Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras 9788436835564, 8436835565

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""Prólogo""
""1 Fundamentos""
""2 Sistemas clásicos""
""3 Rentas financieras""
""4 Préstamos""
""5 Operaciones de constitución""
""6 Empréstitos""
""7 Miscelánea""
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Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras Juan García Boza Alicia Déníz Tadeo Lourdes Jordán Sales Rosa María Cáceres Apolinario Octavio Maroto Santana

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

JUAN GARCÍA BOZA

ALICIA DÉNIZ TADEO

CATEDRÁTICO DE ECONOMÍA FINANCIERA Y CONTABILIDAD DE LA UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA

PROFESORA TITULAR DE E.U. DE ECONOMÍA FINANCIERA Y CONTABILIDAD DE LA UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA

LOURDESJORDÁNSALES ROSA MARÍA CÁCERES APOLINARIO OCTAVIO MAROTO SANTANA PROFESORES DE ECONOMÍA FINANCIERA Y CONTABILIDAD DE LA UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

/

EDICIONES PIRAMIDE

COLECCIÓN «ECONOMÍA Y EMPRESA» Director:

Miguel Santesmases Mestre Catedrático de la Universidad de Alcalá

Edición en versión digital

Está prohibida la reproducción total o parcial de este libro electrónico, su transmisión, su descarga, su descompilación, su tratamiento informático, su almacenamiento o introducción en cualquier sistema de repositorio y recuperación, en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, conocido o por inventar, sin el permiso expreso escrito de los titulares del copyright.

© Juan García Boza, Alicia Déniz Tadeo, Lourdes Jordán Sales, Rosa María Cáceres Apolinario y Octavio Maroto Santana, 2016

© Primera edición electrónica publicada por Ediciones Pirámide (Grupo Anaya, S. A.), 2016 Para cualquier información pueden dirigirse a [email protected] Juan Ignacio Luca de Tena, 15. 28027 Madrid Teléfono: 91 393 89 89 www.edicionespiramide.es ISBN digital: 978-84-368-3556-4

índice

Prólogo..............................................................................................................

9

1.

Fundamentos ..........................................................................................

11

2.

Sistemas clásicos ....................................................................................

33

3.

Rentas financieras .................................................................................

61

4.

Préstamos .................................................................................................

83

s. Operaciones de constitución ............................................................

115

6.

Empréstitos .............................................................................................. 135

7.

Miscelánea................................................................................................. 167

8.

Problemas propuestos ........................................................................ 187

Bibliografía ....................................................................................................... 207

© Ediciones Pirámide

7

Prólogo

Con el presente libro pretendemos ofrecer, a nuestros alumnos y demás personas interesadas en el análisis de las operaciones financieras desde la óptica cuantitativa, un conjunto seleccionado de problemas cuya resolución razonada les permita complementar y afianzar los conocimientos adquiridos en las enseñanzas teóricas. También les posibilitará ejercitarse en el planteamiento y resolución de distintas problemáticas financieras, las cuales les servirán de eficaz ayuda para cuando en el ejercicio profesional deban enfrentarse a situaciones reales en el ámbito financiero y tomar decisiones en el mismo. Este trabajo está destinado a los alumnos matriculados en los estudios de Diplomatura en Ciencias Empresariales, Licenciatura en Economía, Licenciatura en Administración y Dirección de Empresas, así como a todas aquellas personas que deseen preparar oposiciones en distintos ámbitos de la Administración. El capítulo 1 lo destinamos a resolver problemas relativos a leyes financieras, suma financiera, postulado de equivalencia, saldo financiero y magnitudes derivadas. En el capítulo 2 abordamos un conjunto de problemas relacionados con la capitalización simple, la capitalización compuesta, los tantos equivalentes, los sistemas y operaciones de descuento. Planteamos y resolvemos problemas de cálculo del valor actual, del valor final, tantos nominales y efectivos, descuento de letras financieras, liquidación de cuentas corrientes y de crédito, etc. En el capítulo 3 resolvemos problemas relativos a las distintas modalidades de rentas financieras, que posibilitan abordar con suficientes conocimientos prácticos los restantes capítulos en los que el dominio de la valoración de rentas se hace imprescindible. En este sentido, se resuelven problemas relativos al cálculo del valor actual y final de diversas clases de rentas. © Ediciones Pirámide

9

Prólogo

En los problemas que resolvemos en el capítulo 4 se aborda una amplia problemática relacionada con las operaciones de amortización de préstamos: cálculo de los términos amortizativos, cuotas de amortización, saldos, cancelación anticipada, etc. Se analizan distintos sistemas de amortización (francés, de cuota de capital constante, americano, de términos variables en progresión, con tipos de interés variables, etc.). También se realizan problemas relacionados con los préstamos hipotecarios, cálculo de los tantos efectivos así como de la valoración financiera de los préstamos y su descomposición en usufructo y nuda propiedad. Los problemas resueltos en el capítulo 5 hacen referencia a la problemática relacionada con las operaciones de constitución o de formación futura de capitales, tanto en su vertiente de imposiciones prepagables como en la relativa a las imposiciones pospagables. Analizamos en dicho capítulo el cálculo del valor constituido, la cuantificación de los términos constitutivos, la cuota de constitución, problemas relacionados con los planes de pensiones, rentabilidad financiero-fiscal, etc. El capítulo 6 lo dedicamos a los problemas relacionados con la amortización de empréstitos, resolviendo la problemática relativa tanto a los empréstitos normales como la relacionada con aquellos emitidos con diversas características comerciales (lote, prima de amortización, pérdida del cupón, etcétera). Se estudia el cálculo del término amortizativo, del número de títulos amortizados en cada período, los tantos efectivos (activo, pasivo y de rendimiento), etc. En el capítulo 7 analizamos un variado conjunto de problemas en los que combinamos cuestiones diversas en un mismo ejercicio. Finalmente, en el capítulo 8 proponemos una serie de problemas diversos de los cuales sólo exponemos el resultado correspondiente, dejando para el lector el desarrollo del proceso de resolución.

10

© Ediciones Pirámide

Fundamentos

• • • • • •

Leyes financieras. Suma financiera. Postulado de equivalencia financiera. Saldo financiero. Factores, réditos y tantos. Intereses y descuentos.

1.1

¿En qué condiciones la siguiente expresión F(t;p) =a+ k(p- t) 2 puede considerarse como ley financiera de capitalización?

RESOLUCIÓN Para que la expresión matemática dada pueda ser tomada como ley de capitalización es necesario que cumpla cada una de las propiedades correspondientes a las leyes financieras. Cuando no existe tiempo interno, o lo que es lo mismo t =p, la ley debe tomar el valor 1, por lo que se cumple: F(p,p)

= F(t;t) = a+k(p-p) 2 = 1 =>

a= l

Otra propiedad a verificar es que toda ley financiera ha de tomar valores positivos, o sea, F(t;p) > O, por lo que tenemos: l+k(p-t) 2 > Q

=>

-1 k>--(p- t)2

Además, las leyes financieras de capitalización siempre han de tomar un valor mayor que la unidad, verificándose: 1 + k(p - t) 2 > 1

=>

k >o

Teniendo en cuenta las dos limitaciones del valor de k, para que ambas se cumplan conjuntamente, se ha de verificar que k ha de ser positivo. La si© Ediciones Pirámide

13

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

guiente propiedad que hay que verificar es si la función es creciente con p y decreciente con t. Para que se cumpla lo anterior es necesario que la derivada de la función con respecto a p sea positiva, y negativa con respecto a t. Por tanto, se cumple: O. Vamos a demostrarlo para cada uno de los valores de a y c. Para a= 1 y e= O, al sustituir en la expresión de F(t;p), nos queda: b>

-1 5

t -p

5

Si sustituimos los demás valores de a y e nos da el mismo resultado, lo que significa que la expresión será positiva siempre y cuando se verifique la inecuación precedente. Además de las propiedades expuestas, es preciso demostrar que la ley financiera de descuento es menor que uno, o sea, A(t;p) < 1. Al sustituir cada uno de los valores de a y e, obtenemos que esta propiedad se verifica siempre que b < O. La siguiente propiedad a verificar es, por un lado, que la función sea creciente con p, o sea, que la derivada de la función con respecto a p sea positiva: aF(t;p) > O ap

lo que se verifica, pues: aF(t;p) ap

= -5

P

4b > O

,

si b < O

Y, por otro, que la función sea decreciente con respecto a t, es decir, la derivada parcial de la función con respecto a t ha de ser negativa: aF(t;p) < O at

Por tanto: aF(t;p) at © Ediciones Pirámide

= 5t4b < O '

si b < O

15

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

La última propiedad es la de continuidad de la función. Esta propiedad no hace falta demostrarla puesto que al ser la función derivable, como podemos apreciar por el apartado anterior, la función es continua. Con lo expuesto queda demostrado que la expresión dada es una ley financiera de descuento con las siguientes condiciones:

o< p < t a=l => c=O A(t;p)

= a+b(ts -ps)+c

a= -1 => e= 2 a=O => c=l

s

-1

t - p

1.3

s p

RESOLUCIÓN De acuerdo con el concepto de suma financiera, se verifica:

= Proy P(537.000,q) 100.000[1 + 0,15(10- 8)] + 500.000[1- 0,10(14-10) = 537.500F(q;l0) Proy /100.000,8) + Proy P(500.000,4)

De donde se obtiene: F(q;lO) = 0,80 © Ediciones Pirámide

17

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

que al ser inferior a la unidad corresponde a una ley financiera de descuento, verificándose: 0,80

= 1- O,lO(q-10)

Se obtiene como solución

q = 12

1.5

Determinar la cuantía X del capital financiero (X, t + 5) a fin de que el mismo sea suma financiera de (500.000, t + 2) y (700.000, t + 6), de acuerdo con la ley L(t;p) = 1 + a(p - t), con p = t + 7. Se sabe, además, que los capitales (300.000, t + 1) y (400.000, t + 4) son equivalentes de acuerdo con la ley dada.

RESOLUCIÓN Al ser equivalentes los capitales (300.000, t + 1) y (400.000, t + 4), sus proyecciones en el punto p serán iguales, por lo que se cumple: 300.000[1 + a(t + 7 - t -1)]

= 400.000[1 + a(t + 7 - t -

4)]

De donde se obtiene el valor de a = 1/6. Aplicando el concepto de suma financiera: Proy P(X,t + 5) = Proy /500.000,t + 2) + Proy P(700.000,t + 6) se obtiene una ecuación en X de solución X = 1.300.000

1.6

Sea la operación financiera integrada por los conjuntos de capitales siguientes: -

18

Prestación: {(30, O); (40, 1); (Y, 7)}. Contraprestación: {(60, 6); (180, X)}. © Ediciones Pirámide

Fundamentos

La ley financiera completa de valoración es la siguiente: F(t·p) '

={

1 + 0,12(p - t), si t < p

1- O,lO(t - p), si t > p

=5 =5

Con dicha ley se sabe que los capitales (140, 10) y (9 + Y, X) son equivalentes. Hallar los valores X e Y.

RESOLUCIÓN De acuerdo con el postulado de equivalencia financiera, para la operación dada se verifica que la suma financiera de los capitales que componen la prestación ha de ser igual a la suma financiera de los capitales que componen la contraprestación. Por tanto: 30[1 + 0,12(5 - O)]+ 40[1 + 0,12(5 -1)] + Y[l - 0,10(7 - 5)]

= 60[1- 0,10(6 -

=

5)] + 180F(X;p)

Al despejar se obtiene: F(X- p) '

= _53_,2_-_0_,S_Y 180

Como además sabemos que los capitales (140, 10) y (9 + Y, X) son equivalentes, se verifica: Proy /140, 10) = Proy P(9 + Y, X) 140[1- 0,10(10 - 5)]

= (9 +Y)· F(X;p)

Despejando obtenemos 70 F(X;p)=9+Y Tenemos así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que al resolver nos da F(X;p) © Ediciones Pirámide

= 0,7 < 1 19

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

por lo que al ser menor que la unidad la ley que le corresponde es una de descuento, verificándose: 0,7 = 1- O,lO(X - 5) De donde se obtiene X = 8, y sustituyendo en cualquiera de las anteriores ecuaciones, tenemos que Y=9l

1.7

Una operación financiera se acuerda valorar con la siguiente ley de descuento y con su prolongada: A(t;p) = 1 - 0,15(t- p) para t > p = 6. Los capitales que componen dicha operación son: -

Prestación: {(40, O); (50, 2); (X, 8) }. Contraprestación: {(100, 7); (80, Y)}.

Además, se sabe que con la ley completa de valoración aplicada, los capitales (110, 9) y (25 + X, Y) son equivalentes. Hallar X e Y, y las reservas o saldos financieros en 8 en función de lo obtenido en 4.

RESOLUCIÓN De acuerdo con el concepto de ley financiera prolongada, la expresión analítica de la ley completa es única: F(t;p)

= 1- 0,15(t- p)

Vt

Por tanto, aplicando el postulado de equivalencia financiera obtenemos la siguiente ecuación: 40[1- 0,15(0 - 6)] + 50[1- 0,15(2 - 6)] + X[l - 0,15(8 - 6)]

= 100[1- 0,15(7 -

=

6)] + 80[1- 0,15(Y - 6)]

Sabemos además que los capitales (110, 9) y (25 + X, Y) son equivalentes, por lo que se verifica: 110[1- 0,15(9 - 6)]

20

= (25 + X)[l - 0,15(Y - 6)] © Ediciones Pirámide

Fundamentos

Tenemos, por tanto, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que al resolver nos da: X= 28,29;

Y= 5,10

Para calcular la reserva en 8 en función de la calculada en 4, hemos de obtener previamente ésta. Para ello, utilizando el método retrospectivo:

tal que S~ = O, ya que hasta el punto 4 no hay capitales de la contraprestación. Para calcular S1 aplicamos el concepto de suma financiera, verificándose: (S1 ,4)

= (40,0) + (50,2)

=>

S1

= 120

por lo que la reserva en 4 es 120 favorable a la prestación. En el punto 8 vence un capital, por lo que podemos distinguir entre reserva o saldo financiero a la izquierda y saldo a la derecha. El saldo financiero a la izquierda es:

verificándose: cs1-, 8) = c120, 4)

y

es;-, 8) = (80, 5,10) + c100, 7)

Al realizar operaciones se obtiene:

s¡

=

222,85;

s;- = 251,14

=>

Ri

=

-28,29

En cuanto a la reserva a la derecha, se verifica:

por lo que

quedando la operación saldada. © Ediciones Pirámide

21

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

1.8

Dada la ley financiera L(t;p) =a+ b(p- f), con p = 12, se sabe que el rédito de contracapitalización para el intervalo temporal de extremos f 1 = 2 y f 2 = 8 vale 0,30. Hallar a y b.

RESOLUCIÓN Según una de las propiedades de las leyes financieras, cuando no existe tiempo interno la ley ha de valer la unidad, por lo que se verifica: L(p;p) = L(t;f) =a+ b(p - p) = 1

obteniéndose a

= l. En consecuencia, la expresión de la ley es: L(t;p)

= 1 + b(p -

f)

Para hallar b tenemos en cuenta la fórmula del rédito de contracapitalización y sustituimos en la misma:

*

. _

r (t1,f2 ,p)-l-u b

1.9

*(f ,f .,p)-l_ L(t2 ;p) 1

2

L(f1 ;p)

_

-1-

l+b(12-8) _ -0,3 l+b(12-2)

~

= 0,1

Dada la ley financiera L(t,p) = (1 + i)(p-t)2 con p = t0 + 9, se sabe que sobre el capital (X, t 2 ) con t 2 = t0 + 2, se obtienen unos intereses de 38.869 u.m. en f 5 = f 0 + 5. Calcular X e i teniendo en cuenta que el tanto de capitalización correspondiente al intervalo t4 = f0 + 4, f6 = f0 + 6 vale 0,0862893230.

RESOLUCIÓN El tanto de capitalización correspondiente al intervalo (t4 , t6 ) es el siguiente:

i

22

= 0,01

© Ediciones Pirámide

Fundamentos

Para calcular X sabemos que el interés verifica:

Al sustituir en la expresión del rédito llegamos a una ecuación cuya solución es X= 100.000

Dos personas A y B acuerdan realizar la siguiente operación financiera: A entrega a B los siguientes capitales financieros: {(X, Y); (300.000, 8)}. A recibe de B el siguiente capital financiero: {(500.000, 3)}. La ley financiera pactada es:

1.10

F(t· p)

'

={

a+ 0,15(p - t), si t < p

=6

1- 0,13(t- p), si t > p

=6

Sabiendo que, con la ley anterior, el capital (664.490; 4,5) es la suma financiera de los capitales (400.000, Y) y (200.000, 7), determinar: a) b)

e)

Valores de X e Y. Reserva matemática en 7 de la operación pactada entre A y B. Interpretación económica de la reserva calculada en el punto anterior.

RESOLUCIÓN En la ley financiera pactada para t < p = 6, no conocemos el valor de a. Para determinarlo tenemos en cuenta que se verifica: F(p;p)

= F(t;t) = 1

obteniéndose a = 1, por lo que la ley a aplicar para t < p es 1 + 0,15(p - t) © Ediciones Pirámide

23

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras a)

Según el concepto de suma financiera se verifica: Pro y P ( 664.490; 4,5)

= Proy P ( 400.000, Y) + Proy P (200.000, 7)

Por lo que: 664.490[1 + 0,15(6 - 4,5)]

= 400.000F(t;p) + 200.000[1- 0,13(7 -

6)]

Por tanto: F(t;p)

= 1,6 > 1

por lo que es una ley de capitalización, siendo: 1,6

= 1 + 0,15(6 -

=>

Y)

Y= 2

Conocido el valor de Y, al aplicar el postulado de equivalencia financiera entre la prestación y la contraprestación, hallamos X: X[l + 0,15(6 - 2)] + 300.000[1- 0,13(8 - 6)]

=>

= 500.000[1 + 0,15(6 -

3)]

X= 314.375

b) Para calcular la reserva matemática en 7 tenemos en cuenta el gráfico de la operación: X

300.000

y

8

Prestación:

500.000 Contraprestación: 3

Utilizando el método retrospectivo calculamos la diferencia entre la suma financiera en 7 de los capitales vencidos de la prestación y los de la contraprestación:

24

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Fundamentos

Las expresiones analíticas de la suma financiera de los capitales vencidos de la prestación y contraprestación son respectivamente: S1[1- 0,13(7 - 6)] = 314.375[1 + 0,15(6- 2)]

=>

S1 = 578.161

S{[l - 0,13(7 - 6)] = 500.000[1 + 0,15(6 - 3)]

=>

S{ = 833.333

La reserva en 7 es: R7

= 578.161- 833.333 = -255.172

e) El valor negativo de la reserva nos indica que la diferencia es a favor de la contraprestación, o sea, si en el momento 7 se cancela la operación con la misma ley financiera inicialmente pactada, 255 .172 es la cantidad que el prestamista ha de entregar al prestatario, para que se siga cumpliendo el postulado de equivalencia financiera.

1.11

Dada la ley financiera L(t;p) =a+ O,lO(p - t) con p = t + 2n, se sabe que el factor de capitalización para el intervalo (t, t + h) vale 1/0,7, y que el rédito de contracapitalización del intervalo (t, t + n) importa 0,4. Hallar h y n.

RESOLUCIÓN En la ley financiera pactada no conocemos el valor de a, por lo que teniendo en cuenta la propiedad de inexistencia de tiempo interno L(p;p) = L(t;t)

=1

se obtiene a= l, por tanto, la ley es: L(t;p)

= 1 + O,lO(p- t)

Sabemos que el factor de capitalización verifica: u(t,t + h;p) = L(t1 ;p) = 1 + O,lO(t + 2n - t) L(t2 ;p) 1 + O,lO(t + 2n- t- h) © Ediciones Pirámide

1 0,7

=>

h = 0,6n + 3

25

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

En cuanto al rédito de contracapitalización tenemos: r *( t,t + n;p ) = 1 -

l+0,10(t+2n-t-n) 1 + O,lO(t + 2n - t)

= 04 , =>

n

= 20

Por lo que se obtiene h = 15.

1.12

Dada la ley financiera L(t;p) =a+ b(p2 - r) con p = 20, se sabe que el rédito acumulado asociado al intervalo temporal de extremos t2 = 3 y t3 = h vale 0,016. Además, con la ley citada, el capital (10.000, t2 = 3) es suma financiera de (5.000, t4 = 5) y (5.025, t 1 = O). Hallar el valor de h.

RESOLUCIÓN Al desconocer en la ley financiera pactada el valor de a, aplicamos la propiedad de inexistencia de tiempo interno, verificándose: L(p;p) = L(t;t) =a+ b(p 2

-

p2) = 1

=>

a= 1

Por tanto, la expresión de la ley es: L(t;p)

= 1 + b(p2 -

t2 )

Atendiendo al concepto de suma financiera, se verifica: 10.000[1 + b(20 2

= 5.000[1 + b(20 2 => b = 0,001 -

32 )]

52 )] + 5.025[1 + b(202

-

O)]

Sabemos que el rédito acumulado verifica la siguiente igualdad: ~(t2 ,t3 ;p)

=> 26

h

= L(t2 ;p)- L(t3 ;p) = 1 + b(20 2 -3 2 )-[l + b(20 2 -h 2 )] = 0,016 =5 © Ediciones Pirámide

Fundamentos

Sea la operación financiera integrada por los conjuntos de capitales siguientes:

1.13

-

Prestación: {(X, 3); (150, 4)}. Contraprestación: {(125, 5); (90, 6); (Y, 7)}.

Sabemos que el tanto instantáneo acumulado de la ley financiera de capitalización aplicada a la citada operación es µ(t;p) = k. Además, el interés anticipado en el intervalo (4, 5) del capital financiero (200, 5) vale 200/11, y la reserva a la derecha de 6 es igual a 790/9. Siendo el punto de aplicación de la ley 10, hallar X.

RESOLUCIÓN En primer lugar hemos de obtener la ley financiera de capitalización a través del tanto instantáneo acumulado, la cual verifica: L(t;p)=l+ rµ(x;p)dx=l+ rkdx=l+k(p-t) Para una correcta definición de la ley de valoración, hemos de conocer el valor de k, el cual lo podemos obtener a través del interés anticipado que se cita en el enunciado: l* =

=

C·

r*(t t · ) = 1 ' z,P

200 11

===}

k

C·[1- L(tz;p)l L(t ;p)

= 200.

1

[1- 1l++ k(lO - 5)] k(l0-4)

=

= 0,2

Por lo que la ley de valoración es: L(t;p)

= 1 + 0,2(p -

t)

con p = 10. Por otra parte, sabemos que el valor de la reserva a la derecha de 6 es 790/9, por lo que utilizando el método retrospectivo es

© Ediciones Pirámide

27

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

siendo: (S(,6) = (X,3) + (150,4) ::::} S;(l+0,2(10-6)]=X[l+0,2(10-3)]+150[1+0,2(10-4)] +

::::} S1

2,4X +330 =--1,8

(S{+,6) = (125,5) + (96,6) ::::} S¡+[l+0,2(10-6)]=125[1+0,2(10-5)]+90[1+0,2(10-6)]

::::} s;+ = 228,s -n+ = 790 = 2,4X + 330 _ 228 S

-"6

1.14

18 '

9

,

::::}

X= lOO

El tanto instantáneo de capitalización de un sistema financiero ampliamente multiplicativo es p(t;p) = 0,02kt + 0,02. Calcular el interés acumulado correspondiente al intervalo (y, 8), del capital (100, y), sabiendo que el factor de capitalización asociado al intervalo (y, 5) es 1,061837, siendo p = 10.

