Probleme de algebră pentru concursuri de admitere şi olimpiade şcolare : progresii, inducţia matematică, funcţia exponenţială şi logaritmică, analiza combinatorie, polinoame, numere complexe 9789733029267, 9733029262

Table of contents :
COPERTA
CUPRINS
ENUNŢURI
Capitolul I - PROGRESII
Capitolul II - INDUCŢIA MATEMATICA
Capitolul III - FUNCŢIA EXPONENŢIALĂ ŞI LOGARITMICĂ
Capitolul IV - ANALIZĂ COMBlNATORIE
Capitolul V - POLINOAME
Capitolul VI - NUMERE COMPLEXE
SOLUŢII
Capitolul I - PROGRESII
Capitolul II - INDUCŢIA MATEMATICĂ
Capitolul III - FUNCŢIA EXPONENŢIALĂ ŞI LOGARITMICĂ
Capitolul IV - ANALIZĂ COMBlNATORIE
Capitolul V - POLINOAME
Capitolul VI - NUMERE COMPLEXE
BIBLIOGRAFIE

Citation preview

:::. CARAGEA GH. BORDEA

GH. ANDREI i I. CUCUREZEANU

PROBLEME DE ALGEBRĂ Pentru concursuri de admitere • ol1mp1ade • • ,1 , colare Progresii. lnductia matematicâ.Funcţia exponenţială si logaritmică. Analiza combinatorie. Polinoame, Numere complexe~.

EDITURA DIDACTICA

ŞI

PEDAGOGICA, R.A.,

BUCUREŞTI

- 1993

Referenţi: Prof. univ. dr.

O.

STANAŞILA

Prof. univ. dr. C. NASTASESCU

CUPRINS Enunţuri

I. Progresii . II. Inducţia matematică III. Funcţia exponenţială IV. Analiza combinatorie V. Polinoame . . . VI. Numere complexe

3 şi

logaritmică

ISBN 973-30-2926-2

Redactor: Prof. VALENTIN RADU Tehnoredactof": PARASCHIVA GAŞPAR Coperta: V. WEGEMAN

Coli de tipar: 24,50 Format: 70Xl00/16 Bun de tipar: 11.XI.1993 Nr. plan: 36330 Tiparul executat la: Imprimeria „ARDEALUL" Cluj B-dul 22 Decembrie nr. 146 Ramânia Comanda nr. 173

10 17

54 77

HJO

Soluţii

129 142 153 222 262 324

Capitolul I

PROGRESII 1. Numerele a, b, c sînt în progresie aritmetică dacă ş1 numai dacă numerele a 2 + ab + b2, a 2 + ac + c2, b2 + bc + c2 sînt în progresie· aritmetică.

2. Numerele pozitive a, b, c sînt în progresie aritmetică dacă ,şi numai dacă numerele ..J 1 ..J , ..J _1 ..J , j 1 ..J- sînt în progresie aritmetică. b+c

3.

c+a

a+b

Dacă

numerele a 2 - bc, b2 - ac, c2 - ab sînt în progresie aritatunci şi numerele a, b, c sînt în progresie aritmetică sau b + c = O şi reciproc.

metică,

a+

4. Întt-o progresie aritmetică avem a9 = q şi aq este al n-lea, termen al progresiei. Calculaţi a,,..

= p, p #: q

5. Într-o progresie aritmetică termenii de rang m, n, p a, b, c. Să se arate că: a(n - p)

+ b(p -

+ c(m -

m)

n)

=

unde a.

sînţ respectiv

O.

G. Să se afle triunghiurile dreptunghice care au lungimile laturilor numere întregi în progresie aritmetică. 7. Dacă ex, ~. y sînt măsurile unghiurilor unui triunghi, atunci cos 2ex, cos 2~, cos 2y sînt în progresie aritmetică dacă şi numai dacă ctg ex, ctg ~. ctg y sînt în progresie aritmetică.

8. Numerele sin (-ex + ~ + y), sin (ex.- ~ + y), sin {ex + -~ - y) sînt în progresie aritmetică dacă şi numai dacă tg ex, tg ~. tg y sînt în progresie aritmetică. Rădăc;inile ecuaţiei:

9. ax3

numai

+ bx + ex + d = O, 2

a #: O sînt în progresie aritmetică dacă

dacă

2b3 - 9abc

+ 27a d = 2

şi

O. I. Cucurezeanu

10. Rădăcinile ecuaţiei : ax3 gresie aritmetică dacă şi numai

+ bx + ex + d = O, 2

2c3 - 9bcd

11.

Rădăcinile ecuaţiei

aritmetică dacă şi

numai

ax 4

dacă

ad #: O sînt în pro-

dacă

+

9b2

+ 27ad

= O. I. Cucurezeanw

+

c = O, a#: O sînt în progresie lOOac.

bx2

=

2

1. CU&tirezeanw

12. În orice progresie aritmetică avem: 1 S2,. = S,. + - S 3„ unde S„ este suma primilor k termeni ai progresiei. 3

3

p termeni ai Junei

13. Fie Sm, Sn, Sp respectiv suma primilor m, n, progresii aritmetice. Să se arate că : Sm

m

(n - p)

+

s,. (P - m) n

+ Spp .(m -

n)

= O.

. an·tmet·ica -S.,.- = -:-m• ' 2m - 1 1't:. D aca m t r-o progresie , atunci• -a.,. = -- . v

1_

v

A

'

Sn

15• Î n t r-o progresie an•tmet•ica ap = -1 o

V

q

pq

calculeze suma primilor

n•

•

şi

a„

2n - 1

cu p f= q,

aq = -1 p

sa V

sţ

termeni ai progresiei.

· 16. Într-o ··progresie aritmetică Sp = q, Sq suma primilor n termeni. Calculaţi SP+q·

„ p, p #= q,

unq.e S„ este

17. într.:o progresie aritmetică sµma primilor m termeni este egală cu suma primilor n termeni (m ·t= n). Să se demonstreze că suma!prlmilor m + n termeni ,este nulă. Olimpiada sDflidic,J, 1958

18. Suma cuburilor a n numere întregi în progresie prin suma lor.

aritmetică

este

divizibilă

I. Cucurezeanu

19. Numerele x 1 , x2 ,

+ + ... + progresie.

că x 1

tă

X2

Xn

••• ,

x„

formează

o progresie

= a, x~ + x: + ... + x! = b2 •

aritmetică. Se ştie Determinaţi aceas-

20. Se dau .progresiile -;- 1, 5, 9, 13, -;- 4, 15, 26, 37, ... ai acestor. progresii

Să se găsească termenii comuni formează o nouă progresie

şi să

se arate

că aceştia

· Etapa finaltl, 1954

21. metică

Să se arate că şirul a 1 , a 2 , ••• , an, ... formează dacă şi numai dacă pentru orice, n ;;.i: 3 suma

o progresie aritSn a primilor n

termeni este 1

Sn = - (a 1 2

+ an)n. ·

22. Fie a 1 , a 2, ••• , a,., . . . un şir de numere reale. Să se arate că acest şir formează o progresie aritmetică dacă şi numai dacă pentru (V)n ~ 3 avem:

23. Fie ai, a2 , ••• , an, . . . un şir de numere reale nenule. Acest şir o progresie aritmetică dacă şi numai dacă pentru orice n > 2. avem formează

1. Cucureaean»

4

24. O condiţie necesară şi suficientă ca şirul de numere a 1; a2 , ••• , an, . . . să fie o progresie aritmetică este ca pentru orice· n > 2, să avem

a1 - C!a 2 + C!a3 :__ ••• + (- l) 11 C:an+1 . 25. O condiţie necesară şi suficientă ca şirul n

să

a 1, a 2, ••• , an, . . . 2, să avem

~

fie o progresie

aritmetică

= O. este ca pentru orice

2nSn+l + ....,.a2 + ...,.as + • . . + C"nan+l = -' n+l s..+1 = al + ~2 + ... + an+l • f"l

al

f"2

unde 26. Fiind dată o progresie aritmetică infinită de numere întregi pozitive cu proprietatea că unul din termenii săi este pătrat perfect, să se demonstreze că progiesia conţine o infinitate de astfel de pătrate. A treia olimpiadtl sovietica, 1963

27. Nici o progresie aritmetică infinită de numere naturale nu poate avea toţi termenii numere prime.

şi raţie

nenulă,

28. I)acă n termeni consecutivi ai unei prqgresii aritmetice sînt primi cu n, atunci raţia progresiei 1;1-u este primă cu n. 29. Să se demonstreze că numerele ,.fi, ~. termeni ai unei aceleiaşi progresii aritmetice.

,Js

nu pot fi simultan

30. Fie a, b, c trei numere naturale cu (a, b, c) = 1. Dacă ,.ja, '1,jb, sînt termeni, nu neapărat consecutivi, ai unei progresii - ·aritmetice, atunci 'V a, ,J b, ...,, c sînt numere naturale.

Jc ,-

I. Cucurezeanu

31.

Dacă şirul

formează

de numere reale pozitive a 0 o.progresie aritmetică, atunci

' J-;;;


+ log" IA. I,

7. log.An= n log.A, a, A e (O, oo), a;=/= 1, n e N. 8. log„b• = ex log,.b, a, b e (O, oo), a

1, ex e R.

=I=

9. log;/b = log„nb = 2.1og,.b, a, b e (O, oo), a n

10. •• m

log,.b 2n = 2n log11 lb I; logazmb2n = ~ loglal m

=I=

1.

lb I, ae (O, oo)-{1}, b 'F O.

N, f1f #: O. A 11. log.-= log11 IA I - log11 !BI a. e {O, oo) - {1}, AB e

B

·log.b , 12. 1og11 b =--, a, b, ce {O, oo) -

log,a

.

13. log11 b

1 = _;_, logba

{

>

O.

1}.

a, b e (O, oo) - {1}.

1

14. log.!_ 6 = logab, a, b e (O, oo) - {1}. li

15. log„

2.

= log 1 b = -log„b, a, b e (O, oo), a#: 1.

b

-a

§ 2. EXERCIŢII PROPUSE Dacă a = lg 5 şi b = lg 3, să se calculeze lo~...R b) Dacă log, 0 100 = a, să se calculeze log 1625. c) Dacă logi227 = a, să se calculeze log 6 16. d) Dacă lg 2 = a şi log27 _; b, să, se calculeze lg 56. e) Dacă log 4525 = a, să se calculeze log 1527. f) Dacă log 6 15 =·a şi log 12 18 =;: b, să se calculeze log 2524;

t. a)

g) Dacă log30 5 = a şi log303,= b, să se calculeze log307,2 şi log3.S2-

Probleme de algebră

17

h) Dacă i) Dacă j) Dacă k) Dacă 1) Dacă m) Dacă

2.

Să

logmlll = a şi logm7 = b, să se calculeze log16,4. log108N = a şi log72N = b, să se calculeze. log 2N şi log,N. log147 = a şi log1'5 = b, să se calculeze log3628. log803 = m şi log80 5 = n, să se calculeze log34 + logIZ2. log12 18 = a şi log2454 = b, atunci ab + 5(a - b) -:-- 1. log303 = a şi log305 = b, să se calculeze log308. : 1 °. log32,6 · log65, 76 = log52,4 · log36, 76. log8 12 _ log8 4 + l = log8 135 _ log8 5 = 3 , că

se arate 20 •

log883

log113

log.a3

numere sînt iraţionale · lg2, lg5, log23, log35. 4. Să se arate că numţ!rele : A = logabc4, B = log...,cb, C = log;,_,a6, D = logcba4 au acelaşi semn.

3.

Să

log1083

că următoarele

se arate

(O; oo) - {1}. Să se arate că: log41b log6 c logcd log4 a = 1. Generalizare.

5. Fie a, b, c, d 6. Fie

relaţiile

e

:

1) 2lg(x - 2y)

=

lg x

+ lgy,

să se deducă valoarea lui !.. . y

2) 21g(x - ;) = lg x - lgy, să se deducă valoarea lui xy.

7.

Să

se elimine x din

relaţiile

(sau

să ·se

determine o relaţie între a şi b).

1°. a = log 2 x, b = log~2. 2 °. a = logs.3, b = log39x.

8.

Să

+ aY' = 2as",

se arate

că

as'

Dacă

=

10 i-Jgs

dacă şi

I

9. a)

y

numai

dacă

x

= y,

I

şi z

=

10

1 - 1gy ,

1

atunci x

=

10~ . x, y, z

I

b)

Dacă

e

(O, oo) - {1}.

.I

b = s 1-:-l6g,a

şi C =

sl-Jog,b, 1

atunci a

=

8 J-Jog,c a, b,

C E

(O, oo). 1-a-b

c) Dacă 60" = 3 şi 606 = 5, atunci 12 2 7

43. h· dau numerele A a


25 lg 3 lg 2, (G.M nr. 7/rns;i. lg29 + lg2 11 > lg98, (G.M. nr. 5/1987). log3 7 log3 11 > log:10, (G.M. nr.4/ 1987). lg 2 > 0,3; lg 3 < 0,48; lg29 < lg 8.

6) log6 7 7) log 23 şi

inegalităţile

R.M.T. nr. 1/198S

8

= log,.b

şi

B

=

5.

log,.,.nb, unde a, b, n

e

b. Care dintre ele este mai mare ?

«. Să se arate că lg 1,2 + lg 1,02 + ... + lg 1,00 ... 02 < 2 lg (1,1)(1,01)

Liviu

(1, oo) · Pîrşan

... (1,00 ... 01).

fi

45. Pentru ce valori ale lui a, b, c, d tatea (lo&a - logtla)(logcb - logtlb)

>

e

(O,oo)-'- {l} are loc inegali-.

O.

46.

Să se arate că a) loga(a2 + ab + b2 ) > 1 + log3 a + log3 b, a,b e (0,oo), a#: b. b) 3(1og!b + logla) + 12 > 8 (log.b + logba}, a,b e (O,oo) - {1}. c) log 2(a + b) > 1 + log.a! log.Z, , a,b e (O,oo) - fl}, a #: b.

47.

Să

se compare numerele a) log,.b şi log6a, bJ log„b şi log..+1b, c) log,.b şi ~. a

48.

Dacă

a,b e (1,oo), atunci au loc inegalităţile: 1) log.. +1b < log,.b < log.(b + 1), 2} log.,+1b < log.. +: 1(b + 1) < log.(b + 1,. 3) Să se stabilească relaţia de ordine între numerele log.b log..+1(b + 1). Ghsorghe Andrei, Etapa IocaliJ -

49.

Să

se arate

2..+ 6,+ 2b+c

50. a)

Dacă

Constanţa,

şi

1980

că

+ 2"+c < 1 + 2

11

x, y, z sînt pozitive

+b+c+1,

şi

V a,

b,.C e

în progresie

2e" ~ e" + e. b) Dacă x, y, z sînt pozitive·, supraunitare metrică, ·atunci log~y ;;;i: Iog„z.

(O,oo).

aritmetică;

şi

atunci

în progresie· geoA ristitle Leonltl

22

51. Pentru ce valori pozitive ale lui x are loc inegalitatea : [log 12 x]

52. Fie a, b, c

Să

se arate că: •+b+c (abcJ_3 _ =!i; a•bbce.

(O,oo).

e

[log11 x] ?

=!i;

Generalizare

53. loc

Să

că

oricare ar fi a, b, c e (0,1) sau a, b, c e (1,oo) · log;,bc + logbac + logcab ;;i,, 6. log.bc · logbac • logcab ;;i,, 8. log.abc + logbabc + logcabc ;;i,, 9. log:bc + log%ac + log:ab ;;i,, 3 · 2.., n e N*. Să se arate că dacă a, b, c e (l,oo) sau a, b, c e (O, I). se arate

au

inegalităţile.

I) 2J 3) 4)

5)

logba a+ b

54. Să se arate loc inegalitatea.

55. Fie a, log1a + log3b 3

56.

Să

b, c

că

e

+

+

logcb , b+ c

log8 c ;;i,, 9 c+ a 2(a + b + c)

oricare ar fi a, b, c e (O, I) sau a, b, c e (l,oo) are

(l,oo). Să se arate că a+b b+c a+c log --+log - + l o g - -

+ log,c < - - 2 2 2 --------1

1

1

3

se demonstreze

că

log.(a2

-

oricare ar fi a I)

< log

11 _

1

a

>

.,,.

~

l

a+b+ c

og2 - - - .

3 Gh. Andrei

2 are loc inegalitatea

+ log.+ a. 1

Dan

57. Fie a, b, c lg(~ -

58. Fie a >

e

(O,oo)

şi

a

+ b + c = .1,

1J + lg (f- 1J+ lg

Crişaa

atunci

c-1)

;> 3lg2.

1. Să se demonstreze inegalităţile :

1) log 2 ~

log3 ~

> ... >

log,. ~ .

2) log3 a3 > log 4 a 4 Unde se află. log 2 a 2 ?

> ... >

log„an,

2

>

3

n

Andrei Ion Cristian

ab,

59. Să se găsească cea mai mică şi ştiind că log...! a · log 1 b = I, a,b e 2 2

cea mai mare valoare a produsului (O, 1) Matematica 1/şcole, 1·987

23

60.

Să

că

se arate

oricare ar

log,.(a + 1) consideră şirul

81. Se Să

se arate

că şirul

fi a > 1, are loc inegalitatea

>

log..+ 1(a +2).

a,. = log,.(n + 1), a 1

este monoton

= 2.

