Vermögensmanagement: Rechnerische Grundlagen mit Beispielen in EXCEL [Reprint 2018 ed.] 9783486812763, 9783486272758

Table of contents :
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Abschnitt 1. Das Fundament: Finanzmathematische Grundlagen
Abschnitt 2. Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements
Abschnitt 3. Rechnerische Methoden des dynamischen Finanzmanagements
Abschnitt 4. Kalkulierbares Risiko: Statistische Elemente des Finanzmanagements
Abschnitt 5. Verzeichnisse

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Vermögensmanagement Rechnerische Grundlagen mit Beispielen in EXCEL

Von

Dipl. Math. Oec. Detlef Wahl

R.Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Wahl, Detlef: Vermögensmanagement : rechnerische Grundlagen mit Beispielen in Excel / von Detlef Wahl. - München ; Wien : Oldenbourg, 2003 ISBN 3-486-27275-6

© 2003 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Druckhaus „Thomas Müntzer" GmbH, Bad Langensalza ISBN 3-486-27275-6

V

Vorwort Das Ihnen vorliegende Buch behandelt in komprimierter Weise die mathematischen Basisinstrumente des Finanzmanagements, auch Financial Planning genannt. Unter „Financial Planning" versteht man die Analyse und Pflege bestehenden und zukünftigen Kapitalvermögens, sowie die Entwicklung strategischer Anlageentscheidungen zur Renditeoptimierung. Die dabei angewandten rechnerischen Methoden umfassen nicht nur Elemente der traditionellen Finanzmathematik, sondern im Rahmen des Risikomanagements auch Elemente der Statistik. Da die praxis- und problemorientierte Anwendung im Vordergrund steht, werden die einzelnen Themenkomplexe mit zahlreichen Beispielen anschaulich dargestellt. Soweit wie möglich, wurde bewusst auf mathematische Formelherleitungen verzichtet. Zur schnelleren Berechnung unterschiedlicher Kennziffern und effizienteren Lösbarkeit diverser Fragestellungen werden zudem die wichtigsten EXCEL-Funktionen vorgestellt. Das Buch beinhaltet: • •

•

Vorstellung grundlegender Verfahren der klassischen Finanzmathematik (Sachworte: Einmaleinzahlungen, Rentenrechnung und Darlehen) Beschreibung und kritische Analyse der in der Praxis angewandten Risiko- und Ertragskennziffern zur Bewertung der Vorteilhaftigkeit einer Investition (Sachworte: Renditebegriff, vergleichende Investitionsmöglichkeiten, Duration Erwartungswert, Varianz, Volatilität, Korrelation, Value-at-Risk, Beta-Faktor) Anwendung finanzmathematischer und statistischer Modelle zur Renditeoptimierung, Risikobewertung und Ermittlung „fairer" Preise (Sachworte: effiziente Portfolios, Optionen, Risikoabsicherung durch Derivate)

Dieses Buch wendet sich an Praktiker der vermögensberatenden und vermögensverwaltenden Berufe, Controller, Studenten wirtschaftswissenschaftlicher Studiengänge mit Schwerpunkt Finanzdienstleistung und Risikomanagement, sowie alle Interessenten, die sich umfassend über die unterschiedlichen Berechnungsmethoden und Kennziffern des Kredit- und Kapitalanlagesektors informieren möchten. Für die Aufnahme des Buches in das Verlagsprogramm möchte ich dem Oldenbourg-Verlag, insbesondere Herrn Diplom-Volkswirt Martin Weigert, herzlich danken. Noch ein Wort an die Leser gerichtet: Da ein Buch auch von der Kritik seiner Leser lebt, bin ich für Anregungen und Vorschläge jederzeit dankbar.

Grainau

Detlef Wahl

VI

Inhaltsverzeichnis Abschnitt 1 Das Fundament: Finanzmathematische Grundlagen 1 Potenz, Wurzel und Logarithmus 1.1 1.2 1.3 1.4

Potenz Wurzel Logarithmus Anwendungsbeispiele in EXCEL 1.4.1 Wurzelberechnung 1.4.2 Logarithmus

2 3 5 6 6 6

2 Folgen und Reihen 2.1 2.2 2.3 2.4

Arithmetische Zahlenfolge Geometrische Zahlenfolge Arithmetische Reihe Geometrische Reihe

8 9 10 11

VII

Abschnitt 2 Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements 1 Einmaleinlagen 1.1 Abkürzungen und Grundbegriffe 1.2 Verzinsung einer Einmaleinlage (ganzzahlige Zinsperioden) 1.2.1 Grundlagen 1.2.2 Ausblick 1.3 Verzinsung einer Einmaleinlage (gebrochene Zinsperioden) 1.3.1 Grundlagen 1.3.2 Ein Vergleich unterschiedlicher Sparformen 1.4 Die konforme Verzinsung („faire Verzinsung") 1.4.1 Grundlagen 1.4.2 Ausblick 1.5 Stetige Verzinsung 1.6 Anwendungsbeispiele in EXCEL

14 15 15 17 19 19 20 21 21 22 24 26

2 Rentenrechnung 2.1 Abkürzungen und Grundbegriffe 2.2 Renten in der Ansparphase (Zahlungstermin = Zinstermin) 2.2.1 Grundlagen 2.2.2 Ausblick 2.3 Renten in der Ansparphase (Zinstermin ± Zahlungstermin) 2.3.1 Grundlagen 2.3.2 Ausblick 2.4 Ein Spezialfall vorschüssiger Renten: Fondssparplan 2.5 Renten in der Kapitalverzehrsphase 2.5.1 Grundlagen 2.5.2 Ausblick 2.6 Kombinationsmodell von Anspar- und Kapitalverzehrsplan 2.6.1 Der erste Praxisfall 2.6.2 Der zweite Praxisfall (geometrische Renten) 2.7 Ewige Renten 2.8 Anwendungsbeispiele in EXCEL 2.8.1 Ansparphase Sparbuch 2.8.2 Ansparphase Fondssparplan 2.8.3 Kombination Sparplan und Kapitalverzehrsplan

27 28 28 30 31 31 23 33 35 35 36 37 37 38 40 41 41 42 43

Vili

3 Tilgungsrechnung 3.1 Ein erster Überblick 3.2 Tilgungsdarlehen (Ratendarlehen) 3.2.1 Grundlagen 3.2.2 Tilgungsdarlehen (identische Zins- und Tilgungstermine) 3.2.3 Tilgungsdarlehen (mehr Tilgungs- als Zinstermine) 3.2.4 Auswirkung verschiedener Kontoführungsmethoden 3.3 Annuitätendarlehen 3.3.1 Grundlagen 3.3.2 Annuitätendarlehen (identische Zins- und Annuitätentermine) 3.3.3 Annuitätendarlehen (mehr Annuitäten- als Zinstermine) 3.3.4 Ausblick 3.4 Anwendungsbeispiele in EXCEL 3.4.1 Annuitätendarlehen (identische Zins- und Annuitätentermine) 3.4.2 Annuitätendarlehen (mehr Annuitäten- als Zinstermine)

45 46 46 47 48 50 53 53 56 57 58 59 59 61

IX

Abschnitt 3 Rechnerische Methoden des dynamischen Finanzmanagements 1 Naive Ertragskennziffern 1.1 Der Nominalzins 1.2 Laufende Verzinsung 1.3 Durchschnittlicher Wertzuwachs (Börsenformel)

64 65 66

2 Zahlungsströme und Effektivzinsen 2.1 Begriff des Zahlungsstromes 2.2 Kapitalbarwert und Effektivzins 2.2.1 Grundlagen 2.2.2 Finanzierungsmix und Leverageeffekt 2.2.3 Der Effektivzins als Ergebnis der Zahlungsstromanalyse 2.3 Unterschiedliche Effektivzinsdefinitionen 2.3.1 Der Effektivzins AIBD (ISMA) 2.3.2 Der Effektivzins gemäß Braess/Fangmeyer 2.3.3 Weitere Effektivzinsdefinitionen 2.3.4 Gibt es einen logischen Effektivzins? 2.4 Der Erfolg des Fondsmanagers: Performance 2.5 Duration als anlagestrategisches Zeitmaß 2.5.1 Grundlagen 2.5.2 Durationsstrategien 2.5.3 Portfolioduration 2.6 Modifizierte Duration, Present Value of a Basis Point 2.6.1 Grundlagen 2.6.2 Was die Zinselastizität mit der Duration zu tun hat 2.6.3 Konvexität 2.7 Anwendungsbeispiele in EXCEL 2.7.1 Effektivzinsberechnung 1 2.7.2 Effektivzinsberechnung 2 2.7.3 Barwertberechnung 2.7.4 Modifizierte Duration, Kapitalrisiko 2.8 Was der Effektivzins mit der Einkommensteuer zu tun hat 2.8.1 Grundsatz und Problem 2.8.2 Kursgewinnbesteuerung bei Anleihen mit Zinskupons 2.8.3 Emissionskurs einer Optionsanleihe

68 69 69 71 72 72 72 74 75 76 77 79 79 81 83 83 83 84 86 87 87 88 90 91 92 92 94 95

X

3 Von subjektiven und objektiven Investitionsentscheidungen 3.1 Vergleichskriterium Effektivzins? 3.1.1 Versuch eines „fairen" Vergleichs 3.1.2 Noch einmal: Warum scheitert der Effektivzinsvergleich? 3.2 Strukturkongruente Anlage/Refinanzierung 3.2.1 Für den Kapitalanleger: Strukturkongruente Anlage 3.2.2 Für die Bank: Strukturkongruente Refinanzierung 3.3 Spot-Rates und Zerobond-Abzinsungsfaktoren 3.3.1 Grundlagen 3.3.2 Für den Kapitalanleger: Anleihebewertung 3.3.3 Für die Bank: Strukturkongruente Anlage 3.3.4 Folgerung: Bewertung unterschiedlicher Investitionen 3.4 Forward-Rates 3.5 Anwendungsbeispiel in EXCEL

97 97 98 99 99 101 103 103 104 105 106 107 108

4 Derivate 4.1 Was sind Derivate? 4.2 Forward-Rate-Agreements (FRA) 4.2.1 Forward-Rate-Agreement als Absicherungsgeschäft 4.2.2 Forward-Rate-Agreement als Spekulationsgeschäft 4.3 Währungstermingeschäfte 4.4 Futures 4.4.1 Grundlagen 4.4.2 Der Bund-Future

112 113 113 115 116 118 118 120

XI

Abschnitt 4 Kalkulierbares Risiko: Statistische Elemente des Finanzmanagements 1 Ein kleiner Rundgang durch die Wahrscheinlichkeitstheorie 1.1 Die Zufallsvariable 1.2 Die Wahrscheinlichkeit 1.3 Der Erwartungswert

124 124 125

2 Von der Wahrscheinlichkeitstheorie zur Statistik 2.1 Relative Häufigkeit und statistischer Mittelwert 2.2 Portfoliorendite

127 128

3 Streuungsmaße 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Was bedeutet Risiko? Mittlere Summenabweichung Varianz, Standardabweichung Volatilität Anwendungsbeispiele in EXCEL 3.5.1 Statistische Kennzahlen bei diskreten Zufallsvariablen 3.5.2 Statistische Kennzahlen bei stetigen Zufallsvariablen

131 132 133 135 137 137 138

4 Vom Umgang mit der Normalverteilung 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Die allgemeine Normalverteilung N(|I;G) Die standardisierte N(0;1) Verteilung Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Der Value-at-Risk Ansatz Anwendungsbeispiele in EXCEL 4.5.1 Die N(0;1)-Verteilung 4.5.2 Standardisierung 4.5.3 Der Value-at-Risk

141 142 144 148 151 151 151 152

5 Zusammenhangsanalyse 5.1 Kovarianz und Korrelation 5.2 Effiziente Portfolios (Markowitz)

154 157

XII 5.3 Das Marktportfolio 5.4 Der Beta-Faktor

162 164

6 Optionen 6.1 Grundlagen und Strategien 6.2 Welche Größen den Optionspreis beeinflussen 6.2.1 Kassakurs und innerer Wert 6.2.2 Basispreis 6.2.3 Risikofreier Zinssatz 6.2.4 Restlaufzeit und Volatilität 6.3 Der „faire" Wert einer Option (Binomialmodell) 6.4 Optionspreisbewertung nach Black/Scholes 6.5 „Griechische Variablen" 6.5.1 Hebel und Delta 6.5.2 Rho 6.5.3 Vega 6.5.4 Theta 6.5.5 Gamma

167 170 170 171 172 172 174 178 180 180 181 181 182 182

XIII

Abschnitt 5 Verzeichnisse 1 Formelverzeichnis

184

2 Beispielverzeichnis

199

3 Sachwortverzeichnis

202

Abschnitt 1 Das Fundament: Finanzmathematische Grundlagen Ohne solides Fundament kann kein Bauwerk von Bestand sein. Was dem Bauherren sein handwerkliches Geschick ist, stellt für den Kapitalanlagestrategen die Beherrschung grundlegender finanzrechnerischer Instrumente dar. Sie bilden die Eckpfeiler, um klassische finanzmathematische Problemstellungen im Rahmen der Zinsrechnung lösen zu können. Im Einzelnen werden kurz vorgestellt:

1 Potenz, Wurzel und Logarithmus 2 Folgen und Reihen

2

Abschnitt 1: Das Fundament

1 Potenz, Wurzel und Logarithmus 1.1 Potenz Die n-malige Multiplikation einer Zahl a mit sich selbst wird folgendermaßen dargestellt: a" := a - a - a - . . . - a n-mal

Dabei nennt man • • •

a: die Basis n: den Exponent oder die Hochzahl a n : die Potenz

Beispiel 1 (Rechnen mit Exponenten) Investiert wurden 100.000 Euro in Aktien. Nach 6 Monaten notierten die Aktien mit nur noch 75 % ihres ursprünglichen Wertes. Dieser Wert wurde nach weiteren 6 Monaten ebenfalls nur noch zu 75% erreicht. Wie hoch ist der aktuelle Depotwert ? Der Depotwert beträgt nach 6 Monaten:

Wert 6

Monate

= 100.000 - - = 75.000 Euro 4

Der Depotwert beträgt nach 12 Monaten: Wert 12 Monate = 75.000 - = 56.250 Euro 4 Zusammengefasst kann geschrieben werden: Wert 12

Monate

= 100.000 • - • - = 100.000 • 4 4

= 56.250 Euro

Nachfolgend seien die wichtigsten Rechenregeln angeführt:

1 Potenz, Wurzel und Logarithmus

3

Beispiel

Regel .

Regell:

a m • a n = a m+n

(2-2)-(2• 2• 2) = 22 -2 3 = 25 = 32

.

Regel 2:

(am)n=amn

(T)' = (2L-2L -V) = 2

.

Regel 3:

(a • b)n = an • bn

Regel 4:

| |

Regel 5: 6

— = a" a"

Regel 6:

— = a"n a"

=

Regel 1

=2

-64

(2 • 3)2 = (2 • 3) • (2 • 3) = 2 • 2 • 3 • 3 = 2 2 • 32 2 2 _ 3-3-32

^

?Z.3

?,• ?Z, •Z? 3_2 Z • = 2 = 2' = 2 2-2

2

4

(Sonderfall von Regel 5)

Regel 7: a° = 1 (Festlegung)

1° = 2° = 3° = ..= 1

1.2 Wurzel Ist das Ergebnis b aus der Potenz an = b und der Exponent n bekannt, ist die unbekannte Basis a gesucht. Potenzieren wir an mit — , erhält man a selbst: b" = (a n )" = a Man nennt dann b" die n-te Wurzel aus b und schreibt: b n := Vb

4

Abschnitt 1: Das Fundament

Beispiel 2 (Wurzelrechnen) Mit welchem Faktor müssen die ursprünglichen Anschaffungskosten in Höhe von 26.620 Euro jedes Jahr multipliziert werden, um nach 3 Jahren einen Restwert von 20.000 Euro zu erhalten? Der Ansatz 20.000 = 26.620 • x • x • x = 26.620 • x 3 ist nach x aufzulösen: 20.000

3

26.620

0,7513

. 1 Beide Seiten der Gleichung werden mit - potenziert. Man erhält zunächst /

x1

-

(x 3 > = 0,7513 3 und daraus schließlich: x = 0,909 Das entspricht einem Prozentsatz von 90,9%.

Die mit der Wurzelrechnung verbundenen Rechenregeln sind: Regel .

Beispiel

l i | Regell: Va-Vb = a"-b" = ( a b ) n

V2 • V3 = (2 • 3)2 = VÖ

1 Regel 2:

Vä

2V

Vb (

.

V2

(V

Regel 3: " f J a = v

an

\\

/

_ amn _

VV32 = 32 6 = V32 = 2

5

1 Potenz, Wurzel und Logarithmus

1.3 Logarithmus Als Exponentialgleichung bezeichnet man eine von der Variablen x abhängige Gleichung folgender Gestalt:

Bei bekannter Basis a und bekanntem Exponent x lässt sich y leicht berechnen. Ist hingegen das Ergebnis y und die Basis a bekannt, kann der Exponent x mit Hilfe des Logarithmus ermittelt werden. Der Logarithmus eines vorgegebenen Wertes y ist damit diejenige Hochzahl x, mit der man die Basis a potenzieren muss, um y zu erhalten. Zur Ermittlung des Exponenten x rechnet man entweder mit dem dekadischen Logarithmus log zur Basis 10 oder dem natürlichen Logarithmus In zur Basis e (Eulersche Konstante: e = 2,718...). Wird beispielsweise der dekadische Logarithmus angewendet, lässt sich die Gleichung 10" = y nach x auflösen mit: l o g 10=1

10" = y x log 10 = log y x = l o g y Für eine beliebige Basis a gilt: a x = y x loga = logy x =

^ ^ loga

Beispiel 3 (Logarithmus) (1) Basis = 1 0 : 10 x = 10.000 Dann kann x ermittelt werden aus: x = log 10.000 = 4 Probe: 10 4 = 10.000 (2) Basis = 1,1: 100 l , l x = 121. Dann kann x ermittelt werden aus 11X x

U

121 , „ , = — = 1,21 => x log 1,1 = log 1,21 100

log 1,21 „ x=-e-h- =2 log 1,1

6

Abschnitt 1: Das Fundament

Beim Umgang mit dem Logarithmus sind folgende Regeln zu beachten: Regel

Beispiel

•

Regel 1 : log(a • b) = log a + log b

log(10 • 100) = log 10 + loglOO = 1 + 2 = 3

•

Regel 2: log — = l o g a - l o g b IW

log

•

Regel 3: Ioga" = x - I o g a

log 1002 = 2 • log 100 = 2 • 2 = 4

=

loglOO-logl0 = 2 - 1 = 1

1.4 Anwendungsbeispiele in EXCEL 1.4.1 Wurzelberechnung Die Funktion WURZEL(Zahl) gleich 0. A

|

B

liefert die Quadratwurzel einer Zahl größer oder

C

A

1 2

Funktion WURZEL

Wert

9

4

Wert

9

3

5 6 7

Quadratwurzel

=WURZEL(B4)

5 6 7

B

2 3

Funktion WURZEL

3 4

|

1

Quadratwurzel

Wurzeln höherer Ordnung müssen manuell berechnet werden: A 1 2

I

B

I

W u r z e l b e r e c h n u n g mit Formel

1 2 W u r z e l b e r e c h n u n g mit Formel

Wert

3 4

3 4

A

C

9

B T

•

Wert

9 =B4 A (1/3)

-B

5

5 2,08008382

6

Dritte Wurzel

2,25 1,55184557

Vierte Wurzel

=B4*(1/4)

Fünfte Wurzel

7 8

Fünfte Wurzel

=B4 A (1/5)

9 10 Quadratwurzel

3

10 Quadratwurzel 11

=B4 A (1/2)

6 7

Dritte Wurzel Vierte Wurzel

8

11

9

1.4.2 Der Logarithmus Zur Berechnung des Logarithmus einer Zahl bieten sich zwei Funktionen an: Die Funktion LOG(Zahl) liefert den Logarithmus einer positiven Zahl zur Basis 10.

1 Potenz, Wurzel und Logarithmus

7

Die Funktion LN(Zahl) liefert den natürlichen Logarithmus einer positiven Zahl zur Basis e ( 2 , 7 1 8 . . . ) . Die Umkehrfunktion der Funktion LN(Zahl) ist die Funktion EXP(Zahl). Sie potenziert die Basis e mit der angegebenen Zahl. A

I

B

I

c

B

i

1 2 3 4

Logarithmus-Funktionen

Logarithmus-Funktionen

Funktion LOG

F u n k t i o n LOG

5 6

Wert

7 8

Logarithmus

9 10 Probe 11

100 2 100

Wert

100

Logarithmus

=LOG(B6)

Probe

=10068

12 13 F u n k t i o n LN u n d EXP 14 15 Wert

F u n k t i o n LN u n d EXP 1

Wert

1

17 Logarithmus 18

0

Logarithmus

=LN(B15)

19 Probe

1

Probe

=EXP(B17)

16

20

8

Abschnitt 1 : Das Fundament

2 Folgen und Reihen 2.1 Arithmetische Zahlenfolge Unter einer arithmetischen Zahlenfolge versteht man eine Folge a 1; a 2 , .... von Zahlen, wobei die Differenz d je zwei benachbarter Zahlen konstant ist: a 2 - a , = a 3 - a 2 = ... = d Der Index 1, 2, ... der Glieder ai, a 2 , .... dient der Numerierung und bestimmt deren Stellung innerhalb der Zahlenfolge. Bezeichnet • •

ai den ersten Wert der arithmetischen Folge und d die konstante Differenz zweier benachbarter Werte,

kann der i-te Wert ai berechnet werden aus: a

i =a1+(i-l)-d

(1) Beispiel 4 (arithmetische Zahlenfolge) Ein Mitarbeiter erhält im 1. Jahr 1.000 Euro Provision. Innerhalb der nächsten fünf Jahre strebt er eine jährliche Steigerung um 100 Euro an: Jahr 1 Provisionsertrag 1.000 Änderung absolut Änderung in %

2 1.100 100 10%

Wie hoch ist die Provision im 10. Jahr ? Die Provision im 10. Jahr beträgt: a 10 = 1.000 + (10 - !) • 100 = 1.900 Euro

3 1.200 100 9,09%

4 1.300 100 8,33%

5 1.400 100 7,69%

9

2 Folgen und Reihen

2.2 Geometrische Zahlenfolge Unter einer geometrischen Zahlenfolge versteht man eine Folge a b a 2 , .... von Zahlen, wobei der Quotient q j e zwei benachbarter Zahlen konstant ist: = a,

=q a2

Bezeichnet • a, den ersten Wert der geometrischen Folge und •

q = — den Quotienten der benachbarten Werte ai und a 2 , a i

kann der i-te Wert ai berechnet werden aus: a,=a,-q'-'

(2)

Beispiel 5 (geometrische Zahlenfolge) Ein Vermieter erhält im ersten Jahr eine Miete von 1.000 Euro pro Monat. Im Mietvertrag wurde eine jährliche Erhöhung um 3% vereinbart. Jahr 1 Miete/Monat 1.000 Änderung absolut Änderung in %

2 1.030 30 3%

3 1.060,90 30,90 3%

4 1.092,73 31,83 3%

5 1.125,51 32,78 3%

Wie hoch ist die Miete im 10. Jahr ? Mit q = ^ = 1,03 a. berechnet sich die Miete in 10 Jahren zu: a 10 = 1.000 • 1,039 = 1.304,77 Euro

Der Quotient q bestimmt, wie sich die einzelnen Werte der Folge entwickeln: Sie steigen für q > 1 und fallen für q < 1. Bei q = 1 sind alle Folgeglieder konstant.

10

Abschnitt 1: Das Fundament

2.3 Arithmetische Reihe Unter einer arithmetischen Reihe S n versteht man die Summe von n Zahlen ai bis a, einer arithmetischen Zahlenfolge: S„ = a, + a 2 + a 3 +... + a n = a, + (a, + d) + (a, + 2d) +... + (a, + (n - 1 ) • d) Bezeichnet • •

ai den ersten und a n den letzten Wert der arithmetischen Zahlenfolge und n die Anzahl der Werte der arithmetischen Zahlenfolge,

kann die Summe aller Zahlen berechnet werden aus: S„=f-(a,+an)

(3) Beispiel 6 (arithmetische Reihe) Ein Mitarbeiter erhält im 1. Jahr seiner unternehmerischen Tätigkeit eine Tantieme von 1.000 Euro. Sie erhöht sich während der nächsten 4 Jahre um jährlich 300 Euro. Wieviel Tantieme wird er dann in den 5 Jahren insgesamt erhalten ? Während a] mit 1.000 Euro bekannt ist, muss a 5 aus Formel (1) erst berechnet werden: a 5 = 1.000 + (5 - 1 ) • 300 = 2.200 Euro Damit erhält man das Ergebnis: S s = - • (1.000 + 2.200) = 8.000 Euro

Wenden wir uns abschließend der Formelherleitung zu: Sie erfolgt mit einem kleinen Trick. Man schreibt die Werte der arithmetischen Zahlenfolge zweimal untereinander auf. Dabei beginnt die erste Reihe mit ai und endet mit a n , die zweite Reihe beginnt mit a n und endet mit ai. Anschließend werden beide Reihen miteinander aufaddiert:

11

2 Folgen und Reihen

Reihe 1: S„ Reihe 2: S n

= a, = (a,+(n-l)-d»

Ergebnis: 2 • S n = (a, + a n )

+(ai+d) + (a,+(n-2)-d))

+ +

+ (a,+(n-l)-d)) + a.

+ (a, + a n )

+

+ (a, + a n )

Damit ist aber: 2 • S n = n • (a, + a n ) Löst man diese Gleichung nach S n auf, erhält man Formel (3).

2.4 Geometrische Reihe Unter einer geometrischen Reihe S n versteht man die Summe von n Zahlen a\ bis a, einer geometrischen Zahlenfolge: s

n = a i + a 2 + a 3 +... + a n = a, + ( a , -q) + (a, -q 2 ) + ... + (a, •q""')

Bezeichnet • •

ai den ersten Wert der geometrischen Folge und q den Quotienten aus den Werten a.\ und a 2 ,

kann die Summe aller Zahlen berechnet werden aus:

a,-q-1 n

, wenn q * 1 , wenn q = 1 (4)

Beispiel 7 (geometrische Reihe) Ein Vermieter strebt eine jährliche Mieterhöhung um 3% an. Wie hoch sind die während der nächsten 7 Jahre eingenommenen Mieten, wenn von einem Basiswert von 12.000 Euro ausgegangen wird ? Bei einer Wachstumsrate von 3% beträgt q = 1,03. Dann gilt für die Summe aller Mieteinnahmen bei 7 Jahren: S,5 = 1 2 . 0 0 0 - — - = 91.949,55 Euro 1,03 - 1

12

Abschnitt 1: Das Fundament

Die Formel lässt sich über einen kleinen Trick schnell herleiten. Zunächst wird Sn vereinfacht. Man erhält: S„ = a , + ( a , -q) + (a, .q 2 ) + ... + (a, •q n "') = a,-(1 + q + q 2 + q 3 + . . . + q n -') :=x

Um x auszurechnen, schreibt man die geometrische Reihe zweimal untereinander auf. Dabei wird die zweite Reihe mit q multipliziert. Anschließend werden beide Reihen miteinander subtrahiert. Reihe 1: Reihe 2:

x x •q

= 1 + q + q2 + q 3 + ... + q"'1 = q + q2 + q 3 + ... + q"'1 + q n

Ergebnis:

x • (1 - q)

= 1 - 0 - 0 - 0 - ... - 0

- q"

Damit ist: x-(l-q) = l-q" Multiplikation beider Seiten mit dem Faktor (-1) und anschließender Auflösung nach x liefert Formel (4).

