Uvod u logiku prvog reda [Reprint 2021 ed.] 9783112466629, 9783112466612

Citation preview

Leigh S. Cauman Uvod u logiku prvog reda

Filozofska biblioteka izdavaí za ¡zdavata preveo recenzenti

Naklada Jesenski i Turk Miio Mejaímic Ognjen Strpic dr. Goran âuob dr. Zvonimir Sikic

racunalni slog nasiovnica tisak

www.jesenski-turk.hr

Mario Ostojic Boiesacuvaj Zrinski d. d., Cakovec

Uvod u logiku prvog reda Leigh S. Cauman

Naklada Jesenski i Turk Zagreb, 2004.

Izvornik: Firet-ordir logic. An Introduction By LaigN S. C a u n a n © 1998 by Walter de Gruyter GmbH & Co. Kg. Berlin. All rights reserved. Copyright 2a hrvatsko izdanje © Naklada Jesenski i Turk

Sadrzaj

Predgovor Uvod Prvi dio Logika istinosnih funkcija 1. poglavlje: Nacela izvodenja

1

2. poglavlje: Istinosne tablice i stabla 3. poglavlje: Ocjena zakljucaka

1

Drugi dio Logika predikata 4. poglavlje: Nacela izvodenja

1

5. poglavlje: Istinosna stabla za logiku predikata

1

Treci dio Logika relacija 6. poglavlje: Nova ogranicenja pravila izvodenja

2

7. poglavlje: Istinosna stabla za logiku relacija

2

Cetvrti dio Identitet i opis 8. poglavlje: Logika identiteta

2

9. poglavlje: Odredeni opis

3

Pogovor: O imenima i varijablama Kazalo

Predgovor

Sve sto je u ovoj knjizi naucila sam ili od svojih ucitelja, prije svega Vevie Blair, koja me ucila matematiku na Djevojackoj skoli Horace Mann, Paula Weissa, koji me uveo u logiku ¡ filozofiju na Bryn Mawru, W. V. Quinea, mog mentora na postdiplomskom studiju na Radcliffeu, i Jamesa Thomsona, koji je sa mnom razgovarao o logici ¡ poducavanju logike kad je bio na sveucilistu Columbia; ili iz knjiga, svijeta koji mi je otvorio moj otac; ili od studenata, uz ciju sam pomoc istinski uzivala u ovih dvadeset i pet godina poucavanja i koji su me ohrabrili da pokusam sabrati ono sto sam naucila. Brojni postdiplomci koji su poducavali sa mnom i dodiplomci koji su pohadali nasu nastavu sluzili su se ovom knjigom u vrijeme njezine redakture pred objavljivanje; pri redakturi osobito su mi pomogli Jeffrey Barrett, John Bolender, James Murray i Floyd Bodden. Rivka Kfia mi je pomogla u lekturi i u provjeri izvoda i dijagrama. Ti-Crace Atkinson sluzila se knjigom (u rukopisu) u svojim predavanjima i pruzila mi je neprocjenjivu pomoc i savjete kod zadnjih revizija pred objavljivanje. Struktura knjige slijedi strukturu Quineove Methods of Logic. Tako sam je srocila ne samo zato sto mi se ta struktura cini ispravnom za moje ciljeve, negó i zato sto bi se ova knjiga mogla koristiti kao uvod u Methods. Zadaci se temelje na problemima koje su osmislili mnogi autori, medu njima Quine, John Cooley, Richard Jeffrey i Lewis Carroll. Knjiga je namijenjena uvodenju inteligentnih muskaraca i zena u nacela i notaciju moderne simbolicke logike te bi im trebala pomoc¡ da koriste ta nacela i provode tu disciplinu na drugim mjestima. Leigh S. Cauman 7

Uvod

Ovo je elementarna knjiga iz logike nacinjena za Ijude kojima moderna logika nije tehnicki bliska ali koji pazljivo razmisljaju. Takvi su Ijudi iz iskustva naucili da i najbolji grijese. U misljenju grijesimo i kad smo prirodno inteligentni i motivirani misliti jasno. Stoga nam trebaju sistematski postupci uz ciju cerno pomoc misliti pouzdano, kao i praksa u tim postupcima. Drugim rijecima, za studij logike postoji praktican, ali i teorijski razlog: vjezba urna. Misaoni ucenici znaju da postoji znacajna razlika izmedu prikupljanja cinjenica i njihove upotrebe, izmedu upijanja podataka i izgradnje koherentne slike svijeta (ili nekog njezinog segmenta) na osnovu tih podataka. Ta razlika je temelj razlikovanja sto ga filozofi cine izmedu istine i valjanosti: istina je podloga pouzdanosti podataka; valjanost pouzdanosti misljenja. Nasa je namjera misliti pouzdano, tako da sacuvamo istinu, to jest na taj nacin da budemo sigurni da iz istinitih premisa nikad nismo izveli neistinitu konkluziju. Logika prvog reda tako se, izravno se baveci logickom praksom, u prvom redu odnosi na valjanost. Pitanje prihvatljivosti podataka se zanemaruje. Zanemaruju se jos neka vazna pitan ja: koliko se moze postici metodama logike prvog reda, sto se njome ne da postici i zasto. Ti problemi pripadaju metalogici. Moje je misljenje da se metalogika moze bolje razumjeti nakon sustavnog, samosvjesnog svladavanja njezina predmeta (tj. logike prvog reda). 9

• Logika

Logika prvog reda logika je svakodnevnog misljenja i zakljucivanja - koje su logicari stoljecima formalizirali, kritizirali, sistematizirali ¡ osvjescivali, ali koje je svejedno orude sto ga svi mi koristimo u svakodnevnom zivotu. Osnovni njezini pojmovi poznati su cak i najnesofisticiranijim citateljima, upravo zato sto ih svakodnevno koristo. Ncpoznata cc biti paznja upravljcna razmisljanju, a n m Cilj implikacije je njezina upotreba. Ako imamo razloga vjerovati da je tako i tako (antecedens, ovdje: "kisi"), onda imamo razloga vjerovati da to i to (konsekvens, ovdje: "tlo je mokro"); ako pretpostavimo da je tako i tako, pretpostavit cemo i da to i to. (Primijetimo da su te izjave implikacije.) Opravdano je misliti od toga i toga na to i to, od antecedensa na konsekvens. To je jednosmjerna ulica. Buduci da implikacija koju razmatramo ne kaze: tako i tako, pod uvjetom da to i to niti ako to i to, onda tako i tako (ako je tlo mokro onda kisi)

