Sociology of medicine 9780070115606, 0070115605

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C o m ité d e S e le c c ió n

Dr. Antonio Alonso Dr. Francisco Bolívar Zapata Dr. Javier Bracho Dr. Juan Luis Cifuentes Dra. Rosalinda Contreras Dr. Jorge Flores Valdés Dr. Juan Ramón de la Fuente Dr. Leopoldo García-Colín Scherer Dr. Adolfo Guzmán Arenas Dr. Gonzalo Halffter Dr. Jaime Martuscelli Dra, Isa vira Meza Dr. José Luis Morán López Dr. Héctor Nava Jaimes Dr. Manuel Pcimbert Dr. José Antonio de la Peña Dr. Ruy Pérez Tamayo Dr. Julio Rubio Oca Dr. José Sarukhán Dr. Guillermo Soberón Dr. Elias Trabulse

Coordinadora María del Carmen Farías R.

Traducción: E

steban

T o r r e s A i .e x a m d e r

Revisión técnica: D

r

. C arlos Álvarez

Profesor del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la u n a m miembro de Sistema Nacional de Investigadores

SHAUGHAN LAVINE

Comprendiendo el infinito

F ondo

de

C ultura E conómica M É X IC O

Primera «lic ió n en inglés, 1994 Primera edición en español, 2005

Lavine, Shaughan Comprendiendo el infinito / Shaughan Lavine. — 1" ed. — México : FCE, 2005 384 p. ; 23 x 17 cm — (Colee. Sección de Obras de Cien­ cia y Tecnología) Título original Understanding the Infinite ISBN 968-16-7510-X 1. Matemáticas — Historia 2. Matemáticas — Filosofía I. Torres Alexander, Esteban, ti'. II. Ser III. t LC QA8.4 .L38

Dewey 511.3 L139c

Diseño de portada: Sergio Bourguet

T ítu lo o rig in al:

Understanding the Infinite Publicado por Harvard University Press Copyright © 1994, President and Feliows of Harvard College

ISBN 0-674-92096-1 (empastado) ISBN 0-674-92117-8 (rústica)

A gradecem os sus c o m e n ta rio s y sugerencias a l correo e le ctró nic o: la c ie n c ia S f c e .c o m .m x

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D. R . © 2005, F o n d o d e C ultura E c o n ó m ic a C arretera Picacho-A jusco 227, 14200, M é x ico , D . F.

ISBN 968-16-7510-X Impreso en México • Printed in México

ÍN D IC E

P refacio

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I. In t r o d u c c ió n .............................................................................

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II. E l infinito, asiduo pretendiente de las matemáticas . . . . 22 1. Longitudes inconmensurables, números irracionales . . . 23 2. Newton y L e i b n i z ................................................................. 26 3. Sigue adelante y la fe vendrá a t i .......................................... 34 4. Las cuerdas vibrantes ..........................................................38 5. El desdén por el infinito ...................................................... 44 6. La aceptación del in f in it o ...................................................... 50 III. Conjuntos de p u n t o s ................................................................. 56 1. Magnitudes in f in it a s ..............................................................56 2. Órdenes infinitos ................................................................. 58 3. In te g ra c ió n .............................................................................63 4. Absoluto versus t r a n s f in it o .................................................. 66 5. Paradojas .............................................................................72 IV. ¿Q ué son los conjuntos? ..........................................................78 1.Russcl l .................................................................................. 78 2. C a n t o r ......................................................................... 91 3. Apéndice A ............................................................................. 115 4. Apéndice B .............................................................................115 V. Axiomatización de la teoría de conjuntos ...............................119 1. El axioma de e l e c c i ó n ..........................................................119 2. El axioma de r e e m p la z o ......................................................136 3. El estar definido y la paradoja de S k o le m ........................... 141 4. Zermelo ................................................................................. 153 5. Sigue adelante y la fe vendrá a t i .................................... . 161 VI. E l conocimiento del i n f i n i t o .................................................. 175 1. ¿Qué s a b e m o s ? ..................................................................... 175 2. ¿Qué podemos saber? ..........................................................184 3. Yendo de aquí para allá .............................................. ... . 203 4. A p é n d ic e .................................................................................228 VII. S altos df. fe ............................................................................. 238 1. La intuición ....................... ... ...........................................238 7

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ÍNDICE

2. La f í s i c a .................................................................................... 243 3. La m o d a lid a d ............................................................................. 246 4. La lógica de segundo o r d e n ......................................................250 VIII. De aquí a l i n f i n i t o ..................................................................... 268 1. ¿Quién necesita la au to ev ide ncia?....................... ... 268 2. Imaginando el i n f i n i t o ..............................................................274 3. Las matemáticas finitas de lo indefinidamente grande . .2 9 7 4. La teoría de los z illio n s ..............................................................317 IX. E xtrapolaciones ..................................................................... 339 1. Modelos n a tu r a le s ..................................................................... 339 2. Muchos modelos ..................................................................... 344 3. ¿Un modelo o muchos? Conjuntos y c l a s e s ........................... 346 4. Axiomas n a tu ra le s ......................................................................351 5. Reconsideraciones..................................................................... 354 6 . Variables esquemáticas y generalizables ............................... 357 B

ib l io g r a f ía

..........................................................................................................................361

Í ndice analítico

................................................................................ 381

PREFACIO C u a n d o e s c r i b í e s t e l i b r o traté de mantener los prerrequisitos matemá­ ticos al m ínim o. El lector que no tenga conocimientos más allá de los que se enseñan en la secundaria debería ser capaz de leer al menos hasta el capítulo VIII, así como partes del resto del libro, aun cuando tal lector tendría que saltarse algunas fórmulas. No obstante, esto es suficiente, pues constituye la parte del libro en la que presento la mayoría de las principales ideas. La introducción podría parecerle desalentadora, hace mención de ideas que serán explicadas posteriormente (confíe en mí, pues efectivamente éstas serán explicadas más adelante). Los lectores que en su juventud hayan aprendido cálculo pero que ya no lo recuerden muy bien y quienes hayan tomado un curso de lógica que incluyó una demostración del teorema de completez estarán en excelentes condicio­ nes para comprender todo el libro, excepto varias “observaciones técni­ cas”, el Apéndice del capítulo VI y algunas partes del capítulo IX. Estas discusiones técnicas aisladas requieren diferentes grados de complejidad matemática y de conocimiento de la lógica matemática en general, así como de cierto conocimiento de la teoría de recursión, la teoría de mode­ los o de la lógica modal. Agradezco a Bonnie Kent, Vann McGee, Sidnev Morgenbesser y a Sarah Stebbins su infinita paciencia para escuchar mis ideas poco elaboradas, y por su sustancial ayuda para seleccionar algunas y com­ pletarlas mientras estaba escribiendo este libro. Como llegarían a perca­ tarse, no puedo pensar sin la ayuda de los intercambios intelectuales de la conversación. Doy las gracias también a TiGrace Atkinson, Jeff Barrett, W illiam Boos, Hartry Field, Alan Gabbey, H aim Gaifman, Alexander George, Alien Hazen, Gregory Landini, Penelope Maddy, Robert Miller, Edward Nclson, Ahmet Omurtag, David Owen, Charles Parsons, Thomas Pogge, Vincent Renzi, Scott Shapiro, Mark Steiner y a Robert Vaught por sus amables comentarios a la primera versión del libro, los cuales condujeron a significativas mejoras. También agradezco a Thomas Pogge su importante ayuda en la corrección de mis traducciones del alem án (cualquier error que haya persistido es, por supuesto, mi responsabilidad). Finalmente, agradezco a mis padres, Dorothy y Leroy Lavine, no sólo su apoyo moral, el cual mucho aprecio, sino también su generoso respal­ do financiero, sin el cual no hubiera sido posible la preparación de este

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PREFACIO

libro. Mi esposa Caroline y mi hija Caila merecen mi mayor agradeci­ miento por tolerar y comprender mis ausencias y las tensiones que sobre nuestra vida familiar inevitablemente produjo la escritura de este libro. Este libro está dedicado a ellas.

I. IN T R O D U C C IÓ N

En l a s e g u n d a m i t a d del siglo x d í , Georg Cantor introdujo el infinito a las matemáticas. El infinito cantoriano ha sido uno de los principales n u ­ trientes del asombroso florecimiento de las matemáticas en el siglo xx, y pese a ello continúa siendo algo misterioso y mal comprendido. En algún momento de la década de 1870, Cantor se dio cuenta de que los conjuntos — es decir, las colecciones que en cierto sentido siempre habían formado parte de las matemáticas— eran dignos de estudio por derecho propio. Por ello, desarrolló una teoría acerca del tamaño de las colecciones infinitas y una aritmética infinita que sirviera como generali­ zación de la aritmética ordinaria. Generalizó su teoría de conjuntos de tal manera que incluyera la totalidad de las matemáticas, y esta teoría se volvió así crucial tanto para las matemáticas como para la filosofía de las matemáticas. Desafortunadamente, Cantor procedió de manera ingenua, como él mismo reconoció y Cesare Burali-Forti vio a finales del siglo xix y Bertand Russell a comienzos del siglo xx. Su teoría de conjuntos sim­ ple y elegante era inconsistente: estaba sujeta a paradojas. Desde el descubrimiento de dichas paradojas, la historia de la teoría de conjuntos ha sido una cadena de intentos para salvar lo más posible a la sencilla teoría original de Cantor. Se han desarrollado algunos siste­ mas formales de axiomas para codificar una parte un tanto arbitraria­ mente restringida de la teoría original de Cantor, los cuales tienen dos virtudes: permiten la reconstrucción de buena parte del trabajo positivo aportado por Cantor y, se espera, son consistentes. Estas teorías axiomá­ ticas han sido formuladas para evitar al menos las fallas conocidas; sin embargo, involucran ciertos rasgos no deseables. En primer lugar, el axioma de elección forma parte de las teorías no tanto porque parezca cierto —cuando m ucho resulta controvertido— , sino porque parece necesario para llegar a los resultados deseados. En segundo lugar, pues­ to que la actual teoría de conjuntos es una teoría ad hoc —resultado de la retirada ante el desastre— , no podemos esperar que corresponda de manera simple a nuestras intuiciones no educadas acerca de las colec­ ciones; fueron ellas las que en primer lugar metieron en problemas a Cantor. No podemos depender otra vez de nuestras intuiciones. Los axiomas fundamentales de las matemáticas — los de la teoría de conjuntos que constituye su base m oderna— están, en gran medida, determinados 11

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INTRODUCCIÓN

arbitraria e históricamente. Constituyen los remotos e imperfectamen­ te inferidos restos del bello pero trágicamente viciado paraíso de Can­ tor. La historia que acabo de contar es una historia común y ampliamente aceptada, aun cuando ninguna de sus palabras es cierta. Esto es importan­ te no sólo para la historia de las matemáticas, sino también para la filoso­ fía de las matemáticas y para muchas otras partes de la filosofía en gene­ ral. Esta historia ha influido en muchos sentidos importantes en nuestras ideas acerca del infinito matemático y, por lo tanto, en nuestras concepciones acerca de las matemáticas y el conocimiento abstracto en general. Tanto la teoría elemental de los niimeros como la geometría de los griegos, a pesar de lo abstractas que son, tienen claros nexos con la ex­ periencia. De hecho, con frecuencia ambas son consideradas resultado de la idealización de esta experiencia. Por el contrario, las matemáticas modernas, incluyendo buena parte de las matemáticas de la física, fre­ cuentemente se consideran abstractas en un sentido mucho más profun­ do. Como mostraré más adelante, las matemáticas modernas no sólo son abstractas, sino que tienen una conexión distante debido a que son conjuntistas . 1 La historia nos cuenta que la moderna teoría axiomática de conjuntos es producto no de la idealización, sino del fracaso de un inten­ to de idealización. Puesto que la ciencia y con frecuencia también las matemáticas son consideradas como los ejemplos más puros del conocimiento humano, la epistemología moderna intenta abordar el conocimiento científico y el matemático tomándolos como conocimientos de una clase típica o medular. Esto constituye un serio problema para la epistemología, pues­ to que considera al conocimiento matemático y al conocimiento científi­ co que lo incorpora como algo con una conexión distante con la expe­ riencia. Esta visión del conocimiento matemático que promueve la epistemo­ logía es errónea. Como lo demostrará este libro, la teoría de conjuntos, tal como la desarrollaron Georg Cantor y Emst Zermelo, está conectada con una clase de idealización de la experiencia humana muy similar a la relacionada con los números o con la geometría euclidiana. Cantor estudió la teoría de las series trigonométricas durante la déca1 Cuando digo que las matemáticas modernas son conjuntistas, no me refiero al funda­ mento conjuntista de las matemáticas, el cual desempeña un papel m uy lim itado en este libro, lo que tengo en mente es el intenso uso que las matemáticas actuales hacen de con­ ceptos tales como conjunto abierto, conjunto cenado, conjunto numerable, esmictura abs­ tracta, etc. Los conceptos mencionados, como lo veremos en el capítulo III, fueron introdu­ cidos por Cantor en el curso de las mismas investigaciones en las que presentó su teoría de los números infinitos y la aritmética de éstos.

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da de 1870. Se interesó en los conjuntos arbitrarios de números reales en el proceso de hacer que la teoría se aplicara a clases más generales de funciones. Su trabajo constituyó una parte del largo desarrollo histórico que en aquellos días había culminado en la idea de que una función de números reales en los números reales es simplemente cualquier asocia­ ción -—por arbitraria que sea— de cada número real con otro número real único, el valor de la función. Se utiliza el término arbitrario para dejar en claro que no es necesaria ninguna regla o método de cálculo. Esa noción de función es la que utilizamos actualmente. El estudio que hizo Cantor de la teoría de las series trigonométricas lo condujo a esta progresión de “índices" transGnitos: 0,

i , ...,

00, 00 + 1 , 00 + 2 ,..., 00-2,

00-3,..

La teoría de conjuntos de Cantor comenzó —y siempre permaneció así— como un intento de desarrollar las consecuencias de la progresión, especialmente las consecuencias para los conjuntos de números reales. A pesar de lo que diga la historia comúnmente, la teoría de conjuntos de Cantor no era una teoría de las colecciones, en el sentido fam iliar de éstas, sino de las colecciones que pueden ser contadas utilizando los índi­ ces — los números ordinales finitos y transíinitos, como él los llam ó— . Aun cuando Cantor llegó a darse cuenta de la utilidad general de su teo­ ría para codificar gran parte de las matemáticas, ésta nunca fue su meta principal. La teoría de conjuntos original de Cantor no era ingenua ni estaba sujeta a paradojas. Se desarrolló a partir de una única y coherente idea: los conjuntos son colecciones que pueden ser contadas. Trató a las colec­ ciones infinitas como si fueran finitas, a tal grado que el más agudo his­ toriador de la obra de Cantor, Michael Hallett, enfatizó el “finitismo” de Cantor. La teoría de Cantor es una parte de la teoría que actualmente utilizamos. Russell fue el inventor de la teoría de conjuntos "ingenua" que tan fre­ cuentemente se ha atribuido a Cantor. Russell trabajó en la obra de Giuseppe Peano, además de que fue quien descubrió las paradojas en la teo­ ría de conjuntos ingenua que él mismo había inventado. Cuando Cantor supo de estas paradojas, simplemente observó que éstas no se aplicaban a su teoría y nunca se preocupó por ellas, puesto que no tenían nada que ver con él. Burali-Forti tampoco descubrió paradoja alguna, aun cuando su trabajo sugirió a Russell una paradoja. La teoría de Cantor tenía otros problemas. No incluía, en su forma ori­ ginal, a los números reales como un conjunto. Por una buena razón.

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INTRODUCCIÓN

Cantor había creído hasta la década de 1890 —ya al final de su carrera— que los incluía quizás. (Casi todo lo que escribo aquí es conocido por uno u otro historiador o matemático; lo que sí es inédito es la afirmación de que Cantor tenía una teoría sin problemas que se coiapsó en la década de 1890. Esto será discutido en IV.2 .)2 Cantor elaboró un nuevo supuesto respecto a su teoría tan pronto se percató de que lo necesitaba, un su­ puesto que le permitió incorporar los números reales, pero que también le causó grandes problemas. El nuevo supuesto fue su versión de lo que ahora se conoce como el axioma del conjunto potencia. El problema que se derivó fue que su teo­ ría, que supuestamente era una teoría de las colecciones que pueden ser contadas, no podía contar las nuevas colecciones a que dio lugar el axio­ ma del conjunto potencia. Fue así como toda su teoría quedó expuesta a la duda, aun cuando no (y esto quiero enfatizarlo) a la contradicción y a paradojas. Parecía que la idea de contar ya no podría servir como la idea clave. Cantor no supo cómo reemplazar esta idea. En 1904 Zermelo vino al rescate de la teoría de conjuntos de Cantor. Zermelo aisló un principio inherente a la noción de función arbitraria, principio que había sido utilizado por muchos matemáticos, incluido Cantor, al estudiar las funciones, pero al cual no le prestaron especial atención, y el cual también fue utilizado por Cantor en su estudio de los números ordinales. Zermelo llam ó a este principio el axioma de elec­ ción. Aun cuando dicho principio fue utilizado antes de Zermelo sin que se le prestara atención, esto no fue el producto de un descuido: el prin­ cipio realmente es inherente a la noción de función arbitraria. Lo que Zermelo hizo notar fue que este principio podía ser utilizado para "con­ tar", en sentido cantoriano, aquellas colecciones que habían dado a Cantor tantos problemas, lo cual le restauró cierta unidad a la teoría de conjuntos. El axioma de elección nunca fue, a pesar de lo que dice la historia ofi­ cial, una fuente de controversia. Todo mundo estaba de acuerdo en que es una parte de la noción de una función arbitraria. El barullo que pro­ vocó la introducción del axioma de elección por parte de Zermelo fue resultado de una disputa acerca de si la noción misma de función arbi­ traria era apropiada para utilizarse en matemáticas (y, de hecho, acerca de si era una noción coherente). La idea rival era que las funciones sólo deberían estar dadas por reglas, idea que ponía en duda el axioma de elección. La controversia se dio entre quienes consideraban que las matemáticas tratan sobre funciones arbitrarias y quienes consideraban que tienen que ver con funciones dadas por reglas —no se dio acerca del 2 Es decir, la sección 2 del capitulo IV. Cuando sólo mencione el número de sección, me referiré a una sección del capítulo en estudio.

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axioma de elección en sí, sino respecto a la noción correcta de función— . Los partidarios de las funciones arbitrarias ganaron, y con ellos el axio­ ma de elección. Por lo tanto, ya no hay razón alguna para pensar que el axioma de elección es de alguna manera cuestionable. El trabajo de Zermelo recibió numerosas críticas. Una crítica impor­ tante fue que había utilizado principios que, como los de Russell, condu­ cían a conocidas contradicciones. Pero no era así. Para defender su teo­ rema de que los números reales pueden ser "contados”, Zermelo elaboró una presentación axiomática de la teoría de conjuntos y una nueva demostración del teorema con base en sus axiomas. Los axiomas eran para ayudar a dejar en claro que había estado trabajando todo el tiempo con base en una visión totalmente consistente. Esto se aparta de la opi­ nión común, según la cual él "axiomatizó” la teoría de conjuntos para proporcionar una teoría consistente, en ausencia de alguna otra salida posible a las paradojas. Hubo de hecho una teoría que se desarrolló como un salida a la desas­ trosa teoría de Russell y la de su precursor en Gottlob Frege. Se trata de la llamada teoría de tipos; pero ésta nunca tuvo mucho que ver con la teoría cantoriana de conjuntos, y únicamente la comento aquí debido a que es necesario diferenciarlas. En el proceso de analizar esta teoría introduciré el uso distintivo que Russell sugirió para algo similar a los esquemas,3 uso que muestra que éstos tienen propiedades útiles que merecen un estudio más serio. Tal estudio constituye uno de los subtemas tratados a lo largo de este libro. No les tomó mucho tiempo a Thoralf Skolem y a Abraham Fraenkel percatarse de que los axiomas de Zermelo — aun cuando servían al pro­ pósito de éste de defender su teorema— no incluían un importante prin­ cipio de la teoría de conjuntos cantoriana: el principio que actualmente se conoce como axioma de reemplazo. Sin embargo, resulta extraño el acuerdo universal que surgió acerca de la validez del axioma de reempla­ zo, puesto que tal axioma no servía para nada. Aun cuando en aquel momento no se sabía si dicho axioma tenía alguna consecuencia sobre algo, excepto sobre las propiedades de los límites superiores del infinito cantoriano, de todas maneras fue inmediata y universalmente aceptado como un principio correcto acerca de los conjuntos de Cantor. En los capítulos II al V se establece con detalle que el bosquejo históri­ co que acabo de presentar es correcto, y no la historia oficial que parodié al inicio de esta introducción. Estos capítulos tam bién incluyen otras particularidades del desarrollo de la teoría de conjuntos. Sólo una mues3 Un esquema es una forma de enunciado que se utiliza para sugerir una lista de enun­ ciados. Por ejemplo, X = X, donde la clase de sustitución para X son números, es un esque­ ma que tiene como ejemplos, entre otros: 0 = 0,1 = 1 y 2 = 2.

