Rechen in der Chemie: Eine Einführung [4. Aufl.] 978-3-7091-4566-1;978-3-7091-4716-0

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-IX
Allgemeines Rechnen (Walter Wittenberger)....Pages 1-87
Spezifisches Gewicht (Wichte) (Walter Wittenberger)....Pages 87-96
Chemische Grundrechnungen (Walter Wittenberger)....Pages 96-114
Lösungen (Walter Wittenberger)....Pages 114-133
Gewichtsanalyse (Walter Wittenberger)....Pages 133-143
Maßanalyse (Walter Wittenberger)....Pages 143-167
Physikalische Rechnungen (Walter Wittenberger)....Pages 168-189
Gasvolumina (Walter Wittenberger)....Pages 189-209
Physikalisch-chemische Rechnungen (Walter Wittenberger)....Pages 210-234
Chemisch-technische Rechnungen (Walter Wittenberger)....Pages 234-255
Lösungen zu den Aufgaben (Walter Wittenberger)....Pages 256-274
Tabellen und Tafeln (Walter Wittenberger)....Pages 275-323
Back Matter ....Pages 324-330

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Rechnen in der Chemie Eine Einführung Von

Dr. techn. Ing. Walter Wittenberger Offenbach/Main (früher Aussig/Elbe und Bofors/Schweden)

Erster Teil Mit 273 entwickelten Übungsbeispielen, über 1400 Übungsaufgaben samt Lösungen und 78 Abbildungen

V i e r t e verbesserte Auflage

Springer-Verlag Wien GmbH 1958

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Ohne ausdrückliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) zu vervielfältigen. Copyright 1946, 1949, and 1955 by Springer-Verlag in Vienna. Copyright by Springer-Verlag Wien 1958. Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag in Vienna 1958 ISBN 978-3-7091-4566-1 DOI 10.1007/978-3-7091-4716-0

ISBN 978-3-7091-4716-0 (eBook)

Vorwort zur vierten Auftage. Im Vorwort zur ersten Auflage, welche im Jahre 1947 erschien, wurde gesagt: ,,Bei der Abfassung des Buches wurde von der Notwendigkeit ausgegangen, daB der Benutzer eines ,Chemischen Rechenbuches' in erster Linie mit den Rechenregeln allgemeiner Art vertraut sein muB. Es wurde daher mit Absicht ein, wenn auch auf das Notwendigste beschrankter, Abschnitt iiber allgemeines Rechnen vorangestellt. Auch ist es wichtig, daB ein in der chemischen Industrie an auch nur einigermaBen verantwortlicher Stelle Stehender beispielsweise den Gebrauch des Rechenschiebers, die Inhaltsberechnung, die einfachen Formen des graphischen Rechnens und anderes beherrscht. Bei der Auswahl des behandelten Stoffes wurde Wert darauf gelegt, alle wichtigen im chemischen Laboratorium und Betrieb vorkommenden Rechnungen, auch solche nicht rein chemischer Art, zu beriicksichtigen. Das Buch enthalt daher Abschnitte iiber das spezifische Gewicht, iiber Losungen und physikalische Rechnungen. Die Abschnitte iiber das chemische Rechnen sind auf den Grundgesetzen der Chemie aufgebaut. Jedem Abschnitt sind ein oder mehrere vollstandig entwickelte Beispiele beigefiigt, die den genauen Rechen- und Gedankengang fiir die Losung der Aufgaben klarmachen sollen. Am Schlusse des Buches sind die wichtigsten und gebrauchlichsten Tabellen sowie die fiinfstelligen Logarithmen aufgenommen, um vor allem dem Anfanger den haufigen Gebrauch dieser Rechenhilfen und das Aufsuchen von Tabellenwerten zu erleichteni. Gleichzeitig wird dadurch die Verwendungsmoglichkeit im Laboratorium erweitert." Nachdem sich das Buch nunmehr in der Praxis und im Unterricht bewahrt hat, bestand keine Veranlassung, prinzipielle Anderungen vorzunehmen. Der Neuauflage wurde jedoch die neueste, international anerkannte Atomgewichtstabelle zugrunde gelegt, wodurch sich die Notwendigkeit ergab, einige Tabellen zu korrigieren und eine groBere Zahl von Beispielen und Aufgaben

