max(s*11,s*22)

0.105 0.1

CG

(GT,Gav)/dB

0.115

GT,max

f stab /GHz=10.553

15

12

0.095

11

0.09

10

0.085

9 10

11

12

13

14

Frequenz/GHz

a)

15

16

(4.162)

17

18

0.08 10

11

12

13

14

15

16

17

18

Frequenz/GHz

b)

Abb. 4.24 Verfügbare Leistungsverstärkung G av . a) Vergleich mit G T , wenn bei G T  L = ∗ ( ), obere Kurve  =  ∗ ∗ 2i Q Q Q,opt (Gl. (4.145)), mittlere Kurve  Q = s11 untere Kurve  Q = s11 ∗ ,  L = s22 → G T U ,max . b) Verstärkungsparameter C G HEM-Transistors FHX04LG U DC = 2 V, I DC = 10 mA, f stab ≤ f ≤ 18 GHz

4.5

Leistungsverstärkung

155

G av,max ist gleichbedeutend mit G T ,max nach der Gl. (4.149), so dass      s12  −1 G av,max =   K + K 2 − 1 s21

(4.163)

ist. Die Größe C G wollen wir Verstärkungsparameter nennen. Auf der rechten Seite steht −1 wieder wie bei den Faktoren M Q , M L−1 nach den Gl. (4.142) und (4.143) das Quadrat der Abweichung des Quellenreflexionsfaktors  Q vom optimalen Wert  Q,opt für maximale verfügbare Verstärkung G av,max . Zur Berechnung von C G stellen wir die Gl. (4.159) um      |1 − s11  Q |2 − |s22 − S Q |2  s12   1 − | Q |2 2−1 K K + − CG = s  | Q −  Q,opt |2 |s21 |2 (1 − | Q |2 ) 21 (4.164) Eine etwas längliche Rechnung per Hand ergibt das einfache Ergebnis  B1 + B12 − 4|C1 |2 (4.165) CG = 2|s21 |2 mit den Abkürzungen C1 , B1 nach den Gl. (4.119) und (4.146). C G ist nur eine Funktion der S-Parameter und keine von  Q oder  Q,opt . Die Abb. 4.24b zeigt die Frequenzabhängigkeit von C G . Alle Größen der rechten Seite in der Gl. (4.159) sind damit bekannt. Mit dieser Gleichung können wir die Kreise konstanter Verstärkung G av in der  Q -Ebene angeben [17, 18]  2 2    Q −  Q,opt  = N (1 + N − | Q,opt | ) (4.166)   2 1+ N (1 + N ) dabei ist N=

−1 − G −1 G av av,max

CG

(4.167)

In der Abb. 4.25 sind nicht nur die Kreise konstanter Verstärkung sondern auch der Verstärkungsparaboloid dargestellt. Offensichtlich ist der Verstärkungsparameter C G ein Maß, wie weit sich der Paraboloid öffnet, wenn  Q  =  Q,opt ist. Je kleiner C G ist, um so flacher wird und weiter öffnet sich der Paraboloid. Damit liegen die Verstärkungskreise weiter auseinander und die Toleranzempfindlichkeit der Leistungsanpassung sinkt. Bei die Auswahl von Transistoren für Anwendungen im Verstärker sollte natürlich G av groß sein, aber C G möglich klein. Die Abb. 4.25a zeigt die Situation unmittelbar an der unteren Grenze des Stabilitätsbereichs bei K = 1, | Q,opt | = 1 und maximaler stabiler Verstärkung G av,max . Sowohl in der Abb. 4.25a als auch in 4.25b drängen sich die Verstärkungskreise zum Rand des Einheitskreises. Dort ist die Toleranzempfindlichkeit größer als in Richtung des Mittelpunktes der  Q -Ebene. Die vier Zahlenwerte G av,max , C G ,  Q,opt (Real- und Imaginärteil oder Betrag und Phase) sind typisch (nur Funktion der S-Parameter) für jedes Zweitor und beschreiben eindeutig sein Verhalten bezüglich der verfügbaren Leistungsverstärkung G av .

156

4 Eigenschaften der Streumatrix S

-10

G

-13

av,max

Q,opt

j2

j1 -

CG=0.085

j5

j0.5 j0.2 0.2 -j0.2

2

1

0.5

5

Gav,max=11dB

=15dB

=1/176°

G-1 /dB av

G-1 /dB av

-10

-13

Q,opt

j0.5 -

j0.2

-j1

-j0.5 Q

j5

j2 j1

-j5 -j2

=0.66/-95°

CG=0.1

-Ebene

0.5

00 0.2 -j0.2

a)

1

2

5

-j5 -j2 -j1

-j0.5

-Ebene Q

b)

−1 Abb. 4.25 Verfügbare Leistungsverstärkung G av über der  Q -Ebene. a) f = f stab = 10,55 GHz. b) f = 18 GHz HEM-Transistors FHX04LG U DC = 2 V, I DC = 10 mA Transfomationsnetzwerk 2'

1' 1

2

verlustlos

Abb. 4.26 Allgemeines Zweitor umgeben von einem verlustlosen Transformationsnetzwerk

Die Abb. 4.26 zeigt ein allgemeines Zweitor mit Ui , Ii und den zugehörenden Matrizen Z oder Y oder S. Dieses Zweitor sei eingebettet in ein verlustloses Netzwerk, das die Spannungen Ui und die Ströme Ii in die Werte Ui und Ii transformiert. In [13] hat S. J. Mason gezeigt, dass bei dieser Art der Transformation der Ausdruck U=

|z 12 − z 21 |2 |y12 − y21 |2 = (z + z) ( y + y)

(4.168)

sowohl für Ui , Ii als auch für Ui , Ii den gleichen Wert hat und somit für die verlustlose Transformation eine invariante Größe darstellt. z, y sind entsprechend Abschn. 2.3 die reell normierte Impedanz- und Admittanzmatrix mit der Relation y = z −1 . Die Größe U , auch Mason Invariante genannt, kann interpretiert werden als die maximale Leistungsverstärkung, die wir erhalten, wenn wir mit einem verlustlosen Netzwerk dafür sorgen, dass vom transformierten Netzwerk (Ui , Ii ) die Rückwirkung verschwindet. = 0 oder y = 0 oder s = 0, wir können direkt auf (s )∗ und (s )∗ Dann sind z 12 12 12 11 22 anpassen und mit der Gl. (4.141) ist dann G T U ,max = U der Wert der maximalen unilateralen Verstärkung.

(4.169)

4.5

Leistungsverstärkung

157

Mit der Gl. (4.20) haben wir die Formmatrix P kennengelernt, die uns Auskunft über den Wirkleistungsumsatz im Mehrtor vermittelt. Wegen der Abhängigkeiten in der Umrechnungstabelle 2.1 können wir dem Zähler der Gl. (4.168) den Zusammenhang |s12 − s21 |2 zuordnen. W. H. Ku konnte in [11] zeigen, dass  P = (E − ST S) = (E − SS) − |s12 − s21 |2

(4.170)

gilt. Nach H. J. Carlin und A. B. Giordano [3] und den Werten der Eigenwerte λi sowie deren Verknüpfung mit dem Wert der Determinante  P nach der Gl. (4.43) gilt für passive Zweitore  P = λ1 λ2 ≥ 0 (4.171) und mit der Gl. (4.170)

|s12 − s21 |2 (E − SS)

≤1

(4.172)

Werden die Zuordnungen von z und S der Umrechnungstabelle 2.1 für den linken Teil der Gl. (4.168) eingesetzt, dann können wir zeigen, dass die Mason Variable U als Funktion der Streumatrix S der Gl. (4.172) entspricht [11]. U=

|s12 − s21 |2 (E − SS)

(4.173)

Bei einem aktiven Zweitor muss U > 1 sein. Damit ist Wert von U gleichfalls eine Hilfe, um zu entscheiden, ob das Zweitor passiv oder aktiv ist. Für den HEM-Transistor FHX04LG mit seinen Parametern der S-Matrix in der Abb. 4.15 wollen wir ein verlustloses Netzwerk für eine Frequenz entwerfen, so dass vom Transistor mit dem Netzwerk der Parameter s12 = 0 ist. Die Gesamtanordnung wird damit unilateral. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wählen wir z. B. f = 5 GHz. Bei dieser Frequenz entscheiden wir uns wegen der unvermeidbaren Parasitäten nicht für Übertrager, sondern nur für Spulen und Kondensatoren als Bestandteile des Netzwerks. Das Element s12 und damit auch seine Darstellungen mit z 12 und y12 bzw. unnormiert Z 12 und Y12 sind komplex bestehend aus Real- und Imaginärteil. Im letzten Schritt der Transformation können wir mit einer Spule bzw. Kondensator nur Reaktanzen bzw. Suszeptanzen kompensieren. Das kann nur mit einer Serien- oder Parallelschaltung erfolgen. Folglich müssen wir im ersten Schritt ∗ = 0 bzw. Y + Y ∗ = 0 sind. der Transformation dafür sorgen, dass Z 12 + Z 12 12 12 Wir wählen als Beispiel die Schaltungen der Abb. 4.27. Die Gesamtanordnung wird jetzt mit den Elementen Z 12,B und Y12,X beschrieben. Für deren Berechnung bzw. Messung ist der Leerlauf bzw. der Kurzschluss am jeweiligen Eingang notwendig.

158

4 Eigenschaften der Streumatrix S

Leerlauf

Kurzschluss

FHX04LG

a)

FHX04LG

b)

Abb. 4.27 Darstellung des HEM-Transistors FHX04LG als Zweitor mit. a) Z, S Parametern und Parallel-Suszeptanz B P am Ausgang. b) Y , S Parametern und Serien-Reaktanz X S am Ausgang

Die Matrix- und die Strom-Spannungsbeziehungen erlauben die folgenden Relationen U1 Z 12 I2 Z 12 I2 Z 12 = = = I2B I 2 + j B P U2 I2 + j B P Z 22 I2 1 + j B P Z 22 I1 Y12 U2 Y12 U2 Y12 = = = = U2X U2 + j X S I 2 U2 + j X S Y22 U2 1 + j X S Y22

Z 12,B = Y12,X

(4.174)

mit denen wir fordern ∗ Z 12 Z 12 + ∗ =0 1 + j B P Z 22 1 − j B P Z 22 ∗ Y12 Y12 = + ∗ =0 1 + j X S Y22 1 − j X S Y22

∗ = Z 12,B + Z 12,B ∗ Y12,X + Y12,X

(4.175)

Das sind die Bestimmungsgleichungen für die Werte von B P,0 und X S,0 , bei denen die Realteile von Z 12,B und Y12,X null sind. Die Umstellung der Gl. (4.175) ergibt ∗ + Z 12 ∗ − Z 12 Z 22 ∗ Y12 + Y12 = j ∗ ∗ Y12 Y22 − Y12 Y22

B P,0 = j X S,0

Z 12 ∗ Z 12 Z 22

Wählen wir diese Werte für die Schaltung, sind Z 12,B und Y12,X rein reaktiv.   ∗ Z 12 −j Z 12 − X 12,B = ∗ 2 1 + j B P,0 Z 22 1 − j B P,0 Z 22   ∗ Y12 Y12 −j B12,X = − ∗ 2 1 + j X S,0 Y22 1 − j X S,0 Y22

(4.176)

(4.177)

Zur jeweiligen Kompensation müssen wir für X 12,B eine Reaktanz in Serie und für B12,X eine Suszeptanz parallel schalten. Das entspricht der Serienschaltung zweier Impedanz- bzw der Parallelschaltung zweier Admittanzmatrizen. Mit der Darstellung der entsprechenden Matrizen in der Abb. 4.28 lauten die Abgleichbedingungen

4.5

Leistungsverstärkung

159

Abb. 4.28 Impedanzmatrix Z der Parallelreaktanz X P und Admittanzmatrix Y der Seriensuszeptanz B S

X P = −X 12,B

und

B S = B12,X

(4.178)

Für den HEM-Transistor FHX04LG ergeben sich bei f = 5 GHz mit den vorgestellten Zusammenhängen die Beschaltungen der Abb. 4.29. Beide Schaltungen sind rückwirkungsfrei s12 = 0 und damit unilateral. Außer, dass bei beiden Schaltungen s12 = 0 ist, ändern sich auch die anderen Parameter der S-Matrix gegenüber denen des unbeschalteten Transistors. Diese Änderungen zeigt die Abb. 4.30. Wir stellen fest, dass durch die Transformation • wie gewünscht s12 ≈ 0 ist, • |s11 | → 1 strebt, für beide Schaltungen, • die Schaltung Abb. 4.29a wie eine Seriengegenkopplung wirkt und sich |s21 | auf ca. 1/3 verkleinert, dagegen die Schaltung Abb. 4.29b wie eine Mitkopplung wirkt und |s21 | etwas vergrößert, • auch bei der Schaltung Abb. 4.29 a) |s22 | → 1 strebt. Gleichwohl können wir für beide Schaltungen wegen s12 ≈ 0 im akademischen Sinn die maximale unilaterale Leistungsverstärkung G T U ,max Gl. (4.141) erreichen G T U ,max =

1 1 |s21 |2 = M Q |s21 |2 M L 1 − |s11 |2 1 − |s22 |2 2

(4.179)

20,746 nH

1

2

0,363 nH 1

0,274 nH

32,325 pF

a)

b)

Abb.4.29 Unilaterale Transistorschaltungen mit verlustlosem Transformationsnetzwerk. a) ParallelSerien- b) Serien-Parallel-Kombination

160

4 Eigenschaften der Streumatrix S j1 j0.5

90 0.1

j2

120

60 |s12 | = 0.065

j0.2

0

j5

0.2

0.5

1

2

0.05

150

180

5

0 |s12 | = 1.11e-08 arg(s 12 ) = 119

-j0.2

30

arg(s 12 ) = 30.3 °

-j5

|s11 | = 0.809

°

|s12 | = 1.32e-07 arg(s 12 ) = -148 °

330

210

|s11 | = 0.963

arg(s 11 ) = -92.3°

arg(s 11 ) = -79.5°

-j0.5

300

240

-j2

270

|s11 | = 0.983-j1 arg(s 11 ) = -84 °

-j1

90 5 120

60

|s21 | = 4.43

150

arg(s 21 ) = 92 °

2.5 |s21 | = 3.49

-j2 30

-j5

arg(s 21 ) = 90.4 °

180

-j0.2 |s22 | = 0.939 arg(s 22 ) = 25.7 °

0

5

|s21 | = 1.31 arg(s 21 ) = -174 °

330

210

-j0.5

2

1 0.5 0.2

j5

j0.2 |s22 | = 0.608

|s22 | = 0.541 °

300

240 270

0

j2arg(s 22 ) = -69.2 j1

arg(s 22 ) = -54.8°

j0.5

Abb. 4.30 HEM-Transistor FHX04LG U DC = 2 V, I DC = 10 mA, f = 5 GHz Elemente der Streumatrix S ohne und mit Transformationsnetzwerk: schwarz: Transistor allein, rot: Abb. 4.29a, blau: Abb. 4.29b ∗ und am Ausgang  auf s ∗ anpassen. wenn wir mit Netzwerken am Eingang  Q auf s11 L 22 Interessant sind die einzelnen Zahlenwerte in der Gl. (4.179) für die beiden unilateralen Schaltungen. Abb. 4.29 a)

G T U ,max = 29,4964 · 1,7245 · 8,4211 = 428,35 = ˆ 26,3 dB Abb. 4.29b G T U ,max = 13,75221 · 19,6194 · 1,5876 = 428,35 = ˆ 26,3 dB Die Verstärkung beider Schaltungen muss gleich sein. Während die Schaltung Abb. 4.29b ein um den Faktor zehn größeren Wert von |s21 |2 als den der Schaltung Abb. 4.29 a) hat, erzielt letztere den Wert der Gesamtverstärkung durch große Werte der Eigenreflexionsfaktoren sii . Dieser Zusammenhang der Verstärkung mit den Werten von s21 und sii wurde schon am Anfang des Kapitels erwähnt und zeigt sich hier in dramatischer Weise. In der Abb. 4.31

4.5

Leistungsverstärkung

161

35 max. unilaterale Verstaerkung U max. stabile Verstaerkung |s 21 /s12 |

30

f/GHz = 5 U/dB = 26.3

U,|s 21/s12|/dB

25

20 f/GHz = 5 |s21 /s12 |/dB = 17.3

15

10

5 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Frequenz/GHz

Abb. 4.31 HEM-Transistor FHX04LG U DC = 2 V, I DC = 10 mA maximale unilaterale Verstärkung U , maximale stabile Verstärkung |s21 /s12 |

sind die Werte von U als der maximalen unilateralen Verstärkung und von |s21 /s12 | als der maximalen stabilen Verstärkung (s. a. Gl. (4.149)) dargestellt. Die blaue Kurve dient zur Orientierung, denn nur bei der Frequenz, bei der K = 1 ist, ist der Wert der Verstärkung erreichbar (Abb. 4.23). Bemerkenswert ist die Differenz zwischen beiden Kurven von bis zu 10 dB. Verlustlose Transformationen für s12 = 0 und die dann erforderliche Anpassung an die Quelle und die Last für eine Frequenz sind akademisch berechen- und darstellbar. Breitbandige Erfüllung dieser Forderung ist mit einem größeren Aufwand verbunden. Dazu kommt das Problem der Anwendung in der Praxis, die primär an den Parasitäten der Bauelemente und der Begrenzung des Faktors als auch der Bandbreite verlustloser Transformationen scheitert. Gleichfalls ist zu bedenken, dass durch die aufwendigen verlustlosen Transformationsnetzwerke die Sicherung der breitbandigen absoluten Stabilität (Durchlass- und Sperrband) des Verstärkers eine große Herausforderung darstellt. In der Praxis wäre die Schaltung der Abb. 4.29b für schmalbandige Anwendungen durchaus realisierbar. Das Problem der Unterdrückung der Rückwirkung (insbesondere durch die GitterAnoden-Kapazität C ga ) gibt es, seit es Verstärker gibt. Schon in den Jahren um 1920, wenige Jahre nach der Erfindung der Triode, widmeten sich in Amerika C. W. Rice [19] und L. A. Hazeltine [7], [6], [8] diesem Problem. Die Abb. 4.32 zeigt das Prinzip der Neutralisation mittels gegenphasiger Rückkopplung über angezapfte Schwingkreise und NeutralisationsKapazität C N . Später war die Neutralisation ein wesentlicher Schaltungsteil in Senderöhrenverstärkern (W. Buschbeck [2]) und in 10,7 MHz Zwischenfrequenzverstärkern von FM-Empfängern mit Röhren und Transistoren [16], [15].

162

4 Eigenschaften der Streumatrix S

a)

b)

c)

Abb. 4.32 Neutralisations-Schaltungen, C ga ≡ Gitter-Anoden-Kapazität, C N ≡ NeutralisationsKapazität. a) Rice [19]. b), c) Hazeltine [7]

Literatur 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

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163

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5

Torverbindungen

R. H. Dicke hat die Wellenbeschreibung von Mehrtoren mit der Streumatrix S entwickelt, um deren Verschaltung untereinander geeigneter analysieren und beschreiben zu können, als das mit den Strom-/Spannungsmatrizen möglich gewesen wäre. In seiner ersten Veröffentlichung [7] dazu wird die Zusammenschaltung eines Magischen T’s mit einem angepassten symmetrischen T’s in vollständiger Matrix-Darstellung für eine Frequenz angegeben. Charakteristikum der von ihm gewählten Methode der gleichzeitigen Verbindung an allen Toren sind die vielen Nullen in den einzelnen Matrizen. Als Wellenleiter wurden damals nur der Hohlleiter und die Koaxialleitung eingesetzt. Planare Leitungen waren unbekannt. 1947 gab es nur wenige Großrechner. Per Handrechnung mussten die Gleichungen ausgewertet werden. Die Berechnung von Frequenzgängen war deshalb nur mit Hilfe von Rechner(Personen)-Büros1 in vorgegebenen Arbeitsschritten und Formblättern mittels mechanischer Rechenmaschinen möglich. Aus diesem Grund war die ausgiebige praktische Anwendung dieser Streumatrix-Beschreibung nicht üblich. Die Berechnungen von Schaltungen im Hochfrequenzbereich erfolgten vorzugsweise mit dem Smith-Diagramm, Rechenschieber, Bleistift, Lineal und Millimeterpapier. Zwischen 1960 und 1970 wurde durch die Fortschritte der Halbleiter- und Speichertechnik der Aufbau von mittelgroßen Zentralrechnern z. B. IBM 360 möglich. Diese standen den Entwicklungsabteilungen von Firmen und den Universitäten zur Verfügung. Mittels Programmiersprachen wie FORTRAN, ALGOL konnten Programme zur Berechnung elektrischer und elektronischer Netzwerke erstellt werden. Die Programme SPICE (1972) primär 1 Diesem Personenkreis ist mit dem Buch „Hidden Figures“ von Margot Lee Shettly und dem gleichnamigen Film (Twentieth Century Fox) ein Denkmal gesetzt worden.

Ergänzende Information Die elektronische Version dieses Kapitels enthält Zusatzmaterial, auf das über folgenden Link zugegriffen werden kann https://doi.org/10.1007/978-3-658-38875-1_5.

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 S. Martius, Wellenbeschreibung elektrischer Netzwerke mit der Streumatrix, https://doi.org/10.1007/978-3-658-38875-1_5

165

166

5 Torverbindungen

für den Zeitbereich und das Programm COMPACT (1973) bzw. SuperCOMPACT primär für den Frequenzbereich bildeten den Anfang einer Entwicklung, die bis heute anhält. Eine weitere bedeutende Hilfe für die Berechnung von Schaltungen war die Einführung und Verfügbarkeit des Personal-Computers (PC, 1981) direkt am Labortisch. Die Leistungsfähigkeit bezüglich Rechengeschwindigkeit und Speichervermögen sowie grafische Ausgabe am Bildschirm und auf dem Papier übertrifft heute die einer IBM 360 um ein Vielfaches. Mit den weiterentwickelten Programmen der 70-ziger Jahre gehört die Berechnungen elektronischer Schaltungen am Labortisch einschließlich der Rechnersteuerung der Messgeräte heute zum Stand der Technik.

5.1

Kettenschaltung von Zweitoren

In der Abb. 5.1 sind zwei Zweitore in Kette geschaltet. Gesucht werden die Elemente der Gesamtstreumatrix Sg als Funktion der Streumatrixelemente der beiden Einzelzweitore Sx und S y . Das Bild der Verbindungsstelle setzt gleiche Querschnittgeometrie der verwendeten Wellenleiter voraus. Ist das nicht der Fall, muss ein zusätzliches Zweitor zur Modellierung des Querschnittsprunges eingefügt werden. Bei der Definition der Streumatrix S im Abschn. 2.2 ist zur Berechnung von Kettenschaltungen extra die Wellen-Kettenmatrix T definiert worden (Abb. 2.9). Wegen möglicher Polstellen bei der numerischen Rechnung mit der T -Matrix, wollen wir die gestellte Aufgabe hier nur mit der S -Matrix lösen. Der Normierungswiderstand ist R0 (z. B. 50 ) für alle Matrizen. Im Fall der Anordnung nach der Abb. 5.1a können wir das Ergebnis aus dem SignalflussGraphen Abb. 5.1a mit Hilfe der Regeln des Abschn. 3.3 direkt ablesen. ⎛ ⎞  x y y x y x x s y sx s12 s12 s11 − Sx s11 s21 s12 s12 11 12 x y x sy x ⎜s11 + ⎟ x sy x sy s21 s22 − S y s22 1 − s22 1 − s22 ⎜ ⎟ 21 11 11 Sg = ⎜ = ⎟ y x y x sy x sy ) s21 s21 ⎠ s12 s22 ⎝ (1 − s22 y 21 11 s + y y 22 x s x s 1 − s22 1 − s22 11 11 (5.1)

a)

b)

Abb. 5.1 Kettenschaltung zweier Zweitore(gleiche Querschnittgeometrie), eine Wellenleitermode. a) Blockdarstellung. b) Graphendarstellung

5.1

Kettenschaltung von Zweitoren

167

a)

b)

Abb. 5.2 Kettenschaltung dreier Zweitore. a) beliebige Zweitore. b) angepasste Zweitore (z. B. Leitungen L 1 , L 2 ) vor und nach dem Zweitor Y

Diese Matrix Sg lässt sich auf beliebige Impedanzen/Admittanzen nach der Tab. 2.5 umnormieren. Bei viele Anwendungen in der Schaltungs- und Messtechnik tritt die Kettenschaltung von drei Zweitoren auf, wie das in der Abb. 5.2 als Graphenbild dargestellt ist. Auch für diesen Fall können wir die Gesamtmatrix aus dem Graphenbild ablesen. ⎛ x ⎜s11 + Sg = ⎝

⎞ z y x x s x (s y − s z S y ) s12 s12 s12 s21 11 12 11 ⎟ N Ny z z x s y sz x S y ) ⎠ s21 s s (s − s z 21 21 22 s22 + 12 21 22 N N

(5.2)

mit y

y

z z x N = 1 − s22 s11 − s22 (s11 − s11 S y )

(5.3)

Von besonderem Interesse (Stichwort Verschiebung der Bezugsebenen) ist die Anordnung einer angepassten Leitung vor und nach einem Zweitor. Kennzeichen des Graphenbildes 5.2 x = s x = e−γ L 1 , b) ist das Fehlen von Schleifen. Setzen wir für die angepasste Leitung s21 12 z z z s21 = s12 = e−γ L 2 und siix = sii = 0, dann wird N = 1 und die Gesamtmatrix hat die Form 

e−γ (L 1 +L 2 ) s12 e−2γ L 1 s Sg = −γ (L 1 +L 211 y y )s e e−2γ L 2 s22 21 y

y

(5.4)

Wir wollen im Vorgriff auf die Zusammenschaltung von Mehrtoren die Aufgabe der Kettenschaltung zweier Zweitore mit Hilfe der Matrizen-Algebra lösen. Die Streumatrixgleichungen der beiden Zweitore  x  x  y  y b1 b1 x a1 y a1 = S und = S (5.5) y y b2x a2x b2 a2 vereinen wir so, dass die Zeilen mit den zu verbindenden Toren zusammen untereinander am Ende der Gesamtmatrix stehen ⎛ x⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x⎞ x b1 0 s11 0 s12 a1 y ⎟ ⎜ y⎟ ⎜b y ⎟ ⎜ 0 s y 0 s 22 21 ⎟ ⎜a2 ⎟ ⎜ 2⎟ = ⎜ (5.6) ⎝b x ⎠ ⎝s x 0 sx 0 ⎠ ⎝a x ⎠ 2 y

b1

21

0

y

s12

22

0

y

s11

2 y

a1

168

5 Torverbindungen

An der Verbindungsstelle der beiden Zweitore gilt  x  x  x  0 1 a2 a2 b2 y y x x b2 = a1 und b1 = a2 oder y = y = V y 1 0 b1 a1 a1

(5.7)

V nennen wir Verbindungsmatrix. Diese Identität setzen wir in die Gl. 5.3 direkt ein, ⎛ x⎞ ⎛ b1 ⎜b y ⎟ ⎜ ⎜ 2⎟ = ⎜ ⎝0⎠ ⎝ 0

⎞ ⎛ x⎞ x x 0 s12 0 a1 s11 y y ⎟ ⎜ y⎟ 0 s22 0 s21 ⎟ ⎜a2 ⎟ x x s21 0 s22 −1 ⎠ ⎝a2x ⎠ y y y 0 s12 −1 s11 a1

und wir können die Gesamtmatrix in vier Untermatrizen aufteilen. Mit  x  x  x  x 0 0 0 −1 s s s s S2 = 12 y S3 = 21 y S4 = 22 y S1 = 11 y 0 s22 0 s21 0 s12 −1 s11 (bei reziproken Zweitoren ist S3 = S2 ) und  x  x  x a a b b = 1y a = 1y c = 2y b2 a2 a1 schreiben wir

0 = S3 a + S4 c → c = −S−1 4 S3 a

(5.8)

(5.9)

(5.10)

(5.11)

und damit erhalten wir die Gesamtmatrix b = (S1 − S2 S−1 4 S3 )a = S g a

(5.12)

Die Invertierung der Untermatrix S4 lösen wir direkt, so dass als Endergebnis folgende Matrizengleichung entsteht  x  y  x  x s s11 1 s21 0 0 0 s x y /(1 − s22 s11 ) (5.13) Sg = 11 y + 12 y y x 0 s22 0 s21 1 s22 0 s12 Die Gl. (5.1) und (5.13) führen zu gleichen Ergebnissen.

5.1.1

Periodische Strukturen

In der Abb. 5.3 sind zwei periodische Strukturen dargestellt. Ähnlich dem Bild in 5.3a werden auch bei anderen Wellenleitern durch periodisches Anordnen von Störungen der homogenen Leitung gezielt frequenzabhängige Änderungen der Übertragung erzeugt. Die TiefpassStruktur in der Abb. 5.3b ist ein Beispiel für eine periodische Anordnung mit konzentrierten Bauelementen. Kennzeichen aller periodischen Strukturen ist , die geometrische Länge bzw. der Aufbau eine Periode. Immer N P – Perioden bilden den Gesamtaufbau. Periodische

5.1

Kettenschaltung von Zweitoren

169

a)

b) Abb.5.3 Periodische Strukturen,  ≡ geometrische Länge der Periode. a) kapazitiv belastete Koaxialleitung. b) Tiefpass-Kette

Strukturen dienen dem Ausgleich von Laufzeiten bzw. als Filter, z. B. das Bragg-Gitter im optischen Wellenleiter. Beim Aufbau mit konzentrierten Bauelementen sind auch die Namen Kettenleiter bzw. Lattice Network gebräuchlich. Wegen dieser Namen und Struktur ist die Berechnung der Gesamt-Streumatrix Sg aus den Einzelmatrizen der Perioden durch wiederholte Anwendung der Gl. (5.1) in einem Rechenprogramm leicht möglich. Die Periode wird so gewählt, dass ein reflexionssymmetrisches Zweitor entsteht und wegen der Reziprozität enthalten die Einzel- und Gesamtmatrix nur ρ, τ bzw. ρg , τg . Am Beispiel des T-Gliedes nach Abb. 5.3b mit idealen Bauelementen(keine Parasitäten und Verluste, Impedanz L und Admittanz C nur Nullstelle bei ω = 0 und Pol bei ω → ∞) wollen wir eine andere Methode der Berechnung von Sg vorstellen. Alle in Kette geschalteten gleichen Perioden sind untereinander bezüglich ihrer Wellenimpedanz Z W angepasst. Die Gesamtstruktur hat auch den Wert dieser Wellenimpedanz und kann als homogene Leitung aufgefasst werden. Bei periodischen Strukturen wird diese Impedanz Bloch2 -Impedanz genannt. Am Anfang und Ende gibt es den Reflexionsfaktor W (Gl. (3.179)) bezüglich der ungestörten Leitung mit dem Wellenwiderstand R0 . Als Entwurfskriterien für die Tiefpass-Kette mit f c = 1 GHz und Z W = 50  ( f → 0 Hz) dienen die Gleichungen [20]

  2 1 L ω 1− und ωc = √ (5.14) ZW = C ωc LC Damit sind die Werte von L und C eindeutig festgelegt. Die Bloch-Impedanz Z W ist nur unterhalb der Grenzfrequenz rein reell und oberhalb rein imaginär. Im Durchlassbereich 2 Felix Bloch, 1905–1983, Schweizer Physiker, Nobelpreisträger 1952.

170

5 Torverbindungen

f < f c und Z W rein reell kann Wirkleistung übertragen werden. Für f > f c und Z W rein imaginär wird diese Übertragung gedämpft bzw. die Wirkleistung reflektiert. Das zeigt sich auch beim Wellenübertragungsmaß (für das T-Glied mit konzentrierten Bauelementen wird aus γ = α + jβ)  ω (5.15) f < f c : α = 0 β = 2 arcsin ωc 

und f > fc :

α = arcosh

ω ωc

β=π

(5.16)

Für die Anwendung der Tiefpass-Kette ist die Gruppenlaufzeit τg im Übertragungsbereich von Bedeutung. Mit der Gl. (5.12) erhalten wir τg =

dβ = dω



2 

ωc 1 −

1 2 ≈ π f c (ω/ωc < 0,1) ω ωc

(5.17)

Zur Angabe der Elemente der Streumatrix S einer Periode benutzen wir die Abkürzungen z s = jωL/50 

und

y p = jω2C · 50 

(5.18)

und damit (Berechnung mit Spannungs- und Stromverteilung nach Abschn. 3.1) y p (z s2 − 1) + 2z s y p (z s + 1)2 + 2(z s + 1) 2 = τT = 2 y p (z s + 1) + 2(z s + 1)

s11 = s22 = ρT = s21 = s12

(5.19)

Die Anwendung der Gl. (3.178) und (3.182) ergibt mit den Elementen ρT , τT die Wellenimpedanz Z W , die bei symmetrischen Anordnungen der Bloch-Impedanz Z B I entspricht und das Wellenübertragungsmaß in der Form e−γ = e−(α+ jβ) . Im vorliegenden Fall können wir die Werte per Hand direkt zurück rechnen (Gl. (5.11)–(5.13)). Bezogen auf R0 hat das T-Glied mit der Bloch-Impedanz Z B I den Reflexionsfaktor B I entsprechend der Gl. (3.179). Wir wenden jetzt die Streumatrix der fehlangepassten Leitung nach der Gl. (3.39) an und können für die Einzelperiode schreiben ρT ,L =

B I (1 − e−2γ ) 1 − 2B I e−2γ

und

τT ,L =

e−γ (1 − 2B I ) 1 − 2B I e−2γ

(5.20)

Damit erhalten wir eine andere Darstellung der Gl. (5.15) und (5.16), denn es müssen sein ρT ,L = ρT und τT ,L = τT , wenn wir die entsprechenden Umrechnungen einsetzen. Die Zweitorkette soll aus N P Einzelperioden bestehen. Wie verlängern damit scheinbar die Länge der virtuellen Leitung, die den Einzeltiefpass modelliert. Aus diesem Grund müssen wir in den Gl. (5.20) die Funktionen e−γ mit N P potenzieren. Am Anfang und am

5.1

Kettenschaltung von Zweitoren

171

Ende der virtuellen Leitung ändert sich bezüglich des Reflexionsfaktors B I nichts. Für eine Kette mit N P Einzelperioden folgt damit ρT ,L K = τT ,L K =

B I (1 − (e−2γ ) N P ) B I (1 − e−2N P γ ) = 2 −2γ

N 1 − B I (e ) P 1 − 2B I e−2N P γ

(e−γ ) N P (1 − 2B I ) 1 − 2B I (e−2γ ) N P

=

e−N P γ (1 − 2B I )

(5.21)

1 − 2B I e−2N P γ

Diese Beziehungen finden wir schon bei W. Nowak in [16] und D. Eggert [8] zur Berechnung von Faser-Bragg-Gittern, aber ohne Darstellung der Einzelperiode als fehlangepasste Leitung. Wenn wir die Gl. (5.21) zur Berechnung der Eigenschaften der Kette bzw. eines gleichmäßigen Bragg-Gitters einsetzen, vermeiden wir die wiederholte Anwendung der „Streumatrix-Kettenregel“ nach der Gl. (5.1). Dadurch verkürzen wir deutlich die Rechenzeit (wichtig bei Optimierungen). Eine andere Möglichkeit bietet die Gl. (4.95) über die Berechnung der gesamten WellenKettenmatrix T T ,L K mit der Wellen-Kettenmatrix T L,K der Einzelperiode. Davor müssen wir ST ,L → T T ,L und danach T T ,L K → ST ,L K gemäß Gl. (2.31) und (2.32) umrechnen. In den Gl. (4.93) und (4.95) wird gleichfalls deutlich, dass sich bei der Verlängerung der Kette nur die Eigenwerte aber nicht die Eigenvektoren ändern. Die Abb. 5.4 zeigt das Ergebnis der Rechnungen. Das Leitungsmodell und die direkte Berechnung mit der Streumatrix des Einzeltiefpasses führen zu gleichen Abhängigkeiten von der Frequenz und der Anzahl der N P Elemente der Kette. Der Hintergrund für die Berechnung dieser Kettenschaltung ist ihre Anwendung als Verzögerungsleitung. Das kennzeichnendes Maß dafür ist die Gruppenlaufzeit tG , Abb. 5.5. Bis ca 0,3–0,4 f c ist die Gruppenlaufzeit tG konstant und gleich dem Wert nach der Näherung in der Gl. (5.14). Ihr Wert ist außerdem linear von der Anzahl N P der Kettenglieder abhängig. Die Gl. (5.14) entspricht eigentlich dem Wellenübertragungsmaß. Da der Reflexionsfaktor ρT der Kettenschaltung bis ca. 0,3–0,4 f c unterhalb von 20 dB liegt, sind Wellen- und Betriebsübertragungsmaß entsprechend der Gl. (3.182) näherungsweise gleich. Allgemein besteht aber bei periodischen Strukturen immer das Problem der Anpassung [6], [17]. Die Kettenschaltung nach der Abb. 5.3b mit idealen konzentrierten Bauelementen hat nur einen bzw. den Durchlass- und nur einen bzw. den Sperrbereich. In der Abb. 5.6 ist eine periodische koaxiale Leitung mit alternierenden Luftabschnitten und dielektrischen Scheiben √ dargestellt. Die Periode hat den Aufbau λm,0 /8-Luftleitung (RW = 50 )-λm,0 /(4 r ) dielektrische Scheibe-λ0 /8-Luftleitung (RW = 50 ). λm.0 ist Freiraumwellenlänge bei der Mittenfrequenz f m = 1 GHz. Gegenüber der Luftleitung hat der Leitungsabschnitt der √ dielektrischen Scheibe den Wellenwiderstand RW = 50/ r . In der gesamten Struktur ist die Leitergeometrie konstant, sodass keine höheren Moden angeregt werden. Wir rechnen mit einer idealen Koaxialleitung ohne Verluste. Die Eigenschaften der dielektrischen Scheibe mit √ √ f 1 − r − jπ r 2 f m DS = und e−γ = e (5.22) √ 1 + r

172

5 Torverbindungen

10

-1

2

-2

1

-3

0

-4

-1

-5

-2

-6

0

-20

-20

-30

arg( T)

-10

| T|2/dB

-10

| T|2/dB

0

3

arg( T)

0

-30

-40

-50 10-3

4 10

-40

10

-2

10

-1

10

0

-3 -4 -3 10

-50 101

-7

10

-2

10

-1

Frequenz/GHz

Frequenz/GHz

a)

b)

10

10

0

4

10

0

3 0

-8 1 10

-5

0

2

-20

-30

-15

0 -1

arg( T)

-20

1

arg( T)

-10

| T|2/dB

| T|2/dB

-10 -10

-20

-30

-2 -40

-40

-25

-3 -30

-50 10-3

10-2

10-1

100

-50 101

-4 10-3

10-2

10-1

100

101

Frequenz/GHz

Frequenz/GHz

c)

d)

Abb. 5.4 Tiefpass-Kette mit Z W = 50 , f c = 1 GHz magenta, rot: Matrix-Verkettung, schwarz: Gl. (5.21). a) |ρT |2 , |τT |2 Einzeltiefpass. b) arg(ρT ), arg(τT ) Einzeltiefpass. c) |ρT |2 , |τT |2 Kette N P = 10. d) arg(ρT ), arg(τT ) Kette N P = 10

Frequenz/GHz=0.1 t /ns=3.1991 g

100

tg Einzelperiode, Leitungsmodell

tg/ns

tg Potenzgleichung tg Matrixverkettung

Frequenz/GHz=0.1 t /ns=0.31993 g

10-1 10-3

10-2

10-1

100

101

Frequenz/GHz

Abb. 5.5 Gruppenlaufzeit des Einzeltiefpasses und einer Kette aus N P = 10 Tiefpässen, Farbkennzeichnung wie bei Abb. 5.4

beschrieben. Für die Kettenschaltung Luftleitung-dielektrische Scheibe-Luftleitung gilt die Gl. 5.2, da die λm,0 /8-Abschnitte den Normierungswellenwiderstand RW = 50  haben.

5.1

Kettenschaltung von Zweitoren

173

1

2

2'

1'

Abb. 5.6 Periodische koaxiale Struktur mit dielektrischen Scheiben

Folglich gilt für die Elemente der Streumatrix S der Periode  der Struktur nach Abb. 5.6 zwischen den Anschluss-Ebenen 1-2  √ πf − j r f m 1 − e DS πf −j ρ P = e 2 fm √ πf − j r f m 1 − 2DS e (5.23) √ πf

− j r 2 f m πf e 1 − 2DS −j τ P = e 2 fm √ πf − j r f m 1 − 2DS e Die Faktoren exp(− jπ f /(2 f m )) kennzeichnen die Verschiebung der Bezugsebenen von 1’-2’ nach 1-2. Der zweite Teil der Gl. 5.23 entspricht der Beschreibung der fehlangepassten Leitung nach der Gl. (3.39). Mit diesen Elementen können wir Z W , e−γ der Periode (Gl. (3.178), (3.182)) und danach ρC sowie τC der Gesamtstruktur berechnen (Gl. (5.21)). In der Abb. 5.7 sind die Ergebnisse der Rechnung dargestellt. Die periodische koaxiale Struktur hat alternierende Durchlass- und Sperrbereiche. Immer, wenn die Dicke der dielektrische Scheibe ganzzahlige Vielfache von λ/2 ist, wird die Struktur „durchsichtig“. Ungeradzahlige Vielfache von λ/4 erzeugen Dämpfungsmaxima. Wie bei der Tiefpassstruktur ist die Bloch-Impedanz im Durchlassbereich rein reell und im Sperrbereich rein imaginär

0

0

150

Frequenz/GHz=1 | 2 /dB=-0.17789

-4

-4

-6

-6

-8

-8

-10

-10

-12

-12

100

B

500

W

-14

Frequenz/GHz=1 |

Frequenz/GHz=4 Re(Z )/ =39.7635

50

Im(ZW)/

C

-16

1000 Frequenz/GHz=2 Re(ZW )/ =62.8717

Re(ZW)/

|

-14

1500

-2

|2/dB

B

|

|

C

|2/dB

-2

0

| 2 /dB=-13.9649

0

-16

-18

-18

-20

-20 1

2

3

4

5

6

7

8

-50

-500 1

2

3

4

Frequenz/GHz

Frequenz/GHz

a)

b)

5

6

7

8

Abb. 5.7 Periodische koaxiale Struktur mit dielektrischen Scheiben f m = 1 GHz Scheibe: r = 2,5 √ Dicke d = λm,0 /(4 r ) Luftabschnitt: r = 1 Länge = λm,0 /4 magenta, rot Matrix-Verkettung, schwarz Gl. (5.21). a) |ρC |2 , |τC |2 . b) Blochwellen-Impedanz Z B I

174

5 Torverbindungen

(Abb. 5.7b). Außerdem erkennen wir, dass in der Mitte der Durchlassbereiche der Wert von Re(Z W ) davon abhängt, ob die Dicke der dielektrischen Scheibe ungeradzahlige Vielfache von λ/2 oder ganzzahlige Vielfache ist. Ordnen wir mit der Gl. (3.182) und den Elementen der Streumatrix S der Periode  die Wellenzahl k zu, dann gibt uns die Darstellung der Funktion β0 =

ω  = (k) c0

(5.24)

einen weiteren Einblick in das Übertragungsverhalten der periodischen Struktur. Diesen Zusammenhang zeigt die Abb. 5.8. Deutlich sind die Durchlass- und Sperrbereiche zu erkennen. Im Durchlassbereich ändert sich β0  linear mit k von −π bis +π , während sich die Sperrbereiche durch vielfache Änderung zwischen den beiden Werten ausweisen. Die Struktur in der Abb. 5.6 entspricht dem monomodigen Betrieb von Faser BraggGittern. Deren Kennzeichen sind ein geringer Brechzahlunterschied n ≈ 10−4 zwischen den einzelnen Bereichen und eine große Anzahl der Perioden N P ≈ 103 − 104 . Die Anwendung der Gl. (5.21) belohnt uns mit geringen Rechenzeiten bei maximaler numerischer Stabilität. Eine Variation der periodischen Anordnung wird in der Abb. 5.9 dargestellt. Die reflexionssysmmetrische Anordnung der Abb. 5.9 a) wird in b) derart abgeändert, dass die periodischen Störungen alternierend am Innen- und Aussenleiter erfolgen und sich teilweise um eine Länge  überschneiden [5]. Die Störungen werden scheinbar an der Gleitebene gespiegelt. Der Begriff Gleitebene oder Gleitsymmetrie findet sich auch in der kristallographischen Systematisierung.

0

20

15

10

5

-3

-2

-1

0

1

2

3

k

Abb. 5.8 k-β – Diagramm der periodischen Struktur der Abb. 5.6 mit der Periodenlänge  = 0,12 m

5.1

Kettenschaltung von Zweitoren

1

175

1

2

2 Gleitebene

a)

b)

Abb. 5.9 Periodische koaxiale Struktur mit Metallscheiben. a) normale Anordnung, Ringe nur am Innenleiter. b) alternierende Anordnung, Ringe am Innen- und Aussenleiter gleitende Periodizität [5]

Jetzt ist die Periode  P,g reflexionsunsymmetrisch, und die auf R0 normierte (z. B. 50 ) Streumatrix S einer Periode  P,g der Kette sei 

s s S = 11 12 s21 s22

(5.25)

Diese Matrix berechnen wir zweckmäßig mit einer Orthogonalreihenanpassung (Rotationssymmetrie) [12] oder mit einem Feldprogramm (HFSS® ). Wegen der Unsymmetrie der Reflexionen unterscheiden wir eine Vorwärts- (1–2) und eine Rückwärtsübertragung (2–1). Nach W. Nowak [16] gilt für eine unendliche Kette die Gl. (3.180), wenn wir eine in der Kette eingebettete Periode betrachten. Diese Gleichung müssen wir für die beiden Richtungen getrennt aufschreiben (s. a. Gl. (3.87)) V =

b1 s11 − S V = a1 1 − s22 V

und

R =

b2 s22 − S R = a2 1 − s11 R

(5.26)

mit den Lösungen für die Reflexionsfaktoren und Bloch-Impedanzen in der jeweiligen Richtung  1 + S ± (1 + S)2 − 4s11 s22 1 + V V = und Z B I ,V = 2s22 1 − V (5.27)  1 + S ± (1 + S)2 − 4s11 s22 1 + R R = und Z B I ,R = 2s11 1 − R Die Vorzeichen vor der Wurzel sind so zu wählen, dass (Z B I ,V ) ≥ 0 und (Z B I ,R ) ≥ 0. Bei R. E. Collin [6] ist Z B I ,R|Collin = −Z B I ,R , da für die Definition in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung die gleiche Stromrichtung benutzt wird. In der numerischen Auswertung müssen wir dem Zustand s11,22 → 0 besondere Aufmerksamkeit schenken. Für die Übertragungsfaktoren gilt τV =

b2 s21 = a1 1 − s22 V

und

τR =

b1 s12 = a2 1 − s11 R

(5.28)

176

5 Torverbindungen

Der Nenner in den Gl. (5.26) und (5.28) widerspiegelt die Reflexionsschleife am jeweiligen Ausgang. Nach [16] gilt damit für die Elemente der Streumatrix S einer endlichen Kette mit N P Perioden in Analogie zur Gl. (5.21) NP = s11 N s21p

V (1 − (τV τ R ) N P ) 1 − V R (τV τ R ) N P

NP s12 =

τVN P (1 − V R ) = 1 − V R (τV τ R ) N P

NP s22

τ RN P (1 − V R ) 1 − V R (τV τ R ) N P

(5.29)

R (1 − (τV τ R ) N P ) = 1 − V R (τV τ R ) N P

mit den Grenzwerten (τV τ R ) N P >> 1: NP s11 → −1 R ;

und (τV τ R ) N P → 1:

NP s22 → V−1 ;

NP NP s11 = s22 → 0;

NP NP s12 = s21 →0

NP NP s12 = s21 →1

0

200

-10

150

-20

100 N (arg(s N P ),arg(s P ))/ 11 22

2 N 2 (|s N P | ,|s P | )/dB 22 11

Bei reziproken und reflexionssymmetrischen Perioden vereinfachen sich die Gl. (5.29) auf die von (5.21). In der Abb. 5.10 sind die Elemente der Streumatrix S einer Kette mit fünf Perioden der Struktur nach der Abb. 5.9b dargestellt.

-30 -40 -50 -60

50 0 -50 -100

s11 , Matrixverkettung s11 , Potenzgleichung

-70

-150

Matrix-Verkettung Potenzgleichung

0

5

10

15

20

25

s22 , Matrixverkettung s22 , Potenzgleichung

-80

-200

30

0

5

10

Frequenz/GHz

15

20

25

30

Frequenz/GHz

a)

b)

0

0 Matrix-Verkettung Potenzgleichung

-200

-5

-400 -600 N (arg(s N P ),arg(s P ))/ 12 21

2 N 2 (|sN P | ,|s P | )/dB 21 12

-10

-15

-20 Matrix-Verkettung Potenzgleichung

-25

-800 -1000 -1200 -1400 -1600

-30 -1800

-35 0

5

10

15

Frequenz/GHz

c)

20

25

30

-2000 0

5

10

15

20

25

30

Frequenz/GHz

d)

Abb. 5.10 Kettenschaltung von fünf Perioden der Abb. 5.9 b und deren Elemente der Streumatrix S(5) , (Geometrie [5], Abb. 4 a)

5.1

Kettenschaltung von Zweitoren 200

50

Re(ZBI,V)

180

40

Re(ZBI,R)

30

(Im(ZBIv), Im(ZBIr))/

160

(Re(ZBIv), Re(Z BIr))/

177

140 120 100 80 60 40 20 0

0

5

10

15

20

25

30

Frequenz/GHz

20 10 0 -10 -20 -30

Im(ZBI,V)

-40

Im(ZBI,R)

-50 0

5

10

15

20

25

30

Frequenz/GHz

Abb. 5.11 Kettenschaltung von fünf Perioden der Abb. 5.9b und deren Bloch-Impedanzen, Geometrie [5], (Abb. 4a)

Die einzelne Periode der koaxialen Leitung mit den Sprungstellen wurde mit der Orthogonalreihenanpassung [12] berechnet, die der Kettenschaltung mittels der beiden Methoden der Matrizenverkettung (Gl. 5.1) und der Potenzgleichung (5.29). Die Periode und damit die gesamte Kette sind reziprok und verlustlos. Deshalb gilt s12 = s21 , |s22 | = |s11 |, arg(s22 ) = arg(s11 ) und |s11 |2 + |s21 |2 = 1. Das Verhalten der Kette entspricht dem eines Tiefpasses. Die Leitungsstruktur und die periodische Anordnung führen zu alternierenden Durchlass- und Sperrbereichen. Das Verhalten der Bloch-Impedanzen in den jeweiligen Richtungen zeigt die Abb. 5.11. Wie bei der periodischen Struktur mit den dielektrischen Scheiben sind die Impedanzen in den Sperrbereichen rein imaginär. In den Durchlassbereichen gilt aber Z B I ,R = Z ∗B I ,V .

