Thermodynamik für Ingenieure [2., vollst. überarb. Aufl.] 978-3-528-14785-3;978-3-322-96908-8

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-XIII
Einführung (Klaus Langeheinecke, Peter Jany, Eugen Sapper)....Pages 1-7
Die Systeme und ihre Beschreibung (Klaus Langeheinecke, Peter Jany, Eugen Sapper)....Pages 8-31
Stoffeigenschaften (Klaus Langeheinecke, Peter Jany, Eugen Sapper)....Pages 32-58
Energien (Klaus Langeheinecke, Peter Jany, Eugen Sapper)....Pages 59-83
Der Zweite Hauptsatz (Klaus Langeheinecke, Peter Jany, Eugen Sapper)....Pages 84-116
Zustandsgleichungen Idealer Gase (Klaus Langeheinecke, Peter Jany, Eugen Sapper)....Pages 117-134
Zustandsänderungen Idealer Gase (Klaus Langeheinecke, Peter Jany, Eugen Sapper)....Pages 135-155
Gas- und Gas-Dampf-Gemische (Klaus Langeheinecke, Peter Jany, Eugen Sapper)....Pages 156-185
Thermische Maschinen (Klaus Langeheinecke, Peter Jany, Eugen Sapper)....Pages 186-218
Wärmeübertragung (Klaus Langeheinecke, Peter Jany, Eugen Sapper)....Pages 219-262
Verbrennung (Klaus Langeheinecke, Peter Jany, Eugen Sapper)....Pages 263-280
Back Matter ....Pages 281-323

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1. Auflage 1993 2., vollständig überarbeitete Auflage 1999 Alle Rechte vorbehalten © Springer Fachmedien Wiesbaden 1999 Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden,1999 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

http:/jwww.vieweg.de Konzeption und Layout des Umschlags: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Technische Redaktion: Wolfgang Nieger, Wiesbaden Satz: Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden; Graphische Werkstätten Lehne GmbH, Grevenbroich Druck und buchbinderische Verarbeitung: Lengericher Handelsdruckerei, LengerichjWestf. Gedruckt auf säurefreiem Papier ISBN 978-3-528-14785-3 ISBN 978-3-322-96908-8 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-96908-8

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Vorwort Die Technische Thermodynamik gehört zu den Grundlagen des Maschinenbaues, der Verfahrenstechnik und verwandter Ingenieurwissenschaften. Für Studierende an Fachhochschulen, Technischen Hochschulen und Universitäten, ferner an Höheren Technischen Lehranstalten, Technikerschulen und Berufsakademien im gesamten deutsch-sprachigen Raum ist dieses Buch geschrieben, zur Nutzung in und neben den Lehrveranstaltungen. Der Umfang orientiert sich an dem, was an Grundlagen für weiterführende Lehrveranstaltungen erforderlich ist. Zum Selbststudium in der Weiterbildung und beim Wiedereinstieg empfiehlt sich das Lehrbuch durch seinen Aufbau auch für bereits Berufstätige. Ausführliche Texte, zahlreiche bildliehe Darstellungen, durchgerechnete Beispiele, viele Fragen und Übungsaufgaben mit Lösungen zur aktiven Beschäftigung verdeutlichen die Denkweisen, Methoden und Werkzeuge der Thermodynamik. Vor allem wird die Fachsprache vermittelt, die sich oft als Hindernis auf dem Weg zum Verstehen der Thermodynamik erwiesen hat, aber dafür und zum Lesen von Fachliteratur unerläßlich ist. In umfangreichen Tabellen sind notwendige Daten zusammengestellt, ergänzt durch ein MOLLIER-h,s-Diagramm für Wasserdampf und ein MoLLIER-p,h-Diagramm für Rl34a. Ein ausführliches Sachwortverzeichnis leitet schnell zu gesuchten Textstellen. Auf einer CD-ROM findet der Leser Rechenprogramme zu Wärmeübertragung, Gas-Dampf-Gemischen und Verbrennung sowie für Stoffwerte, ferner eine als Formelsammlung und zur Wiederholung nutzbare Kurzfassung des Lehrtextes THERMODYNAMIK MEMORY und ein umfangreiches alphabetisches THERMODYNAMIK GLOSSAR. Die Lehre der Thermodynamik war bislang weitgehend durch die Felder "Geschlossenes System", "Ideales Gas" und "Reversible Prozesse" geprägt. Technische Prozesse laufenjedoch im allgemeinen in offenen Systemen ab, über deren Grenzen Stoff- und Energieströme übertragen werden und in denen häufig Phasenwechsel und nicht vernachlässigbare Dissipationsphänomene auftreten. Daher wird das offene System so früh wie möglich vorgestellt, mit Stromgrößen und Bilanzansätzen gearbeitet. Die verschiedenen Energie- und Leistungsarten werden begrifflich klar unterschieden. Dabei wird auf die Wärme, ihre unterschiedlichen Transportmechanismen und ihre Freisetzung durch Verbrennung besonders eingegangen. Wegen oft unzureichender Vorkenntnisse in der Physik werden Phasenwechsel und das gesamte Zustandsfeld bereits am Anfang dargestellt. Die dazu notwendigen Gedankenexperimente bauen auf Alltagsbeobachtungen auf. Dabei wird in den Umgang mit Zustandsdiagrammen und Dampftafeln eingeführt und dem Modell "Ideale Gase" der richtige Platz angewiesen. Das Buch geht im Kern zurück auf das in langer Lehrtätigkeit entwickelte Vorlesungsmanuskript des Herausgebers, das im Rahmen des CAT -Projektes seine erste gedruckte Form fand. Die Professoren W. Schnabel, Dr. G. Kurz und Dr. G. Kürz sowie lng. (grad.) P. Stotz haben damals teils schreibend, teils erprobend und beratend mitgewirkt. Für das Buchmanuskript konnten zusätzlich Prof. Dr. Eugen Sapper (Konstanz), der jedoch noch während der Bearbeitung verstarb, und Prof. Dr. Peter Jany (WeingartenjWürtt.) sowie Dipl.-lng. Heinz Millner (Dornbirn/Vorarlberg) gewonnen werden. Die sorgfältige Ausführung der Zeichnungen übernahm Dipl.-lng. (FH) Wolf-Dieter Schnell (Langenargen/Bodensee). Für die zweite Auflage wurde das Lehrbuch gründlich durchgesehen, überarbeitet, korrigiert und ergänzt. Hinweise von Fachkollegen und Studierenden sind dabei dankbar verwertet worden. Herausgeber, Mitautoren und Verlag danken allen Beteiligten, die zum Gelingen der beiden Auflagen des Lehrbuches beigetragen haben. Ein besonderer Dank gilt ihren Familien, die wegen des Buches so oft auf sie verzichten mußten. WeingartenjWürtt. und Wiesbaden

Herausgeber und Verlag

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Inhaltsverzeichnis Vorwort 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

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Verzeichnis der Beispiele 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000

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Formelzeichen 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

X

1

2

3

Einführung 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 lol Aufgabe und Geschichte 000000000000000000000000000000000000000000000 102 Zur Lehrveranstaltung 00000000000000000000000000000000000000000000000 lo3 Physikalische Größen und Größengleichungen 0000000000000000000000000 1.4 Fragen und Übungen 000000000000000000000000000000000000000000000000 Die Systeme und ihre Beschreibung 00000000000000000000000000000000000000000 201 Systeme und Energien 00000000000000000000000000000000000000000000000 202 Gleichgewicht und Beharrungszustand 00000000000000000000000000000000 203 Stoffund Menge 0000000000000000000000000000000000000000000000000000 2.4 Zustand, Zustandsgrößen und Zustandsdiagramme 000000000000000000000 205 Druck, Temperatur, Energie 000000000000000000000000000000000000000000 206 Zustandsänderungen, Prozesse 000000000000000000000000000000000000000 20 7 Fragen und Übungen 000000000000000000000000000000000000000000000000 Stoffeigenschaften 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000 3ol Thermische Dehnung 000000000000000000000000000000000000000000000000 302 Verdampfen und Verflüssigen 0000000000000000000000000000000000000000 3o3 Kritischer Punkt 0000000000000000000000000000000000000000000000000000 3.4 Naßdampf 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000o 305 Erstarren, Sublimieren, Tripelzustände 00000000000000000000000000000000 306 Dämpfe und Gase 000000000000000000000000000000000000000000000000000 3o 7 Stoffgemische 000000000000000000000000000000000000000000000000000000 3o8 Fragen und Übungen 0000000000000000000000o0o00ooooooo0ooo0000000000

1 I

3 3 7 8 8 13

16 19 21 25 29 32 32 33 37 38 44

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4

Energien 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 4ol Energiegrößen und Erster Hauptsatz 0000000000000000000000000o0ooooooo 402 Arbeit und Arbeitsleistung 000000000000000000000000000000000000000000o 4o3 Wärme, Wärmestrom und Innere Energie 000000000000000000000000000000 4.4 Enthalpie und Enthalpiestrom 0000000000000000000000000000000000000000 405 Energiebilanz von Kreisprozessen 0000000000000000000000000000000000000 4o6 Strömungsprozesse 00000000000o0oooooooooooooo0oooooooooooooooooooo0o 40 7 Fragen und Übungen 000000000000000000000000000000000000000000000000

59 59 64 69 70 74 80 82

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Der Zweite Hauptsatz 00000000000000000000000000000000000000000000000000000 Sol Aussagen über Prozesse 0000000000000000000000000000000000000000000000 502 Entropie und Entropiestrom 00000000000000000000000000000000000000000 5.3 Zustandsdiagramme 0000000000000oo00ooooo00000000000000000000000ooo0 5.4 Energieumwandlung 00000000000000000000000000000000o000oooooooooooo 5o5 Exergie und Anergie 0000000000000000000000000000000000000000000000000 5o6 Fragen und Übungen 000000000000000000000000000000000000000000000000

84 84 88 92 99 106 112

6

Zustandsgleichungen Idealer Gase 000000000000000000000000000000000000000000 6ol Gasgleichung, Gaskonstanten, Normmolvolumen 0000000000000000000000

117 117

Inhaltsverzeichnis 6.2 6.3 6.4 6.5

VII

Kalorische Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Entropie und Entropiediagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wärmekapazitäten und Isentropenexponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fragen und Übungen .. .. .. . . . . .. .. . . .. .. . .. .. . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .

120 124 128 132

7

Zustandsänderungen Idealer Gase .. . . . .. .. . . .. .. . .. .. . .. . .. .. . . . . .. . .. .. . .. 7.1 Allgemeine und spezielle Zustandsänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Isobare Zustandsänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Isochore Zustandsänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Isotherme Zustandsänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 lsentrope Zustandsänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Polytrope Zustandsänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Fragen und Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135 135 136 139 140 143 148 152

8

Gas- und Gas-Dampf-Gemische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Anteile und Teilgrößen von Gasgemischen, DALTONsches Gesetz . . . . . . . . . 8.2 Gasgleichung, Gaskonstanten und Molmassen von Gasgemischen . . . . . . . . 8.3 Kalorische Zustandsgrößen von Gasgemischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Gas-Dampf-Gemische, Feuchte Luft . .. . .. . .. .. . .. .. . . . . . . . .. . .. . . . . . . 8.5 Zustandsgrößen und Zustandsdiagramme feuchter Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Luftbehandlungsanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. 7 Mischen, Erwärmen und Kühlen feuchter Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8 Einsprühen von Wasser in feuchte Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9 Verdunstung und Taubildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10 Druckluft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.11 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156 156 158 160 162 164 170 171 176 179 182 183

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Thermische Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Vergleichsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Dampfkraftmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Dampfkältemaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Verbrennungsmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Gasturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Gaskältemaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Verbundkraftwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8 Fragen und Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

186 186 187 196 200 203 208 211 213

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Wärmeübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Stationäre Wärmeleitung . .. . .. .. . .. .. . .. .. . . .. .. .. .. . . . .. .. .. .. .. . . . 10.3 Instationäre Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Numerische Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 KonvektiverWärmeübergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Wärmeübergang bei erzwungener Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Wärmeübergang bei freier Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8 Wärmeübergang bei Phasenänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.9 Wärmestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.10 Wärmestrahlungzwischen festen Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.11 Wärmedurchgang . .. .. .. . .. .. .. . . .. .. . .. .. . . .. .. . . . . .. . .. .. .. . . .. . . . 10.12 Wärmeaustausch im Gleichstrom und Gegenstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.13 Wärmedämmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.14 Fragen und Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

219 219 222 225 229 233 237 239 242 245 250 252 254 256 260

VIII 11

Inhaltsverzeichnis Verbrennung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Der Verbrennungsprozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Brennstoffe, Brennluft und Grundreaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Sauerstoffbedarf, Luftbedarf, Verbrennungsgasanfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Brennwert und Heizwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

263 263 264 266 274 279

Tabellen (mit Griffstreifen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-1 Einheiten und Einheitenumrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-la Universelle Konstanten und Normzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-2 Angelsächsische Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-3 Stoffwerte Idealer Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-4 Mittlere molare Wärmekapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-5 Sättigungsdampftafel für Wasser (Temperaturtafel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-6 Sättigungsdampftafel für Wasser (Drucktafel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-6a Zustandsgrößen für ungesättigte Wasserflüssigkeit und überhitzten Wasserdampf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T -7 Sättigungsdampftafel für Ammoniak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-8 MOLLIER-Druck-Enthalpie-Diagramm für R134a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T -8a Sättigungsdampftafel für R 134a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-9 Stoffwerte gesättigter feuchter Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-10 Thermophysikalische Stoffgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-11 ZahlenwertederGAUSSschen Fehlerfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T -12 Emissionsgrade technischer Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T -13 Feste Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T -14 Flüssige Brennstoffe I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T -15 Flüssige Brennstoffe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T -16 Gasförmige Brennstoffe I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T -17 Gasförmige Brennstoffe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

281 281 282 282 283 284 285 287 289 291 292 294 295 296 298 299 299 299 300 300 300

Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

301

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

307

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

309

Hinweise zur CD-ROM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

326

CD-ROM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umschlagtasche Rechenprogramme zur Wärmeübertragung Rechenprogramme für Stoffwerte THERMODYNAMIK MEMORY THERMODYNAMIK GLOSSAR MOLLIER-Enthalpie-Entropie-Diagramm für Wasserdampf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Beilage

IX

Verzeichnis der Beispiele Beispiel Seite Stichwort

l.l 1.2

5 6

Größengleichung Berechnungsmuster

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

13 17 19 23 24 28 29

Systemabgrenzung Volumen Massenstrom Druck Temperatur Quasistatische Zustandsänderung Nichtstatische Zustandsänderung

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

33 42 42 43 50 51 51 56

Thermische Dehnung Dampftafel Naßdampf Verdampfung Gasgleichung Gasmasse Druckänderung Stoffgemisch

4.1 4.2 4.3 4.4

73 79 79 81

Wärmeaustauscher Dampfkraftwerk Dampferzeugung Rohrströmung

5.1 5.2 5.2a 5.2b 5.3 5.4 5.5 5.6

91 94 96 97 105 111

Fanno-Linien Dampfkraftmaschine Dampfkraftprozeß Kältemittelflasche Thermoelement Exergetischer Wirkungsgrad Exergieverlust Exergieverlust

6.1 6.2 6.3

119 119 131

Gasvolumen Gasdichte Wärmekapazität

III III

Beispiel Seite Stichwort

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

136 138 140 142 146 151

Luftverdichtung Isobare Zustandsänderung Isochore Zustandsänderung Isotherme Zustandsänderung Druckluftanlage Versuchsauswertung

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9

159 161 166 173 174 176 178 178 182

Gasgemisch Gasgemisch Diagramm für feuchte Luft Luftmischung Lufterwärmung Luftkühlung Randmaßstab Klimaanlage Druckluft

9.1 9.2 9.3

194 199 202

9.4

205

9.5

213

Industriedampfanlage Gewerbekälteanlage Wirkungsgrade von Verbrennungsmotoren Wirkungsgrad einer Gasturbinenanlage Wirkungsgrad von Verbundkraftwerken

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

227 229 245 252 259

Aluminiumkugel Halbunendlicher Körper Wärmeübergang am Rohr Wärmestrahlung Wärmedurchgang

ll.l 11.2 11.3

269 273 278

Kohleverbrennung Erdgasverbrennung Verbrennungstemperatur

X

Formelzeichen In den in eckigen Klammem angegebenen Abschnitten werden die Größen erstmals erwähnt oder ausführlich behandelt.

Größen für die Thermodynamik Lateinische Zeichen A b

B b

Bm iJ BH

Bo

c

c

Cp Cv Cn

Cmp Cmv Cpp Cpv

c Cfl Cw

d,D Ekin Epot E e Ern

E

EH Eo Eu Ev F

g

H h

Hm ii .dhd Llhr Llhsub

Hu Hum Huv

Ho Horn Hov

Fläche Breite Anergie [5.5] spezifische Anergie [5.5] molare Anergie [5.5] Anergiestrom [5.5] Anergie der Enthalpie [5.5] Anergie der Wärme [5.5] Geschwindigkeit [2.4] Wärmekapazität [6.4] spez. isobare Wärmekapazität [6.4] spez. isochore Wärmekapazität [6.4] spez. polytrope Wärmekapazität [6.4] molare isobare Wärmekapazität [6.4] molare isochore Wärmekapazität [6.4] volumetr. isobare Wärmekapazität [6.4] volumetr. isochore Wärmekapazität[6.4] mittlere Wärmekapazität [6.4] spezif. Wärmekapazität v. Flüssigk. [4.4] spezif. Wärmekapazität v. Wasser [4.4] Durchmesser kinetische Energie [4.1] potentielle Energie [4.1] Exergie [5.5] spezifische Exergie [5.5] molare Exergie [5.5] Exergiestrom [5.5] Exergie der Enthalpie [5.5] Exergie der Wärme [5.5] Exergie der Inneren Energie [5.5] Exergieverlust [5.5] Kraft[4.2] Fallbeschleunigung [4.1] Enthalpie [4.4] spezifische Enthalpie [4.4] molare Enthalpie [4.4] Enthalpiestrom [4.4] (spez.) Verdampfungs-/Verflüssigungsenthalpie [4.4] (spez.) Schmelz-/Erstarrungsenthalpie [4.4] (spez.) Sublimations-/Desublimationsenthalpie [4.4] Heizwert [ 11.4] molarer Heizwert [11.4] volumetrischer Heizwert [11.4] Brennwert [11.4] molarer Brennwert [11.4] volumetrischer Brennwert [11.4]

Massenstromdichte, Massengeschwindigkeit [2.4] J Streuenergie [4.1] j spezifische Streuenergie [4.1] molare Streuenergie [4.1] lm j Streuenergiestrom [4.1] l,L Länge e Luftbedarf (auf Brennstoffmasse bezogen) [11.3] Mindestluftbedarf emin (auf Brennstoffmasse bezogen) [11.3] molarer Luftbedarf fm (auf Brennstoffmasse bezogen) [11.3] (fm)min molarer Mindestluftbedarf(aufBrennStoffmasse bezogen) [11.3] L molarer Luftbedarf(aufBrennstoffStoffmenge bezogen) [11.3] molarer Mindestluftbedarf (auf Lnun Brennstoff-Stoffmenge bezogen) [11.3] m Masse[2.4] Massenstrom [2.4] m Molmasse [2.4] M Gemisch-Molmasse [8.2] Mg Stoffmenge [2.4] n Stoffmengenstrom [2.4] Ii Polytropenexponent [7.6] n AVOGADRO-Konstante [2.4] NA Mindestsauerstoffbedarf Omin (auf Brennstoffmasse bezogen) [11.3] (om)min molarer Mindestsauerstoffbedarf (auf Brennstoffmasse bezogen) [11.3] molarer Mindestsauerstoffbedarf (auf Omin Brennstoff-Stoffmenge bezogen) [11.3] Druck[2.5] p Umgebungs/Atmosphärendruck [2.5] Pamb Überdruck, effektiver Druck [2.5] Pe Normdruck [2.5] Pn kritischer Druck [3.3] Pkr Tripelpunktsdruck [3.4] Ptr p' Sättigungsdampfdruck [3.4] p Arbeitsleistung [ 1.4, 4.1] Q Wärme [4.1, 4.3] spezifische Wärme [4.1, 4.3] q molare Wärme [4.3] Qm Wärmestrom [4.1, 4.3] Q beim unteren Temperaturniveau einer Qo Maschine übertragener Wärmestrom, Kälteleistung [5.4] beim oberen Temperaturniveau einer Qc Kältemaschine übertragener Wärmestrom [5.4] Qwp beim oberen Temperaturniveau einer Wärmepumpe übertragener Wärmestrom, Heizleistung [5.4] I

XI

Formelzeichen ~lüssigkeitswärme [9.2]

r

r,R R

Rg

s s

Sm

s

t T Tkr• tkr T,r, ftr

To, to Tc, tc

ad

U

w Wm

Wv Wvs Wp

w,

WH Wa WK

X

x'

z

z

Uberhitzungswärm e [9.2] Raumanteil (der Komponente i eines Gemisches) [8.1] Verdampfungswär me [9.2] Radius (spezifische) Gaskonstante [3.6, 6.1] molare Gaskonstante [6.1] (spezifische) Gaskonstante (der Gemisch-Kompon ente i) [8.1] (spezifische) Gemisch-Gaskons tante [8.2] Entropie [5.2] spezifische Entropie [5.2] molare Entropie [5.2] Entropiestrom [5.2] Entropiestrom durch Wärmeübertragun g [5.2] Entropiestromerze ugung durch Irreversibilität [5.2] (empirische) Temperatur [2.5] (thermodynamische) Temperatur [2.5] Normtemperatur [2.5] kritische Temperatur [3.3] Tripelpunktstempe ratur [3.5] unteres Temperaturniveau thermischer Maschinen [5.4] oberes Temperaturniveau von Kältemaschinen [5.4] Umgebungstempe ratur mittlerer Wert der Temperatur der Wärmeübertragun g [6.4, 9.2] adiabate Verbrennungstemp. [11.4] Innere Energie [4.3] spezifische Innere Energie [4.3] molare Innere Energie [4.3] (extensives) Volumen [2.4] spezifisches Volumen [2.4] molares Volumen, Molvolumen [2.4] Volumenstrom [2.4] spezifisches kritisches Volumen [3.3] Arbeit [4.1, 4.2] spezifische Arbeit [4.1, 4.2] molare Arbeit [4.1, 4.2] Volumenarbeit [4.1, 4.2] Schubarbeit [4.2] Druckarbeit [4.2] Technische Arbeit [4.1, 4,2] Hubarbeit [4.2] Beschleunigungsarbeit [4.2] Kreisprozeßarbeit [4.5] Dampfgehalt (von Naßdampf) [3.4] Flüssigkeitsgehalt (von Schmelze) [3.5] Dampfgehalt (v. Sublimationsstaub) [3.5] Wassergehalt (feuchter Luft) [8.5] Wassergehalt gesätt. feuchter Luft, Sättigungswassergehalt [8.5] Ortshöhe, Höhe über Bezugsniveau [4.1] Realgasfaktor [3.6]

Griechische Zeichen IXv IXL

eK eKc ewp ewpc

'

rJ rJc Ylt t'/i t'/s

8

p

'Lh [

Man kann diese Vorgänge mit dem auf rigide Systeme angewandten Ersten Hauptsatz [Gleichungen (4.1), (4.11)] beschreiben.*

f/2- fll

Ql2 = Ql2

= u 2-

(4.39) (4.40)

u1

Wärme ist für beide Systemarten gleich definiert; der Unterschied besteht lediglich in der Wirkung. Als Wärme wird die Energie bezeichnet, die zwischen Systemen verschiedener Temperatur durch eine diathermeWand übertragen wird. Die Energieform Wärme tritt nur an Systemgrenzen während des Übertragens auf. Wärme ist daher eine Prozeßgröße, ist nicht speicherbar und wird Q 12 - gehörend zu dem Prozeß vom Zustand 1 zum Zustand 2- geschrieben. Wärme kann mit der extensiven Wärme Q, der spezifischen Wärme q, der molaren Wärme Qm und dem Wärmestrom Q beschrieben werden. Die spezifische Wärme q darf nicht mit der spezifischen Wärmekapazität c verwechselt werden, die früher als spezifische Wärme bezeichnet wurde. Q12 = mq12 = nQml2

(4.41)

Für den Wrmestrom Qgelten wie bei der Arbeitsleistung P die Verknüpfung mit der spezifischen Größe q durch den Massenstrommund die Verknüpfung mit der molaren Größe Qm durch den Stoffmengenstrom Ii.

mql 2 =

Ql2 =

Ii Qml2

(4.42)

Das Aufstellen der Energiebilanz eines (ruhenden) geschlossenen Systems [Gleichung (4.11)] hatte ergeben, daß sich die Innere Energie U des Systems um genau die gleiche Energiemenge ändert, die über die Systemgrenze als Volumenarbeit Wv oder als Wärme Q oder als in Streuenergie J übergehende Arbeit übertragen wird (Bild 4-16) .