21

• Logika

ona ne opravdava ni razmisljanje u suprotnom smjeru, od toga i toga na tako ¡ tako. Uzet zajedno, par tvrdnji: (Ako kisi, tlo je mokro.) (Tlo je mokro.) ne jamci nikakvu konkluziju (osim pukog ponavljanja vec izrecenog); kako bilo, on nam ne govori nista o tome da l¡ tako ¡ tako (da Ii kisi). Na tu cerno asimetricnost implikacije morati stalno paziti. Mozda je dobro tu spomenuti jos jedan cest ¡zvor zabune, o kojemu cerno raspravljati kasnije: razliku izmedu 'ako' i 'samo ako'. Kako je znacenje tih ¡zraza razlicito, ne primijetiti rijec 'samo' moze voditi zabuni. 'Ako' ukazuje na antecedens ¡mplikacije, a 'samo ako' ne. Prvo pravilo sto cerno ga koristiti je dakle modus ponens1: Modus ponens (MP): Iz ¡mplikacije, uzete zajedno s antecedensom, njezin konsekvens slijedi kao konkluzija. Dakle, P->«7

P

:. q

MP

pri cemu je p bilo koji iskaz, bilo istinit bilo neistinit, jednostavan ili kompliciran; q je, sliíno, bilo koji iskaz, ne nuzno razlicit od p; p - > q je implikacija: ako p onda q; '.'.' znaci "dakle"; a crta razdvaja premise od konkluzije. Nácelo

'Modus ponens', latinski naziv koji se nekako odrzao u upotrebi, skracen je od "modus ponendo ponens", ili "potvrdivanje potvrdivanjem"; konsekvens implikacije tvrdi se "zbog" ili "kao posljedica" potvrdenog, ili afirmiranog, antecedensa. Danas se o modusu ponensu desto govori kao "pravilu odvajanja"; ako je zadan antecedens implikacije, konsekvens se moze "odvojiti" od implikacije i potvrditi sam za sebe. Osim toga, moderni sustavi lingvisticke ili raàunarske orijentacije iesto ga nazivaju pravilom "eliminacije ->"; znak '->' u implikaciji u konkluziji se "eliminira". 22

Natala izvodenja • modus ponens nam govori da je, za bilo koju implikaciju (recimo, p - > q) na mjestu prve premise, ciji je antecedens (p) na mjestu druge premise, opravdano kao konkluziju izvesti konsekvens te implikacije (tj. q). Pravilo modus ponens iznijeli smo na hrvatskom. Njegov simb o l i c i prikaz ili "formulacija" nije pravilo niti njegov dio; to je primjer, pomoc pri pamcenju strukture onoga sto pravilo kaze. Samo je pravilo dano formulacijom na hrvatskom jeziku koja prethodi simbolima. Koristit cerno dvije vrste simbola: logicke simbole (ponekad se nazivaju "logicke konstante") za razlicite veznike koji nam trebaju da izbjegnemo viseznacne rijeci (kao na primjer strelica), i "varijable", pojedina slova koja skracuju iskaze u prvom dijelu, a kasnije imenske i predikatne izraze. Kad se slozeni iskazi (na primjer implikacije), to jest iskazi izgradeni o d drugih iskaza pomocu logickih veznika, izraze simbolima, izrazi koji time nastaju nazivaju se "iskazne forme". Uporaba tih simbola vodi kratkoci i jasnoci misljenja jer nam pomaze ostaviti po strani irelevantne detalje te nam omogucuje da se saberemo na strukturu misljenja. U cijelom cerno radu koristiti simbole, ne zbog simbola samih niti zbog provedbe kakva neovisna simbolickog jezika - koristit cerno ih prije svega kao intelektualni alat. Oni nam pomazu da prepoznamo strukturu nasih zakljucaka. Koristenje pravila modus ponens nema nikakvih ogranicenja; ono je legitimno u svim slucajevima, to jest, koji god se iskaz u kojem god kontekstu stavi na mjesto 'p' ili 'q'. Ispravna upotreba modus ponensa, naravno, ovisi o ispravnom citanju implikacije; 'p q' ne valja brkati s ' q p'. Druga premisa u tom obliku zakljucka mora biti upravo antecedens koristene implikacije, a izvedena konkluzija mora biti upravo konsekvens implikacije. Uzmimo jedan primjer. Pretpostavimo da smo uvjereni da ako je George u Hartfordu (h), George je u C o n n e c t i c u t (c). Saznamo da je George doista u Hartfordu, u posjetu sestri. Zakljucujemo da je George u Connecticutu. Zakljucak kojim smo se posluzili izgleda ovako: 23

Logika

:.

h-> h c

c

i valjan je, prema nacelu modus ponens. Trcbalo bi, s drugc stranc, biti ocito da je budalasto tvrditi ovo: h-* C C h

To jest, kad bismo bilí uvjereni da ako je George u Hartfordu, onda je u Connecticutu, a saznali smo da George jest u Connecticutu, ne bismo ¡malí razloga vjerovati da je George u Hartfordu. Taj drugi "zakljucak" je primjer pogreske afirmacije konsekvensa, sto je "odgovarajuca pogreska" uz modus ponens. (Kod modus ponensa potvrdujemo, ¡l¡ afirmiramo, antecedens kao drugu premisu.) Ponekad se nademo u iskusenju da ovu drugu shemu zakljucka pobrkamo s prvom. Treba reci jos nesto o znacenju ¡mplikacije prije negó nastavimo s drugim pravilom. Implikacija 'p -> q' il¡ 'q, ako p' il¡ 'to i to, ako tako ¡ tako', kako cerno je mi koristiti, ne ukazuje na to zasto nesto stoji; receno je samo da to stoji. U "realnom svijetu", naravno, kad imamo razloga vjerovati u neku implikaciju, (obicno, barem) ¡mamo razloga vjerovati da postoji neka veza izmedu njezina antecedensa i konsekvensa; primjera je mnogo: Ako Mary prelazi preko crvenog, u opasnosti je. Ako je Henry u kuhinji, Henry je u kuci. Alice ce staviti sesir ako pada kisa.

(c - » o) [k di (í k) itd.

Svejedno, ¡mplikacije ne govore o tim vezama; implikacije zanemaruju razloge koji stoje iza njih - apstrahiraju od njih. Time smo u svoje razmisljanje ugradili faktor sigurnosti. Okolnosti koje bi mogle ucvrstiti nase pouzdanje u konkluziju, ali nam nisu potrebne, zanemarujemo. 24

Nótela izvodanja • Pri upotrebi modus ponensa ne ovisimo o uzrocnim ¡ drugim vezama ¡zmedu antecedensa ¡ konsekvensa; ovisimo samo o éinjenici (ili pretpostavci) da, ovako ili onako, konsekvens stoji ako stoji antecedens. A sve to unatoc cinjenici da su nam, i u filozofiji i u drustvenom zivotu, razlozi za neku tvrdnju cesto vazniji i zanimljiviji od same tvrdnje. U pravilnom deduktivnom miSIjenju implikacije s kojima radimo lisene su uzroka, svrhe i drugih znacenja te su svedene na gole tvrdnje. Krenimo sada na drugo pravilo implikacije, pravilo dokaza po implikaciji. Pri upotrebi toga pravila implikacije ne koñstimo, negó ih utvrdujemo. Utvrdujemo ih na osnovu znanstvenih, povijesnih, logickih i drugih spoznaja discipliniranog intelekta, u kontekstu. Nácelo dokaza po implikaciji mnogi elementami udzbenici logike ostavIjaju za pred kraj izlaganja, ili ga cak posve ispustaju, kako bi se njime bavili u naprednijim fazama rada. Ja cu ga se prihvatiti odmah. Dokaz po implikaciji (DI): Proces valjanog i pravilnog izvodenja konkluzije iz premise (ili skupa premisa) opravdava tvrdnje dañe u odgovarajucoj implikaciji: ako premisa (premise), onda konkluzija. Dakle, P