şi mărginit.

Liviu Vlaicu

82. Fie 1


2(n - 3),

Vn

N.

e

G. G. N iculesc•

83. log!,n+log!,(n-l)+log!,(n-2)> ~,

84. Fie a > 2, n

N*.

e

Să

se demonstreze

Vn

N, n

> 2.

Etapa

locală,

e

Gala/i, 1985

că (112 "-1)1

log!,. (a"- 1) + log;,. (a11 + 1). > log a,. •2"

•

G.M. N,. 6/1986 Să

65.

că

se arate

log2 {1 + tg2x) + log 2 (1 + ctg~x)

X E

Să

88.

se arate

R - {k1t} u

> 2,

oricare ar fi

{k1t + ~} . 2 keZ

că

ln (l + sin2 x) · ln(l

+ cos x) 2

2 3 E;; 1n - , 2

Vx eR. Matematica

87.

Să

se arate

logsin•.r{l +

că COS

2x) + logcos,,.(l -

COS

2.x)

;;i,,

O, V~ 'F

v'şcole

1986

k;. Gheorghe Dav,i4

88.

Dacă

a, b, c

(l;oo), atunci i) log,.(b 2 + c2 ) + logb(a2 + c2) + log,(a2· + b2) > 6, ii) log.(b3 + c3 ) + logb(a3 + c3) + log,(a3 + b3) ·> 9. e

A ntlrei Cristian

89. Fie a, x, y

e

logax

(0,oo)~ a 'I= 1. Să se arate că

+ log„y < lo gx .+-y- - a,> l , 2

2

Iog..y x +y - -+- > lo a --- O < a < l . 2 · 2

lcig11 x

041

'(în cazul a > 1 funcţia logaritmică este concavă, iar dacă O < a este convexă.)

funcţia logaritmică

'iO.

Să

1)

se arate

l!o&.b

că

oricare ar fi a,b

+ 1ogba I

> 2.

e

(O,oo) - {1} au loc 2) lga · 1gb

24


O

~emonsţreze că

şi

b > O are loc ine-

galitatea

>

a11bb Să

72.

că

se demonstreze

ab • b11 •

V a, b, c

(1.oo), 1

~ a..Jiog,,.b • b..Jiogb".

(0,1), atunci ab

e

2

c) Dacă a, b e (0,1), ,atunci afiogba ·_bfiogab ~ ab, n e N* -{1}. C. Caragea, Gh. Andrei 0

74. Dacă a, b, c ·

(1,oo), astfei încît ~

e

·

75.

Dacă

b > a> 1

76.

Dacă

b2

;;.i,

ac

şi

şi ot

c2

;;.i,

b

>~ a

·

atunci

lga 1gb

> ~.

> O, atunci logab > loga+ .. (b +

lga

ot).

bd, a, b, c, d e (1,oo), atunci au loc inega-

lităţile

1 o lg b + lg C ;..,; lg a+ lg d, 2 o lg b • lg C ;;.i, lg a • lg d.' V. Matrosenco - Etapa

77.

Să

se arate

locală

1986

că

(a+ b) lg a+b 2

;;.i,

blga

+ algb,

a,b

e

(l,oo). G.M. nr. 2/1986

78. ·să se arate că. oricare ar fi x,y a) In x

+ ln y

~

(0,1), x + y · 1 avem

ln 2_

2

2 '

l lnx+lny · b) xlnx+yny;;.i. 2

c) x ln x

e

+ y ln y

;;.i,

,

I

ln - . 2

Andrei Gheorgh.

79.

Să

se arate

că

oricare ar fi a, b, c, e (1,oo), are loc inegalitatea

~+~· logb ~+~ ~+~ log,.--.-+ - + log., ·b+c

a+c

log1

4 (y

+ l) y

orice x real.

+ 2x log 2 ____:!_·+ log2 y

+ 1·

a+b

;;.i,

3.

inecuaţia

80. Pentru ce valori_ ale lui y, 1&2

·

(y

·

+ I)•

;;.i,

O este satisfăcută pentru

4.?'9 Adm. Politehnkd, 1988

25

81. Să se arate că oricare ar fi.a,b,că e (0,1) saua,b,c,ă e (1,oo) are loc inegalitatea : 1 ' +

logba• a+b

+ . logtlcl +

log.bi b+c

c+d

>

log„d' a+d

16 a+b+c+d

I. Atanasi•

82.

Dacă

a, b

(O, 1), atunci

e

2ab

1) log. - .

a+b 2ab

2ab + logb - ;;i,· 2. a+b 2ab

2) log. - - · logb - a+b

83.

Să

se arate

a+b

că

1) Există a,b ·

Există

2)

> 1.

: (l,oo), astfel încît log,.~ · logb ~ > 1.

e

.

a+b 2ab

'

'

a+b 2ab

a,b e (1,oo)~ astfel încît log,. --logb - - < 1. a+b

a+b

Constantin Carage~

84.

Să

se atate

că dacă

a, b, c

e

(O, 1) atunci

3abc 3abc 3abc 1 01og.. - - - +1ogb - - - +1og. - -d+bc+"

85.

Să

se arate

că

d+bc+"

oricare ar fi a,b

d+bc+"

> 3.

(1,oo) are loc inegalitatea:

e

a+b+c+l a+b+c+l 1og,. -~ ogb -og. a+b+c - - - .,:.::.._ 3 . 3

Generalizare

. E log„ M > n,

k=l

86.

Să

,

se, arate

3

3

unde M

=

ai

+ a. + · ·· + a,. • n

k

că dacă a,b e

(O, 1), atunci

log,. - - + logb - 2b

2a

a+b

a+b

> O. Gheorghe Davi4

87.

Să

se ordoneze numerele: A

= log23 · log45 + log34 · log56,

B

= log23 = log23

C

· log34 + log 45 · log56, · log56 + log34 · log45.

Tudorel Lupie

88.

Să

2 ,Jzn


2.

+

+

103. Să se arate că pentiu orice numă,r natural n log,.(n lJ log,.+ 1n nu este număr întreg.

~

2

+ +

Etapa

104;

Să

se arate

că dacă

ne N, n

>

locală

Suceava, 1988

2 şi 1 O, d ::f: 1 şi = a 1og4x + b, unde a ,:f: O, d > O, d ::f: 1.

funcţiile/:

g(x)

Ană,e

funcţiei.

se cerceteze monotonia Este funcţia f injectivă?

110. Fie

Ptrşan

R-R, f(x)

fu~cţiilor

se cerceteze monotonia

111. Fie/:· [l, 64]-R f(x)

şi

f

g.

= lo~x + 12 log:x, log11 ! . X

Să

se determine valorile lui x pentru care

· 112.Fief:R-R, f(x)= .

Să se , determine valoarea punzătoare acestui minim.

113. Se

şi

unde a,b

(O, oo) - {1}.

e

114. Se

Să

f(x) -· log.;(logbx) 1) 2)

Să

Să

115.

f: R- R, /(x) =

şi

valoarea lui x cores-

+b ab" + b10ga",

ah"

g: R+- R, g(x) = /: A -

11"

funcţiilor

f

şi

g.

B

+ logb(log.;x),

a,b

e

(O,oo) - {1},

se precizeze domeniul maxim de definiţie A. se cerceteze monotonia funcţiei şi să se precizeze f(AJ.

Să

se studieze monotonia j(x)

116.

a lui /

se cet O).

2ax -

=O

f(x)

.

şi să

se studieze semnul f.

E log211+1(2kx + 1) = nx. A-1 Gheo„ghe Ând„ei, Etapa localtl - Constanţa, 1986

130.

Să

se rezolve inecuaţiile : 1 ° (1 + a)" (1 b)" ~ (a + b)x 2° log211+1(2ax 1) log2b+1(2bx

+ + + +

+ 2, + 1) ~ 2x,

Gheorghe And„ei, Etapa

131. Fie g: R-R, g(x) Să

=

a" b1-s

a 1-s b", a,b

-

e

a,b

> O.

locală

-

Constanţa,

1989

(0,oo) - {1}, a#: b

se arate că : 1 ° g este bijectivă. 2° Punctul A 3° lg(x)I

~

(½,[OJeste

la-?I,

centrul de simetrie al graficului funcţiei J.

e [0,1].

Vx

132.. Fie/: [0,1]-R, f(x) =a"· b1-" + a1-"b"; a,b 1 ° Să se studieze monotonia .funcţiei f.

e

(O,oo) - {l}.

2° Să se arate că 2,Jab ~ f(x) ~ a+ b, V x e [0,1~. 3° Să se arate că dreapta x = ~. este axă de simetrie~ graficului 2

funcţiei

f.

133. Fie/: R-R, f(x) = a"b•-s + a•-"b", a, b e (O,oo) - {l} a#: b, c e R. 1 ° Să se. arate că f este descrescătoare strict pe şi strict

(-00,, ~]

crescătoare pe [ ~ , oo) . 2°

Să

se determine valorile parametrului real m,. astfel încît a 2"b•

+. b "a" 2

;;i,

ma"b", V x

e

R. Gh. Miculescu

31

134. Fie/: [0,oo)-.. R,/(x) = a..-+ 1 (b 1 c+b. c1 -")+b- O, b > O, c ~ O, a# 1, astfel încît b log„x + c, oricare ar fi x e (O,oo)

+ c) =

log.(bx

I. V. Ma/tei,

>

/(x2)

;Există X 0 e

O. R a.î. /(x 0 )

=

de matem., 1986

monotonă cu proprietatea că /(/( x)) că există Xi, x 2 e R astfel încît /(x 1 )

V X e R, a> 1. Sli. se arate şi

Tabăra naţională

= a...,

138. Fie /: R- R o funcţie

.Jb > o. i) (lie + 3 J3 3 .J3 )2'' - 2•,.+ = 4 . 3 cx-1).

h)

vs -

4

1

Gheorghe HînstJ

j)

(../a+ .Jli)" + (:.Ja -

b)"- 1, a> b >

.Jli)" = 2.Ja(.Ja Gheorghe Andrei, Etapa

locală.- Constanţa,

1

t;«.

Rezolvaţi :

.J8x - 2 ,:/Bx

2" • 1

: -2. '· x(4" + 3 , 2" - 1) + 2"(x + 3 '. 2" - 1) = O. 2-"+ (3 2~-~) + 3_,;-J (1 + 2" ...,... 3 . 2 = 2s27(2" - J} - 6(1 + 6"- = 3(133 ~ 1~ • 3"4 •2 + 0,75 • 2-"- + 6 • 2-z- +' 2= 1. 2sz • 5" + 22z • 52z + 2-" • 53" = 54" + 2~"' {/9z-1 :-- ,./2-" . {/3-"-2 _ ,.j2"-2 {f:fz + 2s-1. = O. 3 • 2 "+1 + 19 • 2" • 3 2 • 3 "+1 + 19 • 3" ; 22". =

X

2

1

2 -"- 1 -

2 ")

1)

1).

3"- 5

1

3

2 '" -:-

2z-l 155; Să se rezolve: a) 2"- 1 3z-2

b) 2"-l

1•

4

3

3%-2

+ 2"- = 24. 1

2,c-1

+ 3"-I = 43. 35

3 (Hl)

156.

Să

ecuaţia

se rezolve

:

+ ,.j X

,./ l 3"+'4%

1

= ~5 + .J X

2. Chircor Mihail

+ 21 .s- 1.J~ +

157. a) 21.s-z.i.J,.•- .s+s 4

b)

2

1

Ix - 2 I ,.jx

+ 5 = 3. x + l = 3.

4x

2 -

j2x - 11,.Jx2 -

Constantin Caragea, Etapa localii, -

c)

=X•

1988

21.s-21. Gh. Bord.ea, Etapa

Să

Constanţa,

2

d) 2.Jx - 1

158.

1985

= 2.Js-3

1

,J,, -

Constanţa,

locală

-

se rezolve:

a) 4" + 16.s + 9" = & + 8" + 12". b) 8" + 27" + 64" + 125" = 24" + 30" c) 10" + 11" + 12" = 13" + 14".

+ 40" + 60". Aurel

d) 9"

+ 2(12" + 15" + 20") + 16" +.25" -

Do'liloşan

3& =O; Oncioiu Eugm

e) 9s + 36" + 2 , 32" = 4 · 24"} f) 3 · & + 9" + 54" . 5 , 12" g) 1 + 22.s-l = 22.s-l . 3"(1 + 2"

h) 2" 159.

Să

+ 3" + 12" + 18" = ecuaţiile

se rezolve 1

s- -

a) a

"

Constantin Caragea

+ 22")" D. M.

Bdtineţu

35 . 6"- 1 •

:

1

+b

s- -

"

1

=

2, a, b e (O, 1) sau a, b e (1, oo).

I

·-

-

b) a"-.-;+b"--;=a..Ja+b..Jb,

a,b e (O, 1) sau a,b e (1,oc)

+ b"a" = 2(ab)", a, b e (1, oo). d) a"b" + b"a" = 2ab, a, b e (1, oo). e) a"bs + b"ad = Ja'b(,J"a + ,.j'fi}(a + b - .Jab), a, b 160. Să se rezolve ecuaţia : 3~,.f;' + 3f-;- + 3f-;- = 31+ ţt;-. c) a"b" 1

I

1

I

1

E

(1, 00).

Nicolae Dinu

se rezolve a) 2" + 3"' = 5" b) 2a" + 44" = G6".

161.

Să

162.

Rezolvaţi

1

1

•

: 2 2z-l

2 z-l

-------+ -- + 1 2"+1

+ 22z+ + 3(2" + 1)

2"

36

+l

22"

.+ 3 = 2.

2"+1

163. Să se rezolve ecuaţia:' (1 + 2"')" + (1 + 2-"')" 164.

= 8,

n

e

N*.

Rezolvaţi:

n 3"'+ 1(n n 2"'(n

+. l) -

+ 1)3"'+1 =

n(n

+ lt- n"'(n +

3n2

1)2"'

+ 3n + 1,

n e N+. G.M. nr. 6/1985

165;

Să

se rezolve:

.J2x + 2* - -{1/ (O, 3)"' - 3x ~ .J (O, 2)"'· - 2x - {/3x 166.

Să

se rezolve

+ 3"'.

ecuaţi8::

3 •

52Hl -

7 ..

24z+l

=

19. Matematica

167.

Să

se determine x, y 2 • 4*

e

1981

N,, astfel încît

+ 2"' • 3"+1 + 9:v = 20. Etapa

168.

v'şcole

locală

- Prahova 1985

Rezolvaţi

4S

9,1

275

91/%+ 41/z= 6 • 169.

Să

se afle soluţiile pozitive ale a) 4"' + 4* = 18. b) (1,5)"' + (0,5)~ = 2,5.

ecuaţiilor

Gh. Andrei, C-tin Carageo

170.

Să

a"'+ b"'

se ·rezolve

=2

ecuaţia

unde, a, b

e

(O, oo) - {I}

şi

a+ b = 2. Generalizare. Gh. Andrei, C-tin Carageo

171.

Să

se rezolve

ecuaţia:

+ 2)(2 -

(4"'

x)

= 6.

1

172.

Să

173.

Să

se rezolve

ecuaţia:

(4"'

+ 9 '"')(9.. + 4 1

Matematica rlşcole, nr. 1/1987 1'"')

=

1577.

se rezolve: a) 1 + ;3.. = 8"'sin 75. G.M. nr. 11.....J,1/1987

b) 6(.J7 - 2)" - ( .../i

+ 2) .. =

5 . 3rf2 • R.M.T. nr. 1/1979

+

d) 2"' + 3"' 4* = ) 1x x e R. e) Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi (4 - x)-4-z (5 - x)5- .. + 10 = 4"' + 5"'.

G.M. nr. 10/198'}

2,

ecuaţia:

+

Etapa

37

locală

Teleorman 1986

Andrei Ion Cristiatc

v + ,./3 r+ (v

g) ( 2

+ ({h -

4

~ar

"3

2-

r+ ({h + ~ r+ 4

= 4.

174- Să -se afle soluţiile naturaie ale ,ecuaţiilor : :a) 32 .. -1 = x9-2x - 5. b) 23%'--5 = XIS;-3_. - 65. G.M. nr. 12/1979, 2 2 1 • Să se rezolve: c) 2 .. - = x

Etapa judeţeand, 1984

...

d) (2x) 2 = 16, x e R+ . e) (2.. +,3-" _:_ 5-")(2.. + 5-" - 3..)(3..

f) x 2 175. a) b) c)

d)

+x-

= xex'- 1 + (x2

I

+ 5.. -

2-")

Etapţi

=

30-".

·localii - Cluj

I)e ...

-

,,/a).. -_ I. a )x+l + (ab1 l.. - -ya,-,ab axbx[axbx + 2(a + b = a + b4x, d, b e R+ b • _a4x+I + 2a2'>+1b2z+I +a'. qb+I = a3z+2, b"' + + a3xbz+2 + az+2b3z + a"' , b3zH. 4x • x3 + (4.. - 3-"+ )x +. 4(3-"+ 4"'+ )x + + 4(5 · 4.. - 3. · 3~) = o. ( 1

2 -")]

2 -"

1

4...

2

1 -

1

\

e) . (a +

+1

I )x a"'-1

·,,,

Laura Constan,tinescu

'1.

a-"+I

(f

{1}.

