Technische Dynamik: Eine Einführung in die analytische Mechanik und ihre technischen Anwendungen [1. Aufl.] 978-3-519-02365-4;978-3-322-94659-1

Table of contents :
Front Matter ....Pages N1-7
Einleitung (Werner Schiehlen)....Pages 9-16
Kinematische Grundlagen (Werner Schiehlen)....Pages 17-65
Kinetische Grundlagen (Werner Schiehlen)....Pages 66-81
Prinzipe der Mechanik (Werner Schiehlen)....Pages 82-94
Mehrkörpersysteme (Werner Schiehlen)....Pages 95-126
Finite-Elemente-Systeme (Werner Schiehlen)....Pages 127-142
Kontinuierliche Systeme (Werner Schiehlen)....Pages 143-150
Zustandsgieichungen mechanischer Systeme (Werner Schiehlen)....Pages 151-157
Numerische Verfahren (Werner Schiehlen)....Pages 158-166
Back Matter ....Pages 167-183

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Teubner Studienbucher Mechanik Becker: Technlsche SlriSmungslehre. 5. Aufl. OM 22,80 Becker: Technlsche Thermodynamlk. OM 28,80 Becker/Burger: Konllnuumsmechanlk. OM 34,- (LAMM) Becker/Piltz: Obungen zur Technlschen SlriSmung.lehre. 3. Aufl. OM 19,80 Bishop: Schwlngungen In Nalur und Technlk. OM 23,80 Bohme: Slromungsmechanlk nlchl-newton.cher Flulde. OM 34,- (LAMM) Hahn: Bruchmechanlk. OM 34,- (LAMM) Magnus: Schwlngungen. 3. Aufl. OM 29,80 (LAMM) Magnus/Muller: Grundlagen der Technlschen Mechanlk. 4. Aufl. OM 32,- (LAMM) MUlIer/Magnus: Obungen zur Technlschen Mechanlk. 2. Aufl. OM 32,- (LAMM) Schiehlen: Technlsche Dynamlk. OM 32,- (LAMM) Wieghardt: Theoretische SlriSmungslehre. 2. Aufl. OM 28,80 (LAMM)

Mathematik Ahlswede/Wegener: Suchprobleme. OM 29,80 Aigner: Graphenlheorle. OM 29,80 Ansorge: Dlfferenzenapproxlmallonen partleller Anfangswertaufgaben. OM 29,80 (LAMM) Behnen/Neuhaus: Grundkurs Slochaslik. OM 36,Bohl: Finite Modelle gewiShnllcher Randwertaufgaben. OM 29,80 (LAMM) Bohmer: Spllne-Funktlonen. OM 32,Brocker: Analysis In mehreren Varlablen. OM 32,80 Bunse/Bunse-Gerstner: Numerische L1neare Algebra 314 Seiten. OM 34,Clegg: Varlallonsrechnung. OM 18,80 v. Collani: Optlmale Warenelngangskontrolle. OM 29,80 Collatz: Differenllalglelchungen. 6. Aufl. OM 32,- (LAMM) Collatz/Krabs: Approxlmallonstheorle. OM 28,Constantinescu: Distributionen und Ihre Anwendung In der Physik. OM 21,80 Dinges/Rost: Prlnzlplen der Stochasllk. OM 34,Fischer/Sacher: Elnflihrung In die Algebra. 3. Aufl. OM 22,80 Floret: Ma8- und Inlegrallonstheorle. OM 32,Grigorieff: Numerlk gewiShnllcher Dlfferentlalglelchungen Band 1: OM 19,80 Band 2: OM 32,80 Hainzl: MathemallkllirNaturwlssenschaHler.4.AufI.DM 34,- (LAMM) Hassig: Graphentheoretlsche Methoden des Operations Research. OM 26,80 (LAMM) Hettich/Zenke: Numerische Methoden der Approximation und seml-Inflnltlven Optimlerung. DM 24,80 Fortsetzung auf der 3. Umschlagseite

Teubner Studienbucher

w. Schiehlen Technische Dynamik

Mechanik

Leitfaden der angewandten Mathematik und Mechanik LAMM Unter Mitwirkung von Prof. Dr. E. Becker, Darmstadt t Prof. Dr. G. Hotz, SaarbrOcken Prof. Dr. P. Kall, ZOrich Prof. Dr. K. Magnus, MOnchen Prof. Dr. E. Meister, Darmstadt

herausgegeben von Prof. Dr. Dr. h. c. H. Gertler, Freiburg

Band 63

Die LehrbOcher dieser Reihe sind einerseits allen mathematischen Theorien und Methoden von grundsatzlicher Bedeutung fOr die Anwendung der Mathematik gewidmet; andererseits werden auch die Anwendungsgebiete selbst behandelt. Die Bande der Reihe sollen dem Ingenieur und Naturwissenschaftler die Kenntnis der mathematischen Methoden, dem Mathematiker die Kenntnisse der Anwendungsgebiete seiner Wissenschaft zuganglich machen. Die Werke sind fOr die angehenden Industrieund Wirtschaftsmathematiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler bestimmt, darOber hinaus aber sollen sie den im praktischen Beruf Tatigen zur Fortbildung im Zuge der fortschreitenden Wissenschaft dienen.