Abschnitt 2 Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements Die traditionellen Fragen des Anlage- und Kreditgeschäftes sind es, die uns in diesem Abschnitt beschäftigen werden und im Rahmen der Altersvorsorge und Vermögensplanung stets aktuell sind: Wie hoch ist der Endwert, wenn ein gewisser Betrag für eine bestimmte Zeit angelegt wird? Wieviel ist zur Deckung einer im Ruhestand drohenden Versorgungslücke monatlich anzusparen? Welcher Betrag kann periodisch entnommen werden, um bis zum Lebensende vom Kapitalstock zehren zu können? Im Rahmen der Fremdfinanzierung geht es hauptsächlich um die zu einem bestimmten Zeitpunkt bestehende Restschuldhöhe oder die monatliche Belastung. Im Einzelnen werden behandelt:

1 Einmaleinlagen 2 Renten 3 Kredite

14

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

1 Einmaleinlagen 1.1 Abkürzungen und Grundbegriffe Zum besseren Verständnis der mit finanzwirtschaftlichen Problemstellungen zusammenhängenden „Formelflut" entwickelte sich in der Praxis bezüglich unterschiedlicher Fachbegriffe eine einheitliche Notation. Im folgenden bezeichnet: •

p % den Nominalzins pro Zinsperiode (engl.: per cent) pro 100 Euro im Allgemeinen wird als Zinsperiode das Jahr angenommen 0/o

•

i das Verhältnis -j-^ (engl.: interest), d.h. den Zins pro 1 Euro

• • •

K 0 das Ausgangs- oder Startkapital zum Zeitpunkt 0 K n das Endkapital nach n Zinsperioden Kj den Zwischensaldo nach der j-ten Zinsperiode

•

q mit q = (1+i) den Kapitalisierungsfaktor für 1 Zinsperiode

Zwei Begriffe sind in der Finanzmathematik von grundlegender Bedeutung: Die Zinsperiode und der Zinssatz: Als Zinsperiode bezeichnet man den Zeitraum (Jahr, Monat, Tag ...) zwischen zwei Zinszahlungsterminen. Der erste Zinstag des Verzinsungszeitraumes wird durch die Wertstellung (Valuta) bestimmt. Die Angabe eines Nominalzinses (bei verzinslichen Wertpapieren verbrieft durch den Zinskupon) bezieht sich immer auf den Nennwert der zugrundeliegenden Anlage. Als Nennwert bezeichnet man in der Regel den Betrag, zu dem die Investition bei Fälligkeit zurückgezahlt wird. Dabei kann der Nennwert börsennotierter Wertpapiere vom Ankaufs- oder Verkaufskurs, auch Kurswert genannt, erheblich abweichen. Diese Kurse ermitteln sich durch Angebot und Nachfrage auf dem freien Markt. Der Nominalzins wird in der Regel als Jahreszins p% p.a. (per annum) angegeben und ist gegebenenfalls auf unterjährige Zinszeiträume (bei Monats-, Quartalsgeldern ...) zeitanteilig linear herunterzurechnen. Für die Berechnung des zeitanteiligen Zinssatzes stehen verschiedene Berechnungsvarianten (Usancen) zur Auswahl:

1 Einmaleinlagen

15

Die 30/360-Usance: Bei der deutschen Zinsberechnungsmethode wird das Zinsjahr mit 360 Tagen angenommen. Ein Monat hat dann unabhängig seiner wahren Anzahl von Tagen immer genau 30 Zinstage. Im Einzelnen gilt: •

Ist der Anlagebeginn der 31. Tag eines Monats, so ist der davorliegende 30. Tag der erste Zinstag (Anlagetag wird mitverzinst). Ist dagegen der 31. Tag eines Monats Fälligkeitstag, so sind dieser und der vorangegangene 30. Tag kein Zinstag (Fälligkeitstage werden nicht mehr verzinst). Ist der Anlagetag der 28.2., sind für den Monat Februar noch 2 Zinstage zu berechnen.

• •

Im Fall einer unterjährigen Sparbuchauflösung wird für das Jahr der Auflösung der zeitanteilige Zinssatz berechnet aus:

Z'

n S

anteilig

-

360

• (Rest)Tage

(5)

Die act/360-Usance: Während die deutsche Zinsberechnungsmethode nur 30 Zinstage pro Monat kennt, wird bei der act/360-Usance die tatsächliche Anzahl der Tage eines Monats berücksichtigt. Außer dem Fälligkeitstag ist jeder Kalendertag (einschließlich des Anlagetages) ein Zinstag. Die act/act-Usance: Beim Handel mit verzinslichen Wertpapieren wird auf die act/act-Usance zurückgegriffen. Im Zähler als auch im Nenner der Formel (5) steht die wahre Anzahl der Tage.

1.2 Verzinsung einer Einmaleinlage (ganzzahlige Zinsperioden) 1.2.1 Grundlagen Wird eine einmalige Einzahlung K 0 über n Zinsperioden verzinst, ermittelt man das Endkapital K n nach n Zinsperioden aus (Zinseszinsformel): K n = K 0 - ( l + i)' (6) Die Zwischensalden K 0 bis K n wachsen aufgrund des Zinseszinseffektes exponentiell.

16

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

Beispiel 8 (Berechnung des Endkapitals) Ein Kunde wünscht, dass 10.000 Euro bei seiner Hausbank in Monatsgeld angelegt werden. Als „Preis" wird ein Jahreszins von 8,4% vereinbart. Nach einem Monat verlängert der Kunde seine Anlage um einen weiteren Monat. Anschließend löst er die Anlage auf. Da die Zinsperiode in diesem Fall nicht das Jahr, sondern der Monat ist, muss zunächst der Jahreszins zeitanteilig auf einen Monatszins gemäß Formel (5) umgerechnet werden: O

A 0/

Monatszins = — 360

30 = 0,7%

Dann berechnet sich das Endkapital K 2 nach der Zinseszinsformel zu: K 2 = 10.000- (1 + 0,007) 2 =10.140,49 Euro

Die Wertentwicklung des eingesetzten Kapitals wird in einem Staffelkonto festgehalten. Dabei wird das Startkapital beginnend ab dem EinZahlungstermin verzinst, der Auszahlungs- bzw. Fälligkeitstag dagegen bleibt bei der Zinsberechnung unberücksichtigt:

Beispiel 9 (siehe Beispiel 8) Das Startkapital entwickelte sich folgendermaßen: Datum 01.01.01 01.02.01 01.03.01 01.03.01

Text Einzahlung Zinszahlung Zinszahlung Auszahlung

Bewegung 10.000,00 70,00 70,49 10.140,49

Saldo 10.000,00 10.070,00 10.140,49 0,00

Zinstage 0 30 30

Wenden wir uns der Formelherleitung zu: Das Startkapital wird gemäß Formel (6) über mehrere Zinsperioden verzinst. Der jeweils zum Zinstermin fällige Zins wird dabei dem Kapitalkonto zugeschlagen und in der nächsten Zinsperiode mitverzinst.

1 Einmaleinlagen

17

So gilt für die Höhe des Endkapitals nach zwei Zinsperioden: • K, = K 0 • (1 + i)

(Endsaldo nach der ersten Zinsperiode)

• K 2 = K, • (1 + i)

(Endsaldo nach der zweiten Zinsperiode)

Diese zwei Teilberechnungen können zur einheitlichen Zinseszinsformel auf Basis der exponentiellen Verzinsung zusammengefasst werden: K 2 = K, • (1 + i) = K 0 • (1 + i) • (1 + i) = K 0 • (1 + i) 2 Dabei stellt der Ausdruck (1 + i)2 den Kapitalisierungsfaktor flir zwei Zinsperioden dar. Diese Berechnung für n Zinsperioden durchgeführt, liefert Formel (6).

1.2.2 Ausblick Positive Exponenten innerhalb des Kapitalisierungsfaktors bedeuten eine Aufzinsung des Startkapitals (Problemstellung: Startkapital bekannt - Endkapital gesucht). Der Wert des Exponenten bestimmt dabei die Anzahl der Aufzinsungszeiträume. Negative Exponenten innerhalb des Kapitalisierungsfaktors führen zu einer Abzinsung des Endkapitals (Problemstellung: Endkapital gegeben - Startkapital gesucht). Allgemein bezeichnet man (l+i) n = q" als Aufzinsungsfaktor und (l+i)" n = q~" als Abzinsungsfaktor. Sofern die Kapitalbindungsdauer n und der Zinssatz i übereinstimmen, wird bei der exponentiellen Verzinsung ein Aufzinsungsvorgang durch einen Abzinsungsvorgang kompensiert: n K no = K 0o -(1 = Ko0 v + i)> •( 1—+ -. — )n

Bei der linearen Verzinsung kann eine Aufzinsung hingegen nicht durch eine Abzinsung kompensiert werden. Die lineare Aufzinsung ist definiert durch K n = K 0 - ( l + n-i) und die lineare Abzinsung ist definiert durch K0 = K „ - ( l - n - i ) . Dann ist aber: K 0 * K 0 • (1 + n • i) • (1 - n • i)

18

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements Beispiel 10 (Abdiskontieren - lineare Abzinsung) Ein Wechsel über 1.000 Euro ist in 3 Monaten fällig und wird vom Kreditinstitut angekauft. Der Verkäufer des Wechsels erhält dann den Wechselbetrag abzüglich eines Diskontabschlages von 5% seinem Konto gutgeschrieben: K 0 = 1.000 • ( ! - — • 0,05) = 987,50 Euro Unsinnig ist die lineare Verzinsung, wenn der Wechsel beispielsweise erst in 30 Jahren fällig würde: K 0 = 1.000 • (1 - 30 • 0,05) = -500 Euro (entspricht einer Zuzahlung!)

Die Zinseszinsformel läßt die Lösung unterschiedlichster Probleme zu: So erhält man für die Berechnung des Startkapitals K0 =

Kn (l + i)n (V)

und für die Berechnung des Zinssatzes:

(8)

Beispiel 11 (Berechnung des Zinssatzes) Bei einem Jahreszins von p% und jährlicher Verzinsung werden in drei Jahren 1.200 Euro erreicht. Eingesetzt wurden 1.036 Euro. Dann berechnet sich der zugrundeliegende Zinssatz aus: / P=

1 1.200V 1.036

N •100 = 5,02%

1 Einmaleinlagen

19

Auch die Berechnung der Laufzeit gestaltet sich nicht schwierig: Aus K n = K 0 • (1 + i)n = K 0 • q" folgt durch Logarithmieren: K

Diese Gleichung nach n aufgelöst, ergibt: n =

logKn-logK± logg

(9)

Beispiel 12 (Berechnung der Laufzeit) Bei einem Jahreszinssatz von 5% und jährlicher Verzinsung werden in n Jahren 1.200 Euro erreicht. Eingesetzt wurden 1.036 Euro. Dann berechnet sich die Laufzeit aus: logl.200-logl.036 3,0792-3,0154 „TU n = —5 = = 3 Jahre log 1,05 0,0212

1.3 Verzinsung einer Einmaleinlage (gebrochene Zinsperioden) 1.3.1 Grundlagen Wird eine einmalige Einzahlung K 0 über n ganze Jahre und einer aus t Tagen bestehenden Restzinsperiode verzinst, ermittelt man das Endkapital K t aus: n+

360

(10)

Beispiel 13 (Berechnung des Endkapitals) Es werden auf einem Sparbuch am 1.7.01 1.000 Euro angelegt und 3 Jahre später abgehoben. Eine Zinsgutschrift erfolgt jährlich zum 1.1.

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

20




1.7.04

=1.000- ' l + 0 , 0 6 - — ^ •(1 + 0,06)^1 1 + 0 , 0 6 - ^ | = 1.192,03 Euro 360

1.3.2 Ein Vergleich unterschiedlicher Sparformen Von der Zinshöhe und Verrechnungsmethode hängt es ab, wie hoch das Endkapital ist. In der folgenden Fallstudie soll die Kapitalentwicklung der Anlagealternativen • • •

aufgezinster Sparbrief Termingeld Sparbuch

näher betrachtet werden. Fall: Ein Kunde legt bei seiner Hausbank zum 1.7.01 10.000 Euro zu 12% p.a. an. Nach 3 Jahren möchte er das Geld inklusive Zinsen wieder abheben. (1) Anlage in einen aufgezinsten Sparbrief Die Zinsen werden zum 1.7. eines jeden Jahres gutgeschrieben, erstmalig am 1.7.02. Da der Kunde erst nach drei Jahren über den Sparbrief verfügen kann, erhält er insgesamt: K 3 =10.000-(1 + 0,12) 3 =14.049,28 Euro Datum 1.7.01 1.7.02 1.7.03 1.7.04 1.7.04

Text Einzahlung Zinszahlung Zinszahlung Zinszahlung Auszahlung

Bewegung 10.000,00 1.200,00 1.344,00 1.505,28 14.049,28

Saldo 10.000,00 11.200,00 12.544,00 14.049,28 0.00

Zins 1.200,00 1.344,00 1.505,28

21

1 Einmaleinlagen

(2) Anlage in ein Termingeldkonto mit monatlicher Zinsbindung Die Zinsgutschrift erfolgt auf dem Kapitalkonto monatlich. Da ein Jahreszins von 12% vereinbart wurde, muss der Jahreszins auf einen Monatszins umgerechnet werden: Er beträgt 1%. Für den Endsaldo nach 36 Monaten gilt damit: K 3 6 = 10.000 • (1 + 0,01) 36 = 14.307,69 Euro (3) Anlage in das Sparbuch Da der Kunde am 1.7.01 sein Geld anlegt und die Zinsgutschrift bei einer Sparbuchanlage zum 1.1. erfolgt, werden für • • •

das laufende Jahr Zinsen aus 6 Monaten (entspricht zeitanteilig 6%), die folgenden zwei Jahre jeweils Zinsen aus einem Jahr (also 2 mal 12%), die letzten 6 Monate wieder zeitanteilig Zinsen in Höhe von 6% berechnet.

Das Endkapital berechnet sich damit zu: K 3 = 10.000 • 1,06 • 1,122 • 1,06 = 14.094,44 Euro

1.4 Die konforme Verzinsung („faire Verzinsung") 1.4.1 Grundlagen Teilt man das Zinsjahr in n unterjährige Zinsperioden, liefert ein der unterjährigen Zinsperiode angepasster konformer Zinssatz Pkonform denselben Endwert wie der ursprüngliche Jahreszins p p a nach einem Zinsjahr. Der konforme Zinssatz berechnet sich aus:

Pkonform

f

1

^ (l + i p , ) n - l •100 V

(11) Beispiel 14 (konforme Verzinsung) Ein Kreditinstitut bietet Jahresfestgeld zu 5% an. Alternativ kann der Kunde eine Investition in Festgeld mit halbjährlicher Zinsverrechnung tätigen. Die Bank möchte wissen, wie hoch der Halbjahreszins zu wählen ist, damit die Endsalden beider Anlagen identisch sind. Aus Formel (11) berechnet man:

22

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements 1 \ (1 + 0,05) 2 - 1 100 = 2,4695%

P konform

Probe: (1 + 0,024695) 2 = 1,05 %

Die Formel zur Berechnung des konformen Zinssatzes lässt sich leicht herleiten. Dabei sind nur beide Anlagealternativen (die Jahresgeldanlage und die unterjährige Geldanlage) gleichzusetzen. So gilt bei n unterjährigen Zinsterminen: K0-(l

+

i) = K 0 -(l + ikonforTn)"

Jahresgeldanlage

unterjährige Geldanlage

Dann ist: (1 + i)" = ( l + i k o n f o n J Schließlich: f »konform =

0

+

0 "

P konform

l

\

(l + i) n - 1 •100

1.4.2 Ausblick Leider kann der konforme Zinssatz nicht einfach aus der linearen Umrechnung •konform = ~~ n

berechnet werden, denn daraus folgt unweigerlich:

K0-(l + i ) * K 0 ^ l + £ j Dieser Sachverhalt verdient zum Beispiel bei der Sparbuchanlage Beachtung: Bei dieser Anlageform können trotz identischer Anlagedauer und identischem Nominalzins je nach Einzahlungszeitpunkt unterschiedliche Endsalden erzielt werden.

Beispiel 15 (konforme Verzinsung) Zwei Freunde A und B wetten um einen Cappucino, wer nach 1 Jahr Anlagedauer auf einem Sparbuch zu identischen Konditionen (Zinssatz 5%) mehr Geld besitzt. Der Einlagebetrag sei 1.000 Euro. A legt kurzentschlossen sein Geld zu

23

1 Einmaleinlagen

Jahresbeginn an und erwirtschaftet inklusive Zinsen 1,050 Euro. Da B den Zinssatz und die Anlagedauer nicht verändern kann, erscheint die Realisierung eines höheren Endbetrages nur über einen optimierten Anlagezeitpunkt möglich: Er wählt den 1.7. und realisiert 1 Jahr später 1.050,63 Euro. K, =1.000-^1 + —

=

1.050,63 Euro

Fazit: Während A nur 1 Zinsverrechnungstermin realisiert hat, konnte B zwei Zinsverrechnungstermine realisieren (zum 1.1. und 1.7 des folgenden Jahres). Für Anleger B wäre der „faire" Zinssatz dann mit 2,4695% pro Halbjahr festzulegen. Alternativ entspricht das einem Sparbuchjahreszins von 4,939%. Probe: Beträgt der Jahreszins des Sparbuches 4,939%, entwickelt sich der Kontostand folgendermaßen: Datum 1.7.01 1.1.02 1.7.02 1.7.02

Text Einzahlung Zinszahlung Zinszahlung Auszahlung

Bewegung 1.000,00 24,70 25,30 1.050,00

Saldo 1.000,00 1.024,70 1.050,00 0,00

Zins 24,70 (4,939% / 2) 25,30 (4,939% / 2)

Als weiteres Beispiel für die Unschärfe eines linearen Herunterrechnens des Jahreszinses auf einen unterjährigen Periodenzins dient die Methodik der Aufwands- und Ertragsabgrenzung:

Beispiel 16 (Erfolgsabgrenzung - konforme Verzinsung) Am 1.7.01 verleiht die Bank für 1 Jahr 1.000 Euro zu einem Zinssatz von 6,09% p.a. Am 1.1.02 sollen die Zinserträge von 60,90 Euro periodengerecht abgegrenzt werden. Beim linearen Abgrenzungsverfahren erfolgt die Zinsverrechnung zeitanteilig linear: Datum 1.7.01 1.1.02 1.7.02

Bewegung 1.000,00 30,45 30,45

Saldo 1.000,00 1.030,45 1.060,90

Zins 0,00 30,45 30,45

Zins in % 3,045 2,96

24

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

Innerhalb des Kontos muss im 2. Halbjahr ein Zinswechsel stattfinden, da der in dieser Periode angefallene Zinsanteil von 30,45 Euro auf Basis des Zwischensaldos vom 1.1.02 berechnet wird. Bei konsequenter Fortsetzung des Kontos mit dem Zinssatz von 3,045% würden dagegen 0,93 Euro an Zinsen zuviel berechnet werden. Gefunden werden sollte demnach ein für beide Halbjahre geltender Periodenzins, welcher exakt nach zwei Zinsverrechnungen und damit auch Zinsperioden den Endsaldo in Höhe von 1.060,90 Euro liefert. Diese Forderung erfüllt der konforme Halbjahreszins von 3%: Datum 1.7.01 1.1.02 1.7.02

Bewegung 1.000,00 30,00 30,90

Saldo 1.000,00 1.030,00 1.060,90

Zins 0,00 30,00 30,90

Zins in % 3 3

1.5 Stetige Verzinsung Das Prinzip der stetigen Verzinsung ist für den Praktiker im Finanzdienstleistungsgeschäft eher theoretischer Natur. In der Wirtschaftstheorie oder Investitionsrechnung dagegen bietet diese Verzinsungsmethode ein äußerst elegantes Instrument zur Bewertung kontinuierlicher Zahlungsströme. Abgesehen von ökonomischen Problemstellungen findet die stetige Verzinsung auch Anwendung im physikalischen Bereich (radioaktive Zerfallsprozesse), chemischen Bereich (Umsetzungsprozesse) oder auch biologischen Bereich (organische Wachstumsprozesse). All diesen Prozessen gemeinsam ist die Tatsache, daß sie permanent, also stetig ablaufen und die den Prozessen unterworfenen Materialien kontinuierlich verändern. In unserer linearen Aufzinsungswelt haben wir bisher vorausgesetzt, daß sich eine Zinsperiode mit vorgegebenem Zinssatz p in n endlich viele Teilzinsperioden untergliedern läßt. Der dazu passende lineare Teilperiodenzins ist dann mit

o/0 n

gegeben.

Wie jedoch verhält sich die Höhe des Endkapitals, wenn die Anzahl der unterjährigen Zinsperioden und damit auch die Anzahl der Zinsverrechnungen immer größer gewählt wird, letztendlich n also gegen unendlich strebt?

Beispiel 17 (Stetige Verzinsung) 1.000 Euro sollen ein Jahr lang verzinst werden. Der Jahreszins p betrage dabei 6%.

25

1 Einmaleinlagen

Erfolgen die Zinsverrechnungen im Abstand — - Jahre, ergeben sich für das n Endkapital folgende Werte: Zinsverrechnung pro Jahr Monat Tag Stunde Minute Sekunde

Anzahl Zinsverrechnungen (n) 1 12 365 8760 525600 31536000

Zinssatz pro Teilzinsperiode 6,00000000 0,50000000 0,01643836 0,00068493 0,00001142 0,00000019

Endwert nach einem Jahr 1.060,0000 1.061,6778 1.061,8313 1.061,8363 1.061,8365 1.061,8365

Obwohl innerhalb des Jahres die Zinsverrechnungszeiträume immer kleiner werden bzw. deren Anzahl größer wird, wächst das Endkapital nicht ins Unendliche. Es nähert sich einem Grenzwert, der nicht überschritten wird. Wird weiter angenommen, dass der Jahreszins 100% beträgt, ergibt sich in Abhängigkeit von n für 1 Euro folgende Wertentwicklung: Zinsverrechnung pro Jahr Monat Tag Stunde Minute Sekunde

Anzahl Zinsverrechnungen (n) 1 12 365 8760 525600 31536000

Zinssatz pro Teilzinsperiode 100,00000 8,33330 0,27390 0,01140 0,00020 0,000003

Endwert nach einem Jahr 2,000 2,613 2,715 2,717 2,718 2,718

Auch jetzt nähert sich mit immer kleiner werdenden Zinsverrechnungszeiträumen die Folge der Endkapitalbeträge einer Zahl, die nicht überschritten wird. Dieser Wert heiß e (Eulersche Konstante mit dem Wert 2,71828182...) und dient als Basis für den natürlichen Logarithmus In. Mit einer Jahresverzinsung von 100% gilt für beliebige Jahre m also: K m = K 0 • e m ' mit i = 1 (entspricht 100%) Diesen Prozess nennt man stetige Verzinsung des Ausgangskapitals K 0 . Er kann für beliebige Zinssätze i verallgemeinert werden.

26

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

1.6 Anwendungsbeispiel in EXCEL Nachfolgend werden zunächst Formeln als Lösungshilfen angeboten. Abschnitt 2 bietet dann funktionenunterstütze Lösungsvorschläge.

Beispiel Für Einmaleinlagen kann in Abhängigkeit der bekannten Größen entweder der Zins, das Startkapital, die Laufzeit oder das Endkapital berechnet werden. In die Eingabefelder sind alle bekannten Werte einzugeben. Die Zelle der unbekannten Größe wird mit 0 vorbelegt. In den Ausgabefeldern erscheinen anschließend die vorgegebenen Werte und die berechnete Größe. A

|

B

I-

C

!

2 Verzinsung einer Einmaleinlage (Formeln) 3 4

A I 1 2 Verzinsung eil 3 4

b

fr

1

Eingabe

6 7

Zinssatz Startkapital a Laufzeit 1 0 Erdkapital 11 1 2 Ausgabe ö

13 14 15 16 17 18

Zinssatz Startkapital Laufzeit Endkapital

0% 1036 3 1200

B

Eingabe

6 7 Zinssatz 8 Startkapital 9 Laufzeit 1 0 Endkapital

0 1036 |3 1200

11 1 ? Ausgabe 5,02% 1036,00 3,00 1200,00

13 14 15 ifi 17 18

Zinssatz Startkapital Laufzeit Endkapital

= W E NN (B7=0; (B10/B8) A (1 /B9)-1; 87) =WENN(B8=0;B10/(1 +B7)*B9; B8) =WENN(B9=0; (LOG(B10)-LOG(B8))/LOG(1 + =WENN(B10=0;B8*(1 +B7) A B9;B10)

2 Rentenrechnung

27

2 Rentenrechnung 2.1 Grundbegriffe und Abkürzungen Eine Rente ist die Gesamtheit aller in gleichen Zeitabständen periodisch wiederkehrenden Zahlungen. Die einer Rente zugrundeliegenden Einzelzahlungen bezeichnet man als Rate. In gleichen Zeitabständen wiederkehrende Raten trifft man im Passivbereich der Banken bei Sparvorgängen (z.B.: Vorsorgesparen) bzw. im Aktivgeschäft der Banken bei Tilgungsleistungen zur Schuldenrückführung an. Wird die Ratenzahlung aus einem gegebenen Kapitalstock finanziert, kann diese Zahlung nur so lange erfolgen, bis das ihr zugrunde gelegte Ursprungskapital aufgezehrt ist (endliche Rente). Werden ausschließlich die aus dem Kapitalstock erzielten Zinsen für eine Rente verwertet, spricht man von einer ewigen Rente. Die Analyse von Renten befaßt sich dabei beispielsweise mit den Fragen, • • • •

wie hoch die einzelnen Raten sein müssen, um ein vorgegebenes Sparziel zu erreichen, welchen Wert eine Rente einschließlich Zinseszinsen zu einem bestimmten Zeitpunkt hat, wie lange die Laufzeit einer Rente ist, bis der vorgegebene Kapitalstock aufgezehrt wurde, wie lange die Laufzeit sein muss, um ein vorgegebenes Sparziel zu erreichen.

Zum besseren Umgang mit den in der Rentenrechnung zusammenhängenden Formeln entwickelte sich in der Praxis bezüglich unterschiedlicher Fachbegriffe eine einheitliche Notation. Die in diesem Kapitel gebräuchlichsten Abkürzungen sind • • • •

die periodisch wiederkehrende Rate r, der Rentenendwert R n aller n geleisteten Raten, der Rentenbarwert bzw. Kapitalstock K 0 aller zu leistenden Raten und der Zwischensaldo Rj nach j Ratenzahlungen inklusive Zinseszinsen.

Als Zinsperiode wird in den nachfolgenden Kapiteln, wenn nicht anders vereinbart, das Kalenderjahr angenommen.