5.1.2

Kettenschaltung Mehrmoden

Die Abb. 5.12 gleicht der Abb. 5.1, aber jetzt bestehen die zu- und ablaufenden Wellen aus mehr als einer Wellenleitermode analog der Gl. (3.129) beim Sprung in der Parallelplattenleitung a = (a10 , a11 , · · · , a1M , a20 , a21 , · · · , a2N )T b = (b10 , b11 , · · · , b1M , b20 , b21 , · · · , b2N )T

(5.30)

Damit sind die Elemente der Streumatrix S Blockmatrizen. Für die beiden Zweitore gilt (Abb. 5.12) y y y y y x x x x b1 = S11 a1 + S12 a2 b1x = S11 a1 + S12 a2 und (5.31) y y y y y x x x x b2x = S21 a1 + S22 a2 b2 = S21 a1 + S22 a2 Wie in der Gl. (5.3) ordnen wir die Zeilen mit den verbundenen Toren untereinander an, aber jetzt mit Untermatrizen

178

5 Torverbindungen

1x

2

x

2y

1y

Abb. 5.12 Verbindung zweier Zweitore(gleiche Querschnittgeometrie) im Mehrmodenbetrieb

⎛

⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x⎞ x O b1x S11 O S12 a1 y ⎟ ⎜ y⎟ ⎜by ⎟ ⎜ O S y O S 22 21 ⎟ ⎜ a 2 ⎟ ⎜ 2⎟ = ⎜ x ⎝ bx ⎠ ⎝ S x ⎠ ⎝a x ⎠ O S O 2 21 22 2 y y y y O S12 O S11 b1 a1 Die Bedingung an der Verbindung der beiden Tore lautet  x  x  x  O E a2 a2 b2 y y = = V b2x = a1 und b1 = a2x oder y y y E O b1 a1 a1

(5.32)

(5.33)

mit der zusätzlichen Forderung, dass die Anzahl der Moden N bei a2x , b2x gleich denen von y y y y a1 , b1 ist. Die Modenanzahl von a1x , b1x und a2 , b2 darf unterschiedlich sein. Die Anzahl der Moden bestimmt die Größe der Blockmatrizen. Damit und den modifizierten Gl. (5.8)–(5.12) können wir das Ergebnis sofort angeben  Sg =

 x  x −1  x x S12 O S22 −E S21 O O S11 − y y y y O S22 O S21 −E S11 O S12

(5.34)

Die entsprechende inverse Matrix S4 kann nicht so einfach wie in der Gl. (5.13) aufgelöst werden. Mit Hilfe von [4] finden wir folgende Darstellung    x −1 y x −1 y y x −1 (E − S11 S22 ) S11 (E − S11 S22 ) S22 −E =− (5.35) y x y −1 x y −1 x −E S11 (E − S22 S11 ) (E − S22 S11 ) S22 und die Multiplikation der Matrizen gemäß Gl. (5.34) ergibt x x x + S12 N −1 Sg,11 = S11 1 S11 S21 y

x Sg,12 = S12 N −1 1 S12 y

(5.36)

x Sg,21 = S21 N −1 2 S21 y

x Sg,22 = S22 + S21 N −1 2 S22 S12 y

y

y

Die Gl. (5.1) ist davon die monomodige Form, bei der die Reihenfolge der Multiplikatoren beliebig ist, die Matrizenmultiplikation ist dagegen nicht kommutativ. Die Abkürzungen sind y x x y N 1 = E − S11 S22 und N 2 = E − S22 S11 (5.37)

5.2 Verschaltung von Mehrtoren

179

Entsprechend der Abb. 5.2 wollen wir die Verbindung eines Zweitors im mehrmodigen Fall mit homogenen, angepassten Leitungen berechnen. Die Streumatrix S der angepassten Leitung mit N Moden und der Länge L 2 hat die Gestalt  D N (e−γn L 2 ) ON ≡ Sy (5.38) SL = D N (e−γn L 2 ) ON Diese Matrix sei S y (nachgeschaltete Leitung). Wegen der Nullmatrizen O M in der Hauptdiagonale werden N 1 = N 2 = E, und wir erhalten x Sx L 2 ,11 = S11 x Sx L 2 ,12 = S12 D N (e−γn L 2 ) x Sx L 2 ,21 = D N (e−γn L 2 )S21

(5.39)

x Sx L 2 ,22 = D N (e−γn L 2 )S22 D N (e−γn L 2 )

Vor diese Kombination schalten wir die angepasste Leitung L 1 mit M Moden. Sx L 2 betrachten wir jetzt als S y , und wir erhalten in gleiche Weise x S L 1 y L 2 ,11 = D M (e−γm L 1 )S11 D M (e−γm L 1 ) x S L 1 y L 2 ,12 = D M (e−γm L 1 )S12 D N (e−γn L 2 ) x S L 1 y L 2 ,21 = D N (e−γn L 2 )S21 D M (e−γm L 1 )

(5.40)

x S L 1 y L 2 ,22 = D N (e−γn L 2 )S22 D N (e−γn L 2 )

Diese Gleichung ist die Mehrmodenform der Gl. (5.4). Alle Rechnungen gelten für die Modenzuordnung der Wellen a und b nach der Gl. (5.30) [10].

5.2

Verschaltung von Mehrtoren

Für die Kettenschaltung der Zweitore ist die Verbindungsstelle direkt vorgegeben. Beim Verschalten von zwei oder mehreren Mehrtoren haben wir zumindest zwei Möglichkeiten. Wir können alle Tore, die miteinander verbunden werden sollen, verbinden. Das entspricht der Methode von R. H. Dicke [7] bzw. von T. Abele [1], V. A. Monaco und P. Tiberio [15]. Die Folge wären viele Nullen in den einzelnen Matrizen. Oder wir verbinden jeweils ein Tor des Mehrtors Sx (6 Tore) mit einem Tor des Mehrtors S y (4 Tore) , wie das in der Abb. 5.13 dargestellt ist G. Filippsson [9], S. Jahn u. a. [10], S. Martius [14]. Dadurch entsteht das erweiterte Mehrtor mit 6+4−2 Toren. Dieses Mehrtor verbinden wir erneut nur an einem Tor mit dem nächsten Mehrtor und arbeiten so alle vorgegebenen Verbindungen ab. Alle Mehrtore werden auf R0 normiert. Analog zur Kettenschaltung in der Gl. (5.6) ordnen wir die Gesamtmatrix nach unverbundenen und verbundenen Toren an. Die wechselseitige Abhängigkeit der Wellen an der

180

5 Torverbindungen

Abb. 5.13 Verschaltung zweier Mehrtore an jeweils einem Tor, Zahlen in Klammern Zählung der Tore der gesamten Matrix Sg

Verbindungsstelle y

b4x = a3

setzen wir sofort ein (−1 in der Matrix) ⎛ ⎞ ⎛ x x x x x s11 s12 s13 s15 s16 b1x ⎜b x ⎟ ⎜ s x s x s x s x s x ⎜ 2 ⎟ ⎜ 21 22 23 25 26 ⎜ x⎟ ⎜ x x x x x s33 s35 s36 ⎜b3 ⎟ ⎜ s31 s32 ⎜ x⎟ ⎜ x x x x x ⎜b5 ⎟ ⎜ s51 s52 s53 s55 s56 ⎜ x⎟ ⎜ x x x x x ⎜b ⎟ ⎜ s ⎜ 6y ⎟ = ⎜ 61 s62 s63 s65 s66 ⎜b ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎜ 1⎟ ⎜ ⎜b y ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎜ 2⎟ ⎜ ⎜ y⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎜b4 ⎟ ⎜ 0 ⎜ ⎟ ⎜ x x x x x ⎝ 0 ⎠ ⎝ s41 s42 s43 s45 s46 0 0 0 0 0 0

y

und b3 = a4x

0 0 0 0 0 y s11 y s21 y s41 0 y s31

0 0 0 0 0 y s12 y s22 y s42 0 y s32

0 0 0 0 0 y s14 y s24 y s44 0 y s34

(5.41)

x s14 x s24 x s34 x s54 x s64 0 0 0 x s44 −1

0 0 0 0 0 y s13 y s23 y s43 −1 y s33

⎞⎛ ⎞ a1x ⎟ ⎜a x ⎟ ⎟⎜ 2⎟ ⎟ ⎜ x⎟ ⎟ ⎜a3 ⎟ ⎟ ⎜ x⎟ ⎟ ⎜a5 ⎟ ⎟ ⎜ x⎟ ⎟ ⎜a ⎟ ⎟ ⎜ 6y ⎟ ⎟ ⎜a ⎟ ⎟⎜ 1⎟ ⎟ ⎜a y ⎟ ⎟⎜ 2⎟ ⎟ ⎜ y⎟ ⎟ ⎜a4 ⎟ ⎟ ⎜ x⎟ ⎠ ⎝a4 ⎠ y a3

(5.42)

Wie bei der Gl. (5.8) können wir den gesamten Zusammenhang mit vier Untermatrizen beschreiben. Der Matrix Sx ordnen wir M-Tore und der von S y L-Tore zu. Das Tor P x soll mit dem Tor P y verbunden werden. Damit und dem Aufbau der Untermatrizen in der Gl. (5.42) können wir für die einzelnen Untermatrizen allgemein schreiben (mit der Gl. (5.42) vergleichen) ⎛  ⎞ si,x j(M−1,M−1) O (M−1,N −1) ⎟ ⎜ ⎜ i, j = P x ⎟  y ⎟ S1 = ⎜ (5.43) ⎜ si, j(N −1,N −1) ⎟ ⎝ ⎠ O (N −1,M−1) i, j = P y

5.2 Verschaltung von Mehrtoren

181

⎛

si,x j ⎜ ⎜ i = P x , j = P x S2 = ⎜ ⎜ ⎝ O (N −1,1) ⎛

si,x j ⎜ x ⎜ i = P , j = P x S3 = ⎜ ⎜ ⎝ O (1,M−1)



⎞ 

O (M−1,1) y

si, j y i = P , j = P y





O (1,N −1) y

si, j i = P y , j = P y

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(5.44)

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(5.45)

Im Fall reziproker Mehrtore gilt hier S3 = S2T Von der Teilmatrix S4 können wir sofort −S−1 4 angeben   y 1 s P y ,P y 1 s Px x ,P x = i S = − S−1 4 y 4 1 − s Px x ,P x s P y ,P y

(5.46)

(5.47)

Analog den Gl. (5.12) und (5.13) ist damit die neue bzw. gesamte Streumatrix Sg der beiden verbundenen Mehrtore S g = S1 + S2 i S4 S3 (5.48) Die Beschränkung auf Mehrtore mit geringer Toranzahl bei der Verschaltung reduziert die Anzahl der Nullen in den Matrizen der Gl. (5.43)–(5.45). Für die Analyse einer Gesamtschaltung ist neben der Verbindung zweier Mehrtore an jeweils einem Tor die Verbindung von Toren an einem Mehrtor notwendig. Auch hier beschränken wir uns vorerst auf die Verbindung zweier Tore am gleichen Mehrtor wie das die Abb. 5.14 bei einem 6-Tor zeigt. Die nach unverbundenen und verbundenen Toren sortierte Streumatrix hat die Struktur nach der Gl. (5.49). Die Abhängigkeiten der zu- und ablaufenden Wellen an der Verbindungsstelle sind in dieser Gleichung enthalten.

Abb. 5.14 Verbindung zweier Tore an einem Mehrtore

182

5 Torverbindungen

⎛ ⎞ ⎛ b1 ⎜b ⎟ ⎜ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ b3 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟=⎜ ⎜ b4 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝0⎠ ⎝ 0

s12 s22 s32 s42 s52 s62

s11 s21 s31 s41 s51 s61

s13 s23 s33 s13 s53 s63

s14 s15 s16 s24 s25 s26 s34 s35 s36 s14 s15 s16 s54 s55 s56 − 1 s64 s65 − 1 s66

⎞⎛ ⎞ a1 ⎟ ⎜a ⎟ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜a3 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜a4 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎠ ⎝a5 ⎠ a6

(5.49)

In Anlehnung an die bereits vorgestellten Verbindungsalgorithmen und durch Betrachten der Gl. (5.49) ergeben sich folgende allgemeine Beziehungen für ein M-Tor, bei dem die Tore P x und P y verbunden werden sollen.  s (5.50) S1 = i, j(M−2,M−2) i, j = P x , P y si, j(M−2,2) i = P x , P y , j = P x , P y  si, j(2,M−2) S3 = i = P x , P y , j = P x , P y 

S2 =

(5.51) (5.52)

oder bei reziproken Mehrtoren S3 = S2T  − S−1 4 = i S4 =

s P y ,P y 1 − s P x ,P y 1 − s P y ,P x s P x ,P x



(s P x ,P y − 1)(s P y ,P x − 1) − s P x ,P x s P y ,P y

(5.53)

Für die Berechnung der gesamten Matrix Sg setzen wir die oben genannten Matrizen in die Gl. (5.48) ein. Im Anhang werden für die Verschaltung von Mehrtoren und die Verbindung zweier Tore am Mehrtor mögliche MATLAB® -Programmierungen angegeben. Es sind wenige Programmzeilen und die Anweisungen verdeutlichen nochmals die in den Gl. (5.43)–(5.48) und (5.50)–(5.53) aufgeführten Zusammenhänge. Bei der Matrizeninversion in den Gl. (5.1), (5.13), (5.36) und (5.47) entstehen Quotienten. Sollte der Nenner → 0 streben, bekommen wir numerische Probleme. Es ist aber kaum denkbar, dass in einer physikalisch sinnvollen Kettenschaltung passiver Zweitore, Verschaltung von bzw. Verbindung an passiven Mehrtoren das Produkt aus zwei sich gegenüberliegenden Reflexionsfaktoren gleich eins wird. Beim Verschalten von aktiven Mehrtoren ist dieser Fall sogar mit dem Wert des Nenners = 0 möglich. Das wäre die Erfüllung der Schwingbedingung. Damit würde der Bereich der linearen Berechnung verlassen. Die Anwendung der Matrizenrechnung ist darüber hinaus nicht erlaubt. Die vorgestellten Zusammenhänge der Verschaltung von Mehrtoren gelten nur für eine Mode. Eine entsprechende Erweiterung auf N , M -Moden analog der Beschreibung des Sprunges in der Plattenleitung finden wir z. B. in U. Banhardt u. a. [3] und F. Arndt u. a. [2]. In [3] wird das auf mehrere Moden erweiterte Knotenpotenzialverfahren [19] für die Verschaltung der Mehrtore verwendet. Damit sind topologische Aufgaben numerisch leich-

5.3

Rückrechnung

183

ter lösbar als mit der Wellendarstellung. Um eventuelle Polstellen in der Admittanzmatrix zu unterdrücken, müssen geeignete Begrenzungen vorgegeben bzw. kleine Dämpfungswerte eingebaut werden.

5.3

Rückrechnung

In der Schaltungs- und Messtechnik tritt häufig das Problem auf, dass wir, wie in der Abb. 5.15 dargestellt, ix angeben bzw. messen können, aber eigentlich den Wert des Reflexiy onsfaktors i wissen wollen. Dieser Reflexionsfaktor wird durch das vorgeschaltete Zweitor in den Wert von ix transformiert. Sind die Elemente der Streumatrix Sx bekannt, können wir beide Reflexionsfaktoren ineinander umrechnen. Wir benutzen die Gl. (3.104) mit der Notation der Abb. 5.15 y

ix =

x − S x s11 i

(5.54)

y

x 1 − s22 i

y

Diese Beziehung stellen wir nach dem gesuchten Reflexionsfaktor i um y

i =

x − x s11 i x x Sx − s22 i

(5.55)

Beide Gleichungen zeigen, dass für die eineindeutige Zuordnung der beiden Reflexionsfaky toren ix ↔ i von der Streumatrix Sx die Elemente s11 , s22 und nur das Produkt s12 s21 bekannt sein müssen. Damit ist eine Rückrechnung immer möglich. Die ähnliche Aufgabe besteht bei der Anordnung in der Abb. 5.16. Hier werden die Werte der Elemente der Streumatrix S y gesucht, aber wir kennen nur die der Gesamtanordnung bestehend aus Sx und S y . In der Gl. (5.56) werden die Tore entsprechend ihrer Verbindung untereinander geschrieben einschließlich der Wellenzuordnung an den verbundenen Toren

Abb. 5.15 Zweitor vor einem Eintor

184

5 Torverbindungen

1x

3x

1y

x

4x

2

2

y

Abb. 5.16 Viertor vor einem Zweitor

⎛ x⎞ ⎛ b1 ⎜b x ⎟ ⎜ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜0⎟ ⎜ ⎜ ⎟=⎜ ⎜0⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝0⎠ ⎝ 0

x s11 x s21 x s31 x s41 0 0

x s12 x s22 x s32 x s42 0 0

x s13 x s23 x s33 x s43 −1 0

⎞ ⎛ x⎞ x a1 s14 0 0 ⎜ ⎟ x s24 0 0 ⎟ ⎜a2x ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟ x s34 −1 0 ⎟ ⎜a3x ⎟ ⎟⎜ ⎟ x s44 0 −1 ⎟ ⎜a4x ⎟ y y ⎟ ⎜ y⎟ 0 s11 s12 ⎠ ⎝a1 ⎠ y y y −1 s21 s22 a2

(5.56)

oder mit den Blockmatrizen ⎛ ⎞ ⎛ S1 b ⎝ O ⎠ = ⎝ S3 O

⎞⎛ ⎞ a S2 O S4 −E ⎠ ⎝ c ⎠ d O −E S y

(5.57)

Daraus folgen die Gleichungen b = S1 a + S2 c O = S3 a + S4 c − d

(5.58)

O = −c + S d y

die wir untereinander einsetzen mit dem Ergebnis b = (S1 + S2 ((S y )−1 − S4 )−1 S3 )a

(5.59)

Die Gesamtmatrix Sg zwischen den Toren 1x , 2x ist damit Sg = S1 + S2 (E − S4 S y )−1 S y S3

(5.60)

Für die Rückrechnung auf die Matrix S y stellen wir die Gl. (5.60) um und erhalten S y = (S4 + S3 (Sg − S1 )−1 S2 )−1

(5.61)

Diese Rückrechnung ist nur bei bekanntem Sx bzw. S1,2,3,4 möglich. Das Viertor können wir den Gegebenheiten leicht anpassen, z. B., wenn dem Zweitor S y eine angepasste Leitung

5.4

Dreitor

185

der Länge L 1 vor- und eine angepasste Leitung der Länge L 2 nachgeschaltet wird. Dann entspricht die Anordnung dem Abb. 5.2 mit der Gl. (5.4) und es gilt S1 = S4 = O sowie  −γ L 1 0 e (5.62) S2 = S3 = 0 e−γ L 2 sowie den Umrechnungsgleichungen S g = S2 S y S2

und

g −1 S y = S−1 2 S S2

(5.63)

mit dem gleichen Ergebnis wie in der Gl. (5.4) .

5.4

Dreitor

Ein Transistor mit seinen drei Anschlüssen (Basis-Collector-Emitter oder Gate-DrainSource) ist ein quellenloses Dreitor, wie das die Abb. 5.17 zeigt. Dabei unterscheiden wir, ob die Anschlüsse erdbezogen (5.17a) oder erdfrei (5.17b) definiert werden. Beim erdbezogenen quellenlosen Dreitor nach der Abb. 5.17a muss gelten 3 

i i = 0 f¨ur u 1 = u 2 = u 3 und i i=1,2,3 = 0 f¨ur u 1 = u 2 = u 3 = u

(5.64)

i=1

wobei bei der zweiten Anregung gleichfalls die Summe aller Ströme i gleich null ist. Diese Zustände bedingen, dass die Spalten- und die Zeilensummen der zugehörenden DreitorAdmittanzmatrix y null sind. 3 

(3) yi, j| j=1,2,3

i=1

= 0 und

3 

(3)

yi, j|i=1,2,3 = 0

j=1

a) Abb. 5.17 Transistor als Dreitor. a) erdbezogen. b) erdfrei

b)

(5.65)

186

5 Torverbindungen

Die Determinante einer derartigen Matrix ist null  y(3) = 0, und damit gibt es für das erdbezogene Dreitor keine Impedanzmatrix z (3) . Die erste Bedingung der Gl. (5.64) fordert für die Streumatrix S D a1 − b1 = (1 − s11 )a1 −s12 a2 −s13 a3 a2 − b2 = −s21 a1 (1 − s22 )a2 −s23 a3 a3 − b3 = −s31 a1 −s32 a2 (1 − s33 )a3 0= 0a1 +0a2 +0a3

(5.66)

und die zweite mit a1 + b1 = a2 + b2 = a3 + b3 = a + b sowie a1 − b1 = a2 − b2 = a3 − b3 = 0 (5.67) ergibt 0 = (1 − s11 )a −s12 a −s13 a 0= −s21 a +(1 − s22 )a −s23 a 0= −s31 a −s32 a +(1 − s33 )a

(5.68)

Die beiden Gl. (5.66) und (5.68) liefern für das erdbezogene quellenlose Dreitor die Bedingungen für die Spalten- und Zeilensumme der Streumatrix S 3  i=1

(3)

si, j| j=1,2,3 = 1 und

3 

(3)

si, j|i=1,2,3 = 1

(5.69)

j=1

Die Gl. (5.65) für die Admittanzmatrix y(3) und die Gl. (5.69) für die Streumatrix S(3) bedeuten, dass in den Dreitor-Matrizen nur vier Elemente unabhängig sind. Die anderen ergeben sich durch Ergänzung zu null bzw. zu eins. Dieses Verfahren wird in der Literatur [11] Rändern der Matrix genannt. G. Boadway, Y. Satoda [18] haben vom Transistor direkt die Dreitor-S(3) -Parameter gemessen. Heute werden in den Katalogdaten aber immer nur die Zweitor-ST -Parameter, vorzugsweise in der Emitter-/Source-Schaltung, angegeben, ST : Tor 1 ≡ Basis, Gate, Tor 2 ≡ Kollektor, Drain. Mit diesen ST -Parametern und der Spezialisierung der Gleichungen in [13] können wir vier Parameter der Dreitor-S(3) -Matrix berechnen und die restlichen mittels rändern bestimmen. Bei der gewählten Zuordnung der Tore zu den Elektroden des Transistors 1 ≡ Basis, Gate, 2 ≡ Kollektor, Drain und 3 ≡ Emitter, Source erhalten wir mit z 3 = 1 (Anpassung am Tor 3, Messbedingung der Übertragung von Tor 1 nach Tor 2 und umgekehrt) für das erdbezogene Dreitor nach der Abb. 5.18

5.4

Dreitor

187

2

1 3

Abb. 5.18 Transistor mit Impedanz z 3 in der Emitterleitung (Seriengegenkopplung), ST ist die Streumatrix für die Emitter-/Source-Schaltung (Katalogdaten) (3)

T T T s11 = (2s11 + 1 − ST − s12 − s21 )/N (3)

T T T s12 = (2s12 + 1 + ST − s11 − s22 )/N (3) T T T s21 = (2s21 + 1 + ST − s11 − s22 )/N

(5.70)

(3) T T T s22 = (2s22 + 1 − ST − s12 − s21 )/N T T T T N = 4 − (s11 + s12 + s21 + s22 )

und

(3) (3) (3) s13 = 1 − (s11 + s12 )

s23 = 1 − (s21 + s22 )

(3) (3) (3) s31 = 1 − (s11 + s21 )

s32 = 1 − (s12 + s22 )

(3) s33

=

(3) s11

(3) + s12

(3) + s21

(3)

(3)

(3)

(3)

(3)

(3)

(3) + s22

(5.71)

−1

Werden die Katalogdaten des Transistors für die Streumatrix ST in einer der anderen beiden Grundschaltungen angegeben, können die rechten Seiten der Gl. (5.70) unverändert übernommen werden. Die linken Seiten müssen dann aber den entsprechenden Elementen der Dreitor-S(3) -Matrix zugeordnet werden. Gleichfalls sind die Gl. (5.71) bezüglich der Indizes anzupassen. Das erdfreie quellenlose Dreitor in der Abb. 5.17b fordert 3 

u i = 0 f¨ur i 1 = i 2 = i 3 und u i=1,2,3 = 0 f¨ur i 1 = i 2 = i 3 = i

(5.72)

i=1

und daraus die Bedingungen für die Spalten- und Zeilensummen der Impedanzmatrix z 3  i=1

(3)

z i, j| j=1,2,3 = 0 und

3  j=1

(3)

z i, j|i=1,2,3 = 0

(5.73)

188

5 Torverbindungen

3 2 1

Abb. 5.19 Transistor mit Admittanz y3 zwischen Basis und Kollektor (Parallelgegenkopplung), ST ist die Streumatrix für die Emitter-/Source-Schaltung (Katalogdaten)

Die Determinante der Impedanzmatrix ist jetzt null z (3) = 0, und für das Dreitor der Abb. 5.17b gibt es keine Admittanzmatrix y(3) . Analog der Rechnung für das erdbezogene Dreitor folgt für die Spalten- und Zeilensummen der Streumatrix S3 des erdfreien Dreitors. 3 

(3)

si, j| j=1,2,3 = −1 und

i=1

3 

(3)

si, j|i=1,2,3 = −1

(5.74)

j=1

Mit der Schaltung der Parallelgegenkopplung in der Abb. 5.19 und den angepassten Gleichungen (y = y3 = 1) aus [14] können wir vier Elemente der Dreitor-S(3) -Matrix des erdfreien quellenlosen Dreitors nach Abb. 5.17b angeben. In der Abb. 5.19 ist mittlere Elektrode zwischen den Toren 1 und 2 zum Zwecke der Äquivalenz der beiden Schaltung mit Masse verbunden. (3) T T T s11 = (2s11 − 1 + ST + s12 + s21 )/N (3) T T T s12 = −(2s12 + 1 + ST + s11 + s22 )/N (3) T T T s21 = −(2s21 + 1 + ST + s11 + s22 )/N

(5.75)

(3) s22

N

T T T = (2s22 − 1 + ST + s12 + s21 )/N T T T T = 4 + s11 − s12 − s21 + s22

Wegen der gewählten Polarität der Spannungen in der Abb. 5.17b steht bei den Elementen (3) (3) s12 , s21 ein Minus vor der Klammer. Die Ränderung ergibt für die restlichen fünf Elemente der Dreitor-S D -Matrix (3)

(3)

(3)

(3)

(3)

(3)

(3)

(3)

(3)

s13 = −(1 + s11 + s12 )

s23 = −(1 + s21 + s22 )

(3) (3) (3) s31 = −(1 + s11 + s21 )

s32 = −(1 + s12 + s22 )

(5.76)

(3) (3) (3) (3) (3) s33 = s11 + s12 + s21 + s22 + 1

Die Gl. (5.70), (5.71) und (5.75), (5.76) zeigen, dass die Dreitor-S(3) -Matrizen des erdgebundenen und des erdfreien Dreitores einander nicht gleich sind. Mit den Dreitor-S(3) -Matrizen können wir bei Vorgabe der Reflexionsfaktoren i an den einzelnen Toren (Abb. 5.20) davon abhängige Zweitor-S(2) -Matrizen berechnen. In den

5.4

Dreitor

189 3 2 2

1 3

1

Abb. 5.20 Erdbezogenes und erdfreies Dreitor mit Reflexionsfaktoren i|i=1,2,3 an den Anschlusstoren

Tab. 5.1 und 5.2 werden für die beiden Dreitortypen die Zusammenhänge angegeben. Sind i = −1 bzw. i = +1 bekommen wir die Zweitor-S(2) -Matrizen der drei Grundschaltungen des Transistor. Für i = 0 (Messbedingung) entsprechen die Elemente der jeweiligen Zweitor-S(2) -Matrix zugeordneten Elementen der Dreitor-S(3) -Matrix. Berechnen wir z. B. nach Tab. 5.1 beim erdbezogenen Dreitor für 3 am Tor 3 s11 der Zweitor-S(2) -Matrix, dann erhalten wir Tab. 5.1 Zweitor-S(2) -Matrizen als Funktion der Elemente der Dreitor-S(3) -Matrix für die Reflexionsfaktoren i|i=1,2,3 beim erdbezogenen Dreitor, bei i = −1 (Kurzschluss) entsteht jeweils eine der drei Grundschaltungen des Transistors, für Feldeffekt-Transistoren sind die entsprechenden Grundschaltungen zu wählen, i|i=1,2,3 = −1 ≡ Seriengegenkopplung

190

5 Torverbindungen

Tab. 5.2 Zweitor-S(2) -Matrizen als Funktion der Elemente der Dreitor-S(3) -Matrix für die Reflexionsfaktoren i|i=1,2,3 i beim erdfreien Dreitor, bei i = +1 (Leerlauf) entsteht jeweils eine der drei Grundschaltungen des Transistors mit der mittleren Elektrode als Referenzpunkt (Masse), wegen der unterschiedlichen Polarität beim Drei- und Zweitor Minuszeichen beachten, für FeldeffektTransistoren sind die entsprechenden Grundschaltungen zu wählen, i|i=1,2,3 = +1 ≡ Parallelgegenkopplung

(2)

(3)

s11 = s11 + mit der Abkürzung

3 (3)

(3) (3)

1 − s33 3

s13 s31 =

(3)

(3)

s11 − S13 3 (3)

1 − s33 3

(3) (3) (3) (3) S(3) 13 = s11 s33 − s13 s31

(5.77)

(5.78)

Das ist eine lineare, gebrochene, rationale, komplexe Funktion der Variablen 3 . Diese Funktion genügt den Bedingungen der konformen Abbildung. Durch sie wird die 3 -Ebene (2) in der s11 -Ebene abgebildet. Kreise bleiben Kreise. (2) Die Abbildung des Einheitskreises der 3 -Ebene in der s11 -Ebene gibt uns einen visuellen Eindruck dieser Transformation bei der gegebenen Schaltung. Den Radius und den Mittelpunkt des Bildkreises berechnen wir für | 3 | = 1 mit der umgestellten Gl. (5.77) in gleicher Weise wie in den Gl. (4.108) bis (4.113) und erhalten (3)

C=

(3)∗

(3)

s11 − s33 S13 (3)

1 − |s33 |2

(3) (3)

und R =

|s13 s31 | (3)

1 − |s33 |2

(5.79)

5.4

Dreitor

191

Dem Punkt 3 = 0 (Anpassung, Messbedingung) entsprechen die blau eingezeichneten Bildpunkte si(2) j in der Abb. 5.21. Der Punkt 3 = −1 (Kurzschluss, es entsteht die Sourceschaltung) muss auf dem Rand des Bildkreises liegen (schwarz) und muss jeweils das MatriZ xelement si(2) j der Zweitor-S -Matrix sein. Die vorgestellte Rechnung können wir für alle anderen Schaltungen und Matrixelemente anwenden. Die Bilder in der Abb. 5.21 zeigen uns, dass wir durch einen geeigneten Wert des Reflexionsfaktors 3 die Elemente der entstehenden Zweitor-S(2) -Matrix bezüglich Betrag und Phasenlage verändern können. Insbesondere ist es möglich, den Betrag der Eigenreflexionsfaktoren |sii(2) | > 1 zu machen und damit einen negativen Widerstand einzustellen. (3) Ist in der Gl. (5.77) |s33 | > 1, erreichen wir mit einem passiven Bauelement und | 3 | < 1 eine Null im Nenner und damit wieder die Erfüllung einer Schwingbedingung. Durch die Beschaltung der Transistoren mit einer Serienimpedanz z oder/und einer Paralleladmittanz y können wir einen Verstärker stabilisieren, den Frequenzgang gegebenen Forderungen anpassen oder einen Oszillator aufbauen. In der Tab. 5.3 sind auch die Eigenwerte der Dreitor-S(3) -Matrizen angegeben. Wir sehen, dass jeweils ein Eigenwert 1 oder −1 ist. Dieser Wert entspricht dem Wert der Zeilen/Spaltensumme der entsprechenden Matrix. Für die zugehörende Admittanzmatrix y(3) und Impedanzmatrix z (3) mit den Zeilen-/Spaltensummen gleich null ist ebenfalls ein Eigenwert gleich null.

Abb. 5.21 HEM-Transistors FHX04LG U DC = 2V, I DC = 10 mA, f = 5 GHz, Parameter der Zweitor-S(2) -Matrix mit dem Reflexionsfaktor 3 in der Sourceleitung beim erdbezogenen Dreitor. Die blauen Kennzeichen entsprechen vier Elementen der Dreitor-S(3) -Matrix für den Fall 3 = 0. Bei den schwarzen Kennzeichnungen ist 3 = −1, d. h. aus dem Dreitor ist die Sourceschaltung geworden, siehe auch Tab. 5.3

Tab. 5.3 HEM-Transistor FHX04LG U DC = 2 V, I DC = 10 mA, f = 5 GHz, Werte der Zweitor-S(2) -Matrizen der drei Grundschaltungen und die der Dreitor-S(3) -Matrizen für die erdbezogenen und erdfreie Darstellung

192 5 Torverbindungen

Literatur

193

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6

Differenzielle Leitungen

In der Abb. 6.1a ist ein Teil der Hauptplatine eines PC’s zu sehen. Kennzeichnend sind die vielen eng nebeneinander liegenden Streifenleitungen verbunden mit den Abschlusswiderständen an den Speicherbänken. Diese enge benachbarte Leitungsführung bewirkt die gegenseitige Verkopplung der Leitungen. Im daneben gezeigten Bild umschließen die Äquipotenziallinien des Leiters mit der größeren Spannung den mit der kleineren Spannung. Zur kapazitiven kommt noch die induktive Verkopplung, die hier nicht dargestellt ist. Für den Aufbau von Feldkopplern (Abschn. 3.2) ist diese Verkopplung notwendig, hier aber ist sie störend. Außerdem reicht in der Abb. 6.1b das elektrische Feld sehr weit in den Raum oberhalb des Substrates. Die Mikrostreifenleitung ist nur unterhalb des Substrates durch die Massefläche abgeschirmt. Im oberen Halbraum wirkt die Leitung wie eine Antenne. Dadurch strahlt die

a)

b)

Abb. 6.1 a) Teil der Hauptplatine eines PC. b) Äquipotenziallinien zweier Mikrostreifenleitungen (r = 10) mit unterschiedlichen Spannungen gegen Masse, Maxwell 2D® Ergänzende Information Die elektronische Version dieses Kapitels enthält Zusatzmaterial, auf das über folgenden Link zugegriffen werden kann https://doi.org/10.1007/978-3-658-38875-1_6.

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 S. Martius, Wellenbeschreibung elektrischer Netzwerke mit der Streumatrix, https://doi.org/10.1007/978-3-658-38875-1_6

195

196

6 Differenzielle Leitungen

Mikrostreifenleitung Leistung ab und kann wegen der Reziprozität auch Leistung, in diesem Fall Störleistung, empfangen. Dieser Zustand ist im Sinne der elektromagnetischen Verträglichkeit (EMV) von Schaltungen und Geräten unerwünscht. Das Problem der Verkopplung und der Antennenwirkung wird um so schwerwiegender, je höher die Packungsdichte und der Frequenzbereich der elektronischen Schaltung sind. Mit der halboffenen einpoligen Leitungsführung wäre der Aufbau heutiger Mobiltelefone, insbesondere von Smartphonen bis in den 5G Bereich, nicht möglich. Um hohe, störungsarme Packungsdichten bei hohen Frequenzen zu erreichen, wird die in der Abb. 6.2a dargestellte differenzielle Leitungsführung benutzt. Charakteristisch für diese Leistungsführung ist, dass die Felder enger an die Leiter gebunden sind und in der Symmetrieebene die Feldstärke null ist. Die Struktur ist ein Dreileitersystem mit n = 3, zwei Leiter und die Masse am Boden. Damit sind n − 1, also zwei Spannungszustände, möglich. Das elektrostatische Feldbild der common Mode zeigt die Abb. 6.2b mit den weit in den Halbraum reichenden Potenziallinien. Beim symmetrischem Betrieb der Struktur der Abb. 6.2 stören weder ein Kurzschluss beim differenziellen noch ein Leerlauf bei common Betrieb in der Symmetrieebene. Insbesondere ist die differenzielle Leitung unempfindlich gegenüber common Störungen. Wegen der insgesamt geringeren Störanfälligkeit wird und muss sie in monolithisch integrierten Schaltkreisen eingesetzt werden. Zu erkennen an der doppelten Leitungsführung in der Abb. 6.3. Nur außerhalb des Schaltkreises werden die Leitungen zur und von der Antenne einpolig erdbezogen ausgeführt. Der differenziellen Leitung können wir folgende Eigenschaften zuordnen: • • • • •

geringe Abstrahlung und Verkopplung, wichtig im Sinne EMV, unempfindlich gegenüber common Störungen, große Packungsdichte in Schaltungen möglich, halbe Spannung in der Teilschaltung gegenüber Masse, damit geringe Feldstärke im Halbleiterbauelement, damit geringe Abstände und höhere Grenzfrequenzen möglich,

a)

b)

Abb. 6.2 a) Äquipotenziallinien zweier Mikrostreifenleitungen (r = 10) mit entgegengesetzten Spannungen gleichen Wertes → differenzielle Mode. b) wie a) aber gleiche Polarität der Spannungen → common Mode, Maxwell 2D®

6.1

Analyse Dreileitersystem

197

Abb. 6.3 W-CDMA/UMTS – Sende- und Empfangsschaltkreis P-VQFN-40, Infineon, Neubiberg

• bezogen auf einpolige Leitung doppelte Spannung, 6 dB größere Dynamik, Unterdrückung geradzahliger Harmonischer, • geringere Anforderungen an die Masseverbindung im Vergleich zur einpoligen Mikrostreifenleitung, • aber, fast alle Messgeräte haben erdbezogene (koaxiale) Anschlüsse Aus diesem Grund besteht die Aufgabe, Zusammenhänge zu finden, die die Wellenausbreitung auf Leitungen der erdbezogenen Mode mit der für differenzielle und common Mode verknüpft.

6.1

Analyse Dreileitersystem

In der Abb. 6.4 sind zwei Leiter über ideal leitender Masse mit der Angabe aller Spannungen und Ströme dargestellt. Neben der TEM-Mode für jeden einzelnen Leiter mit der schwarzen Spannungs-/Stromkennzeichnung und den Tornummern in den Kreisen hat das symmetrische Dreileitersystem zwei unabhängige TEM-Gesamtmoden, die Common-Mode und die Differenzial-Mode mit den Feldbildern analog der Abb. 6.2. Die Common-Mode entspricht der Even- und die Differenzial-Mode der Odd-Mode, wenn wir mit dieser Anordnung einen Feldkoppler beschreiben.

198

6 Differenzielle Leitungen

4

2

3

2

1

1

Masse mit Potenzial 0

Abb. 6.4 Zwei Leiter mit dem Abstand d und der Höhe h über ideal leitfähiger Masse mit zugeordneten Spannungen und Strömen, schwarz nodal (erdbezogen), Tornummern Kreise, blau modal Common-Mode, rot modal Differenzial-Mode, logische Tore Quadrate, reine TEM-Felder

Um die folgende Analyse von der der Kopplereigenschaften zu unterscheiden, ist die Wahl unterschiedlicher Modenbezeichnungen sinnvoll. Gleichfalls verwenden wir hier gegenüber der Abb. 3.8 eine andere Nummerierung der Einzeltore. Wir wollen im Folgenden eine Verknüpfung zwischen den Spannungen und Strömen sowie den Wellen der Einzelleiter mit denen der Common- und Differenzial-Mode herstellen, mit anderen Worten den Zusammenhang der unterschiedlichen Streumatrizen finden. Mit den logischen Toren 1 , 2 charakterisieren wir das gemeinsame Verhalten der Common- und Differenzial-Mode. Am logischen Tor 1 gelten folgende Zusammenhänge I1 = Id1 + Ic1 /2 I2 = −Id1 + Ic1 /2

U1 = Ud1 + U2 2Uc1 = U1 + U2

(6.1)

Wir stellen die modalen Ströme und Spannungen als Funktionen der nodalen Werte dar Id1 = (I1 − I2 )/2

Ud1 = U1 − U2

Ic1 = I1 + I2

Uc1 = (U1 + U2 )/2

(6.2)

Entsprechende Beziehungen gelten am logischen Tor 2 . Alles fassen wir in den Matrixgleichungen ⎛

⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ Id1 1/2 −1/2 0 0 I1 ⎜ Id2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ I2 ⎟ 0 1/2 −1/2 ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ Ic1 ⎠ ⎝ 1 1 0 0 ⎠ ⎝ I3 ⎠ Ic2 I4 0 0 1 1

→

I m = Mi I

(6.3)

6.1

und

Analyse Dreileitersystem

199

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ Ud1 1 −1 0 0 U1 ⎜Ud2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 1 −1 ⎟ ⎜U2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝Uc1 ⎠ = ⎝1/2 1/2 0 0 ⎠ ⎝U3 ⎠ 0 0 1/2 1/2 Uc2 U4

→

Um = Mu U

(6.4)

zusammen. Für die Berechnung der Wellen müssen wir die unnormierten Ströme und Spannungen als Funktion der normierten Werte angeben. Dafür verwenden wir reellwertige Impedanzen/Admittanzen, also Wellenwiderstände und -leitwerte. Die erdbezogenen Größen sind i = 1···4   Ii = i i G 0 Ui = u i R0 (6.5) und für die modalen Werte gilt i = 1,2  Idi = i di G di  Ici = i ci G ci

Udi = u di Uci = u ci

 

Rdi

(6.6)

Rci

Außerdem normieren wir die modalen Wellenwiderstände auf der Wert von R0 , i = 1,2 rdi =

Rdi 1 1 = = R0 G di R0 gdi

rci =

Rci 1 1 = = R0 G ci R0 gci

Diese Rechnungen stellen wir als Matrizengleichungen dar ⎛√ ⎞ G d1 0 0 0 √  ⎜ 0 G d2 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ i m = G0 Mi i √ ⎝ 0 ⎠ 0 G c1 0 √ 0 0 0 G c2

Ni im oder im =



(6.7)

(6.8)

→  = G0 Mi i

G 0 Ni −1 M i i = M in i

(6.9)

M in ist die normierte Strommatrix mit den Elementen

M in

√ ⎞ ⎛√ rd1 /2 − rd1 /2 0 0 √ √ ⎜ 0 0 rd2 /2 − rd2 /2⎟ ⎟ =⎜ √ ⎠ ⎝ √rc1 rc1 0 0 √ √ 0 0 rc2 rc2

In gleicher Weise erhalten wir für die normierten modalen Spannungen  um = R0 Nu −1 M u u = M un u

(6.10)

(6.11)

200

6 Differenzielle Leitungen

die normierte Spannungsmatrix ⎞ √ gd1 − gd1 0 0 √ √ ⎜ 0 0 gd2 − gd2 ⎟ ⎟ =⎜ ⎝√gc1 /2 √gc1 /2 0 0 ⎠ √ √ 0 0 gc2 /2 gc2 /2 ⎛ √

M un

(6.12)

Mit den aus Kap. 3 bekannten Beziehungen u i = ai + bi

i i = ai − bi

ai = (u i + i i )/2

bi = (u i − i i )/2

(6.13)

können wir die gesuchte modale Streumatrix Sm berechnen bm = Sm am

(6.14)

Die modalen ablaufenden Wellen bm sind (Abb. 6.5) bm =

1 1 1 (um − i m ) = (M un u − M in i) = (M un (a + b) − M in (a − b)) 2 2 2

(6.15)

bzw. mit der nodalen Streumatrix Sn bm =

1 1 (M un (a + Sn a) − M in (a − Sn a)) = (M un − M in + (M un + M in )Sn ) a 2 2 (6.16)

2

1

Masse mit Potenzial 0

Abb. 6.5 Darstellung der zu- und ablaufenden Wellen an den logischen Toren 1 und 2

6.1

Analyse Dreileitersystem

201

und analog gilt für die zulaufenden Wellen am am =

1 (M un + M in + (M un − M in )Sn ) a 2

(6.17)

In den Gl. (6.16), (6.17) erscheint die Summe und die Differenz der normierten Spannungsund Strommatrizen. Diese können wir so darstellen M S = M un + M in

M D = M un − M in

(6.18)

mit ⎞ √ gd1 (1 + rd1 /2) − gd1 (1 + rd1 /2) 0 0 √ √ ⎜ 0 0 gd2 (1 + rd2 /2) − gd2 (1 + rd2 /2)⎟ ⎟ MS = ⎜ ⎠ ⎝ √gc1 (1/2 + rc1 ) √gc1 (1/2 + rc1 ) 0 0 √ √ 0 0 gc2 (1/2 + rc2 ) gc2 (1/2 + rc2 ) (6.19) und ⎞ ⎛√ √ gd1 (1 − rd1 /2) − gd1 (1 − rd1 /2) 0 0 √ √ ⎜ 0 0 gd2 (1 − rd2 /2) − gd2 (1 − rd2 /2)⎟ ⎟ MD = ⎜ √ √ ⎠ ⎝ gc1 (1/2 − rc1 ) gc1 (1/2 − rc1 ) 0 0 √ √ 0 0 gc2 (1/2 − rc2 ) gc2 (1/2 − rc2 ) (6.20) Das Ergebnis setzen wir in die Gleichungen (6.16), (6.17) und dann in (6.14) ein ⎛√

M D + M S Sn = Sm (M S + M D Sn )

(6.21)

und bekommen die Umrechnung der Streumatrizen Sn , Sm Sm = (M D + M S Sn ) (M S + M D Sn )−1 = (M D + M S Sn ) ((M S + M D Sn ) \E) (6.22) bzw. Sn = (M S − Sm M D )−1 (Sm M S − M D ) = (M S − Sm M D ) \ (Sm M S − M D )

(6.23)

Mit diesen Gleichungen sind Umrechnungen in beide Richtungen möglich. Die explizite Matrizeninversion können wir vermeiden, wenn wir den MATLAB® -Algorithmus mit dem Backslash einsetzen. Besonders einfach werden die Umrechnungen mit dem Vorschlag von D. E. Bockelmann [1] und der voreingestellten Normierung bei vielen Netzwerkanalysatoren. Dort wird rd1 = rd2 = 2 und rc1 = rc2 = 1/2 gewählt. Bei R0 = 50  sind das Rd1,2 = 100  und Rc1,2 = 25 . Unter diesen Bedingungen wird die Differenzmatrix M D = 0, für die Summenmatrix M S folgt

202

6 Differenzielle Leitungen

⎛

⎞ 1 −1 0 0 √ ⎜0 0 1 −1⎟ ⎟ MS = M = 2 ⎜ ⎝1 1 0 0 ⎠ 0 0 1 1

(6.24)

und die Gl. (6.22) und (6.23) vereinfachen sich zu Sm = M Sn M −1 = M Sn (M\E) (6.25) Sn = M

−1

Sm M = (M\Sm )M

In der obigen Gl. (6.25) werden die Matrizen S, Sm wechselseitig mit der Matrix M und deren inversen Matrix M −1 multipliziert. Der Faktor vor der Matrix M in der Gl. (6.24) hat deshalb keinen Einfluss auf das Ergebnis, sondern nur die Struktur der Matrix M. Diese Normierungen stehen im engen Zusammenhang mit den Wellenwiderständen in einer Doppelleitung, wie das in der Abb. 3.11 dargestellt ist. Werden die beiden Leiter gemeinsam in der Differential-Mode oder der Common-Mode betrieben, dann ergeben sich die Wellenwiderstände für diese Betriebszustände aus denen der Odd-/Evenmode entweder als Serien- oder Parallelschaltung wie folgt Rd = 2R0o

und

Rc = R0e /2

(6.26)

Mit der Form der Matrix M in der Gl. (6.24) und der Matrixumrechnung nach der Gl. (6.25) können wir die Elemente der Matrix Sm direkt durch die der Matrix Sn der vollsymmetrischen Doppelleitung der Abb. 6.4 darstellen. Wegen der geänderten Nummerierung gilt jetzt aber abweichend von der Gl. (3.44) für Sn ⎛

ρ ⎜κ Sn = ⎜ ⎝τ σ und damit

κ ρ σ τ

τ σ ρ κ

⎞ σ τ⎟ ⎟ κ⎠

(6.27)

ρ

⎛

⎞ ρ−κ τ −σ 0 0 ⎜τ − σ ρ − κ 0 0 ⎟ ⎟ Sm = ⎜ ⎝ 0 0 ρ + κ τ + σ⎠ 0 0 τ +σ ρ+κ

(6.28)

Wenden wir diesen Zusammenhang auf eine Doppelleitung in Form des idealen angepassten Feldkopplers gemäß der Gl. (3.50) an, erhalten wir für die Mittenfrequenz unter Beachtung der veränderten Nummerierung der Tore und der Reziprozität mit den Gleichungen

6.2

Struktur der modalen Streumatrix Sm , Beispiele

203

sii = ρ = 0 i = 1 · · · 4 s14 = s41 = s23 = s32 = σ = 0 s12 = s21 = s34 = s43 = κ

(6.29)

s13 = s31 = s24 = s42 = τ die modale Streumatrix Sm

6.2

⎛ ⎞ −κ τ 0 0 ⎜ τ −κ 0 0 ⎟ ⎟ Sm = ⎜ ⎝ 0 0 κ τ⎠ 0 0 τ κ

(6.30)

Struktur der modalen Streumatrix Sm , Beispiele

Die modale Streumatrix Sm hat mit dem Ansatz in den Gl. (6.3) und (6.4) und der Darstellung mit den entsprechenden Wellen folgende Struktur ⎛

⎛ ⎞ ⎞ bd1 a

d1 ⎜bd2 ⎟ ⎜ad2 ⎟ S S dd dc ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎝ bc1 ⎠ Scd Scc ⎝ ac1 ⎠ bc2 ac2

(6.31)

Die Untermatrix Sdd verknüpft die zu- und ablaufenden Wellen für die reine differenzielle Anregung





bd1 ad1 sdd11 sdd12 ad1 = Sdd = (6.32) bd2 ad2 sdd21 sdd22 ad2 Wir können dieses System wie ein selbständiges Zweitor betrachten. In gleicher Weise erhalten wir für die Common-Anregung





bc1 a s ac1 s = Scc c1 = cc11 cc12 (6.33) bc2 ac2 scc21 scc22 ac2 Die noch verbleibenden Untermatrizen informieren uns mit





bd1 ac1 sdc11 sdc12 ac1 = Sdc = bd2 ac2 sdc21 sdc22 ac2

(6.34)

über den Anteil ablaufender differenzieller Wellen bd1 , bd2 , die von einer CommonAnregung generiert werden. Entsprechendes gilt für





bc1 a s ad1 s = Scd d1 = cd11 cd12 (6.35) bc2 ad2 scd21 scd22 ad2 mit dem Beitrag der differenziellen Anregung zu den ablaufenden Common-Wellen bc1 , bc2 .