RESOLUCIÓN En un sistema ampliamente multiplicativo el tanto instantáneo decapitalización es constante, por lo que el parámetro k ha de valer O, siendo p(t;p) = 0,02

A partir del valor anterior determinamos la ley financiera correspondiente al mismo, verificándose: p I.p 0,02dx I. p(x;p)dx L(t;p) =e, =e ,

= eº·º2(p-t)

Para obtener el valor del vencimiento partimos del factor de capitalización asociado al intervalo (y, 5), cumpliéndose: L(t¡;p)

u(t1 ,t2 ;p) =

28

L(t2 ;p)

eo.02(10-yJ

=

002 (IO - S)

e ·

= 1,061837

::::}

y= 2

© Ediciones Pirámide

Fundamentos

El interés acumulado del capital (100, 2) en el intervalo(2, 8) se obtiene de la expresión: IP IP

= C · ~(t1 ,t2 ;p) = 100 · ~(2,8;10) = 100[eº,02(1o- 2 J = 13,27

e 0 ,02

Y= 100

De acuerdo con el postulado de equivalencia financiera, en toda operación financiera ha de cumplirse que la suma financiera de los capitales de la prestación ha de ser igual a la suma financiera de los capitales de la contraprestación: 100[1 + 0,10(10 2

-

0 2 )] + 150[1 + 0,10(10 2

=>

-

52 )]

= 200[1 + 0,10(10 2 -

32 )] + X

X= 355

Por último, calculamos la reserva a la izquierda del punto 5 utilizando el método prospectivo:

siendo el gráfico de la operación el siguiente: 100

150

o

5

Prestación:

200

355

5

10

Contraprestación:

Las expresiones analíticas de las sumas financieras son, respectivamente:

= (355, 10) => (S2,5) = (150,5) =>

(St, 5)

30

St ·[l + 0,10(10

= 355[1 + 0,10(10 2 -10 2 )] S2 · [1 + 0,10(10 2 -5 2 )] = 150[1 + 0,10(10 2 -5 2 )] 2 -

52 )]

© Ediciones Pirámide

Fundamentos

Resolviendo, obtenemos:

St

1.16

= 41,764;

S2 = 150

=>

R5 = 41,764-150 = -108,24

El tanto instantáneo acumulado correspondiente a una ley de capitalización perteneciente a un sistema simplemente sumativo viene dado por la siguiente expresión: µ(t;p) = 3t2 + 2t + K(p- t). Tomando p = 3, determinar Proy/100, O).

RESOLUCIÓN El tanto instantáneo acumulado de un sistema simplemente sumativo ha de ser siempre independiente del punto p, por ello, para que se cumpla esta propiedad, K ha de tomar el valor cero en la siguiente expresión µ(t;p)

= 3t2 + 2t + K(p -

t)

En consecuencia, el tanto instantáneo acumulado viene dado por la siguiente expresión: µ(t;p)

= 3t2 + 2t

Para calcular la proyección de un capital en punto fijo p es necesaria la expresión de la ley financiera, la cual se puede obtener a través del tanto instantáneo acumulado: L(t;p)

= 1+

r

µ(x;p)dx

Sustituyendo en la expresión anterior, se obtiene la ley financiera: L(t;p)

= 1 + J:(3x 2 + 2x)dx = 1 + (p3 -

t 3) + (p 2

-

t2)

La proyección del capital (100, O) en el punto p = 3 es: Proy /100, O) © Ediciones Pirámide

= 100[1 + (33 - 0 3) + (32 - 0 2 )] = 3.700 31

Sistemas clásicos

• Capitalización simple: valor actual, valor final e intereses. • Capitalización compuesta: valor actual, valor final e intereses. • Tantos efectivos, nominales y equivalentes en capitalización compuesta. • Descuento simple comercial. • Descuento financiero. • Cuentas corrientes y cuentas de crédito.

2.1

Dos capitales X e Y colocados en capitalización simple producen trimestral y cuatrimestralmente intereses por valor de 3.600 u.m. y 9.600 u.m. respectivamente. Si el tipo de interés en ambas operaciones es del 18% anual, calcular los valores de X e Y.

RESOLUCIÓN Sabemos que los intereses producidos en un sistema de capitalización simple por los capitales X e Y son proporcionales al tipo de interés utilizado para su cálculo, a la duración de la operación, así como a la cuantía del capital correspondiente, es decir I = C0 · n · i

En consecuencia, se verifica:

2.2

© Ediciones Pirámide

1 3.600 =X· 4 · 0,18

=>

X= 80.000

1 9.600=Y·-·0,18 3

=>

Y= 160.000

Un capital de 100.000 u.m. se coloca al 10% anual durante un cierto tiempo. Al término de dicho plazo, el montante obtenido se impone al 12% anual y por un tiempo superior en seis meses al de la anterior imposición. Sabiendo

35

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

que la nueva colocación produce un interés de 27.600 u.m., se pide calcular la duración de la primera colocación. Ambas operaciones se realizan según el sistema de capitalización simple.

RESOLUCIÓN La primera operación consiste en la colocación de 100.000 u.m. durante n períodos al 10% anual, por lo que el montante obtenido es:

en = 100.000(1 + 0,10 · n) La segunda operación consiste en imponer el montante obtenido en la operación anterior durante n + 6 meses al 12% anual, por lo que se verifica: 27.600 = 100.000(1 + O,lOn)( n + 1~)0,12

2.3

::::}

n = 1,5 años

Sea una operación financiera concertada con un tipo de interés del 24% bienal convertible cuatrimestralmente. Determínese para dicha operación: a) b)

El interés trienal acumulable cada 18 meses. El montante de un capital de 100.000 u.m. al cabo de 30 meses.

RESOLUCIÓN a) Conocemos el tanto nominal J(m) = 24% bienal convertible cuatrimestralmente, por lo que el tanto del subperíodo correspondiente al mismo es el siguiente: J(m) 0,24 . i ( m ) = - - = - - = O 04 cuatnmestral

m

6

'

Para determinar el tipo de interés trienal acumulable cada 18 meses es necesario determinar previamente el tipo de interés cada 18 meses equiva-

36

© Ediciones Pirámide

Sistemas clásicos

lente al cuatrimestral se verifica:

i(ml;

sabiendo que en 18 meses hay 4,5 cuatrimestres,

(1 + {ml) 4 •5 = (1 + i(k))

=>

i(kl

=>

(1 + i(k)) = (1 + 0,04) 4 •5

=>

= 0,1930 cada 18 meses

Como en un período trienal hay dos períodos de 18 meses, la frecuencia de capitalización es igual a 2, por lo que el tanto trienal convertible cada 18 meses es: J(k) -- z·(k) • k J(k)

= 0,1930 x 2 = 0,3860 trienal convertible cada 18 meses

b) Para calcular el montante pedido, tomamos el tanto i

=> i( 4 l

(1 + 0,125508824) = (1 + i( 4 )) 4

=>

= 0,03 trimestral

El tipo de interés nominal semestral convertible trimestralmente J(m) es el resultado de multiplicar el tipo de interés efectivo trimestral por el número de trimestres existentes en un semestre, o sea, el tipo de interés J X

=>

= -10.000

La tabla siguiente refleja la evolución del saldo, así como los correspondientes números comerciales: Fecha

Debe/Haber

Saldo

Días

31/03 01/04 10/04 30/04 20/05 31/05 15/06 25/06

-10.000 -10.000 30.000 -130.000 30.000 -850.000 -110.000 250.000

-10.000 -20.000 10.000 -120.000 -90.000 -940.000 -1.050.000 -800.000

1 9 20 20 11 15 10 5

2.400.000 990.000 14.100.000 10.000.000 4.000.000

91

31.680.000

Sumas

58

-

-

N.º deud.

10.000 180.000 -

N.º acreed.

-

N.º exceso

-

200.000

-

-

-

-

-

-

-

-

500.000

-

200.000

500.000

© Ediciones Pirámide

Sistemas clásicos

Los divisores fijos para cada uno de los tres tipos de saldos, acreedor (Da), deudor (Dd) y por el exceso sobre el límite (De), son los siguientes: 360 Dd = - - = 5.000 0,072

D = 360 = 20.000

ª

0,018

D e

= 360 = 2.000 0,18

Los intereses correspondientes a cada saldo son: i = 200.000 = 10

ª

20.000

i = 31.680.000 = 6.336 d

5.000

i = 500.000 = 250 e

2.000

La cuantía del saldo medio no dispuesto, obtenido como la diferencia entre el límite impuesto por la entidad prestamista y el saldo dispuesto por la entidad prestataria, es:

snd

=

1.000.000 - 31.680.000 + 500.000 = 646.374 91

El saldo medio dispuesto se ha obtenido dividiendo el total de números deudores y por rebasamiento entre el número total de días desde la anterior liquidación. Por tanto, la comisión por disponibilidad será el 2% de 646.374, o sea, 12.927 u.m. En cuanto a la comisión por rebasamiento del límite impuesto por la entidad prestamista, ésta será el 1% del saldo por exceso que haya tenido la entidad prestataria, el cual es de 50.000. Por tanto, esta comisión importará 500 u.m. Una vez calculadas todas las cuantías que intervienen en la liquidación de la cuenta, el saldo final es: S = -800.000 + 10 - 6.336 - 250 -12.927 - 500 = -820.003

© Ediciones Pirámide

59

Rentas financieras

• • • • • •

Rentas Rentas Rentas Rentas Rentas Rentas

prepagables y rentas pospagables. constantes. inmediatas, diferidas y anticipadas. variables en progresión aritmética. variables en progresión geométrica. fraccionadas.

Una empresa adquiere una maquinaria, a la que se le estima una vida útil de 10 años, abonando 4.000.000 de u.m. de entrada y al final de los siguientes cuatro años, 2.000.000 de u.m. Sí con dicha máquina se obtienen unos ingresos anuales de 3.000.000 de u.m. durante su vida útil y al final de la misma puede ser vendida en 1.000.000 de u.m., calcular el beneficio actualizado para un tipo de interés del 9% anual.

3.1

RESOLUCIÓN El beneficio actualizado viene dado por la diferencia entre el valor actual del conjunto de cobros y el del conjunto de pagos. Para los cobros tenemos:

Yo = 3.000.000aw]o,o9 + 1.000.000(1 + 0,09)- 1º = 19.675.384 El valor actualizado de los pagos es: V0

= 4.000.000 + 2.000.000a410,09 = 10.479.440

En consecuencia, el beneficio actualizado es 9.195.944 u.m.

3.2

Una persona deposita en una entidad financiera 2.000.000 de u.m. al 8% de interés. Al cabo de 5 años, con el montante constituido, compra una finca con la que obtiene al final de cada año una cuantía del 20% de su valor. Calcular:

© Ediciones Pirámide

63

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras a) b)

El valor de la finca en el momento de la compra. El valor final de los rendimientos obtenidos de la finca en los 10 primeros años, si éstos se han ido depositando en un banco al 7% de interés anual.

RESOLUCIÓN El valor de la finca en el momento de la compra será el valor que dentro de 5 años tenga el capital de 2.000.000 de u.m. siendo el tipo de interés el 8%: a)

Valor finca= 2.000.000(1,08) 5 = 2.938.656 b) Los rendimientos anuales de la finca importan el 20% de su valor, el cual permanece constante, por lo que anualmente los rendimientos serán de 587.731 u.m. Por tanto, si la persona que los obtiene los deposita en una determinada entidad financiera que los remunera al 7% anual, su valor final será:

V1 = 587.731s1010•07 = 8.120.358

3.3

De una renta semestral prepagable, de 12 años de duración, se sabe que el valor actual de los 10 primeros términos es de 4.217 .666 u.m. Calcular el valor final de dicha renta, sabiendo que la cuantía de cada uno de los términos semestrales correspondientes a los últimos 7 años es el triple de la de cada uno de los términos constantes de los 5 primeros años. Tipo de interés: 8% anual convertible semestralmente.

RESOLUCIÓN La representación gráfica es la siguiente: a

o

64

a

a

a

3a

3a

3a

2

9

10

11

23

24 semestres © Ediciones Pirámide

Rentas financieras El tanto semestral equivalente al señalado es el 4%. El valor actual de los diez primeros términos verifica: 4.217.666 =a· ªfolo, 04 (1,04)

obteniéndose a = 500.000 u.m. El valor de la renta al final del año 12 es: Yi.2

= 500.000sfolo,o/1,04)14 + l.500.000si4]0,04 = 39.346.542

Calcular el valor actual, de acuerdo con el correspondiente rédito, de las siguientes rentas:

3.4

a)

b)

400.000 u.m. cuatrimestrales, durante 5 años, venciendo la primera entrega dentro de un mes. Tipo de interés: 4% semestral. 500.000 u.m. con vencimiento dentro de 8 meses, y 15 términos trimestrales de cuantía constante de 100.000 u.m. cada uno, venciendo el primero dentro de 10 meses. Tipo de interés: 10% anual capitalizable semestralmente.

RESOLUCIÓN a)

o

Representamos gráficamente esta renta: 400.000

400.000

400.000

400.000

400.000

1/12

5/12

1

2

5 años

Necesitamos el tanto cuatrimestral equivalente al 4% semestral. Para ello planteamos la ecuación del tanto efectivo anual: 1,04 = [1 + i

/hl =

= 0,009853407 trimestral

0,017058525 trimestral © Ediciones Pirámide

Rentas financieras El valor actual de las 40 imposiciones se calcula como el valor actual de dos rentas fraccionadas anuales valoradas con dos tipos distintos. La primera renta fraccionada es inmediata y está constituida por 16 términos trimestrales, y la segunda renta fraccionada tiene 24 términos trimestrales y está diferida 4 años. En ambos casos las rentas correspondientes varían en progresión geométrica de razón 1,02. Para determinar el valor actual de una renta fraccionada prepagable i'Jrnl, calculamos primeramente el valor actual de la renta correspondiente V0 , siendo la relación entre ambas:

El valor actual de la primera renta fraccionada trimestral, sabiendo que el primer término de la renta correspondiente anual es 5.000 x 4 = 20.000, se obtiene según la expresión: ··

V,(m) o,1

=

4 x104--4] 004 ' 20.000[1-102 ' ' (1 009853407) = 76.592 0,009853407 X 4 1 + 0,04 - 1,02 ,

Para determinar el valor actual de la segunda renta fraccionada trimestral, tenemos que calcular el primer término de la renta correspondiente anual, siendo éste de 20.000(1,02)4. Dicho valor actual de la segunda renta fraccionada es: ..

V,(m ) 2

º·

6 x107-6 ] 007 [1-102 ' 20.000(102) 4 ' (1017058525)(104)--4= ' 0,017058525x4 ' 1+0,07-1,02 ' '

=96.382 El valor actual de la renta fraccionada se obtiene como suma de las dos anteriores, llegándose a 172.974. En consecuencia, el valor final es:

v;m)= 112.914c1,04)4o,01) 3•6

6

= 303.680

Sea una renta pospagable de duración 15 años valorada al 10% anual capitalizable semestralmente. Durante los ocho primeros, los términos son anuales y varían en progresión aritmética de razón 50.000 u.m. Pasados estos ocho

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67

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

años, los términos pasan a ser de frecuencia semestral, variando su cuantía un 3% acumulativo de semestre en semestre, siendo efectivo dicho incremento desde el primer término semestral. Calcular el valor actual de la renta sabiendo que el primer término anual es de 100.000 u.rn. de cuantía.

RESOLUCIÓN El tanto semestral semestralmente son: ( )

im

i(m)

y el anual

equivalentes al 10% anual convertible

J(m) 0,10 = -=- = O 05 semestral

2

m

1+ i

i

= (1 + 0,05) 2

'

:::::}

i

= 0,1025 anual

El valor actual de esta renta se obtiene corno suma de dos rentas:

siendo la primera variable en progresión aritmética y la segunda variable en progresión geométrica. El valor actual de la renta anual variable en progresión aritmética se calcula a través de la siguiente expresión:

Yo 1 = '

[ 100.000 + 50.000 X 8 +

50.000] ag1 01025 0,1025 ºI '

-

50.000 X 8 = 1.319.806 0,1025

El octavo término anual vale: 150.000 + 50.000(8 - 1) = 450.000

siendo, pues, el primer término semestral: 450.000 X 1,03 = 463.500

El valor actual de la renta semestral variable en progresión geométrica de razón 1,03 se calcula corno:

= 463.500[ 1 - (l,0 3)14 (l,05)-l 4 ](11025)-8 = 2.505.968

v;

º·

2

1,05 -1,03

'

Por tanto, el valor actual total es 3.825.774.

68

© Ediciones Pirámide

Rentas financieras Una persona tiene derecho a percibir de forma inmediata y durante 15 años una renta semestral prepagable, con cuantías constantes dentro de cada año, pero variables de un año a otro en un 5% acumulativo. Se sabe que la cuantía de cada semestre del tercer año es 1.102.000 u.m. Dicha persona está dispuesta a ceder su derecho a cambio de percibir 15 millones de u.m. hoy y una cuantía X al final del año 10. Calcular X considerando un tipo de interés del 6% anual capitalizable semestralmente.

3.7

RESOLUCIÓN Nos encontramos ante una operación financiera en la que se intercambian una renta fraccionada semestral por dos capitales: (15.000.000, O) y (X, 10). En toda operación financiera se debe verificar la equivalencia entre los capitales de la prestación y de la contraprestación, por tanto al igualar el valor actual de la renta con el valor actual de los dos capitales obtenemos una ecuación cuya incógnita es la cuantía X. Para ello, vamos a calcular primeramente el importe correspondiente al valor actual de la renta fraccionada. Los términos semestrales de la renta son constantes dentro de cada año pero varían en progresión geométrica de año en año siendo la razón q = 1,05. Los dos términos del tercer año tienen una cuantía de 1.102.000 u.m., obteniéndose los del primer año de la ecuación: a(l,05) 2 Los tantos semestral semestralmente son: ( )

im

= 1.102.500 => a= 1.000.000 i(m)

y anual

i

equivalentes al 6% anual convertible

J(m) 0,06 = -=- = O 03 semestral

m

2

1 + i = (1 + 0,03)2

'

=>

i = 0,0609 anual

Calculamos el valor actual de esta renta fraccionada prepagable semestral iiJrnl a partir del valor actual de la renta correspondiente anual V0 , la cual varía en progresión geométrica, verificándose:

© Ediciones Pirámide

69

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

La cuantía del primer término de la renta correspondiente es: 1.000.000 X 2 = 2.000.000

por lo que el valor actual de la renta fraccionada vale: = 0,0609 2.000.000[1-1,0515 X 1,0609-15 ](1,03) = 27.528.735

ii,(m)

0,03 X 2

o

1 + 0,0609 - 1,05

De acuerdo con el postulado de equivalencia financiera, al igualar el valor actual de la renta fraccionada al valor actual de los dos capitales, se obtiene: 27.528.735 = 15.000.000 + X(l + 0,0609r10

3.8

=>

X= 22.628.289

A fin de atender a los gastos de estudio de una determinada persona, el señor A concierta con la entidad B la siguiente operación financiera: A entrega a B durante 4 años cantidades semestrales, cada una superior a la anterior en 50.000 u.m. La primera entrega se efectuará inmediatamente y la última al finalizar los 4 años. Un mes después de la última entrega semestral, la entidad B comienza a pagar al estudiante cantidades mensuales e iguales a 60.000 u.m. durante todo el año, de forma que las del año siguiente superen a las del anterior en 10.000 u.m., es decir, 70.000 u.m. cada mes, y así sucesivamente en los siguientes años hasta cumplirse los cinco por los que se desea sufragar los estudios. Si el tanto de interés es el 8%, determinar el importe de la primera cantidad semestral que ha de entregar el señor A.

RESOLUCIÓN Las cantidades entregadas por A a B, se recogen en el siguiente gráfico: X

o

X+ 50.000 X+ 100.000

0,5

X +400.000

4 años

Vamos a determinar el valor en 4 de las cuantías entregadas por A, siendo el tipo semestral equivalente al 8% anual el 3,9230485%. Es preciso te-

70

© Ediciones Pirámide

Rentas financieras ner en cuenta que tales cuantías constituyen una renta semestral prepagable de 9 términos variables en progresión aritmética de razón 50.000. Dicho valor es: V:= [( X+ 4

X

50.000 + 50.OOO X 9 ) a - 50.000 X 9 ] 39230485 0,039230485 9lo,o 0,039230485

X

(l,039230485)(1,08)4

Las cantidades recibidas por A constituyen una renta fraccionada mensual de una anual variable en progresión aritmética de razón 120.000. Sabiendo que el tipo de interés mensual equivalente al 8% anual es el 0,643403% y que el tanto nominal anual convertible mensualmente es el 7,7208361 %, el valor en 4 de la renta fraccionada es: (m)

-

~e, d)¡¡¡; -

11(

~ 720.000 +

X

120.000 ) 120.000 X 5] 0,08 + 120.000 X 5 ªsi o.os 0,08 X

0,08 0,077208361

- - - - - = 3.895.373

Al igualar el valor en 4 de las cuantías entregadas con el de las cuantías recibidas, obtenemos X= 182.048 u.m.

Un señor desea comprar un piso y le ofrecen las modalidades de pago siguientes:

3.9

a) b)

© Ediciones Pirámide

Al contado en 6.000.000 de u.m. Entregando 800.000 u.m. de entrada, 700.000 u.m. dentro de 7 meses, y el resto abonando una renta bimensual de acuerdo con el siguiente plan: La cuantía de cada bimensualidad del primer año es de 50.000 u.m.; las cuantías del segundo año un 10% superiores a las del primero; las del tercero un 10% superiores a las del segundo, y así sucesivamente, de tal forma que la renta tenga una duración total de 10 años. El primer término de la misma se hace efectivo a los tres meses de haber abonado las 700.000 u.m. citadas anteriormente. 71

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

e)

Entregando 600.000 u.m. cuatrimestrales, durante 4 años, venciendo la primera entrega dentro de 3 meses. d) Entregando 4.000.000 de u.m. de entrada, y dentro de 5 años el valor en dicho momento de las cinco imposiciones prepagables anuales de 300.000 u.m. que desde este momento comienza a realizar en una determinada entidad. Dicha entidad abona unos intereses semestrales del 8%, pero con la obligación, por parte del impositor, de no retirar ni el capital ni sus intereses antes de los 5 años de haber efectuado la primera entrega. Desde el punto de vista financiero, ¿qué modalidad interesa al comprador, si éste dispone de los 6.000.000 de u.m. y puede colocar su dinero en el mercado al 15% anual?

RESOLUCIÓN Interesa aquella modalidad que tenga el menor valor actual calculado al 15% anual. Así tenemos: V0 = 6.000.000. El gráfico de los capitales es el siguiente:

a) b)

800.000 700.000

o

7

50.000

50.000

50.000

55.000

55.000

50.000 X X 1,109

10

12

20

22

24

128 meses

Para calcular el valor actual determinamos los tantos de los subperíodos correspondientes: 115 = [l + i(hl] 12 :::::} {hJ = O 011714917 mensual· ' ' ' (1 + 0,011714917) 2 = 1 + {m) {m) :::::}

J(m)

=

= 0,023567073 bimensual

:::::}

6 x 0,023567073 = 0,141402438 anual conv. bimens.

La renta bimensual, al considerar la pospagable, tiene el origen al final del mes 8 y su valor es: v;(m)

8

72

=

015

'

0,141402438

300.000

1-1110 x115- 10 ' ' 1,15 -1,1

= 2.284.118 © Ediciones Pirámide

Rentas financieras

En consecuencia, el valor actual de todos los capitales que componen esta alternativa es:

vó

=

800.000 + 700.000(1,011714917)-7 + 2.284.118(1,011714917)-8 =

= 3.526.105 e)

El gráfico de los capitales es el siguiente: 600.000

600.000

600.000

600.000

3

7

11

47 meses

o

El tipo de interés cuatrimestral equivalente al 15% anual es 4,7689553%. Como la renta es cuatrimestral y el primer término vence al final del tercer mes, el origen de la misma es en el mes -1. Su valor en dicho punto es:

600.000a1210,0416s9ss3 Por tanto, el valor actual en O es: V0 = 600.000a1210,04768955 /l,Oll 714917) = 5.451.051 d)

El gráfico correspondiente a las imposiciones es:

300.000

300.000

300.000

o

1

4

5 años

El tanto efectivo anual correspondiente a las imposiciones es el 16,64%. El valor en 5 de dichas imposiciones es:

Y:; = 300.000s510,1664 (1,1664) = 2.437.085,55 El valor actual de todos los capitales de esta alternativa es:

vó © Ediciones Pirámide

=

4.000.000 + 2.437.085,55(1,15f5 = 5.211.662

73

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

Si comparamos los valores actuales de cada uno de los apartados, el menor es el del apartado b).

