Tópicos sobre teoría de cuerpos

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ISSN 1853-709X

Fascículo

39

Cursos y seminarios de matemática Serie A

J. J. Martínez

Tópicos sobre teoría de cuerpos

Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires 2011

Cursos y Seminarios de Matemática – Serie A Fascículo 39

Comité Editorial: Carlos Cabrelli (Director) Departamento de Matemática, FCEyN, Universidad de Buenos Aires. E-mail: [email protected] Gabriela Jerónimo Departamento de Matemática, FCEyN, Universidad de Buenos Aires. E-mail: [email protected] Claudia Lederman Departamento de Matemática, FCEyN, Universidad de Buenos Aires. E-mail: [email protected] Auxiliar editorial: Leandro Vendramin Departamento de Matemática, FCEyN, Universidad de Buenos Aires. E-mail: [email protected] ISSN 1853-709X (Versión Electrónica) ISSN 0524-9643 (Versión Impresa) Derechos reservados © 2011 Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires.

Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires Ciudad Universitaria – Pabellón I (1428) Ciudad de Buenos Aires Argentina. http://www.dm.uba.ar e-mail. [email protected] tel/fax: (+54-11)-4576-3335

DEPARTAMENTO DE MATE MATICA Cursos y Seminarios Fasciculo 39

Tépicos Sobre Teoria de Cuerpos

Juan José Martinez

FACULT'AD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES Ciudod Universi’rorio — Pabe‘flén I 1428 Buenos Aires, ARGENTINA

TCPICOS SOBRE TEORiA DE CUERPOS

Juan José Martinez

indice

TOPICOS SOBRE TEORiA DE CUERPOS 1.

Introduccién

2.

Bibliografi’a

3.

Grupos de permutaciones

4.

Grupos resolubles

5. 6.

p-grupos Polinomios Simétricos. 6.1.

7.

El discriminante.

Grupo de Galois de un polinomio.

20 27 29 32 36

7.1. Cépsula. normal

42

7.2. Extensiones resolubles

43

7.3. Extensiones resolubles por radicales

45

8.

Polinomios generales.

51

9.

Polinomios con coeficientes racionales de Grupo de Galois simétrico

54

TOPICOS SOBRE TEORIA DE CUERPOS 1. Introduccién

El presente volumen contiene las Notes del curso ”T6picos sobre teoria de cuerpos”, ofrecido como materia optativa en 1976 por el Dr. Juan José Martinez en la. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Se utilizé como fuente los apuntes de una. asistente a1 curse, de modo que seguramente ésta no es la presentacién que el Dr. Martinez hubiera. aprobado. Sin embargo, la publicacién de estas notas seria de utilidad para el estudiante de matematica. con orientacic‘m hacia. el algebra o la teoria de nfimeros. El material de estas notas complementa e1 curso de ”Teoria de cuerpos” del Dr. Juan José Martinez, publicado en la Serie C de los 'I‘rabajos de Matemética de FaMAF, No. 17/95. Agradezco a Graciela Fernandez, Fernando Cukierman y Carlos Sinchez por su interés en el proyecto de publicar las notas de los cursos del Dr. Martinez; a Luisa Gallardo por su dedicacién en el tipeado de un manuscrito de dificil lecture; a Inés Pacharoni por su colaboracién en la fatigosa, correcién final. Nicolas Andruskiewitsch 2. Bibliografia Bourbaki, Algebra. Chapitres V, VI. Hermann, Paris, 1968. Jacobson, Lectures in Abstract Algebra. Vol III. Springer Verlag, Nueva York, 1975. Lang, Algebra. Springer Verlag, Nueva York, 1975. Van der Waerden, Modern Algebra. Vol. I. Martinez, Teorz’a dc Cuerpos. Trabajos de Matemética, Fa.M.A.F. Cordoba, 1995.

6

Téplcos SOBRE TEORiA DE CUERPOS 3. Grupos de permutaciones

Sea. 0 un conjunto. El conjunto de aplicaciones de G en 0, provisto de la composicién usual de aplicaciones, es un semigrupo, cuyo grupo de inversibles se llama el grupo simétrico de 0, y se nota.