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tra más: la concepción iterativa de conjunto (que actualmente es consi­ derada como la que provocó el desarrollo de la teoría de conjuntos y la que justifica los axiomas) no fue sugerida, y mucho menos defendida, por nadie antes de 1947. Tres son los principales propósitos filosóficos para contar la historia que acabo de esbozar. El primero es contrarrestar la nefasta influencia de la historia oficial, la cual parece haber convencido a muchos filósofos de las matemáticas de que nuestras intuiciones adolecen de serios defec­ tos, que no se debe confiar en ellas y que, por lo tanto, los axiomas de las matemáticas son en gran medida arbitrarios, históricamente determina­ dos, convencionales, etc. Los detalles varían, pero las expresiones peyo­ rativas son múltiples. Por el contrario, la teoría de conjuntos no está saturada de paradojas y nunca estuvo en situación tan desesperada. Se desarrolló de una manera bastante directa como resultado de una concepción más o menos cohe­ rente. (En realidad pienso que ha habido dos principales vertientes en el desarrollo de esta teoría, simbolizadas por la noción de conteo y por el con­ junto potencia. Con el análisis que hago en el capítulo V.5, se verá con más claridad cómo se acoplan. Un síntoma de nuestra falta de claridad respecto a esta cuestión es la independencia de la hipótesis del continuo; pero media un gran abismo entre eso y la usual historia trágica.) El segundo propósito es mostrar lo que como hecho histórico sabemos del infinito cantoriano con base en intuiciones claras y universales que de una manera muy particular conciernen al infinito. Las dos cosas más sorprendentes que con base en intuiciones conocemos del infinito canto­ riano están codificadas como los axiomas de elección y reemplazo. ¿Cómo podríamos conocer tales cosas? Parece un completo misterio. Frecuentemente el veredicto ha sido que no tenemos tal conocimiento, que el uso que hacemos de los axiomas de elección y de reemplazo es en gran medida arbitrario, históricamente determinado, convencional, etc. Pero eso no es aplicable a los hechos históricos de la práctica matemáti­ ca, hechos que cualquier adecuada filosofía de las matemáticas debe confrontar. (En esta parte introductoria me estoy permitiendo ignorar el escepticismo constructivista acerca de tales materias; sin embargo, a lo largo del texto sí lo abordaré.) El tercer propósito es esclarecer la naturaleza de la intuición, con base en la cual conocemos lo que conocemos. He estado utilizando el término “intuición" debido a que es muy familiar; pero no me refiero a la contem­ plación especulativa de un cielo platónico o a un misterioso tipo de per­ cepción que el término pueda sugerir a muchas personas. Cualquier cosa que sea la intuición, es muy importante para las matemáticas:

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En matemáticas, como en cualquier clase de investigación científica, están presentes dos tendencias; por un lado la tendencia a la abstracción... y por otro la tendencia al entendimiento intuitivo que promueve una comprensión más inmediata de los objetos que uno estudia, una vivida conexión con ellos, por así decirlo, la cual enfatiza el significado concreto de sus relaciones. [...] En la actualidad todavía es válido, corno siempre lo fue, que la com ­ prensión intuitiva desempeñe un papel importante en la geometría. Y tal intui­ ción concreta es de gran valor no sólo para el investigador, sino también para quienquiera que desee estudiar y apreciar los resultados de la investigación en geometría (página iii del prefacio de David Hilbert [1952]).

La cita proviene de un libro de geometría, pero la aseveración tiene una validez mucho más general. Así como una teoría científica puede sustituir a otra debido a su supe­ rior capacidad para sistematizar, por las mismas razones una teoría ma­ temática puede desplazar a otra. Desarrollos inesperados pueden gene­ rar nuevas teorías, las cuales pueden a su vez conducir a fructíferos avances en las viejas teorías, y llegan a entrelazarse tanto con ellas que lo nuevo y lo viejo se vuelve indistinguible. Veremos varios ejemplos de esto, uno de ellos es la noción moderna de función, que evolucionó gra­ dualmente a partir del deseo de ver qué curvas pueden representarse como series trigonométricas. El estudio de funciones arbitrarias, en el sentido moderno, condujo a Cantor a los números ordinales, que a su vez condujeron a la teoría de conjuntos. Y la teoría de conjuntos se entrelazó a tal grado con las teorías de funciones y de los números rea­ les, que las trasformó completamente. Todo esto forma parte de la histo­ ria que se cuenta en los capítulos II y III. Las matemáticas no tienen los mismos lazos con la práctica experimental que la ciencia pero, no obs­ tante, evolucionan de una manera muy sim ilar a como evoluciona la ciencia. El panorama de las matemáticas que acabo de bosquejar generalmen­ te es considerado como antitético a la posibilidad de una forma caracte­ rística de intuición matemática. Se piensa que las nuevas matemáticas evolucionaron a partir de las antiguas sin más limitación que lo que pue­ da demostrarse. Pero ése no puede haber sido el caso para la mayor par­ te de la historia de las matemáticas modernas; a partir de. digamos, la primera mitad del siglo xvn a la segunda mitad del siglo xix no se siste­ matizaron ni se axiomati/.aron coherentemente muchas partes de las matemáticas, y ciertamente no hubo una noción adecuada de prueba. En esa época los matemáticos se consideraban necesariamente a sí mis­ mos como personas que trabajaban con base en una concepción intuitiva y basadas hasta cierto punto en lo que era obvio y en las conexiones con la física, en cierta medida — pero sólo hasta cierto grado— , en la demos­

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tración, puesto que la demostración no era un procedimiento completa­ mente confiable. (Véase el capítulo II.) Creo que actualmente la mayoría de los matemáticos se conciben aún como personas que trabajan sobre las mismas bases conceptuales y de una manera cuasiintuitiva muy simi­ lar, aun cuando esto es mucho más difícil de demostrar, puesto que aho­ ra disponemos de rigurosos estándares de prueba y de axiomatizadones precisas. Las concepciones intuitivas que subyacen a las teorías matemá­ ticas evolucionan, al igual que ellas, y las intuiciones a la vez que restrin­ gen las teorías, también propician nuevos desarrollos en ellas de mane­ ras insospechadas. El desarrollo de la teoría de conjuntos constituye un excelente ejemplo del papel positivo y necesario que desempeña la intuición en las matemá­ ticas. Debido a que la teoría de conjuntos es de tantas maneras diferente a las matemáticas anteriores, es claro que el entrenamiento previo de Cantor estuvo muy lejos de ser una guía adecuada. Además, la progre­ sión que él descubrió en cierto sentido posee un claro contenido intuiti­ vo. Hay un grande y misterioso enigma en lo sugestivo de la sucesión de Cantor que difícilmente puede ser sobreenfatizado: esta sucesión es infi­ nita y no tenemos absolutamente ninguna experiencia de algún tipo de infinito. Así que, ¿cuál método estamos utilizando — qué método utilizó Cantor— para dar sentido a esta sucesión? La pregunta es otra versión de la pregunta que hicimos anteriormente sobre los axiomas de elección y reemplazo. Es difícil entender cómo podemos conocer cualquier verdad matemáti­ ca, puesto que el objeto de estudio de las matemáticas es muy abstracto. Pero el problema se vuelve particularmente difícil tratándose de las verda­ des acerca del infinito. No hay duda de que sabemos que 2 H- 2 = 4 en un sentido u otro, y que este conocimiento está en cierto modo conectado con nuestra experiencia de que pares se combinan para formar un cuádruplo. Este hecho es indiscutible y tiene múltiples conexiones con la experiencia humana. En cambio, sí existe una genuina duda acerca de la verdad de una expresión como X2 + K2 — K2. Podríamos dudar, por ejemplo, de la existencia de X2 cosas.4 Todo mundo está de acuerdo en que en cierto sen­ tido debemos aceptar que 2 + 2 = 4, pero es razonable ser totalmente escépticos acerca del infinito. Peor todavía: no es claro qué conexiones podría tener la experiencia humana con las verdades del infinito. Un filó­ sofo de las matemáticas moderno expresó esto de la siguiente manera: La mente hum ana es finita y la jerarquía de la teoría de conjuntos es infinita. Presumiblemente cualquier contacto entre m i mente y la jerarquía iterativa 4 F.ste símbolo es aleph mayúscula (la primera letra del alfabeto hebreo). X, (se pronun­ cia "aleph 2’’) representa uno de los números infinitos de Cantor.

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puede im plicar c u a n d o mucho una porción finita de esta estructura. Pero en tal caso yo también podría establecer una relación con cualquiera de una m ul­ titud de otras estructuras que coinciden con la jerarquía estándar sólo en la minúscula porción finita que yo he logrado comprender [Maddy, 1990, p. 791.

Existe un problema filosófico acerca del conocimiento de los objetos abstractos en general y de los objetos matemáticos en particular. Pero el caso especial del conocimiento de los objetos matemáticos infinitos es un problema peculiar para el cual se han sugerido soluciones peculiares. Los capítulos VI y V II tratan de ese problema del infinito. En el capítulo VI analizo varias explicaciones del conocimiento matemático del infinito que intentan mostrar cómo puede obtenerse a partir de la experiencia. Parten de la teoría del conocimiento y tratan de ajustar las matemáticas a ella. También analizo aquí el intuicionismo, varias formas de formalis­ mo y una versión del programa de David Ililbert. Utilizo una concepción russelliana de los esquemas para esclarecer de qué manera las matemáti­ cas finitistas de Hilbert podrían evitar un compromiso con el infinito. Una consecuencia de cada una de las filosofías que examino es que no podemos conocer lo que de hecho conocemos. En el capítulo VII, reviso varias explicaciones del conocimiento mate­ mático del infinito que siguen una dirección opuesta. Comienzan con las matemáticas, y tratan de adaptar una teoría del conocimiento a ellas. Examino los puntos de vista de Kurt Godel, los de W illard van Orinan Quine y los de Hilary Pulnam. Ninguno de ellos logra explicar los alcan­ ces superiores de la teoría de conjuntos. También analizo el desafío que plantea el escepticismo de Skolem al conocimiento matemático del infi­ nito — una historia que también se aborda en el capítulo V— , y el inlento de utilizar la lógica de segundo orden para bloquearlo. Aun cuando con­ cluyo que la crítica de Skolem a la lógica de segundo orden tiene sus méritos, propongo una solución vinculada para el problema del escepti­ cismo basada en el uso de esquemas la cual, creo yo, resulta exitosa. Ninguna de las filosofías estudiadas en los capítulos VI y VII podrían resolver el problema del infinito debido a que ninguna de ellas encara el meollo del asunto: ¿Cuál es la fuente de nuestras intuiciones concernien­ tes al infinito cantoriano? En términos más prosaicos y en cierto modo simplistas, ¿qué nos sugieren los puntos suspensivos, las tríadas de pun­ tos, escritos en la sucesión transfinita de Cantor? Cualquier cosa que sean, constituyen una parte importante de lo que condujo a Cantor a su teoría. Hallar una respuesta es importante por muchas razones. Nuestra teo­ ría de conjuntos está incompleta, es inadecuada para resolver muchos de los problemas que ella misma genera. Cualquier cosa que ayude a escla­

2U

INTRODUCCIÓN

recer los orígenes de nuestros axiomas puede ayudar a sugerir más axio­ mas o a decidir adecuadamente entre los que ya han sido propuestos. Esto es importante tanto por razones matemáticas como porque el haber perdido la esperanza de encontrar nuevos axiomas se ba vuelto en sí una fuente de escepticismo acerca de la teoría matemática del infinito. El aparente problema de explicar el infinito matemático condujo a la escisión entre los filósofos que comento en el capitulo VI, y aquellos de los que se habla en el capítulo Vil. Actualmente cada lado parece estar en un concilio de desesperación, t i impasse resultante ha tenido reper­ cusiones más allá de la filosofía de las matemáticas: ha afectado a todas las teorías epistemológicas modernas. En el capítulo VIH propongo que la fuente de nuestras intuiciones en relación con el infinito cantoriano es la experiencia de lo indefinidamen­ te grande, es decir que nuestra imagen de lo que representan los puntos suspensivos surge de nuestra idea de seguir mucho más allá de adonde hemos llegado: continuar indefinidamente. La propuesta podría tener cierta plausibilidad por el hecho de que los niños pasan por una etapa en la que piensan que el infinito no es más que lo indefinidamente grande. Esta propuesta no tiene nada de nuevo, pero yo presento una argumen­ tación sustancial mente nueva para ella, haciendo uso de la teoría matemá­ tica de lo indefinidamente grande desarrollada por Jan Mycielski. Con el fin de demostrar que la teoría puede servir como un conjunto de leyes del origen histórico y psicológico de nuestras intuiciones concernientes al infinito, es necesario demostrar cuatro cosas: I) que la teoría no presupone el infinito, y por tanto es adecuada en principio para ser una fuente de intuiciones acerca del infinito en la que no se presupone lo que se va a explicar; 2) que la teoría formaliza la experiencia ordinaria de lo indefinidamente grande y es por tanto una reconstrucción de las intui­ ciones que tenemos, un hecho psicológico real; 3) que no conduce a la teoría de conjuntos, y que por tanto es suficientemente rica para explicar lo que nos hemos propuesto explicar, y 4) que es totalmente coherente con el verdadero desarrollo de la teoría de conjuntos, y que por tanto puede ser utilizada para representar las intuiciones que desempeñaron un papel histórico real. Para demostrar lo primero — que no presupone el infinito— , es necesa­ rio presentar la teoría de tal manera que no involucre un compromiso con el infinito. Esto se hace utilizando esquemas. Como una ventaja adi­ cional, esta presentación muestra, utilizando el trabajo matemático de Mycielski, que la teoría nos permite proporcionar una contraparte de las matemáticas conjuntistas ordinarias que no involucra compromiso algu­ no con el infinito. Para argumentar en favor de lo segundo — que la teoría es una codifi­

INTRODUCCIÓN

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cación razonable de nuestra experiencia de lo indefinidamente grande-— muestro cómo puede aplicarse para hacer algunas partes del cálculo — relacionadas con la experiencia cotidiana— más obvias de lo que son cuando se presentan de la manera usual, la cual involucra límites. Esto, además de la verosimilitud de la teoría por sí misma, muestra cuán natu­ ral e intuitiva es la teoría y, como podrá comprobarlo usted mismo, cuán cerca está de las intuiciones preteóricas de cualquier persona. Demuestro lo tercero — que esta teoría realmente conduce a la teoría de conjuntos— , indicando que la teoría de conjuntos, junto con los axio­ mas de elección y reemplazo surgen de la extrapolación, en un sentido matemático preciso, a partir de la teoría de lo indefinidamente grande. El principal argumento del cuarto punto —que la teoría es totalmente coherente con el verdadero desarrollo de la teoría de conjuntos— es que la teoría de lo indefinidamente grande nos ayuda a dar sentido al "finitismo" de Cantor, quien se veía a sí mismo como un matemático que estaba haciendo una analogía entre lo finito y lo infinito. Ahora podemos dar un sentido preciso a esto: su procedimiento, analizado y reconstruido, fue la extrapolación desde lo indefinidamente grande a lo infinitamente grande. Se mostrará que, en principio, el proceso de idealización que relaciona lo finito con lo infinito no es muy diferente al que relaciona los puntos dibujados con un lápiz con los puntos geométricos. Los puntos son, más o menos, puntos idealizados, mientras que los conjuntos infinitos son, más o menos, colecciones idealizadas indefinidamente grandes. Por tan­ to, la teoría de conjuntos es consistente con la aritmética y la geometría: las tres tienen una estrecha relación con tipos de experiencias de todos conocidas. Y así queda disuelta la naturaleza aparentemente misteriosa del infinito.

II. EL INFINITO, ASIDUO PRETENDIENTE DE LAS MATEMÁTICAS “ . . . P e r o , y a a p a r t i r d e l a m e r a n a t u r a l e z a del número irracional, pare­ ce necesario comprender plenamente el infinito matemático antes de qLie sea posible una adecuada teoría de los números irracionales". La apelación a clases infinitas es obvia en la definición de cortaduras de Dcdekind. Pero tales clases conducen a serias dificultades lógicas. Depende del nivel de sofisticación del matemático el que considere estas dificultades como relevantes o sin consecuencias para el desarrollo consistente de las matemáticas. El analista valiente sigue adelante con osadía, colocando una torre de Babel encima de otra y confiando en que ningún iracundo dios de la razón lo confundirá a él junto con todas sus obras; mientras que el lógico crítico, que mira cínicamente los cimientos del imponente rascacielos de su hermano, hace un rápido cálculo mental para predecir la fecha del colapso. Entretanto, todos estamos atareados y todos parecemos estar divirtiéndonos. Sin embargo, la siguiente con­ clusión parece ineludible: sin una teoría consistente del infinito matemá­ tico no hay teoría de los números irracionales; sin una teoría de los números irracionales no hay análisis matemático de ninguna clase, ni siquiera alguno que remotamente se parezca al que actualmente tenemos; y para finalizar, sin el análisis la mayor parte de las matemáti­ cas —incluyendo a la geometría y a la mayoría de las matemáticas apli­ cadas— dejarían de existir tal como las conocemos actualmente. Por lo tanto, la empresa más importante que enfrentan los matemáti­ cos es al parecer la construcción de una teoría satisfactoria del infinito.

Si el Lector m irara hacia atrás y viera la definición de Eudoxo de "misma razón” [...] vería que allí también ocurren "dificultades infinitas'' [...] No obs­ tante, se lian hecho algunos progresos desde tiempos de Eudoxo; por lo menos ahora estamos comenzando a comprender la naturaleza de nuestras dificulta­ des [Bell, 1937, pp. 521-522],

Espero que este capítulo contribuya a la difusión de algunos aspectos de la historia del infinito matemático que son conocidos, al menos en líneas generales, por muchos matemáticos. El capítulo es un trabajo descriptivo, más que de tesis, ya que poco de lo que expondré es controvertido . 1 Si 1Me he apoyado mucho en el libro de M onis Kline, 12

Mathematical Tkotight from Ancie.nl

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logro que la historia sea accesible sin introducir un detallado conocimien­ to de las series de Fourier o de la distinción enlre conver gencia y conver­ gencia uniforme, el capítulo habrá cumplido su propósito. La moderna teoría del infinito no comenzó como un esfuerzo para producir una teoría del infinito, no fue resultado de una larga hisLoria de intentos de teorías matemáticas del infinito; empezó rnás bien con el intento de esclarecer los fundamentos del análisis, y específicamente del cálculo — es decir, surgió a partir del desarrollo de la teoría de razones de cambio y de las áreas bajo las curvas— . En gran parte, el infinito ha entrado en las matemáticas actuales como resultado de algunos internos de dar sentido a la noción de una curva o de una función arbitraria. La historia de la enormemente exitosa aplicación del análisis a la físi­ ca es demasiado conocida como para que la tengamos que repetir aquí. Simplemente me permito destacar que ni en la época de Newton ni ac­ tualmente puede considerarse al análisis sólo como una enlre las muchas ramas de las matemáticas: es la rama cuya aplicación, especialmente en la física, ha sido la más fructífera. Es por tanto la rama de las matemáti­ cas a través de la cual éstas tienen su contacto más íntimo con la física, con las demás ciencias y con el mundo natural.

1. L

o n g it u d e s ik c ü n m l m s u r á e l e s , n ú m e r o s ir r a c io n a l e s

A la mayoría de nosotros se nos enseñó en alguna ocasión que Pitágoras descubrió que la raíz cuadrada de 2 es irracional. Aun cuando la infor­ mación histórica sobre Pitágoras es escasa, es muy probable que esto no sea cierto. En primer lugar, muchos de los descubrimientos de los pita­ góricos han sido atribuidos al propio Pitágoras. Lo más probable es que haya sido algún otro miembro de esta escuela quien hizo tal descubri­ miento. De hecho, el descubrimiento ha sido atribuido a Hipaso de Metaponto (siglo V a. C.). Según una leyenda, hizo este descubrimiento mientras se encontraba en el mar con otros pitagóricos, y fue arrojado por la borda a causa de este problema (véanse Heath, 1981, vol. 1, pp. 154-157, y Heath, 1956, vol. l,p p . 411-414). En segundo lugar, y esto es mucho más importante, los únicos núm e­ ros con los que trabajaban los pitagóricos eran los números enteros —no to Modem Tintes (1972)fy en los artículos de From the Calculus lo Set Theory, compilado por L Grattau-Guiness (1980b). Mí análisis del desarrollo del cálculo estuvo muy Influido por el libro de Philip Kitcher The Natitre of Math^rnatical Knowtedge (1983). También he hecho uso de la obra Hisrory of Mathematics, de Florian Cajcri (1985), y de A Concise Histoty o f Mathematics, de Dirk J. Struik (1987). Otros trabajos históricos especializados que cito en el texto cuando es necesario han servido como útiles correctivos.

