Quantenmechanik: Band 1 Quantenmechanik [2nd rev. ed.] 9783110854046, 9783110114522

Table of contents :
Vorwort zur deutschsprachigen Ausgabe
Inhaltsübersicht zu Band 1 und Band 2
Inhalt
Erster Teil Der Formalismus und seine Deutung
1 Die Ursprünge der Quantentheorie Einleitung
1.1 Das Ende der klassischen Periode
1.1.1 Die klassische theoretische Physik
1.1.2 Der Fortschritt in der Kenntnis der mikroskopischen Vorgänge und das Auftreten der Quanten in der Physik
1.2 Lichtquanten oder Photonen
1.2.1 Der photoelektrische Effekt
1.2.2 Der Compton-Effekt
1.2.3 Lichtquanten und Interferenzerscheinungen
1.2.4 Schlußfolgerungen
1.3 Die Quantisierung bei materiellen Systemen
1.3.1 Atomspektroskopie und Schwierigkeiten des klassischen Rutherford-Modells
1.3.2 Quantisierung der Energieniveaus der Atome
1.3.3 Andere Quantisierungsbeispiele: Richtungsquantelung
1.4 Korrespondenzprinzip und ältere Quantentheorie
1.4.1 Mängel der klassischen Korpuskulartheorie
1.4.2 Das Korrespondenzprinzip
1.4.3 Anwendung des Korrespondenzprinzips auf die Berechnung der Rydberg-Konstante
1.4.4 Lagrange- und Hamiltonform der Gleichungen der klassischen Mechanik
1.4.5 Die Quantisierungsregeln von Bohr-Sommerfeld
1.4.6 Erfolge und Grenzen der älteren Quantentheorie
1.4.7 Schlußfolgerungen
Aufgaben
2 Materiewellen und Schrödinger-Gleichung
Historischer Abriß und allgemeine Übersicht über die folgenden Kapitel
2.1 Materiewellen
2.1.1 Einleitung
2.1.2 Freies Wellenpaket, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
2.1.3 Wellenpaket in einem langsam veränderlichen Feld
2.1.4 Quantisierung der Energieniveaus von Atomen
2.1.5 Beugung von Materiewellen
2.1.6 Korpuskularstruktur der Materie
2.1.7 Universeller Charakter des Welle-Teilchen-Dualismus
2.2 Die Schrödinger-Gleichung
2.2.1 Erhaltungssatz für die Anzahl materieller Teilchen
2.2.2 Notwendigkeit einer Wellengleichung und Bedingungen für diese Gleichung
2.2.3 Der Begriff des Operators
2.2.4 Wellengleichung für ein freies Teilchen
2.2.5 Teilchen in einem skalaren Potential
2.2.6 Geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld
2.2.7 Allgemeine Regel für die Aufstellung der Schrödinger-Gleichung
2.3 Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
2.3.1 Stationäre Lösungen
2.3.2 Allgemeine Eigenschaften der Gleichung. Art des Energiespektrums
Aufgaben
3 Eindimensionale Quantensysteme
Einleitung
3.1 Stückweise konstante Potentiale
3.1.1 Allgemeines
3.1.2 Potentialstufe, Reflexion und Transmission von Wellen
3.1.3 Unendlich hohe Potentialstufe
3.1.4 Rechteckiger, unendlich tiefer Potentialtopf. Diskretes Spektrum
3.1.5 Endlich tiefer, rechteckiger Potentialtopf, Resonanzen
3.1.6 Durchgang durch einen rechteckigen Potentialwall, Tunneleffekt
3.2 Allgemeine Eigenschaften der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung
3.2.1 Eigenschaft der Wronski-Determinante
3.2.2 Asymptotisches Verhalten der Lösungen
3.2.3 Das Eigenwertspektrum
3.2.4 Ungebundene Zustände: Reflexion und Transmission von Wellen
3.2.5 Knotenzahl gebundener Zustände
3.2.6 Orthogonalitätsrelationen
3.2.7 Bemerkung über die Parität
Aufgaben
4 Statistische Deutung des Welle-Teilchen-Dualismus und Unschärferelationen
Einleitung
4.1 Statistische Deutung der Wellenfunktionen in der Wellenmechanik
4.1.1 Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse von Orts- und Impulsmessungen
4.1.2 Erhaltung der Norm
4.1.3 Der Begriff des Stroms
4.1.4 Erwartungswerte von Funktionen von r oder p
4.1.5 Erweiterung auf Mehrteilchensysteme
4.2 Die Heisenbergschen Unschärferelationen
4.2.1 Ort-Impuls-Unschärferelationen für ein Teilchen
4.2.2 Strenge Formulierung der Ort-Impuls-Unschärferelation
4.2.3 Verallgemeinerung: Unschärferelationen zwischen kanonisch konjugierten (kartesischen) Variablen
4.2.4 Energie-Zeit-Unschärferelation
4.2.5 Unschärferelationen für Photonen
4.3 Unschärferelationen und Meßprozeß
4.3.1 Unkontrollierbare Störung während des Meßvorgangs
4.3.2 Ortsmessungen
4.3.3 Impulsmessung
4.4 Die Beschreibung physikalischer Vorgänge in der Quantentheorie, Komplementarität und Kausalität
4.4.1 Probleme der statistischen Deutung
4.4.2 Beschreibung mikroskopischer Erscheinungen und Komplementarität
4.4.3 Komplementäre Variablen. Kompatible Variablen
4.4.4 Welle-Teilchen-Dualismus und Komplementarität
4.4.5 Komplementarität und Kausalität
Aufgaben
5 Der Formalismus der Wellenmechanik und seine Deutung
Einleitung
5.1 Hermitesche Operatoren und physikalische Größen
5.1.1 Der Raum der Wellenfunktionen
5.1.2 Definition der Erwartungswerte
5.1.3 Fehlende Schwankung und Eigenwertproblem
5.2 Untersuchung des diskreten Spektrums
5.2.1 Eigenwerte und Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators
5.2.2 Entwicklung einer Wellenfunktion nach orthonormierten Eigenfunktionen
5.2.3 Statistische Verteilung der Meßergebnisse für eine Größe, für die der zugeordnete Operator ein vollständiges System von Eigenfunktionen mit endlicher Norm besitzt
5.3 Statistik der Messungen im allgemeinen Fall
5.3.1 Die Schwierigkeiten beim kontinuierlichen Spektrum. Einführung der Diracschen δ-Funktion
5.3.2 Entwicklung nach Eigenfunktionen im allgemeinen Fall Vollständigkeitsrelation
5.3.3 Statistische Verteilung der Meßergebnisse im allgemeinen Fall
5.3.4 Andere Möglichkeiten der Behandlung des kontinuierlichen Spektrums
5.3.5 Bemerkungen und Beispiele
5.4 Die Bestimmung der Wellenfunktion
5.4.1 Meßprozeß und Reduktion des Wellenpakets (Zustandsreduktion). Idealmessungen
5.4.2 Vertauschbare Observable und kompatible Variable
5.4.3 Vollständige Menge kommutierender Observabler
5.4.4 Reine und gemischte Fälle
5.5 Kommutatoralgebra und ihre Anwendungen
5.5.1 Kommutatoralgebra und Eigenschaften der fundamentalen Kommutatoren
5.5.2 Vertauschungsrelationen des Drehimpulses
5.5.3 Zeitliche Änderung der statistischen Verteilung Konstanten der Bewegung
5.5.4 Beispiele für Konstanten der Bewegung. Energie, Parität 191 Aufgaben
6 Klassische Näherung und WKB-Methode
6.1 Der klassische Grenzfall der Wellenmechanik
6.1.1 Allgemeines
6.1.2 Das Theorem von Ehrenfest
6.1.3 Bewegung und Zerfließen von Wellenpaketen
6.1.4 Der klassische Grenzfall der Schrödinger-Gleichung
6.1.5 Anwendung auf die Coulomb-Streuung. Rutherford-Formel
6.2 Die WKB-Methode
6.2.1 Das Prinzip der Methode
6.2.2 WKB-Lösungen im eindimensionalen Fall
6.2.3 Voraussetzungen für die Gültigkeit der WKB-Näherung
6.2.4 Umkehrpunkte und Anschlußbedingungen
6.2.5 Durchgang durch einen Potentialwall
6.2.6 Energieniveaus eines Potentialtopfes
Aufgaben
7 Der allgemeine Formalismus der Quantentheorie Der mathematische Rahmen
Superpositionsprinzip und Darstellung dynamischer Zustände durch Vektoren
7.1 Vektoren und Operatoren
7.1.1 Der Vektorraum. Ket-Vektoren
7.1.2 Dualer Raum. Bra-Vektoren
7.1.3 Skalarprodukt
7.1.4 Lineare Operatoren
7.1.5 Tensorprodukt zweier Vektorräume
7.2 Hermitesche Operatoren, Projektoren und Observable
7.2.1 Adjungierte Operatoren und Konjugationsbeziehungen
7.2.2 Hermitesche (oder selbstadjungierte) Operatoren, positiv definite hermitesche Operatoren, unitäre Operatoren
7.2.3 Das Eigenwertproblem und Observable
7.2.4 Projektoren (oder Projektionsoperatoren)
7.2.5 Algebra der Projektionsoperatoren
7.2.6 Observable mit einem vollständig diskreten Spektrum
7.2.7 Observable im allgemeinen Fall und verallgemeinerte Vollständigkeitsrelation
7.2.8 Observablenfunktionen
7.2.9 Operatoren, die mit einer Observablen vertauschen. Kommutierende Observable
7.3 Darstellungstheorie
7.3.1 Allgemeines über endliche Matrizen
7.3.2 Quadratische Matrizen
7.3.3 Erweiterung auf unendliche Matrizen
7.3.4 Darstellung von Vektoren und Operatoren durch Matrizen
7.3.5 Transformation von Matrizen
7.3.6 Darstellungswechsel
7.3.7 Unitäre Transformationen von Operatoren und Vektoren 259 Aufgaben
8 Der allgemeine Formalismus der Quantentheorie Die Beschreibung der physikalischen Erscheinungen
Einleitung
8.1 Zustände und physikalische Größen
8.1.1 Definition der Wahrscheinlichkeiten. Postulate über die Messung
8.1.2 Die Observablen eines quantenmechanischen Systems und ihre Vertauschungsrelationen
8.1.3 Die Heisenbergschen Unschärferelationen
8.1.4 Definition der Zustände und Konstruktion des Raumes e
8.1.5 Eindimensionale Quantensysteme mit klassischem Analogon
8.1.6 Konstruktion des Zustandsraums durch Bildung des Tensorprodukts aus einfacheren Räumen
8.2 Die Bewegungsgleichungen
8.2.1 Entwicklungsoperator und Schrödinger-Gleichung
8.2.2 Das Schrödinger-Bild
8.2.3 Das Heisenberg-Bild
8.2.4 Heisenberg-Bild und Korrespondenzprinzip
8.2.5 Erhaltungsgrößen
8.2.6 Bewegungsgleichungen für Erwartungswerte und Energie-Zeit-Unschärferelation
8.2.7 Andere Bilder. Wechselwirkungsbild
8.3 Verschiedene Darstellungen der Theorie
8.3.1 Definition einer Darstellung
8.3.2 Die Wellenmechanik
8.3.3 Die {p} -Darstellung
8.3.4 Ein Beispiel: Bewegung eines freien Wellenpakets
8.3.5 Andere Darstellungen. Darstellungen, in der die Energie diagonal ist
8.4 Quantenstatistik
8.4.1 Unvollständig bekannte Systeme und statistische Gemische
8.4.2 Der Dichteoperator
8.4.3 Zeitliche Entwicklung eines statistischen Gemischs
8.4.4 Charakteristische Eigenschaften des Dichteoperators
8.4.5 Reine Fälle
8.4.6 Klassische und Quantenstatistik
Aufgaben
Zweiter Teil Einfache Systeme
9 Lösung der Schrödinger-Gleichung durch Trennung der Variablen Zentralpotential
Einleitung
9.1 Teilchen in einem Zentralpotential. Allgemeine Behandlung
9.1.1 Der Hamilton-Operator in sphärischen Polarkoordinaten
9.1.2 Separation der Winkelvariablen. Kugelfunktionen
9.1.3 Die Radialgleichung
9.1.4 Eigenlösungen der Radialgleichung. Eigenschaften des Spektrums
9.1.5 Schlußfolgerungen
9.2 Kugelsymmetrischer Potentialtopf. Freies Teilchen
9.2.1 Sphärische Bessel-Funktionen
9.2.2 Freies Teilchen. Ebene Wellen und freie Kugelwellen
9.2.3 Entwicklung der ebenen Welle nach Kugelfunktionen
9.2.4 Untersuchung eines kugelsymmetrischen Potentialtopfes
9.3 Zweikörperprobleme. Separation der Schwerpunktsbewegung
9.3.1 Separation der Schwerpunktsbewegung in der klassischen Mechanik
9.3.2 Separation der Schwerpunktsbewegung bei einem quantenmechanischen Zweiteilchensystem
9.3.3 Erweiterung auf Systeme mit mehr als zwei Teilchen 326 Aufgaben
10 Streuprobleme. Zentralpotential und Streuphasenmethode
Einleitung
10.1 Wirkungsquerschnitte und Streuamplituden
10.1.1 Definition der Wirkungsquerschnitte
10.1.2 Stationäre Streuwelle
10.1.3 Beschreibung der Streuung mit Hilfe von Wellenpaketen
10.1.4 Potentialstreuung eines Wellenpakets
10.1.5 Berechnung der Wirkungsquerschnitte
10.1.6 Stoß zweier Teilchen. Laborsystem und Schwerpunktsystem
10.2 Streuung an einem Zentralpotential. Streuphasen
10.2.1 Partialwellenzerlegung. Streuphasenmethode
10.2.2 Halbklassische Beschreibung der Streuung. Stoßparameter
10.3 Potential endlicher Reichweite
10.3.1 Beziehung zwischen der Streuphase und der logarithmischen Ableitung
10.3.2 Verhalten der Streuphase bei niedrigen Energien (λ → ∞)
10.3.3 Partialwellen höherer Ordnung. Konvergenz der Reihe (l→∞)
10.3.4 Streuung an einer harten Kugel
10.4 Resonanzstreuung
10.4.1 Streuung an einem tiefen Potentialtopf
10.4.2 Untersuchung einer Streuresonanz. Metastabile Zustände
10.4.3 Beobachtung der Lebensdauer metastabiler Zustände
10.5 Verschiedene Formeln und Eigenschaften
10.5.1 Integraldarstellung der Streuphasen
10.5.2 Potentialabhängigkeit und Vorzeichen der Streuphasen
10.5.3 Bornsche Näherung
10.5.4 Effektive Reichweite. Die Bethesche Formel
Aufgaben
11 Die Coulomb-Wechselwirkung
Einleitung
11.1 Das Wasserstoffatom
11.1.1 Die Schrödinger-Gleichung des Wasserstoffatoms
11.1.2 Größenordnung der Bindungsenergie des Grundzustands
11.1.3 Lösung der Schrödinger-Gleichung in Kugelkoordinaten
11.1.4 Energiespektrum. Entartung
11.1.5 Die Eigenfunktionen der gebundenen Zustände
11.2 Coulomb-Streuung
11.2.1 Coulomb-Streuwelle
11.2.2 Die Rutherfordsche Streuformel
11.2.3 Zerlegung nach Partialwellen
11.2.4 Entwicklung der Welle ψc nach Kugelfunktionen
11.2.5 Modifizierung des Coulomb-Potentials durch eine Wechselwirkung kurzer Reichweite
Aufgaben
12 Der harmonische Oszillator
Einleitung
12.1 Eigenzustände und Eigenvektoren des Hamilton-Operators
12.1.1 Das Eigenwertproblem
12.1.2 Einführung der Operatoren a, a+ und N
12.1.3 Spektrum und Basissystem von N
12.1.4 Die {N} Darstellung
12.1.5 Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
12.1.6 Die {Q} Darstellung. Hermitesche Polynome
12.2 Anwendung und verschiedene Eigenschaften
12.2.1 Erzeugende Funktion der Eigenfunktionen
12.2.2 Integration der Heisenbergschen Bewegungsgleichungen
12.2.3 Der klassische und der quantenmechanische Oszillator
12.2.4 Bewegung des minimalen Wellenpakets und klassischer Grenzfall
12.2.5 Harmonische Oszillatoren im thermodynamischen Gleichgewicht
12.3 Mehrdimensionale isotrope harmonische Oszillatoren
12.3.1 Allgemeine Behandlung des p-dimensionalen isotropen Oszillators
12.3.2 Zweidimensionaler isotroper Oszillator
12.3.3 Dreidimensionaler isotroper Oszillator
Aufgaben
Anhang
A Distributionen, δ-„Funktion“ und Fourier-Transformation
B Spezielle Funktionen und damit zusammenhängende Formeln
Index zu Band 1

Citation preview

Albert Messiah Quantenmechanik Band 1

Albert Messiah

Quanten mechan ik Band 1 Aus dem Französischen übersetzt von Joachim Streubel 2., verbesserte Auflage

Walter de Gruyter Berli n . New York 1991

Titel der französischen Originalausgabe Albert Messiah "Mecanique Quantique", Torne 1 © 1969 by Dunod, Editeur, Paris Autor Albert Messiah Professor am Institut National des Sciences et Techniques Nuc1eaires

Übersetzer Joachim Streubel Professor an der Fachhochschule Bochum

Dieser Band enthält 38 Abbildungen. 1. Auflage 1976 unveränderte Nachdrucke 1977, 1981, 1987, 1989 2., verbesserte Auflage 1991

CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek

Messiah, Albert: Quantenmechanik / Albert Messiah. Aus dem Franz. übers. von Joacllim StreubeI. - Berlin ; New York : de Gruyter. Einheitssacht.: Mecanique quantique (dt.> Bd.1. - 2., verb. Aufl. - 1991 ISBN 3-11-011452-6

@ Gedruckt auf säurefreiem Papier, das die US-ANSI-Norm über Haltbarkeit erfüllt.

© Copyright

1976, 1991 by Walter de Gruyter & Co., 1000 Berlin 30 Dieses Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Printed in Germany. Satz und Druck: Tutte Druckerei GmbH; Bindearbeiten: Lüderitz & Bauer-GmbH, Berlin; Einbandentwurf: Hansbernd Lindemann, Berlin.

Vorwort zur deutschsprachigen Ausgabe Eine besondere EinfUhrung in dieses weltweit bekannte Standardwerk, das "allgemein als eines der vollständigsten betrachtet wird und das in adäquater Form sowohl den praktischen wie den mathematischen Aspekt umfaßt" (d'Espagnat*)), erübrigt sich. Seine ungebrochen modeme Darstellung der Quantentheorie hat sich in der Physik eingebürgert. Es gibt heute kaum einen Physiker, der nicht wenigstens einmal während seines Studiums den "Messiah" in der Hand hatte und Nutzen aus ihm zog. Jeder, der die Grundvorlesungen in Klassischer Theoretischer Physik und über Atomphysik mit Erfolg absolviert hat, sollte dieses Buch verstehen können. Warum aber neben der französischen Ausgabe und der englischen Übersetzung noch eine deutsche Übersetzung, da doch Englisch heute als Fachsprache fUr Physiker obligatorisch zu sein scheint? Darauf ist einfach zu antworten: Insbesondere für den Anfänger bedeutet es eine nicht zu unterschätzende Doppelbelastung, wenn er sich eine neue und nicht immer einfache Materie in einer fremden Sprache aneignen muß, zumal er diese meist erst während seines Studiums richtig lernt. Haltern, im Frühjahr 1976

Joachim Streube1

Vorwort zur 2. Auflage Gegenüber der ersten Auflage sind an vielen Stellen Korrekturen und kleine Verbesserungen vorgenommen worden. Hierbei konnte ich mich auf die sorgfältigen Hinweise aufmerksamer Leser stützen, denen ich auch an dieser Stelle danke. In diesem Zusammenhang erscheint eine Bemerkung zur Typographie dieses Buches angebracht: Um den Preis möglichst gering zu halten, sind Formeln und Gleichungen fast ausnahmslos aus dem französischen Original übernommen worden. Dies führt gelegentlich dazu, daß sich im Text auftretende Symbole etwas anders darstellen als in der zugehörigen Gleichung; zu Mißverständnissen sollte es dadurch allerdings nicht kommen. Schließlich möchte ich die Gelegenheit nutzen, mich für die seit vielen Jahren ausgezeichnete Zusammenarbeit mit Herrn Dr. Rudolf Weber vom Verlag Walter de Gruyter ganz herzlich zu bedanken. Haltern, im Frühjahr 1991

Joachim Streubel

*} d'Espagnat, ß.: Grundprobleme der gegenwärtigen Physik, F. Vieweg & Sohn, Braunschweig,

1971.

Inhaltsübersicht zu Band 1 und Band 2 Band 1 Erster Teil Der Formalismus und seine Deutung 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Die Ursprünge der Quantentheorie Materiewellen und Schrödinger-Gleichung Eindimensionale Quantensysteme Statistische Deutung und Unschärferelationen Der Formalismus der Wellenmechanik und seine Deutung Klassische Näherung und WKB-Methode Der allgemeine Formalismus: Der mathematische Rahmen Der allgemeine Formalismus: Der phYSikalische Inhalt

Zweiter Teil Einfache Systeme 9. 10. 11. 12.

Trennung der Variablen. Zentralpotential Streuprobleme, Streuphasen Die Coulombwechselwirkung Der harmonische Oszillator

Anhang A Distributionen, o-Funktion und Fourier-Transformation B Spezielle Funktionen und damit zusammenhängende Formeln Index von Band 1

Band 2 Dritter Teil Symmetrien und Invarianz 13. 14. 15.

Der Drehimpuls in der Quantenmechanik Identische Teilchen. Pauli-Prinzip Invarianz und Erhaltungssätze. Zeitumkehr

Vierter Teil Näherungsmethoden 16. 17. 18. 19.

Stationäre Störungen Näherungslösungen der Bewegungsgleichung Variationsmethode und damit zusammenhängende Probleme Streutheorie

Fünfter Teil Elemente der Relativistischen Quantenmechanik 20. 21.

Relativistische Theorie des Elektrons Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

Anhang C Vektoradditionskoeffizienten und Drelunatrizen D Elemente der Gruppentheorie Gesamtindex

Inhalt Erster Teil Der Formalismus und seine Deutung Die Ursprünge der Quantentheorie Einleitung . . . . . . . . . . . . . 1.1 Das Ende der klassischen Periode . . . 1.1.1 Die klassische theoretische Physik. 1.1. 2 Der Fortschritt in der Kenntnis der mikroskopischen Vorgänge und das Auftreten der Quanten in der Physik 1.2 Lichtquanten oder Photonen. 1.2.1 Der photoelektrische Effekt . 1.2.2 Der Compton-Effekt 1.2.3 Lichtquanten und Interferenzerscheinungen 1.2.4 Schlußfolgerungen . . .... 1.3 Die Quantisierung bei materielle:-l Systemen 1.3.1 Atomspektroskopie und Schwierigkeiten des klassischen Rutherford-Modells . . . . . . . . . . 1.3.2 Quantisierung der Energieniveaus der Atome . . . 1.3.3 Andere Quantisierungsbeispiele: Richtungsquantelung 1.4 Korrespondenzprinzip und ältere Quantentheorie . 1.4.1 Mängel der klassischen Korpuskulartheorie . 1.4.2 Das Korrespondenzprinzip 1.4.3 Anwendung des Korrespondenzprinzips auf die Berechnung der Rydberg-Konstante . . . . . . . 1.4.4 Lagrange- und Hamiltonform der Gleichungen der klassischen Mechanik . 1.4.5 Die Quantisierungsregeln von Bohr-Sommerfeld . 1.4.6 Erfolge und Grenzen der älteren Quantentheorie 1.4.7 Schlußfolgerungen . . Aufgaben . . . . . . . 2 Materiewellen und Schrödinger-Gleichung Historischer Abriß und allgemeine Übersicht über die folgenden Kapitel. 2.1 Materiewellen . . . . . . . . . . . . .. 2.1.1 Einleitung . 2.1.2 Freies Wellenpaket, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit . 2.1.3 Wellenpaket in einem langsam veränderlichen Feld 2.1.4 Quantisierung der Energieniveaus von Atomen 2.1.5 Beugung von Materiewellen . . . 2.1.6 Korpuskularstruktur der Materie 2.1. 7 Universeller Charakter des Welle-Teilchen-Dualismus 2.2 Die Schrödinger-Gleichung. . . . . . 2.2.1 Erhaltungssatz für die Anzahl materieller Teilchen .

15 16 16 18 22 22 23 27 29 30 30 31 33 35 35 36 37 38 41 45 47 48 50 53 53 54 57 58 59 60 62 62 62

8

Inhalt

2.2.2 Notwendigkeit einer Wellengleichung und Bedingungen für diese Gleichung . . . . . . . 2.2.3 Der Begriff des Operators 2.2.4 Wellengleichung für ein freies Teilchen 2.2.5 Teilchen in einem skalaren Potential . 2.2.6 Geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld 2.2.7 Allgemeine Regel für die Aufstellung der Schrödinger-Gleichung 2.3 Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. . 2.3.1 Stationäre Lösungen . . . . . 2.3.2 Allgemeine Eigenschaften der Gleichung Art des Energiespektrums Aufgaben 3 Eindimensionale Quantensysteme Einleitung . . . 3.1 Stückweise konstante Potentiale 3.1.1 Allgemeines 3.1.2 Potentialstufe, Reflexion und Transmission von Wellen 3.1.3 Unendlich hohe Potentialstufe . . . . . 3.1.4 Rechteckiger, unendlich tiefer Potentialtopf. Diskretes Spektrum. 3.1.5 Endlich tiefer, rechteckiger Potentialtopf, Resonanzen. 3.1.6 Durchgang durch einen rechteckigen Potentialwall, Tunneleffekt 3.2 Allgemeine Eigenschaften der eindimensionalen SchrödingerGleichung .., . 3.2.1 Eigenschaft der Wronski-Determinante 3.2.2 Asymptotisches Verhalten der Lösungen 3.2.3 Das Eigenwertspektrum . . . . . . 3.2.4 Ungebundene Zustände: Reflexion und Transmission von Wellen . . . . 3.2.5 Knotenzahl gebundener Zustände 3.2.6 O!thogonalitätsrelationen . 3.2.7 Bemerkung über die Parität. . Aufgaben 4 Statistische Deutung des Welle-Teilchen-Dualismus und Unschärferelationen Einleitung . . . . . . 4.1 Statistische Deutung der Wellenfunktionen in der Wellenmechanik . 4.1.1 Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse von Orts- und Impulsmessungen. . . . 4.1.2 Erhaltung der Norm 4.1.3 Der Begriff des Stroms 4.1.4 Erwartungswerte von Funktionen von r oder p 4.1.5 Erweiterung auf Mehrteilchensysteme 4.2 Die Heisenbergschen Unschärferelationen. . 4.2.1 Ort-Impuls-Unschärferelationen ftir ein Teilchen

63 64 66 67 68 69 73 73 73 73 75 77

78 78 79 84 85 86 93 94 94 96 99 101 104 104 106 107 109 110 110 113 114 115 118 121 121

Inhalt

9

4.2.2 Strenge Formulierung der Ort-Impuls-Unschärferelation 4.2.3 Verallgemeinerung: Unschärferelationen zwischen kanonisch konjugierten (kartesischen) Variablen. 4.2.4 Energie-Zeit-Unschärferelation . 4.2.5 Unschärferelationen für Photonen. . 4.3 Unschärferelationen und Meßprozeß 4.3.1 Unkontrollierbare Störung während des Meßvorgangs 4.3.2 Ortsmessungen ............ 4.3.3 Impulsmessung 4.4 Die Beschreibung physikalischer Vorgänge in der Quantentheorie, Komplementarität und Kausalität . . . . . . . . 4.4.1 Probleme der statistischen Deutung . . . . . 4.4.2 Beschreibung mikroskopischer Erscheinungen und Komplementarität . . . . . . . . 4.4.3 Komplementäre Variablen. Kompatible Variablen 4.4.4 Welle-Teilchen-Dualismus und Komplementarität. 4.4.5 Komplementarität und Kausalität. . . Aufgaben . . . .

124

5 Der Formalismus der Wellenmechanik und seine Deutung Einleitung . . 5.1 Hermitesche Operatoren und physikalische Größen 5.1.1 Der Raum der Wellenfunktionen . . . . 5.1.2 Definition der Erwartungswerte . . . 5.1.3 Fehlende Schwankung und Eigenwertproblem . 5.2 Untersuchung des diskreten Spektrums . . . . . 5.2.1 Eigenwerte und Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators. 5.2.2 Entwicklung einer Wellenfunktion nach orthonormierten Eigenfunktionen . .......... 5.2.3 Statistische Verteilung der Meßergebnisse für eine Größe, fur die der zugeordnete Operator ein vollständiges System von Eigenfunktionen mit endlicher Norm besitzt . 5.3 Statistik der Messungen im allgemeinen Fall .... 5.3.1 Die Schwierigkeiten beim kontinuierlichen Spektrum. Einführung der Diracschen o-Funktion .... 5.3.2 Entwicklung nach Eigenfunktionen im allgemeinen Fall Vollständigkeitsrelation 5.3.3 Statistische Verteilung der Meßergebnisse im allgemeinen Fall 5.3.4 Andere Möglichkeiten der Behandlung des kontinuierlichen Spektrums . 5.3.5 Bemerkungen und Beispiele . . 5.4 Die Bestimmung der Wellenfunktion . 5.4.1 Meßprozeß und Reduktion des Wellenpakets (Zustandsreduktion). Idealmessungen . .

125 126 128 129 129 132 134 138 138 140 141 143 144 146 149 150 150 152 154 157 157 159

161 164 164 168 172 174 177 179 179

10

Inhalt

5.4.2 Vertauschbare Observable und kompatible Variable. 5.4.3 Vollständige Menge kommutierender Observabler 5.4.4 Reine und gemischte Fälle 5.5 Kommutatoralgebra und ihre Anwendungen 5.5.1 Kommutatoralgebra und Eigenschaften der fundamentalen Kommutatoren 5.5.2 Vertauschungsrelationen des Drehimpulses . 5.5.3 Zeitliche Änderung der statistischen Verteilung Konstanten der Bewegung 5.5.4 Beispiele fur Konstanten der Bewegung. Energie, Parität Aufgaben 6 Klassische Näherung und WKB-Methode 6.1 Der klassische Grenzfall der Wellenmechanik 6.1.1 Allgemeines 6.1.2 Das Theorem von Ehrenfest . 6.1.3 Bewegung und Zerfließen von Wellenpaketen 6.1.4 Der klassische Grenzfall der Schrödinger-Gleichung 6.1.5 Anwendung auf die Coulomb-Streuung. Rutherford-Formel 6.2 Die WKB-Methode 6.2.1 Das Prinzip der Methode . 6.2.2 WKB- Lösungen im eindimensionalen Fall 6.2.3 Voraussetzungen ftir die Gültigkeit der WKB-Näherung 6.2.4 Umkehrpunkte und Anschlußbedingungen 6.2.5 Durchgang durch einen Potentialwall . 6.2.6 Energieniveaus eines Potentialtopfes Aufgaben

181 183 185 186 186 188 189 191 192 194 194 196 197 201 205 208 208 208 210 211 213 215 217

7 Der allgemeine Formalismus der Quantentheorie Der mathematische Rahmen Superpositionsprinzip und Darstellung dynamischer Zustände durch Vektoren ..... 219 7.1 Vektoren und Operatoren. . 221 7.l.1 Der Vektorraum. Ket-Vektoren. 227 7.1.2 Dualer Raum. Bra-Vektoren . 222 7.1.3 Skalarprodukt. 223 7.1.4 Lineare Operatoren. . . 225 7.1. 5 Tensorprodukt zweier Vektorräume 227 7.2 Hermitesche Operatoren, Projektoren und Observable 229 7.2.1 Adjungierte Operatoren und Konjugationsbeziehungen . 229 7.2.2 Hermitesche (oder selbstadjungierte) Operatoren, positiv definite hermitesche Operatoren, unitäre Operatoren 230 7.2.3 Das Eigenwertproblem und Observable . 231 7.2.4 Projektoren (oder Projektionsoperatoren) 233 7.2.5 Algebra der Projektionsoperatoren . . . 236

Inhalt

7.2.6 Observable mit einem vollständig diskreten Spektrum.. 7.2.7 Observable im allgemeinen Fall und verallgemeinerte Vollständigkeitsrelation . . . . 7.2.8 Observablenfunktionen . . 7.2.9 Operatoren, die mit einer Observablen vertauschen. Kommutierende Observable . 7.3 Darstellungstheorie . . . . . 7.3.1 Allgemeines über endliche Matrizen 7.3.2 Quadratische Matrizen. . . . . 7.3.3 Erweiterung auf unendliche Matrizen. 7.3.4 Darstellung von Vektoren und Operatoren durch Matrizen 7.3.5 Transformation von Matrizen . . . . 7.3.6 Darstellungswechsel . . . . . 7.3.7 Unitäre Transformationen von Operatoren und Vektoren. Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Der allgemeine Formalismus der Quantentheorie Die Beschreibung der physikalischen Erscheinungen Einleitung . . . . . 8.1 Zustände und physikalische Größen 8.1.1 Definition der Wahrscheinlichkeiten. Postulate über die Messung. . . . . . . . . 8.1.2 Die Observablen eines quantenmechanischen Systems und ihre Vertauschungsrelationen . . 8.1.3 Die Heisenbergschen Unschärferelationen 8.1.4 Definition der Zustände und Konstruktion des Raumes E 8.1.5 Eindimensionale Quantensysteme mit klassischem Analo~n . 8.1.6 Konstruktion des Zustandsraums durch Bildung des Tensorprodukts aus einfacheren Räumen. . . 8.2 Die Bewegungsgleichungen . . . 8.2.1 Entwicklungsoperator und Schrödinger-Gleichung 8.2.2 Das Schrödinger-Bild ...... 8.2.3 Das Heisenberg-Bild.. .... 8.2.4 Heisenberg-Bild und Korrespondenzprinzip . 8.2.5 Erhaltungsgrößen 8.2.6 Bewegungsgleichungen für Erwartungswerte und Energie-ZeitUnschärferelation 8.2.7 Andere Bilder. Wechselwirkungsbild 8.3 Verschiedene Darstellungen der Theorie 8.3.1 Definition einer Darstellung 8.3.2 Die Wellenmechanik 8.3.3 Die {p} -Darstellung 8.3.4 Ein Beispiel: Bewegung eines freien Wellenpakets 8.3.5 Andere Darstellungen. Darstellungen, in der die Energie diago· nal ist . . . . . . . . . . . . . . .

11

239 240 243 244

245 245 247 250 252 255 257 259 261

264 265 265 268 269 270 271 275 277 277 280 281 283 284 285 286 288 288 289 291 293 294

12

Inhalt

8.4

Quantenstatistik . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Unvollständig bekannte Systeme und statistische Gemische 8.4.2 Der Dichteoperator . . . . . 8.4.3 Zeitliche Entwicklung eines statistischen Gemischs . 8.4.4 Charakteristische Eigenschaften des Dichteoperators 8.4.5 Reine Fälle 8.4.6 Klassische und Quantenstatistik Aufgaben. . . . . . .

295 295 296 298 299 300 301 302

Zweiter Teil Einfache Systeme 9

Lösung der Schrödinger-Gleichung durch Trennung der Variablen Zentralpotential Einleitung. . . . . . . . . . . . . 9.1 Teilchen in einem Zentralpotential. Allgemeine Behandlung 9.1.1 Der Hamilton-Operator in sphärischen Polarkoordinaten 9.1.2 Separation der Winkelvariablen. Kugelfunktionen . 9.1.3 Die Radialgleichung . . . . . . . . . . 9.1.4 Eigenlösungen der Radialgleichung. Eigenschaften des Spektrums. . . . . . . . . . . . 9.1. 5 Schlußfolgerungen . . . . . 9.2 Kugelsymmetrischer Potentialtopf. Freies Teilchen. 9.2.1 Sphärische Bessel-Funktionen . . . . . 9.2.2 Freies Teilchen. Ebene Wellen und freie Kugelwellen 9.2.3 Entwicklung der ebenen Welle nach Kugelfunktionen 9.2.4 Untersuchung eines kugelsymmetrischen Potentialtopfes 9.3 Zweikörperprobleme. Separation der Schwerpunktsbewegung . 9.3.1 Separation der Schwerpunktsbewegung in der klassischen Mechanik . . . . . . . . . . . .. 9.3.2 Separation der Schwerpunktsbewegung bei einem quantenmechanischen Zweiteilchensystem . . . . . 9.3.3 Erweiterung auf Systeme mit mehr als zwei Teilchen Aufgaben. . . . . . . .

