Szczególna teoria względności: notatki z wykładu Leszka M. Sokołowskiego [I ed.] 9788323347156

Table of contents :
Przedmowa
Czasoprzestrzen i uklady odniesienia
Szczególna teoria wzglednosci (STW)
Czasoprzestrzen
Wstepna konstrukcja czasoprzestrzeni
Linie swiata
Uklady odniesienia
Pomiar czasu
Synchronizacja zegarów
Inercjalne uklady odniesienia
Zasada Wzglednosci
Zasada wzglednosci Galileusza-Einsteina
Transformacje wspólrzednych w czasoprzestrzeni
Prawa fizyki niezmiennicze wzgledem transformacji Galileusza
Przyklady praw transformacyjnych
Przyklady praw niezmienniczych wzgledem transformacji Galileusza
Kontrprzyklad
Komentarze
Ograniczenia na stosowanie zasady wzglednosci
Podstawy Teorii Wzglednosci
Grupy przeksztalcen i niezmienniki
Stalosc predkosci swiatla
Diagram Minkowskiego
Interwal czasoprzestrzenny
Wektory i figury niezmiennicze
Wektory w czasoprzestrzeni
Odcinki skierowane laczace pary punktów (zdarzen)
Wektory róznych wielkosci fizycznych
Algebra wektorów i stozek swietlny
Stozek swietlny
Równoczesnosc zdarzen
Diagram Minkowskiego i transformacja Lorentza
Szczególna transformacja Lorentza
Dylatacja czasu i skrócenie dlugosci
Dylatacja czasu
Skrócenie dlugosci
Skladanie predkosci
Ruch jednowymiarowy
Technika diagramu Minkowskiego
Wyznaczanie jednostek na osiach ukladów S i S' za pomoca niezmienniczych hiperbol
Dylatacja czasu i skrócenie Lorentza na diagramie Minkowskiego
Kontrakcja Lorentza
Dylatacja czasu
Zjawisko Dopplera i aberracja swiatla
Czas wlasny
Czas wlasny
Paradoks blizniat
Nierównosc trójkata
Wektorowa przestrzen Minkowskiego
Wektorowa przestrzen Minkowskiego
Podprzestrzenie wektorowej przestrzeni Minkowskiego
Podprzestrzenie liniowe wymiaru 2 i 1
Czasoprzestrzen Minkowskiego
Czasoprzestrzen Minkowskiego
Odwzorowania wektorowej przestrzeni Minkowskiego
Transformacje czynne i bierne
Przeksztalcenia czasoprzestrzeni Minkowskiego M4
Transformacje czynne
Transformacje bierne
Grupa Lorentza
Ogólne wlasnosci grupy Lorentza
Skladowe grupy Lorentza
Dyskretne transformacje Lorentza
Male grupy
Obroty przestrzenne
Boosty (pchniecia)
Obroty zerowe
Relatywistyczna niezmienniczosc praw fizyki
Mechanika relatywistyczna
Kinematyka relatywistyczna
Relatywistyczny ped kinetyczny
Relatywistyczne równania Newtona
Calkowita energia kinetyczna
Wlasnosci transformacyjne 4-pedu p
Prawo zachowania 4-pedu
Kowariantne relatywistyczne równania Newtona
Ruch jednostajnie przyspieszony

Citation preview

´ U NIWERSYTET J AGIELLO NSKI

Szczególna teoria wzgl˛edno´sci

notatki z wykładu Leszka M. Sokołowskiego

©Copyright by Leszek M. Sokołowski Published by 〈N |Kb |F 〉 ISBN ??? Kraków 2019

1

W przepisywaniu skryptu udział wzi˛eli: Pomysł i organizacja Strony 8-27 Strony 27-50 Strony 51-75 Strony 76-113 Strony 114-129 Poprawki i stylistyka dokumentu Rysunki Naniesienie korekty Profesora Korespondencja z Wydawnictwem

Adam Cie´slik Adam Cie´slik Karolina Piotrowska Mikołaj Pietrzynski ´ Tomasz Kope´c Mateusz Kmie´c Tomasz Kope´c i Mikołaj Pietrzynski ´ Mikołaj Pietrzynski ´ Mikołaj Pietrzynski ´ Adam Cie´slik

2

Spis tre´sci Przedmowa

6

1 Czasoprzestrzen ´ i układy odniesienia 1.1 Szczególna teoria wzgl˛edno´sci (STW) . 1.2 Czasoprzestrzen ´ . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Wst˛epna konstrukcja czasoprzestrzeni 1.4 Linie s´wiata . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Układy odniesienia . . . . . . . . . . . . 1.6 Pomiar czasu . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Synchronizacja zegarów . . . . . . . . . 1.8 Inercjalne układy odniesienia . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

8 8 9 10 11 12 12 13 15

2 Zasada Wzgl˛edno´sci 2.1 Zasada wzgl˛edno´sci Galileusza-Einsteina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Transformacje współrz˛ednych w czasoprzestrzeni . . . . . . . . . . 2.2 Prawa fizyki niezmiennicze wzgl˛edem transformacji Galileusza . . . . . . . 2.2.1 Przykłady praw transformacyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Przykłady praw niezmienniczych wzgl˛edem transformacji Galileusza 2.2.3 Kontrprzykład . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Komentarze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ograniczenia na stosowanie zasady wzgl˛edno´sci . . . . . . . . . . . . . . .

18 18 19 19 20 22 25 26 27

3 Podstawy Teorii Wzgl˛edno´sci 3.1 Grupy przekształcen ´ i niezmienniki 3.2 Stało´sc´ pr˛edko´sci s´wiatła . . . . . . . 3.3 Diagram Minkowskiego . . . . . . . 3.4 Interwał czasoprzestrzenny . . . . .

. . . .

30 30 31 32 36

. . . . . .

40 40 40 41 42 44 45

5 Diagram Minkowskiego i transformacja Lorentza 5.1 Szczególna transformacja Lorentza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Dylatacja czasu i skrócenie długo´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 51 53

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

4 Wektory i figury niezmiennicze 4.1 Wektory w czasoprzestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Odcinki skierowane łacz ˛ ace ˛ pary punktów (zdarzen) ´ 4.1.2 Wektory ró˙znych wielko´sci fizycznych . . . . . . . . . 4.2 Algebra wektorów i sto˙zek s´wietlny . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Sto˙zek s´wietlny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Równoczesno´sc´ zdarzen ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

5.2.1 Dylatacja czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Skrócenie długo´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Składanie pr˛edko´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Ruch jednowymiarowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Technika diagramu Minkowskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Wyznaczanie jednostek na osiach układów S i S 0 za pomoca˛ niezmienniczych hiperbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Dylatacja czasu i skrócenie Lorentza na diagramie Minkowskiego . 5.4.3 Kontrakcja Lorentza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Dylatacja czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Zjawisko Dopplera i aberracja s´wiatła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 61 62 62 63

6 Czas własny 6.1 Czas własny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Paradoks bli´zniat ˛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Nierówno´sc´ trójkata ˛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66 66 69 72

7 Wektorowa przestrzen ´ Minkowskiego 7.1 Wektorowa przestrzen ´ Minkowskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Podprzestrzenie wektorowej przestrzeni Minkowskiego . . . . . . . . . . . 7.2.1 Podprzestrzenie liniowe wymiaru 2 i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .

76 76 81 82

8 Czasoprzestrzen ´ Minkowskiego 8.1 Czasoprzestrzen ´ Minkowskiego . . . . . . . . . . . . . 8.2 Odwzorowania wektorowej przestrzeni Minkowskiego 8.3 Transformacje czynne i bierne . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Przekształcenia czasoprzestrzeni Minkowskiego M4 . 8.4.1 Transformacje czynne . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Transformacje bierne . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

84 84 85 88 91 91 92

. . . . . . .

95 95 96 98 100 101 103 107

9 Grupa Lorentza 9.1 Ogólne własno´sci grupy Lorentza 9.2 Składowe grupy Lorentza . . . . . 9.3 Dyskretne transformacje Lorentza 9.4 Małe grupy . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Obroty przestrzenne . . . . . . . . 9.6 Boosty (pchni˛ecia) . . . . . . . . . 9.7 Obroty zerowe . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

10 Relatywistyczna niezmienniczo´sc´ praw fizyki

4

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

53 54 55 56 57

108

11 Mechanika relatywistyczna 11.1 Kinematyka relatywistyczna . . . . . . . . . . . . . 11.2 Relatywistyczny p˛ed kinetyczny . . . . . . . . . . 11.3 Relatywistyczne równania Newtona . . . . . . . . 11.4 Całkowita energia kinetyczna . . . . . . . . . . . . 11.4.1 Własno´sci transformacyjne 4-p˛edu p α . . 11.5 Prawo zachowania 4-p˛edu . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Kowariantne relatywistyczne równania Newtona 11.7 Ruch jednostajnie przyspieszony . . . . . . . . .

5

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

114 114 117 118 120 123 123 124 125

Przedmowa Szczególna teoria wzgl˛edno´sci jest tradycyjnie wykładana jako fragment tego działu fizyki, w którym pojawiła si˛e w wyniku eksperymentu (Michelsona–Morleya), czyli w elektrodynamice. W ciagu ˛ stu nast˛epnych lat okazała si˛e bazowa˛ teoria˛ dla wszystkich zjawisk i form materii, bowiem wszelka materia jest relatywistyczna. Teori˛e t˛e, jak ka˙zda˛ inna˛ teori˛e fizyczna, ˛ mo˙zna w pełni zrozumie´c i wyrazi´c w najbardziej adekwatnym systemie poj˛ec´ , gdy spojrzy si˛e na nia˛ z perspektywy obejmujacej ˛ ja˛ teorii bardziej uniwersalnej. Okazało si˛e, z˙ e STW jest bardzo szczególnym przypadkiem (tzw. rozwia˛ zaniem podstawowym) ogólnej teorii wzgl˛edno´sci, czyli teorii oddziaływan ´ grawitacyjnych. Jest to przypadek szczególny, a zarazem fundamentalny dla naszego istnienia i poznania s´wiata, bowiem w silnych i szybko zmiennych polach grawitacyjnych powstanie i przetrwanie znanych nam organizmów jest watpliwe, ˛ a gdyby nawet odmienne istoty inteligentne mogły w nich istnie´c, to napotkałyby du˙zo wi˛eksze trudno´sci w sformułowaniu jakichkolwiek praw fizyki. Pomijamy zatem grawitacj˛e, lecz patrzymy z perspektywy OTW i formułujemy STW jako geometri˛e specyficznej — płaskiej — czasoprzestrzeni. U˙zywamy aparatu geometrii analitycznej i algebry tensorów, co prowadzi do nadania wła´sciwej rangi niezmiennikom geometrycznym. W takim uj˛eciu transformacja Lorentza, której rola w tradycyjnym wykładzie jest nadmiernie wyeksponowana, wraca na wła´sciwe jej miejsce. Podej´scie geometryczne daje gł˛ebsze zrozumienie zjawisk relatywistycznych i eliminuje praktycznie wszystkie paradoksy, towarzyszace ˛ STW od jej narodzin i dajace ˛ jej watpliw ˛ a˛ sław˛e. Uzupełnieniem podej´scia geometrycznego jest uwzgl˛ednienie gł˛ebokiego zwiazku ˛ (do dzi´s nie w pełni zrozumianego) zjawisk relatywistycznych i fizyki kwantowej. Bez uwzgl˛ednienia fizyki czastek ˛ elementarnych i jader ˛ atomowych samo istnienie uniwersalnej i inwariantnej pr˛edko´sci oddziaływan ´ fundamentalnych jest trudnym do zrozumienia dziwactwem przyrody. Bez zjawisk kwantowych, w których masa spoczynkowa czastek ˛ elementarnych zamienia si˛e w energi˛e (i na odwrót), kinematyka relatywistyczna byłaby ułomna. Takie sformułowanie STW pojawiło si˛e w literaturze s´wiatowej w ostatnich dekadach, lecz ksia˙ ˛zki te sa˛ trudno dost˛epne polskim studentom. Wst˛epnym zapełnieniem tej luki ma by´c ten skrypt, adresowany do studentów drugiego roku fizyki i astronomii. Skrypt ten stanowia˛ notatki do jednosemestralnego wykładu STW i obejmuje materiał, który z trudem mog˛e wyło˙zy´c w dost˛epnym czasie. Zrezygnowałem zatem z przedstawienia czasoprzestrzeni Galileusza fizyki nierelatywistycznej, mimo z˙ e jest ona bardzo pouczajacym ˛ przykładem, i˙z geometria Minkowskiego jest konstrukcyjnie od niej prostsza. Podaj˛e jedynie rudymenty mechaniki relatywistycznej, bez formalizmu Lagrange’a i Hamiltona. Kinematyk˛e relatywistyczna˛ ograniczyłem do minimum, bowiem wła´sciwym miejscem jej prezentacji jest wykład fizyki czastek ˛ elementarnych. Skrypt zachował telegraficzny styl notatek do wykładu. Zawiera sporo powtórzen, ´ które psuja˛ elegancj˛e 6

wykładu, lecz sa˛ wygodne dla czytelnika – sa˛ wi˛ec celowe. Notatki te uzupełniłem w szeregu miejsc komentarzem, który był wygłaszany na wykładzie. Nie zakładam tu z˙ adnej uprzedniej znajomo´sci STW, chocia˙z skromne elementy tej teorii pojawiaja˛ si˛e wcze´sniej w kursie wst˛epu do fizyki. Istotna jest znajomo´sc´ przez studenta geometrii analitycznej i algebry tensorów w zakresie kursów na studiach fizyki i astronomii; cz˛es´c´ wykładu algebry tensorów jest powtórzona w notacji stosowanej do czasoprzestrzeni. Jestem wdzi˛eczny panstwu: ´ Tomaszowi Kopciowi, Mikołajowi Pietrzynskiemu, ´ Karolinie Piotrowskiej, Adamowi Cie´slikowi i Mateuszowi Kmieciowi za staranne przepisanie moich r˛ecznych notatek zawierajacych ˛ liczne wzory, w edytorze Tex i za opracowanie skryptu. Dzi˛eki temu mój wykład b˛edzie łatwiej czytelny dla zainteresowanych studentów.

Leszek M. Sokołowski, Kraków, lipiec 2018

Jedna˛ z podstawowych misji Naukowego Koła Fizyków Studentów Uniwersytetu Jagiellonskiego, ´ od zawsze była popularyzacja wiedzy fizycznej, zarówno w s´rodowiskach studenckich jak i poza nimi. Na przestrzeni dziejów, członkowie Koła wydawali skrypty wyró˙zniajace ˛ si˛e rzetelnym oraz przejrzystym sformułowaniem materiału. Dla współczesnych studentów takimi wła´snie sa˛ wykłady prof. Leszka Sokołowskiego, których wr˛ecz chce si˛e słucha´c jak najwi˛ecej. Niniejsza ksia˙ ˛zka jest napisanym przez prof. Sokołowskiego wykładem ze Szczególnej Teorii Wzgl˛edno´sci. Dzi˛ekujemy Panu profesorowi za jego udost˛epnienie, korekt˛e merytoryczna˛ i stylistyczna˛ a tak˙ze pomoc przy jego wydaniu. Ponadto dzi˛ekujemy równie˙z naszym kolegom: Adamowi Cie´slikowi, Mateuszowi Kmieciowi, Tomaszowi Kopciowi, Mikołajowi Pietrzynskiemu ´ oraz Karolinie Piotrowskiej za ˙ pieczołowite przepisanie odr˛ecznych notatek profesora do systemu LATEX. Zywimy szczera˛ nadziej˛e, z˙ e opracowanie to usatysfakcjonuje zarówno młodych jak i starszych adeptów fizyki oraz wszystkich zainteresowanych ta˛ niezwykła˛ dziedzina˛ wiedzy.

˙ Zyczymy miłej lektury, Zarzad ˛ NKF UJ

7

1 Czasoprzestrzen ´ i układy odniesienia 1.1 Szczególna teoria wzgl˛edno´sci (STW) Jest to teoria własno´sci czasoprzestrzeni w nieobecno´sci oddziaływan ´ grawitacyjnych. Czasoprzestrzen ´ – scena, na której rozgrywaja˛ si˛e wszystkie procesy fizyczne. Grawitacja – uniwersalne oddziaływanie generowane przez dowolna˛ form˛e materii. Obiekt fizyczny – istnieje, gdy mo˙ze oddziaływa´c ⇒ przekaz energii i/lub p˛edu. Ogólna teoria wzgl˛edno´sci (OTW): ka˙zdy obiekt niosacy ˛ energi˛e i p˛ed i mogacy ˛ je przekazywa´c oddziałuje grawitacyjnie. ⇒ Materia˛ jest to, co oddziałuje grawitacyjnie. Pozostałe oddziaływania fundamentalne: silne, słabe i elektromagnetyczne sa˛ specyficzne. OTW: czasoprzestrzen ´ to swoisty obiekt fizyczny, jest obiektem dynamicznym, oddziałuje z ciałami znajdujacymi ˛ si˛e w niej ⇒ istnieje nieskonczenie ´ wiele ró˙znych czasoprzestrzeni, tyle, ile jest ró˙znych obiektów fizycznych i ich ruchów. Opis procesów fizycznych w obecno´sci grawitacji jest skomplikowany. Grawitacja jest najsłabszym z oddziaływan ´ fundamentalnych: F e - siła elektromagnetyczna mi˛edzy elektronem i protonem, F g - siła grawitacyjna newtonowska mi˛edzy nimi: F e /F g = 2, 3 · 1039 . Grawitacja jest słaba: pokonujemy sił˛e przyciagania ˛ Ziemi (mo˙zemy si˛e porusza´c), istnieja˛ ciała makroskopowe ⇒ siły elektromagnetyczne mi˛edzy atomami spajaja˛ ciała makroskopowe i daja˛ im siły spr˛ez˙ ysto´sci równowa˙zace ˛ kurczace ˛ siły grawitacji. Zjawiska, w których grawitacja jest silna: osobliwo´sc´ czarnej dziury, pobli˙ze Wielkiego Wybuchu. ˙ Zyjemy w cz˛es´ci Wszech´swiata, w której grawitacja jest słaba ⇒ w fizyce jadrowej ˛ i czastek ˛ elementarnych mo˙zna grawitacj˛e pomina´ ˛c - tylko oddziaływania elektromagnetyczne, silne i słabe (Model Standardowy Czastek ˛ Elementarnych). OTW: gdy oddziaływania grawitacyjne materii i fale grawitacyjne mo˙zna pomina´ ˛c, to czasoprzestrzen ´ jest płaska – czasoprzestrzen ´ Minkowskiego M4 . STW: w nieobecno´sc´ grawitacji czasoprzestrzen ´ jest M4 - jest absolutna˛ (niedynamiczna) ˛ scena˛ fizyki i jest ró˙zna od absolutnej czasoprzestrzeni Galileusza mechaniki klasycznej. Definicja 1.1. STW to fizycznie zinterpretowany system twierdzen ´ geometrycznych czasoprzestrzeni Minkowskiego. Geometria czasoprzestrzeni M4 nakłada ograniczenia na form˛e oddziaływan ´ materii, ale nie okre´sla konkretnej postaci oddziaływan. ´ 8

Okre´sleniem oddziaływan ´ materii zgodnych z geometria˛ M4 zajmuja˛ si˛e klasyczna i kwantowa teoria pola ⇐ oddziaływania musza˛ mie´c charakter polowy. W tym wykładzie zajmujemy si˛e fizycznymi konsekwencjami geometrii M4 czyli kinematyka˛ zjawisk fizycznych. Na koncu ´ zajmiemy si˛e podstawami mechaniki relatywistycznej.

1.2 Czasoprzestrzen ´ Jej konstrukcj˛e podajemy stopniowo, w kilku wykładach. Czasoprzestrzen ´ to "iloczyn kartezjanski" ´ czas × przestrzen. ´ Najbardziej fundamentalny (elementarny) opis dowolnego zjawiska fizycznego to: – lokalizacja w przestrzeni = podanie relacji do innych rozciagłych ˛ ciał, – umieszczenie w ciagu ˛ nast˛epstw¡zdarzen ´¢ ( porzadek ˛ czasowy). To jeszcze nie sa˛ współrz˛edne t , x, y, z - bo nie mamy układu współrz˛ednych. Umieszczenie w czasie i przestrzeni - uniwersalna charakterystyka zjawisk fizycznych, dopiero na ich podstawie wprowadza si˛e specyficzne wielko´sci fizyczne: T, v, ci´snienie p, pola E i H. Nowo˙zytna koncepcja czasu i przestrzeni: I. Newton 1687, "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", po "Definicjach" nast˛epuje "Scholium" ("Obja´snienia"): 1) Czas absolutny, prawdziwy i matematyczny, sam z siebie i przez swa˛ natur˛e wpływa równomiernie bez zwiazku ˛ z czymkolwiek zewn˛etrznym i inaczej nazywa si˛e trwaniem. 2) Przestrzen ´ absolutna, przez swa˛ natur˛e, bez zwiazku ˛ z czymkolwiek zewn˛etrznym pozostaje zawsze taka sama i nieruchoma. Definicja Newtona - filozoficzna i nieoperacyjna. Zasada wzgl˛edno´sci Galileusza ⇒ przestrzen ´ nie jest absolutna - bo nie istnieje spoczynek absolutny ⇐ ruch jest wzgl˛edny. Mechanika klasyczna jest formułowana w czasoprzestrzeni Galileusza - odmiennej od koncepcji Newtona. W czasoprzestrzeni Galileusza nie ma absolutnej odległo´sci przestrzennej zdarzen ´ nierównoczesnych, jest tylko absolutny przedział czasu mi˛edzy nimi. Dla zdarzen ´ równoczesnych ich odległo´sc´ przestrzenna jest absolutna. Przykład: odległo´sc´ przestrzenna i czasowa Krakowa i Warszawy w układzie odniesienia Ziemi i pociagu ˛ jadacego ˛ mi˛edzy nimi. (Własno´sci czasoprzestrzeni Galileusza w tym kursie nie omawiam; sa˛ one przedstawione w miarodajnym wykładzie STW W. Kopczynskiego ´ i A. Trautmana, „Czasoprzestrzen ´ i grawitacja”, PWN, Warszawa 1981.) Einstein: własno´sci czasu i przestrzeni trzeba bada´c empirycznie a nie filozoficznie a priori. 9

Nowoczesna fizyka: czas i przestrzen ´ sa˛ odmiennymi aspektami (przejawami) jednego obiektu fizycznego - czasoprzestrzeni ⇐ zasada wzgl˛edno´sci ruchu. Elektrodynamika: konieczno´sc´ unifikacji czas × przestrzen ´ = czasoprzestrzen. ´ Powód: istnieje jeden obiekt fizyczny - pole elektromagnetyczne (fala elektromagnetyczna) ⇒ konieczno´sc´ zunifikowania E i H. Jeden obiekt fizyczny ⇒ opis jedna˛ wielko´scia˛ matematyczna. ˛ W E3 nie da si˛e połaczy´ ˛ c E i H w jeden obiekt matematyczny. W czasoprzestrzeni: (E, H) ↔ tensor nat˛ez˙ enia pola F µν - konieczne 4 wymiary. Czasoprzestrzen ´ - bardzo udana unifikacja w fizyce. Inne unifikacje: ogólna koncepcja energii (dowolne formy), elektromagnetyzm, oddziaływanie elektrosłabe (teoria Weinberga i Salama 1967-68) - kamienie milowe fizyki. Czasoprzestrzen ´ - jedyna udana unifikacja przestrzeni z innymi wielko´sciami fizycznymi. Nie istnieje np. "temperaturoprzestrzen" ´ - nie ma interesujacych ˛ i u˙zytecznych wła´sciwo´sci.

1.3 Wst˛epna konstrukcja czasoprzestrzeni Nale˙zy zbada´c empirycznie i u´sci´sli´c poj˛ecia, które w mechanice klasycznej sa˛ interesujace ˛ i "oczywiste" - w rzeczywisto´sci sa˛ m˛etne. Czasoprzestrzen ´ = { zbiór zdarzen ´ }. Zdarzenie – elementarny, pierwotny (niedefiniowalny) składnik ka˙zdego zjawiska fizycznego. To ka˙zdy fakt fizyczny bez rozciagło´ ˛ sci przestrzennej i bez trwania w czasie ("fakt punktowy i momentalny"). Przykład: zderzenie dwóch czastek ˛ punktowych, chwilowe poło˙zenie planety na orbicie wokół Słonca. ´ Fala elektromagnetyczna: nieskonczenie ´ wiele zdarzen ´ w jednej chwili warto´sci nat˛ez˙ en ´ pól E i H we wszystkich punktach obszaru zaj˛etego przez fal˛e w danej chwili. Matematycznie: zdarzenie = punkt w czasoprzestrzeni. Zdarzenie to te˙z punkt, w którym nie ma materii i nic si˛e nie dzieje. Czasoprzestrzen ´ – nało˙zenie kolejno 4 struktur matematycznych: 1) Struktura mnogo´sciowa : zbiór zdarzen ´ jest mocy continuum (zbiór liczb rzeczywistych). 2) Struktura topologiczna: zbiory otwarte i domkni˛ete, ciagło´ ˛ sc´ funkcji. 3) Struktura rozmaito´sci ró˙zniczkowej: układy współrz˛ednych, ró˙zniczkowalno´sc´ funkcji, wymiar czasoprzestrzeni = 4. 4) Struktura metryczna − odległo´sc´ mi˛edzy punktami.

10

Wszystkie czasoprzestrzenie w fizyce: Galileusza, Minkowskiego i Einsteina (OTW) maja˛ te same pierwsze 3 struktury, takie same jak przestrzen ´ euklidesowa E4 . Ró˙znia˛ si˛e metryka˛ – okre´sleniem odległo´sci. Wymiar czasoprzestrzeni: dim M4 = 4 – poj˛ecie topologiczne, empirycznie wprowadza si˛e go za pomoca˛ układów współrz˛ednych. Eksperyment: dim = 3 + 1 – prawo Ptolemeusza. Ptolemeusz: operacyjna definicja wymiaru przestrzeni = liczba współrz˛ednych koniecznych do zidentyfikowania dowolnego punktu w przestrzeni fizycznej. Prawo Ptolemeusza - jedyne uniwersalne prawo fizyki, które przetrwało ze staro˙zytno´sci. Geometria ró˙zniczkowa: identyfikacja punktów za pomoca˛ układów współrz˛ednych. Czasoprzestrzen ´¡ pokryta jest mapami. ¢ Mapa: para U , φ , U - otwarty zbiór (obszar) w czasoprzestrzeni, dziedzina mapy, φ - homeomorfizm obszaru U w R4 , φ : U → φ(U ) ⊂ R4 układ współrz˛ednych w danej mapie. ¡ ¢ ¡ ¢ p ∈ U − zdarzenie elementarne, φ p = x = t , x, y, z współrz˛edne punktu w mapie. Punkt x ∈ R4 identyfikujemy z ciagiem ˛ 4 liczb. Zało˙zenie: czasoprzestrzen ´ STW = M4 ma topologi˛e R4 i do jej pokrycia wystarczy jedna mapa ⇒ U = M4 . Układ współrz˛ednych φ nie jest jednoznaczny: w M4 mo˙zna wprowadzi´c nieskon´ czenie wiele ró˙znych układów współrz˛ednych. Własno´sci geometryczne figur w przestrzeni (np. w E3 ) nie zale˙za˛ od wyboru układu współrz˛ednych ⇒ własno´sci fizyczne zjawisk nie zale˙za˛ od wyboru układu współrz˛ednych φ. Przestrzen ´ euklidesowa E3 ma symetri˛e translacyjna˛ i obrotowa˛ ⇒ sa˛ wyró˙znione układy współrz˛ednych: kartezjanskie, ´ troch˛e sferyczne. M4 ma du˙za˛ symetri˛e ⇒ istnieja˛ w niej wyró˙znione układy współrz˛ednych. W fizycznej czasoprzestrzeni rozmaite układy współrz˛ednych wprowadzamy za pomoca˛ układów odniesienia.

1.4 Linie s´wiata Ka˙zde ciało o okre´slonych rozmiarach ma ciagł ˛ a˛ sekwencj˛e zdarzen ´ tworzacych ˛ jego cała˛ histori˛e - przeszła˛ i przyszła. ˛ Ciała punktowe – idealny punkt materialny, czastki ˛ elementarne: e, µ, τ, kwarki, neutrina - zakre´slaja˛ w czasoprzestrzeni ciagł ˛ a˛ krzywa˛ 1-wymiarowa: ˛ lini˛e s´wiata. Obiekty 1-wymiarowe (struny) - zakre´slaja˛ w czasoprzestrzeni powierzchni˛e 2-wymiarowa˛ - wst˛eg˛e s´wiata. Obiekty 2-wymiarowe ("membrany") maja˛ histori˛e która jest 3-wymiarowa. Byty 3-wymiarowe - wycinaja˛ w czasoprzestrzeni tunele s´wiata.

11

Czasoprzestrzen ´ jest utkana z linii s´wiata czastek ˛ punktowych. Linie s´wiata moga˛ si˛e przecina´c – zderzenia. Czasoprzestrzen ´ jest ciagła ˛ - jak przestrzen ´ R4 .

1.5 Układy odniesienia Pomiar wielko´sci fizycznych jest zawsze wykonywany w pewnym fizycznym układzie odniesienia (UO), bowiem ka˙zda aparatura pomiarowa jest ustawiona w pewnym UO i najcz˛es´ciej w tym UO dane zjawisko fizyczne jest opisywane. UO jest niezb˛ednym elementem naukowego postrzegania (opisu) s´wiata. Na ogół wynik pomiaru zale˙zy od UO, w którym jest wykonany; niektóre wielko´sci fizyczne nie zale˙za˛ wyboru UO, w którym sa˛ mierzone, np. ładunek elektryczny, wymiar przestrzeni fizycznej. Definicja 1.2. Układ odniesienia w STW = sztywna kratownica (sie´c) pr˛etów rozciagaj ˛ aca ˛ si˛e w całej przestrzeni, wyposa˙zona w zegary. UO jest ∞ wiele Zało˙zenie: istnieja˛ pr˛ety sztywne, ale nie doskonale sztywne (pr˛edko´sc´ d´zwi˛eku v s wywołanego zadziałaniem siły na pewien punkt pr˛eta jest mniejsza od pr˛edko´sci s´wiatła w pró˙zni c), które wytrzymuja˛ bez deformacji siły wywierane na sie´c. Istnieja˛ pr˛ety miernicze: za ich pomoca˛ wyznaczamy odległo´sci mi˛edzy w˛ezłami sieci i geometri˛e sieci: sze´scienna, ˛ sferyczna, ˛ cylindryczna. ˛ Dla wygody wybieramy sie´c sze´scienna. ˛ W˛ezły sieci numerujemy 3 liczbami x, y, z. Sie´c jest g˛esta ⇒ liczby x, y i z sa˛ wymierne. ¡ ¢ Zdarzenie punktowe ma współrz˛edne = numerowi x, y, z najbli˙ ¡ zszego ¢ w˛ezła sieci. W granicy rozmiar komórki sieci sze´sciennej → 0 ⇒ współrz˛edne x, y, z to liczby rzeczywiste. To jest lokalizacja przestrzenna zdarzenia wzgl˛edem danego UO. W silnym polu grawitacyjnym w OTW ciała sztywne nie istnieja˛ ⇒ sie´c pr˛etów jest "mi˛ekka" i odległo´sci mi˛edzy w˛ezłami sieci zale˙za˛ od czasu. T˛e sytuacj˛e pomijamy.

1.6 Pomiar czasu W w˛ezłach sieci UO umieszczamy zegary. Zegar = układ fizyczny mierzacy ˛ upływ czasu. Postulat empiryczny: istnieja˛ rozmaite zjawiska cykliczne (powtarzalne) s´ci´sle periodyczne. Jedno zjawisko fizyczne - tylko cykliczno´sc´ (piłka toczaca ˛ si˛e po piasku), nie mo˙zemy ustali´c, czy jego okres jest stały. Zjawisko s´ci´sle periodyczne: jego okres T = const. Sprawdzamy to innymi zjawiskami periodycznymi. Mechanizmy zegarowe: oscylacje kryształów kwarcu, zegary atomowe, ruch wirowy Ziemi, wirujace ˛ pulsary − sa˛ reprodukowalne i zgodne co do T = const. 12

Poniewa˙z pr˛edko´sc´ s´wiatła w pró˙zni c = const ⇒ istnieje zegar fotonowy EinsteinaLangevina: foton porusza si˛e prostopadle do dwu równoległych zwierciadeł i odbija si˛e od nich wielokrotnie, zliczane sa˛ odbicia od jednego z nich. Zbudowanie takiego zegara jest trudne.

T = 2lc

l

Zegar zlicza cykle zjawiska s´ci´sle periodycznego. Mechanizm zegara nie mo˙ze by´c uwarunkowany siłami zewn˛etrznymi (wahadło w polu grawitacyjnym Ziemi). Dobry zegar = zegar oparty na zjawisku s´ci´sle periodycznym, nieczuły (do pewnego stopnia) na siły zewn˛etrzne. Historia. Jedyny sposób na wyznaczanie długo´sci geograficznej na morzu: porównanie wskazan ´ zegara nastawionego na południku 0◦ z momentem lokalnego górowania Słonca ´ (lokalnie 12 h). Parlament brytyjski 1714: Longitude Act, nagroda za „praktyczna˛ i u˙zyteczna" ˛ metod˛e pomiaru długo´sci geograficznej. John Harrison 1762: chronometr odporny na wstrzasy ˛ i kołysanie statku, przewieziony z Anglii na Jamajk˛e i z powrotem odchylił si˛e o 5 sekund. Definicja 1.3. Fizyczny czas = to, co mierzy dobry zegar. Czas ka˙zdego zegara ma struktur˛e prostej E1 . Pomiary przestrzeni i czasu - koincydencja zdarzen. ´ ⇒ Chwila zaj´scia zdarzenia momentalnego = czas wskazany przez zegar spoczywajacy ˛ w danym UO w miejscu zdarzenia. Nie mo˙ze to by´c zegar odległy. ⇒ W danym UO musi by´c nieskonczenie ´ wiele zegarów, w ka˙zdym w˛ez´ le sieci.

1.7 Synchronizacja zegarów W danym UO wszystkie zegary sa˛ nieruchome wzgl˛edem siebie. Postulat empiryczny: istnieja˛ układy odniesienia, w których zegary ida˛ w zgodnym tempie („równo”). Niech zegar znajdujacy ˛ si˛e w w˛ez´ le A sieci wysyła do zegara w w˛ez´ le B sygnały, o których wiadomo, z˙ e czas ich przelotu z A do B jest zawsze taki sam. Ustala si˛e to nast˛epujaco: ˛ 13

czas przelotu sygnału z A do B i z powrotem, mierzony przez zegar w A, jest stały. Je˙zeli przedział czasu pomi˛edzy wysłaniem kolejnych dwu sygnałów przez zegar w A, zmierzony przez zegar w A, jest równy przedziałowi czasu pomi˛edzy odebraniem kolejnych dwu sygnałów w B, zmierzonemu przez zegar w B, to zegary w A i B ida˛ w zgodnym tempie („równo”). W praktyce najcz˛es´ciej u˙zywa si˛e sygnałów s´wietlnych. Zgodno´sc´ tempa chodu zegarów w ró˙znych miejscach wymaga 2 warunków: 1) czasoprzestrzen ´ nie jest dynamiczna - jest absolutna i płaska: Galileusza lub Minkowskiego, 2) UO nie mo˙ze by´c pod działaniem sił zewn˛etrznych lub wewn˛etrznych, które nadaja˛ mu przyspieszenie (np. silnik rakiety), nie mo˙ze te˙z wirowa´c (na karuzeli zegary ida˛ w ró˙znym tempie). Definicja czasu (to, co mierzy dobry zegar) nie implikuje, z˙ e istnieje jeden fizyczny czas - w ró˙znych miejscach moga˛ by´c ró˙zne czasy. Je˙zeli w pewnych UO zegary ida˛ w równym (zgodnym) tempie, to w ka˙zdym z tych UO w całej przestrzeni istnieje jeden czas i w ka˙zdym z nich mo˙ze on by´c inny. Je˙zeli w danym UO istnieje jeden czas, to bardzo po˙zyteczne jest poj˛ecie równoczesnos´ci. Równoczesno´sc´ zdefiniujemy pó´zniej, teraz pojmujemy ja˛ intuicyjnie. W takim wyró˙znionym UO wykonywanie pomiarów odległo´sci pomi˛edzy zdarzeniami w ró˙znych miejscach i przedziałów czasu mi˛edzy nimi wymaga, by idace ˛ równo zegary były zsynchronizowane. Synchronizacja − konsekwencja istnienia równoczesno´sci zdarzen, ´ nie definiuje równoczesno´sci. 3 metody synchronizacji zegarów stosowane w STW i mechanice klasycznej (MK), sa˛ zgodne. 1) Wymiana sygnałów z pr˛edko´scia˛ v = const: d´zwi˛ek, fala elektromagnetyczna, pocisk w pró˙zni. Zegar wzorcowy w momencie emisji sygnału pokazuje czas t , zegar odległy o l nastawiamy w momencie odbioru na t + l /v. Pr˛edko´sc´ fal elektromagnetycznych w pró˙zni c = const ⇒ synchronizacja sygnałami s´wietlnymi, technicznie najpewniejsza i najdokładniejsza. 2) Zegar rozciagły: ˛ wirujaca ˛ kula (planeta, pulsar) lub cylinder. Pomiar czasu: zliczanie obrotów. Synchronizujemy zegary niemal punktowe, odległe od siebie, lecz znajdujace ˛ si˛e blisko zegara wirujacego, ˛ po jego przeciwnych stronach. Tutaj sygnałem synchronizujacym ˛ jest obrót.

