Quantentheorie [3rd revised and expanded edition] 9783110479966, 9783110479959

Table of contents :
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
1 Materiewellen
2 Schrödingergleichung
3 Wellenmechanik in einer Dimension
4 Formalismus der Quantenmechanik
5 Harmonischer Oszillator
6 Das Spektrum selbstadjungierter Operatoren 6.1 Diskretes
7 Darstellungen
8 Zeitliche Entwicklung
9 Drehimpuls
10 Rotation und Schwingung zweiatomiger Moleküle
11 Kugelförmiger Kasten
12 Vollständige Sätze kommutierender Observablen
13 Das Wasserstoffatom, Teil I
14 Teilchen im elektromagnetischen Feld
15 Spin
16 Addition von Drehimpulsen
17 Zeitunabhängige Störungstheorie
18 Quantentheorie mehrerer Teilchen
19 Zeitabhängige Störungen
20 Photonen
21 Statistischer Operator
22 Messprozess und Bell’sche Ungleichungen
23 Stationäre Streutheorie
24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik
25 Relativistische Quantenmechanik
A Dirac’sche δ-Funktion
B Fouriertransformation
C Formelsammlung
Literaturhinweise
Index

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Gernot Münster Quantentheorie De Gruyter Studium

Weitere empfehlenswerte Titel Quantenmechanik Band 1 Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloё, 2019 ISBN 978-3-11-062600-1, e-ISBN (PDF) 978-3-11-063873-8, e-ISBN (EPUB) 978-3-11-063930-8 Quantenmechanik Band 2 Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloё, 2019 ISBN 978-3-11-062609-4, e-ISBN (PDF) 978-3-11-063876-9, e-ISBN (EPUB) 978-3-11-063933-9 Quantenmechanik Band 3 Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloё, 2020 ISBN 978-3-11-062064-1, e-ISBN (PDF) 978-3-11-064913-0, e-ISBN (EPUB) 978-3-11-064921-5 Von der Quantenfeldtheorie zum Standardmodell Gernot Münster, 2019 ISBN 978-3-11-063853-0, e-ISBN: 978-3-11-063854-7 e-ISBN (EPUB) 978-3-11-063861-5

Quantenmechanik 1 Pfadintegralformulierung und Operatorformalismus Hugo Reinhardt, 2018 ISBN 978-3-11-058595-7, e-ISBN: 978-3-11-058602-2 e-ISBN (EPUB) 978-3-11-058647-3

Gernot Münster

Quantentheorie

3. Auflage

Autor Prof. Dr. Gernot Münster Westfälische Wilhelms-Universität Münster 48149 Münster [email protected]

ISBN 978-3-11-047995-9 e-ISBN (PDF) 978-3-11-047996-6 e-ISBN (EPUB) 978-3-11-048000-9 Library of Congress Control Number: 2020931690 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.dnb.de abrufbar. © 2020 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Boston Druck und Bindung: CPI books GmbH, Leck www.degruyter.com

Vorwort Dieses Buch enth¨alt den Stoff einer zweisemestrigen Vorlesung. Es ist f¨ ur Studierende der Physik zum Lernen und Nachschlagen gedacht. Als ich zum ersten Mal die Vorlesung Quantentheorie“ vorbereitete, besorgte ich mir ” mehr als 20 Lehrb¨ ucher aus der Bibliothek, um Anregungen zu sammeln. Es gibt eine Reihe sehr ausf¨ uhrlicher Werke, die eine gewisse Vollst¨andigkeit anstreben und zum Nachschlagen und Vertiefen spezieller Themen sehr gut geeignet sind, als Lehrbuch f¨ ur Anf¨anger aber zu umfangreich sind. Andere B¨ ucher konzentrieren sich auf die wesentlichen Sachverhalte und sparen an Beispielen und Erl¨auterungen. Nachdem alle B¨ ucher mehr oder weniger gr¨ undlich durchgesehen waren, musste ich feststellen, dass keines darunter war, dessen Inhalt dem entsprach, was ich mir f¨ ur die Vorlesung vorgenommen hatte. So entstand die Idee zu diesem Lehrbuch. Bei der inhaltlichen Konzeption spielten folgende Gesichtspunkte eine Rolle. Das Buch soll in etwa den Stoff enthalten, mit dem der Physikstudent im Studium konfrontiert wird. Es soll also dazu geeignet sein, die Vorlesung zu begleiten und als Grundlage f¨ ur Pr¨ ufungsvorbereitungen zu dienen. Es soll nicht zu trocken sein: außer den theoretischen Sachverhalten sollen Beispiele, Anwendungen und illustrierende Gedankeng¨ange pr¨asentiert werden. Die begrifflichen Grundlagen der Quantentheorie, auch hinsichtlich des Messprozesses, sollen nicht zu kurz kommen. Dazu z¨ahlt auch eine Diskussion der Bell’schen Ungleichungen. Weiterhin soll es eine Einf¨ uhrung in die Feynman’schen Pfadintegrale enthalten. Ein Thema, das bei Lehrb¨ uchern der Quantentheorie immer kontrovers ist, betrifft das Ausmaß der mathematischen Strenge. Die meisten f¨ ur Physiker bestimmten B¨ uchern nehmen es nicht so genau mit der mathematischen Korrektheit. Gerne werden dann die Verh¨altnisse der Matrizenrechnung bedenkenlos auf Operatoren im Hilbertraum u ¨bertragen, so dass sich Mathematiker die Haare raufen. Andererseits wird in den mathematisch anspruchsvollen B¨ uchern der Theorie der linearen Operatoren im Hilbertraum großer Umfang einger¨aumt, so dass Studierende der Physik abgeschreckt werden. Ich habe hier versucht, einen Kompromiss zu finden, der den Anspr¨ uchen der Physikstudenten gen¨ ugt, aber den mathematisch orientierten unter ihnen nicht die Zornesr¨ote ins Gesicht treibt. Mehrere Fehler, die ich in der ersten Auflage leider u ¨bersehen hatte, konnten in der zweiten Auflage korrigiert werden. Herrn Sven Kaulmann und Herrn G¨ unther Eisenack danke ich f¨ ur Hinweise. Dar¨ uber hinaus habe ich

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Vorwort

auf Wunsch von Lesern zwei weitere Kapitel aufgenommen. Eines davon befasst sich mit der relativistischen Quantenmechanik und f¨ uhrt die KleinGordon-Gleichung und die Diracgleichung ein. In dem anderen wird die Quantisierung des Strahlungsfeldes vorgenommen und mit ihr die spontane Emission von Strahlung behandelt. In der dritten Auflage wurde den Kapiteln eine Reihe von Aufgaben hinzugef¨ ugt, die der Vertiefung und Erg¨anzung des Stoffes dienen k¨onnen. F¨ ur die große Hilfe bei der Umsetzung des Buches in LATEX danke ich Herrn Daniel Ebbeler herzlich. M¨ unster, im Dezember 2019

Gernot M¨ unster

Inhaltsverzeichnis Vorwort

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1 Materiewellen 1.1 Welleneigenschaften der Materie . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Freie Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Wellenpakete . . . . . . . . . . . 1.2.2 Zerfließen der Wellenpakete . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Wellengleichung . . . . . . . . . 1.2.4 Kontinuit¨atsgleichung . . . . . . 1.3 Deutung der Materiewellen . . . . . . . 1.3.1 Wahrscheinlichkeitsinterpretation ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Welle-Teilchen-Dualismus . . . . 1.4 Impulsraum . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Impulsoperator, Ortsoperator . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Heisenberg’sche Unsch¨arferelation . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 4 5 6 7 8 10 11 12 13 16 17 18 20 23 25 26 31

2 Schr¨ odingergleichung 2.1 Zeitabh¨angige Schr¨odingergleichung . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Zeitunabh¨angige Schr¨odingergleichung ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Wellenmechanik in einer Dimension 3.1 Teilchen im Kasten: unendlich hoher Potenzialtopf ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Dreidimensionaler Kasten . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Endlicher Potenzialtopf . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Gebundene Zust¨ande . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Streuzust¨ande . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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39 40 43 44 46 46 47 53 54 62

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Inhaltsverzeichnis . . . . . . . .

63 68 69 71 72 74 76 77

4 Formalismus der Quantenmechanik 4.1 Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Physikalischer Zustandsraum . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Diracnotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Observable und Messwerte . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Vertr¨agliche Observable . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Parit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4 Unsch¨arferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Die Postulate der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . 4.7 Wahrscheinlichkeitsdeutung der Entwicklungskoeffizienten ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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81 81 85 85 87 91 93 94 95 95 96 98 99 101 102 102 104

5 Harmonischer Oszillator 5.1 Spektrum . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . 5.2 Eigenfunktionen . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . 5.3 Unsch¨arfen . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . 5.4 Oszillierendes Wellenpaket . . . 5.4.1 Koh¨arente Zust¨ande . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . 5.5 Dreidimensionaler harmonischer ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . .

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105 105 109 110 113 113 115 115 116 118 119 120

3.3 3.4

3.5

3.2.3 Streuung von Wellenpaketen . Potenzialbarriere . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . Tunneleffekt . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 α-Zerfall . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Kalte Emission . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeine eindimensionale Potenziale

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6 Das Spektrum selbstadjungierter Operatoren 6.1 Diskretes Spektrum . . . . . . . . . . . . . 6.2 Kontinuierliches Spektrum . . . . . . . . . 6.2.1 Impulsoperator . . . . . . . . . . . 6.2.2 Ortsoperator . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Teilchen im Topf . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Uneigentliche Eigenvektoren . . . . 6.3 Spektralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Wahrscheinlichkeitsinterpretation . . . . .

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121 121 121 121 123 124 126 126 128 130 131

7 Darstellungen 7.1 Vektoren und Basen . . . . . . . . . 7.2 Ortsdarstellung . . . . . . . . . . . . 7.3 Impulsdarstellung . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Darstellungen der Quantenmechanik 7.5 Energiedarstellung . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . .

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133 133 135 135 136 137 138 139 139 141

8 Zeitliche Entwicklung 8.1 Schr¨odingerbild . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Neutrino-Oszillationen 8.2 Heisenbergbild . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . 8.3 Ehrenfest’sche Theoreme . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . .

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143 143 145 145 148 149 149 150

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151 151 153 154 156 157 159 160

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9 Drehimpuls 9.1 Drehimpulsoperator . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Teilchen im Zentralpotenzial . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . 9.3 Eigenwerte des Drehimpulses . . . . . . . 9.3.1 Allgemeine Drehimpulseigenwerte .

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Inhaltsverzeichnis

9.4

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¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Eigenwerte des Bahndrehimpulses ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⃗ 2 und L3 . . . . . . Eigenfunktionen zu L 9.4.1 Darstellung im Ortsraum . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10 Rotation und Schwingung zweiatomiger Molek¨ ule 175 10.1 Zweik¨orperproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 10.2 Rotations-Vibrations-Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . 178 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 11 Kugelf¨ ormiger Kasten

183

12 Vollst¨ andige S¨ atze kommutierender Observablen

189

13 Das Wasserstoffatom, Teil I 13.1 Spektrum und Eigenfunktionen ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . 13.2 Runge-Lenz-Pauli-Vektor . . . 13.2.1 Klassische Mechanik . . 13.2.2 Quantenmechanik . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . .

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14 Teilchen im elektromagnetischen Feld 14.1 Hamiltonoperator . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Konstantes Magnetfeld . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Bewegung eines Teilchens im konstanten ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4 Normaler Zeemaneffekt . . . . . . . . . 15 Spin 15.1 Experimentelle Hinweise . . 15.2 Spin 1/2 . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . 15.3 Wellenfunktionen mit Spin . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . .

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191 192 198 200 200 201 204

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205 205 207 208 209 209 212 212

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215 215 215 218 218 220

Inhaltsverzeichnis

xi

15.4 Pauligleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.1 Spinpr¨azession . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5 Stern-Gerlach-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . 15.6 Drehung von Spinoren . . . . . . . . . . . . . . . 15.6.1 Eigenspinoren zu beliebigen Richtungen . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6.2 Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.7 Der Messprozess, illustriert am Beispiel des Spins

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220 222 222 223 224 227 227 229 229 232 232

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241 241 244 246 246 247

17 Zeitunabh¨ angige St¨ orungstheorie 17.1 Korrekturen zum Hamiltonoperator des Wasserstoffatoms 17.2 Rayleigh-Schr¨odinger-St¨orungstheorie . . . . . . . . . . . 17.2.1 Nicht entartete St¨orungstheorie . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.2 St¨orungstheorie f¨ ur entartete Zust¨ande . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3 Das Wasserstoffatom, Teil II . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.1 Feinstruktur des Spektrums . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 Anormaler Zeemaneffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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249 249 250 250 252 253 255 255 255 260 260

18 Quantentheorie mehrerer Teilchen 18.1 Mehrteilchen-Schr¨odingergleichung 18.2 Pauliprinzip . . . . . . . . . . . . . 18.2.1 Ununterscheidbare Teilchen ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.2 Pauliprinzip . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . 18.3 Bosonen und Fermionen . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . .

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263 263 264 264 266 267 269 270 270

16 Addition von Drehimpulsen 16.1 Addition zweier Drehimpulse . 16.2 Zwei Spins 1/2 . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . 16.3 Bahndrehimpuls und Spin 1/2 . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . .

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xii

Inhaltsverzeichnis 18.4 Das Heliumatom . . . . . . . . . . . . 18.4.1 Ortho- und Parahelium . . . . 18.4.2 St¨orungstheorie . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4.3 Ritz’sches Variationsverfahren . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5 Atombau . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5.1 Zentralfeldmodell . . . . . . . . 18.5.2 Hartree-Fock-Approximation . 18.6 Austauschwechselwirkung . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.7 Das Wasserstoffmolek¨ ul . . . . . . . .

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271 271 272 276 276 279 279 279 282 286 288 289

19 Zeitabh¨ angige St¨ orungen 19.1 Zeitabh¨angige St¨orungstheorie . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Fermis goldene Regel . . . . . . . . . . . 19.2.1 Zeitunabh¨angige St¨orungen . . . 19.2.2 Periodische St¨orungen . . . . . . 19.3 Absorption und Emission von Strahlung ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4 Spontane Emission . . . . . . . . . . . .

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293 293 298 299 299 302 303 306 307

20 Photonen 20.1 Quantisierung des Strahlungsfeldes ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . 20.2 Spontane Emission . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . .

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309 309 316 316 320

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21 Statistischer Operator 321 21.1 Gemische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 21.2 Unterschied zwischen reinen und gemischten Zust¨anden . . 324 22 Messprozess und Bell’sche Ungleichungen 327 22.1 Messprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 22.2 EPR-Paradoxon und Bell’sche Ungleichungen . . . . . . . . 332 23 Station¨ are Streutheorie 23.1 Das station¨are Streuproblem

339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

Inhaltsverzeichnis 23.2 Partialwellenentwicklung ¨ Ubungen . . . . . . . . . 23.3 Born’sche N¨aherung . . ¨ Ubungen . . . . . . . . .

xiii . . . .

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346 355 355 360

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik 24.1 Grundkurs Pfadintegrale . . . . . . . . . . . 24.1.1 Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . ¨ 24.1.2 Ubergangsamplitude . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1.3 Harmonischer Oszillator . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1.4 Aharonov-Bohm-Effekt . . . . . . . 24.2 Aufbaukurs Pfadintegrale . . . . . . . . . . 24.2.1 Euklidisches Pfadintegral . . . . . . 24.2.2 Green’sche Funktionen . . . . . . . . 24.2.3 Erzeugende Funktionale . . . . . . . 24.2.4 Harmonischer Oszillator II . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.5 Systeme mit quadratischer Wirkung ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.6 Beispiel: Energieaufspaltung . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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361 361 361 363 369 370 374 374 379 379 382 384 385 390 390 393 393 399

25 Relativistische Quantenmechanik 25.1 Relativistische Notation . . . . . . . . . 25.2 Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3 Diracgleichung . . . . . . . . . . . . . . 25.3.1 Diracgleichung . . . . . . . . . . ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3.2 Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . 25.3.3 Relativistisches Coulombproblem ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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401 401 402 406 406 406 413 414 417 421

A Dirac’sche δ-Funktion

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423

B Fouriertransformation 429 B.1 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 B.2 Fourierintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

xiv

Inhaltsverzeichnis

C Formelsammlung

433

Literaturhinweise

439

Index

441

1 Materiewellen Das Geburtsjahr der Quantentheorie ist das Jahr 1900, in dem Max Planck die nach ihm benannte Strahlungsformel aufstellte. Er konnte sie theoretisch begr¨ unden, indem er postulierte, dass Lichtstrahlung nur in diskreten Portionen quantisiert“ emittiert und absorbiert wird. Deren Energie E ist ” mit der Frequenz ν der Strahlung durch die Planck’sche Beziehung E = hν verkn¨ upft, in welcher das Planck’sche Wirkungsquantum h auftaucht. Einstein ging im Jahre 1905 noch einen Schritt weiter. Er behauptete, dass das Licht selbst aus Teilchen, den Lichtquanten“ besteht, welche Energie ” und Impuls tragen. Auf diese Weise konnte er den lichtelektrischen Effekt erkl¨aren. Weitere Experimente, z.B. der Comptoneffekt, unterst¨ utzten die Lichtquantenhypothese. Nachdem die Welleneigenschaften des Lichtes experimentell wohlbekannt waren und die Maxwell’sche Theorie das Licht erfolgreich als Wellen des elektromagnetischen Feldes beschreiben konnte, stand man nun vor einer merkw¨ urdigen Situation. Das Licht besitzt offenbar eine Doppelnatur. In bestimmten Situationen zeigt es Welleneigenschaften, in anderen Situationen zeigt es Teilcheneigenschaften. Dieser Dualismus von Welle und Teilchen zeigte sich als Eigenschaft der Natur, war aber weit davon entfernt, verstanden zu sein.

1.1 Welleneigenschaften der Materie Prinz Louis de Broglie (15.8.1892 – 19.3.1987) studierte zun¨achst Geschichte, bevor er sich der Physik zuwandte. Er ver¨offentlichte 1923 einen Artikel, in welchem er eine u ¨berraschende Hypothese vertrat: Materieteilchen, wie z.B. Elektronen, sollten auch Welleneigenschaften besitzen. Der Artikel wurde Teil seiner Dissertation, die er 1924 an der Sorbonne in Paris einreichte. W¨ahrend der Dualismus beim Licht noch keineswegs verstanden war, kehrte de Broglie also den Spieß um und behauptete, dass auch bei Materie der Welle-Teilchen-Dualismus vorliege. Seine These wurde außerordentlich skeptisch aufgenommen und seine Dissertation drohte zu scheitern. Sein Doktorvater P. Langevin wandte sich an Einstein, der eine Stellungnahme

2

1 Materiewellen

verfasste. Darin schrieb er: Wenn es auch verr¨ uckt aussieht, so ist es doch ” durchaus gediegen.“ Am 25.11.1924 konnte de Broglie seine Dissertation verteidigen. Die Fakult¨at hatte sich eine große Blamage erspart, denn 1929 wurde de Broglie f¨ ur seine Arbeit der Nobelpreis verliehen. Um die Welleneigenschaften zu besprechen, kehren wir zu den Lichtquanten, den Photonen“, zur¨ uck. F¨ ur sie gilt ” E = hν = ℏω mit ℏ=

h . 2π

Ihr Impuls ist E ν h = h = = ℏk , c c λ wobei λ die Wellenl¨ange und k = 2π/λ die Wellenzahl ist. p=

Nach de Broglie sind Teilchen mit scharfem Impuls p⃗ und Energie E ebene Wellen mit Wellenzahlvektor ⃗k und Kreisfrequenz ω zugeordnet, f¨ ur welche die de Broglie-Beziehungen p⃗ = ℏ⃗k ,

E = ℏω

gelten. Die de Broglie-Wellenl¨ange betr¨agt also λ=

h . p

Beispiele: 1. Elektronen, die durch eine Spannung U beschleunigt worden sind. p2 = eU 2me U = 1000V U = 100V

→

λ= √

h 1,226 nm = √ 2eU me U/1V

→ λ = 3,9 · 10−11 m → λ = 1,2 · 10−10 m ∼ = weiche R¨ontgenstrahlung

1.1 Welleneigenschaften der Materie

3

2. Staubkorn, m = 10−6 g, v = 10 m s−1 . →

λ = 6,6 · 10−26 m ,

nicht messbar

Experimente zur Wellennatur von Teilchen: 1. Elektronenbeugung an Kristallen C.J. Davisson, L.H. Germer, 1927 Im Davisson-Germer-Experiment wurden Elektronen senkrecht auf die Oberfl¨ache eines Nickelkristalls geschossen und die Intensit¨at der reflektierten Elektronen als Funktion des Streuwinkels gemessen. Es handelt sich um Beugung an der Oberfl¨achenschicht und nicht um Braggreflexion.

U

d e

φ

φ

Ni

d sin φ = n λ ,

n = 1, 2, 3, ...

Die Gitterkonstante der Ni 1-1-1 Oberfl¨ache, d = 2,15 · 10−10 m, wurde durch R¨ontgenbeugung bestimmt. Aus dem Auftreten eines Beugungsmaximums unter dem Winkel ϕ kann die Wellenl¨ange λ der Elektronen ermittelt werden. Man fand ϕ = 50◦

→

λ = 1,65 · 10−10 m.

Mit der Spannung U = 54 V lautet die Vorhersage λ = 1,67 · 10−10 m, ¨ was eine gute Ubereinstimmung darstellt. 2. Elektronenbeugung an polykristallinen Metallfolien G.P. Thomson, 1927

4

1 Materiewellen Analog zur R¨ontgenstreuung an Kristallpulver (Debye-Scherrer-Verfahren) treten bei der Beugung von Elektronen an polykristallinen Metallfolien Beugungsringe auf, welche die Wellennatur best¨atigen. 3. Beugung am Spalt bzw. Doppelspalt Hierbei treten Interferenzstreifen wie bei der Beugung von Licht auf. 4. Neutronenbeugung Bei Neutronen mit thermischen Geschwindigkeiten k¨onnen Beugungserscheinungen nachgewiesen werden. Diese finden Anwendung bei der Oberfl¨achenanalyse von Festk¨orpern. 5. Atom- und Molek¨ ulbeugung O. Stern, 1929 Auch f¨ ur ganze Atome und Molek¨ ule, wie z.B. H2 und He, konnten schon wenige Jahre nach de Broglies Arbeit Beugungserscheinungen nachgewiesen werden.

¨ Ubungen 1. Ein freies Elektron habe eine Energie E = 150 eV. Wie groß ist seine de BroglieWellenl¨ ange? Um wieviel kleiner ist die Wellenl¨ ange eines Elektrons, welches im LEP bei CERN beschleunigt wurde? Hinweis: Informationen u ¨ber LEP finden Sie zum Beispiel in Wikipedia. 2. Welche de Broglie-Wellenl¨ ange hat Ihr Professor (m = 73 kg), wenn er auf seinem Fahrrad mit einer Geschwindigkeit von 12 km/h angefahren kommt? Wie schnell m¨ usste er gehen, wenn beim Eintreten in den H¨ orsaal sein 1. Beugungsmaximum am seitlichen Ende der Tafel (Winkel: 20◦ ) liegen soll? Nehmen Sie hier den Professor als punktf¨ ormiges Objekt an. 3. Davisson-Germer-Versuch: Elektronen werden an einem kubischen Kristallgitter gestreut (senkrechter Auffall). Wie erh¨ alt man die de Broglie-Wellenl¨ ange aus dem Abstand der InterferenzMaxima und der Gitterkonstanten a? Wie groß ist der Winkel zwischen dem einlaufenden Strahl und dem Streu-Maximum f¨ ur Elektronen der Energie 45 eV bei einer Gitterkonstanten a = 3, 52 ˚ A?

1.2 Freie Teilchen

5

1.2 Freie Teilchen Wir betrachten Teilchen, die sich ohne ¨außere Kr¨afte bewegen, z.B. einen Elektronenstrahl im Vakuum. Einerseits gelten die de Broglie-Beziehungen, p⃗ = ℏ⃗k ,

E = ℏω ,

andererseits sind Energie und Impuls durch E=

p⃗ 2 2m

verkn¨ upft. Hieraus folgt die Dispersionsbeziehung ω=

ℏ 2 k . 2m

Diese ist quadratisch im Gegensatz zu derjenigen f¨ ur Licht, wo ω = c · k gilt. Zur mathematischen Beschreibung der Materiewellen wollen wir eine Wellenfunktion ψ(⃗r, t) einf¨ uhren. Ebene Wellen sind von der Form ⃗

ψ(⃗r, t) = A ei(k·⃗r−ωt) . Die Wellenfronten ⃗k · ⃗r − ωt = const. sind Ebenen, die senkrecht auf dem Wellenvektor ⃗k stehen und sich in dessen Richtung fortbewegen. Die Phasengeschwindigkeit betr¨agt vp = Nichtrelativistisch gilt E = gerechnet ist hingegen

m 2 2v ,

ω E = . k p

p = mv und daher vp = 21 v. Relativistisch

m0 c2 , E=√ 2 1 − vc2

m0 v p= √ 2 1 − vc2

und es folgt c2 > c. v Bedeutet dies einen Konflikt mit der Relativit¨atstheorie? Welche der beiden Formeln gilt? vp =

Die Antwort hierauf lautet

6

1 Materiewellen • vp ist nicht messbar (siehe auch sp¨atere Kapitel). Beide Definitionen sind m¨oglich, ihr Unterschied entspricht im Wesentlichen der Ber¨ ucksichtigung der Ruheenergie. • Physikalisch relevant und messbar ist die Gruppengeschwindigkeit vG =

F¨ ur Materiewellen ist vG =

dω . dk

dE . dp

Nichtrelativistisch finden wir E=

p2 2m

⇒

vG =

p = v, m

wobei v die klassische Teilchengeschwindigkeit ist. Relativistisch ist E=

√ p2 c2 + m20 c4

⇒

vG =

pc2 = v. E

In jedem Fall ist also vG = v . Dies bedeutet, dass sich ein Wellenpaket mit der Geschwindigkeit v des klassischen Teilchens bewegt.

v

¨ Ubungen Berechnen Sie die Gruppen- und Phasengeschwindigkeiten von freien Elektronenwellen der Wellenl¨ ange 10−13 m und 10−8 m. Wie groß ist die Energie der Elektronen? Vergleichen Sie die Geschwindigkeiten mit der Lichtgeschwindigkeit. Ist eine nicht-relativistische Rechnung in beiden F¨ allen sinnvoll?

1.2 Freie Teilchen

7

1.2.1 Wellenpakete ¨ Ein allgemeines Wellenpaket ist eine Uberlagerung ebener Wellen gem¨aß ∫ ψ(⃗r, t) =

d3 k ⃗ φ(⃗k ) ei(k·⃗r−ωt) (2π)3

mit ω=

ℏ ⃗2 k . 2m

Betrachte eine enge Impulsverteilung:

ϕ

k k0

F¨ ur kleine |⃗k − ⃗k0 | entwickeln wir ω(⃗k ) = ω0 + ⃗vG · (⃗k − ⃗k0 ) + · · · mit ℏ ⃗2 ω0 = ω(⃗k0 ) = k , 2m 0

⃗vG = ∇ω(k0 ) =

ℏ⃗k0 , m

und erhalten ψ(⃗r, t) ≈ e

i(⃗k0 ·⃗vG −ω0 )·t

∫

d3 k ⃗ φ(⃗k ) eik·(⃗r−⃗vG t) = eiω0 t ψ(⃗r − ⃗vG t, 0) . (2π)3

In dieser N¨aherung bewegt sich das Wellenpaket ohne Form¨anderung mit der Geschwindigkeit ⃗vG :

8

1 Materiewellen

ψ t=0 x ψ

vG

t = t1 x

Die Gruppengeschwindigkeit

⃗vG =

p⃗0 = ⃗v0 m

entspricht der zu k0 geh¨origen Teilchengeschwindigkeit.

1.2.2 Zerfließen der Wellenpakete Bei genauerer Betrachtung bleibt die Form der Wellenpakete nicht unge¨andert. Wir wollen dies jetzt am Beispiel eines eindimensionalen Gauß’schen Wellenpaketes studieren: ∫ ψ(x, t) =

ℏ dk 2 φ(k) ei(kx− 2m k t) 2π

mit φ(k) = A e−(k−k0 )

2 d2

.

1.2 Freie Teilchen

9

ϕ

k

k0 1 d

Die Wellenfunktion ψ(x, t) k¨onnen wir exakt ausrechnen. Dazu benutzen wir √ ∫ ∞ π −αk2 dk e = α −∞ und erhalten ψ(x, t) =

A 2π

( ⎧ 2 ⎨ − x4 + id2 k0 x −

√ d2

π exp ℏt ⎩ + i 2m

)⎫ ⎬

k0 ℏ 2m t

ℏt d2 + i 2m

.

⎭

Betrachten wir das Betragsquadrat dieser Funktion: ⎧ ( )2 ⎫ ℏk0 ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ x − t 2 m A 2 |ψ(x, t)| = √ exp − . 2 + ℏ2 t2 ⎪ ⎪ ℏ2 t2 2d ⎩ 2 d2 ⎭ 4π d4 + 4m 2m 2 Dies ist ein Gauß’sches Paket von der Form } { (x − x)2 exp − 2(∆x)2 mit dem Schwerpunkt bei x = v0 t =

ℏk0 t m

und der Breite ∆x, die durch (∆x)2 = d2 +

ℏ2 t2 4m2 d2

gegeben ist. Wir erkennen, dass die Breite mit der Zeit zunimmt und das Wellenpaket zerfließt.

10

1 Materiewellen

t0

t1

t2

Die Zeitdauer f¨ ur das Zerfließen soll an zwei Beispielen illustriert werden: 1. Ein makroskopisches Teilchen mit m = 0,1 g, d = 2 mm. Hier ist

( (∆x)2 = d2

(

t

1+

)2 )

1025 sec

und das Zerfließen braucht 3 · 1017 Jahre. 2. Ein α-Teilchen mit d = 10−11 cm. F¨ ur t = 10−18 sec ist die Breite bereits deutlich gr¨oßer geworden: (∆x)2 = 2d2 .

¨ Ubungen 1. Zeigen Sie, dass die Fouriertransformierte einer Gauß-Funktion 2 − x2 2a

f (x) = A e wiederum eine Gauß-Funktion ist:

2 2

a k f˜(k) = A˜ e− 2 .

2. Die Wellenfunktion eines freien Teilchens sei zum Zeitpunkt t = 0 gegeben durch 2 − x2 4d

ψ(x, 0) = A e

.

1.2 Freie Teilchen

11

Zeigen Sie, dass das Betragsquadrat der Wellenfunktion zu einem sp¨ ateren Zeitpunkt t > 0 |ψ(x, t)|2 = |A(t)|2 e

−

x2 2d(t)2

lautet, wobei d(t)2 = d2 +

ℏ2 t2 . 4m2 d2

1.2.3 Wellengleichung F¨ ur eine ebene Welle ℏ 2 ψ(x, t) = C ei(kx− 2m k t)

gilt ∂ ℏ 2 ψ(x, t) = −i k ψ(x, t) ∂t 2m ∂2 ∂ ψ(x, t) = ikψ(x, t) , ψ(x, t) = −k 2 ψ(x, t) . ∂x ∂x2 Daher gen¨ ugt sie der Differenzialgleichung iℏ

∂ ℏ2 ∂ 2 ψ(x, t) = − ψ(x, t) . ∂t 2m ∂x2

Diese entspricht der Beziehung Eψ(x, t) =

p2 ψ(x, t) . 2m

Ein allgemeines Wellenpaket ∫ ψ(x, t) =

ℏ 2 dk φ(k) ei(kx− 2m k t) 2π

¨ ist eine lineare Uberlagerung ebener Wellen und gen¨ ugt daher ebenfalls der Wellengleichung

iℏ

∂ ℏ2 ∂ 2 ψ(x, t) = − ψ(x, t) . ∂t 2m ∂x2

Diese Differenzialgleichung ist von erster Ordnung in der Zeit. Durch Vorgabe der Anfangsbedingungen ψ(x, 0) ist die L¨osung f¨ ur alle Zeiten festgelegt.

12

1 Materiewellen

Es handelt sich um eine lineare partielle homogene Differenzialgleichung. Ihre allgemeine L¨osung ist das obige Wellenpaket. In drei r¨aumlichen Dimensionen gilt entsprechend

iℏ

∂ ℏ2 ψ(⃗r, t) = − ∆ψ(⃗r, t) . ∂t 2m

Dies ist die Schr¨odingergleichung f¨ ur freie Teilchen. Analog zum obigen eindimensionalen Fall entspricht sie der Beziehung zwischen Energie und Impuls p⃗ 2 ψ(⃗r, t) . Eψ(⃗r, t) = 2m 1.2.4 Kontinuit¨ atsgleichung ¨ Die zeitliche Anderung des Betragsquadrates der Wellenfunktion ist ∂ ∂ |ψ|2 = (ψ ∗ ψ) = ψ˙ ∗ ψ + ψ ∗ ψ˙ . ∂t ∂t Durch Einsetzen der Wellengleichung ℏ ′′ ψ , ψ˙ = i 2m

ℏ ∗′′ ψ˙ ∗ = −i ψ 2m

finden wir ∂ ∗ ℏ ′′ ′′ (ψ ψ) = −i (ψ ∗ ψ − ψ ∗ ψ ) ∂t 2m ℏ ∂ ′ ′ = −i (ψ ∗ ψ − ψ ∗ ψ ) . 2m ∂x Entsprechend in drei Dimensionen ∂ ∗ ℏ (ψ ψ) + ∇ · (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) = 0 . ∂t 2mi Dies ist eine Kontinuit¨atsgleichung von der Form ∂ ρ(⃗r, t) + ∇ · ⃗j(⃗r, t) = 0 ∂t mit ρ = ψ∗ψ ,

⃗j =

ℏ ℏ (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) = Im(ψ ∗ ∇ψ) . 2m i m

1.3 Deutung der Materiewellen

13

Wie aus der Elektrodynamik bekannt, impliziert die Kontinuit¨atsgleichung, dass ∫ ∫ ∫ d 3 3 ∂ d r ρ(⃗r, t) = d r ρ(⃗r, t) = − d3 r ∇ · ⃗j(⃗r, t) . dt ∂t Dieses Integral wird mit Hilfe des Gauß’schen Integralsatzes in ein Integral u ¨ber die Oberfl¨ache einer Kugel umgewandelt, deren Radius R gegen ∞ geht: ∫ ∮ 3 ⃗ d r ∇ · j(⃗r, t) = lim df⃗ · ⃗j(⃗r, t) . R→∞

R

Unter der Voraussetzung, dass ⃗j → 0 hinreichend stark f¨ ur |⃗r| → ∞, verschwindet dieses Integral, so dass das Integral ∫

d3 r ψ ∗ ψ = const.

sich zeitlich nicht ¨andert.

1.3 Deutung der Materiewellen Elektronen zeigen Teilcheneigenschaften, z.B. wenn ein Kathodenstrahl auf einen Schirm auftrifft und dort punktf¨ormige Spuren hinterl¨asst. Elektronen zeigen aber auch Welleneigenschaften, die sich durch Beugung und Interferenz bemerkbar machen. Wie passt das zusammen? Was ist ein Elektron wirklich? Weitere Fragen stehen im Raum: Was ist die Bedeutung der Wellenfunktion? Verteilt sich das Elektron in einem Beugungsexperiment auf dem Schirm? Wie sollen wir das Zerfließen des Wellenpaketes deuten? Zerfließt das Elektron? Um uns mehr Klarheit zu verschaffen, wollen wir das Doppelspalt-Experiment betrachten. Die Versuchsanordnung sieht schematisch so aus:

14

1 Materiewellen

Ein Strahl fast monochromatischer Elektronen tritt durch eine Blende mit einem Doppelspalt und wird auf einem dahinter befindlichen Schirm aufgefangen. Die de Broglie-Wellenl¨ange sei vergleichbar mit dem Spaltabstand, so dass Interferenz beobachtet werden kann. Nun betrachten wir verschiedene Situationen. a) Ein Spalt ist ge¨offnet. Die H¨aufigkeitsverteilung der Elektronen auf dem Schirm ist am gr¨oßten hinter dem offenen Spalt und hat schematisch folgende Gestalt:

Die Verteilung ist aus vielen Punkten zusammengesetzt. Die Sachlage ist ¨ahnlich wie bei Schrotkugeln, die durch einen Zaun geschossen werden. Die Elektronen verhalten sich wie Teilchen. b) Beide Spalte sind ge¨offnet.

1.3 Deutung der Materiewellen

15

Im Teilchenbild w¨ urden wir erwarten, dass auf dem Schirm im Wesentlichen zwei Streifen zu sehen sind. Die Intensit¨at sollte die Summe derjenigen Intensit¨aten sein, bei denen jeweils nur der linke oder nur der rechte Spalt offen ist.

Teilchen

Wenn es sich aber um Wellen handelt, w¨ urden wir ein Interferenzmuster erwarten, dass schematisch diese Form hat:

Welle

Was sagt das Experiment? Es ist tats¨achlich ein Interferenzmuster zu beobachten, was die Welleneigenschaften der Elektronen best¨atigt. Wie entsteht dieses Muster? Wenn die Intensit¨at des Elektronenstrahls so weit verringert wird, dass immer nur einzelne Elektronen die Anordnung durchlaufen, kann man beobachten, dass das Interferenzmuster im Laufe der Zeit aus einzelnen Punkten aufgebaut wird. Jeder Punkt stammt von einem Elektron. Wir stellen fest: • Einzelne Elektronen geben Anlass zu Interferenz. Interferenz beruht nicht auf der Wechselwirkung zwischen mehreren Elektronen.

16

1 Materiewellen • Auf dem Schirm erscheinen sie nicht wellenartig ausgeschmiert, sondern punktf¨ormig“ lokalisiert. Die Ladung eines Elektrons verteilt ” ” sich nicht im Raum“.

Wie geht das? Kann sich ein Elektron manchmal als Welle und manchmal als Teilchen zeigen? Die Beantwortung dieser Frage f¨ uhrt zur Wahrscheinlichkeitsinterpretation. 1.3.1 Wahrscheinlichkeitsinterpretation An den Stellen auf dem Schirm, wo die Intensit¨at der Welle gr¨oßer ist, befinden sich mehr Schw¨arzungspunkte. Jeder Punkt stammt von einem einzelnen Elektron. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Auftreffen eines Elektrons durch die Welle bestimmt ist. Sie muss durch die Wellenfunktion ψ(⃗r, t) gegeben sein. Die Wellenfunktion ψ(⃗r, t) besitzt also eine Wahrscheinlichkeitsinterpretation bzw. statistische Deutung. Ihre genaue Formulierung fassen wir in zwei Aussagen zusammen: 1. |ψ(⃗r, t)|2 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte daf¨ ur, das Teilchen bei einer Ortsbestimmung am Punkt ⃗r zu finden, d.h. die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in einem Gebiet G zu finden, ist gegeben durch ∫ p(G) = |ψ(⃗r, t)|2 d3 r . G

Mit der gewohnten Saloppheit des Physikers k¨onnen wir auch sagen, die Gr¨oße |ψ(⃗r, t)|2 d3 r ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, das Teilchen im Volumenelement d3 r am Orte ⃗r zu finden. 2.

Wellenfunktionen werden linear superponiert: ψ(⃗r, t) = ψ1 (⃗r, t) + ψ2 (⃗r, t) .

Die gesamte Wahrscheinlichkeitsdichte f¨ ur eine Superposition, |ψ(⃗r, t)|2 = |ψ1 (⃗r, t)|2 + |ψ2 (⃗r, t)|2 + ψ1∗ (⃗r, t)ψ2 (⃗r, t) + ψ1 (⃗r, t)ψ2∗ (⃗r, t) ,

1.3 Deutung der Materiewellen

17

setzt sich zusammen aus der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten, wie f¨ ur klassische Teilchen, und dem Interferenzterm. Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Materiewellen wurde 1926 von Max Born (11.12.1882 – 5.1.1970) formuliert. Er postulierte die Wahrschein¨ lichkeitsinterpretation aufgrund von Uberlegungen zur Streuung von Materiewellen. Die Wellenfunktion ψ(⃗r, t) beschreibt also eine Wahrscheinlichkeitswelle. Das heißt • ψ(⃗r, t) beschreibt eine Welle, die Interferenz und Beugung zeigt. • ψ(⃗r, t) wird nicht als reale“ Welle (wie z.B. Schallwellen) interpre” tiert, sondern |ψ|2 gibt Wahrscheinlichkeiten an. Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation hat eine Konsequenz f¨ ur die Normierung der Wellenfunktion. Wir wissen bereits, dass ∫ ∫ 3 2 d r |ψ(⃗r, t)| = d3 r ρ(⃗r, t) = const. ist. Dieses Integral ist aber auch die Gesamtwahrscheinlichkeit f¨ ur den Aufenthalt des Teilchens an irgendeinem Ort und daher m¨ ussen wir ∫ d3 r |ψ(⃗r, t)|2 = 1 setzen. ¨ Ubungen Zur Zeit t = 0 wird ein Teilchen durch die dreiecks-f¨ ormige Wellenfunktion ⎧ Ax ⎪ , f¨ ur 0 ≤ x ≤ a ⎪ ⎪ ⎪ a ⎨ ψ(x, 0) = A(b − x) , f¨ ur a ≤ x ≤ b ⎪ ⎪ ⎪ (b − a) ⎪ ⎩ 0, sonst dargestellt, wobei A, a und b Konstanten sind. 1. Normieren Sie ψ(x, 0), d. h. finden Sie A als Funktion von a und b. 2. Skizzieren Sie ψ(x, 0) als Funktion von x. 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen links von a zu finden? 4. Berechnen Sie den Erwartungswert von x.

18

1 Materiewellen

1.3.2 Welle-Teilchen-Dualismus Wir haben gesehen, dass die Wellenfunktion die r¨aumlichen Wahrscheinlichkeiten f¨ ur das Auffinden eines Elektrons liefert. Was ist denn nun ein Elektron eigentlich, Welle oder Teilchen? Wie sind die Wahrscheinlichkeiten aufzufassen? Handelt es sich hier um Unkenntnis des Beobachters, die ihn n¨otigt, sich mit Wahrscheinlichkeiten zufrieden zu geben? So verh¨alt es sich ja bei klassischen Wahrscheinlichkeiten, z.B. beim Roulette. Wir wollen dieser Frage wiederum konkret am Beispiel des Doppelspaltversuches nachgehen: Gibt es einen wirklichen Weg, den das Elektron durchl¨auft, und den wir nur nicht kennen? K¨onnen wir es u ¨berlisten und den Weg doch ermitteln? Betrachten wir die Situation, bei der beide Spalte offen sind. Durch welchen Spalt geht das Elektron also? Wir k¨onnen versuchen, den Spalt zu bestimmen, durch den das Elektron geht, indem wir es z.B. knapp hinter dem Doppelspalt mit Licht (γ-Strahlen) bestrahlen. Wenn das Licht hinreichend kurzwellig ist, kann man aus dem gestreuten Licht den Ort gen¨ ugend genau ermitteln und somit auch den Spalt, durch den es gegangen ist.

¨ Resultat: Jetzt erwartet uns jedoch eine b¨ose Uberraschung. Zwar wissen wir nun jedesmal, welcher der beiden Spalte passiert wurde, aber auf dem Schirm zeigt sich, dass das Interferenzmuster verschwindet. Das Experiment wurde tats¨achlich 1995 von Chapman et al. durchgef¨ uhrt. Das Elektron kann sich nicht gleichzeitig wie Welle und Teilchen verhalten.

1.3 Deutung der Materiewellen

19

Physikalisch kann man es so erkl¨aren: durch die Bestrahlung wird dem Elektron Impuls u ¨bertragen. Dies ver¨andert die Welle; insbesondere wird die Phase so beeinflusst, dass es zu einer Ausl¨oschung der Interferenzen kommt. Folgerung: Die experimentelle Situation ist wichtig f¨ ur die beobachteten Eigenschaften. Kein Ergebnis eines solchen Experiments kann dahin gedeu” tet werden, dass es Aufschluss u ¨ber unabh¨angige Eigenschaften der Objekte gibt; es ist vielmehr unl¨ oslich mit einer bestimmten Situation verbunden, in deren Beschreibung auch die mit den Objekten in Wechselwirkung stehenden Messger¨ate als wesentliches Glied eingehen.“ Niels Bohr Zusammenfassung: Dualismus Welle-Teilchen Ein Elektron ist weder Welle noch Teilchen. Es ist ein physikalisches Objekt, welches Welleneigenschaften als auch Teilcheneigenschaften zeigen kann. In welcher Weise es sich zeigt, h¨angt von der experimentellen Situation ab. Sein Ort ist nicht definiert, wenn keine Ortsmessung durchgef¨ uhrt wird.

Klassische Welle und klassisches Teilchen sind Modellvorstellungen, die nur in bestimmten Situationen Aspekte der Realit¨at angemessen wiedergeben. Die hier dargestellte Auffassung ist Bestandteil der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik. Nach ihr gibt es keinen geheimen“ Weg, den ” das Elektron am Doppelspalt in Wirklichkeit durchl¨auft. Bemerkung: Die Bezeichnung Teilchen“ wird in der Quantenphysik in ei” nem allgemeineren Sinn verwendet. Man spricht bei Elektronen, Protonen etc. von Teilchen, ohne dass damit klassische Teilcheneigenschaften impliziert sind. Gem¨aß der Wahrscheinlichkeitsinterpretation k¨onnen wir Erwartungswerte mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsdichte bilden. Der Erwartungswert f¨ ur den Aufenthaltsort ist ∫ ∫ . ⟨⃗r ⟩ = d3 r ρ(⃗r, t) ⃗r = d3 r |ψ(⃗r, t)|2 ⃗r .

20

1 Materiewellen

Er ist zeitabh¨angig. Entsprechend bildet man ∫ 2 . ⟨r ⟩ = ⟨⃗r · ⃗r ⟩ = d3 r |ψ(⃗r, t)|2 ⃗r 2 und allgemein ∫ ⟨f (⃗r )⟩ =

d3 r |ψ(⃗r, t)|2 f (⃗r ) .

Die Bedeutung dieser Erwartungswerte ist diejenige von Mittelwerten u ¨ber ein Ensemble im entsprechenden Zustand, d.h. bei wiederholter Messung erh¨alt man gestreute Messwerte, deren Mittelwert nach unendlich vielen Messungen gegen den Erwartungswert konvergiert.

1.4 Impulsraum Ein Wellenpaket in einer Dimension schreiben wir als ∫ ∞ dk ψ(x, t) = φ(k) ei(kx−ωt) . 2π −∞ Was ist die physikalische Bedeutung der Amplitudenfunktion φ(k)? Die Antwort hierauf lautet: |φ(k)|2 /2π ist die Wahrscheinlichkeitsdichte f¨ ur Wellenzahlen k bzw. Impulse p = ℏk. Das soll nun begr¨ undet werden. Wir betrachten ein zerfließendes Wellenpaket. Wie w¨are eine Wahrscheinlichkeitsdichte w(p) f¨ ur Impulse zu bestimmen? Wir wollen annehmen, dass das Teilchen anfangs gut lokalisiert ist, d.h. dass das Wellenpaket schmal ist. Eine g¨angige Methode zur Impulsmessung ist die Laufzeitmethode. Nach hinreichend großer Zeit t wird eine Ortsmessung mit dem Ergebnis x durchgef¨ uhrt.

t =0

t>0 x

0

x 0 p ^ mt x =

1.4 Impulsraum

21

Dann w¨ urde man dem Teilchen den Impuls p = m xt zuordnen. Da die Wahrscheinlichkeitsdichte f¨ ur x durch |ψ(x, t)|2 gegeben ist, ergibt sich ⏐ ( p ) ⏐2 ( p ) ⏐ ⏐ t, t ⏐ d t . w(p)dp = lim ⏐ψ t→∞ m m Dies berechnen wir nun. { } ′ ) ∫ dk ′ k 2 ℏt ′ pt ′ t, t = φ(k ) exp ik −i ψ m 2π m 2m { } ∫ ′ dk itℏ ′ 2 ′ ′ = φ(k ) exp − (k − 2kk ) . 2π 2m (p

Mit . κ=

√

ℏt (k − k ′ ) 2m

schreiben wir ( ) √ ) √ 2m p2 ∫ dκ 2m 2 ψ t, t = ei 2mℏ t φ k− κ e−iκ . m ℏt 2π ℏt (p

Das Integral werten wir folgendermaßen aus. Betrachte ( ) √ ∫ dκ 2m 2 φ k− κ e−zκ , z ∈ C. 2π ℏt φ falle rasch ab im Unendlichen. Dann konvergiert das Integral f¨ ur Re z ≥ 0. Wir f¨ uhren eine Sattelpunktentwicklung f¨ ur sehr große t durch. Dazu entwickeln wir φ in eine Taylorreihe ) ( √ √ 2m 2m m ′′ κ = φ(k) − κφ′ (k) + κ2 φ (k) − . . . φ k− ℏt ℏt ℏt und benutzen die Gauß-Integrale ∫ ∫ ∫ dκ −zκ2 dκ 1 dκ 2 −zκ2 1 −zκ2 e = √ , κe = 0, κ e = √ . 2π 2π 2π 2 πz 4 πz 3 Dies gibt ∫

( ) √ { ( )} 2m 1 m ′′ 1 dκ −iκ2 φ k− κ e = √ φ(k) + φ (k) + O 2 , 2π ℏt 2iℏt t 2 πi

22

1 Materiewellen

und somit ψ

(p m

) t, t ∼

t→∞

√

(p) p2 m ei 2mℏ t φ . 2πiℏt ℏ

Hieraus erhalten wir endlich die Impuls-Wahrscheinlichkeitsdichte ⏐ ( p ) ⏐2 dp dk ⏐ ⏐ = |φ(k)|2 . w(p)dp = ⏐φ ⏐ ℏ 2πℏ 2π In drei Dimensionen liefert die analoge Rechnung d3 k , w(⃗ p )d3 p = |φ(⃗k )|2 (2π)3 was zu zeigen war. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude f¨ ur Impulse bzw. Wellenzahlen steht in engem Zusammenhang mit der Fouriertransformation. Die Formeln hierf¨ ur sind ja bekanntlich ∫ 3 d k ˜⃗ ⃗ ψ(⃗r, t) = ψ(k, t) eik·⃗r (2π)3 ∫ ⃗ ˜ ⃗ ψ(k, t) = d3 r ψ(⃗r, t) e−ik·⃗r . F¨ ur freie Teilchen ist also ˜ ⃗k, t) = φ(⃗k ) e−iω(⃗k )·t , ψ( d.h. φ(⃗k ) ist Fouriertransformierte von ψ(⃗r, 0). Wir kennen nun zwei Arten von Wellenfunktionen: im Ortsraum = x-Raum: im Impulsraum = k-Raum:

ψ(⃗r, t) ˜ ⃗k, t) . ψ(

Als Anwendung der Fouriertransformation k¨onnen wir die allgemeine L¨osung der freien Schr¨odingergleichung mit ihrer Hilfe gewinnen. Setzen wir in ∂ ℏ2 iℏ ψ(⃗r, t) = − ∆ψ(⃗r, t) ∂t 2m die Fouriertransformation ein und benutzen ⃗ ⃗ ∆eik·⃗r = −⃗k 2 eik·⃗r ,

1.5 Impulsoperator, Ortsoperator

23

so erhalten wir iℏ

∂ ˜⃗ ˜ ⃗k, t) ψ(k, t) = ℏω(⃗k )ψ( ∂t

mit

f¨ ur alle ⃗k ,

ℏ⃗k 2 ω(⃗k ) = . 2m

Die L¨osung hiervon ist ˜ ⃗k, t) = φ(⃗k )e−iω(⃗k )·t ψ( und folglich ∫ ψ(⃗r, t) =

d3 k ⃗ ⃗ φ(⃗k ) ei(k·⃗r−ω(k )·t) , (2π)3

was ja fr¨ uher behauptet wurde.

1.5 Impulsoperator, Ortsoperator Ausger¨ ustet mit der Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsdichte f¨ ur Impulse k¨ onnen wir den Erwartungswert des Impulses aufschreiben. Zu einer festen Zeit t ist ∫ 3 ∫ 3 d k ˜⃗ 2 ⃗ d k ˜∗ ⃗ ⃗ ˜ ⃗ ⟨⃗ p⟩ = |ψ(k )| ℏk = ψ (k )ℏk ψ(k ) . (2π)3 (2π)3 Um dies durch die Wellenfunktion im Ortsraum auszudr¨ ucken, wenden wir die Parseval’sche Gleichung ∫ 3 ∫ d k ˜∗ ⃗ ⃗ f (k ) g˜(k ) = d3 r f ∗ (⃗r ) g(⃗r ) (2π)3 an. Dazu w¨ahlen wir ˜ ⃗k ) f˜(⃗k ) = ψ(

und somit

f (⃗r ) = ψ(⃗r )

und ˜ ⃗k ) . g˜(⃗k ) = ℏ⃗k ψ( Dann ist ∫ g(⃗r ) =

∫ 3 d k ˜ ⃗ i⃗k·⃗r d3 k ⃗ ˜ ⃗ i⃗k·⃗r ℏ ℏ ℏk ψ(k )e = ∇ ψ(k ) e = ∇ψ(⃗r ) . 3 3 (2π) i (2π) i

24

1 Materiewellen

Das Ergebnis im Ortsraum ist also ∫ ℏ ⟨⃗ p ⟩ = d3 r ψ ∗ (⃗r, t) ∇ψ(⃗r, t) . i Dies legt die Definition des Impulsoperators im Ortsraum

. ℏ P⃗ = ∇ i

mit den drei Komponenten Pj =

ℏ ∂ i ∂xj

nahe. Der Impulsoperator hat verschiedene Gew¨ander, je nachdem, in welchem Raum er arbeitet: Ortsraum

Impulsraum

ℏ P⃗ ψ(⃗r, t) = ∇ψ(⃗r, t) i

˜ ⃗k, t) = ℏ⃗k ψ( ˜ ⃗k, t) . P⃗ ψ(

Die Funktionen im Definitionsbereich von P⃗ im Ortsraum m¨ ussen nat¨ urlich differenzierbar sein. Erwartungswerte des Impulsoperators oder von Funktionen des Impulsoperators werden wie u ¨blich gebildet: ∫ ⃗ ⟨P ⟩ = d3 r ψ ∗ (⃗r, t)P⃗ ψ(⃗r, t) , ∫ 2 ⃗ ⟨P ⟩ = d3 r ψ ∗ (⃗r, t)P⃗ 2 ψ(⃗r, t) , wobei P⃗ 2 = P12 + P22 + P32 = −ℏ2

(

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

)

= −ℏ2 ∇ 2 = −ℏ2 ∆ .

Analog zum Impulsoperator l¨asst sich der Ortsoperator einf¨ uhren. Es ist ja ∫ ⟨⃗r ⟩ = d3 r ψ ∗ (⃗r, t) ⃗r ψ(⃗r, t) .

1.5 Impulsoperator, Ortsoperator

25

⃗ schreiben, der Wir k¨onnen dies als Erwartungswert des Ortsoperators Q durch ⃗ ψ(⃗r, t) = ⃗r ψ(⃗r, t) Q definiert wird. Er wirkt also im Ortsraum als Multiplikations-Operator. Seine drei Komponenten werden wahlweise auch folgendermaßen bezeichnet: ⃗ = (Q1 , Q2 , Q3 ) = (X, Y, Z) = (Qx , Qy , Qz ) . Q Wir schreiben nun f¨ ur die Erwartungswerte ∫ ∫ ⃗ ψ(⃗r, ) , ⟨⃗r 2 ⟩ = d3 r ψ ∗ (⃗r, t) Q ⃗ 2 ψ(⃗r, t) ⟨⃗r ⟩ = d3 r ψ ∗ (⃗r, t) Q etc. Analog zum Impulsoperator im Ortsraum findet man f¨ ur den Ortsoperator im Impulsraum . ˜ ˜ ⃗k, t) = ⃗k, t) = Fouriertransformierte von Qψ ⃗ ψ( ⃗ ⃗ Q (Qψ)( 1 ˜ ⃗k, t) . = − ∇k ψ( i Fassen wir zusammen: Ortsraum

Impulsraum

ℏ P⃗ ψ(⃗r, t) = ∇ψ(⃗r, t) i

˜ ⃗k, t) = ℏ⃗k ψ( ˜ ⃗k, t) P⃗ ψ(

⃗ ψ(⃗r, t) = ⃗r ψ(⃗r, t) Q

˜ ⃗k, t) ˜ ⃗k, t) = − 1 ∇k ψ( ⃗ ψ( Q i

¨ Ubungen 1. Ein Gauß’sches Wellenpaket in einer Dimension sei gegeben durch { ( )2 } 0 x − ℏk t 1 m ψ(x) = N (t) exp i[k0 x − ω(k0 ) t] − 2 γ(t) mit ω(k0 ) =

ℏk02 , 2m

Berechnen Sie a) die Normierung N (t),

γ(t) = 2d2 + i

ℏ t m

und d, k0 ∈ R.

26

1 Materiewellen b) das Quadrat (∆x)2 der Breite des Wellenpaketes, c) den Erwartungswert ⟨p⟩ des Impulses durch Rechnung im Ortsraum, ˜ t), d) die Impulsraum-Wellenfunktion ψ(k, e) den Erwartungswert des Impulses und die Breite der Impulsverteilung durch Rechnung im Impulsraum. ( 2) ( ) ∫∞ √π , Re(A) > 0. exp B Hilfsformel: −∞ exp −A x2 + B x dx = A 4A Die u otigten Integrale lassen sich hieraus durch Differenzieren nach A ¨brigen ben¨ und B gewinnen. 2. Nicht-Gauß’sche Wellenpakete a) Berechnen Sie das zeitabh¨ angige Wellenpaket in einer Dimension ∫ ψ(x, t) =

dk φ(k) eikx−iω(k)t 2π

{ mit

φ(k) =

1, 0,

k0 − α ≤ k ≤ k0 + α sonst

Entwickeln Sie dazu die Dispersionsrelation in eine Taylorreihe um k0 bis zum linearen Glied: ω(k) = ω0 + v0 (k − k0 ). b) Berechnen Sie das eindimensionale Wellenpaket ∫ dk 1 ψ(x) = φ(k) eikx mit φ(k) = 2 . 2π k + α2 c) Berechnen Sie das dreidimensionale Wellenpaket, welches die ImpulsraumWellenfunktion 1 φ(⃗k ) = 2 ⃗ (|k| + α2 )2 besitzt. Hinweis: Benutzen Sie Polarkoordinaten und f¨ uhren Sie das Radialintegral durch partielle Integration auf das in der vorigen Aufgabe aufgetretene Integral zur¨ uck. d) Definieren Sie in allen drei F¨ allen geeignete Maße ∆k und ∆x f¨ ur die Breiten im k- und x-Raum (zum Beispiel die Halbwertsbreite, die Breite bei 1/e-tel des Maximalwertes, . . . ) und berechnen Sie jeweils ∆x · ∆k.

1.6 Heisenberg’sche Unsch¨ arferelation Wir betrachten ein Wellenpaket der Form

1.6 Heisenberg’sche Unsch¨arferelation

27

x

∆x

mit einer Breite ∆x. Die zugeh¨orige Impulsverteilung

ϕ (k)

k ∆k

besitzt eine Breite ∆k. Eine genauere, mathematisch pr¨azise Definition der Breiten nimmt Bezug auf die Varianzen: (∆x)2 = Varianz von x = ⟨(x − ⟨x⟩)2 ⟩ = ⟨x2 ⟩ − ⟨x⟩2 , (∆p)2 = ⟨p2 ⟩ − ⟨p⟩2 . Nehmen wir als Beispiel ein Gauß’sches Wellenpaket. Dort ist x2

|ψ(x, 0)|2 ∼ e− 2d2 , 2 (k−k

˜ 0)|2 ∼ e−2d |ψ(k,

∆x = d , 2 0)

,

∆k =

1 2d

,

∆p =

ℏ 2d

.

Wenn das Paket im Ortsraum eng lokalisiert ist, so ist es breit im Impulsraum und umgekehrt:

28

1 Materiewellen

ψ ( x)

~ ψ ( p)

In diesem Falle gilt ∆p · ∆x =

ℏ . 2

F¨ ur beliebige Wellenfunktionen gilt die Heisenberg’sche Unsch¨ arferelation ∆p · ∆x ≥

ℏ . 2

Sie wurde von Werner Heisenberg (5.12.1901 – 1.2.1976) im Jahre 1927 gefunden. Ihren Beweis werden wir sp¨ater nachtragen. Etwas Vergleichbares ist schon aus der Optik bekannt. Man erinnere sich an ∆k · ∆x ≈ 1. Sehen wir uns noch einmal das Gauß’sche Wellenpaket als Beispiel an. Bei der Diskussion des Zerfließens fanden wir (∆x)2 = d2 +

ℏ2 t2 , 4m2 d2

(∆p)2 =

und somit ℏ ∆p · ∆x = 2

√ 1+

ℏ2 t2 . 4m2 d4

ℏ2 4d2

1.6 Heisenberg’sche Unsch¨arferelation

29

In drei r¨aumlichen Dimensionen gibt es drei Unsch¨arferelationen: ∆px · ∆x ≥

ℏ , 2

∆py · ∆y ≥

ℏ , 2

∆pz · ∆z ≥

ℏ . 2

Was ist die Bedeutung der Unsch¨arferelation? a) Zun¨achst zum Begriff Unsch¨arfe“. Die Unsch¨arfen, von denen die Rede ” ist, sind Breiten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Das Teilchen ist also nicht selbst unscharf“ oder gar ausgeschmiert, sondern die Kenntnis u ¨ber ” seinen m¨oglichen Ort bzw. Impuls ist unscharf. Heisenberg hat es daher vorgezogen, von der Unbestimmtheitsrelation“ zu sprechen. Eine genaue ” Kenntnis des Ortes ist mit ungenauer Kenntnis des Impulses verbunden und umgekehrt. In der Quantenmechanik gibt es eine prinzipielle Grenze f¨ ur die Bestimmung von Ort und Impuls. Wolfgang Pauli (25.4.1900 – 15.12.1958) hat es in seiner charakteristischen Weise in einem Brief an Heisenberg so ausgedr¨ uckt: Man kann die Welt ” mit dem p-Auge und man kann sie mit dem q-Auge ansehen, aber wenn man beide Augen zugleich aufmachen will, dann wird man irre.“ b) Eine unmittelbare Konsequenz der Unsch¨arferelation ist, dass der Begriff der Bahn des Teilchens seinen Sinn verliert. Es ist instruktiv, sich einmal die Gr¨oßenordnungen von Unsch¨arfen f¨ ur atomare und f¨ ur makroskopische Objekte zu u ¨berlegen. i) F¨ ur ein Elektron im Atom ist ∆x ≈ 10−10 m , ∆p ≈ 10−24 kg m s−1 , so dass ∆x · ∆p ≈ ℏ. Die Unsch¨arfe der Geschwindigkeit ∆v ≈ 106 m s−1 ist schon erheblich. ii) Andererseits, f¨ ur ein Staubteilchen mit m = 10−6 kg , ∆v = 10−4 m s−1 verlangt die Unsch¨arferelation ∆x ≥ 10−24 m, was f¨ ur praktische Belange v¨ ollig irrelevant ist. Illustration: Zur Illustration wollen wir nun in zwei physikalischen Situationen diskutieren, wie die durch die Unsch¨arferelation auferlegten Grenzen zustande kommen. 1) Ortsmessung mit einem Mikroskop Im Mikroskop wird Licht der Wellenl¨ange λ am Teilchen gestreut und tritt ¨ innerhalb eines Offnungswinkels φ in das Okular.

30

1 Materiewellen

ϕ x

Licht

Der Ort des Teilchens kann nur innerhalb einer Genauigkeit bestimmt werden, die durch das Aufl¨osungsverm¨ogen des Mikroskops begrenzt ist. Hierf¨ ur gilt bekanntlich λ ∆x ≈ . sin φ Andererseits wird dem Teilchen durch das gestreute Photon ein Impuls¨ uberh ′ ist nicht genau bekannt, da die Richtung des = verliehen. p trag p′ ≈ hν c λ ¨ Lichtquants innerhalb des Offnungswinkels φ unbekannt ist. Es ist ∆px = ′ p sin φ und folglich ∆x · ∆px ≈ h. Dieses Beispiel stammt von Heisenberg selbst. Mir gef¨allt es nicht so gut, denn es wird darin mit klassischen Begriffen operiert. Es wird vom Ort des Teilchens und vom Impuls des Photons so geredet, als g¨abe es sie eigentlich, nur k¨onnten wir sie prinzipiell nicht genauer bestimmen, als durch die Unsch¨arferelation erlaubt ist. Dies klingt ein bisschen nach verborgenen ” Werten“, was Heisenberg aber sicher nicht so gemeint hat. 2) Beugung am Spalt

x

e

2θ

In der Spaltebene ist die Ortsunsch¨arfe durch die Spaltbreite gegeben: ∆x = ¨ d. Das zentrale B¨ undel im Beugungsmuster hat einen Offnungswinkel θ,

1.6 Heisenberg’sche Unsch¨arferelation

31

der sin θ ∼ λ/d erf¨ ullt. Hierin ist λ = h/p. Dies zieht eine Unsch¨arfe der Impulskomponente ∆px ≈ p · sin θ nach sich.

θ

2 ∆ px

p Daraus ergibt sich ∆x · ∆px ≈ h. Diskussion: Wir wollen diesen Abschnitt mit einer Diskussion der Unsch¨arferelation abschließen. a) Die Ungleichung ∆x · ∆p ≥

ℏ 2

gilt f¨ ur die Breiten in einem Zustand.

Wenn eine Ortsmessung zu einer Zeit t1 und eine nachfolgende Impulsmessung zu einer Zeit t2 > t1 durchgef¨ uhrt wird, so ist es durchaus m¨oglich, dass ℏ ∆x|t=t1 · ∆p|t=t2 < . 2 Dies ist aber kein Widerspruch zur Unsch¨arferelation, denn nach der Ortsmessung bei t1 und der Impulsmessung bei t2 liegen verschiedene Zust¨ande vor. b) Kausalit¨at und Determinismus Das klassische Kausalit¨atsprinzip sagt aus, dass bei bekannten Werten von ⃗r und p⃗ zum Zeitpunkt t0 das Verhalten f¨ ur alle Zeiten t > t0 bekannt ist. Aus der Unsch¨arferelation folgt, dass das klassische Kausalit¨atsprinzip nicht anwendbar ist, da die Voraussetzung nicht erf¨ ullbar ist. Etwas anders verh¨alt es sich mit dem Determinismus. Dieser behauptet, dass die k¨ unftige Entwicklung physikalischer Systeme vorherbestimmt sei. W¨ahrend das Kausalit¨atsprinzip zwar nicht anwendbar, aber dennoch nicht notwendig falsch ist, gilt der Determinismus in der Quantenmechanik nicht. ¨ Ubungen 1. Das zeitabh¨ angige Wellenpaket ∫ ψ(x, t) =

dk φ(k) ei(kx−ω(k)t) 2π

sei gegeben durch φ(k) = N e−|k|/k0 .

32

1 Materiewellen a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung des Impulses einen Wert zwischen −p1 und p1 zu finden? b) Berechnen Sie ∆x · ∆p zur Zeit t = 0. 2. Zeigen Sie, dass f¨ ur die Wellenfunktion { ψ(x) =

√1 , 2a

|x| < a

0,

|x| > a

die Impulsunsch¨ arfe unendlich ist. Berechnen Sie auch die Ortsunsch¨ arfe. 3. Es sei ein eindimensionales Wellenpaket { ∫ A(α − |k|) , dk ikx ψ(x) = φ(k) e mit φ(k) = 2π 0,

f¨ ur |k| ≤ α sonst

gegeben. a) Bestimmen Sie die Konstante A aus der Normierungsbedingung im Ortsoder Impulsraum. b) Berechnen Sie ⟨x⟩, ⟨x2 ⟩, ⟨k⟩, ⟨k2 ⟩, ∆x, ∆k und ∆x · ∆k. ∫ ∞ sin4x π dx = . Hinweis: 2 x 4 0 4. Das Heisental’sche Sch¨ arfe-Experiment Prof. Heisental hat einen Weg gefunden, die Unsch¨ arferelation zu umgehen. Sein Experiment sieht folgendermaßen aus:

x s d

e ∆x

Ein Elektron wird mit der Geschwindigkeit v duch einen Spalt der Breite ∆x geschickt. Die Ortsunsch¨ arfe in der x-Koordinate ist dort also ∆x. Etwas sp¨ ater, nachdem es die Strecke s zur¨ uckgelegt hat, erzeugt das Elektron einen Punkt auf dem Schirm. Dabei hat es sich in x-Richtung um die Strecke d bewegt, die mit der Genauigkeit ∆x bestimmt werden kann. Hieraus schließt Prof. Heisental zur¨ uck auf die Impulskomponente px , die den Wert px = mvx = mv ds besitzt, mit einer Genauigkeit ∆px = mv ∆x . Das Produkt ∆x · ∆px kann durch geeignete Wahl von s s beliebig klein gemacht werden. Hat Prof. Heisental die Unsch¨ arferelation widerlegt? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort!

2 Schr¨ odingergleichung 2.1 Zeitabh¨ angige Schr¨ odingergleichung Erinnern wir uns an die Begr¨ undung der Wellengleichung f¨ ur freie Teilchen. Aus der Energie-Impuls-Beziehung folgt die Beziehung zwischen Kreisfrequenz und Wellenzahl und hieraus wiederum die Wellengleichung: E=

p⃗ 2 2m

=⇒

ℏω =

ℏ2⃗k 2 2m

=⇒

iℏ

∂ ℏ2 2 ψ(⃗r, t) = − ∇ ψ(⃗r, t) . ∂t 2m

Mit dem Impulsoperator k¨onnen wir sie in der Form iℏ

∂ P⃗ 2 ψ(⃗r, t) = ψ(⃗r, t) ∂t 2m

schreiben. F¨ ur ein Teilchen, das sich in einem Potenzial V (⃗r ) bewegt, ist die Energie E=

p⃗ 2 + V (⃗r ) . 2m

Der Ausdruck auf der rechten Seite, also die Energie als Funktion von Impuls und Ort, heißt in der Mechanik Hamiltonfunktion: H(⃗ p, ⃗r ) =

p⃗ 2 + V (⃗r ) . 2m

¨ In Verallgemeinerung der obigen Uberlegungen zur Wellengleichung stellte Erwin Schr¨odinger (12.8.1887 – 4.1.1961) im Jahre 1926 eine Wellengleichung f¨ ur Teilchen in einem a¨ußeren Potenzial auf, die Schr¨ odingergleichung ∂ iℏ ψ(⃗r, t) = ∂t

bzw. ∂ iℏ ψ(⃗r, t) = ∂t

(

) P⃗ 2 + V (⃗r ) ψ(⃗r, t) 2m

( ) ℏ2 − ∆ + V (⃗r ) ψ(⃗r, t) . 2m

34

2 Schr¨odingergleichung

Die rechte Seite der Schr¨odingergleichung enth¨alt den Hamiltonoperator H=

P⃗ 2 ⃗ , + V (Q) 2m

mit dem wir sie in der Form iℏ

∂ ψ(⃗r, t) = Hψ(⃗r, t) ∂t

schreiben k¨onnen. Die Schr¨odingergleichung beschreibt die Zeitentwicklung der Wellenfunktion. Sie ist eine partielle Differenzialgleichung von erster Ordnung in t, so dass bei gegebenen Anfangswerten ψ(⃗r, t0 ) die L¨osung ψ(⃗r, t) f¨ ur t > t0 festgelegt ist. Es gilt wiederum die Kontinuit¨atsgleichung ∂ρ + ∇ · ⃗j = 0 ∂t mit ⃗j = ℏ (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) , 2mi deren Beweis genauso wie im Falle des freien Teilchens gef¨ uhrt wird. Aus ihr folgt ∫ ρ = |ψ|2 ,

d3 r |ψ(⃗r, t)|2 = const.

¨ Ubungen 1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichten ρ und die Wahrscheinlichkeitsstromdichten j(x) bzw. ⃗j(⃗r ) f¨ ur die folgenden Wellenfunktionen und interpretieren Sie die Ergebnisse. Wie groß ist in den F¨ allen (b) und (c) der Teilchenfluss (Anzahl von Teilchen pro Zeit) durch eine Kugeloberfl¨ ache mit dem Mittelpunkt bei ⃗r = 0? a) ψ(x) = A eikx + B e−ikx mit komplexen Vorfaktoren A und B. b) ψ(⃗r ) =

A ±ikr e . r

c) ψ(⃗r ) =

A ±i⃗k·⃗r e . r

¨ 2. Zeitliche Anderung von Erwartungswerten

2.2 Zeitunabh¨angige Schr¨odingergleichung

35

a) Zeigen Sie durch Benutzung der Kontinuit¨ atsgleichung 1 d ⟨⃗r ⟩ = ⟨⃗ p ⟩. dt m Dabei ist die Wellenfunktion als schnell abfallend f¨ ur |⃗r | → ∞ anzunehmen, um Randterme“ eliminieren zu k¨ onnen. ” b) Zeigen Sie, dass f¨ ur ein freies Teilchen gilt d ⟨⃗ p ⟩ = ⃗0. dt 3. Ein Teilchen bewege sich im Potenzial V (x). Das Potenzial besitze die Fouriertransformierte ∫ V˜ (k) = dx V (x) e−ikx . ˜ t) im Impulsraum? Wie lautet die Schr¨ odingergleichung f¨ ur ψ(k,

2.2 Zeitunabh¨ angige Schr¨ odingergleichung Der Hamiltonoperator H h¨ange nicht von t ab. Gibt es L¨osungen der Schr¨odingergleichung, f¨ ur welche die Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(⃗r, t)|2 zeitunabh¨angig ist? Betrachte den Ansatz ψ(⃗r, t) = f (t)ψ(⃗r ) . Einsetzen in die Schr¨odingergleichung liefert iℏ

∂f · ψ(⃗r ) = f (t) Hψ(⃗r ) , ∂t

woraus iℏ

∂f = E f (t) , ∂t

Hψ(⃗r ) = E ψ(⃗r )

mit E = const.

folgt. Die L¨osung f¨ ur f (t) lautet f (t) = e−i

Et ℏ

.

Behauptung: E ist reell. Dies zeigt man wie folgt. Sei E = Er + i Ei ∈ C mit reellen Er , Ei . Dann ist |ψ(⃗r, t)|2 = |ψ(⃗r )|2 e

2Ei t ℏ

36

2 Schr¨odingergleichung

und folglich ∫

2 3

|ψ(⃗r, t)| d r =

∫

|ψ(⃗r )|2 d3 r e

2Ei t ℏ

.

Wir wissen aber, dass dies konstant sein muss, woraus Ei = 0, also E ∈ R folgt. Wir haben also gefunden:

ψ(⃗r, t) = e−i

Et ℏ

ψ(⃗r ) : station¨arer Zustand

Hψ(⃗r ) = E ψ(⃗r )

: zeitunabh¨angige Schr¨odingergleichung

Zust¨ande, f¨ ur welche die Zeitabh¨angigkeit der Wellenfunktion durch obigen Phasenfaktor gegeben sind, heißen station¨ar. Sie gen¨ ugen der zeitunabh¨ angigen oder station¨ aren Schr¨ odingergleichung. In station¨aren Zust¨anden sind ρ und ⃗j zeitunabh¨angig. Die zeitunabh¨angige Schr¨odingergleichung Hψ(⃗r ) = E ψ(⃗r ) sagt aus, dass ψ(⃗r ) Eigenfunktion zum Hamiltonoperator mit Eigenwert E ist. E ist die Energie“ des Zustandes. Sie ist gleich dem Erwartungswert des ” Hamiltonoperators: ∫ ⟨H⟩ =

3

∗

d r ψ (⃗r, t) H ψ(⃗r, t) = ∫ = E d3 r ψ ∗ (⃗r )ψ(⃗r ) = E .

∫

d3 r ψ ∗ (⃗r ) H ψ(⃗r )

Die Breite bzw. Varianz ∆E, gegeben durch (∆E)2 = ⟨(H − E)2 ⟩ = ⟨H 2 ⟩ − E 2 , verschwindet in einem station¨aren Zustand: ∆E = 0, d.h. die Energie ist scharf. Um die m¨oglichen Energiewerte zu finden, ist also folgende Gleichung zu l¨osen:

2.2 Zeitunabh¨angige Schr¨odingergleichung

{

37

} ℏ2 ∆ + V (⃗r ) ψ(⃗r ) = E ψ(⃗r ) , − 2m ∫ wobei d3 r ψ ∗ (⃗r )ψ(⃗r ) = 1 .

¨ Ubungen Gegeben sei das eindimensionale periodische Potenzial V (x) =

ℏ2 1 2ma2 1 + A cos

x a

.

Finden Sie eine L¨ osung der zeitunabh¨ angigen Schr¨ odingergleichung von der Form ψ(x) = 1 + β cos und bestimmen Sie die Energie.

x a

3 Wellenmechanik in einer Dimension In diesem Kapitel werden wir wellenmechanische Probleme in einer Raumdimension untersuchen. Diese sind einfacher zu handhaben als dreidimensionale Probleme und daher gut zur Einf¨ uhrung geeignet. Die eindimensionale Wellenmechanik ist aber keineswegs eine rein akademische Spielwiese, denn es gibt viele eindimensionale Probleme, die physikalisch relevant sind. Die zeitunabh¨ angige Schr¨odingergleichung in einer Dimension lautet −

ℏ2 ∂ 2 ψ(x) + V (x)ψ(x) = E ψ(x) 2m ∂x2

und wir verlangen ∫

dx |ψ(x)|2 = 1 .

Wir wollen Potenziale V (x) zulassen, bei denen auch Stufen und Knicks, d.h. Unstetigkeiten der Ableitungen erlaubt sind, es soll aber u ¨berall gelten |V (x)| < ∞, falls nichts anderes gesagt wird. Wie verh¨alt sich ψ(x) an Unstetigkeiten von V (x)? Falls ψ(x) selbst unstetig an einer Stelle x0 ist, z.B. ψ(x) = a θ(x − x0 ) + φ(x), gilt ′

′

ψ (x) = a δ(x − x0 ) + φ (x) ′′

′

′′

ψ (x) = a δ (x − x0 ) + φ (x) . Dies ist nicht im Einklang mit der obigen Schr¨odingergleichung und wir k¨ onnen notieren a) ψ(x) ist stetig. ′

Falls ψ (x) unstetig bei x0 ist, gilt ′′

ψ (x) = a δ(x − x0 ) + · · · , was sich wiederum nicht mit der Schr¨odingergleichung vertr¨agt, so dass wir schließen: ′ b) ψ (x) ist stetig. Es sei daran erinnert, dass wir |V (x)| < ∞ u ¨berall voraussetzen.

40

3 Wellenmechanik in einer Dimension

3.1 Teilchen im Kasten: unendlich hoher Potenzialtopf Das Potenzial

{ 0, V (x) = ∞,

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

00 k2 = ℏ2 haben wir

′′

ψ (x) = −k 2 ψ(x)

f¨ ur 0 ≤ x ≤ L ,

ψ(0) = ψ(L) = 0 . Die L¨osung ist klar: ψ(x) = A sin kx + B cos kx . Aus ψ(0) = 0 folgt B = 0 und somit ψ(x) = A sin kx. Die zweite Randbedingung ψ(L) = 0 erfordert sin kL = 0. Dies ist erf¨ ullt, falls kL = nπ , n ∈ Z. Die negativen n entfallen, da die zugeh¨origen L¨osungen proportional zu denen mit positivem n sind. Es verbleiben somit die L¨osungen ( nπ ) x , n = 1, 2, 3, . . . . ψn (x) = A sin L Die m¨oglichen Energiewerte sind

En =

ℏ2 ( nπ )2 ℏ2 π 2 = · n2 . 2m L 2mL2

42

3 Wellenmechanik in einer Dimension

Nicht alle positiven Energien sind erlaubt, wie im klassischen Falle, sondern es gibt ein diskretes Energiespektrum. Wir begegnen hier dem Ph¨anomen der Quantisierung“ der Energie. ” Weiterhin k¨onnen wir das Auftreten einer Nullpunktsenergie E1 > 0 feststellen. Zuletzt wollen wir die L¨osungen noch normieren, wie es sich geh¨ort: √ ∫ L 2 2 21 |ψn (x)| dx = A L ⇒ A = . 2 L 0 Eines bleibt noch nachzutragen. Oben haben wir stillschweigend angenommen, dass E ≥ 0 ist. K¨onnen negative Energien E < 0 m¨oglich sein? Angenommen, E w¨are negativ. Dann h¨atten wir im Innenraum ′′

ψ (x) = −

2mE ψ(x) ≡ κ2 ψ(x) , ℏ2

κ>0

zu l¨osen. Die L¨osung w¨are ψ(x) = A sinh κx + B cosh κx , und aus der linken Randbedingung folgt B = 0 und ψ(x) = A sinh κx. Die rechte Randbedingung sinh κL = 0 besitzt aber keine L¨osung, so dass es zu negativer Energie keine Eigenfunktion gibt. Die gefundenen L¨osungen der zeitunabh¨angigen Schr¨odingergleichung haben zwei wichtige Eigenschaften, die uns auch bei anderen Systemen begegnen werden und sehr n¨ utzlich sind: Orthogonalit¨ at: Betrachte das Integral ∫

L

ψn∗ (x)ψm (x)dx

0

2 = L

∫

L

sin 0

( nπx ) L

· sin

( mπx ) L

dx .

Eine elementare Rechnung liefert ∫

L

ψn∗ (x)ψm (x)dx = δn,m .

0

Diese Eigenschaft der Funktionen ψn heißt Orthogonalit¨at“. ”

3.1 Teilchen im Kasten: unendlich hoher Potenzialtopf

43

Vollst¨ andigkeit: Sei eine Funktion f (x) gegeben mit f (x) = 0 f¨ ur x ≤ 0 und x ≥ L. Wir erweitern sie auf das doppelte Intervall durch { f (x) , 0 ≤ x ≤ L . F (x) = −f (−x), −L ≤ x ≤ 0 F

x -L

L

F ist periodisch auf dem Intervall [−L, L], d.h. F (L) = F (−L), und F ist antisymmetrisch“: F (x) = −F (−x). Die Fourierreihe f¨ ur F (x) lautet ” ∞ a0 ∑ ( πnx πnx ) F (x) = + an cos + bn sin . 2 L L n=1

Aus der Antisymmetrie folgt a0 = 0 , an = 0, so dass ∞ √ ∞ ∑ πnx ∑ L = bn ψn (x) . F (x) = bn sin L 2 n=1

n=1

Insbesondere gilt f (x) =

∞ ∑ n=1

√

L bn ψn (x) 2

f¨ ur

0 ≤ x ≤ L.

Jedes“ f (x) mit den obigen Randbedingungen l¨asst sich also nach den ” ψn (x) entwickeln, d.h. die ψn (x) bilden ein vollst¨andiges Funktionensystem. ¨ Ubungen 1. Ein Teilchen der Masse m befindet sich im unendlich hohen Potenzialtopf der Breite L zwischen x = −L/2 und x = L/2. Finden Sie die symmetrische Wellen9ℏ2 π 2 l¨ ost. Warum funktion, welche die Schr¨ odingergleichung zur Energie E = 8mL2 ist diese L¨ osung unphysikalisch?

44

3 Wellenmechanik in einer Dimension 2. Betrachten Sie ein Teilchen im unendlich hohen Potenzialtopf der Breite L zwischen x = 0 und x = L. Es befinde sich im station¨ aren Zustand ψn (x). a) Berechnen Sie ⟨x⟩ und ∆x. b) Zeigen Sie, dass das Ergebnis f¨ ur ∆x mit dem entsprechenden Resultat in der klassischen Mechanik im Falle großer n u ¨bereinstimmt. c) Berechnen Sie ∆x · ∆p. d) Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion im Impulsraum gegeben ist durch √ ) 2L πn ( (−1)n e−ikL − 1 . ψ˜n (k) = 2 2 2 2 k L −n π e) Zur Zeit t = 0 sei ein Zustand gegeben durch ψ(x, 0) = √12 (ψ1 (x) + ψ2 (x)). Berechnen Sie den zeitabh¨ angigen Erwartungswert ⟨x⟩ des Ortes. f) Zerlegen Sie den Zustand ψ(x) = N x(L − x),

0≤x≤L

in die Eigenzust¨ ande ψn : ψ(x) =

∞ ∑

cn ψn (x).

n=1

Zeigen Sie mit Hilfe von

∑

|cn |2 = 1, dass gilt:

n

1 1 1 π6 1 . + 6 + 6 + 6 + ... = 6 1 3 5 7 960

3.1.1 Dreidimensionaler Kasten Unsere Ergebnisse f¨ ur den eindimensionalen Kasten lassen sich leicht auf den Fall dreier Raumdimensionen verallgemeinern. Das Kastenpotenzial ist { 0, 0 ≤ x ≤ L1 , 0 ≤ y ≤ L2 , 0 ≤ z ≤ L3 V (⃗r ) = ∞, sonst . Dies stellt einen Quader dar. Wiederum gilt im Außenraum ψa (⃗r ) = 0 und im Inneren ist ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ 2mE + + = − 2 ψ ≡ −k 2 ψ . 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ℏ

3.1 Teilchen im Kasten: unendlich hoher Potenzialtopf Die Gleichung l¨asst sich durch ψ(⃗r ) = ψ1 (x) · ψ2 (y) · ψ3 (z) separieren: ∂ 2 ψi = −ki2 ψi , ∂x2i

i = 1, 2, 3 ,

k12 + k22 + k32 = k 2 .

Die L¨osungen der drei separierten Gleichungen kennen wir: ( ) ni π ψi (xi ) = Ai sin xi , ni ∈ N . Li . Mit der Notation ⃗n = (n1 , n2 , n3 ) schreiben wir ) ( ) ( ) ( n2 π n3 π n1 π x sin y sin z ψ⃗n (⃗r ) = A sin L1 L2 L3 mit

√ A=

8 , L1 L2 L3

und die zugeh¨origen Energien sind ( ) ℏ2 π 2 n21 n22 n23 E⃗n = + + . 2m L21 L22 L23 Im Spezialfall des W¨ urfels ist L1 = L2 = L3 = L. Mit . ℏ2 π 2 ε= 2mL2 sind die Energien gegeben durch E⃗n = ε ⃗n 2 . E/ε 3 6 9 11 12 14

⃗n (1, 1, 1) (2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2) (2, 2, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 2) (3, 1, 1), (1, 3, 1), (1, 1, 3) (2, 2, 2) (3, 2, 1), . . .

# 1 3 3 3 1 6

45

46

3 Wellenmechanik in einer Dimension

F¨ ur den symmetrischen Fall des W¨ urfels tritt das Ph¨anomen der Entartung auf: Es gibt i.A. mehrere Eigenzust¨ande zum gleichen Eigenwert. Wenn die Kantenl¨angen nicht exakt, aber n¨aherungsweise gleich sind, L1 ≈ L2 ≈ L3 , liegt n¨aherungsweise Entartung vor und die Energien bilden Energieschalen:

E

9

6 1 3 3

6

3

3

1

12

0

¨ Ubungen Ein Teilchen der Masse m befindet sich in einem w¨ urfelf¨ ormigen Kasten mit Volumen L3 . Finden Sie mit Hilfe der Heisenberg’schen Unsch¨ arferelation eine untere Schranke f¨ ur den Erwartungswert der Energie.

3.2 Endlicher Potenzialtopf Jetzt betrachten wir den Fall eines Potenzialtopfes von endlicher Tiefe: ⎧ ⎨−V , 0 V (x) = ⎩0,

L L 0, ℏ2

κ>0

2m (E + V0 ) . ℏ2

Kann E < −V0 sein? Dann w¨are k 2 < 0. An Stellen, wo ψ(x) > 0 ist, w¨are ′′ ψ (x) > 0, d.h. ψ w¨are konvex.