..---------,

J

12

=b u2-u, I

+

+

~w

+ I

L-- ~---" 0'12

-

V12

Bild 4-16 Energiebilanz eines (ruhenden) geschlossenen Systems

• Da über die Grenzen rigider Systeme keine Arbeit übertragen wird, kann auch keine darunter sein, die im System in Streuenergie J umgewandelt wird.

70

4 Energien

Energieumwandlung - Dem Energiegehalt eines Systems oder auch Teilmengen davon kann man nicht ansehen, ob sie als Arbeit W oder Wärme Q in das System hineingekommen sind und in welcher Energieform sie es wieder verlassen werden. Die Teichanalogie (Bild 4-7) hatte dies verdeutlicht. Ein System kann daher Energieformen ineinander umwandeln. So läßt sich die einem geschlossenen System alsWärme Q zugeführte Energie- wenigstens zum Teil- wieder als Volumenarbeit Wv entnehmen.

Bild 4-17 Energieumwandlung in einem geschlossenen System Die Übertragung der Wärme Q 12 erhöht die Innere Energie um U2- Ut. Die Entnahme der Arbeit Wv23 vermindert die Innere Energie um U3- U2 •

Ob bei dem in Bild 4-17 dargestellten Beispiel die Wärme Q12 und die Arbeit Wv 23 gleich groß sind, hängt vom Prozeßverlaufund weiteren Bedingungen ab. Innere Energie- Ein geschlossenes System enthält weder Wärme noch Arbeit, vielmehr ist darin Energie gespeichert. Die gespeicherte Energie wird mit der Zustandsgröße Innere Energie V beschrieben. Wärme und Arbeit sind keine Zustandsgrößen, sondern Prozeßgrößen. Ein Wärmespeicher enthält keine Wärme, sondern Innere Energie. Seine Bezeichnung hat er daher, daß ihm Energie nur in Form von Wärme entnommen wird; die Energiezufuhr kann ebenfalls durch Wärmeübertragung oder auch durch Zufuhr elektrischer Energie geschehen sein. Die klare Unterscheidung zwischen Innerer Energie V und Wärme Q wurde erst um die Jahrhundertwende erarbeitet und hat sich auch heute noch nicht überall durchgesetzt, ist aber wesentlich für den logischen Aufbau der Thermodynamik.

Die Innere Energie ist derjenige Teil des Energiegehaltes eines geschlossenen Systems, der als Arbeit oder Wärme über die Systemgrenze übertragen oder als Streuenergie zugeführt werden kann. Die Zustandsgröße Innere Energie kann sowohl mit der extensiven Größe V wie auch mit der spezifischen Größe u oder der molaren Größe Um beschrieben werden.

U1 = mu1 = n Uml (4.43) Eine Stromgröße (J kann bei ruhenden geschlossenen Systemen nicht auftreten, da sie nur gebunden an einen Stoffstrom die Systemgrenze überqueren könnte. Bei bewegten geschlossenen Systemen tritt an ihre Stelle der Enthalpiestrom fl (Abschnitt 4.4).

4.4 Enthalpie und Enthalpiestrom Warum wird zwischen Enthalpie und Innerer Energie unterschieden?

Im Abschnitt 4.1 war der Energiegehalt eines Stoffstromes mit dem Enthalpiestrom fl, der Energiegehalt eines geschlossenen Systems mit der Inneren Energie V beschrieben worden. Diese Unterscheidung muß noch näher erläutert werden; dies wird anband einer Darstellung ähnlich der in Bild 4-12 geschehen.

71

4.4 Enthalpie und Enthalpiestrom offenes System Einzelsystem (bewegtes geschl. System) Gesamtsystem (bewegtes geschl. System)

Bild 4-18 Offenes System, das stationär von einem Stoffstrom durchflossen wird und dem mit einer Maschine Technische Arbeit und in einem Wärmeaustauscher Wärme übertragen werden kann. Der Erste Hauptsatz für ruhende geschlossene Systeme [Gleichung (4.11)] QI2 + Wv12 + J12 = V2-V1 kann auch auf das bewegte Gesamtsystem in Bild 4-18 angewendet werden, wenn man Hubarbeit und Beschleunigungsarbeit sowie die entsprechenden Änderungen von potentieller und kinetischer Energie des Stoffstromes nicht zu berücksichtigen braucht. Betrachtet man anstelle des Gesamtsystems das offene System und das hindurchtretende Einzelsystem, so kann statt der Volumenarbeit Wv und der Streuenergie J die Technische Arbeit W1 am offenen System und die Schubarbeit Wvs am Einzelsystem gesetzt werden. Q12 + Wm + Wvs12 = V2 - V1

(4.44)

Setzt man die Schubarbeit Wvs 12 mit Gleichung (4.22) ein, läßt sie sich- als Differenzzweier Zustandsgrößen p u - mit der Änderung der Inneren Energie u2- u 1zusammenfassen. QI2 + Wm + m(p1 ui-P2 u2) = m (u2-ui) Ql2 + Wm = m [(u2 + P2 u2)- (ut +PI ui)]

(4.45)

Da die Summe aus Innerer Energie V und Druck-Volumen-Produkt p V bei offenen Systemen immer erscheint, wurde dafür eine eigene Größe mit der Bezeichnung Enthalpie H eingeführt. Die Unterscheidung zwischen EnthalpieHund Innerer Energie V dient also nur der Vereinfachung. Die Enthalpie H ist demnach definiert als H = V+ p V= m (u

+ p u).

(4.46)

Die Enthalphie ist eine Zustandsgröße, die den Energiegehalt eines Stoffstromes kennzeichnet und als Summe aus Innerer Energie und dem Produkt aus Druck und Volumen definiert ist. Bezieht man die extensiven Größen in Gleichung (4.45) wieder auf die Zeitspanne L1-r, so ergibt sich die in Abschnitt 4.1 mitgeteilte Fassung des Ersten Hauptsatzes [Gleichung (4.1)] . Q12 + P12 = fl2-fl1 = m(h2-h1) Für spezifische Größen wird daraus q12 + Wt12 = h2-h1.

(4.47)

Enthalpiegrößen- Da dieEnthalpieHaus Zustandsgrößen gebildet worden ist, ist sie selbst auch eine Zustandsgröße. Diese kann mit der extensiven Größe H, der spezifischen Größe h, der molaren Größe Hm und der Stromgröße flangegeben werden. H12 = mh12 = nHml2 = mh12 = nHml2

H12

(4.48) (4.49)

Praktische Bedeutung- Die Bedeutung der Enthalpie für die praktische Arbeit des Ingenieurs zeigt sich, wenn die Gleichung (4.1) auf adiabate und auf rigide Systeme angewendet wird. Bei adiabaten Systemen ist die Differenz der Enthalpieströme gleich der am System übertragenen Arbeitsleistung P 12· (4.50)

4 Energien

72

Bei rigiden Systemen* ist . die Differenz der Enthalpieströme gleich dem am System übertragenen Wärmestrom Q12• (4.51)

Zahlenwerte der Enthalpie- Die (spezifische) Enthalpie h ist als Zustandsgröße vom Zustand abhängig und wird für Einphasengebiete als Funktion von Druck p und Temperatur T angegeben. (4.52) h = h (p, T) Für Zweiphasengebiete ist die Enthalpie eine Funktion von Sättigungsdruck p' (oder Sättigungstemperatur T') und Phasenanteil x. Im Naßdampfgebiet ist der Phasenanteil x gleich dem Dampfgehalt xd.

= h (p',xd)

h

(4.53)

Da in der Technik im wesentlichen nur Enthalpiedifferenzen gebraucht werden, ist man übereingekommen, für Wasser die Enthalpie h' der gesättigten Flüssigkeit im Tripelpunkt gleich Null zu setzen. Bei anderen Stoffen wird die Enthalpie beispielsweise im kritischen Punkt gleich I000 kJ /kg gesetzt. Die Enthalpie von Flüssigkeiten läßt sich bei nicht zu großer Annäherung an den kritischen Punkt mit einer konstanten, allenfalls temperaturabhängigen spezifischen Wärmekapazität cn berechnen. h - h 0 = cn (t- to)

(4.54)

Für flüssiges Wasser bis zu Sättigungstemperaturen von 170 °C ist Cn

= Cw = 4,186 kJ /(kg K)

(4.55)

mit einer Toleranz von ± I %, bis zu 100 °C mit ± 0,3% (Bild 4-19). Der Wert entspricht der früheren Festsetzung von I Kilokalorie je Kilogramm und Grad. 4,23 4,22 kJ kgK

4,21

cw 4,20

0 1879 -·-·- 1909 1927 ---1930 - - 1939 1989 D

I

•

·\,,

Rowlnnd Bnrnes Lnby, Hercus NBS NBS I 1950 IKMG Grlgull

-,

~

4,19 4,186 ......

4,18 4,17

*

............. ·············

A

0

20

f•Ö,3-%l

40

I

~~-.-;

JV /

77'

,.;/. V

-- .. - ~=----= -"-..-..:. ~~/_

[

j'

~~\ - - - - - -- - - - -

-

_,·

l:O}J'-1

,_ 60

80

- .. - ·c

Bild4-19 Spezifische Wärmekapazität cw von Wasserflüssigkeit als Funktion der Temperatur t Meßwerte aus verschiedenen Quellen. Der Wert 4,186 kJ/(kg K) deckt nahezu alle Meßdaten im Bereich von 0 •c bis 100 •c mit± 0,3 % . NBS National Bureau of Standards (USA) IKMG Internationale Konferenz für Maß und Gewicht

100

Ein offenes System soll bereits dann als rigid bezeichnet werden, wenn über seine Grenzen Arbeit weder durch mechanisch bewegte Teile wie Wellen oder Kolbenstangen noch durch Reibungsvorgänge übertragen wird. Die mit dem Stoffstrom zwangsläufig verknüpfte Schubarbeit soll die Eigenschaft rigid nicht beeinträchtigen.

73

4.4 Enthalpie und Enthalpiestrom

Die Enthalpien gesättigter Flüssigkeit h' und von Sattdampf h" sind in den Dampftafeln enthalten, meist als Funktion der (empirischen) Sättigungstemperatur t'. Tabelle 3-2 gibt einige Werte für Wasser an. Weitere Dampftafeln finden sich im Anhang (Tabellen T-5 bis T-8}.

h'

= h' (t)

h" = h" (t)

Ahd

= Ahd (t)

(4.56)

Die Enthalpie von Naßdampf hd ist gleich der Summe der mit den Anteilen von Flüssigkeit und Dampf gewichteten Sättigungsenthalpien. Die Gleichung entspricht der Gleichung {3.13) für das spezifische Naßdampfvolumen. hd = (1- xd) h' + xd h" = h' + xd (h"- h')

(4.57)

Die Enthalpieänderung während einer vollständigen isobaren Verdampfung oder Verflüssigung heißt (spezifische) Verdampfungsenthalpie Ahd und ist ebenfalls in den Dampftafeln aufgeführt. (4.58} Ahd = h"- h' Auch für die beiden anderen Phasenwechsellassen sich Umwandlungsenthalpien angeben, die (spezifische) Schmelzenthalpie A h 1 und die (spezifische) Sublimationsenthalpie A hsub· Llht = h**- h*

(4.59)

Llhsub = h

(4.60)

11 -

h*

Für Dämpfe und reale Gase werden die Enthalpiewerte aus Zustandsdiagrammen entnommen, worauf später einzugehen sein wird. Die Enthalpie Idealer Gase wird in Abschnitt 6.4 behandelt. • Beispiel 4.1 Mit einem dampfbeheizten Wärmeaustauscher (Bild 4-20) sollen stündlich 2,3 m3 Warmwasser von 75 •c erzeugt werden. Das Leitungswasser hat eine Temperatur von 11 •c. Zum Beheizen des Wärmeaustauschers liefert ein Dampfkessel Dampf von 1,8 bar mit einem Dampfgehalt von 95 %. Für welche Wärmeübertragungsleistung muß der Wärmeaustauscher berechnet werden? Wieviel Dampf wird stündlich verbraucht?

D

+

+ Bild 4-20 Wärmeaustauscher Das zu erwärmende Wasser W strömt durch die Rohre, an denen außen der Dampf D kondensiert. Das Kondensat K fließt über einen KondensatableiteT ab.

t

W Daten

..

K

Wasser Volumenstrom Eintrittstemperatur Austrittstemperatur Dichte Wärmekapazität

Wärmeübertragungsleistung

Dampf Dampfdruck p =2,3mlth tw1 = 11 •c Dampfgehalt xd1 tw2 = 75 •c p = 103 kglm3 cw =4,186 kJ/(kg K} [Gleichung (4.55)]

V

=1,8 bar =0,95

Q [Gleichungen (2.13), (4.51), (4.54)]

. . m3 h kg kJ Q =V pcw(tw1 - tw2) = 2,3- · - - - · 1ol- ·4,186-- · 64 K = 171 kW h

3,6·103 s

m3

kgK

74

4 Energien

Dampfverbrauch mo (Gleichungen (4.51), (4.56), (4.57), (4.58))

m0 = ___jJ__ = Xdt .dhd

17l kW 0,95 · 2211 kJ /kg

= 0,081 kg =293 kg h

S

4.5 Energiebilanz von Kreisprozessen Dampfkraftmaschinen verwandeln Wärme in Arbeit. Die Umwandlung der in fossilen oder nuklearen Brennstoffen gespeicherten Energie in Arbeit, die zum Antrieb von Maschinen oder Fahrzeugen genutzt werden kann, geschieht in Wärmekraftmaschinen, zum Beispiel in einer Dampfkraftmaschine. Hierauf war bereits in Abschnitt 1.1 verwiesen worden. Eine einfache Dampfkraftmaschine ist in Bild 4-21 mit ihren vier Hauptbestandteilen schematisch dargestellt. Das Arbeitsmittel, meistens Wasser, durchströmt nacheinander die Teile der Anlage.

Bild 4-21 Dampfkraftmaschine D T K P G M

Dampferzeuger Dampfturbine oder Dampfmotor Kondensator Speisepumpe Generator Motor

Im Dampferzeuger wird die durch Verbrennung oder Strahlung aus dem Brennstoff freigesetzte Energie in Form von Wärme an das Arbeitsmittel übertragen. Durch die Zufuhr dieser Wärme erhöht sich die Enthalpie des Arbeitsmittels, so daß die Flüssigkeit in Dampf verwandelt wird. In der Dampfturbine oder dem Dampfmotor gibt das Arbeitsmittel einen Teil seiner Enthalpie in Form von Arbeit ab. Diese Arbeit wird meistens über die Welle an einen Elektrogenerator übertragen. Im Kondensator wird der Dampf durch Kühlung mit Wasser oder Luft verflüssigt. Die Enthalpie des Arbeitsmittels vermindert sich dabei durch die Abgabe von Wärme an das Kühlwasser oder die Kühlluft Schließlich wird das flüssige Arbeitsmittel durch die Speisepumpe in den Dampferzeuger gefördert. Hierfür wird von außen Arbeit zugeführt. Mit den Bildern 4-22 bis 4-24 soll ein erster Eindruck von den Teilen von Dampfkraftmaschinen vermittelt werden. Dem Aufbau und der Größe nach wird man meistens von Dampfkraftanlagen sprechen.

4.5 Energiebilanz von Kreisprozessen

75

Das Arbeitsmittel Wasser durchströmt in der Dampfkraftmaschine eine Reihe offener Teilsysteme. Der Austrittszustand eines Teilsystems ist also gleich dem Eintrittszustand des nächsten Teilsystems. Nach einem Umlauf wird wieder der gleiche Zustand erreicht. Solche Prozesse, bei denen das Arbeitsmittel immer wieder die gleichen Zustände durchläuft, heißen Kreisprozesse.

l I

=

Bild 4-22 Dampferzeuger für750 t/h Frischdampfvon 535 °C bei 197 bar, Bauhöhe 50 m 1 2 3 4 5 6

Gas- und Ölbrenner Rohrwände als Verdampfer Überhitzer Zwischenüberhitzer Eco (Economiser) Abgaskanal

7 Luvo (Luftvorwärmer) 8 Frischluftkanal 9 Brennluftkanal (Nach Werkbild Deutsche Babcock Werke AG)

76

4 Energien

Bild 4-23 Zweiflutige Niederdruckturbine mit Kondensator 1 2 3 4 5 6 7

Läufer (Welle) Lager Laufschaufeln Leitschaufeln Dampfeintritt Abdampfaustritt Kondensator

8 9 10 11

Wassergekühltes Rohrbündel Kondensatsammler Luftkühler Absaugung

(Nach Werkbild Siemens AG)

77

4.5 Energiebilanz von Kreisprozessen

Bild 4-24 Zweiflutiger Läufer einer Dampfturbine Niederdruck-Teilturbine eines 1300·MW-Turbosatzes für 1500 min- 1 (Werkbild ASEA Brown Boveri]

Für das System Dampfkraftmaschine und damit in der Verallgemeinerung für das System Wärmekraftmaschine ergibt sich bei stationärem Betrieb die in Bild 4-25 dargestellte Energiebilanz. Wärmequelle

~

Bild 4-25

t)

7==================,-· 0

II

II II

I I

I

I

I I

Pr !~ IF--f--r-----------r---}--i I II 1=?1

I

iI~ i T iI ~~+=L!'!_________ l-f-:1

11 11

P

1

K

II

II I

I I I

I

! I

I

I

I

lb=.-= =--= =--= =--==--= =--==--= =--==--= ~- _j Wärmesenke

~ 00

Energiebilanz für den Kreisprozeß einer Wärmekraftmaschine Beispiel Dampfkraftmaschine Teilsysteme D Dampferzeuger K Kondensator T Dampfturbine P Speisepumpe Energieströme Q zugeführter Wärmestrom 0 abgeführter Wärmestrom Arbeitsleistung der Turbine PP Arbeitsleistung der Speisepumpe nutzbare Arbeitsleistung P

P:

78

4 Energien

Die Wärmekraftmaschine erhält aus einer Wärmequelle den Wärmestrom Q und gibt die Nutz-Arbeitsleistung P nach außen ab, im Beispiel die Turbinenleistung PT abzüglich der (verhältnismä~ig geringen) Antriebsleistung Pp der Speisepumpe. Außerdem geht der Wärmestrom Q 0 bei der Temperatur T0 an eine Wärmesenke. Auf die Systeme Wärmequelle und Wärmesenke soll hier noch nicht weiter eingegangen werden. Im stationären Betrieb einer solchen Wärmekraftma~chine ergibt sich als Energiebila~z. daß sich die Summe aus zugeführtem Wärmestrom Q, abgeführtem Wärmestrom Q 0 und abgegebener Arbeitsleistung P insgesamt zu Null ergänzen muß. Q + Qo + P = 0

(4.61)

Bezieht man Gleichung (4.61) auf den Massenstrom, so ergibt sich die Summe aus den spezifischen Wärmen q und q0 und der spezifischen Arbeit des Kreisprozesses wK.

q + q0 +

WK

=0

(4.62)

Die spezifische Arbeit des Kreisprozesses wK ist sowohl gleich der Summe aller Technischen Arbeiten w1 als auch gleich der Summe aller Volumenarbeiten wy, die während des Kreisprozesses übertragen werden. wK = Ew 1 = l:wy

(4.63)

Summiert man nämlich alle in der Technischen Arbeit w 1 enthaltenen Größen [Gleichung (4.27)] an allen Teilsystemgrenzen, so treten bei reversiblem Verlauf mit Ausnahme der Volumenarbeit wv alle Größen an jeder Teilsystemgrenze einmal positiv und einmal negativ auf. Die nutzbare Arbeitsleistung P ist gleich dem Unterschied zwischen der (negativen) Arbeitsleistung der Turbine PT und der (positiven) Arbeitsleistung der Speisepumpe Pp.

