Quantenmechanik mit Concept-Maps: Mit Struktur und Übersicht besser verstehen und lernen [1. Aufl. 2019] 978-3-662-59423-0, 978-3-662-59424-7

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-XI
Mathematische Grundlagen (Michael Wick)....Pages 1-35
Physikalische Grundlagen (Michael Wick)....Pages 37-69
Lösungen der Schrödinger-Gleichung in einer Dimension (Michael Wick)....Pages 71-101
Ket-Formalismus (Michael Wick)....Pages 103-129
Lösungen der Schrödinger-Gleichung in drei Dimensionen (Michael Wick)....Pages 131-161
Näherungsmethoden (Michael Wick)....Pages 163-169
Back Matter ....Pages 170-174

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Michael Wick

Quantenmechanik mit Concept-Maps Mit Struktur und Übersicht besser verstehen und lernen

Quantenmechanik mit Concept-Maps

Michael Wick

Quantenmechanik mit Concept-Maps Mit Struktur und Übersicht besser verstehen und lernen

Michael Wick Fakultät Angewandte Naturwissenschaften Hochschule Coburg Coburg, Deutschland

Ergänzendes Material zu diesem Buch finden Sie auf https://www.hs-coburg.de/wick ISBN 978-3-662-59423-0 ISBN 978-3-662-59424-7  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-59424-7 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Lisa Edelhäuser Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany

Aufbau Der Inhalt orientiert sich am Umfang einer einsemestrigen Vorlesung zur Quantenmechanik und umfasst folgende Themenblöcke: • Mathematische Grundlagen • Physikalische Grundlagen • Lösungen der Schrödinger-Gleichung in einer Dimension • Ket-Formalismus • Lösungen der Schrödinger-Gleichung in drei Dimensionen • Näherungsmethoden In der vorliegenden Fassung werden folgende Themen nicht behandelt: Spin, Mehrteilchensysteme, relativistische Effekte, Feynman-Pfadintegrale und Schwarzkörperstrahlung.

Theoretische Physik und Concept-Maps?

Viele Lehrbücher der theoretischen Physik sind von einer wesentlichen Einschränkung des klassischen Buchdrucks geprägt: Formeln und Text werden durchmischt in linearer Abfolge präsentiert. Jedoch sind insbesondere Herleitungen in der theoretischen Physik für eine solche Darstellung oft ungeeignet, weil deren Struktur meist baumförmig ist: Eine physikalische Herleitung besteht im Kern aus einer Reihe von Einzelschritten, wie Gleichung A, kombiniert mit Gleichung B, ergibt Gleichung C. In der Praxis führt die konventionelle Darstellung dazu, dass Herleitungen über mehrere Buchseiten verteilt und durch Formelnummerierung verbunden sind. So gehen leicht die Übersicht und die Wahrnehmung von Analogien verloren. Dieses Lehrbuch soll der nichtlinearen Struktur der Herleitungen und auch der visuellen Wahrnehmung der Studierenden besser gerecht werden, indem die Idee der Concept-Maps auf mathematische Zusammenhänge erweitert wird. Eine ConceptMap ist die Visualisierung von Begriffen (concepts) und deren Zusammenhängen in Form einer Karte (map). Durch diesen strukturierten, grafischen Aufbau werden die wesentlichen Schritte der Herleitung auf einen Blick sichtbar und prägen sich so gut ein.

Vorwort

• Erster Dank gehört der LaTeX-Community, deren Arbeit die effiziente Umsetzung dieses Layouts erst möglich gemacht hat. • Für Feedback und Ermutigung an verschiedenen Stadien des Projekts bedanke ich mich bei Julia Wagner, Jacqueline Smit, Mechthild und Eugen Gergert, Norbert König, Iris Ruhmann, Arnim Henze und Marco Mout. • Vielen Dank an Ursula Noack und Diana Ströhlein für ihr Feedback und ihre Anregungen zum grafischen Layout. • Besonderer Dank gilt Inga Emmerling und Klaus Drese für deren Korrek-turen und Verbesserungsvorschläge zum Manuskript. • Nicht zuletzt bedanke ich mich herzlich bei Lisa Edelhäuser und Bianca Alton vom Verlag Springer Spektrum für ihre Offenheit und ihren Enthusiasmus für dieses neue Lehrbuchkonzept sowie ihre Geduld und ihren Ideenreichtum in der Umsetzung.

Dank

Feedback zu diesem Buch ist ausdrücklich willkommen. Meine Kontaktdaten finden Sie auf meiner Homepage:

Diese Buch eignet sich als Ergänzung zur Vorlesung oder zu klassischen Lehrbüchern, wie zum Beispiel: • Torsten Fließbach: Quantenmechanik, Lehrbuch zur Theoretischen Physik III, 6. Aufl. • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/1, Quantenmechanik - Grundlagen, 8. Aufl. • J. J. Sakurai, Jim J. Napolitano: Modern Quantum Mechanics, 2. Aufl.

Coburg, Mai 2019

A Francesca

Michael Wick

Hier finden Sie auch Zusatzmaterial wie ausgewählte, leere Concept-Maps zum Selbstausfüllen und Hilfestellungen für die Aufgaben.

https://www.hs-coburg.de/wick

Feedback und Zusatzmaterial

Literaturhinweise

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Eigenvektoren versus Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . .

Additivität, Homogenität und Linearität . . . . . . . . . . . . . .

Hermitizität und Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dirac-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Orthogonalität und Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . .

Matrixdarstellung von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . .

Eigenfunktionsentwicklung versus Green-Funktion . . . . . . . . .

Finite Transformation versus infinitesimale Transformation . . . . . .

Taylor-Entwicklung und Verschiebungsoperator . . . . . . . . . .

Orthogonale Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Spezielle Matrizen und Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1 Mathematische Grundlagen

Orthogonale Vektoren versus orthogonale Funktionen . . . . . . . .

XI

Liste der verwendeten Formelzeichen

2

IX

Gebrauchsanleitung

Vektoren versus Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

Vorwort

Inhaltsverzeichnis

Ortsraum versus Impulsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Energie-Zeit-Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hamilton-Bewegungsgleichungen versus Schrödinger-Gleichung . . .

Ehrenfest-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kommutator versus Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . .

Wellenfunktionen in verschiedenen Räumen . . . . . . . . . . . .

Erwartungswerte und Unschärfe von Eigenzuständen . . . . . . . .

Erwartungswerte von Operatoren und Wellenfunktionen . . . . . .

Berechnung von Observablen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wellenfunktion und Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Schrödinger-Gleichung und Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . .

Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . .

Klassische Mechanik versus Quantenmechanik . . . . . . . . . . .

de-Broglie-Beziehung versus Planck-Einstein-Beziehung . . . . . .

Teilchen versus Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Physikalische Grundlagen

68

66

64

60

58

56

54

52

50

48

46

44

42

40

38

37

34

30

Hilbert-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kartesische Koordinaten versus Kugelkoordinaten . . . . . . . . . .

28

Generatoren der Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74 76 78 80 82 84 86 90 98

Kein Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Konstantes Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lineares Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quadratisches Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Potenzialsprünge und Anschlussbedingungen . . . . . . . . . . .

Unendlicher Potenzialtopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Potenzialstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Potenzialbarriere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ebene Welle versus Gaußsches Wellenpaket . . . . . . . . . . . .

103

Postulate der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Zeitentwicklungsoperator versus Propagator . . . . . . . . . . . . 124

Schrödinger-Bild versus Heisenberg-Bild . . . . . . . . . . . . . . 122

Zeitentwicklung, Translation, Rotation . . . . . . . . . . . . . . . 120

Quadratisches Potenzial – Dirac- versus Schrödinger-Quantisierung . . 118

Quadratisches Potenzial – Ortsraum versus Energieraum . . . . . . . 116

Quadratisches Potenzial – Dirac-Methode . . . . . . . . . . . . . 110

Darstellung im Ortsraum versus Darstellung in einem diskreten Raum . 108

Wellenfunktionen versus Kets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4 Ket-Formalismus

Gaußsches Wellenpaket – Ortsraum und Impulsraum . . . . . . . . 100

72

71

Gebundene versus ungebundene Wellenfunktionen . . . . . . . . .

3 Lösungen der Schrödinger-Gleichung in einer Dimension

131

163

Index

Glossar

172

170

Störungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Rayleigh-Ritz-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Wentzel-Kramers-Brillouin-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . 164

6 Näherungsmethoden

Differenzieller Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Lippmann-Schwinger-Gleichung - Fernfeldnäherung und Born-Näherung 158

Schrödinger-Gleichung versus Lippmann-Schwinger-Gleichung . . . . 156

Drehimpuls – Ortsraum versus Drehimpulsraum . . . . . . . . . . 154

Drehimpuls – Dirac-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Drehimpulskommutator versus reduzierter Drehimpulskommutator . . 148

Heisenberg-Kommutator versus Drehimpulskommutator . . . . . . 146

Schrödinger-Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Spektren des Wasserstoffatoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Bohrsches Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5 Lösungen der Schrödinger-Gleichung in drei Dimensionen

2

√ ∥⃗a∥ = ⃗a · ⃗a

Norm eines Vektors

⃗a · ⃗b =

5

i=1

N ∑

a i bi

Operator

f (x)

∥f ∥ = 1

12

⟨f , g ⟩ =

∥⃗a∥ = 1 6

f (x)g ∗ (x)dx

x ∈Ω

Funktionsargument 8

Ω

10

⟨f , f ⟩

∥f ∥ < ∞

Integrierbarkeit

∥f ∥ =

Norm einer Funktion √

Skalarprodukt∫zweier Funktionen

9

7

Normierte Funktion

4

3

1

Funktion

g (x) = O f (x)   ∫ Na1 ∑ ∗ √ √ .. a ⟨fNorm ,Normierte g ⟩ = f< (x)g (x)dx ⃗ ⃗ ⃗ a = Operator Funktionsargument Integrierbarkeit ⃗ zweier zweier Skalarprodukt Skalarprodukt a · b =  Matrix Normierter Vektor einer Funktion Funktion Vektors Vektor Index Norm ∥⃗ ∥∈ = xa1, Ω..., f∥= (x) 2, N ∥f gi∥⃗ (x) = O ⃗fabVektoren beines M⃗ ∥f ∥Funktion = ⟨f ⟩i afa1(x) ·, a= ∥∥f iFunktionen .⃗∞ Ω i=1 aN

⃗b = M⃗a

Matrix

a1   ⃗a =  ...  aN

Vektor  

Vektoren versus Funktionen

Normierter Vektor

Skalarprodukt zweier Vektoren

i = 1, 2, ..., N

Index

Gebrauchsanleitung

13

11

Eine Doppelseite besteht aus einer Formelseite und einer Textseite. Die Formelseite zeigt die Concept-Maps und hat eine Überschrift. Die ConceptMaps bestehen aus den FormelBoxen und deren Verbindungen. Boxen mit Titeln enthalten Ausgangspunkte und Ergebnisse. Zwischenergebnisse werden in Boxen ohne Titel dargestellt. Wichtige Ausgangspunkte und Ergebnisse werden mit einem gelben Rahmen gekennzeichnet. Ein Pfeil zwischen zwei Boxen steht für einen Zusammenhang zwischen den Formeln, der im Text erklärt wird. Gestrichelte Linien sollen Analogien betonen. Die Lesereihenfolge wird durch die Nummerierung 3 der Boxen vorgegeben.

Mathematisch gesehen transformiert ein Operator eine Funktion in neue Funktion. Um Operatoren besser zu verstehen, fassen wir auf dieser Seite die Analogien mit Matrizen zusammen. 1 Ein Vektor ordnet jedem Index i , einer natürlichen Zahl, eine Komponente ai zu. Hier nehmen wir an, dass die Komponenten reelle Zahlen sind. 2 Der Index i ist von 1 bis N definiert. 3 Eine Matrix M transformiert einen Vektor ⃗a in einen neuen Vektor ⃗b. 4 Das Skalarprodukt für Vektoren ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl zuordnet. Hier werden paarweise die Komponenten mit gleichen Indizes multipliziert und dann aufsummiert. 5 Die Norm eines Vektors ist die Wurzel des Skalarprodukts des Vektors mit sich selbst. 6 Ein normierter Vektor hat die Norm 1. 7 Eine Funktion ordnet jedem Funktionsargument x , einer reellen oder komplexen Zahl, einen Funktionswert f (x) zu. 8 Das Funktionsargument x hat einen Definitionsbereich Ω. 9 Ein Operator O transformiert eine Funktion f (x) in eine neue Funktion g (x). Einfache Beispiele für Operatoren sind die Ableitung d/dx oder die Multiplikation mit x . 10 Das Skalarprodukt für Funktionen ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Funktionen eine Zahl zuordnet. Hier werden die beiden Funktionen multipliziert, wobei eine Funktion komplex konjugiert wird. Danach folgt eine Integration über den Definitionsbereich.

2

2

|⟨f , g ⟩| ≤ ∥f ∥ ∥g ∥

2

2

Anmerkung 2: Eine wichtige Eigenschaft des Skalarprodukts, die wir bei der Herleitung der Heisenberg-Unschärferelation nutzen werden, ist die Cauchy-SchwarzUngleichung:

Anmerkung 1: Das Skalarprodukt für Funktionen hat folgende Eigenschaften, die sich direkt aus seiner Definition ergeben: • ⟨f , g ⟩ = ⟨g , f ⟩∗ • ⟨f , c1 g1 + c2 g2 ⟩ = c1 ⟨f , g1 ⟩ + c2 ⟨f , g2 ⟩ • ⟨c1 g1 + c2 g2 , f ⟩ = c1∗ ⟨g1 , f ⟩ + c2∗ ⟨g2 , f ⟩ • ⟨f , f ⟩ ≥ 0 Hier sind f , g , g1 und g2 Funktionen. c1 und c2 sind im Allgemeinen komplexe Zahlen. Das Skalarprodukt für Vektoren hat analoge Eigenschaften.

Norm der Funktion endlich ist.

12 Eine normierte Funktion hat die Norm 1. 13 Wir bezeichnen eine Funktion als quadratisch integrierbar, falls die

mit sich selbst.

11 Die Norm einer Funktion ist die Wurzel des Skalarprodukts der Funktion

Die Textseite enthält die Erklärungen zur Formelseite. Der erste Absatz gibt einen Überblick über das Thema der Doppelseite. Die Nummerierung 3 der Formelseite wird hier aufgegriffen und der Inhalt der Box erklärt. Manche Textseiten enthalten Beispiele, Anmerkungen oder Diagramme, die das Thema vertiefen. Ein Bleistiftsymbol weist auf kleinere mathematische Zwischenschritte hin, die die Leserin oder der Leser als Übung in unter 5 Minuten selbst nachrechnen kann.

δ(x) Dirac-Funktion mit dem Argument x δmn Kronecker-Delta

V (x) Potenzial in einer Dimension

V (⃗x ) Potenzial in drei Dimensionen

⃗p Impulsoperator in drei Dimensionen ⃗L Drehimpulsoperator in drei Dimensionen

∥⃗a∥ Norm eines Vektors ⃗a

⟨f , g ⟩ Skalarprodukt zweier Funktionen

⃗a · ⃗b Skalarprodukt zweier Vektoren

I Einheitsmatrix †

⃗x Ortsoperator in drei Dimensionen

tr(A) Spur der Matrix A

det(A) Determinante der Matrix A

AT transponierte Matrix zur Matrix A

O † hermitesch konjugierter Operator zum Operator O

A hermitesch konjugierte Matrix zur Matrix A

IR Menge der reellen Zahlen

⟨ψ| Ket

x Ortsoperator in einer Dimension

p Impulsoperator in einer Dimension

|ψ⟩ Bra

H Hamilton-Operator

∆ Laplace-Operator

Im(z) Imaginärteil einer komplexen Zahl z

ψ(⃗x ) Wellenfunktion in drei Dimensionen

O allgemeiner Operator

Re(z) Realteil einer komplexen Zahl z

ψ(x) Wellenfunktion in einer Dimension

|z| Norm einer komplexen Zahl z

{f , g } Poisson-Klammer zweier Funktionen

i imaginäre Einheit

⃗x Ortsvektor in drei Raumdimensionen

A, B ] Kommutator zweier Operatoren [A

∥f ∥ Norm einer Funktion f

¯h reduzierte Planck-Konstante

h Planck-Konstante

Liste der verwendeten Formelzeichen

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 M. Wick, Quantenmechanik mit Concept-Maps, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59424-7_1

Kapitel 1 Mathematische Grundlagen

2

√ ∥⃗a∥ = ⃗a · ⃗a

Norm eines Vektors

⃗a · ⃗b =

5

i=1

N ∑

a i bi

∥f ∥ = 1

12

⟨f , g ⟩ =

∥⃗a∥ = 1 6

9

normierte Funktion

4

  ∫ Na1 ∑ ∗ √ √ .. a ⟨fNorm ,normierter gIntegrierbarkeit f< (x)g (x)dx ⃗Operator Funktionsargument ⃗a⟩∥f Skalarprodukt zweier Skalarprodukt zweier ·= b⃗∥∥f =  Matrix Vektor Vektor Funktion einer Funktion normierte Funktion Norm Vektors Index ∥⃗ ∥∈ = xa1, Ω..., f∥= (x) ∥f g⃗ia∥⃗ (x) = 2, O N ⃗fabVektoren beines M⃗ ∥= = ⟨f ⟩i a= afa1(x) ·, iFunktionen .⃗∞ Ω i=1 aN

7

f (x)g ∗ (x)dx

x ∈Ω

Funktionsargument 8

Ω

10

⟨f , f ⟩

∥f ∥ < ∞

Integrierbarkeit

∥f ∥ =

Norm einer Funktion √

Skalarprodukt∫zweier Funktionen

g (x) = O f (x)

⃗b = M⃗a 3

Operator

1

f (x)

Funktion

Matrix

a1  ..  ⃗a =  .  aN

Vektor  

normierter Vektor

Skalarprodukt zweier Vektoren

i = 1, 2, ..., N

Index

Vektoren versus Funktionen

13

11

Mathematisch gesehen transformiert ein Operator eine Funktion in eine neue Funktion. Um Operatoren besser zu verstehen, fassen wir auf dieser Seite die Analogien mit Matrizen zusammen. 1 Ein Vektor ordnet jedem Index i , einer natürlichen Zahl, eine Komponente ai zu. Hier nehmen wir an, dass die Komponenten reelle Zahlen sind. 2 Der Index i ist von 1 bis N definiert. 3 Eine Matrix M transformiert einen Vektor ⃗a in einen neuen Vektor ⃗b. 4 Das Skalarprodukt für Vektoren ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl zuordnet. Hier werden paarweise die Komponenten mit gleichen Indizes multipliziert und dann aufsummiert. 5 Die Norm eines Vektors ist die Wurzel des Skalarprodukts des Vektors mit sich selbst. 6 Ein normierter Vektor hat die Norm 1. 7 Eine Funktion ordnet jedem Funktionsargument x , einer reellen oder komplexen Zahl, einen Funktionswert f (x) zu. 8 Das Funktionsargument x hat einen Definitionsbereich Ω. 9 Ein Operator O transformiert eine Funktion f (x) in eine neue Funktion g (x). Einfache Beispiele für Operatoren sind die Ableitung d/dx oder die Multiplikation mit x . 10 Das Skalarprodukt für Funktionen ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Funktionen eine Zahl zuordnet. Hier werden die beiden Funktionen multipliziert, wobei eine Funktion komplex konjugiert wird. Danach folgt eine Integration über den Definitionsbereich.

3

2

|⟨f , g ⟩| ≤ ∥f ∥ ∥g ∥

2

2

Anmerkung 2: Eine wichtige Eigenschaft des Skalarprodukts, die wir bei der Herleitung der Heisenberg-Unschärferelation nutzen werden, ist die Cauchy-SchwarzUngleichung:

Anmerkung 1: Das Skalarprodukt für Funktionen hat folgende Eigenschaften, die sich direkt aus seiner Definition ergeben: • ⟨f , g ⟩ = ⟨g , f ⟩∗ • ⟨f , c1 g1 + c2 g2 ⟩ = c1 ⟨f , g1 ⟩ + c2 ⟨f , g2 ⟩ • ⟨c1 g1 + c2 g2 , f ⟩ = c1∗ ⟨g1 , f ⟩ + c2∗ ⟨g2 , f ⟩ • ⟨f , f ⟩ ≥ 0 Hier sind f , g , g1 und g2 Funktionen. c1 und c2 sind im Allgemeinen komplexe Zahlen. Das Skalarprodukt für Vektoren hat analoge Eigenschaften.

mit sich selbst. 12 Eine normierte Funktion hat die Norm 1. 13 Wir bezeichnen eine Funktion als quadratisch integrierbar, falls die Norm der Funktion endlich ist.

11 Die Norm einer Funktion ist die Wurzel des Skalarprodukts der Funktion

∑

a n bn

∫

n n=1 n=1

⟨f , g ⟩ =

f (x)g (x) dx.

10

n=1

an ϕn (x)

6

9

f (x)

12

⟨ϕn , ϕm ⟩ = δmn

Orthogonalität

an = ⟨f , ϕn ⟩

n=1

4

f (x) =

an = ⃗en · ⃗a

⃗a · ⃗b =

∑ N N∑ Skalarprodukt ⃗a⃗= ∑ Skalarprodukt eFunktion n(x) ⟨fAllgemeine ,fgBasisfunktionen ⟩Basisvektoren (x)g Funktion Entwicklung Vektors Allgemeiner Entwicklungskoeffizienten Skalarprodukt N Entwicklung ⃗aOrthogonalität (x) ⃗e·a= ⃗e= ⃗⟨f fmn⃗einer δna⃗a⃗δnϕ ,aaϕ (x) ·Vektor e(x) afeines ⟨ϕ ,n·= ϕ ⟩⃗ne= = n⟩ n dx. ∫ n nb(x) na mn n= n nb mn ∑

3

N ∑

Entwicklungskoeffizienten

5

n

an⃗en

Entwicklung einer Funktion

8

Allgemeine Funktion

Entwicklungskoeffizienten

⃗en · ⃗em = δmn

Orthogonalität

⃗a =

Entwicklung eines Vektors

ϕn (x)

2

⃗en

⃗a 1

Basisfunktionen

Basisvektoren

Allgemeiner Vektor

Orthogonale Vektoren versus orthogonale Funktionen

11

7

Funktionen und Vektoren können in zueinander orthogonalen Basisfunktionen und Basisvektoren entwickelt werden. 1 Wir beginnen mit einem allgemeinen Vektor ⃗a in einem N dimensionalen Raum. 2 In diesem N -dimensionalen Raum lassen sich N Basisvektoren ⃗en definieren, mit deren Hilfe sich jeder Vektor in diesem Raum eindeutig als gewichtete Summe der Basisvektoren ausdrücken lässt. 3 Hier geben wir diese Summe, die auch als Entwicklung bezeichnet wird, für den Vektor ⃗a an. Die Summe läuft über n = 1, ..., N , und wir bezeichnen die Faktoren an als Entwicklungskoeffizienten. 4 Für den Vektorraum ist das übliche kartesische Skalarprodukt definiert. 5 Wir bezeichnen Vektoren als orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet. Oft werden die orthogonalen Vektoren einer Basis auch normiert, dann spricht man von orthonormalen Vektoren. Diese beiden Eigenschaften fasst man mathematisch elegant mithilfe des Kronecker-Deltas zusammen. Das Kronecker-Delta δij ist eine Funktion zweier Variablen, i und j . Die Funktion ist 1, wenn i und j gleich sind, ansonsten ist die Funktion 0.

5

hilfe der Orthogonalität der Basisvektoren bestimmen, indem man das Skalarprodukt von ⃗a mit dem Basisvektor⃗en bildet. 7 8 9 Das hier diskutierte Konzept der Orthogonalität von Vektoren lässt sich direkt auf Funktionen übertragen. An die Stelle des allgemeinen Vektors ⃗a rückt eine allgemeine Funktion f (x), die in orthogonalen Basisfunktionen ϕn (x) entwickelt wird. 10 11 Wie wir auf der vorherigen Seite diskutiert haben, kann auch für Funktionen ein Skalarprodukt definiert werden und somit auch die Orthogonalität. 12 Wie bei den Vektoren ergibt sich bei den Funktionen der Entwicklungskoeffizient aus dem Skalarprodukt der jeweiligen Basisfunktion und der zu entwickelnden Funktion.

6 Die Entwicklungskoeffizienten an für einen Vektor ⃗a lassen sich mit-

λn 4

⃗xn 3

ϕn (x)

Eigenvektoren Eigenfunktionen Operator Eigenwerte Eigenvektoren Bedingung für Bedingung für Eigenvektoren ⃗Eigenfunktionen ⃗xn (x) x(x) OEigenfunktionen ϕM⃗ ϕ = O M xMatrix n λnnϕ n (x) n nλ 8

36

λn

Eigenwerte

O ϕn (x) = λn ϕn (x)

M⃗xn = λn⃗xn

Eigenwerte

Bedingung für Eigenfunktionen

5

Bedingung für Eigenvektoren 2

O

M 1

Operator

Matrix

Eigenvektoren versus Eigenfunktionen

7

Die Grundgleichungen der Quantenmechanik führen auf sogenannte Eigenwertprobleme. Auch hier ist die Analogie zwischen Matrizen und Vektoren auf der einen Seite und Funktionen und Operatoren auf der anderen Seite eine wertvolle Hilfe. 1 Wir betrachten eine quadratische Matrix M . 2 Die Vektoren ⃗xn , die durch die Multiplikation mit der Matrix auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet werden, bezeichnen wir als Eigenvektoren der Matrix M . Eine Matrix mit den Dimensionen m × m hat maximal m linear unabhängige Eigenvektoren. 3 Lineare Unabhängigkeit bedeutet für eine Menge von Vektoren (und auch Funktionen), dass ein Vektor dieser Menge nicht aus einer Summe von Vielfachen der restlichen Vektoren ausgedrückt werden kann. Der Betrag der Eigenvektoren bleibt unbestimmt, deshalb sind auch Vielfache eines Eigenvektors wieder Eigenvektoren. 4 Die dazugehörigen skalaren Faktoren λn heißen Eigenwerte. Wir benutzen einen Index n, weil es im Allgemeinen mehrere Eigenvektor/Eigenwert-Paare gibt. Die Menge der Eigenwerte wird auch Spektrum des Operators genannt.

7

1

) 2

hat zwei Eigenvektoren,

3

( ) 2

und

(

1

−1

)

, mit den Eigenwer-

dx

Beispiel 2: d Der Differenzialoperator hat eine Eigenfunktion exp(λx) mit dem Eigenwert λ.

3 2 ten 4 und −1.

Die Matrix

Beispiel 1:(

tionen, die von Operatoren auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet werden, als Eigenfunktionen. 7 8 Die skalaren Faktoren λn werden ebenfalls als Eigenwerte bezeichnet. Besitzen zwei linear unabhängige Eigenfunktionen denselben Eigenwert, so nennen wir den Eigenwert entartet.

5 Nun betrachten wir einen Operator O . 6 Analog zu den Eigenvektoren von Matrizen bezeichnen wir Funk-

f2 (x) = O g2 (x)

f (x) = O g (x)

O (λ1 g1 (x) + λ2 g2 (x)) = λ1O g1 (x) + λ2O g2 (x)

Linearität 3

f1 (x) + f2 (x) = O (g1 (x) O + (λ g2O(x)) λf (x) = O (λg (x)) Linearität Additivität +λ(λg g2f2g2f(x) (x)) O(g (x) + gO2+(x)) g2λ(x) O λf fHomogenität (x)) = === O OO λO (λg λgO (x) (x) g(x)) g(x) (x) 1 (x)+ 1 g(g 1f(x) 1(x) 2 2(x) 112 1O 1+ 2O g2 (x)

f1 (x) = O g1 (x)

O g (x) O (λg (x)) = λO

O (g1 (x) + g2 (x)) = O g1 (x) + O g2 (x) 1

Homogenität

Additivität

Additivität, Homogenität und Linearität

2

Auf dieser Seite diskutieren wir drei Eigenschaften von Operatoren: Additivität, Homogenität und Linearität. 1 Additivität bedeutet, dass man das gleiche Ergebnis erhält, wenn man den Operator O einzeln auf die Funktionen g1 (x) und g2 (x) anwendet und die Summe bildet oder wenn man erst die Summe bildet und dann den Operator anwendet. Die Addition vertauscht also mit dem Operator. 2 Homogenität bedeutet, dass man das gleiche Ergebnis erhält, wenn man den Operator O auf das Produkt einer Funktion g (x) und eines konstanten Faktors λ anwendet oder wenn man erst den Operator anwendet und dann das Ergebnis mit λ multipliziert. Anders ausgedrückt: Die Multiplikation mit einem konstanten Faktor vertauscht mit dem Operator. 3 Ist ein Operator additiv und homogen, so bezeichnen wir den Operator als linear und fassen die beiden Bedingungen zu der einen angegebenen Bedingung zusammen. Linearität ist eine grundlegende Eigenschaft vieler fundamentaler Differenzialgleichungen der Physik. Für eine lineare Differenzialgleichung gilt das Superpositionsprinzip: Die Wirkung, die zwei Ursachen gemeinsam generieren, ist die Summe der Wirkungen, die die einzelnen Ursachen generieren würden.

9

∫

O ϕn (x)dx = ϕ∗m (x)O 4

O ϕm (x) = λm ϕm (x)

Definition Eigenfunktionen 1

∫

∫

∫

ϕn (x)ϕ∗m (x)dx = 0

ϕn (x)ϕ∗m (x)dx = 0

ϕn (x)ϕ∗m (x)dx = δmn

Orthogonalität

(λn − λm )

(λn −

λ∗m )

98

7

5

O ϕn (x) − ϕn (x)O O ∗ ϕ∗m (x) ϕn (x)ϕ∗m (x)(λn − λ∗m ) = ϕ∗m (x)O

3

O ∗ ϕ∗m (x) = λ∗m ϕ∗m (x) 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∗∗ ∗∗Orthogonalität ∗ Eigenfunktionen ∗ ∗∗= ∗ϕ∗ δ(x))ϕ (λnDefinition −ϕO ϕ= (x)ϕ (x)dx ϕ(x)dx (x)ϕ ϕ∗m (x)O O O ∗ ϕ∗m (x) ϕn (x)ϕ∗m (x)(λ − λnλreelle = ϕEigenwerte (x)O (x) (x)O O ϕϕ (x) = λλ(O λ∗m (x) ϕϕm(x)dx nO m n= n)) m m m mn−=ϕn0 n(x) n(x)dx m m mϕ m m mHermizität m

∗ O ∗ ϕm (x))ϕn (x)dx (O

Hermizität ∫

Hermizität und Orthogonalität

λ∗m = λm

reelle Eigenwerte 56

Neben der auf der vorherigen Seite diskutierten Linearität ist die Hermizität eine weitere zentrale Eigenschaft von Operatoren. Aus ihr folgt die Orthogonalität ihrer Eigenfunktionen. 1 Wir beginnen mit der Definitionsgleichung der Eigenfunktionen ϕm (x) und der Eigenwerte λm eines Operators O . Hier ist m wieder der Index der Eigenfunktionen. 2 Diese Gleichung wird auf beiden Seiten komplex konjugiert. 3 Nun bilden wir die Differenz aus dem Produkt der ursprünglichen Gleichung für den Index n mit einer komplex konjugierten Eigenfunktion ϕ∗m (x) und dem Produkt der komplex konjugierten Gleichung für den Index m mit der Eigenfunktion ϕn (x). 4 Wir bezeichnen einen Operator O als hermitesch, wenn es für den Wert eines Skalarprodukts zweier Funktionen keinen Unterschied macht, ob der Operator auf die eine oder die andere Funktion angewandt wird. In O f , g ⟩ = ⟨f , O g ⟩. Hier geben wir explizit kompakter Notation also ⟨O die Integrale an und setzen die Basisfunktionen ϕm (x) und ϕn (x) ein. 5 Nun integrieren wir auf beiden Seiten über die Variable x und sehen, dass durch die Hermizität des Operators die rechte Seite verschwindet.

11

Hier haben wir die Homogenität des Skalarprodukts und die Hermizität des Operators genutzt. 7 Wir setzen die reellen Eigenwerte ein und kommen so zu einer Bedingung für das Skalarprodukt. Wir nehmen an, dass die Eigenwerte nicht entartet sind, d. h., falls m ̸= n ist, dann muss das Skalarprodukt null sein. 8 Wenn wir nun annehmen, dass die Basisfunktionen normiert sind, dann folgt die angegebene Orthogonalitätsrelation für die Basisfunktionen.