48

3 Wellenmechanik in einer Dimension

x Auf einer der beiden Seiten von x m¨ usste ψ dann u ¨berall konvex sein und w¨are nicht normierbar. Wir schließen daher −V0 < E < 0 . Betrachten wir die Gebiete einzeln. A:

′′

ψ = κ2 ψ ψA (x) = α+ eκx + α− e−κx −→ 0 ψ(x) x→−∞

C:

entsprechend,

B:

ψ = −k 2 ψ ,

′′

⇒

α− = 0

⇒

ψA (x) = α+ eκx

ψC (x) = γ− e−κx ψB (x) = β+ eikx + β− e−ikx

Anschlussbedingungen: 1. Stetigkeit von ψ(x) x=−

L 2

L 2

x=

L

L

L

L

L

L

:

α+ e−κ 2 = β+ e−ik 2 + β− eik 2

:

γ− e−κ 2 = β− e−ik 2 + β+ eik 2

′

2. Stetigkeit von ψ (x) x=− x=

L 2

L 2

:

( ) L L L κα+ e−κ 2 = ik β+ e−ik 2 − β− eik 2

:

( ) L L L κγ− e−κ 2 = ik β− e−ik 2 − β+ eik 2

3.2 Endlicher Potenzialtopf

49

Dies sind 4 Gleichungen f¨ ur α+ , γ− , β+ und β− . Sie wissen sicher, wie man damit zu Werke geht, aber es gibt noch eine Vereinfachung. Wir betrachten zun¨achst eine symmetrische L¨osung:

ψ(x) = ψ(−x) .

Dann erhalten wir α+ = γ− ≡ α ,

β+ = β− ≡ β ,

L

α e−κ 2 = 2β cos k

L , 2

L . 2 F¨ ur dieses lineare homogene System aus zwei Gleichungen lautet die L¨osbarkeitsbedingung ( ) L κ = k tan k . 2 L

κα e−κ 2 = 2βk sin k

Die L¨osungen dieser Gleichung liefern κ und k und damit die m¨oglichen Energien E. Diese werden wir weiter unten betrachten. Wenn κ und k bekannt sind, ist die L¨osung f¨ ur die Koeffizienten √ exp(−κ L2 ) L κ2 1 1 + 2 e−κ 2 α . β= α= L 2 k 2 cos k 2 Die Normierung f¨ uhrt zu L 1 = e−κ 2 α

√(

κ2 1+ 2 k

)(

L 1 + 2 κ

) .

In gleicher Weise behandeln wir den Fall einer ψ(x) = −ψ(−x) .

antisymmetrischen L¨osung: α+ = −γ− ≡ a , L

β+ = −β− ≡ b ,

a e−κ 2 = −2ib sin k L

L , 2

κa e−κ 2 = 2ibk cos k

L . 2

50

3 Wellenmechanik in einer Dimension

Die L¨osbarkeitsbedingung ist ( ) L κ = −k cot k 2 und f¨ ur die Koeffizienten gilt b=i L 1 = e−κ 2 a

exp(−κ L2 ) 2 sin k L2

√(

κ2 1+ 2 k

a,

)(

L 1 + 2 κ

) .

Eines gilt es noch zu kl¨aren: Warum kann man ψ(x) als symmetrisch oder antisymmetrisch annehmen? Das Potenzial V (x) ist symmetrisch. In diesem Falle gilt: Falls ψ(x) eine L¨osung ist, so ist auch χ(x) = ψ(−x) eine L¨osung zur gleichen Energie. Hieraus k¨onnen wir zwei L¨osungen mit den gew¨ unschten SymmetrieEigenschaften bilden: ψ(x) + χ(x) ist symmetrisch, ψ(x) − χ(x) ist antisymmetrisch. Um die m¨oglichen Energien zu bestimmen, m¨ ussen wir uns nun den L¨osbarkeitsbedingungen zuwenden. Wir definieren . L η=κ , 2 die durch

. L ξ=k , 2

( )2 2mV0 L ≡ R2 ξ +η = 2 ℏ2 2

2

verkn¨ upft sind. Die L¨osbarkeitsbedingungen lauten nun η = ξ tan ξ

bzw.

η = −ξ cot ξ .

Dies sind transzendente Gleichungen, die wir nicht explizit l¨osen k¨onnen. Die L¨osungen lassen sich aber numerisch bestimmen. Alternativ gibt es die M¨oglichkeit der graphischen L¨osung, die bessere Einsichten in die Natur der L¨osungen vermittelt. In der Graphik ist das Beispiel R = 3,4 dargestellt. Die Schnittpunkte des Viertelkreises mit den anderen Kurven liefern die m¨oglichen Paare (ξ, η). Hier sind es 3 L¨osungen.

3.2 Endlicher Potenzialtopf

51

R

η

ξ tanξ

- ξ cotξ

π/2

ξ tanξ

π

R

3π/2

ξ

Der Graphik entnehmen wir folgende allgemeine Feststellungen: a) Es gibt mindestens eine symmetrische L¨osung. b) F¨ ur R < ∞ gibt es nur endlich viele L¨osungen im Bereich E < 0. Die Energie erhalten wir letztendlich aus

E=−

ℏ2 2 η2 κ = −V0 2 . 2m R

In unserem Beispiel sehen die Wellenfunktionen und das Spektrum so aus:

52

3 Wellenmechanik in einer Dimension

ψ(x)

E2

E1

E0 x

klassisch verbotener Bereich

klassisch erlaubter Bereich

klassisch verbotener Bereich

Zum Zwecke der besseren Sichtbarkeit sind die Wellenfunktionen auf die H¨ohe ihrer jeweiligen Energie verschoben. Beim endlichen Potenzialtopf ist die Wellenfunktion nicht null im klassisch verbotenen Bereich. Sie f¨allt aber exponentiell rasch ab. Die Eindringtiefe d, gegeben durch x ψ ∼ e−κx = e− d , hat den Wert 1 d= = κ

√

ℏ2 . 2m|E|

Solche Zust¨ande, deren Aufenthaltswahrscheinlichkeit nach außen exponentiell abf¨allt, heißen gebundene Zust¨ ande. Das Teilchen h¨alt sich mit großer Wahrscheinlichkeit in einem endlichen Bereich auf und kann nicht entweichen. In dem klassischen Gegenst¨ uck kann das Teilchen nicht in den Bereich E < V (x) eindringen und ist ebenfalls gebunden. Erw¨ahnt sei noch der Knotensatz, der hier nicht bewiesen werden soll: die Wellenfunktion ψn (x) besitzt n Knoten (Nullstellen), wenn wir aufsteigend bei Null beginnend durchnummerieren (n = 0, 1, 2, . . .). F¨ ur E < 0 haben wir endlich viele diskrete Energiewerte En gefunden. Die zeitunabh¨angige Schr¨odingergleichung ist als Differenzialgleichung aber

3.2 Endlicher Potenzialtopf

53

f¨ ur beliebige E l¨osbar. Was geht schief, wenn man E ̸= En w¨ahlt, z.B. E0 < E < E1 ? In diesem Falle findet man eine L¨osungsfunktion, die f¨ ur x → ∞ oder x → −∞ exponentiell anw¨achst und nicht normierbar ist. Zum unendlich tiefen Potenzialtopf, der im vorigen Abschnitt behandelt wurde, gelangen wir im Grenzfall ( ) ℏ2 2 2 . R≫1 ⇐⇒ V0 ≫ 2m L Dann ist En ≈ −V0 +

ℏ2 π 2 (n + 1)2 2mL2

f¨ ur n ≪ R .

¨ Ubungen 1. F¨ ur einen eindimensionalen Potenzialtopf der Breite L sei die Tiefe gegeben durch V0 = a/L. a) Zeigen Sie, dass es im Limes L → 0, a const., genau einen gebundenen Zustand gibt. Berechnen Sie seine Energie und Wellenfunktion. b) Berechnen Sie ⟨x2 ⟩ f¨ ur diesen Zustand. 2. Das Kernpotenzial zwischen Proton und Neutron kann durch

⎧ ⎪ ⎨∞, V (x) = −V0 , ⎪ ⎩ 0,

x

c) Das Deuteron ist der einzige gebundene Zustand. Seine Bindungsenergie betr¨ agt −E = 2, 23 MeV. Sch¨ atzen Sie hieraus die Potenzialtiefe V0 ab.

54

3 Wellenmechanik in einer Dimension 3. Ein eindimensionales δ-Potenzial ist gegeben durch V (x) = −a δ(x) mit a > 0. a) Zeigen Sie durch Integration beider Seiten der zeitunabh¨ angigen Schr¨ odingergleichung von x = −ε bis x = ε (ε → 0), dass die Ableitung der Wellenfunktion bei x = 0 einen Sprung besitzt, und berechnen Sie dessen Gr¨ oße. Begr¨ unden Sie, dass ψ(x) selbst stetig ist. b) Zeigen Sie, dass der Wahrscheinlichkeitsstrom j(x) stetig bei x = 0 ist. c) Finden Sie Energie E0 und Wellenfunktion ψ0 (x) des gebundenen Zustandes und vergleichen Sie mit der obigen Aufgabe 1. Berechnen Sie f¨ ur diesen Zustand ⟨x2 ⟩. 4. Ein Doppelmuldenpotenzial sei gegeben durch

⎧ ⎪ ⎨V0 , V (x) = 0, ⎪ ⎩ ∞,

|x| < 2b b < |x| < 2b + a 2 b + a < |x| 2

b

a

V0

a

a) Bestimmen Sie die m¨ oglichen Energiewerte und zugeh¨ origen Wellenfunktionen im Grenzfall V0 = ∞. b) Berechnen Sie die niedrigliegenden Energiewerte (E ≪ V0 ) n¨ aherungsweise f¨ ur den Fall einer großen Barriere, 2mV0 b2 ≫ ℏ2 . Zeigen Sie, dass die zweifache Entartung aus Teil (a) nun durch eine Energieaufspaltung √ 2mV0 π 2 n2 ℏ2 π 2 n2 8 (0) (0) − 2 exp(−κ b) mit κ = ∆En ≈ n n 2 2 (0) 2ma aκn ℏ a aufgehoben ist.

3.2.2 Streuzust¨ ande Sei nun E > 0. Die gesamte x-Achse stellt jetzt ein klassisch erlaubtes Gebiet dar. In der klassischen Mechanik kann sich das Teilchen u ¨berall bewegen und wird im Laufe der Zeit ins Unendliche entweichen, so dass kein gebundener Zustand vorliegt.

3.2 Endlicher Potenzialtopf

55

In der Quantenmechanik m¨ ussen wir ′′

k02 =

2m E ℏ2

′′

k2 =

2m (E + V0 ) ℏ2

A, C:

ψ = −k02 ψ ,

B:

ψ = −k 2 ψ ,

l¨ osen. Die Wellenfunktion ist u ¨berall oszillatorisch, d.h. wir finden ebene Wellen. Daher k¨onnen wir wie im Falle des freien Teilchens keine normierbare L¨osung der zeitunabh¨angigen Schr¨odingergleichung erwarten. Die normierbaren Zust¨ande sind als Wellenpakete zu bilden und sind nicht station¨ar. Dennoch spielen die L¨osungen der station¨aren Schr¨odingergleichung als Bausteine der Wellenpakete eine sehr wichtige Rolle. Sie heißen Streuzust¨ ande. Die L¨osung der obigen Gleichung lautet A:

ψA (x) = α+ eik0 x + α− e−ik0 x

B:

ψB (x) = β+ eikx + β− e−ikx

C:

ψC (x) = γ+ eik0 x + γ− e−ik0 x .

Ist ψ(x) L¨osung, so auch ψ(−x). Physikalisch wollen wir die Situation betrachten, bei der ein Teilchen von links einl¨auft und dann reflektiert und transmittiert wird.

Im Gebiet C soll also nur eine nach rechts laufende Welle vorhanden sein und folglich setzen wir γ− = 0 . Dies ist ohne Einschr¨ankung der Allgemeinheit m¨oglich, denn ausgehend von obiger L¨osung k¨onnen wir die Linearkombination α+ ψ(x) − γ− ψ(−x) betrachten, welche den Fall γ− = 0 darstellt.

56

3 Wellenmechanik in einer Dimension

Weiterhin w¨ahlen wir die Normierung so, dass α+ = 1, und schreiben ψA (x) = eik0 x + α− e−ik0 x ψC (x) = S eik0 x . F¨ ur die Diskussion der Anschlussbedingungen lassen wir zun¨achst die Koeffizienten allgemein und kehren sp¨ater zu unserem obigen Spezialfall zur¨ uck. Stetigkeitsbedingungen bei x = − L2 : L

L

L

L

α+ e−ik0 2 + α− eik0 2 = β+ e−ik 2 + β− eik 2 ) ( ) ( L L L L ik0 α+ e−ik0 2 − α− eik0 2 = ik β+ e−ik 2 − β− eik 2 . In Matrixform lautet dies ( )( ) ( L L L e−ik 2 eik0 2 e−ik0 2 α+ = L L k −ik L α− 2 e−ik0 2 −eik0 2 k0 e Dies liefert

L

eik 2 L − kk0 eik 2

)( ) β+ . β−

)( ) ( ( ) L β+ α+ = M k0 , k, − β− α− 2

mit ⎛ ( ( M k0 , k, −

Bei x =

L 2

L 2

)

. 1⎜ = ⎜ 2⎝ (

1+ 1−

k k0

)

k k0

)

ei(k0 −k) 2

(

e−i(k0 +k) 2

(

L

L

1− 1+

k k0

)

k k0

)

L

⎞

L

⎟ ⎟. ⎠

e+i(k0 +k) 2 e−i(k0 −k) 2

finden wir entsprechend )( ) ( ) ( L γ+ β+ . = M k, k0 , γ− β− 2

Zusammengesetzt geben beide Gleichungen ( ) ( ) ( )( ) L L α+ γ+ = M k0 , k, − M k, k0 , α− γ− 2 2 ) ik L ⎛( ⎞ ε+ ( ) cos kL − i 2 sin kL e 0 −i ε2− sin kL γ+ ⎝ ⎠ = , ( ) γ− i ε2− sin kL cos kL + i ε2+ sin kL e−ik0 L

3.2 Endlicher Potenzialtopf

57

mit

k0 k0 k k + − , ε− = . k0 k k0 k Wir k¨onnen bei gegebenen γ+ , γ− gem¨aß obigen linearen Gleichungen eine L¨osung f¨ ur jedes E > 0 konstruieren. Der L¨osungsraum ist also zweidimensional. ε+ =

Nun betrachten wir unsere spezielle Wahl γ− = 0 ,

γ+ ≡ S ,

α+ = 1 .

Dann folgt ( ) ε+ 1 = cos kL − i sin kL eik0 L S , 2 ε− α− = i sin(kL) S . 2 Der Koeffizient S lautet )−1 ( ε+ sin kL S = e−ik0 L cos kL − i 2 ε+ cos kL + i 2 sin kL = e−ik0 L . ε2− 1 + 4 sin2 kL Die Koeffizienten S und α− haben eine physikalische Bedeutung, die wir uns nun klarmachen werden. Betrachten wir den Teilchenstrom j=

ℏ ′ ′ (ψ ∗ ψ − ψψ ∗ ) . 2mi

F¨ ur die drei vorkommenden ebenen Wellen in den Gebieten A und C finden wir: 0 A: eik0 x , einlaufende Welle , jein = ℏk m α− e−ik0 x , reflektierte Welle , C:

2 0 jR = − ℏk m |α− |

Seik0 x , transmittierte Welle , jT =

ℏk0 2 m |S| .

Die Wahrscheinlichkeiten f¨ ur Transmission und Reflexion sind durch die folgenden Gr¨oßen gegeben: ⏐ ⏐ ⏐ jT ⏐ Transmissionskoeffizient: T = ⏐ j ⏐ = |S|2 ein

Reflexionskoeffizient:

⏐ ⏐ ⏐ ⏐ R = ⏐ jjR ⏐ = |α− |2 . ein

58

3 Wellenmechanik in einer Dimension

Die Erhaltung der Teilchenzahl verlangt T + R = 1. Mit den obigen expliziten Ausdr¨ ucken l¨asst sich das best¨atigen. Wir k¨onnen aber auch zeigen, dass dies generell f¨ ur Streuzust¨ande zutrifft, und zwar mit Hilfe der Kon∂j ∂j tinuit¨atsgleichung ∂x + ∂ρ angig ist, gilt ∂x = 0, was ∂t = 0. Da ρ zeitunabh¨ nichts anderes heißt als j = const. Nun berechnen wir die totalen Str¨ome in den Gebieten A und C: A:

ψ(x) = ψein (x) + ψR (x) = e+ik0 x + α− e−ik0 x j= =

C:

ℏ ′ ′ (ψ ∗ ψ − ψψ ∗ ) 2mi ℏ ′ ∗ ∗′ ∗ ′ ∗′ (ψein ψein − ψein ψein + ψR ψR − ψR ψR ) = jein + jR 2mi

j = jT ,

wobei sich die gemischten Terme in A fortheben. Aus der Konstanz des Stromes folgt nun jein + jR = jT und daher ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ jT ⏐ ⏐ jR ⏐ jR jT ⏐+⏐ ⏐ = T +R, − =⏐ 1= jein jein ⏐ jein ⏐ ⏐ jein ⏐ was zu zeigen war. Der Transmissionskoeffizient f¨ ur den Potenzialtopf lautet explizit ( T =

ε2 1 + − sin2 kL 4

)−1 ,

wobei ε2− =

V02 . E(E + V0 )

Offensichtlich ist 0 ≤ T ≤ 1, wie es ja sein muss. Betrachten wir einmal die Abh¨angigkeit von der Energie des Teilchens. Die folgende Graphik zeigt T (E) f¨ ur einen Potenzialtopf mit 2mV0 L2 = ℏ2 .

3.2 Endlicher Potenzialtopf

59

1

2mV0L2 = --h2

T

0 0

0.5

1

1.5

E/V0

T (E) steigt mit wachsender Energie und n¨ahert sich dem Wert 1 an. Das ist plausibel, denn hochenergetische Teilchen werden durch das Potenzial kaum gest¨ort. Ansonsten ist die Kurve recht unauff¨allig. Nun w¨ahlen wir ein Potenzial mit 2mV0 L2 = 64ℏ2 (Abbildung auf der n¨achsten Seite). Wir beobachten ausgepr¨ agte Maxima, an denen T (E) den Wert 1 erreicht. Der obige Ausdruck lehrt, dass dies bei kL = nπ passiert. Die entsprechenden Energien sind E = ER =

ℏ2 π 2 2 ℏ2 k 2 − V0 = n − V0 , 2m 2mL2

wobei n gen¨ ugend groß sein muss, damit ER > 0 ist. Die Streuzust¨ande mit diesen Energien heißen Resonanzen. Ihr Zustandekommen k¨onnen wir anschaulich damit erkl¨aren, dass die bei x = L2 und bei x = − L2 reflektierten Wellen destruktiv interferieren, falls 2kL = 2πn ist. Wir betrachten das Verhalten in der N¨ahe einer Resonanz einmal genauer. F¨ ur den Koeffizienten S(E) gilt (S eik0 L )−1 = cos kL − i Bei k = kR =

nπ L

ε+ sin kL . 2

ist cos kR L = (−1)n und sin kR L = 0.

60

3 Wellenmechanik in einer Dimension

1

2mV0L2 = 64 --h2

T

0 0

1

2 E/V0

3

4

F¨ ur eine Taylorentwicklung um die Resonanzstelle bis zur ersten Ordnung ben¨otigen wir die Ableitung ( ) )⏐ ε+ ε+ dk ⏐⏐ d ( ⏐ cos kL − i sin kL ⏐ = −i cos(kL) · L ⏐ dE 2 2 dE E=ER E=ER } √ mL 2ER + V0 = cos(kR L) −i √ √ 2 2ℏ ER (ER + V0 ) { } 2 ≡ cos(kR L) · −i . Γ {

Die Taylorreihe beginnt mit (S e

ik0 L −1

)

n

= (−1)

{

} 2 1 − i (E − ER ) + . . . , Γ

so dass wir in der N¨ahe der Resonanz schreiben k¨onnen S eik0 L ≈ (−1)n

i Γ2 E − ER + i Γ2

.

3.2 Endlicher Potenzialtopf

61

Diese Form ist nicht nur f¨ ur das hier betrachtete Kastenpotenzial sondern auch allgemeiner g¨ ultig. Aus ihr folgt ( Γ )2 T ≈

2

(E − ER )2 +

( Γ )2 . 2

Diese Funktion heißt Lorentzkurve oder Breit-Wigner-Funktion und hat folgende Gestalt: T

1

0.5

Γ

E

ER

Zusammenfassung: F¨ ur E > 0 gibt es station¨are Streul¨osungen { eik0 x + α− e−ik0 x , ψk0 (x) = S eik0 x ,

x < − L2 x > L2 ,

wobei k0 > 0. • Sie sind nicht normierbar, • der L¨osungsraum ist zweidimensional, eine Basis bilden z.B. ψk0 , ψ−k0 .

62

3 Wellenmechanik in einer Dimension

¨ Ubungen 1. Betrachten Sie wiederum das eindimensionale δ-Potenzial V (x) = −a δ(x). a) Finden Sie alle symmetrischen bzw. antisymmetrischen Streul¨ osungen ur E > 0. Normierung ist nicht erforderlich. ψk±0 (x) f¨ b) Berechnen Sie die Transmissionsamplitude S(k) und den Transmissionskoeffizienten T (k). c) Die Amplitude S(k) hat einen Pol bei k = k∗ in der komplexen k-Ebene. Bestimmen Sie die zugeh¨ orige Energie E∗ und begr¨ unden Sie den Zusammenhang mit dem gebundenen Zustand in diesem Potenzial. 2. Das P¨ oschl-Teller-Potenzial lautet V (x) = −

ℏ2 α 2 1 , m cosh2 (αx)

α>0

und besitzt folgende Gestalt:

a) Zeigen Sie, dass dieses Potenzial den gebundenen Zustand ψ0 (x) =

N0 cosh(αx)

besitzt, und bestimmen Sie seine Energie und die Normierung. b) Finden Sie zu jeder Energie E > 0 eine Streul¨ osung durch den Ansatz ψk (x) = Nk (a1 + a2 tanh(αx)) eikx , ℏ2 2 wobei E = k . Wie verh¨ alt sich ψk (x) asymptotisch f¨ ur x → ∞ und 2m x → −∞? c) Bestimmen Sie aus dem asymptotischen Verhalten der Streul¨ osung die Transmissionsamplitude S(k) und den Transmissionskoeffizient T (k). d) S(k) besitzt einen Pol in der oberen komplexen Halbebene. Finden Sie die dazugeh¨ orige Energie und vergleichen Sie mit der Energie des gebundenen Zustandes.

3.2 Endlicher Potenzialtopf

63

3.2.3 Streuung von Wellenpaketen Physikalische Zust¨ande werden durch normierbare Wellenfunktionen beschrieben. F¨ ur E > 0 erfordert das die Bildung von Wellenpaketen. Diese sind im Unterschied zu den oben betrachteten Streul¨osungen nicht station¨ar. Sie geben den zeitlichen Ablauf des Streuvorganges wieder, den wir uns intuitiv so vorstellen:

t > 0

Zu fr¨ uhen Zeiten t ≪ 0 liegt ein von links einlaufendes Wellenpaket vor. Nach dem Streuvorgang, zu sp¨aten Zeiten t ≫ 0, existieren ein reflektiertes Paket, das sich nach links bewegt, und ein transmittiertes nach rechts laufendes Paket. Die L¨osung der zeitabh¨angigen Schr¨odingergleichung sollte dieses Verhalten zeigen. Davon wollen wir uns u ¨berzeugen und studieren jetzt die zeitliche Entwicklung von Wellenpaketen. Zun¨achst betrachten wir noch einmal ein freies Teilchen mit einem Wellenpaket ∫ dk χ(x, t) = φ(k) eikx−iωt , 2π wobei ω=

ℏk 2 . 2m

Die Impulsraum-Wellenfunktion φ(k) sei um k = k0 konzentriert und sie sei reell gew¨ahlt.

64

3 Wellenmechanik in einer Dimension

ϕ (k)

k k0

Wir k¨onnen annehmen, dass φ(k) = 0 f¨ ur k < 0 ist. Zum Zeitpunkt 0 setzen wir t = 0 : χ(x, 0) ≡ χ0 (x) , mit ⟨x⟩ = 0 . F¨ ur die jetzigen Betrachtungen vernachl¨assigen wir das Zerfließen des Paketes. Dann ist nach Abschnitt 1.2.1 f¨ ur andere Zeiten t ̸= 0 :

χ(x, t) ≈ eiω0 t χ0 (x − v0 t)

mit v0 =

ℏk0 , m

ω0 =

ℏk02 . 2m

Nun betrachten wir die Situation mit Kastenpotenzial. Wir bilden ein Wellenpaket mit der gleichen Impulsverteilung φ(k), jedoch sind jetzt anstelle der ebenen Wellen die Streul¨osungen ψk (x) einzusetzen: ∫ dk φ(k) ψk (x) e−iωt . ψ(x, t) = 2π Die Zeitabh¨angigkeit ist hier wieder durch den Faktor e−iωt gegeben, weil die Streul¨osung ψk (x) die scharfe Energie E = ℏω besitzt. F¨ ur die in der Streul¨osung enthaltenen Anteile ebener Wellen k¨onnen wir das obige Resultat f¨ ur das freie Teilchen benutzen. Links vom Potenzialtopf finden wir ∫ { } L dk x : 2

∫

dk φ(k) S(k) ei(kx−ωt) 2π ≈ S(k0 ) χ(x, t) .

ψ(x, t) =

Zu fr¨ uhen Zeiten t ≪ 0, genauer: v0 t ≪ −∆x, ist daher x < − L2 : ψ(x, t) ≈ χ(x, t) x>

L 2

:

- L 2

ψ(x, t) = 0.

0

L 2

Zu sp¨aten Zeiten t ≫ 0 nach dem Streuvorgang finden wir x < − L2 : ψ(x, t) ≈ α− (k0 ) χ(−x, t) x>

L 2

:

ψ(x, t) ≈ S(k0 ) χ(x, t).

- L 2

0

L 2

Dies ist tats¨achlich das Ergebnis, das wir intuitiv erwartet haben. Es rechtfertigt unsere Interpretation der Anteile der Streul¨osung, die wir reflektierten bzw. transmittierten Teilchen zugeordnet haben. An dieser Stelle ist es wichtig, sich an die Interpretation der Wellenfunktion zu erinnern. Die Wellenpakete d¨ urfen nicht mit Teilchen identifiziert werden, denn das hieße ja, dass ein Teilchen sich durch den Streuvorgang in einen reflektierten und einen transmittierten Teil aufspaltet. Dies entspricht aber nicht der Wirklichkeit. Bei einer Ortsmessung w¨ urde man das Teilchen entweder links oder rechts vom Potenzialtopf finden, aber nicht Teile davon

66

3 Wellenmechanik in einer Dimension

auf beiden Seiten. Die Wellenpakete geben die Wahrscheinlichkeiten daf¨ ur an, dass ein Teilchen reflektiert bzw. transmittiert wird. Verweilzeit im Resonanzfall: Das zeitliche Verhalten der Wellenpakete weist im Falle der Resonanz eine Besonderheit auf. Der transmittierte Teil des Wellenpaketes erleidet eine zeitliche Verz¨ogerung durch die Streuung. Diese Verweilzeit im Potenzialtopf wollen wir berechnen. Wir nehmen also an, dass die Energie nahe einer Resonanzenergie ist, E0 =

ℏ2 k02 ≈ ER , 2m

und rechnen etwas genauer als oben. Betrachte ∫ L dk φ(k) S(k) ei(kx−ωt) f¨ ur x > und t ≫ 0. ψT (x, t) = 2π 2 Wir schreiben S(k) = |S(k)| ei arg S(k) mit arg S(k) = −i ln

S(k) , |S(k)|

und entwickeln f¨ ur k ≈ k0 : ⏐ d ⏐ arg S(k)⏐ · k + ··· dk k=k0 ⏐ ( )⏐ −1 dS ⏐ ≈ const. + Im S · k ≡ const. + d · k . ⏐ dk ⏐

arg S(k) = const. +

k=k0

Damit gilt ∫

dk φ(k) |S(k0 )| eik(x+d)−iωt 2π ≈ |S(k0 )| χ(x + d, t) = |S(k0 )| eiω0 t χ0 (x + d − v0 t) ( ( )) d iω0 t = |S(k0 )| e χ0 x − v 0 t − . v0

ψT (x, t) ≈

Inklusive der Laufzeit L/v0 , die auch ohne Streuung zum Durchqueren des Topfes n¨otig ist, betr¨agt die Verweildauer im Topf τ=

d L + . v0 v0

3.2 Endlicher Potenzialtopf

67

Es bleibt noch der Faktor d zu berechnen. In der N¨ahe einer Resonanz ist S = (−1)n e−ikL

1 , 2 1 − i Γ (E − ER )

mit

E=

ℏ2 k 2 . 2m

Dies gibt arg S = −kL + arctan

2 (E − ER ) , Γ

2 ℏ2 k0 Γ m

d = −L +

[2

Γ (E0

1+

− ER )

]2 ,

2 Γℏ

τ= 1+

]2 . (E − E ) 0 R Γ

[2

Direkt auf der Resonanzenergie E0 = ER ist τR =

2 ℏ. Γ

Schmale Resonanzen haben also eine hohe Verweilzeit. Resonanzen bei Streuvorg¨angen treten in allen Bereichen der Physik auf, u.a. bei Kernreaktionen oder der Streuung von Elementarteilchen. Z.B. beobachtet man bei der Streuung von Pionen an Nukleonen (π-N-Streuung) im Wirkungsquerschnitt σ eine Resonanz mit den folgenden Parametern:

σ

E ∗ = 1236 MeV Γ = 120 MeV τ = 10−23 sec .

E E* Bemerkung: Die in der Teilchenphysik verwendete Lebensdauer τ ist etwas anders definiert und betr¨agt τ = ℏ/Γ.

68

3 Wellenmechanik in einer Dimension

3.3 Potenzialbarriere Wir wenden uns nun der Potenzialbarriere zu, die sich vom Potenzialtopf dadurch unterscheidet, dass das Potenzial im Inneren positiv ist. V ( x)

V0 > 0 V0

x L 2

- L 2

Die Besch¨aftigung mit der Potenzialbarriere entspringt nicht der akademischen Lust an der Vollst¨andigkeit unserer Betrachtungen, sondern soll uns ein neues, typisch quantenphysikalisches Ph¨anomen zeigen. Zun¨achst einmal stellen wir fest, dass es f¨ ur dieses Potenzial wie in der klassischen Mechanik keine gebundenen Zust¨ande gibt. Wir beschr¨anken die Betrachtungen auf Energien unterhalb der H¨ohe der Barriere, 0 < E < V0 . In der klassischen Physik wird ein Teilchen, das sich auf die Barriere zubewegt, total reflektiert. Es kann nicht in das Innere der Barriere eindringen. Sehen wir nun, was in der Quantenphysik passiert. Wir wissen schon, wie die Streul¨osungen anzusetzen sind: ⎧ ik0 x + α− e−ik0 x , x < − L2 ⎪ ⎪ e ⎪ ⎪ ⎨ ψk0 (x) = β+ e−κx + β− eκx , − L2 < x < L2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ L S eik0 x , 2 < x, wobei E=

ℏ2 2 k , 2m 0

V0 − E =

ℏ2 2 κ . 2m

3.3 Potenzialbarriere

69

Dies entspricht formal der Situation von Abschnitt 3.2.2, wenn wir die Substitution k = iκ durchf¨ uhren. Daher k¨ onnen wir uns die erneute Untersuchung der Anschlussbedingungen ersparen, denn die weitere Rechnung erfolgt wie dort mit dem Ergebnis )−1 ( ( ) k0 2 1 κ 2 + sinh κL . T = 1+ 4 k0 κ Hierbei gilt ) k0 2 V02 κ + = . k0 κ E(V0 − E) Die Transmissionswahrscheinlichkeit T ist nicht null. Die Teilchen k¨onnen also die Barriere durchdringen. Dies ist ein spezifisch quantenphysikalischer Effekt, der in der klassischen Mechanik keine Entsprechung hat. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit hat folgende Gestalt: (

|ψ(x)|2

Das Durchdringen der klassisch verbotenen Barriere heißt Tunneleffekt und die entsprechende Wahrscheinlichkeit daf¨ ur ist die Tunnelwahrscheinlichkeit T (E). Wenn die Barriere groß ist, d.h. κL ≫ 1, gilt sinh2 κL ≈ 41 exp(2κL) und ( ) 2√ 16E(V0 − E) exp − T ≈ 2m(V0 − E) L . ℏ V02 ¨ Ubungen 1. Eine Welle ψein (x) = eik0 x laufe von x = −∞ kommend gegen die eindimensionale δ-Barriere ⎧ 2 ℏ v0 ⎪ ⎪ δ(x + x0 ), f¨ ur x ≤ 0, wobei x0 > 0, v0 > 0 ⎨ 2m V (x) = +∞, f¨ ur x > 0 ⎪ ⎪ ⎩ 0, sonst.

70

3 Wellenmechanik in einer Dimension a) Formulieren Sie passende L¨ osungsans¨ atze f¨ ur die Wellenfunktion ψ(x) in den drei Bereichen x < −x0 , −x0 ≤ x ≤ 0 und x > 0. b) Wie lauten die Anschlussbedingungen bei x = 0 und x = −x0 ? Legen Sie damit ψ(x) fest! c) Bestimmen und diskutieren Sie f¨ ur den Bereich x < −x0 den Reflexionskoeffizienten. d) Untersuchen Sie, f¨ ur welche Werte des Wellenvektors k0 die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens im Bereich −x0 ≤ x ≤ 0 von v0 und x0 unabh¨ angig wird. 2. Kronig-Penney-Modell eines eindimensionalen Kristalls Ein Teilchen bewegt sich im eindimensionalen Potenzial ∑ V (x) = D δ(x − na), D > 0. n∈Z

Die Wellenfunktion ψ(x) sei L¨ osung der zeitunabh¨ angigen Schr¨ odingergleichung. ψ(x) ist u ¨berall stetig. a) Zeigen Sie, dass die Ableitung ψ ′ (x) an den Stellen x = na einen Sprung macht: 2m lim [ψ ′ (na + ϵ) − ψ ′ (na − ϵ)] = 2 D ψ(na). ϵ→0 ℏ b) Nach dem Bloch’schen Theorem ist ψ(x) = eikx u(x) mit −π ≤ ka < π und einer periodischen Funktion u(x) = u(x + a). Zeigen Sie, dass die Ableitung u′ (x) an den Stellen x = na einen Sprung macht, und geben Sie dessen Gr¨ oße an. c) Im Bereich 0 < x < a wird die Schr¨ odingergleichung durch den Ansatz f¨ ur die periodische Funktion u(x) = α ei(κ−k)x + β e−i(κ+k)x gel¨ ost. Leiten Sie aus der Stetigkeit von u(x) und der Sprungbedingung an u′ (x) zwei Gleichungen f¨ ur α und β her. d) Zeigen Sie, dass die L¨ osbarkeitsbedingung f¨ ur die Gleichungen aus (c) cos(ka) = cos(κa) +

mD sin(κa) ℏ2 κ

lautet. e) Berechnen Sie ein paar der ersten L¨ osungen κn (k), n = 0, 1, . . . , f¨ ur −π ≤ ka < π numerisch und plotten Sie die entsprechenden Energien En (k) = ℏ2 κ (k)2 als Funktion von k. W¨ ahlen Sie daf¨ ur mDa = 4. 2m n ℏ2

3.4 Tunneleffekt

71

3. Eine eindimensionale Potenzialstufe sei gegeben durch

V (x) 6 { V (x) =

0, V0 > 0,

f¨ ur x < 0 , f¨ ur x ≥ 0 .

V0

0

x

a) Welche Bedingungen werden an die Wellenfunktion bei x = 0 gestellt? b) Bestimmen Sie die station¨ are Wellenfunktion f¨ ur ein von links einlaufendes Teilchen durch Verwendung der Anschlussbedingungen. c) Welche physikalische Situation beschreibt diese Wellenfunktion im Fall E > V0 ? Berechnen Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte ρ(x), den Reflexions- und den Transmissionskoeffizienten. Hinweis: Hierzu m¨ ussen die Str¨ ome bestimmt werden. d) Berechnen Sie ρ(x), T und R nun f¨ ur 0 ≤ E < V0 und vergleichen Sie die Ergebnisse mit Teil (c). e) Wie lautet ψ(x, t), wenn ψ(x, 0) durch die Wellenfunktion in (b) gegeben ist?

3.4 Tunneleffekt F¨ ur die Barriere konnten wir die Tunnelwahrscheinlichkeit exakt berechnen. Dies ist f¨ ur einen allgemeinen Potenzialberg V

E

x a

b

72

3 Wellenmechanik in einer Dimension

nicht m¨oglich, aber es gibt eine N¨aherungsformel. Zwischen den klassischen Umkehrpunkten a und b zerlegen wir den Berg in N rechteckige Schwellen der Breite ∆x. Nach dem Ergebnis des vorigen Abschnittes setzen wir f¨ ur jede Schwelle { } 2√ Ti ≈ exp − 2m(V (xi ) − E) ∆x ℏ und f¨ ugen die Faktoren zusammen zu

T =

N ∏ i=1

} N 2 ∑√ 2m(V (xi ) − E) ∆x . Ti = exp − ℏ {

i=1

F¨ ur ∆x → 0 geht die Summe in ein Integral u ¨ber und wir erhalten den

Gamowfaktor

} { ∫ 2 b√ 2m(V (x) − E) dx . T ≈ exp − ℏ a Die Approximation ist gut, wenn der Potenzialberg so groß ist, dass T ≪ 1 ist.

3.4.1 α-Zerfall

Eine der ersten und prominentesten Anwendungen dieser Formel ist der α-Zerfall von Kernen. Die Situation wird dadurch modelliert, dass man die Bewegung eines α-Teilchens im Potenzial der restlichen Nukleonen betrachtet. Das Potenzial besteht aus einem anziehenden Potenzialtopf, der aus den Kernkr¨aften resultiert, und einem abstoßenden Coulombterm γ/r mit γ ≡ 2Ze2 /4πε0 , wobei Z die Ladungszahl des Restkernes ist.

3.4 Tunneleffekt

73

V(r)

γ r

E r R

rc

-V0

Die klassischen Umkehrpunkte sind bei r = R und r = rc , wobei γ rc = , R ≈ R0 Z 1/3 mit R0 ≈ 1,6 · 10−15 m. E Der Exponent des Gamowfaktors ist ∫ √ (γ ) 2 rc 2m G= − E dr ℏ R r √ ( ( √ )) π R 2rc √ R R 2mE − arcsin − 1− . = ℏ 2 rc rc rc Mit R ≪ rc ist ( √ ) 2rc √ π R G≈ 2mE −2 ℏ 2 rc √ √ √ 2π 2m e2 Z 8 mR0 e2 Z = ·√ − Z 2/3 ≡ β 1 √ − β 2 Z 2/3 . ℏ 4πε0 ℏ 4πε0 E E

74

3 Wellenmechanik in einer Dimension

Die mittlere Lebensdauer des Zustandes ist τ ≈ t0 /T = t0 exp G, wobei √ t0 = 2R/v = 2R m/2E die Zeit zum Durchqueren des Kerns ist. Dies gibt Z ln τ ≈ β 1 √ − β 2 Z 2/3 + ln t0 . E Der letzte Term variiert nur sehr schwach mit der Energie und kann durch eine Konstante approximiert werden. Nach Einsetzen der Konstanten erh¨alt man ( τ ) Z = 1,72 √ − 1,63 Z 2/3 − const. . log10 1 Jahr E/1MeV Die tats¨achlichen Lebensdauern lassen sich gut beschreiben durch die Formel von Taagepera und Nurmia: ) ( ( τ ) Z − Z 2/3 − 28,9 . log10 = 1,61 √ 1 Jahr E/1MeV ¨ Wir sehen, dass das einfache Modell schon eine recht gute Ubereinstimmung mit der Realit¨at zeigt. Experimentell trat der Zusammenhang von τ und E erstmals in der Regel von Geiger und Nuttall in Erscheinung.

log τ

-

1 E

3.4.2 Kalte Emission F¨ ur viele Fragen lassen sich Elektronen in einem Metall n¨aherungsweise als freie Teilchen betrachten. Um ein Elektron der Energie E aus dem Metall herauszul¨osen, ist die Austrittsarbeit V0 −E n¨otig, die vom lichtelektrischen

3.4 Tunneleffekt

75

Effekt (Photoeffekt) her bekannt ist. Wird an das Metall ein ¨außeres elektrisches Feld E angelegt, so hat das Potenzial eines Elektrons als Funktion des Abstandes von der Metalloberfl¨ache n¨aherungsweise die Form { 0, x < 0, V (x) = V0 − e0 Ex, x ≥ 0 .

V V0 E

0

x

x1

Die Leitungselektronen bewegen sich mit der Fermienergie E < V0 im Metall. In der klassischen Physik k¨onnten sie den Potenzialwall nur u ¨berwinden, wenn Ihnen durch Erhitzen des Metalles oder auf andere Weise Energie zugef¨ uhrt wird. In der Quantenphysik k¨onnen Elektronen aufgrund des Tunneleffektes bei angelegtem ¨außeren Feld aus dem kalten Metall austreten. Daher spricht man von kalter Emission bzw. Feldemission. Der Gamowfaktor lautet T = e−G

mit

G=

2 ℏ

∫

x1

dx

√

2me (V (x) − E) ,

0

wobei der klassische Umkehrpunkt x1 durch E = V0 − e0 Ex1 festgelegt ist. Die Integration liefert die Formel von Oppenheimer bzw. Fowler und Nordheim: √ 4 2me (V0 − E)3/2 E0 G= ≡ . 3ℏe0 E E Sie erlaubt die Berechnung des Tunnelstromes I = I0 exp(−E0 /E) in Abh¨angigkeit vom elektrischen Feld. Die Formel kann durch Ber¨ ucksichtigung der Spiegelladung und der Geometrie der Metalloberfl¨ache und der Anode noch verbessert werden.

76

3 Wellenmechanik in einer Dimension

Die kalte Emission ist ein wichtiges physikalisches Ph¨anomen. Sie bildet die Grundlage f¨ ur die Rastertunnelmikroskopie. ¨ Ubungen 1. F¨ ur Wolfram betr¨ agt die Austrittsarbeit V0 − E = 4, 5 eV. Berechnen Sie die Feldst¨ arke E, f¨ ur die T = 1/e ist. 2. Das Ammoniak-Molek¨ ul NH3 hat die Form einer Pyramide, wobei die H-Atome an den Ecken der Basis sitzen. Der Abstand des N-Atoms von der Mitte der Basis betr¨ agt a = 3, 8 · 10−11 m. 1111 0000 0000N 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111

H 11 00 11 00 00 11

H 11 00 00 11 00 11

x 11 00 00 11 00H 11

Betrachtet man die H-Atome als starres Dreieck, und das N-Atom in einem variablen Abstand x von der Mitte des Dreiecks, so kann die potentielle Energie approximativ durch V (x) = λ(x2 − a2 )2 beschrieben werden. a) Experimentell ist V (0) = 4, 12 · 10−20 J bekannt. Bestimmen Sie den Parameter λ und die Frequenz ν f¨ ur kleine Schwingungen um die Ruhelage und vergleichen Sie sie mit dem experimentellen Wert ν = 2, 85 · 1013 s−1 . F¨ ur die Masse ist die reduzierte Masse 3mH mN m= 3mH + mN zu verwenden. b) Das N-Atom kann durch die Basis-Ebene hindurch tunneln. Berechnen Sie den Exponenten B im Gamow-Faktor T (0) = exp(−2B) f¨ ur E = 0. Wiederum ist die reduzierte Masse zu verwenden. c) Die beiden niedrigsten Energie-Eigenwerte liegen nahe beieinander und sind durch eine L¨ ucke ∆E getrennt. Ein quantenmechanisches N¨ aherungsverfahren liefert √ 3Bλ −B ∆E ≈ 8 ℏ a e . mπ Berechnen Sie hiermit ∆E. Die Energie-L¨ ucke findet Anwendung im Ammoniak-Maser, wo die zugeh¨ orige Inversionsfrequenz“ νI = ∆E/h ange” regt wird. Vergleichen Sie ihren theoretischen Wert mit dem experimentellen 10 −1 νI = 2, 38 · 10 s .

3.5 Allgemeine eindimensionale Potenziale

77

3.5 Allgemeine eindimensionale Potenziale Nachdem wir einige spezielle Potenziale im Detail studiert haben, wollen wir noch ein paar allgemeine Tatsachen festhalten. Wir betrachten die station¨are Schr¨odingergleichung in einer Dimension ′′

ψ (x) +

2m (E − V (x))ψ(x) = 0 . ℏ2

Sei V (x) u ¨berall stetig oder besitze nur endlich viele Sprungstellen endlicher ′ H¨ohe. Aus der fr¨ uheren Diskussion wissen wir, dass ψ(x) und ψ (x) stetig sind. Wir unterscheiden folgende Gebiete: a) klassisch erlaubt: E > V (x) ′′ ⇒ ψ (x) und ψ(x) haben entgegengesetztes Vorzeichen, ψ ist oszillatorisch:

b) klassisch verboten: E < V (x) ′′ ⇒ ψ (x) und ψ(x) haben gleiches Vorzeichen, ψ ist von der Achse weggekr¨ ummt:

speziell: exponentielles Abklingen

c) klassische Umkehrpunkte: E = V (x), Typische F¨alle:

′′

ψ (x) = 0 .

78

3 Wellenmechanik in einer Dimension 1.

−→ ∞ V (x) |x|→∞

V

x diskretes Spektrum: E0 < E1 < E2 < · · · gebundene Zust¨ande: ψ0 , ψ1 , ψ2 , . . . , ψn hat n Knoten, keine Entartung. 2.

V

x

x0 −→ ∞ V (x) x→∞ −→ ∞ V (x) x→x 0 f¨ ur x ≤ x0 ,

ψ(x0 ) = 0 , ψ(x) = 0 Spektrum wie oben. 3.

V

V− V+ Vmin x

3.5 Allgemeine eindimensionale Potenziale

79

−→ V+ V (x) x→∞ −→ V− V (x) x→−∞ V+ ≤ V− Vmin < E ≤ V+ : diskretes Spektrum, wie oben. V+ < E ≤ V− : kontinuierliches Spektrum, zu jedem E gibt es eine Streul¨osung, sie ist nicht normierbar. V− < E: kontinuierliches Spektrum, zu jedem E gibt es zwei Streul¨osungen.

4 Formalismus der Quantenmechanik 4.1 Hilbertraum In der Quantenmechanik verlangen wir von den Wellenfunktionen, die physikalische Zust¨ ande beschreiben, dass sie normiert sind: ∫ dx |ψ(x)|2 = 1. Wir betrachten jetzt allgemeiner den Raum normierbarer Funktionen ⏐∫ { } ⏐ ′ H = ψ : R → C ⏐⏐ dx |ψ(x)|2 < ∞ . ′

H ist komplexer Vektorraum. Die Addition ist gegeben durch ψ1 + ψ2 = ψ

⇔

ψ(x) = ψ1 (x) + ψ2 (x) . ′

Die Summe ist wieder Element von H wegen ∫ ∫ ∫ 2 2 |ψ(x)| dx ≤ 2 |ψ1 (x)| dx + 2 |ψ2 (x)|2 dx < ∞ . Die Skalarmultiplikation ist gegeben durch (αψ) (x) = αψ(x) , α ∈ C, ′ wobei αψ ∈ H . Es gelten die Vektorraum-Axiome: a) Assoziativit¨at:

ψ1 + (ψ2 + ψ3 ) = (ψ1 + ψ2 ) + ψ3

b) ∃ Nullelement:

ψ+0 = ψ,

c) ∃ Inverse:

(−ψ)(x) = −ψ(x)

d) Distributivgesetz:

α(ψ1 + ψ2 ) = αψ1 + αψ2

e)

(α + β)ψ = αψ + βψ

f)

(αβ)ψ = α(βψ)

g)

1·ψ =ψ

mit 0(x) = 0

82

4 Formalismus der Quantenmechanik

Nun wollen wir schauen, ob es auf diesem Raum ein Skalarprodukt gibt, d.h. eine positiv definite hermitesche Form. Wir versuchen es mit ∫ . (ψ1 , ψ2 ) = dx ψ1∗ (x)ψ2 (x) . Sie erf¨ ullt a)

(ψ3 , ψ1 + ψ2 ) = (ψ3 , ψ1 ) + (ψ3 , ψ2 )

b)

(ψ1 , αψ2 ) = α(ψ1 , ψ2 )

c)

(ψ1 , ψ2 ) = (ψ2 , ψ1 )∗

d)

(ψ, ψ) ≥ 0.

Gilt auch e)

(ψ, ψ) = 0

⇔

ψ=0?

Nein, denn es existieren Nullfunktionen ⏐∫ { } ′ ⏐ 2 ⏐ N = f ∈ H ⏐ |f | dx = 0 , n¨amlich solche Funktionen, f¨ ur die f (x) ̸= 0 nur f¨ ur x aus einer Menge vom Maß null. Also ist die Form nicht positiv definit. Was tun? Wir bilden den Faktorraum . ′ H = H /N , ¨ d.h. wir betrachten Aquivalenzklassen von Funktionen gem¨aß ψ1 ∼ ψ2 , wenn ψ1 = ψ2 + f mit f ∈ N . H ist ein komplexer Vektorraum und besitzt ein Skalarprodukt, das durch obige Definition gegeben ist. Insbesondere gilt nun e)

(ψ, ψ) = 0

⇔

ψ = 0.

Eine Norm ist definiert durch . √ ∥ψ∥ = (ψ, ψ) . Sie erf¨ ullt die Schwarz’sche Ungleichung: |(ψ1 , ψ2 )| ≤ ∥ψ1 ∥ · ∥ψ2 ∥ . Beweis:

( (ψ2 , ψ1 ) ψ1 − ψ2 , (ψ2 , ψ2 )

(ψ2 , ψ1 ) ψ1 − ψ2 (ψ2 , ψ2 )

) ≥ 0.

4.1 Hilbertraum

83

Die linke Seite ist (ψ1 , ψ1 ) − 2

|(ψ2 , ψ1 )|2 |(ψ2 , ψ1 )|2 |(ψ2 , ψ1 )|2 + = (ψ1 , ψ1 ) − , |(ψ2 , ψ2 )| |ψ2 , ψ2 )| |(ψ2 , ψ2 )|

woraus die Behauptung folgt. Weiterhin gilt die Dreiecksungleichung: ∥ψ1 + ψ2 ∥ ≤ ∥ψ1 ∥ + ∥ψ2 ∥ . Beweis: ∥ψ1 +ψ2 ∥2 = (ψ1 , ψ1 +ψ2 )+(ψ2 , ψ1 +ψ2 ) ≤ ∥ψ1 ∥·∥ψ1 +ψ2 ∥+∥ψ2 ∥·∥ψ1 +ψ2 ∥ , woraus die Behauptung folgt. Definition: ψ1 und ψ2 sind orthogonal zueinander , ψ1 ⊥ψ2 ⇔ (ψ1 , ψ2 ) = 0. Wir definieren die Konvergenz von Funktionen in H durch ψn → ψ (stark)

⇐⇒

lim ∥ψn − ψ∥ = 0 .

n→∞

Diese Konvergenz heißt Konvergenz im quadratischen Mittel, sie beinhaltet keine punktweise Konvergenz. Satz (Riesz-Fischer): H ist vollst¨andig, d.h. jede Cauchyfolge in H konvergiert zu einem Limesvektor in H. Ein Raum mit solchen Eigenschaften heißt Hilbertraum, so benannt nach David Hilbert (23.1.1862 – 14.2.1943). Der von uns betrachtete Raum der quadratintegrablen Funktionen wird als H = L2 (R) bezeichnet. In der Physik werden meistens nur Hilbertr¨aume mit endlich oder abz¨ahlbar unendlich vielen Dimensionen betrachtet. Diese heißen separabel. Die Verallgemeinerung auf drei r¨aumliche Dimensionen ist klar und liefert den Hilbertraum L2 (R3 ), in dem ∫ d3 r |ψ(⃗r )|2 < ∞

84

4 Formalismus der Quantenmechanik

gilt. Das Skalarprodukt ist ∫

d3 r ψ1∗ (⃗r )ψ2 (⃗r ) .

(ψ1 , ψ2 ) =

Vollst¨ andige Funktionensysteme: Geeignete Mengen von Vektoren bilden eine Basis des Hilbertraumes. Sei {un ∈ H} ein Orthonormalsystem: (un , um ) = δnm . Dieses System ist eine Basis, falls ∑ ∀ψ ∈ H gilt ψ = cn un (Vollst¨andigkeit) n

mit geeigneten Koeffizienten cn . In diesem Falle ist cn = (un , ψ). Die Entwicklung ψ=

∑

un (un , ψ)

n

lautet ausgeschrieben ψ(x) =

∑

∫ un (x)

dy u∗n (y) ψ(y) =

n

∫ dy

∑

un (x) u∗n (y) ψ(y) .

n

Diese Gleichung, die f¨ ur jede Funktion ψ ∈ H gelten soll, muss von der Form ∫ ψ(x) = dy δ(x − y) ψ(y) sein. Die Vollst¨andigkeit der un ist also gleichwertig mit der Vollst¨andigkeitsrelation:

∑

un (x) u∗n (y) = δ(x − y) .

n

In drei Dimensionen lautet sie ∑ un (⃗r1 ) u∗n (⃗r2 ) = δ(⃗r1 − ⃗r2 ) . n

Betrachten wir die Fouriertransformation im Lichte des Hilbertraumes. F¨ ur ˜ jedes Element ψ ∈ L2 (R) existiert die Fouriertransformierte ψ, die ebenfalls ˜ Element des Hilbertraumes ist: ψ˜ ∈ L2 (R). Es gilt ψ˜ = ψ.

4.2 Physikalischer Zustandsraum

85

Wir k¨onnen also f¨ ur jede Funktion aus L2 (R) schreiben ∫ ∫ dk ˜ dk ˜ ikx ψ(k)e ≡ ψ(k)uk (x) . ψ(x) = 2π 2π Dies sieht aus wie die Entwicklung nach einer Basis. Bilden die {uk }k∈R tats¨achlich eine Basis? Nein, denn sie sind nicht normierbar, d.h. uk ∈ / L2 (R). Dennoch ist diese Funktionenmenge, nach der sich alle Elemente entwickeln lassen, sehr n¨ utzlich. Sie bildet eine sogenannte uneigentliche Basis. Darauf werden wir sp¨ater noch eingehen.

¨ Ubungen 1. Beweisen Sie die folgenden Aussagen u ¨ber Normen und Skalarprodukte im Hilbertraum: a) 4(ψ, ϕ) = ∥ψ + ϕ∥2 − ∥ψ − ϕ∥2 + i ∥iψ + ϕ∥2 − i ∥iψ − ϕ∥2 , b) ∥ψ + ϕ∥2 + ∥ψ − ϕ∥2 = 2 ∥ψ∥2 + 2 ∥ϕ∥2

(Parallelogramm-Gleichung).

2. Betrachten Sie die Menge von stetigen und differenzierbaren komplexen Funktionen ψ(x) einer reellen Variablen x. Unter welchen der folgenden Bedingungen bilden die Funktionen einen Vektorraum? Wo dies nicht der Fall ist, begr¨ unden Sie Ihre Antwort. ∫ a) |ψ(x)|2 dx = 1 , b) ψ(0) = 0 , c) ψ(0) = 1 , d) ψ(x) > 0 f¨ ur alle x, e) ψ(b) = eiα ψ(a) , α ∈ R , niert ist,

wobei die Funktion auf dem Intervall [a, b] defi-

f) ψ(x) = −ψ(−x) .

4.2 Physikalischer Zustandsraum In einer r¨aumlichen Dimension werden physikalische Zust¨ande zu einer festen Zeit t durch quadratintegrable Wellenfunktionen ψ(x, t) beschrieben. Entsprechend haben wir es in drei Dimensionen mit Wellenfunktionen ψ(⃗r, t) zu tun. Wir abstrahieren hiervon und formulieren das

86

4 Formalismus der Quantenmechanik

Postulat: Physikalische (reine) Zust¨ande werden beschrieben durch Vektoren in einem Hilbertraum H. d = 1 : ψ(x, t), t fest,

ψ(·, t) ∈ L2 (R) ,

d = 3 : ψ(⃗r, t),

ψ(·, t) ∈ L2 (R3 ) , H = L2 (R3 ) .

t fest,

H = L2 (R)

¨ Die M¨oglichkeit der Uberlagerung von Wellen, die sich in Interferenzerscheinungen manifestiert, findet ihren Ausdruck im Superpositionsprinzip: F¨ ur Zust¨ande ψ1 , ψ2 ist αψ1 + βψ2 (α, β ∈ C) wieder ein physikalischer Zustand, d.h. jeder Vektor in H entspricht einem m¨oglichen Zustand. Im Hilbertraum H haben wir ein Skalarprodukt, das f¨ ur den dreidimensionalen Fall gegeben ist durch ∫ (ψ1 , ψ2 ) = d3 r ψ1∗ (⃗r )ψ2 (⃗r ). Nun ist zu beachten, dass physikalische Zust¨ande normiert sein sollen: ∥ψ∥ = 1. Dies scheint mit dem Superpositionsprinzip in Konflikt zu stehen. Die Angelegenheit wird jedoch gerettet durch eine Verfeinerung des Zustandsbe¨ griffes. Wir f¨ uhren f¨ ur physikalische Zust¨ande die Aquivalenz ψ1 ∼ ψ2

⇔

ψ1 = λψ2 ,

λ ∈ C, λ ̸= 0

¨ ein. Jede Aquivalenzklasse bildet einen Strahl ψˆ = {ϕ|ϕ ∼ ψ}. ¨ Die Aquivalenz von Vektoren, die sich um einen reellen Faktor λ ̸= 0 unter¨ scheiden, leuchtet leicht ein. Interessant ist die Aquivalenz von Vektoren, die sich um einen komplexen Phasenfaktor exp(iα) vom Betrag 1 unterscheiden. In der Tat ¨andert ein solcher Phasenfaktor die Wahrscheinlichkeitsdichte, den Wahrscheinlichkeitsstrom und Erwartungswerte nicht. Zusammenfassend gilt also: Zust¨ande werden beschrieben durch Strahlen in H. Den Hut u ¨ber ψˆ werden wir im Folgenden fortlassen und mit normierten Repr¨asentanten ψ, ∥ψ∥ = 1, arbeiten.

4.3 Lineare Operatoren

87

4.3 Lineare Operatoren Gegeben sei ein Hilbertraum H. Ein Operator A ist eine Abbildung A : DA −→ H,

DA ⊂ H

von einem Teilraum DA in den Raum H. DA ist der Definitionsbereich von A. F¨ ur die Abbildung schreiben wir ψ ↦−→ Aψ . A ist linear, wenn A(αψ1 + βψ2 ) = αAψ1 + βAψ2 . Beispiel: Q, P, H sind lineare Operatoren. Auch der Operator A, der durch ∫ Aψ(x) =

ˆ y) ψ(y) dy A(x,

ˆ y) eine geeignete Funktion ist, ist linear. Die Funkdefiniert ist, wobei A(x, ˆ ˆ y) tion A(x, y) heißt Kern des Operators A. Allgemeiner k¨onnen f¨ ur A(x, ˆ y) = δ(x−y), auch Distributionen zugelassen werden. Nimmt man z.B. A(x, so ist ∫ Aψ(x) = dy δ(x − y) ψ(y) = ψ(x) und wir erkennen, dass A = 1 ist, d.h. der Kern des Eins-Operators ist die Delta-Funktion: ˆ y) = δ(x − y) . 1(x, Sei DA dicht in H. Der zu A adjungierte Operator A† ist definiert durch (χ, Aψ) = (A† χ, ψ) ∀ψ ∈ DA , χ ∈ DA† , wobei DA† maximal gew¨ahlt ist. Regel:

(AB)† = B † A† .

A heißt hermitesch, wenn (χ, Aψ) = (Aχ, ψ) ∀ψ, χ ∈ DA . Es ist dann DA† ⊇ DA . A heißt selbstadjungiert, wenn A† = A ,

DA† = DA .

88

4 Formalismus der Quantenmechanik

Ein selbstadjungierter Operator ist insbesondere auch hermitesch. Beispiel: Pj , Qj sind selbstadjungiert. Wir zeigen hier nur Hermitezit¨at. F¨ ur die Selbstadjungiertheit muss man etwas mehr tun. Die Hermitezit¨at von Qj ist trivial. Betrachten wir Pj : ∫ ∫ ℏ ∂χ∗ (⃗r ) ℏ ∂ψ(⃗r ) 3 ∗ = − d3 r ψ(⃗r ) (χ, Pj ψ) = d r χ (⃗r ) i ∂xj i ∂xj ) ( ∫ ℏ ∂χ(⃗r ) ∗ 3 ψ(⃗r ) = (Pj χ, ψ). = d r i ∂xj Eigenwerte: Sei A Operator auf einem Hilbertraum H. Definition: Wenn f¨ ur eine Zahl a ∈ C ein Vektor ψ ∈ H, ψ ̸= 0, existiert, so dass die Gleichung Aψ = aψ gilt, so heißt a Eigenwert und ψ Eigenvektor von A. Satz 1: Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell. Beweis: Aψ = aψ Andererseits ist

⇒

(ψ, Aψ) = a(ψ, ψ) .

(ψ, Aψ) = (Aψ, ψ) = (aψ, ψ) = a∗ (ψ, ψ) ⇒

a = a∗ .

Satz 2: Eigenvektoren hermitescher Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. Beweis: Aψ1 = a1 ψ1 , Aψ2 = a2 ψ2 , a1 = ̸ a2 . } (ψ2 , Aψ1 ) = a1 (ψ2 , ψ1 ) ⇒ (a2 − a1 )(ψ2 , ψ1 ) = 0 ⇒ (ψ2 , ψ1 ) = 0. (Aψ2 , ψ1 ) = a2 (ψ2 , ψ1 ) Sei

Beispiel: Teilchen im Kasten, hier haben wir die Orthogonalit¨at explizit nachgerechnet. F¨ ur das Teilchen im endlichen Topf ist es ebenfalls m¨oglich, die Orthogonalit¨at nachzurechnen, jedoch ist es um Einiges schwieriger. Der Satz 2 erspart uns diese Arbeit.

4.3 Lineare Operatoren

89

Entartung: Eigenvektoren eines hermiteschen Operators A zum gleichen Eigenwert a spannen einen Teilraum, den Eigenraum zu a, auf: Aψ1 = aψ1 , Aψ2 = aψ2

⇒

A(c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = a(c1 ψ1 + c2 ψ2 ) .

Im Eigenraum kann man eine orthogonale Basis w¨ahlen (Schmidt’sches Orthogonalisierungsverfahren). Satz 3: Die Anzahl der Eigenwerte eines hermiteschen Operators ist h¨ochstens abz¨ahlbar unendlich. Beweis: In H gibt es nicht mehr als abz¨ahlbar viele zueinander orthogonale Vektoren (Separabilit¨at). Definition: Die Menge der Eigenwerte heißt diskretes Spektrum. Bemerkung: In der Mathematik bezeichnet man die Menge der Eigenwerte als Punktspektrum. Dieses kann auch H¨aufungspunkte haben. Die Menge der isolierten, endlich entarteten Eigenwerte heißt dann diskretes Spektrum. Satz 4: Vollst¨ andigkeit Sei A selbstadjungiert und besitze ein rein diskretes Spektrum. Dann spannen die Eigenvektoren von A den gesamten Hilbertraum H auf. Den Beweis gebe ich hier nicht an. F¨ ur Operatoren auf dem Raum Cn ist er aus der linearen Algebra bekannt. Der Fall von Operatoren, die nicht nur ein rein diskretes, sondern auch ein kontinuierliches Spektrum besitzen, wird sp¨ater behandelt. Aus der Vollst¨andigkeit folgt insbesondere, dass es eine Basis {ψn } gibt, die aus Eigenvektoren von A besteht. F¨ ur Cn ist dieser Sachverhalt aus der linearen Algebra bekannt. Ein Operator wird dort repr¨asentiert durch eine Matrix ⎛ ⎞ A11 · · · A1n ⎜ .. ⎟ .. A = ⎝ ... . . ⎠ An1 · · ·

Ann

und der adjungierte Operator wird repr¨asentiert durch A† = At∗ . Wenn A selbstadjungiert (= hermitesch) ist, so gibt es n Eigenwerte λi und n Eigenvektoren ei mit Aei = λi ei .

90

4 Formalismus der Quantenmechanik

In der Basis {ei } sieht A diagonal aus: ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ A=⎜ ⎜ ⎝

λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ3 .. .. .. . . . 0 0 0

··· ··· ··· .. .

0 0 0 .. .

···

λn

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

Daher bezeichnet man mit dem Begriff Diagonalisierung die Bestimmung aller Eigenvektoren und Eigenwerte eines selbstadjungierten Operators. Beispiel: Teilchen im unendlich hohen Potenzialtopf Der Hilbertraum besteht hier aus den quadratintegrablen Funktionen auf dem Intervall [0, L], die am Rand verschwinden. F¨ ur dieses System haben wir den Hamiltonoperator H explizit diagonalisiert, indem wir alle Eigenfunktionen ψn und Eigenwerte En ermittelt haben. Wir haben nachgerechnet, dass die Eigenfunktionen orthogonal zueinander sind, und wir haben festgestellt, dass sie ein vollst¨andiges Funktionensystem im Hilbertraum bilden. Projektionsoperatoren: Sei ψ ∈ H, ∥ψ∥ = 1. Wir definieren einen Operator Pψ durch Pψ χ = (ψ, χ) ψ . Dieser Operator liefert die Projektion des Vektors χ auf die durch ψ festgelegte Achse im Hilbertraum.

χ

ψ Pψ χ

.

Pψ ist linear und selbstadjungiert und es gilt Pψ2 = Pψ .

4.3 Lineare Operatoren

91

Wir k¨onnen noch verallgemeinern. Sei {ψ1 , . . . , ψn } Orthonormalbasis in einem Teilraum V. Dann definieren wir ∑ PV = Pψi . i

P V ist linear und selbstadjungiert und es gilt P V2 = P V . F¨ ur einen Vektor χ ist PV χ ∈ V , d.h. P V projiziert auf den Teilraum V. Ermutigt durch diese Feststellungen treffen wir folgende Definition: Ein linearer, selbstadjungierter Operator P heißt Projektionsoperator (Projektor), wenn P2 = P .

¨ Ubungen 1. Folgende Operatoren wirken auf Funktionen ψ(x) f¨ ur −∞ < x < ∞: (1) Tˆa : (2) Pˆ : ˆc : (3) M ˆ : (4) K

. Tˆa ψ(x) = ψ(x + a), . Pˆ ψ(x) = ψ(−x), . √ ˆ c ψ(x) = M c ψ(x) (c > 0), . ∗ ˆ K ψ(x) = ψ (x).

(Translationsoperator) (Parit¨ atsoperator) (Skalierungsoperator) (Operator der komplexen Konjugation)

a) Welche der obigen Operatoren sind linear? b) Finden Sie die inversen Operatoren. c) Finden Sie f¨ ur (1)—(3) die zu den obigen Operatoren hermitesch konjugierten Operatoren. 2. Finden Sie die adjungierten Operatoren A†i zu den nachfolgend definierten Operatoren Ai , wobei das u ¨bliche Skalarprodukt auf L2 (R) vorausgesetzt wird: ) ( d ψ(x), a) A1 ψ(x) = x + dx b) A2 ψ(x) = α ψ(x), α ∈ C, ∫ ∞ c) A3 ψ(x) = h(x − y) ψ(y) dy. −∞

92

4 Formalismus der Quantenmechanik 3. Sei A ein linearer Operator und A† sein Adjungiertes, beide definiert auf ganz H. Zeigen Sie: a) Der Operator A† A ist selbstadjungiert, b) der Operator A† A ist positiv-semidefinit, d.h. es ist (ψ, A† Aψ) ≥ 0 f¨ ur alle ψ ∈ H. 4. Untersuchen Sie die Eigenschaften des Differenzialoperators H0 , der definiert ist ℏ2 φ′′ (x) auf dem Raum der zweimal differenzierbaren Funkdurch H0 φ(x) = − 2m tionen φ mit Tr¨ ager im Intervall [−a, a], die den Randbedingungen φ(−a) = φ(a) und φ′ (−a) = φ′ (a) gen¨ ugen. a) Zeigen Sie, dass H0 hermitesch bez¨ uglich des Skalarprodukts (φ, ψ) = ∫a ∗ dx φ(x) ψ(x) ist. −a

b) Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenfunktionen von H0 . Zeigen Sie Orthonormalit¨ at und Vollst¨ andigkeit. c) Warum kann man H0 nicht als den Hamiltonoperator eines Teilchens interpretieren, das im Kasten −a ≤ x ≤ a eingesperrt ist? F¨ ur welchen anderen Beh¨ alter w¨ are H0 ein akzeptabler Hamiltonoperator? Hinweis: Betrachten Sie die Stromdichte j(x). 5. Die Wellenfunktion eines Teilchens im unendlichen hohen Potenzialtopf zwischen x = 0 und x = L erf¨ ullt die Randbedingungen ψ(0) = ψ(L) = 0. Der Impulsoperator P wirke auf einem Raum von stetigen und differenzierbaren Funktionen, welche diese Randbedingungen erf¨ ullen. Zeigen Sie folgendes: a) P ist hermitesch, b) P ist nicht selbstadjungiert. 6. In einem dreidimensionalen, komplexen Vektorraum seien bez¨ uglich einer Basis {e1 , e2 , e3 } folgende Matrizen gegeben: ⎛ 1 ⎜ P1 = ⎝ 0 0

1 4 1 4 1 − 2√ 2

⎞

1 √ 4 2 3 ⎟ − 4√ , 2⎠ 3 4

⎛

0 ⎜ P2 = ⎝0 0

− 14 3 4 1 √ 2 2

1 − 4√ 2 3 √ 4 2 1 4

⎞ ⎟ ⎠.

a) Zeigen Sie, dass P1 und P2 Projektoren sind. b) Zeigen Sie, dass P1 und P2 auf zueinander orthogonale Unterr¨ aume projizieren. c) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des Vektorraumes, in der P1 und P2 Diagonalgestalt haben, und geben Sie P1 und P2 in dieser Basis an.

4.4 Diracnotation

93

4.4 Diracnotation Der Physiker P.A.M. Dirac (8.8.1902 – 20.10.1984) hat eine Notation f¨ ur Vektoren und Operatoren eingef¨ uhrt, die sehr suggestiv ist und in der Quantenmechanik gerne benutzt wird. Folgende Bezeichnungsweisen werden verwendet: Vektoren aus H : |ψ⟩, |α⟩, . . . Skalarprodukte:

(ψ1 , ψ2 ) = ⟨ψ1 |ψ2 ⟩

Matrixelemente:

(χ, Aψ) = ⟨χ|A|ψ⟩.

Die Vektoren |ψ⟩ etc. werden als ket-Vektoren bezeichnet, da sie den zweiten Teil einer spitzen Klammer ( bracket“) bilden. ” Weiterhin schreibt man f¨ ur Pψ = |ψ⟩⟨ψ|

Projektoren: (wobei ∥ψ∥ = 1), denn es ist ja

Pψ χ = (ψ, χ) ψ = ⟨ψ|χ⟩ |ψ⟩ = |ψ⟩⟨ψ|χ⟩, also Pψ |χ⟩ = |ψ⟩⟨ψ|χ⟩. Eine Basis in Form eines vollst¨andigen Orthonormalsystems sei gegeben durch die Vektoren |n⟩, n ∈ N. Dann schreiben sich Orthonormiertheit:

⟨m|n⟩ = δmn

Vollst¨andigkeit:

|ψ⟩ =

∑

n cn |n⟩,

und es gilt f¨ ur die Entwicklungskoeffizienten cn = ⟨n|ψ⟩ ∈ C . Wir k¨onnen die Vollst¨andigkeit also in der Form ∑ |ψ⟩ = |n⟩⟨n|ψ⟩ n

schreiben. Hierin steckt die Vollst¨ andigkeitsrelation ∑ |n⟩⟨n| = 1 . n

94

4 Formalismus der Quantenmechanik

Schreibt man diese Gleichung in Form der Operatorkerne, so lautet sie ∑ un (x) u∗n (y) = δ(x − y) , n

was mit der fr¨ uheren Version der Vollst¨andigkeitsrelation u ¨bereinstimmt. ¨ Ubungen 1. Zu einer gegebenen Basis {|n⟩}, n = 1, 2, . . . , N , eines N -dimensionalen Vektorraumes seien zwei Operatoren A und B durch ihre Matrizen (Anm ) = (⟨n|A|m⟩) und (Bnm ) = (⟨n|B|m⟩) definiert, der ket-Vektor |ψ⟩ durch cn = ⟨n|ψ⟩ und der bra-Vektor ⟨ϕ| durch b∗n = ⟨ϕ|n⟩. a) Berechnen Sie die Matrixdarstellung des Operators AB. b) Finden Sie die Darstellung des ket-Vektors A|ψ⟩. c) Berechnen Sie den Skalar ⟨ϕ|A|ψ⟩ aus den gegebenen Darstellungen. d) Die Basis {|n⟩} sei eine Basis aus Eigenvektoren des Operators K mit Eigenwerten n: K|n⟩ = n|n⟩. Zeigen Sie, dass K als N ∑ K= n|n⟩⟨n| n=1

geschrieben werden kann. Hinweis: Ein Operator ist durch seine Wirkung auf jeden beliebigen Vektor charakterisiert. Zeigen Sie obige Darstellung daher durch Anwendung auf einen unbestimmten Vektor |α⟩. 2. Es sei {|n⟩} Orthonormalbasis eines Hilbertraumes. Die Spur eines linearen Operators A ist definiert als Summe der Diagonalelemente ∑ Sp(A) = ⟨n|A|n⟩, n

sofern diese Summe konvergiert. a) Zeigen Sie Sp(|ψ1 ⟩⟨ψ2 |) = ⟨ψ2 |ψ1 ⟩ f¨ ur zwei beliebige Hilbert-Vektoren |ψ1 ⟩, |ψ2 ⟩. b) Zeigen Sie, dass Sp(A1 A2 · · · An ) invariant unter zyklischer Vertauschung der Faktoren ist. 3. In einem komplexen Hilbertraum H sei durch T = |ψ⟩⟨ψ| (|ψ⟩ = ̸ 0) ein linearer Operator definiert. a) Ist T selbstadjungiert? b) Welche Bedingung muss |ψ⟩ erf¨ ullen, damit T ein Projektionsoperator ist? c) Es sei B ein beliebiger linearer Operator. Zeigen Sie, dass die Spur des Operators T B durch ⟨ψ|B|ψ⟩ gegeben ist.

4.5 Observable

95

4.5 Observable 4.5.1 Observable und Messwerte Observable sind Messgr¨oßen. Dies sind physikalische Gr¨oßen, die an einem Zustand gemessen werden k¨onnen. In der klassischen Physik kennen wir z.B. die Observablen Ort, Impuls, Energie, Drehimpuls und andere. Sie k¨onnen zu einer Zeit t beliebig genau gemessen werden. In der Quantenmechanik sind f¨ ur einen gegebenen Zustand |ψ⟩ die Messwerte einer Observablen statistisch verteilt. Observable, die wir schon kennengelernt haben, sind Impuls P , Ort Q und Energie H. Sie besitzen Erwartungswerte, z.B. ⟨P ⟩ = ⟨ψ|P |ψ⟩, und Streuungen, z.B. (∆p)2 = ⟨(P − ⟨P ⟩)2 ⟩. Die obigen Observablen wirken als Operatoren auf Wellenfunktionen. Allgemein trifft man in der Quantenmechanik die Zuordnung −→

Observable

lineare Operatoren.

Der Erwartungswert der Observablen A im Zustand |ψ⟩ ist gegeben durch ⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩ . Messwerte sind reell. Hieraus resultiert die Forderung, dass Observable A selbstadjungiert sein m¨ ussen, denn ⟨ψ|A|ψ⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩∗

⇒

⟨ψ|A|ψ⟩ = ⟨ψ|A† |ψ⟩

Die Streuung ∆A der Messwerte ist gegeben durch (∆A)2 = ⟨(A − ⟨A⟩)2 ⟩ = ⟨A2 ⟩ − ⟨A⟩2 . Betrachten wir jetzt Eigenwerte a einer Observablen A. Sei A|ψ⟩ = a|ψ⟩,

⟨ψ|ψ⟩ = 1.

Dann ist ⟨ψ|A|ψ⟩ = a und

∆A = 0,

d.h. die Observable ist scharf und a ist der Messwert.

∀ψ .

96

4 Formalismus der Quantenmechanik

Zusammenfassung: Observable ←→ Messwerte

selbstadjungierte Operatoren

←→

Eigenwerte

Erwartungswert von A im Zustand |ψ⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩. 4.5.2 Vertr¨ agliche Observable Sei |α⟩ Eigenzustand zur Observablen A: A|α⟩ = a|α⟩. Nun sei B eine andere Observable. Im Allgemeinen f¨ uhrt deren Messung am Zustand |α⟩ zu einer Zustands¨anderung. Betrachten wir den Spezialfall, dass bei Messung von B der Zustand |α⟩ erhalten bleibt. |α⟩ sei auch Eigenzustand zur Observablen B. A und B heißen vertr¨ aglich oder kommensurabel, wenn sie eine gemeinsame Basis von Eigenzust¨anden besitzen, d.h. wenn es eine Basis {|i⟩} des Hilbertraumes gibt, deren Elemente sowohl Eigenvektoren von A als auch von B sind: A|i⟩ = ai |i⟩, B|i⟩ = bi |i⟩. Man sagt dann, A und B seien gleichzeitig diagonalisierbar. In diesem Fall sind A und B gleichzeitig scharf messbar. Es gilt der Zusammenhang A und B sind vertr¨aglich

⇔

AB − BA = 0.

Beweis der Implikation ⇒: Zur Vereinfachung wollen wir annehmen, dass ein rein diskretes Spektrum vorliegt. Es ist AB|i⟩ = Abi |i⟩ = bi A|i⟩ = bi ai |i⟩ BA|i⟩ = Bai |i⟩ = ai B|i⟩ = ai bi |i⟩, so dass (AB − BA)|i⟩ = 0 ∀i

4.5 Observable

97

und folglich AB − BA = 0. Der Beweis der umgekehrten Implikation ⇐ ist nicht schwer, aber etwas l¨ anger, so dass er hier fortgelassen wird. Wir definieren den Kommutator

. [A, B] = AB − BA .

Ein fundamentaler und besonders wichtiger Kommutator ist derjenige zwischen Ort und Impuls. Sei Px =

ℏ ∂ , i ∂x

X = Qx .

Der Kommutator ist [Px , X] =

[ ] ( ) ℏ ∂ ℏ ∂ ∂ ,X = X −X . i ∂x i ∂x ∂x

Um diesen zu berechnen, lassen wir ihn auf eine Funktion ψ(x) wirken. ) ( ∂ ∂ ∂ ∂ X −X ψ(x) = xψ(x) − x ψ(x) = ψ(x) ∂x ∂x ∂x ∂x ⇒

∂ ∂ X −X = 1. ∂x ∂x

Hieraus erhalten wir ℏ 1. i Die zusammengeh¨origen Komponenten des Impulses und des Ortes sind also nicht vertr¨aglich. [Px , X] =

F¨ ur die anderen Kommutatoren findet man leicht [Px , Y ] = 0 ,

[Px , Z] = 0 .

Die Kommutatoren zwischen den Komponenten des Impuls- und des Ortsoperators fassen wir zusammen in der Form [Pj , Qk ] =

ℏ δjk 1. i

Dies sind die Born-Jordan’schen Vertauschungsrelationen. Sie wurden von Max Born und seinem jungen Assistenten Pascual Jordan (18.10.1902 – 31.7.1980) in der zweiten Arbeit zur Quantenmechanik 1925 gefunden.

98

4 Formalismus der Quantenmechanik

¨ Ubungen 1. Beweisen Sie die Operatoridentit¨ aten [B, A] = −[A, B],

[A+B, C] = [A, C]+[B, C],

[AB, C] = [A, C]B+A[B, C].

2. Berechnen Sie ausgehend von den Born-Jordan’schen Vertauschungsrelationen mit ⃗ 2 , Qk ] und [Lk , Ql ], wobei Lk = Hilfe der vorigen Aufgabe die Kommutatoren [P εijk Qi Pj (Summenkonvention!) der Operator einer Drehimpulskomponente ist. 3. Zeigen Sie, dass f¨ ur Operatoren A, B und C die Jacobi-Identit¨ at [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 erf¨ ullt ist. 4. Die Exponenzialfunktion eines Operators A sei definiert durch die Taylorreihe ∑ n 1 exp A = ∞ at n=0 n! A . Zeigen Sie die Operatoridentit¨ exp(A)B exp(−A) =

∞ ∑ 1 [A, B](n) , n! n=0

wobei [A, B](n) rekursiv durch [A, B](0) = B und [A, B](n+1) = [A, [A, B](n) ] definiert ist. 5. Beweisen Sie den Spezialfall der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel ( ) 1 exp(A) exp(B) = exp A + B + [A, B] , 2 falls [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0. Hinweis: Betrachten Sie dazu C(s) = exp(As) exp(Bs) und Sie das Ergebnis der vorigen Aufgabe.

dC(s) ds

und verwenden

⃗ ). Zeigen Sie, dass 6. Der Translationsoperator T (⃗a ) ist gegeben durch exp(− ℏi ⃗a · P das folgende Beziehungen gelten. a) T (⃗a1 ) T (⃗a2 ) = T (⃗a1 + ⃗a2 ), ⃗ T † (⃗a ) = Q ⃗ − ⃗a 1 , b) T (⃗a ) Q ⃗ T † (⃗a ) = P ⃗. c) T (⃗a ) P 7. f (Q) sei eine analytische Funktion des Ortsoperators Q in einer Dimension. a) Zeigen Sie, dass [Q, f (Q)] = 0,

[P, f (Q)] =

ℏ ′ f (Q) i

gilt, wobei f ′ die Ableitung von f ist, indem Sie • die Definitionen der Operatoren im Ortsraum verwenden,

4.5 Observable

99

• f (Q) in eine Potenzreihe entwickeln und den Kommutator [P, Qn ] bestimmen. b) Sei H =

P2 + V (Q). Zeigen Sie [H, Q] = 2m

ℏ P . i m

c) Benutzen Sie das Ergebnis aus (b) um ⟨P ⟩ in einem station¨ aren Zustand zu berechnen.

4.5.3 Parit¨ at Wir betrachten ein Potenzial V (x) in einer Dimension. Sei V (x) gerade: V (x) = V (−x) . Behauptung: Die Eigenfunktionen von H sind gerade (symmetrisch): ψ(x) = ψ(−x) , oder ungerade (antisymmetrisch): ψ(x) = −ψ(−x) , bzw. k¨onnen so gew¨ahlt werden. Der Beweis folgt weiter unten. Zun¨achst definieren wir den Parit¨ ats-Operator Π durch Πψ(x) = ψ(−x) . Er bewirkt also eine Raumspiegelung“. ” Es gilt: a) Π† = Π b) Π2 = 1 . Hierdurch sind seine m¨oglichen Eigenwerte festgelegt: ⇒

Πψ = λψ ⇒

λ2 = 1

⇒

ψ = Π2 ψ = λΠψ = λ2 ψ λ = +1

oder λ = −1 .

Der Eigenwert λ heißt Parit¨ at. Es gibt also zwei M¨oglichkeiten: λ=1:

Πψ = ψ

⇒ ψ(−x) = ψ(x)

: gerade Funktion,

λ = −1 : Πψ = −ψ ⇒ ψ(−x) = −ψ(x) : ungerade Funktion.

100

4 Formalismus der Quantenmechanik

Nun sei

P2 + V (Q) mit V (x) = V (−x) 2m der Hamiltonoperator eines Teilchens in dem geraden Potenzial V (x). H=

Behauptung:

HΠ = ΠH.

Beweis: ( ) ℏ2 ∂ 2 − + V (x) ψ(−x) 2m ∂x2 ℏ2 ′′ =− ψ (−x) + V (x)ψ(−x) 2m ( ) ℏ2 ′′ ℏ2 ′′ ΠHψ(x) = Π − ψ (x) + V (x)ψ(x) = − ψ (−x)+V (−x)ψ(−x) . 2m 2m HΠψ(x) = Hψ(−x) =

Aus der Tatsache, dass H und Π kommutieren, [H, Π] = 0, folgt, dass sie gleichzeitig diagonalisierbar sind, d.h. es existiert eine Basis aus gemeinsamen Eigenfunktionen: Πψi = ±ψi .

Hψi = Ei ψi ,

Hieraus folgt die anfangs gemachte Behauptung. Im dreidimensionalen Fall setzen wir V (⃗r ) = V (−⃗r ) ¨ voraus. Die weiteren Uberlegungen verlaufen dann analog zum eindimensionalen Fall. Der Parit¨ats-Operator ist definiert durch Πψ(⃗r ) = ψ(−⃗r ) . Wieder gibt es die beiden F¨alle Parit¨at +1:

ψ(−⃗r ) = ψ(⃗r )

Parit¨at −1:

ψ(−⃗r ) = −ψ(⃗r )

und es gilt [H, Π] = 0 .

4.5 Observable

101

4.5.4 Unsch¨ arferelation Nehmen wir an, A und B seien zwei Observable, die nicht miteinander kommutieren, [A, B] ̸= 0 . Dann sind A und B nicht vertr¨aglich, d.h. sie sind im Allgemeinen nicht gleichzeitig scharf messbar. Es gibt in diesem Falle eine allgemeine Unsch¨ arferelation 1 |⟨ [A, B] ⟩| . 2

∆A · ∆B ≥ Beweis:

[A, B] =: iC , C selbstadjungiert, ′ . ′ ′ . A = A − ⟨A⟩ , B = B − ⟨B⟩ , [A , B ] = iC , ′

′

′

(∆A)2 = ⟨A 2 ⟩ ,

(∆B)2 = ⟨B 2 ⟩

Betrachte die Funktion ′ ′ . F (α) = ∥(αA − iB )ψ∥2 ≥ 0 ,

α ∈ R.

( ) ( ) ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ F (α) = (αA − iB )ψ , (αA − iB )ψ = ψ , (αA + iB )(αA − iB )ψ ( ) ′ ′ = ψ , (α2 A 2 + α C + B 2 )ψ = α2 (∆A)2 + (∆B)2 + α⟨C⟩ ≥ 0

∀α ∈ R .

Setze jetzt α=− ⟨C⟩2 ≥0 4(∆A)2 Ein spezieller Fall ist ⇒

(∆B)2 −

⟨C⟩ . 2(∆A)2 1 (∆A)2 (∆B)2 ≥ ⟨C⟩2 . 4

⇒

A = Q , B = P , C = ℏ1 . Die allgemeine Unsch¨arferelation liefert dann wieder die uns schon vertraute Heisenberg’sche Unsch¨arferelation ∆x · ∆p ≥

ℏ . 2

102

4 Formalismus der Quantenmechanik

4.6 Die Postulate der Quantenmechanik Was wir bisher u ¨ber die Quantenmechanik und ihren mathematischen Formalismus gelernt haben, erlaubt es, die Postulate der Quantenmechanik zu formulieren. Diese fassen die fundamentalen Grundlagen der Quantenmechanik zusammen. Zur Betrachtung spezieller Systeme muss der Hilbertraum und der Hamiltonoperator nat¨ urlich weiter spezifiziert werden. I. Reine Zust¨ande werden durch normierte Vektoren (bzw. Strahlen) eines komplexen Hilbertraumes repr¨asentiert. Superpositionsprinzip: Jeder Vektor entspricht einem m¨oglichen reinen Zustand. II. Den Observablen eines Systems entsprechen selbstadjungierte Operatoren. Die m¨oglichen Messwerte sind die Eigenwerte des Operators. III. Der Erwartungswert der Observablen A im Zustand |ψ⟩ ist gegeben durch ⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩ . IV. Die zeitliche Entwicklung von Zust¨anden wird durch die Schr¨odingergleichung bestimmt: ∂ iℏ |ψ⟩ = H|ψ⟩ , ∂t wobei H der Hamiltonoperator ist. V. Wird an einem System im Zustand |ψ⟩ die Observable A gemessen, und wird der Messwert a gefunden, so geht das System bei der Messung in den zugeh¨origen Eigenzustand |a⟩ u ¨ber (Zustandsreduktion).

4.7 Wahrscheinlichkeitsdeutung der Entwicklungskoeffizienten Die Observable A besitze die Eigenwerte an : A|n⟩ = an |n⟩ . Beispielsweise ist im Falle der Energie die Observable gleich dem Hamiltonoperator H und die Eigenwertgleichung ist H|n⟩ = En |n⟩ . Bei einer Energiemessung sind die m¨oglichen Messwerte die Eigenwerte En .