14

3) Quasi-statyczny transport zegarów. Zegary A i B synchronizujemy w jednym miejscu, zegar B poruszamy quasi-statycznie na dana˛ odległo´sc´ l . t - czas podró˙zy zegara B mierzony przez nieruchomy zegar A, v ∼ = const - pr˛edko´sc´ przesuwania B wzgl˛edem A. STW: pczas podró˙zy mierzony przez ruchomy zegar B jest 0∼ t = 1 − (v/c)2 t − dylatacja czasu. ³ ¡ ¢ ´ 1 v 2 0∼ , vt = l ⇒ t −t0 ∼ v ¿ c ⇒ t −t = t −t 1− = vl → 0 dla v → 0 - ró˙znica dowolnie 2c 2

2 c

mała (wymaga to t → ∞).

1.8 Inercjalne układy odniesienia Postulat empiryczny: w nieobecno´sci grawitacji w zbiorze wszystkich UO istnieje klasa układów wyró˙znionych - Inercjalne Układy Odniesienia. Definicja 1.4. Inercjalnym Układem Odniesienia (IUO) nazywamy UO, w którym: – przestrzen ´ mierzona pr˛etami mierniczymi ma w ka˙zdym miejscu lokalnie geometri˛e przestrzeni euklidesowej i jest w ka˙zdym kierunku nieograniczona ⇒ ma topologi˛e przestrzeni R3 ⇒ przestrzen ´ fizyczna jest matematycznie modelowana prze3 strzenia˛ euklidesowa˛ E , – we wszystkich miejscach w przestrzeni zegary ida˛ w zgodnym tempie, zatem istnieje jeden wspólny czas dla tego układu i czas ten jest (w ka˙zdym miejscu) jednorodny. Czas jest wsz˛edzie jednorodny: dowolne zjawisko fizyczne izolowane (wolne od działania sił zewn˛etrznych) powtórzone wielokrotnie w tych samych warunkach fizycznych (te same warunki na poczatku ˛ tego zjawiska i na jego przestrzennym brzegu) przebiega jednakowo i ma za ka˙zdym razem te same wszystkie charakterystyki liczbowe, w tym czas trwania tego zjawiska. Tak jest w ka˙zdym miejscu. Przykład: czas ładowania akumulatora o okre´slonej pojemno´sci pradem ˛ o ustalonym napi˛eciu i nat˛ez˙ eniu jest taki sam niezale˙znie od tego, gdzie i kiedy to si˛e odbywa. IUO istnieje tylko w czasoprzestrzeni Minkowskiego - geometrycznie jest to czasoprzestrzen ´ płaska (nie ma grawitacji). Kontrprzykłady − IUO nie istnieje w czasoprzestrzeniach zakrzywionych. 1) Pole grawitacyjne Słonca ´ (jest statyczne), bierzemy UO, w którym Słonce ´ jest nieruchome. Przestrzen ´ (i czasoprzestrzen) ´ jest zakrzywiona - nie jest E3 . Zegary nie ida˛ równo: blisko Słonca ´ czas płynie wolniej ni˙z na Ziemi - linie emisyjne pierwiastków na powierzchni Słonca ´ obserwowane na Ziemi sa˛ przesuni˛ete do fal dłu˙zszych. Czyli w ka˙zdym miejscu w przestrzeni jest inny czas (zale˙znie od odległo´sci od Słonca) ´ 15

i ka˙zdy czas jest jednorodny - czas trwania dowolnego zjawiska nie zale˙zy od momentu jego rozpocz˛ecia. 2) Kosmologiczna czasoprzestrzen ´ Friedmanna naszego Wszech´swiata. Przestrzen ´ jest E3 , a zarazem rozszerza si˛e, bowiem wszystkie odległo´sci pomi˛edzy wzajemnie nieruchomymi ciałami rosna. ˛ Ten wzrost odległo´sci powoduje, z˙ e czas przelotu sygnału (´swiatła) pomi˛edzy odległymi ciałami te˙z ro´snie i powy˙zsze kryterium wskazujace, ˛ z˙ e zegary nie ida˛ zgodnie, nie stosuje si˛e. Istnieje inne kryterium, geometryczne, wskazujace, ˛ z˙ e zegary tkwiace ˛ nieruchomo w rozszerzajacej ˛ si˛e przestrzeni, ida˛ w równym tempie i czasoprzestrzen ´ ta ma jeden wspólny czas. Obserwacje astronomiczne odległych galaktyk daja, ˛ z˙ e ten czas jest niejednorodny i czas trwania takich samych zjawisk zale˙zy od momentu ich rozpocz˛ecia. Kontrprzykłady te ujawniaja, ˛ z˙ e powy˙zsza definicja IUO, intuicyjna i odwołujaca ˛ si˛e do pomiarów, jest nie´scisła i niekompletna. Poprawna definicja IUO podaje matematyczny model IUO i jest sformułowana w j˛ezyku geometrii czasoprzestrzeni Minkowskiego. Podamy ja˛ pó´zniej. Najpełniejszego opisu IUO dostarcza OTW. IUO jest zdefiniowany geometrycznie jako pewien obiekt w czasoprzestrzeni, a nie dynamika˛ zjawisk w nim opisywanych. IUO jest fizycznie wyró˙zniony i wa˙zny - bo w nim procesy dynamiczne - zarówno ruch ciał pod działaniem rozmaitych sił, jak i inne procesy (elektromagnetyczne, termodynamiczne), maja˛ najprostszy opis. W IUO sa˛ tylko siły oddziaływan ´ mi˛edzy ciałami, nie ma sił bezwładno´sci wynikaja˛ cych z nieinercjalno´sci UO (np. siły od´srodkowej w układzie wirujacym). ˛ Postulat empiryczny: w IUO obowiazuje ˛ I zasada dynamiki Newtona − ciało swobodne (wolne od oddziaływan ´ z innymi obiektami) porusza si˛e ruchem jednostajnym prostoliniowym. Stad: ˛ ka˙zdy inny ruch jest wywołany siła˛ zewn˛etrzna˛ b˛edac ˛ a˛ przejawem oddziaływania. Przyspieszony ruch rakiety jest wynikiem siły zewn˛etrznej - siły odrzutu wyrzucanych z jej silnika gazów. Cały układ zło˙zony z rakiety i jej gazów porusza si˛e jako jeden obiekt jednostajnie i prostoliniowo (ruch jego s´rodka masy). Niech F - siła działajaca ˛ na dane ciało ze strony innych ciał. Wtedy mamy niezale˙zny postulat empiryczny: w IUO obowiazuje ˛ II zasada dynamiki Newtona − trajektoria ciała x(t ) pod działaniem siły F dana jest równaniem m

d2 x = F. dt 2

Dla F = 0 mamy v = const, ale warunkiem koniecznym słuszno´sci II zasady jest prawdziwo´sc´ I zasady − I zasada nie wynika z II, sa˛ tylko spójne. Uwaga. W IUO jego czas jest jednorodny, a przestrzen ´ jest E3 ⇒ przestrzen ´ jest jednorodna i izo16

tropowa. Stad ˛ nie wynika, z˙ e cała czasoprzestrzen ´ jest izotropowa - w M4 mamy kierunki czasowe, przestrzenne i zerowe (definicja dalej). Geometryczna definicja IUO ⇒ istnieje ∞ wiele IUO o tych samych własno´sciach. Je˙zeli układ S jest IUO, to ka˙zdy układ S 0 poruszajacy ˛ si˛e wzgl˛edem S jednostajnie prostoliniowo (V = const) jest te˙z IUO. To nie wynika z I zasady dynamiki. W praktyce laboratoryjnej: IUO wyznaczamy metodami dynamicznymi - czy spełniona jest I zasada dynamiki, np. za pomoca˛ z˙ yroskopu sprawdzamy, czy UO nie wiruje. W ka˙zdym IUO przestrzen ´ jest E3 ⇒ najwygodniejsze sa˛ współrz˛edne kartezja ´ ¢ ¡ nskie x, y, z. Ale to nie jest konieczno´sc´ - mo˙zna u˙zywa´c współrz˛ednych sferycznych r, θ, φ lub innych krzywoliniowych. STW jest prawdziwa, je˙zeli czasoprzestrzen ´ ma geometri˛e Minkowskiego, nie jest konieczne, by IUO mo˙zna było efektywnie zbudowa´c w danym obszarze czasoprzestrzeni. IUO nie da si˛e skonstruowa´c we wn˛etrzu gwiazd - goraca ˛ (T > 107 K) i g˛esta plazma czastek ˛ elementarnych, ale STW tam obowiazuje. ˛ Pytanie: czy w zbiorze IUO istnieje wyró˙zniona podklasa UO, w których prawa fizyki sa˛ jeszcze prostsze? Nie. Wszystkie IUO sa˛ równoprawne.

17

2 Zasada Wzgl˛edno´sci 2.1 Zasada wzgl˛edno´sci Galileusza-Einsteina STW opiera si˛e na dwóch postulatach: – zasadzie wzgl˛edno´sci, – stało´sci pr˛edko´sci s´wiatła w pró˙zni. Zasada wzgl˛edno´sci Galileusza-Einsteina: Prawa fizyki sa˛ we wszystkich IUO takie same, układy te ró˙znia˛ si˛e mi˛edzy soba˛ tylko kinematycznie w opisie zjawisk. Ruch jednostajny prostoliniowy jest wzgl˛edny - z˙ adne prawo fizyki nie odró˙znia go od stanu spoczynku. Zjawiska zachodzace ˛ w ciele b˛edacym ˛ w ruchu jednostajnym prostoliniowym niczym si˛e nie ró˙znia˛ od zjawisk zachodzacych ˛ w takim samym ciele w spoczynku. Dotyczy to praw ujmujacych ˛ wszystkie zjawiska, nie tylko mechaniczne (ruchy). Zasada wzgl˛edno´sci G-E dotyczy praw fizyki, a nie samego opisu zjawisk. Przykład: ruch planet w polu grawitacyjnym Słonca ´ z potencjałem 1/r . Ruch ten opisujemy w UO zwiazanym ˛ ze Słoncem ´ i r = 0 to s´rodek Słonca. ´ Dostajemy wtedy prawa Keplera: ruch po elipsach. W ka˙zdym IUO, w którym Słonce ´ ma stała˛ pr˛edko´sc´ V 6= 0, potencjał jest zale˙zny od czasu i nie jest sferycznie symetryczny ⇒ rozwiazanie ˛ równan ´ Newtona (lub Hamiltona) jest trudne. W¡ układzie s´rodka masy nie dostajemy ruchu pla¢ nety x = x(t ), tylko równanie toru r = r φ ; w innych IUO trudno b˛edzie znale´zc´ nawet równanie toru. Prawa fizyki to równania ró˙zniczkowe (zwyczajne i czastkowe), ˛ a nie ich rozwiazania. ˛ Przykłady. 1) Równania Newtona, Lagrange’a i Hamiltona w mechanice klasycznej - a nie "prawa" Keplera. 2) Równanie Poissona dla potencjału grawitacyjnego ∇2U = 4πGρ - a nie "prawo" powszechnego cia˙ ˛zenia Newtona. 3) Równania Maxwella w elektrodynamice, w szczególno´sci równanie Poissona dla potencjału elektrostatycznego φ, ∇2 φ = −4πρ e - a nie "prawo" Coulomba w elektrostatyce. Zasada wzgl˛edno´sci G-E ma s´ci´slejsze sformułowanie jako Zasada Niezmienniczo´sci Praw Fizyki: 18

Fundamentalne równania fizyki sa˛ niezmiennicze wzgl˛edem transformacji współrz˛ednych kartezjanskich ´ i czasu mi˛edzy ró˙znymi IUO, co oznacza, z˙ e równania te sa˛ form-inwariantne wzgl˛edem tych transformacji. Dla wygody ograniczymy si˛e do współrz˛ednych kartezjanskich ´ we wszystkich IUO (mo˙zna u˙zywa´c dowolnych współrz˛ednych krzywoliniowych, ale wtedy konieczne jest stosowanie aparatu analizy tensorowej). ¡ ¢ Transformacja mi˛edzy dwoma IUO: transformujemy współrz˛edne t , x, y, z w (t 0 , x 0 , y 0 , z 0 ) oraz wszystkie wielko´sci fizyczne w równaniach (v, a, F, J, E, H, ...) w (v0 , a0 , F0 , J0 , E0 , H0 , ...). Form-inwariantno´sc´ : równania w zmiennych nieprimowanych i primowanych maja˛ t˛e sama˛ posta´c. Wyja´snimy to dalej na przykładach. Zasada wzgl˛edno´sci nie implikuje praw transformacyjnych ani dla współrz˛ednych w czasoprzestrzeni, ani dla wielko´sci fizycznych - to był bład ˛ fizyki klasycznej przed Einsteinem. 2.1.1 Transformacje współrz˛ednych w czasoprzestrzeni W danym IUO punkt ma współrz˛edne kartezjanskie: ´ ¡ ¢ ¡ p czasoprzestrzeni ¢ 1, 2, 3. (x µ ) = x 0 , x 1 , x 2 , x 3 = t , x, y, z , µ, ν,¡α, β¢ = 0, ¡ ¢ Zmiana IUO to transformacja (x µ ) → x 0µ = t 0 , x 0 , y 0 , z 0 . Współrz˛edne sa˛ kartezjanskie ´ ⇒ postulat: transformacja mi˛edzy IUO jest liniowa˛ transformacja˛ w czasoprzestrzeni, x 0µ = a µ ν x ν + b µ . µ Konwencja sumacyjna Einsteina! (a µ ν ) - macierz ¡ µ ¢liczbowa 4 × 4, b ∈ R - 4 dowolne liczby. Transformacja musi by´c odwracalna ⇒ det a ν 6= 0. Matematycznie wyró˙znione sa˛ 3 typy transformacji w czasoprzestrzeni: Galileusza, Lorentza (Poincarégo) i Euklidesa, pierwsze 2 maja˛ sens fizyczny.

2.2 Prawa fizyki niezmiennicze wzgl˛edem transformacji Galileusza ¡ ¢ 2 IUO: S(t , r) i S 0 t 0 , r0 w relacji standardowej: osie obu układów sa˛ stale równoległe, 0 V = const ¡ - pr˛ ¢edko´ ¡ sic´¢ S wzgl˛edem S mierzona w S, r ≡ x = x, y, z = x , i = 1, 2, 3. Postulat: transformacja z S do S 0 jest transformacja˛ Galileusza (Philipp Frank 1909): ½

r0 = r − Vt − b, t0 = t, 19

czyli r0 = f(t , r, V) - liniowa funkcja wielko´sci w S. Je˙zeli b = 0 ⇒ w t = 0 osie obu układów pokrywaja˛ si˛e. Wielko´sci fizyczne w fizyce nierelatywistycznej definiujemy w przestrzeni - a nie w czasoprzestrzeni - czyli w danym IUO jako 3-skalary i 3-wektory wzgl˛edem zmiany współrz˛ ednych w tym IUO. Z zało˙zenia rozpatrujemy tylko współrz˛edne kartezjanskie ´ ¡ i¢ x ⇒ transformacja współrz˛ednych w danym IUO jest liniowa: x 0i = a i j x j + b i . ¢ ¡ ¢ ¡ Przy tej transformacji wielko´sci skalarne nie zmieniaja˛ si˛e: s t , x i = s 0 t , x 0i , a składowe wektorów w i transformuja˛ si˛e liniowo jednorodnie: ³ ´ ³ ¡ ¢´ w 0i t , x 0k = a i j w j t , x k x 0 . Transformacja Galileusza to transformacja w czasoprzestrzeni ⇒ 3-skalary i 3-wektory transformuja˛ si˛e rozmaicie ⇒ przestaja˛ by´c skalarami i wektorami w czasoprzestrzeni. 2.2.1 Przykłady praw transformacyjnych r(t ) - wektor wodzacy ˛ czastki ˛ w IUO S. 1) Pr˛edko´sc´ czastki. ˛ W S: v(t ) = r˙(t ). W S 0 : v0 =

d 0 d 0 r = r = v−V dt 0 dt

− to nie jest prawo transformacyjne wektora w E3 . 2) Przyspieszenie: dv d2 r a= = , dt dt 2

0

a =

d2 r0 dt 0 2

d2 r0 d = 2 = (v − V) = a dt dt

− przyspieszenie nie zmienia si˛e przy transformacji IUO. 3) Moment p˛edu: J = r × p ⇒ J0 = J + V × (mr − t p).

(zadanie)

4) Pole elektrostatyczne Coulomba: E=

e r 12 3

(r1 − r2 ),

mamy r01 − r02 = r1 − r2 ⇒ E = − pole elektrostatyczne nie zmienia si˛e. 20

¢ e ¡ 0 r − r02 = E0 3 1

0 r 12

5) Pole magnetostatyczne pradu ˛ stałego w nieskonczenie ´ długim prostoliniowym przewodniku (prawo Biota-Savarta).

I R r 2I . W układzie S, gdzie przewodnik spoczywa: |H| = cR dQ 0

dQ

W S 0 : R 0 = R - odległo´sc´ si˛e nie zmienia, I 0 = dt 0 = dt = I - nat˛ez˙ enie pradu ˛ jest takie samo, c - stała zale˙zna od wyboru jednostek. Zatem: ¯ 0 ¡ 0 ¢¯ 2I ¯H r ¯ = = |H(r)| cR − takie pole magnetyczne nie zmienia si˛e. 6) Ogólnie, siła zale˙zna od wektora odległo´sci mi˛edzy 2 czastkami: ˛ ¡ ¢ F = F(r1 − r2 ) = F r01 − r02 = F0 − nie ulega zmianie 7) Siła Lorentza działajaca ˛ na poruszajacy ˛ si˛e ładunek: e F = eE + v × H. c Niech w S 0 zale˙zno´sc´ F0 od E0 , H0 i v0 b˛edzie taka sama i niech pola E i H nie zmieniaja˛ si˛e, jak w przykładach powy˙zej: e e F0 = eE0 + v0 × H0 = F − V × H c c − pojawia si˛e dodatkowy wyraz niezale˙zny od v. Ta siła zmienia si˛e przy transformacji Galileusza. 8) Energia kinetyczna (skalar w E3 ): T=

m 2 v , 2

T0 =

m m (v − V)2 = T − mv · V + V2 . 2 2

9) Energia potencjalna: U = energia oddziaływan ´ wewnatrz ˛ układu fizycznego + energia oddziaływan ´ układu z otoczeniem (siły zewn˛etrzne i pola). 21

Definicja 2.1. Energia potencjalna jest skalarem wzgl˛edem transformacji współrz˛ednych w obr˛ebie jednego IUO. Transformacja U przy zmianie IUO zale˙zy od modelu oddziaływan. ´ Najprostszy model: układ n czastek ˛ punktowych: masy m i i promienie wodzace ˛ ri (t ), i = 1, 2, ..., n. Oddziaływanie cz astki ˛ i z cz astk ˛ a ˛ j zale˙ z y tylko od wektora r e poteni − r j i ma energi˛ ¡ ¢ cjalna˛ Ui j ri − r j . Całkowita energia potencjalna układu w S: U=

n n X X

¡ ¢ U i j ri − rj

i =1 j =1 i 0 wzgl˛edem S. W momencie, gdy ich poczatki ˛ O i O 0 pokrywaja˛ si˛e, równie˙z ich osie pokrywaja˛ si˛e, a zegary w O i O 0 zostaja˛ nastawione na, t = t 0 = 0.

32

y0

y

V S0

S

x0

O0

x

O

Osobne diagramy Minkowskiego dla S i S 0 : osie ;c t i ;x na ka˙zdym diagramie tworza˛ układ prostokatny. ˛ (; to punkt zero w czasoprzestrzeni, czyli poczatek ˛ 4-wymiarowego kartezjanskiego ´ układu współrz˛ednych.) S i S 0 na jednym diagramie Minkowskiego - tylko jeden układ (S) rysujemy jako prostokatny. ˛ linia s´wiata fotonu z ;

ct

45◦ x

;

linia s´wiata czastki ˛ om>0 Aby ustali´c relacj˛e mi˛edzy osiami S i S 0 na jednym diagramie Minkowskiego, rozpatrujemy rozchodzenie si˛e sygnału s´wietlnego po osi Ox 0 w S 0 . ct0 C

cτ

S0

O0 cτ ;

B

x0

45◦ A

−cτ

W chwili t 0 = −τ (punkt A) sygnał s´wietlny jest wysłany z x 0 = 0 na prawo po osi Ox 0 , w chwili t 0 = 0 (punkt B ) odbija si˛e od lustra w x 0 = cτ i w chwili t 0 = τ (punkt C ) wraca do x 0 = 0. 33

O´s ;ct 0 to linia s´wiata poczatku ˛ O 0 układu współrz˛ednych przestrzennych. Ten sam proces przedstawiam na diagramie Minkowskiego w S i na ten diagram nanosz˛e układ S 0 . ct0

ct O S

O0 C

tC tB

B

x0 V >0

; x

A

tA

S 0 ma pr˛edko´sc´ V > 0 wzgl˛edem S ⇒ o´s ;c t 0 (linia s´wiata poczatku ˛ O 0 ) jest na prawo od osi ;ct dla t > 0. Sygnał s´wietlny z A biegnie pod katem ˛ 45o od osi ;c t i ;x (bo ma v = c). O´s ;x 0 = miejsce geometryczne punktów z t 0 = 0 − prosta przechodzaca ˛ przez ; i B . Według obserwatora w S: lustro w B ucieka z pr˛edko´scia˛ V przed sygnałem, a odbiornik w C biegnie mu na spotkanie ⇒ t B − t A > tC − t B . Punkty C i A le˙za˛ symetrycznie wzgl˛edem punktu ; na diagramie Minkowskiego w S 0 ⇒ le˙za˛ symetrycznie wzgl˛edem ; na diagramie w S ⇒ odcinki A; i ;C maja˛ równe długos´ci na obu diagramach ⇒ tC = −t A . Stad ˛ nierówno´sc´ t B − t A > tC − t B daje t B − t A > −t A − t B ⇒ 2t B > 0. t B > 0− o´s ;x 0 le˙zy ponad dodatnia˛ osia˛ ;x. Osie ;ct 0 i ;x 0 układu S 0 tworza˛ kat ˛ ostry na diagramie Minkowskiego ⇐ skutek przedstawienia geometrii Minkowskiego na płaszczy´znie euklidesowej: transformacja z S do S 0 to nie jest obrót na płaszczy´znie, lecz nachylenie obu osi do siebie. Je´sli V < 0 − S 0 porusza si˛e w lewo wzgl˛edem S ⇒ osie S 0 na diagramie Minkowskiego układu S tworza˛ kat ˛ rozwarty.

34

ct0

ct

O0 C

S

tC

x

; B

tB tA

A

x0 V 0, unsophisticated ; jest pó´zniejsze ni˙z w B − gdy V < 0. Jest to wzgl˛edno´sc´ równoczesno´sci zdarzen ´ w przypadku, gdy łacz ˛ acy ˛ je (w przestrzeni) 3-wektor jest równoległy do wektora pr˛edko´sci wzgl˛ednej. W analogiczny sposób mo˙zna dowie´sc´ Twierdzenie 3.1. Dwa zdarzenia równoczesne w jednym IUO sa˛ równoczesne w ka˙zdym innym IUO, który porusza si˛e wzgl˛edem niego z pr˛edko´scia˛ wzgl˛edna˛ prostopadła˛ do 3wektora łacz ˛ acego ˛ te zdarzenia. Transformacja Lorentza daje prosty dowód tego twierdzenia.

35

3.4 Interwał czasoprzestrzenny Wyka˙zemy, z˙ e z postulatu c = const wynika fundamentalny niezmiennik w czasoprzestrzeni: odległo´sc´ dowolnych dwóch zdarzen ´ ⇒ czasoprzestrzen ´ jest metryczna. Znane przestrzenie w fizyce sa˛ niemetryczne: ¡ stanów ¢ − przestrzen ´ stanów p,V w termodynamice, − przestrzen ´ fazowa układu N punktów w mechanice klasycznej: punkt fazowy ma 6N współrz˛ednych − 3N poło˙zen ´ q i i 3N p˛edów p i , i = 1, ..., 3N . Czasoprzestrzen ´ Galileusza mechaniki klasycznej ma dwa niezmienniki transformacji Galileusza: 1) odległo´sc´ przestrzenna˛ dwóch zdarzen ´ równoczesnych, 2) przedział czasu mi˛edzy dwoma dowolnymi zdarzeniami. W czasoprzestrzeni Galileusza nie ma odległo´sci czasoprzestrzennej dwóch dowolnych zdarzen. ´ Chcemy wprowadzi´c w czasoprzestrzeni Minkowskiego metryk˛e, czyli odwzorowanie przypisujace ˛ dowolnym dwu zdarzeniom ich odległo´sc´ . Z geometrii euklidesowej jeste´smy przyzwyczajeni do tego, z˙ e odległo´sc´ dwu ró˙znych punktów jest dodatnia. Jez˙ eli odległo´sc´ w czasoprzestrzeni ma uwzgl˛ednia´c fakt, z˙ e pr˛edko´sc´ s´wiatła jest taka sama we wszystkich IUO i odległo´sc´ danych dwu punktów ma mie´c we wszystkich IUO t˛e sama˛ warto´sc´ (ma by´c niezmiennikiem, w przeciwnym razie nie miałaby wi˛ekszego sensu), to nie dla ka˙zdej pary zdarzen ´ mo˙ze ona by´c dodatnia. Z tego wzgl˛edu odległo´sc´ czasoprzestrzenna˛ poprawniej nazywamy interwałem i konstruujemy jego kwadrat tak, by spełniał oba warunki. Rozpatrujemy dwa zdarzenia, A i B , opisane w dwóch IUO: S: A(t¡ 1 , x1 ),¢ B (t¡2 , x2 ),¢ S 0 : A t 10 , x01 , B t 20 , x02 , Definicja 3.2. Interwał czasoprzestrzenny ∆s mi˛edzy A i B definiujemy wzorem dla jego kwadratu: 2 w S: (∆s)2 ≡ c 2 (t¡ 2 − t 1 )¢2 − (x 2 − x1 ) ¢ , ¡ 2 2 w S 0 : (∆s)2 ≡ c 2 t 20 − t 10 − x02 − x01 . Znak minus - narzucony przez fizyk˛e: aby ∆s był niezmiennikiem. Rozpatrujemy dwa przypadki. 36

1) A − sygnał s´wietlny wysłany z x1 , B − sygnał dociera do x2 . W S: odległo´sc´ zdarzen ´¯ |x2 − x¯1 | = c|t ¯ 2 − t 1¯| ⇒ ∆s = 0. W S 0 : równie˙z v = c ⇒ ¯x02 − x01 ¯ = c ¯t 20 − t 10 ¯ ⇒ ∆s 0 = 0. Wniosek: warto´sc´ ∆s = 0 jest niezmiennikiem transformacji (jeszcze nieznanej) mi˛edzy IUO: ∆s = 0 w S ⇒ ∆s 0 = 0 w ka˙zdym innym IUO. 2) A i B − dowolne, infinitezymalnie bliskie zdarzenia, nie połaczone ˛ sygnałem s´wietl0 nym ⇒£ ∆s 6= 0 i ∆s ¤ 6= £ 0. ¤ W S: A c t , x, y, z , B c(t + dt ), x + dx, y + dy, z + dz , podobnie w S 0 . Kwadrat interwału ds jest forma˛ kwadratowa˛ ró˙zniczek współrz˛ednych: (ds)2 ≡ ds 2 = c 2 dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2

− w S.

Z zało˙zenia ds 6= 0 ⇒ ds 0 6= 0. V − pr˛edko´ sc´ S 0 wzgl˛ ¢edem S (dowolny 3-wektor). ¡ 2 0 02 Transformacja interwału z S do S : ds = f ds , V, t , x . Układy inercjalne spełniaja˛ warunki: − w ka˙zdym IUO przestrzen ´ jest E3 ⇒ jest jednorodna i izotropowa, − w ka˙zdym IUO czas jest jednorodny. Stad: ˛ Jednorodno´sc´ czasu i przestrzeni ⇒ f nie zale˙zy od t i x. Izotropowo´sc´ przestrzeni ¡ 2 2 ¢ ⇒ f nie zale˙zy od kierunku V. 02 Zatem: ds = f d s ,V . To samo prawo transformacyjne musi obowiazywa´ ˛ c dla skonczonych ´ interwałów ∆s ¡ 0 ¢2 ¡ ¢ 2 2 − bo f nie zale˙zy od t i x, czyli ∆s = f (∆s) ,V . −1 f −1 − transformacja z S 0 do S ⇒ ³¡ f ¢ okre´ ´slona i odwracalna dla 2 2 −1 0 2 2 −∞ < (∆s) < +∞, (∆s) = f ∆s ,V . Symetria mi˛edzy S i S 0 ⇒ odwzorowanie f −1 musi mie´c funkcyjnie taka˛ sama˛ posta´c jak f − jedynie współczynniki moga˛ by´c inne. W zbiorze funkcji zespolonych okre´slonych na C jedynym takim odwzorowaniem jest homografia: f (z) = z 0 = az+b , ad − bc 6= 0 i a, b, c, d ∈ C, ¡ ¢ cz+d −d z 0 +b −1 0 z=f z = cz 0 −a . Niech z ≡ ∆s. Wtedy z = 0 ⇒ z 0 = 0 = db ⇒ b = 0 i d 6= 0. az Dostajemy z 0 = cz+d i a 6= 0. Ta transformacja nie jest odwracalna na całej osi R: dla 0 cz + d mamy z = ∞, czyli dla ∆s = − dc (gdzie c, d ∈ R) dostajemy ∆s 0 = ∞ − niefizyczne. Trzeba wykluczy´c istnienie punktu osobliwego homografii ⇒ musi by´c c = 0 ⇒ z 0 = da z − jednorodna funkcja liniowa. 37

¡ ¢ ¡ ¢2 Dla interwału: ∆s 0 = a V 2 (∆s)2 . Transformacja odwrotna: (∆s)2 =

1 a (V 2 )

¡

¢2 ∆s 0 .

Zarazem: transformacja odwrotna z S 0 do S winna polega´c na zastapieniu ˛ w transforma¡ 2 ¢¡ 0 ¢2 ¡ ¢¡ 0 ¢2 0 2 2 ˛ a1 = a, cji¡ z S¢ do S pr˛edko´sci V przez −V, czyli (∆s) = a (−V) ∆s = a V ∆s . Stad a V 2 = ±1 − nie zale˙zy od V . Dla transformacji to˙zsamo´sciowej mamy V = 0 i musi by´c a(0) = +1 ⇒ a = +1 . Wniosek: c = const ⇒ ds2 = ds02 = inwariant − jest to niezmiennik transformacji mi˛edzy IUO majacy ˛ geometryczny sens kwadratu odległo´sci punktów bliskich ⇒ czasoprzestrzen ´ ma geometri˛e metryczna˛ z metryka˛ wyznaczona˛ przez interwał ds. Interwał czasoprzestrzenny jest zachowany przez transformacje Lorentza. ⇒ STW to geometria metryczna dla interwału czasoprzestrzennego, czyli teoria niezmienników przekształcen ´ Lorentza czasoprzestrzeni. Aby unikna´ ˛c pierwiastków operujemy zwykle kwadratem interwału ds 2 . ds 2 − jest forma˛ kwadratowa˛ ró˙zniczek współrz˛ednych, ds 2 = η µν dx µ dx ν ,

  +1 0 0 0  ¡ ¢  0  ¡ µν ¢  0 −1 0 η µν =  = η 0 −1 0  0 0 0 0 −1

µ, ν = 0, 1, 2, 3,

− tensor metryczny Minkowskiego xd(Hermann Minkowski 1908).

µ

ηµν − tensor odwrotny do η µν , ηµα η αν = δν . η µν = η νµ − tensor symetryczny i diagonalny. Sa˛ dwie konwencje. 1) Konwencja czasopodobna: metryka ma sygnatur˛e (+ − − −), czyli sygnatur˛e -2. Wygodna w mechanice relatywistycznej: wzdłu˙z linii s´wiata czastki ˛ z masa˛ jest ds 2 > 0. 2) Konwencja przestrzennopodobna: metryka ma sygnatur˛e (− + ++), czyli sygnatur˛e +2. Wygodna w teorii pola: hiperpłaszczyzny t = const maja˛ dodatnio okre´slona˛ metryk˛e dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 > 0. Tu wybieramy sygnatur˛e (+ − − −).

38

  >0 ¢ =0 . ds 2 − forma kwadratowa indefinitna: dla p 6= q mo˙ze by´c ds p, q  0 dla p 6= q.