3.10

Calcular el valor actual de cada una de las siguientes rentas: Renta de 10.000 u.m. trimestrales, durante ocho años y medio, venciendo el primer término dentro de cinco meses. Tipo de interés a aplicar: 10% anual convertible semestralmente. b) Renta de 10 términos cuatrimestrales de 20.000 u.m. cada uno, y 7 términos semestrales de 30.000 u.m. cada uno. El quinto término cuatrimestral vence dentro de 19 meses, y el cuarto término semestral vence transcurridos 20 meses del correspondiente vencimiento del último de los términos cuatrimestrales. Tipos de interés a aplicar: para los dos primeros años, el 10%; y para los siguientes, el 6% semestral acumulable trimestralmente.

a)

RESOLUCIÓN a)

La representación gráfica de esta renta es la siguiente:

o

10.000

10.000

10.000

10.000

10.000

5

8

11

14

107 meses

El tanto semestral correspondiente al dado es el 5%, cuyo equivalente trimestral es el 2,4695077%, y mensual 0,8164846%. Para calcular el valor actual necesitamos conocer el número de términos de la renta, que es 34, obtenido al multiplicar la duración 8,5 años por 4. El valor actual es: V0

= 10.000a3410,02469507/1,008164846)-2 = 224.583

b) Tenemos una renta que podemos descomponer en dos: una con términos cuatrimestrales y otra con términos semestrales. Precisemos el origen y el final de cada una de ellas. Renta cuatrimestral: Sabemos que son 10 términos y que el quinto vence en el mes 19, t5 = 19. Como los términos son cuatrimestrales, sus vencimientos varían en progresión aritmética de razón 4 meses, verificándose:

19 = t¡ + (3 -1)4

74

© Ediciones Pirámide

Rentas financieras de donde t 1 = 3. El vencimiento del décimo y último término verifica: t10

= 3 + (10 - 1)4

=>

f10

= 39

En cuanto a la renta semestral, sabemos que son 7 términos y que el cuarto término vence transcurridos 20 meses desde el vencimiento del último término cuatrimestral, por lo que vencerá en el mes 59. Como los vencimientos de esta renta varían en progresión aritmética de razón 6, para calcular el primer vencimiento hacemos: 59=T¡+(4-1)6

=>

T¡=41

El vencimiento del último término verifica:

T., = 41 + (7 -1)6 = 77 La representación gráfica de todos los términos es: 20.000

o

7

3

i = 0,1 anual

20.000

20.000

30.000

30.000

30.000

24

39

41

59

77 meses

J(m)

= 0,06 semestral cap. trimest.

Calculamos los tantos necesarios para la valoración de la renta. El equivalente cuatrimestral al 10% anual es 3,2280115%, y el mensual 0,797414%. Para el segundo tanto, el equivalente trimestral es el 3%, mientras que los equivalentes semestral, mensual y cuatrimestral son 6,09%, 0,9901634% y 4,0198683%, respectivamente. Por tanto, el valor actual de la renta es:

Yo = 20.000a610•03228011 /1,00797414) + + 20.000a410•04019868/l,040198683)(1,009901634)-3 (1,00797414f24 + + 30.000a7]o,o60/l,009901634)-11(1,00797414)-24

3.11

= 292.745

Un señor recibe en concepto de herencia una finca rústica cuyos rendimientos netos anuales ascienden a 1.200.000 u.m. Dicho señor realiza una operación con una entidad financiera a la que entrega la finca a cambio de una

© Ediciones Pirámide

75

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

cantidad X a percibir dentro de 20 años y de dos rentas, de acuerdo con las siguientes cláusulas: Renta cuatrimestral constante y pospagable, de cuantía 500.000 u.m., que empezará a percibir dentro de Y meses y con una duración total hasta el final del año 10. El sexto término de esta renta vence al final del año 3. b) Renta anual prepagable. El primer término de la renta es de 150.000 u.m., y cada año se incrementa el término, en relación con el del año anterior, en 12.000 u.m. El último término de la renta es de cuantía 246.000 u.m. El término de cuantía 174.000 u.m. se percibirá al principio del año 5.

a)

Suponiendo que el tanto de valoración de la operación sea del 10% anual, determinar la cuantía X a percibir por el citado señor dentro de 20 años.

RESOLUCIÓN El valor actual de los rendimientos de la finca es:

Yo

= 1. 200 ·000 =

0,1

12.000.000

Dicho valor actual ha de coincidir con la suma de los valores actuales de las dos rentas y de la cuantía X. En cuanto a la primera renta, sabemos que el sexto término vence al final del mes 36, y como los términos son cuatrimestrales, sus vencimientos varían en progresión aritmética de razón 4, por lo que se verifica: 36 =

t¡

+ (6 -1)4

:::::}

t¡ =

16

El vencimiento del último término es en el mes 120, por lo que el número de términos, 27, se obtiene de la expresión: 120 = 16 + (n -1)4 El gráfico correspondiente es:

o

76

12

500.000

500.000

500.000

500.000

16

20

24

120 meses © Ediciones Pirámide

Rentas financieras

Los tantos equivalentes al 10% anual son: 3,2280115% cuatrimestral y 0,797414% mensual. El valor actual es:

Va

=

500.000a2710 ,032280115 (1,l)- 1 = 8.109.445

Las cuantías de los términos de la segunda renta varían en progresión aritmética de razón 12.000. Sabemos que la cuantía 174.000 se percibe en el mes 48, por lo que se verifica: 174.000 = 150.000 + (s -1)12.000 y en consecuencia el término de cuantía 174.000 es el tercero, venciendo el primero al principio del año 3. Para calcular el número de términos de la renta sabemos que el último, de cuantía 246.000, verifica:

246.000 = 150.000 + (n -1)12.000

=>

n= 9

La representación gráfica de la renta es:

o

1

150.000

162.000

246.000

2

3

10 años

El valor actual de la renta es:

'7a

= [( 150.000 +

12.000

0,1

+ 12.000 X 9

)

ª§1o,1 -

12.000 X 9]

0,1

(1,1)

_1

= 997.192

Para determinar X podemos plantear la ecuación de equivalencia financiera al final del año 20 entre el valor de la finca en dicho año y la suma en el mismo de los valores de las rentas citadas y de la cuantía X: 12.000.000(1,1) 2º = (8.109.445 + 997.192)(1,1) 2º + X X= 19.465.103 © Ediciones Pirámide

77

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

3.12

Se tiene una renta pospagable, diferida, pagadera cada 1/m de año, durante 10 años. Las cuantías son constantes dentro de cada año, modificándose por períodos anuales de tal forma que el primer término de cada año es un 10% menor que el primer término del año siguiente. De esta manera se sabe que la suma aritmética de las cuantías que vencen en el primer año es de 120.000 u.m., y que el primer término vence en el mes m/3. Determinar el valor actual de la renta citada, sabiendo que el número m de subperíodos es el doble que el número de años de anticipación de una renta prepagable de 5.000 u.m. trimestrales, de cuatro años de duración y cuyo valor final es de 152.900 u.m. El tipo de interés de valoración es el 2% trimestral.

RESOLUCIÓN El tipo de interés anual equivalente al 2% trimestral se obtiene de la ecuación: (1 + 0,02) 4

= (1 + i)

i

===}

= 0,08243216 anual

Al conocer el valor final de una renta anticipada podemos determinar el número X de períodos de anticipación a través de la ecuación: 152.900 = 5.000s16]o,02(1 + 0,08243216l

:::::}

X= 6 años

Y en consecuencia, el número m de subperíodos de la renta fraccionada es el doble, o sea, 12, por lo que su periodicidad es mensual. Dado que la suma aritmética de las cuantías de los capitales que vencen dentro del primer año es de 120.000 y éstos son constantes, cada uno de ellos es de cuantía 10.000 u.m. Como los términos de cada año son inferiores en un 10% a los del año siguiente, la ley de variación de los mismos es

es+l -- 0,9 es Por tanto, nos encontramos con una renta fraccionada mensual de una anual siendo su renta correspondiente variable en progresión geométrica de razón

1

q= 09 , 78

© Ediciones Pirámide

Rentas financieras El tipo de interés nominal anual convertible mensualmente equivalente al 8,243216% anual se obtiene de las siguientes expresiones: (1 + i(ml)12 J(m)

= (1 + 0,08243216) => i(m) = 0,00662271 mensual = m · {m) = 12 X 0,00662271 = = 0,07947252 anual acumulable mensualmente

El valor actual de la renta señalada es:

Yo = 0,08243216 X 12 X 10.000 X 0,07947252

3.13

1- ( - 1 )10(l,08243216f10 0, 9 1 + O 08243216- - 1 09 ' ,

= 1.271.716

Calcular el valor actual de la siguiente renta: Términos trimestrales constantes pospagables de cuantía 100.000 u.m. cada uno y términos cuatrimestrales. El quinto término trimestral vence dentro de 20 meses. El primer término cuatrimestral es de cuantía 20.000 u.m., y cada término se incrementa, con respecto al anterior, en un 10% de la cuantía del primer término. El término cuatrimestral de cuantía 30.000 u.m. vence dentro de 47 meses. El primero de dichos términos vence 5 meses antes del correspondiente vencimiento del último término trimestral. El último término cuatrimestral es de cuantía 48.000 u.m. Tipos de interés a aplicar: hasta el mes 25, el 8,08% anual convertible semestralmente. Para el tiempo restante el 9,2727% anual.

RESOLUCIÓN Calculemos en primer lugar los vencimientos de los términos de ambas rentas. Así, el vencimiento del primer término de la renta trimestral es en el mes 8, deducido de la siguiente relación entre los vencimientos: t5

= 20 = t¡ + (5 -1)3

Para la renta cuatrimestral, podemos determinar el número m de términos teniendo en cuenta que las cuantías de los mismos varían en pro© Ediciones Pirámide

79

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

gresión aritmética de razón el 10% de la cuantía del primero, por lo que se verifica: 48.000

= 20.000 + 2.000(m -1)

=>

m

= 15

Como el término de cuantía 30.000 vence en el mes 47, podemos determinar qué orden ocupa el mismo, verificándose la siguiente ecuación: 30.000

= 20.000 + 2.000(s -

=>

1)

s

=6

Por tanto, el sexto término vence en el mes 47, pudiéndose determinar el vencimiento del primero a través de la ecuación: 47 = T¡ + 4(6 -1)

=>

T¡ = 27

En consecuencia, el primer término de la renta cuatrimestral vence en el mes 27 y como tiene 15 términos, el último vence en el mes 83 según se deduce de la ecuación:

7'¡ 5

= 27 + 4(15 -1)

Como el primer término de la renta cuatrimestral vence 5 meses antes del último trimestral, éste vence en el mes 32, lo que nos permite determinar el número n de términos de la renta trimestral a través de la relación: 32

= 8 + 3(n -1)

=>

n

=9

La representación gráfica de la renta trimestral, con cuantías en miles de u.m., es la siguiente:

o J(rn! =

100

100

100

8

11

14

0,0808 anual conv. semestralmente

25

100

100

100

26

29

32 meses

i = 0,092721 anual

Los tantos de los subperíodos necesarios para la valoración de la renta, para los 25 primeros meses, son los siguientes:

80

© Ediciones Pirámide

Rentas financieras

=

i(m)

0,0808 = O 0404 semestral 2 '

1,0404 = [l + ;(h)]2

:::::}

i(h)

= 0,02 trimestral

1,02 = [l + ;(k)] 3

:::::}

;(k)

= 0,00662271 mensual

l,0404 2 =l+i

:::::}

1,08243216 = [l + Í(n)] 3

i = 0,08243216 anual :::::}

i(n)

= 0,026755164 cuatrimestral

Los tantos de los subperíodos correspondientes a los términos a percibir a partir de los 25 meses son los siguientes:

= [l + ;

N5

= 946.310

Al sustituir en la fórmula de Achard obtenemos como valor financiero del usufructo 575.136 u.m. b) En el sistema americano, determinamos el importe de cada una de las cuotas de interés: l = 2.000.000 X 0,12 = 240.000

El valor financiero del usufructo es:

U5 = 240.000a710 ,11 = 1.130.927 El valor financiero de lanuda propiedad es:

N 5 = 2.000.000(1 + 0,11)-7 = 963.317 Por tanto, el valor financiero del préstamo es:

lis

=

1.130.927 + 963.317 = 2.094.244

e) Para el sistema de cuotas de amortización constantes, el valor de cada una de las mismas es: A= 2.000.000

= 166.667

12 El valor financiero de lanuda propiedad es:

N 5 = 166.667a710 ,11 = 785.368 El capital vivo al final del año 5 es: C5

98

= (12- 5) X 166.667 = 1.166.669 © Ediciones Pirámide

Préstamos

Podemos obtener el valor financiero del usufructo aplicando la fórmula de Achard: U5 = O,l 2 (1.166.669- 785.368) = 415.965 0,11

En consecuencia, el valor financiero del préstamo es:

'7s = 415.965 + 785.368 = 1.201.333 4.13

Un préstamo de 5.000.000 de u.m. se amortiza en 8 años con cuotas de amortización constantes y tipo de interés del 10% anual. Calcular el valor financiero del usufructo al 12% anual al principio del año 4.

RESOLUCIÓN El valor de cualquiera de las cuotas de amortización es 5.000.000

= 625.000

8

El valor del usufructo se obtiene a través de la fórmula de Achard:

El saldo al principio del año 4 es la suma aritmética de las cuotas de amortización pendientes de vencimiento, obteniéndose: C3 = (8- 3) X 625.000 = 3.125.000 Lanuda propiedad es el valor actualizado al 12% anual de las cuotas de amortización pendientes de vencer: N 3 = 625.000a510,12 = 2.252.985 © Ediciones Pirámide

99

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

Al sustituir en la fórmula de Achard obtenernos: U3

4.14

0,10 0,12

= -(3.125.000-2.252.985) = 726.679

De un préstamo amortizable por el sistema francés, faltan 25 años para su amortización, y se sabe que la cuota de amortización para el próximo año vale 1.920.986,91 u.rn., así corno que la correspondiente a dentro de 4 años es de 2.223.782,47. Calcular el valor financiero hoy del préstamo al 5,5% anual.

RESOLUCIÓN De acuerdo con los datos facilitados, considerando el momento actual corno el origen de un préstamo que se ha de amortizar en 25 años mediante anualidad constante y tipo de interés constante, tenernos: A4

= A1(1 + i) 3 =>

2.223.782,47

= 1.920.986,91(1 + i) 3 =>

i

= 5%

La primera cuota de amortización verifica: C0

= A1 · s2510,05 = 1.920.986,91s2510,05 = 91.683.132

El término amortizativo constante se obtiene según la expresión: C0 =a· ªB1o,os

=>

91.683.132 =a· ªB1o,os

=>

a= 6.505.144

Finalmente, con el citado término arnortizativo se calcula el valor del préstamo al 5,5% anual:

Yo = 6.505.144a2510,055 = 87.259.557

4.15

100

Se concede un préstamo de 15.000.000 de u.rn. a amortizar en 12 años con términos arnortizativos anuales y tipo de interés del 6% anual. Durante los 2 primeros años sólo se abonan los intereses; durante los 5 años siguientes los términos arnortizativos son de cuantía constante X y en los restantes años, © Ediciones Pirámide

Préstamos

el término amortizativo es también constante siendo su cuantía 2X. Determinar el valor financiero de la nuda propiedad si al principio del año 7 se vende el préstamo al 10% anual.

RESOLUCIÓN En primer lugar, es necesario conocer las cuantías de los términos amortizativos a abonar por el prestatario. Al permanecer constante el saldo durante los dos primeros años (sólo se abonan intereses), la ecuación de equivalencia financiera al principio del año 3 es la siguiente: 15.000.000 = X· ªsio.oG + 2X · ªsio.oG · (1 + 0,06)-5

{

X= 1.427.510 2X = 2.855.020

Para el cálculo de la nuda propiedad es necesario conocer previamente el valor del préstamo, así como el saldo al principio del séptimo período. El valor del préstamo es el valor actualizado al 10% de los términos amortizativos pendientes de vencimiento:

v6

= 1.427.510(1 + o,10r1 + 2.855.020a510,10(1 + 0,10)-1 = 11.136.617

El saldo vivo es también el valor actualizado de los términos amortizativos pendientes de vencimiento, pero al tipo de interés del préstamo, o sea, al 6%: c6

= 1.427.510(1 + 0,06)-1 + 2.855.020asio.o/1 + 0,06f1 = 12.692.348

Aplicando la fórmula de Achard obtenemos el valor de la nuda propiedad: ~

0,06 11.136.617 = -(12.692.348-N6 ) + N 6 0,10

N 6 = 8.803.020

4.16

© Ediciones Pirámide

El sujeto A concedió hace 12 años al sujeto B un préstamo a amortizar en 20 años mediante términos amortizativos variables en progresión aritmética de razón 100.000 u.m. De dicho préstamo se sabe que el saldo al principio del año 9 es de 36.020.017 u.m., y el del principio del año 11 asciende a 1Ü 1

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

33.304.310, siendo el término amortizativo del período 9 de 4.847.577 u.m. En estos momentos, principio del año 13, A lo vende valorando con un tanto del 8% anual. Con el importe de la venta concede a C un préstamo a amortizar en 10 años con tipo de interés anticipado y cuota de amortización nominal constante. De este préstamo se sabe que la cuantía neta del saldo al principio del año 9 es de 5.940.196 u.m. Determinar: Del préstamo recibido por B: cuantía, tanto anual y usufructo al principio del año 13. b) Del préstamo recibido por C: cuantía y tanto anual prepagable.

a)

RESOLUCIÓN a) Podemos plantear la ecuación del saldo al principio del año 11 por el método recurrente, verificándose:

= C8 (1 + i) 2 - a9 (1 + i) - a10 33.304.310 = 36.020.017(1 + i) 2 - 4.847 .577(1 + i) - ( 4.847 .577 + 100.000) ==} i = 0,10 C10

Como los términos amortizativos varían en progresión aritmética de razón 100.000, al conocer el valor del correspondiente al año 9, el primero de ellos vale: a 1 = a9

-

800.000 = 4.047.577

Ahora podemos determinar el importe del préstamo a través de la ecuación de equivalencia financiera en el origen: C0 =

,\a,, d)¡¡-¡¡

100.000) = ( 4.047.577 + 100.000 X 20 + O,lO ªwio,lO

- 100.000 X 20 0,10

-

= 40.000.000

Teniendo en cuenta la fórmula de Achard podemos calcular el valor del usufructo al inicio del año 13:

102

© Ediciones Pirámide

Préstamos

siendo el saldo en 12 el valor actualizado de una renta de términos variables en progresión aritmética de razón 100.000, cuyo primer término a 13 vale 5.247.577:

C12 =

Aca

13•

d)--¡ · 20-12 !

100.000) = ( 5.247.577 + 100.000 X 8 + a 8101 0,10

- lQO.OOO X 8

'

= 29.598.303

0,10 Al desconocer el valor de la nuda propiedad, podemos determinar el valor del préstamo y teniendo en cuenta la ecuación precedente del usufructo sabemos que se verifica:

El valor del préstamo es:

V¡ 2 =

Aca

13•

d)--¡ 20-12 0,08

- 100.000 X 8 0,08

= ( 5.247.577 + 100.000

X

8+

100.000) 08 0,08 ªsio °1 •

-

= 31.936.540

En consecuencia, obtenemos la siguiente ecuación: 0,10 31.936.540 = -(29.598.303- N12 ) + N 12 0,08

:::::}

N 12 = 20.245.356

Y, por tanto, el valor del usufructo es:

U12 = 31.936.540- 20.245.356 = 11.691.184 b) De acuerdo con los datos facilitados, la cuantía nominal del préstamo concedido por el sujeto A coincide con el importe de la venta en 12, o sea,

c6 = V¡ 2 = 31.936.540 © Ediciones Pirámide

103

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

Como las cuotas de amortización nominales son constantes, el valor de cada una de ellas es:

A*= 3 1.936 ·540 = 3.193.654 10 Como este préstamo se amortiza en 10 años, se verifica:

Ct =A*= 3.193.654 Teniendo en cuenta que

et = e¡ - A* y c8 = e¡ (1- i*) al sustituir se obtiene el valor del tanto anticipado i* la cuantía neta del préstamo asciende a:

= 0,07, por lo que

C0 = Cti'(l- i*) = 29.700.982

4.17

Sea un préstamo con las siguientes condiciones: cuantía de 10.000.000 de u.m.; tipo de interés del 8% anual; duración de 8 años; durante los dos primeros años solamente se abonan los intereses correspondientes y a partir del tercer año se amortiza por el sistema francés; gastos notariales iniciales a cargo del prestatario del 3% sobre la cuantía obtenida en préstamo. El deudor abona los términos amortizativos correspondientes a través de una entidad que percibe el 5%o de cada uno de ellos. Sabiendo que el prestamista soporta unos impuestos del 10% sobre todas las cuantías recibidas, determinar los tantos efectivos.

RESOLUCIÓN Como en los dos primeros períodos se abonan los intereses correspondientes, al principio del tercer año el saldo es la cuantía total del préstamo, verificándose: 10.000.000 =a· ª6]o,os

104

:::::}

a= 2.163.154 © Ediciones Pirámide

Préstamos

Cualquier tipo efectivo se obtiene de la ecuación de equivalencia financiera entre las cuantías netas percibidas y las abonadas. Así, para obtener el tipo efectivo activo o del prestamista tenemos: en cada uno de los dos primeros años percibe intereses de 800.000 a los cuales hay que detraer unos impuestos de 80.000; en cada uno de los seis restantes períodos percibe el término amortizativo del que es preciso detraer el 10% en concepto de impuestos. Por tanto, el tipo efectivo activo anual es el 5,6464%, que se deduce de la siguiente ecuación: 10.000.000 = (800.000- 80.000)a2]ia + (2.163.154- 216.315)a6]iª (1 + iaf2

Para el cálculo del tipo efectivo pasivo o del prestatario, tenemos en cuenta que en el origen soporta unos gastos notariales del 3% de la cuantía del préstamo, o sea, 300.000 u.m. Además, abona, sobre las cuantías que satisface periódicamente, unos gastos del 5%o, o sea, 4.000 u.m. en cada uno de los dos primeros años y de 10.816 en cada uno de los seis siguientes. Por tanto, el tipo efectivo pasivo es del 8,8143% anual, obtenido de la siguiente ecuación de equivalencia financiera: 10.000.000 = 300.000 + (800.000 + 4.000)a21 ¡ P +

+ (2.163.154 + 10.816)a61 ¡P (1 + iP)-2

4.18

Sea una operación de préstamo de 20.000.000 de u.m. a amortizar en 15 años por el sistema francés, siendo el tipo de interés del 6% anual. El prestatario soporta los siguientes gastos iniciales: comisión de estudio del 0,9% sobre la cuantía del préstamo; comisión de apertura de 50.000 u.m.; honorarios del notario de 125.000 u.m. Sabiendo que las comisiones señaladas son a favor del prestamista, determinar el TAE.