204

6 Differenzielle Leitungen

Für die modale Streumatrix Sm gelten gleichfalls die in den Abschn. 4.1 und 4.2 angegebenen Bedingungen für die Reziprozität passiver R LCü-Zweitore mit differenzieller und common Anregung T Sm = Sm (6.36) sowie die Leistungsbedingungen mit der P- und W -Matrix T P m = E − Sm Sm

und bei verlustfreien Toren

und

T W m = Sm − Sm

(6.37)

S∗m Sm = E

(6.38)

Die beiden gekoppelten Leitungen in der Abb. 6.6 sollen für eine Beispielrechnung dienen. Abb. 6.6 entspricht Abb. 3.8 im Abschn. 3.2 für zwei gekoppelte Leitungen, aber jetzt mit anderer Reihenfolge der Tore. Die nodalen S-Parameter als Funktion der Frequenz zeigt die Abb. 6.7. Wegen der Symmetrie, gewünschten Anpassung und Entkopplung sind nur vier Parameter zur Beschreibung notwendig (s. a. Abschn. 3.2). Die Dimensionierung des Kopplers wird durch die Gleichungen im Abschn. 3.2 vorgegeben, die hier wiederholt werden

2

4

1

2 3

1

Abb. 6.6 Zwei gekoppelte, ideal symmetrische Leitungen über Masse (idealer λ L /4-Feldkoppler), Tore nummeriert zur Beschreibung der differenziellen und common Anregung mit den logischen Toren 1 und 2 j1

90

s11

j0,5

120

j2

90 1

s12

60

120

0,8

j0,2

j5

30

0,5

1

2

180

5

-j0,2

30

0 180

60

0,6

30

0,4

0,2

0

1 s14

150

0,4

0,2 0,2

120

0,8

0,6

150

0,4

0

60

0,8

0,6

150

90 1

s13

0,2

0

0 180

0

0

-j5 210

-j0,5

330

210

330

210

330

-j2 240

-j1

a)

300 270

b)

240

300 270

c)

240

300 270

d)

Abb. 6.7 Nodale S-Parameter des Kopplers nach Abb. 6.6 mit einer Koppeldämpfung C = 3,01 dB, 0,5 f 0 ≤ f ≤ 1,5 f 0 . a) s11 (ρ). b) s12 (κ). c) s13 (τ ). d) s14 (σ )

6.2

Struktur der modalen Streumatrix Sm , Beispiele

 κ = 10−C/20 ;

1+κ ; 1−κ

r0e =

τ = −j

Für C = 3,01 dB ergibt die Rechnung  √ 2 1+κ ; r0e = ; κ= 2 1−κ und

205

 2r0e = − j 1 − κ2 2 1 + r0e

(6.39)

r0e = 2,41 → R0e = 120,72  (6.40)

√

r0o = 1/r0e = 0,414 → R0o = 20,71 

τ = −j

sowie

2 2

Der kleine Wert von R0o zeigt deutlich, dass dafür der Abstand der beiden Leiter gering sein muss und wegen der damit verbundenen Toleranzempfindlichkeit hohe Anforderungen an die Herstellung gestellt werden. Diese Koppelstruktur regen wir jetzt mit der differenziellen und der common Mode an. Wir wählen die Normierung rd1 = rd2 = 2 und rc1 = rc2 = 1/2. Der Koppler ist im akademischen Sinne vollsymmetrisch, sodass wir keine Umwandlung von Anteilen der differenziellen Anregung in ablaufende common Wellen bekommen, wie das auch in der Gl. (6.30) bzw. modalen Streumatrix Sm dargestellt ist. Bei Normierung rd1 = 2 und rc1 = 1/2 betreiben wir die zwei Leitungen der Abb. 6.6 in der differenziellen Mode wechselseitig innerhalb einer 100 - und in der common Mode wechselseitig in einer 25 -Umgebung. In der Abb. 6.8 ist das Ergebnis der Rechnung bzw. einer Messung mit dem Netzwerkanalysator dargestellt. Wir erkennen, dass die Wellenwiderstände RdW , RcW der differenziellen und der common Leitung von 100  bzw. 25  abweichen, da die Sm -Elemente sdd11 und scc11 ungleich null sind. Außerdem sind wegen der Leistungserhaltung die Transmissionsfaktoren |sdd21 Die Abb. 6.8 zeigt gleichfalls die√Darstellung der Gl. (6.30) mit √ |, |scc21 | < 1.√ sdd11 = − 2/2, scc11 = + 2/2, und sdd21 = scc21 = − j 2/2, wenn wir die Werte für die Mittenfrequenz einsetzen.

j1

j1

90

s11dd

j0,5

1

120

j2

s

60

90

s11cc

j0,5

21dd

1

120

j2

s

0,8

j0,2

j5

0,8

0,6

150

30

j0,2

j5

0,6

150

0,4

0,2

0,5

1

2

180

5

-j0,2

0,2

0

0

-j5

0,5

1

2

b)

0

0

210

330

-j2

300 270

180

5

-j5

-j0,5 240

a)

0,2

330

-j2 -j1

0

-j0,2 210

-j0,5

30

0,4

0,2

0

60

21cc

240

-j1

c)

300 270

d)

Abb. 6.8 Modale Sm -Parameter des Kopplers nach Abb. 6.6 mit einer Koppeldämpfung C = 3,01 dB, 0,5 f 0 ≤ f ≤ 1,5 f 0 Normierung: Rd1 = Rd2 = 100 , Rc1 = Rc2 = 25 . a) sdd11 = sdd22 . b) sdd21 = sdd12 . c) scc11 = scc22 . d) scc21 = scc12 alle anderen Parameter sind null

206

6 Differenzielle Leitungen

Da wir für jede der beiden Leitungen die Sm -Parameter kennen, könnten wir mit der Gl. (3.178) im Abschn. 3.5 die Werte der Wellenwiderstände ausrechnen. Wir wollen aber hier eine Verbindung zu den Odd-/Even Wellenwiderständen R0o , R0e herstellen. In der Rechnung und bei der Messung wird die differenzielle Leitung mit dem Bezugswiderstand 100  angeschlossen. Die Leitung hat die Länge λ L /4. Deshalb gilt für den Eingangswiderstand und Eingangsreflexionsfaktor gleichfalls bezogen auf 100  Ri =

Rd2 100 

und id =

Rd2 − (100 )2 Rd2 + (100 )2

(6.41)

Das Element sdd11 der modalen Streumatrix Sm nach Gl. (6.30) hat den Wert −κ. Entsprechend der Gl. (3.50) muss daher gelten id =

Rd2 − (100 )2 Rd2 + (100 )2

= −κ =

2 − (50 )2 R0o 2 + (50 )2 R0o

→ RdW = 2R0o

(6.42)

und analog für die Common-Leitung ic =

2 − (50 )2 R0e Rc2 − (25 )2 = κ = → RcW = R0e /2 2 + (50 )2 Rc2 + (25 )2 R0e

(6.43)

Diese beiden Gleichungen bedeuten den schon in der Gl. (6.26) genannten Zusammenhang zwischen den Wellenwiderständen der unterschiedlichen Anregungen bzw. Moden. In unserem speziellen Fall sind das RdW = 41,42  und RcW = 60,36 . Wir normieren jetzt rd1 = rd2 = 41,42/50 = 0,83 und rc1 = rc2 = 60,36/50 = 1,21 und verwenden zur Berechnung der modalen Streumatrix Sm die Gl. (6.22) bzw. rufen am Netzwerkanalysator zur Normierung der logischen Tore 1 , 2 diese Widerstandswerte auf. Wir erhalten das Ergebnis in der Abb. 6.9. Beide Moden sind angepasst und, da die Struktur verlustlos ist, gilt für die Transmissionsfaktoren |sdd11 |, |scc11 | = 1. Gleichfalls ist im angepassten Zustand die Phasenwinkelvariation von sdd21 und scc21 größer als bei Fehlanpassung. In der Abb. 6.10 sind die gekoppelten Leitung als allgemeine symmetrische Leitungen dargestellt, bei denen wir Wellenimpedanzen und unterschiedliche Ausbreitungsmaße für die differenzielle und common Mode zulassen, wie das z. B. bei planaren Kopplern mit geschichtetem, verlustbehafteten Dielektrikum (Mikrostreifenleitung) gegeben ist. Das System mit drei Leitern ist durch die Anregung mit den beiden Moden eindeutig definiert. Aus diesem Grund wählen wir jetzt den umgedrehten Weg, und wir wollen versuchen, mit den modalen Moden die nodalen Eigenschaften zu beschreiben L. S. Napoli, J. J. Hughes [3]. Wir normieren z o = (Z d /2)/R0 = Z 0o /R0 , z e = (2Z c )/R0 = Z 0e /R0 bzw. rd = 2 und rc = 1/2. Wir erhalten die Reflexionsfaktoren o = außerdem sind γo = γd , γe = γc .

zo − 1 zo + 1

und e =

ze − 1 ze + 1

(6.44)

6.2

Struktur der modalen Streumatrix Sm , Beispiele j1

j1

90

s11dd

j0,5

207

120

j2

1 s21dd

60

90

s11cc

j0,5

120

j2

0,8

j0,2

150

j5

30

j0,2

j5

150

0,4

0,2

0,5

1

2

180

5

-j0,2

0

0

0

0,2

0,5

1

2

-j1

0

210

-j0,5

330

-j2

300

240

-j1

270

a)

0

-j5

330

-j2

180

5

-j0,2 210

240

30

0,4 0,2

-j5

-j0,5

60

0,6

0,2

0

1 s21cc

0,8

0,6

b)

300 270

c)

d)

Abb. 6.9 Modale Sm -Parameter des Kopplers nach Abb. 6.6 mit einer Koppeldämpfung C = 3,01 dB, 0,5 f 0 ≤ f ≤ 1,5 f 0 Normierung: Rd1 = Rd2 = 2R0o = 41,42 , Rc1 = Rc2 = R0e /2 = 60,32 . a) sdd11 = sdd22 . b) sdd21 = sdd12 . c) scc11 = scc22 . d) scc21 = scc12 alle anderen Parameter sind null

4

2

1

2 3

1

Abb. 6.10 Zwei gekoppelte, ideal symmetrische Leitungen mit Wellenimpedanz und Ausbreitungsmaß: differentielle Mode Z W d , γd , common Mode Z W c , γc , Tore nummeriert zur Beschreibung der differenziellen und common Anregung mit den logischen Toren 1 und 2

Wir beschreiben die gekoppelte Struktur mit den Streumatrizen der beiden Moden in der Form der fehlangepassten Leitung nach der Gl. (3.39) • odd, differenzielle Mode s11o = s22o = ρo =

o (1 − e−2γo L ) 1 − o2 e−2γo L

und

s12o = s21o = τo =

e−γo L (1 − o2 ) 1 − o2 e−2γo L (6.45)

• even, common Mode s11e = s22e = ρe =

e−γe L (1 − e2 ) e (1 − e−2γe L ) und s12e = s21e = τe = (6.46) 2 −2γ L 1 − e e e 1 − e2 e−2γe L

Die modale Streumatrix der symmetrischen die Struktur ⎛ ρo ⎜ τo Sm = ⎜ ⎝0 0

und reziproken Anordnung der Abb. 6.10 hat ⎞ τo 0 0 ρo 0 0 ⎟ ⎟ 0 ρe τe ⎠ 0 τe ρe

(6.47)

208

6 Differenzielle Leitungen

Mit dieser Matrix und der Gl. (6.25) können wir die nodale Streumatrix Sn für den allgemeinen Fall der gekoppelten Leitung mit den Impedanzen Z o , Z e und den unterschiedlichen Ausbreitungsmaßen γo , γe angeben. Durch die gewählte Impedanznormierung ist die Differenzmatrix M D = O-Matrix, und wir erhalten ⎛

ρe + ρo ⎜ 1 ρe − ρo Sn = M −1 Sm M = ⎜ 2 ⎝ τ e + τo τ e − τo

ρe − ρo ρe + ρo τe − τo τe + τo

τe + τo τe − τo ρe + ρo ρe − ρo

⎞ τe − τo τe + τo ⎟ ⎟ ρe − ρo ⎠

(6.48)

ρe + ρo

Um die Elemente der Matrix Sn für die Dimensionierung eines Kopplers verwenden zu können, müssen wir die kennzeichnenden Größen entsprechend der geänderten Nummerierung einsetzen (Tor 2 ↔ Tor 4 ). Der Vergleich der Abbildungen von 6.10 und 3.8 führt auf (Gl. (6.27)) ⎛ ⎞ ρ κ τ σ ⎜κ ρ σ τ ⎟ ⎟ Sn = ⎜ (6.49) ⎝τ σ ρ κ ⎠ σ τ κ ρ Wir wollen als Beispiel den Reflexionsfaktor ρ mit den oben genannten Zusammenhängen darstellen

ρe + ρo e (1 − e−2γe L ) o (1 − e−2γo L ) ρ= /2 (6.50) = ) + 2 1 − e2 e−2γe L 1 − o2 e−2γo L Beim idealen TEM-Koppler ist γe = γo . Wenn gelten soll ρ = 0, dann muss o = − e → z o z e = 1 oder Ro Re = R02

(6.51)

sein. Das entspricht der Bedingung im Abschn. 3.2. Interessant ist die Analyse des Koppelfaktors κ mit

ρe − ρo e (1 − e−2γe L ) o (1 − e−2γo L ) κ= /2 (6.52) = − 2 1 − e2 e−2γe L 1 − o2 e−2γo L Wenn wir beim idealen TEM-Koppler R0e = R0o → R0 , d. h. e = o → 0 wählen, dann gilt für beide Leitungen auch κ → 0 und σ → 0. Beide Leitungen sind nicht verkoppelt. Der Wert κ → 0 gilt auch bei einem Koppler mit γe = γo für die oben genannte Bedingung der Wellenwiderstände der common und differenziellen Mode. Für σ (beim idealen TEMKoppler ist σ ≡ Isolation) führt die Gl. (6.48) mit e = o → 0 auf den Zusammenhang σ =

τe − τ o = 2



e−γe L (1 − e2 ) e−γo L (1 − o2 ) /2 − 1 − e2 e−2γe L 1 − o2 e−2γo L

e−γe L − e−γo L σ ≈ 2

(6.53)

6.2

Struktur der modalen Streumatrix Sm , Beispiele

209

bzw. für den verlustarmen Fall γe ≈ jβe , γo ≈ jβo σ ≈

e− jβe L − e− jβo L 2

und davon |σ |2 =

1 − jβe L (e − e− jβo L )(e jβe L − e jβo L ) = sin2 4

(6.54)

(βe − βo )L 2

(6.55)

Da für R0e = R0o → R0 neben κ auch ρ → 0 strebt, muss im verlustarmen Fall die Leistungserhaltung gemäß der Gl. (4.46) gelten. Folglich ist

(βe − βo )L (6.56) |τ |2 = 1 − |σ |2 = cos2 2 Beim Koppler mit γe  = γo ist der Wert der Entkopplung σ = 0 . Aus der Rückwärts- ist eine Vorwärtskopplung geworden, R. Rehner [4]. Je größer der Unterschied zwischen γe und γo ist, um so größer ist die Vorwärtskopplung. Bei geeigneten Werten des Unterschieds zwischen βe und βo und der Länge L können sogar |σ |2 = 1 und |τ |2 = 0 werden. Diese Abhängigkeiten zeigt das Beispiel in der Abb. 6.11. In der Praxis kann die o. g. Bedingung R0e = R0o = R0 nur mit dem Kompromiss R0e → R0o → R0 erreicht werden, denn sonst entstehen im akademischen Sinne zwei getrennte Leitungen. Wie in der Abb. 6.11 zu sehen ist, führt dieser Kompromiss gleichfalls zu endlichen Werten des Reflexionsfaktors ρ an jedem Tor und der Rückwärtskopplung κ. 0 -5 s11 ( )

-10

s21 ( )

-15

s31 ( ) s41 ( )

|s ij|2/dB

-20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Frequenz/GHz

Abb. 6.11 Eigenschaften von zwei gekoppelten Mikrostreifenleitungen als Vorwärtskoppler, Tornummern gemäß Abb. 6.10 Substrat: r = 10, h = 127 µm, w = 115 µm, s = 300 µm, L = 10 mm → R0e = 51,41 , R0o = 45,86 , r ,e = 6,95, r ,o = 5,98

210

6 Differenzielle Leitungen

Die Elemente in der Matrix Sn Gl. (6.48) sind wegen der zugelassenen Verluste und Differenz der Ausbreitungskonstanten γe und γo allgemeingültig im Vergleich zu denen im Abschn. 3.2. Der Effekt der Vorwärtskopplung ist auch zu beachten, wenn zwei jeweils erdbezogene Leitungen im geschichteten Dielektrikum (PCB) über eine Länge L/λ(e f f ) > 4 in einem Abstand s/λ(e f f ) < 0,15 parallel geführt werden (Beispiel Abb. 6.11). Für die Anwendung bei gekoppelten Strukturen im Millimeterwellenbereich ergeben sich mit der Vorwärtskopplung moderate geometrische Abmessungen und gute Kennwerte der Koppler. Wählen wir bei Sn γe = γo = jβ, L = λm /4 und o = − e erhalten wir die Gleichungen des Abschn. 3.2. Im Zusammenhang mit der Modenanregung gekoppelter Leitungen ist deren Anwendung in Filtern von besonderem Interesse. Für den Entwurf der Filter spielt der Wert der Bildimpedanz/-admittanz als Funktion der Wellenwiderstände R0o , R0e und damit der Querschnittgeometrie eine wesentliche Rolle. Die Matrizen M i , M u (Gl. (6.3) und (6.4)) erlauben in übersichtlicher Weise einen Zugang zu diesen Abhängigkeiten, wie das im Anhang dargestellt ist. Bei den gekoppelten Leitungen ist das Auffinden des geeigneten Normierungswiderstandes einfach. Anders sieht es bei dem Oberflächenwellenfilter(SAW) in der Abb. 6.12 aus. Das SAW-Filter ist ein erdsymmetrisches Bauteil. Bei guter Symmetrie wird es keine Umwandlung der differenziellen in die common Mode geben. Wenn wir die Zuleitungsinduktivitäten vernachlässigen, kann die Ersatzschaltung mit der Eingangs- und der Ausgangsadmittanz Yi , Yo modelliert werden. Die Leitwerte G i , G o symbolisieren die Umwandlung elektrischer in mechanische (Schall) Energie (Strahlungsleitwerte) und zurück. Durch die geometrischen Ausdehnungen der Wandler ergeben sich die Kapazitäten Ci , Co . Wegen der Parallelschaltung von G i , Ci und G o , Co ist es sinnvoll, die Signalübertragung mit der Stromquelle I Q , Y Q und einer Lastadmittanz Y L zu beschreiben. Außerdem werden in Abhängigkeit des SAW-Aufbaus Yi , Yo nicht immer gleich sein. Für die optimale Leistungsübertragung mit der differenziellen Mode müssen die Admittanzen Yi , Yo konjugiert komplex angepasst werden. Wie schon in der Ersatzschaltung angedeutet, ist dafür die Parallelschaltung einer entsprechenden Kombination aus Leitwert und Spule notwendig. Wir erhalten damit an Ein- und Ausgang jeweils einen verlustbehafteten Parallelschwingkreis, dessen Resonanzfrequenz der Mittenfrequenz des Filters entspricht.

SAW-Filter 1

2

Absorber

Absorber

3

Wandler Eingang

a)

4 Wandler Ausgang

b)

Abb. 6.12 Surface Acoustic Wave(SAW) Filter. a) Aufbau. b) Ersatzschaltung mit Stromquelle und Lastadmittanz Y L

6.2

Struktur der modalen Streumatrix Sm , Beispiele

211

j1

0,2

0,5

1

2

5

-5

-10

-j0,5

-j2

0 -10

-20

-20

-30 -40

-j5

-j0,2

0 -10

|s14|2/dB

j5

|s12|2/dB

0

0

j2

j0,2

|s13|2/dB

s11

j0,5

-15 0,433

0,4335

0,434

0,4345

0,435

Frequenz/GHz

-j1

-50 0,433

-30 -40

0,4335

0,434

0,4345

0,435

-50 0,433

Frequenz/GHz

0,4335

0,434

0,4345

0,435

Frequenz/GHz

Abb. 6.13 Nodale S-Parameter (R0 = 50 ) des SAW-Filters EPCOS B3730 s11 , s21 , s31 , s41

Die Abb. 6.13 zeigt vier Parameter der nodalen S-Parametermessung an den Toren 1–4 des SAW-Filters. Über die Reziprozität und dem symmetrischen Aufbau sind alle anderen mit den gezeigten vier verknüpft. Bei s31 , s41 sehen wir etwas von der Filtereigenschaft des Bauteils, aber mit ungenügenden Kenndaten für die Praxis. Das Ergebnis der Umrechnung der nodalen in die modalen S-Parameter normiert auf R0 = 50  zeigt die Abb. 6.14. Wir erkennen, dass wie schon angedeutet, das SAW-Filter nur eine Übertragung in der differenziellen Mode erlaubt. Die common Mode wird voll reflektiert. Der Phasenwinkel von scc11 , scc22 zeigt an, dass lediglich die Kapazität der Wandler den Reflexionsfaktor dieser Mode bestimmt. Die Leitwerte G i , G o werden nicht wirksam, da die zugehörigen zwei Anschlussklemmen bei der common Mode auf gleichem Potential liegen. Es gibt keine Umwandlung zwischen den beiden Moden. Für die Übertragung vom Eingang zum Ausgang gibt es einen sehr großen Wert der Gleichtaktunterdrückung (C M R R >>). Um die Übertragung für die differenzielle Mode zu optimieren, werden in der Abb. 6.15 die Parameter sdd11 , sdd22 , sdd21 nochmals gesondert dargestellt. sdd11 , sdd22 unterscheiden sich gering, da das Filter nicht spiegelbildlich aufgebaut ist (Geometrie Wandler Eingang = Geometrie Wandler Ausgang). Das Filter ist in der differenziellen Mode nicht an R0 = 50  angepasst. Die Leitwerte G i , G o  = 1/50  und Ci , Co = 0. Für die differenzielle Mode stellt das Filter ein passives Zweitor dar. Die optimalen Reflexionsfaktoren können wir deshalb mit den Gl. (4.144) bestimmen. Wir wählen dafür die Mittenfrequenz des Filters mit f 0 = 434 MHz. Wegen der Passivität sind mit den Werten von Sdd |sdd11 |, |sdd22 | < 1, μdd1 , μdd2 > 1, K dd > 1 und | Sdd | < 1. Für das SAW-Filter erhalten wir die optimalen Reflexionsfaktoren bezüglich Quelle und Last Qopt = 0,683/44,38◦ und Lopt = 0,675/38,51◦ (6.57) Diese Werte sind im Smith-Diagramm in der Abb. 6.15 eingezeichnet. Dazu gehören die Admittanzen

1 − Qopt /50  = (4,372 − j7,821) mS Y Qopt = 1 + Qopt und Y Lopt =



1 − Lopt 1 + Lopt

(6.58)

/50  = (4,337 − j6,692) mS

212

6 Differenzielle Leitungen j1

90

j0,5

90 1

120

j2

60

j0,2

j5

30

0,2

0,5

1

2

0.4

180

5

-j0,2

1

120

30

0.6

150

0.4

0

180

30

0.4

0.2

0

60

0.8

0.6

150

0.2

0

60

0.8

0.6

150

90 1

120

0.8

0.2

0

0

180

0

0

-j5 210

s11m

-j0,5

330

-j2

s12m

240

-j1 90 1

120

60

210

330

300

s13m

240

270

270

j1

90

j0,5

j0,2

j5

0

0

0,2

0,5

1

2

s21m

0

330

-j2

s23m

240

30

60

-j0,5

120

180

30

1

-j0,2

0

210

5

2

1

0,5

0

0,2

60

120

s32m

270 90

0.4

270 1

0

180

60

-j2

-j0,5

0.8 30

0.6

150

30

-j5

0.4

0.2

0

300

-j1

90 120

0.4

0.2

s34m

240

j1 60

0.6

150

330

j0,5

s33m

0.8 30

0

210

300

1

0.8 0.6

0

j0,2

j2

270 90 1

180

330

240

30

0.4 0.2

0

300

60

0.6

150

-j5

j5 330

300

0.8

0.6

150

0

s31m

180

s24m

270 90

-j2

0.4

210

150

330

240

0.2

0

0

210

300

0.8

0.4

120

0

270 1

120

0.2

240

180

-j1

90 60

0.8

180

0.2

0

-j1

270 90

0.6

30

0.4

210

s22m

-j0,5

300

1

60

0.8 0.6

150

-j5

330

150

120

30

0.4

180

5

-j0,2 210

120

60

1

0.2

0

300

270

0.6

150

0.2

240

240

0.8 30

0.4

180

s14m

90

120

j2

330

300

1

0.8 0.6

150

210

-j0,2

0.2

0

0

180

0

0

5

2

1

0,5

0,2

j5 210

330 s41m

240

300

210

330 s42m

240

270

210

300

0

j0,2

330 s43m

240

270

j2

300

j0,5

s44m

j1

270

Abb. 6.14 Modale Sm -Parameter normiert auf R0 = 50  des SAW-Filters EPCOS B3730 in Matrixanordnung j1

90 0

j2

0

j5

Lopt

0,2

0,5

1

2

5

-j0,2

-j5

-j0,5

s11 s22 -j1

-j2

0

60

0,8 0,6

150

-10

0,4

-4

0,2 180

-6

0

0

-20

-30

-8 -10 0,433

30 |sdd21|2/dB

j0,2

1

120

-2

Qopt

(|sdd11)|2,|sdd22)|2)/dB

j0,5

s11 s22

0,4335

0,434 Frequenz/GHz

0,4345

0,435

210

330 240

s

21

270

300

-40 0,433

s21

0,4335

0,434

0,4345

0,435

Frequenz/GHz

Abb. 6.15 Modale Sdd -Parameter sdd11 , sdd22 , sdd21 normiert auf R0 = 50  des SAW-Filters EPCOS B3730 für die differenzielle Mode

6.2

Struktur der modalen Streumatrix Sm , Beispiele

213

mit den Werten der Bauelemente (L i für f = f 0 ) Y Qopt = G Qopt − j B Qopt =

1 1 + 228,72  jω46,89 nH (6.59)

und Y Lopt = G Lopt − j B Lopt =

1 1 + 230,58  jω54,80 nH

Die auf R0 = 1/G 0 = 50  normierte Streumatrix Sdd = S50dd müssen wir auf die optimalen Admittanzen umnormieren. Dafür nutzen wir die Gleichungen in der Tab. 2.5 bzw. wegen der reellen Normierung die der Tab. 2.6 mit Sopt dd (Yopt,i ) = (M S + S50dd M D )−1 (S50dd M S + M D )

(6.60)

bzw. Sopt dd (Yopt,i ) = (M S + S50dd M D )\(S50dd M S + M D ) und den Diagonalmatrizen ⎞

⎛

y Qopt + 1 ⎜ 2√g Qopt MS = ⎜ ⎝ 0

0

⎟ ⎟ y Lopt + 1 ⎠ √ 2 g Lopt ⎞

⎛

MD

y Qopt − 1 ⎜ 2√g Qopt =⎜ ⎝ 0

(6.61)

0

⎟ ⎟ y Lopt − 1 ⎠ √ 2 g Lopt

In gleicher Weise können wir mit den Gl. (6.57) und den Kehrwerten der Gl. (6.58) optimale Impedanzen bei der Mittenfrequenz f 0 des Filters für die Quelle und die Last berechnen Z Qopt =

1 = R Qopt + j X Qopt = 54,46  + jω35,72 nH Y Qopt (6.62)

und Z Lopt =

1 = R Lopt + j X Lopt = 68,20  + jω38,59 nH Y Lopt

Wie schon im Abschn. 1.4 bemerkt, zeigen auch die Gl. (6.59) und (6.62), dass R Q = 1/G Q und R L = 1/G L sind.. Mit den Impedanzen gilt die Ersatzschaltung in der Abb. 6.16. Statt der Parallel- entstehen mit den optimalen Impedanzen verlustbehaftete Serienschwingkreise. Für die Umnormierung der S50dd -Streumatrix gilt nach Tab. 2.6 jetzt die Gleichung

214

6 Differenzielle Leitungen

Abb. 6.16 Surface Acoustic Wave(SAW) Filter Ersatzschaltung mit Spannungsquelle und Lastimpedanz Z L

Sopt dd (Yopt,i ) = (M S − S50dd M D )−1 (S50dd M S − M D )

(6.63)

bzw. Sopt dd (Yopt,i ) = (M S − S50dd M D )\(S50dd M S − M D ) mit den Diagonalmatrizen ⎞

⎛

z Qopt + 1 ⎜ 2√r Qopt MS = ⎜ ⎝ 0

0

⎟ ⎟ + 1⎠

z Lopt √ 2 r Lopt

⎞

⎛

MD

z Qopt − 1 ⎜ 2√r Qopt =⎜ ⎝ 0

(6.64)

0

⎟ ⎟ z Lopt − 1 ⎠ √ 2 r Lopt

In den Abb. 6.17 und 6.18 sind die Ergebnisse der neuen Normierung dargestellt. Bezüglich des Betrages von s11 , s22 , s21 gibt es im betrachteten Frequenzbereich keinen Unterschied zwischen der Admittanz(Y)- und Impedanz(Z)-Darstellung. Da wir bezüglich Anpassung und Übertragung für die Mittenfrequenz optimiert haben, ist die Anpassung „exakt“ nur bei der Mittenfrequenz gegeben. Die Übertragung ist bekanntlich nicht so empfindlich auf Abweichungen vom optimalen Wert. Durch den Betrieb des SAW-Filters innerhalb optimaler Admittanzen/Impedanzen erhalten wir bezüglich |s21 |2 in der Abb. 6.18b einen glatten Verlauf bei geringerer Dämpfung gegenüber dem in der Abb. 6.15. Von Interesse sind gleichfalls die Phasen der Streumatrixparameter. Die Umnormierung auf Admittanzen entspricht den Reflexionsfaktoren L P I und die auf Impedanzen L PU , Gl. (1.123). Beide sind betragsgleich (Abb. 6.18a), unterscheiden sich aber in der Phase für den Ein- und Ausgang | φs11 | = |2 arg(Y Qopt )| = |2 arg(Z Qopt )| und | φs22 | = |2 arg(Y Lopt )| = |2 arg(Z Lopt )|

(6.65)

6.2

Struktur der modalen Streumatrix Sm , Beispiele

215

j1

90

j0,5

1

120

j2

60

0,8

j0,2

0,6

150

j5

30

0,4 0,2

0

0,2

0,5

1

2

s11Y

-j0,2

180

5

0

-j5

s22Y

210

330

s11Z

s

s22Z

-j0,5

0

-j2

21Y

s21Z

240

-j1

300

270

a)

b)

Abb. 6.17 Ortskurven der Streumatrixparameter s11 , s22 a) und s21 b) der differenziellen Anregung des SAW-Filters normiert auf die optimalen Admittanzen Y Q,L (zusätzlicher Index Y) und Impedanzen Z Q,L (zusätzlicher Index Z) 0

0 Frequenz/GHz = 0,434 |s21 | 2 /dB = -1,7087

-10

-20 s11Y

-30

s11Z

|s21|2/dB

(|s11)|2,|s11)|2)/dB

-10

-20

-30

s22Y

s21Y

s22Z

-40 0,433

0,4335

0,434

Frequenz/GHz

a)

0,4345

0,435

s21Z

-40 0,433

0,4335

0,434

0,4345

0,435

Frequenz/GHz

b)

Abb. 6.18 Streumatrixparameter s11 , s22 a) und s21 b) der differenziellen Anregung des SAWFilters normiert auf die optimalen Admittanzen Y Q,L (zusätzlicher Index Y) und Impedanzen Z Q,L (zusätzlicher Index Z)

und entsprechend für den Ausgang. Mit der Definition der Wellen in den Gl. (1.109), (1.111), (1.114) und Y L = 1/Z L folgt für das Verhältnis G Q R L (U2 Y L∗ − I2 )(U1 + I1 Z Q ) s21Y = s21Z G L R Q (U1 Y Q + I1 )(U2 − I2 Z ∗L ) (6.66)

∗

YQ YL

ZL ZQ

=



=

Z Q Z ∗L YL YQ Beide Übertragungsfaktoren haben den gleichen Betrag, aber einen Phasenunterschied von | φs21 | = | arg(Z Qopt ) + arg(Z Lopt )| = | arg(Y Qopt ) + arg(Y Lopt )|

(6.67)

216

6 Differenzielle Leitungen 300 arg(s21Y)

Frequenz/GHz = 0,4345 | |/° = 121,474

200

100

Frequenz/GHz = 0,4345 | |/° = 117,7502

arg(s21Z ) |

|

0

arg(s21)/°

arg(s11)/°

100

-100

0 -100 -200

arg(s11Y)

-200

0,433

arg(s11Z )

0,4335

0,434

Frequenz/GHz

a)

0,4345

0,435

-300 -400 0,433

0,4335

0,434

0,4345

0,435

Frequenz/GHz

b)

Abb. 6.19 Phasenverlauf der Streumatrixparameter. a) s11 und b) s21 der differenziellen Anregung des SAW-Filters normiert auf die optimalen Admittanzen Y Q,L (zusätzlicher Index Y) und Impedanzen Z Q,L (zusätzlicher Index Z)

Die Phasenunterschiede bei den Streumatrixelementen zeigen die Ortskurven in der Abb. 6.17 und die Phasenabhängigkeiten in der Abb. 6.19. Wegen des mehrmaligen Überganges der Phase von s21 Z zwischen −180◦ und 180◦ wird diese Phase fortlaufend dargestellt. Die Anwendung des SAW-Filters muss entscheiden, welche der beiden Umnormierungen, der damit verbundenen Schaltungen und Phasenabhängigkeiten die Forderungen der Praxis besser erfüllt.

6.3

Symmetrierglied

Um mit erdbezogenen TEM-Leitungen differenzielle Leitungen anzuregen bzw. von differenziellen Leitungen wieder auf erdbezogene Leitungen zu wechseln, müssen wir Anordnungen, Schaltungen entwerfen, die diese Umwandlung verlustarm ermöglichen. In der Abb. 6.20 ist dieses Bauteil schematisch dargestellt. Die erdbezogenen Tore 1 und 2 bilden das logische Tor 1 zur Anregung der differenziellen oder common Mode. Das Symmetrierglied hat nur ein logisches Tor und am erdbezogenen Tor 3 erfolgt die Auskopplung. Hauptsächlich wird das Symmetrierglied für die Umwandlung der differenziellen Mode in die erdbezogene Mode eingesetzt. Die common Mode soll dabei total unterdrückt werden. In der englischsprachigen Literatur wird das Symmetrierglied als Balun (balanced unbalanced) bezeichnet. In Analogie zum Abschn. 6.1 wollen wir die modale Streumatrix Sm der Anordnung der Abb. 6.20 als Funktion der nodalen Dreitormatrix Sn angeben. Bezüglich der Überlagerung der Spannungen und Ströme am logischen Tor 1 gelten die gleichen Zusammenhänge wie in den Gl. (6.3) und (6.4) mit dem Unterschied, dass es es am Tor 3 nur erdbezogene Spannungen und Ströme gibt.

6.3

Symmetrierglied

217

3

2

1

1

Masse mit Potenzial 0

Abb. 6.20 Symmetrierglied mit zugeordneten Spannungen und Strömen, schwarz nodal (erdbezogen), Tornummern Kreise, blau modal Common-Mode, rot modal Differenzial-Mode, logisches Tor Quadrat, reine TEM-Felder

⎞⎛ ⎞ ⎞ ⎛ I1 Id1 1/2 −1/2 0 ⎝ Ic1 ⎠ = ⎝ 1 1 0⎠ ⎝ I 2 ⎠ 0 0 1 I3 I3

≡

I m = Mi I

(6.68)

⎞⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ U1 1 −1 0 Ud1 ⎝Uc1 ⎠ = ⎝1/2 1/2 0⎠ ⎝U2 ⎠ 0 0 1 U3 U3

≡

Um = Mu I

(6.69)

⎛

und

Wir normieren die Ströme und Spannungen entsprechend ⎞ ⎛√ Gd 0 0  √ ⎝ Gc 0 ⎠ i m = Ni i m = G0 Mi i √ 0 0 G0 oder analog Gl. (6.9) im = mit M in



G 0 N i−1 M i i = M in i

⎞ ⎛√ √ rd /2 − rd /2 0 √ √ = ⎝ rc rc 0⎠ 0 0 1

(6.70)

(6.71)

(6.72)

Für die Spannungen gilt um = M un u

(6.73)

218

6 Differenzielle Leitungen

und M un

⎞ ⎛ √ √ gd − gd 0 √ √ = ⎝ gc /2 gc /2 0⎠ 0 0 1

(6.74)

Damit erhalten wir für die Summen- und Differenzmatrix des Symmetriergliedes ⎞ ⎛√ √ gd (1 + rd /2) − gd (1 + rd /2) 0 √ √ M S = ⎝ gc (1/2 + rc ) gc (1/2 + rc ) 0⎠ 0 0 2

(6.75)

⎞ ⎛√ √ gd (1 − rd /2) − gd (1 − rd /2) 0 √ √ = ⎝ gc (1/2 − rc ) gc (1/2 − rc ) 0⎠ 0 0 0

(6.76)

sowie MD

Diese Matrizen setzen wir die Gl. (6.22) und (6.23) für die Umrechnung der Streumatrizen Sn und Sm ein. Sm = (M D + M S Sn ) (M S + M D Sn )−1 = (M D + M S Sn ) ((M S + M D Sn ) \E) (6.77) bzw. Sn = (M S − M D Sm )−1 (M S Sm − M D ) = (M S − M D Sm ) \ (M S Sm − M D )

(6.78)

und bei der Wahl rd = 2, rc = 1/2 wird auch hier M D = O sowie (6.75) ⎛ ⎞ √ 1 −1 0 M S = M = 2 ⎝1 1 0 ⎠ 0 0 2

(6.79)

Die Gl. (6.77) und (6.78) vereinfachen sich zu Sm = M Sn M −1 = M Sn (M\E) Sn = M −1 Sm M = (M\Sm )M

(6.80)

Die modale Streumatrix Sm des Symmetriergliedes hat folgende Gestalt bm = Sm am

→

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ sdd11 sdc12 sd013 bd ad ⎝ bc ⎠ = ⎝ scd21 scc22 sc023 ⎠ ⎝ ac ⎠ b3 s0d31 s0c32 s0033 a3

(6.81)

und beim idealen Symmetrierglied sollten die Elemente der modalen Streumatrix Sm diese Werte besitzen

6.4

Symmetrierglied, Beispiele

219

⎞ 0 0 |1|e jϕ13 Sm = ⎝ 0 |1|e jϕ22 0 ⎠ jϕ 31 |1|e 0 0 ⎛

(6.82)

das heißt, differenzielle und erdbezogene Mode sind angepasst, zwischen beiden erfolgt verlustfreie Leistungsübertragung, die Common-Mode wird voll reflektiert, und es gibt von ihr und zu ihr keine Leistungsübertragung der beiden anderen Moden.

6.4

Symmetrierglied, Beispiele

In der Abb. 6.21 sind einige Ausführungen von Symmetriergliedern dargestellt. Die Funktion des Transformators mit Mittelanzapfung ist leicht einzusehen. An den Toren 1 und 2 sind die Spannungen in der Phase um 180◦ verschoben, wenn am Tor 3 erdbezogen eingespeist wird. Die drei Spulen haben die gleiche Anzahl von N Windungen. Für eine enge Verkopplung werden die drei Spulen trifilar auf einen Ferritkern (Toroid, Doppelloch) mit einem geeigneten Wert der Permeabilität μr (Verluste, Unterdrückung von Resonanzen) gewickelt. Wird das Tor 3 mit dem Widerstand R0 erdbezogen gespeist, muss die symmetrische Last zwischen den Anschlüssen 1 und 2 für die Anpassung den Widerstandswert 4R0 haben, da das Übersetzungsverhältnis u¨ = 2 ist. Das Tranformatorprinzip funktioniert sehr breitbandig, entweder insgesamt oder in Teilbereichen vom kHz- bis zum unteren GHz-Bereich. Die Funktion λ L /2-Leitung als Symmetrierglied ist bandbegrenzt. Bei der Mittenfrequenz hat der Wert des Wellenwiderstandes RW der λ L /2-Leitung keinen Einfluss auf die Symmetrierung. Die Phasen an den Toren 1 und 2 haben wegen der Länge L = λ L /2 einen Phasenunterschied von 180◦ . Abseits der Mittenfrequenz ist für RW = 2R0 die Anpassungsbandbreite maximal, ca. 60 % für a R > 20 dB, aber der Phasenunterschied beträgt entweder nur ca. 110◦ an der unteren und ca. 250◦ an der oberen Frequenzgrenze. Gleichfalls sinkt bei Abweichung von der Mittenfrequenz die Common-Moden-Unterdrückung merkbar. Damit bei der Mittenfrequenz die Schaltung angepasst ist, müssen die Belastungswiderstände an den Toren 1 und 2 den Wert von 2R0 haben. Da die Ströme zur Masse gegenphasig sind,

a)

b)

Abb. 6.21 Symmetrierglieder. a) Transformator. b) λ L /2-Leitung. c) -Hybrid

c)

220

6 Differenzielle Leitungen

können diese Verbindungen gelöst und beide Widerstände verbunden werden. Damit hat auch bei der λ L /2-Leitung die symmetrische Last der Wert von 4R0 . Wegen ihrer einfachen Herstellung wird die λ L /2-Leitung häufig zur Symmetrierung der Speiseleitung bei Dipolen verwendet (λ L /2-Schleife). Das -Hybrid (Nummerierung Symmetrierglied Sm ) kann gleichfalls zur Symmetrierung verwendet werden, da an den Toren 1 und 2 die ablaufenden Wellen eine gleiche Amplitude aber einen Phasenunterschied von 180◦ haben. Die symmetrische Last ist jetzt 2R0 , da erdbezogen an den Toren 1 und 2 zur Anpassung eine Last von R0 gefordert wird. Bezüglich Bandbreite, Phasenunterschied und Common-Moden-Unterdrückung hat das -Hybrid die gleichen negativen Eigenschaften wie die λ L /2-Leitung. Bei einer 20 % Bandbreite liegt der Phasenunterschied zwischen 175◦ und 185◦ . In der Abb. 6.22 ist die planare Form des Symmetriertransformators dargestellt, den N. Marchand 1944 [2] erfunden hat. Die Anordnung besteht aus zwei Kopplern, bei denen jeweils ein Ende der Nebenleitungen mit Masse verbunden ist. Die Hauptleitung in der Mitte ist am Ende offen (Leerlauf). Beide Koppler haben eine Länge L = λ L /4. Die Abb. 6.23 zeigt die Frequenzabhängigkeit der auf R0 = 50  normierten nodalen Sn -Parameter. Wir erkennen die um 180◦ verschobenen Phasen der Elemente s31 , s32 . Der Marchand-Balun ist ein passives reziprokes Dreitor. Deshalb gilt si j = s ji | j=i . Die Ortskurve von s33 windet sich um den Anpassungspunkt. Mit der Gl. (6.77) werden aus den nodalen Sn -Parametern die modalen berechnet. Im ersten Schritt ist R0 = 50  am logischen und am erdbezogenen Tor, bzw. rd = rc = 1. Das Ergebnis der Umrechnung zeigt die Abb. 6.24. Die Anordnung der Elemente der Streumatrix Sm entspricht denen in der Matrix nach der Gl. (6.81). Für die allseitige 50 -Normierung ist der Marchand-Balun fehlangepasst. Beim Element sdd11 erkennen wir für f = f m eine Schleifenbildung beim normierten Widerstand rm = 4. Folglich verlangt das logische Tor 1 einen Abschlusswiderstand von R = 200  zur Anpassung. Aber auch ohne allseitige Anpassung unterdrückt der Marchand-Balun in dem betrachteten Frequenzbereich die common Mode ideal, und es gibt keinen Leistungstransport zwischen ihr und den anderen Toren. Wir benutzen wieder die Elemente der Abb. 6.23 für eine erneute Umrechnung mit rd = 4 und der Gl. (6.77). Die

2 3 1

Abb. 6.22 Planarer Marchand-Balun, R0 = 50 

6.4

Symmetrierglied, Beispiele

221

j1

90°

j0,5

90° 1

120°

j2

60°

1

120°

0.8

j0,2

0.6

150°

j5

30°

0.6

150°

0.4

0,2

0,5

1

2

180°

5

-j0,2

30°

0.4

0.2

0

60°

0.8

0.2

0

0°

180°

0

0°

-j5 210°

-j0,5

330°

-j2

240°

210°

330°

300°

240°

300°

270°

-j1

270°

j1

90° 1

120°

60°

90°

j0,5

1

120°

j2

0.8 0.6

150°

30°

j0,2

0.4

j5

0.6

150°

0.2

0

0°

0

0,2

0,5

1

2

180°

5

-j0,2 210°

240°

-j0,5

300°

90°

-j2

240°

300° 270°

j1

90° 60°

1

120°

0.8

60°

j0,5

j2

0.8

0.6

30°

0.6

150°

0.4

30°

j0,2

0.4

0.2 180°

330°

-j1 1

0°

210°

270°

150°

0

-j5

330°

120°

30°

0.4

0.2 180°

60°

0.8

j5

0.2

0

0°

180°

0

0°

0

0,2

0,5

1

2

5

-j0,2 210°

330°

240°

300° 270°

210°

-j5

330°

240°

300° 270°

-j0,5

-j2 -j1

Abb. 6.23 Nodale Dreitor-S-Parameter des Marchand-Baluns nach Abb. 6.22, an allen Toren Normierung R0 = 50 , ideale Leitungen (homogenes Dielektrikum), f m = 1 GHz, 0,25 GHz ≤ f ≤ 1,75 GHz Kopplerdimensionierung: R0 = 100 !, C = 3,01 dB, R0o = 41,42 , R0e = 241,42 , Gl. (3.53)

Wahl von rc hat wegen der Entkopplung keinen Einfluss auf das Ergebnis. Die Abb. 6.25 zeigt das ideale Verhalten eines angepassten Marchand-Baluns im betrachteten Frequenzbereich. Das verdeutlichen gleichfalls die Diagramme in der Abb. 6.26. Für die Reflexionsdämpfung a R > 18 dB ist die relative Bandbreite etwas größer als 100 %. Die Phasendifferenz zwischen den Toren 1 und 2 entspricht im gesamten Frequenzbereich den geforderten 180◦ .

222

6 Differenzielle Leitungen j1

90

j0,5

90 1

120

j2

60

1

120

0.8 0.6

150

j0,2

j5

30

0.6

150

0.4

0,2

0,5

1

2

180

5

30

0.4

0.2

0

60

0.8

0.2

0

0

180

0

0

f m = 1GHz, r m = 4

-j0,2

-j5 210

-j0,5

330

-j2

240

210

330

300

-j1

240

300

270

270 90

j1

90 1

120

60

j0,5

1

120

j2

0.8 0.6

150

30

0.6

150

j0,2

0.4

j5

0.2

0

0

0

0,2

0,5

1

2

180

5

-j0,2 210

240

300

240

300 270

j1

90 60

1

120

0.8

60

j0,5

j2

0.8

0.6

30

0.6

150

0.4

30

j0,2

0.4

0.2 180

330

-j2 -j1

1

0

210

-j0,5

270 90

150

0

-j5

330

120

30

0.4

0.2 180

60

0.8

j5

0.2

0

0

180

0

0

0

0,2

0,5

1

2

5

-j0,2 210

330

240

300 270

210

-j5

330

240

300 270

-j0,5

-j2 -j1

Abb. 6.24 Modale Dreitor-Sm -Parameter des Marchand-Baluns nach Abb. 6.22, Normierung R0 = 50  am logischen und am erdbezogenen Tor, ideale Leitungen (homogenes Dielektrikum), f m = 1 GHz, 0,25 GHz ≤ f ≤ 1,75 GHz Kopplerdimensionierung: R0 = 100 !, C = 3,01 dB, R0o = 41,42 , R0e = 241,42 , Gl. (3.53)

Für den Marchand-Balun werden die λ L /4-Koppler unveränderlich sein, so dass der Entwurfswiderstand R0 der Koppler und der Wert ihrer Koppeldämpfung C die zwei Parameter sind, mit denen die Eigenschaften des Marchand-Baluns optimiert werden können.

6.4

Symmetrierglied, Beispiele

223

j1

90°

j0,5

90° 1

120°

j2

60°

1

120°

0.8

j0,2

s

0.6

150°

j5

dd

30°

0.6

150°

0.4

0,2

0,5

1

2

180°

5

-j0,2

30°

0.4

0.2

0

60°

0.8

0.2

0

0°

180°

0

0°

-j5 210°

-j0,5

330°

-j2

240°

210°

330°

300°

240°

300°

270°

-j1

270°

j1

90° 1

120°

60°

90°

j0,5

1

120°

j2

0.8 0.6

150°

30°

j0,2

0.4

j5

0.6

150°

0.2

0

0°

0

0,2

0,5

1

2

180°

5

-j0,2 210°

240°

-j0,5

300°

90°

-j2

240°

300° 270°

j1

90° 60°

1

120°

0.8

60°

j0,5

j2

0.8

0.6

30°

0.6

150°

0.4

30°

j0,2

0.4

0.2 180°

330°

-j1 1

0°

210°

270°

150°

0

-j5

330°

120°

30°

0.4

0.2 180°

60°

0.8

j5

0.2

0

0°

180°

0

0°

0

0,2

0,5

1

2

5

-j0,2 210°

330°

240°

300° 270°

210°

-j5

330°

240°

300° 270°

-j0,5

-j2 -j1

Abb. 6.25 Modale Dreitor-Sm -Parameter des Marchand-Baluns nach Abb. 6.22, Normierung R0 = 200  am logischen 1 und R0 = 50  am erdbezogenen 3 Tor, ideale Leitungen (homogenes Dielektrikum), f m = 1 GHz, 0,25 GHz ≤ f ≤ 1,75 GHz Kopplerdimensionierung: R0 = 100 !, C = 3,01 dB, R0o = 41,42 , R0e = 241,42 , Gl. (3.53)

Bei inhomogenem Dielektrikum, z. B. Geometrie der Mikrostreifenleitung, und der damit verbundenen Ungleichheit der Phasengeschwindigkeiten der differenziellen und der common Mode verschlechtern sich die Eigenschaften des Marchand-Baluns deutlich bezüglich Bandbreite, Symmetrie und common Mode Unterdrückung.