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

28

2.2 Renten in der Ansparphase (Zahlungstermin = Zinstermin) 2.2.1 Grundlagen Wenden wir uns zunächst den nachschüssigen Renten zu: Traditionell wird eine nachschüssige Rente durch n periodische jeweils zum Ende einer Zinsperiode wiederkehrende Zahlungen gleicher Höhe definiert, wobei sich die letzte Rate nicht mehr verzinst: r

0

1

r

2

r

r A

r 4\

r /N

A

3

4

5

n-2

r

r /N

n-1

n

Da die letzte der innerhalb der Laufzeit zu zahlenden Raten mit dem letzten Zinsperiodenende zusammenfällt, bezeichnet man diese Rente auch als jährlich nachschüssige Rente. Mit q:= 1+i gilt für den Rentenendwert R n aller n nachschüssig geleisteten Raten:

R„ = r

q

q-1 (12)

Beispiel 18 (Ansparphase - nachschüssig) 10 Jahre lang werden zum Jahresende 1.000 Euro auf ein Kapitalkonto eingezahlt. Der Jahreszins wurde mit 7% vereinbart. Gesucht ist das zum Laufzeitende bestehende Endkapital. Zahlung zum Ende des Jahres 1 2 3

Verzinsung der jährlichen Zahlung über... Jahre 9 Jahre 8 Jahre 7 Jahre

Endkapital der 1.000 Euro am Laufzeitende nach 10 Jahren 1.000-1,07 9

8 9 10

2 Jahre 1 Jahr 0 Jahre

1.000-1.07 2 1.000-1,07'

1.000 -1.078 1.000 -1,077

1.000-1.07° Summe:

Ergebnis (Euro) 1.838,46 1.718,19 1.605,78 1.144,90 1.070,00 1.000,00 13.816,45

2 Rentenrechnung

29

Formel (12) fuhrt zum gleichen Ergebnis: R 10 = 1.000 •

1 0710 - 1 T = 13-816,45 Euro 1,07-1

Wie gelangt man zu dieser Formel? Mit q:= 1+i gilt zunächst allgemein: R n = r • q""1 + r • q n " 2 + r • q n " 3 +... + r • q 3 + r • q 2 + r • q1 + r • q° Verzinsung über ... Perioden

Ausklammern von r liefert: Rn=r-(qn-,+qn-2+qn-3+... + q2+q1+q0)

Um den innerhalb der Klammer stehenden Ausdruck (geometrische Reihe) vereinfachen zu können, muss auf bereits geleistete Vorarbeit zurückgegriffen werden. Gemäß Formel (4) in Abschnitt 1 erhält man S =

qn-l q-1

und dann schließlich: R„ = r-

q"-l q-1

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

30

2.2.2 Ausblick Traditionell wird eine vorschüssige Rente durch n periodische jeweils zu Beginn einer Zinsperiode wiederkehrende Zahlungen gleicher Höhe definiert, wobei sich die letzte Rate noch über eine Zinsperiode verzinst:

A

r A

r A

2

3

4

r

r

r

A

A

0

1

A

r A

r A

5

n-2

n-1

n

Die letzte der innerhalb der Laufzeit zu zahlenden Raten fällt mit dem vorletzten Zinsperiodenende zusammen. Daher bezeichnet man diese Rente auch als jährlich vorschüssige Rente. Damit liegt der Unterschied zur nachschüssigen Rente nur darin, dass sich alle Raten um eine Periode länger verzinsen. Mit q:=l+i gilt für den Rentenendwert Rn aller n vorschüssig geleisteten Raten: R„=r-q

q-1 (13)

Formel (12) wurde also nur um den Faktor q (eben 1 Zinsperiode mehr) erweitert. Den Ausdruck q " - l bezeichnet man als nachschüssigen Rentenendwertfaktor q-1 und den Ausdruck q q " - l als vorschüssigen Rentenendwertfaktor. q-1

Beispiel 19 (Ansparphase - vorschüssig) 10 Jahre lang werden jeweils zu Jahresbeginn 1.000 Euro vorschüssig auf ein Kapitalkonto eingezahlt. Der Jahreszins wurde mit 7% vereinbart. Gesucht ist das Endkapital zum Jahresende. Formel (13) liefert: R,10n = 1.000 1 , 0 7 = 1,07-1

14.783,60 Euro

31

2 Rentenrechnung

2.3 Renten in der Ansparphase (Zinstermin ^Zahlungstermin) 2.3.1 Grundlagen Werden innerhalb eines Zinsjahres mehrere Raten geleistet, wobei die letzte Ratenzahlung innerhalb des Jahres zum Jahresende erfolgt, bezeichnet man diese Rente als unterjährig nachschüssige Rente. Die letzte aller Raten verzinst sich damit nicht mehr. Für den Rentenendwert R 12 (auch Jahresersatzrate genannt) gilt bei monatlich nachschüssiger Ratenzahlung zum Jahresende:

(14) Soll der Rentenplan über n Jahre erfolgen, berechnet sich der Endsaldo bei monatlich nachschüssiger Ratenzahlung nach n Jahren aus:

R

12n

-

R

12'

(15) Diese Formel ist schließlich nur ein Spezialfall der Formel (12).

Beispiel 20 (Ansparphase unterjährig - nachschüssig) Ein Kunde zahlt Ende Januar und zu den jeweils folgenden Monatsenden auf sein Sparbuch 65 Euro ein. Wie hoch ist das Endkapital nach dem ersten Jahr und nach 7 Jahren? Der Sparbuchzinssatz wurde mit 2,5% vereinbart. Damit berechnet sich der Endwert zu: /

R „12 =12-65- 1 + V

0,025 l H 1,0257 - 1 = 5.954,47 Euro 12 ' 2) 0,025

788,94

32

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

Nun zur Herleitung der nachschüssigen Ersatzrate: Werden innerhalb eines Jahres 12 monatlich gleichhohe periodische Raten r gezahlt, berechnen sich die daraus resultierenden Zinsen zj (j = 1, 2, ...,12) zum Jahresende •

für die 1. Rate zum Ende des 1. Monats aus:

z, = r • — • i 1 12

•

für die 2. Rate zum Ende des 2. Monats aus:

z-, = r

•

für die 3. Rate zum Ende des 3. Monats aus:

i 12 z3 = r 9 i 12 2

fur die 11. Rate zum Ende des 11. Monats aus:

z,, = r • — • i " 12

fur die 12. Rate zum Ende des 12. Monats aus:

z,,12 = r

12

i

Die Summe aller Zinsen ergibt sich aus: j2

Zj

=r

Z2 + Z3

... -H Zj Q -f* Z j j

^12 —

11 . 10 . 9 . 2 . 1 . 0 . l+r l+r i + ... + r l+r l+r 1= 12 12 12 12 12 12

= r - i — (11 + 10 + 9 + .. . + 2 + 1 + 0) 12 i . i S|2 Der innerhalb der Klammer stehende Ausdruck S ) 2 kann vereinfacht dargestellt werden (siehe Formel (3) in Abschnitt 1): 12-11

2 Damit ergibt sich Formel (14): ™ R n =12-r + Z n =12-r + r-i

1 12-11 = 12-r- 1 + i 11 12 2 l 12 2

2 Rentenrechnung

33

Die zu den Monatsraten r konforme jährlich nachschüssige Ersatzrate R ) 2 besitzt eine durchaus anschauliche Bedeutung: So wäre es in Beispiel 20 einem Geldempfänger egal, ob er bei einer Verzinsung von 2,5% eine nachschüssig monatliche Ratenzahlung von 65 Euro leistet oder einmalig zum Jahresende die Ersatzrate in Höhe von 788,94 Euro.

2.3.2 Ausblick Werden innerhalb eines Jahres mehrere Raten geleistet, wobei die letzte der innerhalb des Jahres gezahlten Raten eine Zahlungsperiode vor dem Zinstermin erfolgt, bezeichnet man diese Rente als unterjährig vorschüssige Rente. Die letzte aller Raten verzinst sich also noch über eine Zahlungsperiode hinweg. Für den Endsaldo nach n Jahren gilt:

(16)

2.4 Ein Spezialfall vorschüssiger Renten: Fondssparplan Kein Sparbuch im klassischen Sinne liegt dem Fondssparplan zugrunde. Fondssparpläne werden zwar in der Regel auch vorschüssig monatlich bedient, eine Zinsverrechnung erfolgt jedoch nicht jährlich, sondern börsentäglich. Dies liegt einfach daran, dass der Anlagegegenstand ein täglichen Kursschwankungen unterliegendes börsengängiges Wertpapier (Aktie, verzinsliches Wertpapier) ist und sich demzufolge „stetig" verzinst. Wird vereinfachend angenommen, dass eine Verzinsung zu den monatlich vorschüssigen Zahlungszeitpunkten erfolgt, berechnet sich der Endwert aller Einzahlungen aus: (

i V 2n

R,2„=r-q12^ (17)

34

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

Beispiel 21 (Ansparphase eines Fondssparplanes - vorschüssig) Eine Investmentgesellschaft prognostiziert für ihren Fondssparplan eine 4%-ige Verzinsung. Bei einer Laufzeit von 10 Jahren und einer monatlich vorschüssigen Ratenzahlung von 100 Euro kann der Anleger erwarten: \ 12 10

1,04' = 14.717,62 Euro

R-1210 = 100 • 1,0412 • — 1,0412 - 1

Dieses Formelergebnis kann auch sukzessive aus mehreren Einzelschritten ermittelt werden: 120

H9

U8

_2

J_

R, 20 = 100 • 1,04 12 + 100 • 1,04 12 +100 • 1,04 12 +... +100 • 1,0412 +100 • 1,0412 = Verzinsung über

Verzinsung über

Verzinsung über

Verzinsung über

Verzinsung über

120 Monate

119 Monate

118 Monate

2 Monate

l Monat

112 Iii J_ il^ 1,04 12 +1,04 12 +... +1,04 12 + 1,0412

= 100-1,04'

J

( = 100-1,04'

119

12

1,04

J

1,04'

vv

j

(

i \ 120 1,04'

(

-1

= 100-1,04' 1,0412 - 1

^

(

±y

12

+ ...+ 1,04

i \o \

( 1,04'

35

2 Rentenrechnung

2.5 Renten in der Kapitalverzehrsphase 2.5.1 Grundlagen Ausgehend von einem Kapitalstock K 0 unbekannter Höhe werden periodisch nachschüssig zu den jeweiligen Zinsterminen Raten abgehoben: r A

r

r

r

r

A

A

A

A

r A

r A

n-2

n-1

r A

V K0 Soll nach n Abhebungen der Kapitalstock aufgezehrt sein, berechnet sich K 0 aus der Rentenbarwertformel (im Kreditgeschäft auch als Annuitätenformel bekannt):

K nu = —n • r • 1 q q-l

bzw. KUn = r • - — -1— q-l

(18)

Der innerhalb der Rentenbarwertformel auftretende Ausdruck

q-l Aufzinsungsfaktor

besitzt eine anschauliche Bedeutung. Alle auf den Planungshorizont aufgezinsten Raten werden nachfolgend auf den Zeitpunkt 0 abgezinst. Dieser Betrag (auch Rentenbarwert genannt) entspricht damit gerade dem gesuchten Kapitalstock K 0 :

36

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

Beispiel 22 (Kapitalverzehrsphase - nachschüssig) Ein Anleger möchte von einem Kapitalstock K 0 unbekannter Höhe 10 Jahre lang jährlich nachschüssig 3.000 Euro abheben. Dabei ist zu berücksichtigen, dass eine Verzinsung des Restkapitals zu 3% p.a. erfolgt. Der Kapitalstock berechnet sich dann aus: 1 - 1 03"'° 2 = 25.590,61 Euro 0,03

K n0 =3.000

Zeitpunkt 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Text Startsaldo Zwischensaldo Zwischensaldo Zwischensaldo Zwischensaldo Zwischensaldo Zwischensaldo Zwischensaldo Zwischensaldo Zwischensaldo Zwischensaldo

Rate 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bewegung 25.590,61 - 3.000,00 - 3.000,00 -3.000,00 - 3.000,00 - 3.000,00 - 3.000,00 - 3.000,00 - 3.000,00 - 3.000,00 - 3.000,00

Saldo 25.590,61 23.358,33 21.059,08 18.690,85 16.251,57 13.739,12 11.151,30 8.485,83 5.740,41 2.912,62 0,00

Zinsen 0,00 767,72 700,75 631,77 560,73 487,55 412,17 334,54 254,58 172,21 87,38

2.5.2 Ausblick Ausgehend von einem Kapitalstock K 0 unbekannter Höhe werden monatlich nachschüssig Raten abgehoben. Soll nach n Jahren der Kapitalstock aufgezehrt sein, berechnet er sich aus:

K n = 12-r- 1 +

i 12

in 1 2)

q -1

Da es dem Anleger egal ist, ob er • •

bei einem vereinbarten Zinssatz monatlich nachschüssige Raten oder die zu diesen 12 Monatsraten äquivalente nachschüssige Jahresersatzrate

abhebt, ist Formel (19) nur ein Spezialfall der Formel (18).

(19)

2 Rentenrechnung

37

Beispiel 23 (Kapitalverzehrsphase unterjährig - nachschüssig) Von einem zu dem Zeitpunkt 0 auf dem Sparbuch eingezahlten Einmalbetrag K 0 können über ein Jahr lang monatlich nachschüssig 100 Euro abgehoben werden. Nach 12 Raten soll der Kapitalstock bei einem Zinssatz von 5% aufgezehrt sein. Mit n = 1 gilt:

Soll der Kapitalstock einer monatlichen Abhebungsrate über zwei Jahre dienen, beträgt er:

2.6 Kombinationsmodell von Anspar- und Kapitalverzehrsplan 2.6.1 Der erste Praxisfall Julius C. (55 Jahre) fragt: „Ich möchte in 5 Jahren 13 Jahre lang aus einer Geldanlage monatlich 5.000 Euro entnehmen. Zur Verfügung stehen mir 300.000 Euro. Reicht dieser Betrag oder müsste noch eine monatliche Sparleistung erbracht werden? Wie viel wäre noch zusätzlich monatlich zu erbringen, um eine lebenslange zu erhalten? "

Rente

Bei einer Verzinsung der Geldanlage von 10% stehen Herrn C. in 5 Jahren zur Verfugung: 300.000 1,15 =483.153 Euro Er möchte 13 Jahre lang monatlich 5.000 Euro aus einem Kapitalstock (noch) unbekannter Höhe entnehmen. 12 Monatsraten entsprechen zunächst einer Jahresersatzrate von: f oi i n I 01 1 R 12 =12-5.000- 1 + — • — = 60.000- 1 + — - 5 , 5 =62.750 Euro 12 l 12 2 J

38

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

Dann beträgt die Höhe des notwendigen Kapitalstocks: K n0 = 62.750

1-1 -r13 0,1

445.736 Euro

Eine Zuzahlung ist damit nicht mehr notwendig. Hinweis: Bei einer Verzinsung von 9% würde das Ziel bereits nicht mehr erreicht werden. Nun zur zweiten Frage: Herr C. wäre von einer lebenslangen Rente nicht abgeneigt. Gemäß der Sterbetafel 94/96 beträgt die Lebenserwartung des Herrn Julius C. ca. 23 Jahre. Der dieser Rente zugrunde liegende Kapitalstock müsste damit betragen: K 00 - 62.750

1-11" 2 3 ^ = 557.422 Euro 0,1

Damit wären innerhalb von 5 Jahren noch 74.269 Euro anzusparen. Die monatlich vorschüssige Sparrate kann durch Umstellung der Formel (16) R.2„=12t-

1+

i.l3Vq^l 12 2 )

q-1

nach der Rate r gewonnen werden. Es ist: 74.269 = 12-r-

0,1 13 ^ 1,1 — 1 = 77,23-r 12 2 0,1

1+ -

Die Ratenhöhe beträgt damit 961,66 Euro.

2.6.2 Der zweite Praxisfall (geometrische Rente) Hubert K. (40 Jahre) stellt zu seinem Entsetzen fest, dass die Vorsorgelücke, bezogen aufsein gegenwärtiges Nettoeinkommen, pro Monat 2.000 Euro beträgt: „Da ich auf meinen gegenwärtigen Lebensstandard auch im Ruhestand nicht verzichten will, möchte ich von Ihnen wissen, wie hoch meine monatliche Sparleistung sein muss, um diese Lücke im Ruhestand schließen zu können. "

2 Rentenrechnung

39

Die Frage, ab wann er gedenkt, seinen Ruhestand zu genießen, beantwortet er mit 60 Jahren. Damit sind zwei Probleme geklärt: (1) Dauer der Ansparphase: 20 Jahre (2) Dauer der nachschüssigen Kapitalverzehrsphase lt. Sterbetabelle: ca. 23 Jahre Die Inflationsrate nehmen wir mit 2% an (Maastricht sei Dank!). Dann entsprechen „heute" 12 Monatsraten zu j e 2.000 Euro in 20 Jahren einem inflationsbereinigten Wert von: 2.000 • 12 • (1 + l 12

.111. i 02 19 = 35.284 Euro

2)

Alle nachfolgenden jährlichen Abhebungsbeträge erhöhen sich um den Faktor 1,02. Wie gelangen wir nun zu dem gesuchten Kapitalstock? Wir wissen, dass die Summe aller auf den Zeitpunkt 0 abgezinsten Raten dem gesuchten Kapitalstock K 0 entspricht (diese Feststellung trafen wir in Kapitel 2.5): Kapitalstock = 35.284 •

f 1,02 ^i + 35.284- a o 2

i,i

l 1,1 ) = 35.284-

( 11 ^

-l + 35.284

L 1,02 J

= 35.284 •

N2

1 - 1 07843 ' 0,07843

' 1,1 Vl,()2y

+ ... + 35.284 v 1,1 y + ... + 35.284-

1,02.

= 370.650 Euro

Bei einer Anspardauer von 20 Jahren beträgt die zunächst jährlich nachschüssige Sparrate (Umstellung der Formel (15) nach R ) 2 ): Jahresersatzrate = 370.650 •

~ 1 = 6.471,41 Euro 1,120 - 1

Das entspricht schließlich einer Monatsrate von: 1

Monatsrate = 6.471,41 • 12-

1 + M.U 12

2

= 515,65 Euro

40

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

2.7 Ewige Renten Gesucht ist der Barwert bzw. Kapitalstock K0 einer Rente, wenn die Laufzeit dieser Rente gegen unendlich strebt. Mit anderen Worten: Obwohl periodisch Raten abgehoben werden, soll der Kapitalstock nicht aufgezehrt werden. Für ewig nachschüssige Renten gilt: K„

q-1 (20)

Der Kapitalstock für eine ewig vorschüssige Rente berechnet sich aus: K0 = q-

(21)

Beispiel 24 (ewige Rente) (1) Wie hoch ist der Kapitalstock einer ewigen Rente, wenn die Höhe der Abhebungen pro Jahr 1.000 Euro beträgt und sich der Restsaldo mit 2% verzinst? Gemäß (20) ist: = 0

L000

= 5Q 0 0 Q E u r o

0,02

(2) Sollen die Abhebungen monatlich erfolgen, dient der Kapitalstock von 50.000 Euro nur dann einer ewigen Rente, wenn nicht mehr als 82,57 Euro abgehoben werden: 1.000 0,02

12- 1 +

12

n ' 2

= 82,57 Euro

2 Rentenrechnung

41

2.8 Anwendungsbeispiele in EXCEL 2.8.1 Ansparphase auf einem Sparbuch Die Berechnung des Endvermögens ist mit der Funktion möglich. Es bezeichnet: • • • • •

ZW(Zins;Zzr;Rmz;Bw;F)

Zins den Zinssatz pro Zahlungsperiode Zzr die Anzahl der Zahlungszeiträume Rmz die Sparrate, die in jeder Periode gezahlt wird. Dieser Betrag bleibt während der Laufzeit konstant. Bw den Barwert oder heutigen Gesamtwert der Reihe zukünftiger Zahlungen. Dieser beträgt bei Aufnahme des Sparplanes 0. F den Wert 0 (nachschüssige Zahlung) oder 1 (vorschüssige Zahlung)

Zu beachten ist, dass für die Argumente Zins und Zzr zueinander passende Zeitintervalle zu wählen sind. Da bei der Sparbuchverzinsung die Zahlungen monatlich erfolgen, eine Zinsverrechnung hingegen jährlich durchgeführt wird, muss zunächst die zu den Monatsraten passende Jahresersatzrate berechnet werden.

Beispiel Nach Eingabe der monatlichen Sparrate, der Spardauer und des Jahreszinses wird das Endvermögen ermittelt. Dabei erfolgt die Berechnung der konformen Ersatzrate über eine Formel: A

|

B

!

1 2

Funktion ZW

3 4

Sparsumme

65

5 6

S p a r d a u e r (Jahre)

7

7 8

Z i n s s a t z (Jahr)

2,50%

9 10 K o n f o r m e J a h r e s e r s a t z r a t e ( n a c h s c h ü s s i g e M o n a t s r a t e n )

788,94

11 12 K o n f o r m e J a h r e s e r s a t z r a t e (vorschüssige Monatsraten)

790.55

13 14

E n d b e t r a g ( n a c h s c h ü s s i g e Monatsraten)

5954,45

15 16 E n d b e t r a g (vorschüssige Monatsraten) 17

5968,72

C

42

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements r . ' i : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

«EG

A

J

B

Funktion ZW Sparsumme

65

Spardauer (Jahre)

7

Zinssatz (Jahr)

0,025

Konforme Jahresersatzrate (nachschüssige Monatsraten) =12*B4*(1 +B8/12*11 /2) Konforme Jahresersatzrate (vorschüssige Monatsraten)

=12*B4*(1 +B8/12*13/2)

Endbetrag (nachschüssige Monatsraten)

=-ZW(B8;B6,B10;0;0)

Endbetrag (vorschüssige Monatsraten)

=-ZW(B8,BG;B12,0;0)

2.8.2 Fondssparplan (Ansparphase - exponentielle Verzinsung) Bei Anwendung der Funktion ZW ist auch jetzt unbedingt darauf zu achten, dass für die Argumente Zins und Zzr zueinander passende Zeitintervalle gewählt werden. Erfolgt die Einzahlung der Sparbeiträge in den Fondssparplan monatlich, ist die von der Fondsgesellschaft angegebene Jahresverzinsung exponentiell in den konformen Periodenzins umzurechnen.

Nach Eingabe des prognostizierten Jahreszinssatzes, der monatlichen Sparrate und der Laufzeit wird der zu dem Jahreszins konforme Monatszins und das Endvermögen berechnet. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

B

A Funktion ZW Zinssatz (Jahr)

4%

Monatliche Sparrate

100,00

Laufzeit (Jahre)

10

Endvermögen

14 717,62

Hilfsgröße Konformer Monatszins

0,3274%

I

A 1 2 Funktion ZW 3 4 Zinssatz (Jahr) 5 6 Monatliche Sparrate 7 3 Laufzeit (Jahre) 9 10 11 Endvermögen 12 13 14 Hilfsgröße 15 16 Konformer Monatszins 17

B

0,04 100 10

=-ZW(B16,B8*12;B6,0;1)

=(1 +B4)"(1/12)-1

43

2 Rentenrechnung 2.8.3 Kombination Sparplan und Kapitalverzehrsplan

Zunächst ist die Frage zu beantworten, wie lange und in welcher Höhe eine Rentenzahlung in der Zukunft gewünscht ist. Gesucht ist demnach das zu erreichende Sparziel bzw. der Kapitalstock (Kapitalverzehrsphase - nachschüssige Abhebung). Anschließend wird unter Zuhilfenahme des berechneten Kapitalstocks und der gewünschten Anspardauer die monatliche Sparrate ermittelt (Ansparphase - vorschüssige Zahlung). Die Ergebnisse werden dabei mit den Funktionen BW und RMZ ermittelt. Die Funktion BW(Zins;Zzr;Rmz;Zw;F) bezeichnet: • • • • •

liefert den gesuchten Kapitalstock. Dabei

Zins den Zinssatz pro Zahlungsperiode Zzr die Anzahl der Zahlungszeiträume Rmz die Rate, die in jeder Periode abgehoben werden soll. Dieser Betrag bleibt während der Laufzeit konstant. Zw den zukünftigen Wert (Endwert) des Kapitalverzehrsplanes. Er beträgt zum Laufzeitende 0. F den Wert 0 (nachschüssige Zahlung) oder 1 (vorschüssige Zahlung)

Die Funktion RMZ(Zins;Zzr;Bw;Zw;F) liefert die Sparrate. Die Argumente entsprechen denen der Funktion BW. Zu erwähnen ist noch das Argument Bw: •

Bw: Barwert, den eine Reihe zukünftiger Zahlungen zum gegenwärtigen Zeitpunkt hat. Er beträgt bei Aufnahme des Sparplanes 0.

Bei beiden Funktionen sollte unbedingt darauf geachtet werden, dass für Zins und Zzr zueinander passende Zeiteinheiten verwendet werden. Daher ist im Falle eines Fondssparplans ein vorgegebener Jahreszins auf den konformen Periodenzins exponentiell umzurechnen. Anders bei der Sparbuchverzinsung: Während die Zahlungen monatlich erfolgen, wird eine Zinsverrechnung jährlich durchgeführt. Daher muss zunächst die zu den Monatsraten passende Jahresersatzrate berechnet werden.

Beispiel In dem Abschnitt „Kapitalverzehrsphase" ist die Rentendauer, Höhe der Monatsrate und die Verzinsung des Restsaldos anzugeben. In dem Abschnitt „Ansparphase" wird die Dauer der Ansparphase und die Verzinsung der Spareinlage eingetragen. Kapitalstock und Sparrate werden daraufhin berechnet.

44

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

_i

Ii

J

d

L

i F _L

Funktion RMZ/ BW K a p i t a l v e r z e h r s p h a s e (nachschüssige A b h e b u n g e n - Fonds) Dauer der Rente (Jahre)

20

Höhe der Monatsrente

600

Verzinsung des Restsaldos

3,50% (Jahreszins)

Kapitalstock

Hifsgröße konformer Monatszins

0,29%

103.960,64

A n s p a r p h a s e (vorschussige Z a h l u n g - Fonds) Dauer der Ansparphase (Jahre)

30

Verzinsung der Spareinlagen

4,00% (Jahreszins)

Sparrate

Hilfsgröße konformer Monatszins

0,33%

151,21

Ü

B F u n k t i o n RMZ / B W K a p i t a l v e r z e h r s p h a s e (nachsc Dauer der Rente (Jahre)

20

Höhe der Monatsrente

600

Verzinsung des Restsaldos

0,035

Kapitalstock

=-BW(F10;B6*12;B8,0;0)

Hifsgröße (Jahreszins)

konformer Monatszins

=(1+B10) A (1/12)-1

A n s p a r p h a s e (vorschussige Zz Dauer der Ansparphase (Jahre)

30

Verzinsung der Spareinlagen

0,04

Sparrate

=-RMZ(F19;+B17*12,0;B12;1)

Hilfsgröße (Jahreszins)

konformer Monatszins

=(1+B19) A (1/12)-1

45

3 Tilgungsrechnung

3 Tilgungsrechnung 3.1 Ein erster Überblick Allgemein bezeichnet man die leihweise Überlassung von Dingen als Kredit (lat. credere: glauben, vertrauen). Kreditbeziehungen zwischen zwei Wirtschaftssubjekten gibt es in den vielfältigsten Formen. Die bekannteste Art des Kredites stellt die leihweise Überlassung von Geld dar. Zwischen Geldgeber (dem Kapitalgeber, Gläubiger) und Geldnehmer (dem Kapitalnehmer, Schuldner) wird dann ein Finanzkontrakt vereinbart. Dieser regelt die Rechte des Gläubigers (Recht auf Erhalt des eingesetzten bzw. investierten Kapitals einschließlich Zinsen für die Kapitalüberlassung) und die Pflichten des Schuldners (Rückzahlungspflicht des ihm überlassenen Fremdkapitals zuzüglich Zinsen nach einem vereinbarten Berechnungsmodus). Bei Krediten, auch Darlehen genannt, unterscheidet man hauptsächlich zwischen Tilgungsdarlehen (Ratendarlehen) und Annuitätendarlehen. So ist auch streng zwischen dem Begriff der Tilgung T und Annuität A zu unterscheiden: •

Der zum Tilgungstermin zu leistende Tilgungsbeitrag T dient der eigentlichen Rückführung einer Ausgangsschuld S 0 , d.h. er verringert effektiv die Restschuld in eben dieser Höhe.

•

Zu dem Zinstermin anfallende Schuldzinsen Z sind bei Tilgungsdarlehen zusätzlich zum Tilgungsbeitrag zu zahlen oder beim Annuitätendarlehen in den periodisch zu leistenden Rückzahlungsraten bereits enthalten.

•

Die Summe aus Zinsen Z und Tilgung T bezeichnet man als Annuität A. Während beim Tilgungsdarlehen die Annuität kontinuierlich sinkt, ist sie beim Annuitätendarlehen über die Kreditlaufzeit konstant.