RESOLUCIÓN El término amortizativo constante que amortiza el préstamo es: 20.000.000 © Ediciones Pirámide

= a· ªrsio.o6

:::::}

a

= 2.059.255 105

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

Hemos de recordar que según el punto 4 de la Norma octava correspondiente a la Circular 8/1990, de 7 de septiembre, sobre transparencia de las operaciones y protección de la clientela, para el cálculo del TAE «no se incluirán los gastos a abonar a terceros, en particular los corretajes, gastos notariales e impuestos». Por tanto, el TAE es el tipo de interés constante que verifica la ecuación de equivalencia financiera entre la cuantía real percibida por el prestatario y las cuantías netas entregadas por éste, con las excepciones indicadas, por lo que no se consideran los gastos del notario: 20.000.000 = 0,009x20.000.000+50.000+2.059.255a151ir => iT = 6,1775%

4.19

Un préstamo hipotecario de 14.000.000 de u.m. se amortiza por el sistema francés en 15 años, siendo el tipo de interés el 7% anual. Los gastos iniciales a cargo del prestatario son los siguientes: comisión de estudio, 42.000 u.m.; gastos de gestoría, notaría, etc., 458.000 u.m. Existen unos gastos finales de 100.000 u.m. Al principio del año 11 el deudor se plantea la refinanciación de la operación con otro prestamista, el cual le ofrece un tipo de interés del 4% anual. Los gastos derivados de la subrogación son los siguientes: comisión de cancelación: 1% del saldo; gastos de notaría, impuestos, etc.: 134.460 u.m. La comisión inicial del nuevo préstamo asciende a 52.000 u.m., la cual se abona en efectivo. Determinar si le interesa o no la subrogación.

RESOLUCIÓN Al prestatario le interesará la subrogación si el tipo efectivo pasivo de la operación inicial, correspondiente a todo su horizonte temporal, es superior al tipo efectivo pasivo global correspondiente a la operación inicial hasta el momento de la subrogación unida con la nueva operación. Por tanto, es preciso determinar cada uno de dichos tipos efectivos. Así, primeramente hemos de determinar la anualidad que amortiza el préstamo: 14.000.000 =a· ª f51 o,o?

=>

a=

1.537.125

Una vez obtenido el término amortizativo constante, procedemos a calcular el tipo efectivo pasivo correspondiente a la operación inicial como si la 106

© Ediciones Pirámide

Préstamos

misma no fuese objeto de cancelación anticipada. Para calcular dicho tipo incluimos en la ecuación de equivalencia financiera todas las cantidades recibidas y abonadas por el prestatario durante los 15 años de dicha operación: 14.000.000

= 458.000 + 42.000 + l.537.125ai5]ip + 100.000(1 + ipf 15 :::::}

iP

:::::}

= 7,621 % anual

Al principio del año 11 el prestatario decide plantearse la subrogación. Para ello solicita un nuevo préstamo cuya cuantía es el saldo existente en ese momento junto al 1% de comisión por cancelación y a los gastos de notaría e impuestos, ya que la comisión de apertura (52.000 u.m.) de ese nuevo préstamo se abona en efectivo. El saldo en el momento mencionado es el siguiente: C10

= l.537.125a510 ,07 = 6.302.515

Por tanto, la cuantía del nuevo préstamo es: C~ = 6.302.515 X 1,01 + 134.460 = 6.500.000

Este préstamo se amortiza en 5 años por el sistema francés al 4% anual, por lo que la cuantía de su término amortizativo es: 6.500.000 = a' · a 510 •04

:::::}

a' = 1.460.076

El tipo efectivo pasivo global se deduce de la ecuación de equivalencia financiera entre todas las cantidades recibidas y abonadas por parte del prestatario, desde el momento en que se inició la primera operación hasta su cancelación, así como las correspondientes a la segunda operación: 14.000.000

= 500.000 + l.537.125affi1ipg + 52.000(1 + ipg)-10 + + l.460.076a51 ipg (1 + ipg)- 10

ipg

= 7,4305% anual

Al ser menor el tipo efectivo pasivo global que el correspondiente a la primera operación, concluimos que al prestatario le interesa la subrogación. © Ediciones Pirámide

107

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

4.20

Sea un préstamo hipotecario de 16.000.000 de u.m. a amortizar por el sistema francés en 20 años, siendo el tipo de interés del 5% anual. Los gastos iniciales a cargo del prestatario son los siguientes: comisión de estudio: 43.000 u.m.; gastos de gestoría, notaría, etc.: 465.000 u.m. Al principio del noveno año el deudor se plantea la refinanciación de la operación con otro prestamista, el cual le oferta un tipo de interés del 3,5% anual. Los gastos derivados por la subrogación son los siguientes: comisión de cancelación: 1% del saldo; gastos de notaría, impuestos, etc.: 238.000 u.m. El prestatario abona en efectivo y con recursos propios la comisión inicial del nuevo préstamo que asciende a 35.000 u.m. Suponiendo la no existencia de gastos finales para los dos préstamos, determinar si le interesa o no al prestatario la refinanciación.

RESOLUCIÓN En primer lugar, vamos a calcular el tanto efectivo pasivo para el prestatario como si la primera operación de préstamo llegase a su fin y a continuación calcularemos de nuevo el tanto efectivo pasivo global o de coste, si el prestatario decidiese cambiar de prestamista transcurridos 8 años desde el inicio de la primera operación. Si el primer tanto es menor que el segundo, no le interesará al deudor la refinanciación, mientras que en caso contrario sí. Para el cálculo del tanto efectivo pasivo correspondiente al primer préstamo, hemos de calcular en primer lugar la cuantía constante del término amortizativo: 16.000.000 =a· ªzo¡o,os

=>

a= 1.283.881

El tipo efectivo pasivo o de coste de este préstamo, iP, se obtiene al plantear la ecuación de equivalencia financiera entre la cuantía que recibe el deudor y el conjunto de pagos que realiza (términos amortizativos y los gastos iniciales): 16.000.000 = 43.000 + 465.000 + l.283.881aw]¡P

=>

iP = 5,38% anual

En la hipótesis de que el deudor decidiese cambiar de prestamista, el saldo o capital pendiente de amortizar al final del octavo año o principio del noveno sería de: C8

108

= l.283 .881a1210,05 = 11.379.360 © Ediciones Pirámide

Préstamos

La cuantía del segundo préstamo incluye no sólo el saldo de la operación anterior, sino también los gastos derivados de la cancelación del primero, ya que el prestatario sólo abona en efectivo los gastos del segundo préstamo. Por tanto, el importe del nuevo préstamo asciende a:

e~= 11.379.360(1 + 0,01) + 238.ooo = 11.131.154 Este nuevo préstamo se amortiza por el sistema francés en 12 años, al 3,5% anual y con un término amortizativo de cuantía: 11.731.154 = a' · ªf2lo,oJs

:::::}

a' = 1.213.986

El tipo efectivo pasivo global, ipg' si el prestatario efectivamente decidiese cambiar de prestamista, se obtiene al plantear la ecuación de equivalencia financiera entre todos los cobros y pagos realizados a lo largo de los 20 años, incluyendo los correspondientes a la primera operación hasta el momento de su cancelación, así como los derivados de la segunda. Por tanto, el deudor recibe inicialmente del primer prestamista una cuantía de 16.000.000, paga en efectivo 508.000 u.m. en concepto de gastos iniciales, y durante 8 años abona al primer prestamista una cuantía de 1.283.881 u.m. Transcurrido este tiempo cancela la operación con el primer acreedor e inicia una nueva operación con un segundo prestamista, abonando los gastos iniciales de esta segunda operación que ascienden a 35.000 u.m., así como el término constante de 1.213.986 u.m. durante 12 años. La ecuación de equivalencia financiera para determinar el tipo efectivo global es: 16.000.000 = 508.000 + 1.283.88la8]ipg + 35.000(1 + ipgf8 +

+ 1.213.986ai2]ipg (1 + ipgf8

:::::}

ipg

= 5,08%

El tanto efectivo pasivo global es el 5,08% anual, inferior al correspondiente de la primera operación, por lo que al prestatario sí le interesa la refinanciación.

4.21

© Ediciones Pirámide

Una operación de préstamo de cuantía 1.000.000 de u.m. se pacta con tipos de interés referenciados a un determinado índice y términos amortizativos predeterminados de cuantía anual 150.000 u.m. cada uno. El tipo de interés es del 3% para el primer año y se calculará para los sucesivos períodos aña-

109

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

diendo un punto al índice de referencia. Sabiendo que el plazo máximo estipulado por las partes es de 7 años, realizar el cuadro de amortización, siendo la evolución del índice de referencia la siguiente: Año

2

3

4

5

6

7

Índice

4%

4%

4,5%

5%

5%

4%

RESOLUCIÓN Los tipos de interés para cada uno de los 7 años de duración máxima del préstamo son: Año

1

2

3

4

5

6

Índice

3%

5%

5%

5,5%

6%

6%

7

5%

Para elaborar el cuadro de amortización durante los seis primeros períodos, tenemos en cuenta las expresiones generales:

La cuota de interés correspondiente al último período se calcula de igual forma que las anteriores. Al finalizar dicho período se ha de extinguir el préstamo, por lo que la cuota de amortización del mismo ha de coincidir con el saldo vivo al principio el año 7, por lo que el último término amortizativo no puede coincidir con los anteriores, obteniéndose su cuantía como suma de las cuotas de interés y amortización de dicho año. El cuadro de amortización es el siguiente: Año

o 1 2 3 4 5 6 7

110

Tipo de interés -

3,0% 5,0% 5,0% 5,5% 6,0% 6,0% 5,0%

Término amortizativo -

150.000 150.000 150.000 150.000 150.000 150.000 323.424

Cuota de amortización -

120.000 106.000 111.300 113.552 117.051 124.074 308.023

Cuota de interés -

30.000 44.000 38.700 36.449 32.949 25.926 15.401

Total amortizado

o 120.000 226.000 337.300 450.852 567.903 691.977 1.000.000

Saldo

1.000.000 880.000 774.000 662.700 549.149 432.097 308.023

o © Ediciones Pirámide

Préstamos

4.22

Sea una operación de préstamo de 25.000.000 de u.m. a amortizar en 15 años con tipos de interés referenciados. Los términos amortizativos son mensuales, constantes dentro de cada año, los cuales se calcularán al principio de cada año basándose en el sistema francés. El tipo de interés del primer año es el 4% anual pagadero mensualmente, y para los restantes años el tipo nominal correspondiente se calcula como: Euribor + 0,5 puntos. Calcular el capital pendiente de amortizar al final del segundo año, sabiendo que el Euribor toma un valor de 4,5% para el segundo año.

RESOLUCIÓN El tipo de interés mensual equivalente al 4% anual pagadero mensualmente, que es necesario para determinar la cuantía de los términos mensuales del primer año, es: 004 12

-

tm) = - ' - = O 3% mensual 1

'

La cuantía de los términos amortizativos correspondientes al primer año se obtiene a través de la siguiente ecuación de equivalencia financiera: 25.000.000 =a¡· ª fw1 oj%

~

a 1 = 184.922

El capital vivo o pendiente de amortizar transcurrido el primer año lo calculamos a través del método retrospectivo: C1 = 25.000.000(1 + 0,003) 12 -184.922sf2loj%

= 23.758.336

De acuerdo con las condiciones del préstamo, el tipo de interés nominal a aplicar en el segundo año es el 5%, al que corresponde un tipo efectivo mensual del 0,416%. Planteando la equivalencia financiera entre el saldo al final del primer año y los 168 términos restantes, obtenemos cada una de las cuantías de los términos mensuales del segundo año: 23.758.336 = ª2. ~0,416%

~

üi

= 196.926

El saldo a final del segundo año por el método retrospectivo es: C2 = 23.758.336(1 + 0,00416)12 -196.926si2Jo,4iii% = 22.555.831 © Ediciones Pirámide

111

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

4.23

Hace 7 años se pactó una operación de préstamo, de cuantía 12.000.000 de u.m., a amortizar en un plazo máximo de 7 años, con tipos de interés referenciados a un determinado índice. Existe un período de carencia en los dos primeros años en los que únicamente se abonan los intereses correspondientes, pactándose la operación con términos amortizativos constantes en los siguientes años. El tipo de interés del primer año fue del 2%. El tipo de interés para los años sucesivos se obtuvo como índice de referencia + 0,5. En estos momentos se abona el último término amortizativo cuyo importe es 3.614.301,08 u.m. Dicho importe es distinto de los anteriores debido a que se cumple el plazo máximo de amortización establecido. La evolución del índice de referencia ha sido la siguiente: 2,25%; 2,5%; 2,5%; 5,25%; 5,25% y 5,25%. Determinar la cuantía del término amortizativo constante pactada al comienzo de la operación.

RESOLUCIÓN Nos encontramos ante una operación de préstamo a interés referenciado con términos amortizativos predeterminados de duración máxima 7 años y cuyo último término asciende a 3.614.301,08 u.m. Este importe normalmente es distinto de los anteriores términos constantes, ya que en este último período la cuota de amortización deber ser tal que permita la devolución total de la cuantía prestada. Los tipos de interés que se aplican en cada uno de los 7 períodos, calculados como índice + 0,5, a excepción del primero que viene dado, son los siguientes: i1 = 0,02;

i5 = 0,0575;

i2

=

0,0275;

i6 = 0,0575;

i3 = 0,03; i¡

i4

= 0,03

= 0,0575

Como en los dos primeros años se abonan los intereses correspondientes, el saldo vivo al principio del tercer año coincide con la cuantía del préstamo. Además, las cantidades abonadas por el prestatario en los 5 años siguientes deben verificar la ecuación de equivalencia financiera al principio del año 3: 12.000.000 =a· a 210,03 +a· a 210,0575 (l,03t2 + 3.614.301,08(1,0575)-3 (1,03t2

Por tanto, la cuantía del término amortizativo constante es 2.500.000 u.m.

112

© Ediciones Pirámide

Préstamos

4.24

Sea una operación de préstamo con tipos de interés referenciados a un determinado índice, con términos amortizativos no predeterminados y en el que no existe plan de amortización, siendo la duración de 6 años. Estos términos amortizativos son anuales y se calcularán al principio de cada año basándose en el sistema francés. El tipo de interés a aplicar el primer año es el 4% anual, mientras que para los restantes años el tipo de interés se calcula de la siguiente forma: índice de referencia + 1. Sabiendo que el saldo al principio del segundo año es de 8.492.381 u.m. y que el término amortizativo del tercer año asciende a l. 957 .175 u.m., calcular el capital amortizado al final del segundo año, siendo la evolución del índice de referencia la que aparece en la siguiente tabla: Año

2

3

4

5

6

índice

3,5%

4%

4,5%

4%

5%

RESOLUCIÓN Los tipos de interés que se aplican en cada uno de los 6 períodos son los siguientes:

i¡ = 0,04;

ii

=

0,045;

~ =

0,05;

i4 = 0,055;

i5 = 0,05;

i6 = 0,06

Para determinar el capital amortizado hasta el final del segundo año, es preciso conocer la cuantía del préstamo y el saldo vivo al principio del año tres. Así, tenemos que el saldo al principio del segundo período se obtiene a través del método retrospectivo: C1

= 8.492.381 = C0 (1,04)- a1

A su vez, el primer término amortizativo se deduce de la ecuación: Co

= a¡ · ª 6lo,04

Sustituyendo a 1 en la primera expresión, obtenemos:

Ca 8.492.381 = C0 (1,04)- - -

~

C0 = 10.000.000

ª610,04

© Ediciones Pirámide

113

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

Corno sabernos que el término arnortizativo del tercer año asciende a 1.957.175 u.rn., podernos determinar el saldo al final del segundo año planteando la ecuación de equivalencia financiera en dicho punto: C2

= a3 · ª,ni = 1.957 .175a,no,os = 6.940.046 3

En consecuencia, el total amortizado al final del año 2 es:

Ml = C0 -

114

C2

= 10.000.000 -

6.940.046

= 3.059.954

© Ediciones Pirámide

Operaciones de constitución

• • • • • •

Modalidades de constitución. Operaciones prepagables y operaciones pospagables. Términos constitutivos, cuota de interés y cuota de constitución. Capital constituido y capital pendiente de formar. Planes de pensiones: rentabilidad financiero-fiscal. Cuadros de constitución.

5.1

Con el fin de disponer en el futuro de cierto capital, una persona concierta con una entidad financiera una operación de constitución por la que se compromete a ingresar al principio de cada trimestre, y durante 5 años, una cuantía constante. Sabiendo que el tipo de interés es el 8,08% anual convertible semestralmente, determinar la cuota de interés del primer trimestre del cuarto año, teniendo en cuenta que la correspondiente al primer trimestre de vigencia de la operación es de 8.000 u.m.

RESOLUCIÓN El gráfico de la operación es el siguiente: a

a

o

a

a

a

2

3

19

20 trimestres

El tipo de interés semestral equivalente al 8,08% anual convertible semestralmente es ;(ml

=

0,0808 2

= O 0404 semestral '

siendo el tipo de interés trimestral: 1 + 0,0404 = (1 + i(tl)2 © Ediciones Pirámide

~

;(t) = 0,02 trimestral

117

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

El término constitutivo constante se obtiene teniendo en cuenta que se verifica:

=>

f1 = 8.000 = a · 0,02

a = 400.000

La cuota de interés del primer trimestre del cuarto año, es decir, la cuota de interés del trimestre trece verifica l¡3

= (e¡; + a) · i

siendo

e¡; =a· s1210,02 = 5.472.133 Por tanto:

113 = (5.472.133 + 400.000)0,02 = 117.443

5.2

Se pacta una operación de constitución con términos prepagables durante 15 años. Durante los primeros 5 años, los términos son de 200.000 u.m. mensuales. Durante los años siguientes, los términos son de 500.000 u.m. anuales. Para un tipo de interés del 10% anual, determinar la cuota de interés del penúltimo período.

RESOLUCIÓN La representación gráfica de esta operación de constitución es la siguiente, siendo a términos mensuales de cuantía 200.000 y b términos anuales de cuantía 500.000: a

a

a

o

1/12

2/12

a

b

59/12 60/12

b

b

b

b

6

7

13

14

15 años

La cuota de interés del penúltimo período verifica: 114

118

= (C13 + b) · i © Ediciones Pirámide

Operaciones de constitución

Teniendo en cuenta que el tipo de interés equivalente mensual es 0,00797414, podemos determinar el capital constituido al final del período 13, verificándose: C13

= 200.000s60]o,oo79741/l,1)8 + 500.000a810.t = 39.374.634

En consecuencia, la cuota de interés asciende a:

/14 = (C13 + b) · i = (39.374.634 + 500.000)0,1 = 3.987.463 Construir el cuadro de constitución de un capital de 15.000.000 de u.m. mediante imposiciones constantes al principio de cada año, si la duración de la operación es de 5 años y el tipo de interés pactado el 10%.

5.3

RESOLUCIÓN La cuantía constante del término constitutivo verifica: 15.000.000 = a · s 510,10

=>

a = 2.233.602

Con dicha cuantía procedemos a la confección del cuadro de constitución, sabiendo que la cuota de interés de cada período es el resultado de multiplicar el tipo de interés por la suma del capital constituido al final del período precedente con el término constitutivo de dicho período. Además, la cuota de constitución de cualquier período es la suma del término constitutivo y la cuota de interés del mismo:

Período

Término constitutivo

Cuota de interés

Cuota de constitución

Capital constituido

o

2.233.602 2.233.602 2.233.602 2.233.602 2.233.602 -

223.360 469.056 739.322 l.036.615 l.363.636

2.456.962 2.702.658 2.972.924 3.270.217 3.597.238

2.456.962 5.159.620 8.132.544 11.402.761 15.000.000

1 2 3 4 5

© Ediciones Pirámide

1 19

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

5.4

Elaborar el cuadro de constitución de un capital de 8.000.000 de u.rn., si las características de la operación son: imposiciones al principio de cada año; duración de la operación: 6 años; tanto de valoración del 5% anual para los primeros tres años y del 6% anual para los restantes. Las cuotas de constitución siguen el siguiente plan: cuantía X en cada uno de los cuatro primeros años y de cuantía 2X en cada uno de los restantes.

RESOLUCIÓN Sabiendo que la suma de las cuotas de constitución ha de ser igual a 8.000.000 de u.rn., se verifica: 8.000.000 = 4X + 2 · 2X

X= 1.000.000

=}

Para cualquier período, el capital constituido es la suma aritmética de las cuotas de constitución:

verificándose además las siguientes relaciones:

Para el primer período tenernos:

c1-

= X = 1.000.000

y además:

ª1 = Ll¡ = 1.000.000 = 952.381 1 + i¡

1 + 0,05

siendo la cuota de interés del mismo: T1 = L'.11 - a 1

120

= 1.000.000- 952.381 = 47.619 © Ediciones Pirámide

Operaciones de constitución

Para el siguiente período tenemos: C2 = 2X = 2.000.000

12 = ~2 -

ª2

= (C1 + a 2 )1,05

~

a2

= 904.762

= 95.238

Y así sucesivamente en los restantes períodos, obteniéndose el cuadro si-

guiente: Periodo

o 1 2 3 4 5 6

5.5

Tipo de interés

Término constitutivo

Cuota de interés

Cuota de constitución

Capital constituido

5% 5% 5% 6% 6% 6%

952.381 904.762 857.143 809.524 1.660.377 1.547.160 -

47.619 95.238 142.857 190.476 339.623 452.830

1.000.000 1.000.000 1.000.000 1.000.000 2.000.000 2.000.000

1.000.000 2.000.000 3.000.000 4.000.000 6.000.000 8.000.000

Se pretende constituir un capital de 4.000.000 de u.m. con imposiciones trimestrales constantes prepagables en una entidad que capitaliza a rédito semestral constante del 6,09%. Si la duración de la operación es de 10 años, se pide: a) b)

e)

Cuantía de la imposición trimestral. Capital formado al final del noveno trimestre. Capital pendiente de formación a los seis años y medio.

RESOLUCIÓN Al ser las cuantías a imponer de periodicidad trimestral, es preciso conocer el tipo de interés trimestral equivalente al 6,09% semestral: (1 + 0,0609) a)

= [1 + lm) ]2

~

= 0,03 trimestral

La cuantía a imponer trimestralmente verifica: 4.000.000 =a· s4010,03

© Ediciones Pirámide

lm)

~

a= 51.505 121

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras b) El capital formado al final del noveno trimestre será igual al valor final de una renta prepagable de nueve términos:

C9 = 51.504s910,03 = 538.932 e) El capital pendiente de constituir transcurridos seis años y medio (26 trimestres) es la diferencia entre el capital a formar y el constituido. Por tanto:

c26 = 51.504s

2610 , 03

= 2.045.205

M26 = 4.000.000-2.045.205 = 1.954.795

5.6

Sea una operación de constitución C1, con términos prepagables de cuantía a, durante los 8 primeros años, y de cuantía 2b durante los siguientes. El tipo de interés anual pactado es del 10% para los primeros diez años, y del 12% para los siguientes. La cuota de interés del año 13 asciende a 1.907 .948 u.m. Para otra operación de constitución C2, con términos pospagables de cuantía constante desconocida X, durante 25 años, y rédito constante del 15% anual, se sabe que la cuota de interés del año 8 asciende a 830.010 u.m., siendo la cuota de constitución del año 3 de 1,3225b. Determinar a y b.

RESOLUCIÓN El gráfico correspondiente a la operación de constitución C1 es el siguiente: a

a

a

a

2b

2b

2b

2b

2b

2b

2b

o

1

2

7

8

9

10

11

12

13

n-1

n

i = 0,12 anual

i = 0,10 anual

Para la segunda operación tenemos:

o 122

X

X

X

X

1

2

24

25 © Ediciones Pirámide

Operaciones de constitución

Para la segunda operación sabemos que la cuota de interés del año 8 verifica:

1; = 830.010 = e; .0,15

e; = 5.533.400

=>

El capital constituido al final del año 7 verifica:

e; = 5.533.400 = x. s710.15

=>

x = 500.000

Por otra parte, sabemos que la cuota de constitución del año 3 verifica: ¿1~

=

e: - e; = 500.000s310,1s - 500.000s2]0,15 = 1,3225b

=>

b

= 500.000

Para la primera operación de constitución tenemos: ¡-13 = 1.907.948 = (C12 + 2b)0,12

ci; =a. ssio}l,1) 2(1,12) 2 + 2b. siio}l,12) 2 + 2b. s2]0,12

Sabiendo que b =500.000 obtenemos a =504.231. Con el fin de disponer en el futuro de cierto capital, el señor A concierta con la entidad B una operación de constitución cuyas características son las siguientes: duración, 10 años; términos constitutivos prepagables variables en progresión aritmética; rédito anual del 10%. Sabiendo que las dos primeras cuotas de constitución importan, respectivamente, 550.000 y 616.000 u.m., calcular:

5.7

a) Cuota de interés del año 5. b) Cuota de constitución del año 8.