4.7 Wahrscheinlichkeitsdeutung der Entwicklungskoeffizienten

103

Ein beliebiger Zustand |ψ⟩ muss nicht einer der Eigenzust¨ande |n⟩ sein, sondern ist im Allgemeinen eine Linearkombination der Form ∑ ∑ |ψ⟩ = |n⟩⟨n|ψ⟩ = cn |n⟩ n

n

mit Koeffizienten cn = ⟨n|ψ⟩ . Was ist die physikalische Interpretation dieser Koeffizienten? Betrachten wir den Erwartungswert von A: ⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩ . Ist dies der Wert von A im Zustand |ψ⟩? Nein! Die Messung von A im Zustand |ψ⟩ liefert als Messwert einen der Eigenwerte an . Bei einer Serie von Messungen sind die Messwerte statisch verteilt.

a a1

a2

a4

a3

a5

Sei pn die Wahrscheinlichkeit,∑ bei der Messung der Observablen A den Eigenwert an zu finden. Es ist n pn = 1. Behauptung: |cn |2 = pn . Beweis: ⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩ =

∑

⟨ψ|m⟩⟨m|A|n⟩⟨n|ψ⟩ .

m,n

Einsetzen von ⟨m|A|n⟩ = an δmn gibt ⟨A⟩ =

∑

⟨ψ|n⟩ an ⟨n|ψ⟩ =

n

∑ n

In gleicher Weise erh¨alt man ⟨Ak ⟩ =

∑ n

|cn |2 (an )k

|cn |2 an .

104

4 Formalismus der Quantenmechanik

und speziell 1 = ⟨1⟩ =

∑

|cn |2 .

n

Aus den beiden letzten Gleichungen liest man ab, dass |cn |2 die zum Wert an geh¨orige Wahrscheinlichkeit ist. Wir haben also gefunden pn = |⟨n|ψ⟩|2 . Noch allgemeiner formulieren wir: Die Wahrscheinlichkeit p(α → β), dass bei einer Messung am Zustand |α⟩ dieser in den Zustand |β⟩ u ¨bergeht, ist gegeben durch p(α → β) = |⟨β|α⟩|2 . Das Matrixelement heißt daher ¨ Ubergangsamplitude ⟨β|α⟩ .

¨ Ubungen Berechnen Sie [[x, H], x] f¨ ur ein Teilchen in einem ¨ außeren Potenzial. Zeigen Sie mit Hilfe dieses Doppelkommutators die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel ∑ f

(Ef − Ei )|⟨f |x|i⟩|2 =

ℏ2 . 2m

5 Harmonischer Oszillator 5.1 Spektrum Der harmonische Oszillator ist ein System, f¨ ur das bei Auslenkungen aus der Ruhelage das Hooke’sche Gesetz gilt, nach dem die r¨ ucktreibende Kraft proportional zur Auslenkung ist. Im eindimensionalen Fall heißt das F = −kx . Das zugeh¨orige Potenzial ist V (x) =

k 2 1 x = mω 2 x2 2 2

mit

√ ω=

k . m

Der harmonische Oszillator ist ein prominentes physikalisches System, dass sowohl typisch als auch untypisch ist. Das Kraftgesetz des harmonischen Oszillators ist linear. Er stellt den Prototyp eines Modells f¨ ur lineare Physik“ dar. Sowohl in der klassischen Physik ” als auch in der Quantenphysik sind die Gleichungen zur Beschreibung von beliebig vielen gekoppelten harmonischen Oszillatoren exakt l¨osbar. Dies macht sie als theoretisches Objekt sehr beliebt. Aber auch das Anwendungsfeld ist groß. Zahlreiche Systeme lassen sich gut durch harmonische Oszillatoren beschreiben. Dies ist insbesondere f¨ ur Systeme der Fall, die kleine Schwingungen ausf¨ uhren. Die Photonen des elektromagnetischen Feldes, die Phononen in Festk¨orpern, Molek¨ ulschwingungen und viele andere Ph¨anomene werden durch Systeme harmonischer Oszillatoren beschrieben. Untypisch ist der harmonische Oszillator insofern, als er ein exakt l¨osbares System darstellt. Exakte L¨osbarkeit trifft man nur bei wenigen Ausnahmesystemen an. Die interessanten Erscheinungen der nichtlinearen Physik“ ” sind in der Regel nicht durch exakt l¨osbare Modelle zu beschreiben. Der quantenmechanische Hamiltonoperator des eindimensionalen harmonischen Oszillators lautet H=

1 2 mω 2 2 P + Q . 2m 2

106

5 Harmonischer Oszillator

Aus den allgemeinen Ergebnissen fr¨ uherer Abschnitte wissen wir, dass das Energiespektrum diskret ist. Dieses wollen wir jetzt berechnen. Dabei beschreiten wir methodisch einen neuen Weg, indem wir die zeitunabh¨angige Schr¨odingergleichung nicht in Form einer Differenzialgleichung l¨osen, sondern die Eigenwerte des Hamiltonoperators auf algebraischem Wege ermitteln. Mit der Variablen . y=

√

mω x ℏ

schreibt sich der Hamiltonoperator in der Form ( ) 1 ∂2 1 2 1 ˜ 2 )ψ , Hψ = ℏω − + y ψ ≡ ℏω (P˜ 2 + Q 2 2 ∂y 2 2 wobei ∂ 1 P˜ = −i =√ P, ∂y mωℏ Der Kommutator dieser Operatoren ist

˜= Q

√

mω Q. ℏ

˜ = −i . [P˜ , Q] Nun definieren wir den Operator 1 ˜ 1 a = √ (Q + iP˜ ) = √ 2 2

( ) ∂ y+ ∂y

mit seinem Adjungierten 1 1 ˜ − iP˜ ) = √ a = √ (Q 2 2 †

(

∂ y− ∂y

) .

Ausgedr¨ uckt durch a und a† lautet der Hamiltonoperator ( ) 1 † H = ℏω a a + . 2 Der Kommutator von a und a† ist [a, a† ] = 1 ,

d.h. aa† = a† a + 1 ,

und es gilt ˜ = √1 (a + a† ) , Q 2

1 P˜ = √ (a − a† ) . i 2

5.1 Spektrum

107

Die Eigenwerte von H ergeben sich sofort aus denen von a† a, die wir jetzt bestimmen werden. Die Eigenwertgleichung ist a† a|λ⟩ = λ|λ⟩ . In mehreren Schritten n¨ahern wir uns nun dem Ziel. 1. Die Eigenwerte sind nicht negativ: λ ≥ 0, denn λ = ⟨λ|a† a|λ⟩ = ∥a|λ⟩∥2 ≥ 0 . 2. Ist λ Eigenwert, so auch λ + 1 . Beweis: Betrachte a† |λ⟩. a† a(a† |λ⟩) = a† (aa† )|λ⟩ = a† (a† a + 1)|λ⟩ = a† (λ + 1)|λ⟩ = (λ + 1)a† |λ⟩. Wir haben also einen Eigenwert λ + 1, wenn der Vektor a† |λ⟩ nicht der Nullvektor ist. Seine Norm ist ∥a† |λ⟩∥2 = ⟨λ|aa† |λ⟩ = ⟨λ|a† a + 1|λ⟩ = λ + 1 ≥ 1 ⇒

a† |λ⟩ ̸= 0 .

3. Ist λ > 0 Eigenwert, so auch λ − 1 . Beweis: Betrachte a|λ⟩. (a† a)(a|λ⟩) = (aa† − 1)a|λ⟩ = a(a† a − 1)|λ⟩ = a(λ − 1)|λ⟩ = (λ − 1)a|λ⟩. Wir haben also einen Eigenwert λ − 1, wenn der Vektor a|λ⟩ nicht der Nullvektor ist. Seine Norm ist ∥a|λ⟩∥2 = ⟨λ|a† a|λ⟩ = λ > 0 ⇒

a|λ⟩ ̸= 0 .

Wir sehen also, dass ausgehend von λ eine ganze Leiter von Eigenwerten erzeugt wird, die nach oben nicht endet.

108

5 Harmonischer Oszillator

λ+ 1 λ λ-1 ......

4. λ ∈ N0 = {0, 1, 2, 3, . . . }. Beweis: Ist λ > 0 Eigenwert, so erhalten wir die absteigende Folge von Eigenwerten λ − 1, λ − 2, . . . , solange diese positiv bleiben. Diese Folge muss nach endlich vielen Schritten abbrechen ⇒ ∃ n ∈ N mit: λ − n ist Eigenwert, aber a|λ − n⟩ = 0. ⇒ a† a|λ − n⟩ = (λ − n)|λ − n⟩ = 0 ⇒ λ − n = 0 ⇒ λ = n ∈ N . 5. λ = 0 ist einfacher Eigenwert. Beweis: Sei a|0⟩ = 0. Dann ist auch a† a|0⟩ = 0. Gibt es einen solchen Vektor? Zum Zustand |0⟩ geh¨ort eine Wellenfunktion φ0 (y). Die Gleichung a|0⟩ = 0 lautet dann ( ) ∂ y+ φ0 = 0. ∂y Sie besitzt eine (bis auf Normierung) eindeutige L¨osung 1

1 2

φ0 (y) = π − 4 e− 2 y ,

(φ0 , φ0 ) = 1 .

6. Die Eigenvektoren erhalten wir wie folgt: |0⟩ ,

λ0 = 0

|1⟩ = a† |0⟩ ,

λ1 = 1

und so weiter. Nach n Schritten hat man 1 1 |n⟩ = √ a† |n − 1⟩ = √ (a† )n |0⟩ , n n!

λn = n .

5.1 Spektrum

109

Mit den Eigenwerten und von a† a kennen wir sofort auch ( † Eigenvektoren ) diejenigen von H = ℏω a a + 21 . Zusammenfassung

) ( 1 , En = ℏω n + 2 a|n⟩ =

√ n|n − 1⟩ ,

n ∈ N0

a† |n⟩ =

√

n + 1|n + 1⟩

Die Energie des Grundzustandes heißt Nullpunktsenergie E0 =

ℏω 2

und die Operatoren a und a† werden aus offensichtlichen Gr¨ unden Leiteroperatoren genannt. Speziell heißt a a†

Vernichtungs- bzw. Absteigeoperator, Erzeugungs- bzw. Aufsteigeoperator.

¨ Ubungen 1. Eine Matrix A und ihre Adjungierte A† erf¨ ullen die Vertauschungsregel der Leiteroperatoren: [A, A† ] = 1. Zeigen Sie, dass A keine endliche Matrix sein kann. Hinweis: Betrachten Sie die Spur des obigen Kommutators. 2. F¨ ur einen Operator A, der eine Potenzreihe in den Leiteroperatoren a und a† ist, ist die Normalordnung :A: definiert als derjenige Operator, bei dem in jedem Term von A die Absteigeoperatoren a nach rechts geschrieben werden, zum Beispiel : (5a2 (a† )3 a(a† )2 − 3a a† a) := 5(a† )5 a3 − 3a† a2 . a) Beweisen Sie die Darstellung |0⟩⟨0| =: exp(−a† a) : des Projektors auf den Grundzustand des harmonischen Oszillators. Hinweis: Zeigen Sie, dass diese Operator-Identit¨ at f¨ ur die Wirkung auf einen beliebigen Oszillator-Zustand |n⟩ gilt und folgern Sie die allgemeine Aussage aus der Vollst¨ andigkeit der Basis {|n⟩}. b) Geben Sie mit Hilfe von (a) den Projektor |n⟩⟨n| auf den n-ten angeregten Oszillatorzustand als Funktion der Stufenoperatoren an.

110

5 Harmonischer Oszillator

5.2 Eigenfunktionen Zu den Eigenzust¨anden geh¨oren Wellenfunktionen ∼ =

|n⟩

φn (y) ,

die ein Orthonormalsystem bilden: ⟨m|n⟩ = (φm , φn ) = δmn . Bez¨ uglich der urspr¨ unglichen Koordinaten x muss man umskalieren mit ) (√ ( mω )1/4 mω x . φn ψn (x) = ℏ ℏ Aus den Resultaten des vorigen Abschnittes entnehmen wir eine Formel f¨ ur die Eigenfunktionen: ) ( 1 ∂ n − 1 y2 − 41 φn (y) = √ π e 2 . y− ∂y 2n n! Die n-fache Anwendung des Operators produziert ein Polynom in y und wir schreiben φn (y) ≡ √ mit

1

1 2

− y √ Hn (y) e 2 2n n! π

( ) ∂ n − 1 y2 . 1 2 e 2 . Hn (y) = e 2 y y − ∂y

Die ersten Polynome sind H0 (y) = 1 ,

H1 (y) = 2y ,

H2 (y) = 4y 2 − 2 ,

H3 (y) = 8y 3 − 12y .

Die Funktionen Hn (y) heißen Hermitepolynome. Mit ) ( 1 2 ∂ 1 2 ∂ y− f (y) = − e 2 y e− 2 y f (y) ∂y ∂y folgt ein anderer Ausdruck f¨ ur sie: Hn (y) = (−1)n ey

2

∂ n −y2 e . ∂y n

5.2 Eigenfunktionen

111

Rekursionsgleichung: ( 1 y− a φn = √ 2 ( 1 y+ aφn = √ 2 †

) √ ∂ φn = n + 1 φn+1 ∂y ) √ ∂ φn = n φn−1 ∂y

√ √ √ 2 y φn (y) = n + 1 φn+1 (y) + n φn−1 (y)

⇒

⇒

Hn+1 (y) = 2y Hn (y) − 2nHn−1 (y)

Diese Gleichung erlaubt eine rekursive Berechnung der Hermitepolynome. Differenzialgleichung: In der Variablen y geschrieben lautet die zeitunabh¨angige Schr¨odingergleichung ) ( ) ( 1 ∂2 1 2 1 + y φn (y) = n + φn (y) . − 2 ∂y 2 2 2 Einsetzen des Ausdruckes f¨ ur φn (y) liefert die ( hermitesche Differenzialgleichung:

) d2 d + 2n Hn (y) = 0. − 2y dy 2 dy

Aufenthaltswahrscheinlichkeit: Die Graphiken zeigen die Wellenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlich¨ keiten f¨ ur kleine n. Die verschiedenen Funktionen sind der Ubersicht halber vertikal auf die H¨ohe ihres jeweiligen Energieniveaus verschoben.

112

5 Harmonischer Oszillator

ϕn

En

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

2

En

7

|ϕn|

0 -4

-2

0

2

4

-4

-2

y

0 y

2

4

Auch in der klassischen Mechanik l¨asst sich eine Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte wk (x) berechnen. Sie ist proportional zur L¨ange des Zeitintervalles, in dem sich das Teilchen bei x aufh¨alt, und zwar ist wk (x)dx =

2dt ω = dt T π

ω ω 1 = √ . π x˙ π x˙ 2

⇒

wk (x) =

x˙ 2 =

2E − ω 2 x2 = ω 2 (x20 − x2 ) m

Man benutzt nun m 2 m 2 2 x˙ + ω x = E 2 2

⇒

und erh¨alt wk (x) =

1 2 (x − x2 )−1/2 . π 0

In der Graphik sind die quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsdichte |φ20 (y)|2 und die klassische Wahrscheinlichkeitsdichte wk (y) aufgetragen. F¨ ur große n n¨ahert sich der Mittelwert der quantenmechanischen Verteilung der klassischen an, wie man an der Graphik erkennen kann.

5.3 Unsch¨arfen

113

0.3 |ϕ20|2 0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 -8

-6

-4

-2

0 y

2

4

6

8

¨ Ubungen 1. Der Halb-Oszillator“ besitzt das Potenzial ” { ∞, V (x) = mω2 2 x , 2

x < 0, x ≥ 0.

Welche Energie-Eigenwerte hat er? 2. Bestimmen Sie folgende Erwartungswerte f¨ ur den harmonischen Oszillator: a) ⟨n|Q4 |n⟩ , b) ⟨0|Qn |0⟩ . Hinweis: Berechnen Sie ⟨0|etQ |0⟩ durch Integration im Ortsraum und entwickeln Sie die Reihe.

5.3 Unsch¨ arfen Die Unsch¨arfen von Ort und Impuls lassen sich ermitteln, ohne dass ein Integral berechnet werden muss. Dies geschieht wiederum auf algebraischem Wege. Dazu benutzen wir ( ) 1 ( )1 mωℏ 2 1 2mω − 2 † Q= (a + a ) , P = (a − a† ) . ℏ 2 i

114

5 Harmonischer Oszillator

Dies gibt ) 1 2mω − 2 ⟨x⟩n = ⟨n|Q|n⟩ = ⟨n|a + a† |n⟩ = 0 , ℏ ℏ ℏ ⟨n|a2 + a†2 + aa† + a† a|n⟩ = ⟨n|2a† a + 1|n⟩ ⟨x2 ⟩n = ⟨n|Q2 |n⟩ = 2mω 2mω ℏ = (2n + 1) , 2mω √ √ ℏ 1 ⇒ ∆x = n+ , mω 2 und ebenso (

⟨p⟩n = 0 , mωℏ mωℏ ⟨n|aa† + a† a − a2 − a†2 |n⟩ = (2n + 1) , ⟨p2 ⟩n = 2 2 √ √ 1 ⇒ ∆p = mωℏ n + . 2 F¨ ur das Unsch¨arfenprodukt finden wir ( ) 1 ∆x · ∆p = ℏ n + . 2 Im Grundzustand ist n = 0 und das Unsch¨arfenprodukt nimmt den kleinstm¨oglichen Wert an, den die Heisenberg’sche Unsch¨arferelation erlaubt: ∆x · ∆p = ℏ/2. W¨ahrend in der klassischen Mechanik der Grundzustand einem ruhenden Oszillator mit den scharfen Werten x = 0 und p = 0 entspricht, finden wir in der Quantenmechanik eine Verteilung f¨ ur Ort und Impuls. Daher spricht man auch von einer Nullpunktsbewegung“. Diese gibt Anlass zur ” Nullpunktsenergie E0 > 0. Beispiele: i) Pendel mit ω = 1 s−1 , m = 10−3 kg. Im Grundzustand ist (∆x)0 = 2 · 10−16 m = 0,2 fm und E0 = 5 · 10−35 J. Diese Gr¨oßen sind so klein, dass sie im Vergleich zu den Dimensionen des Pendels vernachl¨assigbar sind. ii) Ein Atom in einem Molek¨ ul mit m = 10−26 kg, ω = 1016 s−1 . Im Grundzustand ist E0 = 5 · 10−19 J = 3,1 eV, (∆x)0 = 7 · 10−13 m =

5.4 Oszillierendes Wellenpaket

115

7 · 10−3 ˚ A. Sowohl die Ortsunsch¨arfe als auch die Nullpunktsenergie sind vergleichbar mit typischen atomaren Gr¨oßenordnungen. ¨ Ubungen F¨ ur einen Zustand des harmonischen Oszillators mit verschwindenden Erwartungswerten ⟨P ⟩ = ⟨Q⟩ = 0 ist der Erwartungswert der Energie mω 2 1 (∆p)2 + (∆x)2 . 2m 2

⟨E⟩ =

ℏ Finden Sie das Minimum dieses Ausdrucks unter der Bedingung ∆x · ∆p ≥ und kom2 mentieren Sie das Ergebnis.

5.4 Oszillierendes Wellenpaket Bisher haben wir station¨are Zust¨ande des harmonischen Oszillators betrachtet. Diese entsprechen allerdings nicht dem, was man sich unter einem Oszillator vorstellt, n¨amlich ein sich periodisch bewegendes Objekt. Wir wollen nun Zust¨ande untersuchen, die am ehesten die Schwingung eines physikalischen Systems darstellen. Dazu m¨ ussen Wellenpakete gebildet werden. Ein Wellenpaket des harmonischen Oszillators hat die Form |φ(t)⟩ =

∞ ∑

|n⟩⟨n|φ(t)⟩ ≡

n=0

∞ ∑

cn (t)|n⟩ .

n=0

Aus der Schr¨odingergleichung iℏ

∂ |φ(t)⟩ = H|φ(t)⟩ ∂t

folgt f¨ ur die Koeffizienten iℏ

∂ ∂ cn (t) = ⟨n|iℏ |φ(t)⟩ = ⟨n|H|φ(t)⟩ = En ⟨n|φ(t)⟩ = En cn (t) . ∂t ∂t

Die L¨osung dieser Differenzialgleichung ist cn (t) = e−i

En t ℏ

1

cn (0) = cn (0) e−i(n+ 2 )ωt .

F¨ ur das Wellenpaket ist die Zeitabh¨angigkeit somit gegeben durch |φ(t)⟩ =

∞ ∑ n=0

1

cn (0) |n⟩e−i(n+ 2 )ωt .

116

5 Harmonischer Oszillator

Die klassische Schwingungsperiode ist T =

2π . ω

Nach Ablauf der Zeit T finden wir |φ(t + T )⟩ = −|φ(t)⟩ |φ(y, t + T )|2 = |φ(y, t)|2 . Die Wahrscheinlichkeitsdichte ¨andert sich also periodisch in der Zeit mit Periode T . Wie verh¨alt sich der Erwartungswert des Ortes? Rechnen wir: ∑ x(t) = ⟨φ(t)|Q|φ(t)⟩ = c∗n (0)cm (0)⟨n|Q|m⟩ e−i(m−n)ωt n,m

√ = √ =

ℏ 2mω

∞ ∑

) √ ( ∗ n cn−1 (0)cn (0) e−iωt + c∗n (0)cn−1 (0) eiωt

n=1

(∞ ) ∑√ ℏ Re n c∗n−1 (0)cn (0) e−iωt 2mω n=1

≡ x0 cos(ωt − δ) . Er f¨ uhrt also eine harmonische Schwingung durch, so wie es der Ort x(t) in der klassischen Mechanik macht. 5.4.1 Koh¨ arente Zust¨ ande Um die speziellen Wellenpakete zu erhalten, die am ehesten der klassischen Bewegung entsprechen, konstruieren wir Pakete, bei denen das Unsch¨arfenprodukt ∆x·∆p minimal ist, so wie es f¨ ur den Grundzustand φ0 der Fall ist. Diese heißen koh¨arente Zust¨ande“ und spielen z.B. in der Op” tik eine Rolle. Dazu nehmen wir die Wellenfunktion des Grundzustandes, φ0 (y), und lenken sie um y0 aus der Ruhelage aus: 1

2

φ(y, 0) = φ0 (y − y0 ) = π −1/4 e− 2 (y−y0 ) ∞ ∑ = cn (0)φn (y) . n=0

Die Entwicklungskoeffizienten lassen sich berechnen zu ( ) 1 y0 n − 1 y02 √ cn (0) = ⟨n|φ(0)⟩ = √ e 4 . 2 n!

5.4 Oszillierendes Wellenpaket

117

Die Rechnung geht so: 1

1 2 1 2 − 4 y0

2

e− 2 (y−y0 ) = e 2 y e

−(y−

y0 2 2

) =

( ) ∞ ∞ ∑ 1 ( y0 )n ∂ n −y2 ∑ 1 ( y0 )n 2 e = − Hn (y) e−y n! 2 ∂y n! 2

n=0

⇒

2

y0 e−(y− 2 )

n=0

1

2

e− 2 (y−y0 ) =

∞ ∑ 1 2 1 ( y0 )n − 1 y02 e 4 Hn (y) e− 2 y . n! 2

n=0

Mit Hilfe von 1 2

Hn (y) e− 2 y =

√

2n n!π 1/2 φn (y)

folgt π

−1/4 − 21 (y−y0 )2

e

) ( ∞ ∑ y0 n − 1 y02 1 √ √ e 4 φn (y) , = 2 n! n=0

woraus wir die Koeffizienten ablesen. Da wir die Zeitabh¨angigkeit der Entwicklungskoeffizienten kennen, k¨onnen wir diejenige des Paketes berechnen: ( ) ∞ ∑ 1 y0 n − 1 y02 −i(n+ 1 )ωt 2 √ √ φn (y) φ(y, t) = e 4 e 2 n! n=0 ) ( ∞ ∑ 1 y0 −iωt n − 2i ωt − 41 y02 √ √ e =e φn (y) e 2 n! n=0 ( ) i 1 2 1 −iωt 2 = e− 2 ωt e− 4 y0 e 4 (y0 e ) φ0 y − y0 e−iωt } { ) ) 1 2( 1( −iωt 2 −2iωt − 2i ωt −1/4 − y0 1 − e . π exp − y − y0 e =e 2 4 F¨ ur die Wahrscheinlichkeitsdichte folgt { } |φ(y, t)|2 = π −1/2 exp −(y − y0 cos ωt)2 . Dies ist ein oszillierendes Wellenpaket, das seine Form beh¨alt und dessen Schwerpunkt y(t) = y0 cos ωt eine harmonische Schwingung ausf¨ uhrt. Bemerkenswert ist die Tatsache, dass die Breite ∆y konstant ist und kein Zerfließen stattfindet.

118

5 Harmonischer Oszillator

Der Energie-Erwartungswert des Wellenpaketes betr¨agt ⟨E⟩ = ⟨φ(t)|H|φ(t)⟩ ( ( ) ( )n ) ∞ ∞ ∑ ∑ 1 1 1 y02 2 − 12 y02 = |cn | ℏω n + n+ = ℏω e 2 n! 2 2 n=0 n=0 } { 2 1 1 1 y0 + = mω 2 x20 + ℏω = ℏω 2 2 2 2     klassisch

Nullpunktsenergie

und setzt sich also aus der klassischen Schwingungsenergie mω 2 x20 /2 und der quantenmechanischen Nullpunktsenergie ℏω/2 zusammen. Die Energie ist nat¨ urlich nicht scharf. Die Energieverteilung ( )n 1 2 1 y02 2 wn = |cn | = e − 2 y0 n! 2 ist eine Poissonverteilung mit dem Maximum bei n0 ≈

y02 − 1 . 2

F¨ ur große y0 wird die Verteilung sehr scharf. Die relative Breite der Energie ist √ 8π ∆E ∆n ≈ ≈ . ⟨E⟩ n0 y0 ¨ Ubungen Unnormierte koh¨ arente Zust¨ ande des harmonischen Oszillators k¨ onnen durch |z⟩ = exp(za† )|0⟩ definiert werden, wobei z ∈ C ist. 1. Zeigen Sie, dass a|z⟩ = z|z⟩ und a† |z⟩ = 2. Zeigen Sie ⟨n|z⟩ =

n

z √

n!

d |z⟩ dz

gilt.

.

3. Koh¨ arente Zust¨ ande sind nicht zueinander orthogonal. Berechnen Sie ⟨w|z⟩ (w, z ∈ C) durch Entwicklung der Exponentialfunktion oder mit Hilfe der Baker– Campbell–Hausdorf-Formel. 4. Geben Sie unter Verwendung von exp(α a† a)|z⟩ = |z exp α⟩ (α ∈ C) die Zeitentwicklung von |z, t⟩ an. 5. Berechnen Sie unter Verwendung von (1) die Matrixelemente ⟨w|a|z⟩ und ⟨w|a† |z⟩.

5.5 Dreidimensionaler harmonischer Oszillator

119

5.5 Dreidimensionaler harmonischer Oszillator Ein harmonischer Oszillator in drei Dimensionen kann drei verschiedene Eigenfrequenzen besitzen. In geeigneten Koordinaten lautet das Potenzial 3

V (⃗r ) =

m∑ 2 2 ωi xi . 2 i=1

Der Hamiltonoperator H=

3 ∑ P⃗ 2 ⃗)= + V (Q Hi 2m i=1

ist die Summe dreier eindimensionaler Hamiltonoperatoren Hi =

Pi2 m + ωi2 Q2i . 2m 2

Wir k¨onnen eine Separation wie im Abschnitt 3.3 vornehmen: ψ(⃗r ) = ψ (1) (x1 ) ψ (2) (x2 ) ψ (3) (x3 ) , derzurfolge die station¨are Schr¨odingergleichung Hψ = Eψ zerf¨allt in Hi ψ (i) = Ei ψ (i) ,

mit

E = E1 + E2 + E3 .

Diese Energien und die zugeh¨origen Eigenfunktionen sind aus der Behandlung des eindimensionalen harmonischen Oszillators bekannt: ) ( 1 , Ei = ℏωi ni + 2 ψ (i) (xi ) = ψni (xi ) . Die Energie-Eigenwerte sind also E=

3 ∑ i=1

( ) 1 ℏωi ni + 2

120

5 Harmonischer Oszillator

und die Eigenfunktionen ψ⃗n (⃗r ) = ψn1 (x1 )ψn2 (x2 )ψn3 (x3 ) . Beim isotropen Oszillator sind die Frequenzen gleich, ω1 = ω2 = ω3 = ω, und er besitzt die Eigenwerte ( ) 3 E = ℏω n + , n = n1 + n2 + n 3 . 2 Diese sind entartet. Der Entartungsgrad betr¨agt 12 (n + 1)(n + 2).

E

#

9 2

10

7 2

6

5 2

3

3 2

1

¨ Ubungen Zwei eindimensionale harmonische Oszillatoren mit identischer Masse m und Federkonstante k0 = mω02 sind durch eine Feder mit Federkonstante k1 = mω12 aneinander gekoppelt. Stellen Sie den Hamiltonoperator des Systems auf, dr¨ ucken Sie ihn durch die Schwerpunktskoordinate X = 21 (x1 + x2 ) und die Relativkoordinate x = x2 − x1 aus und zeigen Sie, dass er in zwei kommutierende additive Teile zerf¨ allt. Geben Sie einen vollst¨ andigen Satz von Produkteigenfunktionen und zugeh¨ origen Energieeigenwerten an.

6 Das Spektrum selbstadjungierter Operatoren 6.1 Diskretes Spektrum Im Abschnitt 4.3 haben wir schon einige Tatsachen u ¨ber selbstadjungierte Operatoren und ihre Eigenwerte kennengelernt. Die Eigenwertgleichung lautet A|ψ⟩ = a|ψ⟩ , wobei der Eigenvektor |ψ⟩ ∈ H im Hilbertraum liegen muss. Die Eigenwerte bilden das diskrete Spektrum. Wenn A hermitesch ist, sind seine Eigenwerte a s¨amtlich reell. Die Eigenvektoren hermitescher Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten sind zueinander orthogonal.

6.2 Kontinuierliches Spektrum Beim Teilchen im Kasten und beim harmonischen Oszillator haben wir gefunden, dass der Hamiltonoperator ein rein diskretes Spektrum besitzt. Beim Teilchen im endlich tiefen Topf hingegen trat außerdem auch ein kontinuierliches Spektrum auf. Die zugeh¨origen Wellenfunktionen geh¨oren zu Streuzust¨anden, die nicht normierbar sind und somit nicht im Hilbertraum liegen. Warum besch¨aftigen wir uns mit ihnen? Diese Funktionen haben einiges gemeinsam mit den ebenen Wellen des freien Teilchens. Sie sind n¨ utzliche Bausteine f¨ ur beliebige Wellenfunktionen und erf¨ ullen gewisse Orthogonalit¨ats- und Vollst¨andigkeits-Eigenschaften, die wir nun ansehen wollen.

6.2.1 Impulsoperator Der Impulsoperator in einer Dimension P =

ℏ ∂ , i ∂x

der auf differenzierbare Funktionen aus H = L2 (R) wirkt, ist selbstadjungiert, wie wir schon wissen. Die Eigenwertgleichung ℏ ∂ψ = p ψ(x) i ∂x

122

6 Das Spektrum selbstadjungierter Operatoren

hat (bis auf Normierung N ) eine L¨osung, n¨amlich die ebene Welle p

ψ(x) = N ei ℏ x = N eikx = N uk (x) , diese ist jedoch nicht normierbar: ∫ (uk , uk ) =

∞

dx 1 = ∞ . −∞

uk liegt daher nicht im Hilbertraum und ist somit auch kein Eigenvektor. Die Funktion uk heißt stattdessen uneigentlicher Eigenvektor und p = ℏk ist uneigentlicher Eigenwert. Wir definieren: das kontinuierliche Spektrum ist die Menge der uneigentlichen Eigenwerte. Das Spektrum von P ist rein kontinuierlich. Jede reelle Zahl ist uneigentlicher Eigenwert von P . Bemerkung: Da das kontinuierliche Spektrum nicht abz¨ahlbar ist, k¨onnen nach Satz 3 keine zugeh¨origen (eigentlichen) Eigenvektoren existieren. Die ebenen Wellen erf¨ ullen eine Kontinuums-Orthonormalit¨ atsbeziehung, die aus der Theorie der Fouriertransformation bekannt ist: (uk , ul ) = 2πδ(k − l) . Weiterhin gilt die Vollst¨andigkeitsrelation ∫ dk uk (x) u∗k (y) = δ(x − y) . 2π Diese Relationen sind analog zu den entsprechenden Beziehungen ∑ (um , un ) = δmn , un (x)u∗n (y) = δ(x − y) , m, n ∈ N n

f¨ ur ein diskretes Spektrum. In der Diracnotation bezeichnen wir uk durch das Symbol |k⟩, das in diesem Falle also keinen Vektor aus H darstellt. Es ist P |k⟩ = ℏk|k⟩ . Die Orthonormalit¨ats- und Vollst¨andigkeitsrelationen schreiben sich als ⟨k|k ′ ⟩ = 2πδ(k − k ′ ) ∫ dk |k⟩⟨k| = 1 . 2π

6.2 Kontinuierliches Spektrum

123

6.2.2 Ortsoperator In einer Dimension ist der Ortsoperator Q definiert durch seine Wirkung als Multiplikationsoperator auf Wellenfunktionen: . Qψ(x) = xψ(x) . Achtung: Es ist ein beliebter Fehler, dies f¨ ur eine Eigenwertgleichung zu halten. Welches sind die Eigenwerte und -funktionen? Wenn wir die Eigenfunktion zu einem Eigenwert q mit χq bezeichnen, so sollte gelten Qχq (x) = qχq (x) . Das heißt xχq (x) = qχq (x) ⇒

(x − q)χq = 0

⇒

∀x ∈ R

χq (x) = 0

f¨ ur x ̸= q .

Wir sehen hieraus, dass χq (x) keine Funktion sein kann. Stattdessen setzen wir χq (x) = δ(x − q). Insbesondere ist χq kein Eigenvektor im Hilbertraum. In der Diracnotation wird χq durch den ket-Vektor |q⟩ repr¨asentiert, soweit eine Verwechslung mit den uneigentlichen Impulseigenvektoren |k⟩ ausgeschlossen ist. Es ist also Q|q⟩ = q|q⟩. Wenn wir versuchen, die Norm von |q⟩ zu berechnen: ∫ ∫ 2 ⟨q|q⟩ = dx |χq (x)| = dx δ(x − q)δ(x − q) = δ(q − q) = δ(0) = ∞ , so kommt nichts Endliches heraus, was noch einmal best¨atigt, dass χq kein Vektor im Hilbertraum, |q⟩ ∈ / H, und damit auch kein Eigenvektor ist. Wie im Falle der Eigenfunktionen des Impulsoperators konstatieren wir hier: q

ist uneigentlicher Eigenwert,

|q⟩ ist uneigentlicher Eigenvektor.

124

6 Das Spektrum selbstadjungierter Operatoren

Das Spektrum von Q ist rein kontinuierlich und besteht aus R. Analog zu den ebenen Wellen des vorigen Abschnittes k¨onnen wir auch hier die Orthonormalit¨ats- und Vollst¨andigkeitsrelation aufschreiben in der Form: ∫ Orthonormalit¨at: ⟨q|q ′ ⟩ = dx δ(x − q)δ(x − q ′ ) = δ(q − q ′ ) Vollst¨andigkeit:

∫

∫ dq χq (x)χ∗q (y) = dq δ(x − q)δ(y − q) = δ(x − y)

bzw.

∫

dq |q⟩⟨q| = 1.

Die Vollst¨andigkeitsrelation besagt ja, dass sich jede Funktion im Hilbertraum nach den χq (x) entwickeln l¨asst. ∫ Sei f (x) eine beliebige Funktion. Wenn wir die Entwicklung als f (x) = dq c(q)χq (x) schreiben, finden wir ∫ ∫ f (x) = dq c(q)χq (x) = dq c(q)δ(x − q) = c(x) ⇒

c(q) = f (q)

und die Vollst¨andigkeit gilt in der Tat. 6.2.3 Teilchen im Topf Nachdem wir beim Impuls- und beim Ortsoperator ein rein kontinuierliches Spektrum gefunden haben, sehen wir uns noch einmal das Teilchen im endlichen Topf an. Der Hamiltonoperator ist H=

P2 + V (Q) 2m

mit einem Potenzial der Form: V ( x)

x

6.2 Kontinuierliches Spektrum

125

Nun gibt es beide Arten des Spektrums: a) diskretes Spektrum: E0 < E1 < · · · < EN , |0⟩, |1⟩, . . . , |N ⟩ ∈ H ,

⟨i|j⟩ = δij

f¨ ur i, j ∈ {0, . . . , N },

b) kontinuierliches Spektrum: Streuzust¨ande ψk (x) ∼ = |k⟩ ,

E=

ℏ2 2 k , 2m

k ∈ R \ {0} ,

|k⟩ ∈ / H,

zweifach entartet.

F¨ ur die Normierung der Zust¨ande gilt ⟨k1 |k2 ⟩ = 2πδ(k1 − k2 ) ⟨n|k⟩ = 0 ,

(ohne Beweis),

n ∈ {0, . . . , N },

wobei |k⟩ f¨ ur k ∈ R einen uneigentlichen und |n⟩ f¨ ur n ∈ N einen eigentlichen Eigenvektor bezeichnet. F¨ ur das gesamte System der Eigenvektoren, bestehend aus den eigentlichen und den uneigentlichen, gilt die Vollst¨andigkeit: Jede Funktion f (x) im Hilbertraum l¨ asst sich entwickeln in der Form f (x) =

N ∑

∫ cn ψn (x) +

n=0

∞

dk c(k) ψk (x) . 2π −∞

Hierf¨ ur f¨ uhren wir die Bezeichnung ∫ ∑ f (x) = cα ψα (x) α

ein. Der Index α durchl¨auft die diskreten Werte n ∈ {0, . . . , N } und die kontinuierlichen Werte k ∈ R \ {0}. Die Vollst¨andigkeitsrelation enth¨alt in diesem Falle einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil: N ∑ n=0

ψn (x)ψn∗ (y)

∫

+∞

+ −∞

dk ψk (x)ψk∗ (y) = δ(x − y) . 2π

126

6 Das Spektrum selbstadjungierter Operatoren

In der Diracnotation nimmt sie die sch¨one Form N ∑

∫ |n⟩⟨n| +

n=0

bzw.

∫ ∑

dk |k⟩⟨k| = 1 2π

|α⟩⟨α| = 1

α

an.

¨ Ubungen Der gebundene Zustand ψ0 (x) zu E0 < 0 und die Streuzust¨ ande ψkσ0 (x), σ ∈ {+, −}, f¨ ur ¨ E > 0 im eindimensionalen δ-Potenzial V (x) = −a δ(x), a > 0, sind in Ubungsaufgaben im Kapitel 3 bestimmt worden. 1. Normieren Sie die Wellenfunktionen ψ0 (x) und ψkσ0 (x) mit k0 > 0 so, dass die Orthonormalit¨ at gem¨ aß ′ (ψ0 , ψ0 ) = 1, (ψ0 , ψkσ0 ) = 0 und (ψkσ0 , ψkσ′ = δσ,σ′ δ(k0 − k0′ ) 0 erf¨ ullt ist. ∫∞ Hinweis: Verwenden Sie die Distributions-Beziehung 0 dk eikx = πδ(x) + xi . 2. Zeigen Sie, dass die Vollst¨ andigkeitsrelation gilt: ∑ ∫ ∞ ψ0 (x)∗ ψ0 (x′ ) + dk0 ψkσ0 (x)∗ ψkσ0 (x′ ) = δ(x − x′ ). σ=±

0

6.2.4 Uneigentliche Eigenvektoren Jetzt sind uns schon dreimal uneigentliche Eigenvektoren begegnet und es ist an der Zeit, diesen Begriff allgemein zu fassen. Sei A ein linearer hermitescher Operator. F¨ ur ψ ∈ H definieren wir den Erwartungswert von A . (ψ, Aψ) ⟨A⟩ψ = (ψ, ψ) und die Varianz von A (∆A)2ψ =

(ψ, (A − ⟨A⟩ψ )2 ψ) (ψ, ψ)

6.2 Kontinuierliches Spektrum

127

wie fr¨ uher. Der Zusammenhang (∆A)ψ = 0

⇔

ψ ist eigentlicher Eigenvektor :

Aψ = ⟨A⟩ψ ψ

ist offensichtlich. Sei nun φn ∈ H eine Folge von Vektoren mit lim ⟨A⟩φn = a,

n→∞

lim (∆A)φn = 0.

n→∞

Dann gibt es zwei M¨oglichkeiten. Falls lim φn ≡ φ ∈ H existiert, ist φ eigentlicher Eigenvektor mit n→∞

Aφ = aφ . Falls lim φn nicht existiert in H, so definiert die Folge (φn ) einen unein→∞ gentlichen Eigenvektor φ zum uneigentlichen Eigenwert a. Diese Definition ist ganz ¨ahnlich zur Definition der reellen Zahlen u ¨ber Folgen rationaler Zahlen, deren Grenzwert nicht rational ist. Beispiel:

Sei ∫ φn (x) =

dk gn (k) eikx 2π

mit einer geeigneten Folge von Funktionen gn , f¨ ur die gn (k) −→ 2πδ(k − k0 ) n→∞

gilt. Dann ist der Limes lim φn = eik0 x

n→∞

nicht normierbar und liegt nicht im Hilbertraum. Es gilt aber ∫ dk ℏk gn∗ (k) gn (k) ∫ dk ⟨P ⟩φn = 2π −→ ℏk0 , ∗ 2π gn (k)gn (k) (∆P )φn

−→

0.

Somit definiert die Folge φn einen uneigentlichen Eigenvektor des Impulsoperators P . Jetzt definiert man allgemein:

128

6 Das Spektrum selbstadjungierter Operatoren

Die uneigentlichen Eigenwerte bilden das kontinuierliche Spektrum. Aber wozu braucht man denn u ¨berhaupt diese uneigentlichen Eigenvektoren, die ja gar nicht im Hilbertraum liegen? In der Physik sind es haupts¨achlich die folgenden beiden Tatsachen, welche die Verwendung von uneigentlichen Eigenvektoren n¨ utzlich machen. a) Wenn wir einen beliebigen Vektor aus H vollst¨andig zerlegen m¨ochten nach den Eigenvektoren eines selbstadjungierten Operators, treten auch die uneigentlichen Eigenvektoren auf. b) Physikalische Streuzust¨ande k¨onnen idealisiert in bequemer Weise durch uneigentliche Eigenvektoren beschrieben werden. Das einfachste Beispiel sind die ebenen Wellen beim freien Teilchen.

6.3 Spektralsatz Die oben behauptete Aussage (a) u ¨ber die Zerlegung von Vektoren ist der Inhalt des folgenden Satzes, der auf David Hilbert und John von Neumann zur¨ uckgeht. Spektralsatz: Sei A ein selbstadjungierter Operator. Mit ψa sei ein eigentlicher bzw. uneigentlicher Eigenvektor zum Eigenwert a bezeichnet. Es gilt a) das Spektrum von A ist rein reell, b) Orthogonalit¨at: seine eigentlichen und uneigentlichen Eigenvektoren stehen alle aufeinander senkrecht: (ψa , ψb ) = 0

f¨ ur a ̸= b ,

c) Vollst¨andigkeit: die eigentlichen und uneigentlichen Eigenvektoren spannen den ganzen Hilbertraum auf. Die vollst¨andige Zerlegung eines Vektors |ψ⟩ schreiben wir als ∫ ∑ |ψ⟩ = |n⟩⟨n|ψ⟩ + da |a⟩⟨a|ψ⟩ , n

was gleichbedeutend mit der Vollst¨andigkeitsrelation ∫ ∑ |n⟩⟨n| + da |a⟩⟨a| = 1 n

6.3 Spektralsatz

129

ist. Beispiele: i) Impulsoperator ′

P |k⟩ = ℏk|k⟩ ,

∫

′

⟨k|k ⟩ = 2πδ(k − k ) , ∫ ⟨k|ψ⟩ =

dk |k⟩⟨k| = 1, 2π

˜ dx e−ikx ψ(x) = ψ(k).

ii) Ortsoperator ′

⟨x|x ⟩ = δ(x − x ) ,

Q|x⟩ = x|x⟩ , ∫ ⟨x|ψ⟩ =

dx

∫

′

′

χ∗x (x′ )ψ(x′ )

∫ =

dx |x⟩⟨x| = 1,

dx′ δ(x′ − x)ψ(x′ ) = ψ(x),

also ⟨x|ψ⟩ = ψ(x) , ∫ |ψ⟩ =

∫ dx |x⟩⟨x|ψ⟩ =

dx ψ(x)|x⟩.

Falls das Spektrum sowohl einen diskreten als auch einen kontinuierlichen Teil besitzt, verwenden wir die Schreibweise ∫ ∫ ∑ ∑ |n⟩⟨n| + da |a⟩⟨a| = |α⟩⟨α| . n

α

Spektraldarstellung von Operatoren: Wenn der selbstadjungierte Operator A ein rein diskretes Spektrum besitzt, A|n⟩ = an |n⟩ , k¨ onnen wir ihn gem¨aß A=A

∑ n

|n⟩⟨n| =

∑

an |n⟩⟨n|

n

in Projektoren zerlegen. Dies ist die Spektraldarstellung von A.

130

6 Das Spektrum selbstadjungierter Operatoren

F¨ ur endliche Matrizen ist das wohlbekannt. In der Basis, die aus den Eigenvektoren |n⟩ besteht, nimmt A die Gestalt ⎛ a1 ⎜ a2 ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ..

⎛

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = a1 ⎜ ⎠ ⎝

.

⎛

⎞

1 0 ..

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ + · · · + aN ⎜ ⎝ ⎠

.

aN

0

⎞

0 0

⎟ ⎟ ⎟ .. . ⎠ 1

an. Die Spektraldarstellung gestattet es, Operatorfunktionen f (A) zu definieren durch ∑ f (A) = f (an ) |n⟩⟨n| . n

F¨ ur das obige Beispiel der endlichen Matrix heißt das ⎛

⎞

f (a1 ) f (a2 )

⎜ ⎜ f (A) = ⎜ ⎝

..

⎟ ⎟ ⎟. ⎠

. f (aN )

F¨ ur ein allgemeines Spektrum schreiben wir entsprechend ∫ ∫ ∑ ∑ A= an |n⟩⟨n| + da a |a⟩⟨a| = α |α⟩⟨α| , n

f (A) =

α

∑

∫ f (an ) |n⟩⟨n| +

∫ ∑ da f (a) |a⟩⟨a| = f (α) |α⟩⟨α| .

n

α

Dies ist die Spektraldarstellung von Operatoren und Operatorfunktionen.

¨ Ubungen ( Die Matrix A =

0 i

) −i ist selbstadjungiert. Berechnen Sie die matrixwertige Funktion 0

T (α) = exp(iαA) 1. mithilfe der Matrix-Exponentialreihe, 2. mithilfe der Spektraldarstellung.

6.4 Wahrscheinlichkeitsinterpretation

131

6.4 Wahrscheinlichkeitsinterpretation F¨ ur den Fall eines rein diskreten Spektrums haben wir uns im Abschnitt 4.7 davon u ¨berzeugt, dass die Entwicklungskoeffizienten eine Wahrscheinlichkeitsinterpretation |⟨n|ψ⟩|2 = pn besitzen. Wie ist diese auf den Fall des kontinuierlichen Spektrums zu verallgemeinern? Dort gilt ∫ l l ⟨A ⟩ψ = ⟨ψ|A |ψ⟩ = da da′ ⟨ψ|a⟩⟨a|Al |a′ ⟩⟨a′ |ψ⟩ ∫ ∫ ′ l ′ ′ = da da ⟨ψ|a⟩a δ(a − a )⟨a |ψ⟩ = da |⟨a|ψ⟩|2 al . Hieraus lesen wir die Wahrscheinlichkeitsinterpretation ab: |⟨a|ψ⟩|2 = Wahrscheinlichkeitsdichte p(a) f¨ ur den Messwert a. Beispiele: |⟨x|ψ⟩|2 = |ψ(x)|2 = Wahrscheinlichkeitsdichte f¨ ur x, 1 2 2π |⟨k|ψ⟩|

1 ˜ = 2π |ψ(k)|2 = Wahrscheinlichkeitsdichte f¨ ur k.

7 Darstellungen 7.1 Vektoren und Basen Bisher haben wir einen Zustand ψ ∈ H konkret aufgefasst als eine Funktion im Ortsraum mit Werten ψ(x). Seit neuestem wissen wir aber auch, dass ψ(x) = ⟨x|ψ⟩, d.h. ψ(x) ist die Komponente von |ψ⟩ bez¨ uglich der uneigentlichen Basis {|x⟩ | x ∈ R}. Im Lichte dieser Einsicht k¨onnen wir dazu u ¨bergehen, den Vektor |ψ⟩ als ein basisunabh¨angiges Objekt zu betrachten. Die Situation ist v¨ollig analog zu derjenigen in der linearen Algebra, wo man von Vektoren als mit Zahlen gef¨ ullten Spalten abstrahiert zu basisunabh¨angigen Objekten. Zur Erinnerung: Sei v ∈ H ein Vektor und H ein n-dimensionaler Vektorraum mit einer Orthonormalbasis, bestehend aus den Vektoren e(i) , i = 1, . . . , n. Die Zerlegung v=

∑

vi e(i)

i

bewirkt die eineindeutige, basisabh¨angige Zuordnung ⎛ ⎜ ⎜ v ←→ ⎜ ⎝

v1 v2 .. .

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎠

vn wobei die Komponenten von v gegeben sind durch vi = (e(i) , v). Die Darstellung von Vektoren v in Form von Spaltenvektoren mit den Eintr¨agen vi bezeichnen wir als die e-Darstellung, wobei e die gew¨ahlte Basis ist. Sei A ein linearer Operator und Av = w.

134

7 Darstellungen

F¨ ur die Komponenten gilt dann wi = (e(i) , w) = (e(i) , Av) =

∑

(e(i) , Ae(j) )vj

j

≡

∑

Aij vj .

j

Die aus den so definierten Komponenten Aij = (e(i) , Ae(j) ) gebildete Matrix ⎛

⎞ A11 A12 · · · ⎟ ˆ = (Aij ) = ⎜ A ⎝ A21 A22 · · · ⎠ .. .. .. . . . ist die Matrixdarstellung von A bez¨ uglich der Basis e. Die Hintereinanderausf¨ uhrung von Operatoren AB wird bekanntlich durch die Matrixmultiˆ·B ˆ dargestellt. plikation A ¨ Ein Basiswechsel ist der Ubergang zu einer anderen Orthonormalbasis e′ . ′ Deren Elemente e(i) lassen sich nat¨ urlich als Linearkombination der alten Basisvektoren schreiben: ∑ ′ e(i) = e(j) Sji , mit SS † = 1, j

wobei

′

Sji = (e(j) , e(i) ). F¨ ur einen Vektor v gilt ∑ ∑ ∑ ′ v= vi′ e(i) = vi′ Sji e(j) = vj e(j) , i

i,j

j

woraus f¨ ur die Komponenten das Transformationsgesetz ∑ ∑ vj = Sji vi′ , vi′ = (S † )ij vj i

j

folgt. F¨ ur die Matrixdarstellung von Operatoren findet man entsprechend ∑ A′kl = (S † )ki Aij Sjl . i,j

7.2 Ortsdarstellung

135

7.2 Ortsdarstellung Die im vorigen Abschnitt in Erinnerung gerufenen Sachverhalte aus der linearen Algebra wenden wir nun auf die Quantenmechanik an. Die Ortsdarstellung ist diejenige, bei der die Zust¨ande durch Funktionen im Ortsraum dargestellt werden, so wie wir es bisher gewohnt sind. Die Funktionswerte ψ(x) k¨onnen wir aufgrund der Beziehung ψ(x) = ⟨x|ψ⟩ als die Komponenten des Vektors ψ in der Ortsdarstellung betrachten. Die zugrunde liegende Basis besteht offensichtlich aus den Ortseigenvektoren |x⟩. F¨ ur lineare Operatoren A schreiben wir ∫ (Aψ)(x) = ⟨x|A|ψ⟩ = dy ⟨x|A|y⟩⟨y|ψ⟩ ∫ ˆ y) ψ(y), = dy A(x, ˆ y) als Matrixdarstellung von A mit kontinuierwobei der Operatorkern A(x, lichen Indizes x und y aufgefasst werden kann. Speziell f¨ ur den Ortsoperator finden wir ˆ y) = ⟨x|Q|y⟩ = ⟨x|y|y⟩ = y⟨x|y⟩ = y δ(x − y) = x δ(x − y). Q(x, Wir sehen, dass der Ortsoperator in der Ortsdarstellung diagonal ist, wie es sich geh¨ort. Der Kern des Impulsoperators ist ∫ ℏ ∂ ℏ Pˆ(x, y) = ⟨x|P |y⟩ = dξ δ(ξ − x) δ(ξ − y) = δ ′ (x − y). i ∂ξ i Dies ist nat¨ urlich konsistent mit der u ¨blichen Wirkung von P im Ortsraum: ∫ ∫ ℏ ∂ ℏ ˆ dy δ ′ (x − y) ψ(y) = ψ(x). (P ψ)(x) = dy P (x, y) ψ(y) = i i ∂x

7.3 Impulsdarstellung In der Impulsdarstellung gilt P |p⟩ = p|p⟩.

136

7 Darstellungen

Die Eigenzust¨ande zu P sind orthogonal: ⟨p′ |p⟩ = 2πℏ δ(p′ − p). Die Impulsraum-Wellenfunktion ist durch ˜ ψ(p) = ⟨p|ψ⟩ gegeben. Der Impulsoperator in der Impulsdarstellung ist diagonal: Pˆ(p, q) = ⟨p|P |q⟩ = q 2πℏ δ(p − q). F¨ ur den Ortsoperator in der Impulsdarstellung ergibt sich ∫ ˆ Q(p, q) = ⟨p|Q|q⟩ = dx exp(− ℏi px) x exp( ℏi qx) ∫ ℏ ∂ ℏ ∂ dx exp( ℏi (q − p)x) = − 2πℏ δ(p − q) =− i ∂p i ∂p ℏ = − 2πℏ δ ′ (p − q). i Die Wirkung des Ortsoperators auf eine Impulsraum-Wellenfunktion ist also von der Form ∫ dq ˜ ⟨p|Q|q⟩⟨q|ψ⟩ (Qψ)(p) = ⟨p|Q|ψ⟩ = 2πℏ ∫ ∫ ℏ dq ˆ ˜ ˜ Q(p, q) ψ(q) =− dq δ ′ (p − q) ψ(q) = 2πℏ i ℏ ∂ ˜ =− ψ(p). i ∂p ¨ Dies sollte nicht wirklich eine Uberraschung sein.

¨ Ubungen 1. Wie lautet die zeitunabh¨ angige Schr¨ odingergleichung f¨ ur den linearen harmonischen Oszillator in der Impulsdarstellung? Wie lauten die zugeh¨ origen Eigenfunktionen φ ˜n (p) = ⟨p|n⟩ und Eigenwerte En ? 2. Betrachten Sie ein Teilchen im eindimensionalen homogenen Kraftfeld mit Potenzial V (x) = −F x. a) Wie lautet in der Impulsraumdarstellung die zeitabh¨ angige Schr¨ odingerglei˜ t)? chung f¨ ur ψ(p,

7.4 Darstellungen der Quantenmechanik

137

˜ 0) = ψ(p). ˜ b) Zum Zeitpunkt t = 0 sei ψ(p, Zeigen Sie, dass die L¨ osung der Schr¨ odingergleichung durch ( ) i 3 3 ˜ ˜ − F t) ψ(p, t) = exp {(p − F t) − p } ψ(p 6ℏF m gegeben ist. ˜ t) f¨ c) Berechnen Sie ψ(x, t) durch Fouriertransformation von ψ(p, ur den Fall, dass die Ortsraumwellenfunktion zur Zeit t = 0 ein Gaußpaket 2 − x2 4d

ψ(x, 0) = N e ist.

d) Vergleichen Sie die zeitliche Bewegung des Maximums von |ψ(x, t)|2 mit der klassischen Bewegung. Berechnen Sie f¨ ur ein Elektron mit d = 10−5 m die Zeit, nach der sich die Breite von |ψ(x, t)|2 verdoppelt.

7.4 Darstellungen der Quantenmechanik Allgemein setzen sich Basen eines unendlichdimensionalen Hilbertraumes aus diskreten und kontinuierlichen Anteilen zusammen: {|α⟩} = {|n⟩}n∈I⊂Z ∪ {|a⟩}a∈S⊂R . Die Vollst¨andigkeitsrelation schreibt sich in einer solchen Basis wie folgt: ∫ ∫ ∑ . ∑ |α⟩⟨α| = |n⟩⟨n| + da |a⟩⟨a| = 1. α

n∈I

S

F¨ ur die Komponenten“ eines Vektors hat man: ” ∫ ∑ |ψ⟩ = |n⟩⟨n|ψ⟩ + da |a⟩ ⟨a|ψ⟩ .       S n∈I =: ψn =: ψ(a) Die Matrixelemente“ eines linearen Operators erh¨alt man als ” ˆ β) = ⟨α|A|β⟩, A(α, wobei die F¨alle ˆm,n = ⟨m|A|n⟩, A ˆa,n = ⟨a|A|n⟩, A ˆ b) = ⟨a|A|b⟩ A(a,

138

7 Darstellungen

auftreten k¨onnen. F¨ ur die |α⟩-Komponente“ des Vektors A|ψ⟩ hat man ” den Ausdruck ∫ ∑ ⟨α|A|ψ⟩ = ⟨α|A|β⟩⟨β|ψ⟩. β

Man erkennt hierin eine Verallgemeinerung der Matrixmultiplikation: ∑ (Av)i = Aij vj . j

7.5 Energiedarstellung Als letztes Beispiel f¨ ur eine Basis betrachten wir noch die Energiedarstellung. Es sei H der Hamiltonoperator mit den (der Einfachheit halber) diskreten Eigenzust¨anden |n⟩: H|n⟩ = En |n⟩. F¨ ur die Komponenten“ eines Zustandes |ψ⟩ hat man also ” ψn = ⟨n|ψ⟩. Der Zustand |ψ⟩ kann somit in der Form ⎛ ψ0 ⎜ ψ1 ⎜ |ψ⟩ = ⎜ ψ ⎝ 2 .. .

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

bez¨ uglich der Eigenbasis des Hamiltonoperators geschrieben werden. Der Hamiltonoperator selbst besitzt in dieser Darstellung die Matrixelemente ˆ m,n = ⟨m|H|n⟩ = En ⟨m|n⟩ = En δm,n , H und seine Matrixdarstellung ⎛ ⎜ ˆ =⎜ H ⎜ ⎝

⎞ E0 0 0 ··· 0 E1 0 · · · ⎟ ⎟ 0 0 E2 · · · ⎟ ⎠ .. .. .. . . . . . .

ist also diagonal in seiner Eigenbasis. Aus diesem Grund spricht man auch gelegentlich vom Diagonalisieren des Hamiltonoperators anstatt vom L¨osen der Schr¨odingergleichung.

7.6 Basiswechsel

139

¨ Ubungen 1. Der Grundzustand und ein angeregter Zustand eines Atoms haben die Energien E0 und E1 . Die zugeh¨ origen Eigenfunktionen ψ0 und ψ1 bilden eine Basis eines Teilraumes des physikalischen Zustandsraumes. a) Wie sieht der Hamiltonoperator H0 in dieser Basis aus? b) Nun wird eine Wechselwirkung eingeschaltet, deren Beitrag H1 zum Hamiltonoperator durch H1 ψ0 = εψ1 , ε ∈ C, gegeben ist. Wie lautet der komplette Hamiltonoperator H = H0 + H1 in obiger Basis? c) Welche Eigenwerte und Eigenfunktionen besitzt H? Entwickeln Sie die Energien zus¨ atzlich in eine Taylorreihe nach |ε|. 2. Sei |n⟩ mit n ∈ {0, 1, 2, . . .} die Familie normierter Eigenvektoren des Hamiltonoperators des eindimensionalen harmonischen Oszillators. Sei Aˆ die einem Operator A zugeordnete unendliche Matrix mit Eintr¨ agen Aˆm,n = ⟨m|A|n⟩. ˆ Schreiben Sie die linke obere Ecke dieser Matrix a) Berechnen Sie Pˆ und Q. bis zur 5. Zeile bzw. Spalte explizit auf. Hinweis: Benutzen Sie die Leiteroperatoren a und a† . ˆ 2 , Pˆ Q ˆ und Q ˆ Pˆ . b) Bestimmen Sie die Matrixprodukte Pˆ 2 , Q c) Ermitteln Sie Ergebnisse.

1 ˆ2 P 2m

+

mω 2 ˆ 2 Q 2

ˆ−Q ˆ Pˆ und kommentieren Sie die und Pˆ Q

7.6 Basiswechsel Wie in der linearen Algebra kann man auch in unendlichdimensionalen Hilbertr¨aumen Orthonormalbasen durch geeignete Abbildungen ineinander u uhren. Wir betrachten zun¨achst den Wechsel zwischen der Orts¨berf¨ und der Energiedarstellung (der einfacheren Notation halber hier rein diskret). Es seien {|x⟩}x∈R und {|n⟩}n∈N die entsprechenden Basen. Aus der Vollst¨andigkeit ergibt sich: ∫ |n⟩ = dx |x⟩⟨x|n⟩, R

wobei ⟨x|n⟩ = φn (x) die Komponenten“ der Energie-Eigenzust¨ande in der ” Ortsbasis sind, also die Eigenfunktionen. Wir definieren die Matrix S wie folgt: . Sx,n = ⟨x|n⟩ = φn (x).

140

7 Darstellungen

¨ Die Matrix S vermittelt den Ubergang von der Energiedarstellung zur Ortsdarstellung: ∑ ψ(x) = Sx,n ψn . n

S†

Die adjungierte Matrix f¨ uhrt entsprechend von der Ortsdarstellung in die Energiedarstellung. Es ist ( †) ∗ S n,x = Sx,n = φ∗n (x) = ⟨n|x⟩. F¨ ur das Produkt SS † haben wir ∑ ( †) SS (x, y) = Sx,n (S † )n,y n

=

∑

=

∑

∗ Sx,n Sy,n =

n

∑

φn (x)φ∗n (y)

n ∗

⟨x|n⟩⟨y|n⟩ =

n

∑

⟨x|n⟩⟨n|y⟩

n

= ⟨x|y⟩ = δ(x − y). Wir sehen somit: SS † = 1. Aus der Rechnung ∑ sehen wir desweiteren, dass dies ¨aquivalent zur Vollst¨andigkeitsrelation n φn (x)φ∗n (y) = δ(x − y) ist. Betrachten wir nun die Abbildung S † S, die von der Energiedarstellung in die Energiedarstellung abbildet: ∫ ∫ ( † ) † ∗ S S n,m = dx (S )n,x Sx,m = dx Sx,n Sx,m ∫ ∫ = dx φ∗n (x)φm (x) = dx ⟨x|n⟩∗ ⟨x|m⟩ ∫ = dx ⟨n|x⟩⟨x|m⟩ = δn,m . Es gilt also auch S † S = 1. In der oben∫ durchgef¨ uhrten Rechnung finden wir die Orthogonalit¨atsrelation dx φ∗n (x)φm (x) = δn,m wieder.

7.6 Basiswechsel

141

Auf dem Hilbertraum definierte Operatoren U , die U U † = U † U = 1 erf¨ ullen, heißen unit¨ ar. Wir haben also insgesamt gezeigt, dass der Basiswechsel durch eine unit¨are Abbildung vermittelt wird. Betrachten wir zuletzt noch den Wechsel zwischen der Orts- und der Impulsdarstellung. Die Matrix“ f¨ ur den Basiswechsel ist in diesem Fall ein ” Kern: . S(x, p) = ⟨x|p⟩ = exp( ℏi px). Somit gilt ∫ ˜ ψ(p) = ⟨p|ψ⟩ = dx ⟨p|x⟩⟨x|ψ⟩ ∫ ∫ † = dx S (p, x) ψ(x) = dx exp(− ℏi px) ψ(x), was nichts anderes als die Fouriertransformation ist. Dementsprechend ergibt sich ψ(x) als R¨ ucktransformation: ∫ ∫ dp dp ˜ ˜ ψ(x) = S(x, p) ψ(p) = exp( ℏi px) ψ(p). 2πℏ 2πℏ

¨ Ubungen Zeigen Sie, dass die Spur eines Operators unabh¨ angig von der Basis des Hilbertraumes ist, d.h. sich bei einem Basiswechsel nicht a ¨ndert.

8 Zeitliche Entwicklung 8.1 Schr¨ odingerbild Die zeitliche Entwicklung eines quantenmechanischen Zustandes wird durch die Schr¨odingergleichung gegeben: iℏ

∂

|ψ(t)⟩=H|ψ(t)⟩

∂t |ψ(0)⟩ −−− −−−−−−−−−→ |ψ(t)⟩.

Die lineare Abbildung, welche |ψ(0)⟩ auf |ψ(t)⟩ abbildet, ist unit¨ar. Dies ∂ folgt aus der Tatsache, dass ∂t ⟨ψ1 (t)|ψ2 (t)⟩ verschwindet, ⟨ψ1 (t)|ψ2 (t)⟩ also zeitunabh¨angig ist. Dies wiederum ist eine Folge der Selbstadjungiertheit des Hamiltonoperators. F¨ ur einen zeitunabh¨ angigen Hamiltonoperator l¨ost man die Schr¨odingergleichung zun¨ achst formal durch den Ansatz |ψ(t)⟩ = exp(− ℏi Ht)|ψ(0)⟩ . Durch Differenzieren nach t zeigt man sofort, dass das so gebildete |ψ(t)⟩ die Schr¨odingergleichung erf¨ ullt. Wir definieren uns den Zeitentwicklungsoperator . U (t) = exp(− ℏi Ht) .

Wie ist diese Definition zu verstehen? Man k¨onnte zun¨achst daran denken, U (t) u ¨ber die Potenzreihe zu definieren: U (t) = 1 − ℏi tH −

2 1 t2 2 ℏ2 H

+ ···

Um der Frage nach der Konvergenz dieser Reihe und damit verbundener Rechnerei mit Operatornormen auszuweichen, verwenden wir die Spektraldarstellung. Es sei |n⟩ das vollst¨andige Orthonormalsystem zum hermiteschen Operator ∑ H: H|n⟩ = En |n⟩. Es gilt die Vollst¨andigkeitsrelation n |n⟩⟨n| = 1. Damit haben wir: ∑ ∑ H= H|n⟩⟨n| = En |n⟩⟨n|. n

n

144

8 Zeitliche Entwicklung

Eine Operatorfunktion von H definieren wir via . ∑ f (En )|n⟩⟨n|. f (H) = n

Die Verallgemeinerung zu Hamiltonoperatoren mit nicht rein diskreten Spektren ist kanonisch. F¨ ur den Zeitentwicklungsoperator gilt somit: ∑ U (t) = exp(− ℏi En t)|n⟩⟨n|. n

. F¨ ur die Zeitentwicklung eines quantenmechanischen Zustandes |ψ(0)⟩ = ∑ n cn |n⟩ gilt dann: ∑ |ψ(t)⟩ = U (t)|ψ(0)⟩ = exp(− ℏi Em t)|m⟩⟨m|n⟩ cn    m,n

=

∑ n

=δm,n

exp(− ℏi En t)cn |n⟩ =    =:cn (t)

∑

cn (t)|n⟩.

n

Diese Zeitentwicklung der Koeffizienten“ ” cn (t) = cn (0) exp(− ℏi En t) kann man sich auch herleiten, wenn man den Ansatz f¨ ur |ψ(0)⟩ in die Schr¨odingergleichung einsetzt und die gew¨ohnliche Differenzialgleichung 1. Ordnung in t f¨ ur die einzelnen Komponenten |n⟩ mit den Anfangsbedingungen cn (0) = cn l¨ ost. Die wichtigsten Eigenschaften des Zeitentwicklungsoperators sind: • U (t) ist unit¨ar:

H=H † t∈R † U (t)U (t) =

• U † (t) = U (−t) d • iℏ dt U (t) = HU (t) = U (t)H.

exp( ℏi Ht) exp(− ℏi Ht) = 1

8.1 Schr¨odingerbild

145

¨ Ubungen 1. Zeigen Sie, dass das Produkt zweier unit¨ arer Operatoren U1 U2 wieder unit¨ ar ist. 2. Zeigen Sie, dass die Eigenwerte eines unit¨ aren Operators den Betrag 1 haben. 3. Es sei U unit¨ ar. F¨ ur welche Zahlen c ∈ C ist der Operator U ′ = c U ebenfalls unit¨ ar? 4. A und A′ seien quadratischen Matrizen mit gleichem Rang und seien durch die unit¨ are Transformation A′ = U A U † miteinander verkn¨ upft. Zeigen Sie, dass die Spuren und Determinanten von A und A′ gleich sind.

8.1.1 Neutrino-Oszillationen Zur Illustration wenden wir uns einem aktuellen Beispiel zu: den NeutrinoOszillationen. Neutrinos sind sehr leichte neutrale Teilchen, die an der schwachen Wechselwirkung teilnehmen. Es sind drei Sorten von Neutrinos bekannt: das Elektron-Neutrino νe , das Myon-Neutrino νµ und das Tau-Neutrino ντ plus ihre jeweiligen Antiteilchen. Eine wichtige Frage der Elementarteilchenphysik ist diejenige nach den Massen der Neutrinos. Lange Zeit nahm man an, dass Neutrinos masselos sind. Falls sie aber doch eine nichtverschwindende Masse besitzen, kann es Neutrino-Oszillationen geben. Dies sind Umwandlungen der Neutrinosorten ineinander. m ̸= 0

←→

Neutrino-Oszillationen

Durch Neutrino-Oszillationen kann das Problem der fehlenden Sonnenneutrinos gel¨ost werden. Der Einfachheit halber betrachten wir nur die beiden Sorten νe und νµ . Wenn wir die Bewegung im Ortsraum separieren, k¨onnen wir die beiden Zust¨ande im Hilbertraum H = C2 durch ( ) ( ) 1 0 |νµ ⟩ = , |νe ⟩ = 0 1 beschreiben. Wenn die Wechselwirkung abgeschaltet wird, sind diese Zust¨ande Energie-Eigenzust¨ande, H0 |νA ⟩ = EA |νA ⟩ ,

A = µ, e

146

8 Zeitliche Entwicklung

mit

( H0 =

Eµ 0 0 Ee

) .

Die relativistischen Energien zum Impuls p sind dabei EA =

√

p2 c2 + m2νA c4 ≈ pc +

m2νA c4 2pc

f¨ ur m2νA c2 ≪ pc.

Nun nehmen wir an, dass es eine Wechselwirkung zwischen den Neutrinospezies gibt, die durch ) ( Eµ g , g∈R H= g Ee beschrieben wird, wobei g ein kleiner Parameter ist. Die Diagonalisierung von H liefert die Energie-Eigenwerte √ 1 1 E1 = (Eµ + Ee ) + (Eµ − Ee )2 + 4g 2 2 2√ 1 1 E2 = (Eµ + Ee ) − (Eµ − Ee )2 + 4g 2 2 2 und die Eigenzust¨ande |ν1 ⟩ =

cos θ sin θ

(

− sin θ cos θ

cos θ |νµ ⟩ + sin θ |νe ⟩ =

|ν2 ⟩ = − sin θ |νµ ⟩ + cos θ |νe ⟩ =

)

(

) ,

so dass H|νj ⟩ = Ej |νj ⟩ ist. Der Mischungswinkel θ ist gegeben durch sin 2θ =

2g E1 − E2

bzw.

cos 2θ =

Eµ − Ee . E1 − E2

Die |νj ⟩ beschreiben freie Teilchen und diese sind die Zust¨ande mit definierter Masse: √ m2j c4 Ej = p2 c2 + m2j c4 ≈ pc + . 2pc Die in Reaktionen erzeugten Myon- oder Elektronneutrinos sind Mischungen hiervon: |νµ ⟩ = cos θ |ν1 ⟩ − sin θ |ν2 ⟩ |νe ⟩ = sin θ |ν1 ⟩ + cos θ |ν2 ⟩.

8.1 Schr¨odingerbild

147

Die Zeitentwicklung wird vermittelt durch U (t) = exp(− ℏi Ht). In unserem Falle gilt i

i

U (t) = e− ℏ E1 t |ν1 ⟩⟨ν1 | + e− ℏ E2 t |ν2 ⟩⟨ν2 | =e

− ℏi E1 t

+e

cos2 θ cos θ sin θ cos θ sin θ sin2 θ

(

− ℏi E2 t

(

)

− cos θ sin θ sin2 θ − cos θ sin θ cos2 θ

) .

Nehmen wir einmal an, zum Zeitpunkt t = 0 werde ein Myonneutrino erzeugt: ( ) 1 . |ν(0)⟩ = |νµ ⟩ = 0 Zu einem sp¨ateren Zeitpunkt t > 0 hat sich dieses entwickelt zu i

i

|ν(t)⟩ = U (t)|ν(0)⟩ = e− ℏ E1 t cos θ |ν1 ⟩ − e− ℏ E2 t sin θ |ν2 ⟩. Die Wahrscheinlichkeit, zu diesem Zeitpunkt ein Elektronneutrino νe zu detektieren, ist p(t) = |⟨νe |ν(t)⟩|2 . Wir finden − ℏi Ht

⟨νe |ν(t)⟩ = ⟨νe |e

(

|νµ ⟩ = sin θ cos θ e

und damit p(t) = sin2 2θ · sin2 mit ∆E = E1 − E2 =

− ℏi E1 t

−e

− ℏi E2 t

)

∆E t 2ℏ

∆m2 c4 . 2pc

Man sieht, dass eine Messung der Oszillationen Auskunft u ¨ber die Differenz der Massenquadrate geben kann. Das Super-Kamiokande-Experiment in Japan hat im Jahre 2001 Anzeichen f¨ ur Oszillationen zwischen µ- und τ Neutrinos gefunden mit den Schranken 5 · 10−4 eV2 < ∆m2 c4 < 6 · 10−3 eV2 .

148

8 Zeitliche Entwicklung

8.2 Heisenbergbild Wir wechseln nun die Basis des Hilbertraumes durch folgende zeitabh¨ angige unit¨are Transformation: . |ψ(t)⟩ −→ |ψH ⟩ = U † (t)|ψ(t)⟩ = |ψ(0)⟩ . A −→ AH (t) = U † (t)AU (t). Hierdurch gelangen wir zum Heisenbergbild, in dem die Zust¨ande |ψH ⟩ zeitunabh¨angig, stattdessen jedoch die Operatoren AH (t) zeitabh¨angig sind. Insbesondere gilt f¨ ur die Matrixelemente in der Energiedarstellung ⟨m|AH (t)|n⟩ = ⟨m|A|n⟩ exp( ℏi (Em − En )t). F¨ ur Erwartungswerte finden wir ⟨A⟩H = ⟨ψH |AH (t)|ψH ⟩ = ⟨ψ(t)|U (t)U † (t)AU (t)U † (t)|ψ(t)⟩ = ⟨ψ(t)|A|ψ(t)⟩ = ⟨A⟩, so dass sie im Schr¨odinger- und im Heisenbergbild gleich sind. Die Bewegungsgleichung im Schr¨odingerbild ist die Schr¨odingergleichung. Im Heisenbergbild gibt es stattdessen eine Bewegungsgleichung f¨ ur Operatoren. Sei A = A(t) im Schr¨odingerbild explizit zeitabh¨angig, z.B. A(t) = P + Q sin ωt. Dann ist AH (t) = U † (t)A(t)U (t) = exp( ℏi Ht)A(t) exp(− ℏi Ht), d.h. f¨ ur obiges Beispiel AH (t) = PH (t) + QH (t) sin ωt. F¨ ur die zeitliche ¨ Anderung gilt d iℏ AH (t) = [AH (t), H] + iℏ U † (t) dt

(

) ∂ A(t) U (t). ∂t

Mit der Definition

∂ ∂A(t) . AH (t) = U † (t) U (t) ∂t ∂t lautet die Bewegungsgleichung f¨ ur Operatoren im Heisenbergbild

iℏ

∂ d AH (t) = [AH (t), H] + iℏ AH (t) . dt ∂t

8.3 Ehrenfest’sche Theoreme

149

Wenn der Hamiltonoperator im Schr¨odingerbild nicht von der Zeit abh¨angt, gilt u ¨brigens HH (t) = H. Was sind Erhaltungsgr¨oßen in der Quantenmechanik? Die Observable A sei ∂ nicht explizit zeitabh¨angig, d.h. ∂t A = 0. A heißt Erhaltungsgr¨oße, wenn d aquivalent zu [AH , H] = 0 bzw. dt AH (t) = 0. Dies ist ¨ A ist Erhaltungsgr¨oße ⇐⇒ [A, H] = 0 . Dann ist ⟨A⟩ zeitunabh¨angig.

¨ Ubungen 1. Harmonischer Oszillator im Heisenbergbild a) Stellen Sie f¨ ur den harmonischen Oszillator die Heisenberg’schen Bewegungsgleichungen f¨ ur a(t), a† (t), P (t) und Q(t) auf. b) L¨ osen Sie die Bewegungsgleichungen f¨ ur a(t) und a† (t). Bestimmen Sie damit Q(t) und P (t). 2. Ein Teilchen bewege sich in einer Dimension unter dem Einfluss einer konstanten Kraft F0 . Das zugeh¨ orige Potenzial lautet V (Q) = −F0 Q. a) Geben Sie die Bewegungsgleichungen f¨ ur PH (t) und QH (t) im Heisenbergbild an. b) Berechnen Sie die Operatoren PH (t) und QH (t) explizit. Verwenden Sie dazu die Operatoridentit¨ at exp(A)B exp(−A) =

∞ ∑ 1 [A, B](n) n! n=0

aus Kapitel 4. Pr¨ ufen Sie, dass die Bewegungsgleichungen erf¨ ullt sind.

8.3 Ehrenfest’sche Theoreme Mit der Bewegungsgleichung im Heisenbergbild gilt iℏ

d d d ⟨A⟩ = iℏ ⟨A⟩H = ⟨ψH |iℏ AH (t)|ψH ⟩ dt dt dt ∂ = ⟨ψH | [AH (t), H] + iℏ AH (t)|ψH ⟩ ∂t

150

8 Zeitliche Entwicklung

und somit das Ehrenfest’sche Theorem d ∂A iℏ ⟨A⟩ = ⟨[A, H]⟩ + iℏ⟨ ⟩. dt ∂t ⃗ haben wir F¨ ur den u ¨blichen Fall H = P⃗ 2 /2m + V (Q) ] [ Pj P⃗ 2 = iℏ [Qj , H] = Qj , 2m m ] [ ] ℏ[ ∂ ℏ ⃗ ⃗ ⃗ [Pj , H] = Pj , V (Q) = , V (Q) = ∇j V (Q) i ∂xj i und das Ehrenfest’sche Theorem liefert 1 d ⟨⃗r ⟩ = ⟨⃗ p⟩ dt m d ⟨⃗ p ⟩ = −⟨∇V (⃗r )⟩, dt woraus das spezielle Ehrenfest’sche Theorem m

d2 ⟨⃗r ⟩ = −⟨∇V (⃗r )⟩ dt2

folgt. Nun sollte man aber nicht denken, dass f¨ ur ⟨⃗r ⟩ die klassische Bewegungsgleichung gilt, denn im Allgemeinen ist ⟨∇V (⃗r )⟩ ̸= ∇V (⟨⃗r ⟩). F¨ ur den harmonischen Oszillator mit V (x) =

m 2 2 2ω x

allerdings gilt

d2 ⟨x⟩ = −mω 2 ⟨x⟩, dt2 welches die klassische Bewegungsgleichung f¨ ur ⟨x⟩ ist. m

¨ Ubungen 1. Die Observable A sei nicht explizit von der Zeit abh¨ angig. Berechnen Sie mit Hilfe ¨ des Ehrenfest’schen Theorems die zeitliche Anderung des Schwankungsquadrates (∆A)2 . 2. Zeigen Sie, dass f¨ ur das kr¨ aftefreie Teilchen d2 (∆Qk )2 = const. dt2 gilt. 3. Zeigen Sie, dass das Ergebnis der vorigen Aufgabe auch f¨ ur den Fall der Bewegung im zeitunabh¨ angigen homogenen Kraftfeld gilt.

9 Drehimpuls 9.1 Drehimpulsoperator ⃗ = Analog zum Drehimpuls eines Teilchens in der klassischen Mechanik, L ⃗r × p⃗, definieren wir den Drehimpulsoperator ⃗ =Q ⃗ × P⃗ , L

d.h. in Komponenten Li = εijk Qj Pk . Hier und im Folgenden wird die Summenkonvention verwandt, nach der u ¨ber doppelt auftauchende Indizes stets zu summieren ist. Die Komponenten Li sind selbstadjungiert Lj = L†j . Sie sind nicht kommensurabel, denn es gelten die Vertauschungsrelationen [Li , Lj ] = iℏεijk Lk , explizit: [L1 , L2 ] = iℏL3 [L2 , L3 ] = iℏL1 [L3 , L1 ] = iℏL2 . In der Quantenmechanik hat der Drehimpuls eine unmittelbare Beziehung zu r¨aumlichen Drehungen: ⃗ erzeugt Drehungen im Raum. L Dies sieht man folgendermaßen. Eine Rotation ist bestimmt durch ihre . Achse ⃗n, mit ⃗n2 = 1, und den Drehwinkel α. Wir f¨ uhren den Vektor α ⃗ = α ⃗n ein, der die Drehung ebenfalls eindeutig charakterisiert.

152

9 Drehimpuls

Den Ortsvektor k¨onnen wir zerlegen in einen zu ⃗n parallelen und einen dazu senkrechten Teil: ⃗r = (⃗r · ⃗n)⃗n + {⃗r − (⃗r · ⃗n)⃗n}. ′

Der gedrehte Vektor ⃗r ist ′

⃗r ≡ R(⃗ α) ⃗r = (⃗r · ⃗n)⃗n + {⃗r − (⃗r · ⃗n)⃗n} cos α + ⃗n × ⃗r sin α , wobei die lineare Abbildung R(⃗ α) die Rotation kennzeichnet. F¨ ur einen infinitesimalen Winkel δα finden wir ( ) ( ) ′ ⃗r = ⃗r + δα ⃗n × ⃗r + O (δα)2 ≡ ⃗r + δ⃗ α × ⃗r + O (δα)2 . Die Wellenfunktion eines rotierten Zustandes ist gegeben durch ψ ′ (⃗r ) = ψ(R(−⃗ α)⃗r ), oder anders ausgedr¨ uckt

′

ψ ′ (⃗r ) = ψ(⃗r ). xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

ψ'

r'

r

xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx

α

F¨ ur infinitesimale Rotationen ist ψ ′ (⃗r ) = ψ(⃗r − δ⃗ α × ⃗r ) = ψ(⃗r ) − (δ⃗ α × ⃗r ) · ∇ψ(⃗r ) = ψ(⃗r ) − i (δ⃗ α × ⃗r ) · P⃗ ψ(⃗r ) ℏ

= ψ(⃗r ) − ℏi δ⃗ α · (⃗r × P⃗ )ψ(⃗r ) { } ⃗ ψ(⃗r ). = 1 − ℏi δ⃗ α·L

ψ

9.1 Drehimpulsoperator

153

⃗ Drehungen erzeugt. Man kann zeigen, Diese letzte Gleichung besagt, dass L dass f¨ ur endliche Drehungen die Formel ( ) ⃗ ψ(⃗r ) ψ ′ (⃗r ) = exp − ℏi α ⃗ ·L gilt. Durch die unit¨aren Operatoren ) ( . ⃗ ⃗ ·L UR (⃗ α) = exp − ℏi α wird die Drehgruppe SO(3) unit¨ar auf dem Hilbertraum H dargestellt. F¨ ur Observable gilt das Transformationsgesetz A′ = UR (⃗ α)AUR† (⃗ α) bzw. infinitesimal A′ = A −

i ℏ

[ ] ⃗ A . δ⃗ α · L,

Hieraus lesen wir sofort ab: A ist drehinvariant ⇐⇒ [Lj , A] = 0 f¨ ur j = 1, 2, 3. Beispiele: [P⃗ 2 , Lj ] = 0,

⃗ 2 , Lj ] = 0, [Q

⃗ 2 , Lj ] = 0. [L

¨ Ubungen 1. Berechnen Sie folgende Kommutatoren mit Hilfe der Born-Jordan’schen Vertauschungsrelationen: ⃗ 2 ] , [Lj , P ⃗ 2 ] , [Lj , L ⃗ 2] . [Lj , Qk ] , [Lj , Pk ] , [Lj , Lk ] , [Lj , Q 2. Zeigen Sie, dass ein Operator, der mit zwei Komponenten des Bahndrehimpulses kommutiert, auch mit der dritten Komponente vertauschbar ist. 3. Berechnen Sie, analog zum Beweis des Ehrenfest’schen Theorems, f¨ ur ein Teilchen d ⃗ im konservativen Kraftfeld die Gr¨ oße dt ⟨L⟩. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem entsprechenden der klassischen Mechanik. 4. Zeigen Sie mit Hilfe der Kommutatoren, dass f¨ ur infinitesimale Drehungen gilt: 3 3 ∑ ∑ † † (⃗ α) = R(−⃗ α)j,k Pk . Unter UR (⃗ α)Qj UR (⃗ α) = R(−⃗ α)j,k Qk und UR (⃗ α)Pj UR k=1

k=1

Drehungen transformieren sich Orts- und Impulsoperator somit wie Vektoren.

154

9 Drehimpuls

5. Ein Teilchen bewege sich in der x-y-Ebene und sei dort dem Potenzial V (x, y) = mω 2 3 |z − 1|2 ausgesetzt, wobei z = x + iy. 18 a) Finden Sie die Minima von V . b) Welche Symmetrien besitzt das System? Betrachten Sie die Symmetriegruppe, die aus Rotationen besteht. Schreiben Sie die unit¨ aren Operatoren, die diese Transformationen beschreiben, in der Form Uj = exp(iAj ). Wie lauten die Aj in Polarkoordinaten? c) Entwickeln Sie V um die Minima zj bis zur quadratischen Ordnung. Verwenden Sie dabei die Bezeichnung ζj = vj + iwj f¨ ur die jeweiligen Abweichungen von den Minima zj . d) Wie lautet die jeweilige Grundzustandswellenfunktion φj f¨ ur diese drei F¨ alle (ohne explizite Angabe der Normierung Nj )? e) U1 sei der unit¨ are Operator f¨ ur die gefundene Rotation mit dem kleinsten Winkel, der gr¨ oßer als Null ist. Welche Eigenwerte λk besitzt U1 ? Wie wirkt U1 auf die φj ? f) Finden Sie Linearkombinationen der Form ϕk = α φ1 + β φ2 + γ φ3 , wobei Sie ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit α = 1 w¨ ahlen k¨ onnen, so dass ϕk eine Eigenfunktion zum Eigenwert λk ist.

9.2 Teilchen im Zentralpotenzial Sei V (r) ein Zentralpotenzial, wobei r2 = ⃗r 2 . Die station¨are Schr¨odingergleichung ist ( ) P⃗ 2 + V (r) ψ(⃗r ) = E ψ(⃗r ). 2m Wir schreiben den Hamiltonoperator als H=

P⃗ 2 + V (R), 2m

⃗ 2 definiert ist. Im Ortsraum ist R mit dem Operator R, der durch R2 = Q nichts anderes als der Multiplikationsoperator, der die Wellenfunktion mit r multipliziert. H ist drehinvariant: [H, Lj ] = 0. Diese Gleichung bedeutet aber auch: ⃗ ist Erhaltungsgr¨oße. L

9.2 Teilchen im Zentralpotenzial

155

⃗2 ⃗ 2 eine Erhaltungsgr¨oße. Wir k¨onnen folglich H und L Damit ist auch L gleichzeitig diagonalisieren. In der klassischen Mechanik geht man so vor: Es ist ⃗ 2 = ⃗r 2 p⃗ 2 − (⃗r · p⃗)2 = r2 p⃗ 2 − r2 p2r , L wobei der Radialimpuls pr durch . rpr = ⃗r · p⃗ definiert wird. Damit zerlegt man in der kinetischen Energie das Impulsquadrat als 1 ⃗2 p⃗ 2 = p2r + 2 L . r ⃗ 2 erh¨alt man einen Ausdruck f¨ Unter Ausnutzung der Konstanz von L ur die Energie, der nur noch von r abh¨angt. In der Quantenmechanik werden wir nun eine analoge Zerlegung durchf¨ uhren. Eine kurze Rechnung mit Kommutatoren liefert ⃗ · P⃗ ). ⃗ 2 = R2 P⃗ 2 − (Q ⃗ · P⃗ )2 − ℏ (Q L i Wie ist nun der Radialimpuls Pr zu definieren? Betrachten wir den Ansatz . ⃗ ⃗ RP˜r = Q · P, der in der Ortsdarstellung zu ℏ ∂ P˜r = i ∂r f¨ uhrt. Leider ist das ein Fehlschuss, denn P˜r ist nicht hermitesch: ℏ1 P˜r† = P˜r + 2 . iR Also w¨ahlen wir . Pr = 12 (P˜r + P˜r† ) ℏ1 = P˜r + , iR was in der Ortsdarstellung ℏ Pr = i

(

1 ∂ + ∂r r

)

156

9 Drehimpuls

lautet. Dieser Operator ist hermitesch und ist kanonisch konjugiert zu R: [Pr , R] =

ℏ 1. i

⃗ 2 und finden Damit ausger¨ ustet machen wir uns an die Zerlegung von L ⃗ 2 = R2 P⃗ 2 − R2 P 2 , L r analog zum klassischen Ausdruck. Somit ist 1 ⃗2 P⃗ 2 = Pr2 + 2 L R und wir k¨onnen den Hamiltonoperator schreiben als

H=

1 2 1 ⃗2 Pr + L + V (R) . 2m 2mR2

⃗ 2 sind gleichzeitig diagonalisierbar: Es existieren gemeinsame EiH und L genvektoren |E, λ⟩, so dass H|E, λ⟩ = E|E, λ⟩ ⃗ 2 |E, λ⟩ = λ|E, λ⟩ L gilt. Somit erhalten wir die radiale Schr¨ odingergleichung } { λ 1 2 Pr + + V (R) |E, λ⟩ = E|E, λ⟩. 2m 2mR2

¨ Ubungen 1. Zeigen Sie unter Verwendung der Ortsdarstellung, dass der Operator des Radialimpulses ( ) ℏ ∂ 1 Pr = + i ∂r r hermitesch ist. Hinweis: Beschr¨ anken Sie sich auf den Unterraum der Funktionen, die nur von ∂ r = |⃗r| abh¨ angen. Durch Verwendung der Darstellung Pr = ℏi r1 ∂r r kann die Rechnung vereinfacht werden.