Technische Dynamik Eine EinfUhrung in die analytische Mechanik und ihre technischen Anwendungen Von Dr.-Ing. Werner Schiehlen Professor an der Universitat Stuttgart Mit 68 Figuren, 5 Tabellen und 44 Beispielen

B. G. Teubner Stuttgart 1986

Prof. DrAng. Werner Schiehlen Geboren 1938 in Heidenheim an der Brenz. Von 1957 bis 1963 Studium des Maschinenbaus an der Technischen Hochschule Stuttgart. Von 1963 bis 1964 Versuchsingenieur bei der Daimler-Benz AG in Stuttgart-Untertürkheim, ab 1964 Assistent, Oberingenieur und Wissenschaftlicher Rat an den technischen Universitäten in Stuttgart und München. 1966 Promotion, 1971 Habilitation, 1972 bis 1973 wiss. Mitarbeiter bei der NASA, Marshall Space Flight Center, Alabama, USA, 1975 wiss. Mitarbeiter an der Universidade Estadual de Campinas, Brasilien. Seit 1977 Ordinarius für Mechanik und Direktor des Instituts B für Mechanik an der Universität Stuttgart. 1983 Forschungssemester bei der M.A.N. Neue Technologie in München. 1984 Generalsekretär der Internationalen Union für Theoretische und Angewandte Mechanik.

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Schiehlen, Werner 0.: Technische Dynamik: e. Einf. in d. analyt. Mechanik u. ihre techno Anwendungen I von Werner Schiehlen. Stuttgart: Teubner, 1986. (Teubner-Studienbücher - Mechanik) ISBN 978-3-519-02365-4 ISBN 978-3-322-94659-1 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-94659-1

Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, besonders die der Übersetzung, des Nachdrucks, der Bildentnahme, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege, der Speicherung und Auswertung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei Verwertung von Teilen des Werkes, dem Verlag vorbehalten. Bei gewerblichen Zwecken dienender Vervielfältigung ist an den Verlag gemäß § 54 UrhG eine Vergütung zu zahlen, deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. © B. G. Teubner, Stuttgart 1985 Satz: Elsner & Behrens GmbH, Oftersheim Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen

Vorwort

Das vorliegende Buch entstand auf die dankenswerte Anregung meines verehrten Lehrers, Herm Prof. Dr. K. Magnus. Es geht zuruck aufVoriesungen uber technische Dynamik und Maschinendynamik an den technischen UniversiHiten in Munchen und Stuttgart, sowie auf Arbeiten uber Roboterdynamik wahrend eines Forschungssemesters im Hause M.A.N. Neue Technologie, Munchen. Die technische Dynamik, ein Teilgebiet der technischen Mechanik, ist heute eine weit verzweigte Wissenschaft mit Anwendungen im Maschinen· und Fahrzeugbau, in der Raumfahrt und bis hinein in die Regelungstechnik. In einem einflihrenden Lehrbuch kbnnen deshalb nur die Grundlagen und einzelne Beispiele dargestellt werden. Es ist aber ein Anliegen dieses in erster Linie fUr Ingenieure geschriebenen Buches, die heute gebrauchlichen Berechnungsmethoden auf einer gemeinsamen Basis darzustellen. Zu diesem Zweck wird die analytische Mechanik herangezogen, wobei sich das d'Alembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung als besonders fruchtbar erweist. So ist es mbglich, die Methode der Mehrkbrpersysteme, die Methode der finiten Elemente und die Methode der Kontinuierlichen Systeme in einheitlicher Weise zu behandeln. Dadurch ist es dem Studierenden mbglich, mit geringerem Aufwand ein tieferes Verstandnis zu erreichen. Der Ingenieur in der Praxis wird daruber hinaus in die Lage versetzt, Berechnungsergebnisse besser beurteilen zu kbnnen. Das Buch gliedert sich in neun Kapitel. In der Einleitung wird das Problem der Modellbildung angesprochen, das zweite Kapitel ist der Kinematik gewidmet. Die kinematischen Grundlagen sind sehr ausfiihrlich dargestellt, da sie nicht nur in der Kinetik, sondem auch fUr die Prinzipien der analytischen Mechanik benbtigt werden. Die kinetischen Grundlagen werden fUr den Massenpunkt, den starren Kbrper und das Kontinuum irn dritten Kapitel zusammengestellt. Dann folgen im Kapitel 4 die Prinzipe der Mechanik, von denen aber nur die fUr technische Anwendungen wichtigen besprochen werden. Die Kapitel 5, 6 und 7 sind dann der Reihe nach den Mehrkbrpersystemen, den Finite-Elemente-Systemen und den Kontinuierlichen Systemen gewidmet. Die Bewegungsgleichungen werden im achten Kapitel in die fUr alle mechanischen Systeme einheitlichen Zustandsgleichungen ubergefiihrt. Einige Fragen der numerischen Lbsungsverfahren werden im neunten Kapitel aufgezeigt. Die umfangreiche Literatur ist nur sparlich zitiert, wie es ein Lehrbuch verlangt. Durch die einheitliche Darstellung verschiedener Methoden war es nicht immer moglich, die gebrauchlichen Formelzeichen zu verwenden. Fur Zweifelsfalle steht eine Liste der Formelzeichen im Anhang zur Verfligung. In der Schreibweise wird zwischen Vektoren, Matrizen und Tensoren nicht unterschieden, nach Moglichkeit wurden fUr Vektoren kleine Buchstaben, fUr Matrizen und Tensoren groBe Buchstaben benutzt. Zur leichteren Unterscheidung sind Vektoren, Matrizen und Tensoren im Text fett gedruckt und in den Abbildungen unterstrichen. Meinen Mitarbeitem, Herm Dr.-Ing. E. Kreuzer und Herm Dipl.-Math. D. Schramm danke ich fUr die sorgfaltige Durchsicht des Manuskriptes. Die Schreibarbeiten hat