RESOLUCIÓN La representación gráfica de la operación es la siguiente:

o © Ediciones Pirámide

2

3

9

10

123

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

verificando los términos constitutivos:

as = ª1 + (s - l)d La primera cuota de constitución coincide con el capital constituido al final del primer período, por lo que tenemos:

~1 =

550.000 = e¡- = a 1 (1 + 0,10)

=>

a 1 = 500.000

Sabemos que se verifica:

~2 = 616.000 = C2 - C1 =>

C2 = 1.166.000

Teniendo en cuenta que el capital constituido en 2 verifica:

al sustituir obtenemos a2 = 510.000, por lo que la razón de la progresión aritmética formada por los términos constitutivos vale: d a)

= ª2 - ª1 = 10.000

La cuota de interés del año 5 verifica: 15 = (C4 +a)·i

valiendo el término constitutivo del año 5: a5 = a 1 + 4d = 540.000 El capital constituido al final del año 4 es el valor final de una renta prepagable de términos variables en progresión aritmética:

Ci = 11csoo.ooo, 10.000J4lo,1 . (l,1) 4 = Acsoo.ooo, 10.000J4lo,1 . (l,1) 5 C4_ = [( 500.000 + 10.000 + 10.000 X 4 ) ª4lo,l - 10.000 X 4] (1,1) 5 = 2.623.060 ~l ~l 124

© Ediciones Pirámide

Operaciones de constitución

Por tanto, la cuota de interés vale:

15 = (2.623.060 + 540.000)0,10 = 316.306 b)

La cuota de constitución del año 8 verifica:

siendo:

e:¡ = A

~1 = 55.000

A continuación se procede a determinar la cuota de interés del año 10, verificándose:

La cuota de constitución se calcula como ~10 = 19~1 = 1.045.000 y la cuota de interés verifica

siendo:

e;;=

f ~1z h=l

© Ediciones Pirámide

= (~1 + ~9)9 = 4.455.ooo 2

127

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

Al sustituir en la expresión de la cuota de constitución, se obtiene el importe del décimo término constitutivo 1.045.000 = a10

+ (4.455.000 + tZio)O, 10

:::::}

a10 = 545.000

Por tanto, la cuota de interés correspondiente al año 1O es: 110 = e4.455.ooo + 545.000)0,10

5.10

:::::}

110 = 500.000

Se concierta una operación de constitución prepagable a un tipo de interés i, durante 20 años, de tal manera que en los 1O primeros años se entrega una cuantía X y en los 1O últimos la cuantía 2X. Si la operación hubiese sido pospagable y con idénticos términos constitutivos que los anteriores, los intereses del décimo período serían de 99.900 u.m. Los intereses de la operación prepagable correspondiente al mismo período, excluidos los intereses producidos por el último término entregado, son de 107.892 u.m. Hallar el capital constituido al final de la operación con términos prepagables.

RESOLUCIÓN De los datos aportados en el enunciado se desprenden las siguientes ecuaciones para el cálculo de los intereses: {

C9 · i

= i ·X· s91 ¡ = 107.892 = i ·X· (l + i) · s91 ¡

e;· i = i ·X· S9]i = 99.900

De ellas se obtiene un tipo de interés del 8% y al sustituir en las ecuaciones precedentes tenemos: C9 · 0,08 = 107.892 1.348.650 = X· s9]o,os

:::::} :::::}

C9 = 1.348.650 X = 100.000

El capital constituido al final de la operación prepagable es:

e;; = 100.ooosfolo.os . c1 + 0,08)1º + 200.ooosfol 0•08 e;; = 6.506.841 128

© Ediciones Pirámide

Operaciones de constitución

Una persona realiza aportaciones prepagables anuales de 1.100.000 u.m. a un plan de pensiones durante 25 años. Sabiendo que el tipo de rentabilidad se estima en un 6% anual, determinar la rentabilidad financiero-fiscal si las prestaciones consisten en:

5.11

a) b)

Recibir un capital único. Recibir una renta constante, temporal, inmediata y prepagable durante 20 años valorada al 4% anual. El tipo marginal de dicho sujeto es del 27% durante toda la operación.

RESOLUCIÓN El tipo de rentabilidad financiero-fiscal se obtiene de la ecuación de equivalencia financiera entre todas las cuantías desembolsadas por el partícipe, teniendo en cuenta el ahorro impositivo correspondiente y las cuantías percibidas por el mismo, netas de impuestos. Suponemos que los impuestos se abonan en el mismo momento de vencimiento de los capitales a que hacen referencia. Además, las aportaciones realizadas constituyen una reducción de la base liquidable general por una cuantía que es la menor entre la aportación realizada y un cierto porcentaje de los rendimientos del trabajo y de actividades económicas. Vamos a suponer que la cuantía total de cada aportación es deducible, siendo una forma aproximada de determinar el ahorro fiscal correspondiente el resultado de multiplicar el importe de las mismas por el tipo marginal del partícipe. En este caso: 1.100.000 X 0,27 = 297 .000

Transcurridos los 25 años realizando aportaciones prepagables de 1.100.000 u.m. el montante constituido, suponiendo una rentabilidad del 6% anual, es: C25

= 1.100.000szsi 0•06 = 63.972.021

a) Si se recibe un único capital, el partícipe percibirá un importe de 63.972.021 u.m. al final de los 25 años, el cual se considera rendimientos del trabajo y como han transcurrido más de dos años desde que se realizó la primera aportación, dicho rendimiento tributa con una reducción del 40%, por lo que el impuesto correspondiente es:

63.972.021(1- 0,40) X 0,27 © Ediciones Pirámide

= 10.363.467 129

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

siendo el capital disponible después del pago del impuesto de 63.972.021-10.363.467

= 53.608.553

La ecuación de equivalencia financiera entre el conjunto de cobros y pagos nos permite determinar la rentabilidad financiero-fiscal iª: (1.100.000 - 297.000)s251;ª

= 53.608.553 =>

ia

= 6,91 %

Si se recibe una renta prepagable durante 20 años, la cuantía se obtiene de la ecuación: b)

63.972.021 =a· ªwio,04

=>

a= 4.526.128

Los impuestos derivados de la cuantía anual que percibe el individuo ascienden a 4.526.021 X 0,27

= 1.222.055

por lo que el capital disponible neto es: 3.304.073. La ecuación de equivalencia en el año 25 entre el conjunto de cobros y pagos nos permite obtener la rentabilidad financiero-fiscal: (1.100.000- 297.000)s251¡ª

5.12

= 3.304.073aW1ia

=>

ia

= 5,32%

Una persona realiza aportaciones prepagables semestrales de 400.000 u.m. a un plan de pensiones durante 4 años. Si el tipo medio de rentabilidad se estima en un 6,09% anual, determinar la rentabilidad financiero-fiscal si la prestación del plan es un único capital. El tipo marginal de dicho sujeto es del 32% durante toda la operación.

RESOLUCIÓN Suponemos que el ahorro fiscal derivado de las dos aportaciones anuales es efectivo en el momento en el que se realiza la segunda aportación (inicio del segundo semestre). Dicho ahorro fiscal es de cuantía: 800.000 X 0,32 = 256.000

130

© Ediciones Pirámide

Operaciones de constitución

El montante constituido transcurridos los 4 años es: C4 = 400.000s810,03

= 3.663.642

Al percibir un único capital, el impuesto correspondiente es: 3.663.642(1- 0,40) X 0,32

= 703.420

por lo que el capital disponible después del impuesto asciende a 2.960.222 u.m. El partícipe ha abonado durante 4 años y al principio de cada primer semestre, una cuantía de 400.000. En cambio, al principio de cada segundo semestre sólo abona 144.000, pues tenemos en cuenta el ahorro impositivo que se hace efectivo en dicho momento. En consecuencia, de la ecuación de equivalencia financiera se obtiene como tipo de rentabilidad financiero-fiscal el 13,39% anual: 400.000s¡¡¡a + 144.000s¡¡¡a (1 + iaf 112 = 2.960.000

S.l3

=>

ia = 13,39%

Un individuo suscribe una operación de constitución en una entidad A, comprometiéndose a pagar al principio de cada año y durante los próximos 15 una cantidad variable en progresión aritmética de razón 10.000 u.m. Dicha entidad abona los intereses anualmente a razón del 10%, estipulando que si el individuo cancela la operación antes de vencer una anualidad, perderá los intereses correspondientes a ese último período inferior al año. Al cabo de seis años y cuatro meses solicita su cancelación, y el capital percibido lo aporta de forma extraordinaria en otra operación de constitución suscrita con la entidad B el mismo día de la cancelación de la operación anterior. Por esta nueva operación se compromete a pagar además una cuantía constante al final de cada año durante los próximos 10, comenzando al final del año en que cancela la operación con A, siendo el interés pactado del 11 % anual. Sabiendo que los intereses a abonar por la entidad A en el año 8 se preveían en 148.717,762 u.m., calcular la cuantía constante a abonar en la entidad B con la finalidad de obtener con todas las aportaciones realizadas a la misma un montante de 5.000.000 de u.m.

© Ediciones Pirámide

13 1

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

RESOLUCIÓN La cuota de interés prevista para el año 8 en la operación A verifica:

/ 8 = (C:7 + a 8 ) · 0,10 = 148.717,762 El capital constituido al final del año 7 se obtiene como el valor final de una renta prepagable de 7 términos anuales variables en progresión aritmética: C7_ = [( a 1 + 10.000 X 7 + 10.000) ª?1o,i - 10.000 X 7] (1 + 0,1)(1 + 0,1) 7 0,1 0,1 Sustituyendo en la primera ecuación propuesta y teniendo en cuenta que el término constitutivo correspondiente al año 8 se puede expresar en función del primero según la ecuación: a 8 = a 1 + 7d = a 1 + 70.000

se obtiene

ª1 = 100.000 Como cancela la operación al cabo de seis años y cuatro meses, según las condiciones estipuladas pierde los intereses generados en dichos cuatro meses, por lo que el capital disponible es la suma del constituido al final del año 6 con el término constitutivo del año 7. Así, tenemos: C6_ = [( 100.000+10.ooox6+ 10.000) a610•1 - 10.000 X 6] (l+O,l)(l+0,1) 6 = 0,1 0,1

= 1.037.434 El término constitutivo del año 7 asciende a: ª1

132

=

ª1 + 6d = 160.000 © Ediciones Pirámide

Operaciones de constitución

por lo que el capital que entrega de forma extraordinaria es de cuantía

c6 + a1 = 1.197.434 Esta cuantía está impuesta en la operación durante nueve años y ocho meses, por lo que, junto con los diez términos constitutivos pospagables de cuantía X, produce un capital final de 5.000.000 y se verifica: 1.197.434. (1, 11) 9 +S/12 +X. Sio]0,11

© Ediciones Pirámide

= 5.000.000

:::::}

X= 102.633

133

Empréstitos

• • • • • •

Empréstitos normales. Empréstitos con características comerciales. Proceso de normalización. Tantos efectivos y tantos de rendimiento. Empréstito de Lenzi. Valor financiero total, del usufructo, de la nuda propiedad y de las características comerciales.

6.1

Se emite un empréstito formado por 20.000 títulos para ser amortizado en 8 años mediante términos amortizativos comerciales anuales constantes. El valor nominal de cada título es de 500 u.rn. y reciben un cupón periódico de 50 u.rn. por título. La prima de amortización es de 300 u.m. y se reparte un lote anual entre los 20 primeros títulos que resulten amortizados, los cuales son reembolsados por su valor de emisión. Existen gastos de emisión por importe de 75.000 u.rn. Los gastos periódicos a cargo del emisor son del 0,1 % sobre todas las cantidades entregadas y para los obligacionistas del 0,2% sobre todas las cantidades recibidas. Se sabe que el emisor espera obtener con esta emisión una cuantía neta de 8.925.000 u.rn. y que el tipo efectivo para el conjunto de obligacionistas es del 24,20% anual. Hallar el importe del lote anual.

RESOLUCIÓN La ecuación representativa de la estructura del término amortizativo comercial constante es: a= [NsCi + Ms(C + P) + L- 20(C + P) + 20V](l + g1 ) Para transformar esta ecuación en la de un empréstito normal, realizarnos las siguientes operaciones, constitutivas del proceso de normalización: Pasar al primer miembro de la ecuación los componentes de la misma que no contengan ni Ms ni Ns obteniéndose: - ª - -L+20(C+ P)-20V = NsCi +Ms(C+P) 1 + 8t © Ediciones Pirámide

137

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

Dividimos ambos miembros entre el coeficiente de Ms y multiplicamos por el nominal:

l

a e Ci --=NC--+MC [ ---L+20(C+P)-20V

e+P

1 + g1

s

e+P

s

Las fórmulas de conversión son las siguientes:

e

a'= [a(l + g1 )- 1 - L + 20(C + P- V)]--; C+P

i' =

--9:_ = 50 e+ P 800

=

6 25% '

Las fórmulas anteriores no incluyen términos variables, por lo que corresponden al término amortizativo y al tipo de interés de un empréstito normal tipo l. Para determinar el importe del lote es necesario calcular previamente el valor de emisión y la cuantía de la anualidad, tanto comercial como normalizada. Así, el valor de emisión se determina teniendo en cuenta que la cuantía neta obtenida por el emisor resulta de restar al valor total de emisión los gastos de la misma, verificándose: 8.925.000

= 20.000V - 75.000

=>

V= 450

La anualidad del empréstito normalizado se obtiene a través de la siguiente ecuación de equivalencia financiera: N1C =a'· ªn1i'

=>

20.000 x 500 =a'· a 810 ,0625

=>

a'= 1.626.330

Al conocer el tipo efectivo activo, podemos plantear la ecuación de equivalencia financiera entre las cuantías totales desembolsadas por los obligacionistas y las percibidas por los mismos. En cuanto a las primeras sabemos que ascienden a N1 ·V= 20.000 x 450

= 9.000.000

Para determinar la cuantía neta anual que percibe el conjunto de los obligacionistas hemos de tener en cuenta que de la anualidad comercial total abo-

138

© Ediciones Pirámide

Empréstitos

nada por el emisor, no perciben los gastos periódicos a cargo del mismo, y a su vez soportan unos gastos de cuantía unitaria g2, por lo que se verifica:

ªª = [NsCi + M.(C + P) + L- 20(C + P) + 20V](l -

g2 ) = a(l - g2 ) 1 + gl

En consecuencia, la ecuación de equivalencia financiera citada es:

=>

9.000.000

=>

=

a 1 + 0,001

(1- 0,002) · ªsio 242

=>

ºI '

a= 2.653.129

Al sustituir en la ecuación de a' se obtiene: 500 1.626.330 = [ 2 ·653 · 129 - L + 20(500 + 300- 450)] 1 + 0,001 500 + 300

=>

6.2

L

=>

= 55.351

Una sociedad emite un empréstito a amortizar en 20 años mediante anualidad comercial constante. El nominal de cada título es de 10.000 u.m., siendo el cupón anual de 500 u.m. Cada uno de los títulos es emitido a un valor de emisión V y percibirá una prima constante P en el momento de su amortización. Se reparte un lote constante anual de 2.500.000 u.m. entre los 10 primeros títulos amortizados en cada sorteo, los cuales son reembolsados por el 20% de su valor nominal. Los gastos periódicos a cargo del emisor son del 0,1 % sobre las cantidades entregadas, y además existen unos gastos iniciales de 4.500.000 u.m. Los obligacionistas soportan unos gastos anuales del 0,2% sobre las cantidades recibidas. Además se sabe que el emisor desea obtener una cuantía neta de gastos de 345.500.000 u.m. Si el tipo de interés normalizado es del 4% anual, y el tipo efectivo activo es el 9,279357% anual, determinar el número de títulos emitidos en dicho empréstito.

RESOLUCIÓN La estructura del término amortizativo comercial constante es:

a= [NsCi + M.(C + P) + L- lO(C + P) + 10 x 0,20C](l + g1 ) © Ediciones Pirámide

139

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

Al realizar el proceso de normalización obtenemos las siguientes fórmulas de conversión las cuales corresponden a un empréstito normal tipo I con término amortizativo y tipo de interés constante.

a'= [a(l + g1 f

1 -

e

.,

L + lO(C + P-0,20C)]--;

l

C+P

=

Ci

C+P

Como el tipo de interés normalizado es del 4%, se verifica:

., l

=

Ci

O 04 '

C+P

= 10.000 X 0,05 10.000 + P

P

= 2.500

El importe total desembolsado por los obligacionistas ha de cubrir la cuantía neta que desea percibir el emisor y los gastos de emisión, por lo que se cumple: N 1V = 345.500.000 + 4.500.000 = 350.000.000

En la ecuación del tipo efectivo activo o de equivalencia financiera entre las cuantías desembolsadas y percibidas por el conjunto de los obligacionistas, tenemos:

~

350.000.000 ~

a

=

a (1 - 0,002) . ª2010 09279357 1 + 0,001 ·

~

= 39.225.062

Al sustituir en la ecuación de conversión de a' obtenemos su valor:

a'= [ 39 ·225 ·062 - 2.500.000 + 10(10.000 + 2.500 - 2.000)] lO.OOO = 1,001 12.500

= 29.432.701 140

© Ediciones Pirámide

Empréstitos

Finalmente, procedemos al cálculo del número de títulos emitidos utilizando para ello la ecuación de equivalencia financiera con la anualidad y el tipo de interés normalizados: 10.000N1

6.3

= 29.432.701a2010,04

~

N1

= 40.000

Se emite un empréstito de 30.000 títulos con un nominal de 1.000 u.m., para ser amortizado en 20 años con términos amortizativos comerciales anuales constantes, cupón anual de 100 u.m. por título y una prima de amortización para cada uno de ellos de 200 u.m. Anualmente se reparte un lote constante de 100.000 u.m., entre los 20 primeros títulos que resulten amortizados, los cuales pierden el último cupón y su valor de reembolso. Los gastos periódicos para el conjunto de los obligacionistas son del 0,2% sobre todas las cantidades recibidas y del O, 1% para el emisor sobre las cantidades entregadas. El tipo efectivo activo para el conjunto de obligacionistas es del 12,20685251 % anual. Hallar el valor de emisión.

RESOLUCIÓN La estructura del término amortizativo comercial constante es: a= [NSCi + Ms(C + P) + L- 20(Ci +e+ P)](l + 81)

El proceso de normalización nos permite determinar las fórmulas de conversión: a'= [a(l + g1

r

1 -

L + 20(Ci + C

e

+ P)]--; C+P

., l

=

Ci

e+ P

=

100 1.200

=

1 12

De acuerdo con las expresiones precedentes, el empréstito normalizado es del tipo I, verificándose la siguiente ecuación de equivalencia financiera: N1C =a'· ªnli' © Ediciones Pirámide

~

30.000 x 1.000 =a' · a 2011112

~

a'= 3.131.749

141

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

Al sustituir en la ecuación de conversión de a' podemos calcular la anualidad comercial: 3.131.749 = [

ª

l + 0,001

-100.000 + 20(100 + 1.000 + 200)]

==>

a

1.000 1.000 + 200

= 3.835.931

El término amortizativo neto para los obligacionistas asciende a: a = 3 º 835 ·931 (1- O 002) = 3.824.435 ª I + 0,001 ' Finalmente, el valor de emisión se obtiene de la equivalencia financiera entre las cantidades entregadas y recibidas por el conjunto de obligacionistas valoradas al tipo efectivo activo iª: N1 · V

6.4

= ªª · ªñ"liª

==>

30.000V = 3.824.435a2010,1220685251

==>

V

= 940

Se emite un empréstito integrado por 20.000 obligaciones de 10.000 u.m. nominales con prima de emisión, a amortizar con cupón periódico del 9% anual y prima de amortización variable. La duración del empréstito es de 8 años y se desea que la anualidad comercial sea constante y que el tanto de rendimiento de cada título sea del 11,5% anual. El emisor soporta unos gastos anuales del O, l % sobre todas las cuantías entregadas. Sabiendo que la prima de amortización del cuarto año es de 878 u.m., determinar el valor financiero del empréstito para el conjunto de los obligacionistas al principio del año 6, si el tipo de valoración es del 6% anual.

RESOLUCIÓN Nos encontramos ante un empréstito de Lenzi cuyo tanto de rendimiento constante es el 11,5% anual. En consecuencia, la ecuación de equivalencia financiera que nos permite determinar el tanto de rendimiento de un título amortizado en el cuarto año viene determinada por el importe pagado por

142

© Ediciones Pirámide

Empréstitos

el mismo y por las cuantías recibidas. Estas cuantías son el importe periódico de los cupones y el valor de reembolso, por lo que se verifica:

V= [900a410,115 + (10.000 + 878)(1 + 0,115)-4] = 9.800 Para determinar el valor financiero del empréstito para el conjunto de los obligacionistas necesitamos conocer previamente el importe neto que perciben anualmente los mismos, o sea Y como en el empréstito de Lenzi el tanto de rendimiento coincide con el tanto efectivo activo, tenemos:

ªª'

N 1V

= ªª

·a-

. n 1,,

y al sustituir se llega a: 20.000 X 9.800 = aª · ªs1o,ll5

:::::}

aª = 38.768.608

Por último, calculamos el valor financiero del empréstito para el conjunfututo de los obligacionistas al final del año 5 actualizando los términos ros al tipo de valoración del 6% anual:

ªª

i{ = 38.768.608a310,06 = 103.628.952

6.S

© Ediciones Pirámide

Una sociedad emite un empréstito con prima de emisión de 50 u.m. a amortizar en 1O años mediante anualidad comercial constante. El nominal de cada título es de 500 u.m., el cupón anual es de 50 u.m. y cada uno de los títulos recibirá una prima constante de amortización P. Se reparte un lote constante entre las 75 primeras obligaciones amortizadas en cada sorteo, las cuales son reembolsadas al 50% de su valor de emisión. Los gastos anuales a cargo del emisor son del O, 1% sobre todas las cuantías abonadas. Los obligacionistas soportan unos gastos anuales del 0,2% sobre todas las cantidades recibidas. Sabiendo que el tipo de interés normalizado es del 8% anual, que el número teórico de títulos amortizados en el octavo sorteo es de 11.830,44 y que el tanto efectivo activo es del 17 ,299% anual, determinar el tanto de rendimiento de un título que resulte amortizado en el cuarto sorteo y perciba lote. 143

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

RESOLUCIÓN Para calcular el tanto de rendimiento de un título amortizado en el cuarto año y que percibe lote, necesitamos el importe del mismo, el cual se obtiene teniendo en cuenta las distintas ecuaciones que se pueden plantear de acuerdo con los datos facilitados. Así, en primer lugar, la estructura del término amortizativo comercial es: a= [NsCi + Ms(C + P) + L- 75(C + P- 0,5V)](l + g1 ) Las fórmulas de conversión deducidas del proceso de normalización son: a'= [-ª--L+75(C+ P-0,5V)]-C-; l+~ C+P

.,

l

Ci

C+P

Las fórmulas precedentes corresponden a un empréstito normal tipo l. Así, como el tipo de interés normalizado es del 8%, sustituyendo en la expresión correspondiente obtenemos: i'

= O 08 = '

50 500 + P

=>

P

= 125

El importe del lote se obtendrá despejándolo en la ecuación del término amortizativo normalizado en la que desconocemos tanto la cuantía de a' como la de a. El valor de a' se obtiene de la ecuación de equivalencia del empréstito normalizado, necesitando conocer el número de títulos emitidos, que se deduce de:

Al conocer el número de títulos amortizados en el año 8 tenemos: M8

= M1(1 + i') 7 =>

11.830,44

= M1(1 + 0,08) 7 =>

M1

= 6.902,95

El número de títulos emitidos es: N1 144

= 6.902,95sffi1o,os = 100.000 © Ediciones Pirámide

Empréstitos

El importe del término amortizativo normalizado se obtiene planteando

la siguiente ecuación de equivalencia financiera: N1C =a'· ªñli'

=}

a'= 7.451.474

Para determinar el valor de a, planteamos la ecuación de equivalencia financiera del tipo efectivo activo. Como dicho tipo se conoce, podemos despejar el importe del término amortizativo neto que reciben el conjunto de los obligacionistas:

Al sustituir tenemos: 100.000 x 450

=

a(l-0,002) affil 017299 1 + 0,001 iv¡ •

=}

a= 9.794.154

Al sustituir en la ecuación del término normalizado a' tenemos: 7.451.474

= [ 9 ·794 ·154 1 + 0,001

L + 75(500 + 125 - 0,5 X 450)] 500 625

=}

L

=}

= 500.000

El tanto de rendimiento de un título amortizado en el cuarto sorteo se obtiene planteando la ecuación de equivalencia financiera entre el pago realizado para la adquisición del mismo y el conjunto de cobros percibidos durante estos cuatro años:

6.6

Se emite un empréstito para ser amortizado en 20 años mediante anualidad comercial constante. El tipo de interés pactado es el 10,2% anual, así como un tanto efectivo activo del 12%. Otras características del empréstito son las siguientes:

© Ediciones Pirámide

145

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

-

-

Número de títulos emitidos: 50.000; nominal de cada título: 10.000 u.m.; prima de amortización constante de 625 u.m. por título; abono de un lote anual constante de L u.m., a repartir entre las 500 primeras obligaciones que resulten amortizadas cada año, las cuales pierden el cupón correspondiente a dicho año y la prima de amortización. Gastos iniciales a cargo del emisor: 3.000.000 de u.m.; gastos anuales a cargo del emisor: el 0,2% de todas las cantidades pagadas; gastos anuales a cargo de los obligacionistas: el 0,1 % de todas las cantidades recibidas.