9.2 Teilchen im Zentralpotenzial

157

¨ 2. Uber der positiven reellen Halbachse R+ = {r ∈ R| r ≥ 0} sei D die Menge der quadratintegrablen differenzierbaren Funktionen, deren Ableitung ebenfalls qua{ } dratintegrabel ist: D = u(r) ∈ L2 (R+ )| u′ (r) ∈ L2 (R+ ) . Der “RadialimpulsOperator“ P˜r sei definiert durch ℏ ∂ P˜r u(r) = u(r) i ∂r auf dem Definitionsbereich DP˜r = {u ∈ D| u(0) = 0}. a) Zeigen Sie, dass P˜r hermitesch ist. b) Ist P˜r selbstadjungiert? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort. c) Welche Eigenfunktionen besitzt P˜r ? Liegen diese in DP˜r ?

9.2.1 Kugelkoordinaten F¨ ur den Fall eines Zentralpotenzials ist es angemessen, Kugelkoordinaten (r, ϑ, φ) in der Ortsdarstellung zu verwenden. Der Radialimpuls und sein Quadrat lauten ( ) ℏ ∂ 1 ℏ1 ∂ Pr = + = r i ∂r r i r ∂r ( 2 ) 2 ∂ 2 ∂ 2 2 21 ∂ r = −ℏ + . Pr = −ℏ r ∂r2 ∂r2 r ∂r ⃗ 2 in Kugelkoordinaten? Wegen [L ⃗ 2 , R] = 0 kann L ⃗ 2 keine DifWie wirkt L ferenziation nach r enthalten. Sei z.B. ψ(⃗r ) = f (r) Y (ϑ, φ). Dann ist { } Pr2 ψ = Pr2 f (r) · Y (ϑ, φ) ⃗ 2 ψ = f (r) L ⃗ 2 Y (ϑ, φ). L Wir wollen das explizit u ufen. Der Laplaceoperator lautet in Kugel¨berpr¨ koordinaten (siehe Elektrodynamik) ∆=

∑ ∂2 ∂2 1 2 ∂ = + + 2 ∆ϑ,φ 2 2 ∂r r ∂r r ∂xi i

158

9 Drehimpuls

mit ∆ϑ,φ

1 ∂ = sin ϑ ∂ϑ

( ) ∂2 ∂ 1 sin ϑ + . ∂ϑ sin2 ϑ ∂φ2

Andererseits ist

1 ⃗2 . P⃗ 2 = −ℏ2 ∆ = Pr2 + 2 L R Durch Vergleich entdecken wir ⃗ 2 = −ℏ2 ∆ϑ,φ . L

⃗ k¨onnen wir ebenfalls Ausdr¨ F¨ ur die Komponenten von L ucke in Kugelkoordinaten finden. Mit ⃗r = r⃗er 1 ∂ 1 ∂ ∂ + ⃗eϑ + ⃗eφ ∇ = ⃗er ∂r r ∂ϑ r sin ϑ ∂φ berechnet man ( ) ℏ ∂ ∂ L1 = − sin φ − cos φ cot ϑ i ∂ϑ ∂φ ( ) ∂ ℏ ∂ cos φ L2 = − sin φ cot ϑ i ∂ϑ ∂φ ℏ ∂ L3 = . i ∂φ Am Ausdruck f¨ ur L3 kann man noch einmal direkt ablesen, dass L3 Dre¨ hungen um die z-Achse, d.h. Anderungen des Winkels φ erzeugt. Betrachten wir nun die radiale Schr¨odingergleichung in Kugelkoordinaten. Nehmen wir an, die Wellenfunktion separiert in Radial- und Winkelanteil: ψ(⃗r ) = f (r) Y (ϑ, φ). ⃗ 2 den Eigenwert λ besitzt, Wenn L ⃗ 2 ψ = λψ, L so reduziert sich die radiale Schr¨odingergleichung auf eine Differenzialgleichung einer Variablen, n¨amlich r: { } ℏ2 1 ∂ 2 λ − r+ + V (r) f (r) = Ef (r). 2m r ∂r2 2mr2

9.3 Eigenwerte des Drehimpulses

159

Diese vereinfacht sich noch durch die Definition . u(r) = rf (r) zu {

} ℏ2 ∂ 2 λ − + + V (r) u(r) = E u(r) . 2m ∂r2 2mr2

Sie ist formal analog zur eindimensionalen Schr¨odingergleichung mit einem effektiven Potenzial λ Veff (r) = V (r) + , 2mr2 allerdings ist zu beachten, dass sie nur auf dem Halbraum r ≥ 0 gilt. F¨ ur u(r) sind bestimmte Randbedingungen zu fordern. • F¨ ur Bindungszust¨ande muss die Wellenfunktion quadratintegrabel sein: ∫ ∫ ∫ ∞ 3 2 2 d r |ψ(⃗r )| = dΩ |Y (ϑ, φ)| · dr |u(r)|2 < ∞. 0

Das erfordert

√ |u(r)| r −→ 0

f¨ ur r → ∞.

• Wenn V (r) keinen singul¨aren Anteil ∼ δ (3) (⃗r ) besitzt, muss u(0) = 0 sein, denn anderenfalls w¨are f (r) ∼ 1/r und folglich ∆ψ(⃗r ) ∼ δ (3) (⃗r ).

9.3 Eigenwerte des Drehimpulses Der Drehimpuls hat die Dimension einer Wirkung. Durch die Definition des ⃗ gem¨aß dimensionslosen Operators M ⃗ ≡ ℏM ⃗ L vermeiden wir das Auftreten zahlreicher Faktoren ℏ in den nachfolgenden Formeln. Die Vertauschungsrelationen sind [M1 , M2 ] = iM3

und zyklisch.

160

9 Drehimpuls

⃗ k¨onnen nicht gleichzeitig diagonalisiert werDie drei Komponenten von M den. Wegen ⃗ 2 , Mk ] = 0 [M ⃗ 2 und M3 k¨onnen wir uns aber die Aufgabe stellen, die Eigenwerte von M zu finden. 9.3.1 Allgemeine Drehimpulseigenwerte Wir werden nun die m¨oglichen Eigenwerte algebraisch bestimmen, d.h. es werden nur die Vertauschungsrelationen [Mj , Mk ] = i εjkl Ml benutzt. Diese bilden die sogenannte Lie-Algebra der Gruppen SO(3) und SU(2). Die Eigenwertgleichungen seien ⃗ 2 |λ, m⟩ = λ|λ, m⟩ M M3 |λ, m⟩ = m|λ, m⟩ und die Eigenvektoren seien orthonormal: ⟨λ, m|λ′ , m′ ⟩ = δλ,λ′ δm,m′ . Der Eigenwert λ kann nicht negativ sein wegen ⃗ 2 |λ, m⟩ ≥ 0 ⟨λ, m|M

=⇒

λ ≥ 0.

Um die Eigenwerte zu finden, wenden wir nun ein allgemeines Verfahren an, das wir schon vom harmonischen Oszillator kennen, n¨amlich die Benutzung von Leiteroperatoren. Wir definieren M+ = M1 + iM2 ,

M− = M1 − iM2

mit (M+ )† = M− . Es gelten folgende Beziehungen: a) [M3 , M± ] = ±M± b) [M+ , M− ] = 2M3 ⃗ 2 = M + M − + M 2 − M3 = M− M+ + M 2 + M3 . c) M 3 3

9.3 Eigenwerte des Drehimpulses

161

Wie wirkt M± auf die Eigenvektoren? Betrachten wir den Vektor M± |λ, m⟩. Wegen ⃗ 2 , M± ] = 0 [M ist ⃗ 2 (M± |λ, m⟩) = λM± |λ, m⟩, M ⃗ 2 a¨ndert sich nicht. Jedoch a¨ndert sich der Eigend.h. der Eigenwert von M wert von M3 : M3 M± |λ, m⟩ = (M± M3 ± M± ) |λ, m⟩ = (m ± 1)M± |λ, m⟩. Der Eigenwert m ist um ± 1 verschoben. Es handelt sich also tats¨achlich um Leiteroperatoren. M−

···

←−

t

|λ, m − 1⟩

M+

−→

t

|λ, m⟩

t

|λ, m + 1⟩

···

Wir m¨ ussen noch die Norm von M± |λ, m⟩ bestimmen. ∥M± |λ, m⟩∥2 = ⟨λ, m|M∓ M± |λ, m⟩ ⃗ 2 − M 2 ∓ M3 |λ, m⟩ = ⟨λ, m|M 3

2

= λ − m ∓ m ≥ 0. Hieraus folgt f¨ ur m > 0: λ ≥ m2 + m und f¨ ur m < 0: λ ≥ m2 − m, zusammen: λ ≥ |m|(|m| + 1). Folglich ist f¨ ur festes λ der Bereich m¨oglicher Werte f¨ ur m beschr¨ankt. Der gr¨oßte vorkommende Wert sei l = mmax . In der Theorie der Lie-Algebren nennt man ihn h¨ochstes Gewicht“. Dann ist ” M+ |λ, l⟩ = 0 ⇒

0 = ∥M+ |λ, l⟩∥2 = λ − l2 − l

⇒

λ = l(l + 1).

F¨ ur mmin erhalten wir ebenso: 0 = λ − m2min + mmin ⇒

λ = mmin (mmin − 1)

⇒

mmin = −l.

Die m¨oglichen Werte f¨ ur m sind also:

l, l − 1, . . . , −l.

162

9 Drehimpuls t

−l

t

t

−l+1

−l+2

t

......

l−1

t

l

Hieraus folgt, dass 2l ganzzahlig ist, d.h. l ∈ {0, 12 , 1, 32 , 2, . . . }. F¨ ur festes λ = l(l + 1) kann es keine weiteren Werte f¨ ur m als die obigen geben, denn die aus ihnen erzeugte Leiter von m-Werten muss einen ma¨ ximalen Wert besitzen, der gem¨aß obiger Uberlegungen wiederum gleich l w¨are. Die f¨ ur festes l vorkommenden Werte von m heißen in der Mathematik Gewichte“. ” Wir wechseln nun unsere Bezeichnung f¨ ur die Eigenvektoren, indem wir sie nicht mehr durch den Eigenwert λ = l(l + 1), sondern stattdessen durch die Zahl l kennzeichnen. Unser Resultat lautet zusammengefasst:

⃗ 2 |l, m⟩ = l(l + 1)|l, m⟩ , M M3 |l, m⟩ = m|l, m⟩ mit l ∈ {0, 21 , 1, 32 , 2, . . . } , m ∈ {l, l − 1, . . . , −l + 1, −l} .

¨ Ubungen Unsch¨ arferelation f¨ ur den Drehimpuls 1. Leiten Sie mit Hilfe der Kommutatoren der Drehimpulskomponenten Lj die Unsch¨ arferelation f¨ ur ∆L1 · ∆L2 her. 2. Zeigen Sie, dass in den Drehimpuls-Eigenzust¨ anden |l, m⟩ folgende Erwartungswerte gelten: ⟨l, m|L1 |l, m⟩ = ⟨l, m|L2 |l, m⟩ = 0, ℏ2 (l(l + 1) − m2 ). 2 und L− aus und beachten Sie die

⟨l, m|L21 |l, m⟩ = ⟨l, m|L22 |l, m⟩ = Hinweis: Dr¨ ucken Sie L1 und L2 durch L+ Wirkung von L+ und L− auf |lm⟩.

9.3 Eigenwerte des Drehimpulses

163

3. Berechnen Sie ∆L1 · ∆L2 im Zustand |⟩ lm und zeigen Sie, dass das Ergebnis im Einklang mit der Unsch¨ arferelation ist. 4. In welchem Zustand |l, m⟩ zu festem l besitzen die Unbestimmtheiten der Komponenten L1 , L2 den kleinsten Wert und wie groß ist dieser? 5. Gibt es in dem betrachteten Hilbertraum Zust¨ ande, in denen alle Komponenten ⃗ einen scharfen Wert besitzen? von L

9.3.2 Eigenwerte des Bahndrehimpulses Die obigen Resultate folgen allein aus den Kommutatoren [Mj , Mk ] = i εjkl Ml . Die sich daraus ergebenden m¨oglichen Werte f¨ ur die Drehimpuls-Quantenzahl l, n¨amlich ganzzahlige und halbzahlige, wurden kurz nach Heisenbergs erster Arbeit zur Quantenmechanik in der gemeinsamen Arbeit von Born, Heisenberg und Jordan auf algebraischem Wege hergeleitet. Der Bahndrehimpuls erf¨ ullt noch weitere Relationen aufgrund seiner Definition ⃗ =Q ⃗ × P⃗ , L ⃗ ·L ⃗ = 0, P⃗ · L ⃗ = 0. F¨ z.B. Q ur ihn ergeben sich weitere Einschr¨ankungen f¨ ur das Spektrum: ⃗ 2 und M3 Satz: F¨ ur den Bahndrehimpuls sind die Eigenwerte von M gegeben durch

⃗ 2 |l, m⟩ = l(l + 1)|l, m⟩ , M M3 |l, m⟩ = m|l, m⟩ mit l ∈ {0, 1, 2, 3, . . . } , m ∈ {l, l − 1, . . . , −l + 1, −l} .

164

9 Drehimpuls

Die halbzahligen Werte f¨ ur l treten beim Bahndrehimpuls also nicht auf. Dieser Sachverhalt wurde erstmals von der Physikerin Lucy Mensing (11.03.1901 – 28.04.1995) festgestellt. Nach ihrer Promotion bei Wilhelm Lenz in Hamburg, unter Anleitung von Pauli, war sie nach G¨ottingen gekommen, wo sie im Kontakt mit Pascual Jordan an Problemen der neuen Quantenmechanik arbeitete und in diesem Zusammenhang die Eigenschaften des Drehimpulses studierte. Da der u ur die Tatsache, dass beim Bahndrehimpuls ¨bliche Lehrbuchbeweis f¨ nur ganzzahlige Werte f¨ ur l vorkommen, falsch ist, geben wir hier einen anderen an. Beweis:

√

mω 1 . Pi , Qi , P˜i = √ ℏ mωℏ ( ) ( ) . 1 . 1 ˜ j + iP˜j , a† = ˜ j − iP˜j . √ aj = √ Q Q j 2 2 Dies sind Auf- und Absteigeoperatoren eines dreidimensionalen harmonischen Oszillators. def.:

. ˜i = Q

. 1 a+ = √ (a1 + ia2 ), 2 1 . a− = √ (a1 − ia2 ), 2

1 a†+ = √ (a†1 − ia†2 ), 2 1 a†− = √ (a†1 + ia†2 ) 2

vernichten bzw. erzeugen Zust¨ande mit zirkularer Polarisation: [ ] [ ] a+ , a†+ = 1, a− , a†− = 1. Alle gemischten Kommutatoren wie [a+ , a− ] = 0 verschwinden. M3 k¨onnen wir in folgender Form schreiben: 1 ˜ 1 P˜2 − Q ˜ 2 P˜1 (Q1 P2 − Q2 P1 ) = Q ℏ )( ) ( )( )} 1 {( = a1 + a†1 a2 − a†2 − a2 + a†2 a1 − a†1 2i 1 † = {a1 a2 − a1 a†2 } i = a†− a− − a†+ a+ ≡ N− − N+ .

M3 =

Die Eigenwerte von N+ , N− sind ganzzahlig. Folglich sind auch die m¨oglichen Eigenwerte von M3 ganzzahlig.

9.3 Eigenwerte des Drehimpulses

165

Man beachte, dass der harmonische Oszillator hier nur als Hilfsvehikel fungiert. Das Ergebnis f¨ ur M3 ist allgemeing¨ ultig. Man verwendet gerne eine halbklassische Veranschaulichung f¨ ur die gewonnenen Ergebnisse u man den Drehim¨ber den Bahndrehimpuls. Dabei stellt √ ⃗ puls L als einen Vektor dar, dessen L¨ange den Wert ℏ l(l + 1) besitzt und dessen dritte Komponente L3 einen der diskreten Werte ℏm annimmt. Die Werte von L1 und L2 bleiben unbestimmt.

L3 h √ l ( l +1)

{

¨ Ubungen 1. Ein symmetrischer Kreisel mit den Tr¨ agheitsmomenten Ix = Iy und Iz l¨ asst sich durch den Hamiltonoperator H=

1 1 (Lx2 + Ly2 ) + Lz2 2Ix 2Iz

beschreiben. a) Berechnen Sie die Energie-Eigenwerte und die Eigenzust¨ ande des Hamiltonoperators. b) Wie groß ist der Erwartungswert des Operators Lx + Ly + Lz in einem Energie-Eigenzustand des Systems? c) Der Kreisel befinde sich im Zustand l = 3 und m = 0. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergibt die Messung von Lz zu einem Zeitpunkt t den Wert ℏ? 2. Ein System halte sich in dem 4-dimensionalen Zustandsraum mit Drehimpulsen l = 0 und l = 1 auf. ⃗ 2 und L1 durch die Baa) Dr¨ ucken Sie die gemeinsamen Eigenzust¨ ande zu L siselemente |l, m⟩ (l = 0, 1) aus. b) Das System befinde sich in dem normierten Zustand |ψ⟩ = α1 |1, 1⟩ + α2 |1, 0⟩ + α3 |1, −1⟩ + α4 |0, 0⟩.

166

9 Drehimpuls Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass bei einer gleichzeitigen Mes⃗ 2 und L3 die Eigenwerte ℏ2 λ = 2ℏ2 und ℏm = ℏ gemessen sung von L werden? c) Berechnen Sie den Erwartungswert von L3 im Zustand |ψ⟩ und die Wahrscheinlichkeiten der m¨ oglichen Messergebnisse. d) Welche Wahrscheinlichkeiten f¨ ur die m¨ oglichen Ausg¨ ange bei der Messung von L3 erh¨ alt man, wenn zun¨ achst L1 und dann L3 gemessen wird?

⃗ 2 und L3 9.4 Eigenfunktionen zu L Die Eigenfunktionen k¨onnen mit Hilfe von M− (oder M+ ) analog zur Vorgehensweise beim harmonischen Oszillator konstruiert werden. Sei l gegeben. Ausgangspunkt ist der Zustand mit maximalem mmax = l, also |l, l⟩. Dann ist M− |l, l⟩ ∼ |l, l − 1⟩, M− |l, l − 1⟩ ∼ |l, l − 2⟩, . . . Den Betrag des Proportionalit¨atsfaktors erhalten wir aus ∥M− |l, m⟩∥2 = l(l + 1) − m(m − 1). Dementsprechend legen wir fest: |l, m − 1⟩ = [l(l + 1) − m(m − 1)]−1/2 M− |l, m⟩. Diese Wahl der Phase ist die verbreitete Condon-Shortley-Konvention“. ” F¨ ur den Aufstieg auf der Leiter finden wir ebenso |l, m + 1⟩ = [l(l + 1) − m(m + 1)]−1/2 M+ |l, m⟩. 9.4.1 Darstellung im Ortsraum Im Ortsraum ist |l, m⟩ durch eine Funktion Ylm (ϑ, φ) repr¨asentiert. Diese wollen wir jetzt berechnen. Die Eigenwertgleichung M3 |l, m⟩ = m|l, m⟩ geht u ¨ber in ∂ −i Ylm = mYlm ∂φ mit der L¨osung Ylm (ϑ, φ) = Θlm (ϑ) eimφ .

⃗ 2 und L3 9.4 Eigenfunktionen zu L

167

Die Funktion Θlm (ϑ) erhalten wir folgendermaßen. Wir beginnen mit |l, l⟩, das M+ |l, l⟩ = 0 erf¨ ullt. Dabei ist ( ) ∂ ∂ ±iφ M± = e ± + i cot ϑ ∂ϑ ∂φ und somit (

) ∂ ∂ e + i cot ϑ Θll (ϑ) eilφ = 0 ∂ϑ ∂φ ) ( ∂ i(l+1)φ − l cot ϑ Θll (ϑ) = 0 e ∂ϑ iφ

mit der L¨osung Θll (ϑ) = Cl (sin ϑ)l . Der Normierungsfaktor Cl folgt aus ∫ π ∫ 2π dϑ sin ϑ dφ |Ylm (ϑ, φ)|2 = 1 0

0

zu |Cl |2 =

( ) 2l + 1 1 2l . 4π 4l l

Nun steigen wir ab mit M− . Aus der Beziehung ( ) ∂ ilφ M− f (ϑ)e = − + l cot ϑ f (ϑ) ei(l−1)φ ∂ϑ ∂ = −(sin ϑ)−l (sin ϑ)l f (ϑ) ei(l−1)φ ∂ϑ d −(l−1) = (sin ϑ) (sin ϑ)l f (ϑ) ei(l−1)φ d cos ϑ f¨ ur eine beliebige Funktion f (ϑ) erhalten wir ( )l−m d l−m ilφ −m M− f (ϑ) e = (sin ϑ) (sin ϑ)l f (ϑ) eimφ . d cos ϑ Dies wenden wir an auf Yl,m ∼

M−l−m Yll

−m

∼ (sin ϑ)

(

d d cos ϑ

)l−m

Mit der Abk¨ urzung t = cos ϑ,

sin2 ϑ = 1 − t2

(sin ϑ)2l eimφ .

168

9 Drehimpuls

ergibt die Rechnung Ylm = Θlm (ϑ) eimφ = Clm Plm (t) eimφ mit den Polynomen Plm (t)

l+m

≡ (−1)

)− m (l + m)! 1 ( 1 − t2 2 l (l − m)! 2 l!

(

d dt

)l−m

(

)l 1 − t2 .

Es gilt auch Pl−m (t) = (−1)m

(l − m)! m P (t) (l + m)! l

und damit Plm (t)

)m 1 ( = l 1 − t2 2 2 l!

(

d dt

)l+m

(

)l t2 − 1 .

Der Normierungsfaktor ist m

[

Cl,m = (−1)

2l + 1 (l − m)! 4π (l + m)!

]1/2 .

Die Funktionen Plm (t) heißen zugeordnete Legendrepolynome“ und die Ei” genfunktionen Ylm sind die Kugelfl¨achenfunktionen“. Wir notieren einige ” explizite Ausdr¨ ucke f¨ ur kleine Werte von l und m: 1 Y00 = √ 4π √

3 sin ϑ eiφ Y1,1 = − 8π √ 3 cos ϑ Y1,0 = 4π √ 15 Y2,2 = sin2 ϑ e2iφ 32π √ 15 sin ϑ cos ϑ eiφ Y2,1 = − 8π √ 5 Y2,0 = (3 cos2 ϑ − 1). 16π Es gilt: ∗ Yl,−m (ϑ, φ) = (−1)m Yl,m (ϑ, φ).

⃗ 2 und L3 9.4 Eigenfunktionen zu L

169

Die Kugelfl¨achenfunktionen sind orthonormiert: ∫ dΩ Yl∗1 ,m1 (ϑ, φ)Yl2 ,m2 (ϑ, φ) = δl1 ,l2 δm1 ,m2 . Sie bilden ein vollst¨andiges Funktionensystem auf der Einheitskugel, d.h. jede Funktion f (ϑ, φ) kann nach ihnen entwickelt werden: f (ϑ, φ) =

∞ ∑ l ∑

flm Ylm (ϑ, φ).

l=0 m=−l

Die folgende Abbildung zeigt Polardiagramme von |Yl,m (ϑ, φ)|2 f¨ ur l = 0, 1, 2, 3. Sie vermitteln einen Eindruck von der Winkelabh¨angigkeit der Wahrscheinlichkeitsdichten. Da sie von φ unabh¨angig sind, kann man sie sich rotationssymmetrisch um die z-Achse vorstellen. Die Figuren sind zwecks besserer Sichtbarkeit unterschiedlich skaliert.

Polardarstellung von |Ylm(ϑ,ϕ)|2 z

z

z

l=0 m=0

l=1 m=1

l=1 m=0

z

z

z

l=2 m=2

l=2 m=1

l=2 m=0

z

z

z

z

l=3 m=3

l=3 m=2

l=3 m=1

l=3 m=0

170

9 Drehimpuls

Parit¨ at: Zwischen der Parit¨at von Wellenfunktionen und der Quantenzahl l gibt es einen wichtigen Zusammenhang. Der Parit¨atsoperator ist ja definiert durch Πψ(⃗r ) = ψ(−⃗r ) . F¨ ur ψ(⃗r ) = f (r) Ylm (ϑ, φ) ist ψ(−⃗r ) = f (r) Ylm (π − ϑ, φ + π) . Hier setzen wir die Beziehungen cos(π − ϑ) = − cos(ϑ) ,

Plm (− cos ϑ) = (−1)l+m Plm (cos ϑ)

eim(φ+π) = (−1)m eimφ ein und finden Ylm (π − ϑ, φ + π) = (−1)l Ylm (ϑ, φ) . Das Ergebnis lautet somit: Parit¨at von ψ = (−1)l .

¨ Ubungen 1. Ein Rotator mit zwei Freiheitsgraden, den Polarwinkeln ϑ und φ, befinde √ sich im Zustand mit der Wellenfunktion Y (ϑ, φ) = N (sin ϑ cos φ + sin ϑ sin φ + 3 cos ϑ). a) Berechnen Sie den Normierungsfaktor N . ⃗ 2 und L3 aufb) Welche m¨ oglichen Messwerte k¨ onnen bei einer Messung von L treten? c) Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die einzelnen Meßwerte auf? 2. Die Kugelfl¨ achenfunktionen Ylm mit l = 1 spannen einen dreidimensionalen Vektorraum auf. ⃗ 2 in diea) Finden Sie die Matrix-Darstellung der Operatoren L1 , L2 , L3 und L ser Basis.

9.5 Radialgleichung

171

b) Finden Sie die Eigenfunktionen zu L1 f¨ ur l = 1. Schreiben Sie diese explizit als Funktion der Winkel ϑ und φ auf. ⃗ 2 Y (ϑ, φ) = λ Y (ϑ, φ) 3. Zeigen Sie, dass im Ortsraum die Differenzialgleichung M imφ mit dem Separationsansatz Y (ϑ, φ) = Θ(ϑ) e auf eine Differenzialgleichung f¨ ur Θ(ϑ) f¨ uhrt, welche mit den Substitutionen cos ϑ = t, Θ(ϑ) = P (t) die Form der sogenannten Legendre’schen Differenzialgleichung ( ( ) ( )) d d m2 (1 − t2 ) + λ− P (t) = 0 dt dt 1 − t2 annimmt.

9.5 Radialgleichung ⃗ 2 und L3 haben wir die WinDurch Auffinden der Eigenfunktionen von L kelabh¨angigkeit der Wellenfunktion vollst¨ andig bestimmt. F¨ ur vorgegebene l und m ist die Wellenfunktion von der Form ψ(⃗r ) = f (r) Yl,m (ϑ, φ) und f¨ ur u(r) = rf (r),

r≥0

gilt die schon bekannte Radialgleichung ( ) ℏ2 ∂ 2 ℏ2 l(l + 1) − + + V (r) u(r) = Eu(r) 2m ∂r2 2mr2 mit den Randbedingungen u(0) = 0 ∫

∞

dr |u(r)|2 = 1.

0

¨ Uber das Verhalten f¨ ur r → 0 k¨onnen wir noch mehr aussagen. Dazu nehmen wir an, dass das Potenzial V (r) f¨ ur kleine r nicht so rasch wie 1/r2 divergiert: lim r2 V (r) = 0 , r→0

was in der Praxis meistens erf¨ ullt ist. Dann dominiert f¨ ur kleine r der vom Drehimpuls stammende Term: r→0:

d2 u l(l + 1) − u ≈ 0. dr2 r2

172

9 Drehimpuls

Die Differenzialgleichung u′′ =

l(l + 1) u r2

hat die regul¨are L¨osung:

u ∼ rl+1

sowie die irregul¨are L¨osung u ∼ r−l , die physikalisch nicht sinnvoll ist.

¨ Ubungen 1. Ein Teilchen der Masse m0 bewegt sich im Zentralpotenzial V (r). Seine quantenmechanische Wellenfunktion lautet ψ(⃗r ) = N e−κr . a) Bestimmen Sie den Normierungsfaktor N . b) Welche Drehimpuls-Quantenzahlen besitzt der Zustand? c) Welche Gestalt hat das Potenzial V (r)? 2. Ein dreidimensionales System befinde sich in dem Zustand mit der Wellenfunktion ( ) x2 + y 2 + z 2 ψ(⃗r ) = N (κ) · (x + y + z) · exp − . κ a) Berechnen Sie die Normierungskonstante N (κ). b) Dr¨ ucken Sie die Wellenfunktion ψ(⃗r ) als Linearkombination der Kugelfl¨ achenfunktionen Y1,1 (ϑ, φ), Y1,0 (ϑ, φ) und Y1,−1 (ϑ, φ) aus. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, bei einer gleichzeitigen Messung der ⃗ 2 und L3 f¨ Operatoren L ur die Quantenzahl m die Werte (i) m = −1, (ii) m = 0, (iii) m = 1 zu erhalten. 3. Ein dreidimensionales System befinde sich in dem Zustand mit der Wellenfunktion ψ(⃗r ) = N z 2 e−κr . a) Zerlegen Sie ψ(⃗r ) in eine radiale Wellenfunktion f (r) und einen Winkelanteil Y (ϑ, φ). b) Berechnen Sie die Normierungskonstanten f¨ ur ψ(⃗r ), f (r) und Y (ϑ, φ). c) Dr¨ ucken Sie den Winkelanteil Y (ϑ, φ) als Linearkombination der Kugelfl¨ achenfunktionen Yl,m aus. Zeigen Sie anhand der Koeffizienten, dass die Normierung erf¨ ullt ist.

9.5 Radialgleichung

173

⃗ 2 und L3 des Bahndred) Bei einer gleichzeitigen Messung der Operatoren L 2 himpulses seien die Messwerte mit ℏ λ und ℏm bezeichnet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, die Wertepaare (i) (λ = 0, m = 0), (ii) (λ = 6, m = 0), (ii) (λ = 6, m = 1), (iv) (λ = 6, m = 2) zu erhalten. e) Das System befinde sich nun in dem Zustand ϕ(⃗r ), der die BahndrehimpulsQuantenzahlen l = 2, m = 0 besitzt und die gleiche radiale Wellenfunktion wie obiges ψ(⃗r ) hat. Schreiben Sie die Radialgleichung f¨ ur u(r) = rf (r) auf und finden Sie das Potenzial V (r) so, dass die Radialgleichung erf¨ ullt ist. Das Potenzial soll im Unendlichen gegen Null gehen.

10 Rotation und Schwingung zweiatomiger Molek¨ ule Als erstes Beispiel f¨ ur quantenmechanische Systeme mit einem Zentralpotenzial betrachten wir zweiatomige Molek¨ ule, wie z.B. HCl oder CO. Aus den Molek¨ ulspektren ermittelt man die Energieniveaus der Molek¨ ule, wobei man typischerweise drei Arten unterscheidet: a) elektronische Energieniveaus: Der Molek¨ uldurchmesser a betr¨agt einige ˚ A (10−10 m). > F¨ ur Valenzelektronen sch¨atzen wir grob ab: ∆p ∼ ℏ/a, Energie Ee ≈ ℏ2 /(me a2 ) mit der Elektronenmasse me . Das Spektrum liegt im sichtbaren bis UV-Licht mit Wellenl¨angen um 4000 ˚ A. b) Schwingungsniveaus, c) Rotationsniveaus. Zun¨achst eine grobe Absch¨atzung der Energien. b) Schwingungen: F¨ ur kleine Schwingungen gilt das Hooke’sche Gesetz und V (r) ≈ mω 2 r2 /2, wobei m die Atommasse ist. Da die Kraft auf einer ¨ Anderung der Energie der Valenzelektronen beruht, erhalten wir die Gr¨oßenordnung der Federkonstanten durch mω 2 a2 ≈ √ Ee , d.h. ω 2 ≈ 2 4 ℏ /(me ma ). Die Schwingungsenergie ist Es ∼ ℏω ≈ me /m Ee ≈ 1 angen λ = (2 − 3) · 100 Ee . Das Spektrum liegt im Infrarot bei Wellenl¨ −3 10 cm. c) Rotationen: Die Energie der Rotation ist ungef¨ahr ER ∼ ℏ2 /(ma2 ) ∼ (me /m)Ee , 1 wobei ma2 das Tr¨agheitsmoment ist. Also ist ER ∼ 100 Es . Das Spektrum liegt im fernen Infrarot bei λ = 0,1 – 1 cm. Eine systematische Behandlung des Spektrums ist m¨o√ glich mit der BornOppenheimer-Methode, bei der nach Potenzen von me /m entwickelt wird. Wir finden also, dass die elektronischen Energien, die Schwingungsenergien und √ die Rotationsenergien sich jeweils um einen Faktor der Gr¨oßenordnung me /m ≈ 1/100 unterscheiden. Schwingung und Rotation k¨onnen daher unter Vernachl¨assigung der Anregungen der Elektronenh¨ ulle behandelt werden, indem das Molek¨ ul idealisiert als Zweiteilchensystem betrachtet wird.

176

10 Rotation und Schwingung zweiatomiger Molek¨ ule

r m1

m2 V (r)

Hierbei sind m1,2 die Massen der beiden Atome und V (r) ist das Potenzial der zwischen ihnen wirkenden Kraft. Im Allgemeinen hat es die in der Abbildung gezeigte Gestalt.

V (r)

r r0

Wir wollen im Folgenden Schwingung und Rotation betrachten. In der oben genannten Idealisierung handelt es sich um ein Zweik¨orperproblem.

10.1 Zweik¨ orperproblem Man hat es mit zwei K¨orpern der Massen m1 und m2 zu tun, die sich an den Orten ⃗r1 und ⃗r2 befinden. Der Hamiltonoperator lautet H=−

ℏ2 ℏ2 ∆1 − ∆2 + V (|⃗r2 − ⃗r1 |). 2m1 2m2

10.1 Zweik¨orperproblem

177

Wie in der klassischen Mechanik f¨ uhren wir Relativ- und Schwerpunktkoordinaten ein durch ⃗r = ⃗r1 − ⃗r2 ,

⃗rs =

m1 ⃗r1 + m ⃗ 2 ⃗r2 . m1 + m2

Gesamtmasse M und reduzierte Masse m sind gegeben durch M = m1 + m2 ,

m=

m1 m2 . m1 + m2

Die Transformation der Variablen von ⃗r1 und ⃗r2 nach ⃗rs und ⃗r f¨ uhrt auf H=−

ℏ2 ℏ2 ∆s − ∆ + V (r) 2M 2m

wobei ∆s =

∑ ∂2 , ∂x2si i

∆=

mit

r = |⃗r |,

∑ ∂2 . ∂x2i i

Offensichtlich separiert H in einen Schwerpunkts- und einen Relativanteil: H = Hs + Hr . Die gesamte Schr¨odingergleichung HΨ = EΨ l¨ asst sich durch Ψ(⃗r1 , ⃗r2 ) = χ(⃗rs )ψ(⃗r ) in zwei separate Schr¨odingergleichungen u uhren. Die Gleichung f¨ ur den ¨berf¨ Schwerpunkt ℏ2 ∆s χ = Es χ − 2M ist die Schr¨odingergleichung f¨ ur eine freie Bewegung. Die Gleichung f¨ ur die Relativbewegung lautet } { ℏ2 ∆ + V (r) ψ(⃗r ) = Er ψ(⃗r ) − 2m und ist identisch mit der Schr¨odingergleichung f¨ ur ein Teilchen mit der Masse m im Potenzial V (r). Die gesamte Energie setzt sich aus beiden Anteilen zusammen: E = Es + Er .

178

10 Rotation und Schwingung zweiatomiger Molek¨ ule

Die Gleichung f¨ ur die Relativbewegung k¨onnen wir nun so behandeln wie im letzten Kapitel besprochen. F¨ ur einen Zustand mit Drehimpulsquantenzahlen l und m lautet die Wellenfunktion u(r) Ylm (ϑ, φ) ψ(⃗r ) = r und die Radialgleichung ist { } ℏ2 ∂ 2 ℏ2 l(l + 1) − + + V (r) u(r) = Er u(r). 2m ∂r2 2mr2

10.2 Rotations-Vibrations-Spektrum Wie sieht das Potenzial V (r) im Fall zweiatomiger Molek¨ ule aus? Qualitativ hat es die in der weiter oben gezeigten Abbildung gezeigte Gestalt. Ein in der Praxis verwandtes Beispiel ist das Morsepotenzial ( ) r−r0 2 V (r) = V0 1 − e− a . Das effektive Potenzial ℏ2 l(l + 1) 2mr2 hat f¨ ur kleine l eine ¨ahnliche Gestalt, wobei das Minimum verschoben ist und bei einem von l abh¨angigen Wert rl liegt. Veff (r) = V (r) +

Veff

r0 r5

r

l=5 l=0

10.2 Rotations-Vibrations-Spektrum

179

F¨ ur kleine Schwingungen entwickeln wir um rl in eine Taylorreihe:

Veff (r) = V (rl ) +

ℏ2 l(l + 1) m 2 + ωl (r − rl )2 + · · · 2 2mrl2

mit . ′′ (rl ). mωl2 = Veff Dies stellt einen verschobenen harmonischen Oszillator dar. Seine EnergieEigenwerte sind folglich

Er ≈ V (rl ) +

ℏ2 l(l + 1) + ℏωl (n + 12 ) . 2mrl2

⃗ 2 /2I geh¨ort, Der zweite Term ist die Rotationsenergie, die zum Operator L 2 wobei I = mrl das Tr¨agheitsmoment ist. Der dritte Term ist die Vibrationsenergie. Die Abh¨angigkeit der Koeffizienten rl und ωl von l ist nicht sehr groß und wir k¨onnen approximativ rl ≈ r0 und ωl ≈ ω0 setzen. Wir k¨onnen Aussagen u ¨ber das Spektrum machen, wenn wir die er¨ laubten Uberg¨ ange kennen. F¨ ur elektrische Dipolstrahlung gelten die ¨ Ubergangsregeln n→n−1 l → l ± 1, wie wir in einem sp¨ateren Kapitel noch diskutieren werden. Es gibt dann ¨ folgende Energie-Anderungen

∆E ≈

{ ℏω0 + ℏω0 −

ℏ2 l, mro2 2 ℏ (l + mr02

(l → l − 1), l ≥ 1 1) ,

(l → l + 1), l ≥ 0.

Die entsprechenden Frequenzen des abgestrahlten Lichtes bilden sogenannte Rotationsbanden:

180

10 Rotation und Schwingung zweiatomiger Molek¨ ule

3 2 1 0 negativer Zweig

ω0

1 2 3

ω= ∆ E h

positiver Zweig

Die Behandlung des Rotations-Vibrationsspektrums zweiatomiger Molek¨ ule wurde erstmals von der bereits im vorigen Kapitel erw¨ahnten Lucy Mensing durchgef¨ uhrt. Dies war kurz nach der Formulierung der Quantenmechanik durch Heisenberg, Born und Jordan die zweite Anwendung der jungen Theorie auf ein physikalisches System, nachdem Pauli das Spektrum des Wasserstoffatoms algebraisch berechnet hatte (siehe Abschnitt 13.2). In ihrer 1926 publizierten Arbeit bestimmte Mensing u ¨ber den oben diskutierten Ausdruck f¨ ur die Energie-Eigenwerte hinaus noch Korrekturen h¨oherer Ordnung mit der quantenmechanischen St¨orungstheorie und ¨ die Intensit¨aten der Uberg¨ ange.

¨ Ubungen 1. Das Potenzial zwischen den beiden H-Atomen im Wasserstoffmolek¨ ul kann beschrieben werden durch das Morse-Potenzial mit r0 = 0, 74·10−10 m, V0 = 4, 72 eV. Approximieren Sie das Potenzial f¨ ur kleine Schwingungen um die Ruhelage durch ein harmonisches Oszillator-Potenzial und bestimmen Sie a/r0 mit Hilfe der experimentell bekannten Differenz der beiden niedrigsten Schwingungs-Eigenzust¨ ande (d.h. Drehimpulsquantenzahl l = 0) ∆E = 0, 52 eV. 2. Berechnen Sie das Verh¨ altnis der Energiedifferenz der ersten beiden Rotationsniveaus zur Energiedifferenz der ersten beiden Vibrationsniveaus f¨ ur das HF-Molek¨ ul. Das Tr¨ agheitsmoment des HF-Molek¨ uls ist I = 1, 35 · 10−47 kg m2 , die Vibrationsfrequenz ist gegeben durch ω0 /(2πc) = 39, 87 m−1 . 3. Das Wechselwirkungspotenzial diatomischer Molek¨ ule ist n¨ aherungsweise von der Form ) ( 2 r 1 V (ρ) = V0 − mit ρ = . ρ2 ρ a

10.2 Rotations-Vibrations-Spektrum

181

Die Potenzialst¨ arke V0 und der Atomabstand a sind positive Parameter. Zeigen Sie, dass die exakten Vibrations- und Rotationsniveaus zu diesem Potenzial durch ( )−2 √ 2ma2 1 ℏ2 4 1 2 mit γ 2 = γ n+ + + l(l + 1) + γ V0 En,l = − 2 2ma 2 4 ℏ2 gegeben sind. Hinweis: Betrachten Sie die radiale Schr¨ odingergleichung mit√dem L¨ osungsansatz µ 2 2 2 1 2 u = ρ exp(−λρ) v, wobei λ = −2ma E/ℏ und µ = 2 + γ + (l + 12 )2 . Dies f¨ uhrt auf die konfluente hypergeometrische Differenzialgleichung.

11 Kugelf¨ ormiger Kasten Das Zentralpotenzial { 0, r a beschreibt im Limes V0 → ∞ einen kugelf¨ormigen Hohlraum. Es kann als grobe N¨aherung f¨ ur das Potenzial der auf ein einzelnes Nukleon wirkenden Kernkraft im Inneren eines Kerns betrachtet werden. Die Radialgleichung lautet ( ) ℏ2 ∂ 2 ℏ2 l(l + 1) − + u(r) = E u(r) , r < a 2m ∂r2 2mr2 im Inneren des Hohlraumes, und die Randbedingungen sind u(0) = 0 ,

u(a) = 0.

Mit der Abk¨ urzung . κ=

√

2mE ℏ2

gilt (

) l(l + 1) ∂2 2 − + κ u(r) = 0, ∂r2 r2

und die Einf¨ uhrung der Variablen ρ ≡ κr und Umbenennung u(ρ/κ) → u(ρ) f¨ uhrt auf die Gleichung (

) l(l + 1) ∂2 − + 1 u(ρ) = 0. ∂ρ2 ρ2

F¨ ur l = 0 k¨onnen wir sie sofort l¨osen: ( 2 ) ∂ l=0: +1 u=0 ∂ρ2

⇒

u ∼ sin ρ.

F¨ ur allgemeines l ist ul (ρ) = Cl ρ

l+1

(

1 d ρ dρ

)l

1 sin ρ ρ

184

11 Kugelf¨ormiger Kasten

L¨osung der Gleichung, wie man rekursiv nachrechnen kann. Da wir es mit einer gew¨ohnlichen Differenzialgleichung 2. Ordnung zu tun haben, existiert eine zweite L¨osung, n¨amlich )l ( 1 l+1 1 d cos ρ. ρ ρ dρ ρ Diese erf¨ ullt aber nicht die Randbedingung bei ρ = 0, da sie dort nicht verschwindet. Die obigen Funktionen heißen sph¨ arische Besselfunktionen der ersten Art: ( )l √ sin ρ π . l 1 d jl (ρ) = (−ρ) = J 1 (ρ). ρ dρ ρ 2ρ l+ 2 Im deutschen Sprachraum werden die Besselfunktionen auch Zylinderfunktionen genannt. (Zylinder heißt aber auf englisch nicht Bessel.) Wir schreiben die L¨osung somit als ul (ρ) = C ρ jl (ρ) bzw. f¨ ur die radiale Wellenfunktion fl (ρ) = C jl (ρ). F¨ ur l = 1, 2, 3 ist ρ j0 (ρ) = sin ρ 1 ρ j1 (ρ) = sin ρ − cos ρ ρ ( ) 3 3 ρ j2 (ρ) = − 1 sin ρ − cos ρ. 2 ρ ρ Das Verhalten im Ursprung ist folgendermaßen: ρ jl (ρ)

∼

ρ→0

ρl+1 . 1 · 3 · 5 · · · · · (2l + 1)

Inzwischen haben wir ganz die andere Randbedingung vergessen: ul (κa) = 0. Wir m¨ ussen κ so w¨ahlen, dass dies erf¨ ullt ist. Dazu brauchen wir die Nullstellen ρn,l von jl (ρ): jl (ρn,l ) = 0. Diese findet man tabelliert in guten B¨ uchern:

185 n\l 1 2 3

0 3,14 6,28 9,42

1 4,49 7,73 10,90

2 5,76 9,10 12,32

3 6,99 10,42 13,70

4 8,18 11,70 15,04

5 9,36 12,97 16,35

Zur Illustration sind j0 , j1 und j2 in einer Figur gezeigt.

1 0.8

j0

0.6

j1 0.4

j2

0.2 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

–0.2 –0.4

Wir finden die erlaubten Werte f¨ ur κ also aus κn,l a = ρn,l mit den tabellierten Nullstellen ρn,l . Die zugeh¨origen Energien

En,l = sind in der Tabelle aufgef¨ uhrt.

ℏ2 2 ρ 2ma2 n,l

12

13

ρ

186

11 Kugelf¨ormiger Kasten 2

n

l

ℏ E/ 2ma 2

Bezeichnung

Multiplizit¨at

1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 2

0 1 2 0 3 1 4 2 5 0 3

9,9 20,2 33,2 39,5 48,9 59,8 66,9 82,8 87,6 88,8 108,6

1S 1P 1D 2S 1F 2P 1G 2D 1H 3S 2F

1 3 5 1 7 3 9 5 11 1 7

2

∑

Mult.

2 8 18 20 34 40 58 68 90 92 106

In der letzten Spalte stehen die magischen Zahlen f¨ ur dieses Potenzial. Es sind die Anzahlen von Nukleonen, die man in dem Hohlraum unterbringen kann, wenn die Energieniveaus von unten her sukzessive vollst¨ andig gef¨ ullt werden. Der Faktor 2 ber¨ ucksichtigt, dass wegen des Spins immer 2 Nukleonen in einen Zustand passen.

E

...

22

...

18

187 Das obige Modell ist der einfachste Ansatz f¨ ur das Schalenmodell der Atomkerne. Realistischere Versionen verwenden bessere Potenziale und ber¨ ucksichtigen die Spin-Bahn-Kopplung. Die resultierenden magischen Zahlen, die besser zu den experimentellen Ergebnissen passen, sind: magische Zahlen:

2, 8, 20, 28, 50, 82, 126.

Besonders stabil sind die doppelt-magischen Kerne, wie z.B. 42 He, 168 O, 40 20 Ca,

208 Pb 126 . 82

12 Vollst¨ andige S¨ atze kommutierender Observablen Wir wissen schon: Wenn zwei Observable kommutieren, [A, B] = 0, so sind sie gleichzeitig diagonalisierbar. Dies war z.B. der Fall f¨ ur einen Hamiltonoperator mit Zentralpotenzial und das Drehimpulsquadrat: H=

P⃗ 2 + V (R) , 2m

⃗ 2. L

Oftmals sind die Eigenwerte von H entartet. Zur eindeutigen Kennzeichnung der Zust¨ ande k¨onnen wir nach weiteren, mit H kommutierenden Observablen Ai , [H, Ai ] = 0, suchen, so dass f¨ ur ihre gemeinsamen Eigenwerte die Entartung aufgehoben ist. In den F¨allen der vorigen Kapitel waren die ⃗ 2 noch immer entartet. Durch Hingemeinsamen Eigenwerte von H und L ⃗ 2 , L3 , deren zunahme von L3 erhalten wir den Satz von Operatoren H, L gemeinsame Eigenvektoren nicht mehr entartet sind und eine eindeutige Kennzeichnung der Zust¨ande erlauben. Allgemein definieren wir: Eine Menge von Observablen A1 , . . . , An heißt vollst¨ andiger Satz von kommutierenden Observablen, wenn 1. [Aj , Ak ] = 0

f¨ ur alle j, k,

2. die gemeinsamen Eigenvektoren |a1 , . . . , an ⟩, mit Aj |a1 , . . . , an ⟩ = aj |a1 , . . . , an ⟩, nicht entartet sind. Der Satz von Operatoren A1 , . . . , An liefert die gr¨oßtm¨ogliche Information u ¨ber das betrachtete System. Jeder weitere Operator B, der mit allen Aj kommutiert, ist eine Funktion von A1 , . . . , An . Bemerkung: Im Allgemeinen weiß man nicht vorher, welche S¨atze vollst¨andig sind. Beispiele f¨ ur vollst¨andige S¨atze kommutierender Observablen sind die drei Komponenten des Ortsoperators {Qj } oder die drei Komponenten des Impulsoperators {Pj } f¨ ur ein Teilchen ohne Spin. Der Spin wird sp¨ater behandelt.

13 Das Wasserstoffatom, Teil I Wir wollen das Wasserstoffatom zun¨achst als nichtrelativistisches Coulombproblem behandeln, d.h. wir betrachten ein Proton der Masse mP und ein Elektron der Masse me , ⊗ ⊗ mp me zwischen denen die Coulombkraft wirkt: V (r) = −

γ e20 1 ≡− , 4πε0 r r

wobei e0 = 1,60219 · 10−19 C mp = 1,67261 · 10−27 kg me = 9,10938 · 10−31 kg C ε0 = 8,85419 · 10−12 Vm π = 3,14159265358979323846264 . . . . Das vorliegende Zweik¨orperproblem wird wie zuvor auf ein Eink¨orperproblem im Zentralfeld reduziert. Die reduzierte Masse ist ( ) me −1 m = me 1 + ≈ me , mp wegen

mp = 1836,11. me

Vernachl¨assigt werden in dieser Behandlung des H-Atoms: • relativistische Effekte • Spin • Struktur des Kerns • Wechselwirkung mit dem quantisierten elektromagnetischen Feld (QED, Lambshift). Das effektive Potenzial hat f¨ ur l > 0 folgende Gestalt:

192

13 Das Wasserstoffatom, Teil I

Veff (r) l>0 r

und wir erwarten die Existenz von gebundenen Zust¨anden f¨ ur E < 0 und von Streuzust¨anden f¨ ur E > 0. Folgende L¨osungswege f¨ ur das quantenmechanische Coulombproblem sind am popul¨arsten: 1. L¨osung der Radialgleichung. Dies ist ein Standardverfahren, das in den meisten B¨ uchern gew¨ahlt wird. 2. Algebraische Bestimmung der Eigenwerte mit Hilfe des Runge-LenzVektors. So hat W. Pauli es bereits 1926 gemacht. Der Runge-LenzPauli-Vektor stellt eine weitere Erhaltungsgr¨oße f¨ ur das Coulombproblem dar! Wir werden zun¨achst die Radialgleichung betrachten.

13.1 Spektrum und Eigenfunktionen Wir wollen die gebundenen Zust¨ande finden. Mit ρ = κr ,

κ2 =

2m|E| , ℏ2

ρ0 =

2mγ ℏ2 κ

lautet die Radialgleichung ( 2 ) l(l + 1) ρ0 d − + − 1 u(ρ) = 0. dρ2 ρ2 ρ

13.1 Spektrum und Eigenfunktionen

193

Das asymptotische Verhalten der Radialfunktion ist folgendermaßen: u ∼ ρl+1 ,

ρ→0 :

d2 u −u≈0 dρ2 Daher machen wir den Ansatz ρ→∞ :

⇒ u ∼ e−ρ .

u(ρ) = ρl+1 e−ρ w(ρ) und finden f¨ ur w(ρ) die Differenzialgleichung ρw′′ (ρ) + 2(l + 1 − ρ)w′ (ρ) + (ρ0 − 2(l + 1))w(ρ) = 0. Als L¨osung probieren wir einen Potenzreihenansatz: w(ρ) =

∞ ∑

a k ρk ,

k=0

der auf eine Rekursionsgleichung f¨ ur die Koeffizienten ak f¨ uhrt: ak+1 =

2(k + l + 1) − ρ0 ak . (k + 1)(k + 2l + 2)

Falls die Reihe nicht abbricht, ist asymptotisch f¨ ur große k ak+1 2 ∼ ak k und demzufolge 2k , w(ρ) ∼ e2ρ , k→∞ k! was zu falschem asymptotischen Verhalten f¨ uhren w¨ urde. Also muss die Reihe abbrechen: N ∑ w(ρ) = ak ρk ak ∼

k=0

und w ist ein Polynom vom Grad N . Wegen aN +1 = 0 muss ρ0 = 2(N + l + 1) ≡ 2n eine gerade nat¨ urliche Zahl sein. F¨ ur die Energie E=−

2mγ 2 ℏ2 ρ20

finden wir damit die m¨oglichen Werte

194

13 Das Wasserstoffatom, Teil I

En = −

1 me40 . 2 2 2(4πε0 ) ℏ n2

Dies ist die ber¨ uhmte Balmerformel . Die Zahl n = 1, 2, 3, . . . heißt Hauptquantenzahl und die Zahl N = 0, 1, 2, . . . heißt radiale Quantenzahl. Die Zust¨ande charakterisiert man u ¨blicherweise durch die Hauptquantenzahl n und die Drehimpulsquantenzahlen l und m: |n l m⟩, wobei zu beachten ist, dass wegen n = N + l + 1 l ≤n−1 und nat¨ urlich auch |m| ≤ l gelten muss. F¨ ur das Wasserstoffatom heißt l Nebenquantenzahl und m magnetische Quantenzahl. Die niedrigsten Energie-Eigenwerte und ihre Entartungen sind die Folgenden: |1 0 0⟩ } 1 ⎫ |2 0 0⟩ |2 1 − 1⟩ ⎬ |2 1 0⟩ 4 ⎭ |2 1 1⟩ ⎫ |3 0 0⟩ |3 1 − 1⟩ |3 2 − 2⟩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ |3 1 0⟩ |3 2 − 1⟩ ⎬ |3 1 1⟩ |3 2 0⟩ 9 ⎪ ⎪ |3 2 1⟩ ⎪ ⎪ ⎭ |3 2 2⟩ Allgemein ist der Entartungsgrad der Energie En gleich n−1 ∑

(2l + 1) = n2 .

l=0

13.1 Spektrum und Eigenfunktionen

195

Die Tatsache, dass die Energien En nicht von der Quantenzahl l abh¨angen, stellt gegen¨ uber den anderen betrachteten Systemen eine zus¨atzliche Ent⃗ artung dar. Sie beruht auf der Existenz des Runge-Lenz-Pauli-Vektors A als zus¨atzlicher Erhaltungsgr¨oße und ist eine spezielle Eigenschaft des 1/rPotenzials. Die diskreten Energien der gebundenen Zust¨ande entsprechen dem nachfolgend gezeigten Termschema.

l 0

1

2

4s 3s

4p 3p

-1 4

2s

2p

-1

1s

-1 9

3 4d 3d

Mit der Rydbergkonstanten ˜H = R

me40 = 13,6 eV 2ℏ2 (4πε0 )2

lauten die Energien En = −

˜H R . n2

4f

196

13 Das Wasserstoffatom, Teil I

In der Spektroskopie spricht man auch von den Spektraltermen RH . En Tn = =− 2 hc n mit

˜H R = 1,1 · 107 m−1 . hc Wenn wir uns erinnern, dass m die reduzierte Masse ist, k¨onnen wir schreiben ) ( me −1 ˜ ˜ RH = R∞ 1 + mp RH =

mit ˜∞ = R

me e40 2 2ℏ (4πε0 )2

= 13,606 eV.

Wir betrachten nun die Radialfunktionen noch etwas genauer. Setzen wir das Resultat ρ0 = 2n in die Differenzialgleichung f¨ ur w(ρ) ein und f¨ uhren die Variable t ≡ 2ρ ein, so lautet sie t

d2 w dw + ((2l + 1) + 1 − t) + ((n + l) − (2l + 1))w = 0. dt2 dt

Diese Differenzialgleichung ist als Laguerre’sche Differenzialgleichung bekannt. Ihre L¨osungen, die wir oben mit dem Potenzreihenansatz konstruiert haben, heißen zugeordnete Laguerrepolynome L2l+1 n+l (t). Man kann eine geschlossene Formel angeben: ) ( ) ( d s t d r −t r s e e t . Lr (t) = − dt dt Also lautet die komplette Wellenfunktion ψnlm (r, ϑ, φ) = fnl (r) Ylm (ϑ, φ) mit fnl (r) = Nnl (2κr)l e−κr L2l+1 n+l (2κr). Der Normierungsfaktor ist gegeben durch 2 Nnl =

(n − l − 1)!(2κ)3 . 2n((n + l)!)3

13.1 Spektrum und Eigenfunktionen

197

Der Koeffizient κ h¨angt von n ab und lautet κ=

1 mγ ≡ . 2 ℏ n an

Wir haben hier den Bohr’schen Radius a=

ℏ2 ℏ2 (4πε0 ) = = 0,529 · 10−10 m mγ me20

eingef¨ uhrt. Die radiale Wellenfunktion fnl (r) hat N = n − l − 1 Knoten (Nullstellen). Dies erkl¨art den Namen radiale Quantenzahl“ f¨ ur N . ” Die Wahrscheinlichkeitsdichte im Raum ist bekanntlich |ψnlm (⃗r )|2 . Die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte p(r) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte daf¨ ur, dass |⃗r | sich zwischen r und r + dr befindet. Sie ist gleich p(r) = r2 |fnl (r)|2 . Die niedrigsten radialen Wellenfunktionen lauten n=1: n=2:

n=3:

r

f10 (r) = 2a−3/2 e− a ( r ) −r −3/2 1− e 2a f20 (r) = 2(2a) 2a r r 1 f21 (r) = √ (2a)−3/2 e− 2a a 3 ] [ r 2r2 2r −3/2 + e− 3a f30 (r) = 2(3a) 1− 2 3a 27a √ 4 2 r( r ) −r f31 (r) = (3a)−3/2 1− e 3a 9√ a 6a ( r )2 r 2 2 f32 (r) = √ (3a)−3/2 e− 3a . a 27 5

Die folgenden Abbildungen zeigen die radiale Wellenfunktion fnl (r) und die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte f¨ ur einige kleine Werte von n und l. Die Funktionen sind zwecks besserer Sichtbarkeit unterschiedlich skaliert. Man erkennt, dass die Wahrscheinlichkeitsdichten mit zunehmender Hauptquantenzahl n nach außen wandern, und dass die Anzahl der Knoten mit wachsendem l bei festem n abnimmt. Die Zust¨ande mit maximalem l = n−1 kommen Kreisbahnen noch am n¨achsten.

198

13 Das Wasserstoffatom, Teil I

Radiale Wellenfunktion für das Coulomb−Potenzial

Radiale Wahrscheinlichkeitsdichte für das Coulomb−Potenzial

n = 1, l = 0 n = 2, l = 0 n = 3, l = 0

n = 1, l = 0 n = 2, l = 0 n = 3, l = 0

n = 2, l = 1 n = 3, l = 1

n = 2, l = 1 n = 3, l = 1

n = 3, l = 2

n = 3, l = 2 0

4

8

r/a

12

16

20 0

4

8

r/a

12

16

20

In einem sp¨ ateren Kapitel und in atomphysikalischen Anwendungen ben¨otigt man Erwartungswerte von einigen Potenzen von r. Diese lassen sich mit Hilfe der obigen Formeln durch Integration berechnen. Folgende Resultate wollen wir uns vormerken: 1 ⟨r⟩nl ≡ ⟨nlm|R|nlm⟩ = a (3n2 − l(l + 1)) 2 2 21 2 2 ⟨r ⟩nl = a n (5n + 1 − 3l(l + 1)) 2 1 1 ⟨ ⟩nl = r an2 1 1 ⟨ 2 ⟩nl = 2 3 r a n (l + 12 ) ⟨

1 2 ⟩nl = 3 3 , 3 r a n l(l + 1)(2l + 1)

l ̸= 0.

¨ Ubungen 1. Die Wellenfunktionen der Zust¨ ande eines wasserstoff¨ ahnlichen Ions mit Kernladungszahl Z erh¨ alt man aus den entsprechenden Wellenfunktionen des H-Atoms

13.1 Spektrum und Eigenfunktionen

199

durch die Ersetzung a → a/Z. Die Wellenfunktion eines solchen Ions sei durch ) ( )3 ( Z 2 Zr Zr −Zr e 3a cos ϑ ψ(r, ϑ) = C 6− a a a gegeben. a) Geben Sie die Normierungskonstante C an. b) Bestimmen Sie die zu ψ(r, ϑ) geh¨ orenden Quantenzahlen n, l und m. c) Ermitteln Sie aus ψ(r, ϑ) eine Wellenfunktion, die dieselben Werte f¨ ur n und l besitzt, aber die magnetische Quantenzahl m + 1 hat. 2. Berechnen Sie f¨ ur ein 69-fach ionisiertes 173 70 Yb-Atom im Grundzustand die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Elektron im Kern befindet. Nehmen Sie dabei an, dass 1 der Kernradius durch RK = A 3 · 1, 2 fm gegeben ist. 3. Betrachten Sie den β-Zerfall 3 H → 3 He+ + e− + ν e eines Tritium-Atoms in ein Helium-3-Ion, ein Elektron und ein Neutrino. Das 3 H-Atom befinde sich vor dem Zerfall im Grundzustand. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das 3 He+ -Ion im Grundzustand angetroffen? 4. Ein Elektron, das sich im Coulombfeld eines Kerns der Ladungszahl Z bewegt, sei im Grundzustand. Zeigen Sie, dass das mittlere elektrostatische Potenzial in der Umgebung von Kern und Elektron durch ( ) −2Zr e0 (Z − 1) e0 Z 1 + + e a φ(r) = 4πε0 r 4πε0 a r gegeben ist. Nehmen Sie an, der Kern sei unendlich schwer. 5. Berechnen Sie f¨ ur den Grundzustand des Wasserstoffatoms durch explizite Integration a) den wahrscheinlichsten Wert des Elektron-Kern-Abstands r, b) alle Erwartungswerte ⟨rk ⟩ f¨ ur k ≥ −2, c) das mittlere Schwankungsquadrat ∆r =

√

⟨r2 ⟩ − ⟨r⟩2 ,

d) die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, das Elektron außerhalb des Bohr’schen Radius anzutreffen. 6. Wasserstoff-Zust¨ ande mit maximalem Drehimpuls a) Benutzen Sie die Rekursionsgleichung f¨ ur die Koeffizienten ak der zugeordneten Laguerre-Polynome um zu zeigen, dass im Fall l = n − 1 die Radialfunktion die Form annimmt fn,n−1 = Nn rn−1 e−r/na , und bestimmen Sie die Normierungskonstante Nn durch direkte Integration. b) Berechnen Sie ⟨r⟩ und ⟨r2 ⟩ f¨ ur Zust¨ ande mit l = n − 1. c) Berechnen Sie ∆r/⟨r⟩ f¨ ur solche Zust¨ ande. Vergleichen Sie das Ergebnis f¨ ur große n mit dem Bohr’schen Atommodell und kommentieren Sie den Vergleich.

200

13 Das Wasserstoffatom, Teil I

13.2 Runge-Lenz-Pauli-Vektor Wolfgang Pauli hat 1926, kurz nach der Formulierung der Quantenmechanik durch Heisenberg, Born und Jordan, das Spektrum des Wasserstoffatoms auf algebraischem Wege hergeleitet. Dazu verwendete er den schon Laplace bekannten Runge-Lenz-Vektor. Dieses Verfahren ist sch¨on und liefert neue Einsichten. 13.2.1 Klassische Mechanik Das Keplerproblem beinhaltet die L¨osung der Bewegungsgleichung f¨ ur ein Teilchen im Potenzial V (r) = −γ/r. Die Bewegungsgleichung ist m⃗r¨ = −γ

⃗r . r3

⃗ = ⃗r × p⃗ = m⃗r × ⃗r˙ erhalten. Man Außer der Energie ist der Drehimpuls L definiert den Runge-Lenz-Vektor, auch kurz Lenz-Vektor genannt, durch ⃗ − γ ⃗r . ⃗ = ⃗r˙ × L ⃗ − γ ⃗r = 1 p⃗ × L A r m r F¨ ur ihn gilt: d ⃗ 1. A=0 dt ⃗ ·A ⃗=0 2. L ⃗ 2 + γ2, ⃗ 2 = 2E L 3. A m wie man unter Benutzung der Bewegungsgleichung leicht nachrechnet. Der Lenzvektor ist also eine weitere Erhaltungsgr¨oße des Keplerproblems. Der Lenzvektor zeigt vom Ursprung des Kraftfeldes zum Pericenter der Bahn, wie in der Abbildung f¨ ur den Fall einer Ellipsenbahn gezeigt ist.

A

13.2 Runge-Lenz-Pauli-Vektor

201

Seine zeitliche Konstanz beinhaltet die Tatsache, dass es keine Pericenterdrehung der Bahn gibt. 13.2.2 Quantenmechanik Wir wollen nur gebundene Zust¨ande mit E < 0 im 1/r-Potenzial betrach⃗ Erhaltungsgr¨oßen sind. Pauli hat als ten. Wir wissen schon, dass E und L quantenmechanische Version des Lenzvektors definiert: ( ) 1 ⃗ . 1 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗= A P × L − L × P⃗ − γ Q. 2m R Es gilt ⃗ ist Erhaltungsgr¨oße, d.h. [H, A] ⃗ =0 1. A ⃗ ·A ⃗=A ⃗·L ⃗ =0 2. L ) ( ⃗2 = 2 H L ⃗ 2 + ℏ2 + γ 2 . 3. A m Der Beweis dieser Gleichungen erfordert eine etwas l¨angere Gymnastik mit Kommutatoren. ⃗ 2 eine Funktion von H und L ⃗ 2 und Gem¨aß der dritten Eigenschaft ist A kann daher gleichzeitig mit ihnen diagonalisiert werden. Die Eigenwerte von ⃗ 2 und A ⃗ 2 festgelegt. Welches sind die H sind durch die Eigenwerte von L 2 ⃗ Eigenwerte von A ? Folgende Vertauschungsrelationen gelten (bitte nachrechnen): [Lj , Ak ] = iℏ εjkl Al 2iℏ [Aj , Ak ] = − Hεjkl Ll . m ⃗ zum Ausdruck. Diese gemischDie erste bringt den Vektorcharakter von A ten Kommutatoren k¨onnen wir folgendermaßen entkoppeln. Zun¨achst normieren wir den Lenzvektor um: √ m ⃗ ′ . ⃗ A = − A, 2H was nat¨ urlich nur auf Zust¨anden mit E < 0 definiert ist. Die Kommutatoren sind dann [ ] ′ ′ Lj , Ak = iℏ εjkl Al [ ′ ′] Aj , Ak = iℏ εjkl Ll .

202

13 Das Wasserstoffatom, Teil I

Dies ist die Lie-Algebra der Gruppe SO(4). Wir sehen, dass f¨ ur das 1/rPotenzial die gew¨ohnliche Rotationssymmetrie SO(3) zu der gr¨oßeren Symmetriegruppe SO(4) erweitert ist. Durch die Definitionen ) 1 (⃗ ⃗′ L+A I⃗ = 2 ( ) 1 ⃗ = ⃗ −A ⃗′ K L 2 gelangen wir zu den Kommutatoren [Ij , Ik ] = iℏ εjkl Il [Kj , Kk ] = iℏ εjkl Kl [Ij , Kk ] = 0. Auf diese Weise haben wir zwei entkoppelte S¨atze von Kommutatoren erhal⃗ erf¨ ten, die jeweils die Lie-Algebra von SO(3) bilden. I⃗ und K ullen jeweils die Vertauschungsrelationen des Drehimpulses und kommutieren unterein¨ ander. Nach unseren fr¨ uheren Uberlegungen u ¨ber den Drehimpuls wissen wir: die Eigenwerte von I⃗ 2 sind i(i + 1)ℏ2 , ⃗ 2 sind k(k + 1)ℏ2 , die Eigenwerte von K

i = 0, 12 , 1, . . . , k = 0, 12 , 1, . . . .

Nun ist aber 1 (⃗ 2 ⃗ ′2) I⃗ 2 = L +A 4 ( ) ⃗2+A ⃗ ′2 ⃗2=1 L K 4 ⃗ ·A ⃗′ = A ⃗′ ·L ⃗ = 0, also wegen L ⃗2 I⃗ 2 = K und dementsprechend i = k. ⃗ 2 ein, so finden wir Setzen wir den weiter oben stehenden Ausdruck f¨ ur A ( ) ⃗2=1 L ⃗2− m A ⃗2 K 4 2H 1( 2 m 2) =− ℏ + γ . 4 2H

13.2 Runge-Lenz-Pauli-Vektor

203

Aufl¨osen nach H liefert H=−

mγ 2 . ⃗ 2 + ℏ2 ) 2(4K

⃗ 2 kennen, haben wir somit auch die Eigenwerte Da wir die Eigenwerte von K von H gefunden: E=−

mγ 2 , 2ℏ2 (2k + 1)2

k = 0, 12 , 1, . . .

Mit der Definition der Hauptquantenzahl n = 2k + 1 = 1, 2, 3, . . . erkennen wir wieder die Balmerformel mγ 2 2ℏ2 n2 1 me40 . =− 2 2 2(4πε0 ) ℏ n2

En = −

Die Entartung der Energiewerte beruht auf der Entartung der Eigenwerte ⃗ 2 : F¨ von I⃗ 2 = K ur K3 und I3 existieren n¨ amlich jeweils die (2k + 1) Eigenwerte k3 = −k, . . . , k und i3 = −k, . . . , k, so dass die Entartung insgesamt (2k + 1)2 = n2 betr¨agt. Auch die Tatsache, dass die Quantenzahl l im Ausdruck ℏ2 l(l + 1) f¨ ur die ⃗ 2 ganzzahlig ist, k¨onnen wir Eigenwerte des Bahndrehimpulsquadrates L sofort einsehen: Wegen L3 = I3 + K3 gilt f¨ ur die zugeh¨origen Eigenwerte m = i3 + k3 , was immer ganzzahlig sein muss. Zuletzt finden wir auch noch die Ungleichung zwischen der Nebenquantenzahl l und der Hauptquantenzahl n. Aus ⃗ 2 = 4K ⃗ 2+ m A ⃗2 L 2H folgt mit E < 0 l(l + 1) ≤ 4k(k + 1) = n2 − 1 und somit l ≤ n − 1. Wir haben gesehen, dass im Falle des 1/r-Potenzials eine spezielle gr¨oßere Symmetrie vorliegt, die sich in der Erhaltung des Lenzvektors und in der

204

13 Das Wasserstoffatom, Teil I

zus¨atzlichen Entartung der Energien niederschl¨agt. Mit ihrer Hilfe lassen sich nicht nur die Energiewerte bestimmen, sondern man kann auch die Zust¨ande mittels geeigneter Leiteroperatoren konstruieren, was wir hier aber nicht besprechen wollen.

¨ Ubungen 1. Rechnen Sie die Kommutatorrelation [Lj , Ak ] = iℏ εjkl Al nach. 2. Zeigen Sie mit Hilfe der Form ( ) ⃗ 2Q ⃗ − (P ⃗ · Q) ⃗ P ⃗ −γ 1Q ⃗ ⃗= 1 P A m R H εjkl Ll gilt. des Lenz-Vektors, dass [Aj , Ak ] = − 2iℏ m

14 Teilchen im elektromagnetischen Feld Bislang haben wir die Quantenmechanik eines Teilchens in einem ¨außeren Potenzial einigermaßen verstanden. Ein geladenes Teilchen, das sich in einem Magnetfeld bewegt, versp¨ urt jedoch die Lorentzkraft, zu der es kein Potenzial gibt. Wenn wir Ph¨anomene wie den Diamagnetismus oder den Zeemaneffekt verstehen wollen, m¨ ussen wir unseren Formalismus erweitern. Die wichtigste Rolle spielt der Hamiltonoperator. Wir wollen uns nun den Hamiltonoperator f¨ ur ein Teilchen im elektromagnetischen Feld beschaffen.

14.1 Hamiltonoperator In der Elektrodynamik k¨onnen wir die Feldst¨arken aus dem Vektorpotenzial ⃗ und dem skalaren Potenzial Φ gem¨aß A ⃗ =−∂A ⃗ − ∇Φ E ∂t ⃗ =∇×A ⃗ B ableiten. In der klassischen Theorie lautet die Lorentzkraft auf ein Teilchen ( ) ⃗ + ⃗r˙ × B ⃗ , F⃗L = e E wobei e die Ladung des Teilchens ist. Die Bewegungsgleichung ist ( ) ( ) ⃗ + e ⃗r˙ × ∇ × A ⃗ ⃗ + ⃗r˙ × B ⃗ = −e∇Φ − e ∂ A m ⃗r¨ = e E ∂t oder in Komponenten ∂Aj ∂Φ mx ¨j = −e −e + ex˙ k ∂xj ∂t

(

∂Aj ∂Ak − ∂xj ∂xk

) .

Diese kann man aus der Lagrangefunktion L(⃗r, ⃗r˙, t) =

m˙2 ⃗ − Φ) ⃗r + e(⃗r˙ · A 2

erhalten. Hierzu rechnen wir die Euler-Lagrange-Gleichungen ( ) d ∂L ∂L = dt ∂ x˙ j ∂xj

206

14 Teilchen im elektromagnetischen Feld

aus: ∂L = m x˙ j + eAj ∂ x˙ j ∂Φ ∂Ak ∂L = −e + ex˙ k ∂xj ∂xj ∂xj pj ≡

d ∂ dxk ∂Aj d pj = m x ¨ j + e Aj = m x ¨ j + e Aj + e dt dt ∂t dt ∂xk und durch Gleichsetzen der beiden letzten Ausdr¨ ucke erhalten wir die obigen Bewegungsgleichungen. Die Hamiltonfunktion geht aus der Lagrangefunktion durch eine Legendretransformation hervor: H(⃗ p, ⃗r, t) = p⃗ · ⃗r˙ − L. Wir benutzen ⃗ p⃗ = m ⃗r˙ + eA und erhalten

)2 1 ( ⃗ + eΦ. p⃗ − eA 2m Wir pr¨ ufen das, indem wir die Hamiltongleichungen ausrechnen. H=

∂H , x˙ j = ∂p ⏐ j ↓ ( ) 1 ⃗ ⃗r˙ = m p⃗ − eA

∂H p˙j = − ∂x ⏐ j ↓

p⃗˙ = −e∇Φ +

e m (pk

− eAk )∇Ak

↘

↙ ( ) ∂ ⃗ ⃗ , A + e ⃗r˙ × ∇ × A m⃗r¨ = −e∇Φ − e ∂t

was die korrekten Gleichungen sind. In der Quantenmechanik machen wir den Ansatz )2 1 (⃗ ⃗ + eΦ. H= P − eA 2m Die Wirkung von H auf eine Wellenfunktion ist ] [ ( )2 ℏ 1 ⃗ + eΦ ψ(⃗r, t) Hψ(⃗r, t) = ∇ − eA 2m i ( ) ℏ2 = − ∆ + eΦ(⃗r, t) ψ(⃗r, t) ←− wie vorher 2m ) 2 ℏe ( ⃗+A ⃗ · ∇ ψ(⃗r, t) + e A ⃗ 2 (⃗r, t)ψ(⃗r, t). − ∇·A 2im 2m

14.1 Hamiltonoperator

207

Achtung, hier steht wieder eine Falle bereit: Es ist ( ) ⃗ r, t) = divA(⃗ ⃗ r, t) ψ(⃗r, t) + A ⃗ · ∇ψ(⃗r, t). ∇ · Aψ(⃗ In der Coulombeichung, ⃗ = 0, divA verschwindet ein Term und wir halten fest: Hψ = −

ℏe ⃗ e2 ⃗ 2 ℏ2 ∆ψ + eΦψ + i A · ∇ψ + A ψ. 2m m 2m

¨ Ubungen 1. Die Eichtransformationen des Vektorpotenzials und des skalaren Potenzials sind durch ⃗ ′ (⃗r, t) = A(⃗ ⃗ r, t) + ∇Λ(⃗r, t) A

und

Φ′ (⃗r, t) = Φ(⃗r, t) −

∂ Λ(⃗r, t) ∂t

gegeben. Die Wellenfunktion transformiert sich gem¨ aß e

ψ ′ (⃗r, t) = ei ℏ Λ(⃗r,t) ψ(⃗r, t). Dabei ist Λ(⃗r, t) die sogenannte Eichfunktion und gen¨ ugend h¨ aufig differenzierbar. a) Zeigen Sie, dass f¨ ur ψ ′ (⃗r, t) die Schr¨ odingergleichung mit dem eichtransformierten Hamiltonoperator H ′ gilt. b) Wie transformieren sich die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(⃗r, t) und der Wahrscheinlichkeitsstrom ⃗j(⃗r, t) = ℏ (ψ ∗ (⃗r, t)∇ψ(⃗r, t) − (∇ψ ∗ (⃗r, t)) ψ(⃗r, t)) 2mi e ⃗ r, t) ψ ∗ (⃗r, t)ψ(⃗r, t)? − A(⃗ m Beh¨ alt die Kontinuit¨ atsgleichung im transformierten System ihre G¨ ultigkeit? ⃗ = i (H Q ⃗ − QH) ⃗ 2. Der Geschwindigkeitsoperator ist durch V definiert. ℏ ⃗ , falls ein Magnetfeld vorhanden ist. a) Berechnen Sie V b) Zeigen Sie die G¨ ultigkeit der Kommutatorregeln [Vi , Vj ] =

ieℏ εijk Bk . m2

208

14 Teilchen im elektromagnetischen Feld

14.2 Konstantes Magnetfeld Betrachten wir zun¨achst den Fall eines konstanten homogenen Magnetfeldes ⃗ Man kann w¨ahlen B. ⃗ = − 1 ⃗r × B. ⃗ A 2 ⃗ ist, lautet Der Term in Hψ, der linear in A iℏe iℏe ⃗ ⃗ ) · ∇ψ = iℏe (⃗r × ∇) · Bψ ⃗ A · ∇ψ = − (⃗r × B m 2m 2m e ⃗ ⃗ =− L · Bψ 2m ⃗ , = ˆ −m ⃗ · Bψ und entspricht der Energie eines magnetischen Momentes m ⃗ =

e ⃗ L 2m

im ¨außeren Magnetfeld. In der Tat ist f¨ ur ein System von Punktteilchen ∫ 1 e ⃗ m ⃗ = d3 r ⃗r × ⃗je = L. 2 2m Der obige Term liefert einen Beitrag zum Paramagnetismus von Atomen. ⃗ quadratische Beitrag ist Der in A ) 2 ( e2 ⃗ 2 e2 ⃗ )2 ψ = e ⃗ )2 ψ. A ψ= (⃗r × B r2 B 2 − (⃗r · B 2m 8m 8m W¨ahlen wir speziell ⃗ = (0, 0, B), B so lautet er

e2 B 2 2 e2 ⃗ 2 (x + y 2 )ψ. A ψ= 2m 8m Dieser Term, der quadratisch in B ist, beschreibt ein induziertes magnetisches Moment und liefert einen Beitrag zum Diamagnetismus. Sehen wir uns die Gr¨oßenordnungen an: 1. F¨ ur Elektronen in Atomen mit ⟨Lz ⟩ = ℏ und ⟨r2 ⟩ ≈ a2 (Bohr’scher Radius) ist ( 2 2 2)/( ) e a2 B e0 B a e0 B 0 Lz B = = 1,1 · 10−6 V sec . 8m 2m 4ℏ 1 m2

14.3 Bewegung eines Teilchens im konstanten Magnetfeld

209

Im Labor ist typischerweise (=10 ˆ 4 Gauß)

B ≤ 1 Vmsec 2 = 1 Tesla

und daher ist der B 2 -Term normalerweise vernachl¨assigbar. 2. Der B-Term ist von der Gr¨oßenordnung e0 e0 ˜∞ · B Lz B ≈ ℏB = 4 · 10−6 R 2m 2m 1 Vmsec 2 und kann als kleine St¨orung betrachtet werden.

¨ Ubungen ⃗ = (0, 0, B) lautet in Der Hamiltonoperator des Elektrons im konstanten Magnetfeld B Coulomb-Eichung und unter Vernachl¨ assigung des diamagnetischen Terms H=

e0 ⃗ ⃗ 1 ⃗2 P + L·B. 2m 2m

¨ Zeigen Sie, dass die zeitliche Anderung des Drehimpulses durch d⃗ e0 ⃗ ⃗ L= B×L dt 2m gegeben ist. Rechnen Sie im Heisenberg-Bild. Was besagen diese Gleichungen?

14.3 Bewegung eines Teilchens im konstanten Magnetfeld In diesem Abschnitt untersuchen wir die Bewegung eines geladenen Teilchens in einem konstanten Magnetfeld. Eine Anwendung betrifft das Verhalten von Metallelektronen. Die Leitungselektronen in Metallen lassen sich in guter N¨aherung als Gas von freien Teilchen beschreiben. Das Magnetfeld sei ⃗ = (0, 0, B). B Wir k¨onnen die elektromagnetischen Potenziale als ⃗ = B(0, x, 0) , A

Φ=0

210

14 Teilchen im elektromagnetischen Feld

w¨ahlen. Der Hamiltonoperator lautet )2 1 (⃗ ⃗ P − eA 2m ] 1 [ 2 P2 P1 + (P2 − eBX)2 = 3 + 2m 2m = H∥ + H⊥ ,

H=

wobei H⊥ =

2 1 2m (P1

+ P22 − 2eBP2 X + e2 B 2 X 2 ).

Wegen [H∥ , H⊥ ] = 0 k¨onnen wir die Wellenfunktion separieren ψ(⃗r ) = ψ∥ (z)ψ⊥ (x, y) und es gilt f¨ ur station¨are Zust¨ande H∥ ψ∥ = E∥ ψ∥ ,

p2 E∥ = 3 , 2m

( p z) 3 ψ∥ = exp i . ℏ

In z-Richtung haben wir also eine freie Bewegung. ⃗ ist hingegen nichttrivial. Wir Die Bewegung in der Ebene senkrecht zu B erinnern uns, dass klassisch eine Kreisbewegung stattfindet mit dem Radius √ p Lz r0 = = . |e|B |e|B Die zugeh¨orige Kreisfrequenz ωc =

|e| B m

heißt Zyklotronfrequenz . Was sagt die Quantenmechanik? Die station¨are Schr¨odingergleichung H⊥ ψ⊥ (x, y) = E⊥ ψ⊥ (x, y) l¨asst sich mit dem Ansatz ψ⊥ = eik2 y φ(x) ,

p2 ≡ ℏk2

14.3 Bewegung eines Teilchens im konstanten Magnetfeld

211

l¨ osen. Es folgt [ ] ( 1 p 2 )2 2 2 2 H⊥ ψ⊥ = P +e B x− φ(x)eik2 y 2m 1 eB = E⊥ φ(x)eik2 y , woraus wir f¨ ur φ(x) die Gleichung } { 1 2 m 2 2 P + ωc (x − x0 ) φ(x) = E⊥ φ(x) 2m 1 2 mit

p2 eB erhalten. Dies ist die Schr¨odingergleichung eines harmonischen Oszillators. Die L¨osungen sind uns bekannt: ( ) E⊥ = ℏωc n + 21 , x0 =

φ(x) = φn (x − x0 ). Die kompletten Ausdr¨ ucke f¨ ur Energie und Wellenfunktion sind somit

E=

( ) p23 + ℏωc n + 21 2m

( ψ(⃗r ) = eik3 z eik2 y φn x −

ℏk2 eB

)

.

Diese Zust¨ande heißen Landauniveaus nach dem sowjetischen Physiker L.D. Landau. Sie sind nicht in der Koordinaten y lokalisiert. Die Energie E h¨angt nicht von k2 ab, so dass eine unendlichfache Entartung vorliegt. Die allgemeine Eigenfunktion ist eine Superposition dieser L¨osungen bez¨ uglich k2 : ∫ ) ( dk2 ˜ ik3 z 2 ψ(⃗r ) = e f (k2 )eik2 y φn x − ℏk eB . 2π Wenn wir die gefundene Energie E⊥ in der Form E⊥ = −mz B schreiben, so ist das magnetische Moment mz = −

|e|ℏ (2n + 1). 2m

212

14 Teilchen im elektromagnetischen Feld

F¨ ur Elektronen mit e = −e0 ist e0 ℏ (2n + 1) = −µB (2n + 1) 2m mit dem Bohr’schen Magneton µB . Wir stellen somit fest, dass ein zus¨atzliches magnetisches Moment in Richtung von −B auftritt. Dieses f¨ uhrt zum sogenannten Landau’schen Diamagnetismus, der in der Festk¨orperphysik behandelt wird. mz = −

¨ Ubungen Die Bewegung eines (spinlosen) Elektrons sei derart eingeschr¨ ankt, dass es sich auf einem Kreis mit Radius R in der xy–Ebene, symmetrisch um die z–Achse bewegt, d. h. es handelt sich um ein eindimensionales Problem. Durch den Ursprung und in z–Richtung gebe es einen konstanten magnetischen Fluss Φm . ⃗ und zwar in der Eichung, in der |A| ⃗ 1. Finden Sie das zugeh¨ orige Vektorpotenzial A, auf dem Kreis konstant ist. 2. Stellen Sie f¨ ur dieses System die Schr¨ odingergleichung in Zylinderkoordinaten auf. 3. Finden Sie die Eigenzust¨ ande und zeigen Sie, dass die zugeh¨ origen Energien des Elektrons ℏ2 En = (n − eℏΦm )2 , n ∈ Z 2mR2 lauten. Gehen Sie daf¨ ur davon aus, dass die Wellenfunktion und ihre Ableitung periodisch in der Winkelvariablen φ sind.

14.4 Normaler Zeemaneffekt Wie wirkt sich ein Magnetfeld auf das Spektrum des Wasserstoffatoms aus? ⃗ = (0, 0, B). F¨ Wir w¨ahlen B ur nicht zu starke Magnetfelder k¨onnen wir den in B quadratischen Term vernachl¨assigen und haben den Hamiltonoperator e BLz , H = H0 − 2m wobei 1 ⃗2 γ H0 = P − 2m R der Hamiltonoperator ohne Magnetfeld ist. Die Eigenvektoren |nlml ⟩ von H0 sind Eigenvektoren von Lz und damit auch von H: ( ) ˜H R eB H|nlml ⟩ = − 2 − ℏml |nlml ⟩. n 2m

14.4 Normaler Zeemaneffekt

213

Die Energie lautet daher E = En +

e0 B ℏ · ml = En + ℏωL · ml , 2m

wobei wir e = −e0 gesetzt haben und ωL =

e0 B 2m

die Larmorfrequenz ist. Wir erkennen, dass das Magnetfeld eine (2l + 1)fache Aufspaltung der Energieniveaus bewirkt. Es ist ˜∞ · ℏωL = 4 · 10−6 · R

B 1 Vsec m2

und f¨ ur typische Laborfeldst¨arken ist die Aufspaltung klein.

l=1

3 Niveaus

l=2

5 Niveaus

2 l + 1 Niveaus

Der experimentelle Befund ist allerdings ein anderer. F¨ ur das H-Atom beobachtet man zwar eine Aufspaltung der Terme im Magnetfeld, diese ist aber anders als oben vorhergesagt. Die Ursache daf¨ ur ist der Spin, den wir im Folgenden behandeln werden. Das oben beschriebene Ph¨anomen heißt normaler Zeemaneffekt und ist nach seinem Entdecker P. Zeeman (1896) benannt. Es tritt bei einigen Ato⃗ ist men ohne resultierenden Gesamtspin auf. Der relevante Drehimpuls L dann der Gesamtbahndrehimpuls. Beispiele sind die 2-Elektronen-Systeme: He, Erdalkalien, Hg, Cd, Zn. F¨ ur die Strahlung dieser Atome gilt die Auswahlregel ∆ml = 0, ± 1. Die Spektrallinien spalten daher im Magnetfeld in 3 Linien auf, die das Zeemantriplett bilden.