324 326 327

10Streuprobleme. Zentralpotential und Streuphasenmethode Einleitung. . . . 10.1 Wirkungsquerschnitte und Streuamplituden 10.1.1 Definition der Wirkungsquerschnitte 10.1. 2 Stationäre Streuwelle . . . . 10.1.3 Beschreibung der Streuung mit Hilfe von Wellenpaketen 10.1.4 Potentialstreuung eines Wellenpakets . . . . . 10.1.5 Berechnung der Wirkungsquerschnitte . . . . 10.1.6 Stoß zweier Teilchen. Laborsystem und Schwerpunktsystem . 10.2 Streuung an einem Zentralpotential. Streuphasen . 10.2.1 Partialwellenzerlegung. Streuphasenmethode

331 331 331 333 334 336 338 339 344 344

307 308 308 312 313 315 316 317 317 318 319 321 323 323

Inhalt

13

10.2.2 Halbklassische Beschreibung der Streuung. Stoßparameter 10.3 Potential endlicher Reichweite . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Beziehung zwischen der Streuphase und der logarithmischen Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2 Verhalten der Streuphase bei niedrigen Energien (A. -* 00). 10.3.3 Partialwellen höherer Ordnung. Konvergenz der Reihe (1-* 00). . . . . . . . . 10.3.4 Streuung an einer harten Kugel 10.4 Resonanzstreuung . . . . . . . . 10.4.1 Streuung an einem tiefen Potentialtopf . 10.4.2 Untersuchung einer Streuresonanz. Metastabile Zustände 10.4.3 Beobachtung der Lebensdauer metastabiler Zustände 10.5 Verschiedene Formeln und Eigenschaften. . . . . . . . 10.5.1 Integraldarstellung der Streuphasen . . . . . . . 10.5.2 Potentialabhängigkeit und Vorzeichen der Streuphasen . 10.5.3 Bornsche Näherung. . . . . . . . . 10.5.4 Effektive Reichweite. Die Bethesche Formel Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . .

346 348

11 Die Coulomb-Wechselwirkung Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Das Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Die Schrödinger-Gleichung des Wasserstoffatoms . 11.1.2 Größenordnung der Bindungsenergie des Grundzustands 11.1.3 Lösung der Schrödinger-Gleichung in Kugelkoordinaten 11.1.4 Energiespektrum. Entartung. . . . . . . 11.1.5 Die Eigenfunktionen der gebundenen Zustände 11.2 Coulomb-Streuung. . . . . . . . 11.2.1 Coulomb-Streuwelle. . . . . 11.2.2 Die Rutherfordsche Streuformel 11.2.3 Zerlegung nach Partialwellen . . 11.2.4 Entwicklung der Welle I/Ic nach Kugelfunktionen . 11.2.5 Modifizierung des Coulomb-Potentials durch eine Wechselwirkung kurzer Reichweite Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Der harmonische Oszillator Einleitung. . . . . . . 12.1 Eigenzustände und Eigenvektoren des Hamilton-Operators 12.1.1 Das Eigenwertproblem . . . . . . . 12.1.2 Einftihrung der Operatoren a, a+ und N . 12.1.3 Spektrum und Basissystem von N. . . 12.1.4 Die I~l -Darstellung . . . . . . . 12.1.5 Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren 12.1.6 Die I Ql -Darstellung. Hermitesche Polynome

348 350 351 352 354 354 356 358 360 360 361 362 363 365 367 368 368 369 370 372 374 375 375 377 379 380 382 384 385 386 386 387 388 390 391 392

14

Inhalt

12.2 Anwendung und verschiedene Eigenschaften. . . . . . 12.2.1 Erzeugende Funktion der Eigenfunktionen. . . . 12.2.2 Integration der Heisenbergschen Bewegungsgleichungen. 12.2.3 Der klassische und der quantenmechanische Oszillator. 12.2.4 Bewegung des minimalen Wellenpakets und klassischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . 12.2.5 Harmonische Oszillatoren im thermodynamischen Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . .. 12.3 Mehrdimensionale isotrope harmonische Oszillatoren . . . 12.3.1 Allgemeine Behandlung des p-dimensionalen isotropen Oszillators. . . . . . . . . . 12.3.2 Zweidimensionaler isotroper Oszillator 12.3.3 Dreidimensionaler isotroper Oszillator Aufgaben. . . . . . . . . . . . .

393 393 395 396 398 400 403 403 405 407 410

Anhang A Distributionen, o-"Funktion" und Fourier-Transformation . . B Spezielle Funktionen und damit zusammenhängende Formeln Index zu Band 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 415 . 431 .449

Erster Teil Der Formalismus und seine Deutung 11 lui proposa de faue le voyage de Copenhague, et lui en facilita les rnoyens> (Candide).

••• 0 VI

Potentialstufe

ist. Dann sind zwei Fälle möglich:

(i) V2 > E > VI. Die allgemeine Lösung verläuft im Bereich I (x > 0) oszillatorisch und im Bereich II (x < 0) exponentiell. Damit sie als Eigenfunktion in Frage kommt, muß sie im Bereich 11 exponentiell abfallen. Es existiert immer genau eine Lösung, die diese Bedingung erfüllt. Jeder Wert von € innerhalb dieses Intervalls ist deshalb ein nichtentarteter Eigenwert: Das Energiespektrum ist kontinuierlich und nicht entartet. Die allgemeine Form der Funktion in den beiden Bereichen ist

80

3 Eindimensionale Quantensysteme

x>o X< o.

Y= Die keit dies keit

(3.6)

Stetigkeitsbedingungen legen y bis auf eine Konstante fest. Anstatt die Stetigder Funktion und ihrer Ableitung direkt auszudrücken, ist es oft bequemer, rur die Funktion und ihre logarithmische Ableitung y'/y zu tun. Die Stetigder logarithmischen Ableitung bestimmt die Phase a

x

+ x > b

(3.17)

> x.

b

Ist die Phase

Uo (k

yUo -e)

= Ye-Uo ).

Wir begnügen uns hier damit, den Transmissionskoeffizienten anzugeben (Abb. 3.7): 4~(~

40:(0: -

- Uo)-+

U o) U(:"-,s-i-n-2 kL- ,

40:(Uo - 0:) 4~(-zj;=- 0:) + U~ -;}12 xL'

wenn e> Uo

wenn e< Uo .

Wie in den vorangegangenen Ausftihrungen können wir die Bewegung eines WeIlenpakets vom Typ (3.9) mit der eines klassischen Teilchens vergleichen, das mit der gleichen Energie von + 00 kommt. Der auffallendste Unterschied zeigt sich, wenn e < Uo . Das klassische Teilchen stößt auf den Wall, ohne mn zu durchdringen. Das Wellenpaket spaltet in ein re-

94

3 Eindimensionale Quantensysteme

T 1.0

v

-~

---

/

I

I I

,

0.5

o

../ 3

2

4 t l Uo

Abb. 3.7. Änderung des Transmissionskoeffizienten beim Durchgang durch einen rechteckigen Potentialwall (Abb. 3.6) in Abhängigkeit von der Energie. Hier ist VoL> = 40.

flektiertes und ein transmittiertes Paket auf, dessen Intensität nie gleich Null ist: Wenn € von 0 auf Uo ansteigt, wächst der Transmissionskoeffizient von 0 auf den Wert [I + UoL 2 /4 1 • Dieser Effekt heißt Tunneleffekt und spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der a-Radioaktivität. Er ist um so ausgeprägter, je flacher und schmaler der Wall ist.

r-

Ist € > Uo , so wird das klassische Teilchen im Bereich 11 zwar langsamer, durchquert ihn aber und setzt seinen Weg im Bereich III nach - 00 fort. Das Wellenpaket dagegen wird zumindest partiell reflektiert. Vollständige Transmission (T= I) gibt es nur ftir bestimmte Energiewerte, ftir die kL ein Vielfaches von 1T ist. Mit zunehmender Energie oszilliert der TransmissionskoeffIzient zwischen diesem maximalen Wert und einem Minimum von der Größenordnung 4€(€ -- Uo ) /(2€ -- UO)2 Der Effekt ist besonders ausgeprägt, wenn der Wall sehr hoch oder sehr breit ist und wenn die kinetische Energie € -- Uo im Bereich II klein ist. Man beachte die Ähnlichkeit mit den in den vorangegangenen Abschnitten diskutierten Resonanzerscheinungen (s. Aufgabe 2).

3.2

Allgemeine Eigenschaften der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung

3.2.1

Eigenschaft der Wronski-Determinante

Kehren wir zurück zu der Gleichung y"

+ [€ -

U(x)]y = O.

(3.25)

Wir wollen eine Reihe von allgemeinen Eigenschaften dieser Eigenwertgleichung aufzeigen. Die einzigen Einschränkungen, die wir im folgenden der reellen Funktion U(x) auferlegen, seien die, daß sie nach unten beschränkt ist und auf der gesamten Achse (- 00, + 00) nur Unstetigkeitsstellen erster Art aufweist.

Allgemeine Eigenschaften der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung

95

Viele dieser Eigenschaften folgen direkt aus einem wichtigen Satz über die Wronskische Determinante zweier Lösungen, den wir im folgenden als Wronskisches Theorem bezeichnen. Man bezeichnet mit Wronskischer Determinante der zwei Funktionen Yl und Yz den Ausdruck W(YI.Y2)=YIY; -Y2y'l .

Diese Determinante ist bilinear in YI und Y2 und antisymmetrisch gegenüber der Vertauschung dieser beiden Funktionen. Ist sie in einem Punkt auf der x-Achse gleich Null, so haben YI und Y2 in diesem Punkt dieselbe logarithmische Ableitung. Ist sie überall gleich Null, so sind die beiden Funktionen Vielfache voneinander. Das Wronskische Theorem: Sind Z I und Z2 jeweils Lösungen der Gleichungen (3.25') (3.25") in einem Intervall (a. b), in dem die Funktionen F I (x) und F2 (x) stetig sind oder

nur Unstetigkeüen erster Art aufweisen, so gilt:

(3.26) Zum Beweis multiplizieren wir Gleichung (3.25') mit z2, Gleichung (3.25") mit beide Ausdrücke voneinander ab. Es ergibt sich:

zl

und ziehen

[Z2Z~-ZIZ;]+(FI -F2 )zlz2 =0. Der erste Term ist bis auf das Vorzeichen die Ableitung der Wronskischen Determinante W(z •• Z2) nach x. Integration liefert die Beziehung (3.26).

Dieses Theorem interessiert uns ftir den Sonderfall, daß die Gleichungen (3.25') und (3.25") vom Typ (3.25) mit demselben Potential U(x) und bestimmten Energiewerten € sind. Man erhält dann drei wichtige Korollare: Korollar f. -. Sind YI und Y2 Lösungen von Gleichung (3.25) zu den Werten €I und €2, so ist ftir jedes Paar a, b aus dem Definitionsbereich dieser Lösungen:

(3.27) Korollar II. _. Sind Y und z zwei Lösungen von Gleichung (3.25) zum selben Wert €, so ist ihre Wronskische Determinante unabhängig von x: W(y, z)

= constans.

Korollar Ilf. _. Y(x;€) sei die Lösung von Gleichung (3.25), deren logarithmische Ableitung (nach x) in einem Punkt a auf der x-Achse einen bestimmten Wert f a hat, und f(x;€) sei ihre logarithmische Ableitung im Punkt x. fex; €) ist als Funktion

96

3 Eindimensionale Quantensysteme

von € monoton, und zwar wachsend, wenn x Ableitung ist gegeben durch JI

< a,

fallend, wenn x

> a,

und ihre

l'J' Y2( X,. E)- a Y2(~; c:) d~.

I

"'= ,-JE

(3.28)

t..-

(Als Funktion von € verhält sich f(x;€) analog wie der Tangens oder Kotangens, mit einer senkrechten Asymptote in jedem Punkt, in dem Y(x) verschwindet.) Die Korollare I und II sind direkte Anwendungen des Theorems von Wronski. Korollar III wird wie folgt bewiesen. Bei festem € ist eine Lösung von (3.25) vollständig bestimmt, wenn man ihren Wert und den ihrer Ableitung in einern Punkt x = 0 auf der x-Achse vorgibt. Y(x;€) sei diese Lösung:

y' (0; €) = Y~ .

Y (0; €) = Ya'

Ändert man € bei festen Randbedingungen, so ist Y(x; €) eine stetige Funktion von € (und von x). Zu zwei infinitesimal benachbarten Werten € und € D€ gehören zwei infinitesminal benachbarte Ausdrücke Y und Y + DY. Anwendung von Korollar I im Intervall (a,b) liefert

+

W(Y,y+ay)

I" =-ac: J" (l

Für x =

Y"dx.

((

ist gemäß Voraussetzung W( Y, Y + Dy) = 0 . Für jeden anderen Wert von x ist

0

W(Y, Y + DY)

= W(Y,

DY)

=Y

DY' -

y' DY

= y2

D

(f) =

y 2 Df.

Dabei haben wir f = Y'JY gesetzt. Die logarithmische Ableitung fist genau wie Y eine stetige Funktion von € und x. Damit wird

-

Y2

a/

i, "J'=h

=

a€ (" Y" dx. v

(l

Anders formuliert, ist

~/I

=

€ ,c=1!

l

--i-

(b Y2(X) dx.

Y (b) .-

a

Die in diesen drei Korollaren enthaltenen Eigenschaften der Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind für uns von Interesse, weil sie nicht von der speziellen Form des Potentials U(x) abhängen.

3.2.2

Asymptotisches Verhalten der Lösungen

Die asymptotische Form der allgemeinen Lösung von Gleichung (3.25) an den Grenzen (- 00, + (0) ist sehr verschieden, je nachdem, ob € -- U positiv oder negativ ist, wenn x gegen diese Grenzen geht. Wir wollen die asymptotische Form an der Grenze x = + 00 untersuchen. Für x = - 00 können die gleichen Schlüsse gezogen werden. Nehmen wir an, daß € _. U(x) ein konstantes Vorzeichen behält, wenn x einen bestimmten Wert Xo überschritten hat. Dann sind zwei Fälle möglich € > U(x), wenn x > xo. Wir nehmen an -- das ist praktisch immer der Fall --, daß U(x) für x -+ ton gegen einen endlichen Grenzwert U+ geht. Wir setzen

1. Fall:

k

=..j€ -

U+

.

00

mono-

Allgemeine Eigenschaften der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung

Wir wollen zeigen, daß ftir x

97

~ 00:

die reellen Lösungen von Gleichung (3.25) beschränkt bleiben und zwischen zwei entgegengesetzten Werten unbegrenzt oszillieren; wenn überdies U(x) schneller gegen U+ geht als I/x, so ist

y wobei

~

'"

x~

~

sin (kx

+ I/lt.),

(3.29)

und op+ zwei passende reelle Konstanten darstellen.

Hierzu bemerken wir, daß Gleichung (3.25) ..asymptotisch" gegen die Gleichung ZH + k 2 z = 0 geht, deren allgemeine Lösung A sin(kx + op) ist und die von zwei beliebigen Konstanten A und op abhängt. Zur Bestimmung der asymptotischen Form von y fUhren wir die durch y = A sin (kx +

op),

y' = Ak cos (kx

+ op)

(3.30)

definierten Funktionen A(x) und op (x) ein (Methode der Variation der Konstanten). Gleichung (3.25) ist äquivalent den beiden Differentialgleichungen erster Ordnung:

~= U-U+

A

2k

u-u..

sin 2 (kx + op),

Xo.

Die Ergebnisse, die wir erhalten werden, sind unabhängig vom Verhalten von U(x) im Unendlichen. Wir nehmen einfach an, daß U(x) -

€

~ M2

> 0,

wenn

x> Xo.

Dieser Fall entspricht den Lösungen mit exponentiellem Verhalten bei Rechteckpotentialen. Wir zeigen, daß ftir x

~ 00:

eine (bis auf eine Konstante) bestimmte Lösung von Gleichung (3.25) existiert, die mindestens so schnell wie exp (--Mx) gegen Null geht; alle anderen Lösungen mindestens so schnell wie exp (Mx) gegen Unendlich

streben. Weil die Lösungen nur bis auf eine Konstante bestimmt sind, legen wir diese durch die Bedingung y (xo) = I fest. Einige Lösungen sind in Abb. 3.8 graphisch dargestellt.

98

3 Eindimensionale Quantensysteme

Abb. 3.8 Darstellung einiger Lösungen von Gleichung (3.25), die der Normierungsbedingung y(xo) = 1 genügen, für den Fall, daß U(x) - € ";3M 2 0 für x xo.

>

>

Wenn wir mit Y (x) und Z (x) die durch die Randbedingungen Y(xo) = I,

y' (xu) = 0

Z (xo) = 0,

z' (xo)

und

= I

bestimmten Lösungen bezeichnen, so sind die gesuchten Lösungen von der Form (3.33)

y(x) = Y(x) + [Z(x).

Der Parameter f = y' (xo) kann alle Werte zwischen -

00

und

+

00

annehmen.

Y(x) und Z(x) bleiben im ganzen Intervall (xo, 00) positiv und streben mindestens so schnell gegen Unendlich wie exp (Mx). Denn wie jede Lösung von Gleichung (3.25) haben diese Funktionen dasselbe Vorzeichen wie ihre zweiten Ableitungen. Hieraus schließt man unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen, daß sie nur unbeschränkt wachsen können (mit der konkaven Seite nach oben). Um die Schnelligkeit ihres Wachstums abzuschätzen, beachte man, daß y' ";3 M 2 Y und Z" ";3 M 2 Z, und vergleiche diese Funktionen mit den Lösungen der Differentialgleichung u" - M 2 U = 0, die dieselben Anfangsbedingungen flir Xo haben. Das sind coshM(x - x o) und sinhM(x - x o) (Hyperbelfunktionen). Y und Z sind überall größer als diese oder gleich diesen Vergleichsfunktionen.

Denn die Anwendung des Wronskischen Theorems liefert

»

W(Y,cosh M (x - x o

~

0,

also Y' -;;" Mtanh M (x - x o) Y

und nach Integration Y;;" cosh M (x - x o);

ebenso zeigt man Z ;;" sinh M (x - x o)' Wir bemerken in diesem Zusammenhang, daß Y';;" MY tanh M (x - x o)'

also im Unendlichen y' ";3 MY; genauso ist im Unendlichen Z';;;' MZ.

Allgemeine Eigenschaften der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung

99

Andererseits ergibt sich (Korcllar 11):

Z'Y - Y'Z = I fUr jedes x.

(3.34)

Wir fUhren die Funktionen u(x)

==

Y

Z'

Y' Z'

v(x)

ein. Aus der Eigenschaft (3.34) und der Tatsache, daß Yund Z Lösungen von Gleichung (3.25) sind, erhält man:

1

ZZ'

(3.35)

Y'Z- 1'Z' Z"

ll'

v'

Y'

Z'

Y"Z' -

=

Y'Z"

---2'-2---

=

U-

e:

---z'2

Im Intervall (xo, 00) ist u eine fallende Funktion, v eine wachsende und ihre Differenz verschwindet im Unendlichen. Sie haben also einen gemeinsamen (positiven) Grenzwert C fUr x """* 00, und man hat v(x)

< C
EI. Wenden wir Gleichung (3.27) auf ein Intervall an, dessen Grenzen von zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen von YI gebildet werden, so erhalten wir

Im Intervall (a, b) behält YI dasselbe Vorzeichen. Sei z.B. YI > o. In diesem Fall ist y~ (a) > 0 und y'l (b) < O. Folglich ändert Y2 im Intervall (a, b) sicher sein Vorzeichen. Wäre das nicht der Fall, dann hätte die rechte Seite der Gleichung das Vorzeichen von Y2, die linke Seite das entgegengesetzte. Also hat Y2 im Innern des Intervalls (a, b) mindestens eine Nullstelle. Zwischen zwei Knoten von Y I gibt es immer mindestens einen Knoten von Y2. Jetzt seien YI und Y2 Eigenfunktionen des diskreten Spektrums. An den Grenzen des Intervalls (- 00, + 00) verschwinden beide Funktionen ("exponentiell"). Die nl Knoten von YI zerlegen dieses Intervall in n l + 1 Teilintervalle. Folglich hat Y2 (zum Eigenwert E2 > Ed mindestens (ni + 1) Knoten: Die Eigenfunktion hat um so mehr Knoten, je höher der Eigenwert liegt. Greift man die Überlegungen des Abschnitts 3.2.3 über die Konstruktion der Eigenfunktionen wieder auf und untersucht die Zunahme der Knotenzahl der Funktionen y_ und y+ mit wachsender Energie E, so erhält man folgende genauere Aussage (s. Aufgaben 4 und 5):

Ordnet man die Eigenzustände nach wachsender Energie EI, E2, •.. , En , ... , so sind die Eigenfunktionen auch nach wachsender Knotenzahl geordnet. Die note Eigenfunktion hat (n-I) Knoten und zwischen je zwei Knoten haben alle folgenden Eigenfunktionen mindestens einen Knoten.

3.2.6

Orthogonalitätsrelationen

Eine. weitere, sehr wichtige Folgerung ergibt sich aus dem Theorem von Wronski (Korollar I), wenn man in Gleichung (3.27) die Integrationsgrenzen gegen __ 00 und + 00 gehen läßt. Seien YI und Y2 zwei Eigenfunktionen des diskreten Spektrums. Sie verschwinden beide im Unendlichen und mit ihnen ihre Wronskische Determinante. Da ~ - EI *- 0, folgt (3.42)

Allgemeine Eigenschaften der eindimensionalen Schrödinger-Cleichung

105

Verschwindet das Integral des Produkts YI Y2 der bei den (reellen) Funktionen, erstreckt über den gesamten Raum, so sagt man, diese bei den Funktionen seien orthogonal Allgemeiner nennt man zwei komplexe Funktionen YI und Y2 orthogonal, wenn

v

I'+" Y; Y2 dx =

O.

-YO

Folglich sind die Eigenfunktionen des diskreten Spektrums orthogonal. Dies gilt auch dann, wenn nur eine der beiden Funktionen zum diskreten Spektrum gehört. Gehören beide Eigenfunktionen zum kontinuierlichen Spektrum, so ist der Grenzübergang in Gleichung (3.27) etwas diffiziler. Die Wronskische Determinante W(y 1, Y2) oszilliert an wenigstens einer der Intervallgrenzen; das gleiche gilt also auch für das Integral !Y1Y2 dx. Ersetzt man indessen wenigstens eine der Eigenfunktionen, z.B. Y2, durch ein Wellenpaket, das aus Eigenfunktionen eines kleinen Energiebereichs {j e um e besteht, so ergibt sich wieder die Orthogonalitätsrelation, falls {je « lel - e2 1. Zum Beweis schreiben wir Y2 in der Form y(x; e), um auf die Energieabhängigkeit hinzuweisen 6), und bilden das Wellenpaket (3.43) Weil W(YI, Y2) von der Funktion Y2 linear abhängt, erhält man nach Integration von (3.27):

Nun strebt Y2 in den asymptotischen Bereichen, in denen Y2 oszilliert, (wie I/x) gegen Null. Wenn man daher a und b gegen - 00 bzw. + 00 gehen läßt, geht die linke Seite der Gleichung gegen Null, und die Summe der beiden konvergenten Integrale der rechten Seite ist Null. Für den Grenzfall {je ~ 1e2 - el I kann das zweite Integral vernachlässigt werden. Deshalb läßt sich schreiben: (3.42')

Das durch Gleichung (3.43) definierte Wellenpaket Y2 (x;{je) nennt man "Eigendifferential" der Funktion Y2 (x). {je ist dabei eine sehr kleine Größe, die man am Ende der Rechnungen gegen Null gehen läßt.

6)

Die Angabe von e allein genügt nicht zur Definition der Lösung Y (X; e). Diese hängt aul~er­ dem von einer bzw. zwei willkürlichen Konstanten ab, je nachdem ob der Eigenwert einfach oder entartet ist. Diese Willkür schließt man durch eine geeignete Bedingung hinsichtlich der asymptotischen Form von Y(X; e) an einer der Grenzen - 00 oder + 00 des lntegrationsbereichs aus.

106

3 Eindimensionale Quantensysteme

Wir sehen also, daß zwei Eigenfunktionen zu verschiedenen Eigenwerten des Spektrums orthogonal sind. Dabei gilt die Vereinbarung, in der Orthogonalitätsrelation (Gleichung (3.42')) wenigstens eine der Eigenfunktionen durch ihr Eigendifferential zu ersetzen, wenn die beiden Eigenfunktionen zum kontinuierlichen Spektrum gehören. Wir sind über den Begriff des Eigendifferentials recht schematisch hinweggegangen. In der Praxis wird er nie gebraucht. Wir werden später sehen, daß man einen eleganten mathematischen Apparat entwickeln kann, in dem die Orthogonalitätsrelation ohne Zuhilfenahme dieses Begriffs ganz allgemein gilt.

3.2.7

Bemerkung über die Parität

Kehren wir zum Begriff der Parität zurück, der uns das erste Mal beim unendlichen tiefen Potentialtopf begegnete. Es handelt sich hierbei um eine ganz allgemeine Eigenschaft. Ist das Potential gerade,

U(x)

= U(-x),

so ändert sich der Hamilton-Operator nicht, wenn man x mit -x vertauscht: Er ist invariant gegenüber einer Spiegelung am Ursprung. Ist folglich l/J (x) eine Eigenfunktion zum Eigenwert E,

Hl/J(x) = El/J(x), so bleibt diese Gleichung erhalten, wenn man x mit -x vertauscht,

Hl/J (-x)

= EH -x).

Mit l/J(x) und l/J( -x) sind auch die gerade Funktion l/J(x) + l/J( -x) und die ungerade Funktion l/J(x) - l/J(-x) Eigenfunktionen zum selben Eigenwert E. Mindestens einer dieser beiden Funktionen ist sicher nicht identisch Null. Zwei Fälle können denmach auftreten.

(i) Der Eigenwert E ist nicht entartet. Die vier Funktionen sind Vielfache voneinander: l/J(x) ist Vielfaches derjenigen der beiden Funktionen l/J(x) + l/J(-x) oder l/J(x) - l/J( -x), die nicht identisch verschwindet (die andere verschwindet dann notwendigerweise ). Anders ausgedrückt: Die Eigenfunktionen des nicht entarteten Teils des Spektrums haben eine wohlbestimmte Parität. Die einen sind gerade, die anderen ungerade. Außerdem hat eine gerade Funktion eine gerade Zahl, eine ungerade eine ungerade Zahl von Knoten. Wenn man also die Eigenfunktionen nach wachsenden Energieeigenwerten ordnet, so sind diese Funktionen abwechselnd gerade und ungerade; die Eigenfunktion zum Grundzustand ist immer gerade. Die Ergebnisse in Abschnitt 3.1.4 bestätigen diese Aussage. (U) Der Eigenwert E ist entartet. In diesem Fall kann man alle Funktionen auf die Form "Al/J + /11{) bringen, wobei l/J und I{) zwei linear unabhängige Eigenfunktionen sind. Wir nelllnen an, daß mindestens eine dieser beiden Funktionen, z.B. l/J, keine bestimmte Parität hat: In diesem Fall ist keine der Funktionen

Allgemeine Eigenschaften der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung

107

1/1+ = l/I(x) + I/I(-x) und 1/1-- = I/I(x) -- I/I(-x) identisch Null. Diese bei den Funktionen mit entgegengesetzter Parität sind notwendig linear unabhängig und Eigenfunktionen zum selben Eigenwert E. Man kann also 1/1, \{J und folglich auch AI/I + Jj\{J als Linearkombination dieser beiden Funktionen schreiben. Darum lassen sich die Eigenfunktionen zu einem entarteten Eigenwert stets als linearkombination von zwei Funktionen darstellen, die jede eine wohlbestimmte Parität besitzen. Man kann sich übrigens leicht davon überzeugen, daß alle Eigenwerte des kontinuierlichen Spektrums zweifach entartet sind und daß zu jedem Eigenwert eine gerade Eigenfunktion (deren Ableitung im Ursprung verschwindet) und eine ungerade (im Nullpunkt verschwindende) Eigenfunktion gehört. Es ist in der Quantenmechanik häufig der Fall, daß der Hamilton-Operator gegenüber bestimmten Transformationen invariant ist. Aus dieser Invarianzeigenschaft ergeben sich bestimmte charakteristische Symmetrieeigenschaften der Eigenlösungen der Schrödinger-Gleichung. Die Parität ist dafür ein einfaches Beispiel.

Aufgaben 1. Man berechne für den in Abschnitt 3.1.5 angegebenen Potentialtopf die Konstanten P, Q, R, S des Ausdrucks (3.22) als Funktion der Topfparameter und verifiziere den Ausdruck (3.23) für den Transmissionskoeffzienten und die ErhaltungsausTI« I, bestimme sage (3.24). Unter der Voraussetzung, daß KL »1T und man die "Durchgangszeit" der transmittierten und die "Reflexionszeit" der reflektierten Welle. Man zeige die Resonanzfalle auf und vergleiche die Bewegung der transmittierten Welle mit der des zugehörigen klassischen Teilchens.

r
*(p) durch die dazu konjugiert komplexe Funktion und Px durch (h/i) (ajax), wobei (a/ax) die partielle Ableitung nach x der rechts davon stehenden Funktion bedeutet. In analoger Weise gelangt man von Gleichung (4.15) zum Ausdruck •

(x) = •

~

i

\

I *(p) ( ifi ~P.;:: ) (p) dp. •

L

Diese Ergebnisse kann man verallgemeinern. So folgt aus der Tatsache, daß (als quadratintegrabel vorausgesetzt) die Fourier-Transformierte von

Pi cf>(p)

fi. ;), 2

( -. -- ) 'F(r) I

Jx·

= -

;)2'1' fi.2 Jx2

ist (wiederholte Anwendung von Satz 1II aus Anhang A),

(4.18)

Statistische Deutung der Wellenfunktion in der Wellenmechanik

•

I.q:J* p!x"q:Jdp =

u 'V d,.. f 'V* ----ux2

117

2

-

fi2

.

(4.19)

Ist allgemeiner G(p) ein Polynom oder eine absolut konvergente Reihe in Px, Py, Pz, so hat man

(G(p»

=

J'F*(r)

G(~ V) 'V(r) dr,

(4.20)

vorausgesetzt, daß bestimmte Konvergenzbedingungen erflillt sind. Unter denselben Voraussetzungen ergibt sich für den Erwartungswert von F(r): (F(r»

=

.r

q:J*(p) F(ifi V/I) q:J(p) dp.

(4.21)

Nachdem wir über hinreichend viele Ergebnisse verfügen, um die allgemeine Diskussion aufnehmen zu können, wollen wir die statistische Deutung von 1If zunächst nicht weiter behandeln. Die Angabe von 1If bestimmt nicht nur die Statistik der Orts- und Impulsmessungen und die Aussagen, die sich daraus ftir die Mittelwerte solcher Größen wie F(,) und G(p) ergeben. Sie muß auch die Statistik ftir die Messung irgendeiner physikalischen Größe liefern. Im ftinften Kapitel werden wir dieser Frage nachgehen. Hier begnügen wir uns mit einigen Bemerkungen, die uns bei unserer Untersuchung leiten werden: Die Größen und sind reell; das folgt aus ihrer Definition. Damit sind es auch die rechten Seiten der Gleichungen (4.15) und (4.17). Mit anderen Worten, die Operatoren x und (tJ/i) (ajax) sind hermitesch, denn das ist gerade die Definition der Hermitezität [so Gleichung (4.8)]. Auch die beiden anderen Komponenten von, und - iiiV_ sind hermitesche Operatoren und schließlich die Operatoren F(,) und G( - ifiV). falls die Funktionen Fund G reell sind. Betrachten wir die Ausdrücke rur die Erwartungswerte, die mit der Funktion 'P gebildet sind [Gleichungen (4.13), (4.20), (4.15) und (4.17)]. Sie haben alle dieselbe Form. Zu der Größe, von der man den Erwartungswert nehmen will, gehört ein bestimmter linearer (hermitescher) Operator A, und der gesuchte Wert ist durch den Ausdruck

('V*A'Ydr

(4.22)

gegeben, in dem nach der üblichen Konvention der Operator auf die Funktion von , wirkt, die rechts von ihm steht. Diesen Operator erhält man durch eine sehr einfache Korrespondenzvorschrift: Handelt es sich um eine Funktion F(,) der Lagekoordinaten, so ist der Operator die Funktion selbst; handelt es sich um eine Funktion G(p), so erhält man den zugehörigen Operator, indem man in G die Komponenten von p durch die Komponenten von - iiiV ersetzt. Wir treffen hier wieder die Korrespondenzregel (2.17) bezüglich des Impulses p und des Operators - ili V an, mit deren Hilfe wir u.a. die Schrödinger-Gleichung aufstellten.

118

4 Statistische Deutung des Welle-Teilchen-Dualismus und Unschärferelationen

Es spi~lt keine Rolle, ob diese Erwartungswerte mit 'P oder mit gebildet werden: Die mit gebildeten Ausdrücke (4.21), (4.14), (4.18) und (4.16) sind jeweils den mit 'P gebildeten Ausdrücken (4.13), (4.20), (4.15) und (4.17) äquivalent. Sie sind sich sogar in der Fonn ähnlich. Zu der Größe, von der man den Erwartungswert nimmt, gehört ein bestimmter linearer (hermitescher Operator B - diesmal auf die Funktionen von p wirkend - und der gesuchte Wert ist durch den Ausdruck gegeben:

I * B dp .

(4.23)

Den Operator B erhält man durch eine ähn1iche Korrespondenzvorschrift wie den Operator A: Handelt es sich um eine Funktion G(p), ist der Operator die Funktion selbst; ist er eine Funktion F(r), so erhält man ihn, indem man in F die Komponenten von r durch die Komponenten von ifi vAvj! "'" (;)/;)P.l"' Z'jZ'py, a/apz» ersetzt. So wie die Wellenfunktionen 4> und 'I! äquivalente Darstellungen ein und desselben Zustands sind, so sind die Operatoren Bund A äquivalente Darstellungen ein und derselben physikalischen Größe. Die Berechnung physikalisch meßbarer Größen, wie z. B. der hier betrachteten Erwartungswerte, kann auf fonnal identische Weise in der einen oder der anderen dieser Darstellungen erfolgen. Das läßt vermuten, daß die Quantentheorie allgemein, d.h. unabhängig von irgendeiner Darstellung fonnuliert werden kann. Diesen allgemeinen fonnalen Aufbau werden wir im siebenten und achten Kapitel behandeln.