Für die nachfolgenden Betrachtungen vereinfachend ist die Feststellung, daß der Zahlungsstrom eines klassischen Kredites identisch ist mit dem Zahlungsstrom einer endlichen Rente (Kapitalverzehrsproblem). Wir können daher zumindest bei der Analyse von Annuitätendarlehen wesentliche Teile der nachschüssigen Rentenrechnung in dieses Kapitel übernehmen: Geldanlage eines Kapitalanlegers Gläubiger: Kapitalanleger Schuldner: Kreditinstitut Geschäftsvorfall: Einem Schuldner anvertrautes Geldvermögen wird durch periodische Zahlungen an den Gläubiger zurückgezahlt

Kreditvergabe eines Kreditinstitutes Gläubiger: Kreditinstitut Schuldner: Kreditnehmer Geschäftsvorfall: Einem Schuldner anvertrautes Geldvermögen wird durch periodische Zahlungen an den Gläubiger zurückgezahlt

46

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

3.2 Tilgungsdarlehen (Ratendarlehen) 3.2.1 Grundlagen Nach n Zinsperioden soll eine zum Zeitpunkt 0 aufgenommene Ausgangsschuld So durch regelmäßig nachschüssige Tilgungsraten auf 0 zurückgeführt sein. Die Höhe der Tilgungsbeträge ist dabei konstant. Zu den Zinsterminen anfallende Zinsen sind zusätzlich zu zahlen. Beträgt die Zinsperiode einen Monat, ein Quartal oder Halbjahr, ist zur Zinsermittlung ein vorgegebener Jahreszins linear auf die unterjährige Zinsperiode herunterzurechnen. Da die Restschuld um die gezahlten Tilgungsraten fällt, verringert sich die zu zahlende Zinslast. Somit ist die Annuität eine im Laufe der Zeit abnehmende Größe:

Tilgungsdarlehen Annuität Z insbeiträge

f i l g u n g 3 b e i t r ä ge

>

Zeit

In der Praxis existieren die unterschiedlichsten Rückzahlungsmodalitäten (Kontoführungsmethoden). Zwei Fälle sind von besonderer Bedeutung: •

Identische Zins- und Tilgungstermine: Zum Tilgungstermin gezahlte Tilgungsbeträge reduzieren die Restschuld sofort in voller Höhe (sofortige Tilgungsverrechnung).

•

Innerhalb einer Zinsperiode werden mehrere Tilgungen geleistet: Hier wiederum wäre es möglich, die gezahlten Tilgungsbeiträge sofort oder erst zu den Zinsterminen restschuldmindernd zu verrechnen (aufgeschobene Tilgung). Aufgrund verschiedener Urteile des Bundesgerichtshofes wird die aufgeschobene Tilgungsverrechnung jedoch nur dann für zulässig erklärt, wenn die daraus erwach-

47

3 Tilgungsrechnung

senen Nachteile dem Kreditnehmer dargelegt werden (Transparenzklausel). Obwohl die Angabe eines Effektivzinses gemäß Preisangabenverordnung diese Transparenz gewährleistet, findet die aufgeschobene Tilgungsverrechnung nur noch selten Anwendung und soll an dieser Stelle nicht weiter verfolgt werden.

3.2.2 Tilgungsdarlehen mit identischen Zins- und Tilgungsterminen In der Praxis können folgende Fälle beobachtet werden: Tilgungszahlung und -Verrechnung monatlich vierteljährlich halbjährlich jährlich

Zinszahlung monatlich vierteljährlich halbjährlich jährlich

Eine Schuld S 0 soll innerhalb von n Zinsperioden durch gleichbleibende Tilgungsleistungen zurückgeführt werden. Dann erhält man den periodisch zu leistenden Tilgungsbetrag aus:

(22) Die Restschuld Sj nach j Tilgungs- und damit Zinsperioden berechnet sich aus:

(23) Dabei beschreibt — einfach den bereits getilgten Anteil der ursprünglichen Ausn gangsschuld.

Beispiel 25 (identische Zins- und Tilgungstermine - Restschuld) Ein Tilgungsdarlehen über 120.000 Euro soll innerhalb von 10 Jahren durch nachschüssige Quartalszahlungen getilgt werden. Ist die Zinsperiode ebenfalls das Quartal, beträgt die Höhe der Tilgungsraten gemäß Formel (22): „ 120.000 T = = 3.000 Euro 10-4

48

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

Die Restschuld nach 10 Jahren berechnet sich aus: S 40 = 120.000

40 1 - — | = 0Euro v 40,

Da die Zinsen immer von der zu Beginn der Zinsperiode bestehenden Schuld zu ermitteln sind, gilt für die zum j-Zinstermin zu zahlende Zinslast Zj:

Zj=S0-

1-

j-1 (24)

Erfolgen die Zinszahlungen monatlich, vierteljährlich oder halbjährlich, ist der vorgegebene Jahreszins linear auf die unterjährige Zinsperiode herunterzurechnen.

Beispiel 26 (identische Zins- und Tilgungstermine - Zinsbelastung) Ein Tilgungsdarlehen über 120.000 Euro soll innerhalb von 10 Jahren durch nachschüssige Quartalszahlungen getilgt werden. Bei einem vereinbarten Jahreszins von 6% und dem Quartal als Zinsperiode mit dem Periodenzins von 1,5% gilt beispielsweise für das 24. Quartal: Z 24 = 1 2 0 . 0 0 0 - ^ 1 - - ^ - 0 , 0 1 5 = 765 Euro

Im letzten Quartal sind noch Zinsen zu zahlen: Z 24 =120.000

1

39 40.'

1-0,015 = 45 Euro

3.2.3 Tilgungsdarlehen mit mehreren Tilgungsterminen innerhalb einer Zinsperiode Damit sind die folgenden Fälle gemeint: Tilgungszahlung und -Verrechnung Zinszahlung monatlich vierteljährlich, halbjährlich, jährlich vierteljährlich halbjährlich, jährlich halbjährlich jährlich

49

3 Tilgungsrechnung

Eine Schuld soll innerhalb von n Zinsperioden getilgt werden. Pro Zinsperiode fallen dabei m Tilgungsraten an, welche die Restschuld sofort vermindern. Damit sind insgesamt (m • n) Tilgungen folgender Höhe fällig: T =

m•n (25)

Die Restschuld nach j Tilgungsleistungen bestimmt sich ähnlich Formel (23) aus: Sj=S0-

1-

m•n (26)

Beispiel 27 (mehr Tilgungs- als Zinstermine - Restschuld) Ein zu 6% verzinsliches Tilgungsdarlehen über 120.000 Euro soll innerhalb von 10 Jahren getilgt werden. Die Tilgungsleistungen erfolgen vierteljährlich und betragen damit: „ 120.000 T = = 3.000 Euro 10-4 Für die Restschuld gilt nach 40 Tilgungsleistungen: ' 40 S 40 =120.000' 1 - — 1 - 0 Euro 40,

Ohne Herleitung sei noch die Formel zur Berechnung der Zinslast angegeben: Bezeichnet m die Anzahl der innerhalb einer Zinsperiode geleisteten Tilgungen, berechnet sich die zum j-ten Zinstermin aufgelaufene Zinsbelastung gemäß:

zJ

=

i.

s

h

- t

m -1 (27)

Dabei bestimmt sich T aus Formel (25) und Sj_i aus Formel (26). Ein vorgegebener Jahreszins ist gegebenenfalls linear der unterjährigen Zinsperiode anzupassen.

50

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

Beispiel 28 (mehr Tilgungs- als Zinstermine - Zinsbelastung) Ein zu 6% verzinsliches Tilgungsdarlehen über 120.000 Euro soll in 10 Jahren abgezahlt werden. Innerhalb des Zinsjahres erfolgen die Tilgungsleistungen monatlich nachschüssig. Um beispielsweise die Zinslast nach 2 Jahren berechnen zu können, sind zunächst die Tilgungshöhe T und die Restschuld Si zu ermitteln:

10-12

Dann gilt für Z 2 :

3.2.4 Auswirkung verschiedener Kontoführungsmethoden Die im Kreditvertrag vereinbarten Zahlungsmodalitäten sind für den Kreditnehmer von besonderer Bedeutung, denn sie beeinflussen in entscheidender Weise die Annuitätenhöhe. An einem konkreten Fall wollen wir daher die Auswirkungen unterschiedlicher Kontoführungsmethoden auf die vom Kreditnehmer zu leistenden Zahlungsverpflichtungen untersuchen.

Beispiel 29 (Auswirkungen unterschiedlicher Kontoführungsmethoden) Ein zu 6% verzinsliches Tilgungsdarlehen in Höhe von 80.000 Euro ist innerhalb von 2 Jahren zurückzuzahlen. Dabei stehen dem Kreditnehmer 5 Varianten zur Verfügung: Nr. 1 2 3 4 5

Tilgungsverrechnung und Tilgungszahlung vierteljährlich halbjährlich vierteljährlich halbjährlich Tilgungszahlung / Tilgungsverrechnung vierteljährlich /jährlich

Zinszahlung vierteljährlich halbjährlich jährlich jährlich Zinszahlung jährlich

51

3 Tilgungsrechnung Fall 1 (vierteljährliche Zins- und Tilgungszahlung/-verrechnung): Zeitpunkt j 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2

Saldo Sj

Zinsen Zj

80.000,00 70.000,00 60.000,00 50.000,00 40.000,00 30.000,00 20.000,00 10.000,00 0,00

0,00 1.200,00 1.050,00 900,00 750,00 600,00 450,00 300,00 150,00

Tilgung T Annuität Aj 0,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00

0,00 11.200,00 11.050,00 10.900,00 10.750,00 10.600,00 10.450,00 10.300,00 10.105,00

Fall 2 (halbjährliche Zins- und Tilgungszahlung/-verrechnung): Zeitpunkt j 0 0,5 1 1,5 2

Saldo Sj

Zinsen Z;

80.000,00 60.000,00 40.000,00 20.000,00 0,00

0,00 2.400,00 1.800,00 1.200,00 600,00

Tilgung T Annuität Aj 0,00 20.000,00 20.000,00 20.000,00 20.000,00

0,00 22.400,00 21.800,00 21.200,00 20.600,00

Fall 3 (vierteljährliche Tilgungsverrechnung/-zahlung, jährliche Zinszahlung): Zeitpunkt j 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2

Saldo Sj Zinsen Zj Zinsen kumuliert Tilgung T Annuität Aj 80.000,00 70.000,00 60.000,00 50.000,00 40.000,00 30.000,00 20.000,00 10.000,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 3.900,00 0,00 0,00 0,00 1.500,00

0,00 1.200,00 2.250,00 3.150,00 3.900,00 600,00 1.050,00 1.350,00 1.500,00

0,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00

0,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 13.900,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 11.500,00

52

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

Fall 4 (halbjährliche Tilgungsverrechnung/-zahlung, jährliche Zinszahlung) : Zeitpunkt j 0 0,5 1 1,5 2

Saldo Sj 80.000,00 60.000,00 40.000,00 20.000,00 0,00

Zinsen Zj Zinsen kumuliert Tilgung T Annuität Aj 0,00 0,00 4.200,00 0,00 1.800,00

0,00 2.400,00 4.200,00 1.200,00 1.800,00

0,00 20.000,00 20.000,00 20.000,00 20.000,00

0,00 20.000,00 24.200,00 20.000,00 21.800,00

Fall 5 (vierteljährl. Tilgungszahlung bei jährl. Verrechnung, jährl. Zinszahlung) Zeitpunkt j 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2

Saldo Sj Zinsen Zj Zinsen kumuliert Tilgung T Annuität Aj 80.000,00 80.000,00 80.000,00 80.000,00 40.000,00 40.000,00 40.000,00 40.000,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 4.800,00 0,00 0,00 0,00 2.400,00

0,00 1.200,00 2.400,00 3.600,00 4.800,00 600,00 1.200,00 1.800,00 2.400,00

0,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00

0,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 14.800,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 12.400,00

Zusammenfassung

Zeitpunkt 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1.5 1,75 2 = Summe - Ausgangsschuld = Zinslast

1 Annuität 11.200,00 11.050,00 10.900,00 10.750,00 10.600,00 10.450,00 10.300,00 10.050,00 85.400,00 80.000,00 5.400,00

2 3 Annuität Annuität 10.000,00 22.400,00 10.000,00 10.000,00 21.800,00 13.900,00 10.000,00 21.200,00 10.000,00 10.000,00 20.600,00 11.500,00 86.000,00 85.400,00 80.000,00 80.000,00 6.000,00 5.400,00

4 5 Annuität Annuität 10.000,00 20.000,00 10.000,00 10.000,00 24.200,00 14.800,00 10.000,00 20.000,00 10.000,00 10.000,00 21.800,00 12.400,00 86.000,00 87.200,00 80.000,00 80.000,00 6.000,00 7.200,00

3 Tilgungsrechnung

53

Bei einem Vergleich der 5 verschiedenen Kontoführungsmethoden können wir festhalten: •

Die effektiv zu tragende Zinslast weicht aufgrund der unterschiedlichen Tilgungsverrechnungstermine in den Fällen 1 und 2 erheblich voneinander ab. Dennoch darf aufgrund der Differenz in Höhe von 600 Euro nicht unbedingt dem 1. Kontofuhrungsmodell der Vorzug gegeben werden, da die Tilgungsbzw. Zinszahlungen nicht vierteljährlich, sondern nur halbjährlich geleistet werden müssen und damit ein Stundungseffekt eintritt.

•

Für die Gegenüberstellung von Fall 1 mit Fall 3 bzw. Fall 2 mit Fall 4 gilt: Obwohl innerhalb beider Gruppen die Tilgungsverrechnungszeitpunkte von den Zinsverrechnungszeitpunkten abweichen, ist die vom Kreditnehmer effektiv zu tragende Zinslast jeweils gleich hoch. Dennoch würde der Kreditnehmer intuitiv Methode 3 bzw. 4 vorziehen, da die Zahlung der fälligen Zinsen bis zum Jahresende hinausgeschoben bzw. gestundet wird.

•

Fall 5: Die Anwendung der „Hypothekenbankmethode" ist in der Regel die für den Kreditnehmer schlechteste Möglichkeit einer Darlehensrückzahlung. Da die unterjährig geleisteten Tilgungsbeiträge nicht sofort, sondern erst zum Jahresende restschuldmindernd wirksam sind, werden die Sollzinsen immer aus dem zum Ende des vergangenen Jahres bestehenden Restschuldsaldo berechnet. Aufgrund verschiedenster Gerichtsurteile ist diese Kontofuhrungsmethode nur dann zulässig, wenn dem Kreditnehmer ausdrücklich die aus dieser Kontofuhrungsmethode resultierenden Nachteile durch Angabe eines Effektivzinses aufgezeigt werden (Transparenzklausel).

3.3 Annuitätendarlehen 3.3.1 Grundlagen Merkmal eines Annuitätendarlehens sind die während der Laufzeit gleich hohen Annuitäten. Die Zinszahlungen erfolgen nicht separat, sondern sind in der Annuität bereits enthalten. Dabei wird ein aufgrund der sich reduzierenden Restschuld verminderter Zinsbeitrag durch eine höhere Tilgungsleistung ausgeglichen („Tilgung durch ersparte Zinsen").

54

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

Annuitätendarlehen Annuität

Tilgt n g sb e iträge

Z i i i s b e i t r äg e

>

Zeit

Die Annuität A berechnet sich in der Praxis aus dem vereinbarten Jahreszins p p a , einer anfänglich jährlichen Tilgungsquote t p a und der Ausgangsschuld S 0 . •

Erfolgt nur eine Annuität zum Jahresende, bestimmt sich A aus: ^

_ Pp.a.

+

tp.a. _ g

100

'

c

(28) Sind jedoch m nachschüssige Annuitäten innerhalb eines Jahres zu leisten, gilt für die Annuität A: _ Pp.a.

A =

+ t

p.2

100-m (29)

Wie Eingangs erwähnt, besteht das wesentliche Merkmal eines Annuitätendarlehens darin, dass der Zinsanteil innerhalb der zu zahlenden Annuität aufgrund sinkender Restschuld kontinuierlich abnimmt, der Tilgungsanteil dagegen um diesen Betrag steigt. Soll nun beispielsweise eine Ausgangsschuld So innerhalb von n Jahren durch n gleichbleibend hohe Annuitäten A getilgt werden, bestimmt sich die nach den ersten 3 Jahren bestehende Restschuld S 3 gemäß folgendem Tilgungsplan:

55

3 Tilgungsrechnung

Jahr 0 1 2 3 4

Restschuld Zinsersparnis im Nächsten Jahr 0 So Tri Si= So-T, T 2 -i S2= s,-T 2

TVi

s 3 = S,-T 3 tt

tt

n

Zinsanteil Tilgungsanteil

Annuität

0

0 A A A it

0 T,=A-Z, T 2 =T|+ T | ' i T3=T2+ T 2 -i tt II

Z,=S 0 -i Z 2 =Z,-T,-i Z 3 =Z 2 -T 2 -i II II

ii

II

Beispiel 30 (Annuitätendarlehen - Restschuldentwicklung) Ein Annuitätendarlehen von 100.000 Euro soll durch jährlich gleichbleibend hohe Annuitäten bei ebenfalls jährlicher Zinsverrechnung getilgt werden. Mit einem Jahreszins von 4% und einer anfänglichen Tilgungsquote von 6% beträgt die Höhe der Annuität: A - ^ ^ • 100.000 = 10.000 Euro 100 Damit hat der Tilgungsplan folgendes Aussehen: Jahr 0 1 2 3 4 n

Restschuld 100.000,00 94.000,00 87.760,00 81.270,40 74.521,22

Zinsersparnis nächstes Jahr 0,00 240,00 249,60 259,58 269,97

II

II

Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität 0,00 4.000,00 3.760,00 3.510,40 3.250,82

0,00 6.000,00 6.240,00 6.489,60 6.749,18

0,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00

ii

II

ir

Annuitätendarlehen zeichnen sich wie Tilgungsdarlehen durch unterschiedlichste Kontofiihrungsmethoden aus. 2 Fälle sind dabei von besonderer Bedeutung: (1) Identische Zins- und Annuitätenverrechnungstermine: Der Zeitpunkt der Annuitätenzahlung/-verrechnung stimmt mit dem Zeitpunkt der Zinsanrechnung überein. Gezahlte Annuitäten reduzieren dabei die Restschuld zum Zahlungszeitpunkt sofort in voller Höhe (sofortige Annuitätenverrechnung). Zu den Zinsterminen fällige Zinsen werden nicht gezahlt, sondern erhöhen den Restschuldsaldo (siehe Beispiel 30).

56

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

(2) Innerhalb einer Zinsperiode werden mehrere Annuitäten gezahlt: Hier wiederum wäre es möglich, die innerhalb der Zinsperiode gezahlten Annuitäten sofort oder erst zu den Zinsterminen restschuldmindernd zu verrechnen (aufgeschobene Annuitätenverrechnung). Aufgrund verschiedener Urteile des Bundesgerichtshofes wird die aufgeschobene Annuitätenverrechnung jedoch nur dann für zulässig erklärt, wenn die daraus erwachsenen Nachteile dem Kreditnehmer dargelegt werden (Transparenzklausel).

3.3.2 Annuitätendarlehen mit identischen Zins- und Annuitätenverrechnungsterminen Folgende Konstellationen sind in der Praxis anzutreffen: Annuitätenzahlung und -Verrechnung Zinsverrechnung monatlich monatlich vierteljährlich vierteljährlich halbjährlich halbjährlich jährlich jährlich

Eine Schuld S 0 soll innerhalb von n Zinsperioden getilgt werden. Ist der Jahreszins vorgegeben, muss dieser bei unterjährigen Zinsperioden linear heruntergerechnet werden. Die zu einem beliebigen Zinstermin j bestehende Restschuld Sj berechnet sich dann aus:

(30) Diese Formel entspricht der Kapitalverzehrsformel aus der Rentenrechnung: Kapitalverzehr: Berechnung des ver- Annuitätendarlehen: Berechnung der bliebenen Kapitalstocks nach j Abhe- verbliebenen Forderung nach j erhalbungen (Gläubigersicht) tenen Annuitäten (Gläubigersicht) K ^ K o - q J - R - ^ q-1

S^So-qj-A-^1 q-1

3 Tilgungsrechnung

57

Beispiel 31 (Annuitätendarlehen - Restschuldentwicklung) Ein Annuitätendarlehen von 100.000 Euro soll durch vierteljährliche Annuitäten getilgt werden. Die Zinsverrechnung erfolgt ebenfalls vierteljährlich. Der Jahreszins wurde mit 4% und die anfängliche Tilgungsquote mit 6% vereinbart. Gesucht ist die Restschuld nach 2 Jahren bzw. 8 Quartalen. Zunächst ist die Annuitätenhöhe zu ermitteln: A =

100-4

-100.000 = 2.500 Euro

Danach berechnet sich die Restschuld gemäß Formel (30) zu: . 1,018 — 1 So8 = 100.000 • 1,018 - 2.500 = 87.571,49 Euro 1,01-1

3.3.3 Annuitätendarlehen mit mehr Annuitäten- als Zinsverrechnungsterminen Diese Fälle treten in der Praxis auf: Annuitätenzahlung und -Verrechnung Zinsverrechnung monatlich vierteljährlich, halbjährlich, jährlich vierteljährlich halbjährlich, jährlich halbjährlich jährlich Auch diese Fälle stellen rechentechnisch kein Problem dar. Analog der Kapitalverzehrsproblematik bei unterjährigen Abhebungen fasst man die innerhalb einer Zinsperiode zahlbaren Annuitäten zu einer Ersatzannuität A zusammen. Zudem ist zu beachten, dass im Falle unterjähriger Zinsperioden der Jahreszins der unterjährigen Zinsperiode anzupassen ist. Soll die Restschuld berechnet werden, kann dann auf Formel (30) zurückgegriffen werden: S ^ V q J - Ä - ^ l ! i__

(31) Beispiel 32 (Annuitätendarlehen - Restschuldentwicklung) Ein Annuitätendarlehen in Höhe von 50.000 Euro soll getilgt werden. Der Jahreszins beträgt 8% und die anfängliche Tilgungsquote 2%. Gesucht ist der nach 10 Jahren bestehende Restschuldsaldo bei folgender Kontoflihrungsmethode:

58

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

Annuitätenzahlung und -Verrechnung monatlich

Zinsverrechnung jährlich

Bei einer Monatsannuität von 416,67 Euro berechnet sich die Ersatzannuität zu (siehe auch Fomel (14)): . „^ , , 0,08 11 A = 12 -416,67 • 1 1 + = 5.183,37 Euro 12 2 Die Restschuld beläuft sich dann auf: 50.000-1,08 I Ü -5.183,37-

1,08'° - 1 0,08

= 32.857,04 Euro

3.3.4 Ausblick Abschließend ist noch zu analysieren, welchen Einfluss die Tilgungsquote bzw. der Zinssatz auf die Laufzeit des Kredites hat. Zur Variation der Tilgungsquote: Kreditlaufzeit und Tilgungsquote stehen in keiner linearen Beziehung zueinander, d.h. eine Verdoppelung der Tilgungsquote fuhrt nicht zu einer Halbierung der Gesamtlaufzeit: Tilgungsquote in % Laufzeit in Jahren [Tilgungsquote in % Laufzeit in Jahren 0,5 41 5,5 13 1 31 6 12 26 6,5 11 1,5 2 23 7 11 2,5 10 20 |7,5 3 18 8 10 8,5 3,5 17 9 4 9 15 9 14 4,5 9,5 9 5 13 10 8

Zur Variation des Zinssatzes: Je höher der Zinssatz bei sonst gleichen Ausgangsdaten ist, desto kürzer ist die Rückzahlungsdauer. Dies liegt einfach daran, dass während der Rückzahlungsphase bei einem hohen Zins der Tilgungsanteil innerhalb der Annuität stärker steigt als bei einem niedrigen Zins.

3 Tilgungsrechnung

59

3.4 Anwendungsbeispiele in EXCEL 3.4.1 Annuitätendarlehen mit identischen Annuitäten- und Zinsverrechnungsterminen Die Gesamtlaufzeit und die zu einem bestimmten Zeitpunkt bestehende Restschuld sind zwei Problemstellungen, die vor einer Kreditinanspruchnahme zu klären sind. Im Rahmen der Immobilienvermietung interessiert den Kapitalanleger zudem die Höhe der gezahlten und steuerlich abzugsfähigen Zinsen. Die Gesamtlaufzeit eines Kredites in Zinsperioden kann mit der Funktion ZZR(Zins;Rmz;Bw;Zw;F) ermittelt werden. Eine Umrechnung der Gesamtlaufzeit in Jahre ist gegebenenfalls separat durchzufuhren. Die Argumente sind im Einzelnen: • • • • •

Zins der Zinssatz pro Zinsperiode Rmz der Betrag (die Annuität), der in jeder Periode gezahlt wird Bw der Barwert (Ausgangsschuld) Zw der zukünftige Wert oder der Kassenbestand, der nach der letzten Zahlung erreicht werden soll (beispielsweise ist der Endwert eines Darlehens gleich 0) F der Wert 0 (= nachschüssige Zahlungen) oder 1 (= vorschüssige Zahlungen)

Für die Berechnung der Restschuld zu vorgegebenen Zeitpunkten empfiehlt sich die schon bekannte Funktion ZW(Zins;Zzr;Rmz;Bw;F). Das Argument Rmz beschreibt die in jeder Zinsperiode gezahlte Annuität und das Argument Bw die zu tilgende Ausgangsschuld (bei Eingabe negatives Vorzeichen beachten!). Die Funktion KUMZINSZ(Zins;Zzr;Bw;Zeitraum_Anfang;Zeitraum_Ende;F) liefert die zwischen zwei vorgegebenen Zinsperioden gezahlten Zinsen. Im Einzelnen sind: • • • • •

Zzr die Gesamtzahl der Zinsperioden (= Zahlungsperioden) Bw der Barwert (Ausgangsschuld) Zeitraum Anfang die erste in die Berechnung einfließende Periode Zeitraum Ende die letzte in die Berechnung einfließende Periode F der Wert 0 (= nachschüssige Zahlungen) oder 1 (= vorschüssige Zahlungen)

Leider liefert die Funktion KUMZINSZ nur einen Näherungswert, denn Zzr, Zeitraum_Anfang und Zeitraum_Ende werden zu ganzen Zahlen gekürzt! Daher ist es sinnvoll, die in Zinsperioden angegebene Gesamtlaufzeit kaufmännisch mit der Funktion RUNDEN auf- oder abzurunden.

Abschnitt 2: Rechnerische Methoden des klassischen Finanzmanagements

60

Beispiel Einzugeben sind die Ausgangsschuld, Zins und Tilgung p.a, sowie die Anzahl der Annuitäten pro Jahr. Berechnet wird die periodisch zu zahlende Annuität und die Gesamtlaufzeit des Kredites in Jahren. Begleitend dazu schafft ein im jährlichen Raster erstellter Kontenplan den notwendigen Überblick über die Restschuldentwicklung und die gezahlte Zinslast. A

I

B

•'

C

Mi

D

E

mmmmmsm

1 2

F u n k t i o n Z W / ZZR / K U M Z I N S Z

3 4

A n n u i t ä t e n d a r l e h e n (Annuitätenterm in=Zinstermin)

5 6

Ausgangsschuld

100000

Konto

7 8

Zins p.a.

5%

Jahr

9 10 Tilgung p.a.

2%

11 12 A n n u i t ä t e n / Zinsverrechnungen pro Jahr

4

13 14 P e r i o d e n z i n s

1,25%

15 16 A n n u i t ä t

1750

17 18 L a u f z e i t in J a h r e n

25,21

19

Restschuld 0

100.000,00

1

97.962,19

4962,29

2

95.820,56

4858,75

3

93.569,82

4749,93

4

91.204,42

4635,57

5

88.718,51

4515,39

6

86 105,96

4389,08

7

83.360,31

4256,34

8

80.474.78

4116,84

9

77.442,25

3970,23

10

74.255.22

3816,15

Formeln und Funktion ZZR zur Berechnung der Laufzeit:

F u n k t i o n Z W / ZZR / K U M Z I N S Z Annuitätendarlehen

Zinsen

(Annuitätentermin=Zinstermin)

Ausgangsschuld

100000

Zins p.a.

0,05

Tilgung p.a.