15 Spin 15.1 Experimentelle Hinweise Der Spin ist eine Eigenschaft von Elektronen und anderen Teilchen, die im Rahmen der bisher betrachteten Schr¨odingergleichung nicht beschrieben werden kann. Mehrere experimentelle Tatsachen haben schon im ersten Viertel dieses Jahrhunderts auf die Existenz des Spins hingewiesen. a) Dublettcharakter von Atomspektren Bei Atomen mit ungerader Ordnungszahl Z, z.B. bei Alkaliatomen oder beim H-Atom, beobachtet man beim Zeemaneffekt eine Aufspaltung der Linien, die einer Aufspaltung der Spektralterme in eine gerade Anzahl von Niveaus entspricht. Dies w¨ urde formal eine halbzahlige Quantenzahl m3 bedeuten. Auf dieser Grundlage formulierten Uhlenbeck und Goudsmit 1925 die Spinhypothese. b) Stern-Gerlach-Experiment Otto Stern und Walter Gerlach f¨ uhrten 1921 den ber¨ uhmten Versuch (Nobelpreis 1943) durch, bei dem ein aus Silberatomen bestehender Atomstrahl durch ein inhomogenes Magnetfeld geschickt wurde. Das Magnetfeld war so beschaffen, dass eine Ablenkung der Atome proportional zur z-Komponente ihres magnetischen Momentes stattfand. Es zeigte sich eine Aufspaltung des Strahls in 2 Teilstrahlen. Unter der Annahme, dass das magnetische Moment proportional zum Drehimpuls ist, kann die z-Komponente des Drehimpulses in dem Experiment also nur 2 m¨ogliche Werte zeigen. Dies deutet auf einen Drehimpuls mit l = 1/2 hin. c) Einstein-de Haas-Effekt Die durch eine Ummagnetisierung eines Magneten bewirkte Drehimpuls¨anderung ist mit dem Spin verkn¨ upft.

15.2 Spin 1/2 Wir wollen nun die Hinweise auf einen halbzahligen Drehimpuls ernst nehmen und untersuchen, wie er theoretisch zu beschreiben w¨are. Zum Bahndrehimpuls geh¨oren bekanntlich nur ganzzahlige Quantenzahlen. Ein halbzahliger Drehimpuls muss daher eine neuartige Eigenschaft von Teilchen sein.

216

15 Spin

⃗ ein Drehimpulsoperator, d.h. seine Komponenten sollen die VertauSei S schungsrelationen [Sj , Sk ] = iℏ εjkl Sl erf¨ ullen. Aus unserer allgemeinen Untersuchung dieser Algebra in Kapitel ⃗ 2 und S3 finden 9 wissen wir, dass sich gemeinsame Eigenzust¨ande von S lassen mit ⃗ 2 | ⟩ = s(s + 1)ℏ2 | ⟩ S S3 | ⟩ = ms ℏ| ⟩. Sei nun

1 s= , 2

so dass f¨ ur ms die beiden Werte ms = ±

1 2

m¨oglich sind. Wir schreiben S3 |+⟩ = ℏ2 |+⟩ ,

S3 |−⟩ = − ℏ2 |−⟩

und es sei ⟨+|−⟩ = 0 ,

⟨+|+⟩ = ⟨−|−⟩ = 1.

Die beiden Eigenvektoren spannen einen zweidimensionalen komplexen Vektorraum H2 auf. Ein Vektor |χ⟩ kann zerlegt werden als ∑ |χ⟩ = χ+ |+⟩ + χ− |−⟩ = χσ |σ⟩, σ=±

wobei |χ+ |2 + |χ− |2 = 1. In der Komponentendarstellung schreiben wir die Vektoren in der Form ( ) ( ) ( ) χ+ 1 0 |χ⟩ = , |+⟩ = , |−⟩ = . χ− 0 1 Zweikomponentige komplexe Vektoren dieser Art heißen Spinoren. Die Observable S3 wurde als diagonal vorausgesetzt und hat in der Komponentendarstellung die Gestalt ( ) ℏ 1 0 . S3 = 2 0 −1

15.2 Spin 1/2

217

Wie sehen S1 und S2 aus? Dazu betrachten wir wieder die Leiteroperatoren S± = S1 ± i S2 , deren Wirkung auf die Basisvektoren die Folgende ist: ( ) ( ( ) ( ) 0 1 0 =ℏ = , S+ S+ 1 0 0 ( ( ) ( ) ( ) 1 0 0 =ℏ , S− S− = 0 0 1

1 0

)

0 1

)

, .

In Matrixform gilt somit ( S+ = ℏ

0 1 0 0

)

( ,

S− = ℏ

und hieraus erhalten wir ) ( ℏ 0 1 S1 = , 2 1 0

ℏ S2 = 2

(

0 0 1 0

)

0 −i i 0

) .

Die drei Matrizen S1 , S2 und S3 fassen wir zusammen zu dem Vektor ⃗ = ℏ ⃗σ S 2 mit den drei Paulimatrizen ( ) ( ) 0 1 0 −i σ1 = , σ2 = , 1 0 i 0

( σ3 =

1 0 0 −1

) .

Die Paulimatrizen erf¨ ullen folgende Beziehungen, die man sich merken soll: a)

[σj , σk ] = 2 i εjkl σl ,

b)

σj2 = 1

c)

σj σk + σk σj = 2δkj 1.

also

[σ1 , σ2 ] = 2 i σ3

etc.

Aus ihnen erhalten wir 1 σ1 σ2 = (σ1 σ2 − σ2 σ1 ) = i σ3 , 2

σ2 σ3 = i σ1 ,

was wir zusammenfassen in der Gleichung σj σk = δjk 1 + i εjkl σl .

σ3 σ1 = i σ2 ,

218

15 Spin

¨ Ubungen ⃗ σ · B) ⃗ = A ⃗·B ⃗ + i ⃗σ · (A ⃗ × B), ⃗ wobei A ⃗ und 1. Beweisen Sie die Identit¨ at (⃗σ · A)(⃗ ⃗ B Vektor-Operatoren sind, die mit den σj kommutieren, nicht aber miteinander kommutieren m¨ ussen. 2. Sei |χ⟩ ein Eigenzustand zu S3 . Berechnen Sie ⟨S1 ⟩, ⟨S2 ⟩, ⟨S12 ⟩ und ⟨S22 ⟩. ¨ Uberpr¨ ufen Sie, ob die Unsch¨ arferelation f¨ ur S1 und S2 erf¨ ullt ist. 3. Spinmatrizen zum Spin

3 2

Die Zust¨ ande |j, mj ⟩ seien Eigenzust¨ ande zu J 2 und J3 . F¨ ur j = 32 bilden die 3 origen Hilbert-Raum. Die Zust¨ ande | 2 , mj ⟩ eine vierdimensionale Basis im zugeh¨ Drehimpulsoperatoren lassen sich in diesem Raum durch 4×4-Matrizen darstellen. a) Geben Sie die Matrixdarstellungen der Operatoren J+ , J− , J3 und J 2 an. b) Ermitteln Sie daraus die Matrixdarstellungen von J1 , J2 , J12 , J22 und J32 . ¨ c) Uberpr¨ ufen Sie die Relation J 2 = J12 + J22 + J32 mit den so berechneten Matrizen.

15.3 Wellenfunktionen mit Spin Die Freiheitsgrade der r¨aumlichen Bewegung werden beschrieben durch Funktionen ⃗r ↦→ ψ(⃗r ), die den Hilbertraum HR bilden. Da der Spin kein Bahndrehimpuls ist, muss er ein innerer Freiheitsgrad sein, der unabh¨angig von den r¨aumlichen Freiheitsgraden ist. Wir beschreiben ihn durch Spinoren |χ⟩, die den Raum H2 bilden. Der gesamte Raum der Zust¨ande ist das Tensorprodukt dieser beiden R¨aume: H = HR ⊗ H 2 . Eine Basis ist gegeben durch die Elemente |⃗r⟩|σ⟩ ≡ |⃗r⟩ ⊗ |σ⟩. Die Zerlegung eines beliebigen Zustandes in dieser Basis wird in der Form ∑∫ |ψ⟩ = d3 r ψσ (⃗r ) |⃗r⟩|σ⟩ σ

geschrieben. Hier treten zwei Wellenfunktionen ψσ (⃗r ) ,

σ=±

15.3 Wellenfunktionen mit Spin

219

auf, die wir zur Spinorwellenfunktion ( ) ψ+ (⃗r ) ψ(⃗r ) = ψ− (⃗r ) zusammenfassen. Diese tritt nun an die Stelle der bisherigen Schr¨odinger’schen Wellenfunktion. Wir definieren ( ∗ ) ∗ ψ † (⃗r ) = ψ+ (⃗r ), ψ− (⃗r ) . Das innere Produkt von Spinorwellenfunktionen wird wie folgt gebildet: ∫ ∑∫ 3 † ⟨ψ|χ⟩ = d r ψ (⃗r )χ(⃗r ) = d3 r ψσ∗ (⃗r )χσ (⃗r ) σ

∫ =

) ∗ ∗ d3 r ψ+ χ+ + ψ− χ− . (

Die Norm eines Zustandes lautet entsprechend ∫ ∑∫ ( ) 3 2 ⟨ψ|ψ⟩ = d r |ψσ (⃗r )| = d3 r |ψ+ |2 + |ψ− |2 ≡ 1. σ

F¨ ur die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte gilt also ρ(⃗r ) = ψ † (⃗r )ψ(⃗r ) = |ψ+ |2 + |ψ− |2 . Die Erwartungswerte f¨ ur die Komponenten des Spins berechnet man gem¨aß ∫ ⃗ ⃗ ψ(⃗r ) ⟨ψ|S|ψ⟩ = d3 r ψ † (⃗r )S ( ) ∫ ( ∗ ) ψ+ (⃗r ) 3 ∗ ⃗ = d r ψ+ (⃗r ), ψ− (⃗r ) S ψ− (⃗r ) ( ) ∑∫ ⃗ d3 r ψσ∗ (⃗r ) S ψσ′ (⃗r ), = ′ σσ

σ,σ ′

z. B.

∫ ⟨ψ|S3 |ψ⟩ =

d3 r

ℏ 2

(

) |ψ+ |2 − |ψ− |2 .

Wir erkennen, wie die Komponenten der Spinorwellenfunktionen zu interpretieren sind: ψσ (⃗r ) = ⟨σ|⟨⃗r |ψ⟩

220

15 Spin

ist eine Wahrscheinlichkeitsamplitude, und das zugeh¨orige |ψσ (⃗r )|2 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte daf¨ ur, dass das Teilchen am Ort ⃗r mit Spin σ gefunden wird. ¨ Ubungen Ermitteln Sie die Normierungskonstante N der Spinorwellenfunktion ⎞ ⎛ ⃗ r2 exp(− 2d 2) ⎠ ψ(⃗r ) = ψ(⃗r) = N ⎝ 2 2 +z 2 ) exp(− (x−a)2d+y 2 ⃗ ·Q ⃗ im entsprechenden Zustand. Berechnen Sie den Erwartungswert des Operators S

15.4 Pauligleichung Wie lautet der Hamiltonoperator f¨ ur ein Teilchen mit Spin 1/2, z.B. ein Elektron? F¨ ur ein freies Teilchen ist H=

1 ⃗2 P . 2m

Nun betrachten wir den Fall, dass das Teilchen sich im elektromagnetischen ⃗ mit einem Feld bewegt. Wir wissen schon, dass der Bahndrehimpuls L e ⃗ magnetischen Moment m ⃗ = 2m L verkn¨ upft ist und es einen zugeh¨origen Term ⃗ ·B ⃗ ⃗ =− e L Hm = −m ⃗ ·B 2m im Hamiltonoperator gibt. Wir k¨onnen erwarten, dass zum Spin ebenfalls ein magnetisches Moment geh¨ort, und schreiben dieses als m ⃗ Spin = g

e ⃗ S. 2m

Der hier eingef¨ uhrte Proportionalit¨atsfaktor g heißt gyromagnetischer Fak¨ tor bzw. Land´efaktor . Sein Wert kann im Rahmen unserer Uberlegungen nicht vorhergesagt werden, denn der Spin ist keine klassische Eigenschaft. Er wurde experimentell mittels des Zeemaneffektes und des Einsteinde Haas-Versuches bestimmt und man fand den anormalen g-Faktor“ ” g = 2.

15.4 Pauligleichung

221

Der magnetische Beitrag des Spins zum Hamiltonoperator ist somit HSpin = −g

e ⃗ ⃗ e ℏ ⃗ = µB ⃗σ · B ⃗ S·B =− ⃗σ · B 2m m2

⃗ lautet und der gesamte Beitrag proportional zu B ) e (⃗ ⃗ ·B ⃗. L + 2S H1 = − 2m Der Wert von g ist nicht exakt gleich 2, sondern wurde experimentell und theoretisch in der Quantenelektrodynamik zu g = 2,002 319 304 386 (20) bestimmt. Noch eine Bemerkung zum Land´efaktor: die relativistische Wellengleichung f¨ ur das Elektron, die Diracgleichung, liefert im nichtrelativistischen Grenzfall den Hamiltonoperator H=

) ]2 1 [( ⃗ ⃗ · ⃗σ + eΦ. P − eA 2m

Hierin ist [( ) ]2 ( )2 ( ) ( ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ P − eA · ⃗σ = P − eA + i ⃗σ · P − eA × P − eA ( )2 [ ] ⃗ − i e ⃗σ · P⃗ × A ⃗+A ⃗ × P⃗ . = P⃗ − eA Mit ⃗)= ℏB ⃗ ⃗+A ⃗ × P⃗ = ℏ (rot A P⃗ × A i i folgt )2 1 (⃗ ⃗ − eℏ ⃗σ · B ⃗ + eΦ P − eA 2m 2m und dies bedeutet g = 2. H=

Das Analogon zur zeitabh¨angigen Schr¨odingergleichung mit obigem Hamiltonoperator ist die

222

15 Spin Pauligleichung

( ) ∂ ψ+ (⃗r, t) = iℏ ∂t ψ− (⃗r, t) { }( ) )2 1 (⃗ eℏ ψ+ (⃗r, t) ⃗ ⃗ P − eA(⃗r, t) + eΦ(⃗r, t) − ⃗σ · B(⃗r, t) . ψ− (⃗r, t) 2m 2m

In dem speziellen Fall eines konstanten kleinen Magnetfeldes finden wir ⃗ quadratischen Terms unter Vernachl¨assigung des in B ) 1 ⃗2 e (⃗ ⃗. H= P + eΦ − L + ℏ⃗σ · B 2m 2m

¨ Ubungen Zeigen Sie, dass f¨ ur die Pauligleichung der Wahrscheinlichkeitsstrom ( ) e ⃗ † ⃗j = ℏ ψ † ∇ψ − (∇ψ † )ψ − A ψ ψ 2mi m die Kontinuit¨ atsgleichung erf¨ ullt.

azession 15.4.1 Spinpr¨ Als Beispiel f¨ ur die Dynamik des Spins betrachten wir ein Teilchen mit Spin 1/2 in einem konstanten homogenen Magnetfeld. Wir nehmen das Teilchen als ruhend an und beschr¨anken uns auf die Diskussion des Spinfreiheitsgrades, d.h. die Abh¨angigkeit der Wellenfunktion vom Ort wird ¨ nicht betrachtet. Die zeitliche Anderung des Spinors ( ) ψ+ (t) ψ(t) = ψ− (t) ist bestimmt durch iℏ

d ψ(t) = Hψ(t) dt

mit

H=−

eℏ ⃗ ⃗σ · B. 2m

15.4 Pauligleichung

223

Mit der speziellen Wahl ⃗ = (0, 0, B) B lautet dies explizit d iℏ dt

(

ψ+ (t) ψ− (t)

)

eℏB =− 2m

(

ψ+ (t) −ψ− (t)

) .

Diese Gleichung l¨asst sich leicht l¨osen. Mit der Larmorfrequenz ωL = eB/2m schreiben wir die L¨osung als ) ) ( iω t ( ) ( i e L ψ+ (0) ψ+ (0) ψ+ (t) . = = e− ℏ Ht e−iωL t ψ− (0) ψ− (0) ψ− (t) F¨ ur

( ψ(0) =

a b

) ,

a, b ∈ R

h¨angt der Erwartungswert des Spins ⃗ ⟩ = ψ † (t) ℏ ⃗σ ψ(t) ⟨S 2

z

folgendermaßen von der Zeit ab: ⟨S1 ⟩ = abℏ cos(2ωL t) ⟨S2 ⟩ = −abℏ sin(2ωL t) ℏ ⟨S3 ⟩ = (a2 − b2 ) . 2

Er f¨ uhrt also eine Pr¨azessionsbewegung um die Achse des Magnetfeldes mit der Frequenz 2ωL aus. Diese sogenannte Larmorpr¨ azession ist identisch mit derjenigen, die ein magnetisches Moment µB = eℏ/2m in der klassischen Elektrodynamik vollf¨ uhrt.

¨ Ubungen 1. Messung des Land´e-Faktors Ein Elektron befinde sich in einem homogenen, zeitunabh¨ angigen und in z⃗ = Richtung orientierten magnetischen Feld. Das Vektorpotenzial kann als A ⃗ gew¨ ahlt werden. Die durch g = 2(1+a) definierte Gr¨ oße a heißt Anomalie − 21 ⃗r × B des magnetischen Moments.

224

15 Spin ⃗ = 1 (P ⃗ − eA) ⃗ gegeben. a) Der Operator der Geschwindigkeit sei durch V m Rechnen Sie die Kommutatoren [V1 , H] = iℏωc V2 , [V2 , H] = −iℏωc V1 und [V3 , H] = 0 mit ωc = eB/m nach. . . b) Bestimmen Sie die Zeitentwicklung der durch C1 (t) = ⟨S3 V3 ⟩, C2 (t) = . ⟨S1 V1 + S2 V2 ⟩ und C3 (t) = ⟨S1 V2 − S2 V1 ⟩ definierten Gr¨ oßen. Hinweis: Die Rechnungen liefern ein lineares System von Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Verwenden Sie die Abk¨ urzung Ω = aωc . ⃗·V ⃗ ⟩(t). Wie kann dies benutzt c) Ermitteln Sie mit den Erwartungswert ⟨S werden, um a zu messen?

2. Spin-Resonanz Ein freies Elektron ist zwei Magnetfeldern ausgesetzt, n¨ amlich einem konstanten ⃗ 0 in z-Richtung und zus¨ homogenen Magnetfeld B atzlich einem zeitabh¨ angigen ⃗ 1 (t) = B1 (cos(ωt), sin(ωt), 0). Zum Zeitpunkt t = 0 habe das Elektron Feld B ⃗ 1 werde dann erst eingeschaltet. Beseinen Spin in +z-Richtung und das Feld B rechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (t) daf¨ ur, dass der Spin zum Zeitpunkt t in die −z-Richtung umgeklappt ist. Vernachl¨ assigen Sie die dabei Ortsfreiheitsgrade, so dass nur der Pauli-Anteil HSpin im Hamiltonoperator ber¨ ucksichtigt wird. Untersuchen Sie auch den Resonanzfall. Hinweis: Stellen Sie die Pauligleichung f¨ ur die Spinwellenfunktion ψ(t) auf und verwenden Sie die Abk¨ urzungen ω0 = eB0 /m und ω1 = eB1 /m. L¨ osen Sie die auftretenden Differenzialgleichungen mit dem Ansatz ψ+ (t) = A exp(i ω+ t), ψ− (t) = B exp(i ω− t).

15.5 Stern-Gerlach-Versuch Wir werden jetzt den Stern-Gerlach-Versuch mit Hilfe der Pauligleichung beschreiben. Statt der Silberatome betrachten wir der Einfachheit halber Elektronen und setzen e = −e0 . Die Geometrie des Versuches ist in der nachfolgenden Abbildung skizziert. Das inhomogene Magnetfeld sei ⃗ r ) = (−B1 x, 0, B1 z) B(⃗ und als Vektorpotenzial w¨ahlen wir ⃗ = (0, B1 xz, 0). A Unter Vernachl¨assigung des A2 -Terms lautet der Hamiltonoperator H=

e 1 ⃗2 P − XZ Py − µB σ1 B1 X + µB σ3 B1 Z. 2m m

15.5 Stern-Gerlach-Versuch

225

z

Strahl

12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 12345678901234 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123

y

x

Den zweiten Term k¨onnen wir ebenfalls vernachl¨assigen, wenn das Wellenpaket in der N¨ahe der y-Achse konzentriert ist. Dann separiert der Hamiltonoperator in drei Teile: H = Hx + Hy + Hz , und bez¨ uglich der zKomponente erhalten wir den Hamiltonoperator Hz =

1 2 P + µB σ3 B(Z) 2m 3

mit B(z) = B1 z. Die Pauligleichung f¨ ur ψ(z, t) lautet ( ) { ( )} ( ) 1 2 ∂ ψ+ (z, t) 1 0 ψ+ (z, t) = P + µB B(z) iℏ 0 −1 ψ− (z, t) ∂t ψ− (z, t) 2m 3 oder in Spinorkomponenten ∂ i ℏ ψ± = ∂t

(

) 1 2 P ± µB B(z) ψ± . 2m 3

Diese Gleichungen sind identisch mit der Schr¨odingergleichung f¨ ur den freien Fall mit der Beschleunigung ∓µB B1 /m in z-Richtung: ( ) ∂ ℏ2 ∂ 2 i ℏ ψ± = − ± µB B1 z ψ± . ∂t 2m ∂z 2 Der Anfangszustand zur Zeit t = 0 sei ein Eigenvektor von Sx und werde beschrieben durch ψ± (z, 0) = f (z),

226

15 Spin

wobei f (z) um z = 0 konzentriert sei. Es ist dann Sx ψ =

ℏ ψ. 2

z t=0 ψ−

ψ+

Zu einer Zeit t > 0 hat der freie Fall“ auf die Komponenten ψ+ und ψ− ” gewirkt mit dem Resultat ( ) µB B1 2 ψ+ (z, t) ≈ f z + t 2m ( ) µB B1 2 ψ− (z, t) ≈ f z − t . 2m Durch die Funktionen ψ± (z) werden die beiden in z-Richtung auseinander laufenden Teilstrahlen dargestellt.

z t>0 ψ−

ψ+

15.6 Drehung von Spinoren

227

Betrachte den lokalen z-abh¨angigen Erwartungswert von Sz , der proportional ist zu ψ † (z)σ3 ψ(z) = |ψ+ |2 − |ψ− |2 . F¨ ur t = 0 ist er u ¨berall gleich 0, w¨ahrend er zu sp¨ateren Zeiten den folgenden Verlauf hat: 2

| ψ+ | - | ψ− | 2 t>0

z

F¨ ur Zeiten t > 0 sehen wir: f¨ ur z > 0 : f¨ ur z < 0 :

ℏ 2 ℏ wahrscheinlicher Messwert Sz = + . 2

wahrscheinlicher Messwert Sz = −

Die Spinorwellenfunktion beschreibt also die Aufspaltung in zwei Teilstrahlen, die in die positive bzw. negative z-Richtung laufen und zu entgegengesetzten Eigenwerten von Sz geh¨oren, wie es der Beobachtung entspricht.

15.6 Drehung von Spinoren 15.6.1 Eigenspinoren zu beliebigen Richtungen Wir haben die Eigenvektoren von Sz , n¨amlich |+⟩ ( Spin up“) und ” |−⟩ ( Spin down“), kennengelernt. Wenn nun die Messapparatur die x” Komponente Sx des Spins misst, sind wir an den Eigenvektoren von ( ) ℏ 0 1 ℏ Sx = σx = 2 2 1 0

228

15 Spin

interessiert. Die Eigenwerte sind ± ℏ2 . Wir schreiben die Eigenwertgleichung als Sx |X± ⟩ = ± ℏ2 |X± ⟩ bzw.

( σx

χ+ χ−

)

( =±

χ+ χ−

) ,

|χ+ |2 + |χ− |2 = 1.

Die L¨osung ist (bis auf einen konstanten Faktor vom Betrag 1) ) ( ) ( 1 1 1 1 , |X− ⟩ = √ . |X+ ⟩ = √ 2 1 2 −1 Noch mutiger fragen wir nun nach den Eigenvektoren f¨ ur eine beliebige Spinkomponente. Eine beliebige Richtung sei spezifiziert durch den Vektor ⃗e , |⃗e| = 1: ⃗e = (sin ϑ cos φ, sin ϑ sin φ, cos ϑ). Wir definieren die zugeh¨orige Spinkomponente ) ( ℏ ℏ cos ϑ sin ϑ e−iφ ⃗ S⃗e = ⃗e · S = ⃗e · ⃗σ = . 2 2 sin ϑ eiφ − cos ϑ Die Eigenwertgleichung ist S⃗e |⃗e± ⟩ = ± ℏ2 |⃗e± ⟩ und hat die L¨osungen (

cos ϑ2 sin ϑ2 eiφ

(

− sin ϑ2 e−iφ + cos ϑ2

|⃗e+ ⟩ = |⃗e− ⟩ =

) ) ,

die bis auf einen Phasenfaktor eiγ eindeutig sind. Jetzt stellen wir die umgekehrte Frage. Es sei ein beliebiger Spinor gegeben: ( ) χ+ χ= . χ− Ist χ Eigenvektor zu einer geeigneten Spinkomponente? Wegen |χ+ |2 + |χ− |2 = 1

15.6 Drehung von Spinoren

229

k¨ onnen wir schreiben χ+ = cos

ϑ iα+ e , 2

χ− = sin

ϑ iα− e 2

und folglich ( χ∼

cos ϑ2 sin ϑ2 eiφ

) ,

mit

φ = α− − α+ .

Durch Vergleich mit obigem Ausdruck f¨ ur |⃗e+ ⟩ sehen wir, dass χ Eigenvek⃗ ⃗ tor zu einer Spinkomponente S⃗e = ⃗e · S ist, wobei die Richtung durch ⃗e = χ†⃗σ χ gegeben ist. Salopp gesagt: Ein Spinor ist die Quadratwurzel aus einem ” Vektor“. Zusammengefasst: Zu jedem Zustand in H2 , d.h zu jedem Spinor χ modulo Phasenfaktor, geh¨ort eineindeutig ein Einheitsvektor ⃗e, so dass χ einen Spin beschreibt, der in Richtung von ⃗e zeigt. ¨ Ubungen Betrachten Sie ein Elektron, dessen Spin in Richtung ⃗e1 polarisiert ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten bei Messung des Spins in Richtung ⃗e2 jeweils die Eigenwerte ± ℏ2 auf? Dr¨ ucken Sie die Ergebnisse durch ⃗e1 · ⃗e2 aus.

15.6.2 Drehungen Ein Spinor ist ein zweikomponentiger komplexer Vektor aus H2 . Das ist aber noch nicht die ganze Wahrheit. Nicht jeder zweikomponentige komplexe Vektor hat die Ehre, sich Spinor nennen zu d¨ urfen. Er muss sich auch richtig unter Drehungen transformieren. Was das heißt, wollen wir nun betrachten. Eine r¨aumliche Drehung wird beschrieben durch ′

⃗r → ⃗r = R(⃗ α) · ⃗r . Wie transformiert sich ein Spinor χ → χ ′ unter der Drehung? Auf jeden Fall muss f¨ ur den Spinor χ = |⃗e+ ⟩ die Drehung zu χ ′ = |⃗e+′ ⟩ f¨ uhren, wobei ′ ⃗e = R(⃗ α) · ⃗e ist.

230 Behauptung:

15 Spin ⃗ erzeugt Drehungen von Spinoren, S i

⃗

χ ′ = e− ℏ α⃗ ·S χ ≡ US (⃗ α)χ.

d.h. Beweis: Sei

χ†⃗σ χ = ⃗e, dann ist zu zeigen χ ′+⃗σ χ ′ = ⃗e ′ , was dasselbe ist wie i

⃗

i

⃗

χ† e+ ℏ α⃗ ·S ⃗σ e− ℏ α⃗ ·S χ = R(⃗ α)χ†⃗σ χ. Es gen¨ ugt also zu zeigen: i

i

α) · ⃗σ . e 2 α⃗ ·⃗σ ⃗σ e− 2 α⃗ ·⃗σ = R(⃗ F¨ ur infinitesimale Drehungen lautet dies { } { } ⃗ × ⃗σ 1 + 2i δ⃗ α · ⃗σ ⃗σ 1 − 2i δ⃗ α · ⃗σ = ⃗σ + δα bzw. ⃗σ + 2i [δ⃗ α · ⃗σ , ⃗σ ] = ⃗σ + δ⃗ α × ⃗σ und folgt aus der Algebra der Paulimatrizen: i 2

[δαj σj , σk ] = 2i δαj 2i εjkl σl = εkjl δαj σl .

F¨ ur endliche Drehungen mit α ⃗ = α·⃗n folgt unter Benutzung von (⃗n ·⃗σ )2 = 1 die Beziehung i

US (⃗ α) = e− 2 α⃗ ·⃗σ = cos α2 · 1 − i sin α2 ⃗n · ⃗σ , mit deren Hilfe man den Beweis f¨ ur endliche Drehungen f¨ uhren kann. Die spezielle Drehung mit α = ϑ, ⃗n = (− sin φ, cos φ, 0) dreht ⃗e3 = (0, 0, 1) nach ⃗e = (sin ϑ cos φ, sin ϑ sin φ, cos ϑ). F¨ ur diese Drehung ist ⎛ US (⃗ α) = cos ϑ2 1 + i sin ϑ2 (sin φ σ1 − cos φ σ2 ) = ⎝

cos ϑ2 sin ϑ2 eiφ

− sin ϑ2 e−iφ cos ϑ2

⎞ ⎠

15.6 Drehung von Spinoren

231

¨ in Ubereinstimmung mit ( US (⃗ α) ( US (⃗ α)

1 0

)

0 1

)

= |⃗e+ ⟩ = |⃗e− ⟩.

Bei der Drehung von Spinoren tritt die H¨alfte des Drehwinkels auf. ( Ein ” Spinor ist die Quadratwurzel aus einem Vektor“.) Dies f¨ uhrt zu einer bemerkenswerten Tatsache: Bei Drehungen um den Winkel 2π ist US (2π⃗n ) = −1 und folglich χ ′ = −χ, so dass der Spinor sein Vorzeichen wechselt. Eine vollst¨andige Drehung f¨ uhrt also bei Teilchen mit Spin 1/2 nicht zum gleichen Vektor im Hilbertraum. Diese merkw¨ urdige Eigenschaft wurde im Falle von Neutronen durch Experimente mit einem Neutroneninterferometer best¨atigt. Wir haben soweit die Transformation von Spinoren unter Drehungen betrachtet. Wie transformiert sich die gesamte Spinorwellenfunktion? F¨ ur Schr¨odinger’sche Wellenfunktionen haben wir fr¨ uher gefunden ψ ′ (⃗r ) = UL (⃗ α)ψ(⃗r ) = ψ(R(−⃗ α )⃗r ). F¨ ur die zweikomponentige Spinorwellenfunktion m¨ ussen wir sowohl die einzelnen Komponenten bez¨ uglich ihrer Ortsabh¨angigkeit nach diesem Gesetz transformieren als auch den Spinor gem¨aß der oben gefundenen Regel: ( ) ψ+ (⃗r ) ψ(⃗r ) = ψ− (⃗r ) geht u ¨ber in ′

(

ψ (⃗r ) = US (⃗ α)

UL (⃗ α)ψ+ (⃗r ) UL (⃗ α)ψ− (⃗r )

) i

⃗

⃗

= US (⃗ α)UL (⃗ α)ψ(⃗r ) = e− ℏ α⃗ ·(L+S ) ψ(⃗r ). Hier lesen wir ab: ⃗ +S ⃗ erzeugt r¨aumliche Drehungen. Der Gesamtdrehimpuls J⃗ = L

232

15 Spin

¨ Ubungen Wie lautet die Transformationsmatrix US (⃗ α) f¨ ur Spinoren bei einer Rotation um die yAchse f¨ ur die Winkel α = π und α = π/2? In welche Spinoren werden die Zust¨ ande |+⟩ und |−⟩ jeweils transformiert?

15.7 Der Messprozess, illustriert am Beispiel des Spins, oder: Die Mysterien der Quantenwelt“ ” Die Eigent¨ umlichkeiten der Quantenphysik und des quantenphysikalischen Messprozesses lassen sich sehr gut am Beispiel des Spins verdeutlichen. Wir betrachten dazu Teilchen mit Spin 1/2, die einen Stern-Gerlach-Apparat durchlaufen. In den Abbildungen symbolisieren wir den Apparat durch einen Kasten. Die Aufschrift Z“ zeigt an, dass der Apparat in z-Richtung ” orientiert ist, d.h. er trennt die Teilchen nach der z-Komponente des Spins. Ein in y-Richtung eintretender Strahl von Teilchen wird durch den Apparat in zwei Teilstrahlen aufgespalten. Die Eigenschaft der Teilchen, zum oberen bzw. unteren Teilstrahl zu geh¨oren, bezeichnen wir mit Z± . Wir wissen, dass sie zum Wert der Spinkomponente S3 korrespondiert.

z

Z y x

Z+ Z−

Z + : spin down,

oberer Teilstrahl

Z − : spin down,

unterer Teilstrahl

a) Pr¨ aparation Mit dem Stern-Gerlach-Apparat k¨onnen wir einen Zustand pr¨aparieren, indem wir einen Teilstrahl herausfiltern. Dazu wird einfach der andere Teilstrahl durch einen Verschluss zur¨ uckgehalten.

15.7 Der Messprozess, illustriert am Beispiel des Spins

233

Z+

Z

Vom Vorliegen der Eigenschaft Z+ u ¨berzeugen wir uns durch eine Kontrollmessung:

Z+ Z

Z

Z+

Ergebnis: Der herausgefilterte Teilstrahl hat die Eigenschaft Z+ . Wir sprechen auch vom Zustand Z+“. In der Notation der vorigen Abschnitte: ” ( ) 1 . Zustand Z+ ≡ |+⟩ = 0 Wir wollen aber in diesem Abschnitt zun¨ achst die quantenmechanische Zustandsbeschreibung noch nicht voraussetzen, sondern das Augenmerk auf die Ph¨anomene richten.

b) Zwei zueinander verdrehte Apparate Die Teilchen im pr¨aparierten Zustand Z+ schicken wir nun durch einen zweiten Apparat, der um 90◦ verdreht ist und in x-Richtung orientiert ist.

Z+ Z

X

X+ X−

Resultat: eine erneute Aufspaltung in X+ und X− mit gleichen Wahrscheinlichkeiten. In der quantenmechanischen Beschreibung sind dies die Zust¨ande ( ) ( ) 1 1 1 1 |X+ ⟩ = √ , |X− ⟩ = √ . 2 1 2 −1

234

15 Spin

Dies nur zur Erg¨anzung. Wir wollen, wie gesagt, zun¨achst nicht auf die quantenmechanische Beschreibung zur¨ uckgreifen. Da die beiden Teilstrahlen aus Z+ hervorgegangen sind, stellen wir uns die Frage: Haben die Elektronen in X+ (oder in X− ) auch immer noch die Eigenschaft Z+ ? Die Antwort kann uns ein weiteres Experiment geben.

c) Reihe von Apparaten In Erweiterung des vorigen Experimentes filtern wir den Zustand X+ heraus und schicken ihn durch einen Apparat, der in z-Richtung orientiert ist.

X+

Z+

Z

X

Z

Z+ Z−

Resultat: eine Aufspaltung in Z+ und Z− mit gleichen Wahrscheinlichkeiten. Die Elektronen in X+ , und ebenso in X− , erinnern sich nicht daran, dass sie vorher in Z+ waren. Verallgemeinerung: Statt des pr¨aparierten Z+ -Zustandes schicken wir von links Teilchen in beliebigen Zust¨anden in den X-Apparat.

X+ X

Z

Z+ Z−

z.B. Z+ , Z− , Y+ , ...

Resultat: Die relativen H¨aufigkeiten sind unabh¨angig davon, was vor dem Apparat X geschieht.

15.7 Der Messprozess, illustriert am Beispiel des Spins

235

Wir bezeichnen X+ als reinen Zustand“. Damit ist Folgendes gemeint: Das ” Verhalten eines Systems in einem reinen Zustand h¨angt nur davon ab, um welchen reinen Zustand es sich handelt, und nicht von der Vorgeschichte oder sonstigen unbekannten Eigenschaften.

Messung Durch einen Stern-Gerlach-Apparat vom Typ X kann an einem Teilchen die Eigenschaft X+ oder X− gemessen werden.

Z+

X

X+ X− Schirm

Durch eine Abschw¨achung des Strahls k¨onnen wir erreichen, dass immer nur einzelne Elektronen durch den Apparat laufen. Diese kommen jeweils mit X+ oder X− heraus. Es handelt sich also um eine Eigenschaft der einzelnen Teilchen. Die vorher betrachteten Situationen erlauben uns, am vorliegenden Beispiel einige Merkmale des quantenmechanischen Messprozesses festzustellen. Die Elektronen werden durch die Messung mit der Apparatur X in den Zustand X+ oder X− gebracht, die Eigenschaft Z+ geht dabei verloren. Durch die Messung wird der Zustand des Systems im Allgemeinen ge¨andert. ¨ Die Anderung folgt Wahrscheinlichkeitsgesetzen. Nach der Messung hat das System Eigenschaften, die man ihm vorher weder zu- noch absprechen kann.

236

15 Spin

Mathematische Beschreibung Um den Anschluss an den formalen Apparat der Quantenmechanik herzustellen, betrachten wir nun die mathematische Beschreibung der beiden diskutierten Funktionen des Stern-Gerlach-Apparates, n¨amlich Pr¨aparation und Messung. 1. Pr¨ aparation

α

Z+

Z

Bei dieser Pr¨aparation wird ein beliebiger Zustand, der nicht orthogonal zu Z+ ist, in den Zustand Z+ , bzw. ein Vielfaches davon, u uhrt: ¨bergef¨ |α⟩ −→ eiδ |Z+ ⟩ (

a+ a−

)

( −→

a+ 0

)

1 −→ |a+ |

(

a+ 0

)

iδ

(

=e

1 0

) .

Den Zustand vor der Normierung erhalten wir aus dem Ausgangszustand |α⟩ durch Projektion auf |Z+ ⟩. = |Z+ ⟩⟨Z+ | ∼ =

(

1 0 0 0

|α⟩ → P(Z+ ) |α⟩ = |Z+ ⟩⟨Z+ |α⟩ ∼ =

(

a+ 0

Projektor

P(Z+ )

)

)

Fazit: Die Pr¨aparation wird durch einen Projektor beschrieben. 2. Messung Fungiert der Apparat Z als Messger¨at, so wird an einem Teilchen das Vorliegen der Eigenschaft Z+ bzw. Z− registriert. Der vor der Messung vorliegende Zustand sei ( ) a+ |α⟩ = . a−

15.7 Der Messprozess, illustriert am Beispiel des Spins

237

Z+ α

Z Z− −1

S

+1

Durch die Messung von Z wird das Teilchen in den zugeh¨origen Zustand Z− oder Z+ u uhrt. Dies geschieht mit den Wahrscheinlichkeiten p− = ¨bergef¨ 2 |a− | bzw. p+ = |a+ |2 .

Vorher

Nachher

a−

() 0 1

a− oder

,

p− = | a− |2

a+ a−

() 1 0

a+

,

p+ = | a + |2

a+

Die Observable σz habe den Wert +1 im Zustand Z+ und −1 im Zustand Z− . Ihr Erwartungswert ist ⟨σz ⟩α = p+ · 1 + p− · (−1) = |a+ |2 − |a− |2 = (a∗+ , a∗− )

(

1 0 0 −1

)(

a+ a−

) = ⟨α|σz |α⟩.

238

15 Spin

Fazit: Die zur Eigenschaft ( ) Z geh¨orige Observable σz wird durch die hermi1 0 tesche Matrix dargestellt. 0 −1

Interferenz und Superposition Wir haben Charakteristika des quantenmechanischen Messprozesses festgehalten. Jedoch sind wir noch nicht zur eigentlich quantenphysikalischen Natur des Systems vorgestoßen, denn man kann sich auch klassische Systeme und Apparate vorstellen, die so funktionieren. (Auf die Erl¨auterung eines Beispiels m¨ochte ich hier verzichten.) Im Folgenden wollen wir uns einem Ph¨anomen zuwenden, das typisch quantenhaft ist und aus dem Rahmen der klassischen Physik f¨allt. Dazu betrachten wir noch einmal einen Strahl von Teilchen im Zustand Z+ , der durch einen X-Apparat in zwei Teilstrahlen X+ und X− aufgespalten wird.

Z+

X+

X

X−

Frage: K¨onnte es sein, dass die Elektronen im Zustand Z+ durch den X-Apparat sortiert werden, und zwar in eine H¨alfte mit der Eigenschaft X+ und die andere H¨alfte mit der Eigenschaft X− ? Zur Beantwortung dieser Frage betrachten wir folgendes Arrangement. Zun¨achst wird der Teilstrahl X+ bzw. X− herausgefiltert, durch einen geeigneten Magneten wieder in die Mitte gebracht und anschließend durch einen Z-Apparat geschickt. Das Ergebnis kennen wir schon.

X+

Z+ d1)

GesamtAnteil X+

X

Z

Z+ Z−

0,25 0,25

Z

Z+ Z−

0,25 0,25

Z+ d2)

X X− X−

15.7 Der Messprozess, illustriert am Beispiel des Spins

239

Durch die Filterung wird die Intensit¨at halbiert und durch die nachfolgende Aufspaltung nochmals halbiert, so dass jeder Teilstrahl einen Anteil von einem Viertel der Teilchen enth¨alt. Nun werden bei gleicher Anordnung beide Klappen des X-Apparates ge¨offnet. Wenn die Antwort auf die obige Frage ja“ w¨are, m¨ ussten sich ” die Intensit¨aten zu jeweils 0,5 addieren, wenn beide Klappen ge¨offnet sind. Die Eigenschaft Z+ w¨ urde dann bereits durch die Aufspaltung im Apparat X vernichtet werden. Das Ergebnis ist aber ein anderes!

X+

Z+ d3)

Z

X

Z+

1,0 0

X−

¨ Es tritt Interferenz auf: Durch das Offnen einer Klappe verringert sich der Anteil der Teilchen im Teilstrahl Z− auf null. Man beachte, dass immer nur einzelne Teilchen durch den Apparat laufen und somit kein Effekt irgendeiner Strahlwechselwirkung vorliegt. Die Antwort auf obige Frage lautet also: nein“. Wenn die einzelnen Teil” chen jeweils entweder oben oder unten durchgingen, k¨onnte es keine Interferenz geben. Die Situation ist analog zu derjenigen beim Doppelspaltexperiment. Weiterhin stellen wir fest, dass nicht die Aufspaltung im Apparat X, sondern die Filterung den Zustand ver¨andert. Ohne Filterung k¨onnen wir den urspr¨ unglichen Zustand durch Superposition wiederherstellen. Die M¨oglichkeit der Superposition von Teilchenzust¨anden, die zu Interferenzerscheinungen f¨ uhren kann, ist eine typisch quantenphysikalische Eigenschaft. Die oben vorliegende Superposition von Zust¨anden lautet im Formalismus so: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 |Z+ ⟩ = = + = √ |X+ ⟩ + √ |X− ⟩ 0 2 1 2 −1 2 2

240 ¨ und die drei Anordnungen entsprechen folgenden Uberg¨ angen: ( ) ( ) 1 1 1 d1) −→ 0 2 1 ( ) ( ) 1 1 1 d2) −→ 0 2 −1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 = = 1 + −→ . d3) −→ 0 0 2 1 2 −1

15 Spin

16 Addition von Drehimpulsen 16.1 Addition zweier Drehimpulse Wenn in einem System zwei unabh¨angige Drehimpulse vorkommen, k¨onnen sie zu einem Gesamtdrehimpuls zusammengef¨ ugt werden. Beispiele sind: ⃗ +S ⃗ i) J⃗ = L Bahndrehimpuls plus Spin ⃗=S ⃗ (1) + S ⃗ (2) ii) S Gesamtspin zweier Elektronen Allgemein betrachten wir zwei Drehimpulse J⃗(1) , J⃗(2) mit den Kommutatoren [ ] (a) (a) (a) Jj , Jk = i ℏ εjkl Jl [ ] (1) (2) = 0. Ji , Jk Die Eigenzust¨ande zum ersten Drehimpuls seien (J⃗ (1) )2 |j1 , m1 ⟩ = ℏ2 j1 (j1 + 1)|j1 , m1 ⟩ (1) J3 |j1 , m1 ⟩ = ℏ m1 |j1 , m1 ⟩

} H(1) = Hj1

und entsprechend f¨ ur J⃗ (2) . Die Dimensionen der jeweiligen Vektorr¨aume sind dim H(1) = 2j1 + 1, dim H(2) = 2j2 + 1. Die Ber¨ ucksichtigung beider Drehimpulse f¨ uhrt zum gesamten Vektorraum H, der als Tensorprodukt der einzelnen Hji gebildet wird: Hj1 ⊗ Hj2 ≡ H ,

dim H = (2j1 + 1)(2j2 + 1).

Er besitzt eine Basis bestehend aus den Vektoren |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ ≡ |j1 , m1 ⟩ ⊗ |j2 , m2 ⟩. Hierbei sind j1 und j2 fest und −j1 ≤ m1 ≤ j1 −j2 ≤ m2 ≤ j2 .

242

16 Addition von Drehimpulsen

Der Gesamtdrehimpuls J⃗ = J⃗ (1) + J⃗ (2) erf¨ ullt ebenfalls die Drehimpulsalgebra [Jj , Jk ] = i ℏ εjkl Jl . Welches sind die Eigenwerte und Eigenvektoren von J⃗ 2 und J⃗3 in H? (1) (2) Die obige Basis diagonalisiert die Operatoren (J⃗ (1) )2 , J3 , (J⃗ (2) )2 , J3 .

Gesucht ist die Basis |j, m; j1 ; j2 ⟩, die J⃗ 2 , J3 , (J⃗ (1) )2 , (J⃗ (2) )2 diagonalisiert. Insbesondere soll also gelten J⃗ 2 |j, m; j1 ; j2 ⟩ = ℏ2 j(j + 1)|j, m; j1 ; j2 ⟩ ,

j ∈ {0, 12 , 1, . . . }

J3 |j, m; j1 ; j2 ⟩ = ℏm|j, m; j1 ; j2 ⟩ ,

−j ≤ m ≤ j.

a) Wir betrachten zun¨achst die dritte Komponente (1)

(2)

J3 = J3 + J3 . Wegen J3 |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ = ℏ(m1 + m2 )|j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ gilt m = m1 + m2 . b) Nun wenden wir uns dem Quadrat des Gesamtdrehimpulses zu. Aufgrund von [ ] (a) J⃗ 2 , J3 ̸= 0 m¨ ussen wir feststellen: |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩ ist im Allgemeinen kein Eigenvektor von

J⃗ 2 .

Daher m¨ ussen wir geeignete Linearkombinationen mit verschiedenen Werten von m1 und m2 bei festem m = m1 + m2 bilden. In der Figur sind f¨ ur das Beispiel j1 = 4 und j2 = 2 alle Wertepaare (m1 , m2 ) eingetragen. Auf den Diagonalen liegen die Punkte mit konstantem m.

16.1 Addition zweier Drehimpulse

243

m2

2 1 m=6

0

5

-1

4

-2 m1 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Das gr¨oßte m ist mmax = j1 + j2 . Der zugeh¨orige Zustand ist eindeutig und lautet |j1 , j1 ; j2 , j2 ⟩. Daraus folgt: Der gr¨oßtm¨ogliche Wert f¨ ur j ist j = j1 + j2 und es gilt | j1 + j2 , j1 + j2 ; j1 ; j2 ⟩ = |j1 , j1 ; j2 , j2 ⟩.       j

m

Das gesamte hierzu geh¨orige Multiplett ist j = j1 + j2 m = −(j1 + j2 ), . . . , j1 + j2 − 1, j1 + j2

} Hj1 +j2 .

Im restlichen Raum ist das verbleibende gr¨oßte m gleich j1 + j2 − 1. Im gesamten Raum ist es zweifach entartet. In diesem zweidimensionalen Unterraum geh¨ort ein Vektor zu Hj1 +j2 . Der dazu orthogonale verbleibende Vektor liegt in Hj1 +j2 −1 . Dieses Verfahren kann in gleicher Weise fortgesetzt werden. In der Figur ist die entsprechende Abz¨ahlung der Zust¨ande durch die Einrahmungen symbolisiert. Hierbei ist zu beachten, dass die eingerahmten Zust¨ande nicht die gesuchten Linearkombinationen sind, sondern lediglich zur Z¨ahlung der Dimensionen dienen.

244

16 Addition von Drehimpulsen

Dieses Verfahren endet bei j = |j1 − j2 |. Ergebnis: Bei der Addition zweier Drehimpulse vom Betrag j1 und j2 kann der Gesamtdrehimpuls die Betr¨age j1 + j2 ,

j1 + j2 − 1, . . . , |j1 − j2 |

annehmen.

Das heißt

j∑ 1 +j2

Hj1 ⊗ H j2 =

Hj .

j=|j1 −j2 |

Die Dimensionsz¨ahlung (2j1 + 1)(2j2 + 1) =

j∑ 1 +j2

(2j + 1)

j=|j1 −j2 |

stimmt. Basistransformation: Die zu bestimmten Werten von j und m geh¨origen Vektoren sind Linearkombinationen mit verschiedenen m1 und m2 : ∑ |j, m; j1 ; j2 ⟩ = |j1 , m1 ; j2 , m2 ⟩⟨j1 , m1 ; j2 , m2 |j, m; j1 ; j2 ⟩. m1 +m2 =m

Die auftretenden Koeffizienten heißen Clebsch-Gordan-Koeffizienten. Sie k¨onnen mit Hilfe der Leiteroperatoren berechnet werden. F¨ ur konkrete Werte pflegt man allerdings geeignete Tabellen zu konsultieren. Beispiel: ⟨j1 , j1 ; j2 , j2 |j1 + j2 , j1 + j2 ; j1 ; j2 ⟩ = 1.

16.2 Zwei Spins 1/2 Als wichtiges Beispiel betrachten wir die Addition zweier Spins. j1 = 21 , j2 = 12 ,

dim H = 4.

16.2 Zwei Spins 1/2 Notation:

245

| 21 , 21 ;

1 1 2, 2⟩ | 21 , − 12 ; 21 , 21 ⟩ | 12 , 21 ; 21 , − 21 ⟩ | 12 , − 12 ; 21 , − 21 ⟩

= | + +⟩ = | ↑↑⟩ = | − +⟩ = | ↓↑⟩ = | + −⟩ = | ↑↓⟩ = | − −⟩ = | ↓↓⟩.

F¨ ur das Quadrat des Gesamtspins gilt J⃗ 2 = (J⃗ (1) )2 + (J⃗ (2) )2 + 2J⃗ (1) · J⃗ (2) (1) (2)

(1) (2)

(1) (2)

= 32 ℏ2 + 2J3 J3 + J+ J− + J− J+ , und folglich ( ) J⃗ 2 | + +⟩ = 23 ℏ2 + 2 ℏ2 ℏ2 | + +⟩ = 2ℏ2 | + +⟩ ) ( J⃗ 2 | − −⟩ = 3 ℏ2 + 2 ℏ ℏ | − −⟩ = 2ℏ2 | − −⟩. 2

22

Mit j(j + 1) = 2 erhalten wir f¨ ur diese beiden Zust¨ande j = 1,

m = ±1.

Die beiden verbleibenden Zust¨ande erf¨ ullen ( ) J⃗ 2 | + −⟩ = 32 ℏ2 − 2 ℏ2 ℏ2 | + −⟩ + ℏ2 | − +⟩ = ℏ2 (| + −⟩ + | − +⟩) , J⃗ 2 | − +⟩ = ℏ2 (| − +⟩ + | + −⟩). Hieraus folgt sofort J⃗ 2 (| + −⟩ + | − +⟩) = 2ℏ2 (| + −⟩ + | − +⟩). Dies ist der j = 1, m = 0 Zustand. Damit ist das erste Multiplett vollst¨andig: j=1 :

|1, 1⟩ = | + +⟩ 1 |1, 0⟩ = √ (| + −⟩ + | − +⟩) 2 |1, −1⟩ = | − −⟩.

Die verbleibende Linearkombination erf¨ ullt J⃗ 2 (| + −⟩ − | − +⟩) = 0

246

16 Addition von Drehimpulsen

und bildet das Multiplett 1 |0, 0⟩ = √ (| + −⟩ − | − +⟩). 2

j=0: Merke:

antisymmetrisch ←→ Gesamtspin 0 . Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten ⟨ 12 , m1 ; obigen Formeln leicht abgelesen werden.

1 2 , m1 |j, m;

1 2;

1 2⟩

k¨onnen aus

¨ Ubungen ⃗ (1) und S ⃗ (2) sei durch den Hamiltonoperator H = Ein System zweier Elektronenspins S (1) ⃗ (2) ⃗ γ S · S (γ > 0) beschrieben. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenzust¨ ande von H. Gehen Sie dazu von einer Linearkombination der vier ungekoppelten Zust¨ ande aus und stellen Sie die zugeh¨ orige Eigenwertgleichung auf. Kontrollieren Sie Ihr Ergebnis f¨ ur die so berechneten Eigenwerte mit Hilfe des Zusammenhangs zwischen dem Hamiltonoperator ⃗=S ⃗ (1) + S ⃗ (2) . und dem gekoppelten Gesamtdrehimpuls S

16.3 Bahndrehimpuls und Spin 1/2 Das zweite wichtige Beispiel ist die Addition von Bahndrehimpuls und Spin eines Teilchens zum Gesamtdrehimpuls. Hier gilt j1 = l ≥ 1, j2 =

1 2

j ∈ {l + 21 , l − 21 }.

⇒

Eine einfache Rechnung mit Leiteroperatoren liefert |l ± 12 , mj ; l; √

l + mj + 2l + 1

1 2

√ |l, mj ∓ 21 ;

1 1 2, ±2⟩

±

1 2⟩

=

l − mj + 2l + 1

1 2

|l, mj ± 21 ;

Die Ausnahme hiervon ist der Fall j1 = l = 0,

j2 =

1 2

=⇒

j = 21 ,

1 1 2 , ∓ 2 ⟩.

16.3 Bahndrehimpuls und Spin 1/2

247

f¨ ur den einfach gilt | 12 , ± 12 ; 0;

1 2⟩

= |0, 0;

1 1 2 , ± 2 ⟩.

Ausgedr¨ uckt durch Spinorwellenfunktionen lautet die obige Additionsregel ⎛ √ ⎞ l+mj + 21 r) ⎟ ψ 1 (⃗ 2l+1 ⎜ l,mj − 2 ⎜ ⎟ Ψl+ 1 ,mj ;l (⃗r ) = ⎜ ⎟ 2 ⎝ √ ⎠ 1 l−mj + 2 ψ r ) 1 (⃗ l,mj + 2l+1 2

und analog f¨ ur das andere Vorzeichen.

¨ Ubungen Ein Elektron mit Spin 1/2 habe den Bahndrehimpuls l = 1. Ermitteln Sie die m¨ oglichen Eigenzust¨ ande des Gesamtdrehimpulses und berechnen Sie die zugeh¨ origen ClebschGordan-Koeffizienten, indem Sie das Quadrat des Gesamtdrehimpulses J⃗ 2 auf die in Frage kommende Linearkombination von Zust¨ anden anwenden.

17 Zeitunabh¨ angige St¨ orungstheorie 17.1 Korrekturen zum Hamiltonoperator des Wasserstoffatoms Das wahre Spektrum des Wasserstoffatoms stimmt nicht exakt mit der Vorhersage der Schr¨odingergleichung (Kap. 13) u ¨berein. Einige der Abweichungen lassen sich theoretisch durch Korrekturterme zum Hamiltonoperator beschreiben. Im Rahmen einer relativistischen Behandlung folgen diese aus der Diracgleichung. a) Relativistische kinetische Energie E=

√ p2 1 (p2 )2 m2 c4 + p2 c2 = mc2 + − + ··· 2m 8 m3 c2

Die erste relativistische Korrektur zur kinetischen Energie ber¨ ucksichtigen wir durch einen zus¨atzlichen Term Ha : 1 ⃗2 γ P − −→ H = H0 + Ha 2m R 1 ( )2 1 ( γ )2 Ha = − 3 2 P⃗ 2 = − . H + 0 8m c 2mc2 R H0 =

Ha kann f¨ ur atomare Verh¨altnisse als klein gegen¨ uber H0 betrachtet werden. b) Spin-Bahn-Kopplung Die Diracgleichung liefert einen Term, welcher Spin und Bahndrehimpuls koppelt: 1 ⃗ ·L ⃗ 1 V ′ (R) S 2 2 2m c R 1 ⃗ ·L ⃗ γ . = S 2m2 c2 R3

Hb =

Man kann diesen Term heuristisch dadurch erkl¨aren, dass im Ruhesystem des Elektrons der Kern ein Magnetfeld erzeugt, welches durch ⃗ ·B ⃗ an den Spin des Elektrons koppelt. den Pauliterm S c) Darwinterm Ebenfalls aus der Diracgleichung folgt der Darwinterm (nicht von dem Darwin) Hc =

πℏ2 γ (3) ⃗ ℏ2 2 ∇ V (R) = δ (Q ). 8m2 c2 2m2 c2

250

17 Zeitunabh¨angige St¨orungstheorie

Gesucht sind nun die Eigenwerte von H = H0 + Ha + Hb + Hc . Da Ha , Hb und Hc klein gegen¨ uber H0 sind, erwarten wir, dass die EnergieEigenwerte ungef¨ahr so groß wie diejenigen von H0 sind: E ≈ E (0) . Zur Berechnung der Abweichungen gibt es die Methode der St¨orungstheorie.

17.2 Rayleigh-Schr¨ odinger-St¨ orungstheorie Der gesamte Hamiltonoperator sei zusammengesetzt aus einem ungest¨ orten Teil H0 und einer St¨ orung λH1 . Dabei f¨ uhren wir noch einen reellen Parameter λ ein. H = H0 + λH1 . Das Spektrum von H0 sei uns bekannt. Wir wollen nur die diskreten Eigenwerte betrachten: H0 |n0 ⟩ = En0 |n0 ⟩. (Die hochgestellte Zahl ist hier keine Potenz sondern ein Index.) Gesucht sind die diskreten Eigenwerte und zugeh¨origen Eigenvektoren von H: H|n⟩ = En |n⟩. Annahme: |n⟩ und En k¨onnen nach Potenzen von λ entwickelt werden: En = En0 + λEn1 + λ2 En2 + · · · |n⟩ = |n0 ⟩ + λ|n1 ⟩ + λ2 |n2 ⟩ + · · ·

(unnormiert).

17.2.1 Nicht entartete St¨ orungstheorie Die ungest¨orten Eigenzust¨ande |n0 ⟩ seien nicht entartet. Die zu l¨osende Eigenwertgleichung ist (H0 + λH1 )(|n0 ⟩ + λ|n1 ⟩ + · · · ) = (En0 + λEn1 + · · · )(|n0 ⟩ + λ|n1 ⟩ + · · · ). Geordnet nach Potenzen von λ lautet das ( ) ( ) H0 |n0 ⟩ + λ H0 |n1 ⟩ + H1 |n0 ⟩ + · · · = En0 |n0 ⟩ + λ En0 |n1 ⟩ + En1 |n0 ⟩ + · · ·

17.2 Rayleigh-Schr¨odinger-St¨orungstheorie

251

Da die Gleichung f¨ ur alle λ erf¨ ullt sein soll, m¨ ussen die Koeffizienten jeder Potenz von λ f¨ ur sich schon null ergeben. In niedrigster Ordnung folgt daraus H0 |n0 ⟩ = En0 |n0 ⟩, (I) was wir ja schon voraussetzen. In den n¨ achsten beiden Ordnungen finden wir H0 |n1 ⟩ + H1 |n0 ⟩ = En0 |n1 ⟩ + En1 |n0 ⟩, H0 |n2 ⟩ + H1 |n1 ⟩ = En0 |n2 ⟩ + En1 |n1 ⟩ + En2 |n0 ⟩, was wir umschreiben als (H0 − En0 )|n1 ⟩ = −H1 |n0 ⟩ + En1 |n0 ⟩, (H0 − En0 )|n2 ⟩ = −H1 |n1 ⟩ + En1 |n1 ⟩ + En2 |n0 ⟩.

(II) (III)

Wenn wir Gleichung (II) von links mit ⟨m0 | multiplizieren, erhalten wir ⟨m0 |H0 − En0 |n1 ⟩ = −⟨m0 |H1 |n0 ⟩ + En1 ⟨m0 |n0 ⟩ =⇒

0 (Em − En0 )⟨m0 |n1 ⟩ = −⟨m0 |H1 |n0 ⟩ + En1 δmn .

F¨ ur m = n liefert das die erste Korrektur zur Energie: En1 = ⟨n0 |H1 |n0 ⟩ .

F¨ ur m ̸= n erhalten wir ⟨m0 |n1 ⟩ =

⟨m0 |H1 |n0 ⟩ . 0 En0 − Em

Dies sind die Entwicklungskoeffizienten von |n1 ⟩ f¨ ur m ̸= n in der Basis der ungest¨orten Eigenzust¨ande. Es fehlt aber noch ein Koeffizient: wie groß ist ⟨n0 |n1 ⟩? Ist |n1 ⟩ L¨osung zu (II), so auch |n1 ⟩ + α|n0 ⟩. Das bedeutet, dass ⟨n0 |n1 ⟩ unbestimmt ist. Wir verf¨ ugen dar¨ uber derart, dass wir ⟨n0 |n1 ⟩ = 0 w¨ahlen. Entsprechendes gilt f¨ ur die nachfolgenden Gleichungen (III), . . . f¨ ur die h¨oheren Ordnungen. Wir k¨onnen ⟨n0 |nk ⟩ = 0

f¨ ur k ≥ 1

252

17 Zeitunabh¨angige St¨orungstheorie

festlegen. Damit liegt die erste Korrektur zum Eigenvektor fest und lautet |n1 ⟩ =

∑

0 −1 |m0 ⟩⟨m0 |H1 |n0 ⟩(En0 − Em ) .

m̸=n

Wir wollen uns noch der Gleichung (III) zuwenden. Aus ihr folgt ⟨n0 |H0 − En0 |n2 ⟩ = −⟨n0 |H1 |n1 ⟩ + En1 ⟨n0 |n1 ⟩ +En2 ⟨n0 |n0 ⟩,          0

0

1

woraus wir die Korrektur zweiter Ordnung zur Energie erhalten: En2 = ⟨n0 |H1 |n1 ⟩ =

∑ |⟨m0 |H1 |n0 ⟩|2 . 0 En0 − Em

m̸=n

Dieses Verfahren l¨asst sich mit gen¨ ugend Geduld zu beliebig h¨oheren Ordnungen fortsetzen. Wir wollen uns aber mit den obigen Ergebnissen begn¨ ugen.

¨ Ubungen 1. In einem dreidimensionalen Hilbertraum sei der Hamiltonoperator“ eines Spiel” zeugmodells durch die Matrix ⎛ ⎞ 1 C 0 ⎝C 3 0 ⎠ mit C ∈ R 0 0 C −2 gegeben. a) Berechnen Sie die Energie–Eigenwerte“ dieses Systems. ” b) Berechnen Sie eine N¨ aherung f¨ ur diese Eigenwerte, indem Sie das System als eine St¨ orung des diagonalen Systems diag(1, 3, −2) mit Hilfe der St¨ orungstheorie bis zur ersten Ordnung einschließlich untersuchen. c) Vergleichen Sie die Ergebnisse. 2. Zum eindimensionalen Potenzialtopf { V0 (x) =

0, ∞,

0 < x < L, sonst

werde ein St¨ orpotenzial V1 (x) = λx addiert.

(4)

17.2 Rayleigh-Schr¨odinger-St¨orungstheorie

253

a) Geben Sie die Eigenwerte En0 und Eigenfunktionen ψn0 (x) des ungest¨ orten Hamiltonoperators an. b) Berechnen Sie st¨ orungstheoretisch die Korrektur En1 erster Ordnung zu En . c) Berechnen Sie st¨ orungstheoretisch die Korrektur ψ01 (x) zur Wellenfunktion des Grundzustandes ψ00 (x) in Form einer unendlichen Reihe. 3. Berechnen Sie die Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators a) H =

1 P2 2m

+ 21 mω 2 Q2 + λQ

b) H =

1 P2 2m

+ 21 mω 2 (1 + λ) Q2

mit a ¨ußerem konstanten Feld, mit ver¨ anderter Federspannung,

jeweils exakt und mit Hilfe der St¨ orungstheorie in 1. und 2. Ordnung. c) Wie h¨ angen die exakten Ergebnisse jeweils mit denen der St¨ orungstheorie zusammen? d) Berechnen Sie die Grundzustandsenergie des anharmonischen Oszillators mit H1 = Q4 in der ersten Ordnung der St¨ orungstheorie.

17.2.2 St¨ orungstheorie f¨ ur entartete Zust¨ ande Oben haben wir vorausgesetzt, dass die ungest¨orte Energie nicht entartet ist. Falls dies aber doch so ist, m¨ ussen wir ein bisschen mehr tun. Sei also En0 entartet: H0 |n0α ⟩ = En0 |n0α ⟩,

α = 1, . . . , k.

Die mit dem griechischen Index gekennzeichneten Eigenvektoren seien so gew¨ahlt, dass sie eine Orthonormalbasis in dem k-dimensionalen Eigenraum bilden: ⟨n0α |n0β ⟩ = δαβ . Zu niedrigster Ordnung in λ haben wir nat¨ urlich H0 |n0 ⟩ = En0 |n0 ⟩ mit der allgemeinen L¨osung |n0 ⟩ =

∑

|n0α ⟩cα ,

α

wobei die Koeffizienten cα noch nicht festgelegt sind. Multiplizieren wir die Gleichung II von links mit ⟨n0β |, so finden wir ⟨n0β |H0 − En0 |n1 ⟩ = −⟨n0β |H1 − En1 |n0 ⟩    0

254

17 Zeitunabh¨angige St¨orungstheorie

und folglich das Gleichungssystem ∑ ⟨n0β |H1 |n0α ⟩cα = En1 cβ . α

Mit

. H1 βα = ⟨n0β |H1 |n0α ⟩

lautet es ∑

H1 βα cα = En1 cβ ,

α

En1

ˆ 1 . Wie aus der linearen ist Eigenwert der k × k-Matrix (H1 βα ) ≡ H d.h. 1 Algebra bekannt, findet man die L¨osungen f¨ ur En aus der S¨ akulargleichung ˆ 1 − En1 ) = 0. det(H 1 , γ = 1, . . . , k. Diese sind im Allgemeinen Es existieren k L¨osungen Enγ nicht gleich. Die k-fache Entartung zu nullter Ordnung wird somit durch die St¨orung in erster Ordnung aufgehoben oder teilweise aufgehoben:

En

k -fache Entartung wird (teilweise) aufgehoben

λ 0

(γ)

Die L¨osungsvektoren cα des linearen Gleichungssystems liefern die richtigen Linearkombinationen f¨ ur |n0 ⟩. Analog zum nichtentarteten Fall l¨asst sich das Verfahren beliebig weit zu h¨oheren Ordnungen fortsetzen.

17.3 Das Wasserstoffatom, Teil II

255

¨ Ubungen 1. Ein Wasserstoffatom befinde sich in einem konstanten statischen elektrischen Feld E, das entlang der z-Achse ausgerichtet ist. Der entsprechende Term im Hamiltonoperator ist von der Gestalt HE = −λEz. F¨ ur elektrische Felder, wie sie typischerweise in Labors erzeugt werden, ist HE sehr viel kleiner als der Hamiltonoperator H0 des Wasserstoffatoms ohne ¨ außeres Feld. Die St¨ orung des Systems durch das außere Feld hebt die Degeneriertheit mancher Zust¨ ande des Wasserstoffs auf. Dies ¨ ist als Starkeffekt“ bekannt. ” a) Argumentieren Sie, warum die Matrixelemente von HE nur zwischen Zust¨ anden mit entgegengesetzten Parit¨ aten von Null verschieden sind. b) Berechnen Sie den Starkeffekt f¨ ur ein Wasserstoffatom im Zustand n = 2 mit Hilfe der St¨ orungstheorie f¨ ur entartete Zust¨ ande. W¨ ahlen Sie dazu zwei Zust¨ ande so, dass der Effekt nicht verschwindet. 2. Zum Hamiltonoperator 1 ⃗2 1 ⃗2 , Q ⃗ = (X, Y ) P + mω 2 Q 2m 2 des zweidimensionalen harmonischen Oszillators werde der St¨ orterm H1 = λmω 2 XY addiert. Berechnen Sie die Energiekorrekturen f¨ ur den zweifach entarteten ersten angeregten Zustand des Systems H0 H0 =

a) mit Hilfe der St¨ orungsrechnung erster Ordnung, b) durch exaktes L¨ osen des Eigenwertproblems f¨ ur den Operator H = H0 +H1 . Hinweis: F¨ uhren Sie dazu die Koordinaten U = √12 (X −Y ) und V = √12 (X + Y ) ein. Vergleichen und diskutieren Sie die Ergebnisse.

17.3 Das Wasserstoffatom, Teil II 17.3.1 Feinstruktur des Spektrums Jetzt haben wir das Werkzeug zur Hand, um Korrekturen zum Spektrum des Wasserstoffatoms zu berechnen. Wir gehen aus vom oben diskutierten Hamiltonoperator H = H0 + Ha + Hb + Hc ,    kleine St¨ orung

wobei die Konstante γ im Potenzial gegeben ist durch γ=

e20 . 4πε0

256

17 Zeitunabh¨angige St¨orungstheorie

In Hb kommt der Spin vor, so dass Wellenfunktionen mit Spin zu verwenden sind. Wir wenden nun die St¨orungstheorie bis zur ersten Ordnung an. Die Eigenwertgleichung nullter Ordnung H0 |n0 ⟩ = En0 |n0 ⟩ haben wir im Kapitel 13 gel¨ost mit dem Ergebnis me40 1 mc2 α2 1 ˜H 1 = − En0 = −R = − , n2 2ℏ2 (4πε0 )2 n2 2 n2 wobei α=

e20 1 ≈ ℏc(4πε0 ) 137,036

die Sommerfeld’sche Feinstrukturkonstante ist. Die ungest¨orten Energien sind entartet. Die zugeh¨origen ungest¨orten Eigenzust¨ande sind |n0 ⟩ = |n; l, m; ms ⟩ oder Linearkombinationen davon. In den ket-Vektoren lassen wir den Eintrag s f¨ ur den Spin, der immer gleich 1/2 ist, fort. Die Spinquantenzahl ms kann die Werte ms = ± 12 annehmen. Durch Addition von Bahndrehimpuls und Spin gelangt man zu Eigenzust¨anden des Gesamtdrehimpulses. Diese Zust¨ande |n; j, mj ; l⟩,

j =l±

1 2

bilden eine andere geeignete Basis, die wir im Folgenden verwenden. γ )2 1 ( H + 0 2mc2 R ist in der gew¨ahlten Basis bereits diagonal wegen Ha = −

⃗ 2 ] = [Ha , J⃗ 2 ] = [Ha , J3 ] = 0. [Ha , L Das ben¨otigte Matrixelement ist ⟨n; j ′ , m′j ; l′ | H02 + 2γH0 R1 + γ 2 R12 |n; j, mj ; l⟩ = (En0 )2 δjj ′ δmj m′j δll′ + 2γEn0 ⟨ 1r ⟩nl δjj ′ δmj m′j δll′ + γ 2 ⟨ r12 ⟩nl δjj ′ δmj m′j δll′ .

17.3 Das Wasserstoffatom, Teil II

257

Die Erwartungswerte 1 1 , ⟨ ⟩nl = r an2

⟨

1 1 ⟩nl = 2 3 2 r a n (l + 21 )

entnehmen wir dem Kapitel 13 und finden α2 ⟨Ha ⟩ = ⟨n; j, mj ; l| Ha |n; j, mj ; l⟩ = En0 2 n

(

3 n 1 − 4 l+ 2

) .

Kommen wir zum zweiten Term: Hb =

1 ⃗ ⃗ γ S · L 3. 2m2 c2 R

Aufgrund von ⃗ +S ⃗ )2 = L ⃗2+S ⃗ 2 + 2L ⃗ ·S ⃗ J⃗ 2 = (L k¨ onnen wir das Vektorprodukt umschreiben als ⃗ ·L ⃗ = 1 (J⃗ 2 − L ⃗2−S ⃗ 2) S 2 und finden damit ) ℏ2 ( ⃗ · L|n; ⃗ j(j + 1) − l(l + 1) − 34 |n; j, mj ; l⟩. S j, mj ; l⟩ = 2 Hb ist also ebenfalls bereits diagonal und es ist ⟨Hb ⟩ =

] 1 1 ℏ2 [ 3 γ ⟨ 3 ⟩nl . j(j + 1) − l(l + 1) − 4 2m2 c2 2 r

F¨ ur l ≥ 1 gilt ⟨

2 1 ⟩nl = 3 3 3 r a n l(l + 1)(2l + 1)

und in diesem Falle ergeben die ersten beiden Terme zusammen ) ( 2 3 n 0 α ⟨Ha + Hb ⟩ = −En 2 , l ≥ 1. − n 4 j + 21 Im Falle l = 0 gilt ⃗ · L|n; ⃗ S

1 2 , mj ;

0⟩ = 0

und somit ⟨Hb ⟩ = 0 ,

l = 0.

258

17 Zeitunabh¨angige St¨orungstheorie

Der dritte Term Hc =

πℏ2 γ (3) ⃗ δ (Q ) 2m2 c2

ist auch diagonal und wir haben

⟨Hc ⟩ =

πℏ2 γ mc2 α4 2 |f (0)| = δl,0 . nl 2m2 c2 2n3

Dies ist identisch mit dem Ausdruck f¨ ur ⟨Hb ⟩ f¨ ur j = 12 , l = 0. Wir fassen nun alles zusammen und erhalten die gesamte Korrektur

⟨Ha + Hb + Hc ⟩ =

−En0

α2 n2

(

3 n − 4 j+

) 1 2

.

Die Energien lauten somit α2 = −mc2 2 2n

Enj

{

α2 1− 2 n

(

3 n − 4 j+

)} 1 2

in der St¨orungstheorie bis zur ersten Ordnung. Die Korrekturen zur Balmerformel verursachen die Feinstruktur des Spektrums. Diskussion: a) Die Korrekturen sind gegen¨ uber dem ungest¨orten Term um einen 2 −5 Faktor α = 5,3 · 10 unterdr¨ uckt. b) Die Diracgleichung liefert exakt { Enj = mc

2

1+α

2

[ n−j−

1 2

+

√(

j+

) 1 2 2

]−2 }−1/2 − α2

− mc2 .

Die Entwicklung nach Potenzen von α ergibt wieder unseren obigen Ausdruck. c) Das Termschema hat folgende Gestalt. Die Niveaus werden durch die Hauptquantenzahl n, den Bahndrehimpulsnamen L = s, p, d, f, . . . und den Gesamtdrehimpuls j in der Form nLj bezeichnet.

17.3 Das Wasserstoffatom, Teil II

259

3d5/2 3p3/2 , 3d 3/2 3s 1/2 , 3p 1/2 2 p3/2 2 s 1/2 , 2 p1/2

~ 4,5 . 10 -5 eV

10,2 eV

1s1/2 d) 2s1/2 und 2p1/2 sind entartet in jeder Ordnung in α. e) Es gibt weitere Korrekturen zu den Energien, die wir nicht erfasst haben: • Lambshift: wird durch die Quantenelektrodynamik erkl¨art, produziert eine Aufspaltung zwischen 2s1/2 und 2p1/2 von 4,3 · 10−6 eV. • Hyperfeinstruktur: entsteht durch die Wechselwirkung mit dem magnetischen Moment des Kerns, betrifft im Wesentlichen nur die s-Terme und bewirkt eine Aufspaltung ∼ 1/n3 . F¨ ur 1s1/2 betr¨agt sie 5,8 · 10−6 eV. • endliche Kernabmessung: modifiziert das elektrostatische Potenzial, betrifft im Wesentlichen nur die s-Terme, verursacht eine Verschiebung ∼ 1/n3 . F¨ ur 1s1/2 betr¨agt sie ∼ 4 · 10−9 eV. • Isotopie-Effekt.

260

17 Zeitunabh¨angige St¨orungstheorie

¨ Ubungen 1. Die endliche Kernausdehnung im H-Atom l¨ aßt sich durch ein Potenzial der Form ) 2 r e 1( V (r) = − 1 − e− b 4πε0 r ber¨ ucksichtigen, wobei der Parameter b etwa der Kernradius ist. Berechnen Sie st¨ orungstheoretisch die erste Korrektur zur Grundzustandsenergie. 2. Der Hamiltonoperator eines geladenen Teilchens im Coulombpotenzial H=

⃗2 P γ − 2m r

hat bekanntlich die diskreten Eigenwerte En (γ) = −

mγ 2 . 2ℏ2 n2

Bei einer kleinen ¨ anderung der St¨ arke des Potenzials, γ → γ + δγ, ¨ andern sich die Eigenwerte. ¨ a) Berechnen Sie diese Anderung aus obigem Ausdruck f¨ ur En (γ). ¨ b) Wie lautet der Ausdruck f¨ ur die Anderung in erster Ordnung der St¨ orungstheorie? c) Leiten Sie aus dem Vergleich der Ergebnisse den Erwartungswert 1 ⟨n| |n⟩ r her, wobei |n⟩ ein Eigenzustand zu En ist.

17.4 Anormaler Zeemaneffekt In unserer fr¨ uheren Diskussion des Einflusses eines Magnetfeldes auf atomare Energieniveaus haben wir den Spin unber¨ ucksichtigt gelassen (normaler Zeemaneffekt). F¨ ur ein H-Atom in einem ¨außeren Magnetfeld ist auch die Kopplung des Spins an das Magnetfeld zu ber¨ ucksichtigen. Der Hamilton⃗ = (0, 0, B) lautet operator f¨ ur den Fall B H = HH + Hz , wobei HH der Hamiltonoperator des H-Atoms ohne ¨außeres Feld ist und e (L3 + 2S3 )B Hz = − 2m e = − 2m (J3 + S3 )B.

17.4 Anormaler Zeemaneffekt

261

Wenn das Feld schwach ist, k¨onnen wir die St¨orungstheorie erster Ordnung verwenden. Die ungest¨orten Energien seien gegeben durch j = l ± 21 .

HH |n; j, mj ; l⟩ = Enj |n; j, mj ; l⟩,

Die Korrekturen aufgrund von Hz sind in erster Ordnung ∆E

1 n,l± 2

= ⟨n; l ± 21 , mj ; l| Hz |n; l ± 21 , mj ; l⟩.

Aus Abschnitt 16.3 u ¨ber die Addition von Bahndrehimpuls und Spin wissen wir, dass √ √ |n; l± 21 , mj ; l⟩ =

1 l+mj + 2 2l+1

|l, mj ∓ 12 ;

1 1 2 , ± 2 ⟩±

1 l−mj + 2 2l+1

|l, mj ± 12 ;

1 1 2 , ∓ 2 ⟩.

Damit k¨onnen wir die Matrixelemente berechnen und erhalten ⟨J3 ⟩ = ℏmj ℏmj ⟨S3 ⟩ = ± . 2l + 1 Das Ergebnis f¨ ur die Korrektur ist ∆E

1 n,l± 2

( = µB Bmj 1 ±

1 2l + 1

) .

Zur Erinnerung: µB = −eℏ/2m. Die Gr¨oße der Aufspaltung der entarteten Niveaus h¨angt von l ab. Daher wird dieses Ph¨anomen als anormal bezeichnet. µB B (1 +

1 2l + 1 )

µB B (1 −

1 2l + 1 )

j= l+ −12

j= l − −12

Feinstruktur

262

17 Zeitunabh¨angige St¨orungstheorie

Im Spektrum beobachtet man demzufolge im Allgemeinen mehr als drei Linien. Bemerkung: Im allgemeinen Fall eines Atoms mit mehreren Leuchtelektronen mit Gesamtspin S, Gesamtbahndrehimpuls L und Gesamtdrehimpuls J findet man ∆E = µB BmJ · g mit dem Land´efaktor g =1+

J(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1) . 2J(J + 1)

In dem von uns betrachteten Spezialfall ist S = 12 , L = l, J = j.

18 Quantentheorie mehrerer Teilchen 18.1 Mehrteilchen-Schr¨ odingergleichung Die meisten Systeme, die wir bisher quantenmechanisch behandelt haben, bestehen aus nur einem Teilchen. Wir wollen uns nun den Systemen aus mehreren Teilchen zuwenden. Interessante Beispiele f¨ ur Mehrteilchensysteme sind: 2 Teilchen: H-Atom; haben wir schon behandelt. Jedes Zwei-TeilchenSystem l¨ asst sich reduzieren auf ein Ein-Teilchen-Problem. 3 Teilchen: He-Atom, 3 He-Kern 4 Teilchen: H2 -Molek¨ ul, 4 He-Kern etc. Betrachten wir also ein System aus N Teilchen, die wir mit i = 1, . . . , N nummerieren. Zu den Freiheitsgraden der einzelnen Teilchen geh¨oren Hilbertr¨aume Hi . F¨ ur spinlose Teilchen haben wir beispielsweise Hi = L2 (R3 ). Der quantenmechanische Hilbertraum des Gesamtsystems ist das Tensorprodukt dieser R¨aume: H = H1 ⊗ H2 ⊗ · · · ⊗ HN . Die Tensorprodukte |n1 ⟩ ⊗ · · · ⊗ |nN ⟩ der Basisvektoren der einzelnen Hilbertr¨aume bilden eine Basis des gesamten Hilbertraumes H. Z.B. ist in der Ortsdarstellung |⃗r1 ⟩ ⊗ · · · ⊗ |⃗rN ⟩ ≡ |⃗r1 , . . . , ⃗rN ⟩ eine Basis und ein beliebiger Zustand l¨asst sich zerlegen als ∫ |ψ⟩ = d3 r1 · · · d3 rN |⃗r1 , . . . , ⃗rN ⟩⟨⃗r1 , . . . , ⃗rN |ψ⟩ ∫ = d3 r1 · · · d3 rN ψ(⃗r1 , . . . , ⃗rN ) |⃗r1 , . . . , ⃗rN ⟩. Wir werden das Mehrteilchensystem folglich durch eine Wellenfunktion ψ(⃗r1 , . . . , ⃗rN )

264

18 Quantentheorie mehrerer Teilchen

beschreiben. Nehmen wir den Spin hinzu, so ist die N -Teilchen-Wellenfunktion von der Gestalt ψ(⃗r1 , σ1 , ⃗r2 , σ2 , . . . , ⃗rN , σN ),

σi = ±1.

Der Hamiltonoperator hat in vielen physikalisch interessanten F¨allen die Form N ∑ 1 ⃗ (i)2 ⃗ 1, . . . , Q ⃗N) P + V (Q H= 2mi i=1

mit (j)

Pk

=

ℏ ∂ , i ∂xjk

k = 1, 2, 3,

j = 1, . . . , N.

H¨aufig l¨asst sich das N -Teilchen-Potenzial zerlegen als ∑ V (⃗r1 , . . . , ⃗rN ) = Vij (|⃗ri − ⃗rj |), i 0 mit c > 0 durch. Verwenden Sie als Versuchsfunktion uα (x) = x exp(−αx) und variieren Sie α > 0. Warum ist dieser Ansatz plausibel? b) Eine exakte Rechnung liefert f¨ ur die Grundzustandsenergie den Wert E0 = ( 2 2 )1 3 c ℏ 2, 338 · 2m . Vergleichen Sie Ihr Resultat mit diesem Wert. Begr¨ unden Sie, warum Ihr Wert gr¨ oßer ist als der exakte.

2. Finden Sie mit Hilfe des Ritz’schen Variationsverfahren eine obere Schranke f¨ ur die Grundzustandsenergie des Wasserstoffatoms. Verwenden Sie dazu die Testfunktionen 2

a) ψ(⃗r, λ) = N e−λr , b) ψ(⃗r, a, ν) = A(a + r)−ν , wobei ν > 32 . Hinweis: Beachten Sie, dass der Beitrag der kinetischen Energie gegeben ist 1 ⟨ψ|Pr2 |ψ⟩, wobei Pr der Operator des Radialimpulses ist. durch 2m

18.5 Atombau 18.5.1 Zentralfeldmodell Wenn man den Atombau quantenmechanisch behandeln m¨ochte, steht man vor einem schwierigen Problem. Das gesamte System, bestehend aus dem Kern und der H¨ ulle aus Z Elektronen, ist viel zu kompliziert, um gel¨ost

280

18 Quantentheorie mehrerer Teilchen

werden zu k¨ onnen. Daher ist man gezwungen, auf eine Reihe von Approximationen zur¨ uckzugreifen. In diesem Abschnitt sollen ein paar grobe Approximationen skizziert werden, die zum Zentralfeldmodell f¨ uhren. Da dieses Thema auch in der Atomphysik behandelt wird, bleibt die Skizze knapp. 1. Statischer Kern: Das Problem wird reduziert auf Z Elektronen im 2 Zentralpotenzial V (r) = − Zγ r mit γ = e /4πε0 . 2. Vernachl¨assigung von spinabh¨angigen Kr¨aften: H=

Z ∑

H(i) +

i=1

∑

Vij

i 0 im Zustand |2⟩ anzutreffen? Unter welcher Bedingung l¨ ost die in (a) verwendete erste Ordnung der St¨ orungsrechnung das Problem hinreichend gut? Zu welcher Zeit befindet sich das System mit Wahrscheinlichkeit 1 im Zustand |2⟩? ⃗ 3. Ein Teilchen mit der Ladung Ze bewege sich auf der Bahn R(t) = (b, vt, 0) an einem Atom vorbei, das sich bei ⃗r0 = (0, 0, 0) befindet. b ist der Stoßparameter. Betrachten Sie das Atom als zusammengesetzt aus einem Rumpf mit Ladung +e und einem H¨ ullenelektron. a) Zeigen Sie, dass die Coulombenergie des Teilchens im Feld des Rumpfes und des H¨ ullenelektrons bei ⃗r n¨ aherungsweise durch V ≈−

Ze2 ⃗ ⃗r · R 4πε0 R3

f¨ ur | ⃗r | ≪ b

gegeben ist. b) Das H¨ ullenelektron befinde sich anfangs im Zustand |i⟩ mit der Energie Ei . Durch die Wechselwirkung mit dem vorbeifliegenden geladenen Teilchen ¨ andert sich der Zustand. Die Amplitude f¨ ur den Ubergang in den Zustand |f ⟩ ¨

19.2 Fermis goldene Regel

299

mit der Energie Ef ̸= Ei sei cf . Der Vorbeiflug geschehe so rasch, dass ω = (Ef − Ei )/ℏ ≪ v/b erf¨ ullt ist. Zeigen Sie, dass in diesem Falle approximativ cf ≈

i 2Ze2 ⟨f |x|i⟩ ℏ 4πε0 vb

in erster Ordnung der zeitabh¨ angigen St¨ orungstheorie gilt. Hinweis: Benutzen Sie f¨ ur kleine γ ∫ ∞ ∫ ∞ cos(α) dα α sin(α) dα 1 , 3 ≈ 3 ≈ − ln γ . 2 2 2 γ (γ + α ) 2 (γ 2 + α2 ) 2 0 0 c) Zeigen Sie, dass der Erwartungswert der Energie¨ anderung δE = Ei )|cf |2 den Wert 2Z 2 e4 δE = (4πε0 )2 m b2 v 2

∑

f (Ef

−

besitzt, wobei m die Elektronenmasse ist. ∑ Hinweis: Benutzen Sie die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel f (Ef − Ei )|⟨f |x|i⟩|2 = ℏ2 /2m. d) Ein Atomkern mit Massenzahl A und Ladungszahl Z durchquert einen Festk¨ orper. Durch die Wechselwirkung mit den Atomen verringert sich seine Energie E um den Betrag δE. Begr¨ unden Sie, dass E δE ≈ k Z 2 A gilt mit einer vom Festk¨ orper abh¨ angigen Materialkonstanten k.

