Einführung in die allgemeine Elektrotechnik: Arbeitsverfahren zur Berechnung einfacher elektrischer Netzwerke 9783111488745, 9783111122199

Table of contents :
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
1. Grundbegriffe
2. Grundelemente in elektrischen Netzwerken
3. Grundgesetze elektrischer Netzwerke
4. Netzwerke bei Speisung mit harmonischen Größen
5. Frequenzabhängigkeit elektrischer Netzwerke
6. Netzwerke mit nicht-linearen Elementen
7. Ausgleichsvorgänge in Netzwerken
Literaturverzeichnis
Sachregister

Citation preview

de Gruyter Lehrbuch Michel, Elektrotechnik

Einführung indie Allgemeine Elektrotechnik I. Arbeitsverfahren zur Berechnung einfacher elektrischer Netzwerke

von Manfred Michel

Mit 1 0 2 A b b i l d u n g e n und 5 T a b e l l e n

w DE

G Walter de Gruyter • Berlin New York • 1973

© Copyright 1973 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung - J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung - Georg Reimer - Karl J. Trübner - Veit & Comp., Berlin 30. - Alle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Photokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Printed in Germany. Satz: IBM-Composer, Walter de Gruyter & Co., Berlin - Druck: Spiller, Berlin 61. ISBN 3 11 003725

Vorwort Das vorliegende Lehrbuch ist aus den Skripten hervorgegangen, die der Verfasser zur Unterstützung der Vorlesung „Grundziige der Elektrotechnik" an der Technischen Universität Berlin herausgegeben hat. Diese Vorlesung dient als Einfuhrungsveranstaltung für alle Studenten der Elektrotechnik. Sie soll dem Studenten die Möglichkeit geben, sich die wichtigsten Arbeitsverfahren der Elektrotechnik anzueignen. Zugleich wird ein Großteil des notwendigen Grundwissens vermittelt. Dabei wird die Stoffauswahl so getroffen, daß sich die Einführung sowohl für ein Fachstudium der Energietechnik als auch für ein Fachstudium der Nachrichtentechnik eignet. Gleichermaßen kann das Lehrbuch für eine Einfuhrung in die Elektronik gelten, die ein Teilgebiet der Elektrotechnik ist. In diesem Sinne ist der Begriff „Allgemeine Elektrotechnik" zu verstehen. Im ersten Band werden die Arbeitsverfahren zur Berechnung einfacher elektrischer Netzwerke vorgestellt. Die Netzwerke entstehen aus der Zusammenschaltung diskreter Bauelemente. Ein weiterer Band erläutert die elektrotechnischen Gesetze zur Berechnung der Bauelemente. Das Ganze wird abgeschlossen durch eine Reihe von Beispielen, die die Anwendung des behandelten Stoffes in der Elektrotechnik zeigen. An der Technischen Universität Berlin wird die Vorlesung „Grundzüge der Elektrotechnik" innerhalb des Grundstudiums ergänzt durch eine überwiegend physikalisch orientierte Vorlesung „Werkstoffe der Elektrotechnik", durch eine „Einführung in die Netzwerkstheorie" und durch eine „Einführung in die Energiewandlung". Die Stoffgebiete dieser Vorlesungen sind in dem vorliegenden Lehrbuch nicht enthalten. Für das Ziel des Lehrbuches sind die in ihm enthaltenen Übungsaufgaben von großer Bedeutung. Die Arbeitsverfahren der Elektrotechnik werden mit ihrer Hilfe erläutert und ein Großteil des Stoffes wird in ihnen vermittelt. Es empfiehlt sich, diese Aufgaben selbständig durchzuarbeiten und die angegebenen Lösungen nur zur Kontrolle zu verwenden. Manfred Michel

Inhaltsverzeichnis Vorwort

5

1. Grundbegriffe 1.1 1.2

1.3

11

Physikalische Größen, Einheiten Elektrische Größen Elektrische Ladung Elektrischer Strom Elektrische Spannung Energie, Leistung Elektrischer Widerstand Ohmsches Gesetz Berechnung des Widerstandes für einen linienhaften Leiter Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstandes Aufgaben zum Abschnitt 1

11 15 15 16 18 21 21 22 23 24 25

2. Grundelemente in elektrischen Netzwerken 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

29

Spannungen und Ströme Aktive Netzwerkselemente, aktive Zweipole Leistung bei zeitveränderlichen Größen Passive Netzwerkselemente Aufgaben zum Abschnitt 2

29 33 35 36 39

3. Grundgesetze elektrischer Netzwerke 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

Vorbemerkungen Kirchhoffsche Sätze Reihen-und Parallelschaltungen Spannungs- und Stromteilerregeln Reihen- und Parallelschaltung von Drosselspulen und Kondensatoren Einfaches Ersatzbild für die technische Ausführung aktiver Zweipole Die Anwendung von Ersatzspannungs- und Ersatzstromquellen Überlagerungsprinzip Aufgaben zum Abschnitt 3

47

... ...

4. Netzwerke bei Speisung mit harmonischen Größen 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Darstellung von harmonischen Größen Definition der Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte Berechnung der Leistung bei harmonischen Größen Mehrphasensysteme Aufgaben zum Abschnitt 4

5. Frequenzabhängigkeit elektrischer Netzwerke 5.1 5.2

Ortskurven Frequenzgang-Darstellung

47 48 51 54 55 57 60 63 64

73 ...

73 78 84 86 94

106 106 112

8

Inhaltsverzeichnis 5.3 5.4

Resonanz Aufgaben zum Abschnitt 5

6. N e t z w e r k e m i t nicht-linearen E l e m e n t e n 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Darstellung der Eigenschaften nicht-linearer Netzwerkselemente Zusammenschaltung linearer und nicht-linearer Netzwerkselemente Nicht-lineare Elemente bei Speisung mit harmonischen Größen Effektivwert und Leistung bei nicht-sinusförmigen Größen Aufgaben zum Abschnitt 6

7. Ausgleichsvorgänge in N e t z w e r k e n 7.1 7.2 7.3

117 126 139 139 144 148 154 157 171

Ausgleichsvorgänge, die nur Drosselspulen oder nur Kondensatoren enthalten 172 Ausgleichsvorgänge, die Drosselspulen und Kondensatoren enthalten ... 179 Aufgaben zum Abschnitt 7 185

Literatur

199

Sachregister

200

Einführung in die Allgemeine Elektrotechnik II. Elektrotechnische Gesetze zur Berechnung der Bauelemente Inhaltsübersicht: Elektrisches Feld im Leiter Elektrisches Feld im Isolator Magnetisches Feld Induktionsgesetz Anwendungsbeispiele Halbleiter-Bauelemente Transformator Meßgeräte Sachregister zu den Bänden I und II

1. Grundbegriffe 1.1 Physikalische Größen, Einheiten Die Elektrotechnik als Teilgebiet der angewandten Physik beschäftigt sich mit der Nutzung physikalischer Vorgänge. Für die Beschreibung dieser Vorgänge und ihre technische Anwendung ist es vorteilhaft, die ihnen zugrunde liegenden Gesetze in Form von Gleichungen darzustellen. Die in diesen Gleichungen verwendeten Buchstaben sind Symbole für physikalische Größen. Als Beispiele für allgemein bekannte physikalische Größen seien die Länge und die Zeit genannt. Jede physikalische Größe wird dabei als Produkt eines Zahlenwertes und einer Einheit geschrieben Größe = Zahlenwert • Einheit Dabei ist unter Einheit ein für die physikalische Größe vereinbarter Bezugswert zu verstehen. Beispiel: Es soll der physikalische Tatbestand beschrieben werden, daß eine Strecke 7 Meter lang ist. Das wird so ausgeführt, daß das Symbol „/" zur Bezeichnung der physikalischen Größe „Streckenlänge" gewählt wird. Dann kann unter Verwendung des „m" als Abkürzung für die Einheit der Streckenlänge (Meter) geschrieben werden: / = 7m Die Einheiten für die physikalischen Größen können grundsätzlich frei gewählt werden. In der Physik gibt es verschiedene Einheitensysteme. In einem Einheitensystem sind aufeinander abgestimmte Einheiten zusammengefaßt. Ein Einheitensystem besteht aus wenigen, speziell definierten Einheiten, den Basiseinheiten, und den daraus abgeleiteten Einheiten. Für Probleme der angewandten Physik sollte das Internationale Einheitensystem verwendet werden. Es geht von den Basiseinheiten der Länge (Meter), der Masse (Kilogramm), der Zeit (Sekunde), der Stromstärke (Ampere) sowie von Einheiten für die Temperaturskala (Kelvin) und für die Lichtstärke (Candela) aus und wird mit den Anfangsbuchstaben der ersten vier Basiseinheiten auch als MKSA-System bezeichnet. Aus den Basiseinheiten werden nach Gesichtspunkten der Anwendung weitere Einheiten abgeleitet. Dabei werden Einheiten eines Systems, die in ihren Defini-

12

1. Grundbegriffe

tionsgleichungen ausschließlich den Faktor „Eins" enthalten, als kohärente Einheiten bezeichnet.