P =PT+ Pp = -IPTI + Pp

(4.64)

Nur diese nutzbare Arbeitsleistung P steht zum Antrieb beispielsweise des Generators zur Verfügung. Löst man die Energiebilanz (Gleichung (4.61)] nach dieser Arbeitsleistung auf, S'? ergib~ ihr Betrag sich als die Differenz der Beträge der beiden übertragenen Wärmeströme Q und Q0 . IPI = IQI-IQ 0 1

(4.65)

Erster Hauptsatz für Kreisprozesse - Kreisprozesse waren als solche Prozesse erläutert worden, in denen das Arbeitsmittel immer wieder die gleichen Zustände durchläuft. Dies kann wie bei der Dampfkraftmaschine dadurch geschehen, daß das Arbeitsmittel nacheinander eine Folge offener Systeme durchströmt. Ein Kreisprozeß kann aber auch innerhalb einer Maschine, also innerhalb eines geschlossenen Systems, ablaufen. Der Erste Hauptsatz, der Satz von der Erhaltung der Energie, bekommt damit die beiden folgenden Fassungen. Durchläuft ein Fluidstrom einen Kreisprozeß in einer Folge offener Systeme, so ist die Summe der von dem oder an den Fluidstrom übertragenen Wärmen gleich der negativen Summe der vom oder an den Fluidstrom übertragenen Arbeiten. Durchläuft ein ruhendes geschlossenes System einen Kreisprozeß, so ist die Summe der von dem oder an das System übertragenen Wärmen gleich der negativen Summe der vom oder an das System übertragenen Arbeiten und dem System zugeführten Streuenergien. In der Gleichung (4.61)

Q+ Q0 + P= 0

4.5 Energiebilanz von Kreisprozessen

79

stehen wie bei den früher mitgeteilten Fassungen [Gleichungen (4.3) und (4.11)] auf der linken Seite die Prozeßgrößen. Auf der rechten Seite findet sich wieder die Änderung der Zustandsgrößen. Diese ist aber beim Kreisprozeß Null, da das Arbeitsmittel nachjedem Umlaufwieder in den gleichen Zustand kommt. Das Arbeitsmittel durchläuft immer die gleiche Folge von Zuständen. ~uffällig ist außerdem, daß der zugeführte Wärmestrom Q und der abgeführte Wärmestrom Q0 getrennt aufgeführt sind, während die zu- und abgeführten Arbeitsleistungen zu einer Größe P zusammengefaßt werden. Darin kommt zum Ausdruck, daß der bei hoher Temperatur zugeführte Wärmestrom Q hochwertig, der Abwärmestrom Q0 aber praktisch wertlos ist. Die Arbeitsleistungen PT und Pp sind jedoch als gleichwertig anzusehen, so daß man sie zusammenfassen kann. Über die Wertigkeit von Energien gibt der Zweite Hauptsatz Auskunft. Nutzen-Aufwand- Verhältnis - Kreisprozesse lassen sich thermodynamisch zunächst unter dem Gesichtspunkt beurteilen, wie gut die aufgewendete Energie umgewandelt wird. Das Verhältnis von Nutzen und Aufwand wird bei Wärmekraftmaschinen als thermischer Wirkungsgrad Tlt bezeichnet um~ ist gleich dem Verhältnis des Betrages der Arbeitsleistung P zum zugeführten Wärmestrom Q.

'7t =

1~1

=

Q-.IQol

Q

=

Q

1_

l~ol

(4.66)

Q

Mit der Gleichung (4.66) zeigt sich, daß die Abweichun_g des Wirkungsgrades vom Wert ~ gleich 100 % durch den Anteil des Abwärmestromes Q0 am zugeführten Wärmestrom Q bestimmt ist. Dieser Anteil kann einen durch den Zweiten Hauptsatz bestimmten Wert nicht unterschreiten, wie sich später erweisen wird. • Beispiel 4.2 Ein Dampfkessel erzeugt 0,087 kg/s gesättigten Wasserdampfes unter einem Druck von 40 bar. Der Dampf wird in einer Turbine unter Arbeitsleistung bis auf 1,40 bar und einen Dampfgehalt von 90 o/o entspannt. Dann strömt der Dampf in einen Heizapparat, in dem er vollständig kondensiert. Welche Arbeitsleistung gibt der Dampf an die Turbine ab? Welche Heizleistung liefert der kondensierende Dampf?

m = 0,087 kg/s

Daten Dampfstrom Dampfdruck Dampfgehalt

pj

= 40 bar,

xd 2

= 0,90

p2

=

1,40 bar

Arbeitsleistung P [Gleichung (4.50), (4.57)) P=

m(h.J

2 -

h))

hd2 = ~ + xdz (Jil- ~) = ~ + xd2.:ihdz

P= 0,087 kg/s · (2467- 2800) kJ/kg =- 29 kW

hdz

= 458,4 kJ/kg + 0,90 · 2232 kJ/kg =2467 kJ/kg

Heizleistung Q0 [Gleichung (4.51), (4.57)) Qo =

m·xdz (h2-h~)

=

m· xdz(-Lihdz)

=

0,087 kgjs · 0,90 (-2232) kJ/kg

=

-175 kW

• Beispiel 4.3 Dem Dampfkessel des vorhergehenden Beispiels fließt das anfallende Kondensat mit einem Druck von 1,40 bar zu. Es wird von der Speisepumpe auf einen Druck von 40 bar gebracht, dann auf Siedetemperatur erwärmt und vollständig verdampft. Welche Heizleistung muß hierfür aufgebracht werden? Mit welchem thermischen Wirkungsgrad arbeitet die Anlage? Der Leistungsbedarf der Speisepumpe kann vernachlässigt werden. p\ = 40bar Verdampfungsdruck m = 0,087 kg/s Daten Dampfstrom pS = 1,40 bar Verflüssigungsdruck P = 29kW Turbinenleistung Heizleistung

Q

[Gleichung (4.51))

Q = m(h}- ~)

= 0,087 kg/s (2800 - 458) kJikg) = 204 kW

80

4 Energien

Thermischer Wirkungsgrad 71t (Gleichung ( 4.66))

1Jt

= ~ = 29 kW =0,14 Q

204 kW

Dieser niedrige Wirkungsgrad ist hier annehmbar, weil die Hauptaufgabe der Anlage in der Beheizung des Heizapparates liegt.

4.6 Strömungsprozesse Über die Strömung eines Fluids durch Rohre, Armaturen und Apparate lassen sich mit der Thermodynamik Aussagen gewinnen. Vorgänge, die beim Strömen eines Fluids durch rohrartige offene Systeme auftreten und bei denen keine Technische Arbeit übertragen wird, bezeichnet man als Strömungsprozesse. Aus dem Ersten Hauptsatz in der Fassung für offene Systeme [Gleichung (4.9)] 2

ql2 + w112

2

= (h2 -h1) +c2--cl - - + g(z2 -z1) 2

folgt für Strömungsprozesse in einer adiabaten Strömung 0

+ 0

=(h2-h!)+

cd -d) +g(Z2-ZJ),

(4.67) 2 da weder Wärme noch Arbeit übertragen wird. Verläuft die Strömung waagerecht oder ist die Höhenänderung unbedeutend, so zeigt sich die Umwandlung von Enthalpie in kinetische Energie. 2

2

h 1- h 2_c2-c1 ----

(4.68) 2 Dieses geschieht beispielsweise in Dampfturbinen. Der relativ langsam zuströmende Dampf expandiert in Düsen wie in Bild 4-26 und erreicht sehr hohe Geschwindigkeiten. Kann die kinetische Energie d /2 gegenüber der Enthalpieabnahme h 1 - h 2 vernachlässigt werden, so wird die Austrittsgeschwindigkeit c 2 =)2(h 1 -h 2)=V2.1h.

(4.69)

Beim Ausströmen von Flüssigkeit aus einem Behälter (Bild 4-27) kann meistens die Eintrittsgeschwindigkeit c1 vernachlässigt werden. Auch bleiben die Temperatur und damit die Enthalpie unverändert, so daß sich die als ToRRICELLische Ausflußgleichung bekannte Beziehung ergibt. c2 =

-Jz g (z 1 -z0

(4.70)

2

Bild 4-26 Düsenströmung in einer Dampfturbine

Bild 4-27 Ausströmende Flüssigkeit

81

4.6 Strömungsprozesse

Adiabater Drosselprozeß- Bei Drosselstellen wie in Bild 4-28 oder auch bei Ventilen, Filtern und ähnlichen Einbauten tritt zwar ein Druckverlust auf, jedoch kann die Expansion und damit die Änderung der kinetischen Energie in der Regel vernachlässigt werden, ebenso die Änderung der potentiellen Energie. Aus Gleichung (4.68) ergibt sich damit (4.71)

Die Enthalpie bekommt also am Systemende wieder den gleichen Wert wie am Anfang. Zwischenwerte können aber nicht angegeben werden, da es sich um eine nichtstatische Zustandsänderung handelt.

1

2

~I,

~

Bild4-28 Strömung mit Drosselstelle

1

2

I::!::::;:: ;/-LI II I I II I I I~ I

i?

I

I I I I I I I I I I

E II

1b I

I ?II I~J

I I I I I I

I

I

Bild4-29 Langes adiabates Rohr (Kapillarrohr)

Adiabater Expansionsprozeß- Für den Fall, daß die Änderung der kinetischen Energie nicht mehr vernachlässigt werden kann, liefert Gleichung (4.68) einen Ansatz

d

d

2

2

(4.72)

ht +-=h2+-

Mit der Kontinuitätsgleichung (2.15)

ergibt sich für ein langes Rohr konstanten Querschnitts (Bild 4-29) eine Beziehung, mit der der Expansionsverlauf ermittelt werden kann. 1 (; . ) h1 + 2

2vi = h2 + 1 ( ; . )2 v~ 2

(4.73)

Sind der Anfangszustand h 1, v 1 und die Massenstromdichte m!A bekannt, liegt der zahlenmäßige Wert der linken Seite fest. Die Zwischenzustände 2 und der AustrittszustandE lassen sich dann ermitteln, wenn Werte des spezifischen Volumens v vorgegeben werden und die jeweils zugehörige spezifische Enthalpie h berechnet wird. • Beispiei4A Wasserdampf strömt mit 350 °C und 14,0 bar durch den Eintrittsquerschnitt eines langen dünnen Rohres (Bild 4.29). Die Massenstromdichte beträgt 664 kg/(m2 s). •

Daten

Eintrittstemperatur t 1

=

350 °C; Eintrittsdruckp 1 = 14,0 bar; Massenstromdichte (m/A) = 664 kg/(m2 s)

Konstante K [Gleichung (4.73)] Für den Zustand 1 ergeben sich aus dem h, s-Diagramm h 1 = 3150 kJ/kg und VJ. = 0,20 m3/kg. Damit wird

= h1 + (m!A) 2 vi/2 =3150 kJ/kg + 6642 kg2 m-4 s"2/2 · 0,2oZ m6/kg2 K =3150 kJ/kg + 8818 m2/s2 =3159 kJ/kg K

• Die in diesem Beispiel ermittelten Zustandsgrößen des Wasserdampfes sind einem h,s-Diagramm entnommen worden. wie es im Abschnitt 5.3 beschrieben wird.

4 Energien

82 .

v2

22o,4 · 1oJ V~ h2

P2 r2

2 2

K- (m!A) v 2 12 = hz

Zustände 2 (Gleichung (4.73)]

0,3 19840 3139 9,3 340

0,4 35272 3124 6,8

330

Aus der Berechnung einer Reihe von Zuständen 2 ergibt sich der Verlauf der Expansion. Der Austrittszustand E wird in Abschnitt 5.2 bestimmt.

m3/kg m2/s2 kJ/kg bar

·c

4.7 Fragen und Übungen Frap 4.1 Welche der folgenden Größen ist eine intensive Zustandsgröße? (d) Innere Energie (a) Dichte (e) Temperatur (b) Spezifische Wärme Keine dieser Großen (f) (c) Spezifische Enthalpie Fra1e 4.2 Wie ist die Größe Leistung in der Technik definiert? (d) Kraft mal Weg (a) Masse mal Beschleunigung Energie geteilt durch Zeitspanne (e) (b) Arbeit geteilt durch Zeitspanne (c) Energie mal Zeitspanne Fra1e 4.3 Welche der folgenden Größen kann die Grenze eines offenen Systems nicht überschreiten? (e) Wärme (c) Innere Energie (a) Temperatur (f) Masse (d) Enthalpie (b) Arbeit Fra1e 4.4 Wie ändert sich die Verdampfungsenthalpie eines Stoffes bei steigender Temperatur? (c) Das hingt vom Stoff ab (a) Bleibt unverändert (d) Nimmt ab (b) Nimmt ebenfalls zu Fra1e 4.5 Welche der folgenden Aussagen gibt eine am kritischen Punkt eines Stoffes experimentell beobachtete Eigenschaft richtig wieder? (a) Die Verdampfungsenthalpie hat ein Maximum. (b) Bei p ?Q"2$(1§QQQQ'>t$(1*Q~

Bild 6-2 Versuch zur adiabatenDrosselungnach JouLE und THOMSON Isoliertes Rohr mit Lochblende B und Thermometerstutzen T an Eintritt 1 und Austritt 2

Der Druck Pz am Austritt muß niedriger sein als der Druck p 1 am Eintritt, damit das Gas überhaupt durch die Rohrleitung strömt. Das spezifische Volumen v soll sich bei dieser Drucksenkung nur so wenig ändern, daß die Änderung der kinetischen Energie vernachlässigbar klein bleibt. Unter diesen Versuchsbedingungen ergaben die Messungen der Temperatur T1 am Eintritt und Tz am Austritt, daß die Temperaturänderung Tz - T1 dann gegen Null geht, wenn der Druck p genügend niedrig ist. lim (Tz- Tt)

p->0

=0

(6.29)

Es ist die gleiche Bedingung, die sich auch für die Gültigkeit der Gasgleichung gezeigt hatte [Gleichung (3.19)], die Bedingung für ideales Verhalten von Gasen. Die Anwendung des Ersten Hauptsatzes [Gleichung (4.7)]

z

z

Cz- Ct qlz + wm = (hz- ht) + - - - + g (zz- Zt)

2 auf diesen Prozeß erbringt, wie bereits im Abschnitt 4.6 abgeleitet, die Aussage, daß die Enthalpie h2 am Austritt den gleichen Wert wie die Enthalpie h 1 am Eintritt hat. hz (Tz,pz) = h1 (Tt.Pt)

(6.30)

122

6 Zustandsgleichungen Idealer Gase

Da Eintrittswert und Austrittswert der Enthalpie h und der Temperatur T trotz der Druckänderung gleich sind, ist die Enthalpie unabhängig vom Druck. Die Enthalpie h ist also nur von der Temperatur T abhängig. h = h (T) {6.31) Die Art der Abhängigkeit der Enthalpie von der Temperatur läßt sich in einem weiteren Versuch ermitteln (Bild 6-3). Für eine beheizte rigide Rohrleitung ergibt sich, wenn alle Wärmeverluste ausgeschaltet sind, aus dem Ersten Hauptsatz [Gleichung (4.51)]

q12

=h2- hl.

Bild 6-3 Versuch zur Ermittlung der Temperaturabhängigkeit der Enthalpie Idealer Gase. Die Energiezufuhr zur elektrischen Heizung E kann sehr genau gemessen werden.

Die Messung zeigt, daß die Enthalpieänderung h 2 - h 1 zunächst als proportional zur Temperatur T2 - T1 angesetzt werden kann. Der Proportionalitätsfaktor ist die isobare spezifische Wärmekapazität cp. h2- hl

= Cp (T2- Tl)

Diese Gleichung ist eine der Fassungen der Kalorischen Zustandsgleichung [Gleichung (6.23)]. Adiabater Überströmprozeß- Die Unabhängigkeit der (spezifischen) Inneren Energie vom (spezifischen) Volumen ergibt sich aus dem Versuch von JouLE (Bild 6-4). Hierfür werden zwei Behälter durch eine absperrbare Leitung verbunden. Beide Behälter und die Leitung sind starr und gegen die Umgebung wärmeisoliert, also rigid und adiabat. Die Gasfüllung kann als ein abgeschlossenes System angesehen werden. Bei Versuchsbeginn (Zustand 1) befindet sich das Gas im Behälter A; das Ventil ist geschlossen; der Behälter B ist völlig evakuiert.

Bild 6-4 Versuch zumadiabatenÜberströmen nach JouLE

2

Wird das Ventil geöffnet, kommt es zu raschem Druckausgleich zwischen den Behältern A und B. Die Ablesung der Thermometer zeigt, daß nach einiger Zeit die Temperatur in beiden Behältern wieder den Wert annimmt, der vor dem Versuch im Behälter A gemessen wurde.

123

6.2 Kalorische Zustandsgleichungen

Dieses Ergebnis wird umso genauer erreicht, je niedriger der Druck ist, wie es schon mit Gleichung (6.29) beschrieben worden war.

=0

lim (Tz- T1)

p--tO

Man setzt für diesen Prozeß in einem abgeschlossenen System den Ersten Hauptsatz [Gleichung (4.11)] mit spezifischen Größen an und erhält für dieses adiabate, rigide System (6.32)

Uz (Tz, Vz) = u1 (Tl> V1).

Wenntrotz der Zunahme des (spezifischen) Volumens v die (spezifische) Innere Energie u gleich geblieben ist und die Temperatur T wieder den Anfangswert annimmt, ist die Innere Energie unabhängig vom Volumen, also eine reine Temperaturfunktion. (6.33) u = u (T) Die Form dieser Funktion wird in einem weiteren Versuch ermittelt (Bild 6-5). Beheizt man ein rigides geschlossenes System, so folgt aus dem Ersten Hauptsatz [Gleichung (4.40)] Q 12

=Uz-Ut=m(uz-ul)

(6.34)

oder mit spezifischen Größen (6.35)

Bild 6-5

Versuch zur Ermittlung der Temperaturabhängigkeit der Inneren Energie Idealer Gase. Die Energiezufuhr zur elektrischen Heizung E kann sehr genau gemessen werden.

Der Versuch ergibt, daß die Änderungen von Innerer Energie Uz- u1 und Temperatur Tz- T1 bei nicht zu großen Temperaturänderungen proportional sind. Der Proportionalitätsfaktor ist die spezifische isochore Wärmekapazität cv.

u2 - u 1 = cv (Tz- T1) Diese Gleichung ist ebenfalls eine der Fassungen der Kalorischen Zustandsgleichung [Gleichung (6.24)]. Differenz der spezifischen Wärmekapazitäten - Führt man in die Definitionsgleichung der Enthalpie [Gleichung (4.46)] die Gasgleichung [Gleichung (6.1)] ein, so ergibt sich h = u + p · v = u + R · T. Differenziert man nach der Temperatur

~=~+R dT

dT

'

(6.36) (6.37)

so erhält man mit den Gleichungen (6.21) und (6.22) Cp-Cv=R.

(6.38)

Die Differenz zwischen der spezifischen isobaren und der spezifischen isochoren Wärmekapazität ist also gleich der spezifischen Gaskonstanten und wird dadurch verursacht, daß bei einer isobaren Zustandsänderung Volumenarbeit auftritt.

6 Zustandsgleichungen Idealer Gase

124

6.3 Entropie und Entropiediagramme Aus den Gleichungenfür Entropieänderungen Idealer Gase werden Diagramme als vielgebrauchte Hilfsmittel entwickelt. Die Zustandsgröße Entropie kann für Ideale Gase als Funktion von jeweils zwei der drei thermischen Zustandsgrößen Druck p, spezifisches Volumen v und Temperatur T ermittelt werden. Die Definitionsgleichung der Entropie (5.11), hier mit spezifischen Größen geschrieben, ds

= dh -

v dp T

(6.39)

wird mit der Thermischen Zustandsgleichung (6.1) in der Form

v!T=Rip und der Kalorischen Zustandsgleichung (6.21)

(6.40)

dh = Cpd T

verknüpft. Daraus ergibt sich ds

= cP d T T

R dp.

(6.41)

p

Durch Integration folgt aus dieser Differentialgleichung s2 -

s1 =

cP

T2 P2 In - - R In - . Tt Pt

(6.42)

Durch Umformung erhält man mit Gleichung (6.38) zwei weitere Beziehungen.

T2 ~ Sz- St = Cvln- + R In-

(6.43)

Pz ~ Sz- St = Cvln+ Cp In-

(6.44)

Tt

Pt

Vt

Vt

Mit den Gleichungen (6.42} bis (6.44) kann man die Änderungen der Entropie für alle Zustandsänderungen Idealer Gase zwischen zwei Zuständen 1 und 2 berechnen. Dies gilt auch dann, wenn der Verlauf der Zustandsänderung nicht bekannt ist oder es sich um eine nichtstatische Zustandsänderung ohne definierte Zwischenzustände handelt. Die Gleichungen lassen sich durch Multiplikation mit der Masse m in solche mit extensiven Größen überführen, durch Multiplikation mit der Molmasse M in solche mit molaren Größen. T,s- und h,s-Diagramm - Auch für die Darstellung von Zustandsänderungen Idealer Gase haben sich Temperatur-Entropie-Diagramme (Abschnitt 5.3) bewährt. Da sich die Enthalpie h von Idealen Gasen proportional zur Temperatur Tändert [Gleichung (6.21)], werden die T,sDiagramme durch eine zusätzliche Ordinatenskala auch zu Enthalpie-Entropie-Diagrammen (Bild 6-6). Verlauf und Anordnung von Isobaren und Isochoren im T,s!h,s-Diagramm lassen sich aus den Gleichungen (6.42) und (6.43} mathematisch ableiten.

Die Gleichung einer Isobaren in einem T,s-Diagramm schreibt sich allgemein

T=T(s)p,

(6.45)

wobei der Index p an der Klammer aussagt, daß der Druck konstant bleiben soll. Die Form dieser Funktion läßt sich aus Gleichung (6.42) ableiten, wenn man anstelle der Werte T2 und s2

6.3 Entropie und Entropiediagramme

125 Bild6-6

tt

hT

s-

T,s- und h,s-Diagramm Idealer Gase mit Isenthalpen, lsentropen, Isobaren, Isochoren und Isothermen

die Variablen T und s setzt. Der zweite Term der Gleichung wird Null, da auf einer Isobaren jedes Druckverhältnis plp 1 gleich eins ist. Dann folgt aus

s- s1 = cP ln (TI T1)

(6.46)

die Exponentialfunktion T = T (s )p = Tt e (s - st)ICp_

(6.47)

Für die Isochoren ergibt sich in gleicher Weise

T = T (s)v = Tle(s -st)lcv.

(6.48)

Da cp größer als cv ist [Gleichung (6.38)], ist der Exponent in Gleichung (6.47) kleiner als der Exponent in Gleichung (6.48), woraus erneut folgt, daß Isobaren flacher als Isochoren verlaufen. Aus den Gleichungen (6.42) und (6.43) läßt sich der Abstand zweier dieser Kurven bei konstanter Temperatur ermitteln. Der Abstand ist bei zwei Isobaren s 2 - s 1 =- R ln (pziPt)

(6.49)

und bei zwei Isochoren Sz-S 1 = R ln (vzlv 1).

(6.50)

Die Abstände sind unabhängig von der Temperatur, also in allen Höhen des Diagramms gleich. Das bedeutet, daß alle Isobaren durch Parallelverschiebung in Richtung der Abszissenachse ineinander übergehen, ebenso alle Isochoren. Außerdem besagen diese Gleichungen (6.49) und (6.50), daß mit wachsender Entropie die Isobaren niederen Druckes und die Isochoren höheren spezifischen Volumens folgen (Bild 6-7).

tt

hT r, =r2

Bild 6-7 Isobaren und Isochoren im T,s/h ,s-Diagramm Idealer Gase

Mit den Gleichungen dieses Abschnittes wurden die Werte für das in Bild 6-8 dargestellte T,slh,s-Diagramm für Helium gerechnet. Der Verlauf der Parameterlinien entspricht etwa dem in der rechten oberen Ecke des T,s-Diagrammes Bild 5-13 und des h,s-Diagrammes Bild 5-14. Mit steigendem Druck und sinkenden Temperaturen werden die Unterschiede zwischen dem idealen und dem realen Verhalten größer, jedoch können die Abweichungen für viele Berechnungen vernachlässigt werden.