6 Differenzielle Leitungen 0

0

-0.4

-20

-0.6

-30

-0.8

-40

-1 0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frequenz/GHz

1.2

1.4

1.6

-50 1.8

arg(s13), arg(s23)/°

-10

|s0033|2/dB

|s0d31|2/dB

-0.2

100

210

0

200

-100

190

-200

180

-300

170

-400

160

-500 0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

arg(s13,s23)/°

224

150 1.8

Frequenz/GHz

Abb. 6.26 Modale 200  Dreitor-S-Parameter des Marchand-Baluns nach Abb. 6.22, ideale Leitungen (homogenes Dielektrikum), f 0 = 1 GHz, 0,25 GHz ≤ f ≤ 1,75 GHz Kopplerdimensionierung: R0 = 100 !, C = 3,01 dB, R0o = 41,42 , R0e = 241,42 , Gl. (3.53)

Literatur 1.

2. 3. 4.

Bockelmann, D.E.: The Theory, Measurement and Applications of Mode specific Scattering Parameters with multiple Modes of Propagation. Dissertation, University of Florida, Gainesville (1997) Marchand, N.: Transmission line conversion transformers. Electronics 17, 142–145 (1944) Napoli, L.S. ; Hughes, J.J.: Characteristics of coupled microstrip lines. RCA Rev. 31(3), 479– 498 (1970) Rehner, R.: Ultra-breitbandige Filter. Multiplexer und Mischer für den Aufbau hochintegrierter Millimeterwellen-Empfangssysteme. Dissertation, Friedrich-Alexander-Universität, ErlangenNürnberg (2009)

7

Netzwerkanalysator

Die Abb. 7.1 zeigt die Vorderansicht eines modernen Zweitor-Netzwerkanalysators mit Kommentaren zur Funktion einzelner Elemente der Bedienung. Gegenüber dem Netzwerkanalysator in der Abb. 2.4 aus dem Jahr 1967 besticht dieses moderne Gerät durch seinen großen Bildschirm, die Vielzahl der Möglichkeiten der Bedienung und durch seinen kompakten Aufbau in einem Gehäuse. Die Bücher von M. Hiebel [9], J. P. Dunsmore [3] und G. Bonaguide, N. Jarvis [1] geben umfassend Auskunft bezüglich der Anwendung des Netzwerkanalysators in der Messtechnik. Wir wollen im Folgenden nur wesentliche Baugruppen und Verfahren am Beispiel des Zweitor-Netzwerkanalysators besprechen. In der Abb. 7.2 sind die Baugruppen des Netzwerkanalysators dargestellt. Der Synthesegenerator stellt das Messsignal zur Verfügung. Damit bei der Kalibrierung als auch bei der Messung bei jedem Durchlauf immer die gleiche Frequenz verwendet wird, muss die Frequenz quarzstabil ( f / f ≤ 10−6 ) sein. Ein frei laufender Generator erfüllt diese Bedingung nicht. Der Durchlauf der Frequenz bedeutet einen digitalen Wobbelvorgang, bei dem in jedem Frequenzschritt der Synthesegenerator eingeschwungen sein muss. Der folgende Umschalter ermöglicht die Messungen in Vorwärts- oder Rückwärtsrichtung. Damit die Messbedingung a2 = 0 bzw. a1 = 0 erfüllt wird, muss die jeweils andere Richtung mit dem Wellenwiderstand R0 abgeschlossen werden. Die Ausführung des Schalters ist firmenspezifisch. In vielen Geräten wird ein Halbleiterschalter (pin-Diode oder FET) eingesetzt. Damit ist eine große Anzahl von Messungen je Zeiteinheit vorwärts und rückwärts möglich. Diese Anzahl wird gleichfalls durch die Einschwingzeit des Synthesegenerators, der Verarbeitungseinheit (Auflösungsbandbreite) und die des Messobjektes bestimmt. Die Messungen sollen ein quasi stationäres Ergebnis liefern. An den Schalter schließen sich vor und nach dem Messobjekt die wichtigen Baugruppen für die Wellentrennung an. Mit ihnen werden proportionale Anteile der vier Wellen a1 , b1 , a2 und b2 aus den Hauptleitungen entnommen. Die Frequenz dieser Signale liegt im Messbereich des Netzwerkanalysators z. B. zwischen 10 MHz und 110 GHz. Um die © Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 S. Martius, Wellenbeschreibung elektrischer Netzwerke mit der Streumatrix, https://doi.org/10.1007/978-3-658-38875-1_7

225

226

7 Netzwerkanalysator

Abb. 7.1 Moderner Zweitor-Netzwerkanalysator ZNB 8, Rohde & Schwarz, München

Abb. 7.2 Baugruppen des Zweitor-Vierkanal-Netzwerkanalysators

7.1 Wellentrennung

227

komplexen Quotienten der Wellenanteile bilden zu können, müssen diese Signale in eine konstante Zwischenfrequenz umgesetzt werden. Das ist außerdem für die schmalbandige Verstärkung (großes Signal-/Rauschverhältnis) notwendig. Die einzustellende Bandbreite ist dann ein Kompromiss zwischen großem Signal-/Rauschverhältnis und gewünschter Anzahl der Messungen je Zeiteinheit (Einschwingzeit). Alle modernen und fehlerarmen Netzwerkanalysatoren verwenden für jede der vier Wellensignale einen Mischer bzw. einen ZF-Kanal bestehend aus mehreren Mischern, erstens um die notwendige relative Bandbreite und zweitens um die notwendige große Verstärkung mit unterschiedlichen Frequenzen zu erreichen (Vermeidung der Selbsterregung). Wegen der zwei Tore und vier Mischer ist der in der Abbildung dargestellte Aufbau ein ZweitorVierkanal-Netzwerkanalysator. Den ZF-Kanälen schließt sich der Block mit der Quotientenbildung, der spezifischen Verarbeitung und der gewünschten Anzeige sowie Ausgabe der Messdaten an (Abb. 7.1). Die Vielzahl der zusätzlichen Anschlüsse auf der Front- und Rückseite sind prägend für diese modernen Geräte.

7.1

Wellentrennung

7.1.1

Richtkoppler, Eintormessung

Der ideale Feldkoppler gemäß der Abb. 3.8 und den Gl. (3.50) ist eine Möglichkeit zur getrennten Anzeige der vorlaufenden Welle a1 und der reflektierten Welle a3 . Die Streumatrix des idealen Feldkopplers ist ⎛ ⎞ 0 0 τ κ ⎜0 0 κ τ ⎟ ⎟ S=⎜ (7.1) ⎝τ κ 0 0 ⎠ κ τ 0 0 In der Abb. 7.3 sind der Messaufbau und das zugehörige Graphenbild dargestellt. Die Richtdämpfung des idealen Kopplers ist a D → ∞ und der Koppler ist bis auf das Tor 3 allseitig angepasst. Wie in der Abbildung dargestellt werden wegen der erforderlichen Anpassung, Entkopplung und Bandbreite nur TEM-Rückwärtskoppler verwendet. Im Messaufbau gibt es keine Schleifen. An den Toren 2 und 4 werden die Mischer angeschlossen. Auch diese sind in der Anordnung der Abb. 7.3 eigenreflexionsfrei. Folglich entsprechen die Wellen b2 , b4 proportionalen Anteilen der Wellen a3 , a1 . Wir entnehmen den beiden Darstellungen b4 = bq κ

und

b2 = bq τ  M O κ

(7.2)

Der Netzwerkanalysator zeigt primär keine Absolutwerte der Wellen an, sondern bildet den komplexen Quotienten der Wellen Wirkung/Ursache, hier

228

7 Netzwerkanalysator

4

4

2

2

1

3

MO

1

1

3

a)

b)

Abb. 7.3 a) Idealer Richtkoppler mit Quelle und Messobjekt, b) Graphenbild der Anordnung a)

b2 = m = τ  M O b4

und damit  M O =

m τ

(7.3)

Wir erkennen, dass selbst beim idealen Richtkoppler der gemessene Reflexionsfaktor m nicht gleich dem zu messenden Reflexionsfaktor  M O ist. Für die Rückrechnung müssen wir den komplexen Wert von τ kennen, entweder aus dem Datenblatt oder durch eine zusätzliche Messung (Kalibrierung) mit einem bekannten Wert von  M O . |τ | < 1 auch beim verlustlosen Koppler, denn für |κ|  = 0 muss wegen der Leistungserhaltung gelten |κ|2 + |τ |2 = 1. In der Praxis gibt es keine idealen Richtkoppler. Wir wollen im ersten Schritt einen endlichen Wert der Richtdämpfung a D und damit von σ annehmen. Das Graphenbild hat jetzt die Struktur in der Abb. 7.4. Die Streumatrix S des Kopplers ändert sich zu ⎛

0 ⎜σ S=⎜ ⎝τ κ

σ 0 κ τ

τ κ 0 σ

⎞ κ τ⎟ ⎟ σ⎠

(7.4)

0

und für die Richtdämpfung gilt  a D = 10 log 10

P4 P2





|κ| = 20 log 10 |σ |

(7.5)

Auch die Anordnung in der Abb. 7.4 hat keine Schleifen, und die Werte der Wellen b4 und b2 sind jetzt b4 = bq (κ + τ  M O σ ) und b2 = bq (τ  M O κ + σ ) (7.6)

7.1 Wellentrennung

229

4

2

1

1

3

Abb. 7.4 Graphenbild der Anordnung nach Abb. 2.4a bei endlichem Wert der Richtdämpfung D und damit σ > 0

sowie ihr Verhältnis b2 σ + τ κ M O σ/κ + τ  M O = m = = ≈ σ/κ +  M O b4 κ + τ σ M O 1 + (τ σ/κ) M O

(7.7)

Die Näherung ist gültig für τ ≈ 1 und (σ τ/κ) M O 20 dB) am Messtor bauen. Das war und ist eine große Herausforderung für den Entwurf, insbesondere für große Bandbreiten. Ein großes Problem war und ist der Übergang von den gekoppelten Leitung zu den Anschlusssteckern. Diese Inhomogenitäten mussten und müssen aufwendig kompensiert werden. Es bedurfte und bedarf ausgefeilter Technologien bei der Fertigung, und dadurch waren und sind solche Breitbandrichtkoppler sehr teuer.

7.1.2

Allgemeines Viertor, Eintormessung

Im allgemeinen Messaufbau haben wir endliche Werte der Richtwirkung, der Eigenreflexionsfaktoren des Kopplers als auch der Anpassung der Mischer mit 2 , 4 und der Quelle q . Um von der Messanordnung zu einer allgemein gültigen Analyse für die Praxis zu kommen, geben wir den Pfaden die Kennzeichnung mit indizierten S-Parametern [18]. Wir erhalten die Anordnung der Abb. 7.7. Zur Anzeige des Reflexionsfaktors m bilden wir das Verhältnis der normierten Spannungen u 2 /u 4 an den Eingängen der Mischer. Das ist gleichbedeutend mit  b2 + a 2 U2 b2 1 + 2 u2 (7.10) = m = = = u4 b4 + a 4 U4 b 4 1 + 4

4

2

1

1 3

Abb. 7.7 Graphenbild der Anordnung nach Abb. 2.4a mit allen möglichen Pfaden zwischen den vier Toren

232

7 Netzwerkanalysator

Die Schleifenregel nach der Gl. (3.88) ergibt für die Welle b2 b2 = bq (s21 (1 − 4 s44 −  M O (s33 + 4 (s34 s43 − s33 s44 ))) + 4 s24 s41 (1 −  M O s33 ) +  M O s23 s31 (1 − 4 s44 )

(7.11)

+  M O 4 (s24 s31 s43 + s23 s34 s41 ))/N und für b4

b4 = bq (s41 (1 − 2 s22 −  M O (s33 + 2 (s23 s32 − s22 s33 ))) + 2 s21 s42 (1 −  M O s33 ) +  M O s31 s43 (1 − 2 s22 )

(7.12)

+  M O 2 (s23 s31 s42 + s21 s32 s43 ))/N Der in beiden Gleichungen gleiche Nenner N (Topologie der Messanordnung) entfällt bei der Quotientenbildung. Wir erkennen, dass in beiden Gleichungen der gesuchte Reflexionsfaktor  M O in linearer Form enthalten ist. Folglich können wir mit den Gl. (7.11), (7.12) für den Quotienten der Spannungen u 2 /u 4 nach der Gl. (7.10) abgekürzt schreiben u2 C M1 − C M2  M O ≡ m = u4 1 − C M3  M O

(7.13)

Die Gl. (7.13) ist eine lineare, gebrochene, komplexe Funktion, die die Bedingungen der konformen Abbildung erfüllt (Kreise gehen in Kreise über). Bei Kenntnis der drei komplexen Konstanten(Messplatz) C M1 , C M2 und C M3 , deren Werte von der Topologie des Messaufbaus abhängen, ist eine eindeutige Rückrechnung des Reflexionsfaktors  M O aus dem Verhältnis der Spannungen u 2 /u 4 entsprechend M O =

C M1 − m C M2 − C M3 m

(7.14)

möglich. Wir betonen an dieser Stelle gleichfalls, dass die Werte der drei Konstanten C M,i keine Funktion der Amplitude des Messsignals sein sollen (lineare Elektrotechnik). Das gilt insbesondere für die Eingangsreflexionsfaktoren 2 , 4 der Mischer. Die Leistung des Messsignals Pm muss immer kleiner als ein Zehntel der Oszillatorleistung PL O sein. Zur Bestimmung der drei komplexen Messplatzkonstanten sind minimal drei Zuordnungen i = 1 − 3 bekannter Reflexionsfaktor  M O,i und zugehöriger gemessener Reflexionsfaktor m,i notwendig. Damit gewinnen wir das lineare Gleichungssystem ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ m,1 1 − M O,1 m,1  M O,1 C M1 ⎝1 − M O,2 m,2  M O,2 ⎠ ⎝C M2 ⎠ = ⎝m,2 ⎠ ≡ AX = B 1 − M O,3 m,3  M O,3 C M3 m,3

(7.15)

Da in der Praxis alle Messungen fehlerbehaftet sind, erlauben mehr als drei Reflexionsfaktor-Zuordnungen die Verbesserung der Genauigkeit im Sinne der Gaußschen Methode der kleinsten Fehlerquadrate. Das dadurch entstehende überbestimmte Gleichungssystem (7.15) lösen wir mit dem MATLAB® -Algorithmus

7.1 Wellentrennung

233

X = A\B

(7.16)

der natürlich auch für drei Zuordnungen wegen seiner numerischen Stabilität vorzugsweise verwendet werden sollte. Das Verfahren zur Bestimmung der komplexen Konstanten C M,i nennen wir rechnergestützte Kalibrierung des Messplatzes. Die Auswahl der bekannten Reflexionsfaktoren  M O,i sollte so erfolgen, dass deren Werte weit auseinanderliegen und sich als Funktion der Frequenz nicht überschneiden. Dabei und danach in der Messung müssen immer die gleichen Frequenzpunkte angefahren werden (Synthesegenerator). Sollten die Werte der C M,i gutmütige Funktionen der Frequenz sein, ist die Anwendung der Interpolation ein wichtiges Hilfsmittel. Mit der Zuordnung Gl. (7.13) sind in der Gl. (7.7) C M1 = σ/κ, C M2 = −τ , C M3 = −τ σ/κ und bei Gl. (7.9) C M1 = 0, C M2 = −τ , C M3 = ρ. Die Beschreibung der Eigenschaften der allgemeinen Messanordnung für den Reflexionsfaktor durch die Gl. (7.13) und der Vergleich mit der Transformation des Ausgangsreflexionsfaktors 2 in den Eingangsreflexionsfaktor 1i (Gl. (7.17), Abb. 7.8) zeigen die gleiche Struktur der Abhängigkeit. 1i = s11 +

s21 2 s12 s11 − S2 = 1 − s22 2 1 − s22 2

(7.17)

mit den Äquivalenzen C M1 = s11 , C M2 = S, C M3 = s22 . Deshalb wird die Verknüpfung zwischen  M O und m auch als Fehlerzweitor bezeichnet. Hier soll angemerkt werden, dass alle vier Elemente eines allgemeinen Zweitors in der Abb. 7.8 nicht allein durch verschiedene Kombinationen  M O , m bestimmt werden können. Wie wir in der Gl. (7.17) sehen, können wir s11 , s22 und nur das Produkt s12 s21 eindeutig mit diesen Messungen berechnen. Für einen eindeutigen Wert von s12 oder s21 ist mindestens eine Übertragungsmessung notwendig. Eine wesentliche Erkenntnis aus der Gl. (7.13) besteht darin, dass wir beim Aufbau der Messanordnung für den Reflexionsfaktor nicht unmittelbar an Richtkoppler gebunden sind. Wir müssen im einfachsten Fall nur fordern, dass die vier Tore räumlich getrennt sind. Damit wären Aufbauten mit T-Verzweigungen wie beim Z-g-Diagraphen Abb. 2.2b oder ähnliche Strukturen J. Richter [26] gleichfalls möglich. Es dürfen sogar nichtreziproke Strukturen Verwendung finden. Es ist aber sinnvoll, einen solchen Aufbau zu wählen, der schon ohne Kalibrierung den Wert von  M O näherungsweise richtig wiedergibt. Ganz wichtig ist der Ort der Messstelle Tor 4 . Diese Spannung bildet den Nenner in der Gl. (7.13) und muss

1

2

Abb. 7.8 Transformation des Ausgangsreflexionsfaktors 2 in den Eingangsre-flexionsfaktor 1i

234

7 Netzwerkanalysator

für alle Werte von  M O größer null sein. Eine weitere Forderung bzw. Einschränkung für den Messaufbau beseht darin, dass im Sinne eines kleinen Messfehlers der Einheitskreis der  M O -Ebene durch die Transformation nach der Gl. (7.13) nicht nennenswert im Durchmesser verkleinert wird. Den Mittelpunkt und den Radius des zugehörigen Bildkreises in der m -Ebene erhalten wir analog zur Gl. (4.113)) zu Ct,| M O |=1 =

∗ C C M1 − C M3 M2 1 − |C M3 |2

Rt,| M O |=1 =

|C M1 C M3 − C M2 | 1 − |C M3 |2

(7.18)

Für die Anordnung nach der Abb. 7.3 folgt damit Ct,| M O |=1 = 0 und Rt,| M O |=1 = |τ |, d. h. der Mittelpunkt bleibt erhalten, der Durchmesser des Einheitskreises von  M O wird in der m -Ebene um die Dämpfung von τ etwas reduziert. Die Möglichkeit der rechnergestützten Kalibrierung führte anfangs dazu, dass man aus Kostengründen Richtkoppler mit mäßigen Daten (Richtwirkung, Eigenreflexion) einsetzte. Ohne Kalibrierung wurde das Messobjekt sehr verfälscht abgebildet. Die Messplatzkonstanten C M,i waren außerdem sehr empfindlich bezüglich kleiner, temperaturbedingter Längenund damit Phasenänderungen im Testset. Durch die Kalibrierung erhalten wir aus einer realen schlechten Messanordnung einen virtuellen guten Messplatz mit scheinbar großer Richtdämpfung a D und Eigenreflexionsdämpfung aρ . Ein angeschlossener Transistor sieht aber den Wert des realen Reflexionsfaktors ρ am Messtor. Bei merkbaren Abweichungen vom Wert null kann es darum zur Selbsterregung der Messschaltung kommen. Deshalb sind reale Werte von aρ > 20dB anzustreben. Da die Anpassung der Mischer oft schwer zu erreichen ist, können wir die Wechselwirkungen der Reflexionsfaktoren 2 , 4 mit den Einbau eines Doppelrichtkopplers (Reflektometer) verhindern, wie das die Abb. 7.9 zeigt. Die Abschlusswiderstände R0 in den Nebenleitungen (in der Abb. 7.9b gut zu sehen) absorbieren die Reflexionen der Mischer an den Toren 2 und 4 . Für die Streumatrix S des idealen Reflektometers gilt

2

4

1

3

a)

MO

b)

Abb. 7.9 a) Reflektometer-Anordnung, b) Reflektometer 1 – 40 GHz, Krytar, Sunnyvale, CA

7.1 Wellentrennung

235

⎛

0 ⎜0 S=⎜ ⎝τ 2 κ

0 τ2 0 κ κ 0 0 0

⎞ κ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

(7.19)

Die Tore 2 und 4 sind gegenüber denen des einfachen Richtkopplers entkoppelt. Am Tor 4 befindet sich eine zusätzliche angepasste verlustarme Leitung mit der elektrischen Länge τ 2 des gesamten Reflektometers zum Ausgleich der Laufzeit bzw. zur Phasenkompensation. Da beim verlustlosen, angepassten idealen Richtkoppler wegen der Leistungserhaltung |τ | < 1 ist, sollte dieser Leitung zur Amplitudenkompensation noch ein Dämpfungsglied geringer Dämpfung in Kette geschaltet werden (vielleicht ist schon der Wert der Eigendämpfung dieser „Posaune“ ausreichend). Hier enthält der Kasten mit τ 2 beides. Die zusätzliche Leitung („Posaune“) ist auch gut in der Abb. 2.2a am linken Reflektometer zu sehen. Für 2 = 4 = 0 entsprechen b2 = u 2 und b4 = u 4 . Damit ist b2 u2 = = m =  M O b4 u4

(7.20)

Der Einheitskreis der  M O -Ebene wird bei einem verlustarmen Reflektometer mit Phasenund Amplitudenkompensation in den Einheitskreis der m -Ebene abgebildet. Gemäß der Gl. 7.13 sind C M1 = C M3 = 0 und C M2 = −1. Bei jeder Anordnung zur Messung des Reflexionsfaktors  M O sollte versucht werden, dass mit Hilfe verlustarmer Leitungen und Dämpfungsgliedern die Identität m ≈  M O näherungsweise erreicht wird. Im Netzwerkanalysator wird häufig statt des Reflektometers die Kombination eines Richtkopplers mit einem resistiven Leistungsteiler eingesetzt, wie das die Abb. 7.10a zeigt. Die Kombination κτ in der Abb. 7.10a entspricht der Kombination eines angepassten ohmschen

a)

b)

Abb. 7.10 a) Richtkoppler mit resistivem Leistungsteiler, allseitig angepasst, b) Signalflussgraphen der Schaltungskombination

236

7 Netzwerkanalysator

Dämpfungsgliedes und einer verlustarmen angepassten Leitung der elektrischen Länge τ . Da der Leistungsteiler allseitig eigenreflexionsfrei ist, gibt es in dieser Anordnung analog zum Reflektometer keine Schleifen. Das verdeutlichen die Signalflussgraphen in der Abb. 7.10b. Im Gegensatz zum Reflektometer ist die Welle b4 hier über zwei Pfade erreichbar. Wir erhalten

 a1 b4 = κτ 1 + τ 2  M O /2 (7.21) 2 und für b2 mit nur einem Pfad a1 b2 = κτ  M O (7.22) 2 Der Quotient b2 /b4 ist damit M O b2 = m = b4 1 + τ 2  M O /2

(7.23)

Bei der Kombination Richtkoppler und resistiver, angepasster Leistungsteiler ist keine vollständige Phasen- und Amplitudenkompensation möglich. Die Welle b4 wäre ohne Amplitudenkompensation etwa um den Betrag der Koppeldämpfung des Richtkopplers größer als die Welle b2 . Bei der Anwendung des Reflektometers entfällt diese Ungleichheit. In der Schaltung der Abb. 7.10 sind C M1 = 0, C M2 = −1 und C M3 = −τ 2 /2. Ohne Amplitudenangleichung der Welle b4 würde bei großer Koppeldämpfung ein Bildkreis in der m -Ebene mit einem kleinen Durchmesser entstehen. Der Ersatz des allseitig angepassten Leistungsteilers durch den mit einseitiger Anpassung ergibt die Schaltung und das Bild der Signalflussgraphen in der Abb. 7.11. In Verbindung mit den Reflexionsfaktoren von Teiler und Messobjekt entsteht die Schleife S1 = τ 2  M O /4. Damit erhalten wir für die Welle b4

1/2 4

1/4 1/2 2

1

3

1/4

1

MO

1/2

1/4

3

1

1/2

1/4 1 2

4

a)

b)

Abb. 7.11 a) Richtkoppler mit resistivem Leistungsteiler, einseitig angepasst b) Signalflussgraphen der Schaltungskombination

7.1 Wellentrennung

b4 = a1 κτ

237

κτ (1 − τ 2  M O /4)/2 + τ 2  M O /8 a1 = 2 2 2 (1 − τ  M O /4) 1 − τ  M O /4

und b2 ist b2 = sowie

κτ  M O a1 2 (1 − τ 2  M O /4)

(7.24)

(7.25)

b2 = m =  M O b4

(7.26)

mit C M1 = C M3 = 0 und C M2 = −1. Hier können wir mit der Amplituden- und Phasenkompensation bei der Welle b4 die Identität m =  M O erreichen. Durch die Schleife S1 wird der Wert des zweiten Pfades zur Welle b4 durch Interferenz aufgehoben.

7.1.3

Brücke, Eintormessung

Die Baulänge eines Richtkopplers ist proportional zur Wellenlänge. Unterhalb von f = 2 GHz werden diese deshalb übermäßig lang. Im kHz-Frequenzbereich ist ihre Anwendung nicht praktikabel. Deshalb muss man versuchen, mit Schaltungen aus konzentrierten Bauelementen eine Wellentrennung zu erreichen. Mit dem Prinzip der Wheatstone-schen Brücke (eingeführt 1833) ist das möglich P. D. Lacy, W. Oldfield [14], A. Kraus [13]. In der Abb. 7.12 ist die Brücke dargestellt1 . Für die Brückenspannung können wir schreiben Uq Uq Z x − R 0 Uq z x − 1 U Br = = x = (7.27) 2 Z x + R0 2 zx + 1 2 Das Verhältnis U Br /Uq ist dem Reflexionsfaktor x proportional. Werden die ohmschen Widerstände als ungewendelte kleine (klein gegen die Wellenlänge(< λ/10)) SMDWiderstände ausgeführt, haben auch deren Parasitäten kleine Werte, und die Brücke kann

a)

b)

Abb. 7.12 a) Brücke, Spannungsquelle an Masse, b) Brücke, Brückenspannung an Masse 1 Die Wheatstone-sche Brücke diente bis ca.1950/60 zur Messung ohmscher Widerstände, bevor es im großen Umfang preiswerte Multimeter gab

238

7 Netzwerkanalysator

bis zum Beginn des GHz-Bereiches genutzt werden. Erste Anwendungen der Brücke finden wir für die Messung des komplexen Reflexionsfaktors bei T. Ichino et al. [11] und in einem Netzwerkanalysator bei W. Spaulding [29] Die Brücke ist insgesamt eine symmetrische Anordnung. Für den praktischen Gebrauch muss an einer Stelle der Brücke die Verbindung zur Masse hergestellt werden. Außerdem müssen wir beachten, dass das Messobjekt erdbezogen(koaxial) ist. Es bieten sich die beiden Möglichkeiten der Abb. 7.13 an. Der dazu notwendige breitbandige Symmetrierübertrager ist das wesentliche Bauelement. In dessen praktischer breitbandigen Realisierung besteht das Wissen und Können der verschiedenen Hersteller. Mit dem Symmetrierübertrager entsteht eine Dreitor, dass allseitig angepasst ist, und die Tore 1 und 2 sind entkoppelt. Damit entspricht die Brücke einem Richtkoppler mit |τ | = |κ| = 1/2. Um einen proportionalen Anteil der vorlaufenden Welle zu messen, kombinieren wir die Brücke gleichfalls mit dem resistiven Leistungsteiler wie bei den Anordnungen mit dem Richtkoppler. Wir erhalten die Schaltungen der Abb. 7.14. Die Bilder für die Signalflußgraphen entsprechen denen der Abb. 7.10b bzw. 7.11b. In den Gl. (7.23) und (7.26) ersetzen wir τ und κ durch 1/2 und bekommen für die Schaltung des Bildes 7.14a b2 M O (7.28) = m = b4 1 +  M O /8 und für das Bild 7.14b

b2 = m =  M O b4

(7.29)

mit den entsprechenden Werten C Mi,i=1−3 . Um für die Schaltung der Abb. 7.14b die Identität m =  M O zu erreichen, müssen wir die Welle b4 um den Faktor vier abschwächen. Dieser Wert entspricht dem Einbau eines Dämpfungsgliedes am Tor 4 mit a = 20 log 10(4) = 12,04 dB. Die Darstellungen der Brückenschaltungen sind idealisiert und erfolgen ohne

3

1 1

1

1

3

2

a)

2

b)

Abb. 7.13 Ideale Brücken mit Angabe S-Parameter a) Symmetrierung Brückenspannung, b) Symmetrierung Einspeisung

7.1 Wellentrennung

239

12,04dB

12,04dB 4

4 3

3

MO

1

MO

1

2

2

a)

b)

Abb. 7.14 a) Ideale Brücke mit resistivem Leistungsteiler, allseitig angepasst b) ideale Brücke mit resistivem Leistungsteiler, einseitig angepasst

Parasitäten bzw. Kennzeichnung einer räumlichen Ausdehnung. Aus diesem Grund entfällt in den Gleichungen eine äquivalente Größe zu τ .

7.1.4

Zweitormessung

Mit den Schaltungen in den Abb. 7.9, 7.10, 7.11 und 7.14 können wir die Wellen a und b trennen und so den Wert des Reflexionsfaktors  M O vom Messobjekt(Eintor) messen. Um die Transmissionseigenschaften eines Zweitors anzuzeigen, werden zwei gleiche(fast immer verwendet) oder unterschiedliche der o.g. Schaltungen spiegelbildlich angeordnet. Die erste Möglichkeit mit einem Doppelreflektometer zeigt die Abb. 7.15.

Abb. 7.15 Ideales, kompensiertes Doppelreflektometer zur Messung der Elemente der Streumatrix S eines Zweitors, Anregung: Messung in Vorwärtsrichtung zwischen den roten Tornummern befindet in der Realität das Fehlertor mit dem Messobjekt MO, z. B. Abb. 8.8

240

7 Netzwerkanalysator

Da die zwei Reflektometer allseitig angepasst sind, ergeben sich keine Schleifen im Messaufbau. Wir können mit den gemessenen Werten der Wellen an den Toren 1-4 direkt die Zuordnung zu den Elementen der Streumatrix S des Messobjekts angeben. Die Messung erfolgt in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung (Vertauschung der Einspeisung a0 und des Abschlusswiderstandes R0 ). Für die Vorwärtsrichtung gilt

und

b2V = V1 = s11 b1V

und s11 = V1

(7.30)

b3V = V2 = s21 b1V

und s21 = V2

(7.31)

b3R = R1 = s22 b4R

und s22 = R1

(7.32)

b2R = R2 = s12 b4R

und

s12 = R2

(7.33)

sowie analog für die Rückwärtsrichtung

und

Mit der τ 2 -Kompensation (Betrag und Phase) erhalten wir die ideale Abbildung der Parameter der Streumatrix S des Messobjektes auf die Messwerte Vi , Ri . Wir ersetzen eine Hälfte der Reflektometer in der Abb. 7.15 durch einen angepassten Leistungsteiler und erhalten bei der spiegelbildlichen Zusammenschaltung die Anordnung der Abb. 7.16. Das zugehörige Bild der Signalflussgraphen zeigt die Abb. 7.17. Es gibt keine Schleifen. Damit erhalten wir a0 κτ (1 + τ 2 s11 /2) 2 a0 = κτ s11 2 a0 = κτ s21 2

b1V = b2V b3V

2

(7.34)

3

MO 1

4

Abb. 7.16 Richtkoppler mit allseitig angepasstem Leistungsteilern zur Messung der Elemente der Streumatrix S eines Zweitors, Messung in Vorwärtsrichtung

7.1 Wellentrennung

241

1/2

1/2

1/2 1

1 1/2

1/2 1/2

1

1

1/2

1 1/2

1/2 1/2

1

1/2 1

1

1/2

Abb. 7.17 Richtkoppler mit allseitig angepasstem Leistungsteilern zur Messung der Elemente der Streumatrix S eines Zweitors, Signalflussgraphen

und die zugehörigen Quotienten b2V s11 = b1V 1 + τ 2 s11 /2 b3V s21 V2 = = b1V 1 + τ 2 s11 /2 V1 =

sowie für die Elemente der S-Matrix in Vorwärtsrichtung  τ 2 V1 2V1 und s21 = V2 1 + s11 = 2 − τ 2 V1 2 − τ 2 V1

(7.35)

(7.36)

Analog zu diesen Abhängigkeiten ergeben sich für den Betrieb der Schaltung in der Abb. 7.17 in Rückwärtsrichtung a0 b2R = κτ s12 2 a0 b3R = κτ s12 (7.37) 2 a0 b4R = κτ (1 + τ 2 s22 /2) 2 und die Quotienten b3R s22 R1 = = b4R 1 + τ 2 s22 /2 (7.38) b2R s12 R2 = = b4R 1 + τ 2 s22 /2 mit denen wir für die Elemente der S-Matrix in Rückwärtsrichtung schreiben können  τ 2 R1 2R1 s22 = 1 + (7.39) und s = R 12 2 2 − τ 2 R1 2 − τ 2 R1

242

7 Netzwerkanalysator

Durch den Austausch eines Richtkopplers gegen den allseitig angepassten Leistungsteiler sind die Quotienten der ablaufenden Wellen nicht mehr identisch mit den Elementen der S-Matrix des Messobjektes. Die richtungsabhängigen Parameter der S-Matrix sind jeweils der entsprechenden Richtungsanregung zugeordnet, z. B. s11 , s21 der Messung nur in Vorwärtsrichtung und umgekehrt. In der Schaltung Abb. 7.16 ersetzen wir den allseitig angepassten Leistungsteiler durch die nur einseitig angepasste Variante, und wir erhalten die Schaltung der Abb. 7.18 sowie das Bild der Signalflussgraphen in der Abb. 7.19. Durch die Reflexionsfaktoren an den Ausgängen der Leistungsteiler entstehen in der Schaltung Schleifen mit Mehrfachreflexionen analog zur Schaltung der Abb. 7.11.

2

3

MO

1

4

Abb. 7.18 Richtkoppler mit einseitig angepassten Leistungsteilern zur Messung der Elemente der Streumatrix S eines Zweitors, Messung in Vorwärtsrichtung

1/2

1/4

1/4

1

1

1/2 1/4 1/2

1/2 1/4

1/4 1/2

1

1

1/2

1

1/2 1

1/4

1/4 1

1/4

1

1/2

Abb. 7.19 Richtkoppler mit einseitig angepassten Leistungsteilern zur Messung der Elemente der Streumatrix S eines Zweitors, Signalflussgraphen

7.1 Wellentrennung

243

Es sind die Schleifen2 1. Ordnung S11 = 1 · τ · 1 · s11 · 1 · τ · 1 · 1/4 = τ 2 s11 /4 S12 = τ 2 s22 /4

(7.40)

S13 = 1 · τ · 1 · s21 · 1 · τ · 1 · 1/4 · 1 · τ · 1 · s12 · 1 · τ · 1 · 1/4 = τ s12 s21 /16 4

und 2. Ordnung S21 = S11 S22 = τ 4 s11 s22 /16 Damit gilt für b1V mit drei Pfaden  1 a0 τ 2 s11 τ4 b1V = κτ (1 − S11 − S12 − S13 + S21 ) + (1 − S12 ) + s12 s21 N 2 8 32 a0 2 κτ (4 − τ s22 ) = 8N

(7.41)

(7.42)

für b2V mit zwei Pfaden

a0 κτ (4s11 − τ 2 S) 8N mit jeweils einem Pfad b2V =

und für b3V , b4v

b3V =

a0 κτ 4s21 8N

sowie

b4V =

a0 κτ τ 2 s21 8N

(7.43)

(7.44)

Der Nenner N in den Gleichungen für die ablaufenden Wellen kürzt sich bei der Quotientenbildung heraus und braucht deshalb nicht berechnet zu werden. Wir bilden die im Netzwerkanalysator zu messenden Quotienten für die Vorwärtsrichtung b2V τ 2 s12 s21 = s11 + b1V 4 − τ 2 s22 b3V 4s21 V2 = = b1V 4 − τ 2 s22 b4V τ 2 s21 V3 = = b1V 4 − τ 2 s22 V1 =

(7.45)

In gleicher Weise erhalten wir die ablaufenden Wellen für die Rückwärtsrichtung a0 κτ 8N a0 κτ = 8N a0 κτ = 8N a0 κτ = 8N

b1R =

τ 2 s12

b2R

4s12

b3R b4R

2 S ≡ Schleife, s ≡ Element Streumatrix

(4s22 − τ 2 S) (4 − τ 2 s11 )

(7.46)

244

7 Netzwerkanalysator

und die daraus gebildeten Quotienten R1 =

b3R τ 2 s12 s21 = s22 + b4R 4 − τ 2 s11

R2 =

b2R 4s12 = b4R 4 − τ 2 s11

R3 =

b1R τ 2 s12 = b4R 4 − τ 2 s11

(7.47)

Beim Aufbau der Schaltung in der Abb. 7.11 führt der Einsatz des einseitig angepassten Teilers zur Übereinstimmung des gemessenen m mit dem zu messenden Reflexionsfaktor  M O . Im Fall der Zweitormessung führt dieser Teilers dazu, dass zur Bestimmung der S-Parameter in Vorwärtsrichtung Messwerte der Wellen sowohl in Vorwärts- als auch in Rückwärtsrichtung notwendig sind und gleichfalls für die in der Rückwärtsrichtung. Das gilt sogar für den idealen Messaufbau. Mit der Kompensation bezüglich Betrag und Phase für die Messwerte b1V , b4R der jeweils eingespeisten, vorlaufenden Welle a0 (Kennzeichnung κτ ) liegt der Wertebereich der Quotienten Vi , Ri in numerisch guten Größenordnungen. Ohne Kompensation, insbesondere des Betrages, würden die Quotienten V1 , V2 , R1 , R2 um den Betrag der Koppeldämpfung kleiner sein. Mit den Gl. (7.45), (7.47) bekommen wir die vier S-Parameter des Messobjekts s11 = 4

V1 − V3 R2 4 − τ 2 V3 R2

s12 = R2 s21

4 − τ 2 V1 4 − τ 2 V3 R2

4 − τ 2 R1 = V2 4 − τ 2 V2 R3

s22 = 4

(7.48)

R1 − V2 R3 4 − τ 2 V2 R3

Auch in diesen Zuordnungen ist die notwendige Vorwärts- und Rückwärtsmessung für jeden einzelnen S-Parameter erkennbar. Sogar die Verhältnisse V3 , R3 sind Bestandteil der Rückrechnung. Die Gl. (7.36), (7.39) und (7.48) sind gleichfalls für Messanordnungen gemäß den Abb. 7.16 und 7.18 gültig, wenn die spiegelbildlich angeordneten Richtkoppler durch die entsprechenden kompensierten Brücken der Abb. 7.14 ersetzt werden wie das die Abb. 7.20 mit den nicht angepassten Teilern zeigt In den o.g. Gleichungen ist τ durch den Zahlenwert 1/2 zu ersetzen.

7.2

Kalibriernormale

245

Abb. 7.20 Kompensierte Brücken mit einseitig angepassten Leistungsteilern zur Messung der Elemente der Streumatrix S eines Zweitors

7.2

Kalibriernormale

Die vorgestellten Schaltungen zur Wellentrennung sind ideal dargestellt. Alle Verbindungsleitungen haben die Länge null, und gleichfalls sind die Bauelemente ideal, ohne Eigenreflexionen, ideale Entkopplung, keine Parasitäten usw. In der Praxis gibt es keine idealen Schaltungen. Diese können wir nur annähern. Damit entfällt die Möglichkeit einer einfachen Schaltungsanalyse per Handrechnung. Für den Einsatz der Schaltungen müssen wir aber einen Weg zur Beschreibung finden, wenn auch nicht im Detail aber in ihrer Funktion als Schaltungsblock. Der Schaltungsaufbau mit seiner Topologie sollte seine Eigenschaften zeitlich nicht ändern. Ausgenommen sind Temperaturdrift und schlechte Steckverbindungen. Wenn es uns gelingt, in Analogie zum Viertor der Abb. 7.7 zur Messung des Reflexionsfaktors ein Matrizenmodell für die Zweitormessung anzugeben, dann muss es möglich sein, mit einer notwendigen Anzahl von Zuordnungen bekanntes Messobjekt - zugehörende Messwerte der S-Parameter die Elemente des Matrizenmodells soweit zu bestimmen, dass eine eindeutige Rückrechnung der zu messenden Werte aus den gemessenen möglich ist in Analogie zu den Gl. (7.13) und (7.14). Die bekannten Messobjekte, im Folgenden Normale genannt, sollten in der ersten Annäherung ohne Messung durch Gleichungen bezüglich ihrer Reflexions- und Transmissions-Eigenschaften für die Praxis ausreichend genau beschreibbar sein.

7.2.1

Luftleitung

Die Abb. 7.21 zeigt eine koaxiale Leitung, bei deren Anwendung als Kalibriernormal das Dielektrikum Luft ist. Der Innenleiter wird ohne Stützscheibe durch die Anschlussstecker der Messtore zentrisch gehalten. Dadurch entstehen in der Leitung keine Reflexionen. Mit d, dem Außendurchmesser des Innenleiters (in der Abb. 7.21 in einer Schutzhülle dane-

246

7 Netzwerkanalysator

Abb. 7.21 50- -Präzision-Luftleitung 055101-K100, RPC-N® -Stecker, Innendurchmesser Außenleiter D=7 mm, Länge L=100,042 mm, beide Leiter aus CuBe, Goldschicht 1,27μm auf einer Nickel Sperrschicht [22], Rosenberger Hochfrequenztechnik, Fridolfing

ben liegend), und D, dem Innendurchmesser des Außenleiters, ist der Wellenwiderstand RW (U0+ (z)/I0+ (z)) c 0 μ0 ln(D/d) (7.49) RW = √ 2π r ,Lu f t sowie der relativen Dielektrizitätskonstanten für Luft r ,Lu f t = 1,00059. Mit dieser Gleichung wird der Wert des Widerstandes RW zurückgeführt auf die Naturkonstanten c0 , μ0 und ein Verhältnis von Durchmessern, deren Werte durch die SI-Einheit Meter festgelegt werden. Wenn D oder d vorgegeben wird, ergibt sich für einen bestimmten Wert von RW der andere Durchmesser mit der Gl. (7.49). Für das Verhalten der Luftleitung zwischen den beiden Messtoren ist die geometrische Länge L und damit die elektrische Länge L el. ≈ L in gleicher Weise wichtig. Je nach Frequenzbereich gibt es diese 50 Luftleitungen mit unterschiedlichen Durchmessern D, Längen L und Steckern. Gegenüber dem elektromagnetischen Feld verhält sich eine Leiteroberfläche bei endlichem Wert der Leitfähigkeit σ mit der Oberflächenimpedanz Z sur f [25] Z sur f = (1 + j)

ωμ0 = (1 + j)Rsur f 2σ

(7.50)

Realteil und induktiver Teil haben den gleichen Betrag. Diese Impedanz wirkt am Innen- und Außenleiter der Koaxialleitung. Dadurch entsteht eine z-Komponente E z der elektrischen Feldstärke, für deren Wert gilt |E z | ∼ 1/σ . In der realen Koaxialleitung gibt es keine reine TEM-Mode, sondern nur eine Quasi-TEM-Mode in Analogie zur Mikrostreifenleitung(dort ist wegen des geschichteten Dielektrikums selbst für σ → ∞ |E z | = 0). Es gilt aber bei

7.2

Kalibriernormale

247

verlustarmen Koaxialleitungen |Z sur f |  50 . Auf den Verlauf des magnetischen Feldes hat die endliche Leitfähigkeit einen vernachlässigbaren Einfluss, so dass wir für Hφ mit den idealen Werten (Störungsrechnung) rechnen können. Am Innenleiter gilt dUz Iz E z = Z sur f Hφ = Z sur f = (7.51) πd dz E z ist der zu dem Längenelement dz gehörende Spannungsabfall dUz . Folglich gilt am Innenleiter für die längenbezogene Impedanz Z , die durch den endlichen Wert der Leitfähigkeit σ entsteht Z sur f dUz /dz Z innen (7.52) = = Iz πd Am Außenleiter gilt die gleiche Zuordnung. Die Impedanzen sind in Serie geschaltet, so dass für die gesamte zusätzliche Impedanz Z folgt Z =

Z sur f (1/d + 1/D) π

(7.53)

Damit sind nach der Gl. (1.12) für die reale 50 Koaxialleitung mit endlicher Leitfähigkeit und G → 0 die Wellenimpedanz

 Z Z jωL + Z (7.54) ZW = = 50 1 − j ≈ 50 1 − j jωC ωL 2ωL und die Ausbreitungskonstante

 Z Z ω 1 − j ≈ j ωL v Ph 2ωL √ mit dem Wert der Phasengeschwindigkeit v Ph = c0 / r ,Lu f t ≈ c0 . Die Auflösung der Gl. (7.54), (7.55) nach Real- und Imaginärteil ergibt  ω γ = ( jωL + Z )( jωC ) = j v Ph

1− j

Z W = 50 (1 + S1 − j S1 ) und γ = α + jβ = mit der Abkürzung

ω (S1 + j(1 + S1 )) c0

(7.55)

(7.56)

(7.57)

(D/d + 1) 1 S1 = (7.58) D ln(D/d) 2ωμ0 σ √ Wir erkennen, dass das Produkt ωS1 /c0 ∼ ω ist und damit gleichfalls α . Obwohl die Oberflächenimpedanz Z sur f induktiven Charakter hat, wird die Wellenimpedanz Z W kapazitiv. Der Wert von S1 liegt für RW = 50 , D = 7mm und σ = (40 − 60) · 106 S/m sowie (1 ≤ f ≤ 20) GHz in der Größenordnung 5 · 10−4 . Der Teil der Gl. (7.58) mit

248

7 Netzwerkanalysator

(D/d + 1)/ ln(D/d) führt zum Minimum der Dämpfungskonstante mit α = αmin bei D/d = 3,59 bzw RW = 76,65 (Dielektrikum Luft). Die reale 50 -Luftleitung ist bezüglich RW = 50 fehlangepasst. Sie ist reflexionsund übertragungssymmetrisch(reziprok). Die Elemente der Streumatrix S einer Luftleitung der Länge L sind mit der Gl. (3.39) sowie I. A. Harris, R. E. Spinney [7] und W = s11 = s22 =

W (1 − e−2γ L ) 1 − (W e−γ L )2

Z W /50 − 1 Z W /50 + 1

und s12 = s21 =

(7.59) 2 ) e−γ L (1 − W 1 − (W e−γ L )2

(7.60)

Wegen des kleinen Wertes von S1 ist |W |  1. Wir können deshalb näherungsweise schreiben s11 = s22 ≈ W (1 − e−2γ L ) → |s11,max | = |s22,max | ≈ 2|W | und

(7.61)

s12 = s21 ≈ e−γ L Die vorgestellten Zusammenhänge gelten für eine Luftleitung aus einem Material (homogen). Als numerisches Beispiel zeigt die Abb. 7.22 einige Parameter für die Luftleitung aus massivem Gold. Mit steigender Frequenz nähert sich die Wellenimpedanz Z W dem Wellenwiderstand RW = 50 . Bei s11 erhalten wir ein Interferenzmuster. Immer, wenn die Leitung nλ L /2 lang ist, ist die Leitung angepasst und scheinbar durchsichtig (Gl. (7.60) e−γ L → 1). Für Messwerte mit Reflexionsdämpfungen a R < 50 dB können wir diese Luftleitung als √ reflexionsfrei betrachten. Wegen der ω – Proportionalität von α (Gl. (7.57)) ist folgender Zusammenhang für |s21 |2 in dB möglich f (7.62) 20 log(|s21 ( f )|) = 20 log(|s21 (1GHz)|) 1GHz (Abb. 7.22 d)). Diese Gleichung wird für die Modellierung im Netzwerkanalysator benutzt. Die Abb. 7.23 zeigt den Zusammenhang von Leitungsdämpfung a L und Reflexionsdämpfung a R,max (Gl. (7.61)) für Gold und Edelstahl. Diese Diagramme dienen dazu, in der Messtechnik abzuwägen, ob wir mit dem Wellenwiderstand RW = 50 oder einer Wellenimpedanz Z W rechnen müssen. In den Rechnungen ist die Rauigkeit der Oberfläche nicht enthalten. Sollte das Verhältnis Rauigkeit/Eindringtiefe > 0,1 sein, haben G. Gold, K. Helmreich [4] für die sich dabei ergebende Oberflächenimpedanz Z sur f eine praxistaugliche Berechnung entwickelt. Mit dieser ist dann in und ab der Gleichung (7.53) zu rechnen. Die Berechnung der Leitungsparameter bei einem endlichen Wert der Leitfähigkeit σ des Innen- und Außenleiters ist eine Störungsrechnung. Mit den Lösungen der Wellengleichung für ideale Leiter korrigieren wir mit den genannten Gleichungen die Wellenimpedanz Z W

7.2

Kalibriernormale

249 -0.005

50.04 50.035

-0.01

50.03

-0.015 -0.02

(ZW)/

(ZW)/

50.025 50.02

-0.025

50.015

-0.03

50.01

-0.035

50.005

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-0.04

18

0

2

4

6

Frequenz/GHz

8 10 Frequenz/GHz

12

14

16

18

b)

a) -60

-0.01

-70

|s21|2/dB |s21|2/dB ~ f

-0.02

|s21|2/dB

|s11|2/dB

-80 -90 -100

-0.04 -0.05

-110 -120

-0.03

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-0.06

18

0

2

4

6

Frequenz/GHz

c)

8 10 Frequenz/GHz

12

14

16

18

d)