4.1.5

Erweiterung auf Mehrteilchensysteme

Die vorstehenden Definitionen und Ergebnisse kann man ohne Schwierigkeit auf quantenmechanische Systeme mit mehr als einem Teilchen erweitern. Sei ganz allgemein 'I! ( ql' ... , qR; t) die Wellenfunktion eines Quantensystems mit R Freiheitsgraden, dessen dynamische Variablen die R Koordinaten ql, ... , qR und die dazu kanonisch konjugierten Impulse PI, . . . , PR sind. Wir nehmen an, daß die Koordinaten kartesisch sind, und bezeichnen mit dr == dql ... dqR und dw == dpl ... dPR die Volumenelemente im q- bzw. p-Raum. Die Wellenfunktion im p-Raum ist (PI' ... , PR ; t)

=

-(i/ti)

(2TCfi)-!Il< ( 'Y(ql"'" q/( ; t) e

'Lp. q. Pi

d7

1'I!1 2 ' dr ist die Wahrschein1ichkeit, die Koordinaten q im Bereich (r, r + dr) zu finden, 14>1 2 dw die Wahrschein1ichkeit, die Impulse P im Bereich (w, w + dw) zu finden. Das weitere entspricht dem Inhalt der vorangegangenen Abschnitte. Um dies zu illustrieren, betrachten wir ein Zweiteilchensystem und bezeichnen mit rdxI, YI, z\), '2(X2, Y2' Z2) die Lage der Teilchen und mit pdPx\, Py\, PZl), P2(PX2, PY2' PZ2) deren Impulse. P(,\, '2) dr\ dr2 ist die Wahrscheinlichkeit, das

Statistische Deutung der Wellenfunktion in der Wellenmechanik

119

Teilchen 1 im Volumenelement ('1, 'I + drl ) und das Teilchen 2 im Volumenelement ('2,'2 + dr2) zu finden. IT (PI, P2) dpl dp2 ist die Wahrscheinlichkeit, den Impuls des Teilchens 1 im Bereich (PI, PI + dpd und den des Teilchens 2 in (P2' P2 + dp2) zu finden. Man kann auch die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte PI ('I) daftir definieren, daß das Teilchen 1 sich im Punkt 'I und das Teilchen 2 irgendwo befindet. Diese Größe liefert die statistische Verteilung, die man bei einer Lagemessung am Teilchen 1 erhält, ohne sich um die des Teilchens 2 zu kümmern. Man hat offensichtlich

PIer]) = fP(r 1 • r z) dr z· Ebenso kann man die Wahrscheinlichkeitsdichten P2 ('2), IT I (Pd und IT2 (P2) einfUhren. Alle diese Funktionen sind wesentlich positive Größen, die den Normierungsbedingungen genügen:

f f P(rl' rz)

dr l dr 2 = 1, ... , .

(TI

2

(Pz) dP2 = 1

(Das Symbol JJdrl dr2 bezeichnet das sechsfache Integral über den gesamten Konfigurationsraum, das Symbol fdp2 ein dreifaches Integral über den Impulsraum des Teilchens 2 usw.), Der Zustand des Zweiteilchensystems in einem bestimmten Zeitpunkt ist durch die Wellenfunktion '1'('], '2) zu diesem Zeitpunkt bestimmt. Durch Fourier-Transformation erhalten wir die Wellenfunktion im Impulsraum:

fJ>(Pl,P2) = (27th)-3.((e- i (p,.r,+p,.r,l/ti \f"(rl , 1'2) dr} ct"2 'Y(rl' r 2)

=

(27th)

.3,( (ei (P,' r, +p,'

r,)! li

fJ>(PI' P2) dpl dpz.

Die Verallgemeinerung der Definitionen (4.2) und (4.6) ist offenkundig: (4.24) und die Normierungsbedingungen für die Wahrscheinlichkeiten verlangen die Normierungsbedingung für die Wellenfunktionen: . ( ( 1 'Y(r l ,

r2) 12 dr} dr 2 =

.r (

I

fJ> (PI' P2)

12

c1p} c1P2 = 1.

Diese Bedingung kann zu allen Zeiten erfüllt werden, wenn der Hamilton-Operator des Systems hermitesch ist, was ohne Mühe nachgewiesen werden kann. Die Funktionen 'I' und sind also bis auf eine willkürliche konstante Phase bestimmt. Aus den vorstehenden Definitionen ergeben sich verschiedene weitere, oben eingefUhrte Verteilungen. So ist z.B.

Ebenso erhält man die Erwartungswerte der Funktionen F(r!, 'z) und G(p!, p z), so

Z.B.

120

4 Statistische Deutung des Welle-Teilchen-Dualismus und Unschärferelationen

Alle am Ende von Abschnitt 4.1.4 gemachten Bemerkungen behalten ihre Gültigkeit. Falls die Wellenfunktion 'l1('I, '2) faktorisiert werden kann:

'l1('I, '2)

= 'l11('I) 'l12('2)

('l1(rd und 'l1(r2) seien auf Eins normiert), so gilt das auch für die Funktion im Impulsraum und die Verteilungen P und n:

das ergibt sich leicht aus den Definitionen dieser Größen. Mit anderen Worten: Es gibt zwischen den Statistiken der an jedem einzelnen Teilchen ausgeführten Messungen keine Korrelation. Die statistischen Aussagen über die an einem der Teilchen, z.B. dem Teilchen 1, erfolgten Messungen sind dieselben, wie wenn dieses sich in einem Zustand befindet, der durch die Wellenfunktion 'l1(rl) repräsentiert wird. Man zeigt ohne Mühe, daß tatsächlich Pdrl) = l'l1d'I)1 2 und III (PI) = 1 + A2 _

(5.6)

Der Zusammenhang zwischen der klassischen Hamilton-Funktion und dem Hamilton-Operator (Abschnitt 2.2.7) ist ein Sonderfall der Zuordnung von dynamischen Variablen und linearen Operatoren. Die in Abschnitt 2.2.7 gemachten Einschränkungen gelten auch fUr den allgemeinen Fall. Die Koordinaten q sind auf jeden Fall kartesische. Außerdem ist die Definition des Operators A nicht eindeutig, wenn die in (i) vorgeschriebene Zuordnung zu Operatoren fUhrt, die nicht miteinander vertauschen. In der Praxis vermeidet man diese Mehrdeutigkeit, indem man sich auf die in Abschnitt 2.2.7 angegebenen empirischen Regeln stützt. Wenn die dynamische Variable -il: eine physikalische Größe darstellt, so ist sie eine reelle Funktion der q und p, und die Meßergebnisse von .it und damit auch der Erwartungswert ,

und zwar fUr jeden beliebigen Zustand des Systems, in dem man eine Messung vornimmt, d.h. fUr jede beliebige Wellenfunktion. Mit anderen Worten, der Operator A muß hermitesch sein. Man sieht leicht - wir werden dies bei allen folgenden Beispielen feststellen -, daß man stets, sobald nur die Operatoren qi und (h!i)a/aqi hermitesch sind, nach dem Postulat (i) jeder dynamischen Variablen einen. henniteschen Operator zuordnen kann. Die "Symmetrisierungsvorschrift" in Abschnitt 2.2.7 ist gerade zu diesem Zweck angegeben worden. Die Eigenschaften hermitescher Operatoren werden systematisch in Abschnitt 5.2.1 und den folgenden untersucht. Wir weisen hier nur auf eine wichtige Eigenschaft dieser Operatoren hin. Ist A hermitesch, so ist der mit einer Linearkombination

reell. Das muß für jede beliebige komplexe Zahl " gelten. Da (e

e

5):

(5.1l)

y(x; E') dE'.

Das ist eine quadratintegrable Funktion, und die mit einer solchen Wellenfunktion berechneten Größen (H) und MI haben einen wohlbestimmten Sinn. Mit Hilfe der Gleichungen (5.10) und (5.11) sieht man leicht, daß

< Y e, HY e > < >

(H) = --~-- ""' Y e, Y e l>e~O

E

+ O(OE),

1

Folglich geht die Abweichung flH == V so erhält man wegen der Orthogonalität von 1/11 und 1/12

AI (1/11> 1/11)

=0

also ist notwendig AI gleich Null. Auf die gleiche Weise zeigt man, daß A2 = O. Ist a ein n-fach entarteter Eigenwert, so kann stets jede seiner Eigenfunktionen als Linearkombination von n (speziellen) linear unabhängigen Eigenfunktionen 1/1(1), 1/1(2), . • • , 1/I(n) dargestellt werden. Die Willkür bei der Wahl dieser n Basisfunktionen ist groß. Man kann aber stets erreichen, daß sie auf Eins normiert und paarweise orthogonal sind. Ausgehend von einer Folge 1/1(1), . . • , 1/I(n) , die diese Eigenschaften nicht hat, kann man Z.B. die folgenden Schritte ausfUhren (Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren): Man definiert =

(5.25')

3(p' - p")_

Diese Beziehung ist die Verallgemeinerung der Orthonormierungsbeziehung (5.25) fur das kontinuierliche Spektrum. Man kann die "Dirac-Funktion" 0 (x) als den Grenzwert einer Funktion ansehen, die bis auf ein kleines Intervall um den Punkt x = 0 gleich Null ist, dort aber einen sehr steilen und schmalen Pik so aufweist, daß das Integral über alle x ·stets gleich Eins ist. Geht die Breite des Piks gegen Null, so hat man 3(x) =

i 0

, x*-O (+oo,x=O

( +"" Sex)

und l

dx = 1.

(5.31)

-00

o(x) ist sicher keine Funktion im üblichen Sinn, denn das Integral einer Funktion, die bis auf einen Punkt überall verschwindet, kann nur gleich Null sein. Wir befassen uns hier nicht mit der mathematischen Rechtfertigung der Anwendung der "Dirac-Funktion". Dazu müßte man einen neuen Begriff, den der Distribution, einfUhren, der die gewöhnlichen Funktionen (genauer: die lokal integrierbaren Funktionen) als Spezialfälle enthält. Die Mathematiker sprechen nicht von der Funktion o(x - x o ), sondern von der Distribution ox o [f], definiert als das Funk8) Streng genommen haben wir bereits bei der Aufstellung von Gleichung (5.29) einen mathe-

matischen Fehler gemacht. Die richtige Gleichung lautet 'f>(p')

=

< Up',

j'cP(p")

Up"

dp"

>

Aus ihr ergibt sich Gleichung (5.29) durch Vertauschung der Integrationsreihenfolge. Das ist sicher nicht gerechtfertigt, denn das Skalarprodukt

Statistik der Messungen im allgemeinen Fall

167

tional von f(x), das gleich f(x o) ist. Die Gleichung (5.30) muß also durch folgende Definition ersetzt werden:

Da der Begriff der Distribution dem Leser unter Umständen noch nicht geläufig ist, werden wir ihn so wenig wie möglich verwenden und statt dessen weiter die (inkorrekte) Bezeichnung {j (x - xo) benutzen, die fraglos formale Vorzüge hat. Die grundlegenden Rechenregeln findet man zusammen mit einigen sehr summarischen Angaben über die Distributionstheorie in Anhang A. Kehren wir zum Problem der p-Messung zurück. Die Eigenlösung u(p'; q) der Gleichung (5.24') ist die Funktion c eip'q /h. Die Orthonormierungsbeziehung (5.25') ist erftillt, wenn man c = 1/y!27Th setzt, d.h.

1

., /fl

/~ elP q .

u(p';q) =

'" 27th Damit erhält man unter Verwendung von Gleichung (A.22):

< u1/,

u//'

>=

1 27th

J+" e'(" ') _CL

1

P -p q /fl

dq = S(p' -

p").

Außerdem sind die Eigenfunktionen up ' vollständig, denn jede (quadratisch integrierbare) Funktion 1/;(q) kann auf die folgende Form gebracht werden (Eigenschaften des Fourier-Integrals): Iji(q) =

f.

~

eip'qjti

tp(P') / ___ dp'. 27th

1

_YO

'"

Der KoeffIZient -.p(p') dieser "Entwicklung nach Eigenfunktionen" ist gleich dem Skalarprodukt (u p ', 1/;>. Denn es ist:

= =

r'

x

cp(p")

. . . , qR) eine Eigenfunktion zum Eigenwert a(v) des kontinuierlichen Spektrums. Sie ist eine stetige Funktion des Parameters v, deren Norm sicher nicht endlich ist (im Funktionenraum ist das ein "Vektor mit unendlicher Länge"). Das Eigendifferential

.1.( , (~v) -ifv+~v v 'f v

; ql' ... , qn ) d v'

sei dagegen - wir setzen es voraus - eine Funktion mit endlicher Norm, die ftir ~v gegen Null gegen eine Konstante geht. Wir wissen, daß bei einem eindimensionalen System die Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums des HamiltonOperators diese Eigenschaft haben (s. drittes Kapitel). Man zeigt leicht, daß das auch ftir die in Abschnitt 5.3.1 behandelten Operatoren q und (h/i) d/dq gilt. Man sagt oft, eine Funktion sei normierbar, wenn ihre Norm endlich ist. In Verallgemeinerung dieser Ausdrucksweise verwenden wir diese Kennzeichnung auch ftir Funktionen mit nicht endlicher Norm, deren Eigendifferentiale aber eine endliche Norm haben. In diesem Sinne sind die Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums genauso normierbar wie die des diskreten Spektrums, obwohl sie nicht zum Hilbert-Raum gehören. Wendet man die Bezjehung (5.8) (die zunächst nur für quadratintegrable Funktionen $ und 'i' Sinn hat) in geeigneter Weise auf die Eigendifferentiale statt auf die Eigenfunktionen an, so erhält man die wesentlichen Eigenschaften des kontinuierlichen Spektrums als Gegenstück zu den in Abschnitt 5.2.1 angegebenen Eigenschaften des diskreten Spektrums: (i) Jeder Eigenwert a(v) ist reell;

(ii) zwei Eigenfunktionen zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. Die Orthogonalitätseigenschaft ist die Verallgemeinerung der Gleichung (3.42'). Es ist nicht korrekt,

= (r)

(/")

'" '" 0",,' O/,/,'

(5.38/1)

0

(5.38/2)

~"/" ~(p

-

p') S( v -

v')

(5.38/3)

erhält man die notwendigen und hinreichenden Bedingungen daftir, daß das System I

Man kann also die Theorie der Abschnitte 5.2.1 und 5.2.2 anwenden, mit dem Ergebnis, daß die Wahrscheinlichkeit daftir, daß q' = n7J, gleich 7J1I/J(n7J)I' ist. Für '1---> 0 geht der Unterschied zwischen benachbarten Eigenwerten gegen Null, das Spektrum wird kontinuierlich. Das zu einem nichtverschwindenden Wert des Ortes q' = n'l gehörende n geht gegen Unendlich. Die Wahrscheinlichkeit aber, diesen genauen Wert des Ortes zu finden, ist proportional zu '1 und geht also gegen Null. Tatsächlich hat diese Wahrscheinlichkeit keinen Sinn, denn das Spektrum ist kontinuierlich. Was man feststellen will, ist die Wahrscheinlichkeit P(q') Bq', das Teilchen im Intervall (q', q' + Bq') zu finden, d. h.

P(q') oq' = L:(q',q'Hq') 'Y) IIji(n'Y) :", die Summe läuft dabei über alle n, ftir die n7J im Intervall (q', q' + Bq') liegt. Ist Bq' konstant, aber genügend klein, so sind die Bq' /7J Glieder dieser Summe praktisch alle gleich 7J1I/J (q') I'. Für 7J ---> 0 ist also

P(q') oq' =

I

~(q')

12

Oq'.

Man kann die Entwicklung (5.45) auch so schreiben:

-1-:1.)

ljix =

L

lji(n'Y)

~

X 'Y)

n=:-ef)

=

L

Iji(q') vr,(q') X 1),

(/,

wobei U[' die Summe über die (diskrete) Folge der Werte q'

( ')

Vn q

=

-t 1)

j 'Y)-I, wenn u" =

q -

= n7J

bezeichnet und

7J < q' .;; q

/ 0 sonst.

Geht 7J gegen Null, so strebt die Reihe gegen das Integral über das Produkt von I/J (q') mit dem Grenzwert der Funktion v 7J (q'). Dieser Grenzwert ist genau B(q' - q). Man erhält also wieder die Entwicklung (5.32).

In einer analogen Behandlung der Impulsmessung beschränkt man q auf das Intervall (- L/2, +L/2), wobei L am Ende gegen Unendlich geschickt wird. Damit der Operator p = (h/i) d/dq hierbei hermitesch ist, müssen die Funktionen -./I (q) des Funktionenraumes an den Grenzen des Intervalls geeigneten Bedingungen genügen. Die Hermitezitätsbedingung lautet hier nämlich für beliebige Funktionen .p(q) und -./I ( q):

- J+L,/2 m* (lid~) _L2 T

idq

dq - J.L2('~d + ( ZlA --VI ) •

Hieraus ergibt sich die allgemeine Gleichung ftir die zeitliche Änderung des Mittelwerts von A:

ifi~ (A) = ([A, R]) + ifi (~~

).

(5.72)

Ersetzt man A durch den Operator exp(i~A), so erhält man eine analoge Gleichung fUr die zeitliche Änderung der charakteristischen Funktion der statistischen Verteilung von A. Insbesondere ist ftir jede Observable C, die mit dem Hamilton-Operator vertauscht [C, H)

= 0,

und die überdies nicht explizit von der Zeit abhängt: d

-(0

dt

= 0.

Der Erwartungswert von C bleibt zeitlich konstant. Allgemeiner: Vertauscht C mit exp(i~C) mit H und folglich gilt

H, so vertauscht auch die Funktion

d

dt

·~c (el~ ) =

o.

Die charakteristische Funktion und damit die statistische Verteilung der Observablen C bleiben zeitlich konstant.

Kommutatoralgebra und ihre Anwendungen

191

In Analogie zur klassischen Mechanik heißt C Konstante der Bewegung 15). Ist insbesondere die Wellenfunktion zum Anfangszeitpunkt eine Eigenfunktion von C zu einem bestimmten Eigenwert c, so bleibt diese Eigenschaft im zeitlichen Verlauf erhalten. Man sagt, C sei eine "gute Quantenzahl". Hängt speziell H nicht explizit von der Zeit ab und wird der Zustand des Systems zur Zeit t o durch eine gemeinsame Eigenfunktion von Hund C beschrieben, so ändert sich die Wellenfunktion bis auf einen Phasenfaktor zeitlich nicht. Die Energie und die Variable C bleiben wohlbestimmt und zeitlich konstant.

5.5.4

Beispiele für Konstanten der Bewegung. Energie. Parität

Es gibt eine Observable, die stets mit dem Hamilton-Operator kommutiert: der Hamilton-Operator selbst. Die Energie ist also eine Konstante der Bewegung für alle Systeme, deren Hamilton-Operator nicht explizit von der Zeit abhängt. Dieses Resultat ergab sich bereits in Abschnitt 5.3.5. Eine weitere mögliche Konstante der Bewegung ist die Parität (s. Abschnitt 3.2.7). Das ist die Observable P, die durch die Gleichung Pif;(q) = if;(-q)

definiert ist. Man zeigt leicht, daß P hermitesch ist. Außerdem ist p 2 = 1 und folglich sind +1 und -1 die einzigen möglichen Eigenwerte von P. Zu +1 gehören die geraden Funktionen, zu -1 die ungeraden.

Ist der Hamilton-Operator gegenüber der Substitution q in -q invariant, so ist offensichtlich [P, H]

= O.

Man erhält in der Tat, wenn ft

d) H(--: . ft -dd ,-q),\ q /

H(-=-I d-' q q\

=

1

für beliebiges if; ( q)

Hat unter diesen Bedingungen die Wellenfunktion zu einem gegebenen Anfangszeitpunkt eine bestimmte Parität, so behält sie diese flir alle Zeiten. Diese überlegungen lassen sich ohne Schwierigkeiten auf mehrdimensionale Systeme verallgemeinern, also auch auf Systeme von mehreren Teilchen, flir die die Paritätsoperation mit einer Raumspiegelung (ri --+ - ri) verknüpft ist. Die Paritätsobservable ist dann definiert durch

15)

Auch: Erhaltungsgröße.

192

5 Der Formalismus der Wellenmechanik und seine Deutung

Aufgaben 1. Man beweise, daß aus den drei Eigenschaften (i), (ii) und (iii) des Skalarprodukts (Abschnitt 5.1.1) die Schwarzsehe Ungleichung

folgt. (Hierzu schreibe man an, daß die Norm einer beliebigen Linearkombination von 'P und t/I notwendig positiv oder Null ist.) Man weise nach, daß das Gleichheitszeichen genau dann gilt, wenn 'P und t/I linear abhängig sind. 2. Man betrachte das Eigenwertproblem des Operators p = (h/i)djdq, der auf die in (- 00, + 00) definierten Funktionen t/I (q) wirkt. Man zeige, daß das Spektrum kontinuierlich ist und die Eigenfunktionen keine endliche Norm haben, daß man aber durch Superposition von Eigenfunktionen zu benachbarten Eigenwerten Funktionen mit endlicher Norm bilden kann (Eigendifferentiale), fiir die die quadratische Abweichung t:.p beliebig klein gemacht werden kann. Dasselbe zeige man ftir den Operator p'

fj'

2m = -2m

d'

ilq··

3. Man betrachte den Operator q, der auf die Funktionen t/I(q) in (_00, +00) mit endlicher Norm wirkt. a) Man konstruiere eine Folge stetiger Funktionen, die so von einem Parameter IJ abhängen, daß ihre Norm und der Erwartungswert V(x) E< V(x)

(6.46)

Man vergleiche dieses Kriterium mit der Bedingung (6.26) für die Gültigkeit der klassischen Näherung im allgemeinen. Das Kriterium läßt sich genauso gut durch eine Ungleichung ausdrücken, in der das Potential V(x) und seine erste Ableitung enthalten sind:

Die WKB-Methode

I mtiV' I 3« 1.

i 2m(E - V) 6.2.4

211

(6.47)

I~

Umkehrpunkte und Anschlußbedingungen

In der Mehrzahl der Fälle, bei denen die WKB-Näherung benutzt wird, ist die Bedingung (6.47) nur in der Umgebung der Punkte nicht erflillt, rur die

E

= V(x).

Das sind die Umkehrpunkte der klassischen Bewegung, Punkte, in denen die Geschwindigkeit des Teilchens verschwindet und sich ihr Vorzeichen umkehrt. Mathematisch gesehen, besteht die WKB-Näherung in der Ersetzung der SchrödingerGleichung

y"

+ X~= 0

durch die Gleichung

yW + (~- (~r)y

=

0

(6.48)

(sowohl im Bereich E > V als auch im Bereich E < V, in dem I\. = il). Man verifiziert in der Tat leicht, daß die Ausdrücke (6.42) und (6.44) die allgemeine Lösung von Gleichung (6.48) darstellen. Diese Gleichung weist in den Punkten a, in denen die Wellenlänge unendlich wird, eine Singularität von der Form (x _ay2 auf, d.h. also in jedem Umkehrpunkt. In der Umgebung dieser Punkte ist die Ersetzung der Schrödinger-Gleichung durch Gleichung (6.48) sicher nicht mehr erlaubt. Um die vollständige Lösung zu erhalten, muß man darum die Schrödinger-Gleichung in einer geeigneten Umgebung der Umkehrpunkte lösen, und diese Lösung an die Lösungen (6.42) oder (6.44) anpassen, die ja die Wellenfunktion in den anschließenden Bereichen darstellen, in denen die WKB-Näherung erlaubt ist. In der Praxis braucht man die genaue Gestalt der Lösung in der Umgebung des Umkehrpunktes nicht zu kennen, wenn man nur weiß, wie die WKB-Lösung auf beiden Seiten dieses Punktes anschließen. Dieses Anschlußproblem ist mathematisch schwierig; Einzelheiten darüber findet man im Artikel von Langer 91. Die von ihm angegebene Lösung besteht darin, die Schrödinger-Gleichung durch eine andere Gleichung als (6.48) zu ersetzen. Diese weist keine Singularität im Umkehrpunkt auf und strebt von beiden Seiten asymptotisch gegen Gleichung (6.48). Ihre allgemeine Lösung geht auf der entsprechenden Seite dieses Punktes asymptotisch gegen die Lösung (6.42) bzw. (6.44). Wir beschränken uns hier auf die Angabe der Anschlußbedingungen zwischen der exponentiellen WKB-Lösung auf der einen Seite und der oszillatorischen WKB-Lösung auf der anderen Seite des Umkehrpunktes.

212

6 Klassische Näherung und WKB-Methode

Nehmen wir z.B. an, daß E S V für x S a (Potentialstufe nach links). Die allgemeine Lösung ist eine Unearkombination der beiden Lösungen Yl und Y2, deren asymptotische Formen wie folgt lauten:

x» a

x« a

Yl --

,

V-I exp (f"dX) + xT

Yl -- - "2 sin

Vi

Y2 -- A21 cas

(fadX) x T

Y2 -- 2 exp -

(

(f'''dX - - -7t)

«"

4

('l'dx . - - -7t) . ~ 4

a"

(6.49)

(6.50)

Wir definieren die "Zahl der Wellenlängen", die in einem bestimmten Intervall (Xl, X2) enthalten sind, durch das Integral (1/27t)/;~'(dx/A) bzw. (1/2 7t)j~:" (dx/I) , je nachdem, ob man sich rechts bzw. links vom Umkehrpunkt befindet. Die Voraussetzungen für die Gültigkeit dieser Anschlußbedingungen sind dann die folgenden: (i) Im Umkehrpunkt strebt die kinetische Energie E - V wie (x - a) gegen Null und bleibt in einer Umgebung von mindestens einer, vorzugsweise aber mehrerer "Wellenlängen" in guter Näherung proportional zu (x - a). (ii) Jeder dieser "Umkehrbereiche" schließt auf bei den Seiten seines Umkehrpunk-

tes an einen sich über mehrere "Wellenlängen" erstreckenden "asymptotischen Bereich" an, in dem die eigentliche WKB-Näherung gültig ist. Bei Verwendung der Formeln (6.49) und (6.50) ist Vorsicht am Platze. Die Schwierigkeit rührt daher, daß die Lösung AYI + Bh (abgesehen vom Sonderfall A = 0) im Bereich x « a dieselbe asymptotische Form wie AYI hat. Der "exponentiell ansteigende" Term AYI übertrifft stets den "exponentiell fallenden" Term BY2' wie klein man A gegenüber B auch wählen mag. Folglich reicht die Angabe der asymptotischen Form zur Bestimmung der Lösung nur aus, wenn diese Form vom "exponentiell fallenden" Typ (Typ Y2) ist. Sind umgekehrt die Koeffizienten A und B nur näherungsweise bekannt und ist IA I « IRI, so ist jede Bestimmung der asymptotischen Form, selbst eine angenäherte, unmöglich. Nehmen wir also an, daß die WKB-Lösung in diesem asymptotischen Bereich (x « a) bekannt ist und daß man die oszillatorische WKB-Lösung bestimmen will, an die sie anschließt. Das ist nur möglich, wenn diese Lösung vom "exponentiell fallenden" Typ tEl! exp (- !;' (dx/I)) ist. Dann ist die Lösung im Bereich des Umkehrpunktes sicher von der Form BY2' während ihr Verhalten im Bereich x » a durch die Formeln (6.50) gegeben ist. Das Ergebnis kann man in der Form

tv-

(' ('" TdX)

l exp - ,

,1'

-

~ VACOS

(("DdX -X-'47t)'

(6.51)

'.' Cl

schreiben, wobei der Pfeil die Richtung anzeigt, in der der Anschluß erfolgt. Sei

Die WKB-Methode

umgekehrt die WKB-Lösung im "oszillatorischen Bereich" (x Lösung ist von der Form (6.42), also

,- (f·"X . ---'''- + cp 4

C,'X cos

rdX

-

»

213

a) bekannt. Diese

)

(C und

zugeordneten linearen Funktion. Aus der Definition folgt unmittelbar, daß das Skalarprodukt< vlu > bezüglich lu> linear und bezüglich Iv> antilinear ist. Wir fordern, daß das Skalarprodukt auch alle anderen, flir das Skalarprodukt von Wellenfunktionen charakteristischen Eigenschaften (s. Abschnitt 5.1.1) besitzt: (i) Das Skalarprodukt von Iv> mit lu> ist konjugiert komplex zum Skalarprodukt von lu> mit Iv>:

=

*.

(7.8)

(ii) Jeder Vektor u hat ein reelles, nicht negatives Norrnquadrat Nu == < ulu >:

(7.9)

;;;' O. Es ist genau dann Null, wenn der Vektor u Null ist.

Aus diesen Eigenschaften folgt die Schwarzsehe Ungleichung: Für jedes lu> und jedes Iv> gilt:

I 1 2

~

'

(7.10)

224

7 Der allgemeine Formalismus der Quantentheorie

Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn die Vektoren abhängig, d.h. proportional zueinander sind.

lu> und Iv> linear

Die vorstehenden Axiome müssen durch die Forderung ergänzt werden, daß der Raum der Ket-Vektoren & (und ebenso sein dualer Raum, der Raum der Bra-Vektoren) vollständig und separabel ist (s. Abschnitt 5.Ll): Er ist dann ein Hilbert-

Raum Zwei Vektoren werden orthogonal genannt, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet. Zwei Unterräume &1' &2 sind orthogonal, wenn jeder Vektor des einen orthogonal zu jedem Vektor des anderen ist. Es liegt auf der Hand, daß &1 und &2 kei" nen gemeinsamen Vektor haben (abgesehen vom Nullvektor), denn ein gemeinsamer Vektor von &1 und &2 ist orthogonal zu sich selbst, hat also die Norm Null. Die Menge der zu &1 orthogonalen Vektoren bildet einen zu &1 orthogonalen Unterraum &~, den komplementären Unterraum von &1 (orthogonales Komplement). &r reduziert sich auf Null, wenn &1 mit dem ganzen Raum & zusammenfallt. Man kann zeigen 2), daß jeder Vektor von &eindeutig als die Summe eines Vektors aus &1 und eines im komplementären Raum von &1 gelegenen Vektors ausgedrückt

werden kann:

lu 1 > heißt die Projektion von lu> in den Unterraum &1' Auf diesen Begriff werden wir im einzelnen im Abschnitt 7.2 zurückkommen. Bei allen Überlegungen zum Skalarprodukt wird stillschweigend angenommen, daß die (Ket- oder Bra-)Vektoren eine endliche Norm besitzen, weil sonst das Axiom über die Norm von Vektoren jede Bedeutung verliert. Nur so ist der hier betrachtete Raum & der Ket-Vektoren ein Hilbert-Raum. Wir haben bereits im Hinften Kapitel gesehen, daß die für die Darstellung von Zuständen geeigneten Vektoren eine endliche Norm besitzen müssen, daß aber die Behandlung der kontinuierlichen Spektren bei den Eigenwertproblemen die Einftihrung von Eigenvektoren unendlicher Länge erfordert. Wir müssen also in unserem Raum auch Vektoren I~ > mit unendlicher Norm einbeziehen, die von (mindestens) einem kontinuierlichen Index abhängen, und auf solche Vektoren den Begriff des Skalarprodukts erweitern. Wir nehmen an, daß I~ > mit jedem Vektor lu> endlicher Norm ein endliches Skalarprodukt hat und daß dieses Skalarprodukt bezüglich I~> linear und bezüglich lu> antilinear ist. Analog definiert man das Skalarprodukt ' Als Axiom fordern wir, daß

= *.

Dagegen kann das Skalarprodukt zweier Vektoren vom Typ I~> nicht konvergieren. Insbesondere ist die Norm von I~> unendlich. Wir können aber annehmen, daß das Eigendifferential (7.11 )

Vektoren und Operatoren

225

eine endliche positive Norm besitzt, die ftir 8~ --+ 0 gegen einen endlichen Grenzwert strebt. In voller Strenge gehört der Vektor I~ > nicht zum Raum e, aber seine Eigendifferentiale und allgemeiner die Linearkombination vom Typ (7.2) gehören dazu und erfüllen alle Axiome bezüglich der Vektoren eines Hilbert-Raums.

7.1.4

Lineare Operatoren

Nachdem man den Raum der Ket-Vektoren definiert hat, kann man in diesem Raum lineare Operatoren definieren (s. Abschnitt 2.2.3). Nehmen wir an, daß jedem Ket tu> des Vektorraums ein bestimmter Vektor Iv> zugeordnet ist: Man sagt, daß Iv> sich durch die Wirkung eines bestimmten Operators auf den Ket lu> ergibt. Ist diese Zuordnung überdies linear, so ist der so definierte Operator ein bestimmter linearer Operator A. Man schreibt

Iv> = A iu>' Ein solcher Operator ist Null, wenn der Ket Iv> ftir jedes tu> Null ist.

Damit ein Operator A Null ist, ist notwendig und hinreichend, daß fiir jedes iu> gilt:

= O.

Auf den Beweis verzichten wir hier, da er keine ernsthaften Schwierigkeiten bietet. Unmittelbar daraus leitet man her:

Zwei Operatoren A und B sind genau dann gleich, wenn fiir jedes tu> gilt:

=

.

(7.12)

Die wesentlichen algebraischen Operationen mit Operatoren wurden bereits eingeführt (Abschnitt 2.2.3): Multiplikation mit einer Konstante, Addition und Multiplikation. Die Addition von linearen Operatoren ist eine assoziative und kommutative Operation. Die Multiplikation ist assoziativ, distributiv bezüglich der Addition, aber - und das ist der grundlegende Unterschied zwischen der Algebra linearer Operatoren und der gewöhnlichen Algebra - sie ist nicht kommutativ. Für den Kommutator zweier linearer Operatoren A und B hatten wir das Symbol

[A, B] == AB - BA eingeführt. Die wichtigsten Eigenschaften der Algebra der Kommutatoren wurden im Abschnitt 5.5.1 (Gleichungen 5.63-66) untersucht. Sie bleiben alle gültig und werden hier nicht noch einmal angeführt. Wir stellen fest, daß auch die Multiplikation eines Kets mit einer Konstante c einen linearen Operator definiert. Dieser Operator c hat die Eigenschaft, mit allen linearen Operatoren zu vertauschen: [A, c] = 0 ftir jeden Operator A.

226

7 Der allgemeine Formalismus der Quantentheorie

Speziell ergibt die Multiplikation mit 1 den "Identitätsoperator" oder Einheitsoperator. Ist die oben angegebene Zuordnung zwischen lu> und Iv> eineindeutig, so definiert sie zwei lineare Operatoren A und B:

Iv> = Alu>,

lu> = Blv>'

(7.13)

Diese Operatoren heißen zueinander invers. Eine äquivalente Definition lautet: Zwei Operatoren A und B h~ißen zueinander invers, wenn sie gleichzeitig den beiden Gleichungen genügen:

AB = 1, BA = 1.

(7.14)

Nicht immer existiert das Inverse eines gegebenen Operators A. Wenn sie existiert, bezeichnet man sie gewöhnlich mit dem Symbol A- 1 • Mit Hilfe von Gleichung (7.14) zeigt man leicht folgendes: Besitzen zwei Operatoren P und Q ein Inverses, so besitzt auch das Produkt PQ ein Inverses und es ist (7.15) (Man beachte die umgekehrte Reihenfolge der Faktoren auf der rechten Seite.) Ist die Wirkung des linearen Operators A im Raum der Ket-Vektoren bekannt, so ist seine Wirkung im dualen Vektorraum auf folgende Weise eindeutig definiert. Bei gegebenem Bra-Vektor (1) bekannt: A(I) IU>(I)

= Iv>(I),

so ist seine Wirkung auf die speziellen Ket-Vektoren durch

lu(1) U(2) >

des Produktraums

(7.19) definiert und seine Wirkung auf den allgemeinen Ket-Vektor des Produkt raums erhält man durch lineare Superposition. Entsprechend gestattet jeder lineare Operator A (2) im Raum f, (2) die Definition eines linearen Operators im Produktraum.

Jeder der Operatoren A (I) kommutiert mit jedem der Operatoren A (2): [A(1), A(2)j

= O.

Aus der Definition der Operatoren A (1) und A (2) folgt nämlich, daß die Wirkung von [A(1), A(2)j auf jeden Vektor lu(1) U(2) > des Produkt raums Null ergibt: A (I) A (2) lu(1) U(2) >

= Iv(1) v(2)

>

= A (2) A (I)

lu(I) U(2)

>.

Hermitesche Operatoren, Projektoren und Observable

229

Man kann im Produktraum die Zuordnung zwischen Kets und Bras definieren, die Wirkung linearer Operatoren auf Bra-Vektoren usw. Die oben angegebenen algebraischen Regeln gelten auch für alle algebraischen Operationen im Produktraum. Der Beweis hierfür bietet keine ernsthaften Schwierigkeiten und wird daher übergangen.

7.2

Hermitesche Operatoren, Projektoren und Observable

7.2.1

Adjungierte Operatoren und Konjugationsbeziehungen

Aus der eineindeutigen Zuordnung zwischen konjugierten Bra- und Ket-Vektoren kann man eine analoge Konjugationsbeziehung zwischen linearen Operatoren herleiten. Sei A ein linearer Operator und sei Iv> der zum Bra-Vektor hängt von

. Diese lineare Zuordnung definiert einen linearen Operator, den zu A hermitesch konjugierten oder adjungierten Operator. Man bezeichnet ihn mit At: Iv> = Atl u >'

= 0,

Es ist klar, daß At

wenn A

=0

und umgekehrt.