39

4 Wektory i figury niezmiennicze 4.1 Wektory w czasoprzestrzeni W czasoprzestrzeni M4 wprowadzamy dwa rodzaje wektorów (ze wzgl˛edu na ich konstrukcj˛e) − zwanych 4-wektorami (aby je odró˙zni´c od 3-wektorów w E3 ). 4.1.1 Odcinki skierowane łacz ˛ ace ˛ pary punktów (zdarzen) ´ Parze punktów A i B przyporzadkowujemy ˛ wektor = odcinek skierowany od A do B . Konstrukcja ta jest mo˙zliwa, bowiem M4 jest przestrzenia˛ afiniczna. ˛ B

−−→ AB

A ¡ ¢ ¡ µ −−→ µ¢ Wektor AB ma składowe ∆x µ := x B − x A . Wektory te (ich składowe) maja˛ wymiar długo´sci (cm). Równoległo´sc´ wektorów: ¡ µ −→ −−→ µ µ µ¢ Wektory AB i C D sa˛ równoległe, je˙zeli ich składowe sa˛ proporcjonalne, x D −xC = a x B − x A , a 6= 0. Punkty A i B oraz C i D nie musza˛ le˙ze´c na jednej prostej. −→ Odcinek AB jest wektorem umiejscowionym, zaczepionym w A. ds − odległo´sc´ punktów bliskich. Metryka nie zale˙zy od x α ⇒ odległo´sc´ dwóch punktów dalekich to długo´sc´ łacz ˛ acego ˛ je wektora umiejscowionego, ¡ µ ¢ µ ¢¡ s 2 (A, B ) ≡ (∆s(A, B ))2 := η µν x B − x A x Bν − x νA . Kwadrat odległo´sci punktu P (x µ ) od poczatku ˛ ; układu współrz˛ednych: s 2 (P, ;) = η µν x µ x ν . Za pomoca˛ odległo´sci punktów mo˙zemy definiowa´ ¡ µ ¢ c rozmaite hiperpowierzchnie. Zbiór punktów P (x µ ) odległych o a od punktu A x A to 3-wymiarowa hiperpowierzchnia o równaniu µ

s 2 (P, A) = η µν (x µ − x A )(x ν − x νA ) = a 2 . W E4 jest to 3-sfera S 3 . W M4 − terminologia jak dla powierzchni w E3 o tych samych równaniach (o 1 wymiar mniej):

40

 2  ±a -hiperboloida jedno2 µ ν 2 2 2 2 2 lub dwupowłokowa, s (P, ;) = η µν x x = c t − x − y − z =  0 − sto˙zek s´wietlny (zerowy). Te trzy hiperpowierzchnie w M4 nie maja˛ własno´sci 3-sfery w E4 : nie sa˛ zwarte! Sa˛ nieograniczone: −∞ < c t , x, y, z < +∞ ⇒ W M4 istnieje rozbie˙zno´sc´ pomi˛edzy topologia˛ wyznaczona˛ przez kule otwarte z metryka˛ euklidesowa˛ i "kulami" wyznaczonymi metryka˛ Minkowskiego, η µν x µ x ν < a 2 . 4.1.2 Wektory ró˙znych wielko´sci fizycznych Nie sa˛ zdefiniowane przez par˛e punktów jako odcinek skierowany − definiuje si˛e je w inny sposób − jako wektory styczne do krzywych w M4 . (Definiuje si˛e je tak jak w analizie wektorowej w E3 i t˛e definicj˛e podajemy w rozdziale o kinematyce relatywistycznej, tutaj nie jest niezb˛edna.) Sa˛ przyporzadkowane ˛ do jednego punktu − punktu zaczepienia ⇒ te˙z sa˛ wektorami umiejscowionymi. Maja˛ wymiary ro˙zne od długo´sci (cm): sa˛ to 4-wektory pr˛edko´sci, p˛edu, przyspieszenia, siły, potencjału elektromagnetycznego A µ . Rysujemy je jako strzałki i maja˛ kierunek odcinka skierowanego, który jest do nich proporcjonalny. B0 A

B

pµ

−→ 4-wektor p˛e¢du p µ zaczepiony w A ma kierunek odcinka AB , je˙zeli ¡ µ µ p µ = a x B − x A , a 6= 0 − wielko´sc´ wymiarowa (dla p˛edu [a] = g s−1 ). Zamiast B mo˙zna wzia´ ˛c dowolny współliniowy punkt B 0 . Te 4-wektory maja˛ sens geometryczny: sa˛ styczne do pewnych krzywych ⇒ sa˛ niezale˙zne od wyboru IUO i od współrz˛ednych w nim. Oprócz wektorów umiejscowionych wielko´sci fizyczne opisujemy wektorami swobodnymi − nie zwiazanymi ˛ z jakim´s punktem. Przykład. Płynaca ˛ ciecz składa si˛e z kropel. Kropla znajdujaca ˛ si˛e w punkcie x µ (w danym IUO) ma 4-p˛ed p α (x µ ) − wektor umiejscowiony. Cała ciecz ma całkowity 4-p˛ed P α − nie jest umiejscowiony. W praktyce: wszystkie 4-wektory − odcinki skierowane, wektory styczne do krzywych (umiejscowio41

ne), wektory swobodne − zapisujemy jako 4 składowe w bazie wyznaczonej przez konkretny układ współrz˛ednych: − ustalamy pewien IUO, ¡ ¢ − w tym IUO wybieramy pewien kartezjanski ´ układ współrz˛ednych x, y, z − jest wyznaczony z dokładno´scia˛ do translacji i obrotów. W tak ustalonym układzie współrz˛ednych x µ ka˙zdy 4-wektor u ma składowe ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ u = uµ = u0, u1, u2, u3 = u0, u , ¢ ¡ u = u 1 , u 2 , u 3 − 3-wektor w przestrzeni E3 , cz˛es´c´ przestrzenna 4-wektora u.

4.2 Algebra wektorów i sto˙zek s´wietlny Tensor metryczny Minkowskiego ma z definicji t˛e sama˛ posta´c (i warto´sc´ ) we wszystkich IUO ze współrz˛ednymi kartezjanskimi, ´ η µν = diag[+1, −1, −1, −1]. Ta metryka definiuje równie˙z iloczyn skalarny wektorów. Definicja 4.1. Iloczyn skalarny dwóch wektorów zaczepionych w tym samym punkcie M4 jest liczba˛ równa˛ u · v ≡ 〈u|v〉 := η µν u µ v ν = u 0 v 0 − u 1 v 1 − u 2 v 2 − u 3 v 3 = u 0 v 0 − u · v. η µν = η νµ ⇒ iloczyn jest symetryczny: u · v = v · u = η µν v µ u ν . u · v − euklidesowy iloczyn skalarny 3-wektorów. u ·v − skalar, liczba nie zmieniajaca ˛ si˛e przy zmianie składowych u µ i v µ w skutek transformacji mi˛edzy IUO. ¡ ¢ Je´sli x 6= y, to nie istnieje iloczyn skalarny wektorów u(x) i v y . Je´sli u − wektor swobodny, to istnieje iloczyn skalarny u · v(x) z dowolnym wektorem umiejscowionym v(x) − ten iloczyn mo˙ze nie by´c fizycznie interesujacy. ˛ Kwadrat długo´sci wektora ¡ ¢2 u · u = 〈u|u〉 = η µν u µ u ν = u 0 − u2

− mo˙ze by´c > 0, < 0 lub = 0.

Ortogonalno´sc´ wektorów zaczepionych w tym samym punkcie: u ⊥ v ⇔ u · v = η µν u µ v ν = u 0 v 0 − u · v = 0. 42

Geometria Minkowskiego jest z definicji geometria˛ metryczna˛ ⇒ transformacje Lorentza z definicji zachowuja˛ długo´sci wektorów ⇒ zachowuja˛ iloczyny skalarne. Wszystkie wektory w M4 dziela˛ si˛e na 3 rozłaczne ˛ klasy: − czasopodobne (czasowe): v · v > 0 , − przestrzennopodobne (przestrzenne): v · v < 0 , − zerowe (´swietlne): v · v = 0 . Wektor zerowy to nie jest wektor 0: v · v = 0 ; v = 0. Wektor 0 jest zerowy. Wektor zerowy jest ortogonalny do samego siebie: v · v = 0 ⇒ v ⊥ v. Geometria Minkowskiego w ogólno´sci nie pozwala zdefiniowa´c kata ˛ mi˛edzy wektorami zaczepionymi w tym samym punkcie. W E3 kat ˛ mi˛edzy a i b jest zdefiniowany iloczynem skalarnym a · b = |a| · |b| cos θ. Tej definicji nie da si˛e przenie´sc´ na M4 , bo rzeczywisty jest tylko kwadrat długo´sci wektora, a wektory zerowe maja˛ długo´sc´ zero. Kat ˛ θ ma sens geometryczny je˙zeli −1 6 cos θ 6 +1. Je˙zeli u · v = 0, to mówimy, z˙ e u i v sa˛ ortogonalne, a nie „prostopadłe”. Metryka Minkowskiego jednoznacznie odwzorowuje wektory kontrawariantne na kowariantne (kowektory). 4-wektor v interpretujemy jako wektor kontrawariantny ze składowymi (v µ ) w danym IUO. Przyporzadkowujemy ˛ mu kowektor o składowych v µ := η µν v ν ¡ ¢ ˛ jednoznacznie weki na odwrót, kowektorowi o składowych v µ przyporzadkowujemy tor o składowych v µ := ηµν v ν . Dzi˛eki metryce uto˙zsamiamy geometrycznie wektor kontrawariantny (styczny do krzywej) z wektorem kowariantnym (kowektorem) − jest to jeden obiekt geometryczny. W danym układzie współrz˛ednych wektor v ma: µ − składowe kontrawariantne ¡ ¢(v ), − składowe kowariantne v µ . Ogólnie: v 0 = v 0 ,

v 1 = −v 1 ,

v 2 = −v 2 ,

v 3 = −v 3 .

W E3 wektor z definicji jest wektorem kontrawariantnym: ¡ ¢ v = v 1 , v 2 , v 3 , a jego składowe kowariantne sa˛ równe kontrawariantym, v i = v i , i = 1, 2, 3. Natomiast w M4 dla składowych przestrzennych wektora mamy v i = −v i , stad ˛ 43

dla dowolnego 4-wektora zachodzi ¡ ¢ v µ = v 0, v ,

v µ = (v 0 , −v).

Metryka η µν i ηµν słu˙zy te˙z do zamiany indeksów kontrawariantnych na kowariantne i na odwrót w dowolnych tensorach, na przykład: Tµν = η µα η νβ T αβ ,

T µν = ηµα ηνβ Tαβ

T µ ν = η να T µα ,

Tµ ν = η µα T αν

Przy przesuwaniu indeksów w pionie ich kolejno´sc´ musi by´c zachowana: na ogół T µ ν 6= Tν µ − chyba z˙ e T µν jest symetryczny, T µν = T νµ . Wtedy: ¡ µν ¢ ¡ ¢ T jest symetryczny ⇐⇒ Tµν jest symetryczny . 4.2.1 Sto˙zek s´wietlny Czasoprzestrzen ´ Galileusza daje si˛e w sposób absolutny (tzn. niezale˙zny od wyboru IUO) rozwarstwi´c na 3-wymiarowe hiperpłaszczyzny zdarzen ´ równoczesnych − sa˛ to fizyczne przestrzenie odpowiadajace ˛ ró˙znym chwilom czasu.

Czasoprzestrzen ´ Galileusza

t =2 t =1 t =0 t = −1

Tutaj nie ma wyró˙znionej osi czasu − bo taka o´s byłaby linia˛ s´wiata ciała w spoczynku absolutnym. To rozwarstwienie to foliacja czasoprzestrzeni przestrzeniami (hiperpłaszczyznami) zdarzen ´ równoczesnych. W M4 równoczesno´sc´ zdarzen ´ jest zrelatywizowana do wyboru IUO ⇒ foliacja czasoprzestrzeni hiperpłaszczyznami zdarzen ´ równoczesnych zale˙zy od IUO. W M4 zamiast absolutnych hiperpłaszczyzn równoczesno´sci mamy inne absolutne hiperpowierzchnie − sto˙zki s´wietlne. Sto˙zek s´wietlny o wierzchołku w P (x P µ ) składa si˛e z punktów x µ spełniajacych ˛ równanie ¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢2 η µν x µ − x P µ x ν − x P ν ≡ c 2 (t − t P )2 − (x − x P )2 − y − y P − (z − z P )2 = 0.

44

A

ct

C B ;

P

y

x

D

Sto˙zek s´wietlny w P dzieli M4 w sposób niezmienniczy (niezale˙zny od IUO) na 3 rozłaczne ˛ obszary: −→ − przyszło´sc´ punktu P = zbiór punktów A takich, z˙ e wektor P A jest czasowy i x A 0 > x P 0 (wn˛etrze sto˙zka przyszło´sci), −−→ − przeszło´sc´ punktu P = zbiór punktów D takich, z˙ e wektor P D jest czasowy i x D 0 < x P 0 (wn˛etrze sto˙zka przeszło´sci), − "gdzie indziej" (tera´zniejszo´sc´ punktu P ) − składa si˛e z punktów B takich, z˙ e wektor −→ P B jest przestrzenny (obszar na zewnatrz ˛ sto˙zka s´wietlnego). −→ Sto˙zek zbudowany jest z punktów C takich, z˙ e wektor PC jest zerowy (jest ortogonalny do samego siebie) ⇒ odległo´sc´ C od wierzchołka P jest 0. Ten podział zale˙zy od wyboru punktu P : je˙zeli w wybranym IUO we´zmiemy punkt P 0 o tej samej współrz˛ednej czasowej, x P 0 0 = x P 0 , to sto˙zek s´wietlny w P 0 dzieli M4 na 3 obszary inne ni˙z te wyznaczone przez sto˙zek w P .

4.3 Równoczesno´sc´ zdarzen ´ Definiujemy geometrycznie równoczesno´sc´ . c = const ⇒ równoczesno´sc´ zdarzen ´ połaczonych ˛ 3-wektorem równoległym do pr˛edko´sci wzgl˛ednej V dwu IUO jest zrelatywizowana do układu (w jednym jest, w drugim jej nie ma). Wybieramy dowolnie pewien IUO i nazywamy go LAB. Obserwator (= przyrzad ˛ pomiarowy) porusza si˛e wzgl˛edem LAB z pr˛edko´scia˛ V = const ⇒ istnieje IUO, w którym

45

obserwator spoczywa − jest to inercjalny układ spoczynkowy (układ własny) obserwatora. W LAB linia s´wiata obserwatora inercjalnego jest sparametryzowana czasem t układu LAB: x 0 = ct xi = V i t + bi . linia s´wiata obserwatora

ct0

O0 B LAB

vα P lα

A

O 0 − poczatek ˛ układu własnego jest miejscem, gdzie jest obserwator ⇒ jego linia˛ s´wiata jest o´s czasu c t 0 układu własnego. Wszystkie wektory zapisujemy w układzie LAB. Wybieramy dowolny punkt B 6= A na linii s´wiata obserwatora. Wektor styczny do linii s´wiata obserwatora: i ¢ h −→ ¡ α ¢ ¡ α AB = v = x B − x A α = c(t B − t A ),V i (t B − t A ) , jest czasowy, ¡ ¢ η αβ v α v β = (t B − t A )2 c 2 − V2 > 0. Niech P − dowolny punkt poza linia˛ s´wiata obserwatora O 0 . −→ −→ Wektor AP ma składowe AP = (l α ) = (x P α − x A α ). Definicja 4.2. −→ Zdarzenie P jest równoczesne ze zdarzeniem A dla obserwatora O’, je˙zeli wektor AB stycz−→ ny do jego linii ´swiata jest ortogonalny do wektora AP : η αβ v α l β = 0. Definicja równoczesno´sci jest geometryczna (ortogonalno´sc´ 4-wektorów) − nie jest konwencja! ˛

46

Wykazuj˛e: synchronizacja dwóch odległych zegarów w tym samym IUO (spoczywaja˛ wzgl˛edem siebie) za pomoca˛ sygnału s´wietlnego (str.14) jest zgodna z definicja˛ równoczesno´sci. Rysujemy diagram Minkowskiego w układzie, w którym zegary spoczywaja. ˛ ct

ct + l

ct

A

P

B l Z2

; Z1

x

Zegar Z1 ma lini˛e s´wiata o´s ;c t : x = y = z = 0, zegar Z2 jest w punkcie x = l , y = z = 0. Linie s´wiata obu zegarów sa˛ równoległe. Z punktu B (Z1 pokazuje czas t ) wysyłamy sygnał s´wietlny, dociera on do Z2 w punkcie P w chwili t + l /c według Z1 i w P nastawiamy Z2 na czas t + l /c. W tym momencie Z1 jest w A. Sprawdzam, czy zdarzenia A i P sa˛ równoczesne. Wektor do linii s´wiata Z1 ma składowe ³−→´styczny α α α (v ) = B A = (x A − x B α ) = (l , 0, 0, 0), ³−→´α wektor łacz ˛ acy ˛ A z P : AP = (l α ) = (x P α − x A α ) = [c t + l − (c t + l ), l , 0, 0] = [0, l , 0, 0]. Wektory te sa˛ ortogonalne: η αβ v α l β = η 0β l l β = η 00 l l 0 = 0 ⇒ synchronizacja jest poprawna, bowiem jednakowe wskazania obu zegarów daja˛ zdarzenia równoczesne w ich wspólnym układzie własnym. Własno´sci równoczesno´sci. 1) Je˙zeli A i P sa˛ równoczesne dla obserwatora O 0 poruszajacego ˛ si˛e z pr˛edko´scia˛ V wzgl˛edem LAB, to na ogół nie sa˛ równoczesne w LAB. 2) Równoczesno´sc´ A i P nie zale˙zy od wyboru punktu B na linii s´wiata obserwatora O 0 ⇒ mo˙zna zastapi´ ˛ c v α → av α , a 6= 0. 3) W definicji równoczesno´sci u˙zywamy składowych wektorów (odcinków skierowanych) w dowolnym IUO (nazwanym LAB) − bo ortogonalno´sc´ wektorów nie zale˙zy od wyboru IUO. 47

W układzie spoczynkowym O0: ¢ ¡ ¢ ¡ 0α v = c∆t 0 , 0, 0, 0 wtedy warunek η αβ v 0α l 0β = 0 ⇒ l 0β = (0, l), l − 3-wektor wodzacy ˛ z A do P w układzie własnym i t P0 − t A0 = 0 − zdarzenia równoczesne w układzie własnym O 0 maja˛ t˛e sama˛ współrz˛edna˛ czasowa. ˛ 4) Równoczesno´sc´ nie jest relacja˛ w zbiorze zdarzen! ´ Przypominam: relacja˛ R w zbiorze zdarzen ´ M4 jest dowolny podzbiór R iloczynu kartezjanskiego ´ M4 × M4 . Zdarzenie A jest w relacji R z P , je˙zeli para (A, P ) ∈ R. Równoczesno´sci nie mo˙zemy zdefiniowa´c za pomoca˛ samego zbioru zdarzen ´ − jest zrelatywizowana do linii s´wiata obserwatora (do jego układu własnego). Zbiór zdarzen ´ równoczesnych z A dla obserwatora O 0 składa si˛e z takich zdarzen ´ P, dla których η αβ v α l β = 0. ¡ ¢ W układzie własnym punkty P sa˛ wyznaczone wektorem l 0α = (0, l), l 1 , l 2 , l 3 ∈ R ⇒ jest to matematycznie przestrzen ´ euklidesowa E3 . Stad ˛ s´cisła definicja przestrzeni fizycznej. Definicja 4.3. Zbiór zdarzen ´ równoczesnych dla obserwatora O 0 ze zdarzeniem A nazywamy przestrzenia˛ fizyczna˛ w układzie własnym O’ w chwili t A0 . Gdy t A0 przebiega od −∞ do +∞, to przestrzenie fizyczne w układzie własnym O 0 wypełniaja˛ cała˛ M4 . W dowolnym IUO (np. w LAB) przestrzen ´ zdarzen ´ równoczesnych z A dla obserwatora O 0 ma równanie parametryczne x α = x A α + l α , l α ⊥ v α , v α − wektor styczny do linii s´wiata O 0 ⇒ jest to 3-wymiarowa hiperpłaszczyzna przechodzaca ˛ przez A(x A α ). Hiperpłaszczyzna zdarzen ´ równoczesnych przechodzaca ˛ przez punkt B na linii s´wia0 α α α ta O ma równanie x = x B + l − jest przesuni˛eta o wektor v α = x B α − x A α w stosunku do hiperpłaszczyzny równoczesno´sci z A. Obie hiperpłaszczyzny sa˛ do siebie równoległe. Zatem: linia s´wiata O 0 wyznacza foliacj˛e czasoprzestrzeni M4 hiperpłaszczyznami zdarzen ´ równoczesnych dla O 0 i hiperpłaszczyzny te sa˛ ortogonalne do tej linii s´wiata oraz wzajemnie równoległe.

48

t0 = 3 t0 = 2 t0 = 1 t =3 t =2 t =1

ct0

ct

Ka˙zdy IUO (jego o´s czasu) wyznacza własna˛ foliacj˛e M4 przestrzeniami równoczesno´sci ⇒ foliacji jest nieskonczenie ´ wiele. Linia s´wiata (czasowa!) wyznacza foliacj˛e całej M4 wtedy i tylko wtedy, gdy jest to linia prosta − linia s´wiata obserwatora inercjalnego. Mo˙zna wykaza´c: je˙zeli obserwator O 0 jest nieinercjalny (doznaje przyspieszen), ´ to jego linia s´wiata wyznacza foliacj˛e przestrzeniami równoczesno´sci tylko lokalnie − w otoczeniu tej linii s´wiata, bowiem daleko od niej hiperpłaszczyzny przecinaja˛ si˛e. W danym IUO relacja równoczesno´sci jest relacja˛ równowa˙zno´sci: − jest zwrotna: A jest równoczesne z A, − symetryczna: A równoczesne z P ⇒ P równoczesne z A, − przechodnia: je˙zeli A jest równoczesne z P i P jest równoczesne z Q, to Q jest równoczesne z A, bo w tym samym układzie t A = t P i t P = tQ ⇒ tQ = t A . Wyznacza zatem klasy równowa˙zno´sci zdarzen ´ − sa˛ to przestrzenie zdarzen ´ równoczesnych. Na diagramie Minkowskiego dla układu S i S 0 : ct0

ct O0

O

x0

x

;

− o´s ;x jest zbiorem zdarzen ´ równoczesnych z ; w S: jest ortogonalna do osi ;c t (linii s´wiata O), − o´s ;x 0 jest równoczesna z ; w S 0 : jest ortogonalna do osi ;c t 0 (linii s´wiata O 0 ).

49

S2

Z

S1

G

A1

B1

A

B

A2

B2

Relacja równoczesno´sci nie jest przechodnia mi˛edzy ró˙znymi IUO: Z − Ziemia, G − daleka gwiazda spoczywajaca ˛ wzgl˛edem Z , A i B − równoczesne w układzie własnym Z i G, S 1 − obserwator z pr˛edko´scia˛ V ¿ c wzgl˛edem Z , A i B 1 − równoczesne w układzie S 1 , B 1 i A 1 − równoczesne w układzie własnym Z i G, S 2 − obserwator z pr˛edko´scia˛ −V ¿ c wzgl˛edem Z , A i B 2 − równoczesne w układzie S 2 , B 2 i A 2 − równoczesne w układzie własnym Z i G, wtedy: A 1 i A 2 − zachodza˛ w układzie Z w tym samym miejscu i sa˛ odległe od A np. o 1000 lat. Oznacza to, z˙ e ilekro´c gdzie´s idziemy, to zdarzenie to jest dla mieszkanców ´ dalekich gwiazd równoczesne ze zdarzeniem na Ziemi 1000 lat temu lub za 1000 lat. Poniewa˙z jednak nie znamy (i chyba nie ma) sygnałów szybszych od s´wiatła, z równoczesno´sci tej niewiele wynika. Je˙zeli dwa zegary spoczywaja˛ wzgl˛edem siebie w pewnym IUO ⇒ ich linie s´wiata sa˛ prostymi równoległymi ⇒ wyznaczaja˛ te same hiperpłaszczyzny równoczesno´sci ⇒ mo˙zna je zsynchronizowa´c.

50

5 Diagram Minkowskiego i transformacja Lorentza 5.1 Szczególna transformacja Lorentza S´ cisła równowa˙zno´sc´ wszystkich IUO ⇒ tensor metryczny Minkowskiego jest taki sam we wszystkich IUO, tzn. w ka˙zdym IUO we współrz˛ednych kartezjanskich ´ (x µ ) interwał czasoprzestrzenny ma kwadrat dany tym samym wyra˙zeniem ds 2 = η µν dx µ dx ν . Transformacja Lorentza zachowuje posta´c i warto´sc´ interwału: ds 2 = ds 02 = c 2 dt 02 − dx 02 − dy 02 − dz 02 − czyli¡ niezmienniczo´ sc´ metryki. Szukamy najprostszej transfor¢ ¢ ¡ s0 c´ i0 form-inwariantno´ 0 0 ˛ te warunki. W E3 : macji ct , x, y, z → c t , x , y , z spełniajacej dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = dx 02 + dy 02 + dz 02 − transformacjami zachowujacymi ˛ niezmienniczo´sc´ i form-inwariantno´sc´ dl 2 sa˛ obroty i translacje. Najprostszy obrót: wokół osi Oz w płaszczy´znie Ox y: x 0 = x cos φ + y sin φ y 0 = −x sin φ + y cos φ z0 = z ¡ ¢ ¡ ¢ − układ x 0 , y 0 jest obrócony wzgl˛edem x, y o kat ˛ +φ. Przez analogi˛e: szczególna trans0 1 formacja Lorentza to "obrót" w płaszczy´znie x x w M4 ⇒ x 2 i x 3 nie zmieniaja˛ si˛e ⇒ c 2 dt 2 − dx 2 = c 2 dt 02 − dx 02 . Znak minus w ds 2 ⇒ obrót za pomoca˛ funkcji hiperbolicznych (nie trygonometrycznych): x 0 = x cosh ψ − c t sinh ψ c t 0 = −x sinh ψ + c t cosh ψ 0

y = y,

(4)

0

z = z.

Szukamy interpretacji fizycznej kata ˛ hiperbolicznego ψ. Układy S i S 0 sa˛ w relacji standardowej. Linia s´wiata poczatku ˛ O 0 układu S 0 ma w S 0 0 równania x 0 = y 0 = z 0 = 0, x 0 = c t 0 . W S linia ta jest sparametryzowana czasem t i ma równania x0 = c t ,

x = V t, 51

y = z = 0.

Na tej linii transformacja (4) implikuje: x0 = 0 ⇒

x x cosh ψ = sinh ψ ⇒ = tgh ψ. ct ct

Z kolei równanie x = V t daje V=

x V V ⇒ = tgh ψ ⇒ sinh ψ = γ , cosh ψ = γ, t c c

tutaj czynnik Lorentza γ := q

1 ¡ V ¢2 , 1− c

β :=

V c

¡ ¢−1/2 ⇒ γ = 1 − β2 .

Szczególna transformacja Lorentza: ³ ´  ¡ ¢  x 00 = γ¡x 0 − βx 1 ¢  t 0 = γ t − cV2 x   01 = γ x 1 − βx 0 Boost (pchni˛ecie). x 0 = γ(x − V t )  ⇐⇒ x 02 2 03 3   0 0 x =x , x =x . y = y, z = z V < c, bo γ < ∞ i γ ∈ R. Po prawej stronie mamy tylko wielko´sci o wymiarze długo´sci (x µ ) oraz bezwymiarowe (β, γ). Piszemy

 ¡

L= L

α

β

¢

  = 

x 0α = L α β x β − transformacja liniowa jednorodna.  γ −βγ 0 0  −βγ γ 0 0  − macierz (operator) szczególnej  0 0 1 0  transformacji Lorentza. 0 0 0 1

Przy dowolnej (nie tylko szczególnej) transformacji Lorentza, której macierz równie˙z oznaczamy (L αβ ), dowolny 4-wektor v α transformuje si˛e liniowo jednorodnie, jak współrz˛edne kartezjanskie, ´ ta˛ sama˛ macierza: ˛ v 0α = L α β v β . Twierdzenie 5.1. Równoczesno´sc´ zdarzen ´ połaczonych ˛ 3-wektorem ortogonalnym do wektora pr˛edko´sci wzgl˛ednej dwu IUO jest absolutna.

52

Dowód. Obracamy osie obu układów tak, by znalazły si˛e w relacji standardowej, wtedy łaczy ˛ je szczególna transformacja Lorentza, nast˛epnie oba układy obracamy jednakowo tak, by zdarzenia równoczesne w S znalazły si˛e na prostej równoległej do jego osi Oz. Wtedy ró˙znica ich współrz˛ednych czasoprzestrzennych jest 4-wektorem (bo jest odcinkiem skierowanym w M4 ) o składowych ∆x µ = (0, 0, 0, ∆z). Transformacja Lorentza daje składowe tego wektora w S 0 :  0 ∆x 0 = γ(∆x 0 − β∆x 1 ) = 0,     ∆x 0 = γ(∆x 1 − β∆x 0 ) = 0,  ∆y 0 = ∆x 2 = 0,    0 3 ∆z = ∆x = ∆z, wektor ∆x µ ma te same składowe w S i w S 0 . Stad: ˛ ∆t 0 = 0 − równowa˙zno´sc´ w S 0 . Szczególna transformacja Lorentza niesie prawie cała˛ tre´sc´ fizyczna˛ w STW. Dopiero przy ruchach 2- i 3-wymiarowych ujawniaja˛ si˛e własno´sci, których ona nie zawiera (tzw. precesja Thomasa).

5.2 Dylatacja czasu i skrócenie długo´sci Szczególna transformacja Lorentza ⇒ przedziały czasu mi˛edzy zdarzeniami i ich odległo´sc´ wzdłu˙z kierunku pr˛edko´sci wzgl˛ednej sa˛ ró˙zne w ró˙znych IUO. Uwaga. Macierz szczególnej transformacji Lorentza jest symetryczna. Macierz ogólnej transformacji Lorentza (zdefiniujemy ja˛ pó´zniej) takiej symetrii nie ma.

5.2.1 Dylatacja czasu W IUO S 0 zegar znajduje si˛e w punkcie o współrz˛ednej x 0 = 0 (warto´sci y 0 i z 0 sa˛ nieistotne). Zegar obserwowany z układu S w czasie ∆t mierzonym w S przesunie si˛e w S o odległo´sc´ ∆x = V ∆t . Przedziałowi czasu ∆t w S odpowiada w S 0 przedział ∆t 0 mierzony przez ten zegar: ¶ µ ¶ µ µ ¶2 ¶ µ V V V 0 = γ∆t γ−2 , ∆t = γ ∆t − 2 ∆x = γ ∆t − 2 V ∆t = γ∆t 1 − c c c 1 ∆t 0 = ∆t = γ

s

V 1− c µ

¶2

∆t < ∆t

− w układzie ruchomym S 0 czas płynie wolniej ⇒ jednostka czasu w S 0 jest dłu˙zsza ni˙z w S: je˙zeli w S 0 zegar odmierzył 1 sekund˛e, to w S upłyn˛eło γ > 1 sekund. Nazywamy to dylatacja˛ czasu. 53

5.2.2 Skrócenie długo´sci W S 0 znajduje si˛e pr˛et o długo´sci L le˙zacy ˛ na osi O 0 x 0 , jego konce ´ A i B maja˛ stałe 0 0 0 0 współrz˛edne x A = 0, x B = L ⇒ ∆x ≡ x B − x 0A = L. W IUO S długo´sc´ tego pr˛eta to wielko´sc´ l = ∆x ≡ x B − x A , współrz˛edne konców ´ pr˛eta sa˛ mierzone równocze´snie w S: ∆t = t B − t A = 0. Odwrotna szczególna transformacja Lorentza (zamieniamy V na −V ): µ ¶ ¡ 0 ¢ V 0 0 0 x = γ x +V t , t =γ t + 2x . c Stad: ˛ µ ¶ µ ¶ V V V 0 0 0 ∆t = 0 = γ ∆t + 2 ∆x = γ ∆t + 2 L ⇒ ∆t 0 = − 2 L c c c − z punktu widzenia układu S 0 poło˙zenia obu konców ´ pr˛eta sa˛ mierzone w S niejednocze´snie. Długo´sc´ pr˛eta w S: ¶¶ µ µ ¶2 ¶ µ µ V V , l = ∆x = γ(∆x + V ∆t ) = γ L + V − 2 L = γL 1 − c c 0

0

1 l= L= γ

s 1−

V2 L < L c2

− pr˛et ruchomy okazuje si˛e krótszy ni˙z mierzony w swoim układzie własnym − jest to skrócenie (kontrakcja) długo´sci. Ten efekt wykrył H. Lorentz jeszcze przed powstaniem STW w 1905 r. ⇒ kontrakcja Lorentza. Twierdzenie 5.2. Kontrakcja Lorentza jest zawsze w kierunku pr˛edko´sci wzgl˛ednej V − nie ma skrócenia w kierunku poprzecznym. Inaczej: nie ma transformacji Lorentza dajacej ˛ skrócenie poprzeczne. Dowód. S´ cisły dowód wymaga u˙zycia ogólnej transformacji Lorentza, a nie szczególnej. Tutaj: pogladowy ˛ dowód nie wprost. Załó˙zmy, z˙ e istnieje skrócenie poprzeczne. W IUO LAB rozpatruj˛e dwa cylindry o tym samym promieniu poruszajace ˛ si˛e naprzeciw siebie wzdłu˙z wspólnej osi z pr˛edko´scia˛ +V i −V . V

−V

A

B

54

Cylinder A - cienka pusta rura; cylinder B - lity walec. Układ LAB: oba cylindry doznaja˛ jednakowego skrócenia poprzecznego ⇒ zderzaja˛ si˛e brzegowymi okr˛egami. Układ spoczynkowy A: walec B jest ruchomy ⇒ ma mniejszy promien ´ ⇒ przeleci przez rur˛e A bez kolizji. Układ spoczynkowy B : rura A jest ruchoma ⇒ A jest w˛ez˙sza od B ⇒ walec B zostanie uderzony przez A wzdłu˙z współosiowego okr˛egu na przedniej s´cianie B (to nie jest okrag ˛ brzegowy). Mamy trzy ró˙zne IUO: w ka˙zdym mamy dynamicznie inny przebieg zjawiska ⇒ złamana zasada wzgl˛edno´sci Galileusza-Einsteina. Stad: ˛ istnienie skrócenia poprzecznego prowadzi do sprzeczno´sci. Podobnie dowodzi si˛e, z˙ e nie istnieje wydłu˙zenie poprzeczne.

5.3 Składanie pr˛edko´sci y0

y v

V

S S0 x x0 Układy S i S 0 sa˛ w relacji standardowej. W S mamy czastk˛ ˛ e z pr˛edko´scia˛ µ ¶ ¡ ¢ dx dy dz , , v= = vx , v y vz . dt dt dt W S 0 czastka ˛ ma pr˛edko´sc´ v0 . Transformacja Galileusza ⇒ v0 = v − V, V = (V, 0, 0). dr0 0 Transformacja Lorentza ⇒ w S czastka ˛ ma pr˛edko´sc´ v0 = dt zsza 0 − to nie jest powy˙ ró˙znica 3-wektorów. Jej składowe wyliczamy stosujac ˛ transformacj˛e ró˙zniczek dt i dx i . dx

v x0 =

−V dx 0 γ(dx − V dt ) ´ = dt = ³ = 0 1 dt 1 − c 2 V dx γ dt − c12 V dx dt dy

v 0y

dy 0 dy 1 dt ´= = 0 = ³ 1 1 dt γ 1 − c2 V γ dt − c 2 V dx

dx dt

=

vx − V 1 − c12 V v x

= v x0 ,

vy 1 = v 0y , γ 1 − 12 V v x c 1 vz = v z0 . 1 γ 1 − 2 V vx c

55

Składowa v x równoległa do pr˛edko´sci wzgl˛ednej V transformuje si˛e inaczej ni˙z składowe prostopadłe. Niech v x = c (foton) oraz v y = v z = 0. Wtedy: v 0y = v z0 = 0 oraz v x0 = c−V =c − 1 1−

c2

Vc

pr˛edko´sc´ s´wiatła w pró˙zni jest niezmiennikiem transformacji Lorentza ⇒ spójno´sc´ z zało˙zeniem wyj´sciowym, które doprowadziło do twierdzenia, z˙ e ds 2 jest niezmiennikiem transformacji mi˛edzy ró˙znymi IUO. 5.3.1 Ruch jednowymiarowy Niech v x = v, v y = v z = 0. Odwrotna transformacja pr˛edko´sci (z S 0 do S) - to zamiana +V na −V : v=

v0 +V 1 + c12 V v 0

.