S(C). Los elementos de 8(0), 0 sea, las biyeccciones de G en si mismo, se llaman transformaciones, o permutaciones, de 0. (Esta filtima denominacién suele reservarse para. el caso en que 0 es finite). Consistentemente, sellama. grupo de transformaciones, o grupo de permuta/ciones, a todo subgrupo

de S(C). Dada una biyeccién de conjuntos a : C —+ D, la aplicacién S(a) : S(C') —> S(D) dada por

1r

H aura—1,

es un morfismo de grupos. Més afin 1a validez de las férmulas

S(fi ° 0!) = 5(3) ° 5(0) y S(idc) = idsw), garantiza que S(oz) es un isomorfismo, cuyo morfismo inverso es S(a“1). Luego S puede considerarse como un functor de la. categoria. de isomorfismos de conjuntos en la. categorfa de isomorfismos de grupos. Ademés, dados conjuntos C' y D tales que 0 g D, S(O) se sumerge canénicamente en S(D). En efecto, la. aplicacién 1r H 1r’ definida. por 1r(a:)

1r’(2) =

x

a: e C weD—C

es un monomorfismo de grupos. De esta, manera. S puede también considerarse un functor de la. categoria de inclusiones de conjuntos1 en la categoria. de monomorfismos de gruposz. Las dos posibles asignaciones de morfismos son compatibles en el siguiente sentido: dado un diagrama. conmutativo de conjuntos

C ——“—> D

l

l

ELF

donde a, [3 son biyecciones, y las flechas verticales son inclusiones, e1 diagrama. resultante S(a)

S(C’) —. S(D)

l

l

S(E) i‘fiL S(F) 1Esta. categoria tiene como objetos las inclusiones y como flechas, los diagramas conmutativos coma més abajo. 2Ver nota. anterior.

3. GRUPOS DE PERMUTACIONES

'

7

es conmutativo.

Dado 'n e No, 801,.) se llama el grupo simétrico de grado n, y se nota Sn. Aquf, ll... es el conjunto {1, 2, . . .,n}. Sn es un grupo finito de orden n! y el grupo simétrico de cualquier conjunto con 71. elementos es isomorfo a Sn. Dada una permutacién 1r de grado n (0 sea, 7r 6 8,.) se emplea la notacién 1

2

n

1r(1)

7r(2)

1r('n.)

Ejerciéios. i) Escribir la tabla de multiplicar de 83. ii) Probar que 8,. no es conmutativo, si 71. 2 3.

TEOREMA (CAYLEY). Todo grupo G admite una. representacién fiel en 51’ mismo; vale decir, G es isomorfo a un subgrupo de S(G). En particular, si G tiene orden n, G resulta isomorfo a un subgrupo de Sn. DEMOSTRACIéN. Se considera a G actuando en si mismo segl’m la. operacién GXG—rG,

(5,58) H 3.3: La representacién correspondiente carece de operadores triviales 7’: 1, de modo que es un monomor-

fismo.

I]

Ejercicios. 1. Sea 12. e N. Sea A un anillo conmutativo. i) El conjunto Mn, A) de matrices de orden n, con coeficientes en A, tales que en cada. fila y en cada oolumna, tienen un finico coeficiente que vale 1 mientras que los restantes son 0 (matrices de permutacién) es un subgrupo de GL(n, A), isomorfo 3. Sn. ii) Si G es un grupo finito de orden n, G resulta isomorfo a un subgrupo de GL(n, A). 2. Sea G un grupo. Haciendo actuar G en sf mismo por conjugacién, 0 sea (3, 9:)

I-+

s.m.s‘1,

deducir que Int G 2 G/C’(G). Aquf, Int G es el grupo de morfismos interiores y C(G) es el centro de G.

Sean n, r e N. Una. permutacién 1r de grade n se dice un ciclo de longitud 1', 0 un r-ciclo, sii existe una sucesién (@0195, de 1‘ elementos distintos de 11,. tal que

8

115131003 SOBRE TEORfA DE CUERPOS

«(ij)='i,-+1, 1 Si < 7', 7r(z',) = i1,

1r(lc)=lc

VkeHn—{ij,1sj5r}.