0,02

A n n u i t ä t e n / Zinsverrechnungen pro Jahr

4

Periodenzins

=B8/B12

Annuität

=(B10+B8)/B12*B6

L a u f z e i t in J a h r e n

=ZZR(B14;-B16;B6;0;0)/B12

61

3 Tilgungsrechnung

Die Funktion ZW zur Berechnung der Restschuld: C 8 9 10 11

I

E Restschuld =WENN(D9 -1

100 = 6,205%

Aufzinsungsfaktor Anschaffungskurs: Aufzinsungsfaktor = 1,06205° • (1 + 0,06205 • 0) = 1 Aufzinsungsfaktor Veräußerungskurs: Aufzinsungsfaktor = l,06205q z1 •• I| 11++ 0,06205 • — = 1,1657 I (Zeitraum für die Resttage: 1.5.03-15.11.03) Damit ist: rechnerischer Kursgewinn = 30 • 1,1657 - 30 • 1 = 34,97 - 30 = 4,97 Euro Wird der Kursgewinn nicht nach der Emissionsrenditemethode angegeben, ist der Differenzbetrag von 13 Euro (43 Euro -30 Euro) steuerpflichtiger Kapitalertrag!

2.8.2 Kursgewinnbesteuerung bei Anleihen mit Zinskupons Die Ermittlung des steuerpflichtigen Kursgewinnes verläuft ähnlich dem zuvor beschriebenen Verfahren. Zu beachten ist jedoch bei verzinslichen Wertpapieren mit Zinskupons (§ 20 (2) 4 EStG): „... die ... der Einkommensteuer unterliegenden, dem Veräußerer bereits zugeflossenen Kapitalerträge aus den Wertpapieren und Kapitalforderungen sind bei der Besteuerung nach der Emissionsrendite abzuziehen. "

95

2 Zahlungsströme und Effektivzinsen

Mit anderen Worten: Bei der Besteuerung ist zu trennen zwischen den steuerpflichtigen Zinsausschüttungen (§ 20 (1) 7 EStG) und den steuerpflichtigen Kursgewinnen (§ 20 (2) 4 EStG).

Beispiel 49 (Emissionsrendite - steuerpflichtiger Kursgewinn bei Stufenzinsanleihen) Folgende Daten sind bekannt: •Ausgabekurs • Zinsen (30.12. jährlich): • Emissionsrendite:

86,87%zum 30.12.92 1% - 2% - 3% - 4% - 5% 6%

Verkauft wird das Papier am Ende des 3. Jahres zum Kurs von 100,92% . Für die rechnerische Kursentwicklung gilt: Zu Beginn des Jahres 0 1 2 3 4 5

rechnerischer Kurs inkl. Zinsen 86,87 "92,08 96,55 100,23 103,06 105,00

rechnerischer Kurs abzgl. Zinsen 86,87 91,08 94,55 97,23 99,06 100,00

" 92,08 = 86,87-1,06 Der Kursgewinn beträgt also (97,23 - 86,87)= 10,36 Euro. Wäre die Emissionsrendite unbekannt, müssten (100,92 - 86,87) = 14,05 Euro dem Fiskus als steuerpflichtiger Kapitalertrag angegeben werden.

2.8.3 Emissionskurs einer Optionsanleihe Börsennotierte Optionsanleihen stellen eine Kombination aus festverzinslichem Wertpapier (dem Schuldschein) und Optionsschein dar. Bezüglich den Emissionsbedingungen unterscheidet man zwei Varianten:

96

Abschnitt 3: Rechnerische Methoden des dynamischen Finanzmanagements

•

Aufgeldvariante: Der Schuldschein (= Anleihe ex) wird zu 100% emittiert und die Verzinsung dürfte marktgerecht sein. Der Preis für den Optionsschein ist separat zu entrichten. Außerhalb der Spekulationsfrist realisierte Kursgewinne aus dem Verkauf des Schuldscheins bleiben beim Anleger steuerfrei.

•

Abgeldvariante: Schuldschein und Optionsschein zusammen werden zu 100% emittiert (= Anleihe cum). Das bedeutet ein für den Schuldschein oftmals außerhalb der Disagiostaffel liegenden Disagioabschlag. Ein aus dem Verkauf des Schuldscheins erwirtschafteter Kursgewinn wären in diesem Fall steuerpflichtiger Kapitalertrag.

Ist bei der Abgeldvariante der Emissionswert des Schuldscheines nicht bekannt, muss er durch Vergleichsrechnung anhand von Renditen erstklassiger Staatsanleihen ermittelt werden:

Beispiel 50 (Emissionskurs eine Optionsanleihe) Folgende Daten der Optionsanleihe Cum sind bekannt: • Emissionskurs:

100%

• Laufzeit: • Nominalzins: • Kurs bei Fälligkeit:

4 Jahre 2% 100%

Die zum Emissionszeitpunkt marktübliche Rendite betrage 4%. Dann berechnet sich der Emissionskurs aus: Emissionskurs =

102 1,04

h

2 1,04

7H

2 1,04

7h

2 1,04'

= 92,14

Damit entfallen 92,74 Euro auf den Emissionspreis und 7,26 Euro auf den Wert des Optionsscheins (= Disagioabschlag).

97

3 Von subjektiven und objektiven Investitionsentscheidungen

3 Von subjektiven und objektiven Investitionsentscheidungen 3.1 Vergleichskriterium Effektivzins? 3.1.1 Versuch eines „fairen" Vergleichs Mit dem Effektivzins wurde eine Kennziffer gefunden, die sowohl Höhe als auch Zeitpunkt einzelner Zahlungen aus einer getätigten Investition berücksichtigt. Kann nun daraus der Schluss gezogen werden, dass die Investition mit dem höchsten Effektivzins allen anderen Alternativinvestitionen überlegen ist? Wie folgende Überlegung zeigt, muss leider diese Frage verneint werden: Bevor eine bestimmte Investition aus mehreren Alternativen ausgewählt werden kann, ist zunächst eine Chancengleichheit innerhalb der einzelnen Investitionen herzustellen. Folgende Bedingungen müssen erfüllt sein: • • •

Bedingung 1: Identität der Investitionsbeträge. Gegebenenfalls ist über realistisch durchführbare Zusatzinvestitionen die Gleichheit herzustellen. Bedingung 2: Identität der Planungshorizonte. Gegebenenfalls ist über Wiederanlageinvestitionen die Gleichheit herzustellen. Bedingung 3: Einbezug eines realistischen Wiederanlagezinses für die erneute Anlage zwischenzeitlich erhaltener Rückflüsse bis zum normierten Planungshorizont.

Der Effektivzins unterstellt definitionsgemäß, dass die aus einer Investition erzielten Rückflüsse in Höhe des Effektivzinses auf den Investitionszeitpunkt abgezinst (entspricht einem Kapitalbarwert von 0) oder auf den Planungshorizont aufgezinst werden (entspricht einem Kapitalendwert von 0). Damit bliebe aber Bedingung 3 unberücksichtigt. Wir können daher annehmen, dass das tatsächliche Ergebnis des Investitionsvergleichs entscheidend von der Höhe eines subjektiv geschätzten Kalkulationszinses abhängen wird.

Beispiel 51 (subjektive Investitionsentscheidung) Zwei Investitionen mit den dazugehörigen Zahlungsreihen stehen zur Auswahl: Zeitpunkt Investition 1 Investition 2

0 -500 -1000

1 50 500

2 250 500

3 500 500

98

Abschnitt 3: Rechnerische Methoden des dynamischen Finanzmanagements

Um Bedingung 1 zu erfüllen, muss Investition 1 zweimal getätigt werden: Zeitpunkt Investition 1 Investition 2

0 -1.000 -1.000

1 100 500

2 500 500

3 1.000 500

• Wird der Ertrag als Vergleichskriterium herangezogen, ist Investition 1 (600 Euro) der Investition 2 (500 Euro) vorzuziehen. • Dient der Effektivzins als Vergleichskriterium, ist Investition 2 (23,38%) besser als Investition 1 (20,445%). • Ein Kapitalbarwertvergleich (Kapitalendwertvergleich) zeigt die Abhängigkeit der Entscheidung von der Höhe des geschätzten Kalkulationszinses: Kalkulationszins Kapitalbarwert Investition 1 Kapitalbarwert Investition 2

10% 255,45 (340) 243,43 (324) Investition 1 besser

15% 122,54(186,34) 141,61 (215,34) Investition 2 besser

3.1.2 Noch einmal: Warum scheitert der Effektivzinsvergleich? Der Effektivzins ist nichts weiter als ein Mischzins, denn er unterstellt, dass sämtliche Rückflüsse aus der Investition laufzeitunabhängig in Höhe des Effektivzinses auf den Planungshorizont aufgezinst bzw. auf den Investitionszeitpunkt abgezinst werden. Tatsächlich jedoch gelten für unterschiedliche Restlaufzeiten unterschiedli-

3 Von subjektiven und objektiven Investitionsentscheidungen

99

che Renditen. Bei der Berücksichtigung realistisch eingeschätzter Kalkulationszinsen ist zu bemängeln, dass die Investitionsentscheidung subjektiven Charakter aufweist. Ziel ist es daher, einen objektiven Maßstab zu finden, um Anlageprodukte bewerten und vergleichen zu können. Zu einem identischen Ergebnis führende Lösungsansätze sind: •

Schaffung einer strukturkongruenten Anlage (Refinanzierung) auf Basis der aktuell am Geld- und Kapitalmarkt beobachteten Renditen

•

Bewertung der Investition mit den aus der aktuellen Zinsstrukturkurve gewonnenen Spot-Rates bzw. daraus abgeleiteten Zerobond-Abzinsungsfaktoren

3.2 Strukturkongruente Anlage / Refinanzierung 3.2.1 Für den Kapitalanleger: Strukturkongruente Anlage Es soll eine festverzinsliche Anleihe bewertet werden. Dabei wird der Frage nachgegangen, welcher Betrag X alternativ in festverzinsliche Staatsanleihen unterschiedlicher Restlaufzeiten investiert werden müsste, um die Rückflüsse der gewünschten Anleihe erwirtschaften zu können. Liegt der Betrag X unter (über) dem gegenwärtigen Kurswert der Anleihe, ist sie überbewertet (unterbewertet) und damit teuer (preiswert). Noch ein Wort zum Rechenprozess: Da die längerfristigen Anlagebausteine aufgrund der periodischen Zinsausschüttungen die kurzfristigeren Anlagebausteine beeinflussen, wird der Rechenprozess mit der am weitesten in der Zukunft liegenden Zahlung begonnen.

Beispiel 52 (Schaffung einer strukturkongruenten Alternativanlage) Folgende Zinsstrukturkurve ist gegeben: • Rendite von Staatsanleihen mit Restlaufzeit 1 Jahr: • Rendite von Staatsanleihen mit Restlaufzeit 2 Jahre: • Rendite von Staatsanleihen mit Restlaufzeit 3 Jahre:

4% 4,3% 4,5%

Eine festverzinsliche Industrieanleihe mit Nominalzins von 5% und einer Restlaufzeit von 3 Jahren notiert gegenwärtig zu 102%. Es soll überprüft werden, ob der Anleihepreis gerechtfertigt ist.

100

Abschnitt 3: Rechnerische Methoden des dynamischen Finanzmanagements

Ausgangspunkt der Analyse ist der Zahlungsstrom der Anleihe: Zeitpunkt Zahlungsstrom der Anleihe

0 + 102,00

1 -5,00

2 -5,00

3 -105,00

+ ( - ) : Opport.gewinn (Opport.Verlust) aus Anleihekaufverzicht

Schritt 1: Um die zum Zeitpunkt 3 erhaltene Zahlung von 105 Euro zu realisieren, müssen insgesamt in eine 3-jährige Staatsanleihe investiert werden: - ^ - = 100,48 Euro 1,045 Daraus werden jährlich Zinsen in Höhe von 100,48 • 0,045 = 4,52 Euro dem Anleger gutgeschrieben. Zeitpunkt Zahlungsstrom der Anleihe Staatsanleihe (3 Jahre) Saldo 1

0 +102,00 -100,48

1 -5,00 +4,52

2 -5,00 +4,52

3 -105,00 +105,00

+ 1,52

-0,48

-0,48

0,00

Schritt 2: Zum Zeitpunkt 2 sind über Staatsanleihen mit einer Restlaufzeit von 2 Jahren noch 0,48 Euro zu realisieren. Die Investitionshöhe beträgt: 1,043

= 0,46 Euro

Daraus werden jährlich Zinsen in Höhe von 0,46 • 0,043 = 0,02 Euro dem Anleger gutgeschrieben. Zeitpunkt Saldo 1 Staatsanleihe (2 Jahre)

0 + 1,52 -0,46

1 -0,48 +0,02

2 -0,48 +0,48

Saldo 2

+1,06

-0,46

0,00

3 0,00

Schritt 3: Zum Zeitpunkt 1 sind über Staatsanleihen mit einer Restlaufzeit von 1 Jahr noch 0,46 Euro zu realisieren. Der Anlagebetrag berechnet sich zu: 0,46 1,04

= 0,44 Euro

Zeitpunkt Saldo 2 Staatsanleihe (1 Jahr)

0 +1,06 -0,44

1 -0,46 +0,46

Saldo 3

+0,62

0,00

2 0,00

3 0,00

3 Von subjektiven und objektiven Investitionsentscheidungen

101

Fazit: Der Zahlungsstrom der Industrieanleihe kann über Staatsanleihen unterschiedlicher Restlaufzeiten um 0,62 Euro günstiger erkauft werden. Damit sind effektiv nur (100,48 + 0,46 + 0,44) = 101,38 Euro zu bezahlen.

3.2.2 Für die Bank: Strukturkongruente Refinanzierung Es wird der Frage nachgegangen, welcher Refinanzierungsbetrag bei gegebenen Geld- und Kapitalmarktsätzen über die Zins- und Tilgungsleistungen eines Kundenkredits getilgt werden kann. Erhält die Bank über den Geld- und Kapitalmarkt mehr, als sie dem Kunden über den Kredit weiterreicht, erzielt sie einen Überschuss. Anders formuliert: Über die Rückflüsse aus dem Kundenkredit wird nicht nur der Refinanzierungsbetrag komplett zurückgeführt, sondern es verbleibt der Bank bereits zum Kreditierungszeitpunkt ein Überschuss, der frei von individuellen Wiederanlagezinspräferenzen objektiv ermittelt wurde. Für den Rechenprozess gilt: Da die längerfristigen Refinanzierungsbausteine aufgrund der periodisch zu zahlenden Zinsen die kurzfristigeren Bausteine beeinflussen, wird der Rechenprozess mit der am weitesten in der Zukunft liegenden Zahlung begonnen.

Beispiel 53 (Schaffung einer strukturkongruenten Refinanzierung) Es soll untersucht werden, ob die Refinanzierung des folgenden Tilgungsdarlehens vorteilhaft ist: •Nennwert: • Zinssatz: • Laufzeit:

100.000 Euro 6% 2 Jahre

Damit ist folgender Zahlungsstrom strukturkongruent zu refinanzieren:

-100.000

56.000

53.000

1

2

102

Abschnitt 3: Rechnerische Methoden des dynamischen Finanzmanagements Der Refinanzierungssatz beträgt für 1 Jahr 4% und für 2 Jahre 5%. Die Zinsen werden jährlich gezahlt. Schritt 1: In zwei Jahren werden 53.000 Euro fällig. Das entspricht einem Refinanzierungsbetrag von: 53.000 1,05

50.476,19 Euro

Zinsen in Höhe von 50.476,19 • 0,05 = 2.523,81 Euro sind jährlich zu entrichten. Zeitpunkt Zahlungsstrom Kundenkredit Refibetrag (2 Jahre) Saldo 1

0 -100.000,00 + 50.476,19 -49.523,81

1 2 +56.000,00 +53.000,00 -2.523,81 -53.000,00 +53.476,19 0,00

Schritt 2: In einem Jahr werden 56.000 Euro fällig. Unter Berücksichtigung der zu leistenden Zinszahlungen aus dem 2-Jahresrefinanzierungskredit verbleiben der Bank 56.000 - 2.523,81 = 53.476,19 Euro. Damit kann ein Refinanzierungsbetrag in folgender Höhe getilgt werden: 53.476,19 1,04

: 51.419,41 Euro

Zeitpunkt Zahlungsstrom Kundenkredit Refibetrag (2 Jahre) Saldo 1 Refibetrag ( 1 Jahr) Saldo 2

0 -100.000,00 + 50.476,19 -49.523,81 + 51.419,41 +1.895,60

1 2 +56.000,00 +53.000,00 -2.523,81 -53.000,00 +53.476,19 0,00 -53.476,19 0,00

Fazit: Mit dem Zahlungsstrom des Kundenkredits kann ein Refinanzierungsbetrag von insgesamt (50.476,19 + 51.419,41) =101.895,60 Euro komplett zurückgeführt werden. Da an den Kreditnehmer nur 100.000 Euro weitergereicht werden, verbleibt der Bank ein barwertiger Überschuss (= Kapitalbarwert) von 1.895,60 Euro.

103

3 Von subjektiven und objektiven Investitionsentscheidungen

3.3 Spot-Rates und Zerobond-Abzinsungsfaktoren 3.3.1 Grundlagen Für unterschiedliche Restlaufzeiten gelten i.d.R. unterschiedliche Renditen. Um beispielsweise einen „fairen" Anleihekurs zu berechnen, bietet es sich an, die aus der Anleihe resultierenden Zahlungen mit unterschiedlichen Zinssätzen abzuzinsen.

Beispiel 54 (vereinfachte Anleihebewertung) Es beträgt • die Rendite von Staatsanleihen mit Restlaufzeit 1 Jahr: • die Rendite von Staatsanleihen mit Restlaufzeit 2 Jahre: • die Rendite von Staatsanleihen mit Restlaufzeit 3 Jahre:

4% 4,3% 4,5%

Der Gegenwartswert einer nominal 5%-igen Anleihe mit einer Laufzeit von 3 Jahren berechnet sich dann aus: + — ^ - + - ^ - = 101,42 Euro 1,04 1,043 1,045

Das Problem dieses Berechnungsverfahrens liegt darin, dass sich die Renditen der Zinsstrukturkurve auf festverzinsliche Staatsanleihen mit periodischer Zinsausschüttung beziehen und damit selbst nur Durchschnittsrenditen darstellen. Diese Schwäche wird in der Praxis dadurch vermieden, indem bei der Anleihebewertung auf die Renditen von Zerobonds (den Spot-Rates) zurückgegriffen wird. Zerobonds weisen keine laufende Zinsausschüttung auf. Damit entfallen subjektive Zinseinschätzungen und eine Anleihebewertung ist objektiv durchführbar. Da nicht immer für jede gewünschte Restlaufzeit t der Spot-Rate Pspot(0,t) zur Verfügung steht, muss er aus der gegenwärtigen Zinsstrukturkurve abgeleitet werden. Als Zerobond-Abzinsungsfaktoren bezeichnet man folgenden Ausdruck:

mit

i Spot(0,t)

PSpot(O.t)

100

(41)

Die Abzinsungsfaktoren werden in der Praxis zur objektiven Barwertermittlung einer zum Zeitpunkt t fälligen Zahlung herangezogen.

104

Abschnitt 3: Rechnerische Methoden des dynamischen Finanzmanagements

3.3.2 Für den Kapitalanleger: Anleihebewertung Es soll eine festverzinsliche Anleihe bewertet werden. Dabei wird der Frage nachgegangen, welcher Betrag X alternativ in Zerobonds unterschiedlicher Restlaufzeiten investiert werden müsste, um die Rückflüsse der gewünschten Anleihe erwirtschaften zu können. Liegt der Betrag X unter (über) dem gegenwärtigen Kurswert der Anleihe, ist sie überbewertet (unterbewertet) und damit teuer (preiswert). Die Spot-Rates werden aus der gegenwärtigen Zinsstrukturkurve gewonnen.

Beispiel 55 (Anleihebewertung mit Abzinsungsfaktoren) Es beträgt 4% 4,3% 4,5%

• die Rendite von Staatsanleihen mit Restlaufzeit 1 Jahr: • die Rendite von Staatsanleihen mit Restlaufzeit 2 Jahre: • die Rendite von Staatsanleihen mit Restlaufzeit 3 Jahre: (1) Staatsanleihe mit Restlaufzeit 1 Jahr

Der aus der Staatsanleihe resultierende Zahlungsstrom (-100, 104) entspricht gerade einem Zerobond einjähriger Laufzeit. Damit ist der aktuelle Marktzins in Höhe von 4% identisch dem des Zerobonds: — 1+

104 'spot(0,l)

= 100

PsPot(o,i) = 4%

=>

Für den Zerobond-Abzinsungsfaktor gilt: j + q q^

=

^

^

(2) Staatsanleihe mit Restlaufzeit 2 Jahre Der aus der Staatsanleihe resultierende Zahlungsstrom (-100, 4,3 , 104,3) liefert den Spot-Rate Pspot(o,2) aus der Gleichung: 100=

4 3 ' 1 + 'spol(O.l)

+

Kapitaleinsatz Zerobond 1

,

1Q4 3 ' V + isPot(0,2) /

=>

Pspot(o,2) ~~ 4,3064%

Kapitaleinsatz Zerobond 2

= 0,919132 Für den Zerobond-Abzinsungsfaktor gilt: 7 (l + 0,043064)

105

3 Von subjektiven und objektiven Investitionsentscheidungen

(3) Staatsanleihe mit Restlaufzeit 3 Jahre Der aus dieser Anleihe resultierende Zahlungsstrom (-100, 4,5 , 4,5 , 104,5) liefert den Spot-Rate Pspot(0,3) aus der Gleichung: 45 45 100 = — — v^ 1 + 0,04 (l + 0,043064)

104 5 ' v. ( ü i ^ J

Für den Zerobond-Abzinsungsfaktor gilt: ^

+

=5. p Spot(03) = 4,5137%

Q 045137) 3

=

Zusammenfassung: Restlaufzeit (Jahre) Rendite der Staatsanleihen Spot-Rate Zerobond-Abzinsungsfaktor

1 4 4 0,961538

2 4,3 4,3064 0,919132

3 4,5 4,5137 0,875952

Für eine zu nominal 5% verzinste Anleihe mit einer Laufzeit von 3 Jahren beträgt der „faire" Gegenwartswert: 5 • 0,96153 8 + 5 • 0,919132 +105 • 0,875952 = 101,3 8 Euro (siehe auch Ergebnis aus Beispiel 52)

3.3.3 Für die Bank: Strukturkongruente Anlage Es wird der Frage nachgegangen, welcher durch den Verkauf von Zerobonds unterschiedlicher Restlaufzeiten erhaltene Refinanzierungsbetrag über die Rückflüsse des Kundenkredits zurückgezahlt werden kann. Liegt der Betrag unter (über) dem Kreditbetrag, wird auf das Kreditgeschäft verzichtet (nicht verzichtet). Die Spot-Rates werden erneut aus der gegenwärtigen Zinsstrukturkurve gewonnen.

Beispiel 56 (Kreditbewertung mit Abzinsungsfaktoren) Es soll untersucht werden, ob die Refinanzierung des folgenden Tilgungsdarlehens durch Zerobonds vorteilhaft ist: •Nennwert: • Zinssatz: • Laufzeit:

100.000 Euro 6% 2 Jahre

106

Abschnitt 3: Rechnerische Methoden des dynamischen Finanzmanagements

Die Rendite von Staatsanleihen mit Restlaufzeit 1 Jahr beträgt 4% und mit Restlaufzeit 2 Jahre 5%. (1) Die Zerobondrendite Pspot(0,i) beläuft sich auf 4% und der ZerobondAbzinsungsfaktor auf 0,961538 (siehe auch Beispiel 55). (2) Die Zerobondrendite p sPot(0,2) wird aus folgendem Ansatz ermittelt: 100

= 7~T+/

,105

y

=>

Pspot(o,2) = 5,025249%

Der Zerobond-Abzinsungsfaktor beträgt 0,906593. Damit erhält das Kreditinstitut durch den Verkauf von Zerobonds insgesamt einen Betrag in Höhe von: 56.000 • 0,961538 + 53.000 • 0,906593 -101.895,56 Euro Da die Bank nur 100.000 Euro als Kundenkredit vergibt, erzielt sie einen barwertigen Vorteil von 1.895,56 Euro (siehe auch Ergebnis aus Beispiel 53).

3.3.4 Folgerung: Bewertung unterschiedlicher Investitionen Sind Investitionsbetrag und Planungshorizont der möglichen Alternativen identisch, wird die Investition mit dem höchsten barwertigen Überschuss durchgeführt:

Beispiel 57 (objektive Investitionsentscheidung) Zeitpunkt 1.1.01 1.1.02 1.1.03

Investition 1

Investition 2 -100 25 115

-100 20 120

Eine Abzinsung der Rückflüsse mit den aus Beispiel 56 gewonnenen Abzinsungsfaktoren zeigt einen geringen Vorteil zugunsten Investition 1: Investition 1: 0,961538 • 25 + 0,906593 • 115 = 128,30 Euro (Barwertüberschuss: 28,30 Euro) Investition 2: 0,961538 • 20 + 0,906593 • 120 = 128,02 Euro (Barwertüberschuss: 28,02 Euro)

107

3 Von subjektiven und objektiven Investitionsentscheidungen

3.4 Forward-Rates Mit den gegenwärtigen Spot-Rates sind auch die Zinssätze für die in der Zukunft liegenden Zinsperioden festgelegt (Forward-Rates). Eine subjektive Einschätzung zukünftiger Wiederanlagezinsen entfällt. Kt A

Spot-Rate von 0 bis t

Spot-Rate von 0 bis m

>

K„

K, A

>

2 m

V K0

Forward-Rate von m bis t

v K0

Bei gegebenen Spot-Rates Pspot(0,t) und pspot(0,m) kann der Forward-Rate fur den Zeitraum (t - m) leicht berechnet werden aus: /

PForward(m,t)

J_

(V l\ + ^Spot(0,t) • V ^ )

> -1

^(l + 'spoKO.m))"1 , V

•100 (42)

Beispiel 58 (Forward-Rates) Aus den Renditen von Staatsanleihen unterschiedlicher Restlaufzeit wurden folgende Spot-Rates ermittelt (siehe Beispiel 55) Restlaufzeit (Jahre) Spot-Rates

1 4

2 4,3064

3 4,5137

• Forward-Rate einer Anlage in einem Jahr für ein Jahr (pForward(i,2))'

PForward(l,2)

(l + ispotCO^))2

2-1

100 =

(l + 'spot(0,l))

1,043064

100 = 4,6137%

1,04'

Forward-Rate einer Anlage in einem Jahr für zwei Jahre (p Forward( i j3) ):

PForward(l,3)

0 + ispot(0,3) J (' + isPot(0,l))

i

3-1 100 =

1,045137 1,04'

-l /

100 = 4,7715%

108

Abschnitt 3: Rechnerische Methoden des dynamischen Finanzmanagements Forward-Rate einer Anlage in zwei Jahren für ein Jahr (pF0rward(2,3)): j _

+

(l 'spot(0,3) J PForward(2,3)

~

(l + 'spoHO^))2

A

3-2

-1

•100 =

1,045137 3^ 1,0430642

i

A - 1 100 = 4,9295%

Zusammenfassung aller Forward-Rates: Anlage in ... Jahr(en) 1 2

für... Jahr(e) 1 2 4,6137% 4,7715% 4,9295%

Eine Wiederanlagezinsabsicherung in Höhe der Forward-Rates liefert für die 5%-Anleihe zum Planungshorizont 3 Jahre einen sicheren Endwert in Höhe von: 5 • 1,0477152 + 5 • 1,049295 + 105 = 115,74 Euro 105

> Aufzinsung mit 4,7715% Aufzinsung mit 4,9295%

-100

Barwertig entspricht dieser Betrag (Abzinsung mit dem Spot-Rate für Zerobonds mit einer Restlaufzeit von drei Jahren): 115,74 1,045137;

= 101,38 Euro

(siehe auch Ergebnis aus Beispiel 55)

3.5 Anwendungsbeispiel in EXCEL Es sollen der Kapitalbar- und Kapitalendwert objektiv berechnet werden. Zwei Lösungsansätze werden vorgestellt:

3 Von subjektiven und objektiven Investitionsentscheidungen • •

109

Berechnung der relevanten Größen mit den aus der Zinsstrukturkurve abgeleiteten Spot-Rates und Forward-Rates Berechnung der relevanten Größen mit dem Mittel der strukturkongruenten Refinanzierung

Daten der Investition Zahlung Datum -10.000 1.1.01 1.1.02 400 400 1.1.03 1.1.04 10.400

Daten der Zinsstrukturkurve Rendite Restlaufzeit 3% 1 Jahr 4% 2 Jahre 5% 3 Jahre

(1) Spot-Rates / Forward-Rates A | B |C | D Säp.' E F 1 2 Berechnung des Kapitalbar und Kapitalendwertes uber Spot-Rates und Forward-Rates (Teil 1) 3 4 5 1. Berechnung der Spot Rates und Forward-Rates 6 7 Zinsstruktur Abzinsungsfaktoren Aufzinsungsfaktoren Spot-Rates 1 Jahr 3% 0,970873786 1,03 a 3,0000% 9 2 Jahre 4% 0,924197162 1,082020202 4,0202% 3 Jahre 5% 0,862139479 1,159905125 10 5,0689% 11 12 13 Forward-Rates 14 15 in 1 Jahr für 2 Jahre 6,1189% 16 in 2 Jahren für 1 Jahr 7,1981% 17 18 19 2. Bewertung der Zahlungsreihe 20 Zahlungsreihe Barwert (mit Spot-Rates) 21 Endwert (mit Forward-Rates) 22 01.01.01 -10000 23 01.01.02 400 388,350 450,449 24 01.01.03 400 369,679 428,792 01.01.04 10400 8966,251 25 10400,000 26 27 Summe der Barwerte 9724,279 Summe der Endwerte 11279,241 28 abzüglich Kapitaleinsatz -10000,000 abzüglich Kapitaleinsatz -11599,051 29 Konditionenbarweit -275,721 Konditionenendwert -319.810 30 31 entspricht barwertig -275,721 32'

110 «tt 2

.