Dezimale Vielfache und Teile von Einheiten werden durch Vorsatzzeichen gekennzeichnet. Sie sind in einer Auswahl in Tab. 1.1 zusammengestellt. In der Elektrotechnik sollten allein die in der Tab. 1.1 angegebenen, auf den Faktoren 10 3 , 10 6 , 10' 3 , 10 - 6 usw. aufgebauten Vorsätze benutzt werden.

Benennung

Kurzzeichen

Faktor

Benennung

Kurzzeichen

Faktor

Milli Mikro Nano Piko

m M n P

10~3 IO' 6 IO"9 IO"12

Kilo Mega Giga Tera

k M G T

10 3 10« 10 9 10 12

Tab. 1.1 Vorsätze und Bezeichnung von Vielfachen und Teilen der Einheiten (Auswahl)

In der Tab. 1.2 (s. S. 13) ist aus dem MKSA-System eine Auswahl von Basiseinheiten und abgeleiteten Einheiten für das Gebiet der Mechanik zusammengestellt. Diese Tabelle enthält auch einige Umrechnungsfaktoren zu nicht kohärenten, häufig benutzten Einheiten innerhalb des Systems, sowie Umrechnungsfaktoren zu noch vorkommenden Einheiten anderer Systeme.

Für das Gebiet der Elektrotechnik wurde im MKSA-System zu den drei Basiseinheiten m, kg, s eine weitere definiert. Gewählt wurde die Einheit der Stromstärke, das Ampere. Die Tab. 1.3 (s. S. 14) enthält eine Auswahl von Größen und Einheiten aus dem Gebiet der Elektrotechnik. Bei allen Umformungen der Gleichungen und allen Berechnungen sollten Gleichungen ausschließlich als Größengleichungen behandelt werden. Das heißt, daß die verwendeten Formelgrößen immer als Symbole für die physikalischen Größen stehen. Bei der Ermittlung des Ergebnisses - nachdem die Gleichung nach der gesuchten Größe aufgelöst wurde — werden die Größensymbole dann durch das Produkt Zahlenwert mal Einheit ersetzt. Sind Größen in Zahlenwerten eines fremden Einheitensystems gegeben, so sind diese mit Hilfe der Umrechnungsfaktoren in Zahlenwerte der gewählten Systemeinheiten umzurechnen.

1.1

P h y s i k a l i s c h e

G r ö ß e n ,

E i n h e i t e n

1 3

e >> ö o

00

w

CTv Z

n vo

cä i

«

n

E l

«3 ¡O

£

z

rt

l

r

z

e

- ]

E

Z

•>

_ _ I (S

n

a

•

1—4

Z -

II

E l »

E

5 Z 1-H

ii

5T

c

£ «>

S

E

E

ff 3

s% 8-

c o 3

-

Z

z

II

E z

E

Z

|

II

•s

•s

CO

s

3 < 5 m II




II

II

>

•O

et-

b l
o l

I

O I I

o co o\ » o vo r -

o o

VO ví

co '—i on on \ o ^ ^ ao

o

io

no

o

o

o

"o O

—

n

ri

r^ « I

i

>o O M ^

in fN m n o" o

I

o\ I

oo on

fe tifi c 3 C B «I

Ipu

r u c o ifl M —i r i r i r i co

«

O 't

O co o s vî K

a

O

Q. M

N «

D b PQ •a

o o

M H

V© N Tí ^

00

O ( N IO (30 ( S r T r i r i r i co

h

M

io

vo t— 00 ON

m

^

o

•o

Netzwerke

5.3 Resonanz

117

Für cor > 1 wird

angenähert durch den Wert 1 wiedergegeben. ® Diesem Wert entspricht die dB-Zahl 0. Die cot-Achse ist die Asymptote fiir große cor-Werte.

Für COT < 1 ist e

« COT. In der logarithmischen Darstellung entspricht dem eine Gerade mit der Steigung Dekade" ^ ' e s e Gerade

die Asymptote

für kleine cor-Werte. Bei COT = 1 schneiden sich die Asymptoten. An dieser Stelle beträgt die dB-Zahl - 3. Der Phasenwinkel beträgt hier + 45°. Ein weiterer Vorteil der logarithmischen Darstellung besteht darin, daß bei mehrgliedrigen Anordnungen der resultierende Frequenzgang aus der Addition der Frequenzgänge der einzelnen Glieder ermittelt werden kann. Das ist dann der Fall, wenn sich das Verhältnis U a /U e der mehrgliedrigen Anordnungen als Produkt der Spannungsverhältnisse der einzelnen Glieder darstellen läßt (Beispiel 5.46).

5.3 Resonanz Netzwerke aus passiven Zweipolen, die sowohl Kondensatoren als auch Drosselspulen enthalten, können in einem besonderen Betriebszustand betrieben werden, der mit Resonanz bezeichnet wird. Bei Resonanz sind Strom und Spannung am Netzwerk trotz der vorhandenen Blindwiderstände in Phase. Im folgenden werden zwei einfache Resonanzkreise (Schwingkreise) untersucht. Die Vorausetzungen für die Anwendung der komplexen Rechnung sind gegeben. Reihenresonanzkreis

Der Reihenresonanzkreis besteht aus der Reihenschaltung eines ohmschen, eines induktiven und eines kapazitiven Widerstandes. Sein komplexer frequenzabhängiger Widerstand Z (co) hat den Wert Z (co) = R + jcoL +

= Z (co) / 0 (co)

Z(co) = N / R 2 + ( W L - ^ ) 2 coL-^ 4> (co) = arc tan — K

(5.12)

118

5. Frequenzabhängigkeit elektrischer Netzwerke

Z hat einen frequenzunabhängigen Real teil:

Re (Z) = R

und einen frequenzabhängigen Imaginärteil:

Im (Z) = gjL -

^

Der Betriebszustand Resonanz wird bei Im (Z) = 0 erreicht. Das ist der Fall bei der Resonanzkreisfrequenz OJ0:

Der Betrag des Blindwiderstandes der Induktivität bzw. der Kapazität bei Resonanz wird als Schwing- oder Kennwiderstand Z K des Resonanzkreises bezeichnet. W o L

=_L=

L

co0C

vtc

=

^ C

=

y r

=

C

Wird die Beziehung (5.14) in die Gleichung (5.12) eingeführt, ergibt sich für Z(co): z « W R

2

+

z

Hierin kann zur Vereinfachung die Verstimmung v eingeführt werden: v

=

co0

o>

f . ^ f0 f

(5.15)

Die Verstimmung v ist ein Maß für die Abweichung der Frequenz von der Resonanzfrequenz. Im Bild 5.10 sind die Zeigerdiagramme des Stromes und der Spannungen eines Resonanzkreises aufgezeichnet. Am Zeigerdiagramm der Spannungen bei Resonanz (oj = cj 0 ) ist zu sehen, daß die an einem der Blindwiderstände vorhandene Spannung U L bzw. U c wesentlich größer sein kann als die am gesamten Schwingkreis auftretende Spannung U. Diese bei Resonanz vorhandene Spannungsüberhöhung ist — wie die Gleichung (5.16) zeigt — abhängig vom Verhältnis des Schwingwiderstandes zum ohmschen Widerstand des Reihenresonanzkreises. Dieses Verhältnis wird deshalb auch Güte des Schwingkreises Q genannt. U L _ U c _ co 0 L _ 1 _1 /L_Z U U R C J 0 C - R R v C ~ R

Q

( 5 1 6 )

Mit der Definition (5.16) können die Gleichungen (5.14) und (5.12) umgeschrieben werden = = 1 +jvQ

(5.17)

5.3 Resonanz

119 U

yL Bild 5.10 Zeigerdiagramm des Stromes und der Spannungen eines Reihenresonanzkreises bei verschiedenen Frequenzen a) Schaltbild mit Zählpfeilen b) Zeigerdiagramm bei w < u j c) Zeigerdiagramm bei u = u>o d) Zeigerdiagramm bei u> > u>o

0 (co) = arc tan (vQ) Die Frequenzabhängigkeit des Widerstandes Z des Reihenkreises und des Leitwertes Y = 1/Z ist in F o r m der Ortskurven dieser Größen in Bild 5 . 1 1 dargestellt.

120

5. Frequenzabhängigkeit elektrischer Netzwerke

Im Bild 5.12 sind der Betrags-Frequenzgang und der Phasenwinkel-Frequenzgang dargestellt. Sie werden entweder der Ortskurve des Bildes 5.11 entnommen oder mit Hilfe der Gleichungen (5.12) und (5.14) berechnet.