+ l)"-1

'

Ma.rcel

f) (x.,.;.. n 2

l)·b,-x

-

=

(2n2

+ 2)"* 1 ,

ChiriţiJ

n e N*. Stii,nescu V asil4'

176.

Să

(4

se rezolve

ecuaţia

+ ax)2n + (4 + a-") = 50 ştiind că a > 2"

l

O şi n

e

N*. G.M. tir, 6/1989

177.

Să

se rezolve

ecuaţia I

-a"' + xa·x- = 2a, a > O, a =f, I. " ax + b"' . .:. . 2c"' ştiihd că „a" este

178. Rezolvaţi numerelor b _şi c. 179. Să se rezolve

media geometrică a

ecuaţia:

-ax• + -ab'"x = b x 1

2

2

-

2.

,Jab

, a, b

e

(1, oo). Titu A ndreescw

38

180.

Să

se rezolve: (a" + a-")(1

+ x = 2, a > O, 2)

a '=fi l. Etapa

181.

Să

se rezolve ecuaţia: as- 2 = (1 - a)x

+ 4a -

locală, Bucureş_ti,

1985

• 3, a> O, a '=fi 1. Etipac localll - Giurgiu 1987

182!

·să·

se rezolve

următoarele ecuaţii:

a) a" - b" = ..J(ab)"' - b2", a> b > L p) a2s-2 - b" ax-2 - b"'-2 a" + b2x-2 ..:... O. c) a2:t+lbl-:t--' ax+2 - a"b2 + ab:t+l.= o.. \d). a2:t - (a 2c + b2c)a"-cbx-c b2:t = O.

+

e)

+ (a + bb) "'+3 = 1.

a

(a+ b)"'+ 2

2

f) (x - l)a:tC:t- 1> - x?[~:tC:t- 1> 1

g) · a b > O, n e N*.

+ 2"' + ... + n" = (c!+1Y. 1" + 2"' + ... + n" = (n(n: 1) Ja.

184. a) 1"' b)

+

lJ.---: (x - 1)

·

z+l

c) 3"

2x

.. +2

''

· .r+n-1

+ 3----=- + 3-- + ... + 3--n-i= (n !.~ f, n ~N*-{1}. 3-

D. M.

d)

a:

a; e) 1"

Bătineţu

+ a; + ... + a; = .(a1 + a 2 + , . ;·+ an)", (O, oo) - {I}, i = 1~2, ... , n. + 2". + ... + n" -i- I -:r 2-x + e

+

185·•. Să se rezolve ecuaţia: x2n + (1" + 2"' + 3"' + ... .+ n")(l :.C..z + 2-:r ne N*, n ;;i,, 2. 186. · Să se rezolv~ ecuaţia: 2; + 3f + ... + n~ + 2_:"' + 3-,:.x + ' n e N*, n ~ 2.

... + n-" = 2n cos x

+ ... + n-") · ·

... + n-x =

n 2,

2w- 2,

.Concurs „Spi"" Haret", 1989

39

187.

Să

a) 4.s

+ 3(2.,. + ~

se rezolve:

+ (x + l)(x + 2)2.s,

= x2

3)

x e N. Gh. Attd„d

188.

(1

+

Să

se rezolve ecuaţia: • a 1).s + (1 + a 2).,. + ... + (l

unde a 1, a 2,

••• ,

a„

e

R+ -

+ a,.),. = n + af + a; + ... + a:

{1}. Gheorghe Andrei, Cottcursul „Spiru Haret", 198fJ

(a 1

189.

Să

se rezolve: a) x(ex• - e 2 x) = 2 - x. b) (2x - x2)(el• - e 2x) = ex,

190.

Să

se 1ezolve

ecuaţia

:

+ a 2a 3 ... a,.).s + (a2 + a a 3 ... a,.)s + ... + (a,. + a a2 ... a,._1).,. = x + ln ,J a x + . . . ln ,.j a,. - x + n, = ln ,,./u 1

1

2 -

1 -

unde a, 191.

e

{O, oo)

şi

a1 a 2

•••

a,.

=

1. Gheorghe Andrei, test

tabilră judeţeatttl

Să

se rezolve în N X N ecuaţiile : a) 52.s - 3 • 2 21 + 5x • 21- 1 - 21-l - 2 • 5x b) 52 " - 5x • 31+ 2 + 9 • 31 + 8 • 91 - 2 • 5x

+ 1 = O. + 1 = O.

192.

Să

se rezolve în

mulţimea

2"'+Y- 2

-

numerelor întregi

2:r•+ 2

=

ecuaţia:

1984. N.

193. Să

se rezolve: a) 2x- 1 + 2Y- 1 = b) 2x-J

+ 2:Y-l + 2•-l =

2

- 1. V.

194. · Rezolvaţi : a) 2.,. 31 + 4'

+

= 2050, x, y, z

ChiriţoiK

.s+1 2~

e

Pătragenaru

N. Mihail

b) 2x

+ ·2 + 2• + 2' = 1920 unde

c)" 3.s

+ 31 + 3' = 513.

1

x 8~

246.

Să

se rezolve

x

ecuaţia

+log„x = 1 + "a lo&,x,

a > O, a #= 1.

A.tUlrei Gluorgha, Etapa locllld - COMI-,.

VIII. 247.

Rezolvaţi:

lo~(l

+ log x) = a(l -

a> O, a :fa 1.

x},

4

Minaa Z..-

248.

Să

se arate

că ecuaţia

e*x3ln3 x

249.

nu ar.E:

+ e * = 3xe*lnx 2

Să

se rezolve :

a) b) c) d)

log:17 + log;.s = 2 log;, 17. log;S + log.;4 = 2 log:3. log:2 + log:3 + log.;4 + log:9 log;4 + log:f) = 2 log;6.

250. Să se rezolve ecuaţia

_!.. 18

Să

se rezolve ecuaţia log_.a{x 2 dacă z2 = a 2 + b2 •

252.

Să

se rezolve

ecuaţia

Rezolvaţi

= 3 log.;6.

-

2ab)

+ log,(x2 -

2ab)

== 3

+ logn,-X = "+2 1 , V"

ne N*.....:... {1}.

:

+ 2) + log {3x + 3) + ... + log,.(nx + n) == = (½ + (¾ +· ... + log (x + 1) + log {x + 1) + ... + log,.(x + 1) + n -

a) log2 (2x

t>)

1.

:

+ log.J;-x + log-v;;-x +

253.

în intervalul ~l, oo)

== f!)!ofts•. 3

251.

log„x

soluţii

2

r: r

r r 3

3

= ({ r +{¾r + ...

+

254. Să se rezolve log2 (x 2) = 2 x e N, x ~ 2.

45

+ f;r

+ 2 + .·. · + 2*2

1,

unde

1 =-

-¾) = ({ J. .

Să se rezolve ecuaţia logţ(2x2

255.

~2s•+1.

Ioan

se rezolve: a) log2_(x2 + 1) - log2 x b) log2 (x2 + 1) - log2 x

Să

256.

= 2x =

3x2 -

Criştlf&

x2 • 2.x3.

I

Să

257.

se rezolve_

ecuaţia:

xy

ştiind că

258.

x-, y, z sînt în Să

+ log;. -xz + logy2 -yzxt = o y2

12

logxy -

aceeaşi J?Oziţie faţă

de 1.

se rezolve ecuaţia 4.;1og,x

•

4.Jiog,y_/2

•

4.J1og r/4 • 4.Jtog,i/2 1

=

xyzt. Tudorei Lup,.

259. Într-un sistem de axe de coordonate este

cărei puncte aparţin mulţimii soluţiilor. inecuaţiei -4• f m. (x + y)x { log.-c;..._-- logJx+YI ----· · 2x2 - 10 · 2"H · l.a-+YII h4 \ Să se găsească ecuaţia acestei drepte.

dusă o dreaptă ale

+ ~xy + y 2 -- 3)

X

Matematica

260. log3 (2_x 261~

Să

~

v'şcole,

O. 19811

+ 1) + log (4x + 1) + log (6x + i) = 3x 5

7

se re~olve ecuaţiile : 1) a[xJ = [a6 ]. 2) log,.[x] = [log„x~, a

e

N, a ~.2.

'262. Fie a

e (O, 1) U (1, 09). a) Pentru ce valori ale lui x

[log,.x] Să

b)

se rezolve

e

(O, oo) .are loc egalitatea

+ [¾ + log,.x) =

[2 log,.x]?

ecuaţia:

I

[log3 x]

+ [¾ + log x] · 3

'

3.

/

M. Neacşu G.M. 8/1985

263 •.

Să·

se rezolve n'

.a) ~

bj

[

1

ecuaţiile~

I,; I _- logk(l + x) = x

]

n - 1.

E log (kx + k) = L, ,;I )" n

n ·(

1

A=2

264. Fie.a,b,c

k=2

e

(l,oo). Dacă ecuaţia

log„x + log 0 x + log,x = 9 logabcX are două soluţii distin~tt, atunci ca are o infinitate de soluţii. Generalizare.

Georgică Marineci, Etapa localii. - Argeş, 1985

46

265.

Să

ecuaţia:

se rezolve (x

+ 1) lg 4„

1

+ x).

xJg (2:'+I

!

266.

Să

log2-s

l67~

Să

!

X

·

+ -52 J=

4x

24

3x

-

+ 3) log

7

(1

5 -

3

· log1,a(x2 Să

+ 1 + s~ + -3

COS - - - -

v

-33- - • x• + lOx + 21

-

•

5

2 -

3.x +3) ·

3 '-- •

= ln(ex + e).

se rezolve: a) 2s

Să

.

+ log1,a3) = 16g (x 7 3.x + 3) · log 3 + X f 101:-1•

b} af ,og•s

269.

8

se rezolve :

log3 (x2

268.

•

rezoţve ecuaţia:

se

=

2a.

se rezolve :

+ +

4" 5" ~ 6". b) (3 - 2../2) .. 1. '~ 6(.../2 - 1) ...

a) .3..

'

c) 52s-

5

+

·+ 5 ~ 5"- ' + 5.. -a.

Ion

Cheşcă ;-

Clll.,.,,,,i, Etap" locali. 1981

1

~

d) 35.. - 25•

28~ - 2().r

+ 21• -

15...

I. V. Mafiei, So,-in~Rădulescu, Etapa localtJ But:., 198,1

e)

2 3"

f} ~2"

+ 211 .. ~ O. + 3" + 4• - 5" ~ ·9" + 1Qs 3 2• -

g) 2sin,r

h) (2 g)

+

+ 2tgs

15...

~- 2"+1,

.Jă)• - : (.Ja -f ..fi)·+ 1 ~ o.

4"·+ 9:r + 16.. +

25-

~-2· (1 +

2*)(3..

+ 5..) Pei,e N tJchil4.

,270.

Rezolvaţi:_

a) b}

Ix 12..,-a.. +1

1.

~

.xlog,(s+2)-log1 s


' < (ax + a)". (x + 1) g,.••c..-+ i• < { 1 )', unde

Să

se rezolve

11

10

:r:

1

a> O, a =1:· 1.

inecuaţia:

o•+ b*' + ,. . < (a 3

+ b + c) ...,

a, b, c, a + b + c

e

Rţ - {1}.

Oeneraliz are Gheorgha Antln •

274. Să se determine perechile (x, y) care verifică inecuaţia I

+ log,.. 2 < 2 siny. ecuaţia· x + log„x = 1 + a 1og.x,

log2 x

275. a)

Să

b)

Să

se rezolve O, a =/: 1). se rezolve inecuaţia x

c)

Să

se arate

>

(a

inegalitatea

că

+ log„x

1 + a Iog„x.

n, i = 1, 2, ... , n are loc ~ log,.+ 1 (1 + a 1)(1 + a2) ••• (1 + a.)

pentru orice a,

ai+ as+ ···+a,, n

~

~

Gheorghe Andrei, Et:zpa

276.

Să

se rezolve

a)

6

2x

x-1

c)

2Hl_7 ·x - I

- Constan/a 1987

inecuaţiile:

> 1 + log.(x + 2)

+1 b) 2 + log3X
leme de algebrli

11s• - 2 • 5Y = 71, . )' b) { 11• 2 · 5• = 21,

.

.

49

+

1 J(s-l)•

+ 5a = y

16.

x,y

e

• Z

+ 3:Y + 4• = 6, + 9:Y, + 1& = 14, + 27:Y + 64• = 36.

2• { c) 4• 8• e)

f)

I

+

2•,, - 2 · 4•• 64 = O, 2:Y + 2 . 2•t,,+s) - 20 ·, 2S:Y 2%:Y + ~· O se pot pune sub for.ma unui şir (xn,Yn) ne N"' cu Xn < Xn+i şi Yn i! · şi să se calculeze suma : Sn

=

'E (--: 1) log 1

i=l

2 YA • ~i

Florin PantJ

Capitolul IV ,ANALIZĂ COMBl~ATORIE

§. 1. PROPRIETĂŢI 1. n ! ...:.. (n - 1) !n.

2. n · n ! = (n

a:

=

n

5. A~

7.

A!+½ = A!+i =

1o.

12.

•

E;;.

k

1 , E (-l)"k!(2n- k) != (2n+ n+1

se verifice

egalităţile 1

n

2) 1- 211 +1.

2n

(k ~ 2n).

k=O

q + C! + q + · · · + q',. = 2. q+q+c:+ ·--+C:n-1 d) q. q. c: ..... q•,. = 2".

c)

q - c: - q - . . . - c;i,._~

e) ~ Ol

+ (k +11 1) ! + (k +2! 2) ! + ... + (k +nin) I = k' ! C:+k +1•

t-1

f)

g)

E (n k=O

t

i=O

k !

2/1

2k) 2 A;"

(h + p) I =

=EA!, (2P A~l

I

[

1

.

p - l . (P - 1) I -

56

~ n). (n (n

+ 1) I ] + p) I •

3.

Să

I I

se rezolve sistemele :

1A'6 =7A . S

~)

d)

1

b)

= 501 +1 " " ' A!: A~- 1 = 10, C' . c,,+i = ~ . 60,,

".

"

I

= 2,Sx, C!_ 1 = '10.

c fcr~-• =

,+i = Sx '

C!+t

I

e)

3

2:&

c)

~~: I

= 8, cs,,: csy-1 = !g . 2:& 2:&A:~- 1

g) C•+•. •+• • C'"•+1 .. C'"-1 •+I

i)

10.

c!-s

=

5.:;.. ·3

12

- 1 c1:&+I"

" v.

5

--=C!-2 8

k}

I

C!+l :

~= { '

- 1 C"s-1 : C1s-1

AY-2 • A'Y-3 5:&

I)

5:&

=

{

~

7 '

m) C"H .s+l

7

c.,-2 . c,,-s = -4 • 5:&

n)

•

•

= !3

C"-f+l

=

5:&

c„ c.,-1 C,,+1 s+t s+l , s+l· -5-=-5-=-3-.

-o) {

SA! = 2At+i•

{

30' = 2c,- 1 " " . 1 7C!y"- z = A:;

,q) { C;. ys-2z2

=

p)

l

xCA>-t

A~o•

X0

+ n-1 y 1

11-2

k -

1,_ 2

n - 1

AY-2 2.s

= SAY-3 2.s •

3C!-2 = SC!-s 2:& 2" •

C! · x11 - 1y -:- 240, r)

11 C! • y•- 3z3 = A~ 2 •

:s)

= ~3

{ ~ · x11 - 2y 2 = 720, ()!x11-sy2

=

1080.

=-kn - 1 ' k -

1

y=--. 11 - 2 - - k n - 1

I l

xC"

u)

57

n-1

+ !!ck y = k +n t

xo1o-1 _ -"-- ~, 11-1

k

+1

.,

'

= !!..."

•

•

4.

Să

se demonstreze ,

+

că numărul

2k(2k 2 H2k -i- 4 ) • ' ' ~. · , 2-IA+l(2n - 2k 4) ... 4n • k(k 1) ... (n -, k....; 3)

+

+

este natural şi pătrat

+1

perfect. G.M.

n,.

5. a) b) c) d) e) f)

În aranjamentele de n 'litere luate cite k : Cite încep cu o literă· dată ? Cite conţin o literă dată? Cite încep cu două litere date? Cite conţin două litere date ? Cite încep cu p litere date? Cite conţin p litere date ?

6. a) b) c) d) e)

În combinările de n obiecte luate cîte k : Cite conţin p obiecte date? Cite nu conţin nici unul din q obiecte date? Cite conţin un obiect d::i.t aparţinînd la p obiecte date? Cite conţin un obiect dat 1 dar nul conţin altul .. tot dat? Cite conţin cel puţin un ooiect dat· din p obiecte date'?

78/198?

7. Judecind în două moduri deduceţi o formulă dare generalizează O' formulă din manual: C!

= C!.:.1 + t:=l · ,

.

8. Cîte puncte de .intersecţie rezµltă prin intersecţia( a n drepte din acelaşi plan, dintre care p trec prin acelaşi pu~ct 'şi q sînt .par~lele? (Restul se presupun concurente numai două cîte două.)

9. a) Să se afle numărul diagonalelor ce se pot duce într-un poligon convex cu n laturi ? • · b) Să se afle num_ărul punctelor de ,intersecţie a diagonalelor situate în interiorul poligonului. · ,10. Fie dată o mulţime A cum elemente şi o mulţime B cu n elemente (m, n e N*). Să se găsească numărul de permutări ale mulţimii A u B astfel încît primul element al unei astfel de permut~i să fie din A, iar ulti-· mul din B. (Se presupune A n B == 0.)