O ϕ, ϕ⟩ = ⟨λϕ, ϕ⟩ = λ∗ ⟨ϕ, ϕ⟩ λ⟨ϕ, ϕ⟩ = ⟨ϕ, λϕ⟩ = ⟨ϕ, O ϕ⟩ = ⟨O

Operatoren. Sie haben reelle Eigenwerte, wie wir kurz beweisen:

6 Nun nutzen wir eine weitere wichtige Eigenschaft von hermiteschen

−∞

∫∞

1 dx = π 1 + x2

1 ϵ δ(x) = lim 2 ε→0 π x + ϵ2 x ∈ IR

Lorentz-Form

3

2

−∞

1

−∞

∫∞

∫

√ π 5 −π

∫π

−∞

δ(x − y )f (x) dx = f (y )

10

exp(ikx)dx =

Translationseigenschaft ∞

exp(−x )dx =

2

4

6

2 sin(kπ) k 7

{ ∫ ∞ ∞falls ( x =0) ∫π∞∫∫∞= ∫∞ 1∞ 1∑ ϵ x2 1 ∫δ(x) ∞ δ(x) = δ(x) 2exp(ikx) sin(kπ) 1 exp(2πipx)dp exp δ(x) == lim x√− ̸= 0 δ(x) = 0√ lim sin(2πRx) 2 falls 2=+ 2π ε→0 diskrete Gauß-Form dxxdx πϵ2πf12ε exp(ikx)dx exp(−x )dx = π δ(x − yε→0 )f (x) = (y ) Fourier-Form ∫−∞ Translationseigenschaft 2πε Lorentz-Form Dirac-Funktion diskrete Fourier-Form kontinuierliche Fourier-Form Gauß-Form ∞ k=−∞ 2 +πxx k (−∞ 2x1)∈ ∞ −∞ R mit =1 1 ∑ x I∈ IR IR −π−∞−∞ xx δ(x)dx ∈ x−π < 1 < π exp(ikx) δ(x) = exp − δ(x) = lim √ −∞ 2π k=−∞ ε→0 2ε 2πε x ∈ IR −π < x < π

δ(x) =

∞ falls x = 0 0 falls x ̸= 0 ∫ ∞ mit δ(x)dx = 1

{

Dirac-Funktion

Dirac-Funktion

∫

−∞

∞

δ(x) =

exp(2πipx)dp x ∈ IR

−∞

∞

sin(2πRx) dx = 1 πx

∫

kontinuierliche Fourier-Form

9

8

q k = (1 − q)−1

nachweisen . Man beachte, dass diese Darstellung nur auf dem Intervall [−π, π] definiert und normiert ist.

k=0

∞ ∑

Die Dirac-Funktion ist ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel in der theoretischen Physik. Sie kann als Grenzwert, Summe oder Integral anderer elementarer Funktionen dargestellt werden. 1 Die Dirac-Funktion δ(x) (oder mathematisch genauer DiracDistribution) ist eine Funktion einer reellen Variablen x. Sie hat zwei definierende Eigenschaften. Erstens ist die Dirac-Funktion an der Stelle x = 0 unendlich, und sonst hat sie den Wert 0. Zweitens ist das Integral über die Dirac-Funktion gleich 1. 2 Wir betrachten zunächst die Darstellung der Dirac-Funktion durch eine Lorentz-Kurve. Hier wird die Dirac-Funktion als der Grenzwert eines Bruchs dargestellt. Wir sehen leicht, dass im Limes ε → 0 der Nenner für x = 0 unendlich wird und für x ̸= 0 verschwindet. 3 Die Normierung kann mit dem angegebenen Integral nachgewiesen werden. 4 Eine weitere Darstellung basiert auf der Gauß-Kurve. Hier wird die Gauß-Kurve mit ε immer schmaler und höher. 5 Die Normierung kann ebenfalls mit einem einfachen Integral nachgewiesen werden. 6 Die nächste Darstellung basiert auf einer Fourier-Reihe. Wir sehen, dass alle Reihenglieder für x = 0 den Wert 1 annehmen und die Summe somit unendlich wird. Dass die Summe für x ̸= 0 verschwindet, kann man mit der geometrischen Reihe

13

−∞

R→∞

exp(2πipx)dp = lim

∞

∫ −R

R→∞

exp(2πipx)dp = lim

R

sin(2πRx) πx

nachgewiesen werden. 10 Eine weitere wichtige Eigenschaft der Dirac-Funktion ist die Translationseigenschaft. Durch das angegebene Integral wird die Funktion von der Stelle x an die Stelle y verschoben.

9 Für diese Form kann die Normierung über das angegebene Integral

∫

nutzung des Grenzwerts lim sin(kπ)/k = π und der Tatsache, dass k→0 die Sinusfunktion für ganze k verschwindet. 8 Das Integral kann durch einen Grenzwert ausgedrückt werden:

7 Die Normierung ergibt sich mit dem angegebenen Integral, der Aus-

n

∑

= δ(y − x)

Vollständigkeit

ϕ∗n (y )ϕn (x) 5 n

an ϕn (x) 1

(

f

n

∑

) )

ϕn (x)

ϕ∗n (y )ϕn (x) dy

(y )ϕ∗n (y )dy

f (y )δ(y − x)dy = f (x)

f (y )

∫

n

∫

f (x) =

f (x) =

f (x) =

∑ (∫

n

6

4

) ∑ (∫ ∗ f (y )ϕn (y )dy ϕn (x) f (x) =∫ ∫∫ ∑ ∑ ∫ ∗ nfϕ(x) )ϕ =n ϕx)dy δ(y − x) =( a− (x) n∗∗(x) n= )f (x)ϕ∗ (x)dx = an (x)dx a fn(y f (x) =∫ ϕnVollständigkeit f(x)ϕ (y )δ(y = f δ (x)ϕ Entwicklung Orthogonalität nmn (x) n∑ m n n n ∗ f (x) = f (y ) ϕn (y )ϕn (x) dy

f (x) =

∑

Entwicklung

Orthogonalität und Vollständigkeit

∫

3

ϕn (x)ϕ∗m (x)dx = δmn

Orthogonalität 2

Die Orthogonalität und die Vollständigkeit einer Basis erlauben es, dass jede Funktion als Entwicklung in Basisfunktionen ohne Rest ausgedrückt werden kann. 1 Wir beginnen mit einer Entwicklung der Funktion f (x) in Basisfunktionen ϕn (x). Hier sind an die Entwicklungskoeffizienten und n der dazugehörige Index. 2 Wir nehmen an, dass die angegebene Orthogonalitätsrelation gilt. Der Integrationsbereich entspricht dem Definitionsbereich der Basisfunktionen. 3 Wir multiplizieren die Funktion f (x) mit der komplex konjugierten Funktion ϕn (x), integrieren über den Definitionsbereich und nutzen die Orthogonalität und erhalten so einen Ausdruck für den Entwicklungskoeffizienten. 4 Setzen wir nun den letzten Ausdruck in die ursprüngliche Entwicklung und vertauschen die Integration über y und die Summe über n, so erhalten wir den angegebenen Ausdruck. 5 Vollständigkeit bedeutet, dass sich die Basisfunktionen am Ort x , multipliziert mit den jeweils komplex konjugierten Basisfunktionen am Ort y mit demselben Index n, zur Dirac-Funktion aufsummieren. 6 Im letzten Schritt nutzen wir die Vollständigkeit der Basisfunktionen und ersetzen die Summe mit der Dirac-Funktion. Wir führen das Integral aus, nutzen die Translationseigenschaft der Dirac-Funktion und erhalten wieder die ursprüngliche Funktion.

15

  

√

1 π

2 cos(nx) π

√

für n > 0

für n = 0

ϕn (x)ϕm (x)dx = δmn ,

auf die diskrete Fourier-Form der Dirac-Funktion (siehe Seite 13) zurückgeführt und somit bewiesen werden .

1 (exp(ix) + exp(−ix)) 2

ϕn (x)ϕn (y ) = δ(x − y )

cos(x) =

kann mithilfe der Identität

n=0

∞ ∑

wie man durch direkte Integration nachprüfen kann. Die Vollständigkeitsrelation

0

∫π

Sie sind im Intervall [0, π] orthogonal und normiert,

ϕn (x) =

   

Beispiel: Eine gegebene Funktion kann im Intervall [0, π] in den Kosinusfunktionen entwickelt werden:

∫

n

fn ϕn (x)

O ϕn (x)dx = Omn ϕ∗m (x)O

Matrixelemente

f (x) =

∑

7

orthogonale Entwicklung 2

n

∑ fn

∫

∫

gn ϕn (x)

∑ ∑∑ ∑

n

∑

n

∑

Omn fn = gm

Matrixdarstellung

Operator orthogonale Entwicklung Orthogonalität Matrixdarstellung Matrixelemente

∫∫ ∑

fnO ϕn (x) =

1

4

8

∗ϕ (x) = g(x) (x) ϕgnn= (x) O f=n gfg= n (x) nnϕ m O ϕ∗m (x)ϕn (x)dx ϕ∗m (x)O (x)dx gnnδϕO O (x)ϕ (x)O ϕmn (x)dx = ϕfgfn∗mϕO nO fn= (x) = (x) nn(x)dx mn mn m n nn n n

n

∑

O f (x) = g (x)

Operator

Matrixdarstellung von Operatoren

5

∫

n

∑

gn ϕn (x)

ϕ∗m (x)ϕn (x)dx = δmn

Orthogonalität

g (x) =

orthogonale Entwicklung

6

3

Eine lineare Operatorgleichung kann mithilfe eines vollständigen, orthogonalen Funktionensystems in eine Matrixgleichung überführt werden. 1 Ein linearer Operator O transformiert eine Funktion f (x) in eine neue Funktion g (x). 2 Die Funktion f (x) kann durch eine Entwicklung in orthogonalen Funktionen dargestellt werden. Hier sind ϕn (x) die orthogonalen Basisfunktionen und fn die Entwicklungskoeffizienten. 3 Die Funktion g (x) wird ebenfalls in denselben Basisfunktionen ϕn (x) entwickelt. 4 Setzt man nun die beiden Entwicklungen in die Operatorgleichung ein, so erhält man den angegebenen Ausdruck. Der lineare Operator vertauscht mit der Summe und mit der Multiplikation mit den Entwicklungskoeffizienten.

17

auf beiden Seiten mit einer weiteren komplex konjugierten Basisfunktion ϕ∗m (x) und integriert über x . 6 Die Basisfunktionen sind orthogonal und normiert. 7 Wir definieren hier die sogenannten Matrixelemente eines Operators für die Basisfunktionen ϕn (x). Diese Matrixelemente können als quadratische Matrix mit den Indizes m und n verstanden werden. 8 Nutzt man beides, die Orthogonalitätsrelation und die Matrixelemente, so erhält man die Matrixdarstellung des Operators. In Vektorschreibweise: O⃗f = ⃗g .

5 Im nächsten Schritt multipliziert man die so entstandene Gleichung

∑ an ϕn (x)

Lösung

G (x, x ′ ) =

n

λn

n

∑ ϕn (x)ϕ∗ (x ′ ) 6

∫∫n∑ ϕ (x)ϕ′ ∗n′ (x ′′)′ ′ g (x) = an ϕn (x) ∗ ′n′ ′ ′ G (x, x ) = (xλδ(x = f (x) G)ϕEigenfunktionen (x, xgn)g )gn(x (xx)dx )dx Lösung Operator Definition n= Definition der Green-Funktion ϕ = ϕ (x) Onder f(x) (x) OaO G (x, x(x) = − ) n= λ n n ∫ ∫ ∑nan ϕn (x) an = ϕ∗n (x ′ )g (x ′ )dx ′ f (x) = f (x) = G (x, x ′ )g (x ′ )dx ′ λ n n ∑ an ϕn (x) f (x) = λn 5 3 n

Lösung ∑

g (x) =

O G (x, x ′ ) = δ(x − x ′ )

O ϕn (x) = λn ϕn (x) 2

Definition der Green-Funktion

1

Definition der Eigenfunktionen

O f (x) = g (x)

Operator

Eigenfunktionsentwicklung versus Green-Funktion

4

Die Lösung einer linearen Operatorgleichung kann über die Eigenfunktionen oder über die Green-Funktion des Operators erfolgen. 1 Wir starten wieder mit einem linearen Operator O , der eine Funktion f (x) auf eine andere Funktion g (x) abbildet. Wir suchen die Funktion f (x), die diese Gleichung für eine gegebene Funktion g (x) löst. 2 Wir nehmen an, dass der Operator ein System von Eigenfunktionen ϕn (x) und Eigenwerten λn besitzt. Hier ist n wieder ein Index. 3 Ein möglicher Lösungsweg des Problems nutzt eine Entwicklung von g (x) in Eigenfunktionen. Hier sind an die Entwicklungskoeffizienten. Mithilfe der Linearität des Operators lässt sich leicht nachprüfen, dass die angegebene Entwicklung der Funktion f (x) eine Lösung darstellt . Der Operator vertauscht mit der Summation und dem Faktor an /λn . Die Anwendung des Operators auf die Eigenfunktionen ϕn (x) führt dann auf einen Faktor λn , und wir erhalten die Entwicklung g (x). 4 Der zweite Lösungsweg führt über die Green-Funktion. Sie ist definiert als die Lösung der Differenzialgleichungen für eine Dirac-Funktion an der Stelle x ′ . Wichtig ist hier, dass sich die im Operator enthaltenen Ableitungen auf x und nicht auf x ′ beziehen.

19

gewandt auf die so gegebene Funktion f (x) vertauscht der Operator mit der Integration über x ′ und führt zusammen mit der GreenFunktion auf eine Dirac-Funktion. Mit der Translationseigenschaft der ∫ Dirac-Funktion, δ(x − y )f (x) dx = f (y ), erkennen wir, dass das Integral die Gleichung löst. 6 Abschließend stellen wir fest, dass die beiden Lösungswege zusammenhängen. Wir zeigen das, indem wir in der Lösung über die Eigenfunktionen die Koeffizienten an in die Entwicklung von f (x) setzen, die Integration über x ′ an den Anfang ziehen und den Ausdruck mit der Lösung über die Green-Funktion vergleichen. Die Green-Funktion kann also direkt aus den Eigenfunktionen und Eigenwerten berechnet werden.

5 Auch diese Darstellung beruht auf der Linearität des Operators. An-

n mal

O) = exp(O

n=1

n!

∞ ∑ On

Exponentialfunktion

n

O =O · · O O} | O ·{z

Potenz

3

2 n→∞

n

n mal n=1 n=1

7

O )f (x) g (x) = (1 + αO

54

∞ ∑ O )n (αO

6

O) = exp (αO

n=1

n!

Summendarstellung

infinitesimale Transformation

( n )∑ Grenzwertdarstellung ∞ n∞ n n (O =αO (αO ) OOO OO)∑ O n· · O · {z } O) O O )(1 == exp(O )|O αO Summendarstellung Grenzwertdarstellung Exponentialfunktion 1(αO += limexp = exp(αO O O Potenz Produkt finite Transformation infinitesimale Transformation g (x) = exp(αO )f (x) O O g (x) + αO )f (x) 1 2 n→∞ n!n! O ) lim 1 + n = exp(αO

O )f (x) g (x) = exp(αO

O 1O 2 1

finite Transformation

Produkt

Finite Transformation versus infinitesimale Transformation

5

Viele der Operatorgleichungen der Quantenmechanik führen auf Lösungen, die die Form einer Exponentialfunktion mit einem Operator im Argument haben. 1 Das Produkt zweier Operatoren, O 1 und O 2 , ist definiert als Nacheinanderausführen der Operatoren. Das Operatorprodukt ist im Allgemeinen nicht kommutativ, d. h. , das Ergebnis ist abhängig von der Reihenfolge der Ausführung. 2 Eine Verallgemeinerung des Produkts eines Operators mit sich selbst ist die n-te Operatorpotenz. Hier wird der Operator n-mal hintereinander ausgeführt. 3 Wie Funktionen von einfachen Variablen können auch Funktionen von Operatoren durch Potenzreihen dargestellt werden. Als Beispiel betrachten wir hier die Exponentialfunktion eines Operators. 4 Wir werden in den nächsten Kapiteln viele Operatoren diskutieren, die sich als Exponentialfunktion mit einem Operator O im Argument darstellen lassen. Diese Art von Operatoren findet Anwendung in Transformationen wie z.B. einer Rotation eines Vektors. Dann ist α der Parameter, der die Transformation quantifiziert, und O ist der sogenannte Generator der Transformation.

21

Summendarstellung genannt. 6 Für hinreichend kleine Parameter, α ≪ 1, kann die Summe nach dem zweiten Term abgebrochen werden. Die linearisierte Form der Exponentialfunktion wird auch infinitesimale Transformation genannt. 7 Aus einer unendlichen Anzahl aufeinanderfolgender infinitesimaler Transformationen erhalten wir eine finite, also endliche Transformation. Das ist die Aussage der Grenzwertdarstellung der Exponentialfunktion.

5 Die Form der Exponentialfunktion als unendliche Summe wird auch

O) = exp(O

n=0

∞ ∑

O n!

n

Operatorexponentialfunktion 4

n=0

n!

∞ ∑ f (n) (y )

(x − y )n

f (y + ∆x) = exp ∆x

d dy

Verschiebungsoperator ( )

n=0

f (y )

)n (∞n ( n ) ∞ ∞∑ ∑ f−(n) (y d n(xf (y )y∑ ) ) Odd (n) O )exp exp(O = =∆x(x − y )f n(y ) (x) = (yf (y + ∆x) = Operatorpotenz Verschiebungsoperator f Operatorexponentialfunktion = (x) =)Taylor-Entwicklung nn!n! n! dy dy dy n=0n=0 n=0

f (x) =

Taylor-Entwicklung

5

3

2

d f (y ) = dy n

d dy

Operatorpotenz ( )n n f (n) (y ) =

Taylor-Entwicklung und Verschiebungsoperator

f (y )

1

Auf der vorherigen Seite haben wir definiert, was wir unter der Exponentialfunktion und der Potenz eines Operators verstehen. Das wenden wir nun an und diskutieren die Wirkung des Verschiebungsoperators. 1 Wenn man die einfache Ableitung als Operator betrachtet, lässt sich die n-te Ableitung f (n) (y ) an der Stelle y als n-te Potenz der einfachen Ableitung sehen. 2 Man nutzt die Taylor-Entwicklung, um eine glatte Funktion f (x) in der Umgebung einer Stelle y durch eine Potenzreihe darzustellen. Hier ist n der Index und n! dessen Fakultät. 3 Nutzt man diese Art der Schreibweise, so ergibt sich der angegebene Ausdruck. 4 Hier wiederholen wir die Definition der Exponentialfunktion für Operatoren. 5 Kombinieren wir nun die beiden Ausdrücke und definieren ∆x als die Differenz von x und y , so ergibt sich ein eleganter Zusammenhang zwischen den Funktionswerten an zwei unterschiedlichen Stellen. Diesen Operator nennen wir den Verschiebungsoperator.

23

)

( ∞ ∑ dn 1 ∆x n n! dy n=0

) y2

= (y + ∆x)2

= y 2 + 2∆xy + ∆x 2 + 0 + 0 + ....

y =

2

d exp ∆x dy

(

)

= exp(∆x) exp(y ) = exp(∆x + y )

(

) ∞ n ∑ d 1 exp(y ) exp(y ) = ∆x n n! dy n=0 ) (∞ ∑ 1 n ∆x exp(y ) = n! n=0

Beispiel 2: Wir wenden den Verschiebungsoperator auf eine Exponentialfunktion f (y ) = exp(y ) an:

d exp ∆x dy

(

Beispiel 1: Wir wenden den Verschiebungsoperator auf eine quadratische Funktion f (y ) = y 2 an:

p(x)

dϕ(x) dx

Eigenfunktionen

1 d w (x) dx

= λϕ(x) 1

Name Legendre Laguerre Hermite Tschebyscheff

p(x) w (x) λn 1 − x2 1 n(n + 1) x exp(−x) exp(−x) n exp(−x 2 ) exp(−x 2 ) 2n 1/2 −1/2 (1 − x 2 ) (1 − x 2 ) n2

3

Norm [xmin , xmax ] gn γn Pn (1) = 1 [−1, 1] (−1)n 2n n! 2/(2n + 1) Ln (0) = 1 [0, ∞] n! 1√ H0 (x) = 1 [−∞, ∞] (−1)n 2n n! π Tn (1) = 1 [−1, 1] 2−n (2n)!/n! π/2 5

( n ) Name p(x) w√(x) gn γn n√ 1λ) p(x)) d n (Norm √ √ ) ( ( ( )[xmin , xmax ] ( ( ) ∫ n ) ϕ (x) = ∞xmax 2∑ n n n n n−1 Legendre 1−x Pn(x) =1 [−1, 1] (−1) 2 n! 2/(2n + 1) nw 1 + 1)dϕ(x) p(x) dw (y w1(x) )(1) w1(x) d gn(n (x) n w (x) dx 2 −δ y ) ϕn (x)ϕ= − p(x) == λϕ(x) Orthogonalität Sturm-Liouville-Differenzialgleichung Eigenfunktionen (x) ϕwnϕ (y = dx δ(x (x) = nϕ nVollständigkeit m)(x) nm n−1 n Laguerre x exp(−x) exp(−x) n L (0) 1 [0, ∞] n! 1√ n γwn γ(x) γnγmw (x) n dxgn w (x) dxdx xmin Hermite exp(−x 2 )n=0 exp(−x 2 ) 2n H0 (x) = 1 [−∞, ∞] (−1)n 2n n! π 1/2 −1/2 Tschebyscheff (1 − x 2 ) (1 − x 2 ) n2 Tn (1) = 1 [−1, 1] Vollständigkeit 2−n (2n)!/n! π/2 Orthogonalität (√ ) (√ ) ) (√ ) ∫ xmax (√ ∞ ∑ w (x) w (y ) w (x) w (x) ϕn (x) ϕn (y ) = δ(x − y ) ϕn (x) ϕm (x) dx = δnm γn γn γn γm xmin n=0

−

Sturm-Liouville-Differenzialgleichung ( )

Orthogonale Polynome

4

Auf dieser Seite diskutieren wir ein spezielles Eigenwertproblem, das sogenannte Sturm-Liouville-Problem. Diese Form der Differenzialgleichung tritt bei vielen Fragestellungen der Quantenmechanik mit gebundenen Zuständen auf und führt auf orthogonale Polynome. 1 Wir beginnen mit der allgemeinen Sturm-Liouville-Differenzialgleichung. Die allgemeine Form hat noch einen weiteren Term, weil dieser aber in den späteren physikalischen Anwendungen nicht relevant ist, lassen wir ihn hier weg. Die Sturm-Liouville-Differenzialgleichung ist eine Differenzialgleichung zweiter Ordnung in der Variablen x . Je nachdem wie die Funktionen w (x) und p(x) gewählt werden, ergeben sich unterschiedliche Differenzialgleichungen. Hier ist λ der Eigenwert. 2 Wir geben ohne Beweis die Eigenfunktionen ϕn (x) dieser Differenzialgleichung an. Die genannten Differenzialgleichungen für konkrete Funktionen w (x) und p(x) haben weitere (nichtpolynomiale) Lösungen, die aber Singularitäten aufweisen und physikalisch nicht sinnvoll sind. Hier ist gn ein Normierungsfaktor. 3 4 Diese Lösungen erfüllen die bereits besprochenen Vollständigkeitsund Orthogonalitätsrelationen. 5 In dieser Tabelle sammeln wir die relevanten Größen für bekannte orthogonale Polynome: die Funktionen p(x) und w (x), die Eigenwerte λn , die Normierungsbedingung, den Definitionsbereich [xmin , xmax ] und schließlich die Normierungskonstanten gn und γn .

25

∫

−1

1

n=0

2

2 δmn 2n + 1

Pn (x) Pn (y ) = δ(x − y )

Pm (x)Pn (x) dx =

∞ ∑ 2n + 1

• Vollständigkeit:

• Orthogonalität:

P4 (x) = 81 (35x 4 − 30x 2 + 3)

P3 (x) = 21 (5x 3 − 3x)

P2 (x) = 12 (3x 2 − 1)

P1 (x) = x

P0 (x) = 1

• Explizite Form der ersten fünf Polynome:

Pn (x) =

)n dn ( 1 1 − x2 n n n (−1) 2 n! dx

[ ] ) dPn (x) d ( 1 − x2 = n(n + 1)Pn (x) dx dx

• Eigenfunktionen:

−

Beispiel: Hier geben wir exemplarisch einige Eigenschaften der Legendre-Polynome an. Für die anderen orthogonalen Polynome gelten sehr ähnliche Ergebnisse, die sich aus der Tabelle und den angegebenen Formeln ableiten lassen. • Differenzialgleichung:

i

xi yi

T

M =M (M⃗x ) · ⃗y = ⃗x · (M⃗y )

T

symmetrische Matrix

M M =I (M⃗x ) · (M⃗y ) = ⃗x · ⃗y

T

orthogonale Matrix

(M⃗x ) · ⃗y = ⃗x · (M ⃗y )

(M T )ij = Mji

transponierte Matrix

⃗x · ⃗y =

∑

reelles Skalarprodukt

13

10

7

4

vi ui∗

†

8

5

2

M† = M (M⃗v ) · ⃗u = ⃗v · (M⃗u )

hermitesche Matrix

14

T†∫T†∞ T†∑∗ (M = M (M ))∗M = M M M =⟨M Mji= ⟩ ijijM jix ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ x · y = v,ii†Iygug∗ii⟩∗(x)dx v · u unitäre Matrix ff(x)g ⟨f ,⟨O gadjungierte ⟩Matrixtransformation symmetrische orthogonale adjungierter Operator unitärer transponierte Matrix hermitescher reelles komplexes Skalarprodukt komplexe Operatortransformation O O Matrix hermitesche reelle ⟨O ff= ,(x) g⟩⃗uxSkalarprodukt ⟩g= ⟨f ,Matrix O = M⃗ yvMatrix ⟩†Operator = O (x) funitäre ,Matrixtransformation gO ,g⟨f O T † ⃗vIx ·yu⃗u⃗yu))) (M⃗ uM= =yM ·(M (M⃗ u⃗x⃗v⃗i)vxi ··= (M⃗ xvvx)))···⃗y⃗u⃗y(M⃗ (M⃗ = (M −∞ = (M⃗v ) · (M⃗u ) = ⃗v · ⃗u 11

(M⃗v ) · ⃗u = ⃗v · (M ⃗u )

(M † )ij = Mji∗

i

∑

adjungierte Matrix

⃗v · ⃗u =

∗

komplexes Skalarprodukt

⃗u = M⃗v

⃗x = M⃗y 1

komplexe Matrixtransformation

reelle Matrixtransformation

Spezielle Matrizen und Operatoren

−∞

∞

f (x)g ∗ (x)dx

O f , g ⟩ = ⟨f , O g ⟩ ⟨O

hermitescher Operator

O f , O g ⟩ = ⟨f , g ⟩ ⟨O

unitärer Operator

⟨ ⟩ O f , g ⟩ = f , O †g ⟨O

adjungierter Operator

⟨f , g ⟩ =

komplexes Skalarprodukt ∫

f (x) = O g (x)

Operatortransformation

15

12

9

6

3

Auf dieser Seite betrachten wir spezielle Matrizen bzw. Operatoren in drei verschiedenen Vektorräumen. 1 Die reelle Matrix M transformiert den reellen Vektor ⃗y in den reellen Vektor ⃗x . 2 Die komplexe Matrixtransformation M verbindet die beiden komplexen Vektoren ⃗u und ⃗v . 3 Die Operatortransformation O verbindet die beiden komplexen Vektoren f (x) und g (x). 4 5 6 Die Skalarprodukte sind wie angegeben definiert. 7 Die transponierte Matrix M T wird durch Vertauschen von Zeilen und Spalten einer gegebenen Matrix gebildet. 8 Die adjungierte Matrix M † wird durch Vertauschen von Zeilen und Spalten und anschließender komplexer Konjugation gebildet. 9 Der zu einem Operator O adjungierte Operator O † , angewandt auf eine Funktion eines Skalarprodukts, hat die gleiche Wirkung auf den Wert des Skalarprodukts wie der Operator O , angewandt auf die andere Funktion des Skalarprodukts. 10 Wenn das Matrixprodukt einer Matrix M mit der transponierten Matrix M T die Einheitsmatrix I ergibt, bezeichnen wir die Matrix als orthogonal. Anders ausgedrückt: Multipliziert man beide Vektoren eines beliebigen Skalarprodukts mit einer orthogonalen Matrix, so ändert sich der Wert des Skalarprodukts nicht.

27

15

14

13

12

auf komplexe Matrizen bzw. Vektoren. Wirkt auf beide Funktionen eines beliebigen Skalarprodukts ein unitärer Operator, so bleibt der Wert des Skalarprodukts unverändert. Wir nennen eine Matrix symmetrisch, wenn sie gleich der transponierten Matrix ist. Hier macht es keinen Unterschied, welcher Vektor eines beliebigen Skalarprodukts mit der Matrix multipliziert wird – der Wert des Skalarprodukts bleibt jeweils gleich. Die hermitesche Matrix ist die Verallgemeinerung der symmetrischen Matrix auf komplexe Matrizen bzw. Vektoren. Bei einem hermiteschen Operator O macht es keinen Unterschied für den Wert eines Skalarprodukts, ob er auf die eine oder die andere Funktion des Skalarprodukts angewandt wird.

11 Die unitäre Matrix ist die Verallgemeinerung der orthogonalen Matrix

7

5



Generatoren    0 0 1 0 0 0 J1 =  0 0 −1  J2 =  0 0 0  −1 0 0 0 1 0   0 −1 0 J3 =  1 0 0  0 0 0 11

 Ansatz a b c J = d e f  g h j

det(exp(X )) = exp(tr(X ))

⃗ · ⃗J) O = exp(ϕ

⃗ · ⃗J J =ϕ

12

9

 0 −b c 0 −f  J = b −c f 0 8 

O O=I det(O)   = 1  3 0 0 1 0 0 0   0 0 0  −1 J2 = J1 =  0 0  b c 0 c f Ta −b 0 1 0O J′ O= = −JI ′ −1 0 0 ⃗O    ⃗′x⃗J·Norm ⃗⃗O⃗ f⃗J) bx== −f  J = J= Parameter ⃗JAnsatz ⃗x Invarianz der Transformation det(exp(X )) = )) exp(J) = xϕ ·J⃗x= x0ceexp(tr(X O⃗Generatoren = exp( · ϕ ·ϕ Td −J tr(J) = 0 det(O) = 1 0−c−1 0 g fbh j 0 1 0 = 00  J3 =  tr(J) 6 0 0 0

T

f ⃗  c  ϕ= b

Parameter  

2

10

O = exp(J)

⃗x ′ = O⃗x

⃗x · ⃗x = ⃗x ′ · ⃗x ′ 1

Transformation

Invarianz der Norm

Generatoren der Rotation

4

. Diese erste Eigenschaft von Matrizen wird Orthogonalität genannt. Aus dem Determinantenproduktsatz folgt die zweite Bedingung: det O det O = det O det O T = det(OO T ) = det I = 1. Das heißt die Determinante der Matrix O ist 1. 4 Nun nehmen wir an, dass sich die Matrix als Matrixexponential darstellen lässt. Hier ist J eine Matrix mit denselben Dimensionen wie die Matrix O . 5 Wir verwenden noch eine weitere nützliche Eigenschaft des Matrixexponentials. Die Determinante der Exponentialfunktion einer quadratischen Matrix X ist gleich der Exponentialfunktion der Spur der Matrix tr(X ).

⃗x ′ · ⃗x ′ = ⃗x ′T ⃗x ′ = (O⃗x )T O⃗x = ⃗x T O T O⃗x = ⃗x T ⃗x = ⃗x · ⃗x

Rotationen in drei Raumdimensionen lassen sich als eine durch drei Parameter bestimmte Exponentialfunktion einer Matrix ausdrücken. Das führt uns auf eine Gruppe von speziellen Matrizen, die sogenannten Generatoren der Rotation. 1 Wir beginnen mit der grundlegenden Bedingung für eine Rotation. Der Abstand eines Punktes im Raum zum Rotationszentrum ändert sich durch eine Rotation nicht. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn die Norm bzw. deren Quadrat invariant unter der Rotation ist. Der Einfachheit halber setzen wir den Koordinatenursprung in das Rotationszentrum. 2 Die 3 × 3-Matrix O transformiert den Ortsvektor vor der Rotation ⃗x in den Ortsvektor ⃗x ′ nach der Rotation. 3 Setzen wir nun die Transformation in die Bedingung ein, so erhalten wir direkt zwei Bedingungen an die Matrix O . Die erste erhält man direkt aus der Anwendung einfacher Regeln der Matrixrechnung:

29

12

11

10

9

8

7

gen an O direkt Bedingungen an J ableiten. Man beachte hier, dass exp(X T ) = (exp(X ))T gilt. Wir wissen, dass die Matrix O eine reelle Matrix ist, weil die Koordinaten reell sind. Also parametrisieren wir die Matrix mit neun reellen Parametern a, b, ..., f . Durch Anwendung der beiden Bedingungen bleiben drei unabhängige Parameter übrig. Die so entstandene Matrix lässt sich als Produkt eines Vektors ϕ⃗ von Parametern und eines Vektors ⃗J mit matrixwertigen Komponenten Ji schreiben. Der Vektor der Parameter ergibt sich aus den drei verbliebenen Parametern c , b und f . Die so gefundenen Matrizen sind die Generatoren der Drehgruppe in drei Dimensionen. Wir erhalten das Hauptergebnis dieser Seite, indem wir die so parametrisierte Form der Matrix J in die Exponentialform der Matrix O einsetzen.

6 Mithilfe der beiden letzten Ausdrücke lassen sich aus den Bedingun-

Addition 2

1

Eigenschaften

a·b = c

Multiplikation

assoziativ a·(b·c) == (a·b)·c assoziativ : a: + (b + c) (a + b) + c assoziativ : a·(b·c) = (a·b)·c assoziativ : a + (b + c) = (a + b) + c Distributivgesetz kommutativ a·bb ==b·a kommutativ : a: + ba·b+a·c +a a·(b+c) kommutativ : a·b = b·a a·(b+c) a·b+a·c kommutativ : a + b = b + a Menge Distributivgesetz Multiplikation Eigenschaften a·b == cc a, ... aAddition +b,= bc, neutrales Element ∈b·a+c Kmit mit 1·aa = a neutrales Element : 0:= ∈1 K 0·a+ (b+c)·a neutrales Element : 1 ∈ K mit 1·a = a (b+c)·a = b·a+c ·a −1 neutrales Element : 0 ∈ K mit 0 + a = a 6 inverses Element : −a ∈ K∈ K mitmit (−a) a= inverses Element : a−1 a + a= 10 inverses Element : −a ∈ K mit (−a) + a = 0 3 inverses Element : a−1 ∈ K mit a−1 a = 1

Eigenschaften

a+b =c

a, b, c, ...