Abb. 7.22 50 -Luftleitung D = 7 mm, L = 100,042 mm, Gold massiv σ = 41 · 106 S/m Wellenimpedanz Z W : a) Realteil, b) Imaginärteil S-Parameter: c) |s11 |2 / dB, d) |s21 |2 / dB 75

0.3

70

0.25

65

aR,max/dB

0.35

aL/dB

0.2 Au Fe

0.15

60 55

0.1

50

0.05 0

Au Fe

45 0

2

4

6

8

10

Frequenz/GHz

a)

12

14

16

18

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Frequenz/GHz

b)

Abb. 7.23 50 -Luftleitung D = 7 mm, L = 1 m, Gold Au, Edelstahl Fe a) Leitungsdämpfung a L , b) Reflexionsdämpfung a R

und die Ausbreitungskonstante γ . Wir erhalten übersichtliche Zusammenhänge und können √ z. B. die Proportionalität ω den Gleichungen direkt entnehmen. 1973 haben G. Piefke, D. Coy [24] und 1990 W. C. Daywitt [2] das Randwertproblem der Koaxialleitung durch Anpassung der Tangentialkomponenten der Feldstärken exakt gelöst. Eine volle Auswertung der Ergebnisse ist nur numerisch möglich. In beiden Arbeiten werden deshalb für Grenzbereiche der Frequenzen und Materialparameter Näherungsformel angegeben. Die Abb. 7.24

250

7 Netzwerkanalysator

a)

b)

c)

d)

Abb. 7.24 50 -Luftleitung D = 7 mm, L = 100,042 mm, Gold massiv σ = 41 · 106 S/m, Vergleich mit den Werten nach [2]Wellenimpedanz Z W : a) Realteil, b) Imaginärteil S-Parameter: c) |s11 |2 / dB, d) |s21 |2 /dB

zeigt den Vergleich der Näherungen von [2] mit den Werten der Abb. 7.22. Bei guten Leitern, selbst Eisen eingeschlossen, zeigen sich nur geringe Abweichungen. Diese verschwinden in den Variationen der Werte der Leitfähigkeiten σ , der Rauigkeit der Oberflächen, den geometrischen Abweichungen und den Messfehlern. Bei Luftleitungen, die zur Kalibrierung von Netzwerkanalysatoren dienen, wird kein massives Gold verwendet, sondern mit einer Gold-Galvanisierung versucht, die Dämpfung klein zu halten und eine Korrosion zu vermeiden. Innen- und Außenleiter sind aus einer Kupfer-Beryllium-Legierung. Damit das Gold nicht in diese Legierung diffundiert, erfolgt die Vergoldung auf einer Nickel-Sperrschicht. Für Gold ist bei der Frequenz f = 1 GHz die Eindringtiefe δ ≈ 3 μm. Folglich führt das Materialsystem von außen nach innen mit Au-Ni-CuBe zu einem Wert der effektiven Leitfähigkeit σe f f , der sich von der des Goldes unterscheidet und außerdem eine Funktion der Frequenz sein muss. Wenn die Eindringtiefe δ  d; D ist, können wir das Problem mit dem Verhalten ebener Wellen an leitenden Grenzschichten lösen S. Ramo, J. R. Whinnery [25]. Wie in der Abb. 7.25 dargestellt, hat die Goldschicht die Dicke t. Der anschließende Leiter sei vom Durchmesser d sehr viel größer als δ, so dass das Feld im Leiter nach wenigen Millimeter abgeklungen ist. Die Goldschicht in der Abb. 7.25 können wir mit einem

7.2

Kalibriernormale

251

Au

Ni-CuBe

Abb. 7.25 Goldschicht mit σ1 und der Dicke t auf einem Leiter(sehr dick im Vergleich zu t) mit σ2

Leitungsabschnitt vergleichen, der am Ausgang mit einer Impedanz abgeschlossen ist. Die Lösung der Wellengleichung (Äquivalenz zu den Leitungsgleichungen Kap. 1) ergibt die Werte der Feldwellenimpedanz Z F W (E tr /Htr ) und die der Ausbreitungskonstante γ [25] 1+ j ωμ0 ωμ0 σi = ≡ Z sur f ,i und γi = (1 + j) (7.63) Z F W ,i = (1 + j) 2σi 2 δi Für die Eingangsimpedanz einer Leitung der Länge L ≡ t mit der Feldwellenimpedanz Z F W ,1 und der Abschlussimpedanz Z F W ,2 gelten die Leitungsgleichungen [25] Z i = Z F W ,1 oder

Z F W ,2 + Z F W ,1 tanh(γ1 t) Z F W ,1 + Z F W ,2 tanh(γ1 t)

⎞ ⎛ σ 1 + tanh(γ1 t) ⎟ ωμ0 ⎜ 2 ⎟ = Z sur f ,ges. ⎜ σ Z i = (1 + j) ⎠ σ1 2σ1 ⎝ 1+ tanh(γ1 t) σ2

(7.64)



(7.65)

Die Eingangsimpedanz Z i entspricht der Oberflächenimpedanz Z sur f ,ges. der Gesamtanordnung. Diesen Wert müssen wir in die Gleichungen ab (7.51) einsetzen, um die Elemente der Streumatrix S einer Luftleitung mit beschichteter Oberfläche zu berechnen. Für σ1 = σ2 , einem homogenen Material, ist der Wert der Klammer in der Gl. (7.65) gleich Eins. In der Abb. 7.26 sind die berechneten Werte dargestellt. Der Wert von σ2 ist näherungsweise der aus der Literatur für chemisch aufgebrachte Nickelschichten, und der Wert wurde so angepasst, dass 20 log(|s21 |(1GHz)) dem Datenblatt [22] entspricht. Die dargestellten Kurven unterscheiden sich wenig von denen des homogenen Materials in der Abb. 7.22 bis auf den wesentlichen Unterschied, dass bei der beschichteten Leitung der Zusammenhang mit der Gl. (7.62) nicht mehr gilt und deren Anwendung im Netzwerkanalysator zur Modellierung vergoldeter Luftleitungen unzulässig ist! Einen weiteren Einblick in das Verhalten des Zweischichtensystems gewinnen wir, wenn wir diesem ein homogenes Material mit der effektiven Leitfähigkeit σe f f . und einer dazugehörenden Eindringtiefe δe f f . zuordnen. Aus der Leitungsdämpfung α des Zweischichten-

252

7 Netzwerkanalysator 0

50.025

-0.01 -0.02

(ZW)/

(ZW)/

50.02

50.015

-0.03 -0.04 -0.05

50.01

-0.06 50.005

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-0.07

18

0

2

4

6

8

10

12

a)

16

18

b)

-50

-0.02

|s21|2/dB

-60

|s21|2/dB ~ f

-0.04

-70 -80

|s21|2/dB

|s11|2/dB

14

Frequenz/GHz

Frequenz/GHz

-90 -100

-0.06 -0.08

-110 -120

-0.1 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Frequenz/GHz

Frequenz/GHz

c)

d)

Abb. 7.26 50 -Luftleitung der Abb. 7.22 mit Goldschicht t = 1, 27μm, σ1 = 41 · 106 S/m und Nickeluntergrund σ2 = 1,25 · 106 S/m Wellenimpedanz Z W : a) Realteil, b) Imaginärteil S-Parameter: c) |s11 |2 / dB, d) |s21 |2 / dB

systems können wir σe f f und damit δe f f . berechnen. Die Umstellungen der Gleichungen (7.50), (7.53) und (7.54) ergibt σe f f

1 = 2μ0 ω



D/d + 1

 √ D ln(D/d) q + q(1 + 2q)

2

 c 2 0 und q = α ω

(7.66)

oder mit der Näherung der Wurzel in der Gl. (7.54) σe f f =

ω 2μ0



D/d + 1 αc0 D ln(D/d)

bzw. δe f f =

2 ωμ0 σe f f .

2 (7.67)

(7.68)

In der Abb. 7.27 ist das Ergebnis der Rechnung dargestellt. Erst bei f = 20 GHz hat die Goldschichtdicke den doppelten Wert der Eindringtiefe δ Au . Eine erweiterte Lösung des Zwei- bzw. Mehrschichtsystems bei runden Leitern (Zylinderfunktionen) hat S. Zinal [32] veröffentlicht. √ Da nach der Abb. 7.26d bei einer beschichteten Koaxialleitung die ω – Proportionalität nicht gilt, kann im Netzwerkanalysator mit der Gl. (7.62) das Verhalten der Luftleitung nicht

7.2

Kalibriernormale

253 5

50

ges.

4

Au

106/m)

30

eff.

eff.

10-6/(S/m)

40

20 eff. Au

10 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

tAu

3 2 1 0 0

2

4

6

8

Frequenz/GHz

Frequenz/GHz

a)

b)

10

12

14

16

18

Abb. 7.27 50 -Luftleitung der Abb. 7.22 σ1 = 41 · 106 S/m, σ2 = 1,25 · 106 S/m a) σe f f . , b) δe f f .

mehr beschrieben werden. Eine andere Möglichkeit wäre die Vorschrift, nur Luftleitungen aus einem homogenen Material als Kalibrierleitungen zu verwenden. Oder, wir messen die Parameter der Streumatrix S der Luftleitung beliebiger Art (homogen oder beschichtet) mit einem idealen(fehlerkorrigierten) Netzwerkanalysator und erzeugen einen Datensatz (z. B. s2p-File). Diese Daten würden gleichfalls die Rauigkeit der Oberfläche mit berücksichtigen. Bei modernen Netzwerkanalysatoren können wir diesen Datensatz einlesen. Eine Modellbildung wird dadurch nicht notwendig (Abb. 7.28). Auch beim realen Hohlleiter beobachten wir, dass sich durch den endlichen Wert der Leitfähigkeit σ der Wände nicht nur eine merkbare Dämpfung ergibt, sondern dass sich die Werte der Wellenimpedanzen Z F H , Z U I , Z PU und Z P I ändern und sogar im Durchlassbereich einen Blindanteil enthalten. Gegenüber dem der Koaxialleitung (Gl. (7.56)) ist dieser induktiv, Abb. 7.29. Der reale Rechteckhohlleiter wird dadurch bezogen auf die idealen Wellenimpedanzen zu einer fehlangepasste Leitung im Sinne der Messdynamik. Für das Beispiel des WR10 Hohlleiters aus Edelstahl entsteht bei der untersten Frequenz eine Eigenreflexionsdämpfung

Abb. 7.28 Rechteckhohlleiter mit den Abmessungen Breite a, Höhe b und Länge L

254

7 Netzwerkanalysator 1.2

380 ZPI,HFSS

360

320

ZLT,HFSS

0.8

(ZPI)/

(ZPI)/

340

ZPI,HFSS

1

ZLT,HFSS

0.6

300

0.4

280

0.2 0

260 75

80

85

90

95

100

105

110

75

80

85

90

95

100

105

110

Frequenz/GHz

Frequenz/GHz

a)

b)

Abb. 7.29 WR10-Rechteckhohlleiter, Impedanz Z P I als Funktion der Frequenz, Berechnung mit HFSS® (boundaries: finite conductivity ) bzw. mit der Leitungstheorie (LT), Werte: a = 2,54 mm, b = 1,27 mm, σ = 1,1 · 106 S/m (Edelstahl) a) Realteil, b) Imaginärteil

-40

200

-50

100

arg(s 11)/ °

|s 11|2/dB

von a R < 50 dB, Abb. 7.30. Wegen des kleinen Wertes des Eigenreflexionsfaktors erhalten wir wie bei der Koaxialleitung nach den Gl. (7.61) nur für s11 ein Interferenzmuster. Das Material Edelstahl dient als Beispiel für deutliche Verluste, die im realen Fall auch für das Material Kupfer bei endlichen Werten der Rauigkeit auftreten, wie das in [16] von K. Lomakin et al. rechnerisch und experimentell gezeigt werden konnte. Besonders im Millimeterwellen-Bereich spielt die Güte der Oberfläche im Innern des Hohlleiters eine entscheidende Rolle bezüglich seiner Dämpfung und Anpassung.

-60 -70 -80 -90

0 -100 -200

80

90

100

110

80

Frequenz/GHz

90

100

110

Frequenz/GHz

arg(s 21)/ °

|s 21|2/dB

-600 -0.15 -0.2 -0.25

-800 -1000 -1200

80

90

100

Frequenz/GHz

110

80

90

100

110

Frequenz/GHz

Abb. 7.30 WR10-Rechteckhohlleiter, Elemente der Streumatrix S bezogen auf den reellen Wert der Wellenimpedanz Z P I , L = 10 mm, Werte wie in Abb. 7.29, HFSS® -Rechnung ohne Rauigkeit

7.2

Kalibriernormale

7.2.2

255

Kurzschluss

Als Kalibriernormal wird gleichfalls der koaxiale Kurzschluss verwendet, dessen kommerzielle Ausführung die Abb. 7.27 a) zeigt. In der Abb. 7.27 b) ist Verteilung des elektromagnetischen Feldes auf der Kurzschlussplatte dargestellt. Diese Platte bildet zwischen dem Innen- und Außenleiter der Koaxialleitung den gewünschten Kurzschluss. Da das Leitermaterial der Platte einen endlichen Wert der Leitfähigkeit σ hat, ist die Kurzschlussimpedanz Z K S = 0. Auf der Platte gilt für die Felder mit der entsprechenden Gl. (7.51) Er = Z sur f Hφ = Z sur f

I 2πr

(7.69)

Die Spannung zwischen Innen- und Außenleiter erhalten wir D/2 Er dr = I

U=

Z sur f ln(D/d) 2π

(7.70)

d/2

und folglich ist ZKS =

Z sur f ln(D/d) oder 2π

Z K S = Z sur f

√ r ,Lu f t RW

(7.71)

c 0 μ0

bzw. für ein homogenes Leitermaterial der Platte folgt (K. H. Wong [31])

a)

b)

Abb. 7.31 a) 50- -Präzision-Kurzschluss 0712S-000S3 RPC-7® -, 05S12S-000S3, RPC-N® Stecker, Innendurchmesser Außenleiter D=7 mm, beide Leiter aus CuBe, Goldschicht 1,27 μm auf einer Nickel Sperrschicht [23], Rosenberger Hochfrequenztechnik, Fridolfing, b) Feldverteilung auf der Kurzschlussplatte

256

7 Netzwerkanalysator

√ ωμ0 r ,Lu f t RW Z K S = (1 + j) = R K S + jωL K S 2σ c 0 μ0

(7.72)

Die Kurzschlussimpedanz Z K S der Platte ist keine Funktion der Absolutwerte der Durchmesser d, D, sondern nur eine vom Verhältnis D/d, das auch den Wert des Wellenwiderstandes RW der Koaxialleitung bestimmt. Die Werte des Real- R K S und Imaginärteils X K S sind √ √ einander gleich, und für die Frequenzabhängigkeit gilt R K S ∼ ω sowie L K S ∼ 1/ ω (Abb. 7.32). In Analogie zu s21 (Gl. (7.62)) der Luftleitung ist folgende Darstellung bei einer Kurzschlussplatte aus homogenen Leitermaterial möglich

f 1GHz und L K S ( f ) = L K S (1GHz) (7.73) R K S ( f ) = R K S (1GHz) 1GHz f Verwenden wir eine beschichtete Kurzschlussplatte gilt die Gl. (7.65) ohne Einschränkung, da es bezüglich des Einfalls der Welle keine Krümmung gibt. Entsprechend der

6

RKS

0.2

L KS~1/ f LKS 1012/H

4 RKS 103/

L KS

RKS~ f

5

3

0.15

0.1

2 1

0.05 0

2

4

6 8 10 Frequenz/GHz

12

14

16

18

0

2

4

a)

6 8 10 Frequenz/GHz

12

14

16

18

b)

Abb. 7.32 Impedanz Z K S = R K S + jωL K S einer Kurzschlussplatte aus Gold σ = 41 · 106 S/m für eine Koaxialleitung mit RW = 50 a) R K S , b) L K S 10

0.14

RKS

L KS

RKS~ f

8

0.12

L KS~1/ f

LKS 1015/H

RKS 103/

0.1 6

0.08 0.06

4 0.04 2

0

2

4

6 8 10 Frequenz/GHz

a)

12

14

16

18

0.02

0

2

4

6 8 10 Frequenz/GHz

12

14

16

18

b)

Abb. 7.33 Impedanz Z K S = R K S + jωL K S einer Kurzschlussplatte mit Goldschicht t = 1, 27μm, σ1 = 41·106 S/m und Nickeluntergrund σ2 = 1,25·106 S/m für eine Koaxialleitung mit RW = 50 a) R K S , b) L K S

7.2

Kalibriernormale

257

√ Abb. 7.26 erhalten wir die Abhängigkeiten in der Abb. 7.33. Wieder geht die fProportionalität verloren. Für die einfache Modellierung im Netzwerkanalysator ist es üblich, die Abhängigkeiten in der Abb. 7.33 durch Polynome im Sinne kleiner Fehlerquadrate oder mit einfachen Gleichungen zu approximieren. Durch die Beschichtung lassen sich der Widerstand R K S durch eine Gerade und die Induktivität L K S durch ein Polynom 3. Grades sowie durch eine Potenzfunktion analog der Gl. (7.73) beschreiben. R, L K S ( f ) = R, L K S (0) + R, L K S (1) f + R, L K S (2) f 2 + R, L K S (3) f 3

(7.74)

Den Wert des Exponenten in der Gleichung in der Abb. 7.34 gewinnen wir mit der Forderung  1 GHz n (7.75) L K S (20 GHz) = L K S (1 GHz) 20 GHz 

oder n=

log 10

L K S (20 GHz) L K S (1 GHz)



log 10

1 GHz) 20 GHz





(7.76)

Die Brauchbarkeit der Approximation mit der Exponentialfunktion hängt stark von der Technologie der Oberfläche der Kurzschlussplatte und des damit verbundenen ein Mehrschichtenproblems ab (Tab. 7.1). Nur beim RPC-7 oder allgemein des 7-mm Steckers(Zwitterstecker) in der Abb. 7.31a links liegt die Kurzschlussplatte direkt in der Anschlussebene, die auch gleichzeitig die Messebene ist. Die Abb. 7.35 zeigt die Situation beim N-Stecker. Auf der Seite des Steckers könnte der Kurzschluss direkt in der Messebene angebracht werden. Dagegen wird der Kurzschluss auf der Buchsenseite immer durch eine endlichen Länge L K S in die Messebene 5.5 R

KS

LKS

=R

KS

(0)+R

KS

(1) f

4 3.5 3

LKS = LKS(1GHz) (1e9Hz/f) , n = 0.34 LKS = LKS(0)+LKS(1) f+LKS(2) f 2 +LKS(3) f 3

0.1 0.08 0.06

2.5 2

n

0.12

LKS 1012/H

4.5

RKS 103/

0.14

RKS

5

0

2

4

6 8 10 Frequenz/GHz

a)

12

14

16

18

0.04

0

2

4

6 8 10 Frequenz/GHz

12

14

16

18

b)

Abb. 7.34 Impedanz Z K S = R K S + jωL K S einer Kurzschlussplatte mit Goldschicht t = 1,27μm, σ1 = 41 · 106 S/m und Nickeluntergrund σ2 = 1,25 · 106 S/m für eine Koaxialleitung mit RW = 50 und Approximationen für R K S sowie L K S a) R K S , b) L K S

258

7 Netzwerkanalysator

Tab. 7.1 Koeffizienten der Polynome für R K S , L K S

KS

KS

KS

KS

ME

Abb. 7.35 N-Kombination Kurzschluss – Stecker – Buchse mit Angabe der Messebene

transformiert(beim Idealfall L K S = 0 würden die Schlitze der Buchse überdecken und die Federwirkung für die Kontaktierung ginge verloren). Bei kommerziellen Kalibrierkurzschlüssen der Systeme Buchse – Stecker sind jedem Kurzschluss Leitungslängen zwischen ca. 20mm ≤ L ≤ 5mm vorgeschaltet, s. a. Abb. 7.31a rechts. Mit Z K S /50 − 1 (7.77) K S = Z K S /50 + 1 und der Gl. (7.61) erhalten wir den wirksamen Eingangsreflexionsfaktor (s11 , S verlustbehaftete homogene Leitung Gl. (7.60)) i =

s11 − S K S 1 − s11  K S

(7.78)

Durch die Dämpfung der vorgeschalteten Leitung wird der Betrag von  K S geringfügig verringert. Die Dämpfung der Leitung wirkt doppelt, da die Welle für die Wirkung am Eingang hin- und zurück laufen muss. Schmerzhaft für die Anwendung ist aber die deutliche

7.2

Kalibriernormale

259 200

0

i

(ZKS 0)

i

(RKS=0)

i

-0.01

(Z

KS KS

KS

(Z

100

arg( )/°

| |2/dB

-0.005

=0) 0)

KS

(RKS=0)

(Z =0) KS KS

-0.015

-0.02

i

0

2

4

6 8 10 Frequenz/GHz

12

(HFSS,Z

14

KS

0)

16

0

i i i

18

(Z

KS

KS

(Z

=0)

=0)

KS

0)

KS

(RKS=0)

KS

(ZKS=0)

i

0

0)

KS

(R

KS

-100

-200

(Z

(HFSS,ZKS 0)

2

4

6 8 10 Frequenz/GHz

a)

16

18

12

14

16

18

b) i i i

(Z

(Z

KS KS

-0.06

KS i

KS

(Z

i

-0.04

0)

KS

(RKS=0) =0)

100

0)

KS

(ZKS 0) (R (Z

KS

KS

arg( )/°

0

| |2/dB

14

200

-0.02

=0)

=0)

(HFSS,ZKS 0)

-0.08

0

-100 -0.1 -0.12

12

0

2

4

6 8 10 Frequenz/GHz

c)

12

14

16

18

-200

i

(ZKS 0)

i

(RKS=0)

i

(ZKS=0)

KS

(ZKS 0)

KS

(RKS=0)

KS

(ZKS=0)

i

0

(HFSS,Z

2

KS

4

0)

6 8 10 Frequenz/GHz

d)

Abb. 7.36 Eingangsreflexionsfaktor i einer kurzgeschlossenen 50 -Leitung der Länge L K S = 15 mm, Rechnungen MATLAB® , HFSS® (gelb) a), b) mit Goldbeschichtung; c), d) Edelstahl voll σ = 1,1 · 106 S/m Parameter: Werte von Z K S

Phasenänderung von i gegenüber der von  K S , bedingt durch die Länge L K S der vorgeschalteten Leitung. Die Berechnungen des Reflexionsfaktors i mit MATLAB® (Gl. (7.60), (7.72) sowie dem Programm HFSS® mit der Grenzflächenbedingung einer endlichen Leitfähigkeit ergeben gleiche Abhängigkeiten. Die Abb. 7.36c zeigt, dass für den Betrag des Reflexionsfaktors |i | einer nur aus einem Metall bestehenden Leitung mit Kurzschluss näherungsweise gilt |i | ≈ e−2αL K S | K S | (7.79) Damit verbunden ist die Berechnungsmöglichkeit über die Wurzel nach der Gleichung (7.62). Gegenüber einem Modell mit seinen Unsicherheiten sollte der datenbasierte Kalibrierkurzschluss das Mittel der Wahl für die Anwendung sein. Im Rahmen der Kalibrierung des Netzwerkanalysators mit Übergängen auf Hohlleiter wird gleichfalls wie bei der Koaxialleitung die Bedingung Kurschluss an den Messtoren gefordert. Die Abb. 7.37 soll diese Kurzschlussplatte darstellen. Das elektrische Feld hat nur eine y- und das magnetische nur eine x-Komponente. Beide Komponenten sind über die Oberflächenimpedanz Z sur f wie in der der Gl. 7.69 miteinander verknüpft. Der Wert der Oberflächenflächenimpedanz Z sur f ist endlich.

260

7 Netzwerkanalysator

Abb. 7.37 Kurzschlussplatte Rechteckhohlleiter und Feldstärken auf der Platte bei Anregung mit der H10 -Welle

0.65 -0.014

179.92

-0.016

179.9

-0.024

179.84

-0.026

179.82 110

75

80

85

90

95

Frequenz/GHz

a)

100

105

, (Zsurf)/

)/° KS

|2/dB

179.86

-0.02 -0.022

|

KS

179.88

arg(

0.6

-0.018

0.55

Zsurf,HFSS Zsurf 0.5

75

80

85

90

95

100

105

110

Frequenz/GHz

b)

Abb. 7.38 a) Reflexionsfaktor  K S und b) Oberflächenimpedanz Z sur f einer EdelstahlKurschlussplatte für den WR10-Rechteckhohlleiter σ = 1,1 · 106 S/m, rot berechnet aus dem Reflexionsfaktor  K S (HFSS® , keine Rauigkeit), blau berechnet mit dem ersten Teil der Gl. (7.72)

Aus diesem Grund wird der entstehende Reflexionsfaktor wie bei der Koaxialleitung  K S = −1 sein. Die Abb. 7.38 zeigt die entstehenden Abhängigkeiten beim WR10√ Rechteckhohlleiter. Mit Kenntnis der Abhängigkeit f des Oberflächenwiderstandes Z sur f , der Abhängigkeit 1 − (λ0 /λc )2 der Feldwellenimpedanz Z F H der H10 -Welle Gl. (3.162), dem Material und der Rauigkeit können wir die sich ergebenden Zustände des Kurzschlusses bei tiefen(cm-Wellenlängen) und hohen Frequenzen(mm-Wellenlängen) abschätzen. Der akademische Kurzschluss mit dem Wert  K S = −1 ist eigentlich kein Normal, das primär mit einem Wert des Wellenwiderstandes RW verbunden ist. Nur mit einer vorgeschalteten Leitung wird der Bezug zu RW hergestellt.

7.2.3

Leerlauf

Die Abb. 7.39 zeigt die praktische Realisierung eines koaxialen „Leerlaufs“. Die Diagramme im Abschn. 7.2.2 verdeutlichen, dass der praktische koaxiale Kurzschluss dem Ideal sehr nahe kommt. Beim „Leerlauf“ (offenes Ende) findet dagegen ein merkbares Übergreifen des Feldes in den freien Raum statt. Dadurch wird in der Umgebung des

7.2

Kalibriernormale

261

Innenleiter Dielektrikum

ME Abb. 7.39 50- -Präzision-Leerlauf 07P12L-000S3 Innendurchmesser Außenleiter D = 7mm, dielektrischer Innenleiter, Rosenberger Hochfrequenztechnik, Fridolfing, Verteilung des elektrischen Feldes bei der Zusammenschaltung mit der koaxialen Leitung, Potenziallinien, Vektor D, Quickfield®

offenen Endes der koaxialen Leitung Energie gespeichert und Wirkleistung abgestrahlt. Um das offene Ende abzuschirmen, erfolgt der Abschluss mit einer koaxialen Leitung, die einen dielektrischen Innenleiter hat (APC-7 Stecker). Das elektrische Feld ragt weit über das Ende der Anschlussleitung hinaus, wie das die Feldverteilung in der Abb. 7.39 zeigt. Wegen dieser Unvollkommenheit des realen „Leerlaufs“ gegenüber dem idealen wird das so gebildete offene Ende auch „open“ genannt. Am Leitungsende fließen nur Verschiebungsströme. Abgesehen von geringen Leitungsverlusten hat der Reflexionsfaktor open den Betrag eins. In Abhängigkeit von der Frequenz ändert sich seine Phase. Für die Modellierung im Netzwerkanalysator wird aber nicht diese Größe verwendet, sondern geschichtlich bedingt die Frequenzabhängigkeit der Endkapazität Copen = {ω}. Die Elemente der Streumatrix S rotationssymmetrische Strukturen in der Koaxialleitung mit und ohne Dielektrikum lassen sich vorteilhaft mit der Feldanpassung durch Orthogonalreihen analog dem Abschn. 3.4 berechnen E. W. Risley [27], S. Günther [5], M. Link [15]. Die Berandungen passen exakt in ein Zylinderkoordinatensystem, und die Lösungsansätze mit den Zylinderfunktionen enthalten bereits die Randbedingungen der Feldstärken. Mit den Stetigkeitsbedingungen erhalten wir ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungen mit heutigen PC in wenigen Sekunden zur Verfügung stehen. Durch geeignete Wahl der Anzahl der höheren Moden werden Genauigkeiten der gesuchten S-Parameter erreicht, die weit über denen der Messtechnik liegen. Für das Randwertproblem der Abb. 7.39, des direkten Anschlusses einer „dielektrischen“ Koaxialleitung an der Messebene beim 7-mm Zwitterstecker, zeigt die Abb. 7.40 die Frequenzabhängigkeit von open und daraus Copen . Bei der Modellbildung von Copen im Netzwerkanalysator wird deren Frequenzabhängigkeit mit einem Polynom dritten Grades approximiert in Analogie zum Kurzschluss im Abschn. 7.2.2. Die Daten der Koeffizienten des Polynoms vom Agilent-Open 8505D sind aus [3]. Wir entnehmen dem Verlauf der theoretischen Kurve (rot), dass diese für f → 0 die Steigung 0 hat. Dieses Verhalten ist verständlich. Aus diesem Grund muss der lineare Term im Polynom dritten Grades ver-

262

7 Netzwerkanalysator 0 open

-10

open

(Feldlösung, Anpassung der Orthogonalreihen)

125

= (1) f+ (2) f 2

120

Copen=C(0)+C(2) f 2+C(3) f 3

115

Copen=C(0)+C(1) f+C(2) f 2+C(3) f 3(Agilent85050D)

Copen 1015/F

arg( open)/°

-20 -30 -40 -50 -60 -70

Copen(Feldlösung, Anpassung der Orthogonalreihen)

110 105 100 95

0

2

4

6 8 10 12 Frequenz/GHz

14

16

18

90

0

a)

2

4

6 8 10 12 Frequenz/GHz

14

16

18

b)

Abb. 7.40 a) Reflexionsfaktor open und b) Kapazität Copen bezogen auf die Messebene ME des Randwertproblems der Abb. 7.39

ME

Abb. 7.41 50- -Präzision-„open“ 05S12L-000S3 Innendurchmesser Außenleiter D = 7mm, Rosenberger Hochfrequenztechnik, Fridolfing, möglicher Querschnitt

schwinden, C(1) = 0. Zur Modellnachbildung reichen drei Koeffizienten aus, C(0), C(2) und C(3). Die Kurve von arg(open ) beginnt bei null. Zu ihrer Approximation bedarf es nur eines Polynoms zweiten Grades ohne Nullpunktterm mit den beiden Koeffizienten (1), (2). Wir bemerken in der Abb. 7.40a, dass sich die Phase von open in Nutzfrequenzbereich des koaxialen „opens“ nach der Abb. 7.39 von 0◦ bis −70◦ ändert. Die Abb. 7.41 zeigt eine mögliche Konstruktion für einen N-„open“. Beim N-Stecker sind Messebene und Anschlussfläche nicht identisch. In kommerziellen „open“ endet der elektrische Innenleiter am Ende in einer dielektrischen Halterung. Diese Konstruktionen sind firmenbezogen. Bei der Abb. 7.41 wird ein kurzer, sich selbst tragenden Innenleiter in die Buchsenöffnung gesteckt. Das umgebende Dielektrikum ist Luft mit r ≈ 1. Die Frequenzabhängigkeit der Phase des Reflexionsfaktors open und der daraus berechneten Endkapazität Copen einschließlich der Approximationen durch Polynome werden in der Abb. 7.42 angegeben. Bei der Konstruktion in der Abb. 7.41 können wir die Länge L vor dem offenen Ende bis zur Messebene relativ kurz wählen. Damit erreichen wir eine geringe Gesamtphasendrehung von open (Abb. 7.43). Im kommerziellen Fall mit dielektrischer Halterung am Ende beträgt der Wert von L ca. 15 – 20 mm. Dadurch ist wie beim Kurzschluss in der Abb. 7.36 die Phasenänderung von i deutlich größer als die von open .

7.2

Kalibriernormale 0 open open

Copen=C(0)+C(2) f 2+C(3) f 3

-30 -40 -50 0

2

4

Copen(Feldlösung, Anpassung der Orthogonalreihen)

= (1) f+ (2) f 2

-20

-60

95

(Feldlösung, Anpassung der Orthogonalreihen)

Copen 1015/F

arg(

open

)/°

-10

263

6 8 10 12 Frequenz/GHz

14

16

90

85

80

18

0

2

4

6

a)

8 10 12 Frequenz/GHz

14

16

18

b)

0

200

-5

100

arg( )/°

| |2 103/dB

Abb. 7.42 a) Reflexionsfaktor open und b) Kapazität Copen bezogen auf das Ende des Innenleiters der Abb. 7.41

-10

-15

0

-100 i

i

-20

0

open

open

2

4

6 8 10 12 Frequenz/GHz

a)

14

16

18

-200

0

2

4

6

8 10 12 Frequenz/GHz

14

16

18

b)

Abb. 7.43 a) Betrag, b) Phase vom Reflexionsfaktor i eines koaxialen Open nach der Abb. 7.41 mit vorgeschalteter, verlustbehafteter Luftleitung der Länge L = 15 mm

Allen Kurzschluss- und Leerlauf(„open“)-Normalen ohne Zwitterstecker sind immer Leitungslängen L aus konstruktiven Gründen davor geschaltet. Die Wahl dieser Normale ist begründet mit ihrer einfachen Realisierung und der Eigenschaft, dass ihre Phasen weit auseinander liegen (0◦ , 180◦ ). Diese Phasendifferenz von 180◦ kann auch mit endlichen Werten der Längen L K S und L open für den Frequenzbereich der Anwendung aufrecht erhalten werden, wenn beide Längen in Verbindung mit den Eigenschaften des realen Kurzschluss und Leerlaufs aufeinander abgestimmt werden. In der Abb. 7.44d ist das deutlich zu sehen. Für die Anwendung bedeutet das, dass bei der Kalibrierung Kurzschluss und „open“ immer als zugehöriges Paar verwendet werden sollten. Die für die Modellierung gleichfalls notwendigen Polynome ergeben für die Frequenzabhängigkeit der Kurzschlussinduktivität L K S keine, für die Leerlaufkapazität eine plausible Darstellung. Der akademischen Leerlauf mit open = +1 ist wie der akademischen Kurzschluss mit keiner Zuordnung zu einem Wellenwiderstand RW verbunden. Auch hier erfolgt der Bezug durch die Endkapazität Copen oder eine vorgeschaltete koaxiale Leitung mit RW .

264

7 Netzwerkanalysator 2

130

1.8

C(0)=89.94 10

Copen 1012/H

LKS 1012/H

120 1.6

L(0)=0.76 10-12 H

1.4

L(1)=460 10

1.2

L(2)=-52.43 10

-24

L(3)=1.585 10

H/Hz -33 H/Hz

-42

2

H/Hz

3

-15

C(1)=2536.8 10

F

-27

F/Hz

C(2)=-265 10-36 F/Hz

110

2

C(3)=13.4 10-45 F/Hz3

100

1 0.8

0

2

4

6

8 10 12 Frequenz/GHz

14

16

90

18

0

2

4

6

8 10 12 Frequenz/GHz

a)

14

16

18

14

16

18

b) 200

0 i,short

-0.01

i,open

100

arg( i)/°

| i|2/dB

-0.02 -0.03 -0.04

0

-100 -0.05 -0.06

i,short

0

2

4

6

8 10 12 Frequenz/GHz

14

16

18

-200

i,open

0

2

4

6

8 10 12 Frequenz/GHz

c)

d)

Abb. 7.44 Kalibriernormale 85054B, N-Stecker [3] Kurzschluss L K S = 18,9 mm, Leerlauf(open) L open = 17,4 mm a) Induktivität Kurzschluss, b) Kapazität Leerlauf c) |i |, d) arg(i ), Keysight Technologies, Santa Rosa, CA

7.2.4

Abschlusswiderstand

Neben den Werten der Reflexionsfaktoren  K S ≈ −1 für den Kurzschluss und open ≈ +1 für das offene Ende wäre Wert 0 ≈ 0 eine sinnvolle Ergänzung, da dieser Wert in der Mitte zwischen den beiden anderen liegt. Mit einem koaxialen Abschlusswiderstand, dessen Eingangswiderstand Rin = RW beträgt, ist die oben genannte Forderung zu erreichen. Wie in der Abb. 7.45 dargestellt, wird ein mit einer dünnen(im nm-Bereich) resistiven Metallschicht bedampfter zylindrischer Keramikkörper als Abschlusswiderstand der koaxialen Leitung verwendet. Für die Konstanz des Wellenwiderstandes RW der koaxialen Anordnung entlang L R ist nach C. G. Montgomery [20] mit dem Verhältnis der Durchmesser  R00 RW r (z) ln = R (L − z) = (L − z) (7.80) RW (z) = 2π d L Es muss gelten bei z = 0; r (z) = d/2 und bei z = L R ; r (z) = D/2. Damit erhalten wir r (z) =

d d d (2π RW /(R00 )(z/L R )) e = e(ln(D/d)(z/L R )) = 2 2 2



D d

z/L R (7.81)

7.2

Kalibriernormale

265

c)

a)

b) d)

Abb. 7.45 Bauformen koaxialer Abschluss-Widerstände für die 7 mm-50Ohm-Koaxialleitung in Anlehnung an [30] a) Traktrix, d R = 2,95 mm, L R = 14,3 mm b) Exponential, d R = 2,95 mm, L R = 13 mm c) Innenradius des Außenleiters d) |s11 |2 /dB d) Reflexionsfaktor 0 , HFSS®

Der Außenleiter ist ein Exponentialtrichter. Die elektrische Feldstärke muss aber immer senkrecht auf dem ideal leitenden Außendurchmesser stehen. Im Zusammenhang mit der Wellenausbreitung ist das auf dem Exponentialtrichter für rein radiale Feldlinien nicht der Fall. Die Feldlinien entsprechen mehr denen einer Kugelwelle. C. T. Kohn [12], I. A. Harris [6] gaben deshalb dem Verlauf des Außenleiters die Form einer Schleppkurve (Traktrix). Mit der Abkürzung (Dielektrikum Luft r ≈ 1) r0 =

L R R00 2π RW

lautet die implizite Traktrix-Gleichung nach [12]        d(1 − 1 − (r /r0 )2 ) z = r0 ln + 1 − (r /r0 )2 − 1 − (d/(2r0 ))2  2r (1 − 1 − (d/(2r0 ))2 )

(7.82)

(7.83)

Die Abb. 7.45 c) zeigt den Verlauf der Funktion r (z) für die beiden Strukturen des Außenleiters. Bei der hier vorgestellten Geometrie der 7/3.04 Koaxialleitung und des damit verbundenen Wellenwiderstandes RW = 50 unterscheiden sich die beiden Geometrien kaum. Mit der Reihenentwicklung der Gl. (7.83) können wir diese Ähnlichkeit nachweisen. Kennzeichen der Traktrix-Struktur ist, dass r (z) = D/2 schon vor dem eigentlichen Ende des Widerstandes mit der Länge L R erreicht wird (Abb. 7.45a).

266

7 Netzwerkanalysator

Die Abhängigkeit |s11 |2 / dB= (ω) ist mit dem finiten Elemente Programm HFSS® berechnet worden. Für die Grenzbedingungen an der Widerstandsoberfläche „Impedance“ mit Resistance = π d RW /L R , Reactance = 0 oder „Lumped RLC“ und R = 50 , L = C = 0 erhalten wir die gleichen Kurvenverläufe. Variationen des Durchmessers d R und der Länge L R erlauben eine Optimierung bezüglich optimaler Anpassung. Da die Widerstandsschicht dünner ist als die Eindringtiefe δ, dringt das elektromagnetische Feld in den Keramikkörper ein. Der bei der Optimierung gefundene Zusammenhang d R ≤ d entspricht dem Vorschlag von [6] mit dR =

d RW 2 1 + 0,25r ,Si3 N4 (sin( πd L R R00 ))

(7.84)

Dass die so berechnete sehr gute Anpassung in der Praxis herstellbar ist, zeigen die Ergebnisse in [8], [30] und [19]. Reflexionsdämpfungen mit a R ≈ 40 dB sind eine gute Annäherung an die Anpassung mit 0 = 0 bzw. a R → ∞. Der Abschluss eines Zweitores mit 0 = 0 (Gl. (2.4)) entspricht der Messvorschrift für die Elemente der S-Matrix. Ist 0  = 0 dann transformiert sich dieser Wert über das Zweitor entsprechend der Gl. (3.104) s11 − S0 (7.85) i = 1 − s22 0 Bewegen wir 0 auf einem Kreis mit |0 | =konstant, dann muss sich auch i auf einem Kreis bewegen, wie wir das schon im Abschn. 4.4 für den Fall |0 | = 1 beschrieben haben. Entsprechend der Gl. 4.108 gilt für |0 | ≤ 1    s11 − i    (7.86)  S − s   = |0 | 22 i Analog den Rechnungen im Kapitel 4.4 erhalten wir aus dieser Gleichung die Werte für den Mittelpunkt Ct,0 und den Radius Rt,0 des Bildkreises i (transformierter 0 -Kreis) Ct,0 =

∗ S| |2 s11 − s22 0 1 − |s22 0 |2

und

Rt,0 =

|s12 s21 0 | 1 − |s22 0 |2

(7.87)

|0 | = 1 ist der Spezialfall und führt auf die Gl. (4.113). In der Abb. 7.46 sind die Transformationen bei einem willkürlichen Zweitor für die beiden Werte |0 | = 0,8; 0,1 dargestellt. Bei dem Wert |0 | = 0,8 ist der Mittelpunkt des Bildkreises M B K = s11 , aber für |0 | ≤ 0,1 wären beide nicht zu unterscheiden. Wir erkennen aus dieser Abbildung, dass wir mit einem Reflexionsfaktor |0 | = 0 & 2 GHz können wir als Abschlussreflexionsfaktor o,i die Gleitlast (wegen Spaltlänge L S → 0 am Innenleiter) einsetzen. Mit -50

50

-60 0

arg(s11)/°

|s11|2/dB

-70 -80 -90

-50

-100 -100 -110

s11

s11

s11,gem.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-150

18

s11,gem.

0

2

4

6

a)

12

14

16

18

10

12

14

16

18

0 -500

arg(s21)/°

-0.04

|s21|2/dB

10

b)

-0.02

-0.06 -0.08

-1000 -1500 -2000

s21

-0.1

8 f /GHz

Frequenz/GHz

s21

s21,gem.

0

2

4

6

8

10

Frequenz/GHz

c)

12

14

16

18

-2500

s21,gem.

0

2

4

6

8 f /GHz

d)

Abb. 8.6 Numerische Auswertung der Kurzschluss-/Leerlaufmessung einer Luftleitung

8.2

Kalibrierung – Zweitor

281

der im Abschn. 7.2.4 beschriebenen Methode bestimmen wir den Wert von ρ. In der Gl. (8.4) ist nur noch S unbekannt. Diese Unbekannte messen wir vorzugsweise wegen der guten Modellierung mit dem Kurzschluss und erhalten S =

ρ(1 + o,K S m ) − m o,K S

(8.7)

sowie mit der Gl. (8.6) τ . Dadurch können wir auf den Leerlauf („open“) verzichten (aufwendigere Modellierung als beim Kurzschluss). Der Vorteil dieser Methode für das Kalibriernormal Luftleitung besteht darin, dass die Messung mit einer sehr guten Eintorkalibrierung direkt am Messtor des Netzwerkanalysators ohne Messkabel und ohne nennenswerte Spaltverfälschung erfolgt. Deshalb bietet sich diese Methode gleichfalls zur genauen Messung beliebiger symmetrischer, reziproker Bauteile an, wie z. B. Dämpfungsglieder, Paralleldadmittanzen, Serienimpedanzen u. a. Voraussetzung ist die Kenntnis der Phase von s21 bei der tiefsten Messfrequenz. Die so charakterisierten Zweitore können dann als datenbasierte Normale für die Zweitorkalibrierung verwendet werden.

8.2

Kalibrierung – Zweitor

Wie im Abschn. 2.1 beschrieben, konnten mit dem ersten Netzwerkanalysator HP 8410 von Hewlett-Packard, der Anfang 1967 vorgestellt wurde, die Parameter der Streumatrix S im Frequenzbereich 100 MHz ≤ f ≤ 12,4 GHz breitbandig bezüglich des Betrages und der Phase gemessen werden. Gleichzeitig entstand bei Hewlett-Packard 1966 der 16-bit Instrumenten Rechner HP 2116A, einer der ersten Mikrorechner ((0,4 × 0,8 × 0,5) m!), Speicher max. 8K Worte, FORTRAN Compiler. Hintergrund für diese Kleinrechnerentwicklung war die Absicht, diese Art von Rechner unmittelbar mit Messgeräten zu verbinden, um die bei Messungen anfallenden notwendigen Rechnungen direkt und schnell abzuarbeiten. Damals wurde die Rechentechnik wesentlich durch Großrechner geprägt, z. B. IBM 360 u.ä. Mit der Kopplung von Netzwerkanalysator und Instrumentenrechner als auch mit der Anwendung der Phasenregelschleife und der digitalen Frequenzeinstellung konnten erstmalig der systematische Messfehler eines Netzwerkanalysators bestimmt und die rohen Messdaten sofort korrigiert werden. R. A. Hackborn [12] entwarf dazu 1968 ein ZweitorFehlermodel ohne Pfad für das Übersprechen. Dieser Pfad wurde durch B. P. Hand [13] 1970 eingeführt. Netzwerkanalysator, Rechner, Wobbelgenerator, Geräte für die Dateneinund Ausgabe wurden in einem großen Rack (Abmessungen Meter) zusammengefasst und bildeten das „Automatic Network Analyzer System“ HP 8542A [27]. Kleine Entwicklungslabors in vielen Firmen mussten ohne Instrumentenrechner auskommen. Die Kalibrierung des Netzwerkanalysators erfolgte mit Kurzschluss und Durchverbindung sowie Laufzeitausgleich mittels Koaxialleitungen veränderlicher Länge (Posaunen) [29]. W. Kruppa, K. F. Sodomsky [17] und S. Rehnmark [25] entwickelten Gleichungen für die direkte

282

8 Netzwerkanalysator – Kalibrierung

Rückrechnung (Korrektur) der gemessenen S Parameter. Schon bei der damaligen geringen Rechnergeschwindigkeit war das ein großer Vorteil. Alle Verfahren nutzten als Kalibriernormale Durchverbindung, Kurzschluss, offenes Ende und Gleitlast (Abschlusswiderstand). Die Messung in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung wird mit jeweils sechs und folglich insgesamt durch zwölf Fehlertermen beschrieben. Beim TLR-Verfahren von N. R. Franzen, R. A. Speciale [11] und G. F. Engen, C. A. Hoer [6] bestimmen die geometrischen Abmessungen (Verhältnis D/d) der koaxialen Leitung endlicher Länge L den Wert des Systemwiderstandes, fast immer R0 = 50 oder z. B. R0 = 75. Die Einheit Ohm für den Widerstand wird durch die Grundeinheit Meter dargestellt. Ein direkter Abschlusswiderstand R0 nach Abschn. 7.2.4 ist nicht erforderlich. Die Durchverbindung erfolgt mit zwei Leitungen unterschiedlichen Länge L 1 , L 2 , deren L λ L /4 bei der Mittenfrequenz betragen sollte. Bei koaxialen Zwittersteckern und Hohlleitern kann z. B. mit L 1 = 0 eine direkte Durchverbindung der Messebenen erfolgen. Als Normal für die Kalibrierung des Reflexionsfaktors wird der Kurzschluss verwendet. Für die Streumatrix S der koaxialen Leitungen der Längen L 1,2 besteht die Forderung s11 = s22 → 0. Allerdings beschränkt die Länge L der Leitungen den Frequenzbereich der Kalibrierung. Die obere Grenze des Frequenzbereichs wird erreicht, wenn L → λ L /2 strebt und die untere Grenze wird durch die Winkelauflösung des Netzwerkanalysators vorgegeben. Übliche Werte sind f o / f u ≈ 9 mit L = λ L /4 für f m = ( f o + f u )/2. In den folgenden Jahren entwickelte insbesondere die Arbeitsgruppe von B. Schiek an der Ruhr-Universität Bochum eine allgemeine Systematik der Kalibrierung von Netzwerkanalysatoren für das 8-(7)-Fehlermodell (keine Überkopplung) verbunden mit der Möglichkeit der Selbstkalibrierung [7], [8], [30]. Für den Fall der Überkopplung, die insbesondere bei Messungen mit Waferprobern auftreten kann, zeigten J. V. Butler u. a. in [4] die Möglichkeit der Fehlerkorrektur mit einem 16-(15)-Term Modell. Eine Zusammenfassung zum Stand der Technik händischer Kalibrierverfahren (an- und abschrauben der Kalibriernormale) finden wir bei A. Rumiantsev, N. Ridler [26] und M. Wollensack, J. Hoffmann [32]. Das An- und Abschrauben der Kalibriernormale ist nicht nur zeitaufwendig. Wenn die Messkabel nicht besonders fixiert werden, verändern sich durch das Bewegen und leichte Krümmen beim Kalibriervorgang wenig aber merkbar die Übertragungseigenschaften der Messkabel. Diesen Effekt zeigen auch die teuersten von ihnen. Um diese Probleme zu umgehen, werden heute für Netzwerkanalysatoren von allen Herstellern rechnergesteuerte Kalibriereinheiten (Abb. 8.7) angeboten, die in einem Bruchteil der Zeit gegenüber der händischen Methode eine breitbandige Kalibrierung ermöglichen. Das Grundprinzip wird von H-G. Krekels in [16] beschrieben.

8.2

Kalibrierung – Zweitor

283

Abb. 8.7 Automatische Kalibriereinheit ZN-Z50, Kopplung zwischen Kalibriereinheit und Netzwerkanalysator erfolgt mittels USB-Kabel, Rohde & Schwarz, München

8.2.1

16-(15)-Term Fehlermodell

Die allgemeine Form des Fehlermodells ist die eines Viertors mit 16 Elementen der Streumatrix F, wie das in der Abb. 8.8 dargestellt ist. Dieses Modell beschreibt die Abweichungen vom Idealzustand für die Werte der Richtwirkung, Anpassung und Überkopplung. Die Darstellung entspricht dem Problem der Rückrechnung im Abschn. 5.3 und der Abb. 5.16. Vor der Rückrechnung müssen wir die unbekannten Elemente der Streumatrix F des Viertors in der Weise bestimmen, dass die eindeutige Rückrechnung von den gemessenen Parametern der Streumatrix der Gesamtanordnung auf die zu messenden des Messobjekts MO möglich ist. Nach den Gl. (5.60) und (5.61) sind die gemessenen Parameter Sg und die zu messenden S y .