Bild 5.12 Betrags- und Phasenwinkel-Frequenzgang des Widerstandes eines Reihenresonanzkreises

5.3 Resonanz

121

Zwei ausgezeichnete Kreisfrequenzen sind diejenigen, bei denen die Phasenverschiebung zwischen Strom J_ und Gesamtspannung U beim Reihenresonanzkreis ± 4 5 ° beträgt: Aus dem Ansatz:

ergibt sich: R angenommen wurde, liegen die Punkte cor = 1 und cor =

^ auf Rj + R der ojx-Achse weit auseinander und die Addition der Kurven a und b ist mit Hilfe der Asymptoten leicht auszuführen. Die Asymptoten sind in Form der gestreckten Linien dargestellt. Aufgabe 5.47 Bestimmung des Kennwiderstandes Z k nach Gleichung (5.14):

138

5. Frequenzabhängigkeit elektrischer Netzwerke

Güte Q nach Gleichung (5.16) 0 = 1=15,1 Der Betrag des Widerstandes bei 45"-Verstimmung: Z 4 S = s / 2 • R = 6,78 i2 U 4 5 = I • Z 4 S = 237 mV Aufgabe 5.48 co0 = 2tt • f 0 = 45,2 • 10 3

j

Lp = — = 1 ' 2 k " S 33= 2 6 , 6 m H ^ u>0 45,2 • 10 Cpp =

l oj0-Zk

=

1 = 18,5 nF 45,2 • 10 3 • 1,2 k f t

R p = j J - = Q • Z k = 47 • 1,2 k n = 56,4 ki2 Wegen der hohen Güte des Resonanzkreises kann mit guter Nährung gerechnet werden. fr

±4S

_- rf

+ b

o - 2

Nach Gleichung (5.23): b = f 0 • i = 7,2 kHz • i f + 4 S = 7,28 kHz;

= 153 Hz

f_ 4 5 = 7,12 kHz

6. Netzwerke mit nicht-linearen Elementen Nur für metallische Leiter bei konstanter Temperatur sind Strom und Spannung zueinander proportional (Gleichung 1.16). u = konst • i Im u-i-Diagramm entspricht dieser linearen Beziehung eine gerade Kennlinie. Metallische Leiter bei konstanter Temperatur sind lineare Elemente. Für den idealen Kondensator und die ideale Drosselspule besteht, wenn die Spannung am Element einen sinusförmigen Zeitverlauf hat, ebenfalls Proportionalität zwischen den Effektivwerten von Spannung und Strom (Abschn. 4.2). U = konst • I Unter den Voraussetzungen, die für die Anwendung komplexer Größen getroffen wurden, sind auch der ideale Kondensator und die ideale Drosselspule „lineare Elemente". Bei vielen Bauelementen der Elektrotechnik ist der Zusammenhang zwischen Spannung und Strom nicht durch eine Gerade im u-i-Diagramm darzustellen. Hierzu gehören alle Bauelemente aus Halbleiterwerkstoffen und Bauelemente, bei denen Ladungsträger im Vakuum oder in Gasen transportiert werden. Die Eigenschaften dieser Bauelemente sind wegen der unterschiedlichen physikalischen Vorgänge, die in ihnen angewendet werden, sehr unterschiedlich. Demzufolge sind ihre Kennlinien sehr vielgestaltig. In diesem Abschnitt soll an einigen Beispielen gezeigt werden, wie Berechnungen in Netzwerken auszuführen sind, wenn in ihnen nicht-lineare Elemente enthalten sind.

6.1 Darstellung der Eigenschaften nicht-linearer Netzwerkselemente Die Eigenschaften nicht-linearer Elemente können auf folgende Weise beschrieben werden: Definition einer Funktion für die Kennlinie, die im ganzen Bereich gilt oder einer Reihe von Funktionen, die abschnittsweise gelten. Maßstabgerechte Darstellung im Diagramm oder Angabe einer Wertetabelle. (Diese Methode wird von den Herstellern von Bauelementen bevorzugt.)

140

6. Netzwerke mit nicht-linearen Elementen

Das Bild 6.1 zeigt ein Beispiel für die maßstabgerechte Darstellung einer nichtlinearen Kennlinie. Es kann dabei sowohl u(i) als auch i(u) dargestellt werden.

v Bild 6.1 Beispiel einer nicht-linearen Kennlinie (Typische Kennlinie einer Silizium-Diode für positive Spannungen und Ströme)

Bei vielen Bauelementen (z. B. Transistoren, Hochvakuumröhren) sind die Spannung am Element und der durch das Element fließende Strom von einer weiteren Größe (Parameter) abhängig. Das führt dazu, daß das Element im u-i-Diagramm nicht durch eine Kennlinie, sondern durch eine Kennlinienschar beschrieben wird. Jede Kennlinie der Schar ist dabei durch einen konstanten Parameterwert gekennzeichnet. Das Bild 6.2 zeigt als Beispiel die Abhängigkeit des Kollektorstromes I c eines Transistors von der Kollektor-Emitter-Spannung UCE- Der Basisstrom Iß ist in dieser Darstellung Parameter. Bei einem nicht-linearen Element ändert sich natürlich der Widerstand in Abhängigkeit von der Spannung oder dem Strom. So zeigt das Bild 6.3 als Beispiel den Verlauf des Widerstandes des Elementes, dessen Kennlinie im Bild 6.1 dargestellt ist. Der Widerstand ist dabei als Quotient aus den Größen Spannung und Strom für jeden Spannungswert zu bilden.

6.1 Darstellung der Eigenschaften nicht-linearer Netzwerkselemente

141

Bild 6.2 Beispiel einer Kennlinien-Schar (Ausgangskennlinien eines Transistors)

Alle Bauelemente aus halbleitenden Stoffen besitzen nicht-lineare Kennlinien. Zu diesen Stoffen sind Titanverbindungen und manche Karbide zu rechnen. Das Bild 6.4 zeigt als Beispiel die Kennlinie eines spannungsabhängigen Widerstandes (VDR-Widerstand).

142

6. Netzwerke mit nicht-linearen Elementen

V

Bild 6.3 Abhängigkeit des Widerstandes einer Silizium-Diode (Kennlinie Bild 6.1) von der Spannung (nur positive Spannung).

Bild 6.4 Kennlinie eines VDR-Widerstandes

6.1 Darstellung der Eigenschaften nicht-linearer Netzwerkselemente

143

Auch für die Bogenentladung zwischen zwei Elektroden ergibt sich ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen Strom und Spannung. Das Bild 6.5 zeigt diesen Zusammenhang für einen Bogen mit konstantem Elektrodenstand.

A

Bild 6.5 Kennlinie eines Lichtbogens bei konstantem Elektrodenabstand

Von besonderer Bedeutung sind die Kennlinien von Halbleiter-Bauelementen, deren Eigenschaften stark von der Richtung der Spannung abhängen. Solche Elemente haben Ventileigenschaften, da sie bei positiver Spannung gut leiten (Durchlaßrichtung) und bei negativer Spannung fast nicht leiten (Sperrichtung). Diese Elemente werden durch ein eigenes Symbol (Bild 6.6 a) gekennzeichnet. Im Bild 6.6 ist die vollständige Kennlinie einer Silizium-Diode als Beispiel eines Ventils aufgezeichnet. Der Durchlaßbereich (Bild 6.6b) ist dadurch gekennzeichnet, daß bei Stromfluß eine geringe Spannung am Element liegt. In der Sperrrichtung (Bild 6.6c) führt eine große Spannung (die unterschiedlichen Maßstäbe der Achsen in den Bildern b und c sind zu beachten!) zu einem im Vergleich zum Durchlaßstrom sehr kleinen Sperrstrom. Ein ideales Ventil ist dadurch gekennzeichnet, daß es in Durchlaßrichtung Strom führt, ohne daß eine Spannung an ihm liegt und daß es in Sperrichtung eine Spannung aufnimmt, ohne daß ein Strom fließt. Die Kennlinie eines solchen idealen Ventiles ist in Bild 6.6 d wiedergegeben. Eine recht gute Näherung an die Kennlinie der Silizium-Diode stellt die Kennlinie im Bild 6.6e dar. Sie berücksichtigt eine konstante Spannung (Schleusenspannung U T 0 ) und eine konstante Neigung der Kennlinie für die Durchlaßrichtung und das Verhalten eines idealen Ventils in Sperrichtung.

144

6. Netzwerke mit nicht-linearen Elementen

d.

e.

Bild 6.6 Silizium-Diode als Element mit Ventileigenschaften a) Schaltsymbol b) Kennlinie im Durchlaßbereich c) Kennlinie im Sperrbereich d) Kennlinie eines idealen Ventils e) Angenäherte Kennlinie für eine Silizium-Diode

6.2 Zusammenschaltung linearer und nicht-linearer Netzwerkselemente Es soll ein nicht-lineares Element, dessen Kennlinie gegeben ist, von einer technischen Spannungsquelle gespeist werden. Die Aufteilung der Gesamtspannung auf den Innenwiderstand der Spannungsquelle und das nicht-lineare Element ist wegen dessen Eigenschaften vom Strom abhängig. Bei der Berechnung des Stromes und der Spannung am Element wird von der u-i-Kennlinie ausgegangen.

6.2 Zusammenschaltung linearer und nicht-linearer Netzwerkselemente

145

Im Bild 6.7 a ist die Schaltung mit den gewählten Zählpfeilen wiedergegeben. Die technische Spannungsquelle wird durch eine Quelle konstanter Spannung U 0 und einen konstanten Innenwiderstand R ; dargestellt. Im Bild 6.7b ist die Kennlinie des nicht-linearen Elementes mit u(i) bezeichnet.