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F.L INFINITO. ASIDUO PRETENDIENTE DE LAS MATEMÁTICAS

se ocupaban de los números racionales, y mucho menos de los irraciona­ les^—, aun cuando conocían muchas cosas acerca de las proporciones geométricas entre magnitudes geométricas. Por ejemplo, sabían que dos cuerdas del mismo tipo y tensión cuyas longitudes estaban en relación de 3 a 2 producían, cuando eran pulsadas, notas con un intervalo musi­ cal de un quinto. La relación de 3 a 2 significaba, simplemente, que 2 longitudes podían ser medidas por una unidad común y que una tenía 3 veces la longitud de esa unidad, mientras que la otra tenía el doble de la longitud de esa misma unidad. De ninguna manera estaban asociando esto con las fracciones o con los números racionales 3/2 o 2/3. Las longitudes de las dos cuerdas de nuestro ejemplo eran conmensu­ rables — es decir, medibles por medio de múltiplos de números enteros de una unidad común— , Lo que los pitagóricos descubrieron no fue que la raíz cuadrada de 2 es irracional, sino que el lado y la diagonal de un cua­ drado no son conmensurables. Esto hizo imposible continuar con el pro­ grama pitagórico de identificar a la geometría con la teoría de los núme­ ros, que para los griegos eran únicamente los números enteros. E n algún momento del siglo posterior al trabajo de Hipaso de Metaponto, Eudoxo elaboró una ingeniosa teoría de las razones inconmensu­ rables. Dicha teoría continúa siendo la base de nuestra comprensión sobre éstas. Las razones inconmensurables surgieron dentro de la geo­ metría, y la teoría de Eudoxo era totalmente geométrica. De hecho, Eudoxo contrastó las magnitudes geométricas con números, los cuales se incrementan cada vez en una unidad. La idea principal de su teoría de las razones inconmensurables es más o menos la siguiente; La razón afb es la misma que la razón cid sí, para cualesquiera números enteros n y m, na es menor, igual o mayor que mb, si y sólo si nc es, respectivamen­ te, menor', igual o mayor que md. Poco menos de un siglo más tarde, la teoría de Eudoxo fue codificada en el libro V de los Elementos de Euclides. El libro II mostraba cómo operaba el álgebra de entonces, que era geométrica: los números son representados, o más precisamente reemplazados, por longitudes, ángu­ los, áreas y volúmenes. El producto de dos longitudes es un área; el pro­ ducto de tres, un volumen. Se pueden sumar y restar longitudes de longi­ tudes, áreas de áreas, etc. En efecto, los números y el álgebra fueron eliminados en favor de la geometría, y los fundamentos de la teoría geo­ métrica de las razones o proporciones son los de Eudoxo. Las razones de las magnitudes, ya sean conmensurables o inconmen­ surables, no son sustituciones para los números, racionales e irraciona­ les. No se proporciona procedimiento alguno para, por ejemplo, sumar o multiplicar razones de magnitudes. Las magnitudes mismas — longitudes y cosas similares— tampoco son

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sustituciones para Jos números racionales e irracionales. Se pueden su­ mar, pero el producto de las longitudes, como ya dijimos, es un área. Euclides tuvo el cuidado de enunciar (definición 3) que una razón sólo pue­ de relacionar magnitudes de la misma clase; es decir, no se pueden relacionar longitudes y áreas con una razón. A diferencia del producto de los números, un producto de longitudes es una entidad de una clase diferente. En el libro X, Euclides investigó y clasificó razones entre rectas, que actualmente representaríamos como longitudes de la forma ± -Jb, para a y b conmensurables. Las razones entre rectas que no pueden ser expresadas en esta forma no fueron analizadas en los Elementos. Leonardo de Pisa (Fibonacci), incansable viajero educado en África, reintrodujo los Elementos de Euclides y otros trabajos griegos a Europa. También contribuyó a la difusión de los números y los métodos de cálcu­ lo de los árabes. En 1220 Leonardo publicó su descubrimiento de que las raíces de x3 + 2x2 + lO.t - 2 0 no se pueden expresar en la forma de VvtJ ± Para esa época, los árabes ya trabajaban con desenvoltura con los números irracionales, y el descubrimiento de Leonardo demostró que no se podían construir todos los números con las restricciones euclidianas de la regla y el compás. Pero no se había provisto fundamento alguno para el uso de los números irracionales. En los siguientes siglos se volvió cada vez más com ún el uso de los números irracionales entre los matemáticos europeos, pero todavía no estaba claro en qué sentido eran números. Michael Stifel escribió en su Aritkmetica Integra (1544) lo siguiente; Puesto que cuando se prueban figuras geométricas [...] los números ínracíonales [...] prueban exactamente aquellas cosas que los números racionales no podrían probar nos sentimos motivados y competidos a afirmar que éstos realmente son números. Por el contrario, otras consideraciones nos compelen a negar que los números irracionales sean en realidad números. Así, cuando buscamos (darles una representación decimal) encontramos que huyen perpetuamente, por lo que ninguno de ellos puede ser aprehendido con preci­ sión en sí mismo [...J No se puede llamar número a un ente que carece de pre­ cisión [...] Por tanto, de-la m isma manera que un núm ero infinito no es un número, un irracional tampoco es un verdadero número, y se oculta en una especie de nube de infinito [Kline, 1972, p. 251].

Como veremos más adelante, las observaciones de Stifel fueron pre­ monitorias; la base de los números irracionales no fue adecuadamente esclarecida hasta que se permiLió la entrada de los números infinitos a las matemáticas,

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Los lazos con la geometría continuaron siendo fuertes. Stifel decía que “ir más allá del cubo, como si hubiera más de tres dimensiones... es con­ tra natura” (Klínc, 1972, p, 279). En la obra Regulas ad Directionem Ingenii (cct. 1628) Rene Descartes dio cabida explícitamente a los números irracionales en el caso de las magnitudes continuas, En 1637 Descartes tomó el producto de la multiplicación de longitudes como otra longitud, no como un área, y consideró que los polinomios determinaban curvas (Descartes, 1954; Grosholz, 1980; y Mahoney, 1973). Newton introdujo el número como ‘‘la razón abstraída de cualquier cantidad a otra cantidad de la misma clase”, incluyendo las razones inconmensurables; también introdujo la multiplicación, la división y las raíces en términos de razo­ nes en sus cátedras universitarias, las cuales fueron publicadas en 1707, bajo el título de Arithmetica universalis sive de composiiione et resotatione añthmeiica líber (WhiLeside, 1967, vol. 2, p. 7). Hasta aquí hemos estado considerando a la geometría de las líneas recias (y de los rectángulos, etc.) y sus magnitudes. Ahora abordaremos la geometría de.las curvas y de las áreas que ésLas acotan. En este taso también fue Eudoxo quien realizó el trabajo básico que Euclides incor­ poró en los Elementos (libro XII). Arquímedes todavía fue más lejos e incorporó lo que denominó el método de exhaución. Este método conti­ nuó siendo el único plenamente desarrollado y justificado para el cálculo de áreas y volúmenes hasta el siglo xix; sin embargo, sus detalles no son prioritarios para nuestra historia.

2. N

ew ton y

L k ib n iz

Durante la primera mitad del siglo xvu fueron introducidas o descritas varías curvas por medio del movimiento. Esto no era nuevo, pero este m odo de describirlas comenzó a desempeñar un papel cada vez más importante. En 1615 Marín Mersenne deñnió la cicloide como la trayec­ toria que describe un punto sobre el borde de un círculo giratorio. La cicloide tampoco era algo nuevo, pero sí su definición. Galileo Galilei de­ mostró en su Discorsi e dimostra7.ione matematiche intorno a due nuove sciertze (1638) que el recorrido de una bala de cañón es una parábola, y consideró a la curva como la trayectoria de un punto en movimiento. Más adelante se diseñaron muchas técnicas para calcular varias pro­ piedades de las curvas, en algunos casos a partir del método de exhau­ ción: técnicas para calcular máximos y mínimos, para localizar lineas tangentes y para calcular áreas y volúmenes. Algunos matemáticos invo­ lucrados en este proceso fueron Pierre Fermat, René Descartes, Isaac Barrow, Johann Kepler, Bonaventura Cavalieri, Gilíes Personne de

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Roben-al, Evangelista Torricelli, Blas Pascal, John Wallis, Christopher Wren, William Neile, Gregory de Saint Vincent, James Gregoryy Christiaan Iluygens. Pero fueron Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leíbniz quienes sistematizaron las técnicas en el cálculo, por lo que sólo aborda­ remos brevemente el trabajo de los demás. ' El nuevo estudio de las curvas y el movimiento condujo a una nueva de­ finición de la línea tangente a una cu n a (Roberval, Brieves Observation sur la composition des moi-ivements et sur le moyen de trouver les Tonehantes des Ligne Courbes, ca. 1636, publicado en 1693). La definición griega de una línea tangente a una curva es una línea que toca la curva en un punto. Roberval definió una línea tangente a una curva como la direc­ ción de la velocidad de un punto en movimiento que traza a la curva. En su Arithmetica Infinitorum (1655), Wallis estudió las sumas y pro­ ductos infinitos. También dio una definición general correcta del lím i­ te de una sucesión infinita de números, definición que no volvió a ser revisada hasta 1820. (Por ejemplo, el límite de la sucesión 1, y, es 0. Véase el apartado II.5.) Newton estudió la Arithmetica Infinitomm y uti­ lizó sus técnicas para comprobar por él mismo que el teorema del bino­ mio — que da los coeficientes de expansión de (a + b)npara n arbitraria— también es válido cuando n es negativa o fraccionaría. En estos casos existe una cantidad infinita de coeficientes. (Se obtiene una expansión de (a + b)’n/l! como una sene o suma infinita. (Un ejemplo de una serie —aunque no derivada del teorema del binom io— es aquel en el que el límite de H - j + j + ...es2.) Tales series eran cruciales para el desarro­ llo del cálculo de Newton, el cual abordaremos a continuación. En De anatysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (obra que comenzó a circular en 1669, pero que fue publicada hasta 1711), Newton presentó una versión considerablemente más general de la siguiente derivación: Suponga que el área z bajo una curva está dada por z = x2 (véase la figura II. 1, la cual no está a escala). Suponga quex se incremen­ ta por un "momento” o, es decir — en nuestra terminología leíbniziana actual— , por un infinitesimal.2 (Presumiblemente el término momento surgió como consecuencia de considerar a x como la representación del tiempo.) Entonces el área bajo la curva se incrementa por un factor ov, por lo que z + ov - {x -\ ~o)2, donde el lado derecho se obtiene utilizando z = x2 (que hemos asumido como cierto) en el punto en el que la coorde­ nada x tiene un valor de (x + o). Al desarrollar, obtenemos: ¿ + ov = x2 + - A partir de entonces, la historia del análisis depende m ucho de las ideas actuales acerca de los infinitesimales, sobre los cuales hablaré más ampliamente en el apartado VIH.3. Estas ideas se utilizan para juzgar cuáles argumentos se pueden reconstruir razona­ blemente bien en términos modernos, y por lo tanto pueden ser considerados correctos y cuáles no.

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F ig u r a

II. 1. Derivación de Newton.

2ox + o1 y, puesta que z —x2, entonces ov — 2ox + o1. Ahora dividimos entre o para obtener v = 2x + o. En es le punto Newton consideró a o como '‘infinitamente pequeño" para obtener v = 2x, puesto que (de acuer­ do con la figura II. 1) v es igual a y cuando o es infinitamente pequeño. Como el propio Newton admitió, este método es "más fácil de explicar que de demostrar". Esta derivación logra dos cosas a la vez: en primer lugar muestra que la razón de cambio de x2 es 2x+ o1 (en el lado derecho calculamos el cambio (x + o)2 - x2 dividido entre el “tiempo” o, en el que ocurre el cambio, para obtener la razón de cambio). En segundo lugar, muestra que la razón de cambio del área z, es la curva y que lim ita esa área (en el lado izquierdo calculamos la razón de cambio de 4 y obtene­ mos y). Así, la ecuación y — 2.x establece que la razón de cambio 2x del área z = x 2limitada por una curva y es la curva misma. Ésta es la versión de Newton del teorema fundamental del cálculo ,3 para z, — x 2. Newton no utilizó este ejemplo; dejó en claro que se podría utilizar z — donde m podría ser negativa o fraccionaria— desarrollando el lado derecho, sin ejecutar la m ultiplicación, sino utilizando el teorema del binomio. De ’ He aquí todo lo que se necesita saber acerca del teorema fundamental del cálculo. He omitido las indicaciones para manipular valores negativos puesto que estos detalles no son relevantes para nuestra historia. También lie omitido importantes restricciones a la aplicabilidad del teorema, las cuales estaban muy lejos de haber sido desarrolladas en tiempos de Newton y Leibuiz, La diferenciación es, a grandes rasgos, la operación que lle’va una [un­ ción/' a la funcióng que grafka la pendiente; o, de manera equivalente, la razón de cambio de f (es decir, g(x) es la pendiente de /'en .1: o la razón de cambio de f en x si consideramos a x como la representación del tiempo). La integración es, a grandes rasgos, la operación que

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esta manera obtuvo el resultado de que la razón de cambio de ax"‘ es max"‘-]. Después desarrolló otras ecuaciones que involucran x como series infinitas de términos de la forma axmy aplicó el resultado, término a término, para calcular otras razones de cambio. En un trabajo posterior fMethodus Fluxionum et Seriemm Infinitarían, escrito en 1671 pero publicado hasta 1730) Newton denominó “fluente” a una cantidad variable, y "fluxión" a su razón de cambio. Calculó las razones de cambio determinando la fluxión de una fluente, y encontró las áreas determinando la fluente de una fluxión. Ahora consideraba a las fluentes como generadas por movimientos continuos, no como ensam­ bles estáticos de momentos. Actualmente el momento o es convencional­ mente considerado como "un intervalo de tiempo infinitamente peque­ ño". Por lo tanto, la idea dé considerar a una curva como la trayectoria de un plinto en movimiento se convirtió en una idea fundamental. Con esto Newton había introducido una primera forma de la idea de depen­ dencia funcional, con el tiempo como una variable independiente auxi­ liar. En un tercer documento (Tractatus de Quadratura, escrito en 1676 y publicado en 1704) Newton intentó elim inar los momentos o infinite­ simales. Decía que "las líneas son descritas... no por la aposición de las partes, sino por el movimiento continuo de los puntos", y que las "fluxio­ nes son, tan próximas como nos plazca, como los incrementos de las fluentes generadas en intervalos iguales y tan pequeños como sea posi­ ble, y para hablar con precisión, están en la razón prima de los incre­ mentes crecientes". Sus cálculos eran muy parecidos a los anteriores, pero al final su excusa para eliminar los términos que involucraban o fue la siguiente: "Ahora dejemos que los incrementos desaparezcan y que su última proporción sea../'’ Para el oído moderno esta frase sugiere el prin­ cipio de la teoría de tos límites, la cual finalmente se convirtió en una parte crucial de los fundamentos del análisis matemático. En contraste con su interés acerca del incremento de o, Newton hizo poco para pro­ porcionar una base para el uso de las series — sumas infinitas— (Kitcher, 1983, p. 234).

Volvamos ahora al descubrimiento del cálculo que, de manera indepen­ diente, hizo Leibniz. Mientras que Newton dependía en buena medida de las ideas temporales y de las series infinitas, Leibniz asimiló las curHeva una función / a la función g que grafica el área bajo/"(es decir, g(x) es el área bajo la gráfica de f entre 0 y j:). El teorema fundamental del cálculo establece que la integración y la diferenciación son operaciones inversas, lo que significa que si g es la integral de f, entonces fes la derivada de g.

30

EL INFINITO, ASIDUO PRETENDIENTE DE LAS MATEMÁTICAS

vas a sucesiones de números. En 166ó, mientras Newton estaba comple­ tando la parte principal de su desarrollo del cálculo, Leibniz publicó un trabajo, intitulado De Arte Combinatoria, en el que abordó lo que parece ser un tema diferente. Considere las siguientes sucesiones de números. Cada sucesión que está en una línea debajo de otra sucesión consiste en las diferencias entre los términos de la sucesión que está encima cíe ella.

0,

1, 1,

2,

3,

1,

0,

0.

H ag ám o slo ahora con cuadrados:

0,

4,

1,

1,

3, 2, 0,

2,

9, 5.

16,

2,

0,

Finalmente, con cubos: 0,

1, 1,

8,

7, 6 ,1 2 ,

27,

64,

19,

37,

6,

6,

18, 6,

0,

125, 61,

24,

... ...

0,

Leibniz notó que para la sucesión de los números naturales se anulan las segundas diferencias, las terceras diferencias para la sucesión de los cuadrados, y así sucesivamente. También reconoció que cada sucesión podía ser recuperada sumando sucesivamente su primer miembro con los miembros de la sucesión de la fila inferior, es decir, reuniendo otra vez las diferencias. En 1673, durante el tiempo que transcurrió entre el segundo y el tercer texto de Newton, Leibniz relacionó estos hechos con el estudio de las curvas por medio de un cambio de perspectiva: conside­ ró a éstas como una sucesión de puntos. Más tarde consideró que los puntos sucesivos diferían por cantidades infinitesimales. Cuando la sucesión de puntos es tal que sus coordenadas x difieren por una canti­ dad constante, los valores x sucesivos c infinitesimalmente cercanos son considerados como los que dan el orden de los términos de la sucesión, mientras que los valores y pueden constituir ellos mismos los términos. Así, una curva es concebida en términos de una sucesión de valores muy parecida a las sucesiones que Leibniz había investigado anteriormente.

EL TKFTMITO, ASIDUO PRETENDIENTE DE LAS MATEMÁTICAS

35

En esta etapa, dx (notación que Leibniz introdujo un par de años más tarde) es 1 , puesto que los términos son el primero, el segundo, el terce­ ro, etc., mientras que dy es la diferencia real entre los términos adyacen­ tes. De este modo vio que si la unidad es infinitamente pequeña, enton­ ces la suma de las y proporciona el área bajo la c u ra , y las diferencias dy (dy dyldx, puesto que dx — 1 ) son las pendientes de las líneas tangentes. Leibniz reconoció (en una notación ahora común y que él introdujo más tarde) que / dy —y; es decir, que la suma de las diferencias es la serie ori­ ginal. Éste es el principio de su versión del teorema fundamental del cál­ culo — la integral (j ) de la diferencial (dy) de y es y— , La integral es el símbolo que utilizó Leibniz (y seguimos utilizando nosotros) para repre­ sentar lo que Newton denominó una fluente, mientras que la diferencial desempeña básicamente el mismo papel que la fluxión de Newton. Leibniz también hizo uso del “triángulo característico”, el cual tomó de Pascal (véase la figura II.2). Se trata del triángulo abe. en donde ac es simultáneamente una línea recta y parte de la curva. La c u r a era consi­ derada, en efecto, como un polígono con lados infinitesimales. El trián­ gulo abe es semejante al triángulo ABa, el cual tiene lados de una longi­ tud finita ordinaria. La recta Aa es tangente a la curva. Estos hechos ejemplifican las principales razones por las que era útil el triángulo característico. Utilizando las ideas antes expuestas, para 1675 Leibniz ya tenia la ma­ yoría de los instrumentos esenciales de su cálculo. Los detalles le toma­ ron otros dos años. A diferencia de Newton, Leibniz prefirió evitar el uso de las series infinitas.

F ig u r a

II.2. El triángulo característico.

32

EL INFINITO, ASIDUO PRETENDIENTE DE LAS MATEMÁTICAS

Al principio Leibniz tenía poco qué decir acerca de la naturaleza de tas dx y dy. Pero en 1680 dijo que "estas dx y dy son consideradas como infi­ nitamente pequeñas o los dos puntos de la curva se consideran se­ parados por una distancia que es menor que cualquier longitud dada” y que la diferencial dy es un "incremento momentáneo". En 1684 Leibniz definió una tangente como una recta que une dos puntos qüe están infi­ nitamente cercanos. En 1690 dijo (en una carta enviada a Wallis): Es útil considerar cantidades infinitamente pequeñas tales que cuando se bus­ que su razón no puedan ser consideradas iguales a cero, pero las cuales sean, descartadas tan pronto como ocurran con cantidades incomparablemente ma­ yores. Por tanto, si tenemos x - dx, dx es descartada. Pero es distinto si busca­ mos la diferencia entre x -t-dx y x (Kline, 1972, p. 385). En ocasiones se considera a los infinitesimales como cantidades eva­ nescentes o incipientes, o cantidades indefinidamente pequeñas, más pe­ queñas que cualquier cantidad finita. Mientras que Newton y Leibniz estaban luchando con cantidades infi­ nitamente pequeñas y crecientes, Wallis ya tenía una idea medianamen­ te clara de la naturaleza de la recta numérica. Wallis aceptaba los irra­ cionales como números y consideraba a la teoría eudoxiana de las razones de las magnitudes —tal como es presentada en el libro V de los Elementos de Euclides— como una teoría aritmética. También identificó los números racionales con decimales que se repiten. Pero el cálculo se convirtió en una parte tan fundamental de las matemáticas, que la falta de claridad de sus conceptos básicos virtualmente infectó todo el traba­ jo de los matemáticos. La demostración fue casi completamente aban­ donada. En 1673 Leibniz ya utilizaba curvas expresadas en forma de ecuacio­ nes, pero llamaba función a cualquier cantidad variable a lo largo de la curva —por ejemplo a la longitud de la recta tangente desde la curva al eje x— . Sin embargo, esta función no es una función de una variable, sino de la curva (Eos, 1974, p, 9). Newton, al menos en principio, no dio a la curva estatus especial alguno: tomó como equivalentes a las fluxio­ nes de las fluentes y a las fluentes de las fluxiones. Lo que Newton consi­ deró eran cantidades obtenidas a partir de otras por medio de (posible­ mente infinitas) combinaciones algebraicas, sobre todo sumas infinitas de combinaciones finitas: lo que hoy llamaríamos series. Cuando se consideran series infinitas es necesario tomar en cuenta la convergencia, si es que se desea evitar resultados absurdos. Por ejemplo, la serie: x + x2 + x3 + ■ ■ ■

EL INFINITO, ASIDUO PRETENDIENTE DE LAS MATEMÁTICAS

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diverge cuando A' = 2, por lo que no tiene valor; pero parav = 1 / 2 , se con­ vierte en

que converge a 1. Los términos convergente y divergente aparecieron en el trabajo de James Gregory, en la época en la que Newton estaba desarro­ llando el cálculo. En ese mismo periodo lord Brouncker demostró que algunas series son convergentes. Aun cuando Newton no mostró tener tanta habilidad para distinguir entre las series convergentes y las divergentes —como Gregory y Brouncker— , notó que algunas series (como la de nuestro ejemplo) deben ser utiliza­ das sólo para valores pequeños de x, mientras que otras deben ser utili­ zadas únicamente para valores grandes de x. También observó que algu­ nas series se vuelven infinitas para algunos valores de x, y que son inútiles para esos valores. En 1713 Leibniz desarrolló una demostración para la convergencia de algunas series. Pero en términos generales Newton y Leibniz, y sus suce­ sores, simplemente trataron a las series como si fueran sumas finitas. De hecho, alrededor de 1800 Joseph-Louis Lagrange trató de dar un funda­ mento algebraico al análisis, el cual utilizaba series infinitas sin tomar en consideración si eran o no convergentes. Leibniz y Newton mostraron al menos un ocasional interés por la con­ vergencia de las series. En contraste, los hermanos Bernoulli, quienes estudiaron el trabajo de Leibniz y mantuvieron correspondencia con él, elaboraron un extenso trabajo concerniente a las series, pero no mostra­ ron conciencia alguna de la necesidad de tomar esta precaución. Los resultados erróneos los describieron simplemente como paradojas. Los her­ manos Bernoulli también hicieron contribuciones positivas, pero éstas son irrelevantes para nuestro tema, con algunas pocas excepciones. A partir de 1697 Johann Bernoulli introdujo la noción de que cualquier “cantidad" formada a partir de una variable y constantes puede expresar­ se utilizando notaciones algebraicas y trascendentes, y desde 1698 llamó “función" a tal cantidad, adoptando el término que Leibniz había utiliza­ do anteriormente. Me referiré a tales funciones como “expresiones analí­ ticas”, término utilizado por Leonhard Euler (Bos, 1974, p. 10), para enfatizar la diferencia entre tales expresiones y las funciones.en el senti­ do moderno del térm ino .4 El trabajo de Johann marcó el principio de una transición de un ónfais en el estudio de las curvas geométricas al 4 Las expresiones analíticas tienen lan sólo una relación muy remota con las "funciones analíticas” de las matemáticas modernas, a las cuales ciertamente no me estoy refiriendo en este momento.