Da At lu > der zu mit< ulA I (Eigenschaft (7.8». Wir erhalten also die sehr wichtige Konjuga tionsbeziehung

=

*.

(7.20)

Da diese Beziehung für jedes lu> und jedes It> gilt, ist der konjugierte Ket-Vektor von< ttA t notwendig gleich Alt>. Folglich ist das hennitesch Konjugierte von At der Operator A selbst. Die hennitesche Konjugation ist eine reziproke Operation: (7.21) In analoger Weise erhält man die folgenden wichtigen Beziehungen:

(7.22)

(cA)t c= c*At (cl -I-

lW

(.HJ)t

+

=~

Li t

=

jJt 111.

jJf

(7.23) (7.24)

Man beachte die umgekehrte Reihenfolge der Operatoren auf der rechten Seite von Gleichung (7.24). Weiter ist der zu lu> konjugierte Bra-Vektor ist [2

~

(uIHlll> (vIHlv>,

die flir beliebige lu> und Iv> gilt. Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn Hlu> und Hlv> proportional sind. Ist

= 0, so ist notwendig Hlu> = O. Ein Operator U ist unitär, wenn er zu seiner Adjungierten invers ist:

uut=utU=1. Das Produkt W = UV zweier unitärer Operatoren U, V ist ein unitärer Operator. Es ist nämlich (Eigenschaften (7.15) und (7.24):

ur l = 7.2.3

Vi U I =

vt ut =

wt.

Das Eigenwertproblem und Observable

Sei A ein linearer Operator. Die komplexe Zahl a heißt Eigenwert von A und der Ket lu> Eigenket zu a, wenn

Alu> = alu>' Entsprechend ist bezeichnen, während die Eigenfunktionen 1P(r)(v, p) die Kets Iv pr> repräsentieren. Die Orthonormierungsrelationen zwischen diesen verschiedenen Kets lauten (Gleichung 5.38):

=

(Ulvs>

=

(uslv.s>

=

Iv>

(uslv>

also

=

P.s(P.slu» = P.slus> = lus> = Pslu>,

Ps genügt also der Operatorgleichung P~

= Ps·

Umgekehrt ist jeder hermitesche Operator P, der die Gleichung

Jil = P

(7.32)

erfiillt, ein Projektor. Der Unte"aum S, auf den er projiziert, ist der Unterraum zum Eigenwert 1. Sei nämlich p ein Eigenwert dieses Operators und Ip> einer der dazugehörigen Eigenvektoren, also Plp> = plp>.

Nach Gleichung (7.32) ist 0= (P' _ P)lp> = (p' - P)lp>

und weil der Ket Ip> ungleich Null ist, gilt p' - P sind also 0 oder 1.

=

O. Die einzig möglichen Eigenwerte von P

P ist eine Observable, denn jeder Vektor Iu> kann als Summe zweier Eigenvektoren von P geschrieben werden. Man hat nämlich (7.33)

lu> = Plu> + (I - P)IU>. PIU> ist Eigenket von P zum Eigenwert 1, weil aufgrund von Gleichung (7.32) gilt: P' Iu>

=:

P(Plu» = Plu>.

(1 - P)lu> ist Eigenket von P zum Eigenwert 0, denn

PO - P)lu> = (P - P')lu>

= O.

Man verifiziert leicht, daß die Vektoren PIU> und (I - P)IU> orthogonal sind und folglich die Summe ihrer Normquadrate gleich dem Normquadrat von lu>. Diese beiden Vektoren haben also sicher eine endliche Norm: Sie gehören zum Hilbert-Raum. Sei S der Unterraum der Eigenvektoren von P zum Eigenwert I. Der zu S komplementäre Unterraum S/, d.h. der Raum der auf den Vektoren von S orthogonalen Vektoren, wird von der Menge der Eigenvektoren von P zum Eigenwert 0 gebildet. Aufgrund der Zerlegung (7.33) ngiht die Wirkung von P auf einen beliebigen Vektor lu> die Projektion dieses Vektors auf S. P ist al", der Projektor auf 8. Dann ist klar, daß (I -P) der Projektor auf Sx ist.

Hermitesche Operatoren, Projektoren und Observable

235

Die oben angegebene Eigenschaft hinsichtlich der Norm von Plu> kann auch wie folgt geschrieben werden:

o , ; ; ,,;;; ' Ist

= 0,

Ist

= ,

(7.34)

so liegt lu> ganz in SX. so liegt lu> ganz in S.

Beide Fälle verdienen Beachtung. Ist der Projektionsraum S der Raum 8 selbst, so ist jeder Ket lu> seine eigene Projektion: Man hat = für beliebiges lu>' Der komplementäre Raum SX ist Null. Das ist der Fall P = 1. Der andere Extremfall ist der, bei dem der Raum S Null ist (der dazu komplementäre Raum SX ist dann der Raum 8 selbst): = 0 für beliebiges lu>. Das ist der Fall P = O. Wir geben einige typische Beispiele für Projektoren. Sei la> ein auf Eins normierter Ket-Vektor. Er spannt einen eindimensionalen Unterraum auf. Wir bezeichnen mit lua> die Projektion eines beliebigen Vektors lu> auf diesen Unterraum:

lu>

lu a> +

=

lu~ >.

(7.35)

Nach Voraussetzung ist

=0

IUa> = cla>.

Multipliziert man Gleichung (7.35) von links skalar mit

=

la> '

Folglich ist der Projektor auf la> der Operator Pa ==

ja> , (m, n

= 1,

12>, ... ,IN>:

2, . . . , N).

Diese Vektoren spannen einen bestimmten (N-dimensionalen) Unterraum 81 des Vektorraums auf, zu dem sie gehören. Man zeigt leicht, daß .Y

PI ~

L Im> betrachten,

236

7 Der allgemeine Formalismus der Quantentheorie

die von einem in einem bestimmten Intervall (~1' b) kontinuierlich veränderlichen Index ~ abhängen. Wir nehmen an, daß die mit diesen Ket·Vektoren gebildeten Eigendifferentiale eine endliche Norm haben und sich im Hilbert-Raum befinden. Dann gehört auch jede Linearkombination dieser Vektoren zum Hilbert-Raum. Die Menge dieser Linearkombinationen bildet einen bestimmten Unterraum S2 des HiIbert-Raums: 82 ist der von den Vektoren I~> aufgespannte Unterraum. Nehmen wir weiter an, daß diese Vektoren "orthonormiert" sind: d~ liegt sicher in S2' weil er eine Linearkombination der Vektoren I~> ist, während die Differenz (i - P2 )Iu> orthogonal zu jedem Vektor der Folge I~> ist:

also orthogonal auf 02.

7.2.5

Algebra der Projektionsoperatoren

Die Projektoren des Hilbert-Raums sind wegen ihrer sehr einfachen geometrischen Deutung von Interesse s). Wir geben hier die wesentlichen Eigenschaften der Algebra der Projektoren an. Weil die Beweise meist elementar sind, werden wir sie nur skizzieren. Seien Pi, Pj die Projektoren auf die Unterräume Si. Sj des Hilbert-Raums S. Damit auch das Produkt P(vl

=0

PiPj

ein Projektor ist, ist notwendig und hinreichend, daß Pi und Pi kommutieren. 5)

Die Behandlung des kontinuierlichen Spektrums nach der Methode v. Neumanns basiert auf einer systematischen Untersuchung der Eigenschaften von Projektionsoperatoren des HilbertRaums. Man überwindet auf diese Weise alle beim kontinuierlichen Spektrum auftretenden Schwierigkeiten, ohne den Hilbert-Raum zu verlassen. S. von NEUMANN, a.a.O. (s. Anm. 5.3).

Hermitesche Operatoren, Projektoren und Observable

237

Die Bedingung ist notwendig, weil sonst l'[ij] nicht hermitesch wäre. Sie ist hinreichend, weil in diesem Fall Plij] hennitesch ist und Ptii) = Pi

I'j Pi I'j = pt PI = Pi I'j = PliiJ·

Der zugehörige Unterraum Giij) ist der Durchschnitt der Unterräume Gi und Gj' d.h. der Unterraum der gemeinsamen Vektoren von G; und Gj' Es können die beiden Sonderfalle auftreten, daß Grij] mit einem der beiden Unterräume, z.B. mit Gj. übereinstimmt oder daß 6r l j] Null ist. Im ersten Fall ist 6j ein Unterraum von G;, im zweiten Fall sind G; und Gj orthogonal. Man beweist leicht die beiden folgenden Eigenschaften.

G) ist genau dann ein Unterraum von 6; (d.h. jeder Vektor des Unterraums 6) ist ein Vektor des Unterraums G;), wenn

G; und 6j sind genau dann orthogonal, wenn Pi Pj

= O.

(7.40)

In diesem Fall sagt man, die Projektoren seien orthogonal. Für die Summe von Projektoren gilt der wichtige Satz: Seien Pi, Pj, Pk> . . . die Projektoren auf die Unterräume 6;. 6j. G". . .. . Die Summe Pi + Pj + Pk + ... ist genau dann ein Projektor, wenn diese Operatoren paarweise orthogonal sind. Der Unterraum, auf den die Summe projiziert, ist die direkte Summe der Unterräume Gi. Gi' G/.•••• (d.h. die Menge der Vektoren, die durch lineare Superposition von Vektoren der Räume 6;. 6/, G/,. . .. entstehen). Die Orthogonalitätsbedingung ist offensichtlich hinreichend. Um die Notwendigkeit zu beweisen, genügt es zu zeigen: Ist die Summe S = Pi + P,. + Pk + ... ein Projektor, so ergibt die Wirkung von I'j Pi auf jcdl:n Vektor Iu> aus G; Null. HIerzu henutzen wir die Eigenschaft (7.34) rur die Operatoren S und Pi' I'j, Pk , ... Die ohere Grenze der Summe

d~ d~ kann auf genau eine Wei· se als Summe von Eigenkets von A zu verschiedenen Eigenwerten ausgedrückt werden. Um diese Summe zu bilden, braucht man nur Gleichung (7.44) auf lu> anzuwenden:

lu>

=

LPlllu>.

(7.45)

11

Gemäß Definition von Pn ist, für beliebiges lu>, Pnlu> entweder Null oder Eigen· ket von A zum Eigenwert an. Es ist also (7.46) Multipliziert man beide Seiten von Gleichung (7.44) mit A, so ergibt sich mit Gleichung (7.46):

240

7 Der allgemeine Formalismus der Quantentheorie

2u" Pn'

A =

(7.47)

n

Aufgrund dieser Gleichung ist A durch die Angabe seiner Eigenwerte und der dazugehörigen Eigenräume vollständig bestimmt. Am Ausdruck (7.47) erkennt man außerdem leicht, daß A mit jedem Pn vertauscht. Die Beziehungen (7.44), (7.45) und (7.47) sind charakteristisch für Observable, die ein rein diskretes Spektrum besitzen. Dabei kann die Zahl der Eigenwerte endlich oder unendlich sein. Konvergenzfragen wollen wir hier nicht untersuchen; tatsächlich ist die Konvergenz immer gegeben. Besonders zweckmäßige Beziehungen erhält man, wenn man die Pn durch ihre Ausdrücke (7.41) substituiert. So ergibt sich auf der linken Seite von (7.44) eine Summe von elementaren Projektoren, und man erhält die Vollständigkeitsrelation

PA == 2lnr> ein vollständiges Orthonormalsystem bilden. Wendet man die Vollständigkeitsrelation auf einen beliebigen Vektor lu> an, so erhält man die Entwicklung von lu>:

lu>

=

2lnr>

(7.50)

IL.r

nach den Eigenvektoren Inr>. Die Entwicklungskoeffizienten sind gleich den Skalarprodukten (s. Gleichungen 5.14-15). Außerdem ist

(7.51) n,r

n,r

Das Normquadrat von lu> ist gleich der Quadratsumme der Entwicklungskoeffizienten: Das ist die Parseval~che Gleichung (s. Gleichung 5.16). Die Observable A kann als eine Reihe nach orthogonalen Elementarprojektoren geschrieben werden. In Analogie zu (7.47) erhält man nämlich

A

=

AP.1

=

2lnr>all und Iv> bezeichnen wir die Eigenkets zu den Eigenwerten an bzw. a(v). Diese Kets sind orthonormiert, insbesondere ist

dv (vlu>.

(7.55)

VI

Entsprechend ergeben sich die verallgemeinerte Parsevalsche Gleichung (7.56) und die Entwicklung von A nach Projektoren

A

=

AP.!

=

21n> an (ni n

+

C21v> a(v) dv (vi. v

(7.57)

VI

Abschließend weisen wir darauf hin, daß es manchmal zweckmäßig ist, die Normierungsbedingung für die Eigenvektoren des kontinuierlichen Spektrums durch die allgemeinere Bedingung mit einer Konstante vom Betrag v't multipliziert wird. In diesem Fall hat man in den vorstehenden Beziehungen die differentiellen Ausdrücke Iv> dv in der 1Q l-Darstellung repräsentiert und (u)s der Spaltenvektor mit den Komponenten , der denselben Ket-Vektor in der 1E l-Darstellung darstellt. Unter Verwendung von Gleichung (7.74) erhält man:

=

L . k

d.h. (7.85) Entsprechend seien (A)Q und (A);;:; die Matrizen, die einen gegebenen Operator A in der 1Q l- bzw. 1E l-Darstellung darstellen. Es ergibt sich dann

Id

d.h. (7.86) Ebenso erhält man für die Darstellungen (v)Q und (v);;:; ein und desselben BraVektoren
des Hilbert-Raums ist. 3. (i) Eine Observable A besitze endlich viele Eigenwerte al, ... , an. Man setze f( a) == (A - al) (A - a2) ... (A - aN) == (A - an) gn (A).

Man zeige, daß frA) = 0 und daß der Projektor Pn auf den Unterraum zum noten Eigenwert durch den Ausdruck

Pn = gn(A)/gn(an ) gegeben ist. (ii) Man beweise die umgekehrte Eigenschaft, d.h., ist A ein herrnitescher Operator, der der algebraischen Gleichung N-ten Grades

aber keiner algebraischen Gleichung geringer als N-ten Grades genügt, so ist A eine Observable mit N Eigenwerten, und diese sind die N notwendig reellen und verschiedenen Wurzeln der Gleichung f(x) = O.

4. Man zeige, daß eine N-dimensionale Matrix (i) notwendig eine Konstante ist, wenn sie mit allen N-dimensionalen Matrizen kommutiert;

(ii) notwendig eine Diagonalmatrix ist, wenn sie mit allen N-dimensionalen Diagonalmatrizen vertauscht.

5. Man zeige: (i) Damit bei einer Transformation die Komplexkonjugation zwischen Matrizen ungeändert bleibt, ist es notwendig und hinreichend, daß die Transformationsmatrix reell ist;

(ii) damit bei einer Transformation die Beziehung der Transposition zwischen Matrizen erhalten bleibt, ist es notwendig und hinreichend, daß die Transformationsmatrix orthogonal ist.

6. Seien lu>,

Iv> zwei Vektoren mit endlicher Norm. Man zeige, daß

Tr lu>
== PDlu> die Projektion von lu>auf bI)o Die Wahrscheinlichkeit wD dafür, daß das Meßergebnis für A zum Bereich D gehört 3), ist

=

W D



'

Dieses Postulat der Reduktion des Wellenpakets kann geradezu als die Definition einer Idealmessung aufgefaßt werden. Wenn man die Zustände stets durch auf Eins normierte Vektoren darstelltdas setzt voraus, daß lu> ein Vektor mit der Norm Eins ist -, so ist der Zustandsvektor des Systems nach der Messung das Produkt von PD lu> mit einem bis auf eine Phase bestimmten Normierungsfaktor, dessen Betragsquadrat gleich l/WD' d.h. gleich 1/ ist. 3) wD ist der Mittelwert des Projektors PD, d.h. der Funktion von A, die gleich I ist rur alle in En liegenden Eigenvektoren von A und gleich 0 rur alle zu Eil orthogonalen Eigenvektoren von A.

268

8 Der allgemeine Formalismus der Quantentheorie

8.1.2

Die Observablen eines quanten mechanischen Systems und ihre Vertauschungsrelationen

Der erste Schritt bei der Untersuchung eines Quantensystems besteht in der Angabe der dynamischen Variablen des Systems und der Definition der sie darstellenden Observablenalgebra. Tatsächlich können die verschiedenen Observablen als Funktion einer bestimmten Anzahl von "Grundobservablen" ausgedrückt werden. Die Angabe der Vertauschungsrelationen für diese Grundobservablen definiert die Algebra vollständig. Besitzt das betrachtete Quantensystem ein klassisches Analogon - wie es bei allen bisher untersuchten Beispielen der Fall ist -, so ist eine allgemeine, auf dem Korrespondenprinzip basierende Beschreibung möglich. In einem klassischen N-dimensionalen System ist die allgemeinste dynamische Variable eine Funktion von 2N unabhängigen Variablen, den N Koordinaten q!, q2 • . . . , qN und den N Impulsen PI> P2' . . . , PN. Dieselben Variablen schreibt man dem entsprechenden Quantensystem zu. Man führt also N Lage- und N Impulskoordinaten ein. Zu diesen Variablen gehören Observable, die wir mit denselben Symbolen ql> . . . , qN, PI> ... , PN bezeichnen. Wir postulieren weiter, daß als einzige Observable die Koordinaten und die zugehörigen kanonisch konjugierten Impulse nicht miteinander vertauschen. Für diese soll gelten: [qr, Pr] = ih Mit anderen Worten ist:

[qr, qs]

= 0,

[Pr, Ps]

[qr, Ps] = ihS rs (r, s

= 1,

=0

(8.6) (8.7)

2, ... , N).

Weil die allgemeinste Observable Funktion der q und P ist, ist der Kommutator beliebiger Observabler eindeutig durch die Angabe der fundamentalen Kommutatoren (8.6) und (8.7) bestimmt. Man kann ihn explizit unter Verwendung der Regeln der Kommutatoralgebra berechnen (Abschnitt 5.5.1). Dieser Zusammenhang zwischen den Observablen eines Quantensystems und den Größen des dazu analogen klassischen Systems ist bereits wiederholt behandelt worden (Abschnitte 2.2.7 und 5.1.2). Zur Vermeidung aller Mehrdeutigkeiten geht man stets von kartesischen Koordinaten im Konfigurationsraum aus und richtet sich nach den empirischen Regeln aus Abschnitt 2.2.7. Insbesondere ist durch den in diesem Abschnitt dargestellten Vorgang der "Symmetrisierung" gesichert, daß zu jeder dem System zugeordneten reellen Größe ein herrnitescher Operator gehört. Nicht alle Quantensysteme können nach dieser Korrespondenzmethode behandelt werden. Es geschieht oft, daß die durch Korrespondenz zu einem geeigneten klassichen Analogon eingeführten dynamischen Variablen nicht ausreichen, um alle physikalischen Eigenschaften des Quantensystems zu beschreiben. Es ist deshalb notwendig, zusätzliche Variablen einzuführen. Die Wahl dieser neuen Variablen und der dazugehörigen Vertauschungsrelationen geschieht rein intuitiv.

Zustände und physikalische Größen

269

Unter den physikalischen Größen eines Quantensystems muß seine Energie besonders genannt werden. Die sie darstellende Observable H hat den Namen HamiltonOperator des Systems. Besitzt das System ein klassisches Analogon, so erhält man H durch Korrespondenz aus der Hamilton-Funktion der klassischen Mechanik.

8.1.3

Die Heisenbergschen Unschärferelationen

Die Heisenbergschen Unschärferelationen flir Ort und Impuls ergeben sich direkt aus den Vertauschungsrelationen (8.7). Wir zeigen nämlich ganz allgemein: Erftillen zwei Observable A, B die Gleichung [A, B]

= ih,

(8.8)

so ist das Produkt ihrer Abweichungen stets größer oder gleich hj2:

MM ;;;;, Vzh.

(8.9)

Der hier gefUhrte Beweis ist im wesentlichen der gleiche wie in Abschnitt 4.2.2. Gemäß Definition ist

Wir fUhren die folgenden Observablen ein:

11 =

B=

A -(A).

B-(B).

Es ist klar, daß

[A, n] = und

ifi

'" l. 6A = 6A = (A2)2, '"

Wir nehmen an, daß der Zustand des Systems durch den auf Eins normierten Ket'" A Vektor lu> dargestellt wird, und wenden auf die Vektoren Alu> und Blu> die Schwarzsehe Ungleichung an:

(6A)2 (6B)2

~ I

=0

12 •

Zerlegt man All in den hermiteschen und den antihermiteschen Anteil (s. Gleichung 7.29):

"'''' 11 B + llA + ---2---AB --HA =

AB =-----2-so kann man

'" '"

=

j

\

Aß + BA 2 ---

+ i 2fi ,

in Real- und Imaginärteil aufspalten:

AH + BA) ifi --2-- +2'

und die Schwarzsehe Ungleichung lautet:

270

8 Der allgemeine Formalismus der Quantentheorie

t

~ (AB BA) +~.

(b.A)2 (b.B)2

2

A [ortiori gilt M 6.B

~

Q.e.d.

V2h.

Damit das Produkt 6.A 6.B gleich seinem Minimalwert hh ist, muß einerseits in der Schwarzsehen Ungleichung das Gleichheitszeichen gelten, d.h. es muß Alu> = cB/u> (c beliebig, konstant) sein, andererseits muß der Mittelwert von Afj + BA Null sein, d.h.

+ = (c* + c) =

0,

also Re c = O. Damit also in (8.9) das Gleichheitszeichen gilt, ist notwendig und hinreichend, daß lu> der Gleichung

(A - a) lu>

= i,,(B

- ß) lu>

(8.10)

genügt, wobei a, ß und" beliebige Konstanten sind. Die Anwendung dieses allgemeinen Ergebnisses auf die Ort-Impuls-Paare (qr, Pr) des vorigen Abschnitts ergibt die Unschärferelationen

6.qr 6.fJr

~

hh

(r

= 1,

2, ... , N),

(8.11 )

wobei das Gleichheitszeichen dann gilt, wenn lu> Lösung der Gleichung

(Pr - hqr) lu>

= (a

- hß) lu>

ist (a, ß, " sind beliebige reelle Konstanten).

8.1.4

Definition der Zustände und Konstruktion des Raumes [;

Sind die Observablen eines Quantensystems und die Vertauschungsrelationen einmal angegeben, so muß man die verschiedenen möglichen Quantenzustände bestimmen: Man muß den Hilbert-Raum [; konstruieren, in dem diese Observablen wirken. Hierzu genügt es, ein System von Basisvektoren in diesem Raum anzugeben und zu definieren, wie jede Observable auf diese Basisvektoren wirkt. Selbstverständlich muß man sich vergewissern, daß alle, physikalische Größen darstellenden Operatoren, die man auf diese Weise definiert hat, tatsächlich Observable sind und daß die Regeln dieser Observablenalgebra nicht verletzt sind. Um das Basissystem zu definieren, verschafft man sich aus der Gesamtheit der Observablen einen vollständigen Satz kommutierender Observabler A, B, C, ... Die gleichzeitige Messung der dynamischen Variablen, die diese Observablen repräsentieren, liefert das Maximum an Information, das man über den Zustand des Systems erhalten kann; sie bestimmt also einen speziellen Zustand des Systems vollständig. Folglich definiert jeder Satz von Eigenwerten a, b, c, ... dieser Obser-

Zustände und physikalische Größen

271

vablen einen Vektor in 6 (bis auf eine Konstante); Legt man diese Konstante beliebig fest, so erhält man einen bestimmten repräsentativen Vektor la b c ... >Läßt man die Eigenwerte a, b, c, ... die Spektren der jeweiligen Observablen A, B, C, ... durchlaufen, so bilden die zugehörigen Vektoren la b C . . • > ein vollständiges Orthogonalsystem in 6. Wenn man schließlich die Vektoren la b C . • • > geeignet normiert - Normierung auf Eins flir alle Vektoren mit endlicher Norm, Normierung mit Hilfe der eS-Funktion flir alle Vektoren mit nichtendlicher Norm -, so hat man ein vollständiges Orthonormalsystem in 6. Man erhält also ein Basissystem in G, indem man die Spektren von A, B, C, ... bestimmt. Die Wirkung der Basisobservablen A, B, C, . . . auf jeden dieser Vektoren ergibt sich automatisch. Man muß also noch festlegen, wie die verschiedenen anderen Observablen wirken, die zur Darstellung physikalischer Größen geeignet sind. Im allgemeinen gestattet bereits allein die Untersuchung der Vertauschungsrelationen: (i) die Feststellung, ob die Menge der A, B, C, ... einen vollständigen Satz

kommutierender Observabler bildet; (ii) die Bestimmung ihrer Spektren;

(iii) die Festlegung der Wirkung der anderen Observablen auf die Vektoren ihres Basissystems.

Es genügt also fast immer die Kenntnis der Observablenalgebra des Systems, um den Raum G eindeutig zu definieren 4). Nun muß man sich weiter vergewissern, ob der so definierte Aufbau in sich konsistent ist, d.h. man muß verifizieren, ob die Operatoren, die physikalische Größen darstellen sollen, tatsächlich Observable sind. Wir stellen fest, daß bereits in diesem Stadium die Theorie experimentell überprüft werden kann. Physikalische Größen sind im Prinzip durch genaue Meßvorschriften definiert, und ihr Spektrum ist dem Experiment direkt zugänglich. Es ist notwendig, daß das theoretische Spektrum, d.h. das Eigenwertspektrum der jeder physikalischen Größe zugeordneten Observablen, mit diesem experimentellen Spektrum übereinstimmt.

8.1.5

Eindimensionale Quantensysteme mit klassischem Analogon

Wir wollen die in Abschnitt 8.1.4 angegebene Konstruktionsmethode auf ein eindimensionales Quantensystem anwenden, das ein klassisches Analogon besitzt. Seine Observablen sind Funktionen von q und p. Diese sind verknüpft durch die Vertauschungsrelationen 4)

Das ist nur richtig, wenn /; bezüglich der genannten Observablen irreduzibel ist. Diese Bedingung, auf die wir hier zunächst nur hinweisen, wird bei allen folgenden Überlegungen apriori gestellt. Wir werden im zweiten Band (Abschnitt 15.2.1) genauer auf den Begriff der Irreduzibilität und seine physikalische Bedeutung eingehen.

272

8 Der allgemeine Formalismus der Quantentheorie

(8.12)

[q,p]=ih

Die Ortskoordinate q bildet für sich allein einen vollständigen Satz kommutierender Observabler. Denn der Kommutator von q und einer bestimmten Funktion A(q, p) von q und p ist (Gleichung 5.68): [q, A ]

=

·fiZlA Zlp·

(8.13)

1

q vertauscht genau dann mit A, wenn A nicht von p abhängt. Also sind die ein-

zigen Observablen, die mit q vertauschen, die Funktionen von q. Einfache Überlegungen hinsichtlich der Konsistenz führen zu sehr einschränkenden Bedingungen für die Eigenfunktionen und das Eigenwertspektrum von q. Sei nämlich Iqo> ein Eigenket von q:

qlqo>

= qo Iqo>'

Die (gleichen) Operatoren [q,p] und ih haben das gleiche Diagonalelement:

ifi

= - ·

Iqo> hat sicher keine endliche Norm, denn sonst wäre die rechte Seite identisch Null und die linke endlich und von Null verschieden. Betrachten wir andererseits den Operator (8.14) Er ist eine Funktion der Observablen p und hängt vom Parameter weiter unitär:

~

ab. Er ist

sts = sst = 1, denn sein hermitesch Konjugiertes ist

stm = S(-~) = eip~/h. Mit Gleichung (8.13) erhält man

[q, S]

= ifi ~~ = f"S.

Mit anderen Worten: Es ist

qS

= S(q + ~)

(8.15)

und folglich

qSlqo>

= S(q + Ü Iqo> = (qO + ~) Slqo>'

(8.16)

Also ist Slqo> ein Eigenvektor von q zum Eigenwert (qo + ~). Dieser Vektor ist sicher nicht Null (sonst hätte S kein Inverses). Tatsächlich ist seine (unendliche) Norm dieselbe wie die von Iqo>, weil S unitär ist:

Zustände und physikalische Größen

=

273

'

Diese Überlegung gilt flir jedes ~ in (- 00, + 00). Man kann also durch eine passende unitäre Transformation von Iqo> einen Eigenvektor von q zu einem beliebig vorher in (- 00, + 00) festgelegten Eigenwert bilden. Wir schließen daraus, daß das Spektrum von q notwendig kontinuierlich und nicht entartet ist und sich von - 00 bis + 00 erstreckt. Seine Eigenvektoren sind notwendig von unendlicher Norm. Mit Iq'> bezeichnen wir einen Eigenket von q zum Eigenwert q':

qlq'>

= q'lq'>;

Iq'> ist bis auf eine Konstante definiert, deren Betrag wir durch die Nonnierungsbedingung festlegen: = q'ti (q' - q").

(8.18)

Wir zeigen jetzt, daß p ein in & definierter herrnitescher Operator ist. Hierzu genügt es, seine Matrix in der {q I -Darstellung zu bestimmen. Betrachten wir zunächst den durch (8.14) definierten unitären Operator. Weil dieser Operator Gleichung (8.15) erftillt, ist S(~) Iq'> Eigenvektor von q zum Eigenwert (q' + ~):

Smlq'> = clq' +

~>,

c ist ein Phasenfaktor 5), der von ~ und von q' abhängen kann. Wir ~ählen die Phasen der Basisvektoren so, daß

Iq'> = S(q')IO>. Auf diese Art ist der Phasenfaktor c flir beliebige ist:

S(c;)lq'> = Sm S(q')IO> = e-ip~lfi = e-iJII~+q')/fi 10> = S(q' = Iq' + ~>,

~

e-ipql/il

und q' gleich Eins. Denn es

10>

+ ~)IO>

(8.19)

5) Weil S unitär ist, hat man

= c·(~. q') c(~, q') Il(q' woraus Ic(t q') I = I folgt.

q') = Il(q' _

q'),

274

8 Der allgemeine Formalismus der Quantentheorie

oder auch

= der Eigenket zum Eigenwert p'. Die Gleichung

= p'lp'> I q l -Darstellung

plp'> lautet in der

p'

wegen Gleichung (8.20)

=

=

~ j'3'(q' -

=

rz d " i dq' «q Ip ».

=

I q")

(8.22)

]I[

8(q' - q") == TI ?l(q; - q'i) == ?l(q; - q;) ;)'Jq, [?l(q/ -

(.

?l(q~

q")] == ?l/(q~ - q;,>

n

-

q~)

rr ?l(q; -

... ?l(q:\, q'/).

q~,)

(8.23) (8.24)

i-#-!l

Im letzten Ausdruck bezeichnet

TI

ein Produkt aus (N - 1) Faktoren, wobei i

i7cn

alle Werte von 1 bis N mit Ausnahme von n durchläuft. Unter Berücksichtigung der Gleichungen (8.17), (8.18) und (8.20) aus Abschnitt 8.1.5 erhält man nacheinander die Orthonormierungsbedingungen .\'

q~) rr o(q; -

i;t:.n

=

~ o'(q;, 1

=

f ()~~

[o(q' -

q;) \

(8.27)

i*n

q")]

Man weist ohne Mühe nach, daß diese expliziten Ausdrücke der Darstellungsmatrizen der p und q die Vertauschungsrelationen (8.6) und (8.7) erftillen. Jede dynamische Variable des Systems ist eine Funktion der p und der q. Ihr entspricht also ein bestimmter Operator in &. Man muß sich vergewissern, daß dieser Operator eine Observable ist. Wie schon erwähnt, setzt man dies traditionsgemäß in der Mehrzahl der Fälle ohne Diskussion voraus. Die Konstruktion des Zustandsraums eines Systems durch Bildung des Tensorprodukts aus einfacheren Räumen ist eine ganz allgemeine Methode. Praktisch kann man stets die dynamischen Variablen eines Systems als Funktion einer bestimmten Anzahl von "Basisobservablen" ausdrücken. Diese aber lassen sich häufig zu mehr oder weniger großen Teilmengen in der Weise zusammenfassen, daß jede Variable der einen Teilmenge mit allen Variablen der anderen Teilmengen kompatibel ist. Nehmen wir z.B. an, daß man diese "Basisvariablen" in zwei Klassen (Al, BI> ... ) und (A 2 , B2 , . • • ) zerlegen kann und daß jede Variable vom Typ (1) mit jeder Variablen vom Typ (2) kompatibel ist. Jede Klasse für sich definiert ein Teilsystem, für das man unter Umständen den Zustandsraum aufbauen kann. Seien 81 , &2 die Räume für das Teilsystem (1) bzw. (2). Es ist klar, daß der Zustandsraum t; des Gesamtsystems das Tensorprodukt der bei den Teilräume ist: & = &1 181 &2·

8.2

Die Bewegungsgleichungen

8.2.1

Entwicklungsoperator und Schrödinger-Gleichung

Weil es im Bereich der Quantenphänomene keine klare Trennung zwischen System und Beobachtungsinstrument gibt, ist die zeitliche Entwicklung eines Quantensystems nicht mehr streng kausal, sobald es einer experimentellen Beobachtung unterworfen wird. Dagegen verändert sich ein von jedem äußeren Einfluß isoliertes System in exakt vorhersagbarer Weise. Sei IIji(to» der Ket-Vektor, der seinen Zu-

278

8 Der allgemeine Formalismus der Quantentheorie

stand zum Zeitpunkt to darstellt. Der Ket-Vektor 11/1 (t», der seinen Zustand zu einer späteren Zeit t repräsentiert, ist durch die Angabe von 11/1 (to» dann genau bestimmt, wenn das System - wie wir von nun an annehmen - im Zeitintervall (to, t) keiner Beobachtung unterzogen wird. Das zugrunde liegende Bewegungsgesetz wollen wir in diesem Abschnitt aufstellen. Zunächst postulieren wir, daß die lineare Überlagerung von Zuständen zeitlich erhalten bleibt. Der Zusammenhang zwischen 11/I(to» und 11/I(t» ist folglich linear und definiert einen bestimmten linearen Operator U(t, to), dem wir den Namen Entwicklungsoperator geben. Die zugehörige Matrix heißt S-Matrix (Streu-Matrix):

(8.28) Ist das System konservativ, d.h., hängt seine Energie, die durch den Hamilton-Operator H dargestellt wird, nicht explizit von der Zeit ab, so ist U(t, to) praktisch durch die Forderung bestimmt, daß die Bewegung eines Systems der Energie E periodisch und seine Frequenz w durch die Einsteinsche Beziehung E

= hw

(8.29)

gegeben ist. Weil nämlich die Eigenvektoren von H den Raum b aufspannen, ist U bestimmt, wenn man seine Wirkung auf jeden dieser Vektoren kennt. Sei IUE(to» ein Eigenvektor von H zur Energie E: (8.30) In Übereinstimmung mit der Einsteinschen Beziehung postulieren wir, daß dieser Vektor sich zeitlich nach dem Gesetz !UE(t»

= e-iW(t-t"l!uA1o»

= e-ir;(t-t"l'fi !UE(tO»

ändert oder auch wegen Gleichung (8.30) !ur;(t»

=

e-ill,t-!,,'Ifi !UE(tO»'

Folglich ist U(t, to) = e-ill\l-l"l/fi.

(8.31)

Differenziert 6) man diese Gleichung nach t, so erhäl t man die Differen tialgleichung

6) Die Ableitung nach t eines von einem kontinuierlichen Parameter t abhängenden Operators

X(t) ist auf die gleiche Weise definiert wie die Ableitung einer Funktion:

~~ = !im X(t dt E~O

(s. Aufgabe 3).