Menge

Hilbert-Raum, Teil 1

5

4

Ein Zustand eines quantenmechanischen Systems wird durch ein Element eines Hilbert-Raums beschrieben. Auf den beiden folgenden Seiten sammeln wir die Eigenschaften des Hilbert-Raums. Wir beginnen mit der Definition eines Körpers. 1 Ein Körper besteht aus einer Menge von Elementen a, b, c, ... 2 Wir definieren zwei Verknüpfungen, die jeweils zwei Elemente auf ein anderes Element der Menge abbilden. Die erste ist die Addition. 3 Die Addition ist assoziativ, d. h., die Reihenfolge zweier Additionen ist beliebig, und sie ist auch kommutativ – die Reihenfolge der beiden Elemente, die mit einer Addition verknüpft sind, ist ebenfalls beliebig. Außerdem gibt es ein neutrales und ein inverses Element. Eine Addition mit dem neutralen Element ändert nichts. Die Addition eines Elements mit dem dazugehörigen inversen Element ergibt das neutrale Element. 4 Die zweite Verknüpfung ist die Multiplikation. 5 Sie ist ebenfalls assoziativ, kommutativ und verfügt über ein neutrales und ein inverses Element. 5 Abschließend definiert das Distributivgesetz das Zusammenspiel zwischen den beiden Verknüpfungen.

31

Körper K 2

3

∗

⃗a, ⃗b, ⃗c , ...

Menge von Vektoren V 1

Eigenschaften

⃗a + ⃗b = ⃗c

Vektoraddition 5

Definitheit : ∥⃗a∥ = 0 ⇔ ⃗a = ⃗0 absolute Homogenit¨at : ∥α⃗a∥ = |α|·∥⃗a∥ Dreiecksungleichung : ∥⃗a + ⃗b∥ ≤ ∥⃗a∥ + ∥⃗b∥

Eigenschaften

∥⃗a∥

Norm

9

8

∥⃗a∥ =

√

⟨⃗a,⃗a⟩ 12

10

⟨⃗c , α⃗a + β⃗b⟩ = α⟨⃗c ,⃗a⟩ + β⟨⃗c , ⃗b⟩ Definitheit : ⟨⃗a,⃗a⟩ ≥ 0 11

∗ Symmetrie : ⟨⃗a, ⃗b⟩ = ⟨⃗b,⃗a⟩ Linearit¨at : ⟨α⃗a + β⃗b, ⃗c ⟩ = α⟨⃗a, ⃗c ⟩ + β⟨⃗b, ⃗c ⟩

Eigenschaften

⟨⃗a, ⃗b⟩

Skalarprodukt

assoziativ ::⃗a⟨⃗a+, ⃗b⟩ (⃗b = + ⟨⃗c⃗b,⃗ )= Symmetrie a⟩ (⃗a + ⃗b) + ⃗c assoziativ : ⃗a + (⃗b + ⃗c ) = (⃗a + ⃗b) + ⃗c ⃗a = ⃗0 Definitheit : ∥⃗ a ∥ = 0 ⇔ Distributivgesetz ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ √ kommutativ : a + b = b + a Kompatibilit¨ a t : α(β⃗ a ) = (αβ)⃗ a α(⃗ b) = α⃗ a + α b ⃗ ⃗ Linearit¨at : ⟨α⃗a + β⃗b, c ⟩ = α⟨⃗a,⃗c ⟩ + β⟨b, ⃗c ⟩ ⃗b, ⃗:b⟩ Kompatibilit¨at : α(β⃗a) = (αβ)⃗a absolute Homogenit¨ t,a= ∥α⃗ a+ =bV|α|·∥⃗a∥ kommutativ : ⃗a + ⃗b = ⃗b + ⃗a α(⃗ aSkalarprodukt α⃗ a... Menge von Vektoren Distributivgesetz Eigenschaften Skalar-Vektor-Multiplikation Norm Vektoraddition α, β, ∥⃗cγ, ⃗a∥Körper ⃗c,⃗ ,b) ,⃗bKa... + = α⃗ ⟨⃗ aa∥⃗ a⃗b= ∥⃗a+ = ⟨⃗ a∥⟩ α ⃗ ⃗ neutrales Element : 1 ∈ K with 1⃗ ⃗b⟩Vα⃗ (α +aβ)⃗ = + β⃗ a+ ⃗aa==⃗a⃗ac ,⃗⃗b⟩ neutrales Element : a0β∈ ⟨⃗ c , α⃗ + =aamit α⟨⃗ c0,⃗ ⃗b∥β⃗ neutrales Element : 1 ∈ K with 1⃗a = ⃗a Dreiecksungleichung (α + β)⃗ a := aa⟩∥⃗7a+∥ β⟨⃗ Element : ⃗0 ∈ V mit ⃗0 + ⃗a = ⃗a ∥⃗aα⃗ ++ ≤ + ∥neutrales b∥ ⃗ Definitheit : ⟨⃗ a ,⃗ a ⟩ ≥ 0 ⃗ inverses Element : −a ∈V mit (−⃗a) + a = 0 inverses Element : −a ∈V mit (−⃗a) + ⃗a = ⃗0 6 4

Eigenschaften

α⃗a = ⃗b

Skalar-Vektor-Multiplikation

α, β, γ, ...

Hilbert-Raum, Teil 2

Aufbauend auf der Definition eines Körpers, fassen wir auf dieser Seite die Definitionen des Vektorraums und des Hilbert-Raums zusammen. 1 Wir beginnen mit einer Menge V , die aus den Elementen ⃗a, ⃗b, ⃗c , ... besteht. 2 Weiterhin soll ein Körper K von skalaren Elementen existieren. 3 Zuerst definieren wir die Skalar-Vektor-Multiplikation, die einen Vektor und einen Skalar auf einen Vektor abbildet. 4 Die Multiplikation innerhalb des Körpers und die Skalar-VektorMultiplikation sind kompatibel, d. h., die Reihenfolge der Ausführung der Verknüpfungen ist beliebig. 5 6 Wie für den Körper auf der vorherigen Seite ist für die Vektoren ebenfalls eine assoziative und kommutative Addition mit einem neutralen und einem inversen Element definiert. 7 Das Distributivgesetz definiert das Zusammenspiel zwischen den beiden Verknüpfungen. 8 Die bis jetzt angeführten Axiome definieren einen Vektorraum. Kommt dazu eine Norm, so spricht man von einem normierten Vektorraum. 9 Die Norm ist definit, d. h., wenn die Norm eines Vektors 0 ist, so ist der Vektor das neutrale Element. Außerdem ist die Norm homogen, und sie erfüllt die Dreiecksungleichung.

33

Beispiele: Auch wenn wir hier die Elemente ⃗a, ⃗b, ⃗c , ... mit Vektorpfeilen bezeichnet haben, bedeutet das nicht, dass nur Vektoren einen Hilbert-Raum bilden können. Hier einige Beispiele: • Die komplexen Zahlen mit dem Skalarprodukt ⟨a, b⟩ = ab∗ . • Die Menge der unendlichen Folgen mit endlicher Norm bezüglich des Skalarprodukts ∑∞ ⟨u, v ⟩ = i=1 ui vi . • Die Menge aller normierbaren Funktionen mit dem Skalarprodukt ∫ ⟨f , g ⟩ = f ∗ (x)g (x)dx .

Skalarprodukt definiert, spricht man von einem Hilbert-Raum. 11 Der Wert eines Skalarprodukts zweier Elemente wird komplex konjugiert, wenn die Reihenfolge geändert wird. Die Linearität definiert das Zusammenspiel von Vektoraddition, Skalar-Vektor-Multiplikation und Skalarprodukt. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist immer größer oder gleich 0. 12 Die Norm eines Vektors ist die Wurzel des Skalarprodukts des Vektors mit sich selbst. Die letzte Bedingung an den Hilbert-Raum ist, dass er bezüglich dieser Norm vollständig sein muss.

10 Wird zusätzlich zu den bereits definierten Eigenschaften noch ein

2

2

]

∂ ∂ ∂ ∆ψ = + + ψ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

2

Kugelkoordinaten

5

2

2

∂2 cos θ ∂ 1 ∂2 + + ∂θ2 sin θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ2

Laplace-Operator ( ∂ 2 ∂ 1 ∆ψ = + + 2 ∂r 2 r ∂r r

[

4

⃗x = (r , θ, ϕ) 0≤r |ψ(x2 )|2

k=1

Typische Aussage

7

2mi ∂x m=1 ∂x 2m ∂x k=1 kontinuierliche Energie diskrete Energie

typische Aussage

|ψ(x)|2 dx = 1

11

10

9

r¨aumlich unbeschr¨ankt nicht normierbar kontinuierliche Energie

ungebundene Wellenfunktionen

Wahrscheinlichkeitsstromdichte ( ) ∗

5

4

3

∑ aus ∗ des Wahrscheinlichkeitsstroms Normierung der Wellenfunktion h¯h¯2 ∑ ∂ψErhaltung (x) ∂ 2∗ j ein∂ψ(x) 2 =2 2 |jm 2 | k|j ∫ ∑ ∑ nicht normierbar normierbar Typische typische Aussage |ψ(x)| dx = 1 ψ (x) − ψ(x) j =ungebundene Schrödinger-Gleichung Erhaltung des Wahrscheinlichkeitsstroms Wellenfunktionen Wellenfunktionen Normierung der Wellenfunktion + V (x) ψ(x) = E ψ(x) −gebundene Potenzial Wahrscheinlichkeitsdichte Wahrscheinlichkeitsstromdichte Wellenfunktion V (x) | |j | ψ(x) |ψ(x)| |ψ(x )| > |ψ(x )| 1 2 1 2 2 ein aus

|ψ(x)|2

Wahrscheinlichkeitsdichte

r¨aumlich beschr¨ankt normierbar diskrete Energie

gebundene Wellenfunktionen

V (x)

Potenzial

Gebundene versus ungebundene Wellenfunktionen

2

Bezüglich der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion müssen zwei Fälle unterschieden werden: normierbare und nicht normierbare Wellenfunktionen. 1 Gebundene Zustände sind normierbar und haben diskrete Energieeigenwerte. Beispiele dafür sind ein Teilchen in einem Potenzialtopf oder die gebundenen Zustände der Elektronen in einem Atom (Orbitale). 2 Ungebundene Zustände sind nicht normierbar und haben kontinuierliche Energieeigenwerte. Beispiele hierfür sind die ebenen Wellen als Lösung der Schrödinger-Gleichung ohne Potenzial oder Zustände, die bei der Streuung von Teilchen an einem Potenzial auftreten. 3 4 5 Ausgangspunkt für beide Fälle ist das Potenzial, aus dem sich mit der Schrödinger-Gleichung die Wellenfunktion berechnet. Wir beschränken uns wieder auf eine Raumdimension, die Ergebnisse lassen sich aber direkt auf drei Raumdimensionen verallgemeinern. 6 7 Im Fall der gebundenen Zustände werden mithilfe der Wahrscheinlichkeitsdichte Aussagen gemacht. Das Integral über die Wahrscheinlichkeitsdichte ist 1.

73

welchen Punkten im Raum ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit größer als an anderen? 9 Im Fall der ungebundenen Zustände werden mithilfe der Wahrscheinlichkeitsstromdichten der einzelnen Anteile der Wellenfunktionen Aussagen zu Wahrscheinlichkeiten von Messergebnissen gemacht. 10 Erhaltung des Wahrscheinlichkeitsstroms besagt, dass die Summe der Wahrscheinlichkeitsstromdichten der einlaufenden Wellenfunk tionanteile jkein gleich der Summe der Wahrscheinlichkeitsstromdichten der auslaufenden Wellenfunktionsanteile |jmaus | sein muss. 11 Die Frage bei den ungebundenen Wellenfunktionen ist: In welcher Richtung ist der Wahrscheinlichkeitsstrom größer?

8 Die Frage, die sich bei gebundenen Wellenfunktionen stellt, ist: An

i¯h

2

4

9

−

3

Ortsanteil h¯ p2 1 d 2 ψ(x) = 2m ψ(x) dx 2 2m

2

7

ψ(x, t) = A exp(i (px − Et)/¯h)

ψ(x) = Ax exp(ipx/¯h)

p2 E= 2m

h¯2 1 d 2 ψ(x) 1 dϕ(t) =− ϕ(t) dt 2m ψ(x) dx 2

ϕ(t) = At exp(−iEt/¯h)

5

i¯h

8

6

ψ(x, t) = ψ(x)ϕ(t)

Lösung

1 dϕ(t) =E ϕ(t) dt

1

Ansatz

Lösung

i¯h

Zeitanteil

h¯ d ψ(x, t) dψ(x, t) =− dt 2m dx 2

2

Schrödinger-Gleichung

2

1dψ(x, h¯ t)1 dϕ(t) pd22 ψ(x) dϕ(t) d 2 ψ(x) ph¯h¯22 d 12 ψ(x, t) = E i¯h=== Lösung i¯h ψ(x, = − = Ansatz Zeitanteil Ortsanteil ψ(x) t) At) exp(i At=xexp(−iEt/¯ (px − Et)/¯ h )2) h)2 ψ(x, ψ(x)ϕ(t) ϕ(t) h EA = −exp(ipx/¯ i¯h −Schrödinger-Gleichung 2 ϕ(t) dt ϕ(t) 2m dx 2m dtdtψ(x) 2m ψ(x) dx2mdx

2

Kein Potenzial

2

Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für eine Teilchen ohne Potenzial führt auf ebene Wellen. 1 Ausgangspunkt ist die Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen der Masse m ohne Potenzial in einer Ortsdimension x . 2 Wir nehmen an, dass sich die Wellenfunktion ψ(x, t) durch den Produktansatz ψ(x)ϕ(t) darstellen lässt. Hier hängen ψ(x) und ϕ(t) nur von x bzw. t ab. 3 Setzen wir diesen Ansatz ein und bringen ϕ(t) auf die linke Seite und ψ(x) auf die rechte Seite, so ergibt sich der angegebene Ausdruck. Weil die linke Seite nicht mehr von x und die rechte Seite nicht mehr von t abhängt, sind beide Seiten proportional zu einer Konstanten in Ort und Zeit. 4 Die Konstante entspricht der Energie E , die über den angegebenen Ausdruck mit dem Impuls p zusammenhängt. 5 6 So ergeben sich zwei separate Differenzialgleichungen für den Zeitanteil ϕ(t) und den Ortsanteil ψ(x). 7 Die Differenzialgleichung für den Zeitanteil hat eine leicht überprüfbare Lösung in Form einer Exponentialfunktion . Hier ist At eine Normierungskonstante. 8 Die Differenzialgleichung für den Ortsanteil hat ebenfalls eine Exponentialfunktion als Lösung . Auch hier ist Ax eine Normierungskonstante. 9 Die beiden Anteile ergeben gemeinsam eine Lösung der SchrödingerGleichung ohne Potenzial in Form einer ebenen Welle mit einer Normierungskonstante A = Ax Ay .

75

h p

T =

h E

oder ω =

2π E = . T ¯ h

Dies führt auf einen Zusammenhang zwischen der Periode bzw. der Kreisfrequenz ω und der Energie, und zwar die bereits diskutierte Einstein-Planck-Beziehung

ψ(x, t) = ψ(x, t + T ) .

Analog dazu ist die Periode T das kleinste Intervall, in dem sich der Wert der Wellenfunktion wiederholt, also

λ=

Aus dieser Bedingung und der Lösung der Schrödinger-Gleichung ergibt sich unter Benutzung der Periodizität der komplexen Exponentialfunktion, exp(i 2π) = exp(0) = 1, ein Zusammenhang zwischen der Wellenlänge und dem Impuls:

ψ(x, t) = ψ(x + λ, t) .

Anmerkung: Als Übung leiten wir aus der hier betrachteten Lösung die de-Broglie-Beziehungen ab. Wir beginnen mit der Wellenlänge λ. Sie ist bei einer periodischen Welle der kleinste räumliche Abstand zweier Punkte mit dem gleichen Wert der Wellenfunktion, also

dψ(x, t) = dt

−

E >V

2

)

ψ(x, t)

(

)

ψ(x)

2m (E − V )x h¯2

) 7

ψ± (x) = A± exp ±

) 5

4

3

2m (V − E )x h¯2 ψ± (x) = A± exp ±

) 9

E ± ± exp 2verboten dt dx 2 2m dx dx2 2h¯h¯22 h¯2m

2

8

Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen in einem konstanten Potenzial zeigt je nach Verhältnis der Energie und des Potenzials oszillierendes oder exponentielles Verhalten. 1 Wir starten wieder mit der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung; in diesem Fall aber mit einem konstanten Potenzial V . 2 Die Differenzialgleichung kann durch einen Produktansatz in eine einfachere Form überführt werden. Dieser Ansatz ist bei allen Problemen möglich, bei denen das Potenzial nicht explizit von der Zeit abhängt. 3 Diese Substitution führt nach der Anwendung einiger einfacher mathematischer Schritte zur zeitunabhängigen SchrödingerGleichung. 4 Eine einfache Umstellung bringt die Differenzialgleichung auf die angegebene Form. 5 Hier geben wir zwei Lösungen, ψ+ (x) und ψ− (x), dieser Differenzialgleichung an. Wir können uns leicht durch Einsetzen und die Anwendung der Kettenregel der Differenzialrechnung überzeugen, dass diese beiden Funktionen die Differenzialgleichung lösen. 6 In der klassischen Mechanik sind nur Energien E größer als das Potenital V erlaubt. 7 Für diesen Fall wird das Argument unter der Wurzel negativ, weil die Masse des Teilchens und die Planck-Konstante positiv sind. Deshalb ziehen wir ein Minus aus der Wurzel und erhalten so ein positives Argument unter und ein i vor der Wurzel. Die Lösung hat also die Form einer √ ebenen Welle in x mit einer Wellenlänge von λ = h/ 2m(E − V ). 8 In der klassischen Mechanik sind Energien E kleiner als das Potenzial V verboten.

77

hat also eine exponentielle Form in x und ändert sich auf einer Länge √ von κ = ¯h/ 2m(V − E ) um einen Faktor e.

9 Für diesen Fall wird das Argument unter der Wurzel positiv. Die Lösung

i¯h

dψ(x, t) = dt

(

−

2

)

(

) h¯2 d 2 + c x ψ(x) − 2m dx 2

Lösung ) (( )1/3 2m (c x − E ) ψ(x) = Ai h¯2

ψ(y ) = Ai(y )

Lösung

d ψ(y ) = y ψ(y ) dy 2

2

Airy-Differenzialgleichung

2m d 2 ψ(x) = 2 (c x − E )ψ(x) 2 dx h¯

E ψ(x) =

zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

h¯ d + c x ψ(x, t) 2m dx 2 1

2

zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

Lineares Potenzial

(( ) ) (( )) ) ( 2 21/3 21/3 2 2 t) d 2 ψ(yh 2m ¯ h ¯ d d dψ(x, ) d ψ(x) 2m2m Airy-Differenzialgleichung ψ(x) ) t) Lösung zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung E ψ(x) =Ai = ψ(y + x−)hψ(x) ψ(x, i¯hzeitabhängige y(c )cx)ψ(x) Ansatz (cAi(y xψ(y −x+ y= = − E Substitution ψ(x, t) =−− ψ(x) exp(−iEt/¯ )E )Schrödinger-Gleichung == )(ccE dt dx 2 dy dx2 2 h¯2 2dx h¯2m h¯222m

8

7

6

4

3

y=

2m h¯2

1/3

(c x − E )

Substitution ) (

ψ(x, t) = ψ(x) exp(−iEt/¯h)

Ansatz

5

2

jedoch und ist deshalb keine physikalisch sinnvolle Lösung. 8 Die Rücksubstitution führt zur angegebenen Lösung. Im Bereich E > V zeigt die Lösung oszillierendes Verhalten mit einer zur linken Seite abnehmenden Wellenlänge, und im anderen Bereich V > E fällt die Lösung im rechten Bereich quasiexponentiell ab.

Ai(y ) und Bi(y ), die Airy-Funktionen. Die Funktion Bi(x) divergiert

7 Die Airy-Differenzialgleichung hat zwei linearunabhängige Lösungen

Differenzialgleichung.

y überführt die Differenzialgleichung in die sogenannte Airy-

5 6 Die angegebene Substitution des Orts x mit dem Parameter

Die Lösung der eindimensionalen zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung für ein lineares Potenzial zeigt die beiden charakteristischen Eigenschaften der Wellenfunktionen in einer geschlossenen Lösung: oszillierendes Verhalten für klassisch erlaubte Bereiche und exponentielles Verhalten in klassisch verbotenen Bereichen. 1 Ausgangspunkt ist wieder die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung, diesmal mit einem linearen Term als Potenzial, der von dem reellen Faktor c parametrisiert wird. 2 3 4 Wie auf der vorherigen Seite diskutiert, führt eine Faktorisierung von Zeit- und Ortsabhängigkeit auf die zeitunabhängige SchrödingerGleichung, die leicht auf die angegebene Form gebracht werden kann.

79

∫

−∞

∞

2

7

|ψn (x)|2 dx = 1 10

1 ψn (x) = √ 2n n! π¯h

n = 0, 1, 2, ...

6

( mω ) (√ mω ) exp − x 2 Hn x 2¯h h¯ 11

normierte Lösungen ( mω )1/4

3

) 2E − 1 u(y ) = 0 h¯ω 5

Hermite-Differenzialgleichung

(

) 2E 2 − y ψ(y ) = 0 h¯ω

d Hn (y ) dHn (y ) − 2y + 2nHn (y ) = 0, 2 dy dy

2

(

du(y ) d 2 u(y ) − 2y + 2 dy dy

d 2 ψ(y ) + dy 2

( mω ) (√ mω ) ψn (x) = exp − x 2 Hn x 2¯h h¯ 9

un (y ) = Hn (y )

mω x h¯

Normierung

y=

erste Substitution √

((() ) )(√ ∫ ∞( (2 √ ) ) ()√ ( ) ( mω Schrödinger-Gleichung 1 2 2 2 )2mω du(y 2E )mω 2E d 2 mω dH ))h¯1/4 d 2 Hn (ydzeitunabhängige )2 u(yd1)2 ψ(y mω 2 n)(y 21mω 2 ) ( |ψ (x)| 1/2) E)− h¯Substitution n+ + Normierung normierte Lösungen Energien zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung Hermite-Differenzialgleichung − 2y + + ydx ψ(y =Hnψ(x) Eψ√ ψ(x) = − 2y 2nH (y )xHmω = 0, ==0,01, 2,x... = exp − −(y xnH x x) u(y ψn (x)2 = y= = n zweite erste Substitution )ωexp = )n− ψ(y = )− exp(−y nu 2u(y n (x) n0)x n+ 2dy h¯(y h¯dx ωdh22 h¯h¯n ω12 22¯ 2m dy dy 22n dy π¯h dy 2¯ h 2 2 h¯ h¯ + mω x ψ(x) E ψ(x)n!= −∞ − 2m dx 2 2 1

Quadratisches Potenzial

1 En = h¯ω n + 2

Energien (

) 8

ψ(y ) = u(y ) exp(−y 2 /2)

zweite Substitution 4

Ein quadratisches Potenzial entspricht in der klassischen Mechanik einem eindimensionalen harmonischen Oszillator. Hier bewegt sich ein Teilchen durch den Einfluss einer linearen Rückstellkraft (z.B. einer idealisierten Feder) in einer Dimension. In der Quantenmechanik führt die Lösung der eindimensionalen zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung mit diesem Potenzial auf ein System von Eigenwellenfunktionen mit diskreten Energien. 1 In der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung wurde die Kraftkonstante k der Rückstellkraft durch die klassische Eigenkreisfrequenz √ ω = k/m und die Masse m ausgedrückt. 2 Die erste Substitution ist eine Skalierung des Orts x . 3 Durch diese Substitution können wir alle Konstanten in einem dimensionslosen Term zusammenfassen. 4 Die zweite Substitution ist ein Produktansatz für die Wellenfunktion. 5 Der Produktansatz bringt die Differenzialgleichung auf eine Form ohne quadratische Terme in y . 6 Die so entstandene Differenzialgleichung hat die Form der HermiteDifferenzialgleichung. Sie hat diskrete Eigenwerte n und Eigenfunktionen Hn (y ), die Hermite-Polynome (siehe Seite 25). 7 Die Hermite-Polynome entsprechen direkt den Lösungen der Differenzialgleichung.

81

. Diese zeigen zwei charakteristische Eigenschaften aller gebundener, quantenmechanischer Systeme: Die Energien sind diskret, also quantisiert, und es gibt eine nichtverschwindende Energie des Grundzustands (n = 0). 9 Wir machen die beiden Substitutionen rückgängig. 10 11 Als letzten Schritt normieren wir die entstandenen Lösungen, gemäß der bereits besprochenen Normierungsbedingung.

8 Die diskreten Eigenwerte n führen auf die möglichen Energien

x1

∫x2

) h¯2 d 2 − + V (x) ψ(x) 2m dx 2 1

x1

∫x2

x1

x0y−ε

x0 −ε

x0

4

dψ(x) dx = ψ(x2 ) − ψ(x1 ) dx 9 ε→0

lim

ε→0

ε→0

lim ψ(x0 + ε) = lim ψ(x0 − ε)

Anschlussbedingung 2

dψ(x) dψ(x) = lim dx x=x0 +ε ε→0 dx x=x0 −ε

Anschlussbedingung 1

10

8

ε→0

y

∫y +ε lim f (x)dx = 0 7

Potenzial { V1 (x), x < x0 V (x) = V2 (x), x ≥ x0 5

 x  x∫0 +ε ∫0 dψ(x) dψ(x) 2m (V1 (x) − E ) ψ(x)dx + (V2 (x) − E ) ψ(x)dx  − = 2  dx x=x0 +ε dx x=x0 −ε h¯ 6 x0 −ε x0

x0 −ε

x∫0 +ε dψ(x) dψ(x) 2m − = (V (x) − E ) ψ(x)dx dx x=x0 +ε dx x=x0 −ε h¯2

x1

 y2m  2 dψ(x) dψ(x) d 2 ψ(x) x∫ x∫0 +ε 2 0 +ε ) ( { 0 ∫x2 d2∫xψ(x) ∫x+ε − dx = 2 2(x) (V − E ) ψ(x) = 2ψ(x) d dψ(x) dψ(x) dψ(x) 2 dψ(x) dψ(x) dψ(x) dψ(x) 2m 2m dψ(x) dψ(x) 2V1d (x), x < x−0 ε) 2m dlim ψ(x) 2  dx dx x2 dx −x1 3 zeitunabhängige 2 )− = dx h¯h¯ε) ψ(x + = lim ψ(x dx = dx ψ(x )(x) −+E )2ψ(x)dx lim −= = (V (V ))1 (V2 (x) − E ) ψ(x)dx  lim f= (x)dx = 00ψ(x V 2(x) Schrödinger-Gleichung Anschlussbedingung 2ψ(x)dx 0 + V−E (x) E ψ(x) 1 (x) = − (V (x) − E ψ(x) Potenzial 1ψ(x) 2=dx 2 2 ε→0 2 ε→0 ε→0 ε→0 dx dx V (x), x ≥ dx dx x=x0 +ε dx dx x=x dx h¯2 x0dx 2m 2 dxh¯ x=x ¯+ε x2 dx x1 x=x0 −ε x=x0 +ε x=x 0h 0 −ε 0 −ε

E ψ(x) =

(

zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

Potenzialsprünge und Anschlussbedingungen

Die Wellenfunktion und ihre erste Ableitung müssen insbesondere an endlichen Potenzialsprüngen stetig sein. Auf dieser Seite leiten wir diese beiden Bedingungen aus der Schrödinger-Gleichung her. 1 Ausgangspunkt ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. 2 Eine einfache Umstellung ergibt die angegebene Form. 3 Hier geben wir den allgemeinen Zusammenhang zwischen Integration und Ableitung an. 4 Eine Integration über x von x0 − ε bis x0 + ε auf beiden Seiten der Differenzialgleichung ergibt den angegebenen Ausdruck. Hier ist x0 die Stelle des Potenzialsprungs und ε ein positiver Parameter. 5 6 Nun setzen wir ein allgemeines Potenzial mit einem Sprung an der Stelle x0 ein. Links und rechts von dieser Sprungstelle soll das Potenzial stetig sein. 7 Ein Integral über eine stetige Funktion verschwindet, falls die Integrationsgrenzen zusammenfallen.

83

Seiten des Potenzialsprungs gleich sein muss. Diese Bedingung erlaubt uns, auf den folgenden Seiten die Lösungen der SchrödingerGleichung für stückweise stetige Potenziale zu berechnen. Die Ortsableitung der Wellenfunktion ist also stetig. 9 10 Wir wiederholen die Argumentation und wenden den allgemeinen Zusammenhang zwischen Integration und Ableitung erneut an. Da das Integral über die stetige erste Ortsableitung verschwindet, falls die Integrationsgrenzen zusammenfallen, ist auch die Wellenfunktion selbst an der Stelle eines endlichen Potenzialsprungs stetig.

8 Daraus folgt, dass die Ortsableitung der Wellenfunktion auf beiden

k=

√

2mE /¯h

Wellenzahl 15

A = −B

E=

π h¯ n 2mL2

2 2 2

Energien 16

ψ2 (x) =

11

( πn ) 2 sin L L 18

14

∫ 0

A = −B exp(−i 2kL)

Wellenfunktionen √

ψ2 (x) = A (exp(ikx) − exp(−ikx)) = 2iA sin(kx) 2π mit k = n und n = 1, 2, 3... 2L

12

ψ2 (L) = ψ3 (L)

ψ2 (0) = ψ1 (0) 10

Randbedingungen

Randbedingungen

9

L

|ψ2 (x)|2 dx = 1

Normierung

13

ψ3 (x) = 0

67

ψ2 (x) = A exp(ikx) + B exp(−ikx)

V (x) = ∞

ψ1 (x) = 0

5

Ansatz für die Wellenfunktion

V (x) = 0

Ansatz für die Wellenfunktion

4

Potenzial

Ansatz für die Wellenfunktion

V (x) = ∞

Potenzial

LV

T =

klassisch nicht erlaubt

1 ( √ ) V2 sin2 L 2m(E − V )/¯h 1+ 4(E − V )E 9

13

klassisch erlaubt

R =1−

4k12 k22 T = √ R= 12 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (kk L) (k122ik + 1kk222)exp(−ik (k12 + k22 ) sin2 (k2(k L)12 R + 4k 2mE ksin − |jkrt4k |22 )/¯ −T= k22= )ksin(k L)+ 4k1 k2 cos (k2 L) 6 (k5212 − L) 21 = 11 2 cos2 L) 2 2(k 1h 2(√ ( )sin ) (k21L) 2 √ T V V R = √ = |r |t| | T Wahrscheinlichkeitserhaltung r= 2 , t = R = klassisch klassisch nicht Transmissionskoeffizient Reflexionskoeffizient RE + T = 1 22 2 2 2 R > ̸=erlaubt 02erlaubt T V > E 2V 2 |j 2 2 2 L) sin LV L4k + 1 12+ 2m(E 2m(E V )/¯ V )/¯ hh (k1 + k22 ) sin(k2 L) +12ik (k)/¯ k2−) − sin(k i |2sin 1k (k +24(E (k L) − + (k kkcos(k =− h+2 cos 1k 2 L)2 L) + 2ik1 k2 cos(k2 L) 2) 2− 1 4(E Vsin )E V 2m(E )E √ k1 = 2mE /¯h √ 7 k2 = 2m(E − V )/¯h

|jr | R= = |r |2 |ji |

t=

Wahrscheinlichkeitserhaltung

(k12 − k22 ) sin(k2 L) , (k12 + k22 ) sin(k2 L) + 2ik1 k2 cos(k2 L)

Reflexionskoeffizient

r=

Potenzialbarriere, Teil 3

10

9

8

5 6 7

4

⇒ ⇒

r exp(−ik1 x)

t exp(ik1 x)

¯ k1 h , m ¯hk1 2 jr = − |r | , m ¯hk1 2 |t| jt = m ji =

definiert. Die Summe von Transmissionskoeffizient und Reflexionskoeffizient ergibt aufgrund der Erhaltung des Wahrscheinlichkeitsstroms den Wert 1. Eingesetzt ergeben sich die angegebenen Ausdrücke. Nun nutzen wird die explizite Form der Wellenzahl, ausgedrückt durch die Energie und das Potenzial. Damit ergibt sich der Transmissionskoeffizient in Abhängikeit von der Masse m und Energie E des Teilchens sowie der Breite L und Höhe V der Barriere. Der Transmissionskoeffizient wird natürlich 1 für verschwindende Breite oder Höhe der Barriere. Wenn die Energie kleiner als das Potenzial ist, wird das Argument unter der Wurzel negativ, und der Sinus geht in den Sinus hyperbolicus über (sin(iz) = i sinh(z)). Der Reflexionskoeffizient ergibt sich leicht durch die Wahrscheinlichkeitserhaltung aus dem Transmissionskoeffizienten.

⇒

exp(ik1 x)

sionskoeffizient über die Verhältnisse der Wahrscheinlichkeitsströme der Wellenfunktionsanteile (siehe Seite 73),

1 Wir starten mit dem letzten Ergebnis der vorherigen Seite. 2 3 Wie bei der Potenzialstufe ist der Reflexionskoeffizient und Transmis-

Teilchen in der klassischen Mechanik an der Potenzialbarriere reflektiert werden. In der Quantenmechanik ergibt es jedoch eine nichtverschwindende Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen die Barriere durchquert. Dieses Verhalten wird als Tunneleffekt bezeichnet. 12 13 Wenn die Energie größer als das Potenzial ist, würde das Teilchen in der klassischen Mechanik die Potenzialbarriere überwinden. In der Quantenmechanik gibt es jedoch eine nichtverschwindende Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen reflektiert wird.