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'

estudio de las expresiones analíticas. Johann también restó importancia a las bases geométricas de la noción de integral como área, al definirla simplemente como la inversa de la diferencial. De esta manera el teore­ ma fundamental del cálculo quedó implícito en la definición. Este estilo de definir la integral dominó durante el siglo xrx. Euler marcó definitiva­ mente la tendencia a abandonar el razonamiento geométrico, gracias a varios textos que tuvieron mucha influencia, los cuales fueron publica­ dos de 1.748 a 1770. Euler adoptó y generalizó el uso de la definición de función de Joliann Bemoulli (Bos, 1980, pp. 73-79). .Tohann también tra­ bajó en el problema de la cuerda vibrante, problema que más tarde estu­ diaremos con detalle.

3. SlGUR ADKLANTF. Y r.A FF VENDRA A Tí üuler investigó las sumas infinites en la década de ]730, Para ilustrar las dificultades que causan tales series daré dos ejemplos que utilizó. La di­ visión formal de polinomios —el procedimiento que se enseña en la escuela secundaria— produce: , (1

1 . = l - 2 x + Zxz - 4 x 3 + ~+ x)~

En tanto que: --— = 1 + X + X2 + X3 + *■ ■ 1- X Si se inserta x ——1 en la primera serie, se obtiene (porque 1/0 es oo);3 co = l + 2 + 3+ 4 + .-* Si se inserta x - 2 en la segunda serie, se obtiene: -1 = 1+ 2+ 4 + 8 + •-* La serie para -1 es, término a término, mayor o igual que la serie para y es todavía mayor después de los primeros dos términos. Por tanto, Euler observó, se puede concluir que -1 > =*>e inferir que 0, esto no resulta problemático. En este caso, el error se debe al uso de series divergentes, no a la división entre coro.

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en aJgun lugar ubicado entre los números positivos y los negativos. Tam­ bién asignó un valor de - 1 a A' para la serie 1 / ( 1 -x), para obtener:

1 = 1-1 + 1-1 + --, ■ 2

'

como lo había hecho Leibniz. Consideró y rechazó la idea de que se debiera restringir la atención a las sumas de las series convergentes (Kitcher, 1983, pp. 242-244). Por supuesto que Euler no era un tonto. Estaba muy interesado en cal­ cular las sumas de las series infinitas y desarrolló muchas técnicas para este fin que involucraban series divergentes. Las series problemáticas no lo metieron en problemas porque siempre podía verificar sus resultados, al menos de manera aproximada, por medio de la suma de unos pocos términos de cualesquier series que estuviera considerando. Las series divergentes que le podían causar problemas también conducían a dema­ siados logros como para simplemente desecharlas (Kitcher, 1983, p. 250), aun cuando hizo con ellas cosas que más tarde los matemáticos verían con horror (Kitcher, 1983, p, 323n). Además de su trabajo sobre las seríes, Euler consolidó la separación del análisis de la geometría, introdujo las funciones (expresiones analíti­ cas) de más de una variable y dio a los coeficientes diferenciales — esen­ cialmente derivadas— un papel crucial. En 1734 Euler consideró una noción de función considerablemente más amplia que la que tenían las expresiones analíticas que hemos visto antes: permitió la formación de una función a partir de la unión de partes de curvas, e incluso dio entra­ da a curvas libremente trazadas. También introdujo la ahora fam iliar notación f(x) para una función de x. En ese m ism o año George Berkeley, obispo anglicano de Cloyne, publicó la obra The Analyst, una devastadora crítica de los fundamentos del análisis ,6 Como Newton, Berkeley tenía dudas acerca de los aspectos relacionados con los infinitesimales, no acerca de las series infinitas. Gran parte de sus críticas suenan totalmente correctas al oído moderno. Berkeley comprendió el valor de los métodos: "El método de las fluxio­ nes es la llave maestra con ayuda de la cual los matemáticos modernos pueden abrir la entrada a los secretos de la geometría y, consecuente­ mente, de la Naturaleza" (Berkeley, 1734, p. 6 6 ). No obstante, dijo que los matemáticos de su época hicieron más esfuerzos para aplicar sus f' Bernard Nieuwentíjdl hizo criticas similares al cálculo cuarenta años antes, Sus críti­ cas Fueron ampliamente leídas, e incluso provocaron una réplica de Leibni?.. Véase el apar­ tado V III.3, en donde aparece una discusión más amplia de esto. Véase también Mancosu, 1989, para mayor información sobre otras críticas tempranas al cálculo.

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principios que para comprenderlos (Berkeley, 1734, p. 99). Destacó que las derivadas, como anteriormente las describió Newton eran incoheren­ tes, puesto que éste dividió entre o, y más tarde supuso que o es igual a cero (Berkeley, 1734, p, 72). Esta crítica a Newton puede ser un poco injusta pues, como hemos visto, de sus escritos puede deducirse que tenía la idea de utilizar algo similar a los límites para reemplazar el pro­ cedimiento que consiste en considerar a o igual a cero (Kilchei, 1983, p. 239n). En un conocido pasaje, Berkeley criticó la teoría de Newton de las flu­ xiones como las razones últimas de incrementos evanescentes que se aproximan a cero: ¿Y qué son estas fluxiones? ¿Las velocidades de incrementos evanescentes? ¿Y qué son. estos incrementos evanescentes? No son ni cantidades finitas ni canti­ dades infinitamente pequeñas, ni siquiera nada. ¿Podemos llamarlas los fan­ tasmas de las cantidades que se desvanecieron? LBerkeley, 1734, p. 88.]

No les fue mejor a los infinitesimales de Leibniz: [Nuestros analistas modernos] consideran cantidades infinitamente menores que la menor cantidad discernible, y otras infinitamente menores que las infi­ nitamente pequeñas, y todavía o Lí as infinitamente menores que los preceden­ tes infinitesimales, y así sucesivamente, sin lím ite ni final, [Berkeley, 1734, p . 6 8 .]

Después continúa: Nuda es más fácil que inventar expresiones o notaciones para las fluxiones y los infinitesimales del primero, segundo, tercero o cuarto orden y subsiguien­ tes [...]. Pero si corremos el velo y miramos debajo, si hacemos a un lado las expresiones y nos ponemos a considerar atentamente las cosas que se supone esLán expresadas allí, descubriremos mucha vacuidad, oscuridad y confusión, y, si no me equivoco, imposibilidades y contradicciones. [Berkeley, 1734, p. 69.]

Y, finalmente concluye: En todo esto, el objetivo final del autor [NewtonJ es muy claro, pero sus princi­ pios son oscuros, [Berkeley, 1734, p. 94.]

En su A Deferí ce nf Free-thinking in Mathematics de 1735 (una réplica a una réplica a The Analyst), Berkeley resume los varios intentos de sus contemporáneos para establecer los fundamentos del análisis:

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Algunos vuelan hacia proporciones entre nadas. Algunos rechazan cantidades poique son infinitesimales. Otros sólo aceptan cantidades finitas y las dese­ chan porque no son considerables. Unos equiparan al método de las fluxiones con el de las exhauciort&s y no admiten nada nuevo de ahí en adelante. Unos más mantienen una clara concepción de las fluxiones. Otros más sostienen que pueden demostrar cosas incomprensibles. Algunos más probarían el algoritmo de las fluxiones por medio del método de reductio ad absurdunv, otros lo harían a príori. Algunos sostienen que los incrementos que tienden a cero son canti­ dades reales; otros dicen que son nada, y otros más aseguran que son cantida­ des límite. Hay tantos modos de pensar como hombres [...] Algunos insisten en que las conclusiones son verdaderas, y por tanto también los principios [...] Finalmente, varios [...J francamente reconocieron que las objeciones no tie­ nen respuesta. [Berkeley, 1735a, p. 133.]

Éste me parece un resumen bastante justo del estado en que se encon­ traban las cosas en ese tiempo. Quiero mencionar, de pasada, que fue Euler quien apoyó las "proporciones entre nadas”, como puede apreciar­ se en la siguiente cita: No hay duda de que toda cantidad puede ser disminuida hasta que se desvane­ ce y desaparece completamente. Pero una cantidad infinitamente pequeña no es otra cosa que una cantidad evanescente y por tanto es igual a cero. [Instittitiones, 1755. Véase también Kline, 1972, p, 429.]

Después continúa explicando cóino dy/dx, que era 0/0, podía tener un valor definido. Así eslaban las cosas en aquellos años. La cita anterior fue tomada de tino de los textos de Euler, ei cual tuvo una tremenda in­ fluencia positiva en la organización del análisis para convertirlo en un estudio coherente de las expresiones analíticas (Bus, 1980, pp. 53 y 76). La completa falta de rigor llegó a ser considerada una virtud, como puede apreciarse a continuación; Pero las cosas han cambiado. Todo razonamiento preocupado por lo que el sentido com ún conoce por anticipado sólo sirve para ocultar la verdad y para fastidiar al lector, por lo que actualmente no se toma en cuenta. [Alexis Claude Clairaut, Eléments de géométrie, 1741, Véase también Kline, 1972, p. 619.]

La actitud de Clairaut era muy común en esa época. Sin embargo, hu­ bo varios intentos para dar un desarrollo más adecuado al cálculo. Estos intentos fueron motivados por algunos problemas matemáticos particu­ lares —no por el deseo de probar lo obvio más cuidadosamente— . Los tex­ tos de Euler enfatizaban los “coeficientes diferenciales”, los cuales son las derivadas que finalmente reemplazaron a las diferenciales como base

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del análisis (Bos, 1980, p. 74). Jean Le Rond D'Alembert y Benjamín Robins, como Wall is poco menos de un siglo antes, enfatizaron los límites (Bos, 1980, p. 91). D'Alembert decía que "la teoría de los límites es la ver­ dadera metafísica del cálculo"; sin embargo, realmente nunca elaboró una presentación del cálculo sobre esta base; de hecho, es probable que no hubiera podido hacerlo, puesto que él, como Robins, tomaba en conside­ ración a los limites de las variables (cantidades variables), pero no a los límites de las funciones con una variable independiente específica (Bos, 1980, p, 92). En ausencia de una correcta presentación, se cuenta que en una ocasión dijo: "Aliez en avíirit, si la foi vous viendra" (“sigue adelante y la fe vendrá a ti"). 4. L as

cuerdas

v ib r a n te s

D’Alembert hizo significativos progresos en el problema de la cuerda vi­ brante: dada la tensión y la posición inicial de una cuerda, calcular cómo se moverá cuando sea liberada. El problema había sido estudiado ante­ riormente por Brook Taylor en 1713 (Kline, 1972, p. 478) y por Johann Bernoulli en 1727 (Kline, 1972, p. 479). El hijo de Johann Bernoulli, Daniel Bernoulli, realizó un trabajo relacionado con este tema en 1732 (Kline, 1972, p. 489). Pero fue hasta 1746 cuando D'Alembert (en un tra­ bajo publicado entre 1747 y 1749) escribió lo que puede considerarse como los elementos de la moderna ecuación diferencial parcial involu­ crada en este cálculo, y proporcionó una solución general. Analizo el problema de la cuerda vibrante por una buena razón: las vi­ braciones de una cuerda siempre pueden ser representadas como una suma infinita o una serie de ondas sinusoidales.7 Puesto que la posición inicial de una cuerda puede ser, en cierto sentido, arbitraria —la cuerda puede adquirir cualquier forma al ser tensada— evidentemente de esto se sigue que cualquier curva, es decir, cualquier función, puede ser represen­ tada como una suma o serie de ondas sinusoidales; en síntesis, como una serie trigonométrica. La definición moderna de función — de una función arbitraria— evolucionó como parte de un intento de formular esta con­ clusión a modo de teorema, y la teoría de conjuntos evolucionó más o menos como parte de los intentos de probar dicho teorema. Los detalles son una parte importante de la historia que deseo presentar aquí. Final­ mente resultó que el '‘teorema" no es totalmente verdadero: existen fun­ ciones que no pueden ser representadas utilizando series trigonométri­

7 S urnanios funciones o curvas sumándolas p u n ió por punto, Así, la suma F ¡= f + g se reduce a una suma ordinaria dé ios valores en cada punto. Por ejemplo, F(3) - f(i) + g(3). De manera similar, uua sitmá infinita o serie de funciones se reduce a una serie ordinaria en Cada punto.

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cas; pero las que sí pueden ser representadas de este modo incluyen fun­ ciones mucho más extrañas de lo que cualquiera hubiera pensado que fuera posible, La solución general de D'Alembert para el problema de la cuerda vi­ brante requería que la curva inicial de la cuerda fuera periódica, es decir, que se repitiera una y otra vez la misma forma que tenía sobre.una longi­ tud de cuerda. Por lo tanto, D'Alembert requería que la posición inicial de la cuerda fuera una expresión analítica periódica. Esto constituía una sustancial restricción a las posiciones iniciales permiíidas de la cuerda: no se podía comenzar con la cuerda en cualquier configuración arbitra­ ria, sino sólo en una posición dada por una expresión analítica periódica. Poco después de conocer el trabajo de D'Alembert, Euler escribió un texto, publicado en 1748 (Kline, 1972, p. 505), en el que permitió que la función inicial que describe la posición de la cuerda fuera cualquier fun­ ción (que cumpliera algunas otras restricciones que omito en este libro) en un intervalo. Aseguró la periodicidad de la función simplemente duplicando sus valores fuera de ese intervalo. En sus extremos la función tenía que ser cero debido a que la cuerda estaba fija en sus extremos; así, las duplicaciones coincidían en éstos. La función también tenía que estar libre de saltos, puesto que la cuerda era de una sola pieza. Pero, y éste es el punto clave, no se requería que la función fuera dada por una sola expresión analítica (periódica). Ahora Euler le estaba dando un im por­ tante uso matemático a la am plia noción de función que tenía desde 1734. En el le s lo de 1748 también observó que el movimiento de la cuer­ da es periódico en el tiempo (la cuerda reasume su íorma inicial a inter­ valos regulares), y que al menos algunas de las soluciones para el proble­ ma podrían ser escritas corno sumas de senos y cosenos. Para 1755 Euler definió la función de la siguiente manera (Kline, 1972, p. 506): "Si algunas cantidades dependen de otras de manera tal que sufren una variación cuando las segundas son modificadas, entonces las primeras se denominan funciones de las segundas." Específicamente in­ tentó dar cabida a funciones que no están dadas por una sola ecuación en el dominio completo. En 1763 escribió a D'Alembert que la admisión de esLa noción más general de función "nos abre un campo completa­ mente nuevo para el análisis" (Kline, 1972, p. 507). Daniel Bernoulli, en su trabajo de 1732-1733, fue el primero en reco­ nocer que una cuerda podía vibrar en muchas frecuencias, la frecuencia fundamental que había sido estudiada por Taylor y Johann, padre de Daniel, y las armónicas (múltiplos) de esa frecuencia fundamental (Kli­ ne, 1972, p, 480). A comienzos de la década de 1740 Daniel Bernoulli dijo que una barra vibrante puede vibrar en dos frecuencias armónicas a la vez. Pero esta afirmación está basada en el conocimiento físico, no en

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Ja derivación matemática. En 1753, Bemoulli fue todavía más lejos: des­ pués de leerlos trabajos de D'Alembert y Euler declaró que "todas las nuevas curvas dadas a conocer por D'Alembert y Euler son sólo combi­ naciones de... vibraciones (sinusoidales)" (Kline, 1972, p. 509). Pero todavía estaba apoyándose en la física, no en las matemáticas. El meollo de su propuesta era que todas las nuevas curvas pueden ser representa­ das por medio de series trigonométricas. Euler y D ’Alembert objetaron inmediatamente la aseveración de Daniel Bem oulli (Kline, 1972, pp. 509-510). Euler creía que las funciones que había introducido, funciones que eran definidas por diferentes ecuaciones en diferentes intervalos, no podían ser una suma de funciones de seno. Una función no podía ser simultáneamente "discontinua” (dada por dife­ rentes expresiones en diferentes intervalos) y "continua” (dada por una sola expresión, es decir, una suma de funciones de seno). Además, a pesar de su noción liberal de función —noción que hacía posible ensam­ blar una función periódica a partir de funciones no periódicas— , Euler argumentó que, puesto que todas las series trigonométricas debían ser periódicas, ninguna función no periódica (la expresión analítica) podía ser igual a una serie trigonométrica (Grattan-Guiness y Ravetz, 1972, pp. 245-247). Ahora la intención de Euler se centraba en las propias expre­ siones analíticas. Bemoulli sostuvo su postura, y los tres continuaron en desacuerdo durante toda la década de 1770 (Kline, 1972, p. 5J3), Final­ mente también Lagrange y el marqués Pieire Simón de Laplace entraron a la polémica, Todo esto nos parece un poco extraño, sobre todo ahora que sabemos que Euler (entre 1750-1751), D'Alembert (en 1754) y Clai­ raut (en 1757) habían descubierto métodos generales para representar funciones arbitrarias por medio de series trigonométricas (Kline, 1972, pp. 456-459), aun cuando sólo aplicaban estos métodos cuando tenían alguna razón (generalmente física) para creer que debiera existir una representación con series trigonométricas. Las matemáticas no se soste­ nían. por sí mismas. De hecho, varias de sus conclusiones no eran correc­ tas, de acuerdo con nuestros estándares actuales. Puesto que no podía probarse nada de una manera confiable, se intentaba confirmar los resultados derivados matemáticamente con base en fundamentos inde­ pendientes. Sí un resultado era contrario a lo esperado, frecuentemente era desechado. El desacuerdo respecto a las series trigonométricas, las paradojas que surgen del uso de series infinitas y otras disputas crearon necesidad intrínseca matemática de esclarecer los fundamentos del análisis. Los conceptos fundamentales de función, derivada e integral no tenían una definición adecuada, pues habían sido utilizados de la manera como lo sugerían sus aplicaciones a funciones simples — especialmente polino­

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mios— . Cuando fue ampliada la noción de función, principalmente como resultado del trabajo sobre el problema de la cuerda vibrante, ese procedimiento analógico se volvió cada vez menos adecuado. El problema se volvió todavía más agudo con el trabajo del barón Jean Baptiste Joseph de Fourier sobre la conducción del calor, el cual lo invo­ lucró en el problema de las series trigonométricas. La recepción de su trabajo da una idea de la controversia que generó. En 1807 presentó un artículo ante la Academia de Ciencias de París, el cual fue rechazado por Adricn Maric Lcgendre, Laplace y Lagrange. Si embargo, para alentar a Fourier, los problemas que estudió en este artículo fueron convertidos en el tema del premio de 1812. El artículo de 1811 de Fourier ganó el premio, pero no fue publicado. En 1822 Fourier publicó su gran Théorie Analytique de la chaleur, que incluía parte del artículo de 1811. Dos años después Fourier fue nombrado secretario de la Academia francesa, e hizo que ésta publicara su artículo de 1811 (Kline, 1972, p. 672). Fourier llegó a ver, después de un complicado proceso que no discuti­ remos aquí, que si para algunos coeficientes £>,,

esto es, si la función / puede ser representada por una serie trigonométri­ ca8 en el intervalo de 0 a ir, entonces para todo valor de v:

De acuerdo con Fourier, esto significaba que los coeficientes b„ de la suma tendrían que ser 2 /ir veces el área bajo la curva f(s) sen i ’S, entre s = 0 y s = tt.9 Como hemos visto, formalmente ya se habían obtenido resultados similares por otros matemáticos, incluyendo a Euler, D'Alem­ bert y Clairaut. Pero Fourier se apartó de la práctica de su época y no interpretó a la integral como una diferencial inversa, sino geométrica­ mente, como m i área (Grattan-Guiness, 1980a, p. 107). Observó que el área involucrada está bien definida por una variedad extremadamente amplia de funciones. Fourier no había estado estudiando las cuerdas

serie

í Utilizaré el término trigonométrica, para referirme a una suma de senos, como se indica en e] texto. Aun cuando lina serie trigonométrica general también permitiría el uso de cosenos, ignoraré este hecho. Los detalles de lo que se gana por permitir el uso de cose­ nos son iirclcvantes para nuestro propósito. 9 E n verdad Fourier no estaba totalmente en lo correcto. Cantor desenmarañó los pro­ blemas en la década de 1870, y ese trabajo lo condujo a la teoría de conjuntos, como vere­ mos más adelante.