19.2 Fermis goldene Regel 19.2.1 Zeitunabh¨ angige St¨ orungen Sei H1 (t) = θ(t)H1 eine zeitunabh¨angige St¨orung, die bei t = 0 eingeschaltet wird. F¨ ur m ̸= n folgt in erster Ordnung ⏐∫ ⏐2 1 ⏐⏐ t ′ i(ωm −ωn )t′ ⏐⏐ 2 pnm (t) = 2 ⏐ dt e ⏐ |⟨m|H1 |n⟩| ℏ 0 4 sin2 ( 12 (ωm − ωn )t) = 2 |⟨m|H1 |n⟩|2 . ℏ (ωm − ωn )2 Der hier auftretende Faktor 4 sin2 ( ω2 t)/ω 2 vor dem Matrixelement hat f¨ ur große Zeiten t als Funktion von ω = ωm − ωn ein ausgepr¨agtes Maximum bei 0, wie die Abbildung zeigt.

300

19 Zeitabh¨angige St¨orungen

t2

0

2π t

ω

Die Breite der Funktion ist proportional zu 1/t und das Maximum w¨achst proportional zu t2 . Das bedeutet, dass mit u ¨berwiegender Wahrscheinlich¨ keit nur Uberg¨ ange zu Zust¨anden |m⟩ stattfinden, f¨ ur die ωm ≈ ωn ist. Das Verhalten der Funktion f¨ ur sehr große t l¨asst sich durch die Relation 4 sin2 ( ω2 t) = 2πδ(ω) t→∞ ω2t lim

quantifizieren. Im Folgenden wollen wir annehmen, dass der Endzustand |m⟩ im kontinuierlichen Spektrum liegt. Zur besseren Unterscheidung werden wir ihn ab jetzt |α⟩ nennen, wobei α kontinuierlich variiert. Dann ist ¨ pnα (t) die Ubergangswahrscheinlichkeitsdichte in der Energiedarstellung. ∫ ¨ Die gesamte Ubergangswahrscheinlichkeit ins Kontinuum ist pnα (t)dα. (Gegebenenfalls wird zus¨atzlich u ¨ber diskrete Quantenzahlen summiert). Wir wissen, dass f¨ ur große Zeiten nur Zust¨ande α beitragen, deren Energie Eα dicht bei En liegt. ∫ ¨ Die Ubergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit Wn→α = dα pnα (t)/t im Limes großer Zeiten berechnet sich mit Hilfe der obigen Relation zu ∫ ∫ 2π 2π δ(Eα − En ) |⟨α|H1 |n⟩|2 . Wn→α = dα 2 δ(ωα − ωn ) |⟨α|H1 |n⟩|2 = dα ℏ ℏ Durch die δ-Funktion wird Eα = En erzwungen. Aus einer zeitunabh¨angigen St¨orung kann das System also keine Energie aufnehmen.

19.2 Fermis goldene Regel

301

Nun f¨ uhren wir noch die Zustandsdichte ∫ ρ(E) = δ(Eα − E)dα ein. Sie gibt die Zahl der Zust¨ande dα = ρ(E)dE in einem infinitesimalen Energie-Intervall dE an. Unter der Annahme, dass ⟨α|H1 |n⟩ f¨ ur alle Zust¨ande zur Energie Eα konstant ist, erhalten wir Fermis goldene Regel“ ” Wn→α =

2π ρ(En )|⟨α|H1 |n⟩|2 , ℏ

die aber nicht von Fermi sondern von Pauli stammt. Wenn m im diskreten Spektrum liegt, verschwindet pnm (t)/t im Limes großer Zeiten f¨ ur Em ̸= En und liefert keine sehr interessante Gr¨oße. Zum G¨ ultigkeitsbereich der goldenen Regel seien noch folgende Hinweise gegeben. F¨ ur (ωα − ωn )t ≪ 1 und große t kann in dem Ausdruck zu Beginn dieses Abschnittes pnα (t) > 1 werden. Dann wird die Approximation ung¨ ultig. F¨ ur den G¨ ultigkeitsbereich der goldenen Regel gilt: • Die Breite ∆E der Verteilung der Endzust¨ande muss gr¨oßer sein als die Breite von (sin2 12 (ωα − ωn )t)/(ωα − ωn )2 und somit ∆E ≫

h . t

Außerdem muss ρ(E) in der Umgebung von En glatt auf der Skala 2πℏ/t sein. • t muss klein genug sein, damit die erste Ordnung g¨ ultig bleibt; insbesondere muss p < 1 bleiben. Daraus folgt Wn→α t ≪ 1 als Kriterium.

302

19 Zeitabh¨angige St¨orungen

19.2.2 Periodische St¨ orungen F¨ ur die Wechselwirkung von Atomen mit elektromagnetischer Strahlung ist der Fall wichtig, dass die St¨orung periodisch von der Zeit abh¨angt. Wir betrachten also eine periodische St¨orung H1 (t) = Hω e−iωt + Hω† eiωt ,

ω > 0,

die ab t = 0 wirken soll. Dann ist ∫ } i t ′{ ′ ′ cm (t) − δmn = − dt ⟨m|Hω |n⟩ei(ωm −ωn −ω)t + ⟨m|Hω† |n⟩ei(ωm −ωn +ω)t ℏ 0 { sin 1 (ωm − ωn − ω)t i (ωm −ωn −ω)t i ⟨m|Hω |n⟩ 1 2 =− e2 ℏ (ω − ω − ω) m n 2 } 1 sin (ω − ω + ω)t i m n e 2 (ωm −ωn +ω)t . + ⟨m|Hω† |n⟩ 1 2 (ω − ω + ω) m n 2 Mit der Abk¨ urzung ωmn ≡ ωm − ωn ist |cm (t) − δmn |2 ( ( )2 )2 { 1 1 sin (ω − ω)t (ω + ω)t sin 1 mn mn 2 2 + |⟨m|Hω† |n⟩|2 = 2 |⟨m|Hω |n⟩|2 1 1 ℏ (ω − ω) (ω mn mn + ω) 2 2 } + gemischte Terme . Dieser Ausdruck hat folgende Gestalt als Funktion von ωm :

2π t

ωm ωn − ω

ωn + ω

19.3 Absorption und Emission von Strahlung

303

F¨ ur ω > 2π age t sind die gemischten Terme sehr klein. Wesentliche Beitr¨ treten nur auf f¨ ur |ωmn + ω| ≤

2π t

und |ωmn − ω| ≤

2π . t

F¨ ur wachsendes t werden die Maxima immer sch¨arfer. ¨ Die Interpretation der dominanten Uberg¨ ange ist klar: a)

ωm = ωn + ω,

Em = En + ℏω : Absorption,

b)

ωm = ωn − ω,

Em = En − ℏω : Emission.

Durch die ¨außere St¨orung mit der Kreisfrequenz ω werden Energie¨ Anderungen um ±ℏω hervorgerufen. ¨ ¨ F¨ ur Uberg¨ ange ins kontinuierliche Spektrum gelten die Uberlegungen des ¨ vorigen Abschnittes analog mit folgenden Anderungen: a) Absorption, Wn→m =

2π ρ(En + ℏω)|⟨m|Hω |n⟩|2 , ℏ

Em = En + ℏω ,

2π ρ(En − ℏω)|⟨m|Hω† |n⟩|2 , ℏ

Em = En − ℏω .

b) Emission, Wn→m =

Dies sind die goldenen Regeln f¨ ur den Fall einer periodischen St¨orung.

19.3 Absorption und Emission von Strahlung Mit den uns nun zur Verf¨ ugung stehenden Formeln k¨onnen wir die Emission und Absorption von Strahlung betrachten. Die Situation ist diese:

Atom

304

19 Zeitabh¨angige St¨orungen

Ein Atom steht in Wechselwirkung mit dem ¨außerem Strahlungsfeld. Dieses stellt eine periodische St¨orung dar. Noch realistischer ist es, eine in¨ koh¨arente Uberlagerung von St¨orungen verschiedener Frequenzen anzunehmen. ¨ Gesucht sind die Ubergangsraten Wn→m im diskreten Spektrum des Atoms. ¨ Im vorigen Abschnitt haben wir die Ubergangswahrscheinlichkeiten pn→m (t) in der ersten Ordnung der St¨orungstheorie f¨ ur periodische St¨o¨ rungen berechnet. Wenn wir eine inkoh¨arente Uberlagerung von kontinuierlichen Frequenzen in der St¨orung mit einer Spektralverteilung ρˆ(ω) an¨ nehmen, ist die Ubergangsrate gegeben durch ∫ ∞ 1 Wn→m = dω ρˆ(ω)pn→m (t) t −∞ 2π ρˆ(ωmn )|⟨m|Hωmn |n⟩|2 −→ t→∞ ℏ2 f¨ ur ωm > ωn , d.h. Absorption. F¨ ur ωm < ωn finden wir 2π ρˆ(ωnm )|⟨m|Hω† nm |n⟩|2 ℏ2 2π = 2 ρˆ(ωnm )|⟨n|Hωnm |m⟩|2 = Wm→n . ℏ

Wn→m =

¨ Diese durch das ¨außere Feld angeregten Uberg¨ ange mit Energieverlust bezeichnet man als induzierte Emission. F¨ ur das Atom im elektromagnetischen Feld wollen wir den speziellen Fall betrachten, dass ein Valenzelektron vorliegt, also z.B. das H-Atom. Der Wechselwirkungsterm ist H1 = −

e ⃗ A(⃗r, t) · P⃗ me

⃗ = 0). Eine ebene Welle lautet in der Coulombeichung (divA ⃗ r, t) = a⃗e ei⃗k·⃗r−iωt + a∗⃗e e−i⃗k·⃗r+iωt A(⃗

mit

k=

ω , |⃗e| = 1. c

Nach den Regeln der Elektrodynamik ist die Intensit¨at der Welle gegeben durch ⃗ I = |S|,

⃗ = |S|

1 ⃗ ⃗ 1 ⃗2 |E||B| = E =⇒ I = 2ε0 cω 2 |a|2 µ0 µ0 c

19.3 Absorption und Emission von Strahlung

305

und die Energiedichte durch 1 ⃗ u = |S| = 2ε0 ω 2 |a|2 . c Mit Hω = −

e i⃗k·⃗r e a ⃗e · P⃗ me

finden wir |⟨m|Hω |n⟩|2 = =

(

e me

)2

⃗ |a|2 |⟨m|eik·⃗r⃗e · P⃗ |n⟩|2

e2 ⃗ u |⟨m|eik·⃗r⃗e · P⃗ |n⟩|2 . 2 2 2me ω ε0

¨ F¨ ur eine inkoh¨arente Uberlagerung ersetzen wir die Energiedichte u durch eine Verteilung u(ω) und erhalten Wn→m =

πe2 ⃗ u(ωmn ) |⟨m|eik·⃗r⃗e · P⃗ |n⟩|2 . 2 ℏ2 ε m2e ωmn 0

Jetzt gilt es noch, das Matrixelement zu berechnen. F¨ ur Wellenl¨angen, die groß gegen den Durchmesser des Atoms sind, λ=

2π ≫ ø(Atom), k

gen¨ ugt es, in dem Matrixelement die Dipoln¨aherung ⃗

eik·⃗r ≈ 1 zu verwenden. Dieses reduziert sich dadurch auf ⃗ ⟨m|⃗e · P⃗ |n⟩ = iωmn me ⟨m|⃗e · Q|n⟩ wegen ⃗ ⃗ =ℏ P . [H0 , Q] i me Mit dem Dipoloperator

. ⃗ d⃗ = eQ

erhalten wir das Endergebnis

Wn→m =

4π 2 ⃗ 2. u(ωmn ) |⟨m|⃗e · d|n⟩| ℏ2 (4πε0 )

306

19 Zeitabh¨angige St¨orungen

⃗ ¨ Das maßgebliche Matrixelement f¨ ur die Uberg¨ ange ist ⟨m|⃗e · d|n⟩. Die Bedingung, dass es nicht null ist, f¨ uhrt zu den verschiedenen Auswahlregeln ¨ f¨ ur die Anderung der Drehimpuls-Quantenzahlen l, m, z.B. ∆l = ±1,

∆m = 0, ±1

(elektrische Dipolstrahlung).

Es sei an dieser Stelle daran erinnert, dass wir Absorption und induzierte Emission behandeln. Die spontane Emission, bei der kein Licht von außen einstrahlt, wird durch den obigen Formalismus nicht erfasst. Zu seiner korrekten Beschreibung muss das elektromagnetische Feld ebenfalls quantisiert werden. Das obige Resultat verallgemeinern wir jetzt noch auf den Fall einer in¨ koh¨arenten Uberlagerung von Wellenvektoren ⃗k und Polarisationen ⃗e⊥⃗k. ⃗ Das Quadrat des Matrixelements ⟨m|⃗e · d|n⟩ ist zu ersetzen durch ∫ 1 ⃗ = 1 ⟨n|d|m⟩⟨m| ⃗ ⃗ dΩ⃗e ⟨n|d⃗ · ⃗e|m⟩⟨m|⃗e · d|n⟩ d|n⟩ 4π 3 wegen ∫ 1 1 dΩ⃗e ei ej = δij . 4π 3 Das ergibt 4π 2 2 ⃗ |⟨n|d|m⟩| u(ωmn ) 3ℏ2 (4πε0 ) ≡ Bnm u(ωmn ),

Wn→m =

wobei der Einsteinkoeffizient Bnm = Bmn eingef¨ uhrt wurde. Diese Formel ¨ ist das gesuchte Ergebnis f¨ ur die Ubergangsraten bei Absorption und induzierter Emission von Licht. ¨ Ubungen ¨ Die Amplitude f¨ ur die Ausstrahlung elektrischer Dipolstrahlung beim Ubergang zwischen ′ ′ zwei Zust¨ anden mit den Drehimpulsquantenzahlen l, m und l , m enth¨ alt die Matrixele⃗ m⟩. mente ⟨l′ , m′ |Q|l, 1. Zeigen Sie, dass die Auswahlregel l′ − l = ±1 gilt. Hinweis: Betrachten Sie daf¨ ur den Erwartungswert des Doppelkommutators [ [ ]] ⃗ 2, L ⃗ 2, Q ⃗ . L 2. Zeigen Sie unter Verwendung eines ¨ ahnlich hilfreichen Kommutators, dass die Auswahlregel m′ − m = 0, ±1 gilt.

19.4 Spontane Emission

307

19.4 Spontane Emission Die spontane Emission, bei der ein Atom, Molek¨ ul, Kern etc. von einem angeregten Zustand in einen niedrigeren Zustand u ¨bergeht unter gleichzeitiger Emission von Strahlung, ist nat¨ urlich von sehr großem Interesse. Die ¨ Ubergangsrate Anm daf¨ ur k¨onnen wir mit den bisherigen Methoden nicht berechnen. F¨ ur die quantentheoretische Beschreibung der spontanen Emission ist die Quantisierung des elektromagnetischen Feldes, z.B. im Rahmen der Quantenelektrodynamik, erforderlich. ¨ Dennoch kann man schon aus allgemeinen Uberlegungen eine Beziehung ¨ zwischen der Ubergangsrate f¨ ur spontane Emission und derjenigen f¨ ur induzierte Emission bzw. Absorption herleiten. Diese Beziehung stammt von Einstein, der mit einer schlauen Gedankenf¨ uhrung das Planck’sche Strahlungsgesetz hergeleitet hat. Einsteins Ableitung des Planck’schen Strahlungsgesetzes geht folgendermaßen. ¨ Es sei Wn→m = Anm die Ubergangsrate f¨ ur spontane Emission bei einem ¨ Ubergang von n nach m. Die Besetzungsh¨aufigkeiten der beiden betrachteten Zust¨ande seien Nn und Nm . En

Nn

A nm

B nm

E n − E m = −h ω

B mn

Em

Nm

Die Leistung W (Energie/Zeit) der verschiedenen Prozesse lautet • spontane Emission:

WSE = Nn Anm ℏω,

• induzierte Emission:

WIE = Nn u(ω)Bnm ℏω,

• induzierte Absorption:

WIA = Nm u(ω)Bmn ℏω.

Nun betrachtet man den Fall des Gleichgewichts, wie er beim schwarzen K¨orper mit Temperatur T vorliegt. Die Leistungsbilanz erfordert Nn Anm + Nn u(ω)Bnm = Nm u(ω)Bmn .

308

19 Zeitabh¨angige St¨orungen

Die Besetzungswahrscheinlichkeiten gehorchen der Maxwellverteilung: Nn = Ce−βEn ,

Nm = Ce−βEm

mit β =

1 . kT

Daraus folgt Anm e−βEn + u(ω)Bnm e−βEn = u(ω)Bmn e−βEm und weiterhin u(ω) =

Anm Bnm eβℏω

Bmn Bnm

−1

.

Es ist aber Bmn = Bnm , wie wir vorher gefunden haben, und daher Anm Bnm

u(ω) =

.

ℏω

e kT − 1 Dies ist das Planck’sche Strahlungsgesetz, wobei der Quotient Anm /Bnm noch nicht bestimmt ist. Andererseits ist aus der Planck’schen Herleitung das Gesetz in der Form u(ω) =

ℏω 3 π 2 c3

1 ℏω e kT

−1

bekannt. Durch Vergleich lesen wir ab ℏω 3 Anm = 2 3. Bnm π c Mit dem oben berechneten Wert von Bnm finden wir damit den gesuchten Einsteinkoeffizienten f¨ ur spontane Emission:

Anm =

ω3 4 2 ⃗ |⟨n|d|m⟩| . 3 ℏc3 (4πε0 )

20 Photonen 20.1 Quantisierung des Strahlungsfeldes Bisher haben wir uns mit der Quantentheorie eines oder mehrerer Teilchen befasst. Sofern sich die Teilchen in elektromagnetischen Feldern befanden, wurden diese als ¨außere klassische Felder betrachtet. Wenn die Quantentheorie allgemeine G¨ ultigkeit besitzt, sollte sie aber auf alle Systeme angewandt werden, die eine eigene Dynamik besitzen, insbesondere auch auf das elektromagnetische Feld. Das soll in diesem Kapitel geschehen. Es gibt mehrere, formal unterschiedliche Wege, das elektromagnetische Feld zu quantisieren, die in den physikalischen Resultaten ¨aquivalent sind. Wir werden in diesem Kapitel zun¨achst das Strahlungsfeld in einer festen Eichung quantentheoretisch behandeln. Anschließend wird die Wechselwirkung von Elektronen mit dem quantisierten Strahlungsfeld eingef¨ uhrt. Diese erlaubt es uns, die spontane Emission von Strahlung komplett quantentheoretisch zu verstehen. Die Maxwell’schen Gleichungen f¨ ur die Feldst¨arken lauten bei Anwesenheit von Ladungen und Str¨omen ⃗ ⃗ = µ0⃗j + 1 ∂ E , ∇×B c2 ∂t ⃗ ⃗ = 0, ⃗ + ∂B = 0 , ∇·B ∇×E ∂t wobei ρ die elektrische Ladungsdichte, ⃗j die elektrische Stromdichte ist, und µ0 ε0 = 1/c2 gilt. Die Feldst¨arken werden mittels ⃗ = ρ , ∇·E ε0

⃗ =∇×A ⃗, B

⃗ ⃗ = −∇Φ − ∂ A E ∂t

⃗ und Φ ausgedr¨ durch die Potenziale A uckt. Im Folgenden betrachten wir das freie elektromagnetische Feld, d.h. es sei ρ = 0 und ⃗j = 0. F¨ ur die Potenziale k¨onnen wir die Strahlungseichung ⃗ = 0, ∇·A

Φ=0

w¨ahlen. Aus den Maxwellgleichungen folgt dann f¨ ur das Vektorpotenzial die Wellengleichung ( ) 1 ∂2 ⃗ r, t) = 0 . − ∆ A(⃗ c2 ∂t2

310

20 Photonen

Sie besitzt als L¨osung ebene Wellen der Form ⃗ = ⃗e ei(⃗k·⃗r−ωk t) , A in der die Wellenzahl k = |⃗k| und die Kreisfrequenz ωk durch ωk = kc miteinander verkn¨ upft sind. Die Amplitude ist durch den Polarisationsvek⃗ = 0 impliziert, dass ⃗k · ⃗e = 0 ist. Es tor ⃗e gegeben. Die Bedingung ∇ · A verbleiben somit zwei linear unabh¨angige Polarisationen ⃗e1 (⃗k ) und ⃗e2 (⃗k ). Wir k¨onnen diese orthonormal zueinander w¨ahlen: ⃗e1 · ⃗e2 = 0 , |⃗eλ | = 1. ⃗ r, t) im unendlichen Ortsraum stellt unendlich viele Das Strahlungsfeld A(⃗ kontinuierliche Freiheitsgrade dar. Um die Regeln der Quantentheorie anzuwenden, ist es etwas leichter, mit einer diskreten Menge von Variablen zu arbeiten. Wir k¨onnen das dadurch erreichen, dass wir statt des Ortsraumes R3 ein endliches Volumen V = L3 in Form eines W¨ urfels mit Kantenl¨ange L betrachten und die Fouriertransformation durchf¨ uhren. Als Randbedingungen verlangen wir, dass alle betrachteten Funktionen periodisch in den drei Richtungen sind. Die erlaubten Wellenvektoren sind dann ⃗k = 2π ⃗n mit L

ni ∈ Z .

Dem Anhang B entnehmen wir die Beziehung ∫ 1 ⃗ d3 r eik·⃗r = δ⃗k,⃗0 , V die in nachfolgenden Rechnungen n¨ utzlich sein wird. Ein beliebiges Vek⃗ r, t), das nicht notwendig L¨osung der Wellengleichung ist, torpotenzial A(⃗ besitzt eine Fourier-Zerlegung von der Form 2 ∑∑ ⃗ ⃗ r, t) = √ 1 A(⃗ ⃗eλ (⃗k ) qλ (⃗k, t) eik·⃗r . 2ε0 V ⃗ λ=1 k

Die dynamischen Variablen nach dieser Zerlegung sind die abz¨ahlbar unendlich vielen komplexen Koeffizienten qλ (⃗k, t) ∈ C. Zwischen ihnen be⃗ reell steht noch eine paarweise Abh¨angigkeit, denn die Tatsache, dass A ist, bedingt qλ (−⃗k, t) = qλ (⃗k, t)∗

und ⃗eλ (−⃗k ) = ⃗eλ (⃗k ) .

20.1 Quantisierung des Strahlungsfeldes

311

Außerdem w¨ahlen wir qλ (⃗0, t) = 0. ⃗ die Wellengleichung erf¨ Wenn A ullt, gilt q¨λ (⃗k, t) + ωk2 qλ (⃗k, t) = 0 , wir werden dies aber im Nachfolgenden nicht voraussetzen. F¨ ur die Quantentheorie eines Systems spielt der Hamiltonoperator eine zentral wichtige Rolle, wie wir gesehen haben. Um den Hamiltonoperator des Strahlungsfeldes zu finden, sollten wir zuerst seine klassische Hamiltonfunktion berechnen. Beginnen wir mit der Energie. Aus der Elektrodynamik wissen wir, dass der Ausdruck f¨ ur die Energie des elektromagnetischen Feldes ∫ ∫ ε0 ε0 3 2 2 ⃗2 ⃗˙ 2 + c2 (∇ × A) ⃗ 2) ⃗ d r (E + c B ) = d3 r (A E= 2 2 lautet. Er kann f¨ ur unsere Zwecke noch etwas umgeformt werden. Dazu ziehen wir die Identit¨at ⃗ 2 = ∇ · (A ⃗ × (∇ × A)) ⃗ +A ⃗ · ∇(∇ · A) ⃗ − A∆ ⃗ A ⃗ (∇ × A) ⃗ = 0, wenden den Gauß’schen Integralsatz an und heran, benutzen ∇ · A erhalten ∫ ε0 ⃗˙ 2 − c2 A∆ ⃗ A) ⃗ . E= d3 r (A 2 Dies soll jetzt durch die Fourierkoeffizienten ausgedr¨ uckt werden. Fangen wir mit dem ersten Term an: ∫ ∫ ∑∑ ε0 ⃗ ⃗′ ⃗˙ 2 = 1 d3 r A d3 r ⃗eλ (⃗k ) · ⃗eλ′ (⃗k ′ ) q˙λ (⃗k, t) q˙λ′ (⃗k ′ , t) ei(k+k )·⃗r 2 4V ⃗k,λ ⃗k′ ,λ′

= = =

1∑∑ 4

⃗k,λ ⃗k′ ,λ′

1 ∑∑ 4

⃗k

1∑ 4

⃗eλ (⃗k ) · ⃗eλ′ (⃗k ′ ) q˙λ (⃗k, t) q˙λ′ (⃗k ′ , t) δ⃗k,−⃗k′ ⃗eλ (⃗k ) · ⃗eλ′ (⃗k) q˙λ (⃗k, t) q˙λ′ (−⃗k, t)

λ,λ′

q˙λ∗ (⃗k, t) q˙λ (⃗k, t) .

⃗k,λ

Hier wurde das r¨aumliche Integral u ¨ber die Exponentialfunktionen mit der oben angegebenen Formel ausgef¨ uhrt und ⃗eλ (⃗k ) · ⃗eλ′ (⃗k) = δλ,λ′

312

20 Photonen

benutzt. In gleicher Weise wird der zweite Term in E berechnet und wir erhalten zusammen } 1 ∑{ ∗ ⃗ E= q˙λ (k, t) q˙λ (⃗k, t) + ωk2 qλ∗ (⃗k, t) qλ (⃗k, t) . 4 ⃗k,λ

Um die reellen Freiheitsgrade aufzuzeigen, zerlegen wir die Fourierkoeffizienten in ihre Real- und Imagin¨arteile. qλ (⃗k, t) = q1λ (⃗k, t) + i q2λ (⃗k, t) ,

qiλ (⃗k, t) ∈ R.

F¨ ur diese gilt q1λ (−⃗k, t) = q1λ (⃗k, t) ,

q2λ (−⃗k, t) = −q2λ (⃗k, t) .

In der Summe f¨ ur E kommt deshalb jeder Term zweimal vor. Wir vermeiden diese Doppelz¨ahlung dadurch, dass wir die Summe nur u ¨ber die H¨alfte der ⃗k-Vektoren laufen lassen, und mit dem Faktor 2 multiplizieren. Dazu wird in der Menge der ⃗k-Vektoren ein geeigneter Halbraum H festgelegt und die Summe u ¨ber H wird durch einen Strich am Summenzeichen angezeigt. Damit haben wir endlich das Ergebnis } 1 ∑′ { 2 ⃗ 2 ⃗ 2 ⃗ 2 ⃗ (k, t) . (k, t) + ωk2 q2λ q˙1λ (k, t) + ωk2 q1λ (k, t) + q˙2λ E= 2 ⃗k,λ

2 + ω 2 q 2 die Energie eines harmoWir erkennen, dass jeder Summand q˙iλ k iλ nischen Oszillators mit Kreisfrequenz ωk repr¨asentiert, wobei die Masse zu m = 1 gesetzt wurde.

Das freie elektromagnetische Feld ist a¨quivalent zu einer unendlichen Menge von harmonischen Oszillatoren. Zu jedem Wellenvektor ⃗k ∈ H und jeder Polarisation λ geh¨oren jeweils zwei dieser Oszillatoren. Die Hamiltonfunktion der harmonischen Oszillatoren ist uns wohlbekannt. Mit der Substitution piλ (⃗k ) = q˙iλ (⃗k ) lautet die Hamiltonfunktion des Strahlungsfeldes entsprechend } 1 ∑′ { 2 ⃗ 2 ⃗ 2 ⃗ H= p1λ (k ) + ωk2 q1λ (k ) + p22λ (⃗k ) + ωk2 q2λ (k ) . 2 ⃗k,λ

20.1 Quantisierung des Strahlungsfeldes

313

In der Tat, aus den Hamilton’schen Gleichungen q˙iλ (⃗k ) = piλ (⃗k ) ,

p˙iλ (⃗k ) = −ωk2 qiλ (⃗k ) ,

folgen die korrekten Bewegungsgleichungen q¨iλ (⃗k ) + ωk2 qiλ (⃗k ) = 0 . Jetzt haben wir leichtes Spiel, denn die Quantisierung harmonischer Oszillatoren ist uns ebenfalls wohlbekannt. Die Variablen q und p werden zu Operatoren Q und P bef¨ordert, welche den kanonischen Vertauschungsregeln [ ] ℏ Piλ (⃗k ), Qjλ′ (⃗k ′ ) = δij δλλ′ δ⃗k ⃗k′ 1 i gen¨ ugen. Die Leiteroperatoren, die durch √ ( ) ωk i ⃗ ⃗ ⃗ aiλ (k ) = Qiλ (k ) + Piλ (k ) , 2ℏ ωk √ ( ) i ωk Qiλ (⃗k ) − Piλ (⃗k ) a†iλ (⃗k ) = 2ℏ ωk definiert werden, haben die Kommutatoren ] [ aiλ (⃗k ), a†jλ′ (⃗k ′ ) = δij δλλ′ δ⃗k ⃗k′ 1 . Bis hierhin sind die ⃗k-Vektoren auf den Halbraum H beschr¨ankt. Wir k¨ onnen die Formeln vereinfachen, indem wir wieder in den gesamten ⃗kRaum zur¨ uckkehren durch die Definition der Leiteroperatoren ) 1 ( aλ (⃗k ) = √ a1λ (⃗k ) + ia2λ (⃗k ) , 2 ( ) 1 aλ (−⃗k ) = √ a1λ (⃗k ) − ia2λ (⃗k ) , 2 f¨ ur die

[ ] aλ (⃗k ), a†λ′ (⃗k ′ ) = δλλ′ δ⃗k ⃗k′ 1

gilt. Ausgedr¨ uckt durch diese Operatoren lautet das Strahlungsfeld ⃗ r) = A(⃗

√

{ } h ∑ 1 ⃗ ⃗ † √ ⃗eλ (⃗k ) aλ (⃗k ) eik·⃗r + aλ (⃗k ) e−ik·⃗r . 4πε0 V ωk ⃗k,λ

314

20 Photonen

Dies ist das quantisierte Strahlungsfeld. Es ist ein Operator, der Erzeuger a† und Vernichter a enth¨alt. Was erzeugen und vernichten diese Operatoren? Um dieser Frage nachzugehen, untersuchen wir zun¨achst die Energie. Ausgedr¨ uckt durch die Leiteroperatoren ist der Hamiltonoperator ( ) ∑ 1 † ⃗ ⃗ H= ℏωk aλ (k )aλ (k ) + 2 ⃗k,λ

die Summe der Hamiltonoperatoren der einzelnen Oszillatoren. Sein Grundzustand |0⟩ ist derjenige Zustand, in dem jeder einzelne Oszillator sich in seinem Grundzustand befindet: aλ (⃗k )|0⟩ = 0. Dieser Zustand heißt Vaku” um“. Allerdings gibt es noch ein Problem mit seiner Energie. Jeder harmonische Oszillator besitzt bekanntlich eine Nullpunktsenergie ℏω/2. Die Energie des Vakuums ist die Summe aller dieser Nullpunktsenergien, welche unendlich ist: ∑1 ℏωk |0⟩ = ∞ . H|0⟩ = 2 ⃗k,λ

Dieses Problem kann aber rasch behoben werden, denn Energien sind immer nur bis auf Konstanten festgelegt. Ziehen wir also von jedem Oszillator seine Nullpunktsenergie ab und ¨andern die Definition von H zu ∑ H= ℏωk a†λ (⃗k )aλ (⃗k ) , ⃗k,λ

so gilt H|0⟩ = 0 und das Vakuum hat die Energie null. Jetzt wenden wir uns den angeregten Zust¨anden . |⃗k, λ⟩ = a†λ (⃗k )|0⟩ zu, die von den Erzeugungsoperatoren erzeugt werden. Sie sind Eigenzust¨ande von H, H|⃗k, λ⟩ = ℏωk |⃗k, λ⟩ , mit Energie ℏωk . Dies ist genau die Energie eines Lichtquants nach der Einstein’schen Lichtquantenhypothese von 1905. Auch der Impuls stimmt. Um das zu pr¨ ufen, ziehen wir aus der Elektrodynamik den Ausdruck f¨ ur den Impuls des elektromagnetischen Feldes heran, der durch den PoyntingVektor ∫ ⃗ ×B ⃗ P⃗ = ε0 d3 r E

20.1 Quantisierung des Strahlungsfeldes

315

gegeben ist. Einsetzen des Vektorpotenzials liefert nach kurzer Rechnung P⃗ =

∑

ℏ⃗k a†λ (⃗k )aλ (⃗k ) ,

⃗k,λ

und wir finden P⃗ |⃗k, λ⟩ = ℏ⃗k |⃗k, λ⟩ . Der Zustand |⃗k, λ⟩ erweist sich somit als ein Zustand, der ein Lichtquant mit Energie ℏωk und Impuls ℏ⃗k beschreibt. Der Index λ kennzeichnet die beiden unabh¨angigen Polarisationen, die das Quant haben kann. Lichtquanten heißen auch Photonen und die betrachteten Zust¨ande sind Ein-PhotonZust¨ande. Mehr-Photon-Zust¨ande erh¨alt man durch mehrfache Anwendung von Erzeugungsoperatoren: a†λ1 (⃗k1 ) · · · a†λn (⃗kn )|0⟩. Ihre Energie ist die Summe ℏ(ωk1 + · · · + ωkn ) der Energien der einzelnen Photonen. Der Sachverhalt, den wir hier aufgedeckt haben, ist bemerkenswert: Die Quantisierung des Strahlungsfeldes hat zu einer Vielteilchen¨ Quantentheorie gef¨ uhrt. Die Aquivalenz von quantisierten Feldern zur Quantentheorie von Vielteilchen-Systemen wurde von Pascual Jordan und Oskar Klein und von Paul Dirac kurz nach Aufstellung der Quantenmechanik festgestellt. In ihr findet der Dualismus von Welle und Teilchen seinen vollkommenen Ausdruck. Die darauf aufbauende relativistische Quantenfeldtheorie bildet die Grundlage f¨ ur die heutige Beschreibung der Theorie der fundamentalen Bausteine der Materie und der zwischen ihnen wirkenden Kr¨afte. Dieses Thema k¨onnen wir hier nicht weiter verfolgen. Wir werden stattdessen das quantisierte Strahlungsfeld im n¨achsten Abschnitt zur Diskussion der spontanen Emission von Strahlung heranziehen. Zuvor sei noch genannt, wie die Ausdr¨ ucke dieses Abschnittes zu ¨andern sind, wenn ein unendliches Volumen angenommen wird, d.h. der Limes L → ∞ vollzogen wird. F¨ ur endliches L ist die Schrittweite im ⃗k-Raum ∆ki = 2π/L und die zugeh¨orige Volumenzelle ist (∆k)3 = (2π)3 /V . Dementsprechend gehen die ⃗k-Summen in Integrale und das Kronecker-δ in eine δ-Funktion gem¨aß ∫

1 ∑ V

−→

V δ⃗ (2π)3 k,0

−→

⃗k

d3 k , (2π)3

δ (3) (⃗k )

316

20 Photonen

u ¨ber. Die Leiteroperatoren sind gem¨aß aλ (⃗k )

−→

1 √ aλ (⃗k ) V

zu ersetzen und f¨ ur das Vektorpotenzial lautet die Entwicklung √ ∫ 3 } d k 1 ∑ ⃗ { ⃗ i⃗k·⃗r h † ⃗ −i⃗k·⃗ r ⃗ r) = . ( k ) e ⃗ e ( k ) a ( k ) e + a A(⃗ √ λ λ λ 4πε0 (2π)3 ωk λ

¨ Ubungen 1. Dr¨ ucken Sie das elektrische und das magnetische Feld durch die Leiteroperatoren aλ (⃗k ) und a†λ (⃗k ) aus. ∫ ⃗ = ε0 d3 r E ⃗ ×B ⃗ die 2. Setzen Sie in dem Ausdruck f¨ ur den Poynting-Vektor P Zerlegung des Strahlungsfeldes nach den Leiteroperatoren ein und dr¨ ucken Sie ⃗ durch die Leiteroperatoren aus. damit P 3. Berechnen Sie die Kommutatoren zwischen den Komponenten des elektrischen und des magnetischen Feldes zu gleichen Zeiten in der Strahlungseichung. Welche Paare von Feldkomponenten k¨ onnen nicht gleichzeitig scharf gemessen werden?

20.2 Spontane Emission Die spontane Emission von Strahlung ist ein Vorgang, bei dem sich ein Elektron in der Atomh¨ ulle anfangs in einem Eigenzustand des atomaren Hamiltonoperators befindet und dann pl¨otzlich in einen niedriger liegenden Zustand wechselt, wobei ein Photon ausgesandt wird.

n m xxxx xxxx xxxx

20.2 Spontane Emission

317

Aus dem vorigen Kapitel wissen wir, dass es zur Beschreibung dieses Vorganges nicht ausreicht, das elektromagnetische Feld als ¨außeres klassisches Feld in die Rechnung einzubeziehen. Wir werden im Folgenden sehen, dass jedoch die Wechselwirkung des Elektrons mit dem quantisierten Strahlungsfeld zur spontanen Emission von Strahlung f¨ uhren kann. Zur Vereinfachung der Diskussion wird ein Elektron im H-Atom betrachtet und der Elektronenspin wird venachl¨assigt. Der Hamiltonoperator des gesamten Systems setzt sich aus zwei Anteilen zusammen, H = He + Hγ , wobei der erste das Elektron im elektromagnetischen Feld beschreibt: )2 1 (⃗ ⃗ + eΦ He = P − eA 2me e ⃗ ⃗ e2 ⃗ 2 P⃗ 2 + eΦ − A·P + A . = 2me me 2me Hierin ist Φ = −γ/r das Coulombpotenzial, und das Vektorpotenzial sei in ⃗ = 0. Im Sinne der St¨orungstheorie zerlegen wir der Strahlungseichung ∇ · A den Hamiltonoperator als He = He0 + H1 + H2 mit dem ungest¨orten Teil He0 =

P⃗ 2 + eΦ 2me

und den Wechselwirkungen als St¨ortermen HW W = H1 + H2 ,

H1 = −

e ⃗ ⃗ A·P , me

H2 =

e2 ⃗ 2 A . 2me

Die gebundenen atomaren Eigenzust¨ande erf¨ ullen He0 |n⟩ = En |n⟩ mit den bekannten Energien En nach der Balmerformel. Der verbleibende Teil Hγ des Hamiltonoperators beschreibt das freie Strahlungsfeld: ∑ Hγ = ℏωk a†λ (⃗k )aλ (⃗k ) . ⃗k,λ

Zur Beschreibung der spontanen Emission von Strahlung ziehen wir die zeitabh¨angige St¨orungstheorie heran. Der Anfangszustand ist . |i⟩ = |n; 0⟩ = |n⟩ ⊗ |0⟩ .

318

20 Photonen

Hierin ist |n⟩ der anf¨angliche Zustand des Elektrons und |0⟩ der Vakuumzustand des Strahlungsfeldes, in dem sich kein Photon befindet. Der Endzustand lautet . |f ⟩ = |m; ⃗k, λ⟩ = |m⟩ ⊗ |⃗k, λ⟩ . Das Elektron befindet sich nun im Zustand |m⟩ und das Strahlungsfeld befindet sich im Ein-Photon-Zustand |⃗k, λ⟩. Zur Berechnung der ¨ Ubergangsrate Wn→m verwenden wir die zeitabh¨angige St¨orungstheorie in erster Ordnung, wie wir es im Kapitel 19 f¨ ur die induzierte Emission und Absorption getan haben. Die Differenz der Anfangs- und Endenergien ist ∆E = Ef − Ei = Em − En + ℏck , und wir f¨ uhren wieder die Abk¨ urzungen ℏωnm = En − Em ,

ω = ck

ein. Da Fermis goldene Regel im unendlichen Volumen V leichter auszuwerten ist, werden wir die Rechnung in diesem Limes durchf¨ uhren. Wir schreiben die Regel in der Form ∫ 3 ∑ d k 2π Wn→m = δ(Em − En + ℏck) |⟨f |HW W |i⟩|2 . 3 (2π) ℏ λ

Die δ-Funktion erzwingt, dass ωnm = ω ist, und legt damit den Betrag k des Wellenvektors fest. Wenn wir die Integration u ¨ber ⃗k in ein Integral u ¨ber ⃗ k und eines u ¨ber die Richtung von k zerlegen, ∫ ∫ ∫ d3 k = dk k 2 dΩk , so verbleibt Wn→m

ω2 = 2 2 3 4π ℏ c

∫ dΩk

∑

|⟨f |HW W |i⟩|2 .

λ

Jetzt gilt es, das Matrixelement ⟨f |HW W |i⟩ zu bestimmen. In HW W = H1 + H2 ist H1 linear in den Leiteroperatoren a und a† , w¨ahrend H2 quadratisch in ihnen ist. Daher kann nur H1 Beitr¨age zum Matrixelement ¨ ⟨m; ⃗k, λ|HW W |n; 0⟩ liefern. H2 w¨ urde zu Uberg¨ angen beitragen, bei de¨ nen zwei Photonen gleichzeitig emittiert werden. Solche Uberg¨ ange treten in h¨oheren Ordnungen der St¨orungstheorie auf, k¨onnen aber hier vernachl¨assigt werden. Das Matrixelement von H1 lautet e ⃗ r )|0⟩ · P⃗ |n⟩. ⟨f |H1 |i⟩ = − ⟨m| ⟨⃗k, λ|A(⃗ me

20.2 Spontane Emission

319

Das innere Matrixelement werten wir mit der Fourierzerlegung des quantisierten Strahlungsfeldes aus: ⃗ r )|0⟩ = ⟨0|aλ (⃗k ) A(⃗ ⃗ r )|0⟩ ⟨⃗k, λ|A(⃗ √ ∫ 3 ′ d k 1 ∑ h ′ ′ ⃗′ = ⃗eλ′ (⃗k ) e−ik ·⃗r ⟨0|aλ (⃗k ) a†λ′ (⃗k )|0⟩. √ 3 4πε0 (2π) ωk′ ′ λ

Die Vertauschungsregeln kommen jetzt zum Einsatz, ′ ′ ⟨0|aλ (⃗k )a†λ′ (⃗k )|0⟩ = ⟨0| [aλ (⃗k ), a†λ′ (⃗k )] |0⟩ ′ ′ = δλλ′ (2π)3 δ (3) (⃗k − ⃗k ) ⟨0|0⟩ = δλλ′ (2π)3 δ (3) (⃗k − ⃗k ) ,

und es verbleibt ⃗ r )|0⟩ = ⟨⃗k, λ|A(⃗

√

h 1 ⃗ ⃗eλ (⃗k ) √ e−ik·⃗r . 4πε0 ω

Dieses Zwischenergebnis setzen wir in das ¨außere Matrixelement der atomaren Zust¨ande ein: √ h e 1 ⃗ √ ⟨m| e−ik·⃗r ⃗eλ (⃗k ) · P⃗ |n⟩. ⟨f |H1 |i⟩ = − 4πε0 me ω Das in diesem Ausdruck stehende Matrixelement ist exakt das gleiche, das bei der Berechnung der induzierten Emission in Abschnitt 19.3 auftauchte. Wie dort verwenden wir die Dipoln¨aherung ⃗

eik·⃗r ≈ 1 und die Umformung ⟨m|⃗eλ (⃗k ) · P⃗ |n⟩ = −i ωnm

me ⃗ ⟨m|⃗eλ (⃗k ) · d|n⟩ e

⃗ Das Ubergangsmatrixelement ¨ mit dem Dipoloperator d⃗ = eQ. sieht bis jetzt so aus: √ hω ⃗ ⟨f |H1 |i⟩ = i ⟨m|⃗eλ (⃗k ) · d|n⟩. 4πε0 Kehren wir jetzt zu Fermis goldener Regel zur¨ uck. Wir haben ∫ ∑ ω3 ⃗ 2. Wn→m = dΩ |⟨m|⃗eλ (⃗k ) · d|n⟩| k 4πε0 c3 2πℏ λ

320

20 Photonen

Zuletzt verwenden wir 1 4π

∫ dΩk

∑ λ

2 eλi (⃗k ) eλj (⃗k ) = δij 3

und gelangen zum Endresultat Wn→m =

4 ω3 ⃗ 2. |⟨m|d|n⟩| 3 ℏc3 (4πε0 )

Es stimmt exakt mit dem in Abschnitt 19.4 pr¨asentierten Einstein’schen Ergebnis f¨ ur seinen Koeffizienten Anm u ¨berein. W¨ahrend dort noch das Planck’sche Strahlungsgesetz vorausgesetzt werden musste, haben wir hier das Ergebnis aus ersten Prinzipien gewonnen. In Umkehrung der Einstein¨ schen Uberlegungen haben wir damit auch das Planck’sche Strahlungsgesetz abgeleitet.

¨ Ubungen Zeigen Sie die G¨ ultigkeit von

1 4π

∫ dΩk

∑ λ

2 eλi (⃗k ) eλj (⃗k ) = δij . 3

21 Statistischer Operator 21.1 Gemische Die bisher betrachteten quantenmechanischen Zust¨ande sind sogenannte reine Zust¨ ande, die durch Vektoren im Hilbertraum beschrieben werden. Reine Zust¨ande repr¨asentieren die maximale Kenntnis u ¨ber das System. Sie lassen sich z.B. festlegen durch Messung aller Observablen eines vollst¨andigen Satzes vertauschbarer Observabler. Wir stellen uns vor, dass die Streuung von Messwerten in einem reinen Zustand eine intrinsische quantenmechanische Eigenschaft ist, die sich nicht durch zus¨atzliche Information reduzieren l¨asst. Außer den reinen Zust¨anden gibt es aber auch statistische Gemische. Ein statistisches Gemisch ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung u ¨ber den reinen Zust¨anden. Das bedeutet, dass wir nicht genau wissen, welcher reine Zustand vorliegt, sondern nur gewisse Wahrscheinlichkeiten daf¨ ur angeben k¨ onnen. Beispiel: Stern-Gerlach-Apparat Wenn wir den aus dem Ofen kommenden Strahl durch einen Filter schicken, welcher die Elektronen im Zustand Z+ herausfiltert, so haben wir bez¨ uglich der Spinfreiheitsgrade einen reinen Zustand pr¨apariert. Ohne den Filter finden wir ein Gemisch aus Z+ und Z− vor.

Z

Z+ reiner Zustand

Gemisch von Z + und Z −

Ein statistisches Gemisch entspricht einer unvollst¨andigen Kenntnis u ¨ber den Zustand des Systems. Die Situation ist v¨ollig analog zu derjenigen in der statistischen Mechanik, wo die Wahrscheinlichkeiten unsere Unkenntnis

322

21 Statistischer Operator

u ¨ber den genauen Zustand widerspiegeln. Die hier vorkommenden Wahrscheinlichkeiten sind also keine quantenmechanischen sondern klassische Wahrscheinlichkeiten. Wir beschreiben reine Zust¨ande durch Vektoren in einem Hilbertraum H. Wodurch sind Gemische zu beschreiben? Ein System S sei in einem statistischen Gemisch. Die Menge von m¨oglichen Zust¨anden sei {|α⟩}. Sie muss im Allgemeinen keine Basis sein, sondern es d¨ urfen auch linear abh¨angige Vektoren enthalten sein. S sei mit Wahrscheinlichkeit pα im Zustand |α⟩, wobei ∑ 0 ≤ pα ≤ 1 , pα = 1. α

Der Erwartungswert einer Observablen A ist dann zu berechnen gem¨aß ∑ A= pα ⟨α|A|α⟩. α

In ihn gehen sowohl die quantenmechanischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen in den Zust¨anden |α⟩ als auch die klassischen“ Wahrscheinlichkei” ten pα ein. Wir werden die Notation A ≡ ⟨A⟩ verwenden. Mit dem Projektor Pα = |α⟩⟨α| gilt ⟨α|A|α⟩ = Sp(Pα A). Beweis: Sei {|n⟩} Basis. ∑ ∑ ∑ Sp(Pα A) = ⟨n|Pα A|n⟩ = ⟨n|α⟩⟨α|A|n⟩ = ⟨α|A|n⟩⟨n|α⟩ n

n

n

= ⟨α|A|α⟩. Sp(Pα A) ist unabh¨angig von der Basis. Wir schreiben den Erwartungswert nun folgendermaßen um: ( ) ∑ ∑ ⟨A⟩ = pα Sp(Pα A) = Sp pα Pα A . α

α

21.1 Gemische

323

Mit der Definition des statistischen Operators ∑ ρ= p α Pα α

gilt somit f¨ ur jede Observable A ⟨A⟩ = Sp(ρA) .

Der statistische Operator ρ beschreibt den gemischten Zustand eindeutig. Die reinen Zust¨ande stellen einen Spezialfall dar. Zum reinen Zustand |β⟩ geh¨ort pα = δαβ , ρ = Pβ , ⟨A⟩ = ⟨β|A|β⟩. Eigenschaften des statistischen Operators: 1.

ρ† = ρ

2.

Sp(ρ) = 1, ∑ denn Sp(ρ) = α pα = 1

3.

0 ≤ ⟨ψ|ρ|ψ⟩, ∑ denn ⟨ψ|ρ|ψ⟩ = α pα |⟨ψ|α⟩|2 ≥ 0

4.

Sp(ρ2 ) ≤ 1, Sp(ρ2 ) = 1 ⇔

ρ ist reiner Zustand.

Beispiel: Stern-Gerlach-Versuch Angenommen, die Zust¨ande |Z+ ⟩ und |Z− ⟩ liegen vor mit den Wahrscheinlichkeiten p+ und p− , wobei p+ + p− = 1. In der Basis {|Z+ ⟩, |Z− ⟩} ist ( ) ( ) 1 0 0 0 P+ = , P− = , 0 0 0 1 ( ρ= ⟨Sz ⟩ =

p+ 0 0 p−

ℏ ℏ Sp(ρ · σz ) = Sp 2 2

) , (

Sp(ρ) = 1, p+ 0 0 −p−

) =

Im speziellen Fall p+ = p− = 21 ,

ρ=

1 2

1

ℏ (p+ − p− ). 2

324

21 Statistischer Operator

liegt ein isotropes Gemisch vor, in dem ⟨Sk ⟩ =

ℏ 1 2 2

Sp(Sk ) = 0

gilt.

¨ Ubungen 1. Ein H-Atom mit den Bindungszust¨ anden |n, l, m⟩ werde (i) in dem reinen Zustand √ apariert, in |ψ⟩ = (|1, 0, 0⟩ + |2, 0, 0⟩)/ 2, (ii) in einem gemischten Zustand G pr¨ dem es sich jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 in den Unterr¨ aumen zu |1, 0, 0⟩ und |2, 0, 0⟩ befindet. a) Geben Sie allgemein f¨ ur das H-Atom die Projektoren in den Unterraum mit n = 1, den Unterraum mit n = 2, und den Unterraum gebundener Zust¨ ande mit l = 0 an, und berechnen Sie die Projektionen des obigen reinen Zustandes |ψ⟩ in diese Unterr¨ aume. b) Geben Sie f¨ ur den gemischten Zustand G den statistischen Operator an, und berechnen Sie f¨ ur beide Zust¨ ande den Erwartungswert der Energie und der Radialkoordinaten r. 2. Ein System wurde so pr¨ apariert, dass es sich mit den Wahrscheinlichkeiten 1/2, ⃗ 2 und L3 zu den Quantenzahlen (l, m) = 1/3 und 1/6 in den Eigenr¨ aumen von L (1, 1), (1, 0) und (1, −1) aufh¨ alt. a) Stellen Sie den statistischen Operator ρ auf. b) Berechnen Sie Erwartungswert und Schwankung von L1 und L3 .

21.2 Unterschied zwischen reinen und gemischten Zust¨ anden Den Unterschied zwischen reinen und gemischten Zust¨anden wollen wir noch genauer studieren. Wir bleiben im Beispiel des Stern-Gerlach-Versuches und betrachten folgende Superposition: ( ) 1 1 1 iφ . |φ⟩ = √ (|Z+ ⟩ + e |Z− ⟩) = √ iφ 2 2 e Sie ist Eigenvektor zur Spinkomponente S⃗e mit ⃗e = (cos φ, sin φ, 0). Zu diesem reinen Zustand geh¨ort der statistische Operator ( ) 1 1 e−iφ ρφ = Pφ = |φ⟩⟨φ| = . 1 2 eiφ

21.2 Unterschied zwischen reinen und gemischten Zust¨anden

325

Er erf¨ ullt ρ2φ = ρφ ,

Sp(ρ2φ ) = 1.

Wenn wir einen Strahl von Elektronen, die sich im Zustand |φ⟩ befinden, durch eine Stern-Gerlach-Apparatur schicken, so produziert sie zwei Teilstrahlen in den Zust¨anden |Z+ ⟩ und eiφ |Z− ⟩. Bringen wir diese zur Interferenz, so wird der Zustand |φ⟩ wiederhergestellt.

Z+

ϕ

ϕ Interferenz

e iϕ Z−

Sehen wir uns nun ein gleichgewichtiges Gemisch der beiden betrachteten Zust¨ande an. Der Phasenfaktor exp(iφ) f¨allt heraus und der statistische Operator lautet 1 1 ρG = (|Z+ ⟩⟨Z+ | + |Z− ⟩⟨Z− |) = 2 2

(

1 0 0 1

) .

Er erf¨ ullt ρ2G

1 = 4

(

1 0 0 1

) ,

Sp(ρ2G ) =

1 ̸= 1. 2

Der Unterschied zu ρφ besteht darin, dass die gemischten Terme außerhalb der Diagonalen fehlen. Diese sind wichtig f¨ ur Interferenz, z.B. ( 1 ⟨Sx ⟩φ = Sp(ρφ Sx ) = Sp 2 ( 1 ⟨Sx ⟩G = Sp(ρG Sx ) = Sp 2

) ) ( ℏ 0 1 ℏ 1 e−iφ = cos φ, iφ e 1 2 1 0 2 ) ( ) 1 0 ℏ 0 1 = 0. 0 1 2 1 0

Das Gemisch kann dadurch hergestellt werden, dass vor dem Zusammenbringen der Teilstrahlen die Phasenbeziehung zerst¨ort wird, was ohne besondere experimentelle Vorkehrungen ohnehin leicht geschieht.

326

21 Statistischer Operator

Z+

ϕ

e iϕ Z−

xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx

G

Zerstörung der Phasenbeziehung

M¨oglich w¨are z.B., dass durch ¨außere Einfl¨ usse die relative Phase φ statistisch schwankt. Durch die statistische Mittelung u ¨ber die Phasen wird das Gemisch erzeugt: ∫ 2π 1 dφ ρφ . ρG = 2π 0 Allgemein k¨onnen wir folgende Beziehung zwischen reinen Zust¨anden und Gemischen feststellen. F¨ ur einen reinen Zustand ∑ |ψ⟩ = cn |n⟩ n

enth¨alt der statistische Operator Diagonalterme und Interferenzterme“: ” ∑ ρψ = |ψ⟩⟨ψ| = cn c∗m |m⟩⟨n| n,m

=

∑

2

|cn | |n⟩⟨n| +

n

∑

cn c∗m |m⟩⟨n|.

m̸=n

   Interferenzterme“ ” In dem Gemisch mit pn = |cn |2 : ρG =

∑ n

fehlen die Interferenzterme.

|cn |2 |n⟩⟨n|

22 Messprozess und Bell’sche Ungleichungen 22.1 Messprozess In diesem Kapitel werden wir uns den Vorg¨angen, die mit dem quantenmechanischen Messprozess verbunden sind, eingehender zuwenden. Angenommen, es liegt ein pr¨aparierter Zustand |ψ⟩ eines Systems S vor und wir wollen an diesem Zustand die Observable A messen. Der Einfachheit halber nehmen wir an, das Spektrum von A sei diskret: A|n⟩ = an |n⟩. Der Zustand kann nach den Eigenvektoren entwickelt werden: ∑ |ψ⟩ = cn |n⟩. n

Nun erfolge eine Messung von A durch eine Messapparatur M .

ψ

M

Wir haben schon gelernt, dass die m¨oglichen Messergebnisse f¨ ur A die Eigenwerte an sind und dass sie mit den Wahrscheinlichkeiten pn = |cn |2 auftreten. Betrachten wir nun die Zust¨ande, die in den Messvorgang involviert sind. Vor der Messung soll der reine Zustand |ψ⟩ vorliegen, zu dem der statistische Operator ρ0 = |ψ⟩⟨ψ| geh¨ort. W¨ahrend der Messung tritt das betrachtete System S mit der Messapparatur M in Wechselwirkung. Wenn dieser Vorgang beendet ist, wir das Messergebnis aber noch nicht an der Apparatur abgelesen haben, wissen wir nur, dass das System sich in irgendeinem der Zust¨ande |n⟩ befindet, und

328

22 Messprozess und Bell’sche Ungleichungen

zwar mit Wahrscheinlichkeit pn . Diesen Zustand vor der Ablesung beschreiben wir, wie wir es im vorigen Kapitel ∑ gelernt haben, durch das Gemisch mit dem statistischen Operator ρI = n |cn |2 |n⟩⟨n|. Er dr¨ uckt unsere Un¨ kenntnis des Messergebnisses aus. Den Ubergang von ρ0 nach ρI bezeichnet man auch als Zustandsreduktion. Wenn wir schließlich das Messergebnis abgelesen haben, z.B. den Wert an , wissen wir, dass das System im reinen Zustand |n⟩ ist, zu dem der statistische Operator ρII = |n⟩⟨n| geh¨ort. Zust¨ande

vor der Messung

|ψ⟩ =

∑

nach der Messung ohne Ablesen

cn |n⟩

Ablesung

|n⟩

n

ρ0 = |ψ⟩⟨ψ|

ρI =

∑

|cn |2 |n⟩⟨n|

ρII = |n⟩⟨n|

n

rein

−→ ? Reduktion ” des Zustandes“

Gemisch

−→ rein Kenntnisnahme wie in der klass. Statistik

¨ Der Ubergang von ρI nach ρII beschreibt unseren Informationsgewinn durch das Ansehen des Messergebnisses. Dies ist wie in der klassischen Statistik und stellt nichts Ungew¨ohnliches dar. ¨ Der Ubergang von ρ0 nach ρI ist jedoch problematischer. Wie kann er physikalisch beschrieben werden? Gehorcht er der Schr¨odingergleichung? Behauptung: Die unit¨are Zeitentwicklung gem¨aß der Schr¨odingergleichung wandelt reine Zust¨ande in reine Zust¨ande und Gemische in Gemische. Beweis: F¨ ur einen reinen Zustand ist |ψ(t)⟩ = U (t)|ψ(0)⟩ und ρψ(t) = |ψ(t)⟩⟨ψ(t)| ist ein reiner Zustand f¨ ur alle t.

22.1 Messprozess

329

F¨ ur ein Gemisch ρG =

∑

pk |k⟩⟨k|

k

lautet die Zeitentwicklung ∑ ρG (t) = pk U (t)|k⟩⟨k|U † (t) = U (t) ρG (0) U † (t) k

und es ist Sp(ρG (t)2 ) = Sp(U (t)ρG (0)ρG (0)U † (t)) = Sp(ρG (0)2 ) < 1, so dass es ein Gemisch bleibt f¨ ur alle t. ¨ Der fragliche Ubergang, die Zustandsreduktion, kann also nicht durch eine Schr¨odingergleichung f¨ ur das System S beschrieben werden. ¨ Aufgrund dieser Beobachtung hat J. v. Neumann zwei Arten zeitlicher Anderung postuliert: 1. unit¨ar, gem¨aß der Schr¨odingergleichung, 2. Zustandsreduktion, nicht-unit¨ar. Gen¨ ugt der Messprozess nicht der Schr¨odingergleichung? Ist sie nicht immer g¨ ultig? ¨ Wir m¨ ussen beachten, dass wir nur die zeitliche Anderung des Zustandes von S betrachtet haben. Das System S ist aber mit der Messapparatur M in Wechselwirkung getreten. Wir m¨ ussen also M mit einbeziehen. Die Messapparatur befinde sich vorher in einem Zustand |M0 ⟩. Dann erfolgt die Wechselwirkung mit dem System S. Diese wollen wir idealisiert beschreiben. Der Gesamtzustand von System und Apparat sei vorher |ψ⟩ ⊗ |M0 ⟩ ≡ |ψ, M0 ⟩. Wenn M wirklich ein Messapparat f¨ ur die Observable A ist, verlangen wir Folgendes: Falls S vorher im Zustand |k⟩ ist, soll es darin bleiben und gleichzeitig soll M in den Zustand u ¨bergehen, der das Messergebnis k korrekt anzeigt. Diesen Zustand mit der Zeigerstellung k“ nennen wir Mk . ” |k, M0 ⟩

−→

|k, Mk ⟩ = |k⟩ ⊗ |Mk ⟩ ↑ Zeigerstellung

330

22 Messprozess und Bell’sche Ungleichungen

F¨ ur eine st¨orungsfreie Messung fordern wir ⟨Mk |Ml ⟩ = 0

f¨ ur k ̸= l.

F¨ ur das Gesamtsystem resultiert aufgrund des Superpositionsprinzips folgende Entwicklung: ∑ ∑ Messprozess |ψ, M0 ⟩ = cn |n, M0 ⟩ −−−−−−−→ cn |n, Mn ⟩. n

n





faktorisiert nicht mehr

W¨ahrend der Anfangszustand bez¨ uglich System und Messapparat faktorisiert, ist dies nach dem Messvorgang nicht mehr der Fall. F¨ ur die zu¨ geh¨origen statistischen Operatoren haben wir den Ubergang ∑ ρ˜0 −→ ρ˜R = c∗m cn |m, Mm ⟩⟨n, Mn | m,n

=

∑

|cn |2 |n, Mn ⟩⟨n, Mn |

+

Interferenzterme.

n

Der resultierende Zustand ist aber nach wie vor ein reiner Zustand und enth¨alt die Interferenzterme. Unsere Frage ist also immer noch offen: Wie kommt man zum Gemisch ∑ ρ˜I = |cn |2 |n, Mn ⟩⟨n, Mn | ? n

Oder liegt vielleicht gar kein Gemisch vor? Dann w¨ urde eine Superposition von makroskopisch verschiedenen Zust¨ anden des Gesamtsystems vorliegen. Der Apparat w¨are in einer Superposition von Zust¨anden mit verschiedenen Zeigerstellungen. Das w¨are einigermaßen merkw¨ urdig. Erwin Schr¨odinger hat das Paradoxe an der Vorstellung, es liege eine Superposition der verschiedenen m¨oglichen Ergebnisse anstelle eines Gemisches vor, mit seinem ber¨ uhmten Beispiel der Katze illustriert, die mit gleicher Wahrscheinlichkeit tot und lebendig ist. W¨ urde das Gesamtsystem aus Katze und H¨ollenmaschine sich zeitlich gem¨aß der Schr¨odingergleichung entwickeln, m¨ usste sich die Katze nach einer Stunde in einem Zustand befinden, der eine Superposition von tot“ und lebendig“ ist. Das erscheint absurd. ” ” Entscheidend f¨ ur die Diskussion sind offenbar die Interferenzterme. Da wir das System aus S und M betrachten, haben wir es mit einem makroskopischen Gesamtsystem zu tun. Eine Betrachtung der Interferenzterme f¨ uhrt zu folgenden Ergebnissen:

22.1 Messprozess

331

a) Die Interferenzterme sind sehr klein, wenn M makroskopisch ist. Interferenz makroskopischer K¨orper ist kaum beobachtbar: ⟨Mk |B|Ml ⟩ ≈ 0

f¨ ur gew¨ohnliche Messgr¨oßen B, falls k ̸= l.

K¨onnte man Interferenz verschiedener Zust¨ande des Messapparates erzeugen, so k¨onnte man die Aufzeichnung der Messapparatur wieder r¨ uckg¨angig machen (siehe Stern-Gerlach-Apparatur). Dies w¨are ein Umgehen der Irreversibilit¨at“ der Aufzeichnung. ” Aber: Die Interferenzterme sind im Prinzip da, wenn das Gesamtsystem S + M abgeschlossen ist und die Schr¨odingergleichung gilt. b) In der Realit¨at ist das Gesamtsystem S + M nicht abgeschlossen. Die Wechselwirkung mit der Umgebung (Strahlungsfeld, . . . ), so klein sie auch sei, vernichtet die Interferenzterme (Phasenmittelung). Wir halten also fest: Nur f¨ ur v¨ollig abgeschlossene Systeme sind die Interferenzterme vorhanden. Das ist in diesem Zusammenhang aber eine unpassende Annahme, denn der Beobachter ist immer außerhalb des Systems. Dies ist der Heisenberg’sche Schnitt: System / Beobachter. Die Beschreibung des Messprozesses erfordert, dass irgendwo die Trennlinie zwischen beobachtetem System und Beobachter gezogen wird. Der Schnitt ist allerdings verschiebbar. Zum Beispiel k¨onnen wir den Apparat M durch einen Roboter M ′ ablesen lassen und dessen Aufzeichnungen ansehen. Es darf dann in der Praxis keinen Unterschied machen, ob wir M ′ zum Beobachter oder zum System hinzuz¨ahlen: S+M

/

M′ + B

∼ =

S + M + M′

/

B.

Kann man den Beobachter nicht doch mit in die quantenmechanische Beschreibung einbeziehen und auf diese Weise die Zustandsreduktion umgehen? Dann m¨ ussten wir die gesamte Welt inklusive Beobachter durch Zustandsvektoren beschreiben. Ist das sinnvoll? Was w¨are dann die Bedeutung der Wellenfunktion des gesamten Universums? Wie lautete ihre Wahrscheinlichkeitsinterpretation, wenn es keinen externen Beobachter g¨abe? Eine derartige realistische“ Interpretation von |ψ⟩ erscheint sehr problematisch und ” fragw¨ urdig. Dennoch gibt es Versuche in dieser Richtung. Dazu geh¨ort die Viel-Welten-Interpretation, in welcher der Gesamtzustand ∑ |ψtotal ⟩ = cn |n, Mn , Gehirnn , . . . ⟩ n

332

22 Messprozess und Bell’sche Ungleichungen

alle m¨oglichen Historien nebeneinander enth¨alt. Die Wellenfunktion des Universums ist eine Superposition aller Zust¨ande, die aus der Geschichte h¨atten resultieren k¨onnen. Diese verschiedenen Zweige“ der Wellenfunk” tion k¨onnen in der Praxis nicht miteinander in Kontakt treten oder sich beeinflussen. Weiterhin gibt es Versuche mit verborgenen Parametern (Bohm, . . . ), welche den Ausgang der Messung in deterministischer Weise bestimmen sollen. Wenn die Vorhersagen solcher Modelle mit den Vorhersagen der Quantenmechanik u ¨bereinstimmen sollen, geht es jedoch nur mit nichtlokalen Wechselwirkungen, wie J. Bell mit seinen ber¨ uhmten Ungleichungen gezeigt hat.

22.2 EPR-Paradoxon und Bell’sche Ungleichungen Im Jahre 1935 ver¨offentlichten Einstein, Podolski und Rosen (EPR) eine Arbeit, in der sie die Frage untersuchten, ob die Quantenmechanik vollst¨andig sein kann? Die Quantenmechanik macht ja statistische Aussagen. Man kann sich fragen, ob die quantenmechanische Statistik nicht vielleicht auf klassische Statistik zur¨ uckgef¨ uhrt werden k¨onnte. Das w¨ urde heißen, dass der Ausgang einer Messung durch weitere, verborgene Parameter bestimmt w¨are. Die Situation w¨are dann ¨ahnlich zur Statistischen Mechanik, wo die Anwendung statistischer Gesetze auf unserer Unkenntnis der genauen Werte aller mikroskopischen physikalischen Gr¨oßen beruht. ¨ Einsteins Uberzeugung, dass es keinen fundamentalen Zufall gebe, kommt in dem oft zitierten Spruch Gott w¨ urfelt nicht“ zum Ausdruck. Durch ” verborgene Parameter ließe sich eventuell der Determinismus retten. In der genannten Arbeit versuchten EPR anhand eines Gedankenexperimentes zu zeigen, dass die Quantenmechanik nicht vollst¨andig sein k¨onne und durch weitere Elemente erg¨anzt werden m¨ usse. Ich werde hier eine Version des Argumentes diskutieren, die auf D. Bohm zur¨ uckgeht. Im Labor zerfalle ein ruhendes Teilchen mit Spin 0 in zwei Teilchen A und B mit Spin 1/2. Die Zerfallsprodukte befinden sich aufgrund der Drehimpulserhaltung in einem Singulettzustand. A

xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx

Spin 12

xxxx xxxx xxxx xxxx Spin 0

B

xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx

Spin 12

22.2 EPR-Paradoxon und Bell’sche Ungleichungen

333

Nach dem eine Weile vergangen ist und die Teilchen gen¨ ugend weit voneinander entfernt sind, werden Messungen von Spinkomponenten vorgenommen. Eine Messung von Sz bei A w¨ urde beispielsweise in der H¨alfte der F¨alle das Ergebnis spin up“ = +1 in Einheiten von ℏ/2 und das Ergebnis ” spin down“ = −1 in der anderen H¨alfte der F¨alle liefern. Das Gleiche gilt ” f¨ ur die anderen Komponenten. Nun betrachten wir Korrelationen. Falls bei A und B die gleiche Komponente gemessen wird, so sind die Ergebnisse entgegengesetzt, z.B. Sz(A) = +1

⇐⇒

Sz(B) = −1

Sz(A) = −1

⇐⇒

Sz(B) = +1 ,

da der Gesamtspin 0 ist. Das Gleiche gilt f¨ ur Sx und Sy . (A)

Bei A werde nun Sz = +1 zur Zeit t1 gemessen. Dann wissen wir mit (B) Sicherheit: Falls bei B die Komponente Sz gemessen wird zur Zeit t = t1 + ϵ, so kommt das Ergebnis −1 heraus. (B)

Das Ergebnis der Messung von Sz (A) dem Sz gemessen wurde.

kann also vorhergesagt werden, nach-

In ihrer Arbeit haben EPR einen physikalischen Realit¨atsbegriff folgendermaßen eingef¨ uhrt: Kann man den Wert einer physikalischen Gr¨oße mit ” Sicherheit vorhersagen, ohne ein System zu st¨oren, dann gibt es ein Element der physikalischen Realit¨at, das dieser Gr¨oße entspricht.“ Dieser Realit¨atsbegriff ist mit großem Bedacht gew¨ahlt. Er ist operational, frei von metaphysischem Ballast, und setzt so wenig voraus, dass er wohl von den meisten Physikern akzeptiert werden w¨ urde. Nach diesem Kriterium m¨ ussen wir f¨ ur obiges Experiment folgern: B hat (B) die Eigenschaft Sz , denn es wurde durch die weit entfernte Messung an A nicht gest¨ort. Hierbei wird angenommen, dass die Entfernung so groß ist, dass keine Signale ausgetauscht werden k¨ onnen: ∆t < c∆x. (A)

Falls andererseits bei A die Komponente Sx gemessen wird, gilt die ent(B) ¨ sprechende Uberlegung mit dem Resultat: Die Eigenschaft Sx liegt bei B vor. In der Quantenmechanik gilt [Sx , Sz ] ̸= 0 und folglich haben Sx und Sz nicht gleichzeitig einen scharfen Wert.

334

22 Messprozess und Bell’sche Ungleichungen

Nach dem obigen Argument von EPR aber haben Sx und Sz gleichzeitig einen bestimmten Wert. Daraus folgern sie, dass die Quantenmechanik unvollst¨andig ist. Jetzt stellt sich also die Frage: Ist es m¨ oglich, die Quantenmechanik durch Hinzunahme weiterer, verborgener Variablen zu vervollst¨andigen? Darunter w¨ urde man Gr¨oßen verstehen, die mit den Systemen A und B verkn¨ upft sind und den Ausgang der Messungen festlegen. Es ist an dieser Stelle auf die von EPR gemachte Voraussetzung hinzuwei¨ sen, dass es keine Beeinflussung gibt, die sich mit Uberlichtgeschwindigkeit ausbreitet. Dies ist die Annahme der Lokalit¨ at: Die Messergebnisse am System A h¨angen nur von den Parametern des Systems A ab, und die Messergebnisse am System B h¨angen nur von den Parametern des Systems B ab. Welche Konsequenzen haben diese Annahmen? Dies wurde von J. Bell untersucht und er fand 1964 seine ber¨ uhmten Ungleichungen, die wir nun kennenlernen werden. Es sei betont, dass dazu die Quantenmechanik nicht vorausgesetzt wird. Bell’sche Ungleichungen: Wir betrachten die gleiche experimentelle Situation wie oben. Es werden Messungen von Spinkomponenten vorgenommen, und zwar in Richtung ⃗a am Teilchen A und in Richtung ⃗b am Teilchen B.

→

a

A

B

xxxx xxxx xxxx xxxx

xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx

→

b

Im Geiste der Idee der verborgenen Parameter machen wir nun die Annahme: Die Messergebnisse stehen unmittelbar vor der Messung schon f¨ ur alle m¨oglichen Richtungen ⃗a, ⃗b fest. Die Messergebnisse bezeichnen wir mit MA (⃗a ) = ±1,

MB (⃗b ) = ±1.

F¨ ur den Fall gleicher Messrichtungen setzen wir wie oben voraus: MA (⃗a ) = −MB (⃗a ) ,

22.2 EPR-Paradoxon und Bell’sche Ungleichungen

335

was experimentell pr¨ ufbar ist. Es werde eine Messreihe durchgef¨ uhrt. Die Richtungen der beiden Messapparaturen werden jeweils aus insgesamt drei M¨oglichkeiten ausgew¨ahlt. Die Messergebnisse MA (⃗a ) und MB (⃗b ) f¨ ur die jeweils gew¨ahlten Richtungen werden protokolliert. Aus dem Protokoll wird dann die Korrelationsfunktion . P (⃗a, ⃗b ) = ⟨MA (⃗a ) MB (⃗b )⟩ ermittelt, die den Erwartungswert des Produktes der Messergebnisse f¨ ur ⃗ ein bestimmtes Paar von Richtungen ⃗a, b angibt. Aufgrund obiger Voraussetzung k¨onnen wir schreiben P (⃗a, ⃗b ) = −⟨MA (⃗a ) MA (⃗b )⟩ . Behauptung: Es gilt die Bell’sche Ungleichung |P (⃗a, ⃗b ) − P (⃗a, ⃗c )| ≤ 1 + P (⃗b, ⃗c ) .

Beweis: Sei n(α, β, γ) der relative Anteil der F¨alle, bei denen MA (⃗a ) = α, MA (⃗b ) = β und MA (⃗c ) = γ ist, wobei α, β, γ = ±1 und ∑ n(α, β, γ) = 1. α,β,γ

Damit gilt P (⃗a, ⃗b ) = −

∑

n(α, β, γ) α · β ,

etc.

α,β,γ

und weiterhin P (⃗a, ⃗b )−P (⃗a, ⃗c ) = −

∑

n(α, β, γ) α(β−γ) = −

α,β,γ

∑

n(α, β, γ) αβ(1−βγ)

α,β,γ

wegen β 2 = 1. Folglich |P (⃗a, ⃗b ) − P (⃗a, ⃗c )| ≤

∑

n(α, β, γ) (1 − βγ) = 1 + P (⃗b, ⃗c ).

α,β,γ

Diese Ungleichung muss gelten, wenn die Ergebnisse der Messungen f¨ ur beliebige Richtungen ⃗a, ⃗b, ⃗c

336

22 Messprozess und Bell’sche Ungleichungen

1. vorher feststehen (Realismus), 2. von der Messung am anderen Teilchen nicht beeinflusst werden (Lokalit¨at). Die Quantenmechanik wird nicht vorausgesetzt. Betrachte nun folgende spezielle Wahl: ⃗a = (1, 0, 0),

⃗b = (0, 1, 0),

1 ⃗c = √ (1, 1, 0), 2

so dass ⃗a und ⃗b senkrecht aufeinander stehen und ⃗c im Winkel von 45◦ dazwischen liegt. F¨ ur diese Anordnung sagt die Quantenmechanik vorher ⟩ 4 ⟨ ⃗ (A) ⃗ (B) · ⃗b) · ⃗a)(S = −⃗a · ⃗b . P (⃗a, ⃗b ) = 2 (S ℏ Singulett F¨ ur die obige Wahl der Richtungen ist damit √

P (⃗a, ⃗b ) = 0,

2 P (⃗a, ⃗c ) = P (⃗b, ⃗c ) = − = −0,707 2

|P (⃗a, ⃗b ) − P (⃗a, ⃗c )| = 0,707

und

1 + P (⃗b, ⃗c ) = 0,293 .

Die quantenmechanische Vorhersage ist nicht vertr¨aglich mit der Bell’schen Ungleichung! Was stimmt nun? Das letzte Wort hat wie immer das Experiment. In optischen Experimenten wurden von Alain Aspect und Mitarbeitern (1982) und anderen Gruppen andere Versionen der Bell’schen Ungleichung u uft. ¨berpr¨ Das Ergebnis ist • die Bell’sche Ungleichung ist verletzt, • die Resultate sind vertr¨aglich mit der Quantenmechanik. Schlussfolgerung: Keine lokale realistische Theorie ist mit dem Experiment vertr¨aglich.

Die Auffassung von Einstein, Podolski und Rosen ist also nicht haltbar. Wichtig ist hierbei zu beachten, dass die Argumentation nicht die Quantentheorie voraussetzt.

22.2 EPR-Paradoxon und Bell’sche Ungleichungen

337

Die Verletzung der Bell’schen Ungleichung bedeutet, dass es langreichweitige Korrelationen gibt, die nicht lokal und realistisch interpretiert werden k¨ onnen. Sie werden EPR-Korrelationen“ genannt. Die Quantenmechanik ” sagt solche Korrelationen vorher. Nat¨ urlich gibt es auch Korrelationen in der klassischen Physik. Wenn Sie einen T¨ urschl¨ ussel und zwei M¨antel besitzen, so ist die Anwesenheit des Schl¨ ussels in dem einen Mantel antikorreliert zur Anwesenheit in dem anderen Mantel. Klassische Korrelationen gen¨ ugen aber Bell’schen Ungleichungen. Die EPR-Korrelationen unterscheiden sich davon. Einstein sprach in diesem Zusammenhang von spukhaften Fernwirkungen“. ” ¨ Einige Leute sind auf die Idee gekommen, EPR-Korrelationen zur Ubertra¨ gung von Signalen mit Uberlichtgeschwindigkeit zu verwenden. Dies geht aber nicht, wie sich zeigen l¨asst. Die einzelnen Messreihen bei A oder bei B lassen keine R¨ uckschl¨ usse auf das Geschehen am anderen Ort zu. Erst die nachtr¨agliche Bestimmung von P (⃗a, ⃗b ) aus beiden Messprotokollen zeigt die EPR-Korrelationen. Es gilt also zu unterscheiden: Es gibt instantane Korrelationen, aber keine instantanen Wechselwirkungen.

23 Station¨ are Streutheorie

23.1 Das station¨ are Streuproblem

Ein sehr wichtiges Instrument der Physik sind Streuexperimente und ihre theoretische Auswertung. Mit Hilfe von Streuexperimenten bekommt man Aufschl¨ usse u ¨ber • Teilchenwechselwirkungen, z.B. Kernkr¨afte, Kr¨afte zwischen Molek¨ ulen etc., • elementare Wechselwirkungspotenziale, • den Aufbau der Materie, z.B. Kristallstrukturen, • etc. Bisher haben wir uns haupts¨achlich mit gebundenen Zust¨anden besch¨aftigt. Ihre Energien liegen im diskreten Spektrum. Bei den Streuzust¨anden, denen wir uns jetzt zuwenden, liegen Anfangs- und Endzustand im kontinuierlichen Spektrum. Klassische Streuung: Zun¨achst betrachten wir die Streuung von Teilchen in der klassischen Physik. Ein Strahl von Teilchen bewege sich auf einen Streuer zu. Jedes einzelne Teilchen wird vom Kraftfeld des Streuers abgelenkt. Wir k¨onnen den Streuvorgang in Relativkoordinaten betrachten. Dies entspricht dem Fall eines unendlich schweren Streuers. F¨ ur sehr fr¨ uhe und f¨ ur sehr sp¨ate Zeiten ist das Teilchen weit vom Streuer entfernt und seine Bewegung geht asymptotisch in eine freie Bewegung u ¨ber. Der asymptotische Ablenkungswinkel ϑ h¨angt vom Stoßparameter b ab.

340

23 Station¨are Streutheorie

Detektor

ϑ

Teilchenstrahl b

Stoßparameter z Streuer

Der einlaufende Teilchenstrahl besitzt eine Stromdichte ⃗jein . F¨ ur diejenigen, die es vergessen haben: Die Stromdichte ist so definiert, dass die Anzahl dN von Teilchen, die pro Zeitintervall dt durch ein Fl¨achenelement dF⃗ hindurchstr¨omen, gegeben ist durch

dN = ⃗j · dF⃗ dt .

j

xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx

dF

F¨ ur einen homogenen Strom von Punktteilchen ist ⃗j = ρ⃗v mit der Teilchendichte ρ und der Geschwindigkeit ⃗v .

Die gestreuten Teilchen bewegen sich vom Streuzentrum fort. Ihre Stromdichte f¨allt asymptotisch proportional zu 1/r2 mit der Entfernung ab. Daher ist es sinnvoll, die Anzahl dN der gestreuten Teilchen pro Raumwinkelelement dΩ und Zeit dt zu betrachten.

23.1 Das station¨are Streuproblem

341

dF = r 2 d Ω

ϑ z

Diese Anzahl ist nat¨ urlich proportional zu jein . Der differenzielle Wirkungsquerschnitt oder Streuquerschnitt ist definiert durch 1 dN dσ = dΩ jein dΩ dt

f¨ ur gen¨ ugend große r .

Diese Gr¨oße ist experimentell direkt zug¨anglich. Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist eine Funktion der Winkel ϑ und φ und h¨angt nicht von r ab. Wegen dF = r2 dΩ ist r2 jaus (r, ϑ, φ) dσ = , dΩ jein wobei jaus ∝ 1/r2 f¨ ur gen¨ ugend große r. Beispiel: F¨ ur die Rutherfordstreuung am Coulombpotenzial (α-Teilchen auf Goldatome, 1911) ist dσ 1 . ∝ dΩ sin4 ϑ2 Der totale Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch ∫ σ=

dΩ

dσ . dΩ

Er besitzt die Dimension einer Fl¨ache. Seine Bedeutung kann am Beispiel eines kurzreichweitigen Potenzials illustriert werden, das der Streuung an einer Scheibe A entspricht.

342

23 Station¨are Streutheorie

xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx A

Hier ist dN 1 = · (Anzahl gestreuter Teilchen pro Zeit) jein dt jein 1 = · (jein · A) = A . jein

σ=

Der totale Wirkungsquerschnitt gibt in diesem Falle also den geometrischen Streuquerschnitt an, was seinen Namen erkl¨art. Quantenmechanische Streuung: In der Quantenmechanik tritt an die Stelle des Teilchenstromes der Wahrscheinlichkeitsstrom ⃗j. Ein gestreutes Teilchen k¨onnen wir uns durch ein Wellenpaket ψ(⃗r, t) repr¨asentiert denken. Seine Zeitentwicklung wird geregelt durch die Schr¨odingergleichung iℏ

∂ ψ(⃗r, t) = Hψ(⃗r, t) . ∂t

Wir wollen annehmen, dass ein Streupotenzial mit Reichweite R < ∞ vorliegt. Vor der Streuung sieht die Situation so aus: vG

z R

Das Wellenpaket ist fern vom Streuzentrum und verh¨alt sich nahezu frei. Wir zerlegen es in der Form ∫ 3 d k ⃗ ⃗ ψ(⃗r, t) = A(⃗k ) ei(k·⃗r−ω(k )t) 3 (2π)

23.1 Das station¨are Streuproblem

343

mit

ℏ⃗k 2 . ω(⃗k ) = 2m Die Breite des Paketes sollte deutlich gr¨ oßer als die mittlere de BroglieWellenl¨ange λ sein, aber andererseits nicht zu groß, damit es einigermaßen gut lokalisiert ist. Wenn das Wellenpaket den Bereich des Potenzials erreicht, erfolgt der eigentliche Streuakt, w¨ahrend dessen die Wellenfunktion mannigfache ¨ Anderungen erleidet. Nach hinreichend langer Zeit werden die Wellen den Bereich der Streuung verlassen haben. Wir haben dann folgende Situation: Streuwellen Kugelwellen

durchgehendes Paket z

Das gestreute Paket entfernt sich in Form von Kugelwellen vom Streuzentrum. Dazu muss der Abstand r hinreichend groß gegen R und λ sein, damit die gestreuten Wellen aus der Wechselwirkungszone heraus sind. Daneben gibt es noch ein durchgehendes Paket, das nicht gestreut wurde. In den folgenden Betrachtungen wollen wir annehmen, dass • es sich um elastische Streuung handelt, die sich in einem Streupotenzial V (⃗r ) abspielt, • das Kugelsymmetrie vorliegt, so dass wir das Potenzial als V (r) schreiben k¨onnen.

344

23 Station¨are Streutheorie

Der eben mit Hilfe eines Wellenpaketes beschriebene Streuvorgang entspricht zwar eher dem physikalischen Ablauf, ist aber schwierig durchzurechnen. Oben haben wir das einlaufende Paket als Superposition ebener Wellen dargestellt. Aufgrund des Linearit¨at der Schr¨odingergleichung ist das gestreute Paket f¨ ur große Zeiten t von der Form ∫ 3 d k ⃗ ψs (⃗r, t) = A(⃗k ) φs (⃗r, ⃗k ) e−iω(k )t . (2π)3 Statt des gesamten Paketes betrachten wir nun die einzelnen Beitr¨age, d.h. wir stellen den einfallenden Strahl durch eine ebene Welle und den gestreuten Strahl durch eine Streuwelle dar: ⃗

einfallender Strahl −→ φ0 (⃗r ) = eik0 ·⃗r gestreuter Strahl −→ φs (⃗r ) . Diese Wellen sind zeitunabh¨angig. Wir haben es mit einem station¨aren Problem zu tun, das einfacher handzuhaben ist als das zeitabh¨angige Streuproblem. In Gedanken stellen wir uns immer vor, dass durch geeignete Superposition die Wellenpakete herzustellen sind. Dies wurde auch schon im Abschnitt 3.2.3 f¨ ur die Streuung in einer Dimension diskutiert. Der einfallende Strahl ist also ⃗

φ0 (⃗r ) = eik0 ·⃗r = eik0 z mit Impuls und Energie p⃗ = ℏ⃗k0 = ℏk⃗ez ,

E=

ℏ2 k 2 , 2m

k ≡ k0 .