. ll.

Să

se demonstreze egalitatea:

C!a (1 - a)n-l -:J,- 2C!a2 (1- a)n- 2

f 2.

+ ... + kC!a,.(1- a)"_,. + ... + nC:a" =

na.

Să se demonstreze inegalitatea :

a) V .fck-ICk n n

c) ,J(n Să

/

+ ·vAIC Ck+l < Ck+l ~+1,

+ l)Gn

n n

;;?,;

13. Fie a 1, a 2, a 3 , se arate că :

(n ••• ,

n

n

~ 2k • P

b)

,

E ,Jc:- c::.;; 2n 1

l

k

k

G. G. N iculdsctt

176. Fie a e R oricare. ar fi n e N.

şi

=

S,.

E C!+ S,._ "=1 1

l

+ 1)2"

(n

n+i

S.. =

1

+ a",

1 +a+ ...

.=

2"+1 -

(1

dacă a

+ a)"+l

Să

se arate

a =I= 1. D. M.

.177. Fi~ a= 4k - 1, k

+

S,. = 1 _.: C!a C!a2 oricare ar ·fi n e; N*.

e.

C!a3

-

Să·

N.

+ C!a

se demonstreze 4 -

178. Oricare ar fi numerele naturale n =I= O, p P

E (-l)"(n -

Să

.

{

k)C!+iCt:t = .

se particularizeze pentr~

p=

:.;;

Miheţ,

că:

Etapa

n, dacă p = O, (-l)P+• , d aca 1 ~· .p şi

p=

judeţeantJ,

~ 11,.

n - I. Eugen

şi

1'.79. Pentru ce valori naturale ale lui m

(s

+ 3,Jzt =

(3

1984

n se verifică. identitatea :

w

n

Bă_tineţu

se divide cu 2"- 1

•••

Dorel

k=O

că

= 1,

, dacă

---l-a

I

n e .N.

Onofra.ş

n poate avea loc egalitatea:

+ s~/2)"? Olimpiadă ·u.R.S.S.; 1983

180. Să se determine n ~ N·* astfel încît

(3 (2n

+ Ja)" +

I

(1 - ~-3)"

E

Z.

. 181. Să se arate că pe:q.tru orict! număr natural n, are loc inegalitatea + 1)".;;,. (2n)" + (2n - 1)". Olimpiada U.R.S.S. -

182. a)

Să

A.m .a.,,.

+

b) A!+i

se arate

că

+

•. • •

...Am ~1

1981

:

+ .a.,,.+p = -~--ri,,.+p. m +P+ 1 Am

Am

·

m+

+ A:+i + ... +__A:+l = (n +

I

1)

(A!+ Ai+ A!+ . :. + A:). Gh. Andrei

74

183.

Să

dacă

se determine a,.,

. E a,. k=O

a0

=

a1

=

1

şi

· a,._,. = 2"a,..

·

184. Să se determine a,., dacă a0 = a 1

=

.

1 şi

E a„a,._,. = a,.+1 ~· c:t - c: : P., unde n k-=0

18:i.

s~

I '186. Cc:

se arate că

·+' c• + d

···

+ c• = ·c~ ·

c~-. + C~!.... + ... + CAs" 2

n(n

2

;.,, m şi p prim.

2 -:- J)(n -

4)

40 n(n1

=

-

'

1)(3n1

-

7)

-'-o.---'--'-'-----'-

30

nr.· 7/1982 187. Dacă a 1 , a 2 , ••• a,. ... ' este o progresie artţmetică tu ra,ţia , ;I, O şi cu a, -: /:- 'O, atunci pentrµ orice n; p. e N* a.re loc egalitatea G.M.

" (.. ,. 1 k E-:-)kC,._:. .. k=O

ap+k

I

n,...

apap+1 ... ap+n

Virgil Nicula

188.

Să

se arate

că

:

t

'

" =-·--

(-l)kC„

p

k=O

+k

G.M. nr. 9-10/1982

1~.· (2 ·+ întreg.

Dacă

./3)

m, n, p

2P,- 1

e

N* astfel încît

= 1 + m + n ./3;

atunci m este pătratul unui număr Olimpiada S.U.A. 1982

190.

Să

se determine valorile lui n (n !

Să

+

e

'.N* pentru care

1) ! = 121 (n3

-

n) ! l on Curn~ezeanu

191. Pentn,1 n e N* se consideră numerele C:11, k = 1, 2, 3, '. .. 2'-1. se arate că : a) toate aceste numere sînt pare, b) unul singur dintre.numerele considerate nu este mulc. .tiplu de ~-

·Etapa finală, 1988

= .1" + 2,. + ... + n,., să se demonstreze egalitatea: (n + l)"+i - 1 == tl+iS,, + C!+1S,._1 + ... + ~_;1 s1 + Ct:ţ½So. 19:r. Fie Sn = 1 + q + q + . . . + q" şi S,. = 1 + 1 +2 q + ( 1 +2 q ) 2 + ·

192.

Dacă

S,.

2

+. • • • + (1 +-q ;" 2 J Să

.

.

.

se ~rate .că

C!+1

+ C!+1S 1 + C!+iS2 +

+ c::ţ½ S,. = 2"S,. . Olinipiada -

75

Ungaria, 1923

Să

I 94.

se demonstreze

+ C!x

1 - C!x

că

+ ... + (-IJ"C!x"

C!x3

2 -

:

şi (V)

~ O, (V) k ~ n

(.-oo, ~,.

X E

195, Care este cel mai mare divizor comuri

a.1

numerelor A.M.M.

Să

196,

se demonstreze

că

c!t½ + c!t~ + ... + c:t~ _ ct ct+i , 2n - 2k + 2k+l T Andrei Ion Cristian

197, Fie

număr prim,

p un

p

~ 2. Să se demonstreze' că numerele

C! . C!, ... , c:-1 sînt toate divizibile cu for,rna

pk,

cu k

e

N*.

p,

dacă şi

198, Pentru ce numere naturale n şi k C! , C!+l formează o progresie aritmetică;

numai

coeficienţii

dacă

binomiali C~,- 1

Olimpiada -

199.

Dacă

n

şi

n, este de ,

Ungaria. 1973

m sînt pri~e între ele, atunci C!' se divide cu n.

200. Să se determine n-natural astfel încît (2n) ! + 1 cun!+l.

să

se

dividă

L. Panaitopol

·201. Numărul natural n > 1 este prim, dacă şi numai dacă. pentru orice k natural, 1 ~ k ~ n - 1, coeficientul binomial C! se divide cu n. Olimpiada Polonia -

202. Pentru ce valori ale lui n b)" sînt impari. lui (a

+

toţi coeficienţii

1970

din dezvoltarea binomuA.M.M. D.M. Browne I

Dacă p este : p ·obţinem acelaşi

203.

Ct"

204.

Să

un număr prim şi n-natural, atunci jn rest ca şi la împărţirea n : p.

se calculeze suma

S=

t (~ n

2k

c:)2 .

k=O

205.

206.

Cl:,_1

împărţirea

A.M.M. -

Să

se demonstreze identitatea :

Să

C;:!C!' + C :::+IC: + ... + C!'C: = C;:' • 2"-"'. se demonstreze identitatea :

196.5

+ ci+ C!.+i + ... + C::,+,.-i = c:_1 + C! + C!+i + ... + C:+,.-1 • Gh. Andrei

207. Să se demonstreze că există o infinitate de numere naturale astfel încît C~, C!, ... , să fie impare.

c:

M. Cavachi

76

Capitolul V POLINQAME 1. Se dă polinomul f = x 4 - 4.x3 + (3 + m)x2 - 12x + 12, m a) Care sînt valorile lui m pentru care f(x) ;!l, O oricare ar fi X e

b)

ll.

Să

.se determine· m,, astfel îndt să aibă rădăcini reale.

ecuaţia

f(x) - /(1 -x)

=

e

R.

-4x3

Dumitru C. Nic•

2. Fie polinomul J e Q [X]. dat de / = ax3 3a e Z, 2b e Z, a b c e Z şi d e Z. Să se arate că V ot e Z avem /( oc) e Z.

+ +

+ bx + ex + d, 2

unde

3. Fie/ e Z [X] Şi x e Z fixat. Să se. arate că există k e Z astfel încît: f(x) + f(x + 1) + ~ ... + f(x + k) : 10. Vasile Zillanc

4. Să se arate că: a) Restul împărţirii polinomului/ prin (x - a)(x - b). unde b ::/= a esţe : · 'I'

= (~ -

a)J(b) -

(,: - b)f(a)

b-a

b) Restul

împărţirii

lui f. la (x - a) 2 este r = f'(a) x + f(a) - af'(a).

5. Polinomul / e Z [X] are trei rădăcini întregi care dau resturi distincte prin împărţire la 3. Să se arate că pentru orice x e Z, /(x) este divizibil cu 3. AdmitBre 198$

8. Fie/= a 0 X 2,.+ a 1x 2n- 1 + ... + az,._ 1X + az,. Să se demonstreze că restul împărţirii polinomului / la X 2 constantă dacă şi numai dacă a 1 + a 3 + ... + a2,.-:-'1 = O.

-

1 este o

7. Fie/ un polinom cu coeficienţi complecşi astfel încît oricare ar fi g -un polinom de gradul doi cu coeficienţi complecşi, restul împărţirii lui

J

la g este un polinom de gradul întîi. gradul întîi.

Să

se arate

că/

este un polinom de Marcel

T-

8. Fie polinoamele nenule/, g, h

e Q[X]. polinomul /(x3) + xg(x3) + x2h(x3) se divide cu x• - 6x3 + 8, atunci polinoamele~/, g, h se divid cu x 2 - 6x + 8.

Arătaţi că dacă

V.

Ţifwi

9. Dacă /1, / 2, / 3, / 4 sînt polinoame astfel încît f 1 (x5) + x/2 (x5) + x3/3 (x5) = (x4 + x3 + x2 + x + 1) / 4 (x5), atunci / 1 (1) = O, k = 1,4. Concurs S.U.A., 191tl

77

10. Pentru ce valori. ale lui m, polinomul (X - I)• + xm + 1 se divide FU X 2,. . . X

11.

Descompuneţi

+

I?

în f!=Lctori iredu~ibili peste Z[XJ polinomul

f=xu+x10+1. Petre Orbulescu

şi

Aurel

Do1Joşan

i2. a}· Să se· determine polinoamele P e R [X] astfel încît : P(x3) = Ix IP(x2) + x2P(-,- lxl) + x3 , \f x ·.e R. b) s·ă se

1.

v'şcol,-

.

Să se arate cli restul împărţirii polinomului/

1a (X _;, ar)(X - a 2) •••• ... (X·-am) ·este un polinom·de grad zero,.dacă.şi nutn.ai dacă resturile împărţirii polinomului fla X - a,,;, k -:-- 1, m, k ~ n sînt egale. · · (a„ e C, ~!stincte} . 71. Fie c e C. Considerăm polinoamele: J,.(z) = (c - z)" - z", k e N*. Demonstraţi că pentru m e N~ există a1, a2 , •••• , a2,..-1 e C astfel Îtţcît /2,.. = atf1 + ad2 + .. ; + az,,.-d2m-1.

= xn + 4

şi g

= X + ·gx.. + 81,

n E N* · · a) / se descompune în produs .de două pqlinoani~ cu ·coeficienţi întregi,. . dacă şi numai dacă n este multipţu de 4. . b) g se descompune în produs de două polinoame cu coeficienţi întregi, dacă şi numai dacă n este ·par. · ' · . . 72. Fie polinoamele /

să se arate· că :·

..

2"

Gheorghe Andrei S.M. nr. 11-12/1989

83

73. Să se arate că 'polinomul: f = (1 - X)(l - X 2) ••• (1 - X") este divizibil la polinomul g = (1 - X)(l - X 2) ••• (1 - XP)(l - ,X)(l - X 2 ) . : . (1 - Xt) ·unde p + q < n'. ·

74. Fie J e z [X~, J = (X' + l)" + x 211 +a să se arate a) / este reductibil în Z [X]. b) pentru 'n ; ., 2, f nu are rădăcini reale.

că:

L. Panaitopol

75. Fie / = a„X" + a.. -1 X + ... + a 1X· + a0 un polinom cu coeîntregi cu grad / ;;.,: 3, iar '(u..).. .,. 1 şirul cu termen 'general + (- IJn • Să se 'de~onstreze că dacă /(1) = /(4) = /(16) = O, atunci 11 -

ficienţi u,. = 1

2

nuinerele a0

+ a 2 +- ... + a •

2

1

["] , a 1 2

+ a 3 + ... a

se divid cu 85.

11 _ .. 11

Bătineţu

D. M.

76. Se consideră un polinom f cu coeficienţi întregi şi un număr natural k ;;.,, 2, Dacă există un număr întreg x astfel încît f.(x l),J(x+ 2), ... , .. f(x k) sînt toate nedivizibile cu k, demonstraţi că/ nu are rădăcini

+

+

întregi.·

Toma Albu

77. Un număr !:_ raţional care este rădăcină a unui polinom cu coefiq

'

denţi

întregi în care coeficientul termenului de grad maxim este egal cu 1, est~ un număr întreg.

78. Se consideră polinomul P(X) · XP,... 1 + XP- 2 unde p este un număr prim mai mare decît ~- ·

+ ... + X +

1,

n-1

.Să se arate că peniru orice n par, polinomul -1

zibil cu X 2

+ 1.

+ k=O TI P(XPk)

este divi-

M. Becheanu, Ba,-_aj 1981

79. Fie m şi n numere naturale nenule. inelul· Z) dacă şi numai dacă ·

Să

se arate

xm-_1 + q,xm-s + C!xm-s + ... + C:...:1 xn-i.. + C!Xn-2 + C!X"-s + ... + c:-1 (în inelul Z[X]).

că

m divide n (în

divide

,· Marcel

.Tena

80. Se consideră polinoamele J„ e C[XJ,, k = 1, n. ·Să se arate că polinomul:/= / 1 (X11 +t) + X/2 (X11 + 1) + ... + X 11 -1/,.(X"+ 1) este divizibil la polinomul g = X" + X 11 - 1 + ... + X + 1, dacă şi numai dacă toate polinoamele J„ se divid la X - 1. ,Generalizarea problemei 9). Gheorghe Andrei

81. Fie /, g e C[X] două polinoame unitare. Dacă a 1 , a 2 , ••• , a„ ••• , bm sînt rădăcinile polinoamel?r f şi g să se arate că:

,b 1 , b2,

/(b1)" • /(b2) • • • f(bm) g(a1 ) • g(a1 ) ••• g(a,.)

84

= (-1)-.

şi

82. Fie J, g e ·R [X]. Dacă există a, b e R astf~l că /(a) = g(b) şi J(b) = g(a), să se arate· că ecuaţia J(x) = g(x) are cel puţin· _o soluţie. Să

83.

=

f

f,

polinomul :

X(X + 2)(X + 4) ... (X + 2n) . . . (X+ 2n l) are toate

+ (X + l)(X + 3)

+

Să

8~.

că

se arate

că rădăcinile

se arate

l _ .!_

+ X{X -

1!

2!

1) _

rădj.cinile

. -. .

reale.

polinomului :

+ (-l)" X(X -

...

1) ... {X-· n nI

+ 1)

sînt 1, 2, ... , n ..

85. Fie polinomul cu

(n

+ a1X2n-1 + a2x2n-2 + ... + a2n-2 x2 + a2,.-1 X + 1,

N, n

2) între ai

2

2k-l

~

+·0 'l2k+1

~--'------'--

4

Să

reali:

f _: x2n e 0

coeficienţi

~ a2k ;

se demonstreze

că

cărei coeficienţi există relaţiile:

Ja2p+1f

~

=

2, unde k

1, n - 1 ş1· p = 1, n - 2.

: J(x) -~ O, 't/ x

R.

e

Constantin Caragea

şi

Marius

Crăciun

86. Se consideră polinomul] e R_[X] dat _de/= (3X2 - 5){3X2 - 10). Dacă / 1 , /2 , /3 ,/4. e R [X] astfel încît : / 1

(/(x))

+ xj (f(x))"+ 2

x3/a(f(x))

=

(x2

l)(x2 · - 4)/4 (x),

-

'

Să se arate că ecuaţiile / 1 (x) = 0~/2(x) comunrt. Să se afle rădăcina -comună.

=

O, / 3 (x)

(V x '

=· O admit

j

= i:;

k=O

reale.

consideră

1

n

+k +1

Xk.

R.

o rădăcină Florin Rotaru

I•

87. Se

e

polinomul:

Să

se arate

că ecuaţia

/(x2)

:--

f2(x) nu are

rădăcini

Dorin Andrica

88. Fie f un polinom cu coeficienţi complecşi. Să se demonstreze

că funcţia polinomială asociată este pară (respectiv impară) dacă şi numai dacă există un polinom g cu coeficienţi complecşi astfel încît

J(x)

= g(x)

· g(-x) (respectiv f(x)

89. Fie / :- a 0

=

xg(x) · g( _:x)), 't/ x

+ a1 X + ... + anX:n

e C[X],

an

,fa

O

e

C.

şi

Î=

~ f. an

Să se arate că dacă polinomul

f admite odată cu orice rădăcină complexă şi conjugata acesteia drept rădăcină, atunci polinomul f"' are coeficienţii

reali.