En ta] caso, 7r se suele representar con la notacién (2'12'2...2‘,). Por ejemplo en S5,

12345 =m4 m 14235 En esta notacién, un r-ciclo tiene r representaciones:

(iliz...i,) = (i2i3...i,.i1) = La. permutacién identidad es el finico l—ciclo, y tiene n notaciones: (1), (2), ..., (n). Propiedades. Sean n,r E N, con 1‘ S n. I). El mimero dc r-ciclos de grade n, as i H (n — i), 32' r > 1. 0_ 1, se verifica que a y fl son disjuntas 32' y 3610 si {i1,... ,z',} n {j1,.. . ,j,} = (0. m

111). Dada una permutacién w, presentada en la forma 1r = Hui, donde (ag),-"_:.1 es una sucesz'én i=1

de ciclas disjuntos; si ai tiene longitud n, entonces el orden dc 1r es [r1;r2;...;rm], el minimo

comdn mdltz‘plo de los 13-. DEMos'rRACIéN. I). Seai E ]I,.. Supongamos que 1r(z') ye i. Luego

p(i) =12 => 7rp(z') = 1r(z'). Pero

M“) = W) p(p(z')) = p('i) => p(2') =z' => 7rp(z') = 7r(z') = i = p(2'). Absurdo.

u). Dadoi e 11", a(z’) =12 o mi)=z' 1}, (ac)cec es una. flia. de ciclos disjuntos, de longitud > 1, tal que 1r = Hag. CeC

12

TOPICOS SOBRE TEom’A DE CUERPOS

Veamos la unicidad. Sean (05);“ (flj)§=1 sucesiones de ciclos disjuntos, de longitud > 1, tales 'I‘

a

que 7r = Ha,- = 11%. Suponiendo 7‘ S 5, se procede por induccién en 5. El caso s = 0 es trivial. i=1

j=1

Supongamos entonces que 3 > 0. Sea u E 11,; sea p e 11,; um punto mévil de flu. Luego, p es movido

por H fij (por ser los [53 disjuntos). Como H fij = H at, se tiene que p es movido por at, para. algfin

t E 111.. , se tiene que at y flu mueven a p, y af (p) = 7r"(p) = ,B,’§(p), para todo k E Z. Luego at = ,3“. Cancelando, H

1951'.

an

La. unicidad sigue asi por recurrencia.

a; =

II

,Bj.

15.758.

#1;

El

COROLARIO. Si p es un mimero primo, los elementos de orden p en 8,. son los productos no vacios, de p-ciclos disjuntos. En particular, los elementos de orden p en 8,, son los p—ciclos. m

DEMOSTRACléN. Dada 1r 6 Sn, 1r = Hag, donde (040m i=1 es una sucesién de ciclos disjuntos, y i=1

01¢ tiene longitud r,- > 1 ,(1 S 2' S m). Asf,

ord1r=p4=>[r1;...;rm]=pn=pparatodoi,1 sigm. El OBSERVACXéN. Existen elementos de orden p en 8,, 4:} existen p—ciclos de grado n 4:) p S

n 4:} plnl. Ejercicios. 1. Escribir la. siguiente permutacién como producto de ciclos disjuntos:

123456789 526173498 2. Sea 71' una permutacién de grado n, y sea G e1 subgrupo generado por 7r, que acttia en 11,, come subgrupo de Sn. 'Iraducir en In/G' las siguientes proposiciones:

i) 7r es un 'r-ciclo. ii) 1r es regular. 3. Sea G un grupo finito de orden n. Si p es una representacién de Cayley de G, en 11,. entonces p, es una. permutacién regular, Vs 6 G. (Dada. una numeracién de G', la. representacién de Cayley

asociada es la. representacién deducida de G’ —r 8(0) 2 Sn).

3. GRUPOS DE PERMUTACIONES

13

DEFINICIéN. Una permutacién 7r de grade n se dice una. transposicz‘én sii es un 2-ciclo. Vale decir, si existen i, j E II," i ;E j, tales que

7r(‘¢')=j.

7r(J‘)=i,

1r(’6)=k. Sik¢{i.j}-

TEOREMA. Toda. permutacién se escribe como producto de transposiciones. Equivalentemente, e1 conjunto de transposiciones de grado n es un sistema de generadores de Sn. n n —— 1 . . Este Slstema, txene (T elementos.

DEMOSTRACIéN. Basta, verificarlo para. un ciclo (121112,. . . ,z'r), lo que haremos por induccién en 1'. Siendo el caso r = 1 trivial, podemos suponer 'r > 1. Pero (5125,. . . ,i,) = (i1i3,.. . ,i,)(121 £2).

E]

Explicitamente, un r—ciclo se escribe como producto de 7‘ — 1 transposicionesz

(i1i2.---,'ir) =

H (h if-» = (ilir)(i1ir_1),...(i1z'2) OSiSr—2

Ejercicio.