Er gen¨ ugt der freien station¨aren Schr¨odingergleichung −

ℏ2 ∆φ0 (⃗r ) = Eφ0 (⃗r ) . 2m

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ0 = |φ0 |2 = 1 ist auf 1 normiert. Die physikalische Teilchendichte sei n0 und muss als Faktor angef¨ ugt werden. Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte betr¨agt ⃗ ⃗j0 = 1 (ψ ∗ P⃗ ψ − ψ P⃗ ψ ∗ ) = ℏk0 , 2m m

23.1 Das station¨are Streuproblem

345

und der physikalische Teilchenstrom ist n0 ℏ⃗k0 /m. Die gesamte Welle ist zusammengesetzt aus der einfallenden Welle und der Streuwelle: φ(⃗r ) = φ0 (⃗r ) + φs (⃗r ) . Gesucht ist die Streuwelle φs (⃗r ), denn in ihr steckt die Information u ¨ber die Streuung. Zu l¨osen ist somit das station¨ are Streuproblem Hφ(⃗r ) = Eφ(⃗r ) , H=

E=

ℏ2 k2 2m

> 0,

P⃗ 2 + V (r) , 2m

φ(⃗r ) = eikz + φs (⃗r ) . F¨ ur r → ∞ liegt eine kr¨aftefreie Bewegung vor und die Streuwelle φs (⃗r ) geht asymptotisch in eine auslaufende Kugelwelle u ¨ber. Einlaufende Kugelwellen entsprechen nicht der physikalischen Problemstellung und werden daher ausgeschlossen. Wir schreiben also φs (⃗r )

∼

r→∞

f (ϑ)

eikr . r

Die rechte Seite ist unabh¨angig vom Winkel φ aufgrund der Symmetrie um die z-Achse. Es ist n¨amlich Lz φ0 = 0 und folglich Lz φs = 0. Die Funktion f (ϑ) heißt Streuamplitude. Die Stromdichte in der auslaufenden Kugelwelle betr¨agt ( ) 2 ⃗js = ℏk |f (ϑ)| eˆr + O 1 . m r2 r3 F¨ ur den differenziellen Wirkungsquerschnitt dσ/dΩ = r2 js /j0 finden wir damit die wichtige Formel dσ = |f (ϑ)|2 . dΩ

346

23 Station¨are Streutheorie

Der totale Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch ∫ π ∫ dσ = 2π dϑ sin ϑ |f (ϑ)|2 . σ = dΩ dΩ 0 In der Streuamplitude steckt also die gesuchte Information und daher ist es die zentrale Aufgabe der station¨aren Streutheorie, f (ϑ) zu berechnen. Hier noch eine Warnungsmeldung: Die asymptotische Form φ(⃗r ) ∼

r→∞

eikz + f (ϑ)

eikr r

erf¨ ullt die Schr¨odingergleichung unter der Voraussetzung lim r V (r) = 0 ,

r→∞

die wir im Folgenden immer machen wollen. F¨ ur das Coulombpotenzial ist sie nicht erf¨ ullt, so dass wir dort ein Problem haben.

23.2 Partialwellenentwicklung ⃗ 2 ] = [H, Lz ] = 0. Es ist deshalb Aufgrund der Kugelsymmetrie ist [H, L 2 ⃗ , Lz zu betrachten. Bekanntlich ist angebracht, Eigenfunktionen zu L Lz =

ℏ ∂ . i ∂φ

In unserem Falle haben wir keine Abh¨ angigkeit vom Winkel φ und somit Lz φ(r, ϑ) = 0. Die Eigenfunktionen kennen wir schon, es sind die Kugelfl¨achenfunktionen Ylm (ϑ, φ). Da der Eigenwert m von Lz null ist, verbleiben die Funktionen √ 2l + 1 Yl0 (ϑ) = Pl (cos ϑ) . 4π Die Wellenfunktion wird somit zerlegt als φ(⃗r ) =

∞ ∑ ul (r) l=0

r

Pl (cos ϑ) ,

mit den Radialfunktionen ul (r) wie in Abschnitt 9.5. Die radiale Schr¨odingergleichung lautet ( ) ℏ2 ∂ 2 ℏ2 l(l + 1) − + + V (r) ul (r) = E ul (r) 2m ∂r2 2mr2

23.2 Partialwellenentwicklung

347

bzw. u′′l

) ( l(l + 1) 2m 2 − 2 V (r) ul = 0 , + k − r2 ℏ

und die Radialfunktion muss die Randbedingung ul (0) = 0 erf¨ ullen. F¨ ur die L¨osung gilt: ul (r) kann reell gew¨ahlt werden. Begr¨ undung: Die Differenzialgleichung ist linear und besitzt reelle Koeffizienten. F¨ ur eine L¨osung u(r) ist auch u∗ (r) eine L¨osung und damit auch die reellen Funktionen Re u(r) und Im u(r). Die Randbedingung u(0) = 0 legt die L¨osung bis auf einen komplexen Normierungsfaktor eindeutig fest. ¨ Nach obiger Uberlegung kann dann u(r) reell gew¨ahlt werden. Betrachten wir zun¨achst einmal ein freies Teilchen, d.h. V (r) = 0. Dies entspricht der einlaufenden ebenen Welle ⃗

φ0 (⃗r ) = eik0 ·⃗r = eikz = eikr cos ϑ . Wir schreiben die Zerlegung nach Kugelfl¨ achenfunktionen als φ0 (⃗r ) =

∞ (0) ∑ u (r) l

l=0

r

Pl (cos ϑ) .

(0)

Die Radialfunktionen ul (r) k¨onnen mit Hilfe der Orthogonalit¨at der Pl , 1

∫

dt Pl (t) Pn (t) = −1

2 δln , 2l + 1

bestimmt werden: ∫

(0)

1

dt e −1

ikrt

2 ul (r) Pl (t) = . 2l + 1 r

Wir ben¨otigen das Verhalten f¨ ur große r, um daraus den Wirkungsquerschnitt zu berechnen. Durch partielle Integration erhalten wir ∫

1

dt e −1

ikrt

∫ 1 ]+1 1 [ ikrt 1 Pl (t) = e Pl (t) − dt eikrt Pl′ (t) . ikr ikr −1 −1

348

23 Station¨are Streutheorie

Das letzte Integral ist von der Ordnung 1/r, wie man durch nochmalige partielle Integration sieht. Mit Pl (1) = 1 und Pl (−1) = (−1)l folgt 1

∫

dt e

ikrt

−1

( ) ) 1 ( ikr 1 l −ikr Pl (t) = e − (−1) e +O ikr r2 ( ) ( ) 1 l i(kr−l π ) 1 −i(kr−l π2 ) 2 − e = i e +O ikr r2

und damit (0)

ul (r)

(2l + 1) il

∼

r→∞

) 1 ( i(kr−l π ) −i(kr−l π2 ) 2 − e e . 2ik

Unser Resultat lautet also e

ikz

∼

r→∞

∞ ∑

(2l + 1) il

l=0

) 1 ( i(kr−l π ) −i(kr−l π2 ) 2 − e Pl (cos ϑ) . e 2ikr

Auf diese Weise haben wir die ebene Welle asymptotisch als Summe einlaufender und auslaufender Kugelwellen dargestellt. Bemerkung: Es gilt exakt (0)

ul (r) = il (2l + 1) r jl (kr) . Beweis: Die Radialgleichung (0)′′ ul

(

l(l + 1) + k − r2 2

)

(0)

ul

=0

wurde bereits in Kapitel 11 gel¨ost zu (0)

ul

= Cl r jl (kr)

mit l

jl (ρ) = (−ρ)

(

1 d ρ dρ

)l

sin ρ . ρ

Das asymptotische Verhalten der sph¨arischen Besselfunktionen erh¨alt man aus ) ( )l ( 1 d π (−1)l 1 d l sin ρ ∼ sin ρ = sin(ρ − l ) , l+1 l+1 ρ dρ ρ ρ→∞ ρ dρ 2 ρ

23.2 Partialwellenentwicklung

349

woraus sich jl (ρ) ∼

ρ→∞

) 1 π 1 ( i(ρ−l π ) −i(ρ−l π2 ) 2 − e sin(ρ − l ) = e ρ 2 2iρ

ergibt. Der Vergleich mit der asymptotischen Entwicklung von eikz liefert Cl = il (2l + 1). Jetzt wenden wir uns der gestreuten Welle φs (⃗r ) des vollen Streuproblems zu. F¨ ur große r besteht sie nur aus auslaufenden Kugelwellen ∝ 1r eikr . Das asymptotische Verhalten der gesamten L¨osung k¨onnen wir daher schreiben als φ(⃗r ) = eikz + φs (⃗r) ∞ ) ∑ π π 1 ( ∼ (2l + 1) il Sl ei(kr−l 2 ) − e−i(kr−l 2 ) Pl (cos ϑ) , r→∞ 2ikr l=0

denn der Anteil der einlaufenden Kugelwellen kommt nur von der ebenen Welle. Die Vorfaktoren Sl der auslaufenden Kugelwellen setzen sich zusammen aus den Beitr¨agen der ebenen Welle und der Streuwelle: Sl = 1 + Beitrag der gestreuten Welle. Wichtig ist folgende Beobachtung: Es gilt |Sl | = 1 . Begr¨ undung: F¨ ur die gesamte Welle soll π

π

ul (r) ∼ Sl ei(kr−l 2 ) − e−i(kr−l 2 ) u ¨berall reell sein. Mit einer kleinen Nebenrechnung folgt daraus die Behauptung. Sl h¨angt von der Wellenzahl k ab. Wir k¨onnen schreiben Sl (k) = e2iδl (k) mit den Streuphasen δl (k). Damit lautet das asymptotische Verhalten unserer Wellenfunktion φ(⃗r ) ∼

r→∞

∞ ∑ l=0

(2l + 1) il

π 1 iδl e sin(kr − l + δl ) Pl (cos ϑ) . kr 2

350

23 Station¨are Streutheorie

Durch die Streuung wird also eine Phasenverschiebung um δl bewirkt. Der Anteil der gestreuten Welle ist φs (⃗r ) ∼

r→∞

=

∞ ∑

(2l + 1) il

l=0 ∞ ∑

(2l + 1)

l=0

π 1 iδl e sin δl ei(kr−l 2 ) Pl (cos ϑ) kr

1 iδl e sin δl eikr Pl (cos ϑ) . kr

Hieraus lesen wir endlich die gesuchte Streuamplitude ab: f (ϑ) =

∞ 1∑ (2l + 1) eiδl sin δl Pl (cos ϑ) . k l=0

Den totalen Wirkungsquerschnitt ∫ 1 σ = 2π |f (ϑ)|2 d(cos ϑ) −1

berechnet man mit Hilfe der Orthogonalit¨atsrelation der Pl zu σ=

∞ 4π ∑ (2l + 1) sin2 δl . k2 l=0

Wenn man die letzten Formeln scharf ansieht, erkennt man das sogenannte optische Theorem:

σ=

4π Im f (0) . k

Wir haben gesehen, dass die Information u ¨ber die Streuung in den Streuphasen enthalten ist. Muss man in der Praxis alle Streuphasen δl (k) be¨ rechnen? Hierzu stellen wir eine Uberlegung im Rahmen der klassischen Streuung an. Wenn das Potenzial die Reichweite R besitzt, so findet f¨ ur Werte des Stoßparameters b ≫ R praktisch keine Streuung statt.

b R

23.2 Partialwellenentwicklung

351

Der Drehimpuls betr¨agt √ ⃗ = |⃗r × p⃗ | = b · p0 = b 2mE |L| und somit gilt f¨ ur Teilchen, die gestreut werden, √ ⃗ ≤ R 2mE . b ≤ R ⇔ |L| In der Quantenmechanik wird dies ersetzt durch l≤

√

l(l + 1) ≤

1 √ R 2mE = kR , ℏ

d.h. nur die l-Werte bis l ≈ kR tragen wesentlich bei. Dieses grobe Argument kann unter geeigneten Voraussetzungen mathematisch untermauert werden. F¨ ur den Fall l = 0 spricht man von s-Wellen-Streuung. F¨ ur sie ist dσ 1 ≈ 2 sin2 δ0 (k) . dΩ k Analog gibt es f¨ ur l = 1 die p-Wellen-Streuung etc. Beispiel: Streuung an der harten Kugel Das Potenzial der harten Kugel ist { ∞, V (r) = 0,

r≤R r>R

und die Wellenfunktion erf¨ ullt φ(⃗r ) ≡ 0

f¨ ur r ≤ R .

Wir schreiben die Partialwellenentwicklung als φ(⃗r ) =

∞ ∑

Rl (r) Pl (cos ϑ) .

l=0

Die allgemeine L¨osung f¨ ur V = 0 lautet Rl (r) = al jl (kr) + bl nl (kr) mit den schon bekannten sph¨arischen Besselfunktionen )l ( sin ρ l 1 d jl (ρ) = (−ρ) ρ dρ ρ

352

23 Station¨are Streutheorie

und den sph¨arischen Neumannfunktionen ( )l cos ρ l 1 d nl (ρ) = (−ρ) . ρ dρ ρ Die Asymptotik dieser Funktionen ist ( π) 1 sin ρ − l ρ→∞ ρ 2 ( 1 π) nl (ρ) ∼ − cos ρ − l . ρ→∞ ρ 2 jl (ρ) ∼

Die einlaufende ebene Welle enth¨alt die jl (kr). Die Streuwelle ist eine auslaufende Kugelwelle und verh¨alt sich wie 1r eikr . Dies entspricht der Linearkombination 1 i(ρ−l π ) 2 . h+ ∼ e l (ρ) = jl (ρ) + i nl (ρ) ρ→∞ iρ Wir finden daher f¨ ur die gesamte L¨osung die Form φ(⃗r ) =

∞ ∑

(2l + 1) il [jl (kr) + γl h+ l (kr)] Pl (cos ϑ) .

l=0

Jetzt gilt es, die Koeffizienten γl zu bestimmen. Daf¨ ur muss die Randbedingung φ(⃗r ) = 0 f¨ ur r = R herhalten. Sie liefert γl = −

jl (kR) . h+ l (kR)

Die Streuamplitude ist f (ϑ) =

∑

(2l + 1) il γl

l

1 −i l π e 2 Pl (cos ϑ) ik

1∑ = (2l + 1)(−i)γl Pl (cos ϑ) . k l

Andererseits ist allgemein f (ϑ) =

1∑ (2l + 1) eiδl sin δl Pl (cos ϑ) . k l

Durch Vergleich dieser Ausdr¨ ucke lesen wir ab 1 γl = (e2iδl − 1) . 2

23.2 Partialwellenentwicklung

353

Durch Umformung kann man dies aufl¨osen in die Form tan δl =

jl (kR) . nl (kR)

(Die zweite L¨osung tan δl = −nl (kR)/jl (kR) erf¨ ullt nicht δl → 0 f¨ ur R → 0.) Somit haben wir einen exakten Ausdruck f¨ ur die Streuphasen. Hieraus ergibt sich der totale Wirkungsquerschnitt ∞ jl2 (kR) 4π ∑ σ= 2 (2l + 1) 2 . k nl (kR) + jl2 (kR) l=0

Wir wollen noch die beiden Grenzf¨alle betrachten. 1) kR ≪ 1 tan δl ≈ −

(kR)2l+1 , (2l − 1)!!(2l + 1)!!

speziell tan δ0 ≈ −kR ≈ sin δ0 . Die u ur l > 0 sind noch viel kleiner. Daher handelt es sich ¨brigen tan δl f¨ praktisch um reine s-Wellen-Streuung und es ist σ ≈ 4πR2 . Der totale Wirkungsquerschnitt ist gleich dem vierfachen geometrischen Kugelquerschnitt. 2) kR ≫ 1

( π) tan δl ≈ − tan kR − l . 2 Es gibt nennenswerte Beitr¨age bis l ≈ kR. F¨ ur den Wirkungsquerschnitt erh¨alt man nach einer etwas trickreichen Rechnung )} { ( 1 2 . σ ≈ 2πR 1 + O (kR)2/3 F¨ ur sehr kleine Wellenl¨angen sollte die Streuung der klassischen Streuung an einer undurchdringlichen Kugel entsprechen. Der Wirkungsquerschnitt ist aber doppelt so groß wie klassisch erwartet. Wie kommt das? Der Wirkungsquerschnitt enth¨alt zwei Anteile. Der erste entspricht der echten Streuung und liefert den klassischen Querschnitt πR2 . Es gibt aber noch

354

23 Station¨are Streutheorie

einen zweiten Anteil, denn der Schatten hinter der Kugel muss durch Interferenz der durchgehenden Welle mit der in Vorw¨artsrichtung gestreuten Welle zustande kommen. Dieser Anteil der Vorw¨artsstreuung liefert einen weiteren Beitrag πR2 und beide zusammen ergeben 2πR2 . Resonanzen: Der Beitrag sin2 δl (k) einer Streuphase zum Wirkungsquerschnitt wird maximal, wenn 1 δl = (n + )π f¨ ur n ∈ Z. 2 Der Betrag von i

1 1 (Sl − 1) = eiδl sin δl = 2i cot δl − i

2 δl

wird dort maximal und es ist dann cot δl = 0. Eine Energie ER , bei der dies auftritt, heißt Resonanz . Es ist also cot δl (ER ) = 0 . F¨ ur Energien E ≈ ER in der N¨ahe der Resonanz schreiben wir die ersten Terme der Taylorreihe als cot δl (E) ≈ −

2 (E − ER ) . Γ

Damit ist eiδl (E) sin δl (E) ≈

− Γ2 E − ER + i Γ2

und der Beitrag zum Wirkungsquerschnitt σ ist ( Γ )2 4π 2 σl (E) ≈ 2 (2l + 1) ( )2 . k (E − ER )2 + Γ 2

Dies ist die Breit-Wigner-Funktion, die uns schon im Abschnitt 3.2.2 begegnet ist.

23.3 Born’sche N¨aherung

355

¨ Ubungen Betrachten Sie die radiale Schr¨ odingergleichung f¨ ur das sph¨ arische Kastenpotenzial { −V0 , r < a, V (r) = 0, r > a, welches attraktiv (V0 > 0) oder repulsiv (V0 < 0) sein darf. 1. Zeigen Sie, dass die Streul¨ osungen f¨ ur r ≫ a die asymptotische Form ( ) π ul (r) ∝ sin kr − l + δl (k) 2 mit der Streuphase δl (k) annehmen. 2. Bestimmen Sie die Streuphase δ0 (k) aus der Anschlussbedingung bei r = a. 3. Diskutieren Sie qualitativ das Verhalten der Wellenfunktion im Potenzialgebiet f¨ ur δl > 0 und δl < 0.

23.3 Born’sche N¨ aherung Die Schr¨odingergleichung des station¨aren Streuproblems ) ( ℏ2 k 2 ℏ2 ∆ + V (⃗r ) φ(⃗r ) = E φ(⃗r ) , E= − 2m 2m schreiben wir in der Form (∆ + k 2 )φ(⃗r ) =

2m V (⃗r ) φ(⃗r ) . ℏ2

Dies ist eine inhomogene Differenzialgleichung, deren zugeh¨orige homogene (freie) Gleichung (∆ + k 2 )φ0 (⃗r ) = 0 lautet. In ihr kommt der Helmholtzoperator ∆ + k 2 vor. Seine Green’sche ′ Funktion G(⃗r − ⃗r ) erf¨ ullt ′

′

(∆ + k 2 )G(⃗r − ⃗r ) = δ(⃗r − ⃗r ) . Entsprechend bezeichnen wir den inversen Operator mit G = (∆ + k 2 )−1 .

356

23 Station¨are Streutheorie

Mit Hilfe der Green’schen Funktion k¨onnen wir f¨ ur die L¨osung der Schr¨odingergleichung schreiben ∫ ′ 2m ′ ′ φ(⃗r ) = φ0 (⃗r ) + d3 r′ G(⃗r − ⃗r ) 2 V (⃗r ) φ(⃗r ) . ℏ Dies ist eine exakte Integralgleichung f¨ ur das station¨are Streuproblem. Die Green’sche Funktion kann mittels Fouriertransformation bestimmt werden. ∫ 3 d q i⃗q·⃗r ˜ ˜ q) = 1, (k 2 − q 2 )G(⃗ e G(⃗q ) , G(⃗r ) = (2π)3 ∫ 3 d q ei⃗q·⃗r G(⃗r ) = . (2π)3 k 2 − q 2 Die Integration u ¨ber den Pol mit Hilfe des Residuensatzes kann man auf verschiedene Weise ausf¨ uhren, so dass es zwei linear unabh¨angige L¨osungen gibt: 1 e±ikr G(±) (⃗r ) = − . 4π r Wir w¨ahlen G(+) , denn es besitzt die gew¨ unschte Asymptotik auslaufender Wellen. Somit gilt ′

φ(⃗r ) = e

ikz

m − 2πℏ2

∫

eik|⃗r−⃗r | ′ d r V (⃗r ) φ(⃗r ) . |⃗r − ⃗r ′ | 3 ′

′

Die L¨osung dieser Integralgleichung gehen wir folgendermaßen an. In Operatorform schreiben wir φ = φ0 + bzw.

2m GV φ ℏ2

( ) 2m 1 − 2 G V φ = φ0 ℏ

mit der L¨osung )−1 ( 2m φ0 . φ = 1 − 2 GV ℏ Der inverse Operator wird nun entwickelt und man erh¨alt die Born’sche Reihe )n ( ) ∞ ( ∑ 2m 2m 2m 2 φ= GV φ0 = φ0 + 2 G V φ0 + G V G V φ0 + · · · . ℏ2 ℏ ℏ2 n=0

23.3 Born’sche N¨aherung

357

Die ersten beiden Terme dieser Reihe bilden die Born’sche N¨ aherung φ ≈ φ0 + φ(1) = φ0 +

2m G V φ0 . ℏ2

Ausgeschrieben lautet sie ′

φ(⃗r ) ≈ e

ikz

m − 2πℏ2

∫

eik|⃗r−⃗r | ikz ′ e . d r V (⃗r ) |⃗r − ⃗r ′ | 3 ′

′

Die Streuamplitude erhalten wir ja aus dem asymptotischen Verhalten der Wellenfunktion f¨ ur große r. Also entwickeln wir ′

′

1

eikz −

eikr m r 2πℏ2

∫

′

|⃗r − ⃗r | = (r2 + r 2 − 2⃗r · ⃗r ) 2 ( )1 ′ ′ ⃗r · ⃗r 2 ⃗r · ⃗r ′ ≈r 1−2 2 ≈r− = r − ⃗er · ⃗r . r r Damit erhalten wir φ(⃗r ) ∼

r→∞

′

′

d3 r′ V (⃗r ) eik(⃗ez −⃗er )·⃗r .

Mit dem Impuls¨ ubertrag

→

k

→

K

⃗ = k(⃗er − ⃗ez ) ≡ ⃗k − ⃗k0 K ϑ → k0

ergibt sich daraus die Born’sche N¨ aherung fu ¨ r f (ϑ, φ)

f

(1)

m (ϑ, φ) = − 2πℏ2

∫

′

⃗

′

d3 r′ V (⃗r ) e−iK·⃗r .

In Kurzform k¨onnen wir auch schreiben m ⃗ ⃗ f (1) (ϑ, φ) = − ⟨k|V |k0 ⟩ . 2πℏ2

358

23 Station¨are Streutheorie

Die Born’sche N¨aherung f¨ ur die Streuamplitude ist also die Fouriertransformierte des Potenzials V (⃗r ). Im Falle der Kugelsymmetrie, V (⃗r ) = V (r), benutzen wir ⃗ = 2k sin K = |K| und finden ∫

⃗

′

d3 r′ V (r′ ) e−iK·⃗r = 2π

∞

∫

′

dr′ r 2 V (r′ )

4π K

∫

1

′

dt e−iKr t

−1

0

=

ϑ 2

∞

∫

dr′ r′ V (r′ ) sin(Kr′ )

0

und somit f (1) (ϑ) = −

2m 1 ℏ2 2k sin ϑ2

∫

∞

dr′ r′ V (r′ ) sin(Kr′ ) .

0

f (1) (ϑ) ist reell. Die Born’sche N¨aherung verletzt also das optische Theorem. Zum G¨ ultigkeitsbereich der Born’schen N¨aherung seien noch folgende Angaben ohne Begr¨ undung gemacht: • a) hohe Energien, kR ≫ 1: ⏐∫ ⏐ die N¨aherung ist g¨ ultig f¨ ur ⏐⏐

∞

⏐ ⏐ ℏ2 k dr V (r)⏐⏐ ≪ , m 0 d.h. f¨ ur gen¨ ugend schwaches Potenzial.

• b) niedrige Energien, kR ≪⏐∫ 1: ⏐ ⏐ ∞ ⏐ ℏ2 ⏐ , die N¨aherung ist g¨ ultig f¨ ur ⏐ dr r V (r)⏐⏐ ≪ 2m 0 insbesondere muss V viel kleiner als E sein, was sehr einschr¨ankend ist. Wir merken uns also: Die Born’sche N¨ aherung ist eher bei hohen Energien g¨ ultig. Anwendungsbeispiel: Yukawapotenzial V (r) = g

e−µr , r

Reichweite R =

1 . µ

23.3 Born’sche N¨aherung

359

Die Born’sche N¨aherung f¨ ur die Streuamplitude ist ( ) ∫ ∞ m 1 ϑ (1) ′ ′ ′ ′ f (ϑ) = − 2 dr r V (r ) sin 2kr sin ℏ k sin ϑ2 0 2 2mg 1 =− 2 . ℏ 4k 2 sin2 ϑ2 + µ2 Im Grenzfall µ → 0 geht das Yukawapotenzial u ¨ber in das Coulombpotenzial: g V (r) → . r Hier setzen wir ℏ2 k 2 Z1 Z2 e 2 , E= g= 4πε0 2m und erhalten dσ = dΩ

(

Z1 Z2 e 2 (4πε0 )4E

)2

1 sin4

ϑ 2

.

Das ist genau der Rutherford’sche Streuquerschnitt. Da haben wir aber Gl¨ uck gehabt, denn das Coulombpotenzial erf¨ ullt gar nicht die Voraussetzung f¨ ur die Anwendbarkeit der station¨aren Streutheorie: lim r V (r) < ∞ .

r→∞

Die exakte Coulombstreuamplitude l¨asst sich mit anderen Methoden berechnen. Sie lautet fc (ϑ) = −

γ 2k sin2

mit γ=

ϑ 2

e(2iσ0 −iγ ln(sin

2 ϑ 2

))

Z1 Z2 e2 m (4πε0 )ℏ2 k

und unterscheidet sich von der Born’schen N¨aherung nur um einen Phasenfaktor. Born’sche N¨ aherung fu ¨ r Streuphasen: Aus f (1) (ϑ) erhalten wir eine N¨aherung f¨ ur die Streuphasen δl . Dazu verwenden wir ⃗

′

eik0 ·⃗r =

∞ √ ∑ l=0

4π(2l + 1) il jl (kr′ ) Yl0 (ϑ′ , φ′ )

360

23 Station¨are Streutheorie ⃗

′

e−ik·⃗r = 4π

∑

∗ (−i)l jl (kr′ ) Ylm (ϑ, φ) Ylm (ϑ′ , φ′ )

l,m

∫ ⇒

⃗ ⃗

′

dΩ′ e−i(k−k0 )·⃗r = 4π

∞ ∑

( )2 (2l + 1) jl (kr′ ) Pl (cos ϑ)

l=0

⇒

f (1) (ϑ) = −

2m ℏ2

∞ ∑

∫ (2l + 1) Pl (cos ϑ)

∞

( )2 ′ dr′ r 2 V (r′ ) jl (kr′ ) .

0

l=0

Durch Vergleich mit f

(1)

∞ 1∑ (ϑ) = (2l + 1) eiδl sin δl Pl (cos ϑ) k l=0

k¨onnen wir die Streuphasen ablesen. Die Born’sche N¨aherung setzt eine kleine Streuamplitude voraus, d.h. eiδl sin δl ≈ δl . Damit erhalten wir ∫ 2m 1 ∞ dr V (r) [kr jl (kr)]2 . δl ≈ − 2 ℏ k 0

¨ Ubungen Untersuchen Sie die Streuung am sph¨ arischen Kastenpotenzial { −V0 , r < a, V0 > 0 oder V0 < 0. V (r) = 0, r > a, 1. Berechnen Sie den differenziellen Wirkungsquerschnitt in der Born’schen N¨ aherung. 2. Betrachten Sie den Fall niedriger Energie und berechnen Sie in diesem Grenzfall den totalen Wirkungsquerschnitt.

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik 24.1 Grundkurs Pfadintegrale 24.1.1 Einf¨ uhrung Bisher haben wir die Quantenmechanik in der u ¨blichen Formulierung kennen gelernt, die mit Wellenfunktionen, Vektoren im Hilbertraum, und Operatoren arbeitet. In diesem Kapitel werden wir eine Formulierung der Quantenmechanik betrachten, die von Feynman 1948 gefunden wurde und v¨ollig andersartig ist. In ihrem Zentrum stehen die sogenannten Pfadintegrale. Operatoren und Hilbertr¨aume k¨onnen in diesem Formalismus v¨ollig vermieden werden, so dass nur noch kommutierende Gr¨oßen auftreten, also gew¨ohnliche Zahlen und Funktionen wie in der klassischen Physik. Das hat nat¨ urlich seinen Preis. Die unendlich vielen Dimensionen des Hilbertraumes kommen durch die Hintert¨ ur wieder herein, denn die Pfadintegrale, die auch als Funktionalintegrale bezeichnet werden, sind unendlichdimensional. Warum sollen wir die Pfadintegrale kennen lernen. Zun¨achst einmal ist es sicherlich ein intellektuelles Erlebnis, zu sehen, dass ein und dieselbe Quantenmechanik auf so unterschiedliche Weise dargestellt werden kann. Dar¨ uber hinaus gibt es aber auch Situationen, in denen die Verwendung von Pfadintegralen vorteilhaft sein kann: • einige Rechnungen der Quantenmechanik, insbesondere zu Tunnelprozessen, lassen sich mit Hilfe von Pfadintegralen durchsichtiger und systematischer gestalten. • Pfadintegrale sind sehr vorteilhaft bzw. unerl¨asslich bei der Quantisierung komplizierterer Feldtheorien, z. B. Eichtheorien, insbesondere im Zusammenhang mit – der manifest lorentzkovarianten Quantisierung, – der u ¨bersichtlichen Herleitung der Feynmanregeln, – der halbklassischen Approximation, – nichtst¨orungstheoretischen Methoden. Die Grundidee der Pfadintegrale ist Folgende. Erinnern Sie sich an die Diskussion des Doppelspaltexperimentes. Zur Entstehung des Interferenzmusters tragen f¨ ur jedes einzelne Elektron beide M¨oglichkeiten des Durchganges

362

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik

durch den Schirm bei. Diese k¨onnen wir mit den beiden Arten von Pfaden assoziieren, bei denen ein klassisches Teilchen entweder durch den einen oder durch den anderen Spalt hindurch tritt.

F¨ ugen wir einen weiteren Doppelspalt zwischen Quelle und Schirm so gibt es entsprechend vier Arten von Wegen. Auch die Zahl der Spalte k¨onnen wir erh¨ohen. Wir denken uns nun Blenden mit sehr vielen Spalten, die durch sehr d¨ unne Stege getrennt sind, und weiterhin eine sehr große Zahl von Blenden, die sehr dicht hintereinander gestapelt sind. Auf diese Weise approximieren wir alle denkbaren Pfade von der Quelle zum Schirm. Im Grenzfall unendlich vieler Blenden und Spalte gelangen wir zu einer Verallgemeinerung, die das Prinzip des Pfadintegrals wiedergibt: Die quantenmechanische Amplitude f¨ ur das Elektron, vom Ort y zur Zeit t0 zum Ort x zur Zeit t1 zu gelangen, entsteht durch Aufsummation aller Beitr¨age von allen m¨oglichen Pfaden zwischen y und x.

y x

Symbolisch schreiben wir daf¨ ur ∫ ⟨x, t1 |y, t0 ⟩ =

D[x(t)] A[x(t)] .

24.1 Grundkurs Pfadintegrale

363

Hierbei ist A[x(t)] ein noch unbekannter Integrand, der vom jeweiligen Pfad x(t) abh¨angt, d.h. ein Funktional des Pfades x(t) ist. ¨ Die obigen Uberlegungen stellen nat¨ urlich keine Herleitung des Pfadintegrals dar, sondern dienen lediglich dazu, seine Konstruktion zu motivieren. Auch wurde die Rolle der Zeit t als Parameter nicht richtig ber¨ ucksichtigt. Im n¨achsten Abschnitt werden wir es besser machen und eine ordentliche Begr¨ undung des Pfadintegrals betrachten. ¨ 24.1.2 Ubergangsamplitude Der Einfachheit halber betrachten wir zun¨achst den eindimensionalen Fall. Ein Teilchen befinde sich zur Zeit t0 = 0 am Ort y und werde zur sp¨ateren Zeit t1 = t am Ort x gemessen.

y

x

¨ Die quantenmechanische Ubergangsamplitude f¨ ur diese Situation ist gegeben durch ⟨x|U (t)|y⟩ = ⟨x|e−iHt |y⟩ = H⟨x, t|y, 0⟩H , wobei die ersten beiden Ausdr¨ ucke im Schr¨odingerbild geschrieben sind und der letzte Ausdruck im Heisenbergbild, wie die Indizes H“ anzeigen. ” Zur Vereinfachung der Formeln ist hier und im Folgenden ℏ=1 gesetzt. ¨ Die Ubergangsamplitude l¨asst sich in geschlossener Form ausrechnen f¨ ur ein freies Teilchen. Sein Hamiltonoperator lautet H ≡ H0 =

P2 2m

und es ist P2

⟨x|e−i 2m t |y⟩ =

∫

p2 dp ⟨x|p⟩ e−i 2m t ⟨p|y⟩ = 2π

∫

dp ip(x−y) −i p2 t e e 2m . 2π

364

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik

Dies ist ein Gauß’sches Integral, allerdings mit imagin¨arem Exponenten. Das klassische Gauß’sche Integral ∫ ∞ √ x2 dx e− 2 = 2π −∞

wissen Sie ja auswendig. Durch einfache Variablentransformation erhalten wir √ ∫ ∞ 2π − a2 x2 = , a>0 dx e a −∞ f¨ ur positives a. Dies kann analytisch fortgesetzt werden in das Gebiet a ∈ C, Re a > 0. Der Randwert mit a = iA ist √ ∫ ∞ A 2 2π dx e−i 2 x = , A ∈ R. iA −∞ Ein zus¨atzlicher linearer Term im Exponenten wird mittels quadratischer Erg¨anzung behandelt. √ ∫ ∞ ∫ ∞ ∫ ∞ 2 b2 b2 2π b2 − a2 (x− ab ) + 2a − a2 x2 +bx − a2 y 2 2a dx e = dx e e = e 2a . = dy e a −∞ −∞ −∞ ¨ Dies ist genau, was wir f¨ ur die Ubergangsamplitude des freien Teilchens ben¨otigen. Einsetzen liefert √ m i m (x−y)2 −iH0 t e 2t . ⟨x|e |y⟩ = 2πi t Nun werden wir mutiger und betrachten das Teilchen in einem Potenzial V: H = H0 + V (x). Die Amplitude ⟨x|e−iHt |y⟩ kann nun leider im Allgemeinen nicht geschlossen berechnet werden. Jedoch f¨ ur kleine Zeiten t = ε gilt die Approximation ε ε . . Uε = e−iHε = e−i(H0 +V )ε = e−iV 2 e−iH0 ε e−iV 2 + O(ε3 ) = Wε + O(ε3 ).

Der Vorteil von Wε ist, dass ⟨x|Wε |y⟩ berechnet werden kann, n¨amlich ε

ε

⟨x|Wε |y⟩ = e−iV (x) 2 ⟨x|e−iH0 ε |y⟩ e−iV (y) 2 √ { m } m ε = exp i (x − y)2 − i [V (x) + V (y)] . 2πiε 2ε 2

24.1 Grundkurs Pfadintegrale

365

Dieses Ergebnis machen wir uns im Sinne der Salamitaktik zunutze, indem wir das t-Intervall in kleine St¨ ucke ε =

t N

teilen:

ε

0

. Dann

t

gilt ( )N e−iHt = e−iHε = Wε N + O(ε2 ) und insbesondere e−iHt = lim Wε N . N →∞

F¨ ur den Fall, dass Sie vor mathematischen Kommilitonen gl¨anzen wollen, sei erw¨ahnt, dass dies die Lie-Kato-Trotter-Produktformel ist. (Der Beweis ist kurz, aber ich lasse ihn dennoch aus.) ∫ Durch Einf¨ ugen von dx|x⟩⟨x| = 1 erhalten wir ⟨x|e−iHt |y⟩ = ⟨x|(e−iHε )N |y⟩ ∫ = dx1 · · · dxN −1 ⟨x|e−iHε |x1 ⟩⟨x1 |e−iHε |x2 ⟩ · · · ⟨xN −1 |e−iHε |y⟩ ∫ = lim dx1 · · · dxN −1 ⟨x|Wε |x1 ⟩⟨x1 |Wε |x2 ⟩ · · · ⟨xN −1 |Wε |y⟩ N →∞ ( m )N ∫ 2 = lim dx1 · · · dxN −1 N →∞ 2πiε { [ ] m exp i (x − x1 )2 + (x1 − x2 )2 + · · · + (xN −1 − y)2 2ε ]} [ 1 1 − iε V (x) + V (x1 ) + · · · + V (xN −1 ) + V (y) . 2 2 Im Exponenten finden wir den Ausdruck } { ( ) N m xk − xk−1 2 V (xk ) + V (xk−1 ) . ∑ − Sε = ε 2 ε 2 k=1

mit x0 = x, xN = y. Im Limes N → ∞, ε = t/N → 0 geht er u ¨ber in ∫ S= 0

t

dt′

{m 2

} x˙ 2 − V (x(t′ )) .

Dies ist eine alte Bekannte, n¨amlich die klassische Wirkung f¨ ur einen Weg x(t′ ), wobei wir xk = x(t′k ) identifizieren.

366

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik

x

x y t' t

0

Da die Wirkung ein Funktional des Weges x ist, schreiben wir S ≡ S[x]. Das obige Ergebnis fassen wir in der Formel

⟨x|e

−iHt

∫ |y⟩ =

Dx eiS[x]

zusammen. Dabei gelten die Randbedingung x(0) = y, x(t) = x, und Dx steht symbolisch f¨ ur ( m )N 2 Dx ≡ D[x(t)] = lim dx(t1 ) · · · · · dx(tN −1 ) . N →∞ 2πiε Es ist zu beachten, dass der Limes N → ∞ so gemeint ist, dass er immer erst nach Ausf¨ uhrung der Integrationen zu bilden ist. Das obige Integral geht u ¨ber alle Wege von y nach x und ist das gesuchte Pfadintegral. Es ist offensichtlich unendlichdimensional. Man spricht auch von einem Funktionalintegral, da u ¨ber eine Menge von Funktionen integriert wird. Das besondere an dieser Darstellung der quantenmechanischen Amplitude ist, dass in ihr keine Operatoren vorkommen. Der Integrand enth¨alt die klassische Wirkung f¨ ur den jeweiligen Pfad. Zur Erinnerung sei ein Exkurs zur klassischen Mechanik eingeschoben. Generell ist die Wirkung als Integral u ¨ber die Lagrangefunktion gegeben: ∫ S[x] = dt′ L((x(t′ ), x(t ˙ ′ )) .

24.1 Grundkurs Pfadintegrale

367

In unserem Fall ist

m 2 x˙ − V (x) . 2 Die tats¨achlich durchlaufene klassische Bahn gen¨ ugt dem Hamilton’schen Prinzip: S ist station¨ar bei vorgegebenem x(0) und x(t): L=

δS[x] = 0 . Zur Auswertung des Prinzips betrachten wir eine Variation x(s) → x(s) + δx(s)

mit

δx(0) = δx(t) = 0 .

Die daraus resultierende Variation der Wirkung ist } ∫ t { ∂L ∂L δS[x] = ds δx(s) + δ x(s) ˙ ∂x ∂ x˙ 0 ( ) } ∫ t { d ∂L ∂L δx(s) − δx(s) = ds ∂x dt ∂ x˙ 0 ( ) } ∫ t { d ∂L ∂L = ds − + δx(s) . dt ∂ x˙ ∂x 0 Der letzte Ausdruck verschwindet f¨ ur alle Variationen δx(s), wenn der Faktor davor verschwindet. Also gilt d ∂L ∂L − = 0, dt ∂ x˙ ∂x was wir als Euler-Lagrange-Gleichung wiedererkennen. F¨ ur das Teilchen im Potenzial lautet sie ∂V m¨ x+ = 0. ∂x Den Unterschied zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik k¨ onnen wir in folgender Weise charakterisieren: • In der klassischen Mechanik gilt: Der Weg, der tats¨achlich durchlaufen wird, erf¨ ullt δS = 0. • Quantenmechanisch hingegen spielen alle Wege eine Rolle, indem sie ¨ zur Ubergangsamplitude beitragen.

klassisch y

x

368

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik

In diesem Zusammenhang ist es n¨ utzlich, den Begriff der Funktionalableitung δF/δx(s) einzuf¨ uhren, die das Gegenst¨ uck zur Funktionalintegration ist. Gegeben sei ein Funktional F [x], welches von Funktionen x(s) abh¨angt. Dann ist die Funktionalableitung definiert durch die Beziehung ∫ δF δx(s) . δF [x] = ds δx(s) Dies ist analog zum Differenzial df =

∑ ∂f dxi ∂xi i

in der endlichdimensionalen Analysis. Alternativ kann man die Definition ∫ 1 δF lim {F [x + εh] − F [x]} = ds h(s) ε→0 ε δx(s) w¨ahlen. Mit der Definition der Funktionalableitung gilt f¨ ur die Wirkung ( ) δS d ∂L(x(s), x(s)) ˙ ∂L(x(s), x(s)) ˙ =− + = −m¨ x(s) − V ′ (x(s)) δx(s) dt ∂ x˙ ∂x und das Hamilton’sche Prinzip kann als δS =0 δx(s) geschrieben werden. ¨ Zum Uben der funktionalen Differenziation noch ein paar typische Beispiele: ∫ δF F [x] = ds f (s) x(s) ⇒ = f (s) δx(s) ∫ ∫ δF F [x] = ds du f (s, u) x(s) x(u) ⇒ = du x(u) {f (s, u) + f (u, s)} δx(s) δF F [x] = x(a) ⇒ = δ(s − a) . δx(s) Zum Schluss dieses Abschnittes wollen wir das Pfadintegral auf die Quantenmechanik eines Teilchens in drei r¨aumlichen Dimensionen verallgemeinern. Der Hamiltonoperator des freien Teilchens lautet H0 =

P⃗ 2 2m

24.1 Grundkurs Pfadintegrale

369

¨ und die entsprechende Ubergangsamplitude ⟨⃗x|e

−iH0 t

∫ |⃗y ⟩ =

3 ∫ 2 d3 p i⃗p·(⃗x−⃗y) −i p⃗ 2 t ∏ dpj ipj (xj −yj ) −i pj t 2m 2m = e e e e (2π)3 2π j=1

¨ ist das Produkt der drei eindimensionalen Ubergangsamplituden, die wir oben berechnet haben. Dies gibt ⟨⃗x|e−iH0 t |⃗y ⟩ =

( m )3 m 2 2 ei 2t (⃗x−⃗y) . 2πi t

Mit einem zus¨ atzlichen Potenzial V (⃗x ) geht die Rechnung ganz analog wie oben und am Ende erhalten wir ein Pfadintegral ∫ −iHt ⟨⃗x|e |⃗y ⟩ = Dx eiS , in dem nun u ¨ber ∫ alle r¨aumlichen Wege von ⃗y nach ⃗x integriert wird. In der Wirkung S = L dt steht die Lagrangefunktion L=

m ˙2 ⃗x − V (⃗x ) . 2

¨ Ubungen 1. Betrachten Sie ein Teilchen der Masse m, welches sich vertikal in einem homogenen Schwerefeld mit Gravitationsbeschleunigung g bewegt. Die Bahn z(t) des Teilchens soll den Randbedingungen z(0 s) = 0 m und z(1 s) = 1 m gen¨ ugen. a) Berechnen Sie die Wirkung S f¨ ur die folgenden hypothetischen Bahnformen • z(t) = z0 + z1 t − g2 t2 • z(t) = A sin(ωt) • z(t) = z0 + z1 t b) Berechnen Sie f¨ ur die Teilchenbahnen aus (a) jeweils die Energie als Funktion der Zeit. Was f¨ allt Ihnen auf? 2. Beugung am Spalt Eine Spaltblende befinde sich in der y-z-Ebene und der vertikale Spalt habe die Breite b. Eine Teilchenquelle befinde sich im Abstand d vor dem Spalt am Ort ⃗rQ . Hinter dem Spalt befinde sich im Abstand d ein Schirm.

370

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik a) Betrachten Sie Pfade, die aus zwei geraden St¨ ucken bestehen, von denen das erste von der Quelle am Ort ⃗rQ bis in die Spaltebene und das zweite von dort aus zum Ort ⃗rS auf dem Schirm verl¨ auft. Welche Pfade aus dieser Menge maximieren die Wirkung S bei vorgegebener Gesamtzeit T ? b) Nehmen Sie an, dass d sehr viel gr¨ oßer als die Distanzen in y- und z-Richtung ist, so dass die Zeitabschnitte f¨ ur die beiden Pfadst¨ ucke jeweils T /2 sind. Be¨ rechnen Sie die Ubergangsamplitude f¨ ur den Durchgang von Teilchen durch den Spalt approximativ in dieser N¨ aherung, indem Sie im Pfadintegral nur Pfade vom oben diskutierten Typ ber¨ ucksichtigten. Hinweis: Verwenden Sie die Fresnel-Integrale ∫ x ∫ x (π ) (π ) . . dt cos2 S(x) = dt sin2 t2 , C(x) = t2 . 2 2 0 0

24.1.3 Harmonischer Oszillator Was bei den Eissorten die Vanille“ ist, ist bei den Modellen der theoreti” schen Physik der harmonische Oszillator. Man greift immer gerne auf ihn zur¨ uck. Der Grund daf¨ ur liegt einerseits darin, dass er h¨aufig in N¨aherungen auftritt, und andererseits in seiner exakten L¨osbarkeit. Wir wollen nun die Bildung von Pfadintegralen am harmonischen Oszillator erproben. F¨ ur den harmonischen Oszillator lautet die Lagrangefunktion L=

m 2 mω 2 2 x˙ − x 2 2

und ihr Integral liefert die Wirkung ∫ S=

L dt .

Wie wir gerade gelernt haben, folgt die Bewegungsgleichung durch Funktionaldifferenziation der Wirkung: −

δS = m¨ x(t) + mω 2 x(t) = 0 . δx(t)

Sei xc (t) L¨osung der Bewegungsgleichung mit Randbedingungen xc (ta ) = xa ,

xc (tb ) = xb .

Wir zerlegen einen beliebigen Pfad x(t) in der Form x(t) = xc (t) + y(t) ,

24.1 Grundkurs Pfadintegrale

371

wobei die Funktion y(t) die Randbedingungen y(ta ) = y(tb ) = 0 erf¨ ullt. Die Wirkung f¨ ur den Pfad x(t) l¨asst sich nun ausdr¨ ucken als ∫ tb ∫ ∫ δS[xc ] δ 2 S[xc ] 1 tb tb dt dt dt′ S[x] = S[xc ] + y(t) + y(t) y(t′ ) . δx(t) 2 ta ta δx(t) δx(t′ ) ta Da xc (t) die Bewegungsgleichung erf¨ ullt, verschwindet die erste funktionale Ableitung δS[xc ] = 0. δx(t) F¨ ur die zweite funktionale Ableitung gilt d2 δ2S = −m δ(t − t′ ) − mω 2 δ(t − t′ ) = −m δx(t) δx(t′ ) dt2

(

) d2 2 + ω δ(t − t′ ) dt2

und wir erhalten S[x] = S[xc ] +

m 2

∫

tb

dt (y˙ 2 − ω 2 y 2 ) = S[xc ] + S[y] .

ta

¨ Dieses sch¨one Zwischenergebnis nutzen wir f¨ ur die Berechnung der Ubergangsamplitude ∫ ∫ . iS[x] iS[xc ] K(xb , tb ; xa , ta ) = Dx e =e Dy eiS[y] . y(ta ) = 0 y(tb ) = 0

Die Abh¨angigkeit der Amplitude von den Randpunkten xa und xb steckt alleine in der Wirkung S[xc ] der klassischen L¨osung xc (t). Um sie zu berechnen, ben¨otigen wir die L¨osung explizit. Die L¨osung der Schwingungsgleichung lautet ja allgemein xc (t) = A sin ωt + B cos ωt und durch Anpassen der Randbedingungen erhalten wir die Koeffizienten A und B mit dem Resultat xc (t) =

1 [(xb cos ωta −xa cos ωtb ) sin ωt+(xa sin ωtb −xb sin ωta ) cos ωt] sin ωT

mit T = tb − ta . Einsetzen in die Lagrangefunktion und Integration liefert S[xc ] =

mω [(xb 2 + xa2 ) cos ωT − 2xa xb ] . 2 sin ωT

372

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik

F¨ ur die vollst¨andige Berechnung der Amplitude ist noch das verbleibende Funktionalintegral ∫ F (T ) = Dy eiS[y] = K(0, T ; 0, 0) zu bestimmen. Durch partielle Integration formen wir die Wirkung um zu ( ) ∫ m T d2 2 S[y] = dt y(t) − 2 − ω y(t) . 2 0 dt Dies ist eine quadratische Form in y und das Funktionalintegral ist also ein Gauß’sches Integral. Wir werden es jetzt mit Hilfe der Fouriertransformation berechnen. 2

d 2 Die Eigenfunktionen des Operators − dt 2 − ω auf Funktionen mit Randbedingungen y(0) = y(T ) = 0 lauten √ 2 nπt sin , n = 1, 2, 3, . . . yn (t) = T T

Sie bilden ein vollst¨andiges Orthonormalsystem: ∫ T dt yn (t) ym (t) = δn,m . 0

Die Eigenwerte λn lesen wir ab aus ( ) ( 2 2 ) d2 n π 2 − 2 − ω 2 yn (t) = − ω yn (t) ≡ λn yn (t) . dt T2 Zerlegen wir die Funktion y(t) nach den yn (t), y(t) =

∞ ∑

an yn (t) ,

n=1

so folgt f¨ ur die Wirkung ∞

S[y] =

m∑ λn an2 . 2 n=1

Das Integrationsmaß lautet in den Variablen an ausgedr¨ uckt Dy = J

∞ ∏ n=1

dan ,

24.1 Grundkurs Pfadintegrale

373

wobei J eine Konstante ist, die wir hier nicht berechnen. Jetzt nimmt das Funktionalintegral die Gestalt eines Produktes vieler eindimensionaler Gaußintegrale an, die wir ausf¨ uhren k¨ onnen: ∫ ∫ ∏ ∞ ∞ ∫ ∏ m ∑ m 2 2 Dy eiS[y] = J dan ei 2 n λn an = J dan ei 2 λn an n=1

n=1

∞ [ ∏ m ]− 21 λn . =J 2πi n=1

Um uns mit der Konstanten J nicht weiter herumschlagen zu m¨ ussen, greifen wir zu einem billigen Trick. F¨ ur ω = 0 geht der harmonische Oszillator n¨amlich in das freie Teilchen u ¨ber. Dessen Amplitude kennen wir aber schon: ( m )1 2 . F0 (T ) = 2πiT Die zugeh¨origen Eigenwerte sind λ(0) n =

n2 π 2 . T2

Das Verh¨altnis F (T )/F0 (T ) k¨onnen wir berechnen: ]− 1 [ )− 21 ( ) 1 ∞ ( ∞ 2 ∏ ∏ F (T ) sin ωT − 2 λn ω2T 2 = = 1− 2 2 = . (0) F0 (T ) n π ωT n=1 n=1 λn Damit ist

)1 mω 2 2πi sin ωT ¨ und wir k¨onnen das Endergebnis f¨ ur die Ubergangsamplitude hinschreiben: F (T ) =

(

K(xb , tb ; xa , ta ) ( { mω )1 } mω 2 = exp i [(x2b + x2a ) cos ωT − 2xa xb ] . 2πi sin ωT 2 sin ωT Dies ist die sogenannte Mehlerformel . Aus ihr kann man u.a. auch das Spektrum des Hamiltonoperators erhalten. Dazu betrachten wir ω ∫ ∞ 1 e−i 2 T Sp(e−iHT ) = dx K(x, T ; x, 0) = = 2i sin ω2 T 1 − e−iωT −∞ ∞ ∑ 1 = e−iω(n+ 2 )T . n=0

374

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik

Da nun aber Sp(e−iHT ) =

∑

e−iEn T

n

ist, folgt durch Vergleich ( ) 1 En = ω n + . 2 F¨ ur diejenigen, die sich jetzt wundern, sei daran erinnert, dass wir ℏ = 1 gesetzt haben. Mit mehr Aufwand bekommt man auch die Wellenfunktionen aus der Mehlerformel aufgrund von K(xb , T ; xa , 0) =

∑

⟨xb |n⟩⟨n|xa ⟩ e−iEn T ,

n

das will ich Ihnen jedoch ersparen.

¨ Ubungen Ein Teilchen in einer Dimension in einem homogenen Schwerefeld wird durch die Lagran¨ gefunktion L = m x˙ 2 − mgx beschrieben. Berechnen Sie die Ubergangsamplitude durch 2 Entwicklung um den klassischen Pfad.

24.1.4 Aharonov-Bohm-Effekt Den Aharonov-Bohm-Effekt sollten Sie unbedingt kennen lernen, denn in ihm manifestiert sich ein recht eigenartiger Unterschied zwischen klassischer Physik und Quantenphysik. Es geht dabei um die Bewegung geladener Teilchen in der N¨ahe eines a¨ußeren Magnetfeldes. Der Effekt wurde von D. Bohm und Y. Aharonov 1959 vorhergesagt. Die Diskussion des Aharonov-Bohm-Effektes l¨asst sich vorteilhaft mit Hilfe von Pfadintegralen f¨ uhren, weshalb sie gut in dieses Kapitel passt. Warum habe ich oben in der N¨ahe eines Magnetfeldes“ gesagt und nicht ” in einem Magnetfeld“? Die Antwort ergibt sich aus dem Versuchsaufbau, ” den wir uns jetzt ansehen.

24.1 Grundkurs Pfadintegrale

375 xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx

B=0

xxxx xxxx xxxx xxxx

xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx

B=0

Elektronen werden von einer Quelle ausgesandt und durch einen Doppelspalt auf einen dahinter befindlichen Schirm geschickt, so wie Sie es schon kennen. Auf der R¨ uckseite des Doppelspaltes wird zwischen den beiden Spalten und parallel zu ihnen eine Spule angebracht. Diese soll im Vergleich zum Spaltabstand so d¨ unn sein, dass die Wellenfunktion der Elektronen nicht in das Innere der Spule eindringt. Dies ist nat¨ urlich eine Idealisierung, aber einerseits kann sie im tats¨achlichen Experiment recht gut angen¨ahert werden, andererseits spielt es f¨ ur das Verst¨andnis des Effektes keine zentrale Rolle, wenn sie nicht v¨ollig erf¨ ullt ist. Zun¨achst fließe kein Strom durch die Spule. F¨ uhrt man den Doppelspaltversuch aus, so erzeugen die Elektronen auf dem Schirm ein Interferenzmuster. Nun werde der Spulenstrom eingeschaltet, so dass im Inneren der Spule ⃗ ̸= 0 parallel zur Spule herrscht, w¨ahrend der Außenraum ein Magnetfeld B feldfrei bleibt. Wiederholt man jetzt den Doppelspaltversuch, so zeigt sich wiederum ein Interferenzmuster, das sich jedoch gegen¨ uber dem vorigen ge¨andert hat. Das ist sehr u ¨berraschend, denn die Elektronen bewegen sich ⃗ = 0 verschwindet. Dies ist der nur in Bereichen, in denen das Magnetfeld B Aharonov-Bohm-Effekt. Im Rahmen der klassischen Physik kann das Magnetfeld im Inneren der Spule keinen Einfluss auf Teilchen haben, die sich nur im Außenraum bewegen. Dies folgt aus der klassischen Bewegungsgleichung ⃗. m ⃗r¨ = e ⃗r˙ × B

376

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik

Was ist anders in der Quantenphysik? Gibt es hier eine Fernwirkung des Magnetfeldes? Wodurch wird die Wellenfunktion beeinflusst? ⃗ durch ein Vektorpotenzial A ⃗ in der Wie Sie wissen, kann die Feldst¨arke B Form ⃗ =∇×A ⃗ B ⃗ im Außenraum null, dargestellt werden. F¨ ur die Spule ist zwar das Feld B ⃗ jedoch verschwindet das Vektorpotenzial A dort nicht, beispielsweise kann man ⃗ r) = Φ (−y, x) A(⃗ 2π x2 + y 2 ⃗ einen Einfluss auf die Elekw¨ahlen. K¨onnte vielleicht das Vektorpotenzial A tronen im Außenraum aus¨ uben? Dagegen kann man einwenden, dass das Vektorpotenzial ja von der gew¨ahlten Eichung abh¨angt und daher unphysikalisch ist. ¨ Um diese Frage zu kl¨aren, betrachten wir die Ubergangsamplitude ⟨⃗x, t1 |⃗y , t0 ⟩ des Elektrons von der Quelle bei ⃗y zu einem Ort ⃗x auf ∫ t1dem Schirm. In das entsprechende Pfadintegral geht die Wirkung S = t0 L dt ein. Die Lagrangefunktion lautet L=

m ˙2 ⃗ r ) = L0 + e ⃗r˙ · A(⃗ ⃗ r) ⃗r + e ⃗r˙ · A(⃗ 2

und f¨ ur die Wirkung folgt ∫

t1

S = S0 + e

⃗ r(t)) · ⃗r˙ (t) dt = S0 + e A(⃗

t0

∫

⃗ x

⃗ r ) · d⃗r . A(⃗

⃗ y

Es seien Ca und Cb zwei Wege von ⃗y nach ⃗x, die links an der Spule vorbei gehen. Wir wollen sie vom Typ 1 nennen.

Cb F1 Ca y

xxx xxx xxx

x

24.1 Grundkurs Pfadintegrale F¨ ur sie gilt ∫ ∫ ⃗ · d⃗r = ⃗ · d⃗r − A A

⃗ · d⃗r = A

Ca −Cb

Cb

Ca

∮

377

∫

⃗ · df⃗ = (∇ × A)

∫

⃗ · df⃗ = 0 , B

F1

F1

wobei F1 eine Fl¨ache zwischen Ca und Cb im feldfreien Raum ∫ ist. Daraus . ⃗ · d⃗r = folgt, dass f¨ ur alle Wege C1 vom Typ 1 das Linienintegral C1 A α1 ∫ . ⃗ den gleichen Wert α1 besitzt. Ebenso ist C2 A · d⃗r = α2 konstant f¨ ur alle Wege vom Typ 2, die rechts an der Spule vorbei gehen.

(1)

xxx xxx xxx

y

x

(2)

¨ Das Pfadintegral f¨ ur die Ubergangsamplitude zerlegen wir in die Beitr¨age der Wege vom Typ 1 und vom Typ 2: ∫ ∫ (1) ∫ (2) iS iS ⟨⃗x, t1 |⃗y , t0 ⟩ = Dx e = Dx e + Dx eiS . Dabei gilt ∫

(1)

Dx e ∫

iS

Dx e

(1)

∫

(2)

=

(2) iS

∫

=

. Dx eiS0 eieα1 = K1 eieα1 , . Dx eiS0 eieα2 = K2 eieα2 ,

und demzufolge ⟨⃗x, t1 |⃗y , t0 ⟩ = K1 eieα1 + K2 eieα2 = eieα1 (K1 + K2 eie(α2 −α1 ) ) . F¨ ur das Interferenzmuster ist der Betrag der Amplitude maßgeblich. Dieser h¨angt nach der vorigen Formel ab von ∫ ∫ ∮ ∫ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ · df⃗ = Φ . α2 − α1 = A · d⃗r − A · d⃗r = A · d⃗r = B C2

C1

C2 −C1

F

378

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik

− C1

y

xxx xxx xxx

x

C2

Φ ist gleich dem magnetischen Fluss durch die Spule. Es gilt also |⟨⃗x, t1 |⃗y , t0 ⟩| = |K1 + K2 eieΦ | . Wir haben somit gefunden, dass das Interferenzmuster vom magnetischen ∮ ⃗ · d⃗r abh¨angt. Dieser Ausdruck kann zwar mit dem eichFluss Φ = A abh¨angigen Vektorpotenzial im feldfreien Raum gebildet werden, ist als geschlossenes Linienintegral aber eichinvariant und hat eine physikalische Bedeutung. Wenn Sie aufmerksam waren, werden Sie bemerkt haben, dass es noch andere Typen von Wegen gibt, n¨amlich solche, die mehrfach um die Spule herum laufen. Ihr Beitrag ist klein, aber wenn man sie mit ber¨ ucksichtigt, ¨ wird der obige Ausdruck f¨ ur die Ubergangsamplitude verallgemeinert zu ⏐ ⏐ ⏐∑ ⏐ ineΦ ⏐ ⏐ |⟨⃗x, t1 |⃗y , t0 ⟩| = ⏐ Kn e ⏐. n∈Z

¨ Ubrigens, wenn der Fluss so eingestellt wird, dass (e/ℏ)Φ = 2kπ , k ∈ Z, gilt, ist das Interferenzmuster gleich demjenigen bei ausgeschaltetem Magnetfeld. Die Vorhersagen der Quantentheorie f¨ ur den Aharonov-Bohm-Effekt sind experimentell best¨atigt worden. Die Schlussfolgerung dieses Abschnitts k¨onnen wir so formulieren: Das Elektron wird auch dann beeinflusst, wenn es sich im feldfreien Raum bewegt. ⃗ r ), aber nur u Es sp¨ urt das ∮Vektorpotenzial A(⃗ ¨ber die eichinvarianten Li⃗ · d⃗r. nienintegrale A

24.2 Aufbaukurs Pfadintegrale

379

24.2 Aufbaukurs Pfadintegrale Im Folgenden werden ein paar weiterf¨ uhrende Themen behandelt, die f¨ ur Sie interessant sein k¨onnen, wenn Sie sich vertieft mit Pfadintegralen und deren Berechnung und Anwendung besch¨aftigen m¨ochten. 24.2.1 Euklidisches Pfadintegral Wir wenden uns nun einem Formalismus zu, mit dem es m¨oglich ist, Erwartungswerte im Grundzustand, d.h. Gr¨oßen der Art ⟨0|A|0⟩ zu berechnen. Warum ist man daran interessiert? • Sie liefern Informationen u ¨ber Eigenschaften des Grundzustandes. • F¨ ur den harmonischen Oszillator kann man alle Erwartungswerte durch Umformulierung in Grundzustands-Erwartungswerte berechnen: ⟨n|B|m⟩ ∼ ⟨0|an B(a+ )m |0⟩. • In der Quantenfeldtheorie liefern die Erwartungswerte ⟨0| . . . |0⟩ im Grundzustand (dem Vakuum) die S-Matrix, das Spektrum und im Prinzip u ¨berhaupt alles. ¨ Der Trick, den man benutzt, besteht in einem Ubergang zu imagin¨aren Zeiten, der Wickrotation: t = e−iα τ ,

τ ∈ R,

0 0, denn dann ist e−Hτ ein wohldefinierter, positiver, beschr¨ankter Operator. Das Pfadintegral ist entsprechend zu modifizieren. Wenn man unsere fr¨ uhere Rechnung zur Herleitung des Pfadintegrals wiederholt, aber diesmal mit e−Hτ anstelle von e−iHt , erh¨alt man auf ganz ¨ahnliche Weise ( m )N ∫ 2 dx1 · · · dxN −1 ⟨x|e−Hτ |y⟩ = lim N →∞ 2πε [( { ) ( ) ] xN −1 − y 2 x − x1 2 m + ··· + exp −ε 2 ε ε [ ]} 1 1 −ε V (x) + V (x1 ) + · · · + V (xN −1 ) + V (y) . 2 2 Dieses euklidische Pfadintegral schreiben wir als

⟨x|e

wobei

−Hτ

∫ SE =

∫ |y⟩ =

τ

dτ ′

0

(m 2

Dx e−SE [x] ,

) x˙ 2 + V (x(τ ′ ))

die sogenannte euklidische Wirkung ist. Sie h¨angt mit der urspr¨ unglichen Wirkung durch ⏐ ⏐ SE = −iS ⏐ t=−iτ

zusammen. Das euklidische Pfadintegral erfreut sich folgender Vorz¨ uge: • Das Pfadintegral ist reell!

24.2 Aufbaukurs Pfadintegrale

381

• Der Faktor e−SE unterdr¨ uckt stark oszillierende Wege. • Damit h¨ angt zusammen, dass das euklidische Pfadintegral mathematisch besser unter Kontrolle ist; f¨ ur V = 0 entspricht es dem wohldefinierten Wienermaß“. ” Wie man der obigen Formel mit diskretisierter Zeit ε ansehen kann, ist das √ ur ε → 0, d. h. die Wege Maß konzentriert auf Wegen mit |xk+1 −xk | ∼ ε f¨ sind stetig, aber nicht notwendig differenzierbar. Sie besitzen die fraktale Dimension 12 . Wenden wir uns nun den Erwartungswerten zu. Die Amplitude τ τ τ τ ⟨x, |A|y, − ⟩ = ⟨x|e−H 2 A e−H 2 |y⟩ 2 2 ∑ τ τ = ⟨x|n⟩⟨n|A|m⟩⟨m|y⟩ e−En 2 e−Em 2 n,m

geht im Limes τ → ∞ u ¨ber in ⟨x|0⟩⟨0|y⟩ e−E0 τ ⟨0|A|0⟩{1 + O(e−cτ )} und in analoger Weise f¨ ur A = 1 τ τ ∼ ⟨x|0⟩⟨0|y⟩ e−E0 τ {1 + O(e−cτ )} . ⟨x, |y, − ⟩ τ →∞ 2 2 Dividieren wir diese Ausdr¨ ucke durcheinander, so erhalten wir ⟨x, τ2 |A|y, − τ2 ⟩ . τ →∞ ⟨x, τ |y, − τ ⟩ 2 2

⟨0|A|0⟩ = lim

Bemerkung: Alternativ kann man auch y = x setzen und dann u ¨ber x integrieren mit dem Ergebnis Sp(e−Hτ A) = e−E0 τ ⟨0|A|0⟩{1 + O(e−cτ )} , so dass man

Sp(e−Hτ A) ) τ →∞ Sp(e−Hτ ) erh¨alt. Dies zeigt, dass die Randbedingungen unwesentlich sind; ihr Einfluss k¨ urzt sich heraus. ⟨0|A|0⟩ = lim

Die Formel f¨ ur den Grundzustands-Erwartungswert schreiben wir nun in Form eines euklidischen Pfadintegrals. Dabei beginnen wir mit einem konkreten Fall f¨ ur die Observable, n¨amlich dem Produkt zweier Ortsoperatoren.

382

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik

24.2.2 Green’sche Funktionen Die Funktion ⟨0|Q(t1 ) Q(t2 )|0⟩ ,

mit

t1 > t2 ,

wird als Green’sche Funktion bezeichnet. Mit Q(t) = eiHt Q e−iHt k¨onnen wir sie als ⟨0|eiE0 t1 Q e−iH(t1 −t2 ) Q e−iE0 t2 |0⟩ umschreiben. Die Fortsetzung ins Euklidische, t = −iτ , τ ∈ R, τ1 > τ2 , macht daraus ⟨0|eE0 τ1 Q e−H(τ1 −τ2 ) Q e−E0 τ2 |0⟩ τ τ 1 ⟨x|e−H( 2 −τ1 ) Q e−H(τ1 −τ2 ) Q e−H(τ2 + 2 ) |y⟩ = lim τ →∞ Z(τ ) mit Z(τ ) = ⟨x|e−Hτ |y⟩. F¨ ur das Matrixelement leiten wir wie fr¨ uher eine Pfadintegraldarstellung her, wobei wir beachten m¨ ussen, dass bei den Zeiten τ1 und τ2 jeweils ein Faktor Q steht, der im Pfadintegral zu einem zugeh¨origen Faktor x(τ ) Anlass gibt.

-

τ

Q

Q

τ2

τ1

τ

2

2

Auf diese Weise resultiert τ

τ

⟨x|e−H ( 2 −τ1 ) Q e−H(τ1 −τ2 ) Q e−H (τ2 + 2 ) |y⟩ =

∫

Dx x(τ1 ) x(τ2 ) e−SE [x] ,

] [ wobei u ¨ber Pfade x(τ ′ ) mit τ ′ ∈ − τ2 , τ2 integriert wird.

24.2 Aufbaukurs Pfadintegrale

383

Bis hierhin lautet das Ergebnis: 1 ⟨0|Q(τ1 ) Q(τ2 )|0⟩ = lim τ →∞ Z(τ )

∫

Dx x(τ1 ) x(τ2 ) e−SE [x]

f¨ ur τ1 ≥ τ2 .

Die rechte Seite ist offensichtlich symmetrisch unter der Vertauschung τ1 ↔ τ2 , die linke Seite aber nicht, denn dort muss τ1 ≥ τ2 sein. Wir beheben diesen Sch¨onheitsfehler durch Einf¨ uhrung der Zeitordnung . T Q(τ1 ) Q(τ2 ) =

{ Q(τ1 ) Q(τ2 ), Q(τ2 ) Q(τ1 ),

τ1 ≥ τ2 τ2 ≥ τ1 .

Damit k¨onnen wir unser Ergebnis schreiben als

1 τ →∞ Z(τ )

⟨0|T Q(τ1 ) Q(τ2 )|0⟩ = lim

∫

Dx x(τ1 ) x(τ2 ) e−SE [x] ,

wobei ∫ Z(τ ) =

Dx e−SE [x] .

Wie oben schon bemerkt, ist die Wahl der Randbedingungen x, y f¨ ur die Pfade im Limes τ → ∞ irrelevant. Durch analytische Fortsetzung zur¨ uck zur reellen Zeiten, t = e−iα τ , α → 0,

t

kann man die Green’sche Funktion ⟨0|T Q(t1 ) Q(t2 )|0⟩ und entsprechend die h¨oheren Funktionen ⟨0|T Q(t1 ) · · · Q(tn )|0⟩ gewinnen.

384

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik

24.2.3 Erzeugende Funktionale Die Handhabung der Green’schen Funktionen und ihre Berechnung wird durch Benutzung von erzeugenden Funktionalen erleichtert. Dieses n¨ utzliche Instrument wird auch in der Feldtheorie ¨außerst Gewinn bringend eingesetzt. Wir definieren das erzeugende Funktional der euklidischen Green’schen Funktionen durch ∫ ∞ ∑ 1 dτ1 · · · dτn ⟨0|T Q(τ1 ) · · · Q(τn )|0⟩ j(τ1 ) · · · j(τn ) n! n=0 ∫ = 1 + dτ ⟨0|Q(τ )|0⟩ j(τ ) ∫ 1 dτ1 dτ2 ⟨0|T Q(τ1 ) Q(τ2 )|0⟩ j(τ1 ) j(τ2 ) + · · · + 2 (∫ ) = ⟨0|T exp dτ Q(τ ) j(τ ) |0⟩ .

ZE [j] =

In ihm sind die Green’schen Funktionen als Koeffizienten der Quellen j(τi ) enthalten. Sie k¨onnen durch funktionale Ableitung wieder zur¨ uckgewonnen werden: ⏐ ⏐ δ n ZE [j] ⏐ ⟨0|T Q(τ1 ) · · · Q(τn )|0⟩ = ⏐ . δj(τ1 ) · · · δj(τn ) ⏐ j=0

Dies erkl¨art den Namen erzeugendes Funktional“. Ausgedr¨ uckt durch ” Pfadintegrale schreibt es sich ∫ ZE [j] =

∫

Dx e−SE + dτ j(τ ) x(τ ) ∫ . Dx e−SE

Erg¨anzend seien noch die entsprechenden Formeln f¨ ur reelle Zeiten angegeben: ∫ ∫ iS+i dt j(t) x(t) ∫ Dx e ∫ Z[j] = ⟨0|T ei dt Q(t) j(t) |0⟩ = Dx eiS ⏐ ⏐ 1 δ n Z[j] ⏐ ⟨0|T Q(t1 ) · · · Q(t2 )|0⟩ = n ⏐ i δj(t1 ) · · · δj(tn ) ⏐

. j=0

24.2 Aufbaukurs Pfadintegrale

385

24.2.4 Harmonischer Oszillator II Am konkreten Beispiel des harmonischen Oszillators soll nun die Berechnung der erzeugenden Funktionale ZE [j] bzw. Z[j] durch Pfadintegrale vorgef¨ uhrt werden. Zur euklidischen Wirkung { } ) ( ∫ ∫ m 2 mω 2 2 m d2 2 SE = dτ x˙ + x = dτ x(τ ) − 2 + ω x(τ ) 2 2 2 dτ addieren wir den Quellenterm und erhalten ) ( ∫ ∫ m d2 2 SE [x, j] = dτ x(τ ) − 2 + ω x(τ ) − dτ j(τ ) x(τ ) . 2 dτ Das zu berechnende Pfadintegral ∫ Dx e−SE [x,j] ist ein Gauß’sches Integral. Wir berechnen es durch eine Entwicklung der Pfade um die klassische L¨osung. Als erstes bestimmen wir die klassische L¨osung mit ¨außerer Quelle. Die zu l¨osende Bewegungsgleichung lautet ( ) d2 δSE 2 = m − 2 + ω x(τ ) − j(τ ) . 0= δx(τ ) dτ Gesucht ist die L¨osung mit der Randbedingung x(τ ) → 0 f¨ ur τ → ±∞. Mit der Definition des Operators d2 . A = − 2 + ω2 dτ lautet die Bewegungsgleichung A·x=

1 j m

mit der offensichtlichen L¨osung x=

1 −1 A ·j. m

. Wir wollen es aber schon etwas mehr explizit. Dazu muss DE = −A−1 berechnet werden. Hier hilft uns wiederum die Fouriertransformation aus. Mit ∫ ∞ ∫ ∞ dν dν ˜ −iντ x(τ ) = x ˜(ν) e und j(τ ) = j(ν) e−iντ −∞ 2π −∞ 2π

386

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik

geht die Bewegungsgleichung u ¨ber in (ν 2 + ω 2 ) x ˜(ν) =

1 ˜ j(ν) m

und folglich ist x ˜(ν) =

1 1 ˜ j(ν) . 2 m ν + ω2

Jetzt ist es Zeit zur R¨ ucktransformation: ∫ ∫ ′ 1 dν ′ e−iν(τ −τ ) 1 dν e−iντ ˜ j(ν) = dτ j(τ ′ ) x(τ ) = m 2π ν 2 + ω 2 m 2π ν 2 + ω2 ∫ 1 . dτ ′ DE (τ − τ ′ ) j(τ ′ ) =− m mit ∫ DE (τ ) = −

dν e−iντ . 2π ν 2 + ω 2

DE ist die Green’sche Funktion zum Operator A und erf¨ ullt ) ( d2 2 − 2 + ω DE (τ ) = −δ(τ ) dτ bzw. in Operatorschreibweise A · DE = −1 . Die L¨osung x(τ ) ist eindeutig, da die homogene Gleichung nur die L¨osung x(τ ) = 0 hat, wenn die obigen Randbedingungen gefordert werden. Durch Ausf¨ uhren des Fourierintegrals erhalten wir einen expliziten Ausdruck f¨ ur DE . Hierzu greifen wir tief in unseren komplexen Werkzeugkasten und bringen den Residuensatz zum Einsatz. Der Integrand des zu berechnenden Integrals ∫ ∞ dν e−iντ −∞ 2π (ν + iω)(ν − iω) besitzt zwei komplexe Pole. Je nach dem Vorzeichen von τ kann das Integral in ein Kurvenintegral in der komplexen Ebene deformiert werden, das einen der beiden Pole einschließt, wie in der Zeichnung gezeigt.

24.2 Aufbaukurs Pfadintegrale

387

ν iω

- iω

Dies liefert ∞

dν e−iντ e−ωτ e ωτ = θ(τ ) + θ(−τ ) 2ω 2ω −∞ 2π (ν + iω)(ν − iω)

∫ und somit

DE (τ ) = −

1 −ω|τ | e . 2ω

Wenden wir uns wieder dem Pfadintegral ∫ ∫ Dx e−SE [x]+ dτ j(τ ) x(τ ) zu. Die Pfade werden zerlegt gem¨aß x(τ ) = xc (τ ) + y(τ )

mit

xc (τ ) = −

1 DE · j(τ ) . m

F¨ ur die Wirkung zieht das die Zerlegung ( ) ∫ d2 m 2 dτ y(τ ) − 2 + ω y(τ ) SE [x, j] = SE [xc , j] + 2 dτ nach sich, mit SE [xc , j] =

1 2m

∫ dτ dσ j(τ ) DE (τ − σ) j(σ) .

Eingesetzt in das Pfadintegral liefert dies ∫ ∫ ∫ m Dx e− 2 dτ x·Ax + dτ j(τ ) x(τ ) ∫ ∫ ∫ m 1 = Dy e− 2 dτ y·Ay e− 2m dτ dσ j(τ ) DE (τ −σ) j(σ)

388

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik

und damit das Endergebnis f¨ ur das erzeugende Funktional { } ∫ 1 ZE [j] = exp − dτ dσ j(τ ) DE (τ − σ) j(σ) . 2m Aus dem erzeugenden Funktional, das wir nun explizit kennen, folgen die Green’schen Funktionen durch Differenziation. Insbesondere finden wir 1 ⟨0|T Q(τ1 ) Q(τ2 )|0⟩ = − DE (τ1 − τ2 ) , m was die Bezeichnung Green’sche Funktion rechtfertigt. Zu guter Letzt gehen wir wieder zur¨ uck zu reellen Zeiten t = −i τ , und zwar durch Rotation in der komplexen t-Ebene im Gegenuhrzeigersinn.

t

Die entsprechende Green’sche Funktion besitzt die Fourierdarstellung ∫ ∞ dν e−iνt . D(t) = −i DE (it) = − , 2 2 −∞ 2π ν − ω wobei die Frequenz durch ν = iνE ∈ R entsprechend fortgesetzt wurde. Das Integral ist allerdings nicht eindeutig, denn es muss u ¨ber die Pole bei ±ω auf der reellen Achse integriert werden, und dies kann auf verschiedene Weisen geschehen. Anders ausgedr¨ uckt besitzt die definierende Differenzialgleichung f¨ ur D(t) ( ) d2 − 2 − ω 2 D(t) = −δ(t) dt mehrere L¨osungen. Genau eine von diesen wird jedoch durch den Vorgang der analytischen Fortsetzung ausgew¨ahlt. Diese kann so durchgef¨ uhrt werden, dass bei der Rotation von t im Gegenuhrzeigersinn gleichzeitig ν im Uhrzeigersinn rotiert wird, so dass νt immer reell bleibt. Dadurch ist festgelegt, dass an den Polen so vorbei integriert werden muss, wie in der Abbildung gezeigt ist.

24.2 Aufbaukurs Pfadintegrale

389

ν -ω

ω

Diese Vorschrift ist ¨aquivalent zur Hinzuf¨ ugung eines kleinen Imagin¨arteils zum Integranden gem¨aß ∫ e−iνt dν − 2π ν 2 − ω 2 + iε und anschließender Bildung des Limes ε → 0. F¨ ur t > 0 z. B. sieht der Integrationsweg so aus:

ν ω -ω

Erneute Benutzung des Residuensatzes mit sorgf¨altiger Beachtung der soeben gefundenen iε-Vorschrift f¨ uhrt zu D(t) =

] i [ i −iω|t| θ(t) e−iωt + θ(−t) eiωt = e . 2ω 2ω

Das erzeugende Funktional der Green’schen Funktionen bei reellen Zeiten ist { } ∫ i Z[j] = exp dt ds j(t) D(t − s) j(s) 2m

390

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik

und speziell gilt ⟨0|T Q(t1 ) Q(t2 )|0⟩ = −

i D(t1 − t2 ) . m

Damit genug vom einfachen harmonischen Oszillator.

¨ Ubungen 1. In der Integraldarstellung ∫ D(t) = −

∞

dν e−iνt , 2 2 −∞ 2π ν − ω

der Green’schen Funktion gibt es vier verschiedene M¨ oglichkeiten, an den Polen bei ±ω vorbei zu integrieren. Berechnen Sie die entsprechenden vier Funktionen und diskutieren Sie ihre Eigenschaften. 2. W¨ ahlen Sie zwei der in der vorigen Aufgabe gefundenen vier Green’schen Funktionen aus und bilden Sie deren Differenz D0 (t). Diese erf¨ ullt die homogene Differenzialgleichung ) ( d2 − 2 − ω 2 D0 (t) = 0. dt Welchem Integrationsweg in der komplexen ν-Ebene entspricht diese Funktion?

24.2.5 Systeme mit quadratischer Wirkung Die Ergebnisse des vorigen Abschnittes werden wir jetzt verallgemeinern auf beliebige Systeme, deren Wirkung S quadratisch in den Koordinaten q ist. Dazu geh¨oren u.a. der harmonischer Oszillator, Systeme harmonischer Oszillatoren, also gekoppelte Schwingungen, Gitterschwingungen und das freie elektromagnetische Feld. Insbesondere geh¨oren dazu auch die harmonischen N¨aherungen komplizierter Systeme, bei denen die Wirkung in der Umgebung bestimmter Konfigurationen bis zu quadratischen Termen entwickelt wird. Die Systeme mit quadratischer Wirkung sind von besonderem Interesse. Einerseits sind sie geschlossen und exakt l¨osbar. Andererseits sind sie relevant in zahlreichen physikalischen Zusammenh¨angen. Systeme mit quadratischer Wirkung sind auch bei der Approximation von Pfadintegralen von zentraler Bedeutung, denn sie treten bei der semiklassischen Approximation und in der St¨orungstheorie auf.

24.2 Aufbaukurs Pfadintegrale

391

Eine euklidische Wirkung, die quadratisch in ihren Koordinaten ist, schreiben wir in der Form 1 SE = (x, Ax) . 2 Speziell gilt ∫ 1 dτ dσ x(τ ) A(τ, σ) x(σ) SE = 2 f¨ ur quantenmechanische Systeme in einer Dimension. In dem schon behandelten Beispiel des harmonischen Oszillators ist ) ( ) ( d2 d2 2 2 A(τ, σ) = m − 2 + ω δ(τ − σ) . A=m − 2 +ω , dτ dτ F¨ ur die betrachteten Systeme ist das erzeugende Funktional der Green’schen Funktionen ∫ 1 1 ZE [j] = Dx e− 2 (x,Ax)+(j,x) Z mit . (j, x) = und

∫ Z=

∫ dτ j(τ ) x(τ ) 1

Dx e− 2 (x,Ax) .

Dies sind Gauß’sche Integrale, die wir berechnen k¨onnen. Dazu rekapitulieren wir einmal die endlichdimensionalen Gauß’schen Integrale. ¨ Zur Erinnerung: Uber R haben wir √ ∫ ∞ a

dx e− 2 x

2 +bx

−∞

=

2π b2 e 2a a

f¨ ur a > 0 .

Gehen wir zum Rn u ¨ber. Es sei x ∈ Rn , A = (Aij ) , i, j = 1, . . . , n, und es sei A reell, symmetrisch und positiv. Die quadratische Form im Exponenten der Gaußfunktion sei ∑ (x, Ax) = xi Aij xj . i,j

Dann gilt . Z=

∫

1

n

1

dn x e− 2 (x,A,x) = (2π) 2 (det A)− 2 .

392

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik

Beweis: Diagonalisiere A durch eine orthogonale Transformation ⎛ ⎞ λ1 0 ⎜ ⎟ .. SAS t = D = ⎝ ⎠. . 0

λn

Die Eigenwerte λi > 0 sind s¨amtlich positiv. Mit der Variablentransformation . y = S · x, dn x = | det S|−1 dn y = dn y folgt ∫ Z=

1

n

d ye

− 12

∑

2 i λi yi

=

) n ( ∏ 2π 2 i=1

λi

n

1

= (2π) 2 (det A)− 2 .

F¨ ur das endlichdimensionale Pendant zum erzeugenden Funktional gilt ∫ 1 1 −1 . 1 Z(j) = dn x e− 2 (x,Ax)+(j,x) = e 2 (j,A j) . Z Beweis: Definiere xc = A−1 j ,

x = xc + y

wie beim harmonischen Oszillator und finde 1 1 1 − (x, Ax) + (j, x) = − (y, A, y) + (j, A−1 j) 2 2 2 ∫ ∫ 1 1 1 1 −1 −1 dn x e− 2 (x,Ax)+(j,x) = dn y e− 2 (y,Ay) e 2 (j,A j) = Z e 2 (j,A j) . Nun betrachten wir das Pfadintegral. Angesichts der Tatsache, dass es sich um ein unendlichdimensionales Integral handelt, u ¨berkommt uns ein wenig Furcht hinsichtlich der Determinanten des Operators A. Gehen wir daher noch einmal zur¨ uck zur Herleitung des Pfadintegrals mittels Diskretisierung der Zeit. In der diskretisierten Form haben wir endlichdimensionale Integrale vom soeben betrachteten Typ und k¨onnen die Formel f¨ ur Z(j) anwenden. Hierin hat sich die Determinante det A gl¨ ucklicherweise herausgek¨ urzt. Wir k¨onnen daher f¨ ur diese Gr¨oße den Limes ε → 0 ohne Schwierigkeiten bilden und erhalten { ZE [j] = exp

1 (j, A−1 j) 2

} .

24.2 Aufbaukurs Pfadintegrale

393

F¨ uhren wir wieder DE = −A−1 und die Green’sche Funktion DE (τ, σ) ein, so liest sich das Ergebnis im Fall eines Freiheitsgrades } { ∫ 1 dτ dσ j(τ ) DE (τ, σ) j(σ) . ZE [j] = exp − 2

¨ Ubungen 1. Sei A eine n-dimensionale reelle, symmetrische und positive Matrix. Berechnen Sie ∫ ∫ 1 1 (x,Ax) n −1 2 ⟨O⟩ = mit Z = dn x e− 2 (x,Ax) d x Oe Z f¨ ur O = xi xj und O = xi xj xk xl . 2. Gelfand-Yaglom-Methode Die Gelfand-Yaglom-Methode gestattet die Berechnung der Determinanten von gewissen Differenzialoperatoren. Es seien Mi = −

d2 + Ui (t), dt2

i ∈ {1, 2}

zwei Differenzialoperatoren auf dem Raum von Funktionen y(t) u ¨ber dem Intervall 0 ≤ t ≤ T , welche die Randbedingungen y(0) = y(T ) = 0 erf¨ ullen. Das Spektrum der Eigenwerte von M1 und M2 sei diskret. Die Funktionen Ui (t) m¨ ussen auch gewisse Bedingungen erf¨ ullen, die hier aber nicht diskutiert werden sollen. Es seien nun f1 (t) und f2 (t) die L¨ osungen der Differenzialgleichungen Mi fi (t) = 0 mit den Anfangsbedingungen fi (0) = 0 und fi′ (0) = 1. Dann gilt f1 (T ) det M1 = . det M2 f2 (T ) Berechnen Sie mit der Gelfand-Yaglom-Methode die Gr¨ oße F (T )/F0 (T ) aus Abschnitt 24.1.3 f¨ ur den harmonischen Oszillator, indem Sie U1 = −ω 2 und U2 = 0 w¨ ahlen.

24.2.6 Beispiel: Energieaufspaltung Bevor wir uns im Formelverhau verirren, wollen wir ein physikalisches Anwendungsbeispiel f¨ ur die euklidischen Pfadintegrale betrachten. Das System besitze einen Freiheitsgrad und bewege sich in einem Doppelmuldenpotenzial. Als Beispiel w¨ahlen wir V (x) = λ(x2 − a2 )2 .

394

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik

V

x -a

a

Wir wollen annehmen, dass die Barriere hoch, d.h. λ groß ist. Dann entspricht das System approximativ zwei nichtgekoppelten Mulden.