(5)

Prawo transformacyjne (5) mo˙zna otrzyma´c składajac ˛ transformacj˛e Lorentza współ0 rz˛ednych. Niech czastka ˛ ma pr˛edko´sc´ v wzgl˛edem układu S 0 i pr˛edko´sc´ v wzgl˛ ¡ e¢dem S. Wprowadzamy chwilowy układ spoczynkowy S 00 czastki ˛ ze współrz˛ednymi x 00µ . Układ S 0 porusza si˛e wzgl˛edem S 00 z pr˛edko´scia˛ −v 0 , a układ S ma wzgl˛edem S 0 pr˛edko´sc´ −V . 0 −v - pr˛edko´sc´ S wzgl˛edem S 00 . Oznaczam: β¢0 = vc , β0 = Vc , β = vc . ¡ Transformacja z S 00 do S 0 : x 0α = L α¡ν −β¢ 0 x 00ν , transformacja z S 0 do S: x µ = L µ α −β0 ¡x 0α .¢ ¡ ¢ α ¡ 0 ¢ 00ν 00 µ µ 00ν µ Stad ˛ transformacja z S do S: x = L −β x = L −β L ν −β x , ν α 0 ¡ ¢ ¡ ¢ α ¡ 0¢ µ µ czyli L ν −β = L α −β0 L ν −β , macierzowo ten iloczyn jest:      γ +βγ 0 0 γ0 +β0 γ0 0 0 γ0 +β0 γ0 0 0      γ 0 0  +β0 γ0 γ0 0 0  +β0 γ0 γ0 0 0 +βγ  =  . 0 1 0  0 0 1 0  0 0 1 0  0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ Aby wyznaczy´ c β wystarczy w iloczynie L µ α −β0 L α ν −β0 policzy´c dwa elementy: L 0 0 −β ¡ ¢ i L 0 1 −β . Mamy ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¾ L 0 1 −β βγ L 0 0 ¡−β¢ ≡ γ = γ0 γ0 + β0 γ0 β0 γ0 = γ0 γ0 1 +¡ β0 β0 , ¢ =β= ⇒ 0 ¡ ¢= 0 0 0 0 0 0 L 1 −β = +βγ = γ0 β γ + β0 γ0 γ = γ0 γ β + β0 γ L 0 −β ¡ ¢ v0 + Vc γ0 γ0 β0 + β0 v v0 +V c ¡ ¢= = = β = =⇒ v = − wzór (5). c γ0 γ0 1 + β0 β 1 + 12 V v 0 1 + 12 V v 0 c

c

Twierdzenie 5.3. Przy transformacji (5) pr˛edko´sci pod´swietlne (v 0 < c) przechodza˛ w pod´swietlne, v < c, a pr˛edko´sci nad´swietlne (v 0 > c) przechodza˛ w nad´swietlne, v > c. 56

Dowód. Wiemy, z˙ e V < c - bo γ ∈ R i γ < ∞. Niech v 0 > 0 - dowolna pr˛edko´sc´ < +∞. ac+V Niech v 0 = ac, a > 0 - dowolne ⇒ v = c+aV c. Aby ustali´c, czy ten ułamek jest > 1, czy < 1, obliczamy ró˙znic˛e licznika i mianownika: ½ < 0 dla a < 1 ⇒ v < c, ac + V − (c + aV ) = (a − 1)(c − V ) > 0 dla a > 1 ⇒ v > c.

Wniosek: pr˛edko´sc´ s´wiatła c jest granica, ˛ której nie da si˛e przekroczy´c zmiana˛ IUO (czyli transformacja˛ Lorentza) ani z góry, ani z dołu. To jest geometryczne twierdzenie STW. Popularne twierdzenie „nie istnieja˛ pr˛edkos´ci nad´swietlne" jest twierdzeniem dotyczacym ˛ dynamiki oddziaływan ´ materii - zapewne prawdziwym - ale nie wynikajacym ˛ z geometrycznej STW. STW nie wyklucza istnienia tachionów - to wykracza poza jej dziedzin˛e. Uwaga. Transformacja pr˛edko´sci jest nieliniowa i ró˙zne jej składowe transformuja˛ si˛e w ró˙zny sposób, bowiem v nie stanowi składowych przestrzennych z˙ adnego 4wektora ⇒ jego interpretacja geometryczna jest skomplikowana. Prosty sens geometryczny w czasoprzestrzeni maja˛ tylko 4-wektory, a nie 3-wektory definiowane w przestrzeni konkretnego IUO. Potem w M4 wprowadzimy 4-wektor pr˛edko´sci, który transformuje si˛e liniowo jednorodnie - jak prawdziwy wektor.

5.4 Technika diagramu Minkowskiego Diagram Minkowskiego to reprezentacja graficzna płaszczyzny M2 = {(c t , x)} na płaszczy´znie euklidesowej E2 . Niech S i S 0 b˛eda˛ w relacji standardowej, V > 0. Na diagramie Minkowskiego rysujemy układ S jako prostokatny ˛ ⇒ S 0 jest ostrokatny ˛ (rys. na str. 34) Teraz wyznaczamy relacje ilo´sciowe mi˛edzy obydwoma układami na diagramie. ct

ct

P

c tp

=

x

ct 0

c t p0 O

O0 B

A α α

0

x0

x p0

;

xp 57

x

Linia s´wiata fotonu biegnacego ˛ na prawo z ; po osi Ox (pokrywajacej ˛ si˛e z osia˛ O 0 x 0 ) ma równanie c t − x = 0 = c t 0 − x 0. ¢ ¡ ˛ P na osie Współrz˛edne (c t , x) i c t 0 , x 0 dowolnego punktu P znajdujemy rzutujac danego układu równolegle do drugiej osi tego układu (reguła równoległoboku). Wyznaczam nachylenie osi ;c t 0 do ;c t i osi ;x 0 do ;x. O´s ;ct 0 (linia s´wiata poczatku ˛ O 0 układu S 0 ) na diagramie tworzy kat ˛ α z osia˛ ;c t i ma 0 równanie x = 0. Dowolny punkt A na osi ;c t 0 ma w S współrz˛edne wynikajace ˛ z transformacji Lorentza: x 0 = 0 ⇒ x = V t . Jego współrz˛edne w S wyznaczaja˛ kat ˛ α: tg α =

x Vt V = = = β. ct ct c

Kat ˛ α0 pomi˛edzy osia˛ ;x 0 i ;x jest wyznaczony przez współrz˛edne (c t , x) dowolnego punktu B na osi ;x 0 : tg α0 = ct . x 0 0 O´s ;x ma równanie t = 0 ⇒ transformacja Lorentza daje t = cV2 x ⇒ V

x

⇒ tg α0 = cx = β = tg α ⇒ α0 = α - na diagramie Minkowskiego osie ;c t 0 i ;x 0 nachylaja˛ si˛e symetrycznie do sto˙zka s´wietlnego c t = x ⇐⇒ sto˙zek s´wietlny jest dwusieczna˛ kata ˛ mi˛edzy osiami ;c t 0 i ;x 0 . Jest to efekt kinematyczny - geometri˛e Minkowskiego przedstawiamy graficznie na płaszczy´znie euklidesowej. 5.4.1 Wyznaczanie jednostek na osiach układów S i S 0 za pomoca˛ niezmienniczych hiperbol Szczególna transformacja Lorentza (jedyna transformacja na płaszczy´znie Minkowskiego zgodna z niezmienniczo´scia˛ interwału) implikuje niezmienniczo´sc´ formy kwadratowej na M2 : η µν x µ x ν = c 2 t 2 − x 2 = const - równanie hiperboli na E2 we współrz˛ednych (ct , x). 1) Niech const = +1. ¯ ¯ c t − x = +1 = c t − x ¯ d, 2 2

2

2 02

⇒

02 ¯

¡ ¢ 2c t d(c t ) − 2xdx = 0 = 2c t 0 d c t 0 − 2x 0 dx 0 ⇒

x cdt = ±p , dx 1 + x2

cdt 0 x0 = ± − sa˛ dwie hiperbole. p dx 0 1 + x 02

Na górnej gał˛ezi hiperboli, c t > 1, mamy znak +. Bior˛e górna˛ gała´ ˛z hiperboli. 58

ct

ct0

2

c

2

t

− 2

x

= 1

P 00 P0 1

1 x0

; x

Hiperbola przecina osie ;c t i ;c t 0 odpowiednio w punktach P 0 (c t = 1, x = 0) oraz ¡ ¢ P 00 ct 0 = 1, x 0 = 0 ⇒ wyznacza jednostki czasu w S i S 0 . dt = 0 - minimum hiperboli w S ⇒ styczna w P 0 jest równoległa do osi ;x. W P 0 : c dx 0

dt 0 0 0 W P 00 : c dx 0 = 0 - minimum hiperboli w S ⇒ styczna w P 0 jest równoległa do osi ;x .

Stad: ˛ druga metoda wyznaczania poło˙zenia osi ;x 0 wzgl˛edem ;x. Dla danej V < c 0 2 2 2 rysujemy o´s ;c ¡ t 0 jak ¢na rysunku na str. 57 (tg α = β), rysujemy hiperbol˛e c t −x = 1, 0 w punkcie P 0 c t = 1 rysujemy styczna˛ do niej, wtedy prosta równoległa do stycznej i przechodzaca ˛ przez ; jest osia˛ ;x 0 . Ró˙znica mi˛edzy geometria˛ euklidesowa˛ płaszczyzny E2 i geometria˛ Minkowskiego płaszczyzny M2 : na E2 równe długo´sci odcinków wyznaczamy za pomoca˛ okr˛egu - na M2 za pomoca˛ hiperboli, bowiem w obu przypadkach sa˛ to krzywe, których punkty sa˛ równoodległe od wybranego punktu. Uwaga. Minimum (ekstremum) krzywej nie jest jej cecha˛ inherentna, ˛ ale zale˙zy od jej parametryzacji i od wyboru orientacji współrz˛ednych kartezjanskich ´ na płaszczy´znie. Okrag ˛ ma w ka˙zdym punkcie ekstremum, zale˙znie od ustawienia (orientacji) osi Ox i O y. 2) Niech const = −1.

59

ct

ct0

x0 P 00 1 ; 1 P0

c

2

t

x

2

−

x

2

=

−1

Prawa gała´ ˛z hiperboli c 2 t 2 − x¢2 = c 2 t 02 − x 02 = −1 przecina o´s ;x w P 0 (c t = 0, x = 1) ¡ oraz o´s ;x 0 w P 00 c t 0 = 0, x 0 = 1 ⇒ wyznacza jednostki długo´sci na osiach przestrzennych układów S i S 0 . Porównanie jednostek czasu i długo´sci w S i S 0 na tym samym diagramie Minkowskiego daje dylatacj˛e czasu i kontrakcj˛e (skrócenie) Lorentza, czyli spowolnienie biegu zegarów w ruchu i zmalenie długo´sci poruszajacych ˛ si˛e pr˛etów mierniczych. Jest to efekt czysto kinematyczny - wynika z geometrii Minkowskiego, nie jest skutkiem działania jakich´s sił.

60

5.4.2 Dylatacja czasu i skrócenie Lorentza na diagramie Minkowskiego ct0

2

c

ct 2

t

− 2

x

= 1

ct = − x

1

1 Q

x0

P

1 1

;

x

2

c

2

t

−

x

1 −

ct

=

=

2

x

D

C

A

B

W S spoczywa jednostkowy pr˛et AB , w S 0 - spoczywa jednostkowy pr˛et C D. Na rysunku podane jest ich chwilowe poło˙zenie - równoczesne poło˙zenie konców ´ pr˛eta w jego układzie spoczynkowym. Oba pr˛ety zakre´slaja˛ w czasoprzestrzeni wst˛egi s´wiata. Linia˛ s´wiata konca ´ A jest o´s c t , linia˛ s´wiata konca ´ C - o´s c t 0 . Na koncach ´ A, B, C i D sa˛ zegary. Gdy zegary A i C spotykaja˛ si˛e w punkcie ;, to nastawiamy je na t = t 0 = 0, a nast˛epnie synchronizujemy B z A i D z C . W punkcie P zegar C pokazuje czas c t 0 = 1 i punkt P ma współrz˛edna˛ czasowa˛ c t > 1 ⇒ zegar C pó´zni si˛e wzgl˛edem zegara A. W punkcie Q zegar A pokazuje czas c t = 1 i punkt Q ma współrz˛edna˛ czasowa˛ c t 0 > 1 ⇒ zegar A spó´znia si˛e wzgl˛edem zegara C . Nie ma tu sprzeczno´sci: porównujemy ró˙zne zdarzenia P i Q, czyli długo´sci odcinków ;P i ;Q.

61

Długo´sc´ pr˛eta C D mierzy si˛e w S wyznaczajac ˛ równoczesne w S poło˙zenia konców ´ 0 C i D, np. w chwili t = 0 ⇒ l C D < 1. Podobnie: długo´sc´ pr˛eta AB w S jest okre´slona 0 równoczesnym w S 0 poło˙zeniem jego konców, ´ np. w t 0 = 0 ⇒ l AB < 1. 5.4.3 Kontrakcja Lorentza Jest ona skutkiem wybranej metody pomiaru długo´sci - jednoczesne poło˙zenia kon´ ców pr˛eta w danym układzie, jest wi˛ec konsekwencja˛ definicji zdarzen ´ równoczesnych: ortogonalno´sc´ osi czasu do osi przestrzennych - w sensie 4-wektorów. Kontrakcja jest obserwowalna w eksperymentach (zjawiskach), w których odgrywa rol˛e równoczesno´sc´ zdarzen ´ przestrzennie odległych. Gdy obserwacja nie opiera si˛e na zdarzeniach równoczesnych, to skrócenie długo´sci nie pojawia si˛e. Przykład: obraz optyczny (fotografia) poruszajacej ˛ si˛e bryły nie wykazuje jej skrócenia, bowiem fotografia rejestruje jednoczesne dotarcie do aparatu fotonów wyemitowanych w ró˙znych chwilach z ró˙znych punktów powierzchni bryły- efekt Terrella-Penrose’a (1959), Z. Lampa 1924. Metoda pomiaru długo´sci oparta na zdarzeniach równoczesnych jest jedyna˛ sensowna. ˛ Stad: ˛ długo´sci ciał nale˙zy mierzy´c w ich układzie spoczynkowym - ortogonalnie do linii s´wiata ich konców. ´ Ortogonalno´sc´ : w sensie 4-wektorów b˛edacych ˛ odcinkami skierowanymi. Analogia z geometria˛ euklidesowa: ˛ szeroko´sc´ ulicy mierzymy prostopadle do kraw˛ez˙ ników, a nie uko´snie. W czasoprzestrzeni M4 ruchomy IUO jest odpowiednikiem obróconego ("uko´snie ustawionego") układu w E3 . 5.4.4 Dylatacja czasu Zjawisko wynikajace ˛ z ró˙znego tempa upływu czasu w ró˙znych IUO. Metoda wykrycia tego efektu zale˙zy od ruchu zegara. Je˙zeli zegar porusza si˛e jednostajnie prostoliniowo (znajduje si˛e stale w jednym IUO), to jego spowolnienie ujawnia si˛e przez porównanie jego wskazan ´ ze wskazaniami wielu nieruchomych zsynchronizowanych zegarów: w punkcie P wskazania zegara C porównujemy z zegarem układu S znajdujacym ˛ si˛e w P (zegarem układu S, którego linia s´wiata przechodzi przez P ), czyli z zegarem zsynchronizowanym z zegarem A. Czyli: dylatacja czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym jest wykrywalna dzi˛eki synchronizacji zegarów - bez niej nie mo˙zemy porówna´c wskazan ´ dwóch zegarów, które poruszaja˛ si˛e wzgl˛edem siebie. Je˙zeli zegar porusza si˛e z przyspieszeniem i nie po linii prostej (w ka˙zdej chwili spoczywa w innym IUO), to dylatacja jego czasu mo˙ze ujawni´c si˛e bez u˙zycia zsynchronizowanych zegarów, np. w paradoksie bli´zniat ˛ (przedstawiamy go dalej). Jak zobaczymy dalej: dylatacja czasu to ró˙znica długo´sci linii s´wiata dwóch zegarów w ruchu wzgl˛ednym przyspieszonym pomi˛edzy dwoma zdarzeniami. ⇒ Dylatacja czasu 62

ma sens geometryczny ⇒ jest to fundamentalny efekt STW, du˙zo wa˙zniejszy ni˙z skrócenie długo´sci (efekt pomiaru w układzie ruchomym).

5.5 Zjawisko Dopplera i aberracja s´wiatła Jako´sciowo dylatacj˛e czasu i kontrakcj˛e długo´sci przedstawiamy na diagramie Minkowskiego bez u˙zycia transformacji Lorentza. Efektem, do którego konieczna jest szczególna transformacja Lorentza jest relatywistyczne zjawisko Dopplera - zmiana cz˛estotliwo´sci s´wiatła przy zmianie IUO. Dla fal d´zwi˛ekowych mamy nierelatywistyczne zjawisko Dopplera - je˙zeli nadajnik fali i odbiornik sa˛ w ruchu wzgl˛ednym, to fala akustyczna porusza si˛e wzgl˛edem odbiornika z inna˛ pr˛edko´scia˛ ni˙z wzgl˛edem nadajnika ⇒ cz˛estotliwo´sc´ fali mierzona przez odbiornik jest inna ni˙z cz˛estotliwo´sc´ wyemitowana przez nadajnik. Fala elektromagnetyczna ma w ka˙zdym IUO pr˛edko´sc´ c ⇒ zmiana cz˛estotliwo´sci jest skutkiem transformacji Lorentza. S´ wiatło opisujemy w przybli˙zeniu optyki geometrycznej. Foton = kwant pola elektromagnetycznego = czastka ˛ niemal punktowa (rozpatrujemy odległo´sci l du˙zo wi˛eksze ni˙z długo´sc´ λ fali fotonu, l À λ), opisana cz˛esto´scia˛ kołowa˛ ω i 3-wektorem falowym k. T - okres fali,

k=

2π n, λ

λ = cT, ω =

2π . T

n - wektor jednostkowy kierunku ruchu fali (fotonu).

k = |k| =

2π 2π ω ω = = ⇒ k= . λ cT c c

Wprowadzamy 4-wektor falowy monochromatycznej fali płaskiej (fotonu): k α :=

³ω c

´ ,k .

Jest to wektor zerowy:

k α k α = η αβ k α k β =

³ ω ´2 c

− k2 = 0.

Foton jest emitowany z wektorem k α przez gwiazd˛e spoczywajac ˛ a˛ w układzie S i jest 0 obserwowany w IUO S (Ziemia). Układ S orientujemy przestrzennie tak, by foton leciał w płaszczy´znie Ox y. Układ S 0 jest w relacji standardowej do S.

63

y0

y S

0

k

k0

V

S0

α

α0 x0

x

W S: k¡= (k cos α, k sin α, 0). ¢ W S 0 : k0 = k 0 cos α0 , k 0 sin α0 , 0 . Foton jest emitowany w S z wektorem falowym ¡ ¢ ω k α = k 0 , k 1 , k 2 , 0 = (1, cos α, sin α, 0), c ¢ 0¡ w S 0 ma wektor falowy k 0α = ωc 1, cos α0 , sin α0 , 0 . Transformacja wektora: k 0α = L α β k β ,   γ −βγ 0 0  ¡ α ¢  γ 0 0 −βγ L β =  , wi˛ec 0 1 0  0 0 0 0 1 ¢ ω0 ω ω ω¡ = γk 0 − βγk 1 = γ − βγ cos α = γ 1 − β cos α , c c c c 0 ω ω ω k 01 = cos α0 = −βγk 0 + γk 1 = −βγ + γ cos α, c c c ω k 02 = k 2 = sin α, k 03 = 0 = k 3 . c k 00 =

k 00 6= k 0 ⇒ relatywistyczna zmiana cz˛esto´sci: ¡ ¢ ω0 = γ 1 − β cos α ω.

Relatywistyczne zjawisko Dopplera,

β = V /c - pr˛edko´sc´ wzgl˛edna, nie jest wa˙zne, czy porusza si˛e nadajnik czy odbiornik. Zmiana ω zale˙zy od kata ˛ α. Podłu˙zne zjawisko Dopplera: foton biegnie równolegle do pr˛edko´sci wzgl˛ednej V . 1) α = 0 - foton goni odbiornik S 0 ⇒ cos α = +1, s 0

¡ ¢ ω = γ 1−β ω =

64

1−β ω < ω. 1+β

2) α = π - foton biegnie na spotkanie odbiornika ⇒ cos α = −1, s ¡ ¢ ω0 = γ 1 + β ω =

1+β ω > ω. 1−β

Poprzeczne zjawisko Dopplera: foton biegnie prostopadle do pr˛edko´sci V ⇒ α = π2 lub 23 π ⇒ cos α = 0 ⇒ ω0 = γω > ω. Aberracja s´wiatła: zmiana kierunku biegu s´wiatła w skutek zmiany IUO, α0 6= α. k 01 :=

¢ ω0 ω¡ cos α0 = γ −β + cos α ⇒ c c cos α − β . Aberracja s´wiatła. cos α0 = 1 − β cos α

Roczny ruch Ziemi wokół Słonca ´ z chwilowa˛ pr˛edko´scia˛ V ≈ 30 km/s powoduje aberracj˛e gwiazdowa˛ (aberracj˛e astronomiczna): ˛ co 6 miesi˛ecy pr˛edko´sc´ Ziemi zmienia si˛e z V na −V i kat ˛ α0 obserwacji gwiazdy zmienia si˛e. Faktycznie kat ˛ α0 (V ) poło˙zenia obserwowanej gwiazdy zmienia si˛e w sposób ciagły ˛ ⇒ obserwowana gwiazda zakre´sla na niebie mała˛ elips˛e. Rozmiar tej elipsy nie zale˙zy od odległo´sci gwiazdy i jest uniwersalny: zalez˙ y od V /c. Elipsy aberracji nie nale˙zy myli´c z paralaksa˛ gwiazdowa˛ (te˙z elipsa na niebie) − t˛e wida´c tylko dla bliskich gwiazd. Transformacja odwrotna z S 0 do S: zamiana β → −β, tzn. ¡ ¢ ω = γ 1 + β cos α0 ω0 ,

cos α =

cos α0 + β . 1 + β cos α0

¡ ¢2 Przybli˙zenie nierelatywistyczne Vc ≈ 0 ⇒ γ ≈ 1: ¡ ¢ ω0 ≈ 1 − β cos α ω ⇒ nie ma poprzecznego efektu Dopplera: ω0 ≈ ω ¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢ dla α = π2 lub 32 π, cos α0 ≈ cos α − β 1 + β cos α ≈ cos α + β cos2 α − 1 = = cos α − β sin2 α ≈ cos α0 . Efekt Dopplera - wielokrotnie potwierdzony do´swiadczalnie (zobacz A. Wróblewski i J. Zakrzewski, Wst˛ep do fizyki, tom 1 rozdział III przypis II).

65

6 Czas własny 6.1 Czas własny Z IUO LAB obserwujemy przyspieszony ruch czastki ˛ pod działaniem jakiej´s siły. k(t ) ct C B A

SA

LAB x, y, z

;

k(t ) - linia s´wiata czastki ˛ sparametryzowana czasem t układu LAB. v(t ) - pr˛edko´sc´ czastki ˛ w LAB. A i B - punkty bliskie na k(t ) ⇒ mi˛edzy A i B czastka ˛ ma prawie stała˛ pr˛edko´sc´ v(t A ) ≡ V A wzgl˛edem LAB. S A - IUO, który wzgl˛edem LAB ma pr˛edko´sc´ V A ⇒ w przedziale od A do B czastka ˛ spoczywa w S A ⇒ S A - chwilowy układ spoczynkowy (chwilowy układ własny) czastki ˛ = układ, który przez krótki czas ∆t = t B − t A ma wzgl˛edem LAB t˛e sama˛ pr˛edko´sc´ co czast˛ ka. W odległym punkcie C czastka ˛ ma pr˛edko´sc´ v(tC ) 6= V A ⇒ inny IUO jest jej chwilowym układem własnym. Przy dowolnym ruchu czastki ˛ w ka˙zdej chwili istnieje taki IUO, w którym czastka ˛ przez krótki czas spoczywa - jest jej układem własnym. Rozpatrujemy interwał czasoprzestrzenny ds od A do B w LAB i w S A . W LAB: · ¸1/2 · ¸ £ 2 2 ¤ 1 dl 2 1 2 1/2 1 2 1/2 ds(A, B ) = c dt − dl = cdt 1 − 2 2 = cdt 1 − 2 V A = cdt . c dt c γ(t A ) W S A: ds(A, B ) = cdt 0 r 0

dt =

1−

- czastka ˛ spoczywa (dl 0 =0). Stad: ˛

1 2 1 v (t A ) dt = dt < dt 2 c γ(t A )

66

- dylatacja czasu,

wyprowadzona bez u˙zycia transformacji Lorentza. dt 0 - czas własny czastki ˛ (zegara) = czas mierzony w chwilowym układzie spoczynkowym zegara = czas fizyczny dobrego zegara. Jednocze´snie: ds - długo´sc´ łuku linii s´wiata czastki ˛ (zegara). ⇒ Interpretacja geometryczna: dt 0 = 1c ds - czas własny (czas fizyczny) zegara jest miara˛ długo´sci jego linii s´wiata. Uto˙zsamiamy: cdt 0 ≡ ds - czas własny mierzymy w jednostkach długo´sci (1 sekunda s´wietlna = 300 000 km). Linia s´wiata zegara jest sparametryzowana czasem t układu LAB: x0 = c t ,

x = x(t ),

v=

dx . dt

Czas własny s zegara mi˛edzy chwilami t 1 i t 2 w LAB: k(t ) tB B

tA A

ˆ

t2

r

1 2 ´ v (t ) dt - zale˙zy od v 2 (t ), nie zale˙zy od przyspieszen. 2 c t1 Ogólnie: niezale˙zno´sc´ czasu własnego od przyspieszenia wynika z jego interpreta´B cji geometrycznej s(A, B ) = A ds - długo´sc´ krzywej to granica długo´sci linii łamanej. Czas własny zegara na krzywej k (doznaje skonczonych ´ przyspieszen) ´ i suma czasów własnych na odcinkach linii łamanej sa˛ równe - je˙zeli przyspieszenia nie psuja˛ mechanizmu zegara. Eksperyment ⇒ zasadna jest s(t 1 , t 2 ) = c

1−

Hipoteza o zegarach: Dla dowolnych warunków fizycznych panujacych ˛ w danym miejscu w czasoprzestrzeni istnieje taki s´ci´sle periodyczny proces fizyczny, z˙ e zegar oparty na tym procesie ma chód niezakłócony przez te warunki, tj. zegar ten idzie tak, jak gdyby był swobodny od zewn˛etrznych oddziaływan ´ i poruszał si˛e jednostajnie prostoliniowo. Taki zegar mierzy czas własny b˛edacy ˛ długo´scia˛ jego linii s´wiata. 67

Przykład. Punktowy zegar porusza si˛e po okr˛egu o promieniu R ze stała˛ pr˛edko´scia˛ katow ˛ a˛ ω ⇒ pr˛edko´sc´ liniowa jest v = ωR = const. W LAB jego trajektoria jest  x = R cos ωt  dr y = R sin ωt ⇒ v = = ωR(− sin ωt , cos ωt , 0),  dt z= 0 2

przyspieszenie a = dv = −ω2 R(cos ωt , sin ωt , 0) ⇒ a = |a| = ω2 R = vR . dt Czas własny jest s(t 1 , t 2 ) = γc (t 2 − t 1 ). Zwi˛ekszamy ω i zmniejszamy R tak, by v = ωR = const ⇒ s nie zmienia si˛e, a → ∞. Eksperyment w CERN w 1966 r. Naładowane elektrycznie czastki ˛ elementarne miony µ (nale˙za˛ do grupy leptonów) sa˛ nietrwałe i przeci˛etny czas z˙ ycia µ w spoczynku jest τ = 2.2 · 10−6 s. W sposób naturalny miony powstaja˛ w górnych warstwach atmosfery w wyniku uderzenia ultrarelatywistycznego protonu przybywajacego ˛ z odległego z´ ródła w jadro ˛ atomu tlenu lub azotu. Cz˛es´ci rozbitego jadra ˛ uderzaja˛ w inne jadra ˛ i je rozbijaja, ˛ a te cz˛es´ci rozbijaja˛ kolejne jadra ˛ i powstaje wielki p˛ek atmosferyczny, który dolatujac ˛ do powierzchni Ziemi liczy wiele tysi˛ecy czastek. ˛ Miony odkryto w p˛ekach atmosferycznych. Miony powstaja˛ na wysoko´sci ponad 10 km i gdyby nie było dylatacji czasu, to lecac ˛ z pr˛edko´scia˛ v ≈ c rozpadłyby si˛e po przebyciu drogi 600 m. Dylatacja czasu ⇒ czas z˙ ycia µ w ruchu jednostajnym prostoliniowym z pr˛edko´scia˛ v mierzony w LAB: ∆t = γτ - dzi˛eki temu miony z p˛eków atmosferycznych (czynnik Lorentza γ ≈ 20) dolatuja˛ do powierzchni Ziemi. W eksperymencie w CERN miony poruszały si˛e w polu magnetycznym po okr˛egu z relatywistyczna˛ pr˛edko´scia. ˛ Celem eksperymentu było sprawdzenie, czy przyspieszenie dos´rodkowe zmienia czas z˙ ycia mionów. Wynik: promien ´ okr˛egu R = 2.5 m, v = const, γ = −2 12.1, g = 9.8 ms - przyspieszenie ziemskie, ∆t (teoria) = 12.1 · 2.2 · 10−6 s = 26.6 · 10−6 s, ∆t (eksperyment) = 26.15 · 10−6 s - odchylenie od teorii < 2% 2

Przyspieszenie mionów w LAB: a ≈ 2.5c m ≈ 3.6 · 1015 g , przyspieszenie mionów w ich układzie własnym w = γ2 a ≈ 5.3 · 1017 g

¾ ⇒

⇒ takie przyspieszenie nie psuje wewn˛etrznego zegara kwantowego mionów. Czas własny = długo´sc´ linii s´wiata ciała materialnego, czyli wielko´sc´ geometryczna - parametr skalarny, niezale˙zny od wyboru IUO.

68

s - naturalny parametr do parametryzowania linii s´wiata czastek ˛ zm>0 (nie fotonów): x α = x α (s). Przykład. Ruch jednostajny po okr˛egu z pr˛edko´scia˛ ω = const: v = ωR ⇒ ³ ´ ´tq 2 2 −1/2 2 2 γ = const ⇒ t = c s. s(t ) = c 0 1 − ωc R2 dt = γc t , γ = 1 − ωc R2 Parametryczne równanie linii s´wiata w LAB:  x 0 = γs,  ¡ ¢ x 1 = R cos¡ωt =¢R cos ωc γs ,  x 2 = R sin ωc γs , x 3 = 0.

6.2 Paradoks bli´zniat ˛ Einstein 1905: "Je˙zeli w punkcie A znajduja˛ si˛e dwa zsynchronizowane zegary, a nast˛epnie jeden z nich porusza si˛e wzdłu˙z dowolnej linii zamkni˛etej ze stała˛ pr˛edko´scia, ˛ a˙z powróci do A, co wymaga t sekund, to po powrocie zegar ten b˛ e dzie si˛ e pó´ z nił w stosunku do zegara, który ¡ ¢ 1 v 2 pozostał w spoczynku, o 2 c t ." Paul Langevin 1911: paradoks zegarów = paradoks bli´zniat. ˛ Bli´zniak-astronauta jest młodszy od bli´zniaka nieruchomego. Paradoks bli´zniat ˛ nie wynika z procedury synchronizacji (wyznaczanie zdarzen ´ równoczesnych dla bli´zniaków) - licza˛ si˛e tylko przedziały czasu mierzone przez bli´zni˛eta. Poprawne wyja´snienie - opis geometryczny: paradoks jest ilustracja˛ tezy - fizyczny wiek bli´zniaka = długo´sc´ jego linii s´wiata. ct Q kA

kB

P x, y, z Bli´zniacy A i B rozchodza˛ si˛e w P , ich linie s´wiata sa˛ k A i k B i ponownie spotykaja˛ w Q.

69

Fizyczny czas bli´zniaka A prze˙zyty mi˛edzy P i Q:

ˆ sA =

ds, kA

czas prze˙zyty przez B mi˛edzy P i Q:

ˆ sB =

ds. kB

Krzywe k A i k B sa˛ ró˙zne ⇒ s A 6= s B na ogół. Geometrycznie nie ma paradoksu - jak z podró˙zowaniem w E3 . Jest tu pewna subtelno´sc´ - o niej dalej. Eksperyment makroskopowy J. C. Hafele and R. E. Keating, Science 177 (1972) 166. Porównujemy wskazania 3 zegarów: - zegar odniesienia spoczywa na Ziemi na równiku, - jeden zegar ruchomy leci nad równikiem zgodnie z obrotem Ziemi - na wschód z pr˛edko´scia˛ v E = +v 0 , - drugi zegar ruchomy leci nad równikiem na zachód z pr˛edko´scia˛ v W = −v 0 .

Linie s´wiata obu zegarów rysuje si˛e w IUO, w którym s´rodek Ziemi spoczywa. ω - pr˛edko´sc´ katowa ˛ obrotu Ziemi, R - promien ´ ziemi, ωR - pr˛edko´sc´ obrotu na równiku. W układzie własnym s´rodka Ziemi zegar lecacy ˛ na wschód ma pr˛edko´sc´ VE = v 0 + ωR, zegar lecacy ˛ na zachód ma pr˛edko´sc´ VW = −v 0 + ωR. VW < VE ⇒ sW > s E . Oba zegary okra˙ ˛zaja˛ Ziemi˛e w tym samym czasie mierzonym przez zegar odniesienia i wracaja˛ do niego. 70

s 0 - czas własny przelotu zmierzony przez zegar odniesienia, s E , sW - czasy własne przelotu mierzone przez zegary ruchome. s 0 , s E , sW - wszystkie ró˙zne. c∆t - czas przelotu zegarów zmierzony przez zegar fikcyjny znajdujacy ˛ si˛e w układzie własnym s´rodka Ziemi. Zegar odniesienia ma wzgl˛edem zegara fikcyjnego pr˛edko´sc´ ωR ⇒ q ³ ´ ¡ ωR ¢2 2 2 c∆t ≈ 1 − ω2cR2 c∆t . Podobnie: ⇒ s0 = 1 − c ¶ ¶ µ µ q q 2 VE2 VW 1 2 1 2 s E = 1 − c 2 VE c∆t ≈ 1 − 2c 2 c∆t , sW = 1 − c 2 VW c∆t ≈ 1 − 2c 2 c∆t i h v0 ⇒ sW − s 0 ≈ c∆t 2c12 ω2 R 2 − 2c12 (ωR − v 0 )2 = 2c (2ωR − v 0 )∆t , v0 s E − s 0 ≈ − 2c (2ωR + v 0 )∆t . Nieznany czas ∆t eliminujemy za pomoca˛ s 0 : µ ¶ 1 ω2 R 2 ∆t ≈ 1 + s0 . c 2c 2

Ró˙znice sW − s 0 i s E − s 0 wyliczamy z dokładno´scia˛ do wyrazów rz˛edu

1 : c2

µ ¶ v0 1 ω2 R 2 v0 sW − s 0 ≈ (2ωR − v 0 ) · 1 + s 0 ≈ 2 (2ωR − v 0 )s 0 , 2 2c c 2c 2c v0 s E − s 0 ≈ − 2 (2ωR + v 0 )s 0 . 2c Aby wyeliminowa´c wpływ ziemskiego pola grawitacyjnego na te trzy zegary, rozpatrujemy tylko ró˙znic˛e sW − s E ≡ sW − s 0 − (s E − s 0 ) =

2ωR v 0 s0 . c2

W przybli˙zeniu s 0 ≈ 2πR v0 c ⇒ sW − s E ≈

4π ωR 2 c

- nie zale˙zy od v 0 .

Dla Ziemi: ω = 2π , T = 86 400 sek, R = 6 378 km. T Stad: ˛ 1c (sW − s E ) ≈ 410 · 10−9 s. Pa´zdziernik 1971: Hafele i Keating przewie´zli cztery zegary atomowe (cezowe) samolotami pasa˙zerskimi na wysoko´sci ≈ 10 km nad Ziemia, ˛ raz na wschód, raz na zachód. Loty nie były dokładnie nad równikiem - trasy lotów pasa˙zerskich. Wyniki pomiarów - dobrze zgodne z STW. Zegar lecacy ˛ na wschód porusza si˛e szybciej wzgl˛edem zegara fikcyjnego ni˙z zegar lecacy ˛ na zachód ⇒ odmierza krótszy czas przelotu, sW > s E . 71

6.3 Nierówno´sc´ trójkata ˛ Paradoks bli´zniat: ˛ paradoksalne jest to, z˙ e bli´zniak-astronauta, którego linia s´wiata jest zakrzywiona, ma mniejszy czas własny ni˙z bli´zniak pozostajacy ˛ w układzie inercjalnym. Geometria euklidesowa: linia prosta łacz ˛ aca ˛ dwa punkty jest najkrótsza. Wynika to z nien równo´sci trójkata ˛ wE : C

A

B

AB + BC > AC . STW: fizyczna czasoprzestrzen ´ ma geometri˛e Minkowskiego ⇒ linia czasowa prosta ła˛ czaca ˛ dwa punkty jest najdłu˙zsza ze wszystkich krzywych mi˛edzy tymi punktami. Jest to konsekwencja˛ odwróconej nierówno´sci trójkata. ˛ α α α Wyprowadzamy ja˛ biorac ˛ u , v , w - trzy wektory czasowe skierowane w przyszło´sc´ : u 0 , v 0 i w 0 > 0. vα b wα uα c a

Niech w α = u α + v α , ich długo´sci: u α uα = a 2 ,

v α vα = b2,

w αwα = c 2

(c to nie pr˛edko´sc´ s´wiatła).