4

Vorwort

Frau B. Arnold auf dem von Herm Dipl.·Ing. J. Rauh entwickelten Textsystem zu meiner vollen Zufriedenheit erledigt. Oem Verlag B. G. Teubner gebiihrt me in Dank fUr die Geduld und die stets freundliche Zusammenarbeit.

Stuttgart, im Herbst 1984

W. Schiehlen

Inhalt Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1 Aufgaben der technischen Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Beitrage der anaIytischen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Modellbildung mechanischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.3.1 Mehrkorpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.3.2 Finite-Elemente-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Kontinuierliche Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Hybride Mehrkorpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Zahl der Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

9 10 11 12 13 14 14 15

2 Kinematische GrundIagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

17

2.1 Freie Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Kinematik des Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.1.2 Kinematik des starren K6rpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.1.3 Kinematik des Kontinuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.2 Holonome Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.2.1 Punktsysteme................................... 2.2.2 Mehrkorpersysteme .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.2.3 Kontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Nichtholonome Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.4 Referenzbewegung des Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.4.1 Bewegtes Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.4.2 Freie und holonome Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.4.3 Nichtholonome Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.5 Linearisierung der Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 23 39 46 47 51 53 54 58 59 60 62 63

3 Kinetische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

66

3.1 Kinetik des Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Newtonsche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Kraftearten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Kinetik des starren Korpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.2.1 Newtonsche und Eulersche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Massengeometrie des starren Korpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Referenzbewegung des Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . . .. 3.3 Kinetik des Kontinuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.3.1 Cauchysche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Hookesches Materialgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Reaktionsspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66 66 67 70 71 75 77 78 78 80 81

6

Inhalt

4 Prinzipe der Mechanik 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

82

Prinzip der virtu ellen Arbeit .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Prinzipe von D'Alembert, Jourdain und Gau£ . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Prinzip der minimalen potentiellen Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hamiltonsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Lagr~I1gesche Gleichungen erster Art. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Lagrangesche Gleichungen zweiter Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82 87 89 91 92 93

5 Mehrkorpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

95

5.1 Lokale Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5.2 Newton-Eulersche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5.3 Bewegungsgleichungen idealer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5.3.1 Gew6hnliche Mehrk6rpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5.3.2 Allgemeine Mehrk6rpersysteme ..... . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5.4 Reaktionsgleichungen idealer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Berechnung von Reaktionskraften ..................... 5.4.2 Festigkeitsabschatzung............................. 5.4.3 Massenausgleich in Mehrk6rpersystemen ................. 5.5 Bewegungs- und Reaktionsgleichungen nichtidealer Systeme . . . . . . . .. 5.6 Kreiselgleichungen von Satelliten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5.7 Formalismen fiir Mehrk6rpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 98 100 100 107 113 113 116 118 121 122 124

6 Finite-Elemente-Systeme 6.1 Lokale Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.1.1 Tetraederelement................................. 6.1.2 Raumliches Balkenelement ........ . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.2 Globale Bewegungsgleichungen .......... . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.3 Balkensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.4 Festigkeitsberechnung, Programmsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

127 127 128 129 134 137 142

7 Kontinuierliche Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143 7.1 Lokale Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143 7.2 Eigenfunktionen von Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.3 Globale Bewegungsgleichungen ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 148 8 Zustandsgleichungen mechanischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 151 8.1 8.2 8.3 8.4

Nichtlineare Zustandsgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Lineare Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformation linearer Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