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vibrantes, sino el flujo del calor, aun cuando en ambos casos las mate­ máticas son muy similares. Su función f no representaba la posición ini­ cial de una cuerda vibrante, sino la distribución inicial del calor en una barra de metal. Una cuerda debe ser de una sola pieza, pero en una barra la temperatura puede dar un salto: para producir un salto tal se deben obtener una barra caliente y una barra fría y después unirlas (Hawkins, 1980, p. 152). Ciertamente no se requiere que esté disponible una expre­ sión analítica única para la función / de la temperatura de Fourier. La función / podría ser "deducida libremente”, e incluso podría tener saltos en su valor. La existencia de una diferencial inversa no era de particular interés, así que Fourier no necesitaba restringirse a las expresiones ana­ líticas. Fourier concluyó que cualquier función se podía representar por medio de una serie trigonométrica especial en el intervalo de 0 a ir, la serie trigonométrica determinada por la fórm ula para las b v. (Actual­ mente se conoce a tal serle con el nombre de serie de Fourier). Probó sus supuestos calculando unas cuantas de las primeras bv para muchas / y graficando las sumas de algunos de los primeros términos de las corres­ pondientes sucesiones. Los resultados parecían buenos. La suma de la serie trigonométrica mencionada produce una función que es impar y periódica: los valores entre —rr y 0 son exactamente opuestos a los valores entre 0 y tt, y los valores entre —ir y ir se repiten una y otra vez. Así, la serie trigonométrica para una función arbitraria f aun cuando puede producir los mismos valores que la función entre 0 y ir, no dará los mismos valores que produce la m ism a función en otra parte si ésta no es impar y periódica. Por ejemplo, la serie trigonométri­ ca para la función de valor absoluto (figura II.3a) tiene como su suma la "función de dientes de sierra" de la figura II.3b. Fourier enunció sin fan­ farrias que las funciones que coinciden en un intervalo no tienen que coincidir en otro lugar. Esto obviamente era cierto en su concepción de las funciones, y muestra el gran cambio que significó esta concepción. Para Fourier, en contraste con Euler y Lagrange, las funciones consisten precisamente en sus valores, no en las expresiones utilizadas para calcu­ larlas, y por tanto pueden ser consideradas sobre intervalos arbitraria­ mente restringidos. Fourier utilizó sus técnicas para producir grandes avances en el arte de resolver ecuaciones diferenciales parciales, técnicas que resultaron demasiado exitosas para ser ignoradas. De hecho, Siméon-Denis Poisson pensó que podría ampliarse el uso de estas técnicas a fin de producir métodos generales para resolver todas las ecuaciones diferenciales par­ ciales. Aunque no fue éste el caso, Poisson expandió muchísimo su ám bi­ to de aplicación, y siguen siendo en esencia las únicas técnicas disponi­ bles para obtener soluciones exactas para las ecuaciones diferenciales

EL INFINITO, ASIDLO PRETENDIENTE DE LAS MATEMÁTICAS

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Figlíra II.3. Las funciones traficadas en a) y b) coinciden entre x = 0 y x = 'ir. La gráfica en b) se obtiene al reflejar tal intervalo para obtener los valores entre x = 0 y x = -tt, y después duplicando la gráfica entre x = —tt y x = -irpara los otros valores de x. He dado el valor correcto de la serie trigo­ nométrica, 0, en los saltos. Pero Fourier trazó líneas verticales (véanse Grattan-Guiness, 1980a, p. 107; y Bottazzini, 1986, p. 70). parciales sujetas a condiciones de frontera (Struík, 1987, p. 150). Puesto que tales ecuaciones están en el corazón de la física matemática, las peculiares funciones de Fourier — funciones que no necesariamente se definen mediante expresiones cerradas, que podían saltar de un valor a otro y que no tenían la misma expresión analítica en todas partes— se convirtieron en parte del repertorio de todos los matemáticos. En su libro, Fourier dijo (Struilí, 1987, p. 150): "En general, la función /(x) representa una sucesión de valores u ordenadas, cada una de las cuales es arbitraria [. ..J No suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una

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ley común; se suceden una a la otra de cualquier manera". Las funciones que Fourier realmente empleó eran considerablemente menos generales. La vieja base para el análisis, que dependía de analogías entre polino­ mios y otras expresiones analíticas, ya no era adecuada. Las series trigonométricas con coeficientes bvdesarrolladas por Fourier —las series de Fourier—■son discretas infinitas de ondas seno. Era natu­ ral para el análisis de entonces buscar la integral correspondiente —para representar una función, no como una suma de senos de frecuencias armónicas discretas, sino como una suma de senos de frecuencias conti­ nuamente variantes—■ . Los resuHados concernientes a tales integrales de Fourier los obtuvo el propio Fourier en 1811, Poisson en 1816 y Auguslin Louis Cauchy en 1816, y cada nno de ellos esLaba consciente del trabajo de los otros dos (Kline, 1972, pp. 679-681).

5. E l

d esd én por

el

in f in it o

Fue Cauchy, seguramente estimulado en parte por su trabajo sobre las integrales de Fourier, quien dio rigor al análisis. Pero sil interés no era por el rigor en sí mismo, como Philip Kitcher ha enfatizado (Kitcher, 1983, pp. 213-217). Cauchy necesitaba un desarrollo más riguroso del análisis para conti­ nuar su investigación, Euler, quien había estado interesado en las series de números, podía desechar los resultados anómalos que a veces causa­ ban las series divergentes: era bastante fácil probar sus resultados sumando unos pocos términos. Pero este procedimiento no era adecua­ do en el contexto del problema que interesaba a Cauchy —las series de funciones, no las series de números— . Tendría que sumar muchos tér­ minos de una serie en muchos puntos para demostrar algo, e incluso entonces existía la posibilidad real de que no se tratara de los puntos correctos. Cauchy estaba dispuesto a rechazar algunas de las técnicas de Euler para poder hacer progresos en su propio problema (Kitcher, 1983, pp. 249-250). Observe que las preocupaciones fundamentales de Cauchy estaban relacionadas principalmente con las series, no con los infinitesi­ males, Su trabajo no estaba motivado por los mismos intereses que los de Newton y Berkeley, En cuanto al rigor, el trabajo de Bemard Bolzano de 1817, Rein anedytisciier Beweis des Lehrsatzes dass zwtschen je zwei Werthen, die ein entgegengesetztses Residtat gewühren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege (1817), se anticipó al de Cauchy por aproximadamente

cuatro años, y en algunos aspectos lo rebasó, Pero el trabajo de Bolzano pasó inadvertido durante cincuenta años, Probablemente esto en par­

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te se debió a que surgió del puro interés en el rigor en sí mismo, sin pro­ porcionar alguna aplicación m atemática subsecuente (Kitcher, 1983, p . 264). Cauchy definió un límite de la siguiente manera: Cuando los sucesivos valores atribuidos a una variable se aproximan indefi­ nidamente a un valor fi jo para terminar por diferir de él por tan poco como uno desee, este último valor se conoce como el límite de todos los otros (Cours á'aimlyse algébtique, 1821 [Kline, 1972, p. 951]),

Esencialmente Cauchy proporcionó la definición moderna de lo que significa que una función sea continua , 10 diferente de la que prevalecía en aquellos años (la cual era “definida por una única expresión analíti­ ca"), Definió la derivada como un límite y sólo empleó diferenciales defi­ nidas en términos de la derivada; definió la convergencia y divergencia de las series y abiertamente enunció que las series divergentes no tienen suma; desarrolló muchos criterios útiles para la convergencia. Pero pro­ bablemente lo más significativo es que no hizo uso de las series divergen­ tes. También proporcionó lo que ahora denominamos el criterio de con­ vergencia de Cauchy para una sucesión. De acuerdo con éste, la sucesión So, Si,... tiene un límite si fS,!+J, —S„| es menor que cualquier cantidad dada para todo valor de r y para valores suficientemente grandes de n. Cauchy demostró que la condición es necesaria, pero sólo pudo afirmar que es suficiente sobre una base geométrica (y le pareció que esa base era suficiente). La demostración de suficiencia tuvo que esperar hasta que ésta fuera necesaria —y a una teoría de los números reales— . {Kitcher, 19S3, p. 262.) En su Résumé des Legons sur le calcul infinitesimal, de 1823, Cauchy definió la integral como el límite de una suma de rectángulos. Esto per­ mitió dar un sentido riguroso al uso que hizo Fourier de las integrales de funciones que no tenían expresiones analíticas simples, funciones para las cuales la integral simplemente no podía ser definida — de la manera que se había vuelto común— como la diferencial inversa (Hawldns, 19.80, p. 154). Cauchy presentó la primera demostración del teorema fun­ damental del cálculo; que la derivada de la integral de una función es la función misma, cuando la función es continua. También examinó la si­ tuación en la cual la función no es continua, y definió la longitud, el área y el volumen como los valores de ciertas integrales. Al viejo fundamento 10 En líi definición moderna de continuidad se establece, grosso modo, que una función continua es una función con una gráfica que está libre de salios y oscilaciones bruscas, y más precisamente, que el valor de la función en cada valor de x es el límite délos valores de la función en los valores cercanos a a\

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geométrico del análisis se le dio un giro de 180 grados, y los infinitesima­ les fueron degradados a un papel secundario, prescindible. La definición de Cauchy de la integral no es, para los estándares mo­ dernos, muy general; además, hizo algunas aseveraciones falsas. Sin em­ bargo, su nivel de rigor era aparentemente adecuado para sus propósitos matemáticos, por lo que no lo llevó más adelante. Muchos de los errores de Cauchy tenían una sola fuente: hablaba del límite de una variable, no del límite de una función, y no expuso la dependencia de una variable en la variable independiente. Consideraba a una variable que se aproxima a cero como un infinitesimal. Por lo tanto, su notación era vaga con respec­ to a otras dependencias cruciales (Grattan-Guiness, 1980a, p. 121; y Kitcher, 1983, pp. 254-255). He aquí algunos ejemplos de sus falsos supues­ tos o aseveraciones: 1) Suponía que una función continua tenía derivada, excepto posiblemente en unos cuantos puntos. 2) Decía que si la suma de una sucesión u 0, de funciones continuas convergen en todo un intervalo a una función F, entonces esta función es continua en ese inter­ valo. 3) Decía que bajo estas circunstancias se podía integrar la función F sumando las integrales de las u¡. Esto último también lo había supues­ to Fourier en la derivación de los coeficientes bv de las series de Fourier de una función, a partir del supuesto de que existe una serie trigonomé­ trica para esta función. Respecto a las aseveraciones 2 y 3, existe una condición más fuerte: se requiere no sólo la convergencia, sino también la convergencia uniforme. No obstante, Cauchy elim inó el uso de las series divergentes y se esforzó en obtener criterios generales para el ran­ go de aplicabilidad de varias nociones del análisis. Por su parte, en una carta escrita en 1826, Niels Henrik Abel se queja­ ba acerca de la tremenda oscuridad que uno incuestionablemente encuentra en el análisis. Carece tan completamente de todo plan y sistema, que es increíble que tantos [...] hayan podido estudiarlo. Lo peor de esto es que nunca ha sido tratado de manera rigurosa. Muy pocos teoremas del análisis avanzado han sido demos­ trados de una manera lógicamente defendible. En todas partes uno encuentra esta miserable manera de inferir lo general, desde lo especial y es extremada­ mente sorprendente que tal procedimiento haya conducido a tan pocas para­ dojas. [Kline, 1972, p. 947.j En ese mismo año, en un artículo en el que abordaba la convergencia, de la serie binomial (Kline, 1972, p. 947), Abel elogió a Cauchy, y corrigió su aseveración de que la suma de una serie convergente de funcio­ nes continuas es continua. Dio como contraejemplo la función de dien­ tes de sierra de la figura I I .3, la cual es discontinua a pesar de ser la suma de curvas de seno continuas. Abel también hizo algunos progre­

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sos sobre el necesario esclarecimiento del concepto de la convergencia uniforme. Gustav Lejeune Dirichlet, quien sería el primero en aplicar las técnicas del análisis para obtener resultados acerca de los números naturales (Stein, 1988, p. 242), conoció a Fourier en París durante los años de 1822 a 1825, En 1829 demostró que la serie de Fourier de cualquier función/ que satisface cierta condición, siempre converge a la función. La condi­ ción era suficiente pero no necesaria, ya que permitía que f tuviera muchos puntos excepcionales, tales como las discontinuidades acotadas (por ejemplo, saltos) (Kline, 1972, p. 966). Además, su demostración de que la condición era suficiente realmente no utilizó la restricción de sólo un número grande pero finito de discontinuidades. Esta restricción sólo fue utilizada para asegurar que las integrales que definían las b„ estuvie­ ran bien definidas (Hawkins, 1980, p. 156). En el mismo artículo Diriclilet concibió la función f(x), que tenía el va­ lor c para x racional, y el valor d para x irracional (Grattan-Guiness, 1980a, p. 126). Intentaba que ésta fuera ejemplo de una función que no pudiera ser integrada, y que por lo tanto no tuviera una serie de Fourier bien definida —puesto que los coeficientes bv no estarían definidos— . En 1837, en un artículo sobre las series de Fourier, Dirichlet dio a conocer a una precursora de la moderna definición de función. Esta definición es como sigue: Una función / asocia un valor individual f(x) a cada m iem ­ b ro s de su dominio. La asociación puede ser perfectamente arbitraría —no se requiere ninguna regla, descripción, método de cálculo, etcéte­ ra11— . Dirichlet decía que v es una función continua de x en un intervalo si existe, de una manera continua, un valor individual de y asociado con todo valor de x en el intervalo. Tanto en su definición de un ejemplo de función no integrable como en su definición de función continua, Dirichlet claramente consideró a la función como dada únicamente por su grá­ fica —por sus valores— sin necesidad de cualquier ley asociada. Tam­ bién extendió sus condiciones de suficiencia para que una función tuviera una Serie de Fourier que permitiera más clases de puntos excep­ cionales, aun cuando éstos todavía fueran una cantidad finita. Su trabajo M Todavía esLá a discusión hasta qué punto participó Dirichlet en la enunciación de la moderna definición de fundón, en parte debido a que él restringió su definición a las fun­ ciones con ti mías. Véanse Youschlvevitch, 1576, pp. 78-79; Botlazzini, 1986, p. 197; Volkcrt, 1936, pp, 200-201, 207-209; y Medveded, 1991, capitulo 2, Respecto a la cuestión de quién realmente enunció por primera vez la moderna defunción de función a partir del trabajo de Dirichlet, véase Youschkevitch, 1976 (pp. 77-80). Yo creo que Dirichlet definió la noción de fun­ ción continua para dejar en claro que no se requiere de ninguna regla o ley, ni siquiera en el caso especial de las funciones continuas, para no hablar del caso general. Esto habría merecido especial énfasis debido a que Euler definió la función continua como una fun­ ción dada po ru ñ a sola expresión, o ley. De cualquier modo, dudo que haya suficientes evi­ dencias para resolver la disputa.

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contenía un problema que es importante para nuestra historia: ¿Puede uno dar cabida a una cantidad infinita de puntos y todavía obtener con­ diciones suficientes para la convergencia de las series de Fourier? (Grattan-Guiness, 1980a, pp. 126-127, y Bottazzini, 1986, p. 197). Los estándares de rigor de Dirichlet excedieron, a los de Cauchy, lo cual era de esperarse. Como lo demostró el ejemplo de Abel, las técnicas de Cauchy no eran confiables para derivar resultados generales acerca de la convergencia de las series de Fourier arbitrarias. En cambio, Dirichlet estaba consciente de que el resultado de tomar dos límites es sensible al orden en el que son tomados. Un alumno de Dirichlet, Georg Frícdrich Bernard Riemann, retomó el problema de Dirichlet en su HabÜitationsschrift de 1854 (publicada pos­ tumamente en 1866 por Richard Dedekind). En vez de seguir a Cauchy y tratar de demostrar que ciertas funciones que se comportan bien (en la terminología actual: uniformemente continuas en secciones) tienen inte­ grales bien definidas, proporcionó una definición de integral más o menos como la de Cauchy, pero a continuación buscó las condiciones generales, con base en un análisis de esa definición, en las cuales una función tendría una integral. Su enfoque —cuya principal novedad con­ sistía en encontrar las condiciones generales bajo las cuales las funcio­ nes serían integrables, en vez de mostrar solamente que las funciones familiares eran integrables— fue considerado durante muchos años como el enfoque más general posible. Proporcionó un ejemplo particularmente interesante de una función con lina cantidad infinita de discontinuida­ des en cada intervalo que no obstante podía ser integrada según esta defi­ nición ampliada (Hawkins, 1980, pp. 157, 159; y Hawkins, 1975). Este trabajo jugó un papel decisivo en la demostración de que la definición gener al de función arbitraria que sugerían las ideas de Dirichlet tenía un genuino argumento matemático: se podían probar cosas interesantes acerca de varios tipos de funciones arbitrarias, incluyendo las funciones "patológicas". Riemann sacó a la luz muchos problemas concernientes a las senes de Fourier, incluyendo el que fue estudiado por Cantor y que lo condujo a la teoría de conjuntos. Algunos de estos problemas todavía no están resueltos y continúan siendo de gran interés (Grattan-Guiness, 1980a, pp. 132, 138). Fue Karl Weierstrass quien desarrolló los métodos necesarios para atacar los problemas de Riemann. La mayor parte del análisis de la ú l­ tim a parte del siglo xix consistió en la aplicación de los métodos de Weierstrass a los problemas de Riemann (Grattan-Guiness, 1980a, p. 132). Weierstrass realizó importantes investigaciones sobre la representación de las funciones por medio de series de potencias. Durante este proceso dio al análisis su moderna forma rigurosa entre 1.841 y 1856, cuando se

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desempeñaba como maestro de nivel medio superior. Este trabajo no lle­ gó a ser conocido sino hasta finales de la década de 1850, cuando final­ mente obtuvo un puesto de profesor universitario. Así, por ejemplo, aun cuando en 1842 Weierstrass ya comprendía la convergencia uniforme de las series (esto era necesario para su trabajo sobre las series de poten­ cias), el concepto Ijegó a ser plenamente conocido a través del trabajo de George Gabriel Stoltes y Ludwig Philipp Seidel, quienes en 1847 y 1848 de manera independiente arribaron a formulaciones de nociones estre­ chamente relacionadas que no tienen una utilidad tan general. Seidel también era alumno de Dirichlet, quien estaba consciente de que una suma convergente de funciones continuas (senos) podía ser discontinua, lo cual contradecía el resultado enunciado por Cauchy. Esto es lo que motivó a Seidel a iniciar sus investigaciones (Grattan-Guiness, 1980a, pp. 127-128 y Medvedev, 1991, pp. 88-91). Cauchy se autocorrigíó en 1853, pero no perseveró, ni siquiera para localizar en dónde más había supuesto de manera ilegítima una convergencia uniforme anteriormente (Bottazzini, 1986, pp. 207-208). Weierstrass fue uno de los muchos matemáticos que corrigieran la creencia de Cauchy de que las funciones continuas tienen derivadas excepto en tinos pocos puntos. Logró esto presentando ejemplos de fun­ ciones que son continuas pero que no tienen derivadas en muchos pun­ tos. La función que dio como ejemplo Weierstrass era continua en todos los puntos pero no era diferenciable en ningún punto. Weierstrass reemplazó la definición de límite de Cauchy —la cual in­ volucraba nociones tales como "se aproxima indefinidamente” y "diñere por tan poco como uno desee”— por la siguiente definición en la que la expresión “tan poco como uno desee” se sustituye por e: una función f(x) tiene su límite L s a x —x0l si para Lodo e > 0 hay una 8 tal que si |x —;to| < ó y x -f a:,-), entonces \f(x) - L\< e. En la terminología de Cauchy la "variable" —que es la función— “termina" en el intervalo definido por |jc —jín|< S, difiriendo del "valor fijo" L por “tan poco como uno desee”, es decir, por menos que e, Este reemplazo permitió a Weierstrass dis­ tinguir la convergencia simple de la convergencia uniforme y hacer distinciones afines de manera lim pia y natural. Esta fue al menos parte de la motivación para el nuevo rigor (Kitcher, 1983, p. 257). Weierstrass propuso también una teoría de los números irracionales alrededor de 1860 (Kline, 1972, p. 979). Dedekind había desarrollado una teoría similar en 1858 (Dedekind, 1972, p. 2). Cuando la mayoría de sus predecesores definieron los números irracionales, los definieron como ciertos límites de sucesiones de números racionales. Este procedi­ miento, como lo dejó en claro la precisa definición de límite de Weiers­ trass, no es suficiente: como Cantor lo destacó en 1883, el número L debe

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preexistir para que sea el límite de una sucesión. Si comenzamos única­ mente con números racionales, una sucesión que “converja en un núm e­ ro irracional” no tendrá un límite L, A comienzos de la década de 1830 William Rowan Hamilton propuso un tratamiento diferente para los números irracionales, tomando al tiem­ po como base {Kline, 1972, p. 983). Pero esto no sería aprobado por Weierstrass, quien definió a la variable simplemente como una litera! a la que se le pueden asignar distintos valores. Weierstrass desterró la vieja idea de una cantidad variable que, en sentido metafórico, variaba con el tiempo. En 1925 Hilbert hizo el siguiente comentario al respecto: Como resultado de su penetrante crítica, Weierstrass nos ha legado una sólida base para el análisis matemático. Elucidando muchas nociones [...] eliminó los defectos que todavía contenía el cálculo infinitesimal [...] Sí en el análisis actual existe un completo acuerdo y certidumbre en el empleo de los métodos deductivos, los cuales están basados en los conceptos de número irracional y de límite, y si incluso en las más complejas cuestiones de la teoría de las ecua­ ciones diferenciales e integrales [...1 existe [...1 unanim idad respecto a ios resultados obtenidos, entonces este feliz estado de cosas se debe principal­ mente al trabajo científico de Weierstrass [Hilbert, 1926, p- 183].

Cauchy y Weierstrass habían eliminado el tiempo, los infinitesimales y las cantidades infinitas de los fundamentos del análisis, y con esto hicie­ ron posible alcanzar un estándar de rigor que sobrepasó al de los griegos.

6, L a

a c e p t a c ió n d e l in f in it o

En 1817 Bolzano trató de demostrar que una ftinción continua que es tanto negativa como positiva en un intervalo, tom a el valor de cero en ese intervalo. Hizo uso del hecho — el cual también trató de demostrar— de que todo conjunto acotado de valores tiene una m ínim a cota superior. Pero una adecuada demostración tenía que esperar a una adecuada teo­ ría de los números reales. En la década de 1860 Weierstrass utilizó tanto su propia teoría de los números irracionales como las técnicas sugeridas por Bolzano para demostrar que todo conjunto infinito acotado de pun­ tos tiene un punto límite, es decir*, un punLo en el que todo intervalo alre­ dedor de él contiene una cantidad infinita de miembros del conjunto. (Por ejemplo, 1 es un punto límiLe del conjunto [0, f, En este caso puede verse intuitivamente que los miembros del conjunto se con­ centran en torno de 1.) Actualmente a este resultado se le denomina teo­ rema Bolzano-Weierstrass (Kline, 1972, p. 953).