10 11 Für den Fall, dass die Energie kleiner als das Potenzial ist, würde das

En =

π 2 n2 1+ 2 S

V

Resonanzenergien ( )

√ S E /V − 1 = nπ

T (En ) = 1

Resonanzbedingung

6

5

4

V2 1+ 4(E − V )E

1 ( √ ) sin2 L 2m(E − V )/¯h 1

T (E ) =

Γ2n /4 Tn (E ) = (E − En )2 + Γ2n /4

Resonanz 8

S=

2mV L2 h¯

Formfaktor √

Γn =

8π 2 n2 V S3

π 2 n2 +1 S2

Halbwertsbreite √

E ≈ En

Entwicklung um die Resonanzenergien

1 ) ( √ 1 2 1+ E /V − 1 sin S ( √ 12 ) 4(E /V − 1)E√ 2 2 2 ( √ Γ22nπ π/V n(/4 T (E ) = )3 L2 n2√ 8π 2 1n V2mV √ V TTransmissionskoeffizient (E ) = Resonanzenergien Entwicklung um die Resonanzenergien Resonanzbedingung V E = 1 + n Resonanz Halbwertsbreite Formfaktor E ≈ E T (E ) = 1 2 E /V − 1 = nπ S n 1 E− 2S 1 + Γn = S =S(E3 n−sin /VV − L2+ Γ+ 2m(E )/¯h1 Sn2hn¯)2S2sin n /4 4(E /V 1)E E/V − V−)E

T (E ) =

Transmissionskoeffizient

Potenzialbarriere, Teil 4

7

9

2

An dem Transmissionskoeffizienten der Potenzialbarriere lässt sich für den Fall V > E ein interessantes Phänomen beobachten: Für spezielle Werte der Energie wird die Transmissionswahrscheinlichkeit 1, d. h. für diese Energien durchdringt die einfallende Wellenfunktion die Barriere ungehindert. 1 Ausgangspunkt ist der auf der vorherigen Seite abgeleitete Transmissionskoeffizient. 2 Die auftretenden Parameter und Konstanten können in einem dimensionslosen Formfaktor S zusammengefasst werden. 3 So ergibt sich der Transmissionskoeffizient, ausgedrückt durch S , E und V . 4 Für bestimmte Energien wird der Transmissionskoeffizient 1, d. h., die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen die Barriere durchquert, ist 100%. 5 Die Resonanzbedingung ist an den Nullstellen der Sinusfunktion im Zähler des Transmissionskoeffizienten erfüllt bzw. wenn das Argument des Sinus ein ganzzahliges Vielfaches von π ist. 6 Daraus ergeben sich diskrete Resonanzenergien, die mit n2 anwachsen. 7 8 9 Aus einer Taylor-Entwicklung des Transmissionskoeffizienten in der Umgebung der Resonanzenergien ergibt sich die Form der Resonanzen . Sie haben eine sogenannte Lorentz-Form mit einer Halbwertsbreite Γn , die mit n zunehmend größer wird.

97

T : Periode λ : Wellenl¨ange

ψ(x, t) = exp (i 2π(x/λ − t/T ))

ebene Welle

3

ψ(z, y ) = exp (z + y ) 1

T =

4

2m 2 λ h

2

6

τ=

h¯ d ψ(x, t) dψ(x, t) =− i¯h 65 dt 2m dx 2

2

Schrödinger-Gleichung

8

1

)

Gaußsches Wellenpaket (

z2 1 ψ(z, y ) = √ exp − y 4y

Lösung (

2m 2 σ h¯

10

τ : Zerfallszeit σ : Anfangsbreite

(x/σ)2 exp − ψ(x, t) = √ 4(1 + it/τ ) 1 + it/τ

(( 2 ) 2 ) 22 τTy1:yt) :Zerfallszeit Periode = 1 2m +dh¯it/τ ψ(z, yz(x/σ) ) t)y = 1 + it/τ dψ(z, y= )−i2πt/T y = −i2πt/T dψ(x, 2m d 2−ψ(x, √ ψ(x, t) exp ψ(z, exp Schrödinger-Gleichung Differenzialgleichung Gaußsches Wellenpaket √ τ)Lösung = σλ T = Welle ψ(z, y= exp (z22− +2− y ) ψ(x, t) y=)ebene exp (i= 2π(x/λ t/T )) ) − i¯h= y h¯h2m 4y2+ it/τ λz:z:Anfangsbreite Wellenl¨ ange = i2πx/λ = x/σ dz 4(1 1σdy + it/τ z = i2πx/λ z = x/σ dt dx

d 2 ψ(z, y ) dψ(z, y ) = dy dz 2

2

Differenzialgleichung

Lösung

Ebene Welle versus Gaußsches Wellenpaket

) 9

7

Die freie, eindimensionale Schrödinger-Gleichung hat zwei wichtige analytische Lösungen: die ebene Welle und das Gaußsche Wellenpaket. 1 Wir starten mit einer einfachen Differenzialgleichung. Hier sind z und y dimensionslose Variablen. 2 Diese Differenzialgleichung hat eine sehr einfache Lösung, wie wir durch Einsetzen und Ableiten der angegebenen Exponentialfunktion leicht überprüfen. 3 Nun führen wir für die beiden dimensionslosen Variablen z und y die dimensionsbehafteten Variablen x für den Ort und t für die Zeit ein. In diesem Zuge führen wir die beiden Parameter T und λ ein. 4 Eingesetzt in die erste Lösung wird die Bedeutung der beiden Parameter T und λ deutlich: T ist die Periode, also das kleinste zeitliche Intervall, in dem sich der Wert der Wellenfunktion wiederholt, und λ ist die Wellenlänge, die analoge räumliche Größe. 5 Die Parameter T und λ sind nicht unabhängig – dies wird klar, wenn wir die Ersetzung auch in der Differenzialgleichung machen, um die Schrödinger-Gleichung zu erhalten. 6 Um mit diesen Ersetzungen aus der ursprünglichen Differenzialgleichung die Schrödinger-Gleichung zu reproduzieren, müssen die Periode und Wellenlänge den hier angegebenen Zusammenhang erfüllen. Die Periode ist also proportional zum Quadrat der Wellenlänge. Ausgedrückt durch die Wellenzahl k = p/¯h und die Winkelkreisfrequenz ω = E /¯h, ergibt sich die Dispersionsrelation ω = ¯hk 2 /2m. 7 Die zweite Lösung ist weniger offensichtlich. Sie lässt sich aber mit etwas Mühe und den bekannten Regeln der Differenzierung ebenfalls durch Einsetzen nachprüfen. Die Lösung ist eine Gauß-Kurve in z mit einer Breite, die von y abhängt. 99

1 2πσ 2

)1/4

(

x2 √ exp − 2 4σ (1 + it/τ ) 1 + it/τ 1

)

2

) ( x2 1 1 1 √ exp − |ψ(x, t)| = √ 2 σ 2 (1 + (t/τ )2 ) 2π σ 1 + (t/τ )2

mit der folgenden Wahrscheinlichkeitsdichte:

ψ(x, t) =

(

Anmerkung: ∫∞ Die Anwendung der Normierungsbedingung −∞ |ψ(x, t)|2 dx = 1 liefert die normierte Wellenfunktion

blen z und y die dimensionsbehafteten Variablen x für den Ort und t für die Zeit ein. 9 Eingesetzt in die Lösung wird die Bedeutung der beiden neuen Parameter klar: σ ist die Breite der Gauß-Kurve zum Zeitpunkt t = 0, und τ parametrisiert die zeitliche Änderung der Breite. 10 Auch in diesem Fall führt die Schrödinger-Gleichung zu einem Zusammenhang zwischen den beiden Parametern der Lösung. Die Zerfallszeit ist proportional zum Quadrat der Anfangsbreite, d. h., je schmaler die Gauß-Kurve ist, desto schneller läuft die Kurve mit der Zeit auseinander.

8 Auch in diesem Fall führen wir für die beiden dimensionslosen Varia-

∞

−∞

∞

−∞

∫

∫

ψ(x)ψ ∗ (x)dx = 1

Normierung

x2 exp − 2 4σ

ψ(x)x 2 ψ ∗ (x)dx = σ 2

Varianz

ψ(x)xψ ∗ (x)dx = 0

Erwartungswert

−∞

∞

1/4

∆x =

√

⟨x 2 ⟩

− ⟨x⟩ = σ 2

Standardabweichung

⟨ 2⟩ x =

⟨x⟩ =

∫

ψ(x) =

1 2πσ 2

Wellenfunktion im Ortsraum ) ( ) (

5

4

3

2

1

h¯ ∆x∆p = 2

Heisenberg-Unschärferelation

∫∫∫∫(∞ ∫2∫)∞1/4 )1/4 ( ( √ ∞ ∞ ∞ √ 2) 2h ⟨⟨ 22⟩⟩ 1∞∞ 1∞ ( ¯ h ¯ h ¯ x 1 2σ ∗ ∗ ∗ ∗ 2 ∗ 22 ) 2 2 ∗ 2 2 2 2⟩ϕ(p) √ √=Erwartungswert ψ(x)ψ ϕ(p)ϕ (p)dp (x)dx = ψ(x) ϕ(p)pϕ (p)dp = ⟨p⟩ exp (−ixp/¯ hσhh)dp )dx ψ(x)xψ (x)dx ⟨x⟩ = xWellenfunktion ψ(x)x ψ⟨p⟩ (x)dx = ϕ(p) =∆p Standardabweichung Heisenberg-Unschärferelation Impulsraum pϕ(p) = ϕ(p)p ϕ (p)dp ∆x∆p = ⟨p − =(ixp/¯ Varianz exp −1= ψ(x) = Wellenfunktion im Ortsraum exp −σ p= ⟨x22ψ(x) ⟩im − ⟨x⟩ = σ 0/¯ ∆x = Normierung 22 2π¯ 2π¯ h2πσ 2 2σ 4σ4σ πh −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞

−∞

ϕ(p) exp (ixp/¯h)dp

∞

−∞

ψ(x) exp (−ixp/¯h)dx

∞

∫

∫

1 ψ(x) = √ 2π¯h

1 ϕ(p) = √ 2π¯h

13

8

6

)1/4

−∞

∞

Varianz

ϕ(p)pϕ∗ (p)dp = 0

√

⟨p 2 ⟩ − ⟨p⟩2 =

h¯ 2σ

Standardabweichung

2 ∗

h¯2 ϕ(p)p ϕ (p)dp = 2 4σ −∞

∞

∫

∫

ϕ(p)ϕ∗ (p)dp = 1

Erwartungswert

−∞

( ) exp −σ 2 p 2 /¯h2

Normierung

2σ 2 π

∞

∆p =

⟨ 2⟩ p =

⟨p⟩ =

∫

ϕ(p) =

(

Wellenfunktion im Impulsraum

Gaußsches Wellenpaket – Ortsraum und Impulsraum

12

11

10

9

87

exp(−ax 2 )dx =

π a

2

2

d =− da

d x exp(−ax )dx = − da −∞

∞ ∞

exp(−ax 2 )dx

√ π π = 3/2 a 2a

−∞

√

∫

ter σ entspricht.

5 Nun berechnen wir die Unschärfe und erkennen, dass sie dem Parame-

∫

Integrand ist als Produkt von zwei symmetrischen und einer antisymmetrischen Funktion insgesamt antisymmetrisch. 4 Die Varianz ergibt sich aus einem verwandten Integral:

3 Der Erwartungswert verschwindet aus Symmetriegründen, denn der

−∞

∞

Als Beispiel für den auf Seite 69 besprochenen Zusammenhang der Wellenfunktionen im Orts- und Impulsraum betrachten wir hier das normierte Gaußsche Wellenpaket an einem festen Zeitpunkt t = 0. 1 Die Ortswellenfunktion ist eine Gauß-Kurve mit dem Maximum an der Stelle x = 0. Wir diskutieren später auf dieser Seite den Normierungsfaktor und die Bedeutung des Parameters σ . 2 Die Normierung kann direkt aus dem folgenden Integral abgeleitet werden: √ ∫

101

−∞

∞

1 4σ 2 p b = −i h ¯ c =0. a=

√ π exp a

(

b2 +c 4a

)

Erwartungswert, die Varianz und die Unschärfe im Impulsraum. 5 Als letzten Schritt multiplizieren wir die beiden Unschärfen und stellen fest, dass die Heisenberg-Unschärferelation nicht nur erfüllt ist, sondern das Produkt der Unschärfen den niedrigsten erlaubten Wert annimmt.

9 – 12 Vollständig analog zum Ortsraum berechnen wir die Normierung, den

2

exp(−ax + bx + c)dx =

In diesem Fall sind:

∫

diskutierten Fourier-Transformation aus der Ortswellenfunktion und kann mithilfe des folgenden Integrals berechnet werden:

6 7 8 Die Impulswellenfunktion ergibt sich durch die auf der vorherigen Seite

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 M. Wick, Quantenmechanik mit Concept-Maps, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59424-7_4

Kapitel 4 Ket-Formalismus

Operator

ψ ∗ (x)ϕ(x)dx

∫

ψ ∗ (x ′ )f (x ′ )dx ′

Projektor

O ψ(x)dx ψ ∗ (x)O

P f (x) = ψ(x)

O⟩ = ⟨O

∫

Erwartungswert

ϕ(x) = O ψ(x)

∫

Skalarprodukt

ψ ∗ (x)

konjugierte Wellenfunktion

ψ(x)

Wellenfunktion

13

11

9

7

3

1

∫ = x |x⟩ ∫ ∫x |x⟩ ψ(x) ∫∗ ∗∗= ⟨x| ∗ †ψ⟩ ′ ′ ′ O ⟩= O(x Erwartungswert ⟨O = ψ (x)O ψ(x)dx P Eigenkets f (x) ψ(x) ψψ(x) ψ (x)ϕ(x)dx Operator des Ortsoperators Projektor Skalarprodukt konjugierte Wellenfunktion O O O Ket Bra ⟨ψ| ϕ⟩ ϕ(x) |ψ⟩ ψψ(x) (x) ⟨O ⟩= |ψ⟩ = O |ψ⟩ PWellenfunktion |f|ϕ⟩ |ψ⟩ ⟨ψ| f)f⟩ (x )dx =⟨ψ|O |ψ⟩ ∗⟨ψ| ψ (x) = ⟨ψ| x⟩ I = |x⟩ ⟨x| dx

x |x⟩ = x |x⟩ ∫ I = |x⟩ ⟨x| dx

Eigenkets des Ortsoperators

ψ(x) = ⟨x| ψ⟩ ψ ∗ (x) = ⟨ψ| x⟩

5

6

Wellenfunktionen versus Kets, Teil 1

P |f ⟩ = |ψ⟩ ⟨ψ| f ⟩

Projektor

O ⟩ = ⟨ψ|O O |ψ⟩ ⟨O

Erwartungswert

|ϕ⟩ = O |ψ⟩

Operator

⟨ψ| ϕ⟩

Skalarprodukt

⟨ψ| = |ψ⟩†

Bra

|ψ⟩

Ket

14

12

10

8

4

2

Der Zustand eines quantenmechanischen Systems kann mit einer Wellenfunktion oder einem Zustandsket beschrieben werden. Die Wellenfunktionen sind jeweils in einem Raum definiert, z.B. im Orts- oder Impulsraum. Die Zustandskets kommen hingegen ohne einen bestimmten Raum aus. Die Bezeichnungen Ket“ und Bra“ ” ” leiten sich von dem englischen Wort bracket ab 1 Die Ortswellenfunktion beschreibt den quantenmechanischen Zustand eines Systems im Ortsraum. 2 Ein Ket beschreibt den quantenmechanischen Zustand eines Systems ohne einen konkreten Raum. 3 Es gibt zu jeder Wellenfunktion eine konjugierte Wellenfunktion. 4 Zu jedem Ket gibt es einen hermitesch konjugierten Ket, den sogenannten Bra. 5 Die Eigenkets des Ortsoperators erfüllen eine Vollständigkeits-relation, d.h. wenn wir das äußere Produkt von |x⟩ und ⟨x| über x integrieren, erhalten wir den Einheitsoperator I . 6 Die Ortswellenfunktion ist das Skalarprodukt eines Kets mit einem Ortseigenket. Allgemein erhält man die Wellenfunktion in einem bestimmten Raum durch die Multiplikation der Eigenbras des Raums mit dem Zustandsket. Die konjugierte Wellenfunktion ist das Skalarprodukt eines Zustandsbras mit einem Ortseigenket. 7 8 Das Skalarprodukt zweier Kets, |ϕ⟩ und |ψ⟩, hängt mit dem Skalarprodukt der dazugehörigen Wellenfunktionen, ϕ(x) und ψ(x), über die Vollständigkeit der Ortseigenkets zusammen. 9 10 Die Transformation einer Wellenfunktion durch einen Operator O hat ebenfalls ein Gegenstück im Ketraum. Wie die Operatoren für Wellenfunktionen und für Kets explizit zusammenhängen, diskutieren wir auf Seite 109. 105

1 exp(ipx/¯ h) 2π¯ h

ψy (x) = ⟨x |y ⟩ = δ(x − y )

Beispiel 2: Die Orthogonalität von Ortseigenbras und Ortseigenkets kann auch als Ortsdarstellung eines Ortseigenkets betrachtet werden:

ψp (x) = ⟨x |p ⟩ = √

Beispiel 1: Das Skalarprodukt eines Ortseigenbras ⟨x| mit einem Impulseigenket, p |p⟩ = p |p⟩ ergibt eine Impulseigenwellenfunktion im Ortsraum:

hang der Erwartungswerte. 13 14 Auch der Projektionsoperator im Raum der Wellenfunktion und im Raum der Kets hängt über die Vollständigkeitsrelation der Ortskets zusammen. Der Projektionsoperator bezüglich ψ(x), angewandt auf die Wellenfunktion f (x), ergibt ψ(x), multipliziert mit dem Anteil einer Wellenfunktion ψ(x) an der Wellenfunktion f (x). Die Ausdrücke für Kets und Wellenfunktionen hängen über die Vollständigkeitsrelation ∫ I = |x ′ ⟩ ⟨x ′ | dx ′ bzw. die Multiplikation eines Bras ⟨x| von rechts zusammen.

11 12 Aus dem vorherigen Zusammenhang ergibt sich auch der Zusammen-

|x⟩ ⟨x| dx

⟨x ′ | x⟩ = δ(x ′ − x)

Orthogonalität

I =

∫

Vollständigkeit

x |x⟩ = x |x⟩

Eigenkets des Ortsoperators

3

2

1

ψn∗ (x ′ )ψn (x) = δ(x ′ − x)

Vollständigkeit

cn =

∫

n

cn ψn (x)

ψn∗ (x)ψ(x)dx

ψ(x) =

Entwicklung in ∑ Eigenfunktionen

∑ ∑ c ψ (x) ψ(x) = n ∫ |ψ⟩ = ∫∑ cnn |n⟩ ∑ ∗Orthogonalität ′ (x) = ′ ⟨x| n⟩ n= n|n⟩ ∗ψ ψ I ⟨n| (x )ψ (x) = δ(x x) ′ ′ n ∫ n ∫|n⟩ (x)ψ (x)dx = ψIVollständigkeit |x⟩ Eigenkets des Orthogonalität Eigenkets eines Entwicklung in Eigenkets Entwicklung in Eigenfunktionen Eigenfunktionen eines Operators nOrtsoperators n⟩ = δOperators x|⟨m| |x⟩ = x⟨x| ⟨x =n= δ(x −dx x)δ− O= O |n⟩ nm m mn n|x⟩ ∗x⟩ n ∗ψn (x)n∗= ⟨n| x⟩ (x)dx = δnm cψnnn= ⟨n| ψ⟩ (x)ψ(x)dx cnψ= m (x)ψ

n

∑

ψn (x) = ⟨x| n⟩ ψn∗ (x) = ⟨n| x⟩

Eigenfunktionen eines Operators

10

9

8

7

Wellenfunktionen versus Kets, Teil 2

n

∑

|n⟩ ⟨n|

n

∑

cn |n⟩ cn = ⟨n| ψ⟩

|ψ⟩ =

Entwicklung in Eigenkets

⟨m| n⟩ = δmn

Orthogonalität

I =

Vollständigkeit

O |n⟩ = On |n⟩

Eigenkets eines Operators

11

6

5

4

Aus der Vollständigkeit und Orthogonalität der Eigenkets des Ortsoperators x und der Eigenkets eines allgemeinen Operators O ergeben sich die Vollständigkeit und die Orthogonalität der Ortseigenwellenfunktionen dieses Operators. 1 Wir betrachten die Eigenkets |x⟩ des Ortsoperators x mit den Eigenwerten x . 2 Die Eigenkets und Eigenbras erfüllen eine Vollständigkeitsrelation, d.h., wenn wir das äußere Produkt von |x⟩ und ⟨x| über x integrieren, erhalten wir den Einheitsoperator I . 3 Die Eigenkets und Eigenbras sind orthogonal, d.h., wenn wir das innere Produkt von ⟨x ′ | und |x⟩ bilden, erhalten wir die Dirac-Funktion. 4 Wir nehmen an, dass ein allgemeiner hermitescher Operator O diskrete Eigenkets |n⟩ mit den Eigenwerten On hat.

107

Operators eine Vollständigkeits- und eine Orthogonalitätsrelation. 7 Das Produkt eines beliebigen O -Eigenkets |n⟩ mit einem Ortseigenket |x⟩ ergibt die Ortswellenfunktion ψn (x). 8 9 Kombinieren wir nun die Vollständigkeits- und Orthogonalitätsrelationen der Orts- und O -Eigenkets, so erhalten wir Vollständigkeits- und Orthogonalitätsrelationen für die Ortswellenfunktionen ψn (x). 10 11 Wie auf Seite 15 besprochen, erlaubt die Vollständigkeit und Orthogonaliät der Eigenfunktionen die Darstellung anderer Funktionen als Summe gewichteter Eigenfunktionen. Das gilt analog auch für Eigenkets.

5 6 Diese Eigenkets und Eigenbras erfüllen aufgrund der Hermizität des

′

′

′

⟨x| O |x ⟩ ⟨x | α⟩ dx

′

′

2

α(x) = ⟨x | α⟩ β(x) = ⟨x | β⟩

5

O ]nn′ ⟨n′ | α⟩ M[O

11

n

(⃗ α) ′ = ⟨n′ | α⟩ ( )n β⃗ = ⟨n | β⟩

O ]nn′ ⟨n′ | α⟩ = ⟨n | β⟩ M[O

O ]⃗ M[O α = β⃗ 6

n′

∑

n′ ′

∑

O |n ⟩ = M[O O ]nn′ ⟨n|O

O ]x α(x) = β(x) D[O

1

⟨n| O |α⟩ =

Darstellung im PP–Raum

4

∫∑ ′ P λ′nOx||n⟩ ∑ xn′ |x⟩ = |x⟩ ′ | α⟩ ′ ]′α⟩ ⟨n| O |α⟩ = (⃗ α )|n⟩ ==′M[O ⟨n α⟩ ′ ⟨n nn O O ⟨x| |α⟩ = ⟨x| |x ⟩ ⟨x | α⟩ dx α(x) = ⟨x | ∫ ∑ O M[O |= α⟩ = |⟨n )] des (]O]O ′ ⟨n nn Eigenkets eines Operators Darstellung im P–Raum Keine Darstellung Eigenkets Ortsoperators Darstellung im nbeliebigen O D[O ⟨x |′ ]⃗ α⟩ ⟨x β⟩| β⟩ = |β⟩ D[O α(x) O α =Ortsraum β⃗β(x) x⃗M[O x|α⟩ I = |n⟩ ⟨n| ′ ⟨x | β⟩ ⟨n⟨x| β= ′′=|x⟩ Iβ(x) dx] δ(x − x ′ ) n OO ⟨x| O O |x ⟨n|O |n ⟩= = D[O M[O ]xnn′ n ⟩n

O |α⟩ = |β⟩

Keine Darstellung

n

P |n⟩ = λn |n⟩ ∑ I = |n⟩ ⟨n|

Eigenkets eines beliebigen Operators

Darstellung im Ortsraum

O ]x ⟨x | α⟩ = ⟨x | β⟩ D[O

O ]x δ(x − x ) 3 ⟨x| O |x ⟩ = D[O

⟨x| O |α⟩ =

∫

x |x⟩ = x |x⟩ ∫ I = |x⟩ ⟨x| dx

Eigenkets des Ortsoperators

Darstellung im Ortsraum versus Darstellung in einem diskreten Raum

10

9

8

7

Eine Relation zwischen zwei Kets kann in anderen Räumen als Relation von Wellenfunktionen dargestellt werden. Hier betrachten wir als Beispiele den Ortsraum und einen allgemeinen Raum mit diskreten Eigenkets. 1 Der Operator O transformiert den Ket |α⟩ in den Ket |β⟩. 2 Ausgangspunkt für die Ortsdarstellung sind die Eigenkets |x⟩ des Ortsoperators x . Sie erfüllen die angegebene Vollständigkeits-relation. 3 Wir multiplizieren O |α⟩ mit ⟨x| und setzen die Vollständigkeitsrelation ein. Hier sind ⟨x| O |x ′ ⟩ die Matrixelemente des Operators O O ]x erhalten bezüglich der Ortseigenkets. Den Differenzialoperator D[O wir indem wir alle Ortsoperatoren x und Impulsoperatoren p im Operator O durch deren Ortsdarstellung, x bzw. −i¯hd/dx , ersetzen. Das Auftreten der Dirac-Funktion erklärt sich durch die Orthogonalität der Ortseigenkets: ⟨x ′ | x⟩ = δ(x ′ − x). 4 Zusammen mit der ursprünglichen Gleichung ergibt sich die angegebene Form. Hier haben wir den Differenzialoperator vor das Integral gezogen und die Translationseigenschaft der Dirac-Funktion ausgenutzt. 5 6 Wir führen nun die Wellenfunktionen α(x) und β(x) für die beiden Skalarprodukte ein und erhalten so die Darstellung der ursprünglichen Relation zwischen den beiden Kets im Ortsraum. 7 Nun führen wir die analogen Schritte mit den diskreten Eigenkets |n⟩ eines allgemeinen Operators P durch. Wie die Ortseigenkets erfüllen auch sie eine Vollständigkeitsrelation. Hier sind λn die Eigenwerte.

109

∑ n′

|n′ ⟩ ⟨n′ | ein.

d δ(x − x ′ ) , dx

∫

∫

⟨x| p |x ′ ⟩ ⟨x ′ | α⟩ dx ′ =

−i¯h

d δ(x − x ′ ) ⟨x ′ | α⟩ dx ′ dx ∫ d = −i¯h δ(x − x ′ ) ⟨x ′ | α⟩ dx ′ dx d ⟨x| p |α⟩ = −i¯h ⟨x | α⟩ dx

⟨x| p |α⟩ =

und nutzen es, um die Wirkung des Operators p auf einen allgemeinen Ket |α⟩ im Ortsraum darzustellen:

⟨x| p |x ′ ⟩ = D[pp ]x δ(x − x ′ ) = −i¯h

Beispiel: Wir betrachten das Matrixelement des Impulsoperators bezüglich der Ortseigenkets,

O ]nn′ die Matrixelemente des Operators O bezüglich der Hier sind M[O Eigenzustände des Operators P . 9 10 11 Wir führen die Vektoren α ⃗ und β⃗ ein. Damit ergibt sich die Matrixdarstellung der ursprünglichen Operatorrelation bezüglich der Eigenkets der Operators P .

8 Wir multiplizieren O |α⟩ mit ⟨n| und setzen I =

a |E ⟩ = Ca |E − h¯ω⟩

H , a ] + aH ) |E ⟩ H a |E ⟩ = ([H = (−¯hωaa + a E ) |E ⟩ = (E − h¯ω) a |E ⟩

[aa , a ] = 1

†

[xx , p ] = i¯h

Heisenberg-Kommutator

10

9

5

1

H , a ] = −¯hωaa [H 7

H |E ⟩ = E |E ⟩

Definition der Energieeigenzustände

H , a † ] = h¯ωaa † [H

a=

8

ipp mω x+ 2¯h mω √ ( ) mω ipp † a = x− 3 2¯h mω √([ ( ] √ ) ) ip mω ( ) † †p h ¯ † HH a †xaa|E ⟩ = H , a + a H |E H √ |E ⟩ = ([H , a ] + a H ) |E ⟩ ⟩ ) ( x + = a a = [H H2mω a (p, 2¯ a2h¯h] =†(†−¯ hωa ) mω 1 1 †E ) † der 2|E = (−¯ a+ |E⟩⟩ √ H h¯√ ω aωa ai¯ Erzeugungsund Heisenberg-Kommutator = h¯,†Vernichtungsoperator a+†a†a⟩h¯E2h Definition Hamilton-Operator ) x= aEnergieeigenzustände xaaH + = a|E |E= ⟩[x C†h= |E H |E ⟩apωa E |E ]aa]( h+ ¯ω⟩ [a = 1− †= + mω xω⟩ 2 H a p [H , a ] = h ¯ ωa ) ( mω ip 2mω 2m 2 mω¯ h † † † (E+−h¯xh¯ω) ω) ap = =−i −aaa−|Ea ⟩ ==√ (E 2¯hmω¯ 2 h ( mω† ) a −a p = −i 4 2

Erzeugungs- und √ Vernichtungsoperator ( ) 1 p2 + mω 2x 2 2m 2

11

12

a † |E ⟩ = Ca† |E + h¯ω⟩

6

2

= (E + h¯ω) a † |E ⟩

([ ] ) H , a † + a †H |E ⟩ ( ) = h¯ωaa † + a † E |E ⟩ H a † |E ⟩ =

( ) 1 H = h¯ω a †a + 2

H =

Hamilton-Operator

Quadratisches Potenzial – Dirac-Methode, Teil 1

Die möglichen Energiestufen des quantenmechanischen, eindimensionalen, harmonischen Oszillators können nur auf Basis des Heisenberg-Kommutators und der Definition des Hamilton-Operators berechnet werden. Wir lösen also nicht direkt die Schrödinger-Differenzialgleichung wie auf Seite 81. 1 Der erste Ausgangspunkt ist der Heisenberg-Kommutator. 2 Der zweite Ausgangspunkt ist der Hamilton-Operator. 3 Wir definieren zwei Linearkombinationen des Impuls- und des Ortsoperators und nennen sie Erzeugungs- und Vernichtungsoperator. Die Gründe für die Benennung und die Form der Operatoren ergeben sich im Laufe der nächsten Seiten. Genau genommen, definieren wir nur einen Operator, denn der Erzeugungsoperator a † ergibt sich durch hermitesche Konjugation aus dem Vernichtungsoperator a. 4 Der Impuls- und der Ortsoperator können leicht durch den Erzeugungsund den Vernichtungsoperator ausgedrückt werden. 5 Setzt man den Impuls- und den Ortsoperator in dieser Form in den Heisenberg-Kommutator ein, so ergibt sich eine Kommutatorrelation für den Erzeugungs- und den Vernichtungsoperator.

111

11 12

10

8 9

7

Erzeugungs- und den Vernichtungsoperator ausdrücken. Aus den beiden letzten Ergebnissen lassen sich auch Kommutatorrelationen zwischen dem Hamilton-Operator und dem Erzeugungs- bzw. dem Vernichtungsoperator ableiten. Die Energieeigenkets |E ⟩ erfüllen die angegebene Relation. Aus dieser Bedingung und den Kommutatorrelationen für a und H bestimmen wir, dass der Ket a |E ⟩ die Energie (E − ¯hω) hat. Der Operator a transformiert einen Zustand |E ⟩ in einen Zustand |E − ¯hω⟩. Er vernichtet also ein Energiequantum der Größe ¯hω . Analoges Vorgehen liefert die Wirkung des Operators a † : Der Operator a† transformiert einen Zustand |E ⟩ in einen Zustand |E + ¯hω⟩. Er erzeugt also ein Energiequantum der Größe ¯hω . In beiden Fällen können wir keine Aussage über die Normierungsfaktoren Ca† und Ca machen.

6 Ähnliches gilt für den Hamilton-Operator; auch er lässt sich durch den

3

H |E ⟩ = E |E ⟩ 1

a † |E ⟩ = Ca† |E + h¯ω⟩

7

√ E /(¯hω) + 1/2 |E + h¯ω⟩ a † |E ⟩ =

E /(¯hω) − 1/2 |E − h¯ω⟩

a |E ⟩ =

√

Wirkung des Erzeugungsoperators

Wirkung des Vernichtungsoperators

8

( ) ( ( 11) ) † † 1|E ⟩ ⟨E||H H |E |E⟩⟩ = = ⟨E ⟨E||h¯h¯ωω aa aa + + ⟨E H = h¯ω a †a22+ |E ⟩ ( ( )2 ) 2 1 1 †† = ⟨E h¯ω| h¯ω⟨E |aaa a − |E ⟩ + |E ⟩ EE = 2 2 ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1 2( ) † 1 1 E= = h¯h¯ωω√ |Ca| |aa⟨E|E−⟩ h¯−ω1| E − h¯ω⟩ + E ⟨E † √ † † ⟨E 2 |E ⟩Definition ⟨E | H |E ⟩ = ⟨E | h¯ω a a + †des H = h¯Erzeugungsoperators ωh⟩hCω) a)|E + Wirkung des der Energieeigenzustände |E = − HE⟩EVernichtungsoperators |E = E aaH |E +⟩h¯|h¯ω⟩ ω⟩ a†|E /(¯ /(¯ ω) − + 1/2 1/2 |E |E|E − +⟩h¯h¯= ω⟩ ω⟩⟨E | h¯2ω) a a + 2 |E ⟩ aWirkung |E⟩⟩ = = aa†|E 2 ( ( 2 ) ( ) 1 1 ( 1 EE = 1 = h¯h¯ωω |C |Caa†||22 + ⟨E + h ¯ ω | E + h ¯ ω⟩ − † † E = h¯ω ⟨E | a a |E ⟩ + |E ⟩ E = ⟨E | h¯2ω aa − 2 2 2 √( ) ( ) ) ( 1 ⇒ Ca = E1/(¯hω)2 − 1/2 1 E h¯=ω⟩h¯+ ω |Ca† | − † E = h¯ω |Ca |2 ⟨E − h¯ω | E − E = h¯ω ⟨E | aa |E ⟩ − 2 2 2 ) ⇒ C † = √E /(¯hω) + 1/2 ( ) ( a 1 1 2 E = h¯ω |Ca |2 + E = h¯ω |Ca† | ⟨E + h¯ω | E + h¯ω⟩ − 2 2 √ ( ) 1 ⇒ Ca = E /(¯hω) − 1/2 E = h¯ω |Ca† |2 − 2 √ ⇒ Ca† = E /(¯hω) + 1/2 5 6

a |E ⟩ = Ca |E − h¯ω⟩

Definition der Energieeigenzustände

Quadratisches Potenzial – Dirac-Methode, Teil 2 4

Auf dieser Seite berechnen wir die skalaren Faktoren Ca† und Ca . 1 2 Wir wiederholen die Definition der Energieeigenzustände und des Hamilton-Operators, ausgedrückt durch den Erzeugungs- und den Vernichtungsoperator. 3 4 Auf der vorherigen Seite haben wir die Wirkung des Erzeugungs- und des Vernichtungsoperators auf die Energieeigenzustände bis auf die Faktoren Ca† und Ca abgeleitet. 5 Wir ermitteln den Faktor Ca† , indem wir auf den Hamilton-Operator auf beiden Seiten den Zustand |E ⟩ anwenden. Durch die Definition der Energieeigenzustände und die Normierung der Zustände wissen wir, dass das Ergebnis E ist. Setzt man aber den Hamilton-Operator, ausgedrückt durch den Erzeugungs- und den Vernichtungsoperator ein, so ergibt sich nach wenigen Schritten der Faktor Ca . 6 Analog dazu können wir den Faktor Ca† bestimmen. Hier wurde noch der Kommutator [aa, a † ] = 1 ausgenutzt. 7 8 Mit den beiden Faktoren ist die Wirkung der beiden Operatoren vollständig bestimmt.