U,

u(i)

u

Bild 6.7 Ermitteln des Arbeitspunktes bei einem Element mit nicht-linearer Kennlinie a) Schaltbild b) Kennlinie

In das u-i-Diagramm wird nun die Kennlinie der Spannungsquelle (Abschn. 3.6) eingezeichnet. Diese ist die unterbrochen gezeichnete Gerade, die durch die Punkte U 0 und I K bestimmt ist. T _U0 RT Nur der Schnittpunkt der beiden Kennlinien, Punkt A im Bild 6.7b, erfüllt die Bedingung: U 0 - i - R i = u(i)

(6.1)

Diese folgt aber aus der Maschenregel für den Stromkreis nach Bild 6.7a. Es stellt sich in diesem Kreis der Strom ¡A ein, der dem Punkt A entspricht. Dieser Punkt wird deshalb der Arbeitspunkt der Schaltung genannt. Da die Kennlinie der SpannungsqueHe der geometrische Ort aller Arbeitspunkte ist, wird sie auch Arbeitsgerade genannt.

146

6. Netzwerke mit nicht-linearen Elementen

Die Spannung am nicht-linearen Element hat die Größe u A . Für den Arbeitspunkt gilt: U 0 - i A ' Ri = u A

(6.2)

Die Spannung am Innenwiderstand R j hat die Größe: UR =

• Ri = U 0 - u A

(6.3)

Auf der vorgegebenen u-i-Kennlinie eines nicht-linearen Elementes kann der Arbeitspunkt durch Verändern der Daten der Spannungsquelle frei gewählt werden. Die technische Spannungsquelle kann durch Ändern sowohl von U 0 als auch von R j angepaßt werden. Im Bild 6.8 ist das Einstellen veranschaulicht.

u u(i) ^

0

R. - 0

n

Ä

Rj z u n e h m e n d

\

\

Bild 6.8 Einstellmöglichkeiten des Arbeitspunktes bei einem nicht-linearen Element a) durch Verändern von U 0 , Ri = konst. b) durch Verändern von Rj, U 0 = konst.

Wie für alle technischen Elemente ist auch für ein nicht-lineares Element die zulässige Leistung begrenzt. Im u-i-Diagramm ist aber die Kurve konstanter Leistung entsprechend der Gleichung (6.4) eine Hyperbel: u • i = P = konst.

(6.4)

Die Grenzleistung P m a x bezeichnet eine Hyperbel — die Grenzleistungshyperbel - die die Fläche des u-i-Diagramms in ein zulässiges und ein nicht zulässiges

6.2 Zusammenschaltung linearer und nicht-linearer Netzwerkselemente

147

Gebiet scheidet. Von der Grenzleistungshyperbel ausgehend können nur Punkte mit kleineren Werten für Strom und Spannung als Arbeitspunkte gewählt werden. Im Bild 6.9 ist in die Kennlinienschar des Bildes 6.2 eine Grenzleistungshyperbel ( P m a x ) eingezeichnet. Damit sind nur noch Arbeitspunkte auf den stärker gezeichneten Teilen der Kennlinien möglich.

Bild 6.9 Kennlinienschar mit Grenzleistungshyperbel P m a x

In Ergänzung zum Gleichstromwiderstand (Bild 6.3) wird bei nichtlinearen Elementen der différentielle Widerstand definiert. Er wird mit Hilfe der Steigung der Kennlinie im betreffenden Punkt festgelegt (6.5). Der différentielle Widerstand ist der fur die Wechselgröße wirksame Widerstand, wenn einem Gleichstrom, der den Arbeitspunkt bestimmt, ein kleiner Wechselstrom überlagert ist. Gleichstromwiderstand im Punkt A: rr

U A

A - - "j—

differentieller Widerstand im Punkt A:

rdiffA =

HrlA

(6 5)

-

6. Netzwerke mit nicht-linearen Elementen

148

Bild 6.10 Zur Definition des differentiellen Widerstandes

Im Bild 6.10 werden Au und Ai mit Hilfe der Tangente an die Kennlinie im Punkt A gebildet. Dann kann berechnet werden diffA

_ Au ~ÄT

6.3 Nicht-lineare Elemente bei Speisung mit harmonischen Größen Wird ein Netzwerk, das nicht-lineare Elemente enthält, mit harmonischen Größen gespeist, so treten in ihm Größen auf, deren Zeitverlauf nicht mehr harmonisch ist. Die Berechnung eines solchen Netzwerkes mit Hilfe komplexer Größen, wie sie in den Abschn. 4 und 5 durchgeführt wurde, ist nicht möglich. Als Beispiel sei die Entwicklung des Zeitverlaufs des Stromes eines nicht-linearen Elementes gezeigt, das mit sinusförmiger Spannung gespeist wird. Für das Bild 6.11 wurde die Kennlinie eines VDR-Widerstandes gewählt. Die Spannung Uj sei an den Klemmen des Elementes vorhanden. Zum Zeitpunkt t A hat die Spannung am Element den Wert u 1 A . Der u-i-Kennlinie wird entnommen, daß der Strom dann den Wert i J A hat. Dieser Betrag wird bei t A im Diagramm des Zeitverlaufs des Stromes aufgetragen. Wird dieser Vorgang für mehrere Punkte der ganzen Periode durchgeführt, so ergibt sich der gezeichnete, stark von der Sinusform abweichende Zeitverlauf des Stromes ij.

6.3 Nicht-lineare Elemente bei Speisung mit harmonischen Größen

149

a.

Bild 6.11 VDR-Widerstand an sinusförmiger Wechselspannung a) Schaltbild b) Konstruktion des Zeitverlaufs des Stromes

Bei Elementen mit u-i-Kennlinien, die in der Nähe des Nullpunktes nahezu geradlinig verlaufen, ist die Abweichung des Stromes von der Sinusform von der Höhe der angelegten Spannung abhängig. Ist im Beispiel des Bildes 6.11 die Spannung u 2 an den Klemmen des Elementes vorhanden, so ergibt sich der Strom i 2 . Dieser Strom hat einen nahezu sinusförmigen Zeitverlauf. Der Grad der Abweichung des Stromes von der Sinusform — allgemein mit Verzerrung bezeichnet - ist von der angelegten Spannung — der Aussteuerung — abhängig.

150

6. Netzwerke mit nicht-linearen Elementen

Nicht nur die Aussteuerung sondern ai entscheidend den Verlauf der Größen, von Kennlinien gegenübergestellt:

die Form der u-i-Kennlinie bestimmen Bild 6.12 sind nochmals zwei Typen

Die Kennlinie a) ist symmetrisch

(6.6)

u (i) = - u ( - i) Die Kennlinie b) ist unsymmetrisch. u

i

b.

Bild 6 . 1 2 Zur Symmetrie von u-i-Kennlinien a) symmetrische Kennlinie, Stromverlauf bei sinusförmiger Spannung am Element b) unsymmetrische Kennlinie, Stromverlauf bei sinusförmiger Spannung am Element

Wird als Beispiel eine Spannung mit sinusförmigem Zeitverlauf an das Element gelegt, so ergeben sich die ebenfalls im Bild 6.12 skizzierten Stromverläufe. Der Strom läßt sofort für die beiden Kennlinien Symmetrien erkennen: Kennlinie a)

Der Strom hat in der positiven und negativen Halbperiode denselben Betrag i(t) = - i ( t

+

l)

(6.7)

i

• Nicht-lineare Elemente bei Speisung mit harmonischen Größen

Kennlinie b)

151

Die positive und negative Halbperiode des Stromes sind verschieden. i(t)*-i(t+l)

Darstellung als harmonische Reihe

Periodische Größen, die keinen sinusförmigen Zeitverlauf haben, lassen sich als harmonische Reihe (Fourier-Reihe Abschn. 2.1) darstellen. Die Glieder dieser Reihe sind harmonische Funktionen von Frequenzen, die ein ganzzahliges Vielfaches einer Grundfrequenz sind. oo

u (t) = 2 U n (t) n=0

mit u n ( t ) = ü n • sin (n cot - 0 u n ) (n = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . )

(6.8)

In der Reihenentwicklung nach Gleichung (6.8) ist auch das Glied n = 0 enthalten. u 0 = ü 0 • sin ( - UD durch eine Elementekombination ersetzt werden. Diese besteht aus der Reihenschaltung einer konstanten Spannung U D und eines konstanten Widerstandes RQ. Damit läßt sich die Stabilisierungsschaltung für U 2 > U D darstellen: R

168

6. Netzwerke mit nicht-linearen Elementen

U D = 8,2 V;

R d = 5 fi

Die Spannung U 2 wird mit Hilfe einer Ersatzspannungsquelle berechnet: u0 = uD

+

Rx + RD

(u, - uD) = U

d R

' + Ul R RJ + RD

d

Ri = R i RD Ri + R d U2 = U

D

= 4+ R V = (U1+UD Ri 2

r Id

1

)j

+

Ri R2

+ R

i

Rd

Bei der mittleren Eingangsspannung U , = 20 V ist die mittlere Ausgangsspannung U 2 = 8,42 V. R R Wird zur Abkürzung K = 1 + + eingeführt, so läßt sich schreiben: K 2 KD