Romeo Ilie

85

90. Ffo / 1, /2 , .• , .,j„ e R[X], ri polinoame de .gradul n - 2. Demonstraţf că dac·ă oricare n ·~ 1 dintre ele au o·rădăcină comună, atunci toate cele n polinoame au o rădăcină comună· (-n ;?; 3). Dorel

Miheţ

91. Să se determine, pqlinoamele f,g e R [X], cu toate rădăcinlle reale, pentru care, ft;nicţia. polinomială / o g : R - R este monotonă, Gheorghe BordetJ

. 92. Fie. f .:._ a 0 ~ " + a1 X 1 + ... + a,._ 1 X + a„ un polinom cu coe-, care are toate ·rădăcinile reale conţinute în intervalul (-1, 1): Să se arate că : 11 :-

ficienţh:eali

-1


1 (X) ] 2 + [(fl;pq] 2, unde cp 11 cp 2 e R'[Xl

;?;

O', V x

e

R,

95. Să se demonsţreze ireductibilitatea polin6mului :

/ =

a1) (X -

(X -

a 2)

••• · (X

- a,.) - 1 un·de d,; a 2,

••• ,

a,.

sînt numere întregi distincte ..

96. Pentru ce numere întregi, distincte oricare două, "polinomul:

(X - a1)(X - ~~) ... {X - a,.) + 1 poate fi reprezentat c~ ·produsul a polinoame neconstante cu. coeficienţi întregi?

două

97. Să se de1;Ilonstreze ireductibilita}ea poHnoinului

f

=

a 1, a2 ,

••• ,

(X -:-- a~) 2

+ 1,

unde a;, sînt numere întregi disti11cte.

(X :__ a 1)2(X ..:_ a 2 ). 2

•••

98. Fief e Z [X] un po1inoin care admlte ca rădăcină x .=. ~ , m e Z, . ni .n-

E

Z*, (m, n)

=

1. Să se arate că există g

e

Z[X] astfel în.cit

f · · (mX - n)g.

99.. cină

Să se ·demc)llstreze c_ă dacă !... , fracţie raţională iregtictibilă, ri3.dă-

a ·polihomtilui cu f

=

. q coeficienţi; întregi

a0 X"

+ a1X"~ 1 + ....

.

+, a,., atunci:. un

1) q este un divizqr al lui a0 • 2) p este divizor al lu1 a„ 3) p-,mq un divizor al.lui f(m) pentrw orice m întreg. În particular p - q este un divizor al lui /(1), iar p + q este un divizor al lui /(-1).

.

100. Să ,se de):llonstreze că dacă un polinom cu coeficienţi întregi ia .,,alorile ± 1 pentru două valori întregi x 1 şi Xz, atunci .el nu are rădăcini intregi dacă , Ix1. -,- .x2 J > 2. · Dacă J:X1 :-- X2 I .,;; 2, atunci singura rădăcină. raţională poate fi numai 1

-2.(X1

101. fie f

'e Z[X]

cu proprietatea că .3 a

j2(a) =f2(a Să sţ

+ X2).. + 5)

e

Z, astfel încît

= 4..

arate ·că nu are rădăcini raţionale. .Daniel . Lesniil

1-02. Fie a 1, a2 , ••• , an,· a„+1 numere comph!xe distincte şi C-î, c2, c,., En+t numere complexe arbitrare. Să se arate că polinomul j-

•••

n+l " '

' (X - a 1) ... (X - a,_ 1).(X - a,+1) ... (X - a„+J) I_J C· - - - - - - - - , . - , . , . - - - - - - - - ; . . . _ ,;:1 ' (a, - a1) ... (ai - a,_:_ 1 )(a, - a,+1), ••• (a, - a„+1)

esteunicul polip.om de· grad .,;; n astfel încît f(a,) = c,, i = 1, n + 1- (/ este polinom"!}l ce i;ezultă prin· metoda de interpolare a lui Lagrange). /

103.. Să se afle polinomul de _gradul 2n care prin împărţire ·cu · X(X......:.. 2) .. ·\(X - 2n) dă restul l, iar prin împărţi.te cu (X --l)(X - 3) ... (X.:... 2n + 1) dă restul -1.

. 104., Să .se dem (X) unde k e: N. Constantin Caragea

145. Să se determine polinoamele 1) j2{x) = /'(x 4 ţ; 2), g2(x) = g'(x3).

coefidţnţi reali ştiind că :

j,' g cu

Aurei_ l)oboşan

14G.

Să,

se determine polinoa:tI1;ele j(X) cu co~ic.ienţi re~li /2(X) = f'(X")" unde k e. N ?"-. f2}, fixat.

ştiind că

: -Radu ,Gheor.gh'iu

147. Să, se dem O, x 3 :> O atunci.

că dacă

,Ja 183. a:re toate

x1

= ,Ja -

x2

+ , .; a - x 3 • ax + bx -

Să se arate că dacă ecuaţia x3 rădăcinile reale ~i, x 2 , x 3 , atunci

= O, a, b, c O, x3 ~ O.

c

2

x 1 ;;ii, O, x 2

~

~

O

184. Dacă ecuaţia x3 - ţZX2 + bx - c ...:.. O, (a, c > O) are rădăcin,ile reale x 1 , i 2 , x3 , atunci notînd Sk = x~ + ~. + x: avem s,. > O, k e N, 185.

fac

Să

relaţia

se arate

că rădăcinile ecuaţiei

: '

x3

+ ax + bx + a = Osatis2

_1_+_1_ +-1- = 1 _ _2_. (b :fa l} ·1 + xf 1 + x: l, + x: .b- l ' ' . Se dau ecuaţiile xă + ax + bx + c = O, x3 + a'x + b'x+ c'=O

2 186. în care a :fa a'. Ştiind că·cete două ec;uaţii au o rădăcină să se arate că : (b - b'} 2 - 4(a - a') (c _. c') = O.

2

dublă comună,

G.M· 4/1983

+

+

+

187. Fie ecuaţia:· x3 ax2 bx c = O, a, b, c e R. Ştiind .are o rădăcină de modul 1 (reală sau nu) să se rezolve· găsind ţiile între a, b, c. 188. ·Rezolvaţi ecuaţia 4x 4 + 12x3 + 5x2 - 6x - 15 = O. aţia

că şi

ecurela-

Matematica v'şcole G.-M. 10/1987

se rezol~e în mulţimea numerelor complexe, e~uaţia .: xi - 3mx4 + 3m2x3 - m3 x2 ' - x + m = O, unde m _este un parametru complex. ,, 189.

Să

Ionel Gh.

190. Să se rezolve în mulţimea Q[,Ja] ={a+ .b ../3/a, b

,J3 x4

-

4x3- 6 ,J3x2

e

Tuăot'

Q} ecuaţia:

+ 4x + ,J3 · O. Nicolae Crainic

191. Pentru ce valori întregi a şi b produsul a -ax3 bx3 ax 1 = O este 3?

ecuaţiei x 4

+

+

+

+

două

dintre

rădăcinile

Matematica v 'ş cole

+

192. Să se rezolve x 4 + 8x3 + ax2 bx + 16 = O şi să se determine parametrii reali a şi b ştiind că ec:uaţia admite toate. rădăcinile numere reale· · · negative. Gh.

+

+

+

+ =

193. Fie ecuaţia d4 x 4 a 3 x3 a 2 x2 a1 x a0 O, ficienţi reali. Dacă ecuaţia dată are două rădăcini duble, ficienţi există relaţiile:

4a4 (a 2a 3

-

2a1 a 4 )

= 95

a:; a~a 4 ~ a 0 af.

Ciot'ăsCU

(a 4 ::f: ·O), cu coeatunci între coe-

Ştefan

Tache

194.. Să se rezolve ecuaţiile: x 5 - 5x~ 3x3· + l lx2 - 6x - 4 = O şi 5 4 x - 5x 6.x3 2x2 - •12x 8 =, O ştiind că au rădăcini comune.

+

+

+

+

Admitere 1984

195. Să se rezolve ecuaţia x 4 sale sînt numere naturale.

ax3

rădăcinile.

+

bx2

bx

-

+c=

O, ştiind E :I are

mo-dul.

partea.reală nulă dac~ şi numai

J=I k=I Zk

Ez,. = O.

k=l

Titu Andreesc71, Etapa

26. Să se ·arate că dacă numerele complexe . ~ti 'l atunci are loc egalitatea :

+ Z:iZa + ZaZ1 +.zi+ Z2 + Za)2 = + Z:a + Z3j2 .

(7,1Z2

.27. Fie z1, z2, Za

,•!

e

C.

··a.acă şi ~umai dacă

Să

se arate

că

Zi,

ZiZ2ZalZ1Z2

z1

+z I= iz1 + za I = 3

lz 1 I, iz2 I,

iz1

+ Z2 I=

/za/.

1987

z2 , z3 au modulul egal

.

+ Z2Z3 + Z3Z1 + Z1 +

+ z2 + za =

jz 2

judeţeand

O

e C, astfel încît z1 + z2 + Za =/: O, z~ + zi + zi = O /z 1 i = iz2I·= lzal = 1. Să se -arate că iz 1 + z2 + z; 3 j' = 2. 29. Fie Zi, z2, z3 e C astfel focît 'lz 1z2 + Z#a + ZaZ 1 I =.a şi iz 1zia I = b, a, b e Rţ. Să se arate că există k e {1,2,3} pentru care lz11 I ~ ~. a

20: Fie z1 , z2 , za şi

30. Să

se afle numerele complexe

Jz 1 I = lz2I = Iza I =

a, z,

Z1,

+ z2 + z

3

104

Z2, z~ dacă

= a

şi z 1z 2za

= a3 •

31. Fie z1 , z2, z3 e C*. â) Dacă l.i 1 I = lz 2 I = lz 3' I atunci z1 + z2 + z3 = O z1z2 -ţ+ 'zr3 + Z3Z1 = 0, . b) Dacă z1 + z2 + z3 = z1. ; + z2z3 z3z1 = O atunci jz1 I= = lz2 I= lz3 I.

+

Florin Vulpescu Jalea, Etapa locald Buc. 1987

C -·R astfel încît Iz I= se arate că z + z' = O.

32. Fie z, z' Să

e

Iz' I= r

şi

,Iz+ z' ± rl = r.

33. Fiind date numerele complexe z1, z2 , z3 distincte, astfel încît

lz1 I . lz2 I = jz3 I să·

+z

se arate că z2

3

O.

,

Dorin,Jl° A nea

34. Fie z1 , z2 , z3 Să

a)

=

C astfel încît Im 2 1f 2

e

Im zr_a

=

Im laZ1

=fi

O.

se arate' că Z1

+ + Z3 = o. Zz

b). lz1-z11 1 + lz1-zsl1 + lza-z111 =3. lz11 1 + ·!•111 + -Iza 11

M. Antlronache, Etapa locald - Buc,reşl{ 1988

35. Fie z1, z2 , z~

C* astfel încît jz1 I = lz 2 I = lz3 j.

e

Să se arate că dacă z1 + z2 + z3 = O. atunci oricare ar fi n e N.

zt + zf + zt = O

Gheorghe Andrei, etapa locald-'-

Constanţa

1987

36.- Fie z1 , z2 , z3 e C - R, distincte, cu module_ egale şi astfel încît

Zi,+

Z2 + ZlZ3, Z3 + Z1Z2 să fie reale. a) Să se arate că, z1zr3 = l.· b) Generalizare: fie Zi, z2, ••• , z„ e C-'R, n ~ 3, cu module egale nenule,· astfel încît există trei dintre ele z;, zi, zk distincte două . dte două pentru care Z; -f-. Z'1Z2 ••• Z -tZ;+ 1 •• ; z,.,

Zra,

Zj

+zt

1 2 · ••• Zj-tZj+I . ••

z,.,

zk + z 1z2 .: ·,. zk-1:Zk+t ... Să

se arate

·că

z1z2

Zn

•••

37. Să se determine min

să

lmz•.

aec-R lm 5 z

zează

fie reale.

z,. -:-- 1. şi valorile lui z pentru care se reali·

minimul. Titu A ndreescu

38.· · Să se determine cel mai frlare element al mulţimii 1 A= Iz C - nfl şi -numerele complexe z .C pe1;1tru care

{-za - !

se

e

.(z- ·z) 1 realizează această

valoare

:

•

e

maximă.

'fitu Andreescu, Etapa locald, Giurgiu 1987

l05

39. Fie z un

pentru Iz I,

număr

complex nenul.

dacă, / z + -;

I=

2

Să

se determine valoarea

şi să se precizez~ valorile lui

maximă

z pentru care

jz I este. maxim.

R:'ţ şi z

40. Fie a .e Să

41.

e

se determine cea mai mare Să

+ ~ I=

C astfel încît Iz şi

mică

cea mai

a.

valoare posibilă a lui Iz,.

se determine toate numerele complexe z cu proprietatea: (cos ex

+ z sin oc) = cos· Soc + z sin Soc,

( 'r/) 'oc

5

Constantin Caragea, Etapa

să

Generalizare : se determine numerele .complexe z a.î. 'r/oc e R, 'r/n ·(cos

şi

d + z sin.oc)" =

cos noc

R.

e

locală Constanţa

>

1984

1, n e N

+ z sin n oc.

42. Fie z1 , z2 , z3 e C, nu toate reale, astfel încît jz 1 I = lz 2.I 2 (z 1 + z2 + z3 ) - 3z1z2z3 e R. Să se arate că

max (arg Z1, arg Z2, arg Z3)

= jz 3 j -

1

;;., _.::_. 6

Titu Andteescu

43. Fie -a e R satisfac relaţia:

şi

z 1 , z2 ,

numere complexe de modul I care

••• Zn

n

n

Bz,.=4 [a+.(a ..... n)i]-3}:z,..

k=l

Să se atate că

a

e

k=l

nf şi z„

{0,1, : ..

e

{l, i} pentru orice k. I. V. Ma/tei; S. Rddulescu

44. Să se arate că nu există trei numere compiexe z1 , z2 , z3 avînd modulele egale cu unu, care să verifice relaţia :

z~ + z: + z: = 3(2 -

2i - (z 1

+z +z 2

3 )).

I. V. Ma/tei şi Sorin Rădulescu, Etapa judeţeană 1986

45. a) tatea

Să

numărul

se determine

natural nenul n astfel încît egali-

+ Z21 + !z2 +z j + .. , + jz,._1 + z„1 + Iz,.+ Z1! 2 = = lz1l 2 + lz21 2 + ... + jz,.! 2 + lz1 + z + ... + z,.! 2 lz1

2

3 2

2

2

să aibă

loc pentru orice numere complexe Zi, z2 , ••• z,.. , I b) Utilizînd rezultatul găsit, să se arate că dacă d ABC este un triunghi oarecare, G centrul său de greutate, A 1 ,-B 1 , C1 , mijloacele laturilor BC, AC, AB şi M un punct în planul triunghiului atunci are loc identitatea J

MA 2

+ MB + MC + 9MG 2

2

2

= 4(MA~ +MB~+ Mq). D.

106

ÂCN

Să

4G.

numărul

se .determine

lz 1'- z2l2 + lz 2

natural n, n ;;,, 2. astfel încît egalitatea

+ ... +

lz,._1 - z„1 2 + Iz,. - Z112 = ... + Iz„ 12), loc oricare ar fi numere_le complexe z1 ; z2 , z3 , ••• , z„ cu Za 12

-

= n( lz11 2 + lz21 2 +

să aibă

+ Z2 + ... +

Z1 Să

se dea

o intrepretare

geometrică

z,. ..:_ O. găsit.

a rezultatului

D. Acu Să

47. Fie z1, z2 e C.

se arate

că

lz 1

dacă.

12 112

+

lz21 2

+ z2 / =

lz 1

z2 I

-

dacă şi

numai

= 12 1 -'- Z2 l2 •

48. Fie z1, z2, ••• , Zn, n' numere complexe nenule · de acelaşi modul care satisfac relaţia: za2 4 ••• Zn- 1Z,. + z1z4 .' •• z,._1z,.+ .. •+z1z2 •• • z,._2 = O. Să s~ demonstreze că z1z_2 + z2z3 + .. ·. + z,._1z,. = O. Marius Lucian Pop

49. Să se determine toate numerele complexe care au partea partea imaginară şi modulul numere raţionale. ·

reală,

Florin Vulpescu Jalea - Buc.

50. Fie z, Să

=

se demonstreze

E=

_:'!_ Lz1

este

C, i

e

reaţ şi să

I

1,2, ... , n numere complexe nenule. că numărul

+ ~ + ... + :...:!_ + ~ + M + ... + Jz1 J

se arate

Jzn

că există

J

a, e R, i

zr +z; + ... + z: =

Z1

=

·

z2

Jz„ I z„

,

1, 2, ... n

şi

b e R astfel încît

a1z1 + a2z2 + ... + a„z,. + b. G.M. Nr. ·s/1988

Săs.e

51.

că

arate

Re az ;;,, O (V) z Im az ;;,,_ O ( V) z

e e

C a= O, C a = O.

52. Fie z e C - R. Să se arate că dacă Iz I, Re z, Im z sînt numere atunci şi Iz I", Re ţ", Im z" sînt tot numere raţionale.

raţion:ile,

Gheorghe .tjndrei, Etapa Să

53. Z

se determine modulul

argumentul

numărului

Constanţa

-

1 -

2 -

(a - b)(b - c)

numere au

eR.-

4

adevărată?