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Entre 1869 y 1872 Charles Méray, Cantor, H e in ric h Eduard H e in e y Dedekind publicaron sendas teorías de los números irracionales (Kline, 1972, p. 983), La teoría de Cantor no fue más que una modificación de la teoría de Weierstrass (Jourdain, 1915, p. 26); sin embargo, mientras que Weierstrass definió a los números reales en términos de series de núme­ ros racionales, Cantor utilizó sucesiones. Dedekind, por su pane, publicó so teoría en respuesta a la publicación de Cantor (Daubem, 1979, p. 48). En 1886 Stolz demostró que se pueden identificarlos irracionales con decimales que no se repiten (Kline, 1972, p. 987). Cada una de las teorías de los irracionales define a éstos en términos de algunas sucesiones o conjuntos realmente infinitos. Un decimal que no se repite involucra una sucesión infinita de dígitos. Por ejemplo, la teoría de las cortaduras de Dedekind define a ,J2 en términos del conjunto infinito de todos los núme­ ros racionales positivos p, tales que p 2 > 2. (Este conjunto y el conjunto de los restantes números racionales — es decir, aquellos números racionales p que son negativos, tales quep 2 < 2 — cortan los números racionales en dos partes: un segmento inicial y un segmento terminal; de ahí la pala­ bra "corladuras”). La teoría de Cantor de las sucesiones de Cauchy defi­ ne al número real como un número que está asociado con un con junto infinito de sucesiones infinitas de números racionales, etcétera. La teoría de Dedekind se parece mucho a la que desarrolló Eudoxo para las razones inconmensurables. En términos generales, las partes superior e inferior de la cortadura corresponden a las razones conmensurables mayores y menores que una razón inconmensurable dada. De hecho, De­ dekind dio crédito al libro V de los Elementos de Euclides. Cantor pensaba que su propia teoría era superior a la de Dedekind debido a que utiliza sucesiones de números racionales — que son objetos familiares del análi­ sis— en ves de las poco familiares "cortaduras” (KJine, 1972, p. 968), Las definiciones de los números irracionales nos proporcionan una de las mayores ironías de la historia de las matemáticas: Cauchy y Weiers­ trass habían eliminado del análisis los números infinitamente pequeños y los infinitamente grandes y los reemplazaron con los límites. Sin embar­ go, esto hacía imprescindible una teoría de los límites, que de esa mane­ ra adquiría una gran importancia, la cual a su vez requería de una teoría más clara de la recta real, es decir, una teoría de los números irracionales. Así que la teoría inmediatamente rcintrodujo el infinito al análisis. El viejo infinito de los números infinitesimales e infinitos simplemente fue reem­ plazado por el nuevo infinito de las colecciones o conjuntos infinitamen­ te grandes. 12 En 1831 Cari Fricdrich Gauss decía: 12 Véase ia obra de Bertand Russell Principies o f Mathematics (1903, p. 304), en la que aparece una opinión similar.

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Protesto contra el uso de una cantidad infinita como si fuera una entidad real; esto nunca se permite en las matemáticas. El infinito es sólo una manera de hablar, en la cual propiamente se habla de los límites a los que ciertas razones pueden acercase tanto como se desee, mientras que a otras se les permite incrementarse sin límite. [Kline, 1972, p. 994 ]

Sin embargo, tan sólo 52 años más tarde encontramos lo siguiente en la obra Gnmdlagen de Cantor: La idea de considerar lo infinitamente grande no sólo en la forma de una mag­ nitud que se incrementa ilimitadamente y en la forma estrechamente relacio­ nada de las series infinitas convergentes [...] sino también de fijarlo matemáti­ camente por medio de números en la forma definida del infinito absoluto me fue impuesta lógicamente, casi contra m i voluntad puesto que es contraria a ías tradiciones que yo había llegado a venerar en el curso de muchos años de esfuerzos e investigaciones científicas. [Cantor, 1976, p. 75,]

Fourier, entre otros, presentó una demostración según la cual sí una función es representable por medio de una serie trigonométrica, enton­ ces ésta es única; es decir, dos series trigonométricas que convergen a una función son la misma. Anteriormente mostramos las partes princi­ pales de tal demostración (si hay una serie, sus coeficientes deben ser las hv que dimos, y por tanto la serie es única). Sin embargo, la demostra­ ción no funciona debido a que la fórmula para las b v fue obtenida inte­ grando las series término por término. Como se observó anteriormente, incluso Cauchy creía que lal procedimiento era legítimo; no obstante, sólo funciona si la serie es uniformemente convergente, Weierstrass enfatizó la importancia de la convergencia uniforme. Heine Lambién se interesó en el lema — acerca del cual pudo haberse infor­ mado a través de Cantor, quien había estudiado con Weierstrass antes de convertirse en colega de Heine en Halle— . Fue Heine quien, en un ar­ tículo de 1870, notó la falla en la demostración de la unicidad de una ex­ pansión trigonométrica, Lo que realmente demostró fue que si una fun­ ción tiene una serie trigonométrica uniformemente convergente, entonces ésta es una serie de Fourier, y es la única serie trigonométrica uniformemente convergente que suma la función, Sin embargo, para esas fechas ya se sabía que incluso las series de Fourier no necesitan ser uniformemente convergentes. La serie de Fourier para la función denta­ da o serrada — analizada anteriormente— constituye un ejemplo de esto. No obstante, Ileine logró algunos resultados positivos en lo concerniente a la unicidad. Influenciado por Heine, Cantor demostró que la representación con series trigonométricas de una función es única, y que no se requiere la

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convergencia uniforme. Este resultado se aplica a la serie trigonométrica que converge en todas paites, Cantor comenzó a extender su resultado para dar cabida a puntos excepcionales. Eli 1871, demostró, y con esto verificó un supuesto de Riemann, que si dos series trigonométricas convergen en todas partes a la misma función, excepto posiblemente en una cantidad finita de pun­ tos, entonces esto es suficiente para asegurar que son la misma serie. En 1872 Cantor obtuvo resultados que permitían una cantidad infinita de puntos excepcionales, con lo que respondió a una pregunta de Rie­ mann. Definió el conjunto derivado S' de un conjunto S de números rea­ les como el conjunto de puntos límite de S. Por ejemplo, si S es el con­ junto {0 , -, j , j , . . .}, entonces S' es el conjunto [1}, cuyo único miembro o elemento es el 1 . Se puede formar' el conjunto derivado de un conjunto derivado; es decir, um segundo conjunto derivado, y así sucesivamente. Cantor demostró una generalización de su anterior resultado, que con­ siste en lo siguiente; supóngase que un conjunto 5 de números reales es tal que para alguna n el enésimo conjunto derivado es finito. Si dos series trigonométricas convergen a ía misma función, excepto quizás en los pun­ ios de S, entonces son la misma. Cantor dio a conocer su definición de los números reales en el mismo artículo en el que publicó esta generali­ zación. Necesitaba demostrar que para todo n hay un conjunto S cuyo enésimo conjunto derivado es finito y no vacío, siempre que el n —1 con­ junto derivado sea infinito; esto es, necesitaba demosLrar que al permitir la iteración de su operación de derivación de conjuntos realmente con­ ducía a nuevos posibles conjuntos S de puntos excepcionales. El de Cantor fue uno de los primeros artículos en que los conjuntos infinitos de puntos recibieron una atención cuidadosa y explícita. En 1829 Dirichlet había propuesto una condición para que una función fue­ ra integrable que era una condición sobre el conjunto de pun Los de dis­ continuidad de la función, y que estaba claramente relacionada con con­ juntos infinitos de puntos de discontinuidad. Esta condición es digna de enunciarse, puesto que será abordada posteriormente; Consiste en que el conjunto de puntos de discontinuidad no sea denso en ninguna parte — es decir, que dentro de cada intervalo esLé contenido un intervalo que no incluya punios de discontinuidad— . Intuitivamente podríamos suponer que los conjuntos que no sorr densos en ninguna parte son pequeños en cierto sentido. No sabemos si Dirichlet confirmó esto, ya que no publicó sus resultados (Hawkins, 1980, p. 156). En su tesis doctoral de 1864, Rudolph Lipschitz desarrolló una condición bajo la cual una función tendría una serie de Fourier convergente incluso si tuviera una canLidad infiniLa de puntos de oscilación. Pero la demostración hacía un sustan­ cial uso de la estructura de las series trigonométricas (Grattan-Guiness,

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1980a, p. 137). En 1870 Hermann Hanltel, quien había sido alumno de Riemann, desarrolló una condición bajo la cual una función sería inte­ grable (en el sentido de Riemann), la cual involucraba conjuntos de pun­ tos de discontinuidad. No obstante, el interés de Hankel estaba enfoca­ do principalmente en la integrabilidad (Hawkins, 1980, p. 166). El teorema de Cantor de 1872 no requería nada nuevo — a diferencia de los resultados que acabamos de mencionar, los cuales involucraban conjuntos infinitos de puntos— , excepto un cuidadoso estudio de la es­ tructura de los conjuntos de puntos que resultan relevantes. El único ingrediente adicional que requería era una aplicación absolutamente simple de Sus anteriores resultados relacionados con las series trigono­ métricas. Además, aun cuando en 1872 Cantor sólo utilizó las iteracio­ nes finitas de la operación del conjunto derivado, ya estaba consciente de la posibilidad de emplear iteraciones infinitas, como puede apreciarse a continuación: Dado un conjunto P, sea P' su conjunto derivado y, en general, sea Plí:+lí el conjunto derivado de Ptk}. Hasta aquí tenemos la sucesión:

0

P ( ) = p : p (l) = p'^ p ( 2) __ p a v — p'-r jp(3) _

Ahora sea P ^ el conjunto de puntos que están en F® para toda k finita —los puntos que todavía no se han eliminado mediante la operación de tomar un conjunto derivado (Daubem, 1971, pp, 211-213), Entonces po­ demos continuar pío)^ p u ) f

P^\

pCw+2) ^

p(»*> f. 1 p. entonces l < n (transitivo); y para toda m y n en M, m < n, m —n. o n < ni (conectado). Los ejemplos inclu­ yen a los números naturales, los racionales, los reales, los ordinales o cualquier subconjuri­ to de cualquiera de éstos, en cada caso con la obvia relación de orden.

CONJUNTOS DE PUNTOS

M

En el artículo de Í885 Cantor decía que las matemáticas puras no son otra cosa que la teoría de conjuntos, en el sentido de que todas las mate­ máticas pueden ser comprendidas en términos solamente de la teoría de conjuntos (Dauben, 1980, p. 202). El año anterior Gottlob Frege había publicado la obra Die Grundlagen der Aríthmetik, en la que derivó la arit­ mética a partir de principios lógicos. El desarrollo posterior de los fun­ damentos de la aritmética de Frege, junto con el trabajo de Dedekind, fueron parte de lo que finalmente condujo a la aceptación del postulado de Cantor. He estado describiendo en detalle hasta qué grado está entrelazada la teoría de conjuntos con el análisis, particularmente con la teoría de las series trigonométricas; pero también en otro sentido la teoría de conjun­ tos se ha vuelto importante para las matemáticas. Actualmente las mate­ máticas son consideradas como el estudio de la estructura abstracta, no como el estudio de la cantidad. Este punto de vista surgió directamente del desarrollo de la noción de estructura abstracta desde la perspectiva de la teoría de conjuntos. Las motivaciones de Dedekind y Frege eran bastante diferentes de las de Cantor. Dedekind estaba tratando de dar un fundamento para la arit­ mética "enteramente independiente de las nociones o intuiciones del espacio y del tiempo” (Dedekind, 1888, p. 31). Por su parte, Frege estaba estudiando la lógica como parte de un programa filosóficamente motiva­ do, consistente en dar un fundamento explícito a la aritmética — el des­ arrollo de la lógica era necesario para asegurar que ninguna suposición pasara inadvertida— . Ambos deseaban dotar de un sólido fundamento teórico al análisis. Es discutible que cada uno haya constituido una excepción de ta regla general de que el rigor no se persigue por el rigor mismo. Pero incluso si fueran excepciones, esto no resultó dañino, ya que ambos tuvieron una am plia motivación para incrementar el rigor debido al reciente gran éxito que, por su preocupación por el rigor, habí­ an alcanzado Cauchy y Weierstrass. También se sintieron motivados debido a su percepción de que no se había completado el programa de la aritmetización del análisis promovido por Dirichlet (Dedekind, 1888, p. 35) y Weierstrass. Es importante tener en mente que si bien el rigor y la sistematización del análisis constituían las motivaciones de Dedekind y Frege, no fueron la motivación de Cantor, a pesar de lo que dice la historia oficial. Cantor estaba estudiando los conjuntos de números reales por razones matemá­ ticas que provenían del estudio de las series de Fourier de funciones cada vez más arbitrarias. Cantor no trabajaba axiomáticamente: creía en la realidad de los números ordinales y sus conjuntos, y se consideraba a sí mismo como el descubridor de sus propiedades. Por tanto no se reque­

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rían axiomas. El hecho de que Cantor no trabajara axiomáticamente demuestra que, en contraste con Dedekind y Frege, no consideraba que su proyecto consistiera en deducir las consecuencias de un sistema de supuestos o en sistematizar un cuerpo de conocimiento. Cuando un hecho le parecía obvio o elemental, Cantor simplemente lo enunciaba sin molestarle en demostrarlo. En los Grundlagen de Cantor, las potencias no estaban asociadas con los números cardinales. En 1883 Lúe cuando hizo tal asociación por pri­ mera vez. En 1886 introdujo una notación para los números cardinales, y en 1887 dio a conocer las definiciones de las operaciones de adición y m ultiplicación para los números card in ales. Para Cantor, los números ordinales venían primero: siempre eran más importantes que los núme­ ros cardinales (Dauben, 1979, pp. 179-181), En 1888 Dedekind publicó su teoría de los números natur ales. Un año más tarde Peano, haciendo referencia al trabajo de Dedekind, dio una versión semiforrrtal de lo que se ha convertido en la axiomatización esLándar de los números naturales .6 El artículo de Peano enunció por primera vez la necesidad de distinguir entre ta r elación de pertenencia a un conjunto (para lo cual introdujo el símbolo e) y su inclusión en ese conjunto (Peano, 1889, p. 8 ó). Peano introdujo lo que ha llegado a cono­ cerse como el principio de comprehensión (Peano, 1889, p. 90, y Ken­ nedy, 1980, p. 26): toda "condición" (es decir, toda "proposición que con­ tenga la indeterminada x") determina una clase, la "clase compuesta por los individuos que satisfacen (la) condición”. Peano Lambién proporcio­ nó los fundamentos para los números racionales y los irracionales, e incluso analizó la teoría de conjuntos de Cantor. En 1890 Peano definió una curva continua que toca todos los puntos del cuadrado unitario al menos una vez. También introdujo la distinción entre un individuo y la clase compuesta únicamente por ese individuo, y negó que se puedan seleccionar miembros provenientes de una canLidad infinita de clases sin una determinada regla (Kline, 1972, pp. 988, 1018; Kennedy, 1980, p. 33, y Moore, 1982, p. 76). s La aritmética de Peano, la PA, será un ejemplo útil en los capítulos posteriores. Por lo tanto, describiré una versión conveniente. Ño es exactamente la que proporcionó Peano. He aquí dicha aritmética: Todo número tiene un sucesor. El número 0 no es sucesor de un número. Los números con el mismo sucesor son iguales. La suma de cualquier* y 0 es je. Para cualquier número x, la suma de su sucesor y cualquier número y es el sucesor de la suma de x y y . El producto de cualquier número k y 1 (el sucesor de 0 1es x. Para todo número x, el pro­ ducto de su sueesory cualquier número}' es la suma del producto d e x y y con}’. Cualquier propiedad que se cum pla para 0, y que es tal que si es válida para cualquier número x, entonces tam bién lo es para el sucesor de x, se cumple para todo número. Este últim o se conoce como el axioma de inducción.

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En 1891 Cantor publicó su argumento diagonal,7 el cual produjo una nueva demostración de que existen más números reales que números naturales, y lo que es todavía más importante: fue eí primer argumento completamente pulido que demostró que hay una cantidad infinita de poLencias infinitas. De hecho, demostró otra cosa: dado cualquier con­ junto, hay otro de potencia mayor. Aplicando este hecho al conjunto de los números reales, Cantor demosLró por primera vez que existe una potencia infinita estrictamente mayor que la del conjunto de los núm e­ ros reales. En 1892 Frege publicó una reseña del artículo de 1887 de Cantor, en el cual había introducido la aritmética cardinal. Frege apoyó plenamente la aceptación de Cantor del infinito actual y vio que su trabajo tenia impor­ tantes consecuencias para el análisis. No obstante, dedicó la mayor parLe de la reseña a criticar a Cantor por apoyarse tan Lo en la intuición y en una mal definida noción de la "abstracción". Frege esLaba en favor del rigor lógico y de la definición explíciLa. Sin embargo, nunca dudó que la teoría de Cantor podía ser desarrollada de una manera satisfactoria. Un año más tarde fue publicado el primer volumen del libro de Frege, Grundgeseize der Arithmetik, begriffs5chriftlich abgeteiíei. En esta obra comenzó a elaborar en detalle el programa de sus Grundlagen: desarro­ llar la aritmética dentro de un sistema formal, dando pruebas plenamen­ te formales para demostrar que nada se sustenLaba teniendo como base la intuición. Frege introdujo en las Grundgeseize una teoría que puso a su programa en contacLo con la teoría de conjunLos de Cantor. Presumi­ blemente Frege pensó que esa teoría constituía un marco apropiado den­ tro del cual podría desarrollar la Leoría de conjuntos cantoriana de una manera rigurosa. En el próximo capítulo examinaremos con cierto deta­ lle esLo y los temas relacionados. El segtindo volumen de las Grundgesetze■(publicado en 1903) contiene una leoría de los números cardinales (Dauben, 1979, pp. 220-225, y DummetL, 1967).

3, I n t e g r a c ió n

En 1892 Camille Jordán proporcionó una formulación definitiva de la integral de Cauchy-Riemann, En ese tiempo la integral de una función de dos dimensiones ■ —una integral de superficie— usualmente era defini­ da sobre la región limitada por una curva cerrada. La integral de superfi­ cie fue definida en términos de los valores límite de las sumas de parti­ ciones arbitrarias del plano en rectángulos. Existía un problema obvio 7 El a u k u lo está tr aducido, y constituye el Apéndice B del capítulo IV.

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respecto a qué hacer con los rectángulos en la frontera de la región: ¿los rectángulos que no están totalmente dentro ni totalmente fuera de la re­ gión de integración debían ser incluidos o excluidos de las sumas? El problema fue resuelto mediante la afirmación de que la suma de las áreas de los-rectángulos de la frontera tendía a cero en el límite y que, por Lauto, no importaba si los rectángulos en la frontera eran incluidos o excluidos. Pero la curva de Peano —la cual tenía todos sus puntos en una región de la frontera— sugería que esta afirmación era cuestionable,* Jordán resolvió el problema pasando de los rectángulos a los subcon­ juntos del plano, en sentido cantoriano. La noción de Cantor y Stolz del contenido exterior se generaliza de una manera obvia de la línea al plano: se pueden usar rectángulos en vez de intervalos. Jordán introdujo la no­ ción de contenido interior, la cual le fue sugerida por la noción de conte­ nido exterior. El contenido exterior de un conjunto se define utilizando las áreas de conjuntos finitos de rectángulos que contienen al conjunto: es la máxima cota inferior de tales áreas. El contenido interior de un conjunto es la mínima cota superior de las áreas de los conjuntos finitos de rectángulos disyuntos dos a dos que están contenidos dentro de dicho conjunto, Jordán decía que un subconjunto del plano es medible si tiene un contenido exterior igual a su contenido interior. Naturalmente, la medida de un conjunto medible es su contenido exterior o interior. Se puede ver fácilmente que la medida de los conjuntos familiares de pun­ tos sobre el plano son justamente sus áreas. Ahora que cualquier conjunto medible tenía un "área” bien definida, o medida, ya no era necesario dar a los rectángulos un papel especial. Jordán definió a la integral en términos de los valores límite de las sumas sobre las particiones arbitrarias del plano en conjuntos medibles, y no sobre las particiones en rectángulos. Fue entonces natural permitir que la región de integración fuera un conjunto medible arbitrario, en vez de sólo el interior de una curva. Jordán demostró que un conjunto es medible si y sólo si el contenido exterior de su frontera es cero. Esto es lo que necesi­ taba para demostrar que la suma de las áreas en la frontera tendía a cero en el límite y, por tanto, que la integral estaba bien definida. En 1893 Jor­ dán incorporó este enfoque a su texto intitulado Cours d ’analyse, y así la siguiente generación de matemáticos franceses aprendió la formulación conjuntista del análisis de Jordán (Hawkins, 1980, pp. 169-171). En 1895 Cantor definió la exponenciación cardinal y observó que la 1 Véase Hawkins, 1975, en donde aparece una detallada crónica de la moderna teoría de la integración, incluyendo la contribución de Cantor, y el fuerte impacto de la teoría de con­ juntos en el desarrollo de esta teoría. La historia de la integración que se presenta aquí está abreviada y simplificada en aspectos importantes, puesto que mi único objetivo es propor­ cionar un ejemplo de cómo influyó la teoría de conjuntos de Cantor en el subsecuente des­ arrollo de) análisis.