Die Eingangsspannung ändert sich um A U , und die Ausgangsspannung um A U 2 . U2 + A U 2 = (Ui AUa U2 U,

=

+AU,+Ud

AU, e U, . 1 Ut ' U2 ' K

ist mit ± 0,1 gegeben. Somit ergibt sich AÜ2

U2

- ± 0,0092

Bei der Änderung der Eingangsspannung um ± 10% ändert sich die Ausgangsspannung nur um ± 0,92%. Für die Abhängigkeit U 2 = f ( U j ) ist zu beachten, daß für U 2 < 8,2 V der Strom I D = 0 ist. Dann ergibt sich U2=U,

r2 Ri + R 2

Für U 2 > 8,2 V güt: U2=(U,+UD

169

6.5 Aufgaben zum Abschnitt 6

Die Leistung im Element D soll P m a x = 1 W nicht überschreiten: Id • U 2 < P m a x Diese Beziehung ergibt U j < 29 V. Dieser Wert und der Knickpunkt im Verlauf U 2 = f ( U ^ zeigen, in welchen Grenzen sich U j ändern darf. Aufgabe 6.57 In das Kennlinienbild wird zunächst die Grenzleistungshyperbel P m a x = 1 W eingezeichnet (Kurve a). Die größte Leistung wird in der Strecke SK umgesetzt, wenn die Quellenspannung den Wert U 0 m a x = 5 V + 10% hat und der kleinste zulässige Vorwiderstand R m i n eingeschaltet ist. Die durch diese Daten gegebene Quellenkennlinie darf die Grenzleistungshyperbel nur berühren. Damit ist die Kurve b festgelegt. Der Berührungspunkt der Kurven a und b hat die Koordinaten \ U 0 max

\ Ik max1 utt = i . 5 5 V = 2 75 V 2 O max 2 ' '

\

I k max

~ vTv

" 0,365

A

170

6. Netzwerke mit nicht-linearen Elementen

Die Arbeitsgerade, deren Steigung den kleinsten Vorwiderstand R m i n bestimmt, ist festgelegt durch: Uo rnax = 5,5 V; Rmin=

5 5 V Ö^3Ä

=

I K max = 0,73 A 7,55i2

Die Gefahr, daß der Thyristor nicht durchsteuert, ist am größten für die Quellenspannung U 0 m i n = 5 V - 10% und den größten Wert des Vorwiderstandes R m a x . Die Quellenkennlinie für den Widerstand R m a x ist durch den Wert U 0 min und den Eckpunkt des schraffierten Gebietes festgelegt (Kurve c). Sie hat die Daten: Uo min = 4,5 V; _ 4,5 V _ öj3Ä=

Rmax =

IK 15

min

= 0,3 A

"

Der Vorwiderstand darf also 15 i2 nicht über- und 7,55 f2 nicht unterschreiten, um unter den gegebenen Bedingungen ein sicheres Durchsteuern des Thyristors zu gewährleisten.

7. Ausgleichsvorgänge in Netzwerken In den vorausgegangenen Abschnitten waren elektrische Netzwerke ausschließlich im stationären oder eingeschwungenen Zustand betrachtet worden. Der Übergang von einem stationären Zustand zum anderen wurde bisher nicht untersucht. Dieser Übergang wird mit Ausgleichsvorgang bezeichnet. Er wird durch die Änderung einer oder mehrerer Größen des Netzwerks herbeigeführt. Wird diese Änderung plötzlich durchgeführt, liegt ein spezieller Ausgleichsvorgang — Schaltvorgang — vor. Das Bild 7.1 zeigt ein typisches Beispiel hierfür. S

R

Bild 7.1 Einschalten einer Spannungsquelle (U 0 = konst) auf eine RC-Reihenschaltung

Der Ausgangszustand ist durch den geöffneten Schalter S gekennzeichnet; die Schaltung ist stromlos. Außerdem sei der Kondensator spannungsfrei. Nach dem Schließen des Schalters wird ein Strom fließen und die Spannung am Kondensator ansteigen. Der Stromfluß endet, wenn die Spannung am Kondensator den Wert U 0 hat. Der neue stationäre Zustand ist erreicht. In diesem Abschnitt wird die Berechnung einfacher Ausgleichsvorgänge behandelt. Es wird also der Zeitverlauf bestimmter Netzwerksgrößen während des Überganges von einem stationären Zustand zum neuen berechnet. Für einen beliebigen Zeitpunkt liefern die Kirchhoffschen Sätze für das Netzwerk eine Gleichung oder ein System von Gleichungen, in denen die gesuchten Größen enthalten sind. In diesem System ist die einzige unabhängige Variable die Zeit, und es kommen entsprechend den Gleichungen (2.17) und (2.20) Ableitungen nach der Zeit vor. Das Gleichungssystem ist ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen. Setzt sich das Netzwerk aus linearen Elementen zusammen, dann liegt ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten vor. In diesem Abschnitt sollen ausschließlich Netzwerke aus linearen Elementen betrachtet werden. Die Lösungen dieser Differentialgleichungen liefern das Zeitverhalten der gesuchten Größen während des Ausgleichsvorganges.

7. Ausgleichsvorgänge in Netzwerken

172

7.1 Ausgleichsvorgänge in Netzwerken, die nur Drosselspulen oder nur Kondensatoren enthalten Der Grad der aus den Kirchhoffsehen Sätzen hervorgehenden Differentialgleichungen hängt davon ab, ob lediglich Kondensatoren oder Drosselspulen oder beide Arten von Bauelementen im Netzwerk vorhanden sind. Netzwerke mit nur einer Art von Bauelementen fuhren zu Differentialgleichungen ersten Grades (s. Abschn. 2, Beziehungen für Spannung und Strom bei diesen Bauelementen). Als Beispiel sei das Einschalten einer Spannungsquelle auf eine RC-Reihenschaltung erläutert:

Bild 7.2 Einschalten einer Spannungsquelle auf eine RC-Reihenschaltung, Zählpfeile

Bei offenem Schalter S sei die Spannung am Kondensator Null. Zur Zeit t = 0 werde der Schalter geschlossen. Für t > 0 liefert der 2. Kirchhoffsche Satz: UR+U

c

-U

0

=0

(7.1)

Für den Kondensator gilt: c

dt

Die Spannung am Widerstand ist uR = i • R Mit diesen Beziehungen ergibt sich aus der Gleichung (7.1): W

+

(7.2)

Diese Differentialgleichung beschreibt den Zeitverlauf der Spannung am Kondensator von dem Zeitpunkt ab, in dem der Schalter geschlossen ist. Die Anfangsbedingung für ihre spezielle Lösung geht aus dem Zustand des Netzwerkes unmittelbar nach dem Schließen des Schalters hervor. Sie lautet: t =0

uc(0) = 0

7.1 Netzwerke, die nur Drosselspulen oder nur Kondensatoren enthalten

173

Eine Differentialgleichung erster Ordnung dieser Form hat folgende allgemeine Lösung: t uc(t)=e

T

(K + U 0 - e f )

(7.

Hierbei wurde ersetzt RC = r Die eingeführte Größe r wird als Zeitkonstante bezeichnet. Der Summand K ist aus der speziellen Anfangsbedingung zu bestimmen. Das ergibt hier: K = -U0 Damit ergibt sich die spezielle Lösung für das gewählte Beispiel: T

uc(t) = U 0 ( l - e

)

(7.4)

Für den Strom ergibt sich die Lösung: (7.5) Das Bild 7.3 zeigt den Zeitverlauf von Kondensatorspannung und Strom nach dem Schalten.

a.

U,o

t-0

t-o

T

T

Bild 7.3 Zeitverlauf des Schaltvorganges nach Bild 7.2 a) Spannung am Kondensator b) Strom

t

t

174

7. Ausgleichsvorgänge in Netzwerken

Der Stromverlauf zeigt, daß im Schaltaugenblick (t = 0) der Strom vom Wert i = 0 auf den Wert

springt und für Werte t > 0 nach der Beziehung (7.5) verläuft. Das geht auch aus der Anfangsbedingung hervor. Wenn unmittelbar nach dem Schließen des Schalters der Kondensator keine Spannung hat ( ü c ( 0 ) = 0), muß die Spannung U 0 am Widerstand liegen. Da U 0 auf die Reihenschaltung geschaltet wird, springt die Spannung am Widerstand um diesen Betrag. Bei der Formulierung der Anfangsbedingungen ist zu beachten, daß an einem Kondensator die Spannung sich nicht sprunghaft ändern kann, wohl aber der Strom an einer Drosselspule sich der Strom nicht sprunghaft ändern kann, wohl aber die Spannung. Wie das Bild 7.3 zeigt, ist die Zeitkonstante r deijenige Zeitabschnitt, den die Tangente an den Zeitverlauf im Schaltzeitpunkt mit dem jeweiligen Endwert bildet. Bei dem ausgezeichneten Wert t = T haben die Zeitfunktionen von Spannung und Strom die folgenden Werte: t =r

u c = ( l - e ' 1 ) - U 0 = 0,693 U 0 i

= e

-i.i£

=0,307^

Weitere Werte: t = 3T

u c = 0,95 i

t = 4T

=0,05

U0 K

u c = 0,982 U 0 i

=0,018^ K

Daraus ergibt sich, daß der neue stationäre Zustand bei diesem Beispiel mit ausreichender Genauigkeit nach vier Zeitkonstanten erreicht wird. Die Halbwertszeit - Zeit bis die Spannung auf den halben Wert angestiegen ist — beträgt: t = 0,693 T u c = 0,5 U 0