6 Zustandsgleichungen Idealer Gase

126

Bild 6-8

6000

T,s/h,s- Diagramm von Helium mit Isobaren und Isochoren

kJ/kg

5000 4000

T

h

(Berechnung mit konstanten Werten der spezifischen Wärmekapazitäten)

3000

sProzeßdarstellungen im T,slh,s-Diagramm - Maschinen wie Verdichter oder Turbinen können in den meisten Fällen als adiabate Systeme angesehen werden. Nach dem Zweiten Hauptsatz (Abschnitt 6.2) liefern reversible Prozesse die besten Ergebnisse. Bild 6-9 zeigt für einen Verdichter sowohl den reversibel adiabaten, also isentropen Prozeß 1-2 5 als auch einen angenommenen wirklichen Verlauf 1-2, bei dem infolge irreversibler Vorgänge die Entropie zunimmt.

Bild 6-9

Isentroper und wirklicher Kompressionsprozeß in einer Maschine

tt

hT

1-2. 1-2 .1h, .1h;

Reversibler Verlauf Irreversibler Verlauf lsentropc Enthalpiedifferenz Wirkliche Enthalpiedifferenz

sDurch die Irreversibilitäten ist die wirkliche Endtemperatur höher als die bei isentropem Verlauf. Auch der Aufwand an Technischer Arbeit w 1 gleich der Enthalpiezunahme Ah; ist bei der wirklichen Verdichtung höher als die entsprechenden Größen w15 und Ahs bei dem isentropen Vorgang. Wt

= Ah; > Wts = Ahs

(6.51)

Wie weit sich der Prozeßverlauf vom isentropen Idealverlauf entfernt, zeigt der isentrope Gütegrad l'fsv als Verhältnis der beiden Enthalpiedifferenzen Ah. '1sv

=

Ahs Ah-

(6.52)

'

Die bei einer wirklichen Kompression erforderliche zusätzliche Arbeit w1 - w15 wird durch irreversible Vorgänge im System verstreut und erhöht als Streuenergie j die Enthalpie h. (6.52a)

127

6.3 Entropie und Entropiediagramme

Beim isentropen Expansionsprozeß in einer Maschine, zum Beispiel in einer Dampfturbine, würde die Umwandlung der Enthalpiedifferenz Ahs die Arbeit Wts liefern. In der wirklichen Maschine wird nur eine wegen der Irreversibilitäten kleinere Enthalpiedifferenz Ahi in die Arbeit wt umgewandelt (Bild 6-1 0). Wt

= Ahi < Wts = Ahs

(6.53)

1

Bild 6-10 Isentroper und wirklicher Expansionsprozeß in einer Maschine

tt

hT

1-25 1-2 Ahs Ahi

s-

Reversibler Verlauf Irreversibler Verlauf lsentrope Enthalpiedifferenz Wirkliche Enthalpiedifferenz

Der isentrope Gütegrad '1sT ist dementsprechend für den Expansionsprozeß anzusetzen. Ahi

'1sT =

Ahs

(6.54)

Bei einer wirklichen Expansion wird ein Teil der vom Stoffstrom abgegebenen isentropen Arbeit durch irreversible Vorgänge in der Maschine verstreut und erhöht als Streuenergie j die Enthalpie h. Wt8 -Wt

= -j = Ah8 -Ahi

(6.54a)

Wir werden später solche Kompressions- und Expansionsvorgänge, die durch Irreversibilitäten mit "Verlusten" behaftet sind, als polytrop bezeichnen und im Kapitel 7.6 näher besprechen. Dabei wird dann die Streuenergie j in Gedanken wie eine zugeführte Wärme q behandelt*, die eine gleich große Enthalpiezunahme bewirkt. Wenn die spezifischen isobaren Wärmekapazitäten cP als für Zähler und Nenner gleich angenommen werden können, ergeben sich die beiden Gütegrade aus dem Verhältnis zweier Temperaturdifferenzen. (6.56)

(6.55)

Wärmeaustauscher können vereinfacht als beheizte oder gekühlte Rohrleitungen aufgefaßt werden. Durch den Wärmeaustauscher fließt nur dann ein Stoffstrom, wenn er durch eine Druckdifferenz zwischen Eintritt und Austritt getrieben wird. Trotzdem läßt sich die Zustandsänderung des Stoffstromes im Wärmeaustauscher im allgemeinen idealisierend als isobar ansehen (Bild 6-11 ).

Bild 6-11 Isobarer und wirklicher Prozeß in einem Wärmeaustauscher

T

s*

Links: Erwärmung Rechts: Abkühlung l-2p Reversibler Verlauf (isobarer Prozeß) Irreversibler Verlauf 1-2 (Prozeß mit Druckverlust)

T

s-

Hier wird erneut deutlich, warum man früher die Streuenergie (Dissipationsenergie) als Reibungswärme bezeichnet hat. Später wurde dafür der Ausdruck Streuarbeit (Dissipationsarbeit) eingeführt.

6 Zustandsgleichungen Idealer Gase

128

6.4 Wärmekapazitäten und Isentropenexponent Wie kann man die vielen verschiedenen Wärmekapazitätsgrößen ordnen? Für Wärmeaustauscher als rigide offene Systeme (Bild 6-12) lautet die Energiebilanz [Gleichung (4.51)]

C!t2 = ii2-iiJ. 2

Bild 6-12 Wärmeaustauscher als rigides offenes System. Der Enthalpiestrom nimmt von il 1 auf il2 durch die Übertragung des Wärmestromes Q12 zu.

Die Enthalpiestromänderung H2 - H1 ist dem Massenstrom rh und bei Idealen Gasen der Temperaturänderung T2 - T 1 proportional [Gleichung (6.23)].

ii2- Ht

= rh Cp

(T2- Tt)

Der Proportionalitätsfaktor wurde in Abschnitt 6.2 als spezifische isobare Wärmekapazität cP bezeichnet. Diese Bezeichnung erklärt sich daraus, daß sich die Größe cp aus den Gleichungen (4.51) und (6.23) als die auf Massenstrom rh und Temperaturänderung T2 - T 1 bezogene Wärme deuten läßt. (6.57)

Dies gilt jedoch nur bei isobaren Zustandsänderungen, da bei anderen Zustandsänderungen in der Energiebilanz noch Arbeitsleistungen P 12 berücksichtigt werden müssen. Eine genauere Betrachtung zeigt, daß die spezifische isobare Wärmekapazität cP als partielle Ableitung der Enthalpie h nach der Temperatur T zu verstehen ist. Im totalen Differential der Enthalpie h wird der erste Differentialquotient als cP abgekürzt. dh =

~hl

l~T)p

dT+

~h]

l~p T

dp

(6.58)

(6.59)

Da der zweite Term der Gleichung (6.58) zumindestens bei Idealen Gasen vernachlässigt werden kann, braucht die spezifische Wärmekapazität cP nicht als partieller Differentialquotient geschrieben zu werden [Gleichung (6.21)].

c

dh

P

=-

dT

(6.60)

Molwärmen - Bezieht man die Wärmekapazität statt auf den Massenstrom rh auf den

Stoffmengenstrom Ii, so erhält man die Ableitung der molaren Enthalpie Hm nach der Temperatur, die molare isobare Wärmekapazität (isobare Molwärme). Cmp

dHm

= -dT- = Mc p

(6.61)

Außerdem wird in manchen Fachgebieten der Volumenstrom im Normzustand Vn als Bezugsgröße benutzt. Daraus ergibt sich die Definition einer volumetrischen isobaren

129

6.4 Wärmekapazitäten und lsentropenexponent

Wärmekapazität Cpp· d (ilfVn)

cPP = -dT --

(6.62)

Diese Wärmekapazität läßt sich aus den vorher beschriebenen Größen mit der Normdichte Pn oder dem Normmolvolumen Vmn errechnen. Hier soll auf CPP nicht weiter eingegangen werden. Außer den bisher vorgestellten, auf Masse, Stoffmenge und Normvolumen bezogenen Wärmekapazitätsgrößen läßt sich auch eine extensive Größe Wärmekapazität Cp bilden.* Cp =

m · cp = n · Cmp =

(6.63)

Vn • Cpp

Die bezogenen Wärmekapazitäten sind im allgemeinen wie die Enthalpie abhängig von Druck und Temperatur. Cp = Cp {p,1)

Cmp = Cmp

(p,T)

Cpp = Cpp

{p,1)

(6.64)

Bei Idealen Gasen verschwindet jedoch die Druckabhängigkeit Auch die Temperaturabhängigkeit kann häufig vernachlässigt werden, so daß bei nicht zu großen Temperaturdifferenzen diese Größen als temperaturunabhängige Stoffwerte angesehen werden können. Die Wärmekapazitäten einatomiger Gase wie Helium sind unabhängig von der Temperatur. Cp

= 5/2 · R

(6.64a)

Cv

= 3/2 · R

(6.64b)

Mittlere Wärmekapazitäten- Bei einer größeren Temperaturdifferenz müßte die Enthalpiedifferenz wegen der Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität durch Integration bestimmt werden. Die Integration läßt sich mit Hilfe einer mittleren Wärmekapazität c anstelle der wahren Wärmekapazität c vermeiden. Der Zusammenhang beider Größen ergibt sich aus der Gleichung 2

Qt2 = m(h2-h1) = m

Jcp(T)dT= mcpt2(T2-Tt).

(6.65)

I

Darin ist cp (1) diewahre (spezifische isobare) Wärmekapazität bei der Temperatur Tund cp 12 (Tt.T2) die mittlere (spezifische isobare) Wärmekapazität für den Temperaturbereich zwischen T1 und h Wenn man die wahre Wärmekapazität cp über der Temperatur Taufträgt, stellt die Fläche unter der Kurve die zwischen den Zuständen 1 und 2 übertragene spezifische Wärme q 12 dar. Die Höhe des flächengleichen Rechtecks entspricht der mittleren Wärmekapazität cp (Bild 6-13).

t

Cp

{Tz)+-------62

Bild 6-13 Cp

Zusammenhang zwischen der wahren Wärmekapazität cP (1) und der mittleren Wärmekapazität cP zwischen den Temperaturen T1 und T2

* Diese Größe wurde früher als Wasserwert bezeichnet, da im technischen Maßsystem der Zahlenwert der Wärmekapazität in kcal/"C gleich dem Zahlenwert einer Wassermasse gleicher Wärmekapazität in kg war. Dies beruhte auf der (willkürlichen) Festsetzung von Cw = I kcal/(kg •q für die spezifische Wärmekapazität von Wasser.

130

6 Zustandsgleichungen Idealer Gase

Die Abhängigkeit der mittleren Wärmekapazität von zwei Temperaturen läßt sich ausschalten, wenn man eine feste Bezugstemperatur T0 einführt. Man ersetzt in Gedanken eine Erwärmung von T1 aufT2 durch eine Abkühlung von T1 aufT0 und eine Erwärmung von T0 aufT2 (Bild 6-14).

0" =mr," er,- r,l

II

I~ --To

~oz ~ ~po2 =

Oo,=m

Cpo1

( r2-

To l

01-Tol

Bild 6-14 Übertragener Wärmestrom Q12 bei einer Er~ärmung von einer Temperatur T 1 auf eine Temperatur T2 im :Vergleich zum Wärmestrom Q01 bei einer Abkühlung von T 1 auf T0 und zum Wärmestrom Q 02 bei einer Erwärmung von T0 auf T2• Man stellt die Wärmestrombilanz auf und führt anstelle der absoluten Temperaturen T die empirischen Temperaturen t ein. (6.66) (6.67) Außerdem wird die Bezugstemperatur t0 gleich 0 °C gesetzt, so daß die mittleren Wärmekapazitäten cp als Funktion n~r einer Temperatur t tabelliert werden können. Für den l!bert~agenen Wärmestrom Q12 und die dadurch bedingte Änderung des Enthalpiestromes H 2 - H 1 ergibt sich damit (6.68) Diese Beziehung gilt entsprechend für die molaren und volumetrischen Wärmekapazitäten. Es ist zu beachten, daß in Gleichung (6.68) die Werte der empirischen Temperatur t einzusetzen sind, da sich wegen T = t + T0 (cp2 · tr cpt · tt) und

(cp2 · T2- cpt · Tt) um

(S,2- cpt) To

unterscheiden. In Tabellenwerken finden sich Werte sowohl

=Cp (t)

von wahren Wärmekapazitäten

Cp

als auch von mittleren Wärmekapazitäten

cP = cP (t).

Es muß darauf geachtet werden, ob diese Werte - wie meistens - in Abhängigkeit von der empirischen Temperatur t oder in Abhängigkeit von der thermodynamischen Temperatur T aufgelistet sind. Isochore Wärmekapazitäten- Die bisherigen Aussagen gelten sinngemäß für die Ableitungen der Inneren Energie nach der Temperatur. Es ergeben sich daraus die folgenden Größen: =du dT

(6.69)

Molare isochore Wärmekapazität (isochore Mo/wärme) C

=dU m dT

(6.70)

Volumetrische isochore Wärmekapazität

=

Spezifische isochore Wärmekapazität

mv

Cpv

dU!Vn dT

(6.71)

6.4 Wärmekapazitäten und Isentropenexponent

131

Die isochoren Wärmekapazitäten sind im Wert immer kleiner als die isobaren, da bei isochoren Zustandsänderungen keine Energie für eine Volumenänderung aufgebracht werden muß. In Abschnitt 6.2 war bereits abgeleitet worden, daß sich die spezifischen isobaren und spezifischen isochoren Wärmekapazitäten nur durch die spezifische Gaskonstante R unterscheiden [Gleichung (6.38)]. Cp- Cv=

R

Durch Multiplikation mit der Molmasse bekommt man die entsprechende Aussage für die molaren Wärmekapazitäten. M

Cp-

M

Cv=

(6.72)

MR

Rm {6.73) Eine entsprechende Aussage für die volumetrischen Wärmekapazitäten gibt es mangels einer volumetrischen Gaskonstanten nicht. Jsentropenexponent - Bei der Behandlung von Zustandsänderungen Idealer Gase in Abschnitt 7 tritt das Verhältnis der beiden Wärmekapazitäten auf. Dieses Verhältnis ist bei Idealen Gasen gleich dem lsentropenexponent IC. Cmp- Cmv =

_ Cp _ Cmp IC----Cv Cmv

(6.74)

Der lsentropenexponent IC ist wie die Wärmekapazitäten eigentlich eine von Druck und Temperatur abhängige Größe, soll hier jedoch als konstanter Wert behandelt werden. Zahlenwerte für Rechnungen mit konstanten Wärmekapazitäten und Isentropenexponenten enthält Tabelle T-3 im Anhang. In Tabelle T-4 sind temperaturabhängige Werte von molaren Wärmekapazitäten angegeben. • Beispiel6.3 Ein Kohlendioxid-Strom von 5,668 · 10-3 kg/s wird von 70,0 oc mit einer Heizleistung von 3,225 kW erhitzt. Welche Temperatur wird dabei erreicht?

m

Daten Massenstrom = 5,668 · 10-3 kgls Heizleistung Q12 =3,225 kW Anfangstemperatur t 1 = 70,0 °C Da die Daten vierstellig gegeben sind, wird es notwendig sein, mit temperaturabhängigen Wärmekapazitäten zu rechnen. Die Tabelle T-4 enthält nur Molwärmen, so daß es zweckmäßig ist, mit molaren Größen zu arbeiten. Stoffmengenstrom (Gleichung (2.3)]

n

n= m .

-3

= 5,668 . 10

kgls 44,01 kglkmol

M

= 0 1288 . 10-3 kmol '

s

Austrittstemperatur 12 [Gleichungen (6.63), (6.68)] Q12 =

12

m(cp2 . 1].- Cpl . II) = n(Cmp2. 12- Cmpl . IJ)

012/n + Cmpl · 11

=------'-cmp2

Q121n=3,225 kW/ (0,1288 · 10- 3 kmoUs) Cmpl · l1

=37,50 kJ/ (kmol K) · 70,0 °C

Qlzln + cmpl . tl

=25039 kJ/kmol = 2625 kJ/kmol = 27664 kJ/kmol

6 Zustandsgleichungen Idealer Gase

132

Da CmpZ von der gesuchten Temperatur 12 abhängt, muß diese zunächst angenommen und die Rechnung mehrfach wiederholt werden. 12

angenommen

cmp2

12

errechnet

oc

kJ/(kmol K)

oc

3300 500 600

57.44 44,66 45,85

482 619 603

~=

12 =

27664 kJ/ kmol K

cmp2 600 oc

Eine Vergleichsrechnung mit der in Tabelle T-3 angegebenen wahren Wärmekapazität für 0 oc ergibt einen stark abweichenden Wert.

12 = (27664 kJ/ kmol]/(35,93 kJ/ (kmol K)] = 790 oc

6.5 Fragen und Übungen Frage 6.1 Welche der folgenden Gleichungen stimmt nicht mit der Gasgleichung Uberein? (a)

p= - V

(c)

TRm pM = - v

(b)

~ = _I!_ V MT

(d)

-

nRMT

IJ

T

pVm n R T=-M Keine, denn alle diese Gleichungen stimmen mit der Gasgleichung Uberein.

(e) (f)

n Rm

=pm

Frage 6.2 Welchen Wert hat näherungsweise die spezifische Gaskonstante von Helium? Es ist Rm = 8314 J/(kmol K) und MH. =4,003 kg/kmol. (a) 2,05 kJ/(kg K) (c) 0,48 kg K/kJ (e) Keinen der vorstehenden Werte. (b) 2,05 J/(kmol K) (d) 32,8 kJ/(kg K) Frage 6.3 ln der Gasgleichung tritt das Produkt aus Druck und Volumen auf. Dieses Produkt hat die Dimension einer (a) Stoffmenge. (c) Leistung. (e) Masse. (b) Kraft . (d) Energie. (f) Temperatur. Frage 6.4 Der Unterschied zwischen den molaren Wärmekapazitäten Idealer Gase bei konstantem Druck und konstantem Volumen (a) ist für alle Stoffe und alle Zustände gleich groß. (c) hängt nicht vom Stoff, aber vom Zustand ab. (b) hängt nur vom Stoff, aber nicht vom Zustand ab. ( d) hängt vom Stoff und dessen Zustand ab. Frage 6.5 Welche Eigenschaften haben die folgenden Größen? p Größe H w, intensive Zustandsgröße (a) (a) (a) extensive Zustandsgröße (b) (b) (b) extensive Prozeßgröße (c) (c) (c) molare Zustandsgröße (d) (d) (d) spezifische Größe (e) (e) (e) Keine der vorstehenden Eigenschaften (f) (f) (f)

M

q

s

IJ

p

v..

(a) (b) (c) (d) (e)

(a) (b) (c) (d) (e)

(a) (b) (c) (d) (e)

(a) (b) (c) (d) (e)

(a) (b) (c) (d) (e)

(a) (b) (c) (d) (e)

(f)

(f)

(f)

(f)

(f)

(f)

Frage 6.6 Von welcher Art sind die folgenden Gleichungen? (ZG Zustandsgleichung) Gleichung Kalorische ZG Thermische ZG Keine ZG

T= T(v,p)

(a) (b) (c)

v

=v(p',xd) (a) (b) (c)

qlZ

+

Wv

=Uz- Ul

(a) (b) (c)

u=u(v, 1)

(a) (b) (c)

133

6.5 Fragen und Übungen

Fnae 6.7 Geben Sie die Bedeutung der folgenden Formelzeichen möglichst genau in Worten an. 7. 6. B, s. wp34 4. jl2 3. Cpp2 2. el I. i/2

Sotl

8. S.z

Fnae 6.8 In welchen Einheiten können die folgenden Größen angegeben werden? Größe

c••

R.

M

c,

R

II

Cpp

1 kcall(m3 0 C) kJ/(kmol K) kg/kmol kJ/(kg K)

(a) (b) (c) (d) (e)

(a) (b) (c) (d) (e)

(a) (b) (c) (d) (e)

(a)

(a) (b) (c) (d) (e)

(a) (b) (c) (d) (e)

(a) (b) (c) (d) (e)

(b) (c) (d) (e)

Fraae 6.9 Welche der folgenden Gleichungen ist eine thermische Zustandsgleichung? (d) V=mv v=v(p',xd) (e) Keine der vonlehenden Gleichungen dh = c, dT (autaT)y =cv(V. T)

(a) (b) (c)

Fraae 6.10 Beim JauLESChen Übentrömvenuch hatte sich ergeben, daß eine Größe nach dem Venuch wieder den Anfangswert annimmt. Welche Größe ist dies? (f) Keine der vonlehenden Größen (e) e (d) v (c) T (b) q (a) p Fnae 6.11 Welche der folgenden Aussagen gilt für den JouLESCheu Übentrömvenuch? (e) Keine der vonlehenden Gleichungen (c) (aTtap). =const. (a) (avtaT>p =const. (b)

(autav}r = const.

(d)

(autap}r = o

Fraae 6.12 Welche Gleichung ist die auf die Masse des Systems bezogene thermische Zustandsgleichung für ein bestimmtes Gas mit der Gaskonstanten R?

=

(e) (c) pp/1 R pTiv =R (f) (d) pV = RT/m (b) p = RT/v Fraae 6.13 Vereinfachen Sie die Fassung des Energiesatzes (a)

pV =nRT

Keine der vonlehenden Gleichungen

dq + vdp +dj =cpdT +(ahtap)rdp

CUr den Fall eines reveniblen isobaren Prozesses. dq =cp dT (c) (a) dq =0 (d) vdp =cpdT (b) dj = cpdT

(e)

dq =(ahtap)rdp

(f)

vdp =(ahtap)rdp

Fraae 6.14 Welches Formelzeichen steht rur die wahre, mit der molaren Enthalpie definierte isobare Wärmekapazität? (e)

cmp

(f)

Keines der vonlehenden Formelzeichen.

c,

eines Naßdampfes Fraae 6.15 Mit welcher Gleichung kann die spezifische isobare Wärmekapazität bestimmt werden? (e) c, =c. · 11 c, = C,tm (c) (a) c, =R + c. (f) Mit keiner dieser Gleichungen. (d) c, =cj11 (b) c, =c.- R

134

6 Zustandsgleichungen Idealer Gase

Obua1 6.1 Die Zustandsgrößen lassen sich in Zustandsdiagrammen mit Parameterkurven danteUen. Für Isochoren ergeben aich dazu die folgenden Fragen. 1. Wie kann man die Gleichung einer Isochoren in einem Druclt-Temperatur-Diagramm allgemein lchreiben? 2. Wie lautet diese Funktion für Ideale Gue? 3. Skizzieren Sie ein Druck-Temperatur-Diagramm für ein Ideales Gu mit zwei Isochoren. 4. Welche Isochore bat den höheren Parameterwert? Obuo1 6.2 Die Zustandsgrößen lassen sich in Zustandsdiagrammen mit Parameterkurven danteUen. Für Isobaren ergeben sieb dazu die folgenden Fragen. 1. Wie kann man die Gleichung einer Isobaren in einem Temperatur-Volumen-Diagramm allgemein schreiben? 2. Wie lautet diese Funktion fllr Ideale Gase? 3. Skizzieren Sie ein Temperatur-Volumen-Diagramm für ein Ideales Gu mit zwei Isobaren. 4. Welche Isobare bat den höheren Parameterwert? Obaa1U Ein Druckbeblllter mit einem Volumen von 200 Liter ist mit Metban gefüUL Bei Umgebungstemperatur zeigt das Manometer einen Druck von 80 bar an. Die folgenden Fragen soUen mit Oberschlagsrechnungen beantwortet werden. Die Molmasse von Metban kann dazu mit 16 kglkmol angesetzt werden. 1. Wie groß ist die Gaskonstante von Methan? 2. Welche Masse an Metban entblllt der Druckbeblllter? 3. Wie groß ist die Stoffmenge des Methans? 4. Welches Volumen würde das Methan im Normzustand einnehmen? Obung6.4 Vergleichen Sie die Normdichten von Wasserstoff, Propan und Schwefeldioxid mit der Normdichte von Luft mithilfe der Molmassen dieser Stoffe von 2 kglkmol fllr H 1 , 44 kglkmol fllr ~H 1 , 64 kglkmol für S01 und 29 kglkmol fllr Luft.

t:'lbung 65 In einem Werk fallen laufend 0,2877 m 3/s Kohlendioxid (COl) unter einem absoluten Druck von 2,860 bar mit einer Temperatur von 950 •c an. Der Gasstrom wird auf30,0 •c abgekühlt. I. Wie groß ist der anfallende Massenstrom? 2. Bestimmen Sie möglichst genau den zur Abkühlung abzuführenden Wärmestrom. Der Einflußder Umgebung sei dabei vernachlässigt. 3. Welcher Wärmestrom ergibt sieb, wenn (lllschlich) mit der für 0 •c geltenden Wärmekapazität gereebnet wird?

fJbuna 6.6 Ein Kohlenoxid-Strom von 7,182 · 10- 3 kgfs wird von 20,0"C mit einer Heizleistung von 9,142 kW erhitzt. I. Wie groß ist der StofTmengenstrom? 2. Die Temperatur des erhitzten Kohlenoxidstromes soll bis auf :t 5 K genau bestimmt und dabei mit molaren Wärmekapazitäten gerechnet werden.