Abschnitt 3: Rechnerische Methoden des dynamischen Finanzmanagements - -

- A

B

c

J

£

D

F

Berechnung de

•¿r. ..i..

s X M

1. Berechnung Zinsstruktur

"•B 3

10

m

1 Jahr

0,03

Ab zinsungsfaktoren =1/(1 +C8)

2 Jahre 3 Jahre

0,05

=(1-C9*D8)/(1 +C9) =1/D9 =(1-C10*D8-C10*D9V(1+C10) =1/010*"

_ ...

Aufzinsungsfaktoren =1/D8

Spot-Rates =E8-1 =E9»(1/2] : 1 =E1p"(1/3)-1

12

•13 Vi m H n

Forward-Rates in 1 Jahr für 2 Jahre in 2 Jahren für 1 Jahr

=(E10/E8) A (1/2) 1 =E10/E9-1

.18

.19 2. Bewertung m 21 22 36892 37257

m • m?

37622 zö 37987

ü SB 29 30-

d Zahlungsreihe -10000 400 400

Barwert (mit Spot-Rates)

Endwert (mit Forward-R

=B23*D8

=B23*(1+F15) A 2 =B24*(1+F16) =B25

10400

=B24*D9 =B25*D10

Summe der Barwerte abzüglich Kapitaleinsatz

=SUMME(D23:D25) =B22

Konditionenbarwert

=D27+D28

Summe der Endwerte =SUMME(F23:F25) abzüglich Kapitaleinsatz = B22*E10 Konditionenendwert - F 2 7 + F 2 8 entspricht barwertig =F29*D10

31 ifiS

(2) Strukturkongruente Refinanzierung fl

B

i

|

3 2

Berechnung das Kapitalbar- u n d Kapitalendwertes über strukturkongruente Refinanzierung (Teil 2 )

Zinsstruktur

a 1|S .

Investition 14 Geldaufnahme (für Bank: Zufluss)

•1 Jahr

3%

2 Jahre

4%

3 Jahre

5%

01.01.01

01.01.02

01.01.03:

-10000,00

400,00

400,00:

10400,00*

9904,76 :

-495,24

-495,24!

-10400,00*

Saldo

-95.24:

Geldanlage (für Bank: Abfluss) 1 )

-91,58

Saldo Galdaufnahme (für Bank Zufluss)

-186,81; -80.91'

Saldo

-275,72

Kapitalbarwert 2 1

-275,72

zu i)

-95,24;

-95,24;

3.661

95,24;

-91,58

01.01.04

0,00

0,00

91,581 0.00?

Der Saldo ist z u m 1.1.03 mit -95,24 Euro negativ. Dieses Defizit ist über einen Rückfluss zu kompensieren. Daher wird in einem zweiten Schritt kein Geld aufgenommen, sondrn zum Zeitpunkt 1.1.01 mit Fälligkeitstermin 1.1.03 angelegt Insgesamt ist das Geschäft abzulehnen.

3 Von subjektiven und objektiven Investitionsentscheidungen WM&

M m s m

A .

1 2 3

I E

B

. I

c

111

D

lu

E

Berechnung des Kapitalbar- un

4 5 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre

6

7

8

Zinsstruktur 0,03 0,04 0,05

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Investition Geldaufrahme (für Bank: Zufluss) Saldo Geldanlage (für Bank: Abfluss) Saldo Galdaufnahme (für Bank: Zufluss) Saldo

36892 -10000 =E13/(1+C8) =B13+B14 =D15/(1+C7) =B15+B1B =C17/(1+C6) =B17+B18

Kapitalbarwert

=B19

37257 400 =-B14*C8 =C13+C14 =-B16*C7 =C15+C16 =-B18*(1 +C6) =C17+C18

37622 400 =-B14*C8 =D13+D14 =-B16*(1+C7) =D15+D16

37987 10400 =-B14*(1 +C8) =E13+E14

112

Abschnitt 3: Rechnerische Methoden des dynamischen Finanzmanagements

4 Derivate 4.1 Was sind Derivate? Mit dem Erwerb eines Basiswertes (Aktie, Anleihe) entstehen Teilhaber- oder Gläubigerrechte. Gleichzeitig wird einem Unternehmen Kapital zu investiven Zwecken überlassen. Daraus erwirtschaftete Erträge dienen dann der Zahlung von Zins, Dividende und bei Anleihen der Tilgung des überlassenen Kapitals. Während der Kauf einer Anleihe dem Gläubiger in der Regel einen garantierten Zahlungsstrom zusichert ist der mit dem Kauf einer Aktie verbundene Zahlungsstrom beim Teilhaber unsicher. Wird der aus dem Basiswert resultierende Zahlungsstrom selbst Gegenstand einer vertraglichen Vereinbarung, spricht man von einem Derivat. Derivate sind aus dem ursprünglichen Basiswert abgeleitete vertragliche Vereinbarungen und vom Ursprungsgeschäft völlig losgelöst. Sie verbriefen weder eine neue Kreditbeziehung, noch wird dadurch ein neuer Basiswert geschaffen.

Basiswert (Underlying) Aktie Bundesanleihe Ableitung

abgeleitete Finanzkontrakte (Derivate, Termingeschäfte) Forwards Futures Swaps Optionen

Wert eines

Derivats

wird

bei-

spielsweise bestimmt vom Kurswert des Underlyings und dem Zinsniveau

Kurswert Derivat

113

4 Derivate

Beispiel 59 (Derivat - Swapgeschäft) Der Emittent einer Anleihe sichert sich die notwendigen Kreditmittel für investive Zwecke und der Erwerber bzw. Gläubiger der Anleihe den Erhalt zukünftiger Zins- und Tilgungsleistungen in festgelegter Höhe zu vorbestimmten Zeitpunkten (Ursprungsgeschäft). Nun kann es sein, dass der Anleihegläubiger in Zukunft steigende Zinsen erwartet. Daher möchte er die erhaltenen Zinsen konstanter Höhe gegen variable Zinszahlungen tauschen (Swapgeschäft). Auch wenn er tatsächlich einen Tauschpartner finden sollte, wird die ursprüngliche Kreditbeziehung durch das derivative Geschäft nicht angetastet, mit anderen Worten: Es findet kein Anleihetausch statt.

Nachfolgend werden Derivate vorgestellt, bei denen beide Vertragspartner zur Geschäftserfüllug verpflichtet sind. Im Einzelnen sind dies der Forward-RateAgreement, das Währungstermingeschäft und der Bund-Future. Von diesen unbedingten Derivaten zu unterscheiden sind bedingte Derivate, bei denen beide Vertragspartner nicht zur Geschäftserfüllung verpflichtet sind, wie es beispielsweise bei Optionen der Fall ist.

4.2 Forward-Rate-Agreements (FRA) 4.2.1 Forward-Rate-Agreement als Absicherungsgeschäft Mit dem Abschluss eines Forward-Rate-Agreements (FRA) wird das Ziel verfolgt, sich in der Zukunft ab einem bestimmten Zeitpunkt t für einen bestimmten Zeitraum gegen Zinsänderungsrisiken abzusichern. Ein FRA ist damit nichts weiter als die Absicherung eines Preises für die Zukunft in der Zukunft. t

*0 Vorlaufzeit

n Absicherungszeitraum

Der Verkäufer eines Forward-Rate-Agreements verkauft zum Zeitpunkt 0 einen Festzins (den Forward-Rate-Satz). Der Käufer des Forward-Rate-Satzes möchte sich bei einer Kreditinanspruchnahme zum Zeitpunkt t während des Absicherungszeitraums damit gegen steigende Zinsen schützen. Liegt der zu Beginn des Zinsabsicherungszeitraums vereinbarte Forward-Rate-Satz unter (über) dem tatsächlichen Marktzins, hat der Verkäufer (Käufer) dem Käufer (Verkäufer) einen Barausgleich zu zahlen.

114

Abschnitt 3: Rechnerische Methoden des dynamischen Finanzmanagements Beispiel 60 (FRA als Absicherungsinstrument) Ein Unternehmen benötigt in einem Jahr einen Kredit über 100.000 Euro. Nach 2 Jahren kann der Kredit aus dem Verkauf einer Beteiligung zurückgezahlt werden. Da die Zinsen gegenwärtig niedrig sind, möchte er das niedrige Zinsniveau für die Zukunft absichern. Folgende Marktsituation ist gegeben: Restlaufzeit 1 2 3

Refisatz 2,5% 4% 5,5%

Zerobond-Renditen 2,5% 4,0305% 5,6150%

In einem Jahr wird ein Kredit mit 2-jähriger Laufzeit gewünscht. Aus Formel (41) kann der Forward-Rate-Satz PF0rward(i,3) ermittelt werden. Er beträgt 7,208%. • Sollte der Zins in einem Jahr über 7,208% steigen, erhält der Kreditnehmer vom Forward-Rate-Verkäufer einen Zinsausgleich. • Sollte der Zins in einem Jahr unter 7,208% fallen, muss der Kreditnehmer dem Forward-Rate-Verkäufer einen Zinsausgleich bezahlen. Nehmen wir nun an, die Zinsen seien in einem Jahr tatsächlich auf 8% gestiegen und der Kredit wird in einem Jahr aufgenommen. Da das Unternehmen mit dem Zins von 7,208 % kalkuliert, sind nach 2 Jahren bei einer Kapitalaufnahme von 100.000 Euro zurückzuzahlen: 100.000 • 1.072082 = 114.935,55 Euro Tatsächlich sind die Zinsen jedoch auf 8% gestiegen, was die effektive Kapitalaufnahme reduziert: 114.935,55 Q ß „ e 7 0 c r — - 98.538,72 Euro 1,08 Der barwertige Differenzbetrag von (100.000 - 98.538,72) = 1.461,28 Euro wird dem Unternehmen bereits zum Kreditierungszeitpunkt gutgeschrieben. Hätte das Unternehmen keine Zinsabsicherung betrieben, wäre in zwei Jahren ein Rückzahlungsbetrag von 116.640 Euro fällig gewesen. Es konnten also Zinskosten in Höhe von 1.704,44 Euro (barwertig 1.461,29 Euro) eingespart werden.

115

4 Derivate 4.2.2 Forward-Rate-Agreement als Spekulationsgeschäft (Verkäufer)

Einen Vorteil aus dem Abschluss eines Forward-Rate-Agreements kann der Verkäufer erlangen: Sollten während der Vorlaufzeit die Zinsen unter den vereinbarten FRA-Satz fallen, ist der Käufer zu einer Ausgleichszahlung verpflichtet, der zinsertragsbringend angelegt werden kann. Bezeichnet iFRA den vereinbarten FRA-Satz und i Markt den zu Beginn des Absicherungszeitraums gehandelten Marktzins, berechnet sich der Ausgleichsbetrag eines FRA mit Laufzeit unter einem Jahr aus: Laufzeit Volumen • (i FRA - i Markt ) • 360 Ausgleichsbetrag = Laufzeit 1 + iMarkt 360 (43)

Beispiel 61 (FRA als Spekulationsgeschäft) Ein Zinsspekulant geht aufgrund der bereits lang andauernden Hochzinsphase von fallenden Zinsen aus. In einem halben Jahr erhält er aus einer fälligen Kapitalanlage 100.000 Euro, die er für ein halbes Jahr anlegen möchte. Folgende gegenwärtige Marktsituation ist gegeben: Restlaufzeit Euribor 0,5 2,5% 1 2,75% Er verkauft einen Forward-Rate-Agreement über 100.000 Euro zu 2,96%:

v

1+

0,025 2

1+

Forward(0,5;l)

: 1,0275

^

PForward(0,5;l)

=

2,96%

Ein halbes Jahr später wird folgende Marktsituation angetroffen: Restlaufzeit Euribor 0,5 1,5% 1 2% Die Zinsen sind tatsächlich gefallen. Somit erhält er einen Ausgleichsbetrag in Höhe von (Formel (43)):

116

Abschnitt 3: Rechnerische Methoden des dynamischen Finanzmanagements

180 100.000 -(0,0296 - 0 , 0 1 5 ) • — Ausgleichsbetrag = — 260 1+0,015-™ 360

=

724,57 Euro

Der Zinsspekulant zieht einen abschließenden Vergleich: Ohne Abschluss des FRA wäre nach einem halben Jahr mit einem Anlagebetrag von 100.000 Euro und Zinssatz von 1,5% ein Endsaldo von 100.750 Euro erwirtschaftet worden. Zum aktuellen Zinssatz (1,5%) wird nach einem halben Jahr mit einem Anlagebetrag von 100.724,57 Euro ein Endsaldo von 101.480 Euro erwirtschaftet. Der während der Vorlaufzeit eingetretene Zinsrückgang wurde durch den Erhalt des Ausgleichsbetrages kompensiert.

4.3 Währungstermingeschäfte Bei einem Währungstermingeschäft wird schon bei Vertragsabschluss festgelegt, welche Fremdwährung zu welchem Wechselkurs (dem Devisenterminkurs) und zu welchem Zeitpunkt geliefert und abgenommen wird. Motiv des Käufers eines Devisenterminkurses ist damit das Ausschalten zukünftiger Wechselkursrisiken. Auf dem Devisenkassamarkt hingegen erfolgt die Lieferung, Übergabe und Bezahlung der Devisen innerhalb von 2 Tagen nach Vertragsabschluss zum Devisenkassakurs. Der Devisenterminkurs lässt sich objektiv aus dem Devisenkassakurs, sowie den am Markt gehandelten Zinssätzen gemäß dem „Cost of Carry"-Ansatz bestimmen. Dabei wird davon ausgegangen, dass der Abnehmer der Fremdwährung sich bereits zum Abschlusszeitpunkt mit der Inlandswährung eindeckt und bis zur Lieferung verwaltet. Er trägt also das Risiko, die erhaltene Fremdwährung zu einem ungünstigen Kurs weiterveräußern zu müssen. Die durch Verwaltung und Absicherung entstandenen Kosten (Cost of Carry) werden in den Devisenterminkurs einkalkuliert.

Beispiel 62 (Währungstermingeschäft - Cost of Carry) Ein Geldanleger erhält in 3 Monaten 100.000 Dollar. Die Hausbank verpflichtet sich, den Fremdwährungsbetrag entgegenzunehmen und gegen Euro zu tauschen. Da die Bank ihrerseits ein Wechselkursrisiko eingeht (bei einer Eurostärke gegenüber dem Dollar), möchte sie sich mit einem bereits heute vereinbarten Terminkurs absichern.

4 Derivate

117

Folgende gegenwärtige Marktsituation ist gegeben: Kassakurs: Kreditzins: Anlagezins:

0,9 Dollar/Euro (Preisnotierung: 1,11 Euro/Dollar) 5% (Fremdwährungsland) 4% (Inland)

Schritt 1: Die Bank nimmt bereits heute einen Kredit auf Dollar-Basis auf. Die Kreditsumme beläuft sich auf: Kreditsumme = 1+ — 4 Dieser Kredit wird in 3 Monaten durch den Zahlungseingang in Höhe von 100.000 Dollar ausgeglichen. Schritt 2: Anschließend tauscht die Bank den Währungsbetrag in Euro und legt den Euro-Betrag zu 4% für 3 Monate an. Daraus erwirtschaftet sie: 98.765,43 • 1,11 •( 1 + — 4

ì = 110.725,93 Euro

Schritt 3: Nach 3 Monaten erhält der Exporteur 100.000 Dollar. Die Bank kauft diesen Fremdwährungsbetrag gegen 110.725,93 Euro an. Das entspricht einem preisnotierten Terminkurs von: 110.725 93 -— = 1,107 Euro/Dollar (in Mengenotierung: 0,903 Dollar/1 Euro) 100.000

Allgemein berechnet sich der preisnotierte Terminkurs aus:

(44) Dabei bezeichnet iInland das inländische Zinsniveau (Geldanlage) und ausländische Zinsniveau (Kreditaufnahme).

i A u siand

das

118

Abschnitt 3: Rechnerische Methoden des dynamischen Finanzmanagements

4.4 Futures 4.4.1 Grundlagen Futures gehören ebenfalls zu den unbedingten Termingeschäften und beinhalten die vertragliche Verpflichtung, zum Erfüllungszeitpunkt eine bestimmte Ware zu einem im voraus festgelegten Preis zu kaufen (Käufer eines Futures) oder zu liefern (Verkäufer eines Futures). Bei der Ware kann es sich um Rohstoffe, Metalle und Nahrungsmittel (Warentermingeschäfte, commodity Futures) oder Rentenwerte, Aktien und Währungen handeln (Finanztermingeschäfte, financial Futures). Da es oftmals unmöglich ist, am Fälligkeitstag die konkrete Ware zu liefern, erfüllen die Vertragspartner ihre Pflicht durch einen Barausgleich (cash settlement). Die Marktfähigkeit und damit Börsengängigkeit von Financial Futures wird zum einen durch einen hohen Standardisierungsgrad der gehandelten Ware in Bezug auf Warenart und Menge erreicht. Aufgrund dieser Handelsvereinfachung kann es dann zu einem börsentäglichen Preis, dem Future-Kurs, kommen. Zum anderen stehen sich Käufer und Verkäufer eines Futures nicht direkt gegenüber. Als Vertragspartner beider Parteien tritt eine Clearingstelle ein, die nicht nur für eine Vertragserfüllung sorgt, sondern auch ein Bonitätsrisiko beider Parteien ausschließt. Um das Erfüllungsrisiko auszuschalten, sind die Vertragspartner eines Financial Futures verpflichtet, Geldleistungen (margins) zu erbringen. Die Höhe dieser Margins ergeben sich börsentäglich aus den Änderungen des Futurekurses. Dabei gilt beispielsweise für einen Future auf Anleihen: •

Geht ein Partner des Futures „Short" (er tritt als Verkäufer auf und muss liefern), sind bei steigenden Kursen Wertverluste auszugleichen. Bei fallenden Kursen erhält er im Gegenzug Gutschriften, da er die Anleihe preiswerter veräußern muss, als ursprünglich vereinbart wurde.

•

Geht ein Partner des Futures „Long" (er tritt als Käufer auf und muss abnehmen), sind bei fallenden Kursen Wertverluste auszugleichen. Bei steigenden Kursen erhält er im Gegenzug Gutschriften, da er die Anleihe teurer abnehmen muss, als ursprünglich vereinbart wurde.

Beispiel 63 (Future auf Anleihen - Bund-Future) Beide Vertragspartner eines standardisierten Futures vereinbaren in drei Monaten die Lieferung und Abnahme einer Bundesanleihe im Nennwert von 100.000 Euro zu einem „heute" vereinbarten Kurs von 89%. Damit muss der Käufer des

4 Derivate

119

Futures (long position) am Fälligkeitstag 89.000 Euro bezahlen. Vereinfachend soll angenommen werden, dass eine Änderung des Futurekurses nur zum Ende eines jeden Monats erfolgt. • Future-Kurs fällt nach 1 Monat auf 88%: Der Käufer (long position) des Futures muss dem Verkäufer (short position) 1.000 Euro zahlen. • Future-Kurs steigt nach 2 Monaten von 88% auf 90%: Der Verkäufer des Futures muss dem Käufer 2.000 Euro zahlen. • Schlusskurs nach 3 Monaten beträgt 87%: Der Käufer des Futures muss dem Verkäufer 3.000 Euro zahlen. Per Saldo erhält der Verkäufer des Futures damit einen Barausgleich in Höhe von (1.000 + 3.000) - 2.000 = 2.000 Euro.

Die drei bekanntesten Futures im Überblick: •

Dax-Future Basiswert: Deutscher Aktienindex Kontraktwert (Mindestauftragswert): Index • 25 Euro Dax-Futures dienen beispielsweise der Absicherung eines dem DAX vergleichbaren Aktienpakets gegen Kursverluste. In diesem Fall wird ein Future-Kontrakt verkauft und der Käufer des Futures muss die Aktien am Erfüllungszeitpunkt zum „heute" festgelegten Future-Kurs abnehmen. Möchte man sich hingegen ein zukünftiges Aktienportfolio zu dem „heutigen" Future-Kurs sichern, muss ein DAX-Future gekauft werden. Am Erfullungstag nimmt der Käufer dann den Aktienkorb zum festgelegten Future-Kurs ab.

•

Bund-Future Basiswert: Fiktive Bundesanleihe mit einer Nominalverzinsung von 6% und einer Restlaufzeit von 8,5 - 10,5 Jahren Kontraktwert (Mindestauftragswert): 100.000 Euro Bund-Futures dienen der Absicherung eines Rentenportfolios gegen unerwünschte Zinsänderungen. Soll beispielsweise eine im Depot befindliche Anleihe später verkauft werden, kann man sich gegenüber steigenden Zinsen und Kursverlusten mit dem Verkauf eines Bund-Futures absichern. Mit dem per Termin realisierten Verkaufserlös wird, sofern die Zinsen tatsächlich gestiegen sind, der Bund-Future zu einem niedrigeren Terminkurs zurückgekauft. Der aus

120

Abschnitt 3: Rechnerische Methoden des dynamischen Finanzmanagements

diesem Glattstellungsgeschäft erzielte Gewinn mildert dann zumindest den aus dem Verkauf der Anleihe erlittenen Kursverlust. Ist der realisierte Kursverlust der Anleihe identisch dem Futuregewinn, spricht man von einem Perfect-Hedge. •

Bobl-Future Basiswert: Fiktive Schuldverschreibung des Bundes mit einer Nominalverzinsung von 6% und einer Restlaufzeit von 4,5 bis 5,5 Jahren Kontraktwert (Mindestauftragswert): 100.000 Euro Bei dem Bobl-Future verhält es sich ähnlich dem Bund-Future.

4.4.2 Der Bund-Future Wie bei einem Devisentermingeschäft wird der Futurekurs nicht willkürlich festgelegt, sondern lässt sich mit dem „Cost of Carry" - Ansatz erklären. Der Verkäufer eines Bund-Futures beispielsweise verpflichtet sich, eine Bundesanleihe zu einem bestimmten Zeitpunkt zu liefern. Zur Vermeidung zwischenzeitlicher Kursänderungsrisiken wird er einen Kredit in Höhe des Anleihepreises aufnehmen und die Anleihe bereits bei Aufnahme des Future-Geschäfits erwerben. Damit muss der Käufer eines Bund-Futures nicht nur den aktuellen Anleihekurs, sondern auch die bis zum Lieferzeitpunkt fälligen Kreditzinsen bezahlen. Umgekehrt mindern die zwischenzeitlich dem Verkäufer des Futures zugesprochenen Zinserträge aus Zinskupons den Future-Kurs. Sollte der tatsächliche Future-Kurs den rechnerisch ermittelten Kurs übersteigen, würden die Marktteilnehmer einen Gewinn in Höhe der Differenz beider Kurse erzielen. Folglich müsste sich die Nachfrage nach Bundesanleihen und das Angebot an Futures erhöhen. Die Kursbewegungen von Anleihe und Future verhalten sich so lange gegenläufig, bis kein Arbitragegewinn mehr möglich ist. In der Praxis bezieht sich der in Prozentpunkten notierte Future-Kurs auf eine Bundesanleihe mit einem Zinskupon von 6% und einer Restlaufzeit von 10 Jahren.

Beispiel 64 (Bund-Future - Cost of Carry) Folgende Marktsituation ist gegeben: • aktueller Kurswert der Anleihe: 100% • Sollzins: • Zinskupon Ohr.): • Restlaufzeit:

7% 6% 1 Jahr

121

4 Derivate

Soll in drei Monaten die Anleihe geliefert werden, ist bei Lieferung folgender Future-Kurs zu entrichten:

Für einen Nennwert von 100.000 Euro sind zum Liefertermin 101.740 Euro zu bezahlen. Annahme: Wäre beispielsweise der tatsächliche Future-Kurs mit 105% höher als 101,74%, könnte ein Arbitragegewinn (= realisierbarer Gewinn durch eine risikolose Portfolioumschichtung) realisiert werden: Position Kreditrückzahlung Erhalt des Future-Preises und Abgabe der Anleihe Gewinn

Betrag -101,74 105,00 3,26

Sofern eine Future-Position bis zum letzten Handelstag nicht durch ein Gegengeschäft geschlossen wurde, ist dem Käufer des Bund-Futures eine idealtypische Bundesanleihe mit • •

einer Restlaufzeit zwischen 8,5 und 10,5 Jahren und Nominalzinskupon von 6%

anzudienen. Oftmals ist die Lieferung einer solchen Anleihe nicht möglich. Daher bleibt es dem Verkäufer des Futures letztendlich überlassen, welchen Nominalzinskupon die Anleihe tatsächlich hat. Um eine Vergleichbarkeit der idealtypischen Anleihe mit der angedienten Anleihe zu gewährleisten, berechnet die Terminbörse sogenannte Konversionsfaktoren (Umrechnungsfaktoren). Sie bestimmen den vom Nominalzinskupon abhängigen Kurswert: •

Liefert der Verkäufer eine Anleihe mit einem Zinskupon größer 6%, ist ein höherer Kurs als der Future-Kurs zu zahlen (damit Umrechnungsfaktor > 1 ) .

•

Liefert der Verkäufer eine Anleihe mit einem Zinskupon von weniger 6%, ist ein geringerer Kurs als der Future-Kurs zu zahlen (damit Umrechnungsfaktor < 1).

122

Abschnitt 3: Rechnerische Methoden des dynamischen Finanzmanagements Beispiel 65 (Konversionsfaktor) Zum Liefertermin wird eine Anleihe mit einer Restlaufzeit von 10 Jahren und einem Zinskupon von 7% angedient. Bei einer Rendite von 6% beträgt der Kurswert der Anleihe: Kurswert = 7 • 1,06'' + 7 • 1,06~2 + 7 • 1,06"3 +... +107 • 1,06~10 = 107,36% Der Konversionsfaktor der 7%-igen Bundesanleihe beträgt damit 1,0736. Bei einem Future-Kurs von 90% sind vom Käufer des Bund-Futures damit 90- 1,0736 = 96,62% zu zahlen.