Dado un 3-ciclo de grade 11., par ejemplo (123), escribirlo como: i) Producto de 2 transposiciones, en 2 formas distintas. z, Conmutan los factores? ii) Producto de 4 transposiciones sin 2 factores consecutivos iguales, para n > 3. Extraer conclusiones.

PROPOSICIéN. Sn admite los siguientes sistemas de generadores: (i) Las n —— 1 transposiciones (12), (13),

(ii) las 11 —— 1 transposiciones (12) (23),

, (1n).

, (n — 1, 12.).

(iii) los ciclos (12) y (12.. .n). DEMOSTRACIéN.

(i). Sea G e1 subgrupo de 8,, generado por (1i), 2 S 2' g n. Basta. verificar, que

Vi,j,i aé 3', la. transposicién (ij) 6 G. Esto es claro si 13 = 1 oj = 1. Suponiendo i,j > 1, (ij) 6 G

pues (ij) = (1i)(1j)(112), ya. que 1r(z',,, . . . ,'121)1r”1 = (1r(z'1), . . . ,1r(z',,)). (ii). Ahora, sea G e1 subgrupo de 8,, generado por (z’ — 1 2'), 2 5 2' S 72. En virtud de (i), come (1 2) E G, argumentando por induccién, basta. ver que si (1 i) E G, entonces (111+ 1) E G, para todo 2' < n.

En efecto,

(1 i + 1) = (1i)(z‘ z' + 1)(1i). (iii). Sea. G e1 subgrupo generado por (12) y (12, . . . ,n). Nuevamente, argumentando por induccién, basta. verificar, gracias 3. (ii), que

(i—lz‘)eG:?>(iz'+1)eG, W,25i 4, entonces An es simple y no abeliano.

.

PROPOSICIéN. Sn es resoluble 32' y sdlo sz’ n S 4. DEMOSTRACIéN. Si n S 2, entonces S,1 es abeliano. Si n = 3, (53,A3, 1) es una. serie de resolu-

bilidad de 83; si n = 4, (S45A4, V, W, 1) es una. serie de tesolubilidad de S4.

Supongamos entonces que n > 4. Sea (Gags-Sm una. serie normal de 8". Sea j = min{z‘ : 0 S z' S m,G',- 9’: Sn}. Como Gi = Sn, 0 S i < j ; Gj es un subgrupo normal de 5", y como GjaéSn, Gj=AnoGj=L En el primer caso, sea Ic = min{z', j S i S m y G,- 9é An}; entonces G,- = 1 para Ic S i S m. Luego

1

0SiSj—2

sn/An i=j—1 Gi/Gi+1=

El segundo caso es claro.

1

jS’iSk—Z

An

i=k—1

1

jSiSm

El

PROPOSIcléN. Dado un morfismo de grupos (p : G —+ H, 52‘ kercp e Imtp son resolubles, entonces G es resoluble.

4. GRUPOS RESOLUBLES

21

DEMOSTRACIéN. Sea (Hi)?___o una serie de resolubilidad de Im (p. Tomando G,- = (p‘1(H,-), (Gi)?=o es una sucesién de subgrupos de G que satisface i) G,-+1 es normal en Gi, U 5 2' < n (pues Hi+1 es normal en Hi). ii) G0 = G'. iii) Gn = ker (p. Ademés, considerando H, se tiene kera:€K.

Veamos ahora que I 2 II. Es obvio que H’nK C HnK; como H’ nK C H’ => H’ nK C H’(HnK’). Como ademés H’ nK’ C HnK y HnK’ C H’(HnK’), la. inclusion sigue. Por e1 tercer teorema de isomorfismo, resulta. asi por simetria.

H n K/(H’ n K).(I-I n K’) : H’.(H n K)/H'(H n K’). Por ende HnK/(H' nK).(HnK’) = Kn H/(HnK').(HnK) 2 K’(KnH)/K'(KnH’).

El

TEOREMA (SCHREIER). Dos series normales de un mismo grupo, tienen refinamientos que son equivalentes.