Se sabe además que con dicho empréstito el emisor desea recibir, en el momento de la emisión, un importe neto de gastos de 490.000.000 de u.m. Determinar: a) b)

e)

Intereses que se abonan en el año 8. Tanto de rendimiento de un título que perciba lote y resulte amortizado en el sorteo número 10. Tanto efectivo pasivo.

RESOLUCIÓN Para dar respuestas a las cuestiones planteadas es preciso normalizar el empréstito. Así, la estructura del término amortizativo comercial constante es:

a= [NsCi + M,(C + P) + L- 500(Ci + P)](l + g1 ) A través del proceso de normalización llegamos a las siguientes fórmulas de conversión a un empréstito normal tipo I:

a'=[-ª- - L + 500(Ci + P)]-C1 + g1 e+ P i' =

----9:_ = 10.000 X 0,102

e+P

10.000 + 625

=

O 096 '

La anualidad del empréstito normalizado verifica: N 1C

146

=a'·ª;;-¡¡,

:::::}

50.000 x 10.000 =a'· a2010 , 096

:::::}

a'= 57.134.564 © Ediciones Pirámide

Empréstitos a) Los intereses abonados en el año 8 corresponden a los títulos vivos al principio del mismo, menos los correspondientes a 500 títulos que perciben lote, los cuales pierden el último cupón. El número de títulos en circulación al principio del año 8 se obtiene calculando el saldo por el método prospectivo en el empréstito normalizado, verificándose:

N8 C =a'· ªD1r

:::::}

10.000N8 = 57.134.564a1310 •096

N 8 = 41.440

:::::}

En consecuencia, los intereses que se abonan ascienden a I = (N8

-

500)Ci = 41.758.800

b) Para determinar el tanto de rendimiento de un título que se amortice en el año 1O y perciba lote, es preciso conocer la cuantía satisfecha por dicho título así como las cuantías percibidas por el mismo en los 1O años de vida. En consecuencia, es preciso conocer el valor de emisión y la cuantía del lote. El valor de emisión lo determinamos teniendo en cuenta que el importe neto percibido por el emisor es de 490.000.000, por lo que se verifica:

490.000.000

= N 1V -

G0

= 50.000V -3.000.000

:::::}

V= 9.860

La cuantía del lote se obtiene de la expresión correspondiente a la anualidad normalizada, siendo preciso determinar la anualidad comercial, que se obtiene de la ecuación correspondiente al tanto efectivo activo: N1 ·V=ªª· a::i. n11a

:::::}

50.000 X 9.860

:::::}

a

=

a 1 + 0,002

(1- 0,001) · ªwo 12 ..u¡ '

:::::}

= 66.200.443

Al sustituir en la ecuación de a' se obtiene:

57.134.564

= [ 66 ' 200.443 1,002

- L + 500(10.000 X O 102 + 625)] lO.OOO ' 10.625

:::::} © Ediciones Pirámide

L

:::::}

= 6.185.332 14 7

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

A cada título le corresponde un lote de 12.370 u.m., por lo que la ecuación entre lo desembolsado y lo percibido, que permite determinar el tanto de rendimiento, es: 9.860

= [l.020acjl·

7 11R(10)

+ (10.000 + 12.370)(1 + iR(lO))-lO](l - 0,001) :::::}

iR(lO)

:::::}

= 15,83%

e) El tanto efectivo pasivo se obtiene de la ecuación de equivalencia financiera entre la cuantía neta percibida por el emisor y los términos amortizativos comerciales:

N1V - G0 =a· ªn1ip

6.7

:::::} 490.000.000 = 66.200.443a201 ip

:::::}

iP

= 12,14%

Una sociedad anónima emite un empréstito integrado por 100.000 títulos de 10.000 u.m. nominales cada uno, que devengan un cupón anual, antes de considerar gastos, de 900 u.m. Otras características del empréstito son las siguientes: tanto de rendimiento constante, una vez considerados los gastos a cargo de los obligacionistas, del 10% anual; gastos anuales a cargo del emisor: el 0,1 % de las cuantías que satisface; gastos anuales a cargo de los obligacionistas: el 0,2% sobre los cupones y valores de reembolso que perciben; durante los 15 primeros años el término amortizativo comercial será de cuantía a, y durante los 5 siguientes, de cuantía 2a; precio de emisión: V; la prima de amortización del año 3 importa 331 u.m. por título. Hallar: a) b)

e)

Cuantía del término amortizativo comercial a. Número de títulos en circulación al principio del año 2. Tanto efectivo pasivo.

RESOLUCIÓN a) Al coincidir el tanto de rendimiento con el tanto efectivo activo de la ecuación de equivalencia financiera entre la prestación real entregada por los obligacionistas y la contraprestación real percibida, es posible determinar la cuantía de la anualidad a, siendo preciso conocer el valor de V. Para ello, planteamos la ecuación correspondiente al tanto de rendimiento de un título amortizado en el año 3:

V= [900a310,10 + (10.000 + 331)(1 + 0,10)-3 ](1- 0,002) 148

= 9.980 © Ediciones Pirámide

Empréstitos

Sabemos que la estructura del término amortizativo comercial para cualquier período s es:

Y en consecuencia, en cada período el término neto para los obligacionistas verifica:

por lo que la ecuación del tanto efectivo activo es: 20

Nl . V=

L aa,s(l + iR)-s s=l

que al sustituir se convierte en: 100.000 X 9.980

a LOOl

= --(1- 0,002) · ª@o 10 + •J 1

2a

•

+ l,OOl (1- 0,002) · ªsio,IO · 1,10 b)

~5

:::::} a= 106.251.450

El número de títulos vivos al principio del año 2 verifica:

obteniéndose M 1 de la ecuación del término amortizativo correspondiente al primer año, siendo preciso determinar la prima de amortización del año 1: a1

= [N1Ci + M1(C + P¡)](l + g1 )

La prima de amortización se deduce de la ecuación del tanto de rendimiento de un título que resulte amortizado en el primer año: 9.980 = [900 X 1,10-l + (10.000 + P¡)l,10-1](1- 0,002) © Ediciones Pirámide

:::::}

P¡ = 100 149

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

Y al sustituir en la ecuación precedente se obtiene:

M1

= 1.599

=>

N2

= 100.000 -1.599 = 98.401

e) El tanto efectivo pasivo se obtiene de la ecuación de equivalencia financiera entre la prestación real recibida por el emisor y la contraprestación real entregada. En este sentido, es preciso tener en cuenta que durante los 15 primeros años el término amortizativo comercial es de cuantía 106.251.450, y en los 5 siguientes es el doble, por lo que se verifica: 100.000 x 9.980

= 106.251.450a15h + 212.502.900a5h (1 + iPf15 =>

6.8

ip

=>

= 10,04%

Se emite un empréstito integrado por 80.000 títulos de 5.000 u.m. nominales, para ser amortizado en 20 años con términos amortizativos anuales constantes. El valor de emisión de cada título es del 95% del nominal. Los títulos no percibirán cupón anual, sino en el momento en que sean amortizados percibirán el nominal y los intereses al 10% anual. En cada ejercicio se repartirá un lote de 200.000 u.m. entre los 20 primeros títulos que resulten amortizados. Determinar: a) b)

e)

Anualidad comercial constante que amortiza el empréstito. Tanto efectivo. Probabilidad de que un título en circulación al principio del año 8 sea amortizado en el año 15.

RESOLUCIÓN a)

La estructura del término amortizativo comercial es:

Al normalizar se obtienen las fórmulas de conversión:

a'

=a -

L;

i'

= i = 0,1 O

verificándose para el empréstito normalizado: N1 · C

150

= a'· an]i'

=>

80.000 X 5.000

= a'· ªwJo,io

=>

a'

= 46.983.850 © Ediciones Pirámide

Empréstitos

Por lo que

= 46.983.850 + 200.000 = 47.183.850

a= a'+ L

Al no existir características comerciales unilaterales, el tanto efectivo activo coincide con el pasivo y es el tanto efectivo medio del empréstito, que verifica: b)

N1 ·V= a· ªnlie

:::::}

80.000 :::::}

X

Íe

5.000 X 0,95

= 47.183.850a20 lie

:::::}

= 10,83%

e) La probabilidad de que un título en circulación al principio del año 8 sea amortizado en el año 15 se obtiene a través de la expresión:

Cada número de títulos se obtiene de las ecuaciones del empréstito normalizado. Así, el número de títulos vivos al principio del octavo año verifica: N8 · 5.000(1 + 0,10)7 = 46.983.850a1310,10

:::::}

N8 = 34.253

Para determinar M15 calculamos M1 según la expresión correspondiente a un empréstito normal tipo I con cupón acumulado: N1

= M 1 · ªnli'

:::::}

80.000

= M 1 · ªwio.w

:::::}

M1

= 8.543

El valor de M15 es: M15

= M1(1 + i')- 14 = 8.543(1 + 0,10)-14 = 2.250

La probabilidad de que un título vivo al principio del octavo año sea amortizado en el año 15 será, por tanto: p

© Ediciones Pirámide

= Mis = N8

2 ·250 34.253

= 0,06567343 151

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

6.9

Con el fin de obtener la financiación necesaria para realizar una ampliación de sus instalaciones, cierta sociedad anónima emite un empréstito a amortizar en 1O años mediante anualidad comercial constante. Los gastos de emisión se componen de 325.000 u.m. incrementadas en el 1,5% del valor total de emisión de los títulos. Los títulos se emiten con una prima de emisión de 100 u.m., siendo su nominal 1.000 u.m., y percibirán un cupón anual de 100 u.m. Los títulos se amortizan con una prima constante de P u.m. por título, y se reparte un lote variable en progresión aritmética creciente de razón 10.000. Dicho lote se distribuye cada año entre el 10% de los títulos que resulten amortizados. Los títulos que perciben lote son reembolsados por el valor de emisión, perdiendo la prima de amortización y el último cupón. Los intereses totales pagados en el primer año, sin considerar gastos, y teniendo en cuenta los títulos que no perciben cupón, ascienden a 4.965.200 u.m. Utilizando el procedimiento de normalización, el rédito anual del correspondiente empréstito normalizado es del 8%. Los gastos anuales a cargo del emisor son del O, 1% de todas las cantidades que satisface. Los obligacionistas, por su parte, soportan unos gastos anuales del 0,2% sobre las cantidades totales que perciben en cada período. Sabiendo que el tanto efectivo activo es del 16,3557% anual y que en el año 1 se amortizan 3.482 títulos, determinar: a) b) e) d)

Importe de P. Cuantía del lote del año 1. Tanto efectivo pasivo. Tanto de rendimiento de un título que se amortice en el año 2 y perciba lote.

RESOLUCIÓN La ecuación representativa de la estructura del término amortizativo comercial constante es:

a= [NSCi + M/C + P) + Ls - O,lM/Ci +e+ P) + O,lMS V](l + g¡) Tras el proceso de normalización obtenemos las correspondientes fórmulas de conversión, llegándose a un empréstito normal tipo 11:

,

ªs

.,

l

152

e ( a = 0,9(C + P) - O,lCi + O,lV 1 + g¡

) - Ls

Ci 0,9(C + P)- O,lCi + O,lV © Ediciones Pirámide

Empréstitos a)

Al sustituir los valores conocidos en las expresiones anteriores se ob-

tiene:

i' =

lOO = O 08 ' 0,9(1.000 + P) - 10 + 90

P= 300

a;= 0,8C,;01 - Ls) Para calcular la cuantía del lote en el año 1 hemos de conocer el valor de la anualidad comercial constante. Para ello determinamos en primer lugar el número de títulos emitidos, que, al conocer los intereses abonados en el primer año, verifica: b)

Se obtiene: N1 = 50.000 A continuación, como conocemos el valor del tanto efectivo activo, vamos a plantear la ecuación de equivalencia financiera entre las cuantías entregadas y recibidas por el conjunto de obligacionistas, verificándose: . . . {Entregan: (N1V, O) Obhgac10mstas . Reciben: (aª, s)V sis= 1, 2, ... , 10 N1 · V =

ªª ·a:;i.

:::::}

n¡la

50.000 x 900 =

:::::}

a

a (1- 0,002)a1i(jl 0 163557 (1 + 0,001) w¡ '

:::::}

= 9 .462.507

Sustituimos en la ecuación de equivalencia financiera del empréstito normalizado:

N1 C =

10 L a; (1 + n-s = L10 0,8 ( -a- - Ls ) (1 + 0,08)-s

s=l © Ediciones Pirámide

s=l

1,001

153

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

Separando en dos el sumatorio queda: 50.000 X 1.000 = 0,8 [

I.-ª- (l,08fs 10

s=l 1,001

10 L., Ls (1,08)-s

s=l

l

El primer sumatorio es el valor actual de una renta temporal, inmediata, pospagable y constante, mientras que el segundo, como el lote es variable en progresión aritmética de razón d = 10.000, es el valor actual de una renta variable en progresión aritmética. Se verifica:

50.000.000

= o,8[-ªa os 1,001 1010,

AL¡

d)-

' 1010.os

]

Pero como

AL¡,dlwio.os

= ( + lO.OOO X 10 + 10.000) a L¡

0,08

w]o,os

_ 10.000 X 10 0,08

el valor del lote a repartir en el primer año es L1 = 100.000 Para calcular el tanto pasivo o del emisor, hemos de plantear la ecuación de equivalencia financiera entre la prestación real recibida y la contraprestación real entregada por dicho sujeto: e)

. {Recibe: (N1V - Gf;, O) Ermsor Entrega: (a, s) V s Is= 1, 2, ... , 10 Los gastos de emisión ascienden a: Gt{

= 325.000 + 0,015N1V= l.000.000

Por tanto: N1V - Gt{ =a· ª;,i;p

154

:::::}

44.000.000 = 9.462.507a10 ¡;p

:::::}

iP

=

17,05%

© Ediciones Pirámide

Empréstitos

d) Para calcular el tanto de rendimiento de un título que se amortice en el año 2 y perciba lote, hemos de resolver la ecuación de equivalencia financiera entre lo que se paga por una obligación y lo que se recibe por ella hasta dicho año. Sabemos que la cuantía total del lote del año 2 es:

Li

= L¡

+ 10.000 = 110.000

Sabemos que el lote se reparte entre el 10% de los títulos que se amorticen en dicho período, por lo que a cada uno corresponde

Para hallar M 2 , utilizamos el término amortizativo normalizado del año 2:

Por tanto: a~

= 0,8 ( 9 .462 ·507 -110.000) = 7.474.443 1,001

N 2 = N 1 - M1 = 50.000- 3.482 = 46.518 siendo el valor de M 2 el siguiente:

7.474.443 = 46.518 X 1.000 X 0,08 + 1.000M2

:::::}

M2 = 3.753 obligaciones

En consecuencia, a cada título que percibe lote en el año 2 le corresponde por dicho concepto una cuantía de:

110.000 0,1 X 3.753

= 293

En consecuencia, la ecuación de equivalencia que permite determinar el tanto de rendimiento:

900 © Ediciones Pirámide

= [100(1 + ir)-l + (900 + 293)(1 + ir)-2](1- 0,002)

:::::}

ir= 31,076%

155

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

6.10

Una sociedad emite un empréstito integrado por 200.000 títulos de nominal C y cupón periódico de cuantía, sin considerar gastos ni impuestos, 1.100 u.m. por título. La duración de la emisión es de 20 años y en cada período se desea amortizar 1.000 títulos más que en el anterior. El tipo de interés es el 11 % anual y se desea que los títulos tengan un rendimiento constante del 12% anual. Gastos anuales a cargo del emisor: el O, 1% sobre todas las cuantías que satisface. Impuestos anuales a cargo de los obligacionistas: el 0,2% sobre las primas de amortización y cupones. Se sabe que la prima de amortización total pagada en el año 15, incluyendo gastos a cargo del emisor, pero antes de considerar los impuestos a cargo de los obligacionistas, asciende a 52.223 .171 u.m. Calcular, al principio del año 20, el valor de un título para un obligacionista, una vez deducidos los impuestos y con un tipo de interés del 13% anual.

RESOLUCIÓN Hemos de calcular el valor de un título al principio del año 20, que viene dado por el cociente entre el valor total del conjunto de títulos en circulación en dicho momento y tal número de títulos. Además, el valor total del conjunto de títulos vivos es el valor actualizado al 13% anual de los términos amortizativos netos s pendientes de vencimiento. Por tanto, se verifica:

ªª

siendo

Para calcular el término amortizativo neto para el conjunto de obligacionistas en el año 20 es preciso conocer el valor del término amortizativo comercial de dicho año. En este sentido, la estructura de los términos amortizativos comerciales es la siguiente: as

= [NsCi + Ms(C + ~)](1 + g1 )

por lo que la correspondiente al término del año 20 será:

156

© Ediciones Pirámide

Empréstitos

Ahora bien, al existir unos impuestos anuales sobre los cupones y la prima de amortización, la cuantía neta de la anualidad es:

Para calcular tal anualidad neta es preciso conocer N 20 , M 20 y P 20 • Para ello, hemos de tener en cuenta que el número de títulos amortizados en el año 20 se obtiene una vez conocido el número correspondiente a las obligaciones que se amortizan en el primer año, ya que varían de un período a otro en progresión aritmética de razón d = 1.000. Como n

y la suma de títulos que varía en progresión aritmética se puede calcular como S = _(üi_+_a_n)_n 2

el número de obligaciones amortizadas en el primer año se deduce de: N1 =

(M1 + M 20 )20

2

=

(M1 + M1 + 19.000)20

2

:::::}

M1 = 500

Por tanto, M20 = 500 + 19 X 1.000 = 19.500 Como la duración de la operación es de 20 años, el número de títulos que se amortizan en el último período es el número de títulos vivos o en circulación al principio del mismo. Por tanto: M 20 = N 20 = 19.500

Nos falta conocer el importe de la prima del año 20. Para el cálculo de la misma, nos planteamos la ecuación de equivalencia financiera, con el tipo © Ediciones Pirámide

157

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

de interés del 12% anual de rendimiento constante, entre lo entregado y lo recibido por un título que se amortice en dicho año. Pero para ello nos falta por conocer el valor de emisión V, o sea, lo que pagamos por el título. Lo que sí conocemos es el importe de la prima de amortización total pagada en el año 15, incluyendo los gastos a cargo del emisor, por lo que podemos determinar el importe de dicha prima: M15 P¡ 5 (1 + g1 ) = 52.223.171

=> =>

14.500P¡ 5 (1 + 0,001) = 52.223.171 P¡ 5

=>

= 3.598

Una vez conocido el valor de la prima de amortización correspondiente a un título que se amortice en el año 15, podemos determinar V al plantear la ecuación de equivalencia financiera para un título que se amortice en dicho año: V= Ci(I - g2). ªnli + [C + Pis(l - g2)](l + 0-1s V= 1.100(1- 0,002)a1510,12 + [10.000 + 3.598(1- 0,002)](1 + 0,12)- 15 V= 9.960

Por tanto, para un título que se amortice en el año 20 se verifica que: V= Ci(I - g2 ) • ªW1i + [C + P20 (1- g 2 )](1 + i)-20

9.960

= 1.100(1- 0,002)a2010 ,12 + [10.000 + ~ 0 (1- 0,002)](1 + 0,12)-20

=>

=> ~o= 6.992 Al sustituir en la expresión ya señalada de

ªª 20 se obtiene:

aa 20 = 19.500 X 1.100(1- 0,002) + 19.500[10.000 + 6.992(1- 0,002)] =

= 352.478.412 Por tanto, el valor neto de un título es 15.996 u.m.:

V¡~ = 352.478.412(1 + 0,13)- 1 = 311.927.798 V¡9 -_ V¡~ -_ 311.927.798 -15 - .996 N 20 19.500

158

© Ediciones Pirámide

Empréstitos

6.11

Una sociedad emite un empréstito a amortizar en 10 años mediante anualidad comercial constante. Los títulos se emiten a un valor de emisión V, siendo C el valor nominal. El emisor obtiene un importe de 36.000.000 de u.m., no existiendo gastos iniciales a cargo del mismo. Cada uno de los títulos percibirá un cupón anual de 250 u.m. y serán amortizados con una prima constante P por título. Anualmente se reparte un lote de 100.000 u.m. entre los 10 primeros títulos amortizados, los cuales pierden el último cupón y son reembolsados por el 64% del valor de reembolso. Los gastos anuales a cargo del emisor son del O, 1% de todas las cantidades que satisface. Los obligacionistas, por su parte, soportan unos gastos anuales del 0,2% sobre las cantidades recibidas. Si el tanto efectivo activo es del 18,6953% anual y el tipo de interés normalizado es del 10% anual, determinar el número de títulos emitidos.

RESOLUCIÓN La estructura del término amortizativo comercial es:

a= [NsCi + M)C + P) + L- lO(Ci + C + P) + 10 · 0,64(C + P)](l + g1 ) Al realizar el proceso de normalización obtenemos el término amortizativo normalizado a' y el tipo de interés normalizado i':

a

=

[-ª-1+~

L + 10( Ci + C + P) - 6,4( C + P)]-C-; C+P

.,

z=

Ci C+P

El importe del término amortizativo neto que recibe el conjunto de los obligacionistas se calcula a través de la ecuación de equivalencia financiera

Sustituyendo en la expresión anterior, y teniendo en cuenta que el emisor obtiene un importe neto de 36.000.000, tenemos: 36.000.000 = © Ediciones Pirámide

ªª ·ª wio.