IV

Vorwort.

neu durchzurechnen. Als Folge davon erscheinen bei einer Reihe von Zwischen- und Endergebnissen sehr geringfiigige und praktisch kaum ins Gewicht fallende Abweichungen gegeniiber den friiheren Auflagen. Auch in dieser Auflage wurde streng darauf geachtet, daB die Nummern der Beispiele und Aufgaben sowie die zugehorigen Seitenzahlen unverandert blieben, um Differenzen bei gleichzeitiger Benutzung der iilteren Auflagen, zum Beispiel wiihrend der Berufsausbildung von Laboranten, zu vermeiden. Mage auch die neue Auflage dazu beitragen, die Scheu vor dem ,,Chemischen Rechnen" iiberwinden zu helfen und dem Fortgeschritteneren Anregung zu sein, sich auch mit den rechnerischen Problemen der Chemie, die iiber den Rahmen dieses I. Teiles hinausgehen, zu beschaftigen. Es sei in diesem Zusammenhange gestattet, auf den II. Teil des Buches hinzuweisen, der auch hoheren Anspriichen, die Chemiestudenten und junge Chemiker an ein Buch iiber ,,Chemisches Rechnen" stellen miissen, gerecht werden soll. Ein Buch wird seinen Benutzer dann zum Erfolg fiihren, wenn er es oft und gem zur Hand nimmt. Der Verlag hat durch eine vorbildliche Ausstattung des Buches dieses Bestreben unterstiitzt, wofiir ihm aufrichtig zu danken ist. Offenbach/Main, im Sommer 1958.

Walter Wittenberger

Hinweis fiir die Losung der Ubungsaufgaben. Unter den Obungsaufgaben befindet sich eine gro.Bere Anzahl, bei denen eine zweite Zahlenangabe in Kursivdruck (in Klammer gesetzt) erscheint. Zurn Beispiel: Aufgabe 831. Wieviel % K 2C0 2 sind in einer Pottasche enthalten, von der 3,5 g (4,8840 g) durch 42 ml Schwefelsaure neutralisiert werden f Dies bedeutet, da.B die Obungsaufgabe einmal mit den Zahlenangaben 3,5 g und 42 ml zu rechnen ware, ein zweites Mal mit den Zahlen 4,8840 g und 42 ml. Die Losungen zu den Aufgaben sind im Abschnitt 11, Seite 256 ff. (wo erforderlich mit kurzen Anleitungen), zusammengestellt. Es wurden durchwegs Atomgewichte mit zwei Dezimalstellen benutzt, wie sie in der Tabelle auf der 3. Umschlagseite enthalten sind.

T

Bei den Berechnungen iiber Gasvolumina wurde fiir a = Wert 0,00367 verwendet.

2~ 3

der

Inhaltsverzeiehnis. Seite

1. Allgemeines Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Genauigkeit im Zahlenrechnen ..................... . B. Das griechische Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C. Abgekiirzte Multiplikation und Division ............ . Einteilung der Dezimalzahl I. - Abgekiirzte Multiplikation 2. - Bestimmung des Dezimalpunktes des Quotienten einer Division 3. - Abgekiirzte Division 4. D. Bruchrechnen............ .......................... Teilbarkeit der Zahlen 6. - Kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches 6. - Verwandeln von Briichen 7. Kiirzen und Erweitern von Briichen 8. - Addition von Br1lchen 9. - Subtraktion von Briichen 10. - Multiplikation von Briichen 10. - Division von Briichen 11. E. Proportionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SchluJlrechnung (Dreiersatz) 12. - Proportionen 13. - Der abgekiirzte Dreiersatz 14. - Die umgekehrte Proportion 15. F. Berechnung des Mittelwertes (Arithmetisches Mittel) . . G. Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H. Der ,,aliquote Teil" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J. Errechnung von Zwischenwerten aus Tabellen (Interpolation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K. Quadrieren und Ausziehen der Quadratwurzel... . . . . . Quadrieren 21. - Ausziehen der Quadratwurzel 23. L. G-rundziige der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relative und ailgemeine Zahlen 24. - Addition und Subtraktion 25. -Multiplizieren und Potenzieren 29.Dividieren 31.- Gleichungen rnit einer Unbekannten 33. - Gleichungen mit 2 Unbekannten 37. - Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten 39. l\I. Rechnen mit Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Begriff des Logarithrnus 40. - Satze iiber Logarithmen 41. - Logarithmieren von Zahlen, welche keine Zehnerpotenzen darstellen 42. -- Benutzung der Logarithmentafel 42. - Rechnen mit Logarithmen 45. N. Der logarithmische Rechenschieber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einrichtung des Rechenschiebers 49. - Ablesen und Einstellen 50. - Multiplikation 51. - Division 52. --