135

7 Zustandsänderungen Idealer Gase In den vorhergehenden Abschnitten sind die Grundlagen behandelt worden, mit denen die Veränderungen des Zustandes von Systemen bei thermodynamischen Prozessen berechnet werden können. Für die Zustandsänderungen Idealer Gase lassen sich Beziehungen ableiten, mit denen die übertragenen Wärmen und Arbeiten sowie die Änderungen von Enthalpie und Innerer Energie bestimmt werden, außerdem die Änderungen von Temperatur, Druck und spezifischem Volumen, und zwar allgemein für Ideale Gase gültig.

7.1 Allgemeine und spezielle Zustandsänderungen Technischen Prozessen kann man bestimmte einfache Zustandsänderungen zuordnen.

Die in thermodynamischen Prozessen vorkommenden Zustandsänderungen lassen sich durch eine weitere Idealisierung einigen wenigen speziellen Zustandsänderungen zuordnen. Diese speziellen Zustandsänderungen sind dadurch gekennzeichnet, daß eine Zustandsgröße konstant bleibt. Die folgende Aufstellung zeigt die zu einer Reihe technischer Prozesse zuzuordnenden Zustandsänderungen. Rohrströmung, Wärmeaustauscher, Brennkammer Isobare p = konst. Isochore Geschlossene Behälter, Verbrennung v = konst. im oberen Totpunkt von Kolbenmotoren T = konst. Isotherme Langsam verlaufende Prozesse mit gleichzeitiger Arbeits- und Wärmeübertragung s = konst. Isentrope Maschinenprozesse ohne Wärmeübertragung Diese speziellen Zustandsänderungen sind im allgemeinen als Optimum anzusehen. Die Güte wirklicher Zustandsänderungen kann an ihnen gemessen werden. Zu einem solchen Gütevergleich braucht man die gemessenen Werte wirklicher Zustandsänderungen und die gerechneten Werte der entsprechenden speziellen Zustandsänderungen. Im Abschnitt 7.6 wird dann gezeigt werden, daß sich die genannten speziellen Zustandsänderungen zusammenfassend darstellen lassen. Die allgemeine Berechnung solcher Prozesse ist nur möglich, wenn bestimmte Voraussetzungen erfüllt sind. Die darin enthaltenen Idealisierungen müssen dann bei der Übertragung der Ergebnisse auf wirkliche Prozesse durch entsprechende Korrekturen ausgeglichen werden. Um eine Zustandsänderung berechnen zu können, müssen bekannt sein - der Anfangszustand, - eine Angabe über den Verlaufund - eine Angabe für das Ende. Damit lassen sich die Drücke, die Temperaturen und alle bezogenen Zustandsgrößen ermitteln. Sollen auch Mengengrößen bestimmt werden, so ist eine weitere Angabe erforderlich. Bei der Behandlung der speziellen Zustandsänderungen Idealer Gase soll generell vorausgesetzt werden, daß keine Dissipationseffekte auftreten, Streuenergienj also nicht berücksichtigt werden müssen. h2

=0

(7.1)

136

7 Zustandsänderungen Idealer Gase

Auch die Änderungen der kinetischen und der potentiellen Energien bleiben unbeachtet. 2

2

c 2 -c 1 +g(z2-Zt)=0 2 •

(7.2)

Beispiel 7.1 Am Verdichtungsprozeß eines Luftstromes wird gezeigt, wie eine Zustandsänderung rechnerisch behandelt werden kann. Der Luftstrom wird aus der Umgebung angesaugt, in der der Druck Pamb und die Temperatur Tamb herrschen, und auf den Druck p 2 verdichtet (Bild 7-1). Dafür muß im Verdichter die Arbeitsleistung P 12 zugeführt werden, so daß sich die spezifische Enthalpie der Luft von hamb auf h2 erhöht.

mL

,--------------, I Pamb•

Tamb• hamb

I

P2 • T2 • h2

1.~1 mL-

1

1

L-------~~~

Bild 7-1 Verdichtung eines Luftstromes in einem Luftverdichter

Wenn der Druck Pamb und die Temperatur Tamb der Umgebung bekannt sind, für den Verlauf eine reversible und adiabate Verdichtung vorgeschrieben wird und der Druck am Austritt den Wert p 2 haben soll, lassen sich die Enthalpien h und spezifischen Volumen v für die Umgebung und Austritt berechnen. Mit der Angabe des Massenstromes ist auch die notwendige Arbeitsleistung P 12 ermittelbar.

mL

7.2 Isobare Zustandsänderung In Rohrleitungen und Wärmeaustauschern ändert sich der Druck in einem Stoffstrom nur wenig. Wie verhalten sich die anderen Zustandsgrößen? Welche Energien werden übertragen? Der Anfangszustand einer Zustandsänderung sei mit dem Druck p 1 und der Temperatur T1 gegeben. Der Verlauf soll isobar sein, der Druck bleibt also konstant. Das Ende der Zustandsänderung wird häufig durch eine Temperatur T2 festgelegt. Diese Angaben genügen, um die Zustandsänderung in das p,v- und das T,s-Diagramm desjenigen Stoffes einzutragen, mit dem die Zustandsänderung ausgeführt wird (Bild 7-2). Thermische Zustandsgrößen - Die nicht gegebenen thermischen Zustandsgrößen werden mit der Gasgleichung (6.1) berechnet. Das spezifische Volumen v im Anfangszustand 1 ist damit

R Tt

(7.3)

Vt=--. Pt

Für den Endzustand 2 liefert die Division der für den Zustand 2 geschriebenen Gasgleichung durch die Gasgleichung für den Zustand 1 eine Aussage.

Pz Vz Pt Vt

Vz

R T2 R T1 T2

(7.4)

VtTt

Das spezifische Volumen v ändert sich bei einer isobaren Zustandsänderung proportional mit der absoluten Temperatur T. Dies läßt sich auch in der Form schreiben T

- = const. V

(7.5)

7.2 Isobare Zustandsänderung

137

Daraus kann dann wieder abgeleitet werden Tz= Tl. Vz.

(7.6)

vl

Arbeiten und Wärmen - Die bei einer isobaren Zustandsänderung übertragene Druckarbeit wplZ ist Null, weil das Differential des Druckes dp Null ist. 2

(7.7)

wplz=fvdp=O 1

Dies wird verständlich, wenn man überlegt, daß beispielsweise eine Rohrleitung, in der sich keine Maschine befindet, keine Einrichtung zur Übertragung technischer Arbeit enthält. Die spezifische Volumenarbeit wy12 wird bei dieser Art von Zustandsänderung 2

wv12

(7.8)

=-fpdv=p(vl-Vz) =R(T1-Tz). 1

Die übertragene Wärme ergibt sich aus dem Ersten Hauptsatz [Gleichung (4.47)], der Kalorischen Zustandsgleichung (6.23) und der oben abgeleiteten Gleichung (7.7) als proportional der Temperaturänderung. qlz = hz- ht =

cP

(T2- Tt)

(7.9)

Diagrammdarstellungen - Die Isobare verläuft im p, V-Diagramm selbstverständlich waagerecht und im T,s-Diagramm nach Gleichung (6.47) als e-Funktion (Bild 7-2). Die Fläche zwischen der Isobaren und der Abszisse stellt im p,v-Diagramm die Volumenarbeit wy [Gleichung (7.8)] dar. Für das T,s-Diagramm ergibt sich aus den Gleichungen (5.30), (7.1) und (7.7) 2

JTds = q12 = hz-hl·

(7.10)

1

Die Fläche zwischen Isobare und Abszisse repräsentiert sowohl die übertragene Wärme q 12 als auch die Enthalpiedifferenz h2 - h1 .

t

T2

T

T1

0 --~-~:......:..+----

0

v1

v2

v-

0 0

51

52

s-

Bild 7-2 Isobare Zustandsänderung 1-2 eines Idealen Gases, dargestellt imp,v-Diagramm und im T,s-Diagramm. Die schraffierten Flächen sind den angegebenen Energien proportional, die während der Zustandsänderung übertragen werden.

7 Zustandsänderungen Idealer Gase

138

•

Beispiel 7.2 Ein mit Kohlendioxid gefüllter Blechzylinder mit einem Volumen von 0,0210 m3 ist gegen die Umgebung mit einer Gummimembran abgeschlossen (Bild 7-3). Wie stark ändert sich das Volumen, wenn die Umgebungstemperatur von 5 °C auf 40 °C zunimmt und sich damit die Behälterfüllung entsprechend erwärmt? Welche Energien werden dabei übertragen? Der Luftdruck in der Umgebung kann mit 730 Torr angenommen werden.

Bild 7·3 Durch eine Membran abgeschlossener Blechzylinder M Membran

Daten

Zylindervolumen Anfangstemperatur Endtemperatur Luftdruck

F Füllstutzen mit Ventil

0,0210 m3 5 °C; T 1 = 278 K 40 °C; T 2 = 313 K 730 Torr = 0,973 bar

VI II 12

Pamb

Volumenänderung V 2 - V1 - Es sei angenommen, daß die Membran einen vollständigen Druckausgleich zwischen der Behälterfüllung und der Umgebung zuläßt. Damit kann die Zustandsänderung als isobar angesehen werden [Gleichungen (2.4), (7.6)]. V=mv V2 = V 1

·

T2 1T1

V 2 - V 1 = V 1 ((T2 /T1) -1)

V2 - V 1 = 0,021 m 3 ((313 K)/(278 K)- 1) = 0,021 m3 · 0,126 = 0,0026 m3 Es ließe sich stattdessen zunächst das Volumen V 2 berechnen. V2

=VI (T2/T1) = 0,021 m3 (313 K)/(278 K) = 0,0236 m3

Die Volumenänderung wird durch die Membran aufgenommen. Die Ausdehnung des Zylinders ist demgegenüber vernachlässigbar. Volumenarbeit Wv 12

m

-

Zur Ausdehnung des Kohlendioxids wird Volumenarbeit geleistet (Gleichungen (6.1), (7.8)).

p V 1 /(R T 1)

wy 12

p VI

m wv 12 =- - - R (T2

R T1

-

T1) =- p V 1 (T21T1

-

=- R (T2

-

T1)

1)

- 0,973 · 102 kN/m 2 · 0,021 m3 · 0,126 = - 0,257 kJ Erhöhung der Inneren Energie V2 - V1 Die Erwärmung des Behälterinhalts erfordert einen weiteren Energieaufwand [Gleichungen (6.1), (6.24), (6.38), (6.74)). m=pV11(RT1)

cP-c,=R

~-u 1 =cv(T2 -T1 )

P VI

v2- VI = m Cv (T2- Tl)=--

RT1

V 2 - V1 =- Wv 12 ·

1/(~c:-

Cv

1\=c/c,

1

(T2- Tl)= p VI --(T2/Tl- 1) ~c:-1

1) = 0,257 kJ · 1/(1,301- 1) = 0,854 kJ

Einströmende Wärme Q 12 - Die Volumenarbeit Wv 12 und die Erhöhung der Inneren Energie V 2 - V 1 müssen durch Wärmezufuhr aus der Umgebung aufgebracht werden. Diese Wärme Q12 läßt sich auch unmittelbar mit den Gleichungen (4.37) und (6.25) (mit nicht auf die Zeit bezogenen Größen) berechnen.

Q12 = Hz- H 1

Hz- H 1 = m

(hz- h1 )

Q 12 = Hz- H 1

=m (hz- ht) =m cp (Tz-

Q 12 = m

-

cp

(T2

T1) =

~c:(Vz-

=m

cP

(Tz- T1 )

Tt) = m (R + cv) (Tz- T1)

V1) = 1,301· 0,854 kJ = 1,11 kJ

Dabei wird nochmals der Zusammenhang zwischen den beiden Wärmekapazitäten stanten R sichtbar (Gleichung (6.38)).

cP

und c, und der Gaskon-

7.3 Isochore Zustandsänderung

139

7.3 Isochore Zustandsänderung In geschlossenen Behältern bleibt das Volumen unverändert. Wie verhalten sich die anderen Größen bei Idealen Gasen?

Wenn eine Zustandsänderung isochor verläuft, bleibt bei einem geschlossenen ~ystem das Volumen V konstant, bei einem offenen System der betreffende Volumenstrom V. Das kann auch in der Form ausgesprochen werden, daß das spezifische Volumen v oder das molare Volumen V moderdie Dichte p unverändert bleiben. Mit den in Abschnitt 7.1 beschriebenen notwendigen Angaben läßt sich auch diese Zustandsänderung in die Zustandsdiagramme eintragen (Bild 7-4). Thermische Zustandsgrößen- Die Gasgleichung (6.1) wird wieder für den Anfangszustand 1 und für den Endzustand 2 angeschrieben. Die Division liefert die Aussage, daß sich bei einer isochoren Zustandsänderung der Druck p proportional der absoluten Temperatur T ändert. Pz Vz

R Tz

P1 V1

R T1 Tz

PtTl

(7.11)

Tz

Tt Pz Pt

(7.12)

T

const.

(7.13)

Pz

:::;

p

Arbeiten und Wärmen - Die bei einer isochoren Zustandsänderung übertragene Druckarbeit wplZ hat den Wert

z

wp1Z

== Jvdp == v(pz- Pt)== R (Tz- T1).

(7.14)

1

Die spezifische Volumenarbeit wy12 wird bei isochoren Zustandsänderungen Null.

z Wytz :::; -

Jp d V:::; 0

(7.15)

1

Die übertragene Wärme ergibt sich aus dem Ersten Hauptsatz [Gleichung (4.38)], der Kalorischen Zustandsgleichung (6.24) und der Gleichung (7.15) als proportional zur Temperaturänderung. q 1z == Uz- u 1 ==

Cv (Tz-

T1)

(7 .16)

Diagrammdarstellungen - Die Isochore verläuft im p, v-Diagramm selbstverständlich senkrecht und im T,s-Diagramm nach Gleichung (6.48) als e-Funktion (Bild 7-4). Die Fläche zwischen der Isochoren und der Ordinate stellt im p, v-Diagramm die Druckarbeit w [Gleichung (7.14)] dar. Für das T,s-Diagramm ergibt sich aus den Gleichungen (5.33), (7.1) und (7.15)

z

JT ds == q 12 == uz- u 1 •

(7.17)

1

Die Fläche zwischen Isochore und Abszisse repräsentiert sowohl die übertragene Wärme q 12 als auch die Differenz der Inneren Energie Uz - u1•

140

7 Zustandsänderungen Idealer Gase

p

T P1 +-'~__"_..>.....::~~

0+-------~----0

Bild 7-4 Isochore Zustandsänderung 1-2 eines Idealen Gases, dargestellt imp, V-Diagramm und im T,s-Diagramm. Die schraffierten Flächen sind den angegebenen Energien proportional, die während der Zustandsänderung übertragen werden.

•

Beispiel 7.3 Ein mit Ammoniak gefüllter Behälter mit einem Rauminhalt von 5,11 Liter steht bei einer Temperatur von 22,0 oc unter einem Druck von 3,14 bar. Durch Sonneneinstrahlung steigt die Temperatur auf 38,5 °C. Welche Masse hat die Behälterfüllung? Welche Werte haben die thermischen Zustandsgrößen? Welche Energie ist der Behälterfüllung zugeführt worden? Daten

Ammoniakvolumen Anfangstemperatur

11

Endtemperatur

12

5,11 ltr = 5,11 ° 10"3 m 3 22,0 °C; T 1 = 295,2 K 38,5 °C; T2 = 311,7 K

Anfangsdruck

p1

3,14 bar= 3,14 · 102 kN/m 2

V

Ammoniakmasse m (Gleichung (6.2)] p1 V 3,14 · 102 kN · 5,11 · 10-3 m 3 kg K m = --- = = 0,0111 kg

m 2 · 0,4882 kJ · 295,2 K

R T1

Thermische Zustandsgrößen - Die Temperaturen T 1 und T2 sind ebenso wie der Anfangsdruck p 1 gegeben, so daß nur noch das spezifische Volumen v und der Enddruck p 2 zu ermitteln sind. Da die Ausdehnung des Behälters vernachlässigt werden kann, läßt sich mit einer isochoren Zustandsänderung rechnen, bei der selbstverständlich auch das spezifische Volumen unverändert bleibt. Spezifisches Volumen v (Gleichung (2.4)] V

= v1 =

~

V 5,11 · 10-3 m 3 3 = ·- = = 0,460 m I kg m 0,0111 kg

Enddruck p 2 (Gleichung (7.11)]

p2 = p 1 · T2 1T1 = 3,14 bar · 311,7 K/(295,2 K) = 3,32 bar Zunahme der Inneren Energie U2 - U1 ((Gleichungen (6.34), (6.38), (7.15)) Die eingestrahlte Sonnenenergie kann als Wärme aufgefaßt werden, die die Innere Energie U der Behälterfüllung erhöht. Es wird genügen, hier die konstante Wärmekapazität aus Tabelle T-3 einzusetzen.

Q 12 = U 2

-

U 1 =m (Uz -~~J) =m cv(T2

u2 - u 1 = 0.0111

-

T1) =m (cp- R) (!z -11)

kg (2,056- 0.488) kJi(kgK) · (38,5- 22.o) K = o,287 kJ

7.4 Isotherme Zustandsänderung Prozesse mit konstanter Temperatur lassen sich nicht leicht verwirklichen, bieten aber besondere Vorteile. Thermische Zustandsgrößen - Den Zusammenhang zwischen den Thermischen Zustandsgrößen erhält man wieder mit der Gasgleichung (6.1).

141

7.4 Isotherme Zustandsänderung

Pz Vz

R Tz R Tt

Pt Vt

Auf der rechten Seite sind Zähler und Nenner gleich. Damit wird Vt

(7.18)

Pz=Pt-· Vz

Druck und Volumen sind also bei isothermen Zustandsänderungen Idealer Gase einander umgekehrt proportional. Allgemein kann man schreiben

v = const.

(7.19) Die Konstante läßt sich aus den Anfangswerten (oder einem anderen Wertepaar) von Druck und spezifischem Volumen oder aus Gaskonstante und Temperatur errechnen. So ergibt sich ein spezifisches Volumen v2 mit p ·

Vz =Pt Vt!_ = R

Pz

Tl.

(7.20)

Pz

Arbeiten und Wärmen -In den Ansatz für die spezifische Druckarbeit wp12 [Gleichung (4.33)] wird die Gasgleichung (6.1) eingebracht, um die Integration ausführen zu können. 2

wpl2 =

f vdp

V

2

Wpt2 =

fR T dpp 1

Wpt2 =

=R T p

I

2

= R T

f dpp 1

Pz R Tin-

(7.21)

Pt Vt Wpt2 =Pt Vtln-

Vz

(7.22)

In die letzte Umformung sind die Gasgleichung (6.1) und die Gleichung (7.18) eingegangen. Sowohl die Produkte vor dem Logarithmus als auch dessen Argumente können unabhängig voneinander ausgetauscht werden. Schreibt man den Ersten Hauptsatz in den Fassungen der Gleichungen (4.37) und (4.38), kann man gleichsetzen q12 = hz- ht- Wpt2 = Uz- Ut- Wvt2

(7.23)

Da die Enthalpie h und die Innere Energie u Idealer Gase reine Temperaturfunktionen sind [Gleichungen (6.23), (6.24)], werden deren Differenzen bei isothermen Zustandsänderungen Null. qt2 =- wpl2 =- Wvt2 (7.24) Die bei einer isothermen Zustandsänderung vom Zustand 1 zum Zustand 2 übertragene Wärme q 12 , die übertragene Druckarbeit w~1 ~ und die übertragene Volumenarbeit wy12 haben den gleichen Betrag, aber unterschiedliche Vorzeichen. Man kann auch sagen, daß bei isothermer Expansion soviel an Wärme zugeführt werden muß, wie an Arbeit abgegeben wurde. Bei isothermer Kompression muß die als Arbeit zugeführte Energie als Wärme wieder abgeführt werden, um die Temperatur zu halten. Druckarbeit wP12 und Volumenarbeit wv12 sind bei isothermen Zustandsänderungen gleich.

142

7 Zustandsänderungen Idealer Gase

Diagrammdarstellungen - Die Gleichung für den Verlauf einer Isothermen in einem

p, V-Diagramm ist bereits früher abgeleitet worden [Gleichung (6.13)) und hatte eine Hyperbel

ergeben. Im T,s-Diagramm verläuft die Isotherme selbstverständlich waagerecht (Bild 7-5). Im p, V-Diagramm stellt die Fläche zwischen der Isothermen und der Abszisse die Volumenarbeit wv 12 dar, die Fläche zwischen der Isothermen und der Ordinate die Druckarbeit wp12 . Für das T,s-Diagramm ergibt sich aus den Gleichungen (5.30) und (7.1) 2

}Tds=q 12

(7.25)

•

1

Die Fläche zwischen Isotherme und Abszisse repräsentiert die übertragene Wärme q 12 .

...~.

P1

p

P1

t

T

T1

P2 x' stets der Sättigungswert x' eingesetzt wird.

8.5 Zustandsgrößen und Zustandsdiagramme feuchter Luft

165

Die Enthalpiefeuchter Luft- Die Enthalpie eines chemisch inaktiven Gemisches ist gleich der Summe der Enthalpien der Komponenten. Für das Gemisch Feuchte Luft ergibt sich die EnthalpieHaus der Enthalpie der trockenen Luft HL und der Enthalpie des Wassers Hw. ~=~~ Hw = mw hw H

~~

(8.49)

=HL +Hw=mLhL +mwhw

(8.50)

Man bezieht auch die Gemischenthalpie H auf die Masse mL der trockenen Luft und erhält als spezifische Enthalpie h des Gemisches h

mLhL mwhw =- + - - - = hL mL

mL

+X hw.