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potencia del conjunto de los números reales es 2K°. A continuación ya estaba en condiciones de proporcionar la formulación algebraica de la hi­ pótesis del continuo, que actualmente es estándar: 2 X“ = pero no lo hizo. (El símbolo K0—alcph cero— denota el número cardinal del con­ junto de los números naturales, equivalente a (I) en la vieja notación. El símbolo Kj denota el siguiente número cardinal, equivalente a (II), y así sucesivamente. En particular, denota el co-ésimo número cardinal). En 1902 Henri Lebesguc, utilizando el importante trabajo intermedio de Emile Borcl y de otros, introdujo la teoría de conjuntos en los cimientos mismos del análisis. Cambió la definición del contenido exterior de los subconjuntos del intervalo unitario para permitir la existencia real de conjuntos infinitos numerables de intervalos, en vez de sólo conjuntos finitos (he pasado del plano al intervalo unitario por razones de simplici­ dad, ya que las definiciones de Lebesgue en otros dominios están basa­ das en la definición bosquejada aquí). Es decir, adm itió [ülf J,_, [ü „, ademásde [a¡, [a„, Después definió que el contenido interior de un subconjunto E del intervalo unitario es i menos el conte­ nido exterior del complemento de E. Actualmente la noción correspon­ diente de medida es conocida como la medida dé Léb&sgue. La integral de Lebesgue puede ser definida exactamente de la misma manera en la que Jordán definió la integral de Cauchy-Riemaim, excepto que en este caso se utiliza la medida de Lebesgue, en vez de la de Jordán. La integral de Lebesgue tiene muchas propiedades convenientes, de las que carece la integral de Cauchy-Riemann. Por ejemplo, si una sucesión de funciones Lebesgue integrables en un conjunto de medida finita está uniformemente acotada (lo cual significa que existe un B tal que todos los valores de todas las funciones son menores que B) y converge a una fun­ ción, entonces esa función es Lebesgue integrable, y el valor de la inte­ gral es el límite de ta sucesión de valores de las integrales de las funcio­ nes: f blím f (x)dx = lím j bf(x )d x n—(>< ■
co-Jti

La integral de Lebesgue tiene muchas aplicaciones en la teoría de las series de Fourier. Por ejemplo, Lebesgue demostró en 1903 que si una función acotada es representada por una serie trigonométrica, entonces la serie debe ser una serie de Fourier (en donde, por supuesto, los coefi­ cientes de Fourier tienen que ser definidos utilizando la integración de Lebesgue) (Kline, 1972, pp. 1044-1048, yHawkins, 1980, pp. 172-179). * Como se ejemplifica en el texto, un conjunto numerable es el que puede ser índexado

p u rlo s n úm eros naturales.

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En 1915 Jourdain tradujo al inglés la obra Beiírage zur Begründung dar iransfiniten Merigenkhre de Cantor (publicada bajo el título de Contributions to the Founding of the Theory of'Transfinite Numbers). Jourdain reem­ plazó en el título la palabra sets (Mengen: conjuntos) por la palabra num ­ bers (números), [...] puesto que este in fo rm e se o c u p a sobre lo d o de la investig ación de varios n úm e ro s ca rdinales y ord in ale s transfinitos, y 110 de la investigación de lo que u su alm e n te es descrito co m o [...] “la teoría de co nju n tos" — los elem entos de los c o n ju n to s que son n ú m e ro s reales o co m plejos, los cuales se represen­ ta n c o m o " p u n to s " g e o m é tric o s e n u n espacio de u n a o m ás d im e n s io n e s —[Cantor, 1915, p. v, Prefacio].

4. Absoluto v e rs u s

t r a n s f in ít o

El estudio de los conjuntos que realizó Cantor comenzó con su trabajo sobre las funciones arbitrarias y el descubrimiento de los símbolos trans­ finitos, y siempre permaneció ligado a ese comienzo. Cantor creía que había descubierto que entre lo finito y lo "Absoluto” —el cual es ‘inasible para la comprensión hum ana’'— existe una tercera categoría, a la que denominó el transfiníto. Las razones iniciales de Cantor para postular lo Absoluto originalmente fueron teológicas, y la teología continuó desem­ peñando a lo largo de toda su vida un papel importante en su noción de lo Absoluto. Más adelante examinaremos algunas de las ideas matemáti­ cas de Cantor acerca de lo Absoluto, pero por ahora nos enfocaremos principalmente sobre la manera como concebía el transfiníto. Lo Absolu­ to tiene un papel muy importante dentro de esta discusión, así que es conveniente ver cómo lo contrastó con el transfiníto. En los Grundlagen de 1883, Cantor decía que "lo Absoluto sólo puede ser reconocido y admitido, pero nunca será conocido, ni siquiera aproximadamente’’. También decía que estaba convencido de 'que el dominio de las cantida­ des definibles no concluye con las cantidades finitas y, en consecuencia, los límites de nuestro conocimiento pueden ser extendidos, sin que esto necesariamente violente a nuestra naturaleza”. En 1887 Cantor caracte­ rizó al transfinito como "constante en sí mismo, y más grande que cual­ quier finito, pero de cualquier modo irrestricto, incrementable y, en este respecto, acotado”. Desde el principio dedicó sus esfuerzos a compren­ der sólo el infinito incrementable (Hallett, 1984, pp. 13, 14).10 10 En esta sección me he apoyado m ucho en el ilustrador trabajo de Michael Hallett (1984), del cual he tomado la mayoría do las traducciones de las palabras de Cantor, Mi propio análisis del trabajo de Cantor, el cual en muchos sentidos Loma a Hallen como pun­ to de partida, lo presento en el apartado IV.2,

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ó7

De hecho, la noción de Cantor del transñnito es todavía más específica, como Jo dejó en claro en los Gnwdlagen: E l supuesto de que ad em ás de lo fin ito y lo ab soluto — éste ú ltim o in alca n zab le p o r c u a lq u ie r d e te r m in a c ió n — n o h ay m o d ific a c io n e s a las q ue yo lla m e a c tu a lm e n te in fin ita s — es decir, m o d ific a c io n e s d c tc rm in a b le s p o r m e d io de n ú m e ro s— lo en cu e ntro totalm e nte in justifica do [...] L o que yo a firm o y creo hab er d e m o stra d o en éste y en. otro s trab ajo s anteriores es que después de lo fin ito h a y u n Transfinito (al cu a l ta m b ié n se le p u e d e lla m a r s u p ra fm ilo ): es decir, u n a escala ascendente ilim ita d a de m o d o s definidos que, p o r su n a tu r a ­ leza, n o son finitos sin o in fin itos, pero los cuales, ju sto co m o lo finito, pu e d e n ser d e te rm in a d o s p o r m e d io de n úm e ro s b ie n d e fin id o s y d is tin g u ib le s . [Hallett, 1984, p. 39 ]

En los Grundlagen, Cantor definió los números ordinales pero no los cardinales (los números cardinales vinieron después, ese mismo año), así que, en este pasaje, fueron los números ordinales a los que consideró como básicos. Puesto que los números ordinales desempeñan un papel tan importan­ te en la teoría de conjuntos cantoriana, vale la pena ver cómo los conci­ bió Cantor. Los números ordinales son generados, de acuerdo con Can­ tor, por dos principios: cada número ordinal tiene un sucesor inmediato y cada sucesión de números ordinales creciente y sin fin tiene un n ú ­ mero ordinal como su límite (es decir, existe un ordinal que sigue des­ pués de tal sucesión). Precisó esto utilizando la noción de colección bien ordenada: una colección M está bien ordenada por una relación , mientras que G = (b2, b3,..., foj) tiene el número ordi­ 14 Véase Grattan-Guiness, 1974, pp. 127-128, en donde aparece la razó» por la que la carta está fechada incorrectamente, en Van Heijenoori, 1967,

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nal w + 1. Existe un sentido natural en el que w es menor que w 4-1: hay un segmento inicial de G — es decir, la parte de G que viene antes de b j— que tiene un orden lipo oj, como lo demuestra la correspondencia biunívoca que aparea tí, con b¡+1. Como Cantor lo había demostrado, los números ordinales están bien ordenados por el siguiente orden natural, el cual generaliza lo que acabamos de ilustrar por medio de w y + 1 : si tanto a como son números ordinales, decimos que a es menor que 0 si hay un conjunto bien ordenando F tal que F = 0 y un miembro a de F tal que el segmen­ to inicial de F determinado por a tiene el tipo de orden a, donde el seg­ mento inicial de F determinado por a es justo el subconjunto de F constituido por los miembros de F menores que a, con el mismo orden que tenían en F. El orden natural de los números ordinales tiene una conveniente propiedad: Para cualquier ordinal a, el conjunto de los números ordi­ nales menores que a, ordenados en el orden natural, forma un conjun­ to bien ordenando del tipo de orden o l Así, por ejemplo, el conjunto de los números ordinales menores que 3, ordenado de la manera usual, es decir (0, 1, 2), es un conjunto bien ordenado del tipo de orden 3. Supongamos que í i es la clase de todos los números ordinales y que fl es un conjunto. Entonces O es un conjunto bien ordenado por el orden natural, por lo que tiene un correspondiente número ordinal, digamos fl = 8, Por io tanto, íi es un conjunto bien ordenado de tipo Sin embargo, debido a la manera en que se define Cí, el número ordinal $ debe ser un miembro de Cí. Por la conveniente propiedad mencionada anteriormente, eí segmento inicial de ÍI determinado por 5 tiene un tipo de orden 5 y así, por la definición del orden natural, 5 es menor que íí ; es decir, S es menor que S, lo cual es un absurdo. Esta contra­ dicción muestra que nuestro supuesto inicial, de que íi es un conjunto, debe ser falso. Como el propio Cantor lo destacó (Cantor, 1932a, p. 115): "El sistema O de todos los números es una multiplicidad incon­ sistente y absolutamente infinita". Puesto que Cantor había argumentado que a todo número ordinal co­ rresponde un número cardinal distinto , 15 del hecho de que el sistema de todos los números ordinales es una multiplicidad inconsistente y absolu­ tamente infinita, se seguía que el sistema de todos los números cardina­ les que corresponde a los números ordinales también es una multiplici-

1;> T.as clases n um éricas heredan su o rd en am iento de los números ordinales, y p o r lo ta n ­ to están b ien o rd en ad as. P uesto que todas las sucesiones de n úm eros cardinales tienen una cota su p erio r, son ab so lu tam en te ilim itad as, p o r lo q u e deben fo rm a r u n a clase sim ila r a íi,

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dad inconsistente y absolutamente infinita.Lú Cantor continuó emplean­ do estos resultados para demostrar ciertos teoremas con los que había estado trabajando durante mucho tiempo (para mayores detalles, véase el apartado 1V.2). .

5 . P a r a d o ja s En 1895, el año en el que Cantor desarrolló los argumentos que acaba­ mos de presentar, Bertrand Russell presentó su disertación, la cual fue publicada posteriormente bajo el título de An Ksstiy on the Foiindations o f Geometry, en 1897. Era una trabajo de orientación neohegeliana. Rus­ sell creía que toda la ciencia (excepto la ciencia universal, la metafísica) necesariamente contiene contradicciones que requieren una transición dialéctica a otra ciencia para su resolución. Por ejemplo, la geometría es la ciencia de las relaciones espaciales puras; pero las relaciones necesi­ tan relacionar algo. Así que la geometría debe postular algo más allá de las relaciones espaciales puras: puntos espaciales. La contradicción es trascendida moviéndose hacia la física (Griffin, 1988, pp. 20, 24-26). Russell conoció el trabajo de Cantor en 1896. Más tarde Russell dijo al respecto (Russell, 1967a, p. 200): "En esa época yo suponía erróneamente que todos sus argumentos eran falaces, pero de cualquier modo continué revisándolos hasta el más m ínim o detalle. Esto fue de mucha utilidad para mí, cuando más tarde descubrí que todas las falacias eran mías". En esa época Russell creía que “el continuo como objeto de reflexión es autocontradictorio” (Griffin, 1988, p. 32). En 1897 Russell reafirmó sus dudas acerca del infinito matemático, pero en 1898 lo aceptó tentativa­ mente en el primer borrador' de la obra que aparecería publicada bajo el título de Principies o f Mathematics (Russell, 1903; véase Moore, 1988b, pp. 49, 50). La aceptación del infinito por parle de Russell no duró mucho tiempo. En 1899, por las mismas fechas en las que Cantor escribió a Dedekind la carta que examinamos en la sección anterior, Russell impartía cátedra y escribía acerca de Leibniz, quien aceptaba el infinito actual, pero ar gu­ mentaba contra el número infinito. En el segundo borrador de lo que más tarde fue publicado como los Principies, escrito en 1899, Russell sos­ tenía que el número infinito era contradictorio, pero le preocupaba que una clase, la extensión de un concepto (es decir, la colección de cosas a la que se aplica el concepto), fuera una totalidad, la cual, por lo tanto, debiera tener un número. Russell observó que surgía una versión más 16 Este argumento guarda cieita relación con el posterior axioma de reemplazo: el rango de u na fun,gÍQn en un conjunto es u n co n ju nto (véase el ap artado V.2).

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simple do la contradicción cuando se consideraba la totalidad de los números, y citó al respecto a Leibniz, quien decía que "el núm ero de todos los números implica una contradicción1'. Después escribió: "Existe y no existe el número de los números” (Moore, 198Sb, p. 50; Moore y Garcíadiego, 1981, p, 325). El problema de si las colecciones infinitas tie­ nen o no un número infinito continuó acosándolo cuando escribió el siguiente borrador, un año después. En un congreso que tuvo lugar en el verano de 1900, Russell conoció a Peano, quien 1c causó una impresión favorable. Tiempo después co­ menzó a estudiar su trabajo y más tarde hizo el siguiente comentario:

F u e nna época de intoxicación intelectual. Sentía u n a sensación como la que se experimenta después de escalar una montaña en un día brumoso cuando, al ílegai a la cima, la niebla repentinamente se despeja y el paisaje se vuelve visi­ ble hasta cuarenta millas de distancia en todas direcciones. Durante años me había embarcado en la tarea de analizar las nociones fundamentales de las matemáticas, tales como Ja noción del orden y la de los números cardinales. Repentinamente, en el transcurso de una cuantas semanas, descubrí lo que parecían ser las respuestas definitivas a los problemas que me habían descon­ certado durante tantos años. Inlelectualmente, el mes de septiembre de 1900 se convirtió en d cénit de mi vida. [Russell, 19ó7a, p. 232-233.] Como resultado del estudio del trabajo de Peano — aparentemente rea­ lizado en el mes de septiembre—, Russell aceptó que toda colección tiene un número cardinal, y en noviembre ya había encontrado un "error’' en el trabajo de Cantor (Coffa, 1979, p. 33), El argumento diagonal de Can­ tor demostró que no existe un número cardinal máximo. Pero el número de individuos es precisamente el número máximo, puesto que todas las clases están incluidas en la clase de los individuos (Russell consideraba las clases y los números como individuos). Por las mismas fechas Russell también notó que sí los números ordinales están, como Cantor asegura­ ba, bien ordenados, entonces existe un número ordinal máximo; a saber, el tipo de orden de la clase de todos los números ordinales. También des­ cribió el error como uno que involucraba la clase de las clases, en vez de la clase de los individuos . 17 (Moore, 1988b, pp. 52-53.) 17 No sé por qué Russell pasó de la clase de los individuos a la clase de las ciases. No es difí­ cil argumentar que las dos clases tienen el mismo número cardinal, y concluir que si el núme­ ro cardinal de una de ellas es el número cardinal máximo, entonces también lo es el número cardina] de la otra. El argumento que posteriormente dio Russell (1903, p, 367) es más o menos el siguiente: La clase de las clases está contenida en la clase de los individuos, así que no es mayor. A la inversa, la clase de las clases con exactamente un m iembro es del mismo tam año que la clase de los individuos (puesto que cada individuo se corresponde con la ciase que lo tiene como único miembro), y la clase de las clases con exactamente un miembro está contenida en la clase de las clases, por lo que no es más grande. Ninguna cla­ se es mayor que la otra, así que ambas tienen el mismo número cardinal, como se requiere.

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Russell todavía no sospechaba, que hubiera alguna paradoja, aun cuando había encontrado una contradicción. Creía que las conclusiones de Cantor no eran tan generales como parecían. Respecto al detalle, dudaba de la afirmación de Cantor de que los números ordinales están bien ordenados, y suponía que su argumento diagonal, el cual tomó como una demostración de que la clase de todas las subcla ses do vina cla­ se es de una potencia estrictamente mayor (número cardinal) que la cla­ se no era tan general como parecía: no se aplica a la clase de todos los individuos. Este últim o supuesto posteriormente fue respaldado por Cantor, 18 aun cuando él consideraba que sus resultados $ólo eran aplica­ bles a los conjuntos “contables” (noción que examinaremos en detalle en el apartado IV.2), no a las colecciones arbitrarias. El trabajo de Russell estaba relacionado con las clases {noción que se verá con más detalle en el apartado IV. 1), pero durante todo el periodo que estamos comentando ■ — e incluso todavía más tarde— Russell interpretó el trabajo de Cantor como si estuviera relacionado con las clases russellianas, Cuando Cantor conoció el trabajo de Russell concluyó que la clase de todos los indivi­ duos no era un conjunto en absoluto, sino una multiplicidad inconsis­ tente absolutamente infinita. La sospecha de Russell de que el argumento de Cantor no se aplicaba a la clase de las clases, estaba basada en los siguientes razonables argu­ mentos: La clase de las clases tiene como elementos a todas las clases, incluyendo aquellas que tienen como miembros a individuos, además de clases. En contraste, la clase de todas las subclases de la clase de las cla­ ses está compuesta enteramente de clases que tienen como elementos sólo clases, así que debe ser una parte propia de la clase de las clases, por lo que no puede ser de mayor potencia que ésta (Coffa, 1979, p. 34), Russell supuso que el argumento de Cantor demostraba que la clase de todas las subclases de una clase tiene una potencia mayor que la clase, y reformuló el argumento esencialmente de la siguiente manera;1^ 1, Primero demostró que para cualquier función k de una clase u a la clase de todas las subclases de la clase u, la clase de todos los ele­ mentos x de u en los que .x no está en fe, es una subclase de u que no está en el rango de la función fe. 2, Después observó que la clase de las subclases de una clase dada tie­ ne una potencia al menos tan grande como la de la clase, puesto que la función que lleva a cada miembro x de la clase dada a la clase ís En una carta traducida parcialmente, cuyo texto constituye el apéndice A del capí­ tulo rv. 19El punto vista Cantor era diferente. Su texto fue traducido y constituye el apén­ dice B del capitulo IV,

de

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cuyo único miembro es x es una correspondencia biunívoca entre la el a se dada y algunas de sus subclases. Para demostrar que la clase de las subclases de una clase tiene una potencia mayor que la de la clase, es suficiente demostrar que las dos no tienen una potencia igual. 3. Finalmente supuso, operando por contradicción, que una clase y la clase de sus subclases tienen igual potencia. Por tanto, existe una función de la clase a la clase de sus subclases que establece una co­ rrespondencia biunívoca entre ellas, pero esto contradice lo expues­ to en el punto I : una correspondencia biunívoca no puede omitir a un miembro del rango de la función. Russell pensó que el argumento era erróneo en los casos en los que la "clase" era la clase de las clases. Siguiendo a Russell, supongamos que la clase sea la clase de las clases. En tal caso, parece que podemos definir una función k de la ciase a la clase de las subclases de la clase que inclu­ ya todas las subclases de la clase en su rango, como sigue: cuando x está en la clase y es una clase de clases, kx sea x, y cuando x está en la clase y no es una clase de clases, sea kx la clase cuyo único miembro es x. Pero esto viola el punto 1 de la demostración cantoriana: de acuerdo con esta demostración la clase u' de las clases x, tales que x no es miembro de kx, no debe estar en el rango de k. Pero, observó Russell, u' es klt. (presumi­ blemente debido a que k es la función identidad en las clases de clases), y asi, contrario al argumento cantoriano, u' está en el rango de k. De esta manera, concluyó Russell, el punto 1 del argumento de Cantor es inco­ rrecto cuando la clase involucrada es la clase y la función es k, y por tan­ to Cantor no había demostrado que no existía el número cardinal máximo. Russell dio a conocer este análisis en noviembre de 1900. Aparentemente como una reflexión posterior, agregó que “de heclio, en este caso el pro­ cedimiento es imposible, porque si lo aplicamos a la propia u', encontra­ mos que u ’ es una ktt; y por tanto no es una //'; pero a partir de la defini­ ción, u debiera ser una u '“ (Coffa, 1979, pp. 35-36). Russell parece haber mantenido al menos hasta mediados de enero de 1901 la opinión de que el argumento de Cantor era defectuoso y que exis­ tía un número cardinal máximo (Coffa, 1979, p. 33). Pero fácilmente se puede ver que la u ’ del argumento anterior es la clase de las clases que no pertenecen a sí mismas, y que la reflexión posterior sólo demuestra que u' es y no es un miembro de sí misma. Es decir, la definición de ti con­ duce a una contradicción, ya que no existe una clase de todas las clases que no pertenecen a sí mismas .20 Esto lo descubrió Russell en el mes de -° Zermelo descubrió la paradoja de manera independiente, pero se sabe poco acerca de los detalles. Véase Rang y Thomas, 1981.

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CONJ UNTOS Dtí PUNTOS

mayo de ese mismo año 21 (Moore, 1988b, p. 53). Sin embargo, no existe ninguna dase u', por lo que Russell no había producido un contraejem­ plo para él argumento de Cantor. En octubre de 1901 Russell escribió a Louis Couturat que Cantor era irrefutable (Coffa, 1979, p. 37), Russell no sabía qué hacer con su contradicción: Parece indigno de un hombre adulto gastar su tiempo en tales trivialidades, pero, ¿qué iba yo a hacer? Afgo estaba mal, puesto que tales contradicciones eran inevitables sobre las premisas ordinarias. Trivial o no, el asunto consti­ tuía un reto. Durante toda la segunda mitad de 3901 supuse que la solución sería fácil, pero al final llegué a la conclusión de que requería un gran trabajo (Russell, 1967a, p. 236).