1 1

6

12

17 17 19 20 21 24

40

49

VI

Inhaltsverzeichnis.

0.

P. R.

S.

Bestimmung des Stellenwertes 53. - Quadrieren 54. Ausziehen der Quadratwurzel 54. - Rechenschieber fiir Cbemiker 54. ::\IaJleinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LangenmaJle 59. - FliichenmaJle 59. - KorpermaJle 60. - HohlmaJle 60. - Gewichte 60. - ZeitmaJle 61. WinkelmaJle 62. Grundbegriffe der Trigonometrie..................... Flachenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der pythagoreische Lebrsatz 66. - Das Quadrat 67. - Das Rechteck 68. - Das schiefwinklige Parallelogramm (Rhomboid) 68. - Das Dreieck 69. - Das Trapez 69. - Das unregelmaJlige Viereck (Trapezoid) 70. Das Vieleck 70. - Der Kreis 70. - Der Kreissektor (Kreisausschnitt) 71. - Der Kreisabschnitt 71. - Der Kreisring 71. - Die Ellipse 72. Korperberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Wiirfel (Kubus) 72. -Das rechtwinklige Prisma 72. -Der Zylinder 73.-DieregelmaJlige Pyramide 74. - Der Kegel 75. - Der Pyramiden- und der Kegelstumpf 75. -Die Kugel 76. -Das Kugelsegment (Die Kugelkalotte) 76. -:-- Das Fall 76. - Zylindrische GefaJle mit gewolbtem Boden 77. -Liegende Zylinder 77. -

GefaJ3e mit Ruhrwerk 80.

T. Graphisches Rechnen............................... Graphische Darstellung des Zusammenhanges zweier veranderlicher GroJlen. Zeichnen und Ablesen von Kurven 80. - Graphische Rechentafeln (Nomographie) 83. 2. Spezifisches Gewicht (Wichte) :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Begriff des spezifischen Gewichtes 87. - Abhiingigkeit des spezifischen Gewichtes von der Temperatur 88. - Auftrieb 90. - Bestimmung des spezifischen Gewichtes mit dem Pyknometer 92. - Bestimmung des spezifischen Gewichtes durch Spindeln 95.

Seite

59

62 66

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80

87

3. Chemische Grundrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 A. Atom- und Molekulargewicht. Stochiometrische Grundgesetze .................... ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Chemische Formeln 96. - Atomgewicht 97. - Gesetz der konstanten Proportionen 98. - Molekulargewicht 98. - Gramm-Atom und Gramm-Molekiil 100. - Gesetz der multiplen Proportionen 100. B. Berechnung der prozentualen Zusammensetzung einer Verbindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 C. Berechnung der empirischen Formel einer chemischen· Verbindung ....................................... 102 D. Chemische Reaktionsgleichungen ..................... 104 Aufstellung chemischer Reaktionsgleichungen I 04. Auffindung der Koeffizienten einer chemischen Gleichung durch Rechnung 105. - Gewichtsmengen bei chemischen Reaktionen I 07.