113

Ortsoperator

x =

∆xx =

√ E mω 2

⟨xx ⟩ = ⟨E | x |E ⟩ = 0 ⟨ 2⟩ E x = ⟨E | x 2 |E ⟩ = mω 2

) h¯ ( a + a† 2mω ( ) h ¯ aa + aa † + a †a + a †a † x2 = 2 2mω

√

8

5

√

12

mE

1 ∆xx ∆pp ≥ h¯ 2

√

1 E ≥ h¯ω 2

∆pp =

Heisenberg-Unschärferelation

10

7

4

⟨pp ⟩ = ⟨E | p |E ⟩ = 0 ⟨ 2⟩ p = ⟨E | p 2 |E ⟩ = mE

11

9

6

) mω¯h ( a − a† 2 ( ) mω¯ h aa − aa † − a †a + a †a † p2 = − 3 2 p = −i

Impulsoperator

√

Minimale Energie

E ω

O 2 ⟩ − ⟨O O ⟩2 ⟨O

∆xx ∆pp =

O= ∆O

Unschärfe

O ⟩ = ⟨E | O |E ⟩ ⟨O

√ E /(¯hω) + 1/2 |E + h¯ω⟩ √ a |E ⟩ = E /(¯hω) − 1/2 |E − h¯ω⟩ √√ 1 )) mω¯ h¯= ⟨E h( |(x√ †⟩ †= 0 xp⟩√ |E ah|a+ − a a =−i ⟨p ⟩ = ⟨E p |E ⟩ = 0 apx†= |E ⟩ ⟨x = E /(¯ ω) + 1/2 |E + h ¯ ω⟩ √ √ 12 E 1E 2mω 2⟩Unschärfe ⟩√ Erwartungswert Ortsoperator Erzeugungsund Vernichtungsoperator Minimale Energie Impulsoperator Heisenberg-Unschärferelation ppO22≥ ⟨⟨∆O ≥ ∆x ∆p ω−|E h¯⟨O ∆x ∆p = O ⟨O ⟨E |h¯⟩O ⟩ ⟩E2 O O mE ∆p = = ⟨O xExpx= ∆x = 2⟩ 2 2= |E ( ( 2 2 p = ⟨E | p |E ⟩ ω mω¯ h ¯ h x = ⟨E | x |E ⟩ = mω E /(¯ h ω) − 1/2 h¯ω⟩)) a |E ⟩ = †mE− aaaa+−aaaa† †+−aa†amω a++2aa†a†a† † px2 2==− Erwartungswert 2mω 2 a † |E ⟩ =

Erzeugungs- und Vernichtungsoperator

Quadratisches Potenzial – Dirac-Methode, Teil 3

Operatoren. Sie wachsen jeweils mit der Wurzel der Energie. 10 11 12 Der Vergleich des Produkts der beiden Unschärfen mit der Unschärferelation ergibt die minimale Energie E = 21 ¯hω . Im Umkehrschluss erfüllt der Grundzustand die minimale Unschärferelation ∆xx ∆pp = ¯h/2.

7 8 9 Aus den Erwartungswerten ergeben sich die Unschärfen der beiden

Die Energie des Grundzustands des harmonischen Oszillators kann aus der Heisenberg-Unschärferelation bestimmt werden. 1 Auf der vorherigen Seite haben wir die Wirkung der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren auf die Energieeigenzustände abgeleitet. 2 3 Der Orts- und der Impulsoperator können jeweils als Summe bzw. Differenz von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ausgedrückt werden. Die quadrierten Operatoren folgen direkt durch Hintereinanderausführen der ursprünglichen Operatoren. 4 5 6 Die Erwartungswerte ⟨xx ⟩ und ⟨pp ⟩ verschwinden für einen Energieeigenzustand |E ⟩ aufgrund der Orthogonalität der Energieeigenzustän⟨ ⟩ de mit verschiedenen Eigenwerten. Bei den Erwartungswerten x 2 ⟨ ⟩ und p 2 verschwinden ebenfalls die Beiträge der Terme aa und a†a† . Die anderen Terme ergeben zusammen die angegebenen Ausdrücke.

115

N |n⟩ = n |n⟩ , √ a † |n⟩ = n + 1 |n + 1⟩ , √ a |n⟩ = n |n − 1⟩ .

die kompakteren Besetzungszahlzustände

) 1 En = n + hω , ¯ 2 ) ( ) ( 1 1 † = ¯hω N + H = ¯hω a a + 2 2

(

werden mit den Zusammenhängen,

H |E ⟩ = E |E ⟩ , √ a † |E ⟩ = E /(¯hω) + 1/2 |E + ¯hω⟩ , √ a |E ⟩ = E /(¯hω) − 1/2 |E − h ¯ ω⟩

Anmerkung: Nachdem wir den Grundzustand gefunden haben, können wir den Besetzungszahloperator N = a †a einführen. Der Besetzungszahloperator und der HamiltonOperator haben dieselben Eigenzustände, weil sich die beiden Operatoren nur um eine Skalierung und eine Verschiebung unterscheiden. Aus den Energieeigenzuständen

2

H |n⟩ = (n+1/2)¯hω |n⟩ √ a † |n⟩ = n + 1 |n + 1⟩ √ a |n⟩ = n |n − 1⟩

keine Darstellung

1

H |n⟩ = (n+1/2)¯hω |n⟩

Eigenkets des Hamilton-Operators 5

ψ0 (x) = ⟨x| 0⟩ =

( mω ) exp − x2 π¯h 2¯h ( mω ) √ mω √ ( mω )1/4 ψ1 (x) = ⟨x| 1⟩ = 2 exp − x2 x π¯h 2¯h h¯ .. . ( mω ) (√ mω ) 1 ( mω )1/4 ψn (x) = √ exp − x 2 Hn x n π¯ h 2¯ h h¯ 2 n!

( mω )1/4

Zustände

4

    Zustände 0 1 1 0     ⃗a0 = ⟨n′ |0 ⟩ =  0  ⃗a1 = ⟨n′ |1 ⟩ =  0      .. .. . .   0 0   ⃗a2 = ⟨n′ |2 ⟩ =  1  ···   .. .

7

      1/21)1/40 ··· ) 0 (0 mω ( mω 2      2 exp Darstellung im Ortsraum ψ0 (x) = ⟨x| 0⟩′ =  Darstellung im Energieraum 0 0 −1 ′ x   1     d 2⃗a 0= h¯3/2 2   π¯ h 2¯ h |12 ⃗a0H=] =¯ M[H h ω ⟩= ⟨n |0 ⟩ =    1+ ⟨n H ]x =0(−0 0) 25/2 mω x D[H √ 0 1/2 0 0 · · · ( )  √ mω    1/4 dx mω 2 . mω =.. 2m (n+1/2)¯  ( exph2ω− .|n⟩ .. d ) ψ (x) = ⟨x| 1⟩ =H |n⟩ x .. x  2 ... √   0 3/2 0 h¯2 d 2 1 . √ mω h ¯ 2 21 H M[H ] =¯ h ω π¯ h 2¯ h h ¯   † H ]x = − D[H + mω x a D[a ] = x + 0 0 5/2     √ Eigenkets des Ortsoperators keine Darstellung Darstellung im Ortsraum Darstellung im Energieraum Eigenkets des Hamilton-Operators a |n⟩ = n + 1 |n + 1⟩ x x Zustände |x⟩ = x |x⟩ H |n⟩ = (n+1/2)¯ hωmω |n⟩ dx 2   2m dx 2 2¯ h . 1√ 0 ··· 0 0 √ √ .. ( ) .. ... √ ( ) = mωn |n − 1⟩ . mω h¯ d  d (√  0a |n⟩  0)0  )   2 (x − h¯ )  † D[aa ]x = x+  √ † T ′ a( 1/4 D[a ] = a a a ⃗ M[a ] = M[a ] M[a ] = · · · a = ⟨n |2 ⟩ =  2 0 1 0 xmω mω mω 2 2¯h mω dx 1 0 1 0 · · · 0 2¯ h mω dx     ψ) exp − x Hn x √ √ ( n (x) = √  h¯  . . 2¯h 2n n! .. π¯h ... mω h¯ d 0 0 2   † . . x− D[aa ]x = M[aa ] = 0 0  M[aa † ] = M[aa ]T 0 2¯h mω dx   .. .. . 3 6 .

x |x⟩ = x |x⟩

Eigenkets des Ortsoperators

Quadratisches Potenzial – Ortsraum versus Energieraum

7

5 6

4

1 mω 2x 2 , 2 ( ) ipp x+ , mω ( ) ipp x− mω

den Ortsoperator x und den Impulsoperator p durch deren Ortsdarstellung x bzw. −i¯hd/dx ersetzen. Die Zustände in Ortsdarstellung sind die bereits auf Seite 81 berechneten Wellenfunktionen. Wir können die Operatoren auch im Energieraum darstellen. Weil die Energieeigenwerte nach oben unbegrenzt sind, sind auch die resultierenden Matrizen unendlich. Die Eigenzustände sind in dieser Darstellung unendliche Vektoren, die nur jeweils ein nichtverschwindendes Element haben.

H =

p2 + 2m √ mω a= 2¯ h √ mω a† = 2¯ h

Als Anwendung des allgemeinen, auf Seite 109 diskutierten Vorgehens diskutieren wir die Darstellung des Operatorsystems des harmonischen Oszillators im Ortsraum und im Energieraum. 1 Wir betrachten hier die Wirkung der Operatoren H , a † und a auf die Energieeigenkets |n⟩. Die erste Relation ist die Definition der Energieeigenkets, die anderen beiden sind die Wirkung der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. 2 Zuerst betrachten wir die Ortsdarstellung. Hierzu nutzen wir die Eigenkets des Ortsoperators x . 3 Die Ortsdarstellung erhalten wir, indem wir in den Operatoren

117

H ], M[aa ]] = −¯hωM[aa ] • [M[H H ], M[aa † ]] = ¯hωM[aa † ] • [M[H • [M[aa], M[aa† ]] = 1 ) ( H ] = ¯hω M[aa † ]M[aa ] + 21 • M[H √ • M[aa† ]⃗an = n + 1⃗an+1 √ • M[aa]⃗an = n⃗an H ]x , D[aa ]x ] = −¯hωD[aa x ] • [D[H H ]x , D[aa † ]x ] = ¯hωD[aa † ]x • [D[H • [D[aa]x , D[aa† ]x ] = 1 ( ) H ]x = ¯hω D[aa † ]x D[aa ]x + 12 • D[H √ • D[aa† ]x ψn (x) = n + 1ψn+1 (x) √ • D[aa]x ψn (x) = nψn (x)

Anmerkung: Innerhalb der beiden Darstellungen lassen sich alle Kommutatorrelationen und auch Wirkungen der Operatoren auf die Energieeigenzustände verifizieren:

1 h¯2 d 2 + mω 2 x 2 2 2m dx 2 H ψ(x) = E ψ(x)

ψn (x), n = 0, 1, 2, ... Hψn (x) = (n + 1/2)ω¯hψn (x)

System von Energieeigenfunktionen

H =−

Hamilton-Operator

57

4

1 p2 + mω 2x 2 2m 2

2

1

ψn (x) = ⟨x | n⟩ 8

) ( 1 † H = h¯ω a a + Ortsdarstellung 2 = 1 E |ψ⟩ d 2|ψ⟩dψ(x) h¯2 2 H ψψ(x) (x), n1h¯+= 0, 1,2... 2, , p= n−i 0, 1, 2, p|n⟩ (2= )2... mω H = − n√ 2 2 x System von Energieeigenkets System von Energieeigenfunktionen Ortsdarstellung Heisenberg-Kommutator Hamilton-Operator dx mω i 2m dx 2 x ψ (x) = ⟨x | n⟩ [x , p ] = i¯ h + mω x H = n HψH (n + x1/2)ω¯ ψ|n⟩ |n⟩ = an (x) pn (x) 2 += Ehψ(x) x= ψ(x)2m = xψ(x) H 3 2¯ h ψ(x) mω √ ( ) mω i a† = x− p 2¯h mω

[xx , p ] = i¯h

Heisenberg-Kommutator

H =

Hamilton-Operator

1 2 H |ψ⟩ = E |ψ⟩ √ ( ) mω i x+ p a= 2¯h mω √ ( ) mω i † a = x− p 2¯h mω

|n⟩ , n = 0, 1, 2, ... H |n⟩ = (n + 1/2)ω¯h |n⟩

System von Energieeigenkets

H = h¯ω a †a +

Hamilton-Operator ) (

Quadratisches Potenzial – Dirac- versus Schrödinger-Quantisierung

74

6

Auf dieser Seite vergleichen wir die Analyse des harmonischen Oszillators im Ortsraum (Seite 81) mit dem allgemeinen Vorgehen ohne Darstellung (Seite 111). 1 Im Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators kommen der Ortsoperator x und der Impulsoperator p vor. 2 Der Ortsoperator und der Impulsoperator erfüllen die HeisenbergKommutatorrelation. 3 Der erste Weg führt über die Ortsdarstellung. Hier werden p und x durch Differenzialoperatoren ersetzt. So wird aus dem HamiltonOperator ebenfalls ein Differenzialoperator. Diese Differenzialoperatoren erfüllen die Heisenberg-Kommutatorrelation. 4 Die Lösung der Schrödinger-Gleichung, in diesem Fall eine Eigenwertgleichung, liefert dann ein System von Eigenfunktionen und -werten. 5 Der zweite Weg nutzt direkt den Kommutator und kommt so ohne eine Darstellung aus. 6 Dieser algebraische Weg führt über die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren auf dieselben Energieeigenwerte. 7 Die Eigenwellenfunktionen ψn (x) im Ortsraum hängen mit den Energieeigenkets |n⟩ über die Multiplikation mit den Ortseigenkets |x⟩ zusammen.

119

i U (∆t)ψE (⃗x , t) = exp − E∆t ψE (⃗x ,t) h¯ 13

Transformation der Eigenzustände ( )

10

∂ ∂z

11

6

i T (∆⃗x )ψ⃗p (⃗x , t) = exp − ⃗p ·∆⃗x ψ⃗p (⃗x ,t) h¯ 14

Transformation der(Eigenzustände )

⃗p ψ⃗p (⃗x , t) = ⃗p ψ⃗p (⃗x , t)

p z = −i h¯

H ψE (⃗x , t) = E ψE (⃗x , t)

3

4

T (∆⃗x )ψ(⃗x , t) = ψ(⃗x − ∆⃗x , t) 5 ( −i h¯ ∂ ) px = ∂ ∂x ∂ L x = −i h¯ y −z ∂z ∂y ( ( )) ) ) Generator:(Impulsoperator L2 ψlm (⃗x , t) = h¯2 l(l ∂lm (⃗x , t) ∂∂+∂ii 1)ψ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗·n·t) ⃗p pH = −i h¯− U (∆⃗ )t) = exp exp − ∆⃗ E∆t H xtJ·∆⃗ ∆t pϕ)⃗ (⃗ xxt) ,t) L x⃗nϕ ,t) L = −i U (⃗ ,x,(⃗ RZeitentwicklungsoperator (⃗ n⃗pTranslationsoperator ,ψ T (∆⃗ )ψ (⃗ xxϕ) t) exp Generatoreigenzustände Rotationsoperator Generator: Generator: Drehimpulsoperator Transformation der Eigenzustände Generator: Impulsoperator iz= h¯ ⃗ψ(⃗ H (⃗ xx,·+ ,t) (∆t)ψ(⃗ x= ,= t) = (∆⃗ xlm )ψ(⃗ − ∆⃗ x∆t) ,ψψ t) R(∆t)ψ (⃗ n(⃗ ,U ϕ)ψ x,(⃗ ,= t) = exp(−imϕ)ψ (⃗ x,(⃗ ,t) xt) ,h¯Hamilton-Operator t) pE ψψ− ⃗p ⃗ y= Ex yp(∆t) E R nxT ,T ϕ)ψ(⃗ ψ(exp(− ∂x⃗pE,(⃗ ∂x h¯h ¯x , t) ∂z lm Lzz ψlm (⃗ x ,E⃗pt)p x==h¯mψ (⃗ ∂t∂y ) ( −i h¯lm∂x ∂ ∂ −y L z = −i h¯ x ∂y ∂ ∂x p z = −i h¯ ∂ p y = −i h¯ ∂z ∂y

Generatoreigenzustände

∂ ∂t

2

1

i T (∆⃗x ) = exp − ∆⃗x · ⃗p h¯

Translationsoperator ( )

Generatoreigenzustände

H = i h¯

Generator: Hamilton-Operator

U (∆t)ψ(⃗x , t) = ψ(⃗x , t + ∆t)

i U (∆t) = exp − H ∆t h¯

Zeitentwicklungsoperator ) ( i R (⃗n, ϕ) = exp − ⃗L · ⃗nϕ h¯

Rotationsoperator ( )

Generatoreigenzustände

R (⃗nz , ϕ)ψlm (⃗x , t) = exp(−imϕ)ψlm (⃗x ,t)

Transformation der Eigenzustände

L ψlm (⃗x , t) = h¯2 l(l + 1)ψlm (⃗x , t) L z ψlm (⃗x , t) = h¯mψlm (⃗x , t) 2

(

) ∂ ∂ −z L x = −i h¯ y ∂z ∂y ) ( ∂ ∂ −x L y = −i h¯ z ∂x ∂z ) ( ∂ ∂ −y L z = −i h¯ x ∂y ∂x

Generator: Drehimpulsoperator

R (⃗n, ϕ)ψ(⃗x , t) = ψ(exp(−⃗J · ⃗nϕ)⃗x , t)

Zeitentwicklung, Translation, Rotation

15

12

9

8

7

Auf dieser Seite diskutieren wir Operatoren, die eine Wellenfunktion im Raum verschieben und rotieren, sowie einen Operator, der die Wellenfunktion in der Zeit verschiebt. Alle drei Transformationsoperatoren haben dieselbe Struktur: Exponentialfunktion mit einem Produkt aus einem Generator und einem Parameter im Argument. 1 2 3 Der Zeitentwicklungsoperator verschiebt die Wellenfunktion in der Zeit um ∆t . Der Generator der Zeitverschiebung ist der Hamilton-Operator. Wir beachten, dass sich beim Einsetzen des Generators in die Transformation die Planck-Konstante und die imaginäre Einheit kürzen. Es ( ) bleibt also U(∆t) = exp ∆t ∂t∂ . 4 5 6 Der Translationsoperator verschiebt die Wellenfunktion räumlich um ∆⃗x . Der Generator der Translation ist der Impulsoperator. Auch hier kürzen sich beim Einsetzen des Generators in die Transformation die Planck-Konstante und die imaginäre Einheit. Es bleibt hier U(∆⃗x ) = ⃗ . exp(−∆⃗x · ∇) 7 8 9 Der Rotationsoperator dreht die Wellenfunktion um die Achse ⃗n um den Winkel ϕ. Der Generator der Rotation ist der bereits definierte Drehimpulsoperator ⃗L = ⃗r × ⃗p . 10 11 12 Alle drei Generatoren haben (Orts-)Eigenwellenfunktionen, die wie angegeben definiert sind. 13 14 15 Angewandt auf eine der zugehörigen Eigenwellenfunktionen, ändern die Transformationsoperatoren die Wellenfunktion nur um einen Phasenfaktor. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte unverändert bleibt. Zum Beispiel heißt das auch, dass eine Wahrscheinlichkeitsdichte eines Energieeigenzustands zeitlich konstant bleibt.

121

0 0

0



Anmerkung 2: Wir überprüfen Zusammenhang 8 ,

0

0

1



1 − yϕ

∂ ∂ + zϕ ∂z ∂y

)

x

    ψ(⃗x ) = ψ   y + ϕz  . z − ϕy



Eine abschließende Entwicklung der rechten Seite in kleine Winkel ϕ ergibt die Übereinstimmung.

(

für infinitesimale Rotationen um die die x -Achse. Mit den expliziten Generatoren J x und L x und nach der Näherung exp(x) ≈ 1 + x ergibt sich

) i⃗ exp − L · ⃗nϕ ψ(⃗x , t) = ψ(exp(−⃗J · ⃗nϕ)⃗x , t) , ¯h

(



    Jy =  −1    0 0 0  0 −1 0 0   0 −1 0    Jz =  1 0 0   0 0 0

 Jx =   0 0 0 1



Anmerkung 1: Wir wiederholen zur besseren Lesbarkeit die auf Seite 29 abgeleiteten Generatoren der Rotation eines Vektors in drei Dimensionen:

dtdt

2

i¯h

d |ψS (t)⟩ = A |ψS (t)⟩ dt

h¯

Erwartungswert ⟨ψS (t)| A S |ψS (t)⟩ = ⟨ψH | A H (t) |ψH ⟩

3

5

i d H , A H (t)] A H (t) = [H dt h¯

4

7

AH (0)H H dt/¯h + iH H dt/¯hA H (0) + O(dt 2 ) A H (dt) = A H (0) − iA

differenzielle Schrödinger-Gleichung differenzielle Heisenberg-Gleichung dd i Erwartungswert integrale Schrödinger-Gleichung integrale Heisenberg-Gleichung differenzielle Heisenberg-Gleichung |ψ (t) (t)⟩ [H , H|ψ AhiH (t)⟩ i¯ hA H A=hH H A H H= H (t)⟩ = t/¯ )S(0)⟩ |ψ (0)⟩ ⟨ψ (t)| |ψ (t)⟩ = ⟨ψ A(t)] (t) |ψ ⟩h)2+ =− exp(iH t/¯ hdt/¯ )A (0) A H (dt) = |ψAA (dt)⟩ (0) = iA (1 − (0)H iH dt/¯ hH )A + |ψ dt/¯ + hA O(dt (0) ) O(dt 2 ) H SSchrödinger-Gleichung H S S|ψ SA Sexp(−iH HS H H H Sdifferenzielle H(t) H S|exp(−iH Ht/¯

H dt/¯h) |ψS (0)⟩ + O(dt 2 ) |ψS (dt)⟩ = (1 − iH

H t/¯h)A AH (0) exp(−iH H t/¯h) A H (t) = exp(iH

H t/¯h) |ψS (0)⟩ |ψS (t)⟩ = exp(−iH 1

integrale Heisenberg-Gleichung

integrale Schrödinger-Gleichung

Schrödinger-Bild versus Heisenberg-Bild

6

Bis jetzt sind wir zur Vorhersage der Wahrscheinlichkeiten der Observablen bei einer Messung von zeitabhängigen Zuständen bzw. Wellenfunktionen und zeitlich konstanten Operatoren ausgegangen. Zu diesem sogenannten Schrödinger-Bild gibt es eine vollkommen gleichberechtigte Sichtweise, die von zeitabhängigen Operatoren und zeitlich konstanten Zuständen ausgeht: das sogenannte Heisenberg-Bild. 1 In der integralen Schrödinger-Gleichung transformiert der Zeitentwicklungsoperator den Zustand |ψS (0)⟩ zum Zeitpunkt t = 0 in den Zustand |ψS (t)⟩ zum Zeitpunkt t . Das tiefgestellte S bedeutet, dass wir im Schrödinger-Bild arbeiten. 2 3 Für einen infinitesimalen Zeitschritt dt ergibt sich durch Entwicklung der Exponentialfunktion die differenzielle Schrödinger-Gleichung. 4 Das Schrödinger-Bild geht von zeitabhängigen Zustandskets und konstanten Operatoren aus. Das Heisenberg-Bild nimmt an, dass der Zustandsket konstant ist und sich die Operatoren mit der Zeit ändern. Die beiden Bilder müssen die gleichen Vorhersagen zur Wahrscheinlichkeit von Messungen machen. Insbesondere müssen die zeitlich variierenden Erwartungswerte übereinstimmen.

123

AH (t)⟩ i d⟨A H , AH (t)]⟩ = ⟨[H dt ¯ h

Anmerkung: Aus Gleichung 7 ergibt sich unmittelbar das bereits auf Seite 61 besprochene Ehrenfest-Theorem im Heisenberg-Bild:

toren im Heisenberg-Bild. Diese Operatorgleichung wird HeisenbergGleichung genannt. 6 Auch im Heisenberg-Bild ergibt sich die Differenzialgleichung für die Operatoren durch die Entwicklung der Exponentialfunktionen – natürlich unter Beachtung der Tatsache, dass der Operator A und der Hamilton-Operator H im Allgemeinen nicht kommutieren. 7 Mithilfe des Kommutators lässt sich die differenzielle HeisenbergGleichung auf eine sehr kompakte Form bringen.

5 Aus dem Erwartungswert ergibt sich die Zeitentwicklung der Opera-

) ψ(x, t0 )

ψ(x, t0 )

2

(

3

i¯h

)

∂ψ(x, t) = H ψ(x, t) ∂t

Schrödinger-Gleichung 1

ψ(x, t) =

∫

K (x, t; x0 , t0 ) =

n

∑

ψn∗ (x0 )ψn (x) exp

iEn (t − t0 ) − h¯

Propagator durch Energieeigenfunktionen (

) 8

7

ψn∗ (x0 )ψn (x) = δ(x − x0 )

H ψn (x) = En ψn (x)

∗ ψm (x)ψn (x)dx = δmn

n

∑ ∫

5

4

Energieeigenfunktionen

K (x, t; x0 , t0 )ψ(x0 , t0 )dx0

Integraloperatorlösung

t→t0

Propagator

) ( ∂ K (x, t; x0 , t0 ) = 0 H −i¯h ∂t lim K (x, t; x0 , t0 ) = δ(x − x0 )

H (t − t0 ) iH ψ(x, t) = exp − ψ(x, t0 ) h¯ )∫ ( ( H (t iH (t − − tt00 )) ) H iH )ψ(x0 , t0 )dx0 = exp exp − − (x)δ(x =t0E− ψ(x, t) = )n ψxn0(x) ( )ψnψ(x, h ¯¯ H h ∑ ∂ () ( ) )( ∫ )K∫ ( ∗ ( ∫(x, ∑ HH h− t; ,H∗t) ) x=0 )iE 0 n (t − t0 ) H−i¯ iH (t∑ − (xtt00∗0)))ψ (x)− =txδ(x ψ 0)H 0− n ∂ i(t n∂t ∂ψ(x, t) iH (t 0 ψ (x0t))ψ(x )ψ (x)ψ(x =Propagator exp − K (x, t; xψ(x, = ψK (x (x) exp − 0ψ(x, 0 , t0 )dx0 Propagator ψ(x, t) = exp − t0H 0 , t− 0 )t) t; )ψ(x , t0n)dx = exp −(t0 )ψ Verschiebungsoperator Schrödinger-Gleichung Integraloperatorlösung Differenzialoperatorlösung Energieeigenfunktionen Energieeigenfunktionen nx n(x, i¯ hdurch =xnδ(x ψ(x, = exp 0,)t 0− 0ψ(x, 0t,t0t0)0)h ¯)dx0 h ¯ ∂t ∫limn Kh hn¯¯(x,∂t 0 n t; x)0 ,∫t0 ( ) = δ(x − x0 ) ) ( t→t0 ∗ ∫ ∑ = δiE iH (tm (x)ψ − t0 )n (x)dx∑ mnn (t − t0 ) ∗Hψ = exp −ψn (x0 )ψn (x) exp − ψn∗ (x0 )ψn (x)ψ(x ψ(x00,,tt00)dx )dx00 h ¯ h ¯ ∫ n (n ) ∑ iEn (t − t0 ) ∗ ψ(x, t) = K (x,ψt; x , t )ψ(x0 , t0 )dx −0 ψ(x0 , t0 )dx0 n (x0 )ψ0n (x) exp h¯ n ∫ ψ(x, t) = K (x, t; x0 , t0 )ψ(x0 , t0 )dx0

H i(t − t0 )H ψ(x, t) = exp − h¯

Differenzialoperatorlösung ( )

∂ ψ(x, t) = exp (t − t0 ) ∂t0

(

Verschiebungsoperator

Zeitentwicklungsoperator versus Propagator, Teil 1

6

Zur Bestimmung der Wellenfunktion zu einem Zeitpunkt t aus der Wellenfunktion zu einem Zeitpunkt t0 können aus der Schrödinger-Gleichung zwei Operatoren – ein Differenzialoperator und ein Integraloperator – abgeleitet werden. 1 Ausgangspunkt ist die Schrödinger-Gleichung im Ortsraum. Wir nehmen an, dass der Hamilton-Operator H nicht explizit zeitabhängig ist. 2 Mithilfe des Verschiebungsoperators (siehe Seite 23) kann eine Verschiebung in der Zeit dargestellt werden. 3 Zusammen mit der Schrödinger-Gleichung ergibt sich aus dem Verschiebungsoperator eine Differenzialoperatorlösung. Der so entstandene Operator wird auch als Zeitentwicklungsoperator bezeichnet. 4 Eine weitere Möglichkeit der Lösung des Problems führt über den Propagator K (x, t; x0 , t0 ). Diese Funktion erfüllt zwei Bedingungen: 1) Der Propagator erfüllt in den Argumenten x und t die SchrödingerGleichung. 2) Für t gegen t0 geht der Propagator in eine Dirac-Funktion über, die nur ungleich null ist, wenn x und x0 gleich sind. 5 Aus beiden Bedingungen folgt mit der Translationseigenschaft der Dirac-Funktion, dass der angegebene Integraloperator eine Lösung der Schrödinger-Gleichung für die gegebene Anfangsbedingung ist.

125

die Eigenfunktionen ψn (x) des Hamilton-Operators. Wir nehmen an, dass diese orthogonal und vollständig sind. 7 Ausgehend vom Zeitentwicklungsoperator nutzen wir die Translationseigenschaft der Dirac-Funktion und ersetzen dann die DiracFunktion mit der Summe über die Eigenfunktionen aus der Vollständigkeitsrelation. Nun vertauschen wir den Zeitentwicklungsoperator mit der Integration und der Summation. Angewandt auf die Energieeigenfunktionen mit dem Argument x , wird der Hamilton-Operator durch die jeweiligen Energieeigenwerte ersetzt. So ergibt sich eine Integraltransformation, und wir setzen den entsprechenden Teil unter dem Integral mit dem Propagator gleich. 8 Der Propagator kann also direkt aus den Energieeigenfunktionen und Energieeigenwerten berechnet werden.

6 Zur Herleitung der Äquivalenz der beiden Operatoren betrachten wir

1

ψ(x, t) =

∫

K (x, t; x0 , t0 )ψ(x0 , t0 )dx0

Integraloperatorlösung 3

5

) 7

K (x, t; x0 , t0 ) =

√

m exp 2πi¯h(t − t0 )

k 2 h¯2 1 √ H exp(ikx) mit ψk (x) = ψk (x) = Ek ψk (x) ψk (x) = 2m 6 2π

i(t − t0 ) h¯2 d 2 U (t, t0 ) = exp − h¯ 2m dx 2

(

h¯2 d 2 2m dx 2

Energieeigenlösungen

H =−

freier Hamilton-Operator

(

im(x − x0 )2 2¯h(t − t0 )

) 8

) ( (22 2)2 ) ∫√ ∫ ( (2 2) 2(t H iE (t − t m im(x − x ) iH − t ) i(t − t ) h ¯ d 1 k h ¯ k 0 0 d h ¯ 0 ∗ Propagator (x )ψ (x) exp KK (x, t; x0ψ(x, , 0texp(ikx) )t0t) = xU ,0 U )(t, = = exp − =t= K (x, t; xt0(x) ,)ψ t0exp )ψ(x Differenzialoperatorlösung freier Hamilton-Operator √t; (t, tZeitentwicklungsoperator )Energieeigenlösungen exp − ψk (x) =(x, (x) ψ (x) H = ψ(x, t) == (t, (x,−t00,)t0ψ)dx 0U kψ 0 )ψ 0 = E dk H − 0Integraloperatorlösung kmit 2kh 2πi¯h(t 2m −k0tdx 2¯h(t ¯− t0 ) k k Propagator h¯) 02 h¯ 2m 2mdx 0 2π Zeitentwicklungsoperator ) ( ) ( ∫ H (t − t0 ) iEk (t − t0 ) iH ∗ dk K (x, t; x0 , t0 ) = ψk (x0 )ψk (x) exp − U (t, t0 ) = exp − h¯ h¯ 4 2

ψ(x, t) = U (t, t0 )ψ0 (x, t0 )

Differenzialoperatorlösung

Zeitentwicklungsoperator versus Propagator, Teil 2

Als Beispiel berechnen wir hier den Propagator und den Zeitentwicklungsoperator für ein freies Teilchen. 1 2 Wir wiederholen die Definition des Zeitentwicklungsoperators. 3 4 Wir geben den Propagator und seine Definition leicht verändert wieder. Statt von diskreten Eigenwerten, wie auf der vorherigen Seite, gehen wir hier von einem kontinuierlichen Energiespektrum Ek aus, das von k parameterisiert wird. Aus der Summe über die Eigenwerte wird also ein Integral. 5 Für die Bewegung eines freien Teilchens in einer Dimension hat der Hamilton-Operator eine sehr einfache Form. 6 Die dazugehörigen Energieeigenfunktionen sind ebene Wellen, und der Parameter k entspricht der Wellenzahl. 7 8 Mit dem Hamilton-Operator und seinen Eigenfunktionen und energien ergeben sich die angegebenen Ausdrücke für den Zeitentwicklungsoperator und den Propagator. Sie konvergieren für t → t0 in gegen 1 bzw. δ(x − x0 ).