24

TOPICOS SOBRE TEORiA DE CUERPOS

DEMOSTRACIéN. Sean 21 = (G;)£‘=o, 22 = (Hj)J-";._o series normales de un grupo G. Se procederé.

a construir un refinamiento 2’1 de 21 intercalando entre Gi y Gi+1, m — 1 subgrupos (Gij 7:11 (0 S 2' < n), y un refinamiento 2f.2 de 22, intercalando n -— 1 subgrupos Hj“ 1 S i S n — 1, entre Hj y Hj+1, 0 S j < m. Notar que como 21 tiene n + 1 términos, y 22 tiene m + 1 términos, tanto 2’1

como 2’2 tienen nm + 1. Se definen

G.-,. = c.4140,- nHj), o s i < n, o 33' _ H sz‘ G es resaluble, Im

). Luego como (G :< a: >) < (G : 1), argumentando inductivamente, existe y E G/< a: > de orden p. Cualquier z e y es un elemento de G de orden un mfiltiplo de p, y se esté. en el caso anterior.

28

TOPICOS SOBRE TEORI’A DE CUERPOS

En el caso general, supongamos que existe :1: ¢ C(G), tal que p|(C(.7:) : 1), donde C(x) = {y E G : my 2 yx} es el centralizador de 1:. Como

(C(w) : 1) < (G : 1), puede argumentarse por induccién.

Luego, puede asumirse que 1) no divide a (C (x) : 1), con 10 cual p|(G : C(:10), para todo :1: ¢ C(G). Hacienda actuar G en s1’ mismo por conjugacién, 1a ecuacién de clases correspondiente es:

(G: 1) = «2(a) : 1) +

Z

(a : C(ar)).

well—C(G)

Luego p/(C(G) : 1), con 10 cual estamos en el caso G abeliano. I] DEFINICIéN. Si e1 orden de cualquiera de sus elementos es una potencia. de p, G se dice un p—grupo. COROLARIO. Un grupo finito G es un p-grupo si 3/ 3610 si (G : 1) = 17", para algfin 'n E No. DEMOSTRACIéN. Suficz'encz’a. sigue del teorema de Lagrange. Necesz‘dad. es consecuencia del teorema de Cauchy.

I]

LEMA. Si G es un p-grupo finito, y 0 es un G-conjunto finite, entonces card 00 5 card 0

mod p.

DEMOSTRACIéN. Se sigue de la. ecuacién de clases, ya que (G : Gz)|(G : 1) = 1)". El TEOREMA. Si G es un p-grupo finito, y G 9E 1 entonces C(G) 7S 1. DEMOSTRACIéN. Haciendo actuar G en sf mismo por conjugacidn, e1 lema dice que

(C(G) : 1) E (G : 1) E 0 mod p. D PROPOSICIéN. Si G es un p-gmpo finito, entonces G es resoluble.

DEMOSTRACIéN. Puede suponerse que G 96 1, con 10 cual (G : C(G)) < (G : 1), por el teorema. anterior. Luego, argumentando por induccién, puede asumirse que. G/C (G) es resoluble, y como

C(G) es resoluble (por ser abeliano), resulta G resoluble.

El

COROLARIO. Si (G : 1) = p", entonces G tiene una serz'e normal de longitud n, cuyos factores son grupos de orden p. En particular, €(G) = n.

DEMOSTRACIéN. Como G es resoluble tiene una serie normal (G,- 5:0 tal que Gi/Gi+1 es un grupo de orden primo 13,-, O S i < m. Pero

(G11): H(Gi I Gi+1); asf, p“ = H05i 3 es un morfismo (inyectivo) de Sn en AutA15(A[X1, . . . ,Xn]). Luego, se tiene la. accién

0-f = 30‘) de 8,, en A[X1, . . . ,Xn], que es compatible con la estructura de élgebra de A[X1, . . . , Xn]. DEFINICIéN. Un polinomio f e A[X1, . . . ,Xn] se dice simétn'co sii es invariante por la accién de Sfl en A[X1, . . . ,Xn]. El conjunto g"A[X1, . . . ,Xn] de polinomios simétricos es una. subélgebra. de A[X1,. ..,Xn].

En A[X1, . . . ,Xn] [X], se considera. h = fi f = h(P11- ' - aPmX) = X" + 2(_1)k3k(p11' - - ,pn)Xn—k' k=1

Par 10 tanto, ah = sk(p1, . . . ,pn), 1 S k S n.

E]

III). La definicio’n de df no depende de la. eleccidn de un cuerpo dc descomposicio'n E/K de 1‘ 714' de la eleccz'én de una, numemcién par multiplicidad (p.- F=1 de las mices de f en E.