(8.51)

Die Enthalpie hL der trockenen Luft wird mit konstanter spezifischer Wärmekapazität cpL zu hL = CpL (t- to) + hLO · Für die praktische Rechnung wird die Bezugstemperatur Enthalpie hLO = 0 gesetzt.

(8.52) t0

=0

oc und die dazugehörende (8.53)

Für den hier interessierenden Temperaturbereich bis etwa 70 oc kann für Luft mit einer mittleren spezifischen Wärmekapazität cpL = 1,005 kJ/(kg K) gerechnet werden. Bei der Bestimmung der Enthalpie hw der Komponente Wasser muß unterschieden werden, ob die Luft ungesättigt, gesättigt oder übersättigt ist und ferner, ob das nicht dampfförmige Wasser als Wasserflüssigkeit oder als Wassereis vorhanden ist. Ungesättigte feuchte Luft- Die Komponente Wasser befindet sich einphasig als überhitzter Dampf im Gemisch. Die Enthalpie hwd des Wasserdampfes t

hwd = h' + ßhd +

f CpWd dt

(8.54)

to

wird mit der Bezugstemperatur t0 = 0 °C und der Enthalpie h' = 0 für flüssig gesättigtes Wasser zu (8.55) Für die spezifische Verdampfungsenthalpie kann L\ hct = 2502 kJ/kg und für die spezifische Wärmekapazität des Wasserdampfes cpWd = 1,852 kJ/(kg K) eingesetzt werden. Die Enthalpie h ungesättigter feuchter Luft wird damit zu h = CpL t +X .1 hd +X CpWd t.

(8.56)

Gesättigte feuchte Luft- Wird in Gleichung (8.56) der Sättigungswassergehalt x' eingeführt, so ergibt sich für die Enthalpie gesättigter feuchter Luft h' = CpL l + x' .1 hd +X' CpWd t.

(8.57)

Übersättigte feuchte Luft - Enthält die feuchte Luft mehr Wasserdampf als der Sättigung entspricht, so kann weiter mit Gleichung (8.55) gerechnet werden. Die Zustände sind aber instabil. Ist der die Sättigung überschreitende Teil des Wassergehaltes (x - x ') als Wasserflüssigkeit oder Wassereis in der Luft enthalten, so kommen deren Enthalpien zur Enthalpie h' gesättigter feuchter Luft hinzu.

Gas- und Gas-Dampf-Gemische

166

Die Enthalpie hwc flüssigen Wassers wird mit der Bezugstemperatur Enthalpie h' = 0 für flüssig gesättigtes Wasser zu

t0

= 0 oc

und der (8.58)

hwc = cpwt t

und damit die Enthalpie übersättigter feuchter Luft zu h = cpL t + x' .1 hd + x' Cpwd t + (x - x') cpwt t.

(8.59)

h = h' + (x - x') cpwt t.

(8.60)

Darin steht (x - x') für den flüssig vorliegenden Teil des Wassergehaltes. Die spezifische Wärmekapazität der Wasserflüssigkeit beträgt cpwf = 4,186 kJ/(kg K). Die Enthalpie hwe von Wassereis wird mit der Bezugstemperatur t 0 = 0 oc und der Enthalpie h' = 0 für flüssig gesättigtes Wasser zu hwe

= - .1 hc + cpwe t

(8.61)

und damit die Enthalpie übersättigter feuchter Luft unter 0 oc zu h = cpL t + x' .1hd + x' cpwd t- (x- x') (.1hc- Cpwe t)

(8.62)

h =h' -(x -x') (.1hr-cpwet).

(8.63)

Darin ist (x - x') der fest vorliegende Teil des Wassergehaltes. Für die spezifische Schmelzenthalpie ist .1 h 1 = 333,5 kJ/kg und für die spezifische Wärmekapazität des Wassereises cpwe = 2,04 kJ/(kg K) einzusetzen. Die Stoffwerte gesättigter feuchter Luft, der Teildruck des Wassers Pw', der Wassergehalt x' und die Enthalpie h' sind in Abhängigkeit von der Temperatur t in Tabelle T-9 im Anhang zusammengestellt. Enthalpie-Wassergehalt-Diag ramm- Die in der Praxis vorkommenden Zustandsänderungen feuchter Luft lassen sich in einem von MoLLIER entwickelten Zustandsdiagramm gut darstellen, das mit den Gleichungen für die Enthalpie feuchter Luft aufgebaut ist. Da bei den Zustandsänderungen Energien und Wasser übertragen werden, ist es zweckmäßig, die Enthalpie h über dem Wassergehalt x aufzutragen. Die Temperatur t und die relative Feuchte rp werden als Parameter eingezeichnet. Das h,x-Diagramm gilt immer nur für einen bestimmten Gesamtdruck p, da sich die Lage der Sättigungskurve rp = 1 mit dem Gesamtdruck ändert. Hier wird das h,x-Diagramm für den Druck p = 1000 mbar gleich 750 Torr zugrundegelegt. •

Beispiel 8.3 Für das h,x-Diagramm lassen sich mit den Gleichungen (8.56) und (8.60), den dazu angegebenen Zahlenwerten und den Sättigungsdampfdrücken Pw' Zustandspunkte für Isothermen berechnen.

Isothermen ungesättigter und gesättigter Luft- Gleichung (8.56) lautet mit Zahlenwerten h = 1,005 kJ/(kg K) . t + 2502 kJ/kg . X + 1,852 kJ/(kg K) . t . X • Die Isothermen bilden demnach eine Geradenschar mit der Steigung (8h/8x) = 2502 + 1,852 t. Da die Verdampfungsenthalpie Ll hd bei niedrigen Temperaturen überwiegt, verlaufen die Isothermen fast parallel zueinander. Die Isothermen beginnen bei dem Enthalpiewert für den Wassergehalt x = 0 und enden, wenn der

Tabelle 8-1 Isothermen im h,x-Diagramm

oc

Pw'

x'

1,005 . t

2502 · x'

1,852 ·x' · t

h'

4,186(0,20- X ')t

mbar

kgW/kgL

kJ/kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/kg

kJ/kg

h. =0,20 kJ/kg

0 20 40 60

6,11 23,37 73,75 199,20

0,00382 0,01489 0,04953 0,15475

0 20,1 40,2 60,3

9,6 37,2 123,9 387,1

0 0,6 3,7 17,2

9,6 57,9 167,8 464,6

0 15,5 25,2 11,4

9,6 73,4 193,0 476,0

t

167

8.5 Zustandsgrößen und Zustandsdiagramme feuchter Luft

Wassergehalt x seinen Sättigungswert x' erreicht hat. Gleichung (8.37) liefert x' als Funktion des temperaturabhängigen Sättigungsdampfdruckes Pw' (1) für den Gesamtdruck p = 1000 mbar.

x' = 0,622Pw'/(1000 mbar- Pw') Die verbindende Kurve aller Zustände (x', h'), die Sättigungslinie rp =1, trennt das Gebiet ungesättigter Luft von dem Nebelgebiet genannten Gebiet übersättigter Luft, in der Wasser in Tröpfchenform oder als Bodenkörper enthalten ist. Die Kurven gleicher relativer Feuchte rp erhält man angenähert durch lineare Teilung der Isothermen zwischen x =0 und x =x'. Isothermen im Nebelgebiet-Der Verlauf der Isothermen im Nebelgebiet ergibt sich aus Gleichung (8.60) ebenfalls als Gerade. Um diese zu zeichnen, ist außer dem bereits berechneten Punkt auf der Sättigungslinie nur je ein weiterer Punkt notwendig, der in der Tabelle 8-1 für x = 0,20 kgW/kgL ermittelt wird. h

=h' + (0,20 kgW/ kgL- x') · 4,186kJ/kg · t

Bild 8-2 zeigt die Auftragung der berechneten Werte für vier Isothermen von 0 relativer Feuchte rp =1 und rp =0,5.

•c bis 60 •c und zwei Kurven

500 kJ /kg

h

Bild 8-2 h,x-Diagramm für feuchte Luft im rechtwinkligen Koordinatensystem Werte nach Tabelle 8-1

0,05

0,10 kgW I kgl 0.15

0,20

xh,x-Diagramm nach

MoLLIER - In dem mit rechtwinkligen Koordinaten gezeichneten h,x-Diagramm (Bild 8-2) bedeckt das technisch wichtige Gebiet für ungesättigte feuchte Luft bei üblichen Temperaturen nur ein schmales Band, in dem sich die Zustandsgrößen nur ungenau ablesen lassen. MoLLIER hat daher ein schiefwinkliges Koordinatensystem entworfen, um das Gebiet für die ungesättigte Luft zu spreizen. Dafür ist die Abszisse so weit nach unten gedreht, daß die Isotherme von 0 °C für ungesättigte Luft nicht mehr schräg nach rechts oben, sondern rechtwinklig zur Ordinate verläuft. Den Aufbau des schiefwinkligen h,x-Diagrammes zeigen die Bilder 8-3 bis 8-6. Der Verlauf der Isothermen für positive und negative Temperaturen wird aus den Gleichungen (8.56), (8.60) und (8.63) entwickelt.

Gas- und Gas-Dampf-Gemische

168

h

h

X

x'

x-

X

x-

h =CpLI +XLihd +X CpWd I

Bild 8-4 h,x-Diagramm mit Isothermen im Nebelgebiet für positive Temperaturen

[Gleichung (8.56) I

h = h' + (x - x') cpwr t

Bild 8-3 h,x-Diagramm mit Isothermen ungesättigter Luft

(Gleichung (8.60)1

h

h

x'

x-

x

Bild 8-5 h,x-Diagramm mit den beiden Isothermen für t = 0 oc für feuchte Luft mit Wasserflüssigkeit h = h' (t = 0 °C} (Gleichung (8.60)1

für feuchte Luft mit Wassereis h = h'- (x- x') LI hc [Gleichung (8.63) I

X

x·

x

x-

Bild 8-6 h,x-Diagramm mit Isothermen für negative Temperaturen bei ungesättigter feuchter Luft h =- I cpL I I + x LI hd - I x cpWd t I und im Eisnebelgebiet h = h'- (x- x') (Lihc- cpwet) (Gleichungen (8.56) und (8.63)1

8.5 Zustandsgrößen und Zustandsdiagramme feuchter Luft

169

Im vollständigen h,x-Diagramm mit schiefwinkligen Koordinaten (Bild 8-7) bilden die Isenthalpen eine schräg nach rechts unten verlaufende Geradenschar. Die Abszisse selbst ist nicht dargestellt, sondern durch eine waagerechte Skate des Wassergehaltes x ersetzt. Die Isothermen sind bis zur Sättigungslinie nur schwach gegen die Waagerechte geneigte Geraden. An der Sättigungslinie knicken die Isothermen nach unten ab und verlaufen im Nebelgebiet fast parallel zu den Isenthalpen. Die Linien konstanter relativer Feuchte teilen die Isothermen zwischen ({J = 0 (Ordinate, Pw = 0) und ({J = 1 (Sättigungslinie, p = Pw') praktisch linear [Gleichung (8.37)].

Bild 8-7 MoLLIER-Enthalpie-Wassergehalt-Diagramm für feuchte Luft Gesamtdruck p = 1000 mbar. Nach [1]

Randmaßstab .-Wird einem Luftstrom mL mit dem Zustand 1 ein Wasserstrom L1 mw und ein Wärmestrom Q zugeführt, so ergeben die Enthalpiebilanz und die Wasserbilanz die Richtung, in der die Zustandsänderung im h,x-Diagramm verläuft.

(8.64) Wasserbilanz

(8.65)

Die Division der beiden Gleichungen liefert hz- h1 L1 h Q - - - = - =hw+--. Xz- X1 L1 X L1 mw

(8.66)

Die Richtung einer Zustandsänderung ist also durch die Enthalpie hw des zugeführten Wassers und durch den auf den zugeführten Wasserstrom L1 mw bezogenen zugeführten Wärmestrom Q bestimmt.

170

Gas- und Gas-Dampf-Gemische

Die Richtungen L1 h I L1 x sind als Randmaßstab am h,x-Diagramm mit einem Pol auf der Ordinate aufgetragen und können Werte von + oo (auf der Ordinate senkrecht nach oben) bis- oo (senkrecht nach unten) annehmen. Die Benutzung des Randmaßstabes wird später erläutert.

8.6 Luftbehandlungsanlagen Zustandsänderungen der feuchten Luft haben zentrale technische Bedeutung in der Klimatechnik, der Kältetechnik und der Trocknungstechnik.

Mit Luftbehandlungsanlagen wie Klimaanlagen, Luftkühlgeräten, Luftbefeuchtungsanlagen und Trocknungsanlagen werden in Räumen die Luftzustände hergestellt und aufrechterhalten, die für den Aufenthalt von Menschen oder für die Produktion oder die Lagerung von Stoffen notwendig sind. Um in einem Raum einen gewünschten Luftzustand zu erzielen, muß ihm ständig behandelte Luft zugeführt werden. Bild 8-8 zeigt als Beispiel einen zu klimatisierenden Raum und die dazugehörende Luftbehandlungszentrale. Diese Klimazentrale saugt sowohl Außenluft AL als auch Umluft UL an und vermischt beide. Die Mischluft ML wird je nach Bedarf gefiltert, erwärmt, gekühlt, befeuchtet oder getrocknet und dann als Zuluft ~L in den Raum gefördert. In den Raum hinein werden im allgemeinen Wärmeströme .L Q durch darin befindliche Menschen, Maschinen und andere elektrische Geräte fließen sowie durch die Umfassungswände ein- oder ausströmen. Außerdem können dem Raum Wasserdampfströme .LL1 mw. zum Beispiel durch Kochen, Waschen oder Spülen, zugeführt oder auch entzogen werden.

Von oder noch außen übertragene oder im Ionern freiwerdende warmeströme Eil und Wasserdampfströme E t:.mw

EL --FL

~ AL--

RL Klimatisierter Raum

t

~

ZL

UL ~

Klimazentrale Mischen. Filtern, Erwörmen, Kühlen, Befeuchten. Trocknen und Fördern

Bild 8-8 Klimatisierter Raum und Klimazentrale Durch die Zufuhr entsprechend gefilterter, gekühlter, erwärmter, getrockneter oder befeuchteter Zuluft soll im Raum der gewünschte Raumluftzustand aufrechterhalten werden. Luftströme

:EQ L1

mw

AL Außenluft UL Umluft

ML Mischluft ZL Zuluft

RL EL

Raumluft Abluft

FL

Fortluft

Summe aller dem Raum zugeführten oder entzogenen Wärmeströme Summe aller dem Raum zugeführten oder entzogenen Wasserdampfströme

Der zugeführte Luftstrom mzL, die Wärmeströme .LQ und die Wasserdampfströme .LL1 mw sollen zusammen bewirken, daß sich im Raum gerade der gewünschte Raumluftzustand RL einstellt. Ein dem Zuluftstrom entsprechender Abluftstrom EL muß aus dem Raum abgeführt werden. Ein Teil der Abluft geht als Fortluft FL in die Umgebung, der andere Teil als Umluft UL wieder in die Luftbehandlungseinheit zurück.

171

8.7 Mischen, Erwärmen und Kühlen feuchter Luft

Eine vollständig ausgestattete Luftbehandlungszentrale wie die in Bild 8-9 skizzierte Klimazentrale wird im wesentlichen die dargestellten Anlageteile enthalten. In der Mischkammer MK mischen sich Außenluft AL und Umluft UL in einem Verhältnis, das mit den Regelklappen RK gesteuert wird. Die Mischluft ML wird im Luftfilter LF von Staub gereinigt, kann danach im Luftkühler LK gekühlt und getrocknet werden, wird im Luftwäscher LW befeuchtet und dabei nochmals gereinigt, im Tropfenabscheider TA von mitgerissenen Tropfen befreit und schließlich auf die Zulufttemperatur nachgewärmt. Der Nachwärmer NW wird häufig auch nach dem Zuluftventilator angeordnet. Der Zuluftventilator ZV fördert die so behandelte Luft durch geeignete Luftkanäle und Luftverteiler in den Raum hinein. Im Winter muß die angesaugte Außenluft AL bei tiefen Außentemperaturen zunächst in einem Vorwärmer VW erwärmt werden, um Nebelbildung in der Mischkammer und ein Einfrieren von Anlageteilen bei kleinem Umluftanteil zu vermeiden. In kleineren Anlagen und in Klimageräten finden sich häufig nicht alle der beschriebenen Anlage teile.

Bild 8-9 Luftbehandlungszentrale ( Klimazentrale)

vw MK RK LF LK

Vorwärmer Mischkammer Regelklappen Luftfilter Luftkühler

LW NW WP

ww zw

Luftwäscher Nachwärmer Wäscherpumpe Wäscherwanne Zusatzwasser

SG TA

zv

Sprühdüsengitter Tropfenabscheider Zuluft-Ventilator

Die in einer Luftbehandlungszentrale möglichen Zustandsänderungen werden in den folgenden Abschnitten einzeln besprochen.

8. 7 Mischen, Erwärmen und Kühlen feuchter Luft In der Mischkammer vermischen sich Außenluft und Umluft, dann wird der Luftstrom in der Klimazentrale nach Bedarf erwärmt oder gekühlt. Mischen von Luftströmen-Wenn verschiedene Luftströme zusammenkommen, so erhält man den Zustand der Mischluft aus den Bilanzen der Energie- und Stoffströme. Hierzu wird der Mischraum als System eingegrenzt, wie es Bild 8-10 für das Beispiel der Mischkammer zeigt. Alle Luftströme sollen den gleichen Gesamtdruck haben. Die kinetischen und potentiellen Energien werden nicht berücksichtigt. (Der Vorwärmer sei hier als nicht in Betrieb betrachtet.)

172

Gas- und Gas-Dampf-Gemische nhz. fz. xz. hz

Bild8-10 Massenströme und Energieströme an einer Mischkammer

I

I

ML--1 .

I

mtt. 1

i

ftt. Xtt. htt.

AL UL ML

I I

Außenluft Umluft Mischluft

Unabhängig von diesem Beispiel soll die Mischung eines Luftstromes mu mit einem Zustand 1 (hl, xl) mit einem Luftstrom mL2 mit einem Zustand 2 (hz. Xz) allgemein untersucht werden. Den Zustand ML (hML• xMd des Mischluftstromes mML erhält man durch die Energiebilanz und die Stoffbilanzen an der Systemgrenze. Enthalpiebilanz muht+ mL2h2 = (mu + mL2) hML h

-muht+ mL2h2 =muht+ mL2h2 ML. . mu + mL2 mML

.

Luftbilanz Wasserbilanz •

XML

=

.

(8.68)

mu + mL2 = mML

(8.69)

muXt + mLzXz = (mu + mL2) XML

(8.70)

•

mux1 + mL 2x2

.

.

(8.67)

.

mu + mL2

•

=

0

mux1 + mL2x2 mML

(8.71)

Aus den Gleichungen (8.67) und (8.70) ergibt sich mL2 h 1 --mu

hML

hML- hz

=Xt- XML

(8.72)

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn der Zustandspunkt der Mischung ML auf der Verbindungsgeraden der Zustände 1 und 2 liegt und sich die Streckenabschnitte 1-ML und ML-2 umgekehrt verhalten wie die beiden Luftströmemu und mL2 (Bild 8-11). Der Zustandspunkt

f

.~1

'}.

h

1"1

I XML

x-

Xz

Bild 8-11 Mischungsgerade im h,x-Diagramm Mischen sich die Luftströme mit den Zuständen 1 und 2, so liegt der Mischzustand ML auf der Verbindungsgeraden der Zustände 1 und 2 und teilt diese im Verhältnis der beiden Luftmassenströme.

8.7 Mischen, Erwärmen und Kühlen feuchter Luft

173

ML liegt also näher am Zustand des größeren der beiden Luftströme. Die Ermittlung des Mischzustandes ML gilt auch dann, wenn die Zustände oder einige davon im Nebelgebiet liegen. Die Temperatur der Mischung tML kann für ungesättigte Luft aus Gleichung (8.56) berechnet werden. (8.73)

•

Beispiel 8.4 In einer Mischkammer mischen sich 40 Prozent Außenluft von 32 oc und 40 % relativer Feuchte mit 60 Prozent Umluft von 25 oc und 45 % relativer Feuchte. Welchen Zustand hat die Mischluft? Daten

Außenluft Umluft

IAL = 32 °C luL = 25 oc

'PAL = 0,40

9'tJL = 0,45

Mischluft ML - In einem h.x-Diagramm lassen sich die Enthalpien und Wassergehalte der beiden Luftzustände ablesen. Außenluft h AL = 63,0 kJ/kgL XAL = 12,07gW/kgL Umluft huL = 48,0 kJ/kgL XuL = 9,00 gW/kgL Der Mischluftzustand liegt auf der Verbindungsgeraden von Außenluft- und Umluftzustand. Die Gerade wird im Verhältnis 40 zu 60 geteilt. Daraus ergibt sich für die Mischluft: Mischluft

hML = 54,0 kJ/kgL tML = 27,8 °C

XML = 10,23 gW/kgL 'PML = 0,433

Da der Umluftanteil überwiegt, liegt der Mischluftzustand näher am Umluftzustand.

Erwärmen und Kühlen - Der angesaugte Außenluftstrom wird im Winter zunächst vorgewärmt. Im Sommer ist häufig eine Kühlung des Luftstromes notwendig, bei der oft auch noch Wasserdampf aus der Luft ausgeschieden wird. Schließlich muß der Luftstrom im Nachwärmer auf die erforderliche Zulufttemperatur gebracht werden. In den Systemen Vorwärmer VW, Luftkühler LK und Nachwärmer NW (Bild 8-12) wird der feuchten Luft eine Wärme Q zugeführt oder ihr entzogen. Die spezifische Enthalpie h nimmt dabei entsprechend zu oder ab.

(8.74)

Bild 8-12 Erwärmen und Kühlen in der Klimazentrale Systeme

VW Vorwärmer LK Luftkühler NW Nachwärmer

Übertragene Wärmeströme

Qvw im Vorwärmer zugeführt im Luftkühler abgeführt QNw im Nachwärmer zugeführt QLK

174

Gas- und Gas-Dampf-Gemische

Der Wassergehalt x bleibt bei der Erwärmung unverändert. Die Zustandsänderung bildet sich daher im h,x-Diagramm als senkrechte Gerade ab (Bild 8-13). Aus dem Diagramm ist zu ersehen, daß die relative Feuchte ({J bei einer Erwärmung geringer wird.

t

Bild 8-13 Erwärmung feuchter Luft im h,x-Diagramm

h

Der Wassergehalt x bleibt unverändert, die relative Feuchte q nimmt ab.