151 152 152 155

Inhalt 9 Numerische Verfahren

7 158

9.1 Integration nichtlinearer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 158 9.2 Lineare Algebra zeitinvarianter Systeme ...................... 160 9.3 Vergleich der mechanischen Madelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 164 Anhang Mathematische Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 167 A.l A.2 A.3 AA

Darstellung von Funktionen .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Matrizenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrizenanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Liste wichtiger Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

167 168 170 171

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 175 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 177

1 Einleitung Die technische Dynamik beschaftigt sich mit dem Bewegungsverhalten und der Beanspruchung m e c han i s c her S y s t e me, sie stiitzt sich dabei auf die Kinematik, die Kinetik und die Prinzipien der analytischen Mechanik. Die mechanischen Systeme sind als technische Konstruktionen gegeben. Zu ihrer mathematischen Untersuchung ist die Beschreibung durch Ersatzsysteme oder Modelle erforderlich. Nach der Art der Mod e II b i I dun g unterscheidet man Mehrkorpersysteme, Finite-Elemente-Systeme und Kontinuierliche Systeme. Aile diese mechanischen Modelle ftihren iiber ihre Bewegungsgleichungen auf Zustandsgleichungen, die sich nach einheitlichen Gesichtspunkten numerisch losen lassen. Die technische Dynamik hat sich aus der klassischen Maschinendynamik der Kraftmaschinen entwickelt. Sie umfaBt heute aber auch die Baudynamik, die Fahrzeugdynamik, die Roboterdynamik, die Rotordynamik, die Satellitendynamik und groBe Teile der Systemdynamik. Die gemeinsame Klammer all dieser eigenstandigen Disziplinen stellen die mechanischen Systeme dar, deren Modellierung immer am Anfang wissenschaftlichtechnischer Untersuchungen steht.

1.1 Aufgaben der technischen Dynamik Fiir die Aufgaben der technischen Dynamik gilt auch heute noch unverandert, was Biezeno und Grammel [3] im Jahre 1939 im Vorwort ihres gleichnamigen Buches geschrieben haben:

"Bei der Gliederung und Behandlungdes Stoffes haben wir uns stets vor Augen gehalten, daj3 ein Problem filr die Technik nur dann losenswert ist, wenn es eine praktische Anwendungsmoglichkeit hat, und daj3 eine technische Aufgabe erst dann als gelOst betrachtet werden kann, wenn die Losung sich auch zahlenmiij3ig mit ertriiglichem Rechenaufwand bis in alle Einzelheiten auswerten llij3t. " In diesem Sinne stellt die technische Dynamik ein hoheres Teilgebiet der Mechanik dar, das ohne den Einsatz von Computem nicht auskommt. Die Aufgaben der technischen Dynamik ergeben sich unmittelbar aus den ingenieurmaBigen Forderungen der Praxis. Ein mechanisches System soli Bewegungen ausftihren, den Beanspruchungen standhalten und die Umwelt nicht belasten. Am Beispiel eines Kolbenmotors sind mogliche Aufgaben in Fig. 1.1 dargestellt. Zur Losung der Aufgaben werden zunachst die Bewegungsgleichungen und die Reaktionsgleichungen mechanischer Systeme benotigt, die mit Hilfe der analytischen Mechanik gewonnen werden konnen.

10

1 Einleitung ME CHAN I SCHES SYSTEM KOLBENMOTOR

~ BEWEGUNG AUSFOHREN KOLBEN, PLEUEL, KURBEL, WELLE

I

I

~

I BEANSPRUCHUNG STANDHALTEN

UMWELT NICHT BELASTEN

TRAGHE [TSKRAFTE,

BAUWERK,

GASKRAFTE, LAGERKRAFTE,

SCHWUNGRAD

FAHRZEUG

LASTMOMENT

I

ARBE ITS-

STRUKTUR-

BEWEGUNG:

SCHW! NGUNG:

KURBEL -

PLEUEL,

GETR I EBE

flELLE

I

I

FESTIGKEIT

BELASTUNG

DER BAUTE I LE

DEf.;

LAGER

I

I

MASSEN-

Aus-

AUSGLEICH:

\.,rUCHTEN:

KURBEL -

SCHWUNG-

GETR I EBE

RAD

Fig, L 1 Aufgaben der technischen Dynamik

1.2 Beitrage der analytischen Mechanik Die Bewegungsgleichungen freier mechanischer Systeme sind bereits seit den Anfangen der Mechanik bekannt. New ton (1643-1727) verOffentlichte 1687 die drei Grundgesetze: das Tragheitsgesetz, das Bewegungsgesetz und das Gegenwirkungsgesetz. Das Bewegungsgesetz liefert unmittelbar die Bewegungsgleichungen eines Massenpunktes. E u 1 e r (1707-1783) hat mit dem Impuls· und Drallsatz 1775 die Bewegungsgleichungen flir einen starren Karper zur Verftigung gestellt. D' A I e m b e r t (1717-1783) verOffentlichte 1743 sein Prinzip fUr gebundene Punktsysteme, das Lag ran g e (1736-1813) im Jahre 1788 unter Verwendung des Prinzips der virtuellen Arbeit einfacher formulierte. 1m besonderen flihrte Lagrange die verallgemeinerten Koordinaten ein, die auch seinen 1811 erschienenen Bewegungsgleichungen zweiter Art zugrunde liegen. Verallgemeinerungen des D'Alembertschen Prinzips stellen das 1829 verOffentlichte Prinzip von G a u E (1777-1855) und das 1908 eingeflihrte Prinzip von Jourdain dar. Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art wurden 1879 von Gibbs und 1900 von Appell auf nichtholonom gebundene Systeme erweitert. Neben den bisher genannten Differentialprinzipien sei noch das 1834 veraffentlichte Prinzip von Ham i Ito n (1805-1865) als Integralprinzip erwahnt. Einzelheiten tiber die historische Entwicklung kannen bei Szabo [24] nachgelesen werden. Aile wichtigen Prinzipien der Mechanik hat Pasler [18] zusammengestellt. Ausflihrliche Darstellungen der analytischen Mechanik gehen auf Budo [5] und Hamel [8] zurtick. Eine neuere Betrachtungsweise der klassischen Mechanik findet man bei Arnold [1].

1.3 Modellbildung mechanischer Systeme

11

1.3 Modellbildung mechanischer Systeme

Mechanische Systeme sind stets dUTch Bauteile mit Mas sen t rag h e i t und E 1 a s t i zit a t gekennzeichnet. Dazu kommen in der Regel noch Einfliisse der Vis k 0 s i tat und die Erregung dUTch au£ere K r aft e , Fig. 1.2. Die Massentragheit eines Bauteils wird dUTch sein Volumen und seine Dichte bestimmt. Die Masse kann dUTch die Abmessungen und die Dichte des Bauteils beeinflu£t werden; sie ist stets positiv und wird als zeitlich unveranderlich vorausgesetzt. Die Elastizitat eines Bauteils hangt von seiner geometrischen Gestalt und den Werkstoffeigenschaften abo DUTch eine geeignete konstruktive Gestaltung kann im besonderen erreicht werden, daB die Elastizitat im Verhaltnis ZUT Masse gro£ wird. Man spricht dann von Federelementen, wie sie z. B. dUTch Blatt-, Schrauben- oder Torsionsfedern gegeben sind. Die Viskositat kann entweder dUTch die Werkstoffdampfung in den Bauteilen, dUTch Reibungserscheinungen zwischen bewegten Bauteilen oder dUTch konstruktiv gestaltete Dampferelemente hervorgerufen werden. Die au£eren Krafte entstehen einerseits durch die Wirkung von Kraftfeldern (Gravitation) und dUTch besondere Antriebselemente (Stellmotoren) sowie andererseits als Reaktion auf eine vorgegebene Bewegung (Lagerung).

MEHR KOR PER S YSTEME

Fig. 1.2 Eigenschaften mechanischer Systeme

Die Eigenschaften eines realen technischen Systems miissen nun dUTch idealisierte Modelle beschrieben werden. Dabei unterscheidet man Modelle mit verteilten und konzentrierten Parametern. Zu den Modellen mit verteilten Parametern gehort im besonderen der elastische Korper der Kontinuumsmechanik. Modelle mit konzentrierten Parametern findet man in der Stereomechanik; sie umfassen den starren Korper, die masselose Feder, den masselosen Dampfer sowie Antriebs- und Reaktionskrafte. Aus diesen Modellen lassen sich nun wiederum die mechanischen Ersatzsysteme aufbauen.

12

I Einleitung

1.3.1 Mehrkorpersysteme Ein Mehrkorpersystem besteht aus massebehafteten s tar r e n K 0 r per n, auf die an diskreten Punkten Einzelkrafte und Einzelmomente einwirken. Die Krafte und Momente gehen auf masselose Federn, Dampfer und Stellmotoren sowie auf starre Gelenke und beliebige andere Lagerungen zuruck. Daneben konnen eingepragte Volumenkrafte und -momente auf die starren Korper wirken. Haufig verwendete Symbole fUr die Elemente eines Mehrkorpersystems sind in Fig. 1.3 zusammengestellt. Storrer

Kerper

o

Mossenpunkt Feder Stab

0>--------t sich durch eine F Ordnung approximieren,

0

uri e r - Rei h e Q-ter

Q

b(t) = ~ (b~l) cos knt + b~2) sin kDt), k= 1

(9.15)

mit den n x 1-Vektoren b~l), b~2) der Fourier-Koeffizienten. Die allgemeine Losung hat nun die Form x(t) = (t) [ Xo -

k

~ 1 g~l) 1+ k ~ 1 (g~l) cos kDt + g~2) sin knt)

(9.16)

mit dem komplexen n x 1- F r e que n z g a n g ve k tor (gf) - ig~2») = (ikDE - Ar1 (b~l) - ib~2»).