36

TOPIcos SOBRE TEORI‘A DE CUERPOS

DEMOSTRACIéN. Basta aplicar ii) pues 6 esté, univocamente determinado por d, y a su vez d

esté univocamente determinado por n = gr f.

El

Ejemplos:

i) Grado 2. Si f = X2 — a1X +a2, d; = a? —4a2.

ii) Grado 3. Si f = X3 — a1X2 + a2X — a3, entonces d; = 18a1a2a3 + afag — 4a¥a3 -- 4a? — 27a} Ejercicio. Conservando las notaciones anteriores se toma n = 4.

Sea 9 = (X — 1-1)(X — 7'2)(X — 1'3), donde T1 = P1P2 + P3P4: 72 = P1173 + p2P4, T3 = P1P4 + P2Ps-

y se llama. e1 resolvente cfibico de f.

i) Probar que d; = d,,. ii) Verificar que 9 = X3 —- b1 X2 + b; X -— b3, donde b1 2 (11,

()2 = (1.103 — 4G4,

b3 = (11(14 — 20264 + 6%.

Luego g E P[a1,a2,a3,a4][X] (_'__' K[X]. iii) Expresar (1; en P[a1, a2, a3,a4] . 7. Grupo de Galois de un polinomio.

Sea. K un cuerpo. Sea f un polinomio E K [X], f no constante. Si E/K es un cuerpo de descomposicién de f y R es el conjunto de raices de f en E, cada automorfismo 0‘ de E/K define

una permutacién O'R de R pues a(R) = R. La aplicacién a H 63 es un morfismo de C(E/K) en S(R), que resulta inyectivo, pues R es un sistema. de generadores de E/K. Ademés, si (p;)?=1 es una. numeracién de R, se tiene un isomorfismo

§(p) : 8,. —-> S(R). En definitiva, empleando ambos morfismos, se obtiene un monomorfismo de G(E/K) en Sn. DEFINICIéN . G; = Im (G(E/K) —-> 8,.) se llama. el grupo de Galois de f. En realidad, esta definicién depende de la. eleccién de un cuerpo de descomposicién E/K de f, y de una numeracién (p;)£‘=1 del conjunto R de raices de f en E. Efectuando una nueva. eleccién de tales objetos, se obtiene un grupo de permutaciones de grado n, isomorfo a1 anterior. Luego, se ha definido una clase de isomorfia de grupos; mas precisamente, de grupos de permutaciones de grado n.

7. GRUPO DE GALOIS DE UN POLINOMIO.

37

La. independencia, salvo isomorfismos, de la eleccién de una numeracién (pi)?=1 del conjunto R de raices de f en E se verifica. en la forma siguiente:

Si (p2)?=1 es otra numeracién de R, existe una (linica) permutacién 71' de R tal que p4 = WW),

para 1 S i S n (a saber 7r = p’p‘l). Luego, es conmutativo el triéngulo S(1r)

S(R) ——+ S(R) 5(1)) '\

/‘ 800’)

3,... For 10 tanto, si G es el grupo de permutaciones de R, S(p)“1(G) z S(p’)“1(G). En efecto p’ =

«p, implies» smsm = sum y sense») = 5(p’) => sorlsmrl = SM)“ => sow-1(a) = S(P)‘l(§(7r)'1(G)) 9-” sea-1(a). En cuanto a la independencia, salvo isomorfismos, de la. eleccién de un cuerpo de descomposicién E/K de f, 51 E’ /K es también un cuerpo de descomposicién de f, existe un isomorfismo (p : E/K —> E’/K, que induce una. biyeccién 1/: : R —> R’, donde R’ es el conjunto de rafces de f en E’. Luego, se tiene e1 cuadrado conmutativo

G(E/K) —+ §(R)

Gaol

1 so»)

G(E’/K) ——> S(R’). For 10 tanto, Im (G(E/K) —» S(R)) 2 Im (G(E’/K) ——> S(R’)). Ejemplos (que se obtienen reformulando resultados conocidos).

i) Si K es un cuerpo finito de q elementos, y f = X‘1" - X entonces Gf es un grupo ciclico de orden 17..