Inhaltsverzeic lmis. E. Aquivalentgewicht ............................. .... Aquivalentgewicht der Elemente 110. - Aqufralent. gewicht chemischer Verbindungen 113. 4. Liisungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Arten der Losung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Losungen nach Gewic htsprozenten 114. - Lof'ungen nach Volurnprozenten 118. - Losungen rnit Angahc der Gewichtsrnenge des gel6sten Stoffes, die in ioo Cewichtsteilen desreinen Losungsmittels geli:ist wurd e 118. - Losungen mit Angahe der Gewichtsmenge des ge16sten Stoffes, die in einem hestimmten Volumen d er Losung enthalten ist 121. - Losungen mit Angahe des Mischungsyerhiiltnisses 122. - Losungen mit Angabe der molaren Konzentration (l\Iolaritiit) 123. - Losungen nach l\Iolprozenten 255. - Normalli.i"sungen 123. B. Verdiinnen und l\Iisehen von Losungen ............... Verdiinnen von Losungen 123. -Misc hen yon Liisungen 125. 5. Gewichtsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Feuchtigkeit und Asche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung des Feuchtigkeitsgchaltes urnl Gliihriickstandes 133. - Umredmung von Analyscne.rgehnissen auf Trockensubstanz 136. B. Gravirnetrische Bestirnmungen ....................... Bereclmung von Gewichtsanalysen (mit llilfe der l{eaktionsgleichung) 138. - Umroelmungsfaktor 138. C. Indirekte Analyse . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. ~faBanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Korrnallosungen ............................. ....... Begriff der N orrnallosung 143. - llerstellen nm Normallosungen 145. B. Acidirnetrie und Alkalirnetrio ....................... C. Oxydirnetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KaliurnbiehromatPermanganatmethoden 156. methoden 159. - Kaliumbromatmethoden 159. D. Reduktionsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jodometrie 160.- Sonstige Reduktionsanalyscn 162. E. Fiillungsanalysen ............................. ..... F. Diazotierungsreaktionen ............................ GemischteAufgaben aus der MaB· und Gewichtsanalysc

VII Seite

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114 114

123 13 3 133

138 141 143 143 14!)

15 6 160 163 165 166

7. Physikalische Reclmungen ............................. 168 A. Temperaturmessung ..... : .......................... 168 Der ,,herausrngende Therrnometerskalen 168. Faden" 169. - Der Xormalsiedepunkt 170. B. Die Waage ............................. ........... 170 Gleichgewichtszustand dcr "'aage (Hebclgesetz) 170. -Wiigen rnit unrichtigcn Waagen 171.- Empfindlich·

VIII

Inhalts verzeichnis.

keit der analytischen Waage 172. - Reduktion der Wagung auf den luftleeren Raum 175. C. Eichen von l\1eJ3gefa13en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D. Grundgesetze der Elektrizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das OHMsche Gesetz und KmCHHoFFsche Verzweigungsgesetz 179. - Warmewirkungen des elektrischen 8tromes 184. E. Spezifische Wiirme ................... .............. Spezifische Warme 185. - Schmelz- und Verdampfungswarme 187. F. Umdrehungszahl ................... ................ 8. Gasvolumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Gasgesetzc .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. . .. .. .. . . .. .. .. . .. .. Das BoYLE-MARIOTTEsche Gosetz 190. - Das GAY LussAcsehe Gesetz 191. - Die Zustandsgleichung der Gase 193. - Die Gasreduktionstabelle 195. C. :'.\folyoJumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die universelle Die AvoGADROsche Regel 1%. Gaskonstante l!JS. D. Reduktion feuchter Gasvolumina .................... Das D ALTONsche Gesetz 199. -- Sattigung eines Gases mit Fouchtigkeit 200. - Heduktion feuchter Gasvolumina auf Normalverhiiltnicsse 201. - Stickstoffbestimmung nach DUMAS 202. E. Spezifisches Gewicht der Gase ................... .... Spezifisches Gewicht und Dampfdichte 204. - Abhiingigkeit des spezifisd1en Gewichtes von Druck und Temporatur 204. - Spozifisehes Gewicht und l\lolekulaTgewicht 205. F. Gasanalyse ................... ................... .. Das GAY-LussAcsche Gesetz der einfachen Volumyerhiiltnisse 205. - Gasanalyse 206. 9. Physikalisch-chemisc he Rochnungen .................... . A. Optisches Drehyermogen ................... ......... B. Viskositiit ................... ................... ... C. Elektrolyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D. :Jiassenwirkungsgese tz und pn-vVert .................. l\Iassenwirkungsgeset z und Dissoziationsgrad 215. pn-Wert 217. - Die Pufferung 220. - Das Loslichkeitsprodukt 222. -- Gasreaktionen 224. E. Osmotischer Druck ................... .............. F. Bestimmung des Atom- und l\Iolekulargewichtes ....... DuLONG-PETITsche Regel 227. - Dampfdichte 228. SiedepunktsDampfdruckerniedrig ung 228. erhohung und Gefrierpunktserniedr igung 229. G. Thermochemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Seite

176 179

185 188 189 189 190

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l!l9

204

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210 210 212 213 215

225 227

2 31

IX

Inhaltsvcrzci!' lmiti.