+ e) e

X(ll

Die Bewegungsgleichungen

279

(8.32)

U(t, to ) ist die Lösung dieser Gleichung, die der Anfangsbedingung (8.33) genügt. Man postuliert nun weiter, daß der Operator U(t, t o) auch dann der Differentialgleichung (8.32) mit der Anfangsbedingung (8.33) genügt, wenn das Quantensystem nicht konservativ ist In diesem Fall ist H explizit zeitabhängig, die Beziehung (8.29) verliert ihren Sinn, und der Operator U ist nicht mehr durch Gleichung (8.31) gegeben. Wir stellen fest, daß U auch durch die Integralgleichung

-~

U(t, to) = 1

fl HU(t', to) dt'

(8.34)

10

definiert werden kann. Die Gleichungen (8.32) bis (8.33) oder die Integralgleichung (8.34) stellen das Grundgesetz der zeitlichen Entwicklung eines Quantensystems dar- Ein äquivalenter Ausdruck für dieses Gesetz ist die Schrödinger-Gleichung, die Differentialgleichung fur die Entwicklung der Zustände des Systems. Man erhält diese Gleichung durch Differentiation der Gleichung (8.28): d

eIl I~(l»

d

=

(

und Einsetzen von

~

I I ifi

#t Iy(t»

dt

=

di U(t, t o) ,) IWo» U(t, to) nach Gleichung (8.32). Es ergibt sich:

Hly(t»

(8.35)

Damit die Norm des Vektors I~(t» zeitlich konstant bleibt, ist es notwendig und hinreichend, daß H herrnitesch ist Das zeigt man leicht mit Hilfe der Schrödinger-Gleichung. Wir nehmen die Hermitezität von H stets als gegeben an. Ist nun H herrnitesch, so ist U(t, to) ein unitärer Operator. Hängt H nicht von der Zeit ab, so ist dies unmittelbar an Gleichung (8.31) zu erkennen. Doch auch wenn H zeitabhängig ist, hat man nach der Schrödinger-Gleichung

280

8 Der allgemeine Formalismus der Quantentheorie

I~(t + dt»

=

(1 -

~ H dt ') I~(t».

Weil H hennitesch ist, ist der Operator U(t

I

+ dt, t) == I - h H dt

ein infinitesimaler unitärer Operator (s. Abschnitt 7.3.7): Man gelangt vom Vektor zur Zeit t zum Vektor zur Zeit t + dt durch eine infinitesimale unitäre Transformation. Die Transformation U(t, to ), die von 11#; to> zu 11#; t> fUhrt, ist also eine Folge von infinitesimalen unitären Transformationen: U(t, to ) ist als Produkt von infinitesimalen unitären Operatoren ein unitärer Operator.

8.2.2

Das Schrödinger-Bild

Die Schrödinger-Gleichung vervollständigt das allgemeine Schema der Beschreibung quantenmechanischer Phänomene. Die wesentlichen Züge dieses Schemas können wie folgt zusammengefaßt werden. (i) Definition der Zustände

Der Zustand eines Quantensystems ist definiert durch die Angabe der Werte, die die dynamischen Variablen eines vollständigen Satzes kompatibler Variabler annehmen. Bei der gleichzeitigen Messung der Variablen eines solchen Satzes bestimmt man eindeutig den Zustand des Systems zu dem Zeitpunkt t, zu dem die Messung ausgefUhrt wurde. (ii) Definition des Zustandsraums

Jeder Zustand kann durch einen (auf Eins normierten und bis auf einen Phasenfaktor bestimmten) Ket-Vektor Ix> eines bestimmten Vektorraums [; beschrieben werden (Superpositionsprinzip). Jede dynamische Variable wird durch eine Observable dieses Raumes dargestellt. Die einzigen Zustände, flir die diese Variable einen wohlbestimmten Wert hat, sind die durch die Eigenvektoren dieser Observablen dargestellten Zustände. Der Wert, den die Variable annimmt, ist also der Eigenwert zum jeweiligen Eigenvektor. Die Observablen genügen algebraischen Regeln, die durch die Angabe der Vertauschungsrelationen vollständig bestimmt werden können. Die kompatiblen Variablen werden durch miteinander vertauschende Observable dargestellt. (iii) Definition der Wahrscheinlichkeiten

Führt man am System die gleichzeitige Messung eines vollständigen Satzes kompatibler dynamischer Variablen aus, so ist die Wahrscheinlichkeit, das System im Zustand Ix> zu finden (d.h. die Werte dieser Variablen festzustellen, die den durch Ix> beschriebenen Zustand festlegen), gleich dem Betragsquadrat des Skalarprodukts aus Ix> und dem (auf Eins normierten) Vektor ItJt>, der den Zustand des Systems im Augenblick der Messung repräsentiert, d.h. gleich

Die Bewegungsgleichungen

281

Allgemeiner ist die Wahrscheinlichkeit, das System im Unterraum &D zu finden (d.h., das System in irgendeinem Zustand dieses Unterraums zu finden) gleich dem Mittelwert des Projektors PD auf diesen Unterraum, d.h. gleich

=

·

(iv) Bewegungsgleichung

Bei Fehlen jedes äußeren Einflusses verläuft die zeitliche Entwicklung des Zustands eines Systems streng kausal. Der ihn beschreibende Vektor Iltt (t» im Raum & führt gemäß der Schrödinger-Gleichung (8.35) eine stetige Bewegung aus. Mit anderen Worten: Man gelangt von Iltt(to» zu Iltt(t» durch die unitäre Transformation (8.28), in der U(t, to) ein durch die Gleichungen (8.32) und (8.33) definierter unitärer Operator ist. Bei Kenntnis des Zustands Iltt> des Systems zu einem bestimmten Anfangszeitpunkt to ist man also in der Lage, für jede zu einem späteren Zeitpunkt t 1 am System durchgeführte Messung die statistische Verteilung der Meßergebnisse vorherzusagen. Der Zustand des Systems zu Beginn der Messung ist

und folglich ist die Wahrscheinlichkeit, das System in einem vorher festgelegten Zustand Ix> zu finden: (8.36) Bei dieser Form der Beschreibung quantenmechanischer Vorgänge wird der Zustand des Systems durch einen zeitlich veränderlichen Ket-Vektor Iltt(t» dargestellt. Dagegen werden die physikalischen Größen durch (zeitlich) feste Observable in & repräsentiert, zumindest diejenigen, die nicht explizit zeitabhängig sind. Ebenso sind die Eigenvektoren dieser Observablen zeitlich konstant, das ist insbesondere bei den in Gleichung (8.36) auftretenden Vektoren Ix> und Iltt> der Fall. Diese Art der Beschreibung von Quantenphänomenen heißt Schrödinger-Bild.

8.2.3

Das Heisenberg-Bild

Man gelangt zu einer äquivalenten Beschreibung, indem man die Vektoren und Observablen des Schrödinger-Bildes unitär transformiert und den transformierten Größen dieselbe physikalische Bedeutung wie den Ausgangsgrößen zuschreibt. Bei einem solchen übergang transformieren sich die Observablen in Observable mit demselben Eigenwertspektrum, die Eigenvektoren werden in Eigenvektoren transformiert, die algebraischen und die Konjugationsbeziehungen und schließlich die Skalarprodukte ändern sich nicht. Weil die einzigen tatsächlich meßbaren Größen die Beträge der Skalarprodukte sind (s. Gleichung (8.36)), ist klar, daß die mit

282

8 Der allgemeine Formalismus der Quantentheorie

Hilfe der neuen Größen gemachten Vorhersagen mit den auf den Ausgangsgrößen basierenden Vorhersagen identisch sind. So gelangt man insbesondere zum Heisenberg-Bild, wenn man an den Ket-Vektoren und Observablen des Schrödinger-Bildes die zeitabhängige unitäre Transformation ut(t, to ) vornimmt. Wir versehen die alten Größen mit dem Index S und die neuen mit dem Index H. Der Ket-Vektor

der den Zustand des Systems zum Zeitpunkt t beschreibt, wird in einen konstanten Vektor transformiert: (8.37) Dagegen geht eine Observable AS des Schrödinger-Bildes in eine zeitabhängige Observable über: (8.38) Selbst wenn A s nicht explizit von der Zeit abhängt, ist AR einer zeitlichen Änderung unterworfen. Berücksichtigt man weiter die Differentialgleichung (8.32) und die dazu hennitesch konjugierte, so erhält man nach Differentiation von Gleichung (8.38)

itzc!~ll = =

_

Ut HA, U

Ut[As, H] U

+ ifi ut ~~s U + ut AsHU + itz ut ~As ~t'- u.

(8.39)

In dieser Gleichung ist H der Hamilton-Operator im Schrödinger-Bild. Führt man den Hamilton-Operator im Heisenberg-Bild ein: HH

= utHU,

so erhält man:

Andererseits kann AS, eine Funktion von "Grundobservablen" im SchrödingerBild, explizit von der Zeit abhängen; der zweite Summand auf der rechten Seite von Gleichung (8.39) trägt dem Rechnung. aAs/at ist eine Funktion von Observablen im Schrödinger-Bild. Ist aAR/at die Funktion, die man nach Ersetzung dieser Observablen durch die zugehörigen Observablen im Heisenberg-Bild erhält, so ist klar, daß "A" ~As - - - ut - U ~t

-

~t'

Gleichung (8.39) lautet also

Die Bewegungsgleichungen

. dAIl 1ft -(fr

=

[Afl, HIl]

+ 1ft. (lAll (l{-

283

(8.40)

Diese Gleichung ist bekannt unter dem Namen Heisenberg-Gleichung. Man erhält also das Heisenberg-Bild, indem man den Vektorraum des Schrödinger-Bildes als Ganzes so bewegt, daß der Zustand des Quantensystems durch einen zeitlich unveränderlichen Vektor Il/IH> beschrieben wird. Mit anderen Worten, jeder konstante Ket- Vektor im Heisenberg-Bild beschreibt eine mögliche Bewegung des Quantensystems. Dagegen werden die verschiedenen physikalischen Größen durch zeitlich veränderliche Observable dargestellt. Diese genügen der Gleichung (8.38) oder, was auf dasselbe hinausläuft, der Heisenberg-Gleichung mit der Anfangsbedingung AH(to)

= AS(to)·

Die Gleichungen (8.38) und (8.40) gelten natürlich auch für jede beliebige Funktion von Observablen im Heisenberg-Bild, insbesondere also auch für den Ausdruck e~H oder für den Projektor P(jf) auf den Unterraum von Eigenvektoren, die zu Eigenwerten eines bestimmten Bereiches D des Spektrums von AH gehören. Genauso hängt ein Ket-Vektor Im>, der die Angaben über einen Satz kompatibler Variabler verkörpert, im allgemeinen von der Zeit ab. Er ergibt sich aus dem Vektor Ixs> im Schrödinger-Bild durch die Formel:

IX/f(t»

=

ut(t, to) Ixs>'

(8.41 )

Nehmen wir an, die Bewegung des Quantensystems werde vom Zeitpunkt t o ab durch den (konstanten) Ket-Vektor Il/IH> beschrieben. Die Wahrscheinlichkeit, es bei einer Messung zu einer späteren Zeit t l im Zustand Im> zu finden, ist

was offensichtlich gleich dem Ausdruck ist, den man mit den zugehörigen KetVektoren im Schrödinger-Bild erhält (Gleichung (8.36)), denn das Skalarprodukt ist gegenüber der unitären Transformation ut(t l , t o ) invariant.

8.2.4

Heisenberg-Bild und Korrespondenzprinzip

Wie wir eben gesehen haben, sind Schrödinger- und Heisenberg-Bild streng äquivalent. In der Praxis findet meist das Schrödinger-Bild Anwendung, weil es sich für Rechnungen besser eignet. Die Schrödinger-Gleichung ist als Vektorgleichung leichter zu lösen als die Heisenberg-Gleichung, die eine Operatorgleichung ist, doch treten bestimmte allgemeine Eigenschaften von Quantensystemen im Heisenberg-Bild deutlicher hervOl>: Die formale Analogie zwischen klassischer Theorie und Quantentheorie ist im Heisenberg-Bild besonders auffallend. In diesem Bild wird die zeitliche Entwicklung eines Quantensystems genau wie im klassischen Fall als eine Bewegung der dem System zugeordneten dynamischen Variablen beschrieben.

284

8 Der allgemeine Formalismus der Quantentheorie

Betrachten wir ein Quantensystem, das ein klassisches Analogon besitzt, und vergleichen wir die Bewegung der beiden Systeme. Jeder physikalischen Größe des klassischen Systems entspricht eine physikalische Größe des Quantensystems. Der einzige Unterschied besteht darin, daß die Größen des klassischen Systems den Regeln der gewöhnlichen Algebra genügen, während ihre quantentheoretischen Analoga Operatoren einer nichtkommutativen Algebra sind. Doch sind die Bewegungsgleichungen für beide Systeme insoweit identisch, wie die Ausdrücke einer nichtkommutativen Algebra mit denen der gewöhnlichen (kommutativen) Algebra übereinstimmen. Für die Variablen ql, ... , QN und PI, ... , PN lauten nämlich die Heisenberg-Gleichungen.

dqi

dT

1

=

dPi

dT

l1i [qi, H]

=

()H () Pi

1

=

l1i [pi, H]

= -

()H ()qi

(i = 1,2, ... , N)

(8.1) (i = 1,2, ... , N)

Bei der Herleitung dieser Ausdrücke wurden die Vertauschungsrelationen zwischen P und q und die sich daraus ergebenden Eigenschaften (5.67) und (5.68) berück-

sichtigt. Das Gleichungssystem (8.1) ist mit den Hamiltonschen Gleichungen der klassischen Mechanik formal identisch. Allgemeiner genügt eine klassische dynamische Variable AcL = A (q" ... , qM PI' ... , PM t) der Bewegungsgleichung

dAel.

dT

I I I Acl., Hel. \

+ ()Ad. Ji'-

(8.42)

wobei IAel., Hel.) die Poissonklammer von Ael. und Hel. ist, also

Wir sehen, daß die klassische Gleichung (8.42) insoweit mit der zugehörigen Heisenberg-Gleichung identisch ist, wie man die Poissonklammer mit dem Kommutator [AlP HHl/ih identifizieren kann. Beachtet man die Vertauschungsrelationen und die Ähnlichkeit der Regeln rur die Kommutatoralgebra und die Algebra ·der Poissonklammern, so kann man tatsächlich zeigen, daß beide Ausdrucke identisch sind. (Man muß im expliziten Ausdruck rur die Poissonklammer die Reihenfolge der q und der P geeignet wählen.)

8.2.5

Erha[tungsgrößen

Der Begriff der Erhaltungsgrößen ist besonders leicht im Heisenberg-Bild zu verstehen. Eine nicht explizit zeitabhängige dynamische Variable ist eine Erhaltungsgröße, wenn die sie darstellende Observable eH im Heisenberg-Bild zeitlich konstant ist. Folglich ist sein System von Eigenvektoren (zeitlich) fest, und die statistische Verteilung der Ergebnisse einer eventuellen Messung dieser Größe ist unter allen Umständen unabhängig vom Zeitpunkt der Messung.

Die Bewegungsgleichungen

285

Nach dieser Definition hat man für CH:

W;tCfI

=

[CH' HH]

=

o.

Die Konstanten der Bewegung werden also durch Observable dargestellt, die mit dem Hamilton-Operator kommutieren. Dieses Ergebnis gilt übrigens auch im Schrödinger-Bild, weil die Vertauschungsrelationen sich beim übergang von einem Bild zum anderen nicht ändern. Schließlich ist das zeitunabhängige CH gleich seinem Anfangswert Cs:

CH(t) = CH(to) = Cs = C Wird insbesondere der Zustand des Systems im Heisenberg-Bild durch einen Eigenvektor von C beschrieben:

so behält die Variable C für alle Zeiten denselben Wert c. Man sagt, der Eigenwert c sei eine gute Quantenzahl. Man zeigt leicht, daß C mit dem Entwicklungsoperator U(t, to) vertauscht. Folglich bleibt der Vektor 11/Is(t» im SchrödingerBild dauernd im Unterraum zum Eigenwert c:

CI1/Is(t»

= cI1/ls(t)>.

8.2.6 Bewegungsgleichungen für Erwartungswerte und Energie-Zeit-Unschärferelation Geht man vom Heisenberg-Bild aus, so ist es besonders leicht, eine Differentialgleichung für den Erwartungswert einer bestimmten Observablen A H aufzustellen. Weil nämlich 11/I H > zeitunabhängig ist, erhält man

Das Einsetzen der Heisenberg-Gleichung ergibt wieder die Gleichung (5.72): d 1 dt (A) = i1i dA, H»

+ (JA) \ Jt .

(8.43)

Insbesondere erhält man auch die Ehrenfestschen Gleichungen (Abschnitt 6.1.2), wenn man vom Gleichungssystem (8.1) ausgeht. Als Anwendung von Gleichung (8.43) soll die Energie-Zeit-Unschärfebeziehung hergeleitet werden (s. Abschnitt 4.2.4). Wir betrachten ein System, dessen HamiltonOperator nicht explizit von der Zeit abhängt. Sei A eine ebenfalls nicht explizit von der Zeit abhängende Observable dieses Systems. Wir untersuchen den Zustand des Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt t. Sei 11/1 > der Vektor, der diesen

286

8 Der allgemeine Formalismus der Quantentheorie

Zustand beschreibt. Weiter bezeichnen wir mit ~A, ~E die Abweichungen von A bzw. E. Wir wenden auf die Vektoren (A - und (H - die Schwarzsehe Ungleichung an und wiederholen die Rechnungen aus Abschnitt 8.1.3. Es ergibt sich, daß (8.44) wobei das Gleichheitszeichen gilt, wenn (A - 0:) 1tJ!>

= i"(H

- e)

1tJ!> der Gleichung

1tJ!>

genügt, mit beliebigen reellen Konstanten 0:, "( und e (s. Gleichung (8.10)). Nun ist nach Gleichung (8.43) > ist gleich dem ftir die zugehörigen Wellenfunktionen erklärten Skalarprodukt:

= dq' durch die Wellenfunktion

dargestellt wird. Allgemein wird die Wirkung einer beliebigen Funktion V(q) == V(ql> q2' ... , qp;) der Koordinaten des Konfigurationsraums auf einen Ket-Vektor 1111> durch die Funktion erklärt, die man durch Multiplikation von Hq') mit V( q') erhält:

= =

J == H~(q')

=

[

2: -

J

fi2

2m

;

;)G I

c

qi

+ V(q') ] ~(q')

darges tell t. Wählt man schließlich das Schrödinger-Bild und schreibt die Bewegungsgleichung (8.35) in der l q l -Darstellung an, so erhält man wieder die Schrödinger-Gleichung in der üblichen Form:

J ifi vi ~(q ; t) = H~(q ; t). Somit ist die Identität zwischen der Wellenmechanik einerseits und der Formulierung der Quantentheorie in der l q l -Darstellung und im Schrödinger-Bild anderersei ts gezeigt.

8.3.3

Die l p l -Darstellung

Als weiteres Beispiel flir eine Darstellung sei die l p} -Darstellung (Impulsdarstellung) genannt, in der die Komponenten des Impulses diagonal sind. Wir bezeichnen mit Ip'> == Ip'l> Ip~> ... IPAr> die Basisvektoren dieser Darstellung. Das sind die gemeinsamen Eigenvektoren von PI, pz, ... , PN zu den Eigenwerten pi, p~, ... , PAr. Wir setzen voraus, daß diese Vektoren orthonormiert sind:

im Konfigurationsraum ist: (p')

J dq' dp' sei der Zustandsvektor zum Zeitpunkt t = 0, I/I(r) und ",(P) seien die Wellenfunktionen, die bZw./ p I-Darstellung darstellen. Zur Zeit t ist der Zustand des Sydiesen Vektor in der / r stems durch den Vektor

1-

1'Ir>

=

e-iHt/hll/i >

gegeben, wobei H == p2 12m der Hamitton-Operator ftir das freie Teilchen ist. Der Impuls ist eine Erhaltungsgröße, sein Mittelwert bleibt zeitlich konstant. Dasselbe gilt von der Gruppengeschwindigkeit

294

8 Der allgemeine Formalismus der Quantentheorie

v

=

chung (7.88», so daß

0 gilt, haben

die

wn die

Eigenschaften

? 0,

p ist also der Dichteoperator des aus den Vektoren In> mit den Gewichten wn bestehenden Gemischs 11). Der Leser möge diese überlegungen für den Fall durchfuhren, daß bestimmte Eigenwerte von p entartet sind.

8.4.5

Reine Fälle

Der Dichteoperatorformalismus gestattet die Behandlung der reinen Fälle als Spezialfälle von statistischen Gemischen. Weiß man mit Sicherheit, daß sich das System im reinen Zustand Ix> befindet, so kann man diesen Zustand durch ein statistisches Gemisch darstellen mit dem einzigen (auf Eins normierten) Element Ix>' Sein Dichteoperator ist der Projektor Px =

Ix> bis auf eine Phase untereinander gleich sind. Sie stellen also ein und denselben Zustand dar, den gesuchten reinen Zustand (s. Aufgabe 7). (ii) Jeder Dichteoperator p, d.h., jeder positiv definite, hennitesche Operator mit der Spur Eins, hat die Eigenschaft Ir p2 .;;; 1. Damit er einen reinen Fall be-

schreibt, ist es (notwendig und) hinreichend, daß (s. Aufgabe 8)

(8.76) Es ist also immer möglich, den Zustand eines Systems durch seinen Dichteoperator darzustellen, ob dieser Zustand nun vollständig oder nur unvollständig bekannt In> paarweise orthogonal. Die Im> in der Definition (8.63) haben dagegen nicht notwendig diese Eigenschaft.

11) Im Ausdruck (8.73) sind die

Quantenstatistik

301

ist. Durch Angabe dieses Operators lassen sich nämlich alle physikalisch meßbaren Größen bestimmen. Gleichung (8.66) spielt dabei die Rolle von Gleichung (8.5), wenn man die Zustände durch Vektoren beschreibt. Diese Art des Vorgehens hat den Vorteil der einheitlichen Behandlung von reinen und gemischten Fällen. Außerdem ist der Dichteoperator, der den Zustand eines Systems beschreibt, eindeutig definiert, während der einen reinen Zustand darstellende Vektor bestenfalls bis auf einen Phasenfaktor definiert ist. Die Definition eines Gemischs von Vektoren schließlich, das einen unvollständig bekannten Zustand beschreiben soll, ist mit einer noch viel größeren Willkür behaftet.

8.4.6

Klassische und Quantenstatistik

In der klassischen Mechanik ist ein Zustand durch einen Punkt im Phasenraum definiert. Ein statistisches Gemisch von Zuständen wird durch eine Strömung im Phasenraum beschrieben, deren Dichte PcL in einem bestimmten Punkt gleich der Wahrscheinlichkeit ist, das System in dem durch diesen Punkt definierten Zustand zu finden. Zwischen der Phasenraumdichte Pd. und dem Dichteoperator P der Quantentheorie gibt es eine bemerkenswerte Parallele. Pel. ist eine reelle, positive Größe, deren Integral über den gesamten Phasenraum gleich Eins ist:

If

dq ,

und die Matrixelemente des Operators q sind:

Quantenstatistik

= ihO'(p'

I" "'"

x Py -

(9.3)

Y Px =1(> a .

r

(9.37) Vi r/

o r

I

1_ Abb. 9.2

f-------'

Rechteckiger, kugelsymmetrischer Potentialtopf.

Die Radialgleichung wird ebenso wie beim eindimensionalen Topf gelöst. Man kennt die allgemeine Lösung der Schrödinger-Gleichung in den bei den Zonen (0, a) und (a, 00). Sie ist eine Linearkombination von sphärischen Bessel-Funktionen. Die Regularitätsbedingungen im Ursprung und im Unendlichen und die

322

9 Lösung der Schrödinger-Gleichung durch Trennung der Variablen. Zentralpotential

Stetigkeitsbedingung im Punkt r = a für die Funktion und ihre logarithmische Ab· leitung gestatten die Bestimmung der passenden Lösungen. Sei E die Energie des Teilchens. Wir setzen K Zone (0 < r < a) lautet die Radialg1eichung

~ ~ ~ ( K2 _ [dr + r dr + \

l(l

2

= [2m(E +

Vo )]'I2/11. In der inneren

+ 1»)] f (r) = O. r 2

I

Setzt man p = Kr, so erhält man wieder die Gleichung (9.25). Es existiert nur eine im Ursprung reguläre Lösung: Ait(Kr)

(A ist die Normierungskonstante ).

In der äußeren Zone (r > a) gilt die Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen. Je nachdem, ob E S 0, sind zwei Fälle zu betrachten:

(i) E < O. Diskretes Spektrum, gebundene Zustände. Wir setzen x = ( - 2mE)"~ lti. Die einzige im Unendlichen beschränkte Lösung ist die exponentiell fallende Funktion Bh~+\ixr), die für einen gebundenen Zustand charakteristisch ist. Die Stetigkeitsbedingung im Punkt r = a für die Funktion legt das Verhältnis B/A fest. Die Stetigkeit der logarithmischen Ableitung ergibt:

»)

1 ) ( dd hl+I(' h~(' I Ixr r I Ixr

'I

r=a

=

1

d.

11. (K r) d-r II(Kr)

I

r~a

.

(9.38)

Diese Bedingung kann nur für bestimmte diskrete Werte von E erftillt werden. Sie bestimmt die Energieniveaus der gebundenen Zustände des Teilchens. Handelt es sich um s-Zustände (l = 0), so lautet die Gleichung einfach

-

xa

=

Ka cot Ka.

(9.38/1)

Das ist nahezu die Gleichung (3.18) für das eindimensionale Problem aus Abschnitt 3.1.5. Die Diskussion über die Anzahl der Wurzeln der Gleichung und die Knotenzahl der Lösung kann ungeändert übernommen werden. Die Überlegungen hinsichtlich der Niveaus mit größerem Drehimpuls verlaufen analog (s. Aufgabe 5). (ii) E > O. Kontinuierliches Spektrum, nichtgebundene Zustände. Wir setzen k = (2mE)'12 /11. Die allgemeine Lösung der Schrödinger-Gleichung in der äußeren Zone ist überall beschränkt. Sie ist eine Linearkombination von h(kr) und nl(kr). Die Stetigkeitsbedingungen im Punkt r = a legen die Koeffizienten der als Eigenfunktion passenden Linearkombination fest. Zu jedem Wert von E gehört also (bis auf eine Konstante) genau eine Wellenfunktion.

Schreiben wir die äußere Lösung in der Form

B(cos 0lh(kr) + sin 0lnl(kr»,

(9.39)

so bestimmt die Stetigkeitsbedingung in r = a für die Funktion das Verhältnis B/A. 0l wird festgelegt durch die Stetigkeit der logarithmischen Ableitung

Kugelsymmetrischer Potentialtopf. Freies Teilchen

Kj;(Ka) cos ltCKa) = k cos

al j;(ka) + sin at n;(ka) al jt(ka) + sin at nt(ka) •

323

(9.40)

Sie ist eine reelle Größe. öl ist im übrigen die Streuphase der Kugelwelle mit dem Drehimpuls l. Mit Hilfe der Ausdrücke (9.26) kann man nämlich leicht zeigen, daß B sin (kr -

tz7t + at) kr

die asymptotische Form der Lösung (9.39) ist. Für den Fall der s-Welle nimmt Gleichung (9.40) die folgende, sehr einfache Gestalt an: K cot Ka = k cot (ka + ( 0 ).

(9.40/1)

9.3

Zweikörperprobleme. Separation der Schwerpunktsbewegung

9.3.1

Separation der Schwerpunktsbewegung in der klassischen Mechanik

Bei der Untersuchung eines Zweiteilchensystems in der Quantenmechanik handelt es sich um ein sechsdimensionales Problem. Dieses zerfällt jedoch in zwei dreidimensionale Probleme, nämlich in das eines freien Teilchens und in das eines Teilchens in einem statischen Potential, falls die beiden Teilchen ausschließlich einer gegenseitigen Wechselwirkung unterworfen sind, die nur von ihrer relativen Lage , ='1 ~'2 abhängt. Wir bezeichnen mit ml, l'Yl7. die Massen, mit PI, P2 die Impulse und mit '1, '2 die Lagen dieser beiden Teilchen. Der Hamilton-Üperator dieses Systems hat die Form H

~ 2m /!L +/Jj2m ..L I

2

I

V(I" !

r ). 2

(9.41)

In vollständiger Analogie zur entsprechenden klassischen Behandlung wird auch hier die Schwerpunktsbewegung von der Relativbewegung separiert. Erinnern wir uns kurz an die klassische Behandlung im Hamilton-Formalismus. Wir setzen: R _ mIr! m!

+ lll2 r 2 + m2 '

(9.II)

Durch diesen Wechsel der dynamischen Variablen läßt sich die Bewegung der beiden Teilchen durch Bewegungen von zwei fiktiven Teilchen darstellen. Das eine ist der Schwerpunkt mit der Lage R. Sein Impuls P ist der Gesamtimpuls

324

9 Lösung der Schrödinger-Gleichung durch Trennung der Variablen. Zentralpotential

und seine Masse M die Gesamtmasse des Systems. Das andere ist das der Relativbewegung zugeordnete Teilchen. Sein Ort r ist die relative Lage des ersten Teilchens in bezug auf das zweite und seine Geschwindigkeit p/m ist gleich der Relativgeschwindigkeit (PI/mi) - (P2/m2)' die Masse m dieses Relativteilchens heißt reduzierte Masse. Einige Eigenschaften der Transformation (9.II) seien hier angegeben: (9.42/1) p~ pi 2m 1 + 2m 2 Jl1 1

PI

rf

+ m2r~ =

"1

+P2 " 2 11

+

12

p2

p2

=

2m + 2M

(9.42/2)

mr2 + MR2

(9.42/3)

= p.,+p. R

(9.42/4)

1+ L.

(9.42/5)

=

In Gleichung (9.42/5) haben wir die Drehimpulse 11' 12 der beiden Teilchen eingeführt, den Drehimpuls des Relativteilchens 1 = 1 x p und den des Schwerpunkts

L

=

RxP.

Man sieht leicht, daß bei der Transformation die Poissonklammern erhalten bleiben: Die Transformation ist kanonisch. Folglich sind die Bewegungsgleichungen in den neuen Variablen kanonische Gleichungen, die man aus der Hamilton-Funktion in Abhängigkeit der neuen Variablen erhält:

p2

If

p2

= 2M +2m + Ver).

(9.43)

Man findet

.

P

R = ~lIJ'

p=

-

grad V.

Die Bewegungsgleichungen des Schwerpunkts und des Relativteilchens sind vollständig separiert. Die Bewegung des Schwerpunkts ist geradlinig gleichförmig: die eines freien Teilchens der Masse M. Das Relativteilchen bewegt sich wie ein Teilchen der Masse m im Potential V(r).

9.3.2

Separation der Schwerpunktsbewegung bei einem quantenmechanischen Zweiteilchensystem

Für die Behandlung des gleichen Problems in der Quantenmechanik fUhrt man ebenfalls durch die Gleichungen (9.11) neue dynamische Variablen r, R, p und P als Funktionen der alten ein. Der Hamilton-Operator, der in den alten Variablen

Zweikörperprobleme. Separation der Schwerpunktsbewegung

325

durch Gleichung (9.41) ausgedri.ickt wird, nimmt in den neuen Variablen die Form (9.43) an. Weiter genügen die neuen Variablen Vertauschungsrelationen, als ob sie zwei Teilchen der Lage r bzw. R und mit den Impulsen p bzw. P beschreiben. Die einzigen nichtverschwindenden Kommutatoren sind ['I, Pj]

= ih,

[Rj, l}]

= ih

(j

= x,

y, z).

Alle diese algebraischen Eigenschaften können aus den Gleichungen (9.11) leicht hergeleitet werden. Ebenso zeigt man, daß die Gleichungen (9.42) in der Quantentheorie gültig bleiben - einschließlich Gleichung (9.42/5) -, ohne daß man die Reihenfolge der darin auftretenden Operatoren ändern muß. In den neuen Variablen ist H die Summe aus zwei Tennen,

von denen der erste,

nur von den Schwerpunktsvariablen abhängt und der zweite,

p2 Hr

= 2m

+ V(r),

nur von denen des Relativteilchens. Die durch Tensonnultiplikation der Eigenvektoren von Hr mit den Eigenvektoren von HR entstehenden Vektoren bilden ein vollständiges System von Eigenvektoren von H. So lautet die Schrödinger-Gleichung in der IR, r ) -Darstellung:

ti2 L1 n ) [ ( - 2M

+ (-t i',Tm2 L1 + V(r»)' ] r

'F(R, r)

=

(9.44)

E'F(R, r),

f:lR, und t:., sind die Laplace-Operatoren bezüglich der Koordinaten Rund r 7). Diese Gleichung besitzt ein vollständiges System von Eigenlösungen der Fonn w(R, r) = (R).p(r),

wobei die Funktionen und .p den folgenden separierten Gleichungen genügen:

I

7) Diese Gleichung erhält man genauso gut direkt aus der Schrödinger-Gleichung in der r l ' r z ) -

Darstellung, wenn man in dieser Gleichung den Variablenwechsel (r l ,rz )

vornimmt.

-->

(r. R)

.326

9 Lösung der Schrödinger-Gleichung durch Trennung der Variablen. Zentralpotential

H R II>(R) Hr rp(r)

== ( -;~ Ll R ) == ( - ;~

Llr

II>(R) =

ER

II>(R)

+ V(r») cp(r) =

EI' cp(r).

Die Eigenenergie des Gesamtsystems ist die Summe der Eigenenergien der Teilsysterne:

E

= ER + Er·

Ist allgemeiner die Wellenfunktion zum Anfangszeitpunkt to ein Produkt aus zwei Faktoren, F(R) [fr), so bleibt diese Faktorisierung zeitlich erhalten. Die Funktion F(R) entwickelt sich wie das Wellenpaket eines freien Teilchens der Masse Mund die Funktion [(r) wie die Welle, die ein Teilchen der Masse m im Potential V(r) darstellt 8). Praktisch wird also das Zweiteilchenproblem auf die Behandlung eines Teilchens im Potential V(r) zuIÜckgeflihrt. Dieses Problem haben wir aber flir den Fall des Zentralpotentials bereits gelöst.

9.3.3

Erweiterung auf Systeme mit mehr als zwei Teilchen

Die Separation der Schwerpunktsbewegung ist ganz allgemein bei Mehrteilchensystemen möglich, wenn das Wechselwirkungspotential V nur von der relativen Lage der Teilchen und nicht von ihrer absoluten Lage abhängt. Mit anderen Worten, die Separation kann dann erfolgen, wenn die Wechselwirkung gegenüber einer Translation aller Teilchen invariant ist. Betrachten wir nämlich ein quantenmechanisches System aus (N + 1) Teilchen, dessen Hamilton-Operator H diese Invarianzeigenschaft besitzt. Für jeweils zwei Teilchen kann man die Reduktion auf den Schwerpunkt, d.h. die Ersetzung ihrer dynamischen Variablen durch die Schwerpunkts- und Relativvariablen, stets durchführen. Dieser Vorgang kann fortgesetzt werden: Hat man eine erste Reduktion mit zwei Teilchen durchgefUhrt, so kann man dies anschließend mit dem Schwerpunkt dieser beiden Teilchen und einem dritten Teilchen tun. Nach diesem zweifachen, aufeinanderfolgenden Wechsel der Variablen sind die drei Teilchen ersetzt durch das "Relativteilchen" der Teilchen eins und zwei, durch das "Teilchen", das der Bewegung des Teilchens drei relativ zum Schwerpunkt der Teilchen eins und zwei zugeordnet ist, und schließlich durch den Schwerpunkt der drei Teilchen. Allgemein ersetzt man die (N + 1) Teilchen nach Nmaligem Wechsel der Variablen durch N "Relativteilchen" und den Schwerpunkt aller (N + 1) Teilchen. Diese Reduktion auf den Schwerpunkt des Gesamtsystems kann auf vielfache Art geschehen. Man kann schrittweise von Teilchen zu Teilchen vorgehen - das sind '12(N + I)! mögliche Varianten -, man kann aber auch die (N + 1) Teilchen in zwei Gruppen von NI und Nz Teilchen aufteilen, die Reduktion auf den Schwerpunkt bei jeder dieser beiden Gruppen durchfUhren und dann die Schwerpunktskoordinaten R, und R z durch die Relativkoordinaten R, -R z und den Schwerpunkt (M, R, + MzR z )/(M, + M z ) ersetzen. Schließlich kann man die (N + 1) Teilchen in drei Gruppen aufteilen usw. Wir bezeichnen mit rb Pi> und mi die Lage, den Impuls und die Masse des i-ten Teilchens. R, P und M seien die entsprechenden Größen fUr den Schwerpunkt des (N + 1)-Teilchensystems:

m, «m2 , so ist m "" m, und M = m, (Beispiel: das Wasserstoffatom, m, Masse des Elektrons, m, Masse des Protons). 1st m, "" mz ' so ist m "" '12m, und M "" 2m, (Beispiel: der Deuteriumkern, m, Masse des Protons, m, Masse des Neutrons).