Abb. 8.8 Modell des fehlerhaften Netzwerkanalysators zur Messung der S-Parameter mit einem 16-Term Fehlerviertor F, [29]

284

8 Netzwerkanalysator – Kalibrierung

In der oben genannten Gl. (5.60) ist die Verkopplung von Sg und S y mit den Elementen von Sx nichtlinear, und damit ist dieser Zusammenhang schlecht geeignet, die gesuchten Elemente von Sx bzw. hier von F zu bestimmen. Um die Darstellung mit linearer Abhängigkeit zu bekommen, wählen wir die Nummerierung der Tore wie D. Rytting [29]. Gemäß des Aufbaus des Netzwerkanalysators nach der Abb. 7.2 wird die Anordnung der Abb. 8.8 mit der Welle a0 in Vorwärtsrichtung und mit der Welle a3 in Rückwärtsrichtung gespeist. Zur Analyse der Schaltung bilden wir Wellengruppen und Blockmatrizen für eine übersichtliche und zweckmäßige Darstellung. Das Graphenbild der Abb. 8.8 beschreiben wir mit      ba F aa F ab aa = (8.8) bb F ba F bb ab Dabei sind

  b ba = 0 b3

  b bb = 1 b2

  a aa = 0 a3

und die Blöcke der Fehlertor-F-Streumatrix     f 00 f 03 f 01 f 02 F ab = F aa = f 30 f 33 f 31 f 32

  a ab = 1 a2

 f 12 F ba = F bb = f 22 (8.10) Die Gl. (8.8) stellen wir in der Wellen-Kettenmatrix Form T F nach der Schreibweise von H. Heuermann [14] dar (Ausgangswellen als Funktion der Eingangswellen, WellenKettenmatrix T r rückwärts Gl. (2.35))        F T r ,aa T rF,ab aa bb F aa = Tr = (8.11) ab ba T rF,ba T rF,bb ba 

f 10 f 20

f 13 f 23



(8.9)



f 11 f 21

Entsprechend des Abschn. 2.3 besteht für diese Zuordnung zwischen den Matrizen F und T F der Zusammenhang  T rF

=

F ba F bb O E



E O F aa F ab

−1

 und F =

O

E

T rF,aa T rF.ab



E

O

−1

T rF,ba T rF,bb

(8.12) Die Gleichung für die Streumatrix des Messobjektes MO schreiben wir übersichtlich mit Abkürzungen auf         b1 s11 s12 a1 α β a1 = = (8.13) γ δ b2 s21 s22 a2 a2 Wegen der Gleichheit der Wellen an der Verbindung zwischen dem Fehlerviertor F und der Streumatrix S des Messobjektes gilt gleichfalls      a1 α β b1 = oder ab = Sbb (8.14) γ δ a2 b2

8.2

Kalibrierung – Zweitor

285

Wir setzen diese Beziehung in die untere Zeile der Gl. (8.11) ein Sbb = T rF,ba aa + T rF,bb ba

(8.15)

ersetzen bb mit der oberen Zeile der Gl. (8.11) S(T rF,aa aa + T rF,ab ba ) = T rF,ba aa + T rF,bb ba und ordnen die zugehörenden Terme     a0 b F F F F + (ST r ,ab − T r ,bb ) 0 = O (ST r ,aa − T r ,ba ) a3 b3

(8.16)

(8.17)

Die Gl. (8.17) ist der gesuchte lineare Zusammenhang zwischen den einzelnen Parametern. Die Beschreibung des Messobjektes mit der Streumatrix S statt der T Matrix verhindert, dass die Gl. (8.17) für Messobjekte mit s21 → 0 eine Polstelle hat (s. a. Abschn. 2.3). In Vorwärtsrichtung regen wir die Schaltung mit der Welle a0 an. Der Netzwerkanalysator berechnet als Messwerte die komplexen Quotienten a3,V /a0 = m 1 , b0,V /a0 = m 3 und b3,V /a0 = m 4 . Damit erhalten wir die Vorwärtsgleichung    1 m3 + (ST rF,ab − T rF,bb ) =O m4 m1

 (ST rF,aa − T rF,ba )

(8.18)

sowie in Rückwärtsrichtung mit der Anregung a3 und a0,R /a3 = m 2 , b0,R /a3 = m 5 und b3,R /a3 = m 6 die Rückwärtsgleichung (ST rF,aa

−

T rF,ba )

    m2 m5 F F =O + (ST r ,ab − T r ,bb ) 1 m6

(8.19)

Wir addieren die beiden Gleichungen (ST rF,aa − T rF,ba )M 1 + (ST rF,ab − T rF,bb )M 2 = O mit

 M1 =

1 m2 m1 1



 und

M2 =

m3 m5 m4 m6

(8.20)

 (8.21)

Sind die Elemente der T F -Matrix bekannt, dann kann die Streumatrix S mit den Matrizen M 1 und M 2 , d. h. einer Vorwärts- und einer Rückwärtsmessung, berechnet werden S = (T rF,ba M 1 + T rF,bb M 2 )(T rF,aa M 1 + T rF,ba M 2 )−1

(8.22)

Die Gl. (8.20), (8.22) entsprechen denen der Eintor-Kalibrierung (8.1), (8.3). Mit der erstgenannten können wir über die notwendige Anzahl der Zuordnungen bekanntes Messobjekt zugehörende Messwerte die Elemente der Fehlertore bestimmen, und mit der zweiten können wir von beliebigen Messobjekten die Messwerte korrigieren.

286

8 Netzwerkanalysator – Kalibrierung

Für eine Vorwärts- und Rückwärtsmessung mit dem Messobjekt MO1 und dessen bekannter Streumatrix S1 nach der Gl. (8.13) ergibt die Auswertung der Matrixgleichung (8.20) mit         t t t t t t t t T rF,ab = 5 6 T rF,ba = 9 10 T rF,bb = 13 14 (8.23) T rF,aa = 1 2 t3 t4 t7 t8 t11 t12 t15 t16 vier homogene Gleichungen mit den 16 Unbekannten t1 · · · t16 für die erste Messung M 11 , M 21 mit MO1 ⎛ ⎞ α1 m 11 β1 β1 m 11 α1 m 31 α1 m 41 β1 m 31 β1 m 41 ... α1 ⎜ −1 −m 11 0 0 −m 31 −m 41 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜α m α1 β1 m 21 β1 α1 m 51 α1 m 61 β1 m 51 β1 m 61 ... ⎟ ⎜ 1 21 ⎟ ⎜ ⎟ −m 21 −1 0 0 −m 51 −m 61 0 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟· ⎜ γ1 γ1 m 11 δ1 δ1 m 11 γ1 m 31 γ1 m 41 δ1 m 31 δ1 m 41 ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 −1 −m 11 0 0 −m 31 −m 41 ⎟ ⎜ ⎟ (8.24) ⎝ γ1 m 21 γ1 δ1 m 21 δ1 γ1 m 51 γ1 m 61 δ1 m 51 δ1 m 61 ... ⎠ 0

0

−m 21

−1

0 ⎛ ⎞ 0 t1 0⎟ ⎜ .. ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ . ⎠=⎜ ⎝0⎠ t16 0 ⎛

0 ⎞

−m 51 −m 61

α1 , β1 , γ1 und δ1 sind die bekannten Elemente von S1 sowie m q1 , q = 1 · · · 6 die dazu gehörenden Messwertanzeigen am Netzwerkanalysator. Die Gl. (8.24) schreiben wir in kompakter Form A1 t = O (8.25) Um die 16 Unbekannten t1 · · · t16 berechnen zu können, sind mindestens vier Gleichungssysteme der Form (8.25) notwendig, so dass folgendes Gesamtsystem entsteht ⎛

⎞ A1 ⎜ A2 ⎟ ⎜ ⎟t = O ⎝ A3 ⎠ A4

oder

At = O

(8.26)

Dafür müssen wir vier Kalibriernormale anschließen und die zugehörenden Parameter der Sq -Matrizen sowie der Messwerte m pq mit q = 1 · · · 4 in die Gleichungen eintragen. Das homogene Gleichungssystem (8.26) hat nur dann eine von null verschiedene Lösung, wenn die Determinante  A = 0 ist. Wegen des physikalischen Zusammenhangs von Aufbau und Messung ist das hier der Fall. Die Theorie der Lösbarkeit linearer homogener Gleichungssysteme besagt, dass wir eine der sechzehn Variablen ti frei wählen können. Damit sind die verbleibenden fünfzehn als Funktion des gewählten Wertes von ti darstell-

8.2

Kalibrierung – Zweitor

287

bar. Der negative Wert der Spalte der gewählten Variablen wird die rechte Seite eines nun inhomogenen Gleichungssystems für fünfzehn Variable mit der quadratischen Koeffizienten Matrix A15 der Größe 15 × 15, da wir auch eine Zeile streichen dürfen. Für eine eindeutige Lösung des inhomogenen Gleichungssystem muss der Rang von A15 und der erweiterten Form mit der rechten Seite gleich der Anzahl der Variablen sein. Die Auswertung der Messungen zeigt, dass der Rang( A15 ) = 14 beträgt [14]. Das Gleichungssystem ist nicht lösbar. Aus diesem Grund müssen wir noch eine zusätzliche Messung mit einem fünften Kalibriernormal berücksichtigen. Damit erhalten wir die Gleichung ⎛ ⎞ A1 ⎜A ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ (8.27) ⎜ A3 ⎟ t = O oder At = O ⎜ ⎟ ⎝ A4 ⎠ A5 Um den Rang des Gleichungssystems auf den Wert fünfzehn zu bringen, reicht es aus, z. B. von der Matrix A5 , nur noch eine der vier Zeilen A5 (q, :) mit q = 1 · · · 4 bei den anderen vier Matrizen in der Gl. (8.27) zu verwenden. Wir erhalten ein überbestimmtes Gleichungssystem. Die Lösung erfordert gesonderte numerische Algorithmen. Deshalb ist es sinnvoll, im Sinne der Mittellung der Messfehler doch mit dem gesamten System der Gl. (8.27) zu rechnen. Die Determinante  A in der Gl. (8.27) ist gleichfalls null. Wie oben können wir den Wert für eine Variable ti vorgeben und damit eine von null verschiedene rechte Seite in der Gl. (8.27) erzeugen. Damit hat die veränderte Koeffizientenmatrix A die Größe 20 × 15. Wir streichen wegen der Fehlermittelung keine Zeile. Das überbestimmte inhomogene Gleichungssystems lösen wir wie im Fall der Eintor-Kalibrierung mit dem MATLAB® Algorithmus der Orthonormierung t 1···15 = A20,15 \(− A(:, i))

(8.28)

oder der Singulärwertzerlegung (SVD). Die ausgesuchte Variable i erhält den Wert ti = 1. Die Wahl der Nummer i der Variablen ti sollte so erfolgen, dass cond( A∗20,15 · A20,15 ) → min

(8.29)

gilt. Ein kleiner Wert der Kondition der Koeffizientenmatrix sichert bei der Lösung linearer Gleichungssysteme große numerische Stabilität. Wenn wir mit diesem Ziel die Variablen ti entsprechend der Zuordnung in der Gl. (8.23) untersuchen, stellen wir fest, dass für die Wahl ti = 1 jeweils t1 , t4 , t13 oder t16 besonders geeignet sind. Das sind die Elemente der Hauptdiagonale der Transmissionsmatrix T F . Diese entsprechen den Übertragungsfaktoren vom Tor 0 ⇔ 1 und 2 ⇔ 3. Ihr Wert sollte für ideale, fehlerfreie Anschlüsse des Netzwerkanalysators gegen eins streben. Im Sinne einer kleinen Konditionszahl ist gleichfalls die Auswahl der Kalibriernormale zu bewerten.

288

8 Netzwerkanalysator – Kalibrierung

0

1

3

2

Abb. 8.9 Links: 16-Term Fehlerviertor rechts: F(S)-Parameter, daraus berechnete T rF -Parameter rückwärts, normiert auf trF,4.4 , Gl. (8.12), Tab. 2.2, normierte T rF -Parameter rückwärts als Ergebnis der Kalibrierung, alle Werte gelten für f m = 5 GHz

Um den vorgestellten Algorithmus zu testen, wurde ein virtueller Netzwerkanalysator mit dem ADS® und einem idealen Doppelreflektormeter entsprechend der Abb. 7.15 aufgebaut. Als Fehlertor dient die Schaltung nach der Abb. 8.9. Es sind bewusst endliche Werte für die Überkopplung, Parallelkapazitäten sowie Verluste im Durchgang gewählt worden. Die Elemente der Streumatrix F werden nach den Gl. (8.10) sortiert. Kalibriernormale sind z. B.: • ideale Luftleitung Länge L = 26 mm • ideale Luftleitung Länge L = (26 + 15) mm, L ≡ λ Lm /4 für f = f m • Kombination Kalibriernormal ≡ Keysight 85054B Tor 1 Luftleitung mit Kurzschluss am Ende, Länge L = 18,9 mm Tor 2 Luftleitung mit „Open“ am Ende, Länge L = 17,4 mm • Kombination Kalibriernormale ≡ Keysight 85054B Tor 1 Luftleitung mit „Open“ am Ende, Länge L = 17,4 mm Tor 2 Luftleitung mit Kurzschluss am Ende, Länge L = 18,9 mm • datenbasiertes Dämpfungsglied a D = 6 dB Bei der Kalibrierung gilt die Annahme, dass in der Praxis heute fast nur koaxiale Steckergarnituren mit dem System Stecker-Buchse eingesetzt werden. Aus diesem Grund ist eine direkte Durchverbindung mit der Länge L = 0 nicht möglich. Gleiches gilt für den Einsatz des Kurzschluss und des „open“. Hier müssen immer aufeinander abgestimmte Kalibriernormale verwendet werden. Für das vorgestellte Beispiel mit der Wahl eines der ti = 1 auf der Hauptdiagonalen des Gleichungssystems (8.28) ist die Kondition nach der Gl. (8.29) ca. 60, für die andere Wahl schwankt die Kondition zwischen 100 und 3000.

8.2

Kalibrierung – Zweitor

289

0

-20

s12,mo

-5

|s 12|2/dB

|s 11|2/dB

s12,mc s11,mo s11,mc s11,mr

-10 2

4

s12,mr

-25

-30

6

8

2

Frequenz/GHz 30

|s 21|2/dB

s21,mr

15

|s 22|2/dB

s21,mc

20

10

s22,mo

-5

s22,mc s22,mr

-10

4

6

2

8

4

6

8

Frequenz/GHz

Frequenz/GHz 200

100

0

s11,mo s11,mc

-100

arg(s 12)/°

100

arg(s 11)/°

8

-15 2

s11,mr

-200 2

4

6

0 s12,mo

-100

s12,mc s12,mr

-200

8

2

Frequenz/GHz 200

200

100

100

0

s21,mo s21,mc

-100

s21,mr

-200 2

4

6

Frequenz/GHz

4

6

8

Frequenz/GHz

8

arg(s 22)/°

arg(s 21)/°

6

0

s21,mo

25

4

Frequenz/GHz

s22,mo s22,mc s22,mr

0 -100 -200 2

4

6

8

Frequenz/GHz

Abb. 8.10 S-Parameter eines Transistors mit und ohne Kalibrierung 16-Term Fehlerviertor Abb. 8.9 si j,mo Werte Datenblatt, si j,mc Werte nach Kalibrierung korrigiert, si j,mr angezeigte Werte ohne Fehlerkorrektur

Auf der rechten Seite der Abb. 8.9 ist zu sehen, dass die Kalibrierung die gleichen Werte der Elemente der normierten Matrix T rF ergibt wie die umgerechneten aus der Streumatrix F. Die Abb. 8.10 zeigt das Ergebnis der virtuellen Messung der S-Parameter eines

290

8 Netzwerkanalysator – Kalibrierung

Transistors ohne und mit Fehlerkorrektur nach der Kalibrierung. Die Darstellung der Phase der Übertragungsparameter s12 , s21 erfolgt fortlaufend (math. unwrap-Befehl). Das 16-Term Fehlertor der Abb. 8.9 ist rein passiv und reziprok. Folglich gilt die Beziehung T vF = T rF = 1. Wenn alle Elemente berechnet oder gemessen wurden, kann diese Beziehung zur Kontrolle dienen. Diese Gleichheit gibt es für eine normierte Wellen-Ketten Matrix z. B. T rFn = T rF /tr (4, 4) nicht (zu sehen in der gleichen Abbildung). Von den Parametern der normierten Wellen-Ketten Matrix als Ergebnis der Kalibrierung kennen wir den Wert des Elementes nicht, auf das normiert wurde. Im Fall der oben genannten Eigenschaft des Fehlertores können wir es mit dem Zusammenhang (z. B. Wahl tr (4,4) = 1 bzw. t16 = 1 gemäß Gl. (8.24)) 1 T rF = (tr (4,4))4 T rFn = 1 → tr (4,4) = 4 (8.30) T rFn berechnen. Der Exponent, hier 4, entspricht der Ordnung der Matrix. Wegen der vierten Wurzel hat die Phase von tr (4,4) eine Unbestimmtheit von π/2.

8.2.2

8-(7)-Term Fehlermodell

Das Fehlermodell mit 16-(15) Termen beschreibt zwar alle möglichen Abweichungen vom Idealzustand eines Netzwerkanalysators, ist aber dadurch mit einem großen Gleichungssystem und insgesamt fünf Kalibriernormalen verbunden. Werden Messungen nicht mit Waferprobern sondern mit Koaxialleitungen oder Hohlleitern gemacht, können wir im Fehlerviertor insbesondere die gegenseitigen Verkopplungen streichen. Damit erhalten wir die einfache Struktur der Abb. 8.11. Statt der 16 gibt es nur noch 8 Fehlerterme. Die Gl. (8.20) und (8.22) gelten nach wie vor.

Abb. 8.11 Modell des fehlerhaften Netzwerkanalysators zur Messung der S-Parameter mit einem 8-Term Fehlerviertor F, [29]

8.2

Kalibrierung – Zweitor

291

Abb. 8.12 Links: 8-Term Fehlerviertor rechts: F(S)-Parameter, daraus berechnete T rF -Parameter rückwärts, normiert auf trF,4.4 , Gl. (8.12), Tab. 2.2, normierte T rF -Parameter rückwärts als Ergebnis der Kalibrierung, alle Werte gelten für f m = 1 GHz

Zur Information über die Besetzung der Matrizen betrachten wir die Abb. 8.12 In der Streumatrix F als auch bei der zugehörenden Transmissionsmatrix T F sind in den Blockmatrizen die Elemente der Nebendiagonale null, da wir die Verkopplungen entfernt haben. Damit hat die Gl. (8.22) folgende Struktur         t1 0 t3 0 t5 0 t7 0 F F F F T r ,ab = T r ,ba = T r ,bb = (8.31) T r ,aa = 0 t2 0 t4 0 t6 0 t8 mit den 8 Unbekannten t1 · · · t8 , und die damit aufgelöste Gl. (8.20) ergibt die vier Gleichungen ⎛

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ β1 m 41 −1 0 −m 31 0 0 t1 ⎟ ⎜ β1 m 61 −m 21 0 −m 51 0 ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜0⎟ · ⎝ .. ⎠ = ⎝ ⎟ δ1 m 41 0 −m 11 0 −m 41 ⎠ 0⎠ t 8 0 δ1 m 61 0 −1 0 −m 61 (8.32) Es gelten die analogen Beziehungen wie in der Gl. (8.24). Mit der Abkürzung α1 β1 m 11 ⎜α1 m 21 β1 ⎜ ⎝ γ1 δ1 m 11 γ1 m 21 δ1

α1 m 31 α1 m 51 γ1 m 31 γ1 m 51

A1 t = O

(8.33)

würden für die acht Unbekannten t1 · · · t8 zwei Systeme der Gl. (8.32) zu deren Berechnung ausreichen, in der Form   A1 t = O oder At = O (8.34) A2 Auch hier hat das System der Gl. (8.34) nur den Rang sechs. Für die Lösung des homogenen Systems mit der freien Wahl des Wertes einer der acht Unbekannten muss der Rang aber den Wert sieben haben. Folglich müssen wir noch mindestens eine Gleichung aus dem System

292

8 Netzwerkanalysator – Kalibrierung

(8.32) oder gleich ein ganzes zusätzlich A3 verwenden. Das überbestimmte Gleichungssystem hat dann die Form (MATLAB® -Befehl) t 1···7 = A12,7 \(− A(:, i))

(8.35)

mit i für die Nummer der ausgewählten Unbekannten ti , für deren Wert wir wieder ti = 1 wählen. Die Wahl des Nummer i erfolgt für cond( A∗12,7 · A12,7 ) → min

(8.36)

um eine große numerische Stabilität zu erreichen. Der Test der 8-Term Kalibrierung erfolgt mit • Luftleitung Edelstahl σ = 1,33e6 S/m, Gl. (7.60) Länge L = 20 mm, „Durchverbindung“ • Luftleitung w.o. Länge L = (20 + 75) mm, L ≡ λ Lm /4 für f = f m , „Durchverbindung+λ L /4“ • Kalibriernormal Keysight 85054B, Abb. 7.44 Tor 1 Luftleitung mit Kurzschluss am Ende, Länge L = 18,9 mm Tor 2 Luftleitung mit Kurzschluss am Ende, Länge L = 18,9 mm, beidseitiger „Kurzschluss“ Die Luftleitungen sind verlustarm aber nicht verlustfrei. Durchverbindung – Durchverbindung plus λ L /4 Leitung –Totalreflexion als Reihenfolge der Kalibrierschritte wird in der Literatur als „TLR-Kalbrierung“ bezeichnet. Mit dem 8-Term Fehlermodell brauchen wir nur drei Schritte für die Kalibrierung gegenüber fünf beim 16-Term Fehlermodell. Als Beispiel für das Messobjekt dient der Tschebyscheff-Bandpass aus dem Abschn. 4.2, Abb. 8.13. Den kleinsten Wert für die Kondition des Gleichungssystems nach der Gl. (8.36) erhalten wir mit der Wahl der ti = 1 auf der Hauptdiagonalen von T rF . Mit dem Wegfall der Überkopplungen zerfällt das Fehlerviertor F in die zwei Fehlerzweitore F A und F B , zwischen denen sich das Messobjekt MO befindet. Für den Fall, dass beide Fehlerzweitore im Verlauf der Kalibrierung ohne zusätzliche Leitungslänge L „durchverbunden“ werden können, lässt sich das TLR-Verfahren nach [6] anwenden. Direkte Verbindungen (Meßebene 1 an Meßebene 2) der Tore 1 und 2 sind bei koaxialen Zwittersteckern (RPC-7® u. a.) und Hohlleitern möglich. Ist diese direkte Durchverbindung nicht machbar, kann das Verfahren von A. Ferrero, U. Pisani [9] benutzt werden. Diese Methode verwendet eine volle Eintor-Kalibrierung nur an einem Tor mit Anpassung, Kurzschluss, Leerlauf(„open“) und die Transmissionsmessung mit einem datenbasierten(bekannten) Zweitor. Das 8-Term Fehlermodell wird in der Abb. 8.14 mit den beiden Zweitoren A und B in Form ihrer Transmissionsmatrizen (Richtung vorwärts, Gl. (2.31), (2.32)) dargestellt. Wir machen die Annahme, dass wir beide Tore nicht direkt, sondern nur mit einer Luftleitung der Länge L T verbinden können. Jetzt halbieren wir virtuell die Leitung und ordnen

8.2

Kalibrierung – Zweitor

293 0

-20 s11,mo

-40

s11,mc s11,mr

-60 0.5

1

s12,mo

|s 12|2/dB

|s 11|2/dB

0

s12,mc

-50

s12,mr

-100

1.5

0.5

Frequenz/GHz

s21,mo s21,mc

-50

s21,mr

-100

-20 s22,mo

-40

s22,mc s22,mr

-60 0.5

1

1.5

0.5

Frequenz/GHz 200

200

100

0

0

s11,mo s11,mc

-100

s11,mr

-200 0.5

1

1.5

Frequenz/GHz

arg(s 12)/°

arg(s 11)/°

1.5

0

|s 22|2/dB

|s 21|2/dB

0

s12,mo

-200

s12,mc

-400

s12,mr

-600 -800

1

1.5

0.5

Frequenz/GHz 200

200

0

100

s21,mo

-200

s21,mc

-400

1

1.5

Frequenz/GHz

s21,mr

-600 -800

arg(s 22)/°

arg(s 21)/°

1

Frequenz/GHz

s22,mo s22,mc s22,mr

0 -100 -200

0.5

1

Frequenz/GHz

1.5

0.5

1

1.5

Frequenz/GHz

Abb. 8.13 S-Parameter eines Tschebyscheff-Bandpasses mit und ohne Kalibrierung, si j,mo Werte Theorie, si j,mc korrigierte Werte nach Kalibrierung, si j,mr angezeigte Werte ohne Fehlerkorrektur

294

8 Netzwerkanalysator – Kalibrierung

a)

b)

c)

Abb. 8.14 Darstellung des 8-Term Fehlermodells durch die Zweitore A und B. a) Torverbindung mit der Luftleitung der Länge L T . b) Halbierung der Leitung, Durchverbindung in der virtuellen Messebene. c) Torverbindung mit einem Zweitor Beschreibung mit den Transmissionsmatrizen vorwärts T A, T B , T L , T Z

diese Hälften den Zweitoren A und B zu. Damit haben wir erreicht, dass in der Mitte, der virtuellen Messebene, eine Durchverbindung besteht, und wir können den Algorithmus von [6] modifiziert anwenden. Wir messen am Netzwerkanalysator für die Gesamtmatrix (T ≡ Durchverbindung) T mT = T AL T L B (8.37) und

T L B = T −1 AL T mT

(8.38)

Es bedeuten nach der Abb. 8.14 mit der nach- und vorgeschalteten halben Leitungslänge L T T AL = T A T L T /2

und

T L B = T L T /2 T B

(8.39)

Im nächsten Schritt der Kalibrierung verbinden wir die Tore 1 und 2 mit einem angepassten Zweitor T Z (reziprok oder auch nichtreziprok). Die Messung ergibt T m Z = T AL T Z T L B = T AL T Z T −1 AL T mT oder

T m Z T −1 mT T AL = T AL T Z

bzw.

T m T AL = T AL T Z

(8.40)

(8.41)

8.2

Kalibrierung – Zweitor

295

Dabei nehmen wir an, dass das angepasste Zweitor beidseitig negative Leitungslängen L T /2 hat. Dadurch ergibt sich das Bild 8.14c. Die Matrix T m = T m Z T −1 mT ist die Verknüpfung aller Messwerte. Gesucht sind die Elemente der Matrix T AL . Für den rechten Teil der Gl. (8.41) schreiben wir mit Abkürzungen (s. a. Gl. (2.31))       t1 t2 α β α β p 0 = γ δ γ δ 0 q t3 t4 oder       α β α β p 0 t 1 t2 = γ 1 γ 1 0 q t3 t4

(8.42)

p und q repräsentieren die Übertragungen des angepassten Zweitors T Z . dessen Matrix T Z Z  = 0, s Z  = 0). t sind die durch die Messung bekannten endliche Werte haben muss(s12 i 21 Elemente der Matrix T m . α, β, γ und δ entsprechen den gesuchten Werten der Matrix T AL . Im unteren Teil der Gl. (8.42) wurde das Element δ ausgeklammert, so dass die verbleibenden Matrixelemente α, β, γ jetzt auf δ normiert sind. Wir führen die Multiplikation der Matrizen der Gl. (8.42) aus und erhalten die vier Gleichungen t 1 α + t2 γ = α p t1 β + t2 = βq t3 α + t4 γ = γ p

(8.43)

t3 β + t 4 = q Die Division der ersten Gleichung durch die dritte von (8.43) ergibt   t 4 − t1 α t4 − t1 2 t2 =− ± + = w1 γ 2t3 2t3 t3 abgekürzt w1 und die der zweiten durch die vierte   t 4 − t1 t4 − t 1 2 t 2 ± + β=− 2t3 2t3 t3

(8.44)

(8.45)

Beide Gl. (8.44), (8.45) sind einander gleich. Um verschiedene Ergebnisse für α/γ und β zu bekommen, müssen die Vorzeichen vor der Wurzel in beiden Gleichungen unterschiedlich sein. Außerdem sehen wir, dass die Übertragungsparameter p, q des Zweitors zur Berechnung der Elemente von TAL nicht unmittelbar bekannt sein müssen. Wir verwenden ein passives Zweitor, so dass |t3 β + t4 |2 = |q|2 ≥ 1 (8.46)

296

8 Netzwerkanalysator – Kalibrierung

Kurzschluss mit vorgeschalteter Leitung

Abb. 8.15 Kurzschluss mit vorgeschalteter Leitung der Länge L S am Tor 1 von T A

sein muss (s. a. Gl. (2.31)). Damit können wir das entsprechende Vorzeichen in den Gl. (8.44), (8.45) wählen. Außerdem ist bei bekannten α/γ und β die Berechnung von p, q nachträglich möglich. Um weitere Informationen über α/γ und β zu bekommen, messen wir z. B. am Eingang von T A den Reflexionsfaktor i bei Abschluss des Tores 1 mit dem Reflexionsfaktor 1 , wie das in der Abb. 8.15 dargestellt ist. Es ist sinnvoll, als Kalibriernormal den Kurzschluss zu wählen. Diesem ist bei den üblichen Kalibriernormalen eine Leitungslänge L S davor geschaltet. Beim vorgestellten Kalibrierverfahren bezieht sich der Kurzschluss auf die virtuelle Messebene und dafür gilt mit der Modellierung einer realen Leitung (Gl. (7.77)) 1 = e2γ L T /2

s11 − S K S ≈ (−1)e−2γ (L S −L T /2 ) 1 − s11  K S

(8.47)

 K S ist der Reflexionsfaktor der Kurzschlussplatte und s11 , S sind die S-Parameter einer realen Leitung für endliche Werte der Leitfähigkeit (Abschn. 7.2.1). Mit dieser Definition von 1 wird aus Matrix T A die Matrix T AL und der Eingangsreflexionsfaktor i ist (mit den Elementen der Matrix T AL ) i =

α1 + β α1 + β = α γ 1 + 1 1 + 1 w1

(8.48)

Diese Gleichung dient zur Berechnung von α α=

i − β 1 (1 − i /w1 )

(8.49)

Der vorgestellte Algorithmus ist gleichfalls mit dem Bezug auf das Fehlertor T B möglich. Die Gl. (8.44), (8.45) und (8.49) bestimmen eindeutig α, γ , β und damit auch das Ergebnis der Kalibrierung   α β (8.50) T AL = γ 1

8.2

Kalibrierung – Zweitor

297

Mit dem Messobjekt zwischen T A und TB erhalten wir TmO = T AT MO T B

oder

−1 T M O = T −1 A TmO T B

(8.51)

Aus den Gl. (8.38), (8.39) folgt T A = T AL T −1 L T /2

und

−1 −1 T B = T −1 L T /2 T L B = T L T /2 T AL T mT

(8.52)

und damit ist das Ergebnis für die Rückrechnung der zu messenden aus den gemessenen Werten mit den Kalibrierdaten −1 T M O = T L T /2 T −1 AL T m O T mT T AL T L T /2

(8.53)

bzw. in der MATLAB® -Notation T M O = T L T /2 (T AL \T m O )(T mT \T AL )T L T /2

(8.54)

Setzen wir in die Gl. (8.53) die gemessene Matrix T m Z ein, können wir nachträglich T Z und damit die Streumatrix S Z des angepassten Zweitors berechnen. In der Abb. 8.16 sehen wir die Messwerte des Filters mit dieser modifizierten Methode nach [6]. Das Ergebnis stimmt sehr gut mit der Abb. 8.13 überein bis auf die Werte des Betrages der Eigenreflexionsfaktoren s11 , s22 des Filters. Der Grund dafür ist, dass bei der Verwendung realer verlustarmer Leitungen (hier Edelstahl) die Annahme des angepassten Zweitors im zweiten Schritt der Kalibrierung im Sinne der Messdynamik |sii |2 < −40 dB nicht erfüllt wird. Das reale Zweitor T Z (nicht unbedingt angepasst und reziprok) hat die Besetzung der Matrix (Tab. 2.2 und Gl. (3.43))     p 0 p t12 sondern T Z = T Z = t21 q 0 q (8.55) mit t12 , t21 90 GHz und bei flüssigem Stickstoff für f > 1,6 THz verlassen. Insbesondere bei großen Bandbreiten  f und Mittenfrequenzen in der Umgebung von h f /(kT ) = 1 muss diese Abhängigkeit beachtet werden.

9.1

Rauschursachen

321

Die mit der Integration berechnete Leistung Pr ist die verfügbare Rauschleistung Pr ,av der Rauschquelle. Interessant ist, die Gl. 9.18 enthält keinen Wert des Widerstandes. In der Abb. 9.3 ist außerdem von Sr (T = T0 ) für f = 1 MHz der Wert mit −174 dBm/Hz eingetragen. Dieser Wert ist eine Richtgröße bei der Bewertung der Empfindlichkeit von Empfängern und Messgeräten. Einen Widerstand R, der eine elektrische Leistung, hier ein Rauschspektrum, abgibt, können wir mit Ersatzquellen beschreiben. In der Tab. 9.1 werden diese Abhängigkeiten angegeben. Die durch den Wirkanteil rauschende Impedanz z, Admittanz y bzw. den rauschenden Reflexionsfaktor  ersetzen wir durch rauschfreie Elemente und die dazu gehörenden Rauschquellen. Der Zusammenhang der Leerlauf-Rauschspannung u r , des KurzschlussRauschstromes ir und der Rauschwelle br mit der verfügbaren Rauschleistung Pr ,av ergeben sich analog den Beziehungen in der Tab. 1.1. Von den Quellen ist wegen der Messbarkeit nur die Angabe der mittleren Betragsquadrate sinnvoll. Vor dem Hintergrund der Wellenbeschreibung werden Rauschspannung u r und -strom ir wie im Abschn. 1.3 auf den Widerstand R0 normiert   u r = u r G 0 und ir = ir R0 (9.19) Wir führen für die normierten Größen keine gesonderten Symbole ein. Ob normierte oder unnormierte Rauschgröße können wir mittels Einheitenüberprüfung in den folgenden Gleichungen bestimmen. In der Tab. 9.1 haben durch die Normierung alle mittleren Betragsquadrate die Einheit Watt.

9.1.2

Schrot-Rauschen

Schon 1918, wenige Jahre nach der Erfindung der Radioröhren, untersuchte W. Schottky [42–45] die Gleichmäßigkeit des Stromflusses im Vakuum dieser Röhren. Er konnte zeigen, dass das mittlere Betragsquadrat des Rauschstromes, der sich dem eigentlichen Strom überlagert, |ir ,s |2 = 2q I DC  f (9.20) beträgt. Gegenüber dem thermischen nannte er diesen Effekt Schrot-Rauschen, Index s. Experimente zeigen, dass diese Gleichung auch für den Stromfluss in HalbleiterBauelementen Gültigkeit besitzt. Das Schrotrauschen ist für Frequenzen f 1/τ , dem Kehrwert der Elektronenlaufzeit, nahezu unabhängig von der Frequenz. Die Strom-/Spannungskennlinie einer Halbleiterdiode ist I DC = I S (exp(U DC /(nUT )) − 1) mit 1 ≤ n ≤ 2

(9.21)

mit der Temperaturspannung UT ,T =T0 = 26 mV und dem Sättigungsstrom (10−9 ≤ I S ≤ 10−6 ) A. Wir wollen mit einer kleinen Wechselspannung u(t) die Diode in einem Arbeitspunkt I DC,0 betreiben, bei dem der differentielle Leitwert G D,0 = 0,02 S beträgt. Diesen

wi = 2kT (y + y ∗ ) |br |2 |1 + Γ|2

wu = 2kT (z + z ∗ )

|br |2 |1 − Γ|2

|br |2 =

|ur |2 |ir |2 = |1 + z|2 |1 + y|2

wb = kT (1 − |Γ|2 )

|br |2 = kT Δf (1 − |Γ|2 )

W ellenquelle

√ √ G0 = 1/R0 ; ur = ur G0 ; ir = ir R0 ; ur = ar + br ; ir = ar − br ; ar = (ur + ir )/2; br = (ur − ir )/2 Z = R ± jX; z = ZG0 = r ± jx; Y = G ± jB; y = Y R0 = g ± jb

|ir |2 = 4

|ir |2 = 2kT Δf (y + y ∗ )

|ur |2 = 2kT Δf (z + z ∗ )

|ur |2 = 4

Stromquelle

Spannungsquelle

Tab. 9.1 Wechselseitige Größenzuordnung der Ersatz-Rauschquellen für die Darstellungen als Spannungs-, Strom- und Wellenquelle

322 9 Rauschen

9.1

Rauschursachen

323

Wert berechnen wir mit d I DC,0 IS I DC.0 + I S = exp(U DC,0 /(nUT )) = dU DC,0 nUT nUT I DC,0 q ≈ = I DC,0 nUT nkT0

G D,0 =

oder I DC,0 = G D,0

nkT0 q

(9.22)

(9.23)

Bei n ≈ 1 folgt I DC,0 = 0,5 mA und damit ist I DC,0 >> I S . Die Gl. (9.23) setzen wir in (9.20) ein (n = 1) |ir ,s |2 = 2kT0  f G D,0 (9.24) Aus der Tab. 9.1 führt die entnormierte Gleichung für die Stromquelle mit thermischen Rauschen und y = 1 auf |ir |2 = 4kT0  f G 0 (9.25) Bei gleichem Wert von G 0 , einmal als differentieller Diodenleitwert G D,0 und zum anderen als ohmscher Widerstand mit R0 = 1/G 0 = 50 , ist der Wert des Schrotrauschens um den Faktor 2 kleiner als der des thermischen Rauschens. Wir könnten auch sagen, dass der differentielle Diodenleitwert G D,0 = 0,02 S halb so heiß ist wie der ohmsche Leitwert G 0 = 0,02 S. Bei jeder Halbleiterdiode hat der Bahnwiderstand Rs einen endlichen Wert, besitzt die Temperatur T = T0 und erzeugt thermisches Rauschen. Wie in der Abb. 9.4 dargestellt, entsteht die Serienschaltung zweier Rauschquellen. Von den parasitären Bauelementen berücksichtigen wir nur die Sperrschichtkapazität C j . Die beiden Rauschquellen haben untereinander keinen gemeinsamen Ursprung und sind damit total unkorreliert. Für die Berechnung der Ersatzwerte Z e , u r ,e und Te gilt bei der Addition der Rauschquellen die Gl. 9.13 und Ccor = 0. Mit Y0 = G D,0 + jωC j können wir für die Ersatzimpedanz schreiben Ze =

Y∗ 1 + Rs = 0 2 + Rs Y0 |Y0 |

Abb. 9.4 Rauschersatzschaltbild einer Diode

(9.26)

324

9 Rauschen

und für die Ersatzrauschspannung u r ,er s mit dem Schrot-Rauschstrom ir ,s und der thermischen Rauschspannung u r gilt ir ,s u r ,er s = + ur (9.27) Y0 Messbar sind nur die quadratischen Mittelwerte mit |u r ,er s

|2

= 2kTer s (Z er s +

∗ Z er s ) f

 = 4kTer s

 G D,0 + Rs  f |Y0 |2

2kT0  f G D,0 |ir ,s |2 = + |u r |2 = + 4kT0  f Rs 2 |Y0 | |Y0 |2

(9.28)

Aus dieser Gleichung erhalten wir für die Ersatztemperatur Te Ter s =

T0 G D,0 + 2Rs |Y0 |2 2 G D,0 + Rs |Y0 |2

(9.29)

Bei guten Dioden gilt 0,5  ≤ Rs ≤ 5 . Für den Zustand G D,0 Rs 1 und ω ωc (ωc = 1/(C j Rs )) ist dann immer noch Ter s ≈ T0 /2. Für n → 2 verschwindet allerdings der Temperaturunterschied des Diodenleitwertes gegenüber dem ohmschen Leitwert. Mit der Anwendung des differentiellen Diodenleitwertes G D,0 im Schaltungsaufbau, z. B. als Abschlussleitwert der Gateleitung beim Kettenverstärker, können wir das Rauschen in der Schaltung merkbar absenken. Im Folgendem wollen wir die Rauscheigenschaften von Schaltungen für Frequenzen f > 10 Hz beschreiben. Es soll das Überlagerungsgesetz gelten. Nichtlineare Schaltungen, z. B. Oszillatoren, Mischer, scheiden damit aus und gleichfalls das Funkel- (1/ f −), das Burst- und das Popkornrauschen. Das Himmelsrauschen bzw. die Rauschtemperatur einer Antenne können wir mit den zugeordneten Gleichungen des thermischen Rauschen modellieren.

9.2

Definition der Rauschzahl

Das Rauschen in den elektronischen Schaltungen als auch am Fußpunkt der Antenne verhindert die Übertragung kleiner Signalamplituden, wenn wir diese nicht mehr vom Rauschen unterscheiden können. Zur quantitativen Bewertung dieses Zustandes ist die Kenngröße Rauschzahl F definiert worden. Sie gibt an, wie sich das Verhältnis von Signal- zu Rauschleistung verändert (verschlechtert), wenn das Signal ein rauschendes Zweitor durchläuft. In der Abb. 9.5 ist die Zusammenschaltung einer rauschbehafteten Signalquelle mit einem rauschenden Verstärker dargestellt. Die Rauschzahl F definieren wir mit F=

Ps,i /Pr ,i Ps,o /(Pr ,o + Pr ,V )

(9.30)

9.2

Definition der Rauschzahl

325

Abb. 9.5 Signalquelle mit rauschender normierter Quellenradmittanz y Q und nachfolgenden rauschenden Verstärker der Mittenfrequenz f 0 , der Bandbreite  f und mit der verfügbaren Leistungsverstärkung G av V

dem Quotienten des Verhältnisses der verfügbaren Signal-/Rauschleistung am Eingang zu dem am Ausgang. Damit ist der Wertebereich der Rauschzahl F ≥ 1, d. h. beim rauschfreien Verstärker mit Prav ,V = 0 ist die Rauschzahl F = 1. Mit den Bezeichnungen der Abb. 9.5 wird F(T0 ) = 1 +

Pr ,V Te =1+ = 1 + te V P T G av 0 r ,i

und

F/dB = 10 log 10(F)

(9.31)

V = kT  f die EmpfängerrauschtemperaDabei haben wir den Rauschleistungen Pr ,V /G av e tur Te und Pr ,i = kT0  f Bezugsrauschtemperatur T0 = 290 K zugeordnet. Standardmäßig gilt für die Angabe der Rauschzahl F die Bezugstemperatur T0 , um Baugruppen besser untereinander vergleichen zu können. Die Rauschzahl F hat zwei Eigenschaften:

• ihr Wert ist eine Funktion der Bezugstemperatur, deshalb die zweifelsfreie Angabe z. B. F(T0 ), • ihr Wert ist keine Funktion der Abschlussimpedanz, -admittanz bzw. des Abschlussreflexionsfaktors • der rauschfreie Verstärker hat die Rauschzahl F = 1 ≡ 0 dB und die normierte Empfängerrauschtemperatur te = 0. Die Empfängertemperatur Te ist eine Eigenschaft des Verstärkers und bedarf keiner zusätzlichen Angabe. Es ist auch hier üblich, die auf T0 normierte Größe te zu verwenden. Durch Umstellung der Gl. (9.31) erhalten wir den Zusammenhang F(T A ) =

T0 (F(T0 ) − 1) + 1 TA

(9.32)

für die Rauschzahl F(T A ) mit dem Bezug auf eine andere Temperatur, hier beispielhaft die Temperatur T A am Fußpunkt einer Antenne. Die Abb. 9.6 vermittelt die Abhängigkeit der Rauschzahl von der Bezugstemperatur. Ein Empfangskonverter(LNB) für das Satellitenfernsehen mit der Rauschzahl F(T0 ) ≈ 1 dB hat

326

9 Rauschen 10 F(T0) = 0,2 dB F(T0) = 0,4 dB

8

F(T0) = 0,6 dB

F(T A )/dB

F(T0) = 0,8 dB F(T0) = 1,0 dB

6

4

2

0 0

50

100

150

200

250

300

T A /K

Abb. 9.6 Rauschzahl F(T A ) als Funktion der Antennentemperatur T A mit F(T0 ) als Parameter

im Betrieb bei f ≈ 12 GHz und der bei dieser Frequenz wirksamen Antennentemperatur T A ≈ 10 K eine Betriebsrauschzahl von F(T A ) > 8 dB. Der Verstärker in der Abb. 9.5 hat nur den Durchlassbereich  f . Ein Empfänger, dessen erste Eingangsstufe ein Mischer ohne Vorselektion ist, hat mehrere Durchlassbereiche, jeweils immer im symmetrischen Frequenzabstand  =  f Z F um die Harmonischen der Oszillatorfrequenz n f O , wie das in der Abb. 9.7 symbolisch dargestellt wird. Die Werte der Leistungsverstärkungen G av,i sind in den jeweiligen Durchlassbereichen im Allgemeinen unterschiedlich. Im einfachsten Fall gibt es nur das untere f s1 und das obere f s2 Seitenband in der Umgebung der ersten Harmonischen 1 f O des Oszillators. Benutzen wir beim Mischempfänger ohne Vorselektion z. B. nur das untere Seitenband f s1 für unsere Signalfrequenz, dann wird nicht nur in diesem Band, sondern auch in allen anderen Bändern Rauschleistung übertragen, die in den ZF-Bereich gelangt. Offensichtlich verschlechtert sich dadurch das Verhältnis von Signal-/Rauschleistung deutlich gegenüber

Abb. 9.7 Symbolische Darstellung möglicher Durchlassbereiche eines Mischempfängers ohne Vorselektion,  = f Z F = |n f O − f s(n±1) |, f Z F ist der Wert der Zwischenfrequenz

9.2

Definition der Rauschzahl

327

nur einem Band. Entsprechend der Definition der Rauschzahl F(T0 ) nach der Gl. 9.30 schreiben wir für Signalübertragung nur über dieses eine Band [27, 31] mit  f , dem Wert der Rauschbandbreite des ZF-Verstärkers kT0  f FE S B (T0 ) =

n 1

G av,i + Pr ,V

kT0  f G av,1

(9.33)

Für die Messung der Rauschzahl werden Breitbandrauschquellen mit weißem Rauschen verwendet. Dadurch erfolgt eine Rauschanregung in allen Übertragungsbändern, so dass der Bezugswert der Rauschleistung im Nenner der Gl. (9.33) für diese Art der Rauschzahlmessung entsprechend korrigiert werden muss kT0  f

n i

FD(M)S B (T0 ) =

kT0  f

G av,i + Pr ,V n

(9.34) G av,i

i

Das Verhältnis dieser beiden Rauschzahlen ist n

G av,i FE S B (T0 ) i = FD(M)S B (T0 ) G av,1

(9.35)

Nehmen wir als Beispiel nur den Fall eines unteren und oberen Seitenbandes an als auch die Gleichheit der Bandbreiten und Verstärkungen G av,1 = G av,2 , dann erhalten wir FE S B (T0 ) = 2 bzw. FE S B (T0 )/dB = FD(M)S B (T0 )/dB + 3,01 FD(M)S B (T0 )

(9.36)

Wegen dieses Zusammenhangs haben sich die Bezeichnungen Einseitenbandrauschzahl FE S B (T0 ) und Zwei(Mehr)seitenbandrauschzahl FD(M)S B (T0 ) eingebürgert. Die Messung der Rauschzahl mit einer Rauschquelle, die weißes Rauschen erzeugt, ergibt für dieses Beispiel einen um 3,01 dB geringeren Wert der Rauschzahl als die Messung mit dem Signalgenerator bei f = f sig,1 (eigentlicher Betriebszustand). Rauschbewertungen und -messungen stehen im engen Zusammenhang mit der für das Rauschen wirksamen Bandbreite  fr ,aequ . Diesem Wert entspricht immer die Breite eines Rechtecks, das auf das Maximum der Durchlasskurve normiert wird und gleich der Fläche ist, die unter der gesamten Durchlasskurve liegt (Abb. 9.8).