Scit.c

10. Chemisch-technische Reclmungcn ....................... A. lleizwert ............................. ·............. Heizwertbestimmung in d.cr Kalorimcterbombe 235. - Berechnung des Hcizwertes aus der Elemcntarzusammensetzung 238. - Heizwert von Gasen 23!J. B. Wiirmenutzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung der Luftmengen bei der Vorbrennung 240.·- Berechnungen mit Hilfe der spozifischen Wiirmc der Gase 242. - Pyrometrischer Wiirmeeffekt 244. C. Wasserenthiirtung .................................. D. Metallurgische Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E. Keramische Berechnungen .......................... 11. Losungen zu den Aufgaben ............................ 12. Tabellen und Tafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tab. I. Trigonometrische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . Tab. 2. Inhalt zylindrischer GefaJle mit gewiilbtem Boden Tab. 3. Fliissigkeitsinhalt liegendcr Zylinder . . . . . . . . . . . Tab. 4. Zulagetafel (Eichen von MeBgefiiHen) . . . . . . . . . . Tab. 5. Atomgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tab. 6. Molekulargewichte einiger wichtiger Verbindungeu Tab. 7. Gewichtsanalytis.~~he Faktoren ................. Tab. 8. MaJlanalytische Aquivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tab. 9. Loslichkeit einiger Salze in Wasser ............. Tab. 10. Dichteund Konzentration von H 2 S0 4 , HCI, HN0 3 , NaOH und KOH ............................ Tab. 11. J?.ichte und Konzentration wiillriger Ammoniaklosungen ..................................... Tab. 12. Dichte und Konzentration von AthylalkoholWasser-Gemischen ........................... Tab. 13. J?.ichte und Konzentration wiiJlriger Glycerinlosungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tab. 14. Dichte des destillierten Wassers ............... Tab. 15. Siedetemperatur des Wassers in °C bei Drucken von 680 bis 7 89 Torr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tab. 16. Siittigungsdruck (Tension) des Wasserdarnpfes iiber Wasser fiir die Ternperaturen von - 2 bis+ 40° Tab. 17. Gasreduktionstabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tab. 18 .. Litergewichte der wichtigsten Gase ............ Tab. 19. Verbrennungswii.rmen der wichtigsten Gase ..... Tab. 20. Mittlere spezifische Wiirrnen der wichtigsten Gase bei konstantern Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tab. 21. Fiinfstellige Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tab. 22. Formeln zur Fliichen- und Korperberechuung ...

234 234

240

245 240 251 25G

27 5 f\4

78 80 177 27 5 27G 27!J 282 283 284 2!Jl 292

2fJ2 2U3 2\J4 2!J4 2fl5 2!)!) 2\.l!J 2!J!J 300 318

Benutzte Literatur ....................................... 324 Sa ch verzeichnis .......................... , ................ 325

1. Allgemeines Rechnen. A. Genauigkeit im Zahlenrechnen. MaBgebend fiir die Angabe von Meil- und Analysenresultaten sind die Mittel, welche zur Ausfiihrung der Messung gedient ha.hen. Es ware widersinnig, wollte man in einem technischen Betrieb den Inhalt eines etwa 5000 Liter fassenden Gefailes auf Zehntelliter genau angeben. Anderseits ware es grundfalsch, z. B. beim Wiigen auf der analytischen Waage die Tausendstelgramme zu vernachlassigen. Die Angabe soll stets mit soviel Stellen erfolgen, dal3 die vorletzte Stelle als sicher, die letzte schon als unsieher gilt. Das Meilergebnis richtet sich also nach der Mel3genauigkcit und nach dem praktischen Bediirfnis (z. B. Angabe des Wassergchaltcs einer Kohle: 8,72% und nicht 8,7184%).