En efecto, sea E/K un grupo de descomposicién de f, de modo que G} 2 (IKE/K). Como K finito y [E : K] < oo, E/K es ciclica. Esto nos dice que E/K es galoisiana. y que G(E/K) es ciclico. Como (G(E/K) : 1) = [E : K], debe verificarse que [E : K] = 12. Sea R e1 conjunto de raices de f en E. Sea. a el automorfismo de E dado por :1: H :rq". Por un lado 6f = —1 => cardR = q”. Por otro, ”E = R => R es un aubcuerpo de E => E = K(R) = R => E tiene q“ elementos. ii) Si K es un cuerpo de caracteristica. p y f = X" — 1, donde p In, entonces Gf es isomorfo a. un subgrupo de IUn con 10 cual G; es abeliano de orden un divisor de ) Suponiendo f irreducible, cualesquiera. seen 103 indices i, j; p.- y p,- tienen el mismo polinomio minimal. Luego, como E/K es una extensién normal, El 0 e G(E/K) : a(p.-) = pj,

con 10 cual af(i) = 3'. 003-) = n, 1 S 72 S 3. 9 Es fécil ver que Gf.K(n.'r2.rs) Q Gf,K(a). Pero Gf,K(a) = aA4. Si 0f 6 A4—V => 0'} = (ijk),

absurdo pues (7(1),) ;E 7,.

3. Mostrar que 6,, z ([3,: / 69 tiene orden 6. ii) Si Gf = A4 => Gg tiene orden 3. iii) Si Gf = V => (139 tiene orden 1. iv) Si Gf es un conjugado de 0, G9 tiene orden 2. v) Si G; es un conjugado de D, G9 tiene orden 2. Luego, e1 orden de (139 cuando no es 2, permite calcular Gf.

4. Si f es irreducible y Ga tiene orden 2, entonces: G; 2 C 6 Gf 2 D segtin que f sea. 0 no, respectivamente reducible sobre K(a). Sugerencia: En cualquiera de estos casos, G,- 2 A4, con 10 cual a e k, vale decir [K(a) : K] = 2. Entonces calcular (Gf : 1) usando 433““).

OBSERVACIéN. Si f = f1 f2, gr f; = 2, se deduce del teorema de Galois que Gf /G;, I: Gh. De modo que se tiene una sucesion exacta

l—AGfl q 46f: _’1-

5. Calcular el grupo de Galois de X4 + 3X3 - 3X — 2 sobre Q. Idem con X4 — 2. 6. (Van der Waerden) Calcular los grupos de Galois sobre Q de los polinomios:

X3-2;

X3+2X+1;

X4+X2+1; X4+1; 7. (Lang) (Cap 8, ejercicio 12 p. 276, Aguilar).

X4—5X2+6;

X4+X2+X+1

42

TOPICOS SOBRE TEORlA DE CUERPOS

7.1. Cépsula normal. DEFINICIéN. Dada una extension algebraica E/K, se llama cdpsula normal de E/K a toda ex— tension normal N/K que tiene a E como cuerpo intermedio tal que si L/K es una subextensién

normal de N/K que tiene a E como cuerpo intermedio, entonces L = N. Propiedades. Dada una extension algebraica E/K, se verifican: I). Dado an isomorfismo de extensiones zp : N/K —> N’ /K, si N/K es una cdpsala normal de

E/K, entonces N’ /K es una capsula normal de C’/K, pero 1/)(L)/K tiene una. torre de raices, pues L/K la tiene, y ML) tiene por cuerpo intermedio a ¢(E) = K(31, . . . , Sn). Ahora. bien, por un teorema. de Artin,

[K(X1,...,X,.) :GK(X1,...,Xn)] = (G: 1) =n!, en tanto que [K(X1,...,X,.) :K((Sl,...,Sn)] S n!,

52

TOPICOS SOBRE TEORIA DE CUERPOS

pues grh = n. Luego GK(X1, . .. ,Xn) = K(Sl, .. . ,3”), y asi G(K(X1,...,X,,)/K(S;,...,.S'n)) = G.

Definiendo (3;. a partir de K(X1, . . . ,Xn)/K(Sl, . . . ,5"), y (X0199, como ’1F.(X;) = w (1 _ p,,(,-) = pf“)

V11, 1 g z' 5 72 => «(2') = 1r’(z'),Vz'1 _ afvr = 1/. Par 10 tanto

d = H (X — f”)Ve

58

TOPICOS SOBRE TEORiA DE CUERPOS 'n.