Układ współrz˛ednych dobieramy tak, z˙ e u α ma tylko składowa˛ u 0 (jest styczny do linii czasu ;x 0 pewnego IUO), u α = (a, 0, 0, 0), ∗

72

a > 0.

¡ ¢ Wektor v α = v 0 , v , v2 > 0 - bo v α nie jest proporcjonalny do u α . ¡ ¢2 ¡ ¢2 v α v α = v 0 − v2 = b 2 ⇒ v 0 = b 2 + v2 ⇒ v 0 > b > 0. Długo´sc´ wektora w α : ¡ ¢ ∗ w α w α = c 2 = u α + v α (u α + v α ) = u α u α + 2u α v α + v α v α = a 2 + 2av 0 + b 2 = = a 2 + b 2 + 2av 0 . v 0 > b ⇒ c 2 > a 2 + b 2 + 2ab = (a + b)2 ⇒ odwrócona nierówno´sc´ trójkata ˛ w M4 : c > a + b. Je˙zeli wektory u α i v α sa˛ czasowe i skierowane w przeszło´sc´ (u 0 , v 0 < 0), to równie˙z wektor w α = u α + v α jest czasowy i skierowany w przeszło´sc´ i równie˙z c > a + b. Odwrócona nierówno´sc´ trójkata ˛ jest słuszna tylko dla wektorów czasowych, które sa˛ wszystkie skierowane w przyszło´sc´ , lub wszystkie skierowane w przeszło´sc´ . Je˙zeli u α i v α - czasowe, u 0 > 0, v 0 < 0, to w α = u α + v α mo˙zne by´c czasowy, przestrzenny lub zerowy ⇒ na ogół nie ma relacji typu nierówno´sci trójkata. ˛ Przykład. (2, 1, 0, 0) + (−2, 0, 0, 0) = (0, 1, 0, 0) - przestrzenny, ich długo´sci p a = 3, b = 2, w α w α = −1. Porównujemy długo´sci krzywych czasowych.

Q k1

k0

P Q - le˙zy w przyszło´sci punktu P = znajduje si˛e wewnatrz ˛ sto˙zka s´wietlnego przyszłos´ci punktu P . k 0 - czasowa linia prosta łacz ˛ aca ˛ P z Q, k 1 - dowolna linia czasowa (ró˙zna od k 0 ) od P do Q. 73

Q

C k0 k1 B

A

P Krzywa˛ k 1 rozkładamy na łuki, na ka˙zdym łuku budujemy trójkat ˛ z wektorów czasowych skierowanych w przyszło´sc´ . Z odwróconej nierówno´sci trójkata: ˛ P B > P A + AB i BQ > BC +CQ - długo´sc´ ci˛eciwy ka˙zdego łuku jest wi˛eksza od długo´sci tego łuku. Stad: ˛ długo´sc´ prostej k 0 od P do Q jest wi˛eksza od długo´sci krzywej k 1 . (Dowód geometryczny jest silnie uproszczony - zało˙zenie, z˙ e k 0 i k 1 le˙za˛ na jednej płaszczy´znie M2 .) Inaczej: prosta czasowa k 0 jest najdłu˙zsza˛ krzywa˛ mi˛edzy P i Q. Dowód analityczny. Wprowadzamy IUO, w którym prosta czasowa k 0 jest osia˛ czasu, wtedy punkty P i Q maja˛ współrz˛edne P (t P , 0), Q(tQ , 0). Długo´sc´ k 0 :

ˆ

ˆ

tQ

s(k 0 ) =

tQ

¡ ¢ cdt = c tQ − t P .

ds = tP

tP

Zakrzywiona linia czasowa k 1 jest sparametryzowana czasem t : dx , jej długo´sc´ : x = x(t ), v(t ) = dt ˆ tQ ˆ tQ r ¡ ¢ 1 s(k 1 ) = ds = 1 − 2 v2 (t )c dt < c tQ − t P dla v 6= 0. c tP tP x0 = c t ,

74

QED Nie ma najkrótszej linii czasowej od P do Q: kres dolny długo´sci krzywych jest zero. Q

M2

R

P Na płaszczy´znie M2 punkty P i Q mo˙zna połaczy´ ˛ c dwoma odcinkami linii zerowych: P R - odcinek na sto˙zku s´wietlnym (linia s´wiata fotonu wyemitowanego z P ), s(P R) = 0, RQ - odcinek na sto˙zku s´wietlnym wystawionym w R, s(RQ) = 0 ⇒ najkrótsza linia ła˛ czaca ˛ punkt P z Q to linia zerowa zło˙zona z dwóch odcinków, jej długo´sc´ jest s(P R) + s(RQ) = 0. Cienka krzywa (ruch przyspieszony) - jest czasowa i jej długo´sc´ jest dowolnie bliska 0.

75

7 Wektorowa przestrzen ´ Minkowskiego 7.1 Wektorowa przestrzen ´ Minkowskiego Nale˙zy odró˙znia´c czasoprzestrzen ´ Minkowskiego czyli przestrzen ´ afiniczna, ˛ b˛edac ˛ a˛ matematycznym modelem fizycznej czasoprzestrzeni, od wektorowej przestrzeni Minkowskiego, która˛ zdefiniujemy najpierw. V4 = {v} - rzeczywista przestrzen ´ wektorowa o wymiarze dimV4 = 4. v - wektory o fizycznym wymiarze długo´sci ⇒ moga˛ by´c uto˙zsamiane z odcinkami skierowanymi łacz ˛ acymi ˛ dwa punkty w czasoprzestrzeni. Je˙zeli v maja˛ inny wymiar fizyczny, np. masa × pr˛edko´sc´ , to tworza˛ przestrzen ´ p˛edów. Definicja 7.1. ¡ ¢ Wektorowa przestrzen ´ Minkowskiego to para V4 , η µν zło˙zona z przestrzeni V4 , w której zadany ¡ jest ¢ iloczyn skalarny wektorów za pomoca˛ tensora metrycznego Minkowskiego G = η µν . (Definicja niekompletna, uzupełnimy ja˛ dalej.) Iloczyn skalarny: odwzorowanie pary wektorów u, v ∈ V4 w liczb˛e rzeczywista˛ u · v ≡ 〈u|v〉 ∈ R o własno´sciach: ¯ ® ­ 1) αu + βv ¯w = α 〈u|w〉 + β 〈v|w〉 dla α, β ∈ R - liniowo´sc´ , 2) 〈u|v〉 = 〈v|u〉 - symetryczno´sc´ , 3) je˙zeli ∀v ∈ V4 jest 〈v|u〉 = 0 to u = 0 - iloczyn jest nieosobliwy, 4) 〈v|v〉 ∈ R - iloczyn jest indefinitny. 1) i 2) ⇒ iloczyn skalarny jest biliniowy. Iloczyn skalarny konstruujemy konkretnie za pomoca˛ specyficznej bazy ortogonalnej Postulat: w V4 istnieje baza quasi-ortonormalna (tetrada, reper) {e α } = {e 0 , e 1 , e 2 , e 3 } (α - numer wektora, nie indeks) z iloczynem skalarnym ­ ¯ ® e α ¯e β ≡ e α · e β := η αβ - tetrada Minkowskiego.   1 0 0 0  ¡ ¢  0 0 −1 0 G = η αβ =   0 0 −1 0  0 0 0 −1

– macierz Grama (elementy sa˛ iloczynami skalarnymi).

76

¢ ¡ G −1 = ηαβ - macierz odwrotna, jest matematycznie identyczna z G. Dowolny wektor: v = v αeα, v α - składowe kontrawariantne wektora {e α }. ¢ ¡ 0 Minkowskiego ¢ ¡ v0 w itetradzie α (v ) = v , v = v , v . Składowe v α wektora w bazie Minkowskiego sa˛ równe: e 0 · v = e 0 · v α e α = v α η 0α = v 0 , e i · v = e i · v α e α = v α η i α = v j η i j = −v i , czyli v 0 = e 0 · v,

v i = −e i · v = −v i .

Iloczyn skalarny e za pomoca˛ składowych w tetradzie Minkowskiego: ¡ βwyra˙ ¢ za si˛ α β α u · v = (u e α ) · v e β = u v η αβ , u · v = η αβ u α v β = u 0 v 0 − u · v = u α v α = u α v α = ηαβ u α v β . ¡ ¢ Baz Minkowskiego w V4 , η µν jest nieskonczenie ´ wiele. Liniowa transformacja bazy: 0 eα = T β α e β - wektory nowej bazy sa˛ liniowa˛ kombinacja˛ wektorów starej bazy, ¡ ¢ 0 det T α β 6= 0, aby transformacja była odwracalna, za´s warunek, by nowa baza {e α } te˙z

była tetrada˛ Minkowskiego wymaga, by T µ α η µν T ν β = η αβ . Jak zobaczymy dalej, warunek ten okre´sla ogólna˛ transformacj˛e Lorentza. Definicja © 7.2. ª © 0ª Tetrady e α i e α maja: ˛ – t˛e sama˛ (zgodna) ˛ orientacj˛e, je˙zeli det T > 0.

– przeciwna˛ orientacj˛e je˙zeli det T < 0. © ª W E3 baza ortonormalna ex , e y , ez jest albo prawoskr˛etna albo lewoskr˛etna. W wymiarze dim > 4 nie mo˙zna okre´sli´c skr˛etno´sci, wprowadza si˛e orientacj˛e baz. Orientacji baz nie mo˙zna zdefiniowa´c absolutnie, jak skr˛etno´sci w E3 , mo˙zna tylko mówi´c o wzgl˛ednej orientacji dwóch baz - okre´sla ja˛ wyznacznik transformacji mi˛edzy nimi. Istotny jest tylko znak det T . Przykład. © ª 1) W E3 baz˛e prawoskr˛etna˛ ex , e y , ez obracamy o kat ˛ φ wokół wektora ez (czyli wokół osi Oz):  e0x = ex cos φ + e y sin φ,  e0y = −ex sin φ + e y cos φ,  e0z = ez , 77

macierz transformacji e0i = T j i e j jest   cos φ − sin φ 0 ³ ´ T j i =  sin φ cos φ 0. 0 0 1 ¡ ¢ Nowa baza jest te˙z prawoskr˛etna i det T j i = +1. © ª © ª 2) W bazie prawoskr˛etnej ex , e y , ez w E3 zamieniamy ez na −ez ⇒ baza ex , e y , −ez jest lewoskr˛etna. Transformacja ma macierz ³

T ji

´

  1 0 0 = 0 1 0  i 0 0 −1

³ ´ det T j i = −1.

Twierdzenie 7.1. Relacja zgodno´sci orientacji baz jest relacja˛ równowa˙zno´sci. Dowód. Zwrotno´sc´ i symetryczno´sc´ sa˛ oczywiste. Dowodz˛e przechodnio´sci zgodno´sci orientacji. Niech {e α } i {e β0 } maja˛ t˛e sama˛ orientacj˛e, e β0 = T α β e α , det T > 0, oraz niech {e β0 } i {e γ00 } maja˛ t˛e sama˛ orientacj˛e, e γ00 = U β γ e β0 , e γ00

β

α

α

β

detU > 0.

α

Wtedy = U γ T β e α = (T βU γ )e α = (T U ) γ e α oraz wyznacznik det(T U ) = det T · detU > 0 ⇒ tetrady {e α } i {e γ00 } maja˛ zgodna˛ orientacj˛e. ¡ ¢ ˛ Wniosek: wszystkie tetrady Minkowskiego w V4 , η µν nale˙za˛ do dwóch rozłacznych klas równowa˙zno´sci. Definicja 7.3. ¡ ¢ Orientacja˛ wektorowej przestrzeni Minkowskiego V4 , η µν nazywamy wybrana˛ orientacj˛e jednej z tych dwóch klas równowa˙zno´sci. Tetrady nale˙zace ˛ do wybranej klasy nazywamy wła´sciwymi (proper), tetrady z drugiej klasy - niewła´sciwymi (improper). ¡ ¢ Rozpatrujemy przestrze n ´ V , η zorientowana˛ i wła´sciwe tetrady Minkowskiego. 4 µν ¡ ¢ Wektor v ∈ V4 , η µν jest: – czasowy, je˙zeli v · v > 0, – przestrzenny, je˙zeli v · v < 0, – zerowy, je˙zeli v · v = 0 i v 6= 0.

78

Definicja 7.4. Wektor v 6= 0 czasowy lub zerowy nazywamy kauzalnym. W tetradzie ¡ ¢2 Minkowskiego: v · v > 0 ⇒ v 0 > v2 . Twierdzenie 7.2. Je˙zeli u i v sa˛ dwoma dowolnymi wektorami kauzalnymi, które nie sa˛ jednocze´snie zerowe i równoległe (wykluczamy przypadek v = αu i u·u = 0), to ich iloczyn skalarny ma ten sam znak, co iloczyn u 0 v 0 , tzn. ¡ ¢ sgn (u · v) = sgn u 0 v 0 . ¯ ¯ ¡ ¢ ¡ ¢ ¯ ¯ Dowód. Mamy u α = u 0 , u , v α = v 0 , v i ¯u 0 ¯ > |u| ≡ u, ¯v 0 ¯ > |v| ≡ v oraz u · v = uv cos θ 6 uv, θ - kat ˛ mi˛edzy u i v. Stad ˛ ¯ 0 0¯ ¯u v ¯ > uv > |u · v|.

(6)

Musi by´c: u 0 6= 0 i v 0 6= 0. Je˙zeli u 0 = 0, to u = 0 ⇒ u α = (0, 0) - wykluczamy, podobnie z v 0 = 0. Sa˛ tu dwie mo˙zliwo´sci: ¯ 0¯ α ¯u ¯ > u. 1) Przynajmniej jeden wektor jest czasowy. Niech u czasowy ⇒ ¯ 0 0¯ ¯ 0 0¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Wtedy u v > uv i (6) ⇒ u v > |u · v| . – Niech u 0 v 0 > 0. Wtedy ¡ ¢ u α v α = u 0 v 0 − u · v > 0 ⇒ sgn (u α v α ) = +1 = sgn u 0 v 0 . – Niech u 0 v 0 < 0. ¯ ¯ ¯ ¡¯ ¢ u α v α = u 0 v 0 − u · v 6 u 0 v 0 +¡ |u · v|¢= −¯u 0 v 0 ¯ + |u · v| = − ¯u 0 v 0 ¯ − |u · v| < 0, wi˛ec sgn (u α v α ) = −1 = sgn u 0 v 0 . α α 2) Oba wektory ¯ 0 0 ¯ sa˛ zerowe, u u α = v v α = 0. (6) ⇒ ¯u v ¯ = uv > |u · v|. (*)

– 3-wektory u¯ i v nie sa˛ równoległe: θ 6= 0, π ⇒ uv > |u · v|. ¯ (*) ⇒ ¯u 0 v 0 ¯ > |u · v| - dalej dowód biegnie jak w punkcie 1). ¡ ¢ ¯ ¯ – Niech v = au, a 6= 0. v α = v 0 , au , ¯v 0 ¯ = |a|u i z zało˙zenia v α 6= au α ⇒ v 0 = −au 0 . Iloczyn skalarny ¡ ¢2 2 u α v α = u 0 v 0 − u · v = −a u 0 − au2 = −2au ⇒ ¡ ¢ ⇒ sgn (u α v α ) = sgn (−a) = − sgn a i sgn u 0 v 0 = sgn (−a).

79

Wniosek: dwa wektory kauzalne nie moga˛ by´c do siebie ortogonalne, chyba z˙ e sa˛ zerowe i równoległe: ¡

¢ ¡ ¢ u α v α = 0 ⇐⇒ v α = au α , a 6= 0 i u α u α = 0 .

W wektorowej przestrzeni Minkowskiego mamy orientacj˛e wzgl˛edna˛ tetrad {e α }. Rozpatrujemy tetrady wła´sciwe. Je˙zeli {e α } jest wła´sciwa, to tetrada {−e α } te˙z jest wła´sciwa, bo macierz odwzorowania T β α = −δβ α i det T = +1 ⇒ klasa tetrad wła´sciwych zawiera wektory czasowe przeciwnie skierowane: e 0 i −e 0 . Wprowadzamy orientacj˛e czasowa˛ przestrzeni. Definicja 7.5. ¡ ¢ Orientacja˛ czasowa˛ wektorowej przestrzeni Minkowskiego V4 , η µν nazywamy wybór wektora e 0 wła´sciwej tetrady Minkowskiego. Wybrany wektor e 0 jest z definicji skierowany w przyszło´sc´ . Tetrada {e©α } zawieraj aca ˛ e 0 skierowany w przyszło´sc´ – tetrada ortochroniczna. Tetrada ª 0 wła´sciwa e α jest ortochroniczna, je˙zeli e 00 · e 0 > 0. Rozpatrujemy tylko tetrady ortochroniczne. Wszystkie wektory kauzalne rozdzielaja˛ si˛e na dwie rozłaczne ˛ klasy wzgl˛edem dowolnej tetrady ortochronicznej Minkowskiego: © ª © ª F := v : v 0 > 0 i P := v : v 0 < 0 . (Musi by´c v 0 6= 0.) Z definicji: wybrany wektor zadajacy ˛ orientacj˛e czasowa˛ e 0 ∈ F . Klasa F – wektory kauzalne skierowane w przyszło´sc´ , klasa P – wektory skierowane w przeszło´sc´ . Własno´sci: 1) je˙zeli v ∈ F , to −v ∈ P , 2) je˙zeli u, v ∈ F lub u, v ∈ P ⇒ u · v > 0, 3) je˙zeli u ∈ F i v ∈ P ⇒ u · v < 0. Dowód ⇐ twierdzenie o sgn (u · v). Teraz kompletujemy definicj˛e wektorowej przestrzeni Minkowskiego. Definicja 7.6. ¡ ¢ Wektorowa˛ przestrzenia˛ Minkowskiego nazywamy par˛ e V , η , gdzie V4 jest rzeczy4 µν ¡ ¢ wista˛ przestrzenia˛ wektorowa˛ o dim = 4, a G = η µν jest macierza˛ metryki Minkowskiego, wyznaczajac ˛ a˛ iloczyn skalarny w V4 oraz przestrzen ´ V4 ma zadana˛ orientacj˛e baz quasiortonormalnych i jest zorientowana czasowo. 80

Czyli: w V4 okre´slona jest wybrana klasa wła´sciwych tetrad Minkowskiego {e α } z iloczynem skalarnym e α · e β = η αβ , które sa˛ ortochroniczne: w ka˙zdej tetradzie wektor czasowy e 0 jest skierowany w przyszło´sc´ . W tetradzie ortochronicznej wektor kauzalny v jest skierowany w przyszło´sc´ wtedy i tylko wtedy gdy v 0 > 0. W ka˙zdej tetradzie ortochronicznej {e α } wektory przestrzenne e i rozpinaja˛ 3-wymiarowa˛ hiperpłaszczyzn˛e, czyli podprzestrzen ´ liniowa, ˛ która˛ nazywamy przestrzenia˛ równoczesno´sci z 4-wektorem 0. Ta hiperpłaszczyzna wyznaczy potem przestrzen ´ zdarzen ´ równoczesnych w fizyce czasoprzestrzeni.¡ ¢ Orientacja tetrad i orientacja czasowa V4 , η µν okre´slaja˛ skr˛etno´sc´ przestrzeni równoczesno´sci z wektorem 0: je˙zeli tetrada {e α } jest wła´sciwa i ortochroniczna, to wektory przestrzenne e 1 , e 2 i e 3 uto˙zsamiamy z 3-wektorami e1 , e2 , e3 le˙zacymi ˛ w tej hiperpłaszczy´znie i przyjmujemy, z˙ e e1 , e2 i e3 sa˛ ustawione w takiej kolejno´sci, z˙ e tworza˛ trójk˛e prawoskr˛etna. ˛

7.2 Podprzestrzenie wektorowej przestrzeni Minkowskiego W euklidesowej przestrzeni wektorowej wszystkie podprzestrzenie tego samego wy¡ ¢ miaru maja˛ te same ¡ wła´sciwo´ ¢ sci. W V4 , η µν sa˛ trzy ró˙zne typy podprzestrzeni liniowych. Niech H ⊂ V4 , η µν – podprzestrzen ´ liniowa wła´sciwa = hiperpłaszczyzna wymiaru 6 3. Hiperpłaszczyzna (zawierajaca ˛ wektor 0) 3-wymiarowa jest okre´slona przez ustalony wektor n α ortogonalny do niej: H = {v : n · v = 0}. Definicja 7.7. H ≡ S 3 jest przestrzenna, je˙zeli n · n > 0 – wektor czasowy, H ≡ T3 jest czasowa, je˙zeli n · n < 0 – wektor przestrzenny, H ≡ N3 jest zerowa, je˙zeli n · n = 0 – wektor zerowy. Przykłady. ©¡ ¢ª Czasoprzestrzen ´ Minkowskiego M4 = c t , x, y, z traktujemy jak przestrzen ´ wektorowa˛ zbudowana˛ z wektorów – odcinków skierowanych o składowych x α . ©¡ ¢ª 1) Hiperpłaszczyzna S 3 = 0, x, y, z jest przestrzenna, bo wektor (1, 0, 0, 0) jest ortogonalny do ka˙zdego jej wektora ⇒ fizyczna 3-przestrzen ´ jest hiperpłaszczyzna˛ przestrzenna. ˛ ©¡ ¢ª 2) 3-wymiarowa czasoprzestrzen ´ Minkowskiego M3 = c t , x, y, 0 jest hiperpłaszczyzna˛ czasowa, ˛ bo ortogonalny do niej jest wektor przestrzenny (0, 0, 0, 1). 81

3) Hiperpłaszczyzna N3 = (1, 1, 0, 0).

©¡

c t , c t , y, z

¢ª

jest zerowa, bo ortogonalny do niej jest wektor

Te przykłady sugeruja˛ Twierdzenie 7.3. 1) S 3 składa si˛e tylko z wektorów przestrzennych, 2) T3 składa si˛e z wektorów czasowych, przestrzennych i zerowych, 3) N3 składa si˛e z wektorów zerowych proporcjonalnych do n, an, a 6= 0 oraz z wektorów przestrzennych. Dowód. 1) Wektor czasowy n nie mo˙ze by´c ortogonalny do wektorów kauzalnych ⇒ S 3 nie zawiera wektorów czasowych i zerowych. 2) Wybieramy tetrad˛e tak, by n µ = (0, 0, 0, a), a 6=¡0. ¢ v ∈ T3 ⇒ n α v α = η µν n µ v ν = −av 3 = 0 ⇒ v µ = v 0 , v 1 , v 2 , 0 – to sa˛ wektory czasowe, np. (1, 0, 0, 0), przestrzenne, np. (0, 0, 1, 0) i zerowe, np. (1, 1, 0, 0). 3) Zerowy n α nie mo˙ze by´c ortogonalny do wektora czasowego ⇒ N3 zawiera wektory przestrzenne i zerowe postaci k α = an α . Wektor zerowy jest ortogonalny do hiperpłaszczyzny N3 i jednocze´snie le˙zy na niej. Trójwymiarowa podprzestrzen ´ zerowa jest rozpi˛eta na ortogonalnym do niej wektorze zerowym n i dwóch wektorach przestrzennych liniowo niezale˙znych p i q, © ª N3 = c 1 n + c 2 p + c 3 q , n · n = 0, n · p = n · q = 0, p · p < 0, q · q < 0, c 1 , c 2 , c 3 ∈ R. Przestrzenna S 3 jest rozpi˛eta na trzech liniowo niezale˙znych wektorach przestrzennych©p, q, r , ª S 3 = c 1 p + c 2 q + c 3 r – wektory p, q i r musza˛ by´c wzajemnie ortogonalne. Kontrprzykład: p = (1, 2, 0, 0), q = (0, 2, 0, 0), r = (0, 0, 0, 1) – przestrzenne i liniowo niezale˙zne, p − q = (1, 0, 0, 0) – czasowy ⇒ hiperpłaszczyzna H jest czasowa. 7.2.1 Podprzestrzenie liniowe wymiaru 2 i 1 Czy istnieja˛ podprzestrzenie liniowe wymiaru 2 zło˙zone z wektorów jednego typu? Istnieje przestrzenna S 2 rozpi˛eta na dwóch wektorach tetrady Minkowskiego, np. S 2 = {c 1 e 1 + c 2 e 2 }. Twierdzenie 7.4. Podprzestrzenie liniowe zbudowane tylko z wektorów czasowych lub tylko zerowych maja˛ wymiar 1. 82

Dowód. 1) Niech H – 2-wymiarowa podprzestrzen ´ liniowa zawierajaca ˛ liniowo nieza0 0 le˙zne wektory czasowe u i v. ⇒ u 6= 0 i v 6= 0. Tworz˛e wektor µ ¶ 0 ¶ µ u0 α ¡ 0 ¢ u0 0 u p := u − 0 v = u , u − u , 0 v = 0, u − 0 v v v v α

α

– wektor przestrzenny, nale˙zacy ˛ do H ⇒ 2-wymiarowa przestrzen ´ H zawierajaca ˛ ˙ wektory czasowe musi zawiera´c wektory przestrzenne. Mo˙zna dowie´sc´ , ze zawiera te˙z wektory zerowe. 2) Niech podprzestrzen ´ N b˛edzie rozpi˛eta na dwóch liniowo niezale˙znych wektorach zerowych k i l : N = {c 1 k + c 2 l }, k · k = l · l = 0. Wektory te, jako kauzalne i liniowo niezale˙zne, nie moga˛ by´c ortogonalne. Dobieramy je tak, by k · l > 0. Badamy wektor k + l : (k + l ) · (k + l ) = k · k + k · l + l · k + l · l = 2k · l > 0 – wektor czasowy. Z kolei (k − l ) · (k − l ) = −2k · l < 0 – wektor przestrzenny. Stad: ˛ płaszczyzna N zawiera wektory zerowe, czasowe i przestrzenne ⇒ jest podprzestrzenia˛ czasowa. ˛ W wymiarze 1 mamy podprzestrzenie: T1 = {cv : v · v > 0 i c ∈ R} – podprzestrzen ´ czysto czasowa, N1 = {ck : k · k = 0 i c ∈ R} – podprzestrzen ´ czysto zerowa (promien ´ s´wietlny).

83

8 Czasoprzestrzen ´ Minkowskiego 8.1 Czasoprzestrzen ´ Minkowskiego Według STW fizyczna˛ czasoprzestrzenia˛ jest afiniczna przestrzen ´ Minkowskiego, zwana czasoprzestrzenia˛ Minkowskiego. Definicja 8.1. Afiniczna przestrze ´ Minkowskiego ´ Minkowskiego) M4 jest to zespół ¡ ¢ n ¡ ¢ (czasoprzestrzen M4 = E , V4 , η µν , gdzie V4 , η µν jest wektorowa˛ przestrzenia˛ Minkowskiego © ª (z zadana˛ orientacja˛ baz quasi-ortogonalnych i jest zorientowana czasowo), a E = p jest zbiorem punktów (zdarzen ´ elementarnych). ¡ ¢ E – przestrzen ´ bazowa, V4 , η µν – stowarzyszona z E przestrzen ´ wektorowa, która działa w E jak przemienna grupa przesuni˛ec´ równoległych: ∀p, q ∈ E istnieje jednoznaczny wektor v ∈ V4 , taki z˙ e q = p + v ⇒ v = q − p – odcinek skierowany Baza˛ (reperem) w M4 nazywamy zespół (θ, {e α }), gdzie: θ ∈ E – punkt bazowy, dowolnie wybrany punkt słu˙zacy ˛ jako poczatek ˛ czasoprzestrzennego układu współrz˛ednych w E (na diagramie Minkowskiego oznaczany ;), {e α } – włas´ciwa ortochroniczna tetrada Minkowskiego. Dowolny punkt p ∈ E ma jednoznaczne przedstawienie w bazie (θ, {e α }): ¡ ¢ ¡ ¢ p = θ + v p = θ + x α p eα. ¡ ¢ x α p – współrz˛edne punktu p w tej bazie. x α (θ) = 0. Teraz mo˙zemy matematycznie okre´sli´c czym jest układ inercjalny. Baza (θ, {e α }) to matematyczna reprezentacja IUO (ze współrz˛ednymi kartezjanski´ mi). e 0 – wektor styczny do osi czasu, czyli do linii s´wiata obserwatora spoczywajacego ˛ w poczatku ˛ O układu inercjalnego reprezentowanego przez baz˛e (θ, {e α }), a wektory e 1 , e 2 , e 3 wyznaczaja˛ w czasoprzestrzeni kierunki osi przestrzennych tego układu. IUO istnieje tylko w czasoprzestrzeni M4 i pełni w niej taka˛ rol˛e, jaka˛ w przestrzeni euklidesowej En pełni układ współrz˛ednych kartezjanskich. ´ To jest definicja IUO, natomiast w fizyce to, czy dany układ odniesienia jest inercjalny, sprawdza si˛e metodami dynamicznymi. ¡ ¢ Przestrzen ´ w M4 – to zbiór S p zdarzen ´ równoczesnych z danym zdarzeniem p wzgl˛edem danej bazy (θ, {e α }), czyli zdarzen ´ równoczesnych w IUO reprezentowanym przez t˛e baz˛e. Jest to hiperpłaszczyzna przestrzenna w M4 rozpi˛eta na wektorach e 1 , e 2 i e 3 ⇒

84

⇒ jest ortogonalna do e 0 i przechodzi przez p: o ¡ ¢ n ¡ ¢ ¡ ¢ S p := q ∈ E : q = θ + v p + a i e i = θ + x α p e α + a i e i , a i ∈ R ¡ ¢ ¡ ¢ – jest to przestrzen ´ w chwili t p = 1c x 0 p . e0

M4

S(p) p θ

ei

q

v(p)

Dana baza (θ, {e α }) zadaje foliacj˛e czasoprzestrzeni M4 hiperpłaszczyznami równoczesno´sci i zadaje parametryzacj˛e tych hiperpłaszczyzn czasem: ¡ ¢ t (S) = t q ,

q – dowolny punkt S.

Powtarzamy: afiniczna przestrzen ´ M4 jest matematycznym modelem fizycznej czasoprzestrzeni ⇒ cała STW to system fizycznie zinterpretowanych twierdzen ´ geometrii M4 .

8.2 Odwzorowania wektorowej przestrzeni Minkowskiego Odwzorowania w czasoprzestrzeni za pomoca˛ odwzorowan ´ wek¡ M4 konstruujemy ¢ torowej przestrzeni Minkowskiego V4 , η µν . W przestrzeni wektorowej rozpatrujemy tylko odwzorowania liniowe. Niech L – liniowe odwzorowanie V4 na V4 , Lu = v ∈ V4 . Definicja 8.2. Odwzorowanie L nazywamy transformacja˛ (czynna) ˛ Lorentza lub operatorem Lorentza, je˙zeli zachowuje długo´sc´ wektorów: (Lu) · (Lu) = u · u

∀u ∈ V4 .

Twierdzenie 8.1. 1) Operator Lorentza zachowuje iloczyn skalarny wektorów. 2) Operator Lorentza odwzorowuje tetrad˛e Minkowskiego {e α } w inna˛ tetrad˛e Minkowskiego.

85

Dowód. 1) Niech u, v ∈ V4 – dowolne wektory. Z definicji L: [L(u + v)] · [L(u + v)] = (Lu + Lv) · (Lu + Lv) = ( hhh (( hh + 2(Lu) · (Lv) = z definicji = (( =( · (Lu) + (Lv) · (Lv) (Lu)  = (u + v) · (u + v) =  u · u +X v ·X v + 2u · v ⇒ (Lu) · (Lv) = u · v. X 2) L odwzorowuje tetrad˛e {e α } w czwórk˛e {e˜α }, e˜α := Le α . ¡ ¢ L zachowuje iloczyny skalarne ⇒ e˜α · e˜β = (Le α ) · Le β = e α · e β = η αβ ⇒ ⇒ {e˜α } – tetrada quasi-ortonormalna. Odwzorowanie L na ogół nie zachowuje orientacji baz ani orientacji czasowej. Znajduj˛e reprezentacj˛e macierzowa˛ operatora L w bazie {e α }: jest to macierz odwzorowania tetrady {e α } w tetrad˛e {e˜α }. Wektory e˜α rozwijam w bazie {e α }: e˜α = Le α = L β α e β

– reprezentacja macierzowa operatora L w bazie {e α }.

Jawny zapis:      e˜0 L00 L10 L20 L30 e0    ˜   0 1 e 1  e 1  L 1 L 1   =  ,  0 L22 e 2  e˜2  L 2 0 3 L 3 L 3 e3 e˜3 czyli wprowadzajac ˛ macierz jednokolumnowa˛   e0   e 1  E =   mamy e 2  e3

L T E = E˜ .

Wektory bazowe e α odwzorowuja˛ si˛e w ¡e˜α macierz a˛ transponowana˛ L T . Nowa baza {e˜α } ¢ słu˙zy tylko do zdefiniowania macierzy L α β , natomiast wszystkie wektory rozkładamy w wyj´sciowej bazie {e α }. ¡ ¢ L zachowuje iloczyny skalarne ⇒ silne ograniczenia na macierz L α β . Dla wektorów ¡bazowych: ¢¡ ¢ ¡ ¢ e˜α · e˜β = η αβ = L µ α e µ · L ν β e ν = L µ α e µ · e ν L ν β ⇒ fundamentalna własno´sc´ operatora L: L µ α η µν L ν β = η αβ

⇐⇒

86

L T GL = G.

(7)

¡ ¢ Stad: ˛ det L T GL = det L · detG · det L = −(det L)2 = −1 ⇒ det L = ±1. ∀L : det L 6= 0 ⇒ istnieje jednoznaczna macierz reprezentujaca ˛ odwrotne odwzorowanie L −1 . W praktyce: w danej bazie {e α } uto˙zsamia si˛e operator L z jego reprezentacja˛ macierzowa˛ ¡ ¢ (nazywamy to naturalna˛ reprezentacja˛ transformacji Lorentza), L = Lαβ . Rozpisujemy (7): 3 ¡ ¡ 0 ¢2 P ¢2 α=β=0: L 0 − L k 0 = 1, k=1

α=β=i :

3 ¡ ¡ 0 ¢2 P ¢2 L i − L k i = −1, k=1

i = 1, 2, 3.

Stad: ˛ kolumny macierzy (L µ α ) sa˛ składowymi wektorów unormowanych do ±1: µ L 0 – wektor czasowy, L µ i – wektory przestrzenne. Sa˛ to składowe wektorów nowej bazy e˜0 = L µ 0 e µ , e˜i = L µ i e µ . Wektory te sa˛ ortogonalne: η µν L µ α L ν β = η αβ ⇒ macierz (L µ α ) jest macierza˛ ortogonalna˛ wzgl˛edem metryki Minkowskiego, macierzowo L T GL = G. Odwzorowanie składowych dowolnego wektora w bazie {e α }. Niech u = u α e α – dowolny wektor w V4 , Lu := v = v α e α . Wyznaczamy v α : Lu = L(u α e α ) = u α (Le α ) = u α L β α e β = v = v β e β , współczynniki przy e β musza˛ by´c takie same ⇒ v β = u α L β α , czyli v α = Lαβuβ rzy L.