7.1 Netzwerke, die nur Drosselspulen oder nur Kondensatoren enthalten

175

Als weiteres Beispiel sei das Einschalten einer Stromquelle auf eine RC-Reihenschaltung dargestellt:

Bild 7.4 Einschalten einer Stromquelle (I 0 = konst) auf eine RC-Reihenschaltung

Die Stromquelle mit dem konstanten Strom I 0 wird auf den Verbraucher geschaltet, indem der Schalter S geöffnet wird. Dies erfolge zür Zeit t = t 0 . Vorher sei der Kondensator spannungsfrei. Für t > t 0 gilt: i • R + uc - u = 0 u(t) = I 0 R + I -

mit i = I 0

(7.6)

/ I 0 dt to

Zu dieser Gleichung gehört die Anfangsbedingung t = t„

uc(t0) = 0

Damit hat die Gleichung (7.6) die folgende Lösung: u(t) = I 0 R + ^ ( t - t 0 )

(7.7)

uc(t)=^(t-t0) Das Bild 7.5 zeigt die Darstellung der Lösung. Bemerkenswert ist das zeitlineare Ansteigen der Spannungen. Bei der technischen Ausführung dieses Versuchs muß eine Begrenzung der Spannungen beachtet werden. Das kann so erfolgen, daß entweder die Stromquelle nicht bei beliebig großen Spannungen arbeiten kann oder daß bei bestimmter Spannungshöhe zusätzliche Elemente im Kreis aktiv werden.

176

7. Ausgleichsvorgänge in Netzwerken

u (t) a)

t,

0

t

uc(t>

b)

t,0

t

Bild 7.5 Zeitverlauf des Schaltvorganges nach Bild 7.4 a) Gesamtspannung b) Spannung am Kondensator

Als weiteres Beispiel soll das Einschalten einer Wechselspannungsquelle auf eine RC-Reihenschaltung berechnet werden.

u0Ct)

! Bild 7.6 Einschalten einer Wechselspannungsquelle (uo(t)) auf eine RC-Reihenschaltung

Der Schalter S wird zur Zeit t = 0 geschlossen. Der Kondensator sei vorher spannungsfrei. Der Zeitverlauf der Spannung u 0 sei wie folgt zu beschreiben: u 0 (t) = ü 0 sin (cot + \p) Wird der Winkel i// innerhalb der Periode frei gewählt, so kann der Einschaltzeitpunkt in Bezug auf den Nulldurchgang der Wechselspannung frei bestimmt werden. Es soll der Zeitverlauf des Stromes i berechnet werden. Für t > 0 ergibt der 2. Kirchhoffsche Satz: uR + u c - u0 = 0

(7.8)

7.1 Netzwerke, die nur Drosselspulen oder nur Kondensatoren enthalten

Mit u c = ^ / i dt

und

uR = i R

177

folgt daraus:

i R + ^ / i d t - ü 0 sin (cot + \ p ) = 0

(7.9)

In die Form einer Differentialgleichung erster Ordnung gebracht: ^ ¿ i - ! j f u c o s ( u t + *) = 0

(7.10)

Hierzu gehört die Anfangsbedingung: t =0

u c (0) = 0

Aus ihr folgt u R ( 0 ) = ü 0 • sin \p oder

i(0) = u °

^

Die Gleichung (7.10) hat die allgemeine Lösung t_ „ _L i (t) = e"

RC

• e R C • sin (wt +

(7.21)

i (t) = e~5t [(Ax + A 2 ) COS cot + j (Ax - A 2 ) sin cot]

(7.22)

Aj und A 2 sind hierin komplexe Konstanten. Durch die folgende Substitution kann die Lösung (7.22) reell geschrieben werden: A1=I(B2-jB1)

A 2 = -i (B 2 + j Bj)

(7.23)

Bj, B 2 sind reelle Konstanten. i (t) = e" 6t (Bj sin o>t + B 2 cos cot)

(7.24)

Die Gleichung (7.24) stellt die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (7.18) für den Fall periodischen Einschwingens dar. Anpassen der Lösung (7.24) an das vorliegende Problem, d. h. Einführen der Anfangsbedingungen bringt den Zeitverlauf des Stromes: i ( t ) = i k • e" 6t • sin cot coL

(7.25)

Für die Spannung am Kondensator ergibt sich: H e i i L l - e" 6 t ( - sin cot + cos cot) U0

CO

(7.26)

Das Bild 7.10 zeigt die Darstellung der Lösungen. Es enthält die Zeitverläufe des Stromes i, der Spannung am Kondensator u c und der Spannung an der Drosselspule u L . Wie der Zeitverlauf u c (t) zeigt, schwingt die Kondensatorspannung über den stationären Wert U 0 um einen Betrag A u c über. Dieser Betrag ist vom Verhältnis D

Z£ 0

abhängig. Er soll im folgenden bestimmt werden.

u

Cmax tritt bei cot = n auf. ^nax

Ur0

=

J + e-

£w

u

(7

2 7 )

182

7. Ausgleichsvorgänge in Netzwerken

Bild 7.10 Zeitverlauf des Schaltvorganges nach Bild 7.9 (Periodisches Einschwingen) a) Strom b) Spannung am Kondensator c) Spannung an der Drosselspule

Hierausfolgt:

. AUr' -f-r^e u o

6

n

w

(7.28)

Zur Darstellung der Abhängigkeit des Betrages des Überschwingens vom Verhältnis

D

ILQ

wird 5 = k co 0 eingeführt.

Der Faktor k kann sich dann ändern: 0 < k < 1,0

7.2 Netzwerke, die Drosselspulen und Kondensatoren enthalten

183

Damit wird (7.28) zu: Auc=e-.k/vrr--p u o

(7.29)

Das Bild 7.11 zeigt als Ergebnis die Abhängigkeit des Wertes ^ ^ von der Dämp0 fung des Kreises.

Aug Uo

Bild 7.11 Relative Uberspannung am Kondensator -pr- beim Schaltvorgang nach Bild 7.9

Aperiodisches Einschwingen, ^ > Z 0 Bei dieser Wahl von R sind a 1 2 reell (vgl. (7.20)). Aus der allgemeinen Lösung (7.19) folgt unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen:

1(t)= e 6t

ä' ~ ' h(etJt"e"wt)=ä" e"6t'sinh(cot)

HgW = 1 - e" 6 t [ - sin h (wt) + cos h (cot)] U0 co Im Bild 7.12 sind die Zeitverläufe des Stromes i und der Spannung am Kondensator u c für den Fall des aperiodisch verlaufenden Ausgleichsvorganges aufgezeichnet. Aperiodischer Grenzfall,

= Z0

Für diese Wahl von R lautet die allgemeine Lösung: i(t) = e - 6 t ( A , + A 2 - t )

(7.32)

(730)

184

7. Ausgleichsvorgänge in Netzwerken

Bild 7.12 Zeitverlauf des Schaltvorganges nach Bild 7.9 (Aperiodisches Einschwingen) a) Strom b) Spannung am Kondensator

Aus ( 7 . 3 2 ) folgen mit den Anfangsbedingungen des Problems t • e" Uc(t) Un

=

1 - e" 6 t (1 + 6 t )

D a s Bild 7 . 1 3 zeigt die L ö s u n g e n für d e n a p e r i o d i s c h e n Grenzfall.

Bild 7.13 Zeitverlauf des Schaltvorganges nach Bild 7.9 (Aperiodischer Grenzfall) a) Strom b) Spannung am Kondensator

(7.33)

(7.34)

7.3 Aufgaben zum Abschnitt 7

185

Das Maximum von i liegt bei h = i = -15 co0

(7-35)

Es hat die Größe In

Un 1 = ^ •-

(7.36)

7.3 Aufgaben zum Abschnitt 7 Aufgabe 7.31

U

„ S

|

R

Eine vor dem Schließen des Schalters stromlose RL-Reihenschaltung wird an eine Spannungsquelle U 0 = konst. geschaltet. Es ist der Zeitverlauf des Stromes und der Spannungen zu berechnen. Aufgabe 7.32

s

R

Es ist der Zeitverlauf der Spannung am Kondensator nach dem Schließen des Schalters zu berechnen. Der Kondensator ist vor dem Schalten auf eine Spannung u c ( 0 ) = - 10 V aufgeladen. Nach welcher Zeit beträgt die Spannung am Kondensator 0 V? R = 2 , 7 k£2,

Aufgabe 7.33

C = 4 , 7 ¡JLF,

U 0 = 15 V ,

u

c

(0) = - 1 0 V

186

7. Ausgleichsvorgänge in Netzwerken

Es wird eine Stromquelle I 0 = konst durch Öffnen des Schalters S auf eine RLParallelschaltung geschaltet. Der Zeitverlauf der Spannung und der Ströme in Widerstand und Drosselspule ist zu berechnen. Aufgabe 7.34

In der dargestellten Schaltung ist der Zeitverlauf aller Ströme und Spannungen nach dem Schließen von S zu berechnen und darzustellen. Der Kondensator hat vor dem Schalten keine Spannung. Ri = 4 kii,

R 2 = 2 kii,

C = 12 nF,

U 0 = 50 V

Aufgabe 7.35

Ein Elektromagnet kann durch eine konstante Induktivität Lh und durch den in Reihe geschalteten Wicklungswiderstand Rh beschrieben werden. Er wird mit einem Nebenwiderstand R P über einen stromgesteuerten Schalter S aus einer konstanten Spannung U B gespeist. Hierbei wird S geöffnet, wenn der Magnetstrom den Wert 0,9 In erreicht. S wird geschlossen, wenn der Magnetstrom auf den Wert 0,3 I N abgesunken ist (Meßglied ohne Widerstand). Es sind der zeitliche Verlauf der Ströme im Magneten und im Nebenwiderstand, der Verlauf der Spannung am Magneten zu berechnen und zu zeichnen.