Russell finalmente escribió a Peano y a Frege acerca de "la cuestión” en junio de 1902. En la carta que envió a Frege (Russell, 1967b) introdu­ jo el argumento con cierta reserva: "Hay sólo un punto en el que he encontrado dificultad". Por el contrario, la respuesta de Frege fue clara, pues en su carta de réplica manifestó (Frege, 1967) que “no sólo los cimientos de mi aritmética, sino también los fundamentos de toda la aritmética parecen desvanecerse”. Así fue como el "dilema" de Russell se trasformó en la paradoja de Russell. Para septiembre la paradoja se liabía convertido en un problema central para Russell (Moore y Gardadiego, 1981, p. 328). Para cuando apareció publicada la obra The Principies, Russell ya ha­ bía descubierto otras dos paradojas :22 la paradoja del ordinal máximo y la paradoja del cardinal máximo. La paradoja del ordinal máximo es ésta: La clase de todos los números ordinales está aparentemente bien ordenada, así que tiene un número ordinal como tipo de orden, el cual debe ser el ordinal máximo. Pero no puede existir un número ordinal máximo, puesto que cada numero ordinal puede ser incrementado por 1 (Russell, 1903, p. 323). Debe ser clara la similitud entre este argumento y el que Cantor utilizó para demostrar que los números ordinales forman una multiplicidad inconsistente. La paradoja del ordinal máximo llegó a ser conocida como la paradoja de Burali-Forti, puesto que Russell la atribuyó a Cesare Burali-Forti. De hecho, la paradoja se debe a Russell, Hasta donde se, RusseD realmente no analizó en esta época la clase de todas las clases que no son miembros de ellas mismas, sino sólo la clase de todos los predicados que no pueden ser predicados de ellos mismos. La versión en términos de clases aparece en su car­ ta a Frege (RusseU, 1967b), la cual escribió un año más tarde, 2' Mi método de contar las paradojas £& u n poco arbitrario. Por ejemplo, considero que la paradoja de la clase de las clases que no son miembros de si mismas, y la paradoja de la clase de los predicados que no son predicables de sí mismos son la misma, a causa de su evidente similitud.

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aun cuando al parecer se la sugirió un artículo escrito por Burali-Forti (Moore y Garciadiego, 1981). La paradoja del cardinal máximo es la siguiente; La clase de las clases no puede ser mayor que la clase de los individuos, puesto que está conte­ n id a en esta última. Pero la clase de las clases es la clase de todas las sub­ clases de la clase de los individuos, y el argumento diagonal de Cantor muestra que ésta es mayor que la clase de los individuos, Russell intro­ dujo esta paradoja como sigue (Russell, 1903, 366-367); "El argumento (de Cantor), debo confesarlo, no parece contener algún supuesto dudoso; no obstante, hay ciertos casos en. los que la conclusión parece evidente­ mente falsa". Ésta frecuentemente es llamada “la paradoja de Cantor", presumiblemente debido a que está basada en el argumento de Cantor. En otras palabras, el argumento de Cantor demuestra que no existe un número cardinal máximo; pero la cardinalidad de la clase de todos los individuos debe ser el número cardinal máximo, puesto que todas las de­ más clases están incluidas en ésta. La paradoja de Russell parece ser la de mayor importancia debido a que es mucho más directa que las otras. En cierto sentido, la paradoja del cardinal máximo ya incluye a la paradoja de Russell, como lo hemos visto por la manera en que Russell descubrió su paradoja. La paradoja del ordinal máximo involucra la maquinaria de los conjuntos bien orde­ nados y los números ordinales, por lo que Russell pensó que podría disolverse de alguna manera técnica.

IV. ¿QUÉ SON LOS CONJUNTOS?

1. R

ussell

q u é R u s s e l l e n c o n t r ó p a r a d o ja s donde Cantor no halló ninguna? Poique Russell aceptó un principio que Cantor rechazó, el cual entraba en conflicto con los principios en los que ambos coincidían. Este princi­ pio, que parece haber sido formulado por Peano, es el principio de com­ prehensión. En palabras de Russell (Russell, 1903, p. 20), "una clase pue­ de ser definida como la totalidad de los términos que satisfacen alguna función proposicional”. En esto y otros aspectos concernientes a la no­ ción de clase, Russell siguió a Peano, como él mismo lo reconoció. En particular, para Russell todas las clases están "compuestas de términos”. La noción de clase de Peano y Russell es esencialmente lo que Penelope Maddy ha denominado la noción lógica de las colecciones. La marca característica de esta noción es que, de acuerdo con ella, cada colección está asociada con alguna clase de definición o regla que caracteriza a los miembros de la colección. 1 En la obra Grundgesetie der Arithmetik, Frcge desarrolló una noción que equivale formalmente a la de clase, así como un principio análogo al principio de comprchensión —un principio que sujeta a su sistema a pa­ radojas— . No obstante, como el propio Russell lo destacó (Russell, 1903, p. 513), Frege no aprobó la nueva forma en la que Peano concibió las cla­ ses, que fue la que llegó hasta nosotros a través de Russell.2

¿Po r

1 Ei término fue acuñado por Maddy, pero ella lo utilizó de manera ligeramente distinta (Maddy, 1990, pp. 103, 121): "La noción lógica [...] considera un número de diferentes for­ mas, dependiendo exactamente de qué clase de entidad proporcione el principio de selec­ ción; pero todas éstas tienen en com ún la idea de dividir absolutamente todo en dos gru­ pos, de acuerdo con alguna regla." Compare esto con Gódel, 1947, p. 475. 2 Frege consideró que los conceptos son básicos. Estaba interesado en una relación de equivalencia particularmente importante entre los conceptos: la equivalencia extensional. Dos conceptos son extensionalmente equivalentes si ambos son válidos para los mismos objetos. Frege postuló que a cada concepto corresponde un objeto lógico — la extensión del concepto— , de tal modo que los conceptos extensionalmente equivalentes corresponden al mismo objeto, mientras que los conceptos que no son equivalentes no corresponden al mis­ mo objeto. Frege no tenía m ucho más qué decir acerca de la naturaleza de los objetos lógicos (sus “extensiones”), los cuales frecuentemente son confundidos con las clases de Peano debido a que las funciones preposicionales que son satisfechas por los mismos objetos determinan la misma clase — una propiedad formalmente análoga a la postulada por Frege— , Sin embargo, dichas propiedades no son la misma: las clases están compuestas de términos — por lo que la relación de pertenencia era básica para Peano— ; en cambio, los objetos

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Russell al menos estaba vagamente consciente de que la concepción de Cantor de un conjunto era diferente de la suya: cuando los matemáticos tratan con lo que denominan variedades, agregado,

Menge (término dé Cantor), ensemble o un nombre equivalente, es com ún — especialmente donde el número de términos involucrados es finito— que consideren al objeto en cuestión (que es, de hecho, una clase) como definido por la enumeración de sus términos [...] Aquí no son los predicados ni la denotación lo que resulta relevante, sino los términos conectados por la con­ junción y, en el sentido en el cual esta palabra representa una conjunción numérica (Russell, 1903, p, 67).

La concepción de Cantor, que será examinada con detalle en el siguiente apartado, constituye la base de la actual concepción casi universalmente utilizada por los matemáticos. La principal evidencia en la que me baso lógicos de Frege eran definidos sin referencia a la pertenencia. Lo cierto es que más tarde Frege definió una noción formalmente equivalente a la de pertenencia en los siguientes tér­ minos: x es "elemento” del objeto lógico y si hay algún concepto F tal que y sea el objeto lógico que corresponde a F y x está incluido en el concepto F Pero esto no era claramente ia base de sus objetos lógicos. De hecho, Frege dijo (Frege, 1895, p. 228): "El concepto es lógicamente anterior a su extensión, y considero que es fútil el intento de considerar a la extensión de un concepto como una clase y hacerla descansar, no sobre el concepto, sino sobre cosas individuales". Más adelante agrega: "La extensión de un concepto no consiste en los objetos que están incluidos en este concepto (de la manera en la que, por ejemplo, un bosque consiste de árboles): está asociado con el concepto y sólo con él. Por lo tanto, el concepto tiene precedencia lógica respecto a su extensión". Además, Frege quería que todos los objetos de su sistema fueran objetos lógicos, así que simplemente estipuló arbitrariamente que el objeto que es la extensión del concepto "x es lo verdadero”, es lo verdadero, no la clase de las verdades y, de manera similar, que el obje­ to que es la extensión del otro concepto es lo falso. Esto no hubiera sido posible si hubiese utilizado la noción de Peano-Russell de una clase compuesta de elementos (Russell, 1903, pp. 510-512; y Resnik, 1980, pp. 204, 220). Tengo la impresión de que en 1903 Frege todavfa no había comprendido plenamente la noción de Peano-Russell, ya que intentó "evitar la contradicción" (se refería a la paradoja de Russell) permitiendo que dos conceptos correspondieran al mismo objeto, aun cuando este objeto “esté incluido en uno pero no en el otro" (Frege, 1980, p. 150). (Frege llam ó extensión a este objeto; Russell utilizó el término rango ele valores, expresión con la que tra­ dujo el téimino de Frege. Sin embargo, aun cuando rango de valores incluye a la extensión de Frege, es más geneial que ésta. He evitado estos términos, pues lo que aquí está en dis­ cusión es si el uso que ellos hicieron de tales términos es similar al nuestro). Russell hizo la siguiente pregunta (Frege, 1980, p. 155): “¿Cree que el rango de valores permanece inalte­ rado si alguna subclase de la clase es asignada a ésta como un nuevo elememo? Frege repli­ có (Frege, 1980, p. 157): “No creo que, en general, una clase permanezca inalterada cuando una particular subclase sea agregada a ella. Todo lo que quiero decir es que dos conceptos tienen la misma extensión (la misma clase), cuando la única diferencia entré ellos es que esta clase cae bajo el primer concepto, pero no bajo el segundo". Sean lo que sean las extensio­ nes de Frege, sus miembros no son constitutivos de ellas. El hecho de que él las identificara con las clases eri este pasaje, demuestra que no había comprendido la noción de clase. De acuerdo con Charles Parsons, Frege siempre consideró a las clases o bien como extensio­ nes (fregeanas) o como agregados constituidos de paites, es decir, como sumas mereolóeicas (Parsons, 1976, p. 268).

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para hacer esta aseveración aparece en el apartado V.l. Después presenta­ ré una detallada historia de la concepción cantoriana sin necesidad de referirme a la concepción de Feano y Russell. Esto por sí solo ayudará a demostrar que la concepción cantoriana es dominante. Pero también podemos encontrar una afirmación explícita de ese predominio en un ar­ tículo escrito por Skolem, que se analizará en detalle en el apartado V.3: P o r lo que sé, hasta a h o ra sólo u n o de Lales sistemas de ax io m as [para la teo ría de co nju n tos] h a e n c o n tra d o u n a ac e p tac ión casi general. M e refiero al siste­ m a c o n s tr u id o p o r Z erm elo [Zerm elo, 1908b], R u sse ll y W h ite h c a d ta m b ié n co nstruyeron u n sistem a de lóg ica que pro p o rcio n a u n a fu n d a m e n ta c ió n p a ra la teoría de co n ju n to s; sin em b arg o , si n o m e equivoco, los m a te m átic o s h a n m o stra d o p o c o interés en este ú ltim o . [Skolem, 1923b, p. 291.]

Como veremos en el apartado V. 1, el sistema de Zermelo está basado en el de Cantor. No deseo dar la impresión de que pienso que Frege y Russell fueron poco importantes; sin embargo, sus trabajos matemáticos estuvieron relacionados principalmente con la lógica, la formalización, la axioma ti 7 a ción y temas afines, no con la teoría de conjuntos. En parti­ cular las paradojas son importantes por lo que nos revelan acerca de nuestras concepciones sobre las propiedades y la verdad, pero no son importantes para la teoría de conjuntos, como Gódel ya lo había obser­ vado en 1947 (Parsons, 1986, p. 105). Es necesario examinar el concepto de las clases que Russell desarrolló en respuesta a las paradojas, antes de abordar el concepto de los conjun­ tos de Cantor, aunque sea sólo para asegurarnos que son claramente dis­ tinguidos. Russell era un lógico. Deseaba probar que las matemáticas y la lógica son una misma cosa mostrando cómo desarrollar todas las matemáticas dentro de un sistema de ideas libre de condiciones especia­ les o supuestos empíricos y psicológicos. Su programa era sustanc taimen te similar al que Frege desarrolló para la aritmética y el análisis .3 Frege y Russell encararon un problema común: evidentemente las matemáticas tratan con objetos (números, etc.); sin embargo, el supues­ to de que existen objetos de una clase u otra evidentemente va más allá de la lógica pura. Ambos arribaron a una solución formalmente análoga, la cual explicaré con un ejemplo. Las relaciones definibles están dentro del terreno de la lógica, incluyendo las correspondencias definibles una a una. Así, sin ir más allá de la lógica se puede utilizar el método de Cantor para definir fa equinumerosidad: dos sistemas4 son equinuméricos si exis3 La motivación de Russell era bastante diferente de la de Frege. Véase Hylton, 1990. 4 Aquí estoy utilizando la expresión sisteme como una palabra neutral para cualquier cosa que tenga un número asociado. Frege y Russell no estuvieron de acuerdo.

¿QUÉ SON LOS CONJUNTOS?

SI

le una correspondencia biunívoca entre ellos. Suponga que se postula como un principio lógico que toda relación de equivalencia (equinumerosidad en el ejemplo) determina objetos lógicos y una relación lógica tal que las entidades en el campo de la equivalencia mantienen la relación con el mismo objeto lógico si y sólo si son equivalentes. En tal caso estos objetos lógicos serán adecuados para desempeñar el papel de objetos matemáticos. Russell utilizó las clases como los objetos lógicos y la per­ tenencia como la rclación lógica (Russell, 1903, pp. 166-167), como fue sugerido por los trabajos de Peano, Burali-Forti y Mario Picrí (Rodrí­ guez, 1987). Así, para Russell un número era una clase de todos los sistemas equinuméricos con cualquier elemento de la clase. Por ejemplo, según Russell el número 2 es la clase de todas las parejas. Por lo tanto, ser un sistema de dos objetos simplemente significa ser un elemento del núm e­ ro 2, es decir, un elemento de la clase de todas las parejas. En general, el número de un sistema era simplemente el número del cual era elemento dicho sistema. Para Frege, el número de un sistema era la extensión del concepto "ser equinumérico con ese sistema”. El principio de comprehensión era lo que proporcionaba los objetos matemáticos en la temprana explicación lógica de las matemáticas de Russell, desempeñaba un papel central pero también era la fuente de las paradojas. Por lo tanto, Russell tenía dos opciones: restringir únicamente las funciones proposicíonales a las que se aplica este principio o restrin­ gir las funciones proposicionales en general, de manera que el principio todavía se mantuviera íntegro. Cualesquiera restricciones que adoptara tenían que ser de carácter puramente lógico, Russell probó ambas opcio­ nes y ofreció muchas variantes de la segunda. Sólo estudiaré una de sus teorías, que es de la segunda clase: su teoría de los tipos de 1908, tal como la presenta en la obra (Russell, 1908). Me he enfocado en esta teoría debido a que pienso que es la mejor, y porque hizo surgir ciertas cuestio­ nes que serán útiles en los capítulos siguientes.3 En su teoría de los tipos de 1908, Russell considera a los individuos y a las proposiciones como lo básico,1 6y analiza los enunciados que mencio­ nan funciones proposicionales y clases como si sólo incluyeran entida­ des básicas. En este sentido, la teoría es una teoría sin clases — las fun­ ciones proposicionales y las clases no son consideradas como "parte del mobiliario fundamental del m undo”. 1 FJ artículo de Urquhart, 1988, proporciona u n útil y breve relato de los intentos de Russell para resolver las paradojas. Los artículos de Landini (1987 y 1989) son rnuy útiles para comprender el desarrollo de la teoría de los tipos de Russell, por lo que me he apoya­ do mucho en ellos, 4 De acuerdo con Peter Hylton (Hylton, 1990, pp 151, 155), Russell sólo había postulado las clases, pero tenía un argumento para justificar la existencia de ios individuos y las pro­ posiciones: éstos son requendos por la lógica.

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Analizaré las funciones preposicionales con cierto detalle antes de abor­ dar las clases, puesto que la mayor parte del trabajo es realizado por me­ dio de la teoría de las funciones proposicionales, Por ejemplo, la función proposicional “x es mortal" puede ser representada por ía proposición "Sócrates es-mortal" y el individuo Sócrates. Russell consideró como pri­ mitiva la relación cuaternaria del siguiente ejemplo: El resultado de susti­ tuir a Platón por Sócrates en la expresión “Sócrates es mortal" es "Platón es mortal”. Esto tiene la siguiente ventaja: Si consideramos a las funciones proposicionales como básicas, tomaremos el camino directo hacia las paradojas, como se puede ver si la función proposicional “x no es autopredicable" es sustituida por ella misma. No obstante, si adoptamos la estra­ tagema de Russell entonces la expresión “x no es autopredicable" aparen­ temente debe ser representada por una pareja como “Sócrates no es autopredicable" y Sócrates, o '“Sócrates es mortal' no es autopredicable" y “Sócrates es mortal", dependiendo de si consideramos que la variable en “x es autopredicable” abarca a los individuos o a las proposiciones. Sin embargo, esto tampoco facilita nuestro intento — se supuso que la variable abarcara las funciones proposicionales— . Por lo tanto, la variable debe convertirse en dos variables: "(p, a) es autopredicable", donde ahora “autopredicable” debe significar algo concerniente a una pareja. Pero “(p, íí) es autopredicable'' es una función proposicional que debe ser representada (puesto que existen dos variables libres) por una tríada: ‘(‘Sócrates es mortal’, Sócrates) es autopredicable”, "Sócrates es mortal" y Sócrates. No necesitamos preocupamos acerca de cómo dar sentido a la expresión "autopredicable" debido a que hay una clase diferente de problema; íba­ mos a definir la expresión “autopredicable" para las funciones proposicio­ nales representadas por parejas, pero la función proposicional que inten­ tábamos sustituir para obtener una paradoja está representada por una tríada, por lo que no puede ser sustituida. [La paradoja está bloqueada! El análisis de las funciones proposicionales en proposiciones e indivi­ duos crea, en efecto, una jerarquía de tipos, ubicándose las proposiciones e individuos en la base y corriendo sobre ellos variables simples; después siguen las funciones proposicionales de proposiciones o individuos, con parejas de variables corriendo sobre ellos; después siguen las funciones proposicionales de funciones proposicionales de proposiciones o indivi­ duos, y así sucesivamente, (Los tipos no están en estricto orden lineal: puede haber funciones proposicionales tanto de individuos como de fun­ ciones proposicionales de individuos, etc. Para mayores detalles, véase Russell, 1908; y Landini, 1987.) De acuerdo con Henri Poincaré, la fuente de estas paradojas es un círculo vicioso de definiciones. En este caso nin­ guna función proposicional puede contenerse ella misma en su propio rango, y con esto queda bloqueado un círculo análogo.

¿QL’É SON LOS CONJUNTOS?

Tome nota de lo ingenioso del artificio de Russell. Queda fuer a del sislema de representación de Russell que la vieja noción de función proposicional fuera incoherentemente amplia. Por supuesLo que la eliminación de la incoherencia tiene el efecto (le restringir las funciones proporciona­ les que serán permitidas. Pero la restricción, además de ser suficiente para bloquear las paradojas, permite retener el aire de perfecta generali­ dad: La eliminación del uso de proposiciones incoherentes, aun cuando es la restricción que se requiere, no afecta la pureza lógica, y cuando co­ menzamos con el nuevo sistema de representación no necesitamos pre­ sentarla como una restricción. Se permiten todos los artilugios usuales de la lógica, y los tipos pueden aparecer sin ninguna defensa especial. La teoría todavía puede pretender ser una parte de la lógica pura, así las matemáticas todavía serían una con la lógica, sin que fuesen requeridas modificaciones adicionales. Desafortunadamente el sistema de tipos que acabamos de describir todavía está sujeto a paradojas, como el propio Russell lo descubrió en 1906 {Landini, 1989, p. 37).7 La presente teoría permite la cuantificación sobre todas las proposiciones e individuos y así, por derivación, sobre todas las funciones preposicionales de un solo tipo, incluyendo las fun­ ciones proposicionales de un tipo que se especifican utilizando la cuanti­ ficación sobre funciones proposicionales de esc mismo tipo. Observación técnica La paradoja que descubrió Russell incluía fun­ ciones proposicionales de proposiciones. Russell trabajó directamente en su sistema básico, en el cual la cuantificación sobre parejas de pro­ posiciones sustituye a la cuantificación sobre funciones proposiciona­ les. Utilizaré la cuantificación sobre funciones proposicionales, puesto que el argumento es más fácil de seguir con esta notación, aun cuando tal cuantificación es sólo una abreviación de algo más complicado en la notación de base. La simplificación es la que Russell había adoptado en 1908. La totalidad de mis variables con símbolos latinos correrán sobre proposiciones, y las constantes con símbolos latinos representa­ rán proposiciones. Mis variables con símbolos griegos correrán sobre funciones proposicionales, y las constantes con símbolos griegos representarán funciones proposicionales. Puesto que consideraremos explícitamente sólo funciones proposicionales de una variable, pode­ mos utilizar, por ejemplo, para indicar una función preposicional y 4>(x) para indicar el valor de esa función en x. Sea >p la función prepo­ sicional (de y) ' 7 Estoy simplificando un poco la historia. En 1906 Russell estaba trabajando con una teoría de los tipos de complejidad intermedia entre la descrita en el texto y la versión de 1908 hacia la que me estoy dirigiendo.

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¿QUÉ SOK LOS CONJUNTOS?

(34>)(y = [(b) = g] A -i(>'))He respetado los escrúpulos modernos acerca del uso y mención, hasta el punto de formar el nombre para una proposición encerrando a dicha proposición entre corchetes. (Russell no tenía tales escrúpu­ los .) 3 Ahora consideremos la proposición iK[