– składowe v α wyra˙zaja˛ si˛e przez składowe wektora u za pomoca˛ macie-

Twierdzenie 8.2. Zbiór L := { L } odwzorowa´n Lorentza jest grupa. ˛ Dowód. Zbiór { L } zawiera macierz jednostkowa˛ I . ∀L istnieje odwzorowanie odwrotne L −1 , det L = ±1 ⇒ det L −1 = (det L)−1 = ±1. Trzeba wykaza´c, z˙ e (7) zachodzi dla L −1 . ¡ ¢−1 Mno˙ze˛ (7) z lewej strony przez L T , a z prawej przez L −1 : ¯ −1 ¡ T ¢−1 ¯ T L · ¯L GL = G ¯ · L ⇒ lewa strona równo´sci: ¡ T ¢−1 T −1 L · L GL · L = IG I = G, a prawa strona jest równa ¡ T ¢−1 −1 ¡ −1 ¢T ¡ ¢T L GL −1 ⇒ razem G = L −1 GL −1 ⇒ macierz L −1 jest macierza˛ GL = L Lorentza. Dowodz˛e, z˙ e (7) zachodzi dla L = ¡ L 2 L 1 , je˙ ¢ zeli zachodzi dla L 1 i L 2 : L T GL = (L 2 L 1 )T GL 2 L 1 = L T1 L T2 GL 2 L 1 = L T1 L T2 GL 2 L 1 = L T1 GL 1 = G. Stad ˛ L – grupa. L – automorfizm V4 : liniowa bijekcja V4 na V4 . L – grupa automorfizmów wektorowej przestrzeni Minkowskiego na siebie.

87

8.3 Transformacje czynne i bierne Poj˛ecie transformacji czynnych i biernych pojawiło si˛e przy omawianiu Programu Erlangenskiego ´ Felixa Kleina (par. 3.2). Relacja mi˛edzy nimi to ogólne zagadnienie z algebry liniowej, geometrii i fizyki. STW nie wnosi tu nic nowego, tylko wymaga s´cisło´sci. Znamy: 1) szczególna˛ transformacj˛e Lorentza pomi˛edzy ró˙znymi IUO. Jest to transformacja bierna = transformacja współrz˛ednych w M4 ; ¡ ¢ 2) odwzorowanie Lorentza L wektorów w wektory w V4 , η µν , Lu = v. Jest to transformacja czynna. W afinicznej czasoprzestrzeni M4 odpowiada jej odwzorowanie punktu p = θ + u w punkt q = θ + v. Okre´slam relacj˛e pomi˛edzy transformacja˛ czynna˛ i bierna. ˛ Jest ona taka sama we wszystkich przestrzeniach wektorowych ⇒ stosuj˛e podej´scie ogólne. Vn – dowolna rzeczywista przestrzen ´ wektorowa, dimVn = n, bez iloczynu skalarnego. Notacja jak w STW. {e α }, α = 1, 2, ..., n – dowolna ustalona baza w Vn . L – wzajemnie jednoznaczne liniowe odwzorowanie (automorfizm) Vn na Vn , Lu = v – transformacja czynna. Ró˙znica poj˛eciowa mi˛edzy transformacjami czynnymi i biernymi: – transformacj˛e czynna˛ (odwzorowanie) definiujemy abstrakcyjnie, piszac ˛ Lu = v, bez u˙zycia bazy (współrz˛ednych), {e α } jest potrzebna tylko do skonstruowa¡ baza ¢ nia reprezentacji macierzowej L α β operatora L, – transformacja bierna jest przekształceniem jednej bazy w druga. ˛ Majac ˛ ustalona˛ baz˛e {e α } najwygodniej jest zdefiniowa´c operator L jego działaniem na wektory bazowe: Le α = L β α e β := e˜α , ¡ β ¢ L α – reprezentacja macierzowa operatora L. wektory e˜α tworza˛ nowa˛ baz˛e, ale z niej nie korzystamy, jedynie na koncu ´ zrobimy komentarz o jej własno´sciach. Je˙zeli u = u α e α i v = v α e α = Lu, to v α = L α β u β – składowe wektorów odwzorowuja˛ si˛e macierza˛ L. Teraz w Vn rozpatrujemy transformacj˛e bierna: ˛ zamian˛e starej (pierwotnej) bazy 0 {e α } na nowa˛ baz˛e e α : 0 eα := T β α e β

0 – wektory e α wyra˙zaja˛ si˛e przez stara˛ baz˛e ¡ ¢T – za pomoca˛ macierzy T α β .

88

¢ ¢ ¡ ¡ 0 eα 6= e˜α – mi˛edzy tymi wektorami nie ma z˙ adnego zwiazku ˛ ⇒ macierze L α β i T α β sa˛ od siebie niezale˙zne. ¡ ¢ Transformacja baz musi by´c odwracalna ⇐⇒ det T α β 6= 0 ⇒ ¡ ¢β e α = T −1 α e β0

– wektory e α wyra˙zaja˛ si˛e przez e β0

¢T ¡ – za pomoca˛ macierzy kontragredientnej T −1 .

Wyznaczam transformacj˛e składowych wektorów u i v oraz reprezentacji macierzo¡ ¢ 0 wej L α β operatora L przy transformacji biernej {e α } → {e α }. ¢ ¡ α 0 0 ⇒ 1) u = u 0α e α = u β e β = u β T −1 β e α ¡ ¢ ¡ ¢α α ⇒ u 0α = T −1 β u β i tak samo v 0α = T −1 β v β . 2) Relacja mi˛edzy starymi składowymi v α nowego wektora v a nowymi składowymi u 0α wyj´sciowego wektora u. u β = T β µ u 0µ ⇒ v α = L α β u β = L α β T β µ u 0µ , oraz ¢α ¡ ¢α ¡ v 0α = T −1 β v β = T −1 β L β µ T µ ν u 0ν . © 0ª ¡ ¢ 3) W nowej bazie e α operator L ma reprezentacj˛e macierzowa˛ L 0 = L 0α β zdefiniowa0 = L 0β α e β0 . na˛ przez Le α

Nast˛epnie wyprowadzam znany z algebry liniowej wzór na transformacj˛e macierzy operatora liniowego przy zmianie T bazy: ¡ ¢ ¡ ¢β 0 Le α = L T µ α e µ = T µ α L ν µ e ν = T µ α L ν µ T −1 ν e β0 , 0 to porównuj˛e z definicja˛ Le α = L 0β α e β0 ⇒

¡ ¢β L 0β α = T −1 ν L ν µ T µ α ⇐⇒ L 0 = T −1 LT. Tak jest, je˙zeli operator odwzorowania L i transformacja baz T sa˛ niezale˙zne. Teraz zakładam zwiazek ˛ mi˛edzy L i T : 0 nowa baza {e α } jest obrazem starej bazy {e α } pod działaniem odwrotnego odwzorowania L: 0 0 eα ≡ L −1 e α ⇐⇒ e α = Le α . 0 Z eα = T βαeβ ⇒

¡ ¢β T β α = L −1 α ⇐⇒ T = L −1

– macierz transformacji biernej jest z definicji – równa macierzy odwrotnej transformacji czynnej.

Konsekwencje. 89

1) Operator L ma t˛e sama˛ reprezentacj˛e macierzowa˛ w starej i nowej bazie: L 0 = T −1 LT = T −1 LL −1 = T −1 I = L,

L 0 = L.

2) Relacja mi˛edzy składowymi v 0α i u 0α w nowej bazie i v α i u α w starej bazie jest taka sama: – albo L 0 = L daje v 0α = L α β u 0β , – albo¡ bezpo´ z ¢ srednio ¡ −1 ¢µ 0ν α β 0ν α 0β β µ 0ν α β 0α −1 α L T u = L L L v = T µ ν µ β νu = L βδ νu = L βu . β 3) Zachodzi "krzy˙zowa" równo´ wektorów u i v: ¡ −1s¢cα´ składowych β α β α α β 0α v = L β u oraz u = T βu = L βu ⇒ v α = u 0α – nowy wektor v = Lu ma w starej bazie takie składowe, jakie ma stary wektor u w nowej bazie. B˛edziemy zawsze zakłada´c, z˙e T = L −1 . Algebra czynnej transformacji L i biernej transformacji T = L −1 jest taka sama, ró˙znia˛ si˛e interpretacja˛ geometryczna. ˛ Ilustrujemy to obrotami na płaszczy´znie. y

Obrót czynny v α+ϕ u

ϕ

α

x

L – obrót czynny wektorów na E2 o kat ˛ +φ. Obrócony wektor v tworzy z osia˛ x kat ˛ α + φ. y 0 Obrót bierny

y

−ϕ u −ϕ

α

x x0 90

T = L −1 – transformacja bierna: obrót układu kartezjanskiego ´ o kat ˛ −φ. Wektor u 0 α 0α tworzy z osia˛ x kat ˛ α + φ – taki jak v z osia˛ x ⇒ v = u . Baza {e˜α }. Dotychczas rozpatrywali´smy© działanie L (transformacja czynna) w bazie ª © −1 operatora ª 0 wyj´sciowej {e α } i w nowej bazie e α = L e α . Operator L definiuje ponadto druga˛ nowa˛ baz˛e {e˜α }, e˜α := Le α = L β α e β . Porównujemy składowe v˜ α wektora v = Lu w bazie {e˜α } ze składowymi u w bazie {e α }: v = v˜ α e˜α = Lu = L(u α e α ) = u α e˜α ⇒ v˜ α = u α – nowy wektor v = Lu ma w bazie {Le α } takie składowe, jak stary wektor u w starej bazie {e α } – na rysunku obracamy wektor u oraz osie x i y o ten sam kat ˛ +φ.

8.4 Przekształcenia czasoprzestrzeni Minkowskiego M4 W afinicznej czasoprzestrzeni M4 rozpatrujemy przekształcenia: ¡ ¢ – transformacje czynne generowane operatorem Lorentza L o macierzy L α β w danej bazie {e α }, ¡ ¢−1 – transformacje bierne = transformacje baz generowane macierza˛ T = L α β . 8.4.1 Transformacje czynne Odwzorowanie M4 na M4 generowane operatorem L to szczególny przypadek odwzorowania afinicznego przestrzeni afinicznej (E ,V4 ) na (E ,V4 ). Odwzorowanie afiniczne f : (E ,V4 ) → (E ,V4 ) definiujemy w danej bazie (θ, {e α }). f jest okre´slone przez swoja˛ warto´sc´ f (θ) oraz macierz odwzorowania liniowego L : V4 na V4 . p ∈ E – punkt przestrzeni bazowej (czasoprzestrzeni), u ∈ V4 – odcinek skierowany. Odwzorowanie f jest afiniczne, je˙zeli ∀p ∈ E i ∀u ∈ V4 jest ¡ ¢ ¡ ¢ f p + u = f p + Lu. W bazie (θ, {e α }) mamy ¡ ¢ p = θ + v p = θ + x αeα,

x α – współrz˛edne p w tej bazie.

91

f (p + u)

Lu

q = f (p) Lv(p) v(q)

p +u

θ0 u

a p

v(p)

θ

Dalej: ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ q ≡ f p = θ + v q = θ + y α q eα, a jednocze´ ¡ ¢ snie: ¡ ¡ ¢¢ ¡ ¢ ¡ ¡ ¢ ¢ q = f p = f θ + v p = f (θ) + Lv p = f (θ) + L x β p e β = = f (θ) + x β Le β = f (θ) + x β L α β e α . f (θ) – obraz punktu bazowego, jest wyznaczony przez θ i pewien wektor a, θ 0 ≡ f (θ) = θ + a = θ + a α e α ,

a – wektor translacji punktu bazowego.

Razem: ¡ ¢ q = θ + y αeα = θ + a + x βLαβeα = θ + aα + x βLαβ eα ⇒ y α = Lαβ x β + aα

¡ ¢ – współrz˛edne nowego punktu q = f p sa˛ liniowymi niejednorod-

nymi funkcjami współrz˛ednych x¡α ¢starego punktu p. ˙ Z rysunku¡ wida´ ˛ ¡ ¢¢ wektor ¢ c, ze punkty ¡p i¢ f ¡p łaczy ¡ ¢ q − p = f p − p =¡ f (θ) +¢ Lv p − θ + v p = (L − I )v p + a, a ¡punkty ˛ wektor ¢ p¡+ u i f¢ p +¡u ¢ łaczy ¡ ¢ ¡ ¢ f p + u − p + u = f p + Lu − p + u = (L − I )u + (L − I )v p + a. Zatem: odwzorowanie afiniczne f : p 7→ q jest wyznaczone przez par˛e (a, L), a = a α e α – wektor translacji, L – macierz odwzorowania V4 na V4 . W przypadku odwzorowan ´ afinicznych M4 na M4 ograniczamy si˛e do odwzorowan´ tetrady Minkowskiego w inne tetrady Minkowskiego ⇒ L – operator Lorentza. 8.4.2 Transformacje bierne Jak wiemy, baza afiniczna (θ, {e α }) jest matematycznym modelem w M4 układu inercjalnego. ¡ ¢ Zakładamy: V4 , η µν – wektorowa przestrzen ´ Minkowskiego (z wybrana˛ orientacja˛ baz i zorientowana czasowo), {e α } – wła´sciwa ortochroniczna tetrada Minkowskiego. Wtedy: θ – wybrany punkt poczatkowy ˛ (bazowy) na linii s´wiata materialnego poczatku ˛ O układu inercjalnego (O to punkt, gdzie przecinaja˛ si˛e pr˛ety wyznaczajace ˛ osie Ox, O y i Oz), 92

x 0 (θ) = 0, o´s czasu = linia s´wiata punktu O, składa si˛e z punktów czasoprzestrzennych p = θ + x 0 e 0 , x 0 = c t , e 0 – styczny do osi czasu, wektory e 1 , e 2 i e 3 w danej chwili t wyznaczaja˛ kierunki osi Ox, O y i Oz. x0

e0

y e2

θ e1 x Zgodnie z poprzednimi rozwa˙zaniami transformacj˛e bierna˛ traktujemy algebraicznie (lecz nie geometrycznie!) jak odwrotno´sc´ transformacji czynnej. Wyznaczamy odwrotna˛ transformacj˛e afiniczna˛ czynna. ˛ Transformacja f jest wyznaczona przez par˛e (a, L), bowiem zgodnie z ogólna˛ definicja˛ mamy dla dowolnego wektora u f (θ + u) = f (θ) + Lu oraz f (θ) = θ + a. Dla a = 0 transformacja odwrotna jest dana para˛ (0, L −1 ) i spodziewamy si˛e, z˙ e gdy wektor translacji punktu bazowego a 6= 0, to transformacja odwrotna b˛edzie okre´slona para˛ (b, L −1 ) z ta˛ sama˛ macierza˛ L −1 . Wyznaczamy wektor b. Poniewa˙z f −1 jest transformacja˛ afiniczna, ˛ wi˛ec −1 f ( f (θ)) = f −1 (θ + a) = f −1 (θ) + L −1 a = θ + b + L −1 a = θ ⇒ b = −L −1 a. Sprawdzam, czy rzeczywi´scie para (−L −1 a, L −1 ) jest transformacja˛ odwrotna˛ f −1 . Niech p = θ + v, wtedy dla dowolnego wektora u mamy f −1 ( f (p + u)) = f −1 ( f (p) + Lu) = f −1 ( f (θ + v) + Lu) = f −1 ( f (θ) + Lv + Lu) = f −1 (θ + a + L(v + u)) = f −1 (θ) + L −1 (a + L(v + u)) = θ − L −1 a + L −1 a + v + u = p + u, zatem odwzorowanie f −1 jest poprawnie okre´slone. 0 Przyjmujemy definicj˛e: transformacja bazy (θ, {e α }) → (θ 0 , {e α }) ma posta´c ¡ ¢β 0 0 eα = T β α e β = L −1 α e β ⇒ e β = L α β e α

oraz

θ 0 = θ − L −1 a. Jak poprzednio przyjmujemy q = f (p) = θ + a + Lv = θ + y α (q)e α , gdzie y α (q) = L αβ x β (p) + a α . W nowej bazie punkt p ma przedstawienie 0 0 , p = θ 0 + x 0α (p)e α = θ + v = θ + x β (p)e β = θ 0 + L −1 a + x β L αβ e α −1 −1 α −1 α 0 α 0 tutaj L a = L (a e α ) = L (a Le α ) = a e α , a stad ˛ współrz˛edne punku p w nowej bazie 93

¡ 0 © 0 ª¢ θ , e α sa˛ równe x 0α (p) = L α β x β + a α . Dostajemy: współrz˛edne y α nowego punktu q w starej bazie (θ, {e α }) (równe składowym wektora a + Lv w tej bazie) sa˛ równe współrz˛ednym starego punktu p w nowej bazie 0 (θ 0 , {e α }), y α = x 0α = L α β x β + a α . Zakładamy ¡

¢ L - operator Lorentza ⇐⇒ L T GL = G.

Wtedy dla a α 6= 0 transformacja bierna to transformacja Poincarégo. Transformacje Poincarégo sa˛ wa˙zne w mechanice kwantowej, dla STW istotne sa˛ transformacje Lorentza y α = x 0α =ª L α β x β . © L := L : L - operator Lorentza – grupa Lorentza. Transformacja Poincarégo: Λ := (a, L) – niejednorodna transformacja Lorentza. Grupa grupa Lorentza): © Poincarégo (niejednorodna ª P := Λ = (a, L) : a ∈ R4 , L ∈ L . Dowodz˛e, z˙ e zło˙zenie dwóch transformacji Poincarégo jest transformacja˛ Poincarégo. Zapis dla wektorów (odcinków skierowanych): x 0 = Λx = Lx + a ⇒ x 0α = L α β x β + a α . Niech x 0 = Λ1 x i x 00 = Λ2 x 0 ⇒ x 00 = Λx = Λ2 Λ1 x = Λ2 (L 1 x + a 1 ) = L 2 (L 1 x + a 1 ) + a 2 = L 2 L 1 x + L 2 a 1 + a 2 ≡ Lx + a ⇒ ⇒ Λ2 Λ1 = (a 2 , L 2 )(a 1 , L 1 ) = (a 2 + L 2 a 1 , L 2 L 1 ) – mno˙zenie transformacji Poincarégo. ¡ ¢ Jest to iloczyn półprosty przemiennej grupy translacji (przesuni˛ec´ o wektor a ∈ V4 , η µν ) i grupy Lorentza L . B˛edziemy rozpatrywa´c tylko jednorodna˛ grup˛e Lorentza: a = 0, P = L = {L}. Dla wygody przyjmiemy interpretacj˛e czynna: ˛ L – grupa automorfizmów czasoprzestrzeni M4 (grupa izomorfizmów M4 na M4 ).

94

9 Grupa Lorentza 9.1 Ogólne własno´sci grupy Lorentza ¡ α ¢ Ma ona naturalna˛ reprezentacj˛e w postaci macierzy Lorentza czwartego stopnia L¢β ¡ działajacych ˛ jako operatory liniowe w wektorowej przestrzeni Minkowskiego V4 , η µν . Poprzednio wykazałem: ¡ ¢ grupa Lorentza jako grupa odwzorowan ´ wektorowej przestrzeni V4 , η µν , czyli odwzorowan ´ zachowujacych ˛ iloczyn skalarny z metryka˛ Minkowskiego, spełnia relacj˛e L T GL = G ⇐⇒ L µ α η µν L ν β = η αβ ,

(8)

L - macierz ortogonalna wzgl˛edem metryki η µν . Wyliczam odwrotn ¯ T ¯ −1a˛ macierz Lorentza: ¯ G · L GL = G ¯ · L , lewa strona G −1 L T GLL −1 = G −1 L T G I = G −1 L T G, prawa strona G −1GL −1 = I L −1 = L −1 ⇒ −1

¡ ¢α L −1 = G −1 L T G ⇐⇒ L −1 β = ηαµ L ν µ η νβ ,

(9)

ten wzór pozwala wyliczy´c L −1 bez stosowania definicji macierzy odwrotnej. Formalnie, stosujac ˛ metryk˛e do przesuwania indeksów w pionie, mo˙zemy napisa´c ¡ −1 ¢α ν µα L = η L η := L β α . Ale zapis L β α dla macierzy Lorentza L −1 jest mylacy ˛ – nie µ βν β b˛edziemy go u˙zywa´c. Poszczególne elementy macierzy L −1 : ¡ −1 ¢0 0µ ν 00 0 0 L 0 = η L µ η ν0 = η η 00 L 0 = L 0 itd., dostajemy ¡

L −1

¢0 0

= L00,

¡

L −1

¢0 i

= −L i 0 ,

¡

L −1

¢i 0

= −L 0 i ,

¡

L −1

¢i j

= Lji.

(10)

Dla dalszych potrzeb wyprowadzam wzór analogiczny do (8), zawierajacy ˛ G −1 zamiast G. W tym celu przekształcam (9): ¯ ¯ L · ¯ L −1 = G −1 L T G ¯ · G −1 , lewa strona LL −1G −1 = G −1 , prawa strona LG −1 L T GG −1 = LG −1 L T , czyli LG −1 L T = G −1 ⇐⇒ L α µ ηµν L β ν = ηαβ . 95

(11)

(8), (9) i (11) – równowa˙zne. Z (8) i (11) ⇒ zwiazki ˛ pomi˛edzy L 0 0 a L i 0 i L 0 i . (8) dla α = β = 0: 3 3 ¡ ¡ ¢2 P ¢2 P L µ 0 η µν L ν 0 = L 0 0 η 00 L 0 0 + L i 0 ηi i L i 0 = L 0 0 − L i 0 = η 00 = 1, i =1

i =1

(11) dla α = β = 0: 3 ¡ ¡ ¢2 P ¢2 L 0 µ ηµν L 0 ν = L 0 0 − L 0 i = η00 = 1 ⇒ podwójny zwiazek ˛ i =1

¡

L00

¢2

= 1+

3 ³ X

Li 0

´2

i =1

= 1+

3 ¡ X ¢2 L 0 i > 1.

(12)

i =1

Równania (8) i (11) sa˛ symetryczne, bo ich transpozycja daje te same równania ⇒ z 16 równan ´ (8) (lub (11)) tylko 10 jest niezale˙znych ⇒ jest 10 niezale˙znych ¢algebraicznych ¡ równan ´ kwadratowych nało˙zonych na 16 elementów macierzy L = L α β . Zatem: macierz L ma 6 dowolnych (niezale˙znych) elementów ⇒ ⇒ zale˙zy od 6 parametrów ⇒ grupa Lorentza ma 6 parametrów. W konsekwencji: transformacja Poincarégo Λ = (a, L) zale˙zy od 10 parametrów: 6 parametrów transformacji Lorentza L i 4 składowych dowolnego wektora translacji a = a µ e µ . Geometrycznie: dowodzi si˛e, z˙ e czasoprzestrzen ´ Minkowskiego M4 ma najwi˛eksza˛ mo˙zliwa, ˛ tj. 10-parametrowa˛ grup˛e symetrii (automorfizmów): 4 translacje i 6 obrotów w 2-płaszczyznach x α x β , czyli w płaszczyznach x 0 x 1 , x 0 x 2 , x 0 x 3 , x 1 x 2 , x 1 x 3 , x 2 x 3 – fizycznie sa˛ to 3 obroty w przestrzeni oraz 3 składowe pr˛edko´sci wzgl˛ednej V.

9.2 Składowe grupy Lorentza Grup˛e Lorentza mo˙zna potraktowa´c jako przestrzen ´ topologiczna˛ — ka˙zdy element grupy, czyli operator L, jest punktem pewnej przestrzeni topologicznej. W tym celu elementy L α β macierzy L ustawiamy w uporzadkowany ˛ ciag ˛ 16 elementów i traktujemy je jak współrz˛edne kartezjanskie ´ w przestrzeni euklidesowej E16 . Poniewa˙z elementy macierzy L spełniaja˛ 10 równan ´ L T GL = G, wi˛ec macierze-punkty Lorentza tworza˛ w E16 6-wymiarowa˛ hiperpowierzchni˛e L przedstawiajac ˛ a˛ geometrycznie grup˛e Lorentza. 96

Zbiorami otwartymi w E16 sa˛ 16-wymiarowe kule otwarte i przeci˛ecia (cz˛es´ci wspólne) tych kul z L tworza˛ zbiory otwarte w przestrzeni topologicznej L - dostajemy topologi˛e indukowana˛ w tej przestrzeni. Grupa Lorentza jako ta przestrzen ´ nie jest spójna – składa si˛e z 4 rozłacznych ˛ cz˛es´ci. L T GL = G ⇒ (det L)2 = +1 ⇒ det L = ±1. Mamy dwie rozłaczne ˛ cz˛es´ci (składowe) grupy: det L = +1 i det L = −1. Ka˙zda z nich rozpada si˛e z kolei na dwie rozłaczne ˛ składowe: (12) ⇒

¡

L00

¢2

> 1 czyli L 0 0 > +1 lub L 0 0 6 −1.

Pełna grupa Lorentza L rozpada si˛e na 4 rozłaczne ˛ podzbiory (składowe grupy): ↑ 0 L + : det L = +1 i L 0 > 1 – wła´sciwa ortochroniczna, oznaczana SO + (1, 3), L +↓ : det L = +1 i L 00 6 −1 – wła´sciwa antychroniczna, L −↑ : det L = −1 i L 00 > 1 – niewła´sciwa ortochroniczna, L −↓ : det L = −1 i L 00 6 −1 – niewła´sciwa antychroniczna. Twierdzenie 9.1. Z tych czterech spójnych składowych tylko zbiór L +↑ stanowi grup˛e – jest to wła´sciwa ortochroniczna grupa Lorentza, zachowujaca ˛ orientacj˛e czasowa˛ wektorów kauzalnych i orientacj˛e baz wektorowych. Dowód. Macierz jednostkowa I (element jednostkowy grupy macierzy) ma det I = 1 oraz I 0 0 = +1 ⇒ I ∈ L +↑ , a pozostałe 3 składowe L nie sa˛ grupami. Dowodz˛e, z˙ e L +↑ jest grupa. ˛ Niech A, B ∈ L +↑ i niech L = AB . Wtedy det(AB ) = det A det B = +1. Wyka˙ze˛ , z˙ e L 0 0 > 1. Obliczam: ¯ ¯ 3 3 ¯P ¯ P 0 0 µ 0 0 0 i 0 0 0 i ¯ ¯ L 0 = A µB 0 = A 0B 0 + A i B 0 > A 0 B 0 − ¯ A i B 0 ¯. i =1

i =1

Elementy A 0 i i B i 0 definiuja˛ w E3 dwa wektory o składowych kartezjanskich ´ ¡ 0 ¢ macierzowe ¡ i ¢ A = A i , B = B 0 . Ich iloczyn skalarny spełnia nierówno´sc´ #1/2 ¯ ¯ · ¸ " ¯P 0 i ¯ ¯ 2 ¯1/2 ¯ 2 ¯1/2 ¡ 0 ¢2 1/2 P ¡ j ¢2 P |A · B| = ¯¯ A i B 0 ¯¯ 6 ¯A ¯ ¯B ¯ ≡ A i B 0 . i

i

j

Zatem:

#1/2 ¯ ¯ · ¸1/2 " ¯ ¯ ¡ ¢ ¡ ¢ P P P 2 2 L 0 0 > A 0 0 B 0 0 − ¯¯ A 0 i B i 0 ¯¯ > A 0 0 B 0 0 − A0i Bj0 = i i j ½ ¾ h¡ i1/2 h¡ i1/2 ¢2 ¢2 P ¡ i ¢2 P ¡ 0 ¢2 ¡ 0 ¢ L 0 = L i = L 0 − 1 = A00B 00 − A00 − 1 B 00 − 1 > 0, = z (12): i

i

97

bo A 0 0 > 0 i B 0 0 > 0. ¯ ¯ Dla macierzy Lorentza ¯L 00 ¯ > 1, wi˛ec L 0 0 > 0 implikuje L 0 0 > +1 ⇒ L = AB ∈ L +↑ . ¢0 ¡ Niech L ∈ L +↑ . Dla macierzy L −1 mamy det L −1 = (det L)−1 = +1 oraz z (10) ⇒ L −1 0 = L 0 0 > 1 ⇒ L −1 ∈ L +↑ . ¢ ¢β ¡ ¡ 0 Operator L transformacji czynnej generuje transformacj˛e bazy e α = L −1 α e β , det L −1 = 0 det L = +1 ⇒ bazy {e α } i {e α } maja˛ t˛e sama˛ orientacj˛e. W koncu ´ dowodz˛e, z˙ e ka˙zda L ∈ L +↑ zachowuje orientacj˛e czasowa˛ wektorów kauzalnych. Niech {e α } – tetrada wła´sciwa ortochroniczna, niech u – kauzalny i u 0 > 0, niech v = Lu. Trzeba dowie´sc´ , z˙ e v 0 > 0.¡ ¢ ¡ ¢ W E3 mamy dwa 3-wektory: u = u i oraz L = L 0 i . Dla ich iloczynu mamy nierówno´sc´ #1/2 · ¯ ¯ · ¸ " ¸ ¯P 0 i ¯ ¡ 0 ¢2 1/2 P ¡ j ¢2 P P ¡ 0 ¢2 1/2 ¯ ¯ |L · u| = ¯ L i u ¯ ≤ |u|. L i = L i u i

i

i

j

Zatem:

· ¸ ¯ 0 i¯ P ¡ 0 ¢2 1/2 0 0 ¯ ¯ |u| = {z (12)} = v = L βu = L 0u + L i u > L 0u − L i u > L 0u − L i i i1/2 h¡ ¢ i1/2 h¡ ¢ 2 2 |u| > L 0 0 u 0 − L 0 0 − 1 u 0 > 0, bo u 0 > 0. L00u0 − L00 − 1 0

0

β

0

0

0

i

0

0

Dostali´smy v 0 > 0. Na ogół: L 1 L 2 6= L 2 L 1 – grupa nieprzemienna. L +↑ – 6-parametrowa podgrupa (spójna) grupy Lorentza. Jest to podgrupa ciagła: ˛ dowolny jej element mo˙zna zbudowa´c za pomoca˛ składania odwzorowan ´ infinitezymalnych. L = (I + ²A 1 )(I + ²A 2 )...(I + ²A n )...,

n → ∞,

|²| ¿ 1.

Badam macierz A w infinitezymalnym operatorze Lorentza L = I +²A. Z dokładnos´cia˛ do wyrazów liniowych ¡ w ² fundamentalna ¢ ¡ relacja ¢dla operatora L jest T + ²A) = I + ²A G = (I + ²A)T G(I + ²A) =¡ I + ²A T G(I (G + ²G A) ∼ = ¢ T T G + ²G A + ²A G = G + ² G A + A G ⇒ ⇒ G A + A T G = 0 ⇐⇒ η αµ A µ β + A µ α η µβ = 0 – macierz A jest antysymetryczna wzgl˛edem metryki η µν : je˙zeli w A µ β obni˙zy´c indeks metryka, ˛ A αβ := η αµ A µ β , to A 0 0 = 0,

A 0 i = +A i 0 ,

A αβ + A βα = 0. Dla składowych mieszanych: A i j = −A j i .

9.3 Dyskretne transformacje Lorentza Transformacje grupy L +↑ sa˛ ciagłe: ˛ ka˙zda transformacja zale˙zy od 6 lub mniej cia˛ głych parametrów i mo˙zna ja˛ zbudowa´c składajac ˛ transformacje infinitezymalne zaczynajac ˛ od L = I . Teraz przechodz˛e do omawiania wszystkich 4 rozłacznych ˛ składowych 98

grupy L . Wia˙ ˛za˛ si˛e z nimi dyskretne transformacje Lorentza: transformacje Lorentza, które nie zale˙za˛ od parametru zmieniajacego ˛ si˛e w sposób ciagły. ˛ Zale˙za˛ one od parametrów, które przyjmuja˛ tylko kilka warto´sci (łacinskie ´ discretus – rozłaczny, ˛ nieciagły). ˛ Sa˛ 3 ró˙zne dyskretne transformacje Lorentza. 1) Odbicia (inwersje) przestrzenne:   1 0 0 0  −1  ¡ ¢ ¡ ¢ ¢ 0 0 ¡ α ¢ ¡ 0 P : x 0 , x → x 0 , −x , P =   = P β = η αβ , 0 0 −1 0  0 0 0 −1 Mo˙zliwa jest te˙z inwersja przestrzenna w jednej osi, np. w osi x:  1  −1 ¡ 0 1 2 3¢ ¡ 0 ¢  P x : x , x , x , x → x , −x 1 , x 2 , x 3 , P x =  1 

P = P −1 i P 2 = I .



1

  , 

P x2 = I .

2) Odbicie (inwersja) w czasie:

¡ ¢ T : x 0 , x → (−x 0 , x),

 −1  ¢  ¡ 1 T = T αβ =  1 

3) Odbicie czasoprzestrzenne: ¡ ¢ ¡ ¢ P T : x 0 , x → −x 0 , −x ,



1

 ¡ ¢   = −η αβ , 

P T = T P = −I ,

T = T −1 i T 2 = I .

(P T )2 = I .

Grupa L ma 4 składowe spójne, z których 3: L +↓ , L −↑ i L −↓ nie tworza˛ grupy. Te 3 składowe mo˙zna wygenerowa´c z grupy L +↑ za pomoca˛ transformacji dyskretnych. Niech np. L ∈ L −↓ . Macierz T L ma det(T L) = +1 oraz (T L)0 0 = −L 0 0 > +1 ⇒ T L ∈ L +↑ . T −1 = T ⇒ T (T L) = L ∈ L −↓ – zatem T jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym L +↑ → L −↓ , piszemy T L +↑ = L −↓ . Podobnie: L −↑ = P L +↑ ,

L +↓ = P T L +↑ .

Grupa L jest suma˛ mnogo´sciowa˛ swoich składowych: L = L +↑ ∪ L +↓ ∪ L −↑ ∪ L −↓ = L +↑ ∪ P T L +↑ ∪ P L +↑ ∪ T L +↑ . 99

Z tych składowych mo˙zna zbudowa´c, oprócz spójnej grupy L +↑ , 3 niespójne 6-parametrowe podgrupy grupy Lorentza:

L0

L +↑

L −↑

L↑

L −↓

L +↓

L+

L + = L +↑ ∪L +↓ – wła´sciwa grupa Lorentza, mo˙ze zmienia´c kierunek czasu, oznaczana SO(1, 3), L ↑ = L +↑ ∪ L −↑ – ortochroniczna grupa Lorentza, zachowuje kierunek czasu, L 0 = L +↑ ∪¡L −↓¢ – ortochoryczna grupa Lorentza, transformacje zachowuja˛ znak obj˛eto´sci, tj. det L i j > 0. W fizyce klasycznej (niekwantowej) sens fizyczny ma tylko grupa L +↑ , natomiast transformacje dyskretne P , T i P T graja˛ wa˙zna˛ rol˛e w kwantowej teorii pola.

9.4 Małe grupy Teraz rozpatruj˛e podgrupy grupy L +↑ zale˙zne od mniej ni˙z 6 ciagłych ˛ parametrów. Sa˛ one zdefiniowane własno´scia, ˛ i˙z wybrany ustalony wektor k ∈ V4 jest ich wektorem własnym: podgrupa H składa si˛e z takich operatorów L, z˙ e k jest wektorem własnym ka˙zdego z nich do warto´sci własnej λ = +1, n o H = L ∈ L +↑ : Lk = k . Mo˙zna dowie´sc´ , z˙ e ka˙zdy operator L ∈ L +↑ ma podwójna˛ warto´sc´ własna˛ +1 (a niektóre operatory, takie jak szczególnej transformacji Lorentza, maja˛ jeszcze 2 inne warto´sci własne). Dowiedziemy w szczególnym przypadku, z˙ e je˙zeli wybrany wektor k jest czasowy (tak jest np. dla operatorów b˛edacych ˛ obrotami przestrzennymi, zob. dalej), to odpowiada mu warto´sc´ własna λ = +1. Dowód. Niech k – czasowy i niech Lk = λk. L – operator Lorentza ⇒ (Lk) · (Lk) = (λk) · (λk) = λ2 k · k = k · k ⇒ λ2 = 1. L zachowuje orientacj˛e czasowa˛ wektorów czasowych (ogólniej - kauzalnych) ⇒ λ = +1. Teraz dowodz˛e, z˙ e zbiór H jest rzeczywi´scie grupa. ˛ Twierdzenie 9.2. Zbiór H = {L} transformacji Lorentza, dla których ustalony wektor k (czasowy, przestrzenny lub zerowy) jest wektorem własnym do warto´sci λ = 1, tworzy grup˛e. 100

Dowód. H zawiera operator jednostkowy (to˙zsamo´sc´ ) I . Niech L 1 k = k i L 2 k = k. Wtedy L 2 L 1 k = L 2 k = k. Dla macierzy odwrotnej mamy L −1 · | Lk = k,

L −1 Lk = k = L −1 k.