Abschnitt 4

Kalkulierbares Risiko: Statistische Elemente des Finanzmanagements Viele in der Praxis angewandten Modelle der Risikosteuerung und -bewertung basieren auf finanzmathematische und statistische Bausteine. Mit der Erhebung und Analyse vergangenheitsorientierter Daten unterstützt die Statistik den Investor, Risiken einer Kapitalanlage berechenbar und transparent zu machen. Eine geschickte Kombination finanzmathematischer und statistischer Bausteine liefert schließlich Denkmodelle, mit denen man sich eine sehr exakte Risikobewertung des Vermögens (beispielsweise der Value-at-Risk-Ansatz) oder wertvolle risikominimierende Umschichtungshinweise erhofft (Markowitz-Modell). In diesem Kapitel werden behandelt:

1 Ein kleiner Rundgang durch die Wahrscheinlichkeitstheorie 2 Von der Wahrscheinlichkeitstheorie zur Statistik 3 Streuungsmaße 4 Vom Umgang mit der Normalverteilung 5 Zusammenhangsanalyse 6 Optionen

124

Abschnitt 4: Statistische Elemente des Finanzmanagements

1 Ein kleiner Rundgang durch die Wahrscheinlichkeitstheorie 1.1 Die Zufallsvariable Bevor ein Experiment durchgeführt wird, ist dessen Ausgang oder Ergebnis x* ungewiss, d.h. es hängt vom Zufall ab. Innerhalb eines solchen Zufallsexperiments bezeichnet nun die Zufallsvariable X die Gesamtheit aller möglichen Ausgänge. Sind sie alle bekannt und ist damit deren Anzahl begrenzt, nennt man die Zufallsvariable X diskret, andernfalls stetig.

Beispiel 66 (Stetige und diskrete Zufallsvariablen) (1) Die Zufallsvariable X beschreibt den Tageshöchstkurs einer Aktie. Dabei kann X (theoretisch) unendlich viele Werte annehmen. X ist also stetig. (2) Die Zufallsvariable X beschreibt das Rating eines Unternehmens (als Qualitätsmaß für die Kreditwürdigkeit). X ist mit X = (AAA, AA+, AA, ...., C, C-, D) endlich und damit diskret. (3) Die Zufallsvariable X beschreibt die bei einem Wurf eines fairen Würfels möglichen Augenzahlen. X ist mit X = (1, 2, 3, 4, 5, 6) endlich und damit ebenfalls diskret.

Bezüglich der Zufallsvariablen stellen sich zwei Fragen: •

Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt ein bestimmtes Ergebnis ein?

•

Welches Ergebnis darf „im Mittel" erwartet werden (Erwartungswert), wenn ein Zufallsexperiment nur oft genug durchgeführt wird?

1.2 Die Wahrscheinlichkeit Die Frage nach der Wahrscheinlichkeit p(x ) eines bestimmten Ergebnisses x* läßt sich bei diskreten Zufallsvariablen dann leicht lösen, wenn die einzelnen möglichen Ausgänge des Experiments voneinander unabhängig sind. Unabhängigkeit bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens eines bestimmten Ergebnisses hängt nicht von dem zuvor eingetretenen Ergebnis ab.

1 Ein kleiner Rundgang durch die Wahrscheinlichkeitstheorie

125

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit p(x ) gilt dann: p(x ) =

Anzahl aller möglichen Ergebnisse (45)

Beispiel 67 (Wahrscheinlichkeit bei diskreten Zufallsvariablen) (1) Sei X die Zufallsvariable „Beobachtete Augenzahl nach dem Wurf eines Würfels". Dabei hängt die Würfelwahrscheinlichkeit einer bestimmten Augenzahl nicht vom Wurf einer zuvor gewürfelten Augenzahl ab. Für die Wahrscheinlichkeit, dass irgendeine Augenzahl geworfen wird, gilt: p ( x j = 1) = p(x* = 2) = ... = p ^ = 6) = \ o (2) Die Zufallsvariable X beschreibt den morgigen Tageshöchstkurs einer Aktie. Dabei kann X (theoretisch) unendlich viele Werte annehmen und die Eintrittswahrscheinlichkeit eines bestimmten Kurses x (beispielsweise 243,58 Euro), tendiert gegen 0: p(x* =243,58)= l i m - = 0 n->oo

n

1.3 Der Erwartungswert Der Erwartungswert E(X) (auch mit p abgekürzt) beantwortet die Frage, welches Ergebnis „im Mittel" erwartet werden darf, wenn ein Zufallsexperiment nur oft genug durchgeführt wird. Für eine diskrete Zufallsvariable X mit m möglichen Ergebnissen berechnet er sich einfach aus: E(X) = £ x * - p ( x ; ) j=l

(46)

Mit anderen Worten: Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X ist die Summe aller möglichen Ergebnisse x , , x 2 ,x m , gewichtet mit ihren Wahrscheinlichkeiten.

126

Abschnitt 4: Statistische Elemente des Finanzmanagements Beispiel 68 (Erwartungswert bei diskreten Zufallsvariablen) Beim Wurf einer Münze erhält der Spieler im Falle des Auftretens des Ereignisses „ K o p f 100 Euro, im Falle des Auftretens von „Zahl" muss er 101 Euro zahlen. Damit gilt für das Zufallsexperiment „Werfen einer Münze": • X = (-101, +100) mit x | =-101 und x*2 =100 . p ( x | = -101) = p(x* = 100) = ^ Für den Erwartungswert gilt gemäß (46): E(X) = - 1 0 1 - + 1 0 0 - - = - 0 , 5 0 Euro 2 2 Spielt man nur lange genug diese Lotterie, wird man im Mittel 50 Cent verlieren.

2 Von der Wahrscheinlichkeitstheorie zur Statistik

127

2 Von der Wahrscheinlichkeitstheorie zur Statistik 2.1 Relative Häufigkeit Da bei stetigen Zufallsvariablen die einzelnen Eintrittswahrscheinlichkeiten der Ergebnisse/Ausgänge Xj unbekannt sind, müssen sie mit einer aus n Stichprobenwerten X] bis x n bestehenden Stichprobe geschätzt werden. Als Schätzer für die gesuchten Wahrscheinlichkeiten dienen dann die relativen Häufigkeiten, wie oft die einzelnen Ergebnisse in der Stichprobe tatsächlich beobachtet werden konnten: _ Anzahl positiver Stichprobenwerte 1

Anzahl aller Stichprobenwerte (47)

Die Abschätzung einer unbekannten Wahrscheinlichkeit durch die relative Häufigkeit wurde erstmalig von Richard von Mises (1931) erwähnt. Konkretisiert jedoch wird der Vorgang durch das Gesetz der großen Zahlen: Ein Zufallsexperiment (Bernoulli-Experiment) mit den beiden Ausgängen • •

1 (Stichprobenwert entspricht Ergebnis/Ausgang) 0 (Stichprobenwert entspricht nicht Ergebnis/Ausgang)

wird n-mal unter den selben Bedingungen wiederholt. Je größer der Stichprobenumfang gewählt wird, um so eher wird die relative Häufigkeit der unbekannten Wahrscheinlichkeit entsprechen. Ist das zu interessierende Ergebnis x* also t-mal eingetreten, wird die Wahrscheinlichkeit abgeschätzt durch: p(x*)« r ( x ' ) = — n Beispiel 69 (Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten) Das Zufallsexperiment „Tageskurs der Aktie X" wird 250 mal durch Beobachtung durchgeführt. Mögliche Ausgänge des Experiments sind: • Tageskurs niedriger als Vortageskurs (= x*) • Tageskurs höher als Vortageskurs (= x j ) • Tageskurs identisch dem Vortageskurs (= x j )

128

Abschnitt 4: Statistische Elemente des Finanzmanagements

Alle Tageskurse werden börsentäglich festgehalten (Stichprobe vom Umfang 250) und liefern folgendes Ergebnis: • Das Ergebnis „Tageskurs niedriger als Vortageskurs" trat 150 mal ein. • Das Ergebnis „Tageskurs höher als Vortageskurs" trat 80 mal ein. • Das Ergebnis „Tageskurs identisch dem Vortageskurs" trat 20 mal ein. Für die Abschätzung der Wahrscheinlichkeiten gilt nach (47): p(x|) * r(x|) = ^

= 0,6 (entspricht 60%)

80 p(xj)~ r(xj) = —

= 0,32 (entspricht 32%)

20 p ( x j ) « r ( x j ) = — = 0,08 (entspricht 8%) Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Ergebniss eintritt, ist natürlich 1 (also die Summe aller abgeschätzten Wahrscheinlichkeiten).

2.2 Statistischer Mittelwert und Portfoliorendite Sind die einzelnen Stichprobenwerte metrisch skalierbar, d.h., • •

können sie in eine Rangfolge gebracht werden und sind deren Abstände quantitativ messbar (beispielsweise Maße und Gewichte),

wird der Erwartungswert bzw. statistische Mittelwert ähnlich Formel (46) aus der Summe der mit ihren relativen Häufigkeiten gewichteten m Stichprobenausgänge x* gebildet: E(X)«E(X) = ]Txj-r(x*) j=i

(48)

Im Ergebnis liefert diese Formel einfach den statistischen Mittelwert aller n Stichprobenwerte. Formel (48) ist damit gleichbedeutend mit: E(X)*E(X) = - ] [ > i ¡=i

129

2 Von der Wahrscheinlichkeitstheorie zur Statistik

Wie kann nun die Rendite eines Portfolios aus dem statistischen Mittelwert gewonnen werden? Die Kursentwicklung ist bei vielen Wertpapieren ungewiss, damit aber auch die bei Verkauf realisierbare Rendite. Mit anderen Worten: Die Rendite ist eine Zufallsvariable mit mehreren möglichen Ausgängen. Soll nun beispielsweise ein bestimmter Anlagebetrag auf zwei Wertpapiere aufgeteilt werden, ergibt sich:

Rendite P o r t f o l i o =

AnteÜwp ' R, Gesamtinvestition

+

Anteilwp2

Gesamtinvestition

R2

Dabei bezeichnet Ri alle möglichen Renditeausgänge des Wertpapiers 1 und R 2 alle möglichen Renditeausgänge des Wertpapiers 2. Renditep0rtf0ii0 ist damit selbst eine Zufallsvariable. Welchen Wert R| und R 2 „im Mittel" tatsächlich haben, wird durch eine Stichprobe ermittelt. Damit ist auch die erwartete Rendite des Gesamtportfolios festgelegt: E(Rendite P o r t f o l i o ) =

Gesamtinvestition

• E(R,) +

^ W P * . e(R2) P Gesamtinvestition (49)

Beispiel 70 (Abschätzung des Erwartungswertes) Ein Portfolio besteht aus: • 100 T Euro der Aktie A - eine Rendite von 3% wurde in 2 von 10 Jahren beobachtet - eine Rendite von 7% wurde in 6 von 10 Jahren beobachtet - eine Rendite von 9% wurde in 2 von 10 Jahren beobachtet Für die Zufallsvariable R, gilt: R, = (3%, 7%, 9%) • 50 T Euro der Bundesanleihe B mit sicherer Rendite von 10% Für die Zufallsvariable R 2 gilt: R 2 = (10%) Für die Erwartungswerte gilt: • Für die Aktie darf in einem Jahr „im Mittel" eine Rendite erwartet werden von: E ( R e n d i t e A k ) = 3% • — + 7% • — + 9% • — = 6,6% 10 10 10

130

Abschnitt 4: Statistische Elemente des Finanzmanagements

• Für Wertpapier B darf das sichere Ergebnis erwartet werden: E(Rendite Bundesaniejhe) = 1 • 10% = 10% • Die erwartete Rendite des Gesamtportfolios berechnet sich aus (49) zu: E(Rendite p rtfblj ) = — • 6,6% + — • 10% = 7,73% v portfoi.o/ 1 5 0 15Q Das bedeutet: Pro einem investierten Euro darf in einem Jahr eine Rendite von 0,0773 Euro erwartet werden.

In dem Beispiel wurde vereinfachend auf Jahresrenditen zurückgegriffen. Wie ist aber ein Renditemittelwert zu berechnen, wenn eine unterjährige Messung der Renditen erfolgt?

Beispiel 71 (Abschätzung einer Portfoliorendite p.a.) Es wurde an 4 Stichtagen der Kurs eines Wertpapierfonds festgehalten und die Quartalsrenditen berechnet: Datum 01.01.01 30.03.01 30.06.01 30.09.01 30.12.01

Fonds A 90 100 120 115 130

Kapital.faktoren

Renditen

-

-

1,11 1,20 0,96 1,13

11,0% 20,0% -4,2% 13,0%

Man ist versucht, den arithmetischen Mittelwert aller Renditen zu berechnen und erhält: -

( X ) =

11 + 2 0 - 4 , 2 + 13 4

Allerdings bleiben Zinseszinseffekte unberücksichtigt. Daher ist auf den geometrischen Mittelwert zurückzugreifen: E(X) = (1,11-1,2 • 0,96 • 1,13)4 = 1,09639

=>

Ppuartal

= 9,639%

3 Streuungsmaße

131

3 Streuungsmaße 3.1 Was bedeutet Risiko ? Die Investoren stellen an ihre Kapitalanlage äußerst vielschichtige und teilweise sich ausschließende Forderungen (Wahl - Handbuch der privaten Kapitalanlage / DZ-Verlag): •

Gefordert wird die sichere Anlageform: Für den Kapitalanleger bedeutet Sicherheit, dass zumindest die Rückzahlung des eingesetzten Kapitals gewährleistet ist.

•

Gefordert wird die ertragreiche Anlageform: Zusätzlich zum eingesetzten Kapital sollte ein adäquater und wenn möglich garantierter Ertrag erzielt werden.

•

Gefordert wird die liquidierbare Anlageform: Die Kapitalanlage sollte bei unvorhergesehenen Ereignissen schnell liquidierbar sein.

•

Gefordert wird die steuerfreundliche und kostengünstigste Anlageform: Steuerabzüge, An- und Verkaufsspesen sowie Verwaltungsgebühren dürfen die Rendite einer Kapitalanlage nicht zu stark schmälern.

Die Forderung nach gesicherten Erträgen kann auch als die Forderung nach einer gewünschten Mindestverzinsung oder Mindestrendite des eingesetzten Kapitals verstanden werden. Diese Mindestrendite stellt dann für den Kapitalanleger einen Erwartungswert (Benchmark) dar, der nach Ende der Kapitalbindungsdauer entweder realisiert, übertroffen (positive Zusatzrendite) oder nicht erreicht wurde (negative Zusatzrendite). Leider ist aber zum Anlagezeitpunkt die Zusatzrendite unbekannt und auch für eine Vielzahl von Anlageformen ist die Angabe einer erwarteten Verzinsung nur durch Schätzung möglich. Daher wird das Risiko einer Anlageform als die maximal von einem Kapitalanleger tolerierte Schwankungsbreite um die erwartete Rendite verstanden. Wie hoch die tatsächlichen mit der Kapitalanlage verbundenen Kurs- und damit Renditeschwankungen sind bzw. welche Rendite der Kapitalanleger aus seiner Investition im Mittel erwarten darf, lässt sich nur mit einer Stichprobe aus vergangenheitsorientierten Daten abschätzen.

132

Abschnitt 4: Statistische Elemente des Finanzmanagements

3.2 Durchschnittliche Summenabweichung Eine erste Möglichkeit zur Messung des Risikos ist die Addition aller Abweichungen der beobachteten Einzelwerte Xj von deren Mittelwert E(X). Dann erscheint das Spiel mit der höchsten durchschnittlichen Summenabweichung am riskantesten, das mit der geringsten am sichersten. Zur Berechnung dient die Formel:

n

i=i

Beispiel 72 (Abschätzung des Risikos - mittlere Summenabweichung) Zur Auswahl stehen zwei Spiele: Spiel 1: X=(Kopf, Zahl), wobei Y(X) = (+10 Euro, -10 Euro) Spiel 2: X=(Kopf, Zahl), wobei Y(X) = (+100 Euro, -100 Euro) Welches Spiel würden Sie spielen ? Statistische Kennziffer Mittelwert Summenabweichung mittlere Summenabweichung

Spiel 1 0 (10-0) +(-10-0) = 0 0

Spiel 2 0 (100-0) +(-100-0) = 0 0

Während das gefühlsmäßige Risiko bei Spiel 1 geringer als bei Spiel 2 ist, signalisiert die Summenabweichung für beide Spiele ein identisches Risiko von 0.

Leider liegt ein wesentlicher Nachteil dieser Kennziffer darin, dass sich positive und negative Abweichungen gegenseitig aufheben. Die Summenabweichung einer Stichprobe vom Umfang n beträgt daher immer 0. Zur Vermeidung dieses Problems bietet es sich an, die betragsmäßig positiven Einzelabweichungen zu addieren. Da sich dieses Verfahren aber aufgrund formaler Schwierigkeiten nicht durchsetzen konnte, wird in der Praxis auf die quadrierten Einzelabweichungen zurückgegriffen. Dieses Vorgehen führt zu den Begriffen „Standardabweichung" und „Varianz".

3 Streuungsmaße

133

3.3 Varianz, Standardabweichung Aus einer Reihe von beobachteten Einzelwerten kann die Varianz als ein erstes Maß für die Risikomessung einer Anlage geschätzt werden. Die Varianz ist einfach der Mittelwert aller quadrierten (und damit positiven) Abweichungen. So lautet bei n Stichprobenwerten die Formel zur Varianzberechnung: Var(X) = - ^ - X ( x i - E ( X ) ) 2 n - 1 ,=i (50) Dass die Summe der Abweichungsquadrate nicht durch die tatsächliche Anzahl der Stichprobenwerte geteilt wird, liegt daran, dass die Höhe der Varianz nur von einem Teil aller theoretisch möglichen Stichprobenwerte beeinflusst wird, es also zu einer Verzerrung dieses geschätzten Wertes bezüglich der unbekannten wahren Varianz kommt. Um die Qualität der Schätzung zu erhöhen, wird der Nenner den Wert

n-1

— durch n

ersetzt (sogenannte „erwartungstreue Schätzfunktion").

Da es zu Vergleichszwecken wünschenswert ist, wenn die Einheit der Risikomessgröße identisch der Einheit der zu untersuchenden Ausgangswerte ist, wird aus der Varianz (mit den unsinnigen Einheiten Euro 2 , % 2 , ...) die Wurzel gezogen. Das Ergebnis nennt man Standardabweichung:

(51) Die Kennziffer Standardabweichung beschreibt also, um wie viel Einheiten im Durchschnitt die Einzelwerte vom Mittelwert abweichen. Bezüglich der Wertpapieranalyse heißt das: Mit der Standardabweichung werden die Renditeschwankungen um ihren Mittelwert gemessen. Sie liefert damit einen Korridor, in denen ein großer Teil der Renditen liegen dürfte. Zu bemerken ist, dass auch die Standardabweichung nicht frei von Problemen ist. Da das Vorzeichen der Abweichungsquadarate immer positiv ist, kann keine Aussage über den Renditeverlauf gemacht werden. Daher ist zur Risikobeurteilung einer Kapitalanlage nicht nur auf die Standardabweichung abzustellen, sondern auch auf die durchschnittlich erzielte Rendite.

134

Abschnitt 4: Statistische Elemente des Finanzmanagements

Beispiel 73 (Abschätzung des Risikos - Standardabweichung) Es wurde an 4 Stichtagen der Kurs eines Wertpapierfonds festgehalten und die Quartalsrenditen berechnet: Datum 01.01.01 30.03.01 30.06.01 30.09.01 30.12.01

Fonds A 90 100 120 115 130

Kapital.faktoren

Renditen

-

-

1,11 1,20 0,96 1,13

11,0% 20,0% -4,2% 13,0%

Bereits in Beispiel 71 berechneten wir den geometrischen Mittelwert zu 9,639%. Die Varianz berechnet sich nach Formel (50) zu: Stichprobenwert 11,0 20,0 -4,2 13,0

Mittelwert 9,639 9,639 9,639 9,639

Differenz 1,361 10,361 -13,839 3,361 Summe

Abweichungsquadrate 1,852 107,350 191,518 11,296 312,016

Var(R) = - -312,016 = 104%2 Für die Standardabweichung gilt: Std(R) = VVar(R) = VlÖ4 = 10,198% Zusammenfassung: X beschreibt die Zufallsvariable „Rendite pro Quartal". Im statistischen Mittel beträgt die Rendite pro Quartal 9,639%. Allerdings können auch Abweichungen auftreten. So bewegt sich der überwiegende Teil aller Stichprobenwerte innerhalb des sehr breiten Intervalls [9,639% - 10,198% ; 9,639% + 10,198%] .

Der statistische Mittelwert und die Standardabweichung werden in der Regel pro Jahr gemessen, die zugrunde liegenden Stichprobenwerte aber täglich/wöchentlich oder monatlich ermittelt. Damit stellt sich die Frage, wie die statistischen Tages-, Monats-, oder Quartalsstandardabweichungen auf das Jahr hochgerechnet („annuisiert") werden können.

135

3 Streuungsmaße

3.4 Volatilität Als Volatilität bezeichnet man die auf das Jahr hochgerechnete Standardabweichung. Sie berechnet sich für unterschiedliche Zeitperioden aus: Periode Tagesstandardabweichung Std Tag (R)

Umrechnung in Volatilität V250-Std T a e (R) 0

Wochenstandardabweichung Std Woche (R)

V52-Std W o c h e (R)

Monatsstandardabweichung Std Monat (R)

Vl2-Std M o n a t (R)

Quartalsstandardabweichung StdQuartai(R)

V4-Std 0 u a r t a l (R)

unterstellt werden 250 Börsentage im Jahr Die Herleitung der Umrechnungsformeln sei am Beispiel der Quartalsstandardabweichung kurz dargestellt. Dazu ist folgende Regel zu beachten: X] und X 2 sind zwei voneinander unabhängige Zufallsvariablen mit den aus einer Stichprobe geschätzten Einzelvarianzen Var(Xi) und Var(X 2 ). Dann gilt für die Zufallsvariable (X, + X 2 ): Var(X, + X 2 )= Var(X,) + Var(X 2 ) Mit anderen Worten: Die Gesamtvarianz ist die Summe der Einzelvarianzen.

Beispiel 74 (Annuisierung von unterjährigen Standardabweichungen) R bezeichnet die unabhängige Zufallsvariable „Quartalsrendite" und Var(R) die daraus gewonnene Quartalsvarianz. Um die Unabhängigkeit der Zufallsvariablen R zu gewährleisten, wird angenommen, dass die Kursbewegung bzw. Renditeentwicklung des vergangenen Quartals keinen Einfluss auf die Kurs- bzw. Renditeentwicklung des aktuellen Quartals hat. Wird das Zufallsexperiment „Beobachtung der Quartalsrendite" mit der Zufallsvariablen R viermal hintereinander ausgeführt, bestimmt sich die Jahresvarianz unter Berücksichtigung der Rechenregel zu: Var(R + R + R + R) = Var(R) + Var(R) + Var(R) + Var(R) - 4 • Var(R) Die Wurzel aus der Varianz ist dann die Volatilität: Volatilität = V 4 • Var(R) = 2 • Std(R) Für die auf das Jahr annuisierte Jahresrendite ergibt sich: E

(

R

Quartal

+

R

Quartal

+

R

Quartal

+

R

Quartal) — 4 • E ( R )

Abschnitt 4: Statistische Elemente des Finanzmanagements

136

Beispiel 74 setzt voraus, dass die Zufallsvariablen addiert werden können. Damit werden aber Zinseszinseffekte missachtet. Zudem können die logarithmierten Renditen bzw. Kapitalisierungsfaktoren im Gegensatz zu den beobachteten absoluten Renditen eher als normalverteilt angesehen werden, was weiterfuhrende wahrscheinlichkeitstheoretische Überlegungen erleichtert. Daher wird oftmals mit den logarithmierten Renditen bzw. deren Kapitalisierungsfaktoren gearbeitet, was allerdings zu geringfügig anderen Ergebnissen fuhrt.

Beispiel 75 (Abschätzung der Portfoliostandardabweichung) Es wurde an 4 Stichtagen der Kurs eines Wertpapierfonds festgehalten und die Quartalsrenditen berechnet: Datum 01.01.01 30.03.01 30.06.01 30.09.01 30.12.01

Fonds A Kapital.faktoren 90 100 1,11 1,20 120 0,96 115 1,13 130

In Kapital.faktoren -

0,105360 0,182321 -0,042560 0,122602

Der Mittelwert aller logarithmierten Kapitalisierungsfaktoren beträgt 0,09193. Für die Standardabweichung und Volatiliät gilt: Stichprobenwert 0,105360 0,182321 -0,042560 0,122602

Mittelwert 0,09193 0,09193 0,09193 0,09193

Differenz 0,013430 0,090391 -0,134490 0,030672 Summe

Abweichungsquadrate 0,000180 0,008171 0,018090 0,000941 0,027382

Var(R) = ^ • 0,027382 = 0,0091273 Std(R) = VVar(R) = Vo,0091273 = 0,095537 Für die Volatilität gilt: Volatilität = 2 • 0,095537 = 0,19197 Die logarithmierte Volatilität muss abschließend wieder in eine Prozentzahl umgewandelt werden: (e°' 1 9 1 9 7 -l)-100 = 21,055%

137

3 Streuungsmaße

3.5 Anwendungsbeispiele in EXCEL 3.5.1 Statistische Kennzahlen bei diskreten Zufallsvariablen Mittelwert, Varianz und Standardabweichung können mit folgenden Funktionen berechnet werden: . . .

MITTELWERT(Zahll, Zahl2, ...) VARIANZEN (Zahl l;Zahl2;...) STABWN(zahll;Zahl2; ...)

Da im Falle diskreter Zufallsvariablen sämtliche Ergebnisse bzw. Ausgänge x* (j = 1 bis m) bekannt sind, erfolgt die Berechnung von Varianz und Standardabweichung nicht durch eine Stichprobe bzw. Schätzung. Der Funktion liegt demnach folgende Formel zugrunde: V a r t X ^ - J ^ - E t X ) ) m

2

j=i

Der Erwartungswert E(X) ergibt sich aus Formel (46).

Beispiel Gesucht ist der Erwartungswert, die Varianz und Standardabweichung der Zufallsvariablen „Wurf eines Würfels".

Funktion MITTELWERT / VARIANZEN / S T A B W N

Mögliche Ausgänge beim W u r f eines Würfels:

10 12 13 Mittelwert 14 15 Varianz 16 17 Standardabweichung

18

3,5000

=MITTE L W E RT(D5: D10)

2,9167

=VARIANZEN(D5:D10)

1,7078

=STABWN(D5:D10)

Abschnitt 4: Statistische Elemente des Finanzmanagements

138

3.5.2 Statistische Kennzahlen bei stetigen Zufallsvariablen Varianz und Standardabweichung können mit folgenden Funktionen berechnet werden: . .

VARIANZ(Zahl 1;Zahl2;...) STABW(zahl 1 ;Zahl2;...)

Im Falle stetiger Zufallsvariablen ist bei der Berechnung von Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung auf eine Stichprobe zurückzugreifen. Dabei wird der Erwartungswert durch Formel (48) abgeschätzt. Für die Varianz und Standardabweichung wird auf die Formeln (50) und (51) zurückgegriffen.