Q :. p - > q DI gdje je p premisa koju smo uveli zbog zakljucka, a tocke pokrata za neki postupak pravilnog zakljucivanja. Ta shema zakljucka javlja se, kako cerno vidjeti, ili sama za sebe, kao u tom primjeru, ili u kontekstu kompliciranijeg zakljucka, kad ¡mamo i drugih premisa. Sama ce shema postati jasnija kad se uvede "sistem zvjezdica" (za jos par stranica); sistemom zvjezdica 25

• Logika

premisa (ovdje, p) se vidljivo odbacuje (vidi Uvod, str. 13) kad se upotrijebi pravilo DI. Rezultat pravilnog izvodenja konkluzije (q) iz premise (p) je sumarna konkluzija (p —> q), to jest, ¡mplikacija koja odgovara izvodu. Taj primjer, s tri okomite tocke koje skracuju neko nespecificirano "pravilno" zakljucivanjc, citatelju mozda izgleda ntrobiüiu, osobito s obzirom na to da je primijetio da pravila te pravilnosti jos nisu izlozena. Ali bit ce. Nadalje, sto nam dopusta da uvedemo premisu (p)? A sto nam brani? Mnogi sustavi, udzbenici, racunalni programi itd. koriste se necim sto nazivaju "pravilo premisa" koje nam govori da je OK uvesti bilo koju i bilo kakvu premisu u bilo kojem dijelu zakljucka. To je dakako istina, i treba je red izrijekom i koristiti svjesno. Ali ne cini mi se da je to pravilo. Naravno da smijemo uvesti, il¡ pretpostaviti, koju god hocemo premisu; vazno je pritom upamtiti da smo ih uveli, treba ih biljeziti i gledati kamo ñas vode. Onaj tko pravilno zakljucuje moze slobodno pretpostaviti sto god zeli, iznijeti bilo koju premisu, u bilo kojem dijelu zakljucka. Pravo da iznesemo bilo koju premisu nije upitno; treba medutim preispitati svrhu tog postupka. A jedna od svrha je utvrditi implikaciju, pomocu nacela dokaza po implikaciji. (Druge su svrhe indirektni dokaz ili dokaz reductio ad absurdum, kao ¡ dilema; vidi dolje.) Ako mozemo pod pretpostavkom da tako i tako dokazati da to i to, time cerno utvrditi implikaciju ako tako i tako, onda to i to. Ako, na osnovu niza prijasnjih premisa, i pod pretpostavkom da tako i tako, mozemo dokazati da to i to, pokazat cerno, na osnovu niza prijasnjih premisa, medu kojima obicno nije tako i tako, da ako tako i tako onda to i to. U svakom trenutku sustavnog razmisljanja za odredeni se broj premisa moze smatrati da su u igri2: "iznijeli smo" te premise; sa njima radimo, pokusavamo otkriti kamo vode. (Notacijski, koje su 3

26

Izraz 'u igri" dugujem Nancy Middleton (uofite analogiju s razliéitim ¡grama loptom, posebno nogometom i tenisom). U literaturi se pojavljuje i izraz 'na snazi', u istom znaéenju. Ja cu koristiti izraz 'u igri', a na odgovarajucim mjestima i izraz 'na raspolaganju'.

Natala izvodenja •

premise u igri u svakom koraku nasih dedukcija pojasnit cerno njihovim navodenjem lijevo od zvjezdice ili - u posebnom slucaju pravila DILeme - odgovarajucim velikim slovom koje funkcionira poput zvjezdice.3) Pravilo dokaza po implikaciji je pravilo za odbacivanje premisa.4 Pravilno zakljucivanje vodi od premise p prema konkluziji q; DI nam kaze da se takvim zakljucivanjem jamci konkluzija ¡mplikacije p -> q. Stoga, p vise nije potrebno (kao premisa); vidjeli smo kamo vodi i sazeli tu informaciju u implikaciji 'p -» q'. Premisa p vise nije u igri; odbacili smo je. Konkluzija implikacije stoji i bez nje. Ponovimo, i oznacimo zvjezdicom sve korake u zakljucku u kojima je premisa p i dalje u igri: * p »

PREM

« »

LÌ

.-. p ^ q

DI

U upotrebi su razliiite metode za pojasnjavanje koje su premise u igri u toku dedukcije. Vidi primjerice John M. Anderson i Henry W. Johnstone, Jr.: Natural Deduction (Belmont, Calif.: Wadsworth Publishing Company, 1962), str. 9 sq. Vidi takoder Merrie Bergmann, James Moor i Jack Nelson, The Logic Book (New York: Random House, 1980), str. 134 sq. Dobar je svaki nedvosmislen sistem knjigovodstva koji nije previde nespretan. Albert Blumberg, u Logic: A First Course (New York; Alfred A. Knopf, 1976) umjesto zvjezdica stavlja brojeve koraka koje premise u igri imaju unutar dedukcije, po sistemu sliénom sistemu zvjezdica koji se ovdje rabi. Ovaj sistem, koji cerno ilustrirati na sljedecih nekoliko stranica, izveden je iz W. V. Quine, Methods of Logic (New York: Henry Holt and Company, 1950), str. 153/4. Podsjetnik na sistem zvjezdica nalazi se na kraju prvog poglavlja ove knjige; vidi str. 67-68. Mogli bismo ga nazvati "pravilo odbacivanja" po analogiji s "pravilom odvajanja" za modus ponens. Uobifajeniji naziv je 'uvodenje -»'. 27

• Logika

Primijetimo da kod konkluzija zvjezdice nema; odbaíena je premisa p kod koje smo uveli zvjezdicu. Sada je, cini mi se, na mjestu jedan primjer, makar i apstraktan. Demonstrirat cerno jedan slucaj zakljucivanja pravilom lanca (tradicionalno zvanog "hipoteticki silogizam") - pravila koje je ciidtdju iitiuniiijivo bliZe i inluilivno prihvatljivije nego M P i DI. L A N A C : Iz para (ili niza) implikacija u kojima je konsekvens jedne imptikacije antecedens sljedece, kao konkluzija slijedi implikacija koja kao antecedens ima prvi antecedens, a kao konsekvens posljednji konsekvens.