328

9 Rauschen

Abb. 9.8 Definition der äquivalenten Rauschbandbreite Br ,aequ

9.3

Rauschzahl des Zweitors

Die Kenngröße Rauschzahl F wollen wir an einem rauschenden Zweitor (Verstärker, Empfänger) untersuchen. Dafür haben H. Rothe und W. Dahlke 1956 [37, 38] die wesentlichen Zusammenhänge erarbeitet. Wie in der Abb. 9.9 dargestellt, ersetzen wir das rauschende Zweitor durch ein rauschfreies mit vorgeschalteten Rauschquellen für die Spannung und den Strom. Die Modellierung des Rauschverhaltens des Zweitors mit zwei unterschiedlichen Quellen gewährleistet im Leerlauf als auch beim Kurzschluss am Eingang i – ii des Zweitors für den allgemeinen Fall ein Rauschsignal am Ausgang. Bei einer Quelle, entweder nur Spannung oder nur Strom, können wir bei Leerlauf bzw. Kurzschluss am Eingang i – ii das Rauschen vollständig unterdrücken. Wir wollen in der Anordnung nur einen Durchlassbereich  f zulassen. Deshalb gilt die Gl. (9.31) mit dem Verhältnis der Rauschleistungen vom Zweitor zu dem von der Quelle am Eingang. Die Rauschquellen am Eingang sind die Modellierungen für einen rauschenden Signalgenerator. Der Wert des Signales ist für die Berechnung der Rauschzahl nicht notwendig. Wegen der Unabhängigkeit der Rauschzahl F bzw. der normierten Empfängertemperatur te vom Abschlussreflexionsfaktor, können wir diese direkt über die mittleren Betragsquadrate der Leerlaufspannung |u r ,L L |2 und des Kurzschlussstromes |ir ,K S |2 berechnen. Wegen G av = 1 ist Pr (u r , ir ) |u r ,L L (u r , ir )|2 |ir ,K S (u r , ir )|2 ≡ ≡ (9.37) te (T0 ) = Pr ,i () |u r ,L L (u r ,Q )|2 |ir ,K S (ir ,Q )|2

9.3

Rauschzahl des Zweitors

329

a)

b)

c)

Abb. 9.9 a) Rauschendes Zweitor, b), c) Ersatz des rauschenden Zweitors durch ein rauschfreies Zweitor mit vorgeschalteten Rauschquellen für die Spannung und den Strom sowie die Zusammenschaltung mit einer Spannungs- b) bzw Stromquelle c) auf der Bezugstemperatur T0

Für beide Schaltungen in der Abb. 9.9 erhalten wir mit den unnormierten Größen für die Rauschspannungen, -ströme, Impedanz Z Q = R Q + j X Q und Admittanz Y Q = G Q + j B Q die jeweiligen Leistungsanteile (wegen der Linearität gilt das Überlagerungsprinzip) u r ,L L (u r , ir ) = u r + ir Z Q u r ,L L (u r ,Q ) = u r ,Q

ir ,K S (u r , ir ) = ir + u r Y Q ir ,K S (ir ,Q ) = ir ,Q

(9.38)

Damit sind die mittleren Betragsquadrate |u r ,L L (u r , ir )|2 = |u r |2 + |ir |2 |Z Q |2 + u r ir∗ Z ∗Q + u r∗ ir Z Q |ir ,K S (u r , ir )|2 = |ir |2 + |u r |2 |Y Q |2 + ir u r∗ Y Q∗ + ir∗ u r Y Q |u r ,L L (u r ,Q )|2 = |u r ,Q |2 = 4kT0  f R Q

(9.39)

|ir ,K S (ir ,Q )|2 = |ir ,Q |2 = 4kT0  f G Q Die Rauschspannung u r und der Rauschstrom ir haben ihren gemeinsamen Ursprung im Zweitor, so dass im allgemeinen Fall die Korrelation zwischen beiden ungleich null ist und die Werte für u r ir∗ und u r∗ ir endlich sind. Dagegen besteht keine Korrelation zwischen den Rauschgrößen des Zweitors und der Quelle. Mit den Gl. (9.39) erhalten wir für die normierte Empfängertemperatur te (T0 ) = te (T0 ) =

|u r |2 + |ir |2 |Z Q |2 + u r ir∗ Z ∗Q + u r∗ ir Z Q 4kT0  f R Q |ir |2 + |u r |2 |Y Q |2 + ir u r∗ Y Q∗ + ir∗ u r Y Q

(9.40)

4kT0  f G Q

Für die weiteren Rechnungen normieren wir alle physikalischen Größen. Wir multiplizieren Zähler und Nenner der ersten Gleichung mit G 0 = 1/R0 , bei der zweiten mit R0

330

9 Rauschen

(Gl. (9.19)) und teilen bei beiden Gleichungen Zähler und Nenner durch 4kT0  f . So, wie R0 der Normierungs- oder Bezugswiderstand ist, ist 4kT0  f mit  f = 1 Hz die Bezugsrauschleistung. Damit gilt te (T0 ) = te (T0 ) =

|u r |2 + |ir |2 |z Q |2 + u r ir∗ z ∗Q + u r∗ ir z Q rQ |ir |2 + |u r |2 |y Q

|2

∗ + i ∗u y + ir u r∗ y Q r r Q

(9.41)

gQ

In diesen Gleichungen sind alle Größen ohne Einheit, z. B. ist jetzt |u r |2 = |u r |2 G 0 /(4kT0  f ) Wir erkennen, te ist eine Funktion der mittleren Betragsquadrate (reelle positive Zahlen) von u r , ir sowie vom Mittelwert die Korrelationen u r ir∗ , ir u r∗ (komplexe Zahlen) bei einer gegebenen Quelle mit deren normierten Impedanz z Q = r Q + j x Q bzw. normierten Admittanz y Q = g Q + jb Q . Vier Zahlenwerte charakterisieren das rauschende Zweitor: |u r |2 , |ir |2 und u r ir∗ . Weiterhin zeigen die Gl. (9.41) dass sowohl für z Q , y Q → ∞ als auch für z Q , y Q → 0 die normierte Rauschtemperatur te → ∞ strebt. Offensichtlich muss es für z Q = z Q,opt und y Q = y Q,opt Werte geben, bei denen die normierte Empfängertemperatur te den minimalen Betrag te,min und damit auch die Rauschzahl den Wert Fmin = 1 + te,min hat. Für den optimalen Schaltungsentwurf, Stichwort Rauschanpassung, ist deshalb die Kenntnis dieser vier Zahlen unbedingt notwendig. Wählen wir folgende Zuordnungen x1 = |u r |2 x2 = |ir |2 x3 = (u r ir∗ ) x4 = (u r ir∗ ) y1 = |ir |2 y2 = |u r |2 y3 = (ir u r∗ ) y4 = (ir u r∗ )

(9.42)

können wir mit den Gl. (9.41) direkt die Messvorschrift zur Bestimmung der vier Zahlenwerte angeben. Von Vorteil ist, dass zwischen der normierten Empfängertemperatur te und den gesuchten Unbekannten xi , yi ein linearer Zusammenhang besteht. Damit sind diese zwei Gleichungssysteme möglich

1 .. .



2 (r Q,i

1 (g 2Q,i .. .

+ .. .

2 ) x Q.i

2r Q,i .. .

+ b2Q.i ) 2g Q,i .. .. . .

⎛ ⎞   x1

2x Q,i ⎜x2 ⎟ r Q,i te,i ⎜ ⎟ .. .. ⎝x3 ⎠ = . . x4 ⎛ ⎞  y1 

2b Q,i ⎜ y2 ⎟ g Q,i te,i ⎜ ⎟ .. .. ⎝ y3 ⎠ = . . y4

(9.43)

9.3

Rauschzahl des Zweitors

331

Wir müssen die Quellenimpedanz z Q , die -admittanz y Q variieren und die dazu gehörende Empfängertemperaturen te,i messen. Jeweils vier Gleichungen im System sind notwendig. Mehr Gleichungen im Sinne eines überbestimmten Gleichungssystems erhöhen die Genauigkeit des Ergebnisses bei den unvermeidbaren Messfehlern analog der Aufgabenstellung für die Kalibrierung in der Gl. (8.2). Dabei gelten die wesentlichen physikalischen Nebenbedingungen  sign(x1 ) = +1, sign(x2 ) = +1 und x32 + x42 ≤ x1 x2 Schwar z  sche U ngl.(SU ) sign(y1 ) = +1, sign(y2 ) = +1 und y32 + y42 ≤ y1 y2 (9.44) Die Erfüllung der Schwarz’schen Ungleichung bedeutet nichts anderes, als dass das Betragsquadrat des Korrelationsfaktors |Ccor |2 ≤ 1 sein muss (Gl. (9.14)). Mit den jeweils vier Kennzahlen für die Rauscheigenschaften des Zweitors können wir die optimalen Werte z Q,opt , y Q,opt für die minimale Empfängertemperatur te,min (T0 ) berechnen. Im Minimum der Empfängertemperatur te,min (T0 ) müssen die partiellen Ableitungen ∂ te ∂ te = 0, =0 ∂ rQ ∂ xQ

bzw.

∂ te ∂ te = 0, =0 ∂ gQ ∂ bQ

(9.45)

sein. Wir erhalten jeweils ein Gleichungspaar zur Berechnung von r Q,opt , x Q,opt bzw. g Q,opt , b Q,opt . Die längliche elementare Rechnung liefert das Ergebnis   x1 x2 − x42 − j x4 y1 y2 − y42 + j y4 sowie y Q,opt = (9.46) z Q,opt = x2 y2 Diese Werte in die Gl. (9.41) eingesetzt führt auf       und te,min (T0 ) = 2 y3 + y1 y2 − y42 (9.47) te,min (T0 ) = 2 x3 + x1 x2 − x42 Mit dem Vergleich der Ersatzgrößen in den Gl. (9.42) y1 = x2 , y2 = x1 , y3 = x3 , y4 = −x4 folgt nur ein Zusammenhang für die Darstellung der Quelle mit  |u r |2 |ir |2 − ((u r ir∗ ))2 − j(u r ir∗ ) 1 z Q,opt = = y Q,opt |ir |2 und für die minimale normierte Rauschtemperatur    te.min (T0 ) = 2 (u r ir∗ ) + |u r |2 |ir |2 − ((u r ir∗ ))2

(9.48)

(9.49)

(9.50)

332

9 Rauschen

Die Gl. (9.49), (9.50) vermitteln einen Einblick in die Dynamik der Rauschanpassung • Gibt es keine Korrelation zwischen u r und ir und strebt ir → 0, dann sollte auch z Q,opt → ∞ streben, das heißt, die Rauscheigenschaften des Zweitors erfordern zur Beschreibung nur die Rauschspannung u r und die Rauschanpassung besteht in einem Leerlauf am Eingang i–ii. Dadurch kann die Rauschspannung u r keinen Rauschstrom im Eingang des Zweitors 1–2 erzeugen. Eine Übertragung der Signalleistung ist damit ausgeschlossen. Für den Fall u r → 0 hätten wir nur die Stromquelle ir als Rauschursache. Folglich müssen wir für die Rauschanpassung den Kurzschluss bei i–ii wählen, bei dem auch keine Übertragung der Signalleistung möglich ist. te,min (T0 ) ist null bei dem genannten Leerlauf und Kurzschluss. Es zeigt sich in der Praxis für den allgemeinen Fall einer bestehenden Korrelation zwischen u r , ir , dass die Rauschanpassung weder Leerlauf noch Kurzschluss am Eingang des Zweitor erfordert aber selten mit der Leistungsanpassung für optimale Signalübertragung zusammenfällt. • Bei keiner Korrelation zwischen u r , ir , aber endlichen Werten beider Quellen sind z Q,opt , y Q,opt rein reell und te,min gleich dem geometrischen Mittel der mittleren Betragsquadrate von u r und ir . • H. Rothe und W. Dahlke 1956 [37, 38] definierten für die π - und T-Ersatzschaltung der Rauschquellen die Rauschkennwerte (hier alle Größen nicht normiert!) Rn =

|u r |2 4kT0  f

rn =

|u r ,n |2 4kT0  f

Gn =

|ir ,n |2 4kT0  f

gn =

|ir |2 4kT0  f

Ycor =

u r∗ ir |u r |2

Z cor =

(9.51)

u r ir∗ |ir |2

Der Index r , n bedeutet den in der jeweiligen Ersatzschaltung nichtkorrelierten Anteil des Rauschstromes bzw. der -spannung. Für vorgegebene Werte der Rauschspannung und des -stromes ist die wechselseitige Beziehung zwischen den Rauschkennwerten der beiden Ersatzschaltungen nichtlinear (mathematisch). R. Paul [33] berechnete damit die Rauscheigenschaften wesentlicher Grundschaltungen am Transistor und die der Ketten- und Parallelschaltung. In [18] wurden diese Darstellungen mit den Elementen der Streumatrix S vorgestellt. Damit sind die Rauscheigenschaften z. B. von der Source-/Emitterschaltung direkt umrechenbar in die der Gate-/Basis- sowie Drain-/Kollektorschaltung. Gleichfalls ist erkennbar, dass bei der akademischen Parallelschaltung N gleicher Zweitore die Rauschzahl Fmin sich nicht ändert, aber die optimale Quellenadmittanz y Q,opt für die minimale Rauschzahl mit dem Faktor N multipliziert wird. Damit wandert der optimale Quellenreflexionsfaktor  Q,opt vom Rand zum Mittelpunkt. Das erleichtert die Rauschanpassung.

9.3

Rauschzahl des Zweitors

333

Mit te,min (T0 ) der Gl. (9.50) finden wir für die Darstellung von te der Gl. (9.41) folgenden Zusammenhang |z Q − z Q,opt |2 te (T0 ) = te,min (T0 ) + |ir |2 rQ (9.52) |y − y Q,opt |2 Q 2 te (T0 ) = te,min (T0 ) + |u r | gQ Diese beiden Gleichungen vereinen wir zu te (T0 ) = te,min (T0 ) + C N

| Q −  Q,opt |2 1 − | Q |2

(9.53)

bzw. te, Q =0 (T0 ) = te,min (T0 ) + C N | Q,opt |2 bzw. F(T0 ) = Fmin (T0 ) + C N

| Q −  Q,opt |2 1 − | Q |2

(9.54)

bzw. F Q =0 (T0 ) = Fmin (T0 ) + C N | Q,opt |2 

und

 Q,opt = 

|u r |2 |ir |2 − ((u r ir∗ ))2 − j(u r ir∗ ) − |ir |2 |u r |2 |ir |2 

=− 

− ((u r ir∗ ))2

−

j(u r ir∗ ) + |ir |2

= (9.55)

|u r |2 |ir |2 − ((u r∗ ir ))2 + j(u r∗ ir ) − |u r |2 |u r |2 |ir |2 − ((u r∗ ir ))2 + j(u r∗ ir ) + |u r |2

In Analogie zur Gl. (4.162) ist die Größe C N die Rauschkonstante [18], deren Wert entscheidend den Anstieg der Rauschtemperatur te bzw. Rauschzahl F bestimmt, wenn die quadratische Abweichung der Reflexionsfaktoren | Q −  Q,opt |2 = 0 ist. Mit den klassischen Arbeiten [37, 38] besteht der Zusammenhang CN =

4|ir |2 4gn R0 4|u r |2 4Rn G 0 = = = 2 2 2 |1 −  Q,opt | |1 −  Q,opt | |1 +  Q,opt | |1 +  Q,opt |2

(9.56)

In der Literatur werden als vier Rauschkenngrößen/-parameter des Zweitors (insbesondere bei Transistoren) die Werte von • • • •

Fmin (T0 )/ dB ≡ te,min = Fmin − 1 (Fmin Zahl) Rn /  oder rn = Rn G 0 = Rn /R0 | Q,opt | arg( Q,opt )

334

9 Rauschen

verwendet(Datenblätter, *.s2p-Datei). Diese Größen sind kennzeichnend für jedes rauschende Zweitor. Gegenüber der Gl. (9.41) ist der Zusammenhang zwischen ihnen und den Rauschgrößen te (T0 ), F(T0 ) in den Gl. (9.53), (9.54) nichtlinear! Gleichfalls müssen die Parameter die Bedingungen der Gl. (9.44) erfüllen. Die den Gleichungen entsprechenden Zusammenhänge sind te,min (T0 ) ≥ 0, Rn ≥ 0 (9.57)

und SU = te,min (T0 ) − 4C N (1 − | Q,opt | ) ≤ 0 2

Die Abb. 9.10 zeigt die Rauschparameter für typische Vertreter der HEMT- und der HBTTransistoren. Kennzeichnend für den HEMT im Vergleich zum HBT sind der größere Frequenzbereich, die kleinere Rauschzahl, die größere Phasendrehung und der größere Betrag für  Q,opt . Bei der Frequenz f = 1GHz ist beim HEMT für die Rauschanpassung ein | Q,opt | ≈ 0,95 ≈ Leerlauf erforderlich. Die Verluste des Netzwerkes für die Rauschanpassung und die Nähe dieses Rauschminimums zum instabilen Bereich des Reflexionsfaktors sind in der Praxis eine große Herausforderung. Das Rauschverhalten des HEMT ist bei „tiefen“ Frequenzen näherungsweise nur mit einer Rauschspannungsquelle beschreibbar.

0.45

F min

0.6 0.4

SU rn

0.4

CN

0.35

0.45

F min SU rn

0.5

0.4

CN

0.35

0.25

-0.2 0.2

-0.4

0.15

-0.6 -0.8

0.1

-1 -1.2

0.05 0 0

2

4

6

8 10 Frequenz/GHz

12

14

16

18

F min/dB, SU

0.3

0

rn, C N

F min/dB, SU

0.2

1

0.3

0

0.25 -0.5

0.2 0.15

-1 0.1 -1.5

0.05 0

1

2

a)

4

5

b) j1

j1 j0,5

3 Frequenz/GHz

j0,5

j2

opt

j0,2

j5

opt

j2

j0,2

j5

f= 1GHz 0

0,2

-j0,2

0,5

1

2

-j5

f= 18GHz

-j0,5

0

5

-j2

0,2

0,5

1 f= 6GHz

2 5 f= 0.5GHz

-j0,2

-j5

-j0,5

-j1

Abb. 9.10 Rauschparameter von Transistoren (Angaben Hersteller) a) HEMT ATF-36077, U DS = 1,5 V, I D = 10 mA b) SiGe HBT BFP842, UC E = 2,5 V, IC = 5 mA

-j2 -j1

6

rn, C N

0.8

9.3

Rauschzahl des Zweitors

335

Wegen der großen Phasendrehung von  Q,opt ändert sich rn vom HEMT sehr stark, bei dem Beispiel um den Faktor 20, dagegen C N nur um den Faktor 2. Bezüglich der Rauschanpassung hat der HBT ein moderates Verhalten. Die Gl. (9.54) für die Rauschzahl F als Funktion der quadratischen Abweichung | Q − −1 (4.162).  Q,opt |2 entspricht der für den Kehrwert der verfügbaren Leistungsverstärkung G av Damit gilt auch die zu den Verstärkungskreisen (Gl. (4.166)) entsprechende Kreis-Gleichung  2 2    Q −  Q,opt  = N (1 + N − | Q,opt | )   2 1+ N (1 + N ) jetzt mit N=

(9.58)

F(T0 ) − Fmin (T0 ) CN

(9.59)

Für zwei Beispiele sind in der Abb. 9.11 die Rauschkreise im Smith-Diagramm und darüber der Rauschparaboloid dargestellt. Neben der unterschiedlichen Höhe des Paraboloids bedingt durch Fmin (T0 ) ist in der Umgebung von  Q,opt im Fall 9.11 b) der größere Durchmesser des Rauschkreise als auch deren Abstand zu sehen, da die Rauschkonstante C N um den Faktor drei kleiner ist als bei 9.11 a). Die Vorgabe der Rauschanpassung im Vergleich zur Leistungsanpassung soll eine kleine Rechnung am Beispiel der Abb. 9.12 verdeutlichen. Mit einem verlustlosen (in der Praxis verlustarmen) Transformationsnetzwerk wird der Reflexionsfaktor  Q = 0 der Antenne in den für die Rauschanpassung geforderten Reflexionsfaktor  Q,opt transformiert. Dafür gelten die modifizierten Gl. (3.104) 1i = in =

s11 − SV ,in 1 − s22 V ,in

und 2i →  Q,opt

(9.60)

Da das verlustlose Zweitor am Eingang angepasst ist, muss gefordert werden s22 =  Q,opt . Wegen der Verlustfreiheit (-armut) des Zweitors gelten die Gl. (4.51), (4.53) |s11 | = |s22 |

S = e j(ϕ11 +ϕ22)

und

4

4 2 0

F/dB

F/dB

6

(9.61)

j5 j0.5

2 0

j0.2

-j5

1

-j2

0 -j0.2 -j0.5

-j1

j0.5 2 j0.2

-j5

1

-j2

0 -j0.2

a)

Abb. 9.11 Rauschparaboloid, Abstand der Rauschkreise F = 0,5 dB a) Fmin = 3 dB, C N = 1,54,  Q,opt = 0,09/96◦ b) Fmin = 1 dB, C N = 0,46,  Q,opt = 0,26/92◦

-j0.5

b)

-j1

336

9 Rauschen

Abb. 9.12 Rauschanpassung der Antenne an den Verstärker mit einem verlustlosen Netzwerk

Damit wird aus der Gl. (9.60) mit s22 =  Q,opt in = oder

 ∗Q,opt − V ,in | Q,opt |e jϕ11 − e j(ϕ11 +ϕ22 ) V ,in = e j(ϕ11 +ϕ22 ) 1 −  Q,opt V ,in 1 −  Q,opt V ,in 2  ∗   −  V ,in Q,opt   |in |2 =    1 −  Q,opt V ,in 

(9.62)

(9.63)

Der Betrag des Eingangsreflexionsfaktors |in | ist nur bei Leistungsanpassung  Q,opt = V∗ ,in null. Vorgaben für die Auswahl eines Transistors wären z. B. eine kleine Rauschzahl Fmin , ein kleiner Wert von C N (Gl. (9.54)), ein großer Wert von G av und gleichfalls ein kleiner Wert von C G (4.162) sowie ein Wert von | Q,opt | < 0,8 und | ∗Q,opt − V ,in | < 0,1 . . . 0,2 wegen leichterer verlustarmer Rauschanpassung bei gleichzeitig guter Leistungsanpassung und das im stabilen Bereich.

9.4

Korrelationsmatrizen, Mehrtore

Die Darstellung des rauschenden Zweitors mit den Rauschquellen am Eingang in der Abb. 9.9 entspricht der Modellierung mit einer Kettenmatrix für das Zweitor. Wenige Jahre nach den Arbeiten von [38, 39] erfolgte durch H. A. Haus und R. B. Adler die Erweiterung der Beschreibung auf rauschende Mehrtore in Form der „characteristicnoise matrix“. An jedem Tor werden Quellen nur für die jeweilige Rauschspannung einund als separater Spaltenvektor der rechten Seite hinzugefügt. Schon 1956 veröffentlichten H. Bauer und H. Rothe [1, 2] die Beschreibung des Rauschverhaltens von Zweitoren mit Wellen. Sie zeigten, dass der Rauschvierpol, bestehend aus den unabhängigen Rauschquellen der Spannung u r und des Stromes ir , der vor das rauschfreie Zweitor geschaltet wird, durch die äquivalenten Rauschwellen ar und br dargestellt werden kann. Für diese

9.4

Korrelationsmatrizen, Mehrtore

337

unabhängigen Quellen ergibt sich gegenüber den Definitionen im Abschn. 1.3 Gl. (1.83) der Zusammenhang (s. a. Anhang 10.4) ar ,i + br ,i = −ir

und ar ,u − br ,u = −u r

(9.64)

1962 erweiterte H. Bosma [3] die Art der Darstellung mit Rauschwellen auf Mehrtore. Ein erster Ansatz zur zur rechnergestützten Rauschanalyse linearer Schaltungen mit rauschenden Bauelementen findet sich 1974 bei D. Haase [11, 12]. Gleichfalls werden dort Rauschkenngrößen über die Autokorrelations- und Kreuzkorrelationsspektren der Rauschspannungen/-ströme selbst als auch untereinander definiert. Das führt zu linearen Abhängigkeiten. 1975 entwickelte K. Reiß [36] eine allgemein gültige MatrizenBeschreibung des Rauschverhaltens von Vierpolen und deren Zusammenschaltungen sowie damit die Möglichkeiten der rechnergestützten Rauschanalyse von Netzwerken (Rauschmatrix). Die von H. Bauer und H. Rothe [1, 2] vorgeschlagene Beschreibung mit Rauschwellen nur am Eingang und außerhalb des Zweitors verknüpfte er mit der Wellen-Kettenmatrix T . P. Russer und H. Hillbrand [40] verbanden die Modellierung des Rauschverhaltens von Mehrtoren mittels Korrelationsmatrizen der Formen Z, Y H und A gleichzeitig mit der Schaltungstechnik der entsprechenden Serien-, Parallel- und Kettenschaltung von rauschenden Mehrtoren. In der Abb. 9.13 sind die Zusammenhänge der vier wesentlichen Korrelationsmatrizen zur Beschreibung des Rauschverhalten von Mehrtoren am Beispiel des Zweitors dargestellt. Wir rechnen mit normierten Rauschspannungen ur und Strömen i r . Durch die Multiplikation beider als auch untereinander haben die Elemente der Korrelationsmatrizen die Einheit [Watt]. Mit der Normierung auf die Bezugsrauschleistung 4kT0  f und  f = 1Hz anlog zu den Gl. (9.40), (9.41) sind diese Elemente ohne Einheit wie die der normierten Matrizen y, a, S und T . Die Normierung mit der Bezugsrauschleistung führt nicht nur zum Wegfall der Einheit [Watt], sondern transformiert den Zahlenbereich der Elemente von Werten im Bereich 10−20 in den von etwa 10−3 . Wichtig ist noch anzumerken, dass bei den Korrelationsmatrizen wegen der Art der ∗ (i  = k) und folglich (C)T = C gilt, die transponierte KorreBerechnung cki = cik lationsmatrix ist gleich ihrer komplex konjugierten. Analog der Formmatrix P sind die Korrelationsmatrizen damit hermitesche Matrizen. Die Auswahl der Beispiele für die Korrelationsmatrizen verbunden mit den Mehrtoren erfolgte vor dem Hintergrund, dass als Ergebnis der Rauschanalyse mit den CAD Programmen ADS® und MWO® die Korrelationsmatrix der unnormierten Rauschströme i r i r∗ angegeben wird, die Korrelationsmatrix der Streumatrix S mit br br∗ hat Bedeutung für das Zusammenschalten von Mehrtoren und die Korrelationsmatrizen der a- und T -Matrix zeichnen sich dadurch aus, dass die Quellen des Rauschens auf die Eingangsseite ausgelagert werden. Für den Umgang mit anderen Matrixdarstellungen finden sich bei P. Russer und S. Müller [26, 41] umfangreiche Zusammenstellungen und Anwendungen. Alle Verknüpfungen der Spannungen, Ströme und Wellen in der Abb. 9.13 sind bezüglich der Matrixelemente linear. Aus diesem Grund können diese wechselseitig umgerechnet

338

9 Rauschen

a)

b)

c)

d)

e)

Abb. 9.13 Rausch-Korrelationsmatrizen und ihre Definitionsgleichungen, das Zweitor dient als Beispiel, für Mehrtore ist entsprechend zu erweiterten, u r , ir normiert, Gl. (9.19), gleichfalls Admittanzmatrix y und Kettenmatrix a,  f = 1Hz, i, o bedeuten Gruppen der Eingangs- bzw. Ausgangstore, beim Zweitor sind i = 1, o = 2

werden. An einem Beispiel wollen wir diese Umrechnung vornehmen. Bei einem Zweitor erhalten wir nach der Rauschanalyse ir ,1 , ir ,2 . Damit ergibt sich       u i i1 = y 1 + r ,1 i2 u2 ir ,2

oder

    i 1 − ir ,1 u = y 1 i 2 − ir ,2 u2

(9.65)

Die effektiven zufließenden Ströme sind die Differenzwerte. Für die Streumatrix S müssen wir schreiben       b1 a b = S 1 + r ,1 (9.66) b2 a2 br ,2

9.4

Korrelationsmatrizen, Mehrtore

339

Wir ersetzen die Wellen mit den bekannten Beziehungen durch Spannungen und Ströme u 1 /2 − i 1 /2 + ir ,1 /2 = s11 (u 1 /2 + i 1 /2 − ir ,1 /2) + s12 (u 2 /2 + i 2 /2 − ir ,2 /2) u 2 /2 − i 2 /2 + ir ,2 /2 = s21 (u 1 /2 + i 1 /2 − ir ,1 /2) + s22 (u 2 /2 + i 2 /2 − ir ,2 /2)

(9.67)

oder wieder mit den Wellen b1 + ir ,1 /2 = s11 (a1 − ir ,1 /2) + s12 (a2 − ir ,2 /2) b2 + ir ,2 /2 = s21 (a1 − ir ,1 /2) + s22 (a2 − ir ,2 /2) Der Vergleich mit der Gl. (9.66) erlaubt die Darstellung      1 s11 + 1 br ,1 s12 ir ,1 =− br ,2 s21 s22 + 1 ir ,2 2

(9.68)

(9.69)

bzw. allgemein für ein Mehrtor br = −

  −1 1 br S + E i r oder i r = −2 S + E 2

(9.70)

Mit Anlehnung an [40] kürzen wir −(S + E)/2 durch M ab und erhalten für die Rauschwellen-Korrelationsmatrix als Funktion der Rauschstrom-Korrelationsmatrix C S = br br∗ = M i r (M i r )∗ = M i r i r ∗ M ∗ = M C y M ∗

(9.71)

Die Tab. 9.2 gibt Auskunft über die Umrechnungsmatrizen M der unterschiedlichen Darstellungen. Es sind immer zwei Versionen aufgeführt, deren Anwendung davon abhängt, welche Mehrtorparameter vorhanden sind. Die Definition der Korrelationsmatrix C a in der Abb. 9.13d steht in einem engen Zusammenhang mit der klassischen Beschreibung des rauschenden Zweitors nach [38] und der Analyse im Abschn. 9.3. Der Vergleich ergibt die Zusammenhänge  a ca + (ca − (ca )∗ )2 w = 4c11 22 12 12 a a ∗ te,min = c12 + (c12 ) +w

a − ca − ca + (ca )∗ c11 22 12 12 a + ca + w c11 22 a a 4c11 4c22 = = |1 +  Q,opt |2 |1 −  Q,opt |2

 Q,opt = CN

(9.72)

und umgekehrt ⎛

CN |1 +  Q,opt |2 ⎜ 4 Ca = ⎝ t CN e,min (T0 ) − (1 +  ∗Q,opt )(1 −  Q,opt ) 2 4

⎞ te,min (T0 ) CN − (1 +  Q,opt )(1 −  ∗Q,opt )⎟ 2 4 ⎠ CN |1 −  Q,opt |2 4

(9.73)

340

9 Rauschen

Tab. 9.2 Umrechnungs-Matrizen M für die unterschiedlichen Darstellungen der Korrelationsmatrizen

Mit dieser Darstellung der Elemente von C a gelten die Ungleichungen a a a 2 c22 ≥ |c12 | c11  2  te,min (T0 ) C N  C N2 2 2 ∗  |1 +  Q,opt | |1 −  Q,opt | ≥  − (1 +  Q,opt )(1 −  Q,opt ) (9.74) 16 2 4

C N (1 − | Q,opt |2 ) ≥ te,min

9.4

Korrelationsmatrizen, Mehrtore

341

Abb. 9.14 Kettenschaltung rauschender Zweitore

oder Fmin (T0 ) ≤ 1 + C N (1 − | Q,opt |2 ) oder Fmin (T0 ) ≤ 1 +

4Rn (1 − | Q,opt |2 ) R0 |1 +  Q,opt |2

(9.75)

Die Katalogdaten der Rauschparameter lassen sich mit diesen Ungleichungen auf ihre physikalische Gültigkeit überprüfen. Die Berechnung der Gesamtmatrix einer Kettenschaltung führte uns zu der Definition der Kettenmatrix a. In der Abb. 9.14 ist die Darstellung der Kettenschaltung von zwei rauschenden Zweitoren abgebildet. Damit wollen wir die Rauscheigenschaften der Gesamtanordnung berechnen. Zur Übersichtlichkeit wählen wir folgende Abkürzungen x,y ai

 x,y  x,y  x,y ui uo ur x,y x,y = ao = r = ii io ir

(9.76)

Die Tore werden in die Gruppe der Eingangstore i (beim Zweitor i = 1) und Ausgangstore o (beim Zweitor o = 2) sortiert. Bei der Kettenschaltung gilt die Torbedingung y

ai = aox

(9.77)

und damit ist in zweckmäßiger Schreibweise für die Gesamtschaltung x,(g)

ai

y

y,(g)

= r x + a x (r y + a y ao ) = r x + a x r y + a x a y ao

(9.78)

Von der Kettenschaltung sind x,(g)

y,(g)

• ai , ao die normierten Spannungen und Strömen an den Gruppen der Ein- und Ausgangstore, • das Produkt a x a y = a g die Kettenmatrix a g der Gesamtschaltung • r x + a x r y = r g der Vektor der normierten Rauschspannungen und -ströme Mit dem Vektor der normierten Rauschspannungen und -ströme berechnen wir die Korrelationsmatrix C a,g der Gesamtschaltung C a,g = r g (r g )∗

(9.79)

342

9 Rauschen

Für die Auswertung dieser Gleichung müssen wir angeben, ob die Rauschvektoren r x , r y und damit die Rauschursachen in den beiden Toren untereinander korreliert sind oder nicht. Gibt es keine Korrelation, folgt für die Gl. (9.79) und nur für diese Bedingung

bzw.

C a,g = (r x + a x r y )(r x + a x r y )∗ = r x (r x )∗ + a x r y (a x r y )∗  ∗ C a,g = r x r x + a x r y (r y )∗ (a x )∗

(9.80)

C a,g = C a,x + a x C a,y (a x )∗

(9.81)

Mit der Korrelationsmatrix C a,g der Gesamtschaltung sowie der Gl. (9.72) können die Rauschparameter und mit der Gl. (9.53) die Rauschzahl F(T0 ) für beliebige Werte des Reflexionsfaktors  Q der Quelle berechnet werden. Sind von einer Kettenschaltung die Matrizen C a,g , C a,y und a bekannt, können wir die Gl. (9.81) sehr einfach nach der Matrix C a,x auflösen. Das ist ein großer Vorteil in der Messtechnik. Bei vorhandenen Korrelationen zwischen r x , r y ist die Auswertung der Gl. (9.79) aufwendiger. Mit der vorgestellten Analyse der Schaltung in der Abb. 9.14 kann die Gl. (9.81) auf mehr als zwei Zweitore leicht erweitert werden. Ein andere Berechnung des Gesamtrauschens zweier in Kette geschalteter Zweitore können wir mit Hilfe der Analyse des Leistungsflusses in der Schaltung vornehmen, H. T. Friis 1944 [8]. Dazu betrachten wir die Abb. 9.15. Die Rauschleistungen charakterisieren wir durch die entsprechenden Temperaturen Te Am Ausgang des 1. Verstärkers erhalten wir nur die vom Verstärker 1 erzeugte Rauschleistung mit Te,1 ( Q ) (Funktion von  Q gemäß Gl. (9.53)) V ,1 Pr ,1,o = G av ( Q )k f m Te,1 ( Q ) (9.82) und entsprechend am Ausgang des 2. Verstärkers die gesamte durch die beiden Verstärker verursachte Rauschleistung V ,2 V ,1 V ,2 Pr ,2,o = G av (o,1 )G av ( Q )k f m Te,1 ( Q ) + G av (o,1 )k f m Te,2 (o,1 )

(9.83)

Abb. 9.15 Kettenschaltung zweier Verstärker mit den Streumatrizen S1,2 , den Bandbreiten  f 1,2 und den verfügbaren Leistungsverstärkungen G av V ,1,2 ( Q , o,1 ), Angabe der Rauschleistungen, die die Verstärker generieren,  f m ist die Bandbreite für die frequenzselektive Messung der Rauschzahl F g (T0 )

9.4

Korrelationsmatrizen, Mehrtore

343

Die Rauschleistung der Quelle erscheint am Ausgang des 2. Verstärkers mit dem Wert V ,2 V ,1 Pr ,Q,2 = G av (o,1 )G av ( Q )k f m T0

(9.84)

g

Damit ist die Empfängertemperatur Te der Gesamtschaltung der Quotient beider Leistungen g

Te = T0

Te,2 (o,1 ) Pr ,o,2 = Te,1 ( Q ) + V ,1 Pr ,Q G av ( Q )

(9.85)

Die Messbandbreite  f m muss in den Durchlassbereichen  f 1 und  f 2 der beiden Verstärker oder Zweitore liegen. In normierter Form erhalten wir für die Empfängertemperatur g

te (T0 ) = te,1 (T0 ,  Q ) +

te,2 (T0 , o,1 )

(9.86)

V ,1 G av ( Q )

und für die Rauschzahl F g (T0 ) = F1 (T0 ,  Q ) +

F2 (T0 , o,1 ) − 1

(9.87)

V ,1 G av ( Q )

Für die Abhängigkeiten te,1 (T0 ,  Q ), te,2 (T0 , o,1 ) und bei den entsprechenden Rauschzahlen müssen die Gl. (9.53), (9.54) benutzt werden. Dabei ist der Ausgangsreflexionsfaktor o,1 des 1. Verstärkers bei Abschluss am Eingang mit dem Quellenreflexionsfaktor  Q o,1 ( Q ) =

s22,1 − S1  Q 1 − s11,1  Q

(9.88)

V ,1 ( Q ) des 1. Verstärkers gilt die Gl. (3.97) und für die verfügbare Leistungsverstärkung G av V ,1 G av ( Q ) = |s21,1 |2

1 − | Q |2 |1 − s11,1  Q |2 − |s22,1 − S1  Q |2 g

(9.89)

Wegen des Zusammenhangs der Gesamtgrößen Empfängertemperatur te (T0 ) und Rauschzahl F g (T0 ) mit den Eigenschaften beider Verstärker in den Gl. (9.86), (9.87), sollte für die Bandbreiten gelten  f 1 ≥  f 2 . Anderenfalls würde wegen der Gl. (9.53), (9.54) die Rauschtemperatur te,2 (o,1 ) bzw. Rauschzahl F2 (T0 , o,1 ) außerhalb der Bandbreite  f 1 , dem Stoppband, stark ansteigen, da sehr oft in diesem Bereich der Ausgangsreflexionsfaktor des 1. Verstärkers |o,1 | → 1 strebt. Auch die Gl. (9.87) lässt sich auf die Kettenschaltung erweitern von mehr als zwei Zweitoren. Nach den Gl. (9.86), (9.87) ist der Einfluss des 2. Verstärkers auf die GesamtrauschV ,1 zahl F g (T0 ) um so geringer, je größer die verfügbare Leistungsverstärkung G av des 1. V ,1 Verstärkers ist. o,1 und G av sind Funktionen der Elemente der Streumatrix S1 des 1. Verstärkers und vom Quellenreflexionsfaktor  Q . Aus diesem Grund kann der Wert von  Q so eingestellt werden, dass F g (T0 ) insgesamt ein Minimum erreicht [13]. Wichtig ist der Vergleich der Gl. (9.81) mit den Gl. (9.86), (9.87). Alle beschreiben das Rauschverhalten der Kettenschaltung von zwei Zweitoren. Bei Kenntnis der Werte der Matri-

344

9 Rauschen

xelemente von a x oder S1 können wir mit beiden Beschreibungen vorwärts und rückwärts rechnen und so z. B. aus der Gesamtrauschzahl F g (T0 ) die des 1. Verstärkers F1 (T0 ,  Q ) berechnen, wenn uns F2 (T0 , o,1 ) bekannt ist. Diese Umrechnung gilt nur für den einen Wert  Q . Wir können vom Verstärker 1 keine Rauschparameter und damit allgemeine Zusammenhänge angeben. Mit der Anwendung der Gl. (9.81) und den Korrelationsmatrizen ist das aber möglich. Das ist ein großer Vorteil. Allerdings bleibt uns in der Gl. (9.81) der unmittelbare Zusammenhang zwischen der Gesamtrauschzahl, den Beiträgen der Einzelrauschzahlen der beiden Verstärker im Zusammenhang mit der Verstärkung des 1. Verstärkers verborgen.

9.5

Rauschwellen

9.5.1

Streumatrix S

9.5.1.1 Streumatrix, Empfängertemperatur Die Beschreibung der Rauscheigenschaften von Mehrtoren mit Rauschwellen gemäß der Abb. 9.13 sowie deren Zusammenhang mit den Rauschspannungen und -strömen entspricht der mit Wellen für die Signalübertragung. In den meisten Anwendungen werden die Rauschwellen auf den Widerstand R0 (z. B. 50 ) entsprechend der Gl. (9.19) normiert. Die Beziehung b = Sa + br (9.90) erlaubt die Anwendung der Signalfluss-Graphen des Abschn. 3.3. Am Beispiel der Zusammenschaltung von Wellenquelle-Zweitor-Last der Abb. 9.16 wollen wir mit den eingezeichneten Rauschwellen die normierte Empfängertemperatur te (T0 ) berechnen. Die Definitionen der Rauschzahl als auch die Empfängertemperatur berücksichtigen die Last nicht. Deshalb fehlt in der Abb. 9.16 die zugehörige Rauschwelle der Last und die mit

Abb. 9.16 Zusammenschaltung Wellenquelle – Zweitor – Last analog der Abb. 3.26 mit den zusätzlichen Rauschwellen br ,i

9.5

Rauschwellen

345

dem Pfad  L möglichen Schleifen haben keinen Einfluss auf das Ergebnis. Am Ausgang bei  L ist der Wert der Rauschleistung, die nur vom Zweitor erzeugt wird  Pr ,Z T =

br ,1  Q s21 + br ,2 (1 − s11  Q ) 1 − s11  Q



br ,1  Q s21 + br ,2 (1 − s11  Q ) 1 − s11  Q

∗ (9.91)

Die Äquivalenzen mit den Elementen der Rausch-Korrelationsmatrix für die Produkte der Rauschwellen ergibt S |1 − s  |2 + 2 (c S  s (1 − s  )∗ ) c S | Q s11 |2 + c22 Pr ,Z T 11 Q 11 Q 12 Q 21 = 11 4kT0  f |1 − s11  Q |2

(9.92)

Die Wellenquelle liefert am Ausgang bei  L die Rauschleistung Pr ,Q = 4kT0  f



br ,Q s21 1 − s11  Q



br ,Q s21 1 − s11  Q

∗ (9.93)

Wir multiplizieren, verwenden für |br ,Q |2 den Wert aus der Tab. 9.1 und normieren das Ergebnis auf die Normleistung 4kT0  f |s21 |2 (1 − | Q |2 ) Pr ,Q = 4kT0  f 4|1 − s11  Q |2

(9.94)

Die normierte Empfängertemperatur te (T0 ) erhalten wir mit dem Quotienten der Gl. (9.92), (9.94) S | s |2 + c S |1 − s  |2 + 2 (c S  s (1 − s  )∗ ) c11 Q 21 11 Q 11 Q 22 12 Q 21 |s21 |2 (1 − | Q |2 )/4 (9.95) Gegenüber der Gl. (9.72) mit den Elementen der Korrelationsmatrix C a ist diese Darstellung komplizierter und enthält Elemente der Streumatrix S selbst, da die Rauschwellen br ,1 , br ,2 sowohl am Ein- als auch am Ausgang Rauschleistung in das Netzwerk einspeisen. Bei der Kettenmatrix sind beide Erregungen nur am Eingang. Den Grenzwertbetrachtungen z, y → 0, ∞ bei der Gl. (9.41) entspricht hier | Q |2 → 1 (Einheitskreis). Setzen wir in der Gl. (9.95)  Q = 0 folgt die einfache Beziehung

te (T0 ) = F(T0 ) − 1 =

te, Q =0 (T0 ) = F Q =0 (T0 ) − 1 =

S 4c22 |s21 |2

(9.96)

Wie mit der Differentiation der Gl. (9.41) finden wir in gleicher Weise von der Gl. (9.95) den optimalen Quellenreflexionsfaktor  Q,opt und die dazu gehörende minimale Empfängertemperatur te,min (T0 ) als Funktion der Elemente der Rauschwellen-Korrelationsmatrix C S . Elementare aber langwierige Rechnungen ergeben ( p, q sind Hilfsvariable):

346

9 Rauschen S + p = 2c11

2





S (1 + |s |2 ) − 2 (c S s ∗ s ) c22 11 12 11 21

|s21 |2    S S s  q= s11 − c12 c  21 22 |s21 |2  C N = p + p2 − q 2  ∗ 4 S s − cS s c22  Q,opt = 11 12 21 2 C N |s21 | 4

te,min (T0 ) =

S 4c22

|s21 |2

(9.97)

− C N | Q,opt |2

und umgedreht können wir die Elemente von C S durch die Rauschparameter darstellen ⎛ ⎜ ⎜

1⎜ CS = ⎜

⎞

te,min (|s11 |2 −1) + C N |1 − s11  Q,opt |2

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

∗ (s t ∗ s21 11 e,min − C N  Q,opt (1 − s11  Q.opt ))

∗ t ∗ ∗ 4 ⎜ s21 (s11 e,min −C N  Q,opt (1 − s11  Q,opt )) ⎝ |s21 |2 (te,min + C N | Q,opt |2 )

(9.98)

Die Hauptanwendung der Rauschanalyse wird immer das Zweitor sein. Selbst bei Mehrtoren führen die Abschlüsse an den anderen Toren dazu, dass letztlich ein Zweitor entsteht, das mit den oben genannten Gleichungen bezüglich seiner Signal- und Rauscheigenschaften ausreichend beschrieben werden kann. Für die Rauschanalyse an Mehrtoren sei auf J. A. Dobrowolski [6] verwiesen.

9.5.1.2 Streumatrix, passives Mehrtor Eine besondere Stellung in der Schaltungstechnik nehmen die rein passiven Mehrtore ein. Sie dienen in der Schaltung zur Pegelanpassung und zur Stabilität(Unterdrückung der Oszillation). In der Abb. 9.17 In der Abb. 9.17 ist das passive Mehrtor auf der Temperatur T mit seiner Streumatrix S p dargestellt. Die Kennzeichnung der Eigenschaft „nur thermische Energie“ soll bedeuten, dass alle internen Rauschquellen thermischen Ursprungs sind. Passive Mehrtore mit Quellen, deren Ursache Schrot-, Funkel- oder Stromverteilungsrauschen ist, werden nicht betrachtet. Die Anordnung der Abb. 9.17 soll sich bei der Temperatur T im thermodynamischen Gleichgewicht befinden. Die zu- und ablaufenden Wellen dürfen das System weder erhitzen noch kühlen. Das ist möglich, wenn für die Leistungen gilt a r a r ∗ = br br ∗

(9.99)

Mit der Darstellung der Streumatrix S und den zusätzlichen, intern erzeugten Rauschwellen p br gemäß der Gl. (9.92) wollen wir den quadratischen Mittelwert der Gesamtheit der ablaufenden Rauschwellen br (i = 1..N ) bilden. Die Anregung erfolgt durch die Rauschwellen ar der Abschlusswiderstände.

9.5

Rauschwellen

347

Abb. 9.17 Passives Mehrtor S p auf der Temperatur T , Anpassung an allen Toren ar ,i = Rauschwellen der Abschlusswiderstände zum Tor i br ,i = reflektierte Rauschwellen S p ar am Tor i p br ,i = interne Rauschwellen des passiven Mehrtors am Tor i

br br∗ = (S p ar + br )(S p ar + br )∗ = (S p ar + br )(ar∗ (S p )∗ + (br )∗ ) p

p

p

p

(9.100)

Die zulaufenden Rauschwellen ar der Abschlusswiderstände haben mit den Rauschwellen p p p br des Zweitors keine Korrelation, so dass die Produkte ar (br )∗ und br ar∗ null sind. Es bleiben übrig br br∗ = S p ar ar∗ (S p )∗ + C S, p (9.101) p

p

mit C S, p = br (br )∗ . Bei den zulaufenden Rauschwellen ar ,i besteht untereinander auch keine Korrelation und folglich sind alle Produkte ar ,i ar∗, j = ar∗,i ar , j = 0 für i = j. Nur die Produkte |ar ,i |2 haben einen endlichen Wert, der gleich der spektral verfügbaren Rauschleistung kT  f ( f f 0 ) der Abschlusswiderstände ist. Folglich ist ar ar∗ = kT  f E

(9.102)

ar ar∗ = br br∗ = kT  f E

(9.103)

sowie wegen der Gl. (9.99) muss

348

9 Rauschen

sein. Und mit der Gl. (9.101) erhalten wir für das passive Mehrtor die Rausch-Korrelationsmatrix C S, p = kT  f (E − S p (S p )∗ ) (9.104) sowie mit unserer Normierung auf die Bezugsrauschleistung 4kT0  f C S, p =

1 t(T0 )(E − S p (S p )∗ ) 4

(9.105)

Diese Gleichung bzw. die von (9.104) hat schon H. Bosma [3] in seiner Dissertation 1967 angegeben. In der Tab. 9.3 werden für ein paar Beispiele passiver Zweitore die Streumatrix S p , die Formmatrix P und die Rauschwellen-Korrelationsmatrix C S, p , t(T0 ) = 1 sowie deren Spur Sp, Determinante  und Eigenwerte λ angegeben. Wegen der ähnlichen Berechnung der Formmatrix P mit (E − ST S) und der Korrelationsmatrix C S. p mit (E − S p (S p )∗ ) haben beide Matrizen gleiche Werte für die Spur Sp, die Determinante  und die Eigenwerte λ unabhängig von der Symmetrie der Übertragung und der Reflexionsfreiheit (s. a. [35]). In der Abb. 9.18 sind das 10 dB Dämpfungsglied und die Richtungsleitung aus der Tab. 9.3 zwischen zwei rauschende Abschlusswiderstände R0 geschaltet. Die blauen Pfeile und Werte kennzeichnen den Fluss der Rauschleistung, die die beiden Abschlusswiderstände generieren und die jeweils mit |si j |2 übertragen werden. Der Wert der absorbierten Leistungen in den Zweitoren wird durch die Formmatrix P bestimmt. Die Rauschleistungen der beiden Widerstände R0 sind inkohärent. Die Korrelationsmatrix C S beschreibt die vom Zweitor erzeugte Rauschleistung(rote Pfeile). Alle Zahlenwert können wir der Tab. 9.3 entnehmen. Die Rauschquellen sind unkorreliert, und folglich ist die Summe der zufließenden gleich der Summe der abfließenden Rauschleistungen, wie mit der Gl. (9.99) als Bedingung für das thermodynamische Gleichgewicht gefordert wird. Da es keine Korrelation zwischen den Rauschwellen gibt, ist die Gesamtleistung auch gleich der Summe der Teilleistungen (Gl. (9.11)). Für passive (rein thermisch) reziproke Mehrtore müssen die Formmatrix P und die Rauschwellen-Korrelationsmatrix 4C S einander gleich sein. In der Abb. 9.18 a) speist der Widerstand R0 das angepasste 10 dB Dämpfungsglied mit der Rauschleistung kT0  f . Von dieser verlassen 0,1 kT0  f das Tor 2. 0,9 kT0  f verbleiben im Dämpfungsglied, dienen zu dessen Aufwärmung und werden wieder am Tor 2 an den ausgangsseitigen Widerstand R0 (roter Pfeil) abgegeben. Die analogen Leistungsbilanzen gelten an jedem der Tore in der Abb. 9.18 a) und b) und diese können der Struktur der Formmatrix P und der Rauschwellen-Korrelationsmatrix 4C S in der Tab. 9.3 entnommen werden. Diese Bilanzen entsprechen dem Fluktuation-Dissipation Theorem. Bei verlustlosen passiven Mehrtoren ist SS∗ = E (Gl. (4.41)) und damit sind C S und alle anderen Rausch-Korrelationsmatrizen sowie die Formmatrizen P (Gl. (4.20)) O-Matrizen. Ein verlustloses passives Mehrtor kann keine Leistung in Wärme umwandeln und kann deshalb auch keine Rauschleistung erzeugen (abstrahlen).