8) Falls

Zweikörperprobleme. Separation der Schwerpunktsbewegung NJ.I

Nli

M=Lm.

p

1

LP;.

;=1

=M

R

;=1

327

N+I

L mir,.;

i=1

ferner seien Pj, Wj, J.Ij (j = 1, 2, ... , N) die entsprechenden Größen des j·ten "Relativteilchens", das bei einer der eben beschriebenen Reduktionen auf den Schwerpunkt eingeflihrt wird. Weil eine solche Reduktion sich aus N aufeinanderfolgenden Reduktionen ftir zwei Teilchen zusammensetzt, können die Gleichungen (9.42) ohne Schwierigkeit verallgemeinert werden. Es ergibt sich: (9.45/1) (9.45/2)

""

.,.

X+I

L...

mi

r;.,

111 R'

+ L [.lJ pJ

i=1 X+l

lY

LP;.r; = P. R + ;=1

L

W J • Pj

(9.45/4 )

j=1

,,"+1

L (r,

(9.45/3)

j=!

.IV

X

p,)

R X P

i=1

+ L (Pj X wJ>.

(9.45/5)

j=!

Aus demselben Grund genügen andererseits die neuen dynamischen Variablen den Vertauschungsrelationen, die flir dynamische Variablen eines (N + l)-Teilchenquantensystems charakteristisch sind. Schließlich ist klar, daß das Potential V nur von den Relativkoordinaten p" P" ... , PN abhängt und daß die kinetische Gesamtenergie gleich der Summe der kinetischen Energie des Schwerpunkts und der kinetischen Energien der Relativteilchen ist (Gleichung (9.45/2». Also ist

H =

.\" w~

2~~ + [ L ~ + j =I

fLi

] V(p, ..... P.v) .

So wird der Hamilton-Operator wie im Falle zweier Teilchen separiert, und das (N + I )-Teilchenproblem wird auf ein N-Teilchenproblem zurückgeflihrt. Alle hier angeflihrten Eigenschaften sind unabhängig davon, wie man auf den Schwerpunkt reduziert. Wie man auch die N "Relativteilchen" wählt, das Produkt ihrer reduzierten Massen M, !J.z .•• MN, die Summe ihrer kinetischen Energien 'i:;(w/f2J.1j) und die Summe ihrer Drehimpulse Lj(pj x Wj) ändern sich nicht (Gleichungen (9.45/1), (9.45/2) und (9.45/5)) (s. Aufgabe 7).

Aufgaben 1. Man zeige, daß der durch Gleichung (9.6) definierte hennitesche Radialimpuls Pr der Gleichung P,

genügt.

=

t

[~. P +p.~]

328

9 Lösung der Schrödinger-Gleichung durch Trennung der Variablen. Zentralpotential

2. Gegeben sei ein Teilchen in einem Zentralpotential Ver) mit einer bestimmten Anzahl gebundener Zustände. Man zeige, daß der Grundzustand notwendig ein s-Zustand ist. Allgemeiner zeige man: Gibt es einen gebundenen Zustand mit dem Drehimpuls L, so gibt es mindestens einen gebundenen Zustand zu jedem Wert I des Drehimpulses mit I < L. Ist dabei EI das niedrigste Energieniveau, das man mit dem Drehimpuls I erhalten kann, so ist notwendig Eo

< EI d), so gelangt das einfallende Wellenpaket überhaupt nicht in die Streuzone und bewegt sich während der gesamten Dauer des Versuchs wie ein Paket aus freien Wellen. Ist dagegen b < d, so dringt es zu einer bestimmten Zeit (, oe (0 -(l/v) in die Streuzone ein. In diesem Augenblick beginnt der eigentliche Stoß. Nach hinreichend langer Zeit befindet sich das Wellenpaket wieder völlig außerhalb der Streuzone. Im allgemeinen setzt es sich dann aus zwei Termen (additiv) zusammen: einem transmittiertem Wellenpaket, dessen Form und Bewegung im wesentlichen dieselben wie die des einfallenden Pakets sind, und einem Paket aus Wellen, die in von der Einfallsrichtung verschiedenen Richtungen gestreut werden 5) (Abb. 10.2).

o

l-tNH

b

Abb. 10.2 Verlauf der Streuung eines Wellenpakets: 10.2 a vor dem Stoß, 10.2 b während des Stoßes, 10.2 c nach dem Stoß (schraffiert der Bereich mit nichtverschwindendem Potential). 5) Der Vorgang verläuft analog zu den Reflexions- und Transmissionserscheinungen eindimensiona-

ler Wellen, wie sie im dritten Kapitel (Abschnitte 3.1.2, 3.1.5 und 3.1.6) untersucht wurden.

336

10 Streuprobleme. Zentralpotential und Streuphasenmethode

Der Nachweis der gestreuten Teilchen erfolgt durch Anbringen eines geeigneten Zählsystems (Zähler, Photopiatten etc.) in einer bestimmten Richtung n = (IJ,.p) und in einem Abstand vom Streuzentrum von der Größenordnung D. Soll das Zerfließen des Wellenpakets im Laufe des Versuchs vernachlässigbar sein (siehe Abschnitt 6.1.3), so darf dieser Abstand nicht zu groß sein:

..jXD «d,

[.

(10.6)

Macht man diese Einschränkung, so muß andererseits der Nachweis so weit entfernt vom Streuzentrum erfolgen, daß dieses die Bewegung des nachzuweisenden Pakets nicht mehr beeinflußt, a, A «D,

(10.7)

und daß der Zähler auf keinen Fall von der transmittierten Welle ausgelöst wird: (10.8)

d« D sin IJ.

(Die nach vorn (IJ = 0) gestreute Welle kann niemals von der transmittierten Welle getrennt werden.) Faßt man die B\;dingungen (10.4) bis (10.8) zusammen, so erhält man schließlich die folgenden Ungleichungen 6)

a,

.,fiii

a,

...(iii «d «

(10.9/1)

«[

D.

(10.9/2)

Damit der Wirkungsquerschnitt o(n) tatsächlich durch die Formel (10.2) gegeben ist, muß die Meßanordnung fUr diese Größe notwendig die Bedingungen (10.9) erfUllen. Außerdem müssen die Wellenpakete nach Richtung und Energie hinreichend genau definiert sein, damit man ihnen eine bestimmte Streuamplitude zuordnen kann: !(n) muß nach Betrag und Argument praktisch konstant bleiben, wenn die Energie um oE"" flVII und der Einfallswinkel um A Id von ihren Mittelwerten abweichen. Dies beweisen wir in den nächsten beiden Abschnitten.

10.1.4

Potentialstreuung eines Wellenpakets

Unter den angegebenen Bedingungen (I, d » a) ist die Entwicklung der einfallenden Wellenpakete praktisch unabhängig von ihrer speziellen Form. Wir nehmen darum an, daß alle dieselbe Form haben und jedes durch die Parameter b, t o charakterisiert ist, die die Bewegung seines Schwerpunkts festlegen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit setzen wir to = O. Zur Festlegung der Form des einfallenden Pakets fUhren wir die auf Eins normierte Funktion x(p) ein:

(lx(p)1 dp 2

=

1.

(10.10)

Mit A(x) bezeichnen wir ihre Fourier-Transformierte, die so normiert ist, daß gilt: (10.11) Nach Voraussetzung ist x(p) eine reelle Funktion, deren Werte nur in einem Bereich um p = 0 mit der longitudinalen Ausdehnung [ und der transversalen d wesentlich von Null verschieden sind. 6) In der Atom- bzw. Kernphysik ist d höchstens von der Größe der Blende, durch die die ein-

fallenden Teilchen austreten: d "" 1 mm. [ kann beträchtlich größer sein. D ist von der Größenordnung 1 m. Mit a "" 10-· cm und A ""--.10- 8 cm "als maximalem Wert ergibt dies .J7iD "" 10- 3 cm und [la ?:-dla "" 107 , [1.Jw ?:-d/.JW "" 10', dlD "" 10- 3 • Die Bedingungen (10.9) sind also in hohem Maf~e erfUllt.

Wirkungsquerschnitte und Streuamplituden

337

Entsprechend ist A(x) reell und nur in einem Bereich um x = 0 mit der longitudinalen Ausdehnung 0/1) und der transversalen Ausdehnung O/d) wesentlich von Null verschieden. Der Einfachheit halber nehmen wir an, daß d "" I. Sehr lange vor dem Stoß (t «-I/v) muß das zu untersuchende Wellenpaket q,b(r, t) identisch mit dem freien Wellenpaket b(r, 0) = eik.(r-b) x(r-b) =

Schließlich ist

cl>b(r, t)

=

I

A(k' -

k) eik'(r-bl dk'.

I

A(k' -

k) eil k'· (r-bl-(E'I/til] dk'.

(10.12)

Wird das Zerfließen dieses freien Pakets vernachlässigt, so kann man es auch durch den Ausdruck (10.13) beschreiben, indem man auf der rechten Seite von (10.12) die Energie E' ersten beiden Terme ihrer Entwicklung nach Potenzen von k' - k ersetzt:

=

h2 k'2 /2m durch die

E' = E + hv· (k' - k).

Das Paket I/!b erhält man, wenn man im Integral (10.12) die ebene Welle exp(ik"r) durch die stationäre Streuwelle I/!li(r) ersetzt:

'f"b(r,t):::;;

I

A(k'_k)e-ik'.b ljik,(r) e-iE'llti dk'.

(10.14)

Als Superposition von Lösungen der Schrödinger-Gleichung ist dies ebenfalls Lösung dieser Gleichung. Es genügt also zu zeigen, daß dieses Paket vor Beginn des Stoßes mit dem freien Wellenpaket d, so liegt das Argument von ~. zu jeder Zeit und für beliebiges r in dem Bereich, in dem diese Funktion vernachlässigbar ist. 'ltbd ) bleibt stets praktisch Null, das Wellenpaket bewegt sich wie ein Paket aus freien Wellen. Ist b < d, d.h. dringt das einfallende Paket während seiner Bewegung tatsächlich in die streuende Zone ein, so ist x auf einer Kugelschale von der ungefähren Dicke I auf beiden Seiten der Kugel r = vI merklich von Null verschieden.: 'ltf,d) , das vor dem Stoß praktisch Null war, stellt nach dem Stoß ein mit der Geschwindigkeit v auslaufendes Wellenpaket dar, d.h. ein Paket aus Kugelwellen, das sich mit der radialen Geschwindigkeit v vom Streuer entfernt. Zur Zeit t '" D/v, gelangt die Welle 'ltf,d) in den Zählbereich. Sie ist nun von der transmittierten Welle I)

(al /

VI

ml /; //;

mlo_--,-v__ --+m\~~I~V.

.

r

m1

V1

vor dem Sto(J

nach dem Sto(J

V-v

~-----o-

ml

!1

V

.. - - o - - -

m1

vor dem Sto(J

QI= 10.ql

(bi

ml nach dem StorJ

Abb. 10.3 a Stoß im Laborsystem {V= (ml/M)v).

10.3b derselbe Stoß im Schwerpunktsystem.

Wirkungsquerschnitte und Streuamplituden

definiert

10),

343

d.h. es ist

, die durch die Beziehung 0 I = Y2 (0< + 0> -11) verknüpft sind. Zu jedem von ihnen gehören zwei verschiedene Werte von VI, der größere gehört zum kleineren Wert von O. 10) Genauso ist der Zusammenhang zwischen (IJ" Null ist: V(r)

'0

'0 I + 00

=

wenn r wenn r

!0

< '0 > '0'

Auf der Oberfläche der Kugel muß die Wellenfunktion verschwinden, also Y[('o) = 0 für beliebiges l(q[ = _00). Das liefert PI = 0 (Gleichung (10.44», also (10.49) Daraus leitet man nach einiger Rechnung her, daß

+ 1)

(51

47t(21 k2

=

ij(kro) ij(kro) nj(kro)

+

(10.50)

und insbesondere (50

=

2 ('

)2 .

sin kro

47tro , kro -

Bei sehr niedrigen Energien wird gemäß der Untersuchung des Abschnitts 10.3.2 der differentielle Wirkungsquerschnitt isotrop, und der Grenzwert des totalen Wirkungsquerschnitts ist:

lim

(5toL

=

lim

(50

k~o

k--+O

was einer Streulänge a =

=

'0

47trC.

(10.51)

entspricht.

Mit wachsender Energie wird der Anteil der Partialwellen höherer Ordnung immer größer und die Anisotropie der Streuung immer ausgeprägter. Bei sehr hohen Energien (71. '0) können die differentiellen und totalen Wirkungsquerschnitte berechnet werden, indem man die asymptotischen Eigenschaften der Bessel-Funktionen für große Werte der Ordnung I berücksichtigt. Man findet 12):

«

a(n) '" k-+co

ir~(l +cot2~Ji(krosin8)) 2

(10.52) (10.53)

12)

S. MORSE und FESHBAC'H, a.a.O. (S. Anm. 6.6), 1551. J I (xl ist die Bessel-Funktion der Ordnung 1. Wächst x von 0 bis + ~, so wächst J I (xl von 0 [J I (xl - 'I2X) bis zu einem ersten Maximum J I (1,84) ~ 0,58, dann fällt sie und verschwindet ein erstes Mal bei x ~ 3,83. Darauf oszilliert sie unbegrenzt nach der asymptotischen Form J,(X)r~oo;.x ( 2 )'/' eos (x -lrr).

Potential endlicher Reichweite

353

Für die Beziehung (l0.53) geben wir hier einen vereinfachten Beweis. Kennt man den allgemeinen Verlauf der Funktionen h(O und n/(~)' so kann man daraus den der Funktion

jf(~)

gi(~) = jf(~) + ni(~) herleiten. Sie verschwindet rur ~ = 0 wie ~41 + 2 j[ (21 + I)!! (21 - 1)!!]2, wächst mit ~ an, bis ungefähr t = I, dann oszilliert sie unbegrenzt gemäß gl(~) ~ sin'(~-tl)n.

(10.54 )

~~>O

Folglich kann in der Summe

der Anteil der Glieder I > kro vernachlässigt und der der Glieder I < kro grob berechnet werden, indem man g/ (kro) durch seine asymptotische Form (10.54) ersetzt. Man erhält: kr atol.

'"

k-»)')

4n k' '" L.., (21 1=0

+ 1) sin' (kr. -

tin).

Die Summe berechnet man, indem man aufeinanderfolgende Glieder paarweise zusammenfaßI: I'ür grolk Werle von k ergibt das:

I

'kru

."

I dl

'"

= t k' r,~,

woraus Gleichung ( 10.53) folgt.

»

Für den Grenzfall sehr kleiner Wellenlängen (krü I) ergeben sich nun entgegen der Erwartung nicht die Wirkungsquerschnitte flir die Streuung eines klassischen Teilchens an einer harten Kugel vom Radius ro. Der klassische totale Wirkungsquerschnitt ,

ist halb so groß wie der quantentheoretische, flir den Grenzfall sehr kleiner Wellenlängen berechnete. Entsprechend ist der klassische differentielle Wirkungsquerschnitt isotrop und gleich Y. Er ist gleich dem ersten Glied in der asymptotisehen Form (10.52) flir a(n).

ti:

Tatsächlich darf der Wellenaspekt des Vorgangs nie vernachlässigt werden, denn selbst bei sehr kleinen Wellenlängen darf man das Potential wegen der Unstetigkeit bei r = ro nicht als langsam veränderlich ansehen. Das beobachtete WeIlenphänomen ist vollkommen analog zu den Beugungserscheinungen in der Optik, wie die Untersuchung der asymptotischen Form (10.52) des differentiellen Wirkungsquerschnitts zeigt. Er besteht aus zwei Termen. Der erste ist ein isotroper "Reflexions"-Term, der mit dem klassischen differentiellen Wirkungsquerschnitt übereinstimmt. Der zweite, Y. r~ cot 2 (Y2 8)

Jf (kro

sin 8),

354

10 Streuprobleme. Zentralpotential und Streuphasenmethode

ist stark anisotrop, weil sein Anteil im wesentlichen auf kleine Winkel von der Größenordnung ""/ro beschränkt ist. Es ist der "Diffraktions"- Term (Schattenstreuung), der vom Schatten der vollkommen reflektierenden Kugel herrührt.

10.4

Resonanzstreuung

10.4.1

Streuung an einem tiefen Potentialtopf

Als weiteres Beispiel für ein Potential endlicher Reichweite betrachten wir noch einmal das Kastenpotential aus Abschnitt 9.2.4. Wir setzen fi2 K~ "

'0

=

0

2m •

und wollen das Verhalten der verschiedenen Partialwellen als Funktion der Energie untersuchen, wenn der Topf sehr tief ist. Genauer gesagt, nehmen wir an, daß

»

I

(10.55)

K»k.

(10.56)

Kro

In diesem Fall ist der in die rechte Seite von Gleichung (10.43) einzusetzende Wert von q/ in guter Näherung:

q/

~

Kro cot(Kro - %/rr).

(10.57)

Das allgemeine Verhalten von 8/(E) bei niedrigen Energien - wenn also gemäß der Bedingung (10.56) E « Vo ist - liest man nun leicht ab. Gemäß den Gleichungen (10.42) und (10.43) hängt 8/ über die Größen T/, kro VI, Re q}+l und q/ von der Energie ab. Die drei ersten sind monotone Funktionen von kro(T/ monoton fallend, die bei den anderen monoton wachsend), deren Verhalten im Ursprung durch die Ausdrücke (10.45) und im asymptotischen Bereich (kro » I) durch Tl

,...,

-

kru~:JC

lim

Vt =

kr\l~:r.:

(kro 1

tin). lim Re q;+l = 0

(10.58)

kf'w---+ XJ

gegeben ist. In dem uns interessierenden Energiebereich ändern sich diese drei Funktionen relativ langsam. Dagegen variiert die logarithmische Ableitung q/ sehr rasch. Sie ist eine monoton fallende Funktion der Energie und weist flir die Werte der Energie, flir die Kro = Y2 Irr + nrr (n ganzzahlig) ist, senkrechte Asymptoten auf. Die Energiedifferenz zwischen zwei benachbarten Asymptoten ist ungefähr (l0.59)

Resonanzstreuung

355

Ändert sich die Energie um diesen Betrag, so ist Iq/I fast überall von der Ordnung oder größer als Kro und man hat fast im gesamten Intervall

Iq/ - Re q}+) I » kro

VI·

Der zweite Term der Streuphase, PI' bleibt sehr klein (bis auf Vielfache von n):

kro v/

Pi ~ ---~R (+) ~

q,- e q,

k

R VI.

während von vornherein T/ keiner Einschränkung unterliegt. Man kann also schreiben: 0/ ~ T/.

Die Streuphase ist praktisch dieselbe wie bei einer harten Kugel mit demselben Radius. Folglich streut das Potential im größten Teil des Energiebereichs jede Partialwelle so, als ob es sich um eine harte Kugel handelt: Es liegt "Potentialstreuung" vor, die einfallende Welle dringt praktisch nicht in den inneren Bereich ein: Indessen gibt es einen kleinen Energiebereich um den Punkt Er, wo q/ ftir den

= Re q}+),

Iq/ - Re q}+) I ::; kro VI· Wir ftihren die Größen dt,'1

y ----.

-

dq,l/o·/;',

(y> 0)

(10.60)

l' = 2kro v, y

ein.

r

ist die Breite des in Frage stehenden Energiebereichs. Man beachte, daß

r

D

13)

2 k

== ~ K VI «

1.

Bei einer Änderung der Energie von der Ordnung einiger r beiderseits von Er fallt q/- Re q}+) von Werten, die sehr viel größer als kro V/ sind, ab auf Werte, die sehr viel kleiner als - kro Vf sind, und PI springt von Werten um n 1T auf solche um (n + 1)1T. Der partielle Wirkungsquerschnitt erfahrt eine plötzliche Änderung, bei der er seinen maximalen Wert 41T(2! + 1)~? erreicht: Man sagt, es liege eine

13)

Nach Gleichung (\0.57) ist nämlich _dql_ = _ d(Kr.)

Weil Kro

»

Kr •

(1 + q,(q,(Kr.)' -_~) •

I und IRcq~+) I ::: I, ist dq/!dK ~ - Kr;, wenn E =

tl' y ~ mr ----"

u

und

r

~

lJ'k

2v, - . mr.

t",., woraus folgt:

356

10 Streuprobleme. Zentralpotential und Streuphasenmethode

I-Resonanz vor. Er heißt die Resonanzenergie 14), r die Resonanzbreite. r ist das Produkt einer Größe -y, die vom allgemeinen Verlauf des Potentials im inneren Bereich abhängt (und praktisch unabhängig von I ist), mit dem Faktor kro V[, der vom Verhalten der Welle im äußeren Bereich abhängt (und um so kleiner ist, je kleiner kro und je größer I ist).

Der Resonanzbereich ist genügend eng, so daß man im Ausdruck für PI die Kurve q[(E) durch ihre Tangente im Punkte E = Er ersetzen kann, woraus folgt: PI ::::; arctan 2(E r

I'

(10.61)

E) .

_

Benutzt man zur Normierung der Radialfunktion im inneren Bereich die Stetigkeitsbedingung (10.44), so ergibt sich in dieser Näherung (gültig in einem Energieintervall um die Resonanz, so daß r « 6.E « D):

Yl

=

J;;; \/4(E _

~r)2 + f2 Kri{(Kr)

(r

< ro)·

(10.62)

Der Durchgang durch eine I-Resonanz ist also von einer plötzlichen Intensitätszunahme der I-ten Partialwelle im inneren Bereich begleitet. Im Fall der s-Welle vereinfacht sich die Analyse beträchtlich. Man hat in Strenge: T.

1).

= - kr., u. = 1, Re q~li ) = 0, q. = ](r. cot Kr., = - kr.

+ arctan

(i tg Kr.).

Die explizite Form der Lösung Yo ist:

, sin (kr y. = ) ( v'k 2

+ k

r> r.

ö.)

+ Ke cos' I"-r u

sin Hr

r< r o•

Bis auf einige Unterschiede in der Bezeichnung (L ~ r o' K -> Ko' T/K -> k, ~K -> K, Po - Y21r) ist das Problem der s-Streuung mit der Wellenstreuung am eindimensionalen Topf (Abschnitt 3.1.5 (Fall (ii)) identisch, und die Diskussion des Resonanzeffekts kann unverändert übernommen werden.

10.4.2

Untersuchung einer Streuresonanz. Metastabile Zustände

Resonanzerscheinungen treten in der mikroskopischen Physik häufig auf. Streuresonanzen der Art, wie wir sie im Fall des Kastenpotentials gefunden haben, zeigen sich auch bei anderen Formen des Potentials, falls dieses in einem bestimmten Raumbereich plötzlich stark anziehend wird. Wegen der Bedeutung dieser Erschei14) Wegen des Terms der Potentialstreuung nimmt 0/ sein Maximum bei einem Energiewert an,

der von der Resonanzenergie etwas verschieden ist. Diese ist definiert als die Energie. für die p/ = Y21T (bis auf Vielfache von 1T). Es kann sogar geschehen, dal~ bei Resonanz T{ = Y21T ist, daß also 0/ für E = Er verschwindet. Der Durchgang durch den Resonanzbereich zeigt sich in einem plötzlichen Abfall der Funktion 0/(E) auf Null.

Resonanzstreuung

357

nungen wollen wir eine l-Streuresonanz genauer untersuchen. Wir betrachten hier speziell Kastenpotentiale, doch kann man die Ergebnisse fast Punkt für Punkt auf allgemeinere Potentiale übertragen. Die Form des Potentials tritt bei dieser Untersuchung nämlich nur im Gesetz fur die Änderung der logarithmischen Ableitung ql auf. Um zu vereinfachen, nehmen wir an, daß die Resonanzen genügend schmal und hinreichend voneinander getrennt sind, damit im untersuchten Energiebereich genau eine Partialwelle eine Resonanz aufweist. Weiter sei die Resonanzenergie so niedrig, daß

kro

«

(10.63)

1

und daß folglich der Anteil der Potentialstreuung völlig vernachlässigt werden kann 15). Mit anderen Worten: Mit Ausnahme von 01 sind alle Streuphasen praktisch Null, diese ändert sich in Abhängigkeit von der Einfallsenergie E gemäß 1)/ ~

r

PI = arctan 2(E .. _ E) .

Folglich ist

e

iil

."

I

sm

01 =

tg 1)1

1 _ i tg 1)/ ~ -

2(E -

-=r~~= E,.)

+ ir

und die Streuamplitude ist einfach

(10.64) Beim Durchschreiten der Resonanzstelle weisen der Betrag und die Ableitung des Arguments von [(8) ein ausgeprägtes Maximum auf. Es ist O'(Q)

= 1/(0) :2 = (2l

d

dE

da l [arg I(El)]

=

dE

+

1)2 P; (cos 6) X2 X 4(E _

2

=

l'

X

4(E -

r2 E r )2

~\2 + ['2

+ p'

(10.65) (10.66)

Gleichung (10.65) zeigt, daß in der Umgebung der Resonanzstelle in dem Maße, wie man den Einfluß der Potential streuung vernachlässigen kann, die Winkelverteilung der Streuung nicht von der Energie, sondern nur von I abhängt und daß sich der totale Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von der Energie gemäß dem "Lorentzsehen Gesetz" ändert:

(10.67) 15) Ocr Anteil dieser Terme am Wirkungsquerschnitt ist von der Ordnung

I-Resonanz ist für r;

= Er

von der Grölknordnung 411(21 + 1 Ji\ 2

411~, derjenige einer + 1 )/k'.

= 411(21

358

10 Streuprobleme. Zentralpotential und Streuphasenmethode

Zur Interpretation von Gleichung (10.66) greifen wir auf die Untersuchung der Streuung eines Wellenpakets zurück (Abschnitte 10.1.3 bis 10.1.5.) Verwendet man die Bezeichnungen dieser Abschnitte, so sieht man, daß

u·s

--;;- =

d Ii dE [arg j(6)]

und daß folglich der Ausdruck (10.66) die Verzögerung bei der Transmission der gestreuten Welle (s. Anm. 8) )angibt. Die Energieabhängigkeit dieser Verzögerung ist wie beim totalen Wirkungsquerschnitt durch das Lorentzsehe Gesetz gegeben. Sie erreicht ihr Maximum 2h/r bei der Resonanzenergie. Man kann sich also die Resonanzerscheinung folgendermaßen vorstellen. Weit ab von der Resonanzenergie dringt die einfallende Welle praktisch nicht in den inneren Bereich ein (s. Gleichung (10.62) ), und alles läuft so ab, als ob es sich um eine harte Kugel handelt. Nur ein relativ vernachlässigbarer Bruchteil dieser Welle wird gestreut, und zwar praktisch ohne Verzögerung (in der Größenordnung von - ro/v). In der Nähe der Resonanzenergie dringt die einfallende Welle tief in den inneren Bereich ein. Ein großer Bruchteil des einfallenden Wellenpakets bleibt während einer Zeitspanne von der Größenordnung h/r im inneren Bereich, bevor er als gestreute Welle reemittiert wird. Das erklärt die Existenz eines großen Streuquerschnitts im Resonanzfall. Während der gesamten Zeitdauer, die der Reemission vorausgeht, ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im inneren Bereich oder in der Nähe dieses Bereichs sehr groß, wie bei einem gebundenen Zustand. Doch während ein gebundener Zustand ein stationärer Zustand mit unendlicher Lebensdauer ist, hat der hier betrachtete metastabile Zustand eine Lebensdauer von der Größenordnung h/r. Er ist also kein Zustand mit scharf definierter Energie, sondern muß durch eine Welle dargestellt werden, deren Energiedispersion aufgrund der EnergieZeit-Unschärfe von der Größe r ist. Das fUhrt uns dazu, jeder Resonanz einen metastabilen Zustand zuzuordnen, dessen Lebensdauer h/r und dessen Energie im Mittel gleich der Resonanzenergie Er mit einer Dispersion gleich der Resonanzbreite rist.

10.4.3

Beobachtung der Lebensdauer metastabiler Zustände

In voller Strenge darf diese halbklassische Darstellung der Resonanzstreuung nicht zu weit getrieben werden, ohne zu Widersprüchen zu fUhren. Unter normalen Beobachtungsbedingungen, z.B. bei der Messung von Wirkungsquerschnitten, so wie sie in den Abschnitten 10.1.3 bis 10.1.5 beschrieben wurden, ist es tatsächlich völlig unmöglich, solch einen metastabilen Zustand nachzuweisen. Will man nämlich den Wirkungsquerschnitt bei einer bestimmten Energie messen, so muj~ die Energiedispersion /',E so gering sein, daj~ die Streuamplitude im Intervall t,E praktisch konstant ist. Im Resonanzbereich setzt das voraus, daß t,E

« r.

Unter dieser Bedingung kann man im Resonanzbereich tatsächlich die Änderung des Wirkungsquerschnitts als Funktion der Energie nachweisen. Dagegen ist die Stoßzeit Nt,E, also die Zeit, die das gesamte Wellenpaket braucht, um die Streuzone zu durchlaufen, sehr viel länger als die Lebensdauer Nr des metastabilen Zustands. Dieser ist also gänzlich unbeobachtbar (s. Anm. 8).

Resonanzstreuung

359

Der Nachweis cines metastabilcn Zustandes erfordert (im Sinne von Bohr) komplcmentäre Versuchsbedingungen, also (10.68) Um dies zu präzisiercn (s. Anm. 4), betrachten wir cin Wcllcnpaket von dcr Art wie cs in Abschnitt 10.1.4 angegeben ist, das gleichzeitig die Bcdingungen (10.9) und (10.68) erflillt. Wir nehmen weiter an, daß Er » I::.E » r \6). Wir verwenden die Bczeichnungen aus den Abschnitten 10.1.3 bis 10.1.5 und setzcn b = 0 und t o = 0, um die Schreibweise zu vereinfachen. Setzt man den Ausdruck (10.64) flir f(O) in Glcichung 00.17) ein, so erhält man folgcnde asymptotisehe Form des Wcllenpakets:

l'

(2/

'filii", -

1

•

ei[t... r-1E .. 1

till[

+ 1) PI (cos 8):2 - - r - -

- k) exp ['(k' \ . I,E' A(k' - EI' + ~\1' -_-'-:-.~

k) '.. r -

E .. )i/Ii] dk' \'(E' - ' ---:' . k

h2 k 2 (Wir verwenden die Bezeichnungcn E',. = Vz __r_ = Vzmtf.)

m

Im Integral J rührt der hauptsächliche Antcil von dem Bercich her, in dem A (k' -k)/(E' - Er + Y2ir) groß ist. Indem wir zu sphärischen Polarkoordinaten übergehen, sctzcn

wir dk' = k'2 dn'dk' = (mk'/h')dn'dE'

und k' = k'u'. Die Integration über die Winkel berührt nur A (k' k). Bei der Integration über E' ist wegen der Voraussetzung (10.68) allein der Bereich IE' . E~ :S I' von Bedeutung. In diesem können A (k'- k) durch A (k~' ." k) und k' durch die heiden ersten Glieder seiner Taylorentwicklung (I' « Er war vorausgesetzt worden) ersetzt werden:

Wir können also schreiben:

1 ",m '" - A .. F ( t fi.'

r") Vr

'

mit den Definitionen:

AI' =

Fer)

I

A(kl' ,,' -

r/"

=

k) dQ'

e-illi'-I': .. IT

E'-E .. +!W

"I)

Der Leser überzeugt sich leicht davon, Man beachte, daß

F(-:) =

fi

r".,

daf~

dE'. dieser Ausdruck für I nur gilt, wenn Irl

»

h/I::.E.

,ex p [-if:-z/2Ii J dz. z+\

,-1-1':1'1)

16) Diese Einschränkung und dic Bedingung (10.63) sind nicht wesentlich, sie gestatten es aber,

das Endcrgebnis auf eine einfache Form zu bringen. Damit sie zusammen mit den Bedingungen (10.9) und (10.68) gelten, muß VI «kro

sein.

«

1

360

10 Streuprobleme. Zentralpotential und Streuphasenmethode

Wegen ITI » hier kann man die untere Grenze des Integrals durch -leicht mit der Residuenmethode berechnet werden. Es ist F( ) T

\

= 1-

0 wenn 27t i e-I''I"/#! , wenn

T« -

T»

h/ f).E

h/t,E

Schließlich ergibt sich mAl'

'Y(d)",-(21+1)PL(cos8)-,rxF 2fi

(

00

ersetzen und F(T) kann

O.

r)

t--

VI'

00.69)

ei[kl'I'-(Er/,ti,]

r

.

00.70)

Das allgemeine Verhalten dieser Welle ergibt sich aus den Eigenschaften der durch Gleichung (10.69) gegebenen Funktion F(T). Es ist eine auslaufende Welle, die durch eine sich nach dem Gesetz r = v,t verschiebende Wellenfront begrenzt ist. In einem bestimmten (festen) Punkt ist die Intensität der Welle zunächst Null, dann steigt sie plötzlich von Null auf einen bestimmten positiven Wert. Dieser Übergang entspricht dem Passieren der Wellenfront. Er dauert etwa h/ t,E, das ist ein verglichen mit h/r sehr kurzes Zeitintervall. Danach fällt die Intensität gemäß exp(-rt/h) ab. In einem typischen Experiment, das der Beobachtung dieses exponentiellen Abfalls dienen soll, schickt man während einer sehr kurzen Zeitspanne ein Bündel von Wellenpaketen aus, die die obigen Bedingungen erftillen, und zählt die in den Raumwinkel (n., n. + dn.) gestreuten Teilchen, indem man in dieser Richtung in einer bestimmten Entfernung D einen Zähler anbringt. Weil die Energiedispersion 17) der einfallenden Wellenpakete sehr groß ist (t,E » r), ist der Augenblick t = 0, in dem die Stöße stattfinden, sehr genau definiert: t, t « h/r. Die Zählrate ist durch den Wert bestimmt, den 1q,(d)I' am Ort des Zählers annimmt. Er ist nach Gleichung 00.70) proportional zu F' (t - D/v,.). Bis zum Zeitpunkt D/v,., zu dem die Wellenfront den Zähler erreicht, wird kein Teilchen nachgewiesen. D/v,. ist die Zeit, die ein vom Streuzentrum mit der "Resonanzgeschwindigkeit" v,. emittiertes Teilchen braucht, um den Zähler zu erreichen. Danach ist die Zählrate durch das Gesetz exp(- rr/h) gegeben, was der Bildung eines metastabilen Zustands mit der mittleren Lebensdauer h/r zum Zeitpunkt t = 0 entspricht. Die hier beschriebenen Beobachtungsbedingungen sind gewöhnlich beim Zerfall radioaktiver Kerne erftillt (C>- und ß-Radioaktivität, 'Y-Aktivität isomerer Kerne).

10.5

Verschiedene Formeln und Eigenschaften

10.5.1

Integraldarstellung der Streuphasen

Bestimmte Aussagen und Methoden zur Berechnung der Streuphasen kann man erhalten, wenn man von geeigneten Ausdrücken für die Streuphasen in integraler Form ausgeht. Die Integraldarstellungen der Streuphasen sind sehr zahlreich. Die meisten von ihnen erhält man einfach, indem man auf geeignet definierte Lösungen der entsprechenden jeweiligen Radialgleichungen das Wronskische Theorem anwendet. Eine davon geben wir in diesem Abschnitt an, eine weitere in Abschnitt 10.5.4. Wir suchen einen Zusammenhang zwischen den Streuphasen 01 und Öl, die zu verschiedenen Potentialformen Ver) und Ver), aber zum selben Energiewert gehören. Wir verwenden die Bezeichnungen aus Abschnitt 10.2.1 und setzen (; = 2m Vjh2 . Yl ist die reguläre Lösung von Gleichung (10.29), deren asymptotische Form durch 17) Es handelt sich um die individuelle Energiedispersion jedes einzelnen Wellenpakets.

Verschiedene Formeln und Eigenschaften

den Ausdruck (10.37) gegeben ist. Entsprechend bezeichnen wir mit re Lösung der Radialgleichung

[drd + 2 2

(

+ 1»)] 'Y/" =

1(1 --r-

" U -

e: -

2

YI

361

die regulä-

O.