187

7.3 Aufgaben zum Abschnitt 7

Lh=4,5H,

Rh=9S2,

I N Nennstrom des Magneten, I N =

Rp = 18

U B = 200 V

Rh

Aufgabe 7.36 R

Für die dargestellte Schaltung ist der zeitliche Verlauf des Stromes i (t) und der Spannung am Kondensator u c (t) für t > 0 darzustellen. t0

R = 1,6 ki2

S= 30^ ßS

Der Kondensator ist bei t = 0 spannungsfrei. Aufgabe 7.37

Eine Stromquelle (I 0 = konst) wird auf einen verlustfreien Schwingkreis geschaltet. Der zeitliche Verlauf von i L , i c und u nach dem Öffnen des Schalters ist zu berechnen.

Lösungen zu den Aufgaben des Abschnitts 7 Aufgabe 7.31 Für t > 0 gilt: Ur + uL - U0 = 0

188

7. Ausgleichsvorgänge in Netzwerken

Mit u R = i R und u L = L jji entsteht hieraus die Differentialgleichung für den Strom: di . R j dt L

1 L

tt

_n

Die Anfangsbedingung lautet: t = 0:

i(0) = 0

Wegen der Drosselspule kann der Strom sich nicht sprunghaft ändern. Das bedeutet, daß unmittelbar nach dem Schalten am Widerstand keine Spannung liegt. Die Spannung an der Drosselspule springt um den Wert U 0 . Allgemeine Lösung der Differentialgleichung: i(t) = e

.1 T

TT 1 (K + ^ e O

Hierin wurde ^ = r eingeführt. Diese Größe stellt die Zeitkonstante dieses Kreises dar. Die Einführung der Anfangsbedingung bringt *

K=-

R

;i ( t ) == Uo ^ (

l - e

T

)

7.3 Aufgaben zum Abschnitt 7

Der Strom

stellt den neuen, stationären Zustand dar. K Die Spannungen ergeben sich zu: uR=U0(l-e~T);

u L = U 0 • e~ T

Aufgabe 7.32 Für t > 0 gilt die Gleichung (7.2) dur -df

+

1 1 RCUc"RCU°=0

mit der allgemeinen Lösung: -1 1 Uc(t) = e" T (K + U 0 e T ) ;

r = RC

Die Anfangsbedingung der vorliegenden Aufgabe ergibt: K = u c (0) - U 0 = - 25 V Daraus der Zeitverlauf der Kondensatorspannung: u C (t) = U 0 + (uc (0) - U 0 ) e" T

Die Spannung erreiche zum Zeitpunkt t = t 0 den Wert 0 V: 12 0 = U 0 + ( u c (0) - U 0 ) e t0

r

m

r = 12,7 ms;

r

Uq

t 0 = 12,7 ms • 0,51 = 6,48 ms

190

7. Ausgleichsvorgänge in Netzwerken

Aufgabe 7.33 Für t > 0 ergibt die Knotenregel: iR + iL " lo = 0 Mit i R R = u und ¡l = j- / u dt folgt hieraus die Differentialgleichung für die Spannung: du

di

+R LU

=

n

mit der allgemeinen Lösung: u(t) = K - e

-

1

L 7= ^

Die Anfangsbedingung bei dieser Aufgabe lautet: t = 0;

u (0) = I 0 • R

Der Strom ¡l kann sich nicht sprunghaft ändern. Der Strom i R wird um I 0 geschaltet. Damit ändert sich die Spannung im Schaltaugenblick sprunghaft um i 0 - RDamit ergibt sich K = I 0 • R und: _ _t u (t) = I 0 • R • e T _t i R (t) = I 0 ' e" T Der Strom in der Drosselspule ist wie folgt zu bestimmen: iL=I/u(t)dt _t i L = - I 0 -e"

T

+K

Aus der Anfangsbedingung t = 0: i L (0) = 0 folgt K = I 0 iL(t) = I 0 ( l - e " T )

und

7.3 Aufgaben zum Abschnitt 7

191

Aufgabe 7.34 Für t > 0 soll zur Berechnung des Kondensatorstromes eine Ersatzspannungsquelle (U ers , R;) verwendet werden. TT

Uers

R

- U T T

0 R i + R 22 > •

R

r

~- R j 1

R

+

2

"i

Für diesen Kreis wurde die Lösung in (7.3) einschließlich der Anfangsbedingung t = 0, u c (0) = 0 angegeben: _t

uc(t) = Uers(l-e*0;

r = C-Ri

Damit Uc 0 gilt: lo = iL + ic Mit u = L ^

und i c = C ^

ergibt sich:

n 1 —y +— u =0 dt 2 LC Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung dieser Form hat die allgemeine Lösung: u (t) = A sin (co0t + 0);

w0 =

198

7. Ausgleichsvorgänge in Netzwerken

Die Anfangsbedingungen ergeben sich daraus, daß vor dem Schalter der Parallelkreis spannungslos ist und daß im Schaltaugenblick der Kondensatorstrom auf den Wert I 0 springt. t = 0:

u ( 0 ) = 0,

i c ( 0 ) = I0

Damit können in der allgemeinen Lösung die Konstanten A und

0t i c (0) = I 0 = C A A = I0 • Z0

COQ

mit Z 0 = > / £

Damit ergeben sich für u (t) und ic (t) die speziellen Lösungen: u (t) = I 0 Z 0 sin w 0 t ic (t) = lo cos w 0 t Der Zeitverlauf i L (t) ergibt sich aus i L =

/ u dt

iL (t) = - 1 1 0 Z 0 - i - cos co 0 t + K L

Cd0

Aus der Anfangsbedingung i c (0) = I 0 iL (t) = I 0 (1 - cos w 0 t )

geht auch i L (0) hervor. Damit K = I 0

Literaturverzeichnis Lehrbücher Küpfmüller, K.: Einführung in die theoretische Elektrotechnik. 2. Aufl. B e r l i n - G ö t t i n g e n Heidelberg 1968. Schönfeld, H.: Die wissenschaftlichen Grundlagen der Elektrotechnik. 3. Aufl. BerlinGöttingen-Heidelberg 1960. Schütz, E.: Grundzüge der Elektrotechnik. Berlin-Göttingen-Heidelberg 1956. Gehrtsen, Chr.: Physik. 11. Aufl. Berlin-Heidelberg-New York 1971. Leonhard,

W.: Wechselströme und Netzwerke. 2. Aufl. Braunschweig 1971.

Michael, W.: Ortskurvengeometrie in der komplexen Zahlenebene. Basel 1950. Wijn, H. P. J. und P. Dullenkopf: New York 1967. Unger, H.-G. und W. Schultz: schweig 1969. Tietze, U. und Ch. Schenk: New York 1971.

Werkstoffe der Elektrotechnik. Berlin-Heidelberg-

Elektronische Bauelemente und Netzwerke. 2 Bde. BraunHalbleiter-Schaltungstechnik. 2. Aufl. Berlin-Heidelberg-

Handbücher und Nachschlagewerke DIN-Taschenbuch

Nr. 22: Einheiten und Formelgrößen. 2. Aufl. Berlin 1969.

DIN-Taschenbuch Berlin 1970.

Nr. 7: Schaltzeichen und Schaltpläne für die Elektrotechnik. 4. Aufl.

Handbuch der Elektrotechnik:

Siemens AG. Essen 1971.

Philippow, E.: Taschenbuch Elektrotechnik. Band 1: Grundlagen. Berlin 1968. Meinke, H. und F. W. Gundlach: Taschenbuch der Hochfrequenztechnik. 3. Aufl. Berlin 1971.