V

x

Der Grundzustand |0⟩ besitzt eine symmetrische Wellenfunktion, die folgende Gestalt hat:

ψ

-a

a

x

Der erste angeregte Zustand |1⟩ ist antisymmetrisch und seine Wellenfunktion sieht ungef¨ahr so aus:

24.2 Aufbaukurs Pfadintegrale

395

ψ

-a a

x

Die Energien dieser Zust¨ande sind fast entartet, E0 ≈ E1 , und sind ungef¨ahr so groß, wie die Grundzustandsenergie der Einzelmulde. Wir definieren den Zustand 1 |+⟩ = √ (|0⟩ + |1⟩) , 2 dessen Wellenfunktion die Gestalt

ψ

a

x

besitzt, und entsprechend 1 |−⟩ = √ (|0⟩ − |1⟩) . 2

ψ

-a

x

396

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik

Die Energien E0 und E1 sind nicht exakt gleich. Der Tunneleffekt f¨ uhrt bei einer endlichen Barriere zu einer Energieaufspaltung ∆E = E1 − E0 > 0 . ¨ Sie ist gleich dem Ubergangsmatrixelement ∆E = −2⟨+|H|−⟩. Diese Energieaufspaltung ist eine physikalisch interessante Gr¨oße. Zum Beispiel existiert eine solche kleine Energiedifferenz zwischen den niedrigsten Eigenzust¨anden des Ammoniakmolek¨ uls, welches zwischen zwei verschiedenen Formen hin- und hertunneln kann. Diese Energieaufspaltung bildet die Grundlage f¨ ur den Ammoniakmaser. Die Energieaufspaltung l¨asst sich elegant mit Hilfe von euklidischen Pfadintegralen berechnen. Den Ausgangspunkt daf¨ ur bildet die Formel ∫ ∆E ≈ 2 Dx e−SE [x] , wobei die euklidische Wirkung die u ¨bliche ∫ {m } SE = dτ x˙ 2 + V (x(τ )) 2 ist, und u ¨ber alle Pfade integriert wird, welche die Randbedingungen ) ( ) ( T T = −a , x =a x − 2 2 erf¨ ullen und einen Nulldurchgang besitzen.

x -

T 2

a τ -a

T 2

24.2 Aufbaukurs Pfadintegrale

397

Am Schluss ist der Limes T → ∞ zu bilden. Den Beweis der Formel gebe ich hier nicht an, erw¨ahne aber, dass die Randbedingungen von den ¨ Zust¨anden |+⟩ und |−⟩ im Ubergangsmatrixelement stammen. Außerdem unterschlage ich eine genaue Diskussion der Details, z. B. der G¨ ultigkeit der Approximation. Stattdessen wollen wir uns der Berechnung des Pfadintegrals zuwenden. Semiklassische N¨ aherung: Das Pfadintegral ist nicht von Gauß’scher Natur und wir k¨onnen es nicht exakt berechnen. Wir werden daher eine semiklassische N¨aherung durchf¨ uhren, die uns auf ein Gauß’sches Integral f¨ uhrt. Die semiklassische N¨aherung besteht darin, dass ein Minimum von SE in Form einer klassischen L¨osung gesucht wird und f¨ ur die Abweichungen davon die quadratische N¨aherung gemacht wird. Minima von SE erf¨ ullen δSE = 0, δx(τ ) was nichts anderes ist als die klassische Bewegungsgleichung. Allerdings handelt es sich jetzt um die euklidische Bewegungsgleichung m¨ x = V ′ (x) . Man beachte, dass sie sich von der u ¨blichen Bewegungsgleichung durch das Vorzeichen auf der rechten Seite unterscheidet. Sie entspricht daher der Bewegung eines Massenpunktes in dem umgekehrten Potenzial −V (x). Die gesuchte L¨osung muss die Randbedingungen x(−∞) = −a , x(∞) = a erf¨ ullen. Der Massenpunkt soll also vom Maximum bei −a zu dem anderen Maximum bei +a gelangen und dabei genau einmal durch das Minimum bei x = 0 laufen. Die L¨osung kann z. B. durch Trennung der Variablen gefunden werden. Sie hat die in der nachfolgenden Abbildung gezeigte Gestalt und tr¨agt wegen ihres Aussehens die Bezeichnung Kink, auf Deutsch: Knick. F¨ ur das Potenzial in unserem obigen Beispiel lautet die Kinkl¨osung [ω ] xc (τ ) = a tanh (τ − τ0 ) . 2 Hierin ist ω die Kreisfrequenz kleiner Schwingungen um eine der beiden Potenzialmulden und ist durch ′′

mω 2 = V (a) = 8λa2 gegeben. Der freie Parameter τ0 gibt den Nulldurchgang an.

398

24 Pfadintegrale in der Quantenmechanik

τ

a

-a

x

F¨ ur den Kink ist

m 2 x˙ − V (x) = 0 . 2 Das ist die euklidische Version des Energiesatzes. Die euklidische Wirkung des Kinks k¨onnen wir unter Benutzung dieser Beziehung in der Form ∫ a ∫ a √ ∫ } ∫ {m x˙ 2 + V = dτ mx˙ 2 = dx mx˙ = dx 2m V (x) SE [xc ] = dτ 2 −a −a

ausdr¨ ucken. F¨ ur das Beispielpotenzial gibt das Integral SE [xc ] =

m2 ω 3 4√ = 2mλ a3 . 12λ 3

F¨ ur einen beliebigen Pfad x(τ ) = xc (τ ) + y(τ ) ist die Wirkung von der Form SE [x] = SE [xc ] +

1 2

∫

dτ y(τ )A y(τ ) + O(y 3 )

24.2 Aufbaukurs Pfadintegrale

399

mit einem Operator A. In der quadratischen N¨aherung werden die h¨oheren Potenzen von y(τ ) vernachl¨assigt und das Pfadintegral durch das entsprechende Gaußintegral ∫ 1 Dx e−SE = e−SE [xc ] (det A)− 2 · N approximiert, wobei N ein Normierungsfaktor ist, den ich hier nicht weiter diskutieren will. F¨ ur die Energieaufspaltung folgt daraus die sch¨one Formel √ ∫a ∆E = 2K e− −a dx 2m V (x) 1

mit einem Vorfaktor K = N (det A)− 2 . Der Ausdruck f¨ ur ∆E kommt uns bekannt vor. In der Tat, auf der rechten Seite steht der Gamowfaktor f¨ ur den Tunneleffekt durch die Potenzialbarriere zwischen −a und a, was unsere Intuition u ¨ber den Zusammenhang zwischen der Energieaufspaltung und dem Tunneleffekt best¨atigt. Man kann den Faktor auch durch eine quantenmechanische Rechnung in der WKB-Approximation erhalten, aber die Rechnung ist nach meinem Geschmack komplizierter und l¨angst nicht so elegant. Eine genauere Rechnung, welche die Bestimmung der Determinanten von A einschließt, liefert den Vorfaktor √ m2 ω 5 . K= 2πλ Auch l¨asst sich der G¨ ultigkeitsbereich der Approximation untersuchen. Sie ist anwendbar, wenn ∆E hinreichend klein, bzw. SE [xc ] hinreichend groß ist. Details beschaffe sich der Neugierige selbst. Mit dem Tunneleffekt verkn¨ upfte Ph¨anomene sind ein beliebtes Anwendungsfeld der euklidischen Pfadintegrale. Mit ihrer Hilfe lassen sich in u uhren. F¨ ur weiter ¨bersichtlicher Weise systematische Rechnungen durchf¨ gehende Interessen verweise ich auf die einschl¨agige Literatur. ¨ Ubungen Das Razavy-Potenzial V (x) =

β2 2m

(

1 2 1 ξ cosh(4βx) − (n + 1)ξ cosh(2βx) − ξ 2 8 8

)

mit β, ξ > 0, n ∈ N, ist ein Doppelmuldenpotenzial. Finden Sie die Kinkl¨ osung und ihre euklidische Wirkung SE .

25 Relativistische Quantenmechanik 25.1 Relativistische Notation Die Vereinigung von Raum und Zeit in der speziellen Relativit¨atstheorie kommt in der relativistischen Notation zum Ausdruck. Die r¨aumlichen Koordinaten (x1 , x2 , x3 ) und die Zeit t werden zu einem einem Vierervektor mit den sogenannten kontravarianten Komponenten x = (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (xµ ),

mit

x0 = ct

zusammengefasst, wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. Diese Vektoren bilden den Minkowskiraum. Skalarprodukte werden mittels der Metrik ⎞ ⎛ +1 ⎟ ⎜ −1 ⎟ (gµν ) = ⎜ ⎠ ⎝ −1 −1 gebildet: x · y = gµν xµ xν = x0 y 0 − ⃗x · ⃗y . Die sogenannten kovarianten Komponenten eines Vierervektors werden durch unten stehende Indizes gekennzeichnet: xµ = gµν xν ,

d.h. x0 = ct, xi = −xi , i = 1, 2, 3.

Damit ist x · y = x µ y µ = x µ yµ . Analog definiert man die partiellen Ableitungen ∂µ = ∂µ =

∂ , ∂xµ

∂ , ∂xµ

(∂µ ) = ( (∂ µ ) = (

1∂ , ∇), c ∂t

1∂ , −∇). c ∂t

Ihr Skalarprodukt gibt den Wellenoperator bzw. d’Alembert-Operator 1 ∂2 . □ = −∂µ ∂ µ = − 2 2 + ∆ . c ∂t (Achtung: Einige Autoren definieren ihn mit einem anderen Vorzeichen.)

402

25 Relativistische Quantenmechanik

Energie und Impuls werden gleichfalls zu einem Vierervektor ( ) E µ (p ) = , p⃗ c zusammengefasst, dessen Quadrat pµ pµ =

E2 − p⃗ 2 = m2 c2 c2

die relativistische Energie-Impuls-Beziehung beinhaltet. Die Kontinuit¨atsgleichung ∂ ρ + ∇ · ⃗j = 0 ∂t nimmt mit der Definition des Vierervektors (j µ ) = (cρ, ⃗j ) die kovariante Gestalt ∂µ j µ = 0 an.

25.2 Klein-Gordon-Gleichung Schon bald nach Aufstellung der Schr¨odingergleichung, die ja eine nichtrelativistische Gleichung ist, suchte man nach einer Verallgemeinerung, die mit der speziellen Relativit¨atstheorie vertr¨aglich ist. Im Kapitel 2 haben wir gesehen, dass aus der nichtrelativistischen Energie-Impuls-Beziehung E = p⃗ 2 /2m f¨ ur ein freies Teilchen mit den Substitutionen E −→ iℏ

∂ , ∂t

p⃗ −→

ℏ ∇ i

die Schr¨odingergleichung iℏ

∂ ℏ2 2 ψ(⃗r, t) = − ∇ ψ(⃗r, t) ∂t 2m

resultiert. Es war daher naheliegend, auf gleiche Weise die relativistische Energie-Impuls-Beziehung E 2 = p⃗ 2 c2 + m2 c4

25.2 Klein-Gordon-Gleichung

403

in die korrespondierende Wellengleichung −ℏ2

∂2 ψ = −ℏ2 c2 ∆ψ + m2 c4 ψ ∂t2

zu u uhren. In relativistisch kovarianter Schreibweise lauten die Substi¨berf¨ tutionen pµ −→ iℏ∂ µ und die Wellengleichung (ℏ2 ∂µ ∂ µ + m2 c2 )ψ(x) = 0 . Dies ist die Klein-Gordon-Gleichung. Da sie so naheliegend ist, wundert es nicht, dass außer Klein und Gordon auch andere Physiker darauf gekommen sind, unter ihnen Schr¨odinger und Fock. Schr¨odinger hatte sogar diese relativistische Gleichung mit einem ¨außeren Coulombfeld gel¨ost und das Spektrum der gebundenen Zust¨ande berechnet. Die Feinstruktur, die sich daraus ergab, entsprach allerdings nicht dem experimentellen Befund, so dass er die Gleichung verwarf und nicht publizierte. Zur Beschreibung eines geladenen Teilchens m¨ ussen die elektromagnetischen Potenziale in die Klein-Gordon-Gleichung eingebracht werden. Das ⃗ werden zu einem Vieskalare Potenzial Φ und das Vektorpotenzial A µ ⃗ ) zusammengefasst. Die Ersetzungsregeln rervektorfeld (A ) = (Φ/c, A ⃗ p⃗ → p⃗ − eA, E → E − eΦ, die wir im Abschnitt 14.1 kennengelernt haben, lassen sich in kovarianter Form als pµ → pµ − eAµ zusammenfassen. F¨ ur µ µ µ die Wellengleichung heißt das iℏ∂ → iℏ∂ − eA und wir erhalten (iℏ∂µ − eAµ )(iℏ∂ µ − eAµ )ψ = m2 c2 ψ . Beim Coulombproblem tritt nur das skalare Potenzial eΦ(r) = V (r) = Et −γ/r auf. F¨ ur eine station¨are L¨osung ψ(⃗r, t) = e−i ℏ φ(⃗r ) folgt ] [( γ )2 2 2 2 4 + ℏ c ∆ − m c φ(⃗r ) = 0 . E+ r Diese Gleichung hat die gleiche Struktur wie die station¨are Schr¨odingergleichung f¨ ur das Coulombproblem und kann in gleicher Weise gel¨ost werden. Hierauf werden wir aber nicht weiter eingehen, da in dieser Rechnung der Spin des Elektrons, der ja wichtig f¨ ur die Feinstruktur des Spektrums ist, unber¨ ucksichtigt bleibt.

404

25 Relativistische Quantenmechanik

Stattdessen soll das Augenmerk auf Probleme gelenkt werden, die mit der Klein-Gordon-Gleichung verbunden sind. Wahrscheinlichkeitsdichte: Die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ muss die Kontinuit¨atsgleichung ∂µ j µ = 0 erf¨ ullen, so dass cρ = j 0 die 0-Komponente eines Viererstroms sein muss. F¨ ur den Ansatz ρ = ψ ∗ ψ ist dies nicht der Fall. Gehen wir also noch einmal so vor wie bei der Herleitung der Kontinuit¨atsgleichung im Abschnitt 1.2.4. Subtraktion der beiden Gleichungen ψ ∗ (ℏ2 ∂µ ∂ µ + m2 c2 )ψ = 0 ψ(ℏ2 ∂µ ∂ µ + m2 c2 )ψ ∗ = 0 gibt ψ ∗ ∂µ ∂ µ ψ − ψ∂µ ∂ µ ψ ∗ = 0 , was wir in der Form ∂µ (ψ ∗ ∂ µ ψ − ψ∂ µ ψ ∗ ) = 0 schreiben k¨onnen. Mit der Definition jµ =

iℏ ∗ µ (ψ ∂ ψ − ψ∂ µ ψ ∗ ) 2m

gilt also ∂µ j µ = 0 und wir haben unsere Kontinuit¨atsgleichung gefunden. Die r¨aumlichen Komponenten ⃗j =

ℏ (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) 2m i

stimmen mit denen des nichtrelativistischen Wahrscheinlichkeitsstromes u ¨berein. Die Wahrscheinlichkeitsdichte sieht aber v¨ollig anders aus: ) ( iℏ ∂ψ ∗ ∗ ∂ψ ρ= ψ − ψ . 2mc2 ∂t ∂t Diese Funktion ist leider nicht notwendig positiv, was eine Wahrscheinlichkeitsdichte jedoch sein sollte. Dies ist das erste ernsthafte Problem der Klein-Gordon-Gleichung. Negative Energien: Da die Klein-Gordon-Gleichung f¨ ur ein freies Teilchen linear ist, ist ihre allgemeine L¨osung eine Superposition von ebenen Wellen. Die ebene Welle i

ψ(⃗r, t) = A e ℏ (⃗p·⃗r−Et)

25.2 Klein-Gordon-Gleichung

405

ist eine L¨osung, wenn E und p⃗ die Energie-Impuls-Beziehung E 2 = p⃗ 2 c2 + m2 c4 erf¨ ullen. F¨ ur jeden Impuls p⃗ gibt es nun zwei m¨ogliche Werte f¨ ur die Energie, n¨amlich √ E± = ± p⃗ 2 c2 + m2 c4 ≡ ℏω± . Man ist vielleicht geneigt, negative Energien aus physikalischen Gr¨ unden auszuschließen, dennoch f¨ uhrt kein Weg umhin zuzugeben, dass die allgemeine L¨osung der Klein-Gordon-Gleichung ∫ 3 } d k { ⃗ i(⃗k·⃗r−ω+ t) i(⃗k·⃗ r−ω− t) ⃗ A(k) e + B(k) e ψ(⃗r, t) = (2π)3 lautet. Falls der Koeffizient B nicht identisch null ist, enth¨alt die Wellenfunktion Anteile mit negativen Energien. F¨ ur freie Teilchen k¨onnen wir tats¨achlich B(⃗k) ≡ 0 w¨ahlen. Betrachtet man allerdings die Klein-Gordon-Gleichung mit ¨außeren Potenzialen, so zeigt sich, dass in der zeitlichen Entwicklung Anteile mit B ̸= 0 erzeugt werden. Das f¨ uhrt zu einer Katastrophe, denn das Teilchen kann nun in Zust¨ande mit immer tieferen negativen Energien gelangen. Die beiden genannten Probleme sind nicht unabh¨angig voneinander. Mit der obigen Zerlegung der Wellenfunktion nach ebenen Wellen finden wir ∫ ∫ { } ℏ 3 3 ⃗k) A∗ (⃗k)A(⃗k) − B ∗ (⃗k)B(⃗k) . d k ω ( d rρ = + mc2 Die Anteile mit negativen Energien sind also mit dem Auftreten negativer Wahrscheinlichkeitsdichten verkn¨ upft. Diese und andere Probleme f¨ uhrten dazu, dass die Klein-Gordon-Gleichung zun¨achst fallen gelassen wurde. Dirac fand eine andere relativistische Wellengleichung, die im n¨achsten Abschnitt behandelt wird. Sp¨ater wurde die Klein-Gordon-Gleichung jedoch rehabilitiert. Wolfgang Pauli und Victor Weißkopf konnten 1934 die Probleme mit den Methoden der Feldquantisierung l¨osen. Dieses Thema sprengt den Rahmen dieses Buches. Nur soviel sei gesagt: In der relativistischen Quantenfeldtheorie zeigt sich, dass es zu jeder Sorte geladener Teilchen Antiteilchen mit entgegengesetzter Ladung gibt. Die Wellen mit negativen Frequenzen ω− beschreiben in diesem Rahmen Antiteilchen mit positiven Energien und ρ erweist sich als Ladungsdichte, die nat¨ urlich negativ sein darf. Die Klein-Gordon-Gleichung dient auf diese Weise zur Beschreibung von massiven Teilchen mit Spin 0, z.B. den Pionen.

406

25 Relativistische Quantenmechanik

¨ Ubungen 1. Wie lautet die Wellengleichung f¨ ur ein freies relativistisches Teilchen, die von erster Ordnung in der Zeit ist: ∂ψ iℏ = ... ∂t 2. Wie l¨ asst sich der hier auf der rechten Seite auftauchende, ungewohnte Differenzialoperator mit Hilfe der Fouriertransformation definieren? 3. Wie lautet die allgemeine L¨ osung der obigen Wellengleichung f¨ ur gegebenen Wellenvektor ⃗k?

25.3 Diracgleichung 25.3.1 Diracgleichung Die Probleme der Klein-Gordon-Gleichung motivierten um 1927 viele Physiker nach anderen relativistischen Wellengleichungen zu suchen; insbesondere sollte der Spin des Elektrons ber¨ ucksichtigt werden. Den Durchbruch erzielte Dirac 1928. Da die Probleme der Klein-Gordon-Gleichung damit zu tun haben, dass sie eine Differenzialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit ist, suchte Dirac eine Gleichung, die wie die Schr¨odingergleichung linear in der Zeitableitung ist: iℏ

∂ ψ(⃗r, t) = Hψ(⃗r, t) . ∂t

Im Geiste der relativistischen Gleichbehandlung von Raum und Zeit sollte die rechte Seite ebenfalls linear in den r¨aumlichen Ableitungen sein. Dirac machte daher den Ansatz 3

iℏ

∂ ℏ ∑ ψ= c αk ∂k ψ + βmc2 ψ . ∂t i k=1

Der Hamiltonoperator hat also die Gestalt ℏ H = c⃗ α · P⃗ + βmc2 = c⃗ α · ∇ + βmc2 . i

25.3 Diracgleichung

407

Offensichtlich k¨onnen die Koeffizienten αk keine Zahlen sein, denn dann w¨ urde der Vektor α ⃗ eine Richtung auszeichnen und sein Vorkommen im Hamiltonoperator w¨ urde die Rotationsinvarianz verletzen. Wir werden gleich sehen, um was es sich bei den Koeffizienten handelt. Betrachten wir zun¨achst die Energie-Impuls-Beziehung. F¨ ur eine ebene Welle, welche ∂ iℏ ψ = Eψ , P⃗ ψ = p⃗ψ ∂t erf¨ ullt, muss E 2 = p⃗ 2 c2 + m2 c4 gelten. Andererseits haben wir E2ψ =

( ) ∂ 2 iℏ ψ = H 2ψ . ∂t

Ausmultiplizieren von H gibt auf der rechten Seite H 2 ψ = c2

3 3 ∑ ∑ 1 (αj αk +αk αj )Pj Pk ψ+mc3 (αk β+βαk )Pk ψ+β 2 m2 c4 ψ . 2

j,k=1

k=1

Dies soll wegen der Energie-Impuls-Beziehung gleich c2 P⃗ 2 ψ + m2 c4 ψ sein. Die Gleichheit ist gegeben, wenn die Koeffizienten αj und β die Beziehungen αj αk + αk αj = 2δjk ,

αk β + βαk = 0 ,

β2 = 1

erf¨ ullen. Wiederum sehen wir, dass es keine Zahlen sein k¨onnen. Man kann es aber mit Matrizen versuchen. Die erste der drei Gleichungen ist identisch mit der Beziehung σj σk + σk σj = 2δjk zwischen den drei Paulimatrizen. Hier ben¨otigen wir aber noch eine vierte Matrix β. Die Matrizen αj und β m¨ ussen hermitesch sein, damit H hermitesch ist. Dirac fand heraus, dass die kleinste L¨osung mit Hilfe von 4 × 4-Matrizen gebildet werden kann. Seine L¨osung ist ( ) ( ) 0 σk 1 0 αk = , β= . σk 0 0 −1

408

25 Relativistische Quantenmechanik

Hier wird eine 2 × 2-Block-Notation ⎛ 0 0 ⎜ 0 0 α1 = ⎜ ⎝ 0 1 1 0

verwendet, d.h. ⎞ 0 1 1 0 ⎟ ⎟ , etc. 0 0 ⎠ 0 0

Da der Hamiltonoperator 4 × 4-Matrizen enth¨alt, ist die Wellenfunktion von der Gestalt ⎞ ⎛ ψ1 (⃗r, t) ⎜ψ2 (⃗r, t)⎟ ⎟ ψ(⃗r, t) = ⎜ ⎝ψ3 (⃗r, t)⎠ . ψ4 (⃗r, t) In Verallgemeinerung der zweikomponentigen Pauli-Spinoren wird ψ als Dirac-Spinor bezeichnet. Wir werden weiter unten sehen, warum der Name berechtigt ist. Die

Diracgleichung

iℏ

∂ ψ = (c⃗ α · P⃗ + βmc2 )ψ ∂t

ist somit ein System von 4 linearen Gleichungen. L¨ost die Diracgleichung die Probleme der Klein-Gordon-Gleichung? Betrachten wir die Wahrscheinlichkeitsdichte. Mit der Definition ψ + = (ψ1∗ , ψ2∗ , ψ2∗ , ψ2∗ ) gilt die konjugierte Diracgleichung −iℏ

∂ + ℏ ψ = − c(∇ψ + ) · α ⃗ + mc2 ψ + β . ∂t i

Mit ihrer Hilfe und der Diracgleichung rechnet man leicht nach, dass ∂ + (ψ ψ) = −c∇ · (ψ + α ⃗ ψ) ∂t gilt. Dies ist die Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur die Dichte ρ = ψ + ψ = ψ1∗ ψ1 + ψ2∗ ψ2 + ψ3∗ ψ3 + ψ4∗ ψ4

25.3 Diracgleichung

409

und den Strom ⃗j = cψ + α ⃗ψ . Die Dichte ρ ist positiv definit und wir k¨onnen feststellen, dass das erste Problem der Klein-Gordon-Gleichung f¨ ur die Diracgleichung nicht auftritt. In der Praxis verwendet man gerne eine Schreibweise, in der die Diracgleichung eine manifest kovariante Gestalt annimmt. Mit β/c multipliziert lautet die Diracgleichung iℏ(β∂0 ψ + β⃗ α · ∇ψ) − mc ψ = 0 . Mit den Definitionen γ0 = β ,

γ k = βαk , k = 1, 2, 3

nimmt sie die kovariante Form (iℏγ µ ∂µ − mc)ψ = 0

bzw.

(γ µ Pµ − mc)ψ = 0

an. F¨ ur die Gamma-Matrizen gilt γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν 1 . Die ist die sogenannte Clifford-Algebra. Explizit lauten die Gamma-Matrizen ( ) ( ) 1 0 0 σk 0 k γ = , γ = 0 −1 −σk 0 und erf¨ ullen γ 0 = γ 0† ,

γ k = −γ k† .

Auch der Viererstrom l¨asst sich in kovarianter Form schreiben. Zun¨achst ist ja j µ = cψ + γ 0 γ µ ψ . Mit der Definition . ψ¯ = ψ + γ 0 = (ψ1∗ , ψ2∗ , −ψ2∗ , −ψ2∗ ) wird der Strom als ¯ µψ j µ = cψγ

410

25 Relativistische Quantenmechanik

geschrieben. Als N¨achstes werden wir uns dem physikalischen Gehalt der Diracgleichung zuwenden und u.a. der Frage nachgehen, ob L¨osungen zu negativer Energie auftreten. Zu diesem Zweck betrachten wir ebene Wellen-L¨osungen, die ja die idealisierte Situation von Teilchen mit scharfem Impuls und scharfer Energie repr¨asentieren. Ebene Wellen sind von der Form ⃗

ψ(⃗r, t) = u ei(k·⃗r−ωt) = u e−ik·x . Die Wellenfunktion hat 4 Komponenten und demzufolge hat u ebenfalls 4 Komponenten ⎛ ⎞ u1 ⎜u2 ⎟ ⎟ u=⎜ ⎝u3 ⎠ , u4 die konstant sind. Um Platz zu sparen, werde ich im Folgenden die Spaltenvektoren als transponierte Zeilenvektoren schreiben, d.h. u = (u1 , u2 , u3 , u4 )T . Einsetzen in die Diracgleichung (γ µ Pµ − mc)ψ = 0 liefert eine Gleichung f¨ ur die Koeffizienten u: (γ µ pµ − mc)u = 0 . Diese Gleichung besitzt L¨osungen, wenn die Beziehung pµ pµ = m2 c2 erf¨ ullt ist. Zur Vereinfachung beginnen wir mit dem Fall ruhender Teilchen, f¨ ur welche p⃗ = ⃗0 und E 2 = m2 c4 ist. Von der vorigen Gleichung verbleibt dann (γ 0 p0 − mc)u = 0 . Ausgeschrieben sind das 4 Gleichungen f¨ ur die 4 Unbekannten uα : (E − mc2 )u1 = 0 , (E − mc2 )u2 = 0 , (−E − mc2 )u3 = 0 , (−E − mc2 )u4 = 0 . Offenbar gibt es die folgenden 4 L¨osungen 1.

E = mc2 ,

u = u(1) = (1, 0, 0, 0)T ,

2.

E = mc2 ,

u = u(2) = (0, 1, 0, 0)T ,

3.

E = −mc2 ,

u = u(3) = (0, 0, 1, 0)T ,

4.

E = −mc2 ,

u = u(4) = (0, 0, 0, 1)T .

25.3 Diracgleichung

411

Oh Schreck, es treten wieder L¨osungen mit negativer Energie auf! Dar¨ uber wird noch zu reden sein. Zun¨achst wollen wir noch den Fall eines beliebigen Impulses anf¨ ugen. Wir schreiben die Wellenfunktion in der Form ( ) ( ) ( ) φ φ1 χ1 ψ= mit den 2-komponentigen Gr¨oßen φ = , χ= . χ φ2 χ2 Damit lautet die Diracgleichung f¨ ur ebene Wellen ) ( (p0 − mc)φ − p⃗ · ⃗σ χ µ = 0. (γ pµ − mc)ψ = (−p0 − mc)χ + p⃗ · ⃗σ φ Der unteren Zeile entnehmen wir, dass χ=

p⃗ · ⃗σ φ. p0 + mc

Multiplikation beider Seiten mit p⃗ · ⃗σ /(p0 − mc) gibt p⃗ 2 (⃗ p · ⃗σ )(⃗ p · ⃗σ ) p⃗ · ⃗σ φ = φ = φ, χ= 2 p0 − mc p0 − m2 c2 p20 − m2 c2 was uns zeigt, dass auch die obere Zeile erf¨ ullt ist. Wir haben also Folgendes 2 2 2 2 4 gefunden: Wenn E = p⃗ c + m c gilt, gibt es ebene Wellen-L¨osungen der Diracgleichung, wobei die beiden oberen Komponenten φ oder die beiden unteren Komponenten χ frei gew¨ahlt werden k¨onnen. √ F¨ ur positive Energie, E = + p⃗ 2 c2 + m2 c4 , haben wir zwei linear unabh¨angige L¨osungen der Form ψ = u(⃗k)e−ik·x . F¨ ur die erste w¨ahlen wir ⎛ ⎞ p3 c ( ) ( ) p⃗ · ⃗σ 1 1 ⎜ E + mc2 ⎟ φ(1) = , ⇒ χ(1) = =⎝ (p1 + ip2 )c ⎠ 0 p0 + mc 0 E + mc2 und f¨ ur die zweite ⎛

φ

(2)

( ) 0 = 1

⇒

χ(2)

⎞ (p − ip )c 1 2 ( ) ⎜ E + mc2 ⎟ p⃗ · ⃗σ 0 ⎟ = =⎜ ⎝ −p3 c ⎠ . p0 + mc 1 E + mc2

Im nichtrelativistischen Grenzfall, wenn E ≈ mc2 , ist χ ≪ φ. Die beiden oberen Komponenten des Dirac-Spinors, also φ, heißen dann große ” Komponenten“, und χ enth¨alt die kleinen Komponenten“. ”

412

25 Relativistische Quantenmechanik

√ F¨ ur den Fall negativer Energie, E = − p⃗ 2 c2 + m2 c4 , verh¨alt es sich ganz analog. Wir haben zwei linear unabh¨angige L¨osungen der Form ψ = u(⃗k)e−ik·x . F¨ ur die erste w¨ahlen wir ⎞ ⎛ p3 c ( ) ( ) ⎜ |E| + mc2 ⎟ p⃗ · ⃗σ 1 1 ⎟ χ(3) = ⇒ φ(3) = =⎜ ⎝ (p1 + ip2 )c ⎠ 0 −p0 + mc 0 |E| + mc2 und f¨ ur die zweite

χ(4)

( ) 0 , = 1

⇒

φ(4)

⎞ ⎛ (p1 − ip2 )c ( ) ⎜ |E| + mc2 ⎟ p⃗ · ⃗σ 0 ⎟ = =⎜ ⎝ −p3 c ⎠ . −p0 + mc 1 |E| + mc2

Nun sind im nichtrelativistischen Grenzfall φ die kleinen Komponenten“ ” und χ die großen Komponenten“. ” Wie im Fall der Klein-Gordon-Gleichung lassen sich die L¨osungen zu negativer Energie nicht vermeiden, wenn ¨außere Felder vorhanden sind. Ist die Diracgleichung deshalb ebenfalls zu verwerfen? Dirac fand 1928 eine geniale L¨osung f¨ ur das Problem der negativen Energien. Seine Gleichung dient zur Beschreibung von Elektronen. Elektronen sind aber Fermionen und gehorchen dem Pauliprinzip. Dirac postulierte, dass das Vakuum, also der Zustand ohne physikalische Teilchen, derjenige Zustand ist, bei dem alle negativen Energien mit Elektronen besetzt sind. F¨ ugt man nun ein Elektron hinzu, so kann es aufgrund des Pauliprinzips nicht in die negativen Energie-Niveaus u ¨bergehen. Dieses Problem wird also vermieden. Die besetzten negativen Energie-Zust¨ande nennt man den Dirac-See. Interessanterweise treten aber neue M¨oglichkeiten auf: Durch Anregung mit hinreichender Energie kann ein Elektron aus dem Dirac-See herausgeschlagen werden und in einen Zustand positiver Energie u ¨bergehen. Im Dirac-See verbleibt ein unbesetzter Zustand, ein Loch. Dirac zeigte, dass sich dieses Loch wie ein physikalisches Teilchen mit positiver Energie, aber entgegengesetzter Ladung verh¨alt, ¨ahnlich wie eine Luftblase in Wasser, die sich wie ein Teilchen mit negativer Gravitation verh¨alt. Hermann Weyl bewies etwas sp¨ater, dass die L¨ocher im Dirac-See die gleiche Masse wie Elektronen besitzen.

25.3 Diracgleichung

413

E mc 2

Elektron

0 - mc 2

Loch = Positron Dirac-See

Die Dirac’sche Theorie des Elektrons sagt also die Existenz einer Sorte von Teilchen voraus, die so schwer wie Elektronen, aber positiv geladen sind. Diese wurden 1932 von Anderson entdeckt und Positronen“ genannt. Die ” Dirac-Theorie sagt noch mehr vorher: der Vorgang, bei dem ein Elektron unter Abgabe von Energie in ein Loch f¨allt, kann als gegenseitige Vernichtung von Elektron und Positron interpretiert werden, die sogenannte Paarvernichtung. Der umgekehrte Vorgang ist die Paarerzeugung. Beide Vorg¨ange sind wohlbekannt und bilden eine gl¨anzende St¨ utze der DiracTheorie. Die Vorstellung des Dirac-Sees mutet gleichwohl seltsam und unheimlich an. Insofern mag es furchtsame Gem¨ uter beruhigen, dass die L¨ochertheorie im Rahmen der relativistischen Quantenfeldtheorie so umformuliert wird, dass Elektronen und Positronen in symmetrischer, gleichberechtigter Weise auftreten, und vom Dirac-See keine Rede mehr sein muss.

¨ Ubungen 1. Zeigen Sie, dass f¨ ur vier hermitesche Matrizen α1 , α2 , α3 und β, welche die Beziehungen αj αk + αk αj = 2δjk , αk β + βαk = 0, β 2 = 1 erf¨ ullen, folgendes gilt. a) Die vier Matrizen sind linear unabh¨ angig. b) Sp αk = Sp β = 0. c) Die Eigenwerte der Matrizen sind ±1. d) Die Dimension der Matrizen ist eine gerade Zahl.

414

25 Relativistische Quantenmechanik e) Die Dimension der Matrizen ist mindestens 4.

2. Zitterbewegung ⃗ − QH) ⃗ ⃗ = i (H Q f¨ ur die a) Berechnen Sie den den Geschwindigkeitsoperator V ℏ ⃗ Diracgleichung. Zeigen Sie die u ur das ¨berraschende Tatsache, dass V auch f¨ ⃗ , H] ̸= 0. freie Elektron keine Erhaltungsgr¨ oße ist, d. h. [V ⃗ ⟩ f¨ b) Berechnen Sie ⟨V ur eine beliebige L¨ osung der Diracgleichung zum Impuls ⃗ ⟩ = c2 ⟨P ⃗ ⟩/E? pµ . In welchem Fall gilt die klassische Beziehung ⟨V 3. Eine ebene Welle mit Impuls pµ ist L¨ osung der Diracgleichung, wenn die L¨ osbarkeitsbedingung det (γ µ pµ − mc1) = 0 erf¨ ullt ist. Berechnen Sie diese Determinante. Welche Bedingung f¨ ur pµ folgt daraus? 4. Die Weyl-Darstellung der γ-Matrizen ist ( ( ) 0 1 0 γ0 = − , γk = 1 0 −σk

) σk . 0

Zeigen Sie, dass diese Matrizen die Clifford-Algebra erf¨ ullen.

25.3.2 Spin 1/2 Wir haben gesehen, dass die Existenz von χ mit den Positronen zu tun hat. Was ist die Bedeutung der zwei Komponenten von φ und derjenigen von χ? Wenn wir uns an die zweikomponentigen Pauli-Spinoren erinnern, liegt die Vermutung nahe, dass φ und χ den Spin beschreiben. Dies ist in der Tat so. Definieren wir die drei 4 × 4-Matrizen Σk durch ( ) . ⃗σ 0 ⃗ Σ= , 0 ⃗σ so wirken die darin enthaltenen Paulimatrizen auf φ bzw. auf χ. Der SpinOperator ist dann definiert durch ⃗. ⃗= ℏΣ S 2 Seine Komponenten erf¨ ullen die Vertauschungsregeln f¨ ur einen Drehimpuls [Sj , Sk ] = iℏ εjkl Sl . Weiterhin ist

⃗ 2 = 3 ℏ2 1 = s(s + 1)ℏ2 S 4

mit

s=

1 . 2

25.3 Diracgleichung

415

⃗ ein Drehimpulsoperator ist, der Spin 1/2 beschreibt. Wir sehen, dass S ⃗ =Q ⃗ × P⃗ findet man folgenden Kommutator F¨ ur den Bahndrehimpuls L mit dem Dirac’schen Hamiltonoperator: ⃗ H] = iℏc(⃗ [L, α × P⃗ ) ̸= 0 . Der Bahndrehimpuls ist also keine Erhaltungsgr¨oße. F¨ ur den Spin ergibt sich andererseits ⃗ H] = −iℏc(⃗ [S, α × P⃗ ) ̸= 0 . F¨ ur den gesamten Drehimpuls ⃗ +S ⃗ J⃗ = L folgt daraus ⃗ H] = ⃗0 , [J, so dass er eine Erhaltungsgr¨oße ist, wie es auch sein sollte. Den Spin der vier L¨osungen f¨ ur das ruhende Teilchen wollen wir noch angeben. Wendet man die dritte Komponente S3 auf die Dirac-Spinoren an, bekommt man ℏ ℏ S3 u(1) = + u(1) , S3 u(2) = − u(2) , 2 2 ℏ (3) ℏ (4) (3) (4) S3 u = + u , S3 u = − u , 2 2 woraus wir ablesen, dass u(1) und u(3) Spin up“ und u(2) und u(4) Spin ” ” down“ beschreiben. Wie man ¨außere elektromagnetische Felder ber¨ ucksichtigt, wissen wir bereits, n¨amlich durch die Ersetzung P µ → P µ − eAµ . Somit lautet der Hamiltonoperator ⃗ + eΦ + βmc2 H = c⃗ α · (P⃗ − eA) und die kovariante Form der Diracgleichung (iℏγ µ ∂µ − eγ µ Aµ − mc)ψ = 0 . Ausgedr¨ uckt durch die zweikomponentigen Spinoren φ und χ lautet die Diracgleichung in ¨außeren Feldern ( ) ∂ 2 ⃗ · ⃗σ χ , iℏ − eΦ − mc φ = c(P⃗ − eA) ∂t ( ) ∂ 2 ⃗ · ⃗σ φ . iℏ − eΦ + mc χ = c(P⃗ − eA) ∂t

416

25 Relativistische Quantenmechanik

F¨ ur einen station¨aren Zustand zur Energie E, iℏ

∂ ψ = Eψ , ∂t

werden diese Gleichungen zu ⃗ · ⃗σ χ , (E − eΦ − mc2 )φ = c(P⃗ − eA) ⃗ · ⃗σ φ . (E − eΦ + mc2 )χ = c(P⃗ − eA) Es ist ¨außerst lehrreich, sich den nichtrelativistischen Grenzfall dieser Gleichungen anzuschauen. Zerlegen wir also die relativistische Energie E in die Ruheenergie mc2 und einen Rest, E = mc2 + E ′ , und nehmen wir an, dass der Rest E ′ sehr klein gegen¨ uber der Ruheenergie ist: E ′ ≪ mc2 . Weiterhin setzen wir voraus, dass das Potenzial ebenfalls sehr klein verglichen mit der Ruheenergie ist: V = eΦ ≪ mc2 . Dann gehen die beiden Gleichungen n¨aherungsweise u ¨ber in ⃗ · ⃗σ χ , (E ′ − eΦ)φ = c(P⃗ − eA) ⃗ · ⃗σ φ . 2mc2 χ = c(P⃗ − eA) Einsetzen von χ aus der zweiten Gleichung in die erste Gleichung f¨ uhrt auf [ ] 2 1 ⃗ · ⃗σ φ . (E ′ − eΦ)φ = (P⃗ − eA) 2m Die rechte Seite wird mit den Rechenregeln f¨ ur Paulimatrizen wie in Abschnitt 15.4 umgeformt und das Ergebnis ist { } 1 ⃗ ⃗ 2 − eℏ ⃗σ · B ⃗ φ. (E ′ − eΦ)φ = (P − eA) 2m 2m Wir erkennen die Pauligleichung mit dem Pauliterm −g

eℏ e ⃗ ⃗ ⃗ S · B = −g ⃗σ · B 2m 4m

f¨ ur einen gyromagnetischen Faktor g = 2. Die Diracgleichung sagt also tats¨achlich, wie in Abschnitt 15.4 angek¨ undigt, diesen anormalen g” Faktor“ voraus. Man kann die nichtrelativistische N¨aherung weiter treiben und obige Approximation durch eine systematische Entwicklung verfeinern. Die Terme n¨achster Ordnung liefern dann die Korrekturen Ha , Hb und Hc , die in Abschnitt 17.1 genannt wurden, was wir hier aber nicht durchrechnen wollen.

25.3 Diracgleichung

417

25.3.3 Relativistisches Coulombproblem Wir haben in Kapitel 13 gesehen, dass die nichtrelativistische station¨are Schr¨odingergleichung f¨ ur das Coulombpotenzial exakt gel¨ost werden kann. Wir haben die Energien der gebundenen Zust¨ande und die Wellenfunktionen berechnet und konnten die Balmerformel reproduzieren. Es ist bemerkenswert, dass das relativistische Coulombproblem ebenfalls exakt gel¨ost werden kann. In diesem Abschnitt werden wir uns die L¨osung der Diracgleichung f¨ ur die gebundenen Zust¨ande ansehen. Der Dirac’sche Hamiltonoperator im Coulombpotenzial lautet H = c⃗ α · P⃗ + βmc2 + V

mit

γ V (⃗r ) = − . r

Wir schreiben die Diracgleichung f¨ ur einen station¨aren Zustand der Energie E in der Form (c⃗ α · P⃗ + βmc2 )ψ = (E − V )ψ . Multiplikation beider Seiten mit dem Operator c⃗ α · P⃗ + βmc2 gibt (c⃗ α · P⃗ + βmc2 )2 ψ = (c⃗ α · P⃗ + βmc2 )(E − V )ψ . Wenn wir nun die beiden Klammern auf der rechten Seite vertauschen m¨ochten, m¨ ussen wir beachten, dass ℏ ℏ ℏ ℏ P⃗ V ψ = ∇V ψ = (∇V )ψ + V ∇ψ = (∇V )ψ + V P⃗ ψ . i i i i Damit erhalten wir ℏ (c⃗ α · P⃗ + βmc2 )2 ψ = {(E − V )(c⃗ α · P⃗ + βmc2 ) + c α ⃗ · (∇V )}ψ . i Das Quadrat auf der linken Seite kennen wir aus der Konstruktion der Diracgleichung, (c⃗ α · P⃗ + βmc2 )2 = c2 P⃗ 2 + m2 c4 . Auf der rechten Seite wenden wir die Diracgleichung nochmals an und erhalten ℏ ⃗ · (∇V )}ψ . (c2 P⃗ 2 + m2 c4 )ψ = {(E − V )2 + c α i Das Quadrat des Impulsoperators wird nun zerlegt, wie wir es aus Abschnitt 9.2 kennen, 1 ⃗2 1 ∂2 1 ⃗2 P⃗ 2 = Pr2 + 2 L = −ℏ2 r + 2L , 2 r r ∂r r

418

25 Relativistische Quantenmechanik

außerdem wird der Gradient von V (r) eingesetzt, und wir gelangen damit zu der zu l¨osenden Gleichung { } 2 γ2 1 ⃗2 iℏγ 2Eγ E 2 21 ∂ 2 2 −ℏ r + 2L − 2 2 − 3α ⃗ · ⃗r − 2 − 2 + m c ψ = 0 . r ∂r2 r c r cr c r c Diese Radialgleichung hat schon fast die Gestalt wie diejenige der nichtrelativistischen Theorie, allerdings st¨ort der Term, der die α-Matrizen enth¨alt. Durch einen geschickten Trick l¨asst sich diese Situation verbessern. Dazu f¨ uhrt man Temple’s Operator iγ . 1 ⃗ ⃗ · S + ℏ2 ) − α ⃗ · ⃗r Λ = − (2L ℏ cr ein. Das Quadrat von Λ ist 2 ⃗ 2 + 2L ⃗ ·S ⃗ + ℏ2 − γ . Λ2 = L c2

Der Beweis dieser Behauptung ist etwas m¨ uhsam und erfordert mehrere Zeilen Algebra unter Benutzung der Rechenregeln f¨ ur die α- und die Σ¨ Matrizen. Das u Mit der Identit¨at ¨berlasse ich dem Leser als Ubung. 2 ⃗ 2 − γ − iℏγ α Λ(Λ + ℏ) = L ⃗ · ⃗r c2 cr

k¨onnen wir die obige Radialgleichung schreiben als } { 2 1 2Eγ E 2 2 2 21 ∂ r + 2 Λ(Λ + ℏ) − 2 − 2 + m c ψ = 0 . −ℏ r ∂r2 r c r c Wie ist uns damit geholfen? Der Trick besteht darin, dass Λ mit dem gesamten auf der linken Seite dieser Gleichung stehenden Operator kommutiert und gleichzeitig mit ihm diagonalisiert werden kann. Davon u ¨berzeugen wir uns mit Hilfe der verschwindenden Kommutatoren [Λ, r] = 0 und ∂ [Λ, ∂r ] = 0. Wir m¨ ussen nun noch die Eigenwerte λ von Λ finden und einsetzen. Zun¨achst beachten wir 2 2 ⃗ + S) ⃗ 2−S ⃗ 2 + ℏ2 − γ = J⃗ 2 + 1 ℏ2 − γ . Λ2 = (L c2 4 c2

Den Eigenwert von J⃗ 2 , n¨amlich ℏ2 j(j + 1), setzen wir ein und erhalten ) ( 1 2 γ2 2 2 Λ ψ = ℏ (j + ) − 2 ψ . 2 c

25.3 Diracgleichung

419

Es gilt also λ2 = ℏ2 (j + 12 )2 − λ = ±ℏλ0

mit

γ2 c2

und somit √( ) ( ) 1 1 2 − α2 ≈ j + , j+ λ0 = 2 2

wobei α = γ/ℏc die Feinstrukturkonstante ist. In der Radialgleichung ersetzen wir den Term Λ(Λ + ℏ) durch seinen Eigenwert λ(λ + ℏ). Nun sind wir fast am Ziel. Zuvor schreiben wir diesen Ausdruck noch um als { λ0 , λ = +ℏλ0 λ(λ + ℏ) = ℏ2 ˜l(˜l + 1) mit ˜l = λ0 − 1, λ = −ℏλ0 und gelangen zur Radialgleichung { } 2 2˜ ˜l + 1) 2Eγ E 2 1 ∂ ℏ l( −ℏ2 r+ − 2 − 2 + m2 c2 ψ = 0 . r ∂r2 r2 c r c Der Grund daf¨ ur, die Variable ˜l einzuf¨ uhren, ist der folgende. F¨ ur ˜l gilt ˜l > −1, w¨ahrend λ/ℏ beliebig negativ werden kann. Die Gr¨oße ˜l, die in dem Term ˜l(˜l + 1)/r2 vorkommt, sollte aber gr¨oßer als −1 sein, damit das Verhalten der Wellenfunktion f¨ ur r → 0 so angesetzt werden kann, wie es in Abschnitt 9.5 diskutiert wurde. Wenn wir unsere obige Radialgleichung mit der nichtrelativistischen Radialgleichung { } 2 ℏ2 l(l + 1) 2mγ 21 ∂ −ℏ r+ − − 2mE ψ = 0 r ∂r2 r2 r vergleichen, stellen wir fest, dass sie von gleicher Struktur sind. Daher k¨onnen wir auf die bekannte L¨osung der letzteren aus Kapitel 13 zur¨ uckgreifen. Dazu definieren wir m ˜ =

E , c2

˜= E

1 (E 2 − m2 c4 ) 2mc ˜ 2

und schreiben die relativistische Radialgleichung als { } 2 2˜ ˜l + 1) 2mγ 1 ∂ ℏ l( ˜ ˜ ψ = 0. −ℏ2 r+ − − 2m ˜E r ∂r2 r2 r Sie ist nun v¨ollig analog zur nichtrelativistischen Radialgleichung. Daher brauchen wir sie nicht erneut zu l¨osen, sondern k¨onnen die Ergebnisse von

420

25 Relativistische Quantenmechanik

dort u ur die gebundenen Zust¨ande sind die resultierenden ¨bernehmen. F¨ ˜ Werte f¨ ur E mit unseren Substitutionen: 2

1 ˜ ˜ = − 2mγ E , 4ℏ2 (N + ˜l + 1)2 wobei N = 0, 1, 2, . . . die radiale Quantenzahl ist. Mit der tats¨achlichen Energie E geschrieben heißt das 2Eγ 2 1 1 (E 2 − m2 c4 ) = − 2 2 . 2E 4ℏ c (N + ˜l + 1)2 Dies nach E aufzul¨osen ist nicht mehr schwer. Wir f¨ uhren noch die Hauptquantenzahl 1 f¨ ur λ = ±ℏλ0 n=N +1+j± 2 ein, so dass N + ˜l + 1 = n − j − de Force zum Endergebnis { E = mc2

[

1 2

+ λ0 ist, und gelangen nach dieser Tour

1 + α2 n − j −

1 2

+

√(

j+

) 1 2 2

]−2 }−1/2 − α2

.

Dieses Resultat stellt eines der Glanzst¨ ucke der Dirac-Theorie dar. Die Energien h¨angen von den beiden Quantenzahlen n und j ab und werden mit Enj bezeichnet. Beim Vergleich mit dem nichtrelativistischen Ergebnis muss beachtet werden, dass obiger Ausdruck noch die Ruheenergie mc2 enth¨alt. Gegen¨ uber der Balmerformel, deren Energien nur von n abh¨angen, ist die Entartung teilweise aufgehoben. Dies ist die Feinstruktur, die wir bereits im Kapitel 13 besprochen haben. Dort wurde auch beschrieben, dass es noch eine verbleibende Entartung bez¨ uglich des Bahndrehimpulses gibt. Wir wollen damit unsere Diskussion der relativistischen Quantenmechanik abschließen. Es soll aber nicht verschwiegen werden, dass auch die Diracgleichung im Rahmen der Ein-Teilchen-Quantenmechanik mit Problemen behaftet ist. Dazu geh¨ort das Klein’sche Paradoxon, bei dem in gewissen Streu-Situationen Transmissionskoeffizienten auftreten, die gr¨oßer als 1 sind. Es zeigt sich, dass die Existenz der Positronen und die M¨oglichkeit der Paarerzeugung und -vernichtung dazu f¨ uhren, dass eine konsistente relativistische Quantentheorie nur als Vielteilchen-Theorie m¨oglich ist. Der

25.3 Diracgleichung

421

formale Rahmen der relativistischen Quantentheorie ist die Quantenfeldtheorie. Sie stellt eine konsistente Vereinigung von Quantentheorie und spezieller Relativit¨atstheorie dar und bildet die Grundlage der theoretischen Beschreibung der Elementarteilchenphysik.

¨ Ubungen ⃗ 2 + 2L ⃗ ·S ⃗ + ℏ2 − 1. Zeigen Sie, dass Λ2 = L 2. Begr¨ unden Sie, dass [Λ, r] = 0 und [Λ,

γ2 . c2

∂ ] ∂r

= 0.

A Dirac’sche δ-Funktion Das Kronecker-δ-Symbol ist definiert durch { 1, i = k δik = 0, i ̸= k

i, k ∈ Z.

F¨ ur beliebige Folgen (fi ) ist ∑

fi δik = fk .

i∈Z

Das Kroneckersymbol h¨angt nur von der Differenz i − k ab: δik = δi−k,0 . Gehen wir nun von den Folgen zu Funktionen f (x) mit x ∈ R u ¨ber. f (x) sei stetig. In Analogie zum Kroneckersymbol suchen wir ein Objekt δ(x) mit der Eigenschaft, dass ∫ ∞ f (x) δ(x − y)dx = f (y) −∞

f¨ ur alle f gelten soll. Gibt es eine solche Funktion δ(x)? Wegen ∫ ∞ f (x) δ(x)dx = f (0) −∞

ist i) ii)

δ(x) = 0 f¨ ur x ̸= 0, ∫ δ(x)dx = 1.

Eine solche Funktion gibt es nicht. F¨ ur sie w¨are δ(0) = ∞. Dennoch hat Dirac diese Funktion“ δ(x) eingef¨ uhrt. In der Physik und auch in der Ma” thematik wird vielf¨altig n¨ utzlicher Gebrauch von ihr gemacht. Die Rechtfertigung ihrer Existenz lieferte die Theorie der Distributionen. Distributionen: Distributionen sind lineare Funktionale auf Funktionen, d.h. eine Distribution G ist eine Abbildung:

f Funktion

↦−→ G[f ] ∈ C ,

424

A Dirac’sche δ-Funktion

die linear ist:

Beispiel:

G[αf1 + βf2 ] = α G[f1 ] + β G[f2 ], α, β ∈ C. ∫ G[f ] = g(x)f (x)dx heißt regul¨are Distribution.

Jetzt definieren wir die δ-Distribution durch δy [f ] = f (y). Dies ist keine regul¨are Distribution. Wir f¨ uhren dennoch die Schreibweise ∫ δy [f ] ≡ δ(x − y) f (x)dx ein und beachten dabei, dass das Symbol δ(x) keine Funktion bezeichnet, sondern nur unter dem Integral in obigem Sinne definiert ist. Anders gesagt ist durch ∫ δ(x − y) · · · dx ein lineares Funktional eingef¨ uhrt worden. Das Symbol δ(x) wird dessenungeachtet als δ-Funktion bezeichnet. Bemerkung: Als zul¨assige Funktionen f¨ ur f (x) nimmt man h¨aufig . S = {f |∞ -oft differenzierbar, schnell abfallend} oder

. Dl = {f |l -mal differenzierbar, mit kompaktem Tr¨ager}.

δ-Funktion als Limes von Funktionsfolgen: Die Funktionsschar ( ) 1 x2 . √ δϵ (x) = exp − 2 2ϵ 2πϵ2 besteht aus Gaußfunktionen der Breite ϵ. Sie erf¨ ullen δϵ (x) −→ 0 ϵ→0

f¨ ur x ̸= 0,

∫ δϵ (x)dx = 1.

A Dirac’sche δ-Funktion

425

Es gilt ∫ lim

f (x) δϵ (x)dx = f (0).

ϵ→0

Die linke Seite liefert also die δ-Distribution. Wir schreiben lim δϵ (x) = δ(x)

ϵ→0

und beachten dabei, dass der Limes immer außerhalb eines Integrals zu nehmen ist. Es gibt viele andere Folgen, die in analoger Weise die δ-Funktion liefern, z.B. ) ( 1 1 sin xϵ 2 1 oder die Lorentzkurven . x ϵπ ϵπ 1 + x22 ϵ ϵ Rechenregeln: 1.

xδ(x) = 0

2.

δ(ax) =

1 δ(x), |a|

a ∈ R,

insbesondere ist δ eine gerade Funktion. 3.

δ(g(x)) =

∑

1

i

|g ′ (xi )|

δ(x − xi ),

wobei die Summe u ¨ber die Nullstellen xi von g(x) geht, und wir voraussetzen, dass es nur einfache Nullstellen gibt. Beweis: F¨ ur hinreichend kleines ϵ > 0 ist g(x) in allen Intervallen [xi − ϵ, xi + ϵ] um die Nullstellen herum invertierbar. Es ist ∫ δ(g(x)) f (x)dx =

∑∫ i

xi +ϵ

δ(g(x)) f (x)dx .

xi −ϵ

Mit der Substitution x = g −1 (y),

y = g(x),

dy = g ′ (x) dx

folgt ∫

xi +ϵ

∫

g(xi +ϵ)

δ(g(x)) f (x)dx = xi −ϵ

δ(y) f (x) g(xi −ϵ)

dy 1 = f (xi ) ′ . g ′ (x) |g (xi )|

426

A Dirac’sche δ-Funktion δ(x2 − x20 ) =

Beispiel:

4. mit der Stufenfunktion

1 {δ(x − x0 ) + δ(x + x0 )} 2|x0 |

δ(x) = { 0, Θ(x) = 1,

d Θ(x) dx x 0.

Der Wert Θ(0) ist unbestimmt. Eine verbreitete Konvention ist Θ(0) = 12 . Beweis: i) f¨ ur a > 0 ist

∫

a

′

f (x) Θ (x)dx = −a

∫ = f (a) −

[f (x) Θ(x)]a−a

∫ −

a

f ′ (x) Θ(x)dx

−a

a

f ′ (x)dx = f (a) − {f (a) − f (0)} = f (0).

0

oder ii) es gilt

′

Θ (x) = 0

∫

∞

f¨ ur x ̸= 0 ,

Θ′ (x)dx = 1.

−∞

5.

δ(x) =

1 2π

∫

dk eikx ,

siehe den Anhang u ¨ber Fouriertransformation. Ableitungen: Die Ableitung der δ-Funktion kann dadurch definiert werden, dass man die G¨ ultigkeit der partiellen Integration verlangt, d.h. ∫ ∫ δ ′ (x)f (x)dx = − δ(x)f ′ (x)dx = −f ′ (0), wobei die Randterme der partiellen Integration verschwinden. . dn Entsprechend gilt f¨ ur die n-te Ableitung δ (n) (x) = n δ(x) dx ∫ δ (n) (x)f (x)dx = (−1)n f (n) (0) . δ(x) ist beliebig oft differenzierbar. δ ′ (x) ist ungerade, δ ′′ (x) ist gerade, etc.

A Dirac’sche δ-Funktion

427

Dreidimensionale δ-Funktion: Mit der Definition (die hochgestellte (3) kennzeichnet hier die drei r¨aumlichen Dimensionen und nicht die dritte Ableitung) δ (3) (⃗r ) = δ(x)δ(y)δ(z) gilt ∫

δ (3) (⃗r − ⃗r0 )f (⃗r )d3 r = f (⃗r0 ).

In der Physik wird die dreidimensionale δ-Funktion zur Beschreibung einer punktf¨ormigen Verteilung einer Masse oder Ladung verwendet: ρ(⃗r ) = Q δ (3) (⃗r − ⃗r0 ), f¨ ur ⃗r ̸= ⃗r0 ,

ρ(⃗r ) = 0 ∫

ρ(⃗r )d3 r = Q .

In der Elektrostatik wird gezeigt, dass das Potenzial einer Punktladung φ(⃗r ) =

Q 1 4πε0 r

lautet. Es erf¨ ullt die Poissongleichung ∆φ(⃗r ) = −

1 ρ(⃗r ). ε0

Also muss gelten 1 ∆ = −4πδ (3) (⃗r ). r Beweis: ( ) 1 ⃗r 1 i) f¨ ur ⃗r ̸= ⃗0 : ∆ = ∇ · ∇ = −∇ 3 = 0 r r r ) ∫ ∫ ∮ ( ∮ 1 3 1 3 1 ⃗r ⃗ ii) ∆ d r= ∇·∇ d r = ∇ · df = − · df⃗ 3 r r r V V ∂V ∂V r ∮ 1 2 r dΩ = −4π. =− 2 ∂V r

428

A Dirac’sche δ-Funktion

Distributionsformel: Es gilt 1 1 = P ∓ iπδ(x) f¨ ur ϵ → 0, x ± iϵ x wobei P die Hauptwertvorschrift f¨ ur Integrale bezeichnet: {∫ −ϵ } ∫ b ∫ b f (x) f (x) f (x) . P dx = lim dx + dx . ϵ→0 x x x a a ϵ ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 = − + + . Beweis: x + iϵ 2 x + iϵ x − iϵ 2 x + iϵ x − iϵ Erste Klammer:

1 1 ϵ − = −2 i 2 −→ −2πi δ(x). x + iϵ x − iϵ x + ϵ2 ϵ→0

F¨ ur die zweite Klammer erhalten wir im Integral ∫ ∞ ∫ ∫ ∫ ∞ f (x) f (x) f (z) f (z) dx + dx = dz + dz −∞ x − iϵ C1 z C2 z −∞ x + iϵ mit folgenden Integrationswegen in der komplexen Ebene:

C1 C2

Die Integrale u ¨ber die Kreisb¨ogen heben sich gegenseitig auf, denn mit z = r eiϕ ,

dz = ir eiϕ dϕ = iz dϕ

ist der Beitrag der Kreisb¨ogen ∫ π ∫ 2π iϕ −i f (re )dϕ + i f (reiϕ )dϕ −→ if (0)(−π + π) = 0. 0

π

r→0

Die restlichen Wegintegrale geben gerade den Hauptwert.

B Fouriertransformation B.1 Fourierreihen Zun¨achst beginnen wir zur Erinnerung mit Fourierreihen. Es sei eine periodische Funktion f (x) mit Periode L gegeben: f (x) = f (x + L).

f (x )

x L

0

2L

Dann sagt die Theorie der Fourierreihen, dass (unter gewissen Voraussetzungen an die Funktion f ) eine Entwicklung nach harmonischen Funktionen existiert: ∑ ∑ x f (x) = cn e2πin L = cn eikn x n

n∈Z

mit kn =

2πn . L

Die Fourierreihe ist im Sinne einer Konvergenz im Mittel zu verstehen. F¨ ur die Koeffizienten gilt cn =

1 L

∫

L 2

dx f (x) e−ikn x .

−L 2

430

B Fouriertransformation

Wir k¨onnen die Beziehung zwischen der Funktion f (x) und der Folge cn als Hin- und R¨ uckweg einer Fouriertransformation auffassen: Fouriertransformation −→

f (x)

{cn }

−→

f (x).

Das System der Funktionen eikn x ≡ un (x) bildet somit eine Basis im Raum der L-periodischen Funktionen (die gewisse ¨ mathematische Einschr¨ankungen erf¨ u [ llen). ]Aquivalenterweise k¨onnen wir L L sie als Funktionen auf dem Intervall − 2 , 2 betrachten. Orthonormiertheit: Setzen wir die Formel f¨ ur die Hintransformation in diejenige f¨ ur die R¨ ucktransformation ein, erhalten wir { ∫ L } ∫ L ∑ ∑ 2 2 1 1 cn = dx e−ikn x cm eikm x = cm dx e−i(kn −km )x L L −L L − m m 2

2

1 L

⇒

∫

L 2

dx e−ikn x eikm x = δn,m

−L 2

oder 1 L

∫

L 2

dx u∗n (x) um (x) = δn,m .

−L 2

Dies ist die Orthonormalit¨at der Funktionen un (x). Vollst¨ andigkeit: Wenn wir die Formel f¨ ur die R¨ ucktransformation in diejenige f¨ ur die Hintransformation einsetzen, folgt in entsprechender Weise } { ∫ L ∫ L ∑ ∑ 2 2 1 1 eikn x e−ikn y f (x) = eikn x dy f (y) e−ikn y = dy f (y) L L L L − − n n 2

⇒

1∑ un (x) u∗n (y) = δ(x − y) L n

2

f¨ ur

−

L L < x, y < . 2 2

Dies ist die Vollst¨andigkeitsrelation. Sie sagt nach der gerade vollzogenen Rechnung aus, dass jedes f (x) nach den Funktionen un (x) entwickelt werden kann.

B.2 Fourierintegrale

431

B.2 Fourierintegrale [ ] Statt des Intervalles − L2 , L2 soll nun die gesamte reelle Achse betrachtet werden. Wir werden dazu den Limes L → ∞ in heuristischer Weise vollziehen. Mit der Schreibweise f˜n = L cn ,

∆k =

2π L

lauten die obigen Transformationen ∑ ∆k

f (x) =

2π

n

f˜n eikn x

L

∫2

f˜n =

dx f (x) e−ikn x .

−L 2

Der Limes L → ∞ f¨ uhrt auf die Fouriertransformation ∫∞ f (x) =

dk ˜ f (k) eikx , 2π

−∞

∫∞ dx f (x) e−ikx .

f˜(k) =

−∞

Die Funktionen uk (x) = eikx bilden also eine Basis“. Allerdings sind f¨ ur f (x) nicht alle Funktionen ” zugelassen. Die pr¨azisen Bedingungen sollen hier nicht er¨ortert werden. Es sei aber soviel gesagt, dass f (x) h¨ochstens endlich wie Unstetigkeitsstellen besitzen darf, und dass ∫ ∞

|f (x)|dx < ∞ −∞

432

B Fouriertransformation

sein muss. Folglich muss insbesondere gelten f (x)

−→

x→±∞

0.

Genauso wie zuvor erh¨alt man die Orthonormalit¨ats- und Vollst¨andigkeitsRelationen. Orthonormalit¨at: ∫

∞

dx u∗k (x)ul (x) = 2πδ(k − l)

−∞

Vollst¨andigkeit: ∫

∞

dk uk (x)u∗k (y) = δ(x − y) −∞ 2π Die beiden Relationen sind sogar ¨aquivalent, wie man durch Vertauschen von x, y mit k, l sieht. Parseval’sche Gleichung: Sei

∫ f (x) =

dk ˜ f (k) eikx , 2π

∫ g(x) =

dk g˜(k) eikx . 2π

Dann finden wir ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dk ˜∗ dk ˜∗ ∗ −ikx dx f (x) g(x) = dx f (k) e g(x) = f (k) dx g(x) e−ikx 2π 2π ∫ ∫ dk ˜∗ ∗ f (k) g˜(k) . ⇒ dx f (x) g(x) = 2π Diese Beziehung heißt Parseval’sche Gleichung. 3 Dimensionen: In drei Dimensionen lauten die Formeln f¨ ur die Fouriertransformation und die Orthonormalit¨ats- und Vollst¨andigkeits-Relationen d3 k ˜ ⃗ i⃗k·⃗r f (⃗r ) = int f (k ) e (2π)3 ∫ ⃗ f˜(⃗k ) = d3 r f (⃗r ) e−ik·⃗r ∫ ∫

⃗ ⃗′ d3 r e−ik·⃗r eik ·⃗r = (2π)3 δ (3) (⃗k − ⃗k ′ )

d3 k i⃗k·⃗r −i⃗k·⃗r ′ e e = δ (3) (⃗r − ⃗r ′ ) . (2π)3

C Formelsammlung Die Formelsammlung ist dazu gedacht, das rasche Nachschlagen von einigen der wichtigsten Formeln und Sachverhalte zu erleichtern. Sie kann auch als Ausgangspunkt f¨ ur Pr¨ ufungsvorbereitungen dienen, soll aber keineswegs dem verbreiteten Irrtum Vorschub leisten, Lernen sei mit dem Pauken von Formeln identisch. Grundlagen p⃗ = ℏ⃗k , E = ℏω , p = h/λ

Freie Materiewellen, de Broglie-Beziehungen: ⃗

ebene Wellen: ψ(⃗r, t) = A ei(k·⃗r−ωt) ∫ Wellenpakete: ψ(⃗r, t) =

mit

ω=

d3 k ⃗ φ(⃗k ) ei(k·⃗r−ωt) , (2π)3

ℏ 2 k 2m zerfließen mit der Zeit

Wahrscheinlichkeitsinterpretation: |ψ(⃗r, t)|2 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte daf¨ ur, das Teilchen bei einer Ortsbestimmung am Punkt ⃗r zu finden. ∫ 3 Normierung: d r |ψ(⃗r, t)|2 = 1 ∫ Erwartungswerte: ⟨A⟩ = d3 r ψ ∗ (⃗r, t) A ψ(⃗r, t) ∫ 3 d k ˜⃗ ⃗ Impulsraum: ψ(⃗r, t) = ψ(k, t) eik·⃗r 3 (2π) Impulsoperator: P⃗ = ℏi ∇, Breiten:

Ortsoperator:

(∆x)2 = ⟨x2 ⟩ − ⟨x⟩2 ,

Heisenberg’sche Unsch¨arferelation:

⃗ ψ(⃗r ) = ⃗r ψ(⃗r ) Q

(∆p)2 = ⟨p2 ⟩ − ⟨p⟩2 ∆p · ∆x ≥

ℏ 2

Schr¨odingergleichung allgemein:

iℏ

∂ ψ(⃗r, t) = Hψ(⃗r, t) ∂t

Teilchen im Potenzial:

∂ iℏ ψ(⃗r, t) = ∂t

Hamiltonoperator H =

P⃗ 2 ⃗ + V (Q) 2m

(

) P⃗ 2 + V (⃗r ) ψ(⃗r, t) 2m

434

Formelsammlung

∂ ρ(⃗r, t) + ∇ · ⃗j(⃗r, t) = 0 ∂t ℏ (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) mit ρ = ψ ∗ ψ , ⃗j = 2m i Superpositionsprinzip: f¨ ur Zust¨ande ψ1 , ψ2 ist αψ1 + βψ2 wieder ein physikalischer Zustand.

Kontinuit¨atsgleichung:

Station¨are Zust¨ande: ψ(⃗r, t) = e−i

Et ℏ

ψ(⃗r )

Zeitunabh¨angige (station¨are) Schr¨odingergleichung:

Hψ(⃗r ) = E ψ(⃗r )

Wellenmechanik in einer Dimension Rand-/Anschluss-Bedingungen: |V (x)| < ∞

′

ψ(x) ist stetig. ψ (x) ist stetig, wenn

Teilchen im Kasten, unendlich hoher √ Potenzialtopf: ( nπ ) 2 ℏ2 π 2 2 · n , ψ (x) = sin x , n = 1, 2, 3, . . . En = n 2mL2 L L Endlicher Potenzialtopf: diskretes Spektrum: endlich viele gebundene Zust¨ande kontinuierliches Spektrum: Streuzust¨ ⏐ ande ⏐ ⏐ jT ⏐ Transmissionskoeffizient: T = ⏐ j ⏐, ⏐ ein ⏐ ⏐ ⏐ Reflexionskoeffizient: R = ⏐ jjR ⏐, T + R = 1 ein

( Γ )2 Resonanzen:

Breit-Wigner-Funktion T ≈

2

(E − ER )2 +

( Γ )2 2

Potenzialbarriere, Tunneleffekt: ⎫ ⎧ ⎬ ⎨ 2 ∫b √ 2m(V (x) − E) dx Gamowfaktor T ≈ exp − ⎭ ⎩ ℏ a

Allgemeine eindimensionale Potenziale: a) klassisch erlaubt: E > V (x), ψ ist oszillatorisch b) klassisch verboten: E < V (x), ψ ist von der Achse weggekr¨ ummt, speziell: exponentielles Abklingen ′′ c) klassische Umkehrpunkte: E = V (x), ψ (x) = 0

Formelsammlung

435

Harmonischer Oszillator: ) ( 1 2 mω 2 2 1 † H= , P + Q = ℏω a a + 2m ( 2) 2 √ 1 , a|n⟩ = n|n − 1⟩ , En = ℏω n + 2 1 2 1 Hn (y) e− 2 y φn (y) = √ √ 2n n! π

[a, a† ] = 1 √

a† |n⟩ =

n + 1 |n + 1⟩

Mathematischer Formalismus Hilbertraum H = L2 (R) bzw. L2 (R3 ) ∫ ⟨ψ1 |ψ2 ⟩ = d3 r ψ1∗ (⃗r )ψ2 (⃗r ), ∥ψ∥2 = ⟨ψ|ψ⟩ < ∞ Orthonormalbasis: ⟨m|n⟩ ∑ = δmn , Vollst¨andigkeit: |ψ⟩ = cn |n⟩ mit cn = ⟨n|ψ⟩ n

Vollst¨andigkeitsrelation:

∑

n |n⟩⟨n|

=1

Observable ↔ selbstadjungierte Operatoren A† = A Messwerte = Eigenwerte sind reell Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal Vollst¨andigkeit: Die eigentlichen und uneigentlichen Eigenvektoren spannen den ganzen Hilbertraum auf. ⟨ψ|A|ψ⟩

Erwartungswerte:

⇔

A und B sind vertr¨aglich (kommensurabel) Kommutator

[A, B] = AB − BA,

AB − BA = 0

Born-Jordan:

Allgemeine Unsch¨arferelation: ∆A · ∆B ≥

1 2

[Pj , Qk ] =

ℏ δjk 1 i

|⟨ [A, B] ⟩|

Uneigentliche Impulseigenvektoren: |k⟩ ↔ eikx Uneigentliche Ortseigenvektoren: |q⟩ ↔ δ(x − q),

ψ(x) = ⟨x|ψ⟩

Zeitliche Entwicklung Zeitentwicklungsoperator

U (t) = exp(− ℏi Ht)

Schr¨odingerbild: |ψ(t)⟩ = U (t)|ψ(0)⟩, Heisenbergbild:

iℏ

∂ |ψ(t)⟩ = H|ψ(t)⟩ ∂t

|ψH ⟩ = U † (t)|ψ(t)⟩ = |ψ(0)⟩, iℏ

AH (t) = U † (t)AU (t)

d ∂ AH (t) = [AH (t), H] + iℏ AH (t) dt ∂t

436

Formelsammlung

A ist Erhaltungsgr¨oße ⇐⇒ [A, H] = 0. Drehimpuls ⃗ =Q ⃗ × P⃗ , Drehimpulsoperator: L ⃗ 2 |l, m⟩ = ℏ2 l(l + 1)|l, m⟩ , L mit l ∈ {0, 12 , 1, . . . }, Bahndrehimpuls:

[Li , Lj ] = iℏεijk Lk

L3 |l, m⟩ = ℏm|l, m⟩

m ∈ {l, l − 1, . . . , −l}

l ∈ {0, 1, 2, 3, . . . }

Teilchen im Zentralpotenzial:

ψ(⃗r ) = f (r) Yl,m (ϑ, φ)

Radiale Schr¨odingergleichung: ( ) ℏ2 ∂ 2 ℏ2 l(l + 1) − + + V (r) u(r) = Eu(r) 2m ∂r2 2mr2 wobei u(r) = rf (r) ,

u ∼ rl+1 f¨ ur r → 0

Zweiatomige Molek¨ ule: E ≈ V (rl ) +

ℏ2 l(l + 1) + ℏωl (n + 21 ) 2mrl2

Wasserstoffatom V (r) = −

e20 1 , 4πε0 r

l ≤ n − 1,

H|n l m⟩ = En |n l m⟩ ,

En = −

me40 1 2(4πε0 )2 ℏ2 n2

|m| ≤ l

Teilchen im elektromagnetischen Feld )2 1 (⃗ ⃗ + eΦ P − eA H= 2m Normaler Zeemaneffekt:

E = En + ℏωL · ml ,

ωL =

e0 B 2m

Spin ⃗ = ℏ ⃗σ , S 2

( σ1 =

0 1 1 0

)

( ,

σ2 =

0 −i i 0

)

( ,

σ3 =

1 0 0 −1

Pauligleichung: ( ) ∂ ψ+ (⃗r, t) iℏ ∂t ψ− (⃗r, t) { }( ) )2 1 (⃗ eℏ ψ+ (⃗r, t) ⃗ ⃗ = P − eA(⃗r, t) + eΦ(⃗r, t) − ⃗σ · B(⃗r, t) ψ− (⃗r, t) 2m 2m Addition von Drehimpulsen:

|j1 − j2 | ≤ j ≤ j1 + j2

)

Formelsammlung

437

Zeitunabh¨ angige nichtentartete St¨ orungstheorie En = En0 + λEn1 + λ2 En2 + · · · ∑ |⟨m0 |H1 |n0 ⟩|2 En1 = ⟨n0 |H1 |n0 ⟩ , En2 = 0 En0 − Em H = H0 + λH1 ,

m̸=n

Feinstruktur des Wasserstoffspektrums: 2 2 1 1 ( )2 ⃗ ·L ⃗ γ + πℏ γ δ (3) (Q ⃗ ), γ = e0 S H1 = − 3 2 P⃗ 2 + 2 2 3 2 2 8m c 2m c R 2m c 4πε0 { ( )} α2 α2 3 n e20 Enj = −mc2 2 1 − 2 − mit α = 2n n 4 j + 21 ℏc(4πε0 ) Mehrere Teilchen Ausschließungsprinzip (Pauliverbot): Jeder Ein-Teilchen-Zustand kann h¨ochstens von einem Elektron besetzt werden. Pauliprinzip: Die Wellenfunktion eines Systems von Elektronen ist total antisymmetrisch. Orthohelium: Gesamtspin 1, Ortsfunktion antisymmetrisch Parahelium: Gesamtspin 0, Ortsfunktion symmetrisch, Grundzustand Ritz’sches Variationsverfahren:

E0 = inf ψ

⟨ψ|H|ψ⟩ ⟨ψ|ψ⟩

Zeitabh¨ angige St¨ orungstheorie H(t) = H0 + H1 (t) ,

|ψ(t)⟩ =

∑

ck (t)|k⟩e−iωk t

k

ck (t) = δkn −

i ℏ

t

∫

′

dt′ ⟨k|H1 (t′ )|n⟩e−i(ωn −ωk )t

0

2π ρ(En )|⟨α|H1 |n⟩|2 ℏ Absorption und induzierte Emission:

Fermis goldene Regel:

Wn→m =

Wn→α =

4π 2 ⃗ 2 u(ωmn ) |⟨m|⃗e · d|n⟩| ℏ2 (4πε0 )

Quantisiertes Strahlungsfeld √ { } h ∑ 1 ⃗ ⃗ † ⃗ A(⃗r ) = √ ⃗eλ (⃗k ) aλ (⃗k ) eik·⃗r + aλ (⃗k ) e−ik·⃗r 4πε0 V ωk ⃗k,λ

438

Formelsammlung [ ] aλ (⃗k ), a†λ′ (⃗k ′ ) = δλλ′ δ⃗k ⃗k′ 1 ,

∑

H=

ℏωk a†λ (⃗k )aλ (⃗k )

⃗k,λ

spontane Emission:

Wn→m =

ω3 4 ⃗ 2 |⟨m|d|n⟩| 3 3 ℏc (4πε0 )

Statistischer Operator ⟨A⟩ = Sp(ρA) , Sp(ρ) = 1 , Sp(ρ2 ) ≤ 1 , Sp(ρ2 ) = 1 ⇔ ρ ist reiner Zustand. Station¨ are Streutheorie φ(⃗r ) −→ eikz + f (ϑ) f (ϑ) =

eikr , r

ℏ2 k 2 , 2m

dσ = |f (ϑ)|2 dΩ ∞ 4π ∑ sin δl Pl (cos ϑ) , σ = 2 (2l + 1) sin2 δl , k

∞ 1∑ (2l + 1) eiδl k l=0

E=

l=0

4π Im f (0) σ= k Born’sche N¨aherung:

f

(1)

m (ϑ, φ) = − 2πℏ2

∫

′

⃗ ⃗

d3 r′ V (⃗r ) e−i(k−k0 )·⃗r

Pfadintegrale ⟨x|e−iHt |y⟩ = 1 ZE [j] = Z

∫

Dx eiS[x]

∫ Dx e

− 21 (x,Ax)+(j,x)

{ = exp

} 1 −1 (j, A j) 2

Relativistische Quantenmechanik Klein-Gordon-Gleichung: Diracgleichung:

(ℏ2 ∂µ ∂ µ + m2 c2 )ψ(x) = 0

(γ µ Pµ − mc)ψ = 0 ,

γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν 1

′

Literaturhinweise Lehrbu ¨ cher: • F. Schwabl, Quantenmechanik, Springer, Berlin, 2007 • S. Gasiorowicz, Quantenphysik, Oldenbourg, M¨ unchen, 2005 • W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik, B¨ande 5/1 und 5/2: Quantenmechanik, Springer, Berlin, 2007 • D.J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, New Jersey, 2004 • G. Grawert, Quantenmechanik, AULA-Verlag, Wiesbaden, 1985 • W.R. Theis, Grundz¨ uge der Quantentheorie, Teubner, Stuttgart, 1985 • C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Lalo¨e, Quantenmechanik, Band 1, de Gruyter, Berlin, 2009 • A. Messiah, Quantenmechanik I, de Gruyter, Berlin, 1991 • P.C.W. Davies, D.S. Betts, Quantum Mechanics, Chapman & Hall, London, 1994 • A.I.M. Rae, Quantum Mechanics, Chapman & Hall, London, 2007 • E. Rebhan, Theoretische Physik: Quantenmechanik, Spektrum, 2008 • P. Reineker, M. Schulz, B.M. Schulz, Theoretische Physik III: Quantenmechanik 1, Wiley-VCH, Weinheim, 2007 Allgemeinverst¨ andliche Bu ¨ cher zur Interpretation der Quantenmechanik: • A.I.M. Rae, Quantenphysik: Illusion oder Realit¨ at?, Reclam, Ditzingen, 1996 • F.A. Wolf, Der Quantensprung ist keine Hexerei, Fischer-Taschenbuch, Frankfurt, 1990 • F. Selleri, Die Debatte um die Quantentheorie, Vieweg, Wiesbaden, 1990 Anwendung von Pfadintegralen: • L.S. Schulman, Techniques and Applications of Path Integration, Dover Publications, Mineola, N.Y., 2005

440

Literaturhinweise • A. Das, Field Theory, a Path Integral Approach, World Scientific, Singapore, 2006, Chaps. 7, 8 • V.G. Kiselev, Ya.M. Shnir, A.Ya. Tregubovich, Introduction to Quantum Field Theory, Gordon and Breach, Amsterdam, 2000

Index Absorption, 293, 303, 304, 306, 307 Aharonov-Bohm-Effekt, 374–378 Anderson, Carl, 413 Austauschenergie, 274, 286, 291 Balmerformel, 194, 203, 258, 317, 417, 420 Besselfunktionen sph¨arische, 184, 348, 351 Bohr, Niels, 19 Born, Max, 17, 97, 175, 180, 200, 355, 359 Bosonen, 270, 286–288 Breit-Wigner-Funktion, 61, 354 Clifford-Algebra, 409 Coulombenergie, 274, 291 Coulombproblem, 191–204, 403, 417–421 Davisson-Germer-Experiment, 3 de Broglie, Louis, 1, 2 de Broglie-Beziehungen, 2, 5 Dirac, Paul, 93, 267, 270, 315, 406, 412, 423 Dirac-See, 412 Diracgleichung, 406–421 Diracnotation, 93, 122, 123, 126 Dispersionsbeziehung, 5 Doppelspalt-Experiment, 13, 18, 239, 361, 375 Drehimpuls, 151–173, 200, 202, 213, 215, 231, 241–247, 249, 256, 261, 262, 351 Dualismus, 1, 18–20 Dysonreihe, 297

Ehrenfest, Paul, 149 Eigenvektor, 88–90, 121, 125, 128, 130, 160, 162, 189, 212, 225, 227, 228, 242, 250, 252, 253, 324, 327 uneigentlicher, 122, 124, 126– 128 Eigenwert, 36, 46, 88–90, 95, 96, 102, 103, 106, 107, 119– 121, 128, 146, 158, 160, 161, 163, 179, 189, 194, 201–203, 228, 242, 250, 254, 276, 327, 372, 373, 392 uneigentlicher, 122, 124, 127, 128 Einstein, Albert, 1, 215, 220, 270, 307, 332, 336, 337 Einsteinkoeffizient, 306, 308, 320 Elektronenbeugung, 3 Emission induzierte, 293, 304, 306, 307 spontane, 306–308, 315–320 Energiedarstellung, 138–140, 148, 300 Entartung, 46, 78, 89, 120, 189, 194, 203, 204, 211, 254, 275 EPR-Paradoxon, 332 Feinstruktur, 255–260, 420 Feinstrukturkonstante, 256, 419 Fermi, Enrico, 301, 318, 319 Fermienergie, 75 Fermionen, 270, 282, 286–288, 412 Fock, Vladimir, 403 Gamowfaktor, 72, 73, 75, 399

442 Gelfand-Yaglom-Methode, 393 Gemisch, 321–326, 328–330 Gerlach, Walter, 215 Gordon, Walter, 403 Gruppengeschwindigkeit, 6, 8 Hamiltonoperator, 34–36, 90, 100, 102, 105, 106, 119, 121, 124, 138, 143, 144, 149, 154, 156, 176, 189, 205, 210, 212, 220, 221, 224, 249, 250, 255, 260, 264– 266, 273, 276, 282, 290, 293, 311, 363 Hartree-Fock-Approximation, 282–286 Hauptquantenzahl, 194, 197, 203, 258, 420 Heisenberg, Werner, 28–30, 180, 200, 267 Heisenbergbild, 148–149, 294, 363 Heitler-London-Verfahren, 290– 292 Hermitepolynome, 110 Hilbertraum, 81–90, 102, 121– 125, 127, 128, 137, 139, 145, 148, 153, 218, 263, 321, 322, 361 Impulsdarstellung, 135–137, 141 Impulsoperator, 23–26, 33, 121– 122, 127, 129, 135, 136, 189 Impulsraum, 20–25, 27, 136 Jordan, Pascual, 97, 164, 180, 200, 315 Klein, Oskar, 315, 403 Klein-Gordon-Gleichung, 402–406

Index Kontinuit¨atsgleichung, 12, 34, 58, 404, 408 Kugelfl¨achenfunktionen, 168, 169, 346, 347 Laguerrepolynome, 196 Land´efaktor, 220, 221, 262 Landauniveaus, 211 Larmorfrequenz, 213, 223 Larmorpr¨azession, 223 Legendrepolynome, 168 Lenz, Wilhelm, 164 Lie-Algebra, 160, 202 Mehlerformel, 373, 374 Mensing, Lucy, 164, 180 N¨aherung Born’sche, 357–360 nichtrelativistische, 416 semiklassische, 390, 397 Operator selbstadjungierter, 87, 89–91, 95, 102, 121–131, 143, 151 statistischer, 321–326 Orthogonalit¨at, 42, 83, 88, 121, 128, 136, 140, 282, 347 Orthohelium, 272, 273, 275, 286, 288 Orthonormalit¨at, 93, 122, 124, 430, 432 Ortsdarstellung, 135, 139–141, 155, 157, 263, 265 Ortsoperator, 23–26, 97, 123–124, 129, 135, 136, 189, 290, 381 Ortsraum, 22–25, 27, 133, 135, 145, 154, 166

Index

443

Parahelium, 272, 273, 275, 286, 288 Parit¨at, 99–100, 170 Pauli, Wolfgang, 29, 164, 180, 192, 200, 201, 267, 270, 301, 405 Pauligleichung, 220, 222, 224, 225, 416 Paulimatrizen, 217, 230, 407, 414 Pauliprinzip, 264, 267, 268, 270, 272, 274, 281, 291, 412 Pauliverbot, 267–269, 273 Phasengeschwindigkeit, 5 Photonen, 2, 105, 270, 309–320 Planck, Max, 1 Positronen, 413 Potenzial effektives, 159, 178, 191 Projektionsoperator, 90, 91, 93, 129, 236, 268, 322 Radialfunktion, 193, 196, 346, 347 Radialgleichung, 171–173, 178, 183, 192, 348, 418 Radialimpuls, 155, 157 Radius Bohr’scher, 197, 208 Resonanz, 59, 60, 66, 67, 354 Rydbergkonstante, 195 S¨akulargleichung, 254 Schr¨odinger, Erwin, 33, 330, Schr¨odingerbild, 143–147, 363 Schr¨odingergleichung radiale, 156, 158, 346 zeitabh¨angige, 33, 63, 115, 143, 148, 221, 264, 293, 328–330, 344

403 149,

102, 225, 342,

zeitunabh¨angige, 35, 39, 42, 52, 55, 77, 106, 111, 119, 154, 177, 210, 355 Slaterdeterminante, 269, 281, 282, 284, 285 Spektraldarstellung, 129, 130, 143 Spektrum, 51, 129, 130, 163, 175, 179, 192, 250, 255, 272, 373, 379 diskretes, 78, 89, 121, 301, 304, 327, 339 kontinuierliches, 79, 121–128, 300, 303, 339 Spin, 186, 215–240, 244–247, 256, 260–262, 264, 267, 270, 271, 275, 288, 289, 332, 414–416 Spin-Bahn-Kopplung, 187, 249, 279 Spinor, 216, 218, 222, 228, 229, 231, 408, 411, 414, 415 Spinorwellenfunktion, 219, 227, 231, 247 Stern, Otto, 4, 215 Stern-Gerlach-Versuch, 215, 224– 227, 232, 235, 236, 321, 323–325 Strahlungsgesetz Planck’sches, 307, 308, 320 Streuamplitude, 345, 346, 350, 352, 357–360 Streuphasen, 349, 350, 353, 354, 359, 360 Streuzustand, 54, 55, 58, 59, 61, 68, 121, 125, 128, 192, 339 Superpositionsprinzip, 86, 102, 330 Temple’s Operator, 418

444

Index

Theorem optisches, 350, 358 Tunneleffekt, 69, 71–76, 361, 396, 399 Unsch¨arferelation, 114

26–32,

101,

Variationsverfahren Ritz’sches, 276–279 Vertauschungsrelationen, 97, 151, 159, 160, 201, 202, 216 Vollst¨andigkeit, 43, 83, 84, 89, 90, 93, 122, 124, 125, 128, 137, 139, 140, 143, 169, 430, 432 Wahrscheinlichkeitsinterpretation, 16–17, 19, 102–104, 131, 331 Wechselwirkungsbild, 294, 295 Weißkopf, Victor, 405 Wellenfunktion radiale, 184, 197 Wellenpaket, 7, 8, 11, 13, 20, 26, 28, 55, 63–65, 115–117, 225, 342 Weyl, Hermann, 412, 414 Wickrotation, 379 Wirkungsquerschnitt, 67, 341, 345, 350, 353 Yukawapotenzial, 358 Zeemaneffekt, 205, 212–213, 215, 220, 260–262 Zentralfeldmodell, 279–281 Zustand gebundener, 47, 52, 78, 192, 195, 201, 339

reiner, 86, 102, 235, 321–328, 330 Zustandsdichte, 301 Zustandsreduktion, 102, 328, 329, 331 Zyklotronfrequenz, 210