186953

:::::}

ªª = 8.209.321 159

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

La cuantía del término amortizativo comercial desembolsado por el emisor se puede obtener a partir del término amortizativo neto que recibe el conjunto de los obligacionistas: a a

a

= - - (1 l + gl

g ) 2

8.209.321 =

=> =>

a

ª

(1 + 0,001)

(1- 0,002)

=>

= 8.233.998

Sustituyendo los valores correspondientes en la expresión del término amortizativo normalizado:

a'= [

8.233.998

LOOl

] e -100.000 + lO(Ci + C + P)-6,4(C + P) - C+P

Y teniendo en cuenta que el tipo de interés normalizado es el 10%, se llega a: O10 = 250 ' C+P

=>

C+ P = 2.500

La expresión del término amortizativo normalizado queda de la siguiente forma: a' = 3.254,908891C A continuación se plantea la ecuación de equivalencia financiera N1 • C

= a' · ªnli'

Sustituyendo en la anterior expresión, obtenemos el número de títulos emitidos: N1C = 3.254,908891C · ªwio.rn

6.12

160

=>

N 1 = 20.000

Se emite un empréstito integrado por 50.000 obligaciones de 1.000 u.m. nominales con prima de emisión de 200 u.m., a amortizar con cupón acumulado a razón del 6% anual. La duración del empréstito es de 15 años y se de© Ediciones Pirámide

Empréstitos

sea que la anualidad comercial sea constante. Anualmente se reparte un lote de 500.000 u.m. entre las 100 primeras obligaciones que resulten amortizadas, las cuales pierden el derecho a recibir el valor nominal percibiendo en su lugar el valor de la prima de emisión. El emisor soporta unos gastos anuales del O, 1% sobre todas las cuantías entregadas. Los obligacionistas abonan unos gastos periódicos del 0,3% sobre todas las cuantías recibidas. Determinar el valor de un título al principio del décimo año, sabiendo que el tipo de valoración es del 8% anual.

RESOLUCIÓN La estructura del término amortizativo comercial es:

a

= [MsC(l + iY + L -

lOOC + 100]!,](1 + g1 )

Una vez realizada la normalización del empréstito con características comerciales, obtenemos que el tipo de interés normalizado i' coincide con i = 0,06 y que la expresión del término amortizativo normalizado es:

a'

= -a- - L + lOOC 1 + g¡

lOOP e

El importe del término normalizado se obtiene a través de la ecuación de equivalencia financiera: N1 · C = a' · ªn1i' Sustituyendo en la expresión anterior, tenemos: 50.000 x 1.000 =a'· a 1510 ,06

=}

a'= 5.148.138

A partir de la expresión del término normalizado podemos determinar el importe del término amortizativo comercial: 5.148.138

© Ediciones Pirámide

=

ª

1 + 0,001

- 500.000 + 100(1.000 - 200)

::::}

a= 5.573.706 161

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

El importe del término amortizativo neto que percibe el conjunto de los obligacionistas se obtiene a través de la siguiente relación:

ª

ªª = (1 + g1)

(1

-

g2

)

==>

a = 5 ·573 ·706 (1- O 003) = 5.551.433

ª

(1 + 0,001)

'

El valor financiero de un título al principio del año 10 o final del año 9 se obtiene como:

Calculamos el valor financiero del empréstito al final del año 9 para el conjunto de los obligacionistas:

vc[ = ªª . ª

Determinamos a continuación el número de títulos vivos al principio del año 10, mediante el método prospectivo: N 10 C(l + i)9 =a'· ªW

N 10 1.000(l + 0,06) 9

==> ==>

N10

= 5.148.138a610.06 ==>

= 14.984

En consecuencia, el valor financiero de un título al principio del año 1O es 1.712 u.m.:

V, = 25.663.607 = 1.712 9

6.13

162

14.984

Se emite un empréstito con las siguientes características: cupón anual anticipado de 100 u.m. por título; nominal de cada título: 1.000 u.m.; prima de emisión: 100 u.m.; años de amortización: 15. Los títulos serán amortizados con una prima de P u.m. por título, repartiéndose un lote anual de L u.m. entre los 10 primeros títulos que resulten amortizados, los cuales pierden la prima de amortización. Gastos a cargo del emisor y sobre todas las cuantías sa© Ediciones Pirámide

Empréstitos tisfechas: 0,3%. Utilizando el procedimiento de normalización, el término constante del empréstito normalizado es 8.967.321, y el tipo de interés anticipado correspondiente es el 8% anual. Sabiendo que el tipo efectivo de interés anticipado correspondiente al conjunto de los obligacionistas es del 13,4840% anual, determinar: a) b)

e) d)

Número de títulos emitidos. Anualidad comercial constante que amortiza el empréstito. Cuantías L y P. Número de títulos en circulación al principio del año 7.

RESOLUCIÓN La estructura del término amortizativo comercial, siendo z el tipo unitario de interés anticipado, es: a= [Ns+iC*z + Ms(C + P) + L- lOP)](l + g1 )

Una vez realizado el proceso de normalización del empréstito, obtenemos las fórmulas de conversión: a'

=

l

C* [ -a- - L + lOP ; C* + P 1 + g1

z' =

zC*

C*+P

Con el empréstito normalizado, para determinar el número de títulos emitidos planteamos la ecuación de equivalencia financiera en el origen, al tipo de interés por vencido i' equivalente al anticipado z': a)

.,

l

z' 1- z'

0 •08 1-0,08

= O 086956521 '

De la ecuación de equivalencia financiera se obtiene N 1 = 80.000: N i C*(l -

z') -- a' . ªf5W

:::::}

N1

X

1.000(1- 0,08)

= 8.967.32la1510,086956521

b) Si un título se amortiza en el año 15 y percibe lote, la contraprestación que recibe está formada por cupones anticipados durante quince años, y © Ediciones Pirámide

163

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

además, en el momento de su amortización, el nominal y la parte del lote correspondiente a un título, no percibiendo prima de amortización porque la pierde al percibir el lote. Para poder calcular el valor de la contraprestación, hemos de determinar primero el importe del lote. En la fórmula de conversión del término amortizativo aparece L como incógnita, pero también desconocemos el valor de a para poder despejar la cuantía del lote. Tenemos como dato el tanto efectivo activo, por lo que planteamos la ecuación de equivalencia financiera entre la prestación real entregada y la contraprestación real recibida:

Sabemos que: a a a . ª - (1 + g1) - (1 + 0,003) '

ia = ~ = 0,155855564 1- Za

Y sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos el valor de la anualidad comercial constante: a

80.000 X 900 - 80.000 X 100

= l,003 ª1510,155855564

a = 11.290.432

===}

e) Para determinar el importe P, tenemos en cuenta que el tipo de interés anticipado normalizado asciende al 8%, por lo que a partir de la fórmula de conversión de z' se obtiene: O 08 = lOO ' 1.000 + P

:::::}

P = 250

El lote se determina sustituyendo en la fórmula de conversión del término amortizativo normalizado a':

8.967.321 164

=

l.OOO [ 11. 290 .4 32 - L + 10 x 250] 1,003 1.000 + 250

:::::}

L

= 50.010,76

© Ediciones Pirámide

Empréstitos

d) Para calcular el número de títulos vivos o en circulación al principio del año 7 planteamos la ecuación de equivalencia financiera en dicho momento:

= a' · a9-¡;, N 7 · l.000(1- 0,08) = 8.967.32la910, 086956521 N7 C*(l - z')

6.14

:::::}

N7

= 59.166

Se emite un empréstito con las siguientes características: títulos emitidos: 20.000; prima de emisión: 100 u.m. por título; cupón anual anticipado a razón del 12%; valor nominal de cada título: 10.000 u.m. El empréstito se va a amortizar en n años mediante anualidad comercial de tal forma que cada año los cupones disminuyan en 2.400.000 u.m. Cada título percibirá una prima de amortización de P u.m., repartiéndose un lote anual constante de 300.000 u.m. entre los 100 primeros títulos amortizados en cada período. Calcular el término amortizativo del antepenúltimo año, sabiendo que un título amortizado en el año 6 y que percibe lote tiene un tanto anticipado de rendimiento del 15,170321 % anual.

RESOLUCIÓN Como tenemos el tanto de rendimiento anticipado de un título que se amortiza en el año 6 y que percibe lote, podemos plantear la ecuación de equivalencia financiera entre la prestación real entregada y la contraprestación real recibida por un título que se amortice en dicho año: V

= C* · z · ii-n ,, + (C + P + l)(l + i)- n 1

.

donde: i

=~ = O' 178832705·' r l- Z r

L l = - = 3.000· 100 '

V

= C* -

~

= 9 .900

Sustituyendo en la ecuación de equivalencia financiera obtenemos P= 250:

9.900 © Ediciones Pirámide

= 10.000 X 0,12ii6]o,nss32705 + (10.000 + 3.000 + P)(l + 0,178832705f6 165

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

Sabemos que los cupones disminuyen cada año en 2.400.000 u.m., es decir, que varían en progresión aritmética de razón d = -2.400.000, por lo que se verifica:

donde

Por tanto: d

M =-=2.000 s C*z Como el número de títulos vivos al principio del último período es igual al número de títulos que se amortizan en dicho período, los que se amortizan en el último año serán 2.000. Como

el número de títulos vivos al principio de cada período varía en progresión aritmética de razón d = -2.000, por lo que: ~

Nn = N1 - (n - l)d

~

2.000 = 20.000 - (n - 1)2.000

n = 10

Para calcular el término amortizativo del antepenúltimo año, o sea, a 8, tenemos en cuenta su estructura: a8

= N 9 • C* · z + M8 ( C + P) + L

Sustituyendo en la citada expresión tenemos:

ªs

166

= 4.000 x 10.000 x 0,12 + 2.000 x 10.250 + 300.000

~

ªs

= 25.600.000

© Ediciones Pirámide

Miscelánea

• • • • • •

Fundamentos. Sistemas clásicos. Rentas financieras. Préstamos. Operaciones de constitución. Empréstitos.

7.1

Sea un empréstito normal en el que se emiten obligaciones de valor nominal 2.000 u.m., a amortizar en 20 años con términos amortizativos constantes y cupón periódico del 5% anual. Si el número teórico de títulos vivos al principio del año 15 es de 40.728,66, determinar el número de títulos amortizados en el año 1O.

RESOLUCIÓN El término amortizativo del empréstito se obtiene en función del número de títulos vivos al principio del año 15: 40.728,66 X 2.000 = a · ª6lo,os

=>

a = 16.048.649

Para determinar el número de títulos emitidos, utilizamos la ecuación de equivalencia financiera en el origen: N1 · 2.000 = 16.048.649a2610, 05

=>

N1

= 100.000

El número teórico de títulos amortizados en el primer año es: 100.000 = M1 · s20 ¡o,os

=>

M 1 = 3.024,28

Finalmente, el número teórico de títulos amortizados en el décimo sorteo es: MIO = M¡ (1 + i) 9 = 3.024,28(1 + 0,05) 9 © Ediciones Pirámide

=>

MIO = 4.691,65

169

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

7.2

Sea una renta prepagable de términos cuatrimestrales y de 15 años de duración. Los términos son constantes dentro de cada año, incrementándose de un año a otro en un 4%, siendo el término cuatrimestral del tercer año igual a 32.448. Si el tipo de interés es el 6% anual, determinar el valor de la renta al final del año 20.

RESOLUCIÓN Al variar de un año a otro en progresión geométrica los términos de la renta, la cuantía de los términos del primer año es:

= C1 · q 2

C3

:::::}

32.448

= C1 · 1,042

:::::}

c1

= 30.000

Al tratarse de una renta fraccionada, necesitamos conocer el valor del tipo de interés cuatrimestral equivalente al 6% anual: (1 + 0,06)

= (1 + ;(m)) 3

:::::}

i(m)

= 0,019612822 cuatrimestral

El valor actual de la renta fraccionada pospagable es:

VÓ = -

i

· 3cl ·

J(m)

X

1 - q 15 . c1 + 0-15 0,06 . = 1 + Z- q 3 X 0,019612822

X

3 X 30.000 X

1-10415 ·106-15 '

'

1 + 0,06 - 1,04

Va = 1.140.459 Al ser la renta prepagable, su valor actual se obtiene como: V¡¡(m)

= l'o(l + ;(m)) = 1.140.459(1 + 0,019612822) = 1.162.827

Finalmente, el valor de la renta al final del año 20 es:

Vibm) = V¡¡(m) (l + i)2º = 1.162.827 X 1,06 20 = 3.729.344 170

© Ediciones Pirámide

Miscelánea

Un préstamo de 5.000.000 se amortiza con cuotas de amortización constantes anuales de cuantía 250.000 u.m. y tipo de interés del 10% anual. Determinar el valor del término amortizativo correspondiente al año 12.

7.3

RESOLUCIÓN El número de años de vida del préstamo se calcula dividiendo la cuantía del préstamo entre el importe de la cuota constante de amortización:

n

= C0 = 5.000.000 = 20 A

250.000

El término amortizativo correspondiente al año 12 se puede expresar como ª12

= A12 + 112 = A + i · C11

siendo la cuantía del saldo vivo al principio del año 12 la siguiente: C11

= (n -

s)A

= (20 -11)250.000 = 2.250.000

Finalmente, al sustituir en la expresión del término amortizativo del año 12, obtenemos su importe: a 12

7.4

= 250.000 + 0,10 X 2.250.000 = 475.000

Se impone un capital de 50.000 u.m. en capitalización compuesta durante 12 años a un tipo de interés anual convertible semestralmente. A continuación, el montante resultante se impone en capitalización simple durante 25 meses al 6% semestral. Si la cuantía acumulada, transcurrida la segunda operación, es de 201.568,75 u.m., determinar el tipo de interés anual convertible semestralmente de la primera operación.

RESOLUCIÓN Al ser valorada la segunda operación en capitalización simple, el tipo de interés anual se calcula multiplicando el tipo de interés semestral por el número de semestres existentes en un año: i=2 © Ediciones Pirámide

X

0,06 = 0,12

171

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

Por tanto, la cuantía inicial correspondiente a la segunda operación se deduce de:

en = e0(l + n · í)

201.568,75

:::::}

= e0 ( 1 + :~ x 0,12)

e0 = 161.255

:::::}

Esta cuantía coincidirá con el valor final de la primera operación, la cual se ha valorado en capitalización compuesta, por lo que el tipo de interés anual es:

en = e0(l + ít

===}

161.255 = 50.000(1 + í) 12

:::::}

i

= 0,1025

El tipo de interés semestral equivalente al 10,25% anual se calcula como: (1 + 0,1025) = (1 + ¡(m))2

:::::}

i ( m)

= 0,05

semestral

Finalmente, el tanto anual convertible semestralmente es: J (m)

7.5

= m · Í(m) = 2 X 0,05 = 0,10

Sea una renta prepagable de 11 términos semestrales constantes de cuantía 100.000 u.m. venciendo el cuarto término al principio del sexto año. Si el tipo de interés es el 6,09% anual, calcular el valor actual de dicha renta.

RESOLUCIÓN El tipo de interés semestral equivalente al 6,09% anual es: (1 + 0,0609)

= (1 + Í(m)) 2

¡(m)

= O' 03 semestral

Si el vencimiento del cuarto término semestral se sitúa al principio del sexto año, el primero de ellos vencerá al finalizar el primer semestre del tercer año, por lo que el valor en O de la renta es:

V¡¡ = 100.000arr¡o,03 · (1,03)- 7 = 774.893 172

© Ediciones Pirámide

Miscelánea

Sea una operación de préstamo de 10.000.000 de u.m. a amortizar en 15 años por el sistema francés, siendo el tipo de interés el 4% anual. El prestatario soporta los siguientes gastos:

7.6

l.

2. 3.

Comisión de estudio del 0,5% de la cuantía concedida. Gastos de notario de 175.000 u.m. Gastos periódicos anuales de administración del 0,5% de la cuantía del término amortizativo.

Determinar el tanto anual equivalente (TAE) de la citada operación.

RESOLUCIÓN En primer lugar, hemos de obtener el valor del término amortizativo constante del préstamo: 10.000.000 =a· ªfs1o,04

===}

a= 899.411

Para el cálculo del tanto anual equivalente, hemos de determinar el tipo efectivo que verifica la equivalencia financiera entre las cuantías percibidas y entregadas por el prestatario, excluyendo de éstas los gastos a abonar a terceros, o sea, los de notario. Se verifica: 10.000.000 - 0,005 X 10.000.000 ===}

7.7

= 899.411 X 1,005 · ªfslir

:::::}

iT = TAE = 4,143%

Sea la ley financiera L(t;p) =a+ 2b(p - t), siendo p = 10, sabiendo que la suma financiera de los capitales (5.000, 2) y (2.500, 4) calculada en el punto 7 es 10.000 u.m., calcular el rédito acumulado de capitalización asociado al intervalo (5, 9).

RESOLUCIÓN Al verificarse L(t; t) nemos:

= 1, se deduce a =

l. De acuerdo con los datos te-

(10.000, 7) = (5.000, 2) + (2.500,4)

:::::}

10.000[1 + 2b(10 - 7)] = 5.000[1 + 2b(10 - 2)] + 2.500[1 + 2b(10 - 4)] ===}

© Ediciones Pirámide

b

:::::}

= 0,05 17 3

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

El valor del rédito acumulado es: ~(5,9;10) = L(5;p)- L(9;p) = 1 + 0,10(10-5)-[1 + 0,10(10-9)] = 0,4

7.8

Sea un préstamo amortizable por el sistema francés del que se sabe que el saldo al principio del sexto año es de cuantía 1.487.859,215 u.m. Si las cuotas de amortización correspondientes a los períodos 9 y 12 son, respectivamente, 136.937,33 y 158.522,08 u.m., determinar la cuantía del préstamo.

RESOLUCIÓN Teniendo en cuenta que las cuotas de amortización varían en progresión geométrica de razón (1 + i), se verifica: A12 = Ag(l + i) 3

=>

158.522,08 = 136.937,33(1 + i) 3

=>

i = 0,05

Podemos determinar el término amortizativo como la suma de la cuota de interés y la de amortización del año 6: 0,05 X 1.487.859,215 = 74.392,96} ~ = 136.937,33 x 1,05-3 = 118.291,61 /6 =

____,_

-/'

a= 192.684,57

Teniendo en cuenta la expresión del saldo por el método retrospectivo, se llega a: 1.487.859,215 = C0 · 1,055 -192.684,57s510,05

7.9

174

=>

C0 = 2.000.000

Una sociedad emite un empréstito integrado por 30.000 títulos de 10.000 u.m. nominales a amortizar en 20 años mediante anualidad comercial constante y cupón anual del 5%. Los títulos se emiten a un valor de emisión Vy se amortizan con una prima de 2.500 de u.m. Se reparte un lote constante de 3.000.000 u.m. entre los 10 primeros títulos amortizados, los cuales pierden el importe del último cupón y son reembolsados por la prima de amortización. Los gastos anuales a cargo del emisor son del O, 1% sobre todas las © Ediciones Pirámide

Miscelánea

cuantías abonadas. Los obligacionistas soportan unos gastos anuales del 0,2% sobre todas las cuantías recibidas. Sabiendo que el tanto efectivo pasivo es el 8,187567% anual, calcular el tanto efectivo activo.

RESOLUCIÓN La estructura del término amortizativo comercial constante es:

a= [NsCi + M,(C + P) + L- lO(Ci + C)](l + g1 ) A través del proceso de normalización llegamos a las siguientes ecuaciones de conversión:

a'= [

a

(1 + g1)

-L+ lO(Ci + C ) l ~ ;

e+ P

i'

= -9:_ = e+ P

500 12.500

= O 04 '

Para el empréstito normalizado se verifica: 30.000 x 10.000 = a'· a 2010 •04

:::::}

a' = 22.074.525,10

Al sustituir en la fórmula de conversión: 22.074.525,10

:::::}

= [ -a- - 3.000.000 + 10 X 10.500] 10.000 1,001

12.500

a= 30.518.644,53

Al conocer el tanto efectivo pasivo podemos plantear la ecuación correspondiente: 30.000V

= 30.518.644,53a2010 ,08187567

:::::}

V= 9.850

Para determinar el tipo efectivo activo necesitamos la anualidad neta percibida por el conjunto de los obligacionistas:

ªª = -1 +-a gl( 1 - g2) = 30.427.180,06 © Ediciones Pirámide

175

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

En consecuencia, el tanto efectivo activo se deduce de: 30.000 X 9.850 = 30.427.180,06aw]i.

7.10

=>

iª = 8,1469%

Se concede un préstamo de 20.000.000 de u.m. a amortizar en 15 años con un tipo de interés del 5% anual. En los tres primeros años sólo se pagan intereses; durante los dos años siguientes no se abona cuantía alguna y durante los períodos restantes se abonan términos amortizativos semestrales constantes dentro de cada año, incrementándose de un año a otro en un 3%. Al final del séptimo año desde la constitución de la operación el prestamista vende el préstamo a un tipo de valoración del 6% anual. Determinar el valor del usufructo en dicho año.

RESOLUCIÓN Al abonarse solamente intereses durante los tres primeros años, el saldo al principio del año 4 vale 20.000.000. Como en los dos siguientes (años 4 y 5) no se abona cuantía alguna, el saldo al principio del año 6 asciende a: C5

= 20.000.000 X 1,052 = 22.050.000

Ahora, principio del año 6, el préstamo se amortiza mediante una renta fraccionada semestral cuya correspondiente anual varía en progresión geométrica de razón 1,03 y consta de 10 términos. Por el postulado de equivalencia financiera, el valor actual de dicha renta fraccionada, al 5% anual o al 4,9390153% nominal anual convertible semestralmente, ha de coincidir con el saldo anteriormente calculado:

(1

22.050.000

=

03)10

i,os

1 0,05 · 2a · 6 0,049390153 1,05 - 1,03

=>

ª6

= 1.244.973,89

Para determinar el valor del usufructo al principio del año 8, calculamos en primer lugar el valor del préstamo al 6% anual o al nominal convertible

176

© Ediciones Pirámide

Miscelánea

semestralmente que le corresponde, o sea, 5,9126028%. Dicho valor es el actualizado de una renta fraccionada semestral, de primer término

a8

= a6 • 1,032 = 1.320.792,80

cuya correspondiente anual varía en progresión geométrica de razón 1,03 y de 8 términos: l 0,06 V¡ = 0,059126028

X

2 X 1.320.792,80 X

(1,03)8 1,06 1,06-1,03

= 18.336.666,19

Sabemos que se verifica:

El valor del saldo es:

C7 =

( 103)8

0,05 0,049390153

X

2 X 1.320.792,80 X

l - 1:05

1,05 -1,03

= 19.067.084,67

Al sustituir en la ecuación precedente tenemos: 0,05 18.336.666,19 = -(19.067.084,67 - N7 ) + N 7 0,06

=>

N 7 = 14.684.573,82

En consecuencia, el usufructo es: U7

7•11

© Ediciones Pirámide

= V7 -

N7

= 3.652.092,37

Un sujeto impone un determinado capital en capitalización compuesta durante 25 años en una entidad financiera, la cual oferta un tipo de interés del 8% anual. Durante los diez primeros años retira al final de cada período el 75% de los intereses producidos en el respectivo período; en los cinco siguientes

17 7

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

no retira cuantía alguna, y después, durante cinco años, retira una cuantía constante al final de cada semestre. Sabiendo que la cuantía de intereses retirados en el cuarto año es de 31.836,24 u.m. y el montante obtenido al final de la operación es igual a 1.054.523,81 u.m., determinar el importe de las cuantías semestrales retiradas.