127

−∞

∞ 2

√

c =0

h ¯ (t − t0 ) 2m b = i(x − x0 ) a=i

exp(−ak + bk + c)dk =

In diesem Fall sind:

∫ π exp a

(

b2 +c 4a

)

Anmerkung: Die geschlossene Form des Propagators für ein freies Teilchen 8 ergibt sich mithilfe des folgenden Integrals:

|ψ⟩ → |n⟩

Messung P(On ) = |⟨n|ψ⟩|2 24

∂ |ψ⟩ → |n⟩ P(O ∂tn ) = |⟨n|ψ⟩|

Messung Operator Zeitentwicklung Hamilton-Operator i¯hO |n⟩ |ψ⟩ = |ψ⟩2 Hamilton-Funktion Zustand Klassische Observable H |ψ⟩ O = OnH|n⟩

i¯h

∂ |ψ⟩ = H |ψ⟩ ∂t

Zeitentwicklung 7

H

|ψ⟩

O |n⟩ = On |n⟩ 3

Hamilton-Operator

Zustand

Operator 1

H

O 2

Hamilton-Funktion

Klassische Observable

Postulate der Quantenmechanik

6

5

Mit einem quantenmechanischen System können prinzipiell zwei Dinge geschehen: Das System verändert sich gemäß der Schrödinger-Gleichung mit der Zeit, oder es kann eine Messung an dem System vorgenommen werden. Die hier diskutierten Zusammenhänge werden auch als Postulate der Quantenmechanik bezeichnet. 1 Der Zustand eines physikalischen Systems wird durch ein Element |ψ⟩ eines Hilbert-Raums beschrieben. 2 3 Jeder klassischen Observablen O ist ein hermitescher Operator O zugeordnet. Er hat orthogonale Eigenzustände |n⟩ und reelle Eigenwerte On . 4 Die Messung der Observablen kann nur einen der Eigenwerte On ergeben. Direkt nach der Messung befindet sich das System im dazugehörigen Eigenzustand |n⟩. Die Wahrscheinlichkeit für die Messung des Eigenwerts und des Sprungs in den Eigenzustand |n⟩ ist P(On ) = |⟨n|ψ⟩|2 . 5 6 Der Energie ist der Hamilton-Operator H zugeordnet. Er ergibt sich aus der klassischen Hamilton-Funktion H durch Ersetzung der klassischen Observablen durch die dazugehörigen hermiteschen Operatoren. 7 Die Zeitentwicklung des Zustands |ψ⟩ wird durch die SchrödingerGleichung und den Hamilton-Operator bestimmt.

129

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 M. Wick, Quantenmechanik mit Concept-Maps, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59424-7_5

Kapitel 5 Lösungen der Schrödinger-Gleichung in drei Dimensionen

1 Ekin = Mv 2 2 12

1 e2 v= 4πε0 L

kinetische Energie

Mv

2 vM

Eges

1

FC = Fzent 1 e2 = Mv 2 4πε0 r 3

4

10

Eges = Ekin + Epot = −

Epot

e 4M 1 1 = −ER 2 2 2 n2 2 n 16 32π ε0 h¯

Gesamtenergie

14

(

15

4π¯h2 ε0 2 n = a0 n 2 e 2M

M r

11

r=

=

2

1 e2 4πε0 r 2

8

7

Epot = −

e2 4πε0 r

potenzielle Energie

L2 4πε0 e 2m

)2

Mv 2 r

L rM

FZ =

Zentripetalkraft

e 4M 1 =− 16π 2 ε20 h¯2 n2

r=

9

FC2 = ( 2 )2 ( ) 4 F42zent e142M 1 1e121 eM 1222 vM ee2e02M M vM L h2 εL20e12e1Mv ⃗4π¯ 4πε 2 2 Bohrsches Postulat ⃗pe21, = − E = EDefinition E − |⃗ x− × |2 22= Mrv LF L+ = kinetische Energie potenzielle Energie Zentripetalkraft Drehimpulses r1hCF= Gesamtenergie vpot = = E = E Mv Mv = = Bohrsches Postulat Coulomb-Kraft LrE = n¯ (n 2, pot kin kin pot e= = n= = kin Zdes 2n22)2 = −ER 2 2a2n0... 2 2 2 2 n 32π 16π εr0h¯Mv εLh¯r0nε0h¯0r0h¯nLr n 4πε 4πε 2=4πε r L rM 4πε 4πε e32π e M 0 00m 0 r = 1, 2, ... ) L =4πε n¯h 0 (n

L = ⃗L = |⃗x × ⃗p | = Mrv

Definition des Drehimpulses

e 4M 1 = 32π 2 ε20 h¯2 n2

e2 1 4πε0 h¯ n

Ekin

v=

6

( )2 1 2 vM e = 5 L 4πε0 L

1 e2 FC = 4πε0 r 2

Coulomb-Kraft

Bohrsches Atommodell

13 14

Die Annahme eines quantisierten Drehimpulses in der Bewegung des Elektrons um das positiv geladene Proton im Wasserstoffatom führt auf eine Quantisierung der Gesamtenergie. Das Bohrsche Atommodell ist ein semiklassisches Modell; es kombiniert klassische Kreisbahnen mit der Idee der Quantisierung einer physikalischen Größe. 1 Auf das Elektron wirkt die Coulomb-Kraft FC , die das Elektron zum Atomkern zieht. Sie ist proportional zum inversen Quadrat des Abstands r und dem Produkt der beiden Ladungen. Hier is ε0 die elektrische Feldkonstante. 2 Für eine Kreisbewegung eines Elektrons der Masse M mit einer Geschwindigkeit v und einem Radius r ist eine Zentripetalkraft FZ nötig. 3 Für eine geschlossene Kreisbahn müssen die beiden Kräfte im Gleichgewicht sein. 4 Der Drehimpuls ⃗L ist als das Vektorprodukt von Impuls ⃗p und Ortsvektor ⃗x definiert. Wenn wir eine Kreisbewegung annehmen, steht der Impulsvektor zu jedem Zeitpunkt senkrecht auf dem Ortsvektor, und für den Betrag des Drehimpulses ergibt sich der angegebene Ausdruck. 5 6 Ersetzen wir nun im Kräftegleichgewicht den Radius durch den Drehimpuls, so erhalten wir einen Ausdruck für die Geschwindigkeit. 7 8 Ersetzen wir auf der anderen Seite die Geschwindigkeit durch den Drehimpuls, so erhalten wir einen Ausdruck für den Radius. 9 Das Bohrsche Postulat ist die Annahme, dass der Drehimpuls in ganzzahligen Vielfachen der Planck-Konstanten quantisiert ist.

133

radius und der Geschwindigkeit. Der sogenannte Bohrsche Radius a0 ergibt sich für den kleinstmöglichen Wert des Drehimpulses (n = 1) und ist damit auch der kleinstmögliche Radius. 12 13 Die kinetische Energie Ekin hängt nur von der Geschwindigkeit ab, genauso wie die potenzielle Energie Epot nur vom Bahnradius r abhängt. 14 15 Quantisierte Geschwindigkeiten und quantisierte Radien führen also auf quantisierte Werte für die kinetische und die potenzielle Energie. 16 Die Gesamtenergie Eges ist die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie und somit auch quantisiert.

10 11 Diese Annahme führt wiederum auf eine Quantisierung des Bahn-

1 n2 (n = 1, 2, ... )

1 1 − 2 2 n1 n2

Lyman-Serie ( ) 1 1 1 =R − λ 11 n12 n1 = 2, 3, 4, ... 7

1 =R λ 5

3

1

Balmer-Serie ( ) 1 1 1 =R − λ 22 n12 n1 = 3, 4, 5, ... 8

1 1 − 2 2 n2 n1

Wellenlänge des Photons ( )

∆E = −ER

Energiedifferenz ) (

En = −ER

Energiestufen

Paschen-Serie ( ) 1 1 1 =R − λ 32 n12 n1 = 4, 5, 6, ... 9

( ) 1 1 1)) (( 4 R − 12 61 −1 1E= R e 1M 12 1 1 hc 54321des n10 E =λRydberg-Energie == 13, 6meV Lyman-Serie = R − = Wellenlänge Photons Energiestufen Energiedifferenz EPlanck-Einstein-Beziehung −E 1, ... ) ∆E = == 10, 97 ·− R =Rydberg-Konstante Brackett-Serie Paschen-Serie Balmer-Serie Pfund-Serie R= R2hν 1 2, n ∆E R−E 2(n 2 2 λhc 32πn ε0 hn¯2 n12 nλ12 n22 n1 = 6, 2, 7, 3, 4, 5, 3, 8, 4, 5, 6, 4, ... hc 5, 6, 7, ∆E = hν = λ 4

e 4M = 13, 6 eV 32π 2 ε20 h¯2

R=

6

2

Pfund-Serie ( ) 1 1 1 =R − λ 52 n12 n1 = 6, 7, 8, ... 11

ER = 10, 97 · 106 m−1 hc

Rydberg-Konstante

ER =

Rydberg-Energie

Brackett-Serie ( ) 1 1 1 =R − λ 42 n12 n1 = 5, 6, 7, ... 10

Spektren des Wasserstoffatoms

Aus den Energiestufen eines Elektrons im Bohrschen Atommodell ergeben sich die möglichen Wellenlängen der Photonen, die bei einem Übergang zwischen zwei Energiestufen abgestrahlt werden. Diese Spektren wurden schon lange vor der Formulierung der Quantenmechanik experimentell entdeckt und schließlich durch das Bohrsche Atommodell erklärt. 1 Wir beginnen mit dem zentralen Resultat des Bohrschen Atommodells: Die möglichen Gesamtenergien der Elektronen im Wasserstoffatom sind diskret und verhalten sich indirekt proportional zu Quadraten von positiven, ganzen Zahlen n. 2 Die auftretende Konstante ER , die sich aus der Elementarladung e , der elektrischen Feldkonstanten ε0 , der Planck-Konstanten ¯h, der Elektronenmasse M und der Kreiszahl π ergibt, wird als Rydberg-Energie bezeichnet. Die Rydberg-Energie ist die Energie, die frei wird, wenn ein freies Elektron, n = ∞, auf das niedrigste Energieniveau, n = 1, fällt. 3 Beim Übergang eines Elektrons von einem höheren Energieniveau n1 zu einem tieferen Energieniveau n2 wird die Energiedifferenz ∆E in Form eines Photons abgestrahlt. 4 Die Planck-Einstein-Beziehung verknüpft die Energie mit der Wellenlänge eines Photons.

135

chen Wellenlängen der abgestrahlten Photonen. 6 Als Konstante ergibt sich aus der Rydberg-Energie und den Konstanten der Planck-Einstein-Beziehung die Rydberg-Konstante R . 7 – 11 Aus der allgemeinen Formel ergeben sich für jeweils gleiche Endenergieniveaus n2 Serien von Wellenlängen, die nach ihren Entdeckern benannt wurden.

5 Mithilfe dieser Beziehung erhalten wir einen Ausdruck für die mögli-

−

∂ 2 ∂ 1 + + 2 2 ∂r r ∂r r

∆r +

2M 1 ∆ ψ(⃗ x ) + θ,ϕ r2 h¯2

E+

e2 4πε0 r

ψ(⃗x ) = 0

2

Polargleichung ) (

∂ Q(ϕ) = −C2 Q(ϕ) ∂ϕ2 78

∂ cos θ ∂ C2 −C1 P(θ) + P(θ) = 2 ∂θ sin θ ∂θ sin2 θ 89

)

R(r ) = u(r )/r

Y (θ, ϕ) = P(θ)Q(ϕ) 7

(

Radialgleichung

= ∆r +

(

Radialgleichung ) ] [ 2 ∂ 2M C1 e + 2 E+ − 2 2 ∂r 4πε0 r r h¯

2

10

6

u(r ) = 0

1 ∆θ,ϕ r2 2

[ ]) e2 C1 2M R(r ) = 2 R(r ) ∆r + 2 E + r r h¯

Ansatz

5

(

3

∂2 cos θ ∂ 1 ∂2 + + ∂θ2 sin θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ2

Schrödinger-Gleichung in(Kugelkoordinaten ) )

1

∆=

Laplace-Operator in Kugelkoordinaten ( )

Ansatz

Azimutalgleichung

2

(

ψ(⃗x ) = E ψ(⃗x )

2

(2) 2 2[[ ) 2 22]) ) )) ) ( ] ( ((( ( )( 2M ∂2 2 ∂ ∂1∂2 2 1 cos ∂ cos 1 eeθ ∂ C2C11e 2C1∂ 2 e 2M h¯2M ∂∂θQ(ϕ) Polargleichung in−C Kugelkoordinaten in Kugelkoordinaten Azimutalgleichung Winkelabhängigkeit ∆ ∆ = 2 +∆rSchrödinger-Gleichung −C ∆ + + )2)= )0= + + ψ(⃗ x(θ, + P(θ) = R(r − )(θ, = ψ(⃗ x)∆ =r 0+ 2 ∆θ,ϕ EE E +Laplace-Operator − = Eu(r ψ(⃗ xP(θ) − Q(ϕ) Ansatz )== = )/r ψ(⃗ (θ, xR(r ))+ ϕ) = R(r )Y (θ, ∆Schrödinger-Gleichung YRadialgleichung ϕ) =P(θ)Q(ϕ) −C Y+)2ϕ) r2+ 12 R(r θ,ϕ 2ψ(⃗ θ,ϕ 1x 2ϕ) 2∆ 2Y 2u(r 2 2 2 2 2 Ansatz 2 ∂r r ∂r∂θ r∂r r 2M sin θ∂ϕ ∂θ 4πε sin 4πε r sin sin rθ4πεθr0∂ϕ r r h¯h¯∂θ ¯rθr 0∂θ 0h ψ(⃗x ) = R(r )Y (θ, ϕ) 4

)

Winkelabhängigkeit

h¯ e ∆− 2M 4πε0 r

2

Schrödinger-Gleichung

2

∆θ,ϕ Y (θ, ϕ) = −C1 Y (θ, ϕ)

(

Schrödinger-Atommodell, Teil 1

11

Auf den folgenden Seiten lösen wir die Schrödinger-Gleichung für ein Elektron im elektrischen Feld eines Protons. Wir erhalten durch mehrere Separationsansätze bzw. Substitutionen aus einer partiellen Differenzialgleichung in drei Dimensionen drei gewöhnliche Differenzialgleichungen, die jeweils nur von einer Variablen abhängen. 1 Wir starten mit der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung in drei Raumdimensionen. ψ(⃗x ) ist die Wellenfunktion des Elektrons im Coulomb-Potenzial des Protons. e ist die Elementarladung, M ist die Masse des Elektrons und ε0 ist die elektrische Feldkonstante. Da der Atomkern sehr viel schwerer als das Elektron ist, vernachlässigen wir dessen Bewegung genauso wie den Spin des Elektrons. 2 Das Coulomb-Potenzial ist kugelsymmetrisch, also beginnen wir mit dem Laplace-Operator in Kugelkoordinaten (siehe Seite 35). Hier ist r der Radius, θ der Polarwinkel und ϕ der Azimutwinkel. Zur besseren Übersichtlichkeit führen wir die Symbole ∆r und ∆θ,ϕ für den radialen Teil bzw. den winkelabhängigen Teil des Laplace-Operators ein. 3 Setzt man den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten in die Schrödinger-Gleichung ein, so erhält man die Schrödinger-Gleichung in Kugelkoordinaten.

137

10 11

8 9

7

6

5

und einem winkelabhängigen Anteil Y (θ, ϕ) ist. Direktes Einsetzen dieses Ansatzes in die Schrödinger-Gleichung zeigt, dass sich alle Winkelanteile auf eine Seite und alle radialen Anteile auf die andere Seite bringen lassen. Das heißt wiederum, dass beide Seiten proportional zur selben winkel- und radiusunabhängigen Konstanten C1 sind und sich somit in zwei Gleichungen separieren lassen. Die erste Gleichung ist eine Differenzialgleichung für den winkelabhängigen Anteil Y (θ, ϕ). Die zweite Gleichung ist eine Differenzialgleichung für den radialen Anteil R(r ). Der Winkelanteil lässt sich über einen zweiten Separationsansatz in einen Azimutalanteil Q(ϕ) und einen Polaranteil R(θ) faktorisieren. So erhalten wir eine weitere Konstante C2 und zwei Differenzialgleichungen für den Anteil Q(ϕ) und für den Anteil P(θ). Die Radialgleichung lässt sich durch eine weitere Substitution in eine einfachere Form bringen.

4 Wir nehmen an, dass die Wellenfunktion ein Produkt aus einem R(r )

Q(ϕ) = Q(ϕ + 2π)

Randbedingung 3

C2 ϕ) + β exp(−i

Lösung

√

√ C2 ϕ) 2

1

Q2mQ(ϕ) (ϕ) √ = exp(imϕ), √ ∂Q =2= exp(imϕ), Randbedingung allgemeine Lösung Azimutalgleichung m (ϕ)Lösung −C Q(ϕ) Q(ϕ) = Q(ϕ + 2π) Q(ϕ) = α exp(i C ϕ) + β exp(−i C2 ϕ) 2 2 ∂ϕ C2 = m , m ∈ Z C22 = m2 , m ∈ Z 4

Q(ϕ) = α exp(i

allgemeine Lösung

∂ 2 Q(ϕ) = −C2 Q(ϕ) ∂ϕ2

Azimutalgleichung

Schrödinger-Atommodell – Azimutalgleichung, Teil 2

Die Azimutalgleichung ist die einfachste der drei Differenzialgleichungen. Die Lösung dieser Differenzialgleichung für die Randbedingungen führt auf eine Quantisierung der Konstante C2 . 1 2 Die Azimutalgleichung hat die hier angegebenen Exponentialfunktionen als Lösung, wie sich durch Einsetzen schnell nachprüfen lässt. Hier sind α und β unbestimmte Konstanten. 3 Da die Wellenfunktion überall stetig ist, muss die Funktion Q(ϕ) eine periodische Funktion mit Periode 2π sein. 4 Mit dieser Randbedingung ergibt sich, dass nur die angegebenen Funktionen die Differenzialgleichung erfüllen. Die möglichen Werte für C2 sind also auf die Quadrate von ganzen Zahlen m beschränkt.

139

0

Beide Relationen lassen sich direkt aus dem Vergleich mit der diskreten Fourier-Form der Dirac-Funktion ableiten (siehe Seite 13).

∗ Qm (ϕ)Qm (ϕ′ ) = δ(ϕ − ϕ′ )

∗ Qm (ϕ)Qm′ (ϕ)dϕ = 2πδmm′

∞ ∑

2π

m=−∞

∫

erfüllen eine Orthogonalitätsrelation und eine Vollständigkeitsrelation:

Qm (ϕ) = exp(imϕ) ,

Anmerkung: Die Lösungen der Azimutalgleichung,

P(x) = Plm (x) 5

(

Polargleichung ) (

dP(x) (1 − x 2 ) dx

) C2 + C1 − 1 − x2

(

) P(x) = 0

) cos θ ∂ C2 ∂ −C1 P(θ) + P(θ) = ∂θ2 sin θ ∂θ sin2 θ 1 2

3

P(θ) = Plm (cos θ)

Lösung 7

( ) ( ) m2) d ( 22 dPlm (x) )) ( ( C = l(l + 1) Plm (x) = 0 d(1 − ∂x ) 2cosdP(x) θ ∂ + 1 d m m C− 21 C2 ∂ 2 allgemeine Legendre-Differenzialgleichung dx ( 1−C − 1x P(θ) (1 − )= cos +=P= − θ) P(x) = 0 Lösung Polargleichung +x xdx =(cos θ,P(θ) Substitution P(θ) = P(x) PC (x) 1− ) ( 2 m θdx 12 θ− xm22 ) sin ∂θ C2 =dx ml2 l sinsin θ ∂θ d dx ∂θ2 dP (x) l l 1) −|m| ≤ l (1 − x ) l, m ∈ Z + 0l(l≤ + Plm (x) = 0 dx dx 1 − x2 l, m ∈ Z 0≤l |m| ≤ l 4

d dx

(

Schrödinger-Atommodell – Polargleichung, Teil 3

C2 = m 2

6

1 ∂ d =− dx sin θ ∂θ

C1 = l(l + 1)

x = cos θ,

Substitution 2

zeigt, dass die Funktionen P(x) den zugeordneten LegendrePolynomen entsprechen. 6 Auf der anderen Seite liefert der Vergleich mit den diskreten Parametern der Lösungen m und l , dass C1 und C2 wie angegeben quantisiert sein müssen. Das entspricht für C2 der bereits von der vorherigen Seite bekannten Quantisierung. 7 Nach der Rücksubstitution von x zu θ ergeben sich die Lösungen der Polargleichung als die zugeordneten Legendre-Polynome mit cos(θ) im Argument.

5 Der Vergleich mit der allgemeinen Legendre-Differenzialgleichung

)m/2 d m ( Pl (x) Plm (x) = (−1)m 1 − x 2 dx m

Die Lösung der Polargleichung führt ebenfalls auf ein orthogonales System von Funktionen und auf eine Quantisierung der Konstanten C1 . 1 2 3 Die Substitution des Winkels θ durch den Parameter x liefert eine Differenzialgleichung ohne trigonometrische Funktionen. 4 Die so gefundene Differenzialgleichung entspricht der allgemeinen Legendre-Differenzialgleichung. Diese Differenzialgleichung führt für ganzzahlige l und m und unter der Bedingung |m| ≤ l auf ein System von polynomialen Lösungen, den zugeordneten Legendre-Polynomen Plm (x). Die zugeordneten Legendre-Polynome sind Ableitungen gewöhnlicher Legendre-Polynome (siehe Seite 25):

141

∫ 0

π

Plm (cos θ)Plm′ (cos θ) sin θdθ =

2(l + m)! δll ′ (2l + 1)(l − m)!

Anmerkung: Die Lösungen der Polargleichung erfüllen folgende Orthogonalitätsrelation:

L(y ) = Lks (y )

u(y ) = y l+1 exp(−y /2)L(y )

zweite Substitution

7

4

d2 − dy 2

Radialgleichung ) ] [ 2

( 1 − 4

√ −Me 4 1 32E π 2 ε20 h¯2 y

)

)

1

u(y ) = 0

u(r ) = 0

l(l + 1) − y2

2M C1 e ∂ + 2 E+ − 2 2 ∂r 4πε0 r r h¯

2

3

(

( ) )l+1 ( ) 2r r 2r 2l+1 l exp − Ln−l−1 un (r ) = a0 n a0 n a0 n 9

Lösung

dLks (y ) d 2 Lks (y ) + (k + 1 − y ) + sLks (y ) = 0 y dy 2 dy k, s ∈ Z 0≤k≤s

allgemeine Laguerre-Differenzialgleichung 6

+ (√ ( ])ks1(y [)l+1 √k = d(2 L(ks 2(y )(√ √ (22ldL )) )4 k( ) ) ) 2y 4 + (k + 1 − y ) sLs1)(y2r) = 0) ∂ 2M Cl(l e −Me 12 )l+1−2ME 1k r −Me d L(y ) d 2rdL(y 1+ r+ (√ 2l+1 l 4 (y dy Lösung Radialgleichung allgemeine Laguerre-Differenzialgleichung +u(y u(r ) =l u(y 0 1) =L(y − E − + yy)2)zweite + 0 )=0 − − y 2 2 +2(2l (r )22=− undy exp − L erste Substitution Substitution = y+ exp(−y /2)L(y ) − ) L(y ) = L −Me r = 2 = 2 2 4 n−l−1 s 22 y d dy L(y )dy −Me ∂r4 sh¯a= r−1 ndy π) 24πε 32E ε20 h¯ 20 ry2a32E π ε20 h¯2 2 a0 n a 0dL(y 02n−l y + (2l + 2 − yk, ) s ∈32E Z+π 2 ε00 h¯≤ k ≤2s 2 2 − l − 1 L(y ) = 0 dy 2 dy 32E π ε0 h¯ 2

(

(

s=

5

Schrödinger-Atommodell – Radialgleichung, Teil 4

√

r −2ME r =2 2 a h¯

−Me 4 −l −1 32E π 2 ε20 h¯2 8

k = 2l + 1

y =2

erste√Substitution

2

Lks (y ) = (−1)k

dk Ls+k (y ) dx k

Wie die Polargleichung führt auch die Radialgleichung nach zwei Substitutionen auf eine bekannte Differenzialgleichung, die allgemeine LaguerreDifferenzialgleichung. Diese Lösung führt auf eine Quantisierung der Energie E . 1 2 3 Die erste Substitution ist eine Skalierung des Radius r . Durch sie können alle in der Radialgleichung auftretenden Parameter in einem Term gesammelt werden. Der Parameter a hat die Dimension einer Länge, sodass die Variable y dimensionslos ist. Hier haben wir die auf der vorherigen Seite abgeleiteten quantisierten Werte l(l + 1) für die Konstante C1 eingesetzt. 4 5 Die zweite Substitution setzt voraus, dass die Funktion u(y ) drei Anteile besitzt: einen Faktor y l+1 , einen Exponentialfaktor und die Funktion L(y ). Dieser Schritt bringt die Differenzialgleichung auf die angegebene Form. 6 Diese Differenzialgleichung entspricht der allgemeinen LaguerreDifferenzialgleichung. Diese Differenzialgleichung führt für ganzzahlige k und s und unter der Bedingung 0 ≤ k ≤ s auf ein System von polynomialen Lösungen, den zugeordneten Laguerre-Polynomen Lks (y ). Diese Polynome sind Ableitungen der gewöhnlichen LaguerrePolynome (siehe Seite 25):

143

e 4M 1 2 n2 2 2 32π ε0 ¯h

−

4π¯ h 2 ε0 ¯2 h = 2 n = a0 n 2EM e M

0

exp(−y )y k+1 (Lkm (y ))2 dy =

exp(−y )y k Lkm (y )Lkn (y )dy = ∫∞

0

∫∞

(n + k)! (2n + k + 1) n!

(n + k)! δmn n!

Hier ist a0 der Bohrsche Radius. 9 Die Rücksubstitutionen führen auf das Lösungssystem der Radialgleichung. Anmerkung: Die zugeordneten Laguerre-Polynome erfüllen folgende Relationen:

an =

√

Die Bedingung 0 ≤ s führt auf l ≤ n − 1 und auf 1 ≤ n. Die quantisierten Energien führen auf quantisierte Werte für a:

En = −

zeigt, dass die Funktionen L(y ) den zugeordneten LaguerrePolynomen entsprechen. 8 Der Vergleich der Indizes ergibt, dass k = 2l + 1. Weil s und l ganze Zahlen sind, muss die Wurzel proportional zu einer ganzen Zahl sein, die wir n nennen. Aufgelöst auf die Energie ergibt sich deren bereits vom Bohrschen Atommodell bekannte Quantisierung der Gesamtenergie:

7 Der Vergleich mit der allgemeinen Laguerre-Differenzialgleichung

Polargleichung ) (

0

∞

∫

0

π

∫

0

2π

m = −l, −l + 1, ... , 0, ... , l − 1, l Quantisierung der m¨oglichen Richtungen 12 des Drehimpulses

Nebenquantenzahl

8

Nnlm

(

Lösung

Radialgleichung ) ] [ 2

2M C1 e ∂ + 2 E+ − 2 2 ∂r 4πε0 r r h¯

2

u(r ) = 0

3

n = 1, 2, 3, 4, ... Quantisierung der m¨oglichen Energien

Hauptquantenzahl

9

10

( ) )l+1 ( ) 2r r 2r 2l+1 l exp − Ln−l−1 un (r ) = a0 n a0 n a0 n 6

(

√ √Normierungsfaktor 2l + 1 (l − m)! 2 (n − l − 1)! 1 =√ 2 (l + m)! a0 n n(l + n)! 2π

l = 0, 1, 2, ... , n − 1 Quantisierung der m¨oglichen Betr¨age 11 des Drehimpulses

|ψnlm (r , θ, ϕ)|2 sin θr 2 dϕdθdr = 1

Normierungsbedingung

Magnetische Quantenzahl

∫

5

√ √ m2π = l−l, −l1,+2, ... 0, , l −( 0, −... 1) ( )1, l ) ) ( ], n, ) [= l+1 (21,...m ∫( ∞ ∫2 2π ∫ ( 2) l− =e− 1, 2, 3, 4, ... ∂∂ 1 cos 2M ∂+ n1 (l C C ∂θ2l Q(ϕ) 2rl) − 1)! r 2r 2 m)! (n P (θ)Q (ϕ)u (r 2 1 2 m 2 2l+1 l m n l glichen Gesamtlösung der m¨ o glichen Richtungen Quantisierung der m¨ o Betr¨ a Lösung Quantenzahl Polargleichung Radialgleichung Azimutalgleichung Hauptquantenzahl Nebenquantenzahl −C P(θ) +Magnetische u(r )ge = 0= 1 P(θ) = − E= + = −C Q(ϕ) |ψ (r , θ, ϕ)| sin θr dϕdθdr √ exp − L )22+ =(r NnlmuQuantisierung P(θ) = P (cos θ) Q (ϕ) = exp(imϕ) ψ(r ,Normierungsbedingung θ,2Normierungsfaktor ϕ) N 1 2 m nlm nlm nlm 2 n= l n−l−1 2 Energien 2 ∂θ ∂r sin θ ∂θ 4πε r r Quantisierung der m¨ o glichen ∂ϕ sin θ ¯a0 n 2 (l +0 m)! a0 n ar0 n n(l n n)! m l a0+ 0 h 0 2π 0 P (θ)Qm (ϕ)un (r ) des des Drehimpulses Drehimpulses ψnlm (r , θ, ϕ) = Nnlm l 7 r

P(θ) = Plm (cos θ)

Qm (ϕ) = exp(imϕ) 4

)

cos θ ∂ C2 ∂ −C1 P(θ) + P(θ) = 2 ∂θ sin θ ∂θ sin2 θ 2

2

Lösung

1

(

Lösung

∂ Q(ϕ) = −C2 Q(ϕ) ∂ϕ2

2

Azimutalgleichung

Schrödinger-Atommodell, Teil 5

12

11

10

8 9

7

4 5 6

die drei gewöhnlichen Differenzialgleichungen in r , θ und ϕ. Diese drei Differenzialgleichungen führen jeweils auf ein orthogonales Funktionssystem. Nun führen wir die Einzellösungen gemäß des zuvor gewählten Separationsansatzes zusammen. Wir erhalten so die möglichen Lösungen für die Wellenfunktionen – die sogenannten Orbitale. Wie wir auf den nächsten beiden Seiten besprechen, sind diese Wellenfunktionen nicht nur Energie-, sondern auch Drehimpulseigenfunktionen. Abschließend normieren wir die Wellenfunktion. Hier ist sin θr 2 dϕdθdr das Volumenelement in Kugelkoordinaten. Die Normierungsbedingung führt mithilfe der jeweiligen Normierungen der Wellenfunktionsanteile auf den Normierungsfaktor Nnlm . Die Radialgleichung führt auf die Hauptquantenzahl n, die die möglichen diskreten Gesamtenergien beschreibt. Aus der Polargleichung ergibt sich die Nebenquantenzahl l . Sie gibt an, welche Werte für den Betrag des Drehimpulses möglich sind. Die Nebenquantenzahl ist durch die Hauptquantenzahl beschränkt. Aus der Azimutalgleichung folgt die letzte Quantisierung: Die magnetische Quantenzahl m beschreibt die z -Komponente des Drehimpulses. Diese ist durch die Nebenquantenzahl beschränkt.