Dokazimo:

[ r Pri cemu pojava zvjezdice kod konkluzije pokazuje da dvije premise, koje zajedno eine polaziste, n/su odbacene. U dokazu, uvodenje zvjezdice oznaeavat ce da se premisa, par ili trojka premisa pretpostavlja; ispustanje zvjezdice znacit ce njezino ili njihovo odbacivanje. Podimo s parom premisa:

[2

r

i dokazimo: p - > r. U kontekstu premisa 1 i 2, pomoena premisa p, antecedens trazene konkluzije, pretpostavlja se u koraku 3 i oznacava drugom zvjezdicom; tada se ta premisa u koracima 4 i 5 koristi pri izvodenju konkluzije r, konsekvensa trazene konkluzije. Takve pomoene premise cesto su potrebne da bi se zapoceo neki poddokaz, a druga zvjezdica (ponekad i treca i cetvrta) vizualno pojasnjava domasaj

28

Naiela izvodenja • poddokaza. Svaka zvjezdica u svakom koraku podsjeca citatelja da je odredena premisa ¡ dalje u igri. PREM

"

3 p

"

4 q

1 , 3 MP

"

5 r

2, 4 M P

Tada u koraku 6 sazimamo obavljeni posao (u koracima 3-5) ¡ donosimo trazenu konkluziju: *

6 p->r

3-5

Dl QED5

U koraku 6 odbacuje se premisa 3 (bilo je to p); njezina se zvjezdica ispusta. Tako nam korak 6 govori (buduci da nosi jednu zvjezdicu, a ne dvije) da p - > r slijedi iz pocetnih premisa p - > q i q - » r, bez p. Primijetimo da oznaka desno od koraka 6 kaze da korak 3 daje korak 5, §to je /stina: poddokaz je zaista pofeo od 3, bilo je to p, i stigao do 5, sto je bilo r. Tu deklaraciju ispravne upotrebe nacela dokaza po implikaciji nazvat cu "deklaracija na pakiranju", po analogiji sa standardnim deklaracijma na pakiranju kakve su na snazi u trgovinama vocem i povrcem i u Ijekarnama. Koristenje Dl na prevaru, tj. "neistinito" u ovom smislu, pogresno je. Kad se nácelo dokaza po implikaciji koristi ispravno, izvedena sumarna konkluzija je implikacija ciji je antecedens (zapravo) posljednja uzeta premisa, a konsekvens (zapravo) konkluzija izvedena iz premise u kontekstu dedukcije. Opravdanje za tvrdnju da implikacija stoji u torn je kontekstu poddokaz koji pocinje s torn premisom i daje tu konkluziju (ovdje: od 3 do 5, piSemo '3-5's crticom; ne 3 i 5, sto bismo napisali '3, 5' sa zarezom); poddokaz se, vjerno, navodi desno od odgovarajuceg koraka. Poddokaz se sumirá i navodi; njegova se premisa odbacuje. 5

Quod erat demonstrandum: sto je trebalo dokazati; posao obavljen. Tu cerno oznaku uspjeha koristiti kod konkluzije svake uspjesne dedukcije; necemo je staviti kod konkluzije "dedukcija" koje ilustriraju pogreske u postupku. 29

i Logika Ako je taj apstraktni mali dokaz tesko citati, pokusajte umjesto 'p' i V staviti recenice obicnog jezika - koje god zelite - i procitajte ga ponovo. Evo primjera: Neka p bude "Joe je u kuhinji". Neka q bude "Joe je u kuci". Neka r bude "Joe je u Bostonu". Pretpostavimo da •

M Ako je Joe u kuhinji, Joe je u kuci. i [2 Ako je Joe u kuci, Joe je u Bostonu.

PREM

Pravilo lanca kazuje nam da iz tih premisa slijedi da "ako je Joe u kuhinji, Joe je u Bostonu". Kako bismo to pokazali bez (preuranjenog) oslanjanja na pravilo lanca, pretpostavimo nadalje da **

3 Joe je u kuhinji.

PREM

i pogledajmo sto iz toga slijedi: "

4 Joe je u kuci.

1,3

MP

**

5 Joe je u Bostonu.

2,4

MP

Konacno, koristeci DI, vidimo da smo pokazali: "

6 Ako je Joe u kuhinji, Joe je u Bostonu.

3-5 DI QED

Samo jedna zvjezdica kod sestog koraka registrira cinjenicu da ta konkluzija ovisi o premisama 1 i 2, ali ne i o premisi 3. Poddokaz 3-5, sumiran u koraku 6, sada se moze odloziti, kao skela koja je posluzila svojoj svrsi. Zastanimo i pogledajmo sto smo napravili. Dali smo opravdanje za upotrebu pomocnog pravila, pravila lanca. LANAC: Iz para (ili niza) implikacija u kojima je konsekvens jedne implikacije antecedens sljedece, slijedi implikacija koja kao antecedens ima prvi antecedens, a kao konsekvens posljednji konsekvens.

30

Nacela inoíenja •

To smo postigli upotrebom nasa prva dva temeljna nacela: modus ponensa i dokaza po implikaciji, koja nismo pokusali utvrditi. Umjesto toga, pozvali smo citatelja da ta nacela prihvati kao dio naseg polazista u disciplini logike. Utvrdili smo prihvatljivost (pomocnog) pravila lanca dedukcijom jednog prìmjera zakljucka:

r

to jest, dedukcijom njegove konkluzije ¡z njegovih premisa. (Mogli smo se posluziti i duljim primjerom zakljucka:

r r—>s :. s pa cak i jos duljim, ali to nije izgledalo potrebno, buduci da bi metoda bila ¡sta.) Kako bi ovdje koristena metoda (koristenje samo MP i DI) radila i za svaki "lancani" zakljucak, ma kako slozen i dug bio, nema potrebe ponavljati te korake; svaki se lancani zakljucak moze izvesti na slican nacin, upotrebom samo MP i DI. Stoga cerno, kako bismo ustedjeli vrijeme, snagu i papir kad god je to prikladno odsad koristiti utvrdeno pravilo lanca kao nácelo izvodenja. Nácelo dokaza po implikaciji nije tako nepoznato kako mozda isprva izgleda. Koristimo ga uvijek kad u mislima proracunavamo posljedice nekog plana ili djelovanja, ili moguce ishode dogadaja. Pian ili dogadaj uzimamo kao premisu, ili pretpostavku - stavljenu u kontekst nasih relevantnili uvjerenja - i gledamo kamo vodi. Artikuliramo svoje misljenje o tome kamo to vodi (nasa konkluzija) i dolazimo do implikacije, ciji je antecedens nas pian ili dogadaj, a konsekvens nasa konkluzija, i taj smo ¡skaz tada spremni braniti na osnovu nasih relevantnih uvjerenja. Nácelo dokaza po implikaciji koristimo kako bismo takve implikacije utvrdili i stoga mogli dalje koristiti.

31

• Logika

Nácelo DI nam nudi strategiju dokazivanja, prvu od mnogih koje cerno ¡sticati putem. Ako ¡mamo razloga da vjerujemo kako implikacija (recimo, Ako je Joe u kuhinji, Joe je u Bostonu) stoji u danom kontekstu, a zeljeli bismo ¡ dokazati da je tako, pofet cerno tako da antecedens te implikacije (Joe je u kuhinji) uzmemo kao piemibu i uz njenu pomoc (u ovom blucaju lo je pumvcnd piemisd, jer ima i drugih, vaznijih) pokusavamo dokazati konsekvens (Joe je u Bostonu). Ako nam to pode za rukom, a obavljen posao sumíramo, pomocu DI, dokazali smo ono sto smo htjeli (ovdje, da ako je joe u kuhinji, onda je Joe u Bostonu).