55. Fie z1, z2 , z3 e C* astfel îtidt (z 1 + z2 + z3 )

·

1990

complex :

b iac c iab + ,----+ ----; a, b, C (b - a)(b - c) (c - a)(c - b) se arate că dacă a + b + c = O, a, b, c e R. E = (a + ib) + (b + ic) 4 + (c + ia) 4 este real.

al - ibc · = ----·

54. S5. Atunci Reciproca este

două

şi

locală

'

acelaşi

• {1'+ _,1_ + -1) = z, z, z, -

1.

Să

se arate

că

cel_

puţin

• Gheorghe

ANăr11i

modul.

·107

56.

Să I

că dacă

se arate

+ Z1Z2Z3 + Za

ş1 - - - - !=

jzi J = 1, ( 'v') i = 1,2,3,

}l, atunci• z z:iZ 1 3

1 sau z 1

= -

,

1

Z; e

z2

C

+z = 3

Zi+ Zo

=

+ Z:iZ3 + Z3Z1•

Z1Z2

Alexandru Blaga, Etapa ă7.

Fie: z

Să

C.

e

Iz! O. Să se arate că ecuaţia

+ aor.)n -

c(bz rădăcini

are numai

+ bei) = O,

d(az

>

O

şi

N*,

ne

reale.

\

D. Acu

7. Fie az~

+ bz + c = O,

a, b, c

la(b - c) I> lb2

-

şi

C, a #: O

e

aci+ lc2 -

astfel încît

abl.

Să.se arate că ecuaţia are cel p~ţin o rădăcină cu modulul mai mic decît 2. A ndf'ei Ion Cristian

8. Fie arate

.az2 + bz + c = O unde a, b, c e C* şi lb I = 2 Ic I- Să se are cel pnţin o rădăci:q.ă ·în modul mai mică decît 1.

ecuaţia

că ecuaţia

9. Fie ecuaţia az2 + bz + c = O, a, b, c e C, a #: O şi u e C, astfel incît lal · -lul 2 + Ici< lui· lbl. Să se arate că ecuaţia are o rădăcină cu modulul mai mic decît ju j.

10. Fie

ecuaţia

arg a Să

az2

+ bz + c = O,

a, b, c

+ arg c = 2 arg b şi-

e

C

şi

la I + Ic I = lb I.

se arate că ecuaţia da.tă are cel puţin o rădăcină de modul unitar. manual

11.

Să

se rezolve sistemul de {

12.

Să

se rezolve în

ecuaţii

în C.

X+ y + Z = 1, xyz = 1, lxl = IYI = lzl =1.

mulţimea

numerelor complexe sistemul de

ecuaţii

:

xlyl = z2 {y Iz l = x2 zlxl=y2. Etapa

114

locală

- Teleorman, 1Yll1

' ·13. Fie sistemul

x+ y + z = a, x ey + e2z -_ b, x + e2y + ez = c,

I+

unde a, b, c e C şi e este o rădăcină cubică a µnităţii, complexă. 1) Să se rezolve sistemul: .· 2) Să se afle condiţia necesară şi suficientă ca soluţiile x, y, z să fie reale. 2 2 3) .Să se arate că la 1 + lb 1 + Ic 12 = 3( Ix 12 + l:Y 12 + Iz 12). 14. Să se rezolve.în mulţimea numerelor reale sistemul x~ + y~ = 24 (x: + y:) -· ... = n 4 (x! + y!) şi .x1 + X2 + x,. = Y1 + Y2 + ... + y,. = O.

+ .. ·

Mihai Piticari

15. Se consideră ecuaţia: az3 + bz2 + bz + â arate că are cel puţin o rădăcină de modul I.

=

O, a, b,

e

C*. Să se

Ion Cucurezeanu

16. Să se arate că dacă z

zn 17. ecuaţiile

+ nz + a =

O, n

~

C - R este o soluţie ·a ecuaţiei

e

Iz I >

2, n e N, a· e R+, atunci

1.

se arate că dacă numerele m şi n sînt prime între ele, atunci z"' - 1 == O şi Z" - 1 = O au o singură rădăcină comună.

Să

Etapa

judeţeană.

18.

Să

se arate .că: rădăcinile comune ale ecuaţiilor Z" - 1 = O.,şi z"' - 1 , O sînt date de ecuaţia : z" - 1, = O, tinde d = (m, n).

19.

Să·

se rezolve în C,

20.

Să

se rezolve

= z"' , m, n

ecuaţia Z"

e

N*.

ecuaţia şi să

z2n

+

z2n

'

se. re1>rezinte geometric. = 2 Iz 12.., n E N*.

21. Să se rezolve ecuaţia z"'

+ Iz I"= O m, n

1.98~

~oluţiile

N*.

e

Dorin Popovicr

22. Fie z ·

2.2 + + 2 + W

Să

... + w•, unde 21r • • 21r· = COS -2n- + 1 Slll - - - , +1 2n'+ 1

se demonstreze că a) Im z2k = ·O, Re :z21 +1 ~ O, pentru Vk b) (2z + 1) 2"+1 + '(2z - 1) 211 +1 = O.

e

n

este E

N*

1

•

N, Maria S. Pop•

23. Să se rezolve ecuaţia

f::, ( l=O

+ ~ ),,, = O.

z z -

1 .

ns

Să

24. Fie z e C. egalitatea (cos et atunci z

+ z sin et),. =

pentru orice et e R

cos.net+ z sin net '(_'v') n

= ±i. =

26. Dacă e:,. (k, O, 1, unităţii, să se arate că :

27. Dacă unităţii, să se

e

N, n

;;;i,

există

2,

'

Să se rezolve ecuaţia z5

25.,

că dacă

se demonstreze

=

z.

z-

2, ... , n - -1) sînt

rădăcinile

de ordinul n al.e

e:,. (k = O, 1, 2, ... , n - 1) sînt aJate că

rădăcinile

de .ordinul n ale ·

(e:~ - 2e: 0 cos et

+ l)M -

=

2e:1cos cz + 1) ... (e:!-1 - 2e:,._1cos ex+ 1) 2 (1 - cos nex).

28. Să se arate că (1 - e:1)(1 - e:2) ••• {l - e:,.) ·= n + 1, unde· e:i, i = 1, 2, ... n sînt rădăcinile ecuaţiei zn+t - 1 = O, diferite de 1. ale

29. Dacă n este unităţii, diferite

impar şi z1, z2, de 1, atunci

rădăcinile

z,._ 1 sînt

•••

de ordinul n

1+Z 1 n--" ="=l 1 - z„ n

n-l

G.M. Nr. 1 9

4)

0•

st··un d ,

ca~ e:

cos -211:

=

3

.

+ 1 sm -23 . s~a: •

•

11:

n

TI

1979

se c al culeze pro d usu l

.

(1

+ e:").

k=l,

Admitere - Fac. de

31. Dacă z1, z2, ••• de 1~ să se arate că

Z,;_ 1

sînt

rădăcinile

de ordinul n ale

matematică,

unităţii,

1987

diferite

I. COffllrea

~

32. Dacă zi, z2, - 1 = O, atunci

••• , Zn-t

s= E

~înt

rădăcinile

Z1,1Z1,t • ••

(1 -

Z1,1}(l -

z,.,.

Z1,1) • • •

k,=1,n-1-1 11 1 =2,3, .• • n-l

diferite de 1 ale

(1

7"

z„i)

ecuaţiei

c'+t =-"-· n

·

kl=l,l+t, .. . n-1

k,

=

1.

--. . n - l

pentru orice k

Z, k nedivizibil cu n are l_oc ine-

e

Etapa

36. Să se rezolve ~cuaţiile : a) 1 + z + z2 + . . . + zn = O. b) 1 - z_ + z2 __:_ z3 + ... (-l)nzn Să

19.87

l n - l

n

37.

Tîrgovişte,

·2

I . I> - - .

. gal1tatea : sm -kn:

şi

natural

finală

se rezolve

=

judeţeană,'

1987

O.

ecuaţia

z11 -

1

= z, n

e N.

38. Să se rezolve ecuaţia . zn+m.= -l ' n

.;

39.

Să

40.

Să

se rezolve

se rezolve

Să

se rezolve

N*.

1

ecuaţia

(z + u).. sînt reale.

:+ u)" -

se arate că rădăcinile

41.

E

ecuaţia·

(z şi să

.

= o,

u

E

C

ecuaţia

z" = zlz I, n

e

N. Gheorghe Andrei

42.

Să

se rezolve

ecuaţia

z"

4.1.

Să

se rezolve (1

+ cx){z" -

=

iz, n

e·

N*;

ecuaţia:

i)

= (1

- cx}(iz"

117

+ 1),

o şi Z1 + se arate că z 1, z2 , z 3 sînt afixele vîrfurilor unui triunghi

Zi., Z2, Z3 E

+ z + z 3 = O. 2

Să

echilateral.

39. Arătaţi că numerele distincte -Zv z2 , z3 ~înt vîrfurile unui triunghi -e-. MA1, OM k=I

M_ihai Piticari

51. Într-un cerc de rază 1 se înscrie un poligon regulat AiA 2

Demonstraţi că dacă

atunci:

••• A,.. P este un punct de pe cercul circumscris poligonului, ·

PA~ + PA: + . : . + PA! = 2n.

52. Fie Zi, z2, ••• , Zn e C* şi o dreaptă (d) care trece prin originea axelor de coordonate, atunci : 1) Imaginile geometrice ale numerelor complexe z1 , z2 , •• • z„ se află într-unul din semiplanele determinate de dreapta (d). dacă şi numai dacă imaginile geometrice ale inverselor lor se află în acelaşi plan. 2) În -condiţiile punctului 1) Zi

+

Z2

+ ... + z„

&"- 1

O Şl. -1 + -1 Zi

+ . , , + -1 =j, O.

z1

.Z,o

+

& + &2 + ... &"- 1, z,. = 1 + &, + ... + &11 pentru k = 1, 2, ... n - 2 şi z,,_1 = 1 + & + ... +

53. Fie z0 = + ...

=j,

&

= cos~ +isin

2n,

1

+

&11+1

&"- 2,

+

unde

ne N*, fixat, n ;ai:, 3.

"

"

Să se arate că z0 , Zi, ••• , z,._ 1 sînt afixele vîrfurilor unui poligon regulat înscris în cercul de centru O şi rază 1. Gh. Ivan.

M. Fie z1 , z2, ••• , Zn, n numere complexe astfel că afixele lor să reprezinte vîrfurile unui poligon regulat. , , Să se demonstreze că dacă numărul compl~ z are proprietatea că _1_+_1_+ ... +-1-=0, Z -

Zi

atunci afixul punctului z se

Z -

z1

află

z„

Z -

în interiorul poligonului. Matematica v' şcole

55. Să se ~rate că toate vîrfurile unui poligon regulat cu n laturi, situat în planul complex, sînt date de formula :

-este

unde & complexe.

z,.

= a&" + b,

rădăcina primitivă

k = O, 1, 2, ... , n - 1,

de ordinul n a

56. Fie z 1, z 2, ••. z2,., e C, astfel încît arg i 1 ~ arg z 2 ~ • • • ~ arg z2,. ~ n. Să se arate că lzi + Z2n I ~ lz2 + Z2n-l I ~

unităţii,

iar a

şi

lzi I = lz2 I = ... • ••

~

Iz,. +

Zn-1

b numere

=

lz2„ I

şi

J.

Dorin Andrica, RMT Nt. 1/198,f

125

57. Fie z1 , z2 , ••• , Zn e C distincte două cite două cu proprietate~: că, min f Iz, - z; I, i; i e {l, 2, ... n} ~ max { Iz, I, i = 1, n}. Determinaţi· valoarea maximă a lui n. · Concurs „Traian Lalescu", 198(;

58. Fie P;..(z) = a0z"'

+ a z"'- + ... + a,.._ 1z + a,..

1 un polinom cu media aritmetică a valorilor polinomului în vîrfurile .unui poligon regulat cu n laturi (tn >. n) este egală cu valoarea polinomului în centrul poligonului. 1

·coeficienţi. complecşi. Arătaţi că

59. Dacă a 1, a 2, ••• an sînt afixele vîrfurilor unui poligon plan convex, orientat direct, atunci aria sa · · 1

a[A1A2 ... Anl ~ - Im 2

(cu

n.

Ea„ak+l k=l

convenţia

An+i = Ai) Aplicaţia 1

Punctele A 1 {a1 ), A 2 (a 2),

An(an) sînt colineare

•••

·n -

Im

E a„ak+1 .~ o,: k=l.

unde An+i = A 1 ; an+i = a 1 • Aplicaţia 2 Fie a,- b, c afixele punctelor A~ B, C atunci : a) Dacă A, B, C sînt necolineare => a[ABC] =~Im (ăb'·+ b) A, B, C.colineare Im (ăb

+ bc_ + ca) =

60. Fie ABCD un patrulater conv:ex de arie_S P e (CD), Q e [DA), a,stfel încît:

2

bd+

ca)

Q. şi

M

e

(AB), -.NE{BC),

I

=

MA MB

ND NC

=

PC .. PD

=

= k.

QD. QA

Să se determine suma ariilor triunghiurilor ,APB, BQC, CMD şi DNA;:· •

Olimpiada U.R.S.S. - '1971-

61. ·Laturile neparalele AD şi BC ale patrulaterului ABCD se interBD şi -AC. Să se demon·

sectează în O. Fie P şi' S mijloacele cţiagonalelor streze că a[ABCD] -: 4a [OS.l;>J.

62. Imaginile geometrice ale numerelor complexe z1 , z2 , z3 , z4 sînt vîrfurile unui patrulater inscriptibil dacă şi numai dacă Zi,-

.z. . z,.- z,

- ·-;-·• ·J , - -

z, '- z

1

.'

z, -

E

R

•

Za

63. Fie z1 , z2, ·z3 , z4 e C, distincte. Să se arate că : - a) z1 , z2 , z3 , z4 sînt afixele vîrfurilor unui dreptunghi dacă z1 + z3 = ~2 + z4 şi Re za - z• = O j ~ I

z1

-

Z1

\

z1

=ai).

-

dacă şi

nu.m..ai

Zs ..

b) z1 , z2 , z3 , z4 sînt afixele vîrfurilor unui pătrat dacă şi numai dacă Z1

.

+ Z3 = Z2 +.

. z~-z1

Z 4 Şl - -

.

z, - z.

..•

= ±1. 126

M. Fie z1, z2 , Za, z4 e C, diferite, cu lz 1I = Jz 2 I = Iza I = lz 4 I. v 1 (z, - Z2)(zs - z,) t 1 . . . S ă se arate că : 1) numaru - - - - - es e rea ş1 pozitiv. (z1

2) lz1 -

Z2

z.)(z8 - z 3 )

-

I Iza -

Z4

I + lz1 - z4 I lz2 -

Za

I=

= lz1-Zal lz2-ztl· Teorema lui Ptolemeu

§ 4.

1. Fie a, b, c, d 1) Să se arate

R, astfel încît ad - bc = 1. că (V) z e C - R, are loc egalitatea: e

Im

az

cz

2) Fie P

j(z)

+b =

_r_m_z_ lcz + d 11

+d

C !Im~> O}. Să se arate că funcţia az + b . . . p pe ea msaş1. • v • - este o b".1Jecţ1e. a n;mlţrmu

=

=

FUNCŢII

{z

e

u+d,

Gazeta matematicei, 1980

2. Fie A de afix (-i) şi funcţia /: C"' {-i} - C, f(z) . a) b)

=

2 - ~z •

z+i

Să

se determine punctele fixe ale lui /; Găsiţi imaginea prin funcţia/ a cercului C(A, 1). Ioan

3. Fie/: C-+ C, /(z} se determine inversa sa.

=

2z

+

Iz j.

Să

Crişan,

se arate că/ este bijectivă şi să Maria Elena Panaitopol, G.M. nr. 3/1983

4.

Considerăm z0 e

f(a a) b)

Să Să

C- R

şi

definim

+ ib) = a + bz

0,

(

funcţia:

V) a, b

e

/: C - C

R.

se demonstreze că / este bijectivă; se determine valorile· lui ·z0 pentru care /

= J-1 •

Concursul rezolvitorilor G.M. 1987

5. Fie o proprietatea că

a ecuaţiei z• + 1 A e C*, astfel încît

rădăcină există

f(z) · f(z) .. ~ f(w.n-lz) Să

se demonstreze

că

=

f(z) = f( -z), ( V) z

= O şi /: C -

C o funcţie cu'

l, (V) z e_ C. e

C. Titu Andreescu, G.M. 1980

~ F" u. · 1e

• -2n • t·oat e f uncţ"il e -:- cos -2n- + 1. sm - . Sva se d eterm1ne 1 e 1983

f, C -• C, astfel încît /(z)

1983

+ /( ez) = 2 l~J, ( V) z e

C. Attila Furdek, G.M. 1982

127

Să

7. Fie f e R[x] şi se consideră funcţia polinomială se demonstreze că :

a) b)

f f

este o funcţie pară - /(iR) c:: R. este funcţie impară - f(iR) c iR. (S-a notat iR = {ix Ix

e

f: C-+ €.