(10.71)

Die asymptotische Form ist

Y/

f""oJ

sin (kr -117t

r~y;

+ at ).

Die Wronski-Determinante W(YI, Y/) ist im Ursprung Null und geht asymptotisch gegen den Grenzwert lim W(y/. Yt)

r---+ :1',

=

k sin (8/ -8/).

Nach dem Wronskischen Theorem ist

läßt man a und b gegen 0 bzw.

00

gehen, so erhält man: (10.72)

Diese wichtige Relation gilt für beliebige Potential formen V und V, falls diese im Unendlichen schneller als l/r verschwinden und im Ursprung keine Singularität so stark wie 1/,2 aufweisen. Ist V = 0, so hat man Öl (10.72):

= 0, YI = krjl (kr).

In diesem Fall lautet die Beziehung

(10.73)

10.5.2

Potentialabhängigkeit und Vorzeichen der Streuphasen

Die Gleichung (10.72) gestattet bestimmte Schlußfolgerungen darüber, wie sich die Streuphasen ändern, wenn man das Potential modifIziert. Ist I'::, V = V - V infInitesimal klein, so ist auch 1'::,0, = 0,- ö, infInitesimal klein. Andererseits kann man den Unterschied der Lösungen y, und .P, im Integral vernachlässigen, so daß 1'::,3, = -

2m ti 2 k

'/.

.I"

, , Yi 1'::," dr.

(10.74)

Hat die Abänderung des Potentials flir alle r dasselbe Vorzeichen, so hat die Differenz der Streuphasen !::'ÖI das entgegengesetzte Vorzeichen. Jede Vergrößerung

362

10 Streuprobleme. Zentralpotential und Strcuphasenmcthode

des Potentials (größere Abstoßung) verringert die Streuphase, jede Abschwächung des Potentials (größere Anziehung) fuhrt zu einer Vergrößerung der Streuphase. Bis jetzt ist die Streuphase nur bis auf 2 mr bestimmt. Um diese Vieldeutigkeit zu beseitigen, betrachten wir eine stetige Modifizierung des Potentials von Null bis Ver). Dabei ändert sich die Streuphase stetig von Null bis zu einem bestimmten Wert 0/. Mann kann zeigen, daß dieser Wert nicht davon abhängt, auf welchem Wege man das Potential von Null auf Ver) verändert hat. Im folgenden wollen wir durch diesen Wert die Streuphase definieren. Ist jetzt Ver) überall abstoßend, so kann man vom Nullpotential zu Ver) gelangen, indem man nacheinander infinitesimale, überall abstoßende Anteile zusammenfugt. Nach Gleichung (10.74) verringert jeder dieser Anteile die Streuphase, folglich ist 0/ negativ. Ist dagegen Ver) überall anziehend, so ist 0/ positiv. Allgemeiner gilt: Ist Ver) Ist Ver)

10.5.3

>
Öl.

Bornsehe Näherung

Um die Streuphase 01 exakt zu erhalten, muß man im Prinzip Gleichung (10.29) integrieren. Ist jedoch Ver) genügend klein, so unterscheidet sich die reguläre Lösung y/ dieser Gleichung nur sehr wenig von der freien Kugelwelle krif{kr) , und die Streuphase 0/ liegt in der Nähe von Null. Man kann dann ohne großen Fehler in Gleichung (10.73) YI durch die freie Welle ersetzen. Das ergibt:

a, c:= -

2m ...2" k IL

I vo

.z

jj(kr) Ver) r 2 dr.

(10.75)

Das ist der Ausdruck für die Streuphase in der "Bornsehen Näherung': Der Fehler ist gering, wenn Ver) gegenüber E - (Z(Z + 1)h2 /2mr 2 ) im Variationsbereich von r fast überall hinreichend klein ist. Man erwartet also, daß die Bornsche Näherung bei höheren Energien oder bei großen Werten von / gut ist, vorausgesetzt daß Ver) im Unendlichen genügend rasch verschwindet. Tatsächlich ist Gleichung (10.75) das erste Glied einer Entwicklung nach Potenzen von V. Es ist also möglich, durch ungefähre Berechnung des nächsthöheren Gliedes den Fehler abzuschätzen. Diese Frage wird im zweiten Band, Kapitel neunzehn, behandelt werden. Aus der Beziehung (10.72) erhält man einen Näherungsausdruck ftir 0/ -

Ö( (10.76)

Diese "verallgemeinerte Bornsche Formel" ist nützlich, wenn man die reguläre LöA sung y/ der Radialgleichung mit einem Potential V kennt, das sich von V nur we-

Verschiedene Formeln und Eigenschaften

363

nig unterscheidet. Sie ermöglicht also in guter Näherung die Bestimmung von 0/, ohne daß man erst die Radialgleichung zum Potential V exakt lösen muß 18).

10.5.4

Effektive Reichweite. Die Bethesche Formel

Mit Hilfe der Formeln aus Abschnitt 10.5.1 kann man untersuchen, wie sich die Streu phase ändert, wenn bei konstanter Energie das Potential modifiziert wird. In diesem Abschnitt wollen wir eine Formel aufstellen, die die Energieabhängigkeit der Streuphase betrifft. Sie ist besonders im Grenzfall niedriger Energien nützlich, falls das Potential einen kurzen Wirkungsradius hat. Sei u eine der regulären Lösungen von Gleichung (10.29). Ihre Normierung legen wir im Augenblick nicht fest. Sei u die (nicht reguläre) Lösung von Gleichung (10.71) zum selben Energiewert und mit derselben asymptotischen Form (einschließlich der Normierung) wie u. Wir betrachten jetzt zwei verschiedene Energien EI, E2 • Die Funktionen und Größen, die sich auf die Energie EI beziehen, versehen wir mit dem Index 1, diejenigen zur Energie E2 mit dem Index 2. Nach dem Wronskischen Theorem (Gleichung (3.27) ) hat man

und eine analoge Beziehung für die U. Hieraus folgt

Für b ~ 00 konvergiert das Integral, weil die u und die u dieselbe asymptotische Form aufweisen, und die Differenz der Wronskischen Determinanten an der Stelle b verschwindet. Weil ferner lim W(UI, U2) = 0, lautet diese Beziehung für b ~ 00 a .... O

und a

~

0:

(10.77) Bei passender Normierung der U kann man diese grundlegende Beziehung auf eine Form bringen, in der die Differenz Ö für die Energien EI und E2 explizit auftritt.

°-

18)

Man kann sie auch benutzen, um den Einllul~ des Potentialschwanzes von V zu untersuchen. Es genügt dazu, als V das Potential

v

=

)

"(r) , wenn'

I

0, wenn'

'0

< '0 > '0

zu nehmen, wobei einen geeignet gewählten Wert hat. Vist ein Potential mit ,endlicher Reichweite und besitzt alle Eigenschaften dieses Typs (Abschnitte 10.3·· 10.4). V - Vist der Schwanz des Potentials V Falls er klein ist, kann sein Einllul~ mit Hilfe von (10.76) berechnet werden.

364

10 Streuprobleme. Zentralpotential und Streuphasenmethode

Wir beschränken uns hier auf den Fall der s-Welle (I = 0) 19). Weiter setzen wir V = 0 und bezeichnen in diesem Sonderfall die Funktionen ti l , 112 mit VI, 1-'2. Die Normierung der V legen wir durch die Bedingung v(O) = 1 fest, d.h. es ist v

= cos kr

+ cot 0 sin kr.

Die Formel {l0.77) lautet dann: W(v 2•

VI)

la=o == k1 cot 81 -

k 2 cot 82

=

(EI -

E 2)

J

(VI V 2 -

U 1 U 2)

dr. (10.78)

Unter der Voraussetzung, daß V(r) fur r -+ 00 so rasch gegen Null strebt, daß das Integral konvergiert, bleibt diese Beziehung auch flir €2 -+ 0 gültig. Seien uo. Vo die Funktionen u, v zur Energie O. Man beachte, daß Vo

=1

- rla

und

lim k cot 8

1 ja.

= -

E-+O

wobei a die durch Gleichung (10.47) definierte Streulänge ist. Setzt man in Gleichung {lO.78) €I = € und €2 = 0 (Abb. 10.7), so erhält man (Bethesche Formel): k cot 8 =

-1 + J e:

(vvo -

uUo)

(10.79)

dr.

a a

r

r

a Abb. 10.7 In der Theorie der effektiven Reichweite auftretende $·Wellenfunktionen für wachsende Tiefe des Potentials V(r) = w W(r) mit endlicher Reichweite (w Parameter der Potential· tiefe: 1

1 (a

> 0).

Anmerkung: a ist eine fallende Funktion von w und weist bei jedem Wert von w, für den ein gebundener Zustand zur Energie Null existiert, eine senkrechte Asymptote auf.

Diese Relation gilt in Strenge. Sie ist dann nützlich, wenn sich das Integral als Funktion der Energie nur langsam ändert. Dies ist bei kurzreichweitigen Potentialen, so wie sie in der Kernphysik auftreten, der Fall. Man kann dann einen inneren Bereich (r < ro, kro « 1) mit I VI » E und einen äußeren (r > ro) unter19)

'*

Ist I 0, so weisen U, und U, im Ursprung eine Singularität (lId auf. In Gleichung 00.77) werden die Terme W(U" tl,) und (E, - E,) fu, 12, dr wie (1/a)21-1 unendlich, doch strebt ihre Summe gegen einen endlichen Grenzwert.

Verschiedene Formeln und Eigenschaften

365

scheiden, in dem das Potential V vernachlässigbar ist. Den wesentlichen Anteil zum Integral liefert dann der innere Bereich, also der Bereich, in dem man ohne großen Fehler u durch U o und v durch Vo ersetzen kann, weil im Ursprung streng u = Uo = 0 und v = Va = 1 gilt und weil die Funktionen in diesem ganzen Bereich praktisch dieselbe relative Krümmung (u"/u ~ 2m V/h2 ) aufweisen (Abb. 10.7). Es ist also in guter Näherung:

k cot a

~ _!

a

Die Größe reff. == 2 ("'"

.10

+ f~ (v~- u6) dr. E

(10.80)

0

(v~ -u~) dr ist ein flir das Potential Ver) charakteristischer

Parameter und wird gewöhnlich als effektive Reichweite bezeichnet. Die Terme der rechten Seite von Gleichung (10.80) sind die ersten beiden Glieder nach Potenzen der Energie. Um die höheren Glieder Entwicklung von k COl der anzuschreiben, muß man u und v nach Potenzen von E entwickeln und diese Entwicklungen in das Integral in Gleichung (10.79) einsetzen 20). Diese Entwicklungen konvergieren im inneren Bereich, wie oben begründet, sehr schnell, folglich konvergiert auch die Entwicklung von k cot ö als Funktion der Energie sehr rasch.

Aufgaben 1. Man betrachte die Streuung eines Teilchens der Wellenlänge ~ an einem Potential Ver), das flir r -+ 00 schneller als I Ir gegen Null geht. Sei f(n) die Streuamplitude in Richtung n == (0, .p). Man zeige, daß

alOL:=.r: t(D.):' dn

=

4n-x Imt(O),

wobei f(O) die Streuamplitude in Vorwärtsrichtung (0 = 0) ist (optisches Theorem, Bohr-Peierls-Placzek-Relation).

2. Durch Beschuß des Kerns A mit dem Kern a entstehen die Kerne bund B: a + A -+ b + B. A sei im Laborsystem in Ruhe. 111a, mA, mb, mB seien die Massen der an dieser Reaktion beteiligten Teilchen. In der nichtrelativistischen Näherung ist 111a + mA = mb + mB. Weiter seien Ei und EI die kinetischen Gesamtenergien des Anfangszustands (a + A) und des Endzustands (b + B) im Schwerpunktsystem und schließlich 0 und 0 1 die Emissionswinkel des Teilchens b im Schwerpunkt- bzw. Laborsystem. Man zeige, daß 0 1 als Funktion von 0 durch die Beziehung (10.24) gegeben ist, wobei T das Verhältnis der Schwerpunktsgeschwindigkeit V und der Geschwindigkeit Vb des Teilchens b im Schwerpunktsystem bezeichnet: t

= ~ = [mam b Ei Vb

20)

I

J2.

mAmBEj

S. CHEW und M. GOLDBERGER, Phys. Rev. 75 (\ 949), 1673; H.A. BETHE, Phys. Rev. 76 (\ 949), 38.

366

10 Streuprobleme. Zentralpotential und Streuphasenmethode

3. Man beweise die folgenden Relationen zwischen den in Abschnitt 10.3.1 (Definition (10.41)) eingeflihrten Größen T[, V[ und qf+)

V[

= -dTtidt

Imqf+)

= ~V[,

Reqf+)

= -Y2(~/V[)

(dvtld~).

4. Man zeige, daß in der WKB-Näherung die Streu phase 8[ durch folgenden Ausdruck gegeben ist: 8, = !im /{----":;'.z

[(/iv t...-

(l

k' -

U(r) -

-r'

1(/+1)

/';,! \ / k' -

ro' während sie einen nicht vernachlässigbaren Wert annimmt rur , < '0. In einem sehr groben Modell nimmt man als genäherte Form der Wahrscheinlichkeitsdichte eine gleichförmige Verteilung in einer Kugel vom Radius an.

'0

Es ist klar, daß der Mittelwert der potentiellen Energie (als algebraischer Wert) um so kleiner ist, je kleiner ro ist: Er ist von der Größenordnung (-e Iro). Der Mittelwert der kinetischen Energie ist dagegen um so größer, je kleiner ro ist. Ist nämlich das Elektron im Innern einer Kugel vom Radius ro lokalisiert, so verlangen die Unschärferelationen eine untere Grenze ftir den Wert seines Impulses. Die Standardabweichung des Impulses kann nicht kleiner als h/ro sein, woraus sich eine mittlere kinetische Energie von mindestens h2/2mr~ ergibt. Die Gesamtenergie ist also mindestens gleich der Summe dieser beiden Größen:

370

11 Die Coulomb-Wechselwirkung

das Minimum ergibt sich ftir ro Minimums

= tt Im;'.

Man erwartet daher, daß der Wert dieses

(= -13,5 eV)

(11.7)

von der Größenordnung der Energie des Grundzustands ist und daß der zugehörige Radius:

fz2 a -- me - 2 (= 0,529 X 10-8 cm)

(11.8)

die Größenordnung der Ausdehnung der Wellenfunktion im Grundzustand angibt. Man findet - doch das ist ein Zufall -, daß die Grundzustandsenergie in Strenge durch Gleichung (11.7) bestimmt ist. Die Länge a heißt Bohrscher Radius oder "Radius des Wasserstoffatoms".

11.1.3

Lösung der Schrödinger-Gleichung in Kugelkoordinaten

Um die Schrödinger-Gleichung zu lösen, gehen wir zu Kugelkoordinaten über. Wie bei jedem Zentralpotential sind Winkel- und Radialvariable in diesem Koordinatensystem separiert, und das Problem reduziert sich auf das Aufsuchen der regulären Lösungen der Radialgleichung (11.4). Man kann die Schrödinger-Gleichung auch in parabolischen Koordinaten lösen, denn auch in diesem Koordinatensystem ergibt sich eine Separation der Variablen. An dieser Stelle wollen wir nur auf diese ftir das Coulomb-Potential charakteristische Eigenschaft hinweisen und uns auf die Behandlung des Problems in sphärischen Polarkoordinaten beschränken. Nach der Variablensubstitution x = 2xr

(11.9)

hängt Gleichung (11.4) nur vom dimensionslosen Parameter

1 v =

xa =

e2

• /

me 2

fIC V - 2E

(11.10)

ab; x und a wurden durch die Gleichungen (11.6) bzw. (11.8) definiert. Gleichung (11.4) ist äquivalent der Gleichung

(11.11) Yl ist die Lösung, die sich im Ursprung wie xl + 1 verhält. Für sehr große x wächst

diese Lösung exponentiell an, von bestimmten speziellen Werten von v abgesehen, rur die sie sich wie exp (- Ihx) verhält. Diese Werte von v und die zugehörigen Eigenlösungen wollen wir bestimmen.

Das Wasserstoffatom

371

Hierzu gehen wir mit Yl

= xl + 1 e-1/z x VI(X)

zu einer neuen Funktion über. Es ergibt sich

d2 - 2 [ x dx

d

+ (21 + 2 -

(1

x) dx -- -

+ 1-

v) ] vI

=

(11.12)

O.

Dies ist eine Laplacesche Differentialgleichung (siehe Anhang, Abschnitt B.1.1). Sie hat bis auf eine Konstante genau eine im Ursprung endliche Lösung, alle anderen weisen eine Singularität wie (l/x)21+ 1 auf. Diese reguläre Lösung ist die konfluente hypergeometrische Reihe: F(I

+ 1- v

1

2/

+ 21 x)

""

~r(l_t

p~

r(1

1 + p - v) (21 + I)! + 1 - \I) (21 + 1 + p)! p!' XI'

(11.13)

Um das zu beweisen, genügt es, die Lösung von Gleichung 01.12) als Taylorentwicklung um den Ursprung zu schreiben:

v/ix)

=

r

I + a. x + a, x' + ... + a

P + ...

Setzt man diese Entwicklung in Gleichung (11.12) ein, so läßt sich die linke Seite als eine Entwicklung nach Potenzen von x schreiben. Alle Koeffizienten dieser Reihe müssen verschwinden. Das ergibt

(21 2(21

p(21

+ 2)a 1 = + 3)a. =

+ 1 + p)a"

(l (l

+ 1+2-

v)a,

= (I

+p-

\I)a,,_I'

\I)

woraus man

entnimmt. ap ist gerade der Koeffizient von x P in der hypergeometrischen Reihe (1 \.13).

Im allgemeinen ist (11.13) eine unendliche Reihe und verhält sich für x ~ 00 wie (Gleichung (B.9-11». Folglich verhält sich Yl in der asymptotischen Zone wie x-V eY,x und das Eigenwertproblem hat keine Lösung.

x·I·1-ve x

Doch für bestimmte Werte von v verschwinden alle Koeffizienten von einer bestimmten Stelle an, und die hypergeometrische Reihe reduziert sich auf ein Polynom. Damit das möglich ist, muß I + I - v eine negative ganze Zahl oder Null sein, d.h. v

= n = I + 1 + n'

(n'

= 0,

1, 2, ... , 00).

(11.14)

In diesem Fall reduziert sich die hypergeometrische Reihe auf ein Polynom vom Grade n', die Radialfunktion verhält sich für x ~ 00 wie x n e-1/,x, und die Lösung der Schrödinger-Gleichung ist als Eigenlösung geeignet. Die Quantisierungsbedingung (11.14) liefert also die Energieniveaus der gebundenen Zustände zum Drehimpuls (Im). Jedes Niveau ist durch eine spezielle ganze Zahl

372

11 Die Coulomb-Wechselwirkung

n' definiert. Der zugehörige gebundene Zustand wird durch die mit der Radiallösung

n'

_ xl+ l _!v'" n' I (21 + 1) I ) Yte ~(-)p(n'-p)I(21+1 +p)lpIXI ,,=0

(11.15)

konstruierte (nicht normierte) Wellenfunktion beschrieben. Das hierin auftretende Polynom vom Grade n' ist - bis auf eine Konstante - das zugeordnete Laguerresehe Polynom L~!+ l(x), dessen Definition und wichtigste Eigenschaften im Anhang, Abschnitt B.I.2, angegeben sind.

11.1.4

Energiespektrum. Entartung

Ersetzt man in Gleichung (I 1.14) den Parameter v durch seinen Ausdruck (I 1.10), so erhält man das Energiespektrum der Zustände zum Drehimpuls I: Ein' =

C2)2 mc2 ( fiC 2(1 + 1 + n')Z'

-

(11.16)

n', die radiale Quantenzahl, ist gleich der Zahl der Knoten des Radialteils der Wellenfunktion. Das Spektrum besteht aus einer abzählbar unendlichen Anzahl von Niveaus, weil n' alle ganzzahligen Werte von 0 bis + 00 annehmen kann. Für n' --* +00 rücken diese Niveaus immer näher zusammen und streben gegen den Wert E = 0, wo das kontinuierliche Spektrum beginnt. Dies ist ftir Potentiale mit langer Reichweite charakteristisch. Potentiale mit kurzer Reichweite wie die Kastenpotentiale dagegen ergeben eine endliche Anzahl gebundener Zustände (und manchmal gar keine). Man kann ganz allgemein zeigen, daß die Zahl der Energienivcaus abzählbar unendlich ist (mit einem Häufungspunkt bei Null), wenn das Potential durch negative Werte asymptotisch gegen Null geht, und zwar langsamer als I/r:

" V

--+ -

~

r--+~

Ihre Zahl ist endlich- und vielleicht Null --, wenn das Potential schneller als l/r 2 gegen Null geht.

Die Vereinigung der Spektren zu den verschiedenen möglichen Werten von I (l = 0, I, 2, ... , 00) ergibt das vollständige diskrete Spektrum des Wasserstoffatoms gemäß der Schrödingerschen Theorie. Es wird also von einer Folge von Zahlen Ein', definiert durch Gleichung (11.16), gebildet, wobei I und n' alle ganzzahligen, nichtnegativen Werte annehmen können. Man beachte, daß diese Größen nur von der Summe I + n' abhängen, oder - was auf dasselbe hinausläuft - von der "Hauptquantenzahl"

n = 1 + n' + 1. Es ist

E"

= -

e2)2 mc2 ( fic 2n2

(n

=

1,2"",00),

(11.17)

Das Wasserstoffatom

373

Für jeden Energiewert E", d.h. fur jede ganze Zahl n, kann der Drehimpuls alle ganzzahligen Werte von Obis n-1 annehmen. Die Entartung des Niveaus En ist also n-I

L (21 + 1) = n(n -1) + n = n

2•

1=0

Der n 2 -dimensionale Unterraum der Eigenfunktionen wird von den n 2 Funktionen aufgespannt, die zu jeweils einem, durch den Drehimpulswert (Im) bestimmten Zustand gehören. Die "azimutale Quantenzahl" kann die n Werte I

= 0,

1, 2, ... , n - 1

annehmen und die "magnetische Quantenzahl" die (21 + 1) Werte

m = -I, -I + 1, . . ., +I. In der Spektroskopie ist es üblich, die verschiedenen, so definierten Zustände durch die positive ganze Zahl n und einen Buchstaben (s, p, d, f, g, . . .) zu bezeichnen, der nach der im vorigen Kapitel angegebenen Vereinbarung den Wert von I angibt. Die die Orientierung des Systems angebende Quantenzahl m wird stillschweigend übergangen. So ist der Grundzustand ein ls-Zustand. Der erste angeregte Zustand ist vierfach entartet und enthält einen 2s- und drei 2p-Zustände. Der zweite angeregte Zustand ist neun fach entartet und enthält einen 3s-, drei 3p- und f1inf 3d-Zustände, usw. (siehe Abb. 11.1).

"

~\",,,,,y~,,,,,,,,,~~~~,~,,~,,,,,,,,,,,~«~~

,,"'~, ' kontInUierlIches Spektrum , ' , ""'"",,,,'\:

o "=-- 55 1/16E, . - - 45 1/9 E,

- - 35

1/4 E,

- - 2 5 - - 2p

E, Abb. 11.1 Das Wasserstoffspektrum.

==-- 4p ==- 4d ==4 - - 3p - - 3d

"

f

--15 1=0

1=2

1=3

Dieses Spektrum ist mit dem von der älteren Quantentheorie angegebenen Spektrum identisch. Auf die ausgezeichnete Übereinstimmung mit dem experimentell beob· achteten Spektrum ist bereits hingewiesen worden. Diese Theorie gibt die Lage

374

11 Die Coulomb-Wechselwirkung

der Spektrallinien gut an, erklärt aber ihre Feinstruktur nicht. Ihr wesentlicher Mangel liegt darin, daß sie eine nicht relativistische Theorie ist. Die relativistischen Einflüsse auf die Lage der Niveaus sind von der Ordnung v2 /e 2 , d.h. ungefahr En /me 2 : Die relativistischen Korrekturen sind also von der Größenordnung von 10-4 bis 10- 5 . Weiter berücksichtigt die Schrödingersche Theorie nicht den Spin des Elektrons: Der Spin ist ein innerer Freiheitsgrad ohne klassisches Analogon, auf den wir in Band 2 im dreizehnten Kapitel zurückkommen werden. Die Analyse der Feinstruktur des Wasserstoffatoms wird im zwanzigsten Kapitel des zweiten Bandes im Zusammenhang mit der Darlegung der relativistischen Quantenmechanik des Elektrons wieder aufgenommen.

11.1.5

Die Eigenfunktionen der gebundenen Zustände

Die Eigenfunktionen zum Energieniveau En sind Linearkombinationen von n 2 linear unabhängigen Funktionen. Die Untersuchung in Abschnitt 11.1.3 liefert uns n 2 orthogonale Eigenfunktionen, und zwar die, die zu einem bestimmten Wert des Drehimpulses gehören. So lautet die Wellenfunktion des Quantenzustands (nlm)

(11.18) mit cl!! ( ) F nl(X) _- X.1 e-~,l' L,,_I_1 x .

(11.18')

Nnl ist eine Normierungskonstante. Die Norm von l/Inlm berechnet man unter Ver-

wendung der erzeugenden Funktion der Laguerreschen Polynome (Gleichung (B.15». Diese Norm ist gleich Eins, wenn man setzt: _~. j(n-i-I)I n2 [(n -ti)1f·

Nul -

(11.18")

V

Es ist instruktiv, sich die Mittelwerte der aufeinanderfolgenden Potenzen von r im Quantenzustand (nlm) anzusehen. Wir ftihren die Rechnung hier nicht durch (s. Aufgabe 1). Die Ergebnisse sind im Anhang, (Abschnitt B.1.3) angeführt. Man erhält insbesondere: (r)nl

= '/2a(3n 2

-

l(l + 1».

(11.19)

Das Elektron ist also im Mittel um so weiter vom Proton entfernt, je größer n ist. Für den Grundzustand findet man in Übereinstimmung mit den groben Abschätzungen in Abschnitt 11.1.2: (r)!S = 3/2a. Nimmt I seinen maximalen Wert (n - 1) an, so ist die Form der Wellenfunktion besonders einfach: Sie ist das Produkt von (e, '11) mit der Radialfunktion

yr

Coulomb-Streuung

2

(2n) !)-2 na I

(

(2r )n-l e-

)~. na

375

r / na •

In diesem Zustand ist der Mittelwert von r: (r)

=

_1_ ( 2)3 ("

(2n)!\na; = n(n +!) a,

Jo

(2f)' ;!/!-c

e-;!r/na

na

r3 dr

in Übereinstimmung mit der oben angegebenen allgemeineren Formel. Eine analoge Rechnung ergibt t,2)

= n2 (n + %) (n +

l)a 2 ,

woraus man den Ausdruck für die (Radial-)Abweichung erhält: ./ /'::,r = V (r 2) _(r>2

,--

=lna V2n 2

+1=

(r>

~.

y2n

+1

Bei sehr großen Werten von n wird I:Y/t,) sehr klein, und das Elektron bleibt praktisch in der Umgebung einer Kugeloberfläche vom Radius n 2 a lokalisiert, während die Energie des Niveaus, ---1/, e2 /n 2 a, dieselbe ist wie die eines klassischen Elektrons, das eine Kreisbahn vom Radius n 2 a beschreibt. An diesem speziellen Beispiel bestätigt sich die allgemeine Korrespondenzregel, nach der sich im Grenzfall großer Quantenzahlen wieder die Gesetze der klassischen Bewegung ergeben. Um die klassische und die Quantentheorie im einzelnen zu vergleichen, müßte man die Bewegung von Wellenpaketen untersuchen. Das wollen wir hier unterlassen. Wir begnügen uns mit der Bemerkung, daß die Zustände zu maximalem l(l = n -- 1) klassischen Kreisbahnen korrespondieren, eine Tatsache, die mit einem Ergebnis der älteren Quantentheorie zu vergleichen ist, wonach die Exzentrizität der quantisierten Bahnen gleich Vi-'=' (l2/ n") ist und für maximales I verschwindet (s. Abschnitt 1.4.6).

11.2

Coulomb-Streuung

11.2.1

Coulomb-Streuwelle

Nach Separation der Schwerpunktsbewegung lautet mit den Bezeichnungen des Abschnitts 11.1.1 die Schrödinger-Gleichung für den Stoß zweier Teilchen in Coulomb-Wechsel wirkung: 1i2 [ --LI

2m

Zl Z2._e2] + -r

~(r) =

.1.( r ) . E'fI

(11.20)

376

11 Die Coulomb-Wechselwirkung

E ist die Energie im Schwerpunktsystem. Der Streuquerschnitt hängt mit dem asymptotischen Verhalten der Eigenlösungen von Gleichung (11.20) zu positiver Energie zusammen. Setzen wir \)

ft2 k 2

E = 2m =

t mv2

(11.21) (11.22)

so lautet Gleichung (11.20)

( LI

+k

2;k) ~(r)

2-

=

o.

(11.23)

Diese Gleichung besitzt eine reguläre Lösung der Form

eikz [(r - z).

(11.24)

Setzt man nämlich diesen Ausdruck in Gleichung (11.23) ein und substituiert u = r - z, so erhält man die Differentialgleichung d2 [ U du 2

+ (1 -

.

d

]

lku) du - yk I(u)

=

0,

woraus sich mit v

= iku = ik(r

d2 [ V dv 2

+ (1 -

- z), d

v) dv

+ iy]

I(v)

=

0

ergibt. Das ist eine Gleichung vom Laplaceschen Typ, deren im Ursprung reguläre Lösung die konfluente hypergeometrische Reihe F( - i'y 111 v) ist. Die SchrödingerGleichung besitzt also eine reguläre Lösung der Form (11.24), nämlich die Funktion

I/Ic

=

Aeikz F(-i r 111 ik(r - z)).

(11.25)

A ist eine disponible Konstante.

Gemäß Anhang (Abschnitt B.l.l) ist die in Gleichung (11.25) auftretende hypergeometrische Reihe die Summe von zwei Funktionen, deren asymptotische Formen für große Werte von lvi = 2kr sin 2 Yz8 durch die Gleichungen (B.IO) und (B.Il) gegeben sind. Wir verwenden die Bezeichnungen aus Anhang B und setzen

I/Ii

= A eikz w\ (- ir 111 iku)

(I 1.26)

w2 (-ir 111 iku).

(I 1.27)

I/Id =A e ikz

1) 'Y ist das Analogon zum Parameter v, der beim Problem des Wasserstoffatoms cingcflihrt wurde. Setzt man a = h' /Z, Z, me', so ist 'Y = l/ka (s. Gleichung (ll.l 0».

Coulomb-Streuung

377

Es ist:

(11.28) Die Funktionen I/Ii und I/Id sind die (nicht regulären) Lösungen von Gleichung (11.20). Mit

r (1 + i')') e-V21T)'

A =

(11.29)

erhält man folgende asymptotische Formen für

cjJi

.....,

ei(k",ylnkll'-o))

I

r_" i~""

d

r-,,""~Ch

ljJ

Wegen z auch

_

[1

+.

y2 lk(r - z)

t/Ji

und t/Jd:

+ ... ]

+

y r(l iy) i(!.r-yln k(,.-o) [1 k(r - z) r(1 - iy) e

(1l.30)

+ (1 + iy)2 + ik(r - z)

]

. .. •

(1l.31)

= r cos 0

lautet der erste Term der asymptotischen Entwicklung von I/Id

1jJr/

!r exp (i(kr -

,..,

1'-:'~-""

(11.32)

y In 2kr») le(6)

mit ".(0) = -

2~ksm .y 2.1 6 exp ( - iy In (sin 2 ~ 6) 2

(10 = arg r(l

11.2.2

+ iy).

+ 2i(1o)

(11.33) (1l.34)

Die Rutherfordsche Streuformel

Die Welle I/Ic &tellt den stationären Streuzustand eines Teilchens mit dem Einfallsimpuls hk in Richtung der z-Achse dar. Geht das Potential für r -+ 00 mindestens so schnell wi,e l/r 2 gegen Null, so wissen wir, daß dieser stationäre Streuzustand durch die Wellenfunktion beschrieben wird, die asymptotisch gegen e ikz + [(0) eikr Ir geht. Diese konnte als die Summe einer einfallenden ebenen und einer auslaufenden gestreuten Welle interpretiert werden. Entsprechend kann man die Welle I/Ic als Summe aus zwei Termen I/Ii und I/Id darstellen, deren asymptotisehe Formen denen einer ebenen bzw. einer auslaufenden Welle ähneln. Jedoch kann wegen des Faktors exp [i')' In k(r - z)] die Funktion I/Ii selbst bei unendlich großer Entfernung vom Ursprung nicht mit einer ebenen Welle verglichen werden. Anders ausgedrückt, das Coulomb-Feld hat eine so große Reichweite, daß es die einfallende Welle bis in die asymptotische Zone hinein beeinflußt. Nun hat aber I/Ii für sehr große negative Werte z die Dichte I, ihre Stromdichte

378

11 Die Coulomb-Wechselwirkung

hat die Richtung der z-Achse und ist gleich u == hk/m (Der logarithmische Term führt zu Korrekturen der Ordnung l/r, die man vernachlässigen kann.) Darum ist die Interpretation von l/Ii als einfallende Welle gerechtfertigt. Was nun die Radialabhängigkeit von l/Id angeht, so strebt auch diese Funktion selbst für sehr große Werte von r nicht gegen die für auslaufende Wellen charakteristische Form exp(ikr)lr, sondern gegen den komplexeren Ausdruck exp [i(kr - r In 2kr»)/r. Dennoch verhält sich l/Id in der asymptotischen Zone wie eine gestreute Welle (abgesehen entlang der positiven z-Achse, auf der die Trennung in einfallende und gestreute Welle nicht sinnvoll ist). Die mit die· ser Welle berechnete Stromdichte jd weist nämlich radial in Richtung wachsender r, der Einfluß des Faktors exp (- ir In 2kr) kann bis auf die niedrigste Ordnung in 1Ir vernachlässigt werden. In dieser Näherung ist l/Id eine Welle mit der Dichte Ifc (6)1 2 Ir 2 und der Stromdichte ulfc(8)1 2 r2 • Bildet man das Verhältnis der Dichte des in den Raumwinkel (D., D. + dD.) gestreuten Stroms zu der des einfallenden Stroms, so erhält man den differentiellen Streuquerschnitt (11.35) Diese Formel ist das Analogon zur Formel (10.2) für die Streuung an einem Potential mit kurzer Reichweite. Der hier geführte Beweis muß ebenso kritisiert werden wie der Beweis in Abschnitt 10.1.2, doch kann eine dem Vorgehen in den Abschnitten 10.1.3 bis 10.1.5 folgende strengere Rechnung ohne Schwierigkeit durchgeführt werden.

fc(6) heißt Coulomb-Streu1mplitude. Explizit ist sie durch Gleichung (11.33) gegeben. Daraus leitet man den Ausdruck für den Coulomb-Streuquerschnitt her: '(2

aAr:!)

= 4k2 sin4l 2

a (11.36)

Dieser hier in Strenge erhaltene Ausdruck erweist sich als identisch mit dem Wirkungsquerschnitt der klassischen Coulomb-Streuung, so wie er im sechsten Kapitel (Gleichung (6.29» berechnet wurde: Die klassische Rutherford-Formel bleibt also auch gültig, wenn die quasiklassische Näherung nicht mehr gerechtfertigt ist. Das muß als ein Zufall angesehen werden. Wir stellen an Hand des Ausdrucks (11.36) vor allem folgende Eigenschaften der Coulomb-Streuung fest: (i) Sie hängt allein vom Absolutbetrag des Potentials und nicht von dessen Vorzei-

chen ab; (ii) die Winkelverteilung ist energieunabhängig; (iii) bei gegebenem Winkel raUt der Wirkungsquerschnitt mit wachsender Energie

wie 1/P ab;

Coulomb-Streuung

(iv) der totale Wirkungsquerschnitt ist unendlich: Winkeln.

f uc(rl) M2

379

divergiert bei kleinen

Diese Divergenz ist fUr das reine Coulomb-Feld charakteristisch. In der Natur tritt jedoch ein solches Feld niemals auf. So wird bei der Streuung eines geladenen Teilchens an einem Atomkern das Coulomb-Feld des Kerns mit wachsender Entfernung weitgehend durch das Feld der Elektronenhülle neutralisiert, das Potential wird in genügend großer Entfernung - verglichen mit dem Atomradius - Null. Dieser Abschirmeffekt fUhrt zu einer solchen Modifizierung der Streuwelle, daß der differentielle Streuquerschnitt bei kleinen Winkeln nicht mehr divergiert. Man kann zeigen, daß diese Modifizierung bei Winkeln vernachlässigbar ist, die gleichzeitig größer sind als 2-ylka und l/ka (a Atomradius). Bei den in der Kernphysik üblichen Energien sind diese Grenzwinkel so klein, daß der Abschirmeffekt völlig vernachlässigt werden kann.