Pravi lo P O N O V I

uvest

' nácelo koje je toliko ocito da izgleda nepotrebno te se rijetko koristi izrijekom osim radi jasnoce izlaganja: pravilo PONOVI:

PONOVI. Unutar dedukcije uvijek je legitimno PONOVIti premisu koja je jos uvijek u igri, ili korak u dokazu cije su premise jos uvijek u igri. Takva uporaba koraka u dokazu - bila to premisa ili korak izveden iz premise - legitimna je ako i samo ako je taj korak doista u igri (nije odbaíen). Iskoristimo to nácelo kako bismo izveli ono Sto su Crei nazivali "zakon identiteta" - jedan od njihova "tri zakona misljenja": identiteta, neproturjeéja i iskljuàenja treceg- teorem 'p —> p'. Dokazimo: /?-> p

32

•

1p

PREM

*

2p 3/>-»/>

1 PONOVI 1-2 DI QED

Natala iwodanja • Teorem je u logici, kao i u geometriji, iskaz za koji se pokazalo da stoji neovisno o cinjenicama. Valjan je utoliko Sto ne postoje takve okolnosti u kojima bi se pokazao neistinitim. Dokaz teorema ne sadrzi neodbaéene premise. (Logicari ponekad kazu da je teorem iskaz koji je "dokaziv bez premisa" - to je naravno eliptican izraz za "dokaziv bez premisa koje nisu odbaiene". Bilo bi teSko pronaci dokaz bez ikakva polaziSta.) To, sto u zadnjem retku toga izvoda nema zvjezdica, taj redak oznacava kao teorem: istinit neovisno o bilo kakvoj premisi ili pretpostavci, utvrden samo na logickim osnovama. Primjeri zakona identiteta su sljedeci: Ako kisi, onda kisi. sto je istina, neovisno o tome kakvo je vrijeme. Ako Mary voli mrkvu, Mary voli mrkvu.

sto je takoder istina, u bilo kojim okolnostima. Itd. Jos bi jedan teorem mogao biti zanimljiv: p - > (q - > p). Primjeri su: Ako kisi onda ako volim kisu onda kisi; Ako kisi onda ako ne volim kisu onda kisi; Ako kisi onda ako je danas cetvrtak onda ki5i; itd. Naravno da svatko zna da ako kisi onda kisi, svidalo se to nama ili ne; stoga taj teorem izgleda i intuitivno prihvatljivo. Evo dedukcije: Dokazimo p -> [q -> pi * 1p " 2q 3p * 4 q-> p 5 p - > ( < ? - > p)

PREM PREM 1 PONOVI 2-3 DI 1-4 DI QED

Mozda bi tu dedukciju bilo dobro ponovo procitati na hrvatskom, sto ce usput pokazati kako nam strateska razmatranja pomazu u koncipiranju dokaza.

33

• Logika Dokazimo: Ako kisi, onda ako je dañas cetvrtak, onda kisi. Osnovna strategija bit ce nam dokaz po implikaciji. Posljednji korak - ne mozemo biti sigurni koliko ce nam koraka biti potrebno - bit ce, reamo, 9 Ako kisi, onda ako je dañas c e t v r t a k , onda kisi.

Prvi bi korak, dakle antecedens trazene konkluzije, trebalo pretpostaviti kao premisu. Tako imamo: 1 Kisi.

PREM

I pretposljednji korak, poput prvoga, diktira nam strategija dokaza po implikaciji; bit ce to konsekvens trazene konkluzije. Tako ¡mamo: *

7

Ako je dañas cetvrtak, onda kisi.

8

Ako kisi, onda ako je danas cetvrtak, onda kisi.

1-7 DI

Sada moramo izvesti korak 7 - opet po dokazu po implikaciji; to jest, pretpostavljam antecedens: "

2

Danas je cetvrtak.

PREM

Pokusajmo dokazati konsekvens: 6

Kisi.

No, to je lako: taj iskaz slijedi, pravilom PONOVI, iz koraka 1. Stoga kazemo: 3

Kisi.

1 PONOVI

i popravimo brojeve: *

34

1 Kisi.

PREM

**

2 Danas je cetvrtak.

PREM

**

3 Kisi.

1 PONOVI

Nacela izvodenja • 9

4 Ako je danas cetvrtak, onda kisi. 5 Ako kisi, onda ako je danas cetvrtak, onda kisi.

2-3

DI

1-4

DI QED

Treba primijetiti da s m o tu dedukciju koncipirali odozdo prema gore: poceli smo s razmisljanjem o o n o m e sto z e l i m o dokazati. Treba primijetiti i da, p o p u t d e d u k c i j e pravila L A N A C , ta d e d u k cija zahtijeva koristenje p o m o c n e premise (korak 2) oznacene drug o m zvjezdicom; dvije zvjezdice jasno pokazuju doseg poddokaza. Ilustrirali smo upotrebu pravila P O N O V I . Najzanimljivija n a m k o d tog pravila, m e d u t i m , nije njegova korisnost, nego njegova ogranicenost, eksplicitno ogranicenje njegova koristenja. Korak u d o kazu smije se p o n o v i t i a k o i samo ako je njegova premisa i dalje u igri. Krsenje te zabrane ("pogreska n e d o p u s t e n o g ponavljanja") m o z e dovesti d o grazne zabune. Pretpostavimo, na primjer, da s m o d o d a l i jedan redak (korak 7 ili korak 7') nasem l a n c a n o m izvodu. 1 p ^ q «

2q-+ r 3p 4q 5r 6 p —> r 7r

PREM PREM 1 , 3 MP 2, 4 MP 3-5 DI 5 PONOVI (Joe je u Bostonu)

in *

T q

4 PONOVI (Joe je u kuci)

Kakva besmislica! Da bilo koja o d tih " k o n k l u z i j a " (7 ili 7') slijedi iz nasih premisa (1 i 2) znacilo bi da o n o sto slijedi iz z a j e d n o u z e t i h 1, 2 i 3 slijedi samo iz 1 i 2. N a k o n koraka 6, u k o j e m u se 35

Logifca

odbacuje premisa 3 i ispusta uz nju vezana zvjezdica, koraci 3, 4 i 5 vise nisu na raspolaganju, ni za ponavljanje ni za bilo Sto drugo. Slicno - i jednako pogresno - izvodu zakona ¡dentitela mogao bi se pridodati cetvrti redak: * 1 P *

2P 3 4 p

PREM 1 PONOVI 1-2 DI 2 PONOVI (ili 1 PONOV!)