(9.17)

Die Antwort (9.16) stellt die OberJagerung einer freien Schwingung, die den Einschwingvorgang beschreibt, und einer erzwungenen Schwingung dar. Fiir die s t 0 c has tis c h e Err e gun g asymptotisch stabiler Systeme wird ein Gauf>scher n x 1-Vektorprozef> (9.18) mit den Eigenschaften des wei f> e n R a usc hen s vorausgesetzt. Dann gilt fiir den n x 1-Mittelwertvektor mb(t) = 0 und fUr die n x n-Korrelationsmatrix bleibt Nb(t, r) = Q 8(t - r). Dabei ist Q die n x n-Intensitatsmatrix des weif>en Rauschens und 8 beschreibt die durch (7.26) eingefiihrte Dirac-Funktion. Beachtet man noch, daf> bei stochastischen Systemen auch der Anfangszustand durch einen Gauf>schen n x 1-Zufallsvektor (9.19) mit dem n x I-Mittelwertvektor mo und der n x n-Kovarianzmatrix Po beschrieben wird, so findet man die allgemeine Losung ebenfalls als Gauf>schen Vektorprozef> x(t, r)

~

(mx(t), Nx(t, r)).

(9.20)

Es ist nun auf>erst bemerkenswert, daf> fUr den n x 1- Mit tel w e r t ve k tor mx(t) und die aus der n x n-Korrelationsmatrix Nx(t, r) folgende n x n- K 0 va ria n z mat r i x Px(t) die deterrninistischen Losungen mx(t) = (t) mo,

(9.21)

Px(t) = (t) (Po - P) T (t) + P

(9.22)

gefunden werden konnen, die sich auf die Fundamentalmatrix (9.10) und die algebraische L j a pun 0 v s c heM a t r i zen g lei c hun g AP+PAT+Q=O

(9.23)

zuriickfiihren lassen. Die Antwort (9.21) beschreibt einen reinen Einschwingvorgang auf den verschwindenden Mittelwert, wahrend die Kovarianzmatrix (9.22) auf einen stationaren Wert einschwingt. Wegen weiterer Einzelheiten sei auf [16] verwiesen.

9.2 Lineare Algebra zeitinvarianter Systeme

163

Die obige Einschrankung auf die Erregung durch weiBes Rauschen ist nicht sehr schwerwiegend, da sich farbige Rauschprozesse tiber sogenannte lineare Formfilter erzeugen lassen. Zu diesem Zweck muB gegebenenfalls die Systemordnung der Zustandsgleichung (9.8) geringfligig erhi:iht werden. Damit ist gezeigt, daB die technische Dynamik linearer zeitinvarianter Systeme auf rein algebraische Probleme zuriickgeftihrt werden kann. Es verbleibt noch die Frage, welche V e r fa h r end e r lin ear e n A I g e bra dabei zweckmaBig zum Einsatz kommen. Die numerische Li:isung der Eigenwertaufgabe macht in groBem Umfang von wiederholten Ahnlichkeitstransformationen Gebrauch. Zunachst empfiehlt es sich, die gegebene Systemmatrix A zu balancieren, urn ihre Kondition zu verbessern. Dann wird die Reduktion durch Eliminations- oder Householdertransformationen auf die obere Hessenberg-Form vorgenommen, wodurch eine einfache Gestalt der Matrix erreicht wird. Der nachste, entscheidende Schritt umfaBt die eigentliche Li:isung, die iterativ gefunden wird, da es sich im Prinzip urn die Nullstellenbestimmung handelt. Das modernste und beste Verfahren zur Bestimmung aller Eigenwerte und Eigenvektoren ist das von Wilkinson [25] ausfiihrlich beschriebene QR-Verfahren, das auch bei mehrfachen Eigenwerten nicht versagt. Werden alle wiihrend der Rechnung durchgefiihrten Ahnlichkeitstransformationen gespeichert und dann wieder riickgangig gemacht, so erhalt man im FaIle einfacher Eigenwerte auch die Eigenvektoren des Problems. Die numerische Berechnung des Koeffizientenvektors (9.14) erfolgt ohne ein besonderes Verfahren durch Matrizenmultiplikationen und -additionen. Der komplexe Frequenzgangvektor (9.16) wird durch das line are Gleichungssystem (ikrm - A) (g~l) - ig~2»)