R}.) Marcel

Ţena,

G.M. nr. 6/1987

8. Se consideră polinomul l>(z) == z2 + az + b, de variabilă ~u a, b e \C. Dacă IP(z) I = 1 _( V) z e C, cu Iz I = 1. atunci, P(z) = z2 • 9. Să se determin~ toate polinoamele P, cu coeficienţi care P(z} + P(-z) = z2 - P(îz), ( V) Z E C.

complexă

complecşi ·pentru Gh. Eckstein

10.

Să

·se determine

M = {z e

CI

mulţimţa

Iz I e N.* şi ( 3) n e .N cu z" - z. - n = O}. G.M. nr. 4/1986

11. ~ X

Mulţimea M c C are E M şi X • y E M.

dacă

proprietatea (P),

+y.

(V) x,y e M

~

.

a) Demonstraţi că dacă A are proprietatea (P) .şi R c A c C,, atunci A -: R sau A = C ; . b) Daţi exemplu de două mulţimi B şi C care au proprietatea (P)., dar. care verifică înduziunile· stricte

z

B

i:::

C

Q, .Q C C

R.

C

Marcel

Ţena,

ConGursul G.M._ .- 1986

12. Fie A s C cu proprietăţile: a) A conţine orice număr„ z e C cu Iz I = 1. b) Pentru orice Zi, z 2 e ·A avetµ z1 z2 e A. se demonstreze că A = C.

+

Să

Marcel "tena, Etapa

13. Se consideră funcţia condiţiile: 1)

01

f: N* -

C, f(n) =

pe ţară

1986 G.M. nr. 7/1986

an+l

care îndeplineşte

= al = as : •:_,:.:

_.a1 a3 a, există numere

natur.ale n, n > 2, astfel încît a~ (a1 a 2· a,,)2. Să se arate că funcţia/ este periodică. 2)

14~ Fie / Să

se arate

+ . . . + a! =

=

că

a0

+ + ...

+ a z + ... + an~, n > 1

pentru orice 2:..

rădăcină




O, i

+

a:

+

= O, 1, .•. , n.

z0 a lui / are loc inegalitatea·~



9.

Dacă rădăcinile ecuaţiei

+ y,

problemei precedente. .

sînt în progresie atunci din formulele lui Viete

3ot

= - -ab ,

3ot2

-

y2

aritmetică,

C

2 = -a ,. oc.{oc. '

_,_

r 2)

fie ele

ot -

y

= - -da

prin eliminarea lui ot şi r obţinem condiţia din enunţ, Reciproc: fie .2b3 - 9abc + 27a2d = O şi x, y, z r~dăcinile ecuaţiei. De'· aici . d·,m x + y ·!- z = - -b. , xy + xz + yz = -C , xyz =. - -d rez ultv ş1 . a.

+

a

a

a

2(x + y z)ll - 9(x + y + zJ(xy + xz + y.z) + 27xyz = O. (1) Notînd cu f(x, y, z) membrul stîug din (1) avem identita+ea: -f(x, y, z) == (x + y - 2z)(~ + z - 2y)(y + z - 2x). (2} Într-adevăr, punînd x + y + z = S, avem_ · (x + y - 2z)(x + z - 2y)(y + z - 2x) = (S - 3x)(S - 3y)(S- 3z1 S3 - ~(x + y + z)S 2 + 9(xy + xz yz)S ~ 27xyz = -f(x, y, z). Din (1) şi (2) rezultă (x + y - 2z)(x + z - 2y)(y + z - 2x) = O iat de aici · deducem că rădăcinile x, y, z sînt în progresie aritmetică.

+

10. Proprietatea rezultă din problema precedentă', ţinînd seamă de faptul că dacă numerele x, y, z sînt în progresie armonică, inversele lor sînt în progresie aritmetică. · sînt în progresie aritmetică, fie ele u - 3r, u ,_ r, u + r, u + 3r, atunci din prima dintre formulele lui Vietel 1~iultă u = O şi rădăcinile se scriu -3r, -r, r, 3r şi ecuaţia se mai scrie (%2 -r2 )(x2 - 9r2) = O sau x' - 10r2 x2 + 9r4 = O.

11.

Dacă rădăcinile

9 - Probleme de

algebră

129

.! =

Deducem

a

-10r2, .!!.:. a

= 9r'

de unde ·9b2

= 100 ac.

Reciproc. J?resupunem că avem 9b2 = 100ac. Să arătăm că rădăcinile sînt în progresie aritmetică. Observăm că dacă 0t este rădăcină, atunci - 0t e rădăcină. Fje 0t, - Ot, ~. - ~ rădăcinile ecuaţiei. Din formulele lui Viete avem 0t2 + ~2 = - !!_, ~2 ~ 2 = !.. , iar de aici şi din 9b2 = 100' ac rezultă •

a

+ ~2) 2 =

a

100at2 ~2 sau 9oc4 -:- 8loc2 ~ 2 + 9~ 4 = O. O şi răd~cinile sînt O, O, O, O. Dacă ~ :t= O avem 9(

9(oc2

~=

de unde

(°ir= ¾sau 9. De unde ~

D~că

~

°ir - °ir 81(

= ±30t sau 0t = ±3~

se sctiu -30t~ -0t,, 0t, 30t sau -3~, -'-~,-~. 3~

şi

= O,

atunci + 9=0.

şi rădăcinile

sînt deci în progresie

aritmetică.

i (pq + 1).

Răspuns: Spg =

15.

16. Notînd cu r raţia prog:r:esiei," avem ap+k = a,.+ pr. Dind lui k valorile 1, 2, ... , q şi adunînd relaţiile obţinute, avem aH~

de unde

+ aP+2 + ... -+ aP+q = a + a2 + ... + aq + pqr, SP+4 = Sp + Sq + pqr = q + p + pqr. 1

Din expresia sumelor Sp

şi

Sq deducem

-2(; + f)

[r =

şi

deci

SP+ n. Din a 1 + a 2 + ... + am = a 1 + + a + ... + an rezultă an+l + an+2 + ... + a,,. = O pe care o ~ai ·scriem z am+ a~-1 + ... + an+l = O 2,

2

şi

prin adunarea lor · (am + a,;+1) + (am-1

+ an+2) + ... + (an+l + a,,.)

=0

{*)

şi.cum

am din (*)

+ an+l =

am-1

+ an+2 =

• • • = an+l

+ a,,. =

al

+ am+n

rezultă

+ am+n)(m -

(al

dec1.

n) = 0 => âl + am+n = o, ls111+n =.~-~a1+am+n( m +n ) = O. • "2 I

18. Fie a, a + r, .... , a+ (n - l)r cele n numere întregi în progresie aritmetică. Notăm cu s 1 şi s3 suma lor şi respectiv a cuburilor lor, şi ţinînd seama de formulele cunoscute ale sumei primelor n numere- nat urale, ale pătratelor şi cuburilor lor, avem 1

n-1

S1

=

E (a + kr) = 2 n (2a + (n k=O' •

(a

+ kr)

n-1

S3

= .[:

k=O

=

na3

+

i a rn(n 2

1)

l)r),

n-1 3

=

B (aa + 3a2kr + 3ak r + k r3) = 2 2

k-O

+

i ar n(n 2

130

1)(2n -

1)

3

+ 1r3 (n -

1)2n2 •

Grupînd găsim:

aceşti

53

I

t~rmeni astfel ca să punem în evidenţă ca, factor pe s 1 • · · 1 · - 1Jr)(a2 ar(n - 1) + 2 n(n - l)r2) de unde

+

= 2 n(2a + (n

S1 jS3,'

· În particular, rezultă de aici că sunia cuburilor' a n numere naturale consecutive se divide prin suma lor.

19. Fie r litate

raţia

ptogresiei. Avem x b x 1

1

+ Xn)

Pe de

altă

parte,

din enunţ, avem

· n

=

a, nx1

1

2

2

1

k=l

şi

l)r şi din prima ega-

+ -21 rn(n - 1) = a. (1) , xi= x~ +. 2x 1r(k - 1) + r 2 (k - 1) şi din a doua 1elaţie n n n · L x% = nx~ + 2,x „E (k - 1) + r E (k - 1) = b2 ,...

- (x1 2

+ (k -

k=l

2

k=l

dec~ n_x~

+ x rn(n -

Din (1}, prin ridicare la nx~

Din (2)

şi

+ 6I r (n --'- ţ)n (2n -

1)

1

pătrat şi împărţire

+ x rn(n -

(3) avem

lJ

1

,- 2n(n 2 -

1)

=

rezultă

apoi

1

b2 n

ţ 1 şi

2

b2 •

(2)

1)2

= I-a•n .

(3)

d:--:: unde:

- a2 n

.2-...;3(b2n -

=

cu n, .avem:

+ -4 r n(n -

12

r=±

Din (1)

1)

2

a 1)

..•

n,./n•- 1

progresia este

deterininată.

20. Termenii generali ai progresiilor: date au 'forma : am = 1 + 4(m - l), bn = 4 + ll{n - 1). Term~nii comuni conduc la ecuaţia· 4m + 4 = lln. de unde rezultă n = 4p şi m = llp - 1 cu p e N*. _ Termenii comuni am şi bn corespund rangurilqr m = 10, :21, 32, .... , llp - 1, n = 4, 8~ 12, •.. , 4p şi sînt a,,, 37, 81, 125, ... , 37 + 44 (P - 1). clasică~

21. Necesitatea este

f

Suficienţa : avem a~+t = Sn+1 - Sn = (a 1 + a,.+1)(n de unde (n - l)an+l = nan - a 1 pentru orice n.

+

1) - } (a 1

+ a,.)n

(1) Aveni deci şi (n - 2)a,. = (n - l)a,._ 1 - a 1 . {2) Din (1) şi (2), prin scădere, .deducem 2a,. _:.an-I+ an+l, ('v') n ·;;;,, 2. ,

22. Presupunelll Aveni ar.+ 1

-

a,.

~

r

că

şirul

şi -

1-

a„a„+1

dat este · progresie

= ~ (!.

„

a„

- -a„+i1 -J,

131

aritmetică

de unde

cu

raţia

r.

Reciproc : +·~11-1.--:-:-

Din

dacă şirul

relaţia

dat satistace

din

~nunţ,

vom

arăta că

a„+i

+

2(i,.;, 1i -;-2, 3, ...

ipoteză

avem ·şi :

1.-1-a + -2_. + ... + -a,._1-1a,. + -a„an+ = _n_, a 1 ~1 =, - .n - - n-1 -a1 1

de unde prin scădere

a1an+1

a 1 3·

a1

=

(n - l)a,._1 - (n - 2) a,.,

dli unde

(n - 1) a,._ 1 - (n - 2) a,. = na,. - (n - 1) a„+1 l}{a,._ 1 + a„+1) = 2(n - 1) a,., n > 2 ~ a,._ 1 + a„+l = 2a,.. Altfel: 'prin inducţie. ,· (n -

23. Presupunem că şirul dat este o progresie aritmetică. Atunci ak+ 1 + q,,._,. == a 1 + a„ pent!u O < k < n. Din egalităţile

1 ,.:_ _1_. (-1 + _L) +

aA-f'.1a,._,.

=

a,.

a1

a,._,.

"A+i

adunate pentru k O, l, 2, ... , n - 1 obţinem pe cea din enunţ. Reciproc, presupun,em că şirul dat satisface relaţia din enunţ pentru orice n ;;;i, 3. Să arătăm că formează o progresie aritmetică, prin inducţie după n. Pentru n = 3 se verifică. Proprietatea, o presupunem adevărată pentru n. Să o demonstrăm pentru n 1.· Avem: ·

+.

(1)

_1_+_1_+ ... +-1-= a 1a„

Numerele a 2, a 3, forma celei din

a 3a11_ 1 ••• ,

a 11a 2

2, (.!..+ ... +2-J. + an+L a a„

a„ fiind î,n progresie aritmeti~ă verifică o relaţie de

aa(i11_ 1

+

a11 a 2

a2

2

+ a„

+

şi (3) rezultă că a 1 a„+l = a 2 a,., inducţie rezultă că ai, a 2, ••• , a,.+ 1 formează

Din (2)

(2)

1

enunţ, adică

-·1_ +-1- + ... + _1_ = a 1a„

a1

(2. + ... + 2-). a1

(3)

a„

iar de aici şi din ippteza de o progresie a~tmetică.

24. Necesitatea: presupunem că şirul este o progresie aritmetică, să pentru orice n ;;;i, 2 are loc relaţia din enunţ. Prin inducţie pentrµ .n =-2 se verifi,că, Presupunem .relaţia adevărată pentru n termeni consecutivi ai şirului. a 1 - q_1 a 2 +.C!_ 1 a3 - ••• + (-1) 11 - 1 n. Din b1 b2 •• ,. b,,. = b1 • • b2· ... b„ rezultă b,.+1 ... b,,. = 1, c;leci şi ·(b,.+ 1 ••• b,,.) 2= = '(bn+1b..,}(b,.+2bm-1) • · . (bmbn+1) = (b1 b.m+n) · (b1 bm+n) ... (b1bm+n) = = (b1bm+n)"'-n = 1 ~ b!bm+n = 1. Dar (b1b2 ... bm+n) 2 = tb1bm+nhb:11bm+n-1)'. •• • . . (bm+nb1) = (b1bm+n)m+n .1 =:> b1b2 ... bm+'n = 1.

=

46. Notînd cu q raţia progresiei, avem: b,..+k = b„qm. Dînd lui k valorile 1, 2., ... , n şi înmulţind relaţiile obţinute, · avem b,..+ 1b.m+2 •.. bm+n = \ = bib 2 •.•• b„q""',de unde Pm+n = mnq"'". m(m~t) 1 m-1 1 Din n = P,..-:- b1b2 ••• b,,. = bfq_2_ Avem deci n-;; = b1q_2_ şi m" = n-1

=

=

b1q~ de unde q p m+n, obţinem

(

.

I

I)

.

2

nm . n -;;;- m-n . Înlocuind acest q în expresia lui

Pm+n

,

= (;

m+n )m-n

47. 1 + 2 + 22 + .'.. + 2 - t = 2 Pentru n = kq avem 2 1 = (2li)q - 1 11

11 -

11 -

48. Avem 1 + a -

Deci (l +a+ a2

=

(a" -

l)(an+•

,

(a-1)1

· ~

·1) _:

8J(

(2" - 1).-

- 1, + a + ... ,· + a" = ·a"+l . a- 1 2

+ ... + a")2 -

..

}.

=

a"=

('an+1 _ 1)2 a -

(1

+ a + a2 + ... + •··

135

an=

1 .

(an+l -lg\ -

(a -

an~t){l

a"(a ~ I)• -1)1

+ a + a2 + ... + an+t). .

50. Avem: b = aq, S :_ a q" -

1 q- 1

·Fie S' suma pătratelor term~nilor. Avem S' = a2 q'" - 1 = a ·q" - 1 • a q" + q-l

~-1

S' =

= (q--:-

=> aq"

1

1) S

= S (q -

q+l

(b -

a)S

+ a.

l)S

+ 2a

q+l

+ 2a

2 •

a+b

51.

(a

Răspuns:

2S -

q raţia

53. Fie

al

S1 =

+ z)S -

2a_z •

S.

(a:+- z)

progresiei geometrice. Atunci q" - 1, q-

S2 =-~ :

1

a_ 1

p

q" - 1 q"-1 (q -

=

I) '

(a1/~1Jn

n

~ = a q"S

Dar

2 1

1

că P = (~) 2

asa

1

'

S2

55. În primele p - 1 linii se află

din· linia de rang

¾p (p -

1) termeni; cei p termeni

p. sînt : I

aqk,aqk+ 1, ... , aqk+1>- 1, unde k = -P(P - 1), 2

+ q +.. ... + qP-

suma lor este aqk(l --

=

aPqk+(k+l)+ ... +(k+J>-1)

1)

=

aqk(qP - i) q- l

.

· ,. iar .produsul lor

!.p(p'-1)

aPq2

58. Fie· a cel mai mic număr şi p e. N raţia, p ;a, 2. Avem n 2 ~ a ~ (n + 1) 2 n 2 ~ ap2 ~ (n + 1) 2 • 2 Dar ap ;;;i, n 2 p2 ;;;i, (2n) 2 . ;a, (n + 1) 2 • Atunci trebuie neapărat ca r,; n = t ~ 1 ~- a ~ 4 } · =>a-1 1 ~ 4a ~ 4 => a ~- 1 - ' cele trei numere sînt 1, 2, 4. I

v

57. Raspuns : -

c

=

2 şi

= -a1 + -b1 - -ab1 .

=

P„bn+l> adică (b 1 bn+i)"+l = (b 1 b,.)"b!+1, cum b1 #: O. orice n. Avem .deci şi b1b:-2 . = b:=½· .Eliminînd b1 , între ultimele două egalităţi· rezultă b! = b,._ 1b,. pentru ~ > 1, deci şirul formează ·o pr_ogresie geometrică. Reciproca acestei proprjeţăţi este clasică. Observaţie: condiţia din en1:1nţ „pozitivf'' poate fi înlocuită ·cu !,b 1 #: O". Justificare I

58. Din P„+i

rezultă -b 1b::;:½

=

b: pentru

59. Se va utiliza identitatea lui Lagrange.

x: + ... + X!-1)(y~ + y: + ... + Y!-1) - (XiY1 + X2J'2 + ••• + + .fn-tYn-1) = {XiY2 - X2J'1] 2+ (XiYa - XaY1) 2+ · ••+ (Xn-2Yn-t - Xn-IYn-2) 2

X~

+

2

punînd aici x,

=

a,, y. = ai+ 1, i = 1, 2, ... , n - 1.