sto bi znacilo da bi se samo po logickoj osnovi mogao dokazati svaki iskaz - recimo "Pada kisa" ili "Alice voli mrkvu" - koji bi tako postao logicki teorem. Malo je vjerojatno da bi razuman dokazivac napravio bilo koju od tih gresaka, ali cesto se prave i druge sliòie greske. Poanta je u tome da bi uvijek, u svakom trenutku svakog pazljivog zakljucivanja, trebalo biti jasno koje su premise (i iz njih izvedeni koraci ) u igri, a koje nisu. Za ponavljanje i drugu upotrebu raspolozive su samo one premise i oni koraci koji su u igri. Notacija zvjezdicama predstavlja knjigovodstveni sistem koji nam pomaze izbjeci greske. Buduci da notacija zvjezdicama registrira uvodenje i odbacivanje premisa i tako vizualno pokazuje koje su premise u igri a koje nisu, pogreska nedopustenog ponavljanja moze se izbjeci tako da se pazi na zvjezdice. Uputa: izbacite poddokaz kao obavi svoj posao (premise su mu odbacene). Drukiije receno: kao opravdanje za korak u dokazu nikad ne navodite prijasnji korak koji je imao zvjezdice, osim ako se odnose i na korak koji se opravdava.

36

N aisla ¡zvodenja i Sada krecemo na pravila za "i", koje se pise "A" i ovdje se shvaca kao veza medu iskazima - ne kao veza medu stvarima ili svojstvima. Samo su dva takva pravila: SIMPlifikacija (eliminacija A) i ADJunkcija (uvodenje A). Oba je pravila lako razumjeti, prihvatiti ¡ koristiti, ali nepaznjom se lako i zloupotrijebe.

Pravila za "i"

Konjunkája je slozeni iskaz sastavljen od drugih iskaza pomocu veznika "i" ili nekog od njegovih sinónima ("te", "takoder", "kao i"; zatim "a", "ali" itd.); konjunkcijom se tvrde svi njegovi konjunkti, ili sastavnice konjunkcije. Kako bismo ih koristili, konjunkcije pojednostavljujemo ili simplificiramo: izdvajamo jedan konjunkt i iznosimo ga kao korak u zakljucku, kako bismo si olaksali daljnje dokazivanje. Da bismo neku konjunkciju utvrdili, slazemo zajedno njezine konjunkte koji smo prije toga odvojeno pretpostavili ili dokazali; sastavljamo ih ili adjunciramo. Pocetcu sa SIMPlifikacijom: SIMPlifikacija: Iz konjunkcije slijedi svaka njezina konjunktivna sastavnica. Ako znam da Mary voli mrkvu i Henry voli grasak, nema sumnje da Henry voli grasak; a i da Mary voli mrkvu. Stoga, PA Q p

SIMP

PAQ q

SIMP

Nazalost, ogranicenja jezika, pisanog i govornog ili prenosenog znakovima gluhih, zahtijevaju da bar dvaput ilustriramo koristenje tog pravila, kako bismo pojasnili da nije vazno koju sastavnicu konjunkcije iz nje izvodimo. Mozda ne bi bilo lose nastaviti: pA qA r .'. q itd. Naime, iz same konjunkcije slijedi svaka njezina sastavnica. To je, rekla bih, intuitivno jasno. Ali jezik se odvija u slijedu, vremenskom 37

• Logika

¡l¡ odredenom smjerom pisanja (slijeva na desno, zdesna na lijevo, odozgo prema dolje ¡td.) i zato ne moze prenijeti ¡zravnost radikalne simetrije (il¡ neusmjerenosti) logickog "i", kojega simbolizira 'A'. Naravno, znamo da je, ako kazem nesto od sljedecega: Mary voli mrkvn. a Henry voli grasak Joe je siromasan, al¡ Joe je posten. Snijeg je bijel, a trava je zelena.

posve nevazno koju sam recenicu svakoga para spomenula prvu. Al¡ neku moram spomenuti prvu; ne mogu ¡h izgovoriti u ¡sto vrijeme, ne mogu ¡h napisati jednu preko druge, barem ne ako hocu da me se razumije. Zakon simplifikacije nam dakle dopusta ¡z konjunkcije ¡zvesti svaku njezinu sastavnicu neovisno o poretku kojim su izlozene, i to zato sto je redoslijed kojim su izlozene nevazan. No, kako ce pazljiv citatelj primijetiti, mnogo je recenica u kojima redoslijed izlaganja nije nevazan. "Mary je ugledala Henryja i ¡strfala iz kuce" cini se posve razlidtom od "Mary je ¡stréala iz kuce i ugledala Henryja". I jedna i druga recenica mogu se, naravno, tumaciti tako da preñóse vise negó Sto se prenosi jednostavnom konjunkcijom, i sigurno bismo ih tako tumafili da se pojave u nekom romanu. (Mozda se Mary boji Henryja ili, naprotiv, jedva feka da bude s njim; mozda se Henry skrivao iza ograde; itd.) Za naíe svrhe, medutim, takve razlike nisu od vaznosti. Logicko 'i' ili 'A', kao i logicko '-»', apstrahira od uzrocnih i drugih veza izmedu iskaza sto ih sastavlja. I iz jedne i iz druge recenice simplifikacijom mozemo izvesti "Mary je vidjela Henryja"; ¡sto vrijedi i za refenicu "Mary je ¡strfala ¡z kuce". A i jedna i druga recenica ce se smatrati istinitorn ako je Mary ucinila i jedno i drugo, ma kojim redoslijedom, iz ma kojeg razloga. Obratno, pravilo ADJunkcije nam govori da iz bilo kojih iskaza uzetih odvojeno mozemo izvesti njihovu konjunkciju. ADJunkcija: Iz iskaza koji su u igri u bilo kojem dijelu dedukcije, kao konkluzija slijedi njihova konjunkcija.

38

Miceli izvodenja •

Dakle,

P

P

Q

Q

:. p / \ q

ADJ

q/\p

ADJitd.

Prvo treba upozoriti na to da iskazi koje sastavljamo moraju biti "raspolozivi" u dijelu dedukcije u kojemu ih spajamo; to jest, ako su to premise, moraju biti u igri, a ako nisu premise, njihove premise moraju biti u igri (vidi gore, ogranicenje pravila PONOVI). Drugo, konjunkcija mora biti ispravno nacinjena. "Ili Mary zanima glazba, a i Henryja, ili je glazba dosadna" nije konjunkcija iskaza "Ili Mary zanima glazba ili je glazba dosadna" i "Ili Henryja zanima glazba ili je glazba dosadna", niti je to konjunkcija iskaza "Mary zanima glazba" i "Ili Henryja zanima glazba ili je glazba dosadna"; to uopce nije konjunkcija. Mnoge recenice koje u sebi imaju "i" nisu konjunkcije. Ogranicenje s obzirom na raspolozivost odrazava se u sistemu zvjezdica. Iskaz je na raspolaganju za ponavljanje i druge postupke (u ovom slucaju adjunkciju) ako korak u kojemu ce se koristiti nosi barem one zvjezdice koje je nosio i korak na koji se pozivamo. Sljedeca je "dedukcija", dakle, pogresna: Ako Henry bude primljen, studirat ce ekonomiju i bolnicki menadzment. Dakle, Henry ce studirati bolnicki menadzment, a ako bude primljen studirat ce ekonomiju. p -> (e A b) *