•

Beispiel 8.5 Ein Außenluftstrom von 7,23 kgUs soll im Winter von - 14 oc auf+ 10 oc vorgewärmt werden. Mit welchem Zustand verläßt der Luftstrom den Vorwärmer? Welche Wärmeleistung ist vom Vorwärmer zu übertragen? (Bei winterlicher Außenluft kann Sättigung angenommen werden.) Daten Außenluft Vorgewärmte Luft

IAL = -14 oc lvw = + 10 oc

rp AL= 1,0

mAL= 7,23 kgL/s

Vorgewärmte Luft VW- In einem h,x-Diagramm werden die Enthalpien und Wassergehalte sowie der Zustand der vorgewärmten Luft abgelesen. Außenluft Vorgewärmte Luft . Wärmeleistung Qyw - Damit

Qvw

hAL = -11,3 kJ/kgL XAL = 1,13 gW/kgL hvw = 12,9 kJ/kgL Xvw = 1,13 gW/kgL lvw = 10,0 oc fPvw= 0,147 ergibt sich die Wärmeleistung zu

=mAL (hvw - hAd = 7,23 kgUs (12,9- (- 11,3)) kJ/kgL = 175 kW.

Die Aussage, daß der Wassergehalt x konstant bleibt, gilt bei Kühlung nur, wenn sich die Zustände in einiger Entfernung von der Sättigungslinie befinden. Häufig hat jedoch die Oberfläche eines Luftkühlers oder einer Außenwand eine Temperatur gleich oder tiefer als die Taupunkttemperatur r. Als Taupunkt TP eines Luftzustandes bezeichnet man den Zustand auf der Sättigungslinie, der den gleichen Wassergehalt x hat wie dieser Luftzustand. Die Enthalpie nimmt durch die Abfuhr der Wärme Q0 bis auf h 2 ab. h 2 = h 1 - IQol

(8.75)

mL

Wie in Bild 8-14 dargestellt, kühlt sich Luft vom Zustand 1 dabei theoretisch zunächst auf die Taupunkttemperatur r ab und dann weiter bis auf einen Zustand 2 im Nebelgebiet. An der kalten Oberfläche scheidet sich dabei Wasser flüssig aus. Die gasförmige feuchte Luft bekommt dadurch den Zustand 2'. Der Wassergehalt hat gegenüber dem Zustand 1 um .1 mw abgenommen . .1 mw =

mL

(x2' - x 1)

(8.76)

Da sich die Nebelisothermen bei den in der Klimatechnik auftretenden Temperaturen nur wenig von den Isenthalpen unterscheiden, kann angenommen werden, daß neben h 2 = h2' auch t 2 = t2' ist.

8.7 Mischen, Erwärmen und Kühlen feuchter Luft

~

""'· 1

175

Bild 8-14 Kühlung feuchter Luft bis unter den Taupunkt

t

h

Nach Unterschreiten der Taupunkttemperatur '!" scheidet sich Wasser flüssig aus. Im Endzustand 2' der gasförmigen Luft ist der Wassergehalt um x 1 - x2• vermindert.

Kühlung eines Luftstromes - Soll ein Luftstrom mL mit dem Zustand 1 gekühlt werden, so wird nur ein Teil der Luft unmittelbar über die Kühlfläche streichen (Bild 8-15). Nur dieser Teil wird nahezu bis auf die Kühlflächentemperatur tK abgekühlt, und es wird sich, wenn diese unter der Taupunkttemperatur -r liegt, Wasser flüssig ausscheiden. Diese Luft hat näherungsweise den Zustand K und mischt sich dann mit der ungekühlt durchströmenden Luft mit dem Zustand 1. Nach dieser Modellvorstellung liegt der Mischzustand 2 dann theoretisch auf der Mischungsgeraden 1-K entsprechend den folgenden Bilanzen (Bild 8-16). hz = ht

- 1 ~ 01

(8.77)

IL1mwl

(8.78)

Xz= X t - - - mL

In Wirklichkeit liegen die Endzustände nach einer Zustandsänderung im Luftkühler eher auf einer nach unten durchgebogenen Kurve.

Bild 8-15 Modell für die Kühlung eines Luftstromes Die an der Kühlfläche K auf die Kühlflächentemperatur tK abgekühlte Luft mischt sich mit ungekühlter Luft 1.

'·

t

h

,. I~

I

.

Bild 8-16 Kühlung eines Luftstromes in einem Luftkühler

176

Gas- und Gas-Dampf-Gemische

• Beispie18.6 Ein Luftstrom von 4. 7 kg/s soll von dem Mischluftzustand, wie er im Beispiel 8.4 ermittelt wurde, auf 14 °C abgekühlt werden. Für den Luftkühler wird eine Oberflächentemperatur von 5 oc angenommen. Welchen Zustand hat die gekühlte Luft? Welche Kühlleistung ist zu erbringen? Wieviel Wasser wird ausgeschieden? Daten

Mischluft Gekühlte Luft

hML fML tKL

= = =

54,0 kJ /kgL 27,8°C 14,0 °C, Oberflächentemperatur

= I 0,23 gW/kgL

xML I!'ML

=

fK

=

0,433 5,0°C

mL

= 4, 7 kgL/s

Gekühlte Luft KL- Der Zustand der aus dem Luftkühler austretenden Luft liegt im h,x-Diagramm näherungsweise auf der Verbindungslinie zwischen dem Eintrittszustand I (Bild 8-16) und dem Zustand K gesättigter Luft bei der Oberflächentemperatur tK· Der Schnittpunkt mit der Isothermen für 14 °C ergibt den Zustand 2 der gekühlten Luft. GekühlteLuft

tKL = 14,0°C

I!'KL = 0,73

hKL = 32,6 kJ /kg L

XKL = 7,34 gW/kg L

Kühlleistung Q0 - Die nach Q0 umgestellte Gleichung (8. 77) ergibt Qo = mdhKL-hMd = 4,7kgL/s·(32,6-54,1)kJ/kgL = -101 kW. Wasserausscheidung Amw- Mit der umgestellten Gleichung (8. 78) folgt Arilw = mL (xKL -xMd = 4,7 kgL/s · (7,34-10,22) gW/kgL = -13,5 gW/s.

8.8 Einsprühen von Wasser in feuchte Luft Wie ändert sich der Zustand der feuchten Luft im Luftwäscher? Im Luftwäscher strömt die Luft durch einen dichten Nebel fein verteilten Wassers (Bild 8-17). Die Wäscherpumpe saugt das Wasser aus der Wäscherwanne an, fördert es in ein Sprühdüsengitter, ein Rohrsystem, aus dessen Düsen es fein zerstäubt austritt. Ein Teil des Wassers verdunstet und wird vom Luftstrom aufgenommen, die übrigbleibenden Tropfen werden im Tropfenabscheider aufgefangen und laufen in die Wäscherwanne zurück. Das verdunstete Wasser wird durch Zusatzwasser ersetzt, dessen Zufluß häufig ein Schwimmerventil regelt. Zur Behandlung von Luft gehört also außer dem Erwärmen und Kühlen noch das Einsprühen von fein verteiltem flüssigen Wasser oder das Einblasen von Wasserdampf. Die Bilanzgleichungen waren bereits bei der Erläuterung des Randmaßstabes aufgestellt worden [Abschnitt

1 wwl I I wPIL..--------· tzw

Pwp

n

mzw, hzw

Bild 8-17 Das System Luftwäscher LW SG WP

Luftwäscher Sprühdüsengitter Wäscherpumpe

WW Wäscherwanne ZW Zusatzwasser TA Tropfenabscheider

Pwp Leistungsaufnahme der Wäscherpumpe mzw Zusatzwasser-Massenstrom

177

8.8 Einsprühen vonWasser in feuchte Luft

8.5, Gleichungen (8.64) bis (8.66)]. Danach bestimmt die Enthalpie hw des eingebrachten

Wassers die Richtung der Zustandsänderung, wenn man zunächst von gleichzeitiger Wärmezufuhr absieht. (8.79)

L1h = hw L1x

Durch Verbinden des Pols (Bild 8-7) mit dem entsprechenden Wert L1 h/L1 x des Randmaßstabes erhält man die Richtung der Zustandsänderung. Dazu parallel verläuft die Zustandsänderung vom Zustand 1 bis zu dem durch eine der Bilanzgleichungen festzustellenden Zustand2. Beim Einsprühen von flüssigem Wasser verläuft die Zustandsänderung angenähert auf der Isenthalpen durch den Anfangszustand 1, auch bei höheren Temperaturen bis zu 100 °C. Die Temperatur der Luft nimmt dabei ab, da die zum Verdunsten notwendige Energie der Luft entnommen wird. Wird genügend Wasser eingesprüht, erreicht die feuchte Luft theoretisch den Sättigungszustand, praktisch jedoch nur etwa qJ = 0,95. Die Temperatur in diesem Sättigungszustand wird als Kühlgrenztemperatur ta bezeichnet, da eine weitere Senkung nur durch Verdunstung nicht möglich ist. Beim Einblasen von Wasserdampf ergeben die Enthalpiewerte hw Richtungen etwas oberhalb der Waagerechten. Bei gleichzeitiger Heizung gehen die Richtungen mehr oder weniger steil nach oben, bei gleichzeitiger Kühlung nach unten. L1h L1x

=hw + __!2_

(8.80)

L1mw

Bild 8-18 zeigt die verschiedenen Richtungen und ihre Parallelen durch den Anfangszustand 1. Die zweite Koordinate für den Endzustand 2 muß mit einer der beiden Bilanzgleichungen (8.64) oder (8.65) ermittelt werden.

t

h

t

t.h

!JX

xBild 8-18 Bestimmen der Richtung von Zustandsänderungen mit Pol und Randmaßstab Parallele Richtungen durch den Pol und durch den Anfangszustand 1 114 Gleichzeitige Befeuchtung /11 Einsprühen von flüssigem Wasser und Kühlung 112 Einblasen von Dampf 115 Kühlung (mit Entfeuchtung verbunden) /13 Gleichzeitige Befeuchtung und Heizung

178

Gas- und Gas-Dampf-Gemische

Taupunktregler- Wenn eine Klimaanlage in einem Raum nur eine bestimmte Feuchte aufrechterhalten soll, läßt sie sich über die Temperatur am Austritt des Luftwäschers steuern. Diese Temperatur ist gleich der Taupunkttemperatur der Raumluft, wenn diese den gleichen Wassergehalt wie die Zuluft hat. Der Taupunktregler wird auf die Kühlgrenztemperatur des maximal zu erwartenden Außenluftzustandes eingestellt. Bei anderen Außenluftzuständen steuert der Taopunktregler die Regelklappen vor der Mischkammer so, daß der Mischluftzustand auf der Isenthalpen durch den Taupunkt liegt (Bild 8-18a). Bild8-18a Regelung der Raumluftfeuchte mit einem Taupunktregler AL.nax Maximaler Außenluftzustand AL Niedrigere Außenluftzustände RL Raumluftzustand ML Mischluftzustand TP Taupunkt der Raumluft

x---

• BeispielS.? In der Produktionshalle eines Textilbetriebes muß ständig eine Luftfeuchte von 60 % bei einem maximalen sommerlichen Außenluftzustand von 32 •c und 40 % relativer Feuchte aufrechterhalten werden. Die installierte Maschinenleistung beträgt 32,2 kW. Durch Dach und Wände, Menschen und Beleuchtung kommen weitere 24,7 kW hinzu. Die Klimazentrale ist nur mit einem Luftwäscher und einem Nachwärmer ausgestattet. Mit welchem Zustand strömt die Zuluft in die Halle? Welcher Zustand stellt sich im Raum ein? Welcher Zuluftstrom ist erforderlich? tAL = 32 •c ((JAL = 0,40 Daten Außenluft Raumluft ((JRL= 0,60 Anfallende Leistung Q = (32,2 + 24, 7) kW = 56,9 kW Zuluft ZL- Da im Luftwäscher flüssiges Wasser in den Luftstrom eingesprüht wird, verläuft die Zustandsänderung parallel zu der Isenthalpen durch den Außenluftzustand. Nach Abscheiden der Tropfen hat die Zuluft eine relative Feuchte von etwa 95 %. Zuluft

hZL = hAL = 63,0 kJfkgL

((JzL = 0,95

XZL = 16,0gWfkgL

Raumluft RL - Durch die in der Halle anfallende Leistung wird die Zuluft bei praktisch konstantem Wassergehalt erwärmt. Damit ergibt sich der Zustand für die Raumluft. Raumluft tRL = hRL =

29,7 •c 70,8 kJ /kgL

(/JRL = 0,60 XZL = 16,0gW/kgL

Zuluftstrom ZL- Aus der anfallenden Leistung und der Enthalpiedifferenz hRL - hzL zwischen Zuluft und Raumluft ergibt sich der Zuluftstrom rilzL· rilzL = Qf(hRL-hzu = 56,9kW/(70,8-63,0)kJfkgL = 7,35kgLfs • Belspiel8.8 Mit einer einfachen Klimaanlage soll in einem Raum ein Luftzustand von 25 •c und 45 % relativer Feuchte beim maximalen sommerlichen Außenluftzustand von 32 •c und 40% relativer Feuchte aufrechterhalten werden. In dem Raum fallen durch Maschinen, Beleuchtung und Menschen sowie durch Wärmeübertragung durch die Begrenzungswände (Transmission) 16,6 kW an. Außerdem treten in der Sekunde 7,80 g gesättigten Wasserdampfes von 60 •c aus. Um einen ausreichenden Luftwechsel zu erhalten, soll der Zuluftstrom 4,70 kgL/s betragen und einen Außenluftanteil von 40% haben. Der Luftkühler hat eine Oberflächentemperatur von 5 •c. Welche Luftzustände treten in der Klimazentrale auf? Wie sind Luftkühler und Nachwärmer zu dimensionieren? = 32 •c tRL = 25 •c Anfallende Wärmeleistung Oberflächentemperatur

Daten Außenluft Raumluft

tAL

((JAL = 0,40 (/JRL = 0,45 Q = 16,6kW tK

=

5•c

Anfallender Wasserdampf Wasserdampftemperatur Zuluftstrom Außenluftanteil

Llmw

= 7,66gW/s

twd

= 60°C

mL 4, 70 kgL/s riiAUriiRL = 0,40

Klimazentrale - Die gestellten Forderungen sind mit einer Klimazentrale zu verwirklichen, die nur Mischkammer, Luftfilter, Luftkühler und Nachwärmer enthält. Die Zustandsänderungen sind in Bild 8-19 skizziert. Mischluft ML- Der Mischluftzustand war im Beispiel8.4 bestimmt worden.

8.9 Verdunstung und Taubildung

179

Zuluft ZL- Die Zuluft muß die im Raum anfallende Wärmeleistung und den Wasserdampfstrom aufnehmen, um den Raumluftzustand aufrechtzuerhalten. Raumluft

hRL

= 48,1 kJ/kgL

XRL

=

9,00gWfkgL

f

h

Bild8-19 Zustandsänderungen der Luft in Beispiel 8.8 RL AL ML KL ZL

x-

Raumluft Außenluft Mischluft Gekühlte Luft Zuluft

Die Richtung der Zustandsänderung ZL- RL liefert Gleichung (8. 79). Ah/Ax

=

hw

+ Q/Arilw = 2610kJ/kgW + 16,6kW/(7.80gW/s) = 4738kJ/kgW

Dabei ändert sich der Wassergehalt [Gleichung (8. 77)]. XzL = xRL -(IAmwl)/mL = 9,00 gW/kgL-(7.80 gW/s)/(4,70kgL/s) = 7,34 gW/kgL Damit ergibt sich der Zuluftzustand aus dem h,x-Diagramm. Zuluft

hzL = 40,2 kJ /kgL fzL = 2] ,5 °C

XzL = 7,34 gW/kgL CfJZL = 0,46

Gekühlte Luft- Die gekühlte Luft hat den gleichen Wassergehalt wiedie Zuluft. Ihre Werte waren bereits im Beispie18.6 bestimmt worden, ebenso die im Luftkühler erforderliche Kühlleistung Q0 • GekühlteLuft Kühlleistung

14,0°C 32,6kJ/kgL = - 101 kW

tKL =

hKL

Q0

=

CfJKL XKL

= =

0,73 7,34gW/kgL

Nachwärmerleistung QNW- Im Nachwärmer wird die im Luftkühler getrocknete Luft auf den erforderlichen Zuluftzustand gebracht.

QNW = mL(hzL -hKd = 4,7kgL/s · (40,2-36,6)kJ/kgL

=

35,7kW

8.9 Verdunstung und Taubildung Was geschieht, wenn feuchte Luft über eine Wasseroberfläche strömt? Mit den folgenden Überlegungen lassen sich manche Vorgänge in Natur und Technik besser verstehen. Wird ungesättigte feuchte Luft mit einem Zustand 1 in einem adiabaten offenen System über eine freie Wasseroberfläche geführt, nimmt die Luft in einer dünnen Grenzschicht unmittelbar Bild8-20 Modell für die Zustandsänderungen feuchter Luft an einer Wasseroberfläche

'"'

------------

In der Grenzschicht an der Oberfläche nehmen Luft und Wasser die gleiche Temperatur an. Die Luft sättigt sich in der Grenzschicht mit Wasserdampf. I Zustand der ungesättigten Luft G Zustände in der Grenzschicht M Mischzustände

180

Gas- und Gas-Dampf-Gemische

an der Berührungsfläche die Wassertemperatur an und erreicht außerdem Sättigung (Bild 8-20). Es ist also die Lufttemperatur tw in der Grenzschicht gleich der Wassertemperatur two in der Grenzschicht. Ebenso ist der Teildruck Pwo des Wasserdampfes in der Grenzschicht gleich dem Sättigungsdruck Pw' (tw0 ) des Wassers. Temperatur- und Druckunterschiede gleichen sich in der Grenzschicht sofort aus.

t

h

fLz t----=---- ito

(10.114)

erfüllt wird. Für vorgegebene Werte von a. und it0 ist ein kritischer Radius 'a zu überschreiten, um wärmedämmende Wirkung zu erzielen. Dieser Effekt kann auch im umgekehrten Sinne genutzt werden, wie beispielsweise zur Wärmeabgabe isolierter elektrischer Leitungen.

258

10 Wärmeübertragung

Ist der Wärmestrom Q so groß, daß Temperaturänderungen nicht mehr vernachlässigbar sind, gelten die bereits angegebenen Gleichungen des Wärmeaustausches. Im Fall konstanter Umgebungstemperatur T3 kann aber der äußere Wärmekapazitätsstrom als unendlich groß angesetzt und der zweite Summand in Gleichung (10.106) vernachlässigt werden. Dann folgt aus Gleichung (10.107) Ti (x) - Ta= (Tw- Ta) exp [-

~ A · ~] (m cp)i L

(10.115)

mit k · A aus Gleichung (10.112b), TiO als der Eintrittstemperatur und (m cp)i als dem Wärmekapazitätsstrom des Fluids im Rohr. Der ausgetauschte Wärmestrom kann daraus mit Hilfe der mittleren logarithmischen Temperaturdifferenz nach den Gleichungen (10.110) und (10.111) berechnet werden. Luftschichten-Unabhängig von der Form der Wand wird an jede wärmedämmende Schicht primär die Forderung kleiner Wärmeleitfähigkeit A.0 gestellt. Wie die Stoffdatenübesicht in Tabelle T-10 zeigt, weisen geeignete Materialien bei Umgebungstemperatur Werte von etwa 0,04 W/(mK) und größer auf. Im Vergleich dazu beträgt die Wärmeleitfähigkeit der Luft nur 0,02 W/(mK), weshalb sie sich in vielen Anwendungsfällen zur Wärmedämmung eignet. Als Beispiele seien Luftspalte zwischen festen Wänden sowie poröse Materialien genannt, deren Wärmedurchlässigkeit durch Lufteinschlüsse verringert wird. Im folgenden wird der Wärmetransport in Luftschichten kurz erläutert. Der in Bild 10-19 skizzierte Luftspalt sei durch zwei feste Wände konstanter Temperaturen T 1 und Tz begrenzt. Beide tauschen über diese Schicht Wärme aus, die sich als Kombination aus Leitung, Konvektion und Strahlung ergibt.

.