Sachregister abgeglichene Brückenschaltung 70 abgeleitete Einheiten 11 äquivalente Ersatzgröße 52 aktiver Zweipol 33 aktives Netzwerkselement 33 Aluminium 24 Ampere 17 Anfangsbedingung 171 Anpassung 59 aperiodischer Grenzfall 180 aperiodisches Einschwingen 180 Arbeitsgerade 145 Arbeitspunkt 145 arithmetischer Mittelwert 32 Augenblickswert 30 Ausgleichsvorgang 171 Außenleiter 90 Außenleiterspannung 90 Aussteuerung 149 Bandbreite 121 Basiseinheit 11 Betrags-Frequenzgang 113 betragssymmetrisch 88 Blind-Komponente 82 Blindleistung 86 Blindspannung 82 Blindstrom 84 Blindwiderstand 83 Bode-Diagramm 114 Coulomb 17 Curie-Punkt 25 dB-Zahl 115 differentieller Widerstand 147 Draht 16 Dreher 79 Drehstromsystem 88 Dreieckschaltung 89 Dreieckspannung 90 Dreiphasensystem 88 Drosselspule 37 Ebene, Y - 107 Ebene, Z - 106

Effektivwert 33, 154 Einheit 11 Einheitensystem 11 Einheitskreis 108 Einschaltzeitpunkt 176 elektrische Feldstärke 19 - Ladung 15 - Spannung 18 elektrischer Leitwert 22 - Strom 16 - Stromkreis 29, 59 - Widerstand 21 elektrisches Feld 15, 18 - Netzwerk 29 - Potential 20 Elektron 15 Elementarladung 15, 18 Energie 21 Ersatzspannungsquelle 60 Ersatzstromquelle 60 Erzeuger 48 Farad 38 Frequenz 30 Frequenzgang 112 gerade Fu nktio n 152 gewöhnliche Differentialgleichung 171 Gleichgröße 29 Gleichrichtmittelwert 32 Gramm 11 Grenzfrequenz 121 Grenzleistungshyperbel 146 Größe 11 Größengleichungen 12 Grundschwingung 151 Grundschwingungsgehalt 155 Güte 118 Halbleiter 16 Halbwertszeit 174 harmonische Analyse 151 - Größe 31, 73 - Reihe 31 Henry 37

Sachregister ideales Ventil 143 Imaginärteil 76 Induktivität 37 Innenleitwert 58 Innenwiderstand 57 internationales Einheitensystem 11 Inversion 108 Ion 15 Isolator 15

Mischgröße 32 Mittelpunkt 89 Mittelpunktleiter 90 MKSA-System 11

Kapazität 38 Kelvin 11 Kennlinie 139 Kennlinienschar 141 Kennwiderstand 118 Kilogramm 11 Kirchhoffsche Sätze 48 Klirrfaktor 155 Knoten 47 Knotenregel 49 kohärente Einheit 12 komplexe Ebene 74 komplexer Zeiger 74 Kondensator 38 konjugiert komplexer Zeiger 74 Konstantan 25 Konstantspannungs-Generator 34 Konstantstrom-Generator 34 Kreisfrequenz 30 Kupfer 24 Kurz Schluß ström 58

Oberschwingung 151 Ohm 22 Ohmscher Widerstand 36 Ohmsches Gesetz 22 Ordnungszahl 151 Ortskurve 106

Ladungsmenge 16 Ladungsträger 15 Länge 11 Leerlaufspannung 58 Leistung 21, 35 Leistungsfaktor 86, 154 Leiter 15 Leiter-Mittelpunktspannung 90 Leitwert 23 Lichtbogen 143 linienhafter Leiter 23 magnetisches Feld 15 Manganin 25 Masche 47 Maschenregel 49 Masse 11 Mehrphasensystem 86 metallische Leiter 16 Meter 11

Newton 13 Nichtleiter 15 nicht-lineare Elemente 139 norm ierte Groß en 112

Parallelresonanzkreis 121 Parallelschaltung 51 Parameter 106 passiver Zweipol 33 passives Netzwerkselement 33 Periodendauer 30 periodische Funktion 30 periodisches Einschwingen 180 Phasenschwenkbriicke 127 phasensymmetrisch 88 Phasenwinkel 31 Phasenwinkel-Frequenzgang 113 physikalische Größe 11 Potentialdifferenz 20 potentielle Energie 19 Proton 15 quadratischer Mittelwert 33 quasi-freie Elektronen 15 Realteil 76 Reihenresonanzkreis 117 Reihenschaltung 51 Resonanz 117 Schaltfunktion 29 Schaltvorgang 171 Scheinleistung 86 Scheitelwert 30 Schleusenspannung 143 Schwingkreis 117 Schwingwiderstand 118 Sekunde 11 Siemens 22

Sachregister

202 Silber- 24 Silizium-Diode 140, 144 sinusförmiger Zeitverlauf 31 spannungsabhängiger Widerstand 141 Spannungsquelle 18, 33 Spannungssprung 174 Spannungsteilerregel 54 spezifischer Widerstand 23 Stabilisierungsschaltung 159 stationärer Zustand 171 Sternpunkt 89 Sternpunktleiter 90 Sternschaltung 89 Sternspannung 90 Stromquelle 33 Stromsprung 174 Stromstärke 16 Stromteilerregel 54 Supraleitung 25 Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstandes 24 Überlagerungsprinzip 63 Überschwingen 181 Umrechnung sfaktor 12 ungerade Funktion 152 VDR-Widerstand 142 Vektor 19 Ventil 143 Verbraucher 48

Verbraucher-Zählpfeilsystem 47 verkettetes System 88 Verstimmung 118 Verzerrung 149 Verzerrungsleistung 155 Volt 20 Vorsatzzeichen 12 Watt 13 Wechselgröße 32 Wechselstromleitwert 78 Wechselstromwiderstand 78 wellige Größe 32 Wirk-Komponente 82 Wirkleistung 36, 85 Wirkspannung 82 Wirkstrom 84 Wirkungsgrad 59 Wirkwiderstand 82 Zählpfeil 47 Zahlenwert 11 Zeiger 74 Zeigerdiagramm 81 Zeit 11 Zeitfunktion 29 Zeitkonstante 173 zeitveränderliche Größe 29 Zeitverlauf 30 Zenerdiode 159 Zweig 47

w DE

G

Utz G. Baitinger

Walter de Gruyter Berlin-New York Schaltkreistechnologien für digitale Rechenanlagen Gr.-Okt. 264 S. Mit zahlr. Abb. 1973. PI. fl. DM 2 8 , - . ISBN 3 11 003697 5 (de Gruyter Lehrbuch)

Fritz Kesselring

Theoretische Grundlagen zur Berechnung der Schaltgeräte 4 „ vollst. Überarb. u. erw. Aufl. Mit 145 Abb. u. 14 Taf. Kl.-Okt. 231 S. 1968. Kart. DM 9,80. ISBN 3 11 006167 8 (Sammlung Göschen Bd. 711/711a/711b)

Werner zur Megede

Einführung in die Technik selbsttätiger Regelungen 3., Überarb. u. erw. Aufl. Mit 111 Abb. Kl.-Okt. 263 S. 1968. Kart. DM 9,80. ISBN 3 11 006168 6 (Sammlung Göschen Bd. 714/714a/714b>

Andreas Ebinger

Elektrische Meßinstrumente Technik und Zubehör 5., voll, neubearb. Aufl. Mit 112 Abb. Kl.-Okt. 144 S. 1970. Kart. DM 7,80. ISBN 3 11 002747 X (Sammlung Göschen Bd. 477/477a)

Hans Heinrich Meinke

Die komplexe Berechnung von Wechselstromschaltungen 4., neubearb. Aufl. Mit 126 Abb. Kl.-Okt. 156 S. 1971. Kart. DM 9,80. ISBN 3 11 003608 8 (Sammlung Göschen Bd. 51 56)

w DE

G G. L. Squires

Walter de Gruyter Berlin-New York Meßergebnisse und ihre Auswertung Eine Anleitung zum praktischen naturwissenschaftlichen Arbeiten Gr.-Okt. 240 S. Mit 77 Abb. u. zahlr. Formeln u. Tab. 1971. Plastik flexibel DM 2 9 , ISBN 3 11 003632 0 (de Gruyter Lehrbuch)

L. Bergmann-

Lehrbuch der Experimentalphysik

C. Schaefer

Zum Gebrauch bei akademischen Vorlesungen und zum Selbststudium. 4 Bände. Groß-Oktav. Gebunden Band 1. Mechanik, Akustik, Wärme. 8-, völlig neu bearb. Aufl. mit einem Anhang über die erste Mondlandung u. 803 Abb. von Heinrich Gobrecht. XV i, 838 S. 1970. DM 6 8 , ISBN 3 11 000709 6 Band 2. Elektrizität und Magnetismus 6., neu bearb. u. erw. Aufl. Von Heinrich Gobrecht. Mit 668 Abb. V I I I , 575 S. 1971. DM 6 8 , ISBN 3 11 002090 4 In Vorbereitung: Band 3. Optik 6. Aufl. Hrsg. v. Heinrich Gobrecht. Etwa 800 S. Mit zahlr. Abb. 1973. Etwa 7 5 , Band 4. Aufbau der Materie. Hrsg. v. Heinrich Gobrecht. Etwa 800 S. Mit zahlr. Abb. 1973. Etwa 75,-

R. A. Carman

Zahlen und Einheiten der Physik Gr.-Okt. X V I I I , 228 S. 1971. Plastik flexibel DM 19,50 ISBN 3 11 003526 X (de Gruyter Lehrbuch)