Tab. 9.3 Beispiele passiver Zweitore mit deren Streumatrix S, Formmatrix P und Rauschwellen-Korrelationsmatrix C S , t(T0 ) = 1 sowie deren Spur Sp, Determinante  und Eigenwerte λ, t(T0 ) = 1 a) allgemeines reziprokes Zweitor b) angepasstes 10 dB-Dämpfungsglied c) angepasste Richtungsleitung 3 dB Dämpfung, 20 dB Entkopplung d) allgemeines nichtreziprokes Zweitor (Richtungsleitung c))

9.5 Rauschwellen 349

350

9 Rauschen

a)

b)

Abb. 9.18 Passive Zweitore abgeschlossen mit den Widerständen R0 , Umgebungstemperatur T0 a) angepasstes 10 dB Dämpfungsglied b) angepasste Richtungsleitung 3 dB Dämpfung, 20 dB Entkopplung

Abb. 9.19 Passives Zweitor zwischen. (Quelle und Anzeige)

Bei einem rein passiven Zweitor können wir sehr einfach die normierte Empfängertemperatur te und die Rauschzahl F ausrechnen. Die Abb. 9.19 zeigt das passive Zweitor zwischen Quelle (rauschende Admittanz) und Last (Leistungsmesser). Das passive Zweitor ist am Eingang mit einem passiven Bauteil, der rauschenden Admittanz, abgeschlossen. In den Ausgang geschaut, ist die gesamte Anordnung ein Eintor, das auch passiv ist. Wir rechnen die normierte Empfängertemperatur über die verfügbaren Rauschleistungen aus. Die gesamte, verfügbare Rauschleistung am Ausgang ist g

Pr ,av = kT  f

(9.106)

Der Wert ist die Summe aus der Rauschleistung des Zweitors und der Quelle. Gemäß der Definition der Empfängertemperatur te ist diese das Verhältnis der Rauschleistungen bedingt durch das Zweitor dividiert durch verfügbaren Wert der verstärkten Rauschleistung des Eingangs. Wir können deshalb für die Empfängertemperatur des passiven Zweitors schreiben [46] kT0  f − G av ( Q )kT0  f 1 = −1 (9.107) te (T0 ) = G av ( Q )kT0  f G av ( Q )

9.5

Rauschwellen

351

oder für die Rauschzahl des passiven Zweitors F(T0 ) = 1 + te (T0 ) =

1 G av ( Q )

(9.108)

Wegen dieses Zusammenhangs gilt für die Rauschzahl F(T0 ) auch die Gl. (4.162) mit den dafür geltenden Zuordnungen für das rein passive Zweitor       s12  −1 =   K 1 + 1 − 1/K 2 (Gl. (4.163)) Fmin (T0 ) = G av,max s21 ∗ 2C  Q,opt = (Gl. (4.145))  1 (9.109) B1 + B12 − 4|C1 |2  B1 + B12 − 4|C1 |2 (Gl. (4.165)) C N = CG = 2|s21 |2 und den Abkürzungen des Abschn. 4.5. Die Werte der Rauschparameter sind nur eine Funktion der Elemente der S-Matrix des passiven Zweitors und gelten für reziproke und nichtreziproke Zweitore. Zwei besondere, passive Zweitore mögen als Beispiel dienen • reziprokes, angepasstes Zweitor, z. B. Dämpfungsglied mit s11 = s22 = 0 und s12 = s21 → C1 = 0 → Fmin (T0 ) = 1/|s21 |2 ,  Q,opt = 0, C N = (1 − |s21 |4 )/|s21 |2 • nichtreziprokes, angepasstes Zweitor, z. B. Richtungsleitung mit s11 = s22 = s12 = 0 und s21  = 0, s12 = 0 → C1 = 0, K → ∞ → Fmin (T0 ) = 1/|s21 |2 ,  Q,opt = 0, C N = 1/|s21 |2 Schalten wir ein passives Zweitor, z. B. Dämpfungsglied (DGL), vor einen Empfänger, dann folgt aus der Gl. (9.87) für die gesamte Rauschzahl F g (T0 ) =

1 F2 (T0 , o,1 ) − 1 F2 (T0 , o,1 ) + = DG L DG L ( ) DG L ( ) G av G av G av ( Q ) Q Q

(9.110)

Das Dämpfungsglied vergrößert die Rauschzahl F2 (T0 , o,1 ) um den Wert seiner Dämpfung. Im Abschn. 8.2.4 Abb. 8.27 wurde der T-Checker® als Längsimpedanz z und Paralleladmittanz y vorgestellt sowie bezüglich seiner Eigenschaften beschrieben. Die Abb. 9.20 zeigt die Form der Paralleladmittanz y zwischen den in der Praxis unvermeidbaren Leitungen endlicher Länge. Diese passive, übertragungs- und reflexionssymmetrische Paralleladmittanz hat die Elemente der Streumatrix S s11 = s22 =

−y 2 = ρ und s12 = s21 = =τ =1+ρ y+2 y+2

(9.111)

352

9 Rauschen

1

2

Abb. 9.20 T-Checker® : normierte Paralleladmittanz y zwischen realen, verlustarmen 50 Leitungen der Länge 

Mit den Elementen der Streumatrix folgt aus der Gl. (9.105)   ∗ − s s∗ 1 − |s11 |2 − |s12 |2 −s11 s21 12 22 S /4 C = t(T0 ) ∗ s − s∗ s −s11 1 − |s21 |2 − |s22 |2 21 12 22

(9.112)

und damit ist das Betragsquadrat des Korrelationsfaktors (Gl. (9.12)) |Ccor |2 =

∗ + s s ∗ |2 |s11 s21 12 22 ≤1 2 2 (1 − |s11 | − |s12 | )(1 − |s21 |2 − |s22 |2 )

(9.113)

Diese Gleichung entspricht der (8.90), die wir mit der Formmatrix P erhalten haben. Bei angepassten Zweitoren (sii = 0) sind die beiden Rauschwellen br ,1 , br ,2 vollkommen unkorreliert, da |Ccor |2 = 0 ist. Wir setzen die Werte der Gl. (9.111) in die von (9.113) ein und erhalten |Ccor |2 =

(2|ρ|2 + ρ + ρ ∗ )2 =1 (2|ρ|2 + ρ + ρ ∗ )2

(9.114)

Das Ergebnis entspricht dem im Abschn. 8.2.4. Die Rauschwellen einer idealen Paralleladmittanz und gleichfalls Längsimpedanz sind voll korreliert. Allerdings kann aus physikalischen Gründen |Ccor |2 niemals größer als eins werden. Der Wert der Paralleladmittanz erscheint nur mittelbar in der Gleichung. Sollte die Messung für |Ccor |2 einen Wert größer als eins ergeben, dann ist der Netzwerkanalysator defekt bzw. die Kalibrierung untauglich. In der Abb. 9.20 sind die unvermeidbaren endlichen Längen der Koaxialleitungen vor und nach der Paralleladmittanz eingezeichnet. Als Modell dieser Anordnung erhalten wir die Kettenschaltung reale Koaxialleitung(Z W (komplex), γ (Dämpfung, Phasendrehung) – Paralleladmittanz – reale Koaxialleitung. Auch die Gesamtschaltung ist passiv, reziprok und reflexionssymmetrisch. Zur Berechnung der notwendigen zwei Streumatrixelemente der Gesamtschaltung ρg für die Reflexion und τg für die Transmission wählen wir die Methode mit den Signalfluss-Graphen wie das die Abb. 9.21 zeigt. Die Schaltung hat zwei Schleifen erster und eine Schleife zweiter Ordnung. Folglich ist der Nenner für unsere gesuchten Matrixelemente N enner = 1 − 2ρρ L + (ρρ L )2 = (1 − ρρ L )2

(9.115)

9.5

Rauschwellen

353 1

2

Abb. 9.21 Signalfluss-Graphen Darstellung der Kettenschaltung der Abb. 9.20

und damit ist ρg = ρ L +

τ L2 ρ(1 − ρρ L ) + (τ L τ )2 ρ L (1 − ρρ L )2

(9.116)

τ L2 (ρ L + ρ(1 + 2ρ L )) (1 − ρρ L )2

(9.117)

oder mit τ = 1 + ρ ρg = ρ L +

und für die gesamte Transmission erhalten wir sehr einfach τg =

τ L2 (1 + ρ) (1 − ρρ L )2

(9.118)

Wir setzen ρg für die Werte sii und τg für die Werte si j in die Gl. (9.113) ein. Die Größen ρ L und τ L berechnen wir mit den Zuordnungen für die verlustbehaftete Luftkoaxialleitung im Abschn. 7.2.1, insbesondere mit den Gl. 7.54, 7.55 und 7.60. Das Ergebnis der Rechnungen zeigt die Abb. 9.22. Je stärker die Dämpfung der vorund nachgeschalteten Leitung ist (Funktion der Frequenz als auch der Durchmesser), um so stärker wird die Korrelation der Rauschwellen aufgehoben und |Ccor |2 fällt merkbar unter den Wert eins. Gleichwohl können wir mit dem Parallelwiderstand R p ≈ 25 dafür sorgen, dass unter allen Umständen |Ccor |2 maximal ist. Ungeachtet dessen ist auch bei nachlassender Korrelation des T-Checkers® der angezeigte Wert |Ccor |2 > 1 ein Mess- oder Kalibrierfehler. Im Messwert sind alle Elemente der S-Matrix enthalten.

0.98

0.9

0.97

0.85

|Ccor|2

|Ccor|2

0.96 0.95 0.94 0.93 0.92 10

2GHz 6GHz 10GHz 14GHz 18GHz

20

0.8 0.75 0.7

30

40

50

R p/

a)

60

70

80

90

100

0.65 10

10GHz 20GHz 30GHz 40GHz 50GHz

20

30

40

50

60

70

80

90

100

R p/

b)

Abb. 9.22 Funktion von |Ccor |2 als Funktion des Wertes des Parallelwiderstandes mit der Frequenz als Parameter,  = 10 mm, σ = 1,33e6 S/m(rostfreier Stahl) a) N-Profil 7/3,04 b) 2,4/1,03

354

9 Rauschen

Obwohl der T-Checker® ein symmetrisches Bauteil bezüglich der Reflexion und Transmission ist, sollte wegen unvermeidbarer Messfehler sowohl vorwärts s11 , s21 als auch rückwärts s12 , s22 gemessen und die Gl. (9.113) damit berechnet werden. Leider kann aus der Messung mit dem T-Checker® und bei Fehlern kein Rückschluss auf bestimmte Messkanäle des Netzwerkanalysator gemacht werden. Das ist gleichfalls bei der Messung mit dem Beatty-Standard nicht möglich.

9.5.1.3 Rauschwellen und Dreitor Die Abb. 9.23 zeigt die aus dem Abschn. 5.4 mit den eingezeichneten ablaufenden Rauschwellen an jedem der drei Tore. Im Katalog oder in den Datenblättern werden von z. B. Transistoren fast ausschließlich die Zweitor-Rauschparameter der Emitter-/Sourceschaltung angegeben. Für die allgemeine Anwendung des Transistors als Dreitor sind auch dessen Dreitor-Rauschparameter bzw. dessen Rauschwellen-Korrelationsmatrix von Interesse. Mit den Zweitor-Rauschparametern und der Gl. (9.98) lassen sich die Elemente der Zweitor-Rauschwellen-Korrelationsmatrix z. B. der Emitter-/Source-Schaltung berechnen. In der Abb. 9.24 sind die Streumatrizen des Drei- und Zweitors mit den Rauschwellen sowie dem Reflexionsfaktor 3 = −1 für Kurzschluss an dem Emitter-/Source-Tor in Form der Signalfluss-Graphen dargestellt. Nach [19, 22] ergibt sich mit den Beziehungen für die Graphen ein Zusammenhang für die Elemente der Rauschwellen-Korrelationsmatrizen zwischen denen des Zwei- und denen des Dreitors. Bei Kurzschluss 3 = −1 wird aus dem Drei- ein Zweitor. Der Zusammenhang zwischen den Rauschwellen beider Mehrtore kann direkt aus der Abbildung ablesen werden (Die Exponenten (2), (3) kennzeichnen die Zugehörigkeit zum Zwei- bzw. Dreitor). (3) (3) br(2) ,1 = br ,1 + cbr ,3

und

(2)

(3)

(3)

br ,2 = br ,2 + dbr ,3

a) Abb. 9.23 Transistor als Dreitor a erdbezogen b erdfrei

b)

(9.119)

9.5

Rauschwellen

355

B/G

C/D

B/G

2

1

C/D

1

2

(E-C/S-D)

(B-E/G-S)

3

E/S

(C-B/D-G)

Abb.9.24 Reduktion des rauschenden Dreitors in ein rauschendes Zweitor mit dem Reflexionsfaktor 3 am Tor 3, entspricht Emitter-/Sourceschaltung, 3 = −1 erdbezogenes oder 3 = +1 erdfreies Dreitor, Elektrodenangaben in Klammern für erdfreies Dreitor

mit den Abkürzungen

(3)

(3)

−s13

c1 =

bzw. d1 =

(3)

1 + s33

Wir bilden die Matrix

 M1 =

1 0 c1 0 1 d1

−s23

(3)

1 + s33

 (9.120)

und erhalten für die Gl. (9.119)

(2) br ,1 (2) br ,2



⎛

⎞ (3) br ,1 ⎜ ⎟ = M 1 ⎝br(3) ,2 ⎠ (3) br ,3

(9.121)

Die mittleren Betragsquadrate der Rauschwellen ergeben die Korrelationsmatrizen

(2) br ,1 (2) br ,2



 (2) ∗ br ,1 (2) br ,2

⎛

⎞ ⎛ (3) ⎞∗ (3) br ,1 br ,1 ⎜ (3) ⎟ ⎜ (3) ⎟ ∗ = M 1 ⎝br ,2 ⎠ ⎝br ,2 ⎠ M 1 (3) (3) br ,3 br ,3

(9.122)

Diese sind: erdbezogenes Dreitor

S(2) c11 S(2) c21

S(2) c12 S(2) c22



S(2)

C1

⎛ S(3) S(3) S(3) ⎞ c12 c13 c ⎜ 11 S(3) S(3) S(3) ⎟ = M 1 ⎝c21 c22 c23 ⎠ M ∗1 S(3) S(3) S(3) c31 c32 c33 S(3)

= M1C1

M ∗1

(9.123)

356

9 Rauschen

Für das erdfreie Dreitor ist 3 = 1 (Leerlauf). Die Abkürzungen c2 , d2 werden (3)

c2 =

s13

(3)

1 − s33

(3)

bzw. d2 =

s23

(3)

1 − s33

die in die Matrix M 2 einzusetzen sind. Wegen der Polarität der Spannungen an den Toren des erdfreien Dreitors in der Abb. 9.23b müssen die Vorzeichen der Nebendiagonale von C S(2) negativ sein, so dass gilt: erdfreies Dreitor ⎛ S(3) S(3) S(3) ⎞

 c12 c13 c S(2) S(2) c11 −c12 ⎜ 11 S(3) S(3) S(3) ⎟ = M c c c23 ⎠ M ∗2 2 ⎝ 21 S(2) S(2) 22 −c21 c22 S(3) S(3) S(3) c31 c32 c33 (9.124) S(2)

C2

S(3)

= M2C2

M ∗2

Mit den Katalogdaten der Rauschparameter z. B. der Emitter-/Source-Schaltung berechnen S(2) S(2) wir die Elemente der Zweitor Rauschwellen-Korrelationsmatrizen C 1 , C 2 , Gl. (9.98). In den Gl. (9.123), (9.124) sind nur die Elemente der Dreitor Rauschwellen-KorrelationsS(3) S(3) matrizen C 1 , C 2 unbekannt. Im Abschn. 5.4 konnten wir zeigen, dass bei den Dreitor-Anordnungen die Zeilen- und Spaltensummen der jeweiligen y-, z-Matrizen gleich null und die der S-Matrizen entweder +1 oder −1 sind. Für die Korrelationsmatrizen der entsprechenden Anordnungen folgt daraus auch in Verbindung mit den Umrechnungen in der Tab. 9.2, dass sowohl bei C y , C z und auch bei C S die Zeilen- und Spaltensummen null ergeben [19, 22, 25]. Da alle Korrelationsmatrizen hermitesch sind, genügt die Kenntnis zweier Elemente auf der Hauptsowie eines Elementes auf der Nebendiagonale und damit von vier reellen Zahlen, um die S(3) S(3) gesamte Matrix vollständig aufzufüllen. Wir wählen z. B. die Elemente c11 , c33 und S(3) c13 als die zu berechnenden Elemente der C S(3) -Matrizen. Mit den Gl. (9.123), (9.124) erhalten wir die linearen Gleichungssysteme, die in der Tab. 9.4 angegeben sind. Dienen die Rauschparameter der Emitter-/Source-Schaltung nicht für die vorgestellte Berechnung der Dreitor-Rauschwellen-Korrelationsmatrizen, können wir durch entsprechenden Kurzschluss bzw. Leerlauf an den anderen Toren (1 oder 2) und Modifikation der Gleichungen in analoger Weise zum gleichen Ergebnis für C S(3) kommen. Mit den bekannten Elementen der Matrizen S(3) und C S(3) lassen sich die Signalmatrizen S(2) und Rauschwellen-Korrelationsmatrizen C S(2) sowie Rauschparameter aller drei Grundschaltungen des Transistors bzw. Dreitors berechnen. Als Beispiel soll die Basis/Gate-Schaltung vom erdbezogenen Dreitor dienen. Bei dieser Schaltung sind der Emitter/die Source 3 das Eingangs- und Kollektor/Drain 2 das Ausgangstor. Aus diesem Grund

9.5

Rauschwellen

357

Tab. 9.4 Lineare Gleichungssysteme zur Berechnung der Elemente der C S(3) RauschwellenKorrelationsmatrizen des erdbezogene und des erdfreien Dreitors aus denen der ZweitorRauschwellen-Korrelationsmatrix C S(2)

sortieren wir die Elemente in der Streumatrix folgender Weise ⎛ (3) ⎞ ⎛ (3) (3) s32 b s ⎜ 3(3) ⎟ ⎜ 33 (3) (3) ⎝b2 ⎠ = ⎝ s23 s22 (3) (3) (3) b1 s13 s12

S(3) und beim Rauschwellenvektor br in ⎞ ⎛ (3) ⎞ (3) br ,3 s31 ⎜ (3) ⎟ (3) ⎟ s21 ⎠ + ⎝br ,2 ⎠ (3) (3) s11 br ,1

oder in der Schreibweise mit Blockmatrizen







 br ,a ba Saa Sab aa (3) (3) = (3) (3) + br ,1 b1 Sba s11 a1

(9.125)

(9.126)

Für die Basis-/Gate-Schaltung beim Dreitor-Transistor wir das Tor 1 kurzgeschlossen. Folglich ist b1 = −a1 . Damit erlaubt die untere Zeile der Gl. (9.126) die Angabe von a1 (3)

(3)

(3)

a1 = −Sba /(1 + s11 ) − br ,1 /(1 + s11 )

(9.127)

358

9 Rauschen

und wir setzen das Ergebnis in die obere Zeile ein (3) (3) (3) ba = Saa − Sab Sba /(1 + s11 ) + br ,a − Sab br ,1 /(1 + s11 )

(9.128)

Der erste Teil(Signal) der Gl. (9.128) entspricht dem in der Tab. 5.1. Für die folgende Rechnung wählen wir die Abkürzung (B>Basisschaltung)

 (3) s (3) (3) M B = −Sab /(1 + s11 ) = − 31 (9.129) (3) /(1 + s11 ) s21 und bilden damit das mittlere Betragsquadrat der Rauschwellen S(2)

CB

(3)

(3)

∗ = (bra + M B br ,1 )(bra + (br ,1 )∗ M ∗B )

(9.130)

Die Multiplikation ergibt 

S(3) S(3)     ∗ c32 c33 S(2) S(3) S(3) S(3) S(3) S(3) C B = S(3) S(3) + M B c11 M B ∗ + M B c13 c12 + M B c13 c12 c23 c22 (9.131) Wir erkennen, dass für die Lösung dieser Aufgabe die Kenntnis der beider Dreitormatrizen S(3) und C S(3) notwendig ist. Mit der Gl. (9.97) und der Zweitor-Rauschwellen-Korrelationsmatrix C S(2) sind die B Rauschparameter te,min (T0 ), Fmin (T0 ), C N und opt der Basis-/Gate-Schaltung berechenbar. In den Tab. 9.5, 9.6 sind für das erdbezogene und das erdfreies Dreitor die Gleichungen der Rückführung der Dreitor-Rauschwellen-Korrelationsmatrizen auf die der drei Zweitor Grundschaltungen des Transistors angegeben. Wir stellen fest, dass für die Bildung einer Grundschaltung des erdbezogenen Dreitors der Kurzschluss mit  B,C,E = −1 immer an dem Tor zu erfolgen hat, dessen Namen diese Schaltungsvariante trägt. Beim erdfreien Dreitor müssen wir den Leerlauf mit  B,C,E = +1 immer am gegenüberliegenden Tor des Schaltungsnamens anbringen, BS→ 2 , CS→ 1 , ES→ 3 . Das ist deutlich bei den Indizes im Nenner der M B,C,E -Matrizen zu sehen. Die Tab. 9.7 zeigt als Beispiel die Zahlenwerte der Dreitor-Rauschwellen- Korrelationsmatrizen eines HEM-Transistors verbunden mit den Angaben zur Spur, der Determinante und der Eigenwerte. Die Nullsumme der Zeilen und Spalten von C S(3) ergibt auch den Wert null für einen Eigenwert und damit auch für den Wert der Determinante. Die Gleichungen in den Tab. 9.5, 9.6 vermitteln den numerischen Aufwand zur Be- und Umrechnungen der drei Dreitor-Grundschaltungen, wenn wir Korrelationsmatrizen verwenden. Mit den Äquivalenzwerten für die mittleren Betragsquadrate der Rauschspannung und des -stromes sowie deren Korrelationsadmittanz/ -impedanz aus [37] werden in [18] gleichfalls Umrechnungsgleichungen angegeben, die vom Aufwand nicht geringer sind.

Tab. 9.5 Zweitor-Rauschwellen-Korrelationsmatrizen C S(2) der drei Grundschaltungen des Transistors, dargestellt durch die Elemente der DreitorMatrizen S(3) und C S(3) für das erdfreie Dreitor, es gelten die Äquivalenzen für den Feldeffekttransistor G≡B, D≡C, S≡E

9.5 Rauschwellen 359

Tab. 9.6 Zweitor-Rauschwellen-Korrelationsmatrizen C S(2) der drei Grundschaltungen des Transistors, dargestellt durch die Elemente der DreitorMatrizen S(3) und C S(3) für das erdbezogene Dreitor, es gelten die Äquivalenzen für den Feldeffekttransistor G≡B, D≡C, S≡E

360 9 Rauschen

9.5

Rauschwellen

361

Tab. 9.7 Dreitor-Rauschwellen-Korrelationsmatrizen C S(3) des HEM-Transistors FHX04LG U DC = 2V, I DC = 10mA, f = 5GHz für die erdbezogene und erdfreie Modellierung, analog Tab. 5.3

9.5.1.4 Rauschwellen und Torverbindungen Im Abschn. 5.2 wird die Verschaltung von Mehrtoren an jeweils einem Tor bezüglich der Verkettung der Streumatrizen Sx und S y sowie die Verbindung zweier Tore bei einem Mehrtor beschrieben. Wir wollen den Formalismus auf die Auswirkung der Rauschwellen y erweitern [21]. Dafür sind in der Abb. 9.25 nur die ablaufenden Rauschwellen brx,3 und br ,3 an den beiden verbundenen Toren eingezeichnet. Die beschreibende Gl. (5.42) müssen wir mit den ablaufenden Rauschwellen an jedem der Tore erweitern. Mit Blockmatrizen (Gl. (5.43), (5.43) (5.43)) erhalten wir ⎛   S1 ba ⎝ = S3 O



⎞

    br ,a aa ⎠ + −1 ab br ,b y −1 s33 S2

x s44



(9.132)

362

9 Rauschen

Abb. 9.25 Verschaltung zweier Mehrtore an jeweils einem Tor, Zahlen in Klammern Zählung der Tore der gesamten Matrix Sg , die ablaufenden Rauschwellen an den anderen Toren sind wegen der Übersichtlichkeit nicht eingetragen

Dabei sind

 x a ab = 4y a3



und

br ,b

bx = ry,4 br ,3

 (9.133)

Die untere Zeile in der Gl. 9.132 stellen wir nach den zulaufenden Wellen ab um −1 x −1 s44 (S3 aa + br ,b ) y −1 s33

 ab = −

(9.134)

Wir rechnen die inverse Matrix direkt aus, und wir verwenden die Abkürzung der Gl. (5.47) 

y 1 s P y ,P y −1  x 1 s Px x ,P x s44 −1 = i S4 = (9.135) − y y −1 s33 1 − s Px x ,P x s P y ,P y (zur Erinnerung: P x , P y sind die Platzhalter für die Ziffern der verbundenen Tore) Mit dieser Abkürzung setzen wir die Gl. (9.134) in die von (9.132) ein und bekommen so für die die gesamte Streumatrix Sg auch hier wieder die Gl. (5.48) S g = S1 + S2 i S4 S3

(9.136)

Alle ablaufenden Rauschwellen br ,g ergeben sich nach der Multiplikation als br ,g = br ,a + S2 i S4 br ,b = br ,a + M r br ,b

(9.137)

Für das Produkt S2 i S4 steht die Matrix M r . Um die Korrelationsmatrix der Gesamtschaltung zu berechnen, bilden wir das mittlere Betragsquadrat aller Rauschwellen unter Beachtung der gegenseitigen Korrelation

9.5

Rauschwellen

363

  ∗ C gS = br ,a + M r br ,b br ,a + M r br ,b ∗  C gS = br ,a br∗,a + br ,a br∗,b M r∗ + br ,a br∗,b M r∗ + M r br ,b br∗,b M ∗ Das Ergebnis dieser Rechnung schreiben wir analog zu der Gl. 9.136 ∗  C gS = C 1S + C 2S M r∗ + C 2S M r∗ + M r C 4S M r∗ Es sind

⎛

c S,x ⎜ i, j(M−1,M−1) ⎜ i, j  = P x C 1S = ⎜ ⎜ ⎝ O (N −1,M−1) ⎛

ci,S,xj ⎜ ⎜ i = P x , j = P x C 2S = ⎜ ⎜ ⎝ O (N −1,1)

C 4S

=



(9.138)

(9.139)

⎞ O (M−1,N −1) ⎟ ⎟ ⎟ S,y ⎟ ci, j(N −1,N −1) ⎠ i, j = P y





(9.140) ⎞



O (M−1,1) S,y

ci, j i = P y , j = P y  0

c S,x P x ,P x S,y 0 c P y ,P y

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(9.141)

(9.142)

Um die Gesamtschaltung bezüglich ihrer Rauscheigenschaften zu berechnen, brauchen wir wie im Abschn. 5.2 noch die Beschreibung der Verbindung zweier Tore an einem Mehrtor, wie das die Abb. 9.26 zeigt. Wir formulieren die Gl. (5.49) mit Blockmatrizen und fügen die ablaufenden Rauschwellen an. ⎛ ⎞       S1 S2   b ba aa + r ,a (9.143) =⎝ s55 s56 − 1 ⎠ S3 O ab br ,b s65 − 1 s66

Abb. 9.26 Verbindung zweier Tore an einem Mehrtor, die ablaufenden Rauschwellen an den anderen Toren sind wegen der Übersichtlichkeit nicht eingetragen

364

9 Rauschen

Die entsprechenden Wellen sind  x a ab = 5y a6

und

br ,b

  br ,5 = br ,6

(9.144)

Zur Gl. (9.134) lautet die entsprechende Beziehung −1 s56 − 1 s55 ab = − (S3 aa + br ,b ) s65 − 1 s66 

und wir berechnen gleichfalls die inverse Matrix   1 − s P x ,P y s P y ,P y −1  1 − s P y ,P x s P x ,P x s56 − 1 s55 = i S4 = − s65 − 1 s66 (s P x ,P y − 1)(s P y ,P x − 1) − s P x ,P x s P y ,P y

(9.145)

(9.146)

Im Beispielfall sind die Platzhalter P x = 5 und P y = 6. Die Streumatrix des Mehrtors mit den zwei verbundenen Toren ist analog der Gl. (9.137) mit den entsprechenden Matrizen der Gl. (5.50)–(5.52) und (5.53) bzw. (9.146) S g = S1 + S2 i S4 S3

(9.147)

M r = S2 i S4

(9.148)

∗  C gS = C 1S + C 2S M r∗ + C 2S M r∗ + M r C 4S M r∗

(9.149)

und die Matrix M r ist sowie die gesamte Korrelationsmatrix

mit den Zuordnungen



C 1S

C 2S

cS = i, j(M−2,M−2) i, j  = P x , P y



ci,S j(M−2,2) = i = P x , P y , j = P x , P y

 c SP x ,P x c SP x ,P y S C4 = S c P y ,P x c SP y ,P y

(9.150)  (9.151)

(9.152)

Im Anhang werden zwei kleine MATLAB® -Programme für die zwei grundlegenden Berechnungen der Verbindung zweier rauschender Mehrtore an jeweils einem Tor und die Verbindung zweier Tore an einem rauschenden Mehrtor angegeben. Diese Programme schließen den rauschfreien Fall mit ein.

9.5

Rauschwellen

365

9.5.1.5 Rauschwellen und Rückrechnung Auch für die Darstellung der Rauscheigenschaften von Zwei- bzw, Mehrtoren ergibt sich das Problem der Rückrechnung gemäß des Abschn. 5.3. Für das Beispiel des vorgeschalteten Zweitors nach der Abb. 5.15 sind in der Abb. 9.27 die ablaufenden Rauschwellen eingetragen. Wie in den Anordnungen der letzten Kapitel ordnen wir die Tore entsprechend ihrer S,x Verbindung. Ziel der Analyse ist die Darstellung b1x = ix a1x und der Wert von c11 als Funky S,y x tion der Elemente der Streumatrix S , des Reflexionsfaktors i und des Wertes von c11 . Die Zuordnung der Wellen in der Abbildung beschreiben wir mit der Gleichung ⎛ x⎞ ⎛ ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x ⎞ br ,1 b1 s11 s12 0 a1 x ⎟ ⎝ 0 ⎠ = ⎝ s21 s22 −1 ⎠ ⎝a x ⎠ + ⎜ b (9.153) ⎝ r ,2 ⎠ 2 y y y 0 0 −1 in a1 br ,1 oder wieder mit Blockmatrizen   x  x   x  b a1 s11 S1 b1 + r ,1 = O S2 S3 a2 br ,2

(9.154)

Mit der letzten Zeile erhalten wir x a2 = −S−1 3 (S2 a1 + br ,2 )

und berechnen

  −

s22 −1 y −1 in

−1 = i S3 =

(9.155)

y

in 1 1 s22



y

1 − in s22

(9.156)

Damit lässt sich die erste Zeile der Gl. (9.154) schreiben b1x = (s11 + S1 i S3 S2 )a1x + brx,1 + S1 i S3 br ,a Der erste Teil der Gl. (9.157) ergibt ausmultipliziert



  y y s12 s21 in s11 − Sin g x x b1 = s11 + a1 = a1x = in a1x y y 1 − s22 in 1 − s22 in

Abb. 9.27 Zweitor vor einem Eintor

(9.157)

(9.158)

366

9 Rauschen y

Das ist die bereits bekannte Abhängigkeit (Gl. (5.54)). Bezüglich i und ix können wir x , s x , S x vorwärts und rückwärts rechnen, indem wir die bei bekannten Werten von s11 22 Gl. (9.158)) umstellen. Der zweite Teil der Gl. (9.157) informiert uns über die Abhängigkeit der Rauschwellen. Im Fall des Eintors reduziert sich die Rauschwellen-Korrelationsmatrix C S,g auf ein S,g Element, hier c11 . Dieses Element ist   ∗ S,g c11 = brx,1 + S1 i S3 br ,a brx,1 + S1 i S3 br ,a

(9.159)

Es gibt keine Korrelation zwischen den Rauschwellen der Zweitore Sx und S y . Wir schreiben mit     y y s12 in s12  in  1 y /(1 − s22 in ) = (9.160) M r = S1 i S3 = s12 0 y 1 s22 1 − s22 in verkürzt ∗  S,g S,x + brx,1 br∗,a M r∗ + brx,1 br∗,a M r∗ + M r br ,a br∗,a M r∗ c11 = c11 Dabei sind



S,x brx,1 br∗,a = c12 0



 und g

brx,a br∗,a S,g

c S,x 0 = 22 S,y 0 c11

(9.161)

 (9.162) S,y

Bei bekannten Werten von Sx , C S,x und i , c11 , gelingt die Darstellung von c11 durch Umstellen der Gl. (9.161)

 S,x   ∗   0 c22 S,g S,x S,x S,x ∗ (9.163) Mr 0 M r∗ − c12 0 M r∗ S,y M r = c11 − c11 − c12 0 c11 Da M r keine quadratische Matrix ist, scheidet die Multiplikation mit inversen Matrizen aus. Ein kleine Handrechnung zeigt ,dass

 S,x 0 c22 ∗ 2 S,x 2 S,y (9.164) Mr S,y M r = |m r ,11 | c22 + |m r ,12 | c11 0 c11 gilt und   ∗     S,y S,g S,x S,x S,x S,x − c12 c11 = c11 − c11 0 M r∗ − c12 0 M r∗ − |m r ,11 |2 c22 /|m r ,12 |2 (9.165) Auch mittels dieser Gleichung ist die Vorwärts- und Rückwärtsrichtung für die beiden interS,y S,g essierenden Parameter c11 und c11 möglich. Die Anordnung Zweitor vor dem Eintor hat besondere Bedeutung im Zusammenhang mit der Messung der Rauschzahl bzw. der normierten Empfängertemperatur. Diese Messungen

9.5

Rauschwellen

367

erfolgen zum großen Teil nach der Y -Faktor Methode [29]. Vor das zu messende Bauteil wird eine Rauschdiode geschaltet und am Ausgang eines Messempfänger wird das Verhältnis (Y -Faktor) der angezeigten verstärkten Rauschleistungen gemessen, wenn die Rauschdiode eingeschaltet (heißer Zustand) und ausgeschaltet(kalter Zustand) ist. Oft kann die Rauschdiode nicht unmittelbar vor das Messobjekt geschaltet werden. Zwischen der Rauschdiode und dem Messobjekt befindet sich ein passives Zweitor z. B. verlustbehaftete Leitungen, ein ohmsches Dämpfungsglied, Richtkoppler oder Filter. Diesen Aufbau soll die Abb. 9.28 darstellen. Die Rauschdiode wird durch ihr E N R gekennzeichnet. Damit folgt für die normierte Temperatur (Diode eingeschaltet) thx (T0 ) y

th (T0 ) = 10 E N R/10 + 1

(9.166)

y

Die Elemente cii können wir in unnormierter Form beschreiben mit (Tab. 9.1) cii = 2kT (Yi + Yi∗ ) f y

(9.167)

T ist die Temperatur des Realteils der Eingangsadmittanz Yi am Tor i. Die Umwandlung Admittanz-Rausch-Korrelationsmatrix in die der Rauschwellen C S ergibt die Abhängigkeit für deren normierten Elemente ( f = 1Hz) ciiS =

1 th (1 − |in |2 ) 4

(9.168)

und damit ist im vorliegendem Beispiel S,y

y

th (T0 ) = 4

c11

y

1 − |in |2

(9.169)

Folglich ist der Ausdruck S,g

g th (T0 )

=4

c11

g

1 − |in |2

(9.170)

Abb. 9.28 Passives Zweitor auf der normierten Temperatur tx (T0 ) vor einer Rauschdiode mit der x normierten Temperatur th1 (T0 )

368

9 Rauschen g

die normierte Temperatur th (T0 ) am Eingang der Anordnung. Da das Zweitor vor der Rauschquelle passiv sein soll, können wir alle ciS,x j durch die entsprechenden Zuordnunx gen (Gl. (9.105)) mit den si j darstellen. Setzen wir diese in die Gl. (9.170) ein, folgt die Beziehung für die Temperaturen [9]  y  x g y th (T0 ) = th (T0 ) − t x (T0 ) G av (in ) + t x (T0 )

(9.171)

y

x ( ) des passiven Zweitors und dem „Quelmit der verfügbaren Leistungsverstärkung G av in y lenreflexionsfaktor“ in . Wir wiederholen die Gl. (3.97) in der hier gültigen Form (andere Indizes, Übertragung vom Tor 2x zum Tor 1x ) y

1 − |in |2

y

x x 2 G av (in ) = |s12 |

y

y

x  |2 − |s x − S x  |2 |1 − s22 11 in in

(9.172)

Die Umkehrung der Gl. (9.170) ergibt g

y

th (T0 ) =

th (T0 ) − t x (T0 ) y

x ( ) G av in

+ t x (T0 )

y

(9.173)

y

x ( ) = 1 die Temperatur t (T ) der Rauschquelle unverDie Gl. (9.171) zeigt, dass für G av in h 0 y x ändert bleibt und für th (T0 ) = t (T0 ) die Gl. (9.171) ein passives Eintor auf der Temperatur t x (T0 ) widerspiegelt (verfügbare Rauschleistung kT x  f ). Wenn das der Rauschquelle vorgeschaltete Zweitor nicht nur passiv, sondern auch rezix ( y ) prok ist, dann erkennen wir in der obigen Gleichung, dass zur Beschreibung von G av in x x x nur die Kenntnis der Werte von s11 , s22 und S notwendig ist, um die Gl. (9.171) eindeutig vorwärts und rückwärts auswerten zu können. Wie im Abschn. 8.1 der Eintorkalibrierung können wir diese drei Elemente mittels der Gl. (8.2) durch z. B. Kurzschluss, Anpassung und offenes Ende für das Zweitor Sx bestimmen. Ein weiteres Problem der Rückrechnung zeigt die Abb. 9.29, die der Abb. 5.16 entspricht, aber zusätzlich die ablaufenden Rauschwellen enthält [20]. Diese Kombination von Vierund Zweitor gibt es z. B. bei der Messung der Streumatrix und der Rauschparameter von Transistoren oder anderen Zweitoren. Zur Beschreibung der Anordnung benutzen wir die Darstellung mit den Blockmatrizen der Gl. (5.58) und ergänzen diese mit den Rauschwellen

b = S1 a + S2 c + br ,a O = S3 a + S4 c − d + br ,b

(9.174)

O = −c + S d + br ,c y

Die Abkürzungen sind

br ,a

bx = rx,1 br ,2



 br ,c

bx = rx,3 br ,4



 br ,d

y

b = ry,1 br ,2

 (9.175)

9.5

Rauschwellen

369

Abb. 9.29 Viertor vor einem Zweitor

Die letzte Zeile der Gl. (9.174) ergibt d = (S y )−1 c − (S y )−1 br ,d

(9.176)

Damit folgt für die nach c umgestellte zweite Zeile der oben genannten Gleichung c = (E − S y S4 )−1 S y S3 a + (E − S y S4 )−1 S y br ,c + (E − S y S4 )−1 br ,d

(9.177)

Mit diesem Ausdruck und der ersten Zeile erhalten wir als Ergebnis für die gesamte Streumatrix Sg = S1 + S2 (E − S y S4 )−1 S y S3 (9.178) das natürlich identische mit der Gl. (5.60) ist. Für die Summe aller Rauschwellen folgt br ,g = br ,a + S2 (E − S y S4 )−1 S y br ,c + S2 (E − S y S4 )−1 br ,d

(9.179)

Mit den Zusammenfassungen M r ,1 = S2 (E − S y S4 )−1 S y

und

M r ,2 = S2 (E − S y S4 )−1

(9.180)

erhalten wir für das mittlere Betragsquadrat der Gesamtheit der Rauschwellen   ∗ br ,g br∗,g = br .a + M r ,1 br ,c + M r ,2 br .d br .a + M r ,1 br ,c + M r ,2 br .d

(9.181)

Unter Beachtung der gegenseitigen Korrelation bzw. Nichtkorrelation können wir folgendes Ergebnis für die Rauschwellen-Korrelationsmatrix der Gesamtschaltung angeben ∗  (9.182) C S,g = C 1S + C 2S M r∗,1 + C 2S M r∗,1 + M r ,1 C 3S M r∗,1 + M r ,2 C S,y M r∗,2

370

9 Rauschen

Die Abkürzungen sind

 S,x S,x c11 c12 = S,x S,x c21 c22 

S,x S,x c34 c33 S C 3 = S,x S,x c43 c44 C 1S



 S,x S,x c13 c14 = S,x S,x c23 c24 

S,y S,y c11 c12 S,y C = S,y S,y c21 c22 C 2S

(9.183)

In der Praxis messen wir Sg und C S,g , möchten aber eigentlich die Werte von S y und C S,y kennen. Dafür stellen wir die Gl. (9.178) und (9.182) nach den gesuchten Matrizen um  −1 S y = S4 + S3 (Sg − S1 )−1 S2  ∗    S,g S S ∗ S ∗ S ∗ C (M r∗,2 )−1 C S,y = M r−1 − C + C M + C M + M C M r ,1 r ,1 r ,1 r ,1 1 2 2 3 ,2 (9.184) Voraussetzung für die Rückrechnung ist die Kenntnis der Werte von Sx und C S,x . Für ein rein passives Viertor Sx können wir C S,x aus Sx mit der Gl. (9.105) berechnen.

9.5.2

Wellen-Kettenmatrix T

9.5.2.1 Wellen-Kettenmatrix T , Empfängertemperatur Im Abschn. 2.3 wurde die Wellen-Kettenmatrix T definiert und in der Tabelle ihre Beziehungen zur y –, a – und S – Matrix angegeben. Die Abb. 9.13 zeigt die Anordnung der zugehörenden Rauschwellen der Wellen-Kettenmatrix und die Vorschrift, um damit die Rauschwellen-Korrelationsmatrix C T zu berechnen [1, 2, 23, 34]. Wesentlicher Unterschied der Rauschwellen bei der T – Matrix zu denen der S – Matrix ist, dass die Rauschwellen nur an den Eingangstoren definiert werden. Damit entspricht diese Definition der für die Lage der Rauschspannung und des Rauschstromes bei der Kettenmatrix a. Analog des Leerlaufs bzw. des Kurzschluss in der Eingangsebene I–II bei der Strom/Spannungsdarstellung des Rauschens in der Abb. 9.9 für die a-Matrix berechnen wir hier die Empfängertemperatur unter der Annahme, dass der Eingang des Zweitors T in der Abb. 9.30 angepasst ist (wesentlicher Unterschied der Strom-/Spannungs- zur Wellendarstellung, Abschn. 1.3). Das Zweitor selbst erzeugt in der Ebene I–II die normierte Rauschleistung pr ,Z T = (br  Q + ar )(br  Q + ar )∗ (9.185) Per Definition erhalten wir mit der Multiplikation unter Beachtung der Korrelation   T T T T pr ,Z T = c11 (9.186) | Q |2 + c22 − c12  Q + (c12  Q )∗

9.5

Rauschwellen

371

Abb. 9.30 Zweitor und rauschende Quelle in der Wellen-Kettenmatrix T Darstellung

Die normierte Rauschleistung der Quelle am angepassten Eingang von T ist pr ,Q = (1 − | Q |2 )/4

(9.187)

und damit folgt die normierte Empfängertemperatur te (T0 ) mit den Elementen der Rauschwellen-Korrelationsmatrix C T   T | |2 + c T − c T  + (c T  )∗ c11 Q 22 12 Q 12 Q te (T0 ) = F(T0 ) − 1 = (9.188) (1 − | Q |2 )/4 Im Unterschied zur Gl. (9.95) enthält diese Gleichung kein Element der T -Matrix wegen der o. g. Definition der Rauschwellen nur am Eingang des Zweitors. Die Gl. (9.188) ist linear für die Elemente ciTj der Rauschwellen Korrelationsmatrix C T und gegenüber den Definitionen von te (T0 ) bezüglich C a , C S relativ einfach. Insbesondere der Wert für  Q = 0 T te, Q =0 (T0 ) = F Q =0 (T0 ) − 1 = 4c22

(9.189)

In bekannter Weise (Gl. (9.41)) finden wir die zugehörenden Werte für die minimale Empfängertemperatur te,min (T0 ) als Funktion von  Q . Mit der Hilfsvariablen m m=

T + cT c11 22 T c12

(9.190)

erhalten wir die Rauschparameter als Funktion der Elemente der Rauschwellen- Korrelationsmatrix C T 

 m 4 1− 1−  Q,opt = 2 |m|2 CN =

T 4c12  ∗Q.opt

(9.191)

T te,min = C N − 4c11

Das Vorzeichen der Wurzel ist so zu wählen, dass | Q,opt |2 ≤ 1. Die Umstellung der Gl. (9.191) ergibt die Elemente von C T als Funktion der Rauschparameter

372

9 Rauschen

 ∗ C − t C  N e,min N Q,opt CT = /4 C N  Q,opt C N | Q,opt |2 + te,min

(9.192)

Die Abb. 9.31 entspricht der Abb. 2.9. Zusätzlich sind die Rauschwellen eingezeichnet. Folgen wir dem Rechenweg der Gl. (9.76) bis (9.81), dann erhalten wir für Gesamtmatrizen in der T -Darstellung (9.193) Tg = TxTy bzw.

C T ,g = C T ,x + T x C T ,y (T x )∗

(9.194)

Dieses Ergebnis gilt nicht nur für Zwei- sondern auch für Mehrtore mit gleicher Anzahl der Gruppen von Ein- und Ausgangstoren. Wenn die T -, C T -Matrizen der Zwei- bzw. Mehrtore numerisch gut konditioniert sind (keine Pole, z. B. beim Zweitor |s21 | > 0,01, s. a. Gl. (2.31), dann ist die Vorwärts- und Rückwärtsrechnung mit der T -Matrix Darstellung bei Kettenschaltungen für das Signal als auch für das Rauschen wegen der übersichtlichen Gl. (9.191) bis (9.194) sehr vorteilhaft. Das Beispiel der Rückrechnung für die Rauschdiode in der Abb. 9.28 wollen wir mit der T -Matrix Darstellung analysieren. Dafür sind in der Abb. 9.32 die Rauschwellen eingezeichnet. Für das Eintor der Rauschquelle gibt es keine T -Matrix Darstellung. An der Verbindung Zweitor - Eintor muss gelten y

b1 = a2x

y

a1 = b2x

(9.195)

Abb. 9.31 Kettenschaltung rauschender Zweitore, T Darstellung

Abb. 9.32 Passives Zweitor auf der normierten Temperatur tx (T0 ) vor einer Rauschdiode mit der x normierten Temperatur th1 (T0 ), T Darstellung

9.5

Rauschwellen

373

Damit gilt für des Eintor y

y

a2x = in b2x + br

(9.196)

Diesen Zusammenhang setzen wir in die T -Matrix Gleichungen des Zweitors ein y

Y b1x = (in t11 + t12 )b2x + t11 br + brx

(9.197)

y

Y a1x = (in t21 + t12 )b2x + t21 br − arx

und stellen die untere Gleichung nach b2x um y

b2x

=

a1x − t21 br + arx

(9.198)

y

in t21 + t22

Mit diesem Ausdruck folgt für die obere Zeile der Gl. (9.197) g

g

y

g

b1x = in a1x + (t11 − in t21 )br + brx + in arx

(9.199) g

Das ist die Streumatrix-Gleichung des Ersatzeintors am Tor 1x und in y

g

in =

in t11 + t12

(9.200)

y

in t21 + t22 g

der Eingangsreflexionsfaktor der Gesamtschaltung. Die Klammer (t11 − in t21 ) = p ersetg zen wir mit der Variablen p, und die am Eingang 1x ablaufende Rauschwelle br hat den Wert g y g br = pbr + brx + in arx (9.201) Davon bilden wir das mittlere Betragsquadrat g

g

y

g

y

g

br (br )∗ = ( pbr + brx + in arx )( pbr + brx + in arx )∗

(9.202)

und erhalten T ,x T ,x T ,x c11 = |t11 − in t21 |2 c11 + c11 + |in |2 c22 − 2 ((in )∗ c12 ) S,g

g

S,y

g

g

(9.203)

Auch diese Gleichung erfordert geringeren Rechenaufwand als die Gl. (9.161). Beim rein passiven Mehrtor sind alle Elemente der verschiedenen Rauschkorrelationsmatrizen immer nur Funktionen der Temperatur und der Elemente der Mehrtor-Signalmatrizen. Das gilt gleichfalls für den Zusammenhang zwischen T und C T . Das Einsetzen aller dieser Verknüpfungen führt wieder auf die Gl. (9.170)  y  x g y th (T0 ) = th (T0 ) − t x (T0 ) G av (in ) + t x (T0 ) y

(9.204)

x ( ) jetzt ausdrückt durch die Parameter der mit der verfügbaren Leistungsverstärkung G av i T -Matrix für die Übertragungsrichtung vom Tor 2x zum Tor 1x

374

9 Rauschen y

x G av = |T |2

1 − |i |2 y

y

|t22 + t21 in |2 − |t12 + t11 in |2

(9.205)

Bei reziproken Zweitoren ist, wie schon erwähnt, T = 1.

9.5.2.2 Messung der Rauschparameter mittels der Wellen-Kettenmatrix T Der Entwurf rauscharmer Empfänger bzw. Verstärker erfordert die Daten der Rauschparameter von Transistoren und Systembaugruppen. In den vorangegangenen Kapiteln haben wir gelernt, dass der Wert der Empfängertemperatur te oder der der Rauschzahl F(T0 ) vom Wert des Quellenreflexionsfaktors  Q abhängt. Diese Abhängigkeit gibt es unmittelbar mit den nichtlinearen Gl. (9.53), (9.54) in Form der quadratischen Abweichung vom Rauschminimum. Einen mittelbaren Zugang zu diesen Parametern erlauben uns die linearen Gl. (9.41), (9.95) und (9.188). Die Gl. (9.95) hat den Nachteil, dass wegen der Definition der ablaufenden Rauschwellen an allen Toren, bei der Auswertung dieser Beziehung die Elemente s11 , s21 des Messobjektes nach Betrag und Phase bekannt sein müssen. Die Anwendung der Gl. (9.41), dass bedeutet die Anwendung der Korrelationsmatrix der Rauschspannung u r und des Rauschstromes ir ohne notwendige Kenntnis der Zweitorparameter, wurde in [9] theoretisch und praktisch mit Erfolg erprobt. Aus diesem Grund soll im Folgenden dieses Messverfahren auf die T -Matrix Darstellung angewandt werden. Es ist bekannt, dass für die Messung der Rauschparameter eines beliebigen Zweitors zuerst die des eigentlichen Rauschzahlmessgerätes bestimmt werden müssen. Den dafür erforderlichen Aufbau zeigt die Abb. 9.33 a).

a)

b) Abb. 9.33 Anordnung mit einem Rauschgenerator(Rauschdiode) NG und einem Tuner zur Messung der Rauschparameter 50-System: a des Rauschzahlmessgerätes NFM, b des Messobjektes MO, der Tuner hat u. a. eine Einstellung mit s21 ≈ 1 bei gleichzeitig s22