71.

iii) Como 11f, = 2%,“,t = p-l(,,(,-,,Xu(,-) = fwd, cambiando indices segfin la i=1

i=1

transformacion 7r v-—-> 7ru‘1, resulta que 12.9 = H (X — ffl-V—i) = 9. Si u 6 Sn, «68..

u.d=d4=> fl (X-f,,,)= II (X—fm—n) V60}

V66}

y como el factor correspondiente a u = (1) en el miembro derecho de la igualdad debe figurar como factor en el miembro izquierdo, existe 1/ E Gf tal que

7rp‘1=u1r=>p,7r' 1 =7r —1 1/ -l =>u.=1r—1 11‘11r => [1. e 1r—1Gf1r. Reciprocamente, dado p. e Gf, (7r‘1u1r).d = H (X -— f(,,,‘—1),,) = d, cambiando indices segt'm la 1166 f

transformacién u I-—) Vin—1 de S". [I COROLARIO. Gf = Sn 52' y .9610 si 9 es irreducible en K(X1, . . . ,Xn)[X]. DEMOSTRACIéN. Empleando ii); 9 es irreducible 4=> g = d 4:) gr 9 = grd ¢==> n! = (G; :

1) 4:» Gf = Sn El PROPOSICIéN. Sea K el cuerpo de fraccz'ones de un anillo factorial A, sea, f E A[X] 1/ sea. P un ideal prime 'de A tal que, si f’ e K’ [X] (donde K' es cuerpo de fmcciones dc A/P), la reduccio'n de f médulo P, f’ tz'ene sus raz’ces simples. Entonces se verified:

2‘) g e A[X1, . . .,Xn,X] y g’ coincide con la reduccz'én de 9 médulo P. ii) Dado un cuerpo de descamposz'cz‘dn E’ /K’ de 1“, con una adecuada numemcién (pm; de las

mices dc f’ en E', Gfl es un subgrupo de (Gf. DEMOSTRACIéN. i) Empleando las notaciones de la. demostracién de i) de la. proposicién anterior, como ca 6 A, l 52' g n, y P g A, es claro que g = k(a1, . . . ,an) e A[X1,. . . ,Xn] [X]. Notando con ' la reduccién modulo P de polinomios con coeficientes en A, en el mimero de indeterminadas que sea. necesario, también es claro que 5 = h’, pues gr f’ = n; pero entonces ’7', =5: 9, = k(51a-~y5n) =F4(§15---;§n) =IE(511-"»3;.)

=> 16’ = 75=> g’ = Ic’(a’1,...,a,;) =F(‘a‘1,...,fin)= lc(a,1,...,a,,.) =§. 1'

Retomando ii) de la. proposicién anterior, sea. 9 = II 9;, con gr 6 K(X1, . . . ,Xn)[X] irreducible i=1

y monico. Existe una sucesién («015.5, de permutaciones de grade 11. tal que 91' = H (X “fwd: V60}

9. POLINOMIOS CON COEFICIENTES RACIONALES DE GRUPO DE GALOIS SIMETRICO

59

con 10 cual los conjuntos (Gf m)£=1 forman una particién de Sn, vale decir («05:1 es una familia. de representantes del conjunto cociente Sn/Gf (coclases a derecha), y si 1r; 6 Gf, por ejemplo, no hay

inconveniente en escoger 7n = (1). En el caso en cuestién —f e A[X]-, como g e A[X1, . . . , X1.] [X] puede tomarse gi E A[X1, . . . ,Xn] [X] (también ménicos), 1 S i 5 7', pues A es factorial. Par 10 tanto, reduciendo médulo P,

r

9’ = H yii=1

Como G; es el estabilizador de 91, y la. accién de 8,. conmuta con la. reduccién médulo P, (G; actlia. trivialmente sobre 'g‘l. Ademés, 81 u 6 Sn — Gf, [1.91 = gj, para algfin j > 1, con 10 cual p Q = 53-, y se tiene: 3‘1 76 g]- por ser las raices de 9’ simples. Per 10 tanto, (Gf es el estabflizador de 51, y probando que G} actfia. trivialmente sobre y'l, results. que G}: (_2 Gf . Se fija. la, numeracién (p915i3n 11

de las raices de f’ en E’ exigiendo que 2 péX; sea. una. raiz de 31 ('9‘1 no constante pues 9.1 ménico), i=1

con 10 cual d’ = H (X - f5) es un divisor irreducible de 51. Como V' e (Gfl deja invariante a d’, 11’ 6G}

los divisores irreducibles de 1/91 no pueden obtenerse de los divisores irreducibles de 3;, 1 < 2' S r,

con 10 cuai u’fq’1 = yl. I]