B. Das griechische Alphabet. Die Bezeichnung phyRikalischer GroJ3en crfolgt ,·ielfach durch griechi,;che Buchstaben. Die GroJ3- und Kleinbnchstabcn des griechiRchen Alphabets (uml deren Aussprache) seien hier angefiihrt: A

ntPn nach einer der unt~r 3 angefiihrten Methoden. b) Anschreiben des Stellenwertes und der Anzahl der zu erreehnenden Ziffern (Andeuten dureh Punkte) und Abstreiehen dPr iiberzahligen Ziffern des Divisors und Dividcndcn.

Abgeki'1rzte Multiplikation und Division.

5

c) Ausfohrimg der Division nach der gewohnlichen Methode (Abziehen der errechncten Teilprodukte vom Dividenden, bzw. vom vcrbliebencn Rest) unter Beachtung der jeweiligen Korrekfor der zuletzt abgestrichenen Ziffer des Divisors.

3. Beispiel. 9813,64: 765,2 (zu rechnen auf 1 Dezimalstelle). Zu a): Die Stellenwertbestimmung des Quotienten ergibt Zehner. Zu b): Die Divif'ion lautet jetzt 98,1364: 7,652

= .. ,. (1 Dez.).

Der Quotient wird also 3 giiltigc Ziffcrn haben, folglich werden auch im Divisor 3 Ziffern benotigt und die iibrigen abgcstrichen (Abstreichen der 2). Da8 gleiche geschieht mit dem Dividenden, von dem ebenfalls nur 3 Ziffern gebraucht werden (Abstreichen der Ziffern 364). Die Divi1·Hon erhalt folgendes Bild: 98,1364:

7,65~ =

.. ,.

Eine Ausnahme ergibt sich nur dann, wenn die erste giiltigc Ziffcr des Divisors in der des Dividenden nicht enthalten ist, z. B. 247,637: 8,159 = .. '. In diescm Falle werden (da 8 nicht in 2, sondern erst in 24 enthalten ist) im Dividenden nicht 3, sondern 4 Ziffern benotigt, also 247,6~: 8,15~

= .. ,.

Zu c): Nun wird mit der Division begonnen (Beachtung der Korrektur !) und die erhaltenen Teilprodukte vom Di vi den den sofort (ohne sie anzuschreiben) abgezahlt. Wir schreiben also 98,13{l4: 7 ,65~ = 1., .. und rechnen: 7 ist in 9 Imai enthalten; 1 mal 2 (en;te abgeschnittenc Ziffer) oder richtiger 1 mal 0,2 = 0,2, gibt null zur Korrektur; 1 ma! 5 = 5, 0 Korrektur = 5 ; 5 und 6 ist 11, 6 an, 1 weiter; 1 ma! 6 = 6, l = 7; 7 und 1 ist 8, 1 an, null weiter usw. 1st dicscs Teilprodukt durchgerechnet, wird die nachste Stelle des Divisors (5) abgestrichen, der Quotient aus dem verbliebenen Rest und elem verkiirzten Divisor gebildet und wiederum durch Multiplikation rden.

22

Allgemeines Reclmen.

Re,geln fiir das Quadrieren einer mehrziffrigen Zahl: 27. Beispiel.

735 2

a) Man erhebt die erste Ziffer i:um 7 2 •••••• 49 Quadrat .......................... . b) Man bildet das Produkt aus dem Dop· pelten dieser Ziffer und der folgenden und schreibt das Resultat so ullltereinander, daB die errechnete Zahl um eine Stelle weiter nach rechts geriickt erscheint .......................... . 2. 7. 3 . . . . 42 c) Nun folgt das Quadrat der zweiten Ziffer (wiederum eine Stelle nach rechts 9 3 2 •••••• geriickt) .......................... . d) Jetzt gilt 73 als erste Ziffer ! Im iibrigen 1. .wird weite1 verfahren wie unter b .... , 2. 73. 5 . . . 730 i

I.

52 . • • . . •

25

e) 8chlieBlich werden die Einzelprodukte zusammengezahlt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540225 .Je 1 Dezimalstelle der Zahl ergibt im Quadrat 2 Stellen, z. B. 42,87~

.._,,_,

2

= 1837,8:J69 .