RESOLUCIÓN Al retirar durante cada uno de los diez primeros años el 75% de los intereses, se acumula sólo el 25% de los mismos, por lo que el capital formado al final del período s es

es = C (1 + 0,25iY 0

Conociendo los intereses retirados en el cuarto año, podemos determinar el valor del formado al principio de dicho período: 31.836,24 = 0,75 X 0,08C3

:::::}

C3 = 530.604

Por tanto, la cuantía que se ha impuesto es: 530.604 = C0 (1 + 0,25 x 0,08) 3

:::::}

C0 = 500.000

El capital acumulado al final del año 10 es: C10

= 500.000(1 + 0,25 X 0,08)10 = 609.497,21

Como en los cinco siguientes períodos no se retira cuantía alguna, el capital acumulado al final del año 15 asciende a: C15

= 609.497,21(1 + 0,08) 5 = 895.551,36

En los siguientes cinco años retira una cuantía semestral constante, por lo que el capital formado al final del año 25 debe ser la diferencia entre el valor financiero en dicho momento del capital formado hasta el momento 15 y el valor financiero también en 25 de las cuantías semestrales retiradas has178

© Ediciones Pirámide

Miscelánea

ta el final del año 20, valoradas al 3,9230485% semestral equivalente al 8% anual: 1.054.523,81 = 895.551,36 · 1,081º -

7.12

X· Sio]0,039230485 · 1,085

~

X=

50.000

Se impone en capitalización compuesta durante 25 años un capital de 5 millones a un tipo de interés nominal del 8% anual convertible semestralmente. Durante los cinco primeros años no se retira cantidad alguna, en los 10 años siguientes se retira al final de cada año el 25% de los intereses producidos en el respectivo año y en los últimos 10 años se retira al final de cada año una cuantía constante de 1.000.000. Transcurridos los 25 años, y con el montante constituido, una vez retiradas las distintas cuantías, se concede un préstamo con términos trimestrales constantes dentro de cada año, pero aumentando en progresión geométrica de un año a otro siendo la razón q = 1,30. La duración del préstamo es de 6 años y el tipo de interés es del 10% anual. Calcular la cuota de amortización del primer trimestre.

RESOLUCIÓN El tipo de interés semestral equivalente al 8% anual convertible semestralmente es: iem

)

J(m) 0,08 = -=- = O 04 semestral

m

2

'

El tipo de interés anual equivalente al 4% semestral es: 1 + i = (l + 0,04)2

~

i

= 0,0816 anual

El capital constituido después de transcurrir 5 años asciende a: C5 = 5.000.000(1 + 0,0816) 5 = 7.401.221 Al final de cada uno de los diez años siguientes, se retira el 25% de los intereses de cada período, por lo que se acumula el 75% de los mismos. En consecuencia, el capital constituido al final del decimoquinto año es: C¡5

© Ediciones Pirámide

= 7.401.221(1 + 0,75 x 0,0816) 10 = 13.405.277

179

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

El montante obtenido tras los 25 años, considerando que durante los 10 últimos años se retira una cuantía constante de 1.000.000 de u.m. es: C25 = 13.405.277(1 + 0,0816) 10

-

l.000.000sio1 0 , 0816 = 14.775.517

Con dicho capital se concede un préstamo de 6 años de duración, al 10% anual y con términos amortizativos trimestrales constantes dentro de cada año y variables en progresión geométrica de razón 1,30 de un año a otro. Se trata, pues, de un préstamo amortizable mediante una renta fraccionada. Recordemos la expresión que nos permite calcular el valor actual de una renta fraccionada pospagable en función de la renta correspondiente:

= _i_v

y(m)

J

a

El tipo de interés trimestral 1 + 0,10

i(h)

a

(m)

equivalente al 10% anual es:

= (1 + ¡(hl)4

:::::}

i(h)

= 0,024113689

Al plantear la ecuación de equivalencia financiera en el origen de la operación de amortización, podemos determinar el término amortizativo trimestral del primer año:

C = 14 _775 _517 = 0,10 X 4a o O 024113689 X 4

X

1-1,30 6 X 1,10-6 1 + 0,10-1,30

a=

===}

413.186

La cuota de interés correspondiente al primer trimestre es: 11

= C0 · i(h) = 14.775.517 x 0,024113689 = 356.292

La cuota de amortización correspondiente a dicho período la obtenemos por diferencia entre la cuantía del término amortizativo y la cuota de interés: A1 = a - 11 = 413.186 - 356.292

180

= 56.894 © Ediciones Pirámide

Miscelánea

7.13

Una empresa obtiene de una entidad financiera un préstamo al 8% anual de interés, amortizable mediante 20 anualidades de 3.065.752 u.m. cada una. Con el fin de financiar el importe concedido en préstamo, así como los gastos de emisión, la entidad financiera emite un empréstito formado por obligaciones de 1.000 u.m. nominales, las cuales percibirán un cupón anual de 60 u.m. por título. El empréstito incluye un lote anual constante y es amortizado con las anualidades pagadas por la empresa y tiene la misma duración que el préstamo concedido a ella. Calcular la cuantía del lote y el precio de emisión de las obligaciones, sabiendo que la entidad financiera tiene unos gastos de emisión de 10,016 u.m. por título; que el tipo efectivo activo es del 7,5% anual, y que los gastos anuales a cargo de los obligacionistas son del 2,57% de todas las cuantías que perciben.

RESOLUCIÓN Al plantear la ecuación de equivalencia de la operación de préstamo en el origen, podemos determinar la cuantía del mismo: C0 =a· ªni;

:::::}

C0

= 3.065.752aw]o,os = 30.100.000

Al detraer de la cuantía recibida por el emisor del empréstito, los gastos de emisión, ha de obtenerse el importe del préstamo: N 1V -10,016N1

= 30.100.000

Para el empréstito, la estructura del término amortizativo comercial es:

a

= N.Ci + M.C + L

El término amortizado normalizado a' y el tipo de interés normalizado i' se recogen en las siguientes expresiones:

a'

=a -

L;

i'

= i = 0,06

A continuación se plantea la ecuación de equivalencia financiera que nos permite determinar el tanto efectivo activo, pues conocemos el dato de este último:

© Ediciones Pirámide

181

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

La cuantía del término amortizativo neto que recibe el conjunto de los obligacionistas se puede obtener a partir del término amortizativo comercial:

ªª = a(l -

g2 )

=>

ªª = 3.065.752(1- 0,0257) = 2.986.962

Sustituyendo en la expresión del tanto efectivo activo, obtenemos:

N\.'í

= 2.986.962a20]o,o?s

=>

N1V

= 30.450.560

Si sustituimos N1V por su valor en la expresión del importe neto recibido por el emisor, tenemos: 30.450.460 -10,016N1

= 30.100.000 =>

N1

= 35.000

El importe del término amortizativo normalizado se obtiene planteando la siguiente ecuación de equivalencia financiera: 35.000 x 1.000 =a'· ª20Jo,o6

=>

a'= 3.051.459

Para finalizar, determinamos el importe del lote a través de la ecuación del término amortizativo normalizado: 3.051.459 = 3.065.752 - L

7.14

182

=>

L = 14.293

Con el fin de disponer en el futuro de un capital de 25.000.000 de u.m., el señor A concierta con la entidad B una operación de constitución, comprometiéndose a entregar una cuantía constante, al principio de cada año, y durante 20, para así tener constituida al final del año 20 la cifra señalada inicialmente. El tipo de interés que abona B es del 12% durante los primeros 8 años, y del 15% durante los restantes. Supóngase que al final del año 15 se acuerda por ambas partes rescindir la operación, entregando B a A el capital formado hasta ese momento. Con tal cuantía, A concede a C un préstamo para ser amortizado mediante cuota de amortización constante durante 10 años, con un tipo de interés del 16% anual. Determinar, para dicho préstamo, los intereses correspondientes al séptimo año. © Ediciones Pirámide

Miscelánea

RESOLUCIÓN En primer lugar, vamos a determinar la cuantía constante a imponer por el señor A para constituir un capital de 25.000.000 de u.m.: 25.000.000

= a· s 810.1/1 + 0,15)12 +a· si2Jo,1s

:::::}

a

= 233.525

Como al final del año 15 ambas partes acuerdan cancelar la operación, hemos de determinar la cuantía constituida hasta ese momento, la cual será concedida como préstamo al señor C: Vis = 233.525ssio.1/l + 0,15)7 + 233.525s7]0,1S

:::::}

Vis = 11.529.208

Las cuotas de amortización del préstamo señalado serán de 1.152.921 u.m. cada una, siendo la cuota de interés del año 7 el resultado de multiplicar el tipo de interés correspondiente por el saldo vivo al principio del séptimo período: C6

= (10-6)1.152.921 = 4.611.684

11 = C6 • 0,16 = 737.869

7.15

Hace 1O años un inversor abrió en una entidad bancaria una cuenta de ahorro, comprometiéndose a imponer 5.000 u.m. al final de cada mes. El tanto de interés concertado en la operación fue el 5% anual efectivo. En el momento actual, con los dos tercios del montante constituido concede un préstamo a una entidad, a un tanto del 6,5% anual y para ser amortizado mediante diez anualidades constantes comenzando a realizar los pagos durante el cuarto año de concertada la operación y al final de cada año. Con el tercio restante del montante, adquiere el derecho a una renta, que percibirá al principio de cada trimestre teniendo lugar el primer cobro dentro de 3 meses y siendo su duración 15 años. El tanto de valoración de esta renta es el 5% anual efectivo. Se pide: a) b)

© Ediciones Pirámide

Cuantía constante de renta que se percibirá cada trimestre. Si después de cobrada la cuarta anualidad del préstamo, decide vender éste a un tanto del 5,5% anual, determinar el valor financiero del préstamo, del usufructo y de la nuda propiedad.

183

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

RESOLUCIÓN Primeramente se ha de conocer el capital constituido en el momento actual, el cual será el valor final de una renta prepagable de términos mensuales de cuantía 5.000 u.m., valorada a un tipo de interés mensual equivalente al 5% anual: (1

+ 0,05) = (1 + ; =>

d 1 = 1.000.000

d¡g = d¡ (1 + o, 05)17 = 2.292.018 En consecuencia, el capital constituido es la suma de una serie de términos variables en progresión geométrica, cuyo valor es: S

= d~ · 1,05 1,05 - 1

© Ediciones Pirámide

d~

= 2.292.018 X 1,05 -1.000.000 = 28 _132385 1,05 - 1

185

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

La cuantía entregada al señor A es el 99% de dicha cantidad, o sea, 27.851.061 u.m. Con dicha cuantía se concede un préstamo del cual nos dicen que las cuotas de interés disminuyen de un período a otro en 600.000 u.m., por lo que se trata de un préstamo de cuota constante de amortización, verificándose: ls+l = Is - 600.000

:::::}

===}

i · Cs = i · Cs-l - 600.000

600.000 = i · (Cs-1 - Cs) = 0,15A

:::::}

===}

A= 4.000.000

Los tres primeros términos amortizativos del préstamo son los siguientes:

= 4.000.000 + 27.851.061 X 0,15 = 8.177.659 0,15A = 8.177.659- 600.000 = 7.577.659 0,15A = 7.577.659 - 600.000 = 6.977.659

a1 =A+ / 1

= a1 a 3 = a2 -

a2

186

© Ediciones Pirámide

Problemas propuestos

• • • • • •

Fundamentos. Sistemas clásicos. Rentas financieras. Préstamos. Operaciones de constitución. Empréstitos.

8.1.

ENUNCIADOS l. Sea un empréstito normal en el que se emiten 250.000 títulos de valor nominal 6.000 u.m., a amortizar en 30 años con términos amortizativos constantes y cupón periódico del 5% anual. Determinar el número de títulos vivos al principio del año 20.

2. Calcular el valor actual de una renta semestral prepagable de diez años de duración y términos constantes de cuantía 100.000, valorada al 5% anual y cuyo primer término vence al principio del año 4.

© Ediciones Pirámide

189

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

3. Un préstamo de 25.000.000 se amortiza con cuotas de amortización constantes anuales y tipo de interés del 6% anual, siendo su duración de 20 años. Hallar el valor financiero del préstamo al 4% anual al principio del año 13.

4.

Se impone un capital en capitalización simple durante 18 meses al

3% anual y a continuación, el importe total de los intereses se impone en ca-

pitalización compuesta durante 25 meses al 9% anual convertible trimestralmente. El montante obtenido al final asciende a 263.255 u.m. Calcular el valor del capital inicial.

190

© Ediciones Pirámide

Problemas propuestos

5. Sea una renta trimestral, prepagable, de duración 15 años y valorada al 8% anual. Los términos son constantes dentro de cada año y aumentan de un año a otro en un 4% acumulativo. Sabiendo que la cuantía trimestral del segundo año es de 52.000, determinar el valor final de la renta.

6. Sea una operación de préstamo de 25.000.000 de u.m. a amortizar en 20 años por el sistema francés, siendo el tipo de interés del 4% anual. El prestatario soporta los siguientes gastos: 1) comisión de estudio del 1,5% de la cuantía concedida; 2) gastos de notario de 75.000 u.m.; 3) gastos periódicos anuales del 0,5% de la cuantía del término amortizativo. Calcular el tanto efectivo pasivo.

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191

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

7. Sea la ley financiera L(t;p) =a+ b(p - t), siendo p = 15; sabiendo que la suma financiera de los capitales (50.000, 2) y (75.000, 6) calculada en el punto 10 es 195.000 u.m., hallar el rédito de capitalización asociado al intervalo (6, 8).

8. Se descuenta una letra de nominal 300.000 u.m. con vencimiento dentro de 90 días, en una entidad bancaria que aplica un tanto de descuento del 8% anual y una comisión del 0,75% sobre el nominal, existiendo un impuesto del 4% sobre el descuento y la comisión. Calcular el tanto efectivo de descuento para el cliente.

192

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Problemas propuestos

9. Sea la ley financiera L(t;p) =a+ b(p - t), siendo p = 10. Sabiendo que el rédito acumulado para el intervalo (3, 5) es 0,02, hallar el rédito de capitalización asociado al intervalo (6, 7).

10. Dada una renta semestral prepagable, valorada al 6% anual, perpetua de términos variables en progresión geométrica de razón 1,02, calcular el valor actual de la misma siendo la cuantía del primer término 10.000 u.m. y su vencimiento al principio del segundo año.

11. Se impone un capital en capitalización compuesta durante 22 meses al 5% anual. Transcurridos los primeros 15 meses se retiran los intereses producidos hasta ese momento y se imponen en capitalización simple durante 7 meses al 1% bimestral. El montante obtenido como suma al final © Ediciones Pirámide

193

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

de ambas operaciones es de 164.093 u.m. Determinar el importe del capital inicial.

12. Sea una renta cuatrimestral, prepagable de duración 12 años y valorada al 6% anual. Los términos son constantes dentro de cada año y aumentan de año en año en 1.000 u.m. Sabiendo que la cuantía cuatrimestral del segundo año es de 6.000, calcular el valor final de dicha renta.

13. Sea una renta anual prepagable de 10 términos de cuantía 4.000 u.m. y con vencimiento del primer término al principio del año 3, y ocho términos anuales de cuantía 6.000 u.m., venciendo el primero al principio del año 13. Calcular el valor obtenido al final del año 25, siendo los tipos de va194

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Problemas propuestos

!oración para los primeros doce años del 8% bienal pagadero anualmente, y para el resto de los años, del 5% anual.

14. De un fondo constituido con objeto de devolver la cuantía de un préstamo por el sistema americano se sabe que la cantidad entregada anualmente en dicho fondo es de 121.965 u.m. y además el capital constituido al final del séptimo período es de 1.055.484 u.m. Del préstamo sabemos que su duración es de 20 años y se pactó con tipo de interés variable siendo del 5% anual para los 1O primeros años y del 6% anual para los 1O últimos. Si se vende el préstamo, valorándolo al 7,5% anual, al principio del año 9, calcular el valor del usufructo.

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195

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras 15. Se concede un préstamo por el sistema francés para ser amortizado en 10 años a un tipo de interés del 5% anual. Si la cuota de interés del octavo período asciende a 141.069, calcular la cuantía nominal del préstamo.

16. Se concede un préstamo de cuantía 6.400.000 u.m. mediante el sistema de cuota de amortización anual constante para ser amortizado en 8 años y al 8% anual capitalizable semestralmente. Hallar la cuantía del sexto término amortizativo.

17. Una sociedad emite un empréstito integrado por 25.000 títulos de 5.000 u.m. nominales a amortizar en 30 años mediante anualidad comercial constante y cupón anual del 9%. El valor de emisión de los títulos es de 4.500 u.m. Los títulos amortizados no tendrán derecho a percibir el último cupón, y percibirán una prima de amortización de 1.075 u.m. Se reparte un lote constante entre los 10 primeros títulos amortizados, los cuales sólo percibirán el importe correspondiente del lote, sin derecho a cualquier otra cuantía. Los gastos anuales a cargo del emisor son del 0,2% sobre todas las cuantías abonadas. Los obligacionistas soportan unos gastos anuales del 0,15%

196

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Problemas propuestos

sobre todas las cuantías recibidas. Sabiendo que el tanto efectivo activo es del 15,251819% anual, calcular la cuantía del lote.

18. Se concede un préstamo de 10.000.000 de u.m. a amortizar en 15 años; en los cinco primeros años sólo se pagan intereses, durante los cinco años siguientes los términos amortizativos son constantes y en los últimos años la cuantía de los términos es el doble de los anteriores. El tipo de interés es del 6% anual. Al principio del noveno año el prestamista vende el préstamo valorándolo a un tipo anual del 11 %. Calcular el valor de la nuda propiedad.

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197

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

19. Un sujeto realiza las siguientes aportaciones en una entidad financiera: durante los 3 primeros años entrega al principio de cada mes 75.000 u.m., a mitad del cuarto año entrega un capital de 2.000.000 de u.m, durante los años 5, 6, 7 y 8 entrega cuantías semestrales prepagables constantes dentro de cada año, pero variables en progresión aritmética de razón d = 50.000, siendo el importe de cada una de las aportaciones semestrales del año 5 de 500.000 u.m. Por último, y debido a necesidades financieras dicho sujeto no realiza ninguna aportación más y se ve obligado a retirar al final de los años 8 y 9 las cuantías anuales de 1.500.000 u.m. Sabiendo que la entidad remunera al 5% anual en los 4 primeros años y al 6% anual en los restantes, calcular el montante obtenido al final del año 10.

20. Una sociedad emite un empréstito integrado por 10.000 títulos de 1.000 u.m. nominales a amortizar en 30 años mediante anualidad comercial constante y cupón anual del 5%. El valor de emisión de los títulos es de 800 u.m. Cada título percibirá una prima de amortización de 500 u.m. Anual-

198

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Problemas propuestos

mente se reparte un lote constante de 150.000 u.m. entre los 15 primeros títulos amortizados, los cuales perderán el último cupón y serán reembolsados por el valor de emisión. Los gastos anuales a cargo del emisor son del O, 1% sobre todas las cuantías abonadas. Los obligacionistas soportan unos gastos anuales del 0,2% sobre todas las cuantías recibidas. Hallar el tanto efectivo activo de la operación.

21. Se concede un préstamo de 50.000.000 de u.m. para ser amortizado con una duración total de 20 años, con un tipo de interés del 5% anual. En los tres primeros años no se entrega ninguna cantidad, en el cuarto año se comienza a entregar cuantías trimestrales constantes dentro de cada año, aumentando de año en año a razón de q = 1,04. Transcurridos los diez primeros años desde la concesión del préstamo, el prestatario acuerda con el prestamista seguir manteniendo la duración de la operación tal cual habían establecido pero con las modificaciones siguientes: no entregar ninguna can© Ediciones Pirámide

199

Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

tidad en el año 11; entregar 500.000 u.m. al final del año 12, y terminar de amortizar el préstamo según un sistema de cuotas de amortización constantes. Al principio del año 15 el prestamista vende el préstamo valorándolo a un tipo anual del 8%. Calcular el valor del usufructo.

22. Se concede un préstamo de 10.000.000 de u.m. por el sistema francés, al 4% anual, para ser amortizado en 30 años. Transcurridos los ocho primeros años el prestatario decide cancelar dicho préstamo, por lo que paga unos gastos de cancelación del 3% del nominal del préstamo. La cantidad recibida, incluidos los gastos de cancelación, el prestamista decide imponerla en una entidad que le proporciona un 3% anual de intereses, pero acuerda retirar semestralmente una cantidad constante dentro de cada año, que aumenta de año en año en 10.000 u.m. La primera cuantía retirada es de 50.000 u.m. Transcurridos 10 años desde la cancelación se retira el montate obtenido. Hallar dicho montante.

200

© Ediciones Pirámide

Problemas propuestos

23. Con el fin de disponer en el futuro de un cierto capital, el señor A concierta con la entidad B tres operaciones de constitución cuyas cacterísticas son las siguientes:

Operación 1: Términos constitutivos prepagables variables en progresión aritmética, de tal forma que las dos primeras cuotas de constitución importan, respectivamente, 550.000 y 616.000 u.m.; rédito anual del 10%. Operación 2: Términos constitutivos pospagables, aumentando cada año en un 10% acumulativo, de tal forma que la cuota de interés del año 3 asciende a 26.640 u.m.; rédito anual del 12%. Operación 3: Términos constitutivos pospagables, de cuantía a durante los 5 primeros años, y de cuantía 2a durante los siguientes, de tal forma que la cuota de interés del año 9 importa 922.880 u.m.; tipo de interés del 13% durante los 5 primeros años, y del 14% en los siguientes. © Ediciones Pirámide

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Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

Transcurridos 1O años desde el comienzo de las tres citadas operaciones, y antes de haber abonado al señor B los términos constitutivos pospagables correspondientes al décimo año, el señor A retira el total del capital constituido, disminuido en un 2% del mismo en concepto de gastos de cancelación de las operaciones de constitución. El importe neto retirado por A lo invierte al 17% efectivo anual, concediendo al señor D un préstamo que se amortizará por el sistema francés en 1O años, con pago de intereses trimestrales y cuotas anuales de amortización. Determinar, para el préstamo citado, el valor financiero del mismo transcurridos 4 años desde su concesión y con un tipo de interés del 18% anual.

202

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Problemas propuestos

24. Se impone en capitalización compuesta durante 1O años un capital de 5.000.000 de u.m. a un tipo de interés del 6% anual, retirándose al final de cada año una cuantía constante X, que se destina al consumo. Transcurridos los 10 años, y con el montante constituido, una vez retiradas las 10 cuantías de importe X, se concede un préstamo por el sistema francés, siendo el interés pactado del 10% anual. Calcular la cuantía X sabiendo que la última cuota de amortización del préstamo asciende a 1.593.926 u.m. y que el saldo de dicho préstamo al principio del cuarto año es de 4.360.245 u.m.

25. Un sujeto quiere constituir un capital X mediante la entrega de 5 imposiciones prepagables anuales variables en progresión aritmética de razón 100.000 u.m., siendo la primera cuota de constitución de 619.873,55 u.m. y el quinto término constitutivo de 963.521,41 u.m. Con dicho importe X, concede un préstamo a amortizar por el sistema francés, siendo el tipo de interés del 5% anual. Sabiendo que la última cuota de amortización asciende a 616.689 u.m., calcular el capital vivo cuando falten dos años para la amortización del préstamo. © Ediciones Pirámide

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Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras

26. Un sujeto pacta una operación de constitución con términos constitutivos prepagables y cuotas de constitución constantes. El capital pendiente de constituir al final del año 4 es de 8.000.000 de u.m. Al final de dicha operación y con el capital constituido, el sujeto concede un préstamo a amortizar en 1O años con cuotas de amortización constantes siendo el tipo de interés del 12% anual. Sabiendo que el término amortizativo del año 7 asciende a 1.776.000 u.m., calcular la duración de la operación de constitución.

204

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Problemas propuestos

8.2.

SOLUCIONES

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l.

135.086

14.

2.230.811

2.

1.383.889

15.

7.999.987

3.

10.792.034

16.

995.840

4.

4.860.002

17.

5.000.000

5.

7.195.637

18.

5.489.697

6.

4,26% anual

19.

9.839.606

7.

0,1666

20.

11,21 % anual

8.

11,44% anual

21.

5.437.761

9.

0,009708

22.

9.496.303

10.

1.015.669

23.

15.637.722

11.

150.000

24.

100.000

12.

516.279

25.

1.204.012

13.

170.959

26.

12

205

Bibliografía

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