1 2 3 Aus der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom ergeben sich

145

√

2l + 1 (l − m)! m P (cos θ)Qm (ϕ) 2 (l + m)! l

0

∫ 0

π

∗ Ylm (θ, ϕ)Yl ′ m′ (θ, ϕ) sin θdθdϕ = δll ′ δmm′ ,

∗ Ylm (θ′ , ϕ′ ) Ylm (θ, ϕ) = δ(ϕ − ϕ′ )δ(cos θ − cos θ′ )

2π

∆θ,ϕ Ylm (θ, ϕ) = −l(l + 1)Ylm (θ, ϕ)

Die Kugelflächenfunktionen sind Eigenfunktionen des winkelabhängigen Teils des Laplace-Operators ∆θ,ϕ :

l=0 m=−l

∞ ∑ l ∑

∫

Sie bilden ein orthogonales und vollständiges Funktionensystem auf einer Kugeloberfläche:

1 Ylm (θ, ϕ) = √ 2π

Anmerkung: Das Produkt der beiden Funktionen Plm (θ) und Qm (ϕ) ergibt die Kugelflächenfunktionen Ylm (θ, ϕ):

2

z = r cos θ,

y = r sin θ sin ϕ,

x = r sin θ cos ϕ,

( ) ∂ cos θ ∂ sin ϕ ∂ p x = cos ϕ sin θ + − ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ ( ) ∂ cos θ ∂ cos ϕ ∂ p y = sin ϕ sin θ + + ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ ∂ sin θ ∂ p z = cos θ − ∂r r ∂θ 6

Differenzialoperatoren in Kugelkoordinaten

) ∂ ∂ L x = i¯h sin ϕ + cot θ cos ϕ ∂θ ∂ϕ ) ( ∂ ∂ L y = i¯h − cos ϕ + cot θ sin ϕ ∂θ ∂ϕ ) ( ∂ L z = i¯h − ∂ϕ

(

Differenzialoperatoren in Kugelkoordinaten

( ) ) ) (( ∂, pL ] ∂= i¯h∂L ∂∂cos∂θ ∂ sin ϕ ∂ x L [x [L x x y z L xϕ,= i¯ sin ϕh¯ ϕpy+sin cot θ zcos Lhpxxx== x = r sin θ cos =−i cos θ− +ϕ − x, = −i¯ h x ∂z ∂r ∂y ∂ϕ in kartesischen Koordinaten Differenzialoperatoren in kartesischen Koordinaten( [LL[yyy∂θ ,,( pL( h L x ∂xDifferenzialoperatoren )r ∂θ) r sin θ ∂ϕ ( yz ] = i¯ ) ∂ ∂ ∂ ∂∂cos θ ∂∂ cos ϕ ∂ ∂ ∂ ⃗ ∂ z L [z , p ] = i¯ h [L L L y = y , p = −i¯ h + − cot x θ sin ϕ L = i¯ L h = − −i cos h ¯ ϕ z Heisenberg-Kommutator Drehimpuls Differenzialoperatoren in Kugelkoordinaten Drehimpulskommutator Differenzialoperatoren in kartesischen Koordinaten Lz = zx⃗xysin ×θ⃗p y+ + L x = −i h¯ y y h= r sin θ sin yϕ, py y = sin −z x = x, p x = −i¯ ∂y r ∂ϕ ∂θ∂x ∂r ∂z ∂θ r sin θ ∂ϕ ∂z ∂y ∂x )( k¨onnen ) Ort(und Impuls nicht Zwei Drehimpulskomponenten k¨ o nnen ) ( ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ sin θ ∂ ∂r cos θ, L = i¯ ∂ ∂ z = z, p = −i¯ h − y L h = − −i h ¯ x z − z = p = cos θ z nicht z zgleichzeitig gleichzeitig gemessen werden. gemessen werden. y = y , p y = −i¯h −x L y = −i h¯ z ∂z ∂ϕ ∂r∂y r ∂x ∂θ ∂y ∂x ∂z ) ( ∂ ∂ ∂ z = z, p z = −i¯h −y L z = −i h¯ x ∂z ∂y ∂x 4

1

⃗L = ⃗x × ⃗p

Lx , L y ] = i¯hL z [L Ly , L z ] = i¯hL x [L Lz , L x ] = i¯hL y [L Zwei Drehimpulskomponenten k¨onnen nicht gleichzeitig gemessen werden.

[xx , p x ] = i¯h [yy , p y ] = i¯h [zz , p z ] = i¯h Ort und Impuls k¨onnen nicht gleichzeitig gemessen werden.

Drehimpuls

Drehimpulskommutator

Heisenberg-Kommutator

Heisenberg-Kommutator versus Drehimpulskommutator

3

7

5

Aus den Heisenberg-Kommutatorrelationen für die Komponenten des Ortsvektors und des Impulsvektors ergeben sich mit der Definition des Drehimpulses Kommutatorrelationen für die Komponenten des Drehimpulsvektors. 1 Wir haben bereits die Heisenberg-Kommutatorrelationen zwischen den Komponenten des Ortsoperators ⃗x und des Impulsoperators ⃗p besprochen. Ein nichtverschwindender Kommutator zweier Operatoren bedeutet, dass die dazugehörigen zwei Observablen nicht gleichzeitig gemessen werden können. Die Relationen lassen sich mithilfe des Kronecker-Deltas noch kompakter darstellen: [xx a , p b ] = i¯hδab . 2 Der Drehimpulsoperator ist im dreidimensionalen Raum ein Vektor mit drei Komponenten, der sich aus dem Vektorprodukt des Ortsoperators und des Impulsoperators ergibt. 3 Die Definition des Drehimpulses und der Heisenberg-Kommutatorrelationen führen auf Kommutatorrelationen für die Komponenten des Drehimpulses. Diese Relationen lassen sich am leichtesten beweisen, wenn man die Drehimpulskomponenten durch den Impuls und den Ort ausdrückt und dann wiederholt die HeisenbergKommutatorrelationen anwendet . Die Drehimpulskommutator-

147

in Kugelkoordinaten ausdrücken. Abschließend stellen wir fest, dass die Drehimpulsoperatoren nicht vom Radius r abhängen.

∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂ϕ ∂ = + + ∂x ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂ϕ

relationen lassen sich mithilfe des Levi-Civita-Symbols noch kompakter darstellen: [LLa , L b ] = i¯hεabc L c . Der nichtverschwindende Kommutator zwischen den Drehimpulskomponenten signalisiert, dass die drei Komponenten nicht gleichzeitig gemessen werden können. 4 5 Wir werden auf den folgenden Seiten die Ortseigenfunktionen des Drehimpulses berechnen. Wir bestimmen die Ortsdarstellung des Drehimpulsoperators direkt aus den Operatoren ⃗x und ⃗p in der Ortsdarstellung. 6 7 Auf Seite 35 haben wir für den Laplace-Operator den Übergang von kartesischen Koordinaten zu Kugelkoordinaten skizziert. Durch ein sehr ähnliches Vorgehen lassen sich die Drehimpulsoperatoren ebenfalls in Kugelkoordinaten übersetzen. Zum Beispiel lässt sich der Operator p x mit dem Zusammenhang

1

L =

2

L 2x + L 2y + L 2z 2

L z und L 2 k¨onnen gleichzeitig gemessen werden.

Lz , L 2 ] = 0 [L

reduzierter Drehimpulskommutator

3

L 2 Ylm (θ, ϕ) = l(l + 1)¯h2 Ylm (θ, ϕ) L z Ylm (θ, ϕ) = m¯hYlm (θ, ϕ)

Eigenwellenfunktionen 6

( ) ∂, L ] = i¯hL ∂ L [L z ϕ ) L x = i¯h ( sin2 ϕ x y+ cot θ cos Differenzialoperatoren Differenzialoperatoren ∂θcos 1∂ϕ ∂ 2 2 θ ∂ ) L 2 = −¯h2 ( ∂ [L ( L L L L L , ] = i¯ h [L , ] = 0 ) + + y z x z 2 2 2 ϕ) 2 ∂ ∂ L Ylm (θ,∂θ ϕ)2 = 2l(l 1)¯h Y2 sin ∂ ∂+ sin θ 2∂θ θ ∂ϕ lm (θ, ) ( 2 L x = i¯h sin ϕ + cot θ cos ϕ 2 cos L ) ( [L , L ] = i¯ h L + cot θ sin ϕ L = i¯ h − ϕ Eigenwellenfunktionen Drehimpulskommutator reduzierter Drehimpulskommutator Differenzialoperatoren L = L + L + L z x y y x ∂θ y z ∂θ ∂ϕ cos θ ∂ 1 ∂2 ∂ 2 2 ∂ϕ ∂ L Y (θ, ϕ) = m¯ h Y (θ, ϕ) z lm lm ) LZwei ( ) L 2 k¨onnen k¨onnen L = −¯h ∂θ2 + sin θ ∂θ + sin2 θ ∂ϕ2 ( L z und hDrehimpulskomponenten − z = i¯ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ ( ) L y = i¯h − cos ϕ + cot θ sin ϕ Lz = i¯h gleichzeitig − nicht gemessen werden. gleichzeitig ∂θ ∂ϕ ∂ ∂ϕ gemessen werden. ) ( Lz = i¯h − ∂ ∂ϕ L z = i¯h − ∂ϕ 5 4

Lx , L y ] = i¯hL z [L Ly , L z ] = i¯hL x [L Lz , L x ] = i¯hL y [L Zwei Drehimpulskomponenten k¨onnen nicht gleichzeitig gemessen werden.

Drehimpulskommutator

Drehimpulskommutator versus reduzierter Drehimpulskommutator

Analog dazu lässt sich auch ableiten, dass L 2 mit L x sowie L y kommutiert. Eine gängige Konvention ist die Wahl der Eigenwerte von L z und L 2 zur Beschreibung des Drehimpulszustands eines quantenmechanischen Systems.

Lz , L 2z ] = 0 [L

Lz , L 2y ] = −i¯h(L L x L y + L y Lx ) [L

Lz , L 2x ] = i¯h(L L y L x + L x Ly ) [L

Zur Beschreibung von Drehimpulszuständen sind die Eigenwerte der drei Operatoren L x , L y und L z in der Quantenmechanik nicht geeignet, weil sie nicht gleichzeitig gemessen werden können. Deshalb müssen wir auf ein reduziertes System von Operatoren und Eigenwerten zurückgreifen. 1 Zur besseren Lesbarkeit wiederholen wir die Kommutatorrelationen für die Komponenten des Drehimpulses und deren Ortsdarstellung in Kugelkoordinaten. Ein nichtverschwindender Kommutator zweier Operatoren signalisiert, dass die beiden dazugehörigen Observablen nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden können. 2 3 Der Betragsoperator L2 kommutiert mit allen Komponenten. Der Beweis dieser Aussage für L z führt über die Berechnung der Kommutatoren der einzelnen Terme mit dem Operator L z :

149

Die Drehimpulseigenfunktionen entsprechen also den Kugelflächenfunktionen.

L2 = −¯h2 ∆θ,ϕ

in Kugelkoordinaten nachvollzogen werden. Dafür berechnen wir die Darstellung von L 2 , indem wir jeweils die Ausdrücke L 2x , L 2y und L 2z ermitteln und dann die Summe bilden. So dargestellt ist die Kommutatorrelation offensichtlich erfüllt, da die Ableitung nach ϕ mit Funktionen von bzw. Ableitungen nach θ und mit der Ableitung nach ϕ selbst vertauscht. 6 Wir haben bereits die Drehimpulseigenfunktionen im Ortsraum berechnet (siehe Seite 145). Das wird offensichtlich, indem wir feststellen, dass der Betragsoperator L 2 proportional zum Winkelanteil des Laplace-Operators ist:

4 5 Der Kommutator von L 2 und L x kann ebenfalls in der Ortsdarstellung

5

L+ |l, m⟩ = C+ |l, m + 1⟩ 10

Lz , L + ] + L +L z ) |l, m⟩ L z L + |l, m⟩ = ([L = (¯hL + + L + m¯h) |l, m⟩ 9 = (m + 1)¯hL + |l, m⟩

L+ , L − ] = 2¯hL z [L Lz , L+ ] = h¯L+ [L Lz , L − ] = −¯hL − [L

L 2 |l, m⟩ = h¯2 l(l + 1) |l, m⟩

L z |l, m⟩ = m¯h |l, m⟩

Drehimpulseigenzustände

L2 , L − ] = 0 [L Lz , L + ] = h¯L + [L Lz , L − ] = −¯hL − [L

L2 , L + ] = 0 [L

7

L2 , L+L [L ] =+ 0L L[L L LzL+ = L+ ]hh+ LLL−yz],+= i¯ LL−zzL, + − |l, m⟩[L −2¯ −L z ) |l, m⟩ + x,,([L 2 L = x L z |l, m⟩ = m¯ h |l, m⟩ L−y 2 L = L + iL L [L , L ] = 0 + x − L L + 2 + 2 2 2 2 2 LLund Lm⟩ = (¯ (−¯ Lzh]+2+ L= + + LhL m¯ )hz|l, ) |l, m⟩m⟩ [L LLhLL= [L LLm ErzeugungsVernichtungsoperator Drehimpulseigenzustände Drehimplusbetragsoperator Drehimpulskommutator = LLh¯i¯ + L,h¯− + LL+ L |l, C |l, − = +− zL + − y,,+ xm¯ = + − zL1⟩ L+L++1) LLzx−,= L=+xh¯−L ]L+ = h¯y+ LziL L2 − |l, [L m⟩ −y |l, m⟩ xl(l− 2 = L= Lzyz,,(m −=1)¯ hLhLL+ [L LL−x ]+ −¯ [L i¯ − y −|l, m⟩ − LLz , L=−L [L ]+ =2i −¯ hL−− y 4 2i

Ly L + = L x + iL L− = Lx − iL Ly

Lx , L y ] = i¯hL z , [L Ly , L z ] = i¯hL x , [L Lz , L x ] = i¯hL y [L 1

Erzeugungs- und Vernichtungsoperator

Drehimpulskommutator

8

3

Drehimpuls – Dirac-Methode, Teil 1

6

2

L− |l, m⟩ = C− |l, m − 1⟩

12

Lz , L − ] + L −L z ) |l, m⟩ L z L − |l, m⟩ = ([L = (−¯hL − + L − m¯h) |l, m⟩ 11 = (m − 1)¯hL − |l, m⟩

L 2 = L +L − + L 2z − h¯L z

L 2 = L 2x + L 2y + L 2z

Drehimplusbetragsoperator

Auf den beiden folgenden Seiten leiten wir die möglichen Eigenzustände des quantenmechanischen Drehimpulses nur auf Basis des Drehimpulskommutators und des Drehimpuls-Betragsoperators ab. Wir lösen also nicht direkt die Drehimpulseigenwertgleichung im Ortsraum. Das Vorgehen ist analog zur Lösung des harmonischen Oszillators (Seite 155). 1 Der erste Ausgangspunkt sind die Kommutatorrelationen der Komponenten L x , L y und L z des Drehimpulsoperators. 2 Der zweite Ausgangspunkt ist der Drehimpulsbetragsoperator L 2 . 3 Wir definieren eine Kombination der x - und y -Komponente des Drehimpulses und nennen sie Erzeugungsoperator L + und Vernichtungsoperator L − . 4 Die x - und die y -Komponente des Drehimpulses können durch den Erzeugungsoperator und den Vernichtungsoperator ausgedrückt werden. 5 Setzt man diese Ausdrücke für die x - und die y -Komponenten des Drehimpulses in den Drehimpulskommutator ein, so ergeben sich nach einer kurzen Rechnung die Kommutatorrelationen für L − , L + , L 2 und Lz .

151

11 12

10

9

8

7

ausgedrückt werden. Mit dem Drehimpulsbetragsoperator in dieser Form ergeben sich weitere Kommutatorrelationen. Wir nehmen an, dass die Operatoren L 2 und L z Eigenzustände |l, m⟩ haben. Im nächsten Schritt betrachten wir die Wirkung des Erzeugungsoperators auf einen Zustand |l, m⟩. Wir tun das, indem wir zunächst L + und dann L z anwenden. Außerdem nutzen wir die allgemeine Definition A, B ] = AB − B A , und die Kommutatorrelatiodes Kommutators, [A nen bzw. Definitionen der Zustände. Aus dem letzten Schritt schließen wir, dass L+ |l, m⟩ ein Eigenzustand von Lz ist und dass durch die Wirkung L+ der Lz -Wert des Zustands um ¯h erhöht wird. Eine analoge Betrachtung liefert die Wirkung von L − .

6 Der Drehimpulsbetragsoperator kann ebenfalls durch L − , L + und L z

1

L 2 |l, m⟩ = h¯2 l(l + 1) |l, m⟩ 3

L + |l, m⟩ = h¯

√

L + |l, l⟩ = 0

9

l(l + 1) − m(m + 1) |l, m + 1⟩

Wirkung des Erzeugungsoperators

C+ 2 = h¯2 (l(l + 1) − m(m + 1))

Lz =

6

5

L − |l, m⟩ = h¯

√

L − |l, −l⟩ = 0

10

l(l + 1) − m(m − 1) |l, m − 1⟩

Wirkung des Vernichtungsoperators

C− 2 = h¯2 (l(l + 1) − m(m − 1))

8

7

L − |l, m⟩ = C− |l, m − 1⟩

1 L+ , L − ] [L 2¯h L 2 = L +L − + L 2z − h¯L z 4 1 L+L − − L −L + ) |l, m⟩ Lz |l, m⟩ = ⟨l, m| (L ⟨l, m|L 2¯h 1 ( ) L zL⟨l, |l, m⟩ 1=[L 2, |l, 2 2 2 Lm¯ = L −Lm⟩ ]− z√ +h m¯ h = m| L−l⟩ L− L− + h¯+ L1) Lm−h¯L+ L+z1⟩|l, m⟩ +− − zL− zm z + h 2¯ Wirkung Wirkung des des Vernichtungsoperators Erzeugungsoperators Drehimpulseigenzustände L |l, m⟩ = C |l, + 1⟩ L |l, l⟩ = 0 L |l, = 0 l(l + 1) m(m − + |l, − L |l, m⟩ = h ¯ + − + −+ − + 1 1 2¯ h ¯2 l(l 2 m⟩ = h L 2L− |l, +22− 1) Lz |l, m⟩ = ⟨l, m| (L L+L − − L −L + ) |l, m⟩ L+L − − L −L + ) |l, m⟩ ⟨l, m|L (L 2 L +L2− + L2⟨l, 2 2 m|L 2 |l, 2 m⟩ 2=2⟨l, m| = h¯|l, LLh¯2zzm⟩ z − l(l + 1)¯ h + h ¯ m + h ¯ m 2m¯ h = l(1 C + l)¯ h − m h ¯ + m − C 2¯h 2¯h − + ( )2 ) 1 ( 2 2 − 1)) m¯h = ⟨l, m| 1 L +L − − L 2 + L 2z + h¯L z |l, m⟩ (l(lm⟩ + 1) − m(m + C+ −L −= m¯h = ⟨l, m| L − L 2z + h¯L z − L +h¯ |l, 2¯h 2¯h 2 2 2 2 2 2 2 2 2m¯h = l(1 + l)¯h − m h¯ + h¯ m − C+ 2m¯h = C− − l(l + 1)¯h2 + h¯2 m2 + h¯2 m

L + |l, m⟩ = C+ |l, m + 1⟩

L z |l, m⟩ = m¯h |l, m⟩

Drehimpulseigenzustände

Drehimpuls – Dirac-Methode, Teil 2

2

Auf dieser Seite bestimmen wir die beiden Faktoren C+ und C− . 1 – 4 Zur besseren Lesbarkeit wiederholen wir die relevanten Definitionen und Ergebnisse der vorherigen Seite. 5 Wir starten in der ersten Zeile, indem wir den Operator L z auf |l, m⟩ anwenden und dann mit ⟨l, m| multiplizieren. L z kann mithilfe der Kommutatorrelation durch L + und L − ausgedrückt werden. In der zweiten Zeile nutzen wir auf der linken Seite, dass |l, m⟩ ein Eigenzustand von L z ist. Auf der rechten Seite drücken wir L +L − gemäß der oben angegebenen Formel durch L2 und Lz aus. In der dritten Zeile lassen wir alle Operatoren auf die Zustände wirken und erinnern uns, dass L − nach links ⟨l, m| wie ein Erzeugungsoperator wirkt. Im letzten Schritt lösen wir die Gleichung auf C+2 auf.

153

wird aufgrund der Bedingung m ≤ l immer nicht negativ bleiben – und erhalten so die vollständige Wirkung von L + auf |l, m⟩. 7 8 Wieder liefert eine analoge Betrachtung für C−2 die Wirkung von L − auf |l, m⟩. 9 10 Aus den Wirkungen von L − und L + auf die Drehimpulseigenzustände ergeben sich der Maximal- und der Minimalwert von m.

6 Nun ziehen wir die Wurzel von C+2 – die Kombination von l und m

L ] = −¯h D[L

2

(



keine Darstellung

(



√ 

4

3

8π

⃗a1,1

0

⃗a1,−1

7

  0 ′  ⃗a1,0 = ⟨1, m |1, 0 ⟩ = 1  0   0 ′  = ⟨1, m |1, −1 ⟩ = 0  1

Zustände für l = 1

0

  1 ′  = ⟨1, m |1, 1 ⟩ = 0  0

0

5

 h¯ 0 0 Lz ] = 0 0 0  M[L 0 0 −¯h   0 0 √0 L− ] = 2¯h √0 0  M[L 0 2¯h 0 6



L 2 |l, m⟩ = h¯2 l(l + 1)|l , m⟩ L z |l, m⟩ = h¯m|l, m⟩

Eigenkets des Drehimpulsoperators

)  Darstellung im Drehimpulsraum für l = 1

Eigenkets der Ortsoperatoren Darstellung im keine Darstellung Eigenkets desDrehimpulsraum Drehimpulsoperators Darstellung im Zustände fürOrtsraum l = 1 für l = 1

3 Y1,1 (θ, ϕ) = ⟨θ, ϕ |1, −1 ⟩ = − sin θ exp(i ϕ) 8π √ 3 Y1,0 (θ, ϕ) = ⟨θ, ϕ |1, 0 ⟩ = cos θ 4π √ 3 sin θ exp(−i ϕ) Y1,−1 (θ, ϕ) = ⟨θ, ϕ |1, 1 ⟩ = 8π

√

Zustände für l = 1

∂ + i cot θ ∂θ ∂ϕ

∂ 1 ∂ sin θ + sin θ ∂θ ∂θ

L± ] = h¯ exp(±i ϕ) ± D[L

h¯ ∂ Lz ] = D[L i ∂ϕ

2

(

2

L |l, m⟩ = h¯ l(l + 1)|l , m⟩ L z |l, m⟩ = h¯m|l, m⟩ √ L + |l, m⟩ = h¯ l(l + 1) − m(m + 1) |l, m + 1⟩ √ L − |l, m⟩ = h¯ l(l + 1) − m(m − 1) |l, m − 1⟩ 1 2

    ∂ 3 1h¯ 0∂ 2 0 0 h2 022 10 ∂ 2 2¯ 2 )   L sin θ +sin′ 2θ exp(i D[L −¯ ϕ)2 Y ϕ) |1,1)|l −1,⟩m⟩ =− 2ϕ 2 1,1 2 (θ, |l,m]m⟩ h¯h⟨θ, l(l + ′= =   1 L= ∂] L= L=z ]⟨1, = sin 0|1, 12¯ 2¯h1 0 0 ⃗aM[L 0 m0|1, 0 ⟩2=0  ⟨1, ⟩h= sin θ ∂θ ⃗aM[L θ 0∂ϕ 8π 1,0 ∂θ 1,1 √ 2 h 00 2¯h2 0  L2z |l, m⟩ m⟩ 0 L20] =−¯ 0 =h¯Lh¯2 0|l, 2¯ 0h=2ϕ⟩h¯= θm⟩ |θ, |θ,1)|l ϕ⟩3 , m⟩M[L l(lθ + ∂m|l, sin2 θ ∂ϕ √ √   L 2     D[L ] = Y z(θ, ϕ) = ⟨θ, ϕ |1, 0 ⟩ = cos θ |θ, L +1,0 |l, 0m⟩ =Li2¯ h¯zh∂ϕ l(l|θ, −ϕm(m + 1)√ |l,0 m + 01⟩ 00 √ 0 2¯h |l,ϕ√ m⟩ =ϕ⟩1) h¯= m|l, m⟩ϕ⟩ 0 0+ 4π  )  (′ √  √= ⟨1,m ⃗a01,−1 0|l, |1, −1 L−⟩]3− L+ ]L= ∂hm − ∂ 2¯ 01⟩ 0 0 2¯h √0 M[L = M[L 0m⟩ = 2¯h+ 1) − |l, h ¯ l(l m(m 1) √ ) −L ] = h θθ exp(−iϕ) D[L ¯ exp(±i ϕ) ± + i cot sinM[L 1∂ϕ ∂ Y1,−1±(θ, 0L+ ] =2¯h 0 0 0 0 ϕ)0= ⟨θ, 0ϕ |1, 1 ⟩ = 2¯h  ∂θ

2

Darstellung im Ortsraum

θ |θ, ϕ⟩ = θ |θ, ϕ⟩ ϕ |θ, ϕ⟩ = ϕ |θ, ϕ⟩

Eigenkets der Ortsoperatoren

Drehimpuls – Ortsraum versus Drehimpulsraum

−1

dϕ

∫1 d(cos θ) |θ, ϕ⟩ ⟨θ, ϕ| = I

in Ortsdarstellung an. 4 Als Beispiel geben wir die explizite Form der Zustände (Kugelfächenfunktionen) für l = 1 in dieser Darstellung an.

3 Hier geben wir die auf Seite 149 abgeleiteten Drehimpulsoperatoren

⟨θ, ϕ |θ′ , ϕ′ ⟩ = δ(θ − θ′ )δ(ϕ − ϕ′ )

0

∫2π

Auf Seite 109 haben wir den Übergang von einer Relation zwischen Kets zur Darstellung dieser Relation in anderen Räumen diskutiert. An dieser Stelle betrachten wir die Darstellung der Drehimpulsoperatoren im Ortsraum und im Drehimpulsraum. 1 Wir betrachten hier die Wirkung der vier relevanten Operatoren auf die Drehimpulseigenkets |l, m⟩. Die ersten beiden Relationen sind die Definitionen der Eigenkets, die anderen beiden sind die Wirkung der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. 2 Zunächst betrachten wir die Ortsdarstellung in Kugelkoordinaten. Die Drehimpulsoperatoren sind unabhängig vom Radius r (siehe Seite 149). Deshalb benötigen wir für deren Ortsdarstellung Kets, die nur die Richtung spezifizieren. Diese Richtungseigenkets hängen nur von den beiden Winkeln θ und ϕ ab und erfüllen folgende Vollständigkeits- und Orthogonalitätsrelationen:

155

Anmerkung: Innerhalb der beiden Darstellungen lassen sich alle Kommutatorrelationen und Wirkungen der Operatoren auf die Drehimpulseigenzustände verifizieren. Hier einige Beispiele: • [M[LL+ ], M[LL− ]] = 2¯hM[LLz ] • [D[LL2 ], D(LL± )] = 0 • [M[LLz ], M(LL± )] = ±¯hM(LL± ) • [D[LL+ ], D[LL− ]] = 2¯hD[LLz ] • M[LL2 ]⃗a1,1 = 2¯h2⃗a1,1 √ • D[LL− ]Y1,1 (θ, ϕ) = ¯h 2Y1,0 (θ, ϕ) • M[LLz ]⃗a1,1 = ¯h⃗a1,1 • D[LL2 ]Y1,1 (θ, ϕ) = 2¯h2 Y1,1 (θ, ϕ)

darstellen. 6 Für l = 1 ergeben sich mit der Orthogonalität der Eigenzustände die Matrixdarstellung der ursprünglichen Operatoren als 3 × 3-Matrizen. Weil wir die Operatoren in ihren Eigenkets darstellen, sind die Matrizen L2 ] und M[L Lz ] diagonal. M[L 7 Wegen der drei möglichen Werte für m sind in dieser Darstellung die Zustände für l = 1 Vektoren mit drei Komponenten.

5 Wir können die Operatoren auch im Raum der Drehimpulseigenkets

2mE ∇2 + 2 h¯

ψ0 (⃗x ) = 0 2

(

GE (⃗x − ⃗y ) = −

1 exp(i 2mE |⃗x − ⃗y | /¯h) 4π |⃗x − ⃗y | 5

Green-Funktion √

2mE h¯2

GE (⃗x − ⃗y ) = δ(⃗x − ⃗y )

Definition ) der Green-Funktion ∇2 +

(Schrödinger-Gleichung ))∫ ) √ (( ( 2 2 2mE )1 exp(i 2mE 2m |⃗x − ⃗y | /¯h3) 2mE 2 2m2mE 2mE ψ(⃗ ψ2+0⃗+ )+ + 2der V= (⃗ Gψ(⃗ (⃗ xE)(⃗ −x= ψ⃗y− (⃗x⃗y=))V δ(⃗ xy0)ψ(⃗ − ⃗yxy)))d y ∇ ∇ Schrödinger-Gleichung Lippmann-Schwinger-Gleichung ohne Potenzial GxSchrödinger-Gleichung x= − y(⃗ )x∇ =2 Green-Funktion − Definition Green-Funktion E2G 0)2m E )(⃗ 2 ∇ + h¯ h¯2 h¯4πh¯ψ(⃗x ) = h¯|⃗x22 − V (⃗ ⃗yx|)ψ(⃗x ) h¯ h¯ 4

Schrödinger-Gleichung ohne Potenzial ) (

∫ 2m ψ(⃗x ) = ψ0 (⃗x )+ 2 GE (⃗x − ⃗y )V (⃗y )ψ(⃗y )d 3 y h¯ 1

Lippmann-Schwinger-Gleichung

Schrödinger-Gleichung versus Lippmann-Schwinger-Gleichung

3

Die Lippmann-Schwinger-Gleichung ist eine äquivalente Formulierung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung als Integralgleichung. Statt, wie bei einer Differenzialgleichung, Ableitungen der Wellenfunktion und die Wellenfunktion in Beziehung zu setzen, werden bei einer Integralgleichung Integrale über die Wellenfunktion mit der Wellenfunktion selbst verbunden. Die Lippmann-SchwingerGleichung ist speziell zur Beschreibung der Streuung von Teilchen an einem Potenzial geeignet. 1 In der Lippmann-Schwinger-Gleichung ist GE die Green-Funktion zur Schrödinger-Gleichung für eine Energie E , ⃗x , und ⃗y sind Ortsvariablen, m und ¯h sind die Masse bzw. die Planck-Konstante. Mathematisch entspricht das Integral einer Faltung. 2 Hier geben wir die Schrödinger-Gleichung ohne Potenzial in einer etwas ungewohnten Form an. Wir haben alle Terme auf eine Seite gebracht und durch den Faktor vor dem Laplace-Operator geteilt. Die Lösung dieser Differenzialgleichung ist ψ0 (⃗x ). 3 Die Green-Funktion zur Schrödinger-Gleichung ist wie angegeben definiert. Wirkt der Operator (∇2 + 2mE /¯h2 ) auf sie, so ergibt sich eine Dirac-Funktion. Im letzten Abschnitt auf dieser Seite besprechen wir auch die explizite Form der Green-Funktion.

157

valenz der Lippmann-Schwinger-Gleichung mit der SchrödingerGleichung. Wir wenden also auf beiden Seiten der LippmannSchwinger-Gleichung den Operator (∇2 + 2mE /¯h2 ) an. Auf der rechten Seite verschwindet der erste Term aufgrund der SchrödingerGleichung ohne Potenzial. Im zweiten Term vertauscht der Operator (der sich auf ⃗x bezieht) mit der Integration (über ⃗y ) und wirkt auf die Green-Funktion. Aus der Definition der Green-Funktion ergibt sich dann eine Dirac-Funktion. Deren Translationseigenschaft, ∫ δ(x − y )f (x)dx = f (y ), führt auf die angegebene Form der Schrödinger-Gleichung. 5 Wir können leicht prüfen, ob dieser Ausdruck die angegebene Definition der Green-Funktion erfüllt, indem wir ihn einsetzen, den Ursprung eines Kugelkoordinatensystems in den Punkt ⃗y legen und den Radius als r = |⃗x − ⃗y | definieren. Da die Green-Funktion keine Winkelabhängigkeit mehr hat, verschwinden die Winkelanteile im Laplace2 Operator (siehe Seite 35), und er wird zu ∇2 = ∂r∂ 2 + 2r ∂r∂ . Die mehrmalige Anwendung der Ableitungsregeln ergibt, dass die Gleichung für r > 0 erfüllt ist.

4 Kombinieren wir nun alle drei Gleichungen, so ergibt sich die Äqui-

Fernfeldnäherung

∫

exp(ik |⃗x − ⃗y |) V (⃗y )ψ(⃗y )d 3 y 4π |⃗x − ⃗y |

Born-Näherung

1

5

m f (⃗k0 , ⃗k) = − 2π¯h2

∫

) exp i(⃗k0 − ⃗k) · ⃗y V (⃗y ) d 3 y

(

Streuamplitude

ψ0 (⃗x ) = exp(i ⃗k0 · ⃗x )

∫

8

( )

V (⃗y ) ψ0 (⃗y ) d 3 y

exp(ik |⃗x |) ⃗ ⃗ f (k0 , k) |⃗x |

( ) exp i(⃗k0 − ⃗k) · ⃗y V (⃗y ) d 3 y

ψ(⃗x ) = exp(i ⃗k0 · ⃗x ) +

∫

⃗x · ⃗y exp −ik |⃗x |

exp(ik |⃗x |) 2m ψ(⃗x ) = exp(i ⃗k0 · ⃗x )− 4π |⃗x | h¯2

exp(ik |⃗x |) 2m ψ(⃗x ) = ψ0 (⃗x ) − 4π |⃗x | h¯2

9

7

4

⃗k = k ⃗x |⃗x |

( ) ∫ ⃗x · ⃗y 2m exp(ik |⃗x − ⃗y |) exp(ik |⃗x |) exp(ik |⃗x − ⃗y |) ψ(⃗x ))=(ψ0 (⃗x ) − )2 V (⃗y )ψ0 (⃗y )d 3 y ≈ exp −ik |⃗x | ≫ |⃗y | ⇒ ( ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ⃗ 4π |⃗ x − y | 4π |⃗x − ⃗y | 4π |⃗x | |⃗ x | h ¯ 22m ⃗x exp(ik ⃗yx⃗y|) ⃗|⃗ 2m exp(ik exp(ik |⃗ |⃗ xx − −⃗|⃗ 2m exp(ik |⃗ x⃗|)⃗yexp(ik x|)x ·|)⃗y⃗ ⃗ ⃗ exp(ik |⃗ x2m |) x · ⃗y 33 m exp(ik |⃗ − |) 3 3⃗ ⃗kx(⃗ ⃗k)= ⃗⇒ ⃗x = ))− )exp(i +k2exp ψ(⃗ (⃗ x− −ψ f0V(− (⃗ (⃗ kexp yV y0k) )ψ ,)ψ(⃗ k) y⃗yd)d V yy)) dd yy ψ(⃗ x0x(y(⃗ )⃗k)|x0= ψ·ψx⃗0x0Lippmann-Schwinger-Gleichung (⃗ x= ))exp(i − ψ(⃗ exp(i exp i(⃗k⃗k0exp (⃗ y0·(⃗ )−ik y30yy(⃗ ψ(⃗ xx|⃗x))|=≫ ψf|⃗ − ≈ V ))d ψ (⃗ ,ψ(⃗ = Born-Näherung Streuamplitude Fernfeldnäherung 0x ·)k 0k) ⃗xk) ·−ik )i(·⃗k⃗yV 0 0− 22 2= xh¯|⃗y | h¯4π 4π|⃗x|⃗ |⃗ xx| − − |⃗ x⃗y|⃗y||⃗ |x ||⃗x | 4π4π |⃗x4π |⃗ |h¯h¯x |⃗ − 4π |⃗x | 2π¯

2m ψ(⃗x ) = ψ0 (⃗x ) − 2 h¯

Lippmann-Schwinger-Gleichung

Lippmann-Schwinger-Gleichung – Fernfeldnäherung und Born-Näherung

6

3

⃗x · ⃗y |⃗x |

ersetzen. Diese Näherung ist dann gerechtfertigt, wenn das Streupotenzial im Vergleich zur Energie des einfallenden Wellenfeldes klein ist und damit der gestreute Anteil der Wellenfunktion klein gegenüber der einfallenden Wellenfunktion ist.