= b~l) - ib~2),

k

= 1(1)n,

(9.24)

bestimmt. Ais numerisches Verfahren sei hier die GauB·Elimination mit Spaltenpivotsuche erwiihnt. Die Li:isung von (9.24) ist aber nur dann empfehlenswert, wenn eine feste Erregerfrequenz n gegeben ist. Wird bei einer harmonischen Erregung, Q = 1, der Frequenzgangvektor als Funktion der Erregerfrequenz gesucht, so ist es zweckmaBiger, auf die Elementarfrequenzgange mit bekannter Li:isung zurtickzugreifen, wie dies in [16] dargestellt ist. Die Elementarfrequenzgange erfordern wiederum die Li:isung der Eigenwertaufgabe. Die Ljapunovsche Matrizengleichung (9.23) kann entweder durch Umschreiben in ein lineares Gleichungssystem erhi:ihter Ordnung oder iterativ nach dem Smithschen Verfahren geli:ist werden. Das Smithsche Verfahren ist wegen der unveranderten Ordnung numerisch giinstiger. Die Konvergenz der Iteration ist wegen der vorausgesetzten asymptotischen Stabilitat des Systems stets gegeben. Die verftigbaren algebraischen Li:isungen der zeitinvarianten Zustandsgleichung (9.8) schlieBen natiirlich nicht aus, auch numerische Integrationsverfahren fiir lineare Systeme einzusetzen. Dieser Weg wird in der Praxis aus Bequemlichkeit sogar haufig gewiihlt. Man muB sich dabei aber im klaren sein, daB das Anfangswertproblem das dynamische Verhalten nur flir einen einzigen Anfangszustand beschreiben kann, wiihrend das Eigenwertproblem die gesamte Li:isungsvielfalt fiir beliebige Anfangsbedingungen beinhaltet.

164

9 Numerische Verfahren

9.3 Vergleich der mechanischen Modelle Zum numerischen Vergleich der Methode der Mehrk6rpersysteme, der Finite-ElementeSysteme und der Kontinuierlichen Systeme eignen sich nur einfache Konstruktionen, die einer geschiossenen L6sung zuganglich sind. Es sollen deshalb die Lan g s s c h win gun g e n eines Stabes, Fig. 9.1, als Beispiel herangezogen werden. Die Parameter eines einseitig eingespannten, homogenen Stabes sind die Dichte p, die Querschnittsflache A, der Elastizitatsmodul E und die Lange L.

Mehrkorper system

Finite -ElementeSystem

~+-_9_.A_._E_.L_ _--, x

Kontinuierl iches System

_I ~(x)

Fig. 9.1 Ersatzsysteme fUr die Liingsschwingungen eines Stabes

Nach der Methode der M e h r k 6 r per s y s tern e wird der Stab durch f Massenpunkte beschrieben, wobei f die Zahl der Freiheitsgrade kennzeichnet. Dann lauten die Bewegungsgleichungen nach (5.53) z. B. fiir vier Massenpunkte:

pAL

8

l~

o o 2

o

o 2 o o o 0

-1 2 -1

o

0 -1 2 -1 (9.25)

Die stetig verteilte Masse des Stabes wurde dabeijedem Massenpunkt zur Halfte zugeschlagen und die Federkonstanten wurden nach dem Hookeschen Gesetz bestimmt. Die Methode der Fin i t e - E 1 erne n t e - S Y s tern e liefert entsprechend (6.22) und (6.27) flir vier Elemente:

pAL 24

l~

0

4 1

o o

o

-1

1 4

2 -1

o

o -1 2 -1 (9.26)

9.3 Vergleich der mechanischen Modelle

165

Die Methode der K 0 n tin u i e r 1 i c hen S y s tern e fiihrt mit (7.16) bei den gegebenen Randbedingungen auf das Eigenwertproblem cos/3=O

(9.27)

mit den Eigenfrequenzen _ (2f-l)1T 2

Wf -

(E

J

Pi}'

f = 1(1)00.

(9.28)

Als erster, gr6bster Vergleich sollen die Eigenfrequenzen fUr f = 1 verglichen werden. Der exakte Wert folgt aus (9.28) zu WI

~. JPIY

= 1,570

(9.29)

Die Methode der Mehrkbrpersysteme liefert flir einen Massenpunkt WI

= 1,414

~ J;L2

(9.30)

und die Methode der finiten Elemente ergibt fUr ein finites Element WI

= 1,732

~. JPIY

(9.31)