11.2.3

Zerlegung nach Partialwellen

Die Schrödinger-Gleichung (11.20) kann durch Trennung der Winkel- und Radialvariablen gelöst werden. Für die Behandlung der Coulomb-Streuung ist dies ohne Interesse, weil man über eine direktere Methode verfUgt. Weil es sich außerdem um ein Potential mit langer Reichweite handelt, weiß man im voraus, daß die Entwicklung der Streuamplitude fc(8) nach Kugelfunktionen sehr langsam konvergiert. Bei allen Problemen jedoch, bei denen zur eigentlichen Coulomb-Wechselwirkung eine Wechselwirkung von kurzer Reichweite hinzutritt, ist die Zerlegung nach Partialwellen nützlich, denn die Existenz dieser zusätzlichen Wechselwirkung beeinflußt nur die ersten Glieder der Entwicklung von [(8) nach Kugelfunktionen. Folglich konvergiert die Entwicklung von [(8) - [c(8) rasch. Die Trennung der Variablen erfolgte bereits im Zusammenhang mit der Untersuchung des Wasserstoffatoms. Mit den jetzigen Bezeichnungen lautet Gleichung (11.4):

1)1 Y/-- 0 .

" '[k 2 -r-~2yk Z(l +

Yli

(11.37)

Um die Lösung dieser Gleichung zu finden, geht man wie beim Problem des Wasserstoffatoms zu einer neuen Funktion und einer neuen Variablen über:

V[

Yl

= eikr (krY + I

~

=

V[

(11.38)

-2ikr.

ist die Lösung der Laplaceschen Gleichung (siehe Gleichung (11.12»

[E;dd;2+(2Z+2-E;)~~-(l+ 1 +i y )l

v/=O.

(11.39)

Man kennt die asymptotische Entwicklung (Gleichungen B.IO-ll) der beiden mcht regulären Lösungen dieser Gleichung: Wl2 (l + 1 + i'Y121 + 21 Ü. Daraus ergibt sich die asymptotische Form der allgemei~en Lösung von Gleichung (11.39) und nach kurzer Rechnung die asymptotische Form der allgemeinen Lösung von Gleichung (11.37): Sie ist eine Linearkombination von zwei Exponentialfunktionen

380

11 Die Coulomb-Wechselwirkung e±i(kr - -yln 2kr).

Man weiß, daß die im Ursprung reguläre Lösung von Gleichung (11.39) die hypergeometrische Reihe F(I + 1 + ir! 21 + 2! ~) ist. Sie ist die Summe der bei den Funktionen W1 und W2 (Gleichung B.9). Die entsprechende Lösung von Gleichung (11.37) geht asymptotisch gegen ein Vielfaches von sin(kr - r In 2kr - Yz Irr + a[) mit

= argr(1

U[

+ 1 + ir)·

(11.40)

U[ heißt Coulomb-Streuphase. Gemäß Definition ist die reguläre Coulomb-WeHe Fi(r; kr) die reguläre Lösung von Gleichung (11.37) mit der asymptotischen Form

F[

~

sin(kr - rln2kr - Yzln

t

l'-+z

a[).

(11.41)

Entsprechend dem Vorangegangenen ist

+ 1 + iy I 21 + 2 I -2ikr).

Ft Eigenvektor von N und v der zugehörige Eigenwert, so ist (i) notwendig v ~ 0; (ii) falls v=O, so ist alv> =0;

anderenfalls hat aJv> die Norm v< viv> und ist ein Eigenvektor von N zum Eigenwert v -1;

388

12 Der harmonische Oszillator

(iii) at Iv> ist sicher wzgleich Null, er hat die Norm (v+1) O.

Aus der Definition (12.12) und der Relation (12.10) ergeben sich die Normquadrate von alv > bzw. atlv>: (vla t aiv) (vlaatlv)

= (vINlv) = v(vlv) = (vl(N + l)lv) = (v +

(12.15/1) 1) (viv).

(12.15/2)

Nun ist die Norm eines Vektors des Hilbert-Raums positiv oder Null, und das Verschwinden der Norm ist eine notwendige und hinreichende Bedingung flir das Verschwinden des Vektors. Damit dieses fundamentale Axiom hier erftillt ist, ist es notwendig und hinreichend, daß v ~ 0 (Eigenschaft (i)) 1). Die Bedingung flir das Verschwinden von alv) ist ein Spezial fall von Gleichung (12.15/1). Schließlich erftillen alv) und atlv) die angegebenen Eigenwertgleichungen, weil nach (12.14/1) und (12.14/2):

=

=

Naiv> a(N - l)lv> (v - l)alv) Nativ) = at(N + l)lv) = (v + l)a t lv).

12.1.3 Ist v

Spektrum und Basissystem von N

>

0, so gilt der vorstehende Satz auch flir den Vektor alv) zum Eigenwert v - 1. Hieraus folgt, daß v ~ 1. Ist v 1, so ist der Satz auch auf den Vektor a 2 lv) anwendbar. Man bildet so nacheinander die Folge von Eigenvektoren

>

alv), a 2 Iv), . . . , aP Iv), . . .

zu den Eigenwerten v - I , v - 2, ... , v - p, ...

Diese Folge ist sicher endlich, weil die Eigenwerte von N nach unten durch Null beschränkt sind. Mit anderen Worten sind die Vektoren dieser Folge von einer bestimmten Stelle n + 1 an alle Null: Die Wirkung von a auf den nichtverschwindenden Eigenvektor an Iv) zum Eigenwert v - n ergibt Null. Nach (ii) verlangt das: v = n. Entsprechend können wir den Satz auf den Vektor atlv) anwenden, der sicher nicht der Nullvektor ist und zum Eigenwert v + 1 gehört, dann auf den Vektor atllv) und so fort. Man bildet so nacheinander eine unendliche Folge nichtverschwindender Vektoren 1) Siehe Aufgabe 7.9.

Eigenzustände und Eigenvektoren des Hamilton-Operators

389

at Iv), aPlv), ... , atPlv), ... , die Eigenvektoren von N zu den Eigenwerten v

+ 1,

v

+ 2, ... ,

v

+ p, ...

Das Eigenwertspektrum von N besteht also aus den nichtnegativen ganzen Zahlen. Durch wiederholte Anwendung von a und a t auf einen Eigenvektor erhält man eine Folge von Eigenvektoren, die zu jeweils einem der Eigenwerte gehören. Das Verhältnis der Normquadrate zweier aufeinanderfolgender Vektoren ist durch eine der beiden Beziehungen (12.15/1) oder (12.15/2) gegeben. Diese Vektoren bilden ein vollständiges System. Man kann nämlich zeigen, daß jede Funktion von a und a t , die mit N kommutiert, eine Funktion von N ist (s. Aufgabe 1). Folglich bildet N für sich allein einen vollständigen Satz kommutierender Observabler und keiner seiner Eigenwerte ist entartet.

Die so konstruierten Vektoren sind nicht auf Eins normiert. Um eine orthonormierte Basis der Observablen N zu bilden, genügt es, jeden Vektor mit einer passenden Konstante zu multiplizieren, die sich ohne Schwierigkeit aus den Gleichungen (12.15) ergibt. Diese Konstante ist bis auf eine willkürliche Phase definiert, die zweckmäßig gewählt wird. Wir erhalten so die Folge von orthonormierten Vektoren

10>, 11>, ... , In), ...

(12.16)

zu den aufeinanderfolgenden Eigenwerten von N:

0, 1, ... , n, ... Sie ergeben sich auseinander durch die Rekursionsbeziehungen

atln)

= (n +

1)'/2 In + 1>

(12.17) (n =1= 0)

alO> = O.

(12.18) (12.19)

Man bestätigt leicht, daß sich alle aus dem Vektor 10> durch die Beziehung

In) = (n!t Y2 a tn 10>

(12.20)

ergeben, daß sie tatsächlich der Eigenwertgleichung Mn)

= nln)

(12.21)

genügen und daß sie die Norm Eins besitzen, d.h. daß sie die Bedingungen erftillen: (Gleichung (12.20» darstellt, stellt die Funktion F(t, Q) in ihrer Abhängigkeit von Q den Vektor

394

12 Der harmonische Oszillator

L: (n-~1 (at t)n 10> I)~

n

dar. Setzt man 1 (n 1)1'

c --n -

so stellt F(t, Q) den Vektor exp(a t t)lm dar:

F(t, Q) = = ~ (n +_tL!)! (i~y~i In + t> L l=o

n!

00

(i fest, ni = 0, 1, ... , 00) bezeichnen wir die Eigenvektoren des Hamilton-Operators Jei im Raum 8;. Sie bilden in 8; ein vollständiges Orthonormalsystern. Im folgenden seien ihre relativen Phasen so gewählt, daß die Vektoren den Beziehungen (12.17) bis (12.20) - formuliert für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren des Variablenpaars (Pi. q;) - genügen. Die Vektoren (12.63)

(nI

= 0,

1, ... , 00;

~

= 0,

1, 2, ... , 00; np

bilden dann in 8 ein vollständiges Orthonormalsystem

= 0,

1, ... , 00)

2).

Es ist klar, daß diese Vektoren Eigenvektoren von Je sind. Weil schließlich

+ t) fiwlnp>,

Jeplnp> == (np so hat man

Jeln l

•.•

n p> == (Jel =

2) In der {q ~ -Darstellung (

+ ... + np + tp)fiwlnl ... np>' l

.••

{q~ "" {q, q2' . . qp) ) wlfd der Vektor In, n2• .. np ) durch das Produkt

> .•. "" 1/1n, (q, ) 1/1 n2 (q2) .•• 1/1 np (qp)

404

12 Der harmonische Oszillator

Die auf diese Weise konstruierten Vektoren des Basissystems von Je werden durch ~, . . . , np gekennzeichnet, die alle ganzzahligen Werte von Obis + 00 annehmen können. Die zugehörige Eigenenergie jedoch,

p Quantenzahlen n),

(ni + ... + np + Yzp)hw, hängt nur von der Summe n

= nl + ~ + . . . + np

dieser p Zahlen ab. Für einen gegebenen ganzzahligen Wert von n (;;;:' 0) gibt es 1 -

+

p -1)1 nl (p -1) 1

(n

n

Cn +p -

(12.64)

verschiedene Anordnungen der Zahlen nl, ist also ~ + P _ I-fach entartet 3).

~,

... , np . Der Eigenwert (n + 'Izp)hw

Wir fUhren die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren von Quanten des Typs i ein:

_ ('m2fiw)t qj + 1(2mfiw) . -t P,.

ai -

t _ aj -

t ( mw 2fi ) q,

_.

1(2mfiw)

-!

(12.65) p,.

Sie genügen den Vertauschungsrelationen (siehe Gleichung (I 2.10) )

[a" aJ = [ar, an = [a an = ~iJ'

°

(i, j, = 1, ... , p)

(12.66)

j,

Aufgrund der obigen Definition der Vektoren Ini> erftillen die Vektoren Inl ... np > die Relationen, die sich durch Verallgemeinerung aus den Gleichungen (12.17) bis (12.20) ergeben. Ist insbesondere 10> der Eigenvektor des Grundzustands pmal

10> == I{······· 0), so können wir schreiben

= a2 10> = ... = aplO> = 0 ... np> = (ni! ... np!)"'Iz at n ,

(12.67)

QIIO>

Inl

...

a'pn p !O>.

(12.68)

Jede Observable (i

= 1,

2, ... , p)

(12.69)

3) Es gibt so viele verschiedene Anordnungen, wie es Möglichkeiten gibt, nununterscheidbare Teilchen auf p Kästchen zu verteilen.

Mehrdimensionale isotrope harmonische Oszillatoren

405

hat zum Spektrum die Folge der nichtnegativen ganzen Zahlen. Diese werden jeweils als die Zahl der Quanten vom Typ 1, 2, ... , p gedeutet. Ihre Summe: f!

N == LN" i=1

ist die Gesamtzahl der Quanten. Es ist

Je

= (N + V2p)hw.

Es ist klar, daß die NI, N 2 , . • . , Np einen vollständigen Satz kommutierender Observabler bilden und daß ihr Basissystem genau das von uns aufgestellte Basissystem von Je ist. Die Ni sind offensichtlich nicht die einzigen Konstanten der Bewegung, die einen vertauscht mit Je. Durch vollständigen Satz bilden. Jeder Operator der Form ai Linearkombinationen solcher Operatoren und ihrer Adjungierten kann man insgesamt p2 voneinander unabhängige hermitesche Operatoren bilden. Unter den Funktionen dieser p2 Erhaltungsgrößen gibt es mehrere vollständige Sätze kommutierender Observabler. Wir wollen hierauf für die Sonderfälle p = 2 und p = 3 näher eingehen.

4

12.3.2

Zweidimensionaler isotroper Oszillator

Hierunter versteht man das zweidimensionale System mit dem Harnilton-Operator

Die Ergebnisse des vorigen Abschnitts sind auf diesen Fall anwendbar. Die folgende Tabelle gibt die Eigenwerte von Je (erste Spalte) in der Reihenfolge steigender Entartung (zweite Spalte) und die Folge der gemeinsamen Eigenvektoren von NI und N 2 an, die die jeweiligen Unterräume (dritte Spalte) aufspannen: fiw 2fiw 3fiw

(n

+

1) fiw

1 2

3 n+l

1°°)

110), 101) 120), 111), 102)

(l2.70)

InO), In-lI), ... , In-ss), ... IOn).

Der durch

(l2. 71) definierte "Drehimpulsoperator" ist eine Konstante der Bewegung. Wir wollen zeigen, daß N und L einen anderen vollständigen Satz kommutierender Observabler bilden. Hierzu fUhren wir die Operatoren

406

12 Der harmonische Oszillator

(12.72)

ein. Diese Operatoren erftillen dieselben Vertauschungsrelationen (12.66) wie die

a und at : [Ar, AsT

= [At. At] = 0

[Ar, At]

= Ors

(r

= + oder

-,

S

=+

oder -).

(12.73)

A+ und At können also als Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren von ,,+-Quanten", A _ und At als Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren von ,,--Quanten" interpretiert werden.

(12.74) stellen dann die Zahl der ,,+ -bzw. - -Quanten" dar. Weil die Vertauschungsrelationen (12.73) mit den Beziehungen (12.66) identisch sind, ist das Problem, die gemeinsamen Eigenvektoren von N+ und N _ zu bilden, mathematisch identisch mit dem der Konstruktion der gemeinsamen Eigenvektoren von NI und N 2 . Folglich bestehen die Spektren von N+ und N _ aus den nichtnegativen ganzen Zahlen: n+

= 0,

1, 2, . ..

n_

= 0,

I, 2, ... ,

und diese beiden Observablen bilden einen vollständigen Satz kommutierender Observabler: Zu jedem Paar von Quantenzahlen (n+, n_) gehört genau ein gemeinsamer Eigenvektor (von einer Konstanten abgesehen). Schließlich verlangen die Relationen (12.67): (12.75) Also ist der Vektor 100> aus der Tabelle (12.70) Eigenvektor zum Grundzustand (n+ = n_ = 0). Die Vektoren (12.76) bilden ein vollständiges Orthonormalsystem von gemeinsamen Eigenvektoren von N+ und N_: N+ In+ n_> = n+ !n+n_>, N _In+ n_> = n_ln+n_>

Drückt man N und L als Funktionen der A und At aus, so erhält man N = N+ + N_, L =N+ -N_.

Mehrdimensionale isotrope harmonische Oszillatoren

407

Weil die Observablen N + und N _ einen vollständigen Satz kommutierender Observabler bilden, kommt auch ihrer Summe N und ihrer Differenz L diese Eigenschaft zu, und das wollten wir zeigen. Wir verfügen also über ein weiteres vollständiges Orthonormalsystem von Eigenvektoren von Je, die Vektoren In+n_>. Sie genügen den Eigenwertgleichungen

(12.77) (12.78) Für die Vertauschungsrelationen von L mit den A und At liefert eine sehr einfache Rechnung:

[L. A~]

=

± A~

(12.79)

[L. A±]

=

=f A±.

(12.80)

Folglich vergrößern At und A _, wenn sie auf einen Eigenvektor von L wirken, L um eins, At und A + verringern es um eins. Das kann auf verschiedene Weise interpretiert werden. In der Quantenfeldtheorie kann man das geladene Feld als ein System aus zweidimensionalen isotropen Oszillatoren darstellen, N+ ist die Zahl der positiv geladenen Teilchen, N _ die der entgegengesetzt geladenen, L die GesamtIadung (bis auf eine Konstante). In dieser Deutung erzeugt At eine positive Ladung, A _ absorbiert eine negative, beide vergrößern also die Ladung um eine Einheit. Entsprechend verringern A! und A+ die Ladung um eine Einheit. In der Theorie der Kristallschwingungen beschreibt man die Gitterbewegung ebenfalls durch ein System von zweidimensionalen isotropen Oszillatoren; man nennt sie Phononen oder Schwingungsquanten. Eine Darstellung durch Phononen vom Typ 1 und 2 bedeutet eine Klassifizierung nach stehenden Wellen, während eine Beschreibung durch + und - -Phononen fortschreitende Wellen charakterisiert, die sich in die eine oder die andere Richtung ausbreiten. Bei Problemen der Streuung am Kristallgitter (Neutronen, Röntgenstrahlung usw.) ist die Beschreibung durch fortschreitende Wellen für die Rechnungen am zweckmäßigsten.

12.3.3

Dreidimensionaler isotroper Oszillator

Der dreidimensionale isotrope harmonische Oszillator ist ein Teilchen, das sich in einem zum Quadrat des Abstands vom Ursprung proportionalen Zentralpotential befindet. Sein Hamilton-Operator ist

Je

= ~ + im(o)2r2.

Je besteht aus drei Gliedern:

(12.81 )

408

12 Der harmonische Oszillator

Je

=

Je; =

+ Je!! + Je~ 2~ (p; + m rD

Je",

2 W2

(i = x, y oder z).

(12.82)

Nach Abschnitt 12.3.1 sind die Eigenwerte von Je durch

(n

+ !) tzw

(n = 0, 1, 2, ... 00)

(12.83)

gegeben und 1/2 (n + 1) (n + 2)-fach entartet. Die Observablen Nx , Ny, N z bilden einen vollständigen Satz von Erhaltungsgrößen und die Eigenvektoren Inx ny rlz> ihres Basissystems sind durch die drei Eigenwerte nx , ny und rlz gekennzeichnet. Diese Vektoren ergeben sich durch die Formel (12.84) aus dem Grundzustandsvektor 1000>' Er selbst ist (bis auf eine Konstante) durch die folgenden drei Gleichungen definiert:

axIOOO> = ayIOOO> = azIOOO>

= O.

( 12.85)

Wir führen den Drehimpuls

I-=rxp ein. Aus dem qeunten Kapitel wissen wir, daß hei einem Zentralpotential Je, P und lz auch einen vollständigen Satz kommutierender Ohservahler hilden: Die gemeinsamen Eigenvektoren Inlrn> sind durch die drei Quantenzahlen 11, l, rn gekennzeichnet, und die Eigenwerte von X, P und /z sind (11 + 3/2)hw, l(l + 1 )h2 bzw. rnh. Die Vektoren Inlrn> bilden ein vollständiges Orthonormalsystem von Eigenvektoren von X. Sie ergeben sich aus den Vektoren In>;lIv nz > durch unitäre Transformation. Die explizite Konstruktion dieser Vektoren wird hier nicht angegehen 4). Wir begnügen uns mit der Bestimmung der Werte, die die Quantenzahlen l und rn hei festem n annehmen können, mit anderen Worten mit der Angahe der verschiedenen Drehimpulszustände für jedes Energieniveau.

4)

I n der I r ~ -Darstellung wird Inxnynz> durch die Wellenfunk t ion I/ln (x) I/ln x

y

(y) I/ln (Z)

z

darge-

stellt. In/rn> durch die Funktion

'f'

"/111

()

y",(r)

.",

r "'" .---;:- } / (0, ,1,),

Ynl(r) ist die im Ursprung verschwindende und im Unendlichen reguläre Lösung der Differcn-

tialgleichung [-

fi' d'

2ni' dr'

+

L(l

+ 1 )fi'

2mr'

+

!m",' r'

] YIII =

(n

+ !)fi '" y.,/.

Mehrdimensionale isotrope harmonische Oszillatoren

409

Die sehr große Ähnlichkeit zwischen dem Operator lz und dem Operator Laus dem vorigen Abschnitt legt einen analogen Variablenwechsel nahe. Wir fUhren die durch

(12.86)

definierten Operatoren Am (m = 1, 0, -1) ein und die dazu hermitesch konjugierten Operatoren Atn. Die Am und A,t erfUllen zu den Beziehungen (12.73) analoge Vertauschungsrelationen und können als Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren fUr Quanten vom Typ m interpretiert werden. Die Zahl der Quanten vom Typ m wird durch den Operator Nm = At Am dargestell 1. Es ist klar, daß NI. No und N -I einen vollständigen Satz kommutierender Observabler bilden und daß

Je N

= =

(NI + No + N_ I NI + No + N_ I •

Zu jedem Eigenwerttripel (ni. drei Observablen: 1/1 1

+ }}fiw,

no.

n_ I) gehört ein gemeinsamer Eigenvektor dieser

n 0 n- I > = (n I In 0 In - 1I)-~·Atl/'Atl/·Atl/-IIOOO> , I U -·1 •

Die Gesamtheit dieser Vektoren bilden ein vollständiges System von Eigenvektoren von Je. Schließlich ist

Jeln i non_ l > = (n n = ni

+ ~) fiwln1 non __ >, + no + n-l' I

Die so konstruierten Vektoren sind im allgemeinen keine Eigenvektoren von [2, aber sie sind Eigenvektoren von lz, denn (12.87) und folglich (12.88) Wir betrachten den Unterraum der Eigenvektoren von Je zum Eigenwert (n + 3/2)hw. Die ihn aufspannenden Y2(n + 1) (n + 2) Vektoren Inlnon- !>. (ni + no + n __ I = n) bilden in ihm ein vollständiges Orthonormalsystem von Eigenvektoren von lz. Nach Gleichung (12.88) kann die Quantenzahl m alle ganzzahligen Werte zwischen - n und +n annehmen. Es ist leicht, die Anzahl Cm der zu jedem dieser Werte von m gehörenden linear unabhängigen Vektoren zu bestimmen. Das Ergebnis ist in folgender Tabelle zusammengefaßt:

410

Iml Cm

12 Der harmonische Oszillator =

=

n

n-l

1

1

n-2 ... n-2s 2 ... s+l

n-(2s + 1) s+l

n-(2s + 2) ... (l2.89) s+2 ...

Nun gehört wegen der Eigenschaften des Drehimpulses zu jedem Eigenwert von (2, d.h. zu jedem Wert von I, eine bestimmte Anzahl von Serien von jeweils (21 + 1) Vektoren mit ganz bestimmtem Drehimpuls (Im). m nimmt in jeder Reihe die (21 + 1) ganzzahligen Werte zwischen -I und + I an. Sei d[ diese Zahl. Offensichtlich ist Cm

=

2d{, l?=.1IL

also d[=C/-C/+1'

Aus der Tabelle (l2.89) entnehmen wir, daß d[ = 1 für I = n, n - 2, ... , n - 2s, d.h. fiir alle ganzzahligen Werte von I der Parität (-'f zwischen 0 und n (mit Einschluß der Grenzen) und daß d[ = 0 für jeden anderen Wert von I. Folglich gehören zu jedem Energieeigenwert Y2 (n + 1) (n + 2) Zustände mit ganz bestimmtem Drehimpuls (Im). Zu jedem möglichen Wert von I gibt es (21 + 1) Eigenzustände zu den (21 + 1) von -I bis + 1 laufenden Werten von m. Die Werte, die I annehmen kann sind

n, n - 2, ... , 0, wenn (_)n = 1

(v, (n + 2) verschiedene Werte)

=-

1 (Y2 (n + 1) verschiedene Werte)

n, n - 2, ... , 1, wenn (_)n

Das Termschema von Abb. 12.1 zeigt den Grundzustand und die ersten angeregten Zustände des dreidimensionalen isotropen harmonischen Oszillators. Es ist instruktiv, dieses Schema mit dem des Wasserstoffatoms (Abb. 11.1) zu vergleichen . .llhUJ 2 )!hUJ 2

~hUJ

lhUJ 2

--41

--3p --3d

--25 --2p

2hUJ 2 Abb.12.1 Spektrum des drei· dimensionalen harmonischen Oszillators.

--5g

--4d

--35

--15 1=0

1=1

1= 2

1=3

1=4

Aufgaben 1. Seien a und at zwei hermitesch konjugierte Operatoren mit [a, at ] setze N = at a und zeige:

= 1.

Man

Mehrdimensionale isotrope harmonische Oszillatoren

411

(i) [N, 11'] = -paP [N, atP ] = + pa tP (p positiv ganz); (ii) die einzigen algebraischen Funktionen von a und at , die mit N vertauschen, sind die Funktionen von N.

2. Man zeige, daß die Operatoren a und at aus Aufgabe 1 kein Inverses besitzen. 3. Man bilde in der I N I-Darstellung (Bezeichnungen aus Abschnitt 12.1.4) die Matrizen der Operatoren q und p. Man zeige, daß sie hennitesch sind und der Vertauschungsrelation (12.2) genügen. Man stelle in dieser Darstellung das Eigenwertproblem von q auf, zeige, daß das Spektrum von q einfach und kontinuierlich ist und daß es sich von _00 bis + 00 erstreckt. Ferner konstruiere man explizit den Eigenvektor zum Eigenwert Null. 4. Die Eigenschaften eines quantenmechanischen Oszillators im Zustand In> sollen mit denen einer mikrokanonischen Gesamtheit klassischer Oszillatoren derselben Energie verglichen werden (Abschnitt 12.2.3). Man zeige, daß die statistische Verteilung der Variablen q in diesem quantenmechanischen Zustand um so schnellere Oszillationen aufweist, je größer n ist, und daß für n -+ 00 ihr Mittelwert über mehrere Perioden gegen die entsprechende Verteilung für die Gesamtheit der klassischen Oszillatoren strebt (man verwende die WKB-Näherung). S. Seien Xo,

CiJo,

110 die Anfangswerte der Mittelwerte

X = (q2) - (q)2,

CiJ

= (p2) _ (P)2, 11 = (Pq

+ qp)

- 2(P) (q)

für ein Wellenpaket des harmonischen Oszillators. Man stelle das Bewegungsgesetz für die Mittelwerte auf. Man zeige, daß die Zeitabhängigkeit von der Form A + B cos 2 wt + C sin 2wt ist und daß X und VJ genau dann konstant bleiben, wenn 110

= 0,

VJo

= m 2 w 2 xo·

6. Der Zustand eines harmonischen Oszillators zum Zeitpunkt 0 sei durch das minimale Wellenpaket beschrieben: .,

2 f(q)=(rra)-'

[i

(q ---;r.;---· (q»']

exp fj(p)q--

Man zeige, daß dieses Wellenpaket im zeitlichen Verlauf genau dann minimal bleibt, wenn a = h/2mw (s. Aufgabe 5). Sei diese Bedingung erftillt. Man zeige, daß dann f(q) die Wellen funktion des Vektors

ist. Unter Benutzung der Identität (12.29) leite man her, daß die Funktion f(q, t) bis auf einen Phasenfaktor gleich dem Ausdruck ist, den man erhält, wenn man in f(q) statt der Mittelwerte (q) und (P) zur Zeit 0 die zur Zeit t

412

12 Der harmonische Oszillator

einsetzt. Man bestimme die Koeffizienten Cn der Entwicklung von Eigenvektoren des Harnilton-Operators und zeige, daß

Icn 12

= e-O:

lf> nach den

az

n!

7. Man verifiziere, daß das Theorem von Bloch (Abschnitt 12.2.5) auch auf den klassischen harmonischen Oszillator anwendbar ist und daß für einen quantenmechanischen harmonischen Oszillator im thermodynamischen Gleichgewicht die statistische Verteilung von aq + ßp für kT » hw gegen die klassische Verteilung strebt. 8. Man zeige, daß der Hamilton-Operator eines Teilchens der Masse m und der Ladung e in einem konstanten, in Richtung der z-Achse weisenden Magnetfeld K auf die Form gebracht werden kann: p~ H = - + Hp,

2m wobei Hp

=-

I (p2x + py2 ) - -e- Kfz + _. c2- Je 2 (x 2 + y 2 ).

2m

2mc

8mc 2

Man zeige, daß die Operatoren Pz, fz, Hp einen vollständigen Satz kommutierender Erhaltungsgrößen bilden und daß ihre gemeinsamen Eigenfunktionen in Zylinderkoordinaten (z, p, 0) in der Form exp (ikz) exp (iM) "An(P) geschriehen werden können (k reell beliebig, X = 0, ± 1, ± 2, ... , ± 00; n = 0, I, 2, .... 00). Die zugehörigen Eigenwerte sind eh K. 2mc

hk, hX, (2n + I) -

Man vergleiche diese Ergebnisse mit denen der Aufgabe (2.4).

Anhang

A Distributionen, ö-"Funktionen" und Fo urie r-Tran s10 rm ati 0 n Inhalt A.l A.l.l A.l.2 A.l.3 A.l.4 A.1.5 A.l.6

Kurzer Abriß über Distributionen Begriff des Funktionals und strenge Behandlung des kontinuierlichen Spektrums Definition der Distributionen Linearkombination von Distributionen Produkt von zwei Distributionen Reihen und Integrale von Distributionen Ableitung von Distributionen

A.2 A.2.1 A.2.2 A.2.3 A.2.4

Eigenschaften der ö-"Funktion" Definition von 8 (x) Darstellung als Grenzwert des Kerns eines Integraloperators Grundlegende Eigenschaften Ableitungen von 0 (x)

A.3 A.3.1 A.3.2 A.3.3 A.3.4 A.3.5 A.3.6 A.3.7

Die Fourier-Transfonnation Fourier-Transformierte einer Funktion. Definition Summierbare Funktionen x-Funktionen Fourier-Transformation von Distributionen. Definition Temperierte Distributionen Quadratintegrable Funktionen Transformation der Faltung in eine Multiplikation Tabelle der Fourier-Transformierten

A. 1

Kurzer Abriß über Distributionen

A. 1. 1 Begriff des Funktionals und strenge Behandlung des kontinuierlichen Spektrums I

Die Diracsche Ii-"Funktion", mit deren Hilfe das kontinuierliche Spektrum analog zum diskreten Spektrum behandelt werden kann, ist mathematisch nicht sauber definiert. Will man in die Theorie Observable mit kontinuierlichem Spektrum in mathematischer Strenge aufnehmen, so muß man das Eigenwertproblem anders angehen. Tatsächlich treten die Eigenfunktionen von wellenmechanischen Observablen nur in Skalarprodukten mit WeHenfunktionen auf, d.h. in Skalarprodukten mit quadratintegrablen Funktionen. Sei F eine dieser Eigenfunktionen, 1/1 eine beliebige WeIlenfunktion. Das Skalarprodukt (1/1, F'> (Bezeichnungen aus dem fünften Kapitel) kann als ein antilineares Funktional von 1p aufgefaßt werden, oder besser als ein lineares Funktional von 1p*. Wir bezeichnen es mit

Es treten also in der Theorie nicht die Eigenfunktionen selbst, sondern ihre Funktionale auf. Diese gehören nun zu einer bestimmten Klasse von Funktionalen, den sog. Distributionen, fUr die man, von gewissen Einschränkungen abgesehen, dieselben algebraischen und analytischen Rechenoperationen definieren kann wie fUr Funktionen. Folglich ist es möglich, die Wellenmechanik in mathematischer Strenge neu zu formulieren: Die Operatoren wirken nicht auf Funktionen, sondern auf Distributionen. Die Eigenlösungen eines hermitesehen Operators sind also spezielle Distributionen: Es sind diejenigen linearen und stetigen Funktionale beschränkter und

quadratintegrabler Funktionen, die der Eigenwertgleichung dieses Operators genügen. Seien allgemeiner X und:;;: zwei Observable, deren Spektren der Einfachheit halber rein kontinuierlich und nicht entartet seien, und sei (~Ix) die Matrix der unitären Transformation, mit der man von der 1- zur I:E: I-Darstellung übergeht. In einer mathematisch strengen Formulierung der Quantentheorie bedeutet (~Ix) gleichzeitig:

Ix

b:

(i) die Gesamtheit der Eigenlösungen von X in der I-Darstellung, d.h. eine bestimmte Folge von Funktionalen von Funktionen, die von t abhängen und durch den Index x gekennzeichnet sind;

Ix

(ii) die Gesamtheit der Eigenlösungen von:=: in der I-Darstellung, d.h. eine bestimmte Folge von Funktionalen von Funktionen, die von x abhängen und durch den Index ~ gekennzeichnet sind.

In diesem Abschnitt geben wir die gen aue Definition der Distributionen und fUhren ohne Beweis ihre wichtigsten Eigenschaften an.

1) Siehe L. SCHWARTZ, Th~orie des distributions, Paris: Hermann 1966. Siehe auch vom sel-

ben Autor, Mathematische Methoden der Physik, Mannheim: Bibliographisches Institut, 1974.

418

A Distributionen, c5-"Funktion" und Fourier-Transformation

A. 1. 2 Definition der Distributionen Wir bezeichnen mit '"

exp [ikz

l)ir/

/,(6)

'"

Ie(r-::)-?X!

+ iy In k(r -

ei./..r-y In eier)

r

!

1

z)]

~

,

1

+ ik(/~ z) + ... (,

(1 + i'rr + lk(r ,-_- .z)- + ...

1e(6)

= - 2k Si'~2 ~6 exp [- iy In (sin' !6) + 2iGü]

e 2ia 0

-----

_

r(1 + iy) r(1-iy) .

!

(B.23) (B.24)

(B.25)

(B.26)

Verhalten im Ursprung:

y,(O)

=

1,1. (0) 2 _ l1'e 1-

e-jr.y r(l

iy) (B.27)

27tY eer.y -

+

1

438

B Spezielle Funktionen und damit zusammenhängende Formeln

B. 1. 5 Sphärische Coulomb-Funktionen Differentialgleichung In sphärischen Polarkoordinaten fUhrt das Streuproblem aus Abschnitt B.1.4 fUr jeden Wert des Bahndrehimpulses I zur Radialgleichung:

d2 [ dr"

(k

+

2_

l(l

+ 1) _

r"

2Yrk)] YI

=

0

(B.28)

.

Die sphärischen Coulomb-Funktionen sind partikuläre Lösungen dieser Gleichung. Es sind Funk· tionen mit dem Argument p = kr.

Sie hängen über kund "( von der Energie ab. Man definiert die im Ursprung (wie r l + 1) reguläre Lösung F I ("(; kr) und die nicht regulären Lösungen Gf, u~+) und u}-) (wie (l/d). Durch Wechsel der Variablen und der Funktion: YI = eip pi + 1 11.

z = - 2ip,

wird aus Gleichung (B.28) die Laplacesche Differentialgleichung:

d" [ Z dz2

d z) dz -

+ (2l + 2 -

(l

+ 1 + iy)] VI

= 0

deren im Ursprung reguläre Lösung F(l + 1 + h 12/ + 21 z) und die beiden nicht regulären Lösun· gen W'.2 (I + 1 + i"( 121 + 21 z) bekannt sind.

Definition und Relationen:

F/(y; p) = ci eip pl+l F(l

= Cl e-ip U)±l(y;

Gt