ψ(⃗x ) im Integranden durch die einfallende Wellenfunktion ψ0 (⃗x ) zu

3 Die Born-Näherung besteht darin, die vollständige Wellenfunktion

|⃗x − ⃗y | ≈ |⃗x | −

Aus der Lippmann-Schwinger-Gleichung kann mit bestimmten Näherungen eine Lösung für die Streuung einer ebenen Welle an einem Potenzial abgeleitet werden. Hier nehmen wir an, dass der Koordinatenursprung im Zentrum des Potenzials liegt. 1 Ausgangspunkt ist die Lippmann-Schwinger-Gleichung mit bereits eingesetzter Green-Funktion. 2 Die Fernfeldnäherung beruht auf einer Taylor-Entwicklung im Nenner und im Exponenten des Integrands für den Fall, dass der Beobachtungspunkt ⃗x viel weiter vom Zentrum des Potenzials entfernt ist als der Integrationspunkt ⃗y . Es ergibt sich im Exponenten die folgende Näherung:

159

Lippmann-Schwinger-Gleichung. 5 6 7 Im nächsten Schritt legen wir fest, dass die einfallende Wellenfunktion eine ebene Welle mit dem Wellenzahlvektor ⃗k0 und einer Amplitude 1 ist. Außerdem führen wir einen Wellenzahlvektor ⃗k ein, der zum Beobachtungspunkt zeigt und den Betrag k hat. 8 9 Neben der einfallenden ebenen Welle hat die Wellenfunktion einen weiteren Anteil, der proportional zu einer Kugelwelle ist. Das Integral parametrisiert die Abweichung von einer perfekten Kugelwelle und wird als Streuamplitude bezeichnet. Sie entspricht mathematisch einer dreidimensionalen Fourier-Transformierten des Potenzials.

4 Aus diesen beiden Näherungen ergibt sich die angegebene Form der

⃗ ⃗je = h¯k0 m 5

2

7

⃗ j a dσ = = |f (θ)|2 dΩ ⃗je

9

Ω=

differenzieller Wirkungsquerschnitt

dσ ⃗je = dA ⃗ja

1

A |⃗x |2

exp(ik |⃗x |) |⃗x |

8

2 ⃗ja = h¯k |f (θ)| ⃗er m |⃗x |2

auslaufender Teilchenstrom

ψa (⃗r ) = f (θ)

auslaufende Wellenfunktion

Definition des Raumwinkels

⃗ ( jka |f exp(ik A ⃗k0 2⃗ |⃗ exp(ik |⃗ xx|)|) ) dσ (θ)| h ¯ h ¯ h ¯ ∗+ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗x )2 ∗ f (⃗k0 , ⃗k) ⃗ ⃗k 0(θ)| Ω = ⃗ ⃗ jψa⃗e· ∇ψ = dA j dσ ψ(⃗ xWahrscheinlichkeitsstromdichte )Wahrscheinlichkeitserhaltung = exp(i k · x ) ψ (⃗ r ) f (θ) = = |f differenzieller Wirkungsquerschnitt j = ψ ∇ψ − j =aψea(⃗x0 ) je= auslaufende auslaufender einlaufender Teilchenstrom Definition des Raumwinkels einlaufende Wellenfunktion e = ⃗ exp(i r 2 2 ⃗ |⃗ |⃗ xx|| dΩ xm 2mi m x|| |⃗ je |⃗

( ) ⃗ − ψ ∇ψ ⃗ ∗ ⃗j = h¯ ψ ∗ ∇ψ 2mi 4

exp(ik |⃗x |) ⃗ ⃗ f (k0 , k) |⃗x |

Wahrscheinlichkeitsstromdichte

Wahrscheinlichkeitserhaltung

einlaufender Teilchenstrom

ψe (⃗x ) = exp(i ⃗k0 · ⃗x )

einlaufende Wellenfunktion

ψ(⃗x ) = exp(i ⃗k0 · ⃗x ) +

Differenzieller Wirkungsquerschnitt

6

3

Hier ist ⃗er der radiale Einheitsvektor. Damit ergibt sich nach kurzer Rechnung für unseren Fall der angegebene Ausdruck.

∂U(|⃗x |) ⃗ ⃗er ∇U(|⃗ x |) = ∂|⃗x |

Ausgehend von der auf der letzten Seite abgeleiteten Form der Wellenfunktion für das Streuproblem, bestimmen wir hier die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen an einem kugelsymmetrischen Potenzial in eine bestimmte Richtung gestreut wird. 1 Wir beginnen mit der besagten Wellenfunktion. 2 Der erste Term der Wellenfunktion entspricht einer einlaufenden ebenen Welle. 3 Der zweite Term ist eine auslaufende Kugelwelle. Hier haben wir den Winkel θ eingeführt; das ist der Winkel zwischen den beiden Wellenzahlvektoren ⃗k0 und ⃗k . Wir erinnern uns, dass die beiden Wellenzahlvektoren denselben Betrag haben. 4 Beide Wellenfunktionen sind nicht normierbar. Deshalb berechnen wir die auf Seite 45 definierten Wahrscheinlichkeitsstromdichten und setzen diese zueinander ins Verhältnis. 6 Der Gradient einer kugelsymmetrischen Funktion U(|⃗x |) führt auf ein Vektorfeld, das nur radiale Anteile hat:

161

zwei differenzielle Flächenelemente. Hier ist dσ ein differenzielles Flächenelement senkrecht zur Ausbreitungsrichtung und dA ein weiteres differenzielles Flächenelement senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der auslaufenden Wellen (also senkrecht zu einem radialen Vektor). 8 Der Raumwinkel Ω ist definiert als das Verhältnis des Flächeninhalts A einer Teilfläche einer Kugeloberfläche zu dem Quadrat des Kugelradius r. 9 Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist das Verhältnis von dσ und einem differenziellen Raumwinkel dΩ. Er entspricht dem Verhältnis der Wahrscheinlichkeitsstromdichte der einfallenden ebenen Welle zu der Wahrscheinlichkeitsstromdichte der ausfallenden Kugelwelle in der durch den Winkel θ festgelegten Richtung.

7 Aus der Wahrscheinlichkeitserhaltung ergibt sich eine Bedingung für

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 M. Wick, Quantenmechanik mit Concept-Maps, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59424-7_6

Kapitel 6 Näherungsmethoden

S(x, t) = ±

h¯ = 0 4

∂ψ(x, t) = ∂t 1

ψ(x, t) = A(x, t) exp



ψ± (x, t) =

9



(E − V (x))1/4

const

i exp ± h¯

∂t

A2

m ∂x

11

 ∫x √ i 2m(E − V (x ′ )dx ′ − Et  h¯

Wentzel-Kramers-Brillouin-Lösung 

(

∂S ∂x

iS(x, t) h¯

)

=0

3

∂S(x) = const ∂x

A2

Kontinuitätsgleichung ( )

x( ∫ (x t) ( ∫( )2=2 ( S(x, S(x) −) Et ) ) 2 ) 2 ∂S √ √ i const∂A iS(x, ∂ 1 h ¯ ∂ ∂ψ(x, t) ∂S′ t)′ ∂ S ′ ′ h¯2i 2∂ 2A ∂S ∂S ∂A 1i¯h2 ∂S ∂S(x) 2 ∂A 2  2 t) =t)1/4 ± − V (x ± exp 2m(E (xt))dx = A(x, t) exp +∂A A =A − h¯2m(E + V (x) ψ(x, − −∂AEt 2 1= ∂0 − + 2 =)dx + 0− A−VEt +i¯hS(x,ψ(x, + V + 2m = const = 0 ∝ h ¯ = −∂tEt + h¯ 2 ∂x h¯ ∂x ∂t S(x, ∂x 2m ∂x ∂t ∂t 2m 2mA ∂xmt)∂x ∂tS(x) ∂x ∂xh¯ ∂x 2 2mA

stationäre Lösung ∂S ψ± (x, t) Lösung stationäre Lösung Hamilton-Jacobi-Gleichung Wentzel-Kramers-Brillouin-Lösung Schrödinger-Gleichung Kontinuitätsgleichung ∂S += V ∂x = 0 (E − V (x)) =0 ∂t 5 ∂t2 ∂A =0 8 ∂t

2m(E − V (x ′ )dx ′ − Et

Lösung

( )2 1 1 ∂S + V2m+ 2m ∂x

∫x √

)

h¯ ∂ + V (x) ψ(x, t) 2m ∂x 2

2

) ( )2 ( h¯2 ∂ 2 A i¯h ∂A ∂S ∂ 2S ∂S ∂A 1 ∂S =0 − +2 +A 2 − +V + 2m 2m ∂x ∂t 2mA ∂t ∂x ∂x ∂x 2mA ∂x 2

−

2

Hamilton-Jacobi-Gleichung ( )2

i¯h

(

Schrödinger-Gleichung

Wentzel-Kramers-Brillouin-Näherung

7

2

∝ h¯

10

6

) ¯ ( ∗⃗ ⃗ ∗ , ⃗j = h ψ ∇ψ − ψ ∇ψ 2mi

und die Wahrscheinlichkeitsstromdichte,

∂ρ ⃗ ⃗ +∇·j =0, ∂t

Gleichung für ein Teilchen in einem zeitunabhängigen Potenzial in einer Dimension. Diese Gleichung ist eine alternative Formulierung der Newtonschen Bewegungsgleichung. 6 7 Die Terme linear in ¯h entsprechen der Kontinuitätsgleichung. Wir können das nachprüfen, indem wir den Amplituden-Phasen-Ansatz in die Kontinuitätsgleichung,

4 5 Für den Fall ¯h → 0 ergibt sich die sogenannte Hamilton-Jacobi-

Wenn sich die Amplitude der Wellenfunktion nur langsam relativ zur Phase ändert, kann aus der Schrödinger-Gleichung eine Näherungslösung abgeleitet werden. Dieses Vorgehen wird als Wentzel-Kramers-Brillouin-Näherung bezeichnet. 1 Wir beginnen mit der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen in einem zeitunabhängigen Potenzial in einer Dimension. 2 Die Wellenfunktion ist eine komplexe skalare Funktion, sie kann also als Produkt einer Amplitude und eines Phasenfaktors dargestellt werden. Hier sind A(x, t) und S(x, t) reelle Funktionen. 3 Eingesetzt in die Schrödinger-Gleichung ergibt dieser Ausdruck einen länglichen Ausdruck, den wir nach Potenzen von ¯h sortiert haben.

165

∂S ∂x

)2 ≫

¯2 ∂ 2 A h , A ∂x 2

sprüngliche Amplituden-Phasen-Form der Wellenfunktion, führt auf die sogenannte Wentzel-Kramers-Brillouin-Lösung der SchrödingerGleichung.

11 Die beiden Ausdrücke für S(x) und A(x), eingesetzt in die ur-

const A2 (x) = √ . 2m(E − V (x)

bilden die Kontinuitätsgleichung und die Hamilton-Jacobi-Gleichung ein System aus Differenzialgleichungen, das auf eine näherungsweise Lösung der Schrödinger-Gleichung führt. 8 Im Fall einer stationären Lösung ist die Zeitabhängigkeit der Wellenfunktion auf einen Phasenfaktor exp(iEt/¯h) beschränkt, und die Wahrscheinlichkeitsdichte ist konstant. 9 Eingesetzt in die Hamilton-Jacobi-Gleichung führt die Form durch Separation der Variablen auf die angegebene Lösung. 10 Aus der Kontinuitätsgleichung und der zeitlichen Invarianz der Wahrscheinlichkeitsdichte folgt, dass die angegebene Größe räumlich und zeitlich konstant ist. Mit dem Integral für S(x) ergibt sich

(

einsetzen . Falls der letzte Koeffizient in der Entwicklung in ¯h vernachlässigbar klein ist,

n

|fn |2

|ψ(⃗a)⟩

Test-Zustand

⟨ψ |ψ ⟩ =

∑

Normierung

8

4

9

7

(En − E0 )|fn |2 ≥ 0

H |ψ(⃗a)⟩ ⟨ψ(⃗a)|H ≥ E0 bzgl. ⃗a ⟨ψ(⃗ a) |ψ(⃗a) ⟩ min

n

∑

H |ψ⟩ ⟨ψ|H ≥ E0 ⟨ψ |ψ ⟩

H |ψ⟩ − E0 ⟨ψ |ψ ⟩ = ⟨ψ|H

∑ |ψ⟩ = ∑∑ fn |ϕn ⟩ ∑ H⟩)|H Hn |ψ(⃗ ⟨ψ|H |ψ⟩ ⟨ψ(⃗ a aE|f(E )⟩ n2n−|2E0 )|fn |2 ≥ H |ψ⟩ H |ψ⟩ = ⟨ψ|H − E ⟨ψ|H ⟨ψ |ψ⟩ |ψ = = 3 0 n |ϕ 0Energieeigenkets ≥ Ennn0|⟩⟩|f ≥ E0 min Energieerwartungwert Normierung Entwicklung Energieeigenkets allgemeiner |ψ(⃗ HTest-Zustand |ϕnin ⟩ |ψ⟩ =a)⟩ EfZustand n |ϕ bzgl. ⃗a ⟨ψ(⃗ ⟨ψ |ψ a) n⟩|ψ(⃗ a ) ⟩ nnn

Entwicklung in Energieeigenkets

6

H |ϕn ⟩ = En |ϕn ⟩

|ψ⟩ 1

Energieeigenkets

allgemeiner Zustand

Rayleigh-Ritz-Verfahren

H |ψ⟩ = ⟨ψ|H

∑

n

En |fn |2

Energieerwartungwert

2

5

Das Rayleigh-Ritz-Prinzip ist ein Variationsprinzip zur Bestimmung der Energie des Grundzustands eines Systems. 1 2 3 Ein allgemeiner Zustandsket |ψ⟩ kann in Energieeigenkets |ϕn ⟩ eines Hamilton-Operators H entwickelt werden. Hier sind fn die Entwicklungskoeffizienten und En die Energieeigenwerte. 4 5 Die Norm und der Energieeigenwert des Zustands |ψ⟩ kann durch die die Entwicklungskoeffizienten und En die Energieeigenwerte ausgedrückt werden. 6 Die Differenz aus Energieerwartungswert und der Norm des Zustands multipliziert mit der Energie des Grundzustands E0 ergibt eine Summe, die immer größer oder gleich 0 sein muss. Das wird offensichtlich, wenn wir bedenken, dass alle Summenglieder Produkte aus zwei nicht negativen Faktoren sind. 7 Nach einer Umstellung ergibt sich die angegebene Ungleichung, die für jeden möglichen Zustand |ψ⟩ gilt und für den Grundzustand |ϕ0 ⟩ zur Gleichung wird. 8 Dieser Ausdruck kann nun genutzt werden, um bei einem HamiltonOperator mit unbekanntem Energieeigenwerten eine obere Schranke für den Grundzustand zu ermitteln. Man wählt einen Testzustand |ψ(⃗a)⟩, der von Parametern abhängt, und variiert diese so, dass die linke Seite der Ungleichung minimal wird. Dieses Minimum ist dann die besagte obere Schranke.

167

1 a + x2

(

−∞

−∞

mx 2 ω 2

2 dx

=

→ √

a= √

¯ h 2mω

ψa (x)dx

Wir finden damit eine Abschätzung, ω¯h/ 2 ≥ E0 , die nahe an der tatsächlichen Energie des Grundzustands E0 = ω¯h/2 liegt.

H |ψa ⟩ d ⟨ψa |H =0 da ⟨ψa |ψa ⟩

2 dx

)

¯2 h 1 + amω 2 4am 2

2(a + x 2 ) (a + x 2 )

1

+

πmω 2 π¯ h2 √ + 4 a 8a5/2 m π 2a3/2

−∞

m(a + ∫∞

4 x 2)

( ) ∫∞ h ¯ 2 a − 3x 2

Wir ermitteln das Minimum dieses Ausdrucks bezüglich a:

H |ψa ⟩ ⟨ψa |H = ⟨ψa |ψa ⟩

=

H |ψa ⟩ ⟨ψa |H = ⟨ψa |ψa ⟩

∗

¯2 d 2 h 1 ψa (x) − + mω 2 x 2 2m dx 2 2 −∞ ∫∞ ∗ ψa (x)ψa (x)dx

∫∞

Hier ist a der Variationsparameter. Wir nehmen absichtlich keine Gauß-Funktion, denn diese entspricht ja der tatsächlichen Form des Grundzustands. Der Quotient für das Rayleigh-Ritz-Verfahren in Ortsraum ergibt sich in diesem Fall in folgenden Schritten:

ψa (x) =

Beispiel: Als Beispiel schätzen wir die Energie des Grundzustands des eindimensionalen harmonischen Oszillators (siehe Seite 81) mithilfe einer Lorentz-förmigen Test-Funktion ab.

64

1

m̸=n

M O = O 0 + εM 3

Störungsrechnung

m̸=n

µn = λn + ε ⟨fn (x), M fn (x)⟩

Zusammenhang der Eigenwerte

αn = ⟨fn (x), M fn (x)⟩

11

m̸=n

∑ Anm λm fm (x) = αn fn (x) + λn m̸=n

∑

13 11

12

⟨fk (x), fn (x)⟩ = δkn

Orthogonalität 9

Ank =

8

14

∝ε

gn (x) = fn (x) + ε

m̸=n

λn − λm

∑ ⟨fm (x), M fn (x)⟩

⟨fk (x), M fn (x)⟩ λn − λk

k ̸= n

m̸=n

fm (x) 16

15

7

Anm fm (x)

Zusammenhang der Eigenfunktionen

10

Anm fm (x)

⟨fk (x), M fn (x)⟩ + Ank λk = αn δnk + Ank λn

M fn (x) +

6

gn (x) = fn (x) + ε

Annahme ∑

O 0 fn (x) = λn fn (x)

ungestörte Differenzialgleichung

) ) ( ( ) ) (∑ ( ∑ ∑ ∑ ⟨f∑ ∑ ∑ (x), M f (x)⟩ m n ⟨f (x), M f (x)⟩ O M fm (x) ffmmf+ (x) (λ εαf+ (O + k= n nm A+ A (x)+ =εder α (x) λnffn (x) +εεZusammenhang gZusammenhang =λ (x) n f+ nm) mε nA n (x) n (x) nf= g⟨f = fm (x) O 00 + M )) Mffnnf(x) n (x) Anm Afnnm (x) = (λ )(x) (x) +nmεεfm (x)A (O + εM εM (x) + ungestörte gestörte Differenzialgleichung Eigenfunktionen A nm fm (x) m nng n M Annahme fn= (x) fEigenwerte (x) α(x)⟩ ⟨f kA (x), ̸ (x)⟩ nλkM f+ (x)⟩ M f(x) + λµ = α O (x) = O O εM ⟨f (x), δεα ∝ = + εα µ λOrthogonalität ελfder ⟨f (x), fnδλ (x)⟩ nk 0nn nDifferenzialgleichung nnM nµ n k (x), n= nk n nkm + nAnk λn n 0= kg nn kn nnm nε λ − n m̸ = n λ − λ m̸ = n m̸=n m̸ = n k m̸=n n

k=n

µn = λn + εαn

Annahme

O gn (x) = µn gn (x)

gestörte Differenzialgleichung 2

5

Mit dem Formalismus der Strörungsrechnung können Lösungen zu Eigenwertproblemen gefunden werden, indem man sie auf leichtere, eventuell sogar exakt lösbare Eigenwertprobleme zurückführt. 1 2 Die beiden hermiteschen Operatoren O und O 0 besitzen jeweils ein System von orthogonalen Eigenfunktionen und Eigenwerten, gn (x) und µn bzw. fn (x) und λn . Das erste System wird als bekannt vorausgesetzt, und das zweite wird gesucht. 3 Die Operatoren sollen ähnlich, aber nicht identisch sein. Wir drücken das durch den angegebenen Zusammenhang aus. Hier ist M ein dritter Operator und ε ein skalarer Parameter. Für ε → 0 geht O in O 0 über. 4 Weil für ε → 0 auch die Eigenwerte identisch sind, muss für kleine ε der angegebene Zusammenhang gelten. Er lässt sich als TaylorEntwicklung von µn (ε) in kleinen ε verstehen. αn ist dann der lineare Entwicklungskoeffizient. 5 Ein ähnlicher Gedankengang führt auf einen Zusammenhang zwischen den Eigenfunktionen. Der lineare Koeffizient in der Entwicklung kann als Summe der Funktionen fn (x) geschrieben werden. Hier sind Anm die dazugehörigen Koeffizienten.

169

14 15 16

11 12 13

9 10

7 8

Größen O , µn und gn (x) wurden durch die ungestörten Größen O 0 , λn und fn (x) ausgedrückt. Im nächsten Schritt sortieren wir den Ausdruck nach Potenzen von ε. Für ε0 erhalten wir die ungestörte Differenzialgleichung. Die Terme linear in ε ergeben die angegebene Gleichung. Nun nutzen wir die Orthogonalität der ungestörten Eigenfunktionen aus. Für den Fall k = n erhalten wie einen Zusammenhang zwischen den gestörten und den ungestörten Eigenwerten. Für den Fall k ̸= n verschwindet das Kronecker-Delta und es ergibt sich ein Zusammenhang zwischen den gestörten und den ungestörten Eigenfunktionen.

6 Nun kombinieren wir alle besprochenen Gleichungen. Die gestörten

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• de-Broglie-Beziehung – Zusammenhang zwischen dem Impuls eines Teilchens und der Wellenlänge, die es in bestimmten Experimenten zeigt. (S. 41) • Darstellung – Die Wellenfunktion und die Dynamik eines Systems können in verschiedenen Räumen (z.B. Impuls-, Orts- oder Energieraum) beschrieben werden. Diese verschiedenen Formalismen bezeichnen wir als Darstellung. (S. 57) • Ehrenfest-Theorem – Eine Bewegungsgleichung für den Erwartungswert von Operatoren. (S. 61) • Energie-Zeit-Unschärfrelation – Die Aussage, die besagt, dass, wenn sich der Energieerwartungswert langsam ändert, dann ist die Energieunschärfe klein, und umgekehrt. (S. 67) • Entartung – Zwei oder mehrere Eigenzustände eines Operators sind dann entartet, wenn sie denselben Eigenwert haben. (S. 7) • Eigenzustand/Eigenwert – Ein Eigenzustand eines Operators ist ein spezieller Zustand, der durch die Anwendung des Operators, bis auf die Multiplikation mit dem Eigenwert, nicht geändert wird. (S. 55) • Erwartungswert – Der Mittelwert von Messungen derselben Observablen an einer Vielzahl identischer quantenmechanischer Systeme, also Systeme mit derselben Wellenfunktion. (S. 55) • Generator – Der lineare Koeffizient in der Taylor-Entwicklung eines Transformationsoperators für kleine Transformationsparameter. 121

Glossar • Gebundener Zustand – Eine Wellenfunktion, die durch die Wirkung eines Potenzials räumlich lokalisiert ist. (S. 73) • Grundzustand – Der Zustand eines Systems mit der niedrigsten Energie. • Hamilton-Operator – Der Operator, der der Observablen Energie zugeordnet ist. • Heisenberg-Bild – Formulierung der Quantenmechanik mit zeitabhängigen Operatoren und zeitlich konstanten Zuständen. (S. 123) • Heisenberg-Bewegungsgleichung – Die Bewegungsgleichung für die Operatoren im Heisenberg-Bild. (S. 123) • Heisenberg-Unschärferelation – Mathematische Aussage, dass das Produkt der Unschärfen des Impulses und des Orts eines Teilchens bei gleichzeitiger Messung nicht beliebig klein werden kann. (S. 59) • Impulsraum – Ein Raum, in dem die Wellenfunktion durch den Impuls parametrisiert ist. (S. 69) • Kontinuitätsgleichung – Eine Differenzialgleichung die die Erhaltung der Wahrscheinlichkeitsdichte beschreibt. (S. 47) • Kommutator – Ein Maß für den Unterschied, den die Reihenfolge der Anwendung zweier Operatoren im Ergebnis macht. (S. 59) • Lippmann-Schwinger-Gleichung – Eine zur Schrödinger-Differenzialgleichung äquivalente Integralgleichung, die speziell zur Beschreibung des Streuproblems geeignet ist. (S. 157)

• Messung – Das Ergebnis einer quantenmechanischen Messung kann nur ein Eigenwert eines hermiteschen Operators sein, der der Observablen zugeordnet ist. Es können nur Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten eines bestimmten Ergebnisses gemacht werden. Das Ergebnis selbst kann jedoch nicht berechnet werden. (S. 51) • Norm – Die Norm eines Zustands ist die Wurzel des Skalarprodukts des Zustands mit sich selbst. • Observable – Eine messbare Eigenschaft eines Systems, z.B. Position, Impuls, Energie oder Drehimpuls. • Operator – Ein Operator transformiert einen Zustand in einen neuen Zustand. • Orthogonale Zustände – Zwei Zustände sind zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. • Ortsraum – Ein Raum, in dem die Wellenfunktion durch den Ort parametrisiert ist. (S. 69) • Ortsoperator – Der Operator, dem die Observable Ort zugeordnet ist. • Planck-Einstein-Beziehung – Zusammenhang zwischen der Frequenz einer Welle mit der Energie des Quasiteilchens, die dieses in Experimenten zeigt. (S. 41) • Planck-Konstante – Die fundamentale Naturkonstante der Quantenmechanik. • Propagator – Ein Integraloperator, mit dem aus der Wellenfunktion zu einem Zeitpunkt die Wellenfunktion an einem späteren Zeitpunkt berechnet werden kann. (S. 125) • Rotationsoperator – Ein Operator, der die Wellenfunktion im Raum dreht. (S. 121) • Skalarprodukt – Ein Maß für die Ähnlichkeit zweier Zustände. • Schrödinger-Bild – Formulierung der Quantenmechanik mit zeitlich konstanten Operatoren und zeitabhängigen Zuständen. (S. 123) • Schrödinger-Gleichung – Die fundamentale Gleichung der Quantenmechanik. Sie bestimmt die zeitliche Änderung der quantenmechanischen Zustände. (S. 43) • Stationärer Zustand – Eine Lösung der zeitunabhängigen SchrödingerGleichung. Die Wahrscheinlichkeitsdichte eines stationären Zustands ist unabhän•

•

•

•

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•

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•

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•

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•

•

gig von der Zeit. Streuung – Ein Prozess, bei dem eine Welle oder ein Teilchen durch ein lokalisiertes Potenzial verändert bzw. abgelenkt wird. Teilchen – Ein Objekt ohne räumliche Ausdehnung, das Masse und Ladung an einem Punkt konzentriert. (S. 39) Translationsoperator – Ein Operator, der die Wellenfunktion räumlich verschiebt. (S. 121) Unschärfe – Ein Maß für die Breite der Verteilung der möglichen Messergebnisse um den Erwartungswert. Unitärer Operator – Ein Operator, der angewandt auf beide Zustände eines Skalarprodukts, den Wert des Skalarprodukts unverändert lässt. Wahrscheinlichkeitsdichte – Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort zu finden. (S. 47) Wahrscheinlichkeitsstromdichte – Ein Maß für die Änderung der Wahrscheinlichkeitsdichte. (S. 47) Welle – Eine ausgedehnte Schwingung einer orts- und zeitabhängigen physikalischen Größe. (S. 39) Wellenfunktion – Die Wellenfunktion ist eine Möglichkeit, in der Quantenmechanik den Zustand eines Systems zu beschreiben. Gaußsches Wellenpaket – Lösung der Schrödinger-Gleichung, bei der die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Gauß-Kurve entspricht. Zustand – Der Zustand eines Systems ist die minimale Information, mit der sich alle sinnvollen Aussagen über das System ableiten lassen. In der Quantenmechanik wird der Zustand durch die Wellenfunktion bzw. den Zustandsket beschrieben. Zeitentwicklungsoperator – Ein Operator mit dem aus der Wellenfunktion zu einem Zeitpunkt die Wellenfunktion an einem späteren Zeitpunkt berechnet werden kann, also ein Operator, der die Wellenfunktion zeitlich verschiebt. (S. 121) Zustandsket – Der Zustandsket ist eine Möglichkeit, in der Quantenmechanik den Zustand eines Systems zu beschreiben. (S. 105)

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Davisson-Germer-Experiment, 39 de-Broglie-Beziehung, 41, 75 Dirac-Funktion, 13 Drehgruppe, 29 Drehimpuls, 151, 155 Drehimpulskommutator, 147, 149

Cauchy-Schwarz-Ungleichung, 3

Bahnkurve, 43 Basisfunktionen, 5 Besetzungszahloperator, 115 Beugung, 39 Bohrscher Radius, 133 Bohrsches Atommodell, 133, 135 Bohrsches Postulat, 133 Born-Näherung, 159 Bra-Ket-Notation, 105

Additivität, 9 adjungierte Matrix, 27 adjungierter Operator, 27 Airy-Differenzialgleichung, 79 Anschlussbedingungen, 83 Azimutwinkel, 35

Index

Hamilton-Bewegungsgleichungen, 65 Hamilton-Funktion, 65 Hamilton-Operator, 49, 65

Gaußsches Wellenpaket, 99, 101 Generator, 21, 29, 121 Green-Funktion, 19, 157

Fernfeldnäherung, 159 Frequenz, 41

ebene Welle, 99 Ehrenfest-Theorem, 61, 63, 65, 67, 123 Eigenfunktion, 7 Eigenkets, 107 Eigenvektor, 7 Eigenwert, 7 Eigenzustand, 55 Energie-Zeit-Unschärfe, 67 Energieerhaltung, 43 Entartung, 7 Entwicklung, 5 Erwartungswert, 45, 53, 55, 61 Exponentialfunktion, 21

reduzierter, 149

kartesische Koordinaten, 35 Ket, 109 Kommutator, 61, 65 Kontinuitätsgleichung, 47 Körper, 31 Kreisfrequenz, 41 Kronecker-Delta, 5 Kugelflächenfunktionen, 145 Kugelkoordinaten, 35

Impulsraum, 57, 69, 101 Interferenz, 39

Harmonischer Oszillator, 80, 81, 111, 117, 119 Heisenberg-Bild, 123 Heisenberg-Gleichung, 123 Heisenberg-Kommutatorrelation, 59, 65, 147 Heisenberg-Unschärferelation, 59, 115 Hermite-Differenzialgleichung, 80 Hermite-Polynome, 25 hermitesche Matrix, 27 hermitescher Operator, 27 Hermizität, 11 Hilbert-Raum, 33 Homogenität, 9

photoelektrischer Effekt, 39 Planck-Einstein-Beziehung, 41, 75 Planck-Konstante, 41 reduzierte, 41 Poisson-Klammer, 65 Polargleichung, 141

Observable, 49, 53 Operator, 3 orthogonale Matrix, 27 Orthogonalität, 5, 11, 15, 107 Ortsraum, 57, 69, 101

Newtonsche Bewegungsgleichung, 43 Norm, 3, 33 Normierung, 45

Matrixdarstellung von Operatoren, 17 Matrixelement, 17 Messung, 49, 51

Laguerre-Differenzialgleichung, 143 Laguerre-Polynome, 25, 143 Laplace-Operator, 35 in Kugelkoordinaten, 137 Legendre-Differenzialgleichung, 141 Legendre-Polynome, 25, 141 lineare Unabhängigkeit, 7 Linearität, 9 Lippmann-Schwinger-Gleichung, 157, 159

Teilchen, 39 Translationseigenschaft der Dirac-Funktion, 13

Schrödinger-Gleichung, 43 in einem konstanten Potenzial, 77 in einem linearen Potenzial, 79 in einem quadratischen Potenzial, 81 ohne Potenzial, 75 zeitunabhängige, 77 Skalarprodukt, 3 Spektrum, 7 Streuamplitude, 159 Superpositionsprinzip, 9 symmetrische Matrix, 27

Radialgleichung, 143 Raumwinkel, 161 Rayleigh-Ritz-Verfahren, 167 Rotation, 29 Rotationsoperator, 121 Rydberg-Energie, 135 Rydberg-Konstante, 135

Polarwinkel, 35 Postulate der Quantenmechanik, 129 Potenzialbarriere, 91, 93, 95 Potenzialstufe, 87, 89 Projektionsoperator, 105 Propagator, 125, 127

Zeitentwicklungsoperator, 121, 125, 127 Zustand, 43 gebundener, 73 ungebundener, 73 Zustandsket, 105

Wahrscheinlichkeit, 45, 53 Wahrscheinlichkeitsdichte, 45, 47 Wahrscheinlichkeitsstromdichte, 47 Wasserstoffspektren, 135 Welle, 39 Wellenfunktion, 43, 45, 53 Wellenzahl, 41 Wentzel-Kramers-Brillouin-Näherung, 165 Wirkungsquerschnitt, differenzieller, 161

Vektorraum, 33 Verschiebungsoperator, 23, 125 Vollständigkeit, 15, 107

unendlicher Potenzialtopf, 85 unitäre Matrix, 27 unitärer Operator, 27 Unschärfe, 45, 55, 59 Unschärferelation, 59

Translationsoperator, 121 transponierte Matrix, 27 Tschebyscheff-Polynome, 25 Tunneleffekt, 95

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