1 p - » (e A b)

Dokazimo: b A [p ->• e) PREM PREM

**

2p

«

« 4 6

3eA ò

3 SIMP

«

5e

3 SIMP

* *

1, 2 M P

6 p -> e

2-5 DI

7 6 A (p - » e)

4, 6 P D J 39

• Logika

Pogreska - pogreska nedopustenog ponavljartja - javlja se u koraku 7: konjunkt b nedopusteno je izveden iz koraka 4, koji nosi dvije zvjezdice; njegova premisa (p, korak 2) odbacena je u koraku 6 pa ni p ni b nisu raspolozivi u koraku 7. Usporedite taj nevaljan zakljucak s valjanim zakljuckom koji ¡do u suprotnom smjcru:

Henry ce studirati bolnicki menadzment, a ako bude primljen, studirat ce ekonomiju. Dakle, ako Henry bude primljen, studirat ce ekonomiju i bolnicki menadzment. b * « •* ** " " c

[p —> B)

1 b A (p - > e) 2p 3b 4p e 5e 6 eA ¿ 7/»->(e->«

Dokazimo: p - » ( e A b) PREM PREM 1 SIMP 1 SIMP 4, 2 MP 5, 3 ADJ 2-6 DI QED

M o z d a bi bilo korisno pogledati na trenutak logicku strukturu ta dva iskaza. Jedan, 'b A (p - > e)' je konjunkcija i m o z e se simplificirati (vidi korake 3 ¡ 4); jedan o d njezinih konjunkta je implikacija. Ta se implikacija 'p - > e' moze upotrijebiti kao premisa za m o d u s ponens (vidi korak 5) ali citav iskaz 'b A (p - > e)' ne moze. Drugi je pak iskaz 'p - M e a b)' implikacija s konjunktivnim konsekvensom; buduci da je implikacija, ne moze se simplificirati. Primijetimo nadalje da je recenica obicnoga jezika " A k o Henry bude primljen, studirat ce e k o n o m i j u i studirat ce bolni¿ki menadzment" dvosmislena; moze je se procitati i kao 'p - > (e A b)' i kao '(p - > e) A b' |'(p - > e) A ti)' \ 'b A (p - » e)' svode se na isto]. Logicka notacija, koja inzistira na upotrebi zagrada za grupiranje, kako bi tocno pojasnila sto veznici povezuju, i koja "formule" kao sto je 'p - > e A b', koje nemaju potrebnih zagrada, zabranjuje kao lose sastavljene, moze biti korisna utoliko sto ñas tjera da o d l u í i m o 40

Naíali izvoíenja •

koje cerno recenice obifnog jezika njima prenijeti. (Vidi podsjetnik 0 zagradama, medu Podsjetnicima uz ovo poglavlje, str. 68-69.) Pravilo ADJ nam omogucuje da sastavimo konjunkciju od njezinih sastavnica; konjunkcija je, naime, ¡stinita ako su njezine sastavnice istinite. Pravilo SIMP nam omogucuje razdvojiti sastavnice konjunkcije; sastavnice su, naime, istinite ako je konjunkcija ¡stinita. To je, dakle, znaéenje veznika 'i'. ótatelj ce se sjetiti da su i modus ponens i pravilo lanca poceli s parom premisa uzetih zajedno, iz kojih se zatim mogla izvesti konkluzija. I druga pravila izvodenja - modus tollens, eliminacija i nekonjunkcija (vidi dolje) - a i mnogi zakljucci sto cerno ih analizirati 1 ocjenjivati, pocinju na taj nacin. Kad "uzmemo" dvije ili vise premisa "zajedno", zapravo iznosimo samo jednu pretpostavku; pretpostavljamo konjunkciju tih premisa. Notacija: PREM je dakle pokrata za * 0 pA q - 1/7 * 2q

PREM 0 SIMP 0 SIMP

Buduci da je konjunktivna premisa, ovdje pod nadimkom Premisa 0 (Premisa nula), cesto neobicno nezgrapna, i ubuduce cerno koristiti onaj prvi oblik. Sada, posto smo iznijeli pravila za '->' i 'A' i objasnili sistem zvjezdica, citatelj moze poceti s izvodenjem dedukcija. Problemi 11.1 do 4 (vidi str. 77) mogu se rijesiti i prije negó sto uvedemo pravila za negaciju i disjunkciju.

41

• Logika

p^-j^

~

Sada ¡demo na pravila za negaciju, pisemo je Negacija je temeljni logicki pojam koji nam negaciju j s v m a p Q z n a t /^ a | a d j e c a obidno nauce red "ne" puno prije nego "da"; "ne", osim toga, koriste ispravno: odguruju hranu koju ne zele jesti ¡l¡ odbijaju uciniti 0110 sto nc ¿ele, ne predlazuci pritom alternative. Sofisticiraniji Ijudi cesto precjenjuju ¡nformacijski sadrzaj izjave o negiranju. Razlog negiranja brkaju sa sadrzajem negiranja. Negiranjem ili negacijom iskaza, sto pisemo p', tvrdi se samo da s iskazom p nije tako; p" nema drugog sadrzaja. Negacija od "Snijezi" je "Ne snijezi" - sto nam ne govori nista vise o vremenu. A negiranjem kompliciranog iskaza negira se taj iskaz kao cjelina; ne negiraju se (niti na koji drugi nacin mijenjaju) njegove sastavnice. Pravila za negaciju oslanjaju se na drugi grcki "zakon misljenja", nácelo neproturjeeja: nemoguce je da u sebi proturjecan iskaz bude istinit. To jest, opcenito, za svako p, ~ (p A ~ p). Cini mi se da nema smisla da pokusam poduprijeti tu tvrdnju; ona je naocigled toena i svaki bi se zakljucak njoj u prilog morao oslanjati na nju. Lako je moguce da je to metafizicka pretpostavka - koja je integralni dio poduhvata koherentnog misljenja i necu je pokusavati braniti. Prvo pravilo izvodenja za negaciju je reductio ad absurdum (redukcija na apsurd, skraceno RED, ili uvodenje Shema njegove upotrebe cesto se naziva "indirektni" dokaz. Struktura mu je uglavnom ista kao kod dokaza po implikaciji: polaziste mu je premisa koja se uzima s odredenim ciljem, za dobro rasprave; slijedi logicki rad prema pravilima; premisa se na kraju odbaeuje pri pozivanju na pravilo. REDuctio ad absurdum: Prema pravilima proveden postupak izvodenja izravnog proturjecja iz premise opravdava negiranje te premise.