--.!

um die Rechnung einfacher zu gestalten, kann jeweils die Herechnung von b und c zusammengewgen werden :

28. Beispiel. a) Quadrat der ersten Ziffer ........... 72 ........ .

b) Man bildet das Doppelte der ersten Ziffer (2 . 7 = 14), setzt die zweite Ziffer an

das Produkt und multipliziert das Ganze mit dieser zweiten Ziffer (wodurch das Quadrat der 2. Ziffer bereits im Produkt mit enthalten ist). Das so errechnete Produkt muB nun aber jeweils um 2 Stellen nach rechts geriickt werden . U:;. :; ..... . c) Dies wird nun fortgesetzt (das Doppelte rnn 73 = 146, 5 anhiingen. mal 5) ... Ufic.. ,, ..... .

49

I '.

!29

7325

----

Quadrieren nnd Amiziehen der Quadratwurzel.

23

Briicke werden quadriert, imlem man Zahler und Neuner quadriert.

(~-)2=~~= :.

29. Beispiel.

Aulgaben: a8. Quadriere: a) 17,5, b) 2,25, c) 0,843,

d) 20,09,

e) 381,9.

2. Ausziehen der Quadratwurzel. Die umgekehrte Rechnungsart des Quadrierens ist das Quadratwurzelziehen, d. h. also jene Zahl suchen, die mit sich selbst multipliziert die gegebene Zahl ergiht. Die Qnadratwurzel aus einer Zahl wird dnrch das ...-orge>;etzte \V urzelzeichen (. angezeigt.

11 64

=

8, denn 8 . 8 = IH.

Rechenregel fiir das Quadra twurzelziehen : a) Man teilt die gegebene Zahl vom Dezimalpunkt ausgehend naeh links und rechts in Abteilungen zu je 2 Ziffern (dabei kann die erste Abteilung links auch nur 1 Ziffer enthalten; tritt dieser Fall rechts ein, muB eine Null angehangt werden). b) Man sueht die groBte Zahl, deren Quadrat in der ersten Abteilung enthalten ist, schreibt sie als erste Ziffer der Wurzel an und subtrahiert ihr Quadrat von der ersten Abteihmg:

r) Zu dem Rest setzt man die nachfolgende Abteilung hinzu, streieht die letzte Ziffer ab und dividiert durch das Doppelte der bereits gefundenen Wurzel. Als Resultat erhalt man die zweite Ziffer der Wurzel, welche nun als letzte Ziffer an den Divisor geschrieben wird. d) Der so erhaltene Divisor wird mit der neugefundenen Ziffer der Wurzel (die gleiche, die au den Divisor angesetzt wurde) multipliziert und das Produkt (unter Zuziehung der nnter G a bgestrichenen Stelle) vom Dividenden a bgezogen.

.:JO. Beispiel.

V41 1in c= n11 36

llfi! : 129. 9 1161 ~. 6 0000 e) Nun wird die nachste Abteilung herabgesetzt und wie unter c verfahre11.

24

Allgemeines Rechnen.

f) Beim Ausziehen der Quadratwurzel aus einer Dezimalzahl wird der Dezimalpunkt in der Wurzel gesetzt, bevor man die erste Abteilung der Dezimalzahlen in Rechnung zieht. Das Abziehen der jeweils errechneten Teilprodukte kann (ohne Ansehreiben desselben) auch sofort Yorgenommen werden (wie die,; lwim Multiplizieren gehandhabt wird).

31. Beispiel. a) Anschreiben der Teilprodukte; b) Nichtamichreibm der Teilprodukte: ·

V6 39'.74 20 --4 1

1

2 39: -225

25,2H3

=

I 6i39~74 1 20 2 3~:

~~

25,293

45.;,

14 7;!:: 502. 2 -! 70 2Q : 5049 . u

J5. 5

l-J. 7!: ;)(h. --1004

I;) 79 OH,

h)

I 7H,5625,

c)

f)

I 4872,9,

g)

I o,137fi41, I· 73905.

d)

f 375,92,

J,. Grundziige der Algebra. 1. Relatiw und allgemeine Zahlen. J)j., Zah!Pu, welclw c!nrch Ziffern au,.;ge