Ka˙zda˛ taka˛ podgrup˛e nazywamy mała˛ grupa˛ grupy Lorentza L +↑ . W teorii grup u˙zywa si˛e nazwy grupa izotropii. Je˙zeli k – wektor własny małej grupy H , to jest nim te˙z ak, a 6= 0: L(ak) = aLk = ak. Wniosek: wektory własne danej małej grupy tworza˛ 1-wymiarowa˛ podprzestrzen ´ liniowa˛ wektorów własnych, zwana˛ te˙z podprzestrzenia˛ wektorów niezmienniczych, W := {ak : Lk = k, a ∈ R} ⊂ V4 . Mała˛ grup˛e mo˙zna te˙z zdefiniowa´c z˙ adaniem, ˛ by jej wektory własne tworzyły 2-wymiarowa˛ podprzestrzen ´ liniowa˛ – dostajemy wtedy boosty. 3 najwa˙zniejsze małe grupy: obroty przestrzenne, boosty i obroty zerowe.

9.5 Obroty przestrzenne Niech k – dowolny wektor czasowy. Definicja 9.1. Obrotem przestrzennym nazywamy ka˙zda˛ transformacj˛e Lorentza L taka, ˛ z˙e Lk = k, k - ustalony wektor czasowy. k ·k = a 2 > 0. Bior˛e wektor jednostkowy e 0 := ± a1 k skierowany w przyszło´sc´ . Uzupełniam go trójka˛ ortonormalnych wektorów przestrzennych e i : e i ·e j = −δi j , e 0 ·e i = 0, do wła´sciwej ortochronicznej tetrady Minkowskiego {e α } – takich tetrad jest niesko ´ ¡ α ¢ nczenie wiele. W wybranej tetradzie obrót L jest reprezentowany przez macierz L β , Le α := eeα = L β α e β , {e e α } – nowa tetrada Minkowskiego. Elementy tej macierzy dostajemy z relacji i 0 i ee0 = Le 0 = L 0 0 e 0 + ¡ L0 0 e i = ej0 ⇒¢ L 00= 1, i L 0 = 0 0 oraz ee0 · eei = e 0 · L i e 0 + L i e j = L i + 0 = 0 ⇒ L i = 0. Macierz obrotu przestrzennego oznaczamy przez R, ma ona posta´c   1 0 0 0 0    L≡R = . R ij  0 0 101

Macierz R działajac ˛ na wektory przestrzenne e i daje ich kombinacj˛e liniowa, ˛ Re i = R α i e α = R 0 i e 0 + R k i e k = R k i e k , zatem hiperpłaszczyzna S 3 = {c 1 e 1 + c 2 e 2 + c 3 e 3 } jest niezmiennicza wzgl˛edem obrotów R: je˙zeli u ∈ S 3 to Ru ∈ S 3 . Podprzestrzeni niezmienniczej wzgl˛edem obrotów nie nale˙zy myli´c z podprzestrzenia˛ wektorów niezmienniczych, czyli podprzestrzenia˛ wektorów własnych obrotów, W = {ce 0 , c ∈ R}. Relacja ortogonalno´sci dla R, R µ α η µν R ν β = η αβ : - dla αβ = α0 jest spełniona to˙zsamo´sciowo, - dla αβ = i j daje R m i δmn R n j = δi j . Wprowadzam macierz obrotu euklidesowego R (3) w E3 : R i(3) := −η i α R α j = +R i j . j Stad: ˛ R m i δmn R n j =

P m,n

(3) R mi δmn R n(3)j = δi j , czyli 3 X m=1

¢T ¡ (3) (3) R mi R m j = δi j ⇐⇒ R (3) R (3) = I .

³ ´ ¡ ¢ R ∈ L +↑ ⇒ det R i j = det R i(3) = det R (3) = +1. j Macierz R (3) jest ortogonalna wzgl˛edem metryki δi j przestrzeni E3 (współrz˛edne kartezjanskie) ´ ⇒ jest macierza˛ obrotu w E3 . Grupa obrotów wła´sciwych przestrzeni euklidesowej E3 : n o ¢T ¡ SO(3) := R (3) : R (3) R (3) = I oraz det R (3) = +1 . Odwzorowanie   1 0 0 0 0    7 R (3) R =  → R ij 0  0

jest podgrupy obrotów przestrzennych ¡ izomorfizmem ¢ w V4 , η µν na grup˛e obrotów SO(3) w E3 .

W tym sensie zwykłe obroty tworzace ˛ SO(3) stanowia˛ podgrup˛e grupy L +↑ – geometrycznie jest to oczywiste. Uwaga. W E3 mamy te˙z obroty niewła´sciwe, dla których det R (3) = −1, one nie tworza˛ grupy (nie obejmuja˛ I ) i nie wchodza˛ w skład L +↑ . 102

9.6 Boosty (pchni˛ecia) Jest to specyficzna mała grupa Lorentza zło˙zona z “czystych” transformacji Lorentza mi˛edzy ró˙znymi IUO. Przy odpowiednio dobranej bazie {e α } w wektorowej przestrzeni Minkowskiego sprowadzaja˛ si˛e one do szczególnych transformacji Lorentza. Definicja boostu jest geometryczna. Boosty ró˙znia˛ si˛e od pozostałych małych grup Lorentza: ich przestrzen ´ wektorów własnych jest 2-wymiarowa. Definicja 9.2. Boostem (pchni˛eciem) nazywamy taka˛ transformacj˛e B ∈ L +↑ , której wektory własne tworza˛ 2-wymiarowa˛ podprzestrzen ´ liniowa˛ wektorów przestrzennych S 2 : ∀k ∈ S 2 : Bk = k, k · k < 0 i dim S 2 = 2. Definicja ta opiera si˛e na fakcie, z˙ e szczególna transformacja Lorentza wzdłu˙z osi Ox nie zmienia współrz˛ednych y i z. Dobieramy (niejednoznacznie) tetrad˛e Minkowskiego {e α } tak, by S 2 była rozpi˛eta na wektorach e 2 i e 3 , S 2 = {c 1 e 2 + c 2 e 3 , c 1 , c 2 ∈ R}. T2

e0 e1

S2

e2

e3

V4

2-płaszczyzna T2 rozpi˛eta na wektorach e 0 i e 1 jest ortogonalna do S 2 : ∀k ∈ S 2 i ∀u ∈ T2 jest k · u = 0. Twierdzenie 9.3. Płaszczyzna czasowa T2 jest niezmiennicza wzgl˛edem boostu B : ∀u ∈ T2 zachodzi Bu ∈ T2 . Dowód. B zachowuje iloczyny skalarne, wi˛ec ∀k ∈ S 2 i ∀u ∈ T2 mamy (Bk) · (Bu) = k · u = 0, a jednocze´snie (Bk) · (Bu) = k · (Bu). Poniewa˙z zachodzi k · (Bu) = 0 dla ka˙zdego k i Bu 6= 0 (dla u 6= 0) ⇒ Bu ∈ T2 . Przy tym doborze tetrady {e α } mamy Twierdzenie 9.4. Boost B jest szczególna˛ transformacja˛ Lorentza w kierunku e 1 (czyli wzdłu˙z osi Ox 1 ).

103

Dowód. Jest to kolejne wyprowadzenie szczególnej transformacji Lorentza. Oznaczam: a, b = 0, 1 oraz i , j = 2, 3, Zatem B e i = e i oraz B e a ∈ T2 . W tej bazie {e α } boost ma reprezentacj˛e macierzowa˛   B 00 B 01 0 0 ¶ µ ¶  µB a ¡ α ¢  0 1 0 B 1 0 B 1 1 0 0 b B β = , I2 = . = 0 1 0 I2 0 1 0  0 0 0 0 1 Rozpisuj˛e warunek B µ α η µν B ν β = η αβ . Równania sa˛ nietrywialne dla α, β = 0, 1 ⇒ sa˛ 3 równania na 4 niewiadome B a b : ¡ ¢2 ¡ ¢2 ¡ ¢2 αβ = 00 : B µ 0 η µν B ν 0 = B 0 0 η 00 B 0 0 + B i 0 η i j B j 0 = B 0 0 + B 1 0 η 11 B 1 0 = B 0 0 − B 1 0 = 1, (a) αβ = 01 : B µ 0 η µν B ν 1 = B 0 0 η 00 B 0 1 +B i 0 η i j B j 1 = B 0 0 B 0 1 +B 1 0 η 11 B 1 1 = B 0 0 B 0 1 −B 1 0 B 1 1 = 0, (b) ¡ ¢2 ¡ ¢2 ¡ ¢2 αβ = 11 : B µ 1 η µν B ν 1 = B 0 1 η 00 B 0 1 + B i 1 η i j B j 1 = B 0 1 + B 1 1 η 11 B 1 1 = B 0 1 − B 1 1 = −1. (c) (a) ⇒ B 0 0 = cosh ψ, B 1 0 = sinh ψ, ψ ∈ R. (b) ⇒ B 0 1 cosh ψ − B 1 1 sinh ψ = 0 ⇒ B 0 1 = B 1 1 tanh ψ. ¡ ¢2 ¡ ¢2 ¡ ¢2 ¡ ¢ (c) ⇒ B 1 1 tanh ψ − B 1 1 = −1, B 1 1 tanh2 ψ − 1 = −1, ¡ 1 ¢2 B 1 = cosh2 ψ ⇒ B 1 1 = ² cosh ψ i B 0 1 = ² sinh ψ, ² = ±1. Wyznacznik: det B = +1 = B 0 0 B 1 1 − B 0 1 B 1 0 = ² cosh2 ψ − ² sinh2 ψ ⇒ ² = +1. Dostajemy szczególna˛ transformacj˛e Lorentza w kierunku e 1 : µ ¶ ¡ a ¢ cosh ψ sinh ψ B b = = L S (−ψ), B 00 > 1. sinh ψ cosh ψ Wniosek: zbiór boostów o tej samej podprzestrzeni S 2 wektorów własnych stanowi 1-parametrowa˛ mała˛ grup˛e, parametrem jest kat ˛ hiperboliczny ψ. Jest to grupa addytywna, a wi˛ec przemienna: ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¡ ¢¢ B ψ2 B ψ 1 = B ψ1 + ψ2 = L S − ψ 1 + ψ2 . Je˙zeli boosty interpretowa´c jako transformacje bierne mi˛edzy ró˙znymi IUO, to sa˛ to szczególne transformacje Lorentza wzdłu˙z wspólnej osi x z pr˛edko´scia˛ wzgl˛edna˛ V = c tgh(−ψ) – transformacja bierna jest odwrotna do transformacji czynnej. 104

Ustalona tetrada {e α } wyznacza 3 małe grupy boostów: grupy boostów w kierunku wektorów e 1 , e 2 i e 3 . Geometrycznie sa˛ to obroty hiperboliczne w płaszczyznach x 0 x 1 , x 0 x 2 i x 0 x 3 . Stad: ˛ zbiór wszystkich boostów, czyli połaczenie ˛ tych 3 małych grup (to nie ↑ jest podgrupa w L + !) jest zbiorem 3-parametrowym. Poprzednio widzieli´smy: grupa obrotów przestrzennych {R} jest izomorficzna z grupa˛ SO(3) obrotów euklidesowych wła´sciwych. Ka˙zdy obrót wła´sciwy w E3 mo˙zna zło˙zy´c z obrotów w płaszczyznach x y, y z i zx ⇒ grupa SO(3) jest 3-parametrowa ⇐ to wynika te˙z z relacji ortogonalno´sci ¡ (3) ¢T (3) R = I. R L +↑ – grupa 6-parametrowa. Ka˙zda˛ transformacj˛e L mo˙zna zło˙zy´c z obrotów w 6 2płaszczyznach w M4 : – 3 obrotów hiperbolicznych w płaszczyznach x 0 x 1 , x 0 x 2 , x 0 x 3 , – 3 obrotów euklidesowych w płaszczyznach x 1 x 2 , x 2 x 3 , x 3 x 1 . 6 parametrów grupy L +↑ mo˙zemy uto˙zsami´c z 3 katami ˛ obrotów i 3 składowymi pr˛edko´sci wzgl˛ednej V mi˛edzy IUO. Składanie ogólnej transformacji L z tych 6 małych grup jest skomplikowane i nie omawiam go. Małe grupy obrotów {R} i boostów {B } zawieraja˛ operator jednostkowy I . Czy jest to jedyny element wspólny obu tych grup? Twierdzenie 9.5. Małe grupy obrotów {R} i mała grupa boostów {B } maja˛ jako jedyny element wspólny operator jednostkowy I . Dowód. Niech istnieje boost b˛edacy ˛ obrotem przestrzennym, B = R, z czasowym wektorem własnym k, Rk = k i podprzestrzenia˛ S 2 przestrzennych wektorów własnych. Sa˛ dwie mo˙zliwo´sci. 1) Wektor k jest ortogonalny do S 2 : ∀u ∈ S 2 , k · u = 0 i Bu = u. Dobieram tetrad˛e Minkowskiego {e α } tak, z˙ e k = ae 0 , a 6= 0 i S 2 jest rozpi˛ete na e 2 i e 3 . Jak wiemy, wtedy macierze R i B maja˛ posta´c:     1 0 0 0 cosh ψ sinh ψ 0 0 0       sinh ψ cosh ψ 0 0 R =  i B = . R ij 0 1 0 0   0 0 0 0 1 0 R = B ⇒ cosh ψ = 1 i

sinh ψ = 0 ⇒ R = I = B.

2) Wektor k nie jest ortogonalny do S 2 . Dobieram tetrad˛e {e α } tak, z˙ e S 2 jest rozpi˛eta na wektorach e 2 i e 3 i k = λ(e 0 + ae 3 ). k · k > 0 ⇒ a 2 < 1. Dla wygody kład˛e λ = 1. W tej 105

bazie operator B ma macierz jak wy˙zej, a wektor k ma składowe   1   0 k α =  . Obliczam w tej bazie działanie obrotu R na k: 0 a        cosh ψ sinh ψ 0 0 1 cosh ψ 1         sinh ψ cosh ψ 0 0 0   sinh ψ  0 Rk = Bk =    =  =k =  ⇒ 0 1 0 0   0   0 0 0 0 0 1 a a a ⇒ cosh ψ = 1 i

sinh ψ = 0.

Innymi słowy: jedynym boostem, który jest jednocze´snie obrotem przestrzennym, jest odwzorowanie jednostkowe (to˙zsamo´sc´ ). Boosty i obroty przestrzenne sa˛ wyró˙znione w´sród małych grup Lorentza nie tylko ich prosta˛ interpretacja˛ fizyczna, ˛ lecz równie˙z tym, z˙ e dowolna˛ transformacj˛e Lorentza mo˙zna przedstawi´c jako ich iloczyn. Twierdzenie 9.6. Ka˙zda wła´sciwa ortochroniczna transformacja Lorentza L ∈ L +↑ daje si˛e jednoznacznie przedstawi´c jako zło˙zenie boostu i obrotu przestrzennego, L = B R, ta faktoryzacja zale˙zy od wyboru wektora czasowego e 0 definiujacego ˛ mała˛ grup˛e obrotów, Re 0 = e 0 . Dowód. Niech e 0 – dowolny wybrany wektor czasowy (jednostkowy), L – dowolny operator Lorentza. L działajac ˛ na e 0 daje e 00 := Le 0 . L zachowuje iloczyny skalarne ⇒ sa˛ dwie mo˙zliwo´sci: 1) Le 0 = e 0 ⇒ L = R – obrót przestrzenny, kładziemy B = I – twierdzenie jest słuszne. 2) e 00 – wektor czasowy liniowo niezale˙zny od e 0 . Rozpatrujemy ten przypadek. © ª Wprowadzam płaszczyzn˛e czasowa˛ T2 := ae 0 + be 00 , a, b ∈ R . Ta płaszczyzna wyznacza 2-wymiarowa˛ płaszczyzn˛e S 2 wektorów przestrzennych, która jest ortogonalna do T2 : ∀u ∈ T2 i ∀k ∈ S 2 , u · k = 0 i k · k < 0.

106

Nast˛epnie wprowadzam mała˛ grup˛e boostów, dla której płaszczyzna S 2 jest podprzestrzenia˛ liniowa˛ wektorów własnych: dla ka˙zdego B z tej małej grupy i ∀k ∈ S 2 : Bk = k. Ta mała grupa jest 1-parametrowa: jest nim kat ˛ hiperboliczny ψ. Okre´slony boost z tej małej grupy zadajemy jednoznacznie wybierajac ˛ warto´sc´ ψ, albo zadajac ˛ wynik działania tego boostu na 1 wektor z V4 . Przyjmujemy: boost B jest zdefiniowany równaniem B e 0 := Le 0 . B – zdefiniowany jednoznacznie. Dalej definiuj˛e operator R := B −1 L. Aby ustali´c jego własno´sci, obliczam Re 0 = B −1 Le 0 = B −1 B e 0 = e 0 ⇒ R – obrót przestrzenny. Zatem: B R = B B −1 L = L. Dowodz˛e jednoznaczno´sci tej faktoryzacji. Niech L = B R = B 1 R 1 . Przekształcam t˛e równo´sc´ : B 1−1 · | B R = B 1 R 1 | · R −1 ⇒ B 1−1 B = R 1 R −1 – obrót przestrzenny niezmieniajacy ˛ e 0 jest −1 równy B 1 B. Boosty B i B 1 maja˛ t˛e sama˛ podprzestrzen ´ wektorów własnych S 2 ⇒ nale−1 z˙ a˛ do tej samej małej grupy ⇒ B 1 B – boost. Boost jest obrotem ⇒ B 1−1 B = I = R 1 R −1 ⇒ B 1 = B i R 1 = R. Uwaga. Obroty przestrzenne i boosty sa˛ zdefiniowane geometrycznie za pomoca˛ swoich wektorów własnych. Maja˛ one sens fizyczny obrotów w 3-wymiarowej przestrzeni fizycznej i szczególnych transformacji Lorentza tylko dla tego obserwatora inercjalnego, którego o´s czasu (czyli jego linia s´wiata) jest styczna do e 0 , gdzie Re 0 = e 0 i wektor e 0 jest ortogonalny do płaszczyzny S 2 wektorów własnych boostów.

9.7 Obroty zerowe Jest to mała grupa L N grupy L +↑ majaca ˛ jako wektor własny ustalony wektor zerowy k : Z ∈ L N i k ·k = 0 ⇒ Z k = k. Faktycznie mamy 1-wymiarowa˛ podprzestrzen ´ liniowa˛ wektorów własnych, © ª W := ak : k - ustalony wektor, k · k = 0, a ∈ R = N

– promien ´ s´wietlny.

Ta mała grupa ma specyficzne własno´sci – nie omawiam jej.

107

10 Relatywistyczna niezmienniczo´sc´ praw fizyki Mieli´smy zasad˛e wzgl˛edno´sci Galileusza-Einsteina, czyli Zasad˛e Niezmienniczo´sci Praw Fizyki: Fundamentalne równania fizyki sa˛ form-inwariantne wzgl˛edem transformacji mi˛edzy ró˙znymi IUO. Postulat STW: Fundamentalne równania fizyki sa˛ form-inwariantne wzgl˛edem transformacji Lorentza, czyli sa˛ relatywistycznie kowariantne. Kowariantno´sc´ – to współzmienniczo´sc´ tensorowa równan ´ przy transformacjach współrz˛ednych w czasoprzestrzeni. Wiemy: równania Lagrange’a mechaniki klasycznej sa˛ form-inwariantne (czyli współzmiennicze) wzgl˛edem transformacji Galileusza. Teorie relatywistycznie niezmiennicze: mechanika relatywistyczna, elektrodynamika Maxwella. Rozpatruj˛e elektrodynamik˛e. Poprzednio widzieli´smy: 3-wektory (zdefiniowane w przestrzeni wyznaczonej przez wybrany IUO) transformuja˛ si˛e w skomplikowany sposób przy transformacjach Galileusza i Lorentza. Ogólna zasada: wszystkie wielko´sci fizyczne opisujemy skalarami, wektorami i tensorami w M4 . W M4 wybieramy pewna˛ baz˛e afiniczna˛ (θ, {e α }), która definiuje IUO, czyli wprowadza foliacj˛e M4 przestrzeniami fizycznymi tego układu. Wektory e 1 , e 2 i e 3 wyznaczaja˛ w ka˙zdej chwili przestrzen ´ tego układu i definiuja˛ jednoznacznie 3-wektory e1 , e2 , e3 tworzace ˛ baz˛e w tej przestrzeni: ka˙zdy 3-wektor w w przestrzeni ma posta´c w = w 1 e1 + w 2 e2 + w 3 e3 ≡ w¡ i~ bi¢. Wektory w przestrzeni traktujemy jak wektory kontrawariantne: w ↔ w i . δi j - metryka przestrzeni ⇒ w i = δi j w j = w i – składowe kowariantne sa˛ równe składowym kontrawariantnym. Ró˙zniczka funkcji: df =

∂f ∂x i

µ

i

dx = ∇ f · d~x ⇒ wektor gradientu ma składowe ∇ f =

108

∂f ∂x

¶ . i

Piszemy w skrócie

∂f ∂x i

≡ ∂i f

⇒ d f = ∂i f dx i . ³ ´ ¡ ¢ w µ = w 0, w , w = w i . ³ ´ w µ = (w 0 , w i ) = w 0 , −w i = (w 0 , −w).

W M4 dowolny wektor w = w µ e µ zapisujemy Składowe kowariantne tego wektora: ∂f

Ró˙zniczka funkcji f (x α ) : d f = ∂x µ dx µ , piszemy ¡ ¢ ¡ ¢ ∂f ≡ ∂ f = ∂ f , ∂ f = ∂ f , ∇ f – składowe kowariantne gradientu. µ 0 i 0 ∂x µ Składowe kontrawariantne gradientu: ¡ ¢ ¡ ¢ ∂µ f = ηµν ∂ν f = ∂0 f , −∂i f = ∂0 f , −∇ f . Operator pochodnej czastkowej ˛

∂ ∂x µ

∂µ = (∂0 , ∇),

jest w M4 wektorem o składowych: ∂µ = (∂0 , −∇) ≡

∂ . ∂x µ

W przestrzeni pole elektromagnetyczne jest opisane dwoma 3-wektorami E i H. W M4 budujemy z nich antysymetryczny tensor nat˛ez˙enia pola elektromagnetycznego. Pola E i H budujemy z potencjałów elektromagnetycznych: E=− φ – potencjał skalarny A – potencjał wektorowy Postulat:

¾

1 ∂A − ∇φ, c ∂t

H = ∇ × A,

(13)

i

przy transformacjach x i → x 0 w przestrzeni.

w M4 potencjały φ i A sa˛ składowymi 4-wektora ¡ ¢ potencjału elektromagnetycznego A µ = φ, A . ¡ ¢ Oznaczam: A 0 ≡ φ ⇒ A µ = A 0 , A ,

¡ ¢ A µ = A 0 , −A .

Definicja 10.1. Tensor nat˛ez˙enia pola elektromagnetycznego jest 4-wymiarowa˛ rotacja˛ 4-wektora potencjału: F µν := ∂µ A ν − ∂ν A µ . F µν = −F νµ ⇒ jest 6 algebraicznie niezale˙znych składowych F µν . Wyra˙zaja˛ si˛e przez E i H. Aby te relacje znale´zc´ , rozpisuj˛e składowe 3-wektorów (13) w przestrzeni E3 za 109

pomoca˛ notacji dostosowanej do M4 . ¡ ¢ 1 ∂A i ∂A 0 E i = Ex , E y , Ez = − − = −∂0 A i − ∂i A 0 , kolejno i c ∂t ∂x E x = −∂0 A 1 − ∂1 A 0 , E y = −∂0 A 2 − ∂2 A 0 , E z = −∂0 A 3 − ∂3 A 0 .

(14)

H i = ²i kl ∂k A l ,

3-wektor rotacji ma składowe

²i kl – całkowicie antysymetryczny symbol Levi-Civity, ²123 = +1. Kolejno: Hx Hy Hz

 = ²1kl ∂k A l = ²123 ∂2 A 3 + ²132 ∂3 A 2 = ∂2 A 3 − ∂3 A 2 ,  = ²2kl ∂k A l = ²213 ∂1 A 3 + ²231 ∂3 A 1 = −∂1 A 3 + ∂3 A 1 ,  = ²3kl ∂k A l = ²312 ∂1 A 2 + ²321 ∂2 A 1 = ∂1 A 2 − ∂2 A 1 .

(15)

6 niezale˙znych składowych tensora F µν : F 01 = ∂0 A 1 − ∂1 A 0 = −∂0 A 1 − ∂1 A 0 = E x , F 02 = ∂0 A 2 − ∂2 A 0 = −∂0 A 2 − ∂2 A 0 = E y , F 03 = ∂0 A 3 − ∂3 A 0 = −∂0 A 3 − ∂3 A 0 = E z , F 12 = ∂1 A 2 − ∂2 A 1 = −∂1 A 2 + ∂2 A 1 = −H z , F 13 = ∂1 A 3 − ∂3 A 1 = −∂1 A 3 + ∂3 A 1 = +H y , F 23 = ∂2 A 3 − ∂3 A 2 = −∂2 A 3 + ∂3 A 2 = −H x . Macierz tego tensora: 

0  −E x F µν =  −E y −E z

Ex 0 Hz −H y

Ey −H z 0 Hx

 Ez  Hy  . −H x  0

(16)

Tensor kontrawariantny: F µν = ηµα ηνβ F αβ , wi˛ec F 0i = η0α ηi β F αβ = η00 ηi j F 0 j = −δi j F 0 j = −F 0i , F i j = ηi α η j β F αβ = ηi k η j i F kl = +F i j .

¾ (17)

W pró˙zni (obszar poza ładunkami elektrycznymi) mamy 8 równan ´ Maxwella: 1 ∂H , c ∂t 1 ∂E ∇×H = , c ∂t

∇×E = −

110

∇ · H = 0,

(18)

∇ · E = 0.

(19)

Równania (18) sa˛ spełnione to˙zsamo´sciowo, gdy za E i H wstawi´c A µ : ∇ · H = ∇ · (∇ × A) ≡ 0, µ ¶ 1 ∂A 1 ∂ ∇×E = ∇× − − ∇A 0 = − ∇ × A − 0 oraz c ∂t c ∂t 1 ∂H 1 ∂ − =− ∇ × A. c ∂t c ∂t 4 równania (19) daja˛ si˛e zapisa´c tensorowo. W tym celu rozpisuj˛e je na składowe. ∇ · E = ∂i E i = 0, ³

H = Hi

´

¡

¢ = Hx , H y , Hz ,

(20)

wi˛ec z (15):

¢ ∇ × H = ∂2 H 3 − ∂3 H 2 , −∂1 H 3 + ∂3 H 1 , ∂1 H 2 − ∂2 H 1 . ¡

(21)

Rozpatruj˛e dywergencj˛e 4-wymiarowa˛ ∂ν F µν . µ = 0 : ∂ν F 0ν = ∂i F 0i = { z (17) } = ∂i (−F 0i ) = { z (16) } = −∂i E i = { z (20) } = 0, 12 13 µ = 1 : ∂ν F 1ν = ∂0 F 10 + ∂i F 1i = −∂0 F 01 +∂0 F 01 + ∂2 F 12 + ¡ + ∂23F + ∂23¢F = { z (17) 1} = ∂ E x − (∇ × H)x = 0. ∂3 F 13 = ∂0 E x + ∂2 (−H z ) + ∂3 H y = ∂0 E x − ∂2 H − ∂3 H = { z (21) } = c ∂t Podobnie dla µ = 2, 3. Równania (19) przyjmuja˛ posta´c tensorowa˛ (kowariantna): ˛ ∂ν F µν = 0. Sa˛ to najprostsze mo˙zliwe równania ró˙zniczkowe czastkowe ˛ I rz˛edu dla F µν . Teraz rozpatruj˛e transformacj˛e (bierna) ˛ Lorentza od IUO tetrada˛ {e α } ¡ 0αwyznaczonego ¢ α ze współrz˛ednymi (x ) do innego IUO ze współrz˛ednymi x : x 0α = L α β x β . ¡ ¢α Transformacja odwrotna: x α = L −1 β x 0β . Składowe wektorów transformuja˛ si˛e według: v 0α = L α β v β ,

¡ ¢β v α0 = L −1 α v .

Ten drugi wzór wyprowadzamy na dwa sposoby. 1) Dla dowolnych wektorów u i v mamy ¡ ¢β u 0α v α0 = L α β u β v α0 = u β v β ⇒ z dowolno´sci u β : v β = L α β v α0 | · L −1 µ , ¡ ¢β ¡ ¢β v β L −1 µ = L α β L −1 µ v α0 = δα µ v α0 = v µ0 . 111

¢ν ¡ 2) v α0 = η αβ v β0 = η αβ L β µ v µ = η αβ L β µ ηµν v ν = ηνµ L β µ η βα v ν = L −1 α v ν . Operator pochodnej czastkowej ˛ ∂µ transformuje si˛e jak wektor kowariantny: je˙zeli α f (x ) – dowolna funkcja skalarna, to ∂0µ f ≡

¡ ¢α ¡ ¢α ∂f ∂ ∂ f ∂x α = = ∂α f · L −1 µ ⇒ ∂0µ = 0µ = L −1 µ ∂α . 0µ α 0µ ∂x ∂x ∂x ∂x

Dowodz˛e, z˙ e tensor pola elektromagnetycznego F µν transformuje si˛e jak tensor dwukrotnie kowariantny przy transformacji Lorentza. A µ – wektor kowariantny, wi˛ec ´ ³¡ ´ ¡ ³¡ ¢ ¢ ¢ ¡ −1 ¢α −1 α −1 β −1 β 0 0 0 0 0 F µν = ∂µ A ν − ∂ν A µ = L µ Aα = ν ∂β L ν Aβ − L µ ∂α L ¢β ¡ ¢ ¢α ¡ ¡ ¡ ¢α ¡ ¢β 0 = L −1 µ L −1 ν ∂α A β − ∂β A α = L −1 µ L −1 ν F αβ = F µν . Stad: ˛ F αβ ¡– tensor dwukrotnie kontrawariantny. Obliczam jego dywergencj˛e we współ¢ rz˛ednych x 0α : ¡ ¢β ¡ ¢ ¡ ¢β ∂0ν F 0µν = L −1 ν ∂β L µ α L ν γ F αγ = L −1 ν L ν γ L µ α ∂β F αγ = δβ γ L µ α ∂β F αγ = L µ α ∂β F αβ . Zatem: je˙zeli ∂β F αβ = 0 ⇒ ∂0ν F 0µν = 0 – równania Maxwella we wszystkich IUO maja˛ t˛e sama˛ form˛e: dywergencja ∂β F αβ = 0. To oznacza, z˙ e równania Maxwella sa˛ form-inwariantne (kowariantne, współzmiennicze, niezmiennicze) wzgl˛edem transformacji Lorentza. Natomiast tensor nat˛ez˙ enia pola F µν transformuje si˛e, czyli pola E i H ulegaja˛ zmianie: np. przy szczególnej transformacji Lorentza mamy ¡ ¢ ¡ ¢ ¾ E x0 = E x , E y0 = γ E y − βH z , E z0 = γ E z + βH y , ¡ ¢ ¡ ¢ H x0 = H x , H y0 = γ H y + βE z , H z0 = γ H z − βE y . Przykłady. 1) Je˙zeli w układzie S mamy tylko pole E poprzeczne do pr˛edko´sci wzgl˛ednej: E = (0, 0, E ), H = 0 , to w S 0 mamy skrzy˙ i magnetyczne, te˙z poprzeczne do ¡ ¢ zowane ¡ pola elektryczne ¢ 0 0 pr˛edko´sci: E = 0, 0, γE , H = 0, βγE , 0 . 2) W przypadku płaskiej fali elektromagnetycznej mamy pola E i H o równym nat˛ez˙ eniu i skrzy˙zowane, E = (0, E , 0) i H = (0, 0, H ), gdzie H = E , fala biegnie w kierunku osi Ox. Szczególna transformacja Lorentza wzdłu˙z tej osi daje E0 = (0, E 0 , 0) i H0 = (0, 0, H 0 ), gdzie 1−β E =H = 1+β 0

0

µ

¶1/2 E.

Przy transformacji w kierunku ruchu fali (β > 0) nat˛ez˙ enie obu pól mo˙zna uczyni´c dowolnie małym; przy transformacji w kierunku przeciwnym (β < 0) nat˛ez˙ enie mo˙zna 112

uczyni´c dowolnie du˙zym. Transformacja ta zmienia te˙z cz˛estotliwo´sc´ fali (zjawisko Dopplera) i jej zmiana dana jest tym samym wzorem. Zatem fala płaska nie ma inherentnie z˙ adnej niezmienniczej wielko´sci fizycznej: zale˙znie od wyboru IUO ta sama fala ma małe nat˛ez˙ enie i niska˛ cz˛estotliwo´sc´ , albo jest silna i jej fala jest bardzo krótka. Wynika to z faktu, z˙ e same równania Maxwella sa˛ wzgl˛edem transformacji Lorentza niezmiennicze, natomiast transformacje te odwzorowuja˛ jedne rozwiazania ˛ tych równan ´ w inne rozwiazania ˛ (z zachowaniem dwu relatywistycznych niezmienników pola elektromagnetycznego, z których jeden jest F µν F µν = 2(H2 − E2 )).

113

11 Mechanika relatywistyczna 11.1 Kinematyka relatywistyczna M4 – czasoprzestrzen´ = afiniczna przestrzen´ Minkowskiego. Rozpatrujemy krzywe jako odwzorowania odcinka otwartego (a, b) lub domkni˛etego [a, b] w M4 ⇒ obrazem krzywej (obrazem odcinka) jest 1-wymiarowy zbiór punktów w M4 , które sa˛ uporzadkowane ˛ za pomoca˛ parametru τ o warto´sciach z przedziału (a, b).