42

Maiela izvodenja •

Stoga, * «

P

e « *

:. ~ p

~

q

RED

pri éemu q nije nuzno razlicito od p. Postupak izvodenja izravnog proturjecja iz premise, ma koliko ovaj bio slozen (Kisi i ne kisi; brojevi n i m su parni i nije slucaj da su brojevi n i m parni, itd.), legitimno, prema pravilima, opravdava negiranje te premise. Taj postupak intuitivno i te kako ima smisla, ako je jasno da je proturjecna konkluzija poddokaza uistinu "apsurdna" i neprihvatljiva. Poput dokaza po implikaciji, reductio ad absurdum moze se pojaviti sam za sebe, kao gore, ili pak u slozenijem zakljucku u kojemu su u igri i druge premise. Te druge premise mogu se koristiti i u poslu izvodenja proturjecja, kljucnom koraku reductia. Sumarna konkluzija (ovdje, ~ p) negirat ce zadnju iznesenu premisu i nijednu drugu premisu ili iskaz, i ta ce se premisa (p) odbaciti. Postupak reductio ad absurdum donosi nam drugu strategiju dokaza. Prva je bila: dokazati implikaciju, uzeti njezin antecedens kao premisu i pokusati dokazati njezin konsekvens. Druga je: da bismo neki iskaz negirali, uzimamo ga kao premisu i pokusavamo iz njega izvesti proturjecje. Drugo pravilo negacije: dvostruka negacija, ili DN, posve je drugacije. Dvostruka negacija (DN): Iskaz i njegova dvostruka negacija medusobno su zamjenjivi. Time cerno se baviti u tri dijela. Raspravljajuci o pravilu DN spomenut cerno i prodiskutirati vise alternativnih pravila za dvostruku negaciju (DN', RED', itd.), ali ih necemo usvojiti. Namjera nam je objasniti i opravdati pravilo DN, kako smo ga iznijeli. 43

• Logika Prvo primijetimo da se dvostruka negacija svakog iskaza moze izvesti iz tog iskaza, kako slijedi: * 1p * 2 ~ p 4 3/7 a ~ p * 4 — p

PREM PREM ?. ? ADJ 2, 3 RED QED

i sada mozemo dokazati teorem, kako slijedi: 5

—

p

1-4 DI QED

Na primjer, * ** **

1 Pretpostavimo da kisi. 2 Pretpostavimo, nadalje, da ne kisi. 3 U tom slucaju i kisi i ne kisi.

PREM PREM 1, 2 ADJ

Ali to je nemoguce. Prema tome, ako je prva premisa (da kisi) tocna, druga premisa (da ne kisi) mora biti pogresna: *

4 Ne ne kisi.

2-3

RED

1-4

DI QED

Stoga zakljucujemo da 5 Ako kisi, onda ne ne kisi.

Taj je "dio", dakle, pravila D N redundantan ili suvisan. Obratan slucaj se, medutim, na taj nacin ne moze deducirati i nije redundantan; dapace, diskutabilan je. Duga tradicija u matematici i logici, koja seze barem do rasprave o sutrasnjoj pomorskoj bitci u Aristotelovom O tumacenju, bavila se prvenstveno teoremima egzistencije, pitanjima legitimnosti dedukcije iskaza iz njegove dvostruke negacije. Neki matematicari dvadesetog stoljeca, poznati kao "intuicionisti", razvili su veoma razradenu matematiku 44

M a i a l a izvodenja •

koja je ne koristi. S tim se pitanjima, medutim, ovdje necu baviti, i u nastavku cu pretpostavljati da je neintuicionisticka dvostruka negacija zapravo OK. To je natelo jednostavno utvrditi: DN': Svaki se iskaz moze izvesti iz svoje dvostruke negacije. Stoga, — P :. p

DN'

Ili mozemo uvesti pravilo za eliminaciju kako slijedi:

sukladnu s RED,

REDuctio ad absurdum': Postupak izvodenja izravnog proturjecja, prema pravilima, iz negacije iskaza, opravdava afirmaciju tog iskaza. Stoga, *»

~ P

* « *

p

RED'

(Iz iste premise i sheme zakljucka RED dobili bismo — p.) DN' opravdava RED' (i obratno), te tako, koristeci RED s RED' ili DN' mozemo pokazati da se iskaz moze deducirati iz svoje dvostruke negacije i obratno. Umjesto toga, odlucili smo uvesti jedno jaée pravilo: p i — p medusobno su zamjenjivi. Kako to funkcionira? Dosad smo rekli da su odredeni iskaz i njegova dvostruka negacija zamjenjivi kao koraci u zakljucku: ako je zadano p, onda se iz toga moze deducirati — p i obratno. Ali DN nam govori da su iskaz i njegova dvostruka negacija zamjenjivi kad god se pojave, u kontekstima koji nas zanimaju; to jest, p i ~ ~ p su medusobno zamjenjivi i kao sastavnice slozenih iskaza s kojima cerno raditi. Od: 45

Logika

ako bude kisilo, onda nije slucaj da necemo ici u kino, slijedi da cerno ici u kino ako bude kiSilo.6 Intuitivno, cini se razumno rijesiti se nespretnog izraza dvostruke negacije kad se pojavi u zakljucku ili je pak uvesti kad nam to odgovara - u razgovoru cesto ni ne primjecujemo da to cim i l l o - dli u bti¿lj¡vom je ¿dkljuCivdnju Vd2nu p r e p o z n d l i upotre-

bu DN i biti svjestan njezine opravdanosti. Iskaz i njegova dvostruka negacija su zamjenjivi zato sto su ekvivalentni, zato sto "se svode na isto". U posebnim kontekstima, gdje je upitno "svode li se na ¡sto", mogu se otvoriti filozofska pitanja. lako cerno ¡h ostaviti po strani jer su izvan opsega ove knjige, pazit cerno da budemo eksplicitni pri upotrebi DN i svjesni njezine korisnosti. Prije negó krenemo na nacela za "¡li", utvrdit cerno jos dva teorema u vezi s negacijom. To su '(p A ~ p) q', koji nam kaze da je implikacija s proturjecnim antecedensom valjana, neovisno o konsekvensu, i ' — p —> (p —> qY, koji nam kaze da je implikacija valjana ako je njezin konsekvens takoder implikacija i kad si njihovi antecedensi uzajamno proturjece. Dokazimo: (p A ~ p) -> q * 1pA ' p « 2 ~q ** 3 p A — p * 4— q * 5q B IpA ~ p) -> q

6

46

PREM PREM 1 PONOVI 2-3 RED 4 DN 1-5 DI QED

Moze se dati ¡ "metalogicki" dokaz koji pokazuje da, ako se jedna recenica moze dokazati iz druge i obratno, onda su one medusobno zamjenjive ne samo kao koraci u zaklju¿ku negó ¡ kao sastavnice slozenih reéenica. D N je posebni slufaj tog opceg nacela medusobne zamjenjivosti ekvivalenata, o kojemu cerno raspravljati kasnije u ovom poglavlju. Metalogi¿ki zaklju¿ak koji podrzava to nácelo je, medutim, izvan opsega ove knjige.

Natala ¡nrodenja •

Dokazimo: ~ p -» (p -> (7) » « «HT «HS

« »

»

r ~ p 2'P 4' p A ~ p 5 • —