Q =

. . . QL + QK + Qs ·

(10.116a)

T1- Tz

QL=--

(10.116b)

QL + QK = aA1 (Tt- Tz)

(10.116c)

RL

(10.116d) RL aus Gleichungen (10.20) a aus Gleichungen (10.77) bis (10.79)

C12 aus Gleichungen (10.97)

Bild 10-19

Wärmetransport durch eine Luftschicht

259

10.13 Wärmedämmung

Sobald konvektiver Wärmeübergang auftritt, entfällt der Leitungsanteil (10.116b), da er in Gleichung (10.116c) mit enthalten ist. Zur praktischen Rechnung wird häufig der Ansatz

Q = T1- Tz

(10.117)

RLett

verwendet, in dem RLeff als scheinbarer Leitungswiderstand mit der sogenannten effektiven Wärmeleitfähigkeit Aett gebildet wird. Sie folgt aus der Identität der Gleichungen (10.116) und (10.117) und berücksichtigt alle drei Wärmetransportmechanismen. Aett hängt von verschiedenen Stoffgrößen der Luft, den Temperaturen T1 und Tz, der geometrischen Anordnung der Flächen A 1 und A 2 , der. Spaltweites sowie den Emissionsgraden e1 und e2 ab. Um Aett und somit Q zu minimieren, ist jeder einzelne Wärmetransportmechanismus bestmöglich zu unterdrücken. Die Gleichungen (10.116) zeigen die dazu erforderlichen Maßnahmen. Der Wärmestrom durch Strahlung Q s wird mit abnehmender Strahlungsaustauschzahl C1z, also mit abnehmenden Emissionsgraden e1 und e2 klein. Dies ist beispielsweise durch Verspiegelung der Oberflächen oder Verwendung von Strahlungsschutzschirmen zu erreichen. Der Wärmestrom durch Konvektion Q K wird mit abnehmendem Wärmeübergangskoeffizienten a, also mit abnehmender RA YLEIGH-Zahl Ra klein. Dies wird beispielsweise durch kleine Spaltweites oder wegen größerer Stoffwerte v und a durch kleinen Luftdruck erreicht. Der Wärmestrom durch Leitung QL wird mit zunehmendem Leitungswiderstand RL, also mit zunehmender Spaltweite s und abnehmender Wärmeleitfähigkeit lt klein. Eine große Spaltweite widerspricht der gewünschten Unterdrückung der Konvektion. Die Wärmeleitfähigkeit ist für das Kontinuum Luft nahezu druckunabhängig und nimmt mit dem Druck erst dann ab, wenn dieser so klein ist, daß die mittlere freie Weglänge der Luftmoleküle die Spaltweites übersteigt. Dies ist im Vakuum ab einer Größenordnung von etwa 10-2 Pa der Fall. Alle Forderungen werden bestens durch sogenannte Superisolationen erfüllt, die aus einer großen Anzahl paralleler, hochreflektierender Folien und evakuierten Zwischenräumen bestehen. Dadurch lassen sich Werte der effektiven Wärmeleitfähigkeit unter 10-4 W/(mK) verwirklichen. •

Beispiel 10.5 Wie groß ist die effektive Wärmeleitfähigkeit eines luftgefüllten, waagerechten Ringspaltes mit Innenradius r 1 = 10 cm und Außenradius r 2 = 12 cm? Die konstanten Temperaturen und Emissionsgrade der Wände betragen 11 = 20 °C; 12 =- 20 °C; E1 = E2 = 0,9. Bezugsfläche A 1 = 2 Ir r 1 L = L · 0,628 m

Bezugstemperatur [Gleichung (10.79)) lsez

1 =- (11 + 12 ) = 0 oc 2

Stoffwerte von Luft bei lsez [Tabelle T -10)

A. = 0,0242 W/(mK)

v = 13,5 · 10-6 m2/s

Wärmestrom durch Leitung und Konvektion [Gleichung (10.116c)) QL +QK

= aA 1

(11 -12 )

=L · 97,2 W/m

a = v/Pr =18,8 · 10-6 m2/s

260

10 Wärmeübertragung

mit a aus Gleichung (10.79) s

= (r2 r1 ) 112 • In (r21r1) = 2 cm

ß

= l!Taez = 3,66 · 10-3 1/K [Gleichung (10.72b))

Ra = g ßs 3 (11 - t2 )/(va) = 45300 Nu = 0,20 · Ra0•25 • (rir1) 0•5 = 3,20 a = Nu · Als = 3,87 W /(m2K) Wärmestrom durch Strahlung [Gleichung (10.116d))

Os = C12 · A 1 · (T14 -

T24 ) = L · 97,0 W Im

mit C12 aus Gleichung (10.97b)

C:Jz=

q =4,71 · 10- 8 W/(K4m2 ) e) 1 + r11r2 · (e2 1 - 1)

Gesamtwärmestrom [Gleichung (10.116a))

0 = OL + OK +Os= L · 194,2 W/m Scheinbarer Leitungswiderstand [Gleichung (10.117)) RLett = (11 - t2 )10 = 0,206/L Km/W Effektive Wärmeleitfähigkeit [Gleichung (10.20c)) \ff

1 In (r2 /r1 ) = - · - - - = 0,141 W /(mK) = 5,83 · Ä R eff 2rr · L

10.14 Fragen und Übungen Frage 10.1 Welche der folgenden Aussagen ist richtig? (a) Wärmeleitung tritt ausschließlich in Feststoffen auf. (b) Konvektive Wärmeübertragung erfolgt in fluider Materie. (c) Wärmestrahlung wird nur in durchlässigen Gasen transportiert. (d) Die Wärmeleitfähigkeit ist eine stoffspezifische Konstante. (e) Sind die Temperaturen an den Systemgrenzen vorgegeben, spricht man von Randbedingungen 3. Art. Frage 10.2 Ein großer kugelförmiger Festkörper hoher Temperatur wird in einem Flüssigkeitsbad abgeschreckt. Welche der Aussagen Ober den Einfluß seiner Stoffeigenschaften ist falsch? (a) Je größer seine Wärmeleitfähigkeit ist, desto mehr Wärme gibt er ab. (b) Je größer seine Wärmekapazität ist, desto weniger Wärme gibt er ab. (c) Je größer seine Dichte ist, desto mehr Wärme gibt er ab. (d) Je größer sein Wärmeeindringkoeffizient ist, desto mehr Wärme gibt er ab. Frage 10.3 Bei der Anwendung des expliziten numerischen Lösungsverfahrens ist die Größe der Zeitschrittweite aus Stabilitätsgründen beschränkt. Für welche der nachstehenden Bedingungen kann sie vergrößert werden? (a) Größere Maschenweite des Gitters. (b) Größere Wärmeleitfähigkeit des Materials. (c) Kleinere Wärmekapazität des Materials. Frage 10.4 Welche der folgenden Aussagen Ober den Wärmeübergangskoeffizienten ist richtig? (a) Er entspricht dem Wärmestrom pro Fläche bei konvektivem WärmeUbergang. (b) Er ist eine Stoffeigenschaft. (c) Er nimmt mit abnehmender Wärmeleitfähigkeit zu. (d) Er vergrößert seinen Wert mit abnehmender Grenzschichtdicke.

10.14 Fragen und Übungen

261

F111ge 10.5 Welche Korrelationsgleichung ist ungeeignet, um den Wärmeübergang bei erzwungener Konvektion zu beschreiben? (c) Nu= f (Gr, Pr) (a) Nu =f (Re, Pr) (b) Nu = f (Pe, Pr) (d) Nu= f (St, Pr) F111ge 10.6 Der Wärmeübergangskoeffizient für freie Konvektion an einer senkrechten ebenen Wand wird vergrößert durch (a) abnehmende Höhe der Wand. (b) zunehmende Breite der Wand. (c) zunehmenden Temperaturabstand zwischen Wand und Fluid. (d) abnehmenden thermischen Ausdehnungskoeffizienten des Fluides. Frage 10.7 Wodurch ist das Filmsieden gekennzeichnet? (a) Es treten größere Wärmeübergangskoeffizienten als beim Blasensieden auf. (b) Die Temperaturunterschiede zwischen Wand und Flüssigkeit sind geringer als beim Blasensieden. (c) Der Wärmeaustausch durch Strahlung im Dampffilm ist vernachlässigbar klein. (d) Der Vorgang ist nicht immer stabil. Frage 10.8 Welche der folgenden Aussagen über den schwarzen Körper ist falsch? (a) Seine spektrale Strahlungsintensität steigt mit der Temperatur. (b) Die Maximalwerte seiner spektralen Strahlungsintensität liegen für kleinere Temperaturen bei größeren Wellenlängen. (c) Sein emittierter Wärmestrom ist proportional zur vierten Potenz seiner Temperatur. ( d) Er emittiert in senkrechter Richtung zur OberOäche am stärksten. (e) In bestimmten Wellenlängenbereichen emittiert er schwächer als selektive Strahler der gleichen Temperatur. Frage 10.9 Tauschen zwei OberOächen Wärmestrahlung aus, so läßt sich ein Wärmeübergangskoeffizient durch Strahlung definieren. Wodurch wird er nicht beeinOußt? (a) Die Temperaturen beider OberOächen. (b) Die Emissionsgrade beider OberOächen. (c) Die räumliche Anordnung beider Obernächen. (d) Die Größen beider OberOächen. (e) Das Strömungsfeld eines strahlungsdurchlässigen Mediums zwischen den OberOächen. F111ge 10.10 Welche der nachfolgenden Maßnahmen verschlechtert den Wärmeaustausch zwischen zwei Fluiden durch eine ebene Wand? (a) Erhöhung der Wanddicke. (b) Austausch des Wandmaterials gegen ein besser leitendes. (c) Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeiten. (d) Erzeugung turbulenter Strömungen. Frage 10.11 Welcher Prozeß kann als rekuperativer Wärmeaustausch bezeichnet werden? (a) Warmes Wasser wird in kalte Luft versprüht, dadurch abgekühlt und am Boden gesammelt. (b) Heiße Abgase eines Hochofens erwärmen feuerfeste Steine, die wiederum nach einiger Zeit Verbren· nungsluft erwärmen. (c) Dampfförmiges Kältemittel kondensiert an wasserdurchströmten Rohrbündeln. F111ge 10.12 Welche der folgenden Maßnahmen verschlechtert die wärmedämmende Wirkung einer Luftschicht? (a) Verspiegelung der OberOächen. (b) Verringerung der Schichtdicke bei unterdrückter Konvektion. (c) Verringerung des Luftdruckes.

262

10 Wärmeübertragung

Obaa1 10.1 Stationire eindimensionale Wärmeleitung durch eine Hauswand mit kalter Außenseite erzeugt Temperaturprofile, die für folgende Fllle qualitativ skizziert werden soßen. 1. Eine sehr gut wlrmedlmmende Schicht befinde sich auf der Innenseite der Wand. 2. Eine sehr gut wlrmedlmmende Schicht befinde sich auf der Außenseite der Wand. Übung 10.2 Die ebenen Wände eines Kühlraumes mit einer Gesamtoberfläche von 50m2 haben stationär Temperaturen auf der InnenflAche von -18 °C und auf der Außenfläche von 25 °C. Die Wände bestehen aus einer Ziegelmauer {Wlirmeleitfllhiglc.eit 0,7SWJ(mK); Dicke 24cm) und einer inneren Dämmschicht aus Schaumstoff {Wlirmeleitlahigkeit 0,03 W /(mK); Dicke 2 cm). Außerdem sollen die Außenseiten der Wände mit einer Korkschicht versehen werden. Arbeiten Sie mit dem CD-Rechenprogramm. I. Welcher Wärmestrom fließt aus dem Kühlraum ohne Korkdimmung? 2. Wie dick darf eine Korkdämmung höchstens sein, wenn in der Ziegelmauer Temperaturen unter 0 °C zu vermeiden sind? Schlitzen Sie zunächst die Dicke und wiederholen Sie die Rechnung bis zur Lösung. 3. Welcher zusätzliche Wärmestrom fließt durch ein 0,2 m 2 großes, I cm dickes Fenster? Vergleichen Sie die Wirkung dieser Wärmebrücke mit der Wirkung der Korkdämmung.

Übung 10.3 Eine ebene Platte mit Temperaturleitf!higkeit a und Dicke s wird von der anfangs einheitlichen Temperatur von 100 oc beidseits auf eine konstante Oberfliehentemperatur von 0 °C gekühlt. Berechnen Sie die Plattentemperaturen mit Hilfe des expliziten Differenzenverfahrens für die Knotenpunkte eines eindimensionalen Gitters mit .d.x

=s/8 und für dieentenvier Zeitschritte mit .d'f =!. {.d.x)2/a. Hinweis: Die

2 äußeren Gitterpunkte sind direkt auf die Plattenoberfliehen zu legen. Überprüfen Sie das Ergebnis für x s/8 und 'f = 2 .d'f mit Hilfe der Lösung für halbunendliche Körper.

=

Übung 10.4 Leiten Sie aus der Energiebilanz (10.53) fUr eindimensionale Konvektionsströmung die Differentialgleichung (10.54) für die Temperatur her. Übung 10.5 Berechnen Sie die konvektive Warmeabgabe der freien Wasseroberfliehe eines rechteckigen Schwimmbeckens (25m Länge und10m Breite) unter den Annahmen konstanter Temperaturen des Wassen von 20 oc und der Luft von 10 oc für Windstille und für eine turbulente Luftströmung in Beckenlängsrichtung von S mls. Übung 10.6 Ein geschlossener Wohnraum wird durch einen ebenen, senkrechten Flachheizkörper (Höhe 0,60 m, Breite 1,50 m, Oberfliehentemperatur SO oc, Emissionsgrad eH 0,92) beheizt, dessen RUckseite einen Wandabstand von 0,03 m hat. Die Winde des Wohnraumes (Gesamtoberfllche 80 m2, Emissionsgrad ew = 0,90) haben wie die Innenluft eine konstante Temperatur von 20 °C. Berechnen Sie 1. den Wärmeübergangskoeffizienten durch freie Konvektion an der HeizkOrpervorderseite, 2. den WärmeübergangskoeffiZienten durch freie Konvektion an der HeizkOrperrückseite, 3. den Wärmeübergangskoeffizienten durch Strahlung beider Heizkörperseiten und 4. die gesamte Heizleistung des Heizkörpen.

=

Übung 10.7 In einem Behll.lter befindet sich gesättigtes Wasser mit einer Temperatur von 2SO °C (Oberflächenspannung o =0,0261 N/m). Welche maximale Wandüberhitzung darf eine Heizfläche mit Wandrauhigkeitsbeiwert c. =1 und konstanter Temperatur aufweisen, um rumsieden zu vermeiden? Übung10.8 Der Verflüssiger einer Dampfkiltemaschine besteht aus einem waagerechten Stahlrohr (V2A, Innendurchmesser 16 mm, Außendurchmesser 20 mm, Unge 10m). Daran kondensiert nahezu unbewegter, gesättigter Kältemitteldampf (R22) mit einer Temperatur von 37 °C und einer spezifliehen Verdampfungsenthalpie von 170 kJ/kg. Im Rohr strömt Kaltwasser mit einem Massenstrom von 1,0 kgls und einer Eintrittstemperatur von 20 °C. Diese beiden Temperaturen sollen näherungsweise als Bezugstemperaturen für die Stoffwerte angesetzt werden. Berechnen Sie unter der Annahme konstanter Rohroberflächentemperaturen 1. den Wärmeübergangskoeffizienten an der Rohrinnenseite, 2. den Wärmeübergangskoeffizienten an der Rohraußenseite für eine angenommene Rohroberflächentemperatur von 2S °C, 3. den Wärmedurchgangskoeffizienten k · A der Rohrwand, 4. die Austrittstemperatur des Kühlwassen und S. den ausgetauschten Wärmestrom. 6. Überprüfen Sie die zu 2. getroffene Annahme. •

263

11 Verbrennung

11.1 Der VerbrennungsprozeR Wie kommt es zur Umwandlung von chemisch gebundener Energie in Wärme oder auch in Arbeit oder kinetische Energie? Beim Verbrennungsprozeß findet eine chemische Reaktion zwischen den brennbaren Bestandteilen der Brennstoffe und dem meistens mit der Brennluft zugeführten Sauerstoff statt (Bild 11-1). Bei der Reaktion wird Energie in Form von Wärme abgegeben, etwa in Dampferzeugern oder Heizkesseln. In Form von Arbeit wird die Energie in Kolbenmotoren genutzt, bei Flugtriebwerken und Raketen auch als kinetische Energie. An dem Verbrennungsprozeß, nicht aber an der chemischen Reaktion, sind weitere Stoffe wie der Luftstickstoff und unhrennbare Bestandteile der Brennstoffe beteiligt. Diese finden sich zusammen mit den Reaktionsprodukten in den Abgasen wieder. Dazu kommen noch Asche oder Schlacke als feste Verbrennungsrückstände. In den Reaktionsprodukten können Schadstoffe enthalten sein. ReakllonsteRnehmer

Reaktionsprodukte

Brennluft Brennstoff -

Verbrennungsgas -Asche

Energie I Wärme. Arbeit. kinetische Energie I

Bild 11-1 Schema des Verbrennungsprozesses

Verbrennungsräume sind der Feuerungsraum eines Dampferzeugers (Bild 4-22), eines Heizungskessels oder eines Ofens, die Brennkammer einer Gasturbine oder der Zylinder eines Kolbenmotors. Damit die chemische Reaktion beginnen kann, sind eine gute Durchmischung von Brennstoff und Sauerstoffträger, eine Erwärmung auf die Zündtemperatur und eine ausreichende Zündenergie erforderlich. In der Flamme als dem eigentlichen Reaktionsbereich laufen sehr verschiedene Reaktionen mit einer Vielzahl von Zwischenprodukten ab, ohne daß dies in der globalen Berechnung berücksichtigt werden muß. Bei sehr hohen Verbrennungstemperaturen scheint ein Teil der Reaktionsprodukte wieder zu zerfallen. Auf diese Erscheinung der Dissoziation wird hier jedoch nicht weiter eingegangen. Die vier Vorgänge Mischung, Erwärmung, Reaktion und Energieabgabe finden teils vor, teils im, teils hinter dem Verbrennungsraum statt. So treffen sich im Feuerungsraum eines Dampferzeugers (vorgewärmte) Brennluft und (vorgewärmter) Brennstoff, vermischen sich, werden erwärmt und reagieren miteinander; die Wärme wird teils im Feuerungsraum, teils in den Abgaswegen abgegeben. Beim Ottomotor findet die Mischung vorher statt; Erwärmung, Reaktion und Arbeitsabgabe geschehen im Zylinder; das ausströmende Abgas gibt Abwärme an die Umgebung ab. Bei Raketentreibstoffen wird der Sauerstoff flüssig, bei Sprengstoffen durch chemische Sauerstoffträger zugeführt. Die Verbrennung geschieht ohne Luftzufuhr. Die freigewordene Energie wird vor allem in kinetische Energie der Verbrennungsgase umgesetzt.

11 Verbrennung

264

11.2 Brennstoffe, Brennluft und Grundreaktionen Wie wird die Zusammensetzung von Brennstoffen wie Steinkohle, Koks, Heizöl und Brenngas geschrieben? Was ist in der Brennluft enthalten? Die Brennstoffe, auch als Kraftstoffe oder Treibstoffe bezeichnet, bestehen in unterschiedlichen Zusammensetzungen vorwiegend aus den Elementen Kohlenstoff C und Wasserstoff H. In geringerem Maße sind auch Sauerstoff 0, Schwefel S und Stickstoff N enthalten. Dazu kommen bei festen Brennstoffen feinst eingelagerte Mineralstoffe, chemisch an den Brennstoff gebundene Metalle und Ballaststoffe wie "taubes Gestein", die nach der Verbrennung als Asche oder Schlacke zurückbleiben. Sauerstoff ist besonders in Biomassen und auch in jungen Kohlen in größerer Menge vorhanden. Da der Sauerstoff bereits chemisch an den Kohlenstoff gebunden ist, bedeutet ein großer Sauerstoffanteil eine geringere Wärmeausbeute. Brennstoffgruppen - Bei den Brennstoffen sind zwei Gruppen zu unterscheiden, bei den bei den folgenden Berechnungen unterschiedlich vorzugehen sein wird. Bei der ersten Gruppe sind nur die Ergebnisse der Elementaranalyse bekannt, nicht aber die darin enthaltenen, oft zahlreichen chemischen Verbindungen. Dazu gehören vor allem feste und flüssige Brennstoffe. Deren Zusammensetzung wird durch die Massenanteile ~i der Komponenten beschrieben, für deren Zahlenwerte als Formelzeichen entsprechende kleine Buchstaben verwendet werden (Tabelle 11-1). In den Gleichungen steht der Index B für den Brennstoff. Tabelle 11-1 Massenanteile von Brennstoffen maB

= c

kg

c

Kohlenstoff

~OB

Wasserstoff

~HziB = - - = h

Schwefel

~S/B

Sauerstoff

mo2tB kg 0 2 ~Oz!B = - - = o - kg B mB

mB

mHziB

kg H 2

ms

kg B

mS/B mB

= s

Stickstoff

kg B

kg

s

kg B

~N2/B

Wasser

~W/B

Asche

~AlB

mN2/B

kg N2 --

= n

kgB

mB

mwtB ms

mNB mB

kgH 20

= w

kg B kgA

= a

--

kg B

In der zweiten Brennstoffgruppe bestehen diese aus einer oder wenigen chemischen Verbindungen wie Wasserstoff H2 , Kohlenmonoxid CO oder Erdgas mit dem Hauptbestandteil Methan CH4 . Hierzu gehören im wesentlichen gasförmige Brennstoffe. Die Zusammensetzung wird mit den Molanteilen 'l'i beschrieben (Tabelle 11-2). Tabelle 11-2 Molanteile von Brennstoffen Wasserstoff '11iz!B

nH2tB ---

nB

Kohlenmonoxid ncota 'I'CO/B = - na

'I'Cli,j/B

nC~i.!IB ---

nB

Andere Kohlenwasserstoffe

'i'c,. Hy Oz/B

=

" A- 1 kleiner wird, wie es auch bei der zu erwärmenden größeren Gasmenge zu erwarten ist. Da Flammen sofort Wärme an die Wände des Feuerungsraumes abgeben, können so berechnete adiabate Verbrennungstemperaturen in Wirklichkeit nicht erreicht werden.

11 Verbrennung

278

Außerdem bilden sich, etwa bei 1500 oc beginnend, weitere Reaktionsprodukte. Diese als Dissoziation bezeichnete Erscheinung führt dazu, daß die Verbrennungsgase höhere Wärmekapazitäten und damit niedrigere Temperaturen haben. •

Beispiel 11.3 Das in Beispiel 11.2 untersuchte Erdgas wird mit Brennluft von 10 oc verbrannt. Das Verbrennungsgas kann im Kessel nur bis auf 160 oc abgekühlt werden. Wie groß ist die auf die Stoffmenge bezogene freiwerdende Wärme? Welchen Wert erreicht die adiabate Verbrennungstemperatur? Daten- Daten für Erdgas, Luftverhältnis und Verbrennungsgas siehe Beispie111.2. Verbrennungsgas lv = 160 oc Brennluft tL = 10 oc Heizwert [Gleichung (11.40)0 Tabelle T-16) Stoff CH4 CzH6 C3Hs

V'iJB

0,828 0,029 0,006

Humi

MJ/kmol

V'iJB 0Humi MJ/kmol

664 41 12 717

802 1428 2044

Hum =717 MJ/(kmol B)

Molmasse MB [Gleichung (8o21)] Stoff

V'iJB

Mi kg/kmol

V'iJB 0Mi kg/kmol

CH4 CzH6 C3Hs C0 2 Nz

0,828 0,029 0,006 0,022 0,115

16 30 44 44 28

13,2 0,9 0,3 1,0

1d

MB = 18,6 (kg B)/(kmol B)

18,6

Enthalpie H~ vor der Verbrennung [Gleichung (11.42)]

H:n

=Hum + A. Imin [HmL (td- HmL (to)] =Hum + A Imin

(cmpdtL) IL- cmpL (lo) 0

0

tol

- CmpL (t0 ) o fo =- 29,10 kJ/(kmol K) · 25 °C =- 727,5 kJ/kmol CmpL (tL) o IL

=

29,09 kJ/(kmol K) · 10 °C

=

290,9 kJ/kmol - 436,6 kJ/kmol

L o 436,6 ~ = 713,1 ~ kmol B kmol L kmol B

H:O = 717 ~- 11,24 kmol kmol B

Molwärmen Cmpv in kJ/(krnol K) [Gleichung (8.30)) Stoff

V'uv

C0 2 H 20 Nz!B Nz'L 02

0,0756 39,40 0,1442 33,93 0,0094 29,16 0,7242 29,16 0,0467 29,76

Enthalpie

V'uv cmpi cmpi 160 oc 0

2,98 4,89 0,27 21,12 1,39 30,65

H::, nach der Verbrennung

Cmpi 25 oc

36,48 33,53 29,15 29,15 29,33

CmpV 0

2,76 4,84 0,27 21,11 1,37 30,35

( CmpV)160 "C ( Cmpvhs "C

=30,65 kJ /(kmol =30,35 kJ/(kmol

[Gleichung (11.44)] nv-

H:; = 12,25 kmol

1"[1/Ji/V ° Cmpi (tv))

V'uv cmpi

H::, (ty, A.) =nv- [Hmv (ty)- Hmv (to)J = - [CmpV (tv) ns

=

ns

V [30,65 o 160 - 30,35 ° 25]-k_J_ kmol V kmol B

o

ly- CmpV (to)

=50,78 ~ kmol B

o

to]

K) K)

279

11.5 Übungen Verfügbare Wärme IQ l/n8 (Gleichung (11.46))

=662 ~

50,8) ~

!Q_!_ =H~ - H~ =(713,1 -

kmol B

kmol B

n8

Adiabate Verbrennungstemperatur (lv)ad (Gleichung (11.50))

= H'm

1 CmpV (ly)

H:0- + -CmpV (to) · lo] [nylna

713 MJ /(kmol B)

= 58,20 MJ/(kmol V)

12,25 (kmol V)/(kmol B)

oc

CmpV (/o) · to = 30,35 kJ /(kmol V K) · 25

= 0,76 MJ /(kmol V) 58,96 MJ /(kmol V)

=58,96 · 1