Zunachst erkennt man, daB aile Methoden die richtige Abhiingigkeit von den Parametem des Stabes zeigen. Lediglich der Zahlenfaktor ist unterschiedlich. Der Frequenzfehler der Methode der Mehrk6rpersysteme betragt -10%, die Methode der finiten Elemente ergibt einen Frequenzfehler von + 10%. FUr die grobe Niiherung f = 1 ein erstaunlich gutes Ergebnis. Man kann nun die Zahl der Freiheitsgrade erh6hen und den jeweils auf die exakten Fre· quenzen (9.28) bezogenen F r e que n z f e hie r auftragen, Fig. 9.2. Die Methode der Mehrk6rpersysteme liefert grundsatzlich zu kleine, die Methode der finiten Elemente dagegen zu groBe Frequenzen. Dieser Sachverhalt laBt sich leicht erklaren. Durch die Konzentration der verteilten Masse in den Massenpunkten werden die Tragheitswirkun· gen vergr6Bert, wodurch die Frequenz sinken muB. Andererseits verringeit die line are Verteilung der Masse nach der Methode der finiten Elemente die Trligheitswirkungen, was zu h6heren Frequenzen flihrt. Weiterhin zeigt Fig. 9.2, daB der Fehler mit zunehmender Zahl von Freiheitsgraden abnimmt. Bereits bei drei Freiheitsgraden betragt der Fehler der ersten Eigenfrequenz nur noch ± 1%. Diese Tatsache begriindet den groBen Erfolg, den die Methode der Mehrk6rpersysteme und die Methode der finiten Elemente in den letzten Jahren errungen haben. Allgemein liiBt sich feststellen, daB bei linearen Systemen die Methode der finiten Elemente zu genaueren Ergebnissen fiihrt, wie auch Fig. 9.2 zeigt. Bei einer hinreichenden Anzahl von Freiheitsgraden erreicht die Methode der Mehrkbrpersysteme haufig die Genauigkeit der Methode der finiten Elemente; sie ist dariiber hinaus auch fUr groBe, nichtlineare Bewegungen hervorragend geeignet.

166

9 Numerische Verfahren

Fehler

20%

10%

o 10%

20%

30%

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

Zahl der Elemenle

Fig. 9.2 Frequenzfehler als Funktion der Elementezahl

Die wesentlichen Anwendungsgebiete der Methode der finiten Elemente liegen in der S t r u k t u r d y n ami k , wiihrend die Methode der Mehrkorpersysteme in der Mas chi n end y n ami k bevorzugt eingesetzt wird. Die Methode der Kontinu· ierlichen Systeme findet in der theoretischen Dynamik breite Anwendung.

Anhang: Mathematische Hilfsmittel In diesem Anhang werden einige haufig verwendete Beziehungen und Definitionen zusammengestellt. A.I Darstellung von Funktionen Zur Darstellung von Funktionen wird eine ve rei n fa c h t eSc h rei b wei s e benutzt. Diese wird im folgenden am Beispiel des Ortsvektors eines Massenpunktes erlautert. Die freie Bewegung eines Massenpunktes erfolgt im dreidimensionalen Euklidischen Raum R 3. Seine Lage wird dann durch einen 3 x 1-0rtsvektor r beschrieben, rER3.

(A.1.1)

Wird die Bewegung durch eine holonome Bindung an eine FHiche eingeschrankt, so reicht ein 2 x l-Lagevektor y der verallgemeinerten Koordinaten aus, urn seine Lage eindeutig zu beschreiben. Damit kann der Ortsvektor als Funktion des Vektors y aufgefaBt werden: r=f(y),

f:R2-+R3.

(A. 1.2)

Dies bedeutet, daB jedem Element y des Konfigurationsraumes R2 durch die Abbildung f genau ein Element r des Anschauungsraumes R3 zugeordnet wird. Aus den Grundgleichungen der Kinetik ergibt sich zusammen mit einer Anfangsbedingung Yo E Rf,

Yo E Rf

(A. 1.3)

der Lagevektor y als Funktion der Zeit t: y = get),

g : R -+ Rf.

(A. 1.4)

Damit folgt aus (A. 1.2) die Abhangigkeit des Ortsvektors von der Zeit: r = fey) = f(g(t)) = h(t).

(A.l.S)

Wie man sieht, sind also bereits zur exakten Beschreibung des einfachsten mechanischen Modells mehrere Abbildungsschritte notwendig. Die daraus resultierende aufwendige Schreibweise wird deshalb durch eine vereinfachte Beschreibung ersetzt. Dazu werden (A. 1.1) bis (A.1.S) wie folgt in einer einzigen Beziehung zusammengefaBt: ret) = r(x(t)) = rex).

(A. 1.6)

Zugunsten einer knappen Schreibweise wird also die Tatsache, daB fund h zwei verschiedene Abbildungen sind, bewuBt auBer Acht gelassen. Die dadurch erzielte Entlastung des Textes rechtfertigt die Ungenauigkeiten, die durch die verkiirzte Schreibweise entstehen.

168

Anhang: Mathematische Hilfsmittel

A.2 Matrizenalgebra Die rechteckige m x n-Matrix A wird durch das Schema ihrer Elemente ACi{3 gebildet:

a

= 1(1)m,

f3

=1(1)n.

(A.2.1)

Die Matrizenaddition zweier m x n-Matrizen A und B erfolgt elementweise: (A.2.2) Die Matrizenmultiplikation einer m x p-Matrix A und einer p x n-Matrix B verkniipft die Elemente multiplikativ und additiv: AB=l

£ AC