136

__60. Necesitatea: Fie oe, ocq, ocq2 rădăcinile .

•

+ q + q2) .;__

Conform formulelor lui Viete, avem oc' (1

+ q3) =

b

- - , oc2(q a

-.

+ q2 +

d _C , oc3q3 = __ .

a

a

Deducem

'b · - - (ocq) a

Suficienţa.

Fie ac3·

Avem X + y

~ ( ~b

ecuaţiei. .

=~, a

= 'b3d şi

+z = -

r.(~d)

.!!..

- -da

(ocq)3 =

C

I

x, y, z

~e unde ac3

rădăcinile ecuaţiei:

+ xz + yz =.:..

xy

= "f/Jd.

+ yzJ3 xyz(x '+ y + z) =

rezult:J (xy : xz

XY.?"

I

a xyz

(x

= -;- !_ şi

+y

cum

f: r~

: z)~.

3 Dar fxy + xz + yz) 3 (xy - z2)(xz - y 2) (yz - x2) identitate ~a-re se poate stabili ţinînd seama că (a + ;b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c a)_ de unde rezultă proprietatea din enunţ.

+

t ~ . + E~

·s1. s.. =

al

bk

k=l

bi

=

+~

~1

bk+l

k=l

bi

t

"q k= 1

ak +,. = bk

a1 . I ( " ak a,.) ,. ,.~1 l a1 I a,. ,. n-1 1 =-+E·+-E=~ +-s,.--+-r-. bi q k=l bk b„ q k=l b1, bi q qb„ biq ~ qk-1

·.

de unde

(

1 ):

1- -

q

S,.

( l _ ~) S,. ~ ~ _ q

a,.

b1

q

.- - T a1

bi

a1

+ (n b1qn

1 1-,. . qn-1

, „ +. -b1q -. - 1

I)"

1- q

+ !..

qn-J - 1 • bi (q - 1 )qn-1

-

Se -calculeaiă - analog S~ sau se deduce din S,.. şi

q raţiile celor două progresii. Dacă r b1 b,.. Fie r =I= O, q =I= 1. b,., a 1 = b1 => a,. = a 1q"- 1

62. Fie r

a1

+ ".' .. + a,. =

Din a,.

=

+ ... +

"

1

Ba, = 2 (ai'.+ a,.)n =

•=~

..

E" b, = a + a q + . '. . + a q"1

1

1

1

= O => q =

1

'21 (a1 + a1qn-t)n l. -

inegalitatea de demonstrat revine· la

i=l

ţ + 9 + q"-"-

)n ;;;,, 2(1 + q + ... + q11 - 1) care r_ezultă din 1 + q"- 1 ~. q" + k = O, 1, .•. , n - 1· (echivalentă cu (1 - qk)(l - q"-k- 1) ;;i, O) prin sumare. ·· 11 -

1

1-,

63. Fie r :raţia progresiei aritmetice şi q raţia progresiei geomţtrice. r = O proprietatea din enunţ e banală. în caz contrar rezultă O. Prin ipoteză a 1 = b1 şi ll-:i = a 1 + r __: b2 = a1q, de· unde a 1 >O

Dacă

,, >

'

.

=-"-_ q- l

•

şi deci q > 1. Avem apoi: a,. = a 1 + (n - l)r = a 1 (1 + (n - l)(q - 1)}; b;, = a1qn- 1, Inegalitatea b„ ;;i, a„ echivalentă cu q"- 1 ;;i, 1 +(n - l)(q - 1) este adevărată conform inegalităţii lui. ~ernoulli.

137

.

. 84. Fie' r şi q raţiile celor două progresii (q > O), a primul lor termen comun şi a+ kr = aq", a + nr . aq" cu k < n. Rezultă n - k = nq"-kq", care ,se mai scrie

2.'/, (q" Din (1) rezu,ltă q

=

-

1)

- [(1_+ at)" - l] '/,

Pentru at

>

O, -

1).

-

1. într-ad~văr dacă q .:.._ 1

1

~{l+k.:x+ '/,('/, -2 '/,

= ~n (q"

-

l) rr.2

1

= -n

[(l ,

+ at-cu at > O, _atunci_

+ at)" -

+; .. + at,. -1}=~(1 n

(1)

·

1] sau

+

nrr. -j- n(n- l) rr.2 ·

2

+... -1}.

contradicţie, fiindcă

1 1 .- c•+ < -n1 c-+ n c·1'-1 < ·c·n-1,- i· = 1,• 2 ,- ... , k , --1'

'/,

Dacă q
·1, fie q· = 2-, q1 > l; n _,_ k

1, atunci

ql

q

= i şi (1).

devine:

~ (qt - 1) = ~ (q1 - 1), •

adică

o

şi

·q = 1

n

de aceeaşi formă cu (1) cu q1 > l, care nu este atunci r = O şi cele două progresii coincid.

relaţie

posibilă.

Deci

65. Prin reducere la absurd. Presupunem că ar exista o progr:esie -:7 a, aq, aq2, .... , a> O, q > O, q.;. 1 din care putem extrage progresia aritmetică infinită: · · . I -=- aqk,, aqk•, ... , aq,.,., aq„n+,, ... renotată, din comoditate de scri~re geometrică infinită:

Avem

(1) Dacă q < 1, pentru n - oo din q" - O rezultă a,. -·o şi din (1) rezultă a 1 = a 2, de unde cj = 1, contradicţie. Dacă q > 1, cum k„+i ;;i: k,. + l avem qk„+i ;;i: q,.,. • q_ deci a,.+ 1 ;;i: a,. · q şi deci a 1 + a,. · q ~ a 2 + a„ sau ~ 1 + q ~- ~ + 1, iar de aici pentru n .:.+ oo, cum a,. ..... oo, rezultă q ~ 1, a„

a,.

contradicţie;

66. Fie

!!.. d

=

!... I'

C'U

._

,

ceea ce încheie

·

demonstraţia.

f .raţional; putem considera a şi d ,de acelaşi senin. Atunci

s, r naturale. Deoarece r I (1

+ 'r)"' .:... 1 pentru orice

rezultă· că .numărul a(l

+ r)m

-

a

s[(l

+ r)m

r,,. ·= - - - ' - - - = - · · d

-

l]

esţe

I'

Ptjri urmare, fiecare termen al progresiei geometrice a(l

+ r)"', :m = O; 1, 2, 3, ... 138

natural.

m natural;

+ r)"' = a + r,,.d, adică aparţine progres1e1 progresia· aritmetică 1,- + .j2 n, n = O; 1, 2 . . . 3,v2 5

are forma a(l

aritmetice. De'

exemp~u

unde

: =

3~ 2

:

f = ,f conţine

progre_sia

1

,- (6 + 1)"' =

3\/2 ~- ·.

·

7"'

,- ,

3\/2

geometrică: m

= O,

·

1; 2, ... .·

Reciproc, fie progresia aritmetică a, a+ d, .. . , . a+ nd, .-.. d #, O, care o progresie geometrică. Fie trei termeni ai ei a + kd, d + lrl, a + md, k < l < m, care să formeze trei t~meni consecutivi ai progresiei geometrice. • . Atunci (a+ ld) 2 = ((l + kd)(a + md) de undţ (1) a(2l- k - m) = d(km - l 2 ). conţine·

Vom arăta că 2l - k - m #O .. Într-adevăr, în caz -contrar am km - l 2 = O ceea ce ar implica. · (k ._ m) 2 = (k + m) 2 - 4km 4l 2 - 4l2 = o şi prin urma.re k = m ceea ce este imposibil.

avea

=

relaţia

Din

a

km- 12 ·

(.1) avem: :_ = - - - d

21-.k-m'

d": un

~

aşa că

n-: 1,

n - -

I

an

[S,.]

< n.

=n-

1. G.M. 9/1Q88

=>

70. Fie m, mq, mq2 , mq3 rădăcinile ecuaţiei. Avem m4 q6 = 1 => 2q3 = ± 1. Fie mai întîi 2q3 = ·l deci q = şi rădăcinile ecuaţiei

m

m

'dev1·n ·. m, vm, ~31 - ~11- , ,

·vm ~3;- .

1

m

!,s

F'1e:

-.

m 1

+ -m1 = v => u 3u = v. De aici şi din relaţiile lui.. Viete, u + v = - !!.. ; uv + 2 = .!:.... eliminînd .a a • • 2 b. b cesiv pe v ş1 u, avem : u u = - -'-- ş1 ;_u - - u + 2 = - • a a . a + -{Im = u,

v m

m

3 -

2

3 -

suc-

C

Înmulţi:qd ul~ima egalitate cu u şi adunîndu-le, avem b

- - u2 a

iar de aici

-

c

u

= - -;b

a

• ş1

•

I: !t , I! 1, d ec1• q

-:- -

~3/-

l

-1 m

m, -. ·v m, ~;- , vm

c-

~~ j =

=-

-.

-

au2 + bu + c - 2a . bu2 + cu -:- b = O,

Ii

c-

c2

+ 2ac)

~i j2 :::;=:

O,

adică : (ab - bc) 2 •

• ravdvacmi • '1 ~ d evm ·, :

}

~ şi

m

,

• v 1mp • 1'1cav -1 ravdvacina • , v (pent ru c ă . . Dar m ravdvaciua m

ecuaţia este reciprocă). Rezultă m iar ecuaţia devine x 4 - 2x2 1 ,=

(b2

{

a

(ac - b2)(-b2 F'1e m2'1,.3

••

deci

ac)(b2

+ +c

2 -

= ±1

şi rădăcinile

O. Rţciproc. Fie 2acJ = b2 (a - cJ2

:şi ·ot, ~ rădăcini ale ecuaţiei. Atunci şi 2..,

2.. li

(X

*-= 1

0t

l,cx

U,

~

I"'

· sînt : 1, -1, l, -1 ., (1)

sînt rădăcini. Fie

+ -li1 = V.·

Din formulele lui Vic}te avem : U

+V

b z::: - · - , .

a

C uv+. 2 = -

a

şi deci

u, v sînt rădăcini ale. ecuaţiei: at2· + bt +,c

1-4'0

-

2a

== O.

(*}

Din (1)

rezultă că ecuaţiile

at 2 + bt + C - 2a = 0 { · bt2 + ct - b =·,O au o rădăcină comună, fie aceasta. de exem1;>lu u (analog

dacă

fi

ar fi

rădăcina comună).

Aven;i. deci : au2

- !!... u 2

-

a

+ bu + c - 2a = O, bu + cu --- b = o: u + !!... = O rezultă : a a

Din ultima

2

.:....

3 (u+v)u2 -(uv+2Ju-u-v=0 de unde u3 '-:-3u=TJ~a. . ,•

. ~ + ½: :;, oc3 - ~ = ; Q.

t'

~a :::;,,

} a d"1caw rawdwacm1 • •1e .ot, = --; «

-} ,

(Q;3

3

smt

}

A

0t , --;

«\

~)(ot3 ~

-

A

-'-

lJ

=O

•

~ .·

oca , ~au

•w geomet r~ca.

•

progresiţ

1ll

dec;i

+2-. ,· ·rz:1· ..:..

~

a

71. Noţăm prin 1 , a2 , ••• , an primii termeni ai progresiilor în .c~e se împarte şirul nul!].erelor naturale şi prin d1, d2, ••• ; dn raţiile lor. Produsul acestor raţii se află' într-una din progresii, deci există î cu 1 !

n2

3_

pentru 1, 2, 3, 4

+. IGn +

16

>!

3

rezultă adevărată

(n

3

+

pentru orice n.

ir;ducţie.

23. La trecerea de la n la ·n +- 1' vom folosi egalitatea - (b,. - b,.+1)S,. + b,.+1S~+1 = b„S,. bn+1an+1 echivalentă cu egalitatea ·. (b,. - bn+1)fa1 + a;.) + b,.+1(a1 + an+I) == · = b.(a1 + ... + a~J + bn+ 1a,.+ 1 ce se verifică uşor.

+

+ ,, ,

+ ·.... +a,.

144

4) 2

26. Prin inducţie: Din a) avem /(2) = 2 ,şi apoi din b) luînd m = 1„ n = 2, rezultă /(1) = 1. Presupunem egalitatea. valabilă pentru toate vaio.:. rile ~ n -· I. Să o demonstrăm ·pentru n. Dacă n este prim, .atunci f( n) = n. În .caz contrar· n = ab şi conform ipo-tezei d~ inducţie avem f(n) = f(ab) = f(a) f(b) .· ab := n. 27. Prin inducţie. Din a) şi c) pentru m = 1 şi n = 2 rezultă f(l) = 1. . Presupunem egalitatea adevărată pentru toate valorile ~ n _: 1. Să o demonstrăm pentru n. Dacă n , e:st e par, n = 2k, din a) şi din ipoteză avem /(2k) = /(2) f(k) = 2k, iar d2.că n cs e impar, n = 2k + 1, ayem pe de o parte'j(2k + .2) = /(2) · f(k + l) = 2(k + 1), iar pe de• altă parte din b) cum 2k 2, deci impar, avem (-a)P = -aP şi· cum p 1(-a)t. :_(-a)= -(aP - a} rezultă pf::iP - a şi teorema este adevărată şi pentru numere întregi negative. 33. Prin -inducţie după m. Fie E(n, m) partea stîngă a egalităţii. Pentru m = -O se

verifică, fiindcă 1

2

n

n

E(n,

q)

= {~} + {;}. + .. ::

n -11 .

+ {~ :

1

}

=

n - 1

= - + - + ... + - = - - . n

2

Presupunem adevărat pentru m. Să o demonstrăm penţru m + 1.

+ 1) = {m: 1} + ... + {m + :- 1}- + d e ~ a {m-+; -n}= -{;m + =1.}- -{;m·} .. n ·fu ;· E(n, m

r: n}

= E(n, m)

G.M. "1/1988, 21325

34. Prin inducţia după n. Pentru n = 1 se verifică. Presupunem proprietatea adevărată . pentru n. Să o demonstrăm pentru n 1. Fie a ~ (n + 1) ! Împărţim pe a la n + 1. Avem a == d(n + 1) + r, unde d ~ n.!, r < n + 1. Prin ipoteza de inducţie d = d 1 + d2 + ... + d„ unde toţi d. sînţ divizori distincţi ai-lui n ! şi k < n . .Atunci a=d 1 (n+ 1} + + ... + dk(n + 1} + r, unde numărul termenilor . sumei nu depăşeşte _n + 1, fiecare din ei eşte divizor al lui (n + 1) ! şi_ toţi sînt diferiţi,.

+

35. Vom dein.onstra, mai întîi, că orice număr natural m ;;i:. 7 se poate reprezenta sub formă a 2 + b2 - c2 cu a, b, c naturale. . Într-adevăr, dacă m este par; m = 2k, avem m = 12 + k2 - (k - 1)2, iar dacă m este impar, m ·. 2k + 1, avem m = 2 2 + (k - 1) 2 - (k-·2) 2 • Acum, demonstrarea ,enunţului prin inducţie.

146

Pentru n = 2, luăm m = 2 = 1~ + l2. Să presupunem că am găsit pentm un r,, dat un m. cu proprietatea din ·enunţ şi să găsim pentru n + 1 un ·m~ aceeaşi pfopt:ietate. Prespunem m ~ 7. Avem

cu

+ b :+ b: = : .. = v~ + v~ + ... + 1i!. Scriem pe m' sub forma m == a2 + b2 - c sau. m + c2 = a 2 + b2 de ' m' = m + c2 _= q2 + b2 = a~ + a: + c2 = b~ + b: + b: + c2 = . . . = + v} + ... + v! + ci şi enunţul este demonstrat. m · .af + ţi:

=

bf

2.

unde

v~

+

G.M. 4/1980.

36. ' Ecuatia. x ,, X1 ·Dacă x .+ cum

.!..X

rezultă

=

a, cu a ~ 2, are rădăcinile .'

+ .!.. = 3

¼(~ + ,Ja

2 -

4) ~ 1, ; 2

este' întreg, atunci xn prin

inducţie

+~ X

=¼(a - ,Ja2

4} ~ 1.

este întreg pe31tiu orice n între~

din identitatea

+ -.xn+I t_ = ( x: + _!._)(x + .!..) - (xn-1 + ~)· xn x. xn I dec1. x + -1 = a, x ~ 1, ·de un de xn+ -f = k.. x = -1 .( a + "'/:-:---4) a xn+x

. atunci. F 1e

2 -

2

,. . k mtreg. Pnn urmare A

,

= xn =

k

+. .jk2

x

1 -

xn

4

•

37. P~ntru n = 1 şi 2 se verifică. Presupunem formula valabilă pentru n - 1 şi n şi să o dcmonstrăni pentru n + 1. Avem u;,+x ='Un+ un.:.. 1 = 1 ·[( 1 + .js )" (1 + ..fs')n-1 · (1 + .js = .js' 2 -_ t' 1 - 2.js)" +\-2·-:-.-2-l

= ,Js1_ [( 1 +2 Js}n-1 • 3+2 .js· Dar

3.± ./5 2

= (1 \

n-lJ--

l't -2,Js ·)"- 1. 3-2.JsJ ·

,Jsr, aşa di formula ~e verifică ~i. pentru n + 1.

~O.·Avem

. 41. A,. = u,. + u,.....1 + ... + u,.....,,,_li Vom arăta că u,......,. < A,.