Beispiel Das Datenmaterial aus Beispiel 73 wird statistisch aufbereitet. (1) Mit Formeln A

i

B

c

D

E

F

1 2

Mittelwert und S t a n d a r d a b w e i c h u n g Formeln)

3 4

Stichprobenwerte

Kapital faktor

Rendite pro Quartal

In-Kapit.faktor

5

90

6

100

1,11111

11,11%

7

120

1,20000

20,00%

0,18232

8

115

0,95833

-4,17%

-0,04256

9

130

1,13043

13,04%

0,12260

0,10536

10 11 12 Berechnet über die absoluten Renditen 13 14

Mittelwert

15

Varianz

9,63% 0,01039

16

Standardabweichung

10,19%

17

Volatilität

20,39%

18 19 Berechnet über Kapitalisierungsfaktoren: 20 21

Mittelwert

1,09629

22

Varianz

0,01039

23 24

Standardabweichung

10,19%

Volatilität

20,39%

25 2 6 B e r e c h n u n g über logarithmierte Kapitalisierungsfaktoren 27 28

Mittelwert

0,09193

29

Varianz

0,00913

30

Standardabweichung

0,09553

31

Volatilität

0,19106

32

Umrechnung

9,63%

Umrechnung

21,05%

Ì

139

3 Streuungsmaße

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140

Abschnitt 4: Statistische Elemente des Finanzmanagements

(2) Mit Funktionen " 1 2 3 4 5 B 7 6 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

A

i

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

C

I

I

D

Funktion VARIANZ / STABW

Stichprobenwerte

Kapital.faktor 90 100 120 115 130

Rendite pro Quartal In-Kapit.faktor

1,11111 1.20000 0,95833 1,13043

11,11% 20,00% -4,17%: 13,04%

0,10536 0,18232 -0,04256 0,12260

Mittelwert

0,09193

Varianz

0,00913

Standardabweichung

0,09553

Volatilität

21,05%

A 1 2 3 4 5

B

B

I i

'

' C

I

D

Funktion VARIANZ /

Stichprobenwerte 90 100 120 115 130

Kapital.faktor Rendite pro Quartal In-Kapit.faktor =A7/A6 =A8/A7 =A9/A8 =A10/A9

=B7-1 =B8-1 =B9-1 =B10-1

=LN[B7) =LN(B8) =LN(B9) =LN(B10)

Mittelwert

=MITTELWERT(D7:D10)

Varianz

=VARIANZ(D7: D10)

Standardabweichung

=STABW(D7:D10)

Volatilität

=EXP(2*D16)-1

141

4 Vom Umgang mit der Normal Verteilung

4 Vom Umgang mit der Normalverteilung 4.1 Die allgemeine Normalverteilung N(ju;a) Um bei einer stetigen Zufallsvariablen Erkenntnisse über deren Eigenschaften wie beispielsweise Ausgangswahrscheinlichkeit, Mittelwert oder Varianz gewinnen zu können, ist die Durchführung einer Stichprobe notwendig. Bei einem sehr großen Stichprobenumfang wird man die einzelnen Werte in Klassen zusammenfassen. Die Anzahl der in einer bestimmten Klasse zusammengefassten Stichprobenwerte kann in tabellarischer Form als absolute oder relative Klassenhäufigkeit und grafisch als Histogramm dargestellt werden.

Beispiel 76 (Häufigkeitstabelle und Histogramm) Folgende Monatsrenditen wurden beobachtet... Monat Dezember Januar Februar März April Mai Juni Juli August September Oktober November

Kurs

Monatsrendite 87 90 92 92,5 91 90,5 90,2 92 92,5 94 98 98,2

3,45% 2,22% 0,54% -1,62% -0,55% -0,33% 2,00% 0,54% 1,62% 4,26% 0,20%

... und in einer Häufigkeitstabelle dargestellt: (-2%;-1 %] (-1 %;0%1 (0%;1%1 (1%;2%1 (2%;3%1 (3%;4%1 (4%;5%1 1 2 3 2 2 1 1 Die Wahrscheinlichkeit, dass die zukünftige Monatsrendite in ein bestimmtes Intervall fällt, lässt sich durch die relative Häufigkeit abschätzen: (-2%;-1 %1 (-1 %;0%1 (0%;1%1 (1%;2%1 (2%;3%1 (3%;4%1 (4%;5%1 8,33% 16,67% 25% 16,67% 16,67% 8,33% 8,33%

142

Abschnitt 4: Statistische Elemente des Finanzmanagements

Grafisch ergibt sich folgendes Histogramm: relative Häufigkeiten 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00%

Da die Klassenanzahl (7 Intervalle mit 1%-iger Spannweite) begrenzt ist, handelt es sich um eine diskrete Häufigkeitsverteilung. Der Erwartungswert der Monatsrenditen in Höhe von 1,12% liegt innerhalb des Intervalls (1%;2%], Die Standardabweichung beträgt 1,77%. Damit dürfte sich die erwartete Monatsrendite mit relativ hoher Wahrscheinlichkeit zwischen -0,65% und 2,89% bewegen.

Wird die Klassenanzahl immer mehr vergrößert und die Intervallbreiten streben gegen 0, tendiert die diskrete Häufigkeitsverteilung annähernd zu einer stetigen Normalverteilung N(tí;er) mit dem Erwartungswert /z und der Standardabweichung a. Beide Parameter werden in der Praxis aus einer Stichprobe mit den schon bekannten Formeln geschätzt. Wertpapierrenditen bzw. deren logarithmierten Kapitalisierungsfaktoren werden oftmals als stetig normalverteilte Zufallsvariablen angenommen, d.h., die möglichen Werte sind symmetrisch um den Mittelwert p verteilt. Wendepunkte existieren bei (ß -

z, =

Standardisierung

• x3 = n

=>

fQ _ A \ _ Q }

— = -\

/q y

,

\ _

4

'

q

=1

Q —Q

z, =

=0

4.3 Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit p(rtatsächllch • C 0 + i • K 0 = C 0 + i • C 0 • - f -

K 0 - > K 0 + i-K0

L-Q

D , wobei i = - 2 1 uu

Das bedeutet: Während sich der ursprüngliche Aktienkurs Ko um p% ändert, bewegt sich der Optionspreis C 0 um das ^ - fache C0 von p%. Den Ausdruck — C

bezeichnet man als Hebel. Er beschreibt, um welchen Faktor

die Option stärker steigt als der Kurs der Aktie.

Beispiel 91 (Hebel) Der aktuelle Kurs der Aktie betrage 100 Euro. Die Call-Option mit Basispreis 50 wird gegenwärtig mit 50 Euro gehandelt. Steigt die Aktie um 20%, wird der Optionspreis um das 2-fache, also 40%, auf 70 Euro anziehen.

Der Hebel als Ausdruck für die Sensitivität des Optionspreises in Bezug auf eine Aktienkursänderung ist allerdings nur bedingt tauglich, da ein möglicher Zeitwertverfall nicht berücksichtigt wird. So wird mit abnehmender Restlaufzeit der Option auch der Hebel und damit die Chance auf überproportionale Kursgewinne abnehmen. Eine genauere Abschätzung unter Berücksichtigung des Zeitwertverfalls liefert allerdings das aus der Optionspreisformel von Black/Scholes abgeleitete Delta. Delta ist das Ergebnis der ersten partiellen Ableitung nach dem Aktienkurs. Die Kennziffer drückt aus, wieviel Aktien notwendig sind, um die Wertänderung einer Option ausgleichen zu können.

6 Optionen

Call Put

181

Delta bei Optionspreis... ... out of the money ... at the money ... in the money zwischen 0 und 0,5 nahe bei 0,5 zwischen 0,5 und 1 zwischen 0 und -0,5 nahe bei -0,5 zwischen -0,5 und -1

Beispiel 92 (Delta) Für eine Call-Option wurde ein Delta von 0,6 berechnet. Das bedeutet: Um als Stillhalter die Wertänderung von 100 Optionen ausgleichen zu können, sind 60 Aktien notwendig (Alternativ: Steigt die Aktie um 1 Euro, wird sich der Optionswert um 0,6 Euro erhöhen).

6.5.2 Rho Rho misst die absolute Optionspreisänderung bezüglich einer 1%-igen Änderung des risikolosen Zinssatzes. So wird die Kennziffer bei einem Anstieg der Zinsen oder des Aktienkurses aufgrund erhöhter Kapitalbindung zunehmen. Optionen, die im Geld liegen („in the money"), weisen damit einen höheren Rho-Wert auf als aus dem Geld liegende Optionen („out of the money").

Beispiel 93 (Rho) Für eine Call-Option wurde ein Rho von 50 berechnet. Das bedeutet: Steigt der risikolose Zins um 1%, wird die Option um 0,5 Euro zulegen.

6.5.3 Vega Vega misst die absolute Optionspreisänderung in Bezug auf eine 1 %-ige Änderung der Volatilität der zugrundeliegenden Aktie. Da Optionen in der Regel stark auf Volatilitätsänderungen reagieren, wird dem Wert dieser Kennziffer große Bedeutung beigemessen. Eine Änderung der Volatilität wird sich bei Optionen mit einer hohen Restlaufzeit stark auswirken, da die Chance auf eine für den Stillhalter (Optionskäufer) ungünstige (günstige) Entwicklung zunimmt. Aus dem gleichen Grund dürften für im Geld („at the money") liegende Optionen einen hohen Vega-Wert aufweisen.

182

Abschnitt 4: Statistische Elemente des Finanzmanagements

Beispiel 94 (Vega) Für eine Put-Option wurde ein Vega-Wert von 30 berechnet. Das bedeutet: Steigt die Volatilität um 1%, wird die Put-Option um 0,3 Euro zulegen.

6.5.4 Theta Theta misst die absolute Optionspreisänderung bei einer Änderung der Restlaufzeit von 1 Jahr. Soll Theta bezüglich einer 1%-ige Abnahme der Restlaufzeit (= 2,5 Börsentage) berechnet werden, ist der Wert durch 100 zu teilen. Mit Abnahme der Restlaufzeit wird die Option überproportional an Wert verlieren, da der Versicherungscharakter, ausgedrückt durch den Zeitwert, immer unbedeutender wird.

Beispiel 95 (Theta) Für eine Call-Option wurde ein Theta-Wert von -15 berechnet. Das bedeutet: Verringert sich die Restlaufzeit um 2,5 Börsentage, wird die Option um 0,15 Euro abnehmen.

6.5.5 Gamma Gamma beschreibt die Sensitivität des Delta in Bezug auf einer Änderung des Aktienkurses. Damit handelt es sich um die zweite partielle Ableitung der Optionspreisformel nach dem Aktienkurs. Der Gamma-Wert eines Wertpapiers, das einen vom Basispreis erheblich abweichenden Kurswert aufweist, liegt nahe bei 0. Da in diesem Fall der Optionspreis nur noch von dem inneren Wert bestimmt wird, ändert sich der Delta-Wert nicht oder nur unwesentlich. Höchste Gammawerte werden hingegen erreicht, wenn der Aktienkurs in etwa dem Basispreis entspricht.

Beispiel 96 (Gamma) Das Delta betrage 0,5 und der Gamma-Wert 0,2. Das bedeutet: Stieg die Option ursprünglich um 0,5 Euro, führt ein weiterer Aktienanstieg um 1 Euro zu einer Optionspreisänderung von 0,5 • 1,2 = 0,6 Euro.

Abschnitt 5

Verzeichnisse 1 Formelverzeichnis 2 Beispielverzeichnis 3 Sachwortverzeichnis

184

Abschnitt 5: Verzeichnisse

1 Formelverzeichnis 1.1 Zu Abschnitt 1 1.1.1 Arithmetische Zahlenfolge - Seite 8/Formel (1) Problem: Berechnet werden soll das i-te Glied einer arithmetischen Zahlenfolge. Formel: a i = a , + ( i - l ) - d Es bezeichnet: • • •

i den Index des zu berechnenden i-ten Werts ai den ersten Wert der Folge d die Differenz zweier benachbarter Folgeglieder

1.1.2 Geometrische Zahlenfolge - Seite 9/Formel (2) Problem: Berechnet werden soll das i-te Glied einer geometrischen Zahlenfolge. Formel: ai = a , q i_l Es bezeichnet: • • •

i den Index des zu berechnenden i-ten Werts ai den ersten Wert der Folge q den Quotienten zweier benachbarter Folgeglieder

1.1.3 Arithmetische Reihe - Seite 10/Formel (3) Problem: Berechnet werden soll die Summe der Glieder a] bis a n einer arithmetischen Folge. Formel: S„ =

+a„)

Es bezeichnet: •

n die Anzahl der aufzuaddierenden Folgeglieder

185

1 Formelverzeichnis

1.1.4 Geometrische Reihe - Seite 11/Formel (4) Problem: Berechnet werden soll die Summe der Glieder ai bis an einer geometrischen Folge.

Formel: S„ =

a,-q-1 n

, wenn q * 1 , wenn q = 1

Es bezeichnet: •

n die Anzahl der aufzuaddierenden Folgeglieder

1.2 Zu Abschnitt 2 1.2.1 Unterjährig linearer Zinssatz - Seite 15/Formel (5) Problem: Berechnet werden soll ein unterjähriger Zinssatz (linearer Ansatz). Pp.a.

Formel: Zins mteilig = ^ - ( R e s t ) T a g e 360 Es bezeichnet: •

p p a. den Zinssatz pro Jahr

1.2.2 Endwert einer Einmaleinlage - Seite 15/Formel (6) Problem: Berechnet werden soll der Endwert einer Einmaleinlage. Formel: K n = K 0 - ( l + i)n Es bezeichnet: •

K n den gesuchten Endwert

• • •

K 0 den Startsaldo i den Zinssatz pro Jahr (ggf. Zinsperiode) n die Laufzeit in Jahren (ggf. in Zinsperioden)

186

Abschnitt 5: Verzeichnisse

1.2.3 Startkapital einer Einmaleinlage - Seite 18/Formel (7) Problem: Berechnet werden soll der Startsaldo einer Einmaleinlage. 0

Formel: K n0 =

— (1 + i)"

1.2.4 Zinssatz einer Einmaleinlage - Seite 18/Formel (8) Problem: Berechnet werden soll der Zinssatz einer Einmaleinlage. i Formel: p =

V K oy

-1

100

1.2.5 Laufzeit einer Einmaleinlage - Seite 19/Formel (9) Problem: Berechnet werden soll die Laufzeit einer Einmaleinlage. logKn-logK0 Formel: n = logq 1.2.6 Endwert einer Einmaleinlage (Laufzeit gebrochen) - Seite 19/Formel (10) Problem: Berechnet werden soll der Endsaldo einer Einmaleinlage mit gebrochener Restlaufzeit. Formel: K

, = K 0 • (1 + i ) n - i l + i - - M V 360)

Es bezeichnet: •

t die Anzahl der Tage der gebrochenen Restlaufzeit

1.2.7 Unterjährig exponentieller Zinssatz - Seite 21/Formel (11) Problem: Berechnet werden soll ein zum Jahreszins konformer Periodenzins (exponentieller Ansatz). ( Formel: pkonform

i > (l + i p a ) " - 1 •100

1 Formelverzeichnis

187

Es bezeichnet: •

n die Anzahl der unterjährigen Zinsperioden

1.2.8 Rentenendwert nachschüssiger Raten (Zahlungstermin = Zinstermin) Seite 28/Formel (12) Problem: Gesucht ist der Rentenendwert bei jährlich nachschüssiger Ratenzahlung. Formel: R nn = r - q-1 Es bezeichnet: • •

R n den gesuchten Rentenendwert r die periodisch zu zahlende Rate

1.2.9 Rentenendwert vorschüssiger Raten (Zahlungstermin = Zinstermin) Seite 30/Formel (13) Problem: Gesucht ist der Rentenendwert bei jährlich vorschüssiger Ratenzahlung. Formel: R n = r • q •

q-1

1.2.10 Rentenendwert nachschüssiger Raten (mehr Zahlungs- als Zinstermine) - Seite 31/FormeIn (14) und (15) Problem: Gesucht ist der Rentenendwert bei nachschüssiger Ratenzahlung.

Es bezeichnet: r die innerhalb eines Jahres zu zahlenden 12 Monatsraten n die Laufzeit des Sparplans in Jahren

Abschnitt 5: Verzeichnisse

188

1.2.11 Rentenendwert vorschüssiger Raten (mehr Zahlungs- als Zinstermine) Seite 33/Formel (16) Problem: Gesucht ist der Rentenendwert bei vorschüssiger Ratenzahlung. 3\q"-l Formel: R 12 = 12 • r -1 1 + i— •1— 12 2 J q — 1 1.2.12 Rentenendwert eines Fondssparplans - Seite 33/Formel (17) Problem: Gesucht ist der Rentenendwert bei monatlich vorschüssiger Ratenzahlung. ( Formel: R 1 2 n = r - q

iY q>2

12

-1

/

q 12 - 1

1.2.13 Kapitalstock einer nachschüssigen Rente (Zahlungstermin = Zinstermin) - Seite 35/Formel (18) Problem: Gesucht ist die Höhe des Kapitalstocks, der einer zeitlich begrenzten Jahresrente dienen soll. Formel: K 0 = —n • r• ^ q q-1

bzw.K0 =

r

. ^ q-1

Es bezeichnet: • •

K 0 den gesuchten Kapitalstock r die periodische Abhebungsrate

1.2.14 Kapitalstock einer nachschüssigen Rente (mehr Zahlungstermine als Zinstermine) - Seite 36/Formel (19) Problem: Gesucht ist die Höhe des Kapitalstocks, der bei monatlichen Abhebungsraten einer zeitlich begrenzten Rente dienen soll. Formel: K 00 = 1 2 - r - 1 1 +

i 12

10 1 - q" 2

/

q-1

1 Formelverzeichnis

189

1.2.15 Kapitalstock bei einer ewig nachschüssigen Rente - Seite 40/Formel (20) Problem: Gesucht ist der Kapitalstock einer ewig nachschüssigen Rente, Formel: K 0 =

r q-1

1.2.16 Kapitalstock bei einer ewig vorschüssigen Rente - Seite 40/Formel (21) Problem: Gesucht ist der Kapitalstock einer ewig vorschüssigen Rente. Formel: K 0 = q -

r q-1

1.2.17 Tilgungsleistung eines Tilgungsdarlehens (Zinstermin = Tilgungstermin) - Seite 47/Formel (22) Problem: Gesucht ist die Tilgungsleistung eines Tilgungsdarlehens. Formel: T = — n Es bezeichnet: • • •

T die gesuchte Tilgungsleistung S 0 die Ausgangsschuld n die Anzahl der Tilgungstermine

1.2.18 Restschuld eines Tilgungsdarlehens (Zinstermin = Tilgungstermin) Seite 47/Formel (23) Problem: Gesucht ist die Restschuld eines Tilgungsdarlehens nach j Tilgungsleistungen.

Es bezeichnet: Sj die gesuchte Restschuld

Abschnitt 5: Verzeichnisse

190

1.2.19 Zinsen eines Tilgungsdarlehens (Tilgungstermin = Zinstermin) - Seite 48/Formel (24) Problem: Gesucht ist die Zinslast eines Tilgungsdarlehens nach j Tilgungsleistungen.

Es bezeichnet: •

Zj die gesuchte Restschuld

1.2.20 Tilgungsleistung eines Tilgungsdarlehens (mehr Tilgungstermine als Zinstermine) - Seite 49/Formel (25) Problem: Gesucht ist die Tilgungsleistung eines Tilgungsdarlehens.

§

Formel: T = — m-n Es bezeichnet: • •

n die Laufzeit des Darlehens in Zinsperioden m die Anzahl der Tilgungstermine innerhalb einer Zinsperiode

1.2.21 Restschuld eines Tilgungsdarlehens (mehr Tilgungstermine als Zinstermine) - Seite 49/Formel (26) Problem: Gesucht ist die Restschuld eines Tilgungsdarlehens nach j Tilgungsleistungen.

1.2.22 Zinsen eines Tilgungsdarlehens (mehr Tilgungstermine als Zinstermine) - Seite 49/Formel (27) Problem: Gesucht ist die Zinslast eines Tilgungsdarlehens nach j Tilgungsleistungen.

1 Formelverzeichnis

191

Formel: Z ; = i-1 S ^ - T - ^ — ^

1.2.23 Annuität eines Annuitätendarlehens (Jahresannuität) - Seite 54/Formel (28) Problem: Gesucht ist die Annuität eines Annuitätendarlehns. Formel: A =

P p a + t p a

100

-S 0n

Es bezeichnet: • • •

A die gesuchte Annuität p p a den vereinbarten Nominalzins pro Jahr tp.a. die anfänglich vereinbarte Tilgungsquote

1.2.24 Annuität eines Annuitätendarlehens (mehrere Annuität pro Jahr) - Seite 54/Formel (29) Problem: Gesucht ist die unterjährige Annuität eines Annuitätendarlehns. Formel: A = P p

a +tp a

m • 100

-S 0 0

Es bezeichnet: •

m die Anzahl der Annuitäten pro Jahr

1.2.25 Restschuld eines Annuitätendarlehns (Zinstermin = Annuitätentermin) - Seite 56/Formel (30) Problem: Gesucht ist die Restschuld eines Annuitätendarlehns nach j Annuitäten. aj -1 Formel: S= = S 0 - q J - A - ^ q-1 1.2.26 Restschuld eines Annuitätendarlehns (mehr Annuitätentermine als Zinstermine) - Seiten 57 und 61/Formeln (31) und (32) Problem: Gesucht ist die Restschuld eines Annuitätendarlehns nach j Zinsperioden.

192

Abschnitt 5: Verzeichnisse

Formel Restschuld:

i ~ qJ-l S: = S 0 • q J - A • ^ q-1

~ tj Formel Ersatzannuität A : A = m • r •

Zinsperiode

_

m

A 2

j

Es bezeichnet: • •

m die Anzahl der Annuitäten innerhalb der Zinsperiode izinsperiode den linear umgerechneten Zinssatz pro Zinsperiode

1.3 Zu Abschnitt 3 1.3.1 Laufende Verzinsung - Seite 65/Formel (33) Problem: Gesucht ist die laufende Verzinsung einer Anleihe.

Formel: laufende Verzinsung = Nominalzins . JQQ Ankaufskurs 1.3.2 Durchschnittlicher Wertzuwachs (Börsenformel) - Seite 66/Formel (34) Problem: Gesucht ist eine Näherungslösung für den Effektivzins. Rückzahlungskurs - Ankaufskurs . , . 5 Nominalzins + : Formel: 0 - Wertzuwachs = Restlaufzeit Ankaufskurs 1.3.3 Kapitalbarwert - Seite 69/Formel (35) Problem: Gesucht ist der Effektivzins AIBD. n

z Formel: Kapitalbarwert = Y - — J — - a ^ ( l + i)1' Dabei bezeichnet: Zj die einzelnen Rückflüsse tj Rückflusszeitpunkte von zj a die Anfangsauszahlung (Investition)

1Q0

1 Formelverzeichnis

193

1.3.4 Performance - Seite 77/Formel (36) Problem: Gesucht ist die Jahresperformance eines Fonds. /

—=L

Formel: Performance =

-1

100

V

Dabei bezeichnet: • •

Aj den Fondswert zum Zeitpunkt j Ai den Fondswert zum Zeitpunkt i

1.3.5 Duration - Seite 80/Formel (37) Problem: Gesucht ist die Duration eines verzinslichen Wertpapiers. ¿ Z j -(l + r)",J - t j Formel: Duration = — ¿ Z j - ( l + r) - t i j=i

Dabei bezeichnet: • • •

zj die einzelnen Rückflüsse tj Rückflusszeitpunkte von Zj r die Kaufrendite

1.3.6 Portfolioduration - Seite 83/Formel (38) Problem: Gesucht ist die Duration eines aus mehreren Wertpapieren bestehenden Portfolios. Formel: Duration Portfolio

n i=i

Dabei bezeichnet: Xj den Anteil von Wertpapier i am gesamten Anlagevolumen Dj die Duration des Wertpapiers i

194

Abschnitt 5: Verzeichnisse

1.3.7 modifizierte Duration - Seite 83/Formel (39) Problem: Gesucht ist das Kursänderungsrisiko in % bei einer 1%-igen Marktzinsänderung. ^ . . ^ . Duration Formel: modifizierte Duration = 1+r 1.3.8 absolute Vermögensänderung - Seite 83/Formel (40) Problem: Gesucht ist das Kursänderungsrisiko Marktzinsänderung.

in Euro bei einer

1%-igen

, ... „ ~ modifizierte Duration Formel: absolute Vermogensanderung = -Kaurkurs 100 1.3.9 Spot-Rates - Seite 103/Formel (41) Problem: Aus den Spot-Rates sollen die Zerobond-Abzinsungsfaktoren hergeleitet werden. Formel:

r(l + ispcuo.o)

mit

7

iSnot,0 n = Pspot(o.t) P

100

Dabei bezeichnet: •

ispot(o.t) die Rendite eines Zerobonds mit der Laufzeit t

1.3.10 Forward-Rate - Seite 107/Formel (42) Problem: Aus den Spot-Rates sollen die Forward-Rates hergeleitet werden. r f

Formel: P Forward (m,t)

L

+

.

\t

(l ^spot(O.t) )

(l + 'spotfO.m))"1

\

l t-m

N -1

100

Dabei bezeichnet: PForward(m.t) den Forward-Rate einer zum Zeitpunkt m beginnenden Anlage, die zum Zeitpunkt t endet

195

1 Formelverzeichnis

1.3.11 Ausgleichsbetrag eines Forward-Rate-Agreements - Seite 115/Formel (43) Problem: Gesucht ist der objektive Ausgleichsbetrag eines FRA mit einer Laufzeit von weniger als einem Jahr. . .. . . Laufzeit Volumen • (i FRA - i Markt ) • Formel: Ausgleichsbetrag = — : — — Laulzeit + TTT 1 ^ Markt JÖU w

Dabei bezeichnet: •

ipRA den vereinbarten Forward-Rate Satz

•

¡Markt den zu Beginn des Absicherungszeitraums gehandelten Marktzins

1.3.12 Terminkurs eines Devisentermingeschäfts - Seite 117/Formel (44) Problem: Gesucht ist der nach dem Cost of Carry - Ansatz objektiv ermittelte Devisenterminkurs bei einer Laufzeit unter einem Jahr.

^ u r s Kassa ' Formel: Kurs Termin

=

'

f

1

+ 1 Inland

Laufzeit ^

V joü . Laufzeit ' Ausland 360

J

Dabei bezeichnet: •

iiniand das inländische Zinsniveau (Geldanlage in inländischer Währung)

•

¡Ausland das ausländische Zinsniveau (Kreditaufnahme in Fremdwährung)

1.4 Zu Abschnitt 4 1.4.1 Wahrscheinlichkeit diskreter Zufallsvariablen - Seite 125/Formel (45) Problem: Gesucht ist die Ausgangswahrscheinlichkeit eines möglichen Ergebnisses x bei einer diskreten Zufallsvariablen. Formel- p ( x ' )

Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Abschnitt 5: Verzeichnisse

196 1.4.2 Erwartungswert - Seite 125/Formel (46)

Problem: Gesucht ist der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X. m Formel: E(X) = £ x ; - p ( x * ) j=i Dabei bezeichnet: • x* das Ergebnis bzw. den Ausgang j der Zufallsvariablen X • p(Xj) die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ergebnisses x*

1.4.3 Abschätzung der Wahrscheinlichkeit durch Stichprobe - Seite 127/Formel (47) Problem: Es soll die Wahrscheinlichkeit eines möglichen Ergebnisses x* durch die relative Häufigkeit r ( x ' ) abgeschätzt werden. , . * . Anzahl günstiger Stichprobenwerte Formel: r(x ( ) = Anzahl aller Stichprobenwerte 1.4.4 Abschätzung des Erwartungswertes durch Stichprobe- Seite 128/FormeI (48) Problem: Es soll der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen X durch den gewichteten Mittelwert E(X) abgeschätzt werden. — ™ , , Formeln: E ( X ) « E ( X ) = > x ( -r(X:) j=1

(Abschätzung durch relative Häufigkeiten bzw. Stichprobenausgänge)

n

— 1 E(X) « E(X) = — • Y x j n ¡=i Dabei bezeichnet: • •

(Abschätzung durch die Stichprobenwerte)

n die Anzahl der Stichprobenwerte Xj die einzelnen Stichprobenwerte

Hinweis: Die erwartete Portfoliorendite eines aus mehreren Wertpapieren bestehenden Portfolios erfolgt mit der Summe aller gewichteten Einzelrenditen. Die Gewichtungsfaktoren entsprechen den jeweiligen Wertpapieranteilen am Gesamtvolumen (Formel (49)).

1 Formelverzeichnis

197

1.4.5 Abschätzung der Varianz - Seite 133/Formel (50) Problem: Es soll die Varianz einer stetigen Zufallsvariablen X abgeschätzt werden.

1.4.6 Abschätzung der Standardabweichung - Seite 133/Formel (51) Problem: Es soll das Risiko durch die Standardabweichung abgeschätzt werden.

1.4.7 Value-at-Risk - Seite 149/Formel (52) Problem: Es soll der Value-at-Risk mit einer vorgegebenen Eintrittswahrscheinlichkeit