M4

k(a)

k(b) k

R

a b Krzywa k to odwzorowanie k : (a, b) 3 τ 7→ k(τ) ∈ M4 . (θ, {e α }) – wła´sciwa ortochroniczna baza afiniczna w M4 . Punkt k(τ) obrazu krzywej ma przedstawienie k(τ) = θ + x α (τ)e α ⇒ x α (τ) – współrz˛edne punktu k(τ) w tej bazie, czyli w reprezentowanym przez nia˛ IUO. Wektorem stycznym do krzywej k w punkcie dx α ≡ x˙ α . k(τ) nazywamy wektor v = v α e α , którego składowe v α sa˛ równe v α (τ) ≡ dτ Krzywa k jest: – czasowa je˙zeli wektor styczny x˙ α jest czasowy, η αβ x˙ α x˙ β > 0, – przestrzenna, je˙zeli wektor styczny x˙ α jest przestrzennopodobny, η αβ x˙ α x˙ β < 0 – zerowa, je˙zeli wektor styczny x˙ α jest zerowy, η αβ x˙ α x˙ β = 0. Rozpatrujemy tylko krzywe czasowe – ka˙zda krzywa czasowa mo˙ze by´c linia˛ s´wiata jakiej´s punktowej czastki ˛ materialnej z masa˛ spoczynkowa˛ m > 0. Niektóre krzywe zerowe sa˛ liniami s´wiata czastek ˛ z masa˛ spoczynkowa˛ m = 0. Sa˛ to fotony i neutrina (?). Ale nie mamy mechaniki relatywistycznej czastek ˛ bezmasowych, czyli nie mamy opisu ich oddziaływan ´ z innymi obiektami fizycznymi za pomoca˛ sił i potencjałów oddziaływan. ´ Fotony i neutrina opisujemy jako pola kwantowe – tu opis jest zasadniczo odmienny od mechaniki relatywistycznej. Fotony mo˙zemy opisywa´c niekwantowo w przybli˙zeniu optyki geometrycznej jako czastki ˛ punktowe z wektorem falowym 114

k α , k α k α = 0, stycznym do ich linii s´wiata – sa˛ to linie proste, bowiem fotony traktujemy jak czastki ˛ swobodne. Hipotetyczne tachiony miałyby linie przestrzenne jako swoje linie s´wiata; nie bierzemy ich pod uwag˛e. Linie czasowe: wzdłu˙z nich ds 2 > 0 ⇒ naturalnym parametrem jest długo´sc´ łuku s = czas własny mierzony przez zegar poruszajacy ˛ si˛e po tej linii s´wiata. x α = x α (s) u q u p k

p ma współrz˛edne x α (a) q ma współrz˛edne x α (b)

ˆb ¡

¢

s p, q =

⇒ długo´sc´ krzywej k od p do q jest

ˆb s η µν

ds = a

¾

a

dx µ dx ν ds = b − a. ds ds

dx α – specjalne oznaczenie wektora stycznego v, gdy τ = s. ds u α ma 3 składowe niezale˙zne ⇐ wektor jest z definicji unormowany do 1:

4-pr˛edko´sc´ czastki: ˛ u α :=

dx α dx β (ds)2 α β −2 u u α = η αβ = η αβ dx dx · (ds) = = 1, ds ds (ds)2 α

u α uα = 1

– relacja słuszna dla dowolnej krzywej czasowej, wynika wyłacznie ˛ z parametryzacji czasem własnym s.

115

Je˙zeli x α = x α (τ), τ – dowolny parametr skalarny, to wektor styczny = wektor pr˛edα ko´sci v α ≡ dx nie podlega z˙ adnym ograniczeniom poza v α v α > 0. dτ W danym IUO (czyli w dowolnej bazie afinicznej (θ, {e α })) lini˛e s´wiata czastki ˛ x α = x α (s) mo˙zemy sparametryzowa´c czasem tego układu: x α = x α (t ) ⇐⇒ x 0 = c t i x = x(t ). Wtedy 3-pr˛edko´sc´ czastki ˛ w tym IUO: v≡

dx , dt

v β≡ . c

W danym IUO czas własny czastki ˛ dany jest wzorem: s ds = c

1−

v2 c dt = dt c2 γ

⇒

dt 1 = γ. ds c

Stad: ˛ dx α dx α dx α dt 1 dx α = = γ , = (c, v), u = ds dt ds c dt dt ³ £ ¤ v´ 1 u α = γ, γ , γ = q , u α = 1. c 1 − β2 α

([q] to wymiar fizyczny wielko´sci q.) Składowe u α zale˙za˛ od 3 parametrów – składowych v ⇒ tylko 3 składowe u α sa˛ niezale˙znie. Ta parametryzacja ujawnia unormowanie u α : ¶ µ 2 v2 α 2 2v 2 u u α = γ − γ 2 = γ 1 − 2 = γ2 γ−2 = 1. c c Uwaga. 4-wektor u tak samo jak wektor styczny v, jest poj˛eciem geometrycznym – jest zdefiniowany jako wektor styczny do pewnej krzywej czasowej i ta definicja jest niezale˙zna od układu współrz˛ednych. Dopiero wskazanie składowych u α wektora wymaga układu współrz˛ednych, czyli wybrania bazy afinicznej (θ, {e α }), u = u α e α . Natomiast 3-wektor nie ma sensu geometrycznego i jest zdefiniowany w okre´slonym IUO. v = dx dt Je˙zeli krzywa x α = x α (s) nie jest linia˛ prosta, ˛ to czastka, ˛ dla której jest ona linia˛ s´wiata, doznaje przyspieszen ´ – działa na nia˛ siła zewn˛etrzna. 4-wektor przyspieszenia czastki: ˛ w α :=

du α d2 x α = . ds ds 2 116

Mamy: µ α ´ β¶ du β d³ du β α β α du u uα = 1 ⇒ η αβ u u = η αβ u +u = 2η αβ u α = 0, ds ds ds ds α

zatem u α w α ≡ η αβ u α w β = 0 – wektor przyspieszenia jest ortogonalny do pr˛edko´sci czastki. ˛ Wektor czasowy u moz˙ e by´c ortogonalny tylko do wektora przestrzennego ⇒ wektor przyspieszenia w jest przestrzenny, w α w α < 0. W danym IUO mamy 3-wektor przyspieszenia wzgl˛edem czasu t : dv d2 x = . Wyra˙zam wektor w przez 3-wektory a i v: dt dt 2 ¡ ¢−1/2 ¡ 1 ¢¡ ¢−3/2 0 dγ dt dγ dγ dβ d 1 − β2 = dt ds = 1c γ dt , dt = dt = − 2 1 − β2 w 0 = du (−2)β · dt , ds a :=

dγ 1 = 2 γ3 v · a ⇒ w 0 = c13 γ4 v · a, podobnie dla w. dt c µ ¶ · ¸ 1 4 1 1 v 1 w = w , w = 2γ v · a, v·a + 2a . c c c c γ α

¡

0

¢

£

¤ w α = cm−1

Cz˛es´c´ przestrzenna w przyspieszenia w α nie jest proporcjonalna do a. Kwadrat długo´sci w: w αwα = −

¶2 ¸ · µ 1 4 2 1 2 v · a + a γ < 0. γ c4 c

Dla ruchu 1-wymiarowego: v = (v, 0, 0), a = (a, 0, 0), mamy wα =

´ a 4³ v , 1, 0, 0 γ c2 c

oraz

w αwα = −

a2 6 γ . c4

11.2 Relatywistyczny p˛ed kinetyczny P˛ed czastki ˛ punktowej w mechanice relatywistycznej mo˙zna wprowadzi´c na dwa sposoby: – z rozwa˙zan ´ heurystycznych wyprowadzi´c relatywistyczny p˛ed p – z zało˙zenia cz˛es´c´ przestrzenna˛ pewnego 4-wektora p α , czyli p˛edu kinetycznego, 117

– zapostulowa´c całk˛e działania dla relatywistycznej czastki ˛ swobodnej i ze skalarnego lagrangianu zdefiniowa´c 4-wektor relatywistycznego p˛edu kanonicznego tak jak w mechanice analitycznej. Dla czastki ˛ swobodnej p˛ed kinetyczny i kanoniczny pokrywaja˛ si˛e. Tutaj nie stosuj˛e formalizmu Lagrange’a i operuj˛e tylko p˛edem kinetycznym. Pewne rozwa˙zania heurystyczne sugeruja˛ nast˛epujac ˛ a˛ definicj˛e wektora p˛edu kinetycznego: p α ≡ mcu α = mc

¢ dx α ¡ 0 ¢ ¡ = p , p = mcγ, mγv . ds

m – masa spoczynkowa czastki ˛ = masa czastki ˛ mierzona w chwilowym układzie spoczynkowym – z definicji jest to relatywistyczny skalar. W IUO, w którym czastka ˛ porusza si˛e, pomiar jej masy da warto´sc´ ró˙zna˛ od m – jest to tzw. "masa relatywistyczna". Masa spoczynkowa jest wa˙zna˛ charakterystyka˛ czastki ˛ i nia˛ b˛edziemy operowa´c. Kwadrat długo´sci: p α p α = m 2 c 2 ⇒ p˛ed p α ma tylko 3 składowe niezale˙zne p i , a p 0 jest ich funkcja. ˛ P˛ed kinetyczny jest zachowany: – dla czastek ˛ swobodnych, – w zderzeniach czastek ˛ punktowych. Interpretacj˛e fizyczna˛ składowej p 0 podam dalej. Dalej p zawsze oznacza relatywistyczny p˛ed mγv, a p˛ed nierelatywistyczny zapisuj˛e mv.

11.3 Relatywistyczne równania Newtona ~ spełnia równania Mechanika klasyczna: ruch czastki ˛ o masie m, na która˛ działa siła F d Newtona dt (mv) = F. W STW postulujemy: w danym IUO (w bazie (θ, {e α })) linia s´wiata czastki ˛ o masie m i p˛edzie p = mγv spełnia relatywistyczne niekowariantne równania Newtona dp = F. dt

Max Plank 1906

F = F(x, t ) – zadana siła zewn˛etrzna, mechaniczna lub polowa (zewn˛etrzne pole elektromagnetyczne), która nie ulega zmianie wskutek ruchu czastki. ˛

118

Podobnie: układ n czastek ˛ o p˛edach pa , a = 1, 2, ..., n w polu sił zewn˛etrznych ma równania dpa = F(xa , t ). dt Je˙zeli siła działajaca ˛ na czastk˛ ˛ e a ma zale˙ze´c tylko od czasu t i jej poło˙zenia xa , to mamy silne ograniczenie na form˛e oddziaływania. Siła F mo˙ze by´c: 1) siła˛ zewn˛etrzna˛ wywierana˛ przez otoczenie, np. siła˛ Lorentza wywierana˛ przez zewn˛etrzne pola E i H na ładunek elektryczny e, dp e = eE + v × H, dt c 2) siła˛ kontaktowa˛ mi˛edzy czastkami ˛ działajac ˛ a˛ w momencie zderzen, ´ 3) siła˛ wewn˛etrzna, ˛ je˙zeli dana czastka ˛ jest układem zło˙zonym, np. siła˛ typu silnika rakiety. Czastki ˛ elementarne oddziałuja˛ siłami dalekozasi˛egowymi, np. elektromagnetycznymi – oddziaływanie dwóch ładunków elektrycznych prowadzi do zagadnienia ruchu ciał naładowanych – relatywistyczny problem dwóch ciał. Eksperyment: oddziaływania dalekozasi˛egowe nie sa˛ natychmiastowe, propaguja˛ si˛e z pr˛edko´scia˛ 6 c ⇒ sa˛ przenoszone polem fizycznym (specyficzna forma materii) niosacym ˛ własny p˛ed i energi˛e ⇒ kinetyczny p˛ed i energia oddziałujacych ˛ czastek ˛ nie sa˛ zachowane – trzeba uwzgl˛edni´c w bilansie energi˛e i p˛ed pola. Siła działajaca ˛ na czastk˛ ˛ e A ze strony B zale˙zy od ruchu B w chwili wcze´sniejszej. t

A

B

x

Mechanika klasyczna: nierelatywistyczny problem dwóch ciał – oddziaływanie natychmiastowe: F = F(r A (t ) − rB (t )). Siła działajaca ˛ na A ze strony B w chwili t jest okre´slona przez wzajemne poło˙zenia r A (t )

119

˛ A natychmiast odczuwa zmian˛e poło˙zenia B ⇐⇒ oddziaływanie biei rB (t ) ⇒ czastka gnie z nieskonczon ´ a˛ pr˛edko´scia. ˛ Dzi˛eki temu: d równania nierelatywistyczne Newtona dt (mv) = F sa˛ zwyczajnymi równaniami ró˙zniczkowymi. W rzeczywisto´sci oddziaływania fundamentalne rozchodza˛ si˛e z pr˛edko´scia˛ c ⇒ propaguja˛ si˛e po sto˙zku s´wietlnym. t

A

B

t0 t0 x

Elektrodynamika ˛ w chwili t 0 na czastk˛ ˛ e A ze strony B : F AB = ¡ ¡ ¢¢ klasyczna: siła działajaca F AB r A (t 0 ), rB t 0 – zale˙zy od ruchu czastki ˛ B w momencie t 0 emisji sygnału, ¡ ¢¯ 1¯ t 0 − t 0 = ¯r A (t 0 ) − rB t 0 ¯. c Zatem: siła działajaca ˛ na czastk˛ ˛ e A ze strony B jest siła˛ Lorentza, przy czym pola E i H w r A (t 0 ) zale˙za˛ od poło˙zenia, pr˛edko´sci i przyspieszenia ładunku B w momencie t 0 . Równania relatywistyczne Newtona z siła˛ zale˙zna˛ od t 0 i t 0 – równania ró˙zniczkowofunkcyjne. Relatywistyczny problem dwóch ciał jest nierozwiazany ˛ ze wzgl˛edu na ogromne trudno´sci matematyczne. Mechanika relatywistyczna ma ograniczony zakres stosowalno´sci – do 3 typów sił podanych powy˙zej. Oddziaływania czastek ˛ elementarnych opisujemy w ramach teorii pola – klasycznego lub kwantowego. Rozpatrujemy pojedyncza˛ czastk˛ ˛ e pod działaniem siły zewn˛etrznej F. Lewa strona równan ´ Newtona: dv dγ 1 d ¡ ¢ dγ γv = v + γ , tu = 2 γ3 v · a ⇒ dt dt · dt dt c ¸ 1 – relatywistyczna siła F nie jest F = mγ 2 γ2 (v · a)v + a równoległa do przyspieszenia a. c

11.4 Całkowita energia kinetyczna Rozpatrujemy czastk˛ ˛ e o masie spoczynkowej m w dowolnym ruchu – mo˙ze oddziaływa´c z otoczeniem. Interesuje nas jej całkowita energia kinetyczna wynikajaca ˛ z faktu, 120

z˙ e w danym IUO ma chwilowa˛ pr˛edko´sc´ v – jest to energia zwiazana ˛ ze stanem ruchu czastki. ˛ Nie uwzgl˛edniamy energii oddziaływan ´ czastki, ˛ traktujemy ja˛ jak swobodna. ˛ Definicja 11.1. Całkowita energia kinetyczna czastki ˛ w danym IUO jest suma˛ energii spoczynkowej E (0) zwiazanej ˛ z jej masa˛ oraz pracy W (v) wykonanej przez zewn˛etrzna˛ sił˛e F koniecznej do rozp˛edzenia czastki ˛ do pr˛edko´sci v, E (v) = E (0) + W (v). dp

Zmiana energii kinetycznej pod działaniem F : dE = dW := F · v dt = v · dt dt . Aby scałkowa´c dW po czasie t , ró˙zniczkuj˛e po t wielko´sc´ p α pα = m2c 2 | przez dp 0 dt

=

d dt ,

p0

dp 0 dt

dp

− p · dt = 0,

p 0 : p = mγv = 1c mcγv = dp dp 1 1 0 · p v · dt = 1c v · dt ⇒ p0 c ´v 0 0

dp 0 dt

=

dp 1 p · dt , p0

1 0 ec c p v, wi˛ dp 0 dp dW dt = v · dt = c dt

tu p wyra˙zam

¯´ ¯ ,

dW = c p (v) − c p (0) = c p 0 − mc 2 .

W (v) =

0

Dostajemy: E (v) = c p 0 (v) − mc 2 + E (0). Ustalenie E (0) jest poza zakresem geometrycznej STW: nie wynika z geometrii M4 . E (0) okre´slamy z do´swiadczenia i heurezy. E (0) – definiowana i mierzona w układzie własnym ⇒ wielko´sc´ skalarna okre´slona wewn˛etrznymi własno´sciami czastki ˛ ⇒ E (0) = 0 lub proporcjonalna do mc 2 – wymiar energii. 1) Je´sli E (0) = 0 ⇒ czastka ˛ w spoczynku nie ma energii ⇒ E = c p 0 − mc 2 – wielko´sc´ hybrydowa: suma składowej p 0 4-wektora i skalara mc 2 ⇒ energia nie ma prostych własno´sci transformacyjnych przy transformacji Lorentza. Tak jest w fizyce nierelatywistycznej i niekwantowej: materia jest trwała – z nieruchomego ciała (po wykorzystaniu wszystkich egzotermicznych reakcji chemicznych) nie da si˛e wydoby´c energii. 2) Eksperyment: czastki ˛ elementarne nie sa˛ absolutnie trwałe (poza protonem i elektronem i w pewnym sensie neutrinami) – w procesach kwantowych ulegaja˛ samoistnym rozpadom, gdy sa˛ swobodne, a w reakcjach z innymi czastkami ˛ zmieniaja˛ to˙zsamo´sc´ lub ulegaja˛ anihilacji. Rozpady: n → p + e − + νe , π0 → 2γ, π− → µ− + νµ , µ− → e − + νe + νµ . Suma mas produktów rozpadu jest mniejsza, np. rozpad neutronu: m p + m e + m νe < m n , n rozpada si˛e w spoczynku, p, e i νe maja˛ energi˛e kinetyczna˛ ⇒ n w spoczynku ma energi˛e, której cz˛es´c´ ujawniła si˛e w rozpadzie jako energia kinetyczna p, e i νe . Rozpad π0 : dwa fotony niosa˛ energi˛e równa˛ łacznie ˛ mπ c 2 . Kwantowy proces anihilacji elektronu (negatonu) i pozytonu: e − +e + → 2γ – energia 121

obu fotonów jest 2m e c 2 . Anihilacje czastek ˛ materii i odpowiadajacych ˛ im antycza˛ stek antymaterii daja˛ finalnie sama˛ energi˛e w postaci fotonów. Postulat empiryczny: E (0) = mc 2 – ka˙zde ciało ma energi˛e spoczynkowa˛ mc 2 , która˛ mo˙zna uwolni´c w odpowiednim procesie fizycznym, np. w wyniku anihilacji z takim samym ciałem zbudowanym z antymaterii. To jest równowa˙zno´sc´ masy spoczynkowej i energii: ciało o masie m ma energi˛e spoczynkowa˛ E = mc 2 i na odwrót – ka˙zdej energii E odpowiada masa bezwładna E /c 2 . Całkowita energia kinetyczna czastki ˛ (spoczynkowa i energia ruchu): E (v) = mc 2 γ = c p 0 . Powy˙zsze reakcje sa˛ do´sc´ egzotyczne, bo sa˛ zwykle obserwowane w akceleratorach cza˛ stek. Istnieje makroskopowy i kluczowy dla naszego istnienia przykład uwalniania energii spoczynkowej: reakcje termojadrowe ˛ w Słoncu. ´ Jadro ˛ o masie m(Z , N ) zbudowane z Z protonów i N neutronów ma¢ ujemna˛ energi˛e wiazania ˛ ¡ 2 2 E B := m(Z , N )c − Z m p + N m n c < 0 – jego masa jest mniejsza od sumy mas składników – jest to deficyt masy. Energia −E B jest uwalniana w procesach syntezy jader ˛ ci˛ez˙ 33 szych z jader ˛ l˙zejszych. Słonce ´ emituje 4 · 10 erg/s energii promienistej ⇒ jego masa m ¯ maleje o ≈ 4 miliony ton na sekund˛e. Wszystkie powy˙zsze reakcje moga˛ te˙z biec w przeciwna˛ stron˛e: zamiana energii na mas˛e spoczynkowa˛ – procesy kreacji czastek. ˛ Np. kreacja pary e + e − przez par˛e fotonów − + γ + γ → e + e – suma energii fotonów jest > 2m e c 2 . Fizyka nierelatywistyczna i niekwantowa: oddzielnie prawo zachowania energii i prawo zachowania masy. Fizyka relatywistyczna: tylko prawo zachowania energii (podaj˛e dalej). Rozwijam E (v) w szereg: E (v) =

2 mc |{z}

energia spoczynkowa

1 mv 2 2 | {z }

+

nierelatywistyczna energia kinetyczna

+

3 mv 4 5 mv 6 + + ... 2 4 16 {z c } |8 c poprawki relatywistyczne

E (v) = cp 0 ⇒ 4-wektor energii-p˛edu czastki: ˛ µ ¶ ¡ ¢ E p = mcu = m cγ, γv = ,p ⇒ c q 1 2 α 2 2 2 p p α = 2 E − p = m c ⇒ E = + c 2 p2 + m 2 c 4 . c α

α

122

vi =

Definicja zmiany energii kinetycznej, dE = v · dp daje

i ¡ ¢1/2 ∂E 2p = c E = c 2 p2 + m 2 c 4 ⇒ vi = E ∂p i

Tutaj 3-wymiarowe indeksy traktujemy jak w E3 : p2 = ¡ k k¢ ∂ p p = 2p i – suma po k. i ∂p

P k

∂E ∂p i

, tu wstawiam

⇒ p=

E v. c2

pk pk ⇒

11.4.1 Własno´sci transformacyjne 4-p˛edu p α P˛ed p α jest 4-wektorem przy transformacjach grupy L +↑ oraz przy inwersji przestrzeni P , czyli przy transformacjach ortochronicznej grupy Lorentza L ↑ = L +↑ ∪ L −↑ = L +↑ ∪ P L +↑ : je˙zeli L ∈ L ↑ to p 0α = L α β p β – transformacja składowych wektora. Ciag ˛ wielko´sci w α jest pseudowektorem przy transformacji współrz˛ednych x 0α = A α β x β , je˙zeli transformuje si˛e według w 0α =

det A α β A βw . |det A|

Przy inwersji czasu T mamy x 00 = −x 0 i długo´sc´ łuku linii czasowej transformuje si˛e według ds 0 = γc dt 0 = − γc dt = − ds – długo´sc´ łuku jest pseudoskalarem wzgl˛edem inwersji T : zmienia znak, bo długo´sc´ łuku liczymy teraz w przeciwnym kierunku od punktu poczatkowego. ˛ Zatem: µ ¶ 0 − dx 0 dx 0i dx i dx 00 0 0i 0 p = mc = mc = p , p = mc = mc = −p i , ds 0 − ds ds 0 (− ds) ³ ´ det T α β p 0α = p 0 , −p i = −T α β p β = T βp |det T | – 4-p˛ed p α jest pseudowektorem wzgl˛edem inwersji czasu T . Fizycznie: przy odwróceniu kierunku czasu p˛ed zmienia kierunek, p → −p, a energia czastki ˛ nie zmienia si˛e i pozostaje dodatnia.

11.5 Prawo zachowania 4-p˛edu ¡ ¢ 1) Jedna czastka ˛ swobodna: F = 0 ⇒ p = const, E = E p2 ⇒ E = const ⇒ p α = const – całkowity p˛ed czastki ˛ swobodnej jest zachowany. 123

2) Układ n czastek ˛ swobodnych (brak oddziaływan ´ długozasi˛egowych, brak zderzen): ´ n P p aα = const, a = 1, .., n ⇒ całkowity 4-p˛ed p aα = const. a=1

3) Je˙zeli czastki ˛ oddziałuja˛ siłami dalekozasi˛egowymi (np. oddziałuja˛ elektromagnetycznie), to energie i p˛edy samych czastek ˛ nie sa˛ zachowane: zachowana jest całkowita energia i p˛ed czastek ˛ i ich pola – dowodzi si˛e tego w teorii pola. Je˙zeli czastki ˛ oddziałuja˛ z otoczeniem, np. ze zmiennym zewn˛etrznym polem elektromagnetycznym, to na ogół nie ma z˙ adnych praw zachowania (bo trzeba uwzgl˛edni´c procesy zachodzace ˛ w z´ ródle siły zewn˛etrznej, a to zwykle jest niemo˙zliwe). Czastki ˛ elementarne: – oddziaływania długozasi˛egowe (np. elektromagnetyczne) opisujemy teoria˛ pola, – oddziaływania silne (jadrowe) ˛ i słabe (odpowiadaja˛ za rozpady czastek, ˛ np. neutronu) sa˛ krótkozasi˛egowe ⇒ działaja˛ niemal kontaktowo przy zderzeniach czastek ˛ ⇒ opis fenomenologiczny: nie badamy szczegółowo dynamiki oddziaływania, tylko patrzymy na charakterystyki czastek ˛ przed i po reakcji i szukamy wielko´sci zachowanych. Opis fenomenologiczny stosujemy do bardzo wa˙znych 2-ciałowych reakcji zderzenia nieelastycznego (proces niemechaniczny) A + B → C + D, Np. reakcja termojadrowa ˛ we wczesnym Wszech´swiecie 3 H+D → 4 He+n – czastki ˛ zmieniaja˛ to˙zsamo´sc´ ⇒ nie mo˙zna bezpo´srednio stosowa´c relatywistycznych równan ´ Newtona. Fenomenologicznie uzasadniamy tez˛e, która jest dobrze zgodna z do´swiadczeniem: w dowolnej reakcji 2-ciałowej zderzen ´ czastek ˛ (oddziaływania kontaktowe) całkowity p˛ed p i całkowita energia E sa˛ zachowywane, co prowadzi do zachowania całkowitego 4− p˛edu, α p αA + p Bα = p Cα + p D .

Tak samo jest dla reakcji wielociałowych (n > 2 czastek ˛ na wej´sciu lub wyj´sciu).

11.6 Kowariantne relatywistyczne równania Newtona Mechanika relatywistyczna spełnia zasad˛e wzgl˛edno´sci Galileusza-Einsteina ⇒ jedp z˙ eli w pewnym IUO spełnione sa˛ równania dt = F, to w ka˙zdym innym IUO obowia˛ zuja˛ analogiczne równania ruchu. Aby je jawnie zapisa´c, trzeba ustali´c jak transformuje si˛e siła F. Wygodnie jest zastosowa´c zasad˛e form-inwariantno´sci praw fizyki: dynamika relatywistyczna winna by´c opisana równaniami tensorowymi – sa˛ kowariantne (współzmiennicze) przy transformacji Lorentza. Linia s´wiata czastki ˛ w wybranym IUO

124

jest dana parametrycznie x = x(t ). Przechodzimy do parametryzacji czasem własnym s, x α = x α (s). Zmiana p˛edu p α (s) zachodzi pod działaniem 4-wektora siły Minkowskiego K α : dp α d2 x α ≡ mc = K α. ds ds 2 K α – 4-wektor siły mechanicznej lub polowej działajacej ˛ na czastk˛ ˛ e. W dowolnie wybranym IUO wyra˙zam go za pomoca˛ siły F i pr˛edko´sci v. Dla dowolnej funkcji f mamy df 1 df ec stosujac ˛ znane wzory dla F i pochodnej d γ/d t dostajemy kolejno ds = c γ dt , wi˛ ¡ ¢ dp 0 1 d d 0 K = ds = c γ dt mcγ = mγ dt γ = mγ c12 γ3 v · a; h 2 i γ γ4 γ F = mγ c 2 (v · a)v + a ⇒ F · v = mγ3 (v · a) ⇒ K 0 = c 2 m(v · a) = c 2 F · v, dalej K =

dp ds

=

γ dp , czyli c dt

¡ ¢ ³γ γ ´ K α = K 0 , K = 2 F · v, F . c c Kα =

dp α ds

= mc w α – wektor przestrzenny, γ2 K Kα = 2 c α

Poniewa˙z

11.7

dE dt

= F·v ⇒ K0 =

·µ

F·v c

¶2 −F

2

¸ < 0.

γ dE . c 2 dt

Ruch jednostajnie przyspieszony

Całkowanie relatywistycznych równan ´ Newtona (gdy sa˛ równaniami zwyczajnymi a nie równaniami ró˙zniczkowo-funkcyjnymi) jest du˙zo trudniejsze ni˙z nierelatywistycznych równan ´ Newtona (lub Lagrange’a) ⇒ znanych jest niewiele rozwiaza ˛ n. ´ Najprostsze rozwiazanie ˛ dla F 6= 0 – ruch jednostajnie przyspieszony (ruch hiperboliczny). Ruch jednostajnie przyspieszony w mechanice klasycznej: je˙zeli a = dv = const ⇒ dt 1 2 v = at i x = 2 at , a = const w ka˙zdym IUO. ©¡ ¢ª STW: bior˛e ruch 1-wymiarowy w płaszczy´znie Minkowskiego M2 = x 0 , x 1 . Jedno2

stajne przyspieszenie w STW to nie jest stałe a = ddt x2 w dowolnym IUO – je˙zeli a = const w wybranym S, to w ka˙zdym innym IUO przyspieszenie a 0 6= const. Jedyny IUO wyró˙zniony przez czastk˛ ˛ e w punkcie p jej linii s´wiata – jej chwilowy układ spoczynkowy S p w p.

125

ct

ct0

x0

Sp p

x

LAB

LAB – wybrany, ustalony IUO, S p – chwilowy układ spoczynkowy czastki ˛ w p, jego o´s czasu jest styczna w p do jej linii s´wiata. W innych punktach linii s´wiata chwilowy układ własny jest ró˙zny od S p . W S p : dx 0 = 0, dt 0 d2 x 0 a 0 (p) = 6= 0. dt 0 2 v 0 (p) =

Definicja 11.2. Ruch jest jednostajnie przyspieszony, je˙zeli w ka˙zdym chwilowym układzie własnym (tzn. w chwilowym układzie własnym w ka˙zdym punkcie linii ´swiata) przyspieszenie czastki ˛ jest takie samo, a 0 = const ≡ w. W przypadku ruchu 1-wymiarowego 4-wektor przyspieszenia w α jest dany znanym wzorem 4 ¡ ¢ γ w α = a c 2 vc , 1, 0, 0 ⇒ w układzie własnym S p : w 0α = cw2 (0, 1, 0, 0). Ruch jednostajnie przyspieszony opisuj˛e w ustalonym IUO LAB. W tym układzie ¡ ¢ ¡ ¢2 ¡ ¢2 u = u 0 , u 1 , 0, 0 oraz u 0 − u 1 = 1 ⇒ u 0 = cosh ϕ(s) i u 1 = sinh ϕ(s), ϕ(s) – dowolna funkcja czasu własnego s. ¡ ¢ α Ta posta´c 4-pr˛edko´sci, u = cosh φ, sinh φ, 0, 0 , stosuje si˛e w ka˙zdym IUO, w którym ruch jest 1-wymiarowy ⇒ zachowuje si˛e przy szczególnej transformacji Lorentza wzdłu˙z α

126

osi Ox : ¶µ ¶ µ ¶ cosh ψ − sinh ψ cosh ϕ cosh ψ cosh ϕ − sinh ψ sinh ϕ = = − sinh ψ cosh ψ sinh ϕ − sinh ψ cosh ϕ + cosh ψ sinh ϕ ¡ ¢¶ µ cosh¡ ϕ − ψ¢ = . sinh ϕ − ψ

µ

W ustalonym IUO LAB wyznaczam funkcj˛e ϕ(s) dla ruchu jednostajnie przyspieszone¡ ¢ α 0 go. Przyspieszenie w LAB: w α = du = ϕ (s) sinh ϕ, cosh ϕ, 0, 0 . Aby wyznaczy´ c ϕ(s) ds obliczam długo´sc´ wektora ¡ przyspieszenia ¢w LAB02i w S p : 2 2 α 02 w LAB : w w α = ϕ sinh ϕ − cosh ϕ = −ϕ , 2

2

dϕ

dϕ

w S p : w 0α w α0 = wc 4 (−1) ⇒ ϕ02 = wc 4 . Zakładam w > 0 i ds > 0 ⇒ ds = + cw2 . Tu korzystam z faktu, z˙ e ruch jest jednostajnie przyspieszony : w = const. Całkuj˛e: ϕ(s) = ws + const. Warunek poczatkowy ˛ w LAB: dla s = 0 czastka ˛ chwilowo spoczywa : u 1 (0) = c2 0 ⇒ sinh(0 + const) = 0 ⇒ const = 0, ϕ(s) =

ws . c2

Znajduj˛e lini˛e s´wiata w LAB: ´ 0 2 ws 0 = cosh u 0 = dx ⇒ x = cosh wc 2s ds = cw sinh wc 2s +C 1 . 2 ds c 2

Ustalam punkt poczatkowy: ˛ x 0 (0) = 0 oraz x 1 (0) = cw . Wtedy C 1 = 0. Dalej: u 1 = dx = sinh wc 2s ⇒ x 1 = x = ds Dostajemy:

´

2

sinh wc 2s ds = cw cosh wc 2s +C 2 , a stad ˛ C 2 = 0.

2

x 0 = c t = cw sinh wc 2s , 2

x 1 = x = cw cosh wc 2s .

Linia s´wiata ruchu jednostajnie przyspieszonego przedstawiona na płaszczy´znie euklidesowej to gała´ ˛z hiperboli: ¡

x0

¢2

¡ ¢2 c4 − x1 = − 2 . w

Równanie hiperboli η µν x µ x ν = const < 0, jest niezmiennicze wzgl˛edem transformacji Lorentza ⇒ ruch jest hiperboliczny nie tylko w tym ustalonym LAB, lecz w ka˙zdym innym IUO. Poniewa˙z ta hiperbola to faktycznie pseudo-okrag ˛ na M2 , wi˛ec ka˙zdy punkt 127

linii s´wiata dla ruchu jednostajnie przyspieszonego jest równoodległy (interwał czasoprzestrzenny jest taki sam) od poczatku ˛ układu współrz˛ednych, czyli od x 0 = x 1 = x 2 = 3 x = 0. Wyznaczam pewne własno´sci ruchu hiperbolicznego. 1) Pr˛edko´sc´ jako funkcja czasu własnego. v – pr˛edko´sc´ czastki ˛ w LAB. Mamy: u 0 = cosh wc 2s , a jednocze´snie u 0 = γ. Stad: ˛ ¡ v ¢2 ¡ 0 ¢−2 −2 w s u = cosh c 2 = 1 − c ⇒ v ws = tgh 2 . c c Ten sam wynik dostaje si˛e z β =

v c

(22)

1

= dx . dx 0

2) Pr˛edko´sc´ jako funkcja czasu w LAB. ³ 2 ´−1 0 = Z (22): vc = tgh wc 2s = xx 1 = c t cw cosh wc 2s µ ¶ h 0 i2 −1/2 wt wx 1 + ⇒ c c2 v=p

wt c

³

1 + sinh2 wc 2s

cwt (w t )2 + c 2

´−1/2

=

< c.

(23)

Dla t → ∞ : v → c – asymptota˛ hiperboli jest sto˙zek s´wietlny. 3) Czas t jako funkcja pr˛edko´sci w LAB. Odwracam (23): (w t )2 = t =γ

v . w

v2 ¡ ¢2 1− vc

⇒ (24)

4) Czas własny jako funkcja pr˛edko´sci w LAB. 1+β Odwracam (22): β = tgh wc 2s ⇒ wc 2s = artghβ = 12 ln 1−β ⇒ ¢¤ s c £ ¡ = ln γ 1 + β . c w Komentarz: według mechaniki nierelatywistycznej czas jednostajnego przyspieszania do pr˛edko´sci v jest wv ⇒ zgodnie z (24) czas ten mierzony w LAB jest według STW γ razy dłu˙zszy. Przykłady. Rakieta z Ziemi (LAB) rozp˛edzona do pr˛edko´sci v ≈ c. Dla astronautów jest po˙zadane, ˛ by c −2 rakieta miała stałe przyspieszenie równe ziemskiemu g , czyli w = g ∼ = 10 m s ⇒ = w 7 3 × 10 s ≈ 1 rok (1 rok ' 31 557 000 s). 128

1) β = 0.9 ⇒ γ ∼ = 2.294. Czas rozp˛edzania rakiety mierzony na Ziemi: t ≈ 1.963 lat. W rakiecie upłynie czas cs = 4.416 × 107 s ≈ 1.4 lat. 2) β = 0.99 ⇒ γ ∼ = 7.089. t ≈ 6.67 lat oraz

s c

≈ 2.516 lat.

Loty mi˛edzygwiezdne wymagaja˛ wi˛ecej czasu ziemskiego na rozp˛edzenie i wyhamowanie rakiety ni˙z przewiduje fizyka nierelatywistyczna. Uwaga. Wyznaczenie linii s´wiata ruchu jednostajnie przyspieszonego nie wymaga w ogóle całkowania relatywistycznych równan ´ Newtona. Z rozwiazania ˛ ³ mo˙zna wyznaczy´c sił˛´e Minws ws kowskiego K α oraz sił˛e F. Mamy: K α = mc w α ⇒ K α = mw 2 , 0, 0 . c sinh c 2 , cosh ³ c ´ γ ws Stosujac ˛ znana˛ ju˙z relacj˛e pomi˛edzy K α i F, K = c F, dostajemy F = mw cosh , 0, 0 . γ c2

K ON I E C

129

Dodatek: wybrane fragmenty oryginalnego skryptu

130

131

132